КЛОД КОЭН-ТАННУДЖИ
БЕРНАР ДИУ
ФРАНК ЛАЛОЭ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
Перевод с французского
Л.Н.НОВИКОВА
Том I
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2000

CLAUDE COHEN-TANNOUD Л
BERNARD DIU
FRANCK LALOE
MECANIQUE
QUANTIQUE
Paris
Hermann
1973

КЛОД КОЭН-ТАННУДЖИ
БЕРНАР ДИУ
ФРАНК ЛАЛОЭ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
Перевод с французского
Л.Н.НОВИКОВА
Том I
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2000

УДК530.145@75.8Ь
ББК Й:314я73-Г
К767
Издание осуществлено в рамках программы «Пушкин»
при поддержке Министерства иностранных дел Франции
и Посольства Франции в России
Ouvrage realise dans le cadre du programme d'aide a la publication Pouchkine
avec le soutien du Ministere des Affaires Etrangeres Fran^ais
et de l'Ambassade de France en Russie
© Л. Н. Новиков, 2000
(перевод)
© Hermann, Paris, 1973
ISBN 5-7525-1131-3 (T. I) © Издательство Уральско
ISBN 5-7525-1085-6 университета, 2000

Памяти сына моего Бориса посвящаю
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Вниманию читателя предлагается многолетний труд французских физиков, известных
не только своим вкладом в современную атомную физику и спектроскопию, но и плодотворной
педагогической деятельностью в ведущих высших учебных заведениях Франции. Положив
в основу книги традиционный курс нерелятивистской квантовой механики, авторы
преследовали главную цель — изложить квантовый формализм в его наиболее понятной форме на
базе богатейшего экспериментального материала по атомной и молекулярной спектроскопии,
и это несомненно следует приветствовать не только с чисто научных позиций, но и по
педагогическим соображениям.
Квантовую механику в нашей стране преподают не только студентам
физико-математических специальностей, но и в виде части курса общей физики, и в этом смысле книга Клода
Коэна-Таннуджи, Бернара Диу и Франка Лалоэ является универсальным учебным пособием
для студентов и аспирантов всех уровней обучения, так как по широте охвата излагаемого
материала и детализации математического аппарата она не имеет себе равных среди всех
известных публикаций.
Оригинально и интересно написанная книга французских ученых будет с интересом
встречена широким кругом читателей. Она окажет несомненную пользу студентам всех
физико-математических специальностей и всем тем, кто серьезно интересуется современной
квантовой механикой.
Издание русского перевода книги встретило немало трудностей, но благодаря поддержке
ряда предприятий Уральского региона оно все же смогло выйти в свет. Прежде всего следует
отметить решающий вклад Уральского электрохимического комбината (г. Новоуральск) и его
генерального директора А.П. Кнутарева, оказавшего безусловную поддержку этого издания.
В качестве спонсора книги выступило также ОАО «Екатеринбургский завод по обработке
цветных металлов». Его генеральный директор, академик РИА Н.И. Тимофеев вместе с
переводчиком посвящают данный труд светлой памяти Валентина Фадеева, друга и однокурсника,
безвременно ушедшего из жизни.
Значительная помощь была оказана известным предприятием ЗАО «Уралвестком»,
генеральный директор которого В.Ю. Молчанов с полным пониманием поддержал реализацию
данного проекта.
И, конечно, нельзя не упомянуть реальную помощь Посольства Франции в Москве,
включившего издание книги в программу «Пушкин» и оказавшего финансовое содействие.
Всем указанным организациям и их руководителям переводчик выражает свою глубокую
благодарность.
Следует также искренне поблагодарить авторов книги Клода Коэна-Таннуджи, Бернара
Диу и Франка Лалоэ за постоянное внимание к работе над русским переводом и поддержку в
течение многих лет подготовки этого издания.
Наука определяла и будет определять будущее России, и хочется надеяться, что эта
книга станет заметным вкладом в дело подготовки кадров высшей квалификации и символом
дружбы и сотрудничества между Францией и Россией.
Л.Н. Новиков,
кадидат физико-математических наук,
доцент кафедры теоретической физики УГТУ-УПИ

ПРЕДИСЛОВИЕ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Мы были очень рады выходу в свет перевода нашей книги по
квантовой механике на глубокий и прекрасный русский язык, на котором
говорило и писало так много выдающихся мыслителей — писателей,
философов и ученых. Безусловно, для нас, физиков, в памяти возникает
прежде всего имя Льва Ландау, являющегося символом этой великой
традиции. Всем известен его решающий вклад в физику и его
замечательные книги, до сих пор успешно служащие делу подготовки новых
поколений физиков благодаря оригинальности и компактности
изложения. И он был не одинок. Великолепная школа русских физиков,
имена которых знают все и все их уважают, ими восхищаются,
слишком велика, чтобы можно было перечислить их поименно. Именно
поэтому мы считаем для себя особой честью представить этот перевод
вниманию столь престижного научного сообщества.
Мы отчетливо понимаем те трудности, с которыми пришлось
столкнуться при подготовке этого издания. Только наш друг Леонид
Новиков, с которым мы имели удовольствие сотрудничать в прошлом
во время его визита во Францию, был способен преодолеть их. Именно
он предложил идею этого перевода много лет тому назад и смог с
замечательной настойчивостью претворить ее в жизнь в весьма сложных
условиях. Он выполнил огромную работу по переводу объемного
научного издания, которая могла быть реализована лишь специалистом
его уровня. От глубины души искренне благодарим его за то, что он
смог добиться исполнения этой идеи и доставил нам глубочайшее
удовлетворение увидеть наш труд на русском языке.
Клод КОЭН-ТАННУДЖИ
БернарДИУ
Франк Л АЛОЭ

ВАЖНОЕ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ:
КАК РАБОТАТЬ С КНИГОЙ
Содержание книги состоит из двух отдельных, хотя и
неразрывно связанных частей: глав и дополнений.
Главы содержат основные теоретические положения
темы и соответствуют, за небольшим исключением,
реальным лекционным занятиям.
Таких глав в книге 14, и в принципе их можно изучать
независимо от дополнений.
Дополнения следуют в конце каждой главы; они
обозначены буквами с цифровыми индексами,
соответствующими главе (например, Av, Bv, Cv и т.д.). В конце каждой
главы имеется список дополнений, количество их может
меняться от 2 до 14 в зависимости от главы.
Дополнения могут быть различных типов: некоторые из них
предназначены для облегчения усвоения материала главы или
для уточнения некоторых положений; в других могут быть
рассмотрены конкретные физические задачи, открывающие
перспективу в различных областях физики; одно из дополнений, как
правило последнее, содержит простые упражнения.
Уровень дополнений также различен: обычно они могут
быть поняты на базе изложенного в главе материала, но
некоторые могут оказаться существенно сложнее других.
Не рекомендуется изучать всю совокупность дополнений в
том порядке, в котором они представлены. Лучше, если
читатель выберет себе небольшое их количество (например, 2 или 3),
а также несколько упражнений; все остальные могут быть
рассмотрены позднее.
Отметим, наконец, что в тексте глав и дополнений при
первом чтении некоторые абзацы могут быть просто пропущены:
они напечатаны мелким шрифтом.

ВВЕДЕНИЕ
СТРУКТУРА И УРОВЕНЬ КНИГИ
Нет необходимости напоминать о фундаментальной роли квантовой механики в
современных физике и химии. Ее важность отражается, конечно, и в постановке высшего
образования: так, например, в действующих французских программах предусмотрено
знакомство с основными идеями квантовой физики уже на втором году обучения в
университете, а детальное изучение основ квантовой механики и ее наиболее важных
приложений производится на третьем году обучения.
Эта книга является прямым результатом многолетнего опыта преподавания
квантовой механики на факультете естественных наук Парижского университета и затем в
университетах Париж-V и Париж-VI. Нам казалось весьма важным четко выделить даже
в самой структуре книги два разных, но взаимодополняющих аспекта преподавания
(лекции и практические занятия). Именно этим объясняется разбиение книги на две
составляющие, отмеченные выше в «Важном предупреждении». С одной стороны, в главах
сосредоточен материал, накопленный при чтении лекций в указанных выше учебных
заведениях, и он нами серьезно обсуждался и уточнялся до написания книги. С другой
стороны, для дополнений мы использовали опыт проведения практических занятий и
упражнений, а также ряд проблем и задач, предлагавшихся студентам для
самостоятельного решения, для докладов, курсовых работ и выпускных работ третьего цикла. Как мы
уже отмечали выше, совокупность глав составляет в нашем представлении с точностью
до нескольких уточнений содержание тех лекций, которые авторы читали на четвертом
курсе университета. Конечно, не может быть и речи о том, чтобы за один учебный год
изучить все дополнения, материал которых накапливался в течение многих лет: читатель —
преподаватель или студент — должен сам выбирать те из них, которые наиболее
соответствуют роду его занятий, вкусу или преследуемой цели. В ходе создания этой книги
мы постоянно имели в виду, что нашим читателем является студент — будущий физик,
с которым мы работали много лет, поэтому мы стремились не переступать порог
трудности, определяемый сложностью усвоения и понимания квантовой механики и
следующий из вопросов, задаваемых студентами. Конечно же, мы надеемся, что эта книга
окажется полезной и другим категориям читателей (аспирантам, молодым ученым,
преподавателям среднего звена образования и т.д.).

Чтобы начать чтение книги, не обязательно иметь уже некоторую начальную
подготовку в области квантовой механики: действительно, за редким исключением, студенты
не имеют такой подготовки. И, напротив, нам кажется необходимым дополнить
предлагаемый нами курс квантовой механики курсом атомной физики (в широком смысле
слова), который был бы более тесно связан с экспериментом и носил бы описательный
характер.
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ИЗЛОЖЕНИЯ МАТЕРИАЛА
Нам кажется, что наилучшим способом освоения квантовой механики является ее
использование для решения конкретных задач. Именно поэтому мы вводим как можно
раньше (с главы III) постулаты квантовой механики, чтобы применять их в дальнейшем
изложении. Действительно, наш опыт преподавания показал, что лучше сгруппировать
все постулаты в начале курса, чем вводить их в несколько приемов. Кроме того, нам
кажется более предпочтительным сразу же использовать пространство состояний и
обозначения Дирака: если развивать сначала волновую механику, применяя только
волновые функции, и лишь потом вводить более общий формализм кет- и бра-векторов,
приходится неизбежно прибегать к повторениям. Более того, запоздалое введение этих
обозначений может сбить студента с толку и породить сомнения в понятиях, которые он
только что получил и еще не успел полностью усвоить.
После вводной главы, в которой на качественном уровне излагаются квантовые
идеи с помощью простых оптических аналогий, мы синтетическим образом представим
математический аппарат (глава II) и постулаты (глава III) квантовой механики. В главе III
попытка синтеза делается не только в отношении формулировки постулатов, но также и
при обсуждении их физического содержания, что позволяет читателю с самого начала
познакомиться с общими физическими следствиями новых постулатов. Начиная с
главы IV (а точнее, с дополнений к главе III), мы переходим к приложениям, сначала к
самым простым (двухуровневые системы, гармонический осциллятор и т. д.), а затем
постепенно и к более сложным (атом водорода, методы аппроксимации и т. д.). Мы все
время стремимся к тому, чтобы изложение квантовой механики иллюстрировалось
многочисленными примерами, взятыми из различных областей (атомная физика,
молекулярная физика, физика твердого тела и т. д.). Конечно, во всех этих примерах нас
прежде всего интересует квантовый аспект явлений, и мы не имеем возможности детального
исследования всех частных вопросов, которые вытекают из их анализа и являются
предметом рассмотрения в специальной литературе. При каждом удобном случае
квантовые результаты сопоставляются с классическими, чтобы явно выделить их сходство
или различие и выработать у читателя интуитивный подход к квантовым эффектам.
Такая существенно дедуктивная точка зрения побудила нас отказаться от
исторического введения квантовых идей, то есть от представления и обсуждения
экспериментальных фактов, которые поставили под сомнение классические идеи. Таким образом,
мы намеренно отказались от индуктивного подхода, который кажется необходимым для
придания физике истинного лица, как науки, всегда имеющей дело с эксперименталь-

ными фактами, являющимися ее движущей силой. Этот подход кажется более уместным
для книги по атомной физике или для вводных лекций по квантовой физике на самом
элементарном уровне (например, первый цикл обучения).
Аналогично, мы умышленно избегали любой дискуссии по философским вопросам
квантовой механики и любых попыток ее интерпретации. Подобная дискуссия, несмотря
на ее несомненный интерес, должна, по нашему мнению, проходить совсем на другом
уровне: нам кажется,, что для плодотворного обсуждения этих вопросов необходимо
сначала овладеть «ортодоксальной» квантовой теорией, которая заслужила всеобщее
признание благодаря замечательным успехам во всех областях физики и химии.
Преподавание квантовой механики, которое легло в основу этой книги, было
результатом многолетней совместной работы всей нашей группы. Мы хотели бы
поблагодарить всех тех, кто в разное время работал в ее составе, и особенно Жака Дюпон-Рока и
Сержа Ароша за их дружеское сотрудничество, за плодотворные дискуссии, которые мы
вместе вели во время наших еженедельных собраний, за идеи задач и упражнений,
предложенные ими. Без их энтузиазма и неоценимой помощи мы никогда не смогли бы
предпринять и довести до конца написание этой книги.
Мы не можем, конечно, забыть, что двое из нас всем обязаны господам Альфреду
Кастлеру и Жану Бросселю, а третий — господину Морису Леви. Именно в
стимулирующей обстановке их лабораторий мы открыли для себя красоту и мощь квантовой
механики. Мы не забудем также то значение, которое имело для нас обучение
современной физике на лекциях господ Альбера Мессиа, Клода Блоха и Анатоля Абрагама в те
годы, когда третий цикл обучения не был еще введен в систему французского высшего
образования.
Подготовка рукописи к печати не могла бы быть выполнена без помощи многих
людей и, в частности, мадам и мадемуазель Оше, Бодри, Буа, Броджи, Эмо, Эваэр, Лемир и
Тузо. Мы хотим выразить им свою глубокую благодарность.

Глава I
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ.
ВВЕДЕНИЕ ОСНОВНЫХ ИДЕЙ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ПЛАН ГЛАВЫ I
А. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ И ФОТОНЫ.
1. Кванты света и соотношения Планка—Эйнштейна.
2. Корпускулярно-волновой дуализм.
a. Анализ эксперимента Юнга.
b. Квантовое единство двух аспектов света.
3. Принцип спектрального разложения.
В. МАТЕРИАЛЬНЫЕ
ЧАСТИЦЫ
И ВОЛНЫ МАТЕРИИ.
1. Соотношения Луи де Бройля.
2. Волновая функция. Уравнение Шредингера.
С. КВАНТОВОЕ ОПИСАНИЕ
ЧАСТИЦЫ. ВОЛНОВОЙ
ПАКЕТ.
1. Свободная частица.
2. Форма волнового пакета в заданный момент времени.
3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.
4. Эволюция свободного волнового пакета во времени.
D. ЧАСТИЦА В ПОЛЕ
СКАЛЯРНОГО
ПОТЕНЦИАЛА,
НЕ ЗАВИСЯЩЕГО
ОТ ВРЕМЕНИ.
1. Разделение переменных. Стационарные состояния.
a. Определение стационарных состояний.
b. Суперпозиция стационарных состояний.
2. «Прямоугольные» одномерные потенциалы. Качествен
ный анализ.
a. Физический смысл прямоугольного потенциала.
b. Аналогия с оптикой.
c. Примеры.

На современном уровне научного познания квантовая механика играет
фундаментальную роль для понимания и описания явлений природы. Действительно, как только
эти явления происходят в атомном или субатомном масштабах, их можно объяснить лишь
в рамках квантовой физики. Так, например, само существование атомов и их свойства,
химическая связь, прохождение электрона через кристалл и т. д. не могут быть поняты
на основе классической механики. Даже в тех случаях, когда нас интересуют
макроскопические физические объекты (то есть имеющие размеры, характерные для повседневной
жизни), для их полного научного описания исследование нужно начинать с изучения
поведения отдельных атомов, входящих в их состав. Именно в этом смысле квантовая
механика является основой нашего понимания природных явлений, включая и те, которые
традиционно относятся к химии, биологии и т. д.
С исторической точки зрения квантовые идеи, объединив свойства материальных
частиц и излучения, внесли неоценимый вклад в фундаментальные понятия физики.
Действительно, к концу XIX века все физические явления связывали с двумя, как
казалось, различными категориями: веществом и полем излучения, для которых были
установлены различные законы. Для описания движения материальных тел использовалась
механика Ньютона (см. приложение III), успехи развития которой были в свое время
замечательными. В том, что касается поля излучения, теория электромагнетизма,
благодаря введению уравнений Максвелла, позволила полностью понять целую совокупность
явлений, которые относили к различным областям: электричество, магнетизм и оптика;
так, в частности, электромагнитная теория излучения получила блестящее
экспериментальное подтверждение после открытия радиоволн. И, наконец, взаимодействие излучения
с веществом прекрасно описывалось с помощью силы Лоренца. Перечисленная
совокупность законов с учетом имевшихся экспериментальных данных обеспечивала физике
состояние, которое можно было считать удовлетворительным.
Однако в начале XX века физика испытала глубокие потрясения, в ходе которых
родились релятивистская механика и квантовая механика. Релятивистская и квантовая
«революции» были в значительной степени независимыми, так как ставили под вопрос
справедливость классической физики с разных точек зрения: классические законы не
выполнялись как в случае материальных тел, двигающихся с очень большими
скоростями, сравнимыми со скоростью света (релятивистская область), так и для процессов в
атомном или субатомном масштабах (квантовая область). Важно подчеркнуть, однако,
что в обоих случаях классическая физика являлась следствием новых теорий как при-
13

Глава I
ближение, справедливое для большинства явлений в привычных масштабах. Так,
например, механика Ньютона позволяет правильно предсказать движение твердого тела,
если это движение является нерелятивистским (скорость мала по сравнению со
скоростью света) и макроскопическим (размеры тела велики по сравнению с размерами
атомов). С фундаментальной точки зрения квантовая теория всегда остается необходимой:
только она может объяснить само существование твердого тела и значение его
макроскопических параметров (плотность, теплоемкость, упругость и т. д.). На самом деле
вплоть до настоящего времени мы еще не располагаем теорией, которая бы
удовлетворяла нас, будучи одновременно квантовой и релятивистской, ибо трудности на пути ее
создания весьма велики. Большинство же атомных и молекулярных явлений могут быть
хорошо описаны в рамках нерелятивистской квантовой механики, которая и предлагается
вниманию читателей этой книги.
Настоящая глава является вступительной, в ней лишь вводятся основные понятия и
идеи квантовой механики, и не следует требовать от нее ни полноты, ни строгости
описания. Ее главная цель — пробудить любопытство читателя, указав на явления,
несовместимые с такими прочно закрепленными в нашем интуитивном сознании понятиями,
как, например, траектория, и сделать «приемлемой» для него квантовую теорию,
продемонстрировав простыми, но количественными расчетами ее способность решать сложные
проблемы, встречающиеся в атомных масштабах. Впоследствии мы вернемся к введенным
в этой главе понятиям, уточнив их как с математической (глава II), так и с физической
(глава III) точек зрения.
В § А мы прежде всего введем основные идеи квантовой механики (дуализм
«волна—частица», механизм измерения), опираясь на хорошо известные оптические
эксперименты. Затем в § В укажем, как можно эти идеи распространить на материальные
частицы (волновая функция, уравнение Шредингера). Далее детально исследуем свойства
«волнового пакета», связанного с частицей, и введем соотношения неопределенностей
Гейзенберга (§ С). И, наконец, в § D обсудим несколько простых, но типично квантовых
эффектов.
А. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ И ФОТОНЫ
1. Кванты света и соотношения Планка—Эйнштейна
Ньютон считал свет потоком частиц, упруго отскакивающих, например, при
отражении от зеркала. В первой половине XIX века были выполнены эксперименты,
демонстрирующие волновую природу света (интерференция, дифракция), после чего оптические
явления получили объяснение в рамках электромагнитной теории. Скорость света с
была связана с электрическими и магнитными константами, а поляризация света
интерпретировалась как проявление векторного характера электрического поля.
Однако при исследовании излучения абсолютно черного тела электромагнитная
14

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
теория оказалась бессильной, и это побудило Планка в 1900 году выдвинуть гипотезу
квантования энергии: электромагнитная волна с частотой v может обладать лишь такой
энергией, которая будет кратна кванту энергии /?v, где h — новая фундаментальная
константа. Позже Эйнштейн, придав этой гипотезе значительно более общий смысл,
предложил вернуться к корпускулярной теории A905): свет состоит из потока фотонов,
каждый из которых обладает энергией hv. Эйнштейн показал, как введение понятия
фотона позволило бы очень просто описать непонятные до того времени свойства
фотоэффекта. Тем не менее потребовалось почти двадцать лет, чтобы непосредственно доказать
существование фотона как независимой частицы в эффекте Комптона A924).
Эти результаты привели к следующему заключению: взаимодействие
электромагнитной волны с веществом осуществляется при помощи нераздельных элементарных
процессов, в которых излучение ведет себя как поток частиц — фотонов. Корпускулярные
(энергия Е и импульс р фотона) и волновые (частота со = 2tiv и волновой вектор к,
где |к| = 2я / X , v — частота и X — длина волны) параметры связаны
фундаментальными соотношениями:
Е = hv = йсо (соотношения Планка—Эйнштейна);
p = fik, (A-1)
где ft = h 12я определяется через постоянную Планка h :
h = 6,62 • I О4 джоуль х секунда. (А-2)
В любом из элементарных процессов полные энергия и импульс должны сохраняться.
2. Корпускулярно-волновой дуализм
Итак, мы вернулись к корпускулярной концепции света. Значит ли это, что волновая
теория должна быть отброшена? Конечно, нет: мы увидим сейчас, что типично
волновые явления, наблюдаемые в экспериментах по интерференции и дифракции света,
невозможно объяснить в рамках чисто корпускулярных представлений. Анализируя
известный эксперимент Юнга, мы придем к следующему заключению: полное его
объяснение можно получить, лишь сохраняя одновременно и волновой и корпускулярный
аспекты света (кажущиеся априори несовместимыми). Затем мы покажем, как этот
парадокс может быть разрешен путем введения основных квантовых понятий.
а. АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТА ЮНГА
Схема этого эксперимента приведена на рис.1. Монохроматический свет,
испущенный источником У, падает на непрозрачную пластинку, в которой проделаны две узкие
щели F! и F2, освещающие экран наблюдения # (например, фотографическую пластинку).
15

Глава 1
Если щель F2 закрыта, на экране # формируется изображение щели Fi в виде
дифракционного распределения интенсивности света /,(*); аналогично при закрытой щели Ft
дифракционное изображение щели F2 описывается распределением 12{х). Если же обе
щели остаются открытыми одновременно, то на экране наблюдается система
интерференционных полос. В частности, легко установить, что соответствующее им
распределение интенсивности 1(х) не равно сумме интенсивностеи, полученных при открытых
щелях Fi и F2 в отдельности:
/(*)*/,(*)+/,(*)
(А-3)
Л
8
Рис.1
Л + л v
Схема эксперимента Юнга по интерференции света (а). На экране % каждая из щелей
FL и F2 образует дифракционное изображение с интенсивностями /,(*) и 12{х)
(сплошные кривые на рис. (Ь). Если одновременно открыты обе щели, интенсивность 1(х) на
экране не равна /,(*) +/2(jc) (пунктирная линия) и осциллирует вследствие
интерференции электрических полей, испущенных щелями F, и F2 (сплошная кривая на рис. (с)
Можно ли с помощью корпускулярной теории, необходимость которой была
показана в предыдущем параграфе, объяснить описанный результат эксперимента? Наличие
дифракционной картины при открытии лишь одной из щелей можно было бы попытаться
объяснить, например, путем учета влияния соударений фотонов о край щели; конечно,
необходимо было бы уточнить подобное объяснение, и подробный анализ показал бы,
16

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
что оно не может быть признано достаточным. Пока же мы сосредоточим внимание на
явлении интерференции. Можно попытаться объяснить ее, включив в рассмотрение
взаимодействие фотонов, прошедших через щель Fb с фотонами, прошедшими через
щель F2; этот анализ привел бы нас к следующему заключению: при уменьшении
интенсивности источника if (т.е. количества фотонов, испущенных в 1 сек.) вплоть до того,
что фотоны падают на пластинку и затем на экран по одному, взаимодействие между
ними должно уменьшаться и в пределе стать равным нулю, вследствие чего полосы
интерференции должны исчезнуть.
Прежде чем указать на результат эксперимента, вспомним волновую теорию которая
объясняет наличие полос совершенно естественным образом. Интенсивность света в
любой точке экрана tf пропорциональна квадрату амплитуды электрического поля в этой
точке. Если Ех(х) и Е2(х) представляют в комплексной форме электрические поля,
созданные в точке х щелями Fi и F2 соответственно (щели ведут себя как вторичные
источники света), то полное поле в этой точке от двух щелей, открытых одновременно, равно:
£(х) = £,(*)+£2(;с). (А-4)
Используя комплексную форму записи, получим*:
I(x)oc\El(x) + E2(x)\\ (A-5)
Поскольку, с другой стороны, интенсивности /,(jc) и 12(х) пропорциональны соот-
II2 | |2
Е1(х)\ и |£2(*)| » из формулы (А-5) следует, что 1(х) отличается от
1{(х)+ 12(х) интерференционным членом, зависящим от разности фаз между Ех и Е2,
наличие которого и объясняет интерференционные полосы. Таким образом, как
предсказывает волновая теория, при уменьшении интенсивности источника У> полосы
сохраняются, и лишь их интенсивность уменьшается.
Что же происходит в действительности, если источник испускает фотоны
практически по одному? Ни предсказания волновой теории, ни предсказания корпускулярной
теории не подтверждаются экспериментом:
(i) если вместо экрана # поставить фотопластинку и сделать достаточно большую
выдержку, чтобы зафиксировать большое количество фотонов, то приходится
констатировать, что интерференционные полосы не исчезли, и, следовательно, нужно отказаться
от чисто корпускулярной интерпретации, согласно которой полосы появляются
вследствие взаимодействия между фотонами;
* Поскольку описываемый здесь эксперимент выполнялся с неполяризованным светом,
векторный характер электрического пвйя не играет существенной роли. Для простоты в этом
параграфе мы не будем его учитывать.
2 Квантовая механика
17

Глава 1
(ii) если, напротив, сделать выдержку столь малой, что на фотопластинку упадет
всего лишь несколько фотонов, то мы увидим, что место падения каждого фотона
окажется четко локализованным и даже очень слабая картина интерференции не появится,
то есть нужно также отвергнуть чисто волновую интерпретацию явления.
В реальности происходит следующее: по мере того, как фотоны попадают по одному
на фотопластинку, точки попадания фотонов распределяются случайным образом, и
только при очень большом их количестве характер распределения приобретает
непрерывный вид, образуя интерференционные полосы; там, где плотность точек попадания
выше, появляется яркая полоса, а там, где эта плотность ниже, — темная полоса. Таким
образом, можно сказать, что интерференционная картина образуется постепенно по мере
накопления большого числа соударений фотонов о пластинку.
Итак, результат этого эксперимента приводит к кажущемуся парадоксу, который
может быть сформулирован в рамках корпускулярной теории следующим образом.
Поскольку взаимодействие между фотонами исключается, нужно рассматривать каждый
фотон в отдельности. Но понять, почему ситуация резко меняется в зависимости от того,
открывается одна или две щели, невозможно: как объяснить, что прохождение фотона
через одну из щелей существенно зависит от того, открыта или закрыта вторая щель.
Прежде чем приступить к обсуждению этого вопроса, уместно отметить, что в
описанном эксперименте мы не пытались конкретизировать, через какую именно щель
прошел попавший на экран фотон. Чтобы получить эту информацию, можно поместить за
каждой из щелей Fi и F2 какой-либо детектор (например, фотоумножитель). При этом,
если фотоны проходят на экран по одному, можно установить, через какую именно щель
прошел тот или иной фотон, ибо сигнал от детекторов может быть получен только от
одного из них, но никак от двух сразу. Очевидно, что обнаруженные таким образом фотоны
окажутся поглощенными и не смогут попасть на экран. Удалим, например,
фотоумножитель, стоящий за щелью Fi. Детектор, стоящий за щелью F2, покажет нам, что из большого
числа фотонов около половины пройдет через щель F2. Можно заключить, что остальные
фотоны, двигающиеся к экрану, пройдут через щель Fb но изображение, создаваемое ими
на экране, никоим образом не похоже на интерференционную картину, ибо вторая щель
оказывается закрытой, и наблюдается лишь дифракционное изображение щели Fi.
b. КВАНТОВОЕ ЕДИНСТВО ДВУХ АСПЕКТОВ СВЕТА
Выполненный выше анализ показывает, что все описанные явления невозможно
описать, если оставаться в рамках только одного аспекта света — корпускулярного или
волнового. На первый взгляд кажется, что они исключают друг друга. Чтобы преодолеть
это затруднение, необходимо критически пересмотреть концепции классической физики
и допустить, что они не могут быть сохранены в новой области явлений (ее принято
называть микроскопической), несмотря на то, что повседневный опыт говорит нам об их
справедливости. Так, например, одной из важных особенностей этой области является

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
та, которая проявилась в эксперименте Юнга, когда мы ставили счетчики фотонов
позади щелей: любое измерение в микроскопической системе вносит в нее существенное
возмущение, причем это свойство нужно рассматривать как новое, ибо привычный опыт
говорит нам, что измерительный прибор практически не влияет на изучаемую систему.
Такой критический пересмотр классической физики навязан нам экспериментом, и мы
обязаны, конечно, руководствоваться экспериментальными данными.
Вернемся сначала к «парадоксу», о котором говорилось выше: поведение фотона,
проходящего через одну из щелей, зависит от того, закрыта или открыта вторая щель. Мы
видели, что любая попытка регистрации прохождения фотона через конкретную щель
мешает ему попасть на экран. Обобщая подробный анализ описанных экспериментов, можно
утверждать, что нельзя одновременно наблюдать интерференционную картину и знать,
через какую именно щель проходит каждый фотон (см. дополнение DO. Таким образом,
чтобы разрешить парадокс, необходимо отказаться от мысли, что каждый данный фотон
проходит обязательно через какую-то определенную щель. Тем самым ставится под
сомнение понятие траектории частицы, являющееся фундаментальным в классической физике.
С другой стороны, когда фотоны падают по одному, точки их соударений с экраном
постепенно образуют интерференционную картину. Это означает, что заранее нельзя
определить, в какую точку экрана попадет тот или иной конкретный фотон. Тем не менее
все фотоны испускаются источником в равных условиях. Следовательно, классическая
идея о том, что начальные условия полностью определяют последующее движение
частицы, оказывается разрушенной. Можно лишь констатировать, что вероятность попадания
испущенного фотона в определенную точку х экрана пропорциональна
интенсивности 1{х), вычисленной с помощью волновой теории и равной \Е(х) | .
В результате многочисленных пробных попыток, описывать которые здесь не имеет
смысла, было введено понятие корпускулярно-волнового дуализма, основные положения
которого можно схематически резюмировать следующим образом*:
(i) корпускулярный и волновой аспекты света неразделимы; свет ведет себя
одновременно и как волна и как поток частиц, причем волна помогает вычислить
вероятность обнаружения частицы;
(и) предсказать поведение фотона можно лишь вероятностным образом;
(Hi) информация о фотоне в заданный момент времени / дается волной £(г, г),
являющейся решением уравнений Максвелла; мы будем говорить, что эта волна
характеризует состояние фотонов в момент /. Функция £(r, t) интерпретируется как амплитуда
вероятности нахождения фотона в точке г в момент времени /: это означает, что
соответствующая вероятность равна |£(r, t) | .
* Уместно отметить, что такая интерпретация физических явлений рассматривается в
настоящее время как «ортодоксальная» и вызывает возражения некоторых физиков.
2*
19

Глава 1
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Уравнения Максвелла, будучи линейными и однородными, допускают
применение принципа суперпозиции: если Ех и Е2 являются их решениями, то сумма
Е = Х1Е1 +А2£2, где А,, и Х2 — постоянные, также является решением. Именно
принцип суперпозиции позволяет объяснить в рамках классической оптики
явления волнового типа (интерференция, дифракция). В квантовой физике
интерпретация £(г, О как амплитуды вероятности необходима для того, чтобы такие явления
могли быть описаны.
(ii) Теория позволяет лишь получить вероятность того, что то или иное явление может
иметь место. Поэтому экспериментальная проверка должна быть основана на
повторении большого количества одинаковых опытов (в описанном выше
эксперименте нужно послать большое число одинаковых фотонов, чтобы получить картину
интерференции, являющуюся материализацией вычисленных вероятностей).
(iii) Здесь мы говорим о «состоянии фотона» для того, чтобы в § В иметь возможность
ввести аналогию между £(r, t) и волновой функцией \|/(г, г), характеризующей
квантовое состояние материальной частицы. Эта «оптическая аналогия»
оказывается очень плодотворной и позволяет, в частности, как мы увидим в § D,
практически без вычислений просто объяснить многие квантовые свойства материальных
частиц. Однако не следует увлекаться этой аналогией и думать, что можно со всей
строгостью считать £(r, t) квантовым состоянием фотона.
Мы скоро увидим, впрочем, что тот факт, что функция \|/(r, t) является
комплексной, в квантовой механике существенно важен, тогда как комплексное
обозначение для функции £(г, О в оптике введено скорее из соображений удобства,
поскольку лишь ее вещественная часть имеет физический смысл. Точное
определение квантового состояния (комплексного) поля излучения может быть дано
только в рамках квантовой электродинамики — теории одновременно и квантовой
и релятивистской. Обсуждение этих вопросов здесь было бы преждевременным, и
мы ограничимся лишь кратким обзором в дополнении Kv.
3. Принцип спектрального разложения
Основываясь на введенных в § 2 понятиях, обсудим другой простой оптический
опыт, интересуясь теперь поляризационными характеристиками света. Это позволит
понять фундаментальные концепции, касающиеся измерения физических величин.
Опыт состоит в том, что плоская монохроматическая поляризованная световая
волна направляется на анализатор А. Если направление распространения волны совпадает с
осью Oz, а единичный вектор ер определяет ее поляризацию (рис. 2), то анализатор А
пропустит лишь поляризацию, параллельную оси Ох, и поглотит поляризацию,
параллельную оси Оу.
20

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Классическое описание этого эксперимента, верное для достаточно больших интен-
сивностей падающего света, состоит в следующем. Плоская поляризованная волна
характеризуется электрическим полем вида:
Е(г,0=Е0е/{к^'\ (А-6)
i г
где Е{) — константа, причем интенсивность / света пропорциональна \Е0\ . После
прохождения света через анализатор А образуется плоская волна, поляризованная вдоль
оси Ох:
E'(r,0=^e^/a:-w/), (A-7)
интенсивность которой /', пропорциональная \Е{}\2, определяется законом Малюса:
/'=/соу29, (А-8)
где 0 = (еж, е/;) — угол между единичными векторами оси Ох и поляризации.
Что же будет происходить на квантовом уровне, то есть при столь малых интен-
сивностях /, что можно считать, что фотоны попадают на анализатор по одному?
(При этом подразумевается, что за анализатором помещается детектор фотонов.)
Заметим прежде всего, что невозможно зарегистрировать «часть фотона» — или фотон
прошел через анализатор, или был им поглощен. Затем (за исключением частных
случаев, которые мы скоро обсудим) признаем, что знать с полной уверенностью заранее,
будет ли данный фотон поглощен анализатором или пройдет через него, нельзя, можно
лишь определить соответствующие вероятности. И, наконец, если посылать один за
другим большое число фотонов, то в результате получится классическая картина, то есть
после анализатора получим практически закон распределения N cos2 0 .
Из вышеприведенного описания отметим следующие положения.
(i) Измерительный прибор (в данном случае анализатор) может дать лишь
некоторые избранные результаты, которые мы будем называть собственными результатами*.
В описываемом эксперименте имеется только два возможных результата измерения:
фотон проходит через анализатор или задерживается им. Говорят, что имеет место
квантование результата измерения в отличие от классического случая [формула (А -8)], где
интенсивность /' могла изменяться непрерывным образом между 0 и / в зависимости
от угла 0.
* Причина такого названия станет ясна в главе III.
21

Глава 1
Рис.2
Схема простого эксперимента с поляризованной световой волной. Луч света
распространяется в направлении Oz и проходит последовательно через поляризатор Р и
анализатор А; 0 — угол между осью Ох и электрическим полем волны, прошедшей через Р;
колебания, проходящие через А, параллельны оси Ох
(и) Каждому из собственных результатов соответствует собственное состояние. В
нашем случае собственные состояния характеризуются векторами:
е = е
р х
или
е = е ,
Р У '
(А-9)
где е — единичный вектор оси Оу . Если ер = ех, с достоверностью известно, что
фотон прошел через анализатор; если ер = е^, он с достоверностью будет задержан.
Таким образом, имеет место следующее соответствие между собственными результатами
и собственными состояниями: если перед измерением частица находится в одном из
собственных состояний, то результат измерения точно определен и не может быть ничем
иным, как соответствующим собственным результатом.
(iii) Если перед измерением состояние было произвольным, заранее можно
определить только вероятности получить различные собственные результаты. Чтобы найти эти
вероятности, состояние частицы представляется в виде линейной комбинации
различных собственных состояний; в нашем случае, если ер — вектор произвольной
поляризации, можно записать:
■ excos Q + eysin 0.
(А-10)
22

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Вероятность получить такой собственный результат пропорциональна квадрату модуля
коэффициента, с которым входит соответствующее собственное состояние (постоянный
множитель определяется условием равенства единице суммы всех вероятностей). Из (А-10)
следует, что каждый фотон имеет вероятность cos2Q пройти через анализатор и sin2d
быть поглощенным анализатором (действительно, cos2 в + sin2Q = 1), как и
предполагалось выше. Это правило названо в квантовой механике принципом спектрального
разложения. Следует отметить, что конкретный вид разложения зависит от типа
рассматриваемого измерительного прибора, ибо нужно использовать те собственные состояния,
которые ему присущи: в формуле (А-10) выбор осей Ох и Оу определен анализатором.
(iv) После прохождения через анализатор свет полностью поляризован вдоль оси Ох.
Если теперь поставить после первого еще один анализатор А', имеющий ту же ось, то
все фотоны, прошедшие через А, пройдут и через А'. Согласно пункту (ii) это значит,
что после прохождения анализатора А состояние фотонов является собственным
состоянием ед . Таким образом, состояние частиц резко изменилось: до измерения оно
определялось вектором E(r, t), коллинеарным с е;,, а после измерения, давшего
дополнительную информацию (фотон прошел через анализатор), его состояние
характеризуется другим вектором, коллинеарным с е х. В этом проявляется высказанное ранее в § А-2
утверждение о том, что измерение фундаментальным образом возмущает
микроскопическую систему (здесь фотон).
ЗАМЕЧАНИЕ
Определенность результата при е = ел. или е = еу является лишь частным
случаем. Действительно, вероятность одного из этих возможных событий равна 1; но чтобы
подтвердить это предсказание, необходимо выполнить большое количество экспериментов:
ведь нужно убедиться, что все фотоны проходят (или не проходят) через анализатор, ибо
факт прохождения (или поглощения) одного отдельного фотона не может служить
характеристикой того, что е = ev или е = е .
В. МАТЕРИАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ МАТЕРИИ
1. Соотношения Луи де Бройля
Одновременно с открытием фотонов исследование спектров испускания и
поглощения атомов выявило фундаментальное их свойство, которое невозможно было понять в
рамках классической физики: спектры состояли из тонких дискретных линий. Иными
словами, данный атом может излучать или поглощать лишь фотоны со строго
определенными частотами (т. е. энергиями). Это свойство легко объяснить, если допустить, что
23

Глава I
энергия атома квантуется, то есть может принимать только определенные дискретные
значения Et, где i = 1, 2, ..., п, ... . Испускание и поглощение фотона сопровождается
«скачком» энергии атома от одного разрешенного значения Ei до другого значения Е},
причем закон сохранения энергии требует, чтобы фотон имел частоту Etj,
удовлетворяющую соотношению:
/zv/7=|£,.-£y.|. (В-1)
Только те частоты, которые подчиняются формуле (В-1), могут испускаться или
поглощаться атомом.
Существование дискретных уровней энергии было подтверждено независимо
опытом Франка—Герца. Бор интерпретировал его, используя понятие избранных
электронных орбит и, совместно с Зоммерфельдом, ввел эмпирическое правило, позволяющее
вычислить эти орбиты в случае атома водорода. Но фундаментальная природа этих
правил квантования оставалась загадкой.
И вот в 1923 году Луи де Бройль выдвинул следующую гипотезу: все материальные
частицы могут обладать, как и фотоны, волновым аспектом. И он вывел правила
квантования Бора—Зоммерфельда как следствие этой гипотезы, причем разрешенные
уровни энергии находились аналогично тому, как собственные моды колебаний натянутой
струны или резонатора. Эксперименты по дифракции электронов (Дэвиссон и Гермер,
1927) блестяще подтвердили существование волнового аспекта материальных частиц,
продемонстрировав, что интерференционная картина может быть получена с такими
частицами, как электроны.
Таким образом, любой материальной частице с энергией Е и моментом импульса р
ставилась в соответствие волна с частотой со = 2nv и волновым вектором к, причем
соотношения между этими величинами оставались теми же, что и для фотонов:
E-hv- йю;
(В)
р = Ш.
Другими словами, частице сопоставлялась волна с длиной
X = у-т = гт (соотношение Луи де Бройля). (В-3)
1к1 N
ЗАМЕЧАНИЕ
Очень малая величина постоянной Планка h объясняет, почему волновой характер
материи так трудно обнаружить в макроскопических масштабах; в дополнении Aj к данной
главе будет дана оценка порядков величины длин волн де Бройля для различных
материальных частиц.

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
2. Волновая функция. Уравнение Шредингера
В соответствии с гипотезой Луи де Бройля мы распространим понятия, введенные в
§А для фотона, на все материальные частицы. Пересмотрев каждое из заключений этого
параграфа, мы придем к следующим формулировкам.
(i) Понятие классической траектории следует заменить понятием состояния;
квантовое состояние частицы (например, электрона*) характеризуется волновой функцией
\j/(r, t), которая содержит всю возможную информацию о частице.
(и) Функция i|/(r, t) интерпретируется как амплитуда вероятности нахождения
частицы в момент времени t в точке г. Поскольку допустимые значения координат
частицы образуют континуум, вероятность нахождения частицы в момент t в элементе
объема dV = dx dy dz, расположенном в точке г, должна быть пропорциональна d3r и,
следовательно, является бесконечно малой величиной й^(г, /). Тогда |\|/(г, г)| следует
интерпретировать как плотность вероятности, записав:
^7(r,0 = C|\|/(r,0|Vr, (B-4)
где С — нормирующая константа (см. замечание (i) в конце § В-2).
(Hi) Принцип спектрального разложения применим к измерению любой физической
величины ,с/:
— полученный результат относится неизбежно к ансамблю собственных
результатов {а};
— каждому собственному значению а соответствует собственное состояние,
то есть собственная функция \|/(г); эта функция такова, что если \|/(г, /0) = \уа (г), где
/0 — момент времени измерения, то измерение с достоверностью даст значение а ;
— если \|/(г, 0 — произвольное состояние, то вероятность ,°?а получить при
измерении в момент времени /0 собственное значение а можно вычислить, разлагая
\|/(г, г0)в ряд по функциям \|/„(г):
V(r,f0) = 2>e4/e(r)- (B-5)
а
Тогда
* Мы здесь не учитываем существование спина электрона (см. главу IX).
25

Глава 1
a
(наличие знаменателя обеспечивает равенство 1 полной вероятности: £.^ =1).
а
Если в результате измерения действительно получено значение а, то волновая
функция частицы сразу же после измерения становится равной :
i1/,(r,r0) = \|/a(r). (B-7)
(iv) Остается записать уравнение, которому подчиняется функция \|/(r, t). Его
можно ввести совершенно естественным образом, исходя из соотношений Планка и Луи
де Бройля. Однако, мы не ставим себе цель обоснования такого фундаментального
уравнения и просто его запишем, а затем обсудим некоторые его следствия, экспериментальная
проверка которых подтверждает справедливость уравнения. Впрочем, мы вернемся к
этому вопросу в главе III.
Если частица с массой т подвержена действию потенциала V(r, t)\ ее волновая
функция \|/(r, t) подчиняется уравнению Шредингера:
(В-8)
Сразу же видно, что это уравнение является линейным и однородным по \|/; таким
образом, для материальных частиц справедлив принцип суперпозиции, который, будучи
объединенным с интерпретацией функции \|/ как амплитуды вероятности, дает
возможность объяснить эффекты волнового типа. С другой стороны, заметим, что
дифференциальное уравнение (В-8) является уравнением первого порядка по времени; это условие
необходимо для того, чтобы состояние частицы в момент времени t{), характеризуемое
функцией \|/(г, г{)), определяло его последующую эволюцию.
Итак, имеется глубокая аналогия между веществом и полем излучения: в обоих
случаях правильное описание явлений требует введения квантовых концепций и, в
частности, понятия корпускулярно-волнового дуализма.
т— i|/(r, o = -
ut
п2
A\|/(r, t) + V(r4 OV(r, t)
2m
* Здесь V(r, t) обозначает потенциальную энергию. Это, например, произведение
электрического потенциала и заряда частицы. В квантовой механике принято называть функцию V(r, t)
потенциалом.
26

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Для системы, состоящей из одной частицы, полная вероятность найти частицу в
любой точке пространства в момент времени t равна 1:
Jd04rf 0 = 1, (в"9)
где, поскольку d^(r, t) определяется формулой (В-4), следует заключить, что
волновая функция V(r, t) должна быть квадратично интегрируемой, то есть
интеграл
J|v(r,o|V
(В-10)
должен быть сходящимся. Константа нормировки С , стоящая в выражении (В-4),
определяется выражением:
^ = J|v(r,0|Vr
С (В-11)
(мы увидим позже, что форма уравнения Шредингера требует, чтобы величина С
не зависела от времени). Часто используют нормированные волновые функции,
для которых
J|\|/(r,»|Vr = l. (B-12)
В этом случае С = 1.
(ii) Отметим существенное различие между понятиями классического и квантового
состояний. Состояние классической частицы в момент времени / определено
шестью параметрами, характеризующими ее положение и скорость, то есть
х, у, z, vv, v , v. Состояние квантовой частицы определяется бесконечным
набором параметров — значениями волновой функции \|/(г, /) в различных точках
пространства. Классическое понятие траектории, как последовательность различных
состояний классической частицы во времени, должно быть заменено понятием
распространения волны, связанной с частицей. Вернемся, например, к описанию
эксперимента Юнга, приведенному ранее для фотонов, но пригодному в принципе
для таких материальных частиц, как электроны; при наблюдении
интерференционной картины бессмысленно ставить вопрос, через какую щель прошла каждая из
частиц, поскольку связанная с ними волна проходит одновременно через обе щели,
(iii) Уместно отметить, что в отличие от фотонов, которые могут быть испущены или
поглощены в ходе эксперимента, материальные частицы не могут быть созданы
27

Глава I
или уничтожены: когда нагретая нить накала испускает электроны, они не
возникают, а существуют и ранее в теле нити. Аналогично, поглощенный счетчиком
электрон не исчезает, а остается в атоме или участвует в образовании
электрического тока. На самом деле релятивистская теория предусматривает возможность
создания и уничтожения материальных частиц: так, например, фотон с достаточно
большой энергией, проходя близко от атома, может породить электронно-
позитронную пару, и, наоборот, позитрон, столкнувшись с электроном,
аннигилирует с ним, порождая фотоны. Однако мы уже указали в начале этой главы, что
здесь ограничиваемся нерелятивистской теорией и асимметрично трактуем время
и пространственные координаты. В рамках нерелятивистской квантовой механики
материальные частицы не могут быть ни созданы, ни уничтожены. Этот закон
сохранения, как мы увидим, играет первостепенную роль; необходимость отказа от
него является одним из серьезных затруднений при построении релятивистской
квантовой механики.
С. КВАНТОВОЕ ОПИСАНИЕ ЧАСТИЦЫ. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
В предыдущем параграфе мы ввели основные концепции, необходимые для
квантового описания частицы. В этом параграфе рассмотрим их подробнее и установим
несколько очень важных свойств. Начнем с простейшего случая свободной частицы.
1. Свободная частица
Рассмотрим частицу, потенциальная энергия которой равна нулю (или постоянна) в
любой точке пространства. Это значит, что частица не подвержена действию какой-либо
силы, то есть является свободной.
При V(r, 0 = 0 уравнение Шредингера имеет вид:
Э П2 (С-1)
ih— \|/(г, 0 = -—-A\|/(r, t).
at 2m
Это дифференциальное уравнение имеет очевидные решения вида:
y(r9t) = Aeiikt
где А — константа, а к и 0) связаны соотношением:
М2
оо = — . (С-3)
2т
Заметим, что в соответствии с соотношениями Луи де Бройля [см. (В-2)] условие (С-3)
_ д /(кг-шо (С-2)
28

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
выражает, что энергия Е и импульс р свободной частицы связаны хорошо известным
из классической механики равенством:
£ = !-• (С-4)
2т
Позже (в § С-3) мы вернемся к физической интерпретации состояния вида (С-2);
уже сейчас видно, что поскольку
|\|/(г, г)|2 =|А|2, (С-5)
плоская волна этого вида представляет частицу, вероятность найти которую в любой
точке пространства одинакова (см. замечание, приведенное ниже).
Принцип суперпозиции позволяет утверждать, что любая линейная комбинация
плоских волн, удовлетворяющих условию (С-3), также будет решением уравнения (С-1).
Такую суперпозицию можно записать в виде:
V(r.O = ^J«(k)e'«kM>"rfJ* (C.6)
(здесь d3k по определению является бесконечно малым элементом объема в
пространстве k: dkxdkydkz)\ функция g(k), которая может быть комплексной, должна быть
достаточно регулярной, чтобы ее можно было дифференцировать под знаком
суммирования. Впрочем, можно показать, что любое квадратично-интегрируемое решение может
быть записано в виде формулы (С-6).
Волновая функция в виде суперпозиции плоских волн типа (С-6) называется
трехмерным «волновым пакетом». Для простоты мы часто будем рассматривать случай
одномерного волнового пакета*, полученного путем суперпозиции плоских волн,
распространяющихся вдоль оси Ох . В этом случае волновая функция зависит только от х и /:
V(jc, 0 = -fL Jg(k)ei[kx-*ik)lldk . (С-7)
л/2я -со
В следующем параграфе нас будет интересовать форма волнового пакета в заданный
момент времени; если мы выберем его за начало отсчета времени, то волновая функция
примет вид:
* Простая модель двумерного волнового пакета приведена в дополнении Е|. В дополнении F|
исследованы некоторые общие свойства трехмерного волнового пакета, там показано также, что в
некоторых случаях можно перейти от трехмерной задачи к нескольким одномерным.
29

Глава I
\|/(х, 0) = -tLt\g(k)eikxdk . (С-8)
л/2я
Видно, что g(k) есть Фурье-образ (см. приложение I) функции \}/(х, 0):
g(k)=-j=lv(x,0)e-ikxdx. (C-9)
Таким образом, справедливость формулы (С-8) не ограничивается лишь случаем
свободной частицы: действительно, каким бы ни был потенциал, всегда можно записать
функцию \|/(х, 0) в этой форме, и выводы, которые последуют ниже в § 2 и § 3, являются
вполне общими. К свободной частице мы еще вернемся в § 4.
ЗАМЕЧАНИЕ
Плоская волна вида (С-2), модуль которой остается постоянным во всем
пространстве [см. (С-5)], не является квадратично-интегрируемой; строго говоря, она
не может представлять физическое состояние частицы (аналогично в оптике
плоская монохроматическая волна не может быть реализована физически). И, напротив,
суперпозиция плоских вида (С-7) может быть квадратично интегрируемой.
2. Форма волнового пакета в заданный момент времени
Форма волнового пакета определяется зависимостью функции 1|/(jc,0) от х,
определяемой равенством (С-8). Допустим, что \g(k)\ имеет форму, представленную на рис.3,
то есть характеризуется явным максимумом в точке к = &0, ширина которого на
половине высоты равна Ак .
\Ф)\
Рис.3
Ход функции \g(k)\ — модуля
преобразования Фурье от функции \|/(х, 0)
(предполагается, что эта функция характеризуется
максимумом с шириной Ак и центром в
точке к = к0)
30

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Попытаемся сначала понять качественно поведение функции \|/(x, 0), рассмотрев
простейший случай: функция \у(х, 0) является не бесконечной суперпозицией плоских
волн е±х, как в формуле (С-8), а всего лишь суммой трех плоских волн с волновыми
векторами к0, к0 , к0 +— и амплитудами, пропорциональными 1, 1/2 и 1/2. Тогда имеем:
\|/(*) =
*(*о)
л/2я
1кх [ '(*о~)^
е"+-е 2
1 Цк0Ах
+ -е 2
2
42п
(Ак ^
1 + cos —х
{ 2
(С-10)
Видно, что модуль | \|/(jc) | максимален при х - 0; это происходит потому, что при х = 0
все три волны находятся в фазе и интерферируют конструктивно, как показано на рис.4.
Ак
*. *f-WVWW¥
Рис.4
Вещественные части трех волн, сумма которых дает функцию, \|/(х) описываемую
формулой (С-10). В точке х = 0 три волны находятся в фазе и интерферируют конструктивно;
при отклонении от х = 0 между ними появляется разность фаз, и интерференция
становится деструктивной в точке х = ± -
Ах
На нижнем графике рисунка представлена
Re{ij/(x)}. Пунктирная кривая соответствует функции [\ + cos(Ak-x/2)]t модуль
которой дает | \|/(jc) | (то есть форму волнового пакета)
31

Глава 1
По мере отклонения от этого значения х волны испытывают сдвиг по фазе друг
относительно друга, и величина |\|/(*)| уменьшается. Интерференция становится полностью
деструктивной, когда сдвиг фазы между волнами е1к°х и е1<<к^Ш2)х равен ±п : действи-
Ах
тельно, \\1(х) становится равной нулю, если jc = ±—, где Ах определяется равенством:
Ах • Ак = An .
(С-11)
Это равенство указывает, что ширина Ах функции |\}/(;с)| (расстояние между двумя
нулями этой функции) тем больше, чем меньше ширина Ак функции \g(k)\.
ЗАМЕЧАНИЕ
Формула (С-10) показывает, что |vj/(x)| является периодической функцией от х, и,
следовательно, имеет набор максимумов и минимумов. Это происходит потому, что \\f(x)
представляет собой суперпозицию конечного числа волн (здесь трех); если бы имела место
суперпозиция непрерывной бесконечности волн, как в формуле (С-8), периодичность
отсутствовала бы, и функция \\f(x, 0) могла бы иметь только один максимум.
Вернемся теперь к общей формуле (С-8), описывающей волновой пакет. Ее форма
также является результатом явлений интерференции: модуль | \j/(jc, 0) | максимален,
когда различные плоские волны интерферируют конструктивным образом.
Действительно, пусть а(к) —аргумент функции g(k):
g(k) = \g(k)\eiaW.
Предположим, что а(к) изменяется регулярным образом в интервале
Ак'
(С-12)
Ак
0 2
, где функция | g(k) \ существенно отлична от нуля; тогда, если интервал Ак
достаточно мал, можно разложить а (к) вблизи к = к0:
da'
а(к) =a(kQ)+(k-k0)
что позволяет переписать формулу (С-8) в виде:
dk
(С-13)
32

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
/IV + cxU'o)!
VU0)=-
л/2я
\\g{k)\el{k-k^x-^dk,
(С-14)
где
*п = -
da
~dk
(С-15)
J*=*o
Форма выражения (С-14) удобна для изучения зависимости I V|/(jc, 0) | от х\ при
большом значении разности
подынтегральная функция от к многократно
осциллирует в интервале Ак; при этом видно (см. рис.5а, где представлена в качестве
примера вещественная часть этой функции), что вклады последовательных осцилляции
аннулируют друг друга, и интеграл по к оказывается ничтожно малым. Иначе говоря,
если х отстоит достаточно далеко от х0, фазы различных волн, образующих ij/(jc, 0),
быстро меняются в области А к , и эти волны взаимно уничтожаются в результате
интерференции. Напротив, если х = х{), подынтегральная функция от к практически
не осциллирует (см.рис.56), и модуль | V|/(jc, 0) | максимален.
^Кс{\д{к)\с11к-^){х-^\
/L#)|
fRc{ lyik)]^-^1*-**]
/Ш
I* - *о|
Рис.5
Зависимость от к подынтегральной функции в формуле для \|/(jc, 0). На рис.(а) х имеет
такое значение, что |х-*0|>1/Д£ , и функция многократно осциллирует в интервале Ак .
На рис.(Ь) х имеет такое значение, что |jc — jc0| <c 1 / Ак , и функция практически не
осциллирует, вследствие чего интеграл от нее по к достигает заметного значения. Центр
волнового пакета [точка, в которой модуль | \j/(jc, 0) | максимален] расположен в точке х = х0
3 Квантовая механика
33

Глава I
Таким образом, положение центра волнового пакета равно:
(С-16)
Мы получили его при условии, что фазы различных волн, составляющих i|/(jc, 0), очень
мало меняются в области А к (условие «стационарной фазы»).
Если х отличается от х0, функция | \j/(jc, 0) | уменьшается, причем это уменьшение
становится наиболее выраженным, когда комплексная экспонента е,{к'к°Пх~Хо)
осциллирует примерно один раз при изменении к в области А к , то есть когда
Ак-(х-х0) = \. (С-17)
Если Ах — приблизительная ширина волнового пакета, то
Ак-Ах>\. (С-18)
Таким образом, мы получили классическое соотношение между ширинами двух
функций, которые являются Фурье-образами друг друга. Наиболее важным является то,
что произведение Ак • Ах ограничено снизу, а точное значение этой границы зависит,
конечно, от точного определения Ах и Ак .
Таким образом, волновой пакет вида (С-7) описывает состояние частицы,
вероятность нахождения которой в момент времени t = 0 ничтожна вне интервала с шириной
Ах с центром в точке х0.
ЗАМЕЧАНИЕ
Выполненные выше рассуждения могли создать впечатление, что
произведение Ак • Аде должно быть всегда порядка 1 [см. (С-17)]. Обратим внимание, что
здесь речь идет лишь о нижней границе: невозможно образовать волновой пакет,
если произведение Ак • Ах мало по сравнению с 1, но это вполне возможно для
любых больших значений этого произведения [см., например, дополнение Еь в
частности, замечание (и) в § 3-в]. Именно поэтому формула (С-18) записана в виде
неравенства.
3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга
Неравенство (С-18) имеет в квантовой механике исключительно важные следствия.
Мы сейчас обсудим их, оставаясь для простоты в рамках одномерной модели.
Мы видели, что плоская волна е'(*о*-@°,) соответствует постоянной по оси х плот-
•*лД0) = *о=-
da
Ik
34

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
ности вероятности при любом значении t; иначе говоря, это можно выразить, считая
бесконечно большой ширину Аг . Напротив, в эту волну входит лишь одна частота ш0 и
единственный волновой вектор к0 ; согласно соотношениям де Бройля это означает, что
энергия и импульс частицы точно определены: Е = /ШH и р = М0. Такая плоская волна
может, впрочем, рассматриваться как частный случай выражения (С-7), в котором g(k)
записывается в виде дельта-функции:
*(*) = 8(*-*0). (С-19)
Тогда соответствующее значение А к равно нулю.
Это же свойство можно интерпретировать иначе в рамках принципа спектрального
разложения (см. § А-3 и § В-2). Сказать, что частица, описываемая в момент времени
/ = 0 волновой функцией \|/(*,0) = Ае1кх, обладает строго определенным импульсом,
означает, что в результате измерения импульса в этот момент времени будет получено
значение p = hk со стопроцентной вероятностью. Отсюда следует, что функция е,кх
характеризует собственное состояние, соответствующее импульсу р-Ьк . С другой
стороны, поскольку для любого вещественного значения к существует плоская волна,
являющаяся решением уравнения Шредингера, все собственные значения, которые априори
могут быть получены при измерении импульса в произвольном состоянии, должны быть
вещественными числами (в этом случае квантование возможных результатов отсутствует;
как и в классической механике, все значения импульса разрешены).
Рассмотрим формулу (С-8). Она описывает функцию \[/(лг, 0) как линейную
суперпозицию собственных функций импульса е1кх с весовыми коэффициентами g(k). Поэтому
с точностью до постоянного множителя величину | g(k) |2 следует интерпретировать как
вероятность получить значение p = hk при измерении в момент времени t = 0 импульса
частицы, состояние которой описывается функцией \|/(jc, t). В действительности
возможные значения импульса р и координаты х образуют непрерывный ансамбль, и
величина |g(&)|2 пропорциональна плотности вероятности: вероятность d№(k)
получить значение между fik и h(k + dk) равна с точностью до постоянного множителя
| g(k) |2 dk . Более точно, если переписать формулу (С-8) в виде:
V(*,0) = -jL= \y(p)eipx,hdp , (С-20)
то, как известно, функции \j/(p) и \|/(х, 0) удовлетворяют равенству Бесселя—Парсе-
валя (дополнение I):
3*
35

Глава 1
J|\|K*,0)|&= \\x/(p)\dp. (С-21)
Если оба эти интеграла равны С, то d:lP{x)= — |V|/(jc,0)| dx есть вероятность найти
частицу в момент времени г = 0 в интервале координат между х и jc + d* ; аналогично,
величина
dnp) = ^\W(p)\2dp (C-22)
является вероятностью того, что измерение импульса даст результат, заключенный в
интервале от р до p-vdp [равенство (С-21) обеспечивает тогда, что полная вероятность
получить любое значение действительно равна 1].
Вернемся теперь к формуле (С-18). Можно записать:
&х-Ар>П (С-23)
(А/? = ЙМ — ширина кривой, описывающей |\j/(p)|). Рассмотрим частицу, состояние
которой определено волновым пакетом (С-20); мы знаем, что вероятность ее нахождения
в момент времени t - О существенно отлична от нуля лишь в области с шириной Ах
вблизи точки х0, то есть ее положение известно с неопределенностью Але. Если в тот же
момент времени измерять импульс этой частицы, то можно получить значение, лежащее
между р0+ и р0 , поскольку |\j/(/?)| практически равен нулю вне этого
интервала: тогда неопределенность измерения импульса равна Ар. Интерпретация
соотношения (С-23) может быть при этом дана следующим образом: невозможно в данный
момент времени определить положение и импульс частицы с произвольной точностью;
если достигнут нижний предел, налагаемый формулой (С-23), то увеличить точность
определения положения частицы (уменьшить Ajc ) можно лишь за счет уменьшения
точности определения ее импульса (возрастание Ар) и наоборот. Это соотношение
называется соотношением неопределенностей Гейзенберга.
В классической механике не существует ничего подобного. Ограничение,
налагаемое выражением (С-23), имеет место вследствие того, что величина h отлична от нуля.
Именно малость h в макроскопическом масштабе позволяет пренебречь этим
ограничением в классической механике (детальное изложение соответствующего примера дано в
дополнении ВО.
36

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
ЗАМЕЧАНИЕ
Исходное неравенство (С-18) само по себе не содержит ничего типично квантового.
Оно лишь отражает общее свойство преобразований Фурье, широко применяемых в
классической физике: так, например, в радиоэлектронике хорошо известно, что не существует
импульса электромагнитной волны, для которого можно было бы одновременно определить
его положение и длину волны с неограниченной точностью. Квантовым в этом рассмотрении
является лишь факт ассоциации волны материальной частице и требование, чтобы длина
волны и импульс удовлетворяли соотношению Луи де Бройля.
4. Эволюция свободного волнового пакета во времени
До сих пор мы интересовались лишь формой волнового пакета в данный момент
времени. В этом параграфе мы рассмотрим его эволюцию во времени. Вернемся к
случаю свободной частицы, состояние которой описывается одномерным волновым
пакетом вида (С-7).
Плоская волна частного вида е'{кх"ш) распространяется вдоль оси Ох со скоростью
; здесь величина
со ^
поскольку зависимость от х и t выражается лишь через член I х 1 \
\ к )
Vy(k) называется фазовой скоростью плоской волны.
Известно, что в случае электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме,
скорость Уф не зависит от к и равна скорости света с. Напротив, известно также, что
в диспергирующей среде дело обстоит иначе, и фазовая скорость определяется
выражением:
п(к)
где п(к) — показатель преломления среды, зависящий от длины волны.
Интересующий нас случай соответствует диспергирующей среде, поскольку фазовая
скорость имеет вид [см. уравнение (С-3)]:
Пк_
2т
Уф(*) = —• (С-26)
Мы сейчас увидим, что, если различные волны имеют различные фазовые скорости,
37

Глава 1
скорость движения максимума хм волнового пакета не равна средней фазовой скорости
—^ = —-, как можно было бы ожидать.
к0 2т
Как и ранее, мы попытаемся сначала качественно понять происходящий физический
процесс и лишь потом сделаем общие выводы. В качестве примера выберем
рассмотренную выше в § С-2 суперпозицию трех волн. В произвольный момент времени
функция \\f(x, t) имеет вид:
¥(х.О- '(У
yfbi
1&к До) 1 Ак До)
л/2я
1 + COS
2
Ак До)
, —х /
^ 2 2
(С-27)
Видно, что максимум функции | \|/(jc, t) I, находившийся в момент времени / = 0 в точке
х = 0, в момент t окажется в точке
Ак
а не в точке л: = —^-г. Физическая причина такого различия ясна из рис.6. На рис. 6а
К
дано положение трех соседних максимумов A), B) и C) каждой из вещественных частей
трех волн в момент t = О. Максимумы, отмеченные индексом B), совпадают в точке
х = 0 и в результате интерференции складываются, что соответствует положению
максимума функции |\|/(jc, 0) |. Поскольку фазовая скорость увеличивается с ростом к (С-26),
максимум C) волны kQ +— постепенно приближается к максимуму волны к0, кото-
d М>1 тт
рыи, в свою очередь, «догоняет» максимум волны к0 . Через некоторое время г0
будет наблюдаться ситуация, изображенная на рис.бЬ, когда положения максимумов C)
совпадут и, следовательно, дадут максимум функции |\|/(jc, r0)| в точке хм (t0). Из ри-
сунка очевидно, что xM(tQ) отличается от —-^/0, и простейшие вычисления приводят к
К
формуле (С-28).

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Ак
ка + —
A)
A)
*о-
Ак\
ГКО
B)
B)
1B)
1C)
1A) 1B) I
B)
!C)
l(D
1B)
1C)
1A)
1B)
1C)
1C)
C)
О
t
*лД0
Рис.6
Положения максимумов трех волн, изображенных на рис.4 в момент времени г - О (а) и
в последующий момент времени /(b). В момент f = 0 максимумы B), расположенные в
точке х = 0, интерферируют конструктивно, и положение центра волнового пакета равно
jcm@) = 0. К моменту t три волны двигались с различными фазовыми скоростями Уф,
вследствие чего теперь конструктивно интерферируют максимумы C), а центр волнового
пакета находится в точке х - xM{t). Таким образом, видно, что скорость центра
волнового пакета (групповая скорость) отличается от фазовых скоростей трех волн
Характер перемещения центра волнового пакета (С-7) можно определить также,
применив метод «стационарной фазы». Действительно, из формулы (С-7), описывающей
форму свободного волнового пакета, можно заключить, что для перехода от \|/(х, 0) к
\j/(jc, t) достаточно заменить g(k) на g(k)e~'*°{li)[. При этом все рассуждения,
приведенные в § С-2, остаются справедливыми при условии замены аргумента а(к) в формуле
для g(k) на
а(&)-со(Л:)/.
Тогда условие (С-16) дает:
хм(*)'-
did
~dk
t -
da
Ik
(C-29)
(C-30)
и мы приходим к результату, описываемому формулой (С-28): скорость максимума
волнового пакета равна:
VG(kQ) =
~dk
(С-31)
39

Глава 1
Величину VG(kQ) называют групповой скоростью волнового пакета. Используя закон
дисперсии (С-3), получим:
М
Vc(*o) = —= 2V,(*0). (C-32)
т
Этот вывод является очень важным, так как позволяет делать сравнение с
классическим описанием свободной частицы в тех случаях, когда оно справедливо.
Действительно, если рассматривается макроскопическая частица (пример пылинки в дополнении В!
показывает, насколько она может быть мала), соотношение неопределенностей не
вводит никакого заметного ограничения на точность, с которой известны ее положение и
импульс. Это означает, что для квантового описания такой частицы можно построить
волновой пакет, характерные ширины Ах и Ар которого пренебрежимо малы. Таким
образом, можно говорить о положении xM(t) и об импульсе р0 частицы в классическом
смысле этих понятий. При этом скорость частицы должна быть равна v = —. Именно
т
этот результат и следует из формулы (С-32) квантового описания, если Axw Ар
одновременно очень малы. Максимум волнового пакета перемещается как частица,
подчиняющаяся законам классической механики.
ЗАМЕЧАНИЕ
До сих пор мы обращали внимание лишь на перемещение максимума
свободного волнового пакета. Можно также рассмотреть изменение его формы во времени.
Легко показать, что если ширина Ар остается постоянной, то ширина Ах растет
со временем, и по прошествии достаточно большого интервала времени становится
равной бесконечности («расплывание» волнового пакета). Это явление
обсуждается в дополнении Gb где рассмотрен частный случай волнового пакета гауссовой
формы.
D. ЧАСТИЦА В ПОЛЕ СКАЛЯРНОГО ПОТЕНЦИАЛА,
НЕ ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ВРЕМЕНИ
Мы видели в § С, как квантовое описание частицы сводится к классическому, если
постоянную Планка h можно считать пренебрежимо малой. В классическом приближении
волновой характер не проявляется, так как длина волны А = —, связанной с частицей,
Р
очень мала по сравнению с характерными параметрами ее движения, имеющими
размерность длины. Эта ситуация аналогична той, которая встречается в оптике: геометри-
40

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
ческая оптика, игнорирующая волновые свойства света, является хорошим
приближением, если длина соответствующей волны пренебрежимо мала по сравнению с
интересующими нас размерами. Таким образом, классическая механика играет по отношению
к квантовой механике ту же роль, какую геометрическая оптика играет по отношению к
волновой оптике.
В данном параграфе нас будет интересовать частица, находящаяся в поле
потенциала, не зависящего от времени. Сказанное выше позволяет заключить, что типично
квантовые эффекты (то есть имеющие волновую природу) должны проявиться в том случае,
когда потенциал заметно изменяется на расстояниях, меньших длины волны, ибо уже
нельзя будет ею пренебречь. Именно поэтому мы будем рассматривать поведение
квантовой частицы в различного рода потенциалах «прямоугольной» формы, то есть когда
изменение потенциала происходит скачкообразно, как показано на рис.7а. Такой
потенциал, будучи разрывной функцией, конечно, резко меняется на расстоянии порядка
длины волны, какой бы малой она ни была, и квантовые эффекты должны при этом
обязательно проявиться. Прежде чем перейти к детальному изучению, обсудим некоторые
важные свойства уравнения Шредингера, когда потенциал не зависит от времени.
1. Разделение переменных. Стационарные состояния
Волновая функция частицы, потенциальная энергия которой V(r) не зависит от
времени, должна подчиняться уравнению Шредингера:
ih— \|/(г,0 =-— А\|/(г, r) + V(r)\|/(r, t). (D-l)
dt
2m
а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ
Посмотрим, существует ли решение этого уравнения в форме:
\|/(г, г) = Ф(г)х@.
Подстановка выражения (D-2) в (D-1) дает:
dt
2т
Аф(г)
+ Х('Шг)<р(г).
(D-2)
(D-3)
Разделив обе части равенства на произведение (p(r) %(t), получим:'
ih dx.it) 1
Х@ dt ф(г)
2т
Д(р(г)
+ V(r).
(D-4)
41

Глава 1
Это уравнение устанавливает равенство функции только времени t (левая часть) и
функции только координаты г (правая часть). Это равенство возможно лишь в том
случае, если каждая из частей является константой, которую положим равной Йсо, где О)
имеет размерность циклической частоты.
Приравняем левую часть величине //со и получим для функции %(t)
дифференциальное уравнение, которое легко интегрируется и дает:
Х@ = Ае'**. (D-5)
Аналогично, функция (р(г) должна удовлетворять уравнению:
Дф(г) + У(г)ф(г) = йсоф(г). (D-6)
2т
Если мы положим в уравнении (D-5) Л = 1 [это возможно, например, потому, что
константу Л можно включить в функцию ф(г)], то придем к следующему результату.
Функция
\|/(г, 0 = ф(г)е-/0)' (D-7)
является решением уравнения Шредингера при условии, что ф(г) — решение уравнения
(D-6). Говорят, что тем самым переменные времени и пространства оказываются
разделенными.
Волновая функция вида (D-7) называется стационарным решением уравнения
Шредингера: она приводит к не зависящему от времени значению плотности вероятности
|i}/(r, 0| =|ф(г)| • В стационарной функции появляется единственная частота со;
согласно соотношениям Планка—Эйнштейна стационарное состояние является состоянием
с точно определенной энергией £ = /Ш) (собственное энергетическое состояние). В
классической механике, если потенциальная энергия не зависит от времени, полная энергия
является интегралом движения; в квантовой механике этому соответствуют состояния с
определенной энергией.
Уравнение (D-6) можно переписать в виде:
П2
— A + V(r)
2т
ф(г) = Еф(г) (D-8)
или
Яф(г) = £ф(гI (D-9)
где Я — дифференциальный оператор:
42

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Н = A + V(r)
2т
(D-10)
Он является линейным, так как если А, и Х2 —константы, то
Я^^ + Я^Сг^^Яф.СО + ^Яф^г). (D-11)
Таким образом, уравнение (D-9) является уравнением на собственные значения
линейного оператора Я : действие оператора Я на «собственную функцию» ф(г) состоит в
умножении этой функции на «собственное значение» Е . Допустимые значения энергии
являются собственными значениями оператора Я . Ниже мы увидим, что уравнение (D-9)
допускает квадратично интегрируемое решение ф(г) только для определенных
значений Е (см. § D-2-c и § 2-е дополнения Hi): именно в этом и состоит квантование энергии.
ЗАМЕЧАНИЕ
Уравнение (D-8) [или (D-9)] иногда называют «уравнением Шредингера, не зависящим
от времени», в противоположность уравнению (D-1), называемому «уравнением Шредингера,
зависящим от времени». Обратим внимание на их существенное отличие: уравнение (D-1)
является общим уравнением, описывающим эволюцию волновой функции в любом
произвольном состоянии частицы, тогда как уравнение на собственные значения (D-9) позволяет
найти среди всех возможных состояний частицы ее стационарные состояния.
Ь. СУПЕРПОЗИЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ
Чтобы различать между собой различные возможные значения энергии Е и
соответствующие им собственные функции ф(г), введем индекс п ; тогда
Яф„(г)=£„ф„(г), (D-12)
и волновые функции стационарных состояний частицы запишутся в виде:
1|/я(г,0 = Ф„(г)^£",/Л, (D-13)
где функция \|/„(r, t) является решением уравнения Шредингера (D-1). Поскольку это
уравнение линейное, то оно допускает любой набор других решений вида:
¥(г,0 = Хслфя(г)е"£я'/Л, (D-14)
43

Глава I
где коэффициенты сп могут быть произвольными комплексными константами. В
частности, имеем: ? п
У(г,0) = £спф„(г). (D-15)
Справедливо и обратное утверждение. Допустим, что нам известна функция \j/(r,0),
то есть состояние частицы в начальный момент времени. Ниже мы увидим, что любая
функция \|/(г, 0) может быть разложена по собственным функциям оператора Н , как в
формуле (D-15), при этом коэффициенты сп будут определяться функцией \|/(г,0).
Тогда соответствующее решение i|/(r, r) уравнения Шредингера будет записано в виде
формулы (D-14): чтобы доказать это, достаточно умножить обе части выражения (D-15)
на множитель е , где Еп — собственное значение, соответствующее собственной
функции ф„(г). Следует подчеркнуть, что эти фазовые множители различны для разных
членов суммы, и лишь в случае стационарных состояний зависимость от t определяется
единственной экспонентой [формула (D-13)].
2. «Прямоугольные» одномерные потенциалы. Качественный анализ
В начале § D мы отметили, что для выявления квантовых эффектов следует
рассматривать потенциалы, существенно меняющиеся на малых расстояниях. Здесь мы
ограничимся качественным исследованием, сконцентрировав внимание на простых физических
идеях, а детальный анализ будет дан в дополнениях к этой главе (дополнение НО. Чтобы
упростить задачу, остановимся на одномерной модели, в которой потенциальная энергия
зависит только от х (обоснование такой модели дано в дополнении F^.
а. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА
Итак, в одномерном случае мы рассмотрим потенциал вида, представленного на
рис.7а : ось Ох делится на некоторое количество областей, в которых потенциал
остается постоянным, а на границе соседних областей испытывает резкий скачок. В
действительности такая функция не может отражать реальный физический потенциал, ибо он не
может иметь разрывов, и мы используем ее для приближенного описания потенциальной
энергии V(x), вид которой изображен на рис.7Ь: она не имеет разрывов, но меняется
очень быстро вблизи определенных значений х. Когда интервалы, в пределах которых
происходит это изменение, очень малы по сравнению со всеми размерами, характерными
для задачи (и в частности, с длиной волны, связанной с частицей), то можно заменить
реальный потенциал прямоугольным вида, изображенного на рис.7а. Речь идет, конечно,
44

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
о приближении, которое перестает быть справедливым, например, для частицы с очень
большой энергией, длина волны для которой очень мала.
Выводы классической механики относительно поведения частицы в потенциальном
поле, подобном рис.7, нетрудно предвидеть. Достаточно, например, представить себе,
что V(x) — потенциальная энергия поля гравитации, тогда рис.7Ь представляет собой
энергетический профиль пространства, в котором движется частица: резкие перепады
потенциала разделяют области горизонтальных «плато». Заметим, что, если полная
энергия частицы Е фиксирована, то области оси Ох , где V > Е , запрещены для движения,
так как кинетическая энергия Ес = Е - V должна быть положительной.
"Прямоугольный"
ПО10ИШК1.1
Сила
Рис.7
Прямоугольный потенциал (а), схематически изображающий реальный потенциал (Ь),
которому соответствует сила, изображенная на рис (с)
ЗАМЕЧАНИЕ
Сила, действующая на частицу, равна F(x) = ; на рис.7с представлена
dx
эта сила для потенциала, изображенного на рис.7Ь. Видно, что в областях
постоянного потенциала частица не подвержена действию никакой силы, и, следовательно,
ее скорость остается неизменной. Лишь в пограничных зонах, разделяющих эти
области, на частицу действует некоторая сила, в зависимости от знака производной
ускоряющая или тормозящая ее движение.
45

Глава 1
b. АНАЛОГИЯ С ОПТИКОЙ
Пусть нас интересуют стационарные состояния (§ D-1) частицы в поле одномерного
прямоугольного потенциала.
В области, где потенциал V остается постоянным, уравнение на собственные
значения (D-9) имеет вид:
2т dx2
■ + V
ф(*)=Еф(*)
(D-16)
или
d_2
dx
2т.
П2
2+it(e-v)
ф(*) = 0.
(D-17)
Вспомним, что в оптике существует совершенно аналогичное уравнение.
Действительно, рассмотрим прозрачную среду, показатель преломления п которой не зависит
ни от г, ни от времени. В этой среде может распространяться электромагнитная волна,
электрическое поле Е(г, t) которой не зависит ни от у , ни от z и имеет вид:
Е(г, 0 = еЕ(х)е~
(D-18)
где е — единичный вектор, перпендикулярный к оси Ох. Таким образом, функция
Е(х) должна удовлетворять уравнению:
n2Q2
dx2
Е(х) = 0.
(D-19)
Видно, что уравнения (D-17) и (D-19) становятся идентичными, если положить:
h2[t V) с2 '
(D-20)
С другой стороны, в точке х, где потенциальная энергия V [и, следовательно,
коэффициент преломления п, определяемый формулой (D-20)] испытывает разрыв, условия
сшивания функций ф(д:) и Е(х) одинаковы: эти функции и их первые производные
должны быть непрерывными (см. дополнение Нь § 1-Ь). Аналогия структуры уравнений
(D-17) и (D-19) позволяет связать задачу квантовой механики для потенциала рис.7а с
задачей оптики, в которой исследуется распространение электромагнитной волны с
частотой Q в среде, в которой коэффициент преломления п испытывает разрыв такого же
46

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
вида; согласно формуле (D-20) связь между оптическими и механическими параметрами
имеет вид:
n(Q) = —pmc2(E-V). (D-21)
Область, где Е > V , соответствует прозрачной среде, в которой коэффициент
преломления для световой волны является вещественным, и, следовательно, волна описы-
ikx
вается членом вида е .
Что происходит, если Е < V ? Формула (D-20) определяет коэффициент преломления
как чисто мнимую величину; в формуле (D-19) величина п2 является отрицательной,
и решение пропорционально экспоненте е~рх, то есть волна является «проникающей»;
эта ситуация напоминает определенным образом проникновение электромагнитной
волны в металл*.
Таким образом, мы можем перенести известные выводы волновой оптики на
рассматриваемые здесь задачи. Но нужно четко понимать, что речь идет только лишь об
аналогии: интерпретация, которую мы даем волновой функции, коренным образом
отличается от интерпретации, которую волновая оптика приписывает электромагнитной волне.
с. ПРИМЕРЫ
а. Ступенька потенциала и потенциальный барьер
Рассмотрим частицу с энергией Е, которая, двигаясь из области отрицательных
значений координаты х, падает на «ступеньку» потенциала высотой VQ, как показано на
рис.8.
| У[х)
►
Скачок потенциала
Небольшое различие связано с тем, что показатель преломления п в металле не является
чисто мнимой величиной, а имеет и вещественную часть.
47

Глава 1
Если Е > V{) (случай, когда классическая частица преодолеет скачок потенциала и
продолжит движение слева направо с меньшей скоростью), оптическая аналогия приводит
к следующему выводу: световая волна движется слева направо в среде с показателем
преломления пх:
п{ = —л12тЕ (D-22)
и в точке х = х, падает на плоскую границу, где для х > х{ показатель преломления
становится равным:
n2=^-pm(E-VQ). (D-23)
Мы знаем, что падающая слева волна порождает отраженную и прошедшую волны.
Переведем этот результат на язык квантовой механики: частица имеет определенную
вероятность ZP быть отраженной от скачка потенциала и лишь вероятность A-.^) пройти
направо и продолжить свой путь. Этот вывод полностью противоречит предсказанию
классической механики.
Если же £ < У0, то показатель преломления п2 в области х > х, становится чисто
мнимым, и падающая световая волна полностью отражается. В этом смысле
предсказания квантовой и классической механики полностью совпадают. Однако существование в
области х > jCj «проникающей» волны указывает на то, что квантовая частица имеет
отличную от нуля вероятность проникнуть в эту область.
t H.v)
к\- 1 1
•vi л: Потенциальный барьер
Роль «проникающей» волны наиболее ярко проявляется в случае потенциального
барьера (рис. 9). Если Е < V0, классическая частица всегда отражается от него. Но при
рассмотрении соответствующей задачи в оптике, барьер представлял бы собой слой
конечной толщины с мнимым показателем преломления, помещенный в прозрачную среду.
Если толщина слоя не слишком велика по сравнению с параметром глубины 1 / р про-

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
никновения «проникающей» волны, то часть падающей волны пройдет в область х> хх.
Итак, даже для энергии Е < VQ существует отличная от нуля вероятность того, что
частица пройдет через барьер: это явление называют «туннельным эффектом».
C. Потенциальная яма
В этой задаче функция V(x) имеет форму, показанную на рис. 10. Классическая
механика приводит к следующим выводам: если частица имеет отрицательную энергию (но
превышающую значение -V » °на может лишь колебаться между координатами jc, и х2
с кинетической энергией Ес = Е + VQ; если же энергия частицы положительна и частица
движется слева направо, она сначала в точке хх испытает резкое ускорение, а затем в
точке х2 — столь же резкое замедление и далее продолжит свое движение вдоль оси Ох .
А'
Рис.10
Потенциальная яма
В рамках оптической аналогии, если -V0 < Е < 0, коэффициенты преломления я, и
п2 в областях х < jc, и х> х2 являются мнимыми, тогда как в интервале [х{, х2 ]
коэффициент преломления п2 — вещественное число. Таким образом, этот интервал
эквивалентен, например, слою воздуха между двумя отражающими средами. Волны,
последовательно отражающиеся в точках х{ и х2, взаимно уничтожаются благодаря
интерференции, за исключением некоторых строго определенных частот («собственные моды»),
на которых устанавливаются стабильные стоячие волны. На квантовом языке это
означает, что отрицательные значения энергии квантуются*, тогда как при классическом
рассмотрении все значения между -V0 и 0 допустимы.
* Разрешенные значения энергии не определяются хорошо известным условием х2 - х, = kX21 2 ,
так как нужно учитывать проникающие волны, вносящие сдвиг фаз при отражениях в точках
х = хх и х = х2 (см. дополнение Hj, § 2-е).
4 Квантовая механика
49

Глава 1
При Е > О коэффициенты преломления п{, п2 и /?3 являются вещественными:
AM/
п{ = пъ = —л12тЕ v (D-24)
«2=77Тл/2т(£ + уо). Ф-25)
Поскольку л2 больше, чем л, и п3, ситуация аналогична стеклянной пластинке в
воздушной среде. Чтобы получить отраженную волну в области х <х{ или прошедшую в
области х > х2, нужно просуммировать бесконечно большое количество волн,
образующихся при последовательных отражениях в точках jc, и х2 (многолучевой интерферометр,
подобный интерферометру Фабри—Перо). При этом, например, может оказаться, что
для некоторых частот падающая волна полностью проходит через пластинку. С
квантовой точки зрения частица в общем случае имеет определенную вероятность быть
отраженной, однако имеются значения энергии, называемые резонансными, для которых
вероятность прохождения равна 1 и, следовательно, вероятность отражения равна 0.
Эти примеры показывают, насколько предсказания квантовой механики могут
отличаться от выводов классической механики, и ясно иллюстрируют первостепенную роль
точек разрыва потенциала, приближенно отображающих его быстрое изменение.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе мы ввели и обсудили качественно и количественно некоторые
фундаментальные идеи квантовой механики. Мы еще вернемся к этим понятиям в гл. III, чтобы
уточнить их и систематизировать. Однако уже теперь понятно, что квантовое описание
физических систем радикально отличается от того, что дает классическая механика, хотя
последняя и составляет в многочисленных случаях отличное приближение. В этой главе
мы ограничились физическими системами, образованными только одной частицей.
Описание этих систем в заданный момент времени классической механикой базируется на
задании шести величин, представляющих собой компоненты радиуса-вектора г (г) и
вектора скорости \(t) частицы; все динамические переменные (импульс, энергия,
момент импульса) определяются через г (г) и v(r). Законы Ньютона позволяют вычислить
г (г) как решение дифференциальных уравнений второго порядка по времени и,
следовательно, найти г@ и v(r) в произвольный момент времени t, если они известны в
начальный момент времени.
В квантовой механике используется более сложное описание явлений: динамическое
состояние частицы в заданный момент времени характеризуется волновой функцией и
50

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
зависит теперь не от шести параметров, а от бесконечного их количества [значения
\|/(r, t) во всех точках г пространства]. Кроме того, все предсказания результатов
измерений имеют лишь вероятностный характер (вероятность получить некоторый результат
при измерении динамической переменной). Волновая функция является решением
уравнения Шредингера, позволяющего найти i|/(r, t) по известной функции \|/(г,0); это
уравнение допускает применение принципа суперпозиции, из которого следуют эффекты
волнового типа.
Это потрясение наших концепций механики было порождено экспериментом:
структура и поведение материи на атомном уровне оказались необъяснимыми в рамках
классической механики. Теория при этом потеряла простоту описания, но зато гораздо
больше выиграла в единстве взглядов, ибо материя и излучение стали описываться по
одной схеме (корпускулярно-волновой дуализм). Обратим внимание, что эта схема хотя
и нарушила некоторые наши идеи и привычные понятия, полученные в макроскопической
области, полностью оправдала себя: никто и никогда не смог придумать эксперимент,
который бы поставил под сомнение соотношения неопределенностей (см. дополнение Dr
к данной главе). В более общем плане до настоящего времени никакое наблюдение не
обнаружило противоречий с основными принципами квантовой механики. Однако в
наши дни еще нет общей теории релятивистских и квантовых явлений, и новые
потрясения основ, конечно, не исключены.
4*

ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
А]. Порядок величины длин волн,
ассоциированных с материальными
частицами.
В]. Ограничения, налагаемые
соотношением неопределенностей.
Ci. Соотношение неопределенностей
и атомные параметры.
Dp Соотношение неопределенностей
и дополнительность.
Ei. Простое исследование двумерного
волнового пакета.
Fi. Связь между одномерной и трехмерной
задачами.
Gi. Одномерный гауссов волновой пакет.
Расплывание волнового пакета.
Н,. Стационарные состояния частицы
в поле прямоугольного одномерного
потенциала.
Ji. Поведение волнового пакета
на скачке потенциала.
К]. Упражнения.
А|, Вь Cf. очень простые, но
фундаментальные рассуждения относительно порядка
величины квантовых параметров.
Dj: обсуждение простого эксперимента,
который можно было бы представить, чтобы
попытаться опровергнуть дополнительность
волнового и корпускулярного аспектов света
(легкий пример, который можно рассмотреть
и позже).
Еь F,, Gj: дополнения, посвященные
волновым пакетам (§ С главы I):
Ej: качественная простая демонстрация связи,
существующей между боковым расширением
двумерного волнового пакета и угловой
дисперсией волнового вектора (простой пример).
F\: обобщение результатов § С главы I на
трехмерный случай; показано, как
исследование частицы в трехмерном пространстве в
ряде случаев может быть сведено к
одномерной задаче (средняя трудность).
Gi: подробный анализ частного случая
волнового пакета, у которого можно точно
вычислить свойства и эволюцию (расчеты
несколько сложнее, но принципиальных
трудностей не представляют).
H|i количественное уточнение выводов § D-2
главы I; настоятельно рекомендуется
проработать, поскольку потенциалы
прямоугольной формы часто применяются для простых
иллюстраций выводов квантовой механики
(многочисленные упражнения и дополнения
будут в дальнейшем опираться на
полученные здесь результаты).
Ji: уточненный расчет квантового поведения
частицы в поле потенциала прямоугольной
формы (частый случай); частица считается
достаточно хорошо локализованной в
пространстве, чтобы можно было следить за ее
«движением» (задача средней трудности;
важна с точки зрения физической интерпретации
физической интерпретации результатов.
52

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Дополнение Ai
" .-!НГ
ПОРЯДОК ВЕЛИЧИНЫ ДЛИН ВОЛН,
АССОЦИИРОВАННЫХ С МАТЕРИАЛЬНЫМИ ЧАСТИЦАМИ
Соотношение Луи де Бройля:
^ A)
указывает, что длина волны, соответствующей частице с массой т и скоростью v, тем
больше, чем меньше т и v .
Чтобы показать, что волновые свойства материи невозможно наблюдать в
макроскопической области, возьмем, например, пылинку диаметром 1 мкм с массой т~ 10~15 кг.
Даже для такой малой массы и скорости v ~ 1 мм/с формула A) дает:
f\ f\ v 1П-"^
X « —Цт метра = 6,6 х 10'16 метра = 6,6 х 10~6 ангстрем. B)
1(Г,5х1(Г3
Такая длина волны пренебрежимо мала в масштабах пылинки.
Теперь рассмотрим тепловой нейтрон, то есть нейтрон (тп = 1,67 х 10~27 кг), имеющий
скорость v, соответствующую средней энергии теплового движения при абсолютной
температуре Т. Скорость v определяется из равенства:
1 2 P2 3
— m v = ~—£7\ C)
2 " 2шн 2
где к — постоянная Больцмана (к =1,38х10~23 Дж/градус). Длина волны,
соответствующая такой скорости, равна:
ХЛ = -Ь. D)
Р ^ЪтпкТ
Для температуры Т = 300° К имеем:
X = 1,4 ангстрем, E)
т. е. длина волны имеет порядок расстояния между атомами в кристаллической решетке.
Пучок тепловых нейтронов, падающих на кристалл, породит, таким образом, явления
дифракции, аналогичные тем, которые наблюдаются в рентгеновских лучах.
53

Глава 1
Рассмотрим теперь порядок величины длин волн Луи де Бройля, связанных с
электронами (те = 0,9 х 10~30 кг). Если ускорить пучок электронов разностью потенциалов V
(выраженной в вольтах), им будет сообщена кинетическая энергия:
£ = 4К = 1,6х1(Г,9УДж F)
2
(q= 1,6х10~19 кулон — заряд электрона). Поскольку Е = -*—, длина волны будет
2/72
равна:
или численно:
Р ртеЕ
. 6,6xlQ-34 12,3 ...
А = , м = —j= ангстрем. (8)
V2 х 0,9 х Ю-30 х 1,6 х Ю-19V VV
При разности потенциалов в несколько сотен вольт можно получить длины волн,
сравнимые с длиной волн рентгеновских лучей, и, следовательно, наблюдать явления
дифракции на кристаллах или кристаллических порошках.
В настоящее время большие ускорители способны сообщить частицам значительные
энергии. При этом осуществляется выход из нерелятивистской области, которую мы до
сих пор рассматривали. Например, сегодня без особого труда получают пучки электронов,
энергия которых превышает 1 ГэВ=109 эВ A эВ=1 электрон-Вольт = 1,6хЮ",9Дж),
тогда как масса покоя электрона эквивалентна примерно тес2 =0,5х106эВ; иначе
говоря, соответствующая скорость очень близка к скорости света с. В таких случаях
нерелятивистская квантовая механика, которую мы здесь рассматриваем, неприменима, но
соотношения
Е = Av; (9-а)
Х = - (9-Ь)
Р
остаются справедливыми и в релятивистской области. Напротив, соотношение G)
следует изменить, так как в релятивистском случае энергия частицы с массой покоя Wq уже
определяется не формулой р212т^, а выражением:
E = {l
pV + WoC4. A0)
54

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
В рассмотренном выше примере электрона с энергией 1 ГэВ величина тес2
пренебрежимо мала по'сравнению с£и, следовательно:
Х =— = — г: м= 1,2x10 ,5м= 1,2 ферми (И)
Е 1,6 х100
A ферми = 105 м). С помощью таких быстрых электронов можно исследовать структуру
атомных ядер и, в частности, протона; действительно, размеры ядер имеют порядок ферми.
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Укажем на часто встречающуюся ошибку при вычислении длины волны
материальной частицы с массой т Ф 0, если известна ее энергия Е . Эта ошибка состоит
в том, что вычисляют частоту v, используя формулу (9-а), а затем по аналогии с
электромагнитной волной принимают значение civ за длину волны де Бройля.
Безусловно, правильным будет следующее рассуждение: найти импульс р ,
соответствующий энергии Е, например, по формуле A0) (или в нерелятивистской области
2
из соотношения Е = -—), а затем использовать формулу (9-Ь), чтобы определить X .
2т
(ii) Согласно формуле (9-а) частота v зависит от начала отсчета энергии. То же
относится и к фазовой скорости V = — = vX . Напротив, групповая скорость
t/o) ^ dv ^ _
VG = — = 2я— не зависит от выбора начала отсчета энергии. Это очень важно
dk dk
для физической интерпретации VG .
Дополнение Bi
ОГРАНИЧЕНИЯ,
НАЛАГАЕМЫЕ СООТНОШЕНИЕМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
1. Макроскопическая система.
2. Микроскопическая система.
В § С-3 главы I мы видели, что положение и импульс частицы не могут быть
одновременно определены с произвольной точностью, так как соответствующие
неопределенности Ах и Ар должны удовлетворять соотношению:
55

Глава 1
Ах-Ар>П. A)
. о\
Здесь мы предлагаем численно оценить степень; этого ограничения: мы покажем
сейчас, что оно пренебрежимо мало в макроскопической области и, напротив,
становится весьма заметным на микроскопическом уровне.
1. Макроскопическая система
Вернемся к рассмотренному ранее (дополнение АО примеру пылинки, диаметр
которой имеет порядок 1 мкм, с массой т ~ 1СГ15 кг, движущейся со скоростью v = 10~3м/с.
Ее импульс равен:
p = mv ~ КГ18 кг м/с. B)
Если ее положение измеряется, например, с точностью до 0,01 мкм, то
неопределенность Пар ее импульса должна удовлетворять приближенно равенству:
Ар « — * 1°_ = Ю6 кг м/с. C)
У Ах 10"8
Соотношение неопределенностей практически не накладывает никаких
ограничений, так как в опыте никакой измерительный прибор не способен обеспечить
относительную точность измерения импульса порядка 10"8.
С точки зрения квантовой механики пылинка представляет собой волновой пакет с
групповой скоростью v= 10м /с и средним импульсом р = 10~18 кг м/с. Но для этого
волнового пакета можно принять такое пространственное распределение Ах и такую
дисперсию импульса Ар, что их можно считать совершенно несущественными. При
этом максимум волнового пакета определяет положение пылинки, и его движение
полностью идентично движению классической частицы.
2. Микроскопическая система
Рассмотрим теперь электрон в атоме. Модель Бора описывает его как классическую
частицу. Разрешенные орбиты определены правилами квантования, заданными априори:
например, радиус г круговой орбиты с импульсом p-mv электрона на ней должен
удовлетворять соотношению:
pr = nh, D)
где п — целое число.
56

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Чтобы можно было говорить о траектории электрона в классическом понимании,
нужно, чтобы неопределенность его положения и его импульса были бы пренебрежимо
малы в сравнении с г и р соответственно:
Ах « г ; E-а)
Ар« р, E-Ь)
откуда следует:
Ах Ар
£«1. F)
г р
Но соотношение неопределенности требует, чтобы:
Д£.Д£*Л. G)
г р гр
Если использовать формулу D) для подстановки в правую часть выражения G) гр
вместо nfi, то это неравенство преобразуется к виду:
**.*£*!. (8)
г р п
Видно, что выражения (8) и F) совместимы лишь в случае, если п »1; таким образом,
соотношение неопределенностей заставляет нас отклонить полуклассическую картину
орбит Бора.
Дополнение Q
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
И АТОМНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Соотношение неопределенностей лишает физической реальности понятие орбиты Бора
(см. дополнение Вг). Далее мы рассмотрим квантовую теорию атома водорода (гл. VII).
Тем не менее мы покажем сейчас, как соотношение неопределенностей позволяет понять
стабильность атомов и даже весьма просто определить размеры и энергию атома
водорода в его основном состоянии.
Рассмотрим электрон, находящийся в кулоновском поле протона, считая последний
зафиксированным в начале системы координат. Если две частицы отстоят друг от друга
на расстоянии г, то потенциальная энергия электрона равна:
57

Глава 1
V(r) = --^—-, A)
где q — его заряд (равный и противоположного знака заряду протона). Пусть
-£- = е\ B)
Предположим, что состояние электрона описывается волновой функцией, имеющей
сферическую симметрию, пространственное положение которой характеризуется
параметром г0 (это означает, что вероятность нахождения частицы на расстояниях более 2 г0
или 3 г0 практически равна нулю). Соответствующая потенциальная энергия в таком
состоянии примерно равна:
V=~—. C)
'о
Для того чтобы она была минимальной, следует выбрать минимально возможное
значение г0, то есть волновую функцию, максимально сконцентрированную вокруг протона.
Но нужно принять во внимание и кинетическую энергию. Именно здесь приходится
учитывать принцип неопределенности: действительно, если электрон находится в
объеме с линейным размером г0, неопределенность Ар его импульса имеет порядок h I r0.
Иначе говоря, если даже средний импульс равен нулю, кинетическая энергия Т ,
связанная с рассматриваемым состоянием, отлична от нуля:
f^fBta=-L(Ap)J5-*lr. D)
2m 2mr0
Если уменьшать г0, чтобы уменьшить потенциальную энергию, то минимальная
кинетическая энергия D) увеличивается.
Самая меньшая энергия, совместимая с соотношением неопределенностей, равна
минимуму функции:
., * тт Ь1 е2
2mr0
Этот минимум имеет место для значения:
*2 ^
те
58

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
и равен:
Е =-—
0 2П2 '
Рис.1
Зависимость потенциальной энергии V ,
кинетической энергии Т и полной энергии
Т + V атома водорода от г0
(протяженности волновой функции). Изменение энергий
Т и V происходит с разными знаками,
вследствие чего полная энергия проходит
через минимум, определяемый
компромиссом между Т и V . Значение а0 дает
порядок величины размеров атома водорода
Выражение F) совпадает с тем, которое получается в модели Бора для радиуса первой
орбиты, а выражение G) дает значение энергии основного состояния атома водорода
(см. главу VII; действительно, волновая функция основного состояния равна е~г/а°). Такое
количественное совпадение может быть только случайным, поскольку все наши
рассуждения строились лишь на основе оценки порядков величин. Однако приведенный выше
расчет позволяет сделать важный физический вывод: из соотношения неопределенностей
следует, что кинетическая энергия электрона тем больше, чем меньше пространственное
распределение его волновой функции, и основное состояние атома является компромиссом
между кинетической и потенциальной энергиями.
Обратим особое внимание на то, что этот компромисс, основанный на соотношении
неопределенностей, полностью отличен от того, что можно было ожидать в классической
механике. Действительно, если электрон движется по классической круговой орбите
с радиусом г0, его потенциальная энергия равна:
Vc/=--. (8)
Соответствующую кинетическую энергию можно получить, приравняв
электростатическую и центробежную силы*:
* На самом деле законы классического электромагнетизма указывают, что электрон,
движущийся с ускорением, излучает энергию, вследствие чего существование стабильных орбит
оказывается невозможным.
59

Глава 1
откуда следует:
2 2
V —> (9)
Td=^mv2=~. A0)
2 2 г0
Тогда полная энергия равна:
£d=rd+Vd=-~. A1)
2 г0
Наиболее выгодная энергетически ситуация реализуется при г0= 0, что соответствует
бесконечно большой энергии связи. Поэтому можно в некотором смысле говорить, что
соотношение неопределенностей позволяет понять существование атомов.
Дополнение Di
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
И ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТЬ
Эксперимент Юнга, который мы анализировали в § А-2 главы I, привел нас к
следующим выводам: с одной стороны, волновой и корпускулярный аспекты света
одновременно необходимы для объяснения наблюдаемых явлений; с другой стороны, они
взаимно исключают друг друга в том смысле, что невозможно определить, через какую
конкретно щель проходит каждый фотон, не разрушив тем самым картину
интерференции. Говорят, что волновые и корпускулярные свойства являются дополнительными.
Это понятие дополнительности является следствием постулатов квантовой механики,
которые будут сформулированы в главе III; если бы его удалось поставить под сомнение,
то вся квантовая теория была бы глубоко потрясена.
Мы снова вернемся к эксперименту Юнга, чтобы показать, насколько тесно связаны
друг с другом дополнительность и соотношение неопределенностей. В попытке отвергнуть
принцип дополнительности можно представить себе более тонкий эксперимент, чем тот,
который в главе I предполагал установку за каждой из щелей по фотоумножителю.
Проанализируем здесь одну из таких установок.
60

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Рис.1
Схема установки, в которой
установлена подвижная пластинка &,
импульс которой может измеряться
до и после прохождения фотона, что
позволяет определить, через какую
из щелей F! или F2 прошел фотон,
прежде чем попасть в точку М
экрана.
Допустим, что пластинка &, в которой прорезаны щели, смонтирована так, что может
двигаться в вертикальной плоскости, чтобы иметь возможность измерять переданный ей
вертикальный импульс. Рассмотрим фотон (рис.1), который попал на экран наблюдения
в точку М (для простоты будем считать, что источник фотонов ^находится слева в
бесконечности). Импульс этого фотона меняется всякий раз, когда он проходит через ^
закон сохранения импульса требует, чтобы разность была поглощена пластинкой &>. Но
таким образом переданный пластинке ^ импульс зависит от траектории фотона и равен
(в зависимости от того, проходит он через ¥\ или F2):
hv .
р, = sinQ{
с
О)
или
hv .
р2 = sinv2,
с
B)
где
hv
импульс фотона, а 0, и 02 — углы между направлением падения фотона и
линиями FtM и F2M соответственно.
Теперь будем посылать фотоны по одному, чтобы постепенно на экране
образовывалась интерференционная картина. Для каждого из фотонов определяется, через какую
из щелей он прошел, путем измерения импульса, переданного пластинке &. На первый
взгляд кажется, что таким образом на экране можно одновременно обнаружить и
корпускулярные и волновые свойства света.

Глава 1
На самом деле это не так: мы покажем сейчас, что с помощью такого устройства
картина интерференции наблюдаться не будет. Действительно, ошибка приведенного
рассуждения состоит в допущении, что лишь одни фотоны являются объектами
квантовой природы. Но нельзя забывать, что квантовая механика применима и к пластинке ^(к
макроскопическому объекту). Если желательно знать, через какую щель прошел фотон,
необходимо, чтобы неопределенность Ар вертикального импульса, полученного #>, была
бы достаточно мала, чтобы можно было отличить р, от р2:
Ьр«\р2-р\. C)
Но тогда соотношение неопределенностей требует, чтобы положение пластинки ^было
бы известно с точностью до Ajc , где
AxZ-^—r. D)
Если обозначить символом а расстояние между щелями, а символом d — расстояние
между пластинкой ^и экраном, то в предположении малости углов 8, и 62 (т.е. d I а»\)
найдем (рис.1):
. х-а/2
sin 6, = 0. = ;
1 ! d
sinQ2=Q2 = X*a/2, E)
d
где х — координата точки попадания М фотона на экран. При этом формулы A) и B)
дают:
|л-л|-^|е,-е2|зА£, (б)
С
где X = длина световой волны. Подставив это значение в формулу D), получим:
v
Xd
Ajc>—. G)
а
Xd
Но величина — в точности равна расстоянию между интерференционными полосами,
а
которые образуются на экране. При этом возможность наблюдения интерференционной
62

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
картины существует только в том случае, если вертикальное положение щелей F| и F2
определено с точностью более высокой, чем расстояние между полосами.
Полученные здесь выводы демонстрируют тесную связь между соотношением
неопределенностей и принципом дополнительности. Из них можно сделать также еще одно
важное заключение: невозможно построить квантовую теорию, справедливую только для
света и не работающую для материальных систем, не сталкиваясь при этом с серьезными
противоречиями. Так, если бы в приведенном выше примере пластинку ^ можно было
рассматривать как классическую материальную систему, то была бы поставлена под
сомнение дополнительность двух аспектов света и, следовательно, вся квантовая теория
излучения. Впрочем, справедливо и обратное утверждение: чисто квантовая теория
вещества встретилась бы с аналогичными трудностями. Чтобы получить непротиворечивое
описание, следует применять идеи квантовой механики ко всем физическим системам.
Дополнение Ei
ПРОСТОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ДВУМЕРНОГО ВОЛНОВОГО ПАКЕТА
1. Введение.
2. Угловая дисперсия и боковые размеры.
3. Физическое обсуждение результатов.
1. Введение
В § С-2 главы I мы изучали форму одномерных волновых пакетов, образованных
путем суперпозиции плоских волн, распространяющихся в одном направлении [формула
(С-7)]. Если это направление выбрано вдоль оси Ох, то результирующая функция не
зависит от у и z . Вдоль оси Ох она ограничена, но не имеет границ в
перпендикулярных к ней направлениях: ее значение одинаково во всех точках плоскостей,
параллельных плоскости yOz.
Здесь мы предлагаем исследовать иной простейший случай волнового пакета:
плоские волны, образующие суперпозицию, имеют копланарные волновые векторы, модули
которых практически равны, но направления слегка отличны друг от друга. Цель
анализа — показать, что угловая дисперсия влечет за собой ограничение размеров волнового
пакета в направлениях, перпендикулярных среднему волновому вектору.
В §С-2 главы I мы видели, как, исследуя суперпозицию трех конкретно выбранных
волн одномерного волнового пакета, можно понять существо явления и, в частности,
63

Глава I
найти фундаментальное соотношение (С-18) этой главы. Здесь мы также ограничимся
подобной упрощенной моделью, и обобщение полученных результатов будет сделано
согласно методу, использованному в главе I (см. также дополнение Fj).
• 2. Угловая дисперсия и боковые размеры
Итак, рассмотрим три плоских волны с волновыми векторами к,, к 2 и к 3,
представленными на рис.1: все они лежат в плоскости хОу , причем вектор к, направлен вдоль
оси Ох , а векторы к2 и к3 расположены симметрично по отношению к к, и образуют
с ним равные углы А9, которые мы будем считать достаточно малыми, вследствие чего
проекции векторов к,, к2 и к3 на ось Ох практически равны:
к -к = к ~\к \ = к
A)
Модули этих трех векторов отличаются лишь членами второго порядка малости по А9,
которыми мы будем пренебрегать. Их проекции на ось Оу соответственно равны:
B)
Как и в § С-2 главы I, будем считать амплитуды g(k) вещественными и
удовлетворяющими соотношениям:
g(k2) = ^(k3) = ^(k1).
C)
ДК
Рис.1
Расположение волновых векторов к,, к2 и к3,
определяющих три плоских волны, суперпозиция
которых образует двумерный волновой пакет
Эта модель схематически отражает более сложную ситуацию настоящего волнового
пакета, чем, например, в равенстве (С-6) главы I, со следующими характеристиками: все
волновые векторы перпендикулярны оси Oz и имеют одинаковые проекции на ось Ох
(изменяется лишь проекция на ось Оу); функция |g(k)| по отношению к этой единст-
64

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
венной переменной к имеет вид пика, изображенного на рис.2, с шириной Ак ,
связанной с угловой дисперсией 2 Д6 простым соотношением:
МУ=2*Д6.
Суперпозиция определенных выше трех волн дает:
D)
ikx t}_pUкх-кДО.у) , _j_ i(кх+кДОу)
gik^e^ll + cosdcAQy)]
E)
(зависимость от г отсутствует, из-за чего такой волновой пакет получил название
двумерного).
к
1
/
/
/
/
/ ,
/ 1
/
/
/
/
/
-к
О
—
0
ле
►мм
>*.
S
\
\
\
\
\
к
\
\
\
\
\
ч.
АО
Рис.2
Три выбранных значения ку позволяют
качественно понять, как выглядит функция |g(k)|
при изменении ку
Чтобы понять физический смысл, можно опереться на рис.3, где представлены
волновые плоскости всех трех составляющих, соответствующие фазам, кратным 2я.
Функция |\j/(jc,)>)| максимальна при у = 0, где три волны интерферируют
конструктивно на оси Ох. Если же имеет место отклонение от этой оси, то функция |v|/(jc,y)\
уменьшается (сдвиг фаз между компонентами возрастает) и обращается в нуль в точках
Ау
у = ±——, где Ау определяется равенством:
cos
*де
Ау
-1
F)
или
k-AQ-Ay = 2n,
G)
5 Квантовая механика
65

Глава 1
Волны (к2) и (к3) находятся при этом в противофазе с волной (ki) (рис.3). Используя
равенство D), можно переписать соотношение G) в форме, аналогичной соотношению
(С-11) главы!:
Ay-AkY =4n ,
(8)
Рис.3
Плоскости равной фазы для трех
волн, связанных с тремя волновыми
векторами, приведенными на рис.1.
Эти волны находятся в фазе
при у = 0 ив противофазе при
y = ±2n/Mv
Итак, угловая дисперсия волновых векторов ограничивает боковые размеры
волнового пакета; количественно это ограничение принимает форму соотношения
неопределенностей [формулы G) и (8)].
3. Физическое обсуждение результатов
Рассмотрим плоскую волну с волновым вектором к, распространяющуюся вдоль
оси Ох . Всякая попытка ограничить ее размеры в направлении, перпендикулярном Ох ,
приведет к угловой дисперсии, то есть преобразует плоскую волну в волновой пакет,
аналогичный рассмотренному выше.
Действительно, предположим, например, что на пути плоской волны установлен
экран с прорезанной в нем щелью шириной А у. Она породит дифрагированную волну
(см.рис.4). Известно, что угловая ширина пятна дифракции равна:
2.Д6 = 2—,
Ау
(9)
66

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
где А, = -г-г — длина падающей волны. Мы вновь приходим к той же ситуации, что и
lkl
ранее: формулы G) и (9) оказываются идентичными.
Рис.4
При уменьшении неопределенности Ау
дифракция волны на диафрагме увеличивает
неопределенность Му.
Дополнение Fi
СВЯЗЬ МЕЖДУ ОДНОМЕРНОЙ И ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧАМИ
1. Трехмерный волновой пакет.
a. Простой случай.
b. Общий случай.
2. Обоснование использования одномерных моделей.
Пространство, в котором движется классическая или квантовая частица, является,
конечно, трехмерным. Именно поэтому в главе I мы записали уравнение Шредингера (D-1)
для волновой функции\|/(г), зависящей от трех координат jc, у, z радиуса-вектора г.
Однако в этой главе мы неоднократно пользовались одномерной моделью лишь с одной
переменной х практически без серьезных обоснований. В данном дополнении мы
преследуем две цели: во-первых, обобщить в § 1 на три измерения результаты, полученные
в § С главы I, и, во-вторых, показать в § 2, как можно в определенных случаях строго
обосновать применение такой модели.
Лу
5*
67

Глава 1
1. Трехмерный волновой пакет
а. ПРОСТОЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим сначала простейший случай, для которого справедливы следующие
гипотезы.
Волновой пакет является свободным [V(r) = 0] и может быть представлен так же,
как и в равенстве (С-6) главы I:
¥(r,/) = ^37Fjg(k)e"kr-m(k,"rf^. A)
Кроме того, функция g(k) имеет вид:
g(k) = gx(kx)xg2(ky)xg3(k2). B)
Вспомним выражение для зависимости (о(к):
ш(к) = ^ = А(^ + *; + *,2). C)
2т 2т v v'
Подставим B) и C) в A) и заметим, что имеется возможность разбить интеграл на три
по кх, куЧ кг, вследствие чего
\|/(г, 0 = ViU Oxv|/2()>, Ox\|/3(z, t), D)
где
л/2я -ее
М2
со(*,)А. E)
2т
Аналогичные выражения получаются для \|/2(у, О и \|/3(z, 0 .
Функция \|/,(;у, О действительно имеет форму одномерного волнового пакета.
Таким образом, в этом частном случае \|/(r, t) получается простым перемножением D)
трех одномерных волновых пакетов, которые изменяются во времени совершенно
независимым образом.
68

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Ь. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
В общем случае, когда V(r) — произвольная функция, формула A) не может быть
использована. Тогда полезно ввести трехмерное преобразование Фурье g(k, t) от
функции \|/(г, /) с помощью соотношения:
i|/(r,f) =
1
BяK'
-jg(k,t)eikrd3k
F)
Априори зависимость от t функции g(k, г), которая определяется формой потенциала
V(r), может быть произвольной; кроме того, в общем случае нет никаких причин, чтобы
g(k, t) имела вид произведения типа B). Чтобы обобщить результаты, приведенные в
§С-2 главы I, воспользуемся следующим предположением относительно ее зависимости
от к : модуль | g(k, t) | в некоторый момент времени t является функцией, вид которой
имеет явно выраженный максимум для значений к , близких к к0, и быстро
уменьшается до пренебрежимо малых значений, если к оказывается вне пределов области Dk с
центром к0, имеющей размеры Мл., М , М,. Как и ранее, положим
g(kyt) = \g(k,t)\e>
/a(k,/)
G)
для того, чтобы фазу волны с волновым вектором к можно было записать в виде:
Ф(к, г, 0 = сс(к, t) + kxx + kyy + kzz . (8)
Теперь можем продолжить рассуждения так же, как и в § С-2 главы I. Сначала волновой
пакет имеет максимум, когда все волны, для которых экстремумы по к находятся в
области Dk, имеют практически одну и ту же фазу, то есть когда ф мало меняется в
области Dk. При этом всегда можно разложить ф(к, г, t) вблизи к0 и ограничиться членами
первого порядка малости по 8к = к - к0:
5ф(к, г, t) = 8kx
dk
-Ф(к,г, г)
+ 8*
Э*.
-ф(к, г, t)
+ 8k
dk
-ф(к, г, t)\
(9)
69

Глава I
или, если использовать (8), в сжатом виде*:
5ф(к,г,г) = 5к.[ Укф(к,г,г)]к=ко=5к.[г + [Ука(кл)]к=ко]. A0)
Из A0) следует, что изменения функции ф(к, г, t) в области Dk минимальны, если
г = r„@ = -[Vka(k,f )]„.„„. A1)
Мы видели, что при этих условиях модуль |\|/(г, 01 максимален, и соотношение A1)
определяет положение rM(t) центра волнового пакета и является обобщением равенства
(С-15) главы I на трехмерное пространство.
В какой области Dr с центром г^ и размерами Длс, Ду, Дг волновой пакет F)
имеет существенные размеры? Модуль |\|/(r, t) | становится малым в сравнении с модулем
| ц/(гм, 0|, если волны с различным к , интерферируя, уничтожают друг друга, то есть
если изменения фазы ф(к, г, г) в области Dk близки к значению 2п — имеют порядок
одного радиана. Пусть 5r = r-rM ; если учесть формулу A1), то равенство A0)
запишется в виде:
5ф(к, г, 0 = 5к-5г. A2)
Условие 8ф(к, г, 0>1 дает немедленно соотношения, связывающие размеры области
Dr с размерами области Dk:
[Дх-Мл>1;
JAyA*v>l; A3)
[Дг-М2>1.
Соотношения неопределенностей Гейзенберга следуют непосредственно из
соотношения р = Йк :
[ Дх • Арх > Ь\
|ДуДр,£Й; A4)
[&z-&pz>h.
* Символ V обозначает «градиент»: по определению V / (х, у, z) есть вектор с
координатами Э//Эх, df /ду , df /dz . Индекс к в Vk означает, что, как и в (9), производные берутся по
переменным кхУ ку, kz.
70

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Эти неравенства и являются обобщением выражения (С-23) главыЛ на трехмерное
пространство.
Заметим, наконец, что групповая скорость Vc волнового пакета может быть
получена простым дифференцированием выражения A1) по V.
Vc=~[V„a(k./)]„.„.. A5)
В частном случае свободного волнового пакета, но не обязательно удовлетворяющего
услрвию B), имеем;
a(k,r) = a(k,0)-(o(k)f, A6)
где со(к) описывается формулой C). Тогда из формулы A5) следует:
йк
Vc=[Vkco(k)]klk()=—A, A7)
т
и это выражение является обобщением равенства (С-31) главы I.
2. Обоснование использования одномерных моделей
Если потенциал не зависит от времени, то, как мы видели в § D-1 главы I, имеется
возможность разделить в уравнении Шредингера временную и пространственные
переменные, что позволяет получить уравнение (D-8) на собственные значения. Мы намерены
показать здесь, как в некоторых случаях можно продвинуть далее подобную методику и
разделить также переменные х, у, z в уравнении (D-8).
Действительно, допустим, что потенциальная энергия У(г) может быть записана в
виде:
V(r) = V(x, у, z) = Vl(x) + V2(y) + V3(z), A8)
и попытаемся узнать, существуют ли решения уравнения на собственные значения вида:
Ф(дг, у, г) = Ф,(.*)хф2(;у)хфзи). A9)
Рассуждения, аналогичные тем, которые были приведены в главе I (§ D-1-а),
показывают, что это возможно при условии:
Ъ2 d2 „, ч
ф1(д:) = £1чр1и). B0)
71

Глава 1
Справедливы еще два аналогичных уравнения, в которых х следует заменить на у (или г),
V\ на V2 (или V3) и Е\ на Е2 (или Е3). Кроме того, необходимо также, чтобы выполнялось
соотношение:
Е = Е{+Е2 + Е3. B1)
Уравнение B0) того же вида, что и уравнение (D-8), но оно одномерное, и,
следовательно, переменные х, у, z оказываются разделенными*.
Что происходит, если, например, потенциальная энергия частицы У(г) зависит только
от координаты xl В этом случае У(г) можно записать в виде A8), где У, = У и У2 = У3 = 0.
Уравнения B0) по у и по z соответствуют уже рассмотренному в главе I случаю (§ С-1)
одномерной свободной частицы, и их решениями являются плоские волны е •v и e'kzZ.
Теперь остается решить лишь уравнение B0), что является одномерной задачей. Однако
полная энергия трехмерной частицы теперь равна:
£=£1+^-[*J + *?]. B2)
2т L *J
Таким образом, рассмотренные в главе I одномерные модели соответствуют на деле
трехмерной частице, двигающейся в поле потенциала У (г), который зависит лишь от х\
при этом решения <р2(у) и cp3(z) являются предельно простыми и соответствуют
частицам, «свободной по оси Оу» и «свободной по оси Oz». Именно поэтому мы
сосредоточили все наше внимание на изучении уравнения по х.
Дополнение Gi
ОДНОМЕРНЫЙ ГАУССОВ ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ.
РАСПЛЫВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА
1. Определение гауссова волнового пакета.
2. Вычисление Ал: и Ар . Соотношение неопределенностей.
3. Эволюция волнового пакета.
a. Вычисление функции \|/(д\ t).
b. Скорость распространения волнового пакета.
c. Расплывание волнового пакета.
* Можно показать (см. главу II, §F-4-a-C), что, если V(r) имеет вид A8), все решения уравнения
на собственные значения (D-8) являются линейными комбинациями найденных здесь выражений.
72

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
В этом дополнении предполагаем исследовать частный случай одномерного
свободного волнового пакета, для которого функция g(k) имеет гауссову форму. Интерес к
этому примеру обусловлен тем, что расчет может быть выполнен точно до самого конца.
Мы сможем сначала доказать для данного частного случая ряд свойств волновых пакетов,
о которых говорилось в § С главы I. Затем воспользуемся полученными результатами,
чтобы исследовать эволюцию во времени ширины волнового пакета и продемонстрировать
эффект расплывания пакета во времени.
1. Определение гауссова волнового пакета
Рассмотрим в рамках одномерной модели свободную частицу [V(jc) = 0], волновая
функция которой в момент времени t = О имеет вид:
¥UO) = -^j-0,Md%fcA. A)
B71) _то
Этот волновой пакет получен путем суперпозиции плоских волн elkx с коэффициентами:
1 4 а -—а--*,,J
8«,0) = -г^ге 4 , B)
л/2я B71)
которые соответствуют функции Гаусса с центром к = к0, умноженной на численный
коэффициент для нормировки волновой функции. Именно такой волновой пакет
называют гауссовым.
В дальнейшем вычислении мы неоднократно встретим интегралы типа:
/(а,C)= J<fe2(WJ£/$, C)
где а и C — комплексные числа [чтобы интеграл C) сходился, нужно, чтобы Re а2 > О ].
Метод вычетов позволяет показать, что этот интеграл не зависит от Р :
/(сс,Р) = /(а,0) D)
и при условии -тг / 4 < Arg а < +я / 4 , что всегда справедливо, если. Re а2 > 0, интеграл
/(а, 0) выражается следующим образом:
/(а,0) = -/A,0). E)
а
73

Глава 1
Теперь остается лишь определить /A,0), что можно сделать классическим образом
благодаря двойному интегрированию в плоскости хОу и переходу к полярным координатам:
/A,0)= JY^ = Vrc. F)
Таким образом, имеем:
7 е'*2^''(£, = —
G)
а
где -71 / 4 < Arg а < +я / 4 .
Затем вычислим \|/(х, 0). Для этого перегруппируем зависящие от к показатели
экспонент в выражении A) следующим образом:
Л2 2
(к-к.у + ikx =
4 ° 4
а
х2
+ ikQx- — . (8)
а
Теперь можно воспользоваться формулой G) и записать:
( 7 Vм
V|/(jc,0)= -—- eik"xe-xha\ (9)
Мы видим, что преобразование Фурье гауссовой функции действительно дает также
гауссову функцию (см. приложение I).
В момент времени t = 0 плотность вероятности нахождения частицы определяется
формулой:
И*,оГ=,|Х
\ е~2х2,а2 . A0)
па
График функции |\|/ (х, 0)| является классической колоколообразной кривой. Центр
волнового пакета [максимум функции |\|/(х, 0)| ] находится в точке х = 0, что и должно
было получиться в результате применения общей формулы (С-16) главы I, так как в этом
частном случае функция g(k) является вещественной.
74

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
2. Вычисление Ах и Ар. Соотношение неопределенностей
При введении гауссовой функции f(x) = е~х 1Ь удобно явно определить ее ширину
Аде с помощью соотношения:
Ах = -^. (И)
л/2
Еслих изменяется от 0 до ± Аде, то функция f(x) уменьшается в раз; это
определение, хотя и является, конечно, произвольным, имеет то преимущество, что оно совпадает
со «среднеквадратичным» значением переменной х (см. главу III, §С-5).
С учетом этого обозначения ширину Адг волнового пакета A0) можно
переопределить следующим образом:
Ajc = ~. A2)
2
Ширину Ак можно определить аналогично, поскольку |g(&,0)| также является
гауссовой функцией, и тогда
А*=- A3-а)
а
или
В результате получим:
Ар = ~. A3-Ь)
а
Ад:.Ар = |, A4)
что вполне совместимо с соотношением неопределенностей Гейзенберга.
3. Эволюция волнового пакета
а. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ \|/(дс, t)
Чтобы найти волновую функцию \|/(дг, t) в момент времени t, достаточно
воспользоваться общей формулой (С-6) главы I, полученной для свободной частицы. То есть:
75

Глава 1
V(*, 0 =
Га
BтгK/
-t('-*»Jj
Ikx-w(k)t)
dk,
A5)
где (D(/:) = — закон дисперсии для свободной частицы. Мы увидим сейчас, что
2т
в момент времени t волновой пакет сохраняет гауссову форму. Действительно,
выражение A5) можно преобразовать, перегруппируя, как это было сделано выше, все
зависящие от к члены в показателе экспоненты. Затем можно использовать выражение G)
и записать:
VU0:
'Та""
4 AhU
т
2.2Л
V*°'vexp
Пк0
т
а" +-
liht
т
A6-а)
где ф — вещественная величина, не зависящая от х:
ф = -Э °-t и tg2Q = —г.
2т та
A6-Ь)
Найдем теперь плотность вероятности \\\f(x, t)\ для частицы в момент времени /:
|\|/(лг, г)|2 =
•м" I 4h2t2
1 + -ТТ
т а
ехр
2a2\x-^t
т
4 4/zV
а +—=-
A7)
Покажем, что норма волнового пакета, т. е. J|\|/(jc, t)\2dx, не зависит от времени
(в главе III мы увидим, что это свойство вытекает из эрмитовости гамильтониана Н
частицы). Для этого можно было бы использовать равенство G) для интегрирования
выражения A7) в пределах от -©о до +«>. Но быстрее просто заметить в выражении A5), что
преобразование Фурье от функции \\f(x, t) имеет вид:
g(*,r) = e-'wa)'g(*,0), A8)
то есть g(k, t) неизбежно имеет ту же норму, что и g(k,0). Поскольку равенство Бес-
76

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
селя—Парсеваля указывает на то, что функции \\f(x, t) и g(k, t) имеют одинаковую
норму, то и функции \|/(дг, 0) и g(k, 0) имеют одинаковую норму. Отсюда следует, что
нормы функций 1|/(jc, t) и \|/(jc, 0) равны.
b. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА
Из формулы A7) следует, что плотность вероятности |\|/(*, t)\ является гауссовой
функцией с центром в точке х = V01, где скорость V0 определяется равенством:
V„=^- A9)
т
Именно этот результат можно было бы предвидеть из общего выражения (С-32)
главы I, которое определяет групповую скорость VG.
с. РАСПЛЫВАНИЕ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА
Вернемся к формуле A7). Ширина Ax(t) волнового пакета в момент времени t
согласно определению A1) равна:
a I 4h2t2
A*@ = -Jl + -rr- B0)
2 V та
Мы видим (см. рис.1), что эволюция волнового пакета не сводится к простому
перемещению со скоростью V0, и он испытывает деформацию во времени. При изменении t от
-<*> до 0 ширина волнового пакета уменьшается, в момент времени t = 0 она становится
минимальной и при дальнейшем возрастании t ширина Ах (г) увеличивается до
бесконечности (расплывание волнового пакета).
Из выражения A7) видно, что меняется и высота волнового пакета, но в
направлении, обратном ширине, так что норма функции \|/(jc, t) остается неизменной.
Свойства функции g{k, t) совершенно иные. Действительно [см. формулу A8)]:
|*(*,0| = |*(*,0)|. B1)
Отсюда следует, что средний импульс волнового пакета (hk0) и его дисперсия (tiAk) не
изменяются во времени. Ниже мы увидим (см. главу III), что это обусловлено тем, что
импульс является интегралом движения для свободной частицы. Физически вполне по-
77

Глава I
нятно, что распределение по импульсам не может измениться, если на своем пути
частица не встречает никакого препятствия.
Существование дисперсии импульса Ар = fiAk = ft/a означает, что скорость
частицы может быть определена лишь с точностью до Av = Ар I m = h I та . Представим себе
множество классических частиц, исходящих в момент времени t = 0 из точки х = О
|№М2
t <0
t ^0
t > 0
Рис.1
В моменты времени t < 0 гауссов волновой пакет распространяется с уменьшением ширины.
В момент t = 0 волновой пакет имеет минимальную ширину: произведение Аде • Ар равно
ft/2 . Затем при t > 0 волновой пакет распространяется с увеличением ширины
+ Лх
Рис.2
Зависимость ширины Ах волнового пакета, изображенного на рис.1, от времени. При
больших г ширина Ах стремится к дисперсии Ьхс1 положения ансамбля классических
частиц, которые вышли в момент времени t = 0 из точки х = 0 с дисперсией скоростей Ар/т
78

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
с разбросом скоростей Av . В момент времени t дисперсия их положений будет равна
i i лИ
oxcl = AvU =—— ; эта дисперсия линейно возрастает со временем г, как показано на
та
рис.2. Нанесем на этот же график кривую, определяющую эволюцию Ах (О ; при
стремлении г к бесконечности кривые Ax(t) и 8хс1 практически совпадают [прямые линии,
соответствующие 8хс1, являются асимптотами гиперболы Ax(t)]. Таким образом, можно
утверждать, что при больших t может быть использована квазиклассическая
интерпретация ширины Ajc . Напротив, если t стремится к 0, функция Ах (г) принимает значения,
существенно отличающиеся от Ъхс1. Действительно, квантовая частица должна постоянно
удовлетворять соотношению неопределенностей Гейзенберга Ах • Ар > h 12, которое
налагает нижний предел на Ах, поскольку Ар остается постоянной. Именно этот вывод
и следует из анализа рис.2.
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Расплывание свободных волновых пакетов является общим явлением, не
ограниченным рассмотренным частным случаем. Можно показать, что изменение во
времени ширины волнового пакета имеет вид, представленный на рис.2,
независимо от конкретной его формы (см. упражнение 4 в дополнении Ьш).
(И) В главе I простые рассуждения привели нас согласно (С-17) к приближенному равенству
Ах- А/: = 1 без конкретизации формы функции g(k), с одним лишь предположением, что
g(k) имеет максимум с шириной Ak вида кривой на рис.3 главы I (что, конечно,
соответствует случаю, рассмотренному в данном дополнении). Как же можно тогда получить
Ах • ДА: » 1, например, для гауссового волнового пакета при очень больших значениях tl
Конечно, это противоречие является лишь кажущимся. В главе I при получении
выражения Ах-Ак = \ мы предположили в формуле (С-13), что аргумент OL(t) в функции
g(k) может быть представлен в области Ак линейной функцией. Таким образом, мы
неявно допустили, что нелинейные члены дают в области Ак пренебрежимо малый вклад в
фазу g(k). Так, например, для членов второго порядка по (к- к0) нужно, чтобы
« 271. B2)
к=к0
Если, напротив, фаза Ct(k) не может быть представлена в области Ак линейной функцией
с ошибкой, существенно меньшей 2я , то действительно путем рассуждений, аналогичных
приведенным в главе I, следует заключить, что волновой пакет шире, чем дает формула (С-17).
М'
d2a
dk2
79

Глава I
В случае рассматриваемого здесь гауссового волнового пакета имеем А к = — и
а
Пк2 ГП2ЙГ „
ОС (А:) = 1, и условие B2) запишется в виде — —« 2п . Из формулы B0) не-
2m . \ a J m
трудно видеть, что при этом произведение Ах- Ак равно приблизительно 1.
Дополнение Hi
СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ
В ПОЛЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ОДНОМЕРНОГО ПОТЕНЦИАЛА
1. Поведение стационарной волновой функции ф(х).
a. Области, где потенциальная энергия постоянна.
b. Поведение ф(х) в точке разрыва потенциальной энергии.
c. Принцип расчета.
2. Анализ некоторых простых случаев.
a. Скачок потенциала.
b. Потенциальный барьер.
c. Связанные состояния. Прямоугольная потенциальная яма.
В главе I мы отмечали (см.§ D-2), что исследование движения частицы в поле
потенциала «прямоугольной» формы представляет интерес потому, что быстрое
пространственное изменение потенциала при некоторых значениях х приводит к возникновению
чисто квантовых эффектов. О ходе волновых функций, связанных со стационарными
состояниями частицы, мы догадывались благодаря оптической аналогии, которая
позволила нам очень просто понять, как возникают эти новые физические эффекты.
В этом дополнении мы приведем принцип количественного расчета стационарных
состояний частицы, примеры такого расчета в некоторых простейших случаях и
обсудим физический смысл полученных результатов. Для простоты ограничимся
одномерными моделями (см. дополнение Fi).
1. Поведение стационарной волновой функции ф(дс)
а. ОБЛАСТИ, ГДЕ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПОСТОЯННА
В случае прямоугольного потенциала функция V(x) остается постоянной V(jc) = V
в некоторых областях пространства. В такой области уравнение (D-8) главы I имеет вид:
80

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
d2 , ч 2т
Ф(*) + — (£-У)ф(дс) = 0. A)
dxz Т h
Будем различать несколько частных случаев.
(i) E>V
Введем положительную константу k9 определенную выражением:
Й2*2
E-V= . B)
2m
Решение уравнения A) запишется тогда как
<p(x) = Aeikx + A'e-ikx' C)
где А и А' — комплексные постоянные.
(ii) E<V
Это условие соответствует областям пространства, в которых движение по законам
классической механики запрещено. В этом случае мы введем положительную
постоянную р, определенную равенством:
V-еЖ. D)
2т
и решение уравнения A) записывается в виде:
ф(*) = Дер' + Я/*-р\ E)
где В и В' — комплексные постоянные.
(iii) E = V
В этом частном случае ф(лг) является линейной функцией координаты х.
Ь. ПОВЕДЕНИЕ ф(дг) В ТОЧКЕ РАЗРЫВА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Как ведет себя волновая функция в точке х = х], где потенциал V(x) испытывает
разрыв? Априори можно было бы предположить, что в ней ф(лс) имеет некоторую
особенность — например, также имеет разрыв. Цель данного параграфа — показать, что это
не так: функции ф(лс) и d(p I dx остаются непрерывными, и лишь вторая производная
й?2ф / dx2 имеет разрыв при х = *,.
6 Квантовая механика
81

Глава I
Не вдаваясь в строгое доказательство этого утверждения, попытаемся понять, почему оно
оказывается справедливым. Для этого вспомним, что потенциал прямоугольной формы должен
рассматриваться (см. главу I, § D-2-a) как предел при £ —» О функции Ve(x), равной V(x) вне
интервала [jc, - £, х{ + £j, и непрерывно меняющейся внутри этого интервала. Рассмотрим тогда
уравнение:
—тФеи) + -^[£-УЕи)]фЕ(х) = 0, F)
ах п
где предполагается, что функция VE(x) в интервале [х, - £, х{ + £] ограничена независимо от £ .
Выберем решение фе(х), которое при х < х1 -£ совпадает с решением A). Задача состоит в
том, чтобы показать, что при £—>0 функция фе(лО стремится к непрерывной и
дифференцируемой в точке х = х, функции ф(х). Допустим, что фе(л:) остается ограниченной при любых
значениях £ вблизи точки х = хх ; физически это означает, что плотность вероятности остается
конечной величиной. Проинтегрируем уравнение F) от хх - У] до х{ + Т) и получим:
^Ч*.+т,)-^Ч*, -ti) = ^ *f [ад-Е]<р,(*)&. (?)
аде ах п '
В пределе, когда £ —» 0, подынтегральная функция в правой части этого равенства, как мы только
что допустили, остается ограниченной, и, если теперь устремить Г] к нулю, то
(Л,+Т1)--^и1-л)-^о->0. (8)
Таким образом, в пределе при х = д, производная dty / dx является непрерывной, как и сама
функция ф(х) (первообразная от непрерывной функции). Напротив, d"ty / dx испытывает
разрыв и, как можно непосредственно заметить в уравнении A), в точке х = х{ происходит скачок,
2т
равный —г- ф(х )<3V , где Gv представляет собой скачок функции V(x) в точке х = х{.
Ь
ЗАМЕЧАНИЕ
В проведенных выше рассуждениях существенно важно, чтобы Ve(x)
оставалась ограниченной. В некоторых упражнениях дополнения Кь например, рассмат-
* Это допущение может быть математически обосновано, исходя из свойств
дифференциального уравнения A).
82

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
ривается случай, когда V(x) = cc5(jc) , то есть функция является неограниченной,
но ее интеграл остается конечным. В подобном случае cp(jc) остается
непрерывной, но с/ср / dx таковой уже не является.
с. ПРИНЦИП РАСЧЕТА
Следующим шагом для определения стационарных состояний в поле
«прямоугольного» потенциала является следующее: во всех областях, где функция V(x) постоянна,
следует записать ф(дс) в виде подходящей из двух форм C) или E) и затем сшить эти
функции, наложив условия непрерывности ф(лс)и dty/dx в точках разрыва V(x).
2. Анализ некоторых простых случаев
Выполним теперь количественный расчет стационарных состояний, следуя
описанному выше методу, для всех форм потенциала V(x), упомянутых в § D-2-c главы I; мы
сможем убедиться, что форма решений именно та, которую мы предвидели на основе
оптико-механической аналогии.
а. СКАЧОК ПОТЕНЦИАЛА
а. Случай E>V0; частичное отражение
Обозначим:
И
,РР^. СО)
Решение уравнения A) имеет форму C) в обеих областях I(jc<0)hII(jc<0):
Ф1(дг) = АУ*" + а;^дг; (И)
q>u(x) = A2eik2X + A'2e-ik2X. A2)
Поскольку уравнение A) однородное, метод расчета, предложенный в § 1-е, позволяет
6*
83

Глава I
найти лишь отношения Л[/Л,, А21 А, и А2/ А{.В действительности, два условия
согласования решений в точке х = О недостаточны для определения этих трех отношений.
Поэтому мы положим А2 - О, что соответствует случаю частицы, движущейся со
стороны х = -оо . Условия сшивания решений тогда дают:
©
i
уо
i V(x)
®
0
►А'
Рис.1
Скачок потенциала.
К *,-*■
2 .
Л,
кх +к2
2kt
кх+к2
A3)
A4)
Функция ф7(дс) является суперпозицией двух волн: первая с амплитудой Л,
соответствует падающей частице с импульсом p = hk{, движущейся слева направо; вторая с
амплитудой А[ соответствует отраженной частице с импульсом -hk{, движущейся в
противоположном направлении. Поскольку мы приняли А2 = 0, функция (ри(х)
описывает лишь одну волну, связанную с прошедшей частицей. В главе III (см. §D-l-c-C) мы
увидим, как можно, благодаря понятию тока вероятности, ввести коэффициенты
прохождения Т и отражения R на скачке потенциала (см. также §2 дополнения Вш): эти
коэффициенты определяют вероятности того, что частица, движущаяся со стороны х = -<» ,
преодолеет скачок потенциала в точке х = 0 или отразится в обратном направлении.
Мы найдем выражения для R:
R
а:
A5)
и для Т\
* Физическая причина появления множителя к21 кх в выражении для Т обсуждается в §2
дополнения Jj.
84

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Г = -2-
А,
Л
A6)
С учетом A3) и A4) получим:
4*,*,
Д = 1 llLj-t; A7)
(*,+*2J
Г= 4^22. A8)
(*,+*2J
Легко доказать, что Я + Г = 1. Это значит, что частица может либо пройти через скачок
потенциала, либо отразиться от него. В противоположность тому, что предсказывает
классическая механика, падающая частица имеет отличную от нуля вероятность
отразиться в обратном направлении; этот вывод мы уже обсуждали в главе I на основе
оптической аналогии, рассматривая отражение световой волны на границе раздела двух сред
(rtj > п2). Кстати, из оптики известно, что такое отражение происходит без отставания
волны по фазе, и, действительно, равенства A3) и A4) указывают, что отношения А\ I А,
и А2 / А{ являются вещественными числами. Таким образом, квантовая частица не
испытывает запаздывания ни при отражении, ни при прохождении (см. дополнение Jb § 2).
И наконец, легко видеть из равенств (9), A0) и A8), что при Е » V0 практически Т= 1:
частица с энергией, существенно большей высоты скачка потенциала, проходит за него,
почти не замечая его существования.
Р. Случай Е < V0 ; полное отражение
Введем в A0) и A2) обозначения:
2т(У0-Е)
П
2 =р2; A9)
ф/Д*) = Д2еР2Л + #2>-р2Л. B0)
Чтобы решение оставалось ограниченным при х = +<» , нужно положить:
Я2=0. B1)
Граничные условия в точке х = 0 в этом случае дают:
85

Глава 1
Л1=*!-Ч'Р2
Л, *,+/р2
К 2ki
*,+/р2
B2)
B3)
Коэффициент отражения R при этом равен:
|2
\А\
Ai
*.-ф2
*1+'Р2
= 1.
B4)
Как и в классической механике, частица всегда отражается (полное отражение). Однако
существует важное различие, на которое уже указывалось в главе I: вследствие наличия
проникающей волны е'*2* частица имеет отличную от нуля вероятность проникновения
в область пространства, которая по законам классической физики недоступна. Эта
вероятность экспоненциально уменьшается с ростом х и становится пренебрежимо малой,
если х превышает «глубину проникновения» 1 / р2 проникающей волны. Заметим также,
что коэффициент А\ I А{ является комплексным числом. Это свидетельствует о
существовании при отражении некоторого сдвига фазы, который физически обусловлен
запаздыванием частицы при ее проникновении в область jc> 0 (см. дополнение Jb § 1 и Вш, § 3).
Этот сдвиг фазы аналогичен тому, что происходит при отражении света от границы
раздела с металлической средой, и, напротив, он не имеет аналогов в классической
механике.
ЗАМЕЧАНИЕ
Если V0 —> +°о, то р2 —>-к», так что из B2) и B3) следует:
B5)
В области х> 0 волна, глубина проникновения которой бесконечно уменьшается,
стремится к нулю. Поскольку (А, + Л[)-> 0, волновая функция ф(лг) обращается
в нуль в точке х = 0и остается непрерывной в этой точке. Напротив, ее производная
внезапно изменяется от значения 2/&Д,до нуля, то есть испытывает разрыв. Это
происходит потому, что потенциал в точке х = 0 бесконечно велик, и интеграл G)
более не стремится к нулю при т^ —> 0.
86

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Ь. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
а. Случай Е > V0 ; резонансы
Рис.2
Потенциальный барьер
Используя обозначения (9) и A0), найдем решения в трех областях: I (х<0),
II @ < jc < /) и III ( jc> Z):
9/W = A/v-+A^'v;
Ф//и) = А2^ + А^-'^;
<рш(х) = А3е*>х + А',е-**х.
B6-а)
B6-b)
B6-с)
Как и ранее, допустим, что А'ъ = 0 (частица движется со стороны х = -©о).
Граничные условия в точке х = / позволяют выразить А2 и А2 через А3, а граничные условия
в точке х = 0 — выразить Ах и А\ через А2 и А2, а следовательно, и А3. Таким образом,
можно найти:
cos k2l~i
kt + Ц
2kxk2
sin k2l
e^A3 ■
k2-k2
A'i=i!^Jli.sink2i.e^Ai
2ktk2
B7)
* Значение V0 может быть положительным (как, например, на рис.2) или отрицательным
(потенциальная яма).
87

Глава I
Отношения A[/Al и Аг1 Ах позволяют найти коэффициенты отражения R и
прохождения Г, которые оказываются равными:
|2
I л;
R
(k2-k2Jsin2k2l
Т =
Аз
4k2k2+(k2-k2Jsin2k2l
4к2к2
" 4k2k2+(k2-k22Jsin2k2l '
B8-а)
B8-Ь)
Легко доказать, что R + Т = 1. С учетом (9) и A0) получим:
^_ 4Е(Е-У0)
4E(E-V0) + V2 sin2y2m(E-VQ)-l/n\
B9)
Зависимость коэффициента прохождения Т от / представлена на рис.3 (считается,
что величины Е и VQ зафиксированы): величина Т периодически изменяется от своего
-1
минимального значения
1 + -
до максимального значения, равного 1. Эта
4£(£-V0)_'
функция аналогична той, которая описывает пропускание интерферометра Фабри—Перо;
как и в оптике, резонансы (при выполнении соотношения к21 = пп, когда Т- 1)
4Е(£ - V0) + VI
Рис.3
Зависимость коэффициента
прохождения Т через барьер
от ширины барьера (высота
барьера V0 и энергия Е
частицы остаются постоянными).
Резонансы имеют место
всякий раз, когда / кратна
полуволне п/ к2 в области II.
соответствуют значениям /, являющимся кратными половине длины волны частицы в
области П. Если Е > V0, отражение частицы на каждом скачке потенциала происходит
без сдвига фазы волновой функции (см. §2-а-сс), и именно поэтому условие резонанса
к21 = пп соответствует значениям /, для которых в области II может существовать сие-

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
тема стоячих волн. Напротив, вдали от резонансов различные волны, отражающиеся в
точках х = О и х - /, уничтожают друг друга за счет интерференции, вследствие чего
значения волновой функции резко уменьшаются. Анализ распространения волнового
пакета, аналогичного тому, который рассматривался в дополнении Jb показал бы, что при
выполнении условий резонанса волновой пакет проводит относительно много времени в
области II, и это явление называется в квантовой механике резонансным рассеянием.
Р. Случай Е < V0 ; туннельный эффект
В этом случае достаточно заменить решение B6-Ь) функцией B0), где по-прежнему
величина р2 определяется формулой A9). Граничные условия в точках х = 0 и х = /
позволяют найти коэффициент пропускания барьера. На самом деле нет необходимости
вновь производить все расчеты: достаточно в равенствах, полученных в § а, заменить к2
на -/р2. В результате получим:
а,
4g(V°'£) C0)
4E(V0 -E) + V02 sh2 [V2w(V0 - E) 11 h\ '
причем, конечно, R = 1 - Т. Если р2/»1, то
TJ6E(V-E)e_2p,
v2
Мы уже видели в главе I, почему в противоположность классическим предсказаниям
частица имеет отличную от нуля вероятность пройти через потенциальный барьер:
волновая функция в области II не равна нулю, а имеет характер «проникающей» волны на
глубину проникновения 1 / р2; если / < 1 / р2, то частица имеет достаточно большую
вероятность пересечь потенциальный барьер посредством «туннельного эффекта». Этот
эффект имеет много физических приложений: инверсия молекулы аммиака (дополнение
Giv), туннельный диод, эффект Джозефсона, ос-распад некоторых ядер и т.д.
Глубина проникновения «проникающей» волны для электрона равна:
Рг)
е, VV1^
1,96
ангстрем, C2)
где Е и Vo выражены в электрон-вольтах [эта формула получается непосредственной
подстановкой в формулу (8) дополнения А[ вместо X = 2л / к величины 2я/ р2 ]. Рассмотрим теперь
89

Глава I
электрон с энергией 1 эВ, налетающий на барьер с параметрами V0 = 2 эВ, / = 1 ангстрем. Для
него глубина проникновения оказывается равной 1,96 ангстрем, то есть одного порядка с /: иными
словами, электрон должен иметь значительную вероятность преодолеть барьер. Действительно,
формула C0) в этом случае дает:
7=0,78. C3)
Таким образом, квантовый результат радикально отличается от классического: у электрона почти
8 шансов из 10 пройти через барьер.
Предположим теперь, что падающей частицей является протон, масса которого примерно в
1840 раз больше массы электрона. Глубина проникновения 1 / р2 для него равна:
1Р2
1.96 4,6 1Л_2
, ангстрем =—===10 ангстрем. C4)
Vl840(V0-E) JVb-E
Если мы сохраним те же значения Е = 1 эВ, V0 = 2 эВ, / = 1 ангстрем, то получим, что при этом
глубина проникновения 1 / р2 гораздо меньше величины /; формула C1) дает:'
Г=4х109. {35)
В этих условиях вероятность прохождения протона через потенциальный барьер пренебрежимо
мала. По той же причине, если мы применим формулу C1) к макроскопическим объектам, то
получим столь ничтожные значения вероятности, что они не могут играть никакой роли в
физических явлениях.
с. СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ.
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
а. Яма конечной глубины
Здесь мы ограничимся случаем, когда -V0 < Е < 0 (случай, когда Е > 0,
непосредственно входит в расчеты §Ь-а, выполненные выше).
В областях I I х < —
2)
II I < х < — , III х> — \ имеем соответственно:
2 2 { 2)
(f>l(x) = Blepx+B{e-px\ C6-а)
<fH(x) = A2eikx + A'2e~na\ C6-b)
90

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
р* л. »' г>~Р-1
(f>lll(x) = Biepx + B'3e
C6-с)
где
\2тЕ
_ \2т(Е + У0)
"V л2
C7)
C8)
Рис.4
Прямоугольная потенциальная яма
Поскольку функция ф(дг) должна быть ограниченной в области I, необходимо, чтобы
в;=о.
C9)
Граничные условия в точке х = — дают:
А <-P"W2P+i*„
2 2ik '
A'=-e-(<"lk)a'2^-B,,
2 2ik '
D0)
а условия в точке х = — дают:
Въ _ е»
В2 4ikp
[(p+/it)Vte-(p-/ifc)V4;
B'3=p2+k2
В, 2kp
sin ka.
D1)

Глава I
Но функция ф(лг) должна быть ограниченной также и в области III. Отсюда следует, что
Въ - О, то есть
'p-*V
VP + *J
= е
D2)
Поскольку р и к зависят от £, уравнение D2) допускает решения лишь для
определенных значений Е. Таким образом, наложенное на функцию ф(х) условие
ограниченности влечет за собой квантование энергии. Точнее, возможны лишь два случая.
(i) Если
Р-й = _eika
p + ik
D3)
то
Р (ка
D4)
Положим:
К=^=^7?
D5)
и после подстановки получим:
1
cos
2 ка к2 +р2
D6)
Таким образом, уравнение D3) эквивалентно системе уравнений:
cos
ка
У 2
кп
D7-а)
,(||>о.
D7-Ь)
Уровни энергии определяются как точки пересечения прямой с наклоном 1 / kQ с
отрезками синусоиды (на рис.5 они представлены длинным пунктиром). Так можно найти
92

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
некоторое количество уровней энергии, волновые функции которых являются четными;
действительно, если подставить D3) в D0) и D1), нетрудно убедиться, что В'ъ = В{ и
А2 = А'2, то есть (р(-л) = ф(х).
Зк/а 4п/а k0 Sn/a
Рис.5
Графическое решение уравнения D2), определяющего энергии связанных состояний
частицы в прямоугольной потенциальной яме. В случае, представленном на рисунке, имеется
пять связанных состояний: три четных (точки Р на рисунке) и два нечетных (точки I)
(ii) Если
= е
p + ik
D8)
то аналогичные вычисления приводят к следующей системе уравнении:
sin
ka
D9-а)
(ka
2
'*[—1<0-
D9-b)
В этом случае уровни энергии определяются точками пересечения той же прямой с
другими отрезками синусоиды (на рис.5 они изображены коротким пунктиром). Эти
значения чередуются с полученными в пункте (i), и нетрудно показать, что соответствующие
волновые функции являются нечетными.

Глава 1
ЗАМЕЧАНИЕ
Если к0 < —-, то есть
а
0 , = 2^Т' E0)
то рис.5 показывает, что существует лишь одно связанное состояние частицы с четной
волновой функцией. Затем, если Vl<V0 < 4V,, появляется первый нечетный уровень и т. д.:
с ростом V0 попеременно появляются четные и нечетные уровни. Если V0 >> V{, наклон
1 / к0 прямой на рис.5 очень мал, и для низших уровней энергии практически
*-^. E0
а
где п — целое число, и, следовательно:
E.*™—V E2)
2та2 °- E)
Р. Бесконечно глубокая яма
Пусть потенциал V(x) равен нулю в области 0<х<а и бесконечно велик в
остальном пространстве. Положим:
\2тЕ
:"V h2
l2mE ,__v
k = J—y- . E3)
Согласно замечанию в конце § 2-а-C этого дополнения функция ф(дг) должна равняться
нулю вне интервала [0, а] и быть непрерывной в точках х = 0 и х = а. Итак, для
интервала 0 < х < а :
<p(jr) = A**4AV*. E4)
Поскольку ф@) = 0, получим А' = -Л , и, следовательно:
ф(*) = 2iA sin kx. E5)
Кроме того, ф(я) = 0, и, следовательно:
94

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
* = —, E6)
а
где п — целое положительное число. Если функцию E5) пронормировать с учетом E6),
то получим стационарные волновые функции:
с энергиями:
2та2
Я„=-Т-Т-- E8)
Квантование энергетических уровней в этом случае оказывается относительно простым.
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Соотношение E6) отражает тот факт, что стационарные состояния определены
условием равенства ширины а ямы целому числу полуволн п I k . Это не так, если
яма имеет конечную глубину (см. § а); различие этих двух случаев обусловлено
сдвигом фазы волновой функции при отражении от скачка потенциала (см. § 2-а-C).
(ii) Легко доказать, используя E1) и E2), что если устремить глубину ямы V0 к
бесконечности, то получим уровни энергии бесконечно глубокой ямы.
Дополнение Ji
ПОВЕДЕНИЕ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА
НА СКАЧКЕ ПОТЕНЦИАЛА
1. Полное отражение: Е < V0 .
2. Частичное отражение: Е >V0 .
В дополнении Hj мы определили стационарные состояния частицы в поле
«прямоугольного» потенциала. В некоторых случаях, например, когда потенциал имеет форму
скачка, полученные стационарные состояния образованы бесконечными плоскими
волнами (падающей, отраженной и прошедшей). Конечно, поскольку их невозможно
нормировать, волновые функции не могут представлять истинное физическое состояние
95

Глава 1
частицы. Однако можно взять их линейную суперпозицию и образовать волновые
пакеты, поддающиеся нормированию. Кроме того, поскольку такой волновой пакет
непосредственно может быть разложен по стационарным волновым функциям, его эволюция
во времени поддается простому определению: достаточно умножить каждый из
коэффициентов разложения на мнимую экспоненту e~lE,lh с точно определенной частотой
El h (см. главу I, § D-1-b).
В этом дополнении мы построим такие волновые пакеты и исследуем их эволюцию
во времени в случае, когда потенциал испытывает скачок величиной V(), как на рис. 1
дополнения Н[. Мы рассчитаем квантовое поведение частицы, когда она падает на скачок
потенциала, определим движение и деформацию связанного с ней волнового пакета. Это
позволит, кроме всего прочего, подтвердить ряд результатов, полученных в дополнении Н|
путем анализа стационарных состояний (коэффициенты отражения и прохождения,
запаздывание при отражении,...).
Положим:
\2тЕ ,
и, как в дополнении Нь будем различать два случая в зависимости от того, больше или
меньше к значения К0 .
1. Полное отражение: Е < V0
В этом случае стационарные волновые функции определяются формулами A1) и
B0) дополнения Hj (просто здесь величина к\ обозначена символом к), а коэффициенты
А ,, А[, В2 и #2 в этих формулах связаны соотношениями B1), B2) и B3)
дополнения Нг.
Сейчас мы построим волновой пакет путем линейной суперпозиции стационарных
волновых функций. Выберем только те значения к, которые меньше К0, чтобы все
образующие пакет волны испытывали полное отражение. Чтобы получить это, будем считать
характеризующую волновой пакет функцию g(k) равной нулю для к> К0. Сосредоточим
внимание на отрицательной области оси Ох, слева от потенциального барьера. В
дополнении Hj равенство B2) указывает, что коэффициенты Л, и А\ в выражении A1)
для стационарной волновой функции в этой области имеют одинаковый модуль, то есть
можно положить:
96

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
К(к)
АЛк)
= е
-2Ю<*>
B)
где [см. формулу A9) в HL
tgQ(k) =
^l^
C)
Окончательно рассматриваемый здесь волновой пакет в момент времени t = 0 для
отрицательных значений координаты х можно записать в виде:
^^o^^^dk-gw^+е'тк}е'^].
D)
Как и в § С главы I, предположим, что \g(k)\ представляет собой явно выраженный
максимум с шириной А к вблизи значения k = k0<KQ.
Чтобы получить выражение для волновой функции \j/(jc, t) в произвольный момент
времени /, достаточно использовать общее соотношение (D-14) главы I:
1 К
\|/(дс, t) = -j=j °dkg(k)e
\2п
i[kx-<a(k)t] {
+
л/2я
tfdkg{k)e4
[кх+ш(кI+2в(к))
E)
где (д(к) = fik212т. Это выражение справедливо только при х < 0. Его первый член
представляет падающий волновой пакет, а второй — отраженный пакет. Для простоты
предположим, что g(k) — вещественная функция; условие стационарной фазы (см.
глава I, § С-2) позволяет найти положение х, центра падающего волнового пакета: для
этого достаточно обратить в нуль производную по к от аргумента первой экспоненты
при к = к0 и приравнять:
X: ~t
dco
dk
Mn
-t.
F)
Аналогично, положение хг центра отраженного волнового пакета получается путем
дифференцирования по к аргумента второй экспоненты. Дифференцируя равенство C),
получим:
[i+/£2e]</e =
К2-к2
dk
d^-^^f^--rr-T^
G)
7 Квантовая механика
97

Глава I
то есть
К(Л ,л Кх
- f d0 = ?■ . dk, (8)
*2 *2 ^Г1^
откуда следует:
х=-
da ^d6
J*=A0
.^r + -r-2_. (9)
m V^o-Ao2
Формулы F) и (9) позволяют определить движение частицы, локализованной в малой
области А* с центром дг. или хг.
Рассмотрим сначала, что происходит при отрицательных значениях t. Центр jc,
падающего волнового пакета распространяется слева направо с постоянной скоростью
М0/т. С другой стороны, из формулы (9) видно, что хг >0, то есть находится вне
области х < О, где справедливо выражение E) для волновой функции; это означает, что для
всех отрицательных значений х волны, описываемые вторым членом выражения E),
интерферируют деструктивно: для отрицательных значений t нет отраженного
волнового пакета, а имеется лишь падающий волновой пакет, подобный тем, которые мы
изучали в § С главы I.
Центр падающего волнового пакета приходит на барьер в момент времени г = 0.
В течение некоторого интервала времени вблизи t = 0 волновой пакет локализован в
области х = 0 скачка потенциала, и его форма имеет относительно сложный вид. Но для
больших значений г из формул F) и (9) видно, что падающий волновой пакет исчезает,
и остается лишь отраженный волновой пакет. Действительно, теперь хх > 0, тогда как
хг становится отрицательным: волны падающего пакета интерферируют деструктивно
для всех отрицательных значений х, тогда как волны отраженного пакета интерферируют
конструктивно для х = хг < 0. Отраженный волновой пакет распространяется справа
налево со скоростью -nk01 m, противоположной скорости падающего на барьер пакета;
его форма остается неизменной* (с точностью до свойств симметрии). Кроме того,
формула (9) указывает, что отражение вносит запаздывание т, определяемое формулой:
dQ/dk
dw/dk
*=*о hk^Kl-kl
2т A0)
* Мы полагаем, что Ак достаточно мала, чтобы можно было пренебречь расплыванием
волнового пакета в течение рассматриваемого интервала времени.
98

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
В противоположность тому, что предсказывает классическая механика, частица
отражается не мгновенно; отметим, что запаздывание т связано со сдвигом фазы 2Q(k) между
падающей и отраженной волнами для данного значения к\ заметим, однако, что
запаздывание волнового пакета не просто пропорционально значению 0(&о), как было бы
в случае бесконечной плоской волны, а производной dQ/ dk , взятой при к = к0.
Физически это запаздывание обусловлено тем, что для значений г, близких к нулю, вероятность
нахождения частицы в области х > О (запрещенной классической механикой) отлична
от нуля [проникающая волна, см. ниже замечание (i)]: можно сказать, пользуясь образным
языком, что частица теряет время т в этой области, прежде чем отразится в обратном
направлении. Формула A0) показывает, что запаздывание т тем больше, чем ближе
П2к2
средняя энергия — волнового пакета к высоте потенциального барьера V0.
2т
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Здесь мы исследовали поведение волнового пакета в области х < 0, но можно также
рассмотреть и область х > 0. Действительно, в этой области волновой пакет может быть
представлен функцией:
4(x,t) = -j^=\l°dk-g{k)-B'2(k)e-«k)
х -iio(k)t
(И)
где
p(*) = V^-*2 .
A2)
Функция В'2(к) определена равенством B3) дополнения Н|, где следует заменить Ах на 1,
/:, на к и р9 на р . Рассуждение, аналогичное проведенному в § С-2 главы I, показывает,
что модуль |\|/(/) | выражения A1) максимален, если фаза подынтегральной функции по к
остается неизменной. Но согласно B2) и B3) дополнения Н| аргумент функции В\ вдвое
меньше аргумента А[, равного согласно B) величине ~2Э(/:), вследствие чего при
разложении С0(/:) и 6(&) вблизи к = к0 получим для фазы подынтегральной функции в A1):
</9
dk
d(u
dk
т \ 2)
A3)
[здесь использовано равенство A0) и предположение о вещественности функции g(k)].
7*
99

Глава 1
Отсюда следует, что |\|/(jc, t) | максимален в области х> 0 при t = X / 2 *: момент
времени, когда волновой пакет начинает двигаться в обратном направлении, равен Т / 2, что
позволяет найти полученное выше время запаздывания т при отражении. Из выражения A3)
становится больше интервала А/, определенного равенством:
видно, что как только
Т
t
2
Pik
^АЬАг = 1, A4)
т
где А/: — ширина функции g(k), волны сдвигаются по фазе, и выражение A1) для
|\|/(л:, 0| становится пренебрежимо малым; таким образом, волновой пакет остается в
области х > 0 в течение интервала времени At порядка:
Лг = , A5)
hk01 m
который примерно соответствует времени, необходимому для его перемещения в области
х < 0 на величину, сравнимую с 1/А&.
(ii) Поскольку мы предположили, что Ак меньше, чем к0 и К0 , сравнение выражений A0) и
A5) показывает, что
АГ»Т. A6)
Запаздывание при отражении выражается тем, что смещение отраженного волнового пакета
мало по сравнению с его шириной.
2. Частичное отражение: Е > V0
Теперь рассмотрим функцию g(k) с шириной А/: в окрестности к = к0> К0 и равную
нулю для к< К0. Волновой пакет формируется в этом случае путем суперпозиции
стационарных волновых функций с коэффициентами g(k), выражения которых определены
формулами A1) и A2) дополнения Нь примем А\ =0 для изучаемой частицы, которая
падает на барьер из отрицательной области оси Ох, и выберем Ах = 1; тогда коэффици-
* Заметим, что фаза A3) не зависит от х в противоположность тому, что мы нашли в главе I
для свободного волнового пакета. Отсюда следует, что в области х > 0 модуль \x\f(x, t)\ не
образует выраженного максимума, перемещающегося в зависимости от времени.
100

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
енты А[(к) и А2(к) получаются с помощью формул A3) и A4) дополнения Нь в
которых Л, заменяется на 1, к\ на к, и к2 — на ^к2 - К2. Чтобы описать волновой пакет
единым выражением, справедливым для любых значений х, можно использовать
ступенчатую функцию Хэвисайда, определенную выражениями:
0(;с) = О, если jc<0;
0(;с) = 1, если х>0. A7)
Исследуемый волновой пакет можно при этом записать в виде:
11/и,Г) = е(-х)^Г^.^(/:).е/1^а)/] +
^{-x)^rdk^{k)^Ax{kye-i{kx^k)t^
+ еи)^Г^^(^).л2(^).И^^л-и,а)/1. A8)
V27I *°
На этот раз мы имеем три волновых пакета: падающий, отраженный и прошедший.
Как и в § 1, условие стационарной фазы определяет положение их соответствующих
центров хпхги лг,. Поскольку А[{к) и А2(к) —вещественные величины, то
*,=Af; A9-а)
т
xr=-^t; A9-b)
т
fiJkl - Kl
л =_2U! °-t. A9-c)
m
Обсуждение, аналогичное тому, что было сделано для формул F) и (9), приводит к
следующим заключениям: для отрицательных значений t существует лишь падающий
волновой пакет; для полоэюительных и достаточно больших значений t существуют лишь
отраоюенный и прошедший волновые пакеты (рис. 1). Заметим, что нет запаздывания ни
при отражении, ни при прохождении [вследствие вещественности коэффициентов
А\{к) и А2(кI
Падающий и отраженный волновые пакеты распространяются со скоростями hk01 m
и -hk{) I m соответственно. Допустим, что А к достаточно мала, чтобы в интервале
101

Глава 1
V(x)
Рис.1
Поведение волнового пакета на скачке потенциала, если E>V0. Форма потенциала
представлена на рис. а. Приближение к скачку (Ь). Форма пакета в переходный период,
когда он начинает делиться на две части: интерференция падающих и отраженных волн
приводит к появлению осцилляции в волновом пакете в области х < О (рис. с). Через
некоторое время (рис. d) образуются два волновых пакета. Первый из них (отраженный)
движется справа налево, его высота меньше высоты падающего пакета, а ширина
остается прежней. Второй пакет (прошедший) движется слева направо, его высота несколько
больше высоты падающего, но ширина оказывается меньше.
Ак , Ак
2 ° 2
можно было пренебречь изменением А[(к) в сравнении с
изменением g(k). Тогда в правой части выражения A8) можно заменить А\{к) функцией
Л[(к0) и вынести ее из-под интеграла. Отсюда сразу же следует, что отраженный вол-
102

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
новой пакет имеет ту же форму (с точностью до соображений симметрии), что и
падающий пакет; его высота, однако, будет меньше, поскольку, согласно формуле A3)
дополнения Нь величина А[(к0) меньше 1. Коэффициент отражения R по определению есть
отношение вероятности нахождения частицы в отраженном волновом пакете и в
падающем пакете; таким образом, имеем R = \А^(к0) | , что соответствует уравнению A5)
дополнения Н\ [напомним, что мы приняли А,(/:0) = 1 ].
Для прошедшего волнового пакета ситуация иная. Действительно, можно использовать
то, что Д£ мала, чтобы упростить ее выражение; для этого заменим А2(к) на А2(к0) и
tJIc2 - К% на его приближенное значение:
^k2-Kl=Jkl-Kl+(k-kQ)
dyjk2-K20
dk
s%+(*-*o)—• B0)
где
Тогда прошедший волновой пакет запишется в виде:
^t(x4 t) = A2(k0)ei(l-X^Jiyk-g(k)-el
Сравним это выражение с выражением для падающего волнового пакета:
/(*-*„ H*-jc-o>(*)/
л/2я *°
[(k-kQ)x-io(k)t\
Видно, что
|v,Uf)| = A2(*0)
V/
Uo
-х, t
B1)
B2)
B3)
B4)
Таким образом, прошедший волновой пакет слегка выше падающего пакета: согласно
формуле A4) дополнения \\х величина А2(к0) больше 1. Однако его ширина меньше, так
как если ш/. (х, t)\ имеет ширину Длс, то из формулы B4) следует, что ширина функции
\|/, (лс, t)\ равна:
103

Глава 1
(Ах\=^Ах. B5)
Коэффициент пропускания (отношение вероятностей нахождения частицы в прошедшем
и падающем волновых пакетах) можно выразить в виде произведения двух
сомножителей:
Г = ^-|Л,(*0)|2. B6)
Это вполне согласуется с формулой A6) дополнения Нь поскольку Л,(А:0) = 1. Заметим,
наконец, что с учетом сжатия прошедшего волнового пакета по оси Ох, можно найти
скорость его перемещения:
V|=Ax&«A. B7)
т к0 т
Дополнение Kj
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пучок нейтронов с массой Мп = 1,67 х10~27 кг и энергией Е, имеющих одинаковую
скорость, падает на линейную цепочку атомных ядер, расположенных регулярно, как
показано на рисунке (например, ядра в длинной линейной молекуле). Пусть / —
расстояние между двумя соседними ядрами, ad — их диаметр (d « I). На большом
расстоянии от нее расположен нейтронный детектор D, ось которого составляет с направлением
падения нейтронов угол 0 .
а) Дать качественное описание явлений, наблюдаемых с помощью D при изменении
энергии Е падающих нейтронов.
104

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
b) Скорость счета, как функция энергии Е, имеет характер резонансного максимума
вблизи значения £ = £,. Зная, что в области Е < Ех других резонансов больше нет, показать,
что по этим данным можно определить величину /. Вычислить значение /, если 6 = 30° и
£1 = 1,Зх10-20Дж.
c) Начиная с каких значений энергии Е следует учитывать конечные размеры ядер?
2. Связанное состояние частицы в потенциальной яме вида 8-функции
Рассмотрим частицу, гамильтониан которой Н [оператор, определенный формулой
(D-10) главы I] имеет вид:
2т dx
где а — положительная константа, величину которой требуется оценить.
a) Проинтегрировать уравнение на собственные значения оператора Н между -8 и +8
в пределе е—>0 и показать, что производная собственной функции ф(.х) в точке х = 0
испытывает скачок; выразить его величину через а, т и ф@).
b) Предположим, что энергия частицы отрицательна (связанное состояние). Тогда
функция ф(лг) может быть представлена в виде:
л:<0 (р(х) = А1ерх + А[е'рх;
*>0 <p(jc) = А2ерх + А'2е~*" ,
где р — константа, которую следует выразить через Е и т. Используя результаты
предыдущего вопроса, определить матрицу М, заданную равенством:
(АА
Uj
= м
(АЛ
и; J
Показать, что функция ф(х) является квадратично интегрируемой и найти
возможные значения энергии. Вычислить соответствующие нормированные волновые функции.
c) Изобразить графически полученные волновые функции. Каков порядок величины
их ширины Ajc?
d) Какова вероятность d@* (p) того, что измерение импульса частицы в одном из
вычисленных выше нормированных стационарных состояний даст результат, заключенный между
р и р + dpi При каком значении р эта вероятность максимальна? В какой области размером
Ар ее значения достаточно велики? Дать порядок величины произведения Ajc • Ар.
105

Глава I
3. Прохождение через потенциальный барьер вида 5-функции
Рассматривается частица в поле потенциала, рассмотренного в предыдущей задаче,
но движущаяся теперь по оси Ох слева направо с положительной энергией Е.
a) Показать, что стационарное состояние частицы может быть описано равенствами:
если х < О, <р(jt) = eikx + A e~ikx ;
если х > О, ф(л:) = Ве,кх ,
где к, А и В — константы, которые следует выразить через Е, т и а (обратить внимание
на разрыв производной — в точке х = 0).
dx
b) Пусть - EL - -та212h2 (энергия связанного состояния частицы). Выразить
через безразмерный параметр ЕI EL коэффициенты отражения R и прохождения Т через
барьер. Проанализировать их зависимость от Е ; что происходит, если Е —> °° ? Дать
интерпретацию. Показать, что если распространить выражение для Т на отрицательные
значения энергии Е , то оно расходится при Е —> -EL ; дать объяснение.
4. Рассмотреть задачу 2, используя преобразование Фурье.
a) Записать уравнение на собственные значения оператора Н и Фурье-образ этого
уравнения. Получить непосредственно выражение для ф(р), Фурье-образа функции
ф(х), и выразить его через р, £, а и ф@). Показать, что при этом возможным является
лишь отрицательное значение Е. Таким образом, так можно найти только связанное
состояние частицы, а не состояния движущейся частицы. Объяснить, почему. Рассчитать
ф(л:) и показать, что этим способом можно получить все результаты задачи 2.
b) Средняя кинетическая энергия частицы может быть записана как
2т ' '
Показать, что если ф(р) — «достаточно регулярная» функция, то справедливо и
выражение:
Эти формулы позволяют найти энергию Ес частицы в связанном состоянии,
рассмотренном в пункте (а), двумя различными способами. Какой результат получится?
106

Волны и частицы. Введение основных идей квантовой механики
Нужно отметить, что в этом случае функция ф(;с) не является «регулярной» в точке
jc = 0, где ее производная терпит разрыв; следует тогда выводить ф(х) в смысле
распределения, что позволит получить вклад точки х = О в искомое среднее значение. Объяснить
этот вклад физически; для этого рассмотреть прямоугольную яму с центром в точке
jc = 0, ширина которой а стремится к нулю, а глубина V0— к бесконечности (так, чтобы
aV0 = а), и изучить поведение волновой функции в этой яме.
5. Яма, состоящая из двух 8-функций
Рассмотрим частицу с массой т, потенциальная энергия которой может быть
записана в виде:
V(jc) = -a5(jc)-a5(jt-/), a>0,
где / — постоянная, имеющая размерность длины.
а) Рассчитать связанные состояния частицы, положив Е = . Показать, что
2га
возможные значения энергии определяются соотношением:
е~91 = ±
\.ш
2m0L тт л.
где ц = —=— • Дать графическое решение этого уравнения.
Й
(i) Основное состояние. Показать, что это состояние является четным (инвариантно
относительно симметрии в точке х = 112) и что его энергия Es меньше энергии -EL9
введенной в задаче 3. Объяснить этот результат физически. Представить графически
соответствующую волновую функцию.
(ii) Возбужденное состояние. Показать, что если / превышает некоторое значение,
которое нужно уточнить, существует нечетное состояние с энергией ЕА >-EL\
представить соответствующую волновую функцию.
(Hi) Объяснить, как предшествующие вычисления позволяют построить модель
ионизированной двухатомной молекулы (например, Я2+), ядра которой находятся на
расстоянии /. Как зависит от / энергия каждого из двух уровней? Что происходит в пределе,
когда / —> 0 и / —> ©о? Какова полная энергия системы, если учесть силы отталкивания
двух ядер? Показать, что кривые зависимости от / полученных значений энергии позволяют
в некоторых случаях предсказать существование связанных состояний Я2+ и определить
значение / в равновесии (так формулируется элементарная модель химической связи).
107

Глава 1
b) Рассчитать коэффициенты отражения и прохождения для всего ансамбля из двух
барьеров вида 5-функции. Изучить их зависимость от /; существуют ли полученные ре-
зонансы, если / кратна длине волны де Бройля частицы? Почему?
6. Рассмотреть потенциальную яму прямоугольной формы с шириной а и глубиной V0
(в этой задаче систематически используются обозначения, введенные в § 2-с-ос
дополнения Н\). Исследовать свойства связанного состояния частицы в яме, когда ее ширина а
стремится к нулю.
a) Показать, что в действительности существует лишь одно связанное состояние, и
mVfa2
вычислить его энергию (Е = ~— >то есть пропорциональна квадрату площади ямы).
2Ь
b) Показать, что р —»0 и А2 = А'2 = В{ /2 ; получить, что в связанном состоянии
вероятность нахождения частицы вне ямы стремится к 1.
c) Как применить предыдущие рассуждения к частице, подверженной действию
потенциала V(x) = -cc8(jc) , как в задаче 2?
7. Рассматривается частица в поле потенциала:
V(x) = 0, если х > а;
V(x) = - V0, если 0 < х < а
и V(x) —> ©о при отрицательных значениях х. Пусть (р(х) — волновая функция, связанная
со стационарным состоянием частицы. Показать, что ф(лс) можно продлить так, чтобы
получить нечетную волновую функцию, соответствующую стационарному состоянию
для прямоугольной ямы с шириной 2а и глубиной V0 (см. дополнение Нь § 2-с-ос).
Обсудить количество связанных состояний частицы при изменении а и Vb; существует ли
по крайней мере одно такое состояние, как в случае симметричной потенциальной ямы?
8. Рассматривается в рамках двумерной задачи наклонное отражение частицы от скачка
потенциала:
V(x, у) = 0, если х < 0;
V(x, у) = Vo> если х > 0.
Изучить движение центра волнового пакета. В случае полного отражения физически
объяснить различие между траекторией этого центра и классической траекторией
(боковое отклонение при отражении). Показать, что при V0 —> +°° квантовая траектория
асимптотически стремится к классической.

Глава II
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ПЛАН ГЛАВЫ II
А. ПРОСТРАНСТВО 1. Структура пространства // волновых функций.
ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ а. Векторное пространство & .
ЧАСТИЦЫ. Ь. Скалярное произведение.
с. Линейные операторы.
2. Дискретные ортонормированные базисы в пространстве
^:{и,(г)}.
a. Определение.
b. Компоненты волновой функции в базисе { и,-(г) ).
c. Выражение скалярного произведения через
компоненты.
d. Соотношение замкнутости.
3. Введение базисов, не принадлежащих к ./ .
a. Пример плоских волн.
b. Пример «дельта-функций».
c. Обобщение: непрерывные «ортонормированные»
базисы.
1. Введение.
2. Векторы «кет» и векторы «бра».
a. Элементы в пространстве $: кет-векторы.
b. Элементы в дуальном пространстве <?*:
бра-векторы.
c. Соответствие между кет- и бра-векторами.
3. Линейные операторы.
a. Определения.
b. Примеры линейных операторов: проекционные
операторы.
4. Эрмитово сопряжение.
a. Действие линейного оператора на бра-вектор.
b. Оператор А+, эрмитово сопряженный линейному
оператору А .
c. Свойства соответствия между оператором и его
эрмитово сопряженным.
d. Эрмитово сопряжение в обозначениях Дирака.
e. Эрмитовы операторы.
В. ПРОСТРАНСТВО
СОСТОЯНИЙ.
ОБОЗНАЧЕНИЯ ДИРАКА.
С. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
СОСТОЯНИЙ.
1. Введение.
a. Определение представления.
b. Цель данного параграфа.

2. Соотношения, характеризующие ортонормированный
базис.
a. Соотношение ортонормировки.
b. Соотношение замкнутости.
3. Представление векторов кет и бра.
a. Представление векторов кет.
b. Представление векторов бра.
4. Представление операторов.
a. Представление оператора А «квадратной»
матрицей.
b. Матричное представление кет-вектора |\|/') = A |V|/) .
c. Выражение числа (ф| A \\\f/ .
d. Матричное представление оператора Л+ , эрмитово
сопряженного оператору А .
5. Изменение представления.
a. Постановка задачи.
b. Преобразование компонент кет-вектора.
c. Преобразование компонент бра-вектора.
d. Преобразование матричных элементов оператора.
D. УРАВНЕНИЯ
НА СОБСТВЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ.
НАБЛЮДАЕМЫЕ.
1. Собственные значения и собственные векторы оператора.
a. Определения.
b. Нахождение собственных значений и собственных
векторов оператора.
2. Наблюдаемые.
a. Свойства собственных значений и собственных
векторов эрмитова оператора.
b. Определение наблюдаемой.
c. Пример: проекционный оператор Р^ .
3. Ансамбли коммутирующих наблюдаемых.
a. Важные теоремы.
b. Полные наборы коммутирующих наблюдаемых.
Е. ДВА ВАЖНЫХ ПРИМЕРА
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
И НАБЛЮДАЕМЫХ.
1. Представления {|г) } и {|р) }.
a. Определение.
b. Соотношения ортонормировки и замкнутости.
c. Компоненты кет-вектора.
d. Скалярное произведение двух векторов.
e. Переход от представления {| г) } к представлению
(|р>|.

2. Операторы R и Р.
a. Определение.
b. Эрмитовостъ операторов R и Р.
c. Собственные векторы операторов R и Р.
d. R и Р — наблюдаемые величины.
F. ТЕНЗОРНОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ПРОСТРАНСТВ
СОСТОЯНИЙ.
1. Введение.
2. Определение и свойства тензорного произведения.
a. Тензорное произведение пространств Ъ .
b. Тензорное произведение операторов.
c. Обозначения.
3. Уравнения на собственные значения в произведении
пространств.
a. Собственные значения и собственные векторы опе-
раторов-продолжений.
b. Полные наборы коммутирующих операторов в
пространстве $.
4. Примеры применения.
a. Состояния частицы в одномерном и трехмерном
пространствах.
b. Состояния системы, состоящей из двух частиц.

Эта глава представляет собой обзор математического аппарата, используемого в
квантовой механике. Последующее изложение адресовано читателю, мало знакомому с
этим аппаратом, и имеет целью облегчить ему изучение следующих глав путем сжатого
изложения основ математики. Мы не намереваемся представить здесь полно и строго весь
математический формализм, нам кажется более предпочтительным ограничиться лишь
практическим руководством, сгруппировав в одной главе различные понятия,
используемые в квантовой механике. Так, в частности, особое внимание уделим удобству
обозначений Дирака для выполнения разнообразных вычислений, которые нам придется делать.
В том же духе мы будем стараться максимально упрощать изложение, и читатель не
найдет здесь ни общих определений, ни строгих доказательств, которые удовлетворили
бы профессионального математика. Например, нам часто придется обсуждать
пространства с бесконечным количеством измерений как пространства с конечной размерностью;
кроме того, многие термины (квадратично интегрируемая функция, базис и т.д.) будут
применяться в смысле, характерном для их использования в физике и не всегда в
точности совпадающем с тем, что вкладывает в них «чистая» математика.
В § А приведены некоторые полезные понятия относительно пространства волновых
функций; в § В обобщена концепция состояния физической системы и введено
пространство состояний (Г системы с применением обозначений Дирака. Изучению понятия
представления посвящен § С. Чтение следующего § D особенно рекомендуется
читателю, мало знакомому с диагонализацией оператора: этой операцией мы постоянно будем
пользоваться в дальнейшем. После рассмотрения двух важных примеров представлений
в § Е мы введем в § F понятие тензорного произведения, и оно более конкретно будет
проиллюстрировано на простом примере в дополнении Dlv.
А. ПРОСТРАНСТВО ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ ЧАСТИЦЫ
Вероятностная интерпретация волновой функции \|/(г,г) частицы была дана в
предыдущей главе: величина |\|/(r,0| d*r равна вероятности нахождения частицы в момент
времени t в элементе объема d3r -dxdydz вблизи точки г. Полная вероятность найти
частицу во всем пространстве равна 1, вследствие чего
Jrf3r|v(r,0|2 = l, (A-1)
где интеграл берется по всему объему пространства.
8 Квантовая механика
ИЗ

Глава II
Таким образом, нам предстоит исследовать ансамбль квадратично интегрируемых
функций, то есть функций, для которых интеграл (А-1) сходится. Этот ансамбль
математики обозначают символом L2, и он имеет структуру гильбертова пространства.
С физической точки зрения понятно, что ансамбль L2 слишком широк: с учетом
смысла, приданного величине |\|/(г,г)| , реально используемые волновые функции имеют
ряд особенностей. Можно оставить лишь те функции \|/(г,/), которые являются повсюду
определенными, непрерывными и даже бесконечно дифференцируемыми (например,
утверждение о том, что функция в некоторой точке имеет истинный разрыв не имеет
никакого физического смысла, так как никакой эксперимент не позволит получить
сведения о реальных явлениях, происходящих в предельно малых размерах, скажем 10~30 м);
можно также рассматривать волновые функции лишь в ограниченных областях
пространства (например, с уверенностью утверждать, что частица находится в конечном
объеме лаборатории). Мы не собираемся уточнять здесь эти дополнительные условия в
общем случае и будем обозначать символом & ансамбль волновых функций,
составленный достаточно регулярными функциями из L2 (J является подпространством L2).
1. Структура пространства 'J волновых функций
а. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 9
Если \|/1(г)е:/ и \|/2(г)е#\то
\|/(г) = Х,\|/,(г) + X2v2(r) е J, (A-2)
где А, и Х2 —произвольные комплексные числа.
Для того чтобы показать квадратичную интегрируемость функции \|/(г), раскроем |\|/(г)| :
|\l/(r)|2 =|?^I|2|\|/1(r)|2 + |Х2|2|м/2(г)|2 +X*1X2V|/;(r)\j/2(r) + XIX,*2Vi(r)M/2(r)- (А-3)
Два последних члена равенства (А-3) имеют одинаковый модуль, и их можно мажорировать
формулой:
NN[lV.(r)|2+IV2(D|2]-
Таким образом, |\|/(г)| меньше функции, интеграл от которой сходится, так как и Vj/,, и \|/2
являются квадратично-интегрируемыми функциями.
114

Математический аппарат квантовой механики
Ь. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
а. Определение
Каждой паре элементов ф(г) и \j/(r) пространства & , взятых в указанном порядке,
можно сопоставить комплексное число, обозначаемое символом (ф,\|/) и равное по
определению:
(ф,\|/) = ]>3гф*(г)у(г)
(А-4)
Это число называется скалярным произведением i|/(r) на ф(г) [этот интеграл всегда
сходится, если ф и ц/ принадлежат пространству & ].
C. Свойства
Они вытекают непосредственно из определения (А-4):
(ф,\|/) = (\1/,ф)*; (А-5)
(фД,\|/1+А.2\|/2) = А,1(ф,\|/|) + Х2(ф,\|/2); (А-6)
(Х1ф1+Л2ф2,\1/) = Х;(ф,,\|/) + Г2(ф2,1|/). (А-7)
Скалярное произведение линейно по отношению ко второй функции пары и антили-
нейно по отношению к первой функции. Если (ф,\|/) = 0, говорят, что функции ф(г) и
l|/(r) ортогональны. Величина
(\^\|/) = JdV|i|/(r)|2
(А-8)
является положительным вещественным числом, равным нулю лишь в том случае, если
\|/(г) = 0 . Величина <yj(\\f,\\f) называется нормой \|/(г) [можно без труда показать, что это
число имеет все свойства нормы]. Таким образом, определенное выше скалярное
произведение позволяет определить норму в пространстве & .
Напомним, наконец, неравенство Шварца (см. дополнение Ац):
|vp\|/2|<V(VpVi)V(V2.V2)- (A-9)
Равенство имеет место лишь в том случае, если функции \|/, и \|/2 пропорциональны.
8*
115

Глава II
с. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
а. Определение
Линейным оператором А , по определению, является математическая операция,
позволяющая сопоставить любой функции \\f(r)e^ другую функцию V|//(r)G.^ , причем
это соответствие является линейным:
\|/'(г) = АЩт); (А-10-а)
Л[Х1\|/1(г) + Х2\|/2(г)] = Х1Л\1/1(г) + Х2Л\|/2(г). (A-10-b)
Приведем несколько примеров простых линейных операторов: оператор четности П ,
по определению, удовлетворяет равенству:
Щ(х, у, z) = \|/(-дс, - у, - z), (А-11)
оператор умножения на х (обозначим его символом X) определяется равенством:
ХЩх, у, z) = jo|/(jc, yt z) (A-12)
и, наконец, оператор дифференцирования по х (обозначим его символом Dx)
определяется равенством:
0Мх.У.г)-Щ^ (А-13)
дх
[два оператора X и Dx, действуя на функцию V|/(r) G #", могут преобразовывать ее в
функцию, которая не обязательно должна быть квадратично-интегрируемой].
р. Произведение операторов
Пусть А и В — линейные операторы. Их произведение определяется равенством:
(А-14)
(А%(г) = А[Яу(г)]
Сначала на функцию \|/(г) действует оператор В, дающий ф(г) = #\|/(г), а затем
оператор А действует на полученную функцию ф(г).
В общем случае АВФ ВА . Коммутатором операторов А и В называют оператор,
который обозначается символом [А, В\ и определяется равенством:
|[А, д]=АВ-ВА| (А-15)
116

Математический аппарат квантовой механики
В качестве примера вычислим коммутатор [X, Dj. Для этого выберем произвольную
функцию \|/(г):
[Х.Од]¥(г) = (,1.~^(г)-4^)-|г^(ГI-
= jc—V|/(r)-\|/(r)-jc—V(r)=-\|/(r). (A-16)
dx djc
Поскольку последнее равенство справедливо для произвольной функции \|/(г), то
[X,Aj=-l. (A-17)
2. Дискретные ортонормированные базисы в пространстве & : {и.(г)}
а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть имеется счетное множество функций пространства & , пронумерованных
дискретным индексом / = 1,2,..., и,...:
м,(г)е^,и2(г)е#\..., м,.(г)е#\...
— Множество { м,(г)} является ортонормированным, если
(W/.,W.) = J^V.w;(r)^(r) = 50., (A-18)
где 8/;/ — символ Кронекера, равный 1, если / = j, и 0, если / Ф j.
— Оно образует базис*, если любая функция \j/(r) € #* может быть разложена
единственным образом по функциям и,(г):
V(r) = Zc/M/(r)
(А-19)
* Если множество { и, (г)) образует базис, иногда говорят, что оно является полной системой
функций. Следует отметить, что слово «полная» используется здесь в ином смысле, чем это
принято в математике.
117

Глава II
b. КОМПОНЕНТЫ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ В БАЗИСЕ { М,(г) }
Умножим обе части равенства (А-19) на и* (г) и проинтегрируем по всему
пространству. Согласно формулам (А-6) и (А-18) получим*:
(и., у) = и., £сд. = Ес,Ц, и,) = Хс;8/у = сj, (А-20)
v i / i i
то есть
c/=(n„v) = Jrf3r-«*(r)V(r). (A-21)
Таким образом, проекция с, функции \|/(г) на и,, (г) равна скалярному
произведению \|/(г) на м,(г). Если базис { м,(г)} выбран, то задания функции \|/(г) в явном виде
или в виде множества ее проекций (компонент) с,- на базисные функции являются
эквивалентными. Говорят, что множество чисел ci представляет функцию \j/(r) в базисе
{"/(г)}.
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Отметим аналогию между обычным трехмерным пространством R и ортонормированным
базисом { е,, е2, е3}. Тот факт, что векторы е,, е2, е3 являются единичными и
ортогональными, можно выразить соотношением:
е,.-е. = 8,у,где /, j = 1,2,3. (А-22)
Любой вектор V в пространстве R3 может быть разложен по векторам е,:
V = iv|.e/f (A-23)
»=1
где
v,. = е, • V . (А-24)
* Строго говоря, следует убедиться, что можно переставить ^ и ]d'r. Анализ подобных
вопросов мы систематически будем опускать.
118

Математический аппарат квантовой механики
Формулы (А-18),(А-19) и (А-21) обобщают в некотором смысле хорошо известные
выражения (А-22), (А-23) и (А-24). Однако следует заметить, что v, являются вещественными
числами, тогда как ci — комплексные числа,
(ii) Одна и та же функция \|/(г) имеет, очевидно, различные компоненты в двух различных
базисах. Далее мы изучим задачу изменения базиса,
(iii) В базисе { и, (г)} можно также представить линейный оператор А набором чисел, которые
образуют матрицу. Мы вернемся к этому вопросу в § С после введения обозначений Дирака.
с. ВЫРАЖЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КОМПОНЕНТЫ
Пусть ф(г) и \|/(г) — две волновые функции, которые можно записать в виде
разложений в ряды:
Ф(г) = Щ(г);
V(r) = £c,H,(r). (A-25)
J
Можно вычислить их скалярное произведение, используя формулы (А-6), (А-7) и (А-18):
(ф. V) = 2>Л Ъсм = S^c/w,., Uj) = 5>*сfiy,
то есть
(ф.у) = Х*^|.
В частности:
(v.v) = Zh|
(А-26)
(А-27)
Скалярное произведение двух волновых функций (или также квадрат нормы
волновой функции) выражается, таким образом, очень просто через компоненты этих
функций в базисе { мДг)}.
ЗАМЕЧАНИЕ
Пусть V и W — два вектора в пространстве R , имеющие компоненты v, и w-.
Аналитическое выражение их скалярного произведения хорошо известно:
119

Глава II
V-W = 5>,-wf. . (A-28)
Таким образом, формула (А-26) может рассматриваться как обобщение формулы (А-28).
d. СООТНОШЕНИЕ ЗАМКНУТОСТИ
Равенство (А-18), называемое также соотношением ортонормировки, говорит о том,
что функции множества { мДг)} нормированы на 1 и ортогональны друг к другу. Сейчас
мы установим еще одно соотношение, называемое соотношением замкнутости, из
которого следует, что это множество образует базис.
Если { и, (г)} является базисом в пространстве J , то любая функция ц/(г)б^
может быть разложена согласно формуле (А-19). Подставим в (А-19) выражение (А-21) для
компонент с( [нужно только изменить символ переменной интегрирования, поскольку
переменная г уже имеется в (А-19)]:
V(r) = ЕсЛ(г) = 2(Ч-. V) «/(г) = S[J^Vи;(г')] иДг).
Переставив местами операции £ и JdV, получим:
(А-29)
\|r(r) = JrfV\|f(rl)
5>,0г) "/Ю
(А-30)
где
]►>,.(!•)• и* (г')
- такая функция F(r, г') переменных гиг', что для любой
функции \|/(г) справедливо равенство:
\|/(r) = JdV\|/(r,)F(r,r'). (А-31)
Уравнение (А-31) является характеристическим для функции S(r-r') (см. примечание
II). Отсюда следует, что
Dn,(r)n;(r,) = 6(r-ri)
(А-32)
Справедливо и обратное: если ортонормированный ансамбль функций { и.(г)}
удовлетворяет соотношению замкнутости (А-32), то он образует базис. Действительно,
произвольную функцию \|/(г) можно записать в форме:
120

Математический аппарат квантовой механики
\|/(г) = J tf V \|/(r') 5(r - г'). (A-33)
Подставив выражение (А-32) для 6(г-г'), получим формулу (А-30), после чего
достаточно снова поменять порядок суммирования и интегрирования, чтобы вернуться к
формуле (А-29). Таким образом, это уравнение подтверждает, что функция Vj/(r) всегда
может быть разложена по w,(r), и можно определить коэффициенты этого разложения.
ЗАМЕЧАНИЕ
Мы вернемся к соотношению замкнутости с обозначениями Дирака в § С и увидим,
что ему можно дать простую геометрическую интерпретацию.
3. Введение базисов, не принадлежащих к J
Рассмотренные выше базисы { м,(г) Образованы из квадратично интегрируемых
функций. Иногда удобно ввести «базисы» из функций, не принадлежащих ни
пространству ;/, ни пространству L2, но по которым, тем не менее, можно разложить любую
волновую функцию \|/(г). Ниже мы приведем примеры таких базисов и покажем, как
можно распространить на них важнейшие формулы, установленные в предыдущем
параграфе.
а. ПРИМЕР ПЛОСКИХ ВОЛН
Для простоты рассмотрим одномерный случай квадратично интегрируемых
функций \|/(jc) , зависящих лишь от одной переменной х. В главе I мы видели, что зачастую
представляет интерес ввести преобразование Фурье \\f(p) функции x\f(x):
у(х) = -^1Ур-Щр)е*х"'; (А-34-а)
Л/27Ш
f(p) = -7i—Г dx-\\f(x)e'ipx,h. (A-34-b)
V27i/i
Рассмотрим теперь функцию v (x), определенную выражением:
v(x)=*e'i>x"'
1 J2nh
(А-35)
121

Глава II
Функция vp(x) представляет собой плоскую волну с волновым вектором р I h . Инте-
I I2 1
грал по х от 0 до ©о от функции v (х) = расходится. Таким образом, v (х) £ Jx.
1 ' 2nh
Обозначим символом {vp(x)} множество плоских волн, то есть все функции vp(x),
соответствующие различным значениям р. Величину р, которая может изменяться
непрерывно от -©о до +оо 9 будем рассматривать как непрерывный индекс, позволяющий
отличать между собой различные функции множества { vp(x)} [вспомним, что индекс /,
использованный выше для множества { мДг)}, был дискретным].
Формулы (А-34) можно переписать с учетом (А-35) в виде:
VM = H^-VO>)vpM
v(p)=(vp,v)=E.£fa,vpWvw
(А-36)
(А-37)
Эти две формулы могут быть сопоставлены с формулами (А-19) и (А-21). Равенство
(А-36) выражает, что любая функция \\f(x) e &х может быть разложена единственным
образом по функциям v (jc), то есть по плоским волнам. Индекс р изменяется
непрерывно, а не дискретно, вследствие чего суммирование в (А-19) заменяется интегралом
по р . Равенство (А-37) определяет, как и формула (А-21), компоненту \|/(р) разложения
функции i|/(x) no vp(x) в виде скалярного произведения* fv/;,\|/J; множество этих
компонент, соответствующих всем возможным значениям р, образует функцию от р,
которая является Фурье-образом \\f(p) функции \|/(х).
Итак, \|/(р) является аналогом сг Эти комплексные числа, зависящие или от р,
или от /, представляют собой компоненты одной и той же функции i|/(;c) в двух
различных базисах — { vp(x)} и { ut{x)}.
Это положение еще более подтверждается, если вычислить квадрат нормы функции
\|/(;с). Согласно равенству Парсеваля [приложение I, формула D5)] имеем:
(v,v) = C*'lv(p)l:
(А-38)
* Мы определили скалярное произведение только двух квадратично-интегрируемых функций,
но это определение без труда обобщается на случаи, подобные рассматриваемому, при условии,
что соответствующий интеграл сходится.
122

Математический аппарат квантовой механики
Эта формула напоминает выражение (А-27), если в последнем заменить сх на \|/(р) и
S на JdP-
Покажем, что функции vp(x) удовлетворяют соотношению замкнутости.
Действительно, используя формулу [см. приложение II, равенство C4)]:
_1_
271
£</*•«?*" =8(и),
найдем:
]_ф-у/,(х)у/,(х,) = —J-^^ Л =8(х-х')
(А-39)
(А-40)
Эта формула аналогична формуле (А-32), если в последней произвести замену
X на \dp.
i
Вычислим, наконец, скалярное произведение (v/;, vp.j, чтобы посмотреть,
существует ли эквивалент соотношению ортонормировки. Используя снова выражение (А-39),
получим:
(vp,vp.) = J^-v*U)vp.U)
или
k-^-i-jT'""'-"-^-^
(А-41)
Сравним (А-41) с (А-18). Вместо использования двух дискретных индексов /, j и
символа Кронекера 5ij в ней фигурируют два непрерывных индекса р и /?', а также
дельта-функция разности индексов 5(/? - р'). Заметим, что при р = р' скалярное
произведение (v^, v;j расходится, и, следовательно, действительно vp(x) £ Jx. Несмотря на то,
что приходится злоупотребить терминологией, в дальнейшем будем называть
выражение (А-41) соотношением «ортонормировки». Иногда говорят также, что функции vp(x)
«ортонормированы в смысле Дирака».
Обобщение на трехмерный случай не представляет трудностей. Рассматривается
плоская волна:
'.«-Ш '*"*■
(А-42)
123

Глава II
Базисные функции { vp(r)} зависят теперь от трех непрерывных индексов рх, ру, pz,
объединенных в обозначении р. Легко показать, что формулы:
\|/(r) = JrfVv(P)vp(r);
?(Р) = (V v) = Jd3r v*(r) v(r);
(<p,\|/)=J</V<p*(p)¥(p);
JdVvp(r)v;(r') = 8(r-r,);
(vp.Vp.J^SCp-p1)
(A-43)
(A-44)
(A-45)
(A-46)
(A-47)
являются обобщением выражений (A-36), (A-37), (А-38), (А-40) и (А-41).
Таким образом, можно считать, что функции vp(r) образуют «непрерывный базис».
Все полученные выше для дискретного базиса { мДг)} формулы могут быть
распространены на этот непрерывный базис при условии применения правил соответствия,
указанных в табл. II-1.
Таблица II-1
/ <-> р
5,;<->8(р-р')
Ь. ПРИМЕР «ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ»
Введем таким же образом множество функций {£Го(г)} переменной г,
перечисленных непрерывным индексом г0 (конденсированное обозначение для jc0, yQ9 z0) и
определенных выражением:
£ro(r) = 5(r-r0). (A-48)
Множество {£Го (г) } описывает набор дельта-функций с центрами в различных точках г0
пространства. Естественно, что функции £Го (г) не являются квадратично
интегрируемыми и £г (г) £ .¥ .
Рассмотрим следующие равенства, справедливые для любой функции \|/(г) е if :
124

Математический аппарат квантовой механики
\|f(r) = Jd3r0\|/(r0)8(r-r0);
\|/(r0) = Jflf3r5(r0-r)V|/(r).
Согласно (А-48) их можно переписать в виде:
\|f(r) = Jrf3r0\|f(r0)^ (г)
V(r0) = (^re,v) = Jrf3^;e(r)v(r)
(А-49)
(А-50)
(А-51)
(А-52)
Равенство (А-51) выражает, что любая функция Щг)е& может быть разложена
единственным образом по £г (г). Равенство (А-52) указывает, что проекция функции \|/(г)
на функцию £г (г) (здесь мы имеем дело с вещественными базисными функциями) в
точности равна значению \|/(г0) функции \|/(г) в точке г0. Выражения (А-51) и (А-52)
аналогичны формулам (А-19) и (А-21), где мы просто заменили дискретный индекс / на
непрерывный индекс г0 и X на jd3r0.
Итак, \|/(г0) и с{ эквивалентны: это комплексные числа, зависящие либо от г0,
либо от i и представляющие координаты одной и той же функции \|/(г)в двух различных
базисах {£Го(г) }и { м,(г)}.
Формула (А-26) принимает тогда вид:
(ф, \|/) = /^3г0ф*(г0)\|/(г0)
(А-53)
Определение (А-4) скалярного произведения оказывается тогда простым
применением формулы (А-26) в непрерывном базисе {£г (г) }.
Отметим, наконец, что функции £Гц (г) удовлетворяют соотношениям «ортонорми-
ровки» и замкнутости того же типа, что и vp(r); действительно, имеем [формула B8)
приложения II]:
ГТ_ = ~ ' (А-54)
(А-55)
{AMr^>'HA5(r-r0)8(r'-r0) = S(r-r')
(^ ,£,.) = иъг б(г - г0) б(г - г0') = 5(г0 - г0')
125

Глава II
Все формулы, установленные для дискретного базиса { иДг)}, могут быть, таким
образом, обобщены и на непрерывный базис {t>T (r) } при условии соблюдения правил
соответствия, обобщенных в табл. И-2.
Таблица II-2
/ог„
IWA
8« <-» 5(го -
Го)
ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ
Полезность только что введенных непрерывных базисов станет ясна в
последующих главах. Однако, не следует упускать из виду следующее: физическому
состоянию должна всегда соответствовать квадратично-интегрируемая волновая
функция. Ни в коем случае функции vp(r) или ^Го(г) не могут представлять
состояние частицы. Они являются лишь очень удобным промежуточным средством
вычислений при выполнении операций с волновыми функциями \|/(г),
способными служить для описания физического состояния.
Аналогичная ситуация встречается в классической оптике, где плоская
монохроматическая волна является очень удобной математической абстракцией, никогда
не реализуемой физически: даже самые лучшие фильтры всегда имеют конечную
полосу пропускания Av, малую, но никогда не равную нулю.
То же самое можно сказать и относительно функций £г (г). Можно
представить себе квадратично-интегрируемую волновую функцию, строго
локализованную вблизи г(), например, Ql\r) = Ve)(r-r0) = bU)(x-x0)8(e)(y-y0)SU)(z~z0),
где 8(е)— функции, имеющие максимум с шириной е и высотой 1/ е с центром в
точках jc0, 3>0, z0, для которых £~8(E)(*-.*o)d* = 1 (в § 1-Ь приложения II
приведены примеры таких функций). Когда е->0, функция £(ге)(г)—> £Го(г), которая
уже не является квадратично-интегрируемой. Но в действительности реализовать
физическое состояние, соответствующее такому пределу, невозможно: как бы ни
была локализована частица в некотором физическом состоянии, величина е
никогда не равна в точности нулю.

Математический аппарат квантовой механики
с. ОБОБЩЕНИЕ: НЕПРЕРЫВНЫЕ «ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ» БАЗИСЫ
а. Определение
Обобщая результаты, полученные в двух предыдущих параграфах, будем называть
непрерывным «ортонормированным» базисом ансамбль функций { wa(r) } переменной г,
выделенных непрерывным индексом а и удовлетворяющих следующим соотношениям
ортонормировки и замкнутости:
(wa, wa,) = ^3r^(r)wa,(r) = 5(a-a')
(А-56)
Idaw^wliY^^bir-Y4)
(А-57)
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Если a = a', то скалярное произведение (wa, wa ) расходится, и, следовательно,
wa(r)<2^.
(ii) Под а можно подразумевать несколько индексов, как это было для г() и р в приведенных
выше примерах,
(iii) Можно представить себе базисы, содержащие одновременно функции иДг),
перечисляемые дискретным индексом, и функции wa(r), перечисляемые непрерывным индексом.
В этом случае ансамбль и,(г) не образует базиса сам по себе, и к нему следует добавить
ансамбль wa(r).
Приведем пример такой ситуации. Ниже мы увидим, что множество стационарных
состояний частицы в поле потенциала, не зависящего от времени, образует базис. Вспомним
случай прямоугольной потенциальной ямы, рассмотренный в § D-2-c главы I (см. также
дополнение Hi). В области Е < О существуют дискретные уровни энергии, которым
соответствуют квадратично-интегрируемые волновые функции, пронумерованные дискретным
индексом. Но это еще не все возможные стационарные состояния. Уравнение (D-17) главы I
допускает также для любого значения Е > О ограниченные, но простирающиеся во всем
пространстве решения, квадрат которых расходится.
В случае «смешанного» базиса (дискретного и непрерывного) { м,(г), wa(r) }
соотношения ортонормировки запишутся в форме:
(и/.«у) = 5в
127

Глава II
(wa, wal) = 5(a-a');
(и,., wa) = 0.
Что касается соотношения замкнутости, то оно приобретает вид:
Xw/(r)w*(r,) + J^awu(r)w*(r,) = 8(r-r,).
(А-58)
(А-59)
Р. Компоненты волновой функции V|/(r)
Всегда можно записать:
\|/(г) = \ d\' \|/(г') 5(г - г').
(А-60)
Подставив выражение (А-57) для б(г-г') и допустив, что можно переставить
местами JdV и jcta , получим:
\|/(r) = J da [JdV w*(r') \|/(r')] wa(r)
или
где
\|/(r) = Jdac(a)wa(r)
c(a) = (wa, \|/) = JdV и/(г') \|/(r")
(A-61)
(A-62)
Выражение (A-61) показывает, что любую волновую функцию \i/(r) можно разложить
единственным образом по функциям wa(r), причем проекция с(ос) функции \|/(г) на
wa(r) равна согласно (А-62) скалярному произведению (wa, i|/).
у. Выражение скалярного произведения и нормы через компоненты
Пусть ф(г) и \|/(г) — две квадратично-интегрируемые функции с известными
компонентами в базисе wa(r):
9(r) = ^afc(a)wa(r); (A-63)
\|f(r) = Jrfa'c(a')wa(r).
(А-64)
128

Математический аппарат квантовой механики
Найдем их скалярное произведение:
(ф, у) = JVV ф*(г) i|/(r) =Jda jda1 b*(a) с(сс') Jrf3r vv* (r) wa.(r).
Последний интеграл определяется выражением (А-56):
(ф, \j/) = j da j da' b* (а) с(а') Ь(а- а*),
(А-65)
то есть
В частности:
(ф, \y) = jda-b*(a)c(a)
(\|/, i}/) = j*da-|c(a)|~
(А-66)
(А-67)
Все формулы § А-2 обобщаются с помощью правил соответствия табл. И-3:
Таблица П-3
i <->a
2<*\<t<*
■8jj <->8(a-
a')
Наиболее важные формулы, установленные в этом параграфе, сведены в табл. И-4.
В действительности, нет необходимости запоминать их в этом виде: далее мы увидим,
что введение обозначений Дирака позволяет установить их чрезвычайно просто.
Таблица П~4
Показатель
Соотношение ортонор-
мировки
Соотношение
замкнутости
Разложение волновой
функции \|/(г)
Выражение
для компонент \|/(г)
Скалярное
произведение
Квадрат нормы
Дискретным базис { мДг) }
(".'"i) = 5v
£ ((,(г) M,*(r') = 5(r-r')
1|/(г) = £с,.н,.(г)
i
с,. =(/(,, \|/) = J>Yi/*(r)y(r)
(<p.v) = Ifo
(v.v)=Skl2
Непрерывный базис { Wu(l*) }
(wa, wa.) = 5(a-a')
Jrfa wa(r) w*(r') = 5(r-r')
\|/(r) = /6/ac(a)wa(r)
c(a) = (wa, \|/) = J>Vw* (r) \|/(r)
(ф, \|/) = J^aZ?*(ot)c(a)
(\|/, \v) = jda\c(a)\2
9 Квантовая механика
129

Глава II
В. ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ. ОБОЗНАЧЕНИЯ ДИРАКА
1. Введение
В главе I был сформулирован следующий постулат: квантовое состояние частицы
в данный момент времени определено волновой функцией \|/(г). Вероятностная
интерпретация волновой функции требует, чтобы она была квадратично-интегрируемой, что
приводит к необходимости введения пространства & (§ А). В частности, тогда было
найдено, что одна и та же функция \|/(г) может быть представлена в зависимости от
избранного базиса различными ансамблями компонент (табл. П-5). Этот результат можно
интерпретировать следующим образом: задание величин {с,}, ij/(p) или с(сс) (если
предварительно установлен используемый базис) характеризует состояние частицы так же
точно, как и волновая функция \|/(г). Впрочем, и сама волновая функция i|/(r) в табл. И-5
фигурирует наравне с компонентами { с,}, \|/(р) и с(сс): значение \|/(г0), которое
принимает волновая функция в точке г0 пространства, может рассматриваться как ее
компонента на определенную функцию £Го(г) некоторого частного базиса.
Таблица 11-5
Базис
и, (г)
vp(r)
5,. (г)
wa(r)
Компоненты ty(r)
с,, где
J = 1,2, ...,/!,...
V(P)
V(r0)
c(a)
Таким образом, мы встречаемся с ситуацией, аналогичной той, которая хорошо
известна в обычном пространстве R3: положение точки в пространстве может быть
определено набором из трех чисел, являющихся координатами в заранее выбранной системе
отсчета; при изменении системы отсчета той же точке будет соответствовать другой
набор координат. Но введение понятия геометрического вектора и векторный анализ
позволяют устранить эту зависимость от системы осей и значительно упростить все
формулы и рассуждения.
Ниже мы проделаем совершенно аналогичную процедуру: каждое квантовое
состояние частицы будем характеризовать вектором состояния, принадлежащим абстрактному
пространству <fr, названному пространством состояний частицы. То, что пространство
J является подпространством L2, требует, чтобы пространство #г было подпростран-
130

Математический аппарат квантовой механики
ством гильбертова пространства. Далее мы определим обозначения и правила векторных
вычислений в пространстве #г.
На самом деле введение векторов состояний и пространства состояний приводит не
только к упрощению формализма. Оно позволяет также и обобщить его. Действительно,
существуют физические системы, квантовое описание которых не может быть
произведено лишь на основе понятия волновой функции: в главах IV и IX мы увидим, что так
бывает даже при рассмотрении единственной частицы, если учитывать спиновые
степени свободы. Поэтому первый постулат, который мы введем в главе III, будет
сформулирован так: квантовое состояние произвольной физической системы характеризуется
вектором состояния, принадлежащим пространству #, которое является
пространством состояний системы.
Таким образом, в оставшейся части этой главы будем развивать векторный анализ в
пространстве £. Вводимые здесь понятия и полученные результаты остаются
справедливыми для любой физической системы. Однако для их иллюстрации ограничимся
простым случаем частицы без спина, поскольку до сих пор мы им и занимались.
Этот параграф начнем с определения обозначений Дирака, очень удобных для
выполнения необходимых формальных операций.
2. Векторы «кет» и векторы «бра»
а. ЭЛЕМЕНТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ <f КЕТ-ВЕКТОРЫ
а. Определение
Любой элемент (или вектор) пространства £ называется кет-вектором или просто
кет. Его обозначают символом | ) с указанием в скобках отличительного признака,
позволяющего выделить данный кет из всех возможных, например: |\|/).
В частности, поскольку нам уже привычно понятие волновой функции, определим
пространство £г состояний частицы, ассоциируя со всякой квадратично-интегрируемой
функцией \|/(г) кет-вектор |\|/) пространства £г:
\|/(г) е #•<=>! \|/)e£r. (B-1)
Далее перенесем в пространство tr операции, введенные для пространства & . Хотя &
и £г являются изоморфными пространствами, мы будем их тщательно различать, чтобы
избежать путаницы и сохранить возможность дальнейшего обобщения, упомянутого
выше в § В-1. Особенно подчеркнем, что в |\|/) уже нет зависимости от г, а есть лишь
буква \|/, напоминающая, с какой функцией связан вектор: \|/(г) будет интерпретиро-
9*
131

Глава II
ваться (§ Е) как множество компонент вектора |i|/) в некотором базисе, где г играет
роль индекса (см. § A-3-b и табл. И-5). Вследствие этого принятое здесь определение
позволяет сразу же характеризовать вектор его компонентами в избранной системе
отсчета, которая впоследствии будет считаться равноправной с другими системами отсчета.
Будем обозначать символом $х одномерное пространство состояний частицы без
спина, то есть абстрактное пространство, построенное так же, как и в (В-1), но на базе
волновых функций, зависящих от одной переменной х.
C. Скалярное произведение
Каждой паре двух кет-векторов |ф) и |\|/), взятых именно в таком порядке,
сопоставляется комплексное число, являющееся их скалярным произведением (|ф),|ч/)),
удовлетворяющим всем свойствам, описанным уравнениями (А-5), (А-6) и (А-7); далее
после введения понятия бра-вектора перепишем эти формулы в обозначениях Дирака.
В пространстве ^г скалярное произведение двух кет-векторов совпадает с уже
полученным ранее выражением для связанных с ними волновых функций.
Ь. ЭЛЕМЕНТЫ В ДУАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ F : БРА-ВЕКТОРЫ
а. Определение дуального пространства $*
Вспомним сначала, что называется линейным функционалом, определенным в
системе кет-векторов пространства £. Линейный функционал % есть линейная операция,
ставящая в соответствие любому кет-вектору |\|/) комплексное число:
|v)e*—*-»х(к»;
x(X1|vi/1) + X2|ii/2)) = X1x(|\l/1)) + X2x(|i|/2)). (B-2)
Не следует смешивать линейный функционал с линейным оператором. В обоих случаях речь
идет о линейных операциях, но любому кет первая из них ассоциирует комплексное число, тогда
как вторая ассоциирует другой кет-вектор.
Можно показать, что множество линейных функционалов, определенных на кет-
векторах |i|/) e $ , образует векторное пространство, которое называют пространством,
дуальным пространству <•, и обозначают символом <f .
132

Математический аппарат квантовой механики
C. Обозначение «бра» для векторов пространства Р*
Любой элемент (или вектор) пространства #* называется бра-вектором или просто бра
и обозначается символом ( |. Например, бра (х| обозначает линейный функционал % ,
и теперь символом (%|у) будем обозначать число, полученное путем действия линейного
функционала (%| е #'* на кет |\|/) е $ :
x(|v» = (x|v>
(В-3)
На английском языке символ ( ) называется «bracket» (скобка), откуда и следует название
«бра» для левой половины символа ( и «кет» — для правой его половины ).
с. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ КЕТ- И БРА-ВЕКТОРАМИ
а. Каждому кет-вектору соответствует бра-вектор
Существование скалярного произведения в пространстве # позволит сейчас
показать, что любому кет |ф) е $ можно поставить в соответствие элемент пространства $*,
то есть бра-вектор, который будем обозначать символом (ф|.
Действительно, кет |ф) позволяет определить линейный функционал, а именно
такой, который ставит в соответствие линейным образом любому кет \\\f) e <? комплексное
число, равное скалярному произведению (|ф), |\|/)V Пусть (ф| — этот линейный
функционал, это означает, что он определяется соотношением:
(фк)=(|ф).к»
(В-4)
C. Это соответствие антилинеино
В пространстве ^ скалярное произведение антилинеино по отношению к первому
вектору. В обозначениях (В-4) это записывается следующим образом:
(Х^ф1> + Х2|ф2>,|\|/)) = Л,;(|ф1),|ч/>) + Л,;(|ф2>,|\1/)) =
= Х*1(ф1|\1/) + Х*2(ф2|\1/) = (Г1(ф1| + Г2(ф2|)|\|/). (В-5)
133

Глава II
Из (В-5) следует, что с кет-вектором А^^ф,) + Л2|ф2) ассоциируется бра-вектор
*"i (<Pi 1 + ^*2(ф2| •
Цц) + ^2\у2)^7Сх(($х\ + \\(ц2\. (В-6)
Таким образом, соответствие «кет» => «бра» является антилинейным.
ЗАМЕЧАНИЕ
Если X — комплексное число и |\|/) — кет-вектор, то Х\\у) — также кет-
вектор ($ — векторное пространство). Его часто записывают в виде |Л\|/):
|Ху) = А,|\|/).
(В-7)
При этом следует помнить, что (Ал|/| представляет бра-вектор,
соответствующий кет-вектору |Х\|/). Поскольку соответствие между кет и бра антилинейно,
имеем:
(Ал|г| = АГ(у|.
(В-8)
у. Обозначения Дирака для скалярного произведения
Теперь мы располагаем двумя различными обозначениями скалярного произведения
|\|/) на |ф): (|ф), |\|/)]или (ф|\|/), где (ф| — бра-вектор, соответствующий кет-вектору |ф).
С этого момента мы всегда будем использовать только обозначение (ф|\|/), называемое
дираковским. Ниже сведены в обозначениях Дирака все свойства скалярного
произведения, уже сформулированные ранее в § A-1-b.
(ф|\|/) = (\|/|ф)*
(ф|Х1ч/|+Х2\|/2) = Х1(ф|\|/1) + Х2(ф|\|/2)
(Хм + Х2ф21\|/> = ^(ф, |\|/> + Х2(ф2| v>
(\|/1\|/) > 0 — вещественное число, равное нулю только если | V|/) = О
(В-9)
(В-10)
(В-П)
(В-12)
134

Математический аппарат квантовой механики
8. Всякому ли бра соответствует кет ?
Если любому кет соответствует бра, то, как мы сейчас увидим на двух примерах в
пространстве & , можно найти такие бра, которым нельзя указать соответствующие кет. Затем покажем,
почему это затруднение не очень существенно в рамках квантовой механики.
(i) Примеры в пространстве &
Для простоты рассмотрим одномерный случай. Пусть Ь>1 (х)— достаточно регулярная
вещественная функция, для которой J dx ^£)(-*) = 1, имеющая форму пика с шириной £ и
высотой 1 / £ с центром в точке х = х0 [см. рис.1; например, £(v£)(*) является одной из функций,
рассмотренных в § 1-Ь приложения II]. Если £ Ф О, то Q* (x) G 3>х (квадрат ее нормы порядка 1 / £ );
обозначим
£')
соответствующий кет-вектор:
Если £ Ф О, то
имеем:
^'«Нс)- (в-,з)
£*£)) е $х • Пусть (^д£) — бра, соответствующий этому кет; для любого | \|/) G ^
:(«)
Рис.1
Функция Q*\x) описывает максимум в
точке х = х0 с шириной £ и высотой 1 / £ ,
интеграл от которой от -<*> до +оо равен 1
(&V|v)=(ttV.v)=jr*-Cwvw-
(В-14)
Устремим теперь 8 —» 0. С одной стороны:
е-»0 ° "
(В-15)
135

Глава II
[квадрат нормы функции £>^(х) имеет величину порядка 1/ 8 и расходится при 8 —> 0];
следовательно:
lim
е->0
е;)^(- (в-16)
С другой стороны, интеграл (В-14) при 8 —> 0 стремится к вполне определенному пределу \J/(jc0)
[так как для достаточно малых 8 в формуле (В-14) можно заменить \\f(x) на \|/(л:0) и вынести ее
из-под интеграла]. Вследствие этого (^е) стремится к бра, который обозначим символом (£v
(это линейный функционал, который ставит в соответствие любому кет |\|/у пространства #г
значение \\f(x0), принимаемое соответствующей волновой функцией в точке х0):
limkf\ = k< I е »;.
е-*0 \ Л" I \ ч \ "
Если | \|/) е $х , то
(%»0|V> = VUo)- (B-17)
Таким образом, видно, что бра (£
существует, но ему не соответствует никакой кет.
Рассмотрим также плоскую волну, обрезанную вне интервала шириной L :
v^(JC) = -T==^o^ сли -L/2<x<+L/2. (B-18)
"° V2nft
Вне этого интервала функция у^М быстро стремится к нулю, оставаясь непрерывной и
дифференцируемой. Обозначим кет, соответствующий функции ^\х) символом v^M:
v%\x)ev,<*\v£)e«x. (B-19)
Квадрат нормы v^ix), равный практически L12nfi, расходится, если L —> ©о . Таким образом:
Z/m|v<L)\>etf . (В-20)
Рассмотрим теперь бра (v^J , связанный с v{pLJ V Для любой функции | \|/) е (£. имеем:
136

Математический аппарат квантовой механики
(СИ=(С Ф^СА"*"^- (В-21)
Когда L —> о© , эта величина стремится к пределу, равному значению \|/(р0) Фурье-образа \|/(р)
функции \|/(*) при р = р0 . Таким образом, если L—» ©о , бра (i/^ стремится к вполне
определенному вектору (v :
Ziw(v(.L)| = (v- |е<.
Если |\|/)е^Л. ,то
(VA,k) = V(Po)- (B-22)
И снова видим, что ни odww кет «в соответствует бра (v .
(ii) Физическое разрешение указанных выше трудностей
Такая асимметрия соответствия между кет и бра связана, как показывают приведенные выше
примеры, с существованием «непрерывных базисов» в пространстве (JX: функции, образующие
эти «базисы», не принадлежат к (JX , и, следовательно, им нельзя сопоставить кет пространства <£х ;
однако их скалярное произведение с произвольной функцией пространства 91х определено, что
позволяет сопоставить им линейный функционал пространства fx, то есть бра, принадлежащий
пространству £Л. .
Причина использования таких «непрерывных базисов» состоит в их удобстве в некоторых
практических расчетах. Та же причина (в дальнейшем мы поясним это более четко) побуждает
восстановить симметрию между кет- и бра-векторами путем введения «обобщенных» кет-
векторов, определенных на основе функций, которые не являются квадратично-интегрируемыми,
но скалярное произведение которых с любой функцией пространства &х существует: таким
образом, в дальнейшем будем иметь дело с такими «кет», как £ ) или v ), которым
соответствуют функции £v (х) или v (х). Не нужно забывать, что эти обобщенные «кет» не могут, строго
говоря, представлять физические состояния и являются всего лишь удобным промежуточным
этапом некоторых операций, которые выполняются с истинными кет-векторами пространства %х ,
характеризующими действительно реализуемые квантовые состояния.
Такой способ расчета создает некоторые математические проблемы, которые могут быть
разрешены, если принять следующую физически обоснованную точку зрения: КЛ()) (или v )) на
137

Глава II
деле обозначают векторы
^Е)) (или vpL))), где £ — очень малое расстояние (или L
большое расстояние) по сравнению с другими параметрами с размерностью длины, входящими в
&е)\ (или |v("\),
^Л<) / V | ft/''
рассматриваемую задачу. Во всех промежуточных вычислениях, куда входят
никогда не следует переходить к пределу 6 = 0 (или L —» «>), чтобы все время оставаться в
пространстве Wx . Полученный в конце вычислений результат будет очень слабо зависеть от значения
£ , если только оно существенно меньше других параметров с размерностью длины: тогда можно
будет пренебречь величиной £ , то есть положить £ = 0 в конечном результате (аналогичная
процедура справедлива и для L).
Можно было бы возразить, что в противоположность [^Х{)(х)} и [vp(x)} множества
{ £>хе)(х) } и { vpL){x) } не являются в действительности базисами в пространстве 97х в той мере,
что они со всей строгостью не удовлетворяют соотношению замкнутости. Они подчиняются ему
лишь приближенно. Действительно, видно, например, что выражение J dx0 £,{xe)(x) £(хЕ)(л:')
является функцией разности (* — *') и может служить отличным приближением для 8(лг - х*):
графически она имеет практически треугольную форму с основанием 2£ , высотой 1 / £ и центром в
точке (х — х1) = 0 (приложение II, § 1-c-iv); если величина £ значительно меньше всех величин,
имеющих размерность длины в задаче, то ее отличие от Ь(х -х*) будет ничтожным с физической
точки зрения.
В общем случае пространство #*, дуальное пространству состояний £, не
изоморфно ему, за исключением, конечно, того случая, когда пространство £ является
конечномерным*: если любому кет |\|/)пространства & соответствует бра пространства #'*,
то обратное несправедливо. Однако, кроме векторов, принадлежащих £ (норма которых
конечна), будем использовать обобщенные кет с бесконечной нормой, скалярное
произведение которых с любым кет-вектором пространства V является конечным. В этом
случае каждому бра (ф| пространства <f* будет соответствовать кет-вектор. Но
обобщенные кет-векторы не представляют физические состояния системы.
* Известно, что пространство, дуальное гильбертову пространству L , ему изоморфно;
однако мы взяли в качестве пространства волновых функций .9" подпространство L , что и объясняет,
почему & «больше», чем & .
138

Математический аппарат квантовой механики
3. Линейные операторы
а. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Они такие же, что и в § А-1-е. Линейный оператор А ставит в соответствие любому
кет |\|/) G # другой кет |\|/') е #, причем это соответствие линейно:
|V) = %); (B-23)
A(X]\\vl) + X2\\v2)) = XlA\\v]) + X2A\\v2). (В-24)
Произведение двух линейных операторов А и В, обозначаемое ЛЯ, определяется
следующим образом:
(АД)|\|/)=А(%)). (В-25)
Сначала оператор Я действует на |\|/) и образует кет 2?|\|/), а затем Л действует на кет
#|\|/). В общем случае АВфВА . Коммутатором [А, #] операторов Л и В по
определению является оператор:
[Л, В]=АВ-ВА. (В-26)
Пусть имеются два кет-вектора |ф) и |ц/). Матричным элементом оператора А
между |ф) и |\|/) называют скалярное произведение:
(ф1Иу)). (в-27)
Это число, линейно зависящее от |\|/) и антилинейно — от |ф).
Ь. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ:
ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
а. Важное замечание относительно обозначений Дирака
Читатель уже, наверное, обратил внимание на простоту и удобство обозначений
Дирака. Действительно, символом (ф| обозначают линейный функционал (бра) и символом
(vj1!^) — скалярное произведение двух кет |\|/,) и |\|/2). Число, которое линейный
139

Глава II
функционал (ф| сопоставляет произвольному кет-вектору |\|/), записывается просто
путем объединения символов (ф| и |\|/) в символ (ф|\|/): это скалярное произведение
|\|/) на кет |ф), соответствующий бра (ф| (именно этим объясняется стремление иметь
взаимно однозначное соответствие между кет- и бра-векторами).
Допустим теперь, что мы записали (ф| и |\|/) в обратном порядке:
И(ф|. (В-28)
Если придерживаться правила объединения символов, это выражение представляет
собой оператор. Действительно, возьмем произвольный кет \х) и рассмотрим:
И(ф|%). (В-29)
Мы знаем уже, что (ф|%) — комплексное число, то есть выражение (В-29) является кет-
вектором, полученным путем умножения |\|/) на скаляр (ф|%). Но \\\i) (ф|, приложенное
к произвольному кет, дает другой кет, следовательно, это оператор.
Видно, что порядок, в котором следуют символы, имеет первостепенное значение.
Без последствий можно менять местами только комплексные числа вследствие линейности
пространства # и используемых нами операторов. Действительно, если X — число, то
|V>X = X|V>;
(v|X = X(v|;
ЛХ|\|/) = АА|\|/), где А — линейный оператор;
(ф|Х|\|Г> = А.(ф|у> = (ф|\|/)Х. (В-30)
Но для кет, бра и операторов следует всегда соблюдать их порядок следования в
формулах — это цена простоты в формализме Дирака.
Р. Проекционный оператор Р^ пакет |\|/)
Пусть |\j/) — кет, нормированный на единицу:
(V|V> = 1. (B-31)
140

Математический аппарат квантовой механики
Рассмотрим оператор Р¥ , определенный равенством:
/;=k>(v|. (в-32)
и применим его к произвольному кет-вектору |ф):
/;|фНу)(у|ф). (в-зз)
Оператор Р¥ , действуя на произвольный кет |ф), дает кет, пропорциональный |\|/), причем
коэффициент пропорциональности (ж|ф) является скалярным произведением |ф) на |\j/).
Таким образом, понятен «геометрический» смысл оператора Р : это оператор
«ортогональной проекции» на кет |\|/).
Такая интерпретация подтверждается еще и тем, что Р* = Pv (двукратная проекция
на заданный вектор дает тот же результат, что и однократная). Действительно:
pv2 = p¥/;=|vi/>(v|v>(v|. (в-34)
В этом выражении (\|/|\|/) — число, равное 1 (В-31), и, следовательно:
/>¥2 = |v)(v| = />¥. (в-35)
у. Оператор проекции на подпространство
Пусть |ф,),|ф2),.», |<lO — Ч нормированных и ортогональных друг к другу векторов:
(ф,|ф,) = 5*; /,; = 1,2, ...,<?. (В-36)
Обозначим символом ^ подпространство пространства W, «натянутое» на эти векторы.
Пусть Рц — линейный оператор, определенный равенством:
^=ik)(<p,|- (в-37)
'=1
Найдем Р^\
^2=1Е|ф,)(ф,|ф;>(ф;| (В-38)
/=1 у=1
141

Глава И
откуда получим, используя (В-36):
р:=i ±|ф,>(фу ь=±|ф,Хф> I=рч ■ (в-з9>
1=1 у=1 /=1
Таким образом, /^ является проекционным оператором. Нетрудно видеть, что Р
осуществляет операцию проекции на подпространство fq. Действительно, каким бы ни
был кет | \|/) е $ :
Ф)=ъШФ)- <в-4°)
Оператор Pq, действуя на |\|/), дает линейную суперпозицию проекций вектора |\|/) на
различные |ф;), то есть проекцию |\|/) на подпространство $q.
4. Эрмитово сопряжение
а. ДЕЙСТВИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА НА БРА-ВЕКТОР
До сих пор мы определяли действие линейного оператора А только на кет-векторы.
Сейчас мы увидим, что можно также определить действие А на бра-векторы.
Пусть (ф|— определенный бра-вектор, и рассмотрим все возможные кет-векторы
|\|/). Каждому из этих кет можно поставить в соответствие комплексное число (ф|(Л|\|/)],
уже определенное выше как матричный элемент оператора А между |ф) и |\|/).
Поскольку А — линейный оператор и скалярное произведение линейно зависит от кет,
число (ф|(л|\|/)) также линейно зависит от |\|/).
Мы можем, таким же образом зафиксировав (ф| и А, поставить в соответствие
любому кет |\|/) число, линейно зависящее от |\j/). Задание (ф| и А определит новый
линейный функционал на кет-векторах пространства #, то есть новый бра-вектор,
принадлежащий пространству £*. Обозначим этот новый бра символом (ф|А . Итак,
определяющее его соотношение запишется в виде:
«ф|А)к)»(ф|Ицг»
(В-41)
Оператор А , действуя на любой бра (<р|, дает новый бра (ф| А . Покажем, что это
142

Математический аппарат квантовой механики
соответствие линейно. Для этого рассмотрим линейную комбинацию двух бра (ф, I
и (ф2|:
(х| = Мф,|+^(ф2| (в-42)
(это означает, что \%\\у) = X,^Ф11\|/) -4- А,2^ф21\|/^). Согласно (В-41) имеем:
«хМк>=(х1ИУ»«Х1(ф1|(А|¥» + Х2(ф2|(л|Чг» =
= X,«ф, |Л)| v> + Л.2«ф2 |Л)| V). (В-43)
Поскольку кет |\|/} произвольный, отсюда следует, что
(хИ = (Х1(ф1| + Х2(ф2|)л = Х1(ф1|Л + Х2(ф2|Л. (В-44)
Итак, уравнение (В-41) определяет линейный оператор, действующий на бра-
векторы. Бра (ф|Л является результатом действия линейного оператора А на бра (ф|.
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Из определения (ф|Л в (В-41) следует, что место круглых скобок в символе,
определяющем матричный элемент оператора А между |ф) и |\|/), не имеет значения.
Поэтому теперь мы можем обозначать этот матричный элемент следующим
образом:
(Ф|А|\|/> = ((ф|А)И = (ф|(%>). (В-45)
(ii) Относительный порядок (ф| и А очень важен в обозначении (ф|А (см. § 3-Ь-а).
Нужно писать (ф|А , а не А (ф|. Действительно, (ф|А , действуя на кет |\|/), дает
число ц)|а|\|/) , то есть (ф|Л является бра-вектором. Напротив, Л(ф|, действуя на
кет |\|/), дал бы А(ф|\|/), то есть оператор (оператор А умножается на число (ф| у)).
Но мы не определяли подобным образом никакой математический объект, и,
следовательно, символ А(ф| не имеет смысла.
143

Глава И
b. ОПЕРАТОР Л+ , ЭРМИТОВО СОПРЯЖЕННЫЙ ЛИНЕЙНОМУ ОПЕРАТОРУ А
Сейчас мы покажем, что соответствие между кет- и бра-векторами, изученное в
§ В-2-с, позволяет сопоставить любому линейному оператору Л другой линейный
оператор Л+ , называемый эрмитово сопряженным оператору А .
Пусть, действительно, |\|/) —произвольный кет пространства ^.Оператор А
ставит ему в соответствие другой кет |\|/') = А|\|/) из пространства $ (рис.2).
Кет-вектору |\|/) соответствует бра (\|/|; аналогично кет-вектору |\|/') соответствует
бра (\|/'|. Это соответствие между кет- и бра-векторами позволяет теперь определить
действие оператора А+ на бра. Бра-вектору (\|/|, соответствующему кет-вектору |\|/),
оператор Л+ сопоставляет бра (\|/'|, соответствующий кет-вектору |\|/') = A\\\f); принято
обозначать (у'| = (\|/| Л+.
\ф) Л v \Р>=А\ф>
Рис.2
Определение оператора А+,
эрмитово сопряженного оператору А , на
основе соответствия между кет- и
< ф | ^t —^ < Ф' | = < Ф \л* бра-векторами
Покажем, что соотношение (ц/'| =(\|/|Д+ является линейным. Действительно, бра-
вектору ^ i (ty 11 + ^ 2 (V 21 соответствует кет Х\|\у{} + Х\|\|/2} (соответствие между бра и кет
антилинейно). Оператор А преобразует вектор А.*|\|/,) + ^Уг) в ^l^Vi) + А.*2 А|\[/2) =
= Л,*J\j/1'^ -нХ*2JЧ1^2'^ - Этому кет соответствует бра ^1(v|/1'| + X2(\|/2,| = Я,(\|/1|Л+ + А.2(\|/2|Д+.
Отсюда можно заключить:
(A.,(v, | + *2(v2IK = A.,(v, |A+ + Х2(\|/2 |Л+. (В-46)
Таким образом, Л+ является линейным оператором, определяемым формулой:
(В-47)
Х|/') = Л|Ч/)^(^| = (Ч/|А+
Из формулы (В-47) нетрудно вывести еще одно важное соотношение, которому
удовлетворяет оператор Л+ . Действительно, согласно свойствам скалярного
произведения всегда можно записать:
144

Математический аппарат квантовой механики
МфНфИ*, (В-48)
где |ф)— произвольный кет пространства $. Используя выражения (В-47) для |\|/') и
(\|/'|, получим:
A|/|Л+|ф) = (ф|л|\|/)*
(В-49)
Это соотношение справедливо для любых |ф) и |ц/).
ЗАМЕЧАНИЕ ПО ОБОЗНАЧЕНИЯМ
Выше мы уже отмечали, что обозначения |А\|/) и (Х\|/|, где X — скалярная
величина [формулы (В-7) и (В-8)], могут привести к недоразумению. Та же
проблема возникает и в связи с обозначениями | А\|/) и (A\\f |, где А — линейный
оператор. |Л\|/) всего лишь иное обозначение кет-вектора Л|\|/):
|А\|/) = А|х|/), (B-50)
тогда как (А\|/| — бра-вектор, связанный с кет-вектором |А\|/). Используя
выражения (В-50) и (В-47), получим:
(А\|/| = (\|/|А\ (В-51)
При выносе линейного оператора А из-под символа бра-вектора его следует
заменять на эрмитово сопряженный оператор А+ и выносить его вправо от вектора.
с. СВОЙСТВА СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ОПЕРАТОРОМ
И ЕГО ЭРМИТОВО СОПРЯЖЕННЫМ
Используя (В-47) и (В-49), нетрудно показать, что
(а+)+ =А; (В-52)
(ХАУ =Х*А+ (где X —число); (В-53)
(А + Д)+ = А+ + Я\ (В-54)
10 Квантовая механика
145

Глава II
Вычислим, наконец, оператор (АВ)+ . Для этого рассмотрим кет |ф) = АВ\\у).
Запишем его в виде |ф) = Л|%), где |%) = #|\|/). Тогда :
(ф(у\(АВу=(Х\А+=(ч\В+А\
так как (%| = (\|/|#+. Отсюда следует:
(ДД)+ = В+А+
(В-55)
Нужно подчеркнуть, что при эрмитовом сопряжении произведения операторов их
порядок меняется.
ЗАМЕЧАНИЕ
Поскольку (Л+J = А , то согласно формуле (В-51) можно записать:
(д+ф| = (ф|(л+)+=(ф|л.
Таким образом, левую часть равенства (В-41) можно переписать в виде
(А+ф ш . Одновременно правую часть этого же равенства с учетом обозначений
(В-50) можно представить в форме (ф|А\|/) • Отсюда следует равенство, часто
применяемое для определения оператора Л+, эрмитово сопряженного оператору А :
(л+ф|\1/) = (ф|Л1|/). (В-56)
d. ЭРМИТОВО СОПРЯЖЕНИЕ В ОБОЗНАЧЕНИЯХ ДИРАКА
В предыдущем параграфе мы ввели понятие эрмитово сопряженного оператора,
используя соответствие между кет- и бра-векторами. Относительно векторов кет |\[/) и бра
(\|/| говорят, что они «эрмитово сопряжены» друг другу. Операция эрмитова
сопряжения представлена волнистыми стрелками на рис.2; видно, что она связывает Л+ и А.
По этой причине оператор А+ также называется эрмитово сопряженным оператору А .
Операция эрмитова сопряжения изменяет порядок объектов, к которым она приме-
146

Математический аппарат квантовой механики
няется. Так, на рис.2 мы видим, что Л|\|/) превращается в (\|/|Л+: кет |\|/) меняется на
бра (\|/|, оператор А на А+ , и, кроме того, порядок символов изменяется на обратный.
В формуле (В-55) мы также видели, что эрмитово сопряжение произведения двух
операторов равно произведению эрмитово сопряженных операторов, взятых в обратном
порядке. Покажем, наконец, что
(ИНГ = ИИ (в-57)
(кет \и) меняется на бра (и|, бра (v| на кет |v), и их порядок меняется на обратный).
Действительно, применим соотношение (В-49) к оператору \и) (v| и получим:
<vlO«XvO>) = M«Xv|)k>r (B-58)
Или, если использовать свойство (В-9) скалярного произведения:
[(Ф)Ш1=ШШ'=ШФНЧМ-Ы- (в-59)
Сравнив (В-58) с (В-59), сразу же получаем (В-57).
Остается найти, каков результат действия операции эрмитова сопряжения на
константу. Из (В-6) и (В-53) видно, что эта операция просто преобразует А, в X*
(комплексное сопряжение). Этот вывод вполне согласуется с равенством (ф| \}/) = (v|<p) •
Итак, эрмитово сопряженным кет-вектору является бра-вектор, и наоборот,
оператору соответствует его эрмитово сопряженный, числу соответствует его комплексно
сопряженное. В обозначениях Дирака операция эрмитова сопряжения осуществляется
очень легко, достаточно применить следующее правило:
ПРАВИЛО
Чтобы выполнить операцию комплексного сопряжения некоторого выражения,
содержащего константы, кет- и бра-векторы и операторы, нужно:
— заменить константы их комплексно сопряженными;
кет-векторы — соответствующими бра-векторами;
бра-векторы — соответствующими кет-векторами;
операторы — их эрмитово сопряженными;
— обратить порядок следования сомножителей (место констант не имеет значения).
10*
147

Глава II
ПРИМЕРЫ
Выражение X(m|a|v)|w)(\|/| является оператором (так как X и (w|a|v) — числа).
Получим эрмитово сопряженный ему оператор, применив вышеприведенное правило:
|i|/)(w|(v|A+|w)A,*. Это выражение можно переписать иначе: A,*(v|A+|w)|\|/)(w|, если
изменить позиции чисел А* и (v|A+|w).
Подобным образом выражение X|w)(v|w) является кет-вектором (А, и <v|w) суть
константы). Сопряженный ему бра-вектор равен (w|v)(m|X* или A*/w|v)(w|.
е. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ
Оператор А называется эрмитовым, если он совпадает со своим эрмитово
сопряженным:
А = А+. (В-60)
Подставив (В-60) в (В-49), увидим, что эрмитов оператор удовлетворяет
соотношению:
A|/|А|Ф) = (ф|А|ч/)\ (В-61)
справедливому для любых векторов |ф) и |\|/).
Для эрмитова оператора равенство (В-56) принимает вид:
(Аф|\|/) = (ф|А11/). (В-62)
Далее вернемся к эрмитовым операторам более подробно в связи с задачей о
собственных значениях и собственных векторах. Кроме того, в главе III увидим, что
эрмитовы операторы играют в квантовой механике важнейшую роль.
Если применить формулу (В-57) к случаю, когда \и) = |v) = |\у), то можно
констатировать, что проекционный оператор Ру = |\|/)(ц/| является эрмитовым:
p;=|v)(vi/| = pv. (в-63)
ЗАМЕЧАНИЕ
Произведение двух эрмитовых операторов А и В является эрмитовым оператором
лишь тогда, если [А, в] = 0 . Действительно, если А = А+ и В - В+ , то из (В-55) следует,
что (АВ)+ = В+А+ = ВА и ВА = АВ лишь в случае, если [А, В\ = 0 .
148

Математический аппарат квантовой механики
С. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
1. Введение
а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Выбрать представление — значит выбрать ортонормированный базис, дискретный
или непрерывный, в пространстве состояний £ . Тогда в этом базисе векторы и
операторы представляются числами: компонентами векторов и матричными элементами
операторов. Векторный анализ, введенный в § В, превращается в матричный расчет для этих
чисел. Выбор представления в принципе произволен, но в реальности он, естественно,
зависит от изучаемой задачи: в каждом конкретном случае он осуществляется так, чтобы
максимально упростить вычисления.
Ь. ЦЕЛЬ ДАННОГО ПАРАГРАФА
В обозначениях Дирака для произвольных пространств <? будем пользоваться всеми
понятиями, введенными в § А-2 и § А-3 для дискретных и непрерывных базисов в
пространстве lJ.
Сначала запишем в обозначениях Дирака два соотношения, характеризующих базис:
соотношения ортонормировки и замкнутости. Затем покажем, как, исходя из этих двух
соотношений, можно решить все конкретные задачи, связанные с переходом из одного
представления в другое.
2. Соотношения, характеризующие ортонормированный базис
а. СООТНОШЕНИЕ ОРТОНОРМИРОВКИ
Дискретное {|и,)} или непрерывное {|wa)} множество кет-векторов называется
ортонормированным, если все кет-векторы этого множества удовлетворяют
соотношению ортонормировки:
{ui\uj) = *U
или
(wa\wa,) = 6(a-a')
(С-1)
(С-2)
149

Глава II
Видно, что для непрерывного множества скалярное произведение (wa|wa) не
существует: векторы | wa) имеют бесконечную норму и, следовательно, не принадлежат
пространству <f. Можно, однако, разложить векторы пространства # по | wa), и в
последующем представляется целесообразным рассматривать векторы | wa) как обобщенные
кет-векторы (см. обсуждение этих вопросов в §А-3 и в §В-2-с).
Ь. СООТНОШЕНИЕ ЗАМКНУТОСТИ
Дискретное {|и.)} или непрерывное {|wa)} множество образует базис, если любой
кет |\|/), принадлежащий пространству £, может быть разложен единственным образом
по векторам |м.) или |wa):
" (С-3)
У) = Еф,)
|v) = Jdac(a)|we)
(С-4)
Допустим еще, что базис ортонормирован. Умножим скалярно равенство (С-3) на
бра (uj\ и равенство (С-4) — на 6pa(wa|. Используя (С-1) и (С-2), получим выражения
для компонент с. или с(сс'):
(и» = с,; (С-5)
(wa,|\|/) = c(a'). (C-6)
Заменим теперь в (С-3) с;. на (u:\\\f) и в (С-4) с(а) на (wa |\|/):
|v) = Sc,.|«,.) = S(«,.|M/>|«,)=S|",X«,k)=fslM.)(M-lV) (с-7)
\\v) = jdac(a)\wa) = jda(wa\\v)\wa) = lda\wa)(wa\\v) =
= (lda\wa)(wa\)\w) (C-8)
[действительно, в формуле (С-7) число (wjij/) можно переставить после кет-вектора|и(),
а в формуле (С-8) можно поставить число (w |\|/) после кет-вектора | wa) ].
150

Математический аппарат квантовой механики
Мы видим, что появились операторы X|M,)(W,| и п da|wa)(wa|j, которые, действуя
i
на любой кет |\|/) пространства %, дают тот же кет |vj/) . Поскольку кет |\|/) произвольный,
то неизбежно:
Р(М/) =S|w/>(W/| = l
P(»a)=lda\Wa)M=l
(С-9)
(С-10)
где 1 — единичный оператор в пространстве £ . Соотношения (С-9) или (С-10)
называются соотношениями замкнутости. Покажем, что эти же соотношения (С-9) и (С-10)
отражают то, что множества {|и.)} и {|wa) } образуют базисы. Действительно, для
любого |\|/) пространства #' можно записать:
где
Аналогично:
где
/ i
|v>=l|v> = ^Jv> = Jrfa|wa>(we|v) = Jrfac(a)|we)f
c(a) = (wa|v).
(СИ)
(С-12)
(С-13)
(С-14)
Таким образом, всякий кет |\j/) может быть разложен единственным образом по
векторам |м,) или |wa). Каждое из этих двух множеств образует базис (дискретный или
непрерывный). Мы видим также, что соотношение (С-9) или (С-10) позволяет сразу же
без усилий получить выражения (С-12) и (С-14) для компонент с, и с(ос).
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Далее в § Е мы увидим, что в пространстве & соотношения (А-32) и (А-57) легко
выводятся из формул (С-9) и (С-10).
(и) Геометрическая интерпретация соотношения замкнутости.
151

Глава 11
Как следует из обсуждения в § B-3-b, S|wi)(M/1 является проекционным оператором:
он осуществляет проекцию на подпространство #', образованное векторами \щ ), \и2) , ...,
(и,.), ... Если кет-векторы образуют базис, то любой кет пространства $ может быть
разложен по |w,y; тогда подпространство #:| совпадает с самим пространством К . Поэтому
естественно, что Х|и.дм. | равен единичному оператору: проекция кет-вектора простран-
ства <$ на это же пространство # не меняет этот вектор. Аналогичное рассуждение
справедливо и для оператора \d(X | wa )(wa |.
Теперь можно найти эквивалент соотношению замкнутости для трехмерного
пространства с обычной геометрией R . Если ер е2, е3 — три ортонормированных вектора этого
пространства и Рх, Р2, Р3 — проекционные операторы на эти три вектора, то условие, что
{ е,, е2, е3} образуют базис в пространстве R , выражается соотношением:
/> + Р2 + Р3 = 1.
(С-15)
Напротив, ( е,, е2 } образует ортонормированный ансамбль, но не базис в пространстве
R . Это отражается в том, что проекционный оператор Р{ + Р2 (проекция на плоскость,
определяемую векторами е,, е2) не равен 1; например, (f[ + Р2 )е3 = 0.
В табл. И-6 сведены основные формулы, которые следует запомнить, чтобы
выполнять все операции в представлениях {|м,)} или {|wa) }.
Таблица 11-6
Представление { ш{) )
(и \и) = 8.
^,,=х|",Х«,|=1
Представление { Wa ) }
(wa|vv) = 5(a-a')
^)=!rf«ka)K|=l

Математический аппарат квантовой механики
3. Представление векторов кет и бра
а. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ КЕТ
В базисе {[«,)} кет-вектор |\|/) представлен множеством своих компонент, то есть
множеством чисел с, =(м,|\|/). Все эти числа можно расположить вертикально, чтобы
образовать матрицу-столбец (в общем случае со счетным множеством строк):
f(w.k>
(w2|\|/)
(иМ
(С-16)
В непрерывном базисе {|wa)} кет |\|/) представлен бесконечным непрерывным
множеством чисел c(a) = (wa|\j/), то есть функцией переменной а. Таким образом,
можно выделить вертикальную ось, на которой откладывать возможные значения а.
Каждому из этих значений соответствует число (wa |\|/):
a
т
( ■ \
Ы^)
i ■ 1
(С-17)
Ь. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ БРА
Пусть (ф| — произвольный бра-вектор. В базисе {|м,)} можно записать:
<Ф[ = <Ф| 1 = <фИ„4) = Х<ф|",)<", | -
(С-18)
153

Глава II
Бра (ф| единственным образом разлагается по бра (и.| ; а компоненты вектора (ф|,
равные (ф|м,), являются числами, комплексно сопряженными компонентам bi = (м,|ф) кет-
вектора |ф), связанного с бра (ф|.
Аналогично в базисе {|wa)}:
(Ф| = (Ф| 1 = (Ф|/>1(/) = \da (ф| wa)(wa |. (С-19)
Компоненты бра (ф|, равные (ф|и>а), являются числами, комплексно сопряженными
компонентам b(a) = (wa |ф) кет-вектора |ф), связанного с (ф|.
Мы условились располагать вертикально компоненты кет-вектора. Прежде, чем
договориться о расположении компонент бра-вектора, покажем, как соотношение
замкнутости позволяет очень просто записать выражение для скалярного произведения двух
кет-векторов через их компоненты. Действительно, всегда можно вставить единичный
оператор 1 между (ф| и |\|/) в выражении скалярного произведения:
(Ф|¥)= (ф|1И= (ф| /?.>>=Е(Ф|и,Хи/к)=2>;*, • (с-20)
Аналогично:
(Ф|\|/)= (ф|1|\|/>= (ф| PWa |v> = Jrfa(9|wa>(wa|v)= jdab\a)c(a). (C-21)
Расположим горизонтально компоненты (ф|«,) бра, чтобы образовать матрицу-строку
с одной строкой и множеством столбцов:
((фК)(фК) (ф|к.) ) (С-22)
С учетом этой договоренности (ф|\|/) с матричной точки зрения является произведением
матрицы-столбца, представляющей кет |\|/), на матрицу-строку, представляющую бра (ф|.
При этом образуется матрица с одной строкой и одним столбцом, то есть число.
В базисе {|wa) } имеется непрерывное и бесконечное множество компонент (ф|и>а),
представляющих бра (ф|. Им соответствует горизонтальная ось различных a. Каждому
из них соответствует своя компонента (ф|и>а) вектора (ф|:
( (Фк) , ) a _ (С_23)
154

Математический аппарат квантовой механики
ЗАМЕЧАНИЕ
В приведенной выше интерпретации матрицы, представляющие кет |\|/) и связанный с
ним бра (ф|, являются эрмитово сопряженными друг к другу (в матричном смысле).
Действительно, для перехода от одной матрицы к другой нужно взять комплексно сопряженное
значение каждого элемента матрицы и поменять строки и столбцы местами.
4. Представление операторов
а. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА А «КВАДРАТНОЙ» МАТРИЦЕЙ
Если А — линейный оператор, то в базисах {\и{) } и {|wa) } ему можно сопоставить
набор чисел, определяемых выражениями:
лНФк-)
(С-24)
или
A(a,a') = (wa|j4|wa.)
(С-25)
Эти числа зависят от двух индексов и будут располагаться в виде квадратной
матрицы, имеющей счетное или непрерывное множество строк и столбцов; общепринято,
что первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца. Так, в базисе
{|и,)} оператор А будет представлен матрицей:
(А,, А12
А2, А22
А-1 А-2
л2]
(С-26)
Видно, что 7-тый столбец в базисе {|м.) } образован компонентами А и Л кет-век-
торабазиса иЛ.
В непрерывном базисе имеется две перпендикулярные оси, и точке с абсциссой а' и
ординатой а соответствует число А (а, а'):
155

Глава II
ОС
1
а
(
. . Л (ос, а') .
1
л
)
(С-27)
Используем соотношение замкнутости для вычисления матрицы, представляющей
оператор АВ в базисе {|н.)}:
(И/|АВ|ИЛ=(И/|л1в|н;>=(И/|А^)в|И;) = 2(и/|Л|и1)(и4|в|Иу). (С-28)
Принятая ранее договоренность о расположении элементов А~ [или Л (а, а')] вполне
совместима с условными обозначениями произведения двух матриц: действительно,
формула (С-28) выражает, что матрица, представляющая оператор АВ, является
произведением матриц, представляющих операторы А и В в отдельности.
Ь. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЕТ-ВЕКТОРА |\|/') = Д|\|/)
Задача состоит в том, чтобы, зная компоненты вектора \x\f) и элементы матрицы
оператора А в заданном представлении, вычислить компоненты вектора |\|/') = Л|\|/) в
том же представлении.
В базисе {|«,)} координаты с' вектора |\|/') определяются выражением:
c,'=(M,.|V')=(M,.|A|v). (C-29)
Достаточно теперь ввести соотношение замкнутости между А и |\|/), чтобы получить:
с; = (u,\a i|v)= (м,.|л^/)|Ч/> = Е(«,И|М;.)(«» = 1Д,с>. (с-зо)
j J
Для базиса {|wa) } получим аналогично:
c\a) = (wa\\v) = (wa\A\\v) = jda'(wa\A\w^^^ (C-31)
Таким образом, матричная запись формулы |\|/') = л|\|/) оказывается очень простой. Из
156

Математический аппарат квантовой механики
(С-30) видно, например, что матрица-столбец, представляющая |\|/'), равна
произведению матрицы-столбца, представляющей |\|/}, на квадратную матрицу, представляющую
оператор А :
fs\
с->
с.
(А
А21
АХ2 .
А22 .
Ап .
■■ A,j
•• Аг,
■■ Ау
...^
...)
с1
с2
CJ
(С-32)
с. ВЫРАЖЕНИЕ ЧИСЛА (ф| А |\|/)
Введя соотношение замкнутости дважды (между (ф| и А , а также между А и |у)),
получим:
для базиса {| ui)}:
(ф|л|у) = (ф|^)Л^^) = Е(ф|и,Хи,Н";)("у|¥> = 1:^А^у; (С-33)
для базиса {|wa)}:
• \\dada:b\a)A(a, a')c(a')
(C-34)
Эти формулы интерпретируются в матричной форме следующим образом:
величина (ф|А|\{/) является числом, то есть матрицей с одной строкой и одним столбцом,
которая получается в результате перемножения матрицы-столбца, представляющей кет |\j/),
квадратной матрицы, представляющей оператор А , и матрицы-строки, представляющей
бра (ф|. Например, в базисе {|и.)}:
157

Глава II
(<p|a|v)=(a> ь; ... ь; ...)
А21 А22
Ач
( ^ \
(С-35)
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Подобным же образом можно было бы показать, что бра (ф| А представляет собой
матрицу-строку, являющуюся произведением квадратной матрицы, представляющей оператор А ,
на матрицу-строку, представляющую бра (ф| [две первых матрицы в правой части
равенства (С-35)]. Снова мы видим, насколько важен порядок следования символов: выражение
А (ф| привело бы к несуществующей матричной операции (произведение матрицы-строки
на квадратную матрицу),
(и) С матричной точки зрения равенство (В-41), определяющее (ф| А , всего лишь отражает
ассоциативность произведения трех матриц, фигурирующих в (С-35).
(iii) С учетом вышеуказанных соглашений |\|/) (\|/| представляется квадратной матрицей.
Действительно:
(п \
«
•)-
с, с,
с2с\
С; С,'
с{с2 .
сгс\ .
с, с\
■ с. CJ •••
. с2с] ...
■ сА -
(С-36)
Это выражение действительно представляет собой оператор, тогда как (\\f\ \\f/ ,
произведение матрицы-столбца на матрицу-строку, является числом.
d. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА А+ ,
ЭРМИТОВО СОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРУ А
Используя (В-49), нетрудно получить:
(а+) =(м,.|л+|и.> = («у|л|«,)* = л*.
(С-37)
158

Математический аппарат квантовой механики
или
A^aya1) = (wa\A+\wa) = (wa,\A\way = A\a\a). (C-38)
Таким образом, матрицы, представляющие А и Л+ в заданном представлении, являются
эрмитово сопряженными друг другу в матричном понимании: переход от одного
оператора к другому при эрмитовом сопряэюении производится путем симметричного
отображения матрицы относительно главной диагонали.
Если оператор А эрмитов, то А+ = А, и можно заменить [А*)., на Ai} в (С-37), и
A*(a, а') на Л(а, а') в (С-38):
Аи = 4 ; (С-39)
Л(а, а') = Л*(ос',а). (С-40)
Таким образом, эрмитов оператор представляется эрмитовой матрицей, то есть
матрицей, в которой произвольная пара элементов, симметричных относительно главной
диагонали, комплексно сопряжены друг другу. В частности, если / = j или а = а',
выражения (С -39) и (С-40) принимают вид:
а, = а:; (с-41)
Л(сс, а) = А\а, а). (С-42)
Диагональные элементы эрмитовой матрицы всегда являются вещественными числами.
5. Изменение представления
а. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В заданном представлении кет-вектору, бра-вектору или оператору сопоставляется
матрица. Если представление изменяется, то есть меняется базис, те же кет, бра или
оператор будут иметь иной вид матриц. Как связаны между собой матрицы одного
математического объекта в двух разных представлениях?
Для простоты допустим, что осуществляется переход от одного дискретного орто-
нормированного базиса {|и,.)} к другому дискретному ортонормированному базису {\tk)}.
В §Е рассмотрим пример перехода от одного непрерывного базиса к другому
непрерывному базису.
159

Глава II
Изменение базиса определяется заданием компонент (**|и,-) каждого кет старого
базиса на множество кет-векторов нового базиса. Обозначим:
Su={tk\u,). (C-43)
Матрица 5 является матрицей изменения базиса. Ее эрмитово сопряженная S+
определяется элементами:
Ий= &,)'=<«, К). (с-44)
Дальнейшие вычисления выполняются предельно просто и не требуют запоминания,
так как в них используются два соотношения замкнутости:
^> = Е|и/)(и»| = 1; (С-45)
I
к
и два соотношения ортонормировки:
(",>,) = 8„; (C-47)
('*|',) = V (С-48)
ЗАМЕЧАНИЕ
Матрица S изменения базиса является унитарной (дополнение Си); действительно,
она удовлетворяет равенству:
SS+=S+S = /f (C-49)
где / — единичная матрица. Действительно:
(ss*)H = ssa5; = E(rt |«,}(«,. Ю=(r41/,)=8Ы. (c-50)
Аналогично:
(s+s)o = zs;kstj = £<M,k)('* Ь)=(ч\ъ)=8*- (C1)
160

Математический аппарат квантовой механики
Ь. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ КЕТ-ВЕКТОРА
Чтобы получить компоненты (tk \\\f) кет-вектора в новом базисе, исходя из его
компонент (м;. |\|/) в старом базисе, следует просто ввести соотношение (С-45) между (rj
и|\|/):
<^ k>=(^ |i|v»/>=</, !^)|vi/>=s<^ |ч><^ k>=s^<"/ k>. (c-52)
С помощью формулы (С-45) нетрудно доказать и обратные соотношения:
(ttJv> = <ttJl|v> = («/K,|v> = S(«/|^>^|v> = S5i(rft|V>. (C-53)
с. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ БРА-ВЕКТОРА
Принцип расчета совершенно тот же. Например:
(v|/t> = <v|l|^> = (vH.l,ki> = S(v|«/X"/l'*) = S<v|»<)Si. (C-54)
d. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОПЕРАТОРА
Если в выражение (tk|д|г,) ввести (С-45) между (tk\ и А , с одной стороны, и
между А и \t,) — с другой, то получим:
('* 14<>=('* КмМ=Kh \Ф< \Auj){uM) <с-55>
и
или
A, = Zs«v;,- (с-56)
Аналогично:
АЧ =DH|";> = DK,^,,)|w>)=Z("ik^('*HI'/)('/|">) = X5*A^ • (С7)
kj k,l
1 1 Квантовая механика * & 1

Глава II
D. УРАВНЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ.
НАБЛЮДАЕМЫЕ
1. Собственные значения и собственные векторы оператора
а. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Говорят, что |\|/) — собственный вектор (или собственный кет) линейного
оператора А ,если
1,4 (D-1)
Л|у) = Х|\|/)
где X — комплексное число. Сейчас мы рассмотрим некоторые свойства уравнения (D-1),
которое называется уравнением на собственные значения линейного оператора А . Это
уравнение имеет в общем случае решение лишь тогда, когда X принимает определенные
значения, которые называются собственными значениями оператора А . Множество
собственных значений называется спектром оператора А .
Отметим, что если |\j/) — собственный вектор оператора А с собственным
значением X , то oc|\j/), где а — произвольное комплексное число, также является собственным
вектором оператора А с тем же собственным значением:
л(а|\|/)) = аЛ|\|/) = aX\\\f) = X(a\x\f)). (D-2)
Чтобы преодолеть эту неопределенность, можно было бы условиться нормировать на 1
собственные векторы:
(V|V> = 1. (D-3)
Но это не снимает неопределенность полностью, поскольку е1 |\|/), где 0 — произвольный
вещественный угол, имеет ту же норму, что и |\|/) . В дальнейшем мы увидим, что в квантовой
механике физические выводы, следующие из |\|/у и е' |\|/у, одинаковы.
Собственное значение X считается невырожденным (или простым), если ему
соответствует единственный собственный вектор с точностью до постоянного множителя, то
есть если все связанные с ним собственные кет-векторы коллинеарны. Напротив, если
существует по крайней мере два линейно независимых кет-вектора, являющихся
собственными векторами оператора Л для одного собственного значения, то они называются
вырожденными', степень (или порядок) выроэюдения равна при этом количеству линейно
независимых собственных векторов, соответствующих этому значению (степень вырож-
162

Математический аппарат квантовой механики
дения собственного значения может быть конечной или бесконечной). Если степень
вырождения собственного значения X равна g, ему соответствуют g независимых кет-
векторов \|/Л (/ = 1,2,..., g ), удовлетворяющих условию:
А|\|/'') = Х|\|/''). (D-4)
Но тогда всякий кет |\|/) вида:
k> = tc|.|\|//) (D-5)
является собственным вектором оператора А с собственным значением X независимо
от значения коэффициентов с,. Действительно:
^k)=ic/.A|i|//)=xtc/|\|/')=^k). (d-6)
Таким образом, ансамбль собственных кет оператора А с собственным значением X
образует векторное пространство с размерностью g (оно может быть
бесконечномерным), называемое собственным подпространством, соответствующим
собственному значению X . В частности, сказать, что X — невырожденное собственное значение,
эквивалентно тому, что его степень вырождения равна g = 1.
Чтобы проиллюстрировать эти определения, возьмем в качестве примера проекционный
оператор (§B-3-b) Pv =|\}/д\|/| при условии, что (\|/|\|/) = 1. Уравнение на собственные значения
этого оператора имеет вид:
^|ф)=*|ф>
или
|\|/>(\|/|ф> = Х|ф). (D-7)
Кет в правой части всегда коллинеарен вектору |\|/) или равен нулю. Вследствие этого
собственными векторами оператора Р^ являются: с одной стороны, сам кет |\|/) с собственным значением
X = 1, с другой — все кет-векторы |фу , ортогональные к |\|/у с собственными значениями X = 0 .
Спектр собственных значений оператора Р^ состоит только из двух значений: 1 и 0. Первое
является простым, а второе — бесконечно вырожденным (пространство состояний считается
бесконечномерным); собственное подпространство, соответствующее X = 0, является дополнительным
к |\|/) (см. §D-2-c).
11*
163

Глава II
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Взяв комплексно сопряженное для обеих частей уравнения (D-1), получим:
(\|/|Л+=Х*(\|/|. (D-8)
Итак, если |\|/) — собственный кет оператора А , соответствующий собственному
значению А,, можно утверждать, что бра (\j/1 является собственным вектором
оператора Л+, соответствующим собственному значению А, . Обратим, однако,
внимание на то, что за исключением случая, когда А — эрмитов оператор (§ D-2-a),
априори нельзя ничего сказать относительно (\|/1 А .
(ii) Строго говоря, необходимо решить уравнение на собственные значения (D-1) в
пространстве <> , то есть рассматривать только собственные векторы |\|/у с конечной нормой. В
действительности нам часто придется использовать операторы, собственные векторы которых
не удовлетворяют этому условию (§ Е); таким образом, будем считать, что векторы,
являющиеся решениями (D-1), могут быть «обобщенными кет-векторами».
Ь. НАХОЖДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ ОПЕРАТОРА
Считая заданным линейный оператор А , как можно найти все его собственные
значения и соответствующие им собственные векторы? Здесь будем интересоваться этим
вопросом чисто с практической точки зрения. Рассмотрим случай N -мерного
пространства состояний и допустим, что результаты могут быть обобщены на бесконечномерное
пространство состояний.
Выберем некоторое представление, например, {1м,)}, и спроектируем векторное
уравнение (D-1) на векторы | и,) ортонормированного базиса:
(i<l.|A|v> = X(ii/|\|f>. (D-9)
Введя соотношение замкнутости между А и |\|/), получим:
£(ф|м,)(м,.|х|/) = Л(м,|ч/) (D-10)
J
С обычными обозначениями:
(ul\A\uJ)^Au (D-11)
164

Математический аппарат квантовой механики
уравнения (D-10) запишутся в виде:
5>,л=Хс/
(D-12)
или
Е[л,-Л5,]су = 0.
(D-13)
Можно рассматривать (D-13) как систему уравнений с неизвестными с,, компонентами
собственного вектора в выбранном представлении. Эта система является линейной и
однородной.
а. Характеристическое уравнение
Система (D-13) состоит из N уравнений (/ = 1,2,..., N) с N неизвестными с.
G = 1,2,..., N). Поскольку уравнения линейные и однородные, то нетривиальное их
решение (отличное от нулевого) возможно лишь в том случае, если детерминант,
составленный из коэффициентов уравнений, равен нулю. Это условие имеет вид:
det[.c/-AJ] = 0,
(D-14)
где ic/ — матрица, имеющая NxN элементов Aij, и / — единичная матрица.
Уравнение (D-14), называющееся характеристическим (или секулярным), позволяет
определить все собственные значения оператора А , то есть его спектр. Можно
представить (D-14) в форме:
Ап-Х
К
An\
А22-Х
^N3
ANN-\
(D-15)
Это уравнение N-ной степени по X, оно имеет N корней, вещественных или мнимых,
различных или кратных. Впрочем, легко показать, выполнив произвольное изменение
базиса, что характеристическое уравнение не зависит от выбранного представления.
Итак, собственные значения оператора являются корнями его характеристического
уравнения.
165

Глава II
Р. Определение собственных векторов
Выберем теперь собственное значение Х0, являющееся решением
характеристического уравнения (D-14), и найдем соответствующие собственные векторы. Будем
различать два случая.
(i) Сначала рассмотрим случай, когда Х0 является простым корнем
характеристического уравнения. Можно показать, что при этом система (D-13) при Х = Х0 состоит из
[N -1) независимых уравнений, причем N-ное уравнение является следствием
остальных. Итак, имеется N неизвестных и, следовательно, бесконечное множество решений,
но все значения Cj могут быть определены единственным образом через одно из них,
скажем, через сх. Действительно, если зафиксировать сх, то получим для остальных
(N -1) значений Cj систему из (N -1) линейных и однородных уравнений (правая часть
каждого из этих уравнений является членом, определенным через С\) с отличным от нуля
детерминантом [ (/V -1) независимых уравнений]. Решение этой системы имеет вид:
Ъ=а°с19 (D-16)
поскольку исходная система уравнений (D-13) линейна и однородна. Конечно, а" = 1 по
определению и (N -I) коэффициентов а у при j Ф 1 определяются через матричные
элементы Aij и Х0. Собственные векторы, связанные с Х0, отличаются друг от друга
только через выбранное значение с,, то есть выражаются соотношением:
коМ^а-с^.^фо). (D-17)
j
где
ко) = 1°ф,). (D-18)
j
Итак, если Х0 — простой корень характеристического уравнения, ему соответствует
единственный собственный вектор (с точностью до постоянного множителя), это
невырожденное собственное значение.
(и) Если Х0— корень характеристического уравнения кратности q > 1, то возможны
два варианта:
— в общем случае система (D-13) при Х-Х0 содержит еще (N-l) независимых
уравнений. Собственному значению Х0 соответствует только один собственный вектор.
166

Математический аппарат квантовой механики
В этом случае оператор А не диагонализируется: собственных векторов оператора А
недостаточно, чтобы из них можно было построить базис в пространстве состояний;
— может оказаться, что система (D-13) содержит при Х = Х0 лишь (/V - р)
независимых уравнений A < р < q). Тогда собственному значению Х0 соответствует
собственное подпространство с размерностью р, и Х0 является р -кратно вырожденным
собственным значением. Предположим, например, что при Х = Х0 система (D-13) состоит из
(/V - 2) линейно независимых уравнений. Они позволяют вычислить коэффициенты с.
через два из них, например, через с, и с2, которые можно выбрать произвольным
образом:
с.=р(;с1+у-с2 (D-19)
(очевидно, что C" = Y2 = 1 > Yi^P^O); все собственные векторы, связанные с Х0,
имеют вид:
|Vo(ci.c2)> = ^i|v!)) + c2|Vo), (D-20)
где
К)=хр;К);
j
j
Векторы |i|/0(c,, c2)) образуют двумерное векторное пространство, являющееся
характерным для дважды вырожденного собственного значения.
Если оператор эрмитов, можно показать, что кратность вырождения р собственного
значения X всегда равна кратности q корня характеристического уравнения. Поскольку
в дальнейшем в большинстве случаев будем иметь дело с эрмитовыми операторами,
достаточно знать кратность каждого из корней уравнения (D-14), чтобы сразу же получить
размерность соответствующего собственного пространства. В пространстве с конечной
размерностью N эрмитов оператор всегда имеет N линейно независимых собственных
векторов (далее мы увидим, что их можно выбрать ортонормированными): таким
образом, этот оператор является диагонализируемым (§ D-2-b).
167

Глава II
2. Наблюдаемые
а. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ ЭРМИТОВА ОПЕРАТОРА
Рассмотрим очень важный в квантовой механике случай, когда оператор А эрмитов:
А+ = А. (D-22)
(i) Собственные значения эрмитова оператора вещественны.
Умножим скалярно уравнение на собственные значения (D-1) на |\|/) и получим:
(\|/|A|v> = X(v|v>. (D-23)
Но (\|/|а|ц/) — вещественное число, если А — эрмитов оператор, так как
(i|/H\|/>*=(\|f|A+|v> = (\|f|A|v>, (D-24)
где последнее равенство вытекает из гипотезы (D-22). Поскольку величины (\|/|а|\|/) и
(\|/|\|/) — вещественные, уравнение (D-23) требует, чтобы вещественной была и
величина X. Получим тогда:
(\|г|А = Х(\|/|, (D-25)
и это равенство показывает, что (\|/| является также собственным бра-вектором
оператора А с вещественным собственным значением А,. Итак, каким бы ни был кет |ф):
(\|/|А|Ф) = Х(\|/|ф). (D-26)
Говорят, что в равенстве (D-26) эрмитов оператор А действует слева.
(ii) Два собственных вектора эрмитова оператора, соответствующие двум
различным собственным значениям, ортогональны.
Рассмотрим два собственных вектора |\|/) и |ф) эрмитова оператора А:
A|v> = X|\|f>; (D-27-a)
А|ф) = ц|<р). (D-27-b)
168

Математический аппарат квантовой механики
Поскольку А — эрмитов оператор, равенство (D-28) можно переписать в форме:
(ф|Л = ц(Ф|. (D-28)
Умножим (D-27-a) слева на (ф| и (D-28-b) справа на |\|/):
(ф|А|\|/) = А.(ф|у); (D-29-a)
(ф|А|\|/) = |г(ф|\|/>. (D-29-b)
Вычтя почленно второе равенство из первого, получим:
(X-|i)(q>|\|/) = 0. (D-30)
Таким образом, если только (X - ц) Ф О , векторы |ф) и |\|/) ортогональны.
Ь. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАБЛЮДАЕМОЙ
В § D-1-b мы видели, что если пространство $ имеет конечную размерность, всегда
можно образовать базис из собственных векторов эрмитова оператора. Если же
размерность пространства £ бесконечна, то это утверждение не всегда справедливо. Именно
поэтому необходимо ввести новое понятие — наблюдаемая величина или просто
наблюдаемая.
Рассмотрим эрмитов оператор А . Для простоты допустим, что ансамбль его
собственных значений образует дискретный спектр { ап, где п = 1,2,...}, и укажем затем,
какие изменения следует внести, если весь спектр (или его часть) непрерывен. Кратность
вырождения собственного значения ап будем обозначать символом gn (если gn = 1,
то ап — невырожденное собственное значение) и символом ц/М (/ = 1,2,..., gn) —
линейно независимые векторы собственного подпространства #„, соответствующего
собственному значению ап:
А\<) = ««№): i = 1.2. ...,*,. (D-31)
Мы только что показали, что любой вектор, принадлежащий подпространству <fn,
ортогонален любому вектору другого подпространства £л., соответствующего ап, Ф ап,
то есть
(v!, \vi) = 0 Для п ф п' и любых I, j. (D-32)
169

Глава II
В пределах каждого подпространства #п всегда можно выбрать векторы т'п) так,
чтобы они были ортонормированы, то есть чтобы
(ч'«М = Ьи-
(D-33)
Если сделать такой выбор, то получим ортонормированную систему собственных
векторов оператора А , ибо Ы'п) удовлетворяют соотношению:
(<|<) = 5,ш,5,,
(D-34)
полученному после группировки равенств (D-32) и (D-33).
По определению эрмитов оператор А является наблюдаемой, если ортонормиро-
ванная система векторов образует базис в пространстве состояний. Это может быть
выражено соотношением замкнутости:
8,
л=1 /=1
il|v'„)(v!,| = i
(D-35)
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Поскольку векторы ш'п) (i = 1,2,.... gn), образующие собственное подпространство
$„, соответствующее собственному значению ап, ортонормированы, проекционный
оператор Рп на это подпространство может быть записан в виде (см.§ B-3-b-y):
^ = t|v'.)(vi|.
Тогда наблюдаемая А определяется как
(D-36-a)
(D-36-b)
(легко доказать, что действие обеих частей этого равенства на все кет-векторы
\|/М дает один и тот же результат).
(ii) Равенство (D-35) можно обобщить на случай, когда спектр собственных значений непрерывен,
если использовать правила, приведенные в табл. Н-3. Возьмем, например, эрмитов оператор,
спектр которого имеет дискретную часть { ап с кратностью вырождения gn } и непрерывную
часть tf(v) (предположительно невырожденную), то
170

Математический аппарат квантовой механики
^К) = аяК); л = 12,... ; / = 1,2,..., £„; (D-37-a)
A|l|/V) = a(v)|\|/V); V, <V<V2. (D-37-b)
Всегда можно выбрать эти векторы так, чтобы они образовывали «ортонормированную»
систему:
(<Ю = 8„А..;
(Vv|Vv) = S(V-V);
(v!.|Vv> = 0. (D-38)
Будем говорить, что А — наблюдаемая, если эта система образует базис, то есть
X £|vi)(v!,| + j;arfv|Vv><Vv| = l- (D-39)
с. ПРИМЕР: ПРОЕКЦИОННЫЙ ОПЕРАТОР Р^
Покажем, что Pv = | V|/)(\|/|, при условии (\|/|\|/) = 1, является наблюдаемой. В § В-4-е
мы уже отметили, что этот оператор эрмитов и что его собственными значениями являются
1 и 0 (§ D-1-a); первое их них является простым (собственный вектор |у)), а второе —
бесконечно вырожденным (собственные векторы — все кет, ортогональные к | \|/)).
Рассмотрим произвольный кет |ф) пространства состояний. Его всегда можно
записать в виде:
|ф) = Р¥|ф> + A-Р¥)|ф), (D-40)
где Ру\<р) — собственный кет оператора Ру с собственным значением 1. Действительно,
поскольку Р* = Pv :
Вектор A-Р¥]|ф) также является собственным вектором оператора Pv, но с
собственным значением 0. Действительно:
171

Глава II
Р¥A-Р¥)|ф) = (Р¥-^)|ф) = 0. (D-42)
Таким образом, любой кет |ф) может быть разложен по собственным кет-векторам
оператора Pv, и оператор Р¥ является наблюдаемой.
В § Е-2 мы встретимся еще с двумя важными примерами наблюдаемых.
3. Ансамбли коммутирующих наблюдаемых
а. ВАЖНЫЕ ТЕОРЕМЫ
а. Теорема I
Если два оператора А и В коммутируют и |\|/) — собственный вектор
оператора А ,то вектор В\\у) также является собственным вектором оператора А с тем же
собственным значением.
Действительно, если |\|/}— собственный вектор оператора А , то
А|\|/) = а|ч>)- (D-43)
Применим оператор В слева к равенству (D-44):
ЯА|\|/) = яЯ|\|/). (D-44)
Поскольку согласно нашей гипотезе операторы А и В коммутируют, то
А(я|1|/)) = я(я|\|/)). (D-45)
Это равенство выражает, что вектор В\ \\f) является собственным вектором оператора А
с собственным значением а , что и требовалось доказать.
При этом возможны два случая.
(i) Если а — невырожденное собственное значение, то все связанные с ним
собственные векторы коллинеарны по определению, и кет В\\у) должен быть
пропорционален кету |\j/). Таким образом, |\|/) также является собственным вектором оператора В.
(и) Если а — вырожденное собственное значение, можно лишь сказать, что кет #|\|/)
принадлежит собственному подпространству $а оператора А, соответствующему
собственному значению а . Таким образом, каким бы ни был кет |\|/) е $а, имеем:
172

Математический аппарат квантовой механики
В\у)е$0. (D-46)
Говорят, что пространство $а является глобально инвариантным (или стабильным)
относительно действия оператора В. Теорема I может быть, таким образом, сформулирована
иначе.
Теорема /. Если два оператора А и В коммутируют, то любое собственное
подпространство оператора А глобально инвариантно относительно действия оператора В.
C. Теорема II
Если две наблюдаемые А и В коммутируют и если \\\f^ и |\j/2) — два
собственных вектора оператора А с различными собственными значениями, то матричный
элемент (\|/, | В |\|/2) равен нулю.
Действительно, если |\|/,) и |\j/2) — собственные векторы оператора А , можно
записать:
%i) = «i|Vi);
А\у2) = а2\у2). (D-47)
Согласно теореме I из коммутативности операторов А и В следует, что #|\|/2) является
собственным вектором оператора А с собственным значением а2. Таким образом, кет
#|i|/2) (см.§ D-2-a) ортогонален к \\\f{) (собственный вектор, соответствующий
собственному значению я, Ф а2), что можно выразить равенством:
{чх\в\у2) = 0, (D-48)
что и требовалось доказать. Можно, впрочем, привести и другое доказательство, не
прибегая к теореме I: поскольку коммутатор [Л, В] равен нулю, имеем:
(у1\(АВ-ВА)\ц2) = 0. (D-49)
Используя (D-47) и эрмитовость оператора А [см. уравнение (D-25)], получим:
(\|/1|ЛВ|\|/2) = д1(\|/1|5|\|/2);
(ч1\ВА\у2) = а2(у1\в\у2), (D-50)
173

Глава II
и равенство (D-49) можно переписать в виде:
(а1-а2)(у1\в\у2) = 0.
Поскольку (я, - а2) * 0 , равенство (D-48) доказано.
(D-51)
у. Фундаментальная теорема III
Если две наблюдаемые А и В коммутируют, можно образовать ортонормиро-
ванный базис пространства состояний из общих для А и В собственных векторов .
Рассмотрим две коммутирующие наблюдаемые А и В. Для упрощения
обозначений допустим, что их спектр дискретен. Поскольку А — наблюдаемая, существует по
крайней мере одна система ортонормированных собственных векторов оператора А,
образующая базис в пространстве состояний Ъп. Обозначим эти векторы символом ш'п):
А \и') = а \и' >: я = 1,2,...; / = 1,2 s t
/I / II IX I ' ' ' ' ' ' * Oil >
(D-52)
где g„ — кратность вырождения собственного значения ап, то есть размерность
соответствующего собственного подпространства <*,,. Тогда:
(":,| «:,'•> = 8„„.8,,. (D-53)
Каков же вид матрицы, представляющей оператор В в базисе {Л}? Мы знаем
(теорема II), что матричные элементы Ып \в\и'п.) при п Ф vl равны нулю (напротив, мы ничего
не можем сказать априори, если п - п' и / Ф /'). Расположим базисные векторы \и'п) в
таком порядке:
Ц1),^2),..., |wf); |i<j),..., |w,*2); |«4).-
Тогда для оператора В получим матрицу, «диагональную по блокам», то есть
имеющую вид:
(D-54)
*1
*2
h
».
###
0
0
0
if2
0
###
0
0
*3
0
0
###
0
0
0
0
###
174

Математический аппарат квантовой механики
Только те блоки матрицы, которые отмечены цепочкой символов ###, содержат
отличные от нуля элементы. Такая структура матрицы наглядно показывает, что
собственные подпространства Уп являются глобально инвариантными относительно действия
оператора В (см. § - а).
При этом возможны два случая.
(i) Если ап — невырожденное собственное значение оператора А , то существует
единственный собственный вектор \ип) с этим собственным значением (индекс / в
обозначении | ип) при этом не нужен), и размерность пространства $п равна gtl = 1. В матрице
(D-54) соответствующий «блок» сводится к простому числу (матрице 1x1). В столбце,
связанном с |м„), все остальные матричные элементы равны нулю. Это отражает тот
факт (см. § a-i), что |и„) является общим собственным вектором операторов А и В.
(ii) Если ап — вырожденное собственное значение оператора А (gn > 1), «блок»,
представляющий оператор В в подпространстве #л, в общем случае не диагоналей, и
кет-векторы ш'п) не являются собственными векторами оператора В.
Можно, однако, заметить, что поскольку действие оператора А на каждый из gn
векторов ш'п) сводится к простому умножению на ап, то матрица, представляющая
«сужение» оператора А в пространстве £я, равна ап I (где / — единичная матрица с
размерностью gn x gn). Это говорит о том, что любой кет пространства $п является
собственным вектором оператора А с собственным значением ап. Таким образом, выбор в
пространстве £;| базиса, подобного базису { и',); / = 1,2,..., gn }, произволен: каким бы
ни был этот базис, матрица, представляющая оператор А в tf„, всегда диагональна и
равна ап I. Сейчас используем это свойство, чтобы получить базис пространства <?„,
составленный из векторов, являющихся также собственными векторами оператора В.
Если выбран базис { ш'п); / = 1,2,..., gn }, то матрица, представляющая в $п
оператор В, имеет матричные элементы:
РГ=(Ф1"«>- (°-55)
Эта матрица эрмитова (C(^° = C^'° ), поскольку В— эрмитов оператор, и, следовательно,
она диагонализируется, то есть можно в пространстве $п найти новый базис {Ь^);
/ = 1,2,..., gn }, в котором оператор В будет представлен диагональной матрицей:
(v;,|B|vi> = prr (D-56)
175

Глава II
Это означает, что новые базисные векторы в пространстве #л являются собственными
векторами оператора В :
s|v;,) = P<'iv;). (D-57)
Как мы видели выше, эти векторы являются автоматически собственными векторами
оператора А , соответствующими собственному значению ап, так как они принадлежат
пространству #п. Обратим внимание на то, что собственные векторы оператора А,
связанные с вырожденными собственными значениями, не обязательно являются
собственными векторами оператора В; но, как мы только что доказали, всегда возможно
в каждом собственном подпространстве оператора А выбрать базис собственных
векторов, общих для операторов А и В.
Если мы проделаем эту операцию во всех подпространствах $п, то получим базис V,
образованный из собственных векторов, общих для А и В, что и требовалось доказать.
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Начиная с этого параграфа, будем обозначать символом \и'п р) собственные
векторы, общие для операторов А и В.
40=*pkp)- (D8)
Индексы пир, фигурирующие в U,'f/J, позволяют зафиксировать собственные
значения ап и Ьр операторов А и В; дополнительный индекс / служит в случае
необходимости для отличия разных базисных векторов, соответствующих
одинаковым значениям ап и Ър (см. ниже § Ь).
(И) Теорему, обратную теореме III, легко доказать: если существует базис
собственных векторов, общих для операторов А и В, то эти наблюдаемые коммутируют.
Действительно, нетрудно получить из (D-58):
ae\u*.p) = b,>A\u»<i>) = V«R/>);
ВА|||^) = £1яв|<р) = а||*р|<,) (D-59)
и, вычтя эти равенства одно из другого, найдем:
176

Математический аппарат квантовой механики
[А,В]\и'„р) = 0. (D-60)
Это равенство справедливо для любых /, п, р ; поскольку векторы \и'п р)
образуют базис, из (D-60) следует, что [Д, В] = 0 .
(Ш) В дальнейшем нам придется решать уравнение на собственные значения
наблюдаемой С, удовлетворяющей равенству:
С = А + В при условии, что [Л, в] = 0, (D-61)
где А и В — наблюдаемые.
Если известен базис {\и'п ) } общих собственных векторов операторов А и В,
задача решена. Действительно, сразу же видим, что \и'п р) является также и
собственным вектором оператора С с собственным значением ап + Ър. Естественно,
очень важно, чтобы векторы \и'пр) образовывали базис; это позволяет, например,
без труда показать, что все собственные значения оператора С имеют вид:
b. ПОЛНЫЕ* НАБОРЫ КОММУТИРУЮЩИХ НАБЛЮДАЕМЫХ**
Рассмотрим наблюдаемую А и базис £, образованный собственными векторами
\и'п) оператора А. Если ни одно из собственных значений оператора не вырождено,
различные базисные векторы базиса Ш могут различаться по собственному значению ап
(индекс / в этом случае не нужен). Тогда все собственные пространства %п имеют
размерность 1, и задание выбранного собственного значения определяет единственным
образом соответствующий собственный вектор с точностью до постоянного множителя.
Другими словами, существует единственный базис пространства И7, образованный
собственными векторами оператора А (мы не считаем различными два базиса, векторы
которых пропорциональны); говорят тогда, что наблюдаемая А сама по себе образует
полный набор коммутирующих операторов.
* Слово «полный» используется здесь в смысле, который не имеет ничего общего с тем
смыслом, который уже был отмечен в §А-2-а. Его использование общепринято в квантовой механике.
** Чтобы правильно разобраться в понятиях, вводимых в этом параграфе, читателю
рекомендуется опираться на конкретный пример, предложенный в дополнении Ни (упражнения 11 и 12).
12 Квантовая механика
177

Глава II
Если, напротив, некоторые из собственных значений А вырождены (достаточно,
чтобы было вырождено одно из них), ситуация существенно меняется: задания значения
ап более не достаточно для характеристики базисного вектора, поскольку вырожденным
собственным значениям соответствуют несколько независимых векторов. В этом случае
базис собственных векторов А уже не является единственным: действительно, можно
взять любой базис внутри каждого из собственных подпространств %п с размерностью,
большей 1.
Возьмем теперь другую наблюдаемую В, коммутирующую с А , и образуем орто-
нормированный базис из собственных векторов, общих для А и В. По определению А
и В образуют полный набор коммутирующих операторов, если этот базис единственный
(с точностью до фазового множителя для каждого из образующих его векторов), то есть
если каждой возможной паре собственных значений { ап, Ъ } соответствует единственный
базисный вектор.
ЗАМЕЧАНИЕ
В §а мы построили базис собственных векторов, общих для А и В, решая уравнение
на собственные значения оператора В внутри каждого собственного подпространства fn.
Чтобы А и В образовали полный набор коммутирующих операторов, необходимо и
достаточно, чтобы внутри каждого из этих подпространств все gn собственных значений
оператора В были бы различными: поскольку все векторы #п соответствуют одному и тому же
собственному значению ап оператора А , gn векторов v\t) могут быть различимы
связанными с ними собственными значениями оператора В. Отметим, что нет необходимости,
чтобы все собственные значения оператора В были бы не вырождены: векторы v,',),
принадлежащие двум различным подпространствам fin, могут иметь одно и то же собственное
значение оператора В. Впрочем, если все собственные значения В не вырождены,
достаточно было бы взять лишь оператор В, чтобы образовать полный набор коммутирующих
операторов.
Если же, по крайней мере, для одной из возможных пар { ап, Ър } существовало бы
несколько независимых векторов, которые были бы собственными векторами
операторов А и В с этими собственными значениями, то набор { А , В } не является полным.
Добавим тогда третью наблюдаемую С , коммутирующую одновременно и с А и с В.
Можно повторить те же рассуждения, что и в § а , обобщив их: если паре { ап, Ър )
соответствует единственный вектор, то он должен быть собственным вектором оператора С ;
если же их несколько, то они образуют собственное подпространство $ПгР, в котором
можно выбрать базис, составленный из векторов, которые были бы собственными век-
178

Математический аппарат квантовой механики
торами и оператора С. Так строится ортонормированный базис, образованный из
собственных векторов, общих для операторов А, В, и С, действующих в пространстве
состояний. Эти операторы образуют полный набор коммутирующих операторов, если
этот базис единственный (с точностью до множителей), то есть если задание возможного
набора собственных значений { ап, Ър, сг} операторов Л , В, С характеризует
единственный из векторов этого базиса. Если же это не так, можно добавить еще один оператор
наблюдаемой D , коммутирующий с каждым из трех предыдущих, и т. д. В общем случае
следует сказать:
по определению набор наблюдаемых А , В, С ... называется полным набором
коммутирующих операторов, если:
(i) все наблюдаемые попарно коммутируют;
(и) задание собственных значений всех операторов А , В, С... достаточно для
определения единственного общего собственного вектора (с точностью до постоянного
множителя).
Можно сформулировать иначе (это утверждение эквивалентно):
набор наблюдаемых А , В, С ... является полным набором коммутирующих
операторов, если существует ортонормированный базис собственных векторов и если этот
базис единственный (с точностью до фазовых множителей).
Понятие полного набора коммутирующих операторов играет важную роль в квантовой
механике. В дальнейшем мы встретимся с многочисленными примерами этого (в
частности, см. § E-2-d).
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Если { А, В} — полный набор коммутирующих операторов, можно получить
другой полный набор, если добавить к нему произвольную наблюдаемую С при
условии, что она коммутирует с А и В. Однако обычно удобно ограничиваться
«минимальными» наборами, то есть такими, которые перестают быть полными,
если из них исключается любая из наблюдаемых.
(ii) Пусть {Л, В, С...} — полный набор коммутирующих операторов. Поскольку
задание собственных значений ап, Ьр, сг, ... достаточно для характеристики кет-
вектора соответствующего базиса (с точностью до множителя), то иногда
обозначают этот кет символом \ап, Ьр, сг,...).
(iii) Для каждой данной физической системы существует несколько полных наборов
коммутирующих операторов. Мы увидим это уже в частном случае в § E-2-d.

Глава 11
Е. ДВА ВАЖНЫХ ПРИМЕРА ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
И НАБЛЮДАЕМЫХ
В этом параграфе вернемся к пространству J волновых функций частицы, а
точнее, к связанному с ней пространству состояний tfr, которое определим следующим
образом. Любой волновой функции \|/(г) ставят в соответствие кет |\|/), принадлежащий
пространству Vr, причем это соответствие является линейным. Кроме того, скалярное
произведение двух кет-векторов совпадает со скалярным произведением
соответствующих функций:
(ф|11/) = {^3гф>)\|/(г), (Е-1)
где $г — пространство состояний частицы без спина.
Сейчас определим и исследуем в этом пространстве два представления и два
оператора, имеющих особенно важное значение, поскольку их будем ассоциировать в главе
III с положением и импульсом рассматриваемой частицы. Кроме того, они позволят нам
применить и использовать понятия, введенные в предыдущих параграфах.
1. Представления {|г)} и { |р)}
а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
В § А-З-а и § A-3-b мы ввели два частных «базиса» в пространстве & : { £Го(г)} и
{ vpo(r)}. Они составлены из функций, не принадлежащих пространству J :
£ro(r) = S(r-r0); (E-2-a)
уро(г) = BтсЛ)/2^РоГ, (E-2-b)
но любая достаточно регулярная квадратично интегрируемая функция может быть
разложена по одному из этих «базисов».
Именно поэтому уберем кавычки и каждой из функций этих базисов поставим в
соответствие кет-вектор (см. § В-2-с). Обозначим кет, связанный с £г (г), символом |г()),
а кет, связанный с vPo(r), символом |р0):
£гв<г)«|г0);
(Е-З-а)

Математический аппарат квантовой механики
^(г)«|р0>. (E-3-b)
С помощью базисов { £Г()(г)} и { vpo(r)} в пространстве Я определим в
пространстве #г два представления: представление {|г0}} и представление (|р0) }• Базисный
вектор первого представления характеризуется тремя «непрерывными индексами»
x0i y0, z0, являющимися координатами точки в трехмерном пространстве, а второго —
тремя индексами — компонентами обычного вектора.
Ь. СООТНОШЕНИЯ ОРТОНОРМИРОВКИ И ЗАМКНУТОСТИ
Вычислим (г0|г0'). По определению скалярного произведения в пространстве $г:
(г0|г0'> = \d'r %\(rM,0 (r) = 8(r0 -r0'), (E-4-a)
где использовано соотношение (А-55). Аналогично:
<Ро|Ро) = Wr v;,(r) vpo(r) = 8(p0 -p(',). (E-4-b)
Базисы, которые мы только что ввели, являются ортонормированными в широком
смысле слова.
То, что ансамбли векторов |г0) или |р0) образуют базис в пространстве £г, можно
выразить с помощью соотношения замкнутости в tfr, записанного способом, аналогичным
равенству (С-10), при условии, однако, суммирования по трем индексам вместо одного.
Таким образом, имеем фундаментальные соотношения:
(Е-5)
1*
^
(Ро
\U;
г;)=8(г0-
*о|гоХго| =
Ро) = 5(Ро
Ро|Ро)(Ро|
-о
1
-Ро)
= 1
(а)
(Ь)
(с)
(d)
с. КОМПОНЕНТЫ КЕТ-ВЕКТОРА
Рассмотрим произвольный кет |\|/), соответствующий волновой функции \|/(г).
Приведенные выше соотношения замкнутости позволяют записать его в одной из двух
форм:
181

Глава II
|v> = JAkoXrok>; (E-6-a)
|\l/) = j^3Po|Po)(Pok). (E-6-b)
Коэффициенты (г0|\|/) и (р0|\|/) могут быть найдены по формулам:
(r0|\|r> = Jrf3r§;e(r)V(r); (Е-7-а)
(Po|v> = Jrf3rv;o(r)V(r). (E-7-b)
Тогда имеем:
(r0|\|/) = \|/(r0); (Е-8-а)
<Рок> = ?(Ро). (Е"8-Ь)
где \|/(р) — Фурье-образ функции \|/(г).
Итак, значение \|/(г0) волновой функции в точке г0 имеет смысл проекции кет-
вектора \\\f)na базисный вектор\г0) представления {|г0) }; «волновая функция в
импульсном пространстве» \|/(р) интерпретируется аналогично. Возможность
охарактеризовать кет |\|/) функцией i|/(r) является просто частным случаем результатов § С-З-а.
Например, для |\|/) = |р0) формула (Е-8-а) дает:
<ro|Po) = vpo(r0H2^,2>r0. (E-9)
Для |у)= |го) результат хорошо согласуется с соотношением ортонормировки (Е-5-а):
(r0|r0/) = ^(r0) = 8(r0-r(;). (E-10)
Теперь, когда мы дали новую интерпретацию волновой функции \|/(г) и ее Фурье-
образа \|/(р), будем пользоваться обозначениями |г) и |р) вместо |г0) и |р0) для
рассматриваемых здесь базисных векторов двух представлений. Тогда формулы (Е-8)
примут вид:
(r|\|/) = v(r); (E-8-a)
(p|v) = ¥(P) (E-8-b)
182

Математический аппарат квантовой механики
и соотношения ортонормировки и замкнутости (Е-5) перепишутся в форме:
(a) (r|r') = 5(r-r'); (с) (р|р') = 8(р-р');
(b) Jrf3r|r><r| = l; (d) ^Зр|р)(р| = 1. (Е-5)
Конечно, переменные г и р по-прежнему считаются здесь двумя наборами
непрерывных индексов { л\ у, z } и { рх, ру, р.}, позволяющими идентифицировать базисные кет-
векторы представлений {|г) }и {|р)} соответственно.
Пусть в пространстве 'J имеется ортонормированный базис { и, (г)}. Каждой функции
и, (г) ставится в соответствие кет и.) пространства <?г. Множество { ш,) } образует в #г
ортонормированный базис, удовлетворяющий соотношению замкнутости:
1Ь)(к,| = 1- (Е-П)
i
Возьмем матричный элемент от обеих частей равенства (Е-11) между |г) и |г') :
S(r|«,.)(M,.|r') = (r|l|r') = (r|r'). (E-12)
Согласно (Е-8-а) и (Е-5-а) это равенство можно записать в виде:
Х«Дг)^(г') = 5(г-г'). (Е-13)
Соотношение замкнутости для ( и, (г) } [формула (А-32)! является просто переводом в
представление {|г) } векторного соотношения замкнутости (Е-11).
d. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Мы определили скалярное произведение двух кет в пространстве £г как
произведение двух соответствующих волновых функций пространства i'J (Е-1). В свете сказанного
выше, это определение является просто частным случаем формулы (С-21).
Действительно, формулу (Е-1) можно получить, введя соотношение замкнутости (E-5-b) между (ф|
h|v):
<ф|\|/> = J^/V <M/|r><r|v|/> (E-14)
и интерпретируя, как в (Е-8-а), компоненты (г|\|/) и (г |ф).
183

Глава II
Если перейти в представление {|р) }, то нетрудно доказать хорошо известное
свойство преобразования Фурье (приложение I, § 2-е):
(ф| V> = RV (ф|р)(р| V) =Кр Ф*(р) ?(Р) • (Е-15)
е. ПЕРЕХОД ОТ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ {|г) } К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ {|р) )
Он осуществляется с помощью метода, описанного в § С-5, с той лишь разницей,
что здесь мы имеем дело с двумя непрерывными базисами. Переход из одного базиса в
другой потребует знания чисел:
(г|р> = (р|г>* =Brcu)VP"r. (Е-16)
Любой данный кет |\|/) в представлении {|г)} задается функцией (r|\j/) = \|/(г) и
функцией (р|\|/) = vj/(p) — в представлении {|р)}. Мы уже знаем (E-7-b), что \|/(г) и \[/(р)
связаны преобразованием Фурье. Именно на это указывают формулы изменения
представления:
(r|V) = Jrf3p(r|pXp|v)
ИЛИ
V(r) = {2пПУт\с1ър е'РГ vj7(p). (Е-17)
Обратное преобразование:
(p|v(/) = Jrf3r(p|r)(r|i|/),
то есть
\j7(p) = B7i^)-3/2J^3r^pri|/(r). (E-18)
Применив общую формулу (С-56), можно легко перейти от матричных элементов
(г'|л|г) = А(г\ г) оператора А в представлении {|г) } к матричным элементам
(р'Ир) = Мр\ Р) того же оператора в представлении {|р)}:
184

Математический аппарат квантовой механики
А(р', р) = BкПУ3 \йъг Jrf V е»(РГ~Р'Г') A(r', r).
(Е-19)
Аналогичная формула позволяет выразить А(г\ г) через А(р\ р).
2. Операторы R и Р
а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть |\|/) — произвольный кет пространства ffr и (г|\|/) = \|/(г) = \|/(лс, у, z) —
соответствующая волновая функция. По определению оператора X кет:
И=%) (Е-20)
определяется в базисе {|г)} функцией (г|\|/') = \|/'(г) = у'(ху у, z), причем:
\|/'(*. )\z) = x\|/(*, у, z). (E-21)
В представлении {|г)} оператор X совпадает с оператором умножения на х. Хотя
мы и характеризуем X так, что он преобразует волновую функцию, этот оператор
действует в пространстве состояний tfr. Аналогично введем и два других оператора Y и Z.
Определим все три оператора формулами:
: ГТ~~ГП (Е-22-а)
(E-22-b)
(Е-22-с)
где числа х, у, z являются тремя индексами, определяющими кет |г). Операторы
X, У, Z будут рассматриваться как «компоненты» «векторного оператора» R : пока это
следует рассматривать лишь как компактное обозначение, опирающееся на то, что
лг, у, z являются компонентами обычного вектора г.
Действия с операторами X, К, Z особенно просты в представлении {|г)}.
Например, чтобы вычислить матричный элемент (ф|х|\|/), достаточно вставить соотношение
замкнутости (Е-5-а) между (ф| и X , используя определение (Е-22):
|(r|x|V> =
\(*Ш =
|(r|z|V> =
■-х{г\ц,)\
y(r\v)\
= z(r|v)|
(Ф|%Н^(ф|г)(г|х|1|;) = |^ф>)л1|/(г).
(Е-23)
185

Глава II
Аналогично определяется векторный оператор Р через компоненты Рх, Pyi Pz,
действие которых в представлении {|р) } определяется выражениями:
(Е-24-а)
(E-24-b)
(Е-24-с)
Ф) = рЛт)
(р№) = р,(рк)
{j>\Pz№)=Pz(l>№)
где рх, р , pz —три индекса, определяющие кет |р).
Найдем, как оператор Р действует в представлении {|г) }. Для этого достаточно
(§ C-5-d) использовать соотношение замкнутости (E-5-d) и матрицу изменения базиса
(Е-16):
(г\ф) = \d3p (r|p)(p|P» = {2nhYm\d'p е~*"рхЩ\>) ■ (Е-25)
В выражении (Е-25) сразу же можно узнать Фурье-образ рх \|/(р), то есть ——\|/(г)
/ дх
[приложение I, C8-а)]. Таким образом:
<r|P|V> = 4v<r|V>.
(Е-26)
В представлении {|г)} оператор Р совпадает с дифференциальным оператором —V,
примененным к волновым функциям. Вычисление матричного элемента оператора вида
(ф|Рг|\|/) осуществляется следующим образом:
(ф|Р^) = /^3г(ф|г)(г|Рг|1|/) = /Лф*(г)
i дх
1|/(г).
(Е-27)
В представлении {|г) } можно также вычислить коммутаторы операторов X, У, Z ,
Рд, Pv, Pz. Например:
(г\[Х,Рх]\ч) = (г\ХРх-РхХ\у) = х(г\Рх\у)-
1JL
i дх
<r|x|V) =
1хтхш-7тххШ=тш-
(E-28)
186

Математический аппарат квантовой механики
Эти вычисления справедливы для произвольного |\|/) и любого кет в базисе |г), из
чего следует, что*
[X4Px] = ih. (E-29)
Аналогично можно найти и другие коммутаторы между компонентами R и Р.
Результат запишем в виде:
[*,
■IP,,
[*,
Rjh
Pj\--
.Pj]--
= 0 |
:0
= '4J
И, где/,./' = 1,2,3,
(Е-30)
где /?,, #2, /?3 и fj, Р2, Р3 обозначают соответственно операторы X, У, Z и Рх, РуУ Pz.
Формулы (Е-30) называются каноническими соотношениями коммутации.
Ь. ЭРМИТОВОСТЬ ОПЕРАТОРОВ R И Р
Чтобы доказать, например, эрмитовость оператора X, достаточно использовать
формулу (Е-23):
(ф|х|\|/) = /^3гф*(г)х\|/(г)=[/^3г\|/*(г)^ф(г)[ =(\|/|х|ф)\ (Е-31)
Согласно §В-4-е равенство (Е-31) является характеристикой эрмитова оператора.
Подобные же рассуждения доказывают, что операторы Y и Z также эрмитовы.
В том, что касается операторов Рх, РуУ Pz, можно использовать аналогичные вычисления
в представлении {| р)}.
Интересный способ доказательства эрмитовости оператора Р основан на использовании
уравнения (Е-26), описывающего его действие в представлении {|г) }. Возьмем, например,
формулу (Е-27) и проинтегрируем ее по частям:
* Коммутатор [Х, Рх\ — это оператор, и со всей строгостью следует писать [X, Рх\ = /Й1.
В дальнейшем мы часто будем использовать в одинаковой роли и оператор 1 и число 1, если только
их различие не будет иметь принципиального значения.
187

Глава II
((p\Px\\v) = -\dy'dzl+_2dxq\r) — \|/(r) =
- \dy'dz\\(p\r)^r)Y~^ -Г~ cU-y(r)— ф*(г)
(E-32)
Поскольку интеграл, определяющий скалярное произведение (ф|^)» сходится, произведение
ф (г)\|/(г) стремится к нулю, если х —> ±°° ; после интегрирования первый член обращается в
нуль и, следовательно:
— -.*
:(\1/|Р,|ф)*. (Е-33)
Э
(ц>\Ф) = -* jd3ry(r)-^<P'(r) =
-JrfVv|/*(r)|-9(r)
i дх
Видно, что наличие мнимого числа i существенно важно: дифференциальный оператор
дх'
действующий на функции пространства &• , не является эрмитовым вследствие изменения знака
. Э П д
при интегрировании по частям; напротив, оператор j— , так же как и оператор ——, является
ox i дх
эрмитовым.
с. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ОПЕРАТОРОВ R И Р
Рассмотрим действие оператора X на кет |г0). Согласно формуле (Е-22-а) имеем:
(г |х|г0) = *(г |г0) = *8(г - г0) = х0д(т - г0) = ^о(г|г0>. (Е-34)
Это равенство означает, что в представлении {|г)} координаты кет-вектора х|г0)
равны координатам кет-вектора |г0), умноженным на х0, то есть
Х|г0) = д:0|г0). (Е-35)
Аналогичные рассуждения сразу же показывают, что кет-векторы |г0) являются также и
собственными векторами операторов Y и Z. Опустив ставший ненужным нулевой
индекс, перепишем полученные равенства в следующей форме:
Х|г) =
Ио=
И;
-х\г)
-М\
= z|r)
(Е-36)
188

Математический аппарат квантовой механики
Таким образом, кет-векторы |г) являются собственными векторами, общими для
операторов X , У и Z, что еще раз свидетельствует в пользу выбранного обозначения |г):
каждый собственный вектор соответствует вектору г с координатами х, уч z,
образующими три непрерывных индекса, соответствующих собственным значениям
операторов X , У и Z.
Подобные аргументы могут быть приведены и в отношении оператора Р, если их
сформулировать в представлении {|р) }. Получим:
|^|р) = р»|
Л|р) = /Ф)
Ир) = Р;|р>|
(Е-37)
ЗАМЕЧАНИЕ
Этот же результат можно получить, исходя из уравнения (Е-26), описывающего
действие оператора Р в представлении {|г)}. Используя (Е-9), получим:
(#)-* £(г|р) Л JL^-'V'' = Р,{Щ'Ш^ = А<г|р>. (E-38)
Все компоненты кет-вектора Рх\р) в представлении {|г)} получаются путем
умножения компонент |р) на константу рх : кет |р) есть собственный вектор
оператора Рх с собственным значением рх.
d. R И Р —НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Соотношения (E-5-b) и (E-5-d) означают, что векторы {|г)} и {|р) } образуют базисы
в пространстве #г. Следовательно, R и Р — наблюдаемые.
Кроме того, задание трех собственных значений jc0, y0, z0 операторов X, У, Z
определяет единственным образом соответствующий собственный вектор |г0): в
представлении {|г)} его координатами являются 8(х - х0) 8( у - yQ) 5(z - z0). Отсюда следует,
что набор трех операторов X , У, Z образует полный набор коммутирующих
операторов в пространстве #г.
189

Глава II
Аналогично можно показать, что три компоненты Рх, Р, Pz также образуют
полный набор коммутирующих операторов в #г.
Отметим, что один оператор X не образует полного набора коммутирующих
операторов в пространстве £г: если индекс х0 зафиксирован, то индексы у0 и z0 могут
принимать любые вещественные значения, так что собственное значение х0 является
бесконечно вырожденным. Напротив, в пространстве состояний <fK в одномерном случае
оператор X образует полный набор коммутирующих операторов, при этом собственное
значение х0 определяет единственным образом соответствующий собственный кет |jc0),
и его координатой в представлении {\х) } является д(х - х0).
ЗАМЕЧАНИЕ
В пространстве %г мы нашли два полных набора коммутирующих операторов: {X, Y , Z }
и { Рх, Ру, Pz }. Далее мы встретим и другие. Отметим, например, набор { X, Ру, Pz }: эти
наблюдаемые коммутируют [уравнения (Е-30)]; с другой стороны, если зафиксировать три
собственных значения xQ, p0y, p0z, им соответствует единственный кет с
соответствующей волновой функцией:
F. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ СОСТОЯНИЙ
1. Введение
Выше мы ввели пространство состояний физической системы, исходя из понятия
волновой функции частицы. Однако далее рассматривались волновые функции — как
одномерные, так и трехмерные. Понятно, что пространства квадратично интегрируемых
функций одной переменной \\f(x) или трех переменных \|/(г) не совпадают: ^ и tfr,
естественно, различны. Вместе с тем можно ожидать, что пространство #г является
обобщением пространства Кv. Существует ли более точное соотношение между этими
двумя пространствами?
В этом параграфе мы определим и изучим операцию тензорного произведения
векторных пространств* и применим ее к пространству состояний. Это даст нам ответ на
* Эта операция часто называется «произведением Кронекера».
190

Математический аппарат квантовой механики
только что поставленный вопрос: пространство #г можно построить, исходя из
пространства У'х и двух других изоморфных ему пространств ¥-у и %-г (см. ниже § F-4-a).
Подобным же образом в дальнейшем (главы IV и IX) будем поступать в случае
существования у некоторых частиц собственного (или спинового) момента количества
движения: кроме внешних степеней свободы (положение, импульс), которые связаны
с наблюдаемыми R и Р, определенными в tfr, нужно будет учитывать внутренние
степени свободы и вводить спиновые наблюдаемые, действующие в спиновом
пространстве <fs. Тогда полное пространство состояний £ частицы со спином образуется
как тензорное произведение tfr и fts .
Наконец, понятие тензорного произведения пространств состояний позволяет
разрешить следующую проблему. Пусть имеются две отдельные физические системы (S,)
и E2) (например, они могут быть достаточно удалены друг от друга, так, чтобы их
взаимодействием можно было пренебречь); назовем соответствующие им пространства
состояний #", и #2. Допустим теперь, что из этих двух систем образуется единая
физическая система (S ), то есть они сближаются и начинают взаимодействовать между собой.
Каким будет пространство состояний #' такой совокупной системы?
Мы видим, насколько будут полезными определения и результаты этого параграфа
для квантовой механики.
2. Определение и свойства тензорного произведения
Пусть имеются два* пространства: первое — #, с размерностью N, и второе — £2
с размерностью N2 (значения N{ и N2 могут быть конечными или бесконечными).
Векторы и операторы этих пространств будут обозначаться символами с
соответствующими индексами A) или B).
а. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ <Г
а. Определение
По определению векторное пространство # называется тензорным произведением
пространств if, и $2:
<f = ^®tf2, (F-1)
* Последующие определения без труда распространяются на тензорное произведение
конечного количества пространств.
191

Глава II
если любой паре — вектору ФA)) , принадлежащему пространству #,, и вектору ХB))»
принадлежащему пространству #2,— ставится в соответствие один вектор пространства $,
обозначаемый символом*:
|ф(,))®|%B)), (F-2)
который называется тензорным произведением векторов Ф(,)) и ЗСB)). Это
соответствие должно обладать следующими свойствами:
(i) линейностью относительно умножения на комплексные числа:
[х|фA,)]®|хB,) = а[|фA))®|хB)>];
|ф<")®[ц|Х'2))] = ц[|ф"»)<8)|Х'2')]; (F-3)
(ii) дистрибутивностью относительно векторного сложения:
|ф<1,)®[|х!2)>+1^2,)]Н(р<1)>®1^,)+1ср(',>®1^));
[|фГ)>+|(Р2)>]®|х<2,> = |фГ,>®|х<2))+1(р",)®|х<2,>; (р-4)
(iii) при выборе базиса в каждом из пространств ({ и/1/ ) в ^ и ( г/ / } в ^) ан~
самбль векторов щ образует базис в пространстве # . Если Nl и N2 конечны,
то размерность пространства F равна NlxN2.
Р. Векторы пространства $
(i) Рассмотрим сначала вектор тензорного произведения ф°М®Х( /• Какими бы
ни были векторы Ф(,)) и Х<2))> их всегда можно разложить в базисах {и//} и
(|v/2))}
соответственно:
* Этот вектор можно обозначать как ф ) ® \% )> так и ПС ) ® ф ) : порядок двух
векторов не имеет значения.
192

Математический аппарат квантовой механики
\xm) = lb,\v^). (F-5)
Согласно свойствам, сформулированным в §а, разложение вектора ФA))®ЬсB)) в
базисе { U; (,,)®|v,B)) } имеет вид:
|9(I))®|x,2,)=S«a|",(,,)®|v,,2))- (f-6)
1,1
Итак, компоненты вектора тензорного произведения равны произведениям
компонент двух векторов сомножителей.
(ii) В пространстве W существуют векторы, не являющиеся тензорными
произведениями вектора из Щ на вектор из $2. Действительно, поскольку { w,A)\® v/ / }
является базисом в пространстве %, самый общий вид записи вектора в # имеет вид:
k)=Zc,,|B;,>)®|v/B>). (f-7)
При этом, если мы возьмем Nx x N2 произвольных чисел си, то их не всегда можно
представить в форме произведений а( Ъ{, являющихся результатом перемножения N,
чисел ai на N2 чисел Ъ{. Таким образом, в общем случае нельзя указать такие векторы
Ф(,)) и ХB))> тензорным произведением которых был бы произвольный вектор |\|/).
Однако любой вектор пространства # может быть всегда представлен в виде линейной
комбинации векторов тензорного произведения, как это следует из формулы (F-7).
у. Скалярное произведение в пространстве W
Существование скалярных произведений в пространствах £, и tf2 позволяет
определить также скалярное произведение в #. Сначала определим скалярное произведение
вектора |фС1)%B)) = |ф(,))®|хB)) на вектор |ф'(,) Х'B)) = |ф,A))®|х'<2)), положив:
(Ф>С1>ЗС1B)|ФA>ХС2>> = <Ф>A)|ФС1)> (Х1С2)|ХС2)>- С*"*)
Для двух произвольных векторов пространства $ достаточно тогда использовать
фундаментальные свойства скалярного произведения [уравнения (В-9), (В-10) и (В-11)], по-
13 Квантовая механика
193

Глава II
скольку каждый из этих векторов является линейной комбинацией векторов тензорного
произведения.
В частности, заметим, что базис { w,(,)v/B)) = шAМ® v,B) И ортонормирован, если
каждый из базисов { U// } и ( г/ / ) также ортонормирован:
(и^у™ |W;(,)v;2)> = D° |",{,)>(v/B) | vj2)) = 5,.5/r. (F-9)
b. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
(i) Рассмотрим сначала линейный оператор ЛA), определенный в пространстве ^,.
Ему ставят в соответствие линейный оператор ЛA), действующий в пространстве <*,
который называют продолжением оператора ЛA) в пространстве W и определяют
следующим образом.
Если применить оператор ЛA) к вектору — тензорному произведению ФA))®%B)),
то по определению получим:
Л(l)[|ф(,))®|xB))] = [A(l)|ф(l,)]®|xB,). (F-10)
Сделанного выше предположения о линейности ЛA) достаточно, чтобы полностью
определить этот оператор. Действительно, любой вектор |\|/) пространства К можно
представить в форме (F-7). Тогда определение (F-10) позволяет установить действие
АA) на |v>:
AA)|\1/) = Sc,/[aA)[W/A)I(E)|v/B)). (F-ll)
I,/ L 'J I
Аналогично можно получить продолжение ВB) оператора ВB), определенного
исходно в пространстве £2 •
(и) Пусть теперь АA) и ВB) — два линейных оператора, действующих
соответственно в ^ и $2. Их тензорное произведение ЛA) ® ВB) является линейным оператором
в #, определенным следующим соотношением, описывающим его действие на векторы —
тензорные произведения:
[ЛA)®^B)][|ф(,))(х)|хB))] = [лA)|фA))]®[Ж2)|хB)>]. (F-12)
Так же, как и ранее, этого определения достаточно, чтобы охарактеризовать АA) ® ВB).
194

Математический аппарат квантовой механики
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Продолжения операторов являются частными случаями тензорных произведений: если 1A)
и 1B) — единичные операторы в пространствах #, и #2 соответственно, то АA) и
ВB) могут быть записаны в виде:
ЛA) = АA)®1B);
ВB) = 1A)® ВB). (F-13)
Справедливо и обратное утверждение о том, что тензорное произведение АA) ® ВB)
совпадает с обычным произведением двух операторов ЛA) и ВB) в пространстве $ :
АA)®#B) = ДA)ЯB). (F-14)
(ii) Нетрудно показать, что два оператора, например, ЛA) и ВB), коммутируют в
пространстве # :
[ЛA),ВB)] = 0. (F-15)
Для этого достаточно доказать, что ЛA) В{2) и В{2) А{\) дают одинаковый результат,
если подействовать ими на произвольный вектор базиса {\u\l)) ® vj2))}:
^a)fiC2)|M#cl>H|V/C2>) = ДС1) [|и/С1>)в>[вB) |vf<2>)J| = [ACD l**/0)]® [вС2) I v#C2>)]; (F-16)
5c2) acd l^;0)®! v#c2>)=Sc2) [[acd l^j0)]®! v*2>)]=[^(o l^j0)]®^251 v/2>>] • (PM7)
(iii) Проекционный оператор на вектор — тензорное произведение фA))С( / =
= ф(,))® Х( /» являющийся оператором, действующим в пространстве tf, получается
путем тензорного произведения проекционных операторов на векторы ф(,)) и X* /:
|ф(,)ХB,ХфA)ХB) | = |ф("Хф(,) | ® |Х<2,)(Х<2) | • (F-18)
Это соотношение вытекает непосредственно из определения скалярного произведения в
пространстве $ .
(iv) Как и для обычных векторов, в пространстве f существуют операторы, не являющиеся
тензорными произведениями оператора в #, на оператор в #2.
13*
195

Глава II
с. ОБОЗНАЧЕНИЯ
В квантовой механике обычно используют упрощенные по сравнению с
приведенными выше обозначения. Мы также будем пользоваться ими, но в свете дальнейшего
изложения важно четко их сформулировать.
Прежде всего мы уберем символ ®, обозначающий тензорное произведение, и векторы
или операторы, перемножаемые тензорно, будем просто ставить рядом друг с другом:
|ф(,)) |хB)) означает |ф(,))® |%B)); (F-19)
АAЩ2) означает A(l)®BB). (F-20)
Кроме того, будем обозначать одинаковыми символами и продолжение в пространстве
£ оператора пространств £, и £2, и сам этот оператор:
ЛA) означает ЛA) или ЛA). (F-21)
В том, что касается формулы (F-19), то в ней нет никакой двусмысленности, так как
мы никогда не записываем два кет-вектора подряд, как это сделано здесь. Заметим, в
частности, что выражение \\\f) |ф), где |\|/} и |ф) принадлежат одному и тому же
пространству $, в этом пространстве никак не определено: оно представляет собой вектор
пространства V, умноженный тензорно сам на себя.
Напротив, обозначения (F-20) и (F -21) несколько двусмысленны, особенно
последнее, допускающее одно и то же обозначение для двух различных операторов. Однако на
практике мы сможем различать их по вектору, к которому прикладывается тот или иной
оператор: в зависимости от того, идет ли речь о пространстве $ или #,, мы будем иметь
дело с операторами ЛA) или ЛA) в строгом смысле слова. Что касается формулы
(F-20), она не вызывает проблем, если пространства Щ и ^ различны, ибо до сих пор
мы имели дело лишь с произведениями операторов, действующих в одном и том же
пространстве. Можно, однако, рассматривать ЛAMB) как обычное произведение
операторов пространства $, если интерпретировать ЛA) и В{2) как обозначения для ЛA)
и В B) [уравнение (F-14)].
3. Уравнения на собственные значения
в произведении пространств
В предыдущем параграфе важная роль отводилась векторам пространства tf,
которые были образованы путем тензорного перемножения вектора пространства #, на век-
196

Математический аппарат квантовой механики
тор пространства #2. Сейчас мы увидим, что не менее важную роль играют
продолжения операторов пространств #, и #2.
а. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ОПЕРАТОРОВ-ПРОДОЛЖЕНИЙ
а. Уравнение на собственные значения оператора А(\)
Рассмотрим оператор АA), действующий в пространстве £■',, с известными
собственными состояниями и собственными значениями. Допустим, например, что спектр
этого оператора дискретный:
ЛA)|ф;1A)) = а/г|Ф;1A)>; / = 1,2 gn. (F-22)
Будем искать в пространстве $ решение уравнения на собственные значения
продолжения оператора А(\):
A(l)|\|f) = X|v>; |\|/)e*. (F-23)
Из формулы (F-10) сразу же следует, что любой вектор вида (pj,(l)) |%B)) является
собственным вектором оператора АA) с собственным значением ап независимо от
выбора |хB)). Действительно:
АA) | ф!, A))| х B)> [АA) | ф'я A))] | х B)> = а„ | ф'я A))| х B)>. (F-24)
Покажем, что если АA) является наблюдаемой в пространстве #,, то можно найти
все решения уравнения (F-23). При этом ансамбль векторов ф),A)) образует базис в ^ ,
и, следовательно, система ортонормированных векторов U/J;') вида:
|v;;/) = hUD)|v1B)), (F-25)
где {| v, B)) } — базис в пространстве <Г2, образует базис в пространстве #. Таким
образом, известен один ортонормированный базис, составленный из собственных векторов
оператора АA) в %,— hC), а это значит, что решение уравнения (F-23) найдено.
Сказанное выше позволяет сделать следующие заключения:
197

Глава II
— если оператор ЛA) — наблюдаемая в пространстве ^,, то он является также
наблюдаемой в пространстве ¥ . Этот вывод непосредственно следует из того, что
продолжение оператора ЛA) является эрмитовым оператором и что ансамбль { \|/);')}
образует базис в #';
— спектр оператора ЛA) одинаков в пространствах % и <г,, в равенствах (F-22) и
(F-24) фигурируют одни и те же собственные значения ап;
— однако собственное значение ап, имеющее кратность вырождения gn в £,, в
пространстве $ имеет кратность вырождения N2 x gn. Действительно, собственное
подпространство, связанное с ап, в пространстве ^ натянуто на кет-векторы
V!,/= Ф«A))КB)) с фиксированным значением п и / = 1,1,..., #я; / = 1,2,..., N2.
Таким образом, если даже ап в пространстве ^ не вырождено, оно вырождено N2 раз
в пространстве $.
Проекционный оператор на собственное подпространство, соответствующее собственному
значению ап , в пространстве # примет вид [см. (F-18)]:
Ек;^(^:;'|=Е|ф;,A)>(ф;,A)|®|^B))(у/B)|=5:|ф,„>(Ф:1A)|®1B), <f-26)
если воспользоваться соотношением замкнутости для базиса {| vyB)y } в пространстве ^2. Таким
образом, это выражение является продолжением проекционного оператора:
^,A)=1|ф:,A)(ф:,A)|)
в пространстве £, .
Р. Уравнение на собственные значения оператора А{\) + ВB)
В дальнейшем нам часто придется сталкиваться с поиском решения уравнений на
собственные значения в пространстве — тензорном произведении операторов вида:
С= АA) + ЯB), (F-27)
где ЛA) и ВB) — наблюдаемые, для которых известны собственные значения и
собственные векторы в пространствах #*, и <*2 соответственно:
ЛA)|ф„A)) = а„|ф„A));
198

Математический аппарат квантовой механики
ВB)|х/)B)) = Ь/)|х;)B)) (F-28)
[для упрощения записи допустим, что спектры операторов ЛA)и 5B) дискретны и не
вырождены в пространствах К", и tf2].
Известно, что ЛA) и ВB) коммутируют [формулы (F-16) и (F-17)], и векторы
|ф„A)) %/;B)), образующие базис в пространстве #*, являются собственными
векторами, общими для операторов ЛA) и ВB):
АA)|ф„A))|х„B))=ал|ф„A))|х;,B)>;
ВB) |Ф„A)> |х„B)> = *>„(!)) |x,B)). (F-29)
Они являются также собственными векторами оператора С :
Ф„A)) |ХРB)) =(а.+Ь„)|фяA)> |хРB)>, (F-30)
откуда сразу же следуют решения уравнения на собственные значения оператора С .
Итак, собственные значения оператора С = А(\) + ВB) являются суммами
собственного значения оператора АA) и собственного значения оператора ВB); моэюно
всегда найти базис собственных векторов оператора С, которые являются
тензорными произведениями собственного вектора оператора АA) и собственного вектора
оператора ВB).
ЗАМЕЧАНИЕ
Уравнение (F-30) показывает, что собственные значения оператора С имеют вид
суммы с = ап + Ь . Если нельзя найти две различные пары значений пир, дающих
одно и то же значение с , то оно является невырожденным (напомним, что мы
предположили, что ап и Ъ не вырождены в пространствах #", и #'2 соответственно); собственный
вектор соответствующего оператора С неизбежно является тензорным произведением
ФнA)) РС»B)/ • Если, напротив, собственное значение с вырождено, например, дважды
(имеются такие т и q , что с — с ), можно лишь утверждать, что любой собственный
вектор оператора С , соответствующий этому собственному значению, равен:
^|ф„A))|х/,B)) + ц|ф„,A)>|х(/B)), (F-31)
199

Глава II
где X и |Ы — произвольные комплексные числа; в этом случае существуют лишь
собственные векторы оператора С , не являющиеся тензорными произведениями.
Ь. ПОЛНЫЕ НАБОРЫ КОММУТИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ £
Сейчас мы, наконец, покажем, что если выбрать полные наборы коммутирующих
операторов в пространствах <f, и <?2, то сразу же получаем полный набор
коммутирующих операторов в пространстве <f.
Для определенности предположим, что оператор ЛA) сам по себе образует полный
набор коммутирующих операторов в пространстве #',, а аналогичный набор в
пространстве £2 состоит из двух наблюдаемых ВB) и СB). Это означает (см.§ D-3-b), что все
собственные значения ап оператора ДA) в пространстве <?\ являются простыми:
АA)|фД1)) = д,,|ф,,A)), (F-32)
поскольку кет |ф„A)) с точностью до постоянного множителя является единственным;
напротив, в пространстве Щ некоторые из собственных значений Ь оператора В{2)
являются вырожденными, как и некоторые собственные значения сг оператора СB);
однако базис собственных векторов, общих для В{2) и СB) в пространстве £2, является
единственным, так как существует лишь один кет (с точностью до множителя), который
был бы собственным вектором операторов В{2) и СB) с фиксированными
собственными значениями Ьр и сг:
|5B)|х,гB)) = ф,„B));
СB) |x„B)) = ф„B)); (F-33)
Р„Д2)).
В пространстве # кратность вырождения собственных значений ап равна N2 (см.
§F-3-a); и, следовательно, оператор АA) сам по себе уже не образует полного набора
коммутирующих операторов. Кроме того, существуют Nl линейно независимых кет-
векторов, являющихся собственными векторами операторов ВB) и СB) с
собственными значениями Ъ и сг соответственно, и набор операторов (ВB), СB) } не является
полным. Однако в § F-3-a мы видели, что собственные векторы, общие для трех
коммутирующих наблюдаемых АA), В{2) и СB), имеют вид |фпA) %7,гB))= |ф„A)) |%,,Д2)) :
200

Математический аппарат квантовой механики
ЛA) |ф„A)Х/,Д2)) =а/1|Ф;1A)%/,Д2));
Ж2) |ф„A)ХрД2)) =^|ФлA)х^B));
СB) |фяA)Х„B)) = сг |ф/Д1)Х„Д2)). (F-34)
Ансамбль векторов { Ф/,A)%/,гBп } образует в пространстве V базис, поскольку то же
можно сказать относительно наборов векторов {|ф„A))} и { %;„.Bп } в пространствах
£, и £2 соответственно. Кроме того, если зафиксировать набор из трех собственных
значений { ап, Ьр9 сг}, ему соответствует единственный вектор ф„A) % Bп. Таким
образом, операторы ЛA), В{2) и СB) образуют полный набор коммутирующих операторов
в пространстве £.
Сказанное выше можно без труда обобщить: объединяя два набора коммутирующих
наблюдаемых, полных в пространствах $Л и $2 соответственно, получаем полный
набор коммутирующих наблюдаемых в пространстве $.
4. Примеры применения
а. СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ В ОДНОМЕРНОМ И ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВАХ
а. Пространства состояний
В свете изложенного выше вернемся к задаче, сформулированной в § F-1: как связаны
пространства #х и ^г ?
#х — одномерное пространство состояний частицы, то есть пространство состояний,
связанное с волновыми функциями ф(х). В $х рассмотренная в § Е-2 наблюдаемая X
сама по себе составляет полный набор коммутирующих операторов (§ E-2-d), ее
собственными векторами являются базисные кет-векторы представления {\х)}. В этом
представлении кет |ф) пространства fx характеризуется волновой функцией ф(лг) =(х|ф);
в частности, кет-вектору \х0) соответствует функция £,х0(х) = 8(х-х0).
Аналогично можно ввести пространства $у и ttz с помощью волновых функций
%(у) и co(z). Наблюдаемая Y образует полный набор коммутирующих операторов в $ ,
то же самое можно сказать относительно наблюдаемой Z в пространстве £.. Соответ-
201

Глава II
ствующие собственные векторы — это базисные кет-векторы {| у) } и {| z) } в Fv и Yz
соответственно. Вектор \%) пространства V (или вектор |со)пространства Vz) в
представлении {| у)} (или {| z)}) характеризуется функцией%(у) = (у\х) (или <o(z) = (г|х));
функция, соответствующая базисному кет | у0) (или | z0)), равна 5(у - у0) [или 8(г - г0) ].
Образуем теперь тензорное произведение:
^=^®^®tf.. (F-35)
Базис в пространстве ^, получим путем тензорного перемножения базисов [\х)}9
{| у)} и (\z) } и обозначим его символом { |jc, j, z)}, то есть
\x,y,z) = \x)\y)\z). (F-36)
Кет-векторы этого базиса являются одновременно собственными векторами
продолжений операторов X , Y и Z в пространстве <fvy,:
х|дг, у, г) = *|*, у, г);
У\х* у, z) = y\x, у, z)\
Z\x, у, z) = z\x, у, z). (F-37)
Таким образом, пространство # совпадает с £Г — трехмерным пространством частицы,
и кет | х, у, z) совпадает с |г):
\x,y,z) = \r) = \x)\y)\z). (F-38)
где ху у, z в точности равны декартовым координатам радиуса-вектора г.
В пространстве tfr имеются кет-векторы |ф%со) = |(р) |%) |со), являющиеся тензорным
произведением трех кет-векторов из пространств ^, # и ¥<z. Их компоненты в
представлении {|г) } равны [см. формулу (F-8)]:
(г|фХю)=(дг|<р)(у|хХгИ. (F-39)
Таким образом, соответствующие волновые функции являются факторизованными:
4>(х), %()>), со(г). Это касается и самих базисных векторов:
202

Математический аппарат квантовой механики
(r\rQ) = 8(r-r0) = 8(x-x0)8(y-y0M(z-z0). (F-40)
Отметим, что самый общий вид состояния в пространстве ftr не таков. Он выглядит как:
\\p) = jdx-dydz-\V(x4 у, z)\x, у, z). (F-41)
В функции \|/(дс, у, z) = (x, у, z |\|/) зависимости от переменных х, у, z в общем случае
не факторизуются: соответствующие кет-векторам пространства ftr волновые функции
являются функциями всех трех переменных.
Результаты, полученные в § F-3, позволяют понять, почему оператор X , сам по себе
образующий полный набор коммутирующих операторов в %х, не обладает этим
свойством в пространстве ftr (см. § F-2-d): собственные значения его продолжения в ftr и в ftt
одни и те же, но они становятся бесконечно вырожденными вследствие того, что
пространства ftv и ft, имеют бесконечные размерности. На основе полного набора
коммутирующих операторов в Yx, ftv и ft. можно сконструировать новые в пространстве ftr:
например, { X, У, Z } или { РЛ, У, Z}, поскольку Рх образует полный набор
коммутирующих операторов в ftv, или { Рх, Ру, Z } и т.д.
C. Важное приложение
Если в пространстве ftr требуется решить уравнение на собственные значения
оператора Я вида:
H = HX + Hy + Hz, (F-42)
где Яг, Яу и Яг — продолжения наблюдаемых, действующие в пространствах fx, fty
и ftz , можно использовать рассуждения, приведенные в § F-3-a-p (на практике бывает,
например, что оператор Нх является продолжением наблюдаемой пространства $х, так
как он построен из операторов X и Рх). Тогда сначала ищут собственные значения и
векторы операторов Нх в ftx, Яу в ftv и Hz в ft,:
я,|х,)=*;к);
Яг|<ог) = Егг|а)г). (F-43)
203

Глава II
Собственные значения оператора Н будут тогда иметь вид:
Я"'"''= £;+£; + £;, (F-44)
и соответствующий собственный вектор является тензорным произведением
|ф;1) \Хр) |wr)' a волновая функция, связанная с этим вектором, является
произведением:
Ф„(*) ХР(У) ©r(z) = {A^n){y\xP)(z\^r).
Именно такая ситуация рассмотрена в дополнении FT (§ 2) для обоснования
важности одномерных моделей. Речь там шла о дифференциальных операторах, действующих
на волновые функции:
Я = -—A + V(r). (F-45)
2т
Этот оператор можно разложить, как и в (F-42), для частного случая, когда потенциал
может быть представлен в виде суммы:
V(r) = Vx(x) + V2(y) + V3(z). (F-46)
Ь. СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ДВУХ ЧАСТИЦ
Рассмотрим физическую систему, состоящую из двух частиц без спина, которые
будем различать по нумерации A) и B). Чтобы описать ее в рамках квантовой механики,
можно обобщить понятие волновой функции, введенное для одной частицы: состояние
системы в данный момент времени характеризуется функцией шести пространственных
переменных \|/(гр r2) = V|/(*,, ух, z,; х2, у2, z2). Вероятностная интерпретация такой
волновой функции двух частиц формулируется следующим образом: вероятность
df?(rx, r2) того, что в рассматриваемый момент времени частица A) находится в объеме
d*rx=dx{dyxdzx вблизи точки с радиусом-вектором г, и частица B) — в объеме
d3r2 = dx2dy2dz2, определяется выражением:
d9(jx, г2) = С\щгх, r2 )|2 d\ d\ . (F-47)
Константа нормировки С получается из условия, что полная вероятность равна 1
(сохранение числа частиц; см. § В-2 главы I):
204

Математический аппарат квантовой механики
± = jd\.d\2\y(r{,r2)\\ (F-48)
что требует квадратичной интегрируемости функции \|/(г,,г2) в шестимерном
пространстве.
Рассмотрим теперь пространство £г состояний частицы A). В нем можно
определить представление (|г,) } и наблюдаемые X,, Yx, Z,. Аналогично, в пространстве #ri
состояний частицы B) можно ввести представление {|г2) } и наблюдаемые Х2, К>, Z2.
Найдем тензорное произведение:
я =jr ®£r . (F-49)
г,г2 г, г2 v /
Ансамбль векторов:
|r1,r2) = |rI)|r2) (F-50)
образует базис в пространстве #гг и, следовательно, произвольный кет |\|/) этого
пространства может быть представлен в виде:
| V> = J A d\ \|/(rp r2)|rp r2), (F-51)
где
V(r1,r2) = (rl,r2|\|/}. (F-52)
Кроме того, квадрат нормы вектора |\j/) равен:
(V|V> = JA ^г2|\|/(грг2)|2. (F-53)
Для того чтобы эта величина была конечной, нужно, чтобы функция \j/(r,,r2) была
квадратично интегрируемой. Итак, каждому кет-вектору пространства #
соответствует волновая функция V|/(r,,r2): пространство состояний системы двух частиц есть
тензорное произведение пространств, соответствующих каэюдой из частиц. Полный
набор коммутирующих операторов в пространстве Ш-Т Ti получается путем объединения
операторов (например, XX,YX,ZX и Х2, F2,Z2).
205

Глава 11
Предположим, что состояние системы описывается кет-вектором — тензорным произведением:
kHv,)|v|/2)- (P-54)
Соответствующая волновая функция тогда факторизуется:
\|/(r„r2)= (r,,r2|i|/}= (r,^,) (r2jl|/2) = \|/1(r,)\j/2(r2). (F-55)
В этом случае говорят, что между двумя частицами отсутствует корреляция. В дополнении Dm
мы проанализируем физические последствия такой ситуации.
Выводы этого параграфа могут быть обобщены: если физическая система
образована из двух или нескольких более простых систем, ее пространство состояний является
тензорным произведением пространств, соответствующих каждой из составляющих ее
частей.

ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Ац. Неравенство Шварца.
Вц. Некоторые полезные свойства
линейных операторов.
Сц. Унитарные операторы.
Dn. Детальное рассмотрение
представлений ||г)| и ||р)}«
Ец* Несколько общих свойств наблюдаемых
Q и Р, коммутатор которых равен ih .
Fh. Оператор четности.
Gn. Применение свойств тензорного
произведения: двумерная
потенциальная яма бесконечной
глубины.
Нц. Упражнения.
Ац, Вц, Сц: повторение некоторых
определений и полезных математических результатов
(элементарный уровень), предназначенное
для читателей, не очень хорошо знакомых с
этими понятиями; на эти дополнения будем
ссылаться в дальнейшем (особенно на
дополнение Вц)..
Dn: можно читать сразу на уровне главы II.
Ец: вводит общий формализм и оператор
трансляции; можно изучать в другое время.
Fu: изучение оператора четности, очень
важного в квантовой механике; простая
иллюстрация понятий главы II; рекомендуется для
первого чтения.
Gn: простое применение тензорного
произведения (§ F главы II); можно рассматривать
как упражнение.
Ни: упражнения 11 и 12 приведены с
решениями; их цель — ознакомление со
свойствами коммутирующих операторов.
207

Глава II
Дополнение Ац
НЕРАВЕНСТВО ШВАРЦА
Каким бы ни был кет |\|/) пространства Р, имеем:
(\\f | \|/) — вещественное число > 0; A)
обращение в нуль возможно лишь в том случае, когда вектор \\\f) тождественно равен
нулю [см. уравнение (В-12) главы II]. Сейчас мы увидим, что из неравенства A) можно
вывести неравенство Шварца; последнее говорит о том, что если |ф,) и |ф2) —
произвольные кет-векторы пространства % , то
!(<PiM ^(ф1|Ф|)(ф2|ф2>
B)
Равенство возможно лишь в том случае, если |ф,) и |ф2) пропорциональны.
Действительно, считая известными |ф^ и |ф2), рассмотрим кет |\|/), определенный
формулой:
kH<p,)+*|<p2), C)
где X — произвольный параметр. Независимо от X имеем:
<Ч/|^> = <Ф,|ф1> + ^(ф1|ф2)-н^(ф2|ф1> + Л,Я*(ф2|ф2>>0. D)
Выберем для X значение:
х-Ж- E)
(Ф2|Ф2>
Тогда в формуле D) второй и третий члены правой части равны и противоположны по
знаку четвертому члену, вследствие чего она приводится к виду:
У (Ф2|Ф2>
Поскольку (ф21 ф2) > 0, можно умножить это неравенство на (ф21 ф2) и получить:
208

Математический аппарат квантовой механики
(Ф.|ф.)(ф2|ф2>^(ф.|ф2)(ф2|ф.)^ G)
что совпадает с неравенством B). В формуле G) равенство может быть реализовано
только в том случае, если (\|/|\|/) = 0, то есть согласно C), если |ф,) = -А. |ф2) (кет-
векторы |ф,) и |ф2) пропорциональны).
Дополнение Вц
НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ СВОЙСТВА
ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
1. След оператора.
a. Определение.
b. След является инвариантом.
c. Важные свойства.
2. Алгебра коммутаторов.
a. Определение.
b. Свойства.
3. Сужение оператора в подпространстве.
4. Функции операторов.
a. Определение. Простейшие свойства.
b. Важный пример: оператор потенциала.
c. Коммутаторы с функцией оператора.
5. Дифференцирование оператора.
a. Определение.
b. Правила дифференцирования.
c. Примеры.
d. Применение: полезная формула.
Цель данного дополнения — напомнить некоторые определения и полезные свойства
линейных операторов.
14 Квантовая механика
209

Глава II
1. След оператора
а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сумма диагональных элементов матрицы оператора А называется следом и
обозначается символом tr A .
Если пространство <f определяется дискретным ортонормированным базисом {|wf.) },
то по определению:
trA = £(M/|A|M/), A)
если же этот ортонормированный базис {| wa) } является непрерывным, то
tvA = \da(wa\A\wa). B)
Если & — бесконечномерное пространство, то след оператора А определен лишь при
условии сходимости выражений A) и B).
Ь. СЛЕД ЯВЛЯЕТСЯ ИНВАРИАНТОМ
Сумма диагональных элементов матрицы, представляющей оператор А в некотором
базисе, не зависит от выбора этого базиса.
Докажем это свойство на примере перехода из одного дискретного ортонормиро-
ванного базиса {|и.) } в другой ортонормированный базис [\tk) }. Имеем:
S(",HI",> = S(",|[s|'*>(^|]^|»,) О)
I I L к J
(здесь использовано соотношение замкнутости для состояний \tk}). Правая часть
выражения C) может быть преобразована следующим образом:
1Ы1к)Aк\А\и1) = ^Aк\А\и,)(и,\1к) D)
i,k i,k
(действительно, можно переставить местами два числа в произведении). Затем можем
заменить в формуле D) £|и/)(м/| на 1 (соотношение замкнутости для состояний |w,)) и
в конце концов получим:
210

Математический аппарат квантовой механики
£(«Ф|и,> = Х('*14*>. E)
i k
Это равенство в выбранном частном случае подтверждает сформулированное выше
свойство.
ЗАМЕЧАНИЕ
Если оператор А — наблюдаемая, можно вычислить tr А в базисе
собственных векторов оператора А . Диагональные матричные элементы равны при этом
собственным значениям ап оператора А (с кратностью вырождения gn), и след
окажется равным:
fr Л = ££,.*„• F)
с. ВАЖНЫЕ СВОЙСТВА
tr АВ = tr BA ; G-а)
tr ABC = tr BCA = tr CAB . G-b)
В общем случае след произведения любого количества операторов инвариантен по
отношению к циркулярной перестановке этих операторов.
Докажем, например, равенство G-а). Имеем:
tr АВ = £(«, | АВ\щ) = 2(и, | A\Uj){uj \в\и,)= 2(и, | В |и,)(и, | a\Uj) =
= £(w;J#A|w7.} = tr£A (8)
(здесь дважды использовано соотношение замкнутости в базисе {\и:) }). Таким образом,
равенство G-а) доказано, а его обобщение G-Ь) не представляет трудностей.
2. Алгебра коммутаторов
а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Коммутатор [А, В] двух операторов по определению равен:
[А,В] = АВ-ВА. (9)
14*
211

Глава II
b. СВОЙСТВА
[Л, д] = -[/?, А]; A0)
[А,(Д + С)] = [А,Д] + [А,С]; A1)
[А, ВС] = [А, В]С+ В[АУ С]; A2)
[а, [Б, С]] = [5, [С, А]] + [С [А, ^]] = 0; A3)
[А,Я]+=[/Г,А+]. A4)
Доказательство этих свойств не представляет трудностей: достаточно раскрыть обе части
равенств и сравнить их между собой.
3. Сужение оператора в подпространстве
Пусть Рц — проекционный оператор в q -мерном подпространстве # ,
образованном q ортонормированными векторами |ф,):
П = £|ф,)(ф,! A5)
По определению сужение Aq оператора А в подпространстве $ равно:
\ = PqAPq. A6)
Если | \|/) — произвольный кет, это равенство требует, чтобы
Aj\|/)=^A|^), A7)
где
является ортогональной проекцией вектора | \|/) в пространстве $ . Таким образом, чтобы
подействовать оператором Ац на произвольный кет | \|/), нужно сначала спроектировать
212

Математический аппарат квантовой механики
этот кет на пространство # ; затем нужно подействовать оператором А на эту проекцию
и сохранить лишь проекцию полученного кет-вектора в пространстве tq. Оператор Ац,
преобразующий любой кет пространства # в кет, принадлежащий тому же
подпространству, является оператором, действие которого ограничено пространством #q.
Что можно сказать относительно матрицы, представляющей оператор Aq ? Выберем
базис {|^)}, в котором первые q векторов принадлежат пространству £ (например,
это векторы | ф,)), а другие принадлежат дополнительному подпространству. Тогда имеем:
(И/| Д,|иу) = (И/|Р,АР,|Иу), A9)
то есть
/ I - I \ \Ы\ a\u\ если I, j<q\
W/ AL.)= Л 'I I '/' . \ B0)
x ' q] J/ lo, если i, j>q.
Матрица, представляющая Aq, оказывается в некотором смысле «вырезана» из
матрицы Л: сохраняются лишь те матричные элементы оператора А, которые связаны с
базисными векторами \и() и шЛ, принадлежащими пространству ^ , а остальные матричные
элементы заменяются нулями.
4. Функции операторов
а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
Рассмотрим произвольный линейный оператор А\ нетрудно определить оператор А":
это оператор, соответствующий л-кратному последовательному применению оператора А .
Определение оператора А, то есть оператора, обратного оператору А , хорошо известно:
А-1, если он существует, удовлетворяет равенству:
А-1А = АА_1=1. B1)
Как определить в общем случае произвольную функцию оператора? Для этого
рассмотрим функцию F переменной z ; предположим, что в некоторой области можно
разложить F в ряд по z :
F(z)=tfnzn. B2)
л=0
213

Глава U
По определению функция, соответствующая оператору А, является оператором F(A),
определенным рядом, имеющим те же самые коэффициенты fn:
^(А)=2/ЯАЯ. B3)
/1=0
Например, оператор еА определяется как
еА = % — = l+A + A2/2\ + ... + An/n\+... B4)
„=о п\
Мы не станем заниматься проблемами, связанными со сходимостью ряда B3),
зависящими от собственных значений оператора Л и от радиуса сходимости ряда B2).
Заметим, что если F(z) является вещественной функцией, то коэффициенты fn
также являются вещественными; если, кроме того, А — эрмитов оператор, то из B3)
видно, что F(z) — также эрмитов оператор.
Пусть |фя) — собственный вектор оператора А, соответствующий собственному
значению а:
А|фа) = *|фЯ)- B5)
Применив оператор А последовательно п раз, получим:
А-|фв) = а-|Фв>. B6)
Применим теперь ряд B3) к |фа) и получим:
KA)\V.)= ifna"\(pa) = F(a)\(pa). B7)
/« = 0
Отсюда следует правило: если |фа)— собственный вектор оператора А с
собственным значением а, то |фа) также является собственным вектором оператора F(A) с
собственным значением F(a).
Это свойство позволяет нам дать второе определение функции оператора:
рассмотрим диагонализируемый оператор А (это всегда справедливо, если Л — наблюдаемая)
и будем считать, что работаем в базисе, где матрица оператора А диагональна (ее
элементы являются собственными значениями а{ оператора А ); тогда F(A) по
определению является оператором, который в том же базисе представлен диагональной матрицей
с элементами F(a{).
214

Математический аппарат квантовой механики
Например, если о: — матрица вида:
(I 0]
а, =
* 10 -lj
е 0 ^
сразу же имеем:
;о \/е)
B8)
B9)
ЗАМЕЧАНИЕ
При использовании функции операторов следует проявлять осторожность в
отношении порядка следования операторов. Например, операторы елев, евеА,ел*в
в общем случае не равны, если А и В —.операторы, а не числа. Действительно,
имеем:
АР ЦЧ APRq
еАев =1^1^-1^', C0)
R4 Ap Rq Ap
еВел =1—1^=1^-', CD
ч q\ р Р}- р.ч PW-
еА+в=Ъ(А + ВУ . C2)
р Р1
Если А и В — произвольные операторы, то правые части уравнений C0),
C1) и C2) не обязательно должны быть равны (см. упражнение 7 дополнения Нц).
Лишь при условии, что А и В коммутируют, имеем:
[АчВ] = 0=>еАев=евеА=еА + в C3)
(это соотношение, впрочем, очевидно, если рассматриваются диагональные
матрицы, представляющие ел и ев в базисе собственных векторов, общих для
операторов А и В).
Ь. ВАЖНЫЙ ПРИМЕР: ОПЕРАТОР ПОТЕНЦИАЛА
В одномерных задачах мы часто будем встречаться с оператором «потенциала» (его
так называют, поскольку он соответствует классической потенциальной энергии V(x)
частицы в силовом поле), где V(X) — функция оператора положения X .
215

Глава II
Из предыдущего параграфа следует, что V(X) допускает в качестве собственных
векторы | х) оператора X , в результате чего
V(X)\x) = V(x)\x). C4)
Матричные элементы оператора V(X) в представлении {\х)) равны:
(x\V{X)\x') = V(x)8(x-x'). C5)
Применив C4) и используя эрмитовость оператора V(X) (функция V(x)
вещественная), получим:
(x\V(X)\xv) = V(x)(x\\v) = V(x)xv(x). C6)
Это равенство показывает, что в представлении {\х)} действие оператора V(X) состоит
в простом умножении на V(x).
Обобщение формул C4), C5) и C6) на трехмерные задачи производится без труда:
в этом случае получим:
V(R)|r) = V(r)|r); C7)
(r|K(R)|r') = V(rM(r-r'); C8)
(r|V(R)|\|/) = V(r)\|/(r). C9)
с. КОММУТАТОРЫ С ФУНКЦИЕЙ ОПЕРАТОРА
Определение B3) показывает, что оператор А коммутирует с любой функцией
оператора А :
[Л, F(A)] = 0. D0)
Аналогично, если операторы А и В коммутируют, то коммутируют операторы F(A) и В:
[В,А] = 0 =>[£,F(A)] = 0. D1)
Какой результат получится, если вычислить коммутатор некоторого оператора с
функцией другого оператора, не коммутирующего с ним? Ограничимся лишь случаем
операторов X и Р, коммутатор которых равен:
216

Математический аппарат квантовой механики
[X,P] = ih. D2)
Используя соотношение A2), можно найти:
[х, Р2] = [X, РР] = [X, Р]Р + Р[X,Р] = 2/ЙР . D3)
В более общем виде можно показать, что
[x9Pa] = ihnP*-1. D4)
Если допустить, что это равенство доказано, то
[х, Р"+1] = [х, РР"] = [х, р]р" + р[х, Pn] = ihP" +тпРР"'* = ih(n + l)P". D5)
Тогда соотношение D4) устанавливается путем рекурсии.
Вычислим теперь коммутатор [X, F(P)]:
[x,F(P)] = S[x,/„P"] = E//in/;jP'»-1. D6)
/> /i
Если F'(z) — производная от функции F(z), то выражение D6) является
определением оператора F(P). Итак:
[XyF(P)] = ihF(P). D7)
Аналогичные рассуждения позволяют установить симметричное соотношение:
D8)
[P,G(X)] = -//*G'(X)
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Приведенные выше рассуждения основаны на том, что F(P) (или G(X)) зависят
только от Р (или от X). Труднее вычислить коммутатор вида [ Х,Ф(Х,Р)], где
Ф(Х,Р) — оператор, зависящий одновременно от X и от Р: трудность состоит
в том, что операторы X и Р не коммутируют.
(ii) Уравнения D7) и D8) могут быть обобщены на случай двух операторов А и В,
коммутирующих со своим коммутатором. Действительно, совершенно
аналогичные предыдущим рассуждения показывают, что если
[А,С] = [Я,С] = 0 D9)
217

Глава II
С = [АЧВ], E0)
то
[AyF(B)] = [A,B]F(B). E1)
5. Дифференцирование оператора
а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть A(t) — оператор, зависящий от некоторой переменной t. По определению
dA
производной —от оператора A(t) no t является предел (если он существует):
dt
dA=l.mA(t + b)-m
dt *'-о Ar
Матричные элементы оператора A(t) в некотором базисе векторов |м,), не
зависящих от t, являются функциями переменной t:
(щ\А\и,) = Ац{г). E3)
/ I dA I \ ^ *
= ^w, I — иj) матричными элементами оператора — ; можно без труда
Назовем —
\dt)
доказать, что
'dA\ d
А \ Л V E4>
dt )ij dt J
Таким образом, получается очень простое правило: чтобы получить матричные элементы
- dA
оператора производной —, достаточно взять матрицу, представляющую оператор А
dt
и продифференцировать каждый из ее элементов (не меняя его положения).
Ь. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Они аналогичны правилам, известным для обычных функций:
d , ^ лч dF dG ,^ч
— (F + G)=—+—-; E5)
dt dt dt
218

Математический аппарат квантовой механики
dt dt dt
E6)
Однако следует соблюдать осторожность и не менять порядка следования операторов в
формуле E6).
Докажем, например, второе из этих равенств. Матричные элементы оператора FG
равны:
(M/|FG|W>) = S(",|F|W,)(W,|G|Wy).
E7)
Мы видели, что матричные элементы оператора —(FG) являются производными по t от
dt
элементов оператора (FG); таким образом, дифференцируя правую часть формулы E7),
получим:
d ,_i \ уГ/ xdFx v/ , „\ \ . / , „, х/ xdG
к
^1^(те)К)-х|<ц,|^к><«*|сК)+(«,|гк>(«.15-к>
Х '■ At At I J/
E8)
Это равенство справедливо для любых / и j , и, следовательно, формула E6) доказана.
с. ПРИМЕРЫ
Вычислим производную оператора ем . По определению имеем:
/, = 0 П\
Дифференцируя ряд почленно, получим:
dt
е» ш % п^-?—АЪ
,.=0 И!
„-I (п-1)!
(АО"
.-I (п-1)!
А.
E9)
F0)
В квадратных скобках стоит ряд, сходящийся к е ' (в качестве индекса
суммирования следует взять р = п -1). В результате получим:
" „AI Л„Л1 „At л
— е = Ае = е А.
dt
F1)
219

Глава II
В этом простом случае, когда в функцию входит только один оператор, нет
необходимости следить за порядком множителей, ибо операторы eAt и А коммутируют.
Дело обстоит иначе, если, например, дифференцируют оператор вида eA,eBt;
применив формулы E6) и F1), получим:
— (eAteBt) = AeAteBt + eAtBeBt. F2>
Правую часть этого равенства можно преобразовать к виду eAtAeBt + eAtBeBt или
eAtAeBt + eAteBlB ; однако получить выражение типа (А + В)еAtеfl/невозможно (конечно,
за исключением случая, когда операторы А и В коммутируют). В этом случае порядок
операторов существенно важен.
ЗАМЕЧАНИЕ
Даже в том случае, когда в функцию входит один оператор,
дифференцирование не всегда может быть выполнено по правилам, определенным для обычных
функций. Например, если A(t) зависит от времени произвольным образом,
производная —емп в общем случае не равна —емп; действительно, разложив емп в
dt dt
ряд по А@ > нетрудно увидеть, что для реализации равенства необходимо, чтобы
dA
операторы A(t) и — коммутировали.
d. ПРИМЕНЕНИЕ: ПОЛЕЗНАЯ ФОРМУЛА
Рассмотрим два оператора А и В, которые коммутируют с их коммутатором.
Докажем, что в этом случае выполняется соотношение:
е е = е е1 , F3)
„А В A+B-tl*'*]
называемое иногда формулой Глаубера.
Действительно, определим оператор F(t), как функцию вещественной переменной t,
формулой:
F(t) = eAteBt. F4)
Имеем:
— = АеА,ет + eAtBeBt = (А + eAtBe~At )F{t). F5)
dt
220

Математический аппарат квантовой механики
Поскольку А и В коммутируют с коммутатором этих операторов, можно применить
формулу E1) и вычислить равенство:
[И\я] = г[А, B]eAt. F6)
Тогда:
eAtB = BeAt +t[Ay B]eAt. F7)
Умножим справа обе части равенства на e~At и, подставив соотношение, полученное
в F5), получим:
^ = (л + 5 + г[Л, B])F(t). F8)
Операторы А + В и [А, В] в соответствии со сделанным предположением
коммутируют; следовательно, можно проинтегрировать дифференциальное уравнение F8) так,
как если бы А + В и [Л, В] были числами, то есть
(A + B)t + -\A,b]t2
F(t) = F@)e 2l ] . F9)
Положив t = О, заметим, что F@) = 1 и, следовательно:
F(t) = e 2l J . G0)
Теперь положим t = 1 и получим равенство F3), что и требовалось доказать.
ЗАМЕЧАНИЕ
Если операторы А и В произвольные, то равенство F3) в общем случае не
удовлетворяется: необходимо, чтобы и оператор А , и оператор В коммутировали бы
с коммутатором [Л, В\. Это условие может казаться весьма жестким, но на самом
деле в квантовой механике часто встречаются операторы, коммутатор которых
является числом: примерами могут служить операторы X и Р или операторы а
и а* гармонического осциллятора (см. главу V).

Глава II
Дополнение Си
УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
1. Общие свойства унитарных операторов.
a. Определение. Простые свойства.
b. Унитарные операторы и изменение базиса.
c. Унитарная матрица.
d. Собственные значения и собственные векторы унитарного оператора.
2. Унитарное преобразование операторов.
3. Инфинитезимальный унитарный оператор.
1. Общие свойства унитарных операторов
а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРОСТЫЕ СВОЙСТВА
По определению оператор U называется унитарным, если обратный ему оператор
U~x и эрмитово сопряженный [/""равны:
U+U=UU+=1. A)
Рассмотрим два произвольных вектора |\|/,) и|\|/2) пространства f и два
результирующих вектора |\j/,) и |\j/2), полученных в результате действия на них оператора U :
|9i> = t/|Vi>;
|ф2) = £ф2). B)
Вычислим их скалярное произведение:
D\\4i) = {V\\V*U\\f2) = tyx\y2). C)
Таким образом, при унитарном преобразовании, связанном с оператором U, сохраняется
скалярное произведение (а следовательно, и норма) в пространстве К .
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Если А — эрмитов оператор, то оператор Т = е'Л является унитарным.
Действительно:
222

Математический аппарат квантовой механики
Т+ = еЧА* = e'iA D)
и, следовательно:
T+T = e~iAeiA=l;
7T+=e'VM=l, E)
так как, естественно, операторы -/А и /А коммутируют друг с другом,
(ii) Произведение двух унитарных операторов также является унитарным оператором.
Действительно, при условии, что
U+U = UU+ =1;
V+V = W+ =1, F)
без труда получим:
(UVY(UV) = V+U+UV = V*V = 1;
(t/V) (£/V)+ = £/W+£/+ = £Д/+ = 1. G)
Эти равенства доказывают, что оператор произведения унитарен. Это свойство,
впрочем, можно было предвидеть, так как если два преобразования в отдельности
сохраняют скалярное произведение, то при последовательном применении этих
двух преобразований оно также сохраняется.
(Ш) В обычном пространстве трехмерных вещественных векторов нам известны
операторы, сохраняющие норму и скалярное произведение: вращения, операции
симметрии относительно центра или плоскости симметрии и т.д. В случае
вещественного пространства говорят, что эти операторы ортогональны. Унитарные операторы
являются обобщением ортогональных операторов на комплексные пространства
(с произвольной размерностью).
Ь. УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИЗМЕНЕНИЕ БАЗИСА
а. Пусть {|v,.) } —ортонормированный дискретный базис пространства
состояний #. Обозначим символом |у,) преобразование вектора |v,)b результате действия
оператора U :
|v,) = f/|v,.). (8)
Поскольку U — унитарный оператор, то
223

Глава U
(v,|v,) = (v,|v,) = S, (9)
и векторы | v.) ортонормированы. Покажем, что они образуют базис в пространстве £.
Для этого рассмотрим произвольный вектор |\|/) пространства £; поскольку ансамбль
{|v;) } является базисом, вектор £/ + |\|/) можно разложить по | v,):
U*\v) = lc,\Vl). A0)
l
Применим теперь к этому равенству оператор U :
UU+\\V) = ^ciU\vi) (И)
или
k> = 2c,|v,). A2)
Это уравнение говорит о том, что произвольный вектор |\|/) может быть разложен по
векторам | ?,.), и, следовательно, последние образуют базис. Таким образом, полученный
результат можно сформулировать так: для того, чтобы оператор U был унитарным,
необходимо, чтобы его применение к ортонормированному базису векторов
пространства F также давало бы ортонормированный базис.
Р. Покажем теперь, что это условие является достаточным. Согласно сделанному
предположению:
|?,) = ф,);
i
И
{vj\u*=(vj\- A4)
Произведем вычисления:
^^|v,.) = ^1v;.) = Z|vy)(v^1v-) = X|vy>(v~|v;.) = i:|v;.)§,=|^>- (И)
224

Математический аппарат квантовой механики
Соотношение A5), справедливое для любых /, доказывает, что оператор U+U является
единичным. Покажем также, что UU+ = 1. Для этого рассмотрим действие оператора U*
на вектор | v,.):
иЪ) = 1\*№Ли>д = Ъ\*М*^
Тогда имеем:
J J
откуда следует, что UU* = 1, то есть оператор U — унитарный.
A6)
A7)
Пусть
с. УНИТАРНАЯ МАТРИЦА
и<НФЬ)
A8)
элементы матрицы оператора U . Можно ли узнать по матрице, представляющей U , что
этот оператор унитарен? Соотношение A) дает:
или
{MU+U\^) = ^{vi\U%)MU\vj}
5X^=V
A9)
B0)
Если матрица унитарна, то сумма произведений элементов одного столбца на
комплексно сопряженные элементы другого столбца равна:
— нулю, если два столбца различны;
— единице в ином случае.
Приведем несколько примеров, когда это правило легко проверяется.
ПРИМЕРЫ
(i) Матрица вращения на угол 0 вокруг оси Oz в обычном трехмерном пространстве:
'оюб -sinQ 0\
Я(в) =
sin 9 cos 0 0
М 0 1.
B1)
15 Квантовая механика
225

Глава II
(ii) Матрица вращения в пространстве состояний спина 1/2 (см. главу IX):
ЯA/2)(а,р,у):
-(cx+Y)
cos-
3
r(Y-a)
^(а-Y) . C ^(а+Y)
2*
sin —
2
Р
2 .
B2)
d. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ УНИТАРНОГО ОПЕРАТОРА
Пусть |\|/„) — нормированный собственный вектор унитарного оператора U ,
соответствующий собственному значению и:
Квадрат нормы вектора £/|i|/M) равен:
(\|/м \U+U |\J/M) = w*w (\|/„ |\|/и) = и и . B4)
Поскольку унитарный оператор сохраняет норму, то неизбежно и и = 1. Таким
образом, собственными значениями унитарного оператора могут быть лишь комплексные
числа с модулем, равным 1:
B5)
где фм — вещественное число.
Рассмотрим два собственных вектора |\|/и) и \|/м.) оператора U ; тогда:
B6)
Из формулы B6) видно, что если собственные значения и и м' различны, то скалярное
произведение (у„Ч/мЛ равно нулю, так как два собственных вектора унитарного
оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
2. Унитарное преобразование операторов
В § 1-Ь мы видели, что унитарный оператор U позволяет преобразовать ортонорми-
рованный базис {| v,) } пространства V в другой базис {| v;) }. В этом параграфе мы
определим, как подобное преобразование осуществляется не с векторами, а с операторами.
226

Математический аппарат квантовой механики
По определению преобразованием А оператора А будем называть оператор, который
в базисе {| v,) } имеет те же матричные элементы, что и оператор А в базисе {| v,) }:
№КИФК)- B7)
Подставим выражение (8) в это равенство:
<v/|^/ + At/|vy) = <v/|A|vy), B8)
поскольку индексы / и j — произвольные, то из формулы B8) следует, что
U+AU = A B9)
или, если умножить это равенство слева на U и справа на U+:
A = UAU+. C0)
Равенство C0) может быть взято в качестве определения формулы перехода от
оператора Л к оператору А с помощью унитарного преобразования. В квантовой механике
такие преобразования используются достаточно часто, и первый пример такой операции
приведен в дополнении F этой главы (§2-а).
Можно ли получить собственные векторы оператора А , зная собственные векторы
оператора А? Рассмотрим собственный вектор |ф„) оператора А, соответствующий
собственному значению а:
Л|фв) = а|Фв>. C1)
Пусть |фя) —Фурье-преобразование вектора |фв) оператором U 9 то есть |\j/„) = £/|фй).
Тогда:
Л|фв> = (УАУ + I/|ф^ = УА(У+У)|ф^ = Ш|фв) = АГ/|фв) = А|фв>. C2)
Таким образом, вектор |фд) является собственным вектором оператора,
соответствующим собственному значению а. В общем случае можно сформулировать следующее
правило: собственные векторы оператора Л, преобразованного из оператора А ,
являются унитарным преобразованием |фа) собственных векторов |ф„) оператора А , тогда
как собственные значения остаются неизменными.
15*
227

Глава II
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Эрмитово сопряжение оператора А, полученного из Л с помощью унитарного
преобразования U, достигается путем преобразования эрмитово сопряженного
оператора Л+ с помощью того же преобразования U :
(Л)+ =(UAU + y =UA+U+ = A\ C3)
Из этого равенства, в частности, вытекает, что, если А — эрмитов оператор,
той Л — также эрмитов оператор,
(ii) Аналогично:
(ЛJ = UAU+UAU+ = UAAU + = А2
и в общем случае:
(А)" =А". C4)
Используя определение B3) дополнения Вп, можно показать:
F(A) = F(A), C5)
где F(A) — функция оператора А .
3. Инфинитезимальный унитарный оператор
Пусть U(e) — унитарный оператор, зависящий от бесконечно малой вещественной
величины е ; допустим, что U(e) —> 1 при е —> 0 . Разложим U(e) в ряд по степеням 8 :
£/(e) = l + eG + ... C6)
Получим тогда:
U+(e) = l + eG+ + ... C7)
и
U(E)U+(£) = U4z)U(z) = l + e(G + G+) + ... C8)
Поскольку /7(e) — унитарный оператор, члены первого порядка по 8 в правой части
равенства C8) должны равняться нулю, то есть
228

Математический аппарат квантовой механики
(G + G+) = 0. C9)
Это соотношение свидетельствует о том, что оператор G антиэрмитов. Удобно
записать:
F = iG D0)
и получить уравнение:
F-F+=0, D1)
из которого следует, что F — эрмитов оператор. Таким образом, унитарный инфините-
зимальный оператор можно записать в виде:
£/(e) = l-/eF, D2)
где F — эрмитов оператор.
Подставив D2) в C0), получим:
A = (l-feF)A(l + /eF+) = (l-/eF)A(l + ieF) D3)
или
A-A = -/e[F,A]. D4)
Это означает, что зависимость оператора А от действия преобразования U в первом
порядке по е пропорциональна коммутатору [F, А].
Дополнение Dn
ДЕТАЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ {|г)} и {|р>}
1. Представление {|г) }.
a. Оператор R и функции от R .
b. Оператор Р и функции от Р.
c. Уравнение Шредиыгера в представлении {|г) ).
2. Представление {| р) }.
a. Оператор Р и функции от Р.
b. Оператор R и функции от R .
c. Уравнение Шредингера в представлении (|р) }.
229

Глава II
1. Представление {|г)}
а. ОПЕРАТОР R И ФУНКЦИИ ОТ R
Вычислим в представлении {|г) } матричные элементы операторов X, К, Z ; используя
формулу (Е-36) главы II и соотношения ортогональности кет-векторов |г), сразу же
получим:
(r| X|r') = ;c8(r-r');
(г|У|г') = j5(r-r');
(r|z|r') = z8(r-r').
Эти три уравнения можно записать в компактной форме:
(r|R|r,) = r5(r-r').
Матричные элементы функции F(R) в представлении {|г) } определяются также
весьма просто [см. уравнение B7) дополнения Вц]:
(r|F(R)|r') = F(rM(r-r'). C)
A)
B)
b. ОПЕРАТОР Р И ФУНКЦИИ ОТ Р
Вычислим матричный элемент (r|Pv|r'):
(г|Р>') = \d>p{r\ Рх |р)(рИ = Id3p Р,ШШ = Girt)JdV» P.JPi"n -
2лй
ЦФхРх*
-рх(х-х')
2пП
Л>,
-Ру(у-у')
оо tpAz-z')
2пП
\ZdPz"h
D)
откуда, используя интегральную форму «дельта-функции» и ее производной [см. прил. II,
уравнения C4) и E3)], получим:
(v\Px\v) = -b\x-x')b{y-y)b(z-z*). E)
Матричные элементы других компонент оператора Р могут быть получены аналогично.
230

Математический аппарат квантовой механики
Докажем, что с помощью формулы E) можно установить действие оператора Рх в
представлении {|г) }. Для этого вычислим:
(r|PjV) = JdV(r|Px|r')(riv). F)
Согласно формуле E):
{г\Р>\ц) = - jVix-SW jS(y-/W jd(z-z)y(x\ y\ z')dz'. G)
Используя соотношение:
j5\-u)f(u)du = - \b\u)f(u)du = /'@) (8)
и обозначив и = х'-х , получим:
{г\Ф) = -^-Щх,у,г) (9)
I ОХ
и снова найдем равенство (Е-26) главы И.
Чему равен матричный элемент (r|G(P)|r') функции G(P) оператора Р?
Аналогичный расчет дает:
i
(r|G(P)|r') = \йър (r| G(P) |p)(p|r') = Bяй) игрС(Р)е^'("г) = BntiYm G(r-r'),
(Ю)
где G(r) — обратное преобразование Фурье функции G(p):
/■
G(r) = Bnh)~V2ld3p ^PTG(p). A1)
с. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В ПРЕДСТАВЛЕНИИ {|г) }
В главе III мы введем уравнение Шредингера, фундаментальное уравнение
квантовой механики:
/й4И0) = Я|\|/@), A2)
at
где Я — гамильтониан (оператор Гамильтона), который мы определим в свое время.
231

Глава II
Для частицы без спина в поле скалярного потенциала V(r) [см. уравнение (В-42)
главы III]:
Я = — P2+V(R).
2т
A3)
Сейчас запишем это уравнение в представлении {|г)}, введя в него волновую
функцию vj/(r, t), определенную выражением:
\|/(r,0= <r|\j/(r)>.
A4)
Спроектировав равенство A2) на |г), если гамильтониан Н определяется формулой
A3), получим:
//z^(r|\|/@)=^(r|P2|\|/(r))+(r|V(R)|\|/@).
A5)
Величины, входящие в это равенство, могут быть выражены через \|/(r, t).
Действительно, имеем:
^(r|v@) = -v(r.O;
(r|V(R)|v|/(r)) = V(r)v|/(r,r).
A6)
A7)
Матричный элемент (r| Р21\|/) можно вычислить, используя тот факт, что в
представлении {|г) } оператор Р действует как — V :
(г | Р21 V(/)> = (г| (РЛ2 + Р* + ?}) | vi/@) = - П:
( 32
32 Л
^Э*2+Эз>2 + Э^
Щх, у, z, 0 =
= -/г2А\|/(г, г).
Тогда уравнение Шредингера примет вид:
/Й — \|/(г, 0 =
2т
A + V(r)
V(r, О
A8)
A9)
Именно в этой форме мы ввели волновое уравнение в главе I (§ В-2).
232

Математический аппарат квантовой механики
2. Представление {|р)}
а. ОПЕРАТОР Р И ФУНКЦИИ ОТ Р
Формулы, аналогичные B) и C), получаются без труда:
(р|Р|р') = р8(р-р'); B0)
(p|G(P)|p') = G(pM(p-p'). B1)
b. ОПЕРАТОР R И ФУНКЦИИ ОТ R
Рассуждения, аналогичные приведенным в § 1, дают выражения, подобные
формулам E) и A0):
(р| Х|р')= №'(Рх - р'х) 5(Ру - р'у) 5(/л - р[) B2)
и
(p|F(R)|p')= Bяй)"мГ(р-р'), B3)
F(p) = BпП)~т jd'r e~T'prF(r). B4)
с. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В ПРЕДСТАВЛЕНИИ {|р) }
Введем «волновую функцию в импульсном представлении» формулой:
V(P.O=(p|v@> B5)
и найдем, опираясь на равенство A2), каким уравнением описывается эволюция во
времени функции \j/(p, t). Спроектировав формулу A2) на кет |р), получим:
^|:(p|v@)=^(p|P2|v|/@)+(p|V(R)|\i/@), B6)
откуда
где
233

Глава И
g^(p|v@)=^v(p,0;
(P|P2|V@>=p2\j7(p,f).
Остается вычислить величину:
(р| V(R) \Щ0) = JrfV (p| V(R) |p') (р'| V@) •
Используя B3), получим:
(p\V(R)\y(t))=Bnhymjd3p,V(p-p'Li(p',t),
где V (р) —преобразование Фурье от функции V(r):
B7)
B8)
B9)
C0)
V(р) = BтЛ) jd3re " V(r).
Таким образом, уравнение Шредингера в представлении {|р)) имеет вид:
Э о2
iti-^Щр, 0 = ^ ?(р, О + BnhTm Jd3/»' Г(р-р') ?(р\ О
C1)
C2)
ЗАМЕЧАНИЕ
Поскольку \j7(p, t) является Фурье-образом функции \|/(r, t) [см. формулу
(Е-18) главы И], можно было бы найти уравнение C2) путем преобразования
Фурье уравнения A9).

Математический аппарат квантовой механики
Дополнение Ец
НЕСКОЛЬКО ОБЩИХ СВОЙСТВ ДВУХ НАБЛЮДАЕМЫХ Qu P,
КОММУТАТОР КОТОРЫХ РАВЕН ih
1. Оператор S(k): определение, свойства.
2. Собственные значения и собственные векторы оператора Q.
a. Спектр оператора Q.
b. Кратность вырождения.
c. Собственные векторы.
3. Представление {| q) }.
a. Действие оператора Q в представлении {\q/ }.
b. Действие оператора S(k) в представлении [\qj }. Оператор трансляции.
c. Действие оператора Р в представлении {\q/ }.
4. Представление {| р) }. Симметрия наблюдаемых Р и Q .
В квантовой механике часто встречаются операторы, коммутатор которых равен ih.
Это, например, случай, когда два оператора соответствуют двум классическим
сопряженным величинам q. и pi (координата qt в системе ортонормированных осей и со-
пряженный ей импульс pi = ——): в квантовой механике величинам q( и р{ сопостав-
dq,
ляют операторы Qt и Pi, удовлетворяющие соотношению:
[а.^Н». со
В § Е главы II такие операторы уже встречались: X и Рх. В этом дополнении мы
покажем, придерживаясь более общей точки зрения, что можно установить целую серию
важных свойств, присущих двум наблюдаемым Р и Q, коммутатор которых равен ih .
Все они являются следствием только одного соотношения коммутации A).
1. Оператор S(X): определение, свойства .
Рассмотрим две наблюдаемые Р и Q, удовлетворяющие соотношению:
[е,/*]=/», B)
235

Глава II
и определим оператор S(X), зависящий от вещественного параметра X следующим
образом:
S(k) = ечкт C)
Этот оператор унитарен, что легко доказать с помощью соотношений:
S+(X) = S-l(X) = S(-X). D)
Вычислим коммутатор [<2, S(X)]; для этого можно применить формулу E1)
дополнения В1Ь так как коммутатор [<2, Р] = ih коммутирует с операторами Q и Р :
[G,S(X)]=i^-jj«-AW»=X5(X). E)
Это соотношение можно представить в виде:
QS(X) = S(X)[Q + X]. F)
Заметим, наконец, что
S(X)S0i) = S(X + H). G)
2. Собственные значения и собственные векторы оператора Q
а. СПЕКТР ОПЕРАТОРА Q
Допустим, что оператор Q имеет отличный от нуля собственный вектор \q) с
собственным значением q:
Q\q) = q\q)- (8)
Применим равенство F) к вектору | q):
QS(X) \q) = S(X)(Q + X) \q) = S(X)(^ + X) |^> = (q + X)S(X) \q) . (9)
236

Математический аппарат квантовой механики
Это равенство выражает, что S(X) \q) является другим отличным от нуля
собственным вектором оператора Q с собственным значением (q + X) (вектор S(X) \q) отличен
от нуля, так как S(X) — унитарный оператор). Таким образом, исходя из собственного
вектора оператора Q, путем применения к нему оператора S(X) можно построить
другой собственный вектор оператора Q с любым вещественным собственным значением
(действительно, X может принимать любое вещественное значение), и спектр оператора
Q оказывается непрерывным, образованным любыми числами, лежащими на
вещественной оси*.
Ь. КРАТНОСТЬ ВЫРОЖДЕНИЯ
Для простоты допустим пока, что собственное значение q оператора Q является
невырожденным (полученные ниже результаты легко обобщаются на случай, когда q —
вырожденное собственное значение). Покажем, что, если значение q — не вырождено,
то и все остальные собственные значения оператора Q не вырождены. Предположим,
например, что собственное значение (q + X) дважды вырождено, и покажем, что такое
предположение приводит к противоречию, заключающемуся в том, что при этом одному
собственному значению (q + X) соответствовало бы два ортогональных собственных
вектора \q + X, а) и \q + Xy C):
(q + X,$\q + X,a) = 0. A0)
Рассмотрим два вектора S(-X)\q + X, a) nS(-X)\q + X4 р). Согласно формуле (9) они
являются собственными векторами оператора Q с собственным значением q + X-X = q .
Они не коллинеарны, так как ортогональны; поскольку S(X) — унитарный оператор, их
скалярное произведение имеет вид:
* Видно, что в пространстве tf с конечной размерностью N не существует наблюдаемых Q
и Р , коммутатор которых равен ifi; действительно, количество собственных значений оператора
Q не может быть одновременно меньшим или равным N и бесконечным. Впрочем, этот
результат можно получить и непосредственно, если взять след соотношения B):- tr QP - tr PQ = tr Hi.
Если N — конечная величина, то два следа левой части равенства существуют, они являются
конечными и равными по величине [см. дополнение Вц , формула G-а)]. Тогда вышеуказанное
равенство принимает вид: 0 = tr ih = Nifi, что невозможно.
237

Глава II
(q + K $\S + (-X)S(-X) \q + X,a) = (q + X,$\q + X,a) = 0. A1)
Таким образом, приходим к выводу, что собственное значение q вырождено по
меньшей мере двукратно,.что противоречит исходному предположению, и, следовательно, все
собственные значения оператора Q должны иметь одну и ту же кратность вырождения.
с. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
Зафиксируем относительные фазы различных собственных векторов оператора Q
по отношению к собственному вектору |0) с собственным значением 0, положив:
\q) = S(q)\0). A2)
Подействуем оператором S(X) на обе части равенства A2) и, воспользовавшись
равенством G), получим:
S(X)\q) = S(X)S(q)\0) = S(X + q)\0) = \q + X). A3)
Выражение, сопряженное формуле A3), имеет вид:
(q\S + (X)=(q + X\ A4)
или с учетом формулы D) и после замены X на - X :
(q\S(X) = (q-X\. A5)
3. Представление {\q)}
Поскольку Q — наблюдаемая, ансамбль ее собственных векторов {\q) } образует
базис в пространстве К . Каждому кет-вектору можно поставить в соответствие
«волновую функцию в представлении {\q) }»:
VteH^lv). A6)
238

Математический аппарат квантовой механики
а. ДЕЙСТВИЕ ОПЕРАТОРА Q В ПРЕДСТАВЛЕНИИ {\q) }
Вычислим в представлении {\q) } волновую функцию, связанную с вектором (?|v).
Она имеет вид:
(?|Q|v) = *Mv) = *¥(?) A7)
[здесь мы использовали (8) и эрмитовость оператора Q]. Действие Q в представлении
{\q) } состоит в простом умножении на величину q .
b. ДЕЙСТВИЕ ОПЕРАТОРА S(X) В ПРЕДСТАВЛЕНИИ { \q) }.
ОПЕРАТОР ТРАНСЛЯЦИИ
Волновая функция, соответствующая кет-вектору S(X) |\|/)в представлении {\q) },
имеет вид (формула A5)):
(q\S(X)\\v) = (q-X\w) = y(q-X). A8)
Таким образом, действие оператора S(X) в представлении {\q) } состоит в
перемещении волновой функции на величину X параллельно оси q *. По этой причине
оператор S(X) называется оператором трансляции.
с. ДЕЙСТВИЕ ОПЕРАТОРА Р В ПРЕДСТАВЛЕНИИ {\q) }
Если 8 — бесконечно малая величина, то
S(-e) = e/em=l + i-P + 0(e2). A9)
h
Тогда:
^|5(-e)|\|/) = \i/(^) + /|^|p|V) + 0(e2). B0)
* Функция f(x-а) есть функция, которая в точке х = х0 + а принимает значение f(x0),
то есть это функция, полученная из f(x) путем трансляции на Л-а .
239

Глава II
С другой стороны, равенство A8) дает:
(?|S(-e)|\|/) = v(? + e). B1)
Сравнение выражений B0) и B1) показывает, что
\V(q + z) = \V(q) + iUq\P\\V) + 0(E2), B2)
п
откуда следует:
/ i г, I \ Л ,. \|/(<7 + е)-1|/(<7) Ь d , ч ^ч
(? Р ¥> = ~ й™ — yv<" = т — y(q). B3)
Действие оператора Р в представлении {\q) } состоит в дифференцировании ,
i dq
и тем самым мы обобщили равенство (Е-26) главы И.
4. Представление {|р) }• Симметрия наблюдаемых Р и Q
Соотношение B3) позволяет без труда получить волновую функцию vp(q)9
соответствующую собственному вектору \р) оператора Р с собственным значением р в
представлении {\q) }:
vp(q)={q\p)={2nh)-l/2 eT'Hl. B4)
Тогда можно записать:
\p)={2nnyn-\Zdq^"\q). B5)
Можно определить кет-вектор |\|/) через «волновую функцию в представлении {\р)}»:
Щр)=(р№). B6)
Используя соотношение, сопряженное B5), получим:
240

Математический аппарат квантовой механики
Щр) = BпП)'У2 \yq е"> Щд), B7)
то есть ij7(/?) является Фурье-образом функции \\f(q).
Действие оператора Р в представлении {| р)} соответствует умножению на р, а
действие оператора Q соответствует, как нетрудно показать, используя B7), операции
dp
Таким образом, мы получили результаты, симметричные в представлениях {\q) } и
{\р)}. Это неудивительно, так как согласно сделанным предположениям можно
переставить местами операторы Р и Q при условии изменения знака коммутатора в B). Мы
могли бы также вместо оператора S(X) рассмотреть оператор Т(\'), определенный
выражением:
T(X%)=e'VQ,\ B8)
и выполнить те же операции, заменив повсюду Р на Q и i: на -1:.
Дополнение Fh
ОПЕРАТОР ЧЕТНОСТИ
1. Изучение оператора четности.
a. Определение.
b. Простые свойства оператора П .
c. Собственные подпространства оператора П .
2. Четные и нечетные операторы.
a. Определения.
b. Правила отбора.
c. Примеры.
d. Функции операторов.
3. Собственные состояния четной наблюдаемой В+ .
4. Приложение к важному частному случаю.
16 Квантовая механика
241

Глава II
1. Изучение оператора четности
а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Рассмотрим физическую систему в пространстве состояний £г. Оператор четности П
определяется по его действию на базисные векторы |г) пространства &г *:
П|г) = |-г). A)
Матричные элементы оператора П в представлении {|г) } равны:
(г|П|г,) = (г|-г,) = 8(г + г'). B)
Рассмотрим произвольный вектор |\j/) пространства $г:
|v) = JdV\|/(r)|r). C)
Если произвести замену переменной г'= -г, то вектор |\|/) можно переписать в виде:
|\|f> = JdV\|/(-rl)|-rl). D)
Вычислим теперь П| \\f):
n|v>=JdVv(-r,)|-rl>. E)
Сравнение C) и E) показывает, что действие оператора П в представлении {|г) }
состоит в замене г на - г:
(г|П|1|/) = \|/(-г). F)
Рассмотрим тогда физическую систему У*, вектор состояния которой равен |\|/); то-
* Следует четко различать |- г{)) и - |г0) ; первый является собственным вектором
оператора R с собственным значением —г0 и волновой функцией \_х (г) = 5(г + г0); второй —
собственным вектором оператора R с собственным значением г 0 и волновой функцией
Чг„(г) = -5(г-г0).
242

Математический аппарат квантовой механики
гда вектор П|\|/) будет описывать физическую систему, полученную из системы ,(/ с
помощью операции симметрии относительно начала отсчета.
Ь. ПРОСТЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА П
Оператор П2 является единичным оператором. Действительно, согласно формуле
A) имеем:
П2|г) = П(п|г)) = П|-г) = |г), G)
то есть, поскольку кет-векторы |г) образуют базис в пространстве £г:
П2 = 1 (8-а)
или
П = П-'. (8-Ь)
Используя рекурсию, легко показать, что оператор П" равен:
— 1, если п — четное число;
— П, если п — нечетное число.
Равенство F) можно переписать в виде:
(r|n|V) = <-r|V). (9)
Это равенство справедливо при любых |\|/), откуда следует,что
(г|П = (-г|. A0)
С другой стороны, выражение, эрмитово сопряженное формуле A), имеет вид:
(г|ГГ=(-г|. A1)
Поскольку векторы |г) образуют базис, из формул A0) и A1) следует, что оператор П
эрмитов:
П+=П. A2)
Комбинируя это равенство с (8-Ь), получим:
ГР=ГГ'. A3)
Таким образом, оператор П — унитарный.
16* 243

Глава II
с. СОБСТВЕННЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРА П
Пусть |фл) — собственный вектор оператора П с собственным значением рп.
Применив формулу (8-а), получим:
|фл) = П2|Фя) = Рл2|Фя). A4)
Таким образом, р\ = 1, то есть собственными значениями оператора П могут быть
только 1 и -1. Поскольку пространство Fr бесконечномерное, сразу же видим, что эти
собственные значения вырождены. Собственный вектор оператора П с собственным
значением +1 называется четным, а с собственным значением -1 — нечетным.
Рассмотрим два оператора Р+ и Р_, определенные равенствами:
Р+=\ A + П);
Р_=1A-П). A5)
Эти операторы эрмитовы, и, используя (8-а), легко получить равенства:
Р2 = Р •
1 + i + »
Л2 = Р_. A6)
Таким образом, операторы Р+ и Р являются проекционными операторами на два
подпространства £г, которые мы будем обозначать символами £+ и £_. Вычислим
произведения Р+Р_ и Р_Р+ :
Р+Р =-A + П-П-П2) = 0;
Р_Р+=-A-П + П-П2) = 0, A7)
и два подпространства оказываются ортогональными. Покажем, что они являются еще и
дополнительными: действительно, из определения A5) немедленно следует, что
Р++Р. =1. A8)
244

Математический аппарат квантовой механики
Каким бы ни был кет |i|/) пространства #, имеем:
|i|/) = (P+ + P)|\|/) = |x|/+) + |x|/_), A9)
где
k+) = n|v>;
|V.) = />.|V>. B0)
Вычислим произведения ПР+ и ПР_:
n/>+=in(l + n) = i(n + l)=P+;
П/>_=-ПA-П) = -(П-1) = -Р_. B1)
Эти равенства позволяют показать, что векторы |\у+) и|\|/_) , введенные в B0), являются
соответственно четным и нечетным:
n|V+> = nP+|V> = P+|V> = |V+);
П|v.) = ПР.|i|/) = -P_|v|/) = -|i|/_). B2)
Пространства £+ и £_ являются, таким образом, собственными подпространствами
оператора П с собственными значениями +1 и -1 соответственно. В представлении {|г) }
равенства B2) принимают вид:
(г|\|/+) = \|/+(г) = (г|п|\|Г+) = \|/+(-г);
(г|\|/_) = \|/_(г) = -(г |П| \|/_> = -\|/.(-г). B3)
Волновые функции \|/+(г)и \|/_(г) являются соответственно четной и нечетной.
Соотношение A9) выражает, что произвольный кет |\j/) пространства <fr может
быть разложен на сумму двух собственных векторов оператора П , а именно, |\|/+) и
|\|/_), принадлежащих соответственно четному £+ и нечетному #_ подпространствам.
Таким образом, оператор П является наблюдаемой.
245

Глава II
2. Четные и нечетные операторы
а. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В §2 дополнения С мы определили понятие унитарного преобразования операторов.
В случае оператора П [унитарного, как следует из A3)] преобразование произвольного
оператора В имеет вид:
В = ПЯП B4)
и подтверждается соотношением [см. уравнение B7) дополнения Сц]:
(г|в|г,) = (-г|В|-г,>. B5)
Говорят при этом, что оператор В получен из оператора В в результате преобразования
четности.
В частности: если В = +В, говорят, что оператор В четный;
если В = -В, говорят, что оператор В нечетный.
Таким образом, четный оператор В+ таков, что
В+ = ПВ+П B6)
или, если умножить это равенство слева на П и воспользоваться формулой (8-а):
ПВ+ = Д+П ; B7)
[П,Д+] = 0. B8)
Четный оператор всегда коммутирует с оператором П . Нетрудно увидеть, что нечетный
оператор В_ должен антикоммутировать с оператором П :
ПВ_ + В Л = 0. B9)
Ь. ПРАВИЛА ОТБОРА
Пусть В+ — четный оператор. Вычислим матричный элемент (ф| B+\\\f); согласно
сделанному предположению имеем:
(ф|в+|у> = (ф|ПЯ+П|у> = (ф||В+|^>, C0)
246

Математический аппарат квантовой механики
где
|ф') = П|ф);
И = П|\|/). C1)
Если один из двух кет-векторов |ф) и |\|/) четный, а другой — нечетный (|ф') = ±|ф) и
|\|/') = +|\|/)), соотношение C0) дает:
(ф|5+|\|/) = -(ф|В+|\|/> = 0. C2)
Из этого следует правило: матричные элементы четного оператора между векторами
противоположной четности равны нулю.
Если взять нечетный оператор В_ , то соотношение C0) дает:
(ф|5_|х|/) = -(Ф,|Б_|1|/') C3)
что также равно нулю, если оба вектора |ф), |\|/) либо четные, либо нечетные. Отсюда
следует правило: матричные элементы нечетного оператора равны нулю между
векторами одинаковой четности. В частности, диагональный матричный элемент (\|/| #_|ty)
(среднее значение В_ в состоянии |ij/), см. главу III, § С-4) равен нулю, если |\|/) имеет
определенную четность.
с. ПРИМЕРЫ
а. Операторы X, Y, Z
В этом случае имеем:
ПХ |г> = ПХ |jc, у, z) = xTl\x, y,z) = x\-x,-y,-z) = x |-г> C4)
и
XTl\r)=X\-r)=X\-x,-y,-z) = -x\-x,-y,-z) = -x\-r). C5)
Суммируя эти равенства, получим:
(ПХ + ХП)|г) = 0 C6)
или, поскольку векторы |г) образуют базис:
247

Глава И
ПХ + ХП = 0, C7)
то есть оператор X — нечетный.
Аналогичные доказательства легко выполнить и для операторов Y и Z, вследствие
чего можно утверждать, что оператор R — нечетный.
C. Операторы Рх, Р , Pz
Вычислим кет П |р):
П|р) = {2Tth)'m \dlr е"""'П |r) = Bя»)-и \d3r е*п |-г) =
= {2ith)'n Jrfv е-""' lr') = |-p). C8)
С помощью рассуждений, аналогичных приведенным в пункте а, нетрудно
получить:
Ш>» = р,|-р);
Р,П|р) = -Л|-р) C9)
И
ПРХ + РЛП = 0, D0)
тЪ есть оператор Р является нечетным.
у. Оператор четности
Очевидно, что оператор П коммутирует сам с собой, то есть является четным.
d. ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ
Пусть В+ — четный оператор. Используя соотношение (8-а), получим:
ГШ; П = (ПВ+П) (ПВ+П) ... (ЛВ+Л) = В?. D1)
N у /
II
Любая степень четного оператора является четным оператором. Обобщая, можно
сказать, что оператор F(B+) всегда является четным.
248

Математический аппарат квантовой механики
Пусть В_ — нечетный оператор. Вычислим оператор ПВ" П :
ПЯ_" П = (ПВ_П) (ПВ_П) ... (ПВ_П) = (- 1)я(Д.)". D2)
То есть п -ная степень нечетного оператора является четной, если п — четное
число, и нечетной, если п — нечетное число. Рассмотрим оператор F(B_). Он является
четным, если соответствующая функция F(z) — четная, и нечетным, если она нечетная.
В общем случае F(B_) не имеет определенной четности.
3. Собственные состояния четной наблюдаемой В+
Рассмотрим произвольную четную наблюдаемую В+ и собственный вектор |фЛ)
оператора В+ с собственным значением Ъ . Поскольку В+ — четный оператор, он
коммутирует с оператором П . Применив теоремы § D-3-a главы И, получим следующие
результаты:
а. Если Ъ — невырожденное собственное значение, то \tyb) обязательно является
собственным вектором оператора П , то есть это либо четный, либо нечетный вектор.
Среднее значение (ф/,|#-|ф6) любой нечетной наблюдаемой В_ (например, R, Р, ...)
равно нулю.
Р. Если Ъ — вырожденное собственное значение, соответствующее собственному
подпространству %ь, то векторы этого подпространства не обязательно имеют
определенную четность: может оказаться, что вектор П|фь)не коллинеарен вектору |ф/;), но
имеет то же самое собственное значение Ъ. Кроме того, возможно, что в каждом
подпространстве tb существует базис общих для операторов П и5+ собственных векторов.
4. Приложение к важному частному случаю
В последующем мы часто будем искать собственные состояния гамильтониана Я ,
действующего в пространстве £г и имеющего вид:
// = JL + V(R). D3)
2т
Поскольку Р — нечетный оператор, то оператор Р2 — четный; кроме того, если
функция V(r) — четная (V(r) = V(-r)), то оператор Н является четным. Как мы
только что видели, в этом случае следует искать собственные состояния оператора Н среди
четных или нечетных состояний, что часто значительно упрощает вычисления.
249

Глава II
Мы уже встречали ряд случаев, когда гамильтониан Я является четным:
прямоугольная потенциальная яма, яма бесконечной глубины (дополнение Нт); позже мы увидим
и другие примеры: гармонический осциллятор, атом водорода и т.д. На этих частных
случаях легко продемонстрировать все указанные здесь свойства.
ЗАМЕЧАНИЕ
Если Я — четный оператор и если найдено одно из его собственных
состояний |фЛ), не имеющее определенной четности (вектор П |фЛ) не коллинеарен
вектору |фл)), можно утверждать, что соответствующее собственное значение
является вырожденным: действительно, поскольку П коммутирует с Я , вектор
П |фЛ) является собственным вектором оператора Я с тем же собственным
значением, что и |фЛ).
Дополнение Gn
ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ТЕНЗОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ:
ДВУМЕРНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
БЕСКОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ
1. Определение. Собственные состояния.
2. Анализ энергетических уровней.
a. Основной уровень.
b. Первые возбужденные уровни.
c. Систематические и случайные вырождения.
В дополнении Н\ (§ 2-е) мы уже изучали в рамках одномерной задачи стационарные
состояния частицы в потенциальной яме бесконечной глубины. Использование понятия
тензорного произведения (см. главу II, § F) позволит нам обобщить полученные
результаты на случай двумерной потенциальной ямы (введение третьего измерения не добавит
никаких принципиальных трудностей).
1. Определение. Собственные состояния
Рассмотрим частицу с массой т в плоскости хОу внутри «прямоугольной» ямы со
стороной а : ее потенциальная энергия V(x,y) обращается в бесконечность, как только
одна из координат х или у выходит за пределы интервала [0, а] :
250

Математический аппарат квантовой механики
V(x,y) = V00(x) + VJy), A)
где
Ко(и) =0, если 0<и<а\
= -и» , если и < 0 или и > а . B)
Гамильтониан квантовой частицы запишется тогда в виде (глава III, § В-5):
H = ^(P? + P?) + VJX) + VJY) C)
или
Н = Нх + НуУ D)
где
Hy=^-Pt+Vm(Y). E)
2w
Таким образом, задача соответствует важному частному случаю, отмеченному в главе II
(§ F-4-a-P), и мы можем искать собственные состояния оператора Н в виде:
|фНф>»,. F)
Я,|ф), = Е,|Ф)х;|ф),е8,;
">>, = £,l<p),H<p),eiV G)
я|ф) = е|ф),
Е = ЕХ + Еу. (8)
где
Тогда имеем:
где
251

Глава II
Таким образом, от двумерной задачи переходим к одномерной задаче, которая уже
была решена выше (см. дополнение Нг). Применив полученные результаты и формулы
G) и (8), заметим, что:
— собственные значения оператора Н имеют вид:
Ев.,=^(п2 + />2)я2»2, (9)
где пир — положительные целые числа;
— этим энергиям соответствуют собственные состояния Ф„,/;), имеющие вид
тензорного произведения:
K„)=k),k,).v- (Ю)
которым соответствует нормированная волновая функция:
^ ч , ч , ч 2 . mix . рпу /11Ч
Фя„(*. У) = Фя(*)Фр(>0 = --ил sin^-. (И)
а а а
Нетрудно доказать, что эти волновые функции обращаются в нуль на границах
«квадратной ямы» (х или у равны 0 или а), где потенциальная энергия обращается в
бесконечность.
2. Анализ энергетических уровней
а. ОСНОВНОЙ УРОВЕНЬ
Числа пир являются целыми и положительными*. Таким образом, основной
уровень соответствует п = I и р = I. Его энергия равна:
TT2fc2
£„~ A2)
та
и достигается лишь при условии п = р = 1, то есть основной уровень не вырожден.
* Мы исключаем значения п = 0 и р = 0 , дающие нулевые волновые функции, которые
невозможно ортонормировать.
252

Математический аппарат квантовой механики
Ь. ПЕРВЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ УРОВНИ
Первый возбужденный уровень получается либо при п = 1 и р = 2 , либо при п = 2
и р = 1:
£,, = £,., Л*!*!. A3)
2 та
Этот уровень дважды вырожден, так как векторы Ф^) и Ф2.1/ независимы.
Второй возбужденный уровень соответствует п = р = 2, он не вырожден, и его
энергия равна:
£22=4 г. A4)
та
Третий уровень соответствует и = 1, р = 3 и и = 3, р = 1 и т.д.
с. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЫРОЖДЕНИЯ
В общем случае можно констатировать, что все уровни, для которых пФ р, вырождены,
поскольку:
К, = £,.„ • A5)
Это вырождение связано с симметрией задачи. Действительно, рассмотренная квадратная яма
симметрична относительно первой биссектрисы плоскости хОу . Это отражается в том, что
гамильтониан Н инвариантен относительно подстановки:
Рх+*Ру A6)
(Можно было бы определить в пространстве состояний оператор, соответствующий операции
симметрии относительно первой биссектрисы, и этот оператор коммутировал бы с Н .) Если
известно собственное состояние оператора Н с волновой функцией Ф(х, у), то состояние,
соответствующее функции Ф'(*, у) = Ф(у, х), также является собственным состоянием Н с тем же
собственным значением. Вследствие этого, если функция Ф(*, у) не симметрична по х и у , то
соответствующее собственное значение неизбежно вырождено. Именно в этом состоит причина
вырождения A5): если пФ р, функция Ф (дг, у) не симметрична по х и у [формула A1)].
Эта интерпретация подтверждается еще и тем, что если нарушить симметрию, выбрав ширины
253

Глава II
ямы по осям Ох и Оу различными (а и Ъ соответственно), то соответствующее вырождение
исчезает. Действительно, формула (9) принимает вид:
Е -"^(«l^
"" 2m [a2 b2
A7)
и соответственно:
£„.„*£,,„• (is)
Такие вырождения, природа которых заключается в симметрии задачи, называются
систематическими вырождениями.
ЗАМЕЧАНИЕ
Другие свойства симметрии двумерной квадратной ямы не влекут за собой
систематического вырождения, так как все собственные состояния оператора Н инвариантны во
всех остальных преобразованиях симметрии. Например, для любых пир функции
Ф/|>р(дс, у) просто умножаются на фазовый множитель при замене х на {а - х) и у на
{а - у) (симметрия относительно центра ямы).
Возможно также существование вырождений, непосредственно не связанных с симметрией
задачи. Их принято называть случайными вырождениями. Например, в рассмотренном случае
оказывается, что Е55 - Е1Л или Е7 4 = £8, .
Дополнение Нц
УПРАЖНЕНИЯ
Обозначения Дирака. Коммутаторы.
Собственные векторы и собственные значения
1. Обозначим символом |ф„) собственные состояния эрмитова оператора Н (например,
гамильтониана любой физической системы). Предположим, что они образуют
дискретный ортонормированный базис. Оператор U(m, n) определен равенством:
U(my и) = |ф„,)(ф„
254

Математический аппарат квантовой механики
a. Вычислить оператор /7+(т, п), эрмитово сопряженный оператору U{m, n).
b. Вычислить коммутатор
c. Доказать соотношение:
U{m,n)U\p,q) = bnqU(m, p).
d. Вычислить след tr {U(m, n)} оператора U(m, n).
e. Пусть А — оператор с матричными элементами Атп - (фт|л|ф„). Доказать
соотношение:
т, п
/. Показать, что А = tr [AU + (p, q)}.
2. В векторном двумерном пространстве рассматривается оператор, матрица которого в
ортонормированном базисе {|l) ,|2)} имеет вид:
Ov =
у
(°
{'
-А
J
a. Является ли этот оператор эрмитовым? Вычислить его собственные значения и
собственные векторы в виде нормированного разложения в базисе {|1) ,|2)} .
b. Вычислить матрицы проекционных операторов на эти собственные векторы.
Проверить, удовлетворяют ли они соотношениям ортогональности и замкнутости.
c. Аналогичные вопросы в отношении матриц:
М =
itf
-iyfl
и в трехмерном пространстве:
L =
2/
О V2 О4
-л/2 О V2
О -V2 О
3. Пространство состояний некоторой физической системы является трехмерным; пусть
(|wi), |w2), |w3)} — ортонормированный базис этого пространства. Определим кет-
векторы |\|/0) и |\|/,) соотношениями:
255

Глава U
a. Нормированы ли эти кет-векторы?
b. Вычислить матрицы р0 и р,, представляющие в базисе {|и,), \и2), |и3))
проекционные операторы на состояния |\j/0) и |\|/|)- Проверить, являются ли эти матрицы
эрмитовыми.
4. Пусть К — оператор, определенный выражением К = |(р)(\|/|, где |ф) и |\j/) —
векторы пространства состояний.
a. При каких условиях К является эрмитовым оператором?
b. Вычислить К2. При каких условиях К является проекционным оператором?
c. Показать, что К всегда можно представить в форме К = ХРХР2, где X —
константа, подлежащая определению, а Рх и Р2 — проекционные операторы.
5. Пусть Р{ — ортогональный проекционный оператор в подпространстве #", ,а Р2 —
ортогональный проекционный оператор в подпространстве #2. Показать, что для того,
чтобы произведение РХР2 было ортогональным проекционным оператором, необходимо
и достаточно, чтобы Рх и Р2 коммутировали. Каким является подпространство, на
которое проектируется оператор Рх Р2 в этом случае?
6. Матрица ах определена выражением:
Gv =
f° Ч
[i oj
Доказать соотношение:
е,аа* = / cos a + iax sin a,
где / — единичная матрица 2x2.
7. Для матрицы оу, введенной в упражнении 2, установить соотношение, аналогичное
доказанному для ох в предыдущем упражнении. Обобщить на любую матрицу вида:
256

Математический аппарат квантовой механики
ои = Ха х + [iG v,
где
\2+\х2=1.
Вычислить матрицы, представляющие е2'а", (еЮх) и ^'(°v+°v). Определить, равны ли
е2** и(е^J1 еКа^] и *'V°'?
8. Рассмотрим в рамках одномерной задачи гамильтониан Н частицы, определенный
формулой:
Н = — P2+V(X),
2т
где X и Р — операторы, определенные в § Е главы II и удовлетворяющие
соотношению: [XyP] = ih. Собственные векторы оператора Н обозначены символом |ф„):
Н |ф„) = Еп |ф„), где п — дискретный индекс.
a. Показать, что
(ф„|/>|ф„,) = а(ф„|х|Ф„.),
где а — коэффициент, зависящий от Еп и Еп, только через их разность. Найти а (для
доказательства советуем рассмотреть коммутатор [X, Н]).
b. Вывести, используя соотношение замкнутости, равенство:
Е(£„-£,J|(ф„|х|ф,)|2 = 4(ф^2|фл>-
9. Пусть Н — гамильтониан физической системы. Обозначим символом |ф„)
собственные векторы оператора Н с собственными значениями Еп:
а. Если А — произвольный оператор, доказать соотношение:
(ф„|[Л,Я]|ф„) = 0.
17 Квантовая механика
257

Глава II
Ъ. Рассмотреть одномерную задачу [частица с массой т в поле потенциала V(X) ];
в этом случае Н имеет вид:
Я= — P2+V(X).
2т
а. Вычислить через Р, X, V(X) коммутаторы: [Я,Р], [Я,Х], [Н,ХР].
C. Показать, что матричный элемент (ф/}| Р\ц>„) (в главе III мы будем
интерпретировать его как среднее значение импульса в состоянии |ф„)) равен нулю.
Р2
у. Установить соотношение между Ес = (фи| — |ф„) (среднее значение кинетиче-
2т
ской энергии в состоянии |ф„)) и (фм| X— |ф«)- Среднее значение потенциальной
ил.
энергии в состоянии |ф;|) равно (ф;11 V(x) |ф„). Как оно связано со средним значением
кинетической энергии, если:
V(X) = V0Xk
D = 2,4,6, ...;V0>0)?
10. Используя соотношение (х\р) = BпЬ) e'px,t\ вычислить через \\f(x) выражения
(х\ ХР |\|/) и (х\ PX\\\f). Можно ли получить результат непосредственно, используя тот
факт, что в представлении л оператор Р действует как ?
/ dx
Наборы коммутирующих наблюдаемых.
Полный набор коммутирующих операторов
11. Рассмотрим физическую систему, трехмерное пространство состояний которой
связано с ортонормированным базисом, образованным тремя кет-векторами: |м,), |м2), |и3).
В базисе этих трех векторов, взятых именно в таком порядке, два оператора Н и В
определены матрицами:
(\ 0 0^1 (\ 0 (Л
Н = йсо,
0-10
^0 0 -I)
в = ь
0 0 1
10 1 0)
гдесо0 и Ъ —вещественные константы.
258

Математический аппарат квантовой механики
a. Эрмитовы ли операторы Я и В ?
b. Показать, что Я и В коммутируют. Определить базис собственных векторов,
общих для Я и В.
c. Какие из наборов операторов { Я }, {В}, { Я , В], { Я 2, #} образуют полный
набор коммутирующих операторов?
12. Оставаясь в рамках введенного в предыдущей задаче пространства, рассмотрим два
оператора L. и S , определенные соотношениями:
5|и,) = 1иэ); s|) = h); 5|из> = |и,).
я. Записать матрицы, представляющие в базисе {|м,), \и2), |w3)} операторы Lz, l}z,
S , S2. Являются ли эти операторы наблюдаемыми?
b. Указать наиболее общую форму матрицы, представляющей оператор,
коммутирующий с Lz. Аналогичный вопрос для операторов lJz и S2.
c. Образуют ли операторы ]}г и S полный набор коммутирующих операторов?
Получить базис общих собственных векторов.
Решение упражнения 11
a. Операторы Я и В эрмитовы, так как соответствующие матрицы симметричны и
вещественны.
b. \щ) — общий собственный вектор операторов Я и В, поэтому НВ \щ) =
= ВН и, ). Мы видим, что для того, чтобы Я и В коммутировали, достаточно, чтобы
блоки этих операторов в подпространстве 82, порожденном векторами |м2) и |и3)>
коммутировали. Так, в этом подпространстве матрица оператора Я равна -Й0H/ (где
/ — единичная матрица 2 х 2) и коммутирует с любыми матрицами 2x2. Таким образом,
операторы Я и В коммутируют (этот же результат можно было бы получить
непосредственным вычислением матриц Я В и В Я и проверкой их равенства). Блок оператора В
в подпространстве $2 имеет вид:
(о Г|
R BPf =b\
Нормированные собственные векторы этой матрицы 2x2 получаются легко. Они равны:
17*
259

Глава II
\р2)~ -т= [|и2)+1иъ) 1 (собственное значение +Ь);
л/2
| р3) = —;=■ [| w2) ~ | мз)] (собственное значение -Ь ),
эти векторы автоматически являются собственными векторами Я , поскольку $2 —
собственное подпространство оператора Я, соответствующее собственному значению
-/гаH . Таким образом, общими собственными векторами операторов Я и В являются:
собственные значения: Я В
|Pi) = h) йсоо Ь
|Р2) = ^[К)+|Мз)] -»©0 *
1л)=^[|>-К)] -*®о -&
Эти векторы являются единственно возможными (конечно, с точностью до фазового
множителя) нормированными собственными векторами, общими для операторов И и В.
с. Из приведенной таблицы видно, что оператор Н имеет дважды вырожденное
собственное значение, то есть он не образует полный набор коммутирующих
операторов. Аналогично, оператор В также имеет дважды вырожденное собственное значение
и сам по себе не образует полного набора коммутирующих операторов: собственный
вектор оператора В с собственным значением Ъ может быть или [/?,), или|/?2), или
даже, например, —т= |и,) + -=- |м2)+-т=г |м3). Напротив, ансамбль двух операторов Н и В
V3 V3 V3
образует полный набор коммутирующих операторов. Действительно, в приведенной
выше таблице нет двух векторов \pj), которые имели бы одинаковые собственные
значения для операторов Я и В одновременно. Именно поэтому, как ранее отмечалось,
система нормированных собственных векторов является единственной (с точностью до
фазового множителя). Заметим, что внутри собственного подпространства К2 оператора
Я , связанного с собственным значением —/гсо0, собственные значения оператора В
различны (+Ь и -Ь); аналогично, в собственном подпространстве оператора В (|р,) и
\р2)) собственные значения оператора Я также различны (йсо0 и -Йсо0).
Оператор Я2 допускает |/?,), \р2) и |р3) в качестве собственных векторов с
собственным значением Й2@^. Нетрудно видеть, что Я2 и В не образуют полного набора
260

Математический аппарат квантовой механики
коммутирующих операторов, так как паре собственных значений { Й2@„, Ь }
соответствуют два линейно независимых собственных вектора [/?,) и \р2) ■
Решение упражнения 12
а. Воспользуемся правилом, позволяющим построить матрицу оператора: «в п -ном
столбце матрицы записываются компоненты преобразования оператором п -ного
базисного вектора». Без труда получим:
f\ О (Л (О О Л
L =
L:
0 0 0
0 0-1
f\ 0 0Л
0 0 0
10 0 lj
s =
52 =
0 1 0
1 0 0,
(\ о о\
0 1 0
10 0 lj
Эти матрицы симметричны и вещественны и, следовательно, эрмитовы. Поскольку
пространство имеет конечную размерность, их можно диагонализировать, а поэтому они
являются наблюдаемыми.
Ь. Пусть М — оператор, коммутирующий с Lz; оператор М не может иметь
матричных элементов ни между \щ) и |м2), ни между \и2) и |м3), ни между \щ) и |и3)
(собственные векторы оператора Lz с различными собственными значениями). Таким
образом, матрица, представляющая М , обязательно диагональна, то есть имеет вид:
[М, Lz] = 0
<=>
М =
тИ
0
0
0
т2г
0
0
0
т.
Если оператор N коммутирует с оператором Isz, то матрица N может иметь элементы
между 1^) и |м3) (собственные векторы оператора l}z с одинаковым собственным
значением), но не может между \и2), с одной стороны, и |и,) и |и3) — с другой. Тогда
матрица N имеет вид:
(г
[n, l2z] = o
N =
0 п.
0 п
22
0 п
зз;
Итак, условие коммутации оператора N с l}z является менее строгим, чем с L,, так как
N не обязательно должен быть представлен диагональной матрицей. Можно лишь сказать,
что оператор N не смешивает векторы подпространства Э^, порожденного векторами
\щ) и |и3), с векторами подпространства, порожденного \и2); это свойство легко дока-
261

Глава II
зывается, если записать матрицу ЛГ , представляющую оператор N в базисе {1^), |и3)>
\и2) } (изменение порядка базисных векторов):
ЛГ =
1
О
3
О л,
Наконец, поскольку S2 — единичный оператор, любая матрица 3x3 коммутирует с 52
и в общем случае:
\Рп Р\г Р\ъ
[Л52] = 0 <=> Р = \р21 р22 р2Ъ
\Ръ\ РЪ2 Рп)
с. \и2) — общий собственный вектор операторов L2 и S ; в подпространстве &г>
порожденном векторами |и,) и |и3), матрицы Ц, и S примут вид:
(\ Ф
ЪАЪ =
p?sp, =
0 1
'О О
1 0
Собственные векторы последней матрицы имеют вид:
k)=^[h)+h)];
k)=^[k)-h)L
и базис собственных векторов, общих для L2 и S , запишется следующим образом:
вектор
Ы=к)
k)=^[h)+h)]
b)=^[h)-h)]
L]
0
1
1
S
1
1
-1
В таблице нет двух одинаковых строк для собственных значений Lz и S , и эти операторы
образуют полный набор коммутирующих операторов (но не каждый из них, взятый в
отдельности).

Глава III
ПОСТУЛАТЫ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ПЛАН ГЛАВЫ III
А. ВВЕДЕНИЕ.
В. ФОРМУЛИРОВКА
ПОСТУЛАТОВ.
1. Описание состояния системы.
2. Описание физических величин.
3. Измерение физических величин.
a. Возможные результаты.
b. Принцип спектрального разложения.
c. Редукция волнового пакета.
4. Эволюция системы во времени.
5. Правила квантования.
a. Постановка задачи.
b. Важные примеры.
С. ФИЗИЧЕСКАЯ
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ПОСТУЛАТОВ
О НАБЛЮДАЕМЫХ
И ИХ ИЗМЕРЕНИИ.
1. Правила квантования согласуются с вероятностной
интерпретацией волновой функции.
2. Квантование некоторых физических величин.
3. Механизм измерения.
4. Среднее значение наблюдаемой в заданном состоянии.
5. Среднеквадратичное отклонение.
6. Совместимость наблюдаемых.
a. Совместимость и коммутативность.
b. Приготовление состояния.
D. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
УРАВНЕНИЯ
ШРЕДИНГЕРА.
1. Общие свойства уравнения Шредингера.
a. Детерминизм в эволюции физических систем.
b. Принцип суперпозиции.
c. Сохранение вероятности.
d. Эволюция среднего значения наблюдаемой. Связь
с классической механикой.
2. Случай консервативных систем.
a. Решение уравнения Шредингера.
b. Стационарные состояния.
c. Константы движения.
d. Частоты Бора системы. Правила отбора.
e. Соотношение неопределенностей время — энергия.

Е. ПРИНЦИП
СУПЕРПОЗИЦИИ
И ФИЗИЧЕСКИЕ
ПРЕДСКАЗАНИЯ.
1. Амплитуда вероятности и эффекты интерференции.
a. Физический смысл линейной суперпозиции состояь
b. Суммирование по промежуточным состояниям.
c. Заключение: важность понятия амплитуды
вероятности.
2. Случай, когда несколько состояний могут быть
ассоциированы с одним и тем же результатом
измерения.
a. Вырожденные собственные значения.
b. Недостаточно селективные измерительные
приборы.
c. Резюме: следует суммировать амплитуды
или вероятности?
d. Применение к анализу непрерывных спектров.

А. ВВЕДЕНИЕ
В классической механике движение произвольной материальной системы
определено, если известна зависимость от времени положения r(jc, у, z) и скорости v(i, у, z)
каждой из ее точек. В общем случае (приложение III) для описания такой системы вводят
обобщенные координаты д;@,где / = 1,2, ...,7V и обобщенные скорости qt(t)\ задание
G,@ и q.(t) позволяет в любой момент времени определить положение и скорость любой
точки системы. Исходя из лагранжиана #(<?,-, #,-, О* для каждой из обобщенных
координат q{ определяется сопряженный ей момент pi:
й~. (А-1>
Величины д,@ и q.{t) называются основными динамическими переменными. Все
физические величины, связанные с системой (энергия, момент импульса и т.д.)
выражаются через них. Так, например, полная энергия системы определяется функцией
Гамильтона Jf{q^q.,t). Движение системы можно определить, пользуясь уравнениями
Лагранжа или каноническими уравнениями Гамильтона—Якоби, имеющими вид:
^ = |^; (А-2-а)
^ = ~. (A-2-b)
dt dqi
В частном случае системы, составленной из единственной материальной точки с
массой т, обобщенные координаты qt являются просто тремя координатами этой точки,
а обобщенные скорости qi — компонентами ее скорости v. Если силы, действующие на
частицу, определяются скалярным потенциалом V(r, t), то три момента, сопряженные
ее положению г, то есть компоненты ее импульса р, равны компонентам количества
движения т\. Тогда полная энергия равна:
2
£ = f- + V(r,r) (A-3)
2т
266

Постулаты квантовой механики
dr
It
dt
= JP .
m'
- V V.
и момент количества движения относительно начала координат равен:
# = rxp. (A-4)
2
Поскольку .Ж(г, р, t) - — + V(r, t), уравнения Гамильтона—Якоби (А-2) принимают
2т
хорошо известную форму:
(А-5-а)
(A-5-b)
Классическое описание материальной системы состоит, таким образом, в следующем,
(i) Состояние системы в данный момент времени t0 определено заданием N
обобщенных координат <7,(?0) и N сопряженных им моментов Pj(t0).
(ii) Значение любой физической величины в заданный момент времени полностью
определено, если известно состояние системы в этот момент времени: исходя из
мгновенного состояния системы, можно предсказать результат измерения любой физической
величины в момент времени t0.
(iii) Эволюция системы во времени определяется уравнениями Гамильтона—Якоби.
Поскольку эти уравнения являются дифференциальными уравнениями первого порядка,
их решение {#,@* #,@ }является единственным, если зафиксировать в этот момент
времени значения функций {дД*о)> ^/('оН1 состояние системы в некоторый момент
времени определено, если известно ее начальное состояние.
В этой главе рассмотрим постулаты, на которых базируется квантовое описание
физических систем. В главе I мы уже ввели их качественно и частично, сейчас же уточним
их в рамках формализма, развитого в главе И. Эти постулаты дадут нам ответы на
следующие вопросы (соответствующие трем пунктам классического описания):
(i) Как математически описать состояние квантовой системы в заданный момент
времени?
(ii) Как предсказать результаты измерения различных физических величин в
заданном состоянии?
(iii) Как найти состояние системы в произвольный момент времени t, если известно
ее состояние в момент времени t0 ?
Начнем с формулировки постулатов квантовой механики (§ В), обсудим затем их
физический смысл и рассмотрим их следствия (§§ С, D, Е).
267

Глава 111
В. ФОРМУЛИРОВКА ПОСТУЛАТОВ
1. Описание состояния системы
В главе I мы ввели понятие квантового состояния частицы. Сначала мы
охарактеризовали это состояние в некоторый момент времени квадратично интегрируемой
волновой функцией. Затем, в главе И, мы связали с каждой волновой функцией кет-вектор
пространства состояний #т: задание вектора |\|/), принадлежащего пространству £г,
эквивалентно заданию соответствующей функции \|/(г) = (г|\|/). Таким образом,
квантовое состояние частицы в заданный момент времени характеризуется кет-вектором в
пространстве $г. Именно в этой форме обобщается понятие состояния любой
физической системы.
I постулат. В любой фиксированный момент времени t0 состояние физической
системы определяется заданием кет-вектора |i|/(f0))> принадлежащего пространству
состояний £.
Важно отметить, что, поскольку £ — векторное пространство, этот первый
постулат требует соблюдения принципа суперпозиции: линейная комбинация векторов
состояния является вектором состояния. Это важное положение и его связь с другими
постулатами мы обсудим в § Е.
2. Описание физических величин
В § D-1 главы I мы уже использовали дифференциальный оператор Я ,
описывающий полную энергию частицы в поле скалярного потенциала. Он является всего лишь
частным случаем постулата И:
II постулат. Всякая измеряемая физическая величина .<*/ описывается
оператором А , действующим в пространстве $ ; этот оператор является наблюдаемой.
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Тот факт, что А — наблюдаемая (см. главу И, § D-2), окажется весьма важным
для дальнейшего изложения (§3).
(П) В противоположность классической механике (см. § А) квантовая механика
описывает состояние системы и связанные с ней физические величины совершенно иным
способом: состояние описывается вектором, а физическая величина — оператором.
268

Постулаты квантовой механики
3. Измерение физических величин
а. ВОЗМОЖНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Связь между оператором Н и полной энергией частицы была установлена в § D-1
главы I следующим образом: единственно возможными значениями энергии являются
собственные значения оператора Н . Здесь мы обобщим этот вывод на все физические
величины.
III постулат. Результатом измерения физической величины «с/ может быть только
одно из собственных значений соответствующей наблюдаемой А .
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Измерение величины .?/ дает всегда вещественное число, так как по определению
А — эрмитов оператор.
(ii) Если спектр оператора А дискретный, то результаты, которые могут быть
получены при измерении ,«/, квантуются (§ С-2).
Ь. ПРИНЦИП СПЕКТРАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
Сейчас уточним и обобщим выводы, сделанные в § А-3 главы I, где мы
анализировали простой эксперимент с поляризованными фотонами.
Рассмотрим систему, состояние которой в некоторый момент характеризуется кет-
вектором |vj/) , нормированным на 1:
(v|v) = i. (в-1)
Мы хотим предсказать результат измерения в этот момент времени физической величины
.«/ системы, которой соответствует наблюдаемая А . Это предсказание, как мы уже
знаем, должно носить вероятностный характер: сформулируем правила, которые позволяют
вычислить вероятность получения того или иного собственного значения оператора А .
ос. Случай дискретного спектра
Допустим сначала, что спектр оператора А дискретный. Если все собственные
значения не вырождены, то каждому из них соответствует единственный собственный
вектор |ия) (с точностью до постоянного множителя):
А\и„) = ан\ип). (В-2)
269

Глава III
Поскольку А —наблюдаемая, ансамбль нормированных векторов |и„) образует базис в
пространстве £, и произвольный вектор состояния |\|/) может быть записан в виде:
k) = Sc„|M„). (B-3)
п
Постулируем, что вероятность &(ап) получить значение ап при измерении величины .с/
равна:
*(*„)=kf =h И2- <в-4)
IV постулат (дискретный невырожденный спектр). При измерении физической
величины «с/ в нормированном состоянии системы |\|/) вероятность &{ап) получить
собственное невырожденное значение ап соответствующей наблюдаемой А равна:
*(о=|(«пН2.
где \ип) — собственный нормированный вектор оператора А , соответствующий
собственному значению ап.
Если теперь допустить, что некоторые собственные значения вырождены, то им
соответствует несколько собственных ортонормированных векторов м'Л :
А\и\) = ап\и\), где/ = 1,2, ...,*„. (В-5)
Кет |\|/) можно разложить по ортонормированному базису {\и'п)}:
|v)=x i<|«:>- (в-б)
Л 1 = 1
В этом случае вероятность &(ап) оказывается равной:
^п) = 1\4 = 1\{ф}\ ■ (В-7)
= 1 I = 1 '
Формула (В-4) является частным случаем формулы (В-7), и последнюю можно принять
в качестве общего выражения.
270

Постулаты квантовой механики
IV постулат (случай дискретного спектра). При измерении физической
величины .</ системы в нормированном состоянии |\|/) вероятность получить собственное
значение ап соответствующей наблюдаемой А равна:
;АО=|;|(ф)|2-
I = 1' '
Здесь gn — кратность вырождения собственного значения ап, и { м,',) }
(i = 1,2,..., gn) — система ортонормированных векторов, образующих базис в
собственном подпространстве #п, связанном с собственным значением оператора А .
Чтобы этот постулат имел смысл при вырожденном значении ап, необходима
независимость вероятности 1?(ап) от выбора базиса { ш'п)} в пространстве #я. Для
доказательства рассмотрим вектор:
|чО=£4К), (в-8)
где коэффициенты с'п те же, что и в разложении (В-6) вектора |\j/):
< = (М»М- (В-9)
Вектор |\|/„) является частью вектора |\|/), принадлежащей пространству ^, то есть
проекцией вектора | \|/) на пространство #;|. Впрочем, именно к этому выводу можно
прийти, если подставить (В-9) в (В-8):
I v„> = S |«-Хи-1 v) = ^.1 v), (в-ю)
где
Рп = 1\<){<\ (В-П)
проекционный оператор на пространство $п (§ B-3-b главы II). Вычислим теперь квадрат
нормы вектора |\|/„) в соответствии с формулой (В-8):
271

Глава III
(ч>„к)=£К|2. (в-12)
«= г
Таким образом, №(ап) является квадратом нормы вектора |\|//}) = f;;|\j/), то есть
проекции вектора |\|/) на пространство $п. Из этой формы записи явно следует, что
изменение базиса в пространстве $п не влияет на ^(ап). Эта вероятность имеет вид:
^„Hvl^.lv) (в-13)
или, если использовать эрмитовость оператора Рп (то есть Р* = Рп) и свойство
проекционного оператора (Р] = Ря):
>Пап) = (у\ф) (В-14)
C. Случай непрерывного спектра
Допустим теперь, что спектр оператора А непрерывен, и для простоты будем
считать его невырожденным. Ортонормированная в широком смысле система собственных
векторов |va) оператора А :
A\va) = a\va) (B-15)
образует в пространстве £ базис, по которому можно разложить вектор |\|/):
|v> = Jdac(a)|va). (B-16)
Поскольку возможные результаты измерения величины .с/ образуют непрерывный
ансамбль, следует определить плотность вероятности, как мы уже делали для
интерпретации волновой функции частицы (§ В-2 главы I): вероятность d&(a) получить значение,
лежащее между а и a + da , равна:
яЬУЧсО = p(a)Ax,
где
p(a) = |c(a)|2=|(va|\|/)|2. (B-17)
272

Постулаты квантовой механики
IV постулат (случай непрерывного и невырожденного спектра). При измерении
физической величины .<•/ в нормированном состоянии |\|/) системы вероятность
d^(a) получить значение, лежащее между а и а + da, равна:
d^a;=|(vj\|/)|2rfcc,
где |va) — собственный вектор, соответствующий собственному значению а
наблюдаемой А , связанной с величиной .?/.
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Во всех рассмотренных выше случаях можно в явной форме доказать, что полная
вероятность равна 1. Так, например, исходя из* формулы (В-7), получим:
S^K) = ES|c;;|2=(\|/|\|/) = i, (в-18)
п п / = 1
так как вектор |\|/) нормирован. Это последнее условие должно быть выполнено,
чтобы все приведенные выше формулировки были бы справедливыми. Однако оно
не является абсолютным: если оно не выполняется, достаточно заменить (В-7) и
(В-17) соответственно выражениями:
Wlv//Bl
p(a) = -^-|-y|c(a)|2. (B-20)
(ii) Для того чтобы IV постулат был справедливым, необходимо, чтобы оператор Л ,
связанный с произвольной физической величиной, был наблюдаемой:
действительно, нужно, чтобы любое состояние могло бы быть разложено по системе
собственных векторов оператора А.
(Hi) Мы не привели здесь IV постулат в его самой общей форме,' но, основываясь на
анализе приведенных выше случаев, можно без труда распространить принцип
спектрального разложения на любую ситуацию (непрерывный вырожденный
спектр, спектр, имеющий непрерывную и дискретную составные части и т.д.). В § Е
18 Квантовая механика
273

Глава III
и затем в главе IV мы применим IV постулат в ряде примеров, и, в частности, для
того, чтобы продемонстрировать некоторые следствия принципа суперпозиции,
рассмотренного в § В-1.
у. Важное следствие
Рассмотрим два кет-вектора |\|/) и |\|/'), связанных между собой равенством:
где Ь — вещественное число. Если вектор |\|/) нормирован, то нормирован и вектор
И:
(V,k,>=(v|^^w|v>=(vk>- (B-22)
Вероятности некоторого измерения одинаковы как для вектора |\|/), так и для вектора |\|/'),
ибо, независимо от \и\\):
|(ф)|2=|е1в(ф)|2=|(м;,|¥)|2. (в-23)
Аналогично, можем заменить |\|/) выражением:
|у") = ссе'в|ч/) (В-24)
без изменения физических результатов. Действительно, в выражениях (В-19) и (В-20) в
числителе и знаменателе появляются сокращающиеся множители |ос| . Таким образом,
два пропорциональных вектора состояния представляют одно и то же физическое
состояние.
Следует очень осторожно интерпретировать этот результат. Так, например,
предположим, что
|V> = XI|V|> + X2|V2>, (B-25)
где Я, и Х2 — комплексные числа. Действительно, вектор е,Ь[ |\|/,) представляет,
независимо от вещественного значения д,, одно и то же физическое состояние, что и | \|/,),
а е1®21\|/2) — то же состояние, что и |\|/2). Но в общем случае вектор:
274

Постулаты квантовой механики
|V) = Xie'e'|v|/,) + X2e'e=|x|/2) (B-26)
не описывает то же состояние, что и |\|/) (действительно, в § Е-1 мы увидим, что
относительные фазы коэффициентов разложения вектора состояния играют важную роль),
за исключением частного случая, когда Ь{ = Ф2 + 2пп, где
\ч>) = е*[Х1\у1) + К2\щ)] = е»'\у). (В-27)
Иначе говоря, общий фазовый множитель не влияет на физические предсказания, но
относительные фазы коэффициентов разложения имеют существенное значение.
с. РЕДУКЦИЯ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА
Это понятие уже было введено в связи с измерением поляризации фотонов в § А-3
главы I. Здесь мы обобщим его, ограничиваясь случаем дискретного спектра
(непрерывный спектр рассмотрим в § Е).
Допустим, что в заданный момент времени нужно измерить физическую величину .с/.
Если известен кет |\|/), представляющий состояние системы до акта измерения, то
IV постулат позволяет предсказать вероятности получить различные результаты после
измерения. Однако, если производится реальное измерение, то получается, конечно,
лишь один из этих возможных результатов. Сразу же после акта измерения уже нет
вопроса о «вероятности получения» того или иного значения, поскольку уже известно
реально полученное значение. Таким образом, имеется уже дополнительная информация,
и вполне понятно, что состояние системы после измерения отлично от |\|/).
Рассмотрим сначала случай, когда измерение величины #/ дает невырожденное
собственное значение ап наблюдаемой А . Тогда можно постулировать, что состояние
системы сразу же после акта измерения описывается собственным вектором | ип) с
собственным значением ап:
|Ф> -^ Ю- (В-28)
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Мы рассматривали состояния «до измерения» (|ty)) и «после измерения» (|м„)).
Точный смысл этих выражений можно сформулировать так: пусть измерение
производится в момент времени t0 >0, и мы знаем состояние системы |\|/@)) в
момент времени t = 0; VI постулат (см. § 4) показывает, как система эволюционирует
18*
275

Глава 111
во времени, то есть позволяет вычислить, исходя из |\|/@)), состояние |\|/(f0))
«перед измерением». Если измерение дает в результате невырожденное собственное
значение ап, то состояние |y'(fi)) в момент времени t{>t0 нужно рассчитывать,
исходя из Iv'C'o)K1!",,)* то есть состояния «немедленно после» измерения, и
использовать VI постулат для определения эволюции вектора состояния между
моментами времени t0 и г, (рис. 1).
(и) Если вслед за первым измерением производится второе измерение величины .?/
(то есть ранее, чем система смогла испытать эволюцию), то с полной уверенностью
можно получить тот же результат ап, так как состояние системы перед вторым
измерением было \ип), а не|\|/) .
I Ф@) >
Измерение, дающее
результат ап \
\
|Wo)>
k>
И*.)>
-•►/
Рис.1
При измерении наблюдаемой А в момент времени tQ% дающем результат ant вектор
состояния системы испытывает внезапное изменение и становится вектором \ип). Затем
он испытывает эволюцию из этого нового начального состояния
Когда собственное значение ап, полученное при измерении, вырождено, то постулат
(В-28) обобщается следующим образом. Если разложение состояния |\|/) сразу же перед
измерением имеет вид:
k)=is<K),
(В-29)
то изменение вектора состояния в процессе измерения выразится формулой:
М
/ = 1
2 /=»
1 cik).
(В-30)
276

Постулаты квантовой механики
Сумма Y, с'п \и'п) представляет собой определенный выше вектор |\|/;1) [формула (В-8)],
то есть проекцию вектора |\|/) на собственное подпространство, определенное
собственным значением ап. В формуле (В-30) этот вектор был нормирован, так как всегда
удобнее использовать нормировку векторов состояния на 1 [замечание (i) в § b]. Применяя
обозначения (В-10) и (В-11), выражение (В-30) можно переписать в виде:
V => ■ "|¥ ■ (В-31)
V постулат. Если измерение физической величины .«/ системы в состоянии |\|/)
дает результат ап, то состояние системы немедленно после измерения является нор-
мированной проекцией , ' =- вектора |\|/) на собственное подпространство,
соответствующее собственному значению ап.
Таким образом, состояние системы сразу же после измерения всегда равно
собственному вектору оператора А, соответствующему собственному значению ап.
Подчеркнем особо, что это не просто какой-нибудь кет подпространства tf;l, а часть вектора
|\|/), принадлежащая #л, (нормированная соответствующим образом). В свете
изложенного выше (§ З-b-y) равенство (В-28) можно рассматривать как частный случай формулы
(В-30); действительно, если gn -1, то суммирование по / в формуле (В-30) исчезает, и,
следовательно:
-LCl,\u„) = e^^\u„). (B-32)
Этот кет описывает то же физическое состояние, что и \ип).
4. Эволюция систем во времени
В § В-2 главы I мы уже встречали уравнение Шредингера для частицы. Здесь
запишем его в общем виде:
277

Глава III
VI постулат. Эволюция
нением Шредингера:
где
вектора состояния во времени
Л±Ш-
= Я@|ч/@),
|V@)
H(t) — наблюдаемая, связанная с полной энергией системы.
описывается
урав-
Оператор Н называется гамильтонианом системы, так как он получен на основе
классической функции Гамильтона (приложение III и § 5).
5. Правила квантования
В этом параграфе мы увидим, как для физической величины .с/, определенной в
классической механике, можно построить оператор А, описывающий ее в квантовой
механике.
а. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим сначала систему, состоящую из одной частицы без спина, находящуюся
в поле скалярного потенциала. Тогда:
Положению r(jc, у, z) частицы соответствует наблюдаемая R(X, У, Z).
Импульсу р(рх, pv, pz) частицы соответствует наблюдаемая P(PV, PY, Pz).
Напомним, что операторы R и Р удовлетворяют каноническим соотношениям
коммутации [глава II, равенства (Е-30)]:
[я,.,р.] = //*5,у. (в-зз)
Любая физическая величина .V, характеризующая частицу, выражается через
основные динамические переменные г и р, то есть ,<У(г, р, г). Чтобы получить
соответствующую наблюдаемую А , можно было бы просто заменить в выражении для .c/(r, p, t)
переменные г и р на наблюдаемые R и Р *:
* Определение функции от операторов дано в дополнении Вц.
278

Постулаты квантовой механики
Л(Г) = .е/(К, Р, Г). (В-34)
Однако такой подход страдает в общем случае неоднозначностью. Допустим,
например, что в .o/(R, P, t) имеется член вида:
r-p = xpx + ypy+zpz. (B-35)
В классической механике скалярное произведение г • р коммутативно, и можно в равной
мере использовать выражение:
p-r = pxx + pyy + pzz. (B-36)
Но после замены г и р на соответствующие наблюдаемые R и Р операторы,
полученные по формулам (В-35) и (В-36), не совпадают [см. формулы (В-33)]:
RP*PR. (B-37)
Кроме того, ни R • Р , ни Р • R не являются эрмитовыми операторами:
(R-P)+=(XPt + 17>v+ZPc)+=P.R. (B-38)
Поэтому к перечисленным постулатам необходимо добавить правило симметризации.
Например, наблюдаемая, соответствующая г • р, запишется в виде:
-(R P + P R) (В-39)
и является эрмитовой. Для более сложных наблюдаемых следует также выполнять
аналогичную симметризацию.
Наблюдаемая А , описывающая физическую величину ,с/, определенную
классически, получается путем замены в надлежащим образом симметризованном выражении
для ..с/ величин г и р на наблюдаемые R и Р соответственно.
Однако далее мы увидим, что существуют квантовые физические величины, не
имеющие классического эквивалента, и они определяются непосредственно
соответствующими наблюдаемыми (например, спин частиц).
ЗАМЕЧАНИЕ
Сформулированные выше правила, и, в частности, правила коммутации (В-33),
верны лишь в декартовых координатах. Однако они могут быть обобщены таким
279

Глава III
образом, чтобы их можно было использовать и в других системах координат, но
при этом они не будут иметь столь простой и наглядной формы.
Ь. ВАЖНЫЕ ПРИМЕРЫ
а. Гамильтониан частицы в поле скалярного потенциала
Рассмотрим частицу без спина, имеющую заряд q и массу т, помещенную в
электрическое поле, созданное скалярным потенциалом U(r). Потенциальная энергия
частицы равна V(r) = qU(r), а соответствующая функция Гамильтона имеет вид
[приложение III, формула B9)]:
2
.7^(r,p) = iL- + V(r), (B-40)
2т
где
р = т— = mv (B-41)
и v — скорость частицы.
Квантовый оператор Н , соответствующий функции Ж , строится без труда, так как
нет необходимости прибегать к симметризации. Действительно, ни Р2 = Р* + Р2 + Рг2,
ни V(R) не содержат произведения операторов, не коммутирующих друг с другом.
Таким образом:
Р2
Я = —+ V(R), (B-42)
2т
где V(R) — оператор, полученный путем замены в выражении V(r) переменной г на
оператор R (см. дополнение В1Ь § 4).
В этом частном случае уравнение Шредингера, вытекающее из VI постулата,
принимает вид:
|V@>. (B-43)
р. Гамильтониан частицы в поле векторного потенциала
Если теперь частица находится в произвольном электромагнитном поле, то
классическая функция Гамильтона имеет вид [приложение III, формула F6)]:
*-|¥@>-
2т
+ V(R)
280

Постулаты квантовой механики
Ж(г% р)~ [p-<?A(r, t)]2+qU(r> г), (В-44)
2т
где £/(г, О и A(r, t) — скалярный и векторный потенциалы, описывающие
электромагнитное поле, а р определяется формулой:
dv
р = т— + <?А(г, /) = т\ + <?A(r, t). (В-45)
dt
И в этом случае построение квантового оператора A(R, r) не составляет труда, ибо
А(г, t) зависит лишь от г и параметра t (но не зависит от р). Поэтому гамильтониан Н
имеет вид:
Я@ = тЦр-9А(Н, t)f+V(R9 Г), (В-46)
2т
где
V(R,f) = 9t/(R,f), (В-47)
и уравнение Шредингера записывается в форме:
|»^|V@> = {^[P-^A(R,0]2+V(R.0J|V@>. (B-48)
ЗАМЕЧАНИЕ
Следует соблюдать осторожность и не путать р (импульс частицы, или момент,
сопряженный координате г) с т\, количеством движения частицы: различие этих
двух величин отчетливо проявляется в формуле (В-45). В квантовой механике,
конечно, имеется оператор, соответствующий скорости частицы:
Г = — (Р-?А). (В-49)
т
Тогда оператор Н имеет вид:
H(t) = -mV2+V(R, t). (B-50)
281

Глава III
Это сумма двух членов, первый из которых соответствует кинетической энергии, а
второй — потенциальной энергии частицы.
Однако именно импульс р, а не количество движения т\ превращается в
квантовой механике в оператор Р, удовлетворяющий каноническим
соотношениям коммутации (В-33).
С. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОСТУЛАТОВ
О НАБЛЮДАЕМЫХ И ИХ ИЗМЕРЕНИИ
1. Правила квантования согласуются
с вероятностной интерпретацией волновой функции
Совершенно естественно связать наблюдаемые R и Р, действие которых было
определено в § Е главы II, с положением и импульсом частицы. Каждая из наблюдаемых
X, У, Z и Рх> Pv, Pz обладает непрерывным спектром, и эксперимент действительно
показывает, что шесть переменных положения и импульса могут принимать любые
вещественные значения. Применение IV постулата к этим наблюдаемым лишь подчеркивает
вероятностную интерпретацию волновой функции и ее Фурье-образа (см. § В-2 и § С-3
главы I).
Для простоты остановимся на одномерной задаче. Если частица находится в
нормированном состоянии |\|/), вероятность того, что измерение положения даст результат,
заключенный между х и х + dx , равна (В-17):
^?(д:) = |(д:|1|/)|2^, (С-1)
где \х) — собственный кет оператора X с собственным значением х. Видно, что
квадрат модуля волновой функции 1|/(jc) = (x\\\f) есть плотность вероятности найти частицу
в точке х. С другой стороны, собственный вектор | р) наблюдаемой Р соответствует
плоской волне:
{'м'шл- (С-2)
и мы уже видели в § С-3 главы I, что соотношения Луи де Бройля связывают с этой
волной определенный импульс, в точности равный р . Кроме того, вероятность получить у
частицы в состоянии |\|/) импульс в пределах от р до р Л-dp равна:
282

Постулаты квантовой механики
d;Hp)^\y)\2dp = \\v(pfdp. (С-3)
Именно это было установлено в § С-3 главы I.
2. Квантование некоторых физических величин
Выше мы уже отмечали, что III постулат позволяет установить правила квантования
некоторых величин, как, например, энергия атомов. Но его нельзя применить для
квантования всех величин, так как имеются наблюдаемые, спектр которых непрерывен.
Физические предсказания, основанные на III постулате, априори не могут считаться
очевидными. Например, далее при изучении атома водорода (глава VII) будем исходить из
полной энергии электрона в поле кулоновского потенциала протона, и из нее получим
выражение для гамильтониана. Решив уравнение на собственные значения, найдем, что
связанные состояния системы могут соответствовать лишь определенным дискретным
значениям энергии, которые затем будут найдены. Таким образом, мы не только
объясним квантование уровней атома водорода, но и предскажем возможные значения
энергии, которые можно обнаружить экспериментально. Подчеркнем, что эти результаты
будут получены на основе того же фундаментального закона взаимодействия, что и в
классической механике для макроскопических объектов.
3. Механизм измерения
Четвертый и пятый постулаты порождают определенные проблемы
фундаментального характера, которые здесь не будут рассмотрены. К ним, в частности, относится
проблема понимания природы «фундаментального» возмущения, вносимого в квантовую
систему при наблюдении (см. главу I, § А-2 и § А-3). Сущность этих проблем состоит
в том, что изучаемая система рассматривается изолированно от измерительного
прибора, тогда как их взаимодействие существенно влияет на систему в процессе измерения.
В действительности следовало бы рассматривать ансамбль, состоящий из системы и
измерительного прибора, но это связано с появлением очень деликатных вопросов,
касающихся подробностей самого механизма измерения.
Мы удовлетворимся лишь констатацией связи индетерминистской формулировки
четвертого и пятого постулатов с только что затронутыми проблемами. Например,
внезапный переход при измерении от одного вектора состояния к другому как раз и связан
с фундаментальным возмущением, о котором мы говорили выше. Но невозможно
предсказать, каким будет это возмущение, так как оно зависит от заранее неизвестного
результата измерения*.
* За исключением, конечно, случая, когда мы уверены в получении того или иного результата
(вероятность равна 1, процесс измерения не изменяет состояния системы).
283

Глава III
Уместно также заметить, что мы рассматриваем здесь лишь идеальные измерения.
Чтобы понять смысл этого понятия, вернемся к примеру эксперимента в § А-3 главы I
с поляризованными фотонами. Ясно, что когда допускаем, что все поляризованные в
определенном направлении фотоны пройдут через анализатор, мы предполагаем, что он
является совершенным. На практике, естественно, анализатор частично поглощает
фотоны, которые он должен был бы пропустить. Таким образом, в общем случае
предполагается, что используемые измерительные приборы являются идеальными, то есть
производимое ими возмущение системы связано исключительно с квантовым механизмом
измерения. Конечно, все реально существующие приборы всегда имеют отклонения от
совершенства, влияющие как на измерение, так и на саму систему. Но в принципе их
можно совершенствовать бесконечно, приближаясь тем самым к идеальному пределу,
определенному сформулированными выше постулатами.
4. Среднее значение наблюдаемой в заданном состоянии
Предсказания, которые можно сделать с помощью IV постулата, выражаются в
терминах вероятностей. Чтобы подтвердить их, нужно было бы выполнить большое
количество измерений в идентичных условиях, то есть измерять одну и ту же величину для
большого количества систем, приготовленных в одном и том же квантовом состоянии:
если эти предсказания правильны, мы должны обнаружить, что из общего количества
идентичных экспериментов N пропорция тех, которые соответствуют данному
событию, должна стремиться при N —> °о к вероятности & события, предсказанной теорией.
Такое подтверждение можно получить только при N —» ©о 9 но на практике N — всегда
конечная величина, и для интерпретации полученных результатов нужно применять
статистическую обработку.
Среднее значение наблюдаемой* А в состоянии |\|/), которое далее мы будем
обозначать символом (Л) или просто (Л), определяется как средний из результатов,
полученных при большом количестве N измерений этой наблюдаемой на системах,
находящихся в состоянии |\|/). Если вектор |\|/) известен, то известны вероятности получить
все возможные результаты, и можно предсказать среднее значение (Л) . Сейчас мы
покажем, что если кет |\|/) нормирован, величина (Л) определяется формулой:
(A) =(vHv>
(С-4)
* В дальнейшем мы будем использовать слово «наблюдаемая» для обозначения как
физической величины, так и связанного с ней оператора.
284

Постулаты квантовой механики
Рассмотрим сначала случай, когда спектр оператора А — дискретный. Если из N
измерений величины ,<*/ (каждый раз система приготовлена в состоянии |\|/))
собственное значение ап получено *Л\ап) раз, то
•*(«„)
N
■N=nr->^(«.)
(С-5)
!•*(*.) = N.
(С-6)
Среднее значение результатов N измерений равно сумме всех полученных значений,
разделенной на N (конечно, если в .Г измерениях получен один и тот же результат, в
сумму он входит ,/Г раз), то есть
— У\аМа„).
(С-7)
Используя формулу (С-5), получим, что при N —> оо среднее значение стремится к:
(А\=1а„0>(ап). (С-8)
п
Подставим в эту формулу выражение (В-7), полученное для Р7>(ап):
(-4}w=E^E(v|/|<>(«:|v|/>. (C-9)
п / = 1
Поскольку:
А\и') = а \и! ),
можно переписать формулу (С-9) в виде:
(a)v=ZS(v|a|«;,)(m:|4/> = (v|a[s£|«:>(m»I
k>.
(С-10)
(С-11)
Так как ансамбль векторов {\и'\} образует ортонормированный базис в пространстве
К, выражение в квадратных скобках равно единичному оператору (соотношение
замкнутости), и результатом является формула (С-4).
285

Глава III
В случае, если спектр оператора А непрерывный (для простоты допустим, что он не
вырожден), то все рассуждения остаются теми же. Рассмотрим N одинаковых
экспериментов и обозначим символом d I (а) число экспериментов, которые дали результат,
заключенный между а и а + da . Как и ранее:
iLM__^(a). (C-12)
Среднее значение полученных результатов равно —iadJ'(a) и стремится при N —> «>
к значению:
(A)¥=Jad?(a). (C-13)
Подставим в (С-13) выражение (В-17) для di?(a):
(>i)¥=Ja(v|vaXva|v)rfa. (C-14)
Можно воспользоваться уравнением:
A|va) = a|va) (C-15)
и преобразовать (С-14) в:
(A)v=/(V|A|va){vtt|Vya = D/|A[^a|vaXv0||¥)]. (C-16)
С учетом соотношения замкнутости для состояний | va) получаем формулу (С-4).
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Не следует путать (л), среднее по ансамблю идентичных измерений, со средним
по времени, что иногда бывает при изучении явлений, зависящих от времени,
(ii) Если кет |\|/), представляющий состояние системы, не нормирован, то формулу (С-4)
нужно изменить [см. замечание (i) в § B-3-b] на:
(А) _МАМ (С-17)
(}* т • (С17)
(ш) На практике для вычисления (л) часто переходят в определенное представление.
Например:
286

Постулаты квантовой механики
{Х)щ =(\|/| X |i|/) = J</3r(V|r)(r| X |i|/) = Jrf3/-y*(r)x\)/(r) (С-18)
в соответствии с определением оператора X [см. главу II, (Е-22)]. Аналогично:
(РХ =Wp,M = U3pW'(p)p.Mp) (С-19)
или в представлении {| г)}:
(P,)w=J^r(V|r)(r|Pv|v|/)=J^Vu/4r)|
ttVW
I ОХ
(С-20)
так как оператор Р определен выражением — V [формула (Е-26) главы II].
/
5. Среднеквадратичное отклонение
Значение (л) указывает на порядок величины наблюдаемой А, когда система
находится в состоянии |\|/). Однако это среднее значение не дает никакого ответа на
возможный разброс результатов измерения. Допустим, например, что спектр оператора А
непрерывен и что в определенном состоянии |\|/) кривая, описывающая зависимость
плотности вероятности p(oc) = Kva|\|/) от а, имеет форму, изображенную на рис. 2.
Для системы в состоянии |\|/) значения, которые можно получить при измерении Л,
заключены практически в интервале с шириной 8Л вблизи (л). Величина 5А является
характеристикой ширины кривой: чем она меньше, тем плотнее результаты измерения
концентрируются вокруг значения (л).
<*> «,
>сг
Рис.2
Зависимость плотности вероятности р(ос).
Среднее значение (л) равно абсциссе
центра тяжести площади под кривой (она не
обязательно совпадает с абсциссой аш
максимума функции)
287

Глава III
Как в общем случае определить число, характеризующее дисперсию результатов
вокруг (а) ? Априори можно было бы попытаться сделать это следующим образом: для
каждого измерения найти разность между полученным значением и величиной (л),
затем усреднить эти разности, разделив их сумму на количество N экспериментов.
Однако легко видеть, что при этом был бы получен результат, равный нулю. Действительно:
(а-(а)) = (а)-(а) = 0. (С-21)
По определению (а) отрицательные отклонения в среднем скомпенсировали бы
положительные отклонения.
Чтобы избежать компенсации, достаточно определить АЛ через квадрат (АЛ) , то
есть усреднять квадраты отклонений:
(ДАJ = ((а-(а))^. (С-22)
Итак, по определению введем среднеквадратичное отклонение ДА формулой:
АА
-№-wt
(С-23)
Согласно выражению (С-4) для среднего значения получим:
ДА = ij(y\(A-(A)J\y). (С-24)
Это соотношение можно переписать в несколько ином виде, поскольку,
действительно:
((Л-(А)J)=((л2-2(л)Л + (лJ)) = (л2)-2(лJ+(лJ=(л2)-(лJ.(С-25)
Таким образом, среднеквадратичное отклонение А А можно записать и так:
ДЛ = )/(Л2)-(АJ. (С-26)
Например, в случае непрерывного спектра рассмотренной выше наблюдаемой А
величина А А определяется из равенства:
(а аJ = J_^ [a-(A)]2p(a)da = О*2 p(a)da-[f_+>p(a)da]2. (С-27)
288

Постулаты квантовой механики
Если применить определение (С-23) к наблюдаемым R и Р, можно показать
(дополнение Сш), используя их соотношения коммутации, что в любом состоянии |\|/) имеем:
(ДХ-ДРг>/*/2;
|дУ-ДРу>/?/2; (С-28)
[AZ'APz>ti/2.
Иначе говоря, мы снова получили соотношения неопределенностей Гейзенберга, но с
точной нижней границей, которая получилась из точного определения отклонений.
6. Совместимость наблюдаемых
а. СОВМЕСТИМОСТЬ И КОММУТАТИВНОСТЬ
Рассмотрим две коммутирующие наблюдаемые Л и В:
[л, В] = О . (С-29)
Для простоты допустим, что их спектры дискретны. Согласно теореме, доказанной в
§ D-3-a главы И, в пространстве состояний, образованном общими собственными
векторами операторов А и /?, существует базис, который мы обозначим как \ап, Ьр, Л :
A\"n*bpj) = an\aH9bp,i)\
в\ан,Ьр,1) = Ьр\ая,Ьр,1) (С-30)
(индекс / позволит нам в случае необходимости различить разные векторы,
соответствующие одной и той же паре собственных значений). Таким образом, какими бы ни
были ап и Ь (выбранные соответственно из спектров операторов А и В), существует по
меньшей мере одно состояние \ап, bp, n , для которого измерение А даст с
достоверностью значение ап и измерение В — значение Ьр, и они могут быть одновременно и
точно определены, или, как говорят, совместимы.
Напротив, если операторы А и В не коммутируют, состояние в общем случае не
может быть" собственным вектором одновременно для этих двух наблюдаемых, и они
называются несовместимыми.
* Может оказаться, что некоторые кет-векторы будут одновременно собственными векторами
А и В. Но их при этом недостаточно, чтобы образовать базис, в противоположность тому, что
имеет место , если А и В коммутируют.
19 Квантовая механика
289

Глава III
Рассмотрим более подробно измерение двух совместимых наблюдаемых в системе, которая в
начальный момент времени находилась в произвольном нормированном состоянии |\|/) . Его
всегда можно представить в виде:
|V>= Ic„,,M.| <*„,*>„,*). (С-31)
л. p,i
Предположим сначала, что мы измеряем величину А и сразу же после нее — величину В
(прежде, чем система смогла изменить состояние). Вычислим вероятность !?(ап, Ьр) получить
ап в первом измерении и Ьр — во втором. Начинаем с измерения А в состоянии |\|/) ;
вероятность получения ап равна:
^K) = Ek.J
(С-32)
Если затем измеряем В, то система уже не находится в состоянии |\|/у , а в состоянии | \|/;'у, если
в результате первого измерения получено значение ап :
1
1*;)=
\р.1
2Х;),,. кЛ-')-
(С-ЗЗ)
Вероятность получить Ь после того, как первое измерение дало значение ап , равна:
1 ^ I
Ъ.ФрУ-
(С-34)
Искомая вероятность ^(я,,, Ъ ) соответствует «сложному событию»: сначала нужно получить
ап , а затем (после реализации первого условия) — Ъ . Тогда:
Пап,Ьр) = :Па„)х?а (Ьр). (С-35)
Подставив в эту формулу выражения (С-32) и (С-34), получим:
^(*.Л)в2К„.,|2. (С-Зб)
i
Кроме того, сразу же после второго измерения состояние системы изменится и станет равным:
(С-37)
I ¥".„) = I 2е».,./ K'V i) .
\У\с \ '
290

Постулаты квантовой механики
Таким образом, если снова пытаться измерить или А или В, то результат (ап или Ър) будет
полностью определен, так как V,",,} —общий собственный вектор операторов А и В с
собственными значениями ап и Ър соответственно.
Вернемся теперь к системе в состоянии |\|/) и измерим две наблюдаемые в обратном порядке
(сначала В, затем А ). Какой будет вероятность -J?{bp, ап) получения тех же результатов, что и
ранее? Рассуждения остаются теми же, и в конце концов получим:
Из формулы (С-31) видно, что
Р(Ьр,ая) = Р(Ьр)х&(ая).
oj>(b ) = Y \с .1 .
(С-38)
(С-39)
После измерения В, давшего Ь , состояние системы станет равным:
Тогда:
к) = i iicn.pj \an. v «■) •
/V I l/i,/
\jLj \ n,p,i\
*ъ. ("„) = ■
1
Cn.p.i
V
2 Ь
i
n,p,i
(C-40)
(C-41)
i
После измерения сначала bp, а затем ап система перейдет в состояние:
|ф/',/,) = -Г= 2 IX;,/ \*п>Ьр>1)-
(С-42)
(С-43)
Если две наблюдаемые совместимы, то физические предсказания одинаковы
независимо от порядка, в котором производятся два измерения (при условии, конечно, что ин-
19*
291

Глава 111
тервал между ними должен быть достаточно малым). Вероятности получения
результатов (ап, затем Ьр)и(Ьр, затем ап ) одинаковы:
!?(*„, Ьр) = ПЪР, а„) = S \cnJ =2 \{an,bp, i\vf . (С-44)
Кроме того, финальные состояния, в которые приходит система после двух измерений и
получения соответствующих результатов, также одинаковы:
\К„) = \<„)= , 1 2 Zc„.„,h, К, г). (С-45)
Все последующие измерения А и В с достоверностью дали бы те же значения.
Итак, проведенный выше анализ позволил нам получить следующий результат: если
две наблюдаемые А и В совместимы, то измерение В не приводит к потере
информации, полученной перед этим при измерении А (и наоборот), напротив, оно дополняет
их, при этом порядок, в котором измеряются А и В, не имеет значения. Это
утверждение, впрочем, допускает возможность и одновременного измерения А и В. Как можно
убедиться, формулы (С-44) и (С-45) позволяют обобщить IV и V постулаты на подобные
случаи одновременного измерения: результату {ап, Ър } соответствуют ортонормиро-
ванные собственные векторы \ап, bp, i), и, следовательно, формулы (С-44) и (С-45)
оказываются непосредственно вытекающими из постулатов (В-7) и (В-30).
Напротив, если А и В не коммутируют, все приведенные выше рассуждения
несправедливы. Чтобы понять это, представим себе, что пространство состояний #
заменили на пространство двумерных вещественных векторов. Векторы \щ) и \и2) на рис.3
являются собственными векторами оператора А с собственными значениями я, и а2
соответственно; |v,)h |v2) являются собственными векторами оператора В с
собственными значениями Ь{ и Ь2 соответственно. Каждый из двух ансамблей {|mi),|m2)} и
{|v,) ,|v2) } образует ортонормированный базис в пространстве ^ . На рис.3 мы
представили их двумя парами перпендикулярных единичных векторов. Тот факт, что
наблюдаемые А и В не коммутируют, требует, чтобы эти две пары не совпадали. Изучаемая
физическая система первоначально находилась в нормированном состоянии | ij/), что
представлено на рисунке некоторым произвольным единичным вектором. Измеряем А
и получаем, например, я, — при этом система переходит в состояние \щ). Затем
измеряем В и получаем, например, Ь2 — при этом система переходит в состояние | v2):
292

Постулаты квантовой механики
|1М2> __
Рис.3
Схема, иллюстрирующая последовательное
измерение двух несовместимых наблюдаемых А и В.
Вектор состояния системы |\|/); собственные векторы
оператора А обозначены символами и Л и \и2)
(собственные значения я, и я2), они отличаются от
собственных векторов оператора В — v,) и \v2)
(собственные значения Ъх и Ъ2)
|¥) _<*)_» )„,)_<&)_> |„2). (С-46)
Если же мы выполняем измерения в обратном порядке, получая при этом в каждом из
них те же результаты, то
M-^Hv2)-^h). (C-47)
Видно, что в этих двух случаях финальное состояние не одно и то же. Из рисунка также
видно, что
^>(«1,Ь2) = |ОН1|2х|ОК2|2;
^(Ь2, «1) = |ОН2|2х|ОК1|2. (С-48)
Несмотря на то, что |ОК,| = |ОК2|, в общем случае |ОН,| Ф |ОН2| и
&{Ь2,ах)Ф#(с1х,Ь2). (С-49)
Итак, две несовместимые наблюдаемые не могут быть измерены одновременно. Из
выражений (С-46) и (С-47) видно, что при втором измерении теряется информация,
полученная при первом измерении: если, например, после последовательности измерений,
схематически представленной выражением (С-46), вновь пытаться измерить
величину А , то результат оказывается не достоверным, так как |v2) не является
собственно
293

Глава III
ным вектором оператора А, и все преимущества первого измерения А оказываются
потерянными.
Ь. ПРИГОТОВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
Рассмотрим физическую систему в состоянии |\|/) и попытаемся измерить
наблюдаемую А , предполагая, что ее спектр является дискретным.
Если измерение дает невырожденное собственное значение ап, то состояние системы
сразу же после измерения является соответствующим собственным вектором \ип). В этом
случае знание результата измерения достаточно для недвусмысленного определения
состояния системы после измерения, и оно является одним и тем же, каким бы ни был
исходный кет |\|/). Как мы уже отмечали в конце § В-З-с, это связано с тем, что вектор
т-^т \ип) физически представляет то же состояние, что и сам кет \ип).
Ы
Дело обстоит иначе, если собственное значение ап, полученное в измерении,
является вырожденным. В формуле:
k:)=-r=£cJk) (c-5°)
модули коэффициентов с'п и их относительные фазы существенно важны (§В-3-Ь-у).
Поскольку с'п зафиксированы заданием начального состояния |\|/), состояние |\|/,')
после измерения оказывается зависящим от |\|/).
Однако мы видели выше, что можно одновременно измерять две совместимые
наблюдаемые А и В. Если результат (ап, Ьр) этого комбинированного измерения таков,
что ему соответствует единственный собственный вектор ап, Ър), общий для
операторов А и В, то суммирование по / в формуле (С-37) отсутствует, и, следовательно:
\с
Это состояние физически эквивалентно вектору \ап, Ьр). И снова задание результатов
измерения фиксирует единственным образом финальное состояние системы, не
зависящее от начального кет-вектора |\|/).
294

Постулаты квантовой механики
Если набору (ап, Ьр) соответствует несколько собственных векторов \ап, bp, i)
операторов А и В, можно всякий раз снова повторить сделанные рассуждения и
измерить одновременно с А и В третью наблюдаемую С, совместимую с каждой из двух
предыдущих. При этом приходим к следующему заключению: чтобы состояние
системы после измерения было определено, в любом случае при наличии полученного
результата нужно, чтобы это измерение выполнялось на полном наборе коммутирующих
наблюдаемых (§ D-3-b главы И). Именно это свойство физически оправдывает введение
понятия полного набора коммутирующих операторов.
Методы, которые можно использовать для приготовления системы в определенном
квантовом состоянии, аналогичны в принципе методам, позволяющим получить
поляризованный свет: если вставить на пути луча света поляризатор, то после него свет
выходит поляризованным в направлении оси поляризатора, независимо от состояния
начальной поляризации. Так реализуется устройство, предназначенное для приготовления
квантовой системы в некотором определенном состоянии, соответствующем
определенному собственному значению каждой из наблюдаемых избранного полного набора.
Рассмотрим конкретный пример приготовления квантовой системы в главе IV (§ В-1).
ЗАМЕЧАНИЕ
Измерение всех наблюдаемых некоторого полного набора коммутирующих
операторов позволяет приготовить систему лишь в одном из базисных состояний,
образующих этот набор. Однако достаточно изменить набор наблюдаемых, чтобы
получить другие состояния системы. На конкретном примере в § В-1 главы IV
увидим, что так можно приготовить систему в любом состоянии пространства # .
D. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
Уравнение Шредингера играет фундаментальную роль в квантовой механике, так
как согласно сформулированному выше VI постулату оно описывает эволюцию во
времени физической системы. В этом параграфе мы рассмотрим наиболее важные свойства
этого уравнения.
1. Общие свойства уравнения Шредингера
а. ДЕТЕРМИНИЗМ В ЭВОЛЮЦИИ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Уравнение Шредингера:
/Й-f |V@) = #@|V@> (D-l)
at
295

Глава III
является дифференциальным уравнением первого порядка по t. Отсюда следует, что
задание начального состояния |i|/(f0)) достаточно для определения |\|/(/)) в любой
последующий момент времени. Никакой индетерминизм не вносится во временную
эволюцию квантовой системы. Он проявляется только на этапе измерения физической
величины, когда вектор состояния подвергается непредвиденным изменениям (см. V
постулат); напротив, между двумя измерениями вектор состояния эволюционирует
совершенно определенным образом в соответствии с уравнением (D-1).
Ь. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ
Поскольку уравнение (D-1) линейное и однородное, его решения допускают
применение принципа суперпозиции.
Пусть |\|/,(f)) и |\|/2@) —два решения уравнения (D-1). Если начальное состояние
системы равно |\|/(r0)) = X,|\j/l(r0)) +А>2|\|/2(г0)), где А,, и Х2 —комплексные константы,
то в момент времени t система находится в состоянии \y(t)) = X1|\|/1(/)) + X2|ij/2(r)).
Таким образом, соответствие между |i|/(/0)) и |ty@) является линейным. Далее (в
дополнении Fni) более подробно рассмотрим свойства линейного оператора U(t, tQ),
преобразующего |v|/(r0)) в |\|/@)-
|v(o>=£/a^o)|va0)>- (D-2)
с. СОХРАНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
а. Норма вектора остается постоянной
Эрмитовость гамильтониана Я(г), фигурирующего в уравнении (D-1), требует,
чтобы квадрат нормы вектора состояния (i|/@| V@) не зависел от времени t.
Действительно, можно показать, что —(i|/(f)| V@) = 0;
^(Щф(О):
>>1
|v(o)+D/(o
■ii«.»
(D-3)
Или, согласно (D-1), можно записать:
iL|V@) = ^#(r)|v@>. (D-4)
296

Постулаты квантовой механики
Возьмем эрмитово сопряжение от обеих частей равенства (D-4):
T(V(')| = ~Ы0\ Н+@ = ~(Щ0\ H(t), (D-5)
так как H{t) — эрмитов оператор (то есть наблюдаемая). Подставив (D-4) и (D-5) в (D-3),
получим:
^(V@|¥@) = ~{Ш\ ЖО | V@) + ^(V@| Я(г) | V@>. (D-6)
Свойство сохранения нормы оказывается очень полезным в квантовой механике.
Так, например, оно совершенно необходимо для интерпретации квадрата модуля
|\|/(r, t)\" волновой функции частицы без спина как плотности вероятности нахождения
ее в точке с радиусом-вектором г. Действительно, тот факт, что состояние |\|/(f0))
частицы нормировано в момент времени t0, выражается соотношением:
<Va0)|vUo)> = J^3^|v(r, r0)|2 =1, (D-7)
где \|/(r, f0)= (r|v|/(/0)) — волновая функция, соответствующая вектору |v(/0)).
Равенство (D-7) означает, что полная вероятность найти частицу во всем пространстве равна 1.
Доказанное выше свойство сохранения нормы выражается формулой:
(v@| v(o> = RV |vd\ o|2=(ч/а0)| va„)> = 1, (d-8)
где |\|/(r)) — решение уравнения (D-l), соответствующее начальному условию |\|/(r0)).
Иначе говоря, эволюция во времени не изменила полную вероятность найти частицу в
любой точке пространства, которая всегда остается равной 1, то есть |\|/(r, t)\
действительно можно интерпретировать как плотность вероятности.
Р. Локальное сохранение вероятности. Плотность и ток вероятности
В этом параграфе ограничимся случаем физической системы, образованной из
единственной частицы без спина.
Тогда, если \j/(r, t) нормирована, то функция:
p(r,0 = |v(r,0|2 (D-9)
297

Глава HI
является плотностью вероятности: вероятность d^(r, t) найти частицу в момент t в
бесконечно малом объеме d3r, окружающем точку с радиусом-вектором г, равна:
d0»(r, 0 = p(r, t)d3r. (D-10)
Мы только что показали, что интеграл от р(г, О по всему пространству остается
постоянным во времени и равным 1, если \|/(r, t) нормирована. Это, однако, не означает, что в
каждой точке пространства г функция р(г, г) не должна зависеть от времени.
Действительно, ситуация совершенно аналогична той, которая существует в электромагнетизме:
если в данной изолированной физической системе имеется заряд, распределенный в
пространстве с объемной плотностью р(г, г), то общий заряд системы (то есть интеграл
от p(r, t) по всему пространству) сохраняется во времени, но в системе могут существовать
электрические токи, связанные с пространственным перераспределением этого заряда.
Эта аналогия может быть продолжена и далее. Сохранение полного электрического
заряда основано на законе его локального сохранения: если заряд Q, содержащийся в
некотором объеме V , изменяется во времени, это значит, что через замкнутую
поверхность S , окружающую V , протекает электрический ток. Точнее, изменение dQ заряда
за время dt в объеме V равно -/ dt, где / — сила тока через поверхность S , то есть
поток вектора плотности тока J(r, t), выходящего из S . Классический векторный
анализ позволяет выразить локальное сохранение электрического заряда формулой:
J-p(r,r) + divJ(rfO = 0. @-11)
Покажем, что можно ввести вектор J(r, t) плотности тока вероятности так, что
равенство, идентичное (D-11), останется справедливым, то есть будет иметь место
локальное сохранение вероятности. Все происходит так, как будто мы имеем дело с «потоком
вероятности», плотность и движение которого описываются функциями р(г, г) и
J(r, t). Если вероятность найти частицу в фиксированном объеме d3r вблизи г
изменяется во времени, это значит, что поток тока вероятности через ограничивающую этот
объем поверхность отличен от нуля.
Допустим сначала, что рассматриваемая частица подвержена действию лишь поля
скалярного потенциала V(r, t). Тогда ее гамильтониан имеет вид:
Р2
Я =— + V(R, О (D-12)
2т
и уравнение Шредингера запишется в представлении {|г) } в виде (см. дополнение Dn):
298

Постулаты квантовой механики
Э П2
ih — \j/(r, r) = A\|/(r, t) + V(r, r)\|/(r, r). (D-13)
at 2m
Функция V(r, г) должна быть вещественной, чтобы оператор Я был эрмитов.
Уравнение, комплексно сопряженное уравнению (D-13), запишется в форме:
Э h2
-ih —\|/*(г, 0 = -—AV(r, 0 + V(r, r)\|/*(r, r). (D-14)
at 2т
Умножим обе части равенства (D-13) на \|/*(r, t) и равенства (D-14) на -\|/(г, /), затем
сложим получившиеся уравнения:
Э h2
ihj- (У (г, 0 V(r, ')] = -— [\|/*A\|/-\|/Ai|/*] (D-15)
или
—p(r, 0 + т—: [V(r, 0A\j/(r, r)-\|/(r, 0AV>, 0l = 0. (D-16)
<tt 2mi L J
Если ввести вектор:
J(r, 0 = f\|/* V V|/-\|/ V V|/*l= —Re \\f\ —V\|/
2mi L A m \ \ i j
(D-17)
то равенство (D-16) примет форму (D-l 1), так как
divj(r,0= V J =
= ;гт К v ¥*)•( V \|0 + \|f'( V 2V)-( V \|/).( V \|/*)-V( V V)l =
2mi
= —[\|/*Ai|/-i|/Ai|/*l. (D-l 8)
2m/ L J
Таким образом, доказано существование уравнения, описывающего локальное
сохранение вероятности, и найдено выражение для тока вероятности, определенного через
нормированную волновую функцию \|/(r, t).
ЗАМЕЧАНИЕ
Форма выражения (D-17) для плотности тока вероятности физически понятна.
Действительно, J(r, t) имеет вид среднего значения оператора К(г) в состоянии \|/@/ > если
он задан формулой:
299

Глава III
K(r)=^[|r)(r|P + P|.r)(r|]. (D-19)
Поскольку оператор |г)(г| имеет среднее значение |\|/(г, /)| , то есть плотность вероятно-
Р
сти, а — — оператор скорости Т, то оператор К является квантовым оператором, по-
m
строенным с учетом соответствующей симметризации как произведение плотности на
скорость частицы, что полностью совпадает с вектором плотности тока классической жидкости
(например, хорошо известно, что плотность электрического тока, ассоциирующегося с
потоком наэлектризованных частиц, записывают в виде произведения объемной плотности
заряда на скорость перемещения этих частиц).
Если частица находится в электромагнитном поле, описываемом потенциалами
Ц(т, t) и А(г, /), можно продолжить рассуждения, высказанные ранее по поводу
гамильтониана (В-46). Тогда можно записать:
J(r,r) = -Re
m
\|Л yV-gA|\|(
(D-20)
Видно, что это выражение получается из (D-17) с помощью того же правила, что и
гамильтониан: простой заменой Р на Р - qX .
Пример плоской волны. Рассмотрим волновую функцию вида:
\|/(г, 0 = Л*" \ (D-21)
п\2
где Йсо = . Соответствующая плотность вероятности равна:
2т
p(r,0=k(r,0|2=|A|2. (D-22)
Она одинакова во всем пространстве и не зависит от времени. Вычисление J(r, t) с
помощью формулы (D-17) не представляет трудностей и дает:
. .? frk
J(r,/)= Л — =p(r,Ovc, (D-23)
т
hk
где vG = — — групповая скорость, соответствующая импульсу ftk (глава I, § С-4).
т
И снова мы видим, что ток вероятности равен произведению плотности вероятности на
групповую скорость частицы. В данном случае р и J не зависят от времени: режим
300

Постулаты квантовой механики
потока вероятности соответствует стационарной плоской волне (так как эти величины
не зависят и от г, то этот режим является еще и однородным).
d. ЭВОЛЮЦИЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ НАБЛЮДАЕМОЙ.
СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ
Пусть А — наблюдаемая. Если состояние системы |\|/(/)) нормировано (и мы
только что видели, что это свойство сохраняется во времени), то среднее значение
наблюдаемой А в момент времени t равно*:
(A)@ = <V(OHv@).
(D-24)
Видно, что (а)(/) зависит от t через зависимость от времени вектора |i|/(/)) (и,
конечно, (\|/@|). Кроме того, наблюдаемая А может явно зависеть от времени, что является
еще одной дополнительной причиной изменения (а)(г) во времени.
В этом параграфе мы рассмотрим эволюцию (а)(г) и покажем, как можно связать
классическую механику с квантовой.
а. Общая формула
Дифференцируя (D-24) по времени, получим:
-(V(oHv(o) =
dt
(V@|
A(o|v(o)+(v(oH(o
dt
|V@)
+ <V@|£|V(»>.
dt
(D-25)
Используя формулы (D-4) и (D-5) для
>»
>"l
, найдем:
j{y{t)| A(t) |\|/@> = ^(V(r)| [A(t) H{t) - H(t) Ait)] |\|/@) + (V@1 ^ |V@>, (D-26)
то есть
>->»M%-
(D-27)
* Обозначение (A /it) означает, что среднее значение (А) есть число, зависящее от
301

Глава III
ЗАМЕЧАНИЕ
Среднее значение (л) есть число, зависящее только от t, и важно понимать,
с чем связана эта зависимость. Для определенности рассмотрим случай частицы
без спина. Пусть .с/(г, р, г) — классическая величина; в классической механике
величины г и р зависят от времени (они изменяются в соответствии с
уравнениями Гамильтона), так что ,V(r, p, t) зависит от t одновременно и явно и неявно
через переменные г и р. Классической величине ,</(r, p, t) соответствует эрмитов
оператор Д = .</(К, Р, г), полученный путем замены в выражении для .с/
переменных г и р операторами R и Р (правила квантования, см.§ В-5).
Собственные состояния и собственные значения операторов R и Р, а следовательно, сами
эти наблюдаемые, не зависят более от t. Временная зависимость г и р,
характеризующая эволюцию классического состояния, оказывается теперь перенесенной
не в R и Р, а в вектор квантового состояния |\|/@)» которому в представлении
{|г) } соответствует волновая функция \|/(r, 0 = (r|v@)- В этом представлении
среднее значение наблюдаемой А записывается в форме:
(Л) = \d3r \|/*(г, f).«/(г, - V , 0Ч>A\ О • (D-28)
/
Ясно видно, что интегрирование по г дает в результате число, зависящее только
от времени. Чтобы установить связь с классической механикой, необходимо
сравнивать именно это число, а не оператор .«-/(г, — V , г), со значением, принимае-
/
мым классической величиной .с/(г, р, t) в момент времени t (см. ниже § у).
C. Применение к наблюдаемым R и Р (теорема Эренфеста)
Применим теперь общую формулу (D-27) к наблюдаемым R и Р. Для простоты
рассмотрим случай частицы без спина в поле стационарного скалярного потенциала
V(r). Имеем:
//~ + V(R), (D-29)
2т
так что можно записать:
302

Постулаты квантовой механики
dtx ' ihv J/ ih
2m
>4«p'"]>->• ^
(D-30)
(D-31)
Входящий в (D-30) коммутатор легко находится из канонических соотношений
коммутации. Нетрудно получить:
(D-32)
Для вычисления коммутатора в выражении (D-31) нужно использовать следующее
обобщение формулы (В-33) [см. дополнение Вц, формула D8)]:
Г« р21
R,—
2т
*«
= — Р.
т
[Р, V(R)] = -ih V V(R),
(D-33)
где V V(R) означает набор из трех операторов, полученных путем замены г на R в
трех компонентах градиента функции V(r). Таким образом:
dt
(К) = 1(Р)
т
^(P) = -(VVR)
(D-34)
(D-35)
Эти два уравнения отражают сущность теоремы Эренфеста. Они имеют форму,
которая напоминает классические уравнения Гамильтона—Якоби для частицы
(приложение III, § 3):
d 1
—r = —p;
dt m
dt
р = -V V(r),
которые приводятся в простейшем случае к известному уравнению Ньютона:
dp d v „...
-f. = m—T = - VVr.
dt dr
(D-36-a)
(D-36-b)
(D-37)
303

Глава HI
у. Обсуждение теоремы Эренфеста. Классический предел
Проанализируем физический смысл теоремы Эренфеста, то есть уравнений (D-34) и
(D-35). Предположим, что волновая функция \|/(r, t), описывающая состояние частицы,
является волновым пакетом, схожим с тем, который мы изучали в главе I. Величина
(R) представляет ансамбль трех чисел, зависящих от времени {(х), (Y), (z)}; мы
будем называть центром волнового пакета* в момент времени t точку с координатами
(R)(r). Ансамбль этих точек, соответствующих различным значениям t, образует
траекторию, по которой следует центр волнового пакета. Напомним, однако, что, строго
говоря, никогда нельзя говорить о траектории самой частицы: состояние последней
описывается всем волновым пакетом, занимающим неизбежно определенную область
пространства. Тем не менее видно, что если эта область мала по сравнению с другими
длинами рассматриваемой задачи, то можно связать волновой пакет с его центром; в
предельном случае не должно быть заметных расхождений между квантовым и
классическим описаниями частицы.
Таким образом, важно знать ответ на следующий вопрос: подчиняется ли движение
центра волнового пакета законам классической механики? Ответ на этот вопрос дает
теорема Эренфеста. Уравнение (D-34) свидетельствует о том, что скорость центра
волнового пакета равна отношению среднего импульса волнового пакета и массы т. Таким
образом, левая часть уравнения (D-35) записывается как т—t(R) » так чт° ответ на
предыдущий вопрос будет положительным, если правая часть равенства (D-35) будет
равна классической силе Fc/ в точке, где находится центр волнового пакета:
FcI=[- VV(r)]r=(R). (D-38)
Действительно, правая часть выражения (D-35) равна среднему значению силы,
приложенной к центру волнового пакета, и в общем случае:
( VV(R))*[VV(r)]r=(R) (D-39)
(иначе говоря, среднее значение функции не равно его значению для среднего значения
переменной). Ответ на заданный вопрос, таким образом, строго говоря, является
отрицательным.
* Центр и максимум волнового пакета в общем случае различны. Они совпадают, если
волновой пакет имеет симметричную форму (§С-5, рис. 2).
304

Постулаты квантовой механики
ЗАМЕЧАНИЕ
В справедливости равенства (D-39) нетрудно убедиться, если взять конкретный
пример. Для простоты выберем одномерную модель и предположим, что
V(x) = Хх", (D-40)
где X — вещественная константа им — целое положительное число. Тогда оператор,
соответствующий V(x), имеет вид:
V(X) = XX\ (D-41)
Левая часть равенства (D-39) запишется в виде Хп(Х"']) (при замене V на — ). Что ка-
х ' dx
сается правой части, то она равна:
dV] =К~'Ц)=^Х>"~'- (D-42)
dx
=<*> - Мх>
Хорошо известно, что в общем случае (Хп /^{Х/ : например, для п = 3 имеем
(Х2) ■£ (X) (так как в формулу для нахождения среднеквадратичного отклонения АХ
входит разность этих двух величин).
Заметим, однако, что при п = 1 или п = 2 имеем (Х"~ ) = {X/ ,то есть обе части
выражения (D-39) равны. Впрочем, это имеет место и при п = 0 , так как при этом обе его
части обращаются в нуль. Для свободной частицы (/2 = 0) в однородном силовом поле
(п = 1) или в параболической потенциальной яме (гармонический осциллятор, п = 2)
движение центра волнового пакета строго подчиняется законам классической механики.
Впрочем, этот результат уже был получен для свободной частицы (п = 0 ) в главе I (см. §С-4).
Несмотря на то, что в общем случае обе части выражения (D-39) не равны, имеются
ситуации (называемые квазиклассическими), когда разность между ними пренебрежимо
мала: это соответствует случаю, когда волновой пакет достаточно четко локализован.
Чтобы заметить это, запишем в явной форме в представлении {|г)} левую часть этого
уравнения:
( V V(R)> = jd\ ч/*(г, t)[ V V(r)]\|/(r, r) = Кф(г, ttf V V(r). (D-43)
Предположим, что волновой пакет достаточно хорошо локализован в пространстве:
точнее говоря, величина |\|/(г, /)| принимает существенные значения лишь в очень ма-
20 Квантовая механика
305

Глава III
лой области по сравнению с расстояниями, где V(r) изменяется достаточно заметно.
Тогда в этой области с центром вблизи (R) величина V V(r) практически не меняется,
и можно в (D-43) заменить величину V V(r) на ее значение в точке г = (R), а затем
вынести это значение из-под интеграла, который становится при этом равным 1, поскольку
функция \|/(г, г) нормирована. Таким образом, для достаточно четко локализованных
волновых пакетов можно записать:
<VV(R)>»[ VV(r)]r=(R). (D-44)
В макроскопическом пределе (длина волн де Бройля много меньше расстояний, на
которых потенциал изменяется достаточно сильно*) можно сформировать достаточно малые
волновые пакеты, чтобы удовлетворить соотношению (D-44), сохранив в то же время
достаточную определенность импульса; при этом движение волнового пакета
практически совпадает с движением классической частицы с массой т в поле потенциала V(r).
Установленный здесь результат очень важен, так как позволяет показать, что уравнения
классической механики вытекают из уравнения Шредингера при таких граничных
условиях, которые свойственны большинству макроскопических систем.
2. Случай консервативных систем
Если гамильтониан физической системы явно не зависит от времени, говорят, что
такая система является консервативной. В классической механике самым важным
следствием такой ситуации является сохранение энергии системы во времени. Говорят еще,
что полная энергия системы является константой движения. В этом параграфе мы
увидим, что и в квантовой механике консервативные системы обладают важными
особенностями, дополняющими те общие свойства, которые были отмечены в предыдущем
параграфе.
а. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
Рассмотрим сначала уравнение на собственные значения оператора Н :
Я|ф„,т) = £„|ср„,х). (D-45)
Для простоты допустим, что спектр оператора Я дискретный; обозначим символом т
набор индексов, отличных от индекса п и необходимых для однозначной характеристи-
* В дополнении А| получен порядок длин волн де Бройля, связанных с макроскопической
системой.
306

Постулаты квантовой механики
ки вектора Ф„,т) (эти индексы в общем случае составляются из собственных значений
операторов, образующих вместе с Н полный набор коммутирующих операторов).
Поскольку согласно сделанному предположению Н явно не зависит от времени, время /
не входит ни в собственное значение Еп, ни в собственный кет Ф„т):
к@) = 1с,,л@|ф,,(Т), (D-46)
где
^@ = (ф,,,т|¥@). (D-47)
Поскольку векторы Ф„,т) не зависят от t, вся временная зависимость |\}/(/)) заключена
в сп т(/). Для их вычисления спроектируем уравнение Шредингера на каждое из
состояний |ф„,т). Тогда*:
1П^ипАщо) = ипАн\Щг)). (D-48)
at х ' ' N '
Так как Н — эрмитов оператор, из формулы (D-45) можно получить:
(ф„,т|я = £„(ф„,т|, (D-49)
и уравнение (D-48) примет вид:
/Й-^сял(г) = £.с..т(/). (D-50)
at
Это уравнение интегрируется без труда:
cnJt) = clux(t0)e-E"(t-1^. (D-51)
* В равенстве (D-48) бра-вектор (ф„ J можно поставить справа от —, так как (ф„ J не за-
* ' • dt \ • I
висит от t.
20* 307

Глава HI
Итак, чтобы найти |\|/@), зная |\|/(f0)), нужно сделать следующее.
©Разложить |\|/(>0)) по базису собственных состояний Н :
|v.('o)) = SZ<Vt(f0)|<P,t), (D-52)
п х
где с/1Т(/0) имеет обычную форму:
^.т(^о) = (фя.т|^о))- (D3)
(ii) Получить |\|/(г)) в любой момент времени, умножив каждый из
коэффициентов cnx(t0) разложения (D-52) на e~,En(t~h)lh, где Еп — собственное значение
оператора Н в состоянии Ф„,т/.
|V@) = Х1сЛ>т(/0)^'£"(^)/Л|фп,т) . (D-54)
Все приведенные выше рассуждения легко обобщаются на случай непрерывного
спектра оператора Н . Формула (D-54) принимает вид (все обозначения очевидны):
МО) = ЦdE cx(E, t0) е-™"*»' |ф£>т) . (D-55)
Ь. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
Важным частным случаем является ситуация, когда сам кет М'о)) является
собственным состоянием оператора Н . Тогда разложение (D-52) содержит лишь члены с
одинаковым собственным значением (например, Еп):
k('o)) = 5>„,,(/0)|cp„,t). (D-56)
Т
В формуле (D-56) отсутствует суммирование по п , и переход от М*0)) к МО) вклю~
чает лишь один множитель еЧЕ»^ч»IЬ у который можно вынести из-под знака
суммирования по т :
308

Постулаты квантовой механики
(D-57)
Таким образом, кет-векторы |\|/(г))и |i|/(f0)) отличаются лишь общим фазовым
множителем е~'£'»('~'о)/Л. Такие два состояния физически неразличимы (см. §В-3-Ь-у). Отсюда
можно заключить, что все физические свойства системы, которая оказывается в
собственном состоянии оператора Н , не меняются во времени, и поэтому эти собственные
состояния называются стационарными.
Интересно также выяснить, как в квантовой механике проявляется закон сохранения
энергии консервативной системы. Допустим, что в момент времени г0 измеряется ее
энергия и получено значение Ek. Сразу же после измерения система оказывается в
собственном состоянии Н с собственным значением Ek (постулат о редукции волнового
пакета). Мы только что увидели, что собственные состояния оператора Н являются
стационарными. Таким образом, после первого измерения состояние системы не будет
более изменяться и всегда будет оставаться собственным состоянием Я с собственным
значением Ек. Все последующие измерения энергии системы в любой момент времени
всегда будут давать тот же результат, что и первое измерение.
ЗАМЕЧАНИЕ
Переход от (D-52) к (D-54) осуществляется путем умножения каждого
коэффициента c/JT(/0) выражения (D-52) на e~'E,,(t~to)/fi. Тот факт, что этот множитель
фазовый, еще не обязательно говорит о физической неразличимости состояний
|\|/@) и |\|/(/0)) • Действительно, в общем случае в разложение (D-52) входят
несколько собственных состояний Н с различными собственными значениями.
Этим различным значениям Еп соответствуют различные фазовые множители,
что изменяет относительные фазы коэффициентов разложения вектора состояния
и приводит, конечно, к состоянию |\|/(f)) > физически отличающемуся от |i|/(f0)) •
Лишь в том случае, когда в выражении (D-52) имеется только одно значение
п (если |\|/(f0)) — собственное состояние Н ), эволюция во времени выражается
единственным фазовым множителем. Он является глобальным и не имеет
физического значения. Иначе говоря, физическая эволюция во времени имеет место
только тогда, когда начальное состояние известно с некоторой неопределенностью.
Далее мы еще вернемся к вопросу связи между эволюцией во времени и
неопределенностью энергии (§ D-2-e).
309

Глава III
с. КОНСТАНТЫ ДВИЖЕНИЯ
По определению константой* движения называют наблюдаемую А, не зависящую
явно от времени и коммутирующую с Н :
^ = 0;
bt (D-58)
[А,Я] = 0.
Для консервативной системы сам гамильтониан Н является константой движения.
Константы движения обладают важными свойствами, которые будут рассмотрены
ниже.
(i) Если подставить (D-58) в общую формулу (D-27), получим:
^■(A) = -|-(\|f@|A|\|f@> = 0. (D-59)
Каким бы ни было состояние |i|/(/)) физической системы, среднее значение оператора
А в этом состоянии не изменяется со временем (именно поэтому введено название
«константа движения»).
(П) Если А и И — две коммутирующие наблюдаемые, можно всегда найти
систему общих собственных векторов { (p„t/,tT) }:
^|ф„./,х) = ^|ф„,/,х);
А\уНшРЛ) = ар\<рИщРчХ). (D-60)
Допустим для простоты, что спектры А и Н дискретны, а индексом т будем
обозначать собственные значения наблюдаемых, образующих с Я и Л полный набор
коммутирующих операторов. Поскольку состояния Ф;1/,т) являются собственными
состояниями Н , то они стационарны. Если бы система в начальный момент времени
находилась в состоянии Фл/,т), то она оставалась бы в нем неограниченно долго. Но
состояние ф„ ) является также и собственным состоянием оператора А . Когда Л —
константа движения, существуют такие стационарные состояния физической системы,
которые остаются в любой момент времени / собственными состояниями оператора А
* В отечественной литературе используется также термин «интеграл движения» (прим.
переводчика).
310

Постулаты квантовой механики
с тем же собственным значением ар. По этой причине собственные значения оператора А
называются хорошими квантовыми числами.
(ш) Покажем, наконец, что для произвольного состояния |\|/@) вероятность
получить собственное значение ар при измерении константы движения А не зависит от
времени. Действительно, кет |\|/(£0)) всегда можно разложить во введенном выше базисе
ка0)> = 22Еся,,.т(г0)|ф|1^т), (D-6D
п р т
откуда сразу же следует:
где
|М) = 22Х*я.,д@|фя.,.т), (D-62)
п р х
W(O = c„,„.t(?0)e-^'-'«"\ (D-63)
Согласно постулату о спектральном разложении вероятность &(а , t0) получить
значение ар при измерении А в состоянии |\|/(г0)) в момент времени t0 равна:
п т '
Аналогично:
Пар,0 = Ц
си.р,т@
(D-64)
(D-65)
Из этих выражений видно, что модули cnpz(t) и cnpx(t0) одинаковы, то есть
&(а , О = .Ф(а , t0), что и доказывает сформулированное выше свойство.
ЗАМЕЧАНИЕ
Если все вероятности 0>(ар, t0) равны нулю, кроме одной из них &(ak, t0) -1,
то физическая система в момент времени tQ находится в собственном состоянии А
с собственным значением ак. Поскольку вероятности ZP{ap, t) не зависят от t,
311

Глава III
состояние системы в любой момент времени г остается собственным состоянием А
с собственным значением ак .
d. ЧАСТОТЫ БОРА СИСТЕМЫ. ПРАВИЛА ОТБОРА
Пусть В — произвольная наблюдаемая изучаемой системы (не обязательно
коммутирующая с Н ). Формула (D-27) позволяет найти производную —(В) среднего значения
dt
наблюдаемой В:
jw-> "»♦(£)•
Для консервативной системы известна общая форма (D-54) кет-вектора |\|/@) • Поэтому
в этом случае можно вычислить в явном виде не только —(#), но и (\|/@| В | \|/(/)) •
Выражение, эрмитово сопряженное формуле (D-54), запишется в виде (после
изменения индексов суммирования):
(V(')| =ХЕС.х(гп)^'£"('"",/"(ф„д|- (D-67)
п' т'
Таким образом, в (\|/(r)| Z?|\|/(f)) можно заменить соответственно |i|/@) и (\|/@|
разложениями (D-54) и (D-67). В результате получим:
(¥(г)|в|у(о) = (в)@ = 1ЕЕЕ4.Л'о)с,,1^)(ф-,'.1|^|ф„.хУ(
|(£И.-£'И)(/-/0)М
S'.T'V'O^Si.TV'oy^,,',:'! ^ l^n.t/^
/J Т /»' Т'
(D-68)
Теперь допустим, что В не зависит явно от времени, то есть остаются постоянными
матричные элементы (ф/1Л- В Ф„,т)- Из формулы (D-68) следует, что эволюция (B)(t)
описывается набором осциллирующих членов, частоты которых равны:
Е ,-Е
1 К-Еп\
2я П
и являются характеристиками изучаемой системы, не зависящими от В и начального
состояния системы. Эти частоты получили название частот Бора. Так, для атома
средние значения всех атомных величин (дипольные электрический и магнитный моменты
и т.д.) осциллируют на различных частотах Бора атома, именно эти частоты могут быть
испущены или поглощены атомом. Это замечание позволяет интуитивно понять правило
312

Постулаты квантовой механики
Бора, связывающее частоты испущенных или поглощенных спектральных линий с
различными уровнями энергии атома.
Из формулы (D-68) видно также, что если частоты, с которыми изменяется (B)(t),
не зависят от В, то дело обстоит иначе в том, что касается относительных вкладов этих
частот в суммарную эволюцию (в). Действительно, каждая частота v,,.,, дает вклад,
определяемый матричным элементом (ф„>т- В Ф„,т)- В частности, если для некоторых
значений п и пу эти элементы равны нулю, то соответствующие частоты отсутствуют
в разложении (B)(t), каким бы ни было начальное состояние системы. Отсюда
вытекают правила отбора, указывающие, какие частоты могут быть испущены или поглощены
в заданных условиях. Чтобы установить эти правила, нужно проанализировать
недиагональные (пФ ri) матричные элементы различных атомных операторов (например,
дипольные электрический и магнитный моменты и т. д.).
Наконец, вклад различных частот Бора зависит и от начального состояния через
произведение c*.T.(r0) cnx(t0). В частности, если начальное состояние является
стационарным с энергией Ek, то в разложении вектора |\|/(/0)) фигурирует только одно
значение п (и = £), и произведение с*.т.(Г0) cnx(t0) отлично от нуля лишь для п = п'=к .
В этом случае (в) не зависит от времени.
ЗАМЕЧАНИЕ
Пользуясь непосредственно формулой (D-68), можно доказать, что среднее
значение константы движения всегда остается неизменным во времени.
Действительно, если В коммутирует с Я , то матричные элементы оператора В, взятые
между двумя собственными состояниями оператора Н и соответствующие
различным собственным значениям, всегда равны нулю (см. главу II, § D-3-a). Таким
образом, если п Ф пу, то соответствующие матричные элементы (ф„л- В фм) = 0,
и единственные отличные от нуля члены в (в) являются константами.
е. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ВРЕМЯ — ЭНЕРГИЯ
Сейчас мы увидим, что в консервативной системе эволюция во времени оказывается
тем более быстрой, чем с меньшей точностью определена энергия системы. Точнее
говоря, если А/ — интервал времени, к концу которого система изменяется заметным
образом, и, если Д£—неопределенность энергии, то At и А Я должны удовлетворять
соотношению:
313

Глава III
At-AE>h
(D-69)
Прежде всего, заметим, что если система находится в собственном состоянии
оператора Н , то ее энергия точно определена и Д£ = 0. Но мы уже видели, что такое
состояние является стационарным и не изменяется. Можно сказать, что в некотором смысле
время его эволюции А/ бесконечно велико (соотношение (D-69) действительно
указывает, что при Д£ = О величина Дг должна быть бесконечной).
Предположим теперь, что |\|/(/0)) является линейной суперпозицией двух
собственных состояний |ф,) и |ф2) оператора Я с двумя различными собственными значениями
£, и £2:
\щ*0)) = ф1)+ф2). (D-70)
Тогда:
|\|/@> = сх <Г'£'('-'»)/Л |ф1) +с2еЧЕ>{'-'°)/» |ф2). (D-71)
Если измеряется энергия, то можно получить либо £,, либо Е2. Неопределенность
энергии Е имеет порядок величины:
Д£ = |£2-£,|. (D-72)
Рассмотрим теперь некоторую наблюдаемую В, не коммутирующую с Н . Вероятность
получить при измерении В в момент времени t собственное значение Ьт (для
простоты будем считать его невырожденным), связанное с собственным вектором \ит), дается
выражением:
ПЬт, 0 =|(и„,|ч/@)|2 =|с,Г |(«т|ф,)|2 +|с2|2 |(ит|ф2)|2 +
+ 2Ке[с2*с/е-£''<'-'°"Л(Ит|ф2)*(М„,|Ф1)]. (D-73)
Это равенство показывает, что &(Ьт, t) осциллирует между двумя предельными значе-
\Е2~Е\
ниями с частотой Бора v21 = J L. Таким образом, характерное время эволюции
h
системы равно:
А*5|а? Н ., (D-74)
|£2-£,|
и, действительно, с учетом (D-72), имеем AE-At~h.
314

Постулаты квантовой механики
Допустим теперь, что спектр оператора Н непрерывен (но не вырожден).
Состояние |ty(/0)) B самом общем случае может быть записано в виде:
|v(f0)) = Jd£c(£)|<pfc.), (D-75)
где |ф£) — собственное состояние оператора Н с собственным значением Е .
Предположим, что функция \с(Е)\ имеет максимум в области шириной АЕ вблизи значения
Е0 (рис.4), то есть АЕ характеризует неопределенность энергии системы. Используя
(D-55), можно представить |\|/(/)) в виде:
\\V(t)) = ldEc(E)e-iE{t-'»),h\4>E). (D-76)
| |с(£)|2 Рис.4
В результате суперпозиции стационарных состояний
|ф£) с коэффициентами с(Е) получается
состояние системы |\|/), энергия которого определена не
точно; неопределенность АЕ равна ширине кривой,
описывающей зависимость |с(£)|~. Согласно
четвертому соотношению неопределенностей эволюция
состояния |\|/@) окажется существенной в течение интервала времени А/,
удовлетворяющего неравенству At-AE>h
Введенная выше величина #*(&,„, 0> представляющая вероятность найти
собственное значение Ът при измерении наблюдаемой В в состоянии |\|/(г)) системы, равна:
•<т„>') = |(«„,k@)f = | \dE с(£)е-'£('-'">"' (ия |ф£)|2. (D-77)
В общем случае при изменении Е вблизи Е0 величина («,„|ф£) меняется достаточно
медленно. Тогда при малом значении АЕ можно пренебречь в интеграле (D-77)
изменением (м„,|ф£) в сравнении с изменением с(Е), вследствие чего допустимо заменить
(м,„|ф£) на (мш Ф£ ) и вынести его из-под интеграла:
ПК, 0 = |(«„, |ф£о>|2 \\dEc(E)e-m-^ . (D-78)
А
315

Глава 111
Если такое приближение справедливо, то 9?(Ът, t) с точностью до множителя совпадает
с квадратом модуля Фурье-образа функции с(Е). Согласно свойствам преобразования
Фурье (см. приложение I, § 2-Ь) ширина У(Ът, t) во времени, то есть Дг, связана с
шириной АЕ функции \с(Е)\ соотношением (D-69).
ЗАМЕЧАНИЕ
Формулу (D-69) можно установить непосредственно из анализа одномерного
свободного волнового пакета. Неопределенности импульса Ар этого пакета можно поставить в
dE
соответствие неопределенность энергии АЕ = Ар . Поскольку Е - ЙО) и р -fik ,
dp
dE da ,
имеем = = vG, где vG — групповая скорость волнового пакета (глава I,§ C-4).
dp dk
Итак:
AE = vGAp. (D-79)
Вспомним, что время эволюции А/, характерное для волнового пакета, представляет собой
время его прохождения через определенную точку пространства со скоростью vG . Если
Ах — пространственная протяженность пакета, то
Ах
At « . (D-80)
Комбинируя (D-79) и (D-80), получим:
AE-At~Ax-Ap>h. (D-81)
Соотношение (D-69) часто называют четвертым соотношением
неопределенностей Гейзенберга. Оно, однако, заметно отличается от трех других соотношений
неопределенностей, относящихся к трем компонентам R и Р (формулы A4) дополнения ¥х).
Действительно, в (D-69) лишь энергия является физической величиной, как R и Р,
тогда как параметру t в квантовой механике не сопоставляется никакой оператор.
Е. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕДСКАЗАНИЯ
Теперь нам остается рассмотреть физический смысл первого постулата, согласно
которому состояния физической системы принадлежат векторному пространству и, как
следствие, для них справедлив принцип суперпозиции.
316

Постулаты квантовой механики
Одним из важнейших следствий первого постулата в комбинации с другими
постулатами является предсказание интерференционных эффектов, подобных тем, которые
привели к формулировке понятия корпускулярно-волнового дуализма (глава I).
Понимание этих явлений базируется на понятии амплитуды вероятности, которое будет здесь
уточнено с помощью нескольких простых примеров.
1. Амплитуда вероятности и эффекты интерференции
а. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЛИНЕЙНОЙ СУПЕРПОЗИЦИИ СОСТОЯНИЙ
а. Различие между линейной суперпозицией и статистическим ансамблем
Пусть |\|/,) и |\|/2) —два нормированных ортогональных состояния:
(Vi|Vi>=(v2|V2> = 1;
(Vi|v2> = 0 (E-l)
(кет-векторы |\|/,) и |\|/2), например, могут быть собственными состояниями одной
наблюдаемой В, соответствующими различным собственным значениям Ьх и Ь2).
Если физическая система находится в состоянии |v|/,), то можно вычислить все
предсказания относительно результатов измерения данной наблюдаемой А . Например,
если \ип) — нормированный собственный вектор оператора Л, соответствующий
невырожденному собственному значению ап, то вероятность получить значение ап при
измерении наблюдаемой А в состоянии системы \\\f{) равна:
•^(я„Н(«„к,)|2. (Е-2>
Можно также определить аналогичную вероятность Щ(а1Х) для состояния |\|/2):
з(«.Н(и«М2- (Е)
Рассмотрим теперь нормированное состояние |\|/), являющееся линейной
суперпозицией |\|/,} и |\|/2):
|v> = ^,|v,) + X2|v2);
N2+N2 = i. (е-4)
317

Глава HI
Говорят, что если система находится в состоянии |\|/), то вероятность обнаружить ее в
состоянии |\|/,) равна |Х,| , а в состоянии |\|/2) — |Л2| . Более точная формулировка
этого утверждения звучит так: поскольку |\|/,) и |\|/2) являются нормированными
собственными векторами наблюдаемой В с собственными значениями Ь, и Ь2, то
вероятность получить значение Ь, при измерении В равна |Л,| , и значение Ь2 — |Л2| .
Однако не следует думать, что состояние вида (Е-4) представляет собой
статистическую смесь (ансамбль) состояний \\\f{) и |\|/2)с относительными весами |Х,| и |Х2| .
Иначе говоря, если имеется большое количество N одинаковых систем, находящихся в
состоянии |\|/), то казалось бы, что можно считать такой ансамбль эквивалентным
другому ансамблю, в котором N |Х,| систем находятся в состоянии |i|/j) и N |Л2| систем —
в состоянии |\|/2). Такая интерпретация состояния |\|/) является совершенно ошибочной
и приводит к неверным физическим выводам.
Действительно, предположим, что нужно вычислить вероятность №(ап) получить
собственное значение ап при измерении наблюдаемой А в состоянии системы |\|/),
описываемом формулой (Е-4). Если мы интерпретируем состояние |i|/) как
статистическую смесь состояний |\|/,) и |\|/2) с весовыми коэффициентами |Л,|~ и |Х2| , то
величину @*(ап) следует искать как взвешенную сумму вероятностей Щ(ап) и Щап)
(формулы [Е-2) и (Е-3)]:
0>(а„) = |Л,|2 ^(ая) +\Х2\2 Р2(аа). (Е-5)
На самом деле постулаты квантовой механики недвусмысленно указывают, как нужно
вычислять /У)(ап). Точное выражение для этой вероятности имеет вид:
то есть №(ап) равна квадрату модуля амплитуды вероятности (un\\\f). Согласно
формуле (Е-4) эта амплитуда является суммой двух членов:
(ип\уу) = Х1(ип\у1) + Х2(ии\у2). (E-7)
Тогда:
318

Постулаты квантовой механики
|2
+
+ гКе^Хг^п I V.)<w„ | V2>*} • (Е-8)
С учетом выражений (Е-2) и (Е-3) правильная формула для ^(ап) записывается в виде:
^(flJ = |Xj2^(flJ + |X2|V2(flJ + 2Re{x^(«Jv,>(«„|V2>*}- (E-9)
Этот результат, естественно, отличается от формулы (Е-5).
Таким образом, нельзя рассматривать состояние |\|/) как статистическую смесь
состояний, ибо такая интерпретация полностью игнорирует интерференционные
эффекты, содержащиеся в последнем члене формулы (Е-9). Относительная фаза* величин Л,
и Х2 также очень важна, поскольку они явно входят в физические предсказания через
произведение А.,Х*2.
C. Иллюстрация на конкретном примере
Рассмотрим поток фотонов, движущихся вдоль оси Oz , состояние поляризации
которых описывается единичным вектором (рис.5):
e = -j=(ev+ev). (E-10)
Это состояние является линейной суперпозицией двух ортогональных состояний
поляризации ед и ev. Оно описывает свет, линейно поляризованный под углом 45° к ех и
е v. Было бы абсурдным считать, что N фотонов в состоянии е эквивалентны
Nx
1
4i
N
= — фотонам в состоянии е „ и N х
2 *
1
Л
— фотонам в состоянии е v.
2 *
Действительно, если поставить на пути пучка света анализатор, ось е' которого
перпендикулярна вектору е, то ни один из N фотонов в состоянии е не пройдет через этот
анализатор. Напротив, в случае статистического ансамбля {N12 фотонов в состоянии ех
uN/2 фотонов в состоянии ev) половина фотонов должна пройти через анализатор.
* Умножение |\|/) на общий фазовый множитель ехЬ эквивалентно замене А,, и Х2 на Х{ е'д
и Х2 е'ь . Из формулы (Е-9) следует, что такая операция не изменяет физических предсказаний,
так как они зависят лишь от А,,Г , \Х2\ и ХХХ2.
319

Глава III
На этом конкретном примере ясно видно, в чем состоит физическое различие
между линейной суперпозицией (Е-10), образующей свет, поляризованный под углом 45 к
еЛ. и е v, и статистической смесью взятых в равных пропорциях состояний е v и е v,
образующих естественный (неполяризованный) свет.
-►z
Рис.5
Простой эксперимент, иллюстрирующий
различие между линейной суперпозицией и
статистической смесью состояний: если все падающие
фотоны находятся в состоянии поляризации
1 /
е = -7=-(е_г + е v), то ни один из них не пройдет
через анализатор, ось которого е'
перпендикулярна к вектору е; напротив, если имеется
статистическая смесь фотонов, поляризованных
в равных пропорциях вдоль ед и ev
(естественный свет), то половина из них пройдет через
анализатор
Важно понять также значение относительной фазы коэффициентов разложения
вектора состояния. Рассмотрим четыре случая:
«.-^(•х+е,);
е2=-^(е,-е„);
e3=-7r(e.v + ''ev);
(Е-П)
(Е-12)
(Е-13)
e4 = jr (*,-'*,).
(Е-14)
отличающихся только относительными фазами коэффициентов (в этих выражениях они,
соответственно, равны 0, я, +—, —). Эти четыре состояния совершенно различны
физически: первые два представляют свет, поляризованный линейно вдоль биссектрисы
угла между ev и еу, а два последних — свет, поляризованный по правому и левому
кругу.
320

Постулаты квантовой механики
Ь. СУММИРОВАНИЕ ПО ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СОСТОЯНИЯМ
а. Предсказание результатов измерения в двух простых экспериментах
(i) Эксперимент 1. Предположим, что в некоторый момент времени при измерении
наблюдаемой А в системе получено невырожденное собственное значение а. Если
|wfl) — собственный вектор, соответствующий значению а, то сразу же после
измерения физическая система окажется в состоянии \иа).
Прежде чем система изменила это состояние, измеряется другая наблюдаемая С, не
коммутирующая с А . Используя обозначения, введенные в § С-6-а, назовем ^(с)
вероятность того, что при втором измерении может быть получен результат с. Перед
измерением С система была в состоянии | иа), и, следовательно, если | vc) — собственный
вектор оператора С , соответствующий невырожденному собственному значению с, то
постулаты квантовой механики позволяют утверждать, что
W = |(v>X (E-15)
(ii) Эксперимент 2. Теперь представим себе другой эксперимент, в котором
последовательно и очень быстро измеряются три наблюдаемые А, В, С, не коммутирующие
между собой (время, разделяющее два последовательных измерения, считаем столь
коротким, что система не успевает испытать эволюцию между измерениями). Назовем
Уа(Ь, с) вероятность того, что в первом измерении было получено значение а , а во
втором и в третьем — Ъ и с соответственно. 9Ра(Ъ, с)равна произведению вероятности
&а(Ь) того, что измерение наблюдаемой А дало результат а , а измерение наблюдаемой
В дало результат Ъ , на вероятность .^(с) того, что измерение наблюдаемой В дало Ь ,
а измерение наблюдаемой С дало с:
3(*,с)=3(*)^(с). (Е-16)
Если предположить, что все собственные значения оператора В не вырождены, и если
обозначить символом \wb) соответствующие собственные векторы, то
■№0=\{кЫ2\Ы»а)\2- (Е-1