А.П.Юцис,А.А.Бандзайтис
ТЮРИЯ
МОМЕНТА
количества
ДВИЖЕНИЯ В
квантовОЙ
МЕХАНИКЕ

A. JUCYS, A. BANDZAITIS
VILNIUS
19 6 5
JUDEJIMO
KIEKIO
MOMENTO
TEORIJA
KVANTINEJE
MECHANIKOJE

А. П. ЮЦИС, А. А. БАНДЗАЙТИС
ВИЛЬНЮС * «965
ТЕОРИЯ
момента
количества
движения в
квантовой
механике

LIETUVOS TSR MOKSLy AKADEMIJOS
FIZIKOS IR MATEMATIKOS INSTITUTAS
PUBLIKACIJA Nr. 6
АКАДЕМИЯ НАУК ЛИТОВСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ
ПУБЛИКАЦИЯ № 6
531
Ju 22

ПРЕДИСЛОВИЕ
Развитие квантовомеханической теории момента
количества движения способствует развитию теории электронных
оболочек атома, атомного ядра и других областей современной
физики. Основой этого является то обстоятельство, что
собственные функции оператора момента количества движения (точнее,
его квадрата и одной из составляющих) обладают теми же
свойствами относительно группы вращения трехмерного
пространства, что и неприводимые тензорные операторы. На основании
этой общности свойств собственных функций оператора
момента количества движения и неприводимых тензорных операторов
Фано и Раках [F. R. 59] объединили изучение тех и других в
одну теорию так называемых неприводимых тензорных
наборов [F. R. 59].
Математический аппарат теории неприводимых тензорных
операторов, благодаря идеям Вигнера и Ракаха, стал мощным
орудием современной квантовой теории. Особенно высокую
степень развития этот аппарат получил в теории атома. В
последнее время появились обширные руководства, в которых
упомянутый аппарат применяется в теории атомных спектров. Из
них особого внимания заслуживают книги Слэтера [S. 60а] и
Собельмана [С. 63]. Большой интерес представляет также
книга Джада [/. 63], посвященная соответствующим методам
теории применительно к атомным спектрам. Работы Ракаха
[R. 41, 42, 43, 49], которые послужили исходным пунктом в
разработке соответствующей методики, тоже касаются, главным
образом, теории атома. Это естественно, так как и сама кванто-
5

вая теория сложных систем получила свое начало в теории
атома. Тем не менее, математический аппарат неприводимых
тензорных операторов получает широкое применение в других
областях теоретической физики.
Квантовомеханическая теория момента количества
движения, охватывающая также основы теории неприводимых
тензорных операторов, благодаря своему практическому значению
продолжает развиваться. Это особенно относится к аспектам,
облегчающим применение методов этой теории для изучения
сложных квантовых систем. В предлагаемую нами книгу, кроме
изложения основных принципов квантовомеханической теории
момента количества движения, включен материал,
появившийся в последние годы. Это относится, главным образом, к
свойствам симметрии зеркального отражения и графическим гетодам
расчета на основе графического изображения коэффициентов
Клебша—Гордана и матричных элементов.
Настоящая книга не представляет собою переработки книги
Юциса, Левинсона и Ванагаса [Ю. Л. В. 60], основным
содержанием которой являлись графические методы расчета на основе
графического изображения коэффициентов Вигнера. Этот метод
может применяться наряду с методом, предлагаемым в
настоящей книге. Во время написания упомянутой книги свойства
симметрии зеркального отражения еще не были разработаны.
В настоящей книге эти свойства излагаются так, чтобы при
использовании методики [Ю. Л. В. 60] легко было дополнить ее
изложенными здесь свойствами симметрии зеркального отражения.
С другой стороны, предлагаемая книга написана с таким
расчетом, чтобы она содержала по возможности полную
информацию по математическому аппарату теории момента
количества движения. Все это потребовало включения в книгу как тех
основных сведений по теории момента количества движения,
которые помещены в [Ю. Л. В. 60] и других руководствах, так
и таблиц алгебраических формул и численных значений
основных величин этой теории.
Новый материал, содержащийся в предлагаемой книге,
является результатом исследований, проведенных группой виль-

нюсских физиков-теоретиков, возглавляемой первым из авторов.
Второй автор — один из участников этой группы. Этим новым
материалом являются указанные выше свойства симметрии
зеркального отражения, графические методы расчета,
основанные на графическом изображении коэффициентов Клебша— Горда-
на, алгебраические расчеты ^/'-коэффициентов и др.
В книге используется математический аппарат теории групп
как один из наиболее мощных и изящных методов современной
физики. Однако при изложении материала мы до некоторой
степени отойдем от языка этой теории. Это относится главным
образом к вводным частям изложения. В этом отношении
изложение страдает недостаточной последовательностью.
Прибегнуть к такому методу изложения нас побудило стремление
сделать книгу доступной работникам, имеющим лишь скромные
сведения по теории групп.
Предпринятый способ изложения может быть отчасти
оправдан тем, что предлагаемая книга рассчитана на широкий круг
научных работников, теоретиков и экспериментаторов,
ведущих исследования в области атомной спектроскопии (включая
астроспектроскопию), ядерной спектроскопии, теории
рассеяния квантовых частиц и т. д. По нашему глубокому
убеждению, экспериментаторам должны быть созданы условия для
освоения в какой-то степени методов современной теоретической
физики, что так же важно, как и теоретикам знать эксперимент,
чтобы те и другие нашли общий язык, способствующий их
тесному сотрудничеству, так необходимому для успешного развития
современной науки и техники.
Предлагаемая книга разделена на четыре главы, по десять
разделов в каждой. Алгебраические и численные таблицы
включены в качестве приложений, которых всего шесть.
В первой главе приводятся сведения об операторе момента
количества движения и соответствующих собственных
функциях, включая свойства преобразования последних при вращении
трехмерного пространства. При этом спиновые функции
вводятся на основе теории спинора, краткому изложению которой
посвящен один из разделов (6). В конце главы (раздел 10) вводится

понятие зеркального отражения системы координат в теории
момента количества движения.
Вторая глава посвящена теории сложения двух моментов
количества движения. В ней довольно подробно излагается
теория коэффициентов Клебша—Гор дана. Приводятся все
известные для них алгебраические формулы и их взаимосвязь. Кроме
перестановочных свойств симметрии, рассматривается
симметрия зеркального отражения, иначе говоря, такая симметрия,
когда одни моменты задаются в правой системе координат
(нормальной), а другие — в левой (отраженной). Два предпоследних
раздела (18 и 19) посвящены обычным и расчетным свойствам
коэффициентов Вигнера. Последний раздел (20) посвящается
рассмотрению одновременного зеркального отражения системы
координат и пространства и связи этого преобразования с конт-
растандартностью составляющих неприводимых тензоров.
Третья глава посвящена изложению инвариантов
относительно вращения трехмерного пространства, так называемых З/у-
коэффициентов, являющихся симметричными частями матриц
преобразования собственных функций связанных моментов.
Приводятся существующие определения, свойства симметрии и
графические изображения этих коэффициентов.
Четвертая глава посвящена графическим методам расчета,
которые основываются на коэффициентах Клебша—Гор дана и
матрицах преобразования. Переход к Злу'-коэффициентам
осуществляется на последней стадии расчета с помощью
стандартных матриц преобразования, которые приводятся для всех
типов Зи/-коэффициентов до л=6 включительно. Два раздела
(37 и 38) посвящены графическому отысканию выражений для
матричных элементов простых и сложных операторов.
Изложение заканчивается иллюстрацией способов применения
приводимых графических методов расчета (раздел 39) и указанием
правил нахождения симметрии зеркального отражения матриц
преобразования (раздел 40).
В приложениях 1, 3 и 5 приводятся алгебраические формулы
для коэффициентов Вигнера, 6/- и ^/'-коэффициентов,
соответственно, при численно заданных некоторых из параметров. Приложения
8

2 и 4 содержат численные таблицы коэффициентов Вигнера и
6/-коэффициентов, соответственно, при всех численно заданных
параметрах. В этих двух приложениях используются
измененные параметры этих коэффициентов, которые оказались очень
удобными для численного табуллирования значений этих
величин. Мы не имеем возможности познакомиться с
неопубликованными работами Бриана [В. 60] и Ховелла [Я. 59а], которые
также составили таблицы коэффициентов Вигнера и 6/-коэффи-
циентов на основе новых параметров. Поэтому мы не можем
указать связь между нашими параметрами и параметрами этих
работ. Мы не могли познакомиться также с работой Ховелла
[Я. 596], где даны таблицы Эу-коэффициентов. В приложении 6
содержатся алгебраические формулы и численные значения
приведенного матричного элемента оператора сферической функции.
Формулы нумеруются (а.Ь), где а означает номер раздела,
а Ъ — порядковый номер формулы в этом разделе. В
приложениях а заменяется П. с, где с означает номер приложения.
Рисунки обозначаются символом уХ2, где у означает номер раздела,
к которому относится данный рисунок, a z — номер рисунка в
этом разделе. При этом Х=А, В, ..., где Л, В ... могут быть
также штрихованными, выделяет отдельные диаграммы данного
рисунка. Список литературы приводится в конце книги, а ссылки
обозначаются первыми буквами фамилий авторов и двумя
цифрами, обозначающими год соответствующего столетия, к которому
относится данная работа.
Авторы считают своим приятным долгом выразить
искреннюю благодарность д-ру Б. Джеффрейс (Кембридж,
Великобритания), указавшей ряд важных литературных источников, и д-ру
Г. Понзано, предоставившему возможность использовать
результаты его исследований в процессе их проведения. Мы глубоко
признательны своим сотрудникам С. Д. Шаджювене-Будрите,
предоставившей диаграммы 18/-коэффициентов, и Т. Д. Строц-
ките, проверившей численные таблицы коэффициентов Вигнера
и 6/-коэффициентов. Благодарим также слушателей курса, часть
которого составляет материал, помещенный в предлагаемой
книге, принимавших участие в проверке многих приводимых формул.
9

Авторы благодарны руководству Института физики и математики
Академии наук Литовской ССР за создание благоприятных
условий для завершения работы над предлагаемой книгой.
Авторы приносят дорогим читателям свои извинения за
недостатки, от которых не свободна предлагаемая их вниманию
книга, и будут благодарны за указания и замечания, которые
просят направлять в Институт физики и математики Академии
наук Литовской ССР или в Вильнюсский Государственный
университет им. В. Капсукаса.
Опечатки и ошибки, которые будут обнаружены авторами
совместно с дорогими читателями, будут отпечатаны в журнале
„Lietuvos fizikos rinkinys" (,,Литовский физический сборник*')
за 1967 г.
Вильнюс,
Август 1964 г.
А. П. Юцис,
А. А. Бандзайтис

ГЛАВА I
ОПЕРАТОР МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
И ЕГО СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Настоящая глава посвящена рассмотрению свойств оператора момента
количества движения и собственных функций его квадрата и одной из
составляющих. Она является вводной частью для всей книги, так как в ней
приводятся сведения, необходимые для дальнейшего изложения материала.
После приведения основных свойств оператора момента количества
движения (раздел 1) указывается его связь с оператором бесконечно малого
поворота трехмерного пространства (раздел 2). В следующем разделе (3)
приводятся основные сведения об использовании сферической системы
координат. В основном обращается внимание на векторы и их свойства
преобразования при повороте трехмерного пространства. Указывается система фаз
для сферических составляющих вектора, которая будет положена в основу
в дальнейшем.
В разделе 4 приводятся сведения о матричных элементах оператора
квадрата момента количества движения и его составляющих, а в разделе
5 изучаются собственные функции орбитального момента количества
движения.
Следующие два раздела (6, 7) посвящены рассмотрению собственной
функции спинового момента количества движения. При этом
математический аппарат спинового момента количества движения строится на
теории спинора, изложению которой посвящен раздел 6. Теория спинора
приводится в первоначальном виде [К. 38, В. 56], который удобен в
дальнейшем. Получаемый вид матриц группы SU2 ведет к представлению группы
вращения трехмерного пространства, согласно которому в случае
однозначного представления преобразуются собственные функции оператора
орбитального момента количества движения и составляющие неприводимых
тензорных операторов, которые рассмотрены в разделе 8. Рассмотрению
и

двузначного представления группы вращения трехмерного пространства
посвящен раздел 9.
В последнем разделе (10) данной главы рассматриваются свойства
симметрии представления группы вращения трехмерного пространства при
зеркальном отражении системы координат, что эквивалентно
подстановке /->-/-1.
1. Операторы орбитального и спинового моментов количества
движения и их перестановочные свойства
В классической механике момент количества движения определяется
выражением
1 = [гр], (1.1)
где г — радиус-вектор, отсчитываемый от точки, относительно которой
вычисляется момент количества движения 1, ар— количество движения.
Квадратными скобками здесь обозначено векторное произведение.
Согласно правилам квантовой механики, для получения оператора
момента количества движения в (1.1) необходимо вместо г ир подставить
сопоставленные им операторы
r->r, p-*-i*V. (1.2)
Здесь /—мнимая единица, h -постоянная Планка, деленная на 2iz, у
-векторный оператор „набла". Используя для оператора момента количества
движения то же обозначение 1, из (1. 1) и (1.2) получаем для него выражение
1=-/Л[гу]. (1.3)
Точка, относительно которой определяется момент количества движения,
обычно совмещается с началом системы координат. Тогда г и у имеют
следующие составляющие:
rx = x, ry = y, rz = z\ (1.4)
д д д /1 г\
V* = ^> Ъ = -щ;> Vz = ^- (l.o)
В таком случае для составляющих оператора момента количества
движения получаются выражения
12

l^-m(zi-xi)'
(1.66)
(1.6b)
С помощью этих выражений легко получаем следующие перестановочные
свойства для составляющих оператора момента количества движения:
[/*, /,]=й/„ Vy, i2]=mx, [i2, 1я]=шу. (1.7)
Здесь квадратные скобки обозначают коммутатор
[*, у] = ху-ух. (1.8)
(1.7) показывает, что оператор момента количества движения не
коммутирует сам с собою. Поэтому он не может быть включен в полный набор
коммутирующих операторов для квантово-механического описания состояния
системы.
Легко убедиться, что квадрат рассматриваемого оператора
/2 = /| + /2 + /| (1.9)
коммутирует со всеми составляющими 1ХУ 1У и /2. Это позволяет в набор
коммутирующих операторов включить квадрат и одну из составляющих
оператора момента количества движения.
Обычно берутся операторы
/2, /,. (1.10)
Если система состоит из нескольких
подсистем, в качестве которых могут быть
отдельные частицы, то
L-Z1"
(1.11)
где каждый \{ строится таким же образом,
как и 1 для одной частицы или подсистемы.
Операторы 1, и 1у при z#y коммутируют
друг с другом. Это приводит к таким же
перестановочным соотношениям
составляющих оператора момента количества движения многих частиц, как и в
случае одной частицы.
Если использовать сферическую систему координат, то (ср. 1А1)
13

x = rsin&cos<p,
у = r sin & sin <p,
z = rcos&.
Обыкновенно^ рини мается г = 1.
Тогда имеем (ср., нпр., [£.57])
sin ср -xjt + ctg & cos ер
—i
(л) /"}
-cos ср -^ + ctg£ sin<p] ^J,
/2=-/Й
to'
Выражение
Л = ~ [lISl- Ж (sin * ж) + 1Ш" -$- ]
(1.12)
(1.13а)
(1.136)
(1.13в
(1.14)
(1-15)
является оператором Лежандра. Оно представляет собою оператор
квадрата момента количества движения в системе единиц, в которой й = 1. В
любой другой системе
/2 = А2Л. (1.16)
Вышеприведенное сопоставление оператора 1 с классическим моментом
количества движения не является наиболее общим определением оператора
момента количества движения. Более общим является определение с
помощью перестановочных соотношений (1.7). При этом оператором момента
количества движения считается оператор j, удовлетворяющий следующим
перестановочным соотношениям:
Уху Jy] = lNz, [/>, Л1 = '*/*. [Л. Jxl^ifyy,
(1.17j
Этим условиям удовлетворяет не только вышеприведенный оператор 1, но
и оператор s, составляющие которого имеют следующие выражения:
^ = -
0 1
1 О
, Sy- 2
0 -I
1 О
1 О
О -1
(1.18)
14

Эти матрицы введены Паули в 1927 г. [Р. 27] и представляют собой очень
хорошее приближение для описания собственного или спинового момента
количества движения квантовой частицы.
1 называется орбитальным, as — спиновым моментом количества
движения Эти величины, рассматриваемые как операторы, коммутируют друг
с другом, так как они зависят от разных переменных (первый — от
пространственных, а второй — от спиновых). Их сумма
l + s=j, (1.19)
обычно называемая оператором полного момента количества движения,
удовлетворяет перестановочным соотношениям (1.17). Оператор (1.19) не
коммутирует ни с 1, ни с s. Нетрудно проверить, что j удовлетворяет следующим
перестановочным условиям с 1 и s:
[Л» 'J = 0, [уЛ, ty] = iht2, [jx, Q=-ihtyt
U,> *p] = 0, L/>, 'J-««'„ V„ Q=-ihtzy (1.20)
Uif 'J = 0> Uz> tx] = ihty, [j2, ty]=-ihtx.
Здесь * = /, 5. Таким же перестановочным условиям удовлетворяет j{, если
i
а каждый ]t коммутирует с jfc {кФг) и удовлетворяет условиям (1.17) при
= к. В правой части (1.21) j£ может означать 1^ и st отдельных частиц. В
случае jx=l и j2=s (/=1,2) получим в точности (1.19) и, следовательно, (1.20).
С другой стороны, в правой части (1. 21) могут отсутствовать sfe, тогда (1.21)
превращается в (1.11). При таких условиях в (1.20) следует подставить
J=L и t=li (/=1,2, ...). То же самое относится и к случаю отсутствия \t в
правой части (1.21).
Если вместо j подставить I, а вместо t подставить г или р, то условия
(1. 20) сохраняют свою силу. Покажем это на частном примере. Возьмем
коммутатор [1Х, у] и отдельными его членами подействуем на функцию ф.
Получим
-i*(y-l;-Z |г) yi- -т{у' ^-гу |£-2ф),
"Чж-£)+-'*(>• S-'f)-
15

Вычитая второе из этих равенств из первого, получаем
И*» y\ = ihz-
Это и есть первое равенство второго столбца в (1.20).,
До сих пор мы рассматривали случаи, когда момент количества
движения вычисляется относительно начала системы координат. Однако иногда
появляются и такие случаи, когда он вычисляется относительно любой
другой точки пространства. Пусть частица находится в точке у и имеет
координаты Tj и количество движения р,. Для определения момента количества
движения частицы относительно точки к в (1.1) вместо г следует подставить
rJk=Tj—Tk, а вместо р — р,. Это дает
1д = [(гу-г*)ру]. (1.22)
Последнее равенство перепишем в следующем виде:
1д = [гуР;]-[г.Ру]. (1.23)
Первый член правой части этого равенства представляет собою
обыкновенный момент количества движения, и, таким образом, соответствующий
оператор удовлетворяет перестановочным условиям (1.7). Нетрудно
убедиться в том, что второй член коммутирует сам с собою. Это ведет к
следующим перестановочным соотношениям:
Ujkxy Ьку]:=Щк21 Vjky> ljkz] = iMjkx> Vjkz> Ькх\ = Щку (1-24)
Эти соотношения получаются при помощи (1.7) и (1.20) и совпадают по
виду с (1.7).
2. Связь оператора момента количества движения с оператором
бесконечно малого поворота трехмерного пространства
Под вращением трехмерного пространства будем подразумевать
движение, переводящее радиус—вектор любой точки в другое положение при
сохранении положения осей системы координат. Это вращение обыкновенно
задается углами Эйлера Ф, 0, Т, которые измеряют следующие вращения:
Т — вокруг оси oz, 0 — вокруг ох и Ф — опять вокруг оси oz. Сохранение
порядка обязательно. На 2А1 изображаются указанные повороты.
Вследствие вращения точки, первоначально находившиеся на осях ox, оу, oz,
16

переходят на линии ox', оу', oz'.
Соответствующим образом изменятся составляющие
любого вектора, связанного с пространством.
Если какой нибудь вектор г перед
поворотом задавался как r(xayaza), а после
поворота — г {xbybz^, то пишется
Dra
(2.1)
У где D является следующей матрицей (ср.
[Г.М.Ш.58]):
2)(Ф, 0, Т) =
cosOcosY-cosesinOsinT — cos Ф sin Т — cos ©sin Ф cos Y sin0sin Ф
sin Ф cos T + cos 0 cos Ф sin T — sin Ф sin T + cos 0 cos Ф cos T — sin 0 cos Ф
sin 0 sin *F sin 0 cos T cos 0
(2.2)
Частными случаями (2.2) являются матрицы, дающие вращения
вокруг отдельных осей системы координат. Если вращение пространтсва
состоит только из поворота на угол а вокруг оси ох, тогда Ф=Т=0, 0=а,
и (2.2) принимает следующий вид:
£(0, a, 0) = DX(*)"
1
0
0
0
cos а
sin а
0
— sin а
cos а
(2.3a)
Поворот вокруг оси оу на угол (3 можно осуществить поворотом
вокруг оси oz на угол —и/2 с последующими поворотами вокруг осей ох и oz на
углы (3 и те/2, соответственно. Это дает Y=—те/2, @ = (3 и Ф=те/2. (2.2)
превращается в
0
1
D(i> Р« -!)=ЗД)=
cos(3
0
- sin р
0
sinp
0
cosp
(2.36)
17

В случае поворота вокруг оси oz на угол у имеем Ф+хГ=у, 0=0, и
(2.2) дает
cos у — sin у 0
2)(Ф, 0, у-ф) = ЯЛт) = "
sin у
0
cosy
0
(2.3в)
Матрица (2.2) может быть получена вычислением следующего
произведения :
В = В2(Ф)Пх(е)П2(У)- (2.4а)
С помощью матрицы D выражаются новые составляющие вектора
через старые. Обратное производится с помощью матрицы D"1, которая ввиду
свойства ортогональности матрицы D (DD = DD=\) совпадает с D.
Согласно правилу транспонирования произведения матриц получаем для Z)
следующее выражение:
5 = Ъг(х¥)Ъх(е)Ъ2(ф). (2.46)
Важное значение имеют так называемые бесконечно малые повороты,
когда матрицы бесконечно мало отличаются от единичной матрицы.
Например, матрице (2.3а) тогда можно придать следующий вид:
Dx(k)=1+olIx+0(oi2), (2.5)
где 0(а2) содержит члены второго и высших порядков по а. В пределе, когда
а->0, из (2.3а) для 1Х получаем
Таким же образом получаем
«->0 а
лучаем
н
/2=
0
1
0
0
0
-1
-1
0
0
1 _
0
0
1 о
0 1
0 0
0 0
0 |
0
о
0
0
1
>
0
-1
0
(2.6а)
(2.66)
(2.6в)
1Х, 1У, Iz являются матрицами, соответствующими бесконечно малым
поворотам вокруг осей координат. Если поворот осуществляется вокруг
18

любой оси u (uxuyuz) на бесконечно малый угол 9, то вместо (2.5) имеем
^(ф)=1+9(^/Л + "^ + ^/,) + ^(ф2)=1+ф(и1) + 0(ф2) (2.7)
или
А,(ф) = еф(и1). (2.8)
Из (2.6) получаем следующие перестановочные соотношения для
матриц 1ХУ 1у и Iz:
[/,, Iy] = I„ [Iy, I2] = IX, [/„ Ix] = Iy. (2.9)
На примере первого из соотношений покажем смысл условий (2.9).
Возьмем
е«тхе^уе-аТхе-^у=1+к$[1х, /,,] + О (а2 р2) = 1 + ар/,4-0(а2Р2), (2.10)
где О (а2Р2) содержит члены порядка выше второго относительно аир. Для
получения (2.10) следует выразить каждое вращение по (2.8) и произвести
умножение. Таким образом, осуществление вращений вокруг осей
координат оу, ох, оу, ох на углы — р, — а, р, а соответствует вращению вокруг оси
oz на угол оф с точностью до второго порядка относительно ар.
Если в (2.9) подставить
1Х= -Ух, Iy= -Чу, iz= -iiz> (2.11)
то получится (1.17). (2.11) дает связь между оператором момента
количества движения j и оператором I, соответствующим бесконечно малому
повороту трехмерного пространства. Тогда вместо (2.8) можем писать
Du{<?) = e-»™ (2.12)
а вместо (2.7) —
a»=i-;?(uj). (2.13)
Здесь членами второго порядка мы пренебрегаем, считая поворот <р
бесконечно малым.
Матрица D является унитарной:
D+D=lf D+ = D~\ (2.14)
где D+ представляет матрицу, эрмитово сопряженную с матрицей Z),
получаемую из D транспонированием и комплексным сопряжением.
Из (2.12) или (2.13) следует, что j является эрмитовым оператором:
jx =jx, Jy =jy> it =jz- (2-! 5>
19

На самом деле, из унитарности D следует, например, что
(1+/аЛ+)(1-/а/,)=1. (2.16)
Из этого равенства следует первое условие (2.15), если только учесть
бесконечную малость поворота а.
3. Векторы в сферической системе координат
Рассмотренное в предыдущем разделе вращение трехмерного
пространства дает соответствие между двумя векторами, абсолютная величина
которых одинакова. Это обстоятельство позволяет получить из одного
вектора другой с помощью поворота пространства:
B = Z)A. (3.1)
Если теперь произвести преобразование системы координат, то
векторы А и В преобразуются в А' и В' согласно условиям
A'=J7A, А^С/^А', (3.2а)
В'=£ЛВ, B=U1B'. (3.26)
Здесь U является унитарной матрицей. Подставляя (3.2) в (3.1), получаем
U^B'^DU^X'.
Отсюда следует
B' = D'A', (3.3)
где матрица
D^UDU-1 (3.4)
дает такое же соответствие между векторами в новой системе координат,
какое дает D в старой системе.
Повторное преобразование типа (3. 2) дает
D'= U'D' и'-г= Ur UDU-1 U'-1= U' UD{U' J7)"1. (3.5)
Этот очевидный результат показывает, что в случае двух
последовательных преобразований системы координат можно сначала найти
промежуточную матрицу D' и дальше получить D" из D' таким же образом, каким
получается D' из D. Очевидно, что результат получится такой же, как и
в случае непосредственного преобразования с помощью матрицы U'U.
20

Матрица U может преобразовать систему координат, не изменяя ее
типа. Такое преобразование является поворотом системы координат вокруг
ее начала. В таком случае U является матрицей типа D. Мы здесь пишем
D потому, что вращение пространства компенсируется вращением
системы координат (имеется в виду изменение вектора вследствие вращения
системы) при помощи транспонированной матрицы, то есть DD=\, так как они
ортогональны (унитарны и, кроме того, действительны). Из этого следует,
что матрица U должна равняться D в (3.4), чтобы было удовлетворено
равенство D' = D, за исключением тривиального случая [7=1. На самом деле,
из (3.4) имеем
так как из равенства
DD=\ (3.6а)
следует также
D-^D. (3.66)
Следует отметить, что изменения составляющих вектора и
единичных векторов вследствие вращения системы координат определяются
транспонированными матрицами. На (3.1) можно смотреть как на связь двух
векторов в одной и той же системе координат, а на (3.3) - как на эту же
связь в другой системе координат, получаемой из первой поворотом ее с
помощью матрицы U, определяющей преобразование единичных векторов.
Матрице U можно придать смысл преобразования оси поворота. Пусть
D дает поворот пространства вокруг оси и на угол ср. Если U представляет
преобразование и в и', т. е.
и'=£/и, (3.7а)
или в составляющих
4 = 2 Чм* (3-76)
то D' в (3.4) дает поворот пространства вокруг оси и' на такой же угол.
В связи с этим отметим, что везде в выражениях типа Uu через
составляющие суммирование осуществляется по второму значку матрицы U. Это
значит, что строка матрицы умножается на столбец, составленный из
составляющих вектора.
При соответствующем подборе матрицы U производится переход от
одного типа координатной системы к другому. Важное значение имеет переход
21

от декартовой системы координат к сферической системе. Для этой цели
подбирается матрица
-I 1 О
О 0 /1/2 ||, (к = х, у, z). (3.8)
i 1 О
1
^dffl*)-W
Тогда вектор определяется составляющими
Л(,п= ~Ых+ау 9 A(l) = iAz, A(i\-z iAx+Ay
11 " 1/2 ' "° ~'~z' ~"1_ V2
Скалярное произведение двух векторов тогда выражается в виде
(АВ) = £ (-l)1-*^^-
Если написать
то скалярное произведение представится в виде
(ав) = 241)^]=141]41)-
Q Q
Нетрудно усмотреть, что
AM=U0A(1\
где матрица U0 имеет вид
U0 = (q\q') = (-l)1-«4q, -*') =
Матрица (3.14) удовлетворяет условиям
U0=U»i=OQ (U0U0=l).
Скалярное произведение имеет свойства
0
0
1
0 1
-1 0
0 0
(АВ) = № &» = 2№ О0 U0 5(1> = U„A™ U0 &*> = 1(1) ВЫ,
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
что является матричным выражением (3.12).
Тильда над вектором обозначает, что составляющие данного вектора
составляют матрицу с одной строкой. В противном случае подразумевается,
что составляющие вектора представляют собою матрицу с одним столбцом.
22

Выражение вектора через составляющие в сферической системе
координат имеет вид
А = £ е« (- 1 )i-M« = ^ е</>41] = 2 41] 4Х). О-17)
где е^1} и е^1] связаны друг с другом матрицей (3.14).
Составляющие А^ и единичные векторы е£° назовем стандартными, а А[*]
и е^11 — контрастандартными. Такая стандартизация составляющих
приводит к определенной системе фаз, которая называется стандартной системой
фаз. Следует отметить, что у Фано и Ракаха [F. R. 59] составляющие (3.9)
определяются как контрастандартные. Это изменение несущественно,
однако, по нашему мнению, предлагаемый порядок удобнее, так как
сферические функции у нас будут стандартными составляющими тензора, а не
контрастандартными, как в [F. R. 59].
В сферической системе координат, согласно (3.4) и (3.8), вместо матрицы
поворота пространства (2.2) получаем
(СО8 0+1)С'ЧФ+Т)
iV"2sia0e/T
(со80-1)е'(-ф+т)
вместо (2.3):
D(0, а, 0) = /),(а) = 4
Я(Ф, 0, Т) =
/1/2 sin0е^ (cose-l)^*-*»
2cos©
il/"2sm0e-'*
i]/2sm@e-iXV
(cos©+l)e''(-°-Y)
cosa + 1
11/2 sin a
cos a — 1
i l/ 2 sin a
2 cos a
/"|/2 sin a
cos a— 1
/1/ 2 sin a
cos a + 1
(3.18)
(3.19a)
D(i> P- -|-)=^(P)=
1+cosp -V'"2sin.p
V1 sin p 2 cos p
1-cosp 1/2" sin p
1 — cos p
-1/2 sin p
1+cosp
(3.196)
D(<P, 0, у-ф) = #г(т) =
e1'^
0
0
0 0 1
1 0
о <?-'•■>-
(3.19b)
23

а вместо (2. 6):
h =
V~z
0 i
i 0
0 /
0 1
г
0
Iy~ V2
4 =
0
1
0
-1
0
1
0
-1
о
i 0
0 0
0 0
0 1
0
—1 1
(3.20a)
(3.206)
(3.20b)
С помощью (3.20) получаются те же самые перестановочные соотношения
(2.9). Это общеизвестный факт, что перестановочные соотношения одних и
тех же операторов не зависят от системы координат.
Сравнение (3.14) и (3.19) показывает, что
U9 = D{±, тс, -f) = Z>».
(3.21)
Это значит, что контрастандартные составляющие вектора А[{]
соответствуют стандартным составляющим в системе координат, получаемой поворотом
вокруг оси оу на угол -к.
Матрица (3.18) соответствует действиям над векторами,
характеризуемыми стандартными составляющими. Если используются
контрастандартные составляющие, то следует использовать матрицу
Z)W = U0 D™ Uq1 = Z>(1)*. (3.22)
Здесь D(1) означает матрицу (3.18).
Соотношениями, аналогичными (3.22), связаны также векторы,
задаваемые стандартными и контрастандартными составляющими. Можем писать
АМ = АЫ*У 413 = 41)*- (3-23>
То же самое имеет силу и в случае единичных векторов
(3.24)
еш_ео)*
Матрица (2.2) является действительной. Однако та же матрица,
приспособленная к стандартным составляющим, по внешнему виду уже ком-
24

плексная, также как и составляющие вектора (3.9). Эта комплексность
происходит от перехода [W. 39] от поля [к] действительных чисел, которое
соответствует декартовым составляющим вектора, к расширенному полю
[к, /], к которому относятся составляющие вектора в сферической системе
координат.
Матрицы (3.18) и (3.22) связаны друг с другом свойством унитарности
JD+=i>* = Z>-1, (3.25)
D* = D-h (3.26)
Если осуществляется поворот пространства, то скалярное произведение
представляется в виде
(АВ) = AM В(1) = AM Ъ* DB<*> = /Рам Z>B(1> = D™A Z>(1) B(1>. (3.27)
Это означает, что (контра)стандартный партнер скалярного
произведения преобразуется согласно (контра)стандартной матрицы при повороте
пространства вокруг начала координат. Матрицы Z>(1) и D[1] дают
преобразования контра градиентные друг другу, как это видно из (3.27).
Приведем еще перестановочные свойства составляющих момента
количества движения в сферической системе координат. Они имеют следующий
вид:
[A1lA1)i]=+^>, (3.28а)
и%Лх)]=ттМ. (3.286)
Нетрудно убедиться, что в случае контрастандартных составляющих вид
перестановочных соотношений (3.28) не меняется.
4. Матричные элементы оператора квадрата момента количества
движения и его составляющих
Волновую функцию, характеризуемую квантовым числом а, будем
обозначать | а], причем а может обозначать набор квантовых чисел или часть
набора. В случае необходимости писать в явном виде переменные, от
которых зависит волновая функция, используем двустрочное обозначение
волновой функции. В первой строке будут стоять квантовые числа, а во второй —
25

переменные. Комплексно сопряженную волновую функцию будем обозначать
открываемой скобкой:
(4.1)
:н:
Здесь х обозначает четыре координаты: три пространственные (г, &, 9) и
одну спиновую (су), если речь идет об одном электроне. В случае многих
электронов будем писать X, под которым будем подразумевать набор всех
координат всех электронов.
Условие ортонормированности волновых функций обозначим
["|"']Ч« 1*1 = *(*,«'), (4.2)
где левая часть обозначает интеграл по пространственным координатам и
суммирование по спиновой координате:
2 ао 7т 2тг
10 0 О
Если оператор представляется в схеме функций | а], то его матричный
элемент будем писать в следующем виде:
[x\M\*'] = f[*x\-M-\*]dx. (4.4)
Если волновые функции являются собственными функциями оператора, то
матрица диагональна:
[ос|М|а'] = 8(а, а')[а|М|а]. (4.5)
Эти диагональные матричные элементы являются возможными
численными значениями величины, с которой сопоставляется данный оператор.
Если функции не являются собственными функциями оператора, то
условие (4.5) не будет удовлетворено. Однако матрица может быть диа-
гонализирована с помощью некоторой унитарной матрицы U:
M'^UMU-'1. (4.6)
Здесь М' представляет уже диагональную матрицу, диагональными
элементами которой является решения векового уравнения
26

[<х|М]а]-Х [а|М|а'] ...
[а'|М|а] [а'1М|а']-Х ...
= 0. (4.7)
Как известно, эти решения уравнения, как и элементы (4.5), должны
быть действительными, чтобы они могли быть значениями физической
величины, сопоставимой с оператором. Эти решения будут действительными,
если матрица М будет эрмитовой, то есть, если будет удовлетворено
условие
[а|М|аТ = [а/|АГ|а]*. (4.8)
Если М представляет векторный оператор, то условием его эрмитовости
является равенство
[а/|4111а]* = [«141)1*']- (4-9)
Для получения этого равенства берем матричные элементы обеих частей
(3.15) двояким образом, а именно:
[к\А\*'] = %еЫ[*\АЫ\*']. (4.10а)
[a'|A|a]=2«?][*'l41)l«]- (4106)
В первом равенстве берем комплексные сопряжения обеих частей и
учитываем (3.22). Тогда сравнение множителей при е£1] дает (4.9).
Собственные функции набора коммутирующих операторов являются
общими, поэтому каждый оператор такого набора в схеме собственных
функций будет представлен диагональной матрицей. Если функции не являются
собственными, то матрицы могут быть приведены к диагональному виду
одновременно. Отсутствие вырождения является условием полноты набора
коммутирующих операторов.
Каждый скалярный оператор является инвариантом относительно
поворота пространства, поэтому он будет коммутировать с оператором
вращения и тем самым, с оператором момента количества движения. Таким
образом, скалярный оператор и оператор одной из составляющих момента
количества движения могут быть представлены диагональными матрицами в
одной и той же схеме функций. Важное значение имеет тот факт, что матрица
этого скалярного оператора не только диагональна относительно собствен-
п

ных значении оператора составляющей момента количества движения, но
также не зависит от них [С. S. 35], что является следствием
вышеуказанной инвариантности скалярного оператора.
Оператор квадрата момента количества движения j2 является скаляром.
Поэтому он обладает вышеуказанными свойствами. Пусть
ит\№\Гт'] = тт*ит, Г™'). (4.11)
Тогда
[jm\f\j'm'] = h*Kj8(jm, j'm'), (4.12)
где Kj не зависит от т. Для нахождения К} возьмем матричный элемент
соотношения (3.286) относительно jrri и jm.
Получим
[jm'\f}\ \jm] i(rn-m' ± 1) = 0. (4.13)
Отсюда следует условие неисчезновения матричного элемента: m' = /w±l.
Поэтому можно писать
j<£\\jm] = hK?m\jm±l]. (4.14)
Отсюда получим
Я\\Мг] = 0, (4.15а)
fl\\jm2] = 0, (4.156)
где тг и т2 представляют, соответственно, максимальное и минимальное
значение т. Подействуем оператором j[±\ на (4.15а). Получим
/Д/Д1М] = у (72+#)2 + %Г)1М] = 0. (4.16)
Отсюда следует, что согласно (4.11) и (4.12)
Ъ-т1-тг = 0. (4.17а)
Подобным образом получаем
Kj-ml + m2 = 0. (4.176)
Из этих двух соотношений получаем
(т1 + т2)(т1-т2+1) = 0. (4.18)
Это дает
mi=-m2=j\ (4.19)
28

где j представляет максимальное значение т. Разница между максимальным
и минимальным значениями т будет 2/. Эта величина положительна и у
должен быть таким же. Ввиду того, что т может меняться через единицу, что
следует из (4.13), j может принимать значения целых или полуцелых чисел.
Это значит, что
7 = 0, 1, 1, |, ..., (4.20)
а т может меняться в пределах
-j<m^j. (4.21)
Из (4.17) следует, что
Kj=j(j+\). (4.22)
Это значит, что матричный элемент оператора j2 в действительности не
зависит от собственных значений оператора j£\
Теперь найдем эффект действия оператора j%\ на собственные функции
операторов j2 nj^\ Для этой цели на обе части равенства (4.14)
подействуем оператором j^\. Это дает
ЛЧЛЧ \jm] = h2K^K/m±1\jm]. (4.23)
Отсюда далее следует
[jm \]%\Ж \jm] = h*KfmK?m±1. (4.24)
При учете (4.11), (4.12) и (4.22) из (4.24) получаем
^^^±1 = ^ [y(7+l)-m(m±l)] = ^ 0 + m)(y±m+l). (4.25)
Напишем уравнение, комплексно сопряженное с (4.14):
[М\Ж* = *Х&*Ц>п±1\, (4.26)
и учтем, что согласно (3.9)
M*=j% (4-27)
Действуя равенством (4.26) на (4.14), интегрируя и сравнивая с (4.24),
получим
KfmK^m±1 = \Kfm\2. (4.28)
Далее, из (4.25) следует
\K^ = ^U + m)(j±m+l). (4.29)
29

На основании этого можно полагать, что
Kfm= Ti"[y (j + m)(j±m+l)]2. (4.30)
Фазовый множитель ± i подбирается с целью получения определенной
системы фаз во всем нижеследующем математическом аппарате.
Подстановка (4.30) в (4.14) дает
fi\\Jm]=+iH[~ (JTm)U±m+l)f \jm±l]. (4.31)
Для матричного элемента оператора j(}\ получаем следующее выражение:
Um±l\f1\\jm]=Tm[^U^m)(j±m + l)]2. (4.32)
При учете (3.9) имеем
( + iix+jy)\№]= +ib[(j + ™)U±m+ !)]2 \М± ll
(4.33)
[jm±l\ + ijx+jy\jm]=+ih[{j + m){j±m+\)]K (4.34)
Для jx, jy, jz и j2 получаем следующие неисчезающие матричные элементы:
JL
[jm+ 1 |Л1/«] = | [(j-m)(j+m+ l)f, (4.35а)
[jm-l \jx\jm] = Y [(/+«)(/-«+ I)]2. (4-35б)
[jm+l \jy\jm] = -i 4 [(j-m)(j+m+ l)]2, (4.36a)
[jm -\\jy\ jm] = / 4 [(j+m) (j-m+ l)f, (4.366)
[ут|/|ут] = Й2У(У+1), (4.37)
Ijf» IЛI Jm] = Йш. (4.38)
30

Для получения (4.35) и (4.36) следует взять матричные элементы
тождеств
Л = Д^-^%^, (4.39а)
2/ 2/
Jx+Jy . -Ux-
Jy~~ 2 ~*~ 2
jy = Jh+k_+ -ОхЧу (4>з9б)
и использовать (4.34).
Из вышеприведенных формул легко получаем следующие
общеизвестные соотношения:
J±\M] = Ux±Uy)\Jm) = h[(j^m)U±m+l)f\jm±ll (4.40)
Um±\\j±\jm] = h[(j + m)(j±m+l)]*. (4.41)
Первая из этих формул используется для изменения квантового
числа т [С. S. 35].
Для простоты письма мы не писали символ, указывающий набор
квантовых чисел, дополняющий р, /01) до полного набора коммутирующих
операторов. С учетом его следовало бы вместо jm везде писать аут.
5. Собственные функции оператора орбитального момента
количества движения
Собственная функция операторов /2 и lz (или /£°) обычно называется
собственной функцией оператора орбитального момента количества движения.
Эти функции могут быть найдены разными способами. В данном разделе в
общих чертах воспроизведем метод Кондона и Шортли [С. S. 35], в котором
вместо операторов /2 и lz используются lz и /+ . Согласно (1.13), для этих
операторов имеем следующие выражения:
/.= -«£, (5.1)
/±=^±'*(±i+'ct^i)- <Б-2>
Первое из этих уравнений дает
'■йЬ-ЧйЬЧн]- <53)
31

где в собственной функции
| £' ] = У (Ли, | вф) = 0 (1т, | *) Ф (т, | Ф) (5.4)
переменные разделяются. Вторая из функций правой части (5.4) имеет
следующий вид:
_i
Ф(т/|ср) = (27г) 2 е
--S- /ш'ф . (5.5)
При таком выборе постоянного множителя эта функция является
нормированной к единице. Функции Ф (/и/1 <р) (т/= —/, -/+1, ...,/)
ортогональны друг другу. Таким образом имеем
f 0*(mi\<?)0(mi\<?)(fy = b(mh mi). (5.6)
о
Здесь комплексное сопряжение функции
е±*т/ф = cos w^ ^ j- sjn ^ ^ (5.7)
может быть отнесено к расширению поля [к] в [ку *].
Для нахождения функции 0 (/m7 | д) используем оператор (5.2). В
первую очередь берем
/±|/, ±/] = /±У(/, ±/|»ф) = 0, (5.8)
что следует из (4.15). При учете (5.2), (5.4) и (5.5) это уравнение
принимает вид
±-^гв(/, ±/|&) + /ctg£0(/, ±/|») = 0. (5.9)
Как видно, верхние и нижние знаки дают одно и то же уравнение. Оно
удовлетворяется функцией
0(/, ±l\b) = (+iy[^^]2~smi&. (5.10)
Здесь, опять-таки, множитель выбран такой, чтобы функция была
нормирована к единице:
J©2(/, ±/|S)sin&<»=l. (5.11)
о
Фазовый множитель в (5.10) подобран такой же, как и в [С. S. 35].
32

Теперь используем уравнение типа (4.40)
I±\Iml] = H[(I + mi)(l±ml+l)]*\!ml±l]. (5Л2)
Здесь и в дальнейшем ради простоты письма переменные &, <р опускаются.
Повторное применение этого равенства дает
С помощью (5.2) получаем
4©(/»|/)Ф(|И|) = (2я) 2(+l)*^sinfc±m'^x
х Т?£ф [^т'т1т1)}еНт'±к)\ (5.14)
В (5.13) и (5.14) берем верхние знаки, предполагаем
|щ=-/, к = 1 (5.15)
и сравниваем правые их части при учете (5.4). Получаем
в(/о>-(-1)'[^]2 -^г[.weep. -/)], (5.16)
а при учете (5.10)
j_
0(/O) = [-^±]2p/(cos^)( (5.17)
где
P,(cos») = ^ -р£ф (сое»»- 1)' (5.18)
является полиномом Лежандра в виде Родрига.
Теперь в (5.13) и (5.14) предположим
7^ = 0, к = т(>0) (5.19)
и получим
0(/,±m) = ( + D-[|Sg}f sin^-^|^r ©(/0), (5.20)
или, при учете (5.17),
e(/,im) = (Tir[^- ^3-Г*-»и^Л*»Ч. (5.21)
33

Функции 0 (lm) (т^О) представляют собою нормированные к единице
и ортогональные друг другу присоединенные функции Лежандра:
[ 0(/m|£)0(/'m|&)sin&<® = 8(/, /'). (5.22)
6
При учете равенства (5.4)
Г(/|и|«<р) = 0(йп|а)Ф(|и|ф) (5.23)
и (5.6) получаем условие ортонормированности сферических функций:
f f Y* (1т\Ц) Y(l' т' ]&<?) smbdbd<f> = b{lm, I'm'). (5.24)
о о
Как видно из (5.4), выражение для сферической функции получается путем
1
умножения присоединенной функции Лежандра на (2тг) е , причем
присоединенная функция Лежандра одинакова для ±т, за исключением
фазового множителя. Приводим выражения для этих функций для значений
/=0, 1, 2, 3, 4, 5, заимствованные из [С. S. 35, /. Р. $. U. 55]:
0(ОО) = ]/"2/2. (5.25)
0(10) = [1^3/2] cos»,
0(1 + 1)= +[V'"3/2]sin&. (5.26)
0 (20) = [VT5/22] (3 cos2» - 1),
0 (2 + 1) = + [У ЗЛГ/2] sin & cos &,
0 (2 ± 2) = [V"3T5/22] sin2». (5.27)
0 (30) = []/Т7/22] (5 cos3 a- - 3 cos &),
0(3±1)= +[]/ 2.3.7/23]sin&(5cos28-- 1),
0(3 ± 2) = [V 3.5.7/22] sin2£cos&,
0 (3 ± 3) = + [J/T57/23] sin3 a-. (5.28)
34

0 (40) = [3 V"2/24] (35 cos4 a - 30 cos2* + 3),
0(4+ 1)= +[3l/T5/23]sma-(7cos3^-3cosS')>
0 (4 ± 2) = [3 У ~5/23] sin2 b (7 cos2 & - 1),
0 (4 + 3) = + [3 У"2~1Г7/23] sin3 a- cos a-,
0 (4 ± 4) = [3 V^7/24] sin4 a-. (5.29)
0 (50) = [У1ГП /24] (63 cos5 a - 70 cos3 * + 15 cos b),
0(5+1)== +[y3jHT/24]sin&(21cos4a--14cos2u+l).
0(5± 2) = [V 3.5.7.1 l/23]sin29-(3cos3«--cosa),
0 (5 + 3) = + [У 2.5.7.11/25] sin3 a- (9 cos2a - 1),
0 (5 ± 4) = [3 У 5.7.11 /24] sin4 a cos a,
0 (5 + 5) = + [3 УТ77П /25] sin5 a. (5.30)
Ввиду того, что при отражении относительно начала координат <р
заменяется на ф+тс, а & — на тс —а-, легко установить четность сферической
функции. Она равна четности /, так как четность Ф (т | <р) есть | т |, а 0 (/w | а) —
/-|т|.
Фазовый множитель сферической функции в (5.21) со времени выхода из
печати книги Кандона и Шортли [С. S. 35] получил широкое практическое
применение. Однако более удобно использовать следующее определение
сферической функции [Е. 57, F. R. 59]:
Г« = /'Г(/т) = /'0(/т)Ф(т). (5.31)
Это представляет стандартный вид сферических функций. Эта функция
ортонормирована:
я 2я
f ( yW*(acp)y^)(a^)sina^ad'<p = S(/m, I'm'). (5.32)
о о
35

Когда сферическая функция играет роль оператора, ее удобнее нормировать
следующим образом [R. 42]:
те 2те
/ / С*>*№СР(Ъ)*ш»М<Ь = ^Цкд, k'q% (5.33)
где
<У)=Ьёт]2 Y*k)- <5-34>
Этот оператор играет важную роль в квантовой теории атома.
Из условий
@(lm) = (-l)mQ(l-m)> (5.35)
Y*(lm) = (-l)mY(l-m) (5.36)
следует:
С?>* = (-1)*-«С2>. (5.37)
Это соответствует условиям стандартных составляющих вектора.
Подобным же образом определяются контрастандартные сферические
функции
СЮ = С™* (5.38)
или
С1к] = С(к)* (5.39)
С(/с) или С[к] составляет неприводимый тензор, который задается либо
стандартными, либо контрастандартными составляющими. Переход от одних
составляющих к другим осуществляется с помощью матрицы
U™ = (q\q') = (-l)k-*4q, -«% (5.40)
частным случаем которой является матрица (3.14).
Если необходимо указать переменные, от которых зависит CJ, то
пишется дополнительный значок, указывающий номер переменных.
Например, С% означает, что сферическая функция зависит от <рД«.
В квазиклассическом случае, т. е. при 7->оо, сферическая функция
асимптотически равна
U (/HI)-/ [ 47U (/+m)! J у^ Х
Xcos[(l + ^)»-$ + ^] + o(-±). (5.41)
36

в'
Приведем графическое изображение поведения функции © при
больших / (MJ. Используем обозначение
[х = т//. (5.42)
В случае
Icos&l^l/l"1^ (5.43)
0 (lm) осциллирует с конечной амплитудой,
причем наибольшая амплитуда
соответствует значению
(5.44)
-*|
^» ''В случае
|C0S*|=l/l-(i.2.
°Я,
У 1-[A2<|C0S&|^ 1.
(5.45)
0 (lm) очень быстро убывает. Этот результат может быть наглядно
интерпретирован следующим образом. Если момент количества движения изобразить
вектором /, то наиболее вероятным является случай, когда вектор составляет
с осью oz угол #1, для которого
|C0S»!| = -j
(5.46)
т. е. случай, когда / прецессирует вокруг оси oz. Вероятность того, что
вектор отклоняется от оси на углы, большие &ъ ничтожно мала. Однако, в
отличие от классического случая, вероятность того, что угол & меньше &19
является конечной.
6. Краткая теория спинора
Спиновая собственная функция является общей собственной функцией
операторов s2 и sz. Она тесно связана с величиной, которая называется
спинором. Этот последний, в свою очередь, связан с так называемым
изотропным вектором (ср., нпр., [С. 38]). Теорию спинора вкратце изложим,
придерживаясь книги Бринкмана [В. 56], которая является новым изложением
теории, созданной школой Крамерса [К. 38]. К ней принадлежит и сам
Бринкман.
37

Изотропным вектором является вектор, удовлетворяющий условию
а2 = (аа) = 0 (6.1)
или
aH-flJ + af = 2« = 0. (6.1)
Q
Очевидно, что составляющие ах, ау, az должны быть комплексными
числами, если исключить не представляющий интереса тривиальный случай
а=0. Тогда сферические составляющие dql) будут содержать мнимую
единицу, кроме той, которая расширяет поле [к] действительных чисел в [к, i].
Условие (6.1) будет атвоматически удовлетворено, если ввести вместо
ах, ауу az две новые переменные [В. 56]
ия.±УЩК, (6.2а)
*-±У **=£*-. (6-26)
Так как для того, чтобы условие (6.1) было удовлетворено, должно
иметь место равенство
az= ±i]/a2x + a*y (6.3)
то для ах, ау, az получаются следующие выражения:
ax = v2 — u2,
ay=i(u2 + v2),
az = 2uv. (6.4)
Первые два из этих равенств следуют из (6.2), а третье - из (6.3) до
знака. Выбор знака + позволяет в дальнейшем непосредственно получить
матрицу, при помощи которой преобразуются сферические функции (5.4) при
вращении пространства. Таким образом, если согласно (6.2) и и v
определяются до знака, то из третьего равенства (6.4) следует, что знак одного из
них определяется подбором знака второго. Таким образом, неопределенность
относительно знаков w, v только одинарна.
Поступая как и в [5.56], предположим, что
а = Ь-Ис. (6.5)
38

Условие (6.1) дает
Z>2-c2 = 0,
(bc) = 0. (6.6)
Таким образом, действительные векторы b и с являются
ортогональными и равными друг другу по длине. Теперь определим вектор
d = j[bxc], (6.7)
где / — длина векторов b и с. Таким образом, Ь, с, d составляют ортогональную
тройку векторов.
Составляющие векторов b и с выразим через углы Эйлера следующим
образом:
Ъх = /(cos Ф cosT- cos© sin Ф sinT),
by = / (sin Ф cos Y + cos 0 cos Ф sin Y),
6z = /sin0sinY, (6.8)
cx = /(- cos Ф sinT - cos© sin Ф cosV),
cy = /(— sin Ф sinY + cos 0 cos Ф cos *P),
cz = /sin0cos1F.
Для получения этих равенств вначале предполагаем, что b совпадает
с осью ох, а с — с осью оу. Тогда не равны нулю лишь составляющие Ьх =
=су = 1. Далее производим поворот пространства на углы Эйлера Ф, 0, Т и
с помощью (2.2) для составляющих в новом пространстве получаем
выражения (6.8).
Подстановка (6.8) в (6.2) при учете (6.5) дает
п^ ® Л{ф-*>
и=у -ьх+су+п-сх-ъ,) =/1/7sinfV
у=У ^+^+jfe-^ = V7C0S|^(O+T). (6.9)
Здесь знаки и и v подобраны так, чтобы было удовлетворено третье
равенство (6.4). Из полученных равенств видно, что поворот пространства
39

(или системы координат) на угол 2п вокруг оси oz и и v переводит в — и,
— v. Чтобы они остались без изменения, следует совершить поворот на угол
47г. Это является основанием для введения двойной группы вращения
[В. 29].
Теперь покажем, что при вращении пространства w, v преобразуются
сами в себя, то есть, что эти две переменные являются составляющими одной
и той же величины, которая называется спинором.
В первую очередь заметим, что ах, ау, az преобразуются с помощью
действительной матрицы (2.2). Это дает
a'x2 + a'* + a'* = al + a* + a*. (6.10)
Составляющие векторов b и с преобразуются согласно той же матрице.
Поэтому абсолютная величина вектора а является инвариантом
относительно вращения системы координат.
Таким образом,
а'х* а'х + а'у* а'у + a'* az = а* ах + а* ах + а* а2. (6.11)
Составляющие вектора а являются линейными комбинациями величин
w2, v2y uv. Поэтому линейное преобразование первых ведет к подобному же
преобразованию вторых. Это дает
u'2 = p11u2 + $12v2 + p13uv,
^2 = p2iW2 + P22*>2 + P23Wz>, (6.12)
И' »' = Рз1 W2 + fr$2 *>2 + РзЗ "*>•
Произведение первых двух равенств дает квадрат третьего. Из этого следует,
что либо u', v' являются линейными комбинациями и, v
и' = OLU+$V,
(6.13)
v' = yu + 8vy
либо
u'2 = Cv'2,
где С не зависит от w, v. Последнее условие отпадает, так как оно не может
быть верным в общем случае. Таким образом, в общем случае имеет место
лишь (6.13). Это показывает, что и, v переходят сами в себя при повороте
пространства.
40

Матричные элементы матрицы преобразования (6.13) не являются
независимыми друг от друга. Для усмотрения зависимости возьмем вектор
-а* и установим соответствующие ему w, v, обозначаемые и", v". Согласно
(6.2), получаем
©"=±11*,
и"= +v*. (6.14)
Знаки в этих равенствах подобраны так, чтобы было удовлетворено третье
условие (6.4). Таким образом, из (6.14) следует, что и", v\ а тем самым и
w, v, имеют те же свойства преобразования, что и v*9 —м*. Поэтому (6.13)
может быть сопоставлено с
v*' = у* и* + 8* v* = $* v* - у* (- м*),
— м*' = — а* и* — р* v* — — р* v* + а* (— и*).
Это дает
у=~Р*, 8 = <х*. (6.15)
Тогда (6.13) может быть представлено в виде
и' = OLU + $V,
©'=-р*и + а**. (6.16)
Подстановка (6.4) в (6.11) дает
a* ах + a*ay + afa2 = 2 (и* u + v*v). (6.17)
Следовательно, u*u+v*v является инвариантом. (6.16) позволяет получить
равенство
u*'u? + v*'v' = (u*u + v*v)(**aL + $*$)9 (6.18)
из которого при учете (6.17) непосредственно следует
<х*а + р*р=1. (6.19)
Таким образом, матрица
а р
U=
-ft*
р*
(6.20)
является унимодулярной и, кроме того, унитарной. Матрицы (6.20)
составляют специальную группу (унимодулярных) унитарных матриц второго
порядка, обозначаемую SU2.
41

Матрица U дает преобразование составляющих спинора при повороте
пространства. Для нахождения выражений через углы Эйлера Ф, 0, Т,
определяющие указанный поворот, предположим, что вначале векторы
Ь, с, d совмещены с координатными осями ox, оу, oz, соответственно. Тогда
и из (6.9) получаем
bx = l, by = bz = 0,
сх = 0, су = 1, с2 = 0,
м = 0,
v = ]/l.
При подстановке этих и и v в (6.16) следует
и' = (*1/7,
©' = <** 1/7,
откуда, выражая и' и v' согласно (6.9), для аир получаем
а = cos -о- в ,
р = * sin y *
и матрица (6.20) принимает вид
0 у(Ф + Т)
С/(ф, 0, Т) =
cos -£- е
i sm -у е
2
0 — (Ф + Т)
cos у е
(6.21)
(6.22)
(6.23)
(6.24)
(6.25)
Это и есть матрица преобразования составляющих спинора. Если
Т=27г, а Ф = 0=О, то матрица (6.25) превращается в
17(0, 0, 2тт) =
-1 0
0 -1
Эта матрица изменяет знаки составляющих спинора. Таким образом, вектор
а при повороте на угол 2п не изменяется, а знак спинора изменяется.
42

Введем единичные спиноры 5, у), которые являются эквивалентами
единичных векторов. Тогда спинор может быть представлен в следующем виде:
\и + 7\V = w£ + щ. (6.26)
Это выражение должно быть инвариантным относительно вращения
трехмерного пространства подобно тому, как является инвариантом выражение
вектора через единичные векторы. Поэтому \, г\ должны преобразоваться
согласно матрице
1 <х*
1 ~Р
Р*
а
j 0 -у(Ф + Т)
I cos -у е
. . 0 7(Ф-т>
— г sin ^- е
. . 0 —(*-*>
— г sin -у ^
0 -£(Ф+Т)
cos у- е
U'=U* =
что следует из инвариантности выражения (6.18).
Вместо матрицы (6.25) часто используется матрица
а Ъ
(6.27)
17'(Ф, 0, Т):
где
0 1
а = cos -у е
(Ф + Т)
, . 0 Т
Ъ = - sin -g- е
Нетрудно убедиться в том, что
(Ф-ЧГ)
а
Ь*
Ъ
а*
1
о
0
— г
1 а
-р*
Р
а*
1 l °
|0 / |
Это соответствует подстановке
что эквивалентно следующему определению составляющих спинора:
"=+]/
/ -ax-iay
v-±y=*$±
(6.28)
(6.29а)
(6.296)
(6.30)
(6.31)
(6.32а)
(6.326)
Это изменение определения составляющих спинора влияет лишь на
фазовые соотношения.
43

7. Теория спинового момента количества движения
При анализе экспериментальных данных, касающихся атомных
спектров, Уленбек и Гаудсмит [U. G. 25] пришли к выводу о том, что электрон,
кроме орбитального момента количества движения, имеет также собственный
момент количества движения, названный спином. Это позволяет, хотя и в
довольно грубом приближении, представить электрон в качестве
вращающегося волчка. Такое представление содействовало развитию теории и
установлению типа взаимодействия [F. 26, Т. 26] электрона, как магнитного
диполя, с полем ядра и других электронов, а также электронов, как
магнитных диполей, между собою. Более изящная теория спина электрона дана
Дираком в 1928 г. [D. 28].
Довольно хорошее приближение представляет полуклассическая
трактовка спина электрона, главным звеном которой являются матрицы Паули
(1.18). Эта трактовка позволяет без особых математических трудностей
учесть спин электрона не только в случае средних, но также и в случае
тяжелых атомов.
При использовании матриц Паули для составляющих оператора
спинового момента количества движения получаются собственные значения
± Й/2. Матрицы подобраны так, чтобы z-составляющая представлялась
диагональной матрицей. Так как в случае оператора спинового момента
количества движения 7=^=1/2, то оператор квадрата спинового момента
количества движения имеет собственное значение $(.$•+1) Й2=й2 3/4. Таким
образом, спиновая функция удовлетворяет следующим уравнениям
собственных значений:
*2|| ms] = s(s+l)h^ т,]9 (7.1)
sz\ у *я*] = |М у т*]> (7-2>
где ms= ± 1/2.
Согласно (4.40), спиновые функции должны удовлетворять также
уравнениям
(* + *,) | у у] = 0, (7.3а)
44

(■»*-'«г)|тт]=л|т—ir]'
(7.4a)
(7.46)
При подстановке двух возможных значений квантового числа т в (7.2)
получаем
Sz
1-11--1 fell_n
2 2 J~ 2 Л[ 2 2 J'
а (4.35) и (4.36) дают
Ll-1 ь|1_11 I J Ll_± fill 11
> J 2 ЛI 2 2_|,,У*|2 2_|~2Л|2 2J'
1_JL fcli.il 11-11 1 fell 11
J~ 2 Л| 2 2J' ^| 2 2 J~ 2 Л| 2 2 J*
(7.56)
(7.6a)
(7.66)
Наличие спиновых квантовых чисел $ = 1/2 и ms = ± 1/2 указывает на
то, что существуют спиновые переменные, которые в вышеприведенных
формулах не указаны. Предполагается, что спин электрона описывается
одной спиновой переменной <т, которая может принимать лишь два значения
± 1/2. На собственные функции оператора спинового момента количества
движения накладываются следующие условия:
1
]
=i,
]
=о,
(7.7а)
(7.76)
Это означает, что при ms =1/2 спин электрона ориентирован в
положительном направлении оси ozy а при ms= —1/2 — в отрицательном. В (7.7)
квантовое число $=1/2 опущено. По традиции, со времен возникновения данной
полуклассической теории спина часто используются следующие обозначения:
2 =a(ff)> 2 \ = На). (7.8)
45

Говорится, что а означает „спин вверх", ар — „спин вниз". Согласно (7.7)
а(1)=1, а(-^-) = 0, (7.9а)
р(т)-°. р(-4И- <7-9б>
Ввиду того, что символы a, (S уже использовались в обозначении унитарной
матрицы (6.20), будем придерживаться обозначения \sms].
Покажем, что спиновые функции преобразуются при помощи
матрицы (6. 20), т. е.
1 ±Т_ II iUft |±_±1
2 2 J ~a I 2 2_| + р I 2 2 J'
2 J P I 2 2J^a I 2 2J*
Это следует из сопоставления
az+iay _
(7.10)
-*,
ах—юу 2
^->"o-=I«»,
(7.11)
и из определения составляющих спинора н, © (6.2).
Для доказательства справедливости преобразования (7.10) следует
использовать свойства (7.3) — (7.5). Эти уравнения должны быть инвариантными
относительно вращения пространства. В качестве примера покажем
инвариантность (7.5а). Согласно (7.11) и (6.20) имеем
s'z = <*$* (sx + isy) + a* p (sx - isy) + (aa* - pp*) sz.
(7.12)
Этим оператором подействуем на первое из равенств (7.10), используем
(7.3) - (7.5), а также унимодулярность матрицы (6.20). Получаем
2 2
J ~Т a|T TJ + T P|Y~"TJ*
При учете первого из равенств (7.10) непосредственно получаем
требуемую инвариантность.
46

Таким образом, две спиновые волновые функции связаны друг с другом
точно таким же преобразованием, как и составляющие спинора. С этим
связано понятие двукомпонентности в рамках полуклассической теории
волновой функции электрона при учете наличия спина. Введем обозначения;
» 9 Т J
(*?),
Щ
?
а-
= Ф.($Ч>).
(7.13)
| Фх |2</т и | Ф21 Vt дают вероятности того, что электрон находится в
элементе объема dx и имеет ,,спин вверх** и ,,спин вниз**, соответственно.
Выражение
1
*.|И]+ЧЫ]
(7.14)
играет роль инварианта. Это может иметь место тогда и только тогда, когда
Фъ Ф2 преобразуются как единичные спиноры, так как спиновые функции
преобразуются как составляющие спинора.
(7.7) показывает, что спиновая функция не исчезает лишь при условии,
если спин электрона совпадает с положительным или с отрицательным
направлением оси oz. В общем случае имеет место наложение этих двух
крайних случаев, и правилом наложения может служить условие (7.10).
Интересно то обстоятельство, что спиновые функции являются
величинами из комплексного поля чисел, а не из расширенного поля [к, /], где
к— поле действительных чисел. Это является следствием того, что они
преобразуются как составляющие спинора и, v> которые являются
комплексными. Поэтому, хотя согласно (7.7) спиновые функции в частном случае
действительны, они могут превращаться в комплексные числа в результате
преобразования (7.10).
В частном случае, когда преобразование является вращением вокруг
оси oz на угол Ф+Т=ф(0=О), получаем
^ и-
1 1Т
ii
2
>
2
Ввиду действительности подобранных нами спиновых функций
(7.15)
т].
47

I -у-"9 1 комплексное сопряжение не влияет на них, поэтому для комплексно
сопряженных штрихованных функций получаем
к
1 \_
2
= е
2
Г11| = ,~|111
[2 2 I е | 2 2_|'
Р 1|' = <ЛГР 1
L2 2 I е [2 2
= е
2
1-1
2 2
]■
При учете (7.7), уравнения (7.15) дают
IT I 1Т
тр. ? И
2 J I 2 J
IT I IT
2 J I 2 J
(7.16)
(7.17a)
(7.176)
В случае комплексно сопряженных функций изменились бы знаки при
мнимой единице.
(7.7) показывает, что спиновые волновые функции могут быть выражены
кронекеровскими дельтами:
«Л
Очевидно, что спиновые функции ортонормированы:
ms
(7.18)
[Щ | m's.
1 L ff I I ff J
(7.19)
Спиновая функция обычно присоединяется к орбитальной волновой
функции следующим образом:
-9- <р J I о- J | & ф с J
(7.20)
48

Полученная таким образом функция ортонормирована относительно всех
квантовых чисел:
* 2п Г/ II/' ' '1
ocioL»9ff||»?ffJ
= S(/m/m„ rinjin;). (7.21)
При суммировании и интегрировании или при действии операторами
подразумевается разбиение функции на орбитальную и спиновую части согласно
левой части (7.20).
(7.15) позволяет заменить суммирование по су =1/2, — 1/2
интегрированием по азимутальному углу ф спинового пространства. Тогда можно
предполагать
\7}-у£е"л <7-22)
При этом условие ортонормированности (7.19) переходит в
[sm,\sma = ± / №-m**db = 4m„ m's). (7.23)
о
Предположение (7.22) равносильно тому, что ось oz фиксирована. Однако
это предположение является более общим, чем (7.7), так как последнее в
фазовом отношении не удовлетворяет условиям спинора. (7.22)
удовлетворяет стандартным условиям, которым удовлетворяют составляющие спинора,
именно,
| sms]* = [sms | = (- l)5-m* | s-iiiJ. (7.24)
Кроме того, (7.22) учитывает тот факт, что поворот на угол 4п переводит
функцию в самое себя. Это есть двойная группа вращения [В. 29].
8. Преобразование орбитальных волновых функций
и однозначное или тензорное представление группы
вращения трехмерного пространства
Сферические функции являются собственными функциями операторов
/2 и /z. Они зависят от ориентации системы координат в пространстве, так
как содержат составляющую /z, задаваемую квантовым числом т (или
49

т,). При повороте пространства эти функции подвергаются преобразованию
|М' = 2>&|/(4 (8.1)
Здесь D^b представляет собою матрицу преобразования, дающую
линейное представление группы вращения трехмерного пространства. Для
нахождения этого представления опять-таки воспользуемся методом [В. 56].
Собственная функция оператора квадрата момента количества
движения может быть инвариантом относительно вращения трехмерного про
странства. Такая функция может быть представлена в виде
Г', Г=(а*г0), (8.2)
где а—вектор, изученный в разделе 6, а г0 — единичный радиус—вектор.
Вначале предположим, что / — целое число.
Подставляя в (8.2) составляющие векторов а и г0 в сферических
координатах и используя (1.12), получаем
F= {v*2 sin Э*-" - и*2 sin №* + 2и* v* cos &)'. (8.3)
Отсюда видно, что V является однородным полиномом степени 2/
относительно v*, w*. Поэтому он может быть представлен в виде
/
р= ^ u*l+mv*l-mQ(lm), (8.4)
m=-l
где Q (lm) является функцией от угловых переменных. Для ее нахождения,
как и в [В. 56], введем функцию
*~£ *-/ф- (8-5)
(8.5) подставляя в (8.3), получаем
Tl = u*21 eil*{(X2-l)sin& + 2Xcosby=
= u*2Ieil<p{(Xsm& + cos&)2-l}l(smd)-1. (8.6а)
Разложение этого выражения в ряд Тейлора по степеням X дает
TW^rin*)-' J {™f_mJ-m •1^gg^r (cos^-1)'. (8.66)
m=-l
50

Подставляя, далее, в полученное равенство значение X, получаем
„. j „.,..„.,-.м^ ^^ (cos.»_„,. (8.7а)
т=-1
Подобным образом разложение Т1 по степеням Y=X~1 дает выражение
"- i »*""»*'- -%у -riis^ <«*»-■>'• <8-76)
Таким образом, для величины Q (lm) при сравнении (8.4) с (8.7а) и (8.76)
получается два эквивалентных выражения:
Й<*»)-«*• П^ «£?у- («***- 1)'= (8.8а)
При сравнении последнего из этих выражений с определением функции
Y (lm) (5.4), в которое подставляются значения функций 0 (lm) и Ф (w),
получаем
Y(lm)-(J^ -^ [ C"+')tf+»)'g-'")' J? fi(М. (8.9)
Для нахождения правила преобразования функции (8.9) возьмем
инвариант
(uu* + vv*)2i= ^ ul+mvl~m n+J^ul_r^r u*l+mv*l~m. (8.10)
m=-/
Km = - - -. (8.11)
Это показывает, что функция (8.9) преобразуется как
Т
[(/+m)!(/-m)!]2
Подставим
и' = ecu + p#,
z/=-(J*w + a*z>, (8.12)
51

и найдем
(>l+mv>l-m (сш + &>У+т(-$*и + а*уУ-т
К**, — -
[(/+m)! (/-т)!]2 [(/+"*)! (/-/и)!]1"
^J v ' к! pi !(/+/w —А:)! (/—m —^)! r r
xu2i-k-ii'vk+lL\ (8.13)
Введем обозначение
/-A:-(jl' = (jl (jfc = /-ti-n'). (8.14)
Тогда (8.13), при учете (6.24), дает
*- = V f-П *~ [(/+т)!(/-я»)!Г
m Zj ^ l' р'Цт + р + р'у.ц-т-ру.^
xe'^+^(sin |)"—*-*'(сое|p+V «'+*V- (8.15)
Согласно (8.11),
"/+^/-tA = ^[(/+[^)!(/-(x)!]2,
поэтому имеем
*- = V / n *~~ [(/+m)!(/-m)!(/+tx)!(/~tx)!]2
Л« Zi^ 1; ^!(т + (х + [л.,)!(/-т-(х,)!(/-(х-^/)! X
x e^o+^)(sin |p--^'(cos | p+*'j^. (8.16)
Введя новую величину суммирования
(8.16) можно представить в виде
К' = V f-П'/и-* [(/+m)!(/-m)!(/+(x)!(/-[x)!]2
w Zj V ; r!((x-/w + r)!(/+m-r)!(/-tx-r)!
х^^(й | p+*(COs |)2'-2Г+т-^,. (8.17)
52

Таким образом, функции (8.9) преобразуются с помощью матрицы
дЮ =/ц-« V (_ jjr [(/+«)! (/-m)!(/+ji)! (/-{*)!] 2 „
r!([i.-m4-r)!(/+w-r)!(/-tx-r)!
0 \2l-2r+m-iL
xeH^+,T)(sin0)-'"+^cos||
(8.18)
Согласно этой матрице преобразуются функции (5.21). По той же матрице
преобразуются также и сферические функции (5. 31).
Если 1=1, то матрица (8.18) в точности совпадает с (3.18). Здесь
приведем еще случай 1=2.
£»«>(Ф, 0, ¥) =
(cos0+l)V<M>+2'r>
2/sin0(cos0+l)e'«>+2,*'>
l/6(cos«0-l)e'2,F
2/sin0(cos0+l)e<^+,F>
2(2cos20 + cos0-l)e'№+,F>
/2V6sin0cos0ei,r
2zsin0(cos0- l)e*(-o+«D 2(2cos2©-cos0- 1)е'(-Ф+т) i2 j/6sin0cos0e-'*
(cos0-l)2e'(-^+2Y> 2/8т0(со8 0-1)е'<-2ф+,г> y"6(cos20- l)e-<2*
y6(cos20-l)eiM>
/jAe sin@cos©er<1>
2(3 cos2 0-1)
2i sin 0 (cos 0 - 1) ё(2Ф " T) (cos 0 - 1 )2 ё(2Ф "2<r)
2(2cos20-cos0- l)e№~*> 2/sin©(cos©- \)ё<ф~2^
/2 V6 sinQcosQe-'4' l/б"(cos2©- l)e-w
2(2cos20 + cos0-l)e'(-*-'r) 2i sin©(cos®-l- 1)е»(-ф-«т)
2/sin© (cos 0 + 1)е'С-2Ф-т) (Cos©+ 1)«в»(-»-,Т>
(8.19)
Матрица (8.18) дает линейное представление группы вращения
трехмерного пространства, обычно обозначаемой символом Rz. Это
представление является однозначным в том смысле, что каждой матрице (8.18)
соответствует одно вращение из группы R3. С другой стороны, одна матрица (8.18)
может быть получена из двух матриц (6.20), отличающихся друг от друга
знаком. Таким образом, группа SU2 гомоморфна группе jR3. Ядром этого
гомоморфизма являются матрицы
1 0
0 1
и s = \
1 _1
о
0
-1
= -е,
(8.20)
так как обе они соответствуют единичному элементу из группы R3.
53

Ввиду того, что ядро является инвариантной подгруппой (нормальным
делителем [С. 49]), группа jR3 изоморфна факторгруппе (дополнительной
группе) относительно этой подгруппы. Таким образом, уменьшение группы
SU2 в два раза (индексом 2) приводит к тому, что последняя становится
изоморфной группе Rz.
Согласно матрице (8.18) преобразуются составляющие неприводимых
тензоров, частным случаем которых является тензор первого ранга,
определенный согласно (3.9). Обобщение (3.11) и (3. 23) дает
АЫ = АЮ* = (-1)к-«А% (8.21)
Тогда А™ преобразуются как сферические функции, то есть согласно
матрице (8.18).
На основании сказанного однозначное представление (/ — целое число)
группы вращения трехмерного пространства можно называть тензорным
представлением. В таком случае собственные функции квадрата оператора
орбитального момента количества движения и его составляющей можно
называть тензорными волновыми функциями, так как их набор 11т] (т =—/,..., /)
преобразуется как составляющие тензора ранга /. Таким образом,
орбитальная волновая функция и тензорная волновая функция являются синонимами.
Можно показать (ср. [Г. М. Ш. 58]), что сами матричные элементы (8.18)
составляют базис представления 2)(/), т. е.
D%{V, ©', Т') = ^>ШФ1. ©1. ЧУДЙНФ, 0, П (8.22)
к
Здесь Ф', 0', Y' получаются из Ф, 0, Т при вращении пространства,
определяемом углами Ф1У ©!, Тх. Равенство (8.22) показывает, что столбец
матрицы Z>(/) представляет собою неприводимый тензор ранга /.
Матричные элементы D^ являются обобщенными сферическими
функциями, зависящими от трех переменных. Их отдельными случаями являются
сферические функции, полученные в разделе 5. При этом
D%(Ф, 0, 0) = /»(- 1У+- У-щу Y(lm | 0, Ф). (8.23)
Из (8.18) нетрудно усмотреть, что имеет место следующее соотношение:
Л$?(ф. ©> ^ = (-l)m-^(->n. _ЛФ, ©, П (8.24)
54

В качестве частных случаев имеем далее
Л&(0, 0, 0) = М>И> _ц(0, 0, 0), (8.25)
Я&(0, 0, 0)=D%(0, 0, 0). (8.26)
Обобщенные сферические функции ортогональны друг другу. Имеет
место следующее свойство:
± / JDg* (Л) DffV W dR = -^ S (/nipi, Г rri ц'). (8.27)
Здесь Л3 представляет объем группы вращения
2и 2тт те
д3 = [ </Ф J </Т [ sinQdQ = 8тт2. (8.28)
боб
В силу (8.24) формула (8.27) может быть представлена в виде
± f DVm, ^(R)D%>w(R)dR = (- \у~т -^ »(Дир, /'т>% (8.29)
Вышеприведенное показывает, что обобщенные сферические функции норми-
_!
рованы к (2/ + 1) 2. Ввиду того, что в нормировочном множителе т и \l в
качестве множителей не содержится, отличие его от единицы в разложении
функций по обобщенным сферическим функциям никаких трудностей не
представляет.
Рассмотрим в заключение настоящего раздела квазиклассический
случай, т. е. положим /->оо. Тогда для D%1 получается следующее
асимптотическое выражение:
/)^(Ф, 0, 40 = 1*-"e/(m*+^>(sin|-)~lw+lllx
x(cos4p(-iy^Ui"W+IW+,il) (^7^Г')! Х
[/+2- ({i-m+ | m + [i | )Jl [/-y (/и-у-Ч- | m + y. | )Jl
tt/ sin 0
где
°w-
XCOs[(/ + |)0.J
+
(aw—JX+ | /W+[X |)tc
}+оШ>
(8.30)
величина, по порядку не ниже-
55

Для наглядности приведем следующий пример. Пусть производится
поворот системы координат (0, 0, 0). Если момент количества движения
представить вектором / (8Аг), то его составляющие 12 и 12> будут,
соответственно, т и (х. Тогда, согласно (8.1), в
квазиклассическом случае | D^ (0, 0, 0) |2 дает вероятность
того, что если в исходной системе координат соста-
т>'вляющая lz была равна ту то в новой системе она
будет [л.
9. Спинорное представление группы вращения
трехмерного пространства
8,
П Выражение (8.18) допускает, чтобы параметр j
v принимал целые и полуцелые (половины нечетных
чисел) неотрицательные значения, как указано в (4.20).
(8.18) представим в виде
г>и)(ф © W)-i"-m У( IV ^ + ^!^-w>!^+^!^-^!J х
./ ^, ,т,-» / . Q \2r-m + [i / 0 \2j-2r + m-[i _ <v
xe*0no+i*TjJsin^.\ (cosyj . (9.1)
В случае полуцелых значений j изменение знаков у элементов матриц
группы SU2 меняет знаки у элементов матрицы представления DW, хотя она
представляет то же самое вращение из группы R3. Это двузначное
представление группы вращения называется спинорным представлением группы
вращения. Простейшим таким представлением является случай, когда j= 1/2.
(1)
При этом матрица D равна матрице U. Это связано с тем, что
Л)
^ l j 1
+ т
при помощи Dxz/ преобразуются составляющие спинора и2 v2 ,
где т=+-^,— у. Таким образом, D совпадает с матрицей, по которой
преобразуются составляющие спинора и, v и спиновые функции у у ,
56

2 — ~2Г ОДнако Т0МУ же вращению может соответствовать и матрица с
противоположным знаком. В общем случае число составляющих будет
(2/+1) (четное число). Это представляет обобщение спинора, введенного в
разделе 6. Составляющими такого спинора согласно (8.11) являются
Кт
H-/ + m %)J~m
[(;+и)! (/-и)!]
(9.2)
Матрица U в (6.25) выражена через углы Эйлера, однако для более
детального изучения удобнее выразить ее через величины, дающие
направление оси поворота и угол поворота вокруг этой оси. Пусть поворот
осуществляется вокруг оси, единичный вектор которой п задается углами &, <р
сферической системы координат, на угол у против часовой стрелки, если смотреть
из положительного конца единичного вектора. Тогда матрица U может
быть выражена следующим образом:
Щп(&, 9), у]=^(ф-|, », 0)*7(у, 0, ОЕГ-^ф—J, £,0) =
= tf(?-y, », y)^?—£, ft, О). (9.3)
Подстановка соответствующих углов в (6.25) и учет того факта, что в
случае унитарных матриц и~1=и*, дает
Щп(», 9), Т] =
cos y е
i sin -н- е
» i(tp-f+Y)
* -т(*-т-т)
cos -2 е
т(т_ф)
.._«• И'НН)
г sin y е
cos у е
г sin -у е
* -т('-т+т)
- е
?(т-ф)
;_ * т(т_Ф)
— i sin -j е
cos y e
т(т-*)
(9.4)
57

Перемножив, получим для аир следующие выражения:
a = cos -|- + /cos&sin ~,
(3 = (sincp — /cos<p)sin&sin X, (9.5)
или
a = cos у + in2 sin -|-,
P = ny sin -~ — inx sin у , (9.6)
где nx, nyy nz являются составлящими единичного вектора,
определяющего ось поворота.
Таким образом, нашу матрицу можно записать в виде
Щ*> У) =
(9.7)
All + #11 ^12 + 0>1%
-a12 + ib12 ли-йц
При этом удовлетворяется условие
*5i+*L+«l+4i-i. (9-8)
что является следствием унимодулярности матрицы.
Из (9.6) видно, что поворот пространства вокруг оси п на угол 2п
приводит к изменению знаков у а, (3. То же самое происходит и с матричными
элементами при полуцелом j в (9.1). Однако матрица группы вращения
трехмерного пространства R3 при повороте на угол 2п приобретает
исходное значение. Таким образом, как группа SU2, так и представления D& при
полуцелом у, являются гомоморфными группе R3, причем первые являются
изоморфными друг другу.
Указанная двузначность представления имеет свои корни в том, что
матрицы унитарной группы SU2 и, тем самым, матрицы представления D(i)
при полуцелом j являются комплексными. Это означает, что объектами
преобразования этих матриц являются величины из комплексного поля, а
не из поля [kf /], как это имеет место в случае сферических функций, которые
являются объектами преобразования матриц (8.18) при целых j (/->/).
В случае мнимой единицы четвертая степень (± i)4 дает единицу, а в случае
действительной единицы то же самое достигается с помощью второй степени
58

(+1)2 = 1. Аналогично этому можно рассуждать в случае комплексных и
действительных матриц в вышеуказанном смысле. Единичная комплексная
матрица переходит через минус единичную матрицу к единичной матрице
при повороте на угол 4тс. Однако в случае действительной матрицы
группы R3 это осуществляется при повороте на угол 2п.
Двузначное (спинорное) представление группы R6 приводится к
однозначному представлению расширенной группы вращения трехмерного
пространства. Для этого пишем
Дз£з = Яз- (9.9)
Инвариантная подгруппа g3 расширенной группы вращения трехмерного
пространства R'3 состоит из двух элементов:
£з+=1 + >£з- = 1-, (9.10)
где 1+ представляет обычную единичную матрицу группы й8, a L
единичную матрицу той же группы, получаемую при повороте пространства
на угол 2tz вокруг какой-нибудь оси (проходящей через начало системы
координат).
Инвариантная подгруппа (8.20) унитарной группы SU2 является
изоморфной подгруппе (9.10) группы R'3. Знаки при единичных матрицах
последней подгруппы указывают на матрицу первой подгруппы, которой она
соответствует.
Группа R'3, обычно называемая двойной группой вращения трехмерного
пространства, впервые рассмотрена в [В. 29]. Она имеет в два раза большее
число элементов, чем обыкновенная группа R3. Все элементы этой группы
получаются при поворотах пространства на углы от нуля до 4п, причем
повороты у и у+2тс дают элементы, различаемые плюсом и минусом. Эти
элементы одинаковы в физическом отношении, но различны в математическом,
так как они относятся к различным элементам группы SU2 и имеют
различные педставления из группы матриц D{J\ которые тоже удобно различать
плюсами и минусами (Z>(4?, D(J}). Элементы R$ из двойной группы вращения
jR^ относятся к элементам простой группы вращения R3, а элементы jR^
представляют добавочные элементы, которые налагаются на соответствующие
элементы простой группы R3. Совокупность обоих типов элементов
составляет накрывающую группу вращения (ср. [В. 55, Б. 61]). Это последнее
понятие эквивалентно понятию двойной группы, так как эти группы состоят
59

из одних и тех же элементов. Накрывающей группе вращения трехмерного
пространства дается следующее геометрическое изображение,
происходящее из понятий топологии.
Возьмем шар с радиусом тс. Центром шара представляется единичная
матрица группы Rz. Любой отрезок прямой линии, выходящий из центра,
изображает поворот вокруг этой линии. При этом длина отрезка равна углу
поворота, по обсолютной величине не превышающему тс. Один конец
определенного диаметра шара означает поворот на угол тс, а второй —на —тс вокруг
линии, совпадающей с этим диаметром. Каждая точка шара изображает два
элемента накрывающей (двойной) группы вращения. Этими элементами, как
известно из вышесказанного, являются соответствующие элементы
совокупностей jR£ и Дз • Первая из этих точек достигается из центра шара
непосредственно или путем прохода вдоль четного числа диаметров любых
направлений, а вторая достигается путем прохода вдоль нечетного числа
диаметров. Ввиду того, что диаметральные линии уничтожаются парами,
первая группа точек достигается просто, а вторая — обязательным
проходом вдоль одной диаметральной линии, которая дает поворот на угол 2тс и
представляет собою расширение группы в два раза. Совокупности точек,
изображающие элементы R^f R^9 составляют двойные точки шара, которые
отличаются лишь тем, что они достигаются из центра разными способами.
Хотя две точки геометрически совпадают, однако они отделены друг от друга
тем, что лежат на отдельных ,,листах*'. Чтобы перейти с одного листа на
другой, необходимо пройти вдоль одного из диаметров шара.
С другой стороны, группа SU2 изображается единичной сферой (9.8)
четырехмерного эвклидова пространства. Концы диаметра этой сферы
изображают соответствующие элементы и я —и из группы SU2. Эти две точки
соответствуют двум точкам вышеописанного шара, лежащим в одном и том
же месте и принадлежащим к различным листам. Таким образом
изображается изоморфность группы SU2 двойной группе вращения R'z и, тем самым,
однозначность представления DW при полуцелом j группы R'3.
В случае расширения группы Rz в R'z произведение двух представлений
/)0)(Фз, 03, Т3) = ^>(Ф2, 02, ЧГ%)0<Л(Ф19 0lf Тх) (9.11)
становится определенным (однозначным), в то время как без расширения
это произведение определено лишь до знака.
60

Если ,/=1/2, то (9.1) дает матрицу (6.25). Если 7=3/2, то получим
Dw(0>, 0, Т) =
в 7(зф+зт)
COS3-h- с
.1/т .© 2© 4(ф+зт>
г J/ о sin y cos2 -у- е
— У 3 sin2 -s- cos -g- е
в ^(-зф+зт)
.,/-, . 0 2 © Т(ЗФ+Т)
— i у 3 sin -у cos2 -к- е
cos -у 13 cos2 у —2)е
г sin -J- (3 cos2 -^ — 1\е
-./Т.:-, ®_ © 4<-»+*>
■ г sin*5
-V3
sin4
0
•cos
0 ^-(ЗФ-Т)
— i sin8 ~2 e
(ЗФ-ЗТ)
i sin y (3 cos2 y — 2 J e
cos y («3 cos2 y~ 4e
(Ф-Т)
т(_ф_т)
/-_..* 0 .._ 0 Т(ф-ЗТ)
3 sin2 y cos "о" e
il/3
o". . 0
sin-
cos*
e £<-ф-ь*>
0
11/ 3 sin y cos2 y *
0 т(-зф-т)
cos* y e
0 т (-ЗФ-ЗТ)
(9.12)
Собственные функции оператора квадрата момента количества движения
и его составляющей при полуцелом j (2/+1 — четное число) можно назвать
спинорными волновыми функциями, так как они преобразуются как
составляющие спинора ранга j. Такое название само по себе указывает на
полуцелость ранга и, тем самым, на свойства преобразования.
Следует отметить, что в случае одного электрона орбитальная
волновая функция может быть задана тензорной волновой функцией любого
ранга согласно физическим условиям. Однако спиновая волновая
функция может быть задана спинорной волновой функцией ранга j=s= 1/2. Спи-
норные волновые функции высших рангов получаются в результате
векторного сложения орбитального и спинового моментов количества
движения, о чем будет идти речь в следующей главе.
61

В заключение данного раздела необходимо еще обратить внимание на то,
что при получении интегральных свойств матричных элементов двузначного
представления группы вращения необходимо учесть, что интегрирование
должно вестись по двойной группе вращения. Поэтому объем группы
увеличится от 8тс2, как указано в (8. 28), до 16тс2. Однако сам интеграл также
увеличится в два раза, вследствие чего интегральное соотношение по своему
внешнему виду не изменится. Таким образом, (8.29) имеет силу и в данном
случае. Это равенство перепишем для двойной группы вращения в виде
-щ / Я(Д,, -^ (X) Z>#V (*') dR = (- 1)ч- -^L- 8 (№ f m910. (9.13)
Здесь штрих над R обозначает удвоение группы вращения трехмерного
пространства. На основании вышесказанного этот штрих в дальнейшем можно
будет опустить.
10. Фазовые соотношения при зеркальном отражении
системы координат
Матричный элемент оператора квадрата момента количества движения
(4.37) не изменяется при подстановке
./ч/=_/-1, (юл)
так как не меняется и соответствующее уравнение собственных значений.
Это соответствует классическому случаю, когда квадрат действительной
величины не меняется при изменении знака основания.
Волновые функции, соответствующие значениям квантового числа j и j\
описывают одно и то же состояние и поэтому могут отличаться лишь фазами.
Предполагаем следующее фазовое соотношение [Б. К. С. Ю. 64, Ю. С. Б.
К.Н.64]:
|ym] = (-lV-|7m], (10.2)
если функции \jm] заданы в стандартной системе фаз. Принимая во
внимание свойство
\M* = [jm\ = (-iy->»\j-m], (Ю-3)
62

определяющее стандартную систему фаз [F. R. 59], получаем
\jm] = \J-m]* = [j-m\
и
\jm]* = (jm\ = (-\)-J-m\~j-ml
(10.4)
(10.5)
Последнее свойство указывает, что соотношения симметрии величин,
содержащих у, могут быть получены из соответствующих соотношений величин,
содержащих j, если в показателе фазового множителя подставить
j^-j. (10.6)
Использование соотношения (10.2) означает переход к новому базису
при помощи матрицы преобразования
tf=||(-iy-»8(m, v)\\ =
1 0 0 0
0-10 0
0 0 10
0 0 0-1
(10.7)
Эта унитарная матрица имеет свойство
U-1 =17.
(10.8)
Если функция \jm] преобразуется по представлению группы
вращения D®, то функция \jm] преобразуется по представлению
2)0)= UD^U"1.
(10.9)
Это соотношение может быть переписано для матричных элементов. Оно
имеет вид
^=(-1)""^$, (10.10)
Матрица U соответствует отражению системы координат относительно
плоскости ху [Б. С. Ю. 64]. При этом в новой системе координат, которую
назовем зеркально-сопряженной со старой системой, положительным следует
считать вращение по часовой стрелке. Таким образом, углы Эйлера в новой
системе координат переходят в
ф' = ф, ©'=-©, Т' = Т. (10.11)
63

Если такие углы подставить в (8.18) или (9.1), то получается
соотношение (10.10).
Покажем, что собственные функции орбитального момента количества
движения в зеркально-сопряженных системах координат действительно
связаны соотношением (10.2). Для этого заметим, что в этих системах
сферические координаты связаны соотношением
9' = <р, у = ти-&. (10.12)
Очевидно, что при подстановке координат (10.12) в (5.31) изменяется
только функция 0 (1т)9 для которой из (5.21) и (5.18) получается
&(1т\к-Ь) = (-1у-тв(1т\&), (10.13)
что совпадает с (10.2).
Покажем, что фазовые соотношения (10.2) и (10.10) могут быть
получены и непосредственно при помощи подстановки (10.1). Для этой цели
функцию &(1т) представим в виде
ep±.,„_(Tl).[»J±^i!-£.x
хл(-/ + |ц, 1 + m + U т+1\ "Ц^-)> (Ю-14)
где .*=cos&, m^0, a 2-fi является гипер геометрическим рядом
2^i(а, Ъ\ с\ z)=l + Jr7z+ 2! с(с-М) *+•-■ (ШЛ5)
При подстановке (10.1) в (10.14) появляются факториалы от
отрицательных чисел, что дает бесконечность. Однако отношение таких факториалов
в пределе дает конечную величину:
(-*)! _ П(-*) (-iy-ifa,-i)!
{-у)\ - 1Ц-у) ~ <-l)*-i(x-l)! * *ш-1и'
Здесь х, у — целые положительные числа. В правой части (10.16)
показатели (у — 1) и (х—1) означают число отрицательных множителей. Их места
следует строго соблюдать, если факториалы находятся под квадратным
корнем, так как, согласно [Ю. СБ. К. Н. 64], при вычислениях каждому
64

отрицательному множителю под корнем следует приписывать мнимую
единицу i и лишь после этого производить вычисления.
При преобразовании формул удобно факториалы от отрицательных
чисел формально заменять на
(-*>'-(-l)--Vl)r (ШЛ7)
где К — бесконечно большое, но определенное число в том смысле, что оно
одинаково для всех положительных х. В таком случае лишь следует
проверить, чтобы в конечном выражении К в числителе и знаменателе сократилось.
Таким образом, в (10.14) при подстановке (10.1) согласно (10.16)
получается множитель
_g±g0{( -/ -1+и,)!_ (_1)2m(/±m)!_ (10Л8)
Гипергеометрический ряд в (10.14) при подстановке (10.1) не меняется, а
на основании, указанном ниже, 2/+1 в нормировочном множителе данной
подстановке не подвергается. Это дает
@(lm) = (-l)mQ(lm). (10.19)
Далее, учтя (5.31) и (10.6), получаем
3$ = (-1)'-У<Р. (10.20)
Для получения (10.10) формулу (9.1) представляем в виде (ср. [В. Т. 57])
2>&(Ф, 0, 40 = (- 1У— !«*— e'O-e+^'W (sin -f J1*"" (cos -f- /+т -jj^j- x
*№-%u-$fM-J+*J+vL+u *+m+1- cos2t)- <10-21)
Здесь, опять-таки, гипер геометрический ряд переходит сам в себя при
подстановке (10.1), а все остальное при использовании (10.16) дает фазовый
множитель (10.10), если только в фазовом множителе правой части (10.21)
произвести подстановку не (10.1), а (10.6).
Во всех рассмотренных случаях знак составляющей момента количества
движения сохраняется первоначальный. Сохранение определения т удобно в
сложении квантовых чисел составляющих нескольких моментов, одни из
65

которых характеризуются положительными /, а относительно других
применена подстановка (10.1).
Для сферической функции, определенной согласно (5. 34), имеет место
(10.20):
С<й = (-1)*-*су>. (10.22)
Ввиду того, что определенная таким образом сферическая функция не
содержит нормировочного множителя типа 2& + 1, в данном случае оговорка
относительно того, что этот множитель подстановке (10.1) не подвергается,
отпадает. В связи с этим необходимо привести следующее замечание.
В первую очередь следует отметить, что сферическая функция Yj£>
согласно (5.32) нормирована к единице относительно интегрирования по всей
сфере, однако сферическая функция С* нормирована к единице
относительно скалярного произведения. Это значит, что
(Сшсш) = С(«*С(А:)=^(-1)^С^)С^> = 1, (10.23)
причем обе умножаемые функции зависят от одних и тех же переменных
(также как и в случае интегрирования). На основании этого можно
утверждать, что подстановка типа (10.1) эквивалентна зеркальному отражению
системы координат в плоскости ху лишь для сферических функций,
нормированных к единице относительно скалярного произведения. В случае
другой нормировки дополнительный нормировочный множитель
подстановке (10.1) не подвергается, как это имело место при получении (10.20).
В случае матрицы (10.21) подобная оговорка не имела места. Это
объясняется тем, что она унитарна, т. е. она не меняет нормированности
преобразуемых функций (базиса представления группы вращения трехмерного
пространства). Поэтому в данном случае можно сказать, что подстановка (10.1)
эквивалентна зеркальному отражению системы координат в плоскости ху
лишь для унитарной матрицы представления группы вращения пространства.
В заключение приведем графическое изображение поведения квантовых
чисел j, т при зеркальном отражении системы координат в плоскости ху.
Как известно, квантовые числа j и т ведут себя как вектор и составляющая,
соответственно, что изображено на рисунке10^ (ср. [Ю. СБ. 65]). При
зеркальном отражении системы координат вместо 10Аг получаем 10Вг. От этого
66

квадрат момента количества движения и составляющая не меняются. Однако
квантовое число у потерпит изменение (10.1).
При зеркальном отражении правая система координат переходит в левую
и отсчет азимутального угла против часовой стрелки меняется на отсчет по
часовой стрелке, как это видно из (10.12). Составляющая т остается
положительной, так как момент количества движения является аксиальным вектором.
ю
п
«в,
Изложенное выше указывает на тот факт, что квантовое число момента
количества движения имеет двузначное определение j и у, так как оба эти
квантовые числа дают одно и то же значение квадрата момента количества
движения, который определен однозначно. Как видим, соотношение (10.2)
ведет к тому, что к правой системе координат относится квантовое число
у, а к левой — j. С другой стороны, квантовое число составляющей момента
количества движения в обеих системах координат одинаково, что и
изображается на рисунках 10Аг и 10Вг. Сопровождение подстановки (10.1)
подстановкой (10.6) в фазовом множителе происходит в силу того факта, что
фазовые соотношения тесно связаны с составляющими, иначе говоря, с
ориентацией пространства относительно системы координат, а составляющая не
может выйти из области, ограничиваемой +j и —j.
67

ГЛАВА II
ТЕОРИЯ СЛОЖЕНИЯ ДВУХ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА И ВИГНЕРА
Настоящая глава посвящается сложению двух моментов количества
движения, а также свойствам и расчету соответствующих величин. Этими
величинами являются коэффициенты Клебша—Гор дана и более
симметричные их части — коэффициенты Вигнера. Ввиду того, что эти величины
играют важную роль в математическом аппарате теории момента количества
движения, мы сочли целесообразным привести довольно полную картину
современного состояния соответствующей теории.
Приводимый материал охватывает как традиционные сведения о
коэффициентах Клебша—Гор дана и Вигнера, так и новые аспекты теории этих
величин. Последнее относится к свойствам симметрии этих коэффициентов
относительно зеркального отражения и практическому использованию получаемых
при этом фазовых соотношений, а также сокращению необходимых
расчетов коэффициентов Вигнера как при составлении алгебраических формул при
одном заданном параметре момента количества движения и его
составляющей, так и при численном расчете коэффициентов Вигнера.
После изложения стандартного математического аппарата векторного
сложения двух моментов количества движения и приводимого в разделе 11
определения коэффициентов Клебша—Гор дана, в разделе 12 рассматриваются
способы получения формул для коэффициентов Клебша—Гор дана. В этом
отношении в основном внимание обращается на метод Фока, основанный на
отыскании производящей функции для этих коэффициентов, так как этот
метод является наиболее простым и довольно общим. В разделе 13
приводятся все пять видов выражений для коэффициентов Клебша—Гордана
и свойства симметрии. В разделе 14 рассматривается связь между
различными формулами для коэффициентов Клебша—Гордана.
68

В разделе 15 рассматриваются частные случаи коэффициентов Клеб-
ша—Гор дана, среди которых главное место занимает коэффициент со всеми
составляющими равными нулю. Раздел 16 посвящен рекуррентным
соотношениям коэффициентов Клебша—Гор дана. В разделе 17 рассматриваются
фазовые соотношения между коэффициентами Клебша—Гор дана, параметры
которых заданы в зеркально-сопряженных системах координат.
В разделе 18 рассматриваются свойства коэффициентов Вигнера, а в
следующем за ним разделе приводится способ получения алгебраических
формул коэффициентов Вигнера при заданных значениях одного параметра
момента количества движения и его ссставляющей. Таблица соответствующих
формул приводится в конце книги в приложении. Наконец, раздел 20
(последний раздел этой главы) посвящен рассмотрению вопроса об
одновременном отражении пространства и системы координат.
11. Сложение двух моментов количества движения.
Коэффициенты Клебша—Гор дана
Пусть имеется сумма двух коммутирующих моментов количества
движения
j=ii+jV (ll.l)
Как уже указывалось в разделе 1, jx и j2 могут быть моментами количества
движения двух частиц или разными моментами одной и той же частицы. Они
также могут быть результирующими моментами двух совокупностей
частиц (двух систем) или разными результирующими моментами одной и той
же системы.
Как известно из раздела 1, j удовлетворяет таким же перестановочным
соотношениям относительно самого себя, как и jb j2, т. е. соотношениям
(1.17) или (3.28) в зависимости от того, используется декартовая или
сферическая системы координат. Относительно слагаемых моментов
удовлетворяются условия (1.20).
Из раздела 4 следует, что слагаемые моменты удовлетворяют
следующим уравнениям собственных значений:
У? |у,^/] =У, (У/+ 1) ^2 (И.2а)
Jiz Ь)Щ] = щЛ \лщ]. (11 -26)
69

Нетрудно убедиться в том, что матрицы операторов y'J, jlz, j\y j2z диаго-
нальны относительно функций
\j1j2m1m2] = \j\ mj \j2m2]. (11.3)
Порядок этих матриц
(2Л+1) (2/2+1). (11.4)
Матричные элементы операторов jf, jizy согласно (4.37) и (4.38), имеют
выражения
[JiJ2rn1m2\jf\j[f2m[rn,2]=ji{ji+ l)h28(j1j2m1m2y луа^/иЙ, (11.5а)
[jj2m1m2 \ji2 \А/2т[т'2] = т1Н8 (jj^m^ j'uWi™^)- О1 -56)
Волновые функции (11.3), дающие так называемое представление jj2m1m2
(или, короче, mxm2), не являются хорошими функциями относительно
операторов р и jz , так как в этом представлении матрицы указанных операторов
недиагональны. Причиной этого является то обстоятельство, что функция
(11.3), будучи собственной функцией оператора
Jz=jiz+J2z, (П.6)
не является собственной функцией оператора
У2=Л+./1 + 2(Ш, (11.7)
так как этот оператор не коммутирует с операторами jlz и j2z вследствие
присутствия третьего члена в правой части (11.7).
Для нахождения системы собственных функций операторов (11.6) и (11.7)
следует диагонализировать матрицу оператора (11.7), представленную в
схеме функций (11.3). Это приводит к системе функций, являющихся
линейными комбинациями функций (11.3),
\j\J2Jm)=^\j\hmim2]^ J^\Jm\, (П-8)
где последний множитель является коэффициентом Клебша—Гор дана. Он
иногда называется коэффициентом векторного сложения или векторного
связывания. Он также иногда называется коэффициентом Вигнера.
Последний термин будет нами использован для симметричной части этого коэффи-
70

циента (см. раздел 18). j и т определяют собственные значения операторов
(11.7) и (11.6), т.е. имеют место уравнения
J2\JiJ2M = b2J(J+ 1) \JJJm]9 (П.9а)
Л \JdJm] = fun \JdJm]. (11.96)
При заданных значениях j\ и j2 квантовое число j меняется в пределах
1Л-лКУ<Л+л, (П.Ю)
а т меняется от —у до у и, согласно (11.6), имеем выражение
т = т1 + т2. (И-И)
Верхний предел (11.10) непосредственно следует из (11.11), если
подставить ("ii)WflJC=A и {m2)max=j2, откуда получаем Нтвж=^в,=Л+Л. Это и
ведет ко второму условию (И .10). Для получения первого условия без
ущерба в общности предположим, что j\^j2. Из (И. И) имеем
m1 = m-m2, \ т1 | ^ | т | +1 т2 \.
Таким образом, при заданному имеет место условие
Л^У+Л или 7>Л-Л-
В виду того, что т может быть целым или полуцелым числом, в
зависимости от значений чисел т1 и т2, значения j являются также целыми или
полуцелыми числами. Обыкновенно у принимает данное значение по одному
разу. Тогда число функций (11.8) равно
£ (2/+1) = (2Л+1)(2л+1). (П.12)
Это совпадает с (11.4) и следует из того факта, что диагонализация не
меняет числа функций в системе.
Формула (11.8) представляет собою так называемую векторную модель,
выражающую сложение двух моментов количества движения. На это
сложение можно смотреть как на преобразование ортонормированной системы
функций (11.3) в другую ортонормированную систему. Тогда коэффициенты
71

Клебша—Гор дана составляют унитарную матрицу, дающую это
преобразование. Обратный переход следующий:
lA72m1m2] = 2ly1y2ym]^m J. (Ц.13)
jm
Если эту матрицу обозначим через СЛ,7-2, то получим
(mim2\Chh\jm) = \Jlm J'\J], (П.На)
[_ т1 т2\ т J
(jm\C71\m1m2) = \ J Г1 k |. (11.146)
В стандартной системе фаз коэффициенты Клебша—Гордана могут быть
подобраны действительными. В этом легко убедиться, написав равенство,
комплексно сопряженное с равенствами (11.8) или (11.13), и использовав
условие
[jm\ = \jm]* = (-iy-™\j-m]. (11.15)
Поэтому в дальнейшем будем считать, что удовлетворено равенство
Г Л к и Т ГЛ к \j -j
если не оговорено противное. Из унитарности матрицы CjlJ2 также следует, что
ГЛ к \j ] = р-|Л л |
L тх га21 т J . L w | т1 т2 J
Так как вследствие двух последних равенств нет необходимости различать
матрицы Cjjt и С+ , то для коэффициентов Клебша—Гордана используем
обозначение , опуская столбик.
L тх т2 т J
Из унитарности (ортогональности) матрицы Cjjt следуют также свойства
УГЛ к j 1ГЛ, h, j ] = Цт1т2, т[тй, (11.18)
У[Л h j 1ГА Л /,l=S(M/m')S(;1yW), (П.
^ [ ffll ™8 ffl J L ffll »! m J Vl-/&"> V
19)
72

где 8(jJ2j) представляет треугольную дельту, которая равна единице, если
три параметра могут быть сторонами треугольника с целым периметром,
и равна нулю в противном случае.
Матрица Cjj% может рассматриваться как матрица, приводящая прямое
произведение двух неприводимых представлений группы вращения
трехмерного пространства [W. 31]. Функции lAmJ и \j2m2] представляют собою
базисы неприводимых представлений 2)<А) и DUi) соответственно. Это
значит, что эти функции преобразуются с помощью матриц D^ и Du*\ при
повороте пространства. Их произведение (11.3) преобразуется с помощью
матрицы DUi^xD(h\ которая в общем случае является приводимой. Это
приведение осуществляется с помощью матрицы СЛу-2:
C-J2 (D^ х DC/.)) Cjj2 = Z>OWY> + £>(Л-Л+1) + . . . + /)(Л+л). (11.20)
В правой части последнего равенства стоит квазидиагональная матрица
с ящиками DV\ где j пробегает вышеуказанные значения. Базисы
представлений ZXO составляют функции (11.8), являющиеся линейными комбинациями
произведений базисных функций отдельных представлений. Как известно,
эти комбинации строятся при помощи коэффициентов Клебша—Гор дана.
Сама формула (11.20) называется разложением Клебша—Гор дана. В теории
сложных спектров она играет очень важную роль.
Равенство (11.20) может быть записано для элементов матрицы
У ГА h j ]d<^,D^.\Ji ,Л /, 1 = 8(7,/)ДО'>,. (П.21)
^ I тг т2 т J т™- т*т* |_ т{ т2' т' \ и' J ' тт v '
Свойство унитарности матрицы, элементами которой являются
коэффициенты Клебша—Гордана, позволяет получить следующее обратное
соотношение:
№),№),= V [А h j 1д«.ГЛ, к, М. (Ц.22)
miifii т,т% Ал 1 т± щ т \ mm I т' ^ т' I V /
jmm'
Если обе части этого равенства умножить на D{j)mt _т> и интегрировать по
группе вращения, учитывая при этом соотношение (9.13), то получается
i / ^ (*> *& W. W\ -т. W dR =
= (2У+1)-ГЛ к J IP'1, J\ J,](-ir-*. (П.23)
73

В этом равенстве jR заменим на RR' и подставим вместо каждого
матричного элемента выражение
ЧЪ <**> = I °^ (*■) »%т> (*')■ (11 -24)
т"
Здесь R и R' означают два вращения из одной и той же группы (простой
или двойной). Учтя уже имеющееся свойство (11.23) и сокращая
полученное равенство на общий множитель, содержащий коэффициент Клебша—Гор-
дана, который выбирается не равным нулю, получаем
ГА к J 1 V (_!)«-!»'Гл, J\ J 1 jyjo г>ш DU) (11.25)
Коэффициент Клебша—Гор дана имеет очень простое выражение через
интеграл от собственных функций, представляющих базис приводимого и
неприводимого представлений, а именно:
[щ т2 Jm] = yd^n,2\jjjm]. (11.26)
Для его получения умножаем обе части равенства (11.8) на комплексно
сопряженное (11.3) и интегрируем по переменным обоих моментов количества
движения jx, j2.
Для краткости мы не включали дополнительные характеристики
состояний, описываемых квантовыми числами у1т1,у2т2. Когда эти дополнительные
характеристики являются необходимыми, вместо (11.3) следует писать
I a/Y/a™i w2] = ]£ I aihЩ\ I ^k>%l • (11 ■27)
axa2
В таком случае (11.8) сохраняет свою силу, так как сложение моментов
осуществляется независимо от структуры а из ах и а2.
В заключение настоящего раздела приводим используемые разными
авторами обозначения коэффициентов Клебша—Гор дана, расположенное по
возможности в хронологической последовательности, не имея, однако,
намерения составить полный список этих обозначений.
Г Л к j "]_
L тг т2 т ]
74

Эккарт [£.30]:
Вигнер [W. 31]:
jmx m% '
Ван дер Верден [W. 32], Ландау и Лифшиц [Л. Л. 48, 63]:
Кондон и Шортли [С. S. 35]:
= UiJ2mim2 \jdd*n), (^i w2 \jm);
Фок [Ф.40]:
Бойс [5.51]:
= *(/, m, j\, j2, wO;
Ян [J. 51], Альдер [Л. 52]:
= cJ.m
Блатт и Вайскопф [В. W. 52]:
= C(jm\ Wi^);
Джеффрейс [/. 52]:
Биденхарн [Л. 52]:
Роуз [jR. 55]:
~ \ тг т2\т1 + т2 /
11.28)
11.29)
11.30)
11.31)
11.32)
11.33)
11.34)
11.35)
11.36)
11.37)
11.38)
Коэффициенты Клебша—Гор дана часто разбиваются на два множителя
с выделением симметричной величины, о чем будет идти речь в разделе 18.
12. Способы получения выражений для коэффициентов
Клебша—Гордана
Ввиду того, что векторное сложение моментов количества движения
играет очень важную роль в квантовой механике, вычисление коэффициентов
Клебша—Гордана представляет одну из задач, решение которых необходи-
75

мо для практического применения теории. Исходным пунктом для
соответствующих вычислений является получение алгебраического выражения
для этих коэффициентов.
Имеются два пути получения выражения для коэффициентов Клебша—
Гордана. Один из них аглебраический (аналитический), а второй — груп-
пово-теоретический. Для получения искомого выражения первым путем
существуют три способа, которые ведут в основном к одному виду
соответствующей формулы. Это— методы Фока [Ф. 40], Ракаха [R. 42] и Маюм-
дара [М. 58]. Для вывода выражений вторым путем известны два способа,
которые ведут к различным видам соответствующей формулы. Это — методы
Вигнера [W. 31] и Ван дер Вердена [W. 32].
Краткий обзор методов получения трех видов формулы для
коэффициентов Клебша—Гордана начнем с рассмотрения алгебраических способов,
которые, в особенности метод Фока, более просты, чем группово-теоретиче-
ские методы. Алгебраические методы основываются на рекуррентных
соотношениях между коэффициентами Клебша—Гордана. Поэтому сначала
приведем соответствующие соотношения, необходимые для получения
искомого выражения.
Собственные функции обеих частей (4.40) разложим по функциям [w^]
согласно (11.8). Получим
2(At±^)i^.^«j[il ™2 Зт\=
-Л[(Л=тШ±т+1)]*2 |Л/М][1 t2 i±l ]■ (12Л>
Учтя далее (11.1) и (11.3), получим
й У L/i + Wi) Ui±m1+l)]2 lA/a/Wii \т2]\ * * +
*™■ I A/Zj /7*2 ifl I
+ Л Yx UJ2Tm2) (j2±m2+l)]2 \j1j2m1m2±l]
= HU + rn) (7±m+l)F 2 lA/.«i»J (Д ^ Jm ]■ (12-2)
ГА к J "]_
[_ m1 m2 m \
76

Сравнивая коэффициенты при lA/V^i^L получаем
[(j + m)(j±m+l)]HJl Л \. 1 =
L т1 т2 т ± 1 J
= lUi±m1)(Ji + rn1+l)MJl _ ^ J 1ч-
L тг + 1 w2 m J
Ограничимся кратким рассмотрением метода Фока [Ф.40], который
является первым из алгебраических методов.Кроме того, этот метод является
наиболее удобным и довольно общим, так как он основан на отыскании
производящей функции для коэффициентов Клебша—Гор дана.
Производящую функцию Фока [Ф.40] представим в виде [Б.Ю.62]
Fhhff ^=7 Г7'1 к j If (A + iwi)l(y.+iw,)l ]2£Л.Ж л.ж, (124)
Обе части этого равенства умножаем на (£+*/)) и собираем члены с
одинаковыми степенями £, т). Получаем
(5 + Ч)^(5,Ч)-2{[С/х-«0(/1 + т1+1)]4[^+1 t2 i] +
+[(л-т2)(у2+т2+1)]^ГЛ Л , 7" ]}г^+т1!;!Л+т2!; Fx
LW2 2; U2 2 I т1 т2+1 т J J L (yi-^O.-ro,)! J
X^i-mly]y2-'"2. (12.5)
Теперь используем (12.3) с нижними знаками и (12.4). Получаем
_i_
(S + 4)FA/. (5+ *»)=[ (/ + »») (7-^+1)^^1,(5, v)). (12.6)
или
_1
F#. (5, >)) = (&, т)) [(/-«) (; + т+ l)f 2 **Л , (5, v)). (12.7)
77

Применяя это рекуррентное соотношение у- т раз, получим
F&& т)-(5 + чУ-[ (^У?!), ]'*&*& v)). (12.8)
В (12.3) подставим w=y и возьмем верхние знаки. Тогда
[С/1 + »0 t/i-«i+l)]H7' , t Я +
|_ /Их - 1 7И2 J J
+ [02 + т2)(Л-/и2+1)]^Г-7', * , \ 1 = 0. (12.9)
Это уравнение удовлетворяется следующим выражением для коэффициента
Клебша— Гор дана:
Г Л к Л=(_1)Л_тг (л+^клч-^)! у 2Ш
L mi т2 J J L (7i-wi)!(7«-wa)! J J v
Здесь ^гУ* не зависит от wb /w2, m (является инвариантом относительно
вращения пространства). Используя свойство ортонормированности (11.19),
получим
ЛАЛ = е Г V (A+«J!(A+i*)l р (12.n)
' L ^-J (71-Wx)! (y2-m2)! J
где е — фазовый множитель, предполагаемый равным единице (е = 1).
Суммирование в правой части (12.11) при условии m1 + m2=j дает
Ahh =\ (9+DI (Л+Л-Л* Y (12 12)
J 1(Л+Л+У+1)!(Л-Л+Л!(/.-Л+т)!] e * '
Далее, в (12.4) возьмем m=j(m2=j—m^ и используем (12.10) и (12.12).
Получим
Г7У К' ^ L (Л+Л+Л-1)!(А-Л+Л!(Л-Л+/)! J
(A + >»i)! (Уг + »»г)!
(/i-»»i)! (A-«i)!
х у (-ly.-. !л+т'!;!л+тг!; gA-rn, Л-m.. (12.13)
78

Подставляя (12.13) в (12.8), получаем
1
(2/+1) Ц+т)\ Тг A (jJJ)
Fjlm & Ч)-[- (/-m)! J (А-Л+Л!(/,-А+Л! "
*K + 4J Zi ^ *' (Л-mj! (Л-Я-тО! * Ч * (12.14)
Здесь величина
представляет собою „треугольный" коэффициент [B.B.R. 52].
Левая часть равенства (12.14) дается формулой (12.4), а в правой части
применяем разложение бинома по формуле Ньютона. Это дает
у Г Л Л J If (A + mi)!(A + m2)! Т2£/,.ж ;..„,. =
^ L wi ^2 m J I (A-wi)!(A-w2)! J s J
L
= [(У+iw)! (y-w)! (2/+1)]2 A (yxyj) ^
(A-A+y)!(A-A+y)!
x у (_1)л-* м(/;+^!(мТу~^)!—^ 5л"*+хчл"т+л"г- (12Л6)
^V ; (h-k)\(h-j+b)\z\(j-m-z)\ s j v ;
В этой формуле берем k=z+m и сравниваем коэффициенты при
одинаковых степенях £, т). В результате получаем формулу для коэффициента Клеб-
ша—Гор дана. Впервые она получена Фоком [Ф. 40] (в неявном виде), а Раках
[R. 42] получил ее, по-видимому, независимо от Фока и привел в явном виде.
Формулу, получаемую изложенным образом, как и другие
существующие формулы, приведем в начале следующего раздела, в котором будут
рассматриваться свойства симметрии коэффициентов Клебша—Гор дана.
Данный раздел кончим скицированием группово-теоретических методов вывода
выражений для коэффициентов Клебша—Гор дана.
Вигнер [Ж31] исходит из уравнения (11.23) и осуществляет
интегрирование для частного случая m[=jl9 т'2=-j2, а фазу подбирает так, чтобы
79

коэффициенты Клебша—Гор дана были действительными. Это
соответствует фазе, полученной из вышеприведенной производящей функции Фока.
Сложность вычислений заключается в вычислении интеграла по 0.
Ван дер Верден [W. 32] исходит из обобщенных спиноров (9.2) для
представлений DUi), D(J*\
Kh = £i £i &• = ^ ^ r. (12.17)
mx 1 ' mt 1 ^ '
I (A + mx)! (A - mj !]T [ (A + /я2)! (A - m2) !]"2
Для значения
J=ji+J2~b (X = 0, 1, ..., 2jt9j\>ti (12.18)
строится выражение
A = (u1v2 — u2v1)x (wz>! — w1^)2y'i_x (w2^ — uv2)2Ji~x, (12.19)
являющееся инвариантом относительно вращения трехмерного пространства.
Одной из первых работ, в которых изучались инварианты указанного вида,
была [К. 87]. Коэффициенты при величинах
ui+mvi'm , (12.20)
I(/+«)! (у-in)!]
2
в (12.19) составляют базис представления DUK Этими коэффициентами
являются линейные комбинации Kmi Кт%. Множители при Kmi Кт% в
разложении (12.19) представляют собою коэффициенты Клебша—Гор дана. При
этом получение суммы очень просто.
Ван дер Верден |Ж32] не нормировал полученную формулу для
коэффициентов Клебша—Гордана. Это, по-видимому, является одной из
причин того, что указанная формула не пользовалась широкой известностью,
хотя, ввиду симметричности, она более удобна, чем формула, полученная
раньше Вигнером |Ж31]. Например, Раках [RA2] нормированную
симметричную формулу получает преобразованием формулы, получаемой
аналитическим способом, не ссылаясь на работу Ван дер Вердена.
Преобразование одной формулы в другую представляет некоторый интерес,
так как таким путем получаются еще два вида формул для коэффициентов
Клебша—Гордана. Этот вопрос рассматривается в разделе 14.
80

13. Выражения для коэффициентов Клебша—Гор дана
и их свойства симметрии
Сначала приведем пять возможных формул для коэффициентов Клебша—
Гордана. Эти формулы имеют следующий вид:
[= 8 (тх + т2, т) Д (Jdri) х
mt т2 т J wji
х [(A + »»i)! (A-Wi)! (Л + т2)! (jz-m2)\ (j+m)\ (j-m)\ (2j+ l)]2 x
X ^ z! (Л+Л-У-*)! (7i-«i-z)! (h + m^-zY. (j-ji + mi + z)\ (у-Л-ж, + г)! ' (13Ла)
ГА А у "I ..
ЫЗ^ + тг, m)
[mi ш2 fflj
A U J J) . x
(y+A-AMO+A-A)!
„ Г (A-mi)!(/i-Wi)l (У + w)! (7-m)!(2/-+l) T?
L (A + *i)!(A + «i)! J
у (- l)A-m1+z (y+A_mi_z)! (A+mi+z); /ПШ
^ z!(A-«i1-z)!(7-m-z)!(y1-y+i»i1+2)! ' *10,1 '
A (ААУ) (A+A+A+l)!
(Л-Л+7)!
Г Л Л J 1 _.,
x Г (A-m1)!(y+m)!(2/+l) IT
I (A + «i)! (A + mj! (A-">*)! (у-/и)! J
V (- 1)Л+-.+х (2y-z)! (Z+y. + w, -z)l ,n,Rl
^ z\(j+h-h-z)\(j+m-z)\(h+h+j+\-z)\ ' ^0la>
\ L L I = & К + /и2, ти) Д UJJ) x
ц /7Zi A/72 "* J
x Г (У+т)!(/-т)!(2/+1) TJ x
L (A + »»i)! (A-mi)! (A + m2)! (У2-т2)! J
у (-1)Л+«.+« (7-+л + /И1_г)! (A_Wl + z)!
<Zi z! (у+Л_;,_г)! (/+m-z)! (A-A-m+z)! ' ^°-11'
81

Г Л Л J "[_ 8Ц + т„ т) Г (A+/«1)!(A-w1)!(7 + m)!(y-m)!(2/-+l) 12 ?,
1_ Wi ОТ2 wj АО1ЛЛ L ' (Л+ »»l) !(./«-»»»)! J
XZ« z!(A-/n1-2)!(7-m-z)!(y1+A+y+l-2)! ' ^°-1Д'
Первая из этих формул получена при изучении инвариантов вида (12.19)
(ср. [W.32, К. 87]). Группово-теоретическим методом получена также (13.1 г)
в работе |Ж31]. Формула (13.16) получена аналитически, путем
использования рекуррентного соотношения между коэффициентами Клебша—Гор дана
(ср. раздел 12, а также работы [Ф.40, R. 42, М.58]). Остальные две формулы
(13.1в) и (13.1 д) получены в [Б.Ю.64] преобразованием формул (13.16) и (13.1 г).
Параметры j\, j2, j могут быть целыми или полуцелыми числами,
удовлетворяющими условию треугольника с целым периметром, однако
параметр суммирования может быть только целым. Последний может принимать
только такие значения, при которых не появляются факториалы от
отрицательных чисел. Как обычно, факториал от нуля равняется единице.
Наиболее симметричной из приведенных формул является формула
(13.1а). Она наиболее удобна для получения свойств симметрии
коэффициентов Клебша—Гор дана, которые мы сначала приведем, а потом укажем на
способы их получения. Они получены Ракахом [R. 42] и Эйзенбудом [Е. 48] и
являются следующими:
Р1 к j 1= (13.2а)
L тх т2 m J
= (_1)Л+а-уГл Jl J 1, (13.26)
_<_,у.-^Г*±1рГЛ j h 1 (13.2b)
v ' L 2/2+1J L тх — m -m2 у
= (_lW|±lf Г j h h 1 (13.2г)
v J L2A+1J L -m m2 -mx J '
= (_^W|±LF|~ j h k 1 (13.2д)
82

ГЛ h ' l,(-l)J.W,-,f Л '• J 1 ,13.3)
L Wj m2 m J L — mx — w2 — m J
Сочетание (13.2) и (13.3) дает 12 свойств симметрии коэффициентов Клеб-
ша—Гор дана (перестановка трех столбцов и изменение знаков нижних
параметров).
Для получения свойств (13.2) в (13.1а) необходимо произвести,
соответственно, следующие подстановки:
z' = z, (13.4а)
=ji+j*-j-z, (13.46)
=ji-mi-z, (13.4в)
=./2 + 0*2-*» (13.4г)
=J-Ji + mi + z (13.4д)
=j -ji-m2 + z. (13.4е)
Эти подстановки представляют собою изменение параметра
суммирования. Поэтому соответствующие преобразования производятся очень легко.
В качестве примера покажем последний из приведенных случаев.
Подстановка (13.4е) заменяет сумму правой части (13.1а) на
К Ч Ь z\ {h-h+j-z)\ (h-m2-z)\ (y-m-z)! (j\-j+m2 + z)\ ' yi°'°>
Ui-b + m + z)l
Сравнение этой суммы с суммой правой части (13.1а) показывает, что (13.5)
соответствует сумме в выражении для коэффициента Клебша—Гор дана в
(13.2е). Для компенсации замены j на j\ появляется множитель перед
коэффициентом Клебша—Гор дана в (13.2е). Подобным же образом доказываются
и остальные свойства (13.2).
Для доказательства (13.3) достаточно заметить, что подстановка
. ) ( ) (13.6)
не меняет правой части (13.1а). Первая операция (13.6) дает фазовый множи-
83

тель (13.26). Инвариантность формулы относительно применения обеих
операций требует, чтобы вторая подстановка дала такой же фазовый множитель.
Таким образом, получается свойство (13.3).
Очевидно, что свойства симметрии могут быть получены также и с
помощью других формул (13.1), однако не все они получаются так просто,
как это имеет место в случае (13.1а). Преобразование формул для
получения свойств симметрии в некоторых случаях значительно изменяет вид
самих формул. Для иллюстрации сказанного возьмем формулу, полученную
Маюмдаром [М.58]:
Г Л Н J 1 .,
L тг т2 т J
А (ААУ)
(А-А+ЛЧА+Л-У)!
Л (7i + w1)!(/1-iwi)l(/i-w>)!(y+iii)l(^+l) IT
L (h + m2)\(j-m)\ J
у (-l)/«+m.+x(2y-z)! (y1+y2-y+z)! .-««
x Lx z\ у+л-л-г)! (j+m-z)\ (y.-y-^ + z)! " *10#l'
z
По внешнему виду эта формула отличается от формул (13.1), и в [Ю.Л.
В.60] она считалась новым видом формул для коэффициентов Клебша—Гор-
дана. Однако вид множителя перед суммой позволяет заключить, что она
является разновидностью формулы (13.16). Для доказательства сказанного
в (13.7) подставим
z'=j+m-z. (13.8)
Тогда (13.7) принимает вид
Г J\ Jz J I .. . ч
= S(w! + m2, m)
L W\ rn2 m J
A (ААУ)
■■[■
(А-А+У)!(А+А-У)!
(A + wJ! (A-wj! (A-m2)! (j+m)\ (2/+1) IT
(-l)y-y,+mt+x (/-m + z);(7-i+y2 + m-z);
z! (y + w-z)! (/i + ifii-z)! (A-A-w + z)!
X
(13.9)
Последняя формула совпадает с (13.16), если только произвести
перестановку
с) у)("" "). <|з-'°>
\J HI \ -т -т1/
а это и есть не что иное, как свойство симметрии (13.2г).
84

Суммы в правых частях формул (13.1) имеют характер гипер
геометрических рядов. Поэтому свойства симметрии коэффициентов Клебша—Гор дана
могут быть также получены из свойств симметрии гипергеометрических
рядов. Этот вопрос будет рассмотрен в разделе 19 в связи с изучением более
симметричных частей этих коэффициентов — так называемых коэффициентов
Вигнера.
14. О видах выражений для коэффициентов
Клебша—Гор дана и их взаимосвязи
Как видно из предыдущего раздела, подстановка новых параметров
суммирования в формулах для коэффициентов Клебша—Гор дана не
переводит формул из одного вида в другой. Вид формулы для коэффициентов
Клебша—Гор дана определяется множителем перед суммой, а последний не
меняется при указанной подстановке. Для преобразования формул из
одного вида в другой необходимо произвести некоторые алгебраические
выкладки. В настоящем разделе приведем метод такого преобразования,
предложенный в [Б.Ю. 64], который значительно проще метода, использованного
в [R. 42] для преобразования формулы (13.16) в (13.1а).
Для преобразования формул используются следующие тождества
[Б.Ю. 62]:
(14.2)
V —
2j s\ (b-s)\ (c-s)l (a-b-c+s)\ ~ b\c\{a-b)\ (a-c)\ *
s
У (Г'^'^-ГИ; , (a>b,c), (14.3)
La s\ (b-s)\ (c-s)l b\c\(a-b-c)\ ' v ' n v '
s
Lu s\ (b-s)\ (c-s)l bid (b-a-l)l ' v " y '
s
Sp (a-s)\ (b + s)\ _ (a-c)\b\ (a + b+\)\
s\ (c-s)\ c\ (a + b-c+l)\
(14.5)
85

Вначале скицируем переход от (13.1а) в (13.1 г). Для этого сумму в (13.1а)
при помощи (14.1) представим в виде
(-1)"
У ! Л
Lx z\ {k-m^-z)\ (ji + m%-z)\ (z-u)\(u-v)\
(14.6)
zuv
1
(Ji+J2-J-v)\ U-j\ + m1 + v)\ U-Ji-m2 + v)\
При помощи (14.2) в этом выражении осуществляем суммирование по
z и v и подставляем
u=j2 + m2-z. (14.7)
Получаем
1
: X
(Л + ™i) ! (Л - ™i)! (Л + т2)! (у2 - т2)!
- V (-l^+M'+My+A + mx-z)! (yV-mx + z)! п , R.
XZi z! (y + m-z)! (у-Л+Л-г)! (yW2-m + z)! ' ^™>
z
При подстановке этого выражения в (13.1а) и сокращении факториалов
перед суммой получается формула (13.1 г).
Для преобразования (13.1а) в (13.16) сумму в (13.1а) при помощи (14.1)
разобьем другим образом, чем в (14.6):
у * х (-*)" х
^J z\ (J2 + m2-z)\ (j-ji-m2 + z)l (u-z)\{v-u)\
zuv
1 (H.9)
Ui-m1-v)\ U\+J2-j-v)\ (j-jz + nii + v)!
Суммирование no z и v и подстановка u=j1 — m1—z переводит это
выражение в сумму, имеющуюся в формуле (13.16) с множителем
1 (14.10)
(Л + tfO! (Л + т2)! (У+Л-Л)! (У+У2-У1)!
при сокращении которого с множителем перед суммой в (13.1а) получается
соответствующий множитель в (13.16).
При разбиении суммы (13.1а) в (14.6) три первых множителя содержат
различные параметры нижней строки обозначения коэффициента Клебша—
Гордана, а в (14.9) т2 входит в два факториала. Эти два случая исчерпы-
86

вают все существенно различные случаи. Любое другое разбиение привело
бы к формулам, получаемым из (13.16) и (13.1 г) при помощи свойств
симметрии (13.2) и (13.3).
Преобразовав (13.1а) в (13.16) и (13.1 г), мы тем самым показали также
эквивалентность двух последних формул. Однако (13.16) и (13.1 г) можно
преобразовать одну в другую и непосредственно. Для этого разобьем сумму
в (13.16) следующим образом:
у (-1У(7+7.-|У|а-г)! х (-1)"+*
zuv
x /- • (A + "V^)! n-- (14.11)
(h-J + m1 + v)\(j-m-v)\ V
Суммирование no z и v при помощи формулы (14.3) и подстановка u=j2 —
—ji—m—z переводит (14.11) в сумму в формуле (13.1 г) с соответствующим
множителем.
Нетрудно усмотреть, что если суммы в формулах (13.16) и (13.1 г)
разбивать так, чтобы дальнейшее суммирование производилось бы при помощи
{14.3), то они переходят либо в себя, либо одна в другую, либо в сумму в
(13.1а). Однако эти суммы можно разбивать и так, чтобы дальнейшее
суммирование производилось при помощи (14.2) и (14.5). В этом случае
получаются формулы (13.1в) и (13.1 д).
Сумму (13.1 г) разобьем следующим образом:
у (j\-m1 + z)l(j+J2 + m1-z)l х (-1)" ^
(u — z)\ (v — u)\
1
(14 12)
(j-h+h-v)\(j+m-v)\(h-j2-fn + v)\' v ' '
Если далее осуществить суммирование по z и v согласно (14.5) и (14.2)
соответственно, то (14.12) перейдет в сумму в (13.1в) с соответствующим
множителем.
Для получения формулы (13.1 д) сумму в (13.16) представим в виде
V (/+Л-я'1-*)!(А+1я1+*)1 х (-0й
z\ (u-z)l (v-u)\
1
Ui-m1-v)\ (j-m-v)\ (j2-J+rn1-\-v)\
87
(14.13)

Осуществив в этом выражении суммирование по z и v, получаем сумму,
входящую в (13.1 д), и соответствующий множитель.
При помощи (14.1) суммы в (13.1в) и (13.1д) могут разбиваться так,
чтобы можно было суммировать согласно (14.3), или (14.4). При этом, если
используется только (14.3), эти формулы переходят либо сами в себя,
либо одна в другую. Если же используется (14.3) и (14.4), они переходят в
(13.16) и (13.1 г). Непосредственно преобразовать (13.1в) и (13.1д) в (13.1а)
предлагаемым методом нельзя.
Формулы (13.1а—д) относительно преобразования при помощи формул
(14.1)—(14.5) составляют замкнутую систему. Никаких других формул,
существенно отличающихся от (13.1а—д), при помощи указанного
преобразования получить невозможно.
Интерес представляет тот факт, что формулы (13.1а—в) получаются
различными методами. Методы Вигнера и Ван дер Вердена не удается
приспособить для получения других видов формулы. Метод Фока в данном
отношении более универсален. Например, для получения формулы (13.1 г)
методом Фока производящую функцию следует искать в виде
FV.& 7))= У ГЛ h 3 1х
jm V" Ч Zj I Wi щ т I
_1_
L (j2 + m2)\ (j2-rn2)l J ^ '
Тогда вместо (12.8) следует использовать
Fhhil ъ\ = \ 21±1 I2 Д(АЛУ) /£ + 7))л+у-лх
rjm ^ V L (/+«,)! y-m)! J (Л+У-Л)! (^V
х V (-1)* (7-^)!(Л+Л + т-А:)! р h+h-j-ka (14Л5)
к
Разлагая (14.15) по степеням £, ?) и сравнивая члены при равных степенях
в (14.14) и (14.15), получаем (13.1г).
88

Для получения формулы (13.1а) следует взять производящую
функцию в виде
№'.6.4.0-2; ГЛ к J 1*
[(Л+Mi)! (/i-»«i)! (/« + »»,)! (Л-Я1,)! (У+т)! (/-m)!]
Тогда вместо (14.15) надо взять
(14.16)
х^-^'-.+л-у^ + ^у+л-л^ + ду+л-л. (14.17)
1)4.16) и (14.17) дают формулу (13.1а).
Для получения формул (13.1в) и (13.1 д) производящую функцию следует
брать в виде (14.14), а вместо (14.15), соответственно,
х 2. 5! (л+л-у-*)! (л+л+у+1-*)! (^+7)) *' ( 1Ь)
*/■» «» ^ * ^ Д(ЛЛУ)(Л+л+У+1)!
х G-^m 2 (Л-^^:;,+Д)1 *"*-'""*• (14-19)
5
Таким образом, для получения формул (13.1в—д) вид производящей
функции один и тот же. Очевидно, что выражения (14.15), (14.18) и (14.19)
между собой равны, и при преобразовании их одного в другое получилось
бы преобразование одной в другую формул (13.1в—д). Однако значительно
проще преобразовать сами формулы, а не производящие функции.
89

15. Частные случаи коэффициентов Клебша—Гор дана
Важный частный случай коэффициентов Клебша—Гордана составляет
равенство нулю всех трех параметров типа составляющих. Тогда параметры
типа моментов должны быть целыми числами. Из свойства симметрии (13.3)
непосредственно видно, что сумма этих параметров должна быть четным
числом, чтобы такой коэффициент Клебша—Гордана не равнялся нулю.
Выражение для такого коэффициента может быть приведено к одному члену, иначе
говоря, суммирование в формуле для такого коэффициента может быть
осуществлено в общем виде. Для этой цели мы воспользуемся методом Ра-
каха [RA2].
Из (13.1а) следует
[к к /з*|_
L о о о J~
(21+ 1)2 Д {1,1,1) -^^-х
ХУ(_ \\ж (l1 + l2-l-z) + (z) П5 j,
xZn l> z!(/l + /2_/_z)!(/l_z)!(/2_z)!(/-/l + z)!(/_/2 + z)! ' \1°-Ч
2
Здесь символ j заменен символом / с целью подчеркнуть тот факт, что
параметры являются целыми числами, что соответствует традиционному
обозначению таких параметров.
Величину под знаком суммирования в (15.1) разобьем на два члена, как
это указано скобками в числителе, во втором из получаемых таким образом
членов произведем подстановку z — l->z и после несложных
преобразований получим
[о 0 ;]-<*+.)*AftWi££}!Lx
xYf-iu+i h + l%-l-2z-\ (\Б2)
*Zj^ l> z!(/l + /2_/_z_l)!(/i_z)!(/2_z)!(/_/i + z+l)!(/_/2-|.z+l)! • \l°-*)
z
Далее используем тождество
k(k + k-l-2z-\) = (l1-z)(l1 + l2-l-z-\)-z(l-l2 + z+\).
Кроме этого, во втором из получаемых членов опять изменим параметр
суммирования. Тогда получаем
\к к м
L о о о J:
:(2/+1)2А(/1/2/) hXJ2-i2 х
ZH Ч z!(/1 + /2_/_z_2)!(/1-z-l)!(/2-z)!(/-/1 + z+2)!(/-/2 + z+l)! • у1°'0)
90

Сравнение последнего равенства с (15.1) показывает, что
Lo о oj- g-i I о оо J- (154)
Здесь
2g = h + l2 + l, (15.5)
а штрих над обозначением коэффициента Клебша—Гор дана в правой части
обозначает, что его множитель
(2/+1)2Д(/1/я/) (15.6)
такой же, как в левой части (15.4).
Обобщение (15.4) дает
[Ч h / 1 (g-/l+x)!(g./-3)! Г /i-x /2 / + хТ
|_о о oj~l и (у-оцу-/)! Lo 0 0 J* К ]
Если подставить x=g—l, то получится
LO 0 0r(-1)g~f (r-W(r-OlLo 0 0 J' (15'8)
13.1а) дает
[Г'' о о]' = (2/+1^А^1?4йГ' <i59>
так как сумма вырождается в один член. Из последних двух равенств
получаем
[о о o]=(-^-'^hD ^SiH^-i). ' (15Л0)
•если
/i + /2 + / = 2s,
и, согласно (13.3),
[о о о]=0' (1511)
если
/1 + /8 + /=2g+l.
91

Теперь обратимся к формуле (11.23). Подставим т'1=т'2=т'=0 и, кроме
того, используем равенство (8.23). Тогда
[к к I ~] Г к к I 1 г 4тг(2/+1) Т?
т1 т2 тЦо О О J L (2/i+l) (2/.+ 1) J Х
тс 2тс
xf f Y (I - т\ top) Y^m^ top) Y(Um2\ top) sin» d&d<?^ (15.12)
о о
Здесь подставлено Я3=8тс2.
Далее, учтя (5.4) и (5.5), получим
тс
[ 0 (1т | 9) 0(11т118) 0 (l2m2 \ 9) sin9d9 =
о
Г(2/1+1)(2/,+ 1) 17 Г *i Z2 / l|"/i /я /1 (1513>
L 2(2/+1) 1 1тг т2 т J10 0 0 ]'
Теперь первый коэффициент Клебша—Гор дана правой части (15.13) выразим
согласно (13.16), применив свойства симметрии (13.2г) и (13.3), а для второго
используем выражение (15.10). Тогда получим
тс
f 0 (lm | 9) 0 (l1m11 9) 0 (l2m2 \ 9) sm»d9 =
о
- f _ П»+1.-ы». Г (2/+1) (2/l+1) (2/2+1) (/~m)! (/2 + mg)! (/l~mi)! (/l + mi)! F v
""* *' L 2(/+m)!(/2-m2)! J
„ A(/!/2/)2g!
(/+/i-«! (/i + /.-/)I (*-/J! (*-«! to-/)!
r» (-l)*(/+m + z)!(/1 + /2-m-z)!
L z! (A-Wi-z)! (l-m-z)\ (k-k + m + zy.
(15.14)
Эта формула впервые получена Гаунтом [G. 29]. Мы произвели
преобразование в (13.16) с таким расчетом, чтобы (15.14) подогнать к подлинному виду
формулы Гаунта. Очевидно, что (15.14) может быть преобразована такими
же приемами, как и формула для коэффициентов Клебша—Гор дана. С
другой стороны, разные виды формулы Гаунта могут быть получены путем ис-
92

пользования разных видов формулы для коэффициента Клебша—Гор дана при
переходе от (15.13) к (15.14). Интерес представляет тот факт, что подлинная
формула Гаунта имеет характер формулы (13.16) для коэффициентов
Клебша— Гордана. Это происходит от того, что метод Гаунта является также
алгебраическим, как и методы Фока и Ракаха. Следует отметить, что метод
Гаунта не имеет ничего общего с теорией сложения моментов количества
движения. Он основывается на теории сферических функций.
Как видно, интеграл от произведения трех присоединенных полиномов
Лежандра &(1т) не исчезает лишь при условии, что их параметры
удовлетворяют условию треугольника с четным периметром. В [J.P.S. £/.55] это
условие обобщено на случай интеграла от произведения любого числа
присоединенных полиномов Лежандра. Оно тогда превращается в условие
многоугольника с четным периметром.
Если в (15.13) подставим т1 = т2 = т=0 и учтем нормированность
полиномов Лежандра Рг (ср. (5.17)), то получим
тс
ClxU i = J Ph (cos 8) P/2 (cos &) Pt (cos &) sin & db =
о
Г к к i т
=2(2/+1>-Чо о oj <15Л5>
Подстановка (15.10) дает далее
Эта формула впервые получена Адамсом еще в прошлом столетии. Гаунт
ее воспроизвел в качестве частного случая (15.14). Из (15.16) видна
симметричность С/х/2/ относительно перестановки параметров.
При учете (15.16) формулу (15.10) можно представить в виде
[о о ob-X'W^-'f- <1517>
В последнем равенстве отпадает необходимость указать условия
неисчезновения, так как при нечетной сумме параметров обе части равенства равны
нулю.
93

Свойства симметрии коэффициента'Клебша— Гор дана типа (15.17) гораздо
проше, чем в общем случае (13.2). Они имеют следующий вид:
Г к к М_
[о О О J
(15.18а>
(15.186)
_\к к м
~|_ о О О J'
-<-•>'№Г[о' о ?]■ <1518°>
На основании (15.186) в коэффициентах Клебша—Гордана'(15.18в)и (15.18г)
можно переставить /х с / и / с /2, соответственно, без всякого изменения в
множителях перед этими коэффициентами. Все эти свойства следуют из того
факта, что параметры — целые числа и их сумма — четная. Свойство (13.3)
теряет смысл.
Довольно простыми частными случаями являются коэффициенты, в
которых один из параметров типа j равен нулю. Для таких коэффициентов
получаются выражения
[L о С-Но Li]-*"*"*- (1519)
р г °1.Г t J °UJ '' 1=
L_w m' OJ L — m' —m OJ [.m m'J
= (- DJ+r [ Jm, Jm ] = (" l);-m(2/'+ 1)"^S(M j'-m'). (15.20)
Величина (15.20) иногда называется ly'-символом (ср. [S. 606]), что
следует из названия 3/-символа для коэффициента Вигнера [Е. 57, S. 606], так
как в (15.20) остается только один j. Эта величина представляет метрику
в пространстве представления группы вращения трехмерного пространства.
94

Шарпом [S. 606] эта метрика названа метрикой Геринга. Свойство метрики
величины (15.20) видно из того факта, что сумма
т \_ /71 /71 J
является инвариантом относительно вращения пространства.
Приведем тривиальный частный случай
ГО о j -| го; от г у о от
Lo 0 „Но т Л\т 0 о >'<*"• 00>- (1522)
Если один из нижних параметров равен своим экстремальным значениям,
то такие коэффициенты Клебша—Гор дана могут быть выражены одним
членом. Пусть т2= ±у2; тогда
^+72 ±72 w J
v Г (A+ATifi)! (y±m)! (2y2)! (А-Л+у)! (2y+l) ]T n. ^
L (A-A±^)!(y + m)!(A+A-7)!(y-A+A)!(A+A+7+l)! J " K '
Это равенство легко получается с помошью формулы (13.16).
Еще приведем частные случаи, Korju8Lj=j1±j2. Это дает
Г Л к Л+Л 1
L wx т2 тх + т2 J
Г (2А) 1 (2у2) 1 (y'i +Л + mt + m2)! (Л +у2-mY-m^\ 12 П ^ 94^
L (2A + 2y2)!(y1 + /Wl)!(y1-/Wl)!(A + m2)!(ya-m2)! J ' l10'z*'
Г Л Л Л ""Л I , п. ,ж
= (-lVi+m«x
L wx га2 m!+w2 J
y Г (2/,)» (2A-2y2)! (Л + mJ! (A-fuJl (2A-2/.+ 1) ]T n - „-,
L (2A+1)! (A + m2)! (Л-mJ! (A-A + ihi + ihi)! (A-A-Wi-Wi)! J • ^-^
Для получения первого из этих равенств удобно пользоваться формулой
(13.1а), а для второго — (13.1 г) .
95

Приведем еще следующий частный случай (ср. [А. 52]):
Г 7i h I ~\ /(/+1)-/1(/1+1)-/2(/2+1) Г zi z2 П п. ofiv
Ll -1 oJ= T~"LO О О J' (1Ь'Щ
2[/1(/1+l)/2(/2+l)]2
который появляется в теории рассеяния.
16. Рекуррентные соотношения для коэффициентов
Клебша—Гордана и их использование
(12.3) представляет собою рекуррентное соотношение по параметрам
типа т. Они позволяют найти коэффициенты с составляющими тъ тъ
т ± 1, если известны коэффициенты с составляющими т1 ± 1, тъ т и тъ
т2±1, т. Интерес представляют рекуррентные соотношения по j,
рассмотрению которых посвящаем данный раздел.
Будем пользоваться методом Лука [L. 58] в обобщенном виде [Ю.Ж. 63]
Сначала (8.18) запишем для частного случая [х=— j:
*2->->«bd^f*—^(-тП-тГ- (161)
Нетрудно усмотреть, что для
111=7,7-1, ..., -7 + 2* (16.2)
16.1) может быть представлено в виде
\_
DU) =\ (9)1 (/+»!-2fc)i ]2xDu-k) D(k) (163)
"т.Ч L (2/-2*)!(7+/и)! J Um-k% -j+k иК-к' Уш'°>
Это равенство совпадает с (2) [L. 58] при к=-^-
Теперь равенство (11.22) запишем для частного случая
7)(Л) г)0*2-&) =
m—mxiTri+h т2—к, —jt+k
= уГЛ Л-к Г "I Г л л-к г
^?Lm~m2 т2-к т-к J ffl-fc'm'+fcL ^'U -Л + ^ w' + fc
96

Равенство (16.4) умножаем на
1
Г Ш\Цг + тг-2к)\ ]Т D(k) п„ ~
[(2h-2k)\(h + m2)\\ "*•-*' (16'5)
Тогда, применяя к левой части (16.3), получаем
/)(Л) ДО,) = \{Ш(к + т2-2к)\ "IT
"т-т2, m'+h ^2, -п |_ (2/2-2£)! (у2 + m2)! J
у Г Л л-* / ]
41 L W_WJ2 т2 — к т — к\
К произведению двух D в обеих частях последнего равенства применяем
(11.22) и приравниваем множители при D$m,. Это дает
pi Л ■/ IT-7'1 Л ■/ 1 Г (2hV-(h + m2-2k)\ 4
L т-т2 т2 т J |_ W+y2 -у2 w' J L (2у2-2&)! (y2 + m2)! J
x'f \h h~\ r A\r * '1,
^-" I m — /я2 m2 — k m — к _}[_ m — к к m \
j'=j-k -* -1
X[_m' + k -k m']\_m'+j2 -j2 + k m' + kj * ''
При использовании (15.23) можно получить
г/ * j' ~\ г л л-л / 1_Г71 7а 7 1
\_ т' + к —к т' J L W-f/2 — у2 + ^ т' + к J [_ т'+J2 —Л W J
Г (2*)1 (2Д-2*)1 (Л+Л+7 + О» (У-А+Л)! Ui+Jt-jV v
L (2/2)! (Л-Л+.7)! (/-/ + *)! (/ + *-;)! (у+/ + *+1)!
U'-k+j)\ (Л-Л+/ + £)! (2/+ 1) IT nfiRv
(У1+Л+/-Л+1)!(У'+Л-Л-Л)!(Л+Л-/-^)! J в U°-°;
(16.8) подставляем в (16.7), упрощаем на одинаковый коэффициент Клеб-
97

j+k
X
ша—Гор дана, который отдельно взятый не исчезает, и используем (15.23).
Получаем
Г Л к J 1
L т — т2 т2 т \
Г (j2 + m2-2k)\ (j+m)l (h+j\-j)\ (7+Л-Л)! (Л+Л+у+1)! (2/+1) ТТ
L (Л + ^2)!(у-т)!(у1+у-Л)! J
V (-lV+k-j[jl к"к Г 1 (j'-k+j)\(2k)\
^К Ч lm-m2 т2-к т-к J U+k-JV U+J'+k+l)\ (/+*-/)!
=j-k
v[ (J' + k-m)\ U\+j' + k-j2)\ (2/+1) ]T nfiQv
XL (7/-Л + 1я)!(у1+/-Л-Л)!(Л+Л-/-А:)!(Л+Л+/-А:+1)! J ' {1™}
Эта формула представляет собою довольно общее рекуррентное
соотношение между коэффициентами Клебша—Гордана, различающимися
параметрами типа j.
(16.2) показывает, что в (16.9) параметр А: должен удовлетворять условиям
O^fc^ h + ™2 . (16.10)
Отсюда видно, что к может равняться нулю независимо от значения тъ
однако это значение для к ничего нового не дает, так как (16.9) тогда
превращается в тождество.
Следующее значение для к может быть подобрано 1/2. Тогда (16.9) дает
следующее рекуррентное соотношение:
ГА к J 1
L /и-/и2 т2 т \
Г (7 + т)(Л+у-Л)(А+Л+У+1) IT Jl j2~~2 J~~2
"I (Л + .2)2У(27--Ы) J [m_m2 ^ w__|J~
Г (./-т+1)(Л+Л-7)(У1+У-Л+1) )j\ Jl j2~"2 j+Y
l (Л^2)(2У+1)(2у+2) J ущ^ w2_| m_|J
Формула (16.11) позволяет найти любые коэффициенты
Клебша—Гордана при определенном значении параметра j2 при наличии этих
коэффициентов для А — 1/2.
(шло
98

Ввиду симметрии, даваемой (13.3), расчеты должны быть проведены
только для неотрицательных (или неположительных) значений т2. Поэтому
случай m2=—j2, при котором (16.11) теряет свой смысл, не играет никакой
роли.
Следующее возможное значение для к есть единица. Тогда получаем
такую формулу:
Г Л к J ~]
\_т — т2 т2 т \
= 1 Г (7+т)(^)(7-Л+у2)(2ЧЛ+У2+у+1)(2) ттГ-/1 -7'2"1 J'~l 1
2/1 (h + m№(2j-\)(2j+l) J lm-m2 m2-\ m-lj
i
1 Г U+m) (j-m+ 1) (7-Л+Л) (Л+Л-7) (Л+А+./+ 1) (Д-Л+7+ 1) IT
2/(7+1) L (72 + m2)(*> J
ГЛ Л-1 7 1 l r(/-w + 2)(») (A+7W)<2> (Л-Л+У+2)^|7 „
L^-^2 wa-l m-lj 2(/+l)L y. + nti)«(2y+l)(2y + 3) J
Г Л 7*2-1 7+1 "1
x . (16.12)
L m —m2 m2 — 1 m — 1J
Эта формула ограничена снизу значением —j2+2 для т2, однако, опять-таки
в силу вышеуказанной симметрии коэффициентов Клебша—Гор дана, этот
факт не ограничивает практической мощности данного соотношения.
Нетрудно выписать и другие частные случаи формулы (16.9), когда
А:=3/2, 2,.., однако в явном виде приводить их не будем, а формуле (16.9)
придадим более удобный (для выписки частных случаев) вид, именно:
Г1 к J \ = [(J2 + rn2)^f^x
l_ т-т2 т2 т J LU2 v J
к
x 2 (-^^^ЧО'+^-^а-т + ^ + ^^'Мл+Л-уУ^^х
k'=-k
x U-h+J2Yk-k'HJi+J2+J+ \Yk-k'4Ji-J2+j+ic+k'Yk+k'42j+1) x
/9м.о*.'л_1м7 (2*)(*+*'> Г Л h-k J + k' 1
x(Zj + ZK+l)\ (2y+/t + fc'+1)(*+0(*+*')<*+*'>[_/и-/и2 m2-k т-к]Л*Л >
99

Здесь, как и в (16.12),
£/«= 17(17— 1). ..(U-X+ 1) (16.14)
будем в дальнейшем называть квазистепенью. При этом
UW=U\, (16.15)
что использовано в записи последнего множителя в знаменателе правой
части (16.13).
Число членов в формуле (16.13) равно 2к + 1. Само значение к
практически ограничено пределами
Y^k^^^, (16.16)
где
О, если у2 целое число,
1
-о-, если у2 полуцелое число.
Нижний предел уточнен по сравнению с (16.10) на основании, изложенном
выше, а верхний предел установлен такой, чтобы формула охватила все
неотрицательные значения т2.
Практический подбор значения к диктуется наличием вычисленных
коэффициентов. Например, если нужно найти коэффициент су2=9/2, то
берется формула (16.11) и используется таблица коэффициентов су2=4,
приведенная в приложении 2 [Ю.Л.В. 60]. С другой стороны, если нам нужны
коэффициенты с 7*2=5, тогда используем формулу (16.12) и указанную таблицу.
Эта таблица позволяет вычислять коэффициенты доу2=8. В этом крайнем
случае к должен равняться четырем.
Хотя формула (16.9) состоит из 2к+1 члена, практически часть их
исчезает вследствие неудовлетворения правила треугольника. Число членов
задается значением к" + 1, где к" определяет у* следующим образом:
J=j\±J2 + k". (*" = 0, 1, ..., 2к). (16.17)
Когда к" принимает наибольшее значение 2к, число членов становится
постоянным и равным 2А: + 1 до исчерпывания всех значений у, которые
приближаются kj=j\, с обеих сторон последнего значения. Таким образом,
наибольшее число членов, равное 2fc+l, имеют коэффициенты с 2у2 —4fc+l
различным значением у в окрестности у=Ух. Если к имеет максимальное значение
согласно (16.16), то число значений ус максимальным числом членов в рекур-
а =
100

рентном соотношении будет 2а+1, что дает единицу (при ос=0) или двойку
(при а =1/2).
Интересно отметить тот факт, что в рекуррентной формуле (16.9) и (16.13)
множители при коэффициентах Клебша—Гор дана под знаком суммы не
зависят в явном виде от т2. Вследствие этого для получения коэффициентов при
данном значении j2 и разных значениях т2 необходимо лишь один раз
вычислять множители при коэффициентах [j\ j2 — kj + k'] и вычисленную таким
образом сумму умножить на простой множитель, содержащий т2.
Вышеизложенный рекуррентный способ получения алгебраических
формул для коэффициентов Клебша—Гордана является очень удобным. Однако
он не является единственно возможным, так как могут быть также
использованы и другие рекуррентные соотношения. Наиболее интересными из таких
соотношений являются следующие [Е. 57]:
("A A J "1 г 2j+\ т
L т-т2 т2 т \ L (Л+Л+7+1) (Л-Л+У) У J
[(А-Юа) (j-m)]
I т
Л"'
)-■
1
т-т2 т2 + -1у т + -к-
+ [(J2 + m2)(j + m)]
±\ Л
J2--
т — т2 т2-
{
ГА A J 1_г
L т — т2 т2 т \ I (Л-Л+У) (h-h
х{ [U2 + rn2)(j2-m2-{-l)(j + m)(j + m-l)]J
I т-
J-
т
]
]|
(16.18)
2/+1
У1+У) (Л+Л-7+1). (Л+Л+7+1) (2у
=1ГГ
L т-
т9
к 7-1
Wo— 1 m
'.]■
-[4(/ + ih)(/'-™)«S2
m2 m2
7-1
m
У
-[U, + rn2+l)U2-m,)U-rn)(j-m-l)]^_m2 t2+l'" + l]}- (16'
19)
101

Формула (16.18) подобна формуле (16.11) и служит аналогичной цели.
Это значит, что с ее помощью находятся коэффициенты с у2, если известны
таковы с 7*2—1/2. Разница состоит только в том, что в третьем столбце
коэффициентов Клебша—Гор дана правой части (16.11) одинаковы нижние
параметры, а в (16.18) — верхние. Это влечет за собою то следствие, что в случаях
(16.11) и (16.18) один определенный коэффициент (левой части) выражается
через различные коэффициенты (в правых частях). Таким образом,
вычисление одного и того же коэффициента с помощью обеих формул позволяет
проверить не только расчеты искомого коэффициента, но также и
используемую таблицу.
Соотношения (16.18) и (16.19) удобны в тех случаях, когда нет
возможности непосредственно работать вышеизложенным методом. Например, это
может быть тогда, когда нужны коэффициенты Клебша—Гор дана с/2>8. Тогда
легче пользоваться последними формулами, чем строить промежуточные
таблицы для того, чтобы к находился в пределах (16.16).
Например, при использовании формулы (16.19) сначала необходимо
найти выражения для коэффициентов Клебша—Гор дана cj=j\—J2 с помощью
формулы (15.25). Потом, с помощью (16.19), значение j увеличивается на
единицу. Продолжение этого процесса приводит к полной таблице
коэффициентов с данными значениями jl9 j2.
Приведем еще следующую формулу [С. S. 35]:
Гл к j "]_
[ w-m2 т2 т \
Г 4/Ч2/+1)(2/-1) IT
L (j+m) (j-m) U-h+h) U+h-h) (A+yW+l) (Л+Л+У+1) J
f Г (m-2m2)j(j-l)-mj1(j1+\)+mj2(h+\) 1 Г Л Л ^_11_
\ L 2/(у-1) ][_ т — т2 т2 т J
Г (y-rn-1) (j+m-1) (7-Л+Л-1)(У+Л-Л-1) (/i+A+y) (У1+Л-/+2) ]2
L 4(y-l)*(2y-3)(2y-l) J
хГА * '-*]). (1620,
L т-т2 т2 т J j
Эта формула подобна (16.19). Она может быть использована для
вычисления коэффициентов Клебша—Гор дана с определенным значением j
102

при их наличии су'—1 иу —2, которые для самых низших значений параметра
у должны быть найдены другими способами.
Построение формул при заданных численных значениях у2, т2
производится не только с помощью рекуррентных соотношений, но также и
непосредственным проведением суммирования в выражениях для коэффициентов
Клебша—Гор дана (13.1). Вид этих формул подбирается такой, чтобы при
заданных значениях у2, тъ а также к, где k=j—jly сумма содержала
наименьшее число членов. Метод такой рационализации разработан Жукаускасом
и Мауза [2. М. 57].
Имеются также таблицы численных значений коэффициентов Клебша—
Гордана в виде десятичных дробей с 10 знаками для значений параметров
Л = 0(1)4; у2, 7 = 0(4") 4 , (16.21)
составленные Саймоном [S. 54].
Таблица вышеупомянутого типа для
приведена Кумаром [К. 57].
17. Симметрия зеркального отражения коэффициентов
Клебша—Гордана
В разделе 10 было показано, что подстановка (10.1) в волновой функции
может быть сопоставлена с зеркальным отражением системы координат.
Такую подстановку в других величинах, зависящих от параметров типа
моментов, также будем называть симметрией зеркального отражения. При
этом фазовые соотношения при зеркальном отражении будем находить при
помощи непосредственной подстановки (10. 1) соответствующих параметров
в аналитические выражения рассматриваемых величин. В настоящем разделе
изучим свойства симметрии зеркального отражения коэффициентов Клебша—
Гордана, следуя работе [Ю. С. Б. К. Н. 64].
Вначале заметим, что если (10.1) применить ко всем моментам
коэффициента Клебша—Гордана, то согласно (10.2) и (11.8), такой коэффициент бу-
103

дет связан с нормальным коэффициентом Клебша—Гор дана соотношением
Г Л к I ]=(_1у1+л-уГл л J "I (17Л)
Это соотношение не имеет большого практического значения. Более важно
установить свойства симметрии коэффициентов относительно подстановки
(10.1) для двух параметров. Для этого используем формулы для
коэффициентов Клебша—Гор дана (13.1) и соотношение (10.16).
При подстановке (10.1) в формуле (13.1) при любых значениях z в сумме
будут факториалы от отрицательных чисел. Поэтому следует некоторым
другим образом ограничить параметр суммирования. Легко заметить, что в
формулах (13.1а, б, г), при изменении параметра zb пределах (—оо, +оо)
факториалы от отрицательных чисел вначале появляются в знаменателе, и
при любом значении z в знаменателе будет больше факториалов от
отрицательных чисел, чем в числителе. Поэтому в этих формулах суммирование может
быть распространено на — oo<z<oo. В формулах (13.1в) и (13.1д) сумма
также обрывается из-за появления факториалов от отрицательных чисел.
Однако для них существует интервал значений z, для которых в числителе
и знаменателе появляется равное число факториалов от отрицательных
чисел, и при учете (10.16) сумма в этом интервале не исчезает. Иллюстрируем
это на примере формулы (13.1в). Если параметр суммирования изменяется
в пределах (— оо, +оо), то не исчезают следующие члены суммы:
min (j+mjz-ji+j)
(_ i)A+w.+r (2j-z)\ (j+h + »h-z)\ П7 2я>
z!(y + m-Z)!(y2-A+y-z)!(A+/2+7+l-z)! + K '
Л+Л+Л-1
z=max (2/+ 1, j+jt+mx + 1)
, V (-l)A+m,+*(2y-z)!(/+A + /»,-z)! /17 2<fl
+ Ь z\(j+m-z)\(h-jl+j-z)\(Jl+h+j+\-z)\ ■ У1,и>
Во второй сумме числа 2j—z, j+ji+m^^—z, j+m—z и j2—ji+j—z
отрицательны. Если использовать (10.16), эта сумма переходит в
Jl+J£+ (- \)h+h+J+* (z-j-m- 1)! (z+jl-h-j- 1)!
Zi z!(*-3/-l)! (*-Л-У-«1-01 (А+Д+У+1-*)! ' K '
z = max (2/+ 1, j+h+mx+ 1)
104

Если далее подставить м=у1+72+у+1 —-z, последняя сумма переходит в
min (Ji-mu Ji+h-j)
у (-1)ц+1(Л+у2-т-^)!(2Л-^)! n?4v
^ "ЦЛ+Л-7-и)! (y1-mi-M)!(y1+y2+y+l-«)!- V ''
и = 0
Полученная сумма по абсолютной величине совпадает с (17.2а), что
непосредственно видно, если использовать свойство симметрии
коэффициента Клебша—Гордана (13.2г), но имеет противоположный знак. Таким
образом, вся сумма (17.2) исчезает. Таким же образом можно показать, что при
расширении пределов суммирования исчезает сумма в (13.1 д), а также (14.4).
В случае (14.5) не исчезают члены суммы в интервалах (— оо, —6 — 1), (0, с),
(а+1, +оо).
Таким образом, суммирование в формулах, не содержащих
отрицательных параметров, в общем случае должно производиться лишь по значениям
параметра суммирования, при которых не появляются факториалы от
отрицательных чисел. При подстановках же типа (10.1) суммы произведений
факториалов могут быть вычислены лишь с точностью до знака. Об
определении точных знаков в соотношениях симметрии различных величин при
подстановках типа (10.1) речь пойдет ниже.
Вначале рассмотрим преобразование множителей перед суммой в
формулах для коэффициентов Клебша—Гордана при подстановке (10.1). При помощи
(10.16) легко получаем
А^=-Шт' <17-5>
^UJJ) = A^L, (17.6)
Д(Ш = ^т?71Г> (17-7)
V-yl^i-^tff. (17.8)
Соотношение (10.16) позволяет с точностью до знака установить также
фазовые соотношения для сумм, входящих в выражения для коэффициентов
Клебша—Гордана. Знаки же в соотношениях симметрии относительно под-
105

становки (10.1) подбираются так, чтобы были удовлетворены фазовые
соотношения для частных случаев, установление которых возможно без
использования суммы. Мы уже воспользовались этим при получении формулы
(17.1). В случае подстановки двух параметров для установления знака
могут быть использованы формулы (15.19) и (15.20), а также формула (15.23).
Последняя формула может быть использована также в случае подстановки
(10.1) относительно одного параметра.
Получаются следующие соотношения в случае подстановки (10.1)
относительно одного и двух параметров:
Г Л к J 1 = (_1)л-л+т1р'1 Л J "1 (17.9а)
р л / ]в(_1у.+и,Гл Л J "1
L т1 т2 т J |_ mi тъ т J
Для коэффициентов Клебша—Гордана, входящих в левую часть формул
(17.9) (а также (17.1)), свойства симметрии (13.2) остаются в силе, если,
как это указано в разделе 10, в фазовых множителях использовать
подстановку (10.6).
Следует отметить, что при подстановках типа (10.1) в отдельных случаях
появляется формула с суммой с неограниченным числом членов, причем
в этой сумме отдельные члены также не ограничены. Эта формула
получается, например, при подстановке (10.1) относительно всех параметров в
формуле (13.1а). Она имеет вид
Г Л к J 1 1 г у+\ т
L т1 т2 т J A (jjrf) [ (Л + т^! (Л - т^! (у2 + т2)! (у2 - т2)! (у + т)! (у - т)! J
X У ("О2 U-m + z)\(j2-m2 + z)\ U+j*-Ji + z)\ Ui-jt + m-\ -z)\ jy jq^
^ z! (y-A-zwa + z)! ' '
z
Относительно преобразования при подстановке (10.1) формулы для
коэффициентов Клебша—Гордана распределяются на две группы. Одну
группу составляют формулы (13.1а), (13.1 г), (13.1д) и (17.10), а вторую —
(13.16) и (13.1в). При указанном преобразовании каждая формула переходит
либо сама в себя, либо в какую-нибудь формулу той же группы.
106

Равенство (17.96) можно представить в виде
ГЛ к л + *1 Гл л л-*| и
L тг т2 т J L mi т2 т J
Это свойство позволяет значительно сократить вычислительную работу
по составлению формул для коэффициентов Клебша—Гор дана при заданных
значенияху2. Следует произвести расчеты лишь для значений к<0, а
формулы для положительных значений к получаются подстановкой j\->jv Поэтому
таблица приложения 2 [Ю. Л. В. 60] может быть сокращена почти на
половину.
Согласно (П. 2.1) [Ю. Л. В. 60], коэффициент Клебша—Гор дана может
быть представлен в виде
[£-*, t2 i+k] = ^Mh)Bh,k(h,m), (17.12)
где
^.щ-[**£»Гн,Г- <'7..з,
a Bhy к (h, т) приводятся в форме таблиц в приложении 2 [Ю. Л. В. 60].
(17.11) можно представить в виде
[£-«, t £+*] = (-1)Л+-^-*(А)^-*(/,»). (17-14)
Из (17.13) получаем
Aj2,-k(j1) = (-l)-J>Ah>k(j1) (17.15)
(17.14) теперь принимает вид
[Л h ji + к П
= ^b*0i)(-l)Wi**.-*(A. w). (17.16)
т — т2 т2 т J ''
Ah,k(h) имеет вид (17.13), а
Лу„*(Л. ^) = (-1)т»^л,-л(Л. ™) (17.17)
может быть найден из таблиц для — к. Это и позволяет сократить таблицы для
107

Следует отметить, что здесь, опять-таки, необходимо обратить внимание
на то, находится ли отрицательный множитель в числителе или знаменателе
под квадратным корнем (ср. раздел 10).
18. Коэффициент Вигнера и его свойства
Вигнер [W. 51] из коэффициента Клебша—Гор дана выделяет
симметрическую часть выражения, которая получила название коэффициента
Вигнера. Его определение следующее:
t^1 *^2 -3 1 i\__m /о- 1\Т I ^2 ^3 \ /10 i\
т1 т2 - m3 J \т1 т2 т3 /'
Коэффициент Вигнера представляется величиной, обозначенной скобками
в правой части (18.1). Она зависит от трех параметров./ и их составляющих.
Поэтому коэффициент Вигнера часто называется 3/-коэффициентом [Е. 57,
W. 59, S. 606]. Этим термином мы пользоваться не будем, так как термин
у-коэффициентов будем использовать только для соответствующих
инвариантов относительно вращения трехмерного пространства, а коэффициент
Вигнера таковым не является.
При учете (13.2) и (13.3), а также (18.1), нетрудно усмотреть
следующие свойства симметрии коэффициентов Вигнера:
/к к к \ (_1)Р(А+Л+Л)М Л Л \ j
\тх т2 т3/ \ т^ тк mt /
= (_1)Л+л+л ( Jl к h j. (18.3)
\ -mi ~™2 -™г/
Здесь
_/1 2 3\
Р"\/ к I/
представляет перестановку, переводящую 1 2 3 в / к /. В (18. 2) в фазовом
множителе Р считается четным или нечетным числом в зависимости от
четности или нечетности перестановки.
108

Формулы (17.1) и (17.9) позволяют получить соответствующие свойства
симметрии зеркального отражения коэффициентов Вигнера. Эти соотношения
следующие:
(к h /з\_/(_1)А+ш/А Л л \
(к к Jt\=_i(_lyt-mt + ml(Jl h h\
\ тг т2 т3 / \т1 т2 т3/ '
(к к л \ (_1)А_Л+И1/А л л\
Xwj m2 m3/ \тг тй т3/
(18.4)
(18.5)
(18.6)
Левые части последних формул обладают перестановочными свойствами
(18.2), а также (18.3), если в фазовых множителях вместо соответствующих
параметров у подставить —j (ср. раздел 10).
Формула (15.10), переписанная для коэффициента Вигнера, имеет вид
(ll /з 7Л (-l)'A(UQy! nft7v
\0 0 0/ to-/i)!(^-«!(^-/«)l ' 1 }
где /ь /2, /3 - целые числа, и их сумма 2g — четное число. В противном
случае коэффициент равен нулю.
В случае коэффициента Вигнера равенства типа (15.19) и (15.20)
совпадают друг с другом и дают
(t t п) = <-1>Л"",,<2Л+1) "^Hkntuk-m,). (18.8)
В случае коэффициентов Вигнера вместо условия т1 + т2 = т выступает
условие т1 + т2 + т=0. Это влечет за собою появление Ъ (тхЛ-т^т^ 0) в
выражениях для этих коэффициентов, которые легко получаются из
соответствующих выражений для коэффициентов Клебша—Гор дана (13.1).
Ортонормированность коэффициентов Клебша—Гор дана (11.18) и (11.19)
дает следующие свойства суммирования произведения двух
коэффициентов Вигнера:
Z®*+V(t « £)('«' JL' ]*) = Чт.тг, т[т'2), (18.9)
^ \ т1 т2 тъ / \ mt m2 m3 /
109

к
т?[
7*з \
,и )
™з/
/ «и
= ( «21
V
\«31
"12
«?,Я
«32
«13 \
«23 ) =
/
«зз/
Редже [R. 58] нашел дополнительные свойства симметрии для
коэффициентов Вигнера. Введем следующее обозначение [R. 58]:
(Л
(-Л+Л+Л Л -Л+Уз 71+72-73
7*1 + ^1 7*2 + ^2 7з + ™з )• (18.11)
7i-^i 72-^2 7з-^з
Здесь affc — целые неотрицательные числа, удовлетворяющие условиям
^ «/y = Z «77=71+7*2+7з = ^. (18.12)
i i
Это значит, что сумма элементов отдельных строк и отдельных столбцов
дает одну и ту же величину А. Из (18.12) непосредственно следует, что
2««/=2в*=2в«- (18.1з>
Для новых параметров a'ik удовлетворяется условие (18.12) и условие типа
(18.13). Поэтому а\к могут служить параметрами на таких же правах, как
и aik. Таким образом, вместо (18.11) можно писать [Ю. С. Б. 65]
(7i 7г 7з v
h+h-mx Л+Л-w, Л+Л-iw, \
2 2 2 1. (18.14)
Л+7*8 + ^ 71+78 + ^2 7*1+72 + ^3 /
2 2 2
Сказанное позволяет записать коэффициент Вигнера параметрами а'(к,
получаемыми из а-к таким же образом, каким последние получаются из
aik, а именно:
\т1 т2 т3/ у
110

./•2+Уз Л+Уз Л+Л
2 2 2
2/1 + Л + Л + т! 2;2 + А + Л + /и2 2/3 + /1 + y2 + m3 ■ ,jg j^ч
2ji + J2 + J3-mi 2>J4 + Ji + Js-rn2 2J3 + Ji + J2-m3
Такой процесс можно продолжать неограниченно, однако структура
параметров усложняется. По-видимому, поэтому лишь первые два набора
параметров aik и aik представляют интерес, так как с их помощью легко
записать коэффициенты Вигнера в обычном виде. Это значит, что если имеются
девять целых неотрицательных чисел, удовлетворяющих (18.12) и (18.13),
то для построения обычного обозначения коэффициента Вигнера согласно
(18.11) следует писать
• \ / ^21 + ^31 ^22 + Ь32 Ь23 + Ь33 \
/Л 72 Уз \ / 2 2 2 \ lg lg.
\ т1 т2 тг / \ Ь21-Ь31 Ь22 - Ь32 Ь23 - Ь33 /'
\ 2 2 2 /
С другой стороны, если имеются девять чисел, удовлетворяющих (18.12)
и (18.13), то, согласно (18.14), имеем
/Л к ь\(Ъ« «, • «, \
\т1 т2 тг/ \ Ь31 - Ь21 о22 - Ь22 033 - Ь2Ъ /
Здесь параметры bik и Ъ\к соответствуют параметрам aik и а\к, соответственно.
Первые из них могут быть получены из вторых, как увидим ниже, с помощью
перестановки параметров (18.11) и (18.14), соответственно.
Коэффициенты Вигнера могут быть выражены через aik или a'ik (или,
в дальнейшем, через а[к, ...). Приведем их выражения через aik. Тогда,
согласно (13.1) и (18.1), имеем
«И «12 «13
i «31 «32 «33 i
«32 «33 /
Zi z\ (a13-z)\ (a22-z)\ (a31-z)\ (a33-a22 + z)\ (an-a22 + z)\ J ' ^ '
111

у У (-l)*(fl« + *)l (flu + g8i-^)l ПЯ1Я6Ъ
X^ z!(*2S-z)!(a31-z)!(*13-*31 + z)! ' l j
Г g»l Д23! a.i! Д32! Дзз? 12 , 1чв11+в11 + в1
L(^+l)!*n!tf12!*21!a22!j V U .
(-l^i + ^lfon + ^i-*)!
z
_ Г (A + 1)! flu! fl13! g3i! a33! "I 2 (_ 1)а21+а28 + а3г x
L a12\ a21\ a22\ я23! aS2\ J
z\(an-z)\(an-z)l(A+l-z)\ '
x у (-l)M^^21-z)!(^ + .33-z)! (1g j8b)
1
Г «и'«и'«и! a»! a»»' ]2 ,_ Пви+ви+вих
-[(А+1)\а21\а2г\а31\азг1\ <■ 1>
хУ , "U ^+гЛ ??+Яи"г)\, , (18.18г)
1
Г (Л+ 1)! <721! *23! flail *зз! IT , _ l)ail+a31+a3i x
L au\ a12\ alz\ a22\ aZ2\ J v }
4, V (-0g(gll + g81-^)l (^13 + ^23-^)^ ЛЯ 1Ятт\
XZj *!(*„-*)!(«„-*)! (Л+1-z)! " (Ю-1ОД;
Виды формул (18.18) не являются единственно возможными, не считая
даже преобразования симметрии, так как условия (18.13) позволяют
записать факториалы, зависящие от двух элементов aik, различными
способами. В случае суммы двух элементов этих способов два, а в случае
разности — три. Например, в (18.186) имеют место следующие возможности:
«и + «31 = «22 + «23» (18.19а)
«13 - «31 = «21 — «12 = «32 - «23- (18.1 96)
С помощью выражений (18.18) могут быть установлены свойства
симметрии коэффициентов. Свойства (18.2) и (18.3) нам уже известны. Первые из
них соответствуют перестановке столбцов, а (18.3) — перестановке двух
последних строк правой части (18.11). Нам следует проследить
дополнительные свойства, установленные Редже [R. 58]. Как и в случае коэффициен-
112

тов Клебша—Гордана, для этой цели удобна формула (18.18а). Свойства
симметрии (18.2) и (18.3), дополненные свойствами Редже, можно
представить в виде
= (-l)PA a2i а2к а21\у (18.20а)
= (-!)" ак1 ак2 акг\, (18.206)
0/1
йк1
0/1
021
022
023
0/2
0/с2
0/2
031
032
033
0/3
0/C3
0/з
\
/
)■
= 1 а12 а22 а32 I. (18.20в)
\ 013 023 033 /
Это означает, что любые столбцы и строки могут быть переставлены,
причем четная перестановка дает множитель единицу, а нечетная — 1 в степени
А. Кроме того столбцы могут быть заменены строками. Свойствами Редже
являются обмен местами первой строки со второй или третьей и замена
строк столбцами.
Как легко усмотреть, в (18.18а) не произойдет никакого изменения
при перестановке элементов относительно диагоналей, если только учесть,
что четность а21 + а32 равна четности а12+а2В. Если последовательно
произвести перестановку относительно обеих диагоналей и нечетную
перестановку столбцов, то получится изменение, эквивалентное перестановке
первой и третьей строк. Первые две операции дают фазовый множитель единицу,
а последняя дает множитель —1 в степени А. Этот случай охватывает
равенство (18.206).
Свойства симметрии Редже в обозначении Вигнера согласно (18.16)
можно представить в виде
/к к к \
\ тг т2 т3/~
(jz+js + mi j\+h+m2 j\+J2 + m3 \
* * * I, (18.21a)
Ji § h 2 Jz 2 /
113

<
7i
-J2+J3
Л+7*8
Л+7з + "*1
-Wo +
H~Jz-m1
m» +
J2-Jz + tn1
(18.216)
Первое из этих равенств представляет перестановку первой и третьей строк,
а второе — транспозицию относительно главной диагонали.
(18.20) дает 72 свойства симметрии коэффициентов Вигнера вместо 12,
даваемых равенствами (18.2) и (18.3) Однако свойства Редже (18.21) менее
наглядны, чем свойства (18.2) и (18.3). Тем не менее эти дополнительные
свойства, как увидим в следующем разделе, являются очень полезными при
практических расчетах рассматриваемых коэффициентов.
Следует отметить, что при использовании свойств симметрии (18.20)
существенно различаются только три из формул (18.18). (18.186)
переходит в (18.18г), если переставить первую и последнюю строки и произвести
подстановку a11—z=z\ Подобным образом (18.18д) переходит в (18.18b),
если переставить первую и вторую строки, а также первый и третий столбцы.
Структура формулы (18.18а) позволяет ввести и другое
симметрическое обозначение коэффициента Вигнера, охватывающее все свойства
симметрии (18. 20). Коэффициент Вигнера представим при помощи следующих
видоизмененных параметров:
/Л Н
\ т1 т2
0
Л-Л+Л
Л \
т3/
<*i а2 а3
Pi Р2 Рз
Л-Л-^а J3-j2 + m1
Л-Гов
А + ^1
Здесь
2 (Р; - а,) =j\ +7*2 +Л = А.
При этом формула (18.18а) принимает вид
<*i
Pi
а2
Р2
а3
Рз
= (~l)Sa<-{
П(в-ау)!
[Е(Р,-оц) + 1]!
fl
(-1И
П (z-a,)! (P,-z)!
(18.22)
(18.23)
(18.24)
Эта формула позволяет получить следующие свойства симметрии для
левой части (18.24):
Pi
«2
<*3
Рз
р/ р»
р.
(18.25а)
114

ах + к а2 + к а3 + к
Рч + к $2 + к $3 + к
(18.256)
«(-D^+Vl Pl Рг М (18.25в)
I —ах — а2 — а3
Применение свойств (18.21) к коэффициенту Вигнера (18.7) дает
/I I I \ I h+l* ll+ls /i+/2 \
(о О О/Ч, 4+/, , Л , /Л )' (18*26а)
/!/ /!/ )• (18-26б)
7 7 2 *3 «2 «3 /
'з-'2 —2 2~~ /
Это показывает, что многие из коэффициентов Вигнера с четным периметром
могут быть сведены к формуле (18.7). Это возможно при условиях
j)= Jk+Jl2±mi , (18.27а)
ji =jk, mf = m* = - 4р , (18.276)
при 7i+72+J3=2g, где g - целое число.
В заключение настоящего раздела приведем разные виды обозначения
и определения коэффициентов Вигнера.
/Л h Л \
Раках [R. 42]:
= (- 1) -л+л+л к (АЛЛ, Wi w2 w3),
Фано и Раках [F. Л. 59]:
= (- 1)>«+Л+Л V(jJJS9 m1m2m3)f
Ландау и Лифшиц [Л. Л. 48]:
= (- 1)Л-л+л ShmuhmtJtmi,
(18.28)
(18.29)
(18.30)
115

Фано [F. 51]:
Швингер [S. 52]:
Любарский [Л. 57а]:
Шарп [S. 606]:
= (- 1)л-л+л(Л^, j2m2, j3m3\0), (18.31)
= Х(ккк> rn1m2mz), (18.32)
= (- 1 )Л-'«+'■ w (yjg wx w21Л - m3), (18.33)
= UlJ2b)m1mtm3. (18.34)
19. К вычислению коэффициентов Вигнера
В разделе 16 говорилось о расчетах коэффициентов Клебша—Гор дана,
которые согласно (18.1) содержат в себе коэффициенты Вигнера. Поэтому
расчет последних относительно методики в принципе не отличается от
расчета первых. Однако наличие высокой симметрии коэффициентов Вигнера в
некоторой степени облегчает практические расчеты.
Как видно из случая коэффициентов Клебша—Гордана, важную роль
играет наличие формул для коэффициентов Вигнера при заданных значениях
одного из параметров, представляющих квантовое число момента количества
движения, и его составляющей. Для рассмотрения способа построения таких
формул в настоящем разделе используется методика Жукаускаса и др.
[Ж. К. Б. Ю. 63].
Будем искать алгебраические формулы для коэффициента Вигнера
следующего вида:
'Л к ji + k \ /л
Кт1 т2 —т1-т2/ \ }
j2 + k 2j\-j2 + k j2-k \
h + Щ к + ™2 k + k — mi-mi I. (19.1)
fi-Wi к~т2 k + k + m1 + m2 I
Параметры j2, m2, к будем задавать численно, а параметры jl9 т± будут не-
конкретизированными. Для получения соответствующих формул к
выражениям (18.18) применяем преобразование типа Сато [S. 55а]. Получается
формула следующего вида:
(«11 «12 «13 \
«21 «22 «23 1 = (-1)а"+*»Х
«31 «32 «33 /
л± £«—(тпга ]w- F>(0,l)- <19-2>
Мб

Здесь
b(i)x = b(x)= Ы = й(&-1)...(6-х+1), (19.3а)
b(-i)x = Jt^ = (b+\)(b + 2)...(b + x) = (b + x)M (19.36)
являются квазистепенями. Величина (19.3а) уже определялась в (16.14).
Последний множитель в (19.2) в [Ж. К. Б. Ю. 63] назван квазибиномом. Для
вычисления он разлагается по формуле бинома Ньютона, а степени
заменяются квазистепенями, причем U и V могут быть произведениями
нескольких квазистепеней.
Симметрия коэффициента Вигнера позволяет сделать показателем
квазибинома любой из девяти параметров левой части (19.2), и параметр я13
нами выбран произвольно. При том же показателе в случае всех формул
(18.18) множитель перед квазибиномом получается такой же. Различными
являются только параметры U и V. Как уже упоминалось в предыдущем
разделе, формулы (18.186) и (18.18г), а также формулы (18.18в) и (18.18д),
при помощи свойств симметрии Редже [R. 58] могут быть преобразованы
одна в другую. Поэтому различать их нет надобности. Параметры U и V
могут быть следующими:
в случае (18.18а):
и=4Уа®, V=a®a$; (19.4а)
в случае (18.186, г):
и=4Мт1\ г=4№>; (19-46)
в случае (18.18в, д):
U=a\Tl)a&\ V=a$(A+\r\ (19.4в)
Скицируем получение формул (19.2) и (19.4а). Вначале в (18.18а)
вместо aZ3 — a22 и яп — я22 подставим равные им а21 — а13 и я32 — ai3> соответственно.
Тогда правую часть (18. 18а) можно представить в виде
[ (A+\)\alz\a21\a22\a31la32\ J * Ч
х у /_ jw flia-' т. Дц! ЙГ32! Я22! Цц!
Zi * J z\(alz-z)\ ' [a21-(a13-z)]\ ' I>m-(*is-z)]! (*«-*)! " Ы-г)\
z
117

При учете (19.3) последняя сумма примет вид
2 (- !)г ( ^ ) <<в»-*)в&)<*»-*)«Й)*«&)х-
Z
Это и есть разложенный квазибином степени я13 со значениями U к V,
приведенными в (19.4а).
Для преобразования множителя перед суммой отношения факториалов
также заменяем квазистепенями согласно (19.3). Например,
_«2з|_ _ (*ц + *31-*1з)! _ (-1) (аза-а13)
«31! «31!
Остальные квазистепени получаются подобным образом.
Ввиду того, что Ь(х) исчезает, если х>Ь, в квазибиномах показатели
удобно подобрать такие, которые не превышают а$ в самом биноме.
Формула (19.2) удобна как для численных расчетов при заданных всех
параметрах, так и для получения алгебраических формул, так как многое
из факториалов в ней уже сокращено. Для получения формул наиболее
удобно использовать (19.4а), так как в этом случае получаются в общем случае
меньшие численные коэффициенты в аналитических выражениях через
квазистепени линейных комбинаций j\ и тх. В показатель квазибинома в (19.2)
следует подставлять наименьший из численно заданных параметров
правой части (19.1). Численно заданы параметры j2+m2, j2—m2, j2 + k, j2—k.
Однако следует рассмотреть лишь случаи у2 — т2 и j2—k, так как, если
j2-m2>j2 + m2 (m2<0), (19.5)
то может быть применена формула (18.3)
/Л h Л + *. \ (_1)2Л+Л+,/ л л л + *\
\т1 т2 — т1 — т2/ \—mi —т2т1 + т2/
а если
j2-k>j2 + k (fc<0, A</i)f (19.7)
то следует применить формулу (18.5)
/Л Л А + * \ = 1.(_1)2Л+л+».Д Л h-k \ 8
\т1 т2 —т1 — т2/ \т1 т2 —т1 — т2/
118

Введем следующие обозначения:
b=j1 + k-j2-ml,
k1=j2-m2,
k2=j2-k. (19.9)
В таком случае (19.2) и (19.46) позволяют получить формулу
2j2-k2 а + Ъ к2 \
а 2j2-kx Ь + кг 1 = (-1)«+*хх
b + k2 кх a + 2j2-k1-k2 /
-[
1
я(-1) («Д-^-А:.) (b + kJ&i-bJ (2/a-*8)(*i-*>) IT
(в+ци(«уу J
x [A») jfc<» - (i + fc.)CD (2/a - fcjcojw (19.10)
Для получения этой формулы было необходимо отказаться от
симметрического выражения под квадратным корнем в (19.2) и представить его в виде
_(-i) (e3!-eis)'(-i) («2*-ais) _(-i) (а32-л13)
"31 ^21 "22 „ MQin
«12 "13! "32!
Это сделано с таким расчетом, чтобы все показатели квазистепени были
заданы численно.
Формулу (19.10) следует применять при кг^к2. В противном случае
на место параметра а13 необходимо поставить параметр kv- Получаем
2/2 —fc2 a + b к2
а 2/2 — кг Ь + кг
b + k2 кх a+2j2 — k1 — k2,
l2j2-kx a + b к±
= 1 a 2j2-k2 b + k2 j. (19.12)
Xb + k-L k2 a + 2j2-k1 — k2
Это равенство получается перестановкой первых двух столбцов,
транспозицией и повторной перестановкой первых двух столбцов,
119

Нетрудно усмотреть, что правая часть формулы (19.12) может быть
получена из левой путем перестановки (кгк2). Это обстоятельство позволяет
любой коэффициент Вигнера вычислять по формуле (19.10), если только
обозначать
кх = max (j2 - т2, j2 - к),
k2 = mm(j2-m2, j2-k). (19.13)
Таким образом, коэффициент Вигнера может быть представлен в виде
(Л h ji + k \
)=A%(j1m1)BJ*(afb)> (19.14)
где величины в правой части имеют выражения
__!
^■а1^,) = (-1)л+тЧ(2Л+Л + *+1)(%+1)Г2. (19-15)
*UM)-(-i)* [ *~^h-k-k*\(^ ух
х [сР> *£> - (Ь + fc2)(1) (2/2 - fc^]^. (19.16)
При определенном значении параметра j2 необходимы формулы для
В-'* к (ауЪ) для значений
0^к2^к^и (19.17)
Такие формулы приводятся в приложении 1 доу2=5 включительно.
Величина A^i^m^ может быть легко вычислена по формуле (19.15).
Условие (19.12) позволяет сократить число приводимых формул в общем
примерно в пять раз по сравнению с полной таблицей формул (для всех
т2 и к). Приводимые в приложении 1 таблицы охватывают довольно большое
число коэффициентов Вигнера, так как при одном заданном значении
^остальные два параметра могут принимать много значений, составляющих с/2
триаду с целым периметром. Очевидно, что таблица приложения 1 легко может
быть продолжена до любых значений у2, так как В**к (а,Ь) очень просто
вычисляются по формуле (19.16). Этот процесс несравнимо проще вычислений,
-которые проводились различными авторами при составлении аналогичных
таблиц, собранных в приложении 2 [Ю.Л.В.60].
120

При всех численно заданных параметрах для табулирования
коэффициентов Вигнера очень удобна правая часть (18.22). В приложении 2
приводятся численные таблицы коэффициентов Вигнера, охватывающие
коэффициенты, для которых
jmax<6, Л+Л+Л<16. (19.18)
Рассмотрим еще выражения коэффициентов Вигнера при помощи
гипергеометрических рядов. Для этой цели воспользуемся связью между
гипергеометрическим рядом и квазибиномом. Пусть
12 «i 1 2 л3 '
v=ca)cm .с(1)Ж-1)ж-1).. .#-«. (19.19)
1 2 л3 1 2 я4 v '
Тогда
(U-V)M=UMn3+ni+1Fni+n2(-k, -d, -с2, ..., -с„3,
rfi+1, <4+1, ..., */Я4+1; лх —fc+l,.e2-^+b ••» аЯх — А: + 1,
-*!-*, -ft2-fc, ..., -*„.-*; (-1)*+*). (19.20)
Здесь предполагается, что k^aif bj. Подобная формула может быть
получена для переставленных параметров U и V, если использовать равенство
(U-V)M = (-l)k(V-UYk\ (19.21)
Таким образом, квазибином может быть выражен при помощи двух
отличающихся по виду гипергеометрических рядов. Приведем некоторые
выражения коэффициентов Вигнера. В [R. 55] для коэффициента Клебша—Гордана
получено выражение, при помощи (18.1) переходящее в
\ mi т2 wis /
ХГ (Л+У«—Л)! Ui-J2+hV- (A-"h)! (Л + mJl "]2
I (-Л +Л +7з) •' (Л +Л +Уз + 1)! (7*1 + т2)! (Л + т2)! (у, - /и2) (у3 - w3)! J
(/s+y'i + wjl
(Л
х 'y'-yl + mJT 3^2 (-7*1 ""7'2 ""-J'3' -7'1"" Wl + 1' "-7*3 + m*;
Л-72 + ^3+ 1, -h-h-mi\ 1). (19.22)
121

Эта формула получается из (19.2), если согласно (19.46) подставить
«13 = "Л +J2 +Л.
U=(h + m3)V(j1 + miy-»,
V=Uz-m3)^{h-mi)^\ (19.23)
Приведем еще формулу, получаемую при подстановке согласно (19.4а)
значений
#1з =7i +72~~ Уз>
U=Ui + m1)a4J2-m2n
К=(Л-т1)(1>(у2 + т2)«>. (19.24)
В этом случае получается формула
/Л к 7з \ m +m 0)(-iy^--*-x
\т1 т2 т3/
х Г (-Л+Л+Уз)! (Л-Л+Л)^ (7i + ^i)i Ц2-пг2)\ (y3 + m3)! (у,-/я,)! 1
L (Л +Л -Уз)! (Л +Л +Л + 1)! (Л - "h)! (Л + mt)\ J
3F2(-Ji~J2+U -ji + ™i> -к-ГП2\
Jz-J2 + "h+l, Л-Л->"2+1; 1). (19.25)
Симметрия гипергеометрического ряда позволяет получить некоторые
из свойств симметрии коэффициентов Вигнера (18.2) — (18.6) и (18.21), так
как гипер геометрический ряд ZF2 может быть записан двенадцатью
различными способами: могут быть любым образом переставлены первые три
параметра, а также остальные два. В зависимости от вида гипер геометрического
ряда получаются различные свойства симметрии. Например, если в (19.25)
переставить в гипер геометрической функции первые два параметра, то
получается свойство симметрии (18.216). При других перестановках в (19.25)
получаются свойства симметрии Редже и обычные свойства симметрии.
Если же использовать другой вид гипер геометрической функции,
получаются также свойства симметрии зеркального отражения. Например, если
122

в гипергеометрическом ряде в (19.22) переставить второй параметр с третьим
и четвертый с пятым, то получаем соотношение
/Л к ^з\ / Л к к \
\т1 т2 т3/ \ -т3 -т2 -т1 /
Это соотношение совпадает с (18.5), если учесть (18.2) и (18.3). При
перестановке других параметров в (19.22), а также при использовании других
видов гипер геометрических функций, могут быть получены и другие свойства
симметрии коэффициентов Вигнера. Однако для получения свойств
симметрии удобнее использовать суммы произведений факториалов, так как
гипергеометрические ряды обычно позволяют получить соотношения между
коэффициентами, получаемыми один из другого при последовательном
применении нескольких свойств симметрии, как это видно из (19.26).
20. Одновременное зеркальное отражение пространства
и системы координат. Обращение времени
В разделе 10 изложен вопрос о зеркальном отражении системы
координат и его сопоставление с подстановкой (10.1). Этот процесс не меняет знака
у составляющей. Однако всякое отыскание контрастандартных
составляющих неприводимых тензорных операторов связано с изменением знака
составляющей, что происходит в результате комплексного сопряжения от
стандартных составляющих. В случае векторов это выражено равенством
{3.11), в случае оператора сферической функции — (5.37), а в случае
оператора более общего типа — (8.21).
В случае собственных функций момента количества движения изменение
знака составляющей определяется равенством (10.3). Этот процесс в случае
собственных функций обычно называется обращением времени (ср., нпр.,
[£, 57]), так как изменение знака у т соответствует изменению знака
составляющей момента количества движения. В настоящем разделе мы приведем
интерпретацию контрастандартности и тем самым обращения времени на
основе зеркального отражения как системы координат (ср. раздел 10), так
и пространства [Ю.С.Б.65].
123

Обращаемся к рисунку 10Аг и отражаем пространство в плоскости ху.
Получаем картину, изображенную на 20Аг. Знак составляющей меняется;
это значит, что происходит замена
т
т— — т.
(20.1)
Однако квантовое число у не потерпело никакого изменения, так как
система координат была правой и такой осталась. Пишем т вместо —т для
указания, что осуществилось отражение пространства.
20А
п
20L
ъ,
Далее осуществим отражение системы координат в той же плоскости.
Получим ™BX. На основании сказанного в разделе 10 последняя процедура
не меняет составляющей, но меняет j на j.
Очевидно, что 20ВХ может быть непосредственно получено из 10Вг
отражением пространства в плоскости ху. Это даст только другой порядок
изменения j и т на j и т. Если взять 1{*Аг и осуществить одновременное
отражение системы координат и пространства, то произойдет также и одновременное
указанное изменение квантовых чисел.
124

На основании сказанного выше картина, изображенная на 20ВЪ
представляет собой волновую функцию
Vm\ = \jm]* = \jm]. (20.2)
Это равенство есть не что иное, как (10.4). Таким образом, 10А1 изображает
\jm], a «I?! - \]т].
Ввиду того, что составляющие неприводимого тензора ведут себя
таким же образом относительно преобразования системы координат или
пространства, как и собственные функции момента количества движения
(базис представления группы вращения пространства), можно утверждать,
что переход от стандартных составляющих тензора к контрастандартным
составляющим осуществляется одновременным отражением пространства
и системы координат в плоскости ху. Это представляет несколько иную
интерпретацию контрастандартности по сравнению с вращением координат
на угол 7г вокруг оси оу, о чем шла речь в разделе 3.
Инвариант, выражаемый скалярным произведением двух тензоров
одинакового ранга, может быть представлен так
(jw £/(*)) = £ тФ 1/ю = ^ Г<*> £/<*>. (20.3)
Я Q
Это может быть интерпретировано как взаимная компенсация верхней части
1Ы1 и нижней части 20Bl9 которые полностью симметричны между собой.
Во всех случаях, когда ищутся инварианты в виде интегралов, также
берутся произведения стандартных и контрастандартных базисных функций*
Возьмем интеграл от квадрата модуля функции двух связанных моментов
Можно писать
[hhjm \jjjm] = ff \jjjm]* \jJ2jm] dxx dx2 =
= / / \J1J2Jm] \j\J2Jm] dxx dx2. (20.4)
Здесь векторные сложения моментов следующие:
\Шт}=%\% Jl J-]\J1m1]\hfn,l (20.5а)
125

\j\J2Jm]=Z \Jl Jl Jm]\j1m1]\j2m2]. (20.56)
(20.6)
В силу (13.3) и (17.1) имеем
Г л к j_ 1=Г a a J 1
L mx m2 m J [_ mi m* m J
Этот результат является основанием того, что сложение моментов под
звездочкой осуществляется таким же образом, как и без звездочек.
Сложение моментов, осуществляемое при помощи коэффициента Клеб-
ша—Гордана правой части (20.6), изображено диаграммой 2М2, а левой
части — 202?2. Они относятся к рисункам 10Аг и 20BV С другой стороны, вектор-
ГА A j_ 1 = Гл к I 1
L тг т2 т \ L mi т2 ™ J
(20.7)
20м
ные сложения 20А3 и 20BZ также соответствуют рисункам 20Аг и 20BV Их
коэффициенты Клебша—Гордана согласно (13.3) и (17.1) также равны друг
другу, именно,
п h к
тг т2
Как видим, равенство коэффициентов Клебша—Гордана имеет место
только тогда, когда пространства и системы координат являются
зеркальными отражениями друг друга относительно плоскости неопределенных
составляющих моментов количества движения. Это зеркальное отражение
выражается противоположностью линий в парах диаграмм 20АВ2, с одной
стороны, и 20ABZy с другой.
Возьмем случай, когда одни моменты полностью отражены (вместе с
системой координат), а другие — нет, и покажем способ получения соотно-
126

шений между соответствующими коэффициентами Клебша—Гор дана. Пусть
имеются векторные сложения 20АВА. На основании сказанного выше имеем
следующее равенство:
Г Л J к 1 = Г А 7_ Л 1 (208
[_ тг т т2 J L mi т mz J
Подобным же образом получаем равенство
It к jl 1 = ГУ jl к 1. (20.9
L m /w2 mx J L m m2 m1 J
Коэффициенты Клебша—Гор дана (20.8), умно
"Я гн
женные на [(2/+1)/(2/2+1)] , дают обыкновенныйко эффициент Клебша—Гор-
дана, именно,
1
Г Л к J ] Г 2/+1 IT Г Л У Л 1
l_ /Wj m2 m J L 2y2+l J L ^! m /w2 J'
Г 2y+l ^ Г A {_ Л "I
I 2y2+l J L m1 m m2 J
(20.10a)
(20.106)
Для доказательства первого из этих равенств следует только переставить
второй и третий столбцы, согласно (13.2в), поменять знаки всех
составляющих согласно (13.3) и снять черточку с jl9 согласно (17.9а). Подобным
образом показывается и второе из приведенных равенств.
Таким же образом из (20.9) получаем
Jl 72
тх т
J Т Г 3/+1 "рГ J_ к J\ 1
г т J L 2/1+1 J L т тг т1 J'
Г 2/+1 17 Г 7 к к 1
I 2/i +1 J L т т2 mi J
(20.11а)
(20.116)
Очевидно, что последние формулы выражают свойства симметрии,
подобные свойствам (13.2). Однако в данном случае перестановочные свойства
симметрии своеобразным образом налагаются на свойства симметрии
зеркального отражения. Как видно, объединение свойств симметрии зеркаль-
127

ного отражения с перестановочными свойствами помогает избегать
фазовых множителей соответствующих равенств.
Следует отметить, что можно снимать черточки с моментов и их
составляющих независимо друг от друга. Например, перестановка двух последних
столбцов в правой части (20.106) снимает черточки с т и ш2, так как
удобнее писать т и тъ нежели — т и — т2, хотя геометрическая интерпретация
не одна и та же. Указанная перестановка, кроме уничтожения множителя
перед коэффициентом, дает еще фазовый множитель минус единицу в степени
Ji—mi- Дальнейшее снятие черточек cj2 и j этот множитель уничтожает. Это
значит, что появится такой же фазовый множитель. Это позволяет написать
Г Л Л / ]=(_!),,-», ГЛ h j 1 (20.12)
Таким образом, изложенное может служить также и методом нахождения
фазовых соотношений при зеркальном отражении системы координат.
При операциях с коэффициентами Клебша—Гордана неудобно
рассматривать пространства в отраженном виде, хотя контрастандартность сама в
действительности представляет собой отражение пространства (или самого
момента). Однако равенство (20.7) помогает избегать коэффициентов
Клебша—Гордана, связывающих моменты в отраженном пространстве и
отраженной системе координат. Поэтому, как уже упоминалось выше, все действия
ведутся с моментами в неотраженном пространстве. С другой стороны, как
видели в разделах 17—19, зеркальное отражение системы координат,
обозначаемое накладыванием черточек на квантовые числа типа j, очень полезно
в практическом отношении, так как оно позволяет получить добавочные
соотношения, способствующие упрощению расчетов.

ГЛАВА III
3/2/-КОЭФФИЦИЕНТЫ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИЧЕСКОЕ
ИЗОБРАЖЕНИЕ
Настоящая глава посвящена изучению инвариантов, называемых
Згу-коэффициентами. Они являются симметричными частями, выделяемыми
из матриц преобразования волновых функций связанных моментов. Зп
представляет число параметров в данном инварианте. Число связываемых
моментов п + 1. Один из моментов является результирующим, а остальные 2и—2
параметра представляют собою промежуточные моменты.
Зл/-коэффициенты могут быть выражены суммами произведений 2п
коэффициентов Вигнера, которые, как видно из предыдущей главы,
являются симметричными частями коэффициентов Клебша—Гор дана, суммами
произведений которых являются матрицы преобразования.
Однако в этой главе не будут рассматриваться выражения для Злу-коэф-
фициентов через суммы произведений коэффициентов Вигнера, за
исключением, может быть, самых простых из этих инвариантов, которыми
являются 6/-коэффициенты и в некотором отношении 9/-коэффициенты. Все
остальные коэффициенты (начиная от 12/-коэффициентов) будем определять как
суммы произведений более низких Згу-коэффициентов, среди которых
главное место занимают 6/-коэффициенты, поскольку суммами их произведений
могут быть выражены все Зл/'-коэффициенты, независимо от числа
параметров.
Для всех 3nj-коэффициентов, до п=6 включительно, приведем
определения, свойства симметрии и всевозможные их диаграммы в виде 2я-уголь-
ников, за исключением одного из 15/-коэффициентов, который не может
быть изображен 10-угольником. Диаграммы Зл/'-коэффициентов будем
строить дуальным образом по сравнению с изображением векторного сложения
моментов. Это значит, что треугольник векторного сложения в диаграмме
Зл/'-коэффициента будет изображен узлом. При этом линии будут использо-
129

ваться не направленные (без стрелок), а узлам будут присвоены знаки плюс
или минус, согласно расположению моментов в соответствующем
коэффициенте Вигнера.
6/-коэффициентам посвящаются три первых раздела настоящей главы.
Как самые простые, они наиболее изучены во всех отношениях. В первом
разделе (21) дается определение 6/-коэффициентов, исходя из матриц
преобразования волновых функций трех связанных моментов, а также
приводятся некоторые их свойства и обозначения. Во втором разделе (22)
приводятся всевозможные виды выражения для коэффициентов через одинарные
суммы выражений, составленных из факториалов от линейных комбинаций
параметров, а также свойства как обыкновенной симметрии, так и симметрии
зеркального отражения. В третьем разделе (23) рассматриваются способы
численного определения 6/-коэффициентов.
Следующие два раздела (24 и 25) посвящены 9/-коэффициентам. В
первом из них даются определения и свойства симметрии, включая симметрию
зеркального отражения. Второй посвящен приведению некоторых формул,
полезных для численного определения 9/-коэффициентов при всех численно
заданных параметрах или для получения алгебраических формул без
суммирования при некоторых численно заданных параметрах.
Шестой раздел (26) посвящен рассмотрению 3nj-коэффициентов,
выраженных одинарными суммами произведений 6/-коэффициентов, в общем
и 12/-коэффициентов, в частности. Следующие два раздела (27 и 28)
посвящены 15/- и 18/-коэффициентам, соответственно.
В девятом разделе (29) рассмотрены определения некоторых 21у-, 24/-
и 27/-коэффициентов и приведены все 84 21у-коэффициента, задаваемые
диагоналями одного из возможных 14-угольников.
Последний раздел (30) посвящен изложению алгебраического и
графического методов получения свойств симметрии зеркального отражения для
любого коэффициента. Кроме того, в нем приводятся некоторые более часто
встречаемые свойства симметрии отражения для 12/- и 18/-коэффициентов.
21. Волновые функции трех связанных моментов
и их преобразование. 6/-коэффициенты
Первым шагом на пути к обобщению математического аппарата
векторного сложения моментов является сложение трех моментов количества дви-
t30

жеиия jlt j2i j3 в полный моменту. Это — задача отыскания собственной
функции операторов /2 и jzy где
JHi+J2+J3, (21.1а)
Jz=Jiz+J2Z+J*2, (21.16)
при наличии собственных функций операторов у?, jiz (/=1,2,3)- Собственную
функцию операторов Д9 j\, Д, jlzy j2z1 j3z обозначим следующим образом:
\JiJ2Jz Щ ™г т3] = \j\ mj \j2 т2] \j3 mz]. (21.2)
Операторы (21.1) не составляют полного набора коммутирующих
операторов даже в таком случае, когда jf, jiz (/=1,2,3) полностью описывают
соответствующую систему. Поэтому должна быть присоединена
дополнительная характеристика для полного описания системы. Физической
основой этой характеристики является величина связи между двумя из трех
рассматриваемых моментов. Математически это выражается
первоочередным сложением этих двух моментов в результирующий момент и
требованием, чтобы волновая функция была собственной функцией jik , где
ji + j*=fo- (21.1 в)
Ввиду того, что имеются три случая^, могут быть три различные
дополнительные характеристики у, именно, j12, jlz иу23, не говоря о перестановке
значков ik в jik. jik будем называть промежуточным моментом.
Собственную функцию операторов
Jb Jh Jh Jfk> J2y Jz (21.3)
будем называть функцией трех связанных моментов (ср. [Ю.Л.В. 60]). Она
может быть выражена через функции (21.2) следующим образом:
\JiJ2hJikM= ^ \JiJ2hm1m2m3]\ ' * * . (21.4)
*-' l mi m2 тз m J/.f
mi m, m3 Jik
Второй множитель под знаком суммы в правой части представляет собой
коэффициент Клебша—Гор дана, обобщенный на случай трех связываемых
моментов. Он может быть выражен через обыкновенные коэффициенты
Клебша—Гордана.
13t

Применяя два раза формулу (11.8) для последовательного сложения
j/+j*=k, te+j/ = j\ (21.5)
получим
\JiJ2JzJikM= 2 \JiJ2bm1m2mM ' * * '* ' I. (21.6)
^ L w,- тк mih J L "** mi w J
mx m2 ma т-к — -*
Сравнение (21.4) с (21.6) дает
[Л h h 3 Л _sr\ Ji Jfc J'ik "1 Г Jik J'1 J 1
m1 m2 ms m \j.~'£ [ mi mk Щк J L mik ™i m J
Суммирование в правой части этого равенства является чисто формальным,
так как согласно условию неисчезновения первого из коэффициентов Клеб-
ша—Гордана при заданных значениях ть тк составляющая
промежуточного момента mik может принимать лишь одно значение mt + mk.
Если обе части равенства (21.4) умножить на функцию, комплексно
сопряженную (21.2), и интегрировать по всем переменным, то получится
\ 1 1 L ™ =им'з^1ЩщииУзиМ1 (21.8)
L Mi т2 т3 т jjik
так как отдельные функции правой части (21.2) являются ортонормирован-
ными. С другой стороны, если (21.4) умножить на комплексно сопряженную
функцию связанных моментов с другим способом связывания и
интегрировать, то получится
UJJJbMUJJJmM- I [* * ^ Jm] х
тг т2 т3 'Р
3 1 • (21.9)
Л h Jz
т1 т2 т3
Функции связанных моментов являются собственными функциями
операторов (21.1а) и (21.16), независимо от (21.1в), поэтому неизчезновение
интеграла (21.9) требует равенства jm в обеих функциях. Больше того, инте-
132

грал (21.9) совсем не зависит от т, так как он независит от тъ т2, т3,
суммой которых является т. Это позволяет представить (21.9) в виде
иммиимшл-тъ-1 X [* hm% 1% Jm\x
тг *Пг "*3 т Ф
хГЛ к к j 1 , (21.10)
[_т1 т2 т3 т jj.k
так как дополнительное суммирование по т дает 2/+1 равных друг другу
членов.
Если в (21.9) или (21.10) /=/, р = к, то j)p=jik9 так как в противном случае
интеграл равнялся бы нулю в силу ортогональности функций,
являющихся собственными функциями операторов jf, j\, jfk и jikz. Нормированность
функций тогда дает
у гл к к / -I гл к к j I =4rikJik)4rm>JmU2{AX)
mx «J гпъ iK lK
Если же использовать (21.10), то получится эквивалентное соотношение
у Г Л к к У "I Г Л к к j 1
^ \_m1 m2 mz т \уЛт1 т2 т3 ш] "
mi т2 т3 т 1К 1К
= (2/>l)S(^,7/,)S(/,7). (21.12)
Обобщенный коэффициент Клебша—Гор дана представляет собой
элемент матрицы, с помощью которой волновая функция связанных моментов
выражается через функции (21.2). Строки этой матрицы нумеруются m-jn^m^
а столбцы — jikjtn. Матрица унитарна, так как преобразуемые функции ор-
тонормированы. Выражение унитарности по столбцам представляется
формулой (21.11), а по строкам оно выглядит так
У , , , =8(и21/и2/Из, т[т2гп'3). (21.13)
jifcjm lK lK
Интеграл (21.9) является инвариантом относительно вращения
трехмерного пространства. Этот инвариант при /=/ и р = к, как можно было видеть,
133

представляет единичную матрицу. Если хоть одно из равенств /=* и р = к
не удовлетворяется, то (21.9) является матрицей преобразования между
характеристиками jikjm и j)pjm. Эта матрица диагональна относительно jm
и не зависит от т.
Из вышесказанного следует, что
\JlJ2J3JikJfn] = ^ \hJ2JdlpM UlJ2J3JlpJ \JlJ2J3JikJl (21.14)
jiP
В рассматриваемом случае трех связываемых моментов дополнительная
характеристика может быть задана перестановкой
/ 1 2 3 \
'--(i * /) (2ы5)
значков при слагаемых моментах. Предполагаем, что Pli3 означает, что в
(21.1в)
Ji + j2=ji2, (21Л6а)
■* 321
J3+J2=J32 (21Л66)
и Р132 —
Ji+J3=Ji3. (21.16в)
Если далее переставлять значки в символе yl7c во всех трех равенствах (21.16),
то получается все перестановки из трех элементов (их число равно 6).
Однако эти перестановки изменят лишь порядок сложения двух моментов, что
повлечет за собой перестановку первых двух столбцов в первом из
коэффициентов Клебша—Гор дана правой части равенства (21.7). Согласно (13.26),
при этом появляется фазовый множитель—1 в степени ji+jk—jik. С другой
стороны, перестановка, связанная с переходом от одного равенства (21.16)
к другому, влечет за собой изменение распределения моментов в
коэффициентах Клебша—Гор дана в правой части (21.7).
В первую очередь рассмотрим более подробно преобразование между
характеристиками Р123 и Р321. Из (21.7) и (21.10) получаем
[j\J2Ji2JsJ\JzJ2Js2JiJ]= У (2/+1)"1 * * Г Г 1 ™ х
*-* I тг т2 т12 I I т12 тъ т \
тх тг тг
wia тъг т
I Уз h 7з2 J Г 7з2 Л J
L Щ т2 mZ2 J L ^32 mi т
(21.17)
134

Введем обозначение:
It t f2} = (-1)w[(2/u+l)(2yM+l)f2(2/+l)-i £
l УЗ У 732 J
/Hi /wa /я3
[Л Л Ум J Г Ji2 Уз У "1 Г Уз У 2 Уз2 I Г Уз2 ji У | /91 io\
тх т2 т12 ][_ т12 ms /w J[ w3 m2 тЪ2 J [_ ^зг mx m \
Тогда (21.17) принимает вид
l Уз У Узг J
Величину (21.18) будем называть бу'-коэффициентом (ср. [Ю.Л.В. 60]).
Остальные употребляемые названия и обозначения этой величины приводятся в
конце настоящего раздела.
Возьмем далее матрицу преобразования между характеристиками
(21.16а) и (21.16в). Согласно (21.7), имеем
[JiJ2Ji2J3J\JJzJi3J2J]== У (2У+1)"1 * * '2
*-* [_ ml т2 т\2 J
X
/Mi ГПх /Из
[Ji2 Уз УJ Г y"i Уз У\з J Г У13 У 2 ^| /о1 пг\\
т12 тъ т J [_ т1 тъ тхг ][_ т13 т2 т J
Применение свойств симметрии коэффициентов Клебша—Гор дана (13.2)
позволяет последнее выражение представить в виде
UiMi*hj\j\hj\zJ2J] = (-i)h-J^^^ 2 \ t t 3Z г
L mi m2 m\2 J
Wi m2 m3
Will w13 "*
[У12 У Уз J Г У У2 У13 I Г У13 У1 Уз I /о1 9П
w12 -m -m3 J L "m m2 -Wi3jL-"wi3 wi -w3j*
Изменение знаков минус при параметрах суммирования на плюс не влияет
на результат. Поэтому (21.18) позволяет формуле (21.21) придать вид
1У1ЛЛ*/»У1ЛУ^1зЛ;]-(-1)л+л+л'+у-[(2Л1+1)(2/и+1)]Т|t f f}- (21-22)
I У Уз У13 J
135

Нетрудно заметить, что переобразование между (21.166) и (21.16в)
осуществляется матрицей, имеющей следующее выражение:
I J2 J У32 )
Отсюда видно, что (21.23) отличается от (21.19) лишь перестановкой у2, у3,
что влечет за собой соответствующее изменение в фазовом множителе.
В обозначениях матрицы преобразования, начиная с формулы (21.17),
промежуточный момент пишется непосредственно после слагаемых
моментов. Это бывает особенно необходимо, когда по символам нельзя установить,
какие моменты являются слагаемыми, а какие — промежуточными.
Например, написание abcde условно обозначает, что с — промежуточный момент,
являющийся результатом сложения моментов а и Ь, к которому
добавляется d и получается полный момент е. Вид написания аЪ и cd означает, что
к первому из моментов добавляется второй; в противном случае следовало
бы писать Ъа и dc. Если первых два момента складываются как ab, а вторые —
как dc, то пишется d,abc. Иногда для выделения промежуточного момента
вводятся скобки. Например, ab(c) означает, что пара моментов а и b
являются слагаемыми, а с — результат этого сложения, промежуточный момент.
Следует отметить, что величина полного момента не зависит от порядка
сложения, однако волновая функция отличается фазовым множителем, что
влечет за собой соответствующее изменение и в матрице преобразования, как
это имело место в случае (21.23). Это имеет место и в случае промежуточных
моментов. Поэтому вместо jkl можно писать jlk. Обычно значки
промежуточных моментов пишутся в порядке их возрастания. Например, вместо Уз7Уз2
пишетсяУзЛЛз- Тем не менее, сохранение порядка значков удобно в тех
простых случаях, когда значки позволяют опустить запись в явном виде тех
моментов, результатом сложения которых является этот промежуточный
момент. В этом отношении у32 может быть использован как j3j2j32-
Унитарность матрицы преобразования дает
^ UlJ2Jl2J3J \JZJ2J32JJ] [JlJ2h2bJ \JSJ2JS2JJ] = § 0*12» j'li)- (21 .24)
Уз 2
(21.19) далее дает
2>+1>{, с Л\Л с ,}-<2е+1)-*(е,0. (21-25)
136

Если одну матрицу выразить через произведение двух других, то легко
получится следующее выражение:
_ [abe\\ade'\[abe\
£ (2х+1) (-!)•—, с Х\\Ь е х\~\с d Л-(2126)
X
С помощью матриц преобразования волновых функций четырех
связанных моментов получается следующее соотношение:
^ f а х а' \ [ Ь х Ъ' \ [ с х с' \
={:»:}{:■ *•:■}•
9 = х + а + Р + у + л + й + с + а' + Ь/ + с/,
которое получило название тождества Биденхарна. Оно получено Биденхар-
ном [В. 53] и Эллиотом [Е. 53].
Получим две формулы, связывающие коэффициенты Клебша—Гор дана
и 6/-коэффициенты. Для этой цели представим (21.14) в виде
\jsJ2J32JlM] = £ \JlJ2Jl2bM] [JlJ2Jl2J3J \j3J2JzJlJl (2 1 '28)
Волновые функции обеих частей разлагаем по (21.6) и приравниваем
множители при одинаковых волновых функциях \ш2]ьт1т2тз\- Таким образом
получаем следующее соотношение:
Г Л Л У-ТГЛ. A J 1= V [(2,-12+l)(2/32+l)f(-l)^x
L т3 т2 m32]\_m3i тг т J ^ LW12 /yj32 п у '
[Л Л Л.1ГЛ к Л. 1ГЛ2 Л У "I
IЛ 7 7з2 I L ™i w2 w12 J L ^12 m3 m J
Здесь матрица преобразования выражена через 6/-коэффициент согласно
(21.19). Как и в формуле (21.7), здесь суммирование по т12 является
формальным.
137

Умножаем обе части формулы (21.29) на коэффициент Клебша — Гор дана
ГА к fi2 1
L тх т2 т[2 J
и суммируем по m-jn* Это дает второе соотношение
[(2/12+ 1) (Я/м+ 1)]*(- 1)* ( к h J)2 \ Г Jl2 h j 1 =
_ у Г Л Уг У12 | Г Уз Л У32 J Г 7з2 Ji 7 1 ,~. ™
тхт.тз, L т1 ™2 ™12 J L ™3 ™2 Ш32 J I ГП32 Ш1 Ш ]'
Здесь суммирование поу12 отпадает согласно (11.18) (свойство унитарности)
вместе с двумя коэффициентами Клебша—Гор дана. В правой части (21.30)
суммирование фактически происходит лишь по одному параметру, например
т19 так как остальные два выражаются через т1 следующим образом:
т2 = т12-т1у тЪ2 = т-тх. (21.31)
Формулы (21.29) и (21.30) могут быть переписаны для коэффициентов
Вигнера вместо коэффициентов Клебша—Гор дана, согласно (18.1). 6/-коэф-
фициент с помощью (18.1) может быть представлен в виде
{а Ъ е \ ^ Iа Ъ е\
8еф
/е d с\ Id Ъ А // а с\
В заключение данного раздела приведем сводку разных обозначений и
определений 6/-коэффициента. Используемое нами определение и
обозначение берет свое начало в работе Вигнера [W. 51]. Раках [R. 42], который
впервые ввел соответствующий инвариант, назвал его функцией W; она с б/'-ко-
эффициентом связана соотношением
\а Ъ е]
•.(-l)a+b+c+dW(abcd;ef). (21.33)
Iм <- J )
138

Эта величина обыкновенно называется Ж-функцией, или коэффициентом
Ракаха. Она не обладает такой симметрией, как левая часть (21.33).
Ян [/. 51], а также Бойс и Сани [B.S. 54] используют самое матрицу
преобразования. Первый из них берет матрицу (21.22) и обозначает
[JJ2J12J3J \JiJJi*J2J] = U{jihhJ\ У12Л3), (21.34)
а вторые - матрицу (21.19)
[JiJ2Ji2J3J\hJ2Jz2JJ]=U ( * 2 3 ). (21.35)
\ J12 У32 /
Фано и Раках [F.R. 59] пользуются такой же величиной, как и (21.18),
однако обозначают по-иному. Левая часть (21.29) записывается ими так:
„ /а Ь е\ _
W(d ) или Wipbefdcf). (21.36)
Биденхарн и др. [B.B.R. 52] ввели величину
Z{abcd\ef) ==if~a+c[(2a+ 1) (2b+ 1) (2с+ 1) (2d+ l)]2 x
xW(abcd,ef)[a0 *Q fQ ], (21.37)
которая появляется в задачах, связанных с угловым распределением.
Условия неисчезновения Z-коэффициента такие же, как и 6/-коэффициен-
та, за исключением того факта, что дополнительно требуется четность суммы
параметров, входящих в коэффициент Клебша—Гор дана.
22. Выражения для 6/-коэффициентов и их свойства
симметрии
Вначале приведем все известные формулы для 6>коэффициентов.
{ | = Ь(аЬе) H(acf) Д(сЛ) Mpdf) х
х V (-О*(*+Щ /22 1а)
А Li (z-a-b-e)\ (z-a-c-f)l (z-c-d-e)l (z-b-d-f)\x ' V"-ia7
2 (a + b + c + d-z)\ (a + d+e+f-z)\ (b + c + e+f-z)\
139

= (- \)a+b+c+dщаЬё) ^{acf) A(cde) A(bdf) x
(a + C+f+l)\ (b + d+f+l)\
(a + b-e)\ (a-b + e)\ (-a + c+f)\ (c + d-e)\ (-c+d+e)\ (b-d+f)\ X
v V (~ Oz (c+/-g+z)l (*+/-</+z)! (g + d+e-f-z)\ m «^
x ^ z! (e + c-/-z)! (6 + </-/-z)! (e+/-e-</+z)! (2/+l+z)P ^-'"J
= (_ 1)Ь+с+е+/Д(а6в) Д(лс/) ДИ Д(*40 х
(<* + & + *+!)! (& + </+/+!)!
(e + ft-e)! (л-с+/)! (-e + c+Z)! (b + d-f)\ (c-d+e)\ (-c + d+e)\
у (-\)z(2b-z)\ (b + e+f-c-z)\ (b + c + e+f+l-z)\
< h z\ (b + e-a-z)\ (b+f-d-z)\ (a + b + e+\-z)\ (b + d+f+\-z)\ '
(22.1b)
_ /_ ]\a + d+e+f, А(ДС/) A(bdf)
~K l) A(abe)A(cde)
v у (-1)* (b + e-a + z)\ (c+e-d+z)\ (a + d+f-e-z)\ m } ,
x^ z! (a+/-c-z)! (d+f-b-z)\ (b + c-a-d+z)\ (b + c + e-f+l+z)\ ' \**-il)
-(-\\a+d+e+f _4cibe)A{bdf)_
V Ч A(acf)A{cde)
(-\)z (a + c+d-b-z)\ (a + e+f-d-z)l (a+d+e+f+ 1 -z)!
z! (e + e-A-z)! (</+/-6-z)! (e + c+Z+1-z)! (c + rf+e+1-z)! "
(22.1д)
Первая из приведенных формул впервые получена Ракахом в [R. 42],
следующие две получены в [Б.Ж.М.Ю. 64], а две последние могут быть
получены преобразованием первых трех или подобно второй и третьей.
При получении формулы (22.1а) в [R. 42] использовалось определение
6/-коэффициента (21.32). Суммирование проводилось с помощью формул
(14.2)—(14.5). Этот процесс довольно сложен. Другой метод получения
формул для 6/-коэффициентов предложен Вигнером [W. 59]. Этим методом, как
более простым, воспользуемся и мы. Более подробно укажем получение
формулы (22.1а), придерживаясь способа ее вывода, изложенного в работе [Б.Ж.
М.Ю. 64].
140

Согласно методу Вигнера, 6/-коэффициент при помощи (21.30)
представим в виде
U * /}"<",)"IC,'+1)W+in4L'»'Sx
"5[" */•][» Р ПС " г]' (222)
Ввиду того, что левая часть этой формулы не зависит от у, $, е, не
ограничивая общности, можем положить
у = с, г = е, 8 = с-е, (22.3)
причем последнее равенство следует из условия неисчезновения
коэффициента Клебша — Гордана. При таком выборе параметров три из коэффициентов
Клебша — Гор дана в (22.2) можно выразить при помощи формулы (15.23),
если предварительно использовать симметрию коэффициентов Клебша —
Гордана. Тогда для 6/-коэффициента получаем
ia Ъ е 1 +f {c+d+e+l)} (a+b_e)i
\d с /J [ (a + b + e+\)\(a + c+f+l)\
l
(a+/-c)! (c+e-d)\ |1
(a + e-b)\ (b + e-a)\ (a + c-f)\ (c+f-a)\ (2/+1)
l
f
v Г (c+f-a)\(b+e-*)\ IT (a+a)l Г d b f Л ,„„ ,,
XZi L(_c+/+a)!(6-e + a)!j («-«)![_ C-e e-a C-aJ' K '
a
Вупоследней формуле учтено, что при условиях (22.3)
Р = е-а, ф = с-а. (22.5)
Подставляем в (22.4) выражение для коэффициента Клебша—Гордана
согласно (13.1а). Тогда
(а Ъ е\
{ [ = (- 1)«+с+/ Д (обе) Д (яс/) Д (6#) Д (cde) х
(с + ^+е+1)!
Х (a + e-b)\(b + e-a)\(a + c-f)\(c+f-a)\ *
у {-1)*(а + л)\(с+/-л)\ф + е-л)\
*Zi (e-a)lz!(A + rf-/-2)!(</+e-c-z)!(^ + e-a-z)!' 1 '
(c+/-6-e + z)! (f-d-e + 0L + z)\
141

Методом, использованным в разделе 14 для преобразования формул для
коэффициентов Клебша —Гор дана, преобразуем сумму по а. Имеем
у (a + а)! (с+/-а)1 (fr + g-а)! =
2л (f-d-e+a + z)\ (b + e-oi-z)\ (f-d-e + oi + z)\
а
= у (а+х)\ (Ь + е-к)\ (-!)*-< (c+f-t)\
2л (f-d-e + z+0L)\ (s-u)\ (t-s)\ (a-t)\ (b + e-z-t)\
ccst
= V (-l)s (a + b + e+\)l (c+f-a)\ (b + e-s)\ (a + d+e-f-z)\ (c+f-b-e + z)\ .9974
~2д (f-d-e + s + z)\ (a + b + d-f+2e+\-s-z)\ (a-s)\ (b + e-s-z)\ \ZZJ)
s (c + f-a-b-e + s + z)\
Далее, вместо s подставляем новый параметр суммирования u=s + z и
преобразуем сумму по z. Получаем
(-1)* (a + d+e-f-z)\ (b + e-u + z)\ _
у {-i)z{a + d+e-f-z)
2-х z\(a-u + z)\(b + d-f-
(a-u + z)\ (b + d-f-z)\ (d+e-c-z)\
(-\)z (b + e-u + z)\ (-l)r+< {a + d+e-f-t)\
i-u + z)\ (r-z)\ (/-#•)! (b + d-f-t)\ (d+e-c-
(~l)r (a + e-b) ! (b + e-a)\ (a + c-f)\ (b + e-u)\
ST {~\y {a + e-b) \{b + e-a)\ (a + c-j)\ {b + e-u)\ /«« m
2л r\ (a-u + r)\ (b + e-a-r)\ (b + d-f-r)\ (d+e-c-r)\ (a + c-b-d+r)V Vzzo'
r
Если (22.7) и (22.8) подставить в (22.6), осуществить суммирование по и
согласно формуле (14.2) и заменить г новым параметром суммирования
z=r + a + c+f, то получится формула (22.1а).
Для получения формулы (22.16) коэффициент Клебша—Гор дана в (22.4)
следует выразить по формуле (13.16). При этом получаем
{ й в\ = ( - \)a + d+e+f Д (аЪё) Д faf) Д (М/) Д (Щ х
(c + d+e+\)\
Х (а + е-Ь)\ (Ь + е-а)\ (a + c-f)\ (c+f-d)\ (b + d-f)\ (b+f-d)l (c+d-e)\ X
v V (-l)z (g + «)l (c+/-a)! (c + d-e + z)\ (b-c + e+f-z)\ (C)C) Q.
X Lx (a-<x)\ z\ (f-c + OL-z)\ (d+e-c-z)\ (b + c-e-f+z)\ ' K^'*}
Если в этой формуле осуществить суммирование по а, согласно формуле
(14.5), то получится формула типа (22.16). Если же в (22.4) подставить
142

выражение для коэффициента Клебша—Гор дана (13.1в) со значениями
параметров j\=f, m1 = c—oifJ2=bf m2=— е+а, j=d, т = с—еу то совершенно
аналогично получается формула типа (22.1в).
Подобным образом могут быть получены и остальные формулы, а также
может быть преобразована одна формула в другую, как и в случае
коэффициентов Клебша—Гор дана.
По своему виду наиболее симметричной является формула (22.1а).
Эта формула очень удобна для получения свойств симметрии
6/-коэффициентов, которые можно представить в виде
{itthilllHl Hi <22io>
Это значит, что любая перестановка столбцов не меняет значения
коэффициента. Кроме того, два параметра верхней строки могут быть переставлены
одновременно с соответствующими параметрами нижней строки. Все это
дает 24 свойства симметрии 6/-коэффициентов.
Эти же свойства могут быть получены из (21.32) при помощи свойств
симметрии коэффициентов Вигнера. Перестановочные свойства (22.10)
впервые получены в работе Ракаха [R. 42], где введен соответствующий
инвариант (21.33). Как показал Редже [R. 59], кроме (22.10), существуют свойства
симметрии функционального типа, так как они не получаются путем
перемены местами параметров. Эти свойства получаются с помощью (22.1а) и
имеют вид
}а Ъ е \ [a s1 — c sx —f 1 J s2 — d b s2 —f \ \ sz — d sz — c e \
d с f \ \d sx — b 5*x — e \ \s2 — а с s2 — e) \s3 — a s3 — b f\
\s2-d s3-c sx-f 1 ls3-d s±-c s2-f\
~\ s2-a s3-b s1-e j~~\sz-a s1-b s2-e)'
Здесь s( представляет собою половину суммы всех параметров, за
исключением столбца I, а именно:
_ b+c+e+f _ a + d+e+f _ a + b + c + d ,Q0 «0ч
(22.10) и (22.11) вместе составляют 144 свойства симметрии б/-коэффи-
циента. (22.11) удобно использовать, когда величина st равна одному из
143

параметров, из которых она построена. В таком случае один из параметров
превращается в нуль, что облегчает вычисление такого коэффициента.
Например :
5 о 1
"2 6 "2
2 А
Z 2
1
2 А
Z 2
2 А
Z 2
О
(22.13)
что следует из первого равенства (22.11). Использование (22.11) в целях
уменьшения объема таблиц для 6/-коэффициентов нецелесообразно ввиду
того, что равенство коэффициентов, согласно этим свойствам, трудно
усмотреть.
В силу того, что 6/-коэффициент является суммой произведений
четырех коэффициентов Вигнера, шесть его параметров должны быть такими,
чтобы они составляли четыре триады. Распределение параметров по
триадам видно из треугольных коэффициентов в выражении для 6/-коэффициента:
каждый параметр входит в две триады. Это ясно из определения (21.18),
где каждая составляющая суммирования входит два раза. Если какое-нибудь
из условий треугольника не удовлетворяется, то такой 6/-коэффициент
исчезает, так как исчезает соответствующий коэффициент Вигнера. Это также
видно из выражения для 6/-коэффициента. В формулах (22.1) суммирование
производится по всем значениям z, для которых не появляются
факториалы от отрицательных чисел. Пусть, например, е>а+Ь. Тогда из (22.1а)
видно, что нельзя подобрать такого значения z, чтобы факториал от
отрицательного числа не появлялся.
В частном случае, когда один из треугольников 6/-коэффициента
растягивается в линию, т. е. когда один из параметров триады равен сумме
остальных двух, сумма в (22.1а) содержит лишь один член. Для такого 6/-коэф-
фициента получаем
lab a+b\
\d с f J
Ua+b+c+d n2a)\(2b)\(a + b + c + d+l)\
l(2a-' ' ^X
'==(-1)
J + 2b+\)l(c + d-a-b)
(a + b + c-d)\ (a + b + d-c)\ (c+f-a)\ (d+f-b)\
(a + c-f)\ (a+f-c)\ (a + c+/+l)! (b + d-f)\ (b+f-d)\ (b + d+f+
ITT]2' (22.14)
144

Особенно простой вид формула для 6/-коэффициентов принимает, если
один из параметров равен нулю:
\а Ъ е\ = ( l)*+»+< *(a9c)*(b,d)*(abe) {22щ
[(2я+1)(26+1)]Т
Эта формула является частным случаем формулы (22.14).
Как и в случае коэффициентов Клебша—Гор дана, две формулы
переходят соответственно в две другие при помощи преобразования симметрии
Редже. В данном случае таким преобразованием связаны формулы (22. 16) и
(22.1 г), с одной стороны, и (22.1в) и (22.1д), с другой. Это значит, что
(22.1 г) может быть получена из (21.16), а (22.1д) -из (22.1в). В первом
случае необходимо произвести подстановку
{а Ъ е \ [a sx — b s1 — e)
* с A-l I-* w). <22i6>
а во втором —
{а Ь е\ i s3 — a s* — b е]
Отметим, что суммирование в (22.1а) формально может проводиться по
значениям параметра z от — оо до + оо, так как сумма автоматически
обрывается. Однако, в случае остальных формул z должен принимать значения,
для которых не появляются факториалы от отрицательных чисел, так как в
противном случае применение (10.16) ведет к появлению еще одного
интервала значений z, дающего значение 6/-коэффициента с противоположным
знаком, как и в случае коэффициентов Клебша—Гор дана (ср. раздел 17).
6/-коэффициенты, как и коэффициенты Клебша—Гордана, обладают
свойствами симметрии зеркального отражения. Для них получаются
следующие фазовые соотношения [К. С. Б. В. Ю. 64]:
{а Ъ е \ [ a b е \
<./]--{?-.-,]- (22,8)
-'-"iS "с /}--<-1Г{з ' J}" ^-b+f-c-e) ,22.19)
145

-<-!>*{/ с /Ь"(-1)Ф^ "с /Ь <*-2e + M> (2220)
= 1("1)Ф'{^ с /} = /(~1)Ф,и \ /}= ^ = с + </+е + 2/)(22-21)
= /(-1)Ф'Ь с /} = /(_1)Ф,{^ г /}= <* = в + * + в> (22.22)
= (-1)*°{^ * *}• (ф3 = 2е + 2/+1) (22.23)
Фазовые множители в этих формулах с точностью до знака легко
получаются из формул (22.1). Точные знаки должны быть установлены отдельно.
Для этой цели необходимо получить формулу, не содержащую суммы. В
ряде случаев может быть использована формула (22.15). С ее помощью
знаки могут быть установлены в левых частях (22.19), (22.20) и (22.22) и в
правой части (22.21). Формула (22.18) легко получается при помощи матриц
преобразования. Для получения остальных свойств необходимо
использовать формулы, содержащие высшие Зл/-коэффициенты, о чем пойдет речь
в разделе 30. Для установления фазовых соотношений может быть также
использована формула (21.32) и соответствующие фазовые соотношения
для коэффициентов Вигнера, приведенные в разделе 18. Последний способ
проще, чем соответствующие операции с формулами (22.1).
Уместно отметить, что в формулах (22.18)—(22.23) показатели в
фазовых множителях следуют определенным правилам. Например, в (22.22)
показатель состоит из трех параметров (составляющих триаду), которые
остаются положительными. В (22.19) показатель составлен из тетряды
(двух столбцов). Очевидно, что в тех случаях, в которых в показателях
стоит 2я+2rf, последний может быть заменен любым столбцом.
Ввиду того, что в свойствах симметрии нормальных ^/'-коэффициентов
не появляются фазовые множители, эти свойства симметрии сохраняют
силу и в том случае, когда одни параметры задаются в одной (правой)
системе координат, а другие — в другой (левой).
146

Приведем еще шестую формулу для 6/-коэффициентов [К. С. Б. В. Ю. 64]:
(_1)> + «-е-/
| а Ъ е\
\d с /Г
Д (аЬе) Д (acf) Д (bdf) Д (cde)
(-1)г (a+b+c+d-z)\ (a+d+e+f-z)\ (b + c+e+f-z)\ (z-a-b-e-\)\ x
x V x(z-fl-c-/--l)! ,22 24,
Zi (z+i)\(b+d+f-z)\(c+d+e-z)\ ' У-^>
2
которая может быть получена из (22.1а) при подстановке (1.0.1)
относительно всех шести параметров. Она для вычислений непригодна, как и формула
(17.10) для коэффициентов Клебша—Гор дана.
Как и в случае коэффициентов Клебша—Гордана, формулы для 6/-коэф-
фициентов относительно симметрии зеркального отражения распределяются
на две группы. Одну группу составляют формулы (22.16, в) а вторую —
(22.1а, г, д) и (22.24). Они могут переходить в группах одна в другую,
но не переходят из одной группы в другую.
Свойства симметрии ^/'-коэффициентов становятся проще, если
использовать видоизмененные параметры:
ах = а + Ъ 4- еу
cc2 = a + c+f,
а3 = Ъ + d+f,
*i = c + d+e, (22.25)
^^a + b + c + d,
$2 = a + d+e+ft
$3 = b + c + e+f.
Семь параметров af и $j удовлетворяют условию
£a/=£P; = 2(a + & + c + rf+e+/). (22.26)
i J
Формула (22.1а) в обозначениях (22.25) может быть записана следующим
образом:
П (&/-«/)! ,Т
ах а2 а3 а4
Pi Р2 Рз
| = [П У(а7+1)Г"] 2 n(z-*d\n®j-z)\ * (22*27)
' i z i j
147

Из этой формулы вытекает следующее свойство симметрии:
f а2 а2 а3 а4 1 I а, а/ и.к а/1
1 Pi Р2 Рз II Рт Р* % У
(22.28)
Это исчерпывает все 144 свойства симметрии 6/-коэффициентов. Из (22.25)
следует, что
Р,^а„ (22.29)
P^otjfc+a/.
(22.30)
Параметры левой части формулы (22.1) через параметры af и fy могут
быть выражены следующим образом:
2
«i + a3-
2
а! + а4-
j
-ь
>
-p.
с =
«2 + «4-Р2
(22.31)
_ * • - . * f_ «2 + а3 — Pi
Будем считать различными лишь такие наборы параметров левой части
(22.1), которые не переходят друг в друга при помощи свойств симметрии
(22.10). Легко проверить, что в общем случае при всевозможных
перестановках параметров <х£ и р,., согласно (22.28), из (22.31) получаются все шесть
различных наборов параметров, удовлетворяющих (22.11).
Возможно и другое представление 6/-коэффициента, при перестановке
параметров которого получаются все 144 свойства симметрии
6/-коэффициента. Согласно [Ш. 64], 6/-коэффициент представим в виде
[а Ъ е\
\d с /|
a+b—е a+c—f b+d—f c+d—e
a-c+f a-b+e -c+d+e -b+d+f
b-d+f c-d+e -a+b+e -a+c+f
«11 «12 «13 «14
«21 «22 «23 «24
«31 «32 «33 «34
(22.32)
148

Для параметров правой части этого равенства имеют силу соотношения
«11 - «21 = «12 - «22 = «13 - «23 = «14 ~ «24 = ^1» (22.33)
«21 - «31 = «22 - «32 = «23 ~ «33 = «24 ~ «34 = &2- (22.34)
Таким образом, линейно независимых параметров в правой части (22.32)
только шесть. Если введем обозначения
A = %atJ, А,= %аи, (22.35)
U J
то для величин (22.25) получим выражения
Р, = ^-, (22.36)
«* = &-«*. (22.37)
Формула (22.1а) в таких обозначениях принимает вид:
Г П aik\ р
•■"ПИ4-*')' -1 х
i
J i
В этом выражении г может быть произвольным. Таким образом, левая часть
последней формулы обладает следующей симметрией: произвольным
образом могут быть переставлены столбцы, что соответствует некоторой
перестановке множителей в правой части, и любым образом могут быть
переставлены строки, что соответствует перестановке множителей и изменению
параметра г в правой части.
Приведем также графические изображения 6/-коэффициента 22Аг. В
диаграмме 22Аг коэффициенты Вигнера изображаются узлом с тремя
сходящимися линиями. Знак узла указывает порядок сложения моментов.
«11 «12 «13 «14
«21 «22 «23 «24
«31 «32 «33 «34
149

Для усмотрения свойств симметрии 6/-коэффициента удобно
представить диаграмму в пространстве в виде тетраэдра 22В±. При этом
непосредственно получаются 24 свойства симметрии 6/-коэффициентов (22.10).
а/
\с
и
22
%
22,
в,
Следует отметить, что свойства симметрии (22.10) вытекают из свойств
представления группы вращений трехмерного пространства. Свойства же
симметрии Редже (22.11) являются свойствами симметрии алгебраической
формулы и с группой вращений трехмерного пространства
непосредственно не связаны.
23. К вычислению 6/-коэффициентов
Как и в случае коэффициентов Клебша— Гор дана, удобно иметь
алгебраические формулы для 6/-коэффициентов при заданном численном значении
одного из параметров. Такие формулы могут быть получены
непосредственным суммированием в формуле для 6/-коэффициента. Таким путем были
получены формулы для 6/-коэффициентов Биденхарном и др. [В. В. R. 52]
при значениях одного из параметров 1/2, 1, 3/2 и 2.
Сато [S. 55а] разработал более удобный метод получения
вышеуказанных формул. Этот метод мы уже использовали при преобразовании формул
для коэффициентов Вигнера (ср. раздел 19).
6/-коэффициент представим в следующем виде:
{:
+р b е
d+q f.
\.л(ь " Е)сГ D FE),
J \р q е / е\ р q ЕI
(23.1)
150

где
/b d E\ _i
A[ ) = (-1)£+^+?+1[(26 + е+р+1)(2е+1)(2</+е + ?+1)(2е+1)] 2, (23.2a)
\P 4 ^ I
/B D F\ г £(-l)(p + q)F(-l)(p + q)JS(P-9)D(<-1^P-Q) (e+p)\ Tjf
e\/> ? El L (*-*)'(« + *)! (*-*)* J X
X {U- VYe~P\ (23.26)
B=-b + d+f, F=b + d-f,
D = b-d+f, E=b + d+f+l. (23.3)
Как и в случае коэффициентов Вигнера, при заданном показателе
квазибинома множители перед квазибиномами получаются одинаковыми для
любой из формул (22.1). Сами квазибиномы могут быть различными даже
для формул одного и того же вида. Хотя существуют лишь три вида
квазибиномов, не переходящих друг в друга соответственно обыкновенным
свойствам симметрии и симметрии Редже (как это имело место в случае
коэффициентов Вигнера), приведем все возможные виды квазибиномов. Различные
виды квазибиномов могут быть полезны при вычислении 6/-коэффициентов.
Кроме того, различные квазибиномы позволяют установить симметрию
зеркального отражения 6/-коэффициентов. Следует отметить, что если к
обыкновенной симметрии и симметрии Редже присоединить и симметрию
зеркального отражения, то все формулы 6/-коэффициентов могут быть
сведены одна к другой.
Для 6/-коэффициентов получаются следующие виды квазибиномов:
в случае (22.1а)
U = (e + ?)(1) (В-р + q)& D(1),
V= (е - q)V>FV> (Е+р + я)<-«; (23.4)
в случае (22.16)
U=B,-»FM(2b + e+p+l)<u,
V==(B-p + q)M(F+p + qy-»(2b-e+py-1)] (23.5а
U=(e+py-V(B-p + q)M(D+p-q)<-1>,
V=(e-q)^(2b-{-e+p+lY1)(2d-e + qY-1); (23.56)
151

U=(e + q)M(2b-e+p)<--»(2d-e + q)'--1\
V^ie+pf-^F^E^; (23.5в)
в случае (22.1 в)
U=D^E^(2b + e+p+\)^\
V=(D+p- <7)<"» {Е+р + ?)<-» (2b - <?+/>)<-1); (23.6а)
t/=(e + ^)W(26 + e+p+lp(2rf+e + ^+l)(1>,
К= (е+pf~1) (F+p + ?)<-"(Е+р + $)<-«; (23.66)
в случае (22.1 г)
£/ = Z)&> (F+p + ?)(-«(2rf- е + ?)<-«,
F=(Z)+/>-?)<-l)F(1>(2(/+e + ?+ 1)W; (23.7а)
К= (в - 9)« (F+p + ?)<-" £(1); (23.76)
в случае (22.1д)
1/=(Я-1р + ?)<»£СО(а/+е + 0+1)а),
V=B^-1\E+p + qf-l\2d-e + qf-1\ (23.8)
Покажем преобразование формулы (22.1а) в вид квазибинома. Для этой
цели в (22.1а) подставим новый параметр суммирования
k = z-a-c-f (23.9)
и используем параметры левой части (23.1). Тогда сумма в (22.1а)
примет вид
V (- \)b+d+f+p+q+k {J} + d+f+p + q+ \ +к)\
£л k\{e-p-k)\(-b+d+f-e+q+k)\(p + q+k)\{j>-d+f-e+p+k)\,
к (p + d-f-k)l (e-q-k)\
(23.10)
Далее, два первых факториала в знаменателе заменим биномиальным
коэффициентом, а остальные факториалы— квазистепенями, для чего введем
152

соответствующие факториалы. Подставим также обозначения (23.3), и
представим (23.10) в виде
f _ \\E+p+q+i (E+P + q)l
1 ' (e-p)\(e + q)\(e-q)\{B-p + q)\D\F\
x Z (" 1У I*"1*) (e + qYe-t>-k\B-p + qy'-P-Vx
xD(e-P-V(e-qyk)FM(E+p + q)(-»k =
(~\)Е+р+я+ЦЕ+р + д)\
(e-p)\(e + q)\(e-q)\(B-p + q)\D\F\ X
x [(e + q)V> (B-p + q)V> D™-(e- q)0>F™ (E+p + ду-яр-р*. (23.11)
Чтобы получить множитель перед квазибиномом, достаточно сократить
факториалы, получаемые в (22.1а) при разложении треугольных
коэффициентов, с факториалами в (23.11) и далее отношения соответствующих
факториалов заменить квазистепенями.
Формула (23.1) очень удобна для практического вычисления 6/-коэф-
фициентов, особенно при получении алгебраических формул при некоторых
численно заданных параметрах. В последнем случае обычно составляются
алгебраические формулы при численно заданных параметрах е, р, q. При
этом необходимо иметь формулы лишь для случаев
е^р>д>0. (23.12)
Если р < q, то при помощи свойств симметрии 6/-коэффициента переставляем
Ь,р с dyq. Если #<0, используем формулу (22.21), которую представим
в виде
(b+p be] [ b+p b е \
В случае р<0 следует применить формулу (23.13) для Ъ. Если же
отрицательны и /?, и #, то либо переставляются два первых столбца
6/-коэффициента и подставляется
Ь' = Ь-р, d' = d-q, (23.14)
153

либо используется формула (22.20) в виде
{J-'S-f ^-«-""Н/*' /♦,/}• <23',5)
В приложении 3 приводятся алгебраические формулы для величины (23.26)
для случаев, когда О^д^р^е^Ь, заимствованные из [/. 60].
Как уже упоминалось, точные фазовые множители в некоторых
формулах (22.18)—(22.23) могут быть получены из формулы (23.1). При этом
фазовый множитель получается лишь при преобразовании множителя перед
квазибиномом. Квазибином при подстановках типа х->х переходит из одной
формы (23.4)—(23.8) в другую. Например, в случае (23.13) квазибином
(23.4) переходит в (23.76), а в случае (23.15) - сам в себя. При
использовании формулы (23.1) параметр е нельзя изменить на е. Этот параметр
занимает такое же место в предлагаемом методе, как и 0 при использовании
формулы (22.15). В отличие от формулы (22.15), позволяющей установить
лишь знак фазового множителя, (23.1) позволяет получить весь фазовый
множитель. Использование квазистепеней позволяет непосредственно
подставлять в формулы отрицательные параметры, не используя отношения
факториалов от отрицательных чисел.
Как и в случае коэффициентов Вигнера, формулы для 6/-коэффициен-
тов могут быть представлены в виде обобщенных гипергеометрических рядов.
Для этой цели следует воспользоваться формулой (19.20), связывающей
квазибином и гипер геометрический ряд.
В случае 6/-коэффициентов гипер геометрический ряд может быть
представлен несколькими различными видами, даже в случае одной
определенной формулы. Приведем для примера один из них. Роуз [R. 55] для б/'-коэф-
фициента получил выражение, содержащее гипер геометрический ряд
AF3(-a-b + e, -d-c + e, -a-c+f, -d-b+f\
-a-b-c-d-\, e+f-a-d+l, e+f-b-c+l; 1).
Эта формула получается при использовании формулы (22.1а).
Используя симметрию гипергеометрического ряда, позволяющую переставлять
между собою первые четыре параметра, а также три следующие, можно
получить 144 свойства симметрии. Это будут обычные свойства симметрии и
свойства симметрии Редже, если при перестановках не затрагивать пара-
154

метр —а — Ъ— с — d— 1, и свойства, получаемые при помощи одновременного
применения перестановочной симметрии, симметрии Редже и симметрии
зеркального отражения, если в перестановках участвует указанный параметр.
Получить гипергеометрический ряд, симметрия которого не содержала бы
свойств симметрии отражения, как это имеет место в случае формулы
(13.1а) для коэффициентов Клебша—Гор дана (или коэффициентов Вигнера),
для бу-коэффициентов невозможно.
В некоторых случаях при вычислении 6/-коэффициентов удобно
использовать рекуррентные формулы. Для получения рекуррентных формул обычно
используется равенство (21.27).
Формула (21.27) представляет собой довольно общее рекуррентное
соотношение. Для получения конкретных формул в (21.27) следует в
качестве одного из параметров взять конкретное (небольшое) число так, чтобы
создалось условие (22.14). Например, если с' = 1/2, то£' = ос± 1/2 и а' = (3± 1/2.
Тогда для всех ^/'-коэффициентов в (21.27), в которые входит с', применима
формула (22.14). В результате получается лишь по одному
невыраженному 6/-коэффициенту, в каждом из которых параметр суммирования
ограничен небольшим числом значений.
Вышеуказанный прием приводит к следующим практически удобным
рекуррентным соотношениям [В. В. R. 52]:
2e[(a + c+f+l)(a + c-f)Y
e~~2
с--к f
+
+ [(a + b + e+l)(a-b + e)(c + d+e+l)(c-d+e)]
{:
= [{a + b-e+l)(-a + b + e)(c + d-e+l)(-c + d+e)]2l ,
b e
с f
1 '~ b e-l
d с f
, (23.16)
a[(a + b + e + 2)(a-b + e+l)(a + b-e+l)(-a + b + e)x
x (a + c+f+2) (a-c+f+ I) (a + с-f+ 1) (-a + c+f)Y
ta+l
b e }
с f\
+ (a+ l)[(a + b + e+ 1) (a-b + e) (a + b-e) (-a + b + e+ 1) x
155

2_
x(a + c+f+l)(a-c+f)(a + c-f)(-a + c+f+l)]2
= (2a+l){2[a(a+l)d(d+l)-b(b+\)c(c+l)-e(e+\)f(f+l)] +
+ [в(в+1)-й(6+1)-е(в+1)]Ив+1)-с(с+1)-/(/+1)]}{^ * *}. (23.17)
Эти формулы могут служить как для повышения значения параметров, так
и для понижения, в зависимости от решаемой задачи.
Следует отметить, что численное определение 6/-коэффициентов,
проводимое вручную, значительно облегчается использованием приведенных
рекуррентных соотношений. Однако при использовании цифровых
электронных вычислительных машин легче всего вычислять непосредственно,
согласно соответствующему выражению (ср. [R. В. М. W. 59]).
В настоящее время уже имеются довольно обширные таблицы численных
значений 6/-коэффициентов. Упомянем главные из них.
Никифоров и др. [Н. У. Л. 62] приводят приближенные значения так
называемых коэффициентов Ракаха W{abcd\ef), определенных согласно
(21.33), для следующих значений параметров:
а, Ъ, с, </=1(1)9; е, /"=1(1)18; (23.18а)
а, с=4(1)^; Ь, dy /=1(1)9; e = j(l)f; (23.186)
а, 6, с, d=\ (1) ^; е, /= 1 (1) 17. (23.18в)
В предисловии к этим таблицам [Н. У. Л. 62] приводится довольно
обстоятельный список существующих для 6/-коэффициентов таблиц.
Ишидзу [/. 60] приводит точные значения коэффициентов Ракаха для
значений параметров
e>f =0(1)7; c + d+f^\5; (23.19а)
*=4 (1)^;/=0(1)7; с + а+/<Ц; (23.196)
е>/=0(1)7; c + d+f< 14. (23.19в)
156
в-1 b el
d с f)

В обеих последних формулах а соответствует всем целым параметрам,
б — трем полуцелым и в — четырем полуцелым параметрам.
Ротенберг и др. [R. В. М. W. 59] приводят таблицы точных значений
6/-коэффициентов для всех возможных значений (всех целых, трех
полуцелых и четырех полуцелых) параметров в пределах
О^я, *, с, </, е,/<8. (23.20)
Таблицы [Н. У. Л. 62] и [R. В. М. W. 59] вычислялись на электронных
вычислительных машинах, а [/. 60] — с помощью рекуррентных соотношений
(23.16) и (23.17).
В приложении 4 приводятся значения 6/-коэффициентов в обозначениях
параметров (22.25) для
а1^а2^а3<а4, ах^8, а4^16,
а4^р1^Р2(^Рз = 2а/-(31-р2^а1 + а2-1). (23.21)
Имеются также, хотя и небольшие, таблицы для Z-коэффициентов (ср.
формулу (21.37)). В виде точных, значений они даны Шарпом и др. [S. К.
S. Н. 54], а в виде приближенных значений, вычисленных на электронных
вычислительных машинах, они приведены Смитом и Пешкиным [S. Р. 59].
24. Матрица преобразования волновых функций четырех
связанных моментов. 9/-коэффициенты и их свойства
В случае векторного сложения четырех моментов различаться может
не только порядок связывания, но и схема связывания. Так, моменты могут
связываться последовательно (по схеме А0 [Ю. Л. В. 60] ) и попарно (по
схеме Ах [Ю. Л. В. 60]). В первом случае получаем
I JiJ2Ji2J3Ji2aJJm\ = ^ \hhJdi ™i тг ™г т*\ х
Шх та т3 т4
хГ7'1 к h к j Т° . (24Л)
L Шг ™2 ™з т* т i»A»
157

а во втором
1ЛЛ/12, kkkJ™\ = £ \kkkk ™i ™* ™з ™*l х
П1\ Mi "*3 M*
Г Л Л Уз Л У >
L wx т2 тг m4 w J;iay34
Как и в случае трех связываемых моментов, обобщенные коэффициенты Клеб-
ша—Гордана в (24.1) и (24.2) могут быть выражены через обыкновенные:
Г Л к к к 7 "И* У Г к к кг ~|
L т1 т2 т3 т4 т J7Wia3 ~~miammL mi ™2 "*i2 J *
[7l2 7з У123 I Г 7l23 к J \ /fuo,
(24-3)
m12 m3 m12Z J L rn12Z m4 m J
Г Л Л Л Л 7 Т1 _ У ГJl j2 Jl2 1
L m1 m2 mz m4 m JL/M ~ mlt mM L ™i w2 ™i2 J *
Г 73 74 734 1ГЛ2 734 7 |
L m3 w4 m34 J L ^i2 w34 m J
В этих равенствах, как и в (21.7), суммирование чисто формальное, так как
значения параметров суммирования однозначно определяются из условий
неисчезновения коэффициентов Клебша—Гордана.
Функции связанных моментов с различными способами связывания
могут быть выражены одни через другие при помощи соответствующих
матриц преобразования. Произведем в (24.1) перестановку связываемых
моментов (14з2)- Тогда левая часть формулы (24.1) и вновь полученная функция
будут связаны равенством
\kkk2JsJi2akJm\= £ IkkkdJuskM]*
Ju Jua
x [JikJidduakJ \kkJ12kk2JJl (24.5)
Здесь последний множитель является элементом матрицы преобразования.
Он может быть выражен через сумму произведений коэффициентов Клебша—
158

Гор дана аналогично матрице преобразования трех моментов. Получается
выражение:
UikJiUsJuskJ \J1J2J12J3J123Ju]=
= у Г Л к к к J ~]Ао Г к к к к j ~\Ао
т. L т1 т2 т3 m4 т J;i8,m [ ™i ™* тз ™2 ™ J/14yi4S~
_ у Г Л к Ji2 j Г У12 Уз У123 | Г Лгз к 7 1
mim}k™ijk L wi m* w12 J [w12 m3 m123 J L W123 w4 w J
[к к 7i4 J |7i4 Уз 7i43 j Г 7i43 к 7 | 9 ^
™i w4 /w14 J l_w14 m3 m143 J L ^143 w2 m J'
Рассмотрим еще матрицу, производящую в (24.2) перестановку момен-
/1234\ „
ТОВ ( 1324 /* ^олУчаем
\kkk2J3kkij™] = 2 \кккз>ккк*>М] х
Лз 7*24
х [kkkzJ2kki,j\ kkk^kkkiJl (24.7)
Для матрицы преобразования в последней формуле легко может быть
получено следующее выражение через коэффициенты Клебша — Гор дана:
[Jlj2jl2> 7з747з4> JlJlJzJlS' 7274724» 7J =
= £ГЛ к h h j > г л л л л j > =
m,. L wi ™2 ™з ^4 w Jh2Jat L "h m3 /я2 m4 m Jyi3yM
_ ^ Г 7i Л 7i2 I Г 7з Л 7з4 | Г 7i2 7з4 7 |
^ [_m1 m2 m12 J L ™з ™4 ™34 J L ^12 "% ™ J
ГЛ 73 713 1Г72 74 724 1Г713 724 7 1
L wx m3 m13 J[_m2 aw4 m24 J L ™i3 m24 m J
"< my7c
159

Последняя формула может служить определением инварианта,
называемого 9/-коэффициентом. (24.86) записывается в виде
> 7зЛУз4> У \JiJzJizi J2J4J2AJ1 —
7г 7i2 I
= [(2/«+1)(2/м+1)(2/и+1)(2ум+1)]^Л Л ы\, (24.9)
7i h У12
Уз h Ju \ = [(2/« + 1) (2/34 + 1) (2Лз + 1) (2Л4 + 1)] * (2/+ l)-1 x
У13 У24 У
1
2 1
7i
Уз
l Лз
h
к
724
7l2
Уз4
7 J
где
^ Г Jx h Jx2 I Г Уз Л Уз4 J Г JX2 У34 У ]
^ \^т1 т2 т12 J L ™з ™4 m34 J L wi2 ™34 m J
Г А Уз 7l3 "|ГА 74 724 "|ГУ13 724 У 1
L /Их m3 m13 J L m2 w4 m24 J L Щз ^24 ™ J
и является 9/-коэффициентом. В (24.10), как и в разделе 21, суммируем
также и по т. Это дает множитель (2/+1)"1.
Используя свойства симметрии коэффициентов Клебша—Гордана, (24.66)
можно представить в виде
[JxJ2Jx2Jdx2dJ\JxJJxJzJxMJ2J] = (- 1)'»"'»»-'"+*« (2/+ I)"1
1
хГ(2/м+1)(^М+1)Т2 у р! Л* А "1 ГУы 7*3 7*143 1
L (2/2-Ь1) (2/4+1) J ^ Lmi wi2 *w2 J Lwi4 тг wi43j
Г 72 7143 У 1 Г А У14 7*4 "I Г 7*12 Уз 7*123 "1
L m2 ^143 m J L w»! w14 m4 J L w12 m3 m123 J
XP4 A23 7* 1 (24.11)
L W4 ™123 W J
160

Здесь, кроме свойств симметрии коэффициентов Клебша—Гор дана (13.2)
и (13.3), изменены знаки некоторых составляющих. Сравнивая полученную
формулу с (24.10), получаем
UiJ2Ji2J3Ji2zJJ \JikJukJuzkJ] = (- 1У»-л»-'"+-Л« х
х [(2/1а+ 1) (2/188 + 1) (2/М+ 1) (2/143+ 1)]
(24.12)
Jl J12 J 2
7l4 Jz 7l43
Jl Jl23 J
Для получения свойств симметрии 9/-коэффициента выражаем его
через сумму произведений коэффициентов Вигнера, как это сделано в
случае б/'-коэффициента (ср. (21.32)). Получаем
Ji
к
кг
J2
к
Ко
Jz
/з
к3
у Ik к к\ Ik к к\ Ai к2 кЛ
т.п.я. W ™2 ™J \пх п2 nj \qi q2 qJX
Ik к kx\ /j2 l2 кЛ /;3 к кЛ
\™i пг qj \т2 п2 q2/ \т3 щ qj'
(24.13)
^i\ [к к к2\ /7з
Ян/ \т2 п2 q2/ \т3
Здесь знаки — при т3, w3, ql9 q2 заменены на + , и в третьем и шестом
коэффициентах Вигнера все отрицательные нижние параметры заменены
положительными согласно (18.3).
Для 9/-коэффициента получаются следующие свойства симметрии:
к О
/о Ко
Ji к к
к /. /. |=
[ Ki К2 к3 )
=(-1)*'
72
/•
i *^2
1А
Л
I h
Л
к
кг
/о к»
Jz
и
к3
(24.14а)
(24.146)
7з Ji Ji
/, k h \ (24.14в)
K3 Ki K2
Здесь R является суммой всех девяти параметров 9/-коэффициента.
Первое из этих свойств получается при обмене местами трех первых
коэффициентов Вигнера в правой части (24.13) с тремя остальными. Для получения
второго равенства необходимо в трех первых коэффициентах Вигнера
переставить два первых момента, что дает фазовый множитель в (24.146), и по-
161

менять местами четвертый коэффициент Вигнера с пятым. Последнее
равенство (24.14в) получается при циклической перестановке последнего момента
в трех первых коэффициентах Вигнера на место первого, что не связано с
появлением фазовых множителей, и одновременной аналогичной циклической
перестановкой остальных трех коэффициентов.
Таким образом, сочетание всех трех свойств (24.14) позволяет любым
образом переставлять строки и столбцы 9/-коэффициента и заменять строки
столбцами. При этом фазовый множитель появляется лишь в случае нечетной
перестановки. Все это составляет 72 свойства симметрии 9/-коэффициента.
(24.146) дает
7l 72 7з
7i 7г 7з
К-± К% /С;
3 )
\ = 0, если k1 + k2 + k3 — нечетное число. (24.15)
Если в (24.13) подставить к3=0 и к двум коэффициентам Вигнера, в
которые входит к3, применить (18.8), а также учесть свойства симметрии
18.2) и определение бу-коэффициента (21.32), то получится
М0*з, /jWi, *«)(-1)*+*+/'+*'Х
х[(2/з-ы)(2^1+1)]4{/21;; £}.
Если, далее, подставить ^=0 и учесть (22.15), то получим
1 = 8 (Л. к)Ь{к, /2)8(уз, /3)8(А:2, 0) х
(24.16)
Jx Ji Jz
'1 '2 '3
0 к2 0
х[(2Л+1)(2/,+ 1) (2/з+1)]
(24.17)
С другой стороны, если в (24.16) подставить /2=0, то получится
= 8(у2, fc1)8(A:1, k2)8(j3, lJ8(ja, l3)x
x (_ 1)Л-л-л [(2/2 + 1) (2/з + l)]-i. (24.18)
7i 72 7з
к о /s
162

Кроме перестановочной симметрии (24.14), 9/-коэффициенты обладают
еще следующей симметрией зеркального отражения [С. К. Б. Ю. 64]:
= (-Dv
7i 7г 7з
'l *2 *3
/Cjl к?, кз
7i 72 7з
*1 '2 '3
/С^ /С^2 гСз
7i 7г 7з
'i h 'з
/С^ /С2 /С3
=(-1)ф.
7i 7г 7з
[i h 7,
К-у К<% /Сз
(91=72-73-^1 + ^)
=l(-l)». J
/г
h
/Со
7з
/з
= -i(-l)*
7i 7г 7з
/i 72 4
/С^ А^2 &з
(?2=Л+ /1-/2-^1 + ^2)
= (-!)*■
7i 7г 7з
*1 *2 *3
/Cj /Со /Сз
[ = (-1)фг
7i Ji Jz
/~1 /2 /3
/Cj /C2 /C3
= 1 (-!)'•
7i 7г 7з
/i /2 /3
/C^ /C2 /C3
(Ф2=7з+k-h-h)
|= _/(-1)Фз|
7i 7г 7з
*1 *2 *з
/C] /C2 /C3
(24.19)
(24.20)
(24.21)
(24.22)
(Ъ = К) (24.23)
= (-1)*
7i 7г 7з
'i '2 'з
/Cj /C2 /C3
«(-1)4
(Фз=7з-4-^1 + ^2+1)
7i 7г 7з
'l *2 '3
Ki /c2 /c3
(24.24)
163

=|(-1)ь
=(-1)"
=(-1)*
=(-1)ф.
= /(-1)5.
7i 7г 7з
п h 'з )
К-± К% /Сз 1
--/(-1)5
[ J'1
Л 7а
•"
' \ к к к
1 /Ci К% /Сз
► =
& = *!-*,-**) (24
Л Н Уз
h /, /, !=(-1)ч'1
1 /Cj /С2 /С3 1 1
7i 7г 7з
к к к
/С^ /С2 /С3
> =
(48 = 2/1 + 2/8 + 2**) (24
7i 7г 7з
| *1 *2 *3
/С^ АС2 /Сз !
/
■=(-!)*«
7i 7г 7з
*1 '2 '3
К>\ /С2 /С3
> =
(ф«=Л-/«-*1 + *1+1) (24
7i 7г 7з
| П '2 '3 |
/С^ &2 ^3
=(-1)4
>
7i 7г 7з
'l '2 *3 |
/Cj /С2 /С3
> =
(ф4 = Л-/1 + /а-/3+1) (24
7i 7г 7з
/i /, /3
1 К-± Кч /Сз
>«=/(-1)Ь
( Л Л л ]
к к к 1=
[ /Ci л2 ^-з J
& = *i-*,-fti+l) (24
1 7i 7г 7з
| 'i ^2 h
1 /Cj_ /С2 /С3
7i 7г 7з
< *1 *2 *з
1 /Ci /С2 /С3
1 ='
J
х —
7i 7г 7з
'i h 'з
/С^ 1С2 /С3
1= —,
(24
7i 7г 7з J
к к к \. (24
. Ь
/С2 /C3

Фазовые множители до знака ± в этих соотношениях легко получаются
из (24.13). Для установления точного знака в ряде случаев может быть
использована (24.16) и соотношения для ^/'-коэффициентов, а также формулы
(24.17) и (24.18). Когда при помощи упомянутых формул точный знак
установить нельзя, необходимо использовать формулы, содержащие
высшие Зяу'-коэффициенты, о чем будет идти речь в разделе 30.
Перестановочная симметрия (24.14) имеет место и в случае 9/-коэффициен-
тов с отраженными параметрами. В R в этом случае вместо соответствующего
х следует подставлять —х. Например, в случае (24.20)
R= -j1+j2+jz + l1 + l2 + U + k1 + k2 + kz.
Приведем некоторые свойства суммирования 9/-коэффициентов,
которые следуют из свойств матриц преобразования. Свойство унитарности дает
2(2х1+1)(2х2+1)
Xi Х2
Ji ]г Уз
h к h
( Xi х2 к$ J
7i Уг Уз
'i h h
Xi x2 к
з;
= 8(Л, УзЖ'з, /з)8(Л727з)»(/1/2/з)5(Л/зА:з)[(2/з+1)(2/з+1)]-1. (24.32)
Выражая одну матрицу через произведение трех, получаем следующее
разложение 9/-коэффициента через бу-коэффициенты:
7i 72 Уз
п h h
{Ki fc2 /Сз J
-Z(2*+1)<-1)*{£ l fix
f /i /2 h \ \ki k* M
1 h x k2\\x j\ l± J
Если формулу (21.27) переписать в виде
{Уз h ^i I | Уз h k\\ sr^ /Л ,w л.х+
X
| h h iz \Ui h 4 1 |^i К k31
Из Л x J \ j2 x h)\x j\ /x J '
(24.33)
e (,,.+/;+*,.) x
(24.34)
165

то видно, что разница правых частей последних равенств состоит в замене
j\ и кг местами. В практических расчетах часто получается то или другое.
Сопоставив оба случая, легко определить, которую из этих двух формул
следует применять.
Умножая обе части равенства (24.33) на
(2*i+l)
и суммируя по къ при учете ортогональности 6/-коэффициентов (21.25)
получаем
7i 7г Уз
У (2х+\)1Х кг кЛ
* [т Л h J
-(-irH-J: h\\h '• м. (24.35)
I /3 kz m J I y2 m k2 J
Выражая одну матрицу через произведение двух других, получаем
следующее соотношение:
£ (-l)V.+*.-/.+*.(2Xl+l)(2x8+l)
72
/2
^2
Уз
/з
Ля
/i
К2
Х1
/с3
(24.36)
В [I. U. 58, Г. Т. 64] получаются формулы суммирования 6/- и 9/-коэф-
фициентов путем изменения связи в матричных элементах операторов.
Приведем две из этих формул, представляющие наибольший интерес в
практическом отношении:
£ (2j13+l)(2f13+l)(-iy^h+h-n,-kl+2n {Л Л *
174 7з 7i3 J 17г 7i3 k2 J I, , ,
I'M. ^3 ^2
166

У12 Уз У 4
Уз J12 кг
Ji Ji У12
У1 У2 У12
yk-i k2 кг
(24.37)
2 (2/и+1)(2/;а+1)(-1)л.+л./л л у» mi л ли
}18д8 I У4 Уз У13 J I У*4 Уа У13 J
Ji J г У13
У1 Уз У13
{ к\ кг ^-13
Уз У4 У13
У 2 У4 У13 J =
2 ^4 13
{к к к \
1 2 12 \
х\
./ .Г ./
Jl У 2 J12
Jl У2 У12
[ /C^ K2 /C^2
Уз У4 У12
Уз .h У12
AC3 /С 4. ^12 J
(24.38)
Приведем формулы, связывающие 9/-коэффициент и коэффициенты
Клебша—Гордана, которые полезны при расчетах. Подставляя в формулу
(24.7) выражения для волновых функций, согласно (24.2), и выражение
матрицы преобразования, согласно (24.10), получаем формулу,
аналогичную формуле (21.29). В случае ^/'-коэффициентов такая формула имеет вид
I У*1 У 2 У12 || Уз У 4 У 34 |[ У12 У 34 У ]
L mt т2 ml2 J L ™з ™4 ти J [_ ^12 "*34 т J
^ Г У*1 Уз У13 J Г У2 У 4 У 24 I Г У13 У24 У |
~ г! L mi тг ^i3 J L т2 т* ^24 J L тгз ^24 т J
х [(2/18+ 1)(2/з4+ l)(2y'i3+ 1)(2/м+ 1)]
Умножаем обе части этого равенства на
У13 У24
т13 ти
J\ .h У12
Уз У4 Уз4
I У12 У34 У
(24.39)
[У1 Уз У13 I I У2 У4 ./24 1
167

суммируем по тъ тъ т3, га4 и используем свойство ортогональности
коэффициентов Клебша—Гордана. Вследствие этого в правой части (24.39)
суммирование по у13 и у24 отпадает. Получается (штрихи у у13 и 724 опускаем)
[(2Л.+ 1)(2/м+ 1)(2Лз+ 1)(2/м+ I)]2 ' 7l3 ;24
7i 7г У12
7з 74 7з4
17i3 724 7
w8 m4
7i 7г 7i2
m1 m2 m12
ГЛз 7*24 7 "1
L wi3 ^24 m J
1 Г 7з Л 7*34 1 Г 7i2 7*34 7 1
J L mz m* mu J L ™i2 mu m J
[7i 7з 7i3 I Г 72 7*4 724 |
/Hi W3 W13 J L W2 ™4 ™24 J
(24.40)
В этой формуле только два независимых параметра суммирования,
остальные определяются из условий неисчезновения коэффициентов
Клебша—Гордана.
- -4 + Наиболее распространенное графическое изображе-
j /\] /\1( ние 9/-коэффициента представлено на диаграмме UAV По
к\/ \* ней легко увидеть существование всех 72 свойств сим-
^" метрии этого коэффициента.
i>
L
24
ц
/f( В заключение настоящего раздела приведем
употребляемые обозначения величин, аналогичных 9/-коэф-
фициенту:
' Л Л к
11 /2 /3
Ki /с2 /с3 )
Фано [F. 51] и Фано и Раках [F. R. 59]:
Швингер [5.52]:
(7i 7г 7з
h к и
к\ /с2 /с3 /
■■(-ly^'-J'-^SUdthh; ЛиЫс,; к3);
(24.41)
(24.42)
Хоп [/.Я. 54]:
= [(2/з+ 1) (2/3+ 1) (2*!+ 1) (2!е2+ 1)] 2 x(hhkk\ hW, ktk2; к3); (24.43)
168

7i
h
кг
H
к
Ко
Ja
4
/С3
Кеннеди и Клиф [К. С. 57]:
= [(2/з+ 1) (2/3+ 1) (2к1+ 1) (2к2+ 1)] ^ ( /х /2 /3 J; (24.44)
Арима, Хори и Танабе [А. Н. Т. 54]:
(А А Уз
/i /2 /3 | (24.45)
к\ ^2 ^з I
Величины х и А являются матрицами преобразования, совпадающими с
левой частью (24.8).
25. К вычислению 9/-коэффициентов
Для получения формул для 9/-коэффициентов используем соотношение
(24.40). Преобразования проведем аналогично преобразованиям (ср.[Б.К-Ю.
60]), проведенным в разделе 22 в случае 6/-коэффициентов.
Ввиду того, что 9/-коэффициент не зависит от mlz, m?4, т, в (24.40)
подбираем эти параметры следующим образом:
™1з=Аз, ™=J\ ^24=7-Аз. (25.1)
В таком случае коэффициент Клебша—Гор дана в левой части и третий и
четвертый коэффициенты в правой части (24.40) могут быть выражены при
помощи (15.23), если сначала применить свойство симметрии коэффициента
Клебша—Гордана (13.2в). В результате всего этого для 9/-коэффициента
получается следующее выражение:
7*1 A /l2 I 1
/ V _ Г (Аз +724 +7 + 1) * (Лз -724 +7) 1 (Л +7з -7i31 ' (Уц +784 -У)! 12
7з 74 ,784 -[ (А+7з+Лз+1)!(Л-7з+Лз)!(-71+7з+71з)!(712-7з4+7)! J
1-^3 724 7 J (-712+734+7)! (2Л2+1) (2/34+1) (2/24+1)
('_. iyW13 + m2 Г (7i + ^i)U7s+7is"W»i)U7i2 + w»i + W,)l(784+7-w1-w>)l 12 х
^ L (7i- wx)! (7з-7i3 + "*i)! (y12 - awx- m2)! (734 -J + "h + m2)! J
!
Г A A A4 "| Г A A 7i2 "1
L w2 7-Аз-^2 7-7*13 J L Wl W2 W! + W2 J
хГЛ Л . Л4 1. (25.2)
L 713-^i 7-7i3-w2 j-ml-m2 J
169

В этой формуле два последних коэффициента Клебша - Гор дана выразим
при помощи (13.1в). Получаем
7i ]г 7i2
7з 74 7з4
7i3 724 7
-ы
(7i3+724+7+l)! (У13-У24+У)! (A+js-jnV- (У12+734—У)!
+78+718+1)1 (У*1-7з+Лз)! (-Л+7з+7*1з)! Uu+ju+j
(7l2 "У34 +У) ! ( "УМ +У34 +7) 1 (2/24 + 1)
1L_ Т*
+ 1)! J
W1J2J12) А (7з 7*4734)
(7i2 +7*1-7*2)' (7*12-7*1+7*2)1 (7*34+7*3-74)1 (734-7*3+74)
- V ( — 1) '1 ~7i »+ m»+7i +7>+7i» + * + J'
mi w2
()2-тг)\ (74-7+7i8 + /wa)l 12 (7i2 + mi + m2)! (y3+7 - "h - m2)! (y'i+ "*! + *)!
L (y2+
Г13 + ^2)-' T
13 ~w2)! J
w2)! (u+j-ji*-m2)\ J *! (712-Wi-m2-.x)' (y'i-"*i-*)! (у'2-7м + ™i + *)!
(7l2+7*2-/Wl-^)! (7*3+7l3-"*!+>>)! (74+734-713 + ^1-^)!
J>>1 (7з4 -7+"h + m2 -y)! (73 -y*13 + mx -y)! (y4 -y'34 +7is - ™i + у) !
Г 7*2 7*4 7*24 "1
L m2 7-7*13-^2 7-Лз J'
Если в эту формулу подставить
х' =Л -т^х, у' =7з -Лз + т1-у
и осуществить суммирование по тъ то получится
(25.3)
(25.4)
-[
7i 72 7i2
7з 74 7з4
I 7i3 724 7
(у 13 +724 +7+Q1 (у\2 +7з4 +7+1)1 (у is -724 +7) ? (у 1 +7 з -7 is) ? (7i2 +7з4 -у)1
(7*i+7*3+7i3+ 1)! (7i-7в+7i8)I (~7*i+7з+7*1з) 1 (7ia-784+7)1 (-7ia +7м +7) 1 (2/м+ 1)
A(7i7a7is) А(7зУ4У'34)
х ^(717а7Ы ^(УзУ4Уз4) у / _ jy1-y12+m2+*+.y х
(7i2 +7i -У*2) 1 1У*12 -7i +7а) 1 (7з4 +7з -7d) 1 (7з4 "7*3 +7*4) 1 ^ V '
хут2
(2j1-x)\ (7*12+72~7i + ^)l (7з4+7-71-^2 + л:)1 (2y,-j;)l (7з4+7*4-/з+:и)! (7i2 +7i3 —7з + m2 + ^) 1 ,
х 1 (7i2 -7i -т2 + х)\ (j\ +у"2 -7i2 - х) 1 д>! (у*34 ~Уз ~7+7i3 + w2+у)! (у3 +у'4 -y'34 -у)1
Ui+h-Ji*-x-y)l
1
(-7i -Уз +7i3 +У12 +7з4 +7
Г (7'2-
+ \+х+у)\ L (Л +
{J2~m2)\ (74-7+7i3 + ^2)l ]2
т2)\ (7*4+7-7*13-w2)!
Г 72 7*4 7*24 1
L т2 7-713-^2 /-Лз J
(25.5)
170

Последняя формула позволяет получить ряд простых выражений для
частных случаев 9/-коэффициентов. Вначале приводим случаи, не содержащие
сумм.
Если
Jl2~ 7l+72» 7з4~ 7з+74> J— 7*13+7*24»
(25.6)
то в (25.5) х = у=0. Выразив коэффициент Клебша—Гордана в (25.5) с помощью
формулы (15.23) и осуществив суммирование по т2 при помощи (14.5),
получим для 9/-коэффициента формулу
к к к +7*2
Уз к к +к
( 7l3 724 7l3 +724 J
Г (2А)! (2у2) 1 (2/,)! (2у4)! (2у13)! (2/24) 1
L (2A + 2/i+l)!(2ye + 2/4+l)!(2/u + 2/M+l)!
х (7i +72 +7з +74 +Лз +724 + 1) 1 (-7i -у2 +7з +74 +7и +;24) 1 х
(7i+7s+7i3+l)! (7i+78-718)1 Oi—7s+7«)I (-/i+A+Zis)-1
(Л +72-73-74+713+724)! (А+Л +7з +74-713-724) I
(72+74+724+1)! (72+74-724)! (72-74+724)! (-7*2+7
[24)! T
Г4+724)! J
(25.7)
Используя симметрию зеркального отражения ^/'-коэффициентов, эту
формулу можно легко переписать для случаев, когда параметры, равные сумме
двух других параметров данной триады, находятся не в одной строке.
Например,
Л 7г 7i "72
7з 74 7з +74 \ = i(-lY*V'-'»\
{ 7l3 724 7l3 +724
к к к +к
7з 74 7з +74
I 7l3 724 7l3 +724 J
(25.8)
что следует из формулы (24.21). Выражая правую часть этой формулы
при помощи (25.7) и используя отношение факториалов от отрицательных
чисел (10.16), получаем требуемое выражение.
Формула без суммы получается также в случае
7i2 =7i+72, 7=71+72+7з4-
(25.9)
171

Она имеет вид:
у*1+Л-Лз
к к к+к
к к 7з4 | = (-1>
I 7l3 724 7 34 +7l +72
( -7l +У*3 +У*1з) ! ( -72 +У4 +724) 1 (Уз +У*4 -734) ! (Л +,/2 +Лз +724 +7з4 + 1) *
Г (2Л)!(2Л)!(2у34)!
L (2Л + 272+1)(2у1 + 2Л + 27з4+1
(7i +7з +7i3 + 1)! (Л +7з -7\з)! (у i ~7з +Лз)! (Л +74 +7м + 1)* (У2 +Л -Ум)! (Л "Л +Ум)'
1
( л + /о 4- Л о — L» 4- /о.)! (/, 4- /* -/„ + /«„ 4- /о.)! 1
(7l + /2+7l3 -724 +734) ! (Л +7*2 -7*13 +7*24+7*34) "
(7*з+7*4+7*34+1)! (7з"7*4+7*34)! (-Ув+Л+Ум)" (
-уГ-У2+У1з+Л4-Уз4)! Г ' (25Л0)
так как при условии (25.9) в (25.5) х=0, у=к +7з—Лз> т2=к С помощью
формулы
к к к+к
7з 74 7з4
I 7l3 724 734 ~~7l ~"72
\ = | ( — l)7i+72+73-7i-7i3+724 J
Л 7*2 Л+Л
7з 74 7з4
7*13 7*24 734+7*1+7*2 J
, (25.11)
получаемой из (24.21), легко получить выражение для 9/-коэффициента
левой части этого соотношения.
Формула в виде одинарной суммы получается в случае, когда
Аз =Л +7'з, 7*24 =7*2 +7*4- (25.12)
Ее вид следующий:
7i 7г 7i2
7з 74 7з4
17*1+7*3 Л+Л 7
= Г(2/\)! (2Л)! (2Л)! (2Л) 1 (Л ~Л +у») 1 (Уз -
L (2Л + 2/.+ 1)! (2Л + 2Л+1)! (Л+Л +Л2
-Л+Уз4)'(7i2+Уз4-У)! ,
+ 1)! (-Л+У2+У12)!'
(7i +7*2 +Уз +7*4 +7* + 1)! (7i +7*2 +Уз +7*4 ~У)! (7*i ~7*2 +7з "7*4 +У)! (~А +7*2 ~Уз +7*4 +У)! П 2
(Л +7*2 -Уи)! (Уз +Л +7*34 + 1)! (-Уз +Л +Уз*) •' (Уз +7*4 -у«J! (У12 +7*34 +У + 1)!
(-У12+У34+У)! (7*12-7*34+У)!
(~1)*(2Уз4-*)! (У+У*12-У34 + ^)!
^ *! (Уи+Ум-У-^)
! (Уз-У'4+Уз4-*)! (У*1-У2-Уз4+У+^)! '
(25.13)
Для получения этой формулы следует коэффициент Клебша—Гордана в
(25.5) выразить согласно (15.24). При этом сумма по х и у отпадает (х=у=0),
поэтому при подстановке /я2=Л2—Л—* получается приводимая формула.
Сумма в последней по своему виду совпадает с суммой, входящей в выраже-
172

ние для коэффициента Клебша—Гор дана или коэффициента Вигнера.
Поэтому формула (25.13) может быть представлена в виде
7i 7г 7i2
7з J\ 7з4
[Ji+js 7*2+7*4 J
= (_1)Л-Л-/,+Л+/18+А< Г (2Л)!(2Л)!(2Уз)!(2Л)!
1 l) 1(2Л+2У,+ 1)!(2А + 2Л+1)!Х
(А+А+Уз+А+У+1)! (/i+A+A+A-y)'
(Л + Л + У и +!) I (А +Л -У») 1 (/
(/1+У2+У3+У4-У)' "]2 х
J* + А +Уз4 +01 (73 +7*4 -7*34) 1 J
x(Ai J" j V (25.14)
Также, как и (25.7), формулы (25.13) и (25.14) могут быть переписаны
для иного расположения параметров с максимальным возможным
значением. Подобно тому, как была получена (25.8), в данном случае легко
получить соотношение
7i 7г 7i2
7з 74 734
( ]\~7з 72+74 7
> = I ( — 1)Ла+Л+Л-7
7i 7г 7i2
Уз 74 7 34
Л+7з Л+74 7
Более сложная одинарная сумма получается, когда
7i2 =7i +7г> 7i3 =7i +7з-
В этом случае формула имеет вид:
(25.15)
(25.16)
Л Л 7i+7*2
7з 74 7з4
I 71+7з 724 7
I L (2/,
(2/2)! (2/3)! (А+А+734+7+1)! (А+А-Ум+У)! (А+А+Ум-У)*.
(2А + 2Л+1)! (27Х + 2/3+1)! (-А-А+У34+У)! (-Л-У.+Ум+у)!
(У1+Уз+У24+У+1)1 (У1+У3-У24+У)! (Ух+Уз+724-У)! (-У»+У4+Ум)1 (-У3+У4+У34)!
(У2+У4+У24+1)1 (У1-У4+Ум)1 (У1+У4-Ум)^ (Уз+У4 +Уз4+ 1) 1 (У»~Л+784> ' (У3 +7*4 ~У34> ^
V (-1 )* (У1 +У*2 +У»+ А -У - *) 1 (У+Уз4 -У\ -У2+х)! (у+у24 -7i -Уз+х)!
л:! (А+А+У34-У-*)! (А+Уа+Ум-у-л)! (у+д-д-у.-у. + д:)! (2/+1+^)! '
(25.17)
При подстановке (25.16) в (25.5) сумма по л: и у отпадает (х=у=0). Сумма
произведений коэффициента Клебша—Гор дана на факториалы
преобразуется таким же образом, как и в разделе 22. Частный случай приводимой фор-
173

мулы при j\=0 дает сумму, совпадающую по своему виду с (22.16), что
соответствует формуле (24.16).
Формула (25.17) может быть переписана для случая, когда параметры
в правом верхнем углу и левом нижнем в левой части (24.16) принимают
минимальные значения. В таком случае применяется формула
J г 7 2 Ji~~j2
7з ./4 7з4
7l~~ 7з 724 7
= ( — 1у'1-Л+Л4-Л*+1 I
к к J\+J2
7з 74 7 34
I 7l+7*3 724 7
. (25.18)
Следует отметить, что изменение только одного знака невозможно, так как
j\ находится в трех местах и, таким образом, не может быть заменен
отрицательным только в одной строке.
Формула в виде двукратной суммы получается в случае, когда
7=712+784-
Она может быть представлена в следующем виде:
(25.19)
7i 7г 7i2
7з 74 7з4
I 7l3 724 7l2+734 J
к
(2/i2)! (2/„)! (71+7,-Уц)! (Л+7*з-Лз)! (7*2+7*4-/24)! U*+j\-J*Jl
(2/и + 2/S4 + 1)! (Л +У2 +7i* + 1)' (Уi ~h +У12)! (~7i +Уз +7«)!
(Л+7з+7i3+l)!
(7i2 +7i3 +724 +7з4 + 1)! (7i2 ~7i3 +724 +784)! (7i2 +7i3 -У24 +734)! (-/12 +7i8 +7*24 -734)! "IT
(7i -7з +7*1з)! (~7i +7з +7'i3) 1 (Л +7*4 +7м + 1)! (У*2 -7* +724)! ("7*2 +7*4 +У24)'
(У*3 +7*4 +784 + 1) ! (У3 -У*4 +У34) ! ( "УЗ +У*4 +784> I J
у (-1)*+* (27,-jc)1 (724+74-72 + а:)! (2/,-у)1 (уг-у.+/м+ у) 1
^ х\ (h+h-Ju-x)\ (У1+У3-У13-7)! (7«-78-7и+7и-л+^)-1
^ (7 з -7г -7з4 +724 + х-у)\
(25.20)
Последняя формула позволяет получить рекуррентное соотношение следу-
щего вида:
[(7i2 +7i3 +7*24 +7з4 + 2) (7i2 -Лз +724 +7*34 + 1) IT I к к 7*12
(7i2 +y*is -У24 +У34 +1) (-712 +У13 +У24 -734) I j 7з 74 734
(27i2 + 2734 + 3)(*> J lyi3 ju jlt+jM
174

(2/.i + 2)W
■ИГЛ
(Л +h +Л2+2) (л -y2 +д2 +1) "I7 I A •{* 7i2 + 1
(-Л+Л+Уи+1) (Л+Л-Лз) I {Уз Л 7з4 } +
I 7l3 724 7l2 + J34 + 1
A
(УЗ +J\ +У34 + 2) (Л "Л +Уз4 + 1)
( -Уз +74 +Уз4 + 1) (Уз +Л -7з4)
(2у34 + 2)(*)
7l 72 7l2
Л 7*4 784+1
7l3 724 7l2 +7з4 + 1 J
(25.21)
Это соотношение легко получается, если заметить, что сумма, входящая в
9/-коэффициент левой части, получается из суммы, входящей в первый
коэффициент правой части при умножении на (/2— j3— jw+jiz — x+y+l), и из
суммы, входящей во второй коэффициент, при умножении на (j3— j2— 7з4+724 + х—
-у+\).
Для рассмотрения общего случая 9/-коэффициента воспользуемся
методом, предложенным Каросене и др. [К. А. Б. 64]. Для этого
используется формула
£(-1)2*(2*+1)
= 2(-l)*(2j+l)
7i 72 х
7з 74 7з4
I7i3 724 7
7i 7г 712
У 7*4 7 34
17i3 724 7
734 х
7l2 734
7i 7*2 х If у
7i2 л А\\а
\ 7з4 74 J> П 7i3 Л У
\ 7з а Уз4П я 7з 7:
У
(25.22)
Эта формула наиболее просто получается графическим способом, о чем
пойдет речь в следующей главе.
В (25.22) суммы содержат по 2а+1 членов (если а не больше у12 и 7з)>
так как
(25.23)
Если, далее, 6/-коэффициенты выразить при помощи алгебраических формул,
приводимых в приложении 3, то получим соотношение, связывающее
^-коэффициенты.
Наименьшее число, при котором (25.22) дает нетривиальный
результат, а=1/2. При этом
7i —7i ± "о" * 7з4 ~7з4 ± "о"»
(25.24)
175

и (25.22) позволяет получить следующую рекуррентную формулу:
Л к 7i2+l
7з 3\ 7з4
7l3 724 7
= "[С/1+Л+Л2+2) (У1-Л+Л2+ 1) С/84+У+Л2 + 2) (Л4-7+Л2+ 1)1 X
xs
[(Л +7*2 -7i2) (-Л +7*2 +7i2 + 1) Ом +7 -7i2) ( -734 +j +7l2 + 1)]2 х
7i 7г 7i2
x \ 7з 74 7з4
7i3 724 7
+ (-1)Л-Л-Лз+У_|11±2 x
27,+1
x [("Л +7*4 +7*34) С/з +7*4 ~7з4 + 1) (Л -7з +Лз) (~к +7з +Ла + 1)]2 х
• 1 • • j.1 *
7i 2 *^2 ^12 2
. 1 . . J_
7з + ~сг 74 7з4 "" 2
7i3 724 7
) +
+ [С/в +Л +7з4 + 1) С/а -Л +7з4) (Л +7з +Лз + 1) ("Л +7з +7*1з)]2 х
Г . 1 . . , 1
7i~~ "2" 7г 7i2 + "2"
х ( . 1 . 1
7з "2* 74 7з4 ~" ~2~
7i3 724 7
(25.25)
Эта формула позволяет увеличивать параметры ^/'-коэффициентов при
наличии коэффициентов, параметры которых отличаются на 1/2.
176

Если в (25.22) подставить а=1, то
7*1 =Л> Л ± 1 • 734 =7*34» У34 ± 1 • (25.26)
Приведем формулу, которая получается в случае л=Л, 7з4=7з4- Она
может быть представлена в виде
где
(2/12 + 2)(*) I 7"i2-4/M+i (7i72> 7W)
Л 7*2 712+1
Л 74 7*34 } +
7i3 У24 7
Л Л 7i2-l
7з 74 7з4
17i3 724 7
7i 7г 7i2
7з+1 Л Уз4 } +
7гз 724 7
+ (712+1МлЛ7*172> ЛЛ)
= (2/ + 2)<») I ^"8 J'*+l UtJsto JiJiw
[ 7i 7*2 7i2 11
+ (Л + 1) AJt (y4y34, ЛЛз) j 7з - 1 Л 7з4 | +
17i3 724 7 J J
. J Ui (Л + l)+/i(7t + 1)-/1S (7x,+ 1)] [Ju (Уз4+ 1)+Л (h+1)4a (h+
+ 1 2/,(2,t+2)
1)1
ГЛ (A +1) +7» (Ai +1)-A (72+1)] [/»* (/i4+1) +Ai (Ai +1) -/ (7+1)1 I,
2Л.(2Л.+2) J'
Л Л 7i2 '
7з 74 7з4
I 7i3 724 7
(25.27)
Ak{mn, pq) = [(m + n + k+ 1) (ти-и + fc) (-m + w + fc) (ти + и-£ + l)x
x(/? + ? + fc+l)(/?-gr + fc)(-/? + ? + fc)(/? + ?-fc+l)]s
(25.28)
В формулу (25.27) входят пять 9у-коэффициентов. Если, согласно (25.26) в
(25.22), подставить другие значения параметров, то получаются формулы,
связывающие шесть ^/'-коэффициентов.
177

Подставлять в (25.22) большие значения параметра а нецелесообразно,
так как в таком случае получатся формулы, в которые войдет большое число
различных ^/'-коэффициентов, а также усложнятся множители при них.
Для вычисления ^/'-коэффициентов в формулах удобно вместо
факториалов использовать квазистепени, как это делалось в случае
коэффициентов Вигнера и б/'-коэффициентов. В наиболее часто встречающихся случаях
9/'-коэффициенты можно представить в виде
b+p d+q f+r
b d f
IP S 9
(25.29)
где параметры (3, 8, cp принимают лишь определенные численные значения.
Если кроме того» конкретизировать р, q, г для 9/-коэффициентов, то
могут быть получены алгебраические формулы, аналогичные формулам
б/'-коэффициентов или коэффициентов Вигнера (ср. разделы 23 и 19, соответственно
Введем параметры:
B=-b + d+f, F=b + d-f,
D = b-d+f, E=b + d+f+l.
Гогда (25.7)'может быть представлена в виде
(25.30)
£ + (J d+8 /+<р
\Ъ d f
U 8
f [ Г<р+а+Ф-
(20)1 (2*)! (2q>)!
+ 1)! (-р + 8+ф)! (Р-а+ф)! (Р + 8-Ф)!
I
£(-i) (3+8+Ф) #(-i) (-3+8+Ф) D(-i) (3-8+Ф) /гС-1) (3+8-ф) -|7
(2b)(-V (23+i) (2J)(~1) (2»+1> (2f)(-*> (»ф+1) J *
В подобном виде может быть представлена и формула (25.10):
(25.31)
b+p d+q /+P+i
b d f
p a P+8
= (-!)•-•[■
(2P)1(2»1
(2(3 + 28+1) ®+p)\ ((*-/>)! (8+?)! (8-*)!
(2^+p+^+l)(^+1)(2^+8+^+l)(2«+1)(2/)(-1)(23+28+i) J •
(25.32)
Формула (25.13) или (25.14) может быть легко представлена в виде квази-
бинома, если использовать соответствующее выражение (19.2) для коэф-
178

фициента Вигнера. Следует лишь преобразовать множитель перед
коэффициентом Вигнера в (25.14). При этом получается следующее выражение:
b+p d+S /+<
Ъ d f
Р S 9
= {_1)Р+3-а+ф[_
(28)!(2<р)1
8+ф+1)!(-р + 8 + ф)!
"(2^)(-1)(2«+1)(2/)(
0(«+ф-р) пу /b
-1)(2ф+1) J I -
Р b+p
d <р-8 d-f+Ъ
-,)■
(25.33)
В виде квазибинома может быть записана и формула (25.17). В этом
случае получается формула
( Ь+pZd+q /+<р |
Ъ d
/
?
-[■
(8+ф+/>)1
(8+ф-/>)! (8 + ?)! (8-^)! (28)(-1>^+1)
£(~1)(/>+9+ф)£(Р-9~ф)£(-1)(р-$+Ф).£(--1И/>+$-Ф) р 1"2
Х (2£ +р + 8+ф+ l)(«e+t9+i) (2^+8+^Н- 1)(*+*) (2/)(-*) <«ф+1) J х
х^-^Я^+^ + З + ф+^МЯ-^
х (26 +/> - 8 - 9)(-1)р+Ф-р). (25.34)
В случае формулы (25.20) сумма может быть преобразована в вид
квазитринома. Формула примет следующий вид:
b+p d+q /+ф
Ь d f
Р S 9
= (-1)3-,
(2ф)!
Ф+Р)1Ф-Р)1Ф + <1УЛЬ-Я)\
£(-Ш/> + Я+Ф) Я(~1)(-/> + $+Ф)£)(-1)(/'-$ + Ф).р(Ф-/>-«)
(Р + 8+ф+1)!(--р + 8 + ф)!(р-8 + ф)!(Р + 8-ф)!(2^н-р+/7+1)(^+1)(2^+8+
+ q + 1 )(28+1) (2/)(-!) (2Ф+1)
x(2p)!(2»)l[(F+p + j-9)^-
(p-jp)(i)(2^-p+Jp)(-1>
(2(3)(0
»-g)(4(2</-8 + g)(-i> 1(3+8-ф)
(28)а J
(25.35)
179

Этой формулой удобно пользоваться, если показатель квазитринома
небольшой. В противном случае удобнее заменить вычисляемый 9/-коэффициент
при помощи (25.21) суммой 9у-коэффициентов, совпадающих по виду с левой
частью (25.34).
В предыдущем разделе приведена упрощающая фэрмула (24.16) для
9/-коэф£ициента, один из параметров которого равен нулю. Пэдобныг
формулы, позволяющие выразить 9/-коэффициент через бу'-коэффициенты,
могут быть получены и в случае, когда один из параметров равен единице.
Одна из таких формул получается из (25.27), если подставить у12 =0,
выразить 9/-коэффициенты с одним параметром равным нулю согласно (24.16) и
применить (23.17) к одному из получаемых таким образом 6/-коэффициен-
тов. Получается формула следующего вида:
а с f
Ъ d f
е е 1
L( iy+'+'+' Wa-b){a+b+\)-{c-dKc+d+\)] j* * e\ (25зб)
I [(2e+2)(3)(2/+2)00]T
Если подставить в (25.21) Л2=0» то получается другая упрощающая
формула. Она имеет вид
а с f
Ь d f
е+\ е 1
= (-\)Ь + с+е+/\
3)(з)(2/+2)(3>
Г ±1 а Ь е+1\
х\{(c-d+e+l)(~c + d+e+l)(c + d+e + 2){c + d-e)}2 j ? +
+ {(a-b + e+l)(-a + b + e+l)(a + b + e + 2)(a + b-e)y {* ^ *}|. (25.37)
Упрощающая формула может быть получена и в случае, когда а обеих
триадах, в которые входит единица, параметры различны. Однако в таком
случае для вычисления проще использовать формулу (25.34).
Как и в случае других коэффициентов, для вычисления 9у-коэффициен-
тов удобно использовать алгебраические фэрмулы при некоторых численно
заданных параметрах. Ряд таких фэрмул приводим в приложении 5. Они
охватывают также подобные формулы Матсунобу и Такебе [Л/. Г. 55].
180

26. Зл/'-козффиииенты второго и первого рода,
^'-коэффициенты и их свойства
Назовем Зи/-коэффициентами инварианты относительно вращения
пространства, выражаемые суммами произведений коэффициентов Вигнера, где
суммирование производится относительно всех составляющих. Использование
свойств матриц преобразования, с которыми связаны Зи/'-коэффициенты,
позволяет выразить последние через суммы произведений ^/'-коэффициентов.
При помощи указанных сумм мы и будем определять Зи/'-коэффициенты.
Сумма произведений 6/-коэффициентов относительно одного параметра
суммирования может быть в общем случае представлена в одном из двух
видов. Обозначим я* следукшим образом (ср. [Ю. Л. В. 60]):
[к к • • • к Л
кг к2 ... кп J х
= X(2x+l)(-iy
*„+"*,
\к кх x\i
1*2 к к\\
j2 к2 х
кз Уз '2
IfMJItl'l}' <->
h
К-± К2
■■■ Jn
h ...
... к
-2 (2*+1)(-1)*"+('""1)*х
f Л kx x 1 f j2 k2 x \ f л»! kn^ x \\jn К x\
\ k2 k h I V h Уз h) \kn jn /„_! J I k kx U у
где
Д. = 2(Л + /| + *,).
(26.2)
(26.3)
(26.1) является Зи/'-коэффициентом второго рода, а (26.2) — первого рода.
Триадная структура их ясна из триадкой структуры 6/-козффиииентов:
триаду составляет любой параметр средней строки с ближаги'ими двумя
параметрами верхней или нижней строки. Исключение составляет
последний столбец: в случае (26.1) имеются триады (j„/rji) и {kjjc^, а в случае
(26.2) - 0,Ш и (ил).
181

Зл/-коэффициент второго рода обладает симметрией:
[Л к ... U 1 ffci к2 ... кп I
/l /2 ... In = /l /, ... In =
^1 k2 ... кп J LA Л ... Л J
[к ...Л Л 1 Г Л U ... Л 1
/• ... к к И 1» '-1 ••• '* ■
л2 ... кп ki J L ki kn ... k2 J
(26.4)
а первого рода -
Л
72
/i
/Cj /C2
л
k
l Л
72
Л.
*i
U-<
'1 -
/Co ... /c«
... 72
/-1 ... /1
(26.5)
Эти свойства симметрии легко получаются из (26.1) и (26.2) при помощи
свойств симметрии бу-коэффициентов (22.10).
Злу-коэффициенты, как и 6/- и 9у-коэффициенты, могут быть изображены
графически. Их графические изображения представлены диаграммами 2*Аг
12в2?! соответственно. Если один из параметров Злу-коэффициентов второго
к.
+. с
L
и
i
i
к
+
к
>——Q
и
i-d
Ц-:
U
1
К
26
»,
182

и первого рода равен нулю, то из (26.1) и (26.2) при помощи (22.15)
получаются следующие выражения:
[Л • • • Л-1 Jn 1
/i ... /-1 0=8 {jm Л) * (*., *i) [(2Л +1) (»!
#i • • • f^n-i кп J
[Л] ... 7/t-i "|
/i .. h-i у
ki ... kn-i J
Г л • • • л-i о I
U l,-i In -8 (/-1. /»-i)S(/„,
L ^i • • • ^я-i kn J
+ 1)1 2x
(26.6)
л)[(2Л+1)(2Л-1+1)] 2x
{7l &1 &я 1 J Л &2 ■ *n 1 \ jn-2 kn-2 kn 1
^ij Л *i J l кг 7з '2 J I ^7i-i Ул-i 'n-2 J
7i • • • 7n-i Уя
h •■■ h-i о
= 8 У», *i) S (*., Л) [(2Л + 1) (2kt +1)] 2 x
Л • • • Jn-\
/i ... 4-х
I ^1 • • • ^/*-l
(26.8)
Л -• • jn-i о
*1 • • • «л-l 'я
I ^i • • • k„-i fcn
= 8 (/„, kt) 8 (/,_!, Л-i) № + 1) (2/.-i + 1)] ' x
x(_l)W^+WA,-.{^ ^ Mx
I k2 72 *i J
y2 k2 kn \ j Jn-2 kn-2 kn 1
'2 ) l ^л-1 7n-l *л-2 J
^з 7з
(26.9)
183

Если в (26.1) подставить и=2, то согласно (21.25) получаем
к) «(АЛ к) S (*ХВД (21, + l)-i (- 1)*-*-*.+*. (26.10)
/х " /, =8(/i,
L *i *s J
Нетрудно усмотреть, что при и=2 ^i^ переходит по своему виду в пАг
Это соответствует формуле (21.26), откуда следует, что
к к
) = (— iyi+J*+bi+k*
I &1 ^2 *2 J
(26.11)
В случае и=3 (26.1) и (26.2) переходят соответственно в правые части
(24.33) и (24.34). Получается
7i 7г Уз
к к к
К\ К% /Сз
к к к
к\ к Уз f >
^2 ^3 *2
(26.12)
[i4<"bHUtl{^ ii»- *
13)
Таким образом, Зл/-коэффициент второго рода при значениях л=2,3
самостоятельного значения не имеет. При и=4 получается 12/-коэффициент
второго рода, впервые введенный Эллиоттом и Флауэрсом [Е. F. 55] и
изученный Шарпом [S. 556]. Мы будем употреблять обозначение
^./-коэффициента второго рода, введенное Ванагасом и Чиплисом [В. Ч. 58]. Этот
коэффициент определен следующим образом:
[к к к к 1
к /, /, h =(-1У*
К\ К% /Сз К± J
_ 1 V"i ~J* ~J» +J* + к1-кж-кг+кА
[Jx ki к к* I
к к к к \
Уз к2 Ji &4 J
(26.14а)
184

-—, I K\ К» ^11 Ко К л X I
{Кл Ко ^ | I К& ^4 X I
• • ,}{..,}• (26146)
Шарп [S. 556] этот коэффициент обозначает следующим образом:
г li h и г (л1 /, *J- (26Л5)
'3 У4 К2
Для усмотрения тРиадной структуры левой части (26.14) удобно записать
ее в следующем виде:
[Л к к к 1
/i /. /з 4 •
/Cj Ко, /С3 /С4 J
У2 Уз
/i Е'з
Здесь триады составляют параметры первого и четвертого столбцов и
любые три параметра, находящиеся на косой линии, идущей вниз и
начинающейся от какого-либо параметра первого или четвертого столбцов (напр.,
А'Л. №гк и ДР-).
12/-коэффициент второго рода обладает большей симметрией, чем дает
(26.4). Его свойства симметрии следующие:
[к к к к Л Г Л к к к Л
к h к U = U /3 4 к
Ki #2 Ко, Л| J L ^4 ^3 ^2 ^1 J
-[
к.
=
J
/2
/С2
Л
Ко,
h
к
\к
\U
lh
4
Ко,
к
/с3
/,
Уз
7з
/з
К$
и]
к
Л J
*ll
71
Л J
72
/2
*2
1
-
1
1
-
1
Л
h
кл
(26.16а)
= кг к2 к3 к4 = (26.166)
= /4 h U к = (26.16В)
185

[Л h h J* 1
k h U /, •
k$ к& k-± k2 J
(26.l6r)
Эти свойства легко усмотреть, если рассматриваемый коэффициент
представить графически не в виде 2вЛ8, получаемом из мА1г а] в виде
куба 2М',.
4 +
U
*»мь
V
6
/,
/♦
А4 А;
^
'г/
L
ГТ~
^
d
\ 1У+
Г^
*,
/,-
'г
*6>
*6
»;
Если подставить и=4 в (26.2), то получаем 12/-коэффициент первого
рода. Его определение следующее:
к
Уз
Л
U
= 2(2*+1)(-1)*'-*х
У К\ /V2 /Сз /С4
( Л ^i * И к К х \ IЛ къ х If у4 fc4 * 1
1^2 Л 'l I I ^3 7*3 Ui^ Л *3 П Л *1 *4 Г
Свойства симметрии этого коэффициента получаются из (26.5). Они
имеют вид:
7i 7г 7з 74
*i *2 h U
I /Cj /С2 *Сз »С4
Л 7з Л кг
/2 /з *4 *1
'кч /с3 /с4 7i
^1 Л Л 7г
/4 /з *2 '1
17i ^4 к% кч
= (26.18а)
(26.186)
186

Эти свойства более наглядны, если 12/-коэффициент представить не в виде
26£2, получаемом из ™ВЪ а в виде 2*В'2.
Если один из параметров 12/-коэффициентов равен нулю, то получаем
следующие упрощающие формулы [Ю. Л. В. 60]:
[Л h Н Л "I _1
к к к к\ = * Ua, к) 8 (Л. к) f(2/2 +1) (2/4 +1)] 2 x
K>i Л2 ^3 " J
Ji 7г 7з 74
h к к о
^ rCj /C2 *v3 ^4
= S(/4, h)8(k4, j1)[(2j1 + l)(2kl+l)] гх
h к h
I '3 Л1 7з J
(26.20)
Л Л Л 0 I __i_
/i h h h } = S(/4, ^)S(/3, Л) [(2/3+1) (2^+1)] 2x
/Cj /С2 /C3 fC^
x(_1)№4.«.JA * МИ" Л 4. ,26.21)
I ^2 ftl Л4 i I ft3 Л2 ^ J
187

В случае 12/-коэффициента второго рода приведена лишь одна
упрощающая формула, так как, согласно (26.16), все его параметры равноправны,
как это имеет место в случае 6/-и 9/-коэффициентов. В случае же
^'-коэффициента первого рода параметры относительно свойств симметрии
распределяются на две группы. Одну группу составляют параметры средней
строки, а вторую все остальные. При помощи свойств симметрии параметры
не могут переходить из одной группы в другую.
Зи/-коэффициенты являются суммами произведений коэффициентов
Вигнера, поэтому соответствующие параметры должны удовлетворять
условиям треугольника. Графически такие параметры изображаются линиями,,
выходящими из оного узла. Однако, как показаноЧиплисом и др. [Ч. В. Ю. 61],
эти условия не исчерпывают всех условий неисчезновения 3«/-коэффициен-
тов при п^4. Дополнительно необходимо учесть условия многоугольника.
Это проявляется в том, что определенные группы параметров должны быть
такими, чтобы они могли быть сторонами I многоугольника с целым
периметром. В противном случае соответствующий коэффициент исчезает.
Одна группа таких условий многоугольников автоматически
выполняется, если только выполняются условия треугольника. Очевидно, что
такие многоугольники новых условий неисчезновения не дают. Согласно
[Ч.В.Ю. 61] такие многоугольники будем называть тривиальными.
Однако существует группа нетривиальных многоугольников, дающих
упомянутые дополнительные условия неисчезновения. Такие условия будем
называть условиями многоугольника.
Если параметры аъ аъ ..., ап удовлетворяют условию многоугольника,,
то для любого из них
%aj>*h (26.22а)
£а, = 0. (26.226)
Условия многоугольников для Зи/'-коэффициентов наиболее просто
определять из их диаграмм. Для этого следует соответствующую диаграмму
разрезать, и тогда разрезанные линии, примыкающие к одной части,
удовлетворят условию многоугольника. Многоугольник является нетривиальным,
если после разрезания диаграмма распадается только на две части и ни в
188

одной из полученных диаграмм никакие разрезанные линии не выходят из
одного и того же узла.
Например, из 22Аг видно, что в бу-коэффициенте параметры aefd
составляют тривиальный четырехугольник. Имеются еще два тривиальных
четырехугольника: abed и befc. Нетривиальных многоугольников
6у-коэффициент не имеет.
9у-коэффициент также не имеет нетривиальных многоугольников.
Имеются 9 тривиальных четырехугольников и 9 тривиальных пятиугольников,
что легко усмотреть из 2М1#
Первым Зяу-коэффициентом, содержащим нетривиальные
многоугольники, является 12/-коэффициент. 12у-коэффициент второго рода содержит 3
четырехугольника: ДУз/зЛ» Wzk> kjcjcjc^ что ьидно из аМа. В случае
^'-коэффициента первого рода имеются 2 четырехугольника: у^у'з^Л и УгЛ^А» что
легко усмотреть из 2б£2.
В общем случае Злу-коэффициенты второго и первого родов содержат по
(■;')■
■1 (26.23)
четырехугольников. В случае Злу-коэффициента второго рода появляется
дополнительный «-угольник (на 2*АХ его составляют линии 1г12 .../„). В
12у-коэффициенте второго рода «,=4, поэтому имеются 3 четырехугольника.
Условия многоугольников являются важной характеристикой Злу-коэф-
фициентов. В работе [Б.Ю. 61] предложено обозначать и классифицировать
Злу-коэффициенты при помощи чисел нетривиальных многоугольников.
Легко усмотреть, что при произвольном л Злу-коэффициент не может
содержать нетривиальных многоугольников с числом параметров,
превышающим л. Поэтому согласно [Б.Ю. 61] Злу-коэффициент будем обозначать
строкой
{av а2>..., а„_3},
где ах - число четырехугольников, а2 — число пятиугольников, ..., ал_ 3 —
число «-угольников.
При таких обозначениях 12у-коэффициенту второго рода соответствует
{3}; 12у-коэффициенту первого рода-{2}. Злу-коэффициент второго рода~в
общем случае будет обозначаться строкой II ) — 1,0,Г.., 1 ?,апер-
вэ го рода - Н 2 j - 1, 0, ..., 0 |.
189

27. 15/-коэффициенты и их свойства
Если в (26.1) и (26.2) подставить и=5, то получаются 15/-коэффициенты
второго и первого родов, соответственно. Выражения для них и свойства
симметрии следующие:
{5,1}Р%)
[к к к к к Л
к к U h h Y
ki &2 ^3 ^4 ^5 J
[Ki Л2 ^3 ^4 кь I
/i /2 /. U h \
к к к к к J
{
У2 Уз 74 7б Л
'2 *3 *4 *5
/^2 /Сз /С^ /С5 /С-
.•}
[к к к к к 1
h к h к к =
гС± fCfi 1С4 /С$ &2 J
(27.1а)
(27.16)
(27.1 в)
190

= 2(2x+l)(-l)*.+*|A *i *1{Л k* x\
x I k2 H h) l ^з Уз *2 J
f Уз k3 x\( j\ kA x\lj6 k5 x \
Х\кА y4 /alUs Л U J 1 *i Л /6 J'
{5,0}(275Б'^)
I Ji У2 Уз Ja Jb
/i h h h h
\ tCi lC% K% Л4 /C5

к к к к Ъ
к h h ! /5. /1
к2 к$ пГ4 къ ji
(27.2а)
^1 7*5 74 Уз 72
'5 '4 '3 '2 *1
I 7l ^"5 ^4 ^3 ^2
(27.26)
Л *з * 1 | Л *« * \ I к к5 х 1
*4 Л UU5 к UU *к /.Г (27,Л)
2МХ является единственной возможной диаграммой 15/-коэффициента
типа {5,1} в виде десятиугольника, в то время как ^'-коэффициент типа
{5,0} имеет три такие диаграммы.
В случае 15/-коэффициентов появляются такие коэффициенты,
которые не могут быть выражены одинарными суммами произведений 6/-коэф-
фициентов. Таких коэффициентов три. Они впервые получены Левинсоном
и Чиплисом [Л. Ч. 58] с помощью рекурентного графического метода.
Приводим выражения для них и свойства симметрии.
{3,1 }^ССС"С1)
♦ / -
27,
с,
192

з -
27
С,
pis Г P'
p' l s V P
jx Kx Sx ki jx
(27.3a)
= (-!)• i
Jx kx sx kx 7i
p' V s I p
72 k2 s2 k2 7*2
(27.36)
= £ (2x+!)(-!)♦
Л h x
ч r A)
I h fa x\
l К Ъ p )
*\k2 k{ W 1*2 К sj'
у = кг-к2 + к'х — fcj + 2y1 + 2sa,
ф = fcx + fc2 - jx - s2 +p+p' + 2V.
(27.3b)
193

{2,2} {™DD'X)
Jx J J H h
Pi P P2
/c^ к
К /Co
/Co
/C^ /С /С /Cg
/Co
а \
Ра
\_
Л 7
Г Л
Л
хл
/Cjl /Cj /С /С /Со /vg
Pi Р Рг
Л / У Л Л
/Cg /Со /С /С /Cj /Cj
= (-!)* <^ Рг Р Л
'Л 7а 7 / Л Л
-2 (*+!> (-!)*{';,;}
k j X
ki J\ Pi
^2 3% P2 ,
*' / *
1К j[ p1
< ^2 7a /^2
ф = kx - k{ -j2 +j2 —Px+Pi + k'-k + x.
(27 Aa)
(27.46)
(27.4b)
(27.4r)
194

{0,6} ("ЕЕ!)
Уг Уз Ja Jb J\
k% лз Аг4 &5 k>i
i.
2 *3
U h
/i
(27.5a)
7i 7e 74 78 72
/Cg Л4 /C3 Л2 ^1
/5 /4 /3 /. /l J
/l /3
/K /»
= (-!)"{ fc2 A:, fcx
7e 7г 7*4
/4
Л Л
= (-1)"
'1 #2 Уз ^3 *4
«3 H Л *2 #б ? =
Л ^4 #1 Л *б J
(27.56)
(27.5в)
(27.5г)
195

+ 1)(-1)*{
7i Н кг
к§ к^ Xi
7б 7з Х2 i
к
1
\ <
2 ^5 *1 I J
, к /ill
Ч /. V
/3 *4 *1
l /С4 /Сз Л^2 i
7з 7б Х2
^4 ^3 74
»
»
(27.5д)
9i = Sfc,,
?2=Л+Л-"^1~^4-/1 + /2 + /з-/4»
Ф =^2~^3 -к +Уз-/3~ /5 + *2-
15/-коэффициент типа {3,1} совпадает с 15/-коэффициентом четвертого
рода, используемым в [Ю.Л.В. 60]. Определение 15у-коэффициента типа
{2,2 } взято из работы Чиплиса [Ч. 61]. От 15/-коэффициента третьего рода,
используемого в [Ю.Л.В. 60], он отличается лишь фазовым множителем
(_ ] \*1""*1+*+/-л+л-Р1+л+р (27.6)
Определение 15у-коэффициента {0,6} и его свойства симметрии взяты из [Ю.
Б. В. 62а]. С 15/-коэффициентом пятого рода, используемым в [Ю. Л. В. 60],
он связан соотношением
л
кг
к
Л
к>2
h
Уз
74
/с3
к
к,
к
75
h
= ( — lyi-Jt+Jz+JA + kx + kt + h + U
(27.7)
'1 74 ^1 '2 '5
л4 /4 7г *-27з
, ^з'з 7i 7б ^5 J
Диаграмма 15/-коэффициента типа { 0,6 } не имеет гамильтоновой линии.
Он изображен девятиугольником (диаграмма 27£i), а также в виде
пятиугольной звезды (диаграмма 21Е'^).
28. 18/-коэффициенты и их свойства
18/-коэффициенты впервые изучены в [Б.Г. 59], где приведены из
обозначения и выражения через суммы произведений низших Злу'-коэффициен-
тов. Эти выражения использованы также в [Ю. Л. В. 60]. В [Б.Ю. 61, Ч.
196

Б.Ю. 61] изучены условия многоугольников 18/-коэффициентов и согласно
этому произведена их классификация. Оказалось, что для обозначения 18/-
коэффициентов указания числа многоугольников недостаточно, необходимо
ввести некоторую дополнительную характеристику. В [Б.Ю.61] в качестве
такой характеристики взято число различных диаграмм в виде
многоугольников. Однако, как показано Румшасом и др. [Р. М. Ю. 64], в случае высших
3/1/-коэффициентов такая характеристика недостаточна. Ими предложена
другая характеристика, основанная на свойствах матрицы общих линий.
Матрицей общих линий является матрица, столбцы и строки которой
соответствуют различным многоугольникам рассматриваемого Зи/'-коэффициента, а
матричные элементы указывают число общих линий соответствующих
многоугольников. Очевидно, что диагональные элементы равны числу линий
соответствующего многоугольника.
Матрица общих линий используется в качестве дополнительной
характеристики в тех случаях, когда имеется несколько Зл/'-коэффициентов с
данными числами условий многоугольников. В таких случаях цифры,
обозначающие числа многоугольников, обеспечиваются верхними и нижними
значками. Первые из них указывают числа нулей в ящике матрицы,
соответствующем данным многоугольникам, а вторые — числа строк в этих
ящиках с данным числом нулей. Таким образом, обозначение Зл/'-коэффи-
циента выглядит так
{А$, 2^, С£, ...}. (28.1)
Здесь а обозначает число нулей в ящике матрицы общих линий,
соответствующем четырехугольникам, а а' — число строк в этом ящике с а нулями.
Число нулей берется обычно максимальное, а если оно одинаково для данных
Зи/-коэффициентов, то берется меньшее их число. Если найдутся такие а
и а', которые выделяют данные коэффициенты, то (3, (У и у, у' и т.д.,
обозначающие то же самое для пятиугольников, шестиугольников и т.д.,
опускаются. Если а и а' одинаковы, то они опускаются, а р и (3' сохраняются и т.д.
Такая дополнительная характеристика достаточна до и = 7 включительно,
а при /i=8 оказывается (ср. [Р. Ю. 65]), что число диаграмм следует
использовать совместно с матрицей общих линий.
197

Приводим выражения для 18/-коэффициентов и их свойства симметрии
{9,0,1} (^АА[) (В[ЮЛВ, 60])
28
[■
к
к к
к
к к к к к I
к к к к к к =
к% к3 кк кь кв J
к9 kt кь kt I
/, /4 к к =
Л 7*4 Jb 7е J
jz h h 7e 7i I
к к к к к =
к3 ki къ кв кг J
К J
,-, „ \ к К х If Л к2 х \ \ jz к, х \
U5 Л /.Л*, к ki\ki к к\ У
-[
\
-[
Я 7e Jb J* Jz
U h U h h
кг кв кь kA k3
(28.2a)
(28.26)
(28.2b)
198

{9,0,0} (**ВВ[) (А)
h Л h Л Л Л
1г U I, U 1Ъ L
*i
^2 ^3
к,
лв
J* J* J* Л Л кг
l* '» ^4 /5 U к
къ А:3 к4 къ кл j\
(28.3а)
kl Je Js Л Уз jt
l* h /4 h /. k
Ji ke К ki k3 k2
(28.36)
Y(2.y+1)(-1)*.+*!A kl MP'2 k* X\\J* fea x\
199

{ 6,0,1 } (**СС'С"С"™С*) (L)
га,
•с,
. к,-
200

(28.4а)
(28.46)
J Л A x \
\ m m' kt J
/, Г, *
I ' A /« J
(28.4в)
201

{ 5,4,0 }(**D'D1)(D)
+
-У
if
Ak<
rM
r
k
jV***^
-4
4
К
r***i*
+
V
/
a:
J, ♦ л
"D,
.КуГ^^А,
%
202

Л А к А А
Si К2 s2
кг к[
S\ К2 S2
Л A h Л Л J
А A /i Л Л
•?2 К2 $1
S2 &2 «?!
Л Уз '2 72 7l J
>= (28.5а)
7*2 Л 4 Л Л
,?! fcj л£
/С2 ^2
S2 tCi S2
[ h h h Л Л )
(28.56)
-2>+1И-1>*{лл t\\A. Л. l\\''.J' '}
^ \s2 st k2] \s2 sx k2) \j'z j2 Ы
[l2 K\ ki X I
Л fi s2 s2 I,
Л *i Л s'i J
(28.5b)
Ф =A -A +A +A +л +Л -A +A+4+кг+fci+x.
{5,2,0} {™EE'E"E1) (M)
25-
203

*л
V4 \
к у
/ т
t;
= (-i)M
r Рг Pi m
k'% k[
/• И s' l'i j[
(28.6a)
-(-l)M
r p2 Pi m
1C2 ^1
(28.66)
— t кг kt x \ l кг kt x \ ( kl k'2 x \
-2*+')(-«• t; ч и ,,,,, ,;;, *
204

[Г Pi Ръ х~\
h f% к l'i |.
Л /, A /a J
<p = 2/1+2/i,
Ф -А -Л -Л +Л + *i + *г+*i + K.
{5,0,\ }(**FFF1)(E)
(28.6b)
Л
Si
A
1\
+ V
5a
*i
>\ /
"/;
h
S2
Л /<2\
4/
- /,+
X'
к h
s*
h Л
d
K2
Ji
ki
205

Уз Л к Л Л
•Уз *^2 *^1 ^4
[ 7з 72 *2 7l Ja
(28.7а)
= (-1)
ф /
Н Л *2 74 7з
•^2 ^1 ^4 ^3
72 Л h Л 7з
(28.76)
._, f кл к\ х \ [ к* к'2 х ] I /о 72 х \
Т 17а ./■ * J U 74 *4 J I j't и к \
h *i "а 7з
. 7i *а *г 7»
Ф =Л -7а +Л -Л+2*1 + 2s8-
{ 4,3,0 } (2*GG'G'G"(?v) (Г)
(28.7в)
. t
Рук—.
— \^ X /
п/\РУ^
тш а зг
А?'
Y/w
♦КЧ* V
m V\\
~ 5А-—
+ S
гвг*'
М
Ч4* '
J
Тг
V
\ +
г
/ "*"
А
ч ^ +
\А
+
206

й
л
+ч~
5J
_Г
т
0>^
Ml
г.
и
"Г"
r~^r%s
н.
я?'
/L-. /
^
/7'ТЯ
гъп»'
-/Л* -
+ mTn 4
f it / m и u и' да' /' к' 1
1/ г * /> f />' *' r' /J™
f Л' /' m' ri и n
\У r' S p' t
m I
P s
*" J)
(28.8a)
207

*-* \п s т ) \п' s т \ \s п и )
j г' Г х
к к' р' р \,
I г ft
ф = от + /я' + n+n'+s + s'—j —f — и.
{ 4,2,1 } (*»НН'Н'НЯН™) (S)
I * к +
(28.86)
28,
ч
ijW.
* t *
гч
* rri
28
н
208

s _
j к I m n 1
r p s s' p' r'
и ri m V k' f j
/ к' Г m' n' t
r' p' s s p r
и n m / к j
> =
(28.9a)
-i^'x-'M;. ;,:}{;: ж: i
n s' Г x
x\ m m' r' r
Is n' t
(28.96)
Ф =7 +./" + к + к' +1 + V + p + p' + 2s + 2s' + и - x.
209

{4j,0,2} (»Щ (G)
ГрГ'>
28i
7,
7i
/i
/2
72
H
*'
/3
= ( - 1 )*' <
74
./
/4
/i
/1
> = (28.10a)
= (- 1 )*' \
J1
h
h
к
.к
Уз
h
к
к'
к
U
к
.1
/1
(28.106)
/; п % 1*
к к'
h /4 h к
jt к к к
> =
(28.10в)
| I, /3 х 1 ) h h х
210

/i /3 x
к Л к
к к U J
l'i /3 х
(28. Юг)
<р1 = 2к + 2к',
?2=S (/, + /;),
Ф =h +Уз -л -л+/i+/«+/i+/;+*-*'
{4J.0.2} {*4J'J"J1) (К)
Ьл-^.Ч.
. s, .
211

Л Jz 7з 74
К-± I к2
Г1 Sl S2 Г2
[Я
k[
h
Г
к
л
Ji /a h Л
K2 ' fC\
r2 s2 sx rx
./ .f ./ /
h /з 7г /1
> = (28.11a)
7j 7г 7з 74
K.\ l /Co
'"l *^1 *^2 ^*2 ' ==
rCj / /C2
k h h h
(28.116)
= (-!)*
7з 74 7i 7г
IC2 * /Cj
Гх <У2 ^1 Г2
Ко
V
k'i
( h
/1
7 J
(28.11b)
_, f кг k2 x I f k[ ко x \
Г1 Г2 X
X { Л 72 *1
7з 7*4 *2 j
r2 Г2 X
7i У2 &i
7з 74 ^2 J
ф = кг - k[ + k2 - k2 + S (// -j-yj),
ф = 2rx + 2s 2 + S (7/ +7"/) + S (fc< + k',) •
(28.1 lr)
212

{3,2,1} (™КК'К"КтК™К?) (R)
213

tjrp'
S -
UlSlv
к
x
j k I
r s
n m
m n и
s r
j' k' Г m n и
p'
r' s' s r
p
Г k' f ) [ t n m I k
>-= (28.12a)
_ ( m r' x \
^(2x+l)(-l)^ s n,\
s и X
k' j' r' \x
/' p' m
r j и x
k p s t
s I m n
(28.126)
ф =^ m + s' 4-1 + r.
214

{3,0,4} (*>Щ) (С)
+ /ff +
щ
i,
7i 72 Уз
'1 '2 '3
\ «vj »v2 3
72 Уз 74
74 /б 7б
/4 /, /«
fc5 #6
/б 7e
*2 '3 '4 *5 'б
/C3 /C4 Л5 AC6 Ac^
7i
7б 7б 74 7з 7г 7i
/6 /5 /4 /3 /2 /j
ACj fCg rCg Kq Kq Ко
(28.13a)
(28.136)
= (-1)ф
кв к
/4 /о /6 }= (28.13в)
\ kx y6
= £(2дг+1)(-1)Ф
74
к U x
к2 7з *2
7 5 ^5 'б
^4 7з
/2 /5 л*
^3 7*4 '3
7i ^6 'б I
/з /в х
72 #1 '1
^4 7б U J
, (28.13г)
? = /1-/8 + /4-/в,
Ф = 7*2 - /б + А> - /5 ~ к 2 - ^3 + * 5 + к в •
215

{ 2,6,0 }{™ММ[){Р)
+1X1.
- U -
J *i /i t l[ к[ у
к2 т1 т[ к2
l2 m'i р' и р т2 /2
у к[ /; t lx кх j
к* т[ т1 к2
/2 т2 р и р' т2 Г2
(28.14а)
= (-1)*
У к2 !, t /о к2 j
к[ т2 т2 кл
\ 1[ т\ pup' т1 /х J
= 2(2х1+1)(2л-2+1)(-1)*{" * **>х
Р Р
(28.146)
Ы Хх Х2
j кх к2
I./' к* k'i
р t х±
т1 1Х кх
т2 /2 к2
Р t х2
т[ 1[ к[
{ т2 /о к2 J
9 =У +/ +р +р' + кх + к2 + к[ + ко + и + 2/,
ф =7 +7" + /? +/>' + fc2 + ^2 + 4 + й ~ и*2 — т^.
(28.14b)
216

{ 2,5,0 } {mNN'N"N'N^) (V)
' П'
X
217

- и *
"n;
i
к j t f k'
s r r' s
p n mum' n' p
;]■
i;
k' f t j к
r' r s
ri m' и m n p
:\
(28.15a)
^ f p и хл \ [ p' u' x2 \ I t xx x2
У(2х1+1)(2х2+1)Г \\ , , r\{
£* \ m n s ) \m n s ) \ и p p
fk r' xx \ \ k' r x2 1
m s / ||w' У /' )
к r' x\
r k' x2
j j" t
(28.156)
218

(1,8.0 (('«О,) (/)
№-**»
2ft
•о,
Jl
к
/i
*i
*;
J2
Л
*1
к
/;
>*2
/з
Уз
А:2
*;
у4
/1
Л J
—
7i
/i
L ./i
k\
кг
/2
Л
'*1
/;
к
г*
Уз
Уз
к
п
к
= (28.16а)
./З 74 '2 U /з
К>2 'i ^2
к f Гг
к1 1г к}
. к У i ri У i к J
_, [ Кл К\ X I I &2 #2 * I
(28.166)
кх Л2 ./2
Уз Л
Л
к\ к<х jo Уз у*1 у4
ф = А:1 + А:2-А:(-А:2 + /2Ч-/2 + 2г1 + 2г2 + д:.
(28.16в)
219

{ 1,6,2} («PPFdW
m +
28,
H
Jl
и
кг m k[
Pi
к
h P2 к
J2 k2 r k2 7*2
j2 k2 m ко jo
h Pi /2
Ji s2 |= (28.17a)
к Pi к
h ki r К A
220

J2 k2 m k2 7*2
^2 P<L h
= 1 S2 Si 1 =
l'l Pi h
\A К r fci A
IP* Pi Sl\ iP* Pi Ъ
(28.176)
7i ./2 ^1 ^2 *i '2
r m x
7a 7i ^a &i '2 '1
ф = /x _ /2 + /; - /a + A: 2 - к 2 + 2 m.
(28.17b)
i"
{0,9,0 }(*%)(#)
72 /3 Л 72 7.* 7i 7*2 7з
fC2 *^3 »vi *^2 3 1 1 С
з 7г 7i
7г 7i 7з 72
гС^ fCo /Co «Ci fCo rC^ 1
, = (28.18a)
221

I Уз 7i 7г
\ /C3 Ki K^
Уз Ji 7a
h h
К ki к к''' к}- <28m)
v3 л2
*'.
Л
Л
xx.
7i
К
x2
к"
n J
H
/C3
./!
*i
h
к
Xi
AC2
/c2
-v2
*;
ь
Ф = -72 + /2 + /3" /3 - *i + *£ + *8 + 2/1 + .*! + .v2.
(28.18b
'{0,8,2 }(™SX)(F)
7i /2 7з 7*4 A:
/1 /2 /3 /4 /; /; /;; /1
*' Л 7s 7з 7i J
74 /3 7*2 7'i *'
/1 /4 /3 /2 /i /4 /3 /2 }= (28.19a)
* 74 h /V /,
222

н
72
71
л
= (-!)«
к'
,v%
Л
/3 /2 /l /4 '3
7*i 74' 7з
•Vi -Го
X (
J3 хг х2 1
к' 7*4 Л J
к 7*1 '2 'з 1
(Уз Л *1 х2 j
1 72 Л ^3 ^2 J
?=72+Л + А,
Ф =7i
L 72 ~К/з "~74 ~л
h +7i + /i + /2+/44-/; + /J + /s + /i + JCi.
-(28.196)
(28.19b)
Определения 18/-коэффициентов совпадают с определениями,
предложенными в [Б. Г. 59] и использованными в [Ю. Л. В. 60], за исключением
коэффициента {3,0,4}. Последний взят из работы [Б. В. Ю. 62]. Он связан
с 18/-коэффициентом С, использованным в [Ю. Л. В. 60], соотношением
*1
h
к
ks
h
к
/с3
/з
/.
*4
/4
и
к.
/5
4
fce
л
>«
1
h
*1 7*2 *1 ^4 75 «4
= (-1У'+'>+'-+'.{ /2 к2 h к К и
'з к-л ,h 7i ^e *e
(28.20)
29. Зфкоэффициенты более высокого порядка
По мере увеличения числа параметров число различных
Зи/-коэффициентов резко увеличивается. Тем самым усложняется процесс их изучения.
Это изучение привело к разработке различных методов. Так, в связи с
изучением 15/-коэффициентов был разработан рекуррентный графический
метод [Л.Ч.58]. При изучении 18/-коэффициентов был найден метод узлов
[Г. Б. 59]. Попытка изучения Зи/-коэффициентов более высокого порядка
привела к методу сумм [Б. С. 63].
Румшас и др. [Р. М. Ю. 64] для изучения Зя/-коэффициентов
использовали цифровую электронную вычислительную машину БЭСМ. Они строят
223

диаграммы непосредственно при соблюдении стандартных условий,
важнейшим из которых является требование неразрезаемости диаграммы по двум
или трем линиям на две части, содержащие замкнутые контуры. Ввиду
того, что среди Зл/-коэффициентов (по крайней мере до л=8 включительно)
не появляются такие, которые не могут быть представлены в виде 2и-уголь-
ника (не имеют гамильтоновых линий), за исключением 15/-коэффициента
типа {0,6}, достаточно рассматривать всевозможные расположения
диагоналей 2«-угольника, ведущие к различным Зи/'-коэффициентам.
В качестве рабочей характеристики Зиу-коэффициентов на машине
использовалась матрица смежности (матрица, элементы которой нумеруются
узлами диаграммы, причем элемент равен единице, если узлы соединены
между собою, и равен нулю в противном случае), возведенная в степень п
при четном и, и в степень л +1 при нечетном п. Оказалось, что набор
значений диагональных элементов результирующей матрицы является различным
для различных коэффициентов при заданном значении п. Эта характеристика,
не обладающая физическим смыслом, использовалась лишь в ходе
расчетов. Классификация полученных типов Зи/-коэффициентов осуществлялась
с помощью условий многоугольников и матрицы общих линий, описанной
в предыдущем разделе. Определение условий многоугольников было
осуществлено на машине с помощью соответствующей подпрограммы, так как
без машины это определение не надежно (ср., нпр., [Ш. С. 63]), за
исключением самых простых Зи/-коэффициентов.
Таблица 29.1
Список 2 ^-коэффициентов, задаваемых диагоналями 14-угольника,
вершины которого обозначаются
а, Ъ, с, d, е, f, g, h, i, j, к, /, m, n
№
1
2
3
4
5
6
7
8
ad,
ad,
ag,
ad,
ad,
ad,
ad,
ad,
bj,
bm,
bi,
bm,
bm,
bm,
bj,
bm,
ci,
cf,
cj,
eg,
ci,
ch,
ci,
eg,
Диагонали
en,
eh.
dk,
ej,
eh,
ej,
eky
ei,
fm,
gj,
el,
Л
Я
fu
Д
fj,
gl,
il,
fm,
hi,
gj,
gl,
gm,
hi,
hk,
kn
to
kn
kn
kn
hn
kn
| X,p,™p„c™
_
1 14, 0,
i 14, 0,
i 10, 0,
8, 3,
| 8, 3,
! 8, 0,
j 8, 0,
1 7, 3,
0, 1
0, 0
0, 1
2, 0
0, 0
2, 0
0, 1
1, о
224

Таблица 29.1 (продолжение)
№
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
ad,
ad,
ad,
ad,
ae,
ad,
ad,
ad,
ae,
ae,
ad.
ad,
ad,
ae,
ad,
ad,
ad,
ae,
ad,
ad,
ad,
ag,
ad,
ad,
ad,
ad,
ad,
ad,
ad,
ad,
ad,
ad,
af,
ad,
ad,
ad,
ad,
af,
bj,
Ы,
bf,
bk,
Ы,
bm,
bh,
Ы,
bk,
bk,
Ы,
bk,
bk,
Ы,
Ы,
Ы,
bf,
bj,
bh,
bg,
bh,
bj,
Ы,
Ы,
bh,
Ы,
bf,
bf,
bf,
bg,
Ы,
bj,
bh,
bj,
bh,
bg,
bh,
bh,
ci.
eg,
cl
cj,
cj,
ci,
cf,
eg.
ej,
cj,
eh,
ef,
eh,
cj,
d,
ch,
cm,
ci,
el,
cl,
el,
ci,
ck,
ck,
ck,
cm,
ck,
ch,
ci,
cl
cj,
eg,
cj,
ci,
cj,
cl,
cj,
d,
[И
en,
eh,
eh.
ei,
dk,
ej.
ej,
en,
di.
di,
ej>
ej,
em,
dk,
en,
en,
ei,
dm,
en,
ej.
ej,
dk,
en,
ej,
en,
ej,
ei,
ej,
ek,
ei,
ei,
em,
dk,
el,
em,
ej,
el,
dk,
fl
fj,
gj,
fn.
fl,
fk,
gm.
fj,
fn,
fl,
fm,
gn,
fn,
fh
fj,
fj,
gk,
fn,
fj,
fi,
fl,
em,
fl,
fl,
fj,
fl,
gn.
gl,
gn,
fj,
fn,
fi,
el,
fn,
fi,
fk,
fi,
ej,
gk,
im,
im.
gm
gm,
gl
H,
hk.
gl
gm,
gl
hi,
gj,
gn,
gm,
gk,
hi,
gk,
gk,
hm,
gm,
fl
gj,
gm,
gm,
gk,
hi,
im,
ы,
hm,
gm,
hi
gm,
gk,
gl,
hn,
gm,
gm,
hm
kn
kn
hi
hn
hn
kn
im
hm
hn
kn
im
il
hm
hk
im
jn
hi
im
kn
kn
hn
hm
hn
il
hn
jm
kn
jm
kn
hk
kn
in
hm
kn
im
kn
in
Характеристика
7,
75
2»
73
*2>
6,
6;
6,
6,
6b
6}.
6,
6,
68\
6!,
5,
5,
5,
5J.
5f.
4.
°1»
5,
5,
4,
4,
4,
42
44
4,
4,
4,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3,
3.
3,
0,
0,
6,
5,
4,
2,
2,
2,
1,
0,
0,
0,
4,
3,
2,
2,
2,
1,
1.
0,
0,
6,
6,
4,
3,
3,
2,
2,
l!
12,
9,
8,
8,
7,
6,
5,
4,
0,
0,
0,
1.
0,
0,
3,
2,
2,
4,
6,
2,
2,
1,
0,
4,
1,
1,
4,
4,
4,
0,
2,
1,
2,
1,
1,
4,
3,
2,
0,
0f
2,
0,
1,
1,
4,
6,
1
2
2
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
2
4
0
0
0
1
1
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
0
225

Таблица 29.1 (продолжение)
№ Диагонали
i
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
ad,
ad,
ad,
ad,
ad,
ae,
ae,
ad,
ad,
ad,
ad,
ad,
ad,
ad,
ad.
ad,
ad,
af,
ad,
ae,
ae,
ae,
ad,
ad,
ae,
ae,
ad,
ad,
ad,
' ae,
ae,
ae,
Of:
ae,
ae,
ae,
ae,
af,
bf,
bg,
bg,
bg,
bg,
bl,
bi,
bl,
bk,
bk,
hi,
bl,
bg,
bg,
bg,
bh,
bh,
bh,
bk,
bh,
bl
bh,
bl,
bk.
bk,
bh,
bh,
bg,
bg,
bh,
bh,
bg,
bj,
bk,
bl,
bj,
bg,
bk,
ck,
cj,
d,
cj,
ck,
ck.
cj,
ch,
ch,
ch,
eg,
ch,
ci,
ci,
cm,
ck,
ck,
ck,
ch.
cj,
ck,
ck,
eg,
eg,
cl,
cj,
ck,
ck,
cl,
cj,
cj,
ci,
ch.
ch,
ch,
cl,
cl,
ch,
ci,
el,
ej,
el,
ei,
di,
dl,
ei,
ei,
ei,
ej,
ek,
ej,
el,
ei,
ei,
ei,
dl,
ej.
dk,
dh,
dj,
ei,
ei,
dh,
dl,
ej.
em,
ei,
di,
dl,
dk,
dk,
dl,
dj,
dh,
di,
dm,
gm,
fn,
fn,
Л,
fn,
fj,
fn.
fk,
fm,
Л,
fm,
fj,
Л,
fk,
fk,
Л,
Л,
ej,
fm,
fl,
fj,
fl,
fk,
fl,
fj,
fn,
fn,
fj,
fk,
fm,
fk,
fh
em,
fj,
fk,
fk,
fk,
ej,
Характеристика
hi,
hk,
hk,
hm,
M,
gn,
gk,
gn,
gl,
gm,
hi,
gn,
hm,
hm,
hi,
gn,
gm,
gm,
gl,
gn,
gn,
gn,
hm,
hm,
gn,
gk,
gl,
hi,
hm.
gk,
gm,
hm,
gl,
gn,
gn,
gm,
hm,
gl,
jn
im
im
kn
fm
hm
hm
jm
jn
jn
kn
im
kn
jn
jn
jm
jn
in
in
im
im
im
jn
jn
im
im
im
in
jn
in
in
jn
in
im
im
in
jn
in
38
Q8
«Jo»
d0,
2,
2,
2,
2,
2J,
2J.
2,
2,
2,
2,
9
2,
2,
2,
1,
L
1,
1,
1,
1,
L
1,
1,
1.
o,
0,
0,
o,
0,
o,
o,
0,
0,
4,
4,
3,
Q3
62,
Я
10,
9,
8,
7,
7,
7,
Ъ
7J,
6,
6,
5,
4,
4,
2,
12,
10,
10,
9,
9,
9,
8,
7,
6,
6,
10,
9,
9,
8,
7,
7,
6,
5,
0,
3,
3,
4,
4,
4,
1,
2,
2,
6,
4,
4,
3,
3,
3,
2,
5,
8,
6,
12,
0,
2,
0,
4,
3.
2,
4,
7,
8,
6,
3,
5,
4,
8,
8,
7,
9,
14,
28
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
0
0
2
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
226

В табл. 29.1 приводятся 2ly'-коэффициенты, взятые из [Р. М. Ю. 64].
Число их 84. Они задаются диагоналями 14-угольника. Вершины
многоугольников обозначаются по порядку а, Ь, с, d, e,f, qy h, i>j, к, /, /w, п.
Направление нумерации вершин (по или против часовой стрелки) роли не играет,
так как такие две диаграммы являются зеркальным отражением одна
другой.
В [Р. Ю. 65] изучены и приведены 24/-коэффициенты, число которых
576. Там произведена оценка числа 27/-коэффициентов. Оно достигает 4500.
Определения и свойства симметрии 3nj-коэффициентов, начиная сй=7,
установлены лишь в некоторых отдельных случаях. В [Б.Ю. 61]
установлены два 21у'-коэффициента и по четыре из 24у- и 27/-коэффициентов, если
не считать соответствующих Зл/-коэффициентов первого и второго рода,
определения и свойства симметрии которых следуют из общих формул
раздела 26. Кроме того, в [Р. 65] определено еще семь 21у*-коэффициентов.
Приводим вышеуказанные определения.
{ 6^,0,2,1} ГЛ)
J т 7i К к г /; к[ j[ т! |
Ins п' \
[Р к к2 /2 г' V2 к'2 yi Р' )
227

[ т'
\р
[ т'
[Р'
•г
h
Л
к
к
п'
п
s
K<i #2 Т «2 К>2
К>2 «2 Т *2 ^2
S
/Су /^ Г I j[ К\
п
п'
л
л
л
л
]
р'\
m |
!
/> J
*--. t k ki п\ \ ji k'i n' \
л J?' w
Л m p \
*2 ^2 ^1
/Co
*i
/i
/i
Ф =7i +7* —j'i —Ja + kt + k? + k[ + k'2 + r + r' +p+p' — n — ri + s.
{ 3,4,6,0 }ГА2)
♦JLu
29i
h 1% h
4 k P h Л
1'г
/i
Ik
К
h'
k'
Ji Уз
Is
(29.1a)
(29.16)
(29.1b)
228

(-1)'
ф <
q /i
w
p
'1 '2
л
72 75
= 2 (2x+!)(-!)*{*
7*2 />
Л' 1'3
/4
/4
к: /3 J
/i £ A'
7i Л л J
'X
= (29.2a)
/ h' 1'ь x 75 h lh
x <^ k' q к
'з м 7s 7* '3 '4
(29.26)
{ 2,7,6,0 }е9Л)
г
К,
ц*~ к, + р*
29,
229

h
кг
A
;/i
Pi
4i
k
1*
n
Уз
к'
К
Л
= '
P2
42
/;
7'i
/2
/C2
7*2
Pi
Яг
' =;
h
л
*i
/1
/8
и
7з
л
Й1
Pi
к2
h
7i
к'у
п
Р2
42
7з
л
п
1'г
/з
к
A j
А
/Со
/i
' =
Л
42
к,
Р2
/а
'= (29.3а)
(29.361
= (-!)*
'з
/£ к к l'i
Pi к Pi
02 Уз <7i
7a Л /1 7"i
7з
(29.3b)
^^H^:i(ti:irj.:):
72 72 *2
^2 ^2 02
1 /1 /i
I h I2
1 Г
=/,+/i-
xx
#2
и
7з-7.
» i
j>
7i 7j
72 7*2
[ h Л
•Vi
лг2
/?
(29.3d
Ф = 'i- '2 + /s-71+72 -7з-
230

-У
кк
Ч\~
%
{ 2,7,4,0 }(»At)
_Pz-
k
Jjl
ш
VT
=h£
"M"^
A
9b
П +J2
U
№
""""^ / J
h
a
29,
П
^3 **1 1 ?
fCo ^°
/> Я h n g q' p'
к к
к h J А Л )
*; *;
^1 *3
£,
/>' #' g n h q p
к к
к л j к к
(29.4a)
Л \ Ji J Ji Ji
к к
p q g n h q' p
/Co
[ ^3 *!
кг k'2 J
(29.46)
231

{^з 7з Х2 1
7 * W
Уз Х2
к р t
ki 7i xi
k2 j2 n
{ ^з 7з X2
If »t
Kl 71 xl
l ^з 7з X2 J
ф = кг + /r2 — A:3 + k[ 4- fc£ — A:3 — /г — у — п 4 ^.
{ 2,4,8,0 }(»AS)
gjJLth
J2 + /7+^2
2S,
7i
7з 7-2
£ 7
Л 72
A
P
1
n
r
q
kx
Ко
к
/Co
К
/c3
h
К
j
> = *
Л
7з 72
? 7
7з 7г
7i
/Co /Сч
q n p к
I
к?, л3
*i / 7i
^3 ^2 72 7з
h к q n p j g
k% k2 ./2 7з
k[ /' 7i
(29.4b)
(29.5a)
(29.56)
232

к^ш^ш-.»^;'t ;*}{** *?}:
g P /i
x \ q h кг
[ji k'i *i
ki 7i xi
k2 Л n
^8 7з X2
k'x ji xx
k2 j'2 n
^з 7з *2 ,
'^кг-къ + къ + к'х-к'ъ + къ.
% + /7 + Ч
(29.5в)
29,
#3 «2 *i ' /j *2 '3
q2 Чх P n p' qx q'2
7з 7* Л ./ 7i Л 7з
'3 *2 'l * *i '2 '3
?2 <7l />' » /> #1 ?2
./ ./ .r . .
7з 72 7i 7 7i 72 7з J
(29.6a)
233

= (-1)ф
Уз 72 7i 7 Ji Ji 7з
q2 q1 p n p' q[ q!2
V '3 '2 *1 * 'I '2 ^i
^ /0 l4 J ft ft л:
= У 2x+l){ ,
^ I ft ft П
ft ft
X
/;
У2 7
7з
/ P 'з
9 = /i + /2 + /i + /2 +Л +7a +7'i +7*2 + ft ~ ft + ft ~ ft-
/l
/>
7i
7з
/з
ft
X
ft
• /
72
7i
/>'
/lJ
/2
/>' ,
1 X
)
(29.66)
(29.6b)
*9
'*
7i 72
«l #i
/2 /4
*3 ^1
I 7*1 7*2
7з
k2
^ /4
/Co
Уз
У4
/;
/;
/;
./; J
> = <
7i 72
/3 k{
h U >
A fci
[ 7*i /2
7з
/Co
■» /4
A:2
/3
74
/i
'a
/i
/4
(29.7a)
234

= <
Л
/;
/.'.
i\
, к
= (-l)*i «
= (-1)^ <
= Z(2* +
л
k к
X
/i
7з
К%
4
k'2
л
Уз
4
'4
h
U
I Л
и
h
h
л
1)(-
n
Jt
fC%
/.
*;
Л
Л
k'2
h
*.
jt
-1)*'
k[
J
1
/2
*1
/4
*i
/a
л
и
X
Л
l Л
/l
n
./1
/1
/2
/.
л J
/1
*1
'2
k[
/1
/i
*i
/3
rCg
/3
Л
/;
/i
>=
/2
/3
/4
/1
7s
./»
G
/l
t'l
h .
> =
► =
к \
/3 *
/J J
/C2
./3
Л
h
(29.76)
(29.7b)
(29.7H
(29.7д)
h
К j /v 2
91 = s(fcl--fc;),
9o=w + s(.//+7;+fc;),
Ф =7i +./2 ~h +7з +7з +Л ~ ki + *i ~ *i + '4 + "
235

{ 1,6,8,0 }(«%)
**i
'8
Л 7г /з 74
/4 п Г± Г2 } =
«3 *1 *2 ^2 ^3
I 7*i У* Уз 74
S^ /о ,ч 1V Pa 7'i х \ \U и х \
74 ^2 л"
xf 7з ^2 я *1 72 72
4 &i 7i 7i
(29.8)
Ф = 2/я+/8 + /4-Л-Л+л + и + ^
236

{0,5,14,0 }(»А9)
к
L+ р - i
29,
'9
/i
/
/i
h /2 /a к
p n q
s к Л *
A J A
h Л
/з Уз
A J
к к Л
Р п
А
t
к
/;
к
i
2
'з
= (29.9а)
= (-lW
'з *3
/; / /г
& 1о к h
q п р
* Л к s
A j А
Л Л
(29.96)
: 2 (2^1+ 1)(2х.+ 1)(- 1)ф{
s l3 h /2 /х
Уз п I h Р
х± х2 q j к
237

t Уз к j2 j\
к n J к P h
xt x2 q I /2
^ — кЛ-t — k — s,
(29.9b)
8,0,4,0,1 }(*%„)
4- 7^-^ ^^ 'a
11 + m:~ ч
/77;
*Я
я
10
ji к li к к к Л Л
к тг п т2 т'2 п' т[ к'
)
174
Уз к
L
к
к к
Л )
Л Л к к к к к к
к' т1 п т2 то п' т[ к
к к к к <2 к Уз Ji
(29.10а)
У4 Уз к к к к Уз 7*4
к т[ п' т» т2 п тг к'
к к к к к к Л Л
(29.106)
238

7з j\ 'з U U 'з Л 7з
к т2 п тг т[ п' т'2 к'
72
к h
к П
/;
л)
-ъ™-»\кЛЖ\'Л
к
к
п
h
h
т1
/з
h
X
А
Л
тг }'
J
£
U
и'
К
l'l
т[ x m'2
к к
ф = D (у,- 4-7,- + w,- + т.]) — n — ri — k — k'.
(29.10в)
(29. Юг)
{5,3,4,2,0 }(*>Ли)
J2P^ V Z/^Ч л
2S
/7
7i 7г ./з /4 /о 7б 77 ^1
*i к2 к$ 1% 'з к& кь U
J) 7*2 7з Л Л 7е 7-7 ^6 J
-2>+'>(-.>.{1£;}:
72 Л ^1 7з
h
/,
/j
239

/h
к к
х к*
h
h
h
U
(29.11)
&5 к 7б к± к /4
Ф =Л -Л -Л +./б -Л +7"i +./з -7в +Л +Л + k1 + k2-ks-l2-li + x.
{4,2 Л 2,4,0 }(2М12)
m Л fcx /х г 1{ к'г ./; "*'
п± п2 t s щ п[
У Р 7*2 К U >*' & ^3 Л Р'
= '
т
' л К А
Щ 1Ц t
I Z7 7а ^2 '2
= (-1)*<
т' /2 &2
И 2 «1
, />' А К
|/2
2(2х+1)(-1)*(
х
IS
г
г'
/2
г
/i
г'
/г
5
и
г'
г
к2
*2
&1 Л W
/г2 лг
к2 к Р' .
1 —
/о ко ]'2 т
S 1Ц 1Ц
l[ k'i А Р .
> =
кг h |
X Г S ) X
к[ /,
(29.12а)
(29.126)
240

т'
X
к[
к,
7i
Р'
п[
h
пг
т
t
п'2
«2
72
р
к2
к
ф + Wj — Щ + Пу — Ид,
ф =j\ +j'2 + k1 — k2 — k'i — k'3 — n1 + n1 — r — r'+s—t + 2p'.
{ 3,0,20,0,0 }ГА13)
mftfXm2
29
й
(29.12в)
/3
7i
/i
1 Wi
/i
1 7i
72 r
kx s
т[
k[ s'
7*2 r'
=(-
7з
K<%
m2
2
Л
. i)<Pi <
74
/.
mj
ft"
Л .
к
/.
m\
/Г
7'i
> = <
7з
/C^2
m^
&2
7з
/i
/1
mx
/i
. 7i
r'
£
s'
r
72
К
т[
*i
h
к
кг
m[
k[
72
r h
s'
s
rC2
^b
^2
г 7з
7i
к
mx
/i
7i ,
> =
74
/2
ra
к
к
(29.13a)
(29.136)
241

=(-1)
q>2 <
7з 74 Г J± J2
l\ /C2 S /Cj /2
m'x mY ml m>
'1 *^2 ^ 1 2
(29.13b)
^—, I /Ci /Co X I I /Ci /Co X
= V(2x+l)(-l)*{ ,l -
7i У2 Уз 74
rax fcx A:2 m'2
'l '1 •*- »2 ^2
m{ A^ &i m2
I 7j Л 7*1 7*2
Ф1 == /vj — /C2 г /Cji — /C2»
(29.13r)
{11,0,6,0,0,1 И89^
n;Tf?n-2
29 s
44
7i 'i &i "1 ' «i ^j /1 7i
m p s t и t' s' p' m'
Л ^2 ^2 "2 r' ri2 k2 /2 y3 j
242

т р' s' t' и t s р т
[ 72 »2 ^2 П2 Г W2 ^2 *2 72 J
ч2 * ft 2
Я2 **' «2
= (29.14a)
лСо
Л '2 ^2
m p s' t и t'
j\ /a ^ nx r n[ k[ /;
^2 7з
5 /?' m' } = (29.146)
7i
-z^>»(->M« £ :}{« 1 :i
щ k± k[ n[
t x f и
I r%2 i^2 *^2 ^2
7i l'i к 7i ^
/?' x p m rri
7*2 ^2 4 7*2 •?'
Ф =7i +72 -7"i -72 + fci - fc2 + К - k'2.
(29.14b)
{6,2,16,2,4,0 }(2M15)
l'i-mr '♦
29
/7
f7i Л /1 /2 и /i /i 72 7'i
&х /c2 /«1 /w2 /? m\ m[ k2 k[
l Л 7з '4 /3 л' /з /4 7з 74 J
7i 7а 4 /з w 'з £ Л Л
&1 &2 Wl m2 T7 W3 WJ &2 &1
л 7з 'i h n' /; /; 73 h
> = (29.15a)
243

л
«1
7*4 Уз ^1 ^2
/:2 к± т[ т'2
( 7i 7 2 U 'з
п
Р
п
к
=(-i)*
н
кг к
Pi
7з
/С2
\к
Л
К
л
/з
га2
/.
/4
m
л
р
Г*
т
/i
/i Л л
т1 к[ к'%
U Л Л
J т
1'г
74 7з
к± /с2
7i 7а
I
т
г
т
к
h
т.
Л /2 /; т, к 7а Л
^! к2 р п' к'3 к[
h A I* т\ Гг 74 А
<p = k1 — k2 + k'l — к'«,
Ф =h +h + к + h + ™> ~ « + 2/2 + 2/3 + 2/? + .v.
{ 5,0,26,2,0,0 }(»Лв)
Ps-n2 + r2
29
д
flu
J3
h
P2
г,
a
Ji
/C2 П2
P2
k'2 щ
Л
46
h
Til ^2
Pi
n[ k'2
Л
74
h
Pi
7'1
7i
/i
p2
72
К i 712
Pa
к k[ n'5
A A
(29.156)
(29.15b)
(29.15r)
= (29.16a)
244

7i У2 Уз Л
п[ к[ l[ т' Г2 k2 n2
Pi Pi r p2 p2
nx kx l± m l2 k2 n2
]l 72 Уз 74
,£ (2*+!)(-!)♦
J'2 Jl Jn Уз
n2 kx lx m /2 k2 пг
= (-l)g { P« Pi r Pi p[
\ ri2 k[ l'i m l2 k2 n[
I -r •' •/ ./
I ./2 Jl 74 Уз
!Ji h Уз У4
Pi kt k2 p2
nx ri_ x щ «o
Pi k2 k[ Ръ
Jl J2
Уз У4
V^ZUi+Jt + ki + k'i),
Ф =h +Уз -Ji "Уз + ni ~ n2 - ^i + n2 + /x - /2 - /J + /a + k[ + fc2 4- x
(29.166)
(29.16b)
(29.16r)
{ 5,0,24,4,0,0 }(**A17)
4-r - 4
29
Им
245

[m j\ кг k г /J к[ j[ ml
V пх п2 t s t' n'2 n[ v' 1 =
P к К к г' l2 k2 j'2 p' J
[m j[ k[ l[ r /x кг j\ m "1
v' n[ n'2 t s t' n2 пг V 1 =
P J2 k2 к r' /2 k2 j2 p' J
[m! j2 k2 l2 г' /о ко j'2 m 1
v n2 пх t' s t n[ n2 v' 1 =
p' к ^i к r /; k[ j2 p J
_, f nx n2 x | f n[ n'2 x 1
m к кг 1г r l[ к[ j[ т \
пх п2 х s п2 п[
р h к2 к >*' к к'2 к р'
ф = п1 + п'1 +1 + t' + v + v' + X.
(29.17а)
(29.176)
(29.17b)
Как видно, в определениях или, как принято говорить, разложениях
Зя/-коэффициентов оставлены 3(« — \)j-коэффициенты. Например, формула
(29.17в), представляющая разложение 27/-коэффициента, содержит 24у-коэф-
фициент, определенный согласно (29.12в). Подстановкой последней формулы
в (29.17в) можно избавиться от 24/-коэффициента.
30. О симметрии зеркального отражения
Зи/-коэффициентов
Фазовые соотношения Зяу'-коэффициентов, содержащих параметры,
заданные в отраженной системе координат, и нормальных Зя/-коэффициентов
могут быть легко установлены при помощи формул, выражающих эти
коэффициенты через суммы произведений 6/-коэффициентов. Однако, как это уже
имело место в случае 6/'- и 9/-коэффициентов, необходимо дополнительно
установить точный знак. В ряде случаев для этого могут быть
использованы различные упрощающие формулы. Однако в ряде случаев установить фа-
246

зовые множители можно лишь прибегнув к высшим Згу-коэффициентам.
Проиллюстрируем это на нескольких примерах.
В первую очередь заметим, что свойства симметрии зеркального
отражения могут быть получены последовательно, если только изменяемые
параметры не входят в триады с измененным ранее. Например, левую часть
(22.20) можно получить, применив два раза (22.19). В случае 9у-коэффициен-
тов левые части (24.22) и (24.26) получаются при помощи (24.20), (24.25) —
при помощи (24.20) и (24.21), и т.п.
Использование высших Зи/'-коэффициентов покажем на случае (22.23).
При помощи (24.16) получаем
е
= [(2е+1)(2/+1)Р(-1)'
= ±[(2е+1)(2/+1)]2(-1)ф+ф
= +(- 1)ч=+Ф + 5
{:-
(-1)"
f ф «
а
с
/
Ъ е \
с
/I
а
с
j
ъ
d
f
ъ
е
d е
f о
е
е
0 ,
> =
(30.1)
Здесь ф, ф, ^ состоят из параметров 6/-коэффициента. Необходимо лишь
установить знак в соотношении
а
с
ъ
d
h
= ±(-i)M
а Ъ
с d
■ f h
е
g
к
(30.2)
b
f
(30.3)
Если здесь подставить h = 0, то получается
Это равенство должно совпадать с левой частью (22.21), что соответствует
нижнему знаку.
Таким образом, в (30.1) должен быть взят нижний знак, что совпадает
с (22.23). Нижний знак должен быть взят и в (30.2), откуда следует знак
левой части (24.24). Для примера покажем еще получение знака правой
части (24.24).
247

Из (24.13) легко получаем
7i У2 Уз
к к к \= ±(-1)Л-/--^+Л»
l /Cj /С2 /С3
У1 72 Уз
/i к к
Ki /С2 /С3 )
(30.4)
Последнее равенство при помощи (26.20) представляем в виде
I А:2 /с3 'з *i
К Уз 4 0
^ к ]\ к ^2
I ^2
= ± /(-1)Ф{
/я
/l
/Ci
Уз
/2
(30.5)
I '1 к Л ^2
Знак в этом равенстве устанавливаем из равенства
к к Уз о
к к Уз ^i
«vi *^2 *^3 4
-[«.+ 1)(а1+1)Й(-1)«{* t Ml* t М-
I /V2 Л,! а-4 J I ^3 К2 к4 J
= -/[(-2/-3-l)(2fc1+l)r2(-l)^
У1
У*2 к \ \J2 УЗ к I
/Cj /С^ ) у лСз »v2 /С^ )
= -l(-ipi+<{
Л _ У2 Уз _ о
/х /2 Уз ^1
v /Cj гС2 /С3 »v4
(30.6)
которое получается при помощи (26.21) и правой части (22.21). Отсюда видно,
что в (30.5), а тем самым и в (30.4), должен быть нижний знак, что совпадает
с (24.24).
Изложенный метод может быть применен в случае любых Зя/-коэффици-
ентов. Однако установление точных фазовых соотношений этим методом
довольно сложно. Поэтому приведем другой метод, основанный на графи-
248

- J,
ческом изображении 3/7/-коэффициентов, предложенный Савукинасом и др.
[С. К.Б.Ю.64].
В диаграммах линии, соответствующие отраженным параметрам, будем
изображать заштрихованными линиями. В таком случае диаграммы
3w/-коэффициентов в общем
случае будут содержать узлы
четырех различных видов
^ABCD^
Исходя из свойств
симметрии отражения
коэффициентов Вигнера, можно
показать, что замена простых линий заштрихованными связана с
присоединением следующих множителей:
30Л - 1,
30d - i (-1)*-■/■+■>»,
d0D1 - i. (30.7)
Кроме того, необходимо присоединить множитель
(—1)^, где N — число замкнутых контуров в
диаграмме, составленных из заштрихованных линий.
Приведем для иллюстрации несколько примеров
применения графического метода. Диаграмма 9/-коэффи-
циента правой части (24.21) изображена на 30А2. Эта диаграмма
содержит 3 замкнутых контура, составленных из заштрихованных линий:
kkiksl3f /2^2^3/3» IJc-Jc^- Таким образом, получаем
равенство
х/(— 1)л-/ж+Лж./(_ 1)л-'.+*.-/830^2. (30.8) ^
После упрощения фазового множителя получаем
равенство (24.21).
Приведем несколько свойств симметрии
отражения 12у-коэффициентов. Пусть имеется коэффициент,
изображенный на диаграмме 3М3. Используя
правила, приведенные выше, получаем
к
. U
К
1
и
I
i
*♦
/с,
30
я,
249

26A2 = i(- 1)*1-л+'1+л+/.-*.+/х+*.-7с 3М3,
или, после упрощения фазового множителя,
7i 72 7з Л
'1 '2 'з U
/Cj /С2 *Сз *^4 ^
= /(-1)
ya + Zz + ^x-Zca-^a
7i Ji 7з 74
*1 '2 '3 U
L. гС^ гС2 »v3 **4
(30.9а)
(30.96)
Приводим еще несколько формул для 12/-коэффициентов. Они
получаются аналогично (30.3).
[к к к к "I .
к к к /4 =-i
1 ^2 *^3 *^4 -^
7i 72 7з 74
к к к и
/Cj К2 /С3 /С4 J
(30.10)
(<Pi =72 +7з -Л + k + k-h + кг)
72 7з 74
=(-1)ф
[Л Л Л Л "I
к к к к \
1 ^2 3 ^4 •"*
(30.11)
(?2 = /з-4 + *1-*з)
7i
72
7з 74
'1 '2 '3 '4
V К>-у К2 *Сз ^4
I 7i 72 7з 74
"•(-о** к к к к
\ /Ci К2 Кз к^
(?1 =72 + ^1-^2 + ^4-4)
= -(-!)*
7i
*i
72
7з 74
(30.12)
(30.13)
250

(ф2=Л + *4 + h + h-k-h)
_/(_1)Фз |
(93 = /i + /2 + /3-^i-^4)
-**(-1)ф4{
:-(-1)ф«<
Л 7г 7з 74
'l '2 'з U
у /Ci К2 /С3 /С4
7i Уг Уз 74
к к к \
\ Ki К% /Сз к^
7i _ 72 7з 74
h '2 ' з U
к k~i К2 Аг3 к±
= (-1)*
(фб =7*2-7*4-^2+^4)
7i 7г 7з 74
*1 '2 4 '4
I. лС^ К% /Сз *v4
(96=A + *2-/i-/4 + 2A:4)
= (-1)"
7i 72 7з 74
/i к
к
к ,
V /Cj /С2 *Сз **4
(ф7 =7*3 ~74-^3 + ^4)
7i 7*2 7з 74
= /(-1)"{ /х 4 4 74
/Cj^ /С2 »v3 АС4
(98 = ^ + ^-4 + 2/3 + 2^)
(30.14)
(30.15)
(30.16)
(30.17)
(30.18)
(30.19)
251

Приведем еще пример более сложного Зл/-коэффициента. На 3М4
изображен коэффициент _
Л 7г 7з
П '2 h
к 1'
П 1'г 1*
l 7l Ji Уз
Ji
к
w
л
Используя изложенные выше правила, получаем
28Г _ _;/_ -[\li-J*+Ji+J*-U-rJi+Ii—k'+l*+ll-k4-It ,
8Л — *(-1)"
х(-1)Л-Л+,"»^4.
Упрощая фазовый множитель, получаем
х
(30.20)
Ji
Л
7г Уз
*'
7г 7з
74
74
= -/(-1)
h+Ja-li + l't-ll ,
7l 72 Уз У4
*1 '2 *3 '4
ft: jfc'
/' Г Г Г
11 12 'з ч
Jl J<L Уз У4
(30.21)
18/-коэффициент данного вида встречается в работе [Б.В.Ю. 62]. Для
него могут быть полезны также формулы
]\ )г Уз У4
к h /» и
к к'
V г г г
11 *2 <3 '4
У1 У 2 Уз У 4 J
252

= -(-iK
7i )г 7з 74
'1 '2 *3 »4
/' /' /' /'
«1 '2 '3 '4
7i 7г 7з Л J
. (ф1=Л+Л-Л-Л + /1-«) (30.22)
= /(-1)»»
7i 7г 7з 74
*i 4 '3 *4
Jfc A;'
/;
/i
/3
./:
л
Уз
74 J
, (ф2=7з+74-/1-4-/3) (30.23)
= (-l)%
7i _ 72 7з
«1 «2 «3
fc I'
'1 4 /3
7i 7г 7з
74
П
74
-. (?3 = /i-/3-/2 + /i) (30.24)
_(_!)*.
7i 72 7з 74
'i '2 '3 '4
к к'
Г г г г
11 *2 '3 '4
7i 7г 7з 74
. (ф4=/;-/;-/; + /;) (30.25)
В работе [Ж. В. Ю. 62] встречаются 18/-коэффициенты другого вида.
Для них могут быть полезны формулы
7i 7г 7з 74 7s 7в
h h h U h h
/Cj K<£ AC3 AC4 fCg Kq
=(-i)4 /1
Ui
7г 7з 74 7б
/2 /3 /4
/^2 /C3 /C4 /C5
3 '4 'б 'б
7e
9 = 2//;
(30.26)
253

7i 7г 7з
кг I
Г1 Sl S2
k[ V
7i 7г . 7з
7*4
2
г*
2
Л j
> = (-!)*;
f
Л
—
К
7*2 7з
k[ Г
7г 7з
h
f^2
Г2 |
К
у; J
, (30.27)
? =7'2+7з + ^-7*2-7W-
Подобные фазовые соотношения могут быть получены для любых Зя/-
коэффициентов. При этом использование графического метода позволяет
значительно облегчить работу по сравнению с получением указанных
соотношений аналитическим путем.

ГЛАВА IV
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Настоящая глава посвящена изложению графических методов
расчета, эквивалентных интегрированию по угловым переменным и
суммированию по спиновым. В основе излагаемого метода лежит обыкновенный
коэффициент Клебша—Гор дана. Дальнейшим простейшим образованием
является обобщенный коэффициент Клебша—Гор дана. Далее следуют более
сложные, чем обобщенные коэффициенты Клебша—Гордана, величины. Одни из
них являются инвариантами (суммирование осуществлено по всем
составляющим) относительно поворота пространства. Они представляют собою матрицы
преобразования волновых функций связанных моментов. Другие величины
неинвариантны относительно вращения пространства (суммирование
осуществлено по части составляющих). Они разлагаются по обобщенным
коэффициентам Клебша—Гордана, причем коэффициентами разложения являются
матрицы проебразования. Поэтому обобщенные коэффициенты
Клебша—Гордана и матрицы преобразования являются главными объектами
излагаемого графического метода расчета, а указанное разложение — самой
важной операцией в указанных расчетах.
Основу излагаемого графического метода составляют работы [Ю. Б.
В. 62 б, в, г, а] и [Б. В. Ю. 62], которые воспроизводятся в разделах 31—36.
В первом из этих разделов приводятся графические изображения
коэффициентов Клебша—Гордана и простейших сумм их произведений. В
следующем разделе рассматриваются более сложные суммы и приводятся методы
проведения простейших операций над диаграммами сумм произведений
коэффициентов Клебша—Гордана.
255

Раздел 33 посвящен выводу теоремы разложения зависящих от
составляющих величин по простейшим величинам, зависящим от тех же составляющих-
обобщенным коэффициентам ♦ Клебша—Гор дана. Приводятся также примеры
применения этой теоремы. В разделах 34 и 35 рассматриваются графические
методы разложения и суммирования сумм произведений коэффициентов
Клебша—Гор дана по параметрам, представляющим собственные значения
квадрата момента количества движения. Раздел 36 посвящен изучению
матриц преобразования графическим методом. Предлагается метод
стандартизации матриц преобразования и приводятся стандартные матрицы до семи
связываемых моментов включительно.
Следующие два раздела (37 и 38), основывающиеся на работе [Ю. Р. Б. 65],
посвящены графическому изображению неприводимых тензорных
операторов, их произведений и матричных элементов. В первом из них приводится
вывод теоремы Вигнера—Эккарта, являющейся частным случаем
упомянутой выше теоремы разложения, вычисляются приведенные матричные
элементы некоторых часто встречаемых операторов и указываются их свойства
симметрии зеркального отражения. Во втором из упомянутых разделов
графически изображаются матричные и приведенные матричные элементы
тензорных произведений неприводимых тензорных операторов.
В разделе 39 приводятся некоторые замечания относительно
практического применения изложенных графических методов. Некоторые действия
иллюстрируются примерами. Наконец, раздел 40 посвящен рассмотрению
свойств симметрии зеркального отражения матриц преобразования.
31. Графическое изображение коэффициентов Клебша—Гордана
и простейших сумм их произведений
Коэффициент Клебша—Гордана графически изобразим узлом, в котором
сходятся три линии, изображающие верхние параметры коэффициента
Клебша—Гордана. При этом линия, изображающая третий параметр,
вычеркивается утолщенной. Направление линии из узла указывает знак нижнего
параметра в коэффициенте. Если есть необходимость указать в явном виде
нижний параметр, то он может быть написан рядом с верхним параметром.
Узел обеспечивается знаком плюс, если первый из параметров следует
повернуть против часовой стрелки, чтобы, не пересекая утолщенной линии,
256

совместить со второй тонкой линией. В противном случае узел считается
отрицательным. Диаграммы Z1AX и г1Вх изображают один и тот же коэф-
; j : ; фициент
V. J X J X J X J гл л J 1
/l /l /l /l
* 1 с положительным и отрицатель-
31Л 3(о 3V* 31Г) ньш Узлом соответственно. С
1 ; ' f Другой стороны, если в
диаграмме Ь1Аг плюс заменить на минус, то получим диаграмму 31Q,
изображающую коэффициент
г л л j п ._.гл л У I
\^ т2 тг т J [_ тг т1 т J
Если изменить направление линий в диаграмме 31^!, то получим
диаграмму 21Dlf изображающую коэффициент
Г к к j 1 = (-1)л+л-;ГЛ л ' 1
L —тг —щ —т J L wi w2 ^ J
Л 72
-mx -m2
Таким образом, имеет место соотношение:
31^1 = 31Б1=(- 1)Л+Л-У81С1 = (_ 1)Л+Л-У81Л1в
На диаграммах 31^4ЛС/)2 изображены коэффициенты
. л
(31.3)
(31.4)
Л Уз
Wi -We
L -л
Уз Л
7W3 Wx
"в, Зг2 "4
Л 1 Г Л Л Л "1
к л Г Л Л Л 1
-т2 у [_ т2 -т3 -тг J*
257

Для них имеют место следующие равенства:
31Л = (-1)Л+Л-Л31С2) (31.5)
31Я2 = (- iy»+'»-^31Z>2. (31.6)
Если один из верхних параметров коэффициентов Клебша—Гор дана
исчезает, то имеем
ГУ О / "J ГО j f 1 .,
[Li l] = [-i -m 2]-(-1У-»+1И»(М/-^-
= (- 1V+"1' (2/+ l)"S(;-m, /m'). (31.8)
Если исчезают два верхние параметра, то имеем
ГУ 0 0 "1 Г 0 у 0 "1 Г 0 0 у "I
L О oJ4o . oJ4o 0 'я\-*иш.0% (319)
Коэффициенты (31.7—31.9) изображаются на диаграммах Z1ABCZ.
Диаграмма г1А3 представляет собою кронекеровскую дельту типа (31.7), а пВг —
более сложную величину. Диаграмма
31С3 изображает нулевую линию. /' у' # #' j
При построении способа графи- ■ в » —.—g ■ о——
ческого изображения сумм произве- 91Д Я 3'£
дений коэффициентов Клебша—Горда- 3
на учтем то обстоятельство, что параметр суммирования повторяется
два раза с одним и тем же знаком. Кроме того, ввиду независимости
фазового множителя от нижнего параметра знак при этом параметре
суммирования может быть изменен без всякого изменения рассматриваемой суммы.
Как и в случае суммирования произведений коэффициентов Вигнера
[Л. 576, Ю. Л. В. 60], суммирование по нижнему параметру изобразим
соединением соответствующих линий двух диаграмм коэффициентов Клебша—
Гордана, в которые входит параметр суммирования. Поскольку параметры
суммирования имеют одинаковые знаки, стрелки на замкнутой линии могут
258

сходиться или расходиться. Таким образом, диаграммы 31АА и г1ВА
изображают одну и ту же сумму, и имеем:
J h
— rri т
*iA =V ГЛ J к 1х
4 ^ L т1 т т2 J
т
хР'3 j h 1. (31.10а)
[_та т /и4 J
'' 1ГЛ Л Л 1, (31.106)
™2 J L W3 - *И W4 J
31Л = 31Я4. (31.10в)
Это обстоятельство позволяет пренебрегать стрелками на замкнутых линиях.
В дальнейшем не будем указывать также стрелки на свободных линиях,
считая, что они направлены от узлов.
На диаграммах г1АВ^ соединяются тонкие линии, однако могут быть
соединены и утолщенные линии, а также и утолщенная линия с тонкой
линией. Так на диаграмме 3М5 изображена сумма (до множителя 2/+1)
(31.12) 31д
5 О
Если произведение двух коэффициентов Клебша—Гор дана суммировать
по двум параметрам, то получим
зм6=уГ71 к j 1ГЛ к Г, 1 = 8(М/т'). (31.13)
259

Если далее суммировать (31.13) и по т, то получим
31*;= 2 ГЛ к J 1ГЛ к J l=(2/+i). (31.14)
Это должно быть изображено диаграммой 312?6, однако ради удобства
диаграмму г1В6 мы будем сопоставлять с величиной
"*,=(2я-1)-181д;=»с/1Л/).
(31.15)
3,С
"Л
"с
,5 -'б -6
Для того, чтобы было удовлетворено равенство (31.15), будем считать, что
полностью утолщенная линия изображает не просто суммирование по всем
возможным значениям соответствующего нижнего параметра, а
суммирование и деление на число значений нижнего параметра. При таком
определении диаграмма zlAb определяется не суммой (31.11), а суммой
зм5=У(2/+1)-ГА Л J IP3 h J 1
^ L гпг т2 т J L Щ in* т J
(31.16)
Диаграмму 31В6 будем считать изображением треугольной дельты.
Оно равно нулю, если только параметры jl9 у2, j не составляют триады (не
могут быть сторонами треугольника с целым периметром). Если на
диаграммах 3М6 и 31В6 7*2=0, то получится
260

Диаграмму 31С6 можно считать изображением кронекеровской дельты типа
(31.17), являющейся частным случаем треугольной дельты.
Если на диаграмме 31В6 исчезает полностью утолщенная линия у, то
получаем также изображение кронекеровской дельты. Ее диаграмма 31£>6.
В этом случае необходимо указывать знаки узлов, так как изменение знака
узла в этом случае связано с появлением множителя (— I)2-7'1. Поэтому
удобнее использовать диаграмму 31С6, значение которой не зависит от знаков
узлов. При исчезновении полностью утолщенной линии сумму 31В6 удобнее
сначала преобразовать при использовании свойства симметрии
коэффициента Клебша—- Гор дана (13.2) в
31£«
'(2Л+1)"1 I \Jl J к IP J к Л = Чык\ (31.18)
Здесь перед m1 и m знаки плюс написаны на основании (31.10). Отсюда
видна симметрия треугольной дельты. Это значит, что из диаграмм 31В6 и 31Е6
получается 31С6 при к—О и /=0, соответственно.
Следует отметить, что диаграмма 31В5 представляет собою обобщенный
коэффициент Клебша—Гордана трех моментов (количества движения),
определение которого (31.12) может быть
записано в виде
31В,
[к к к J 1
L т1 т2 тъ т \h
(31.19)
Из произведений трех коэффициентов
Клебша—Гордана рассмотрим только те
случаи, которые представляют наибольший
интерес в практическом отношении. В
первую очередь на диаграммах 3М7 и Z1B7 изо- Г1?
бразим два типа обобщенных коэффициентов Клебша—Гордана
31а
3*i
в,
_ \-у Г к к Ji2 [ Г Уз к 7з4 J Г кг 7з4 J | _
7 ~ ^ L т1 т2 ™12 J L W3 "*4 W34 J L W12 W34 ™ J
-[
Jl 72 Jz
m1 m2 m3
U J "1
J 4
/w4
(31.20)
261

™B,
sr* Г к к
■[
К кг к 7i23 "1 Г
w12 mz да123 J L
к J 1
^4 rn J,la,12/
7l23
W123
'1-
4 да J
(31.21)
7l2
™12
7i 7г Уз
Wi да2 mz
Как видно из диаграмм 312?5, 3М7 и 31У?7, в диаграммах обобщенных
коэффициентов Клебша—Гор дана все замкнутые линии являются наполовину
утолщенными, а свободные линии — тонкими, за исключением линии,
представляющей полный момент. Эти диаграммы соответствуют диаграммам
обобщенных коэффициентов Вигнера, предложенных в [Л. 57в] и согласно
терминам топологии названных древовидными.
Нижние параметры обобщенного коэффициента Клебша—Гор дана
удовлетворяют обобщенному условию
да = 2 *и*- (31.22)
Применительно к нашим диаграммам это условие требует, чтобы нижний
параметр, соответствующий утолщенной линии, равнялся сумме нижних
параметров, соответствующих тонким линиям.
Вышеуказанное условие является частным случаем более общего
условия, которое говорит, что нижние параметры, соответствующие сводобным
линиям диаграммы, должны быть такими, чтобы один из них равнялся
сумме остальных. Если диаграмма древовидна, то это условие
превращается в (31.22). Если диаграмма имеет замкнутые части, то в (31.22)
могут быть также и параметры, соответствующие утолщенным свободным
линиям, не исключая и левой
L
У
?л
К
\1
+
/А
V*
t J2
1 h
части этого равенства.
На диаграммах Z1AS и 31#8
изображены следующие суммы:
•A.-Z К '' ' 1*
,»L т mi т J
ttitn in
A' r-h I-
L да да да2 J
31,
зь
'В,
\r. *",h 1.
L да да да3 J
(31.23)
262

3158= I №+1)-1[щ т' m\[mt т" т J [ т' т3 т"}(3124)
тт'т"
Здесь множитель (2/4-1)"1 включается на основании (31.15) (j
представляется полностью утолщенной линией). Нетрудно убедиться в том, что нижние
параметры, соответствующие свободным линиям диаграммы г1А8,
удовлетворяют условию
т2 = т1 + w3, (31.25)
а диаграммы 31В8 —
m1 = m2Jtmz. (31.26)
Суммирование произведения трех коэффициентов Клебша—Гор дана по
четырем парам нижних параметров интереса не представляет, так как в
таком случае оставшийся один нижний параметр должен исчезнуть вместе
с верхним параметром, и в произведении останутся только два
коэффициента, которые изображаются вышеизложенным образом.
32. Случай более сложных сумм произведений коэффициентов
Клебша—Гордана. Преобразование диаграмм
Сумма произведений р коэффициентов Клебша—Гордана по р — 1 паре
нижних параметров, причем в каждом из этих коэффициентов находится
хоть один суммируемый параметр, представляет обобщенный
коэффициент Клебша—Гордана, частным случаем которого являются коэффициенты,
изображенные на диаграммах Z1B5, г1А7 и г1В7. Число типов этих
коэффициентов равняется числу различных схем связывания р + 1 момента.
Построение соответствующих диаграмм никаких трудностей не представляет.
Если произведение р коэффициентов Клебша—Гордана суммируется по
р парам нижних параметров, то в общем случае получается замкнутый
/?-угольник, из каждой вершины которого выходит свободная линия.
Частными случаями такой диаграммы являются диаграммы 31у48 и zlB8f
которые представляют собою простейшие нетривиальные диаграммы с
замкнутыми частями, не имеющие древовидных ответвлений и петель, о чем пой-
263

дет речь в конце раздела. На диаграммах 32А± и 32В± изображены следующие
две суммы произведений четырех коэффициентов Клебша—Гор дана:
ГА
4 ■.. 4 »Ai=y \r j h 1р' к j" 1
— /УГ^ Zi>\-m' т Wl J L m' m2 m" J
J Ж I * ww
/ /. m"mm
- vr h Г ~|Г/' j h ]
h
j г2В у (2/+l)-i[; Jl J'f\.
/
(32.1)
mm
m"m'
%
34
в,
[_ m m2 m J
Для первой суммы
а для второй
Г/" л / ]р л /" 1
L mw /я3 т" \{_ т w4 m* J
m4L = m1 + m2 + m^
(32.2)
(32.3)
(32.4)
Как видно, положение утолщенных линий может быть различное.
Число видов этих диаграмм с физической точки зрения большого интереса не
представляет. Нам удобно принять один вид с определенными признаками
за условный стандарт. С помощью свойств (13,2) суммы остальных могут
быть изменены так, что диаграммы примут этот стандартный вид, если
только будут удовлетворены условия типа (32.3) и (32.4).
За стандартную /?-угольную диаграмму с р свободными линиями
примем диаграмму, к которой относятся 3М8 и г2Аг. Их признаки следующие:
а) две свободные линии утолщенные и б) одна из свободных утолщенных
линий примыкает к узлу, две остальные линии которого достигают своих
вторых узлов в простом виде (не переходя в утолщенные линии). Это
позволяет разрезать диаграмму по упомянутым тонким линиям на две части,
одна из которых представляет собою обыкновенный, а вторая — обобщенный
коэффициент Клебша—Гор дана. Таким образом, суммы 31А8 и г2Аг можно
представить в следующем виде:
264

«л-У Р" Г '• IP' л 7" л 1
8 ^ \т' т" mz \\_т' т1 т" т2 J,'
/n'm"
1 , L т' т mi J L т' т2 тг т w4 Jfj-
(32.5)
(32.6)
Га
Л
г
г^
У".
4
J
Явные выражения для обобщенных коэффициентов Клебша—Гор дана,
входящих в (32.5) и (32.6), можно написать
из сравнения их с (31.23) и (32.1),
соответственно. ■■■ +
Если произведение р коэффициент ;'
тов Клебша - Гор дана суммировать по
р + 1 паре нижних параметров, то полу- ш
чается ^-угольник с одной диагональю./
Такое суммирование может быть осуще-_
ствлено дальнейшим суммированием по ,
одной паре параметров суммы, в кото- '
рой суммирование осуществлено по р
парам параметров. На диаграммах 3М2
и Z2B2 изображены суммы произведений
пяти и шести коэффициентов Клебша —
Гордана по шести и семи парам
нижних параметров соответственно. Алгебраические выражения следующие:
-л- у Р ;v у' IP' J" к IP"' jW r lx
mm'm"
» TV V
pIV Г к ]Гу к Г ]
XL »»IV "*"* At, J|_ m m3 mIV J'
«*_ у P ;'VI ^ ]Г/ у- ; -.г/
г*.. L « wVI «1J L «' ™v w J L »'
Л?,
зг
в.
(32.7)
mm mm
IV V VI
m*ym m L
h J
m2 m"
}
\r к rirr r /v]fyIV ;VI л.! ,Ч9Ж
L и* m3 mm JL m* wv /nIVJ |_ mIV mVI w4 J* l '
265

В перврм случае имеет место условие
т2 = т1 + т3, (32.9)
а во втором —
т4с = т1 + т2 + т3. (32.10)
Диаграммы г2А2 и Z2B2 приведены в стандартном виде, который в
данном случае имеет следующие признаки: а) две свободные линии утолщенные,
б) одна утолщенная линия посредством одной наполовину утолщенной
линии примыкает к узлу, обе остальные линии которого тонкие (jjw в Ъ2А2 и
j*j\ в **b2), и в) эти последние два узла, отрезанные по трем тонким линиям
/'» Jw> JB 32^2 и/,7V> 7VI в 32^2» составляют обобщенный коэффициент Клебша—
Гордана с двумя узлами, а оставшаяся часть диаграммы должна
составлять также обобщенный коэффициент Клебша—Гордана, охватывающий
все остальные узлы. Таким образом, суммы (32.7) и (32.8) могут быть
записаны в следующем виде:
32^= I Р Лг '". jl 1 К 7'Vv j h h] . (32.11)
mm"m*
D*- L l m- mw mvi mi J x
/ V VI *" -*
Г/ к к Г Г1 к Л
L т' m2 m3 mv mvi /w4 J/wIV"
Из (32.5), (32.6), (32.11) и (32.12) видно, что верхний параметр
утолщенной линии, соответствующий нижний параметр которой равен сумме
всех остальных, принадлежит к большему обобщенному коэффициенту
Клебша— Гордана.
Вышеуказанное относительно частных случаев диаграмм сумм
произведений коэффициентов Клебша—Гордана нетрудно обобщить на случай
произвольного числа этих коэффициентов. Попытаемся сформулировать
общие свойства стандартных диаграмм сумм произведений коэффициентов
Клебша— Гордана.
Если произведение р коэффициентов Клебша—Гордана суммируется
по р +к парам параметров, то две из р—2к свободных линий должны быть
утолщенные, к+1 узел, примыкающий к одной из свободных утолщенных
266

2-k+2
э~
ы
р-к
32 л
32i
в,
линий (не той, нижний параметр которой равняется сумме остальных),
должен быть отрезан по к+2 тонким линиям так, чтобы эта часть диаграммы
изображала обобщенный коэффициент Клебша—Гор дана с к+1 узлом, а
остальная часть — такой же коэффициент с р—к— 1 узлом.
На диаграмме 3М3
схематически изображена
структура диаграммы
суммы произведения р
коэффициентов Клебша—Гор-
дана, просуммированного
по р + к парам нижних
параметров. 322?3
представляет ту же диаграмму после
возможного разрезания по
к+2 линиям. На этих
диаграммах растянутые блоки "3
с примыкающими линиями изображают части
коэффициентов Клебша— Гор дана, содержащие
линии.
Если произведение р коэффициентов Клебша—Гор дана просуммировано
по Зп — 1 паре нижних параметров при р четном (р=2п), то на диаграмме
'г2А3 вертикальных свободных
линий не будет, и она превращается
в 3М4. Наконец, если еще дальше
суммировать по последней паре
параметров, то получится
диаграмма 322?4, которая представляет
собою замкнутую сумму
произведений коэффициентов Клебша—Гор-
дана. Таким образом, замкнутая
диаграмма 322?4 разрезаема по и + 1
тонкой и одной утолщенной линии
на две диаграммы, изображающие
обобщенные коэффициенты Клебша—Гор дана с п узлами каждый.
Если при нечетном числе множителей (р=2п + 1) просуммировать
произведение по Зл + 1 паре нижних параметров, то оставшиеся параметры
диаграммы
наполовину
обобщенных
утолщенные
Б-
о—I
2 п*1
3-
32
А
32,
в.
267

(один верхний и соответствующий нижний) исчезают. Такая сумма
упрощается и превращается в замкнутую сумму с 2« множителями.
Из 32AZ легко усмотреть, что замкнутую диаграмму можно получить
подбором такого обобщенного коэффициента Клебша—Гор дана, который
нижнюю часть диаграммы дополнил бы до обобщенного коэффициента с
числом узлов, равным числу узлов верхней части диаграммы (это значит
р—к — 1). Очевидно, что свободные линии подбираемого обобщенного
коэффициента должны изображать один параметр с тонкой линией такой же,
как и свободная утолщенная линия в нижней части диаграммы, один
параметр с утолщенной линией такой же, как и утолщенная линия в
верхней части диаграммы, а все остальные линии должны изображать параметры,
которые обозначаются fc+3, ..., р — к. Соединение одноименных линий
подобранного коэффициента Клебша—Гор дана и диаграммы типа г2Аг дает
замкнутую диаграмму типа 322?4. Следует подчеркнуть, что утолщенная линия
подбираемого обобщенного коэффициента соединяется с верхней
утолщенной линией потому, что соответствующий нижний параметр типа
составляющей равняется сумме всех остальных нижних параметров.
У
/к
к
X
и
Мл
32i
&
32
D,
В качестве примера возьмем диаграмму Z1A8 и подберем коэффициент
Клебша—Гор дана, изображенный на диаграмме 3М5. Соединение
одноименных линий диаграмм Z1A8 и 32А5 дает диаграмму 322?5,
собою сумму
к
Шл т II т
которая представляет
[У Г к Л Г Уз к к 1
т' т" mz J [_ Щ mi т2 J
mm m
(32.13)
268

Это означает умножение (31.23) на коэффициент Ъ2АЬ, суммирование по
параметрам т19 тъ mz и деление на (2/2+1). Разрезание 322?5 по линиям /, /",
Ju ЛДает два обобщенных коэффициента Клебша—Гор дана, которые
изображаются диаграммами 32С5 и г2В5. В результате (32.13) можно представить в
виде
32*5 = У (2Л+1)-1Г/, J\ к к 1 V. к Г. к Л- (32.14)
trim"
Из (32.14) и (32.5) видно, что первый обобщенный коэффициент Клебша— Гор-
дана в (32.14) является результатом дополнения первого множителя в
(32.5) до обобщенного коэффициента с таким числом узлов, как у второго
множителя той же формулы.
Очевидно, что диаграммы (замкнутые или незамкнутые) можно
перечертить и придать по желанию более удобный вид, как это делается с
диаграммами сумм произведений коэффициентов Вигнера [Л. 576, Ю. Л. В. 60].
Например, диаграмме 322?5 очень легко придать вид 32Е5, чтобы подогнать
ее к виду 322?4. Однако изменение вида необязательно. Важно только, чтобы
замкнутую диаграмму можно было по одной утолщенной линии и
остальным тонким линиям разрезать на две части, изображающие обобщенные
коэффициенты Клебша—Гордана. На самом деле, диаграмму 322?5 также
легко разрезать, как и 32Е5. Если диаграмма неприводима к такому виду с
помощью простого перечерчения ее, то это можно сделать с помощью приемов,
к -изложению которых и переходим.
В первую очередь приводим технику перенесения утолщений с одних
линий на другие. Для этой цели используем свойства симметрии
коэффициентов Клебша—Гордана, получаемые при одновременном применении
свойств (13.2г) и (13.3), или (13.2д) и (13.3):
Г Л к J Ъч+гу^у^П h к 1
L тх т2 т J L 4/2+1 J [_ т —т1 т2 J
-ШгЬ-^-[ Л. it] <3216>
Коэффициенты Клебша—Гордана формул (32.15) и (32.16) изображают
диаграммы г2АВС6. Из сравнения диаграмм 32А6, 32i?6 и 32С6 видно, что при
перенесении утолщения только у одного узла сумма перестает быть стан-
269

дартной: направление линии, не участвующей в перенесении, изменяется,
и нижний параметр, соответствующий этой линии, появляется в фазовом
множителе. Если линия, не участву-
Ц |/ I/ ющая в перенесении утолщения, сво-
itLj L !♦ У / JL / бодна, то перечисленные изменения
^^ ^^ >^ ^V. у/*^*^ несущественны. Однако если линия
замкнута, то такое перенесение невоз-
**/] fi Q можно. Но можно перенести утолще-
* ния у узлов, соединенных тонкой
линией (диаграмма 3М7). При этом направление соединяющей линии
изменяется у обоих узлов, а фазовый множитель будет представлен в виде
(_ \)h±mt+j%±m% = (_ j ),,+,, (32.17)
Из диаграмм Z2ABCe и формул (32.15) и (32.16) можно заметить, что
нижний параметр в фазовом множителе появляется со знаком плюс при
перенесении утолщения по часовой стрелке, и со
знаком минус при перенесении
против часовой стрелки. Если бы
циенты формул (32.15) и (32.16) были изо- 32п 32/j'
бражены диаграммами с отрицательными 7 7
знаками узлов, то нижний параметр в фа
зовом множителе появился бы со знаком j
плюс при перенесении утолщения против
часовой стрелки и со знаком минус при пе- зг 32 ,
ренесении по часовой стрелке. Назовем пе- 07? D7
релке, и со - ,
>ным, если
. стрел™, ДД АД- ДА. АД-
вой стрел- у+ J2 Чу ° * у h у *
ренесение утолщения положительным, если
оно производится против часовой
при знаке узла плюс и по часовой л _ _ ^ v
ке при знаке узла минус. Перенесение в 32^% **г%'
противоположном направлении назовем от- **7 С7
рицательным. При таком определении направления перенесения
утолщения множитель (32.17) равен единице, если у обоих узлов перенесения
производятся в том же направлении (положительном или отрицательном),
и равен (~1)2Уа, если у узлов перенесения производятся в
противоположных направлениях.
270

Для иллюстрации изложенного правила возьмем пример. Пусть
имеется замкнутая тонкая линия, изображающая параметр у2. В двух узлах,
соприкасающихся с концами этой линии, следует перенести утолщения
с линий Уз и Уз на Л ИЛ соответственно (диаграммы 32А7, г2В7 и 32С7). Тогда
получаем следующие соотношения:
_i_
3% = [ (2/з + 1) (2/i + 1) / (2Л + 1) (2/1 + 1) ]2 »А'„ (32.18а)
_1_
З2с7 = (- 1)*[(2Л+ 1) (2/з+ 1)/(2Л+ 1) (2Л+ I)]2 32С;. (32.186)
Для Z2B7 и 32Я'7 имеет место (32.18а).
Покажем второе из приведенных равенств. Возьмем
зас7=У Г7*2 Л Л IT'1, Л Л, 1. (32.19)
Применение (32.15) и (32.16) и изменение знака /w2 дает
-«-«-и&яшт^ i i]p; i «]■ <з22°>
а это и есть (38.186).
Сказанное имеет место в тех случаях, когда в процессе перенесения
утолщения полностью утолщенная линия не превращается в наполовину
утолщенную и наоборот. В противном случае необходимо ввести
дополнительные множители
(2/+1)" (32.21)
где минус и плюс относятся соответственно к превращению полностью
утолщенной линии в наполовину утолщенную и превращению наполовину
утолщенной линии — в полностью утолщенную. Это происходит
вследствие определения суммирования по составляющей момента, который в обоих
коэффициентах Клебша—Гор дана представляет результирующий момент
согласно формуле (31.16).
271

Возьмем диаграммы 8*48, Z2B8 и 32С8 и осуществим перенесения
утолщений также, как в Z2A7. Получим
'\jhAJi %bp
32Л = [(2/з+1)/(2Л+1)х
х(2/;+1)(2/3+1)]2зЧ. (32.22а)
згДя "а мД.=[(2/,+ 1)(2Л+1)х
х (2Л+1)/(2/1+1)]2»д;, (32.226)
^Г^ 32п' + 32Q = [(2/з+1) (2/i+1)/(2Л+1)х
8
^аДО М#
х(2/з+1)]'32С8. (32.22в)
В качестве иллюстрации применения
указанного действия можно взять, напри-
32— 32П' меР» Диаграмму 31В8 и привести ее к стан-
**8 дартному виду. Для этого следует
утолщения с линий у" и у, примыкающих к линии /, перенести на у3 и jlf
соответственно. Это нам дает
^8 = [(2/+ 1)/(2/+ 1) (2Л+ 1) (2/,+ 1)]2 31^, (32.23)
где диаграмма 312?g (не указанная на рис.) может быть разрезана по тонким
линиям / и /' на две части, так что утолщенная линия в большой части
(и изображающая jj представляет результирующий момент, получаемый
вследствие векторного сложения j2 и у3> как эт0 указывается соотношением
(31.26).
Если в качестве другого примера взять диаграмму *2В19 то для ее
приведения к стандартному виду следует утолщения с линий / и f перенести
на линии j\ и у4. В результате получается диаграмма, разрезаемая по тонким
линиям j и jm на две части. Это подтверждается соотношением (32.4).
Если параметр, изображаемый свободной линией, исчезает, то такая
линия стирается, и остается только точка на месте узла. Для того, чтобы
оставшуюся диаграмму можно было привести к стандартному виду,
следует точку стереть, так как стандартный вид диаграммы должен быть
свободным от точек на линиях.
272

Если исчезающий параметр изображается тонкой линией, то
оставшаяся точка соединяет утолщенную линию с тонкой. Диаграмма 32А9
изображает линию с такой точкой (узлом), если у=0. Это дает §(/, /'). Вырезаем
этот узел вместе с выходящими из него
/' /" /' линиями (тонкой и утолщенной), а остав-
°""— '- " э шиеся свободные концы линий, выходя-
32r% 32Q щих из соседних узлов, соединяем. Таким
°э образом, получаются диаграммы 32В9 и
32С9, первая из которых согласно (31.7) изображает единицу. Поэтому
получаем
32А = 32С9 0 = 0). (32.24)
Концы линий диаграмм 3М9 и 32С9 могут примыкать к узлам как замкнутой,
так и незамкнутой диаграммы, а также к узлам диаграммы обобщенного
коэффициента Клебша—Гор дана.
В качестве примера возьмем диаграмму 3М8 и предположим, чтоу'^0.
Тогда она превращается в диаграмму типа 31Ав. Другим примером пусть
служит диаграмма 31£7. Предположим, что7*3=0. Тогда диаграмма
упрощается и превращается в диаграмму типа 312?5, изображающую обобщенный
коэффициент Клебша—Гордана трех слагаемых моментов. Если j1 = 0, то
соответствующий узел отсекается и получается диаграмма такого же типа.
Если равен нулю параметр, изображаемый тонкой замкнутой линией,
как на диаграмме 3М10, то получаются два узла, при вырезании которых
получается диаграмма 32^i0. После
/ jj 7f Jf устранения этих двух узлов, изобража-
п J : ° °—~ . ° ющих единицу, получаются линии, изо-
J2 у J2 J2 h браженные на диаграмме 32С10.
с J э Равенство нулю параметра, изобра-
32Л з?о 32s* жаемого утолщенной линией, не явля-
10 10 ется естественным, так как такой
параметр представляет результат сложения двух или нескольких моментов.
Если в отдельных случаях он равен нулю, то следует сначала сделать его
тонким при помощи перенесения утолщенной линии, как это изложено
выше.
Действие, подобное описанному, есть устранение из диаграммы петли,
изображенной диаграммой 3М6 и также представляющей собою единицу.
273

Такая петля вырезается и устраняется из диаграммы, а соприкасающиеся
концы линий соединяются, как это показано на диаграммах 32Allf **A[V
Если знаки узлов не соответствуют стандарту 31Ав, как это имеет место на
диаграмме 32В1Ъ то знак у одного из узлов (безразлично которого)
следует изменить. Тогда получается соотношение типа
32*ii=(~ 1)*+'--'(3/+ 1)-19ШВ'п*и> Л, (32.25)
в то время, как в случае 3МП фазовый множитель не появляется.
Если при устранении узла или петли полное утолщение уничтожается,
то следует присоединить множитель (32.21). Например, в случаях,
изображаемых на диаграммах Z2AB12, имеем
J Г Г
32
"и
j
32t
s„ %
us 12
Z2A12 = (2j'+ l)-13Mi28(/, j'% (32.26a)
3^12 = (2/+ 1)-1322?;28(/, j"). (32.266)
Следует отметить, что полное утолщение не может появиться заново, так
как при устранении узла рассматриваемого типа и петли устраняется одно
утолщение в первом случае и два — во втором.
33. Разложение неполностью просуммированного произведения
коэффициентов Клебша—Гордана по обобщенным
коэффициентам Клебша—Гордана
Если произведение коэффициентов Клебша—Гордана просуммировано
по числу пар нижних параметров не меньшему, чем число множителей,
однако не по всем парам, то такая сумма может быть разложена по обобщенным
274

коэффициентам Клебша—Гордана. Это подобно тому, как делалось с
соответствующими величинами в алгебре коэффициентов Вигнера в [Л. 57в,
Ю. Л. В. 60].
Скажем, что имеется сумма, приведенная к стандартному виду
_ Г, , ji--j, j ~|_
Fbb'll1' •••' '* mi...mn т \-
Г/,.-4 J,.Jn j ИГ/,../, A "I
*-* L пх.. .пк т2.. ,тп т Jb L «i- • •*** mx >
и/
Здесь у*!, согласно сказанному в предыдущем разделе, изображается
утолщенной свободной линией в нижней части диаграммы (ср., нпр.,322?3), а у —
такой же линией в верхней части диаграммы. По первым к нижним параметрам
обоих обобщенных коэффициентов Клебша—Гордана осуществлено
суммирование. Таким образом, диаграмма, изображающая (33.1), должна иметь
и+1 свободную (со свободными концами) линию.
В (33.1) Ъ и V означают наборы промежуточных моментов
Ъ = ЪЪ ..., bk+n_S9
Ь' = Ь'19 ..., *i_a. (33.2)
Величина F зависит от и + 1 нижнего параметра. Простейшей
величиной, зависящей от стольких же нижних параметров, является обобщенный
коэффициент Клебша—Гордана
ГЛ h-Jn j 1. (33.3)
Такие коэффициенты составляют ортонормированную систему величин,
т.е.
где
т-лп
я = #i, ...» Я/х-2»
8(а, а') = 8(аи <#...*(а„_2, <_2). (33.5)
275

Ищем разложение Fb следующем виде:
(33.6)
где коэффициенты разложения RWa не зависят от нижних параметров и,
таким образом, являются инвариантами относительно поворота пространства.
Для нахождения этих коэффициентов обе части равенства (33.6)
умножаем на
и суммируем по всем нижним параметрам при учете (33.4). Тогда получаем
Rbb'a I7l> • • • » 4» Л» • • • Jn> J] = RbdVli - • •» 4» Л» • • •» Л»» У] =
^^ /г». 1 \ 1 ^ I i т Л • • • л у 1 Г Л • • • in j I
m.m
у (2u i)-1 Г /l"*/* 72-,,7л 7 1Г /i#"/ik -7'1 1
Г Jl---Jn J ~\ ST /n. in i Г h---lk J2---Jn J "1
x / , / = Л (2/+О"1 /
lm1...mn m Ja ^ L ni-•-nk m2.. .mn m Jb
x , , • (33.8)
Здесь
d=d1, ..., dn+k-3 = b', j\, a (33.9)
представляет набор промежуточных моментов, среди которых находится
также и;*!. Число моментов Ъ равно А: —2, а моментов а — п—2.
Наборы промежуточных моментов Ъ и d в (33.8) не являются
одинаковыми, за исключением того тривиального случая, когда первый множитель
276
X
X
1ь

правой части (33.1) распадается следующим образом:
Г /i.../* J2...jn J 1 _
L пг.. .nk m2.. .mn m \b~
= y\h'"ik k 1 Г h'"in J 1- (33-Ю)
В таком случае (33.8) превращается в единицу, и в (33.6) останется только
один член. Это - частный случай, когда разлагаемая величина
превращается в один единственный обобщенный коэффициент Клебша—Гор дана.
Приведенный метод вывода формулы разложения (33.6) является
чисто алгебраическим, однако это можно сделать с помощью группово-
теоретического метода, как это делалось в [Л. 57в, Ю. Л. В. 60] в случае
коэффициентов Вигнера. Кратко скицируем и этот метод.
Возьмем формулу (11.25)
Гл '- ' 1_2 (-,).-• Г А. А, ',]х
I т1 т2 т J ^ I тх т2 т J
т'хт'гт'
хдор /)0>) £>0), (33.11)
т1т1 тгтг —т —т ^ '
и используем условие унитарности представления
I (-l)m-m'^^_m- = S(m, т"). (33Л2)
Получаем
Г У,...У. У ]=у (_1)m_mT А-..УЛ У 1
L»ii...»i, т Ja £л; \_m'i...m'„ т _]„
т. т
xDU? . ..£(У DM. . (33.13)
т1т1 тптп —т—т v '
Подобным же образом получаем
_ Г . Л-.-Л У "1
L тх...тп т J
х£>0\) .../)««> /)(Л, . (33.14)
/и,/иi т'т_. —т ~т V '
Wi^i m„w„
277

Далее, берем обобщенную формулу (11.22)
D^,...DU«\ = У Г Л""Л J 1 х
тптп Аа I т1ш..тп ml
ajmm'
хдсл. Г ■/V"-/", J , 1. (33.15)
""" L Wl • • • mn m Ja
Кроме того, используем формулу
= (_ip--;(2/.+ l)-iS(y/, jk)8(mh тк)8(т'>, т'к). (33.16)
Умножение обеих частей (33.15) на D4)m-m> и интегрирование согласно (33.16)
дает
Г DUi) D°n) DM — =
J mxm\' ' ' mnmn ~m ~m' G
= У(2у+1)-1Г Jx'"h J 1 Г h;"Jn, J ,1 (-1)--'. (33.17)
^KJ lm1...mn m jal m'1...m'n m' J/
a
Здесь суммирование no jmm! отпадает из-за присутствия дельт в правой
части (33.16). Интегрирование обеих частей (33.14) и применение (33.17)
дает формулу (33.6) и (33.8).
Из (33.8) видно, что диаграмма коэффициента RWa строится путем
замыкания имеющейся диаграммы с помощью подобранного обобщенного
коэффициента Клебша—Гор дана, как это описано в предыдущем разделе.
Этот коэффициент нужно выбрать так, чтобы RWa представлялся наиболее
простым выражением, так как это важно при численной его оценке.
Отметим, что параметры, представляемые свободными линиями, должны
удовлетворять условию многоугольника. Это значит, что вся сумма,
изображаемая диаграммой, исчезает, если только параметры, соответствующие
свободным линиям, не могут быть сторонами многоугольника с целым
периметром. Для обобщенного коэффициента Клебша—Гордана упомянутое
свойство тривиально следует из условий неисчезновения отдельных
обыкновенных коэффициентов Клебша—Гордана. Для более сложной диаграммы
это свойство следует из формулу (33.6).
278

Для сложной диаграммы при помощи различных разрезаний можно
установить все условия многоугольников, которые должны удовлетворять все
его (не только свободные) параметры. Условия многоугольников позволяют
установить правила неисчезновения матричных элементов, в выражения
которых входят рассматриваемые суммы произведений коэффициентов
К лебша— Гор дана.
Приведем некоторые простые примеры практического применения
теоремы (33.6) о разложении незамкнутой суммы коэффициентов Клебша—Гор-
дана по обобщенным коэффициентам Клебша—Гор дана. Эти примеры
приведут к формулам, встречаемым в практических расчетах.
В первую очередь отметим, что переход от диаграммы 3М4 к диаграмме
32Я4 может быть интерпретирован с помощью (33.6). В данном случае
обобщенный коэффициент Клебша—Гор дана (33.3) превращается в коэффициент
типа (31.7), изображаемый диаграммой Z1A3. Замыкание диаграммы 3М4
с помощью 31А3 и последующее устранение узла, дающего множитель
единицу, дает нам величину, изображаемую диаграммой 32£4, что представляет
собою коэффициент R. Таким образом, в правой части (33.6) содержится
только член, равный этому коэффициенту, так как коэффициент Клебша—
Гордана равен единице.
Другим примером пусть будет величина, изображаемая диаграммой
31А8. Для получения коэффициента R следует замкнуть диаграмму
коэффициентом Клебша—Гордана 32А5. Это дает диаграмму 32В5. Формулу (32.14),
согласно (21.22), представим в виде
32я5 = (- 1у.-л+л [fj, (j)j'ja \fj" 0ША =
= (-1)^.[(2у+1)(2;3+1)Рр. J J*) = RJJ,- ■ (ЗЗЛ8)
Л J2 Jl J )
Таким образом, получаем следующую формулу;
»A5 = RjJJl h h 1, (33.19)
L m1 тъ m2 J
или
у Г/ h j "jp" J" h 1Г/ j" л ~|
, „ L m' mi m J L m m" m2 J L m' m" тз J
279

= (-1У+^+л[(2/+1)(2л+1)р{^ \ НЛ\Нт t * 1 (3320)
[J* Jl J J L тЪ Щ ™2 J
Последняя формула часто используется в практических расчетах.
В качестве примера такого случая, когда суммирование по
промежуточному параметру сохраняется, возьмем диаграмму 3МЬ подберем
обобщенный коэффициент Клебша—Гор дана диаграммы 33Аг и соединим
соответствующие линии. Получим диаграмму 332?lf с которой спишем следующую
матрицу (разрезав по линиям j',j,j2,j3 и /4):
280

[J'h (ЯЛ UlJh \fj (л)Л Ыл/J, (33.21)
упрощающуюся в произведение двух матриц. В результате получаем
-A = v\f J к IP' к j" IP" h Г 1х
1 , L т' т mi J L т' т2 т" J L т" тъ ™т J
mm'
т"тя
УН»»!,
х[/л(Я7Л1/7(л2ш47: i 11ft t i 1- <зз-22>
L m1 m2 m12 J L wi2 w3 m* J
Если вместо обобщенного коэффициента Клебша—Гор дана гзАг взять
33 Q, то получим диаграмму 38/)ь которая дает разложение
32Л=2 [/72(ЛУз(Лу74 1/7ЧЛ)Л(Лз)у2У4]Г7' 7* ^ Iх
хГ7" Л 74 1. (33.23)
L т13 т2 w4 J
При переходе к коэффициентам Вигнера и Злу-коэффициентам в первом
случае получается произведение двух 6/-коэффициентов, а во втором —
один 9/-коэффициент.
Теперь возьмем диаграмму 322?2 и замкнем ее обобщенным
коэффициентом Клебша—Гор дана 33AV Получим диаграмму гзЕъ с которой спишем
(разрезая по линиям j',j2, у'з, у4, уv и jVI) матрицу преобразования. Получается
разложение
*в- У Р yVI Л IP' Г j lx
mIvmVmVI
Г/ л /' "If/ л j" "I Г Я Я Я "1
[,IV ,VI j -i
м„ „vi «J=I [Я2(ЯЛ(ЛЯ(Я)Я1Л1/Я0-)Я1(Л)ЛЫУзЛ]х
Г Л Л Л, 1ГЛ. Л Л ] з.24)
L т1 тг т12 J L w12 /w3 m4 J
281

Если использовать обобщенный коэффициент Клебша—Гор дана ™СЪ то
получится диаграмма Z3Fly которая дает
32*2= 2 U'JAJVAnJv(r)ryt\JTU)r4Ji)Jz(Ji3)JJt] *
Л» тп
Г Л h Лз 1Г Лз h h ] 5)
L тг т3 т13 J L *я13 m2 m4 J
Из диаграмм ™Ег и ^^ видно, что матрица преобразования в (33.24)
выражается через 12/-коэффициент второго рода, а в (33.25) - первого рода.
В данном случае ни один из видов обобщенного коэффициента Клебша—Гор-
дана никакого преимущества не имеет, так как оба 12/-коэффициента
выражаются через сумму произведений четырех 6/-коэффициентов. Однако между
(33.22) и (33.23) разница большая, так как произведение двух 6/-коэффи-
циентов в (33.22) гораздо проще, чем сумма произведений трех 6/-коэффици-
ентов, через которую выражается 9/-коэффициент в (33.23).
Рассмотрим вопрос о разложении более сложных сумм произведений
коэффициентов Клебша—Гордана. В первую очередь изучим случай
диаграммы с пятью свободными линиями, что ведет к суммированию по двум
промежуточным моментам.
Возьмем сумму, изображаемую диаграммой гзА2. Подберем обобщенный
коэффициент Клебша—Гордана 332?2> соединим соответствующие линии и
получим диаграмму 33С2. Матрица преобразования, представляемая 33С2,
распадается на три более простые. Это ведет к следующей формуле:
282

зз^ = у Г7" j h IP' к j" IP" л г 1х
2 ^ . L »' »» «I J L »»' »»« »»* J L и" тз m'J
mm'т
- IV
т тг
Х[т» £. ^v J [ iiv Jm £J-Z \fJ,UVJ»\J'JWJJJ*
jl2Zn'4t
x [/v, (Л./Л231;V (Л2)Л A*J [/74 Uiy)jjs 1/7 (A23)л/J J\ J* 3Z x
Гл. л Л» 1ГЛ» л л 1 (3326)
L W12 W3 /W123 J L W123 Щ ™5 J
Если взять обобщенный коэффициент Клебша—Гордана 33Z>2 т0
получится Z3E2, что дает разложение
ЫА /
3U
"Л = 2 U7. (Л Л (Л /л» 1/У (л)Л (AJMd [Г Л (ТОЛ 1Г7 <Л»)ЛЛ1
Лз W18
Л32 '«мг
[7i 7з 7i3 I Г Лз 7 2 Лз2 I Г Лз2 Л 7s 1 _
тх т3 ги13 J L ™1з ™2 w132 J L wi32 m4 m5 J'
У2 7l32 I I 7l32 74 75
m2 w132 J L Wi32 ™4 m
Если взять 33F2, то получится 33G2 и разложение примет вид
7i 74 7i4
"Лг = ^ [/'Л(ЛЛ(Л Л(./IV)./761/7 (Л)ЛUu)hUu3)J2h] Г * 7* *' 1 *
" L "*1 "*4 w14 J
Л«3'^143
[7i4 7з 7i43 I Г 7i43 7г 7б |
™14 ™з ^143 J L ™i43 m2 mb J
(33.28)
283

Могут быть подобраны обобщенные коэффициенты и других видов. Нас
интересует лишь вид коэффициента, при котором получается наиболее
простое разложение относительно численного определения. Из приведенных
примеров наиболее простым является (33. 26), так как суммируемый
множитель сводится в этом случае к произведению трех 6/-коэффициентов.
Теперь возьмем случай, когда в диаграмме имеется разветвляющаяся
линия (диаграмма згА3). Самым подходящим обобщенным коэффициентом
Клебша—Гордана в этом случае является ^В^ который позволяет вырезать
диаграмму типа 3М6. При этом получается диаграмма 33С3. Разрезание
последней по линиям /, yIV, j, j\ иУб Дает матрицу преобразования четырех
моментов, распадающуюся на произведение двух матриц трех моментов. В
результате получается выражение
зз, = V Р" jl" j" ~\\j" h Г 1ГГ j h 1
3 ^ I m' wlv m'M m" m, ma J L nf m m5 JX
mm' m"
m TV
m mxy
^237123^123
x [j"h Ua)jh \J"JU™)JJb] s (м, П
7l 723 7l23 I I 7l23 74
m1 m23 m123
[7*2 /з 7гз 1
m2 m3 m23 J
K7l23 74 75 j
m123 m* гпъ J*
(33.29)
284

Очевидно, что разветвляющихся линий может быть и больше. Кроме того,
эти разветвления могут быть более сложными. Соответствующим подбором
обобщенного коэффициента Клебша—Гор дана от разветвлений всегда можно
избавиться.
Рассмотрим более сложную диаграмму 3М4. Для ее замыкания
подбираем коэффициент 33#4. Получается диаграмма 33С4, соответствующая
матрице
[/;/'('!)> s'2k'(si), (Л), s2k(Sl), /х^ИЛ)^), k'l'(L)k(l), /J. (33.30)
Это — матрица преобразования шести моментов. Нетрудно установить,
что она распадается на две матрицы. В результате получаем разложение
285

*А= у Г* l' ЧГ'; к' МГ* *\ л 1*
4 , , L П2 п' n'l J L т2 я' щ J L П1 ml Ml J
Г Г2 s'2 J2 1 Г /х ^ /х "| Г /2 s2 /2 I Г j2 fc Jx 1
L "a Wa M2 J L Afx /их их J L ^2 w2 и2 J L w2 4 m\ \
= 2 [«''ft)' ^'M> 'il'WM). *'/'№). Л1х
ьпы
Г к' /' L "I
х UiL (Л), -s2A; fo), /11 J2S2 (Q, Lk (/), /J I и, ^ J x
*U 9 n][n2 n „J" ^3331>
Если подобрать обобщенный коэффициент Клебша—Гордана 33Z>4.
получится 33Et. Разложение в этом случае примет вид
33Л=2 ft/'Ci). WW, Al'i'iW. ^''(Ь). Л]х
LNln
х[^ЬЩ52Ц^52(12)Ы][^, s^kiSi), 1х\к, Л^(/), /Jx
ГА:' /' L "I Г /2 L / I Г Л / k "I
4,'«' ни * JL я J- <ззз2>
Следует отметить, что в случае сложных диаграмм расчеты могут
быть проведены постепенно. Покажем это на примере 3М4. В первую
очередь возьмем сумму
-а -у Г'° г ЧГ* * s'x 1Г/; s[ Л lx
5 ,,\-n2 n' n'i J L **'* #' ^i J L n[ m[ Mx J
x[ ', *a, J* 1. (33.33)
При замыкании ее коэффициентом 3SBS получаем 33С5 и разложение
LW
286

Г к' V L "1 Г J2 L Л ]
\_q' ri N ]\_MS N М1\'
(33.34)
Остается сумма
ю= v Г** v ЧГЛ L Jl 1ГЛ S2 Ч-
Г Л ^ к "1 Г s2 к sx "I
|_ Л/i /«! их J |_ тг q Wx J'
МхМгтг
(33.35)
При замыкании ее получается диаграмма 33£5, из которой может быть
вырезана петля. Оставшаяся диаграмма дает еще одну матрицу
преобразования. В результате получается формула (33.31).
287

34. Разрезание диаграммы, изображающей сумму произведений
коэффициентов Клебша—Гордана, и ее разложение
Диаграммы сумм произведений коэффициентов Клебша—Гордана могут
быть разрезаны на части. Частный случай таких разрезаний описан в
разделе 32, где разрезание проведено так, чтобы каждая из оставшихся частей
диаграммы представляла собою обобщенный коэффициент Клебша—Гордана.
Это есть разрезание диаграммы на две части по максимальному числу линий.
Если диаграмма имеет свободные линии (со свободными концами), то это
разрезание осуществляется по тонким линиям. Если диаграмма замкнута,
то это разрезание происходит по всем простым линиям за исключением
одной, которая обязательно должна быть
полностью утолщенной.
Практический интерес представляет
разрезание диаграмм по меньшему числу линий, чем
указано выше. Тогда хотя бы одна из
оставшихся частей обязательно должна иметь замкнутые
части диаграммы.
Пусть имеем диаграмму МА1У в которой
yf Jx+i выделены zзамкнутых линий /ь ..., /z. Свободных
34л линий всего у, которые изображают парамет-
'*> ры jl9 ..., jx, jx+1, ..., jy. Они так расположены,
что после разрезания диаграммы по линиям llt *..,lz первые х линий
примыкают к одной части диаграммы, а остальные у — х линий — ко второй.
Части, оставшиеся после разрезания, изображаются диаграммами МА[ и 3М/.
Чтобы это разрезание имело смысл, поставим следующие требования:
а) разрезаемая диаграмма должна быть такой, чтобы удовлетворялось
обычное условие для диаграммы:
у-\
my=%*h\ (34Л)
1-1
б) одна из оставшихся после разрезания частей (скажем 3*А[) должна
быть стандартной. Этого можно достичь путем перенесения утолщений с
одних линий на другие согласно правилам, приведеным в разделе 32.
и
k !у
=4
288

Разрезание диаграммы можно представить следующим способом:
мА
и [ /i.
/„ '—* 1-2 «4 Г1'"'' h'"ix ]х
m1...myJ ^ \_ пг. . ,nz тг.. ,тх J
/i £
А Л
U 4
Ух Уу
"*,' *S, %
зж
Первый множитель правой части разложим согласно (33.6). Для этого
подберем обобщенный коэффициент Клебша—Гор дана МВЪ который для
наглядности представим в двух отличающихся ориентацией диаграммах.
Замыкание Z^A'X диаграммой мВг дает разложение
Г/х.../, A...A "12ju7
|_ П1...п2 mi...mx J £*
а
L пх. . .п2 т1. . .тх Ja
Здесь
а = а1У а2,
., а2
4> 7i>
(34.3)
(34.4)
JX]X
представляет набор промежуточных моментов при
векторном сложении моментов 1Ъ ..., lz,jlf ..., jx.
Коэффициент разложения изображается диаграммой ЫСХ.
Суммируя произведение величин мВг и МА'1 по
составляющим п19 ..., п2, получим
ЧЩ
зь
/,
с,
289

-" L «1- - -и* m1...mxJa 1\_п1...п2 тх+1...ту]
=-.['. '■■ »;::Х]-
(34.5)
Теперь подберем обобщенный коэффициент Клебша—Гор дана ™EV
Согласно (33.6) получаем
4' '•• «:::Х]=?ад"
гл...* ]■
*z» Jlf • • • > /yJ X
Здесь
Ь = ЬЪ b2,
by-г
(34.6)
(34.7)
/г
//
k^A
34
•f,
"fl
г,
представляет набор промежуточных моментов при сложении л, ...,./,.
Коэффициент разложения Rab изображается диаграммой Z*F±. Он зависит от а через
коэффициент **BV (34.3), (34.5) и (34.6) позволяют представить (34.2)
в следующем виде:
"лА ilt ...,/„ *'•'* 1=2 ад. ••■''*• л» •••'^]х
*«. '.л *i[i;:::y;l- <з48>
290

Эта формула дает разложение ™AV Непосредственное применение (33.6)
дало бы разложение
-А Г Л' "h 1= У RbUl, ...,jj Jl- ~J> 1 . (34.9)
Сравнение (34.8) и (34.9) позволяет получить для коэффициента
разложения выражение
Rb [Л, • • • , jy\ = 2 R* &> ' ' ' ' l» J* ' * * ' & X
a
x^[/i, .-., /„.Л, ....J>L (34.10)
Способы сложения моментов /x, ..., /z, Л» -,Лв (34.3) и моментовуь ...,./,
в (34.6) и (34.8) могут быть произвольными. Однако, как указывалось в
разделе 33, целесообразно подобрать их так, чтобы формула (34.10)
приняла простейший вид. Этого можно добиться подбором соответствующего
^ I—I Л i—i I 1 Jy
34i
34
в,
обобщенного коэффициента Клебша—Гор дана мВг. Он должен состоять из
двух частей, одна из которых содержит моменты^, ..., jx, а вторая — /ь ...,
/z. Обе части соединяются промежуточным моментом ах_ъ как показано на
диаграмме 3М2. С таким же расчетом следует подобрать и коэффициент
Клебша—Гордана МЕЪ состоящий из двух частей, как показано на
диаграмме иВ2. Тогда диаграмма 34FX принимает вид 34С2 (на которой линии /ь ...,
/z уже не показаны).
291

Нижняя часть диаграммы 34С2 отсекается по линиям ах_1 и Ьх.ъ
которые должны быть равными друг другу, а вся отсекаемая часть равна едини-
; це в силу ортонормированности коэффициентов Клебша—
I \ у £Г~| Гордана. В результате останется диаграмма 34£>2.
L_.— J II Равенство единице нижней части диаграммы 34С2 дает
1 #+* | I равенства
L-p^lJ «, = *,(/=1, 2, .... *-1). (34.11)
ч ах-1 ) Это уменьшает число параметров суммирования в
34п (34.8) на х— 1, иначе говоря, отпадает суммирование по
1*2 Ьъ Ь2, ..., Ьх_г. Вследствие этого (34.8) принимает вид
34Л
*„...*,
м2+*-з
У~* аХ-1
X Л,
л — l'"ax+z — з л:
,^...6 [/i, ..., lZy Jx+i> • • •» 7>J x
[|И1...шх «^ ]*:..*_,[ т»,^ гпх+1...ту ]ьх...Ьу_9- \ • '
В качестве простого примера применения изложенного метода можно
взять разложение величины, изображенной на диаграмме 33^44, путем
разбиения на отдельные этапы, как указано в предыдущем разделе. В этом случае
z = 2; х = 2\ у = Ъ\ ll9 /2 = Л Л;ЛЛ = ^ к'\ j3, jA, j6 = l2, к, lv Диаграммы
**А19 ™А'1У **В19 34СХ, **Dl9 ЫЕ± 9*F1 имеют соответственно вид 33Л4, 3JU5, 33Я5,
33С5, 33£>5> 33^4> 33^5- Диаграмма, соответствующая диаграмме 3*4J[, в
предыдущем разделе не показана. Диаграмма 332s5 имеет вид 34С2. Нижняя часть
последней в 33Е5 изображается петлей на линии L, которая соответствует
ах_х и Ьх-Х диаграммы 34С2. Как нам известно, эта петля, как
изображающая единицу, устраняется.
Если в диаграмме мАг *=0, то в (34.12) следует подставить
Л =72= • • • =Л = 0, jx + k=jk>
аг = а2= . . . =^_! = 0, ^=ух,
(34.13)
292

что дает формулу
1 •■•"> — з
**в....а2_3*..л-,^ -.'.. л. •••.^[i;;;:Xl,..v,- <34i4>
Если в 3МХ >> = 0, то вместо (34.14) получаем
"ллк,.... «=Z*;...eM[^ •••> «*;...«,_, ^.-..«■ (34.15)
Это есть разложение замкнутой диаграммы суммой произведения двух более
простых диаграмм. Важным является простой частный случай, когда сумма
в правой части (34.15) содержит только один член. Это есть случай, когда
диаграмма ыАг при у=0 разрезаема по одной, двум или трем линиям (z=l,
2, 3). В первом случае делается так, как изложено в разделе 32, когда
исчезает замкнутая линия.
/ Jb^ j i j
1234
/234
34
34,
34,
И.
В качестве примера, когда z=2, возьмем диаграмму 3М3. Разрезание
этой диаграммы по линиям j1Z2 и Лгз Дает общеизвестное равенство Лз2=Л2з-
Оставшиеся свободные линии в обеих частях следует замкнуть
коэффициентом Клебша—Гор дана тривиального типа 31А3, который равен единице и
после замыкания согласно правилу, изложенному в разделе 32, отбрасывается.
Поэтому замыкание таким коэффициентом Клебша—Гор дана равносильно
обыкновенному соединению свободных концов, полученных после
разрезания. Все это дает диаграммы иА'3 и 3Мд, с которых легко списать матрицы
293

преобразования волновых функций трех связанных моментов. Нетрудно
видеть, что 3М3 изображает матрицу преобразования волновых функций
пяти моментов. Поэтому приведенное разрезание дает следующее
соотношение:
L/l/2 С/12)Уз (У12з)У*4 UizwJd IJiJz С/13) У 2 UizvJb U1325) Jd\=
= [У1У2 С/12)УзУ12з |У1Уз (У1з)У2У12з] [У*12зУ4 С/ммШ \J12d5 Uim>)jdl (34-16)
Это представляет упрощение матрицы преобразования разрезанием по
двум линиям.
4
4j/
Гу*
4
Л+
/Nj
\/
h
-yf
Л
Мл
423
'%
4
к
\л
/\
i
■у/"
У/«
X
'Ш
4у^
4v
\У
;/ '/23
*\зА
/у*
N^/23
34*
<uc:
В качестве примера диаграммы, разрезаемой по трем линиям, возьмем
34А^. Разрезая ее по линиям у13> У*2 и Ут и замыкая обе части обыкновенным
коэффициентом Клебша—Гордана, как это показано на диаграммах МВ^ и
294

3*Я4", получаем замкнутые диаграммы 34С4' и 34С4". Это все дает следующее
упрощение матрицы:
[ЛЛ Ui2)b UiisiJJ \JJ» (Лв)Л U\m)J2J] =
= [ЛЛ (ЛаШив 1Л/з (ЛзШш] [JisJ2 Um)JJ 1ЛзЛ (/ш)Л/]- (34.17)
Это есть упрощение, эквивалентное упрощению величины, изображаемой
диаграммой **ВЪ которая получена в качестве коэффициента разложения **AV
35. Суммирование по параметрам, представляющим квантовые
числа момента количества движения
Сначала покажем, как производится суммирование по параметрам
моментов величины, изображаемой одной диаграммой. Это осуществляется с
помощью унитарности коэффициентов Клебша—Гор дана
v Г Л...л J *] Г Л-.-л ; 1 л/
J, L *i- • .^ - 1 L ml. X m \Г Цт» т[)" -*(m- "°' (35Л>
Пусть имеется диаграмма 8МЬ которая не обязательно должна быть
замкнутой. Суммирование по составляющим параметров, линии которых выделены в
явном виде в диаграмме,
представим в следующем
виде:
2(2/4 1)»^ =
h
4
-i
/ _
i-4
4
а —} ' 1 ■■■ а 1
Г Л-Л У 1
L т1и..тя т ]а
хГ 'Г'Л, 7' 1,(35.2)
где А представляет
невыраженную в явном виде
часть диаграммы *ьАг.
35
'Я,
35.
'В,
35,
35
V7/
В,
295

В (35.2) порядок суммирования не влияет на результат. Поэтому
представим себе, что сначала суммируем по ajm согласно (35.1). Вследствие
этого два последних множителя в правой части (35.2) отпадают, вместе с
ними отпадаяют и штрихи второго набора нижних параметров. В
результате
У (27+1)»^= У А Г Jl'"Jn Jl'"Jn 1 = ^1. (35.3)
ajm tn-
Это показывает, что следует разрезать линии jl9 ..., jn и соединить концы
одноименных линий, отбрасывая отрезанные обобщенные коэффициенты
Клебша— Гор дана.
В частном случае обобщенный коэффициент Клебша—Гор дана в (35.2)
может превратиться в обыкновенный. Такой случай представлен
диаграммами *&вг и 35я;.
Если линия, по параметру которой суммируется, не является
утолщенной, то сначала утолщения должны быть перенесены на эту линию согласно
правилам, приведенным в разделе 32. Это относится также и к общему
случаю (диаграмма г5Аг).
Следует отметить, что суммирование по результирующему моменту
связано с присоединением множителя, равного числу составляющих этого
момента, именно, 2/+1. Этот множитель сокращается с (2/+1)"1, входящим
в определение суммы по т, изображаемой утолщенной линией.
Суммирование по параметрам моментов, повторяющихся в двух
диаграммах, изображающих два множителя произведения, является действием,
обратным разложению сумм разрезанием диаграмм. Это производится
согласно формуле (34.15), читаемой в обратном направлении.
Это суммирование поясняется диаграммами ЪЪАА'А^, которые
изображают следующую сумму:
£35^К •••> **-а)864!(*1. ..., ял_2) = 35Л. (35.4)
Следует отметить, что расположение утолщений необязательно должно
быть таким, как указано в диаграммах. Важно только, чтобы при разрезании
по линиям jl9 ..., jn, j от обеих диаграмм были отрезаны одинаковые
обобщенные коэффициенты Клебша—Гор дана, причем узлы должны быть также
одинаково ориентированы. Это показано на диаграммах гьА'А'Аъ.
296

При использовании формулы (35.4) исчезает одна полностью
утолщенная линия, изображающая результирующий момент отрезаемого
коэффициента Клебша—Гор дана. Если бы полностью утолщенная линия не исчезала,
т. е. в диаграмме ЪЪА'2 линия j была бы на половину утолщенной, то к правой
части формулы (35.4) следовало бы присоединить дополнительный
множитель 2/+1. Если бы в результате суммирования появилась полностью
J
Jn
k
35r*'
%
Г:
<
Ju
>
>
*%
in
Ji
35>
35,
35.
35
%
утолщенная линия (в результате того, что, скажем, yY-была бы на половину
утолщенной и в диаграмме Z*AQ, то к правой части формулы также следовало
бы присоединить дополнительный множитель (в нашем случае (2/x+l)"1).
В практических расчетах важное значение имеет действие, обратное
разрезанию диаграммы по трем линиям. Это встречается в тех случаях,
когда суммируется произведение целого ряда матриц преобразования по
одному параметру, повторяющемуся в целом ряде множителей.
Пусть имеется п — \ диаграмм 35Л4, а также диаграммы 352?4. Число
последних необязательно должно совпадать с числом диаграмм 35^44. В
297

диаграммах 36Л4 производим суммирование, которое в точности
противоположно разрезанию диаграмм по трем линиям j{ylt. Получаем 35А^. Такое же
действие производим над диаграммами 35Bt и получаем ЗЪВ'А. Произведение
величин, изображаемых диа-
I.
(и
Лх
/>
/,.
■V
35
А
35i
в4
35,
К
In-,
&,
h'1
35t
в;
граммами ZbA[ и ZbB'v
суммируется по у согласно
указанному методу —
вырезанием обобщенного
коэффициента Клебша— Гор
дана, промежуточным
моментом которого является у,
и соединением
одноименных линий, оставшихся
после устранения вырезанного
коэффициента. Полученная
диаграмма 35С4 изображает
сумму произведения всех
величин, изображаемых
диаграммами 35у44 и Z5Ba.
Следует отметить, что
такое расположение
утолщений, как приведено на
диаграммах, необязательно.
Необходимо только,
чтобы отрезанные диаграммы
коэффициентов Клебша—
Гор дана были попарно
одинаковыми. Для удобства мы
подобрали такие
диаграммы, при суммировании
которых не появляются
дополнительные множители.
Для иллюстрации
графического метода
суммирования величин, которые
сами по себе являются сум-
298

мами произведений коэффициентов Клебша— Гор дана, рассмотрим
характерный по своей сложности пример. Пусть нам надо найти
%™А5(х, у)™В5(х, у) ™Cb{x)™Db{y),
(35.5)
т-1
4 U.
к ... Ishu
6 &
35d
с.
где отдельные множители являются матрицами преобразования,
изображаемыми соответствующими диаграммами ZbABCDb.
. / +
к/
к
/У
"л
Сначала восстановим представляемое разрезание одной диаграммы по
линиям fc, х, у на диаграммы 35А5 и 35В5. Получается диаграмма г5Е5. Тогда
35£5 и 35Сб удовлетворяют условиям предыдущего примера. Суммирование
осуществляется устранением обобщенного коэффициента Клебша—Гордана
299

с промежуточным моментом х. Соединение свободных линий диаграмм 35£5
и 35С5, оставшихся после устранения указанного коэффициента, дает 35iv
Таким же образом суммируется произведение 35Z>5 и 35,Р5 по у, что дает 35G5.
Эта диаграмма и изображает искомую сумму. Она разрезаема по линиям
hf h> J- Подбираем коэффициент Клебша—Гордана 35#5. Это приводит к
диаграммам 35/5 и 35/5; они представляют собою матрицы, произведение
которых и выражает искомую сумму (35.5). Получается следующий результат:
^ [к' к2 (х) ку | кк2 (кг) к'у] [х/2 (Л), kf (/), к I хк (у), f2f (j[)y j\] х
ху
х [к'к2 (x)f2j2 \j'2k2 (/2) fc7J,L/ifci (Zi) k'h I M' (y)fiji] = [kkf (j2)jh | l2j (h) k'j\] x
x [f2k2 (/2), kf (j), к Ш (Л), kk2 (kj, /J. (35.6)
Это равенство представляет результат суммирования произведения четырех
матриц. Три из них являются матрицами трех слагаемых моментов, а одна —
четырех. В действительности формула (35.6) может быть представлена в
300

виде суммы четырех упрощающихся матриц, пяти моментов каждая,
выражаемой через одну матрицу также пяти моментов, которая при упрощении
распадается на произведение двух более простых матриц. Восстановление
упрощения очевидно. Это необязательно, так как в практических работах
величины, произведения которых суммируются, чаще всего не являются
матрицами преобразования, а только эквивалентны им.
Мы довольно подробно изобразили процесс суммирования. Это сделано
для выяснения всех деталей расчета. В практических расчетах можно
обойтись без некоторых диаграмм. Например, 35^5 может быть получена без 3*Е5,
как указано в связи с предыдущим примером. Диаграммы 35/5 и 35/5 также
необязательны, так как непосредственно из 35G5 можно переписать матрицыа
получаемые после разрезания по линиям /2, 1Ъ j. Для этого на ту же
диаграмму наносятся дополнительные, скажем, пунктирные линии, которые
помогают переписать результирующие матрицы.
Суммирование сумм произведений коэффициентов Клебша—Гор дана не
всегда происходит в направлении упрощения суммы произведения матриц
преобразования. Однако оно всегда ведет к исчезновению параметра
суммирования, хотя сумма не станет проще относительно численного определения.
Это есть случаи, когда сумма произведений матриц преобразования низших
степеней преобразуется в матрицу преобразования более высокой степени.
Например, сумма произведения трех матриц преобразования трех моментов
каждая может дать матрицу преобразования четырех моментов. Это
эквивалентно выражению Зл/-коэффициентов суммами произведений
соответствующих коэффициентов более низких порядков.
36. Графическое изучение матриц преобразования волновых функций
связанных моментов. Стандартизация этих матриц
Как мы видели, сумма произведений коэффициентов Клебша—Гордана
по всем парам нижних параметров представляет собою матрицу
преобразования волновых функций связанных моментов. Наши рассмотрения,
проведенные в предыдущих разделах, как раз базировались на таких матрицах,
однако они не были направлены на изучение самих матриц как таковых. Это
мы сделаем в настоящем разделе.
301

Если число связываемых моментов и, то диаграмма матрицы
преобразования имеет 3(л-1) линий и 2(л-1) узлов. Разрезание такой диаграммы
по п тонким и одной утолщенной линиям ведет к диаграммам двух
обобщенных коэффициентов Клебша—Гор дана, произведение которых,
просуммированное по всем парам составляющих, и представляет матрицу преобразования
способа связывания моментов.
Самую простую матрицу преобразования представляет произведение
двух коэффициентов Клебша—Гор дана, просуммированное по всем трем
парам составляющих. Такая матрица изображена
на диаграмме 312?6. Она представляет собою
единичную матрицу преобразования двух
моментов. Мы ее изобразим в виде 3М1. Она, как
уже нам известно, представляет треугольную
дельту, иначе говоря, она является единичной
матрицей двух связанных моментов. Другой
отличной от единичной, будет 36BV Она равна -1 в степени
j\+j2—j и представляет перестановку моментов j\ и j2 в случае двух
связанных моментов. Других матриц преобразования двух моментов нет.
Если мы разрежем диаграмму S6AX по одной утолщенной и двум тонким
линиям, то получим сумму произведений двух обыкновенных
коэффициентов Клебша—Гор дана.
■%-2йн.1)-*Гл i% j 1ГЛ Л J 1=
^B^i-iy^-JBUjj).
= *(Лл/% (36.1)
(36.2)
Наличие единичной матрицы характерно для любого числа
связываемых моментов. Например, в случае трех моментов j\,j2, Л единичная матрица
изображается диаграммой 3М2. Она имеет выражение
тцтгтъ
"А2=У (3/+1)-*ГЛ h Jl2 IP12 h J IP1
^ L /«! m2 w12 J L w12 m3 m J L Щ
X l = S(/i/o/o/).
72
m2
Jl2
ml2
(36.3)
302

В правой части этого равенства стоит величина, которую можно назвать
четырехугольной дельтой. Она равна нулю, если только четыре параметра
не составлюят четырехугольника с целым периметром. Это есть одно из
условий неисчезновения
обобщенного коэффициента
Гор дана
Клебша-
'1
36А
36>
ъ.
Ji Н ]ъ
L щ т2 т3 ,ч JJlt
(Вторым условием является
требование равенства т = т1+т2 +
+ /и8.)
Как видно, 36А2 состоит из
двух диаграмм типа **Аг. В этом
можно убедиться, разрезав 3М2 по линиям j12 и соединив
освобождающиеся концы линий. Если изменить ориентации двух узлов в звА2, то
получится диаграмма 36Б2, которая состоит из двух диаграмм типа **BV Она
имеет выражение
™В2 = (- 1)л+л+л-у S {hhhJY (36.4)
Само собою разумеется, что в 3М2 может быть изменена ориентация
только одного из узлов. Тогда в правой части (36.4) фазовый множитель
будет содержать только три параметра.
В случае трех связываемых моментов, кроме матриц преобразования,
по модулю равных единице, существуют нетривиальные матрицы,
меняющие местами моменты. Например, матрица, изображенная диаграммой
36А3 триады jj2j12, Add переводит в jj3j13y Аз Л/, а матрица 36Я3 переводит j\j2
Ji2> J12J3J в УзЛ/з2> Jz:JiJ-
i
\+
л
л
}3
\_
fv
уГ\
-у
л
36/
36
»,
303

Одни и те же матрицы могут быть изображены различными по виду
диаграммами. Они могут отличаться расположением утолщенных линий, но
иметь одинаковые геометрические фигуры, как это имеет место в диаграммах
3М3, 36Л3, 3М3, с одной стороны, и зв2?3, 36Я3, 36^з> с другой. Они могут
отличаться также и геометрической фигурой, как это имеет место в случае
диаграмм 3М4 и 36Б4, изображающих те же матрицы 3М3 и 36Я3.
Zk
4\
\У
1/ 7
\32/1
4/
/к
ы
/ J32
36,
в.
36)
в
36>
в.
'3 «-'З w3
Разрезая диаграммы 3М3, 3М4 и 36#3, 362?4 по линиям^, Л» Л»Л получаем
по два обобщенных коэффициента Клебша—Гор дана, соответствующих пра-
%
хя;
36
в.
36/
в
войн левой частям матрицы преобразования. Учтя (21.22) и (21.19), можем
писать
3М3 = 3М4 = [jj2 (j12)jj \jj3 U\b)JJ] =
= (-1)л+л+л.+/«[(2Л1+1)(2уи+1)]2р1 Jt '"
[J Уз 7i3
36^3 = 36^4 = L/L/2 (У^УзУ ! УзУ*2 Uz^JJ] =
= (- 1)^[(2/12+ 1) (2/32+l)]^ P.1 * f }.
I УЗ У /32 J
(36.5)
(36.6)
304

В случае четырех связываемых моментов имеются матрицы, которые
можно представить диаграммами 3М5 и зв2?б или ™А'5 и Z6B'5. Матрицы Z*A6
меняют местами моменты j2 и;4 в последовательном сложении
7l +72 ~7l2>
7i2 +7з =7i23>
У123 +74 ~7»
гз« /
(36.7)
j jl i
Ън
J >
Л*
Уз
которое согласно [Ю. Л. В. 60] обозначается схемой А0. С другой стороны,
матрицы 36Б5 и 362?5 меняют местами моменты j2 и j3 в парном сложении
7i +7г =7i2»
7з +74 ==7з4>
7i2 +7з4 =7. (36.8)
которое в [Ю. Л. В. 60] обозначается схемой >4Х.
Само собою разумеется, что приведенные диаграммы могут быть
представлены также и в других видах, однако нас интересуют, главным образом,
случаи, когда утолщенная линия является одной из сторон и диагоналей
шестиугольника.
Разрезая диаграммы 3М5, 36В5 по одной утолщенной и остальным
тонким линиям, получим следующие выражения (ср. (24.12) и (24.9),
соответственно) :
36^5 = [АЛ (7*12)7*3 (7*123)7*4717*i7*4 (7*14)7*3 (7143)7*27] = (~ 1)'»-'»-'»»+>"» х
х [(2/12+ 1) (2/14+ 1) (27123+ 1) (27*143+ 1)]
1
2 (
7i 7г 7i2
74 7 7i23
k 7i4 7i43 7з
(36.9)
305

3*Bb=[JihUi2), ЛЛС/м). J\Jd*Ui*)* JJ*U*)> J] =
J. I Ji 7*2 У12
-[(2/12+ 1) (2/34+ 1) (2/m+ 1) (Я/м+ l)]2 Л Л Уз* }• (36.10)
l Лз ^24 j
Перенесением утолщений можно перевести матрицу преобразования
одной схемы сложения в матрицу другой схемы. Возьмем матрицу Z*BS и
перенесем утолщения у узлов, примыкающих к линии у'ь как указано в разделе
32. Тогда мы получим
\_
збя -Г (2/12+1) (2/18+1) 12 зб а /ад 1 П
В*~[ (%+1)(2л+1) J Л*' 1ЛЛ1>
где 8Мв является матрицей, напоминающей 3М5. В 3М6 поменяем знаки у
узлов ЛаЛЛ» ЛаЛ/з» ./WW и 7WW и применим формулу (26.9). Учитывая
(36.11), получаем формулу (36.10).
Кроме рассмотренных матриц преобразования волновых функций
четырех связанных моментов, могут быть еще такие матрицы, которые упро-
36
п
123
36
%
щаются. Одна из таких матриц рассмотрена в разделе 34 (диаграмма 3М4).
Она разрезается по трем линиям, вследствие чего распадается на
произведение двух матриц по три связываемых момента каждая. Более тривиально
упрощающаяся матрица изображена диаграммой 3М7, которая разрезается
по линиям у128 и Лз2- После соединения этих равных линий получаем
матрицу трех и двух моментов. Последняя совпадает с 36АХ и представляет собою
единицу (единичную матрицу).
306

Таким образом, матрица преобразования волновых функций двух
связанных моментов является тривиальной (единичная или минус единица в
степени Л+Л —Л- В случае трех связываемых моментов имеется только одна
нетривиальная матрица преобразования, так как 3*А3 и 362?3 сводятся друг в
друга перестановкой (во второй) j\ cj2, j* СЛ и перенумерацией j\->j2f b-*j\-
Такая операция переводит диаграмму 36Я3 в 3М3 и формулу (36.6) в (36.5).
В случае четырех связываемых моментов имеются две нетривиальные
и неупрощающиеся матрицы преобразования, несводимые одна в другую
перестановкой и перенумерацией, так как этими операциями диаграммы
36Аь и 36i?5 нельзя перевести одну в другую.
При переходе к большему числу связываемых моментов число
нетривиальных и неупрощающихся матриц резко возрастает. В случае пяти
связываемых моментов число таких матриц 16 (ср. [В. Ч. 58, Ю. Л. В. 60]).
4 из них выражаются через 12/-коэффициенты типа {3}, а остальные через те
же коэффициенты типа {2 }. В случае шести связываемых моментов число
таких матриц достигает 169 (ср. [Ч. 61]). 13 из них выражаются через
^-коэффициент типа {5,1 }, 16 — типа {5,0}, 88 — типа {3,1 }, 48 — типа {2,2}
и, наконец, 4 — типа {0,6 }. Кроме того, процесс нахождения выражения
матриц через Зи/-коэффициенты также усложняется с возрастанием числа
связываемых моментов. Это особенно относится к методу, использованному
в [В. Ч. 58, Ч. 61] и основанному на непосредственном выражении матрицы
через соответствующий 3«/-коэффициент.
Оказывается, что процесс выражения матриц через Зл/-коэффициенты
можно упростить приведением к определенному стандартному виду,
который характерен для определенного типа (рода) Згу-коэффициента. Мы
указали выше, как вторая матрица четырех связываемых моментов сводится к
первой. Таким образом, считая матрицу 36Л5 стандартной и имея
соответствующее выражение ее через 9/-коэффициент (36.5), сводим другую матрицу
к этой стандартной, применяем соответствующую формулу и находим
искомое выражение для интересующей нас матрицы. Такой подход особенно
полезен при отсутствии набора формул для выражения матриц через Зи/'-коэф-
фициенты.
Больше того, отпадает необходимость наличия набора этих довольно
громоздких формул, так как в каждом отдельном случае нетрудно
построить соответствующее выражение. Для этой цели необходимы выражения
307

для стандартных матриц по одной для каждого типа (рода) Злу'-коэффициентов
при заданном значении п.
Стандартным видом матрицы для трех и четырех связываемых моментов
будем считать, соответственно, 3М3 и 3М5. Для них характерно то, что при
разрезании матрицы на два обобщенных коэффициента Клебша—Гор дана (по
всем тонким диагоналям, одной тонкой и одной утолщенной сторонам) в
нижнем коэффициенте все узлы „минус", а в верхнем все „плюс", когда
полностью утолщенная линия находится в правой верхней части
диаграммы. Приводим диаграммы стандартных матриц в случае пяти, шести и семи
связываемых моментов, а также выражения для них через 12/-, 15/- и
^/-коэффициенты, соответственно. В первом случае таких матриц будет две, во
втором - пять, а в третьем — 18, согласно числу типов (родов)
соответствующих Зи/-коэффициентов.
'nyl
/IV
Jl2[ А
ы
J123i,
[Г
к
-
\/
л
и£
'Н52
36А
Ч
V542
Стандартные матрицы, выражаемые через 12/-коэффициенты типов {3}
и {2 } или, иначе, второго и первого рода, изображены на диаграммах 3М8
и зв2?8. Выражения для них следующие [Ю. Б. В. 62а]:
86^8 = [АА (А2)Л (А2з) А (А234) АУIАА Uu) A OWA (А452) jj] =
>[
J. I Ji J123 Л45
= (-l)*[..-]2 I ju h Am
> 1
Jz
7l452 J
(36.12)
Ja Jb J12
9 —Jl ~Jl2 ~~Ju +Л234 +7l452 ~J'■>
36^8 = [AA C/ia) A (A23) A (A234) A; IAA (Лв)Л (Лм)Л (/WA/I =
308

-(-!)•[.. -Г
Л J12 J123 J*
A J Z 7l234 15
I Jl54 Jl542 J Jb
(36.13)
9 —Л23 —Л234 ""Лб +У154-
Стандартные матрицы, выражаемые через 15/-коэффициенты, изображены
диаграммами **ABCDE9. Формулы для них имеют следующий вид [Ю. Б. В.
62а]:
86Л = [ (АААААА)^ uj I (А ААААА)Л bj] =
[
JL I A 7i2 A23 У1234
= (-1)ф I-..]2 I А Л Л Asms
7l56 ./1562 7l5623 7
9 =У5 + У6 +7l5 ~"7l56 ~"Jl234 +Л2345 5
A 1
A J
(36.14)
12Ш
'15623
1562
36 A
f16523
1€52
zeB9 = [ (AAAAAA)^ <*J I UdddddJ4* bj] =
JL I A A2 A23 A234 A
= (-1)ф[...]2 { j2 y3 j\ y12345 yie
Лб5 У1652 Аб623 j A
(36.15)
309

= (-!)'[...]
9 — Jib Jies ~ Ji 234 "+" ./123451
3eC9 = [ UdJJJdJA*aJ I UbhJJiJJs)4' bj] =
7l234 Ji Jl23 Jl Jl2
/12345 Ji 7l5 Уз Jz
Jaw Jim Л5в24 Ji J
9 = ~Jl +7з +74 +Л + Jl23 +Л234 +7l2345 ~Jl5« ~/l56241
se^>9 = [ UihhJJbhY' aj I (AhhhJJi)4' bj ] =
= (-!)'[•••]
\,
7l2345 7l5634 У 7l563 7б
7l234 72 7l56
/ h
7l23 7б 7l2 7l 7з 7l5
? ~"УЗ ~74 +Л —Л ~"Лбв +7l5634 +7l234 +У»
(36.16)
(36.17)
'1562<* '123
4562
15364
1536
Z*E9 = [ (jddddd*)*' aJ I tiddddd*)A% ЬЛ =
JL I /l 7*2 7l5364 7l536 7l5
= (-1)^[.. .]2 I 7i2 7 7*4 7зв 7*5
l У12345 Л23 7e 7i234 7з
<p =7i +7з +74 +7e ""7i2 +Л23 +Л234 +7i5 +7i53e ~"7i5364 ""7-
}, (36.18)
310

Отметим, что последовательность здесь такая же, как и в разделе 27;
это значит, что типы 15/-коэффициентов классифицируются в следующем
порядке: {5,1} (второго рода), {5,0} (первого рода)J {3,1} (четвертого
рода), {2,2} (третьего рода) и {0,6} (пятого рода).
Стандартные матрицы, выражаемые через 18/-коэффициенты, изображены
диаграммами **A — S10. Формулы для них берем из работы [Б.В.Ю. 62]:
звАо = [ UddddddiY* <*j I UddddddbY* bj] =
1 7e
= (-1)ф[...]2| 7ie
[
h
7l 7l2 7l23 7l234 7l2345
72 7з Jl Jb 7l23456
7l67 7l672 7l6723 7l67234 7
}
? —7б +77 ~~ 7l2345 +7l23456 +7l6 "~7l67'»
(36.19)
'176234
17623
1762
36i
В
10
36^io = [ UddddddiY9 aJ I UdiJddddbY* bj] =
-(-Пф[...1
Jl Jl 7l2 7l23 7l234 7l2345
7l7 72 73 74 Jb 7123456
7б 7l76 7l762 7l7623 7176234 7
9 =7l2345 ~7l23456 ~~7l7 +7l76>
,(36.20)
311

"•Сю=[ UJJJJJJt)^ aj
i
= (-!)*[.. -]2
7l2345
Л
Л
Л
7l234
7l23
7l2
1 UddddddbY* bj] =
7l23456
Лв
Л
Л
7
Л
7l67
Л
7l672
7l6724
7l67243
(36.21)
ф =Л +7б +7l2 ~"7l23 +7l234 +7l2345 +7l67 +7l672 ~7l6724 +7l67243*>
'1672*3
16724
1672
36,
156723
15672
1567
361
'10
'10
3eAo = [ UddddddiY* *j I UdsJddtJdW0 bj] =
= (-!)*[...Г i
7l56 7l5672 7з 7l2 7l5
7l567 J 2 7l
7*7 7*6
J Jl 7l234
Л23456 7l56723 7в 7l23 7l2345
? =72 "~~7з +Л +7б ~"7б +Л "~7i234 "~"7i567*>
(36.22)
312

3%о = [ (jiJMJbhhY' aj | (JdihJddjy' bj] =
-(-1)4.. V \
Ji J 7з 7i2 7i
7l76254 7l23
7l7 7l23456 Jz J*
7l234 7l7625
7б 7l2345 Jb 7l762 7l76
>, (36.23)
9 —Jl2 *~7l23456 ""~7l7 +7l76 ~~7l762 +7 J
Ш254
/г345^
У P\
У/гз 1 У
j к
/г345б
У6 У7
к
._. -
(V
И
л
J,
16725*
Jf
16725
4672
Збг-
ю
зв^ю=[ (hJddJJ%h)A* <*j! UJJiJJJJ^9 bj] =
«(-!)•[..-Г 1
7i234 7e 7ie У123 7i
Л2345 7l2
75 7l23456 7з 72
7 7l672
I 7l6725 77 74 7167254 7l67
\, (36.24)
9 —7г ""7з +74 ~"7б ~7в +77 +7i2345 ~"7i67»
313

L
36<?ю = [UddddddiY0<*jIUddddddzY*bj]=(-i)*[...] x
7б 7l2345 7l23456 Jl 7l7 7l 72 7l762 74
x { . . . .... . . J, (36.25)
7l76245 7l234 7б 7 7з 7l2 7l76 7l7624 7l23
9 —7l2 ~~7l23456 +7l7 +7l76 +7l762 ~J\
X
36 #ю = [ UddddddiY* <*j I UddddddzY* bj] = (- 1 )ф [... ] x
7l 72 7l672 74 7l23 7з
7l2 7l67 7l6724 7l234 7e 7
7l6 7167245 7б 7l2345 7l23456 77 J
9 =7б +77 +7l2 — 7l23 +7l2345 +7123456 +7l6 ""7167 +7l67245 +7 \
, (36.26)
Лгз4| Уз
3X1/ / 1+
-476245 '1234*
/7624
/
f7
/0
'*7™ UP
У5724
f7 l-WW
35
'fO
!(-1)ф[...]
звЛо = [ UddddddiY* <*j I Udddddd^ bj] =
7б 7l23456 77 7ie
7l 7l2345 7 7l67
Л Л }, (36.27)
7l2 7l234 7l67534 7l675
7i23 74 7ie763 7з J
9 = ~72 +Л +7*4 +Л +Л +7*7 -7i234 -7i675;
314

36Ло = [ UddddddiY* <*j \ (JdddddddA% bj] =
= (-1)ф[...]2 \
7l2
H
7ie
7з 7l673
7l67
7l23 7б 77 7l6732
7l2345 7j 23456 7
7l234 7б 74 7l67325
? —7*2 +7*3 +74 +7*5 + ?/7 +7i23 +7l2345 +7l67 ~7l6732»
(36.28)
тч5ь
167325
16732
1673
36-
167524
16752
1675
36,
'/0
к
10
3%o=[ UddddddiY* a]1 UddddddzY* bj] = (-1)ф [... ]2 *
/7 7i6 7e 7i2345 7б 7
7l23456
X ' 7l67 7l 7l234 7l6752
7з
I 7l676 72 7l2 7l23 74 7l67524 J
? ==7l +72 +7з +74 +7б ~~77 +7l234 +7l2345 ~~7l23456 +7l6 +7l67»
, (36.29)
315

36£ю - [ UddddddiY* *jI UddddddzY* bJ 1 = (- 1 )ф f • • • 12 x
74 Л 77 75 7з 7e
X ^ 7l 7l67 7l6745 7 712345 7l28 f » (36.30)
i 7l2 7l6 7l674 7167452 7l23456 7l234
9 =7i -Л -7з +Л +7s +7e -Ji -j\
'12345
36»
40
Jm**s
4 4m ki ' #><J 4«- Jm> U
1572*6
'12
-7752* J123
'1752
36
n
Ю
"Mv> = lUddddddi¥%*]\Udddddd№j1[ = (-\)*[...] x
7i
7l23 7l2 7l 77 7123456 7l2345 7l234
7з 7г 7e 75
7 7175246 717524 74 7l752 7l75 7l7
9 =7з +74 +7б +77 —7l2 ~'7l2345 +7123456 ~~7 \
}, (36.31)
3Wio = [ Uddddddi)* *7I UddiJdddJ* bJ] = (- J )ф [ • • • 1 x
{
72 7l2 7l23 7l234 74 7l5724
* I 7l 73 7l672
7б 7l5 7l57 7*7 7 7l23456
9 =7l "72 ""Л + ?/б +77 +7l234 +7l23456 +7157246»
7l57246 I
h • (36.32)
7l2346 J
316

360ю = [UddddddiY9aJI Uddddddzf**У] = (- 1)ф[- - •] x
h
7l234 7l23 У4 7l764
7l2345 Уб 7l76
./123456
7l7
7? 7i
Уз 7l7642 7l2
7176425 Уз У17642 У12 Уг _J
ф =У2 +Уб ~h/l2 +У123 +У1234 ~"У12345 +У1764 ""У17642 +У176425 +У»
(36.33)
36<
а
36,
10
10
36Ло = [ UddddddiY9 <*J I UddddddiY' *Л = (- !)ф [■ • • 1 x
У1674 У4 У123 Уз У167425 I
У167 У7 У I
Xi У16 У123456 } f (36.34)
У1 Уб У12345
У2 У12 У16742 У1234 Уб
ф =У2 "~У3 —У4 +Уб +У123 ""У12345 +У1674 +У16742 +У167425 +У >
317

86-R10 = [ UJJJJJJiV' aj | (JMdJJbJ\)A° bj] = (- 1 )ф [ • • • ] x
\\
7l74625 7з
/12
7l7
7l74
7e
7l2345
7l7462 7 7l23 72 77 74 7l746 7l23456 7l234
9 =7l +72 +7з +74 +7б +7б ""7l2 +7l23 +7l234 "~7l74 +7l746 +7l7462 +71
>•
(36.35)
W625
i7b62
f745
36^io = [ (JdddJfJdiY* aJ I UJeJJ7J2J5Jz)Ao bj] = (- 1 )* [. . . ] x
74 7i 7i64 7в 7i6
X 1 7l234 7l23 7l2 72 7l647 77 7l23456 7l2345
17164725 73 7l6472 7 7o
9 =7з +7б +7l2 +7123456 +7l6 ~~7l64 "~7l6472 +7164725 '•>
, (36.36)
Стандартные матрицы 18/"-коэффициентов приведены в такой же
последовательности, как и в разделе 28. В данном случае сама матрица обозначен а
сокращенно—без указания промежуточных моментов. Во всех формулах
(36.12) — (36.36) под [... ] подразумеваются произведения весов или чисел
составляющих всех промежуточных моментов.
318

Как видно из приведенных формул, все стандартные матрицы
соответствуют перестановкам слагаемых моментов в одной и той же схеме
сложения А0, за исключением (36.18), где происходит преобразование между
схемой А0 и А2. Это является следствием того, что 15/-коэффициент типа {0,6}
не имеет своего представителя среди матриц преобразования типа [AQ | А0].
Это является одной из исключительных особенностей 15 у-коэффициента
типа {0,6}.
Другой особенностью 15/-коэффициента типа {0,6} является то
обстоятельство, что, как видели в разделе 27, он не имеет гамильтоновой линии,
т.е. не может быть представлен 10-угольником. Ввиду того, что среди
других известных Зи/-коэффициентов отсутствие гамильтоновой линии не
обнаружено, можно предполагать, что это своеобразие одного из
^./-коэффициентов связано с особенностью симметрической группы (перестановок)
5в (6 равно числу связываемых моментов). Она, в противоположность всем
остальным симметрическим группам, не является замкнутой. Здесь под
замкнутостью подразумевается отсутствие внешних автоморфизмов и
совпадение центра группы с тождеством.
Для получения вышеприведенных формул следует разрезать
соответствующие диаграммы так, чтобы после разложения матриц по суммам
произведений более простых матриц и замены их через 6/- и 9/-коэффициенты,
согласно формулам (36.5) и (36.9), получились выражения, соответствующие
определениям 12/-, 15/- и 18/-коэффициентов, приведенным в разделах 26,
27 и 28.
37. Теорема Вигнера—Эккарта. Приведенный матричный
элемент и его выражения для некоторых операторов
Ввиду того, что неприводимые тензоры имеют ту же симметрию
относительно вращения трехмерного пространства, что и собственные функции
квадрата момента количества движения и его составляющей, в квантовой
теории принято рассматривать операторы в неприводимом виде. Это
значительно облегчает процесс отыскания выражений для матричных элементов
операторов любых физических величин.
Как неприводимые тензоры, так и собственные функции момента
количества движения преобразуются по неприводимым представлениям группы
319

вращения трехмерного пространства. В первом случае это неприводимое
представление задается рангом неприводимого тензора, а во втором —
собственным значением момента количества движения. Это обстоятельство
привело Фано и Ракаха [F. R. 59] к объединению неприводимых тензорных
операторов и собственных функций момента количества движения в одно
понятие неприводимых тензорных наборов.
При отыскании матричных элементов неприводимых тензорных
операторов относительно собственных функций момента количества движения ранги
операторов и собственные значения момента количества движения
появляются в одних и тех же коэффициентах Клебша—Гор дана на равных правах. Все
дальнейшие операции с коэффициентами Клебша—Гор дана и их
произведениями производятся методами, изложенными выше. Однако в самом матричном
элементе содержатся дополнительные характеристики, которые для
неприводимых тензорных операторов и собственных функций момента количества
движения не являются одинаковыми.
В случае неприводимого тензорного оператора этой дополнительной
характеристикой является само математическое его выражение и физическое
содержание, зависящее от того, с какой физической величиной сопоставлен
данный оператор. С другой стороны, в случае собственных функций момента
количества движения дополнительной характеристикой являются
собственные значения коммутирующих операторов, которые совместно с оператором
момента количества движения (точнее, его квадрата и одной из составляющих)
составляют полный набор коммутирующих операторов. Этот набор
характерен для исследуемой системы также, как дополнительная характеристика
оператора характерна для физической величины, вычисляемой для данной
системы.
В графическом изображении процесса отыскания выражений для
матричных элементов эти дополнительные характеристики следует учесть и каким-то,
хотя бы самым общим образом, их обозначать на
соответствующих диаграммах. Неприводимый
тензорный оператор Т™ согласно [Ю. Р.Б.65]
будем изображать диаграммой г7Аг, а собствен-
37д Mq ную функцию момента количества движения
1 1 | аут ] — диаграммой 872?1в Они одинаковы по
виду, хотя отличны по содержанию, как это и должно быть. Это различие
содержится в символе, стоящем в дуге, длина которой 120° при произволь-
г)*- .}
320

ном радиусе, В первом случае она содержится в символе Г, а во втором —
в а. Направления от дуг в диаграммах Z1AX и тВг будем считать
положительными. Как и в случае коэффициентов Клебша—Гордана, указывать их не
будем.
В основе расчета матричных элементов тензорных операторов лежит
так называемая теорема Вигнера—Эккарта, которая выделяет зависимость
от ориентации пространства относительно системы координат. По этой
причине изложение графического изображения матричных элементов начнем с
графического изображения этой основной теоремы.
Матричный элемент оператора
7* относительно собственных
функций с параметрами cxjm и а'/т'
изображаем диаграммой 3М2,
символизирующей соединения трех дуг
по 120° каждая, из которых
выходят линии, изображающие j\k, j.
При этом, параметр j изображаем утолщенной линией, так как в
матричном элементе [oc/m | 7* | ос'/ю'] удовлетворяется условие m = q+m'.
Диаграмма искомого матричного элемента содержит три свободные
линии, что соответствует его зависимости от составляющих трех величину', k,j.
Это указывает на то, что, согласно общей теореме разложения (33.6), он
выражается обыкновенным коэффициентом Клебша—Гордана. Это значит,
что разложение содержит только один член. Множитель при этом
коэффициенте Клебша—Гордана является инвариантом относительно вращения
трехмерного пространства, т. е. не зависит от ориентации пространства
относительно системы координат. Это все дает соотношение
[а7т|П'Ма7т1 = [а;||Г^>||а'л[^ * ^ ], (37.1)
что и представляет собою теорему Вигнера—Эккарта. Выражение (37.1)
получается путем замыкания диаграммы 3М2 коэффициентом Клебша—Гордана,
изображенным диаграммой 372?2, как это изложено в разделе 33.
Инвариантный множитель [о/1| Т(к) | а'/] изображается получаемой замкнутой
диаграммой 37С2. Этот множитель называется приведенным матричным элементом
321

или субматричным элементом (ср. [Ю. Л. В. 60]). Он связан с
соответствующей величиной, введенной Ракахом [R. 42], следующим образом:
Л
loc/II 7« || а'/] = (2/+ 1) 2 (а/1| 7™ || а'/)- [(37.2)
Согласно (4.9) для эрмитовых операторов имеет место равенство
[oijm 1А™ I «У wl = [</"«' 14*11 «/«Г- (37.3
Оно дает нам для приведенного матричного элемента эрмитового оператора
относительно транспозиции соотношение
j_
[а/||Г<»||а'Л = (- D'-/+*[[|£f]2 [«7ЦГ^||а,Г (37.4)
вместо
(а/Ц Г<«|| «'/) = (- 1)'-'+* («7'II Г*> II «/)* (37.5)
для приведенного матричного элемента согласно определению Ракаха.
Приведенный матричный элемент должен удовлетворять всем условиям,
накладываемым коэффициентом Клебша—Гор дана, изображаемым узлом
(правая часть диаграммы 37С2). Окружность (левая часть диаграммы 37С2)
содержит всю остальную информацию о приведенном матричном элементе
согласно характеру оператора. Эта информация может содержать также
условия, вносящие дополнительные ограничения коэффициента Клебша—
Гордана, что будет видно из выражений для приведенных матричных
элементов конкретных операторов, к приведению которых и приступаем.
Если оператором является так называемый единичный тензор и%\
введенный Ракахом [R. 42], то имеем равенство
[!\\ifl»\\l'] = ikh(lkl)b(l, Г). (37.6)
Здесь треугольная дельта происходит от свойства коэффициента Клебша—
Гордана, а кронекеровская дельта — от свойств накладываемых оператором,
что и представляет собой указанное ограничение. (37.6) с матричным
элементом (/ \\и(к) || /'), введенным Ракахом, не связано равенством (37.2).
Следует отметить, что (37.6) охватывает также и случай к=0, что
является следствием определения приведенного матричного элемента (37.1).
Если использовать приведенный матричный элемент, определенный Ракахом,
то из соотношения соответствующего равенства (37.6) исключается случай
к=0.
322

Если оператор является скаляром, то (37.1) при учете (15.19) дает
[а/т | Т™ | а'//я'] = [ос/11 Г(0) II а';] 8 (М j'm'). (37.7)
Это значит, что в случае скаляра матричный элемент совпадает с
приведенным матричным элементом. В случае использования приведенного
матричного элемента, определенного Ракахом, вместо (37.7) имеем
[ajm\ J<°V//h'] = (2/+ 1) (a/||^0>||a7)S(M /«')• (37.8)
В случае скалярного оператора диаграмма 37С2 превращается в
диаграмму типа 31С6, где один из узлов заменен окружностью, содержащей свойства
этого скалярного оператора. Если же скалярный оператор является
единицей, то 87С2 превращается в 31Св и дает лишь кронекеровскую дельту, что
является частным случаем (37.6).
Теперь найдем приведенный матричный элемент момента количества
движения. Используем для этой цели (4.11). Согласно (37.1) пишем
[Jm\jP\fm'] = [j\\jV\\j] [Jm I JmJ *(М j'm') = imh8(jm, j'm'). (37.9)
Согласно разделу 19 из приложения 1 или из приложения 2 [Ю. Л. В. 60]
имеем
I т 0 т J
Г- (37.10)
ШЯ-1)]2
что дает
1
U\\J°>\\j} = ih\jU+l)f- (37.11)
В случае приведенного матричного элемента Ракаха вместо (37.11) имеем
u\mj)=mpj+i)ju+i)]2- (37.12)
Приведенный матричный элемент оператора момента количества
движения связан с приведенным матричным элементом единичного тензорного
оператора первого ранга, согласно (37.6), следующим образом:
[/||^>||/] = 1 Г[1\\1™\\И (37.13)
*[/(/+!)]
2
323

Особенно важным является оператор сферической функции C(fc).
Вычислим для него Приведенный матричный элемент. Для этой цели возьмем
[Ли|С»>|/'ж'] = [/||С<*>||п[^ кд ^] (37.14)
и вычислим частный случай m'=m=q=0. Тогда (37.14) даст нам
[/||C^||/'] = f/'+*-'4-[(2/+l)(2/'+l)FC/w^/0 kQ l0J\ (37.15)
Здесь СШ' является интегралом, определенным согласно (15.15).
Использование (15.17) дает
[/||C<»|i/'] = [^C/wf. (37.16)
Для приведенного матричного элемента Ракаха имеем
(/||C^||/0 = [(2/+I)f+1) Crf. (37.17)
Иногда удобно иметь приведенный матричный элемент, выраженный через
коэффициент Клебша—Гордана, а не через интеграл от трех полиномов Ле-
жандра. Тогда в (37.15) вместо Qk{ подставляем его выражение из (15.15)
Это дает
[/||С»||/']-<-1).-<[|±^[о I „], (37.18)
Гк '1
L о о о J
(/||С<»||/') = (-1)*-'(2/'+1)2 |^0 0 QJ. (37.19)
Заменяя коэффициент Клебша—Гордана коэффициентом Вигнера согласно
(18.1), получаем
[/||С»>||Л-(-1)»(2Г+1И ('0 J J,), (37.20)
(/|1С^||/') = (-1)П(2/+1)(2Г+1)]^(/0 kQ q). (37.21)
В приложении 6 дан ряд формул для приведенного матричного элемента
оператора сферической функции при одном численно заданном параметре
324

от нуля до 6 включительно, а также численные значения при всех численно
заданных параметрах до /,/'<6, заимствованные из [В. Ю. 59] и пополненные.
В силу стандартности системы фраз он всегда положителен и симметричен
относительно транспортирования, т.е.
(1\\СЮ\\Г) = (1'\\СМ\\1). (37.22)
Теперь рассмотрим приведенный матричный элемент оператора
градиента
V = n-|r + V*|. (37.23)
Первый член правой части этого равенства представляет собою радиальную
часть оператора, а второй — тангенциальную, В первом случае угловая
зависимость (единичного вектора, перпендикулярного к сфере) задается
сферической функцией первого ранга следующим образом:
п = С^>. (37.24)
Приведенный матричный элемент найдем из (37.18), учитывая следующие
выражения:
['о J о"']--Ыт]^ (3"5а)
['о J П-[-&-]*- <»•*»
Это дает
или
[/||п||/-1] = [//(2/+1)]^, (37.26а)
[/||п||/+1] = [(/+1)/(2/+1)]2, (37.266)
(/||n||/-l) = lA (37.27а)
(/|| п || /+1) = 1/7+1. (37.276)
Приведенный матричный элемент угловой части второго члена правой
ч асти (37.23) найдем методом, изложенным в ргботе Левинсона и др. [Л.В.Ю. 56]
В первую очередь заметим, что
Vo* = / V? « - / «in » £- * sin*» -^. (37.28)
325

Возьмем частный случай матричного элемента величины (37.28)
[/0|Vo*|/'0] = i''+1-'4-[(2/+l)(2/'+l)]2x
х ( Р, (cos ft) sin2 8- dfQs^ Pr (cos ft) sin ft </ft. (37.29)
6
Согласно общеизвестному соотношению (ср. формулу 6.8142 [Р.Г. 51]),
sin2 * Т^& Pr (cos ft) = ^^ [Рг-г (cos ft) -Рг+1 (cos ft) ]. (37.30)
Это дает
[/0|Vo*|/'0] = //'+1-//,(/'+l)[(2/+l)(2//+l)] 2х
x[S(/, /'-1)-8(/, /41)]. (37.31)
Далее используем выражения (37.25) и учтем (37.1). Получим]
[/|IV*H/-l]=-(/-l)[//(2/+l)]2, (37.32а)
[/|IV*H/+l] = (/ + 2)[(/+l)/(2/+l)]2, (37.326)
или
(/I! V* II/— 1)= — (/— 1) V"/, (37.33а)
(/|| v* || / + 1) = (/+2) V / + 1. (37.336)
Следует отметить, что полученное выражение для приведенных
матричных элементов угловых частей оператора градиента соответствуют
стандартной системе фаз. Это значит, что удовлетворено следующее условие:
!<*>* = (-1)*-« 7™ (37.34)
независимо от значения к. Для указания стандартности системы фаз в
приведенных выше рассмотрениях можно было писать и(1), у*(1) вместо п, у*-
Рассмотрим еще свойства симметрии зеркального отражения
приведенных матричных элементов. Заметим, что в (37.6) подстановка (10.1)
относительно / и /' может быть произведена лишь одновременно. Получаем
[/||исб||/'] = (»1)Л[/||и(Л)11а (37.35а)
326

[tfll «(WH/"] = [/II «<« ||/], (37.356)
[;/||k»j||/] = (-1)*[/||«»)|K]. (37.35b)
Для приведенного матричного элемента оператора момента количества
движения (37.11) получаем
|/НУа)1Ш=-Ш1/(1)11Л (37.36)
а в случае приведенного матричного элемента, определенного согласно Ра-
каху, имеем
U\\J<v\\J)=-tU\\J°>\\J). (37.37)
В случае приведенного матричного элемента оператора сферической
функции при учете свойств симметрии отражения коэффициентов Клебша—
Гор дана (17.96) из (37.18) получаем [следующие, практически важные
соотношения:
[7||С»>||7']-[/||С»||П, (37.38а)
[1\\С<*>\\Т'] = [1\\СЮ\\Г]. (37.386)
Для приведенного матричного элемента Ракаха вместо (37.38) имеем
0\\CM\\l') = i(l\\C<*>\\n, (37.39а)
(/||Cff)||//)=:(/||C(*)||/'). (37.396)
Свойства симметрии для приведенного матричного элемента
радиального составляющего оператора градиента легко получаются из (37.38) и
(37.39), а для тангенциальной составляющей — из выражений для них (37.32)
и (37.33).
38. Графическое изображение тензорных произведений неприводимых
тензорных операторов и их матричных элементов
Пусть имеются два неприводимых тензора Т(к*> (qt = — klf — кг + 1,... ,к\1
и U(kt) (q2= —к2, -fc2+l, ..., fc2). Производя умножения составляющих
одного на составляющие другого, получим (2кг + 1) (2к2+ 1) произведений
[Т^ х [/<*■>]*«, = ТЫ #<*■>. (38.1)
327

Это есть прямое произведение, которое графически изображаем диаграммой
3BAlt состоящей из двух частей, как это имеет место всегда, когда величины
умножаются друг на друга.
7
]*12
К
и
38
за
»,
'В,
X
Произведение (38.1) в
общем случае приводимо. На
основании сказанного в начале
предыдущего раздела о
совпадении свойств преобразования
неприводимых тензорных
операторов относительно вращения
трехмерного пространства с
соответствующими свойствами
собственных функций момента количества движения, произведения (38.1)
приводятся с помощью матрицы, элементами которой являются
коэффициенты Клебша—Гор дана. Таким образом, имеем
ка a I' <38'2)
Чг Ч
tk к кЛ
1 2
Чг Чг Ч J
Здесь в левой части имеем неприводимый тензорный оператор, являющийся
тензорным произведением двух неприводимых тензорных операторов.
Графически изображаем его диаграммой **В1$ в которой линии кг и к2 замкнуты,
так как по их составляющим осуществлено суммирование. Однако нельзя
считать, что незамкнутость диаграммы гвВг задается только одной линией к,
так как часть диаграммы, изображающая тензоры, не замкнута. Ее
замыкание, как видели в предыдущем разделе, осуществляется двумя дугами.
В случае к1=к2=к=\ (38.2) соответствует векторному произведению
двух векторов. Оно связано с обычным векторным произведением следующим
соотношением:
[А, B] = i]/~2[A™xBV]™. (38.3)
Это имеет место в случае стандартной системы фаз, т.е. когда операторы
удовлетворяют условию (37.34).
В другом частном случае, когда в (38.2) к=0, имеем
[Т(к)х £/(*)]«»= £ (2к+ 1) 2 (- 1)*~*Г<*> J7<« =
328

= (2*+1)*й(Г<«-СЛ»), (38.4)
где множитель перед произведением составляющих тензора получается из
коэффициента Клебша—Гордана согласно (15.20). Таким образом, скалярное
произведение через тензорное произведение нулевого ранга выражается так:
(7W. £/<*>) = (2fc + 1 f [Т<» х U<**$>. (38.5)
Более сложное тензорное произведение
[л(к) —, Г кг к2 ко к "1
изображено диаграммой 38С1в Оно может быть преобразовано точно таким же
образом, как и волновые функции трех связанных моментов (ср. раздел 21).
Никаких трудностей не представляет изображение тензорного произведения
любого числа неприводимых тензорных операторов при любом способе
связывания их рангов.
Теперь покажем, как изображаются матричные элементы тензорного
произведения неприводимых тензорных операторов. В первую очередь
рассмотрим случай, когда умножаемые тензоры действуют на одни и те же
координаты. Диаграммой **А2 изображен матричный элемент неприведенного
произведения
[*jm\[TMxUMqiq2\*'fm'] =
= £ [*jm | IW | a"/'K] К/'»*" I U™ I a fm']. (38.7)
a"j"m"
В этой диаграмме две окружности соединены линией, изображающей
параметр типа j. По этому:параметру и его составляющей, а также по
дополнительной его характеристике, должно быть осуществлено суммирование.
Как видно из предыдущего раздела, направления (знаки) окружностей
считаются положительными, когда линию параметра, стоящего в правой
стороне матричного элемента, надо повернуть против часовой стрелки, чтобы
она совпала с линией ранга тензора.
329

Если при этом произведение приводится к неприводимому виду, то
получаем
Это изображено на диаграмме 38#2. Само собою разумеется, что взятие
матричного элемента (умножение на волновые функции и интегрирование) и
приведение произведения являются действиями, коммутирующими между
собою. Диаграмму 382?2 мы получили путем замыкания окружностей в В8А1
и последующего приведения. Это значит, что ZSA1->ZSA2-^Z8B2. Однако мы
могли идти и ^другим путем: ЗВА1-***В1-***В2.
Диаграмма 38Я2 имеет три свободные линии. Замыкаем ее коэффициентом
Клебша—Гордана г7В2. Получаем диаграмму 38С2 (и коэффициент Клебша—
Гордана, согласно теореме разложения (33.6)). Окружности Т и U в 38С2
ззо

отсекаем по линиям j"kj и /fcj", соответственно, и оставшиеся концы
свободных линий замыкаем соответствующими коэффициентами Клебша—Гор-
дана. Получаем диаграммы ^DD'D"2. Первые две представляют собою
приведенные матричйые элементы умножаемых операторов, а третья — матрицу
преобразования. В результате получаем следующее разложение:
[а;т|[Г^хС/^|а7т'] = [^ * ^ ] х
х ^ tell *™11«ТН«Т11 U™\\ «ТШ'. кгкш(к), JlfhiDkJ]. (38.9)
К левой части этого равенства применяем (37.1) и обе части раздел яем на
один и тот же коэффициент Клебша—Гордана, который не равен нулю. Тогда
получаем
[ос/1| [ТЫ х tfCfcjp || ay] = 2 [а/1| Т^ || ос"Л [а"/' || £/<**> || a'/] х
х[/, kMQJlfktUlkJ]. (38.10)
Это и есть выражение для приведенного матричного элемента тензорного
произведения двух операторов, действующих на одни и те же координаты.
Правая часть (38.10) состоит из суммы трех множителей, причем
суммирование ведется по повторяющимся параметрам.
Формулу (38.10) легко запомнить, если заметить, что в левой стороне
матрицы преобразования / связывается с к (при учете внутренней
структуры к) в у, а в правой — тот же у" связывается с к2 и через f далее с кх в тот
же у.
Если матрицу преобразования выразить через 6/-коэффициент согласно
формуле (36.6), переставив сначала местами / и к, и использовать
приведенные матричные элементы по Ракаху, то получим
\_
(о/ЩТ^х С/^>р||а,/) = (2Л:+1)2 (-l)W+*x
^S^II^^II^^W'll^^lkVoj*1 *" *}. (38.11)
Если fc=0, то в матрице преобразования Ъ*В\ линия к исчезает, однако
перед подстановкой А:=0 утолщение следует с к перенести на к2. Это дает
331

зв/>» = (- iy-™ [i|±lH|±i}] >*Е2. (38.12)
В Z8E2 подставляем fc=0 и из диаграммы вырезаем узлы типа 32£9, дающие
кронекеровские дельты $ (къ к2) и 8(/, /). Останется диаграмма типа г*Аъ
дающая треугольную дельту S(j к f), где к подставлено вместо кг=к2.
Тогда вместо (38.10) получаем
[о/1| (Г<*> • £/<*>) || а'/] = S (у, f) £ [а/1| Г<*> || «VIWГ II tf<» II а"/']*, (38.13)
«Г
а вместо (38.11) —
(о/1| (Г<*>• £/<») || а'Л = 5 (У, Л (2/+ 1) 2 х
х 2 (а/1| Г<» || «70 (а'/1| £/(» II а'Л*- (38.14)
В последних формулах учтены свойства приведенных матричных элементов
(37.4) и (37.5).
Скицируем получение приведенного матричного элемента произведения
(38.6), когда все три тензорных оператора действуют на одни и те же
координаты. Замыкая окружности диаграммы 38СЪ получим диаграмму с тремя
свободными линиями, которую опять-таки замкнем коэффициентом Клеб-
ша—Гордана 372?2- Получаем диаграмму Z8AZ, вырезаем из нее окружности,
а оставшуюся диаграмму разрезаем по линиям f k12j и замыкаем
соответствующими коэффициентами Клебша—Гордана. Это дает матрицы преобра-
332

зования, изображаемые диаграммами 38i?3 и 38£'3. В результате для
приведенного матричного элемента получаем следующее выражение:
о/1| [[Г^> х £/<*.>](*»> х Ц*™](А:) | ос'/ = ^ WIIгад II а*-/1 х
х[аТН ^^Ца^ЛКГП И^||а'Л[Г, *iM*u). ЛГh(f)kj]x
*\f, *uM*). j\j'k3(r)k12j]. (38.15)
Сравнение последней формулы с (38.10) указывает на то, что правило
получения произведения двух тензоров распространяется на случай трех тензоров.
Нетрудно было бы продолжить это обобщение на случай большего числа
сомножителей, причем порядок связывания рангов (умножения тензоров)
будет сказываться на структуре матриц преобразования.
В качестве примера многократного произведения операторов,
действующих на одни и те же координаты, возьмем так называемый оператор
орбитального момента количества движения обобщенного ранга, рассмотренный
Рудзикасом и др. [Р. Б. В. Ю. 64]. Его определение следующее:
1(к) = [[••• [/(1) х /(1)1(2) х /(1)](3>- • • 1 = [/ft)x/(1)* ... х /*>]'*>. (38.16)
к
Ранг произведения равен сумме рангов сомножителей. В противном случае
перестановочные свойства позволили бы уменьшить число сомножителей до
числа, равного рангу произведения.
В данном случае, ввиду диагональности матричного элемента
оператора момента количества движения, суммирование в правой части (38.15)
отпадает и мы имеем
к
[/||Л»||/] = [/||/«||/]*П[/' а-1Ца), /|/1(0в-1/]*(Ш). (38.17а)
Подставляя (37.11) и выражая матрицу преобразования через бу-коэффициент,
выражаемый согласно таблице приложения 3, получаем
Отсюда видно, что при к=1 (38.176) превращается в (37.11).
333

Если сравнить (38.176) с (37.6), то нетрудно усмотреть, что единичный
тензорный оператор связан с оператором момента количества движения
обобщенного ранга следующим образом:
[/|l«ai/]-[|H m+l%'Z%~m fv\\*»№ (38.18)
Это является обобщением (37.13).
Теперь найдем выражение для приведенного матричного элемента
произведения двух неприводимых тензорных операторов, действующих на
различные координаты. В первую очередь возьмем матричный элемент не-
приведенного произведения тензоров относительно несвязанных волновых
функций.
aJi л*1 а27*2 т21 [Г<*>> х U^\ qt | aiyi т[ a2y2 т2 J =
= [aJxiHi | IW | al/ima [aj2m21 U%> \ a2./2m2]. (38.19)
Он изображен диаграммой 3M4, состоящей из двух диаграмм,
изображающих отдельные матричные элементы правой части (38.19).
Дальше мы можем связать моменты j\ с j2 и j\' с j2\ а также привести
произведение тензоров. Это даст диаграмму 382?4, которую мы замыкаем
коэффициентом Клебша — Гор дана 37i?2, а затем вырезаем окружности.
Получаем диаграммы г8СС'С£. Произведение соответствующих величин и дает
приведенный матричный элемент приведенного тензорного произведения.
Это значит, что
[«L/iat/J||[J*>x ^)]Ш|| ai;>2;2/] =
= [aiA II ТЫ || a^] [a2y21| Р« || аДО х
х [j'J'2I/O. *!*•(к), ]\Акг(А), Д *,(Л), j). (38.20)
Матрица преобразования правой части этого равенства построена так, что
в левой стороне связываются f с к в j (при учете внутренней структуры /
и к) у а в правой — связываются в отдельности все параметры со значками
1 и 2, а тогда уже j\ cj2 bj\
Матрицу преобразования в (38.20) заменим ^/'-коэффициентом согласно
(36.10) и используем приведенные матричные элементы согласно Ракаху.
Получим
334

(«di«JJ\\[T<b>x f/(wPllЗД«5л/) = [(2у+ 1) (2/+ 1)(2k+ l)]2 x
x КЛ II ТЫ || ai/O (at/, II IT*» || atf)
4 r^i,
А Л f
Ui к J J
(38.21)
Если fc=0, то в диаграмме ZBC^ переносим утолщения с к и /2 на кг и
/з, подставляем А;=0 и отбрасываем узлы, представляющие кронекеровские
дельты. Это дает равенство
гса-.-<- 1Н-Л-.[ №Лм4-м) ]38р- (38-22)
где 38D4 представляет собою матрицу преобразования трех связанных
моментов. Тогда вместо (38.20) получаем
[*Ji*dd\\(T<*>- U™)\\*UiaifJ'\ = *U, Л х
xlaJxII^HaL/aiaWII ^11 а^Пл, Л*С/». Л№ШМ]. (38.23)
335

Вместо (38.21) будет иметь место
х (осхЛI! Г^>|| ociyi) (ос^уа|| С/^>|| ос^)* |^ * [}. (38.24)
Если в (38.20) кх=к, fc2=0, то вследствие упрощения матрицы получаем
[«i7i«27JII ri°|| ai/iai/i/'] = 8 (aj2, ai/J) x
x [«Ji || Г<*> || ai/3 [ЛЛ (ЛШ l/J, (Л *Л (38.25)
Если ^ = 0, fc2 = A;, то имеем
[«i7i «27*2711 ^ (2fc) 11 «i7i «27271 = 8 (oj^ oci/I) x
x [«27*2 II t^ II «tYi] L/i/i (/) Atf |A, 7i * (Л)/]- (38.26)
Первая из этих формул дает выражение для приведенного матричного
элемента, когда оператор действует только на координаты со значком 1, а
вторая — когда действует на координаты со значком 2. Они могут быть
представлены в виде
(«i7i «27*2711 Tik) 11 «i7i «i/i/) = s («27*2, «2/2) x
x(-l)*+A+/+*[(2y+W ^ *}. (38.27)
(«i7i «2727II ^2*} ll «i7i «27270 = S (a^, <x.[j[) x
x (_ iy>+A+J+*[(2j+ 1) (2/+ 1)P (aj,|| £Л*>|| ai/l) J * j * } . (38.28)
Если имеется тензорное произведение трех неприводимых тензорных
операторов, то матричный элемент такого произведения можно найти при
помощи приведенных уже формул. Предположим, что два из умножаемых
тензоров действуют на один и те же координаты, а третий — на другие.
Используем формулу (38.20) для выделения приведенных матричных элементов,
зависящих от различных координат, а потом применим формулу (38.10)
для произведения двух тензоров, действующих на одни и те же координаты.
Для иллюстрации сказанного приведем следующий пример:
336

= [«i7ill[^>x f/«'.)pr)||a^][a2y-2|| ^.)||a^]x
x L/i/J (/). *!*, (*), у \j[k{ (h), j'ak2 (y2), 7] = [aj,|| »^>|| a^] x
xtA/aO"). Kk*{k), Jlj'ikKjj), j'3k2(j2), j]x
x X KAII T(w II alA'] [al/I II E/«>|| «I;;] [/{, Mi (A$),Л |л k\ (Л') *JJ- (38.29)
Если в произведении сначала связываются тензор W(p с
каким-нибудь из первых, то следует сначала произвести преобразование, а потом
действовать, как указано. .
Если три умножаемых оператора действуют на различные координаты,
то следует повторно применять (38.20):
[aJi *J2 Ы ОаЛ/1| [р™ х U<M\<*J х W^ || *[][ *'2j2 (f12) a^/J =
= [«Ji II T™ || al/I] [a2y21| tfW || oi/а [oa/,11 ^ || a^] x
[JlJ2 (Л2)» *l*2 IM2)» Jl2 Ul^l (Jl)> J2K2 (Л)» Л2] X
x [Ла/з (/)> к12кг (к), j\j'i2k12 (y12), j'2k3 (y3), j]. (38.30)
Опять-таки, если связывание операторов отличается от связывания
волновых функций, то следует преобразовать произведение и после применения
формулы произвести суммирование по промежуточному параметру (рангу),
возникающему при преобразовании произведения, так как приведенные
матричные элементы умножаемых операторов этого промежуточного ранга
не содержат.
Произведения четырех неприводимых тензорных операторов,
действующих на различные координаты, чаще всего бывают скалярные. Одним из
матричных элементов операторов такого типа является следующий:
[«i7i«Ji(/»)> аз/з^ЛЫ, J\\([T^>x U^]M-[W^xZ«^\\
II ajjlai/j (л2), *УМ С/з4)> /]• (38.31)
Для нахождения его выражения сначала применяется (38.23), а потом к
обоим тензорным произведениям — (38.20).
337

Другой пример:
о,Л oj, (у12) а3Л (Л2з) *JJ | ( [[TW х £/^>р»> х И**0 J*0. 0>*) jj
I «i/i «i/a O12) <*зУз Ош) al/l/'J • (38.32)
Здесь опять-таки сначала применяем (38.23), а потом (38.30). Если
волновые функции связаны, как в (38.32), а оператор — как в (38.31), то следует
произвести преобразование произведения тензорных операторов и потом
действовать, как указано выше.
Введем обозначение
Тчмо = [Гад х и^^ = у»,) с/ад. (38.33)
Такие операторы обычно называются двойными операторами, так как
первый ранг относится к одним координатам, а второй — к другим.
Матричный элемент двойного тензора согласно формуле (38.19) имеет
выражение
[aJi а2у2 т1 т2 [ Г(/£*2г) | ql[j[ <z'2j2 т[ т2] =
= [а^а^2||Г(^)||а;ла2;2]Г^ *х h 1 Г7" *" Н 1 (38.34)
Lmi Яг ™i J L W2 #2 ™2 J
где приведенный матричный элемент при учете (38.33) распадается на
отдельные элементарные приведенные матричные элементы.
Двойной тензор (38.33), будучи неприводимым относительно j\ и у2,
является приводимым относительно у. После приведения матричный элемент
выражается согласно формуле (37.1), а приведенный матричный элемент
выражается согласно (38.21), причем произведение двух элементарных
приведенных матричных элементов обычно заменяется приведенным
матричным элементом из (38.34). В общем следует подчеркнуть, что в случае
двойных тензоров, расчеты ведутся таким же образом, как и в случае произведений
неприводимых тензорных операторов. В практических расчетах необходимо
учесть структуру двойного тензора (38.33) и приведенный матричный
элемент разбить на произведение двух элементарных приведенных матричных
элементов.
338

39. Некоторые замечания и примеры по практическому применению
графического метода расчета
Успех применения изложенных в предыдущих разделах графических
методов часто зависит от того, в каком порядке производить необходимые
действия, если не считать, что приобретение опыта является самым важным
условием скорости получения результатов и их надежности. Для
облегчения применения данного аппарата в настоящем разделе приведем некоторые
примеры, которые представляют отдельные этапы в решении
соответствующих задач.
Конкретные задачи в общем случае состоят из отыскания сумм
произведений коэффициентов Клебша—Гор дана, матриц преобразования и
матричных элементов операторов. Ввиду того, что матрицы преобразования сами
по себе являются суммами произведений коэффициентов Клебша—Гор дана,
а матричные элементы операторов могут быть выражены через приведенные
элементарные матричные элементы и коэффициенты Клебша—Гор дана в
обыкновенном виде или объединенные в матрицы преобразования, вся задача
состоит, главным образом, в проведении действий с суммами произведений
коэффициентов Клебша—Гордана. При этом следует отметить, что
суммирование не может быть проведено в общем виде, если приведенные
элементарные матричные элементы содержат параметры, по которым ведется
суммирование. Примером этого могут служить равенства (38.9) и (38.10).
На первых порах графического расчета строится диаграмма
вычисляемого выражения. В случае, когда полученная диаграмма имеет свободные
линии (выражение суммируется не по всем составляющим), такая величина
разлагается согласно теореме разложения (33.6). Примеры такого
разложения приведены в 'разделе 33. В связи с этим полезно сделать некоторые
замечания.
Согласно изложенному в разделах 32 и 33, диаграмму, изображающую
величину, разлагаемую по (обобщенным) коэффициентам Клебша—Гордана,
полезно иметь в стандартном виде. Это облегчает подбор коэффициента
Клебша—Гордана, с помощью которого замыкается данная диаграмма, вследствие
чего получается диаграмма, изображающая матрицу преобразования.
Однако эта стандартность необязательна, в особенности в простых случаях,
когда легко подобрать коэффициент Клебша—Гордана, дающий матрицу
преобразования. Так мы поступили в случае диаграммы 38В4, вид которой
339

не стандартный и которую мы не стандартизировали по указанной причине,
так как подбор коэффициента Клебша—Гордана 372?2 очевиден. Например,
если вместо 37i?2 мы подобрали бы коэффициент Клебша—Гордана Z9Alt то
после замыкания диаграммы 381?4 и вырезания элементарных приведенных
матричных элементов вместо 38С£ получили бы диаграмму г9Въ которая не
представляет собою матрицы преобразования.
Полезно иметь в виду то
обстоятельство, что замыкание диаграммы
коэффициентом (в общем случае обобщенным)
ks/Sj' /\J Клебша—Гордана можно рассматривать
к \/ J \ как разрезание диаграммы, изображающей
£, единичную матрицу преобразования, на два
одинаковых коэффициента Клебша—
Гордана и соединение свободных концов одного
из этих коэффициентов со свободными
концами замыкаемой диаграммы при учете
суммирования по промежуточным
параметрам, если коэффициенты Клебша—Гордана являются обобщенными.
Таким образом, из исходных двух диаграмм — одной незамкнутой
(замыкаемой) и другой замкнутой (единичной матрицы) — получаются также две
диаграммы: одна замкнутая (полученная вследствие замыкания) и другая
не замкнутая (оставшийся коэффициент Клебша—Гордана).
Диаграмма единичной матрицы имеет одну полностью утолщенную
линию. Если после ее разрезания и соединения со свободными линиями
замыкаемой диаграммы получается такая же полностью утолщенная линия,
что всегда имеет место, если замыкаемая диаграмма стандартного вида, то
формула (33.6) применима без всякого изменения. В противном случае
следует учесть уничтожение полного утолщения введением множителя, равного
весу соответствующего параметра в степени минус единица. Пусть имеется
диаграмма г9А2 и диаграмма единичной матрицы 39В2. Они обе содержат две
полностью утолщенные линии. После разрезания единичной диаграммы
и замыкания Z9A2 одним из получаемых коэффициентов Клебша—Гордана
получаем диаграммы 39С2 и 39Z>2, которые содержат уже только одну
утолщенную линию. Поэтому разложение выглядит так:
3М2 = (2у+1)-1 39С239£>2.
(39.1)
340

Легко увидеть, что диаграмма 39С2 представляет собою матрицу
преобразования
[/", fcJit/0, (J2)kJ2\j\ кгк2(к)9 (j)jj2l (39.2)
которую нетрудно привести к одному из более удобных видов, приведенных
в начале раздела 36.
При этом может возникнуть вопрос, всегда ли может быть подобран
такой коэффициент Клебша—Гордана, чтобы после замыкания диаграмма
представляла собою матрицу
преобразования. В связи с этим следует
указать, что во всех физических
задачах это так и есть. Но необходимо
отметить, что если перед замыканием
диаграмма подвергается преобразованию
путем разрезания и суммирования, то
необходимо учесть, что это должно
быть произведено только таким
образом, чтобы замкнутые части
представляли матрицы преобразования, а
незамкнутые могли быть замкнуты
коэффициентом (в общем случае обощен-
ным) Клебша—Гордана, так чтобы
после замыкания они представляли
матрицу преобразования. Это значит, что
если отсекается часть диаграммы без
замкнутых контуров, то она должна
представлять собой обобщенный
коэффициент Клебша—Гордана. Все это
может быть достигнуто путем
соответствующего перенесения утолщений.
Сказанное выше относительно замыкания диаграммы коэффициентом
Клебша—Гордана имеет место и в случае разрезания диаграммы. Эта
процедура чаще всего производится с замкнутыми диаграммами, представляющими
собою при этом матрицы преобразования. В данном случае из двух
замкнутых диаграмм (разрезаемой и единичной матрицы) можно найти также две
замкнутые, получаемые после замыкания частей разрезанной диаграммы
39i
341

одинаковыми коэффициентами Клебша—Гор дана, которые получены путем
разрезания диаграммы единичной матрицы. Последняя должна быть
подобрана такой, чтобы после замыкания обеих частей разрезаемой диаграммы
получились диаграммы, представляющие матрицы преобразования.
Например, полученные при разрезании 38А3 диаграммы 382?3 и 382?'3 не представляли
собой матрицу, если подбирался другой коэффициент Клебша—Гордана (с
утолщением на к12 или/"). Следует также учесть, что в двух диаграммах,
перед операцией и после нее, те же линии должны оставаться полностью
утолщенными. В противном случае должен появиться дополнительный
множитель, как указано в связи с замыканием диаграммы со свободными
линиями.
После осуществления разложения (замыканием диаграммы) искомой
величины, согласно теореме разложения (33.6) останется изучить
коэффициенты этого разложения, диаграммы которых изображают матрицы
преобразования. Если изучаемая величина сама является инвариантом
(просуммировано повеем составляющим), то непосредственно получаем
диаграмму, представляющую собою матрицу преобразования. Во всех случаях задача
заключается в определении матрицы преобразования. Это осуществляется
путем ее выражения через Злу'-коэффициент и дальнейшего определения его
численного значения. Скажем несколько слов о процедуре выражения
матрицы преобразования через Зл/'-коэффициенты.
В первую очередь необходимо произвести разрезания, упрощающие
матрицу, т. е. разрезания по числу линий, не превышающему трех, если
матрица упрощается. Затем следует изучить отдельные оставшиеся неупро-
щающиеся диаграммы. Если диаграмма имеет только четыре или шесть
узлов, то она обязательно выражается через 6/- или 9у-коэффициент. Сначала
ее следует привести к видам, позволяющим применять формулы (36.5) и
(36.6), или (36.9) и (36.10).
Если неупрощающаяся диаграмма имеет 8 узлов, то соответствующая
матрица выражается через один из двух 12/-коэффициентов. В первую
очередь следует установить, через который из этих двух коэффициентов будет
выражаться данная матрица. Для этого, как и всегда, сначала найдем
любое графическое изображение (необязательно в виде 8-угольника). Найдем
гамильтонову линию и приведем к 8-угольнику. Тогда, согласно
расположению диагоналей, установим, к которому из двух 12/-коэффициентов
относится данная диаграмма. Это осуществляется путем сопоставления получен-
342

ной диаграммы со всеми возможными диаграммами 12/-коэффициентов обоих
типов, приведенными в разделе 26 (диаграммы 26А2, 2*ВВ£). После этого
приведем диаграмму к одному из видов 3М8 или гбВ8 в зависимости от того, к
которому из коэффициентов относится имеющаяся диаграмма. После этого
применим формулу (36.12) или (36.13).
Подробнее рассмотрим отдельные более сложные случаи. Если
диаграмма имеет 10 узлов, то это указывает на то, что она выражается через
один из пяти типов 15/'-коэффициентов. При этом, если имеется га-
мил ьтонова линия, то она выражается через один из первых четырех типов
этих коэффициентов, в противном случае — через 15/-коэффициент типа
{0,6}. Это редкий случай, однако иногда возможен. Следует отметить,
что при решении конкретных задач этот 15/-коэффициент еще не встречался.
При наличии гамильтоновой линии начертим диаграмму в виде 10-угольни-
ка и, сравнивая со всеми возможными диаграммами 15/-коэффициентов
первых четырех типов, приведенными в разделе 27, установим, к которому типу
15/-коэффициентов относится данная диаграмма. Тогда приведем ее к
стандартному виду, т. е. к одному из видов Z*ABCD9 согласно тому, к которому
типу 15/-коэффициентов относится имеющаяся диаграмма.
Например, приведение к 10-угольнику дало диаграмму 3М3. Сравнивая
с диаграммами 15/-коэффициентов первых четырех типов, установим, что
343

полученная диаграмма по расположению диагоналей совпадает с г1В'х. Это
значит, что диаграмма 3М3 представляет собой матрицу преобразования,
выражаемую через 15/-коэффициент типа {5,0}. Для осуществления этого
выражения имеющуюся диаграмму 3М3 приведем к виду 392?3, что произ-
видится примерно таким же путем, как и переведение диаграммы 27В{ в 27BV
Сравнивая 39Вг с 367?9, видим, что они различаются лишь всеми знаками
узлов (расположение утолщений одинаково). Изменение знаков всех узлов не
дает никакого множителя (что имеет место для диаграмм, изображающих
любые матрицы) и ведет в точности к диаграмме г9В9. Таким образом,
изучаемая матрица выражается через 15/-коэффициент типа {5,0} по
формуле (36.15).
Часто при получении результатов графического расчета и при записи
их в компактной форме (без фазовых и других множителей) матрицы
списываем с диаграмм без приведения их к стандартному виду (как это делалось,
например, в предыдущем разделе) и даже не обращаем внимания на то, через
какие 3«/-коэффициенты они выражаются. Только когда эти формулы
преобразуются к виду, удобному для численных расчетов, тогда матрицы
выражаются через Згу-коэффициенты. В качестве примера, показывающего
более сложные преобразования, чем предыдущий, возьмем матрицу семи
связанных моментов.
Скажем, какой-то результат содержит матрицу
УзЛ (У34)75 (7з4б)7б С/З45б)> (712345б)777 I
I7i73 U13) 7б (7i35/'» 7г7б (7*2б), ЛЛ (Л?)» (7*264?); Л (39.3)
которую необходимо выразить через Зи/-коэффициент. Диаграмма этой
матрицы 39^44 строится путем соединения свободных линий двух обобщенных
коэффициентов Клебша—Гордана, представляющих отдельные стороны
матрицы. Как говорилось выше, если диаграмма получается не в виде
многоугольника, то надо отыскать гамильтонову линию и перечертить диаграмму
в виде 12-угольника (в данном случае). Как видно, полученная диаграмма
не разрезаема по трем или меньшему числу линий, поэтому
соответствующая матрица выражается через один из типов 18/-коэффициентов. Следует
отметить, что в случае разрезаемости диаграммы по трем, двум или одной
линиям соответствующее упрощение можно и даже удобнее произвести
перед приведением к виду многоугольника.
344

Сравнение диаграммы 3M4 с диаграммами 18/-коэффициентов раздела
28 показывает, что она имеет вид 28L[. Это значит, что матрица (39.3)
выражается через 18/-коэффициент типа { 3,0,4 }. Для нахождения этого
выражения необходимо привести диаграмму матрицы к виду 36L10. В первую очередь
39у44 перечертим в виде 39#4, что нетрудно сделать, следя за изменением в
расположениях линии между 28LX и 28L[. Теперь необходимо в 39Я4 произвести
ц
"'"SV
1
'26
'гвьт
Г
•yS
Ч/
'13!S
/,
- 3 -
\ь]
4
- £
К
47J
4
л
W3456
'М56
3456
39
"Я
39,
Й.
изменение знаков и перенесение утолщений так, чтобы получился
стандартный вид. Сначала поменяем знаки узлов на противоположные, за
исключением j\hJ12j\J7j\7JizJ5JizbJu5J6J2^e- На основании того, что изменение
знаков всех узлов дает множитель единицу, фазовый множитель будет
определяться узлами, знаки которых сохранились. Это значит, что вследствие
указанного изменения знаков получится множитель
/ _ \\Ji+Jt-Jiu+Jt+J7-J*7+Jii+h-Jm+Jzu+U-JuMe (39.4)
Далее переносим утолщения с линийу13 и./з4 на линии/i иу4. Это дает множитель
/ iw. Г (2/13+1) (2/34+1) IT т .V
< 1ГШ[ (2Л+1)(2/4+1) J • (39'5>
Перенесение утолщений с линий у47 и j на у4 и у12345б Дает множитель
(-!)*[
(2y4+l)(2/47+l)(2/123456+l)l2
(2/+1)
Г
(39.6)
345

Переносим утолщения с линий j12 uj2e на линии jx иу6 с получением множителя
(2/п+1)(2/26+1)(2/1+1) -|2
(2/в+1)
7-
а также с линии у6 иу2647 на линии jz иу47 с получением множителя
(2/е+1)(2Л647+1) 17
Г (2/е+1)(2Л647+1) Т
[ (2/2+1)(2/47+1) J
Далее переносим утолщения с линий _/47 и у на линии j2e и у136-
Получаем множитель
(2/47+1)(2/+1)(2у135+1) 17
(2Лв+1) J •
(_1)2Л..,Г_
(39.7)
(39.8)
(39.9)
В результате указанных операций получаем диаграмму 39С4, которая
чертится лишь для наглядности усмотрения дальнейших преобразований,
которые необходимо осуществить, чтобы диаграмма приобрела стандартный
вид. В этой диаграмме следует еще перенести утолщения в узлах,
примыкающих к линиям j19 и j, что дает множитель
1
(39.10)
[(2Л+ 1) (2/3+ 1) (2/5+ 1) (2/7+ 1) (2/
123456
В результате последней операции получаем диаграмму 39/)4> ВИД которой
уже стандартный.
Согласно формуле (36.30) получаем
39Z>4 = (- 1)П(2/ш7+ 1)(2Лв+ 1) (2Л+ 1) (2Л+ 1) (2/з+ 1) х
X (2/, + 1) (2/з45 + 1) (2/3456 + 1) (2/Х23456 + 1) (2у7 + 1) ]2 X
7б 7 734 7l2 747 7l3
7l35 7345 7l23456 )b 7l 726
I 72647 75 73456 77 7з 72
(39.11)
9 =Лз5 -J "Л? +Л +У12 +Лз +7з4 -74-
Учет (39.4) —(39.10) ведет к следующему окончательному результату:
3М4 = ( - 1)»[ (2Л, + 1) (2/34 + 1) (2/345 + 1) (2/3456 + 1) (2/123456 + 1) (2/13 + 1) х
х (2;]35+ 1) (2Л6+ 1) (2/47+ 1) (2/2647+ I)]2 х
346

xs
7 6 7 7 34 7l2 747 7l3
7l35 7345 7l23456 J\ 7l 726
Jb 73456 77 7з 72
? =7*1 +72 -7*5 +7*7 +7*34 -7345 +7*3456 +7*.
(39.12)
Как видно из (39.12), множитель перед 18/-коэффициентом состоит из весов
тех промежуточных моментов, которыми они являлись в исходной
диаграмме 3М4. Это говорит о том, что при перенесении утолщений необязательно
423456
3456
#3456
3456
33,
строить множители, а можно ограничиться установлением фазовых
множителей, так как множитель [...] может быть записан непосредственно из
диаграммы 3М4 или даже из вида самой матрицы (39.3).
Когда уже имеется выражение искомой инвариантной величины через
элементарные приведенные матричные элементы и Зиу'-коэффициенты,
следует обратиться к формулам разделов 26, 27 и 28, дающим выражения для
Зл/-коэффициентов через Зл/'-коэффициенты с меньшим числом параметров.
Каждый 3nj-коэффициент с п>2 может быть выражен через сумму
произведений 6/-коэффициентов, для которых имеются довольно обширные таблицы
[R. В. М. W. 59 и /. 60]. Если вычисления производятся с помощью
электронных вычислительных машин, то, опять-таки, любой Зи/-коэффициент
347

вычисляется через 6/-коэффициенты, так как для 9/-коэффициентов нет общей
подходящей формулы, с помощью которой вычисление было бы проще, чем
при его выражении через 6/-коэффициенты.
При использовании электронных вычислительных машин нет
необходимости заранее выразить Зи/-коэффициенты через сумму произведений 6/-
и ^/'-коэффициентов. Этот процесс может быть осуществлен на машине с
помощью программы, построенной на базе определенного алгоритма. Такой
алгоритм, основанный на свойствах матрицы общих линий, о которой шла
речь в разделе 28, разработан в [Р. Б. Ю. 65]. Согласно этому алгоритму
любой Згу-коэффициент, введенный в машину, сначала разрезается по
возможно меньшему числу линий, которое устанавливается по подпрограмме счета
условий многоугольников [Р.Ю.65]. Когда уже все возможности
разрезания по меньшему числу линий исчерпаны, тогда разрезание производится
по следующему большему возможному числу линий и т. д.
В результате выполнения соответствующей программы получается
сумма (чаще всего многократная) произведений 6/- и 9/-коэффициентов,
подпрограммы для численного определения которых также заранее вводятся
в машину. Наличие численных значений параметров введенного в машину
Зл/-коэффициента позволяет осуществлять расчеты по численному
определению данного Зиу'-коэффициента.
Приведенные элементарные матричные элементы выражаются через
свои параметры в каждом отдельном случае, так как они зависят от
физических величин, с которыми они сопоставляются. Чаще всего встречаются
те операторы, выражения для приведенных матричных элементов которых
найдены в разделе 37. Оттуда они и заимствуются.
Выражения для вычисляемых величин, которыми являются, главным
образом, матричные элементы сложных операторов, через Зи/-коэффициенты
обычно получаются путем суммирования произведений матричных элементов,
соответствующих более простым Зи/-коэффициентам, по параметрам типа
j, которые не содержатся в элементарных приведенных матричных элементах.
Ввиду того, что при переходе к численным расчетам вводятся суммы
произведений более простых Зи/-коэффициентов, можно иногда оставлять
выражения, содержащие те суммирования, которые ведут к Злу-коэффициентам
высших порядков.
Однако проведение расчетов также и по суммированию относительно
параметров, ведущих к Зи/-коэффициентам высших порядков, полезно для
348

изучения общих свойств определяемых величин, которые трудно или даже
енвозможно обнаружить из сумм произведений Злу'-коэффициентов. К
таким свойствам относятся в первую очередь правила отбора,
определяемые условиями многоугольников, так как эти условия очевидны лишь
для Зя/-коэффициентов, а не для их выражений через суммы произведений
Злу'-коэффициентов низших порядков. К таким свойствам частично относятся
также и свойства симметрии зеркального отражения, так как фазовые
соотношения из суммы произведений Зл/-коэффициентов установимы лишь до
знака.
В силу вышесказанного, при решении конкретных задач необходимо
проводить не только те суммирования, которые не повышают порядка Зл/-коэф-
фициентов, но также и суммирования, ведущие к Зиу'-коэффициентам высших
порядков (с большим числом параметров). Согласно графическим методам,
изложенным в настоящей главе, указанные действия проводятся с матрицами
преобразования. Их диаграммы позволяют установить условия
многоугольников таким же образом, как и соответствующие диаграммы Зя/-коэффициен-
тов. Свойства зеркального отражения также можно установить, не
прибегая к выражению матриц преобразования через Зи/'-коэффициенты, о чем
пойдет речь в следующем разделе.
40. Свойства симметрии зеркального отражения
матриц преобразования
Без всякого ущерба общности метода изложение графических действий
над коэффициентами Клебша—Гор дана и матрицами преобразования велось
исключительно для всех моментов, заданных в правой системе координат.
Тем не менее, в практическом отношении полезно использование
соотношений между рассматриваемыми величинами, моменты которых заданы в
различных системах координат.
При переходе к конкретным расчетам матрицы преобразования, как уже
неоднократно упоминалось, выражаются через соответствующие Злу-коэффи-
циенты, свойства симметрии зеркального отражения которых рассмотрены
в предыдущей главе. Однако применение свойств симметрии полезно еще
на более ранней стадии работы, чем конкретные расчеты. А это может быть
сделано также еше перед переходом от матриц преобразования к Зи/-коэффи-
349

циентам. Поэтому в этом разделе рассмотрим некоторые аспекты применения,
симметрии зеркального отражения к матрицам преобразования,
придерживаясь метода работы [Ю. С. Б. 65].
Матрица преобразования по своему смыслу является интегралом от
произведения двух собственных функций связанных моментов, одна из которых
берется в комплексно сопряженном или, что одно и то же, в контрастандарт-
ном виде. Запишем выражение для матрицы преобразования в виде
[(ЛЛ- • 'Jn)Aaj\(j1j2.. .jn)Bbj]^[(jj2.. .jn)Aajm\(j1j2.. .jn)Bbjm]--=
= J I (A/2. • .Jn)A ajm]* • | (ЛЛ.. .л)*bjm] dX (40.1)
Это выражение получается путем умножения обеих частей разложения
собственной функции способом В связанных моментов (промежуточные
моменты символизирует Ь) на собственные функции способом А связанных
моментов (промежуточные моменты а) и интегрированием по независимым
переменным всех связываемых моментов, число которых равно п.
В силу сказанного в разделе 20, правую часть равенства (40.1) можем
представить в виде
/ I GJ*. • Jn)A ajm] • | (уJ,.. .jn)B bjm] dX (40.2)
В первой из функций под знаком интеграла все моменты (связываемые,
промежуточные и полный) заданы в отраженной системе координат. Кроме того,
пространство также отражено в той же плоскости ху.
Обе функции разлагаем по произведениям собственных функций
связываемых моментов. Это нам дает
Ш...]п)Аат = %\% £"'3£ J-T \Jim1}\J2m2]...\j„mn], (40.3а)
*—• l mi m2. . .mn m ja
mi
\0\h...Jn)Bbjm] = ^\J' }*'"]" 3~\\ктх\\кт,\...\)птп\ (40.36)
^ [Wi m2.. .mn m _\ь
mt
Пишем \j\mi] вместо [j^ | для подчеркивания того факта, что комплексное
сопряжение собственной функции интерпретируется как одновременное
отражение пространства и системы координат в плоскости неопределенных
составляющих момента количества движения.
350

Подстановка (40.3) в (40.1) и учет ортонормированности собственных
функций связанных моментов для матрицы преобразования дает выражение
[(ЛЛ • - • Jn)A aj | (ЛЛ... jn)B bj] =
= уГЛ 7....Л 7 ТГА л...л у Т
^1% т2...тп т J- L wi ™2- ..w« «1
На основании (20. 6) можем писать
Г Л 7,.../- / Т = ГЛ У2""-7" 7 Т. (40.5)
L тх т2. . . /и„ *и Jo L mi т2 • • • ™п т Ja
Поэтому (40. 4) принимает вид
[JiJ2 • • • Jn)A aj | (ЛЛ • - • Л)* bj] =
= уГЛ л...Л у ТТЛ Л...Л у.Т 40б)
^ Lml т2- • «W« ™ Ja L ml m2- • •"*« *И J6
Это равенство представляет довольно общее выражение для матрицы
преобразования. Частными случаями этого выражения являются (21.9), (24.6а)
и (24.8а).
(40.4) и (40.6) являются эквивалентными выражениями, однако первое
из них представляет собою первоначальное выражение, которое вследствие
(40.5) переходит во второе. Последнее и является основанием того, что
обычно используются (40.6), и даже без всякой оговорки, как уже упоминалось
в разделе 20.
Матрица преобразования может быть представлена в виде
[ (ЛЛ • • • JnY aj | (ЛЛ • •. Jn)B bj] =
= У(2,Ч1)-1ГЛ J2'"Jn J ТГА Л-"Л j Т. (40.7)
В (40.4) второй обобщенный коэффициент Клебша—Гор дана можно
заменить согласно (40. 5), читая в обратном направлении. Проведение
суммирования приводит к выражению для матрицы преобразования, в котором все
моменты заданы в отраженной системе координат. Эффект отражения
пространства исчезает, так как суммирование ведется по всем возможным
351

значениям составляющих. Это показывает, что матрица преобразования
является инвариантом относительно замены всех параметров согласно (10.1)
следовательно,
[ (АЛ • • Jn)A aj | (ЛЛ • • • Jn)B ЬЛ =
= [(ЛЛ• • • Jn)Aaj\ {hh. • • Jn)Bbj]. (40.8)
Этот результат становится очевидным, когда принимается во внимание
сопоставление подстановки типа (10.1) с зеркальным отражением системы
координат.
(40.8) показывает, что собственные функции связанных моментов
преобразуются согласно той же матрице преобразования независимо от того,
в нормальной (правой) или отраженной (левой) системах координат задаются
моменты. При этом следует подчеркнуть, что вообще это имеет место только
тогда, когда все моменты задаются в одной и той же системе координат.
Как известно из предыдущей главы, Злу-коэффициенты, через которые
выражаются матрицы преобразования, не являются инвариантами
относительно замены всех параметров согласно (10.1). Данная подстановка
может менять знак Зи/-коэффициента. (22.18) и (24.19) показывают, что 6/-ко-
эффициент меняет знак при указанной подстановке, а 9/-коэффициент
сохраняет первоначальное значение. Это является следствием того факта, что
3/у-коэффициенты не содержат квадратных корней от весов промежуточных
моментов, которые присутствуют в матрицах преобразования. Поэтому
изменение знака Зи/'-коэффициента при указанной подстановке определяет
множитель /2и"4 =( — l)w~2, где п — число связываемых моментов, а 2л-4
представляет собою число всех промежуточных моментов в матрице
преобразования.
Особо интересными являются те случаи, когда одни моменты задаются
в одной системе координат, а другие — в другой, иначе говоря, когда моменты
разделяются на две группы, задаваемые в зеркально-сопряженных
системах координат. В таких случаях матрицы преобразования могут отличаться
фазами от соответствующих матриц, все моменты которых заданы в одной
из этих двух систем координат.
Ввиду того, что неупрощающиеся матрицы преобразования п связанных
моментов выражаются через 3(и — 1)у-коэффициенты, свойства симметрии
зеркального отражения первых легко могут быть получены из
соответствующих свойств вторых.
352

В качестве одного простого примера возьмем матрицу преобразования
собственных функций трех связанных моментов, выраженную через 6/-коэф-
фициент согласно (21.22), и применим подстановку (10.1) относительно
Л и 7i2- Согласно (22.21) имеем
| к к Ji2 I
I У Уз 7*13 J
(40.9)
Л J2 Jl2 [ _i^_iy+j2+jl3+2jijl к 7l2
I У Уз 7i3 J l У Уз 7i3
Подстановка этого соотношения в (21.22), подстановка j12-> — У12— 1 в
множителе иу12->—у12 в фазовом множителе дает следующее соотношение:
L/l/2 (Л2Ш 1А./з (У1з)У2У] = (- 1 )Л+'»-' х
х [У1У2 (712)Уз./ 1ЛЛ (кг)кЯ
(40.10)
В разделе 30 приведен общий метод получения свойств симметрии
зеркального отражения Зл/-коэффициентов с помощью их графических
изображений. Этот метод с некоторым дополнением используется также и в
случае матриц преобразования. Таким дополнением является тот факт, что для
каждой заштрихованной наполовину утолщенной линии необходимо
дополнительно писать—/ в качестве множителя.
В качестве примера возьмем матрицу
преобразования собственных функций четырех связанных
моментов, изображенную на диаграмме 367?5, и
осуществим подстановку типа (10.1) относительно параметров
7i» 7i2> У13 и У- Получим диаграмму 4МЬ которая
содержит четыре узла типа 30СЬ а все остальные
узлы являются типа Z0AV (30.7) дает множитель
/4(- 1у«-л-Л4+л*ш к нему приписывается еще множитель
минус единица из-за присутствия одного замкнутого
контура, составленного из заштрихованных линий.
Дополнительный множитель также будет равняться минус единице, так как
имеются две заштрихованные наполовину утолщенные линии. Таким
образом, получаем соотношение
[717*2(712), 7374С/34)» JlkkUis), 7274(724), 7'] =
= (- l)j'-J3-jii+J3i[kk(Ji2)9 7374(734), ]\кк(кз), 7274(724), 71 (40.11)
Этот результат может быть получен также с помощью выражения рассмат-
40
я.
353

риваемой матрицы через 9у-коэффициент (24.9) при использовании (24.27)
с присоединением минус единицы в качестве дополнительного фазового
множителя из-за присутствия двух промежуточных моментов, подвергаемых
подстановке (10.1).
В качестве более сложного примера найдем свойства симметрии
зеркального отражения матрицы преобразования собственных функций восьми
связанных моментов, изображенную на диаграмме 4М2. Из диаграммы видно,
что эта матрица может быть выражена через 2iy-коэффициент. Подсчет
условий многоугольников показывает, что этот 217-коэффициент имеет
характеристику {6,0,6,0}. Это есть девятнадцатый по порядку 21у-коэффициент
в табл. 29.1. Среди девяти 217-коэффициентов, определенных формулами
(29.1) - (29.9), указанного коэффициента нет. Из сказанного выше следует,
что для использования свойств симметрии зеркального отражения при
изучении величины, которая выражается через данную матрицу преобразования,
наличие определения соответствующего Злу'-коэффициента необязательно.
Покажем, как получить свойства симметрии зеркального отражения
матрицы 4М2 относительно параметров jlf у2, j7, у8, у17, j178 и ./1234567-
Подстановка (10.1) относительно этих параметров дает матрицу, изображенную
диаграммой 40В2. Она содержит два узла типа Z0Dlt которые дают минус
единицу в качестве фазового множителя. Имеются четыре узла типа 30С4,
которые дают минус единицу в степени j\ -j7 + j8-j12 -j178 +7*1782 +j12m* + 7>
а также мнимую единицу в четвертой степени, дающую просто единицу.
Все остальные узлы являются типа Z0A1 и дают единицу. Имеются три
замкнутые контура, составленные из заштрихованных линий. Они дают
минус единицу в качестве фазового множителя. В качестве дополнительного
множителя получаем i вследствие присутствия трех промежуточных
моментов, подвергаемых подстановке (10.1) и дающих (— /)3. Учитывая сказанное,
получаем следующее фазовое соотношение:
[Л/2 (Л)Л (Лз), JU5 (745/9 U12345/76 1/12345б)У7 0*12345677 787 I
\jlJ7 \Jll)j% Ul78)J2 Ul782)74 (7l7824)? 7*57*6 (7бб)> (7*178245б)7*з7J =
= i(— 1 )А~Л +JS~J12 -7*178+71782 +Л23456+7 40 D MQ \ 2)
Из (40.12) видно, что матрица преобразования 407?2 является мнимой,
так как матрица левой части этого равенства действительна. Эта мнимость
получается вследствие мнимости трех коэффициентов Клебша—Гор дана,
354

результирующими моментами которых являются j12> j17S2 и j. Мнимость этих
коэффициентов видна из (17.96), если только осуществить перестановку
второго и третьего столбцов, дающую мнимую единицу из-за появления
отрицательной величины под квадратным корнем.
Очевидно, что симметрия зеркального отражения матриц
преобразования состоит из соответствующих свойств обобщенных коэффициентов Клеб-
ша—Гордана. Иначе говоря, получаемый фазовый множитель состоит из двух
множителей, даваемых отдельными обобщенными коэффициентами Клеб-
ша—Гордана. Ими являются множители, даваемые соответствующими уз-
4з4567 J5
Ш456
k
1234567
12Ш6
72345
'1782
'т
40/
40,
в,
лами согласно (30.7), а также дополнительными мнимыми единицами по
одной от каждого промежуточного момента, подвергаемого подстановке (10.1).
Дополнительно следует приписать по минус единице для каждого контура,
составленного из заштрихованных линий. При этом число этих контуров
устанавливается лишь с помощью диаграммы всей матрицы или
соответствующего Зя/-коэффициента.
Если ищутся свойства симметрии зеркального отражения матричных
элементов тензорного произведения неприводимых тензорных операторов,
то используются их выражения либо через матрицы преобразования, либо
355

через Зи/'-коэффициенты. В обоих случаях соответствующие свойства
элементарных приведенных матричных элементов должны быть найдены с помощью
алгебраических формул для них, так как они сильно зависят от физической
природы оператора, которая в явном виде диаграммой не изображается. Чаще
всего встречаемые случаи симметрии зеркального отражения элементарных
приведенных матричных элементов приведены в конце раздела 37.
Практическое применение свойств симметрии к матричным элементам
конкретных операторов производится в работах [С. Н. Ю. 64, Р. В. Ю. 65, Р. В. К.
Ю. 65].

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВИГНЕРА
ПРИ ЗАДАННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ j2 И т2
В данном приложении приводятся алгебраические формулы для величины BJgk(a, b)y
с помощью которой получаются формулы для коэффициентов Вигнера согласно
соотношению
где
(Jl Зг А + к )=AJ£{j\mjBik (а, Ь), (П.1.1)
AJi(hm1) = (-\V^^[(2j\+h + k+\fh+in 2, (П. 1.2)
^^^(-^l j^y J x
x [fl<i)*o>- (a+^w ^л-у^^Ч (П. 1.3)
<*=ji + ml9 (П. 1.4)
b=h-mi-J2 + K (П.1.5)
^i=max (j2-k, j2-m2), (П.1.6)
&2 = min (j2-k, j2 — m2). (П.1.7)
Формулы приводятся для случаев
j2>k^k2^0. (П. 1.8)
Если у2 — m2>j2 (т2<0), следует применить свойство коэффициента Вигнера
/Л Л Уз )=(_,у1+Л+Л( л л л \и (ПЛ>9)
\ т1 т2 т3 J у ; \ -т1 -т2 -т3 ) v '
Если у2 — А: >у2 (&<()), применяется свойство
/Л h h )=/(_1)y2+Wl_W3(A Л Уз ). (П.1.10)
\ Юг т2 т3 / у ' \т1 т2 тъ J v
Пользование формулами иллюстрируем несколькими примерами. Пусть нам необходимо
найти коэффициент
Согласно (П. 1.4 — 7) получаем
a=j\ + ml9 b=j1-m1-\9 кг=к2=\. (П. 1.12)
357

Согласно (П. 1.2)
_1 _1
^1(У1^1) = (-1)Л+т1[(2Л + 3 + 2+1)(2-3+1)] 2==(-1)^+^[(2/-1 + 6)(-)] 2. (П.1.13)
Из таблицы при/2 = 3, кх=кг=\ находим
ЦЛа, b) = -[j\ + m1-5(j1-m1)][(j1 + m1 + 4)W]2. (П.1.14*
Согласно (П. 1.1), (П. 1.13) и (П. 1.14) получаем
(t,' -^^-(-^■.«-^[-«й^Г- <"■■■"»
Если же необходимо получить формулу для коэффициента
/Л 3 Л-2 \
\ /ii! 2 -лц-2/»
то, согласно (П. 1.10), имеем
(';Л-Г-2)-''-.»™-(1;Ч:гЛ+2)=
= (_1)У,+»,+1(4/1 + 6«1 + 4) [-^|3рг]2. (П.1.15а)
Здесь учтено, что
(-*)(*)=(-1)*(в + *-1)0).
Формулы, приводимые в настоящем приложении, удобно использовать также при всех
численно заданных параметрах коэффициентов Вигнера, если необходимый коэффициент
выходит за пределы Приложения 2. Покажем это на примере коэффициента
/75 7 \
U 2 -б)- (П.1.16)
Согласно (П. 1.4 — 7) получаем
а=\\, £=-2, fc1=5, &2=3. (П. 1.17)
Согласно (П. 1.2)
Л* (7 4)=-[20(11)] 2. (П. 1.18)
При значениях /2=5, ^=5, к2=3 из таблиц находим
^fз (11, -2) =-[11 .10-9-5. 1Ы0.1+5. 1Ы .0-1-0-(-1)]х
х [2 • 3 • 5 • 7 • 13 • 12 • 3 • 2]2 = - 11 . 10 (9-5) • 2 • 2 • 3 ]/ 3-5-7~ЛЗ =
= -2^. 3 • 5 • 11 V 3-5-7 -ТЗ. (П. 1.19)
Подставляя найденные А и В в (П. 1.1), получаем
25 - 3 - 5 - 11 V 3 • 5 • 7^13
(7 5 7U
U 2 -6/ у-20ТТ
9- 18- 17- 16- 15-14-13-12-11-10
1/TT/V 2-3- 17- 19. (П. 1.20)
358

Приводимые в настоящем Приложении формулы охватывают довольно большое число
коэффициентов Вигнера. В случае необходимости подобные формулы довольно просто могут
быть получены и в более сложных случаях при помощи (П. 1.2) и (П. 1.3). Например, для
коэффициента
С; S Л+Л) <"■■■»")
из (П. 1.3) получаем
Г (а + 5)(*)(6 + 4)9 Т?
ДМ*, &) = [ 4ГЗ! J Х
х [aW 4 • 3 • 2-Зд(2)4 • 3 (6 + 3) 8 + Зя4 (& + 3)(2)8 • 7- (6 + 3)(3)8 • 7 • 6] =
= [д(3)-12й(2)(6 + 3) + 28я(6 + 3)(2)-14(г> + 3)(3)]2-3[(а + 5)(5)(г, + 4)]2. (П.1.22)
Приводимые формулы могут быть использованы и для вычисления коэффициентов
Клебша—Гор дана. Последние связаны с коэффициентами Вигнера соотношением
[ t 1 I ]=(-1У— VW (^ ^ _/„ ). (П.1.23)
*1
о
0
1
1
0
1
1
к2
0
0
0
1
0
0
1
в
Л=1/2
1
Л=1
1
[(я+2)<*)]2
1
-[2(в+1)(6+1)]?
-(в-А-1)
Л=3/2
[(* + 3)<3>]2
1
-[3 (a + 2)W(6-hl)]"2
1
-[a-2(b+\)](a+\)1
359

Л = 2
[(я + 4)(*)]2
-2 [(я+ 3)0» (6+1)]
[2-3 (я+ 2)00 (6+ 2)00]2
-[а-3(Ь+\)][(а + 2)Щ2
(я-6-1)[2-3(а+1)(6 + 2)]
яОО-4а(6 + 2) + (6+2)00
Л = 5/2
i2
t(*+5)0O]
_[5(я + 4)(*)(6+1)]2
[2-5 (я+ 3)0» (6 + 2)00]2
-[л-4(£+1)][л + 3)(»>]¥
[2a-3 (6 + 1)] [2 (a + 2)00 (6 + 2)]2
I
[яОО-2 • 3a (6 + 2) + 3 (6 + 2)00] (fl+ 1) °-
Л = 3
[(я+ 6)0»]
-[2-3(a + 5)(5>(6+l)]2
[3.5(а + 4)(*)(6 + 2)(*)]
-2 [5 (я+ 3)0» (6 + 3)0»]
-[a-5(b+\)][(a + 4)W]2
[a-2 (6+ 1)] [2 • 5 (я+3)0» (6 + 2)]"

кг
3
2
3
3
k2
1
2
2
3
В
l
- (я-6- 1) [2 • 3 • 5 (я + 2)00 (6 + 3)00]2
1
И»)- 8а (6 + 2) + 2 • 3 (6 + 2)00] [(а + 2)00] 2
1
- 2 [я(2> - За (6 + 2) + (6 + 2)00] [3 (а + 1) (6 + 3)]Т
- [я<3)- 9л(«) (6 + 3) + 9а (6 + 3)00- (6 + 3)<3)]
Л = 7/2
[(в + 7)('Ч2
_[7(а + 6)00(6+1)]
[3-7 (а + 5)(5) (6 + 2)00]
-[5-7(а + 4)(4)(6 + 3)(3)]
-[а-2-3(6+1)][(а + 5)(5)]
[2д_5 (6+ 1)] [3 (л + 4)(«) (6 + 2)] 2
-[За-4 (6+ 1)] [5 (в + 3)(») (6 + 3)00]
.mi 2
[аОО-2 • 5а (6 + 2) + 2 • 5 (6 + 2)00] [(а + 3)(3)]2
- [а(2> - 4а (6 + 2) + 2 (6 + 2)<Ч [3 • 5 (в + 2)00 (6 + 3)]
-[яОО-4 • ЗаОО (6 + 3)+ 2 • 9а (6 + 3)00-4 (6 + 3)(3)] (а + 1)
Л = 4
[(«+8)(«)]2
_[_
-2[2(а + 7)(7)(6+1)]2
J_
2[7(а + 6)00(6 + 2)00]2
j_
-2[2-7(а + 5)00(6 + 3)00]2
[2-5-7(а + 4)(*)(6 + 4)(*)]2

kx \ кг
В
2
3
4
2
3
4
3
4
4
0
1
2
3
4
1
2
3
4
2
1
1
!
1 |
2
1
2 1
2 '
i
1
з 1
d 1
i
3 !
4 i
0 j
о
0
0
0
1
1
1
1
2
_1_
-[a-7 (6+1)] [(я + 6)(6)]2
[я-3(6+1)][2-7(я + 5)(*)(6 + 2)]
-[Зя-5 (6+ 1)] [7 (e + 4)W 0 + 3)00]
2 (я-6- 1) [5 • 7 (я + 3)0О (6 + 4)(3)]
[*<*>-4 • Зя (6 + 2) + 3 • 5 (6 + 2)00] [(я + 4)(4)] 2
_[_
- [ЗяОО- 3 • ba (6 + 2) + 2 • 5 (6 + 2)00] [2 (a + 3)(3) (6 + 3)] 2
_^
[Зд(»)-8в (6 + 2) + 3 (6 + 2)00] [2 • 5 (я + 2)00 (6 + 4)(*)]~2
- [л(»>- 3 • 5a& (b + 3) + 2 • 3 • 5л (b + 3)00- 2 • 5 (b + 3)00] [(я + 2)00]2
_^
2 [лОО-2 • ЗяОО (6 + 3) + 2 • Зя(6 + 3)00-(6 + 3)00] [5 (я + 1) (6 + 4)] 2
а(4)- 16я(3> (6 + 4) + 4 • 9я00 (6 + 4)(2)- 16я (6 + 4)(3)+ (6 + 4)(4)
72 = 9/2
[(я + 9)(^]2
-3[(я + 8)00(6+1)]2
j_
6[(я + 7)(?)(6 + 2)0О]2
-2[3-7(я + 6)00(6 + 3)(3)]
3 [2-7 (я+ 5)00(6 + 4)0]
-[я-8(6+1)][(я + 7)(')]2
2[2я-7(6+1)][(я + 6)00(6 + 2>]
2
-2 [я-2 (6+1)] [3-7 (я + 5)0О (6 + 3)00] 2
j_
[4a-5 (6+ 1)] [2 • 7 (л + 4)(*) (6 + 4)(3)] 2
J_
[яОО-2 • 7л (6 + 2) + 3 • 7 (6 + 2)00] [(я+5)00] 2

*1
о
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
3
- [а«- 2 • За (6 + 2) + 5 (6 + 2)00] [3 • 7 (а + 4)(*) (6 + 3)]
[Зв<»>- 2 • 5а (6 + 2) + 5 (6 + 2)00] [2 • 7 (я + 3)(3) (6 + 4)00]
-[аОО-2 • 9аОО (6 + 3)+ 9 • 5а (6 + 3)00-4 • 5 (Ь + 3)Щ [(а + 3)00]
j [2а(3>-3 • 5в« (6 + 3) + 4 • 5а (6 + 3)-5 (6 + 3)00] [2 • 3 (а + 2)00 (6 + 4)]
; [а<4>-4 • 5а<3> (6+4) + 4 • 3 • 5а00 (6 + 4)00-8 • 5а (6 + 4)00 +
I + 5(6 + 4)'4>](а+1)2
[(а+10)(10)]2
I ^
| _[2.5(а + 9)00(6+1)]2
! 3[5(а + 8)00(6 + 2)00]Т
-2[2-3.5(а+7)(7)(6+3)(3>]2
J
[2-3.5-7(а + 6)'в)(6+4)(*)]2
-2-3 [7 (а+5)00 (6+5)00] 2
-[а-9(6+1)][(а+8)00]2
3[а-4(6+1)][2(а + 7)00(6 + 2)]
-2 [За-7 (6+ 1)] [3 (а+6)00 (6+3)00] 2
2 [2а-3 (6+ 1)] [3 • 7 (а+5)0О (6 + 4)00]
-3 [а-(6+ 1)] [2 • 5 • 7 (а + 4)(*) (6 + 5)^]
[а00 _ 16а (6 + 2) + 4 • 7 (6 + 2)00] [(а + 6)(6>]
-2 [а(*)+7а (6 + 2) + 7 (6 + 2)00] [2 • 3 (а + 5)0>> (6 + 3)] 2
363

кг
4
5
3
4
5
4
5
! 5
к,
2
2
3
3
3
4
4
5
[2д(»>-8я (6 + 2) + 5 (6 + 2)00] [2 • 3 • 7 (я + 4)(4) (6 + 4)00]
-2 [2л(«)-5а (6 + 2) +2 (6 + 2)00] [5 • 7 (а + 3)00 (6 + 5)00]
- [я00- 3 • 7я00 (6 + 3) + 9 • Та (6 + 3)»- 5 • 7 (6 + 3)00] [(« + 4)<*)]
2 [д(») - 9я(2) (6 + 3) + 3 • Ба (6 + 3)00- 5 (6 + 3)00] [7 (а + 3)00 (6 + 4)] 2
-[«(3)-5я00 (б + 3) + 5я (6+ 3)00-(6 +3)00] [2 • 3 • 5 • 7 (а + 2)00 (6 + 5)00]"
[д(«)-8 • ЗяОО (6 + 4) + 2 • 9 • 5я00 (6 + 4)(2)-16 • 5а (6 + 4)00 +
_1_
+ 3.5(6 + 4)(*)][(я + 2)00]2
- [а&- 2 • 5я00 (6 + 4) + 4 • 5я00 (6 + 4)(2)- 2 • 5я (6 + 4)'») +
j_
+ (6 + 4)(4)][2.3-5(а+1)(6 + 5)]2
- [а(*> - 25я(4) (6 + 5) + 4 • 25я00 (6 + 5)00 - 4 • 25а00 (6 + 5)00 +
+ 25я(6 + 5)(4>-(6 + 5)00]

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ЧИСЛЕННЫЕ ТАБЛИЦЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ВИГНЕРА
В данном приложении приводятся численные значения коэффициентов Вигнера, пред
ставленных согласно (18.22) в виде
(h к Уз \ I ах а2 а3
\ тх т2 тъ ) \ рх р2 рз
для значений параметров
О A-J 2-Юз Jz~J2 + rn1
0 = a1^a2^a3^Pi^P2^p3^12,
Pi + P2 + p3-a2-a3^16.
Таблицы охватывают значения коэффициентов Вигнера, для которых
(П.2.1)
(П.2.2)
Л+Л +Уз^1б. (П.2.3)
Симметрия коэффициента Вигнера в представлении (П.2.1) согласно (18.25)
следующая
1 - " *з
<*i a2 а3
Pi Р2 Рз
:(_ If («/ + &*)
(П.2.4а)
(П.2.46)
(П.2.4в)
I Р„ Рг fc
о^ + А; а2 + & а3 + &
Pi + A: р2 + £ рз + А:
"Pi -Pi "Рз
- ах - а2 - а3
Для нахождения значения коэффициента Вигнера необходимо вычислить параметры
ос/, Ру, согласно (П.2.1) и расположить их в порядке возрастания, согласно (П.2.4а). Если
при этом ах<0, необходимо ко всем параметрам прибавить — аь согласно (П.2.46). В
таблицы включены значения лишь таких коэффициентов, для которых либо
Рз^з + Pi, (П.2.5)
либо
Рз^а2 + Р2- (П.2.6)
Если последние два условия не удовлетворены, согласно (П.2.4), искомый коэффициент
следует заменить на
а2 а3
|0 а2 а3|_ S(a.+3i)|0 рз-р2 рз-рх
IPi Р2 РзГ1 } ' ' |Рз-а3 рз-а2 рз
(П.2.7)
365

В таблицы не включены коэффициенты следующего простого вида:
| 0 ос ос
а а В
("1)а
(О^а^р).
(П.2.8)
1/Р+1
Параметр ах = 0 в таблицах опущен.
В качестве примера использования таблиц найдем значение коэффициента Вигнера со
значениями параметров:
Л = 2, У2 =7з = 3, W!=l, m2 = 2.
Согласно (П.2.1) найдем
/2 3 3\_|0 2 1 I
\ 1 2 -3/~|2 6 3|- (П.2.9)
Первое равенство (П.2.4) позволяет писать
/2 3 3\
U 2 -3/
0 121
2 3 б!
(П.2.10)
В таблице найдем параметры 1 2 2 3 6 и позаимствуем значение этого коэффициента
2 3 3\ У"5
/2 3 3\__
W 2 -3/~
21/3-7
(П.2.И)
В качестве второго примера возьмем Л = 3, 7*2 = 4, /3 = 5, т1 = т2 = — 2. Согласно
(П.2.1) и (П.2.4) имеем
/3 4 5\
\ -2 -2 4 /
Согласно (П.246) пишем
/ 3 4 5V
\ -2 -2 4/
0 -5 -1
4 1
4 5'
-1
=
__(
0 4 5
6
6
9
1
-1 0]
1 4|
(П.2.12)
(П.2.13)
В таблицах набора параметров 4 5 6 6 9 не найдем, так как условие (П.2.5) не
удовлетворено. Поэтому, согласно (П.2.7), напишем далее
3 4 5\_|0 3 31
-2 -2 4/ |4 5 9|
Теперь из таблицы найдем
/ 3 4 5\ 21/2
(
■)-
2 4/ 1/3-11.13 '
(П.2.14)
(П.2.15)
Если искомый коэффициент Вигнера не удовлетворяет условиям (П.2.3), то его
следует вычислить согласно методу таблиц П.1.
Если надо иметь значение коэффициента Клебша—Гордана, то, согласно (18.1),
сначала пишем
Г Л к 7 1 +т^_/л л 7 \
Потом, указанным выше способом из таблиц находим значение соответствующего
коэффициента Вигнера и тогда по (П.2.16) определяем коэффициент Клебша—Гордана.
366

а2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
и
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
а3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Pi
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
и
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
р2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
Рз
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
0 а2 а
Pi э* Р
1/1/Т^З
1/2 У"3
1/21/5
1/1/2ТЗТ5
1/У2^3~7
1/2 У ~2~7
1/2-ЗУ 2
1/3 У 2^5
1/1/ 2-5- 11
1/2У1ПТ
1/2 У 1Пз
1/1/2.3-5
1/2 У "3^5
1/1/3-5-7
1/2 У2^7
1/2-3 V"7
1/2-ЗУ~275
1/ЗУ1ГТТ
1/21/3-5- И
1/1/2-3- 11-13
1/2 У"5^7
1/2 У 275^7
1/2-3 У 2~7
1/2У"2^3~-Т-"7
1/2 У Г-
З-5-Tl
а2 а3 Pi Р-2 Рз
0 а2 а3
Pi Р2 Рз
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
6
2
2
2
8
9
4
5
6
7
8
5
6
7
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
3
4
1/2-3 У 5ЛТ
1/21/5-11 • 13
1/ЗУ2-5-7
1/2-ЗУ1Г7
1/ У2~3"-'5'~7""1"1
1/2-ЗУ"2^5ТГ
1/ЗУ5ПТ-'1"3"
1/2-зуТЛТ
1/2-ЗУ1ГПТ
1/2-31/2- 11 • 13
1/гуз^УТТПз
о
-1/21/"3"-"5
-1/У1ПП>
-У"3/У2^5Т7
-1/У"ЗТ7_
-5/2-3 У 2-7
-1/21/^5
-7/3 У 2- 5- И
-21/"2/1/3-5- 11
-зу~з/2уТПТз
-5/У2Тз".7"-13
-1/2 У 5
-У 5/2 1/3-'7
-У"7/2У2^5

а2 а3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
оооооооо
оооооооо
0 0
0 0
0 0
0 0
Pi
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
Р2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
6
2
2
2
Рз
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
5
6
7
6
2
3
4
0 а2 а3
Pi Р2 Рз
-У"3 / 2 V"2^7
— 11/2-3 "|/2^5~-"7
-13/2.3 У ^1Г17
-У"5/2УУПТ
-17/2 УЗ-5- 11-13
-19/2 УЗ-7- 11 • 13
-У!/У 5^7
-11/2-31/2-5-7
-У7/2-ЗУ"5
-17/2У2Тз"."5Т7ЛТ
-У5/зуТПТ |
-23/2-
-УТз
-1/2 У
-19/2-
-23/2-
-9/2 У
-31/31
-2/1Л
-29/2-
— 17/2 •
31/5-11-13"
^1/2-5-7-11 1
"7
3 У 5 • 7 • 11
31/2-5-7-11
275- 11 - 13
/2-5-7- 11-13
3-7- 11
ЗУ2-7- 11
ЗУ 7- 11 - 1
• 13
3"
-5/2У2-3- 11-13
-У "2 /У W
-2/УЗ-5-7
-Уз/
2У5-7
а2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
а3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Pi
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
Р2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
4
4*
4
4
4
5
5
5
6
3
3
3
Рз
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
5
6
7
6
3
4
5
-Уз/
0 а2 а3
Pi Р2 Р3
2 У 2 - 5 • 7
-4/ЗУ5-7- И
-1/21/3-5- И
-1/У2-3-5- 11-13
1/2 У
1/2/
3-5-7- 11 -
13
У5-7- 11 - 13
-2/ЗУ5-7
-1/2-ЗУ1Г7
1/2-ЗУ"2^5"-Т"-1Т
У"5/2-зУУПТ
У"П/2-ЗУ"5МЗ
37/2 • 3 У5-7- И • 13
УТГ/2УЗ-7- 13
1/3 У
1/7/
43/2-
71/2-
1/7/
17/2-
2-7- 11
2 У 2 • 3 • 5 •
ЗУ5-7- 11
11
• 13
ЗУ 2-5-7- 11 • 13
У 3- 11 • 13
У 2-3-7- 11•13
У 13/2-ЗУ 2- 11
47/2 У2^3-5-7- 11-13
УТТ/ЗУУЛЗ
0
1/3/
1 з/У1
2-У 2-7- 11
>-5-7- 11

а2 а3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
Pi
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
1
Р2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
6
4
4
4
4
4
5
5
5
6
5
5
1
Рз
6
7
8
9
4
5
6
7
8
5
6
7
6
4
5
6
7
8
5
6
7
6
5
6
2
31/21
23/V
25/2-
4/V~7
3/2]/
27/21/
17/21
31/2.
37/4.
3/2 V
23/2 •,
1/27]
1/1/1
31/2
3/1/5
21/2
V"2/l
1/п/
1/3/1
1/2/3
-1/2-1,
-21/Зу
0
-51/2,
1/1/2
0 а2 а3 |
Pi Р2 Рз 1
/3-5.7.11 . 13
2.3-5-7. 11 -13
31/7. 11 . 13
'. 1Ь 13
2-7. 11
'2-5-7-11-13
/2.3.5.1ЫЗ ,
31/2.7-11-13
31/7.11.13
ТПз
31/2.5-11-13
Т/31/5.7.13
/"5- 11-13
(1/7-11-13
-11-13
^31/11-13
/7-11-13
2-31/7-13-17
/5-11-13
-1/5-11-13
3/3 1/5-7-11-17
' 1/5-1ЫЗ- 17
'31/11-13-17
73
а2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
«3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Pi р2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
Рз
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
4
5
6
7 I
1/з/:
1/2/'
1 1/5/"
1/3/1
0 а2 а3 I
Pi Р2 Рз
2"|/5
|/"з75
1/2-3-7
>l/7
1/7/2-31/2
2/31/5 ,
3/1/2-5-11
V 57 1/2-3- 11
1/ТТ / 2 1/7зТТз
1/2^/1/УПз
V^/l/irg
1/1/175
2 V"2/1/37577
1/5/21/"з77 ,
1/1/177
1/7/2
4/3 У"
1/3/1
1/2-5
-31/5
571Т
/2-5-11
/1/3-11.13 1
V 11/1/2-3-7- 13 1
3/21/577
1/"3/ 1/27577
1/5/21/27377 1
1/~3/21/1577
1/7/21/2-5-11

аа а, р2 р, р8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
о
2
2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
6
G
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
8
9
10
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
6
7
3
4
5
6
7
Ь
9
10
11
3
0 а2 а3
Р1Р2 Рз
1/2/1/3.5.1!
ЗУ 3/2 УУПГ-ТЗ
1/ТГ5/1/"2'."7ЛТТ"13
2 1/2/31/5^7
1/31/7
2/ у тптпт
1/7/31/2^5". 11
4У"2/ЗУ5~ТРТЗ
ЗУ2/У5^7~ТЬ 13
5/2 • 3 УТЛ!
У 5 /-2У 3-7. 11
1/1Г7 / 2 • ЗУ 2ТТГ7ТЗ
2У5/ЗУ7.Ц.13
Уз/У7'ЛТЛз
1/2У7ГЛЗ
1 / 1/2"7S". 7
1/2УПГ7
о
-1/2 У 2^3.5-7
-1/7/2-3 У"5ЛТ
— 1/1/3-5- 11
-1/ТГЗ/У5-11-13
-51/5/21/3.7- 1ЫЗ
-УТ1/У2Т5Т7ТТЗ"
О
а» а8 Pi Р2 Р»
О а2
Pi Р.
а8
Р.
О
О
О
О
о
О
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
2 3
2 3
1 3 3
1 3 3
1 3 3
4
5
6
7
8
9
10
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
6
7
1
5
6
7
8
9
-I/I/2.3.5.7
-1/2У1П7
-31/1/2 У 5^7 ТТ
-У7/У2-3.5-1Т
-У"2Т5/У 3-11-13
- 91/3 /1/257.11 ГЗ
-1/7/1/2. 11 13
-1/31/7
-4/31/7- 11
-УП/2Уз75Т7
-7У7/ЗУ2.5.1ЫЗ
-2- 17/31/5-7- 11-13
-21/2ТЗ/У7. 1ЫЗ
-5/2 У 3-7- 11
-41/5/У3.7.1ЫЗ
-51/5/2.ЗУ 11 • 13
-8/УЗ-7-11-13
-31/3/2У2.1ЫЗ
-УТЗ/21/3.5-11
-1/У2Т3Т7
-1/7/2У2-3-11
-13/3 У 2-5-7-11
-У5Т7/2УЗ.Ц.13
-У"2ТТ!/У3.5.7.13
-У7/2У 11-13

а2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 1
0 1
0 1
0
0 1
хя 0,
1 3
3
1 3
[ 3
[ 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
I 3
1 3
1 3
1 4
1 4
1 4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
Р.
3
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
4
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
5
fc
10
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
6
7
5
6
7
8
9
5
6
7
8
6
7
6
0 а2 ая
Pi Pi Рз
-з/УТЛГЛз
-l/"2/l/"7~ll
- l/'З / У 2V~7~11
-19/У2Г"3""5.7. 11 . 13
-3/У2".5"П". 13
-2У"2/УзТ7ТТПТз
-Уз/2У7~ПТ'.Тз"
-5У"3/2У2^7ТТТТТЗ
-У"5/2УзПТЛз
-1/2У2-З.Ц • 13
1/У"2^3.7.11 • 13
-1/2.зУ5"ЛТЛЗ"
У"2/УзТ5ТпТ"13
-3/У2.7- 11.13
-1/2У5~ГПз"
1/31/2- 1ЫЗ
УТЗ/2-ЗУ~2.7. И
9/ УТЛТЛзТ \1
0
1/У"ЗТ1"ГГ1"з
21/2/зУТГЛз
53/3 У 2 • 7 • 11 • 13Л7
4/ УЗ- 5- 11 -13
8У"2/У^ТП.Т3^17
2/УЗ-1ЫЗ
а, ая р, рз ря
О
О
О
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
7
6
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
5
6
7
8
9
10
И
4
5
6
7
8
U а3 а8
j.Pi_fc AJ
УТПТ /зУТзЛт
4 1^5/1/3.11 13 - 17
1/2JI/5
У2/У5-7
У~5/2УТ7
У"5/21/зТ7
У7/21/2ТЗТ5
2У7/ЗУ5^ТТ
Уз/УбТп
У3Т5/У2.11.13
1/5ТТГ/2У3.7.13
УТЛ1 / У5-7- 13
3/2У1Г7
У5/2УТГ7
1/~3/21/Т^7
УЗТ7/2У2.5.П
У7/У'3.5.Ц
31/1/У5"ППГЛз
31/"ЗТ5/2У7.И • 13"
УТГ/2У7Лз
У"2/У"5Т7
1/Уз~7
1/3/У7ЛТ
1/7/2У5ЛТ
2У2Т7/У3.5.1ЫЗ

а2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
а3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Pi
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Р2
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
7
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
Рз
9
10
5
6
7
8
9
6
7
8
7
4
5
6
7
8
9
10
11
5
6
7
8
9
10
0 а2 а3
Pi Pa Рз
2.31/^3/1/5.7.11 .13
31/1/1/7.11 • 13
5/3 У ТТЛ
5/21/3.7.11
1/5^7/21/3-11 • 13
21/5/31/ТТТТЗ
21/3/1/7. 11- 13
5 V"3/2 Т/7- 11-13
1/375/21/2. 11. 13
2/1/3.1ЫЗ
7/21/2.5.11 • 13
1/7/2.31/5
I/I/2T3T7
5/2 1/2 . 3 • 7 • 11
1/7/31/2.5.11
V7/ 1/з. 5. И- 13
1/2ТЗ/1/5Т7ТТГПЗ
1/2 1/7.lb13
О
1/1/3-7. 11
1/2.31/7ЛТ
-1/7/2.31/5-И-13
-2/1/3-5-И-13
-2/1/7- 11- 13
-1/7/21/2. И • 13
а2 а3 рх р2 рз
О а2 а3
PiPa Рз
О
О
О
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
5
6
7
8
9
6
7
8
7
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
6
7
8
7
6
7
-5/21/3.7.11 ЛЗ
-1/5/1/2.3. 1ЫЗ
■2/1/3.1ЫЗ
-2 "[/"3/1/7. 11 • 13
-5/21/2.3-11 • 13
-1/ТТ/2.31/1ЛЗ
-5/21/3. 11 • 13
-71/2/31/5. 11- 13
-1/21/2.7.11
-1/7Т /31/2 • 7- 13
-17/2- 31/5- 11. 13
-1/2/1/11. 13
-1/7Т /21/2.7- 13
-16/1/7. 11 • 13-17
-5/21/3.11-13
-3/21/11-13
-7/21/2-3-11 -13
- 231/3 /21/2-7-11 -13-17
-21/5/3V11 -13
-4/3 У 11-13
-Т/ТГ/1/2.3- 13- 17
-4 -7/зУ 5- 11-13. 17
-УП/2УЗ-5-13
-2/УЗ-11-13

<х2 а3
0 2
0 2
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
0 3
Pi
5
5
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
р2
5
6
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
Рз
8
7
5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
6 i
7
8
-29/2-
0 а2 а3 '
Pi Р2 Рз !
31/2.11-13. 17
-4/1/3. 11.13- 17
1/5/2.31/7
1/1/2
1/7/2
1/2.'
УТР
V2T3
• 3-7
Г/3 1/Т5ТТТ
Г/ V5.ll. 13
.5/1/7- 11 - 13
1/11/21/7-13
1/П/
1/2/,
21/2
1/7/:
41/2"
21/7-13
3V~7
/1/3-7- 11
*V1TIT
-7/31/5- 11 - 13
21/2.3/1/5.11 • 13 1
41/2
1/П/
5/3 V
51/7
21/2
2/1/Т
5/1/7
2-5/1
5/1/2
41/2
^У7.1ЫЗ
2V7~H3
7ТП
/2 - 3 V 11 - 13
"5/зт/ТГТТз
ГЛз
• 1ЫЗ
/3-7.1ЫЗ
• 3.1ЫЗ
/31/ 11-13
«2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
а3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
Pi
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
4
Р2
6
7
7
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
7
7
5
5
5
6
6
4
Рз
9
7
8
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
7
8
9
7
8
7
8
9
7
8
6
1/3/1
7V5
7/3 V"
13/2.
1/7/1
1/11 /
1/2/1
9/2 V'S
VII/
25/2.;
5/3 V
1/2/1
1/2 V"
5/2 V"
V5/2
1/2-3
-V3/2
0
-7/3V~
1/21/2
-1/21/"
-7/21/"
-4/3V"
-23/2-:
0 а2 а3
Pi Р2 Рз
1/1ЫЗ
/2-31/2- 1
2-1ЫЗ
3V2-7- 11
[/2- 11-13
3V~5^3
1/ТТЛз
2-7-11-13
1/7- 13- 17
31/7- И • 1С
2. 11. 13
/3-11-13
ГГЛз
7.11 - 13- 1/
iV2.ll- 13
1/2-11-13
l/l 1 * 13- г
2- 11- 13- 17
J. 5- 11 - ГЗ
зЛГЛз
2-11 .13- 17
5- 11. 13
i l/l 1-13-1
1-13
Г
г
7
1/1/2-7- 11

ot, a, pt
0 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 4
10 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 4
0 4 5
0 4 5
0 4 5
0 4 5
0 4 5
0 4 5
0 4 5
Р.
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
8
5
5
5
5
G
6
7
Р.
7
8
9
10
11
12
7
8
9
10
И
7
8
9
10
8
9
8
7
8
9
10
8
9
8
0 а, а, 1 I
Pi р. р8|
1/7/2.31/2.11
У2Т7/31/ТТЛЗ
3/1Л
1/2/
Уи
31/1
51/7
5/31/
1/3/
5/21/
51/1
5/21/
1/2.
31/3
3-5/2
71/"5
3-7/2
7 1/"2
1/TI
7/1/3
Уз/
19/21
17/21
91/3
7 1/Т
МЫЗ
1/П-13 1
/21/2-7.13
1/21/7-13-17
/2.31/2.11-13"
ТТЛз
1/1ЫЗ
2-1ЫЗ
1/21/2.7.13-17
2.11.13
5/1/3-И-13
/21/2-1Ь 13
1/11. 13- 17
/2.31/2.11-13
1/2.11 ЛЗЛ7
.5/31/1Ы3.17
(2.31/ТЗ
Тбттпз
1/11.13
/ТТЛ .13- 17
/УПыГТГЛз
/21/2.1ЫЗ-17
3/2.31/275ТГГТ7
ocs
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
а»
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
Pi
6
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
Р.
6
5
5
5
5
6
6
6
7
6
6
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
Ps
8
8
9
10
11
8
9
10
9
9
9
10
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
4
5
29/21
2/3 V
1/з/-
VIЦ
V11 у
4/УЗ
31/3
зУз
3-71/
81/3
1/3/S
У"ЗЛ
0 otg а,
Pi Р. Ре
/3.5-1Ы
ТГЛз
1/5-11.13
21/1ЫЗ
21/2.13-
3-17
17
• 5-11. 13
/21/5- 11. 13
/1/1Ы3.17
'3/21/2.5.И-13
/1/5.1Ы3.17
* 1/5-11- 13
5/21/11.13.17
-1/1/2.5
-1/1/3.5
-1/1/3-7
-1/21/7
-1/2-3
-1/ЗУ5
-1/1/5.11
-1/1/2-3.И
-1/1/2.3-13
-1/1/ТТТз
-1/21/5
-1/V5.7
-1/21/2.7
17

a* as Pi Pa Рз
О а, а8
Pi Р» Ре
а, а8
О а2 а3
Pi Pi Pi
б
7
8
9
10
И
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
6
7
8
7
3
4
5
/21/1П7
/2V2T3T5
/УЗ-5.11
/2У1ГЛТ
/У2.1ЫТ
/гУТЛз
/У2Т5Т7
/3 У 2"Т7
/У2Т3Т5Т7
/1/2-3.5- 11
/зУбЛТ
/У5-1ЫЗ
/1/7. 1Ь 13
/2-31/7
/ У 2 • 3 • 7 . 1Г
/2 • 3 У YTT
/зУТПз
/1/277-11-13
/21/3-7- 11
/21/3-11-13"
/ 1/3777ТГ713
/2 У2_Т7ГГ"13
I
/ У27~з"7577
/2У~3~Г7
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
1/21/277
1/31/5
Уб/зУТПГГ
1/3/У2-5
11
7/21/3- 11 • 13
2У*2/УЗ-7-13
1/У577
1/21/7
2/ У57577
1/5/2У"з7П
1/2/У57ТГ
7/У2-5.1ЫЗ
4"У2/У7-1ЫЗ
31/3/1/2-5-7-13
У"7/2-ЗУ"5
1/5/ЗУ277
13/21/357- П
4/зУ"57ТТ
19/зУ2-5-И7Гз
УТ1/У5-7-13
51/5/ У"2.3 - 7 • ТПЗ
УТ/зУгТТГ
3/2 У ТТЛ
1/ТГ/2.зУ"1з
УТз/зУ77ТТ

a*
aa a3 Pj p, p3
9
6
7
8
7
4
5
6
7
8
9
10
b
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
6
7
0 a2 a3
Pi p2 p»l
V3-5/У"77lb 13"
23/2У2.3.7. 11.13
У7/Уз. и.13
V 11/1/2-5.7- 13
17/2.3У5.1ЫЗ
2/УзТ5Т7
У5/2У2Т3Т7
17/2-3 У 5-7-11
Уз'/гУбЛТ
У2.3/У5.1ЫЗ
17/2. УЗ-5-7- 11 • 13
У5/У2.7-11. 13
1/5/1/2.3.7.11
2/ У 3 • 5 • 7 • П
I/I/3T5TT1TT3
1/1/3.5-7-1Ь 13
1/У7-11 • 13
У5/У2-7- 11 -13
1/21/2-7. 11
1/2 Уз-7- 11. 13
У7/2У2.3.11 • 13
1/5/У7.1ЫЗ
5У5/4У7.Ц- 13
2/зУТПз
-УЗ-7/2У5. 11 . 13
а2 а3 Рх р2 рз
0 а2 а31
Pi Р2 Рз1
-ЗУ2Т3/У5.7.1ЫЗ
-Уб/Уз.1ыз
о
-2Уз/У5.7.1Ь"13
-У2Т7/У3.5.1ЫЗ
-19/2.31/7.1ЫЗ
-У7/21/ТТТТЗ
-УЗ/У2-1ЫЗ
-1/5^7/зУ2.1ЫЗ
-5У5/ЗУ7.Ц .13
-У5ЛЗ/2У7.1Ы7
-1/Т1/2У3.5.13
-2 У7/Т/3-5-11 -13
-71/ У2.3-5.7.Ц.13.17
-2.31/3/У5.1Ы3.17
-У2/УТПз
-УУТ/зУ и • 13
-32/зУ"7.11. 13- 17
-21/7/1/Т. 1ЫЗ-17
-1/1/2Т5
-У2/УТГ7
-У"5/2У"2Т7
-1/2 Уз
-У7/ЗУ"2Т5
-2/У5ТТТ

<*2 «3 Pi Р2 Рз
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
10
11
12
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
5
6
7
8
9
10
0 а2 а3
Pi Р2 Рз
-У"з/21/Т!
-У"5/1/2ТзТ]з
— VTT/V'2-7- 13
-V3/V5T7
-I/V2T7
-l/5/2V"3T7
-I/2I/5
-I/7/I/3.5.II
-1/2/1/5ЛТ
-3/1/2T11 -13
-1/5/1/2.7.13
— 1/ТТ/1/5-7- 13
-1/V3T7
-1/21/7
-I/3/I/2.5.II
-1/7/1/2-3.5. п
-21/"з/1/5.11-13
-31/3/1/2.7.11.13
-i/l/УЛз
-1/2/31/7
-V5/1/3-7.11
-1/У2.3-11
-УУГ7/зУ7ТЛз
-21/2/У7.Ц. 13
-УУГЗ/У7. 11-13
а2 а3 Pi Р2 Рз
О а2 а3
Pi Р2 Рз
6
7
8
9
7
8
5
6
7
8
9
10
11
5
6
7
8
9
10
И
6
7
8
9
10
-5/21/2.3.7. И
-У"5/2УТГЛз
-1/5/У2-3.11 -13
-2/1/7.1ЫЗ
-У"з/2УТГЛз
-1/7/УЗ-5-11.13
-1/2УТТ7
-1/2. ЗУ 7
-1/2 У 2. 3-5- 11
О
1/УЗ-5.1ЫЗ
1/3/У2. 7. 11. 13
1/2УУПЗ
О
1/У2.3.7.ТГ
1/1/3-5- И
1/7/У5.-1ЫЗ
8/ У5 • 7 • 11 • ТЗ
УзТ5/У7.Ц.13
У"3/У2-7. 13
У"5/У2.3.7.11
3/2 У 11. 13
2У"2/У3.1ЫЗ
21/5/1/7. 1ЫЗ
9/2 УУТТьТЗ

аа
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
<х8
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Pi
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
Р2
6
6
6
6
7
7
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
7
7
5
5
5
6
Рз
6
7
8
9
7
8
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
7
8
9
7
8
7
8
9
7
о
а2
Pi Р. Р:.
25/2.31/7.1ЫЗ
1/1Г7/21/3.11. 13
У"з/1/ТГЛз
VTT/1/2.3.7.13
19/2У2.3.5-1ЫЗ
УТГ7/У5.1ЫЗ
2/ У 3 • 7.11
8У2/ЗУ5.1ЫЗ
УТЗ/21/3.5.11
ЗУ"2/У7.1ЫЗ
51/5/2У2.7.1ЫЗ
2У5/У7.1ЫЗ
У7/У3.1ЫЗ
У~5/У3.1ЫЗ
У~ЗТ5/У2.7.1ЫЗ
У"ЗТ7/У2.1Ы3.17
У7/У2.3-Ц. 13
1/1/2-11-13
4/1/7-И-13- 17
4/ЗУ5-1ЫЗ
У7/УЗ-5.1Ы3.17
У7/2У3.1ЫЗ
1/зУТТЛз
-1/2У2.7.1Ы3.17
а»
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
а8
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Pi
5
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
р*
6
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
6
6
6
Рз
8
5
6
7
8
9
10
11
12
6
7
8
9
10
11
12
6
7
8
9
10
11
7
8
9
О аа а8
Pi Pi Р»
-У"2Т5/У3.1Ы3.17
- 1/2У7
-У"5/ЗУ^Т7
-1/2У2ТЗ
-У7/У3.5.11
-1/7/1/3.5.11
-УУГз/УТГПГз
-УзТН/гУТЛз
-У71/1/з.7.13
-1/УТГ7
-1/У2ЛТ
-УТ/Уз.5.11
-21/7/У5.1ЫЗ
-2.3/1/7. И. 13
-Уз/У7Лз
-.1/Т1/2У77ТЗ
-1Л2Т5/1/3.7.11
-1/5/2УзТТГ
-У"277/У3.1ЫЗ
-2/УТТЛз
-2У"2Тз/УТПТЛз"
-1/ТГ5/21/2.7.13
-5/У2.3.1ЫЗ
-УТГ5/УЗ. 11-13
-гУ^/Узтптгз"

а2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
| 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
а3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Pi
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
Pa
6
7
7
7
8
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
8
5
5
10
7
8
9
8
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
7
8
9
10
8
9
8
7
8
0 а2 а, |
Pi P. Psl
-1/"зТ5/1/7.1ЫЗ
-5/21/2. 11. 13
-У"7/1/3.1ЫЗ
-]/~7/21/11.13
-7/1/2- 3.5- 11- 13
-3/21/7ТП
-1/2/31/TI
-71/7/2.31/5ЛТТ13*
-I/273/I/5.II.I3
-1/5/1/7. lb 13
-1/21/7ЛЗ
-l/5/31/ТПТз
-1/зУТТПз
о
1/1/2.7-1ЫЗ
1/5/1/2.7.13.17
О
1/1/2.3- 11 • 13
1/1/2- 11. 13
9 1/"5/2 1/7711.13. 17
1/7/31/ТГЛз
1ЛГ7/1/1Ы3.17
71/13/2.31/2-5-1Ы7
1/7/2.31/7ITI3
1/~2/1/3.1ЫЗ
а*
Pi Р* Р,
О а2 а,
Pi Р2 Рз
9
10
8
9
8
8
7
8
9
10
11
12
7
8
9
10
11
12
8
9
10
11
8
9
10
3/21/2. 1ЫЗ
59/21/5-7.1ЫЗ.17
1/5/У3.1ЫЗ
51/5/21/11.13.17
21/2Т5Т7/31/1Ы3.17
УТЗ/1/2.3. 11 . 17
-1/У^Тз~.ц
-У7/2.зУ"П
-У"2Т7/У5.1ЫЗ
-1Лз/УТГПГз
-У"2/1/7ТТз
-У"зПТ/4У7ТТз
-Уб/зУТТГ
-У"5Т7/зУТьТз
-2/1/11.13
-2/1/11.13
-1/5/У2.7.13
-УЗ-5.Ц/2У7.13.17
-5/ У2.3.1ЫЗ
-2/УТьТз
-У"зТ5/2уТьТз
-5УЗ/У2.7.13-Т7
-У5Т7/зУ"ТьТз
-1/7/У2.1ЫЗ
-1/ЗТ5Т7/У2.11.13.17

а2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
а3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
Pi
4
5
5
5
5
5
5
5
5
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
Р2
8
5
5
5
5
6
6
6
7
6
5
5
5
5
5
6
6
6
7
7
6
6
6
6
7
Рз
9
8
9
10
11
8
9
10
9
9
8
9
10
11
12
9
10
11
9
10
9
10
10
И
10
0 а2 а3
Pi Р2 Рз
-7/1/1Ы3.17
-41/2/31/И-13
-1/"з/1/ТГЛз
-7/21/5- 11.13
-Т/ТЗ/2 1/2-7- 17
-1/1/1/ ТГЛз
-l/ls/21/ТГТз
-21/3/1/11. 13- 17
-1/5^7/2 1/2-1ЫЗ. 17
— 1/ V 3 - 11- 13-17
-1/7/3 УТПТз
-i/1/ТьТз
-1/Y1/1/5.11.13
-1/21/2ЛЗ
-V3TTT/1/2.7. 13- 17
-1/"2/1/ТГЛз
-3/21/11 • 13
-1/3^5/21/13- 17
-1/1П~7/21/2. 11 • 13
-31/1П7/21/11.13. 17
-1/Тз/21/з~5ЛТ
-51/^5/21/2.1Ы3.17
-1/3/21/2.1ЫЗ
-1/3/2-1/13. 17
-31/7/21/1ЫЗ. 17
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
«з Pi
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Р2
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
6
6
6
Рз
5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
12
6
7
8
9
10
11
6
7
8
0 а2 а3
Pi Р2 Рз
1/1/2Т7
Т/3 / 2 1/УГ7
1/21/~27з
I/I/2T3T5
1/3/1/2.5. 11
1/21/71
1/21/13
1/3/1/2.7.13
1/21/7
1/1/2.3.7
I/2I/3T5
I/2/I/3.5.11
1/I/2.5.И
1/1/11. 13
1/1/2.7-13
1/2/1/5.7.13
1/21/ЗТ7
1/21/"зТИ
1/31/ПТ
1/1/2.11 -13
1/5/1/2.7. 11. 13
1/1/2-3.7. 13
1/1/2.7-11
1/21/2.3-11
1/VI
5.11.13

а2 а3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Pi
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Р2
6
6
7
7
7
8
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
Рз
9
10
7
8
9
8
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
1/з/-
1/1/7
У"7Л
1/1/2
1/1/2
2/3 V.
0
-1/2.3
1/5/2
-1/1/5
-1/2/
-5/21/
-1/3/-
-1/5/
0 а2 а3 1
Pi Р2 Рз 1
1/2-7-11. 13
•11.13
21/2-3- 11-13
•3.11.13
• 5.11.13
5-11.13
УУГ7
>уугп
>-5-11
1/3.5-11
3.1ЫЗ
1/2-7.13
2 • 3 У 7
. —7/2-31/5- 11
-1/3/1/2.5 • И
-1/ТТ/1/2. 3.5.13
-1/13/1/2.3-7. 11
-1/5/1/2.7. 13
-3/21/УГП
-1/1/5
-5/1/2
-31/3
;. и
ТзТТыз
/1/7-11-13
-У7/1/2.1ЫЗ
-У"2/УТЛз
а2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
а3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Pi
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
Р.
6
6
6
6
7
7
7
8
4
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
8
5
Рз
7
8
9
10
7
8
9
8
6
7
8
9
10
7
8
9
10
7
8
9
10
8
9
8
7
-17/2.
-1/7/-
0 а2 а3
Pi Р2 Рз
зУг.ц.1
У2-1ЫЗ
3
-5У5/ 1/2-3-7-11. 13
-29/41/5Т7.11 -13
-У 11/2.ЗУ 13
-зУз
-4"У~2
-1/ТТ
-2У5
-2/1/3
-зУз
-29/21
-У^г;
-2/1/1
-1/7/
-1/5/
-1/2 У
-1/7/
0
1/5/
23/21
1/3/
19/У
29/2 1
0
/1/2-5-11.
/ У 3 - 5 • 1Ь
'2У3.5. К
/ЗУУЛТ
• 5- 11
13
Тз
1
/У2.5-11-13
/3^5~7- 11-13
5/У7.11.
МЫЗ
21/3- И - К
21/7-1Ы;
2-7- И- 13
2-зУТПТ
3
г
3"
3
У2-3.7-11 • 13
/3.7. 1ЫЗ. 17
У2-5.1ЫЗ
"235-11-13-17
/3-5- И-13- 17

«2 а8 р! р2 рз
О а2 а3 I
Pi Р2 Рз!
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
6
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
8
9
8
9
8
8
6
7
8
9
10
11
12
6
7
8
9
10
11
12
7
8
1/7/2. 31/ТГЛЗ
2/1/7. 11. 13
1/7/1/2.3.11.13
1/ТЛТ / I/2T7TT3TT7
1/ТЗ/1/2.3.1Ы7
2 1/7/1/11 • 13. 17
1/1/2Т7
1/5/2.31/2
1/1/ТГ5
1/7/1/2.5.11
1/2/1/зЛТ
l/3/21/ТЗ
1/5/1/ТЛз
2/3 1/7
1/3 1/2
2У2/1/ЗТ5ЛГ1
1/7/1/3-5.11
4/1/3. И-13
Уз/1/ТЛЗ
21/2/1/3-7. 13
l/5/21/УЛТ
1/1/1ПП
а2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 2
аз
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
.3
Pi
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
Р*
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
7
7
8
8
4
4
4
4
4
5
5
5
Рз
9
10
11
12
7
8
9
10
И
8
9
10
8
9
7
8
9
10
11
7
8
9
1/7/
0 а2 а8
Pi Р. Ре
1/2-1ЫЗ
21/5/1/7-11.13
1/3/1/2.7-13
У'б/гт/Т'Лз
1/5/,
21/2
31/2-11
/1/з. и. К
J
1/2/1/ТГГГЗ
41/2/1/3-7. 11-13
1/"з/21/ТЛз
1/15/1/3.11.13
1/7/
1/5/
1/2-3. 11. 1
1/2.3-11-1
3
3
4/1/3-5-11. 13
1/7/1/2-5-11-13
1/3 1/Т!
1/21/5ЛТ
1/7/1/2.3-5-11-13
1/1/3-7-11-13
0
0
-1/1/2
1 -i/Vi
-3. 11-13
2-11-13

а, а.
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
| 2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 4
2 4
2 4
1 2 4
Pi
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
6
4
4
4
4
Рз
5
5
6
6
6
6
7
7
7
8
5
5
5
6
6
6
7
6
4
4
4
4
Рз
10
11
8
9
10
11
8
9
10
9
8
9
10
8
9
10
9
9
7
8
0
10
-УТ7
0 а2 а3 | 1
Pi Рз Рз1
3/1/7-11-13
-Уз/21/7Лз 1
-1/7/1/2.3. нЛз |
-1/5/-
-1/ТЗу
-2 1/Т
1/3-11- 13
^21/3 7 11
• 3/1/7-13.17
-l/2/1/ТГЛз
-У*?/
-5У"5
-У 77
-У 57
УзТЛПз"
/ 1/3- 1Ь 13- 17
11/21/5-13.17
7/31/2-11-13
-3/2 1/ И-13
-9/У5.7.Ц.13
-У7/УЗ.Ц.13"
-У"2/ 1/ТГТГз
-43/ V
-У 57
2.5-7.1ЫЗ-17
7/1/2- 1Ь 13. 17
-3/У11-13-17
1/2-3
1/УТПП
[/7/2 1/571 Г
У277/У37ГГ713
«2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 2
а8
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
Pi
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
Р.
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
7
7
8
8
5
5
5
5
6
Рз
11
12
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
9
10
11
9
10
8
9
10
11
9
0 а, а,
Pi Рз Рз
У"з/У77Тз
Уз/УТЛз
У~5/21Л37П 1
У*377/2У.11 -13
1/"5/У7Г7ГЗ
У"з/У7Лз
3 У5/4'1/77|3
Уб/УТТТТз
3/У2.1ЫЗ
2/УТГТТз
3/2 V
зУ~з
У 7/
У-57
1/37
у-37
7-13
.5/21/7-13. 17
У2-1ЫЗ
7/21/3-И-13
5/2У73717
7/21/2.11-13
1/5-7/1/1ЫЗ-17
У"П/2.зУТз
У5/У2.11-13
3/У5-1ЫЗ
2/ 1/1
S - 7 - 13
МЫЗ

а2 а3 Pi
2 4 5
2 4 5
2 4 5
2 4 5
2 4 6
2 4 6
2 5 5
2 5 5
2 5 5
2 5 5
2 5 5
2 5 5
2 5 5
2 5 5
2 5 5
2 5 5
2 5 5
2 5 6
2 5 6
2 5 6
2 6 6
2 6 6
Р2
6
6
7
7
6
6
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
8
6
6
7
6
6
Рз
10
11
9
10
9
10
9
10
11
12
9
10
И
12
10
11
10
10
11
10
10
11
У~з/
Уз/
0
-1/7/
-1/1/2
-1/13
1/7/
0 а2 а3
Pi Р2 Рз
2У 5. И. 1
3
21/5-7. 13- 17 |
21/11. 13- 1
7
• 3.1ЫЗ
/2У 5- И.
2У И- 13
17
У2/У7ь~Тз
1/У"5ТТЗ
1/3/
1/"з/
У2-7-13
1/1ЫЗ
4/ У 5. И . 13 1
Уз/
2.3/1
У "7/
УзТ1
2 У 2"
У 2-5- 13
1/7- 13- 17
1/ 2 - 11 - 13
7/2У 13- 1
7
-7/У11.13.17 1
19/2 УТГЗ.5- 1ЫЗ |
9/2 У
7УТ
1/2/
ТЛз/J
5-13. 17"
/2У 3. 11-13-17 1
Уз. И- 13
>У2.5- 13
«2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1 з
а3
6
6
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
.3
Pi
6
6
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
р2
6
7
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
7
7
Рз
12
11
7
8
9
10
И
12
7
8
9
10
11
12
8
9
10
И
12
8
9
10
Уз/
У"зТ^
0 а2 а3
Pi Р2 Рз
1/2-13. 17
Г/21/2. 13- 17
-1/31/2
-У"2/ЗУ"5
-Уг/УУПТ
-i/1/зЛТ
-1/У"зЛз
-У2/У77ГЗ
-1/2-3
-У2/зУ~П
-1/1/2.3. 11
-V"5/.
1/3-1ЫЗ
У2.3-7. 13
-У2/У3.7. 13
-1/зуТТ
-1/У п. 13
-У^5/У7- И. 13
-1/У 3-7. 13
-1/2 У
-1/7/;
7- 13
*У 11 • 13
-1/1/2. 11. 13
— 1/1/ 3 - 11. 13

а2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
«з
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Pi
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
Р2
7
8
8
9
4
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
8
8
Рз
И
9
10
9
7
8
9
10
11
8
9
10
11
8
9
10
11
9
10
11
9
10
0 а2 а3 |
Pi Р: Рз 1
-1/4 УТЛз
-2/1/зТ5ТТГЛЗ
-1/1/2Т3ТГГТ3
-1/3/21/5. 11 • 13
0
1/3 1/
1/1/1
Уз/;
2-5. 11
I-3-5- 11
^У 11. 13
1/1 /1/3-7. 13
1/1/1
21/2
>-з. 11
/Уз. и-13
5 1/"5 / 1/ПТп Лз
1/2/УТЛз
УП/
V7/-
2 • 3 У 13
1/2- 11 . 13
17/21/3-7. 11 • 13
5/2 1/3-7. 13
1/2-5/1/3. 11 • 13
1/з/УТГЛз
7/2 УЗ- 13- 17
У 13/21/3.5.11
З1/2У2Т3ТЦ .13-17
а2 а3 Pi Р2 Рз
9
10
9
10
9
10
9
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
9
10
11
12
0 а2 а3 I
Pi Р2 Рз 1
У"2Т5/УЗ. 11-13
У"5Т7/2УЗ. 11- 13
У ТЗ/У 2-5-7-If
У~7/ У2ТзТ\~\Т\3
8/ У ЗТ5.7. 11 • 13
1/У2ТзТТГ7Тз
1/ У 3-5. 11 • 13.17
О
-1/3 У"2
-У'з/УбЛТ
-УТ/2УзЛТ
-У"2/УзТТз
-3/У2-7- 13
-У"5/зУП
-1/УТЛТ
-У5Т7/У2.З.Ц. 13
-У2Т5/У3.7.13
-Уз/УУЛз
-3/У2- 11- 13
-У3Т5/2У 11 • 13
-Уг/УУЛз
-зУ"з/4УУЛз

а2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
а3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
Pi
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
5
5
5
5
Рз
7
7
7
7
8
8
9
5
5
5
6
6
6
7
7
8
6
7
5
5
5
5
Рз
9
10
11
12
10
11
10
9
10
11
9
10
11
10
11
10
10
10
9
10
11
12
10 а2 а3 I
1 Pi Р2 Рз 1 __
-Уз/УТПз
-1/7/УЗ- 1ЫЗ
— 1/1/2-3- 13
-3/2 У 13- 17
-У1Г7 /2 У2.3- 1ЬТЗ
-У~5/У3.13.17
-ЗУ7/2У1ЫЗ. 17
— У 5 / 2 У 11. 13
-У"2/Уз-11. 13
— 1/1/5-7-13
о
1/ У2Т5ТГГЛЗ
1/1/5-7- 13
У2Т7/УЗ-5- 11 - 13
11/2УзТ5ТТзЛ7
7 У "7 / 2 УХТПТЗ ."17
2 1/2/ У"5- И - 13"
2 У23^7 / У5ЛЬТЗ""17
— 1/2 1/ТТ
-У7/У2- п. 13
-1/У"зттз
-2Уз/У"5йТЛз
а2 а3 Pi Рг Рз
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
7
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
7
4
4
4
4
4
4
4
6
6
6
7
7
7
8
6
6
7
6
6
7
7
7
5
5
5
5
6
6
6
10
11
12
10
11
12
11
10
11
11
11
12
11
12
12
9
10
11
12
9
10
11
10 а2 а3 I
I_Pi_.„Pl. A L
-3/У2- 11 - 13
-У~2/У'5Т13
-ЗУ"3/ У 2- 5-7-13
-У ЗГУ/Уб- 11 • 13
-У7/2У"5ЛЗ
-ЗУ"3/У5- 13- 17
-У 2Т7/У 3- 13- 17
-УТЗ/2У3.5. 11
-1/1/5ТТЗ
-У 7/1/2-5- 13. 17
-У"2У"ЗТ5ТТЗ
-Уз/2У1ПТз
-У"7/УТ-3-5. Гз
- У 1П~7 / У 5- 13- 17
-3/У2-5- 13"."Г7
1/У"2ПТ
У"5/2У"ЗТ_Т
У"5/2У"ЗЛЗ
У5/У2-7. 13
1/2 1/ТТ
У"5/У2Т1ТПУ
У5/2У7ЛЗ

4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
6
5
5
5
5
6
7
7
7
8
8
8
9
5
5
5
6
6
7
7
8
6
5
5
5
6
12
10
11
12
10
11
12
11
9
10
11
10
11
10
11
11
10
10
11
12
10
l/ l/УЛз
У5/2У7П7з
l/2 1/ТПЗ
1/4 У"ТЗ
У2/УЗ-Ц. 13
1/2 У 2-3-13
1/1/2- 13-17
У"3/2У'2.13. 17
0
-1/21/3-1ЫЗ
-1/УТ."зТ7Лз
-У"7/2У 11- 13
-ЗУ"3/2У5-7. 13
-УТз/2Уз-5.п
-2/У 3-5. 13
-23/2 УТТзТбТТзПт
-У~2Т7/У5. И- 13
1/У^ТТТ
У7/2УзЛз
2/УТЛз
УТГз/УИТТз
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
5
5
5
5
5
5
5
6
6
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
7
8
8
6
7
6
6
7
8
6
6
7
7
8
9
6
6
7
11
12
11
12
11
12
11
11
11
12
12
12
11
12
11
12
12
12
11
12
12
1/У"2ЛЗ
4/ утгтлз
У7 / 2 У"5ТГз
У~3/У2-5. 13
У11У ТГ3Т5ТГЗ
4/У 5- 13- 17
1/1/2-5. 13
О
1/2 УТз
2/ У1Г5 ПЗ
У7/2УТЛЗ
2У7/У5- 13-17
-1/У"2ЛЗ
-У"з/УТЛз
-1/2 У Тз
-1/У~5ТТЗ
-1/1/2-5. 13
-З/У'2.5. 13Л7
О
-1/УТЛз
-УТ/Уз-5.13

ПРИЛОЖЕНИЕ 3
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 6/-КОЭФФИЦИЕНТОВ
В данном приложении приводятся алгебраические формулы для величины С, с
помощью которой получаются формулы для бу-коэффициентов, согласно следующему
соотношению :
J b+p b е\ I Ь d Е\ (В D F\ _oi4
Здесь, согласно (23.2),
^( d ^ = (-\)E+P^+l[(2b + e+p+me+1H2d+e + q+\)^+^~i (П.3.2)
1
/ В D F \ Г В(р-& D(-V(p-&F(-V (?+?) E(-V(P+V(e+p)\ "17
СЛ Р Я Е Г1~~~ (e-p)l(e + q)l(e-q)\ J Х
x[(e + q)W (B-p + q)^ DW-(e-q)W F^iE+p + q^-^-P), (П.3.3)
B=-b + d+f, D = b-d+f,
F=b + d-f, E=b + d+f+1,
p = a — b, q = c — d, —e^p, q^e.
XW = X\ I (X- U)\ = X(X-\) ... (X- U+l),
JT(-i) U= (x+ U)\l X\ = (X+ 1) (X+2) ,..(X+ U).
Отдельные случаи формулы (П.3.3) выписываются для значений
е= 1/2 (1/2) 5.
Если е = 0, то имеет силу формула (22.15). На р и q налагаются условия
e^p^q^Q.
Если q>p, то используются свойства симметрии (22.10) с перестановкой
"-«-и *)(;;)(;;)■
Тогда для А я С имеем
А'[Ъ d ^U(-l)£+^+^+M(2^+e + ^+l)(2e+1)(26 + e+/>+l)(2e+1)]~T> (П.3.86)
I В D F\ ( В D F \ ( D В F\ ^оп
СЛр С е)-*СЛр Я е) = СЛя Р е)- (Л"3-8")
(П.З
(П.З
(П.З
(П.З
(П.;
(п.;
.За)
.36)
.4а)
.46)
3.6)
3.7)
388

Если р и q отрицательны, то строится формула для —р, — q{p, q>0). Тогда, согласно
(23.15) необходимо произвести подстановку
Для А и С имеем, соответственно,
А'{Ь J f ) = (- 1)£+х [(2b + e-p+ \)(™+V(2d+e-q+\)^ + V] 2, (П.3.96)
с;(_; _: jV«-.)«Aft(;: 1 )=<-.)".с,(; ; *). (П,,,
Если р положительный, a q отрицательный, то строится формула для р, —q(q>p^fy.
Тогда, согласно (23.13) необходимо осуществить подстановку
I d\ I В D F Е \ /„ о ,Л х
P=P^U)\F Е В /»)■ (П310а)
Для А я С имеем
А'[Ь J f \ = (-\)E+e-^+1[(2b + e+p+\)^e+1H2d+e-q+\)^e+^]
Если р отрицательный, а # положительный, то строится формула для -
Согласно (23.13), необходимо произвести подстановку
P-PlP*-[b)\E F D В}'
Для А и С тогда получим
А ( _ Ее ) = (- \)Е+е-Р+г ц2Ь + е-р+ l)(«+i) (2</+е + ? + l)^*1)]
I В D F \ 1ч I В D F\ л I
1
2
)'•
(П.
(П.
Р> $(/>.
1
2
V
(П.
(П.
(П.
.3.106)
.З.Юв)
.72*0).
3.11а)
3.116)
З.Пв)
Е F
р q
При подстановке типа х-*х= — х — 1 следует учесть следующее:
(х + т)Ю=(-\)к (х-т + к)М=(-\)к (x-m)(-Vk. (П.3.12)
Фазовые множители в формулах так распределены по А и С, чтобы С в таблицах и С"
(после соответствующей подстановки в С) всегда имели знак плюс. Таким образом знак всей
формулы определяется знаком А (или А'). Следует отметить, что каждый отрицательный
множитель из под квадратного корня должен быть вынесен как мнимая единица.
Сказанное иллюстрируем примерами. В первую очередь найдем формулу для /? = 0,
q=\ (значит, q>p) при е=1. А' получается непосредственно из (П.3.86), а для получения
С сначала берем из таблицы
Cx(f $ FE ) = [2B(D+\)(F+\)(E+\)]~*. (П.3.8г)
389

Произведем здесь перестановку Pt согласно (П.3.8а) и получаем
с; ( о f e)=[2d(s+ !)(F+')(£+1)]¥- (ПЗ-8д)
Например, найдем значение следующего 6/-коэффициента:
[2 2 1 If 2 + 0 2 1 )
[12 3 J=| 1 1 + 1 3 J'
В данном случае b = 2, d=\, /=3, В=2, Z> = 4, F=0, E=l. Это, согласно (П.3.86) и
(П.3.8д) дает
1 П
[ 2 2 1 1 Г 2-4-3-1-8 \2_
{12 3 J = ~L 5-4-3-6-5-4 J
5]/3 *
В качестве второго примера возьмем случай р = 2, #= — 1, е = 2. Опять-таки А' найдем
непосредственно из (П.3.106), а для нахождения С" сначала возьмем из таблицы
1
Сг ( 2 f Е ) = [«(/>+1) (F+S)W(E+3)<*)]2 . (П.З.Юг)
Потом, учитывая (П.З.Юв) и (П.3.12), получаем
C\l -\ Е ) = [4(^+l)(£+l)5(3)(D + 3)(3)]2. (П.З.Юд)
Найдем значение следующего бу'-коэффициента
J 6 4 2 1 Г 4 + 2 4 2 1
} 5 4 6 ] = \ 5 5-16 J*
В данном случае 6 = 4, </=5, /=6, 5=7, Z> = 5, F=3, £'=16. Согласно (П.3.106) и(П.ЗЛОд)
найдем
1 .
Г 6 4 2 ) Г 4-4-17-7-6-5-8-7-6 IJ 7]/17
{5 4 6 J=[ 13- 12- 11 • 10-9- 12- 11 • 10-9-8 J ~ g. ц-|/577з '
Если при <?<0, |<?|>/?, то сначала следует получить формулу для q>p (q, р>0) по
вышеприведенному примеру.
Если е>5, то С следует выписать из (П.3.3). Например, при е = 6, р=4, q = 2
имеем
Сб ( 4 2 е) = [8'3'5 В(2) (2) + 2)(2> (F+ 6)(6) (£,+ 6)(6)] 2 Х
х [7 (Я-2)(2) Ж2)- 16 (Я-2) Z)F(£+7) + 3F(2) (Е+8)(% (П.3.13)
Если здесь вместо q = 2 имеется q=—2, то необходимо дальше действовать так, как
указано в (П.3.8)
390

е=1/2
1/2 1/2
[(F+1)(F+1)]<
| О
1
l
О ] BD-F(E+\)
О | [25(Z)+1)(F+1)(F+1)]2
[(F+2)'2)(F+2)00]2
6 = 3/2
1/2
3/2
3/2
1/2
1/2
3/2
l
[2BD-F(E+2)\ [(F+ 1) (F+ 1)] 2
1
[35 (D+ 1) (F+2)00 (F+2)00] 2
l
[(F+3)00 (F+3)00] 2
e = 2
0 0
1 0
1 1
0
1
2
B&) D&-ABDF(E+ 1)+F00 (F+2)0O
[(B- 1) Z>-F(F+2)] [2-35 (Z) + 1) (F+ 1) (F+ I
.2
[ЗЯЯ - F (E+ 3)] [(F+ 2)00 (F+ 2)00] <
1
[2 • 3 Д00 (£ + 2)00 (F+2)(2> (F+2)00] 2
2 [5 (Z)+ 1) (F+3)00 (F+3)00] 2
[(F+4)'*)(£+4)W]
e = 5/2
1/2 1/2
3/2 1/2
3/2 3/2
[ЗЯС0 D&-6BDF(E+2)+FW (F+3)<2)] [(F+ 1) (E+ 1)]
[3 (B- 1) Z)-2F(F+3)] [25 (Z> + 1) (F+2)0O (Е+2)Щ 2
[45£>-F(F+4)] [(F+3)00 (£+3)00]

p q
5/2 1/2
5/2 3/2
5/2 5/2
О О
[2 . 5 В^ (D + 2)00 (F+ 3)00 (F+ 3)00] 2
[55 (Z> + 1) (F+4)(4) (F+4)(4)] 2
[(F+5)00 (£+5)00]
? = 3
1
1
2
2
2
3
3
3
3
1/2
3/2
3/2
5/2
0
1
0
1
2
0
1
2
3 •
<
1/2
1/2
3/2
1/2
д(в) £(з)_9я(2) 2>(2) /г (£+ 1) + 9BDF& (Е+ 2)00-F0O (F+ 3)0»
2 [(5- 1)00/)00-3 (5- 1) DF(E+2) + F& (£+3)00] [35(Я+ 1) (F+ 1) (£+ 1)]
[65(2)Z)00-85Z)F(F+3)+FOO(F+4)00] [(F+2)00 (F+2)(2)]2
[(В- 2) D -F (Е+ 3)] [2 . 3 • 5 500 (D + 2)00 (F+ 2)(2) (F+ 2)(2)]
[2 (5- 1) D-F(E+4)] [2-5В (D+\) (F+3)00 (F+3)00] 2
[55D-F(F+5)] [(F+4)f4) (F+4)<4)]
2 [5500 (Z> + 3)00 (F+3)00 (F+3)00]
[3 • 5500 (Z> + 2)(«> (F+ 4)(4> (F+ 4)(*Ч 2
J_
[2 . 35 (Z> + 1) (F+ 5)0» (F+ 5)00] 2
[(F+6)00 (F+6)00]2
e = 7/2
[45<3> X>00- 185<2) D<») F (E+ 2) + 12BDF& (E+ 3)(2)- F<3) (£+ 4)(3)] x
x[(F+l)(F+l)]2
[2 (5- 1)00 /)00-4 (5- 1) DF(E+3) + F<») (F+4)00] [3 . 5 В (D+ 1) x
x(F+2)00 (F+2)00] 2
[10j?(2) Z>00- 105Z)F(F+4) +F00 (£+5)00] [(F+3)00 (£+3)00]
[4 (5-2) Z>-3F(£+4)] [55<2> (Z> + 2)00 (F+3)0O (£+3)00] 2

я
5/2 3/2
5/2 5/2
! 7/2 1/2
I 7/2 3/2
I 7/2 5/2
i
! 7/2 7/2
[5(5-1) D-2F(E+5)] [3B{D+\) (F+4)(4> (F+4)(4)]
i2
[65Z> -F (£"+ 6)] [(F+ 5)0» (F+ 5)<5)] -
[5 • 750» (Z> + 3)0» (F+ 4)(*) (F+ 4)(4)]
[3 • 750» (Z) + 2)0» (F+ 5)0» (F+ 5)0»]
J_
[75(Z)+l)(F+6)0»(F+6)0»]2
_l_
[(F+7)(^(£+7)0)]2
e=-A
2
0
1
2
3
0
Я(4)£(4)_ 1650»Z)0»F(F+ 1) + Зб50»/)00/г(2) (F+2)00- 165DF0» (F+3)0» +
+ F(4)(F+4)(4>
2 [(5- 1)0» /)(»)-6 (5- 1)0» Z)0»F(F+2) + 6 (5- 1) DF(») (£+3)0»-
-F(3> (F+4)(3)] [55 (/)+ 1) (F+ 1) (E+ 1)] 2
[1050» £>0»-3050» Z)0»F(F+3) + 155DF00 (F+4)00-F00 (F+5)(3)] x
x[(F+2)(2)(F+2)C2)]1
[3 (5-2)00 /)0»_8 (5-2) Z)F(F+ 3) + 3F0» (F+4)0»] x
_l_
x [2 • 550» (Z) + 2)00 (F+2)00 (F+2)00] 2
[10 (5- 1)(2> /)(«)_ 15 (5- 1) DF(E+4) + 3F0» (F+5)0»] x
x [25 (/)+ l)'(F+3)(») (£+3)0»] 2
[155(2> Z>0»- 125Z)F(F+5) +F0» (F+6)00] [(F+4)0O (F+4)(4)]
2[(5-3) D-F(F+4)] [5-7500(Z) + 3)00(F+3)00(F+3)00]2
_l_
[5 (5-2) D-F(E+S)] [7500 (Z> + 2)<«> (F+4)(4) (F+4)(4)] 2
[3 (5- 1) D-F(F+6)] [2 • 75 (D+ 1) (F+5)0» (£+5)00]
J_
[5Z> - F (F+ 7)] [(F+ 6)0» (F+ 6)00] 2
[2-5- 7Ж») (Z) + 4)(4> (F+4)(4> (F+4)(4)] 2

4
4
4
4
| 1/2
! 3/2
| 3/2
j 5/2
I 5/2
|
i
!
| 5/2
I 7/2
i
| 7/2
! 7/2
j 7/2
i 9/2
I 9/2
394
1 ! 2 [2 • 7500 (Z) + 3)(3> (F+ 5)00 (£+ 5)00] 2
j _i_
2 j 2 [75(2> (D + 2)00 (F+ 6)(6> (E+ 6)(6)] 2
! _i_
3 \ 2[2B(D+ 1) (F+7)(7) (F+7)(7)] 2
J J_
4 j [(F+8)00 (F+8)00] 2
e = 9/2
1 /2 ! [55(4> Z>(4)- 40500 Z>00 F (£+ 2) + 60500 D&> F0O (E+ 3)(2)- 20BDF& (E+ 4)(3) +
J_
+ F(4) (F+5)(4)][(F+ 1) (F+ 1)] 2
1/2 ! [5 (B- 1)00 Z>(8)-20 (B- 1)00 Z)(2)F(F+3) + 15 (B- 1) Z)F<» (F+4)(2)~
-2F(3> (F+5)(3)] [2 • 35 (D+ 1) (F+2)0O (F+2)(2)] 2
[20B&DW- 45500 Z>00 F (E+ 4) - 18BDF& (E+ 5)(2)-F<3) (F+ 6)(3)] x
_l_
x[(F+3)00 (F+3)00] 2
[5 (B-2)00 Z)00- 10 (5-2) Z)F(F+ 4) + 3F0O (e+ Ъ)Щ x
j_
x [7500 (Z> + 2)00 (F+ 3)00 (F+ 3)00] 2
[5 (2?- 1)00 £00-6 (B- 1) Z)F(F+5) +F(2) (F+6)00] x
3/2
1/2
3/2
< [3 • IB (D+ 1) (F+4)(4) (F+4)(4)]
I
[2\BD- 145Z)F(F+6)+F0O (F+7)(2)] [(F+5)0O (F+5)00]2
J_
[5 (5-3) Z)-4F(F+5)] [2 • 7500 (£ + 3)00 (F+4)(4) (F+4)(4)]2
j_
2 [2 (5-2) D-F(E+6)] [3 • 75(2> (£ + 2)00 (F+5)(5) (F+5)00] 2
2 [7 (5- 1) Z)-2F(F+7)] [5 (Z)+ 1) (F+6)(e) (£+6)00] 2
_i_
[85Z)-F(F+8)] [(F+7)(?)(F+7)(7)]2
5/2
1/2
3/2
5/2 !
7/2 |
i
1/2 i 3[2.75(4)(Z> + 4)(4)(F+5)00(F+5)00]2
! 2
3/2 I 2[3-75(3)(Z) + 3)(3)(F+6)(6)(F+6)00]2

P Q
С
9/2 5/2 ■ 2.3[#00(Z) + 2)00(F+7)(7)(F+7)(7)}2
| _i_
9/2 7/2 | 3 [Я (D+1)(F+8)00 (F+8)00] 2
I 1
9/2 9/2 ; [(F+9)00 (F+9)00]2
e = b
0 0 Je(-)JD(5)-25JB(4)D(^F(£,+ l) + 1005(3)JD(3)F(2)(E+2)(2)-
- 100Я00 Z)W F<3) (F+ 3)00 + 25BDFW (E+ 4)(4) -F0O (F+ 5)(5)
1 0 ; [(B- 1)<4) /)<*)- 10 (B- 1)00 7)00 F(F+2)+ 20 (Я- 1)00 /)00/г00 (£+3)(2)_
| j_
J - 10 (5- 1) Z)F<») (F+4)00 + F(4) (£+5)1*)] [2 • 3 . ЪВ (D+ 1) (F+ 1) (F+ 1)] 2
1 1 ! [15B(4)Z)(4)-80JB(3)/)(3)F(£'+3) + 90Jg(2)Z)(2)F(2)(JE:+4)(2)-
2
-245ZXF0O (F+5)0O + F<4) (F+6)(4)] [(F+2)00 (£+2)00] 2
2 0 ( [(Я-2)(3)£>00-5(Д-2)00£(2^(£+3) + 5(Я-2) APOO (£+4)00-
2
-FOO (£+5)00] [2-3-5. 7Я0О (Z) + 2)00 (F+2)00 (£+2)00]2
2 1 , 2[(5-1)(3>/)(3)-15(Б-1)(2)/)(2)£(£+4) + 9(5-1) ^^(^(Е+б)^)-
! _l_
I -F(3> (F+ 6)00] [IB (D + 1) (F+ 3)00 (£+ 3)(3)] 2
2 2 j [35#0O.D0O-63j?0O JD(2)F(F+5) + 21JS/)F(2) (F+6)00-F00 (F+7)(3)] x
2
x[(F+4)(4)(F+4)(4)]2
3 0 2 [2 (B- 3)00 />(«)- 5 (5-3) AF (F+ 4) + 2F00 (F+ 5)(2)] x
2
[5 • 7Я0О (D + 3)00 (F+ 3)00 (£+ 3)00] 2
3 1 [5(В-2)(2)А(2)-8(Я-2) AF(£+5) + 2F0O(£+6)0O]x
2
x [2 • 3 • 7Ж2) (/) + 2)(2) (F+4)(4> (F+4)(4)]2
3 2 ' 2[7(J8-l)(2>Z)(2)-7(J5-l)Z)F(F+6)+F(2)(F+7)(2)]x
J_
x [2 • 3B (D+ 1) (F+ 5)(5) (F+ 5)00] 2
2
3 3 [28B(2)Z)(2)-16JBZ)F(F+7)+F(2)(F+8)(2)][(F+6)(6)(F+6)(6)]2
2
4 О 3[(Д-4) D-F(F+5)][2.5.7JB(4)(D + 4)(0(F+4)(4)(F+4)(4)]2

2 [3 (B-3) D-2F(E+6)] [3 • 7В& (Z>+3)« (F+5)00 (£+5)00]
J_
2 [7 (5-2) Z>-3F(F+7)] [ЗЖ2) (Z> + 2)00 (F+6)00 (F+6)00]2
3 [4 (B- 1) Z)-F(F+8)j [2B (D+ 1) (F+7)(7) (F+7)(7>] 2
_l_
[95^-F(F+9)] [(F+8)00 (£+8)00] 2
2 • 3 [7Ж5) (D + 5)00 (F+ 5)00 (F+ 5)00]
[2-3-5. 7Ж4) (Z> + 4)0) (F+ 6)00 (F+ 6)(6)]
2 [2 • 3 • 5^00 (D + 3)00 (F+ 7)(7) (F+ 7)(7)]
_l_
3 [55(2) (Z> + 2)00 (F+8)00 (F+8)00]2
_i_
[2 • 55 (D + 1) (F+ 9)00 (E+ 9)00] 2
[(F+10)(10)(F+10)(10)]2

ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ЧИСЛЕННЫЕ ТАБЛИЦЫ ДЛЯ 6/-КОЭФФИЦИЕНТОВ
В данном приложении приводятся численные значения 6/-коэффициентов
представленных в виде
f а Ь е )
[ d с //>
{а Ъ е М ах а2 а3 а4 |
* с /J 1 Рх Р* Рз J
\ a+b+e a+c+f b + d+f c+d+e )
\ a+b+c+d a+d+e+f b+c+e+f J (11.4.J)
для значений параметров
а1^а2^а3^а4^р1^р2(^рз = 2а/-р1-р2), 2^а^8, а4^1б. (П.4.2)
(П.4.1) обладает следующей симметрией:
f ai a2 a3 a4 ) J a/ a, a* a/ 1
1 Pi P2 Рз J} P« % % J' (11'4,J)
В первой части приложения приводятся значения, для которых 2а/-четное число, что
соответствует ^/-коэффициентам, содержащим либо все целочисленные параметры, либо
два целых и четыре полу целых параметра. Во второй части приводятся значения
коэффициентов с нечетным Da,-, что соответствует бу-коэффициентам, содержащим три целых и
три полуцелых параметра.
В таблицы не включены 6/-коэффициенты вида
fa р у Т1 ЫГ 44
I Т Т a + P j l/(a+l)(p+l) ' V
вычисление которых не представляет трудностей.
Для нахождения значения 6/-коэффициента необходимо вычислить параметры правой
части (П.4.1) и расположить их в порядке возрастания. Наибольший из параметров Р/ в
таблицах опущен.
В качестве примера найдем значение следующего 6/-коэффициента
8 9 10 1
10 11 13 Г
Г 4 4 2 If 10 8 9 7 )( 7
\ 3 2 2 ]"\ 13 И 10 J \
397

Находим в таблице набор параметров 7 8 9 10 10 11, которому соответствует значение
коэффициента
{ з 11 №
Совершенно аналогично находим значение 6/-коэфициента, содержащего полуцелые
параметры. При этом значения 6/-коэффициентов, содержащих четыре полуцелых параметра,
находим из первой части приложения, а значения 6/-коэффициентов с тремя полуцелыми
параметрами — из второй. Например,
5 7
8 7 8 1(7 8 8
9 10 12 II 9 10 12
}•
-{
Находим в таблице набор параметров 7 8 8 8 9 10, откуда для искомого 6у-коэффициента
находим значение
7
13
(П.4.6)
2 А
Z 2
4 • 7]/2 .3-5'
Если значения параметров 6/-коэффициента превышают приведенные в таблице, то такой
6/-коэффициент следует вычислять методом приложения 3.

ах а2 а3 а4 (^ (32
2 2 2 2 2 3
2 3 3 4 4 4
2 4 4 4 4 5
2 5 5 6 6 6
2 6 6 6 6 7
2 7 7 8 8 8
2 8 8 8 8 9
1 2 9 9 10 10 10
3 3 3 3 3 4
3 3 3 3 4 4
3 3 4 4 4 5
3 4 4 5 5 5
3 4 5 6 6 6
3 5 5 5 5 6
3 5 5 5 6 6
3 5 6 6 6 7
3 6 6 7 7 7
3 6 7 8 8 8
3 7 7 7 7 8
3 7 7 7 8 8
3 7 8 8 8 9
3 8 8 9 9 9
Г ах а2 а
1 Pi Р*
1/2-3
У15/2-3 У "2
1/21/"2Т5
У7/2-ЗУ5
У 5/2 • 3 У7
У"з/4У7
У7/4-зУ"з
УТТ/2-ЗУ"ЗТ5
-1/4-3
1/2-3
1/2-3
-1/2 У 5
У 7/4 УТГ5
-1/2 У2-3-5
1/2. 3 V"5
1/3 У 5
-У^/зУ7
1/2У2Т7
- У"5/4 У2 . 3 - 7
1/2-ЗУ"2Т7
1/2У2Т7
-1/5/2.3 У 2"~3
ТЬ I
а2 а3
10 10 10 10 11
11 И 12 12
12 12 12 12
13
12
13
13 14 14 14
15
14 14 14 14
15 15 16 16
16
16 16 16 16 17
3 8 9 10 10 10
3 9 9 9 9 10
3 9 9 9 10 10
3 9 10 10 10 И
3 10 10 11 11 11
3 10 11 12 12 12
3 11 11 11 11 12
3 11 11 11 12 12
3 11 12 12 12 13
3 12 12 13 13 13
3 12 13 14 14 14
3 13 13 13 13 14
3 13 13 13 14 14
3 13 14 14 14 15
Р* Рз
Уз/2 У1ГТТ
УТз/2-зУ2~П
У ТТ/2 - з У^ттз
У"5/2уу:Тз
У Тз/2 • з У XT
УТ7/4.3УТГ5
У"5/4 УТЛ7
УТТ/4-зУТТз
- У7/2 - 3 У2 . 3 - 5
1/2-ЗУ2-3-5
У 2/3 У"375
-1/У1Г77
УТЗ/2 У2.3-5.11
-1/4 у тт
1/2.зУ"5ЛТ
У^/2. з У ТТ
-У7/2-зУ7з
У"5/4 УзЛз
-УП/2У2ТЗТ7ТГЗ
1/2-3 УУЛз
1/УГ. Тз

ах а2
3 14
3 14
3 15
4 4
i 4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
4 5
4 5
4 5
4 5
4 6
4 6
4 6
4 6
4 6
4 6
4 6
4 7
4 7
4 7
а3
14
15
15
4
4
4
4
5
5
6
5
5
6
7
6
6
6
6
7
7
8
7
7
8
а4
15
16
15
4
4
4
6
5
5
6
6
6
7
8
6
6
6
8
7
7
8
8
8
9
Pi
15
16
15
4
4
5
6
5
6
6
6
6
7
8
6
6
7
8
7
8
8
8
8
9
Р*
15
16
16
5
6
5
6
6
6
7
6
7
7
8
7
8
7
8
8
8
9
8
9
9
Гах а2 а3 аЛ
I Pi Pa Рз J
-2/3 V"5"."7
1/17/2 • 3 I/2T5T7
-I/T3/8.3 V"5
1/4-5
1/2.3.5
-l/H/4.3.5
1/7/2. 5 1/1S
-I/2.5
I/4.5
3/4 • 5
1/7/2 -51/2
1/7/2 • 5 V"3
— V"2/5
j/3/2. 5 V"2
1/2 1/2-5-7
1/5 V 3T7
-I3/2.3.5VT.7
l/"2/51/7
-I/I/3T5T7
1/2.3-5 1/2.7
1/2 1/ТГ7
3 1/3/4 1/2.5.7
1/21/2T7
-1/2 1/"2T7 j
ax
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
a2 a3
15 15
15 16
7 9
8 8
8 8
8 8
8 8
8 9
8 9
8 10
9 9
9 9
9 10
9 11
10 10
10 10
10 10
10 10
10 11
10 11
10 12
11 11
11 11
a4
15
16
10
8
8
8
10
9
9
10
10
10
11
12
10
10
10
12
11
11
12
12
12
Pi
16
16
10
8
8
9
10
9
10
10
10
10
11
12
10
10
11
12
11
12
12
12
12
P.
16
17
10
9
10
9
10
10
10
11
10
11
11
12
11
12
11
12
12
12
13
12
13
f ax a2 a3 a4 1
1 Pi P2 Рз J
1/4.31/7Г7
1/7/4.31/5
l/TT/41/2T577
1/4-3 V"2
1/2.3V"2T7
-1/"5/4 V2T3T7
l/TI/2 • 31/2T3T7
-1/2 1/2-3.5
-I/4.3I/2.3.5.7
1/7/41/273T5
VTI/2. 5 V"2"."3
1/7TTT/2.3.5 V"2 Г3
—1/5 V"3
1/13/2. 3. 5 V"2
1/7/2 • 5 V2TH
V"2"7/3 • 5 l/THl
-17/2. 3.5 1/2Т3ТП
1/13/3.51/П
-1/2/5 i/n
-1/2. 5 V 2-3. 11
3 1/3/2 • 51/2ПТ
1/13/4 "|/"5ЛТ
1/13/2.51/11

«i а2 а3 а4 (^ р,
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
11
И
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
12
13
12
12
12
12
13
13
14
13
13
14
15
13
14
12
12
12
14
13
13
14
14
14
15
16
13
14
12
12
13
14
13
14
14
14
14
15
16
13
14
13
14
13
14
14
14
15
14
15
15
16
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
5
5
5
5
7
6
6
6
8
7
7
5
5
6
6
7
6
6
7
8
7
8
6
7
6
7
7
7
8
7
8
8
8
ах а2 а3 а4
Pi Р2 Рз
- V 7/2 1/3-5. И
1/4 1/71
У*3/4 1/^ТТЗ
1/2 У 11-13
-19/4.31/5-П-73
1/"7/21/3~. И- 13
-1/2 1/Х73
-1/"5/4.31/77ЛЗ
1/77/41/"5ТТз
3/21/2-7-13
1/71/21/3.7. 13
-2/1/5-7.13
1/77/21/2.5.7-13
1/2.3-5
-1/4.3-5
1/2-3
3/4-5
-1/7/2. 5 УЗ
1/3-5
1/4-5
-1/2-5
1/2-5
-1/2-5
О
ai а2 а3 а4 (^ р8
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
14
14
14
14
14
14
14
15
15
16
16
16
14
14
14
14
15
15
16
15
15
16
16
16
14
14
14
16
15
15
16
16
16
16
16
16
14
14
15
16
15
16
16
16
16
16
16
17
15
16
15
16
16
16
17
16
17
17
18
17
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
8
6
6
6
7
7
8
9
7
7
7
8
7
7
7
8
8
9
10
7
7
7
8
7
7
8
8
8
9
10
7
7
8
9
7
8
8
8
9
9
10
8
9
8
ах а2 а3 а41
Pi Р* Рз J
У71/2 • 5 У2ЛТ7
У7[/5УЗ-7.13
-1/7/2.5УТЛЗ
2 УТ7/3 - 5 УТЛЗ
-1/5J/7
-У 7/2- 3-5 У 2- 13
1/ТЗ/2 • 5 УТЛ
1/17/8 • 5
1/7П7/4 • 3 • 5 У 7
УТЗ/8 У"5Л7
УУЛЗ/4 -3-5 У 77
-23/8-3- 5 У 77
2/3-5
-2 У 2/3 УХЛ
-У2/5У7
-1/2-5 1/ЛЛ
У"3/2 У1П
У"з/5 У7
-1/3 У 7
1/ТТ/2 • 3 УТ^7
-1/4У"5Т7
-1/4 1/375^7
1/У2Т5Л

«! а2 а3 а4 (^ ря
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
7
7
8
8
8
8
9
9
10
8
8
8
9
9
10
И
9
9
9
9
9
10
10
10
10
7
9
8
8
8
10
9
9
10
9
9
9
10
10
11
12
9
9
9
9
11
10
10
10
12
8
9
8
8
9
10
9
10
10
9
9
10
10
10
11
12
9
9
10
10
11
10
10
11
12
9
9
9
10
9
10
10
10
11
9
10
10
10
11
11
12
10
11
10
11
11
11
12
11
12
f ах а2 а3 а4 1
1 Pi Р2 Рз [
11/4-5 1/1Г7
-1/3/4V2T7
1/1/2-3.5.7
1/4 У"ЗЛ
-1/21/2^5^7
У ТТ/4 . 3 УТГ7
-1/4 У 7
-1/2-ЗУ2-5.7
1/У2Т5Т7
-1/ЗУ^2Тз
-1/5/2. ЗУТГ7
-1/4 У2. 3-7
У ТТ/4 • 3 У^5
УТТ/2 У 2". 3-5-7
-1/ЗУ2~Г5
У ТЗ/4 - 3 Уз75
-1/2-3 У1Г5
-1/4.3 1/275
7/2-3-5 УТГз
13/4-5 У2-3-7
-УТТ/4.5УЗ
1/3-5
У"7/4. 5 У"27з
-1/2.5У"2Тз
УТЗ/4-3-5
а1 а2
5 9
5 9
5 9
5 10
5 10
5 10
5 10
5 10
5 10
5 10
5 11
5 И
5 11
5 11
5 11
5 И
5 11
5 11
5 11
5 11
5 11
5 11
5 12
5 12
II 5 12
а3
11
11
12
10
10
10
И
11
12
13
11
11
И
11
11
12
12
12
12
13
13
14
12
12
12
а*
11
11
12
И
11
11
12
12
13
14
11
11
11
11
13
12
12
12
14
13
13
14
13
13
13
Pi
11
12
12
11
11
12
12
12
13
14
11
И
12
12
13
12
12
13
14
13
14
14
13
13
14
Р2|
12
12
13
11
12
12
12
13
13
14
12
13
12
13
13
13
14
13
14
14
14
15
13
14
14
f ocL а2 а3 а4 1
1 Pi Р2 Рз М
-У7/2-3.5
-1/3-5 У~2Тз
2 У1/3 - 5 У"3
-2/5 У11
-УУ/бУзЛ!
-1/4УзЛТ
У Тз/2 - 5 У ТТ
1/ТЛз/з - 5 У ТТ
-УУ/бУзЛТ
1/2У5ТТТ
-1/7/2. 3 1/2-5. И
-У 7/2. 3-5 У ТТ
4/3 • 5 У ТТ
1/2УзЛТ
-У7Лз/4.5У~зЛТ
У 2/3 У~5ЛТ
У"3/2 - 5 У ТТ
-1/2-51/ТТ (
У 7/4 у зЛГЛТ !
- У 3/2 У 2 . 5 • 11
-1/2-5 1/ТТ
1/31/ТТ
-УТ/зУТГТз
- УЪ~Л72 У"5ЛПГЛ з
-7 У 7/4. 5 У 3-1ЫЗ

;, «, «з а4 р, р, f Kl „ "2 „ а3 0
|1 Pi Рг Р
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
14
15
13
13
13
13
13
14
14
14
14
15
14
14
15
16
13
13
13
13
15
14
14
14
16
15
14
14
15
16
13
13
14
14
15
14
14
15
16
15
14
15
15
16
14
15
14
15
15
15
16
15
16
16
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
6
6
6
6
6
6
8
8
7
7
6
6
6
7
7
8
8
8
7
7
7
8
9
7
8
8
8
9
8
9
1/2УТ-7з
1/"5/2 УТТЛз
-2/зУ^Тз
УТ7/2.3У2-5. 13
-УЗ/2У5.7. 13
-1/4УУПЗ
3/2 У 5-7-13
17/4 УЗ-7- ПТТЗ
-1/1/2-7- 13
1/1/3-7. 13
УТТ/4 Уз.7- 13
-1/2 У 5-7-13
У 77/3 У"2Т5~7~13
-УТТ/2У5-7. 13
1/2.3-7
1/3-5-7
1/4-5-7
-31/2-3-5-7
-47/4-3-5-7
-3/2-5-7
2 УУГз/5 • 7
9/2 .5-7
-1/3-7
-1/5-7
Q 0 f а, а2 а:
1 «J «i «« Pi М { а о
|1 Pi Р2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
13
13
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
15
15
16
14
14
14
15
15
15
15
15
15
16
16
16
15
16
15
15
15
16
16
15
15
15
15
16
16
16
16
16
15
15
16
16
16
15
15
16
16
16
16
17
16
17
15
16
16
16
17
16
17
16
17
17
18
17
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
8
8
8
8
9
9
10
7
7
9
8
8
8
10
9
9
10
8
8
9
8
8
9
10
9
10
10
8
9
9
9
10
9
10
10
10
11
-2/3 У 5-7-13
2/У 5-7- 13
-4/3-5У"7
-2УТТ/5У3.7-13
-3/5 У 2-7- 13
УТ7/2.5УТГ7
УТ7/5У7ТТЗ
-УТТ/4.3.51/2
-УП/4.5У2Т3Т7
1/2- ЗУ"7
19/4.5У"2Т7Лз
1/2- 5 У"3
У"ТЗ/4-5У"277
-1/4- 5 У 7
23/2 -3-5-7
4/5-7
-У"3/7 У^5
1/2-7
2/5-7
-11/2.3-5.7
УТТ/3-7У5
-2/3-7
-1/2-3-7
5/2-3-7

ах <х2 а3 а4 рх (32
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
7
7
7
7
7
8
8
8
9
9
10
11
8
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
8
8
8
8
10
9
9
9
10
10
11
12
8
8
8
8
8
8
10
10
9
9
9
9
11
8
8
8
9
10
9
9
10
10
10
11
12
8
8
8
9
9
10
10
10
9
9
10
10
11
8
9
10
9
10
9
10
10
10
11
11
12
9
10
И
9
10
10
10
11
10
11
10
11
11
{а! а2 а3 а4 1
Pi ft2 Рз J
У 3"~~5/4 • 7
У 3/7 У~~Г5
9/4-5-7
-У 3/5-7 У^
У"зЛТ/4 • 7 У~2"~~5
-У5/7У~2^3
-1/7 V"2
-13/4-3-7 У"2^5
УТТ/4-7
УТТ/3-7У1
-1/7 У 2
У13/4 - 7 Уз
1/4-ЗУ 7
1/3-7 УТ"1
1/4-3-7
-37/4-3- 7 У!П>
-19/4-3-7 У"5
-11/2-5-7 У~2~~3
УТТ/3.71/2
У1ПТ/4 - 7 УТГз
- 1/3 У2 • 3 • 7
-1/3-7 У 2
5 У 5/4-3-7 УЗ
У "3/2 - 7 У "2
-УТТ/7У2-3-5
аг а2 а3 а4 рх р2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
11
11
12
9
9
9
9
9
10
10
10
11
И
12
13
10
10
10
10
10
10
10
10
10
12
11
11
12
10
10
10
10
12
11
11
11
12
12
13
14
10
10
10
10
10
10
otj а2 а3 а4 1
Pi Pa Pa J
10
10
и
12
11
12
12
10
10
10
11
12
11
11
12
12
12
13
14
10
10
10
11
11
12
11
12
11
12
12
12
13
10
И
12
11
12
И
12
12
12
13
13
14
11
12
13
11
12
12
У"5/4 • 3 У"7
1/7У"2ТЗ
-У"3/4-7У"5
УТЗ/3-7У"2^5
-1/зУ~2~~~7
-11/4-3-7 У~3~~~5
У"5/4 - 3 У"3
УТТ/2-ЗУ"3^7
1/ТТ/З У2-3-5-7
УзЛТ/4 - 7 У"2^5
-У п72.з-5.7У~2
УТГПЗ/4 - 5 .7 У"з
-2/3 У "5~~~7
-У 1/5 У"2~~7
-23/4-3.5-7
У Тз/2 • 3 УТГ~~7
УТЗ/3-5У"2~~3
-1/зУ"3"~~5
1/2-3 У1
1/2 У 3-7- И
1/3 У 5- 7- 11
1/4 У2-3-5.Т1
-43/2-3-5 У 3-7-И
-67/4-3-5 У 2-7-И
-13/2-3-7 yiTTi

ах а2 а8 а4 Р2 Р8
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
б
6
6
6
б
6
б
6
6
6
6
6
6
6
10 12
10 12
11
11
11
11
11 13
12 12
12 12
12 12
12 14
13 13
13 13
14 14
12
12
12
12
14
1
1
1
1
1
12 13
12 13
12 13
13 14
13 14
14 15
12 12
12 13
11 12
11 13
12 12
12 13
13 13
12 13
12 14
13 13
14 14
13 14
14 14
14 15
12 12
12 13
12 14
13 13
14 14
13 13
13 14
14 14
14 14
14 15
15 15
<Xi <х2 <х3
Pi Р2 ft
.-}
2 1/ТЗ/5 V 3- 7- 11
V ЗЛЗ/4 • 5 У ТТ
-1/1/5.7-11
-1/5 У~зПТ
3 У"3/2 • 5 У 7^ТТ
1/зУТПТ
-УТз/з-5У~П
1/2УТГПТ
2У"2/3-51/"П
-У~7/2-3-5У"3~ТТ
1/зУ"5~ПТ
-2У2/УЗ-5-7.ТТ
-17/2- 3-5 У 3-7- 11
У"3/2 УТЛ\
У 5ЛЗ/2 • 3 У"2 • 7 • 11
У ТЗ/3 • 5 У "И
УТЗ/2 • 5 У'зЛП
0
УТз/4-зУТПТ
-1/3 У ТТ
-1/2/5УТТ
-УТТ/4-3.5
У~5/2 У2-7.И
1ЛЗ/У5-7.Ц
-2/зУТЛТ
ах
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
1 6
а2
11
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
«3
15
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
14
14
14
14
15
15
16
13
13
13
13
а4
16
12
12
12
12
12
12
14
14
13
13
13
13
15
14
14
14
16
15
15
16
14
14
14
14
Pi
16
12
12
12
13
13
14
14
14
13
13
14
14
15
14
14
15
16
15
16
16
14
14
14
15
Р2
16
13
14
15
13
14
14
14
15
14
15
14
15
15
15
16
15
16
16
16
17
14
15
16
15
f ах а2 а3 а4 1
I Pi Р2 Рз J
У 17/2-3 У 2-7-11
1/2-ЗУ"2ЛЗ
У"2/з У^ТГТз
У 3/2-5 У 11-13
-7 У 7/2- 3 У2-5- 11 ЛЗ
-У7МТ/2-3-5УТЗ
-У7/2УЗ- 11 Тз
1/УТПТз
9/4 У1ГТПТЗ
-Уг/зУТЛз
-1/2- 3/1/5-7. 11-13
29/2-3 У 2-5-7- 11-13
У ЗЛТ/2 • 5 У 7МЗ
-2/1/7. 11 -ТЗ
У 3/2 У 2-7-13
У"з/УТТГТз
-У5/2.3У2.7.1ЫЗ
2 У Т7/3 У5-7-11-13
-У"5/зУТПз
-23/2.3У2-5-7- 11-13
У5.11/2-ЗУ2-7. 13
5/2 • 7 У ТЗ
Уз/7 УТз
9 У 5/4 • 7 УТПТЗ
1/2-71/ 11- 13

«1
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
7
а2
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
7
7
7
7
7
7
7
7
а3
13
14
14
14
15
15
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
7
7
7
7
7
7
7
7
а4
16
15
15
15
16
16
14
14
14
14
14
14
16
16
15
15
7
7
7
7
7
7
7
9
Pi
16
15
15
16
16
16
14
14
14
15
15
16
16
16
15
15
7
7
7
8
8
8
9
9
Р2
16
15
16
16
16
17
15
16
17
15
16
16
16
17
16
17
8
9
10
8
9
10
9
9
I oq а2 а3 а4 )
\ Pi Р2 Рз J
V"17/7 УТПГПТз
-4/7 У~ЗЛЗ
-2/7 1/ТЗ
-43/3-7 У2- 5- 11-13
1/Т7/2-7 1/ТЗ
УТГТ7/3-7У 5~П~3
1/2-7 1/^5
1/7У1ПЗ
УТТ/4.7У"5~ТЗ
-11/2-3-7 У ТЗ
-29/4-7Уз75ЛЗ
-3- 17/2-5-7 У 11-13
4У"17/5-7У"З^ТЗ
У 11- 17/5 - 7 У 2~Л 3
-1/3-7
-У 11/7 1/3-5- 13
-1/8-7
-1/8-3-7
-1/8-5-7
11/4-3-7
71/8- 3-5-7
1/2-7
-1/4-3-5
-5/4-7 У 2
ах а2 а3 а4 (Зх (32
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
14
14
14
14
14
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
15
15
16
16
16
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
15
15
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
17
16
16
16
17
16
16
16
17
17
18
16
17
17
18
17
16
17
18
17
17
18
19
17
18
18
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
9
9
8
8
8
8
8
8
9
10
8
8
8
9
9
10
10
10
9
10
11
9
10
10
{оч а2 ау а4 )
Pi _ _р2 Рз /_
31/2-3-5-7УТЗ
2УТТ/5-7УТЗ
УТТ/2-7У1Г5
2УТГ/5-7УТЗ
-1/2-5-7УТЗ
УТ7/4.3У"2^7
У 11-17/2 .3-5-7
ЗУТП7/4.5.7У"2ПЗ
У77/2.5-7УзЛЗ
УТГ/4 У2-3-7.Т7
УТТ/2-5УЗ-7- 17
У 11 • 13/4 -5-7 У"2Л7
-61/4-3.5У2-7- 17
-97/4-5-7 У 2-3- 17
-11 • 19/4-5-7 У^ЛЗ"-Т7
-9/4-7У"2~5
- У~3/2 - 7 У"5
1/4-7
1/8-7
1/2-5-7
-3/4-7
-1/2-5
-29/4-3-5-7

*i a2
7 7
7 7
7 7
7 7
7 7
7 7
7 7
7 7
7 7
7 7
7 7
7 7
7 7
7 7
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
a3
8
8
9
9
9
9
9
10
10
10
10
11
11
12
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
a4
10
10
9
9
9
9
11
10
10
10
12
11
11
12
9
9
9
9
9
11
10
10
10
10
12
Pi
10
10
9
9
10
10
11
10
10
11
12
11
12
12
9
9
9
10
10
11
10
10
10
11
12
P.
10
11
10
11
10
11
11
11
12
11
12
12
12
13
9
10
11
10
11
11
10
11
12
11
12
1 ax a2 a3 a4
I Pi P2 Рз J
1/5ЛТ/4.7 1/2ТЗ
У Ti 12-7 УЪ
-3/87
— 1/4-7
1/2-7
1/4-3
-1/TT/4.7V2
1/2-7
5/4-3-7
-1/2-3-7
УТЗ/4-7Т/1ГЗ
-5/8-7
-1/4-7
3/4 • 7
- У"5/4 У^7
-5/4-3-7
-1/2. 7 У"3
1/4 - 3 V"2
2/7 УТГ5
-УЛ/2-3-7
У5~ПЛ/8.3У7
УТТ/2.3-7
УП/4-7УЗ
0
У ТГТЗ/4 -3-7 УТГВ
ai
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
a2
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
a3 a4
10 11
10 11
10 11
И 12
11 12
12 13
13 14
9 9
9 9
9 9
9 9
9 9
9 9
9 9
9 11
9 И
9 11
10 10
10 10
10 10
10 10
10 10
10 10
10 12
10 12
Pi
11
11
12
12
12
13
14
9
9
9
10
10
10
11
11
11
12
10
10
10
11
11
12
12
12
Р2|
11
12
12
12
13
13
14
10
11
12
10
11
12
11
11
12
12
11
12
13
11
12
12
12
13
1 ал a2 a3
1 Pi P*
-1/2У1Г7
- 1/5/2 - 7 УЗ
-ЗУз/4.7У1Г~5
У13/8 У3^7
У1ГТЗ/4 -3-7
-1/4-3
1/5/8 У"3^7
-1/4УзТ5Т7
-1/4-ЗУ2Т5^7
-1/4-7 У2~ЗТ5
13/4-3 УЗ-5-7
17/4-3-7 У2"~3
2/7 УэГГб
1/2-3-7 У ^
-УТТ/4-ЗУ7
- У зТТТ/4 - 7 У"5
-2УП/3-5-7
1/ЗУ2Т5Т7
1/4-ЗУ'2Т7
1/2-7УЗТ5
-1/5/2.3 УЗТ7
-4/3-7 У5
-1/2-5У2
УТЗ/4 УЗ - 5 - 7
УзЛз/2 - 5 - 7
а4 1

<хх <х2 а3
7 9 11
7 9 11
7 9 11
7 9 И
7 9 11
7 9 12
7 9 12
7 9 12
7 9 12
7 9 13
7 9 13
7 9 14
7 10 10
7 10 10
7 10 10
7 10 10
7 10 10
7 10 10
7 10 11
7 10 11
7 10 11
7 10 11
7 10 11
7 10 12
J 7 10 12
а4
11
11
И
11
13
12
12
12
14
13
13
14
11
11
11
11
11
13
12
12
12
12
14
13
13
Pi
11
11
12
12
13
12
12
13
14
13
14
14
И
И
11
12
12
13
12
12
12
13
14
13
13
Р2
12
13
12
13
13
13
14
13
14
14
14
15
11
12
13
12
13
13
12
13
14
13
14
13
14
f ах а2 а8 а4 1
I Pi Р2 Рз М
-1/41/~ЗТ7
-1/4V2T3T7
1/2 I/3T5T7
37/4 • 3 • 5 . 7 1/2
-1/13/8. 31/5
1/1/2-3.5.7
1/4-31/2
-1/4-3 У37577
1/8-3
-1/4.3
- У 5/4 • 3 У"377
1/У375Т7
-3/У2.5.7.ТТ
-1/5/ЗУ2.7.11
-1/3/2У5.7.11
19/4.3-5УТТП
2-3/5.7 У П
-У13/2.5У"37Ц
1/13/4 У7Л1
1/13/У2.3-5.7.П
У'3713/4 • 5 УТТП
1/ТЗ/2.3.51/77ТТ
УТз/8 Уз-5. 11
-1/У2-5.11
-1/7/ЗУ2.5.Ц
ах а2 а3
7 10 12
7 10 13
7 10 13
7 10 14
7 10 15
7 11 И
7 И И
7 11 И
7 И И
7 11 11
7 11 И
7 11 11
7 11 И
7 11 11
7 11 И
7 11 12
7 И 12
7 И 12
7 И 12
7 11 12
7 И 12
7 И 12
7 11 12
7 11 13
7 И 13
а4
13
14
14
15
16
11
И
И
И
И
11
И
13
13
13
12
12
12
12
12
12
14
14
13
13
Pi
14
14
14
15
16
11
11
11
12
12
12
13
13
13
14
12
12
12
13
13
14
14
14
13
13
Р2
14
14
15
15
16
12
13
14
12
13
14
13
13
14
14
13
14
15
13
14
14
14
15
14
15
f а! а2 а3 а4 1
1 Pi Р2 Рз J
-41/8-3. 5 УТТП
3/4УТ71Т
У 5/3 утттг
-У"2/У5.7.11
V 17/4 У 5-7. 11
-У5/4У2.3.7.Ц
-1/4 У 2-3. 7.П
-1/4-3 У"275ЛТ
У^/2 У2-7.11
УТШ/4. 5 У"277
7/2-3.5 У "П
1/4 У ТТЛ
-У1з/4.зУТТ
-1/7- 13/4. 5 УЗ- 11
-1/13/2.51/3-11
1/2 У 2-7. И
1/4 1/2.5-И
1/3-5 УТТ
— V 11/2.31/2-5.7
-У з/5 утпт
-1/7/4. зУП
1/4 У И
1/1/3-5. И
-1/4УТП1
-1/21/3-5.11

<хг <x2 <x3 a4 px p2
ax a2 a3 a4 I
p. P» p» j
a, a2 a3 a4 (3, 02
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
12
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
15
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
15
15
16
16
16
13
13
13
13
13
13
13
15
15
15
14
14
14
14
14
14
16
16
15
15
15
15
16
16
16
13
13
13
14
14
14
15
15
15
16
14
14
14
15
15
16
16
16
15
15
16
16
16
16
17
14
15
16
14
15
16
15
15
16
16
15
16
17
15
16
16
16
17
16
17
16
17
17
18
{ax a2 a3 a4 I
Pi P2 Рз J
5 1/77/2 • 3 1/2.7. 11-13
-1/4 1/7713
- 1/2.31/2-7- 13
- У "3/2 V2.5.7. 11- 13
17/2-3. 7 l/"27l3
113/2. 3.7 1/2. 5- 11- I3
16 1/3/5. 7 1/77773
83/2 .3.5.7 1/777T3
-5/71/2.3.13
- 9/7 1/2 • 11 • 13
-8 1/2/71/1Г77773
1/7 1/73
1/3/2 • 7 l/ТЛз
1/3/7 1/П-13
-V 2/71/73
-1/27375/71/777T3
-31/2.3.71/77713
1/77/71/2.3.13
1/2777/7 1/777ГЗ
-31/3/4.71/73
- V"375/4 • 7 1/73
1/71/ТЛЗ
41/4.3.71/11.13
1/5/7 1/*2ЛЗ
5 1/7Г/4 • 3 • 7 1/73
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
13 13
13 13
13 15
14 14
14 14
14 14
14 16
15 15
15 15
16 16
12 13
12 13
12 13
12 13
12 13
12 15
13 14
13 14
13 14
13 14
13 16
14 15
14 15
14 15
15 16
14 14
14 15
15 15
14 15
14 16
15 15
16 16
15 16
16 16
16 17
13 13
13 14
13 15
14 14
14 15
15 15
14 14
14 15
14 16
15 15
16 16
15 15
15 16
16 16
16 16
13
1/1/2-5.7.77
13/2-3. 5 1/77ГТ
-1/21/7717
1/1/3-7- 11
1/2 1/77ГГ
О
1/77/2.31/5.7- 11
-1/375/4 1/2.7. 11
- У 7/2 • 3 1/2-5. 11
1/5/2 1/ТТ77П
-1/21/1ПЗ
- 1/1П7/2 • 3 V 27iT
- V 7/5 1/ТГЛз
17/4. 3.5 1/7T713
4/5 1/3-1ЬТЗ
-1/2/1/"57ГьТЗ
5/4 1/2-7. 13
Уб/УТТТьТз
9/2 1/5-7. 11. 13
У 2/1/ 5 7.11-13
У77/2 У5-7- 11-13
- У"2/У "зттттз
-УТГз/УТТГьТз
-УТ1/2.зУ777з
У 77/4 У 2. 7- 13

ах а2 а3 а4 рх (32
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
13
14
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
16
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
16
15
15
15
15
15
16
16
16
16
15
15
17
15
15
15
16
16
16
16
16
17
15
15
17
15
16
17
16
17
16
17
18
17
16
17
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8.
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
10
10
10
8
8
8
8
9
9
9
10
10
10
10
10
9
10
И
12
9
10
11
10
11
10
11
12
{а! а2> а3 а4 1
Pi Р2 Рз [
1/2- 3. 7 утлз
-У"2/7У"5
-У2/7УТЗ
-УТ^/7У~5ЛЗ
1/7 У 2-3. 13
4 У"2/7 УТГГПТЗ
УТ7/4-7 1/"3
УТ7/7У2-3. 13
УТТЛ7/4 . 7 У"5ЛЗ
УТ7/5-7УТЛЗ
-1/8-7 У 2
1/8-9
1/4-9-7
1/8-9-7
1/2-9-5-7
-59/8-9-7
-11/8.3
-17/8-9
19/4-3
79/4 • 9
7
5
5-7
5-7
5УТТ/4.3.7
5 У ТТ/4 -3-7
УТТ/з
7}/6
Уз
1/2-3
Г1
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
а2
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
а3
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
а4
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
10
12
9
9
9
9
9
9
9
11
11
11
Pi
15
16
16
16
17
16
16
16
17
17
18
11
12
9
9
9
10
10
10
11
11
11
12
Pi
18
16
17
18
17
17
18
19
17
18
18
11
12
10
11
12
10
11
12
11
11
12
12
I Pi
а2 а3 а4
Pa Рз
- УзЛТ/8 - 7 1/2-5- 13
19/4-3-7 У "2^5
127/8-3-7 У 2-5- 13
ЗУТТ/2.7У2.5- 13
43/4.5-7 У 2-3. 13
1/41/2^
УИ/8
У 11/2
-13/4.3
3-7
7У~2Т"3
7У"2Т5~:
13
.7У"2Т5
-11 У ТТ/2 . 5 • 7 У 2 • 3 - 13
-71/4- 5- 7 У 2-3- 13
УТТ/4-3.7У2-3.5
У7ПТЗ/2 - 9 - 7 У~5
-1/4-9
-1/4-3-7
-1/2-9-7
17/8-3-7
1/4-3
19/4-9.7
1/2.3-7
- У^5ТТТ/2 • 3 • 7 У"3
-1/ТТ/з.7У"з
-УТТ/4.9У2

<*1
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
1 8
8
8
8
8
8
8
8
а2
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
а3
10
10
10
10
10
10
10
10
11
11
11
И
11
12
12
12
12
13
13
14
9
9
9
9
9
а4
10
10
10
10
10
10
12
12
И
11
11
11
13
12
12
12
14
13
13
14
10
10
10
10
10
Pi
10
10
10
11
11
12
12
12
И
11
12
12
13
12
12
13
14
13
14
14
10
10
10
10
11
Р2
И
12
13
11
12
12
12
13
12
13
12
13
13
13
14
13
14
14
14
15
10
11
12
13
И
| ах а2 а3 а4 )
I Pi Р2 Рз М
1/8-3
1/2-3.7
5/4-9.7
-13/8-3-7
-1/4-3
-1/2-7
УТЗ/2-3-7
5 1/13/4 - 3 - 7 1/ТТ~з
-1/2-9
-5/2-9-7
23/8 - 9 - 7
5/4-3-7
-1/13/4-3 УТЛ
5/8-9
5/4-3-7
-1/8-3-7
1/5/4 • 3 1/~ЗТ7
-1/4-3
-1/8-3
7/8-9
1/7ЛТ/4.9 1/"5
1/ТТ/4 - 3 У~^~7
1/ТТ/4-3-71/"2
1/ТТ/9 - 7 1/5
-УТТ/4-7 1/"3
<*i
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
а2 а3
9 9
9 9
9 9
9 9
9 10
9 10
9 10
9 10
9 10
9 10
9 11
9 11
9 11
9 11
9 11
9 12
9 12
9 12
9 13
9 13
9 14
9 15
10 10
10 10
10 10
а4
10
10
12
12
11
11
11
11
11
13
12
12
12
12
14
13
13
13
14
14
15
16
10
10
10
Pi р2|
И 12
12 12
12 12
12 13
И 11
11 12
11 13
12 12
12 13
13 13
12 12
12 13
12 14
13 13
14 14
13 13
13 14
14 14
14 14
14 15
15 15
16 16
10 11
10 12
10 13
i ах а2 а3 а* 1
1 Pi Р2 Рз J j
-1/ТТ/2-3-7
- У"5ТТГ/2 -3-7 УТТз |
УТГЛЗ/4 - 3 - 7 У~3
У 11- 13/9 - 7 У 5
-1/ЗУ2Т5
-1/2-3 V"7
-1/3-7
У"5/4 - 3 - 7
1/2.зУТП"5
- У ТЗ/2 - 3 УЗ-5-7
УТЗ/4 - 9
УТз/2 - 9 У7
У 5ЛЗ/4 - 3 - 7 У 2
УТЗ/4 -3-7 У~5
1/73/8 - 3 УТГ7
-1/7/9 У"2Т5
-1/4-3
- У"5/8 УзЛ
1/4-3
1/4-3
- У 2/9 У"5
1/77/4 - 9 У^5
1/41/3-5. 11
1/ЗУ2.3-5-7ТТТ
1/4-ЗУ2.3-7.ТГ

ах а2
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
8 10
а3
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
и
11
и
11
11
11
11
и
11
и
12
12
12
12
а4
10
10
10
10
10
10
12
12
12
12
14
11
11
И
11
11
И
И
13
13
13
12
12
12
12
Pi
10
11
11
11
12
12
12
12
12
13
14
11
11
И
12
12
12
13
13
13
14
12
12
12
13
Р2
14
И
12
13
12
13
12
13
14
13
14
12
13
14
12
13
14
13
13
14
14
13
14
15
13
f otj а3 а3 а4 1
i Pi Р. Рз J
1/2-3.7 1/~5ЛТ
-23/4.31/5.7. И
-13/4 1/2-3.5.7. 11
-47/4.3.71/2.5. 11
1/2.7У1ГТТ
23/2 .3-7 V 2 • 3 • 5 .ТГ
У73/3 1/2-7.И
1/1ПЗ/4 • 3 1/ТЛТ
VT3/7 У"5ТП
17УТЗ/4.3.5.7УзЛТ
У ТЗ/2. 3 У5-7.11
-1/31/2.5.11
-1/3 1/2.3-7.11
-1/2.3 У 3-7. И
19/4.3 У 5. 7-11
2/3 УУПТ
109/4. 3-7 У 2. 3-5. И
47/2 .3-5.7 УТЛГТ
-УТЗ/9У2ТТТ
-У13/2.3У"5ТТГ
-19УТЗ/8.3.5У7ТТТ
1/4 У"зПТ
1/3 1/2-7.11
У 5/4 . 3 У 2 • 3 • 11
-41/4-9 У"5ТТ7ТТ
Г*!
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
а2
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
11
11
11
11
11
11
11
11
11
«3
12
12
12
12
13
13
13
13
13
14
14
14
14
15
15
16
11
И
И
11
11
11
11
И
11
а4
12
12
14
14
13
13
13
13
15
14
14
14
16
15
15
16
12
12
12
12
12
12
12
14
И
Pi
13
14
14
14
13
13
14
14
15
14
14
15
16
15
16
16
12
12
12
12
13
13
14
14
14
Р2
14
14
14
15
14
15
14
15
15
15
16
15
16
16
16
17
12
13
14
15
13
14
14
14
15
1 Г <*i а2 а3 а4
1 Pi Р2 Рз
-23/4.3У2.5.7. И
-53/4.5-7 УзЛТ
1/3 1/2ТТГ
У 5Т7/8. з УТТ
-1/УТ~3.5. И
-1/ЗУ2.3-11
У 7/4 • 3 У~5ТТГ
1/4УТПТ
- У 2/3 утлт
У 7/4 • з УТТ
1/31/"зТТГ
1/4-ЗУ 5. 7-11
1/2. 17/9 У 5-7. 11
— 1/1/3-5- 11
-31/4-91/5.7.11
У 7/4 У"5ЛТ
1/7. 13/4-3 У 2.3- 11
У ТЗ/2 • 3 У2.7-11
У"5ТТЗ/4.3 У2-3-7.
У ТЗ/2 - 9 У5~ПТ
- У ТЗ/2 • 3 У2-7.11
-4 1/ТЗ/З -51/3-7.11
-43УТЗ/4.3-5.7УЗТ
УТПТз/4 • 9 утт
У7Лз/2.9У1Г~1Т
)
"ТГ
ТГ

ах а2 а3 а4 (^ Р2
ах а2 а3 а4 I
Pi Р2 Рз J
ах а2 а8 а4 рх (32
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
14
14
14
14
16
13
13
13
13
13
13
13
15
15
15
14
14
14
14
14
14
16
16
15
15
14
14
14
15
16
13
13
13
14
14
14
15
15
15
16
14
14
14
15
15
16
16
16
15
15
14
15
16
15
16
14
15
16
14
15
16
15
15
16
16
15
16
17
15
16
16
16
17
16
17
{<*! а2 а8 а4 1
Pi Р* Рз J
5/2 1/2-3.И-ТЗ
1/1Г7/4 1/З-ИЛЗ
2 1/7/3 1/ТП1ЫЗ
31/4.91/5-11 ."13
1/ТП7/9 1/~5ЛТТТЗ
-1/2.31/1ГТЗ
-1/2 1/2"-3-11- 13
-1/31/5. 1ЫЗ
1/УГ7/4 1/2-11.13
3 У ~3/2 V 2-5. 11.13
41/2-3-5 1/ТП 1ЫЗ
29/3 • 5 У2-7.11.13
-5У"2/зУТТТЛз
-4/У"3. 7. 11. 13
-79/2- 9 У 5". 7- 11. 13
У 7/4 • 3 У^Лз
1/3 У 11-13
1/2 Т/'З- 11 - 13
-43/4 • 3 У2-3-7- 11 • 13
-5У"5/2.3УТ^ТТТТЗ
-4 У 2/3 УТ И- 13
УТЛТ/з ут^тгпз
УТ7/2 УТл\ .13
- 1/з У"зЛз
-У5/У"3-7-1ЫЗ
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
11
11
11
11
11
11
И
11
11
11
11
11
11
И
11
И
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
14
14
14
15
15
12
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
15
14
14
14
14
16
15
15
15
16
16
12
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
14
14
15
14
14
14
15
16
15
15
16
16
16
12
12
12
12
13
13
13
14
14
13
14
15
14
15
15
14
15
16
15
16
15
16
16
16
17
13
14
15
16
13
14
15
14
15
- У7/2. з УТЛТ
-1/2 У 2-3-11
— V 7/3 1/2-3-5.11
1/4.31/"5ЛТ
У 7/2 -3-5 УТТ
-У2/9УТТ
5/4 • 3 УТЛТ
1/зУ"2ЛТ
У~5/2 • з УТГГТТ
1/зУ"2.7.11
УТ7/2 • 9 УТЛТ
- У 2/3 У"зЛТ
-2/зУУЛТ
-У7/2.3УТПТ
УТ7/4.3 У"2ЛТ
УТ7/2 УТГ5.7.11
У 5/4-3 У 2. 3-13
У 5/2 • 3 У2-7-11-ТЗ
1/4.31/ТГЛз
1/91/^11.13
-79/4-ЗУ2.3.7.Ц -13
- 3 У ТГ5/4 У2Т7.1ЫЗ
- 163/4. 9- 5 У 2- 11 ЛЗ
-1/2.5 У2.7.Ц.13
17/4-3. 5 V З.Ц- 13

осг a2
8 12
8 12
8 12
8 12
8 12
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 13
8 14
8 14
a3
15
15
16
16
16
13
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
14
15
15
15
15
14
14
a4
15
15
16
16
16
14
14
14
14
14
14
14
16
16
15
15
15
15
15
16
16
16
16
14
14
Pi
16
16
16
16
17
14
14
14
14
15
15
16
16
16
15
15
15
16
16
16
16
16
17
14
14
P2
16
17
17
18
17
14
15
16
17
15
16
16
16
17
15
16
17
16
17
16
17
18
17
15
16
Г ax a2 a3 a* I
1 Pi P2 Рз J
19/4-3 V 2 • 3 • 7 . 11 • 13
3/2 ]/"2.7.ЦГГз
1/5/41/2-3.13
5/2 1/2"-7-lb 13
У 3/4 1/2-7. 11. 13
1/"5/4 1/~ЗЛЗ
1/5/2 1/2-3.7.13
5/2 1/2-3.7. 11 • 13
2/1/5". 7-lb 13
-51/3/2.71/2. И . 13
-17/7 1/1". 5-11 • 13
-191/2.9.71/5-lb 13
5 1/Т7/3 • 7 УТЛТТТЗ
2 У2Л7/7 1/ТП 11- 13
-У~2/1/3-7.13
-2У'5/3.71/Т3
-4/7 У 11 • 13
1/3.71/^1ЫЗ
У~2/7 У 1ЫЗ
У1ГТ7/4 • з УУЛз
У17/7 У2-3- 13
5 У 17/4. 7 У 11 • 13
У1ГТ7/2 • 7 УТТГЛз
1/4-ЗУ~~Г~5
1/зУ"зТ5ТУГ1"з
Ui
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
1 8
а2
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
15
а3
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
15
а4
14
14
14
14
14
14
14
16
16
16
16
15
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
16
Pi
14
14
15
15
15
16
16
16
16
16
17
15
15
15
16
16
16
17
16
16
16
17
17
18
16
17
18
15
16
17
16
17
16
17
18
17
16
17
18
16
17
18
17
17
18
19
17
18
18
16
f ах а2 а3 а4 )
I Pi Р2 Рз J
1/2-3 У 2-5. 7- 13
1/3 У~5~.7.Ц • 13
-89/4-3-7 У 3-5-13
-17/2-7 У 2-3-5. 13
-37/2. 3-7 У 2- 11 • 13
-У 2/7У3.11 • 13
У 5/2-3-7 У 11-13
У 2. 17/3-7 У 13
УТТ/7 У2-3- 13
2 У 2- 17/7 У 5- 1ЫЗ
УТТ/7 1/2-1ЫЗ
-1/3 У 3-5-7
-1/7У~~ГТз
-1/3-7УТЗ
23/4 • 7 УЗ-5- 13
У 5/7 УТПЗ
137/4-3-7 У 5- 11-13
3 У*3/7 1/2-11 - 13
1/4У~5Т7
1/71/~~ГТз
У~~~~ЛТ/4 - 3 - 7 УТз
-У 3-5/4-7 У 13
-зУ~з/4-7УТз
-37 У 3/2-5-7 У 2- И- 13
У 7ТТ7/8 - 3 У 2 • 3 - 5

<*i а2
8 15
8 15
8 15
00 00
СЛ СЛ
8 15
8 16
8 16
а3
15
15
15
15
15
15
16
16
а4
16
16
16
16
16
16
16
16
Pi
16
16
16
17
17
18
16
16
Р*
17
18
19
17
18
18
17
18
f ах а2 а3 а4 1
1 Pi Р. Р» М
1/17/4 • 7 V 2Т§
1/1ГТ7/8 • 7 VТПЗ
V 11 . 17/2 -3-7 У !ППЗ
-1/17/4 • 7 1/"2ТГз
- 1/ТЛ7/2 • 7 V 25- 13
-29 1/17/4 -5-7 УТПТЛЗ
1/81/"2Л7
1/4 УТ-Т^Гп
ах а2
8 16
8 16
8 16
8 16
8 16
8 16
8 16
а3
16
16
16
16
16
16
16
а4
16
16
16
16
16
16
16
Pi
16
16
17
17
17
18
18
Р2
19
20
17
18
19
18
19
Г ах а2 а3 а4 1
1 Pi Pi P. J
1/11/8.7 1/2-3.17
VIT/2 • 7 1/2".5.13.17
- 11 У~3/8 1/"2^5"ТП7
-19/8.7 "l/TTTf !
-23 1/3- 11/8.7 V2-5-13.17
-41/4.5.71/2- 13- 17
- V IT/4.5. 7 У2ТГЗЛ7
ax a2
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
2 7
2 8
3 3
3 3
3 4
3 4
a3
2
3
4
5
6
7
8
3
4
4
4
a4
3
3
5
5
7
7
9
4
5
4
4
Pi
3
3
5
5
7
7
9
4
5
4
5
P2
3
4
5
6
7
8
9
4
5
5
5
f ax a2 a3
i Pi P2 Рз
-1/3
-1/2-3
-1/2 У 5
-1/зУ*5
- У 2/з У 7
-1/2 1/1Г7
- УЗ/2 . 3 У"273
У^5/2 • 3 У"2
-1/2У"2Тз
1/2 У2-3-5
-1/ЗУ2Т5
Ч а с '
а4 1
г ь II
ах а2
2 9
2 10
2 11
2 12
2 13
2 14
2 15
3 4
3 5
3 5
3 6
а3
9
10
11
12
13
14
15
5
5
6
6
а4
9
11
11
13
13
15
15
5
6
7
6
Pi
9
11
11
13
13
15
15
5
6
7
6
Р2
10
И
12
13
14
15
16
6
6
7
7
Г ах а2 а3
( Pi Р2 Рз
-У"2/ЗУ^Т5
-1/У5ЛТ
- У"5/2 . з УН
-У7/2.зУ1з
-1/УТТГз
-2/3 У "517
-У7/4.зУ"5
-1/2У2Т5
У7/2.3 У"5
-1/3 У"5
1/3 У 277
а4 1

<х2 а3 а4 рх Р2 I
{ах а2 а3 а4 )
Pi Р2 Рз J
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
6
6
7
7
8
8
8
9
9
10
10
10
11
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
6
7
7
8
8
8
9
9
10
10
10
11
И
4
4
5
6
5
5
5
5
6
6
7
6
7
8
9
8
8
9
10
11
10
10
11
12
5
5
6
7
5
5
5
7
6
6
7
7
7
8
9
8
9
9
10
11
10
11
11
12
5
5
6
7
5
5
6
7
6
7
7
7
8
8
9
9
9
10
10
И
11
11
12
12
5
6
6
7 I
6
7
6
7
7
7
8
-1/31/ТГ7
•1/5/2.31/7
1/3/4 1/7
- 1Л>/4 1/Х7
1/4-3
-1/2.31/Т7
-1/7/4. 31/"3
1/7Т/2.3 1/1П5
-1/зУ"275
1/1/3.5.11
-1/31/3.5-11
-1/3/21/"5ЛТ
1/73/2. з 1/ТПТ
— 3/2-5 V"2
- V"2/5 V"3
V7/2 • 5 V"2
-1/51/1
-1/2.51/1
-1/2.51/ТГз
1/5 V"2
-1/7/3.51/2
1/2-5
-1/2-3- 5 l/"2
-1/51/2
«1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
а2
11
12
12
12
13
13
14
14
14
15
16
16
а3
12
12
12
13
13
14
14
14
15
15
16
16
а4
13
12
12
13
14
15
14
14
15
16
16
16
Pi
13
12
13
13
14
15
14
15
15
16
16
17
Рз
13
13
13
14
14
15
15
15
16
16
17
17
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
6
6
7
8
7
7
7
7
8
8
9
7
7
8
9
7
7
7
9
8
8
9
7
7
8
9
7
7
8
9
8
9
9
7
8
8
9
8
9
8
9
9
9
10
{ах а2 а3 а4 )
_Pi _Рз Рз J
-1/7/2- 31/"2ТТТ
1/5/2 - 3 1/1Г73
-1/31/2.11-13
-УТТ/2.31/~2Т73
V"5/2 I/ТЛЗ
-1/2/1/3-7.13
1/1/2-3.5.7
-1/31/5-7.13
-1/73/2 • 3 1/ТГ7
1/77/4 • 3 УТТЪ
1/7/4 1/2.3-17
-1/2-31/2-5.17
-1/1/5-7
-4 1/2/3-51/7
У"3/2 -[/"577
-1/21/1П7
-1/21/27Г7
-1/2.31/1Г7
1/7/4 - з VI
-1/4У7
1/4 V 7
о
-3/4V"577

<*1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
а2
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
10
10
10
10
11
11
11
11
11
11
5
5
5
«3
8
8
9
10
9
9
9
9
10
10
11
10
10
11
12
11
11
11
11
12
12
5
5
5
а4
9
9
10
11
9
9
9
11
10
10
11
11
11
12
13
11
11
11
13
12
12
6
6
6
Pi
9
9
10
11
9
9
10
11
10
11
11
11
11
12
13
11
11
12
13
12
13
6
6
7
Р2
9
10
10
11
10
11
10
11
11
И
12
11
12
12
13
12
13
12
13
13
13
6
7
7
{«! а, а3 а4 1
__ _Pi Р. Рз J
-1/4 1/"3
- 1/3 1/"7
1/ТГ/4-3 V 5
-1/21/2.3-5
-1/2.51/3
-1/7/4 -3-5
2/3 • 5 У"3
-1/71/2 .3-5 У 2
1/7/2 .3-5
1/4-3-5 УЗ
-1/5 УЗ
-з/51/"2ЛТ
-4 1/2/3.5 yif
УТз/2. 5 1/71
- V7/2.51/77
-1/У2 7Г5ТТТ
-1/5У2ЛТ
3/2.5 УТТ1"
- УТЛ 3/2 -3-5 l/TTf
1/3/2 l/ITTTl
1/3.5УТТГ
1/7/3-5
У 7/2 • 5 1/"27"3
0
ах а2 а3 а, (i, (32
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
11
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
15
15
15
15
15
13
12
12
13
14
13
13
13
13
14
14
15
14
14
15
15
15
15
16
16
13
13
13
14
15
13
13
13
15
14
14
15
15
15
16
15
15
15
16
16
..
13
13
13
14
15
13
13
14
15
14
15
15
15
15
16
15
15
16
16
17
14
13
14
14
15
14
15
14
15
15
15
16
15
16
16
16
17
16
17
17
5 5 6 7 7 7
5 5 6 7 7 8
5 5 7 8 8 8
{а3 ос, а8
Pi_ Р. Рз_
1 -1/21/2ТТТ
; -1/7/21/275713
: -У277/31/ 11 • 13
! 1/21/ТЛз
; -1/1/3757ТЗ
; -1/2 1/7713
- V77/2 - з V 2 7773
У5/3 У277- ГЗ
| -1/1/3-7. 13
I 1/7Т/21/5.7.13
j 1/21/2.5.7.73
j -З/1/2.5.7.7З
! -1/2/5У7
1 -8/5 1/3"-"771з
1/77/2 - 5 1/377
-1/4-5
. -1/4-5 1/7Г-7
11/4. 3-5 1/277
1/73/4-5 У 27з
1 /3 ■ 5 У277
i -1/2/5 УЗ
-1/5 1/7
, 1/5 1/1

5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
9
10
а4
9
6
6
6
6
Pi
9
6
6
7
7
Pa
9
7
8
7
8
( аг а2 а3 а4 1
1 Pi Р* Рз J
-1/3 У'2^5
1/ЗУ2Т5Т7
1/2.5У1Г7
~ 11/2 • 3 - 5 1/7
-1/2 У2^7
9
9
9
10
8
9
9
9
10
9
9
10 10 10
11 11 11
8 8 9
8 8 10
8 9 9
8 9 10
10 10 10
1/3/5 У"7
-1/1/2.3.5~7
-1/51/2Т7
1/5 У 7_
-1/2 1/5-7
1/УзТ'5Т7
1/2-3-5 1/7
-1/3 1/7
Уз/2 1/Т7
УЗ/2 У2Т5"."7
УЗ/4 • 5 1/7
-1/2У2Т7
-У5/4УЗТ7
1/ТТ/2 У2.3-5.7
-1/2 У"5Т7
1/2.31/ТГ5
1/2-3 У2ТЗТ7
-1З/4.З1/3Т5Т7
-1/2У"зТ7
УТТ/4 . 3 У"7
ai а2 а3 а4 $г ра
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
9
9
9
9
10
10
11
9
9
9
10
10
11
12
10
10
10
10
10
11
11
11
11
12
12
9
9
9
11
10
10
11
10
10
10
11
11
12
13
10
10
10
10
12
И
И
11
13
12
12
9
9
10
11
10
11
и
10
10
и
11
11
12
13
10
10
11
И
12
И
11
12
13
12
13
10
11
10
11
11
11
12
10
11
И
11
12
12
13
И
12
И
12
12
12
13
12
13
13
13
{*i а2 а3 а4 )
Pi Pa Pa J
-1/2.3У2ТЗ
-1/4УЗТ7
1/2УЗТ5Т7
-УТТ/2.3У2Т577
1/21/2T3T5
1/41/3T5T7
-У7/2.зУзТ5
УТГ/з. 5 Уз
УТТ/4 • 5 Уз
УТГ/2 . 3 . 5 У 7
-1/5 УЗ
-У7/2.5У2~Гз
УТЗ/3.5 У2Тз
-У7/3-5У2ТЗ
1/5У2ТП
1/7/2.3-5 У 7Т
-1/2УзПТ
-7У7/4-3-5УТТ
УТЗ/5 У2-3-11
-1/7/5У2-3.11
-1/7/3-5 УТГ
1/5УзЛТ
- 1/7ЛЗ/2 -3-5 УзЛТ
1/2/5 1/ТТ
1/2-3 УзЛТ

<*1
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
ОСо
10
11
11
11
11
11
11
И
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
ЭС3
13
11
11
11
12
12
13
14
12
12
12
12
12
13
13
13
13
14
14
15
13
13
*4
13
12.
12
12
13
13
14
15
12
12
12
12
14
13
13
13
15
14
14
15
14
14
Pi
13
12
12
13
13
13
14
15
12
12
13
13
14
13
13
14
15
14
15
15
14
14
Р.
14
12
13
13
13
14
14
15
13
14
13
14
14
14
15
14
15
15
15
16
14
15
| *1 «2 *8
, I Pi Р. Рз
| - V "3/5 1/ ТУ
У Тз/з У 275711
УТз/5 У 2 . 3 • 11
У 13/2-5 У 2-3. 11
-У 7/2 У 3.5-И"
-У377/2.5У2ТТТ
1/2 УТПл
- У1/3 У~5 Л7
1/ЗУ5ЛЗ
1 У 2 . 5 • 11 • 13
-17/2.3У2-5. 1Ы
-2У'2Тз/5УТГ.7з
У 7/2 У"27ТПТЗ
-1/2 У"5713
-У~3/2У2ТЦ. 13
1/У2Т57ТП"Тз
-1/У З-ТГ-Тз
1/2 У "3713
7/2 • 3 У2757"1 Г713
-У"И/ЗУ'275713
1/УУПЗ
У "5/2 У 277713
а 2
13
13
13
13
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
15
16
16
16
16
а8
13
14
14
15
14
14
14
14
14
15
15
15
16
16
15
15
15
16
16
16
16
а4
14
15
15
16
14
14
14
14
16
15
15
15
16
16
16
16
16
16
16
16
16
Pi
15
15
15
16
14
14
15
15
16
15
15
16
16
17
16
16
17
16
16
17
17
Р2
15
15
16
16
15
16
15
16
16
16
17
16
17
17
16
17
17
17
18
17
18
( ах а2 а3 а4 1
1 Pi Р2 Рз J
1/2/1/ 7-11 • 13
-2/У'5.7.13
-У П/УЗ.5-7.13
1/17/1/2". 3. 5- 7- 13
1/3 У27577
У 11/2-3 У 5-7. 13
-19/2-3. 5 УТЛЗ
-ЗУ 11/2 - 5 V 2-7- 13
У'27Г7/5 У 3.7. 13
- У 7Т/3 . 5 У 277
-У7Т/5У27Т713
1/5 УТЛз
1/5 VI
3/2 • 5 У77ГЗ
У"17/2 . 3 • 5 У"2
УТ7/4.5 У'7
У 77/4 УТГзТТТТз 1
1/2 У 277777
У73/4 • 5 У"37Г7 !
-7/4-5 УТТ7
- У73/2 У'2 . 3 . 7 . 17 !
i

«1 а2
6 6
6 6
6 6
6 6
6 6
6 6
6 6
6 6
6 6
6 6
6 6
6 6
6 7
6 7
6 7
6 7
6 7
6 7
6 7
6 7
6 7
6 7
6 7
6 7
6 7
а3
6
6
6
6
6
7
7
7
8
8
9
10
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
a.i
7
7
7
7
9
8
8
8
9
9
10
11
7
7
7
7
7
7
9
9
8
8
8
8
10
Pi Рз
7 7
7 8
7 9
8 8
9 9
8 8
8 9
9 9
9 9
9 10
10 10
11 11
7 8
7 9
7 10
8 8
8 9
9 9
9 9
9 10
8 9
8 10
9 9
9 10
10 10
J «1 а2 а3 а4 )
1 Pi Р* Рз J
-I/2T5/3.7
-1/З.5.7
— 3/5.7 V"2
1/7 1/273
- V"3/7 1/27g
1/7
3 1/3/5.7 1/2
1/ 2/5 • 7
-У^Д 1/273
-4 V 2/3-71/1>
УТГ/3.7 1/2
-1/7 УЗ
-1/2-7 У 273
-1/2.7 1/27375
-1/2-5.7 V"2
17/2.3-7 У2Т5
13/2.5.7 1/3
1/7У275
-У 3/2. 7
-3 У 3/2- 7 У 2". 5
; 1/2-7 1/"2
i 1/2.7 У"5
I -У2/7У5
-17/2.5.7 У 2-3 |
1 УТТ/2 • 7 У 275
«1 «2
6 7
6 7
6 7
6 7
6 7
6 7
6 7
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
6 8
6 9
6 9
6 9
6 9
6 9
j 6 9
а3
9
9
9
9
10
10
11
8
8
8
8
8
9
9
9
10
10
11
12
9
9
9
9
9
9
<*4 Pi
9 9
9 9
9 10
11 11
10 10
10 11
11 11
9 9
9 9
9 9
9 10
11 11
10 10
10 10
10 11
11 11
11 11
12 12
13 13
9 9
9 9
9 9
9 10
9 10
9 11
Р2
10
11
lO-
ll
11
11
12
9
10
11
10
11
10
11
11
11
12
12
13
10
11
12
10
11
11
f а5 а2 а3
1 Pi Р2 Рз
-1/2.7
-1/7 У"273
У"5/2 -3.7 у"2
- У7Г/2 . 7 У 375
УТ>/2 • 7 УЗ
У 2/3 • 7 У~5
- У 5/2 • 7 У"2
-5/2.3 У27577
-2 У 2/3.7 Уз
- У 5/2 • 7 У 27з
1/4-7 У"5
- У7Г/2 .3-7 У"2
У ТТ/2 • з У"з7?
УТТ/2 • 7 УУ75
У17/4 • 7 У"5
-1/2 У "577 •
-2 У 2/7 У 375
УТ5/2.3У2757"7
-1/2--ЗУ275 • -
-1/ЗУз7"5'77
-1/2-3 У 5757 7
-1/2.7У27575
У 2/3 У"577
31/4-3-7 У~57~5
4/5 • 7 УТЗ

ccL a, a3 at [4, fl2
6
6
6
6
6
. 6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
10
10
10
.10
10
10
9
9
10
10
10
10
10
11
11
11
11
12
12
13
10
10
10
10
10
11
11
11
12
12
13
11
11
10
10
10
10
12
11
11
11
13
12
12
13
11
11
11
11
13
12
12
12
13
13
14
11
11
10
10
11
11
12
11
11
12
13
12
13
13
11
11
11
12
13
12
12
13
13
13
14
11
12
i i
12
11
12
12
12
13
12
13
13
13
14
11
12
13
12
13
12
13
13
13
14
14
a, a3 a4
P, Pt %
- 1/ТГ/5 1/27з7~7
-3 1/ТГ/2.5.7 У 2
1/3 V2T3T7
1/2 1/'2ТзТ5."7
-.13/2.3-5 V^7^ 7
-19/4.5.7 V"3
1/73/2 • 5 У'ЗТ 7
-1/У2.З.5.7
-1/2. 5 У"3
У"2/3.5У'3~7
-УТ3/2.3.5У2Т3
1/ЗУ~ЗГ5
У 7/2. 3-5. У 2"-3
- У 2/3 У"ЗТ7
-1/У7ЛГТ
-4 У"2/5 У 3'Т7"."И
-3/2. 5 V"2 ЛТ
1/2-5 У*2ТзТ7~"1'1'
- 1/Тз/2 • 5 У~2 "Гзттт
У"ТЗ/У'3.5.7. 11
УТЗ/5 У 2ТПТ
УУТЗ/2 .3-5 Узтп"
-1/У'2Т5ТП"
-8/3.5У"3"ТТ
1/У 2-7. 11'
ч
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
*2
10
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
12
12
12
12
*3
14
11
11
11
11
11
11
11
11
12
12
12
12
12
13
13
13
13
14
14
15
12
12
12
12
*»
15
11
11
И
11
11
11
13
13
12
12
12
12
14
13
13
13
15
14
14
15
13
13
13
13
Pi
15
11
11
11
12
12
13
13
13
12
12
13
13
14
13
13
14
15
14
15
15
13
13
13
14
fe i
15 .
12
13
14 !
12 ,
13
13
13
14 ,
13
14 i
13 !
14 ;
14
14
15 !
14 ;
15
15 !
15 1
16
13 !
14 j
15 !
14 |
1 *i a2 a3 a, 1
1 Э, k Рз J
-2/У 3~"5T7T"lT
-1/2У377ТТТ
-1/2.5 у 3Т1Т
-1/3.5У2ТТГ
23/2 -3.5 утггг -
У 2/5 УТГ
У7/5 1/У.З"Г11
- У"13/5 У'2Тз7п 1
-УТз/5УУту:т1
1/2 . 3 УТГ !
1/5 У"зЛТ
- У7/3.5 У71
-У"7/5У'2ТзТ1Т
1/2 У ТИП" '
-1/УЗ-7.Ц :
- У1ТЗ/5 УТТГ
1/2-5 УУПТ
-У2/У'з"Т^7ТТГ ,
1/У"2'Т7ТП"
1/зуТТТТ ;
-5/2-3 УТПГГ
- У"5/2 . з УТз
-4У1/зУ"5ТТГЛз
-ЗУ"3/5 1/2. 1ЫЗ ;
-1/2-5 1/2~."3. 11-13 j

<хх а2 а3 а4 % р2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
12
13
13
13
14
14
15
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
14
15
15
14
14
14
15
15
16
13
13
13
13
13
13
15
15
14
14
14
14
16
15
15
14
14
15
15
15
16
13
13
13
14
14
15
15
15
14
14
15
15
16
15
15
14
15
15
15
16
16
14
15
16
14
15
15
15
16
15
16
15
16
16
16
7 7 7 8 8 8
7 7 7 8 8 9
7 7 7 8 8 10
{<*! а2 а8 а4 1
Pi fc Рз J
-1/1/5.11.13"
I/5/I/2.3.7. Гз
3 V"3/2 1/7.И- 13
19/2 V 2 • 3 • 5 • 7 • 11 • 13
-1/2/1/3.7.13
-8/3 V 7. 11 -13
VT7/2 • 3 1/7ЛЗ
-1/2/7 У"ЗЛЗ
~1/7"|/"5ЛЗ
-1/3/7 1/ 2Т| Г-7Т
1/ТЗ/З • 7 1/5
41/2-7 1/2.5- 11 . 13
32 У 2/5-7 УЗ. п . 13
-2/7 У13
-ЗУ5/7УТГТЗ
У з/7 УТИ
У 3/2 .7 УТз
- У 5/2 • 7 УТЗ
-23/2.7 1/2-3. 11 .13
У"2Л7/7 У 3 . 5 • 13
- У 5/7 УТТЗ
3 У 3/4 • 7 У"2
У5/4 • 7 У"2
3 У 3/4 -5-7
<*1
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
а2
13
13
13
13
14
14
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
а8
15
15
16
16
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
а4
15
15
16
16
15
15
15
15
16
16
16
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
Pi
15
16
16
17
15
15
15
16
16
16
17
15
15
15
16
16
17
16
16
17
17
Р
17
16
17
17
15
16
17
16
16
17
17
16
17
18
16
17
17
17
18
17
18
«1 *2 а3 а4 1
Pi Р2 Рз J
i
7 7 7 8 9 9 j -И/4.5.7
7 7 7 8 9 10 -9/2.5.7 У"2
7 7 7 10 10 10 I УзЛТ/4 • 7 У*5
-УТТ/7У2.3.13
1/3-7 УТГТЗ
УТТ/7 У*зТГз
I У ТЗ/2 .3-7 У"5
-2/3.7
-8У2/3.7У5ЛЗ
-УТГдУТЛз
-1/5-7УТЗ
УТ7/3 . 7 У~5
УТГЛ7/5 • 7 У 2 ЛЗ
2 УТП7/5 . 7 У"зЛз
-1/4.3У7
-У77/4-3.7 У 5
-У77/4.7 1/ТГ73
29/4 .3-5.7
23УТГ/2.3.5.7У"2ЛЗ
3/2-7 УТЗ
У 71/4 . 3 У"577
1/77/2 • 5 • 7 У"2
! -4/3-5.7
I -5/4-7У73
i
j -11/4.5.7
-9/2.5.7 У"2
I 1/ТП71/4 • 7 У*5

ч
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
а2
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
—---
а3
8
8
8
8
8
9
9
9
10
10
11
12
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
а*
9
9
9
9
11
10
10
10
и
11
12
13
8
8
8
8
8
8
8
10
10
10
9
9
9
Pi
9
9
9
10
11
10
10
11
11
11
12
13
8
8
8
9
9
9
10
10
10
11
9
9
9
Р
9
10
11
10
11
10
11
11
11
12
12
13
9
10
И
9
10
11
10
10
11
И
10
11
12
{а, а2 а3 а4 1
, fc___ Р2 Рз J
I -5/4-7 1/2
| -1/5/4.7
! -3/2-7 1/2" ."5
j 1/2-71/2T3T5
| -1/TT/4.7V"5
j l/TT/4.7
] l/TT/2 • 7 I/2T3
I l/TT/2 .3.7 V 2
! -З/4.7
-5/4-71ЛЗ
1/T3/4 • 7 V"2
j —1/4 V2T7
j 1/4.3 У 277
| 1/4.3.7 I/2
j 1/4.3.71/5
-1/2/7 УЗ
-13/4.7 1/2~.T."5
I -II/3.5.7I/2
j -1/2.З.5.7
j 5l/TT/4.3.7l/'3
j VTT/2 . 7 УТГз
j УТГ/2 . 7 1/1T5
j -1/4У2Т3Т7
-I/4.7 1/1
-I/2.3. 7 У"2
«1
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
a2
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
*3
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
11
1 ]
11
11
12
12
13
9
9
9
9
9
9
10
10
*4
9
9
9
11
11
10
10
10
10
12
11
11
11
13
12
12
13
10
10
10
10
10
12
11
11
Pi
10
10
11
11
11
10
10
11
11
12
11
11
12
13
12
13
13
10
10
10
11
11
12
11
11
P2
10
11
11
11
12
11
12
11
12
12
12
13
12
13
13
13
14
10
11
12
11
12
12
11
12
f <*1 «2 <*3 <*4 1
I Pi Ps Рз J
19/4. 3.7 I/ITS
1/5/2.7 У'З
1/2-7
- УТТ/2 • 7 У"2 ."3
-УТТ/2.7 1/2~3
1/4 У"377
У"5/2 • 3 • 7 У 2
-1/7УУ73
-1/2.7
1/ТЗ/4.7 У'З
-1/5/4.3 У 7
-5/4-3-7
1/4-7 У 27 3
- УТЗ/4 . 3 У271Г7
У"5/4 У27377
У 2/3 • 7 У'З
-1/4У2773
УТТ/2 У 2 . 3 • 5 - 7
УТТ/4. з УТТг
УТТ/2 - 7 1/27375
- УТТ/2 • 3 • 7 У 3
-У"П/2.7У375
УТТТТЗ/2 .5-7 УУГЗ
-1/2У"377
-1/2 1/27377

р р I | ос, а2 а3 а, )
I Pi P. Ps J
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
11
11
11
12
12
13
14
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
11
11
11
11
11
11
11
13
12
12
12
13
13
14
15
10
10
10
10
10
10
10
12
12
12
11
11
11
11
11
11
12
13
12
12
13
13
13
14
15
10
10
10
11
11
11
12
12
12
13
11
11
11
12
12
13
12
13
12
13
13
13
14
14
15
11
12
13
11
12
13
12
12
13
13
12
13
14
12
13
-3/2.7 1/2Т5
-1/2.5.7 1/3
- У'13/4 • 5 1/"3 .7
1/ТЗ/2.31/'5Т"7
УТз/41/3T5T7
17 1/13/4-3.5.71/2"
-1/2 1/2ТЗТ5
-V 7/4. 3 1/2-3
1/2 I/2T3T7
-1/3 VIP?
1/2 V"5^7"." 11
1/2-31/3.7. 11
1/4 V 3.5. 7. И
-1/ 2 • 7/3 V 3 • 5 • 11
- 23/2 • 3 V2^3~r§T7TT1
-13/2-7 1/3-5. 11
-29/2-3-5.7УзЛ1
1/13/3 У 2"Г7ЛТ
3 V13/2 • 5 I/2T7TTJ
УТЗ/7 1/2-3. 11
-1/2 У 2- 7. 11
-1/21/2.3-7. П
! -1/4 У 3-5. 11
У7/2УТПГ~5"."11
17/2-5 У 2". 3.7- 11
р, fc I Iа' а* аз а*)
Р I I Pi Р. Р» I
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
10
10
10
10
10
10
К)
К)
10
10
10
10
10
10
10
11
11
11
11
11
и
11
11
11
11
11
11
11
12
12
12
12
12
13
13
13
13
14
14
15
И
11
11
11
11
11
12
12
12
12
11
13
13
12
12
12
12
14
13
13
13
15
14
14
15
12
12
12
12
12
14
13
13
13
13
13
13
13
12
12
13
13
14
13
13
14
15
14
15
15
12
12
12
13
13
14
13
13
13
,14
13!
13 !
14 |
13 !
14
13
14
14
14 '
15
14 '
15 !
15 ;
15 j
16 :
12
13
14 |
13 :
14
i
14
13 |
14 !
15 !
14 !
1
83/2 -3-5.7 УУЛ1
- УТЗ/2 - 3 У"5 Л1 !
- УТГТз/4 - 5 У "зПТ
з/2 УгТб'тугп
1/2УЗТ5ЛТ
-У271/3~5~."7- И
-19/4-3.5У TTi
1/2У2Т37Т1'
-1/2У5ТТ1"
-1/зУ"зПТ
1/2.'зУ2Тз"."5""7"."П
-1/3 утлт
1/У2.7.11"
У1/У"ЗТ57Т.Т1
-ЗУ 3/2 У 2.5-7- 11
УТз/4 У ТТи
У"13/4 У 3 • 7 • 11
У 13/2- 5 У 2-3. 11
- У ТЗ/2 • 5 1/2.7-11'
-У13/2-5У2.3.Г1
У13/2-ЗУ2-5. 11
- У^5/4 УУПТ
- У 7/2 У 2 • 3 . 5 • 11
- У 7/5 У2-3. 11
-1/2. 5 УТЛТ

*i
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
n
/
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
«.
11
11
11
11
11
11
11
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
a3
12
13
13
13
14
14
15
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
a.i
15
11
14
14
15
15
16
12
12
12
12
12
12
12
14
14
14
13
13
13
13
13
13
15
15
Pi
15
14
14
15
15
15
16
12
12
12
13
13
13
14
14
14
15
13
13
13
14
14
15
15
15
P2
15
14
15
15
15
16
16
13
14
15
13
14
15
14
14
15
15
14
15
16
14
15
15
15
16
ОС] a2 a3 a4 1
Pi P2 Рз J
h
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
*2
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
*o
14
14
14
14
14
15
15
15
16
16
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
15
15
15
14
14
a-i
14
14
14
14
16
15
15
15
16
16
14
14
14
14
14
16
15
15
15
15
16
16
16
14
14
Pi
14
14
15
15
16
15
15
16
16
17
14
14
14
15
15
16
15
15
15
16
16
16
17
14
14
P2
15
16
15
16
16
16
17
16
17
17
14
15
16
15
16
16
15
16
17
16
16
17
17
15
16
{«i a2 a» «4 1
1/21/ТЛз
1/"3/1/2Т7"ТТГ'Гз
-1/У тптгпг
-У"2/УТ7пГТз
У"17/У"2ТзТ7"ТГГ: 13
-У"з/2УТ.77Тз
-5/2 У 2-Т. 11-13
-1/4-3 У 7". ~п■:~пг
5/4 1/1Г77ТЗ
4/3 УТЛТ'ТЗ'
3 У 5/2 • 7 У 2ТТЗ"
5/2.7У'3"ЛЗ
;Г1/~3/7 У 2ТТ1 .13
-2 1/"2/7У ЗПТЛЗ
-9/7-У2Г5- 11 . 13
у ту/7 утгттз
-У"5/7УТз
-Уз/7УТз
-зУ"з/7УТГ.!з
- У 2Т5/7 У ЗП"1 . 13"
У Т7/2 . 7 У13
У1ГЛ 7/2 • 7 У 2 Г^.ТЗ
31 У Т7/4 .3 • 7 У1Г7П73
1/7У2ТЗТ5
1 /7 У"2Т!ГТз
! -1/ЗУ2Т5Т1Т
\ У "5/2 У УТЛ 1
i 1/У2.7.11'
; 2/У3Т5Т7ПТ
| -1/У2Т7ТТТ
' -1/У2Т7ПТ
J УТ7/4У 3"7- И
| i/4 1/ТПз
i 1/4У'зЛГПз"
j 1/2.5УТТЛЗ
| -8/зУТТПз'
I -53/4-3 .5 УТ1~Тз
| - У"2/У 3~11" 13
| -1/7/5У"2Л1"Лз'
5/2 У2^3.11.13
! 3/У2Т5ТТГТ3
| 7/3 У2Т5ТПТГ3
; — 1 /4 V з~"! з
| -1/2У"зЛьТз
| -Уз/5У2~ТПТз
23/4 - з У УЛТТз
I 19/5 УЗТ7. 1ЫЗ
'; 43/3.5 1/2-7. 11 -13
i -Уб/УТЛТТТз
[ -3 1/1/У5".Т.ТЬ"13

\<*l
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
8
«2
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
8
8
8
8
8
8
8
8
8
a3
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
16
8
8
8
8
8
8
8
8
8
«4
14
14
14
14
14
16
16
16
15
15
15
15
15
15
16
9
9
9
9
9
9
9
11
11
Pi
14
15
15
15
16
16
16
17
15
15
15
16
16
17
16
9
9
9
9
10
10
11
11
11
P
17
15
16
17
16
16
17
17
16
17
\8
16
17
17
17
9
10
11
12
10
11
11
11
12
| a2 a,, a3 a4 1
J Pi P^ _J*8 j
1/2-7 УТПЗ
-31/2/71ДТТЗ
- V"3/7 V~13
-17/71/2Т5"ГпГТз
-1/V2-3.1JTT3
VTT7/3 • 7 У13
1/17/71/ТГ73
2.3 VI7/5.7 1/ТьТЗ
- У"3/2 • 7 УТГ5
-У~3/2.7У 1ГТЗ
-УТТ/2.7У2Т5Т13
5 У 5/2 -3-7 УУТЗ
1/2У*5ПЗ
61/5.7У2Тз".П'ЛЗ
1/2-7 У"2
-У5Т7/4.9У"2
-У 5/3. 7 У 2-3
-5/4-3- 7 УТГз
-2У2/9.7У5
5/2 • 3 • 7 У"2
29/4 .3-7 У"ЗТ5
17/2.3- 7 У2Т3Т5
-5УТГ/2.9.7У*2
- 4 УТГ/9 • 7 У"5
а2 a2 a3 a4 p2 ps
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
8
14
14
14
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
16
8
8
8
8
8
8
8
8
8
16
16
J6
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
16
9
9
9
9
9
9
10
10
10
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
10
10
10
10
10
12
11
11
11
16
17
17
16
16
16
17
17
16
16
16
17
17
17
18
10
10
10
11
11
12
11
11
.11
18
17
18
16
17
18
17
18
17
18
19
17
18
19
18
10
11
12
11
12
12
11
12
13
I <*i «2 a3 ad 1
V Pi P2 Рз [
УТТ/2.7 У1Г73
- У 2/7 У1ГТЗ
-У IT/2. 5 У 2-3. 13
УТ7/8 У7Г7
У1Г77/8 -3-7
УТГЛ7/4 • 7 УТГбТТЗ
- УТ7/4 -3-5 УТЛЗ
~У7ГЛ7/4.5.7У73
1/5/8 У~17
1/ТГ/8 • 3 У7Л7
У ТТ/4 • 7 1/2-5.17
- У 5/3 УТЛ?
-67УТТ/8.3.5.7УТ7
-19УТТ/2.5.7У13Л7
-31/2.3-7 УТЛЗЛ7
У ТТ/4 • 3 УУГз
У5ЛТ/4.3.7У2
УТТ/2.3.7У"3
- 1/ТТ/4 -3-7
-УТТ/2.3-7У 2
УТТЛЗ/2 • 9 - 7 У 2
-У5/4.3У"3
-2У"2/3.7УТЗ
-5/2.3.7 1/3

п л [ a, a„ as a4 1
5(2 aa * * 4 { э. "э. p3 }
8 10
8 10
8 11
8 11
8 11
.8 12
8 12
8 13
11 12
13 13
12 12
12 12
12 13
13 13
13 13
14 14
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
14
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
10
10
15
9
9
9
9
9
9
9
9
9
11
11
11
11
13
10
10
15
9
9
9
9
10
10
10
11
11
11
11
11
12
13
10
10
12
13
12
13
13
13
14
14
15
10
11
12
13
10
11
12
11
12
11
12
13
12
13
11
12
-1/4-3.7
-У73/4.9У~7
V ТЗ/4 • 9
5 1/T3/4 .3-7 У^Тз
УТЗ/2-3.7У"2
- У7/4 • 3 УТГз
- 1/зУ 277
У 5/4 • 3 У 2^3
-1/2-9
- Г/2 • 9 У 2^5
-1/4-3 У 2-3-5-7
-1/4-3.7У'3^5
-1/2-9-71/2^5
4 У"2/9 У1Г7
3/2 - 7 У1Г~5
13/4-9-7
-1/4-7 У!
-1/5/3 • 7 У 2^3
-1/ТТ/4-ЗУ7
-УТТ/2-3-7
-УТГ/3-7У5
- 1/ТГ/2 - 9 • 7 У2
- УТРТЗ/2 - 9 - 5 УТ~7
1/2-ЗУ2^3Т5
1/4-ЯУТР7
«3
-"- Н {"wv!
10 10 10
10 10 11
10 10 и
10 10 11
10 10 12
10 12
10 12
12
12
10 12 13
1
11
12
12
13
13 13
13 13
12 12 12
12 12 12
12 12 13
12 12 13
12 14 14
13 13 13
13 13 13
13 13 14
13 15 15
13
11 1
12
13 |
12 ;
12 !
13 ;
13 '
.2 |
13 ;
14 !
12 |
13 j
13
13
14
13
14
13
14
14
14
15
14
15
1/2-3-7 У~2^3
-3/4У2-5-7
- У 5/4 - 7
-17/2-3-7 У2Т3ТБ
-1/3-7 У 2
УТЗ/2 - 3 УТ^1
УТЗ/2 -3-7
23 У ТЗ/4 -9-5-7
-1/2.3УТГ5
-1/2-ЗУ2Тз^7
- У 5/2 -3-7 У ТГз
У"5/9 У"2^7
11/4- 3-7 У~3
41/4-3-5-7 У 2
-УТз/4.зУТГ5
-УТЗ/4-3 1/1Г7
1/2-9
У1>/4 • 3 У1Г7
-11/4.9У2Т{р7
-1/2-7 У 2
1/4-3 У 2
-1/2-3 У 2П
-1/4.31/2
0
-1/2-ЗУ"3^7

ах
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
ou
9
9
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
а3
14
14
15
10
10
10
10
10
10
10
10
10
11
11
11
И
11
11
12
12
12
12
12
13
13
*.i
14
14
15
11
11
11
11
11
11
11
13
13
12
12
12
12
12
14
13
13
13
13
15
14
14
Pi
14
15
15
11
11
11
11
12
!2
13
13
13
12
12
12
13
13
14
13
13
13
14
15
14
14
[4
15
15
16
11
12
13
14
12
13
13
13
14
12
13
14
13
14
14
13
14
15
14
15
14
15
!<*! *2 <*» а4 )
J*1 J!?_Ji 1
1/7/2 • 3 1/2^3^5
13/4.9 1/2^7
-1/7/9"|/"2^5
-1/7/2 У1ЫГТ1
-2 1/2/3 V 5 • 7 • Л
- 1/"5/2 • 3 1/УТ"И
-4/3-7 1/TTf
1/2 1/7ТТГ
31/2.3-7l/2T5~Tl
101/9-5-7 УУПТ
- УТЗ/2 • 3 У ТТЛ 1
-гУТЛз/з-бУТЛ!
УТЗ/2 У 2~- "3""'5"Tf
У 5Т"13/2 • 3 У 2ТЗТ7.Т1
1/ТЗ/2 • 3 У"2^7ЛТ
-УТЗ/2-3 У "3 "5^7'-" и
- 13 V'13/4 • 3 ■ 5 • 7 1/ТГ
У Тз/4 • з УзЛТ
-У 7/2-ЗУ"2~ТГГ
-2У'2/ЗУЗ"5Т1)
- 1/7/4 • 3 УТ1
-1/4 1/~2"5ЛГ1
-1/2-3 УТЛ!
1/2 у Т^ГГ
У 5/2 • 3 У"Г~\\
Pi fc I
10
10
10
10
[1 11
11 11
11 11
11 11
11 12
11
13
13
12 i
13 |
14 |
15 I
12 '
12 13
11 12 14
11 13 13
13 14
13 13
13 14
13 13 15
13 14 14
15 15 15
12 12 12 13
12 12 12 14
12 12 12 15
12 12 13 13
12 12 13 14
12 12 13 15
12 12 14 14
{aj а2 а3 а4 1
Pi Р, Рз J
13 14 15 15
14 15 15 15
14 15 15 16 -
15 16 16 16
3/4 У 2^П7Т
1/Уз^ПТГ
8/3 У3Т5Т7Т11
У17/2 • 3 V 2 -5 11
- 1/2 • 3 У 2 • 3 • 11
-1/2-ЗУ2~ЗТ7~ГТТ
-1/2.9 1/2~7Л1
-1/4-9У1ГТ1
37/4-3 У 3"-"5~-7" 11
1/7/4 • з УТ1
19/2.9У"5~ТТ"ц
-1/2-3.5 утпгт
-61/2.9.5-7 yiTTi'
- У Тз/4 - з у тг
-УТз/2-зУ"2Тз"-"Г1
-У7ЛЗ/2-3.5 У 27
- 1/ТЗ/З - 5 У 2~-ТЛ1
- 1/73/2 • 9 утгтг
У5/4 - 3 У ТГп
1/4 1/3.7. 11
1/2-9 У"2Л1
-У"5"/2У ЗТТ'И
-17/4.3 У"5Т7Т11
-29/2-9-5 У1ПТ
- У ТГ/2 -3-5 У 7

«1
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8 J
8
8
8
8
8
«
8
а2 а3
1 12
11 12
1 12
11 13
1 13
1 13
1 13
1 13
1 13
1 13
1 13
1 14
1 14
1 14
1 14
1 14
1 15
1 15
1 15
1 16
1 16
2 12
2 12
2 12
2 12
а4
14
14
14
13
13
13
13
13
13
15
15
14
14
14
14
16
15
15
15
16
16
13
13
13
13
Pi
14
14
15
13
13
13
14
14
15
15
15
14
14
15
15
16
15
15
16
16
17
13
13
13
13
Р
14
15
15
14
15
16
14
15
15
15
16
15
16
15
16
16
16
17
16
17
17
13
14
15
16
{ах а, а3 а4 1
_PL__ftL Рз J
1/5/2 • 3 1/ТГП
1/7/2 • 3 УУЛТ
17/4-9 1/1ГТГ
- 1/4 1/~3~ П
-1/2 1/2Т375". Т\
-1/9 утлт
]/7/4 УзЛТЛ
1/2/3 У~5 ЛТ
VTT/4 • 5 1/"7
-1/1/зЛЛТ
- У 2"."5/3 У7зЛЛ7
У 7/2 • 3 УУЛЛ1
1/зУ~2~ЛЛТ
- У"5/2 • 3 У'зЛЛТ
-1/зУТЛТ
1/Т7/3 V"2"."5-'7 ." 11-
- У 5/2 • 3 УзЛТ
-1/2УТПТ
-1/4 1ЛЗЛГ7ЛТ
1/4 у тг
У 3/2 У 5Л ЛТ
-7/4-ЗУ~ЗЛЗ
-1/У з. 11-13
- У ~?/4 УЗ-И • 13"
-4У2-Т/9.5У ТТЛЗ
а,
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
а 2
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
*я
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
15
15
15
13
13
13
13
13
13
13
*i
13
13
13
15
15
14
14
14
14
14
16
15
15
15
15
16
16
16
13
13
13
13
13
13
13
Pi
14
14
15
15
15
14
14
14
15
15
16
15
15
15
16
16
16
17
13
13
13
13
14
14
14
Р
14
15
15
15
16
14
15
16
15
16
16
15
16
17
16
16
17
17
14
15
16
17
14
15
16
{«! *2 а3 у.х ]
Pi Р2 Рз J
1/2 УТГЛЗ
У~7Л7/2-3-5 1/ТПз
53/2-3-5 У 2"."з"ТЬ 13
- У 5/з У1ТЛз
-16/9 1/5. 11 - 13
1/5/4 УТЛз
5/4 У'З- 11 • 13
1/УзТТГ.Тз
-1/2 У 2-377.11 . 13
- VTT/3 У2~3"Т5'.ТТЗ
ут7/з утттглз
- У 5/з У гтзттз
-8У*2/ЗУЗТ7ЛТ."13
-2/У 7. И • 13
-У 5/У2Тзту:г1.13
УТ7/2 • з У гТзЛз
У5Л7/4 У7-11 - 13
У17/У5Т7ТТГ.ТЗ
-1/2У"2^"зТ7ТТз
-1/4.3 УТЛз
-1/2-3 1/7- 1ЫЗ
- 1 /5 1/2 .7.11-13
1/2 УТЛз
2/У 7. 11 • 13"
29/2 • 5 У3 • 7 • 1 ГЛз

«1
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
3
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
<x2
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
14
a3
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
14
a4
13
13
15
15
15
15
14
14
14
14
14
14
14
16
16
16
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
15
P,
15
15
15
15
15
16
14
14
14
15
15
15
16
16
16
17
15
15
15
16
16
17
16
16
17
17
15
P
15
16
15
16
17
16
15
16
17
15
16
17
16
16
17
17
16
17
18
16
17
17
17
18
17
18
15
f ax a, a3 a, 1
1 Pi ^ Рз_ [
VTT/4.5.71/Т3
-V"2TT3/3.5.7V3TTl
-5/7 1/ТГзТТЗ
-2.5/71/3. 11- 13
-4.3/7V"5. 11 • 13'
- 19/3 • 7 У 5. 11 • 13
1/2-3 УТЛз
1/2-3 УТЛГз
1/У¥ПГТПТ:"1з
-11/4-7 У"3~Пз
-19/2-7 УУЛТТ13
-УТЗ/7У2ТЗЛТ
-УТТ/з-71/Тз
У'5Л7/3.7УЗ".~13
\/ 2 П7/7 УТПТЗ
У "ЗЛ7/7 У 2 • 11 - 13
-1/У"2Тзту:'1з
-1/7УТЛЗ _
-5/7 У2-3. 1ЬТЗ
11/2.3. 7 У"ЗЛЗ
УТЗ/2 • 7 УТЛ!
19/4-7 УТГТЗ
1/2УУЛЗ
5/2 • 7 УТПГГГЗ
-У 3/4-7УТЗ
-5/2-7 У И • 13
-1/ЗУУГ5
«1 ou а3 а4 (э\ [э\>
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
14
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
16
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
15
15
15
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
16
16
15
15
15
16
16
17
16
16
16
17
17
15
15
15
15
16
16
16
17
17
16
16
16
17
17
17
18
16
17
18
16
17
17
16
17
18
17
18
16
17
18
19
16
17
18
17
18
17
18
19
17
18
19
18
{«1 а, аэ ad )
Pi Р, Рз J
-8/3.7У1ПТЗ
- У"2/7 У"ЗЛЗ
-16/3.7У1Г7ГЛЗ
У"2/7 У ~ЗТТз
1/У3.1ЫЗ
2 У 5/7 УТЬТЗ
1/Т7/2.ЗУ2Т5Т7
У~17/2 • 7 УУЛЗ
1/Т7/2 • 7 У~ЗТТЗ
О
- У ЗЛ7/2 • 7 У2Т57ГТЛЗ
-1/4.31/ТГ5
-1/4.7 У 3TS
-1/4.7 УТПЗ
-УТ1/4.3.7У1ГЛЗ
47/8 • 3 . 7J/TT5
27/8 • 7 У"5ТГЗ
7/4 • 3 У2-5- 13
У 3/4.7УТЛЗ
-1/4. 7 У 5- И • 13
1/8УТГ5
1/8-7
УТТ/4.7У "г^зтгз
- У"3/2 • 7 У"5
-У"3/8У"13
-УТТ/7У"5ЛЗ
-9 У 3/2. 5-7 У 2- 13

ПРИЛОЖЕНИЕ 5
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9/-КОЭФФИЦИЕНТОВ
В данном приложении приводятся алгебраические формулы для 9/-коэффициентои,
представленных в виде
Ib+p d+g f+r |
b d f \ = X(bdf). (П.5.1)
P 8 9 J
Параметры b> dy f не конкретизированы, a (3, 8, 9, p, q, г заданы численно. Таблицы
охватывают все необходимые формулы в случаях
3^3, 8^2, ф=1, 0^/?<р, 0^$^8, 0^г^9-
Для получения формул при отрицательных значениях р, q, г следует использовать
симметрию зеркального отражения 9/-коэффициентов. Получаются следующие соотношения:
i(-\f>
,-(_1)8-Ы-л
= /(-1)3 rP-Q
= (_ l)8 + r-3-fi
= (_ 1 )3-Ь<7- срН-1
(П.5.2)
(П.5.3)
(П.5.4)
(П.5.5)
(П.5.6)
431

b+p d-q f—r
b d f } = (-1)<p-!-/>-*+i {
(i 8 9
b+p d+q f+r
b 1 J
? * Ф
/)+/? </4-? /+r
= /(_l)f*4-e-i v :-*4-*4-r-M | Ь H J
[6 Я ф
/>-/? */-<y /-f
fi 8 9
В таблицах использованы следующие обозначения:
B=-b + d+f, D = b-d+f.
F=b + d-f, E=b+d+f+\
В таблицы не включены коэффициенты вида
(П.5.7)
(П.5.8)
(Ii.5.9)
= 0,
(11.5.10)
\Ь d / |
\Ъ d f =
( S $ 9 J
если p + $+ ф — нечетное число.
Формулы, приведенные в настоящем приложении, могут быть использованы для
получения алгебраических формул для 9/-коэффициентов: содержащих один неопределенный
параметр. Пусть, например, нам необходимо получить формулу для 9/-коэффициента
3 / /4-2 |
. 2 / /4-2 •
I 2 2 1 J
(II.5.11)
Из таблиц берем формулу
| Ь+\ d f \
lb d f ) = 2[b(b+\) + (d-f)(d+f+l)]x
| 2 2 ]
Л _^
I 5(2* +
(2/> + 2)£(Z>+l)(F+l)(£+l)
и подставляем значения
Тогда
1 )(2) (2b + 4)(2> (2rf+ 3)00 (2/+ 2)(»
6 = 2, </=/, /=/4-2,
В=2/, Z) = 4, F=0, £-=2/4-5.
rF
(П.5.12)
(П.5.13)
13/ /4-2
2 / /-
, 2 / 1+2 = 2[2.3 + (-2)(2/+3)]х
I 2 2 1 |
А. 6-2/-5(2/+6) F--2/I" - F- (П.5.М)
l5-5.4.87(2/4-3)(0(2/4-6)(8)J " ^'[5 • 7 (2/-1) (2/+5)<s)J ;
432

Приводимые формулы могут быть с успехом применены также для вычисления 9/-коэффи-
циентов со всеми численными параметрами. Возьмем для примера 9/-коэффициент
5 3 4
2 4 3
3 2 1
Для вычисления восползуемся формулой (согласно (П.5.3))
6 + 3 d-\ /+1
Ь d f
3 2 1
6 + 3 d+\ /+1
b d f
3 2 1
Г ^(/>/ + 3)(3)rF/ + 3)(3)(^ + 5)(^) Г2
[ 7(26 + 7)(7)(27+4)(5)(2/+3)(з) J '
Bf=-b+d+f=-b-d+f-\.
D' = b-d+f=b + d+f+\.
F' = b + d-f=b-d-f-\,
E' = b + d+f+\=b-d+f.
A = 2. </=4, /=3,
получаем
B'=-4, Z>'=10, F'=-6, E'=l.
При таких параметрах (П.5.15) для искомого 9/-коэффициента дает значение
Подставляя в эти выражения
|6 3 4|
2 4 3 =
I 3 2 1 )
b
(-4)- 13- 12- 11(-3)(-4)(-5)6-5-43-2
\\~"10- 9- 8-7. 6- 5(-6) (-7)(-8)(-9)(-10) 9
__ Т/Тз
9.7.71/2^5
(П.5.15)
(П.5.15)
(П.5.16)
(П.5.17)
(П.5.18)
8-7 J
(П.5.19)
При вычислении каждому отрицательному множителю под корнем необходимо приписать
мнимую единицу / в знаменателе или числителе, соответственно тому, где этот множитель
находится. После сокращения всех i получается правильный знак. Так, в приводимом
примере получается /4//5, что дает множитель /-1, который сокращается с / перед корнем.
433

Р я
р *
X(bdf)
1 о
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
о о
2 1
1 О
2 1
О 1
2 1
Г (2b + 2)B(D+\){F+\)(E+\) |2
3 (26+1) (26 + 3) (2rf+ 2)00 (2/+ 2)(3>
г
га^Г- 2(F+2)(»>(£+2)C> IT
^ *' L 3 (26 + 3)(3) (2d+ 3)00 (2/+ 2)00 J
Г (В+\) (D+\) (F+1) (Е+3)Ы ]Т
L 3 (26 + 3)00 (2</+ 3)(3) (2/+ 3)00 J
2 V"2 {6 (6+l)[6(6+l) + 2^(c/+l) + 2/(/+l)3~3(flf~/)M^+/+l)a>
[3 • 5 (26 + 3)00 (2</+2)(»> (2/+2)00]2
£(Z)+1)(F+1)(F+1)
4 (/-</) (/+</+!)
5 (26+4)00 (2d+ 2)00 (2/+ 2)00
г
2 1 1
2[3(^+))^-Л(й+1)-3/-(/+1)][з.5(26+з)(6)(2</+з)(,)(2/.+ 2)(,)]2
Oil; f
2 11! 2[3 (</-/)*-26 (6+1)] [
-4)(*)(2</+3)<»>(2/+2)<»>J
(Jg+2)<2>(F+2)00
1
1 2
2
2
2
2
1 1 |
1 1 J
0 0 !
1 1 !
1 0
1 1
о,и гЛ (Д+ЦФ+0У+*)№+3)<'>Т2
Z {a~f 4 5 (26 + 4)00 (2rf+ 3)(3> (2/+ 3)00 J
B<2) (£> + 2)00 (F+ 2)00 (F+ 2)00 Tjf
2-3-5 (26 + 3)00 (2</+3)00 (2/4-3)00
l
5 (26 + 5)00 (2d+ 2)00 (2/+ 2)(8)
-«[■
Г 2i? (Z) +1) (F+ 3)(3> (£+ 3)(3> T2
"L 5 (26 + 5)00 (2d+ 3)(3) (2/+ 2)(3> J
F
2 1
2 1
1 0
2 2
0 0
2 2
[i
(/) + 2)W(F+2)(i')(£,+ 4)(<)
5 (26+5)(") (2d+ 3)« (2/+ 3)
'3)J
1 I
Г (26 + 2) jg(D+ 1) (F+1) (E+ 1) IT
2[6 (6 + 2) + (rf-/) (rf+/+ 1)] [5(2b+1)00 (26 + 4)00 (2</+3)00 (2/+2)'3) J
2(/+ 1) [26(6+ 1) + 2d(d+ l)-2(/+ l)2
..![■
3(j?+l)(Z)+l)F(F+l)
5 (26 + 3)0O (2d+ 3)00 (2/+ 3)00
г
434

р
p.
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
3
1
3
0
3
я
5
1
2
0
2
1
2
0
2
1
2
0
2
1
2
2
2
2
2
0
2
0
2
1
2
r
t
9 !
0
1
1
1
1
1
0
1
о
1
1
1
1 1
1 1
0
1
1
1
0
1
0
I
0
1
X(bdf)
■4:
2 (F+2)00 (£+2)0»
4 (d-b) [(/-6) (/+ b + 1) + d(b-d- i;j ^ з . 5 рь + 4)(») (2d+ 4)(*f(2f+2)W
2 {(b-f) l(f-d) (f+d+ \)-b (6 + 2)] + (/+1) F(5+ 1)} x
2(Z) + 2)(»)(E+2)(«)
J *<
I 5-(26 +
•I
4)(6)(2rf+3)(5)(2/+3)(3)
(B+ 1) (2)+l)(F+l)(F+3)(3)
4[F(£+/+l)-36rf][
Г (2b + 3) Д(«) (Z) + 2)(2> (F+ 2)0» J (F+ 2)00 T
2L 5(26 + 2)(2)(26 + 5)(2)(2</+3)0O(2/+2)(3) J
3 • 5 (26 + 4)0» (2</+ 4)0» (2/+ 3)00
i
2(26
л oJ 2Д(Д+1)(^+3)(*)(£+3)(з) Is
"^+2) L 3 • 5 (26 + 5)0» (2d+ 4)<6> (2/+ 2)00 J
(2/-26-1) Г 2i?(Z) + 3)(3)(F+l)(F+3)(3> Jo
5 (26 + 5)0» (2</+ 3)0» (2/+ 3)00 J
„,„, . 0Л (£ + 2)(2>(F+2)(24£+4)0*> T
J (Л> - <*- If) у 3 . 5 (26 + 5)(5) (2^+ 4)(5) (2/+ 3)(3) J
^-<*>[-з75
2(F+4)(*)(F+4)(4>
tf
2 -."
5 (26 + 5)0» (2d+ 5)0» (2/+ 2)<3>
(Д+ 1) (Z) + 1) (F+3)0»(F+5)0» V2
F
Г
• 5 (26 + 5)(5> (2d+ 5)(B> (2/+ 3)(3)
{£<*>/>(»)[(/)-2) (F+ 1)-(Д-2) F] + 8(6 + 2) BDF(E+ 1) (D-F) +
+ Я») (E+ 2)(") [Z> (£+ 3) - В (F- 2)]} [-5 ;y^Г+1
T2
-4)(7)(2rf+3)0»(2/+2)0» J
-2{(B-\) D[3(£-2)(Z)-l)-9F(F+2) + 2(26-l)(26+5)] + F(F+2)x |
1 !
Г B(D+\)(F+\)(E+l) T2 I
x L3 (F- 1) (F+3)-2 (26- 1) (26 + 5)]} [^7тф + ^т^)ЩЧ^Л
-4{5(/)-l)[(^-l)(/)-2)-3F(F+2) + 3(6-l)(6 + 2)] + F(F+2)x
лч i Г 2(5+1) D(F+1)(F+1) T
x[(F-l)(F+3)-3(6-l)(6 + 2)]} [-5T-7(2^4)(7)(2^4)(5)(2/+2)(grj
435

I 1
; з
! о
i з
q r
8 ф
0 1
2 1
1 0
2 1
0 1
2 1
1 1
2 1
X(bdf)
{[b(b+l)-d(d+\)-f(f+2)](2b-\)(2b + 3)-[2b(b+\) + 2d(d+l)~
-2(f+\)*-\][b(b+\)-5d(d+\) + 5(f+\)*-3)}x
2-3(B+l)(D+\)F(E+\) To
Г 2-3(1
XU-7(26 +
4)(7)(2rf+3)(5>(2/+3)(3)
2{3BD(B+E+2)(F-D+\)-F(E+3)[(B-D){F-2D-\)-3D(D + 2)]}x
l
2 (F+2)00 (£+2)0»
■[■
»-r
3 • 5 • 7 (26 + 5)(7) (2d+ 4)0» (2/+ 2)00
[(£+2)0OFOO(26 + 5)(2)-2 (B+ 1)(2>(F+ 1)<2) (26-1) (26 + 5) +
(Z) +2)00 (F+2)00
г (Z) + 2)0
+ *»> (F+ 2)C) (26)«] l-2V5--7^+^)
(2rf+3)0»(2/+3)(3)
r
2T3 KB+3) ^(8) (2^ + 4)(3> - 3 (5+2) (F+ 1)(3> (26 - 2) (26 + 4)<*) +
+ 3(5+l)(F+2)(3)(26-l)(2)(26 + 4)-^(F+3)(3)(26)(3)]x
(5+2)00 (£+2)00 IT
ХГ (*+2)(
I 5-7(26 + 4)(7)(
i 2
! 3
i 0
i 3
I 2
I 3
i 2
1 3.
1
3
1 1
2 1
0 0
2 1
2 0
2 1
1 0
2 1
0 1
2 1 i
2 0 J
2 1 !
>(2</+4)<*)(2/+3)(») J
2 [5F(F+2) (26 + 5) + ЗЯ (26)00- 15£/>FJ x
Г (B+\)(D+\) (F+l)(£+3;0O "12
X['3.5-7(26 + 5)(7)(2^+4)(s)(2/+3)(3) J
- 2 [6 (6 + 3 (d-f) (d+f+ 1)] [ 7(2^ + 6^)12^+Щ^2/+278~ I
Г 2(5+2)00£>00(£+2)00(£+2)(2)
2№-з)(Н4)-ад+з)+5/(/+1)] [tV^^^W
гГ
Г Б(Z) + 1) (F+ 3)00 (Е+ 3)<8> Т >
4[/, (2d-b- l) + 3(/-ef) (/+<*+ 1] [T^772i^6)^)l^+4)(^
1
Г B(£> + 3)0O(F+1) (£+3)00 Т7
2[б(6 + 2/+5) + 3(^-/) (rf+/+ 1)] [ 7 (26 + 6)wfe^72^^) J"
{5[£(£+4)-2Я(/)-1)]-4(2б-1)(26 + 5)}х
Г 2 (#+!)£(£+3)00 (£+3)00 17
XL 3.5-7(26 + 5)(7>(2rf+5)(5)(2/+2)00 J
436

"I ' I X(bdf)
Э 6 9 j
0 2 1
3 2 1
. ,. Г 0S+3)(3)£>(F+ \)(E+ 3)(3) IT
2[5(Л-/)(</-/+1)-(/,-1)(6-Ь2)] [?T(26^2rf+5^)(2/Uw J
2 1 1 j Г 2(£> + 2)(2)(F+2)(2)(£+4)(4) IT
3 2 1 2[3B(d-f)+F(b + 3)][ 3.7(2& + 6)(7)(2tf+4)(5)(2/+3)(3) J
1 2 1 | rrtrt o_ CrxM,\ (jB+2)(»)(F+2)00(E+4)W
3 2 } j
/.(2) sin^ftnoil t*+2)W(F+2)W(E+4)W IT
l
Г _ (^+4)(0(£-Ь 4)C*> p
W(5^-^) + ^(2^ + 6)][ 3.y^ + 6)(7)(2rf+5)(5)(2/+^(.Tj
2 2 1 ! Г 2(l?+l)(/>+l)(F+3)(»)(£+5)(0 I"?
3 2 1: vW-o-«V)[ 3-7(2/? + "6)(7)(2^+5)(5)(2/+3)(3) J
3 0 0 ! г 3fl(3)(D + 3)(3)(F+3)(3>(E+3)<3J ]T
3 2 1 ; ~2[ 7(2A + 7J(')(2£/+3)(5)"(2/-+2)W J
! - l
3 10! (- 2^2>(Z) + 2)(2)(F+4)(4)(F+4)(4) ]T
3 2li
3 0 1 |
3 2 11
Г 2£(2>(Z) + 2)(2)(F+4)(4)(F+4)(4> -ly
21 7 (2b + 7)0)(2d+4)C°)(2f+2)W J
l
Г 2 . 3 #8>(P + 4)(4)(F+2)00 (F+4)(*) TJ
[ " "7 (2ft + 7)0) (2</+ 3)(5) (2/+ 3)"(3") "" J
l
3 ! ! ! Л Д(£> + 3)<3Ч^+3)(3)(£+5)(5> IT
3 2 1| -[7(2ft + 7)^)(2^+4)(0(2/+3)(3)J
3 2 0 ! г 2£(Z)+l)(F+5)(0(£+5)<5) IT
Г 2£(Z)+l)(i
L7(2ft + 7)(')(S
3 2 1! L7(2ft + 7)(')(2rf+5)(3)(2/+'2)(»).
3 2 1 i Г (Z) + 2)(2)(F+4)(*)(F+6)
(«) "IT
3 2 1 !
Г (D + 2)(*)(F+4)W (F+6) W _ T
l 7(2ft + 7)(')(2rf+5)(5")"(2/+3J(3) J

p q г
Р 8 9
о" "о О
о о 1
ТГ "о О
■о -о О
X(bdf)
"о 1
о о' 1
,А_Л Г 2 (F+!)(£+!) Т
,0 л' L 3 (26+2)(») (2d+ 2)(«> (2/+ 2)<3> J
[
(Д+1)(Р+1)(£+2)(«) •
3 (26 + 2)00 (2rf+ 2) W(2/+ 3)(»).
[3
1 !
(B+l)D-4b(b-d)][
(F+1)(E+1)
2 • 3 (2A + 3)W(2d+2)(")(2/+2)<»>
Г £(P+l)(F+2)(«>(E+2)(»> 17
"L 2(26 + 4)(*)(2rf+2)0O(2/+2)0»J
1 J 2F-/> f (B+1)(D+1)(E+2)W T2
Г (B+1)(D+1)(E+2)W T2
L 3 (2A + 3)(»)(2r/+2)(«)('2/+3)(>) J
(D + 2)(»>(F+l)(F+3)<8>
J_ Г (D + 2)(«
2 [ (2ft + 4)(«)
(2rf+2)(«)(2/H
3)0» J
(d-b)l2BD-F(E+3)l[-ir^fc
(F+!)(£+!)
3)<*>(2d+3)(4> (2/4-2)0
*r
(36-rf+3)[-B(D+1)(F+2)(a)(£+2)(2) 1Y
(*-«*)[•
5 (26+4)W (2rf+ 3)W (2/+ 2)00 J
3(F+3)(3>(E+3)(3>
5(2A+4)(«)(2rf+4)(«>(2/+2)(«).
438

p q г
X{bdf)
2 2 i Г (Д+!)(£>+!) (£+2)00 р
13 3.1 f"F(4£-3F+5)-2#Z>]L 2.3.5(26 + 3)(0(2rf+3)<0(2/+3)<8> J
2 2 *
1
/о» пГ U> + 2)<a>(F+l)(E+3)(»> 1У
(^-/♦J [ -2 . 5 (2^ + 4)(4)(2с/+3)(4>(2/+3)(3) J
! 2 2
; 3 3
Г 3 (В+ 1) (D+ 1) (£+2)00 (£+4)(*) 1о
[ 2-5(26+4)(4)(2rf+4)(*)(2/+3)(3> J
2" 2 ' Г 3 (£+ 1) (D+ 1) (£+2)00 (£+4)(*) ]о
3 3
2 2
1 1
2 "2 , ,
О ; {F(£+2)[(F-l)(E+3) + (2/>-l)(2A + 4)]-JBO(5+2£ + 3)(D-2F-I)}x
i 1 3 ! Г (£+!)(£+!) ]¥
; 2 "2" ! L"2'.5(26 + 4)(«)(2£/+3)(4)(2/+2)(») J
i 3 ]
! 2" 2 °: гз ^ ^ ^ ^г ^ ^^ ^ j £(£+!) (£+2)00(£+2)Сг) у
| 5 3
! "2" "2 *
; 1 3
! 2' 2 | r (B+!)/)(£+2)00 (£+2)00
Г Я(£>+1)(£+2)00(£+2)00 11
[3(iN-l)l>-2F(E+3) + 26(2* + 5)][^^^
* * " | Г (B+l)/>(£+2)00 (£+2)00 To
5 3 J [4F(£+3)-6B(/)-l)-3(2^1)(2H4)][2-3^2^^^
2 2" ! i
3 3
2 2) г (£+3)(3>(£+3)0O IT
2 2'
5 1
2 2 °
5 _3
2 2
#<a) (Z) + 2)00 (£+ 3)(3> (£+ 3)00 "ly
о" о" 1 I
Г B&4D +
I (26 + 6)0
)(2</+3)(4)(2/+2)00
-II
2 2 Г £(/>+!) (£+4)<4>(£+4)<4' "1J
| 5 3 I [з(26 + 6)(6У(2^+4)(4)(2/+2)(3) J
I 2" ~2 ! !
439

p q г
Э 8 <р
X(bdf)
[b(2b- 1) (B-2F)-4 (В+ l)F{2b- 1) + F«(2E+3B+6)] x
h
(B+ 1 )(/)4-l)(E+ 2)00
5 (26 + 4)(6' (2rf4- 3)C^ (2/+ 300
F
Г (£>4-2)00(F4-l) (£4-3)00 ]~2
[2 6(F-2i?)4-5F(£+l)] [lT5726 + 5)(6)(2^+3)(4)72/+3)(3) J
- [(Z)_F_i)(3D_jF)_2F(Z)+l)][
(B+ 2)00 (F4- 1)(£4- 3)(3>
3 • 5 (26 4- 4)0» (2</+ 4)(«) (2/+ 3)0
-гГ
/or- ->лЛ (^+1)(D+1)(F+2)W(£+4)W ]2
(^-.5^) ^ 2.3.5(264-5)00(2d+ 4)(4'(2/4-3)(») J
В (D +3)00 (F-f 2)00 (E4-4)<4> Г2"
2(2£ + 6)<*)(2</4-3)(*)(2/4-3)<»> J
(D 4-2)00 (F4-3)<3> (£4-5)00
2.3(2b + 6)(«)(2d+4)(
£4-5)00 Ts
*) (2/4-3)00 J

ПРИЛОЖЕНИЕ 6
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИВЕДЕННОГО МАТРИЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
ОПЕРАТОРА СФЕРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПРИ ЧИСЛЕННО ЗАДАННОМ ОДНОМ ИЗ
ТРЕХ ПАРАМЕТРОВ И ЧИСЛЕННЫЕ ЕГО ЗНАЧЕНИЯ ПРИ ЧИСЛЕННО ЗАДАННЫХ
ВСЕХ ПАРАМЕТРАХ
В данном приложении приводятся таблицы приведенного матричного элемента
оператора сферической функции, выражение для которого имеет вид (ср. (37.17) и (15.16)1
('!|С '"' L 2 Ukl\ {g-iV.{g-k)l{g-iV • (п-61)
где
2g = l+k + l', (П.6.2)
Д(Ш) = [ (/+/ч.А+1)! J (П.6.3)
Приведенные! матричный элемент (он определяется согласно Фано и Раках [F. R. 59])
оператора сферической функции удовлетворяет условию (ср. (37.22)1.
(/||С(*)||/') = (//||С(*)||/). (П.6.4)
В первой части таблиц приводятся формулы для квадрата приведенного матричного
элемента оператора сферической функции при численно заданных значениях параметра к
или /' до значений этих параметров, равных 6, включительно. В этой части таблиц
использованы следующие сокращения:
Х&К=Х(Х-1). . .(Х-К+1), (П.6.5)
Х&к=Х(Х-2). . . (Х-2К+2). (П.6.6)
Формулы приведены только для /' = /+ос при заданном к и для Аг = /+(3 при заданном
/', причем а, (3^0. Если необходимо иметь формулы для /' = /-а или к = 1— р, то
используются соотношения (ср. (37.39)1
(/|| С(*> || /—ос) = — /(7Ц С<*> II /+а), (П.6.7)
(/|| С('-Р) || /') = (/1| С<'+&> И /'). (П.6.8)
Здесь, как и везде
/=-/-Ь (П.6.9)
441

Например, если нужно найти формулу для (/|| CW\\l—3). то в тоблице сначала
найдем «
Соотношение (П.6.7) дает
1
Г 5/(/-1)(/-2) Т2
(/||C(3)||/-3) = [^2^iy^rJ • (П.6.11)
Вторая часть таблиц содержит численные значения приведенного матричного элемента
оператора сферической функции для значений /, /'=^6.
Для того, чтобы убедиться в правильности заимствованного численного значения,
полезно получить то же значение с помощью приведенных формул. Например, найдем из
численных таблиц
(3||С(4)|!5) = 21/5/1/Тз. (П.6.12)
В таблице формул найдем
„,.«!+.)II «й Г 3-5-11 (/+3) (/+2) (/+!)/(/-!) Я
(I |: С<'+» И 5) =[ 4 (2/_ 1} (2/_3) (2/+ 7Й2/+5Н2/ТЗ)" J (116"13>
Подстановка /=3 непосредственно дает (П.6.12). Очевидно, что этот же результат может
быть получен различными способами. Например, можно взять (/|| С<4)|! /+2) и
подставить /=3.
В тех случаях, когда искомый приведенный матричный элемент не охвачен численной
частью таблиц, его следует искать в первой части таблиц. Например, если нужно найти
(5 || С<13> || 8), то из первой части таблиц берем (/|| С7</_ь°> 11 5) и подставляем/=8. Наконец,
если вообще в таблицах нет искомого элемента, его значение или соответствующую
формулу следует получить из (П.6.1), которой удобно придать один из следующих видов:
■ I it | (2/+1)(2/+2а+1)
(/ЦС(*>|!/+а)= ' f ' lf ' *
(/||d'+*>||/0
(116.14a)
■pZ+r + p+l^W+iTj (П.6.146)
Здесь
a(a-\). . .(g-6+1)
b\
являются коэффициентами бинома Ньютона.
442
сн
(П.6.15)

Часть I
к а
(/||СХ*>||/+а)8
0
1
2
2
3
3
4
4
4
0
1
0
2
1
3
0
2
4
2/+1
/+1
(/+!)(!)»(2/+1)
(2/-1)(2/+3)
3 (/+2)0)2
2(2/+3)
3(/+2)ОЯ
Т(2/-1)(2/+5)
5(/+3)0)8
~2(2/+5)<2)2
9 (/+2)0)* (2/+1)
4(2/-1)(2)2(2/+5)(2)2
5 (/+3)0)* _
2~(2/-1)(2/+3)(2/+7)
5-7(/+4)0)*
8(2/+7)(2)8
/' Р
0 О
1 1.
2 О
(/НСС+^НО2
1
3(/+1)
2/+3
5 (/+1)0)*
(2/-1)(2/+3)
А: а ! (/||С(*)|!/+а)2
3»5(/+3)0)>
4 (2/- ! )(2)2 (2/+ 7)(2)~2
5-7(/+4)(')й
i "8(2/-1)(2/+5)(«)»(2/+9Т
9-7(/ + 5)0)*
! "" 8(2/+9)(2>4
5 -5(/+ 3)0)42/4-1)
4(2/-1)(2)3(2/+7)(2)8
3-5 •7(7+4)0)°
: "4-4 (27-*1)(»)» (2/+3) (2/+9)"(2 s
! 9-7(/+5)0)6 _
: 8Т2/^1)(2/+7)(«)8(2/+11)
| 3.7- 11 (/+6)0)*
| ~4~-4(/+9)(2)4(2/+11)
/' р ; (/НСС+^Н/')8
2» 5(/+2)0)2
2(2/+5)<я>" ~
3-7(7+2)0)»
2(2/-1) (2/+5)0»2
5-7(/+3)0)8
2(2/+7)0»8

/' р
4 0
4 2
4 4
5 1
| 5 3
(/||С('-|-Р>!!/Г
9-9(/+2)(1)4
4(2/-1)2)2(2/+5)(2>2
Э-б^+З)^)1
2(2/-l)(2/+7)(2>3"
9-5-7(/+4)(1>4
8 (2/4-9)00 4~
3.5-11(/+3)(1)*
4(2/-1)(2)2(2/+7)(2)*
5-7- 11(/+4)W5
" 8-(2/-1)(2/+9)00*
Часть II
/ г
(/||С(*>||/')
Уз_
1/2.3/1/5
V"2
3/1/7
3/1/5
2/УЗ
2 У 3/У7
У'зГ5/УТТ
У5/УЗ__
ЗУ2/У 13
зУ"2/УТ1
/'
(/||С('+Р)||П«
5 5
6 О
6 2
6 4
6 6
9-7- 11(/+5)0>5
8(2/+11)00*
5-5.13(/+3)(*>»
"4(2/-1)(«»(2/+7)<»>а
3.5-7- 13(/+4)(1>6
~4-4(2/-1)002(2/+9)004
9.7.13(1+5)Ы*
8(2/— 1) (2/4-11)(2>5
3-7. П.Ц^+б^1)»
4-4 (2/+13)006
/ /'
(1\\акц\п
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
7
О
2
4
1
3
5
2
4
6
3
5
! У7/У~5
| У5
J У2-5/У7
! 1/2-5/1/7
! Уз
1 2/УЗ
j 51/2/ 1/3" 11
! ЗУ2/У7
, 2 . 5/ 1/ 7"П"Г
; 3-5/ V и . 13
1 5У2/У1Г7
5 1/2/УзЛз

(/i!C<*) /')
I/3.7/V 13
5/VII
1/2^7/ V_Il
2 V7/V"l7
2 ]/7/ V "3.5
У1Г7/1/7Т
2-5У 7/УТ.'ТПТз
2
ЗУ 2/_У'П
2-3 У 5/У ТПТз
7 1/5/У ТПТз
1/2Т5/1ЛЗ
2 У 5/1/13
7/УзЛз
2. 7 У 2/У 13Л7
2 • 5/ У'ЗТТТ
7/ У'зТТГ
2.7У"2Тз/У1ГТ1~17
2-7 1/"3/УТлТ9
3
2.3У5/У7ЛТ
3-9 У 2/У 7.11. 13
2.3У"5/У 11-13
/ /'
U'\c(kh\n
4 5 5 ЗУ"2/УТЗ
4 5 7 2У2Т5Т7/VT3T17
4 5 9 9.7У'2/У13."1УТ9
4 6 2 ' ЗУ5/УТ1
4 6 4 I 2У"5/УТТ
4 6 6 | 2.3У7/УТГТ7
4 6 8 2.9УТГ7/УП . 17. 19
4 6 10 ЗУ2Т5Т7/У77.79
5 5 0 j УТТ
5 5 2 i У 2-5-11/У ЗТТз
5 5 4 | УТТГ/УТз
5 5 6 | 4 1/Т77Г/У 3-13. 17"
5 5 8 ! 71/2-5. 11/1/13- 17. 19
5 5 10 ! 2.3У37ТГ/У13. 17- 19
5 6 1 ! У"2Тз
5 6 3 У 7/ У 3
5 6 5 | 4У5/УТП7'
5 6 7 I 2 УЗ-5-7/ 1/77Л9
5 6 9 ! 2 У375Т7/ У17Л9
5 6 11 | 3-11 УУГ7/У17. 19-23
6 6 0 | УТз
6 6 2 j У 2-7- 13/У5ЛТ
6 6 4 Г 2У7ГТЗ/1/ 11-17
6 6 6 ! 4.5У13/УП .17-19
6 6 8 5 1/2-7- 13/ 1/11 .17-19
6 6 10 | 2-3 1/3-7.13/ 1/17- 19-23
6 6 12 | 2-3-11 У7ТЗ/5У17-19-23

Л ИТЕРАТУPA
Б. 61 Бейман Б. Ф., Лекции по применению теории групп в ядерной
спектроскопии, ГИФМЛ, Москва, 1961.
Б. В. Ю. 62 Бандзайтис А. А., Визбарайте Я. И., Юцис А. П., Liet. TSR iMA
Darbai, В 3(30), 3 (1962).
Б. Г. 59 Будрите С. Д., Гутман А. М., Liet. TSR MA Darbai, В, 4(20).
11 (1959).
Б. Ж. М. Ю. 64 Бандзайтис А. А., Жукаускас К. П., Матулис А. Ю., Юцис А. П..
Liet. fiz. rinkinys, 4, 35 (1964).
Б. К. С. Ю. 64 Бандзайтис А. Ам Каросене А. В., Савукинас А. Ю., Юцис А. П.,
ДАН СССР, 154, 812 (1964).
Б. К. Ю. 64 Бандзайтис А. А., Каросене А. В., Юцис А. П., Liet. fiz. rinkinys, 4,
457 (1964).
Б. С. 63 Бандзайтис А. А., Савукинас А. Ю., Liet. TSR MA Darbai, В,
1(32), 3 (1963).
Б. СЮ. 64 Бандзайтис А. А., Савукинас А. Ю., Юцис А. П., ЖЭТФ, 47, 385
(1964).
Б. Ю.61 Будрите С. Д., Юцис А. П., Liet. fiz. rinkinys, 1. 271 (1961).
Б. Ю. 62 Бандзайтис А. А., Юцис А. П., Liet. fiz. rinkinys, 2, 185 (1962).
Б. Ю. 64 Бандзайтис А. А., Юцис А. П., Liet. fiz. rinkinys, 4, 45 (1964).
В.Ч.58 Ванагас В. В., Чиплис И. В., Liet. TSR MA Darbai, В, 3(13),
17 (1958).
В.Ю.59 Визбарайте Я. И., Юцис А. П., Liet. TSR MA Darbai, В, 1(17),
17 (1959).
Г. Б. 59 Гутман А. М., Будрите С. Д., Liet. TSR MA Darbai, В. 4(20),
3 (1959).
Г. М. Ш. 58 Гельфанд И. М., Минлос Р- А., Шапиро 3. Я., Представления
группы вращений и группы Лоренца, Москва, 1958.
Ж. В. Ю.62 Жвиронайте С. А., Визбарайте Я. И., Юикс А. П., Liet. TSR MA
Darbai, В, 1(28), 3 (1962).
Ж. К. Б. Ю. 63 Жукаускас К. П., Каразия Р. И., Бандзайтис А. А., Юцис А. П.,
Liet. fiz. rinkinys, 3, 377 (1963).
К. А. Б. 64 Каросене А. В., Алишаускас С. И., Бандзайтис А. Д., Liet. fiz.
rinkinys, 5, 13 (1964).
К. С. Б. В. Ю. 64 Каросене А. В., Савукинас А. Ю., Бандзайтис А. А.,
Визбарайте Я. И., Юцис А. П., Liet. fiz. rinkinys, 4, 187 (1964).
Л. 57а Любарский Г. Я., Теория групп и ее применение в физике, ГИФМЛ,
Москва, 1957.
Л. 576 Левинсон И. Б., Fizikos-technikos in-to Darbai, 2, 17 (1957).
Л. 57в Левинсон И. Б., Fizikos-technikos in-to Darbai, 2, 31 (1957).
Л. В. Ю. 56 Левинсон И. Б., Ванагас В. В., Юцис А. П., Liet. TSR MA Darbai,
В, 5(8), 21 (1956).
447

Л. Л. 48,63 Ландау Л., Лифшиц Е., Квантовая механика: ГИТТЛ, Москва,
1948; ГИФМЛ, Москва, 1963.
Л.Ч. 58 Левинсон И. Б., Чиплис И. В., Lie!. TSR MA Darbai, В, 1(13),
3 (1958).
Н. У. Л. 62 Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Левитан Ю. Л., Таблицы
коэффициентов Ракаха, ВЦ АН СССР, Москва, 1962.
Р. Б. В. Ю. 64 Рудзикас 3. Б., Бандзайтис А. А., Визбарайте Я. И., Юцис А. П.,
Liet. fiz. rinkinys, 4, 5 (1964)
Р. Б. Ю. 65 Румшас П. Д., Бандзайтис А А., Юцис А П., Liet. fiz. rinkinys,
5, 197 (1965).
Р. В. К. Ю. 65 Рудзикас 3. Б., Визбарайте Я И., Каразия Р. И., Юцис А. П.,
Liet. fiz. rinkinys, 5, 49 (1965).
Р. В. Ю. 65 Рудзикас 3. Б., Визбарайте Я. И., Юцис А. П., Liet. fiz. rinkinys,
5, 37 (1965).
Р. Г. 51 Рыжик И. М., Градштейн И. С, Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений, ГИТТЛ, Москва, 1951.
Р. М. Ю. 64 Румшас П. Д., Матулис В. А., Юцис А. П., Liet. fiz. rinkinys, 4,
447 (1964).
Р. Ю. 65 Румшас П. Д., Юцис А. П., Liet. fiz. rinkinys, 5, 185 (1965).
С. 49 Смирнов В. И., Курс высшей математики, Зь ГИТТЛ, Москва, 1949.
С. 63 Собельман И. И., Введение в теорию атомных спектров, ГИФМЛ,
Москва, 1963.
С. К. Б. Ю. 64 Савукинас А. Ю., Каросене А. В., Бандзайтис А. А., Юцис А. П.,
Liet. fiz. rinkinys, 4, 467 (1964).
С. Н. Ю. 64 Савукинас А. Ю., Нашленас Э. П., Юцис А. П., Liet. fiz. rinkinys,
4, 299 (1964).
Ш. 64 Шелепин Л. А., ЖЭТФ, 46, 1033 (1964).
Ш. С. 63 Шаджювене С. Д., Савукинас А. Ю., Liet. fiz. rinkinys, 3, 151
(1963).
4.61 Чиплис И. В., Liet. fiz. rinkinys, lt 45 (1961).
Ч.Б. Ю. 61 Чиплис И. В., Будрите С. Д., Юцис А. П., Liet. fiz. rinkinys, 1,
263 (1961).
Ч.В. Ю.61 Чиплис И. В., Визбарайте Я. И., Юцис А. П., Liet. TSR MA
Darbai, В, 2(25), 3 (1961).
Ф.40 Фок В. А., ЖЭТФ, 10, 383 (1940).
Ю. Б. В. 62а Юцис А. П., Бандзайтис А. А, Визбарайте Я. И., Liet. TSR MA
Darbai, В, 2(29), 3 (1962).
Ю. Б. В. 62 6, в, г Юцис А. П., Бандзайтис А. А., Визбарайте Я. И., Liel. fiz. rinkinys,
2, 75(6), 91(в), 109(г) (1962).
Ю. Ж. 63 Юцис А. П., Жукаускас К. П., Liet. TSR MA Darbai, В, 2(33),
3 (1963).

Ю. Л. В. 60 Юцис А. П., Левинсон И. Б., Ванагас В. В., Математический
аппарат теории момента количества движения, Институт физики и
математики АН Лит. ССР, Вильнюс, 1960. Английские переводы:
Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, 1962. Gordon
and Breach, New York, 1964.
Ю. P. Б. 65 Юцис А. П., Рудзикас 3. Б., Бандзайтис A. A., Liet. fiz. rinkinys,
5, 5 (1965).
Ю. С. Б. 65 Юцис А. П., Савукинас А. Ю., Бандзайтис A. A., Liet. fiz. rinkinys,
5, 171 (1965).
Ю. С. Б. К. Н. 64 Юцис А. П., Савукинас А. Ю., Бандзайтис А. А., Каросене А. В.,
Нашленас Э. П., Liet. fiz. rinkinys, 4, 173 (1964).
Л. 52 Alder К., Helv. Phys. Acta, 25, 235 (1952).
Л. H. Т. 54 Arima A., Horie Н., Tanabe Y., Progr. Theor. Phys., 11, 143 (1954).
£.29 Bethe H. A, Ann. Phys., 3, 133 (1929).
B. 51 Boys S. F., Proc. Roy. Soc, A207, 181 (1951).
B. 52 Biedenharn L. C, Tables of Racah Coefficients, ORNL — 1098, 1952.
B. 53 Biedenharn L. C, J. Math, and Phys., 31, 287 (1953).
B. 55 Boerner H., Darstellungen von Gruppen, Springer, Berlin, 1955.
B. 56 Brinkman H. C, Applications of Spinor Invariants in Atomic Physics,
North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1956.
B. 60 Bryant P. E., Tables of Wigner 3j-Symbols, with a Note on New
Parameters for the Wigner 3j-Symbols by H. A. Jahn and P. E.
Bryant, University of Southampton Research Report 60-1.
Biedenharn L. C, Blatt J. M., Rose M. E., Revs Mod. Phys., 24,
249 (1952).
Boys S. F., Sahni R. S., Phil. Trans. Roy. Soc, A246, 463 (1954).
Brussaard P. J., Tolhoek M. A., Physica, 23, 955 (1957).
Blatt J. M., Weisskopf V. F., Theoretical Nuclear Physics, John Wiley,
New York, 1952. Русский перевод, ИИЛ, Москва, 1954.
C. 38 Cartan М. Е., Lecons sur la Theorie des Spineurs, Hermann, Paris,
1938. Русский перевод, ИИЛ, Москва, 1947.
C. 5. 35 Condon Е. U., Shortley G. Н., The Theory of Atomic Spectra,
Cambridge University Press, Cambridge, 1935. Русский перевод, ИИЛ,
Москва, 1949.
D. 28 Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc. A117, 610 (1928); A118, 351 (1928).
The Principles of Quantum Mechanics, 4th edition, Clarendon Press,
Oxford, 1958. Русский перевод, ГИфМЛ, Москва, 1960.
£.30 Eckart С, Revs Mod. Phys., 2, 305 (1930).
£.48 Eisenbud L., Ph. D. Thesis, Princeton University, 1948.
£.53 Elliott J. P. Proc. Roy. Soc, A218, 345 (1953).
£. 57 Edmonds A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton
University Press, Princeton, 1957.
£.£.55 Elliott J. P, Flowers B. H., Proc. Roy. Soc, A229, 536 (1955).
В. B. R. 52
B. S. 54
В. T. 57
B. W. 52
449

Г. 26
F. 51
F: R. 59
G. 29
tf.59a
H. 596
/.60
/. £/. 58
/.51
/.52
/.63
/. Я. 54
/. P. 3. U. 55
Frenkel J, ZS f. Phys., 37, 243 (1926).
Fano U., NBS Report 1214, 1951.
Fano U., Racah G., Irreducible Tensorial Sets, Academic Press, New
York, 1959.
Gaunt J. A., Phil. Trans. Roy. Soc. A228, 151 (1929).
Howell К. M., Revised Tables of 6j-Symbols, with an Introduction
(New Parameters and Symmetry Relations for the Wigner 6j-Symbol)
by H. A. Jahn and К. M. Howell, University of Southampton
Research Report 59-1.
Howell К. M., Tables of 9j-Symbols, University of Southampton
Research Report 59-2.
Ishidzu Т., Tables of the Racah Coefficients, Pan-Pacific Press, Tokyo,
1960.
Innes F. R., Ufford С W., Phys. Rev., Ill, 194 (1958).
Jahn H. A. Proc. Roy. Soc. A205, 192 (1951).
Jeffreys Bertha, Proc. Camb. Phil. Soc, 48, 470. (1952).
Judd B. R., Operator Techniques in Atomic Spectroscopy, MsGraw-
Hill, New York, 1963.
Jahn H., Hope J., Phys. Rev., 93, 318 (1954).
Jucys A., Perkalskis В., Sugurovas V., Uspalis K-, Vilniaus VU Moks-
lo Darbai, Matematikos, fizikos ir chemijos m. serija, 3, 35 (1955).
K- 87 Kerschensteiner G., Dr. Paul Gordans Vorlesungen iiber Invarianten-
theorie, herausgegeben von Dr. Georg Kerschensteiner, Zweiter Band,
Binare Formen, B. G. Teubner, Leipzig,, 1887.
K. 38 Kramers H. A., Grundlagen der Quantentheorie, Akad. Verlagsgesel-
schaft, Leipzig, 1938.
K. 55 Kockel В., Darstellungstheoretische Behandlung einfacher wellenme-
chanischer Probleme, B. G. Teubner, Leipzig, 1955.
K. 57 Kumar K., Canad. J. Phys. 35, 341 (1957). Errata, 35, 1401 (1957).
К. C. 57 Kennedy J. M., Cliff M. J., Transformation coefficients between LS
and jj coupling, Chalk River Report CRT, Ontario, 1957.
L.58 Louck J. D., Phys. Rev., 110, 815 (1958).
M. 58 Majumdar S. D., Progr. Theor. Phys. 20, 798 (1958).
M. T. 55 Matsonubu H., Takebe H., Progr. Theor. Phys., 14, 589 (1955).
P. 27 Pauli W., ZS f. Phys., 43, 601 (1927).
P. 65 Ponzano G., Nuovo Cimento, 36, 385 (1965).
R. 41 Racah G., Phys. Rev. 61, 186 (1941).
R.42 Racah G., Phys. Rev. 62, 438 (1942).
R. 43 Racah G., Phys. Rev. 63, 367 (1943).
R.49 Racah G., Phys. Rev. 76, 1352 (1949).
R. 55 Rose M. E., Multipole Fields, John Wiley, New York, 1955. Русский
перевод, ИИЛ, Москва, 1957.
R. 58 Regge Т., Nuovo Cimento, 10, 544 (1958).
450

R. 59 Regge Т., Nuovo Cimento, 11, 116 (1959).
R. B. M. W. 59 Rotenberg M., Bivins R., Metropolis N.. Wooten J. K-, The 3-j and
6-j Symbols, Crosby Lockwood, London, 1959.
5. 52 Schwinger J., On Angular Momentum, U. S. Atomic Energy
Commission, NYO-3071, 1952.
S. 54 Simon A., Humerical Tables of Clebsch—Gordan Coefficients, ORNL—
1718, 1954. Русский перевод, в сборнике «Деформация атомных
ядер» стр. 353, ИИЛ, Москва, 1958.
S. 55а Sato М, Progr. Theor. Phys., 13, 405 (1955).
S. 556 Sharp W. Т., Some formal Properties of the 12/-symbol, Chalk River
Report, TPJ-81, Ontario, 1955.
S. 60a Slater J. C, Quantum Theory of Atomic Structure, Vol. II, McGraw-
Hill, New York, 1960.
S. 606 Sharp W., Racah Algebra and the Contraction of Groups, AECL —
1098, Ontario, 1960.
5. 63 Shimpuku Т., Nuovo Cimento, 27, 874 (1963).
S. K. S. H 54 Sharp W. Т., Kennedy I. M., Sears B. I., Hoyle M. G., Tables of
Coefficients for Angular Distribution Analysis, CRT-556, 1954.
S. P. 59 Smith K-, Peshkin M., On the Theory of the Polarization of Nucleons
by Deuterons, ANL-5910, 1959.
T. 26 Thomas L. H., Nature, 117, 514 (1926).
T. T. 64 Talman J. D., True W. W., Canad. J. Phys., 42, 1081 (1964).
U. G. 25 Uhlenbeck G., Goudsmit S., Noturwiss, 13, 953 (1925); Nature, 117,
264 (1926).
W. 31 Wigner E. P., Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quanten-
mechanik der Atomspektren, Friedr. Vieweg, Braunschweig, 1931.
W. 32 Van der Waerden B. L., Die gruppentheoretische Methode in der Quan-
tenmechanik, Springer, Berlin,, 1932. Русский перевод, ГНТИ
Украины, Харьков, 1938.
W. 39 Weyl Н., The Classical Groups, Princeton University Press, Princeton,
1939. Русский перевод, ИИЛ, Москва, 1947.
W. 51 Wigner E. P., On the Matrices which reduce the Kronecker Products
of Representations of S. R. Groups, Politechnic Institute of Brooklyn
(повторное размножение рукописи).
W. 59 Wigner E. P., Group Theory and its Application to the Quantum
Mechanics of Atomic Spectra, Academic Press, New York, 1959.
Русский перевод, ИИЛ, Москва, 1961.
Z. М. 57 Zukauskas К., Mauza Е., Vilniaus VU Mokslo Darbai, 7, 55 (1957).

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Базис представления 54 , 63 , 66 , 73 , 74 , 125
Вековое уравнение 26
Вектор 11 , 12 , 16 , 17 , 20 , 21 , 39 — 42 , 56 ,
66 ; 67 , 123 , 328
— , единичный 21 , 24 , 43 , 50 , 57 , 58 , 325
, контрастандартный 23
, стандартный 23
— , изотропный 37 , 38
— , составляющая 18 , 21 , 22 , 25 , 38 — 40 ,
58 , 66 , 67
, контрастандартная 23 , 24
, стандартная 23 , 24 , 36
, сферическая 11 , 23 , 25 , 38 , 50
Векторная модель 71
Векторное произведение 12 , 328
— сложение (связывание) 70 , 125 — 130 ,
272 , 289 , 337
Вырождение 27
Гамильтонова линия 196 , 224 , 319 , 342 — 344
Гипергеометриечский ряд 64 , 65 , 85 , 121 —
123 , 154 , 155
Гомоморфизм 53
— , ядро 53 , 54
Группа , гомоморфная 53 , 58
— , изоморфная 54 , 58 , 60
— (трехмерных) вращений 5 , 55 , 58 , 59 , 74
, двойная 40 , 49 , 59 , 62 , 74
, накрывающая 59 , 60
, расширенная 59
— , симметрическая 319
— , Дз 53 , 54 , 56 , 58 — 60
—tSU2l\ , 53 , 54 , 56 , 58 — 60
Дельта , треугольная 73 , 260 , 261 , 302 , 322 ,
332
— , четырехугольная 303
Диаграмма , древовидная 262 , 263
— , дуальное построение 129
— , (графическое изображение)
коэффициента Клебша—Гор дан а
255 — 258 , 269 , 270
, суммы произведений 255 , 256 ,
258 — 273 , 279 — 282 , 284 — 300 , 333 , 340
, стандартный вид 264 ,
266 , 272 , 275 , 288 , 339 , 340
— матрицы преобразования 302 — 304 , 308 ,
319 , 330 — 333 , 339 — 347 , 349 , 353 — 355
— матричного элемента 256 , 321 , 327 ,
329 — 332 , 334
, приведенного 256 , 321 , 322 , 330 ,
331
—тензора 256 , 320 , 327 , 328
—тензорного произведения 327 — 329
—функции 320
—Зл/-коэффициента 129 , 182 , 188 , 249
—6/-коэффициента 149
—9/-коэффициента 168
Инвариант 8 , 27 , 40 , 41 , 43 , 46 , 47 , 50 , 51 ,
80 , 82 , 95 , 108 , 125 , 129 , 133 , 160 , 181 , 255 ,
276 , 321 , 342 , 352
Квазибином 117 , 118 , 121 , 151 , 153 , 154 ,
178 , 179
Квазистепень 100 , 117 — 119 , 152 — 154 , 178
453

Квазитрином 179 , 180
Квантовое число 25 , 31 , 45 , 49 , 62 , 66 , 67 ,
74 , 116 , 124 , 128 , 295
Количество движения 12 , 16
Коммутатор 13 , 15
Коэффициент Вигнера 6 , 8 , 9 , 68 — 70 , 94 ,
108 — 117 , 121 — 123 , 129 , 130 , 138 , 144 , 146 ,
149 — 151 , 154 , 155 , 161 , 162 , 173 , 178 , 179 ,
181 , 258 , 262 , 269 , 275 , 277 , 281 , 324 , 357 —
359 , 365 , 366
, видоизменные параметры 9 , 114
, обозначение 115
, симметрия 108 , 109 , 114 , 122 , 123 ,
143 , 357 , 365
, — отражения 68 , 109 , 122 , 249 , 357
, — Редже 110 , 112 — 114 , 117 , 122
— Клебша—Гордана 6 — 8 , 68 — 86 , 90 — 99 ,
102 — 109 , 113 , 116 , 121 , 126 — 132 , 134 , 137 —
143 , 145 , 147 , 150 , 155 , 158 , 159 , 167 — 173 ,
255 — 259 , 264 , 266 — 269 , 271 , 274 , 278 , 279 ,
282 , 292 — 302 , 320 — 324 , 328 — 332 , 334 ,
339 — 342 , 354 , 359 , 366
, графическое изображение 255 —
258 , 269 , 270
, обозначение 74 , 75
, рекуррентное соотношение 69 ,
76 , 82 , 96 , 98 , 101
, симметрия 8 , 68 , 79 , 81 — 85 , 92 ,
94 , 99 , 105 , 106 , 127 , 128 , 141 , 160 , 169 ,
261 , 269
, — отражения 68 , 103 , 105 , 106 ,
127 , 128 , 327
, обобщенный 132 , 133 , 158 , 255 ,
256 , 261 — 269 , 273 — 291 , 296 , 298 , 299 , 302 —
304 , 339 — 341 , 344 , 349 , 351 , 355
— Ракаха 139 , 156
— , Z 139 , 157
— , треугольный 79 , 144 , 153
— , Зл/ 8 , 129 , 130 , 146 , 165 , 181 , 188 , 196 ,
197 , 223 , 224 , 227 , 246 — 249 , 252 , 254 , 281 ,
301 , 307 , 308 , 319 , 342 , 344 , 347 — 349 , 352 —
356
, графическое изображение 129 , 182 ,
188 , 249
, обозначение 189
второго рода 181 , 182 , 184 , 189 , 227
, симметрия 182
первого рода 181 , 182 , 189 , 227
, симметрия 182
, симметрия отражения 246 , 247
— , 6j 8 , 9 , 129 , 130 , 135 , 137 — 141 , 144 —
157 , 161 , 162 , 165 , 166 , 169 , 175 , 178 ,
180 — 182 , 188 , 189 , 192 , 246 , 247 , 281 , 282 ,
284 , 319 , 331 , 333 , 342 , 347 , 348 , 352 , 353 ,
388 , 390 , 397 , 398
, графическое изображение 149
, видоизмененные параметры 9 , 147
, обозначение 138
, рекуррентная формула 155 , 157
, симметрия 130 , 139 , 143 , 146 — 148 ,
150 , 151 , 153 — 155 , 182 , 397
, — Редже 143 , 145 , 150 , 151 , 154 ,
155
, — отражения 130 , 145 , 147 , 151 , 155
— , 9/ 7 , 9 , 129 , 130 , 157 , 160 , 162 — 169 ,
171 , 172 , 175 — 180 , 182 , 188 , 189 , 246 , 247 ,
249 , 281 , 282 , 307 , 319 , 334 , 342 , 348 , 352 ,
354 , 431
, графическое изображение 168
, обозначение 168
, симметрия 130 , 161 — 163 , 165
, — отражения 130 , 163 , 171 , 431 — 433
— , 12/ - 129 , 130 , 181 , 187 , 308 , 319 , 342 ,
343
, ]3\ 184 , 185 , 188 , 189 , 282 , 307 , 308
, ^2\ 186 , 188 , 189 , 282 , 307 , 308
, симметрия отражения 130 , 249 , 250
— , 15/ 129 , 130 , 190 , 233 , 308 , 319 , 311 ,
319 , 343
, ]БЛ\ 190 , 192 , 307 , 311
, ]Sfl\ 190 — 192 , 307 , 311 , 344
, <|3 , Н 192 , 196 , 307 , 311
, -|2 , 2}« 194 , 196 , 307 , 311
, ]0fi\ 195 , 196 , 224 , 307 , 311 , 319 , 343
— , 18/— 9 , 130 , 196 — 198 , 223 , 253 , 308 , 311 ,
318 , 319 , 344 — 347
. , ^9,0,1 J . 198
454

, -19 , 0 , 0}- 199
, <{ 6 , 0 , 1}- 200
, -{5 , 4 , 0}- 202
, i 5 , 2 , 0|> 203
, -j5 , 0 , l|- 205
, -{4 , 3 , 0}- 206
, -{4 , 2 , 1}- 208
1 -{4} , 0 , 2}- 210
, -{4} , 0 , 2[ 211
, ^ 3 , 2 , 1}- 213
, ^3 , 0 , 4}- 215 , 223 , 345
, -{2 , 6 , 0}- 216
, <j 2 , 5 , 0}- 217
, -{1 , 8 , 0}- 219
, -{1 , 6 , 2}" 220
, <{ 0 , 9 , 0}- 221
, -{0 , 8 , 1 [ 222
, симметрия отражения 130 , 252
— , 21/- 130 , 224 , 227 , 354
, -{6J , 0 , 2 , 1 \ 227
, ^ 6 , 0 , 6 , 0}- 354
, ^3 , 4 , 6 , 0}- 228
, -{2 , 7 , 6 , 0}- 229
, -{ 2 , 7 , 4 , 0} 231
, -{2 , 4 , 8 , 0}- 232
, -{2 , 4 , 6 , 0}- 233
, ^2 , 2 , 12 , 0} 234
, -{1 , 6 , 8 , 0} 236
, ^ 0 , 5 , 14 , 0} 237
— 24/- 130 , 227 , 246
, ^ 8 , 0 , 4 , 0 , 1 [ 238
, -15 , 3 , 4 , 2 , 0} 239
, -{4 , 2 , 12 , 4 , 0} 240
, -{3 , 0 , 20 , 0 , 0} 241
— , 27/- 130 , 227 , 246
, -{11 , 0 , 6 , 0 , 0 , 1}- 242
, -{6 , 2 , 16 , 2 , 4 , 0} 243
, ^5 , 0 , 26 , 2 , 0 , 0} 244
, -{5 , 0 , 24 , 4 , 0 , 0} 245
Матрица 11 , 17 — 25 , 36 , 38 , 40 — 46 , 53 54 ,
56 — 59 , 63 , 66 , 72 , 73 , 133 , 136 , 137 , 159 ,
197 , 328 , 336 , 344 , 347 , 352
— , диагональная 26 , 27 , 44 , 70 , 134
— , единичная 18 , 59 , 60 , 134 , 302 , 306 , 307 ,
340 — 342
— , квазидиагональная 73
— общих линий 197 , 348
— , ортогональная 18 , 21 , 72
— Паули 15 , 44
— преобразования 8 , 41 , 50 , 63 , 129 , 130 ,
134 — 137 , 146 , 157 — 159 , 167 , 181 , 255 , 256 ,
280 — 282 , 284 , 285 , 287 , 293 — 295 , 297 , 299 —
307 , 319 , 331 — 335 , 339 — 342 , 349 — 355
, графическое изображение 8 , 256 ,
307 — 309 , 311 , 318 , 319 , 343 — 346
, симметрия отражения 8 , 256 , 349 ,
350 , 355
, стандартная 8 , 256 , 307 — 309 , 311 ,
318 , 319 , 343 — 346
— , приведение 73
— смежность 224
— , транспортирование 18 , 19 , 21
— , унимодулярная 41 , 46 , 58
— , унитарная 19 — 21 , 26 , 41 , 46 , 57 , 63 , 66 ,
72 , 133 , 136
— , эрмитовая 27
— , эрмитово-сопряженная 19
Матричный элемент 26 — 28 , 30 , 31 , 41 , 54 ,
58 , 62 , 63 , 70 , 133 , 158 , 166 , 197 , 256 , 279 ,
319 — 323 , 326 , 329 , 330 , 334 , 336 — 339 , 348 ,
355
, графическое изображение 256 , 321 ,
327 , 329 — 334
квадрата момента 11 , 25 , 62
приведенный 256 , 319 — 327 , 331 , 332
334 , 337 — 340 , 347 , 348 , 356
, графическое изображение 256 ,
321 , 322 , 330 , 331
, момента 323 , 327
, сферической функции 9 , 324 , 326 ,
441 , 442
составляющей момента 11 , 25
Метод , рекуррентный графический 192 , 223
— сумм 223
— узлов 223
Метрика 94 , 95
455

Многоугольник , нетривиальный 188 , 189
— , тривиальный 188 , 189
Момент (количества движения) 5 — 8 , 11 —
14 , 16 , 27 , 28 , 37 , 56 , 67 — 69 , 74 , 116 , 129 ,
131 , 134 , 136 , 157 , 159 , 161 , 162 , 256 , 261 ,
263 , 273 , 284 , 285 , 295 , 296 , 301 , 320 , 333 ,
335 , 350 , 352
— , орбитальный 12 , 31 , 44 , 61
, обобщенного ранга 333 , 334
— , полный 15 , 131 , 136 , 262 , 350
— , промежуточный 129 , 131 , 132 , 136 , 275 ,
276 , 280 , 282 , 289 — 291 , 298 , 300 , 318 , 337 ,
340 , 347 , 350 , 352 , 354 , 355
— , результирующий 129 , 131 , 271 , 272 , 296 ,
297 , 355
— , связываемый (слагаемый) 129 , 134 , 136 ,
158 , 256 , 273 , 300 , 302 , 303 , 305 — 308 , 319 ,
350 , 352
— , связывание (сложение) 8 , 61 , 68 — 71 ,
74 , 75 , 93 , 130 , 131 , 134 , 136 , 149 , 157 , 289 ,
290
, способ 132 , 158 , 291 , 302 , 329
, схема 157 , 263 , 305 , 306 , 319
— , составляющая 5 , 11 , 12 , 13 , 17 , 27 , 28 ,
44 , 49 , 56 , 61 , 65 — 69 , 90 , 96 , 116 , 123 , 124 ,
126 — 128 , 132 , 144 , 181 , 255 , 268 , 271 , 289 ,
295 , 296 , 302 , 318 , 319 , 321 , 339 , 350 , 352
, перестановочные свойства 13 , 14 , 69
, в сферической системе
координат 25 , 69
— , спиновой 11 , 12 , 15 , 44 , 61
Набор коммутирующих операторов 13 , 27 ,
31 , 131 , 320
Оператор 8 , 12 — 14 , 24 , 26 — 32 , 36 , 46 , 49 ,
70 , 123 , 131 , 256 , 319 — 324 , 328 , 333 , 336 —
338 , 348 , 356
— , векторный 27
, эрмитовость 27
— Лежандра 14
— момента (количества движения) 5 — 8 ,
11 — 16 , 19 , 25 , 27 , 28 , 69 , 320 , 333
, орбитального 12 , 31
, обобщенного ранга 333 , 334
, спинового 12 , 15 , 44
— поворота (вращения) 27
, бесконечно малого 11 , 16 , 19
— , скалярный 27 , 28 , 323
— , тензорный 5 , 6 , 256 , 320 , 321 , 327 — 329 ,
332 , 334 , 336 — 338 , 355
, двойной 338
, единичный 323 , 334
, составляющая 11 , 327
— , эрмитовый 19 , 322
Отражение пространства 8 , 69 , 123 — 126 ,
350 , 351
— системы координат 8 , 12 , 62 , 63 , 66 , 69 ,
103 , 123 — 126 , 128 , 350 , 352
Перенесение утолщений 269 — 273 , 288 , 296 ,
306 , 331 , 335 , 341 , 345 — 347
Поворот (вращение) пространства 11 , 16 ,
17 , 20 , 21 , 23 , 25 , 27 , 38 — 43 , 46 , 50 , 54 , 58 ,
59 , 73 , 80 , 95 , 108 , 133 , 181 , 255 , 276 , 319 —
321 , 328
, бесконечно малый 18 , 19
— системы координат 21 , 40 , 56 , 125
Подгруппа 59
— , инвариантная 54 , 59
Поле [k] 25 , 32 , 38 , 47
— [Ъ'] 25 , 32 , 38 , 47 , 58
— комплексных чисел 47 , 58
Полином Лежандра 33 , 93 , 324
, присоединенный 34 , 93
Представление группы вращения 11 , 50 , 53 ,
60 , 73 , 94 , 125 , 150 , 319 , 320
, двухзначное 12 , 56 , 59 , 62
, однозначное 11 , 49 , 54
, спинорное 56 , 59
, тензорное 49 , 54
—DJ 54 , 56 , 58 — 60 , 63 , 73 , 80 , 277
— т\гп2 70
Прямое произведение 73 , 328
Разложение Клебша—Гордана 73
Симметрия отражения 6 — 8 , 12 , 256 , 326 ,
349 , 352 - 356
, графический метод получения 130 ,
249 , 254 , 353
456

коэффициента Вигнера 68 , 109 , 122 ,
249 , 357
Клебша—Гордана 68 , 103 , 105 , 106
127 , 128 , 327
, Зл/- 246 , 247
9 6/ . 130 , 145 , 147 , 151 , 155
, 9/- 130 , 163 , 171 , 431 — 433
, 12/- 130 , 249 , 250
, 18/- 130 , 252
матрицы преобразования 8 , 256 , 349 ,
350 , 353
Система координат 16 — 21 , 39 , 49 , 67 , 246 ,
321 , 349 , 350 , 352
, декартова 22 , 69
, зеркально-сопряженная 63 , 64 , 69 ,
352
, левая (отраженная) 8 , 67 , 146 , 350 —
352
, отражение 8 , 12 , 62 , 63 , 66 , 69 , 103 ,
123 — 128 , 350 , 352
, поворот (вращение) 21 , 40 , 56 , 125
, правая 8 , 64 , 124 , 146 , 349 , 352
, преобразование 20 , 21
, сферическая 11 , 13 , 20 , 22 , 23 , 57 ,
64 , 69
Скалярное произведение 22 , 25 , 66 , 125 ,
329 , 337
Собственное значение 44 , 62 , 69 , 71 , 256 ,
320
Спин 44 — 47
Спиновое пространство 49
Спинор 7 , 11 , 37 , 40 , 42 , 43 , 49
— , единичный 43 , 47
— , составляющая 40 , 42 , 43 , 46 , 47 , 49 , 56 ,
61
— , обобщенный 57 , 80
, составляющая 57
Стандартная система фаз 62 , 63 , 72 , 325 ,
326 , 328
Субматричный элемент 322
Тензор 5 , 6 , 36 , 54 , 125 , 256 , 302 , 319 — 321 ,
327 — 329 , 332 — 338 , 355
— , графическое изображение 256 , 320 , 327 ,
328
— , двойной 338
— , единичный 322 , 323 , 334
— , составляющая 11 , 54 , 125 , 327
, контрастандартная 8 , 23 , 36 , 123 ,
125
, стандартная 23 , 36 , 123 , 125
Тензорное произведение 256 , 327 — 337 , 355
, графическое изображение 327 — 329
Теорема Вигнера—Эккарта 256 , 319 , 321
Тетрада 146
Тождество Биденхарна 137
Триада 144 , 146 , 181 , 247 , 260 , 303
Углы Эйлера 16 , 39 , 42 , 57 , 63
Условие многоугольника 93 , 188 , 197 , 224 ,
278 , 279 , 348 , 349
— треугольника 93 , 100 , 144 , 188
Устранение петли 273 , 274 , 292
— узла 272 — 274 , 279
Факторгруппа 54
Факториал 64 , 82 , 86 , 112 , 118 , 123 , 152 ,
153 , 173 , 178
— от отрицательного числа 64 , 65 , 82 , 104 ,
105 , 144 , 154
Формула Гаунта 92 , 93
Функция , волновая 25 , 26 , 47 , 48 , 62 , 70 ,
125 , 131 , 136 , 137 , 157 255 , 294 , 301 , 307 ,
329 , 330 , 334 , 337 , 338
, графическое изображение 320
, орбитальная 48 , 49 , 54 , 61
, спинорная 61
, тензорная 54 , 61
— , ортогональная 32 , 34 , 35
— , ортонормированная 26 , 34 , 35 , 48 , 49 ,
71 , 132 , 133 , 275 , 351
— , производящая 68 , 88 , 89
— связанных моментов 8 , 125 , 129 — 133 ,
137 , 157 , 158 , 255 , 294 , 301 , 307 , 329 , 350 —
354
— , собственная 26 , 27 , 49 , 70 , 131 — 133
, момента (количества движения) 5 ,
50 , 54 , 61 , 123 , 125 , 319 , 320 , 328
457

, орбитального 11 , 31 , 32 , 64
, спинового 11 , 45
— , спиновая 7 , 37 , 44 , 46 — 48 , 56 , 61
— , сферическая 23 , 34 — 38 , 49 , 54 , 58 , 65 ,
93 , 123 , 324 , 325
, асимтотика 36
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
Б . 61
Б . В-Ю . 62
Б . Г . 59
Б . Ж . М . Ю . 64
Б . К . С . Ю . 64
Б . К . Ю . 64
Б . С . 63
Б . Ю . 61
Б . Ю . 62
Б . Ю . 64
Б . Ч . 58
В . Ю . 59
Г . Б . 59
Г . М . Ш . 58
Ж . В . Ю . 62
Ж . К . Б . Ю . 63
К . А . Б . 64
К . С . Б . В . Ю . 64
Л . 57 а
Л . 57 6
Л . 57 в
Л . В . Ю . 56
Л . Л . 48 , 63
Л . Ч . 58
Н . У . Л . 62
Р . Б . В . Ю . 64
Р . Б . Ю . 65
Р . В . К . Ю . 65
Р . В . Ю . 65
Р . Г . 51
Р . М . Ю . 64
Р . Ю . 65
С . 49
С . 63
59
223 , 252 , 255 , 311
196 , 223
140
62
169
223
189 , 196 , 197 , 227
77 , 82 , 85
85
184 , 307
325
223
17 , 54
253
116 , 117
175
145 , 147
116
258 , 262 , 269
275 , 277
325
75 , 115
192 , 223
156 , 157
333
348
356
356
326
197 , 223 , 227
197 , 227 , 348
54
5
С . К . Б . Ю . 64
С . Н . Ю . 64
Ш . 64
Ш . С . 63
Ч . 61
Ч . Б . Ю . 61
Ч . В . Ю . 61
Ф . 40
Ю . Б . В . 62 а
Ю . БВ . 62 6 , в г ,
Ю . Ж . 63
Ю . Л . В . 60
Ю . Р . Б . 65
Ю . С . Б . 65
Ю . С . Б . К . Н . 64
Л . 52
АЛЛ . 54
В . 29
В . 51
В . 52
В . 53
В . 55
В . 56
В . 60
B . B . R . 52
B . S . 54
В . Т . 57
B . W . 52
163 , 249
356
148
224
196 , 307
196 , 197
188
75 — 77 , 79 , 82
196 , 255 , 308 , 309
255
96
6 , 84 , 100 , 107 ,
120 , 131 , 135 ,
157 , 181 , 187 ,
196 , 198 , 223 ,
258 , 269 , 275 ,
277 , 305 , 307 ,
322 , 323
256 , 320
66 , 110 , 123 , 350
62 , 64 , 103
75 , 96
169
40 , 49 , 59
75
75
137
59
11 , 37 , 38 , 50
9
79 , 139 , 150 , 155
139
65
75
, контрастандартная 36
, обобщенная 54 , 55
, приведенный матричный элемент 9 ,
324 , 326 , 441 , 442
, четность 35
458

С . 38
C . S . 35
D . 28
E . 30
E . 48
£ . 53
£ . 57
£ . F . 55
F . 26
£ . 51
F . R . 59
G . 29
Я . 59 a
H . 59 6
/ . 60
I . U . 58
/ . 51
/ . 52
/ . 63
J . H . 54
J . P . S . U 55
/t 87
K . 38
K . 57
/C . C . 57
L . 58
Л1 58
37
28 , 31 , 32 , 34 , 35 ,
75 , 102
44
70
82
137
14 , 35 , 94 ,
108 , 123
184
44
116 , 168
35 , 63 , 115 ,
101 ,
139 ,
168 , 320 , 441
92
9
9
154 , 156 ,
347
166
75 , 139
75
5
168
34 , 93
80 , 82
11 , 37
102
169
96
76 , 82 , 84
157 ,
M . T . 55
P . 27
P . 64
R . 41
R . 42
R . 43
R . 49
R . 55
R . 58
R . 59
R . BM . W . 59
S . 52
S . 54
S . 55 a
S . 55 6
S . 60 a
5 . 60 6
S . K . S . H . 54
S . P . 59
T . 26
T'T . 64
U . G . 25
W . 31
IT . 32
W . 39
IF . 51
W . 59
£ . M 57
180
15
227
5
5 , 36 , 76 , 79 , 80 ,
82 , 85 , 90 , 115 ,
138 , 140 , 143 ,
322
5
5
75 , 121 , 154
110 , 112 , 117
143
156 , 157 , 347
116 , 168
102
116 , 150
184 , 185
5
94 , 95 , 108 , 116
157
157
44
166
44
73 , 75 , 76 , 79
75 , 76 , 80 , 82
25
108 , 138
108 , 140
103

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
ГЛАВА I
Оператор момента количества движения и его собственные функции 11
1. Операторы орбитального и спинового моментов количества
движения и их перестановочные свойства 12
2. Связь оператора момента количества движения с оператором
бесконечно малого поворота трехмерного пространства 16
3. Векторы в сферической системе координат 20
4. Матричные элементы оператора квадрата момента количества
движения и его составляющих 25
5. Собственные функции оператора орбитального момента
количества движения 31
6. Краткая теория спинора 37
7. Теория спинового момента количества движения 44
8. Преобразование орбитальных волновых функций и однозначное
или тензорное представление группы вращения трехмерного
пространства 49
9. Спинорное представление группы вращения трехмерного
пространства 56
10. Фазовые соотношения при зеркальном отражении системы
координат 62
глава и
Теория сложения двух моментов количества движеня. Коэффициенты
Клебша—Гор дана и Вигнера 68
11. Сложение двух моментов количества движения. Коэффициенты
Клебша—Гордана 69
12. Способы получения выражений для коэффициентов Клебша—
Гордана 75
461

13. Выражения для коэффициентов Клебша—Гордана и их свойства
симметрии 81
14. О видах выражений для коэффициентов Клебша—Гордана и их
взаимосвязи 85
15. Частные случаи коэффициентов Клебша—Гордана 90
16. Рекуррентные соотношения для коэффициентов Клебша—Гордана
и их использование 96
17. Симметрия зеркального отражения коэффициентов
Клебша—Гордана 103
18. Коэффициент Вигнера и его свойства 108
19. К вычислению коэффициентов Вигнера 116
20. Одновременное зеркальное отражение пространства и системы
координат. Обращение времени 123
ГЛАВА III
Зл/-коэффициенты, их свойства и графическое изображение 129
21. Волновые функции трех связанных моментов и их
преобразование. 6/-коэффициенты 130
22. Выражения для 6/-коэффициентов и их свойства симметрии .... 139
23. К вычислению 6/-коэффициентов 150
24. Матрица преобразования волновых функций четырех связанных
моментов. 9/-коэффициенты и их свойства 157
25. К вычислению 9/-коэффициентов 169
26- Злу-коэффициенты второго и первого рода. 12/-коэффициенты и
их свойства 181
27. 5л/-коэффициенты и их свойства 190
28. 18/-коэффициенты и их свойства 196
29. Зл/'-коэффициенты более высокого порядка 223
30. О симметрии зеркального отражения 3/г/-коэффициентов 246
ГЛАВА IV
Графические методы расчета 225
31. Графическое изображение коэффициентов Клебша—Гордана и
простейших сумм их произведений 256
32. Случай более сложных сумм произведений коэффициентов
Клебша—Гордана. Преобразование диаграмм 263
33. Разложение неполностью просуммированного произведения
коэффициентов Клебша—Гордана по обобщенным коэффициентам
Клебша—Гордана 274
34. Разрезание диаграммы, изображающей сумму произведений
коэффициентов Клебша—Гордана, и ее разложение 288
462

35. Суммирование по параметрам, представляющим квантовые числа
момента количества движения 295
36. Графическое изучение матриц преобразования волновых функций
связанных моментов. Стандартизация этих матриц 301
37. Теорема Вигнера—Эккарта. Приведенный матричный элемент и
его выражение для некоторых операторов 319
38. Графическое изображение тензорных произведений неприводимых
тензорных операторов и их матричных элементов 327
39. Некоторые замечания и примеры по практическому применению
графического метода расчета 339
40. Свойства симметрии зеркального отражения матриц
преобразования 349
Приложение 1
Алгебраические формулы для коэффициентов Вигнера при
заданных значениях /г и т2 357
Приложение 2
Численные таблицы для коэффициентов Вигнера 365
Приложение 3
Алгебраические формулы для 6/-коэффициентов 388
Приложение 4
Численные таблицы для 6/-коэффциентов 397
Приложение 5
Алгебраические формулы для 9/-коэффициентов 431
Приложение 6
Алгебраические формулы для приведенного матричного элемента
оператора сферической функции при численно заданном одном
из трех параметров и численные его значения при численно
заданных всех параметрах 441
Литература 447
Предметный указатель 452
Указатель литературы 458
463

А. П. ЮЦИС, А. А. БАНДЗАЙТИС
ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Издательство «Минтае» Литовской ССР, 1965 г.
По заказу Института физики и математики Академии наук
Литовской ССР.
Redaktore Е. Juskiene
Tech. redaktore Е. Juzeniene
Korektores A. Sulgaite ir R. Vaitiekunaite
Pasirasyta spaudai 1965. XII. 10. LV 09789.
Leidinys Nr. 8458. Tirazas 3000 egz.
Popierius 70X90Vi6 — 14,25 pop. 1. - 33,34 sp. 1., 24,45 apsk. 1. 1.
Spaude Valst. К Pozelos v. spaust. Kaune, Puskino 11 Uzsak. Nr. 647.
Kaina 1,86 Rb.