Л. А. Тахтаджян
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
ДЛЯ МАТЕМАТИКОВ
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
ДЛЯ МАТЕМАТИКОВ
Л. А. Тахтаджян
R&C
Dynamics

Quantum
Mechanics for
Mathematicians
Leon A.Takhtajan
Graduate Studies
in Mathematics
Volume 95
American Mathematical Society
Providence, Rhode Island

Л. А.Тахтаджян
Квантовая механика
для математиков
Перевод с английского к. ф.-м. н. С. А. Славнова
Под научной редакцией акад. РАН А. А. Славнова
R&C
Москва ♦ Ижевск
2011

УДК 530.145.6
ББК 22.314
Τ 243
РФФИ
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту № 10-01-07034
Интернет-магазин · физика
• математика
К
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru технологии
Тахтаджян Л. А.
Квантовая механика для математиков. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная
и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследова-
ний, 2011. - 496 с.
Книга посвящена математически строгому изложению квантовой механи-
ки, в особенности вопросов, связанных с методом континуального интегрирова-
ния и суперсимметрий. Она будет полезна аспирантам и научным сотрудникам-
математикам, в сфере научных интересов которых находятся математические аспек-
ты квантовой механики, а также ее приложения и связи с различными подходами
современной математики.
ISBN 978-5-93972-900-0 ББК 22.314
Оригинальное издание опубликовано на английском языке издательством Атепсап Mathema-
tical Society под названием Quantum Mechanics for Mathematicians.
© Л. А. Тахтаджян, 2011
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru

Оглавление
Предисловие к русскому изданию 13
Предисловие редактора перевода 15
Предисловие 17
ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ 21
Глава 1. Классическая механика 23
1.1. Лагранжева механика 24
1.1.1. Обобщенные координаты 24
1.1.2. Принцип наименьшего действия 25
1.1.3. Примеры лагранжевых систем 30
1.1.4. Симметрии и теорема Нётер 39
1.1.5. Одномерное движение 45
1.1.6. Движение в центральном поле и задача Кеплера .... 47
1.1.7. Преобразование Лежандра 52
1.2. Гамильтонова механика 58
1.2.1. Уравнения Гамильтона 58
1.2.2. Функционал действия в фазовом пространстве 61
1.2.3. Действие как функция координат 63
1.2.4. Классические наблюдаемые и скобка Пуассона .... 67
1.2.5. Канонические преобразования и производящие функ-
ции 69
1.2.6. Симплектические многообразия 73
1.2.7. Пуассоновы многообразия 84
1.2.8. Представления Гамильтона и Лиувилля 91
1.3. Замечания и ссылки 96

6 Оглавление
Глава 2. Основные принципы квантовой механики 98
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика 101
2.1.1. Математическая формулировка 102
2.1.2. Соотношения неопределенности Гейзенберга 111
2.1.3. Динамика 113
2.2. Квантование 119
2.2.1. Коммутационные соотношения Гейзенберга 120
2.2.2. Координатное и импульсное представления 126
2.2.3. Свободная квантовая частица 135
2.2.4. Примеры квантовых систем 142
2.2.5. Старая квантовая механика 147
2.2.6. Гармонический осциллятор 147
2.2.7. Голоморфное представление и виковские символы . . 158
2.3. Соотношения Вейля 167
2.3.1. Теорема Стоуна-фон Неймана 168
2.3.2. Инвариантная формулировка 176
2.3.3. Квантование Вейля 181
2.3.4. *-произведение 191
2.3.5. Деформационное квантование 196
2.4. Замечания и ссылки 204
Глава 3. Уравнение Шрёдингера 207
3.1. Общие свойства 207
3.1.1. Самосопряженность 208
3.1.2. Характеризация спектра 211
3.1.3. Теорема о вириале 213
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 214
3.2.1. Функции Йоста и коэффициенты перехода 215
3.2.2. Разложение по собственным функциям 225
3.2.3. 5-матрица и теория рассеяния 234
3.2.4. Другие граничные условия 244
3.3. Угловой момент и SO(3) 248
3.3.1. Операторы углового момента 248
3.3.2. Теория представлений SO(3) 251
3.4. Задача двух тел 254
3.4.1. Отделение центра масс 254
3.4.2. Трехмерная теория рассеяния 256
3.4.3. Частица в центрально-симметричном потенциале . . . 258
3.5. Атом водорода и SO(4) 265
3.5.1. Дискретный спектр 265

Оглавление
7
3.5.2. Непрерывный спектр 270
3.5.3. Скрытая SO(4) симметрия 272
3.6. Квазиклассическая асимптотика - I 280
3.6.1. Асимптотика, зависящая от времени 281
3.6.2. Асимптотика, не зависящая от времени 284
3.6.3. Правила квантования Бора -Вильсона - Зоммерфельда 288
3.7. Замечания и ссылки 290
Глава 4. Спин и тождественные частицы 293
4.1. Спин 293
4.1.1. Операторы спина 293
4.1.2. Спин и теория представлений SU(2) 295
4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле 298
4.2.1. Гамильтониан Паули 298
4.2.2. Частица в однородном магнитном поле 300
4.3. Система тождественных частиц 302
4.3.1. Постулат симметризации 302
4.3.2. Диаграммы Юнга и теория представлений SymN . . . 308
4.3.3. Двойственность Шура-Вейля и симметрия волновых
функций 311
4.4. Замечания и ссылки 314
ЧАСТЬ П. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И СУ-
ПЕРСИММЕТРИЯ 317
Глава 5. Фейнмановская формулировка квантовой механики . 319
5.1. Фейнмановский интеграл по путям 319
5.1.1. Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера . . 319
5.1.2. Фейнмановский интеграл по путям в фазовом про-
странстве 323
5.1.3. Фейнмановский интеграл по путям в конфигурацион-
ном пространстве 327
5.1.4. Несколько степеней свободы 330
5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям 332
5.2.1. pq-символ 332
5.2.2. до-символ 333
5.2.3. Вейлевский символ 335
5.2.4. Виковский символ 336
5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического осциллятора . 340

8 Оглавление
5.3.1. Гауссово интегрирование 340
5.3.2. Пропагатор гармонического осциллятора 341
5.3.3. Тождество Мелера 345
5.4. Гауссовы интегралы по путям 346
5.4.1. Гауссов интеграл по путям для свободной частицы . . 347
5.4.2. Гауссов интеграл по путям для гармонического ос-
циллятора 351
5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 357
5.5.1. Граничные условия Дирихле 357
5.5.2. Периодические граничные условия 365
5.5.3. Дифференциальные операторы первого порядка .... 370
5.6. Квазиклассическая асимптотика - II 373
5.6.1. Использование фейнмановского интеграла по путям . 373
5.6.2. Строгий вывод 375
5.7. Замечания и ссылки 379
Глава 6. Интегрирование в функциональных пространствах . . 382
6.1. Гауссовы меры 382
6.1.1. Конечномерный случай 382
6.1.2. Бесконечномерный случай 384
6.2. Мера Винера и интеграл Винера 387
6.2.1. Определение меры Винера 387
6.2.2. Условная мера Винера и формула Фейнмана-Каца . . 392
6.2.3. Соотношение между интегралами Винера и Фейнмана 395
6.3. Гауссовы интегралы Винера 397
6.3.1. Граничные условия Дирихле 398
6.3.2. Периодические граничные условия 400
6.4. Замечания и ссылки 404
Глава 7. Фермионные системы 405
7.1. Канонические антикоммутационные соотношения 405
7.1.1. Мотивировка 405
7.1.2. Алгебры Клиффорда 410
7.2. Алгебры Грассмана 414
7.2.1. Реализация канонических антикоммутационных соот-
ношений 415
7.2.2. Дифференциальные формы 417
7.2.3. Интеграл Березина 420
7.3. Градуированная линейная алгебра 426

Оглавление 9
7.3.1. Градуированные векторные пространства и суперал-
гебры 426
7.3.2. Примеры супералгебр 429
7.3.3. Суперслед и березиниан 431
7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных . 434
7.4.1. Виковские и матричные символы 434
7.4.2. Интеграл по путям для оператора эволюции 440
7.4.3. Гауссовы интегралы по путям в грассмановых пере-
менных 443
7.5. Замечания и ссылки 447
Глава 8. Суперсимметрия 449
8.1. Супермногообразия 449
8.2. Эквивариантные когомологии и локализация 452
8.2.1. Конечномерный случай 452
8.2.2. Бесконечномерный случай 456
8.3. Классическая механика на супермногообразиях 463
8.3.1. Функции с антикоммутирующими значениями 463
8.3.2. Классические системы 466
8.4. Суперсимметрия 469
8.4.1. Полный угловой момент 469
8.4.2. Преобразование суперсимметрии 470
8.4.3. Суперсимметричная частица на римановом многооб-
разии 473
8.5. Квантовая механика на супермногообразиях 475
8.6. Формула Атьи- Зингера для индекса 481
8.7. Замечания и ссылки 483
Литература 485

Моему учителю Людвигу Дмитриевичу Фаддееву
с восхищением и благодарностью

Предисловие к русскому изданию
Квантовая механика является одним из наиболее замечательных до-
стижений человеческого духа прошлого столетия. Математический аппарат
теории безупречен, а ее физические основания, описывающие явления мик-
ромира на уровне электронов в атоме, атомов в молекулах и т. д., самосо-
гласованы. Многие достижения научно-технического прогресса основаны
на законах квантовой механики, и мы постоянно наблюдаем их в проявле-
ниях повседневной жизни, используя разнообразные электронные приборы
и прочую аппаратуру. В то же время явления микромира настолько проти-
воречат нашему каждодневному опыту, основанному на восприятии клас-
сической физики макромира, что распространено мнение о том, что понять
квантовую механику невозможно.
Цель настоящей книги — изложить квантовую механику от ее ма-
тематических оснований до последних приложений в стиле, понятном
читателю-математику, как профессиональному исследователю, так и аспи-
ранту. Насколько эта задача удалась, судить читателю. Обстоятельства сло-
жились так, что эта книга вначале была напечатана по-английски в издании
Американского математического общества. Я благодарен канд. физ.-мат. на-
ук С. А. Славнову за возвращение книги на язык оригинала, на котором она
была первоначально задумана автором. Я признателен акад. А. А. Славнову,
который любезно согласился быть научным редактором русского издания.
Я также благодарен Российскому фонду фундаментальных исследований за
поддержку работы над русским изданием и издательству «Регулярная и ха-
отическая динамика» за работу по опубликованию этой книги.
Л. А. Тахтаджян
Сентябрь-ноябрь 2010 г.
Санкт-Петербург, Россия, и Сент-Джеймс, Нью-Йорк

Предисловие редактора перевода
Квантовая механика существует уже более ста лет, и над ее обосно-
ванием работали выдающиеся математики. Тем не менее в этой области
существует ряд нерешенных проблем и до сих пор отсутствует рассчита-
ное на математиков подробное изложение предмета. Книга Л. Тахтаджяна
в значительной мере исправляет этот недостаток.
Л. Тахтаджян — известный специалист в области современной мате-
матической физики. В своей книге он подробно излагает на современном
математическом уровне основные разделы квантовой механики. В тех слу-
чаях, когда полное математическое обоснование того или иного утвержде-
ния отсутствует, автор отмечает, что в данном вопросе изложение ведется
на «физическом уровне строгости».
Книга Л. Тахтаджяна несомненно будет полезна широкому кругу чи-
тателей, как аспирантам, изучающим математические проблемы квантовой
механики, так и сложившимся ученым, желающим получить более полную
информацию о состоянии науки в данной области.
Считаю своим приятным долгом поблагодарить Российский фонд фун-
даментальных исследований за финансирование данного издания и Л. Тах-
таджяна за сотрудничество.

Предисловие
Эта книга основана на спецкурсах, читавшихся автором в течение
последних четырнадцати лет на математическом факультете университета
Стони Брук. Целью этих курсов было познакомить не изучавших прежде
физику аспирантов второго курса с основными концепциями и методами
квантовой механики. В последние 50 лет квантовая физика была движущей
силой для множества замечательных математических достижений, сыграв
роль, похожую на роль классической физики в период между семнадцатым
и девятнадцатым столетиями. Классическая физика, в особенности класси-
ческая механика, была неотъемлемой частью математического образования
вплоть до начала двадцатого века, в частности, ее преподавали Гильберт
и Пуанкаре. Удивительно, что квантовая физика, в особенности квантовая
механика, несмотря на ее внутреннюю красоту и связи с многочисленны-
ми областями математики, так и не стала частью математической програм-
мы аспирантуры. Данный курс был разработан, чтобы частично воспол-
нить этот пробел и сделать квантовую механику доступной для аспирантов
и исследователей-математиков.
Л. Д. Фаддеев был первым, кто разработал курс квантовой механики
для студентов-математиков. С 1968-го по 1973-й год он регулярно читал
лекции на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского го-
сударственного университета в Санкт-Петербурге1, и автору выпала удача
прослушать его курс. Материал этой книги вырос из попытки создать по-
хожий курс для аспирантов, использующий более продвинутую математику
и покрывающий большее разнообразие тем, включая фейнмановский под-
ход к квантовой механике, основанный на интеграле по путям.
Существует множество замечательных учебников квантовой механи-
ки для физиков, начиная с классических текстов П.A.M. Дирака [Dir47],
Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица [Лан89Ь] и В.А.Фока [Фок76Ь] и закан-
чивая энциклопедическим трудом А. Мессиа [Mes99], новым популяр-
ным учебником Дж. Дж. Сакураи [Sak94] и множеством других. Среди ма-
тематически ориентированных книг имеются классические монографии
Дж. фон Неймана [vN96] и Г.Вейля [Wey50], а также более свежая кни-
В то время Ленинграде.

18
Предисловие
га Дж. У Маки [Мас04], в которых обсуждаются основной математиче-
ский формализм и логические основания теории. Есть также монумен-
тальный проект [DEF+99], созданный с целью познакомить аспирантов
и исследователей-математиков с царством квантовых полей и струн как в их
математическом, так и в физическом аспекте. Однако, хотя он и содержит
ориентированное на математическую аудиторию очень подробное изложе-
ние классической механики, классической теории поля и суперсимметрии,
квантовая механика обсуждается лишь мельком (за исключением изящного
введения в квантовую механику Л. Д. Фаддеева в [Fad99]). Отличные лек-
ции для студентов Л.Д.Фаддеева и О.А.Якубовского [Фад01] — это, ка-
жется, единственная книга по квантовой механике, полностью доступная
математикам. Недавно вышедшие книги С. Дж. Густафсона и И. М. Сига-
ла [GS03] и Ф. Строкки [Str05] тоже ориентированы на математиков. По-
следняя — это краткий вводный курс, тогда как первая — скорее среднего
уровня сложности монография по квантовой теории, чем учебник кванто-
вой механики. Существует также множество специализированных книг по
различным разделам квантовой механики, таким как теория рассеяния, опе-
ратор Шрёдингера, С*-алгебры и основания и т.д.
Данная книга представляет собой исчерпывающее изложение кванто-
вой механики с математической точки зрения и включает такие темы, как
математические основания, квантование, уравнение Шрёдингера, фейнма-
новский интеграл по путям и функциональные методы, суперсимметрию.
Ее можно использовать для годового спецкурса или двух семестровых кур-
сов: вводного курса, основанного на материале первой части, и более про-
двинутого курса, основанного на второй части. Первую часть книги, состо-
ящую из глав 1-4, можно рассматривать как расширенную версию [Фад01].
В ней используется более продвинутая математика, чем в [Фад01], и содер-
жатся строгие доказательства всех основных результатов, включая знамени-
тую теорему Стоуна-фон Неймана. Она должна быть доступна для аспи-
рантов второго курса. Как и в [Фад01], мы используем подход, восходящий
к Дираку и впоследствии разработанный Фаддеевым, согласно которому
классическая и квантовая механика — просто две различные реализации
фундаментальной математической структуры физической теории, исполь-
зующей понятия наблюдаемых, состояний, измерений и временной эволю-
ции — динамики. Вторая часть, состоящая из глав 5-8, связана с функци-
ональными методами в квантовой механике и выходит за рамки материала
в [Фад01]. Изложение в ней менее подробно и требует определенной мате-
матической искушенности.
Хотя в нашем изложении свободно используются все необходимые ин-
струменты современной математики, оно следует духу и традиции выше-

Предисловие
19
перечисленных классических текстов. В этом смысле его можно рассмат-
ривать как «неоклассическое» (по сравнению с более абстрактным подхо-
дом в [DF99a]). Каждая глава книги заканчивается специальным разделом
Замечания и ссылки, в котором приводятся ссылки на необходимую мате-
матическую информацию и физические источники. Решительный читатель
может на самом деле выучить необходимую математику, изучая основной
текст и заглядывая в эти ссылки, а имея достаточный опыт — «переводить»
соответствующие части физических учебников на язык математики. Для
студентов-физиков книга предоставляет возможность ознакомиться с ма-
тематическими основаниями и методами квантовой механики с помощью
разбора частных случаев. Стоит отметить, что развитие многих математи-
ческих дисциплин было стимулировано квантовой механикой.
Материал этой книги можно изучать разными способами. Поверхност-
ный читатель может бегло знакомиться с основным текстом, пропуская
многочисленные замечания и задачи, расположенные в конце разделов. Это-
го будет достаточно для получения минимальных основных знаний в кван-
товой механике. Целеустремленному читателю следует восстанавливать де-
тали вычислений в основном тексте (необходимы карандаш и бумага) —
только так можно овладеть материалом, — и пытаться решить элементарные
задачи2. Наконец, подлинно заинтересованному читателю следует попы-
таться решить все задачи (вероятно, заглядывая в соответствующие ссылки
в конце каждого раздела) и разобрать замечания, которые часто могут быть
связаны с другими темами, не вошедшими в основной текст.
Автор хотел бы поблагодарить студентов, слушавших его курсы, за
комментарии к наброскам лекций. Он особенно благодарен своим коллегам
Петру Петровичу Кулишу и Ли-Пень Тео за внимательное чтение рукопи-
си. Работа над книгой была частично поддержана грантами НСФ DMS-
0204628 и DMS-0705263. Любые мнения, находки и выводы или рекомен-
дации, приведенные в этой книге, принадлежат автору и необязательно от-
ражают взгляды Нэйшнэл Саенс Фаундэйшн.
2 Мы оставляем читателю самому решить, какие задачи элементарные, а какие продвину-
тые.

Часть I
Основы

Глава 1
Классическая механика
Мы предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями тео-
рии гладких (т.е. С°°) многообразий, и напоминаем здесь стандартные
обозначения. Если явно не сказано иное, все отображения предполагают-
ся гладкими, а все функции — гладкими и вещественнозначными. Локаль-
ные координаты q = (ql, ... ,gn) на гладком n-мерном многообразии Μ
в точке q Ε Μ — это декартовы координаты на φ(υ) С Мп, где (С/, φ) —
координатная окрестность в Μ с центром в q Ε U. Для данной функ-
ции / : U —► Rn мы будем обозначать (/ о φ~1)(ς1, ..., qn) как f(q), а гра-
диент функции / в точке q Ε Ш71 с декартовыми координатами (ςτ1, ..., qn)
обозначать как
dl=(df_ дЛ
dq \dq1,'",dqn)'
Будем обозначать как
η
А*(М) = ®Ак{М)
градуированную алгебру (по отношению к внешнему произведению) глад-
ких дифференциальных форм на Μ и как d — дифференциал де Рама,
градуированное дифференцирование на А*(М) степени 1, такое, что df —
дифференциал функции / е А°(М) = С°°(М). Пусть Vect(M) — алгеб-
ра Ли гладких векторных полей на Μ со скобкой Ли [ , ], заданной ком-
мутатором векторных полей. Для X G Vect(M) мы обозначаем как Сх
и %х соответственно производную Ли вдоль X и внутреннее произведе-
ние с X. Производная Ли — это дифференцирование степени 0 на Л*(М),
коммутирующее с d и удовлетворяющее соотношению Cx(f) = X{f) для
/ G А0 (М), а внутреннее произведение — дифференцирование степени — 1

24
Глава 1
на Л* (Μ), удовлетворяющее соотношениям ix(f) = 0 и ix(df) = X{f)
для / G Д°(М). Они удовлетворяют формулам Картана
Сх =ixod + doix = (d + ix)2,
i[X,Y] — Cx οτγ -τγ о Сх.
Для данного гладкого отображения многообразий / : Μ —► TV будем обо-
значать как /* : ТМ —► TN и /* : T*N —► Т*М соответственно ин-
дуцированные отображения на касательном и кокасательном расслоениях.
Другие обозначения, включая традиционные для классической механики,
будут введены в основном тексте.
1.1. Лагранжева механика
1.1.1. Обобщенные координаты
Классическая механика описывает системы конечного числа взаимо-
действующих частиц1. Система называется замкнутой, если ее частицы
не взаимодействуют с внешними материальными телами. Местоположение
системы в пространстве определяется местоположением ее частиц и за-
дает точку в гладком, конечномерном многообразии М, конфигурационном
пространстве системы. Координаты на Μ называются обобщенными коор-
динатами системы, а размерность η = dim M называется числом степеней
свободы2.
Состояние системы в любой момент времени описывается точ-
кой q G Μ и касательным вектором ν еТяМ в этой точке. Основной прин-
цип классической механики — это принцип детерминированности Ньюто-
на-Лапласа, утверждающий, что состояние системы в данный момент вре-
мени полностью определяет ее движение в любой другой момент времени t
(и в будущем, и в прошлом). Движение описывается классической траек-
торией — путем 7(0 в конфигурационном пространстве М. В обобщен-
ных координатах путь η записывается как j(t) = (gfl(i), ..., qn(t)), и соот-
•i W
ветствующие производные q = —г- называются обобщенными скоростя-
ми. Принцип Ньютона-Лапласа — это фундаментальный эксперименталь-
ный факт, подтверждаемый нашим восприятием повседневного опыта. Из
Частица — это материальное тело, размерами которого при описании его движения можно
пренебречь.
2Системы с бесконечным числом степеней свободы описываются классической теорией
поля.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
25
него следует, что обобщенные ускорения ql = —— однозначно определяют-
ся
ся обобщенными координатами ql и обобщенными скоростями ql, так что
классические траектории удовлетворяют системе обыкновенных дифферен-
циальных уравнений второго порядка, называемых уравнениями движения.
В следующем разделе мы сформулируем наиболее общий принцип, управ-
ляющий движением механических систем.
1.1.2. Принцип наименьшего действия
Лагранжева система на конфигурационном пространстве Μ задается
гладкой, вещественнозначной функцией L на Τ Μ х Ж — прямом произве-
дении касательного расслоения Τ Μ κ Μ и временной оси3, — называемой
функцией Лагранжа (или просто лагранжианом). Движение лагранжевой
системы (М, L) описывается принципом наименьшего действия в конфигу-
рационном пространстве (или принципом Гамильтона), который формули-
руется следующим образом.
Пусть
P(M)f0il = Ь ■ Mi] - М; 7(to) = 90, 7(*i) = 9i}
— пространство гладких параметризованных путей в М, соединяющих точ-
ки qo и qi. Пространство путей Р(М) = P(M)g*'j* является бесконеч-
номерным многообразием Фреше, и касательное пространство ΤΙΡ(Μ)
к Р(М) в точке 7 G Р(М) состоит из всех гладких векторных полей на η,
обращающихся в ноль в конечных точках qo и q\. Гладкий путь Г в Р(М),
проходящий через 7 £ Р(М), называется вариацией с закрепленными кон-
цами пути 7(0 в М. Вариация Г это семейство ηε(t) = Г(£, ε) путей в Μ,
задаваемое гладким отображением
Г: [t0,ti] х [-ε0,ε0] -> Μ,
таким, что Г(*,0) = j(t) для t0 ^ t < h, и Γ(£0,ε) = q0,r(ti,e) = qi
для — εο ^ ε ^ εο· Касательный вектор
G ΤΙΡ(Μ),
3Из принципа Ньютона-Лапласа следует, что L может зависеть только от обобщенных
координат и скоростей и от времени.

26
Глава 1
соответствующий вариации je(t), по традиции называется бесконечно ма-
лой вариацией. Конкретно
Sj(t) = Г*(£)(*,0) G Tl{t)M, t0^t^ tu
где -^ — касательный вектор к интервалу [—εο,εο] в точке 0. Наконец, ка-
сательный подъем пути η : [to^i] —> Μ — это путь η' : [io?^i] -> ТМ,
определяемый формулой j'(t) = 7*(J^) £ ΤΙ^Μ, to ^ t ^ £ь где ^ —
касательный вектор к [to^i] B точке t. Другими словами, j'(t) — вектор
скорости пути 7(0 в момент времени t.
Определение. Функционал действия S : Р(М) —► R лагранжевой
системы (М, L) задается формулой
S[n)^JL{n\t),t)dt.
to
Принцип наименьшего действия (Принцип Гамильтона). Путь
7 £ Ρ Μ описывает движение лагранжевой системы (М, L) между поло-
жением qo Ε Μ в момент времени to и положением q\ Ε Μ в момент
времени t\, если и только если он является критической точкой функцио-
нала действия S,
вы = о,
1е=0
А
de
для всех вариаций с закрепленными концами 7ε (0 пути j(t).
Критические точки функционала действия называются экстремаля-
ми, и принцип наименьшего действия утверждает, что лагранжева систе-
ма (М, L) движется по экстремалям4. Экстремали описываются уравнени-
ями движения — системой дифференциальных уравнений второго порядка
в локальных координатах на ТМ. Уравнения движения записываются наи-
более изящно при следующем выборе локальных координат на ТМ.
Определение. Пусть (U,tp) — координатная окрестность в Μ с ло-
кальными координатами q = (q1, ..., qn). Координаты
(q,v) = (q\...,qn,v\...,vn)
на окрестности TU пространства ТМ, где ν = (υ1, ..., vn) — координаты
в слое, соответствующие базису —-, ..., -^-^ пространства TqM, называ-
dqL oq
ются стандартными координатами.
4Принцип наименьшего действия не утверждает, ни что экстремаль, соединяющая точки qo
и qi, минимизирует S, ни что такая экстремаль единственна. Не утверждает он и того, что
любые две точки можно соединить экстремалью.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
27
Стандартные координаты — это декартовы координаты на <p*(TU) С
С TRn ~ М71 х Rn. Они обладают свойством, что для (q,v) G TU
и / G C°°(U) выполняется
г=1
Пусть (С/, у?) и ({/', у?') — координатные окрестности в Μ с функциями пе-
рехода F= (F\ ...,Fn) = φ,οφ'1 : <p(t/n[/') -> <р'([/П£/') и пусть (ς, ν)
и (q',v') — соответственно стандартные координаты на TU и ТС/'. Имеем
—- (θ) } — матричнозначная
функция на φ(U Π С/'). Таким образом, «вертикальные» координаты ν —
= (ν1, ... ,г?п) в слоях Τ Μ —► Μ преобразуются при замене координат
на Μ как компоненты касательного к Μ вектора.
Касательный подъем j'(t) пути j(t) в Μ в стандартных координатах
на TU записывается как (q(t),q(t)) = (q1{t),...1qn(t),q1(t),...1qn(t))9
где точкой обозначается производная по времени, так что
L(Y(i), t) = L(q(t),q(t), «)·
Придерживаясь многовековой традиции5, мы обычно будем записывать
стандартные координаты как
(q,q) = (q1,...,qn,q1, ...,qn),
где точка не обозначает производную по времени. Поскольку мы рассмат-
риваем только те пути в ТМ, которые являются касательными подъемами
путей в М, путаницы не будет6.
Теорема 1.1. Уравнения движения лагранжевой системы (M,L)
в стандартных координатах на Τ Μ — это уравнения Эйлера -Лагранжа
^(q(t),q(t), t) - I (g(«(«),№,«)) = 0.
5 Которой следуют все тексты по классической механике и теоретической физике.
6Мы резервируем обозначение (q(t), v(t)) для произвольных путей в ТМ.

28
Глава 1
Доказательство.
Предположим сперва, что экстремаль j(t) лежит в координатной
окрестности U многообразия М. Тогда простым вычислением в стандарт-
ных координатах, используя интегрирование по частям, получаем
о=|| зы =
α4ε=0
*i
= Μ ( L(q{t,e),q{t,e),t)dt =
to
to
Вторая сумма в последней строке обращается в ноль из-за свойства
$Ql(to) — Sql(ti) = О, г = 1, ... , п. Первая сумма равна нулю для любой
гладкой функции Sql на интервале [£o>£ib равной нулю в конечных точках.
Из этого следует, что для любого слагаемого подынтегральное выражение
тождественно равно нулю:
^(g(i),4(i),i)-|fe(ii(i),e(i),i)j=0, i=l,...,n.
Поскольку ограничение экстремали функционала действия S на коор-
динатную окрестность в Μ — это опять экстремаль, каждая экстремаль
в стандартных координатах на Τ Μ удовлетворяет уравнениям Эйлера-
Лагранжа.
Замечание. В вариационном исчислении производная функциона-
ла S по направлению, соответствующему касательному вектору V Ε
ΤΙΡ(Μ), — производная Гато — определяется формулой
SvS=ie
5Ы,
ε=0

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
29
где 7ε — путь в Р(М) с касательным вектором V в точке 7о = 7· Итог
вышеприведенного вычисления (когда η лежит в координатной окрестно-
сти U С М) можно записать как
*1
-/(
to
to
η
Здесь V(t) = У^ vl(t)—г — векторное поле вдоль пути 7 в М. Формула
(1.1) называется формулой первой вариации действия с закрепленными кон-
цами. Принцип наименьшего действия — это утверждение, что SyS^) = О
для всех V е ΤΙΡ(Μ).
Замечание. Удобно также рассмотреть пространство Р(М) =
— {l: fah^i] -^ Μ} всех параметризованных путей в М. Касательное про-
странство ΤΙΡ(Μ) к Р(М) в точке 7 € Р(М) — это пространство всех
гладких векторных полей на пути 7 в Μ (без всяких условий на конечные
точки). Вычисление в доказательстве теоремы 1.1 дает следующую форму-
лу для первой вариации действия со свободными концами:
ti ,
— — \vdt + — t
dt dq J dq
6VS= f (ψ-^^τ )vdt+ ^v
(1.2)
to
Задача 1.1. Покажите, что функционал действия — это значение
определенной на Τ Μ х R 1-формы L dt на лежащей в Τ Μ х Ж 1-цепи 7'
ад = /
Ldt,
7
где 7 = {(У(О^)^о ^ t ^ ti}, a Ldt(w,cj^) = cL(q,v), w G
etmtm, сеж.
Задача 1.2. Пусть / Ε С°°(М). Покажите, что у лагранжевых си-
стем (М, L) и (М, L + df) (где d/ — послойно линейная функция на ТМ)
одинаковые уравнения движения.

30
Глава 1
Задача 1.3. Приведите примеры лагранжевых систем, у которых экс-
тремаль, соединяющая две заданные точки, (i) не является локальным ми-
нимумом; (ii) не единственна; (Ш) не существует.
Задача 1.4. Для экстремали η функционала действия S вторая ва-
риация S определяется как
х * Ιε1=£2=υ
где 7ei ,ε2 "" гладкое двухпараметрическое семейство путей в М, таких, что
касательные векторы к путям 7^1,0 и 7ο,ε2 в Р{М) в точке 7о,о = 7 £
Ε Р(М) — это V\ и У~2 соответственно. Найдите вторую вариацию 5 для
лагранжевой системы (М, L) и проверьте, что для заданных V\ и V^ она не
зависит от выбора 7ε i ,ε2 ·
1.1.3. Примеры лагранжевых систем
Для описания механических явлений необходимо выбрать систему от-
счета. От этого выбора зависят свойства пространства-времени, в котором
происходит движение. Пространство-время характеризуется следующими
постулатами7.
Ньютоново пространство-время. Пространство является трехмер-
ным аффинным евклидовым пространством Е3. Выбором начала коорди-
нат 0 Ε Е3 — точки отсчета — устанавливается изоморфизм Е3 ~ М3,
где на векторном пространстве Ш3 определено евклидово скалярное произ-
ведение, и задана фиксированная ориентация. Время — ось времени Μ —
одномерно, и пространство-время — это прямое произведение Е3 х R.
Инерциальная система отсчета — это система координат с заданным на-
чалом 0 Ε Е3, начальным моментом времени to и ортонормированным ба-
зисом в Ж3. В инерциальной системе пространство однородно и изотропно,
а время однородно. Законы движения инвариантны по отношению к преоб-
разованиям
г н-> g-r-\-r0, *»->* +to,
где г, го Ε М3, a g — ортогональное линейное преобразование простран-
ства R3. Время в классической механике абсолютно.
7Строго говоря, эти постулаты верны только в нерелятивистском пределе специальной тео-
рии относительности, когда скорость света в вакууме предполагается бесконечной.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
31
Группа Галилея — это группа всех аффинных преобразований про-
странства Е3 х R, сохраняющих временные интервалы и являющихся изо-
метриями Е3 при любом t G Μ. Любое преобразование Галилея является
композицией вращения, пространственно-временного сдвига и преобразо-
вания
г н-> г + vt, t\-^t,
где ν G Μ3. Любые две инерциальные системы связаны преобразованием
Галилея.
Принцип относительности Галилея. Законы движения инвариантны
относительно группы Галилея.
Эти постулаты накладывают ограничения на лагранжианы механиче-
ских систем. К примеру, из первого постулата следует, что лагранжиан L
замкнутой системы не зависит явно от времени. Физические системы опи-
сываются специальными лагранжианами в соответствии с эксперименталь-
ными фактами, касающимися движения материальных тел.
Пример 1.1 (Свободная частица). Конфигурационное простран-
ство свободной частицы — это Μ = R3, и из принципа относительности
Галилея можно вывести, что лагранжиан свободной частицы — это
L = \тг2.
Здесь т > О8 — это масса частицы, а г2 = \г\2 — квадрат длины вектора
скорости г е TrR3 ~ М3. Уравнения Эйлера-Л агранжа приводят к закону
инерции Ньютона
г = 0.
Пример 1.2 (Взаимодействующие частицы). Замкнутая систе-
ма N взаимодействующих частиц в Ш3 с массами т\,..., шдг описывается
конфигурационным пространством
Μ = R3N = R3 x ... x R3
4 ν /
Ν
с вектором координат г = (ri, ..., т·^), где ra £ R3 — вектор координат
α-й частицы, а = 1, ..., N. Известно, что лагранжиан задается формулой
N
L = Y^\marl-V{r) = T-V,
а=1
Иначе функционал действия неограничен снизу.

32
Глава 1
где величина
N
α=1
называется кинетической энергией системы, а V(г) — потенциальная энер-
гия. Уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к уравнениям Ньютона
где
— сила, действующая на а-ю частицу, а = 1,...,ЛГ. Силы такого вида
называются консервативными. Из однородности пространства следует, что
потенциальная энергия V(r) замкнутой системы из N взаимодействующих
частиц зависит только от положения частиц друг относительно друга, что
приводит к уравнению
N
$> = о.
а=1
В частности, для замкнутой системы из двух частиц выполняется
2*1 +1*2 = О, из чего следует равенство сил действия и противодействия,
известное как третий закон Ньютона.
Потенциальная энергия замкнутой системы, в которой частицы взаи-
модействуют только попарно, имеет вид
V(V)= Σ Уаъ(Га-П).
' l^a<b^N
Из изотропности пространства следует, что V(r) зависит только от рас-
стояний между частицами, так что лагранжиан замкнутой системы из N
попарно взаимодействующих частиц имеет вид
N
L = Σ \ш^ - Σ Vab^Va - Гь1)·
α=1 l^a<b^N

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
33
Если потенциальная энергия V(г) — однородная функция степени р,
V(Xr) = XpV(r), то средние значения Τ и V кинетической и потенциаль-
ной энергий на замкнутой траектории связаны теоремой о вириале
2T = pV. (1.3)
Действительно, пусть r(t) — периодическая траектория с периодом г > О,
т. е. г(0) = г(т), г(0) = г(т). Пользуясь интегрированием по частям, урав-
нениями Ньютона и теоремой Эйлера об однородных функциях, получаем
\ Ν Ζ. Ν
2? = \ Ι Σ m^ldt = -ψ / Σ т*Г*ГаМ =
ο a=1 о α=1
ο α=1
ч
Пример 1.3 (Всемирное тяготение). Согласно закону всемирно-
го тяготения Ньютона потенциальная энергия силы притяжения между
двумя частицами с массами та и ть — это
т// „ ч п гпать
У{га -Гь) = -G-
-п\
где G — гравитационная постоянная. Конфигурационное пространство N
частиц с гравитационным взаимодействием — это
Μ = {(η, ...,rN)e R3N : r a φ rb для α ^ 6, α, b = 1, ..., TV}.
Пример 1.4 (Частица во внешнем потенциальном поле).
Здесь Μ = R3 и
£=-1-тг2-У(г,£),
где потенциальная энергия может явно зависеть от времени. Уравнения
движения — это уравнения Ньютона
mr = F = -2£.
or
Если V = V(\r\) является функцией только расстояния \г\, потенциальное
поле называется центральным.

34
Глава 1
Пример 1.5 (Заряженная частица в электромагнитном по-
ле9). Рассмотрим частицу с зарядом е и массой га в М3, движущуюся
в зависящем от времени электромагнитном поле со скалярным и векторным
потенциалами φ(ν) и A(r) = (Ai(r), A2(r), A3 (г)). Лагранжиан имеет вид
г тг2 . (гА \
где с — скорость света. Уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к уравнени-
ям Ньютона с силой Лоренца
где х — векторное произведение в М3, а
Е = -^- и В -curl A
— электрическое и магнитное поля1" соответственно.
Пример 1.6 (Малые колебания). Рассмотрим частицу массы га
с η степенями свободы, движущуюся в потенциальном поле V(q), и пред-
положим, что потенциальная энергия U имеет минимум в точке q = 0.
Раскладывая V(q) в ряд Тейлора около 0 и сохраняя только квадратичные
члены, получаем лагранжеву систему, описывающую малые колебания око-
ло положения равновесия. Конкретно,
L = \mq2 - V0(q),
где Vo — положительно определенная квадратичная форма на Rn, заданная
формулой
9 Это нерелятивистский предел примера из классической электродинамики.
10Также используется обозначение В = rot А.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
35
Поскольку любую квадратичную форму можно привести к диагональному
виду ортогональным преобразованием, можно предположить с самого нача-
ла, что координаты q = (g1, ..., qn) выбраны так, что Vo(q) диагональна и
г=1
где cji , ..., ωη > 0. Такие координаты q называются нормальными коорди-
натами. В нормальных координатах уравнения Эйлера-Лагранжа прини-
мают вид
ql + u2ql = 0, г = 1, ...,п,
и описывают η несвязанных (т. е. невзаимодействующих) гармонических ос-
цилляторов с частотами lji, ..., ωη.
Пример 1.7 (Свободная частица на римановом многообра-
зии). Пусть (M,ds2) — риманово многообразие с римановой метри-
кой ds2. В локальных координатах ж1, ..., хп на Μ
ds2 = 9μν{Χ)αΧμαΧν',
где по традиции предполагается суммирование по повторяющимся индек-
сам. Лагранжиан свободной частицы на Μ — это
L(v) = ±(v,v) = i\\v\\2,v€TM,
где ( , ) обозначает скалярное произведение в слоях ТМ, задаваемое рима-
новой метрикой. Соответствующий функционал
Sfr) = \ J \W{t)\\2dt = \j g^{x)x»x»dt
to to
называется функционалом действия в римановой геометрии. Уравнения Эй-
лера-Лагранжа — это
.. &9μν .μ.\ _ 1 %хА . ц . х
9μνΧ дхх Х Х " 2 дх»Х Х '

36
Глава 1
а после умножения на обратный метрический тензор даг/ и суммирования
по ν они принимают вид
Χσ + ΓΖ1/ΧμΧ"=0, σ = 1, ...,η,
где
— символы Кристоффеля. Уравнения Эйлера-Лагранжа свободной части-
цы, движущейся по риманову многообразию, — это уравнения геодезиче-
ских.
Пусть V — связность Леви-Чивита — метрическая связность без кру-
чения на касательном расслоении ТМ, и пусть V$ — ковариантная произ-
водная по отношению к векторному полю ξ е Vect(M). Конкретно,
(νξ7?)μ=(Ι5+Γ^λ)Γ' где *=™^η~^Χ)δ*·
Для пути j(t) = (Χμ(η) обозначим символом V^ ковариантную производ-
ную вдоль 7,
(VjV)4t) = ^^+Kx№))i'/(t)vX(t), где V = r,4t)£:
— векторное поле на 7· Теперь можно написать формулу (1.1) в инвариант-
ной форме:
SS
to
известной как формула первой вариации действия в римановой геометрии.
Пример 1.8 (Твердое тело). Конфигурационное пространство твер-
дого тела в R3 с закрепленной точкой — это группа Ли G = SO(3) сохра-
няющих ориентацию ортогональных линейных преобразований простран-
ства М3. Любая левоинвариантная риманова метрика ( , ) на G задает
лагранжиан L : TG —► R формулой
L(v) = Uv,v), veTG.
"1

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
37
Согласно предыдущему примеру уравнения движения твердого те-
ла — это уравнения геодезических на G по отношению к римановой мет-
рике ( , ). Пусть д = $о (3) — алгебра Ли группы G. Вектор скорости
д £TgG определяет угловую скорость тела по формуле Ω = (Lg-i)*g e д,
где Lg: G —> G — это левые сдвиги на G. В терминах угловой скорости
лагранжиан принимает вид
где ( , )е — скалярное произведение на g = TeG, задаваемое римано-
вой метрикой ( , ). На алгебре Ли g — алгебре Ли кососимметрических
матриц 3 х 3 — имеется инвариантное скалярное произведение (u, v)о =
= —-Truv (форма Киллинга), так что (Ω, Ω)β = (А · Ω, Ω)ο для некоторого
симметрического линейного оператора А : g —► g, положительно опреде-
ленного по отношению к форме Киллинга. Такой линейный оператор А
называется тензором инерции тела. Главные оси инерции тела — это орто-
нормальные собственные векторы ei, ег, е3 оператора А; соответствующие
собственные значения Д, /г> h называются главными моментами инерции.
Положив Ω = ΩΙβΙ + Ω2β2 + Ωβββ11, получаем
В такой параметризации уравнения Лагранжа превращаются в уравнения
Эйлера:
/1Ω1 = (72-/3)Ω2Ω3,
/2Ω2 = (/3-/1)Ω1Ω3,
/3Ω3 = (/1-/2)Ω1Ω2.
Уравнения Эйлера описывают вращение свободного твердого тела около
закрепленной точки. В системе координат, осями которой выбраны главные
оси инерции, главные моменты инерции — это Д, ДДз-
Задача 1.5. Определите движение заряженной частицы в постоян-
ном однородном магнитном поле. Покажите, что если начальная скорость
по оси z (выбранной в направлении поля, В = (О, О, В)) г>з = 0, то тра-
cmvt
ектории являются окружностями радиусов г = —=т~ в плоскости, перпен-
дикулярной полю (плоскости ху), где vt = \Jv\ + v\ — начальная скорость
11 Так устанавливается изоморфизм алгебр Ли g ~ R3, где скобка Ли на R3 задана вектор-
ным произведением.

38
Глава 1
в плоскости ху. Центры (хо,уо) окружностей определяются формулой
cmv\ cmvo
где (ж, у) — точки на окружности радиуса г.
Задача 1.6. Покажите, что уравнения Эйлера-Лагранжа для лагран-
жиана L(v) = ||г>||, v G ТМ, совпадают с уравнениями геодезических, за-
писанными по отношению к постоянному множителю натурального пара-
метра.
Задача 1.7. Докажите, что для частицы в потенциальном поле, об-
суждавшейся в примере 1.4, вторая вариация функционала действия, опре-
деленная в задаче 1.4, задается формулой
S2S= f Jfarfardt,
to
где <$ir, δ2ν G Т7РЖ3, 7 = r(t) — классическая траектория,
rr „<Ρ τ d2y
g2y ( β2γ Ι 3
I — единичная матрица 3 x 3, a —-(t) = < -^—~—(r(t)) > . Линейный
dr2 {dradrb J a>b=1
дифференциальный оператор второго порядка J, действующий на вектор-
ные поля на 7, называется оператором Якоби.
Задача 1.8. Найдите нормальные координаты и частоты для лагран-
1 п
жевой системы, рассмотренной в примере 1.6 с Vo(q) = ^а2 Σ (<7г+1 ~Яг)2>
2 г=1
где </η+1 = q1.
Задача 1.9. Докажите, что вторая вариация функционала действия
в римановой геометрии дается формулой
S2S = J(J(Sl7),S27)dt.
to
Здесь 5i7,^27 G ΤΙΡΜ, J = -V? - R(j, -)j — оператор Якоби, аЯ-
оператор кривизны — послойно линейное отображение R: Τ Μ ® Τ Μ —>
—> End(TM) векторных расслоений, определенное формулой Д(С,гу) =
= νηνξ - νξνη + VKji7]: ТМ -> ТМ, где ξ, η G Vect(M).

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
39
0
Ω3
-Ω2
-Ω3
0
Ω1
Ω2\
"Ω!
ο )
^(Ω1,Ω2,Ω3)6
Задача 1.10. Выбрав главные оси инерции в качестве базиса в
покажите, что изоморфизм алгебр Ли g ~ М3 задается формулой
93
Задача 1.11. Покажите, что для любого симметрического А Е End g
существует симметрическая 3x3 матрица А, такая, что А · Ω = ΑΩ, + ΩΑ,
и найдите А для диагонального А.
ЗАДАЧА 1.12. Выведите уравнения Эйлера для твердого тела. (Ука-
зание: воспользуйтесь тем, что L = — -ΤτΑΩ,2, где Ω = д~гд и 5Ω =
= —д~г6д Q-\-g~1Sg, и получите уравнения Эйлера-Лагранжа в матричной
форме ΑΩ + UA = ΑΩ2 - Ω2 А)
1.1.4. Симметрии и теорема Нётер
Чтобы описать движение механической системы, необходимо решить
соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа — систему обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка в обобщенных координа-
тах. Это может быть очень сложной задачей. Поэтому особенный интерес
представляют функции обобщенных координат и скоростей, остающиеся
постоянными во все время движения.
Определение. Гладкая функция / : ТМ —► R называется интегралом
движения (первым интегралом, или законом сохранения) для лагранжевой
системы (M,L), если
|/(7'W)=0
для любой экстремали j функционала действия.
Определение. Энергия лагранжевой системы (М, L) — это функция
Ε на Τ Μ х R, определенная в стандартных координатах на Τ Μ формулой
η
E(q, q, t) = V <f |^(q, q, t) - L(q, q, t).
Лемма 1.1. Энергия Ε = q — — L является корректно определенной
функцией на Τ Μ х R.

40
Глава 1
Доказательство.
Пусть (£/, φ) и ([/', φ') — координатные окрестности в Μ с функциями
перехода F = (F1, ..., Fn) = φ' о φ-1 : φ(ΙΙ Π V) ^ φ'{11 Π Ε/'). Соответ-
ствующие стандартные координаты (ς, q) и (</', <j') связаны соотношениями
qf = F(q) и q' = F*(q)q (см. раздел 1.1.2). Имеем dq' = F*(q)dq и dq' =
= G(g, q)dq + F* (ςτ)φ/ (для некоторой матричнозначной функции G(g, </)),
так что
at 9L i/ . dLi-i . 9L i,
=Ш™+§g^ «)dq+§f*№+ftdt=
Таким образом, при замене координат
WF*{q)=d4 и «а*=«а*·
так что Ε — корректно определенная функция на ТМ.
Следствие 1.2. При замене локальных координат на Μ компонен-
ты — (q,q,t) = I —-, ..., —— I преобразуются как компоненты 1-
oq \dq OQ. I
формы на М.
Предложение 1.1 (Сохранение энергии). Энергия замкнутой систе-
мы является интегралом движения.
Доказательство.
Для экстремали η положим E{t) = E(^{t)). Согласно уравнениям Эй-
лера -Лагранжа имеем
dE_ = A (dL\ · , dLfi - ^n - <^п -QL =
dt dt\dq)q dq4 dq4 dq4 dt
( d_ (dL\ _dL\n_dL=-
\dt \dqj dq)q dt
9L
dt'
Поскольку для замкнутой системы — = 0, энергия сохраняется.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
41
Сохранение энергии для замкнутой механической системы — фунда-
ментальный физический закон, следующий из однородности времени. Для
произвольной замкнутой системы из N взаимодействующих частиц, рас-
смотренной в примере 1.2,
Ν Ν
Ε = Σ таг\ ~L = Y^ \mar2a + V(r).
α=1 α=1
Другими словами, полная энергия Ε = Τ + V — это сумма кинетической
и потенциальной энергий.
Определение. Лагранжиан L : Τ Μ —► Ж инвариантен относительно
диффеоморфизма д : Μ —► Μ, если L(g*(v)) = L(v) для любого υ G ТМ.
Диффеоморфизм д называется симметрией замкнутой лагранжевой систе-
мы (M,L). Группа Ли G — это группа симметрии (M,L) (группа непре-
рывных симметрии), если существует левое действие G на М, такое, что
для любого д G G отображение Мэхи^-xgM- симметрия.
Непрерывные симметрии приводят к законам сохранения.
Теорема 1.3 (Э.Нётер). Пусть лагранжиан L : Τ Μ —> Ж инвариан-
тен относительно однопараметрической группы {gs}seR диффеоморфиз-
мов М. Тогда лагранжева система (M,L) допускает интеграл движе-
ния I, записываемый в стандартных координатах на Τ Μ как
1 dLn
s=0/
д
где X = у^al(q)—г — векторное поле на М, соответствующее пото-
ку gs. Интеграл движения I называется интегралом Ветер.
Доказательство.
Из следствия 1.2 следует, что / — корректно определенная функция
на ТМ. Далее, дифференцируя L((gs)^(jr(t))) = L(jf(t)) по отношению
к s при s = 0 и используя уравнения Эйлера-Лагранжа, получаем
η dL„.dL. d (dL\„,dLda d (dL \
щеаЦ)=(а1Ш),...,апШ)).

42
Глава 1
Замечание. Векторное поле X на Μ называется бесконечно малой
симметрией, если соответствующий локальный поток gs поля X (опреде-
ленный для любого s Ε Ш в некоторой окрестности Us С М) — симметрия:
L ° (<7s)* = £ на Us. Любое векторное поле X на Μ поднимается до век-
торного поля X' на ТМ, определенного локальным потоком на ТМ, инду-
цированным соответствующим локальным потоком на М. В стандартных
координатах на Τ Μ
Легко проверить, что X является бесконечно малой симметрией, если
и только если dL(X') = О на ТМ, что в стандартных координатах запи-
сывается как
Замечание. Теорема Нётер обобщается на лагранжианы L : Τ Μ х
хМ->М, зависящие от времени. А именно: определим на расширенном
конфигурационном пространстве М\ = Μ х R не зависящий от времени
лагранжиан L\ как
Li(q,T,q,r) = L (ςτ, |,rjf,
где (ςτ, τ) — локальные координаты на Mi, а (ςτ, г, g, f) — стандартные ко-
ординаты на TMi. Интеграл Нётер 1\ для замкнутой системы (Mi,Li)
определяет интеграл движения I для системы (М, L) по формуле
I(Q,Q,t) = Ii(q,t,q,l).
Когда лагранжиан L не зависит от времени, L\ инвариантно относитель-
но однопараметрической группы сдвигов г н-> г + s, и интеграл Нётер
h = -^т- дает I = -Ε.
στ
Теорему Нётер можно обобщить следующим образом.
Предложение 1.2. Пусть для лагранжиана L : Τ Μ —> Ж существуют
векторное поле X на Μ и функция К на ТМ, такие, что для любого
пути η β Μ
Щх')Ш) = jtK(.i'm

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
43
Тогда
η
— интеграл движения лагранжевой системы (М, L).
Доказательство.
Используя уравнения Эйлера-Лагранжа, получаем, что на экстрема-
ли 7
A. (dLa\ = dLa + dLa = dK
dt \dq J dq dq dt
Пример 1.9 (Сохранение импульса). Пусть М = V — векторное
пространство, и допустим, что лагранжиан L инвариантен относительно
однопараметрической группы gs(q) = q + sv, υ Ε V. Согласно теореме
Нётер
— интеграл движения. Теперь пусть (Μ, L) — замкнутая лагранжева систе-
ма из N взаимодействующих частиц, рассмотренная в примере 1.2. Имеем
Μ = V = R3N, и лагранжиан L инвариантен при одновременном сдвиге
координат га = (г*,г2,г3) всех частиц на один и тот же вектор с £ М3.
Таким образом, υ = (с, ..., с) Ε R3iV, и для любого с = (с1, с2, с3) Ε Ш3
является интегралом движения. Интегралы движения Р\,Р2,Рз определя-
ют вектор
(или, точнее, вектор в пространстве, двойственном к М3), называемый им-
пульсом системы. Конкретно,
N
Р = ^2тага,
а=1
так что полный импульс замкнутой системы равен сумме импульсов инди-
видуальных частиц. Сохранение импульса — фундаментальный физический
закон, отражающий однородность пространства.

44
Глава 1
По традиции величины щ = —г называются обобщенными импулъса-
dql
ми, соответствующими обобщенным координатам ql, a Fi = —г — обоб-
dq%
щенными силами. В этих обозначениях уравнения Эйлера -Лагранжа име-
ют такой же вид:
как и уравнения Ньютона в декартовых координатах. Из сохранения им-
пульса следует третий закон Ньютона.
Пример 1.10 (Сохранение углового момента). Пусть Μ = V —
векторное пространство с евклидовым скалярным произведением. Пусть
G = SO(V) — связная группа Ли автоморфизмов V, сохраняющих скаляр-
ное произведение, и пусть g = $o(V) — алгебра Ли группы G. Допустим,
что лагранжиан L инвариантен относительно действия однопараметриче-
ской подгруппы gs(q) = esx · q группы G, где х G д, a ex — экспоненциаль-
ное отображение. Согласно теореме Нётер
— интеграл движения. Теперь пусть (M,L) — замкнутая лагранжева си-
стема из N взаимодействующих частиц, рассмотренная в примере 1.2.
Имеем Μ = V = RSN, и лагранжиан L инвариантен относительно од-
новременных поворотов координат га при одном и том же ортогональ-
ном преобразовании пространства М3. Таким образом, х = (щ ... ,и) £
G 5θ(3) Θ ... Θ 5θ(3), и для любого и е 5о(3)
4 ν '
N
является интегралом движения. Пусть и = и1Х\ + и2Х2 + и3Хз, где Х± ~
= (оо-1),Х2=( ooo),X3=(i оо)— базис в so(3) ~ R3, соответ-
Voi о/ v-ioo/' Vo оо/ v J
ствующий вращениям вокруг векторов е1,в2,ез из стандартного ортонор-
мированного базиса R3 (см. задачу 1.10). Получаем
I = и1 Mi + и2М2 + и3М3,

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
45
где Μ = (Mi, Мг, Мз) Ε М3 (точнее, Μ лежит в пространстве, двойствен-
ном к 50(3)) задается формулой
N
dL
М = Е^Г
л дга
а=1
Вектор Μ называется угловым моментом системы. Конкретно,
N
Μ = ^гах тага,
о=1
так что полный угловой момент замкнутой системы равен сумме угловых
моментов индивидуальных частиц. Сохранение углового момента — фунда-
ментальный физический закон, отражающий изотропность пространства.
Задача 1.13. Определите, как полный импульс и полный угловой
момент преобразуются при преобразованиях Галилея.
1.1.5. Одномерное движение
Движение систем с одной степенью свободы называется одномерным.
При использовании декартовой координаты х на Μ = R лагранжиан при-
нимает вид
L= \mx2-V(x).
Закон сохранения энергии
Ε = ±тх2 + V(x)
позволяет решить уравнения движения в замкнутой форме с помощью раз-
деления переменных. Имеем
так что
dx
[т f
2 J
V'Ε - V(x)
Обратная функция x(t) — общее решение уравнений Ньютона,
ах
с двумя произвольными константами, энергией Ε и постоянной интегриро-
вания.

46
Глава 1
Поскольку кинетическая энергия неотрицательна, для заданного значе-
ния Ε фактическое движение происходит в области R, в которой V(x) < Ε.
Точки, где V(x) = Ε, называются точками поворота. Движение, ограни-
ченное двумя точками поворота, называется финитным. Финитное движе-
ние периодично — частица осциллирует между точками поворота х\ и x<i
с периодом
dx
Т(Е) = V2^ /
yjE - V(x)
Если область V(x) ^ Ε не ограничена, то движение называется нефинит-
ным, и частица в конце концов уходит на бесконечность. Области, в кото-
рых V{x) > Ε, недоступны.
На фазовой плоскости с координатами (х,у). уравнение Ньютона сво-
дится к системе первого порядка
dV
тХ = У> У='1х-'
Траектории соответствуют фазовым кривым (x(t),y(t)), лежащим на лини-
ях уровня
функции энергии. Точки (#о, 0), где хо — критическая точка потенциальной
энергии V(x), соответствуют положениям равновесия. Локальные мини-
мумы соответствуют устойчивым положениям, а локальные максимумы —
неустойчивым. Для значений Е, не соответствующих положениям равнове-
сия, линии уровня — гладкие кривые. Эти кривые замкнуты, если движение
финитное.
Простейшая нетривиальная одномерная система, не считая свободной
частицы, — это гармонический осциллятор с V(x) = \kx2 (k > 0), рассмот-
ренный в примере 1.6. Общее решение уравнения движения —
x(t) = Acos(u;t Η-α),
где А — амплитуда, ω = у — — частота, а а — фаза простого гармо-
нического движения с периодом Τ = —. Энергия — это Ε = ^τηω2Α2,
и движение финитно с одним и тем же периодом Τ при Ε > 0.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
47
Задача 1.14. Покажите, что при V(x) = —х4 существуют фазо-
вые кривые, определенные не во все моменты времени. Докажите, что ес-
ли V(x) ^ 0 для любого х, то фазовые кривые определены во все моменты
времени.
Задача 1.15. Простой маятник — это лагранжева система с Μ =
= S1 = Μ/2πΖ и L = \θ2 Η-cos θ. Найдите период Τ маятника как функцию
амплитуды колебаний.
Задача 1.16. Допустим, что потенциальная энергия V(x) четна,
V(0) = 0 и V(x) — взаимнооднозначная монотонно возрастающая функция
при х ^ 0. Докажите, что обратная функция x(V) и период Т(Е) связаны
преобразованием Абеля
T{E) = 2V^1% W и x<y) = -±—VfT{E)dE
dV ^/E-V 2nV2^J VV-E
о о
1.1.6. Движение в центральном поле и задача Кеплера
Движение системы двух взаимодействующих частиц — задачу двух
тел — тоже можно полностью описать. А именно: в этом случае (см. при-
мер 1.2) Μ = R6 и
mif? ГП2Г2 __„ |ч
Вводя на Ш6 новые координаты
„ „ „ „ Т7 rain + ГП2Г2
Г = 7*1 — Г 2 И It = ; ,
mi + га2 '
получаем
L = \mR2 + \μτ2 - V(|r|),
ГП1ГП2 л
где m = тпл-\- mo — полная масса, а μ, = ; приведенная масса си-
стемы двух тел. Лагранжиан L зависит только от скорости R центра масс,
но не от его положения R. Обобщенная координата с таким свойством на-
зывается циклической. Из уравнений Эйлера-Лагранжа следует, что обоб-
щенный импульс, соответствующий циклической координате, сохраняется.

48
Глава 1
В нашем случае это полный импульс системы:
OR
так что центр масс R движется равномерно. Таким образом, в системе от-
счета, где R = О, задача двух тел сводится к задаче об одной частице
массы μ во внешнем центральном поле V(|r|). В сферических координа-
тах на М3,
х = г sin д cos φ, у = г sin $ sin φ, z = r cos $,
где 0 ^ $ < π, 0 ^ φ < 2π, ее лагранжиан принимает вид
L = \μ{τ2 + т2Ь2 + г2 sin2 tf φ2) - V(r).
Из сохранения углового момента Μ = μν Χ г следует, что во время
движения вектор положения г лежит в плоскости Р, ортогональной к Μ
в Ш3. Вводя полярные координаты (г, х) на плоскости Р, получаем х2 =
= д2 + sin2 д φ2, так что
L=IM(r2+rV)-V(r).
Координата х — циклическая, а ее обобщенный импульс μν2\ совпадает
с \М\, если х > 0, и с — \М\, если х < 0. Обозначая эту величину как М,
получаем уравнение
μτ2Χ = Μ, (1.7)
эквивалентное второму закону Кеплера12. Воспользовавшись уравнени-
ем (1.7), получаем для полной энергии
Ε = \μ(τ2 + r2x2) + V(r) = \μτ2 + V(r) + M^. (1.8)
Μ2
2μτ2
Таким образом, радиальное движение сводится к одномерному движению
на луче г > 0 с эффективной потенциальной энергией
Veff(r) = V(r) + ^,
12Это утверждение о том, что секторальная скорость частицы в центральном поле посто-
янна.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
49
где второе слагаемое называется центробежной энергией. Как и в преды-
дущем разделе, решение дается формулой
t= /jj:/-—£ . (1.9)
Из (1.7) следует, что угол \ — монотонная функция t, определяемая другой
квадратурой:
Μ I dr_
V^J r2^E-Veff(r)'
X = ^=/-^=^=^- (1.Ю)
задающей уравнение траектории в полярных координатах.
Множество Veff(r) ^ Ε является объединением колец 0 ^ rmin ^
< г < Гтах < оо, и движение финитно, если 0 < ГтгП ^ г < гтах < оо.
Несмотря на то, что при финитном движении r(t) осциллирует между rmin
и Гщах, соответствующие траектории не обязательно будут замкнуты. Необ-
ходимым и достаточным условием того, чтобы финитное движение имело
замкнутую траекторию, является требование, чтобы угол
гтах
АХ=М_ [ dr
л/2Д J r2y/E-Veff(r)
rmin
был соизмерим с 2π, т. е. Δ% = 2π™ для каких-то га, η Ε Ζ. Если угол А\
не соизмерим с 2π, орбита всюду плотна в кольце гШгП ^ г ^ гтах. Если
lim 14//(г) = lim V(r) = V < оо,
движение нефинитно при Ε > V — частица уходит на бесконечность с ко-
нечной скоростью J^{E — V).
Очень важен частный случай, когда
v(r) = -a.
Он соответствует ньютоновскому гравитационному притяжению (а > 0)
и кулоновскому электростатическому взаимодействию (притягивающему
или отталкивающему). Сперва рассмотрим случай, когда а > 0 — задача
Кеплера. Эффективная потенциальная энергия равна
Veff{r) = —г+-
2/хг2

50
Глава 1
и имеет глобальный минимум
Υο = -α2μ
2М2
М2
при го = -QJ7T· Движение нефинитно при Ε > 0 и финитно при Vo ^ Ε < 0.
Явную форму траекторий можно определить элементарным интегрирова-
нием в (1.10), которое дает
Μ Μ
х = сов-1—r r° +a
^2μ(Ε-ν0)
Выбирая постоянную интегрирования С = 0 и вводя обозначение
ρ = го и е
получаем уравнение орбиты (траектории) —
P = l + ecosx. (1.11)
Это уравнение конического сечения с одним фокусом в начале координат.
Величина 2р называется фокальным параметром орбиты, а е — эксцентри-
ситетом. При выборе С = 0 точка с \ = 0 — ближайшая к началу коор-
динат (она называется перигеем). Когда V0 ^ Ε < 0, эксцентриситет е < 1,
так что орбита — эллипс13 с большой и малой полуосями:
„_ Ρ _ а и_ Ρ 1М1 П19ч
а-1_е2-2|яГ *-^Γ^2-ν/2ΜΕΓ ( }
Соответственно, rmin = , rmax = , и период Τ эллиптической
орбиты дается формулой
2\Е\3
Последняя формула — это третий закон Кеплера. Когда Ε > 0, эксцентри-
ситет е > 1 и движение нефинитно, орбита является гиперболой с внут-
ренним фокусом в начале координат. Когда Ε = 0, эксцентриситет е = 1,
частица начинает движение из состояния покоя на бесконечности, и орби-
та — парабола.
13Утверждение, что планеты движутся по эллиптическим орбитам с фокусом в Солнце, это
первый закон Кеплера.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
51
Для случая отталкивания, а < О, эффективная потенциальная энер-
гия Veff (г) всегда положительна и монотонно убывает от оо до 0. Движе-
ние всегда нефинитно, а траектории — гиперболы (парабола, если Ε = 0)
Ρ
ψ = -1 + ecosx
Μ2 L ^_ 2EM2
р=^ и e=v1+7^·
Задача Кеплера весьма специальна: для любого a Ε Ш лагранжева си-
стема на Ш3 с ^
L = \μν2 + f (1.13)
имеет три добавочных интеграла движения Wi, W2, W3, помимо компонент
углового момента М. Соответствующий вектор W = (Wi, W2, W3), назы-
ваемый вектором Лапласа-Рунге-Ленца, задается формулой
W = rxM-^. (1.14)
Действительно, воспользовавшись уравнениями движения μν = — ^ и со-
3
г
хранением углового момента Μ = μν Χ г, получаем
xir / .ч αν ol{v-v)v
W = μν X (г X г) - ψ + ν з =
= (//r · r)r - {μν -v)v - — Η =
-0.
Воспользовавшись тем, что μ(ν х Μ) · г = iVf2, и равенством (о X б)2 =
= а2 Ъ2 — (а · Ь)2, получаем
W2 = q2 + 2m!£( (115)
где
— энергия, соответствующая лагранжиану (1.13). Тот факт, что все орби-
ты — конические сечения, следует из этой добавочной симметрии зада-
чи Кеплера.
Задача 1.17. Докажите все утверждения этого раздела.

52
Глава 1
Задача 1.18. Покажите, что если
limnVeff(r) = -00,
г—»и
то существуют орбиты с rmin = 0, соответствующие «падению» частицы
на центр.
Задача 1.19. Докажите, что все финитные траектории в центральном
поле замкнуты только в том случае, когда
V(r) = kr2, k>0, и V(r) = -f, α>0.
Задача 1.20. Найдите параметрические уравнения орбит в задаче
Кеплера.
Задача 1.21. Докажите, что вектор Лапласа-Рунге-Ленца W смот-
рит в сторону главной оси орбиты и что | W\ = ае, где е — эксцентриситет
орбиты.
Задача 1.22. Используя сохранение вектора Лапласа - Рунге - Ленца,
докажите, что траектории в задаче Кеплера с Ε < О — эллипсы. (Указание:
вычислите W · г и используйте результат предыдущей задачи.)
1.1.7. Преобразование Лежандра
Уравнения движения лагранжевой системы (М, L) в стандартных ко-
ординатах, связанных с координатной окрестностью U С М, это уравнения
Эйлера-Лагранжа. В развернутой форме они задаются следующей систе-
мой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:
= Υ" I -^- (q, q) qj + -^- (q,q) qj ) , г = 1, .. ., η.
^{\dqxdq>K dqldtfK J J
Для того чтобы эта система разрешалась для старших производных при лю-
бых начальных условиях на TU, необходимо, чтобы на TU была обратима
симметричная η х η матрица

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
53
Определение. Лагранжева система (М, L) называется невырожден-
ной, если для любой координатной окрестности U в Μ матрица Hb(q,q)
обратима на TU.
Замечание. Заметим, что η х η матрица Hl — это гессиан функции
Лагранжа L для вертикальных направлений на ТМ. При замене стандарт-
ных координат q' = F(q) и q' = F*(q)v (см. раздел 1.1.2) она преобразу-
ется по закону
HL(q,q) = F*{q)THL{q',q')F*{q),
где F*(q)T — транспонированная матрица, так что условие detHb φ 0 не
зависит от выбора начальных координат.
Для инвариантной формулировки рассмотрим 1-форму #l, опреде-
ленную в стандартных координатах, связанных с координатной окрестно-
стью U С М, формулой
^dq1 dq ч
г=1 *
Из следствия 1.2 выходит, что 9l — корректно определенная 1-форма
на ТМ.
Лемма 1.2. Лагранжева система (М, L) невырождена, если и только
если 2-форма d0L на Τ Μ невырождена.
Доказательство.
В стандартных координатах
d6L = V f -^-dqj Λ dql + -^-dqj Λ dq*] ,
и, рассмотрев 2п-форму αθ™ = d0L Λ ... Λ d0L, легко видеть, что 2-форма
4 ν у
η
авь невырождена, если и только если матрица Hl невырождена.
Замечание. С использованием 1-формы 6l интеграл Нётер I в тео-
реме 1.3 можно записать как
I = ix>(0L), (1.16)
где X1 — подъем векторного поля X с Μ на ТМ, заданный уравнением
(1.5). Из (1.6) также мгновенно следует, что если X — бесконечно малая
симметрия, то
£x<(0l) = O. (1.17)

54
Глава 1
Определение. Пусть (U, φ) — координатная окрестность в М. Коор-
динаты
(Р,9) = (Рь.--?Рп,д1,...,0
в окрестности T*U ^ Mn x U кокасательного расслоения Т*М называются
стандартными координатами1*, если для (p,q) G T*i/ и / G C°°(U)
Pt(df) = τ— > i = 1, ...,η.
Эквивалентным образом, стандартные координаты на T*i/ можно од-
нозначно охарактеризовать условием, что ρ = (pi, ... ,pn) — координа-
ты в слое, соответствующие базису dq1, ..., dgn пространства Τ* Μ, двои-
ственному к базису —-, ..., ^-^ пространства TqM.
Определение. 1-форма θ на Т*М, определенная в стандартных коор-
динатах формулой
η
6 = ^2pidql = pdq,
г=1
называется канонической 1-формой Лиувилля.
Из следствия 1.2 видно, что θ — корректно определенная 1-форма
на Т*М. Ясно, что 1-форма θ допускает также инвариантное определение
θ(μ)=ρ(π+(*)), где иеТмТ*М,
а π \Т*М —> Μ — каноническая проекция.
Определение. Послойное отображение тх, : ТМ -^> Т*М называется
преобразованием Лежандра, связанным с лагранжианом L, если
0l = t£(0).
В стандартных координатах преобразование Лежандра задается фор-
мулой
TL(q,q) = (p,q), где p=—{q,q).
Отображение tl — локальный диффеоморфизм, если и только если лагран-
жиан L невырожден.
14По традиции первые η координат параметризуют слой Т*£/, а последние η координат —
базу.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
55
Определение. Пусть преобразование Лежандра п, : Τ Μ —> Τ* Μ —
диффеоморфизм. Гамильтониан Η : Τ*Μ —> Μ, соответствующий лагран-
жиану L : Τ Μ —> R, определяется как
HorL = EL = q^-L.
dq
В стандартных координатах
H(p,q) = {pq-L(q,q))\ dL ,
где q — функция рид, определяемая уравнением р = τττ(ς,q) по теореме
dq
о неявной функции. Кокасательное расслоение Т*М называется фазовым
пространством лагранжевой системы (М, L). Оказывается, что в фазовом
пространстве уравнения движения принимают очень простой и симметрич-
ный вид.
Теорема 1.4. Пусть преобразование Лежандра tl '· Τ Μ —> Τ* Μ —
диффеоморфизм. Тогда уравнения Эйлера-Лагранжа в стандартных ко-
ординатах на ТМ,
cLdL_dL=Q i = 1
dtdq1 dq1 '
эквивалентны следующей системе дифференциальных уравнений первого
порядка в стандартных координатах на Т*М:
дн
дН
Р* = --Т7> Я1 = ^~, « = 1,
dq
dpi'
,п.
Доказательство.
Имеем
ш-%**щ*·-
= (pd4+idp-eLdg_eLd4}
= ('*-§Н
dL
р=щ
dL '
р=щ
Таким образом, при преобразовании Лежандра
*-Щ -*-i
l_dL = dL=_
t dq dq
дн
dq'

56
Глава 1
Соответствующие дифференциальные уравнения первого порядка на
Т*М называются уравнениями Гамильтона {каноническими уравнениями).
Следствие 1.5. Гамильтониан Η постоянен на решениях уравнений
Гамильтона.
Доказательство.
Для H(t) = H{p(t),q(t)) имеем
dH = дн. j дн . = дн дн дндн =0
dt dq dp dq dp dp dq
Для лагранжиана
L = ?ψ- - V(r) = Τ - V, r G Μ3,
частицы массы т в потенциальном поле V(r), рассмотренном в приме-
ре 1.4, имеем
dL
Ρ = -77Т = ТПГ.
dr
Таким образом, преобразование Лежандра tl : ТШ3 —> Т*М3 — глобальный
диффеоморфизм, линейный на слоях, и
H(p,r)=(pr-L)\.=2.=7^ + V(r) = T + V.
Уравнения Гамильтона
f = дН = Р
dp m'
ρ = дН = dV
дг дг
эквивалентны уравнениям Ньютона с силой F = — ——.
or
Для лагранжевой системы, описывающей малые колебания, рассмот-
ренной в примере 1.6, имеем ρ = mq и, используя нормальные координаты,
получаем
H(p,q) = (pq-L(q,q))\4=£ = f^+ВД = ^(р2 + m2 f>2(<f)2)·
г=1

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
57
Схожим образом для системы из N взаимодействующих частиц, рас-
смотренной в примере 1.2, имеем ρ = (pi, ... ,Pn), где
Ρα = д-г- = mara, α = 1, ..., TV.
ота
Преобразование Лежандра тх : TM3iV —> T*R3N — глобальный диффео-
морфизм, линейный на слоях, и
N
Н(р,г) = (рг - L)\.=£_ = Σ ъ=г + У (г) = T + V.
т " ЛТПа
а=1
В частности, для замкнутой системы с попарными взаимодействиями
Я(Р^) = Е^-+ Σ Vab(ra-Vb).
α=1 α l^a<b^N
В общем случае рассмотрим лагранжиан
η
где A(q) = {а^(я)}^=1 ~ симметричная матрица п х п. Имеем
η
Pi = — = Y^aij{q)q\ i = 1, ...,n,
и преобразование Лежандра — глобальный диффеоморфизм, линейный на
слоях, если и только если матрица A(q) невырождена для любого q £Шп.
В этом случае
η
H(p,q) = (pq-L(q,q))\ 9L = £ У*{q)piPj+ V{q\
где {alJ'(<z)}ij=1 = ^4-1(ςτ) — обратная матрица.
Задача 1.23 (Второе касательное расслоение). Пусть π: ТМ ->
—> Μ — каноническая проекция и пусть Ту(ТМ) — вертикальное каса-
тельное расслоение расслоения ТМ вдоль слоев π — ядро отображения
расслоений π*: Т(ТМ) —> ТМ. Докажите, что существует естественный
изоморфизм расслоений г: ТМ ~ Ту(ТМ).

58
Глава 1
Задача 1.24 (Инвариантное определение 1-формы 0l). Пока-
жите, что 6L(v) = dL((i о 7г*)г>), где ν е Т(ТМ).
3 А дач а 1.25. Дайте инвариантное доказательство (1.17).
Задача 1.26. Докажите, что путь ^(t) в Μ — траектория лагранжевой
системы (М, L), если и только если
irW(d0L) + d£L(Y(*)) = O,
где У(£) — вектор скорости пути Y(t) in TM.
Задача 1.27. Покажите, что для заряженной частицы в электромаг-
нитном поле, рассмотренной в примере 1.5,
p = mr + ^A и Н(р,г) = ^ [Р- |AJ + ер(г).
Задача 1.28. Допустим, что для лагранжевой системы (Rn, L) преоб-
разование Лежандра tl — диффеоморфизм, и пусть Η — соответствующий
гамильтониан. Докажите, что при фиксированных q и q у функции pq —
— Η (ρ, q) имеется единственная критическая точка при ρ = —.
Задача 1.29. Приведите пример невырожденной лагранжевой систе-
мы (М, L), такой, что преобразование Лежандра тх : Τ Μ —► Τ* Μ одно-
значно, но не сюръективно.
1.2. Гамильтонова механика >
1.2.1. Уравнения Гамильтона
Каждой функции Η : Τ*Μ —> R на фазовом пространстве Τ*Μ со-
ответствуют уравнения Гамильтона — система обыкновенных дифферен-
циальных уравнений первого порядка, которая в стандартных координатах
на T*U имеет вид
Соответствующее векторное поле Хн на T*U,
η
г=1
дн д
dpi dqi
дн д \
dqi dpi)
дн д
dp dq
дн д
dq дру

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
59
порождает корректно определенное векторное поле Хн на Т*М, назы-
ваемое гамилыпоновым векторным полем. Предположим теперь, что век-
торное поле Хн на Г*Μ полно, т.е. что его интегральные кривые опре-
делены во все моменты времени. Соответствующая однопараметрическая
группа {gt}teR диффеоморфизмов Т*М, порожденная Хн, называется га-
милыпоновым фазовым потоком. Он определяется равенством gt (p, q) =
— ОКО? #(£))> гДе pW> Q(t) ~ решение уравнений Гамильтона, удовлетворя-
ющее условию р(0) = р, q(0) = q.
Каноническая 1-форма Лиувилля θ на Т*М определяет 2-форму
ω = αθ. В стандартных координатах на Т*М она задается формулой
У] dpi Λ dql = dp Adq
и является невырожденной 2-формой. Форма ω называется канонической
симплектической формой на Т*М. Симплектическая форма ω определя-
ет изоморфизм J : Τ* (Τ* Μ) —> Τ (Τ* Μ) касательного и кокасательно-
го расслоений к Т*М. Для любого (p,q) G Τ*Μ линейное отображе-
ние J~l : Γ(ρ?ς)Τ*Μ —> 7? .Τ*Μ задается уравнением
Ш{иъи2) = J_1(^2)(^l), 1*1,1*2 € T{p,q)T*M'
Отображение J индуцирует изоморфизм бесконечномерных векторных
пространств Аг(Т*М) и Vect(T*M), являющийся линейным над С°°{Т*М).
Если 1? — 1-форма на Т*М, то соответствующее векторное поле J {β)
на Τ* Μ удовлетворяет соотношениям
ω(Χ, J(0)) = 0(Х), X G Vect(T*M),
и J~l(X) = —гΧω. В частности, в стандартных координатах
J(dp) = l и J(4,) = -A
так что Хя = J(dH).
Теорема 2.1. Гамильтонов фазовый поток на Т*М сохраняет кано-
ническую симплектическую форму.

60
Глава 1
Доказательство.
Надо доказать, что (<7г)*и; = ω. Поскольку gt — однопараметрическая
группа диффеоморфизмов, достаточно показать, что
5<*>·»
= СХни = 0,
t=0
где Схн — производная Ли вдоль векторного поля Хц. Поскольку для лю-
бого векторного поля X
Cx(df) = d(X(f)),
можно посчитать, что
схАЪ) = -аШ\ и cxM)=d(yir
так что
С*н" = J2 (Сх" (*<) Λ dqi + dpi Λ Сх" №*)) =
г=1
= Σ ("* (f) Λ *' + ** ** (f)) = "« = 0.
Следствие 2.2. Схн(в) = d(—H + 0(Хя)), где β — канониче-
ская 1-форма Лиувилля.
Каноническая симплектическая форма ω на Т*М определяет форму
ωη 1
объема =-т = —- ω А ... Λα; на Т*М, называемую лиувиллевой формой
η
объема.
Следствие 2.3 (Теорема Лиувилля). Гамилыпонов фазовый поток
на Т*М сохраняет лиувиллеву форму объема.
Ограничение симплектической формы ω, определенной на Т*М,
на конфигурационное пространство Μ — тождественный ноль. Обобщив
это свойство, получаем следующее понятие.

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
61
Определение. Подмногообразие %? фазового пространства Т*М на-
зывается лагранжевым подмногообразием, если dim J£ = dimM и α;|_^ = 0.
Из теоремы 2.1 следует, что образ лагранжева подмногообразия под
действием гамильтонова фазового потока — лагранжево подмногообразие.
Задача 2.1. Проверьте, что Хн — корректно определенное векторное
поле на Т*М.
Задача 2.2. Покажите, что если все поверхности уровня гамильто-
ниана Η — компактные подмногообразия Т*М, то гамильтоново векторное
поле Хн полно.
Задача 2.3. Пусть π : Τ*Μ —> Μ — каноническая проекция
и пусть «if — лагранжево подмногообразие. Покажите, что если отобра-
жение π|^ : 5£ —> Μ — диффеоморфизм, то 5£ — график гладкой функции
на М. Приведите примеры, когда для некоторого t > 0 соответствующая
проекция gt{&) на Μ больше не диффеоморфизм.
1.2.2. Функционал действия в фазовом пространстве
С каждой функцией Η на фазовом пространстве Т*М ассоциирована
1-форма
θ - Hdt = pdq - Hdt
нерасширенном фазовом пространстве Т*М xR, называемая формой Пу-
анкаре-Картана. Пусть 7 · [to, ti] —> Τ*Μ — гладкий параметризованный
путь в Т*М, такой, что π(7(£ο)) = Qo и tt(7(£i)) = <?ь гД.е я*: Т*М —> Μ —
каноническая проекция. По определению подъем пути 7 в расширенное фа-
зовое пространство Т*М х R — это путь σ: [to, ii] —► Т*М х Μ, задаваемый
формулой a(t) = (^(i)^t), и путь σ в Т*М хR называется допустимым пу-
тем, если он является подъемом пути η в Т*М. Пространство допустимых
путей в Т*М х Μ обозначается P(T*M)^^J. Вариация допустимого пути
σ — это гладкое семейство допустимых путей σε, где ε Ε [—£о, εο] и σο = σ,
а соответствующая бесконечно малая вариация — это
G ΤσΡ{Τ*Μ)1>%
ε=0
(см. раздел 1.1.2). Принцип наименьшего действия в фазовом простран-
стве — следующее утверждение.

62
Глава 1
Теорема 2.4 (Пуанкаре). Допустимый путь σ в Т*М х R — экстре-
маль функционала действия
*1
5(σ) = /(pdg - ЯЛ) = f(pq - Η) dt,
σ to
если и только если он является подъемом пути j(t) — (p(t),q(t)) в Τ*Μ,
где p(t) и q(t) удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона
. дН . дН
Доказательство.
Как в доказательстве теоремы 1.1, для допустимого семейства ae{t) =
= (p(t,e),q(t,e),t) можно посчитать, интегрируя по частям,
А
de
S{?e) = £] Wpi-pM - ψτδ? - ШврЛ dt +
+ E^t
г=1
Поскольку Sq(to) = Sq(ti) = О, путь σ — критический, если и только ес-
ли p(t) и q(t) удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона (2.1).
Замечание. Для лагранжевой системы (M,L) любой путь j(t) =
= (q(t)) в конфигурационном пространстве М, соединяющий точки qo
и qi, определяет допустимый путь j(t) = (p(t),q(t),t) в фазовом про-
странстве Т*М по формуле ρ = —. Если преобразование Лежандра п, :
dq
Τ Μ —» Г* Μ — диффеоморфизм, то
5(7) = J(PQ ~ H)dt = jLtf (t),t)dt.
to to
Таким образом, принцип наименьшего действия в конфигурационном про-
странстве — принцип Гамильтона — следует из принципа наименьшего дей-
ствия в фазовом пространстве. На самом деле, в этом случае оба принципа
эквивалентны (см. задачу 1.28).
Из следствия 1.5 мгновенно получается следующий результат.

1.2. Гамильтонова механика
63
Следствие 2.5. Решения канонических уравнений Гамильтона, лежа-
щие на гиперповерхности Н(р, q) = Е, — экстремали функционала Jpdq
σ
в классе допустимых путей σ, лежащих на этой гиперповерхности.
Следствие 2.6 (Принцип Мопертюи). Траектория j = (q(r)) зам-
кнутой лагранжевой системы (М, L), соединяющая точки qo и q\ и имею-
щая энергию Е, является экстремалью функционала
jpdq = У§|(«(т),д(т)Жт)Л
на пространстве всех путей в конфигурационном пространстве М, соеди-
няющих точки qouqi и параметризованных так, что Н(Щ(т), q(r)) = Ε.
Функционал
Soil) = / Pdq
7
называется укороченным действием15.
Доказательство.
Любой путь 7 = я(т), параметризованный так, что Н{Щ^) = Е, под-
нимается до допустимого пути σ = (§§(т),д(т),т), а ^ г < 6, лежащего
на гиперповерхности Н(р, q) = Ε.
Задача 2.4 (Якоби). На римановом многообразии (М, ds2) рассмот-
рим лагранжеву систему с L(q,v) = ||Н|2 — V(q). Пусть Ε > V(q)
для всех q Ε Μ. Покажите, что траектории замкнутой лагранжевой систе-
мы (М, L) с полной энергией Ε являются геодезическими для римановой
метрики ds2 = (Ε - V(q))ds2 на Μ.
1.2.3. Действие как функция координат
Рассмотрим невырожденную лагранжеву систему (М, L) и обозначим
как 7(£; qo, vo) решения уравнений Эйлера-Лагранжа
d dL _ <9L _ q
dt dq dq
Аккуратная формулировка принципа Мопертюи принадлежит Эйлеру и Лагранжу.

64
Глава 1
с начальными условиями 7(^0) = Qo £ Μ и "у(£о) = ^о £ TqoM. Допу-
стим, что существует окрестность Vo С TVoM вектора vq и момент време-
ни t\ > to, такие, что для всех ν Ε Vo экстремали ^{t\ qo,v), начинающиеся
в момент to в точке qo, не пересекаются в расширенном конфигурационном
пространстве Μ х R для моментов времени to < t < t\. Такие экстремали,
как говорят, образуют центральное поле, включающее экстремаль 7о(£) =
— 7(^5 Яо,уо)· Существование центрального поля экстремалей эквивалентно
условию, что для любого to < t < t\ существует окрестность Ut С Μ точ-
ки 7о(£) £ -&f> такая, что отображение
Vo Э ν .-> q(t) = j(t- qo, ν) G Ut (2.2)
— диффеоморфизм. Основные теоремы теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений гарантируют, что для t\, достаточно близкого к to,
любую экстремаль j(t) для to < t < t\ можно включить в централь-
ное поле. В стандартных координатах отображение (2.2) задается форму-
лой q h-> q(t) =7(t)q0,q).
Для центрального поля экстремалей j(t; qo, q), to <t < t\, определим
действие как функцию координат и времени (или классическое действие)
формулой
S(q,t;q0,t0) = J L(7f(r))dr,
to
где 7(т) — экстремаль из центрального поля, соединяющая до и q. При
заданных q0 и to классическое действие определено для t e (to^h) и q е
G \Jt <t<t Ut. При фиксированной энергии Ε
S(q, t\ go, to) = 50(g, t; go, *o) - E(t - f0), (2.3)
где So — укороченное действие из предыдущего раздела.
Теорема 2.7. Дифференциал классического действия S(q,t) с закреп-
ленной начальной точкой дается формулой
dS = pdq — Hdt,
где ρ = τττ((Ζ,q) и Η = pq — L(q, q) определяются скоростью q экстре-
мали 7(τ) в момент времени t
Доказательство.
Пусть qe — путь в М, проходящий через q в момент ε = 0 с касатель-
ным вектором ν е TqM ~ М™, и для достаточно малых ε пусть ηε(τ) —

1.2. Гамильтонова механика
65
семейство экстремалей из центрального поля, удовлетворяющих услови-
ям 7е (£о) = Яо и 7ε (0 = 9ε · Для бесконечно малой вариации δη имеем
^7(^о) = 0 и Sj(t) = ν, а для фиксированного £ получаем из формулы для
вариации со свободными концами (1.2), что
dS(v) = &ν.
dS
Это показывает, что — = р. Положив q(t) = j(t)9 получаем
±Sm),t) = fq^ft=L,
dS τ . rj
так что -7Г- = L — pa = —Η.
dt
Следствие 2.8. Классическое действие удовлетворяет следующему
нелинейному уравнению в частных производных:
1+я(1'9)=0· (2·4)
Это уравнение называется уравнением Гамильтона-Якоби. Уравнения
Гамильтона (2.1) можно использовать для решения задачи Коши
S(q,t)\t=0 = s(q), seC°°(M), (2.5)
для уравнения Гамильтона-Якоби (2.4) методом характеристик. А именно:
допустим, что существует гамильтонов фазовый поток gt на Т*М, и рас-
смотрим лагранжево подмногообразие
Х={(р,я)еТ*М:Р=д8^
dq /'
график 1-формы ds на Μ — сечение кокасательного расслоения π: Τ* Μ —►
—► Μ. Отображение π\^ взаимно однозначно, и для достаточно малых t
ограничение проекции π на лагранжево подмногообразие Jft = 9t(-&) оста-
ется взаимно однозначным. Другими словами, существует t\ > 0, такое, что
для всех 0 ^ t < t\ отображение щ = π о gt о (π\^>)-1: Μ —► Μ — диф-
феоморфизм, а экстремали 7(г><7(ь<7о) B расширенном конфигурационном
βττ
пространстве Μ х R, где qo = -?— (ро, <7о) и (ро, <7о) G -S?, не пересекаются.
up
Такие экстремали называются характеристиками уравнения Гамильтона-
Якоби.

66
Глава 1 .
Предложение 2.1. Для 0 ^ t < t\ решение 5(g, t) задачи Коши (2.4)-
(2.5) дается формулой
τ
S(q,t)=s(qo) + jL(1'(T))dT.
Здесь 7(τ) — характеристика с j(t) = q и начальной точкой до = 7(0)>
однозначно определяемой по q.
Доказательство.
Как в доказательстве теоремы 2.7, мы используем формулу (1.2), где
теперь до зависит от д, и получаем
поскольку ^-(go) = Po = -^-(QOiQo)- Положив q(t) = j(i), получаем
ag0 ago
так что
f —Н(р,я),
и S удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби.
Можно также рассмотреть действие 5(g, £;до,£о) и как функцию пе-
ременных д и до. Аналогом теоремы 2.7 будет следующее утверждение.
Предложение 2.2. Дифференциал классического действия как функ-
ции начальной и конечной точки дается формулой
dS = pdq - podqo ~ Я (ρ, q)dt + Я(ро, qo)dt0.
ЗАДАЧА 2.5. Докажите, что решение задачи Коши для уравнения Га-
мильтона-Якоби единственно.

1.2. Гамильтонова механика
67
1.2.4. Классические наблюдаемые и скобка Пуассона
Гладкие вещественнозначные функции на фазовом пространстве Т*М
называются классическими наблюдаемыми. Векторное пространство
С°°(Т*М) является R-алгеброй — ассоциативной алгеброй над R с еди-
ницей, заданной постоянной функцией 1, и умножением, заданным пото-
чечным произведением функций. Коммутативная алгебра С°°(Т*М) назы-
вается алгеброй классических наблюдаемых. Предполагая, что гамильтонов
фазовый поток gt определен для всех моментов времени, временная эволю-
ция любой наблюдаемой / е С°°(Т*М) дается уравнением
/*(р, я) = f(9t(p, я)) = /(pW, <?(*)), (р, я) е тм.
Эквивалентно временная эволюция описывается дифференциальным
уравнением
dft dfs+t
dt ds
d(ft о ga)
s=o ds
= XH(ft) =
s=0
dpi dq1 dq1 dpi J dp dq dq dp '
называемым уравнением Гамильтона для классических наблюдаемых. По-
ложив
{/^} = ЗД) = ||-||. /,*ес~(т*м), (2.6)
можно переписать уравнение Гамильтона в сжатой форме:
! = {",/}, (2-7)
где подразумевается, что (2.7) — дифференциальное уравнение для семей-
ства функций ft на Т*М с начальным условием ft(p,q)\t=o = f(p,q)·
Свойства билинейного отображения
{ , } : С°°(Г*М) х С°°(Г*М) -+ С°°(Т*М)
перечислены ниже.

68
Глава 1
Теорема 2.9. Отображение { , } удовлетворяет следующим свой-
ствам:
(/) (Связь с симплектической формой)
{/, д} = oj(J(df), J(dg)) = ω{Χ}, Хд);
(и) (Кососимметричность)
{f,g} = -{gJh
(Ш) (Правило Лейбница)
{f9,h} = f{9,h}+g{f,h};
(iv) (Тождество Якоби)
{/,{^М} + {л{л,/}} + {л,{/,в}} = о
для любых f,g,he С°°(Г*М).
Доказательство.
Свойство (i) мгновенно следует из определений ω и J в разделе 1.2.1.
Свойства (ii)-(iii) очевидны. Тождество Якоби можно проверить прямым
вычислением, используя (2.6), или с помощью следующего изящного рас-
суждения. Заметим, что {/, д} — билинейная форма в первых частных про-
изводных функций / и д, и каждый член в левой части тождества Якоби —
линейная однородная функция вторых частных производных /, д и h. Те-
перь единственные члены в тождестве Якоби, которые действительно могут
содержать вторые частные производные функции h, это
{/, {<?, h}} + {д, {А, /}} = (XfXg - XgXf)(h).
Однако это выражение не содержит вторых частных производных h, по-
скольку это коммутатор двух дифференциальных операторов первого по-
рядка, что сам является дифференциальным оператором первого порядка!

1.2. Гамильтонова механика
69
Наблюдаемая {/, д} называется канонической скобкой Пуассона на-
блюдаемых / и д. Отображение скобки Пуассона { , } : С°°(Т*М) х
х С°°(Т*М) —► С°°(Т*М) превращает алгебру классических наблюдае-
мых С°°{Т*М) в алгебру Ли со скобкой Ли, задаваемой скобкой Пуас-
сона. Ее важное свойство — скобка Ли является бидифференцировани-
ем по отношению к умножению в С°°(Т*М). Алгебра классических на-
блюдаемых С°°{Т*М) — это пример пуассоновой алгебры — коммута-
тивной алгебры над R, наделенной структурой алгебры Ли с тем свой-
ством, что скобка Ли — дифференцирование по отношению к произведению
в алгебре.
В лагранжевой механике функция I на Τ Μ — интеграл движения для
лагранжевой системы (М, L), если она постоянна на траекториях. В га-
мильтоновой механике наблюдаемая I — функция на фазовом простран-
стве Т*М — называется интегралом движения (первым интегралом) для
уравнений Гамильтона (2.1), если она постоянна на траекториях гамильто-
нова фазовового потока. Согласно (2.7) это эквивалентно условию
{Я,/} = 0.
Говорят, что наблюдаемые Η и I находятся в инволюции {коммутируют
в смысле скобки Пуассона).
1.2.5. Канонические преобразования и производящие функции
Определение. Диффеоморфизм д фазового пространства Т*М назы-
вается каноническим преобразованием, если он сохраняет каноническую
симплектическую форму ω на Т*М, т.е. д*{и) = ω. По теореме 2.1 га-
мильтонов фазовый поток gt — однопараметрическая группа канонических
преобразований.
Предложение 2.3. Канонические преобразования сохраняют уравне-
ния Гамильтона.
Доказательство.
Из равенства д*{ш) = ω следует, что отображение J : Τ* (Τ* Μ) —►
—► Τ (Τ* Μ) удовлетворяет соотношению
g+ojog* = J. (2.8)
Действительно, для любых X,Y e Vect(M) имеем16
ω(Χ, Υ) = 9*{ω){Χ, Υ) = u{g*{X),g*{Y)) о д,
16Так как д — диффеоморфизм, д*Х — корректно определенное векторное поле на М.

70
Глава 1
так что для любой 1-формы д на Μ
ω(Χ, J(g*(m = 9*(#)(Х) = #ЫХ)) °9 = Ц<?*Р0, W)) ° <?>
что дает g*(J(g*($))) = «/($)· Используя (2.8), получаем
9*{Хн) = 9*{J(dH)) = JWy^dH)) = Хк,
где К = Η о д~х. Таким образом, каноническое преобразование д отобра-
жает траектории гамильтонова векторного поля Хц в траектории гамиль-
тонова векторного поля Хк-
Замечание. В классических терминах предложение 2.3 означает, что
канонические уравнения Гамильтона
в новых координатах (P,Q) = g(p,q) по-прежнему имеют каноническую
форму
P = -||(P,Q), Q=||(P,Q)
со старой функцией Гамильтона К(Р, Q) = Н(р, q).
Рассмотрим теперь классический случай Μ = Шп. Для канонического
преобразования (Р, Q) = g(p, q) положим Ρ = Р(р, q) и Q = Q(p, q).
Поскольку dP AdQ = dp Λ dq на T*M ~ R2n, 1-форма pdq - PdQ -
разность между канонической 1-формой Лиувилля и ее прообразом при
отображении д — замкнута. Из леммы Пуанкаре следует, что существует
функция F(p, q) на R2n, такая, что
pdq - PdQ = dF(p, q). (2.9)
Теперь предположим, что в какой-то точке (po,qo) η х η матрица
dP
Гад!
_ невырождена. По теореме об обратной функции суще-
ор
ствует окрестность U точки (po,qo) в М2™, ДОЯ которой функции Р, q —
координатные функции. Функция
S(P,q)=F(p,q)+PQ

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
71
называется производящей функцией канонического преобразования g на U.
Из (2.9) следует, что в новых координатах Р, q на U
Р=Щ(Р,Я) и Q = j£(P,q).
Обратное утверждение легко выводится из теоремы о неявной функции.
Предложение 2.4. Пусть S(P, q) — функция на некоторой окрестно-
сти U точки (Ро, до) £ №?п, такая, что η х η матрица
d2S-(P0,qo) = l-^L-(P0,qo)\
dPdq" υ'^υ/ \dPidq>
невырождена. Тогда S — производящая функция локального (т. е. опреде-
ленного в некоторой окрестности (Ро,до) β Ж2п) канонического преобра-
зования.
Предположим, что существует каноническое преобразование (P,Q) =
= g(p,q), такое, что H(p,q) = К (Ρ) для некоторой функции К. Тогда
в новых координатах уравнения Гамильтона принимают вид
Р = 0, Q = §§ (2.10)
и тривиально интегрируются:
P(t) = P(0), Q(t) = Q(0) + t|£(P(0)).
яр
Если предполагать, что матрица -^— невырождена, то производящая функ-
ция S(P, q) удовлетворяет дифференциальному уравнению
н(Щ(Р,д),д)=К(Р), (2.11)
где после дифференцирования надо подставить q = g(P, Q), определенное
каноническим преобразованием д~1. Дифференциальное уравнение (2.11)
для фиксированного Р, как следует из (2.3), совпадает с уравнением Га-
мильтона -Якоби для укороченного действия So = S — Et, где Ε = Κ (Ρ):
"(!>·<>·<) -*■

72
Глава 1
OS
деленные уравнениями р=—(Ρ, q), — интегралы движения в инволюции.
dq
Теорема 2.10 (Якоби). Предположим, что существует функция
S(P,q), зависящая от η параметров Ρ = (Pi, . ..,РП), удовлетворя-
ющая уравнению Гамильтона-Якоби (2.11) для какой-то функции К(Р)
d2S
и обладающая свойством, что пх η матрица невырождена. Тогда
уравнения Гамильтона
. дН . дН
можно явно разрешить, и функции Р(р, q)=(P\ (p, g),..., Рп(р, q)), опре-
деленные уравнения
Доказательство.
8S dS
Положим ρ = — (Ρ,q) и Q= -—(P,q). По теореме об обратной
функции g(p,q) = (Ρ, Q) — локальное каноническое преобразование
с производящей функцией S. Из (2.11) следует, что Н(р(Р, Q), g(P, Q)) =
= К(Р), так что уравнения Гамильтона принимают вид (2.10). Посколь-
ку ω = dP Λ dQ, интегралы движения Pi(p, g), ... ,Pn(p,q) находятся
в инволюции.
Решение уравнения Гамильтона-Якоби, удовлетворяющее условиям
в теореме 2.10, называется полным интегралом. На первый взгляд кажется,
что решение уравнения Гамильтона-Якоби, которое является нелинейным
уравнением в частных производных, — более сложная задача, чем решение
уравнений Гамильтона, которые являются системой обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. Замечательно, что для многих задач классической
механики можно найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби ме-
тодом разделения переменных. По теореме 2.10 это дает решение соответ-
ствующих уравнений Гамильтона.
Задача 2.6. Найдите производящую функцию тождественного пре-
образования Ρ = p,Q = q.
Задача 2.7. Докажите предложение 2.4.
ЗАДАЧА 2.8. Допустим, что каноническое преобразование g(p,q) =
= (Ρ, Q) таково, что локально (Q, q) можно рассматривать как новые коор-
динаты (канонические преобразования с таким свойством называются сво-
бодными). Докажите, что функция S\{Q,q) = F(p,q), также называемая
производящей функцией, удовлетворяет соотношению
дБг _, dSi
р=^- и p=~w

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
73
ЗАДАЧА 2.9. Найдите полный интеграл в случае частицы в R3, дви-
жущейся в центральном поле.
1.2.6. Симплектические многообразия
Понятие симплектического многообразия — это обобщение примера
кокасательного расслоения Т*М.
Определение. Невырожденная, замкнутая 2-форма ω на многообра-
зии ЛС называется симплектической формой, а пара {Λε, ω) — симплекти-
ческим многообразием.
Поскольку симплектическая форма ω невырождена, симплектическое
многообразие ^ с необходимостью четномерно, dim ^ = 2п. Не обраща-
ющаяся в ноль 2п-форма ωη определяет каноническую ориентацию на ^,
и, так же как в случае Μ = Τ* Μ, — называется лиувиллевой формой
объема. Существует также общее понятие лагранжева подмногообразия.
Определение. Подмногообразие J£ симплектического многообра-
зия (Λ?,ω) называется лагранжевым подмногообразием, если dimJif =
= ^ dim Μ и ограничение симплектической формы ω на Jif равно 0.
Симплектические многообразия образуют категорию. Морфизм меж-
ду Ml,^l)
и (^#2 5^2), также называемый симплектоморфизмом, это отображение / :
jM\ —► ^2, такое, что ω\ = /*(cj2)· Когда М\ — J^2 и ω\ = U2, поня-
тие симплектоморфизма обобщает понятие канонического преобразования.
Прямое произведение симплектических многообразий (^i,o;i) и (^2,^2)
— это симплектическое многообразие
{Л\ х ^2,7ri(cJi) +π5(ω2)),
где 7Ti и 7Г2 - соответственно проекции Л\ х ^2 на первый и второй
сомножитель декартова произведения.
Помимо кокасательных расслоений, важный класс симплектических
многообразий дается кэлеровыми многообразиями17. Напомним, что ком-
плексное многообразие J% является кэлеровым, если на нем определена
17Конечно же, не каждое симплектическое многообразие допускает комплексную структуру,
не говоря уже о кэлеровой.

74
Глава 1
эрмитова метрика, мнимая часть которой замкнутая (1,1)-форма. В локаль-
ных комплексных координатах z = (z1, ... ,zn) на Jt эрмитова метрика
записывается как
η
h= Σ Kp(z,z)dza ®αΖβ.
α, β=1
Соответственно,
η
g = Reh=± J2 hap(z,z)(dza^d^ + d^(^dza)
— риманова метрика на Μ и
η
cj = -^Im/i=| ]Г hap(z,z)dza Adz13
α, β=1
— симплектическая форма на Μ (рассматриваемом как 2п-мерное действи-
тельное многообразие).
Простейшее компактное кэлерово многообразие это СР1 ~ S2 с сим-
плектической формой, задаваемой 2-формой площади эрмитовой метрики
гауссовой кривизны 1 — стандартной метрики на 2-сфере. В терминах ло-
кальной координаты z, ассоциированной со стереографической проекци-
ей СР1 ~ С U {оо},
о. dz Λ dz
ω = 2г
(i + N2)2'
Аналогично, естественная симплектическая форма на комплексном проек-
тивном пространстве СРП — это симплектическая форма метрики Фуби-
ни-Штуди. С помощью обратного образа она определяет симплектические
формы на комплексных проективных многообразиях.
Простейшее некомпактное кэлерово многообразие — это n-мерное ком-
плексное векторное пространство Сп со стандартной эрмитовой метрикой.
В комплексных координатах z = (z1, ..., zn) на Сп она дается формулой
h = dz <S> dz = ^2 dza ® dza.
a=l
В терминах действительных координат (ж, у) = (я1, ..., хп, г/1, ..., уп)
на R2n ~ Сп, где z = x + гу, соответствующая симплектическая фор-

1.2. Гамильтонова механика
75
ма ω = — Im h имеет канонический вид:
η
ω = %rdz Adz = Y^ dxa A dya = dx A dy.
α=1
Этот пример естественно приводит к следующему определению.
Определение. Симплектическое векторное пространство — это па-
ра (V,u), где V — векторное пространство над R, а а; — невырожденная
кососимметрическая билинейная форма на V.
Из элементарной линейной алгебры следует, что любое симплекти-
ческое векторное пространство V имеет симплектический базис — ба-
зис е1, ..., en, /i, ..., /η в V9 где 2n = dim V, такой, что
u(e\ej)=u(fijj) = 0 и и(е\ fc) = δ), i, j = 1, ... ,n.
В координатах (ρ, qr) = (pi, ... ,pn, g1, ..., qn), соответствующих этому
базису, V ~ R2n и
η
ω = dp Adq = 2_\ d>Pi A d#z.
i=l
Таким образом, любое симплектическое векторное пространство изоморф-
но прямому произведению фазовых плоскостей R2 с канонической сим-
плектической формой dp A dq. Вводя комплексные координаты z = ρ + iq,
мы получаем изоморфизм V ~ Сп, так что любое симплектическое вектор-
ное пространство допускает кэлерову структуру.
Один из основных результатов симплектической геометрии состоит
в том, что любое симплектическое многообразие локально изоморфно сим-
плектическому векторному пространству.
Теорема 2.11 (Теорема Дарбу). Пусть (Λ?,ω) — 2п-мерное сим-
плектическое многообразие. Для любой точки х Ε Ж существует со-
держащая х окрестность U с локальными координатами (p,q) =
= (pi, ... ,pn, q1, ·. ·, qn), такая, что на U
η
ω = dp Adq = 2_\ dpi A dq1.
i=l
Координаты р, q называются каноническими координатами (коорди-
натами Дарбу). Доказательство проводится индукцией по п, два основных
этапа предложены как задачи 2.13 и 2.14.

76
Глава 1
Невырожденная 2-форма ω определяет для любого х^Ж изоморфизм
J: Т*Л(^>ТХЛ( по формуле
ω(ηΙ,η2) = J~l{u2){u\), u\,%i2 e TxJi.
Конкретно, для любого X е Vect(^) и д е Лх(^) мы имеем
u;pf,J(tf)) = tf(X) и J-1(X) = -ix(uj)
(см. раздел 1.2.1). В локальных координатах х = (ж1, ... ,ж2п) для коорди-
натной окрестности (С/, у?) на ^# 2-форма ω дается формулой
2п
ω = \ Y^ Uij(x) dxl Λ бЬ·7,
где {uij(x)}%j=i — невырожденная, ко со симметрическая матричнозначная
функция на φ(υ). Обозначая обратную матрицу как {u>lj(х)}?™=1, имеем
2п
J(dxi) = -J2u^(x)-£J, < = l,...,2n.
Определение. Гамильтонова система — это пара, состоящая из
симплектического многообразия (^, cj), называемого фазовым простран-
ством, и гладкой вещественнозначной функции Η на ^, называемой га-
мильтонианом. Движение точек фазового пространства описывается век-
торным полем
Хн = J(dH),
называемым гамильтоновым векторным полем.
Траектории гамильтоновой системы ((^#,cj), Η) — интегральные кри-
вые гамильтонова векторного поля Хн на ЛИ. В канонических координатах
(р, q) они описываются каноническими уравнениями Гамильтона (2.1),
. дН . дН
Допустим теперь, что гамильтоново векторное поле Хн на Jt полно.
Гамилътонов фазовый поток на М9 ассоциированный с гамильтониа-
ном Н, — это однопараметрическая группа {gt}teR диффеоморфизмов ^,
порожденная Хн- Следующее утверждение обобщает теорему 2.1.

1.2. Гамильтонова механика
77
Теорема 2.12. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектиче-
скую форму.
Доказательство.
Достаточно показать, что Схни> = 0. Используя формулу Картана
£х = ix ° d + d о гх
и то, что dw = 0, получаем, что для любого X е Wect(JK)
£xcj = (doix)(cj).
Поскольку гх(а;)(У) = ω(Χ,Υ), имеем для X = Хн и любого Υ Ε
Ε Vect(^), что
<**М00 = w(J(dH),Y) = -dH{Y).
Таким образом, %хн (ω) = —dH, и утверждение следует из того, что d2 = 0.
Следствие 2.13. Векторное поле X на Ж — гамильтоново векторное
поле, если и только если 1-форма %х{ио) точна.
Определение. Векторное поле X на симплектическом многообра-
зии (^, ω) называется симплектическим векторным полем, если 1-форма
i>x{u) замкнута, что эквивалентно тому, что J£xu = 0.
Коммутативная алгебра С°° (Л() с умножением, задаваемым поточеч-
ным произведением функций, называется алгеброй классических наблюдае-
мых. В предположении, что гамильтонов фазовый поток gt определен во все
моменты времени, временная эволюция любой наблюдаемой / Ε С°°(ЛК)
дается формулой
ft(x) = f{gt{x)), xeJZ,
и описывается дифференциальным уравнением
— уравнением Гамильтона для классических наблюдаемых. Уравнения Га-
мильтона для наблюдаемых на Μ имеют тот же вид, что уравнения Га-
мильтона на ^ = Т*М, рассмотренные в разделе 2.3. Поскольку
XH(f) = df(XH) = ω(ΧΗ, J(df)) = ω(ΧΗ,Χ/),
мы имеем следующее естественное определение.

78
Глава 1
Определение. Скобка Пуассона на алгебре С°°(^) классических на-
блюдаемых на симплектическом многообразии (JK, ω) — это билинейное
отображение { , } : С°°{Л() х С°°(Л() —» С°°(Л(), определенное форму-
лой
{f,g} = w(Xf,Xg), f,geC°
Теперь уравнения Гамильтона можно записать в сжатом виде:
! = {*,/}, (2.12)
где подразумевается, что это дифференциальное уравнение для семейства
функций ft на Μ с начальным условием ft\t=Q = /. В локальных коорди-
натах х = (я1, ..., х2п) на Л
{f,9}(x)=-f:«4x)dfix)dg{x).
Х П ' ^, дх1 дх>
Теорема 2.14. Скобка Пуассона { , } на симплектическом многообра-
зии (Λ?,ω) кососимметрична и удовлетворяет правилу Лейбница и тож-
деству Якоби.
Доказательство.
Первые два свойства очевидны. Из определения скобки Пуассона
и формулы
[Xf, Xg](h) = (XgXf - XfXg){h) = {g, {/, h}} - {/, {g, h}}
следует, что тождество Якоби эквивалентно свойству
[Xf,Xg]=X{f,a). (2.13)
Пусть XylY — симплектические векторные поля. Используя формулы Кар-
тана, получаем
ЦхХ[(и) = Cx(iY(u)) - iY(Cx(u)) =
= d(ix ο Ιγ(ω)) + ixd(iY(Lu)) =
= α(ω(Υ,Χ)) = %Ζ(ω),
где Ζ — гамильтоново векторное поле, соответствующее ω(Χ,Υ) Ε С°
Поскольку 2-форма ω невырождена, это означает, что [Χ, Υ] = Ζ, так что,
положив X = Xf,Y = Xg и используя равенство {/, g} = Lu(Xf,Xg),
получаем (2.13).
Из (2.13) мгновенно получается следующий результат.

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
79
Следствие 2.15. Подпространство Иа,т(М) гамильтоновых век-
торных полей на Μ — подалгебра Ли алгебры Vect(M). Отображе-
ние С°°(М) —> В.а,т(М), определенное как f \—> Xf, — гомоморфизм
алгебр Ли с ядром, состоящим из локально постоянных функций на М.
Как в случае Μ = Т*М (см. раздел 1.2.4), наблюдаемая I — функция
на фазовом пространстве Μ — называется интегралом движения (первым
интегралом) для гамильтоновой системы ((Μ, ω), Я), если она постоянна
на траекториях гамильтонового фазового потока. Согласно (2.12) это экви-
валентно условию
{Н,1} = 0. (2.14)
Говорят, что наблюдаемые Я и 7 находятся в инволюции (коммутируют
в смысле скобки Пуассона). Из тождества Якоби для скобки Пуассона по-
лучаем следующий результат.
Следствие 2.16 (Теорема Пуассона). Скобка Пуассона двух интегра-
лов движения — интеграл движения.
Доказательство.
Если {Я, /i} = {Я, 72} = 0, то
{Я,{/ь72}} = {{Я,71},/2}-{{Я,72},71} = 0.
Из теоремы Пуассона следует, что интегралы движения образуют
алгебру Ли и, согласно (2.13), соответствующие гамильтоновы вектор-
ные поля образуют подалгебру Ли в Vect(^). Поскольку {7, Я} =
= dH(Xj) = 0, векторные поля Xj касательны к подмногообразиям Me =
= {х Ε М: Н(х) = Е} — поверхностям уровня гамильтониана Я. Это
определяет алгебру Ли интегралов движения для гамильтоновой систе-
мы ((Μ, ω), Я) на поверхности уровня Me-
Пусть G — конечномерная группа Ли, действующая на связном сим-
плектическом многообразии (Μ, ω) симплектоморфизмами. Алгебра Ли g
группы G действует на Μ векторными полями
s=0
и линейное отображение g Э ξ i—> Χ ξ Ε Vect(M) — гомоморфизм ал-
гебр Ли,
[Χξ,Χη] =Χ[ξ,η], ξ,η€&·
ВД)(*)
А
ds

80
Глава 1
G-действие называется гамилътоновым действием, если Χξ — гамиль-
тоновы векторные поля, т.е. для любого ξ Ε g существует функ-
ция Φ ξ G C°° (·/#), определенная с точностью до аддитивной постоян-
ной, такая, что Χξ = Χφξ = J(dΦξ). Оно называется пуассоновым дей-
ствием, если можно выбрать функции Φξ, такие, что линейное отображе-
ние Φ : g —> С°° (Л() — гомоморфизм алгебр Ли,
{ф£,Ф„} = Фк>„,, f,fy€fl. (2.15)
Определение. Группа Ли G — группа симметрии гамильтоновой си-
стемы ((«/#, ω), Я), если существует гамильтоново действие G на «/#, та-
кое, что
Н(д · ж) = Я (ж), ^GG, xGi".
Теорема 2.17 (Теорема Нётер с симметриями). /ьсли G — группа
симметрии гамильтоновой системы ((Λ?,ω), Я), то функции Φξ, ξ Ε д —
интегралы двиэюения. Если действие G пуассоново, интегралы двиэюения
удовлетворяют (2.15).
Доказательство.
По определению гамильтонова действия для любого ξ е g
0 = Χξ(Η) = ΧΦ((Η) = {Φξ,Η}.
Следствие 2.18. Пусть (М, L) — лагранэюева система, такая, что
преобразование Лежандра tl '· Τ Μ —> Τ* Μ — диффеоморфизм. Тогда ес-
ли группа Ли G — симметрия (М, L), то G — группа симметрии соответ-
ствующей гамильтоновой системы ((Τ*Μ,ω), Я = El otl1)> u соответ-
ствующее G-действие на Τ* Μ пуассоново. В частности, Φ ξ = — Ιξ ο τ~1,
где Ιξ — нётеровы интегралы двиэюения для однопараметрических под-
групп G, порожденных ξ Ε g.
Доказательство.
Пусть X — векторное поле, ассоциированное с однопараметрической
подгруппой {es^}sGR диффеоморфизмов М, использовавшейся в теоре-
ме 1.3, и пусть X' — его подъем на ТМ. Имеем18
Χξ = -(пМх% (2.16)
183нак «минус» отражает различие в определениях X и Χξ.

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
81
и из (1.16) следует, что Ф^ = ix€ (θ) = θ(Χξ), где θ — каноническая 1-форма
Лиувилля на Т*М. Из формулы Картана и (1.17) получаем
αΦξ = а(гх€(в)) = -гх€(ав) + Сх,{в) = -%Χ<(ω),
так что
J(d<f><) =-J(iXt(w)) = Х(,
и G-действие гамильтоново. Используя (1.17) и другую формулу Картана,
получаем
%„] = 4Χ(,Χη](θ) = CXi{iXn{e)) + 1Χη(£Χ((θ)) =
= Χξ(Φν) = {Φξ,Φη}.
Пример 2.1. Лагранжиан
L = \mr2 - V(r)
для частицы в R3, движущейся в центральном поле (см. раздел 1.1.6), ин-
вариантен по отношению к действию группы SO(3) ортогональных пре-
образований евклидова пространства R3. Пусть ui,u2, Щ — базис алгебры
Ли so(3), соответствующий вращениям вокруг осей, задаваемых векторами
стандартного базиса е1,ег,ез пространства R3 (см. пример 1.10 в разде-
ле 1.1.4). Эти генераторы удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Ui,Uj] = SijkUk,
где i,j, к = 1,2,3, и е^к — полностью антисимметрический тензор,
£123 = 1. Соответствующие нётеровы интегралы движения даны равенства-
ми Фп, = -Ми где
Mi = (г х р)г = г2р3 ~ г3Р2,
М2 = (г х р)2 = г3рг - прз,
М3 = (г х р)3 = пр2 - r2pi
— компоненты вектора углового момента Μ = г х р. (Здесь удобно опу-
стить индексы координат г* с помощью евклидовой метрики на R3.) Для
гамильтониана

82
Глава 1
имеем
{Я,М<} = 0.
Согласно теореме 2.17 и следствию 2.18 скобки Пуассона компонент угло-
вого момента удовлетворяют равенству
{Mi,Mj} = -eijkMk,
которое также легко проверить напрямую, используя (2.6):
. df дд df дд
{/^}(Р,Г)=^-^·
Пример 2.2 (Задача Кеплера). Для любого α е R лагранжева си-
стема на R3 с
L = \тг2 + £ ■
имеет три добавочных интеграла движения — компоненты W\, W2, W% век-
тора Лапласа-Рунге-Ленца, даваемого формулой
\γ = — х М- —
т г
(см. раздел 1.1.6). Используя скобки Пуассона из предыдущего примера
вместе с равенствами {/*;, Mj} = —е^кТк и {pi, Mj} = —ецкРк* с помощью
простого вычисления получаем
{WhMj} = -eijkWk и №,УУз} = ЩетМку
Р2 а
где if = - — — гамильтониан задачи Кеплера.
2га г
Гамильтонова система ((^,ω),Η), dim^# = 2п, называется вполне
интегрируемой, если у нее есть η независимых интегралов движения Fi =
= Η, ..., Fn в инволюции. Первое условие означает, что дифферен-
циалы dFi(x), ... ,dFn(x) Ε Т*^ линейно независимы для почти
всех х G Μ. Гамильтоновы системы с одной степенью свободы, такие,
что dH имеет лишь конечное число нулей, являются полностью интегри-
руемыми. Полное разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби
(см. раздел 1.2.5) доставляет другие примеры вполне интегрируемых га-
мильтоновых систем.

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
83
Пусть ((*/#, ω), Η) — вполне интегрируемая гамильтонова система. До-
пустим, что поверхность уровня Jtj = {x G Jt: Fi(^) = /1, ..., Fn(x) =
= /n} компактна, а касательные векторы JdFi, ..., JdFn линейно незави-
симы для всех х G jjtf. Тогда, по теореме Лиувилля-Арнольда, в окрестно-
сти jjtj существуют так называемые переменные действие-угол: координа-
ты I = (Д, ... ,/n) G Щ = (М>о)п πφ = (<ри ...,φη)£Τη = (Μ/2πΖ)"
такие, что ω = dΙ Λ αφ и Η = Η{Ι\, ... ,/η). Согласно уравнениям Га-
мильтона . gTT
li = 0 и <^<=о;< = —, i = l, ...,n,
так что переменные действия постоянны, а переменные угла меняются рав-
номерно, <£*(£) = <£г(0) + о;^, * = 15 ..., п. Классическое движение почти
периодично с частотами cji, ..., ωη.
ЗАДАЧА 2.10. Покажите, что симплектическое многообразие (^,ω)
допускает почти комплексную структуру: отображение расслоений
J : TJi -► TJi такое, что J2 = -id.
ЗАДАЧА 2.11. Дайте пример симплектического многообразия, допус-
кающего комплексную структуру, но не кэлерову.
Задача 2.12 (Коприсоединенные орбиты). Пусть G — конечно-
мерная группа Ли, пусть g — ее алгебра Ли и пусть д* — двойственное
векторное пространство к д. Для и G д* пусть Jt = Ои — орбита и при
коприсоединенном действии G на д*. Покажите, что формула
L0{ui,U2) =U([XI,X2}),
где и\ = a,d*xi(u),U2 = ad*X2(u) £ Ou, a ad* обозначает коприсоединен-
ное действие алгебры Ли д на #*, дает корректно определенную 2-форму
на ^, которая замкнута и невырождена. (2-форма а; называется симплек-
тической формой Кириллова - Костанта.)
ЗАДАЧА 2.13. Пусть (Л?,ω) — симплектическое многообразие. Для
х G Ж выберем функцию q1 на ^#, такую, что ql(x) = 0 и dg1 не об-
ращается в ноль в х, и положим X = —Xqi. Покажите, что существуют
содержащая xg/ окрестность U и функция р\ на С/, такие, что X{ql) =
= 1 на U, и существуют координаты pi, g1, г1, ..., z2n-2 на £/, такие, что
βρΙ Ρ1 а*1
ЗАДАЧА 2.14. Продолжая задачу 2.13, покажите, что 2-форма ω —
— dpiAdq1 на U зависит только от координат z1, ..., z2n~2 и невырождена.

84
Глава 1
Задача 2.15. Проделайте вычисление в примере 2.2 и покажите,
что алгебра Ли интегралов Mi, М2, М3, W\, W2, W3 в задаче Кеплера при
if (р, г) = Ε изоморфна алгебре Ли so (4), если Ε <0, евклидовой алгебре
Ли е(3), если Ε = О, и алгебре Ли so(l, 3), если £ > 0.
Задача 2.16. Найдите переменные действие-угол для частицы с од-
ной степенью свободы, когда потенциал V(x) — выпуклая функция на R,
удовлетворяющая условию lim V(x) = ос. (Указание: определите I =
\х\—юо
= §pdx, где интегрирование ведется по замкнутой орбите с Н(р, х) = Е.)
Задача 2.17. Покажите, что гамильтонова система, описывающая ча-
стицу в R3, движущуюся в центральном поле, вполне интегрируема, и най-
дите переменные действие-угол.
Задача 2.18 (Симплектическая редукция). Для пуассонова дей-
ствия группы Ли G на симплектическом многообразии (^, ω) определим
отображение моментов Ρ : Ж —> д* по формуле
Ρ(Χ)(ξ) = Φξ(Χ), Цед, xeJf,
где д — алгебра Ли группы G. Для любого ρ е д*, такого, что стабилиза-
тор Gp точки ρ действует свободно и собственно на Жр — Р~1(р) (такое ρ
называется регулярным значением отображения момента), факторпростран-
ство Μ ρ = Gp\^p называется приведенным фазовым пространством. По-
кажите, что Мр — симплектическое многообразие с симплектической фор-
мой, однозначно определяемой условием, что ее обратный образ на Жр
совпадает с ограничением на Jtv симплектической формы ω.
1.2.7. Пуассоновы многообразия
Понятие пуассонова многообразия обобщает понятие симплектическо-
го многообразия.
Определение. Пуассоново многообразие — это многообразие ^,
снабженное пуассоновой структурой — кососимметрическим билинейным
отображением
{ , } : С°°{Л() х С°°(лГ) -► С°°М0,
удовлетворяющим правилу Лейбница и тождеству Якоби.
Эквивалентно, Jt — пуассоново многообразие, если алгебра Л =
= С°°(^) классических наблюдаемых является пуассоновой алгеброй —

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
85
алгеброй Ли, у которой скобка Ли — бидифференцирование по отноше-
нию к умножению в Л (поточечному произведению функций). Из свойства
дифференциальных операторов следует, что в локальных координатах х =
= (ж1, ..., xN) на Л скобка Пуассона имеет вид
2-тензор rfi(x), называемый тензором Пуассона, определяет глобальное
сечение η векторного расслоения TJt Λ ΤЛЛ над Л.
Эволюция классических наблюдаемых на пуассоновом многообразии
дается уравнениями Гамильтона, имеющими тот же вид, что (2.12):
| = ад/) = {я,/}.
Фазовый поток gt для полного гамильтонова векторного поля Х# = {if, · }
определяет оператор эволюции Щ : А —► А по формуле
Ut{f)(x) = /Ы*)), f€A.
Теорема 2.19. Допустим, что любое гамильтоново векторное поле
на пуассоновом многообразии (Л, { , }) полно. Тогда для любого Η Ε Λ
соответствующий оператор эволюции Ut является автоморфизмом пуас-
соновых алгебр А, т. е.
Ut({f,g}) = {Ut(f),Ut(g)} длялюбых f,geA (2.17)
Обратно, если кососимметрическое билинейное отображение { , }:
: С°°(Л) х С°°(Л) —> С°°(Л) таково, что Хн = {#, · } — полные век-
торные поля для всех Η Ε Λ, и соответствующие операторы эволюции Щ
удовлетворяют (2.17), то (Л, { , }) — пуассоново многообразие.
Доказательство.
Пусть ft = Ut(f), gt = Ut(g) и19 ht = Ut({f,g}). По определению
£{ft,gt} = {{H,fthgt} + {ft,{H,gt}} и ^ = {Я,М.
'Здесь gt — это не фазовый поток!

86
Глава 1
Если {JK, { , }) — пуассоново многообразие, то из тождества Якоби следу-
ет, что
{{H,ft},gt} + {ft,{H,gt}} = {H,{ft,gt}},
так что ht и {fti9t] удовлетворяют одному и тому же дифференциальному
уравнению (2.12). Поскольку эти функции совпадают при t = 0, (2.17)
следует из теоремы единственности для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Обратно, мы получаем тождество Якоби для функций /, д и Η, диф-
ференцируя (2.17) по t при t = 0.
Следствие 2.20. Глобальное сечение η расслоения Τ Ж Λ ΤΛ( — тен-
зор Пуассона, если и только если
£>х} η = 0 для любого f G Л.
Определение. Центр пуассоновой алгебры Л — это
Ζ (Л) = {/ G Л : {/, д} = 0 для любого д G Л}.
Пуассоново многообразие (^#, { , }) называется невырожденным, если
центр пуассоновой алгебры классических наблюдаемых Л = С°°(Л() со-
стоит из одних локально постоянных функций (Z(A) = R для связного Ж).
Эквивалентно, пуассоново многообразие (^#, { , }) невырождено, ес-
ли тензор Пуассона η невырожден везде на ^, так что ^ с необходимо-
стью четномерно. Невырожденный тензор Пуассона определяет для любо-
го х G <М изоморфизм J : Т*ЛК —> ТХЖ по формуле
r\(u\,u2) = u2(J(ui)), Ui,u2 G Г^.
В локальных координатах х = (х1, ... ,хм) для координатной окрестно-
сти ([/, φ) на Ж имеем
N
3(αΧ*) = Σην{Χ)-^-, i = l,...,N.
Пуассоновы многообразия образуют категорию. Морфизм между
0^1, { , }i) и (^2,{ , Ъ) — это отображение φ : Jt\ —> Jt2 гладких
многообразий, такое, что
{f°<P,9°<p}i = {f,9h°<P для всех f,ge С°°(<Ж2).

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
87
Прямое произведение пуассоновых многообразий {Л\\ , }i) и (^2,{ > }г)
— это пуассоново многообразие (Л\ х ^#25 { , }), определяемое тем свой-
ством, что отображения естественных проекций -к\ : Л\ х Лъ —> Л\
и Ε2 : Л\ х Л%2 -* ^2 — пуассоновы отображения. Для / G С°°(Л\ x Л?)
и {х\,х?) G ^#i х ^#2 обозначим соответственно как fxj и fxj ограниче-
ния / на Jt х {хг} и {xi} х л^2· Тогда для /, # G C°°(^i x Ji<i)>
Невырожденные пуассоновы многообразия образуют подкатегорию катего-
рии пуассоновых многообразий.
Теорема 2.21. Категория симплектических многообразий (анти-) изо-
морфна категории невырожденных пуассоновых многообразий.
Доказательство."
Согласно теореме 2.14 любое симплектическое многообразие имеет
пуассонову структуру. Ее невырожденность следует из невырожденности
симплектической формы. Обратно, пусть (Ж, { , }) — невырожденное
пуассоново многообразие. Определим 2-форму ω на Л формулой
ω(Χ,Υ) = J~l{Y){X), X,Y G Vect(^),
где изоморфизм J : Τ* Л —> Τ Л определяется тензором Пуассона ту. В ло-
кальных координатах х = (ж1, ..., xN) на Л,
ω — — Y^ r\ij (x) dxl Λ dxj,
где {Vij(x)}?j=i — матрица, обратная к {vl^(x)}i!j=i- 2-форма ω кососим-
метрична и невырождена. Для любого / G Λ пусть Xf = {/, ·} — соот-
ветствующее векторное поле на Л. Тождество Якоби для скобки Пуассо-
на { , } эквивалентно условию Cxf η = О для любого / Ε Л, так что
Cxfu = 0.
Поскольку Xf = Jdf, мы имеем ω(Χ, Jdf) = df(X) для любого X G
G Vect(^), так что
ЦХ/,Хв) = {/,$}.
По формуле Картана
dw(X, Г, Ζ) = | (£хЦУ, Ζ) - £уо;(Х, Ζ) + €Ζω(Χ, Υ) -
-ω([Χ,Υ],Ζ)+ω([Χ,Ζ],Υ)-ω([Υ,Ζ},Χ)),

88
Глава 1
где X, У, Ζ е Vect(^). Теперь, положив X = Х/,У = Хр,^ = Xh,
получаем
dw{xf,xg,xh) =
= Ι (ω(ΧΗ, [Xf,Xg])+u>(Xf, [Xg,Xh])+u>(Xg, [Xh,Xf])) =
= | ("(Xh, X{f,g}) + u(Xf, X{g,h}) + W(^' X{h,f})) =
= § ({Λ, {/, <?}} + {/, {^ h}} + {<?, {/., /}}) =
= 0.
Точные 1 -формы df, f e Л порождают векторное пространство 1-форм
Л1 (Л) как модуль над Л, так что гамильтоновы векторные поля Xf =
= Jdf порождают векторное пространство Vect(^) как модуль над Л.
Таким образом, δω = 0 и (^#, а;) — симплектическое многообразие, ассо-
циированное с пуассоновым многообразием (JZ, { , }). Из определений
следует, что пуассоновы отображения невырожденных пуассоновых мно-
гообразий соответствуют симплектоморфизмам ассоциированных симплек-
тических многообразий.
Замечание. Эту теорему можно также доказать простым вычисле-
нием в локальных координатах х = (ж1, ... ,xN) на Л. Просто заметим,
что условие
dVijjx) 9ηβ{Χ) дщг(х) . .
; : :—= U, г, j.l = 1, ..., iV,
дх1 дхг dxi ' J
которое является координатной записью условия du = 0, следует из усло-
вия
которое является координатной записью тождества Якоби, если его трижды
умножить на обратную матрицу гу^(ж) и использовать то, что

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
89
Замечание. Пусть Jt = T*Rn со скобкой Пуассона { , }, дава-
емой канонической симплектической формой ω = dp Λ dq, где (ρ, q) =
— (Pi> · · · >Pn,<?\ · · · ><Zn) — координатные функции на T*Rn. Невырож-
денность пуассонова многообразия (T*Rn, { , }) можно сформулировать
как свойство, что единственная наблюдаемая / е C°°(T*Rn), удовлетворя-
ющая условию
{f,Pi}= ■·■ ={f,Pn} = 0, {f,q1}= ... ={/,<Л = 0,
это /(ρ, q) = const.
Задача 2.19 (Пространство, двойственное к алгебре Ли).
Пусть д — конечномерная алгебра Ли со скобкой Ли [ , ], и пусть 9* —
ее двойственное пространство. Для /, д Ε С°°(д*) определим
{f,g}(u) = u([df,dg}),
где w G д* и Ги*9* ^ 0. Докажите, что { , } — скобка Пуассона. (Ее ввел Со-
фус Ли, и она называется линейной, или скобкой Ли-Пуассона.) Покажите,
что эта скобка вырождена, и определите центр Λ = С°°(д*).
Задача 2.20. Скобка Пуассона { , } на Ж ограничивается до скобки
Пуассона {, }о на подмногообразии Jf, если вложение г : jY —> jM яв-
ляется отображением Пуассона. Покажите, что скобка Ли-Пуассона на д*
ограничивается до невырожденной скобки Пуассона на коприсоединенной
орбите, ассоциированной с симплектической формой Кириллова -Костан-
та.
Задача 2.21 (Группы Ли-Пуассона). Конечномерная группа Ли
называется группой Ли-Пуассона, если она обладает структурой пуассоно-
ва многообразия (G, { , }), такой, что групповое умножение G x G —> G —
пуассоново отображение, где G x G — прямое произведение пуассоновых
многообразий. Используя базис д\, ..., дп левоинвариантных векторных
полей на G, соответствующих базису х\, ..., хп алгебры Ли д, скобку
Пуассона {, } можно записать как
η
{/ь/2}Ы= Х>уЫйМ/2,
где 2-тензор rfi(g) определяет отображение η : G —> A2g формулой 77(g) =
п
= Σ rf-i(g)xi ® Xj· Покажите, что скобка { , } определяет на G структуру

90
Глава 1
Ли-Пуассона, если и только если выполняются следующие условия: (i) для
всех д G G
Cik(9) = Σ (Vil№rfk(g) + rfl(g)dlVki(g) + ηΜ (д)д^(д)) +
1=1 ·
+ Σ (4XJ(9hkl(9) + 4Pvph(9)vil(9) + ^pvpi(g)rfl(g))=0,
l,p=l
n
где [x^^j] = Σ cijxk'·, (ii) отображение η — групповой 1-коцикл с при-
к=1
соединенным действием на А2д, т.е. 77(^1^2) = Ad_1#2 · v(9i) + ^(^2),
9u92 eG.
ЗАДАЧА 2.22. Покажите, что второе условие в предыдущей задаче
тривиально выполняется, когда η — кограница, η{ρ) = — г + Ad-1g · г для
η
некоторого г = Σ гг^Хг 0 Xj G А2д, а первое условие тогда выполняется,
если и только если элемент
f (г) = [Г12, Г13 + Г23] + [Пз, Г2з] G Л3£
инвариантен при присоединенном действии д на А3д. Здесь г\2 =
п п п
— J2 rtjXi®Xj®l, Г13 = Σ rljXi®l®Xj иг2з = Σ ru 10 a^ 0 гг, —
i,j=l i-ij—l z,j'=l
соответствующие элементы в универсальной обертывающей алгебре Ug ал-
гебры Ли д. В частности, G — группа Ли-Пуассона, если выполняется
условие ξ (г) = 0, называемое классическим уравнением Янга-Бакстера.
п
Задача 2.23. Допустим, что г = Σ r^Xi 0 Xj G Λ2# таково, что
матрица {г2·7} невырождена, и пусть {г^·} — обратная матрица. Покажи-
те, что г удовлетворяет классическому уравнению Янга-Бакстера, если
и только если отображение с : А2д —> С, определенное формулой с(х, у) =
п п п
— Σ TijU%v^ где х = ^2 игХг, у = J2vlXi, является невырожденным 2-
i,j=l г=1 г=1
коциклом на алгебре Ли, т. е. оно удовлетворяет уравнению
Ф, [У, А) + ф, [ж, 2/]) + ф, [г, ж]) =0, ж, 2/, z G 9-

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
91
1.2.8. Представления Гамильтона и Лиувилля
Чтобы завершить формулировку классической механики, необходимо
описать процесс измерения. В физике под измерением классической си-
стемы понимают результат физического эксперимента, дающий численные
значения классических наблюдаемых. Эксперимент состоит из создания
определенных условий для системы, и всегда предполагается, что эти усло-
вия можно воспроизводить снова и снова. Условия эксперимента определя-
ют состояние системы, если повторение этих условий приводит к распре-
делению вероятностей значений всех наблюдаемых системы.
Математически состояние μ на алгебре Л — С°°(<Ж) классических
наблюдаемых на фазовом пространстве Ж — это соответствие
где «^(R) — множество вероятностных мер на R — борелевских мер на R,
таких, что полная мера R равна 1. Для любого борелевского подмножества
ЕСМ величина 0 ^ μ f(E) ^ 1 — это вероятность того, что в состоянии μ
значение наблюдаемой / принадлежит Е. По определению математиче-
ское ожидание наблюдаемой / в состоянии μ дается интегралом Лебега-
Стильтьеса
оо
Εμ(/) = J Μμ/(\),
— оо
где μ/(λ) = μ/ ((—ос, λ)) — функция распределения меры αμ/. Соответ-
ствие / ь-> μ/ должно удовлетворять следующим естественным свойствам.
51. |Εμ(/)| < оо для / Ε Ло — подалгебре ограниченных наблюдаемых.
52. Εμ(1) = 1, где 1 — единица в Л.
53. Для всех a, b еЖи f,g e A
Eli(af + bg) = aEli(f) + bEli(g)i
если и Εμ(/), и Εμ^) существуют.
54. Если /i = φ о /2, где φ : R —> R — гладкая функция, то для любого
борелевского подмножества Ε С R
МАЕ) = μ^φ~\Ε)).

92
Глава 1
Из свойства S4 и определения интеграла Лебега -Стильтьеса следует,
что
Εμ(¥>(/)) = / ψ(Χ)αμ/(λ). (2.18)
— оо
В частности, Εμ(/2) > 0 для всех / е Л, так что состояние определя-
ют нормализованные, положительные, линейные функционалы на подал-
гебре До·
Предполагая, что функционал Εμ продолжается до пространства огра-
ниченных, кусочно-непрерывных функций на <Ж и удовлетворяет (2.18)
для измеримых функций φ, можно восстановить функцию распределения
из математических ожиданий по формуле
μ/(λ) = Εμ(0(λ-/)),
где в(х) — функция Хевисайда,
w [0, х ^ 0.
Действительно, пусть х — характеристическая функция интервала (—ос,λ) С
С R. Используя (2.18) и определение интеграла Лебега-Стильтьеса, полу-
чаем ж
Εμ(*(λ -Λ)=/ Χ(*)Φ/(β) = μ/((-οο, λ)) = μ/(λ).
— ОО
Любая вероятностная мера αμ на jjt определяет состояние на Л, со-
поставляя20 любой наблюдаемой / вероятностную меру μ/ = /* (μ) на R —
трансфер меры αμ на ^ с помощью отображения /: ^ —> R. Она опре-
делена формулой μ/(Ε) = μ(/~1(Ε)) для любого борелевского подмноже-
ства Ε С Ж и имеет функцию распределения
μ/(λ) = μ(/_1(-οο, λ)) = / αμ,
где ^x(f) = {xE J: /(x) < λ}. Из теоремы Фубини следует, что
оо
Εμ(/) = J λαμΙ(λ) = J/αμ. (2.19)
— ОО Μ
'Обозначение и состояния, и меры символом μ не должно вести к путанице.

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
93
Оказывается, что вероятностные меры на Ж, по сути, единственные
примеры состояний. А именно: для локально компактного топологическо-
го пространства Ж теорема Рисса - Маркова утверждает, что для любого
положительного линейного функционала I на пространстве СС(Л?) непре-
рывных функций на Ж с компактным носителем существует единственная
регулярная борелевская мера αμ на <Ж, такая, что
1(f) = / $αμ для любого / е Сс(^).
Это приводит к следующему определению состояний в классической меха-
нике.
Определение. Множество состояний S для гамильтоновой системы
с фазовым пространством Ж — это выпуклое множество &(ЛК) всех
вероятностных мер на Л(. Состояния, соответствующие дираковским ме-
рам αμΧ, сконцентрированным в точках х Ε ЛК, называются чистыми со-
стояниями, а фазовое пространство Л( также называется пространством
состояний21. Все остальные состояния называются смешанными состояни-
ями. Процесс измерения в классической механике — это соответствие
Л X S Э (/,μ) - μ/ = Д (μ) G <^(R),
сопоставляющее каждой наблюдаемой / е Л и состоянию μ Ε S веро-
ятностную меру μ/ на R — трансфер меры 6?μ на ^ посредством /. Для
любого борелевского подмножества Ε С R величина 0 ^ l*f(E) ^ 1 —
это вероятность того, что для системы в состоянии μ результат измерения
наблюдаемой / лежит в множестве Е. Математическое ожидание наблюда-
емой / в состоянии μ дается формулой (2.19).
В физике чистые состояния характеризуются как имеющие свойство,
что измерение любой наблюдаемой всегда дает однозначно определенный
результат. Математически это можно выразить следующим образом. Пусть
<#/) = Εμ ((/ - Εμ(/))2) = Εμ(/2) - Εμ(/)2 > О
— дисперсия наблюдаемой / в состоянии μ.
Лемма 2.1. Чистые состояния — это единственные состояния, в ко-
торых любая наблюдаемая имеет нулевую дисперсию.
Пространством чистых состояний, если быть точным.

94
Глава 1
Доказательство.
Из неравенства Коши - Буняковского - Шварца следует, что σ^(/) = О,
если и только если / постоянна на носителе вероятностной меры αμ.
В частности, смесь чистых состояний αμΧ и αμυ, х,у G Ж, — это сме-
шанное состояние с
αμ — ααμΧ + (1 — α)αμυ, О < а < 1,
так что σ2($) > 0 для любой наблюдаемой /, такой, что f(x) ^ f(y)·
Для системы, состоящей из нескольких взаимодействующих частиц
(скажем, движение планет в небесной механике), возможно измерить все
координаты и импульсы, поэтому рассматривают только чистые состояния.
Смешанные состояния с необходимостью появляются в макроскопических
системах, где невозможно измерить все координаты и импульсы22.
Замечание. Как топологическое пространство, пространство состо-
яний Ж можно восстановить по алгебре Л классических наблюдаемых.
А именно: предположим для простоты, что <Ж компактно. Тогда С-алгебра
С = С (Ж) комплекснозначных функций на Л — пополнение комплекси-
фикации R-алгебры Л классических наблюдаемых по отношению к sup-
норме — коммутативная С*-алгебра. Это означает, что С(Л() — банахово
пространство по отношению к норме ||/|| = supxG^ |/(#)| — имеет струк-
туру С-алгебры (ассоциативной алгебры над С с единицей), задаваемую
поточечным произведением функций, такую, что ||/ · #|| ^ ||/||||#||,и снаб-
жено комплексной антилинейной инволюцией: отображением * : С —> С,
задаваемым комплексным сопряжением /*(я) = f(x) и удовлетворяющим
условию ||/·/* || = ||/1|2. Далее, теорема Гельфанда-Наймарка утверждает,
что любая коммутативная С*-алгебра С изоморфна алгебре С(ЛК) непре-
рывных функций на своем спектре — множестве максимальных идеалов С —
компактном топологическом пространстве с топологией, индуцированной
слабой топологией на С*, двойственном к С пространстве.
Мы заканчиваем наше изложение классической механики, представ-
ляя два эквивалентных способа описания динамики — временной эволю-
ции гамильтоновой системы ((^#, { , }), Н) с алгеброй наблюдаемых Л =
= С°°(<Ж) и множеством состояний S = ^(.Ж). Вдобавок, мы предпола-
гаем, что гамильтонов фазовый поток gt определен во все моменты времени
и на фазовом пространстве Ж определена форма объема dx, инвариантная
относительно фазового потока23.
22Типически макроскопическая система состоит из N ^ 1023 молекул. Макроскопические
системы изучаются в классической статистической механике.
23 Это лиувиллева форма объема, если пуассонова структура на jM невырождена.

1.2. Гамильтонова механика
95
Гамильтоново описание динамики. Состояния не зависят от вре-
мени, а временная эволюция наблюдаемых дается уравнениями движения
Гамильтона:
^=0, μΕβ, и | = {Я,/}, /€А
Математическое ожидание наблюдаемой / в состоянии μ в момент време-
ни t дается формулой
Εμ(Λ) = fogtdμ= I f{gt(x))p(x)dx,
где р(х) = — производная Радона - Никодима. В частности, математиче-
ское ожидание / в чистом состоянии αμΧ, соответствующем точке х Ε <Ж9
это f(gt(x)). Представление Гамильтона повсеместно используется для ме-
ханических систем, состоящих из нескольких взаимодействующих частиц.
Лиувиллево описание динамики. Наблюдаемые не зависят от вре-
мени
а состояния αμ(Χ) = p(x)dx удовлетворяют уравнению Лиувилля
^ = -{Н,р}, p(x)dxeS.
Здесь производная Радона-Никодима р(х) = — и уравнение Лиувилля по-
нимаются в смысле обобщенных функций. Математическое ожидание на-
блюдаемой / в состоянии μ в момент времени t дается формулой
EIH{f) = j f{x)p{g-t{x))dx.
Представление Лиувилля, в котором состояния описываются обобщен-
ными функциями ρ(х) — положительными распределениями на ^, соот-
ветствующими вероятностным мерам p(x)dx,— повсеместно используется
в статистической механике. Равенство
Εμ(Λ) = Εμ,(/) для любого f e Α, μ G S,
следующее из инвариантности формы объема dx и замены переменных,
выражает эквивалентность лиувиллева и гамильтонова описаний динамики.

96
Глава 1
1.3. Замечания и ссылки
Классические ссылки — учебники [Арн89с] и [Лан88Ь], написанные
соответственно с математической и физической точек зрения. Элегантность
[Лан88Ь] дополняется вниманием к деталям в [Gol80], другой классической
книге по физике. Краткий обзор гамильтонова формализма, необходимого
для квантовой механики, можно найти в [Фад01]. Труд [АМ78] и энцик-
лопедические обзоры [Арн85а], [Арн85Ь] предлагают исчерпывающее из-
ложение классической механики, включающее историю предмета и ссыл-
ки на классические работы и современные публикации. Учебник [Ste83],
монографии [Дуб98Ь], [Дуб98а] и записки лекций [Вгу95] содержат весь
необходимый материла по дифференциальной геометрии и теории групп
Ли, а также ссылки на другие источники. Вдобавок, лекции [God69] тоже
предлагают введение в дифференциальную геометрию и классическую ме-
ханику. В частности, в [God69] и [Вгу95] обсуждается роль, которую играет
второе касательное расслоение в лагранжевой механике (см. также моно-
графии [YI73] и [Сга83]). Для краткого изложения теории интегрирования,
включая теорему Рисса-Маркова, см. [RS80]; для доказательства теоре-
мы Гельфанда-Наймарка и дальнейших деталей о С*-алгебрах см. [Str05]
и ссылки в этой работе.
Наше изложение следует традиционной схеме [Лан88Ь] и [Арн89с], на-
чинающих с лагранжева формализма и вводящих гамильтонов формализм
через преобразование Лежандра. Как в [Арн89с], мы сделали особый ак-
цент на точных математических формулировках. Имея основной аудитори-
ей аспирантов и исследователей-математиков, мы можем свободно исполь-
зовать исчисление дифференциальных форм и векторных полей на гладких
многообразиях. Это отличается от нацеленного на студентов младших кур-
сов изложения в [Арн89с], в котором этот материал приходится вводить
в основном тексте. Поскольку целью этой главы было представить толь-
ко основы классической механики, фундаментальные для формулирования
квантовой, мы опустили множество важных тем, включая аналогии меха-
ника-геометрическая оптика, теорию колебаний, вращения твердого тела,
теорию возмущений и т.д. Заинтересованный читатель может найти этот
материал в [Лан88Ь] и [Арн89с] и вышеупомянутых монографиях. Вполне
интегрируемые гамильтоновы системы тоже были только вкратце упомя-
нуты в конце раздела 1.2.6. Мы отсылаем читателя к [Арн85Ь] и ссылкам
в этой работе за исчерпывающим изложением и к монографии [Тах86а] за
так называемым методом представления Лакса — представления нулевой
кривизны теории интегрируемых систем, особенно в случае бесконечного
числа степеней свободы.

1.3. Замечания и ссылки
97
В разделе 1.2.7, следуя [Фад01], [Дуб98Ь], [Дуб98а], мы обсуждаем
пуассоновы многообразия и пуассоновы алгебры. Эти понятия, мало об-
суждаемые в стандартных изложениях классической механики, фундамен-
тальны для понимания значения квантования — перехода от классической
к квантовой механике. Мы также включили в разделы 1.1.6 и 1.2.7 об-
суждение вектора Лапласа-Рунге-Ленца, компоненты которого являют-
ся дополнительными интегралами движения для задачи Кеплера24. Лишь
вкратце упомянутый в [Лан88Ь] вектор Лапласа-Рунге-Ленца в действи-
тельности не фигурирует во множестве учебников, за исключением [Gol80]
и [Дуб98Ь]. В раздел 1.2.7, следуя [Фад01], мы также включили теоре-
му 2.19, проясняющую значение тождества Якоби, и привели гамильтоново
и лиувиллево описания динамики.
Большинство задач в этой главе довольно стандартны и взяты из
различных источников, в основном [Арн89с], [Лан88Ь], [Вгу95], [Дуб98Ь]
и [Дуб98а]. Другие задачи указывают на интересные связи с теорией пред-
ставлений и симплектической геометрией. Так, задачи 2.12 и 2.20 знакомят
читателя с методом орбит [Кир02], а задача 2.18 — с методом симплектиче-
ской редукции (см. [Арн89с], [Вгу95] и ссылки в этих работах). Задачи 2.21-
2.23 подводят читателя к теории групп Ли-Пуассона (см. [Дри86Ь], [Dri87],
[STS85] и [Так90] для элементарного изложения).
24Мы увидим в главе 3, что эти дополнительные интегралы отвечают за скрытую SO(4)
симметрию атома водорода.

Глава 2
Основные принципы квантовой
механики
Напомним стандартные обозначения и основные факты из теории са-
мосопряженных операторов в гильбертовых пространствах. Пусть Ж — се-
парабельное гильбертово пространство со скалярным произведением ( , ),
комплексно-линейным по первому аргументу, и пусть А — линейный опе-
ратор в Ж с областью определения D(A) С Ж — линейным подмноже-
ством Ж. Оператор А называется замкнутым, если его график Г (А) =
= {(φ, Αφ) G Ж х Ж : φ G D(A)} — замкнутое подпространство
в Ж х Ж. Если область определения А плотна1 в Ж, т.е. D(A) =
= Ж, то область определения D(A*) сопряженного оператора А* состоит
из φ G Ж, таких что существует η G Ж со свойством
(Αψ, φ) = (ψ, η) для любого ψ G D(A),
и оператор А* определяется формулой Α* φ = η. Оператор А называется
симметрическим, если
(Αψ, φ) = (ψ, Αφ) для любого φ, ψ Ε £)(^4).
По определению, регулярное мнолсество замкнутого оператора А с плотной
областью определения D(A) это множество ρ (А) = {X G С |, отображение
А — XI : £>(А) -^ Ж — биекция, а обратное отображение ограничено2},
для λ G р(А) ограниченный оператор R\(А) = (А — Х1)~1 называется
резольвентой А в λ. Регулярное множество р(А) С С открыто, а его допол-
нение σ(Α) = С\р(А) — это спектр А. Подмножество σρ(Α) спектра σ(Α),
состоящее из собственных значений А конечной кратности называется то-
чечным спектром.
1 Мы рассматриваем только операторы с плотной областью определения.
2По теореме о замкнутом графике последнее условие следует из первого.

Основные принципы квантовой механики
99
Оператор А самосопряжен (или эрмитов), если А = А*. Эквивалент-
но, А симметрический и D(A) = D(A*); для таких операторов σ(Α) С R.
Симметрический оператор А называется самосопряженным в существен-
ном (говорят также, существенно самосопряженным), если его замыка-
ние А = А** самосопряжено. Для симметрического оператора А следу-
ющие условия эквивалентны:
(i) А самосопряжен в существенном;
(И) Кег(А* + И) = Кег(А* - И) = {0};
(Ш) 1т(А + И) = 1т{А - И) = Ж.
Симметрический оператор А с D(A) = Ж ограничен и самосопряжен.
Оператор А положителен3, если (Αφ, φ) ^ 0 для любого ф G D(A), что мы
обозначаем как А ^ 0. Положительные операторы удовлетворяют неравен-
ству Коши - Буняковского - Шварца
\(Αφ,ψ)\2 ^ (Αφ,φ)(Αψ,ψ) для любых φ, ψ G D(A). (0.1)
В частности, из (Αφ, φ) = 0 следует, что Αφ = 0. Любой ограничен-
ный положительный оператор самосопряжен4. Мы обозначаем как «5f(Jif)
С*-алгебру ограниченных линейных операторов в Ж с операторной нор-
мой || · || и антиинволюцией *, задаваемой операторным сопряжением. Опе-
ратор A G JS?(Ж) называется компактным5, если он отображает ограни-
ченные подмножества Jif в предкомпактные множества6. Векторное про-
странство Η (Ж) компактных операторов в Jif называется двусторонним
идеалом7 С*-алгебры Jf (Jif).
Оператор A G Ч>(Ж) называется оператором со следом*, если
оо
P||i = 5^^(A)<oo,
n=l
где μη(Α) — сингулярные значения Α: μη(Α) = у/Хп(А) ^ 0, где Хп(А) —
собственные значения А* А. Эквивалентно, оператор A G ^(Ж) — опе-
3 Неотрицателен, если быть точным.
4 Это верно только для комплексных гильбертовых пространств.
5 Также употребляется термин вполне непрерывный оператор. — Прим. перев.
6Множества с компактным замыканием.
7Идеал ^(Ж) — единственный замкнутый двусторонний идеал в ££(Ж).
8 Также употребляется термин ядерный оператор. — Прим. перев.

100
Глава 2
ратор со следом, если и только если для любого ортонормального бази-
са {еп}™=1 пространства Ж
оо
^|(Аеп,еп)| < сю.
п=1
Поскольку перестановка ортонормального базиса — снова ортонормальный
базис, это условие можно заменить условием, что
оо
^2(Аеп,еп) < оо
п=1
для любого ортонормального базиса {еп}'^=1 пространства Ж. Если А —
оператор со следом, то его след определяется как
TrA = J2(Aen,en)
п=1
и не зависит от выбора ортонормального базиса {еп}™=1 пространства Ж.
Положительный оператор А е j£f (Ж) — оператор со следом, если для неко-
торого ортонормального базиса {еп}^=1 пространства Ж выполняется
оо
Σ (Аеп, еп) < сю.
Пространство 5?\ операторов в Ж со следом образует банахову алгебру
с нормой ||A||i = Try/А*А и является двусторонним идеалом (идеалом
фон Неймана-Шаттена) в С*-алгебре «£?(Ж).
Свойство
ТгАВ = ТтВА для любых А е Уи Be ££{Ж)
называется циклическим свойством следа. Если А е <5?\, то отображе-
ние 1а(В) = ТгАВ, В G У (Ж), — непрерывный линейный функцио-
нал на а?(Ж), так что 5?\ лежит в Л£(Ж)* — банаховом пространстве,
двойственном к J£(Ж). Однако, 5?\ ^ J? (Ж)*, в действительности <5?\ =
= ^(Ж)*, и отображение Аи^- изоморфизм банаховых пространств.
Аналогично, отображение В \->1в дает изоморфизм Л£(Ж) = У^.

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
101
Оператор А Ε JSf(^) называется оператором Гильберта - Шмидта,
если АА* Ε «Яь Эквивалентно, оператор А Е Sf(Ji?) — оператор Гиль-
берта-Шмидта, если и только если для некоторого ортонормального бази-
са {еп}™=1 пространства Ж
оо
^||Аеп||2 <оо.
п=1
Векторное пространство «^ операторов Гильберта-Шмидта в ^ являет-
ся гильбертовым пространством со скалярным произведением (Д В)2 =
= ТгАВ*. Пространство Гильберта-Шмидта 5^2 тоже является двусторон-
ним идеалом в С*-алгебре Jif (J^7).
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
Квантовая механика изучает микромир — физические законы в атом-
ных масштабах, которые нельзя адекватно описать с помощью классиче-
ской механики. Свойства микромира очень сильно отличаются от нашего
повседневного опыта, поэтому неудивительно, что его законы кажутся про-
тиворечащими здравому смыслу. Так, классические механика и электроди-
намика не могут объяснить устойчивость атомов и молекул. Точно также не
могут эти теории согласовать разные свойства света — волнового характера
в явлениях дифракции и интерференции и корпускулярного — в фотоэлек-
трической эмиссии и рассеянии свободными фотонами. Фундаментальное
различие между микромиром и наблюдаемым миром вокруг нас в том, что
в микромире любой эксперимент приводит к взаимодействию с системой и
тем самым нарушает ее свойства, тогда как в классической физике всегда
предполагается, что можно пренебречь возмущениями, вносимыми в си-
стему измерением. Это налагает ограничения на возможности наблюдения
и приводит к выводу, что существуют наблюдаемые, которые нельзя изме-
рить одновременно.
Мы не обсуждаем здесь эти и другие основные экспериментальные
факты, отсылая заинтересованного читателя к учебникам по физике. Мы
также не будем следовать историческому пути развития теории. Вместо
этого, мы покажем, как сформулировать квантовую механику, используя
общие понятия состояний, наблюдаемых и временной эволюции, описан-
ные в разделе 1.2.8 главы 1. Там мы видели, что коммутативность алгебры
наблюдаемых А приводит к возможности ее реализации в виде алгебры
функций на топологическом пространстве — пространстве состояний — и,
таким образом, ведет нас в царство классической механики. Поэтому, для

102
Глава 2
того чтобы получить реализацию наблюдаемых и состояний, отличную от
классической механики, нам надо допустить, что С*-алгебра, ассоцииро-
ванная с наблюдаемыми, больше не коммутативна. Фундаментальный при-
мер некоммутативной С*-алгебры дается алгеброй ограниченных операто-
ров в комплексном гильбертовом пространстве, и оказывается, что как раз
эта алгебра играет фундаментальную роль в квантовой механике!
Здесь мы формулируем основные принципы квантовой механики, ис-
пользуя точный математический язык. В этом месте необходимо заметить,
что невозможно проверить прямо принципы, лежащие в основе квантовой
механики. Тем не менее верность квантовой механики во всех ситуациях,
где она применима, непрерывно подтверждается многочисленными экспе-
риментальными фактами, полностью согласующимися с предсказаниями
теории9.
2.1.1. Математическая формулировка
Следующие аксиомы составляют базис квантовой механики.
А1. С любой квантовой системой ассоциировано бесконечномер-
ное сепарабельное комплексное гильбертово пространство Ж, называе-
мое в физической терминологии пространством состояний™. Гильбертово
пространство составной квантовой системы — это тензорное произведе-
ние гильбертовых пространств компонент системы.
А2. Множество наблюдаемых srf квантовой системы Ж состоит из
всех самосопряженных операторов в Ж. Подмножество я/о — srf Π J£? (Ж)
ограниченых наблюдаемых является векторным пространством над Ш.
A3. Множество состояний 5? квантовой системы с гильбертовым про-
странством Ж состоит из всех положительных (а значит, самосопряжен-
ных) операторов Μ со следом ТгМ = 1. Чистые состояния это опе-
раторы проектирования (проекторы) на одномерные подпространства Ж.
Для ψ е Ж, \\ψ\\ = 1, соответствующий проектор на Сф обозначается Ρψ.
Все остальные состояния называются смешанными состояниями11.
А4. Процесс измерения — это соответствие
β/ х У Э (А, М) ■-> μΑ € £>(R),
9Это относится к нерелятивистским явлениям в атомных масштабах.
^Пространством чистых состояний, если быть точным.
11В физической терминологии оператор Μ называется матрицей плотности.

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
103
сопоставляющее каждой наблюдаемой Аб^и состоянию Μ Ε У веро-
ятностную меру μΑ на R. Для любого борелевского подмножества Ε С R
величина 0 ^ №а(Е) ^ 1 — это вероятность того, что для квантовой систе-
мы в состоянии Μ результат измерения наблюдаемой А принадлежит Е.
Математическое ожидание (среднее значение) наблюдаемой A G si в со-
стоянии Μ £ У — это
оо
(А\М) = J λαμΑ{λ),
— оо
где μΑ(λ) = ^л((—оо, λ)) — функция распределения вероятностной ме-
ры μ А.
Множество состояний У выпукло. Согласно теореме Гильберта-
Шмидта о каноническом разложении компактных самосопряженных опера-
торов, для любого Μ £ У существует ортонормированный набор {фп}^=1
в Ж (конечный или бесконечный; в последнем случае N = оо), такой, что
Ν Ν
Μ = ΣαηΡψη и ТгМ = 5^ап = 1, (1.1)
П=1 71=1
где ап > О — ненулевые собственные значения М. Таким образом, любое
смешанное состояние — это выпуклая линейная комбинация чистых состо-
яний. Следующий результат характеризует чистые состояния.
Лемма 1.1. Состояние Μ € У — чистое, если и только если его
нельзя представить в виде нетривиальной линейной комбинации в У.
Доказательство.
Допустим, что
Рф = аМх + (1 - а)М2, О < а < 1,
и пусть Ж — СгрфЖ\ — ортогональное разложение. Поскольку М\ и Мч —
положительные операторы, для φ Ε Ж\ мы имеем
α{Μ1φ,φ)^{ΡΦφ,φ) = 0,
так что (Μ\φ,φ) = 0 для всех φ G Ж\, и по (0.1) получаем М\\^ — 0.
Поскольку оператор М\ самосопряжен, он оставляет дополнительное
подпространство Сф инвариантным, и из условия TrMi = 1 следует,
что Mi = Ρψ. Поэтому Mi = М2 = Ρψ.
Явная конструкция соответствия si х У —► «^(R) основывается на
общей спектральной теореме фон Неймана, подчеркивающей фундамен-
тальную роль самосопряженных операторов в квантовой механике.

104
Глава 2
Определение. Проекторная мера на Μ — это отображение Ρ: &(Ш) —►
—► &(Ж) σ-алгебры 3§{Ш) борелевских подмножеств R в алгебру ограни-
ченных операторов в Жу удовлетворяющее следующим свойствам.
РМ1. Для любого борелевского подмножества Ε С R, оператор Р(Е) —
ортогональная проекция, т.е. Р{Е) = Р(Е)2 и Р{Е) = Р(Е)*.
РМ2. Р(0) = 0, P(R) = I, единичный оператор в Ж.
РМЗ Для любого дизъюнктного объединения борелевских подмножеств
ОО П
Е.= ]]ЕП, Р(Я)= lim У*Р(£*)
п=1 г=1
в сильной топологии Jf(Jif).
Замечание. Аналогично, проекторная мера на Rn — это отображение
Р: &(Rn) —► Л? (Ж), удовлетворяющее тем же свойствам РМ1-РМЗ.
Из РМ1 - РМЗ следует, что
Р(Е1)Р(Е2) = Ρ(Ei Π Е2) для любых EUE2 G ЩЩ. (1.2)
С любой проекторной мерой Ρ на R ассоциируется проекторнозначная
функция
Ρ(λ) = Ρ((-οο,λ)),
называемая проекторным разложением единицы. Она характеризуется сле-
дующими свойствами.
PD1.
P(A)P(M) = P(min{A,M}).
PD2.
lim Ρ(λ) = 0, lim Ρ(λ) = I.
λ—> —οο λ—>οο
PD3.
lim Ρ(μ) = Ρ(λ).
μ—»λ
μ<λ

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
105
Для любого ψ G Ж разложение единицы Ρ (λ) определяет функцию
распределения (Ρ(\)φ, φ) ограниченной меры на Ш (вероятностной, ко-
гда || φ || = 1). По поляризационному тождеству
(Р(А)у>,ф) = \ {(Ρ(Χ)(φ + Ψ),φ + Ψ)~ (Ρ(Χ)(φ -φ),φ-φ) +
+ <( Ρ(λ)(φ + iil>), φ + τψ)- 1{Ρ{Χ){φ - %ψ), φ - гф)} ,
так что (Ρ(Χ)φ, ф) соответствует комплексной мере на R — комплексной
линейной комбинации мер.
Измеримая функция / на R называется финитной почти везде (п. в.) по
отношению к проекторной мере Р, если она финитна п. в. по отношению ко
всем мерам (Р-0, ф)9 ф Ε Ж. Для сепарабельного Ж теорема фон Неймана
утверждает, что для любой проекторной меры Ρ существует φ G Ж, такое,
что функция / финитна п. в. по отношению к Р, если и только если она
финитна п. в. по отношению к мере (Ρφ, φ).
Следующее утверждение — знаменитая спектральная теорема фон
Неймана.
Теорема 1.1 (Дж. фон Нейман). Для любого самосопряженного one-
ратора А в гильбертовом пространстве Ж существует единственое про-
екторное разложение единицы Ρ (λ), удовлетворяющее следующим свой-
ствам.
(0
D(A) =1.1реЖ: f \2α{Ρ{\)φ,φ) < оо \ ,
и для любого ψ € D(A)
оо
Αψ= [ ΧαΡ(λ)φ,
—оо
определенный как предел сумм Римана-Стильтьеса в сильной топо-
логии на Ж. Носитель соответствующей проекторной меры Ρ сов-
падает со спектром оператора А: X G σ (А), если и только если
Ра((Х — ε, Χ + ε)) 7^ 0 для любого ε > 0.

106
Глава 2
(И) Для любой непрерывной функции f на R, f(A) — линейный оператор
в Ж с плотной областью определения
D(f(A)) = \φ е Ж : j \/(λ)\4(Ρ(λ)φ,φ) < оо I ,
определенный для φ £ D(f(A)) как
оо
!(Α)φ = У /(A)dP(A)V
— оо
и понимаемый, как в части (i). Оператор f(A) удовлетворяет усло-
вию
f(A)* = f(A),
где f — комплексно сопряженная функция к /, а оператор f(A) огра-
ничен, если и только если функция f ограничена на σ(Α). Для ограни-
ченных на σ(Α) непрерывных функций fug
оо
/(Α)9(Α)φ = J /(Χ)9(λ)αΡ(λ)φ, φ&Μ>.
— оо
(ш) Для любой измеримой функции f на R, конечной п. в. по отношению
к проекторной мере Р, f(A) — линейный оператор в Ж, определен-
ный, как в (ii), где интеграл для /(Α)φ теперь понимается в слабом
смысле: для φ G D(f(A)) и любого ψ G Ж
оо
(f(AW)= J /(Χ)α(Ρ(λ)φ,φ)
— оо
— интеграл Лебега-Стильтьеса по отношению к комплексной мере.
Соответствие f i—► f(A) удовлетворяет тем же свойствам, что
и в (ii), где интегралы понимаются в слабом смысле.
(iv) Ограниченный оператор В коммутирует с А, то есть B(D(A)) С
С D(A) и АВ = В А на D(A), если и только если он коммутирует
с Ρ (λ) для всех X, и, следовательно, В коммутирует с любым опера-
тором f(A).

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
107
(ν) Для любого проекторного разложения единицы Ρ (λ) оператор А в Ж,
определенный, как в части (i), самосопряжен.
С использованием спектральной теоремы соответствие (Α, Μ) \-> μ а,
постулированное в А4, можно явно описать следующим образом.
А5. Вероятностная мера μΑ на R, определяющая соответствие
я/ х У —► &(№), дается формулой Борна-фон Неймана
μΑ(Ε) = ТгРА(£)М, Ε е #(R), (1.3)
где Р^ — проекторная мера на R, ассоциированная с самосопряженным
оператором А.
ЗАМЕЧАНИЕ. Вероятностную меру μ а на Ш можно рассматривать как
«квантовый трансфер» состояния Μ посредством наблюдаемой А (см. об-
суждение в разделе 1.2.8 в главе 1).
Из разложения Гильберта-Шмидта (1.1) получаем
Ν Ν Ν
μΑ(Ε) = Σαη{ΡΑ(Ε)<ψη,<ψη) = ]Г ап\\РА{Е)фп\\2 < £αη = 1,
71=1 71=1 71=1
так что действительно 0 ^ μλ{Ε) ^ 1. Обозначим через μ α (λ) функцию
распределения вероятностной меры μ α, μΑ(λ) = (Рд(А)^,^;) для Μ = Р^.
Предложение 1.1. Допустим, что наблюдаемая А е я/ и состоя-
ние Μ е У такие, что (А\М) < оо и ImM С £>(А). 7Ъг<)а AM G «Я!
w
(А|М) = ТЫМ.
В частности, если Μ = Ρψ и ψ е D(A), то
(Α\Μ) = (Αψ,ψ) и (А2\М) = \\Аф\\2.
Доказательство.
Пусть {еп}™=1 — ортонормированный базис в Ж. Поскольку
оо
μΑ(Ε) = ЪРА(Е)М = ^(РА(Е)Меп,еп),
71=1

108
Глава 2
получается, что для любого Ε е
оо
μΑ(Ε) = Σμη(Ε),
n=l
где μη — конечные комплексные меры на R, определенные форму-
лой μη{Ε) = (Ра(£)Меп, еп). Поскольку
/ /αμΑ = Σ $αμη
R
для любой функции /, интегрируемой по мере μ а, из спектральной теоре-
мы следует, что
оо оо °° °°
]Г(АМеп,еп) = Σ / λφη(λ) = / λ^μΛ(λ) < оо.
Таким образом, AM Е^и <^4|А^) = ТгЛМ. В частности, когда Μ = Рф
ифе D(A),
(А\М)= J \α(ΡΑ(\)ψ,ψ) = (Αψ,
ψ).
—оо
Наконец, из спектральной теоремы и формулы замены переменных полу-
чаем
оо оо
\\Аф\\2 = J \4(ΡΑ(\)ψ,ψ) = J\α(ΡΑ2(\)ψ,ψ) = (A2\M).
Следствие 1.2. Если (А\М), (А2\М) < оо, то AM G Ух и (А\М) =
= ТгАМ.
Доказательство.
Определим борелевские меры vn на Ε формулой νη{Ε) =
= (РА(Е)Меп,Меп) = ||Рл(£)Меп||2. Так как по формуле (1.1)
оо N
Σ ME) = TrMPA(E)M = ТгР А(Е)М2 = ]Г α2η{ΡΑψη, φη) ^
п=1 п=1
N
^ Σ αη(ΡΑΨη,Ψη) = ТгРА(Е)М = μΑ(Ε),
n=l

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
109
получается, что
оо оо
/ \2dun(X) < ( λ2αμΑ(λ) = (А2\М) < оо.
— оо —оо
Таким образом, Меп £ D(A), т.е. еп е D(AM), и результат следует из
доказательства предложения 1.1.
Замечание. Удобно аппроксимировать неограниченный самосопря-
женный оператор А ограниченными операторами Ап = Afn(A), где /п =
= Х[-п,п] — характеристическая функция интервала [—η, η]. Предполагая,
что (А|М) существует, имеем
оо η
(А\М) = [ λαμΑ(λ) = lim [ λαμΑ(λ) = lim (An\M).
J η—>oo J η—>oo
Определение. Самосопряженные операторы А и В коммутируют, ес-
ли соответствующие проекторные меры Р^ и Р# коммутируют:
Ра{Е1)Рв{Е2) = Рв(Е2)РА{Ег) для любых Еи Е2 е ЩШ).
Следующие результаты, вытекающие из спектральной теоремы, очень
полезны в приложениях.
Предложение 1.2. Следующие утверждения эквивалентны.
(0 Самосопряженные операторы А и В коммутируют.
(к) Для любых λ, μ е С, Im λ, Im μ φ 0
RX(A)R^B) = Rfl(B)Rx(A).
(ш) Для любых и, υ Ε Μ
гиА ivB _ -ivB iuA
(/ν) Для любых uGl операторы еги и В коммутируют.
Слегка злоупотребляя обозначениями12, мы часто будем писать [А,В] =
= АВ — В А = 0 для коммутирующих самосопряженных операторов АиВ.
12Вообще говоря, для неограниченных самосопряженных операторов А к В коммутатор
[А, В] = А В — В А необязательно замкнут, т. е. он может быть определен только для φ = 0.

110
Глава 2
Предложение 1.3. Пусть А = {Ai, ..., Ап} — конечное множество
самосопряженных, попарно коммутирующих операторов в Ж. На борелев-
ских подмножествах Rn существует единственная проекторная мера Ра,
обладающая следующими свойствами.
(0 Для любого Е = Ехх ... х Еп е ЩЖп)
PA(E) = PAl(E1)...PAn(En).
(И) В сильной операторной топологии
Ak= XkdPA, fe = 1, ...,n,
где Xk — к-я координатная функция на Rn, Afc(xi, ... , xn) = х^.
(in) Для любой измеримой функции f на Rn, финитной п. в. относительно
проекторной меры, Ра, }{А\, ... ,Ап) — линейный оператор в Ж,
определенный формулой
f(A1,...,An) = JfdPA,
Rn
где интеграл понимается в слабой операторной топологии. Соответ-
ствие f i—► f(A\, ... ,Ап) обладает теми же свойствами, что и в
части (и) спектральной теоремы.
Носитель проекторной меры Ра на Rn называется совместным спектром
коммутативного семейства А = {А\, ..., Ап}.
Замечание. Согласно теореме фон Неймана о порождающем опера-
торе, для любого коммутативного семейства А самосопряженных операто-
ров (необязательно конечного) на сепарабельном гильбертовом простран-
стве Ж существует порождающий оператор — самосопряженный опера-
тор R на Ж, такой, что все операторы в А являются функциями R.
Кажется естественным, что одновременное измерение конечного мно-
жества наблюдаемых А — {А\, ..., Ап} в состоянии Μ € У должно опи-
сываться вероятностной мерой μ а на Rn, даваемой следующим обобщени-
ем формулы Борна-фон Неймана:
μΑ(Ε) = ТНРлЛ^) · · · РАп(Еп)М),
Е = ЕгХ ... хЕпе @{Жп). ( ' '

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
111
Однако формула (1.4) определяет вероятностную меру на Rn, если и только
если PAl(E\)... РАп(Еп) определяет проекторную меру на Rn. Посколь-
ку произведение ортогональных проекций будет ортогональной проекци-
ей, только если проекторы коммутируют, можно заключить, что операто-
ры А\, ..., Ап должны составлять коммутативное семейство. Это согласу-
ется с требованием, что одновременное измерение нескольких наблюдае-
мых не должно зависеть от порядка измерений индивидуальных наблюдае-
мых. Подытожим эти рассуждения в следующей аксиоме.
А6. Конечное множество наблюдаемых А = {Ai, ...,An} может
быть измерено одновременно (одновременно измеримые наблюдаемые), ес-
ли и только если они составляют коммутативное семейство. Одновремен-
ное измерение коммутативного семейства А С si в состоянии Μ е У
описывается вероятностной мерой μΑ на Rn, задаваемой формулой
μΑ(Ε) = ТгРА(Е)М1 Ε е ^(Rn),
где Ра — проекторная мера из предложения 1.3. Конкретно, РА(Е) =
= PAl(Ei)...PAn(En) ДДя Ε = Ех х ... х Еп G ЩШп). Для любо-
го борелевского подмножества Ε С Rn величина 0 ^ ^а(Е) ^ 1 — это
вероятность, что для квантовой системы в состоянии Μ результат одновре-
менного измерения наблюдаемых А\, ..., Ап принадлежит Е.
Аксиомы А1-А6 известны как аксиомы Дирака-фон Неймана.
Задача 1.1. Докажите свойство (1.2).
Задача 1.2. Докажите, что состояние Μ чистое, если и только если
ТгМ2 = 1.
Задача 1.3. Докажите, что формула Борна-фон Неймана (1.3) опре-
деляет вероятностную меру на R, т. е. μΑ — σ-аддитивная функция на &(Щ.
Задача 1.4. Докажите все оставшиеся утверждения этого раздела.
2.1.2. Соотношения неопределенности Гейзенберга
Дисперсия наблюдаемой А в состоянии М, характеризующая среднее
отклонение А от его математического ожидания, определяется как
σ2Μ(Α) = ((А - (А\М)1)2\М) = (А2\М) - (А\М)2 > О
при условии, что математические ожидания (А2\М) и (А\М) существуют.
Из предложения 1.1 следует, что для Μ = Ρψ, где φ Ε D(A),
σ2Μ(Α) = ||(Л - (Α\Μ)Ι)ψ\\* = \\Аф\\2 - (Аф,ф)2.

112
Глава 2
Лемма 1.2. Для А е srf и Μ 6 У дисперсия ам(А) = О, если и только
если ImM — собственное подпространство оператора А, отвечающее
собственному значению а = (А\М). В частности, если Μ = Ρψ, то φ —
собственный вектор Α, Αψ = αφ.
Доказательство.
Из спектральной теоремы следует, что
оо
*мИ) = J (λ - α)2αμΑ(λ),
— ОО
так что ом (А) — О, если и только если вероятностная мера μ а сконцентри-
рована в точке а Ε R, т. е. μ^({α}) = 1. Поскольку μ^({α}) = TrPa{{а))М
и ТгМ = 1, можно заключить, что это эквивалентно тому, что ImM — ин-
вариантное подпространство Pa({cl}), и из спектральной теоремы следует,
что ImM — собственное подпространство А, отвечающее собственному
значению а.
Теперь мы сформулируем обобщенные соотношения неопределенно-
сти Гейзенберга.
Предложение 1.4 (Г.Вейль). Пусть А,Вея/и пусть Μ = Ρψ —
чистое состояние, такое, что φ Ε D(A)r\D(B) и Аф,Вф Ε D(A)nD(B).
Тогда
а2м(А)а2м(В)>\(г[А,В]\М)2.
Такое лее неравенство выполняется для любого Μ G У, где по определе-
нию (i[A,B]\M) = lim (i[An,Bn]\M).
п—юо
Доказательство.
Пусть Μ = Рф. Поскольку
[А-(А\М)1,В-(В\М)Г\ = [А,В],
достаточно доказать неравенство
(A2\M)(B2\M)>\(i[A,B]\M)2.
Имеем для любого а Ε Ш
\\(А + гаВ)ф\\2 = а2(Вф, Вф) - га{Аф, Вф) + га{Вф, Αφ) + (Αψ, Αφ) =
= α2(Β2φ,ψ) + а{г[А,В]ф,ф) + (А2ф,ф) > О,
так что с необходимостью 4(А2ф, ф)(В2ф, ф) ^ (г[А, В]ф,ф)2.

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
ИЗ
То же рассуждение работает для смешанных состояний. Поскольку
σ2Μ(Α)σ2Μ(Β) = lim σ2Μ{Αη)σ2Μ{Βη)
η—юо
(см. замечание в предыдущем разделе), достаточно доказать неравенство
для ограниченных А и В. Тогда, используя циклическое свойство следа,
получаем для любого a Ε Ш
О ^ Тг((Л + гаВ)М(А + iaB)*) = Тт((А + гаВ)М(А - гаВ)) =
= а2ТгВМВ + гаТгВМА - гаТгАМВ + TrAMA =
= а2ТгВ2М + аТг(г[Д В]М) + ТЫ2М,
так что 4ТгА2МТгВ2М ^ Тт(г[А, В]М)2.
Соотношения неопределенности Гейзенберга дают количественное вы-
ражение того факта, что даже в чистом состоянии некоммутирующие на-
блюдаемые не могут быть одновременно измерены. Это показывает фунда-
ментальное различие между процессами измерения в классической меха-
нике и квантовой механике.
2.1.3. Динамика
Множество srf квантовых наблюдаемых не образует алгебру по от-
ношению к операторному произведению13. Тем не менее действительное
векторное пространство j#fo ограниченных наблюдаемых имеет структуру
алгебры Ли со скобкой Ли
i[A, В] = г(АВ - В А), А,В е я/0.
Замечание. На самом деле С*-алгебра Jf(Jt?) ограниченных опера-
торов в Ж имеет структуру комплексной алгебры Ли со скобкой Ли, данной
коммутатором [А, В] = АВ — В А. Она удовлетворяет правилу Лейбница
[АВ,С\ = А[В,С\ + [А,С]В,
так что скобка Ли — дифференцирование на С*-алгебре «5f (Ж).
13 Произведение двух некоммутирующих операторов — необязательно самосопряженный
оператор.

114
Глава 2
По аналогии с классической механикой мы постулируем, что времен-
ная эволюция квантовой системы с пространством состояний Ж полно-
стью определяется особой наблюдаемой Η Ε «β^, называемой оператором
Гамильтона (для краткости — гамильтонианом). Как и в классической ме-
ханике, структура алгебры Ли на j#o приводит к соответствующим кванто-
вым уравнениям движения.
Конкретно, аналогом представления Гамильтона в классической меха-
нике (см. раздел 1.2.8 в главе 1) является представление Гейзенберга в кван-
товой механике, в котором состояния не зависят от времени:
Щ = О, Μ е У,
at
а ограниченные наблюдаемые удовлетворяют уравнению движения Гейзен-
берга
j£ = {H,A}n, Ае4, (1.5)
где
{,}* = £[,] (1-6)
— квантовая скобка — зависящая от Ь скобка Ли на j^fo. Положительное
число Ь, называемое постоянной Планка, — это одна из фундаментальных
физических констант14.
Уравнение Гейзенберга (1.5) корректно определено, когда Η £ Μ)·
Действительно, пусть U(t) — сильно непрерывная однопараметрическая
группа унитарных операторов, ассоциированная с ограниченным самосо-
пряженным оператором Н,
U(t) = e л' , teR. (1.7)
Она удовлетворяет дифференциальному уравнению
гй^р = HU(t) = U(t)H, (1.8)
так что решение A(t) уравнения движения Гейзенберга с начальным усло-
вием А(0) = A Ε j#o дается формулой
A(t) = U{tylAU(t). (1.9)
14Постоянная Планка имеет физическую размерность действия (энергия х время). В ее опре-
деленном из эксперимента значении Тг = 1.054 х 10~27 эрг х сек проявляется тот факт, что
квантовая механика — микроскопическая теория.

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
115
В общем случае сильно непрерывная однопараметрическая группа уни-
тарных операторов (1.7), ассоциированная с самосопряженным опера-
тором Я, удовлетворяет дифференциальному уравнению (1.8) только
на D(H) в сильном смысле, т.е. при применении к векторам φ G D(H).
Квантовая динамика определяется той же формулой (1.9), и в этом смыс-
ле все квантовые наблюдаемые удовлетворяют уравнению движения Гей-
зенберга (1.5). Оператор эволюции Ut : si —> si определяется формулой
Ut(A) = A(t) = U(t)~1AU(t) и является автоморфизмом алгебры Ли sio
ограниченных наблюдаемых. Это квантовый аналог утверждения, что опе-
ратор эволюции в классической механике — автоморфизм алгебры Пуассона
классических наблюдаемых (см. теорему 2.19 в разделе 1.2.7 главы 1).
По теореме Стоуна любая сильно непрерывная однопараметрическая
группа унитарных операторов15 U(t) имеет вид (1.7), где
D(H) — < φ е Ж : Km φ существует >
U(t) -1
и Η φ = гЬ lim φ.
Область определения D(H) самосопряженного оператора Я, называемого
инфинитезимальным генератором группы U(t), — инвариантное линейное
подпространство для всех операторов U(t).
Подытожим предшествующие рассуждения в следующей аксиоме.
А7 (Представление Гейзенберга). Динамика квантовой системы опи-
сывается сильно непрерывной однопараметрической группой U(t) уни-
тарных операторов. Квантовые состояния не зависят от времени, У Э
Э Μ ь-► M(t) = Μ Ε У, а зависимость квантовых наблюдаемых от време-
ни дается оператором эволюции Ut,
^эАн A{t) = Ut{A) = U{t)~lAU{t) e si.
На инфинитезимальном уровне эволюция квантовых наблюдаемых опи-
сывается уравнением движения Гейзенберга (1.5), где оператор Гамильто-
на Я — это инфинитезимальный генератор U(t).
Аналог представления Лиувилля в классической механике (см. раз-
дел 1.2.8 главы 1) — это представление Шрёдингера в квантовой механике,
определяемое следующим образом.
15 Согласно теореме фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве любая сла-
бо измеримая однопараметрическая группа унитарных операторов сильно непрерывна.

116
Глава 2
А8 (Представление Шрёдингера). Динамика квантовой системы
описывается сильно непрерывной однопараметрической группой U(t) уни-
тарных операторов. Квантовые наблюдаемые не зависят от времени,
«й/эА^ A(t) = А € я/, и зависимость состояний от времени дается об-
ратным оператором эволюции Z7t-1 = U-u
УзМи M(t) = U-t(M) = U{t)MU(i)-1 e У. (1.10)
На инфинитезимальном уровне эволюция квантовых состояний описывает-
ся уравнением движения Шрёдингера
4М = -{#,м}л, меУ, (1.П)
где оператор Гамильтона Η — инфинитезимальный генератор U(t).
Предложение 1.5. Гейзенбергово и шрёдингерово описания динамики
эквивалентны.
Доказательство.
Пусть μΑ{€) и (μ*)а — соответственно, вероятностные меры на R, ассо-
циированные с (A(t), Μ) е srf х У и (Д M(t)) е д/хУ согласно АЗ-А4,
где A(t) = Ut(A) и M(t) = U-t(M). Нам надо показать, что μΑψ) = (μ^Α-
Из спектральной теоремы следует, что PA(t) — U(t)~1PAU(t), так что, ис-
пользуя формулу Борна-фон Неймана (1.3) и циклическое свойство следа,
получаем для Ε G «^(R)
μΑ(1){Ε) = TrPA{t)(E)M = Tr(U(t)-1PA(E)U(t)M) =
= TriPAWUMMUit)-1) = TrPA(E)M(t) = Ыа(Я).
Следствие 1.3. (A(t)\M) = (A\M(t)).
По аналогии с классической механикой (см. раздел 1.1.4 главы 1) име-
ем следующее определение.
Определение. Наблюдаемая А е я/ является квантовым интегралом
движения (или константой движения) для квантовой системы с гамильто-
нианом Н, если в представлении Гейзенберга
dA(t) = o
dt

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
117
Из предложения 1.2 следует, что оператор А £ я/ — интеграл дви-
жения, если и только если он коммутирует с гамильтонианом Н9 так что
в согласии с (1.5)
{Н,А}п = 0.
Это — квантовый аналог свойства коммутативности в смысле скобки Пуас-
сона, даваемого формулой (2.14) раздела 1.2.6 главы 1.
Из (1.11) следует, что временная эволюция чистого состояния Μ = Ρψ
дается уравнением M(t) = Ρψμ), где ф(£) = U(t)i/). Поскольку D(H) инва-
риантно относительно U(t), вектор ip(t) = и(Ь)ф удовлетворяет зависяще-
му от времени уравнению Шрёдингера
гП^- = Нф (1.12)
at
с начальным условием -0(0) = ψ.
Определение. Состояние Μ £ У называется стационарным для
квантовой системы с гамильтонианом Н9 если в представлении Шрёдин-
гера
dM(t)
at
0.
Состояние Μ стационарно, если и только если [М, U(t)] — 0 для
всех t, и по предложению 1.2 это эквивалентно условию
{Я,М}л = 0
в согласии с (1.11). Следующий результат фундаментален.
Лемма 1.3. Чистое состояние Μ = Ρψ стационарно, если и только
если ψ — собственный вектор Н,
Нф = Хф,
и в этом случае
i/j(t) = е ^ ф.

118
Глава 2
Доказательство.
Из равенства U(t)P^ = P^U(t) следует, что φ — общий собственный
вектор унитарных операторов U(t) для всех t, и(Ь)ф = с(Ь)ф9 \c(t)\ = 1.
Поскольку U(t) — сильно непрерывная однопараметрическая группа уни-
тарных операторов, непрерывная функция c(t) = (и({)ф,ф) удовлетворяет
уравнению c(t\ + £2) = c(ti)c(t2) для всех t\,t2 £ Μ, так что c(t) = e h
для какого-то λ G I. Таким образом, по теореме Стоуна φ Ε D(H)
и Нф = Хф.
В физической терминологии собственные векторы Гамильтона Η на-
зываются связанными состояниями. Соответствующие собственные значе-
ния называются уровнями энергии и обычно обозначаются как Е. Уравне-
ние на собственные значения Нф = Еф называется стационарным уравне-
нием Шрёдингера.
ЗАДАЧА 1.5. Покажите, что если наблюдаемая А такова, что для лю-
бого состояния Μ математическое ожидание (A\M(t)) не зависит от t, то
А — квантовый интеграл движения. (Это определение интегралов движения
в представлении Шрёдингера.)
Задача 1.6. Покажите, что решение задачи Коши для зависящего от
времени уравнения Шрёдингера (1.12) дается формулой
оо
т = J e-itxdP(\)rP,
— ОО
где Ρ (λ) — разложение единицы для гамильтониана Н.
Задача 1.7. Пусть D — линейное подпространство в Ж, состоящие
из векторов Гардинга
оо
Ь = f f{s)U(a)i>ds, /€^{Щ,феЖ,
— оо
где «У(М) — пространство Шварца быстро убывающих функций на R. До-
кажите, что D плотно в Ж и инвариантно относительно U(t) и Гамильто-
на Н. (Указание: покажите, что и(Ь)ф/ = ф/ь Ε D, где ft(s) = f(s — t),
и выведите Нф$ — Ц-ф/'.)

2.2. Квантование
119
2.2. Квантование
Для изучения квантовой системы необходимо описать ее гильбертово
пространство состояний Ж и гамильтониан Η — самосопряженный опера-
тор в Ж, определяющий эволюцию системы. Когда у квантовой системы
есть классический аналог, процедура построения соответствующего гиль-
бертова пространства Ж и гамильтониана Η называется квантованием.
Определение. Квантование классической системы ((./#, { , }),НС)
с функцией Гамильтона16 Нс— это однозначное отображение QniA-*^
из множества классических наблюдаемых Л = С°°(^) в множество srf
квантовых наблюдаемых — множество самосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве Ж. Отображение Q^ зависит от парамет-
ра Ti>0, и его ограничение на подпространство ограниченных классических
наблюдаемых До — линейное отображение в подпространство j#o ограни-
ченных наблюдаемых, удовлетворяющее свойствам
\imjQbl(Qn(fi)Qn(f2) + Qn(/2)Q*(/i)) = /1/2
И
lim Q^1({Qn(fi),Qn{f2)}n) = {/ь/2} для любых Д,/2 е Аь
Последнее свойство — знаменитый принцип соответствия Нильса Бо-
ра. В частности, Нс ь-► Qn(Hc) = Η — оператор Гамильтона квантовой
системы.
Замечание. В физической литературе принцип соответствия часто
формулируется в виде
[, ] ~ |{ , } при П - 0.
Квантовая механика отличается от классической, так что соответ-
ствие / ь-► Qn(f) Η^ может быть изоморфизмом алгебр Ли ограничен-
ных классических и квантовых наблюдаемых с соответственно классиче-
ской и квантовой скобками. Оно становится изоморфизмом только в пре-
деле Ь —► 0, когда, согласно принципу соответствия, квантовая механика
превращается в классическую. Поскольку квантовая механика представля-
ет более аккуратное и подробное описание, чем классическая, квантование
классической системы может быть не единственно.
16Обозначение Нс используется для различения функции Гамильтона в классической меха-
ники и оператора Гамильтона Η в квантовой.

120
Глава 2
Определение. Два квантования Q^' и Q^' данной классической
системы ((*/#, { , }),#с) называются эквивалентными, если существу-
ет линейное отображение % : Л —► Л, такое, что Q^ = Q^ о %
и lim ^ = id.
Для многих квантовых систем из «реального мира» — систем, описы-
вающих имеющие место физические явления, — соответствующий гамиль-
тониан Η не зависит от выбора эквивалентного квантования и однозначно
определяется классической функцией Гамильтона Нс.
2.2.1. Коммутационные соотношения Гейзенберга
Простейшая классическая система с одной степенью свободы опи-
сывается фазовым пространством R2 с координатами p,q и скобкой
Пуассона { , }, ассоциированной с канонической симплектической фор-
мой ω = dp Adq. В частности, скобка Пуассона классических наблюдае-
мых pnq — импульса и координаты частицы — имеет следующую простую
форму:
{*>,<?} = !· (2.1)
Другой постулат квантовой механики заключается в том, что при кванто-
вании классические наблюдаемые ρ и q соответствуют квантовым наблю-
даемым Ρ и Q — самосопряженным операторам в гильбертовом простран-
стве Жу удовлетворяющим следующим свойствам.
CR1. Существует плотное линейное подмножество D С Ж\ такое,
что Р: D -> D и Q : D -+ D.
CR2. Для всех ψ е D
(PQ - С}Р)ф = ~гПф.
CR3. Любой ограниченный оператор в Jif, коммутирующий с Ρ и Q, кра-
тен единичному оператору /.
Свойство CR2 называется коммутационным соотношением Гейзен-
берга для одной степени свободы. В терминах квантовой скобки (1.6) оно
принимает вид
{P,Q}n = I, (2.2)
такой же как скобка Пуассона (2.1). Свойство CR3 — квантовый аналог
классического свойства, что пуассоново многообразие (R2, { , }) невырож-
дено: любая функция, коммутирующая в смысле скобки Пуассона с ρ и q9
является константой (см. последнее замечание в разделе 1.2.7 главы 1).

2.2. Квантование
121
Операторы Ρ nQ называются соответственно оператором импульса и
оператором координаты. Соответствие ρ \-> Р9 q \-^ Q с Ρ и Q, удовле-
творяющими CR1 - CR3, — основа для квантования классических систем.
Истинность (2.2), как и квантовой механики в целом, подтверждается со-
ответствием теории с многочисленными экспериментами.
Замечание. Кажется заманчивым продолжить соответствие р\-> Р,
q ь-► Q на все наблюдаемые, определив отображение f(p,q) ·—► f(P,Q).
Однако такой подход к квантованию довольно наивен: операторы Ρ и Q
удовлетворяют (2.2) и не коммутируют, поэтому приходится разбираться,
как же на самом деле определена «функция некоммутирующих перемен-
ных» /(Р, Q). Мы обратимся к этой задаче упорядочивания некоммутиру-
ющих операторов Ρ и Q в разделе 2.3.3.
Из соотношений неопределенности Гейзенберга (см. предложение 1.4)
следует, что для любого чистого состояния Μ = Ρψ с ψ Ε D
vm(P)°m(Q) > \
Это — фундаментальный результат, который говорит о том, что невозмож-
но одновременно измерить координату и импульс квантовой частицы: чем
точнее измеряется одна величина, тем приблизительней значение второй.
Часто говорят, что у квантовой частицы нет наблюдаемого пути, так что
«квантовое движение» разительно отличается от движения в классической
механике.
Теперь не составляет труда рассмотреть классическую систему с η сте-
пенями свободы, описываемую фазовым пространством R2n с координата-
ми ρ — (pi, ... ,рп) и q = (q1, ..., qn), и скобкой Пуассона { , }, ассоци-
ированной с канонической симплектической формой ω = dp Λ dq. Скобки
Пуассона классических наблюдаемых ρ и q — импульсов и координат ча-
стицы — имеют следующий вид:
{р*,М = 0, {q\ql} = 0, {pk,ql} = Slk, Μ = 1,...,η. (2.3)
Соответствующие операторы импульсов и координат Ρ — (Pi, . ..,Pn)
и Q = (Q1, ..., Qn) — самосопряженные операторы, имеющие общее ин-
вариантное плотное линейное подмножество D С Ж и удовлетворяющие
на D следующим коммутационным соотношениям:
{Pk,Pi}h = 0, {Q\Ql}n = V,
{Pk,Ql}n = SlkI, fe,Z = l, ...,n.
Эти соотношения называются коммутационными соотношениями Гейзен-
берга для η степеней свободы. Аналогом CR3 является свойство, что любой
ограниченный оператор в Ж, коммутирующий со всеми операторами Ρ
и Q, кратен единичному оператору /.

122
Глава 2
Фундаментальная алгебраическая структура, связанная с коммутаци-
онными соотношениями Гейзенберга, это так называемая алгебра Гейзен-
берга.
Определение. Алгебра Гейзенберга \)п с η степенями свободы — это
алгебра Ли с образующими е1, ..., en, /i, ..., /п, с и соотношениями
[ек,с}=0, [Д,с] = 0, [е*,/,] = #с, fc,/ = l,...,i
(2.5)
Инвариантное определение таково. Пусть (У, о;) — 2п-мерное симплек-
тическое векторное пространство, рассматриваемое как абелева алгебра Ли,
и д — одномерное центральное расширение V с помощью 2-коцикла на ал-
гебре Ли, заданного билинейной формой ω. Это значит, что имеется точная
последовательность векторных пространств
О
д - V - О,
и скобка Ли на д определяется формулой
[х,у] =ш(х,у)с,
(2-6)
(2.7)
где х,у — образы в V элементов х,у Ε g, ас- образ 1 при вложении
R <—► д, называемый центральным элементом д. Выбором симплектиче-
ского базиса е1, ..., еп, Д, ..., fn в У (см. раздел 1.2.6 главы 1) устанав-
ливается изоморфизм д ~ f)n, и соотношения (2.5) получаются из скоб-
ки Ли (2.7).
По теореме Адо алгебра Гейзенберга \)п изоморфна подалгебре Ли мат-
ричной алгебры над R. Явным образом она реализуется как нильпотентная
подалгебра алгебры Ли gln+2 матриц размерности (га + 2) х (га + 2) с эле-
ментами
Y^(uk fk + vkek) + ас ■■
fc=l
f°
0
0
0
V>
и1
0
0
0
0
и2 .
0 ··
0 ··
0 ··
0 ··
. un
• 0
• 0
• 0
• 0
α\
V\
V2
Vn
o/
(2.8)

2.2. Квантование
123
Замечание. Точное представление f)n —> g[n+2, данное формулой
(2.8), очевидно, приводимо: подпространство V = {х = (х\, ... ,жп+2) £
G Еп+2 : жп+2 = 0} инвариантно относительно ()п, причем центральный
элемент с действует на нем как ноль. Однако, это представление не разло-
жимо: векторное пространство Rn+2 нельзя записать в виде прямой сум-
мы V и одномерного инвариантного относительно f)n подпространства.
Этим объясняется, почему центральный элемент с представлен не диаго-
нальной матрицей с первыми η + 1 нулями, а имеет особый вид, даваемый
формулой (2.8).
Аналитически, коммутационные соотношения Гейзенберга (2.5) соот-
ветствуют неприводимому унитарному представлению алгебры Ли Гейзен-
берга f)n. Напомним, что унитарное представление ρ алгебры f)n в гиль-
бертовом пространстве Ж — это линейное отображение ρ : f)n —> isrf —
пространство косоэрмитовых операторов в Ж> такое, что все самосопря-
женные операторы гр(х), х Ε f)n, имеют общее инвариантное плотное ли-
нейное подмножество D С Ж и удовлетворяют условию
р([х,у])<р = (р(х)р(у) - р(у)р(х))<р, х,уеК, φ£ D.
Формально применяя лемму Шура, скажем, что представление ρ непри-
водимо, если любой ограниченный оператор, коммутирующий со всеми
операторами гр(х) кратен единичному оператору /. Тогда коммутационные
соотношения Гейзенберга (2.5) определяют неприводимое унитарное пред-
ставление ρ алгебры Ли Гейзенберга f)n в гильбертовом пространстве Ж
по формуле
p(fk) = -iPk, р(ек) = -iQ\ к = 1, ..., η, р(с) = -гЫ. (2.9)
Поскольку операторы Рк и Qk с необходимостью неограничены (см. зада-
чу 2.1), условие
Ρ^ΡΙψ = ΡΛψ для любого ipeD
не обязательно означает (см. задачу 2.2), что самосопряженные операто-
ры Ρ^ и Pi коммутируют в смысле определения в разделе 2.1.1. Чтобы
избежать таких «патологических» представлений, будем полагать, что ρ —
интегрируемое представление, т. е. его можно проинтегрировать (в точном
смысле, определенном ниже) до неприводимого унитарного представле-
ния группы Гейзенберга Нп — связной и одно связной группы Ли с алгеб-
рой Ли f)n.

124
Глава 2
Конкретно, группа Гейзенберга — это унипотентная подгруппа груп-
пы Ли SL(n + 2, R) с элементами
/1
0
0
0
\°
и1
1
0
0
0
и2 ■
0 ·■
1 ··
0 ·
0 ··
• ип
■ 0
• 0
• 1
• 0
а\
V\
V2
Vn
ч
Экспоненциальное отображение ехр : f)n —> Нп сюръективно, и группа
Гейзенберга Нп порождается двумя η-параметрическими абелевыми под-
группами
/ η \ / η \
ехриХ = ехр I У_\ukfk I ? ехрυΥ = ехр I У_\
Vke
и, υ G
ъп
\к=1 / \к=1 /
и однопараметрическим центром ехр ас, удовлетворяющим соотношениям
η
ехр мХ ехр vF = exp(—uvcjexpvY expuX, uv = \^икУк. (2.10)
к=0
Действительно, из (2.5) следует, что [иХ, vY] = —uvc — центральный
элемент, так что, используя формулу Бейкера-Кэмпбела-Хаусдорфа, по-
лучаем
ехриХ expvY = exp(—\uvc) ехр(иХ + vY),
ехр vY ехр иХ = exp(^uvc) ехр(иХ + vY).
В матричной реализации экспоненциальное отображение дается матричной
экспонентой, и мы получаем еиХ = I + иХ, evY = I + vY и еас = I + ас,
где / — единичная матрица (п + 2) х (п + 2).
Пусть R — неприводимое унитарное представление группы Гейзенбер-
га Нп в гильбертовом пространстве Ж — сильно непрерывный гомомор-
физм групп R : Нп —> $/{Ж), где $/{Ж) — группа унитарных операторов
в Ж. По лемме Шура R(eac) = е~гХа1, λ Ε R. Допустим теперь, что Х = Ъ,
и определим две сильно непрерывные η-параметрические абелевы группы
унитарных операторов
U(и) = R(expuX), V(v) = R(expvY), u,veRn.
Тогда из (2.10) следует, что унитарные операторы U(u) и V(v) удовлетво-
ряют коммутационным соотношениям
U(u)V(v) = eihuvV(v)U(u)y ' (2.11)

2.2. Квантование
125
называемым соотношениями Вейля. Пусть Ρ = (Pi, ...,Pn) и Q =
= (Q1, ... , Qn) — соответственно инфинитезимальные образующие под-
групп U(и) и V(v), даваемые теоремой Стоуна,
P„ = idU^
дик
Q* = idV{v)
dvk
и=0
, к = 1, ... ,п.
v=0
Взяв вторые частные производные соотношений Вейля (2.11) в начале ко-
ординат и — υ = 0 и используя решение задачи 1.7 в предыдущем разделе,
легко получить следующий результат.
Лемма 2.1. Пусть R : Нп —> %{Ж) — неприводимое унитарное
представление группы Гейзенберга Нп в Ж, такое, что Щеас) = е~гПа1,
и пусть Ρ = (Pi, ..., Pn) uQ = (Q1, ..., Qn) — соответственно инфини-
тезимальные образующие сильно непрерывных η-параметрических абеле-
вых подгрупп U(u) и V(v). Тогда формулы (2.9) определяют неприводимое
унитарное представление ρ алгебры Гейзенберга f)n на Jif.
Представление ρ в лемме 2.1 называется дифференциалом представле-
ния R и обозначается dR. Неприводимое унитарное представление ρ алгеб-
ры f)n называется интегрируемым, если ρ = dR для какого-то неприводи-
мого представления R группы Нп.
Замечание. Неприводимые унитарные представления алгебры Гей-
зенберга интегрируемы, так что соотношения Вейля нельзя получить из
коммутационных соотношений Гейзенберга. Однако, следующее эвристи-
ческое рассуждение (не учитывающее тонкостей обращения с неограни-
ченными операторами) повсеместно используется в физических учебниках.
Рассмотрим случай одной степени свободы и начнем с соотношения
{P,Qh = i.
Поскольку квантовая скобка удовлетворяет правилу Лейбница, для «подхо-
дящей» функции / имеем
{f(P),Qh = f{P).
В частности, выбирая /(Р) = е~гиР = U(u), получаем
U(u)Q - QU(u) = buU{u) или U^QUiu)'1 = Q + hul.
Для «подходящей» функции g из этого следует
U(u)g(Q)=g(Q + huI)U(u),
и, положив g(Q) = е~гу® = V(v)9 получаем соотношение Вейля.

126
Глава 2
В разделе 2.3.1 мы докажем, что все интегрируемые неприводимые
унитарные представления алгебры Гейзенберга f)n с одним и тем же дей-
ствием центрального элемента с унитарно эквивалентны. Это оправдыва-
ет следующую математическую формулировку коммутационных соотноше-
ний Гейзенберга для η степеней свободы.
А9 (Коммутационные соотношения Гейзенберга). Операторы им-
пульсов и координат Ρ = (Рь ..., Рп) и Q = (Q1, ..., Qn) для квантовой
частицы с η степенями свободы определяются формулами (2.9), где ρ — ин-
тегрируемое неприводимое унитарное представление алгебры Гейзенберга
f)n со свойством ρ (с) = — гЫ.
Задача 2.1. Докажите, что не существует ограниченных опера-
торов в гильбертовом пространстве Ж\ удовлетворяющих соотноше-
нию [А, В]=1.
Задача 2.2. Приведите пример самосопряженных операторов А
и В, имеющих общее инвариантное плотное линейное подпростран-
ство D С Ж, такое, что ΑΒφ = Β Αφ для любого φ G D, но егЛ и егВ
не коммутируют.
Задача 2.3. Докажите лемму 2.1. (Указание: как в задаче 1.7, пусть
D — линейное множество векторов Гардинга
ψ; = f f(u,v)U{u)V{v)<il>dnudnv, f G У(Ш2п), феЖ,
где ^(R2n) — пространство Шварца быстро убывающих функций на R2n.)
2.2.2. Координатное и импульсное представления
Начнем со случая одной степени свободы и рассмотрим две естествен-
ных реализации коммутационных соотношений Гейзенберга. Они опреде-
ляются свойством, что один из самосопряженных операторов Ρ и Q «диа-
гоналей» (т. е. является оператором умножения на функцию в соответству-
ющем гильбертовом пространстве).
В координатном представлении J4?=L2(R, dq) — это L2-пространство
на конфигурационном пространстве R с координатой q, являющемся
лагранжевым подпространством пространства R2, определяемым уравне-

2.2. Квантование
127
нием ρ = 0. Положим
D(Q)=heJT: jq*\<p(q)\2dq <oo\
и для φ G D(Q) определим оператор Q как «оператор умножения на q»:
(Яч>Ш = чч>{ч), Qем,
оправдывая название «координатное представление». Оператор координа-
ты Q очевидно самосопряжен, и его проекторная мера задается формулой
(Р(ВД(д) = Хе(яМя), (2-12)
где %я — характеристическая функция борелевского подмножества Ε С Ж.
Поэтому supp Ρ = R и a(Q) = R.
Напомним, что спектр самосопряженного оператора А абсолютно
непрерывен, если для любого ф G Я?9 \\ψ\\ = 1, вероятностная мера νψ,
щ(Е) = (ΡΑ(Ε)ψ,<ψ), ЕеЩШ),
абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на R.
Лемма 2.2. Оператор координаты Q имеет абсолютно непрерывный
спектр R, и любой ограниченный оператор В, коммутирующий с Q, явля-
ется функцией от Q, В = f(Q) с f £ L°°(R).
Доказательство.
Из (2.12) следует, что νψ{Ε) = f\if;(q)\2dq9 и это доказывает первое
Ε
утверждение. Дальше, ограниченный оператор В в Ж коммутирует с Q, ес-
ли и только если ВР{Е) = Р{Е)В для всех Ε G «^(R), и, используя (2.12),
мы получаем
Β{ΧΕψ)=ΧΕΒ{ψ). (2.13)
Выбирая в (2.13) Ε = Е\ и φ = хе29 где Е\ и Е2 имеют конечную меру
Лебега, получаем
В(Хе1 · Хе2) = В(хе1пе2) = ХЕгВ(хЕ2) = Xe2B(xEi),
так что, обозначая /е = В(хе), мы получаем supp /Ε Q Ε и
jEi\E1nE2 = JE2\EinE2

128
Глава 2
для любых Ei,E2 G 3&(β) с конечной мерой Лебега. Таким образом, су-
ществует измеримая функция / на R, такая, что f\E = Je\e для любо-
го Ε G 3S{R) с конечной мерой Лебега. Линейное подпространство, натя-
нутое на все хе £ L2(R), плотно в L2(R), а оператор В непрерывен, так
что получаем
(B(p)(q) = f{q)(p{q) для любого φ G L2(R).
Поскольку В — ограниченный оператор, / е L°°(R) и \\В\\ = ||/||оо·
Замечание. По теореме Шварца о ядре оператор В можно пред-
ставить в виде интегрального оператора с обобщенным функциональным
ядром K(q,q'). Тогда из коммутативности BQ = QB следует, что в смысле
обобщенных функций
(q-q')K(q,q') = 0,
так что К «пропорционально» дельта-функции Дирака, т. е.
K(q,q') = f(q)6(q-q'),
для некоторого / Ε L°°(R). Это рассуждение обычно приводят в учебниках
физики.
Замечание. У оператора Q нет собственных векторов — уравнение
на собственные значения
Qp = Χφ
не имеет решений в L2(R). Однако в смысле обобщенных функций это
уравнение имеет для каждого λ е R единственное (с точностью до посто-
янного множителя) решение <^\(q) = S(q—λ), и эти «обобщенные собствен-
ные функции», называемые также собственными функциями непрерывного
спектра, порождают ядро Шварца единичного оператора I в L2(R). Это
отражает тот факт, что оператор Q диагоналей в координатном представле-
нии.
Замечание. Нормировку собственных функций непрерывного спек-
тра ip\(q) можно также определить условием, что для любого Λ е R функ-
ция λ
Ыя) = j%φμ{4)αμ, $ag£2(r),
λο
удовлетворяет условию
Шп^||Фл+д-Фа||2 = 1. (2.14)
Здесь λο G R фиксировано и не входит в (2.14). Действительно, в нашем
случае Фд = Χ(λ0,λ) — характеристическая функция интервала (λο,λ), так
что ||Φλ+Δ -Φλ||2 = Δ.

2.2. Квантование
129
Для чистого состояния Μ — Ρψ,
ностная мера μς> на R дается формулой
1 соответствующая вероят-
μΩ{Ε) = νψ(Ε) = J mq)\2dq, Ε е ЩШ).
ρ — LLJL
Физически это интерпретируется так, что в состоянии Ρψ с «волновой
функцией» ip(q) вероятность нахождения квантовой частицы между q
и g + dq равна \^{q)\2dq. Другими словами, квадрат модуля волновой функ-
ции — это распределение вероятности координаты квантовой частицы.
Соответствующий оператор импульса Ρ дается дифференциальным
оператором
bd_
dq
с D(P) = W1,2(M) — пространством Соболева абсолютно непрерывных
функций / на R, таких, что / и ее производная /' (определенная п. в.)
принадлежат L2(R). Оператор Ρ самосопряжен, и не составляет труда про-
верить, что на D — C£°(R), пространстве гладких функций на R с компакт-
ным носителем,
QP-PQ = гЫ.
Замечание. У оператора Ρ в Ж нет собственных векторов, уравне-
ние на собственные значения
Ρφ = ρφ, ρ £ R,
имеет решение
;pq
(p(q) = const x eh
не принадлежащее L2(R). Мы увидим впоследствии, что семейство норми-
рованных собственных функций непрерывного спектра
порождает ядро Шварца обратного к зависящему от Ь преобразованию Фу-
рье оператора, диагонализующего оператор импульса Р. В смысле обоб-
щенных функций
/
Vp(q)<PP'(q)dq = δ(ρ - р').

130
Глава 2
Замечание. Как и в случае оператора координаты, нормировку соб-
ственных функций непрерывного спектра φρ (q) оператора импульса можно
определить условием (2.14). Действительно,
ρ . / \
Фр(д)=[се>ак=^<~*Р<1 ~*Poq\
Щ
Ро
так что
ФР+д(д) - ФР((?) = -q-e* 2 sin—.
Используя элементарное интегрирование, получаем
. ±\\Фр+А(д)-Фр(Я)\\2 = 2сЧ J ^dq = 2псЧ,
так что с
/2тгП
Предложение 2.1. Координатное представление определяет неприво-
димое, унитарное, интегрируемое представление алгебры Гейзенберга.
Доказательство.
Чтобы показать, что координатное представление интегрируемо, по-
ложим U(u) = е~гиР, и пусть V(v) = е~гу® — соответствующая одно-
параметрическая группа унитарных операторов. Ясно, что (ν(ν)φ)ψ(ς) =
= e~lvq(p(q), и из теоремы Стоуна (или из определения производной) лег-
ко выводится, что (U(u)ip)(q) = φ(ς — Ьи), так что унитарные операторы
U(и) и V(v) удовлетворяют соотношению Вейля (2.11). Такая реализация
соотношения Вейля называется представлением Шрёдингера.
Для доказательства неприводимости координатного представления вы-
берем ограниченный оператор Т, коммутирующий с Ρ и Q. По лем-
ме 2.2 Τ = f(Q) для какого-то / Ε L°°(R). Дальше, из коммутативности Τ
и Ρ следует, что
TU(u) = U(u)T для любого ueR,
а это эквивалентно тому, что f(q — Ьи) = f(q) для любых g,wGM, так что
/ = const п. в. на R.
В итоге координатное представление характеризуется свойством, что
оператор координаты Q — это умножение на q, а оператор импульса Ρ —
это дифференцирование:
Q = q и P=hj-.
г dq

2.2. Квантование
131
Аналогично, импульсное представление определяется свойством, что
оператор импульса Ρ — это умножение на р. А именно: пусть Ж =
= L2(R, dp) — гильбертово £2-пространство на «пространстве импуль-
сов» R с координатой р, являющемся лагранжевым подпространством в R2,
определенным уравнением q = 0. Операторы координаты и импульса дают-
ся формулами
Q = i%A и р = р
ар
и удовлетворяют коммутационному соотношению Гейзенберга. Как и коор-
динатное представление, импульсное представление — неприводимое, уни-
тарное, интегрируемое представление алгебры Гейзенберга. В импульсном
представлении квадрат модуля волновой функции ψ(ρ) чистого состоя-
ния Μ = Ρφ, \\ψ\\ = 1, есть распределение вероятности импульса кван-
товой частицы, т. е. вероятность, что квантовая частица имеет импульс, за-
ключенный между ρ и ρ + dp, равна \ψ(ρ)\2αρ.
Пусть β~η : L2(R) —> L2(R) — оператор зависящего от Ь преобразова-
ния Фурье, определенный формулой
оо
ф(р) = &η{φ){ρ) = -т= [ e~bPqip(q)dq.
ν2πη J
/2n?i
— оо
Здесь интеграл понимается как предел φ = lim фп в сильной тополо-
п—юо
гии L2(R), где
1 / --
фп(р) = —== / е hPQ(p(q)dq.
у/2тгП J
-η
По теореме Планшереля &% — унитарный оператор в L2(R),
&пП = П&п = /,
так что координатное и импульсное представления унитарно эквивалентны.
В частности, поскольку оператор Ρ очевидно самосопряжен, это мгновенно
показывает, что и оператор Ρ самосопряжен.
Для η степеней свободы координатное представление определяется за-
данием Ж = L2(Rn, dnq), где dnq = dq1 · · · dqn - мера Лебега на Rn, и

132
Глава 2
Здесь Rn — конфигурационное пространство с координатами q — лагран-
жево подпространство М2п, определяемое уравнениями ρ = 0. Операторы
координат и импульсов самосопряжены и удовлетворяют коммутационным
соотношениям Гейзенберга. Проекторные меры операторов Qk даются фор-
мулами
(Рк(Е)<р)(д) = хХ1;цЕ)(д)<р(д),
где Ε G Зё(Ж)> а λ^ : W1 —> R — каноническая проекция на fc-ю компоненту,
fc = 1, ..., га. Соответственно, проекторная мера Ρ коммутативного семей-
ства Q = (Q1, ..., Qn) (см. предложение 1.3) определяется на борелевских
подмножествах Ε CW1 формулой
(P(E)tp)(q) = XE(qMq).
Семейство Q имеет абсолютно непрерывный совместный спектр Мп.
Координатные операторы Q1, ..., Qn образуют полную систему ком-
мутирующих наблюдаемых. Это по определению означает, что ни один из
этих операторов не является функцией оставшихся, и что любой ограни-
ченный оператор, коммутирующий с Q1, ..., Qn, — функция Q1, ..., Qn,
т.е. оператор умножения на f(q) для какого-то / £ L°°(Mn). Доказатель-
ство дословно повторяет доказательство леммы 2.2. Для чистого состоя-
ния Μ = Ρψ, \\ψ\\ = 1, квадрат модуля |^(g)|2 волновой функции — это
плотность совместной функции распределения μQ коммутативного семей-
ства Q, т. е. вероятность нахождения квантовой частицы в борелевском под-
множестве Ε СМ71 дается формулой
Мд(Я) = У*КИд)|2<Г9.
Ε
Координатное представление определяет неприводимое, унитарное,
интегрируемое представление алгебры Гейзенберга f)n. Действительно, га-
параметрические группы унитарных операторов U(u) = е~гиР и V(v) =
= e~lv® описываются формулами
{υ{η)φ){4) = φ(4-ηη), (ν(ν)φ)(ς) = е~™Мя)
и удовлетворяют соотношениям Вейля (2.11). То же рассуждение, что
и в доказательстве предложения 2.1 показывает, что это представление
группы Гейзенберга Нп, называемое представлением Шрёдингера для га
степеней свободы, неприводимо.

2.2. Квантование
133
В импульсном представлении Ж=Ь2(М.п, dnp), где dnp=dpi- · -dpn —
мера Лебега на Мп, и
<2 = ifti=(^>···'^)' Р = Р=(Р1,...,Рп).
Здесь W1 — это пространство импульсов с координатами ρ — лагранжево
подпространство М2п, определенное уравнениями q = 0.
Координатное и импульсное представления унитарно эквивалентны
через преобразование Фурье. Как и в случае η = 1, преобразование Фу-
рье β~η : L2(Rn) —► L2(Rn) — это унитарный оператор, определенный
формулой
ψ(ρ) = &η(φ)(ρ) =(2тгЬ)-"/2 j e'iP\(q)dnq =
= lim (2жП)-^2 [ e~bP4(p(q)dnq,
N—►00 J
где предел понимается в сильной топологии на L2(Rn). Как в случае η — 1,
имеем
Qk = PnQk&n1* Ρ* = РпРк&п1* * = 1, · · · ,n.
В частности, поскольку операторы Д, ... ,РП, очевидно, самосопряжены,
это мгновенно показывает, что Р\, ..., Рп тоже самосопряжены.
Замечание. Следуя Дираку, физики обозначают вектор ψ Ε Ж кет-
вектором \ψ)9 вектор φ Ε Ж* в двойственном к Ж пространстве {Ж* ~
Ж — комплексный антилинейный изоморфизм) — бра-вектором (φ\, а их
скалярное произведение — выражением (φ\ψ). В стандартных математиче-
ских обозначениях
(ψ, φ) = (φ\ψ) и (Αψ, φ) = (φ\Α\φ),
где А — линейный оператор. С физической точки зрения дираковские обо-
значения соответствуют интуиции и удобны для работы с координатным
и импульсным представлениями. Обозначив как \q) = S(q — q1) и \р) =
= (2пТь)~п/2еп множества общих обобщенных собственных функций
операторов Q и Ρ соответственно; мы формально получаем
Q\q) = q\q), P\p)=p\p),

134
Глава 2
где операторы Q действуют на q', и
<ρ\ψ) = (21гПГ^2 J е~^РЧф(д)апд = ф{р),
Rn
так же как (q\qf) = S(q — q')9 (p\pf) = δ (ρ — ρ'). Хотя в нашем изложении
мы не используем дираковские обозначения, эти формулы могут помочь
заинтересованному читателю «переводить» обозначения из учебников фи-
зики на стандартный математический язык.
Замечание. Мы покажем в разделе 2.3.2, что любое лагранже-
во подпространство симплектического векторного пространства R2n с ка-
нонической симплектической формой ω = dp Λ dq порождает инте-
грируемое, унитарное, неприводимое представление алгебры Гейзенбер-
га f)n. Это простейший пример действительной поляризации, определяе-
мой для заданного симплектического многообразия {*М,ω) как интегри-
руемое распределение {Л?х}хе^ лагранжевых подпространств ££х каса-
тельных пространств ТХЛ. Понятие поляризации играет фундаменталь-
ную роль в геометрическом квантовании', оно позволяет построить (при
определенных условиях) гильбертово пространство состояний Ж> ассоци-
ированное с классическим фазовым пространством (Μ, ω). В линейном
случае Ж — R2n, любое лагранжево подпространство «if в R2n порождает
действительную поляризацию через идентификацию TxR2n ~ R2n. В част-
ности, для координатного представления «if дается уравнением q = 0, а для
импульсного — уравнением ρ = 0. Соответствующее гильбертово простран-
ство Ж состоит из функций на R2n, постоянных на слоях поляризации.
Задача 2.4. Приведите пример неинтегрируемого представления ал-
гебры Гейзенберга.
Задача 2.5. Докажите, что существует φ е Ж = L2(R,dq), такое,
что векторы Ρ(Ε)φ, Ε Ε <^(R), где Ρ — проекторная мера оператора коор-
динаты Q, плотны в Ж.
Задача 2.6. Найдите порождающий оператор для коммутативного се-
мейства Q = (Q1, ..., Qn). Есть ли у него физическая интерпретация?
Задача 2.7. Найдите проекторную меру коммутативного семей-
ства Ρ = (Pi, ..., Рп) в координатном представлении.

2.2. Квантование
135
2.2.3. Свободная квантовая частица
Свободная классическая частица описывается фазовым простран-
ством R2 с координатами р, q и скобкой Пуассона (2.1) и функцией Га-
мильтона
Hc{p'q)=L· (2л5)
Оператор Гамильтона свободной квантовой частицы с одной степенью сво-
боды — это
и - р2
в координатном представлении он задается формулой
Это самосопряженный оператор в Ж = L2(R,dq) с D(H0) = W2,2(M) —
Соболевским пространством функций в L2(R), у которых обобщенные пер-
вые и вторые производные принадлежат L2(R).
Оператор Но — положительный, с абсолютно непрерывным спек-
тром [0, сю) кратности два. Действительно, пусть #0 = L2(R>0,C2;da) —
гильбертово пространство С2-значных измеримых функций Φ на полупря-
мой R>o = (0, сю), интегрируемых с квадратом по мере da(X) = λ/^ d\
V ^А
{оо Λ
*W = (Й(А)) : ||ф|'2 = /d^iWI2 + |^(λ)|2)Λτ(λ) < оо
Из унитарности преобразования Фурье следует, что оператор
%:L2(R,dq)-*fi0,
*<*><*>-·<*>-(№>)·
унитарен, ^0*"% = /и "%^Ь* = ^о> где I и 1о — соответственно еди-
ничные операторы в Ж и #о· Оператором % устанавливается изомор-
физм L2(R, dq) ~ #0» и, поскольку в импульсном представлении Щ —
оператор умножения на ^р2, оператор ^о^о^о"1 ~~ это оператор умно-
жения на λ в 5зо-

136
Глава 2
Замечание. Оператор Гамильтона Но не имеет собственных векто-
ров, уравнение на собственные значения
Н0ф = Хф
не имеет решений в L2(R). Однако для любого λ = -^к2 > 0 у этого диф-
ференциального уравнения есть два линейно независимых ограниченных
решения:
/,(±)
ФГ(я) =
1
±Тк*
/2πΤτ
к>0.
В смысле обобщенных функций эти собственные функции непрерывно-
го спектра порождают ядро Шварца унитарного оператора %ь устанав-
ливающего изоморфизм между Ж = L2(R, dq) и гильбертовым простран-
ством йо, на котором Н0 действует как оператор умножения на λ. Нор-
мировка собственных функций непрерывного спектра также определяется
условием (2.14):
lim
1
Δ^οΔ
φ
(±)
fc+Δ
-Ψ
(±)
4^i(C-^C-^) = o,
Задача Коши для уравнения Шрёдингера свободной частицы
г%-
dt
= Η0ψ(^ ψ(0) = ψ,
(2-16)
легко решается с помощью преобразования Фурье.
Действительно, в импульсном представлении оно принимает вид
так что
№,*)
гр
~2mh ψ(ρ).

2.2. Квантование
137
В координатном представлении решение (2.16) дается формулой
со со
rl)(q,t) = -L= [ ebPq$(p,t)dp = —к= [ e^x(P,q,t)t^(p)dp, (2.17)
V2ttU J V2nfi J
-oo
где
Формула (2.17) описывает движение квантовой частицы и допуска-
ет следующую физическую интерпретацию. Пусть начальное условие φ
в (2.16) таково, что его преобразование Фурье φ = Тп{Ф) — гладкая функ-
ция, сконцентрированная в окрестности С/q точки ро G Ж \ {0}, 0 ^ С/q, и
оо
/
[ф(р)\Чр = 1.
Такие состояния называются «волновыми пакетами». Тогда для любого
компактного подмножества Ε сЖ имеем
Jim [[tP(q,t)\2dq = 0. (2.18)
Поскольку
оо
dq = l
для всех t, из (2.18) следует, что частица покидает любое компактное под-
множество Ш при |t| —> оо, и квантовое движение нефинитно. Для дока-
зательства (2.18) заметим, что функция х(р, q,t) — «фаза» в интеграль-
ном представлении (2.17) — обладает свойством, что \-^\ > С > 0 для
всех ρ G C/q, q G Ε и достаточно большого |t|.

138
Глава 2
Интегрируя по частям, получаем
V2n?iJ
Uo
(
= _I /A /A
it V 2π J φ
^(p)
dx(p,g,t)
\ dp J
;x(p,q,t)t
dp,
так что равномерно по £
#?,*) = ОМ"1) при |*|-оо.
Повторным интегрированием по частям получаем, что для любого η Ε Ν
равномерно по Ε
так что ψ(ς, t) = 0(\t\-°°).
Для описания движения свободной квантовой частицы в неограничен-
ных областях мы используем метод стационарной фазы. В своей простей-
шей форме его можно сформулировать следующим образом.
Метод стационарной фазы. Пусть f,g e C°°(R), где / веществен-
нозначна, а д — функция с компактным носителем, и допустим, что / имеет
одну невырожденную критическую точку х0, т. е. f'(xo) = 0 и f"(xo) φ 0.
Тогда
/ eiNfWg(x)dx :
2π
*l/"(*o)|
^/(*o)+f sgnr (,o)fl(a:o) + 0 ^
при TV —> oo.
Применяя метод стационарной фазы к интегральному представлению
(2.17) (и положив N = £)> находим, что критическая точка x(p,q,t) —
эторо
^cX"(p0) = -i^O)H
^(9,*) = ^(!т£)е'5й'"*+0(Г1) =
= il>o{q,i) + 0(£-1) при £ —> oo.

2.2. Квантование
139
Таким образом, при t —> оо волновая функция ip(q,t) концентрируется
в районе ^С/о — области, где асимптотическая вероятность нахождения
частицы отличается от нуля. При больших t точки в этой области движутся
с постоянными скоростями ν = ^, ρ G Uq, В этом смысле классическое
соотношение ρ = mv остается верным и в квантовом описании. Более того,
асимптотическая волновая функция фо удовлетворяет условию
оо оо
J\Mv,t)\2dq=][fJ\rp(^)
2
dq= l,
а следовательно, описывает асимптотическое распределение вероятности.
Аналогично, положив JV = —1£|, можно описать поведение волновой функ-
ции i/>(q,t) при t —> —оо.
Замечание. В слабой топологии Ж имеем lim \j;(t) = 0. Действи-
|t|—юо
тельно, для любого φ Ε ^ получаем из тождества Парсеваля для интегра-
лов Фурье
ОО 2
и интеграл обращается в ноль при |t| —> оо по лемме Римана-Лебега.
Свободная классическая частица с η степенями свободы описывает-
ся фазовым пространством Ш2п с координатами ρ = (pi, ... ,рп) и ςτ =
= (g1, ..., gn), скобкой Пуассона (2.3) и функцией Гамильтона:
Оператор Гамильтона свободной квантовой частицы с η степенями
свободы — это
а в координатном представлении
я°=-£д'

140
Глава 2
где
Δ-(£)'-(£)>+-+(£
— оператор Лапласа17 в декартовых координатах на W1. Гамильтони-
ан Hq является самосопряженным оператором в Ж = L2(Mn,dnq)
с D(H0) = W2,2(Rn) — пространством Соболева на Rn. В импульсном
представлении
— оператор умножения на функцию в пространстве Ж = L2(Mn, dnp).
Оператор Но положителен и имеет абсолютно непрерывный
спектр [0, оо) бесконечной кратности. А именно: пусть 5n_1 =
= {η G Йп: η2 = 1} — (η — 1)-мерная единичная сфера в Мп, пусть dn
— мера на 5П"~1, индуцированная мерой Лебега на М71, и пусть
{, = {/: 5"-1 -> С : Ц/Ц» = J \f(n)\2dn < оо}.
Пусть 9)q = L2(M>o, г);б£ап) — гильбертово пространство измери-
мых г)-значных функций18 Φ на М>о = (0, оо), интегрируемых с квадратом
на М>0 по мере Λτη(λ) = (2τηλ)2 ^,
оо
ОО
Я™ = | Φ : R>o - D, ||Ф||2 = Ι ||Φ.(λ)ΙΙ? Ατη(λ) <
Ι ο
i = 1, Щ = $)ο — соответствующее гильбертово пр<
одной степени свободы. Оператор <% : L2(Rn, dnq) —► щ\
Щф){\) = Φ(λ), Φ(λ)(η) = ^(V^Xn),
является унитарным и устанавливает изоморфизм L2(Rn,dnqr) ~ 9)0пК
В импульсном представлении Щ — это оператор умножения на к—р2, так
что оператор ^оНо^/0~г — оператор умножения на λ в щ .
17Это взятый с обратным знаком оператор Лапласа-Бельтрами стандартной евклидовой
метрики наМп.
18То есть для любого f £ \) функция (/, Ф) измерима на R>o-

2.2. Квантование
141
Замечание. Как в случае η = 1, оператор Гамильтона Щ не имеет
собственных векторов, уравнение на собственные значения
Н0ф = Хф
не имеет решений в L2(Rn). Однако для любого λ > 0 у этого дифферен-
циального уравнения есть бесконечно много линейно независимых ограни-
ченных решений
параметризованных единичной сферой 5η_1. Эти решения не принадле-
жат L2(Rn), но в смысле обобщенных функций они порождают ядро Швар-
ца унитарного оператора %)» которым устанавливается изоморфизм между
Ж = L2(Rn,dnq) и гильбертовым пространством щ\ где Щ действует
как оператор умножения на λ.
Как и в случае η = 1, уравнение Шрёдингера для свободной частицы
гП^-= Н0ф(1), ψ(0)=ψ,
решается с помощью преобразования Фурье:
2
il>(q,t) = (27гй)"п/2 [е^'^фМсГр.
В случае волнового пакета, когда начальное условие φ таково, что его пре-
образование Фурье φ = βΗ(Φ) — гладкая функция, сконцентрированная
в окрестности Uq точки р0 £ Rn \ {0}, такой, что 0 £ С/о и
/
\ф(р)\2сГр = 1,
квантовая частица покидает любое компактное подмножество М71, и движе-
ние нефинитно. Асимптотически, когда |t| —> оо, волновая функция ф^Ь)
отлична от 0 только при q = *^t, p G С/о.
Задача 2.8. Найдите асимптотическую волновую функцию свобод-
ной квантовой частицы с η степенями свободы.

142
Глава 2
2.2.4. Примеры квантовых систем
Теперь мы опишем квантовые системы, соответствующие классиче-
ским лагранжевым системам, вводившимся в разделе 1.1.3 главы 1. В га-
мильтоновой формулировке фазовое пространство этих систем, за исключе-
нием последнего примера, — симплектическое векторное пространство М2п
с каноническими координатами p,q и симплектической формой ω =
= φΛ dq.
Пример 2.1 (Ньютонова частица). Согласно разделу 1.1.7 гла-
вы 1 классическая частица в Rn, движущаяся в потенциальном поле V(q)9
описывается функцией Гамильтона
*c(p,i) = f£ + V(fl).
Пусть оператор Гамильтона квантовой системы дается формулой
Р2
с некоторым оператором V, так что операторы координат и импульсов удо-
влетворяют уравнениям движения Гейзенберга
Р = {Н,Р}п, Q = {H,Q}h. (2.19)
Ρ
Для определения V потребуем, чтобы классическое соотношение q = —
между скоростью и импульсом частицы сохранялось при квантовании, т. е.
чтобы выполнялось
Поскольку {Р2, Q}n = 2Р, из (2.19) следует, что это условие эквивалентно
равенствам
[V,Qfc] = 0, fc = l, ...,n.
Из раздела 2.2.2 следует, что V — функция коммутирующих операто-
ров Qi, ..., Qn, и естественный выбор19 — это V = V(Q). Таким образом,
оператор Гамильтона ньютоновской частицы — это
191Ъ
одтверждаемыи согласием теории с экспериментом.

2.2. Квантование
143
что согласуется с равенством Η = #С(Р, Q)20. В координатном представ-
лении гамильтониан — это оператор Шрёдингера
H = -£iA + V(q) (2.20)
с вещественнозначным потенциалом V(q).
Замечание. Сумма двух неограниченных самосопряженных опера-
торов — необязательно самосопряженный оператор, и приходится описы-
вать допустимые потенциалы V(q), для которых Η — самосопряженный
оператор в L2(Rn,dng). Если потенциал V(q) — вещественнозначная, ло-
кально интегрируемая функция на Rn, то дифференциальный оператор
(2.20) определяет симметрический оператор Я на пространстве С^(Шп)
дважды непрерывно дифференцируемых функций на Rn с компактным но-
сителем. Потенциалы, для которых не существует самосопряженного про-
должения симметрического оператора Н, очевидно, не физичны. Может
также случиться, что у Η несколько самосопряженных продолжений21. Эти
продолжения выделяются с помощью каких-нибудь граничных условий на
бесконечности, и нет каких-то физических принципов, чтобы выбрать од-
но из них. Физическим является один случай, когда симметрический опе-
ратор Η допускает единственное продолжение, то есть когда Η самосо-
пряжен в существенном. В главе 3 будут приведены необходимые усло-
вия самосопряженности в существенном. Сейчас упомянем лишь критерий
фон Неймана, заключающийся в том, что если А — замкнутый оператор
и D(A) = Ж, то Я = А* А — положительный самосопряженный оператор.
Пример 2.2 (Взаимодействующие квантовые частицы). В ла-
гранжевом формализме замкнутая классическая система из N взаимодей-
ствующих частиц в R3 была описана в примере 1.2 в разделе 1.1.3 гла-
вы 1. В гамильтоновом формализме она описывается каноническими коор-
динатами г = (ri, ..., г ν), каноническими импульсами ρ = (pi, ... ,Pn),
ra. Pa G R3 и функцией Гамильтона
N о2
#с(р,г) = ]Г|^ + У(г), (2.21)
α=1
20Β частном случае #с(р, q) = f(p) + g(q) задача упорядочения некоммутирующих опе-
раторов Ρ и Q не возникает.
21 Так обстоит дело, когда индексы дефекта Я равны и отличаются от нуля.

144
Глава 2
где та — масса α-й частицы, а = 1, ... ,Ν (см. раздел 1.1.7 в главе 1).
Соответствующий оператор Гамильтона Η в координатном представлении
имеет вид
Ν 2
Η = -Ε^-αΑ»+ν^· (2·22)
а=1
В частности, когда
V(r)= Σ vir*-n),
l^a<b^N
оператор Шрёдингера (2.22) описывает задачу N тел в квантовой механике.
Фундаментальная квантовая система — сложный атом, образованный ядром
с зарядом Ne и массой Μ и N электронами с зарядом —ей массой га.
Обозначая как R G М3 положение ядра и как ri, ... ,гм — положения
электронов и полагая, что взаимодействие дается кулоновским притяжени-
ем, получаем для функции Гамильтона (2.21)
No N
я«(/-,р,ад = £?+ЕЙ-Еп^г7+ Σ
а=1 а=1 ' "' l^.a<b^.N ' '
где Ρ — канонический импульс ядра. Соответствующий оператор Шрёдин-
гера Η в координатном представлении имеет вид22
9 Ν 9 Ν
В простейшем случае атома водорода, когда N = 1, а ядро состоит из
единственного протона 23, гамильтониан — это
"~ 2М*Р 2шАе |гр-гвГ
где гр — положение протона, а ге — положение электрона. В первом при-
ближении протон можно рассматривать как бесконечно тяжелый, так что
22Пренебрегая тем фактом, что у электрона есть спин, см. главу 4.
23 В случае водорода-1 или протия; оно включает один или более нейтронов в случае дейте-
рия, трития и других изотопов.

2.2. Квантование
145
атом водорода описывается электроном в притягивающем кулоновском по-
ле —е2/]г|, где теперь г = ге — гр. Соответствующий оператор Гамильтона
принимает вид
ь2 о2
#=-77-A-f-. (2.23)
2га \г\
Мы решим уравнение Шрёдингера с этим гамильтонианом Η и определим
его уровни энергии в разделе 3.5.1 главы 3.
Пример 2.3 (Заряженная частица в электромагнитном поле).
Классическая частица с зарядом е и массой га, движущаяся в зависящем от
времени электромагнитном поле со скалярным и векторным потенциала-
ми φ (г) и A(r), r Gl3, описывается функцией Гамильтона
Яс(р'г) = 2к(р_сА) +е^г)
(см. задачу 1.27 в разделе 1.1.7 главы 1). Соответствующий классический
вектор скорости υ = {Нс,г} дается формулой
ν=ρ- §А,
и его компоненты ν = (г>1, г>2, г>з) имеют ненулевые скобки Пуассона:
{vbv2} = V^3, {^2,^3} = %~въ {г>з,гл} = 1~β2,
mzc mzc m'c
где В = {В\,В2, В%) — компоненты магнитного поля В = curl А.
Оператор Гамильтона квантовой частицы — это
я=а(р-И2+е^(г) (2·24)
— оператор Шрёдингера заряженной частицы в электромагнитном поле. Со-
ответствующий квантовый вектор скорости V = {H,Q}n дается той же
формулой, что и в классическом случае:
и его компоненты V = (Vi, V2, V3) имеют ненулевые квантовые скобки:
{VuV2}n = —^-B3, {V2,V3}n = —^-Bu {^3,Vib = —\B2.
гаге vnrc m'c
Таким образом, в присутствии магнитного поля три компоненты квантового
оператора скорости больше не коммутируют, и одновременно измерить их
нельзя.

146
Глава 2
Пример 2.4 (Свободная квантовая частица на римановом
многообразии). Фазовое пространство классической частицы массы
т = 1, движущейся на римановом многообразии (М,д), — это кокасатель-
ное расслоение Т*М, и соответствующая функция Гамильтона дается фор-
мулой
Нс{р,х) = \д^{х)р^у,
где д^{х) — тензор, обратный к метрическому тензору gμl/(x)9 а
(р,ж) = (рь ...,рп,х\ ...,жп)
— стандартные координаты на Т*М (см. раздел 1.1.7 главы 1). Гильбер-
тово пространство квантовой системы — это Ж = Σ,2(Μ,αμ), где αμ =
— y/g(&)dnx, g(x) = det(<7MI/(x)), — мера, ассоциированная с плотностью
римановой метрики (римановой формы объема, если Μ ориентировано).
Когда канонические координаты (р, х) определены на Т*М лишь локально,
построить соответствующие операторы Ρ и Q невозможно. Тем не менее
всегда можно определить оператор Гамильтона по формуле
Я = £д„ где Δ, = --^^(ν^)^) (2.25)
— оператор Лапласа-Бельтрами римановой метрики д на М. Заметим, что
в этом случае имеется нетривиальная задача упорядочивания некоммутиру-
ющих оператор в квантовании Нс(р, ж), возникающая, если в координатной
окрестности на Μ заменить канонические координаты ρ и х оператора-
ми Ρ и Q. Формула
показывает, что локальные выражения
НС(Р, Q) = \(дГ(Я)Р»Р* + iftiT (Q)r^(Q)P„) (2.26)
склеиваются до корректно определенного самосопряженного оператора Η
в Ж, даваемого формулой (2.25). Таким образом, когда Μ = Rn и кано-
нические координаты (р, х) определены глобально на T*Rn, правильная
формула для НС(Р, Q) — та, что продолжается на произвольные римановы
многообразия, — дана в (2.26), где второй член представляет собой «кван-
товую поправку» к наивному выражению gμu{Q)PμPv^

2.2. Квантование
147
2.2.5. Старая квантовая механика
Представленная выше формулировка квантовой механики восходит
к 1925- 1927-м годам и принадлежит Гейзенбергу, Шрёдингеру, Борну, Йор-
дану и Дираку. Она заменила старую квантовую теорию, предложенную
Бором в 1913-м году, базировавшуюся на планетарной модели атома Ре-
зерфорда. В старой теории уровни энергии одномерной квантовой системы
соответствуют замкнутым орбитам ассоциированной классической гамиль-
тоновой системы, удовлетворяющим правилу квантования Бора -Вильсо-
на - Зоммерфельда (правилу БВЗ):
Φ pdq = 2n?i(n+ |),
где η — неотрицательное целое число, и интегрирование ведется по замкну-
той орбите в фазовом пространстве М2. Правила квантования Бора-Виль-
сона-Зоммерфельда применяются и к вполне интегрируемым гамильтоно-
вым системам с несколькими степенями свободы (см. раздел 1.2.6 главы 1).
А именно: пусть Fi = Нс, ..., Fn — N независимых интегралов движения
в инволюции. Правила квантования БВЗ — это
pdq = 2пТг(п7 + j ind7),
где интегрирование ведется по всем 1-циклам 7 в лагранжевом подмного-
образии Λ = {(ρ, q) G R2N : Hc(p, q) = E, F2(p, q) = E2, ..., FN(p, q) =
= En}, ind7 G Ζ — так называемый индекс Маслова цикла 7 в Λ. В одно-
мерном случае замкнутая орбита — топологически круг, и ее индекс Мас-
лова равен 2. В разделе 3.6.3 главы 3 будет показано, что, вообще говоря,
правила квантования Бора-Вильсона-Зоммерфельда дают только асимп-
тотику уровней энергии при Тг —> 0. Однако для интегрируемых систем
с дополнительной симметрией, таких как гармонический осциллятор или
задача Кеплера, правила квантования БВЗ определяют уровни энергии точ-
но. Мы покажем это в следующем разделе для гармонического осциллятора
и в разделе 3.5.1 главы 3 для задачи Кеплера.
2.2.6. Гармонический осциллятор
Простейшая классическая система с одной степенью свободы, за ис-
ключением свободной частицы, — это гармонический осциллятор. Он опи-
сывается фазовым пространством R2 с каноническими координатами р, q
J Λ/

148
Глава 2
и функцией Гамильтона
(см. разделы 1.1.5 и 1.1.7 главы 1). Уравнения Гамильтона
ρ = {НС1р} = -muj2q, q = {Яс, q} = —
с начальными условиями ро> <7о легко решаются:
p(t) = ро cos u;t — mujqo sin u;t, (2.28)
tf (*) = Qo cos ujt + j^jjPo sin art, (2.29)
и описывают гармоническое движение. Как и в разделе 1.2.6 главы 1, удоб-
но ввести комплексные координаты на фазовом пространстве R2 ~ С,
z = —L= (ως + гр), z = —1= (cjg - φ). (2.30)
\/2ω \/2ω
Имеем
{г, z} = Jj, Яс(г, г) = mu;|z|2, (2-31)
так что уравнения Гамильтона разделяются:
i = {Яс, г} = —го;г, I = {Яс, г} = ги;г,
и тривиально решаются:
*(*) = e~iujtz0, z = eiujtz0. (2.32)
Здесь
*о = "т= (ω<7ο + ipo) i *o = -7= (ω<?ο - гро) ·
v2cj V2o;
Для квантовой системы соответствующий оператор Гамильтона — это
р2 ша;2д2
Я=2^ + ~~^~~'

2.2. Квантование
149
и в координатном представлении Ж — L2(R,dq) — это оператор Шрёдин-
гера с квадратичным потенциалом,
ff = Ь2 d2 . ™ш2д2
2т dq2 2 *
Квантовый гармонический осциллятор — простейшая нетривиальная кван-
товая система, за исключением свободной частицы, у которой явно реша-
ется уравнение Шрёдингера. Он появляется во всех задачах, связанных
с квантованными колебаниями, то есть в молекулярных и кристаллических
вибрациях. Точное решение гармонического осциллятора, описываемое ни-
же, обладает замечательными24 алгебраическими и аналитическими свой-
ствами.
На время положим т = 1 и рассмотрим операторы
а = —L= (ujQ + iP), α* = —L= (ljQ - гР), (2.33)
V2uh y2ub
являющиеся квантовыми аналогами комплексных координат (2.30). Опера-
торы α и а* определены на W1'2(R)nH?1'2(R), где И^'2(М) = J^(W1'2(R)),
и легко показать, что а* — сопряженный оператор к α и а** = а, так что а —
замкнутый оператор. Из коммутационных соотношений Гейзенберга (2.2)
мы получаем каноническое коммутационное соотношение
[а,а*}=1 (2.34)
на VF2'2(R) Π W2>2(R). Действительно
* P2+u2Q2 η P2+u2Q2 i
aa = 2^Ь +2^[P'Q]= 2^Ь + 2h
_ P2+u2Q2 _Juj_lpn]_ P2+u;2Q2 _ i
aa~ 2ω% 2ω%1'41~ 2ω% 2Λ
так что (2.34) выполняется на VF2'2(R) Π I?2'2(R), где t?2'2(R) =
= J^(W2'2(R)),h
Η = ω% (α*α + ± J) = а;П (αα* - | J) .
В частности, из критерия фон Неймана следует, что оператор Гамильтона Η
самосопряжен.
24Алгебраическая структура точного решения гармонического осциллятора играет фунда-
ментальную роль в квантовой электродинамике и вообще в квантовой теории поля.

150
Глава 2
Операторы α, α* и Ν = α*α удовлетворяют коммутационным соотно-
шениям
[Ν, а) = -a, [TV, а*] = а*, [а, а*] = /. (2.35)
Эти коммутационные соотношения соответствуют неприводимому унитар-
ному представлению четрырехмерной разрешимой алгебры Ли i), ассоции-
рованной с алгеброй Гейзенберга f) = f)i, введенной в разделе 2.2.1. А имен-
но: \) — алгебра Ли с образующими е, /, ft, и с, где е, /, с удовлетворяют
соотношениям алгебры Гейзенберга {) и
[М = -/, [ft,/]=^2e, [ft,c]=0.
Неприводимое интегрируемое представление ρ алгебры Гейзенберга {) (см.
(2.9) в разделе 2.2.1) продолжается до унитарного представления алгеб-
ры Ли fj, если положить
Замечание. В инвариантных терминах алгебра Ли ^ — одномерное
правое расширение алгебры Гейзенберга {),
0->f>->fj-*R-*0.
Оно определяется 1)-значным 1-коциклом г Ε Zl(\), f)) на алгебре Ли — диф-
ференциальным оператором на {), задаваемым на образующих формулой
r(e)=/, r(/) = -u;2e, r(c) = 0.
Конкретно, если ft Ε f) таково, что ft = 1 Ε R при проекции i) —► R, то,
отождествляя элементы \) с их образами при вложении f) °-> I), имеем
[ж + aft, 2/ + /3ft] = [ж, 2/] - аг(у) + /3r(j/), ж, у Ε f).
Как раз благодаря этой Ли-алгебраической структуре коммутационных
соотношений (2.35), уравнения движения Гейзенберга для гармонического
осциллятора точно решаются. А именно: мы имеем
а = {Н,а}п = —iua, а* = {Н,а*}% — iua*,
так что
a(t) = e-lujta0, a*(t) = elujta*.
Сравнивая с (2.32), видим, что решения классических и квантовых уравне-
ний движения гармонического осциллятора имеют один и тот же вид!

2.2. Квантование
151
Далее, используя коммутационные соотношения (2.35) и положитель-
ность оператора Ν, мы решим задачу на собственные значения гамильто-
ниана Η гармонического осциллятора, в явном виде определив его уровни
энергии и соответствующие собственные вектора. Мы докажем, что соб-
ственные вектора образуют полную систему векторов в Ж, так что спектр
гамильтониана Η является точечным. Это квантово-механический аналог
того факта, что классическое движение гармонического осциллятора всегда
финитно.
Алгебраическая часть точного решения состоит из следующего фунда-
ментального результата.
Предложение 2.2. Допустим, что существует ненулевое ψ € D(an)C\
Π D((a*)n), n = 1,2, ..., такое, что
Щ = Хф.
Тогда выполняются следующие утверждения.
(Г) Существует ψο € Ж, \\ψο\\ = 1, такое, что
Ηψο = ^Ττωψο.
(if) Векторы
(α*)η
Ψη = ^-^Φο еЯГ, η = 0,1,2, ...,
νη!
— ортонормальные собственные векторы Η с собственными значени-
ями 7τω(η+ ^),
Ηψη = 1τω(η + %)Ψη·
(Ш) Ограничение оператора Η на гильбертово пространство Ж§ —
замкнутое подпространство Ж, натянутое на ортонормальное мно-
жество {^n}^=o ~~ самосопряжено в существенном.
Доказательство.
Переписывая коммутационные соотношения (2.35) как
Na = a(N-I) и Να* = α* (Ν + I)
и положив А = 7τω(μ + ~), получаем для всех η > 0
Ναη<ψ =(μ- η)αηψ и Ν(α*)ηψ = {μ + η)(α*)ηψ. (2.36)

152
Глава 2
Поскольку N ^ 0 на D(N), из первого уравнения в (2.36) следует,
что существует щ ^ 0, такое, что αη°ψ φ О, но αηο+1ψ = 0. Поло-
an°ib
жив ψο = G Ж9 получаем
\\а η°ψ\\
αψ0=0 и Νψ0 = 0. (2.37)
Поскольку Η = Tiu>(N + |/), это доказывает часть (i). Для доказательства
части (ii) воспользуемся коммутационными соотношениями
[α,(α*)η]=η(α*)η-\ (2.38)
которые следуют из (2.34) и правила Лейбница. Используя (2.37)-(2.38),
получаем
α*Ψη = Vn+ Ιψη+u αΨη = у/пфп-ъ (2.39)
так что
H^nll2 = -τ=(α*ψη-1,φη) = ?
= -1=(Ψη-1,αψη) = ||^n-i||2 = ... = ||^)||2 = 1.
Из второго уравнения в (2.36) следует, что Νψη = ηψη9 поэтому ψη —
нормализованные собственные векторы Η с собственными значениями
Τυω{η+\). Собственные векторы ψη ортогональны, поскольку соответству-
ющие собственные значения различны, а оператор Η симметрический. На-
конец, часть (Ш) мгновенно следует из того факта, что, согласно части (ii),
подпространства Im (Η ± U)\^Q плотны в Ж§9 что является критерием са-
мосопряженности в существенном.
Замечание. Поскольку координатное представление коммутацион-
ных соотношений Гейзенберга неприводимо, заманчиво заключить, исполь-
зуя предложение 2.2, что Ж§ = Ж. А именно: из построения следует, что
линейная оболочка векторов ψη — плотное подпространство в Ж§ — инва-
риантна относительно операторов Ρ и Q. Однако из этого не следует сразу,
что оператор П0 проекции на подпространство Ж0 коммутирует с самосо-
пряженными операторами Ρ и Q в смысле определения в разделе 2.1.1.
Используя координатное представление, можно мгновенно показать
существование вектора ^о в предложении 2.2 и доказать, что Ж§ = Ж.

2.2. Квантование
153
Действительно, уравнение αψο = О превращается в линейное дифференци-
альное уравнение первого порядка:
так что
и
оо
— СХ)
Вектор ^о называется основным состоянием гармонического осциллятора.
Соответственно, собственные функции
*·ω-^(^(--*5))"*'
имеют вид Pn(q)e 2h , где Pn(#) — многочлены степени п. Следующий
результат показывает, что функции {^n}^Lo образуют ортонормальный ба-
зис в L2(R,dq).
Лемма 2.3. Функции qne~q , η = 0,1,2, ..., полны в L2(R, dq).
Доказательство.
Пусть / Ε L2(R, d</) таково, что
оо
J f(q)qne-o2dq = 0, η = 0,1,2, ....
—оо
Интеграл
оо
ВД = / f(q)eigz-q2dq
— ОО
абсолютно сходится для всех z E С и поэтому определяет целую функцию.

154
Глава 2
Имеем
σο
F<n>(0)=in J f(q)qne-o2dq = 0, n = 0,1,2,...,
— OO
так что F(z) = 0 для всех г Ε С. Из этого следует, что функция g(q) =
= f(<l)e~q2 Ξ L^R) П L2(M) удовлетворяет условию ^(#) = 0, где & —
«обычное» (k = 1) преобразование Фурье. Таким образом, мы заключаем,
что д = 0. Многочлены Рп выражаются через классические многочлены
Эрмита-Чебышева Нп, определяемые формулой
Яп(«) = (-1)пе«а^е-«2, п = 0,1,2,....
А именно: используя тождество
92
dqn V dq)
Γ ~2
9
e2
dn-
dgn
-1
-1
e"
η
V
получаем
-(^Н^
™ yjlnn\ VV ft
Подытожим полученные результаты следующим образом.
Теорема 2.1. Гамильтониан
2mdq2^ 2
квантового гармонического осциллятора с одной степенью свободы явля-
ется самосопряженным оператором в Ж = L2(M, dq) с областью опреде-
ления D(H) = W2,2(R) Π W2,2(M). Оператор Н имеет чисто точечный
спектр
Ηψη = ληψη, η = 0,1,2, ...,
с собственными значениями λη = Ьи(п-\-^). Соответствующие собствен-
ные функции ψη образуют ортонормальный базис Ж и даются формулами
^-Й^*"*'"-^')· <2·40»
где Нп (q) — классические многочлены Эрмита - Чебышева.

2.2. Квантование
155
Доказательство.
Рассмотрим оператор Я, определенный в пространстве Шварца У (Ж)
быстро убывающих функций. Поскольку оператор Η симметрический
и имеет полную систему собственных векторов в <У(М), подпростран-
ство 1т(Н ± И) плотно в Ж\ так что Η самосопряжен в существенном.
Доказательство того, что его самосопряженное замыкание (которое мы по-
прежнему будем обозначать как Н) имеет областью определения простран-
ство W2>2(M) Π W2,2(M), остается читателю.
Замечание. Уровни энергии гармонического осциллятора можно
также получить из правила квантования Бора- Вильсона - Зоммерфельда.
Действительно, соответствующая классическая орбита с энергией Ε — эл-
липс в фазовой плоскости, задаваемый уравнениями q{t) = Acos(ut + α),
p(t) = — mLjAsm(ujt + α), где Ε = ^τηω2Α2 (см. раздел 1.1.5 главы 1).
Таким образом,
Φ pdq = dpAdq = πτηωΑ2 = Щ-Е,
и по правилу квантования БВЗ получаются уровни энергии Εη=1τω(μ+ -).
Замечание. Поскольку уровни энергии Гамильтона Η эквидистант-
ны с интервалом Tiu, квантовый гармонический осциллятор описывает си-
стему одинаковых «квантов» с энергией %ω. Основное состояние |0) = ψο
в дираковских обозначениях — это вакуумное состояние, когда никаких
квантов нет и вакуумная энергия равна ^%ω, а состояния \п) = ψη состоят
из η квантов с энергией %ω(η + ^). Согласно (2.39) оператор а* добавляет
состоянию \п) один квант, и он называется оператором рождения, а опе-
ратор а уничтожает в состоянии \п) один квант и называется оператором
уничтожения.
Пример гармонического осциллятора — иллюстрация того, насколько
отличается движение в квантовой механике от движения в классической
механике. Классическое движение в потенциальном поле V(q) = -mu2q2
/ орт
финитно: частица с энергией Ε движется в области \uq\ ^ у —, тогда как
для квантовой частицы всегда есть ненулевая вероятность обнаружиться за
пределами классической области. Так, для энергии Ε = -%ω основного
состояния эта вероятность равна
/ \Ыя)\2^Я = -7= / e~x2(ix - 0,1572992070.
\я\>\ —

156
Глава 2
Классический гармонический осциллятор с η степенями свободы опи-
сывается фазовым пространством R2n с каноническими координатами р, q
и функцией Гамильтона
3=1
где a;i, ... ,ωη > О (см. разделы 1.1.3 и 1.1.7 главы 1).
Соответствующий оператор Гамильтона есть
— в координатном представлении Ж — L2(Rn, dnq) это оператор Шрёдин-
гера с квадратичным потенциалом,
Гамильтониан Η — самосопряженный оператор с D(H) = VF2'2(Rn) Π
Π W2'2(Rn) с чисто точечным спектром. Соответствующие собственные
функции
ФкЫ) = ^kl(qi)...^kn(qn),
где fc = (fci, ..., fcn) и rfrkj (Qj) — это собственные функции (2.40) с ω = Uj,
образуют ортонормальный базис в L2(Rn,dnq). Соответствующие уровни
энергии даются формулами
Afe = Тшл(кг + \) + ... + bwn{kn + \).
Спектр Η является простым, если и только если Ьи\, ..., Тилп линейно
независимы над Ζ. Самый вырожденный случай — ω\ = ... = ωη = ω,
тогда кратность собственного значения
η
A* = ftu; £)(*,■+ §)
3=1
— это статистическая суммарп(|&|)» т.е. число представлений целого чис-
ла |fc| = к\ + ... + кп в виде суммы η неотрицательных целых чисел.

2.2. Квантование
157
Положив т = 1 и вводя операторы25
j = l, ...,n, (2.41)
получаем канонические коммутационные соотношения операторов рожде-
ния и уничтожения для η степеней свободы:
[aj,cn] = 0, [aj,ai] = О, [clj,aj] = fy J, j,/ = 1, ...,η, (2.42)
обобщающие соотношение (2.34) для одной степени свободы. Операто-
ры aj,a,j и Nj = a*ja,j, j = 1, ...,n, удовлетворяют коммутационным
соотношениям
[Nj,at] = -£,№, [Λ/j, α*] = <W, j, i = 1, ..., η. (2.43)
В частности, оператор
η η
удовлетворяет соотношениям
[Ν, aj] = -α,, [iV, α*] = a*, j = 1, ...,n,
Коммутационные соотношения (2.42) и (2.43) соответствуют неприво-
димому унитарному представлению разрешимой алгебры Ли \}п с Зп + 1
образующими еj, /j, ftj и с, где еj, /j, с удовлетворяют соотношениям ал-
гебры Гейзенберга f)n, и
[ftj, е/] = -Sjifu [hj,fi] = iji^?ez, [ftj, с] = О, j, i = 1, ..., п.
Задача 2.9. Покажите, что (Н\М) > \%ω для любого Μ е У, где
if — гамильтониан гармонического осциллятора с одной степенью свободы.
5Здесь мы, используя стандартную евклидову метрику на Rn, опустили индексы у QK

158
Глава 2
Задача 2.10. Пусть q(t) = Acos(ujt + а) — классическая траектория
гармонического осциллятора с т = 1 и энергией Ε = ^ω2Α2, и пусть μα —
вероятностная мера на R, сконцентрированная в точке q(t). Покажите, что
выпуклая линейная комбинация мер μα, 0 ^ а ^ 2π, является вероятност-
ям2 - а2)
ной мерой на R с функцией распределения μ(ς) = — , где 6(q) —
π у/А2 - q2
функция Хевисайда.
Задача 2.11. Покажите, что когда η —► оо и Ь —► 0, так
что остается постоянным, огибающая фикции рас-
пределения \фп(я)\2 на интервале \q\ ^ А совпадает с классической функ-
цией распределения μ^) из предыдущей задачи. (Указание: докажите, что
существует интегральное представление
оо
e-q2Hn(q) = ^ [e-y2yncos(2qy - \mt)dy,
V71" ^
о
и выведите асимптотическую формулу
**<*> = ^у^С08{й(л28Ь_1 ^+iv^^?-|^)+o(i)}
при П -> 0 и ft(n + i) = \ωΑ2, \q\ < Α.)
Задача 2.12. Завершите доказательство теоремы 2.1.
Задача 2.13 (Теорема об ΛΓ-представлении). Пусть φ е У (Ж).
ОО
Покажите, что сходящееся в L2 разложение φ = Σ спФп, где сп = (ф,фп),
71=0
сходится в ^(R). (Указание: воспользуйтесь тем, что Νφη = пфп.)
Задача 2.14. Покажите, что операторы Е^ = a*dj, i,j = 1, ... ,n,
удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли sl(n, С).
2.2.7. Голоморфное представление и виковские символы
Рассмотрим гильбертово пространство
оо
р = }с={Сп}%±0: ||cf = ^ |с„|2 < оо
71=0

2.2. Квантование
159
последовательностей с суммируемым квадратом. Выбором ортонормально-
го базиса {^n}£L0 B L2(R, dq)9 состоящего из собственных функций (2.40)
оператора Шрёдингера гармонического осциллятора, устанавливается изо-
морфизм гильбертовых пространств L2(M, dq) ~ £29
оо
п=0
где
— оо
поскольку функции ψη вещественнозначны. Используя (2.39), получаем
оо оо оо
п=0
п=0
п=1
а^ = Σ С™а^™ = Σ V™cni>n-i = ^ >/nTTcn+i^n, ^ ^ D(a),
п=0
п=1
п=0
так что в пространстве £2 операторы рождения и уничтожения а* и α пред-
ставлены следующими полубесконечными матрицами:
/0 у/1 0 0 ...\
0 0 V2 0
0 0 0 V^3
0 0 0 0
\; ; ; ;
/00 00
VI о о о
0 >/2 0 0
о о >/з о
\; : ; ;
В результате
N = a*a =
/оооо ...\
0 10 0
0 0 2 0
0 0 0 3
V
так что гамильтониан гармонического осциллятора представлен диагональ-
ной матрицей
Я = %ω(Ν + i) = diag{iftw, §Λω, f Йо;, ... }.

160
Глава 2
Это представление коммутационных соотношений Гейзенберга назы-
вается представлением чисел заполнения и обладает тем свойством, что
в нем гамильтониан Η гармонического осциллятора диагоналей.
Другое представление, в котором Η диагоналей, строится так. Пусть
Θ — пространство целых функций f(z) со скалярным произведением
(/,5) =4 J' f{*)W)e-^d2z, (2.44)
С
где d2z = T^dz Λ dz — мера Лебега на С ^ М2. Легко проверить, что $ —
гильбертово пространство с ортонормальным базисом
fn(z) = ^— n = 0,l,2,....
Vn!
Соответствие
е Э с = {с„}-=0 ~ f(z) = £>/„(*) е 9
п=0
02
— изоморфизм гильбертовых пространств £2 ~ @. Реализация гильберто-
ва пространства Ж в виде гильбертова пространства & целых фикций
называется голоморфным представлением. В голоморфном представлении
a* = z, «=£, и Я=Ц^ + |),
и очень легко показать, что а* — оператор, сопряженный к а. Отображением
оо со
Ж Э φ = Σ °ηΨη ь-+ /(^) = ^ «"/«W € ^
п=0 п=0
устанавливается изоморфизм между координатным и голоморфным пред-
ставлениями. Из формулы для производящей функции многочленов Эрми-
та-Чебышева,
со
71=0
следует, что соответствующий унитарный оператор U : Ж —► Sf — это
интегральный оператор
со
Щ(г)= J U(z,q)rP(q)dq
— со
oq то; 2 / Ιτηω Ι \
[/(,,„) = £>(«)/»(*) = (/^е 2" ' "^ * "^" · (2-45)
Т7.=П V
с ядром

2.2. Квантование
161
Другая полезная реализация — представление в гильбертовом про-
странстве 0) антиголоморфных функций f(z) на С со скалярным произ-
ведением г
{f,9) = hj f(z)g(z)e-W d2z,
с
задаваемое формулами
аг
Замечание. Голоморфное и антиголоморфное представления соот-
ветствуют разным выборам комплексной поляризации симплектического
многообразия R2. По определению комплексная поляризация симплекти-
ческого многообразия (./#, ω) — это интегрируемое распределение на Ж
комплексных лагранжевых подпространств комплексифицированных век-
торных пространств ТХЖ ®rC. Как и понятие вещественной поляризации,
понятие комплексной поляризации играет фундаментальную роль в геомет-
рическом квантовании. В частности, голоморфное представление соответ-
ствует комплексному лагранжеву подпространству в ТХШ2 ®r С ~ С2, за-
данному уравнением z = О, где z и z — комплексные координаты на С2.
(Заметим, что здесь z не является комплексно сопряженным kz!) Уравне-
ние z = О определяет комплексное лагранжево подпространство, соответ-
ствующее антиголоморфному представлению.
Антиголоморфное представление используется для введения так на-
зываемых виковских символов операторов. А именно: пусть А — оператор
в Ф, являющийся многочленом с постоянными коэффициентами в опера-
торах рождения и уничтожения а* и а. Используя коммутационное соотно-
шение (2.34), можно перетащить все операторы а* налево от операторов а
и представить А в виковской нормальной форме следующим образом:
A = Y^Alm{a*)lam. (2.46)
1,771
По определению виковский символ A(z,z) оператора А — это
A{z,z) = J2AimZlzm. (2.47)
1,771
Это ограничение многочлена A(v, z) в переменных ν к z uav = z.
Чтобы определить виковские символы ограниченных операторов в Ф,
рассмотрим семейство когерентных состояний (или векторов Пуассона)

162
Глава 2
Φν £ @, ν £ С, определенных формулой
<bv(z)=evS, zeC.
Они удовлетворяют свойствам
αΦν = νΦν и f(v) = (/, Ф„), /gI,vGC. (2.48)
Действительно, первое свойство тривиально, тогда как «воспроизводящее
свойство» мгновенно следует из формулы
оо
где /п(г) = fn(z), η = 0,1,2, ..., — ортонормальный базис Ф.
Имеем также
(/,<?) = \Ju,bv)T^)e-^2d2v. (2.50)
с
Дальше, для оператора А в виковской нормальной форме (2.46) получаем,
используя первое свойство в (2.48),
(ЛФ„Ф*) = ^А1т((а*)1атФг,Ф^) = ΣΑ1π1{α™ΦΖ,α1Φν) =
l,m l,m
= Α(υ,Ζ)(ΦΖ,Φν).
Поэтому
так как из воспроизводящего свойства следует, что (Ф2, Φ ν) = ΦΖ(ν) = evz.
Определение. Виковский символ A(z, z) ограниченного оператора А
в гильбертовом пространстве @ является ограничением на подпростран-
ство ν = z целой функции A(v, z) в переменных ν и z9 определенной фор-
мулой
Α(ν,Ζ) = β-υ*(ΑΦΛ,Φν).
В следующей теореме мы перечислим основные свойства виковских
символов.

2.2. Квантование
163
Теорема 2.2. Виковские символы ограниченных операторов в $) обла-
дают следующими свойствами.
(г) Если A(z,z) — виковский символ оператора А, то для виковского сим-
вола оператора А* имеем A*(z, z) — A(z, z) и
(ii) Для f G Φ
(Af)(z) = I J A{z,v)f{v)e-^-^d2v.
с
(Hi) Вещественно-аналитическая функция A(z, z) является виковским сим-
волом ограниченного оператора А в Ф, если и только если она есть
ограничение на подпространство ν — z целой функции A(v, z) в пе-
ременных υ и z со свойством, что для любого f Ε Φ интеграл в ча-
сти (ii) абсолютно сходится и определяет функцию в $).
(iv) Если Ai(z, z) и A2(z, z) — виковские символы операторов А\ и А2, то
виковский символ оператора А — А\А2 задается формулой
A(z,z) = I J A1(z,v)A2(v,z)e^v-z^-^d2v.
с
Доказательство.
Имеем
A*(v,z) = β-υΧ{Α*ΦΖ,Φ„) = е-уг(Фг,АФг) = β~νΖ{ΑΦ^ΦΖ) = A(z,v),
что доказывает (i). Для доказательства (ii) воспользуемся воспроизводящим
свойством и получим
(Af)(z) = (Л/,Фг) = (/,Α*ΦΖ) = ^jf(v)(A^z)(v)e-M2d2v.
с
Еще раз используя воспроизводящее свойство, получаем
(Α*ΦΖ)(υ) = (Α*ΦΖ, Φυ) = Α*(ν, Ζ)(ΦΖ, Φυ) = e»*A(z,v),

164
Глава 2
что доказывает (ii). Свойство (iii) следует из определения и принципа
равномерной ограниченности, который нужен, чтобы показать, что опе-
ратор А в ^, определенный интегралом в (ii), ограничен. Рутинные по-
дробности остаются читателю. Чтобы доказать (iv), используя (2.50) и (i),
мы получаем
A(z,z) = е-^2(АгА2Ф^Ф2) = е~^2(А2Фг, Α\ΦΖ) =
=± у (а2ф„ Ф,)(^Ф2,Ф.)е-(н2+|^2)^ =
с
= i У" Ai(z, ν)Α2(ν, *)e-(*-^-^V
с
Замечание. Свойства (i) и (iv) остаются верными для многочленов
от а* и а — операторов вида (2.46).
Матричный символ A(z, z) ограниченного оператора А в гильберто-
вом пространстве Sf — это ограничение на подпространство ν — z целой
функции A(v, z) в переменных ν и г, определенной следующим абсолютно
сходящимся рядом:
оо
A(v,z)= Σ (AfmJn)fn(v)fm(z). (2.51)
га,n=0
Матричный и виковский символы связаны следующим образом.
Лемма 2.4. Для ограниченного оператора А в гильбертовом про-
странстве 3>
A(v,z) = evzA(v,z).
Доказательство.
Используя (2.49), получаем
оо „
Α(υ,Ζ) = ± Σ fnWm(z) (Afm)(u)fn(u)e-M2d2u =
га,n=0 £
= 11(АФг)(й)Щй)е-М2с12и = (ΑΦ„ Φ,-) = βνΜ(«, z).
с
Перестановка суммирования и интегрирования корректна в виду абсолют-
ной сходимости.

2.2. Квантование
165
Следствие 2.3. Если Ai(z,z) и A<i(z,z) — матричные символы опе-
раторов А\ и А2, то матричный символ оператора А = А\А2 дается
формулой
с
Доказательство.
Доказательство мгновенно следует из части (iv) теоремы 2.2 и лем-
мы 2.4.
Эти построения, очевидно, обобщаются на случай η степеней свободы.
Гильбертово пространство 3)п, определяющее голоморфное представление,
это пространство целых функций f(z) от η комплексных переменных z =
= (zi, ..., zn) со скалярным произведением
(/,5) = ±Jf(z)J(z)e-W2d2nz < оо,
£п
где \z\2 = z\ + · · · + z\ и d2nz = d2zi · · · d2zn - мера Лебега на Сп ~ Ш2п.
Функции
zmi ... znin
frn(z) = , n==, mi, . ..,mn = 0,1,2, ...,
Vmi!...mn!
где га = (mi, ..., mn) — мультииндекс, образуют ортонормальный базис
в Sfn. Соответствующие операторы рождения и уничтожения даются фор-
мулами
д ,
Гильбертово пространство Фп антиголоморфных функций f(z) на Сп опре-
деляется скалярным произведением
(/. 9) = ^ / /(^)^(i)e-l2l2rf2"z < оо, (2.52)
Сп
и операторы рождения и уничтожения даются формулами

166
Глава 2
Когерентные состояния — это Φυ(Ζ) = evz9 где vz = v\Zi Η \-vnzn, они
удовлетворяют воспроизводящему свойству
Я«) = (/,Ф„), fe®n, veCn.
Виковский символ A(z,z) ограниченного оператора А в Фп определяется
как ограничение на подпространство ν = z целой функции A(v, z) от 2n
переменных ν = (vi, ..., vn) и z = (zi, ..., zn), заданной формулой
Λ(«,Ζ)=β-Μ№>Φ,).
Имеем
(Af)(z) = ±JA(z,v)f(v)e-"^d2nv, f e 9n,
С"
и виковский символ A(z, z) оператора А = Ai A2 дается формулой
A(z,z) = ± fA1(z,v)A2(v,z)e-^-z^-^d2nv,
где Ai(z, z) и ^(z, z) — виковские символы операторов А\ и Лг.
Матричный символ A(z,z) ограниченного оператора А в Фп опреде-
ляется как ограничение на подпространство ν = z целой функции A(v, z)
от 2п переменных г? = (vi, ..., vn) и z = (zi, ..., zn)9 заданной абсолютно
сходящимся рядом
оо
A(v,z)= Σ (Afk,fm)fm(v)Mz),
fc,m=0
где к = (fci, ..., fen), m = (гаь ..., mn) — мультииндексы и /m(z) =
= fm(z). Матричный и виковский символы ограниченного оператора А
связаны формулой
A(v,z)=ev*A(v,z).
Замечание. Антиголоморфное представление очень полезно в кван-
товой механике и особенно в квантовой теории поля, в которой оно называ-
ется голоморфным представлением (относительно переменных z). Слегка
злоупотребляя терминологией, в части 2 мы тоже будем называть его голо-
морфным представлением.

2.3. Соотношения Вейля
167
Задача 2.15. Найдите явную формулу для унитарного оператора,
осуществляющего изоморфизм гильбертовых пространств ^n~L2(Mn, dnq).
Задача 2.16. Докажите, что для ограниченного оператора А функ-
ции A(г>, z) к A(v,z) являются целыми функциями от 2п переменных.
Задача 2.17. Пусть А — оператор в Фп со следом и A(z,z) — его
виковский символ. Докажите, что
ТЫ=^ (A(z,z)e-W2d2nz.
сп
Задача 2.18. Покажите, что виковский символ A(z,z) произведе-
ния А = А\... А\ дается формулой
A(z,z) =
/I
Ai(z, zi-i)... Ai(zu z) exp j]PZk{zk-i - zk)jd2z1... d2zi-U
где zq — z\ = z, z\ — z и Ak(z, z) — виковские символы операторов Л&.
2.3. Соотношения Вейля
Пусть R — неприводимое унитарное представление группы Гейзен-
берга Нп в гильбертовом пространстве Ж. Из леммы Шура следует,
что R(eac) = егПа1 для некоторого Ь е R, где / — тождественный оператор
в Ж. Если ft = 0, η-параметрические абелевы группы унитарных операто-
ров U(и) = R(euX) nV(v) = R(evY) коммутируют, так что, еще раз вос-
пользовавшись леммой Шура, заключаем, что существуют р, q E Rn, такие,
что U(u) = е~гир1 и V(v) = e~lvqI. Потому в этом случае неприводимое
представление R одномерно и параметризуется вектором (р, q) Ε Μ2η. Ко-
гда Ь φ 0, унитарные операторы U(u) nV(v) удовлетворяют соотношени-
ям Вейля
U(u)V(v) = eihuvV(v)U(u), (3.1)
допускающим представление Шрёдингера, введенное в разделе 2.2.2. Ока-
зывается, что любое неприводимое представление группы Гейзенберга Нп
унитарно эквивалентно либо одномерному представлению с параметра-
ми (р, q) Ε М2п, либо представлению Шрёдингера для какого-то Ь φ 0.
Физически осмысленный случай соответствует значению Ь > 0, и пред-
ставление с —Ь дается операторами U~l(u) = U(—u) и V(v).

168
Глава 2
2.3.1. Теорема Стоуна-фон Неймана
Здесь мы доказываем следующий фундаментальный результат.
Теорема 3.1 (теорема Стоуна-фон Неймана). Любое неприводимое
унитарное представление соотношений Вейля для η степеней свободы,
U(u)V(v) = eihuvV(v)U(u),
унитарно эквивалентно представлению Шрёдингера.
Доказательство.
Достаточно рассмотреть случай η = 1 — общий случай η > 1 описы-
вается аналогично. Положим
iTiuv
S(u,v) = e~~ U(u)V(v).
Унитарный оператор S(u,v) удовлетворяет свойству
S(u,v)* = S(-u,-v), (3.2)
и из соотношения Вейля следует, что
— ( - \
S(uuv1)S(u2,v2) = е 2 {U1V2 U2Vl)S(u1+u2,vl+v2). (3.3)
Определим линейное отображение W : Ll(R2) —► af(Jif), называемое пре-
образованием Вейля, по формуле
W(f) = ±Jf(u,v)S(u,v)dudv.
R2
Здесь интеграл понимается в слабом смысле: для любого ψΙ,ψ2 Ε Jif
(WWufo) = ^ J f(u,v){S{u,v)^2)dvdv.
R2

2.3. Соотношения Вейля
169
Интеграл абсолютно сходится для всех фх, ψ2 Ε Ж и определяет ограни-
ченный оператор W(f), удовлетворяющий условию
linfllK^II/llLi.
Преобразование Вейля обладает следующими свойствами.
wti. Для/еь1^2)
w(f)* = w{f*)>
где
f*(u,v) = f(-u,-v).
WT2. Для f EL1 (Μ2)
S(u1,v1)W(f)S(u2,v2) = W(f),
где
/(г*, ν) = е 2 /(гх - щ - U2, ν - ν\ - v2).
WT3. KerW =
WT4. Для/1,/2
где
{0}.
€L]
(/l*ft/2)Kv):
l(K2)
^(/l)W(/2) :
1 f \{uv'-u'
R2
= W(h
/i(u-
*λ/2),
- u',v -
Первые два свойства следуют из определения и уравнений (3.2)
и (3.3). Чтобы доказать WT3, предположим, что W(f) = 0. Тогда для лю-
бых фх, ψ2 Ε Ж и всех i/, v'eM имеем
0 = (W(f)S(u',v')1pl,S(u',v')rp2) =
= ± Jeih^'-u'^f(u,v)(S(u,v)^,xp2)dudv.
R2
Поэтому f(u, v)(S(u, v)ipi,ip2) = 0 п. в. на R2, так что / = 0.

170
Глава 2
Для доказательства WT4 вычислим
{W{h)W{f2)il>u*2) = (W(f2)il>uW(f1)*jh) =
2^ / f2(u2,v2){S(u2,v2)^i,W(f1yilj2)du2dv2
2π
R2
2^ / f2(u2,v2)(W(fi)S(u2,v2)ipi^2)du2dv2
R2
JT-^o I I /l(Wl -^2,^1 -V2)f2(u2,V2) X
R2 R2
x e 2 * 2 (S(ui,vi)^i,^2)duidvidu2dv2 —
= 2^ /(/i *ft f2){u,v)(S(u,v)ip1,ip2)dudv.
R2
Мы имеем Д *^ /2 Ε L^R2), и из ассоциативности произведения операто-
ров и свойства WT3 следует, что линейное отображение
*п '. L\R2) х L\R2) ^ L\R2)
определяет новое ассоциативное произведение на L1(R2),
/1 *ь {f2 *h /з) = (/1 *h /2) *ь /з Для любых /ь /2, /з € L^R2).
Когда ft = 0, произведение *^ превращается в обычную свертку функ-
ций в L^R2).
Для любого ненулевого φ G Ж обозначим через Жф замкну-
тое подпространство в Ж, натянутое на векторы S(u,v)ip для всевоз-
можных и, ν Ε R. Подпространство Жф инвариантно для всех операто-
ров U(u) и V(v). Поскольку представление соотношения Вейля неприво-
димо, Ж^ = Ж.
Существует вектор ψο Ε Ж, для которого можно явно вычислить
все скалярные произведения с векторами S(u,v)ifjo, порождающими Жф0.
А именно: пусть
fo(u,v) = Пе 4
и положим
W0 = W{f0).

2.3. Соотношения Вейля
171
Тогда W0* = Wo и
W0S(u,v)W0 = e 4( + }W0.
В частности, Wq = Wo, так что Wo — ортогональная проекция. Действи-
тельно, используя WT4, получаем
W0S(u,v)Wo = W(fo*hfo),
где
гТг , , , ч
/o(u', t)')=e2 /о(« - «У - υ).
«Дополнив квадрат», получим
(/о *п /„)(«',«') = Ье~ * " т" т" т" '/(«', t/),
* / 2 , 2, /2i / 2\
где
/(ц'У) = A fe-%{(u''-u-u>+iv+ivrHv"-v-v'-iu-iur}dul,dv^
Сдвигая контуры интегрирования на 1т и" — —ν — ν', Imt/; = и + и1
и подставляя ξ = и" — и — и' + iv + г?/, η = ν" — ν — ν' — ги — ги\ получаем
/(г*',г/) = Α [β-*(ξ2+η2)αξαη = 1.
R2
Теперь пусть J^o = ImWo — ненулевое замкнутое подпространство ^
по свойству WT3. Для любых ^ъ V^ € <j#o имеем Wo ^i = ^i>Wo ^2 = ^и
(5(ixi,vi)^i,5(iX2,v2)^2) = (5(1X1, vi)W0^i, 5(^2,^2)^0^2) =
= (Wb5(-ti2,-^)5(iii,T;i)Wb^i,^2) =
= e2 Ul^2 U2Vl (w0S(Ml -u2,vi -v2)W0^i,^2) =
-5-(uif2-tt2Vl)-T{(^l-U2)2+(vi-f2)2}/ . , ν
= e2 4 уфиЩ)-

172
Глава 2
Это означает, что подпространство Ж§ одномерно. Действительно, для лю-
бых -01, -02 £ ^о> таких, что (-01, Ψ2) = 0, соответствующие подпро-
странства Жфх и Жфъ ортогональны. Поскольку Жф = Ж для любого
ненулевого ψ, по крайней мере один из векторов ψ\,ψ2 нулевой. Пусть
Жо = Сфо, \\ψο\\ = 1, и положим
ψα,β = 8(α,β)ψο, α,β еЖ.
Замыкание линейной оболочки векторов ψαβ для всевозможных α, β Ε R
есть Ж. Имеем
/, , ч ' f (^-/37)-f{(a-7)2+(^-5)2}
Дальше, рассмотрим представление Шрёдингера соотношения Вейля
BL2(R,dq):
(\J(u)(p)(q) = (p(q-b,u),
'(y(v)<p)(Q)=e-ivq<p(q),
ih
(S(w, v)(p)(q) =e2UV ™Q(p(q - Пи).
Для соответствующего оператора Wo имеем
(WoV>)(«) = 1[е^(Л"2)е^-^(д _ hu)dudv =
00
^ j e-b^-h2\{q_hu)db
—00
00
V Tin J
так что W0 — проекция на одномерное подпространство L2(R, dq), натяну-
-—я2
тое на гауссову экспоненту (fo(q) — ~у^е 2П ·> \\ψο\\ = 1· Пусть
у?а>/9 = S(a,/?)<p0.

2.3. Соотношения Вейля
173
Поскольку представление Шрёдингера неприводимо, замкнутое подпро-
странство, порожденное функциями φαβ для всех α, β Ε Μ, это все гиль-
бертово пространство L2(M, dq). (Это также следует из полноты функ-
ций Эрмита-Чебышева, поскольку φα,β{(1) = -у= * е 2 2,i .)
Имеем
. ^(a5-/37)-T{(a-7)2 + (/J-*)2}
{φα,β,φΙ,δ) = е2 4
и
с/ \ -=-(u/3-va)
Ъ[и, ν)φα,β = е Ζ φα+η,β+ν.
Для ψ=Σ Схфоц^г £ ^ определим
г=1
«Г(^) = £^а<|/3< GL2(R,dg).
г=1
Поскольку скалярные произведения векторов фаф совпадают со скалярны-
ми произведениями векторов φα,β, имеем
\\ПФ)\\Ь = Н\\Ъ,
так что *$/ — корректно определенный унитарный оператор, действую-
щий между подпространствами, натянутыми на {ψα,β}α,β£№ и {φα,β}α,ββ^
Таким образом, <$/ продолжается до унитарного оператора Щ \ Ж —►
^L2(R,dq)n
WS{a, β) = S(a, β)<% для всех α, β е R.
Лемма 2.1 в разделе 2.2.1 становится простым следствием из теоремы
Стоуна-фон Неймана.
Следствие 3.2. Самосопряженные образующие Р=(Р\, ... ,Рп)
и Q=(Q\ ..., Qn) η-параметрических абелевых групп унитарных опера-
торов U(и) и V{v) удовлетворяют коммутационным соотношениям Гей-
зенберга.
Доказательство.
Из теоремы Стоуна следует, что в представлении Шрёдингера образу-
ющие Ρ и Q — это операторы импульсов и координат.

174
Глава 2
Замечание. Для η степеней свободы
ih ih
S(u,v) = е" 2 uvU(u)V(v) = е" 2 nV*nPe-*vQ,
и, формально используя формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа, мы по-
лучаем
S{u,v) = e-^uP+vQ\ (3.4)
Таким образом, преобразование Вейля
W(f) = -φψ j f(u,v)e-i^p+^dnudnv
можно рассматривать как некоммутативное преобразование Фурье — опе-
раторнозначное обобщение «обычного» преобразования Фурье
f(p,q) = -φψ J /(и,ь)е-^+^аписГь.
R2n
Замечание. Теорема Стоуна-фон Неймана — очень сильный резуль-
тат. В частности, из нее следует, что операторы рождения и уничтожения
для η степеней свободы
где Ρ и Q — соответствующие образующие26, удовлетворяющие коммута-
ционным соотношениям Гейзенберга, унитарно эквивалентны соответству-
ющим операторам в представлении Шрёдингера. Значит, всегда существу-
ет основное состояние — вектор ψο £ Ji?9 обнуляемый операторами а =
= (ai, ... ,an). Соответствующее утверждение уже не будет верным для
квантовых систем с бесконечным числом степеней свободы, описываемых
квантовой теорией поля, в которой существование основного состояния
(«физического вакуума») приходится постулировать.
263десь удобно опустить индексы с помощью евклидовой метрики на Rn и использо-
вать Q = (Qi, ...,Qn).

2.3. Соотношения Вейля
175
Преобразование Вейля в представлении Шрёдингера Ж=Ь2(Шп,апф
можно описать явно как ограниченный оператор с интегральным ядром.
А именно:
(S(u, v)1>)(q) = е 2 ην-™4ψ(ς - %и), φ € L2(Rn, cTq), (3.5)
и для Vi,V>2 e 1,2(К",сГд) и / G L1(M2n)f]L2(M.2n) имеем
(W(/)Vi,tfe) = t^t / /(«,t»)(5(u,t»)^i,i>2)dnudnv =
R2n VjRn
(2π)*
R2n
— uv—ivq
(2тч» i i Iе2 •",/(u,»)*,(«-ftu)*,(i)<r«|if'iiirt.=
7 (/*<*·''
)Vi(<zW ^2(9)dnq,
где
^(9'9° = (2^T//(2^'υ)6_|(,,+</>Λ· (3·6)
Изменение порядка интегрирования корректно в силу теоремы Фуби-
ни. Таким образом, W(f) — интегральный оператор с интегральным яд-
ром K(q, q'),
т/)Ф)(я) = J * to, я'Жя'Кя', Ψ е L2(r\ <rg).
По теореме Планшереля
J |ii(g,g')|2rfn9rfV = J \f(u,v)\2<Putrv,
R2n R2n
так что W(f) — оператор Гильберта - Шмидта в Ж. Линейное подпро-
странство L1(R2n) Π L2(R2n) плотно в L2(R2n), и преобразование Вей-
ля продолжается до изометрии W: L2(R2n) —► У2, где У2 — гильбертово
пространство операторов в Ж = L2(Rn,dnq). Поскольку любой оператор
Гильберта-Шмидта в Ж — ограниченный оператор с интегральным ядром
из L2(R2n), отображение W сюръективно. Таким образом, мы доказали
следующий результат.

176
Глава 2
Лемма 3.1. Преобразование Вейля W определяет изоморфизм
L2(R2n)~J^2.
Задача 3.1. Пусть Ρ = (Pi, ..., Рп) и Q = (Qb ..., Qn) — самосо-
пряженные операторы27 в Ж, удовлетворяющие коммутационным соотно-
шениям Гейзенберга (2.4) на некотором плотном подмножестве D в Ж
η
и такие, что симметрический оператор Η = Σ i^k + Q\)> определен-
fc=l
ный на D, самосопряжен в существенном. Предположим также, что любой
ограниченный оператор, коммутирующий с Ρ и Q, кратен тождественному
оператору в Ж\ Докажите, что Ρ и Q унитарно эквивалентны операторам
импульсов и координат в представлении Шрёдингера. (Указание: по тео-
реме Стоуна-фон Неймана достаточно показать, что Ρ и Q определяют
интегрируемое представление алгебры Гейзенберга. Можно также доказать
этот результат прямо, используя коммутационные соотношения между опе-
раторами Η, α*, а и рассуждения из раздела 2.2.6. Это дало бы другое
доказательство теоремы Стоуна-фон Неймана.)
Задача 3.2. Докажите формулу (3.4).
2.3.2. Инвариантная формулировка
Здесь мы представим бескоординатное описание представления Шрё-
дингера. Пусть (V, ω) — конечномерное симплектическое векторное про-
странство, dimF = 2п. Напомним, что (см. раздел 2.2.1) алгебра Гейзен-
берга g = g(V) — это одномерное центральное расширение абелевой ал-
гебры Ли V с помощью кососимметрической билинейной формы ω. Как
векторное пространство алгебра Ли g совпадает с алгеброй V 0 R, в кото-
рой скобка Ли определена равенством
[и + ас, ν + /?с] = ш(щ v)c, u,v €V, α, β G R.
Любое лагранжево подпространство £ пространства V определяет абелеву
подалгебру £ 0 Re в д. Лагранжево подпространство £' дополнительно к £
в V, если £ 0 £' = V. Выбором дополнительного к £ лагранжева подпро-
странства £' устанавливается изоморфизм
g/(£®Rc) ~l!.
См. предыдущее примечание.

2.3. Соотношения Вейля
177
Группа Гейзенберга G = G(V) — связная и односвязная группа Ли
с алгеброй Ли д. Экспоненциальным отображением осуществляется изо-
морфизм G и многообразия V Θ Кс, в котором групповой закон задан ра-
венством
exp(vi + aic) exp(v2 + а2с) = exp^i + v2 + {ol\ + a2 + \u{vi, v2))c),
где v\,v2 G V, ai,«2 € К. Выбором симплектического базиса для V уста-
навливается изоморфизм G(V) ~ Нп с матричной группой Гейзенберга,
определенной в разделе 2.2.1. Форма объема d2nvAdc, где d2nv G A2nV* —
форма объема на V, г V* — двойственное к V векторное пространство,
определяет биинвариантную меру Хаара на G. Любое лагранжево подпро-
странство £ определяет абелеву подгруппу L = ехр(£ 0 Re) в G, а выбором
дополнительного лагранжева подмножества i' устанавливается изоморфизм
G/L ~ £'. (3.7)
Изоморфизм A2nV* ~ Ап£* Λ Ап£'* приводит к форме объема dnv' на £'
и определяет меру dg на однородном пространстве G/L. Мера dg инвари-
антна при левом действии G и не зависит от выбора £'.
Для заданного Ь Ε Μ функция х : L —> С,
X(exp(v + ас)) = eiha, v G V, α G R,
определяет одномерный унитарный характер на L,
х(М2) = х(Мх(Ы> ii.feeb.
Определение. Представление Шрёдингера 5^ группы Гейзенбер-
га G(V), ассоциированное с лагранжевым подпространством £ простран-
ства V, это представление группы G, индуцированное одномерным пред-
ставлением х соответствующей абелевой группы Ли L,
Si = Iad(Zx.
По определению индуцированного представления гильбертово про-
странство Же представления St состоит из измеримых функций / : G —► С,
удовлетворяющих свойству
/Ы) = х(0_1/(5), 9 € G, l G L,

178
Глава 2
и таких, что
Ш2 = / |/Ы12^<оо.
G/L
Соответствующие унитарные операторы Se(g), g G G, определяются левы-
ми сдвигами:
(SeWW) = Д<гУ), f£<m,geG.
В частности,
(Se(expac)f)(g) = f(exp(-ac)g) = f(gexp(-ac)) = eihaf(g),
так что Si(expac) = егПа1, где / — тождественный оператор в J%.
Для любого лагранжева подпространства £ пространства V представ-
ление Se унитарно эквивалентно представлению Шрёдингера. Это можно
явно показать следующим образом. По свойству (3.7) выбор дополнитель-
ного лагранжева подпространства i' приводит к единственному разложе-
нию д = expt/ exp(v + ас), и для / £ Же мы получаем
f(g) = /(ехрг/ехрСи + ас)) = e"^a/(exp^), ν G I, v' G £', a G R.
Таким образом, любое / G Же полностью определяется своим ограниче-
нием на ехр£' ~ £', а отображение % : Же —► L2(t\dnv')9 определенное
формулой
W)(v') = f(exp±v'), υ'£?,
является изоморфизмом гильбертовых пространств. Для соответствующего
представления
S^ = WiSi^1 в !?{£!,dnv') имеем
(S*(expv)^)(i/) = е^^(г/), ν G £, ν' G £\
(Бе(ехри')ф)(у') = φ (υ' - Пи'), и', ν' G £'.
Пусть е1, ..., en, /i, ..., fn — симплектический базис в V, такой, что
£ = Re1 Θ ... 0 Ren и £' = R/i Θ ... Θ R/n,
и пусть (ρ, q) = (pi, ... ,pn, q1, ..., qn) — соответствующие координаты

2.3. Соотношения Вейля
179
на V (см. раздел 1.2.6 главы 1). Тогда L2{t', dnv') ~ L2(Rn, dnq) и
Se(expuX) = U(u) и Se(expvY) = V(v),
где гхХ = £ и*/ь иУ = £ vfce\ a I7(u) = e"inP, V(v) = e~iv<^ -
k=l k=l
η-параметрические группы унитарных операторов, соответствующие опе-
раторам импульсов и координат Ρ и Q.
Отображение *&, — новое ассоциативное произведение на L1 (R2n), вво-
дившееся в последнем разделе, — тоже можно описать в инвариантных
терминах. Пусть В% = G/Tn — факторгруппа, где Т% = {ехр(^рс) G
G G | η G Ζ} — дискретная центральная подгруппа в G, и пусть db =
= d2nv Λ d*a — левоинвариантная мера Хаара на Bh, где d*a — нор-
мализованная мера Хаара на окружности R/^Z. Банахово пространство
Ll(Bn, db) имеет структуру алгебры по отношению к свертке:
(ψ1 *ва ψ2)(Ρ) = Ι φ1^1)φ2^1^α^, φ\,ψ2 G Ьг(Вп,аЬ).
Bh
Соответствие
Ll{V,d2nv) Э f(v) .-> φ(βΧρ(ν + ас)) = e~ihaf(v) G L^B^db)
определяет отображение включения L1(V,d2nv) ^-> Ьг(Вп,аЬ), и об-
раз LX(V, d2nv) будет подалгеброй L\Bn, db) относительно свертки. Имеем
для/ь/2еОДЛ)
(<Р1*вл<Р2)(<Щ>у) =
= / (pi(exp(u + ас))(р2(ехр(—и — ac)expv)d2nvd*a =
Вп
= / (pi(expu)(f2(exp(v — w)exp(— \u{u,v)c))d2nv =
ν
= Jfi(u)Mv-u)e^Md2nv =
ν
= (fi*hh){v), v£V.

180
Глава 2
Задача 3.3. Докажите, что преобразование Вейля — есть ограничение
на Ll(V, d2nv) отображения
L^B^dfyBp^ f (p(b)St(b)db e af(J%).
Задача 3.4. Пусть (г,(2,£з лагранжевы подпространства в V. Опре-
делим индексМаслова тройки r[i\, t2, (3) как сигнатуру квадратичной фор-
мы Q на i\ 0 i2 θ £з, определенной формулой
Q(xu х2, хз) = uj{xi,x2) + ω(Χ2, хз) + ^(^з, ^i).
Для лагранжевых подпространств £i,i2 пространства V пусть ^г2М ~
унитарный оператор, осуществляющий изоморфизм гильбертовых про-
странств Ж^ ~ Жг2 и сплетающий представления S^ и Se2:
Докажите, что «^^з^зА^гА = е "7riT^1^2'^3^7i, где Д — тождествен-
ный оператор в Жег.
Задача 3.5. Пусть Sp(V) — симплектическая группа простран-
ства (V,u) — подгруппа группы GL(F), сохраняющая симплеюическую
форму ω. Группа Sp(F) действует как группа автоморфизмов группы Гей-
зенберга G по формуле h · exp(v + ас) = exp(/i · ν + ас), Λ, Ε Sp(F), vGK.
Пусть Я — неприводимое унитарное представление G в гильбертовом про-
странстве Ж\ Покажите, что существуют унитарные операторы U(h), опре-
деленные с точностью до умножения на комплексное число модуля 1, такие,
что
U(h)R{g)U{h)-1 = R(h · <?), he Sp(V0, geG,
и что U определяет проективное унитарное представление группы Sp(F)
в Ж, называемое представлением Шейла- Вейля2*. Найдите реализацию
гильбертова пространства Ж, такую, чтобы 2-коцикл представления Шей-
ла-Вейля явно вычислялся в терминах индекса Маслова.
28Имеется в виду французский математик Андрэ Вейль. Не стоит путать с Германом Вей-
лем. — Прим. перев.

2.3. Соотношения Вейля
181
2.3.3. Квантование Вейля
Преобразование Вейля, вводившееся в разделе 2.3.1, определяет кван-
тование классических систем, связанных с фазовым пространством R2n
с координатами ρ = (pi, ... ,pn), q = (ς1, ... ,ςη) и скобкой Пуассо-
на { , }, ассоциированной с канонической симплектической формой ω =
= dp Λ dq. Пусть
φ = W ο J^"1 : У(Ж2п) -+ if [Ж\
где W — преобразование Вейля, а ^~1 есть обратное преобразование Фу-
рье, — линейное отображение пространства Шварца У(Ш.2п) быстро убыва-
ющих комплекснозначных функций на R2n в банахово пространство огра-
ниченных операторов Jif (Ж) в Ж = L2(Rn, dnq). В явном виде оно зада-
ется интегралом
$(/) = -^ψ J f{u,v)S{u,v)dnudnv,
R2n
понимаемым как предел римановых сумм в топологии равномерной сходи-
мости на 3?{Ж), где
f(u,v) = &~l{f){u,v) = ф^ J Пр,д)е^+^апрапд
R2n
и S(u,v) = е 2 U(u)V(v). Из (3.6) следует, что Ф(/) — интегральный
оператор: для любого φ е L2(Rn, dnq)
(*(f)iP)(Q) = JK(q,q')i>(q')dnq',
Rn
где
Rn
= <^/'^>><,~''><<>

182
Глава 2
Поскольку пространство Шварца самодвойственно относительно преобра-
зования Фурье, К е y(Rn х Rn) С L2(Rn x Rn), так что Ф(/) - оператор
Гильберта - Шмидта. Воспользовавшись свойством 5(ix,v)* = S(—и, — ν),
получаем
*(/)* = ф(А
так что классические наблюдаемые — вещественнозначные функции
на R2n — соответствуют квантовым наблюдаемым — самосопряженным
операторам в Ж. Из свойства WT3 в разделе 2.3.1 следует, что отобра-
жение Φ инъективно; его образ 1тФ и обратное отображение Ф-1 явно
описываются следующим образом.
Предложение 3.1. Подпространство ГтФ С Л?{Ж) состоит из
операторов В Ε У\, таких, что соответствующие функции g(u,v) =
= TinTr(В S(и, ν)~λ) принадлежат классу Шварца У{Ш?п); в этом слу-
чае W(g) = В. Обратное отобраэюение Ф-1 = & о W~l дается формулой
обращения Вейля
/(u, ν) = ЙпТг(Ф(/)5(и, v)-1), f Ε У(Ж2п).
Доказательство.
Сперва рассмотрим случай η = 1. Пусть
h=p2 + Q2
— гамильтониан гармонического осциллятора ст=1ии = 1. Согласно
теореме 2.1 оператор Η имеет полную ортонормированную систему веще-
ственнозначных собственных функций фп(я), состоящую из функций Эр-
мита-Чебышева, с собственными значениями Ь{п + \), так что обратный
оператор H~l Ε У^- Оператор ЯФ(/) является интегральным оператором
1 о pfi
с ядром т:{-Ь -У-т + q2)K(q,q'), функцией на R2 из класса Шварца, так
* dq
что ЯФ(/) е <92· Оператор
Ф(/)=Я"1ЯФ(/)
— это произведение операторов Гильберта - Шмидта, поэтому имеет след.
Используя ортонормальный базис {^n(q)}^Lo пространства Ж = L2(R),
получаем
оо
K{q,q')= Σ стпфп(Я)фт(я'), (3.8)
т,п=0

2.3. Соотношения Вейля
183
где
/ K(q,q,)^/jn(q)^/jrn(q,)dqdqf,
R2
и ряд (3.8) сходится в L2(R2). Посколысу К G ^(R2), из теоремы об
ΛΓ-представлении (см. задачу 2.13) следует, что этот ряд сходится и в топо-
логии ^(R2). Именно это обстоятельство позволяет нам положить q' = q
в (3.8), чтобы получить разложение
оо
т,п=0
которое сходится в У (R). Таким образом, мы получаем
оо оо °Г
ΤτΦν) = Σ(Φ(/)ψη,ψη) = Σοηη= / K{q,q)dq,
n=0 n=0 J^
где перестановка порядков суммирования и интегрирования законна.
Общий случай η > 1 аналогичен. Рассмотрим оператор
Н = 2
и воспользуемся тем, что операторы НпФ(/) и Н~п принадлежат к классу
операторов Гильберта-Шмидта. Для доказательства формулы
/
ТгФ(Л = J K(q,q)dnq
Rn
разложим ядро K(q,q'), используя ортонормальный базис {^*;(*7)}*°=о
пространства L2(Rn), где
Фк(д) = /Фк1((11)-"ФкЛ(1п), к = (fci, ...,fcn).
Из явного вида ядра К получаем
1*Ф(/) = ^_ J J /(0, v)e-iv"cTv cTq = 7Гп/(0,0), (3.9)
Rn Rn

184
Глава 2
что дает формулу обращения для и = ν = 0. Чтобы получить формулу об-
ращения для всех it, ν Ε Rn, достаточно применить (3.9) к функции fuv =
= &(fu,v), где
ρ / / /\ λ/ / /\ ΤΓ(υ U — U V) \
fu,v(u,ν) = f(u + u,v + v')e 2 ν ;,
и воспользоваться тем, что S(u,v)~x = S(u,v)* = S(—u,—v), а также
свойством WT2 из раздела 2.3.1,
W(f)S(-u,-v) = W(fu,v).
Чтобы закончить доказательство, нам надо показать, что 1тФ состо-
ит из всех В е У\, обладающих тем свойством, что функция g(u,v) =
= %пТг(В S(u, v)~x) принадлежит к классу Шварца. По формуле обраще-
НИЯ g(u,v) = hnTr(*(f)S(u,v)-1),
где / = <^(д), поэтому достаточно доказать, что если
Tr(BS(u,v)-1) = 0
для всех и, ν Ε Rn, то В = 0. Действительно, умножив на f(u,v) и про-
интегрировав, получим
TrBW(f)* = 0
для всех / G У(М?п). Поскольку класс Шварца плотен в L2(R2n), по лем-
ме 3.1 получаем ТгВВ* = 0, и поэтому В = 0.
Следствие 3.3.
™(Л = ^/1(р,я)^я.
(2π%)
Замечание. По теореме Шварца о ядре оператор S(u, ν) является
интегральным оператором с обобщенным функциональным ядром
ih
— uv-ivq f / * \
е 2 o{q — q — пи),
так что / \п
TrS(u,v) = (^Ч δ(υ)δ(υ).
Таким образом, как принято писать в книгах по физике,
ТгФ(/) = Ь~п f f(u,v)S(u)S(v)dnudnv = 7ГП/r(0,0).

2.3. Соотношения Вейля
185
Пусть Ло = У (R2n, R) С Л — подалгебра быстро убывающих класси-
ческих наблюдаемых на R2n, а я/0 = si Π J^f (Ж) — пространство ограни-
ченных квантовых наблюдаемых.
Предложение 3.2. Отображение Ло Э / ·—► Ф(/) £ ^о является
квантованием, т. е. оно удовлетворяет условию
lim ΙΦ-1 (Φ(Λ)Φ(/2) + Φ(/2)Φ(Λ)) = hh
η—►()
w принципу соответствия
lim Φ"1 ({Ф(Л),Ф(/2)Ь) = {/ь/2}, /ь/2 € Л,
л—+0
где
— квантовая скобка и скобка Пуассона соответственно.
Доказательство.
В терминах произведения *^, которое вводилось в разделе 2.3.1, мы
имеем
Ф-1(Ф(/1)Ф(/2)) = ^(Л*й/2),
и из свойства WT4 следует, что
Φ-1(Φ(Λ)Φ(/2))(Ρ,9) = —^ J J /litibtfO/ate.t*) х (3.10)
R2n R2n
ih ,
x e 2 d uid u2dnvid v2.
-(u1V2-U2V1)-i(u1+U2)p-i(v1+v2)q,n rn jnai jn„
Используя разложение
ef (m^-ua^) = j + ijl(UlV2 _ U2t;i) + 0(Tl2(UlV2 - U2Vl)2)
при Й^Ои основные свойства преобразования Фурье,
&{uf{u,v)) =i — (p,q) и 3?(vf(u,v)) = г —(ρ, qr),

186
Глава 2
мы заключаем из (3.10), что при /г —> 0
Ф-1(Ф(Л)Ф(/2))(Р,9) = (/i/2)(p,9) - f {/i,/2}(p,9) +0(П2).
Замечание о кососимметричности скобки Пуассона завершает доказатель-
ство.
Квантование, связанное с отображением Φ = W о &~г, называется
квантованием Вейля. Соответствие / ·—► Ф(/) можно легко продолжить
на векторное пространство L1(R2n) — образ Lx(R2n) при преобразовании
Фурье, лежащий в пространстве C(R2n). В более общем виде для / Ε
G У (R2n)' — пространству обобщенных функций медленного роста на R2n
— соответствующее ядро
K(q,q') = J^ J f(p,*¥)ebPi4-q,)dnp, (3.11)
рассматриваемое как обобщенная функция медленного роста на Rn x Rn,
является ядром Шварца линейного оператора
Ф(/) : У{Жп) -> У(Шп)'.
В частности, постоянная функция / = 1 соответствует тождественному
оператору I с ядром K(q, q') = S(q—qf). В терминах ядра К(qr, q') формула
обращения Вейля принимает вид
/(р, q) = jK(q - \v, q + \ν)**?°<Ρν. (3.12)
Rn
Обобщенная функция f(p,q), определенная равенством (3.12), называется
вейлевским символом оператора в L2(Rn, dnq) с ядром Шварца K(q, q').
В следующих примерах описываются классы обобщенных функций /,
таких, что операторы Ф(/) — самосопряженные в существенном неограни-
ченные операторы на подпространстве У (Rn) С L2(Rn, dnq).
Пример 3.1. Пусть / = f(q) e Lp(Rn) для какого-то 1 ^ ρ ^ оо, или
пусть / — функция, полиномиально ограниченная при \q\ —► оо. В смысле
обобщенных функций
f(u,v) = (2n)n/2S(u)f(v),

2.3. Соотношения Вейля
187
так что
= S(q-q')f(^) = f(q)S(q-q').
Таким образом, оператор Ф(/) — это оператор умножения на f(q) в про-
странстве L2(Rn). В частности, координаты q в классической механике со-
ответствуют операторам координат Q в квантовой механике. Аналогично,
если / = /(р), то Ф(/) = f(P). В частности, импульсы ρ в классической
механике соответствуют операторам импульса Ρ в квантовой механике.
Пример 3.2. Пусть
Κ = £ + νω
— функция Гамильтона в классической механике. Тогда Η = Ф(НС) — со-
ответствующий оператор Гамильтона в квантовой механике,
В главе 3 мы приведем необходимые условия того, чтобы оператор Η был
самосопряжен в существенном.
Пример 3.3. Здесь мы найдем / е У(Ш2п)\ такое, что
ф(Я = Рф
— чистое состояние Рф, где φ Ε L2(Rn), ||-0|| = 1. Проекция Рф есть инте-
гральный оператор с ядром ψ^)ψ(&), и мы получаем из (3.11)
(2^Г //(P. ^e^^Vp = ф(д)Ш-
Введя ςτ+ = \{q + q'), q_ = \{q - q'), получим
Ι(ψ,ν) = hn J^(q- + q+)1>(q+ - q-)e™«+dnq+,
Rn

188
Глава 2
или
f(u,v) = Пп (^{q+\hu)i>{q-\huyvqdnq.
Rn
Предполагая, что ψ не зависит от Ti, в соответствии со следствием 3.3 по-
лучаем
^υ) = & jarfM = (^ / i^i2^^·
(2nTi)nJK ' У (2тг)
Таким образом, в классическом пределе /г. —>► 0 чистое состояние Ρψ кванто-
вой механики становится смешанным состоянием классической механики,
задаваемым вероятностной мерой αμ = p(p,q)dnpdnq on R2n с плотно-
стью
ρ(ρ,ς) = δ(ρ)\φ(ς)\2.
Оно описывает покоящуюся классическую частицу (р = 0) с распреде-
лением координат, заданным вероятностной мерой \i/j(q)\2dnq на Rn. Ко-
г_
гда i/>(q) — еп <p(q), где ip(q) не зависит от Ti, соответствующая плот-
ность - это р(р, q) = δ (ρ - p0)\(p(q)\2.
Замечание. Квантование Вейля можно рассматривать как спо-
соб определить функцию /(Р, Q) некоммутирующих операторов Ρ =
= (РЬ ...,Pn)nQ = (Q1> ...,Qn), положив
/(Р,д)=Ф(/).
В частности, если /(ρ, qr) = g(p) + /i(g), то
f(P,Q)=g(P) + h(Q).
Для /(р, q) = pq= piq1 + ... + pnqn мы получаем, используя (3.11),
/(,,g,_£2+S?.
Это показывает, что квантование Вейля симметризует произведения неком-
мутирующих множителей Ρ и Q. В общем случае пусть / — полиномиаль-
ная функция, .-^ а
f(p,q)= Ε c°/»PV> (3·13)

2.3. Соотношения Вейля
189
где для мультииндексов а = (аь ..., ап) и β = (/Зь ..., βη)
Ρ«=ρΤ···Ραη\ 4β = {41)β1-.Λ<Ιη)βη,
и \а\ = а\ + ... Η- αη, \β\ = β\ + ... + βη. Используя (3.11), получаем
следующую формулу:
*(/)= Σ ^Sym(P-Q^). (3.14)
\<*\,\β\^Ν
Здесь Sym(PaQ/3) — симметрическое произведение, определяемое форму-
лой
(иР + vQ)k = Σ Ши""* Sym(paQ^ (3·15)
где гхР + vQ = и1 Pi + ... + ипРп + viQ1 + ... + vnQn и
a! = ai!...an!, /3! = ft!.. ./U
Замечание. Вдобавок к квантованию Вейля Φ рассмотрим также
отображения Фг: У(Ш2п) -► JS? (JT) и Ф2 : J^(R2n) -► JS?(JT), определяе-
мые формулами
*i(/) = ^ / /(u,t;)e^t"5(tt,«)dnudnt;
R2n
И
Ф2(/) = ~ J f(u,v)e-^uvS(u,v)dnucrv,
где / = &~l{f) — обратное преобразование Фурье. Хотя Ф1 и Ф2 уже не
отображают Ло в вещественное векторное пространство ^ ограниченных
квантовых наблюдаемых, они удовлетворяют всем свойствам из предложе-
ния 3.2. Из (3.5) следует, что для / G У{Е?п) операторы Фг(/) и Ф2(/)
являются интегральными операторами с интегральными ядрами:

190
Глава 2
*1
К2(Я, q') = j^ j f(p, q)e^P{q-g')dnp
соответственно. Как и в случае квантования Вейля, эти формулы продол-
жают отображения / i—> $i(f) и / ь-> Ф2(/) пространства У{Ш?пу обоб-
щенных функций умеренного роста на R2n. В частности, если /(р, q) —
полиномиальная функция (3.13), то
*i(/)= Ε **β**<*β (3·16)
|α|,|/3|^ΛΓ
И
Ф2(/)= £ ε«β<3βΡα· (3.17)
\<*\,\βΚΝ
Поэтому отображение / ь-> $i(f) называется pq-квантованием,
а отображение / \—> Фг(/) — qp-квантованием. Соответствующие формулы
обращения —
/(р, q) = j Кг(д - ν, q)e*pVdnv (3.18)
/(ρ, q) = J K2(q, q + v)e*PVdnv. (3.19)
Обобщенная функция f(p,q), определенная в (3.18), называется pq-
символом оператора с ядром Шварца K\{q,q'), а обобщенная функ-
ция f(p,q), определенная в (3.19), — qp-символом оператора с ядром
Шварца K^q, q'). Эти символы повсеместно используются в теории псев-
додифференциальных операторов. Из (3.18) и (3.19) следует, что ес-
ли f{p,q) — pqr-символ оператора $i(f), то f(p,q) — qrp-символ сопря-
женного оператора Фх(/)*.
Задача 3.6. Докажите формулу (3.14).
Задача 3.7. Докажите формулы (3.16)-(3.17).
Задача 3.8. Докажите, что квантование Вейля, pq- и qrp-квантования
эквивалентны. {Указание: найдите соотношения между вейлевским симво-
лом, pq- и qrp-символами заданного оператора.)

2.3. Соотношения Вейля
191
2.3.4. •-произведение
Квантование Вейля Φ : У(М.2п) —> J?(Ji?), обсуждавшееся в преды-
дущем разделе, определяет новую билинейную операцию
•л : У(Ш2п) х У(Ж2п) -> У(Ж2п)
на У(Ш.2п) по формуле
/1*λ/2 = Φ"1(Φ(/1)Φ(/2)).
Эта операция называется *-произведением29. Согласно (3.10)
(/i*ft/2)(p,<7) = —^ У У fi(ui,v1)f2(u2,v2)- (3.20)
R2n R2n
.eT(«^-«^)-«(«»+«»)P-<^+«»Vu1dntt2iflt;1dn«2.
•-произведение на ^(Μ2η) обладает следующими свойствами.
1. Ассоциативность:
/l *fc (/2 *ft /з) = (/l *ft /2) *ft /з·
2. Квазиклассический предел:
(/i *ft /2)(Р, 9) = (/i/2)(p, q) ~ f {/1, /2}(P, 9) + 0(ft2) при ft -0.
3. Свойство единицы:
/ *n 1 = 1 •a /,
где 1 — функция, тождественно равная 1 на R2n.
4. Циклическое свойство следа:
t(/i*&/2) =T(/2*a/l),
где С-линейное отображение г : <У (R2n) —► С определяется формулой
r(/)=(2w//(P'9)rfnp^·
9В физике также называется произведением Мойяла.

192
Глава 2
Свойство 1 следует из соответствующего свойства произведения *^ (см. раз-
дел 2.3.1), свойство 2 следует из предложения 3.2, а свойства 3 и 4
прямо следуют из определения (3.20). Комплексное векторное простран-
ство У{Ш?п) 0 С1 с билинейной операцией •^ является ассоциативной
алгеброй над С с единицей 1 и циклическим следом т, удовлетворяющей
принципу соответствия:
Urn i(/i *л h ~ h *n /i) = {/i, /2}.
Рассмотрим тензорное произведение гильбертовых пространств
L2(R2n) ® L2(R2n) ~ L2(R2n x R2n)
и определим унитарный оператор U\ в L2(R2n) ® L2(R2n) формулой
И(' JL**JL\
171=е"2 V«p®^J,
где
η
— бд — = V^ ^ <> д
βρ β? t[9pk dqk'
Из теории преобразования Фурье следует, что для /ь /г € ^(Ш2п)
(Ui{fi ®/2))(Ρ1,91,Ρ2,92) = ^Γ^· / У /l(tll,t7i)/2(U2,«2) X
(2т)2 2 2
ih
ХеТ^-^-^-пгЯг-гъъ^^^^
«2·
Аналогично, определив унитарный оператор [Т^ в L2(R2n) ® L2(R2n)
по формуле
получим
(^2(/10/2))(Ρ1,91,Ρ2,92) = —^ / / fl(uuVi)f2(u2,V2)x
(2π)2
R2n R2n
zft
x e 2 d uid u2dnvidnv2.

2.3. Соотношения Вейля
193
Наконец, определим унитарный оператор Un в L2(R2n) <g> L2(R2n) форму-
лой
Uh = ЩЩ1 = e~ 2 \*р**я-ея*др)
и обозначим как т : У(М?п) <g> У(М?п) —► У(Ш2п) поточечное произведе-
ние функций, (m(/i ® f2))(p,q) = /i(p,g)/2(p,qf). Тогда •-произведение
можно записать в следующем сжатом виде:
/1*л/2 = (то17л)(/1®/2). (3.21)
По аналогии со скобкой Пуассона { , } на R2n, ассоциированной с ка-
нонической симплектической формой ω = dp Λ dq,
if f \ = dJ±.dJl _dJldJl
uum dp dq dq dp,
мы вводим обозначение
1 л* д д ^ д _ д2 д2
{?}
dp dq dq dp dp\dq<i dq\dp2
Тогда из теории преобразования Фурье следует, что формулу (3.21) для
•-произведения можно переписать как
(/1*л/2)(р,д)= (е~^{? Vi(pi,<7i)/2(P2,<Z2) J \pi=P2=p . (3.22)
Таким образом, мы показали, что на ^(R2n) •-произведение можно
эквивалентно определить как формулой (3.20), так и формулами (3.21)
и (3.22). Последнее представление имеет преимущество в том, что фор-
_ihr ® т.
мальное разложение экспоненты е 2 ' в степенной ряд дает асимпто-
тическое разложение •-произведения при Ь —> 0. А именно: определим
бидифференциальный оператор
Вк : y(R2n) ® J^(R2n) -> J^(R2n)
формулой Bk = т о { ® }к для к ^ 1 и В0 = т.

194
Глава 2
Лемма 3.2. Для любых /ъ /2 £ ^(M2n) w Z Ε N существует С > О,
такое, что для всех p,q Ε M2n
(Λ *п Л)(р, д) - Ε ЦЙт^(/ь /2)(р,9)
ifcS 2fcfc!
«S CTil+1 при Ti^O.
Кратко,
(Л *л Л)(р, ς) = Σ ^Зтг^(/ь Л)(р, 9) + 0(й°°). (3.23)
к=0 2 к'
Доказательство.
Раскладывая экспоненциальную функцию е г в степенной
ряд и повторяя доказательство предложения 3.2, получаем результат.
Наконец, мы получаем другое интегральное представление для
•-произведения. Применяя формулу обращения Фурье к интегралу
по dnu\dnv\ в (3.20), получаем
(fi*hf2)(p,q) = T^wT / /i(p-f«2,9 + fti2)/2(ti2,«2)x
x e-^2p-^29dnw2dnv2 =
= T^rW У У /i(P-fv2,g + ft*2)/2(P2,g2)><
R2n K2n
Xe-^2P--ttl29+tU2P2+itl2qf2dnp2dng2dnW2dnW2)
а заменив переменные pi = ρ — 7^2, <Zi = q + 5^2, имеем
(/l*ft/2)(p,g) = *2n / / /l(Pl>9l)/2(P2>92)·
R2n R2n
>е|(й)-№+(1й-№+Я1-М)(Гр1(,1д1(Рй)Рд21
Пусть Δ — евклидов треугольник (2-симплекс) в фазовом пространстве М2п
с вершинами (р, q)9 (pi, <Zi) и (р2,qfe). Легко видеть, что
Pi<7 - Р<?1 + QiP2 ~ Q2Pi + PQ2 - Р2<7
=2/ω·

2.3. Соотношения Вейля
195
а это — удвоенная симплектическая площадь Δ — сумма ориентированных
площадей проекций Δ на двумерные грани (pi, ς1), ..., (рп, Ч71)- Таким об-
разом, имеем окончательную формулу
(Λ *η /2)(ρ,ς) = —^ J J /i(pi,<zi)/2(P2,g2) x (3.24)
— (ω
xeh^dnp1dnq1dnp2dnq2,
которая является формулой композиции для двух вейлевских символов.
Замечание. Поучительно сравнить формулы (3.23) и (3.24). Послед-
няя формула представляет •-произведение на У(Ш.2п) в виде абсолютно
сходящегося интеграла и эквивалентна квантованию Вейля. Первая фор-
мула — асимптотическое разложение •-произведения при Ь —► 0, которое
не учитывает всех свойств квантования Вейля. В общем случае степенной
ряд в (3.23) расходится; для полиномиальных функций ряд превращается
в конечную сумму и дает формулу •-произведения многочленов.
Задача 3.9 (Формула композиции для ρςτ-символов). Пусть
fi(p,q) и /г(р,q) — соответственно ρςτ-символы операторов <E>i(/i)
и Ф^/г)· Покажите, что ρςτ-символ оператора $i(/i)$i(/2) дается фор-
мулой
f(p,q) = -^ψ J fi(p,qi)f2(Px,q)eb{p-pi){4-qi)dnPl<rqi.
(Указание: воспользуйтесь формулой для (га о Uf) (Д ® /2).)
Задача 3.10 (Формула композиции для ςτρ-символов). Пусть
/i(p?*z) и f2(p,q) — соответственно ςτρ-символы операторов $2(/i)
и Ф2(/г)· Покажите, что ςτρ-символ оператора $2(/i)$2(/2) дается фор-
мулой
f(p,q) = ~щ^ J h(pi,q)f2(p,qi)e~^P~PlKq~qi)dnp1dnq1.
R2n
(Указание: воспользуйтесь формулой для (га о U^2) (/1 0/2)·)

196
Глава 2
Задача 3.11. Используя (3.24), докажите, что •-произведение ассо-
циативно.
Задача 3.12. Для классической наблюдаемой f(p,q) определим
•-экспоненту (аналог оператора эволюции) формулой
ы
ехр*/ = V" —г f*hf*h--.*hf-
п=0
Вычислите ехр+(—йНс), где Нс(р, q) — функция Гамильтона (2.27) гармо-
нического осциллятора.
2.3.5. Деформационное квантование
Здесь мы рассмотрим процедуру квантования с алгебраической точ-
ки зрения как теорию деформаций ассоциативных алгебр. Пусть А —
С-алгебра (или ассоциативная алгебра с единицей над полем к характери-
стики ноль) с билинейным отображением умножения то : А<8>сА —► Л, ко-
торое мы будем кратко записывать как α-b = то(а,Ь). Обозначим как C[[t]]
кольцо формальных степенных рядов от t с коэффициентами из С,
С[Щ] = <ΣαηΓ :апес\,
и пусть
At = A[[t}}
— С [[i]]-алгебра формальных степенных рядов от t с коэффициентами из А.
Умножение в At — С [[i]]-билинейное продолжение умножения в А, которое
мы будем также обозначать ш0. Алгебра At Ζ-градуирована,
со
«At — \^р Ап,
п=0
где Ап = tnA, так что Аш · Ат С Ат+п.
Определение. Формальная деформация С-алгебры А с умножени-
ем то это ассоциативная алгебра At над кольцом C[[i\] с С [[£]]-билинейным
отображением умножения mt : At ®c[[t]] A ~> А-и таким, что
со
mt(a,b) = а · Ъ + 2_\£η?™η(α«Ь)
п=1
для всех а,Ь £ А, где тп : А ®с А —► А — билинейные отображения.

2.3. Соотношения Вейля
197
Из С [[£]]-билинейности умножения га* следует, что условие ассоциа-
тивности эквивалентно условию
mt(mt{a, Ь), с) = rat(a, mt(b, с)) (3.25)
для всех а^Ь^се А.
Определение. Две формальные деформации mt и rht С-алгебры А
эквивалентны, если существует С[[i]]-линейное отображение Ft : At —► Аи
такое, что
(i) для любого а е А
оо
Ft(a) = a + ^tn/n(a),
п=1
где /п : А —► Л — линейные отображения;
(ii) для любых а, 6 Ε А
Ft(mt(a,b)) = mt(Ft(a),Ft(b)).
Билинейные отображения тп удовлетворяют бесконечному числу со-
отношений, которые получается из разложения (3.25) в формальный сте-
пенной ряд по t. Первые два из них, происходящие из сравнения коэффи-
циентов при tut2, это
а · mi(b, с) — т\{а · 6, с) + mi (а, Ь · с) — mi (a, b) · с = О,
и
а · 7П2(&, с) — rri2(a · 6, с) + Ш2(а, & · с) — т2(а, 6) · с
= mi(mi(a, 6), с) — mi(a, mi(&, с)).
В общем,
а · mn(&, с) — mn(a · &, с) + тп(а, Ь-с) — тп(а, Ь) · с~
п-1
= ^(mj(TOn-j(a,b),c) -mj(a,mn-j(b,c))).
3=1
Основной инструмент для понимания этих уравнений и изучения теории
деформаций ассоциативных алгебр — когомологии Хохшильда. А именно:
пусть Μ — Л-бимодуль, т. е. левый и правый модули над С-алгеброй А.

198
Глава 2
Определение. Коцепной комплекс Хохшильда С* (Л, М) С-алгебры Л
с коэффициентами в Л-бимодуле Μ определяется коцепями
Сп(Л,М)=Нотс(Л0п,М),
т.е. η-линейными отображениями /(ai, ... ,αη), определенными на Л со
значениями в М, и дифференциалом dn : СП(Л, М) —► СП+1(Л, М),
(dn/)(ai, «2, · · · ,an+i) = 0.x · /(α2, ..., an+i)+
n
+ ^(-l)J/(ai, ..., aj-iaj · aj+i, aJ+2 ..., an+i)+
+ (-l)n+1/K ...,a„).an+i.
Имеем d2 = 0, т. e. dn+i о dn = 0, и когомологии Η* (Α, Μ) комплек-
са (С* (Л, Μ), d),
ЯП(Л,М) = kerdn/Imdn-i,
называются когомологиями Хохшильда алгебры Л с коэффициентами в Л-
бимодуле М.
В теории деформаций ассоциативных алгебр мы имеем простейший
нетривиальный случай Μ = Л с левым и правым действиями Л, задавае-
мыми отображением умножения. Уравнение ассоциативности (3.25) можно
записать как
(d2mi)(a, Ъ, с) = 0,
п-1
(d2mn)(a, Ъ, с) = ^J (mj(mn-j(a,b))c) - mj(a,mn-j(b,c))), a,b,ce A.
Замечательно, что коцепной комплекс Хохшильда С* (Л, Л) обладает доба-
вочной структурой градуированной алгебры Ли, играющей фундаменталь-
ную роль в изучении уравнения ассоциативности (3.25). А именно: для
/ е Ст(Л, Л) и д е СП(Л, Л) пусть
(/ ° д)(а1, · · -^m+n-l) =
га—1
= 2^(-l)J/(ai5 · · 4%'»0(%"+1» · · -^j+n^aj+n+i, .. .,am+n_i),
j=0

2.3. Соотношения Вейля
199
определим
lf,9}G = fog-(-l)(™-lKn-Vgof.
Линейное отображение [, ]G : Ст(Д, Д) х СП(Д, Д) -► Ст+п_1(Д, Л) удо-
влетворяет условию [/,<?] с? = — (—1)(т_1)(п_1)[<7, f]c и называется скобкой
Герштенхабера30. Рассматривая ограничение умножения mt на Д ® с Л как
формальный степенной ряд по t с коэффициентами в С* (Д, Л) и используя
скобку Герштенхабера, можно переписать (3.25) в сжатом виде:
[mt,mt]G = 0. (3.26)
Пусть Л — коммутативная С-алгебра и At — формальная деформа-
ция Д. Определим билинейное отображение { , } : Д ®с Д —► *Д формулой
{а,6} = mi(a,fc) - rai(fr,а), а,6бЛ (3.27)
Лемма 3.3. Формальная деформация At коммутативной С-алгебры А
оснащает А структурой алгебры Пуассона со скобкой { , }.
Доказательство.
Рассмотрим уравнение αμ^α, 6, с) = 0. Вычитая из него уравнение
с переставленными α и с и используя коммутативность А, получим
{а · 6, с} — {а, 6 · с} = а · {6, с} — с · {а, 6}.
Переставляя бис, получаем
{а · с, 6} — {а, Ь - с} = а · {с, 6} — 6 · {а, с},
и, дальше переставляя α и с, получаем
{а · с, 6} — {с, а · Ь} = с · {а, 6} — 6 · {с, а}.
Сложение первого и третьего уравнений и вычитание второго дает
{а-Ь,с} = a · {а,с} + Ь · {а,с},
так что кососимметрическая коцепь { , } Ε С2 (Д, Д) удовлетворяет прави-
лу Лейбница. Чтобы доказать тождество Якоби, заметим, что
mt(a,b)-mt(b,a)
{a,b} = mod tAt. (3.28)
30Вместе с произведением Колмогорова -Александера (cup-произведением) коцепей скобка
Герштенхабера оснащает С* (Λ, Λ) структурой алгебры Герштенхабера.

200
Глава 2
Воспользовавшись условием ассоциативности (3.25) (достаточно ассоциа-
тивности цо^юдулю t2At), получаем
{{а, 6}, с} + {{с,а}, Ъ) + {{Ъ, с}, а} = — ((га* (га*(а, b) - rat(b, а)), с)-
-га*(с, mt(a, b) - mt(b, а)) + mt{mt{c, a) - mt(a, с), &)-
-mt(b, mt(c, a) - mt(a, c)) + mt(mt(b, c) - mt(c, fr), a)-
—mt(a,mt(b,c) — mt(c,b))) mod tAt = 0.
Этим результатом мотивировано следующее определение.
Определение. Деформационное квантование алгебры Пуассона
(А, { , }) с коммутативным произведением гао : А (£>с *4 —► Л — это фор-
мальная деформация At алгебры А, такая, что отображение умножения га*
удовлетворяет (3.28).
По лемме 3.3 любая формальная деформация At коммутативной алгеб-
ры А является деформационным квантованием алгебры Пуассона (А, { , })
со скобкой Пуассона, заданной формулой (3.27).
Согласно лемме 3.2, деформационное квантование алгебры Пуассона
(еУ(М2п), { , }), в которой скобка Пуассона ассоциирована с канонической
симплектической формой ω = dp Λ dq, есть алгебра «У (R2n )[[£]], где t =
- —гft, a ft рассматривается как формальный параметр, и отображение
умножения дается •-произведением. Следующее утверждение — формаль-
ный алгебраический аналог представления (3.22) для •-произведения.
Теорема 3.4 (Универсальная деформация). Пусть А — коммута-
тивная С-алгебра с отображением умноэюения гао и пусть ψ\ и ψ2 — два
коммутирующих дифференцирования алгебры А т. е. линейных отобра-
жения ψ\,ψ2 ' А—> А удовлетворяющих правилу Лейбница и условию
ψ\ °ψ2 = ψ2°φ\'
Тогда выражение
{a,b} = (fi(a) -(р2(Ъ) - ψ2{μ) -^i(b), a,b £ A,
определяет на А скобку Пуассона, и формулой
mt = то о е , Φ = ^0^,
называемой формулой универсальной деформации, дается деформационное
квантование алгебры Пуассона (А, { , }).

2.3. Соотношения Вейля
201
Доказательство.
Тождество Якоби для скобки { , } следует из коммутативности диффе-
ренциальных операторов ^i и ^. Чтобы показать, что At — деформацион-
ное квантование алгебры Пуассона (Л, { , }), нам надо проверить условие
ассоциативности (3.25) для отображения га*. Пусть Δ : А —► А 0с А —
отображение копроизведения
Δ(α) = α01 + 10α, α Ε Α
Оно продолжается до С-линейного отображения из Ноте (А, А)
в Ноте(-4®2, А®2), которое мы по-прежнему будем обозначать Δ, и
Α(φ) = φ 0 id + id 0 y>, ^ G Нотс(Д, A).
Для доказательства (3.25) заметим, что правило Лейбница и биномиальная
формула дают следующее тождество для дифференцирования φ на А:
etipomo = m0oetA^\
Воспользовавшись коммутативностью ψ\ и φ2, получаем
mt(a, mt(b, с)) = т0(еьф(а 0 ш0(е£ф(6 0 с)))) =
= (то о (id 0 т0))(е^а®АКФ)ет®ф(а ®Ъ®с)) =
= (т0 о (id 0 т0))(е*(м®А)W+tid®*(a 0 6 0 с)),
где (id (g) Δ)(Φ) = ψ\ 0 Δ(<^2) G Л03. Аналогично
mt(mt(a, 6), с) = (m0 о (т0 0 id))(e*(A®id)(*)+**®id(a 0 6 0 с)),
где (Δ 0 1α)(Φ) = Δ(^) 0 <^2 € -4®3. Поскольку т0 ο (id 0 m0) =
= то о (то 0 id), ассоциативность умножения m* эквивалентна свойству
(Δ 0 1<1)(Φ) + Φ 0 id = (id 0 Δ)(Φ) + id 0 Φ,
которое, очевидно, выполняется, так как Φ = φ\ 0 φ2.

202
Глава 2
В общем случае 2п попарно коммутирующих дифференцирований ψ{
на коммутативной алгебре А определяют скобку Пуассона на А:
η
{α, b} = ^2(φ{(α) · <pi+n(b) - Vi+n(a) · ч>г{Ъ)),
г=1
и деформационное квантование соответствующей алгебры Пуассона
(Л, { , }) дается формулой универсальной деформации
η
ггц = ^о о е i=1
Деформационное квантование пуассонова многообразия {Ж, { , })
(см. раздел 1.2.7 главы 1) — это, по определению, деформационное кван-
тование соответствующей алгебры Пуассона классических наблюдаемых
(С°°(*/#),{ , }) с тем свойством, что линейные отображения ran,n ^ 1
являются бидифференциальными операторами31. Формальное разложе-
ние (3.22) •-произведения в степенной ряд является деформационным
квантованием пуассонова многообразия (М2п,{ , }), на котором скобка
Пуассона соответствует канонической симплектической форме ω = dpAdq.
Задача 3.13. Покажите, что С* (Л, А) — градуированная алгебра Ли
по отношению к скобке Герштенхабера, т. е. что отображение [, ]g удовле-
творяет градуированному тождеству Якоби
(_l)(m-l)(p-l)[/5 ^ h]] + (_l)(n-l)(p-l)[ftj Ы] +
+ (-1)(ш-1)(п-1)Ь,[л,/]] = о
для любых f eCm(A,A),ge СП(Д, Л), h е СР(А, А).
Задача 3.14. Проверьте, что dnf = [/, т0]с где / € СП(Л, А) и dn
— дифференциал Хохшильда.
31 Этим свойством гарантируется то, что единица алгебры Пуассона сохраняется при дефор-
мации.

2.3. Соотношения Вейля
203
Задача 3.15. Покажите, что деформационные квантования, ассоции-
рованные с квантованием Вейля, pq- и ςτρ-квантованиями, эквивалентны.
(На самом деле все деформационные квантования канонического пуассоно-
ва многообразия (М2п, { , }) эквивалентны.)
Задача 3.16 .Пусть д — конечномерная алгебра Ли с базисом х\,..., хп
и пусть д* — ее двойственное пространство, оснащенное скобкой Ли-Пуас-
сона { , } (см. задачу 2.20 в разделе 1.2.7 главы 1). Для и е д* и х =
η η
= Σ Г**, у = Σ rfxt £ д пусть
г=1 г=1
α, β
где ξα = (ξ1)"1 ... (ξη)αη, if = (η1)^1 ... (ηη)@η — формальный групповой
закон — «ряд Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа». Покажите, что произведе-
ние
mt(/b/2) =^2aa0(u,t)Daf1(u)D0f2(u), Д,/2 € C°°(q*),
α,β
где для мультииндекса а = (ai, ...,an) и / € С°°(д*) Daf =
β<*1+ . . .+αη ^
= —— α дает деформационное квантование пуассонова многооб-
ии^ ...иипп
разия (д\{ , }).
Задача 3.17. Пусть (G, { , }) — группа Ли-Пуассона, где 77(g) =
= — г + Ad-1g · г и невырожденное г удовлетворяет классическому урав-
нению Янга-Бакстера (см. задачи 2.21—2.23 в разделе 1.2.7 главы 1).
Используя ряд Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа для алгебры Ли д — од-
номерного центрального расширения алгебры д с помощью 2-коцикла с
(см. задачу 2.23 в разделе 1.2.7 главы 1), покажите, что существует эле-
мент F e (Ug ® i/fl )[[£]] вида F = 1 — -tr + 0(t2), удовлетворяющий
условию
(Δ ® ld)(F)(F (g) 1) = (id ® A)(F)(1 ® F),
где Δ — стандартное копроизведение в Ug.

204
Глава 2
Задача 3.18. Пусть Fl и Fr — образы F и F-1 при отождествлени-
ях универсальной обертывающей алгебры Uq с алгебрами лево- и право-
инвариантных дифференциальнах операторов на G (см. задачу 2.21 в раз-
деле 1.2.7 главы 1) и пусть & = Fl о F#. Покажите, что произведе-
ние mt = то о & дает деформационное квантование группы Ли-Пуас-
сона (G, { , }), такое, что
Δ о mt = (mt <S> mt) ο Δ,
где Δ — стандартное копроизведение функций на G, A(f)(gi,g2) =
= f(9i92)Je C°°(G). Алгебра Хопфа (C°°(G),muA,S)9 где S - стан-
дартный антипод на G, S(f)(g) = f(g~x), называется квантовой группой,
соответствующей группе Ли-Пуассона G, и обозначается Gq,q = el.
Задача 3.19. Пусть R = a(F~l)F <E (Uq <g> Ug)[[t]]9 где σ - пере-
становка — инволюция Uq ® Uq, определенная формулой σ(α ® b) = b ® a,
a,b £ Uq. Покажите, что R = 1 — tr + 0(t2) и удовлетворяет квантовому
уравнению Янга - Бакстера
^12^13^23 = ^23^13^12
(см. обозначения задачи 2.22 в разделе 1.2.7 главы 1).
2.4. Замечания и ссылки
Классическая монография Дирака [Dir47] — фундаментальный текст.
Другие классические источники — учебники физики [Фок76Ь] и [Лан89Ь].
Монография [Sak94] — популярный текст для аспирантских курсов на фи-
зических факультетах. Другой полезный физический источник — энцикло-
педический труд [Mes99], в котором обстоятельно обсуждается происхож-
дение квантовой теории и развитие ее математического формализма. Эле-
ментарный учебник [PW35] предлагает введение в старую квантовую тео-
рию, включая правила квантования Бора- Вильсона - Зоммерфельда и при-
ложения квантовой механики к химии. Мы отсылаем заинтересованного
читателя к этим источникам за физическими формулировками и происхож-
дением квантовой механики, включая обсуждение основных эксперимен-
тальных фактов: эксперимента с двумя щелями и корпускулярно-волнового
дуализма. Квантовая механика не описывает исходы одного измерения де-
терминированным образом, и квантовый процесс измерения допускает раз-
личные интерпретации. Общепринятой является так называемая копенга-
генская, в которой измерение вызывает мгновенный «коллапс» волновой
функции, описывающей квантовую систему.

2.4. Замечания и ссылки
205
Монографии [Rud87,Bnp80,AX93], также как и [RS80,RS75], содер-
жат весь необходимый материал из теории операторов в гильбертовых про-
странствах; последний труд охватывает также теорию обобщенных функ-
ций, преобразование Фурье и самосопряженность. Книга [Кир78] знако-
мит читателя с различными методами теории представлений, а моногра-
фия [BR86], написанная для физиков-теоретиков, содержит всю необходи-
мую информацию по теории представлений групп и алгебр Ли. Сжатое
введение в метод стационарной фазы и другие асимптотические методы
даются в классическом тексте [Erd56] и в [01v97]; см. также Приложение В
в [BW97]. Свойства многочленов Эрмита-Чебышева32 можно найти в клас-
сической монографии [Sze75], также как и в других справочных материалах
по специальным функциям и ортогональным многочленам.
Наше изложение в разделе 2.1.1 следует традиционному подходу к ма-
тематическим основаниям квантовой механики, базирующемуся на аксио-
мах Дирака-фон Неймана. Эти аксиомы восходят к классической моно-
графии фон Неймана [vN96] и более подробно обсуждаются в [Мас04];
см. также [Бер83а], замечания к главе VIII [RS80] и ссылки в этих рабо-
тах. Другое математическое описание квантовой механики основывается
на С*-алгебрах и теореме Гельфанда-Наймарка-Сигала; его можно найти
в [Str05] и цитируемых там работах.
Наше изложение в разделе 2.2 следует схеме из [Фад01]; см. [Бер74]
для общей математической формулировки задачи квантования и недавний
обзор [АЕ05]. Имея в виду более продвинутую аудиторию, чем [Фад01],
мы включили в разделы 2.2.1 и 2.2.2 полную математическую трактовку
коммутационных соотношений Гейзенбсрга и координатного и импульсно-
го представлений. В разделах 2.2.2 и 2.2.3 мы используем ту же нормировку
собственных функций непрерывного спектра, что и в [Фок76Ь]; она соот-
ветствует соотношению ортогональности в разделе 3.2.2 главы 3. В нашем
изложении в разделе 2.2.6, которое в остальном стандартно, мы включили
доказательство полноты собственных функций ipn(q), обычно только упо-
минаемое в учебниках физики. Голоморфное представление в квантовой
механике было введено В. А. Фоком в 1932 г. [Foc32], где скалярное про-
изведение в @п давалось в терминах ортонормального базиса из одночле-
нов fm(z). В терминах интеграла (2.52) это скалярное произведение бы-
ло определено В. Баргманом [Ваг61]; голоморфное представление называют
также представлением Фока-Баргмана. Обсуждение виковских символов
32Следуя В.А.Фоку [Фок76Ь], в разделе 2.2.6 мы использовали более подходящее назва-
ние «многочлены Эрмита-Чебышева» вместо обычного «многочлены Эрмита» (см. весомые
исторические основания в [Гер50]).

206
Глава 2
операторов в разделе 2.2.7 в основном следует [Бер83а]; больше деталей
можно найти в оригинальной статье [Бер71Ь]. Метод геометрического кван-
тования только мельком упоминается в замечаниях к разделам 2.2.2 и 2.2.7;
мы отсылаем заинтересованного читателя к монографиям [GS77, Woo92],
курсам лекций [SW76,BW97] и обзору [Кир85с].
Наше доказательство знаменитой теоремы Стоуна-фон Неймана в раз-
деле 2.3.1 в основном следует оригинальной статье фон Неймана [vN31].
Главный инструмент доказательства — преобразование Вейля — был введен
Г. Вейлем в классической монографии [Wey50] (см. [Ros04] по поводу ис-
тории и обобщений теоремы Стоуна-фон Неймана). Инвариантную фор-
мулировку теоремы Стоуна-фон Неймана, обсуждаемую в разделе 2.3.2,
также как и связь с индексом Маслова, метаплектической группой, пред-
ставлением Шейла- Вейля и приложениями к теории чисел можно найти
в [LV80]. Мы отсылаем читателя к [Бер83а] за развернутым обсуждени-
ем pq- и ςτρ-квантований, их связью с квантованием Вейля, также как и
за большими подробностями о •-произведении, введенном в разделе 2.3.4.
Красивая формула (3.24) для •-произведения — композиция вейлевских
символов — принадлежит Березину [Бер71а].
Понятие деформационного квантования было введено в [BFF+78a,
BFF+78b], где можно найти решение задачи 3.12. Фундаментальную теоре-
му о том, что любое пуассоново многообразие допускает деформационное
квантование, доказал Концевич в [КопОЗ]. Больше информации о когомоло-
гии Хохшильда и теории деформаций ассоциативных алгебр можно найти
в обзоре [Vor05] и цитируемых там работах. Подход теории деформаций
к развитию физических теорий, например, к переходу от классической ме-
ханики к квантовой, подчеркнутый в лекциях Фадцеева [Фад01], можно
найти в [Fla82] и [Fad98].
Большинство задач в этой главе довольно стандартны и в основном
взяты из работ [RS80, Бер83а]. Другие требуют большей искушенности
и приведены с целью познакомить читателя с новыми темами. Так, асимп-
тотическое разложение в задаче 2.11, которое можно найти в моногра-
фии [Sze75], это пример квазиклассической асимптотики, а в задаче 3.1,
взятой из [Nel59], дается критерий интегрируемости неприводимого уни-
тарного представления алгебры Гейзенберга. Задачи 3.17-3.19 вводят чита-
теля в теорию квантовых групп (см. [Jim85, Дри86Ь, Dri87, Реш89а]) и взя-
ты из [Дри83Ь] (см. также [Так90]). Фундаментальный результат того, что
любая группа Ли-Пуассона допускает деформационное квантование как
в задаче 3.18, был доказан в [ЕК96] (см. также [EnrOl]).

Глава 3
Уравнение Шрёдингера
3.1. Общие свойства
Теперь мы опишем общие свойства оператора Шрёдингера для кван-
товой частицы в Мп, движущейся в потенциальном поле. Для упрощения
обозначений в этой главе мы положим 7г=1ига=-и будем записывать
декартовы координаты на Жп как х = (xi, .. .,хп). Напомним (см. раз-
дел 2.2.4 главы 2), что соответствующий оператор Шрёдингера задается
формальным дифференциальным выражением
Я = -А + У(ж),
где V(ж) — вещественнозначная, измеримая функция на Rn. Обозначим как
*-—(£♦·-£)
оператор Шрёдингера свободной квантовой частицы массы т = - на Ш.п9
также называемый оператором кинетической энергии, а как V — оператор
умножения на V(ж), также называемый оператором потенциальной энер-
гии, так что
H = HQ + V. (1.1)
Согласно разделу 2.2.3 главы 2 оператор Но самосопряжен и неограничен
в Ж = L2(Rn) и имеет область определения D(H0) = W2>2(Rn) и абсо-
лютно непрерывный спектр [0, сю), а оператор V самосопряжен и является
ограниченным, если и только если V(ж) Ε L°°(lRn), когда ||У|| = ||^||оо·
Сумма Но + V необязательно самосопряжена, и первая важная матема-
тическая задача квантовой механики состоит в характеризации потенци-
алов V(x), для которых формальное дифференциальное выражение (1.1)
однозначно определяет самосопряженный оператор Η в Ж. Вначале по-
знакомимся с некоторыми полезными критериями самосопряженности.

208
Глава 3
3.1.1. Самосопряженность
Главный результат в этой области — это теорема Като - Реллиха о воз-
мущениях самосопряженных операторов.
Определение. Пусть А и В — плотно определенные операторы в Ж.
Оператор В меньше, чем оператор А, в смысле Като, если D(A) С D(B)
и существуют а,Ь £Ш, причем а < 1, такие, что для любого ψ G D(A)
\\Вф\\^а\\Аф\\+Ь\Щ\. (1.2)
Эквивалентно, оператор В меньше, чем А, в смысле Като, если суще-
ствуют α, β G Ш, причем а < 1, такие, что для любого φ G D(A)
\\Βψ\\2^α\\Αψ\\2+βΜ\\2. (1.3)
Теорема 1.1 (Като-Реллих). Если А — самосопряженный опера-
тор с областью определения D(A), а В — симметрический оператор,
меньший, чем А, в смысле Като, то Η = А + В с областью определе-
ния D(H) = D(A) — самосопряженный оператор.
Доказательство.
Напомним, что оператор Η самосопряжен, если и только если
1т(Н + XI) = 1т(Н — XI) = Ж для некоторого λ G г Μ, а значит, для
любого λ G С \ σ(Η). Поскольку А — А*, для любого λ G гШ имеем R\ =
= (А- XI)-1 G ££{Ж) и Im ДА = D(A). Далее,
Η - XI = (I + BRX)(A- XI),
и чтобы доказать, что 1т(Н — XI) = Ж, достаточно показать, что для
довольно большого |λ| выполняется ||-ВДа|| < 1> поскольку тогда, че-
рез ряд Неймана, / + BR\ становится обратимым ограниченным опера-
тором, и Im(/ + BR\) = Ж. Действительно, для любого φ G Ж имеем
неравенства
следующие из уравнения ||(Л — ΧΙ)ψ\\2 = \\Αψ\\2 + |λ|2||^||2, если поло-
жить φ = (А — ΧΙ)ψ. Далее, используя (1.2) с ф = R\ip, получаем
||ВДаИ| < *\\ARx<p\\ + Ь||ЯаИ| < (<* + щ)НИ1,
так что ||ВДл|| < 1 для достаточно больших |λ|.
Мы используем критерий Като-Реллиха для физически важного слу-
чая, когда А = Но — оператор Шрёдингера свободной частицы в Ш3 и В =
= V — оператор умножения на У (ж).

3.1. Общие свойства
209
Теорема 1.2. Пусть V = Vi + V2, где Vi(x) G L2(M3) u V2{x) G
G L°°(1R3). Тогда Η = Щ + У — самосопряженный оператор и D(H)
= W2>2( ~
Доказательство.
Достаточно показать, что У меньше, чем Но, в смысле Като на
С£°(М3) С W2>2(R3). Обозначая как || · Ц^ норму на L°°(1R3), для φ G
G С£°(М3) имеем
||^|| <||Vi|||Mloo +Halloo Nl·
Пусть h(p) = ρ2. Обозначая как || · ||i норму на L1(1R3) и используя преоб-
разование Фурье и неравенство Коши - Буняковского - Шварца, получаем
(2π)3/2|ΜΙοο = sup
хеш3
\Jе^ф(р)а3р
ш.3
< \\Фк <
^11(л + 1Г11111(л+ад<с(|М| + |И) =
= с(||ЯоИ1 + 1М1)·
Теперь заменим ф(р) на фг(р) = г3ф(гр), г > 0. Поскольку ||<£г||оо =
= Nloo, ||^r||i = Nil, \\Фг\\ = г3/2\\ф\\, и \\Нфг\\ = г~1/2\\кф\\, получаем,
что
(2π)3/2|Μ|οο < r-^CCItfoHl+r2|MI),
где г > 0 произвольно. Выбирая г таким, что а = r_1/2(27r)~3/2C||Vi|| < 1,
заканчиваем доказательство.
Следствие 1.3. Оператор Шрёдингера сложного атома, рассматри-
вавшийся в примере 2.2 раздела 2.2.4 главы 2, существенно самосопряжен
вС0°°(М3^+1)).
Доказательство.
Будем рассматривать только специальный случай гамильтониана атома
водорода:
Н = -А-£, г=\х\.
Записав V = x\V + (1 — xi)V = V\ + V2, где \i — характеристическая
функция единичного шара Bi = {x G Ш3 : |ж| ^ 1}, имеем V\(x) G L2(
uV2(x)eLc

210
Глава 3
Другой полезный критерий применяется к вещественнозначным по-
тенциалам V(ж) G L™c(Rn) из пространства локально ограниченных
п. в. функций на Шп. В этом случае оператор Н, определенный фор-
мальным дифференциальным выражением (1.1), является симметрическим
на Со°(Мп), и имеется следующий результат.
Теорема 1.4. Если потенциал V(x) G L{£c(Rn) ограничен снизу,
V(x) ^ С п. в. на W1, то оператор Шрёдингера Η = Но + V существенно
самосопряжен на Со°(Мп).
На самом деле выполняется более общее утверждение.
Теорема 1.5 (Сире). Предположим, что потенциал V(x) G L^c(Rn)
удовлетворяет для любого х G Ш71 условию
V(x) > -Q(\x\),
где Q(r) — возрастающая непрерывная положительная функция на [0, оо),
такая,
оо
[ dr _
/ —, = оо.
Тогда оператор Шрёдингера Η = Щ + V существенно самосопряжен
наС^{Жп).
Задача 1.1. Докажите следствие 1.3 в общем случае. {Указание: вы-
ведите оценку (1.3) для каждого члена соответствующего оператора потен-
циальной энергии.)
Задача 1.2 (Неравенство Като). Пусть функция φ е Lloc(Rn)
такая, что обобщенную функцию Аф, можно представить функцией
из Lloc(Rn). Докажите, что в смысле обобщенных функций А|гх|^
/ — \ 77 ( Т* )
^Re ( ^Агм, где предполагается, что . . = 0, если и(х) = 0. (Обоб-
\и / и(х)
щенная функция Г G У{Ш.п)' неотрицательна, если Τ(φ) ^ 0 для любого
неотрицательного φ G У(Шп).)
Задача 1.3. Докажите теорему 1.4, используя неравенство Като.
(Указание: покажите, что если ф G L2(Rn) удовлетворяет условию (—Δ +
+ V(x) + С + \)ф = О в смысле обобщенных функций, то ф = 0.)
Задача 1.4. Докажите, что одномерные операторы Шрёдингера
с неограниченными снизу потенциалами V(x) = х и V(x) = —х2 суще-
ственно самосопряжены на Cq°(R).

3.1. Общие свойства
211
3.1.2. Характеризация спектра
Вторая важнейшая математическая задача в квантовой механике — опи-
сать спектральные свойства оператора Шрёдингера Н. Мы приводим здесь
некоторые общие результаты, характеризующие спектр Н. Первый основ-
ной результат заключается в следующем.
Теорема 1.6. Предположим, что V(x) Ε L^c(lRn) удовлетворяет
условию
lim V(x) = оо.
|гс|—>-оо
Тогда оператор Η имеет чисто точечный спектр: существует орто-
нормированный базис {фп}пеп в <№> состоящий из собственных функ-
ций Η с собственными значениями \\ ^ А2 ^ · · · ^ λη ^ · · · конеч-
ной кратности,
Ηψη = ληΨη,
и lim λη = 00.
η—>·οο
Напомним, что существенный спектр aess(A) самосопряженного опе-
ратора А состоит из неизолированных точек σ(Α) и собственных значе-
ний бесконечной кратности. Следующий результат дает достаточное усло-
вие того, что существенный спектр оператора Шрёдингера заполнит интер-
вал [0, сю).
Теорема 1.7. Предположим, что V = V\ + V2, где Vi(x) Ε Lq(Rn),
2q ^ η для п > 4 и q ^ 2 для η ^ 41, и V2{x) € L°°(lRn) удовлетворяет
условию
lim V2(x) = 0.
\х\—юо
Тогда aess(H) = [0, сю), так что σ(Η)Γ\(—οο, 0) состоит из изолированных
собственных значений Η конечной кратности.
Следующий результат дает достаточное условие того, что у оператора
Шрёдингера с убывающим потенциалом будут только отрицательные соб-
ственные значения.
1В особом случае η = 4 имеем q > 2.

212
Глава 3
Теорема 1.8 (Като). Предположим, что V(x) G L°°(Rn) и
lim \x\V(x) = 0.
\х\—»оо
Тогда у оператора Шрёдингера Η = Щ + V нет положительных соб-
ственных значений.
Напомним, что абсолютно непрерывный спектр и сингулярный спектр
самосопряженного оператора А в Ж определены соответственно равен-
ствами σΑ€(Α) = а(А\Жас) и asc(A) = σ(Α\^), где Жас и Ж8С —
замкнутые подпространства для А, определенные следующим образом.
Пусть Ра — проекционная мера для самосопряженного оператора А
и пусть νψ = (ΡαΨ,Ψ) — конечная борелевская мера на М, соответству-
ющая вектору ψ G Ж, φ φ 0. Тогда Ж^с состоит из 0 и всех φ G Ж,
таких, что мера νψ абсолютно непрерывна по отношению к мере Лебега
на R, а Ж&с состоит из 0 и всех φ G Ж, таких, что мера щ сингулярна по
отношению к мере Лебега на R.
Теорема 1.9. Предположим, что потенциал V(x) G L°°(lRn) для
некоторого ε > 0 удовлетворяет условию
V(x) = 0(\х\~1~е) при \х\ —> сю.
Тогда у оператора Шрёдингера Η = Но + V нет сингулярного спектра
и аас(Н) = [0, сю). Более того, σ{Η) Π (—сю,0) состоит из собственных
значений Η конечной кратности, а его единственная возможная предель-
ная точка — 0.
Наконец, для физически важного случая η = 3 имеется полезная оцен-
ка числа собственных значений оператора Шрёдингера.
Теорема 1.10 (Бирман- Швингер). Предположим, что V(x) G L°
//
!"<■«/.;,<«.
2
I®-2/1
Тогда для полного числа N собственных значений оператора Шрёдинге-
ра Η = Hq + V, считаемых с учетом кратности, имеется оценка
II
1 Г Г\у(*)у(у)\#_*.
„ _ 1ж-1у12
R3 R3
" «is?/У п^Г'"-■»·
Задача 1.5. Докажите все результаты, перечисленные в этом разделе.
(Указание: см. список библиографических ссылок к этой главе.)

3.1. Общие свойства
213
3.1.3. Теорема о вириале
Пусть Η = Но + V — оператор Шрёдингера, у которого потенциал —
однородная функция на Ш71 степени р, т. е. V(ax) = apV(x). Теорема о ви-
риале в квантовой механике — это соотношение между математическими
ожиданиями операторов Щ и V кинетической и потенциальной энергий
в стационарном состоянии.
Теорема 1.11 (Теорема о вириале). Пусть φ Ε Ж, \ф\ = 1, —
собственная функция оператора Шрёдингера с однородным потенциалом
степени ρ и пусть То = (Ηοψ, ψ) uVo = (Уф, φ) — соответствующие ма-
тематические ожидания операторов кинетической и потенциальной энер-
гий. Тогда
2Т0 = pV0.
Доказательство.
Из уравнения Шрёдингера
-Аф + У(х)ф = Хф
следует, что
T0 + Vo = -{Αφ, φ) + (νψ, ψ) = \.
Для любого α > 0 функция фа(х) = φ (ах) удовлетворяет условию
-Афа + ар+2У{х)фа = а2Хфа,
так что, дифференцируя это уравнение по а при а — 1 и используя теорему
Эйлера об однородных функциях, получаем
-Аф + V(x)tj> = Хф + (2λ - (ρ + 2)У{х))ф. (1.4)
Поскольку φ G D(H)9 a H самосопряжен, выполняется
((Я -М)ф, ф) = (ф, (Я - \1)ф) = О,
и из (1.4) получается, что
2А=(р + 2)Уо,
что и завершает доказательство.

214 Глава 3
Замечание. Поскольку уровни энергии квантовых систем имеют
отношение к замкнутым орбитам соответствующих классических систем,
теорема 1.11 является квантовым аналогом классической теоремы о вириа-
ле (см. пример 1.2 в разделе 1.1.3 главы 1).
Задача 1.6 (Принцип Рэлея-Ритца). Докажите, что λ — соб-
ственное значение самосопряженного оператора Η с собственной функ-
цией φ тогда и только тогда, когда φ — критическая точка функциона-
ла F[ip) = ((Я - ΧΙ)φ, φ) на D(H).
Задача 1.7. Выведите теорему о вириале из принципа Рэлея-Ритца.
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
Оператор Шрёдингера на вещественной прямой — одномерный опера-
тор Шрёдингера — имеет вид
где вещественнозначный потенциал V(x) принадлежит L11oc(lR), простран-
ству локально интегрируемых функций на Ш. Соответствующая задача
о собственных значениях,
Нф = Хф,
сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго поряд-
ка:
-у" + V(x)y = к2у, -оо < х < оо, (2.1)
в котором удобно положить λ = к2. В этом разделе мы подробно изучим
одномерное уравнение Шрёдингера (2.1) для случая, когда
оо
А(1 +|a:|)|V(a:)|da: < оо. (2.2)
— ОО
Условие (2.2) — это математическая формулировка физического утвержде-
ния о том, что потенциал V(x) убывает при |х| —► оо. Она позволяет срав-
нивать решения у(х,к) уравнения Шрёдингера (2.1) с решениями е±гкх
уравнения Шрёдингера для свободной квантовой частицы, соответствую-
щего случаю V = 0 в (2.1). Все результаты этого раздела верны для ве-
щественнозначного потенциала V(x) G L11oc(lR), удовлетворяющего (2.2);
для простоты изложения мы вдобавок предполагаем, что потенциал V(x)
в (2.2) непрерывен на Ш.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
215
3.2.1. Функции Йоста и коэффициенты перехода
Пусть
оо оо
а(х) = / |V(s)|ds и а\{х) = / a{s)ds.
X X
Посколысу V G Ь1(М), имеем lim а(х) — О и, используя условие (2.2)
х—»оо
и теорему Фубини, получаем
оо оо оо t оо
ai(x)= J J \V{t)\dtds= f f\V(t)\dsdt= I\t - x)\V(t)\ dt
так что σ G Ll(x,оо) для любого х G R и lim ai(x) = 0. Аналогично
х—»оо
функции
X X
а(х) = / |V(s)|ds и ai(x) = / a(s)ds
— оо —оо
удовлетворяют условию lim а(х) = lim ai(x) = 0. Условие (2.2)
х—►—оо х—* — оо
гарантирует, что для вещественных А: дифференциальное уравнение (2.1)
имеет решения /i(x, к) и /2(2, &), однозначно определяемые следующими
асимптотиками:
/i(x, к) = егкх + о(1) при а; —> оо,
f2(x,k) = е~гкх + о(1) при х —> -оо.
Они называются решениями Йоста и играют фундаментальную роль в тео-
рии одномерного уравнения Шрёдингера.
Теорема 2.1. Для вещественных к дифференциальное уравнение (2.1)
имеет решения fi(x,k) и /2(ж, А:), удовлетворяющие следующим свой-
ствам,
(/) Оценки для k G R:
|e-<b7i(*,fc) - 1| < М*) -<ri(a:+ щЖ'(х),
|e<te/2(x,A:) - 1| < (^(х) - ах{х - ^ц))е^х).

216
Глава 3
(и) Асимптотики при \х\ —+ оо:
lim e-ikxh(x, k) = 1, lim e~ikxf[(x, k) = ifc,
X—ЮО Ж—ЮО
lim e<fca:/2(»,fe) = l, Hm eikx&(x,k) = -tfc.
(ш) Аналитичность: функции /i(x, A:) w /2(^5 &) допускают аналитическое
продолжение в верхнюю полуплоскость Imfc > 0 и являются непре-
рывными в области Im A; ^ О равномерно по х на компактных подмно-
жествах R.
(/ν) Свойство сопряжения:
fi(x,k) = /i(x,-fe), /2(ж,*) = /2(x,-fe), Imfc ^ 0.
(ν) Оценки в части (i) выполняются для Im k ^ 0. Для к Φ 0
.. _— Im/cx 77Tcr(rE)
1*1
., Лт/сх 777 σ (ж)
l/afo*) -e-te| < ^-?(х)е'*1 .
(ν/) Асимптотика при \k\ —► 00, Im A; ^ 0:
e-to/!(x, fc) = 1 + Odfel"1), e<fc*/2(a;, fc) = 1 + 0(|*Г').
Доказательство.
Из метода вариации произвольных постоянных получается, что диффе-
ренциальное уравнение (2.1) с граничным условием lim e~lkxfi(x, k) = 1
ж—» 00
эквивалентно интегральному уравнению
оо
h(x, k) = eik* - J "^"Vfl/ift, *)*· (2-3)
Положив у?(ж, А;) = e~tkxfi(x, к), получаем
оо
ψ(Χ, k) = l-J 1 ~ ^ш'^ ν®φ& k)dL (2'4)

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
217
При Imk ^ 0 интегральное уравнение (2.4) является уравнением типа
Вольтерра, и его можно решить методом последовательных приближений.
А именно: будем искать решение в виде
оо
(2.5)
V(t)ipn(t,k)dt
где
φ0(Χ
,*)
= 1и
4>n+i{x
,*) =
¥>(s,*0 :
оо
п=0
. р—2гк(х-
2гк
ifa
-*).
■ *),
*ч*:
оо / £
= / ( / e-2ife^-s)F(i)^n(i, fc)<*> I Λ.
Ыг,*)^-^-. (2.6)
Тогда для Im к ^ О
ai(x)n
η!
Действительно, эта оценка верна для η = 0, и, используя теорему Фубини
и предположение индукции, получаем
оо / t
\φη+1(Χ, fc)K i J I J \V(t)\ai(t)nds dt =
x \x /
oo / oo \
= ±jy\V(t)\a1(trdt\ds<
OO
n\J w 1W (n + 1)!
Таким образом,
Η*,Λ)Ι<βσ1(Χ). (2.7)
По признаку сравнения Вейерштрасса функция у?(ж, А;), определенная схо-
дящимся рядом (2.5), аналитична при ImA; > 0. Она также непрерывна
вплоть до прямой ImA; = 0 равномерно по х на компактных подмноже-
ствах R.

218
Глава 3
Первая оценка в части (i) теперь следует из (2.4) и (2.7). А именно:
воспользовавшись равенством \V(t)\ = —cr'(t) и интегрируя по частям, по-
лучаем
\<p(x,k)-l\<J
X
1 _ —2ifc(x—t)
2ik
< eCTl(x)
|fc|
\V(t)\\<p(t,k)\dt<
\
J {t-x)\V{t)\dt + ±- I \V(t)\dt
x+w
= e»iOO
-(i-a;)CT(i)
X+W
X+W\
+
J *(*)* +Щ J \V(t)\dt
X+W\
= e°*M(a1(x)-a1(x+±[))
Для к = 0 эту оценку следует понимать как \<р(х, 0) — 1| ^ ai^e^^.
Функция fi{x,k) = βτ1*Χφ{Χ,}η удовлетворяет интегральному уравне-
нию (2.3) и в силу (2.7) в (2.3) можно дифференцировать под зна-
ком интеграла. Это доказывает, что fi(x,k) удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению (2.1) и первой оценке части (i). В частности,
lim е~гкхf\{x,k) = 1 для ImA; ^ 0. Дифференцируя (2.3) и используя
ж—>οο
то, что е-1т/с(*-ж)| Cos к(х — t)\ ^ 1 для t ^ х и 1т к ^ 0, получаем
оо
\e~ikxf[(x, к) -ik\^J \V(t)\\tp(t, k)\dt ^ а(х)е^х\ (2.8)
так что lim е гкх/[(х, к) = гк для Im к ^ 0.
ж—>οο
Свойство сопряжения следует из единственности решения fi(x,k),
удовлетворяющего оценке в части (i). Чтобы доказать единственность, обо-
значим как х(х,к) однородное решение интегрального уравнения (2.4)

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
219
со свойством, что а(х) — supx<t<00 |%(£, к)\ < оо для любого х £ М.
Рассмотрим неравенство
оо / t
\X{x,k)\< J U\V(t)\\X(t,k)\ds\dt,
следующее из однородной формы уравнения (2.4). Повторяя доказатель-
ai(x)n
п\
лу η —► оо дает \(х, к) = 0.
Для доказательства первой оценки в части (ν) рассмотрим неравенство
ство оценки (2.6), получаем |х(ж,А;)| ^ а(х) :—, а переход к преде-
оо
Ых,к) - II < η^ρ -щ/лШЬк) - i\dt, (2.9)
X
следующее из (2.4) при к φ 0. Последовательно применяя (2.9), получаем
1
И*,*)-1|<2МеЙ'(Х).
1*1
Асимптотика в части (vi) следует из оценки в части (ν), что и заверша-
ет доказательство для решения fi(x,k). Существование и аналитические
свойства решения /г (ж, к) доказываются аналогично рассмотрением инте-
грального уравнения
х
/2(х, к) = e-ik* + J Sinfc(*~*V(t)/2(i, k)dt. (2.10)
Следствие 2.2. Для Imfc^Owfc^O .
lim e-to(/i(x,fc)-ix/i(x,fc)) = 0, lim eikx(f2(x,k)+ixf2(x,к)) = О,
где точка обозначает частную производную по к.
Доказательство.
Дифференцируя (2.4) по к, получаем следующее интегральное урав-
нение для ф(х, к) = e~~tkx(fi(x, к) — ixfi(x, к)):
оо
/1 _ p-2ik(x-t)
2ik V(t)tp(t,k)dt,

220
Глава 3
где
оо
д(х, к) = | J(t - Χ)β-2^Χ-^ν(ηφ(1, k)dt + |(1 - φ(Χ, к)).
Χ
Из оценки в части (i) теоремы 2.1 и (2.7) следует, что \д(х,к)\ ^
^ 7-;0-i(x)eai(x\ и, повторяя доказательство оценки (2.7), получаем, что
\ф(х,к)\ ^ jr;cri(x)e2<Tl(x\ Поскольку lim a\(x) = 0, это доказывает
\к\ х—уоо
утверждение для Д (#,£;). Соответствующий результат для f2(x,k) дока-
зывается аналогично. Для вещественных к ф 0 пары fi(x, к), fi(x, —A;) =
= fi(x,k) и /2(х,к), f2(x,—k) = /2(3:,к) являются фундаментальными
решениями дифференциального уравнения (2.1). Действительно, вронски-
ан W(y\, 2/2) = У1У2 — 2/12/2 Двух решений (2.1) не зависит от х, а из части
(и) получаем, что
W(/i(я, fc),/i(*,-*))= lim W(/i(a;,fe),/i(a:,-fe)) = 2t*;,
W(/2(a:, fc), /2(ж, -fc)) = lim W(f2(x, к), f2(x, -к)) = -2ik.
X-+ — OO
Поэтому для таких к имеем
/2(ж, к) = a(fe)/i(x, -fc) + b(k)h(x, к), (2.11)
где коэффициенты перехода а(к) и Ь(&) даются формулами
«(*) = ±W(h(x,k),f2(x,k)), Ъ(к) = ±W{h{x,k),h{x,-k))
(2.12)
и удовлетворяют равенствам а(к) = а(—к), Ь(к) = Ь(—к). Аналогично на-
ходим, что
h(x, к) = a(k)f2(x, -к) - b(-k)f2{x, к). (2.13)
Подставляя (2.13) вместо fi(x,k) и fi(x,—k) в (2.11), находим для веще-
ственных к ф 0 так называемое условие нормировки'.
|а(А;)|2 = 1 + |Ь(А;)|2. (2.14)
Из частей (iii) и (vi) теоремы 2.1 следует, что коэффициент а(к) допускает
аналитическое продолжение в область Im к > 0 и
а(к) = 1 + О^'1) при \к\ -> оо. (2.15)
Более того, функция ка(к) непрерывна в области ImA; ^ 0.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
221
Условие нормировки (2.14) означает, что все нули а(к) лежат в верхней
полуплоскости ImA; > 0. Пусть ко — такой ноль, а(ко) = 0. Из первого
уравнения в (2.12) следует, что W(fi (ж, к0), /2(2, к0)) = 0, так что решения
Иоста fi(x, ко), /2(^5 ко) линейно зависимы,
fi(x,k0) = cof2(x,ko),
для некоторого со φ 0. Из части (i) теоремы 2.1 следует, что при Imfc > 0
решение /i(x, к) экспоненциально затухает при х —► оо, а решение /г (ж, к)
экспоненциально затухает при х —+ —оо. Поэтому /i( ·, fco) G I/2(R) —
собственная функция оператора Шрёдингера Η с собственным значени-
ем λο = k,Q. Поскольку оператор Η симметрический, его собственные зна-
чения вещественны:
оо
Ao||/i(-,MI2= j {-K{xM) + V{x)h{xM)WxM)dx =
—00
00
= J П(х,к0)(-П'(х,к0) + У(х)Мх,к0)) dx = Xo\\fi(- ,k0)\\2,
— OO
что легко видеть, дважды проинтегрировав по частям; вследствие ча-
сти (i) теоремы 2.1 и оценки (2.8) граничные члены обращаются в ноль
при \х\ —> оо. Таким образом, ко = гщ — чисто мнимая величина с κ0 > 0,
так что λο = — Xq < 0, а соответствующая собственная функция fi(x,i>co)
вещественнозначна.
Предложение 2.1. У функции а(к) в верхней полуплоскости Imfc > 0
лишь конечное число чисто мнимых простых нулей ki = гщ, и
а(гщ) = -гс/||/2(-,гх/)||2, / = 1, ...,п,
где точка обозначает производную, а /\(х,гщ) = с//2(х, гщ). Функ-
ция 1/а(к) ограничена в некоторой окрестности точки к = 0 в обла-
сти Im к ^ 0.
Доказательство.
Из (2.14) и (2.15) следует, что к = 0 — единственная возможная
предельная точка множества нулей а(к) в 1т к ^ 0. Сперва предполо-
жим, что функции fi(x,k) и f2(x,k) линейно независимы при к = 0.
Тогда непрерывная в области ImA: > 0 функция ка(к) удовлетворяет усло-
вию lim ка(к) = W(fi(x, 0), /2(2,0)) φ 0. Поэтому а(к) φ 0 в некоторой
/с—>O
окрестности точки 0, и а(к) имеет лишь конечное число нулей в обла-
сти Im к > 0.

222
Глава 3
Случай, когда /i(x,0) = с/2 (ж, 0), с ф 0, оказывается более тон-
ким. Предположим, что в области Im/c > 0 есть сходящаяся к 0 под-
последовательность кп = гкп нулей функции а(к). Из части (i) теоре-
мы 2.1 следует, что существует А > 0, такое, что для любого κ ^ 0 вер-
но Д(ж, г>с) > -ρ:β~κΧ для ж ^ А и /2(ж, г>с) > -ρ:βκΧ для ж ^ А, так что
ОО —Α
\ fi(x,iJ€n)fi(x,0)dx, / f2(x,iKn)f2{x,0)dx ^ —
4^η
А
Пользуясь интегрированием по частям, получаем, как и ранее,
ОО
К\ \ fi(x,i*n)fi(x,0)dx =
— ею
ОО
= / (fifai*n)- V(x)f1(x,iKn))fi(x,0)dx =
—оо
ОО
= J /i(a;,txil)(/i/(x,0)-Vr(a;)/i(x,0))dir = 0.
— ОО
С другой стороны, имеем
сю А
0 = f1(x,i>cn)f1(x,0)dx + / /i(x,ixn)/i(a;,0)da;-|- (2.16)
А -А
-А
+ с-сп / /2(ж,гхп)/2(ж,0)^ж.
— ОО
Поскольку функция fi(x,k) непрерывна в области Im/c ^ 0, равномерно
по х на компактных подмножествах R имеем
А А
Jrn^ / fi(x,i*€n)fi(x,0)dx= / /i(x,0)2dx ^ 0.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
223
Воспользовавшись равенством
r r fi(x,i*n) Л(я,0) 2^ η
lim с · сп = с lim —-—:—- = с ——— = с > О,
п-+оо n_+oo f2(x^ lHnj у2^5 о)
получаем из (2.16), что для достаточно больших η
0 > -±-е~^А.
Это очевидное противоречие, поэтому у функции а(к) лишь конечное число
нулей. Доказательство локальной ограниченности функции 1/а(к) в этом
случае предоставляется провести читателю.
Далее, рассмотрим дифференциальное уравнение (2.1) вместе с урав-
нением, полученным из него дифференцированием по к:
-y" + V(x)y = k2y, (2.17)
-у" + V{x)y = к2у + 2ку. (2.18)
Положим у = fi(x, к) в уравнении (2.17), у = /г(ж, /с) в уравнении (2.18)
и умножим (2.17) на /2(ж, /с), а (2.18) — на /i (ж, /с). Вычитая получившиеся
уравнения, получаем
W(h(x, к), /2(х, fc))7 = 2fc/i(*, fc)/2(x, fc).
Аналогично, положив у = /г(ж, /с) в (2.17), у = fi(x, к) в (2.18), перемно-
жая и вычитая, получаем
-W(f1(x,k)J2(x,k)), = 2kf1(x,k)f2(x,k).
Поэтому
W(/i(x,*)>Л(*>к))\Х_А = 2к j h(x,k)h(x, k)dx, (2.19)
-A
A
- W(f1(x,k),f2(x,k))\* = 2kjf1(x,k)h(x,k)dx. (2.20)
X
Теперь предположим, что a(fco) — 0· Имеем
W(/i(ar,fc),/2(x,*)) = 2ifca(fc),

224
Глава 3
так что, продифференцировав по А; и положив к = ко, получаем
WX/i(ж, ко), /2(ж, ко)) + W(f! (ж, fc0), Λ(*> Μ) = 2ikoa(k0).
Поскольку fi(x,ko) = cof2(x,ko), из теоремы 2.1 и следствия 2.2 следу-
ет, что граничные члены в (2.19)-(2.20) обращаются в ноль при А —+ оо,
и мы получаем, воспользовавшись тем, что функция f(x,ko) веществен-
нозначна, что
а(ко) =-г I fi(x,k0)f2(x,ko)dx = -ico\\f2(-,ki
;оЛ!2·
Собственные значения оператора Шрёдингера Η просты. Действи-
тельно, функция fi{x,i>c) — решение дифференциального уравнения (2.1)
для λ = — х2 < 0, экспоненциально затухающее при х —> оо. Поскольку
вронскиан любых двух решений (2.1) постоянен, другое решение (2.1), ли-
нейно независимое с fi(x,ix), экспоненциально возрастает при х —► оо.
Таким образом, любое экспоненциально затухающее при х —> оо реше-
ние (2.1) для λ = — х2 отличается от fi(x,ix) на постоянный множитель.
В частности, это доказывает, что точечный спектр Η прост. Этот результат
следует также из простоты нулей функции а(к) и теоремы о разложении по
собственным функциям, которую мы докажем в следующем разделе.
Задача 2.1 (Теорема об осцилляциях). Пусть Ai = -х2 <
< ... < Ап = х2 < 0 — собственные значения одномерного опера-
тора Шрёдингера Н. Докажите, что соответствующие собственные функ-
ции Д(ж, гщ) имеют в точности I — 1 простых нулей, / = 1, ..., п.
Задача 2.2. Докажите, что при ImA; ^ 0 решение Йоста fi(x,k)
допускает представление
оо
fi(x,k) = eikx + [ K^ty^dt,
где
оо
К(х,х) = \ (v(t)dt и \Ki(x,t)\^ Ισ(ψ)ε°
X + t
а1(х)-а1(-^~)

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
225
Более того, ядро К\(х, i) дифференцируемо, и
аналогичное неравенство выполняется для ^^(x,t). Соответственно,
для ImA; ^ 0 решение Иоста f2(x,k) допускает интегральное представ-
ление х
f2(x,k) = e~ikx + / K2(x,t)e-iktdt,
— оо
в котором ядро K2(x,t) удовлетворяет аналогичным оценкам. (Указание:
покажите, что (2.3) эквивалентно интегральному уравнению
i)duds
с условием K\(x,t) = 0 при t < x, которое решается методом последова-
тельных приближений.)
Задача 2.3. Покажите, что коэффициенты перехода а(к) и Ь(к) име-
ют представления
оо оо оо
а(к) = 1_а / У{х)ах~Ш / А(*)вШЛ, Ь{к) = gjjfc У B(t)e-ihtdt,
— оо 0 —оо
где A(t) G L^O, оо) и B(t) G L^-oo, oo).
ЗАДАЧА 2.4. Покажите, что для Imfc > 0 коэффициент перехода а(к)
удовлетворяет дисперсионному соотношению
оо
/
x+t
2
V(s)ds
оо
+ hjv(s)
х t
t+(s-x)
I
-(s-x)
,., j 1 7 bg(l + |b(p)|2b 1 TT
к — гщ
3.2.2. Разложение по собственным функциям
Ниже мы в явном виде построим ядро резольвенты для одномерно-
го оператора Шрёдингера Η и покажем, что оно самосопряжено и имеет

226
Глава 3
область определения, состоящую из функций φ Ε L2(Μ), дважды диффе-
ренцируемых на Μ и таких, что —ψ" + V(x)tp £ L2(M). С помощью ком-
плексного интегрирования мы выведем теорему о разложении собственных
функций для оператора Я, обобщающую соответсвующий результат для
оператора Щ свободной квантовой частицы, рассмотренный в разделе 2.2.3
главы 2.
Для λ Ε С \ [0, оо) пусть
Г fi(x,k)f2(y,k)
R\(x,y)
h(y,k)f2(x,k) V-2l>
- 2ika(k) > «*■*<*
где ветвь функции к = y/λ на С \ [0, оо) определяется условием,
что ImA; > 0. При фиксированных х и у функция R\(x,y) мероморфна
на С \ [0, оо) и имеет простые полюса в точках λ/ = — κ2, I = 1, ..., п. Для
фиксированного λ φ λ/ функция R\(x,y) = R\(y,x) непрерывна по х и уу
и из части (ν) теоремы 2.1 и (2.15) следует, что
\Rx(x,y)\^C e-1"1*'*-^ C>0. (2.22)
Ядро R\(x,y) определяет при λ φ λ/ ограниченный интегральный опера-
тор R\ в L2(R) формулой
(Яхф)(х)= f Rx(x,y)xP(y)dy.
— ОО
Действительно, из (2.22) следует, что для ψ £ L2
оо оо
\к\2 ||ЗД|2 < С2 J (| e-Imk^-y^(y)\dy) dx =
— оо —оо
оо оо оо
С2 j [ е-Ьп*(|*1|+||Ы) j \ф(х + У1Щх + у2)\ахаУ1ау2 <
^4С2(1тк)
В частности,
—оо
2/т™ 1Л-2||я/.||2
№»«щЬ-

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
227
Лемма 2.1. Оператор Η самосопряжен и R\ = (Η — XI) λ при λ G
G С \ {[0, oo) U {Ai, ..., λη}}, где I — тождественный оператор в L2(M).
Доказательство.
Пусть g G L2(R). Как и в методе вариации произвольных постоянных,
из (2.21) следует, что при λ G С \ {[0, oo) U {Ai, ..., λη}} функция у =
= R\g G L2(R) дважды дифференцируема п. в. на Μ и удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению
-у" + V(x)y = \y + g(x).
Таким образом, (Н — XI)R\ = I и, в частности, 1т(Н ± И) = L2(M), так
что оператор Η самосопряжен.
Пусть #о — гильбертово пространство С2-значных функций Φ (λ) =
= Ι /\\ ) на [0? °°) с нормой
оо
ЦФ|1о = /(Ь(А)|2 + Ь(А)|2)^(А),
о
где da(X) = —^—dX и у/Х ^ 0 при λ ^ 0 (см. раздел 2.2.3 главы 2, где
следует положить % = 1 и т = -). Для λ > 0 положим
Uj{x, л/λ) = -ГТКЫЪ д/λ), j = 1,2, (2.23)
α(νλ)
а для -0 G С2(Μ) определим С2-значную функцию &ψ на [0, оо) с компо-
нентами {^ф)\ И (&ψ)2 формулой
оо
(^)j(A) = —L / ф{х)щ{х, V\)dx, з = 1,2. (2.24)
ν 2π У
— оо
По предложению 2.1 функция Щф ограничена в точке λ = 0, а для боль-
ших λ с помощью дифференциального уравнения (2.1) и интегрирования
по частям получаем равенство
оо
(&ψ),(λ) = —^= { (~Ф"(х) + У(х)ф(х))иа(х, y/X)dx,
Λ\/2π J
показывающее, что Щф G йо·

228
Глава 3
Пусть Ρ — ортогональная проекция на подпространство Ж = L2(№),
натянутое на собственные функции фг{х) = fi(x,i>ci), Z = 1, ... ,п. Функ-
ции ф\ вещественнозначны и ортогональны, так что для φ £ Ж
7
(Ρψ)(Χ) = Σ-±-ψ1(Χ) / ф{у)ф1{у)ау.
Теорема 2.3. Оператор ^ продолжается до оператора частичной
изометрии
% : Ж -+ S)0:
fy*ty=I-P и &ty* = IQ,
и устанавливает изоморфизм (I — Р)Ж ~ #о· Здесь I и 1о — соответ-
ственно тождественные операторы в Ж w йо- Для спектра соответ-
ствующего оператора Шрёдингера Η имеем σ(Η) = {—xf, ..., — х^} U
U [0, оо) и
где ЖрР = РЖ и Ж^ — (I — Р)Ж — соответственно инвариантные
подпространства, связанные с чисто точечным и абсолютно непрерыв-
ным спектрами Н. Оператор fyHty* — это оператор умножения на λ
в йо> тяак что абсолютно непрерывный спектр [0, оо) оператора Η имеет
кратность два, а оператор ^ «диагонализует» ограничение Η на подпро-
странство ЖъС.
Доказательство.
Для доказательства соотношения ^*^ = I — Ρ — так называемого
соотношения полноты — достаточно установить следующую классическую
формулу разложения по собственным функциям для φ Ε Cq (Ж):
О -сю
оо
+и2(х,k) J ip(y)u2(y,k)dy\ dk + (2.25)
— СЮ
« °°
П „
+ Σ 77172^'(x) / "Ф(у)Му)ау,
fri Ш\ J

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
229
где все интегралы абсолютно сходятся, и мы положили у/Х = к,
da{\) = dk. Действительно, предположив, что выполняется (2.3), получаем
дляф,<р€С%(М.)
—оо —оо 0 —оо
оо
+ и2(х,к) / i/>(y)u2(y,k)dy)dk)dx + V-;Цо W^OW^vO =
-оо t_ х
η
Pi ll^lr
где ( , )o — скалярное произведение в 5} о, а изменение порядка интегриро-
вания по ж и А; обосновано теоремой Фубини. Таким образом,
(νψ,νφ)ο = ((Ι-Ρ)ψ,φ) (2.26)
для ψ, φ G Cq(M), и можно заключить, что Щ продолжается до ограни-
ченного оператора из Ж и йо? удовлетворяющего условию (2.26) для лю-
бых ψ, φ G J£*.
Чтобы доказать формулу разложения по собственным функциям (2.3),
для A G С \ [0, оо) положим g(x, A) = (R\ij;)(x). Функция д(х, А) для фик-
сированного х мероморфна на A G С \ [0, оо) и имеет простые полюса
в точках А = \i, I = 1, ... ,п. Из (2.21) и предложения 2.1 следует, что
оо
Resx=Xlg(x,\) = -^Чг/гО^гх/) / /2(у,гщ)ф(у)ау = - ' ' ^i{x).
— оо
Поскольку HR\ = R\H = I + XR\, имеем
-g"(x, A) + V(x)g(x, A) = ψ(Χ) + А$(ж, А),
так что
5(х,А) = --^(х) + ±(ад(*),
где ψ = -ψ" + V(x)ip 6 C0(R). Из (2.22) получаем
|(Да^)(х)К 7Д7 при |λ| — оо,
так что
0(ж,А) = —^(а0 + О(|АГ3/2) при |А| -* оо. (2.27)
Л

230
Глава 3
Из предложения 2.1 и (2.21) следует, что
д(х,Х)=0(\Х\-1/2) при А-40. t (2.28)
Для 0 < ε < 1 < TV пусть С = C£in — контур, составленный из следу-
ющих частей: (i) дуга Се окружности λ = 'εβτθ, ε < | arg#| < π, проходимая
по часовой стрелке; (ii) дуга С ν окружности λ = Nel9, ε ν ^ | arg#| < π,
проходимая против часовой стрелки, где N sin ε^ = ε sin ε; (iii) отрезки 1±
прямых ImA = azesine, соединяющие границы дуг. Выберем ε и N так,
чтобы все полюса А/ функции д(х, А) были внутри С, и рассмотрим
с
С одной стороны, по теореме Коши о вычетах
С другой стороны, из (2.27) и (2.28) следует, что
№ооЬп]Г9(х,Х)а\=-ф(х) и hm^}jg(x,X)dX = 0.
Таким образом, мы получаем
η
Ψ(Χ) - Σ]ΓΓμ2^'^)^(ж) =
= 1™о J™, Ш (А(х'X)dX - /5(Х'X)dX) =
х+ X-
оо оо
= ^1(1{Пх^о{х,у)-Ях-го(х,у))ФШу)^ (2.29)
/=1
где
R\±io(x,y) = ]imR\±ie(x,y).
ε—>0

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
231
Чтобы вычислить разность Дд+го(^, у) — R\-io(x,y), заметим, что на раз-
резе λ ^ 0 выполняется у/Х + гО = к ^ 0 и л/А — гО = — к ^ 0. Из (2.21)
следует, что при х^ у
R\+io(x,y) - R\-io(x,y) =
= 1_ ffifak)f2(y,k) fi(x,-k)f2(y,-k)\
2гк у а(к) а(-к) ) '
и, воспользовавшись уравнениями
ш ~к) = ~^k)h (2Лк) + ^/2(у'Λ)·
следующими из (2.11) и (2.13), получаем
R\+io(x,y) - R\-i0(x,y) =
2fe|a(fc)|:
r(/i(x, fe)/i(y, fe) + /2(ж, k)f2(y, fe)) =
где λ = А;2. Подставив это в (2.29) и используя симметрию R\(x,y) =
= R\(y,x) ядра резольвенты, получаем разложение по собственным
функциям (2.3).
Пусть ^ас — ограничение оператора % на подпространство Жас =
= (I — Р)Ж. Из соотношения полноты следует, что оператор ^ас —
изометрия, так что Im^ = Im^ac — замкнутое подпространство в #о·
Таким образом, для того чтобы проверить соотношение ортогонально-
сти W&* = 1$, достаточно показать, что Im^ = 9)q. Пользуясь ин-
тегрированием по частям, легко получаем, что самосопряженный опера-
тор ^QjcH^/g^1 ~ это оператор умножения на λ в Im^ с областью опреде-
ления WD(H). Более того,
^#μ = ^°%, деС\[о,оо),

232
Глава 3
где ΙΙμ ' — резольвента оператора умножения на λ в ?)о-> так что Im W —
инвариантное подпространство для щ/. Далее, из леммы 2.2 в раз-
деле 2.2.2 главы 2 следует, что существуют борелевские подмноже-
ства Е\,Е2 С [0, ос), такие, что
im*-{4«;£)· -CsM·
Если, скажем, лебеговская мера множества Е\ = [0, оо) \ Е\ положительна,
то для λ = к2 £ Ei имеем
оо
/
щ(х, к)ф{х)ах = 0 для любого ψ G Cq (Μ),
так что ui(x,k) = 0 для любых х £ R — противоречие. Поэтому,
Im^ = йо· Пусть % · ^ —► #о ~ соответствующий унитарный оператор
для оператора Шрёдингера Щ свободной частицы, построенного в разде-
ле 2.2.3 главы 2 (при % — 1 и т = ^), и положим С/ = ^*% · «^ —► во-
след ствие 2.4. Ограничение Η на абсолютно непрерывное подпро-
странство Ж&С унитарно эквивалентно Щ:
и\Жлс = ин0и~\
Замечание. В физической литературе соотношения полноты и орто-
гональности, понимаемые в смысле обобщенных функций, обычно записы-
ваются как
оо
^- I (щ(х, k)ui{y, k) + и2(х, к)и2(у, k))dk + V * * = i(x - у)
—оо
где г, к = 1, 2 и к, ρ > 0. Когда коэффициенты перехода а(&) и &(&) диффе-
ренцируемы при к φ О2, соотношение ортогональности можно вывести из
оо
2Это имеет место, когда V{x) удовлетворяет условию f (1 + |х|2)|У(х)|йх < оо.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
233
тождества
-^W{uj(x,k),uk(x,p)) = (А;2 -р2)и0{х,к)ик(х,р), (2.30)
мгновенно следующего из дифференциального уравнения (2.1). А именно:
рассмотрим случай j = к = 1 и проинтегрируем (2.30) на отрезке [—Ν, Ν].
Используя (2.13) и асимптотику решений Йоста, получаем
N
N
I
-N
ixi (ж, k)ui{x,p)dx = — * W(fi(x, к), fi{x,p))
{к2 - р2)а(к)а(р)
-N
ei(k-P)N _ a(k)a(p)e-i{b-v)N + ъ(к)Ъ(р)е^к-^м
а(к)а(р) \ к~Р
а(к)Ъ(р)е-^к+^м - b(k)a(p)e^k^N^
к + р
+ о(1) при N —> оо.
Поскольку fc,p > 0, по лемме Римана-Лебега предел в смысле обобщен-
ных функций членов в третьей строке при N —+ оо равен нулю. Посколь-
ку а(к) и Ь(к) предполагаются дифференцируемыми, во второй строке мож-
но заменить а(р) и Ь(р) на а(к) и b(fc) соответственно, так как разность
стремится к нулю при N —+ оо по лемме Римана-Лебега. Наконец, ис-
пользуя (2.14), получаем
N
sinffc ν)Ν
и\(х,k)ui(x,p)dx = 2 lim - = 2nS(k— p),
Ν—юо к — ρ
-Ν
где последнее равенство — записанное в смысле обобщенных функций со-
отношение ортогональности для преобразования Фурье.
Замечание. Собственные функции непрерывного спектра Uj(x,\)
удовлетворяют также свойству, аналогичному условию нормировки (2.14)
из раздела 2.2.2 главы 2:
lim — (С/^+д - Ujtk, ЭД,*+д - t/i,fc) = 2πδβ, j, /=1,2,
Δ—»0 Ζλ
где
/с" /с
υ^Χ) = Ι^(Χ^)^ = Ι^^αρ, j = 1,2.
2v^ У α(ρ)
fc2 fco

234
Глава 3
Замечание. Качественная структура спектра Шрёдингера Η опре-
деляется структурой линий уровня Нс(р,х) = λ классической функции
Гамильтона Нс(р,х) = р2 + V(x). А именно: из условия lim V(x) = 0
|х|—>οο
следует, что поверхности уровня при λ > 0 некомпактны, а классическое
движение неограничено в обоих направлениях, и эти значения λ заполня-
ют абсолютно непрерывный спектр [0, ос) оператора Η с кратностью два.
Для λ < 0 линии уровня компактны, и классическое движение периодич-
но. Согласно правилам квантования БВЗ (см. раздел 2.2.5 главы 2) уровни
энергии — собственные значения Η — соответствуют замкнутым орбитам,
а условием (2.2) гарантируется, что у Η лишь конечное число собственных
значений.
Задача 2.5. Найдите уровни энергии для потенциала
v(X) = —§_; к>>о.
cosh нх
В частности, покажите, что если Vb = 2x2, то собственное значение всего
одно — Ε = —я2.
Задача 2.6. Покажите, что оператор R\ — Rrx \ где Wx * = (Щ —
— λ/)-1 и λ G С \ [0, оо), имеет след и
TV(i?A-X0)) = -^loga(v/A).
(Указание: используйте свойства (2.19)-(2.20) из предыдущего раздела.)
3.2.3. 5-матрица и теория рассеяния
В предыдущем разделе было показано, что для потенциалов V(x), удо-
влетворяющих условию (2.2), операторы Η = Но + V и Но имеют один
и тот же абсолютно непрерывный спектр. Среди множества операторов ча-
стичной изометрии в Ж, устанавливающих унитарную эквивалентность
между H\jp и Но, имеются два оператора W± фундаментальной физиче-
ской значимости. Они определяются как
W± = lim eiHte-itHo, (2.31)
t—>±оо
где предел понимается в сильной операторной топологии, и называются
волновыми операторами (или операторами Меллера). В общем случае вол-
новые операторы существуют для оператора Шрёдингера Η — Но + V
на М.п с потенциалом V(q), достаточно быстро затухающим при \q\ —► оо.
В этом разделе мы покажем, что для потенциалов V(x), удовлетворяющих
условию (2.2), пределы (2.31) существуют.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
235
Волновые операторы удовлетворяют соотношению частичной изометрии
W£W± = I. (2.32)
Действительно, сильные пределы унитарных операторов сохраняют скаляр-
ные произведения, так что (W±ip, W±tp) = (Ψ, φ) для всех ψ, φ G Ж.
Из сходимости Ап —> А при η —+ оо в сильной операторной топологии
не обязательно следует, что А* —+ А*, так что мы не можем заключить,
что WiVFjl = I. Таким образом, в общем случае волновые операторы не
унитарны. На самом деле, можно показать, что Im W± = Ж^ = (I — Р)Ж
или, эквивалентно,
W±W£ = I - Ρ, (2.33)
где Ρ — ортогональная проекция на подпространство <Щ>Р. Хотя дока-
зательство соотношения (2.33) довольно нетривиально, легко показать,
что Im W± С (J — Ρ)Ж. Действительно, пусть ψ G Ж — связанное со-
стояние — собственный вектор Н,
Нф = λφ.
Тогда для любого φ G Ж имеем
(W±(p,il>)= Hm eiAt(e-itHV,^) = 0
по лемме Римана-Лебега, как мы видели в разделе 2.2.3 главы 2.
Предполагая, что волновые операторы существуют и удовлетворяют
соотношению (2.33), легко доказать, что
f(H)W± = W±f(H0) (2.34)
для любой измеримой функции / на R. Действительно, согласно спектраль-
ной теореме, достаточно доказать это свойство для функций /(λ) = егтХ
при всех г G R. В этом случае уравнение (2.34) мгновенно следует из
тождества
егтНei(t-r)He-i(t-r)H0 _ егШе-гШоегтН0
переходом к пределу t —> ±оо. Используя (2.34) и (2.32), заключаем —
W1HW± = H0,
так что ограничения волновых операторов на подпространство Жа,с уста-
навливают унитарную эквивалентность между Н\ж и Щ.

236
Глава 3
Замечание. Физический смысл волновых операторов таков. Однопа-
раметрическая группа U(t) = e~ltH унитарных операторов описывает эво-
люцию квантовой частицы, движущейся в поле короткодействующего по-
тенциала. При больших |£| частица с положительной энергией удаляется от
центра, и когда \t\ —+ оо, ее эволюция описывается однопараметрической
группой Uo(t) = e~ltH°, соответствующей свободному движению. Матема-
тически это выражается тем фактом, что для любого ψ- G Ж существует
вектор φ G Ж\ такой что
lim \\е-инф - e~itHo(p- \\ = О,
£—► — оо
и такой вектор дается формулой ψ = W- ψ-. Аналогично для любого (/?+ G
G Ж вектор φ = W+</?+ удовлетворяет условию
lim ||e-<tH^-e-itHV+ll=0.
£—►00
В физической интерпретации ортогональность ImW± к подпростран-
ству Жрр объясняется тем фактом, что для всех моментов времени t свя-
занные состояния локализуются вблизи потенциального центра, тогда как
свободная квантовая частица уходит на бесконечность при \t\ —+ 00.
Волновые операторы используются для описания рассеяния квантовой
частицы на потенциальном центре. А именно: для заданного </?_ G Ж,
существует φ = W-ψ- G Ж, такое, что решение ф(Ь) = и{€)ф нестаци-
онарного уравнения Шрёдингера с гамильтонианом Η и начальным усло-
вием ф(0) = φ при t —► —ос приближается к решению ψ-it) = υ^)ψ-
нестационарного уравнения Шрёдингера со свободным гамильтонианом Щ
и начальным условием у?_(0) = у>_. Поскольку ImW- = I111W+, су-
ществует </?+ G Ж, такое, что φ = W+</?+ и решение ф{£) нестационар-
ного уравнения Шрёдингера с гамильтонианом Η и начальным услови-
ем -0(0) = φ при t —+ 00 приближается к решению </?+(£) = Uo(t)(p+ неста-
ционарного уравнения Шрёдингера со свободным гамильтонианом Щ и на-
чальным условием φ+(0) = φ+. Переход от решения <f-(t) свободно-
го уравнения Шрёдингера, описывающего движение квантовой частицы
при t = — 00, к решению (p+(t), описывающему ее движение при t = 00, —
результат рассеяния квантовой частицы потенциальным центром. Вся ин-
формация о рассеянии содержится в операторе рассеяния S (в физике так-
же называемом S-матрицей), связывающем начальное и конечное усло-
вия </?_ и φ+:
φ+ = s<p-.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
237
Из (2.32) и ψ = W-ψ- = W+y?+ мгновенно получается, что
S = W^W-, (2.35)
а из (2.32)-(2.34) получается, что оператор рассеяния S унитарен в Ж
и коммутирует со свободным гамильтонианом Но:
S*S = SS*=I и SH0 = H0S.
Это — набросок нестационарного подхода к теории рассеяния.
В стационарном подходе к теории рассеяния волновые операторы W±
и оператор рассеяния S строятся как интегральные операторы в коорди-
натном представлении с интегральными ядрами, выраженными через осо-
бые решения стационарного уравнения Шрёдингера. Здесь мы представим
эту конструкцию для одномерного оператора Шрёдингера, рассмотренного
в предыдущем разделе.
А именно: пусть и\(х, к) и U2(x,k) — решения одномерного уравне-
ния Шрёдингера (2.1), заданные формулами (2.23), где л/λ = к > 0. Из
теоремы 2.1 и (2.11), (2.13) следует, что эти решения имеют следующую
асимптотику:
т(х, к) = sn(k)eikx + о(1) при х -> оо, (2.36)
их(х,к) = eikx + s21(k)e~ikx + о(1) при х — -оо (2.37)
и2(х, к) = e~ikx + s12{k)eikx + о{\) при х -* оо, (2.38)
и2(х, к) = s22(k)e~ikx + о(1) при ж -> -оо, (2.39)
где
sn(*) - *22(fc) = -±т, *i2(*) = ^, *2i(*) = -ffi (2.40)
a(A;) a(A;) a(fc)
Решения ui(#, fc) и ^(я, к) называются решениями задачи рассеяния, функ-
ция sn(fe) называется комплексным коэффициентом прохождения, а функ-
ции si2(k) и S2i(fe) соответственно комплексными коэффициентами пра-
вого и левого отражений. Следовательно, Τ = |sn(A;)|2 называется коэф-
фициентом прохождения, а R = \si2(k)\2 = \s2i(k)\2 — коэффициентом

238
Глава 3
отражения. Матрица 2x2:
Ь[к) ~ \S2l(k) S22{k))'
называется матрицей рассеяния. Из (2.14) следует, что матрица рассеяния
унитарна, S*(k)S(k) = I, где I — единичная матрица 2 х 2, и удовлетворяет
условию S(k) = S(—k). В частности, из унитарности матрицы рассеяния
следует, что Τ + R= 1, что называется сохранением вероятности.
Физическая интерпретация решений щ(х,к) и U2(x,k) такова. Для
простоты предположим, что потенциал V(x) гладок и обращается в ноль
при \х\ > А, так что асимптотики (2.36) и (2.38) превращаются в равен-
ства при х > А, а асимптотики (2.37) и (2.39) — при х < —А. В этом
случае элементы s^· (к) матрицы рассеяния — гладкие функции при к φ 0.
Как в разделе 2.2.3 главы 2, пусть ip\{k) и (р2(к) — волновые пакеты: глад-
кие функции на (0, оо), сконцентрированные в некоторой окрестности Щ
точки А:0 > 0. Функции, называемые рассеянными волнами,
оо
i/>j(x,t) = / ipj(k)uj{x,k)e~tk2tdk, j = 1,2,
о
— это решения зависящего от времени уравнения Шрёдингера:
г- = Нф.
В области \х\ > А решение ф\{х, t) можно упростить так:
оо
^i(s,t) = / <£i(A;)sii(fc)elfcx_*fc2idA;, когда х > А,
о
оо
Mx,t) = JVl(k)(e—>t + s21(k)e-^)dk, когда * <-А
Воспользовавшись методом стационарной фазы (см. раздел 2.2.3 в главе 2),
получаем при t —► — оо

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
239
i/>i(x,t) = 0(\t\ *), когда х > А,
1
1 / \ гх ■ г7Г
Vi(x,i) = ^Vi(§)e4t+4 +0(|i|-1), когда ж < -Л,
и при i —► оо
^,i) = ^¥>i(§W(§V« t4+0(r1), когда х > Λ,
• 1
~i)52l("i)e4rT + 0(i~1)' когда ж<~А
Предполагая, что окрестность С/о «достаточно мала», мы видим, как
и в разделе 2.2.3 главы 2, что при t —> —оо решение ijji{x,t) представля-
ет собой плоскую волну с амплитудой |y?i(fco)|, движущуюся от х = — оо
вправо, по направлению к потенциальному центру, со скоростью ν = 2fco.
Когда £ —> оо, решение ф\{х^ t) является суперпозицией двух плоских волн:
падающей волны с амплитудой |sn(fco)|, умноженной на изначальную ам-
плитуду, которая локализована справа от потенциального центра и движется
по направлению к оо со скоростью ν, и отраженной волны с множителем
амплитуды |s2i(fco)|, которая локализована слева от потенциального цен-
тра и движется по направлению к — оо со скоростью —v. Соответствую-
щие коэффициенты прохождения и отражения — это Τ = \su(ko)\2 и R =
= \s2l(ko)\2.
Аналогично имеем при t —> — оо
<M*,i) = -^2f-§Je4t "4 +0(|<|-1), когда х>А,
i>2(x,t) = 0(|f|_1), когда х < -А,

240
Глава 3
и при t —> оо
г.2
^2(a;,i) = -^V2i§jsi2i§je« * +0(Г1), когда х > Л,
~§г22(~§)ечгт+ °(*-1)' когда *<"А
При t —► — оо решение V>2(#, £) — плоская волна с амплитудой |^2(&о)|> Дви-
жущаяся от х = оо влево, по направлению к потенциаьному центру, со ско-
ростью —v. Когда t —> оо, решение ^(я, t) будет суперпозицией двух плос-
ких волн: падающей волны с таким же множителем амплитуды |s22(&o)|,
которая локализована слева от потенциального центра и движется по на-
правлению к — оо со скоростью —υ9 и отраженной волны с множителем ам-
плитуды |«12(&о)|, которая локализована справа от потенциального центра
и движется по направлению к оо со скоростью v. Формулы (2.40) показы-
вают, что коэффициенты прохождения и отражения для решения т/^О^ t) те
же, что и для решения фг(х, t), и не зависят от направления распростране-
ния. Это — так называемое свойство взаимности коэффициента прохож-
дения.
Решения и\(х, к) и и2(х, к) стационарного уравнения Шрёдингера об-
ладают тем свойством, что соответствующие решения ^i{x,t) и ф2{х^)
зависящего от времени уравнения Шрёдингера переходят в плоские волны
при t —> — оо. В согласии с такой интерпретацией мы обозначим их соот-
ветственно как щ~*(х,к) и и2~\х,к). Решения стационарного уравнения
Шрёдингера
и[ *(х, к) = U2(x, к) = и2(х, — к) и и2 (х, к) = ui(x, к) = ui(x, — к)
допускают похожую интерпретацию: они соответствуют решениям завися-
щего от времени уравнения Шрёдингера, переходящим в плоские волны
при t —> оо. Вводя
\и2 }{х,к)) \и2 }{х,к))
элементарным вычислением с использованием (2.11) и (2.13) получа-
ем, что
U+(x,k) = S{k)U-(x,k). (2.41)
Следующий результат устанавливает эквивалентность стационарного
и нестационарного подходов к теории рассеяния.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
241
Теорема 2.5. Для одномерного оператора Шрёдингера Η = Но + V
с потенциалом V(x), удовлетворяющим условию (2.2), волновые операто-
ры существуют и могут быть заданы явными формулами
W± = &£%.
Здесь <&± : Ж —> S)o — интегральные операторы, задаваемые формулами
оо
<&±{ψ) = -pz / Ф(х)и±(х, V\)dx,
ν 2π У
α оператором % : J^ —> #o устанавливается унитарная эквивалент-
ность между оператором Hq в Ж и оператором умножения на λ в fio,
^'-jsf **>№)*·
Оператор рассеяния S в Ж и оператор умножения на матрицу рассея-
ния S(V\) на Яо
унитарно эквивалентны:
S = %S(V\)%.
Доказательство.
Формула для оператора рассеяния мгновенно следует из опреде-
ления операторов <$/±, формулы (2.41) и соотношения ортогонально-
сти ^L^C = Jo (см. теорему 2.3). Для доказательства того, что W± =
= ^±^о, достаточно показать, что для любого Φ = ( ψ1 1 £ S)o, где <pi(fc)
и ψ2^) — гладкие функции на (0, оо) с компактным носителем,
lim \\{e-itHWl - е-"Но%*)Ф\\ж = 0.
t—>±oo

242
Глава 3
Действительно, положив x^(i) = (е гШ<Ж_* — е гШ°^0*)Ф, имеем
сю
+ {uf\x, к) - e-ikx)<f2(k))e-ik Ык,
и несложно оценить интеграл
/(±)
(<)Н:
со ,
= J \XW(x,t)\2dx
(2.42)
при t —> ±оо. А именно: из леммы Римана-Лебега следует, что для лю-
бого фиксированного А > 0 вклад в (2.42) от интервала [—Л, Л] стре-
мится к 0 при t —> ±оо. В интегралах по промежуткам — оо ^ х ^ — А
и А ^ х ^ оо заменим г42(ж>&) их асимптотиками (2.36)-(2.39). Ис-
пользуя оценки в теореме 2.1, часть (ν), легко показать, что для достаточно
больших А разность можно сделать сколь угодно малой равномерно по t.
Чтобы завершить доказательство, остается показать, что для любой непре-
рывной функции (р(к) на (0, оо) с компактным носителем интегралы
оо со
Чк
А \0
dx
Α СО
J&\t) = \ l\ f f(k)e±ikx-ik2tdk
-co |0
dx
обращаются в ноль при t —> ±оо. Рассмотрим, к примеру, интеграл j[ ' (£).
Для заданного ε > 0 существует гладкая функция r/(fc) на (0, оо) с компакт-
ным носителем [α, β], такая, что
\\<Ρ-η\\1
<
ж0 4 ·

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
243
По теореме Планшереля имеем
оо I оо
dk
dx s$
£
oo oo
//
(y>(fc) - v(k))e~lkx-lk 4k
dx +
oo oo
//
Ф)е
-ikx—ik t jjl
dx ^
^
oo oo
//
(y>(fc) - v(k))e~lkx-lk 4k
dx +
oo oo
//
i/(fc)e
dk
dx <
si
OO OO
§ + //,№)
e-ikx-ik tdk
dx.
Для оценки оставшегося интеграла применим интегрирование по частям,
чтобы получить
оо
Jr}{k)
e-i(kx+k4)dk ;
оо
I-,
i{k)
(х + 2Ы)
e-i{kx+k*t)dk
и поскольку —— ^ —— при хЛ > 0, имеем
х + 2kt х + 2at
оо оо
{kx+k2t)dk
dx^C'
оо
2 / dx
I
с2
(x + 2at)2 A + 2af
2C2
t(+),
Выбирая t > -fig-, получаем J[ '(f) < ε. Другие интегралы анализируются
похожим образом.

244
Глава 3
Следствие 2.6. Волновые операторы удовлетворяют соотношениям
ортогональности и полноты W±W± — 1 и W±W± — I — Р.
Доказательство.
Результат теоремы 2.3, доказанный для оператора % — ^_, очевид-
но, выполняется и для оператора ^+. Таким образом, соотношения (2.32)
и (2.33) следуют из соответствующих соотношений ортогональности и пол-
ноты для операторов %±.
Замечание. Соотношение ортогональности (2.32) тривиально, если
установлено существование волновых операторов. Таким образом, теоре-
ма 2.5 дает другое доказательство соотношения ортогональности в теоре-
ме 2.3.
Задача 2.7 (Критерий Кука). В абстрактной теории рассеяния до-
кажите, что волновые операторы W± существуют, если для всех φ Ε Ж
оо
[\\Ve-itH^\\dt < оо.
о
Задача 2.8. Найдите матрицу рассеяния S(k) для потенциала V(x)
из задачи 2.5 и покажите, что когда Vo = 2Х2, матрица рассеяния диаго-
нальна.
Задача 2.9 (Квантовое туннелирование). Найдите матрицу рас-
сеяния S(к) для прямоугольного потенциального барьера: V(x) = О
при х < 0 и х > 2а, и V(x) = V0 > 0 при 0 ^ х ^ 2а. Покажите, что
когда Ε изменяется от 0 до Vo, Τ возрастает от 0 до (lH-Vbo2)-1, кванто-
вая частица проникает через потенциальный барьер.
3.2.4. Другие граничные условия
Здесь мы рассмотрим два примера оператора Шрёдингера
с потенциалом V(ж), имеющим разные асимптотики при х —> ±оо.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
245
Пример 2.1. Предположим, что потенциал V(x) удовлетворяет усло-
вию
О оо
J (1 + |ж|)|У(я?) - c2\dx < оо и [(1 + \x\)\V(x)\dx < оо
-оо О
для какого-то с > 0. Оператор Шрёдингера if имеет отрицательный дис-
кретный спектр, состоящий из конечного числа простых собственных зна-
чений Ai < · · · < λη < 0, и абсолютно непрерывный спектр [0, оо), про-
стой при 0 < λ < с2 и кратности два при λ > с2. Эта качественная
структура спектра определяется структурой линий уровня Нс(р,х) = λ
классической функции Гамильтона Нс(р, х) = р2 + V(х): собственные зна-
чения могут возникать только в случае компактных линий уровня, когда
классическое движение периодично, тогда как значения λ с некомпактными
линиями уровня, для которых классическое движение нефинитно, принад-
лежат абсолютно непрерывному спектру. Абсолютно непрерывный спектр
имеет кратность один или два в зависимости от того, ограничено ли соот-
ветствующее классическое движение в одном или двух направлениях, т. е.
когда 0 < λ < с2 или λ > с2.
Эти результаты можно доказать методами раздела 3.2.1. А имен-
но: положим λ = к2 и определим функцию к\ = у/к2 — с2 условием,
что Im fci ^ 0 при Im к ^ 0. В частности, sgn k\ — sgn к для веществен-
ных к, \к\ > с. У дифференциального уравнения
-y" + V(x)y = k2y (2.43)
при вещественных к есть два линейно независимых решения Д (#,&),
/i(ж, —к) = fi(x, к), где fi(x, к) имеет асимптотику
/i(z, к) = eikx + о(1) при х -► оо.
При вещественных к, \к\ > с, у уравнения (2.43) есть также два линейно
независимых решения /г(ж, А;),/г(а;, — А;) = /г(ж, — fc), где f2(x,k) имеет
асимптотику
f2(x,k) = e~*fclX + o(l) при ж->-оо.
(На самом деле, эти решения удовлетворяют оценкам, похожим на оценки
из теоремы 2.1.) Как и в разделе 3.2.1, для вещественных к, \к\ > с, имеем
/2(ж, к) = a(k)fi(x, -к) + b(k)f1(x, к),

246
Глава 3
где
<k) = -±-W(f1(x,k)J2(x,k)),
ΔΙΚ (2.44)
b(k) = ±W(f2(x,k)J1(x,-k)),
и а(-к) = а(к), Ь(—к) = &(&). Однако, W(f2(x, к), /2(0:, —А;)) = —2гки так
что для вещественных к, \к\ > с, имеем
/i(s,fc) = ±a{k)f2(x,-k) - JLb(-k)f2(x,k).
Отсюда получаем условие нормировки
\а(к)\2-\Ь(к)\2 = ^, \к\>с.
При фиксированном х решения fi(x,k) и /2(х,к) можно аналитиче-
ски продолжить в верхнюю полуплоскость ImA: > 0. При — с < к < с
решение /2 (я, А;) вещественнозначно и удовлетворяет условию
/2(я, к) = a(k)fi(x, -к) + a(k)fi(x, -к),
где а{к) по-прежнему дается той же формулой (2.44). Функция а{к) не об-
ращается в ноль при вещественных к и допускает мероморфное продолже-
ние в верхнюю полуплоскость Im к > 0, где у нее имеется конечное число
чисто мнимых простых нулей ixi, ..., гхп, соответствующих собственным
значениям Ai = — xj, ..., λη = — х2.
Абсолютно непрерывный спектр оператора Шрёдингера Η заполня-
ет [0, сю). При 0 < λ = к2 < с2 спектр прост, а
и(х, X) = —— f2(x, к), 0 < к < с,
а(/с)
— это аналоги нормированных собственных функций непрерывного спек-
тра. При λ = к2 > с2 спектр имеет кратность два, и
1 кл
— это аналоги нормированных собственных функций непрерывного спек-
тра. Обозначая как ^i{x) нормированные собственные функции Н, соот-
ветствующие собственным значениям λ/, получаем теорему о разложении

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
247
по собственным функциям: для φ G L2(R)
ф(х) = ^2Сф(х) + ^ C(k)u(x,k)dk +
оо
+ ~ j{C1{k)u1{x,k) + C2{k)u2{x,k))dk,
С
где Q = (ψ, фО, I = 1, ..., n, a
сю оо
С(к) = / ф(х)и(х,к)ах1 Cj(k) = / ip(x)uj(x,k)dx, j = 1,2.
Пример 2.2. Допустим, что потенциал \^(х) растет при я —> —оо
и затухает при ж —> оо:
оо
J(l + \x\)\V(x)\d.
х < оо для всех а,
и что существует xq Ε R, такое, что спектр задачи Штурма-Лиувилля
-у" + V(x)y = λ?/, -оо < ж ^ ж0, и ?/Оо) = О
ограничен снизу и дискретен. Последнее условие — это конкретная форму-
лировка свойства lim V(x) = оо.
х—>—оо
Тогда для любого вещественного к существует решение /(ж, к) диф-
ференциального уравнения (2.43) с асимптотикой
/(ж, к) = ег/сх + о(1) при ж —> оо
и существует функция s(к), такая, что
и(х, к) = /(х, —к) + s(k)f(x, к)
интегрируемо с квадратом на промежутке (—оо, а) для любого веществен-
ного а. Оператор Шрёдингера if имеет простой абсолютно непрерывный
спектр [0, оо) и дискретный спектр, состоящий из конечного числа от-
рицательных собственных значений. Функции и(х,к) — нормированные

248
Глава 3
собственные функции непрерывного спектра, и соответствующая теорема
о разложении по собственным функциям имеет следующий вид: для любо-
го ψ е L2(R)
П ρ
ф(х) =Σθφ{Χ) + ± / C(k)u(x,k)dk,
1=1 {
где Q = (ф, ф{), 1 = 1, ..., п, и
ОО
С(к) = / ф(х)и(х, k)dx.
Задача 2.10. Придайте явную форму теореме о разложении по соб-
ственным функциям для потенциала V(x) = ех.
Задача 2.11. Найдите уровни энергии потенциала Морса V(x) =
= е~2ах - 2е~ах, а > 0.
Задача 2.12. Сформулируйте в явном виде теорему о разложении по
собственным функциям для потенциала V (х) — Fx, описывающего движе-
ние квантовой частицы в однородном поле; согласно задаче 1.4 соответству-
ющий оператор Шрёдингера самосопряжен. (Указание: решите уравнение
Шрёдингера явно в импульсном представлении и выразите нормированные
собственные функции непрерывного спектра в координатном представле-
нии в терминах функций Эйри-Фока, определенных в разделе 3.6.2.)
Задача 2.13. Сформулируйте в явном виде теорему о разложении по
собственным функциям для потенциала V(x) = —^kx2, где к > 0 (соглас-
но задаче 1.4 соответствующий оператор Шрёдингера самосопряжен).
3.3. Угловой момент и SO(3)
3.3.1. Операторы углового момента
В главе 1 (см. пример 1.10 в разделе 1.1.4) мы ввели для классической
частицы в R3 вектор углового момента Мс = х х ρ с компонентами
Ма = Х2РЗ - ХЗР2, Мс2 = ХзР1 - Ж1Рз, ^сЗ = XlP2 ~ X2Pl-

3.3. Угловой момент и SO(3)
249
Согласно примеру 2.1 в разделе 1.2.6 главы 1, у них следующие скобки
Пуассона в канонической пуассоновой структуре на T*R3:
{МсЬМс2} = -Мсз,
{Мс2,Мс3} = -Мс1, (3.1)
{MC3,Mci} = -Mc2.
Квадрат углового момента М"<? = М^ + М^2 + М^з удовлетворяет условию
{Ml Мс1} = {Ml Мс2} = {Мс2, Мс3} = 0.
Если функция Гамильтона
Hc(p,x) = ^+V(x)
инвариантна при вращениях, V(x) = У(|ж|), то компоненты углового мо-
мента
являются интегралами движения:
{/1с,Мс1} = {Яс,Мс2} = {Яс,Мс3}-0 и {Яс,Мс2} = 0.
Это также можно проверить прямо, используя скобки Пуассона
{Mcj,pk} = -ejkiPi и {Mcj,Xk} = -ejkixi, г, j, fc = 1,2,3, (3.2)
где ε^/ — полностью антисимметрический тензор, ε123 = 1.
В свою очередь, в квантовой механике компоненты оператора углового
момента Μ = Q х Ρ определяются формулами
Мх = Q2P3 - Q3P2l M2 = Q3Pi - QiP3, M3 = Q2P3 - Q3P2,
где Q = (Qi,Q2,Q3) и Р = (Pi,P2,P3) — соответственно, операто-
ры координаты и импульса. Поскольку операторы Qi и Рк коммутируют
при г Φ к, проблемы упорядочивания при определении операторов кван-
тового углового момента не возникает. Из коммутационных соотношений
Гейзенберга следует, что их квантовые скобки устроены также, как и соот-
ветствующие скобки Пуассона (3.1):
{МъМ2}п = -М3, {М2,МзЬ = -Мь {М3,М!}а = -М2. (3.3)
Эквивалентно,
[МЪМ2] = гПМ3, [М2, М3] = %ЬМЪ [М3, Mi] = гПМ2. (3.4)

250
Глава 3
Оператор квадрата полного углового момента М2 = Μ2 + Mf + М| удо-
влетворяет уравнению
[М2, Mi] = [Μ2, Μ2] = [Μ2, Ms] = 0.
Соответственно, для оператора гамильтониана
со сферически симметрическим потенциалом V(x) = У(|ж|) операто-
ры Mi, M2, М3, а поэтому и М2, — квантовые интегралы движения:
[tf,Mi] = [#,M2] = [tf,M3] = 0 и [Я,М2] = 0.
Это можно прямо проверить, используя квантовые скобки
{Mh Pk}h = SjkiPi, {Mj, Qk}h = -EjuQu h Μ = 1,2,3, (3.5)
которые устроены так же, как скобки Пуассона (3.2), что следует из ком-
мутационных соотношений Гейзенберга.
В координатном представлении Ж = L2(R3, d3a?) операторы углового
момента задаются следующими самосопряженными дифференциальными
операторами первого порядка:
Мг^гп(,3Л.-Х2£-), (3.6)
М2 = гп(х1^Г-х3£-У (3.7)
дх
з
М^гП^-^. (3.8)
Они обладают свойством, что
Мхф = М2^ = М3^ = 0
для любой сферически симметричной гладкой функции ф(х) = ^(|ж|).
Иными словами, операторы углового момента действуют только на угло-
вые координаты на R3. То есть пусть
x\=r sin 1? cos (/?, Х2—Т sin 1? sin у?, хз = г cos 1?,

3.3. Угловой момент и SO(3)
251
где 0 ^ # < π, 0^^<2π — сферические координаты на R3. Явное
вычисление дает
Mi = ih ( sin φ-^-z + cot i? cos φ-=- i ,
\ dv οφ J
M2 — ~ib ( cos φ-ρτ-τ — cot i? sin φ-7τ- ) ,
\ dv οφ)
οφ
Таким образом,
Mz = -Tiz\ -А-^-[8Ш1?^+ * ^
sintfdtf V Л?/ wPtidtp2] '
так что оператор „Μ2 — сферическая часть оператора Лапласа на R3:
A'HH)-ihu'· (3·9)
3.3.2. Теория представлений SO(3)
Квантовые операторы углового момента связаны с теорией представле-
ний группы вращений SO(3) — группы ортогональных матриц 3 х 3 с опре-
делителем 1. SO(3) — компактная группа Ли, изоморфная вещественному
проективному пространству RP3 как гладкое многообразие. Имеется изо-
морфизм групп Ли SO(3) ~ SU(2)/{±/}, где SU(2) — группа Ли унитар-
ных матриц 2 х 2 с определителем 1. Алгебра Ли so(3) группы SO(3) —
трехмерная алгебра Ли кососимметрических матриц 3 х 3 с базисом
Хг = О 0 -1 , Х:
ООП
0 0 0
■1 0 0/
, Х3 =
/0-1 0
10 0
\0 0 0
Матрицы Xi,X2,^3 порождают соответственно однопараметрические
подгруппы SO(3), состоящие из вращений вокруг координатных осей в R3.
Они удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Xi,X2] = Хз, [Х-2, Хз] = Хи [Хз, Xi] = Х2,

252
Глава 3
подобным (3.4). Чтобы установить связь между квантовыми операторами
углового момента и теорией представлений SO(3), рассмотрим регуляр-
ное представление R группы SO(3) в Ж = L2(R3,d3x), определенное
формулой
(ЯШ)(х) = Ф(д-гх), д е SO(3), феЖ.
Лемма 3.1. Имеем
д/е и1Х1+и2Ха+«зХз) = е-^(«1Л/1+«аМ2+«зМ3)^
Доказательство.
Положим иХ = и\Х\+ U2X2 + щХ^ и иМ = и\М\ + U2M2 + U3M3.
Из теоремы Стоуна и прямого вычисления следует, что
R(euX) = Mj, j = 1,2,3,
где самосопряженные операторы Mi, М2, Мз даны формулами (3.6) - (3.8).
Теперь для фиксированных ^1,7/2,^3 рассмотрим однопараметрическую
группу [/(£) = R(etuX) унитарных операторов в Ж. По теореме Стоу-
на U(t) = e~itA, где
U(t) = \uM.
t=o "*
Замечание. Имеем Mj = ifip(Xj), где ρ = dR — соответствующее
регулярное представление алгебры Ли so(3) в Ж.
Все неприводимые унитарные представления R\ группы Ли SO(3) ко-
нечномерны и параметризуются неотрицательными целыми числами I ^ 0.
Соответствующее неприводимое представление р\ = dR\ алгебры Ли so(3)
в 21 + 1-мерном комплексном векторном пространстве V\ можно явно
описать следующим образом. Введем эрмитовы операторы Tj = ipi(Xj),
j = 1,2,3, удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[Г1,Г2]=*Т3, [Т3,Т1]=гТ2, [Т2,Т3]=гТ1.
гЬ
_д_
А = г
dt

3.3. Угловой момент и SO(3)
253
В векторном пространстве Ц есть ортонормированный базис {ezm}™z'_j,
такой, что
(Ti - iT2)elm = -Va + m)(/-m + l)eZm_b (3.10)
(Ti +iT2)eZm = -^(/-т)(/ + т + 1)е/т+ь (3.11)
T3e/m=me/m. (3.12)
В частности, (T\ + гТ2)ец = 0, так что VJ — модуль со старшим весом.
Представление pi неприводимо, и по лемме Шура
T2 = l(l + l)Ih
где 1\ — тождественный оператор в Ц. Это можно также прямо проверить,
используя (3.10)-(3.12).
Замечание. Когда I — полуцелое число, т.е. Ζ € ^ + Z^o>
и га = —/,—/ + 1, ...,/ — 1, I, формулы (3.10) - (3.12) все еще определяют
неприводимое представление pi старшего веса алгебры Ли so(3) размерно-
сти 2/ +1, и любое неприводимое n-мерное представление so(3) изоморфно
представлению pi с I = п ~ . Для полуцелых I представления pi не инте-
грируемы: они порождают двузначные представления SO(3), так называе-
мые спинорныеб представления. Однако рассматриваемые как представле-
ния алгебры Ли su(2) ~ so(3), pi соответствуют неприводимым унитарным
представлениям группы Ли SU(2). Из теории представлений SU(2) следует,
что при /, V е \ъ^ъ
1 1+V
Vi®Vv= 0 Vj (3.13)
— это так называемое разложение Клебша- Гордона. В физике оно соот-
ветствует сложению угловых моментов.
Регулярное представление R группы SO(3) в Ж = L2(M?,d3x) не
является неприводимым. Имеем
Ж = L2(S2,dn) <g> L2(M>0,r2dr), (3.14)
где dn — мера на S2, индуцированная мерой Лебега на R3. Группа SO(3)
действует вращениями на первом сомножителе тензорного произведе-
ния (3.14), тогда как она действует на второй сомножитель как тожде-
ственный оператор. Таким образом, задача разложения регулярного пред-
ставления R сводится к нахождению SO (3)-инвариантных подпространств

254
Глава 3
гильбертова пространства L2(S2, dn). Итог — разложение в ортогональную
сумму
оо
L\S\dn) = ($®u (3.15)
где @i ~ Vi. При этом изоморфизме ортонормированный базис У\ш в ^,
соответствующий базису е\ш в V/, дается нормированными сферическими
функциями
yim(0, ψ) = -±=eim*Pr(cos#), m = -l,...,l,
ν2π
где Р™ (х) — нормированные присоединенные полиномы Лежандра,
РТЫ = {-1Т\Р^л1Ц±^-*Г^^{*2-1)1, 1*1 < 1.
1 w v ' γ (i — m)! V 2 2'ΖΓ cte'-m
Самосопряженный оператор ili2 в гильбертовом пространстве L2(S2,dn)
имеет чисто точечный спектр, состоящий из собственных значений
кратностей 21 + 1, I = 0,1,2, ..., и разложение (3.15) дает разложение по
его собственным функциям: для любого ψ G L2(S2, dn)
оо I
2π π
ψ
Σ Σ CtmYim, где Cim = / Ι ψ(υ,φ)ΥΙΧη(&,φ)ηη·&α&<Ιφ.
I Г» I «^ «^
Z=0 m=—Ζ q q
Задача З.1. Докажите все результаты этого раздела. {Указание: см.
литературу к этой главе.)
3.4. Задача двух тел
3.4.1. Отделение центра масс
Рассмотрим оператор Шрёдингера для задачи двух тел (см. пример 2.2
в разделе 2.2.4 главы 2):

3.4. Задача двух тел
255
Вводя
v miXi+m2X2
Л. = ; И X = Хл — Жо,
координаты центра масс и относительную координату, получаем
где Μ = т\ Η- Ш2 — полная масса, а μ = — приведенная масса.
Оператор Гамильтона Η диагонализуется методом разделения переменных.
Конкретно, рассмотрим следующее разложение двухчастичного гильберто-
ва пространства Ж = L2(R6) в тензорное произведение гильбертовых про-
странств:
Ж = L2(R3, d3X) ® L2(R3, d3x). (4.1)
Оператор
действует как тождественный на втором сомножителе в (4.1), а оператор
Hm = -^Aa + V(x) (4.3)
— как тождественный оператор на первом сомножителе в (4.1). У функций-
решений задачи на собственные значения
Нф = Εψ, (4.4)
имеющих вид произведения
ф(Х,х) = У(Х)ф(х),
переменные разделяются:
НХ^(Х) = Е^(Х) и Нхф(х) = Е2ф(х),
где Ε = Ei + Е2. Поскольку
з
квантовая задача двух тел сводится к задаче о квантовой частице, движу-
щейся в потенциальном поле, и описывается оператором Гамильтона (4.3)
в гильбертовом пространстве L2(R3, d3x).

256
Глава 3
3.4.2. Трехмерная теория рассеяния
Здесь мы обрисуем теорию рассеяния для оператора Шрёдингера Η =
= — A+V(x) (где мы положим Ть= 1 и μ = -) с быстро убывающим потен-
циалом. Конкретно, предположим, что ограниченная вещественнозначная
функция V{x) на R3 удовлетворяет условию
V(x) = 0(\х\-3~е) при |ж|^оо (4.5)
для некоторого ε > 0. Тогда для любого к ЕЁ3 уравнение Шрёдингера
-Аф(х) + У{х)ф(х) = к2ф(х), к = |fc|, (4.6)
имеет два решения ^^(ж, fc), удовлетворяющих следующим асимптотиче-
ским условиям при |ж| —> оо:
«<=■=> (*, fc) = eifea! + /(±>(*,ω,η)4^ + ° (?) · (4·7)
где fc = fco;, ж = гп. Асимптотики (4.7) называются условиями излучения
Зоммерфельда. Для доказательства существования решений и^(х, к) надо
рассмотреть следующие интегральные уравнения:
и&(ж, к) = eikx + j G^(ж - у, k)V(y)uW(у, k)d3y, (4.8)
R3
где
GW(x,k)
1 e±ifcr
4π ^ *
Интегральные уравнения (4.8) эквивалентны уравнению Шрёдингера (4.6)
с условиями излучения Зоммерфельда (4.7) и называются уравнениями
Липпмана-Швингера. При их анализе используется теория Фредгольма
и теорема Като 1.8.
Решения и^(х,к) называются стационарными рассеянными волна-
ми. Они аналогичны решениям и^ '(х,к) для одномерного случая, где
индекс j = 1,2 заменяется вектором ω G S2. Абсолютно непрерывный
спектр Η заполняет [0, оо) и имеет равномерную бесконечную кратность,
параметризованную точками двумерной сферы S2. Решения и^(х,к) —
это нормированные собственные функции непрерывного спектра. В общем
случае у оператора Η есть конечное число отрицательных собственных
значений λ/ < 0 конечной кратности mi, I = 1, ..., п.

3.4. Задача двух тел
257
В терминах операторов <ft± : Ж —> Ж, данных формулами
_з /·
<&±{ф){к) = (2тг) 2 Ι ф(х)и№{х,к)(Рх,
R3
соотношения полноты и ортогональности принимают вид
где Ρ — ортогональная проекция на инвариантное подпространство для
оператора Н, ассоциированное с чисто точечным спектром. Теперь пусть
W± = t/£Vb,
где <% = ^~х — обратное преобразование Фурье. Как и в разделе 3.2.3,
можно доказать следующий результат.
Теорема 4.1. Операторы W± — волновые операторы для операто-
ра Шрёдингера Н. Соответствующий оператор рассеяния S = W+W_
имеет вид
где S — интегральный оператор,
s2
uf(k,U>,Lj')=fM(k,U>,U>').
Функция /(&, ω, ω') называется амплитудой рассеяния.
Задача 4.1. Докажите, что если
sup (\V{y)\—L-<Py<A^
хеш3 J I® - 1/1
R3
то интегральные уравнения Липпмана-Швингера можно решить с помо-
щью ряда Неймана, а для фиксированных х и ω решения и^\х,к)9
к = ки>, допускают аналитическое продолжение в верхнюю полуплос-
кость Гт к > 0. Покажите также, что в этом случае у оператора Шрёдинге-
ра Η нет собственных значений.

258
Глава 3
Задача 4.2 (Борновское приближение). Покажите, что и^\х,к) =
егкх _(_ о(1) при к —► оо, и выведите из этого, что
/(fc, η, α;) + ^ / е4*^-")*у(ж)^3ж = о(1) при А; -^ оо
R3
2
равномерно нап,а> G 5
Задача 4.3. Докажите унитарность оператора S, используя уравне-
ние Шрёдингера (4.6), условия излучения (4.7) и формулу Грина.
Задача 4.4 (Оптическая теорема). Покажите, что
/
\f(k,n,u>)\2dn = ^ Im/(*,ω,ω).
(Здесь левая часть — это полное сечение в направлении ω при энергии Ε =
= к2.)
Задача 4.5. Пусть λ/ = — xf < О — собственные значения Η с крат-
ностями пц, I = 1, ... , п. Докажите, что для фиксированных х и ω ре-
шения ^^(a^fc) допускают мероморфное продолжение в верхнюю полу-
плоскость Im к > 0 с полюсами порядка mi в точках гщ, I = 1, ..., п.
Задача 4.6. Докажите, что волновые операторы W± существуют,
используя нестационарный подход. (Указание: покажите, что когда V(x)
удовлетворяет (4.5), применим критерий Кука, сформулированный в зада-
че 2.7.)
3.4.3. Частица в центрально-симметричном потенциале
Задача на собственные значения для оператора Шрёдингера
упрощается, когда Η коммутирует с действием S0(3) на Ж = L2(R3, d3x):
[Я, Т(д)\ = 0 для любого д в S0(3).
Это сводится к условиям
[Я,М<] = 0, < = 1,2,3, (4.9)

3.4. Задача двух тел
259
и эквивалентно свойству, что потенциал V сферически симметричен,
V(x) = V(r), r = \х\.В частности,
[Я,Мз] = [Я,М2] = 0,
где М2 = М2 + Μ2 + Μ2, а операторы М3 и М2 — коммутирующие
интегралы движения для гамильтониана Н. Как следует из результатов раз-
дела 3.3.2, можно искать решения задачи на собственные значения
Ηψ = Εψ,
удовлетворяющие условию
M3i/j = m^ и М2ф = П2/(/ + \)ф, ш = -/,...,/.
Используя (3.9), получаем
так что в согласии с разложениями (3.14) и (3.15) мы ищем решения в виде
ф{х) = iu(r)Yjm(n), ж = гп,
где У/т — нормированные сферические функции. Разделяя переменные, по-
лучаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение на функ-
цию Ri (r):
Вводя
Л(г)=гд|(г))
получаем так называемое радиальное уравнение Шрёдингера:
Поскольку для непрерывного потенциала V(x) решение ф{х) также непре-
рывно, уравнение (4.10) следует дополнить граничным условием //(0) = 0.

260
Глава 3
Радиальное уравнение Шрёдингера выглядит аналогичным уравнению
Шрёдингера для одномерной частицы, если ввести так называемый эффек-
тивный потенциал
2μτΔ
в котором второе слагаемое называется центробежной энергией. Однако,
поскольку // определено только при г > 0, уравнение (4.10) эквивалентно
уравнению (2.1) с потенциалом, удовлетворяющим условию V{x) = оо
при х < 0, описывающим бесконечный потенциальный барьер при х = 0.
Поскольку радиальные операторы Шрёдингера
получаются из трехмерного оператора Шрёдингера
H = -^A + V(r)
разделением переменных, операторы Hi самосопряжены в L2(0,oo), ес-
ли Η — самосопряженный оператор в L2(R3). Оператор Но следует допол-
нить граничным условием /о(0) = 0, тогда как в случае I > 0 никаких гра-
ничных условий не требуется. В частности, из теоремы 1.9 в разделе 3.1.2
следует, что если ограниченный потенциал V удовлетворяет условию
V(r) = 0(τ~1~ε) при г —► оо
для некоторого ε > 0, то Hi — самосопряженные операторы с простым аб-
солютно непрерывным спектром, заполняющим [0, оо), и отрицательными
собственными значениями с возможной точкой сгущения в нуле. Если
V(r) = 0(r~2~e) при г —► оо,
то у операторов Hi конечно число отрицательных собственных значений,
а при достаточно больших I собственных значений вообще нет. Такое же
заключение верно, если
/■
r\V(r)\dr < оо. (4.11)
о
Такие потенциалы V(г) называются короткодействующими потенциала-
ми. Затухающие на бесконечности потенциалы, не удовлетворяющие (4.11),
называются далънодействующими потенциалами.

3.4. Задача двух тел
261
Для короткодействующего потенциала V(r) дифференциальное урав-
нение (4.10) при Ε φ 0 имеет два линейно независимых решения /^(г),
удовлетворяющих следующим асимптотикам при г —+ оо:
f±(r)=e±*r(l+o(l)), (4.12)
где х — Λ/—2μΕ чисто мнимое, Im х > 0 при Ε > 0 и х > 0 при £" < 0.
Когда г —► 0, наиболее сингулярный член в радиальном уравнении Шрё-
дингера дается центробежной энергией. Поскольку элементарное диффе-
ренциальное уравнение
г=ч±п{
rz
имеет два линейно независимых решения г~1 и r/+1, решение fi(r), удо-
влетворяющее граничному условию //(0) = 0, имеет асимптотику
ft(r) = CVZ+1 + о(1) при г -> 0 (4.13)
и однозначно определено (с точностью до константы). Поскольку
Л(г) = С1/+(г) + С2/Г(г)
для некоторых констант С\ и Сг, зависящих от 2£, у дифференциально-
го уравнения (4.10) нет решений с интегрируемым квадратом при Ε > 0.
Соответствующее решение //(г) ограничено на [0, оо) и является собствен-
ной функцией непрерывного спектра. Это согласуется с описанием в раз-
деле 1.1.6 главы 1, поскольку при Ε > 0 классическая частица в централь-
ном потенциале Vefi(r) уходит на бесконечность с конечной скоростью.
При Ε < 0 уравнение С\(Е) = 0 определяет собственные значения Щ,
которые просты. Это тоже согласуется с классической картиной, посколь-
ку классическое движение финитно при Ε < 0. Для короткодействующего
потенциала уравнение С\(Е) = 0 имеет лишь конечное число решений.
Когда Veff(r) > 0 при г > 0 — случай отталкивающего потенциала, —
у оператора Щ нет собственных значений.
Замечание. Когда V(r) = 0, радиальный оператор Шрёдинге-
ра Hi имеет только простой абсолютно непрерывный спектр, заполняю-
щий [0, оо). Подстановка
Mr) = VIΠξ), £=if и * = И = ^2μ£ > 0

262
Глава 3
сводит дифференциальное уравнение (4.10) к уравнению Бесселя
αξΖ αξ
полуцелого порядка ν = Ζ+ -. Соответствующее решение, регулярное в ну-
1+а
ле, — функция Бесселя первого рода J г (ξ) — явно дается формулами
А<%)
^(Q-i-iyMH^^
Jl+^) = J^sin^-li)+°{rl) при i->00· (4Л4)
Можно показать, что
'«<"-,/*'„.(£
удовлетворяют условию нормировки (2.14) из раздела 2.2.2 главы 2:
оо / fc+Δ \ 2
Ит ^ J I | /в1(г)*т(Я) Jdr ;= 1, (4.15)
где А; = \/2μΕ и da(E) = J ψ=αΕ = dk. Соответствующая теорема о раз-
ложении по собственным функциям — особый случай классического пре-
образования Фурье-Бесселя для целого /, обобщающего синусоидальное
преобразование Фурье: для любого / Ε L2(0, oo)
сю оо
f{r) = JCl(E)fEl(r)da(E), c(E) = Jf(r)fEi(r)dr.

3.4. Задача двух тел
263
В общем случае для любого I = 0,1, ..., обозначим как /я/(г) реше-
ние радиального уравнения Шрёдингера (4.10) со следующей асимптоти-
кой:
fEi(r) = J^ sin ^-^: + $Λ+ο(1) при r^oo. (4.16)
Функция Si (к), к = y/2jIE, называется фазовым сдвигом. Из (4.14) следу-
ет, что для случая свободного движения Si (к) = 0. Собственные функции
непрерывного спектра /я/(г) удовлетворяют тому же условию нормиров-
ки (4.15), что и собственные функции для случая свободного движения.
Функция Si(k) — e2lSl^ играет роль матрицы рассеяния для радиально-
го оператора Шрёдингера Щ. Она допускает мероморфное продолжение
в верхнюю полуплоскость Imfc > Ос простыми полюсами к = ixki =
= 1^/—2μΕω, где Ей — собственные значения Я/.
Пусть Eqi < Е21 < ··· < E^i-u < 0 — собственные значения Я/,
и пусть fji(r),j = 0, .. .,N1 — 1, — соответствующие нормированные соб-
ственные функции. По теореме о колебаниях собственные функции fji(r)
имеют j простых нулей на (0, оо). Функции
Фз1т{х) = -ηρ—Yim(n), Ш = -/,..., /,
— это нормированные собственные функции оператора Шрёдингера Я
с собственными значениями Eji, а функции
фЕ1т(х) = γ iim(n), Ш =-/,..., /,
— это нормированные собственные функции непрерывного спектра. Соот-
ветствующая теорема о разложении по собственным функциям для опера-
тора Шрёдингера Я со сферически симметричным потенциалом утвержда-
ет, что для любого ψ Ε L2(R3, d3x)
оо I у оо Ζ Ni-l
ΨΜ = ^]^ С1т{Е)фЕ1т(х)аа(Е) +Σ Σ Σ Сз1гпФят(х),
1=0 m=-l π 1=0 m=-l 7=0
где
Cim(E) = / ф(х)фЕ1т{х)(Рх, Cjim = / i/j(x)i/jjim(x)d3X.
R3 R3

264
Глава 3
Замечание. В физике параметр j собственной функции ф^ш(х) тра-
диционно называется радиальным квантовым числом и обозначается пг.
Параметр I называется азимутальным квантовым числом, а параметр т —
магнитным квантовым числом. Эта терминология происходит из старой
квантовой теории, в которой каждому значению Ем соответствует класси-
ческая орбита. Параметр η = пг + I + 1 называется главным квантовым
числом, так что пг = η — I — 1 — всегда количество нулей соответствующей
радиальной собственной функции fji(r).
Замечание. В общем случае собственные значения Eji оператора
Шрёдингера Η со сферически симметричным потенциалом имеют крат-
ность 21 + 1. Для особых потенциалов, благодаря дополнительным симмет-
риям задачи, могут возникать «случайные вырождения» относительно ази-
мутального квантового числа I. Таков случай оператор Шрёдингера атома
водорода, который мы будем рассматривать в следующем разделе.
Задача 4.7. Докажите все результаты, приведенные в этом разделе.
(Указание: см. литературу к этой главе.)
Задача 4.8. Найдите уровни энергии частицы с угловым момен-
том I = 0 в центрально-симметричной потенциальной яме V(r) = — Vq < 0
при 0 < г < а и V(r) = 0 при г > а.
Задача 4.9. Найдите спектр оператора Шрёдингера с потенциа-
лом V(г) = аг~2 + br2, а, Ь > 0.
Задача 4.10. Докажите, что рассеянная волна и(х,к) = и(+\х,к)
в центрально-симметричном потенциале дается формулой
j ОО
и(х,к) = f ./£ У(21 + 1)гге^«/и(г)Р((со8^),
2 ^
1=0
где х · к = кг cos д и, как в разделе 3.4.2, Тг = 1, а μ = ^.
Задача 4.11. Используя результат предыдущей задачи, покажите, что
оо
/(fe,n,u;) = /(fe,costf) = ^^(2l + l)(Sz(fe)-l)fl(cost?)
1=0
— разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам, и получите
следующую формулу для полного сечения:
оо
atot(k) = ^y(2l + l)sm2St(k).
к i=o

3.5. Атом водорода и SO(4)
265
3.5. Атом водорода и SO(4)
Атом водорода описывается дальнодействующим потенциалом
V(r) = -%
— кулоновским потенциалом, где а > О3. Соответствующая задача о соб-
ственных значениях для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциа-
лом называется кулоновской задачей. Здесь мы представим ее точное реше-
ния, используя так называемые кулоновские единицы Ti= 1, μ = 1,иа = I4.
3.5.1. Дискретный спектр
Чтобы определить дискретный спектр, удобно положить 2Е = — м2 < О,
так что уравнение на собственные значения (4.10) превращается в
/Г+(|-^-^)/, = 0. (5.1,
Асимптотики (4.12)-(4.13) для короткодействующих потенциалов наводят
на мысль, что для дальнодеиствующего кулоновского потенциала можно
искать решение с интегрируемым квадратом в следующем виде:
Подставив это в (5.1), получаем уравнение
ЛГ+(^-2*)л!+(р-?2а±!))л,=0, (5.2)
которое можно решить с помощью степенного ряда
оо
Л,(г) = 5>*г*. (5·3)
к=0
Подстановка этого степенного ряда в (5.2) дает следующее рекуррентное
соотношение для коэффициентов а&:
2х(к + 1 + 1)-2
ak+1=(k + l)(k + 2l + 2)ak> fc=1'2'···'
3Для атома водорода α = е2, где е — заряд электрона. Случай α = Ze2, где Ζ = 2,3, ...,
соответствует ионам водорода.
4Когда α = е2, кулоновские единицы совпадают с атомными единицами.

266
Глава 3
где αο φ 0. Степенной ряд (5.3) сходится при всех г > 0 по признаку
сходимости Даламбера. Когда к > 0 таково, что α& ^ 0 для любого к,
имеем
lim (fc + lK+1 = 2х.
Таким образом, для любого ε > 0 существует Ν, такое, что при к > N
все ak одного знака, скажем а& > 0, и
Qfc+i > 2х- ε
°>к " к + 1 '
Тогда при к > N получаем
(2*-е)*
afc ^ C~J\
с некоторой константой С > 0 (зависящей от ε), и поскольку для фиксиро-
ванного N сумма первых N членов в (5.3) растет как rN при г —> оо, для
достаточно большого г получаем5
А|(г) ^ Се^-£)г - drN > С2е{2"-е)г.
Этим доказывается, что для таких значений н функция //(г) не интегриру-
ема с квадратом на (0, оо). Однако для особых значений
*=^ = гтттт
степенной ряд (5.3) обрывается: Л/(г) превращается в многочлен Л^(г)
порядка к и Д/(т·) = rz+1e_;><fcirAfc/(r) 6 Ь2(0, оо). Положив η = к + Ζ + 1,
получаем явную формулу для собственных значений
Для фиксированного η целое число Ζ изменяется от 0 до η — 1, и для каж-
дого Ζ имеется 2Ζ + 1 ортогональных собственных функций —-—Yim(n)
с собственным значением Еп. Таким образом, полная кратность собствен-
ного значения Еп равна
]T(2i + l) = n2.
i=o
5Можно показать, что Aj(r) = Ce2>trr(l + о(1)) при г —► оо.

3.5. Атом водорода и SO(4)
267
Собственные функции Д/(г) радиального уравнения Шрёдингера
(5.1), соответствующие собственному значению Еп, можно выразить в тер-
минах классических многочленов Лагерра. А именно: при к = — подста-
2т
новка х = — сводит дифференциальное уравнение (5.2) к
xQ" + (p+l-x)Q' + kQ = V,
где ρ = 21 +1 и Q(x) = Λ/(г). Это — дифференциальное уравнение, которо-
му удовлетворяют обобщенные многочлены Лагерра Qvk{x), определенные
формулой6
Ql(x) = e*x-r^r{e-*xk+P),
— это многочлены степени к со старшим коэффициентом (—1)к, у кото-
рых имеется к нулей в промежутке (0,оо). Для каждого ρ обобщенные
многочлены Лагерра {Я^(х)}^=о — это ортогональные по мере e~xxpdx
многочлены на (0, оо) со свойством
ОО
О
e-xxv+lQl(xfdx = k\(k+p)\(2k + p+l).
Ортонормированные собственные функции оператора Шрёдингера Η для
атома водорода, соответствующие собственному значению Еп, имеют вид
л'"(')^7га(|)'е""'гг(|)у,"(п)· <5·4)
где η = к + / + 1,1 = О, ..., η — 1, и т = — /, ..., I.
Замечание. Возвращаясь к физическим единицам а = е2, где е —
заряд электрона, получаем для уровней энергии атома водорода
&п = —
η _ о^2'
2пЧ2
где μ — приведенная масса электрона и ядра. В частности, энергия основ-
ного состояния — Е\ = —13,6 eV; ее абсолютная величина — это энергия
6Также используются многочлены L™(x) = (—l)m- '·—— Q™_ш(х).
(η — га)!

268
Глава 3
ионизации — энергия, необходимая, чтобы удалить электрон из атома водо-
рода. Используя формулу Бора для частот спектральных линий
получаем для атома водорода
με4 ( 1 1
иПт = —о I -« о I i n<m.
27i3 \n2 m2y
При n= 1иш = 2,3, ... получаем классическую серию Лаймана, η = 2
и значения т = 3,4, ... дают серию Балмера, тогда как η = 3 и т =
= 4,5, ... — серию Пашена. Эти серии спектральных линий были откры-
ты экспериментально задолго до того, как была сформулирована квантовая
механика.
Замечание. Уровни энергии атома водорода можно также опреде-
лить из правил квантования Бора- Вильсона - Зоммерфельда. А именно:
в сферических координатах (г, д, φ) на R3 лагранжиан задачи Кеплера при-
нимает вид (см. раздел 1.1.6 главы 1)
L = \ц(г* + гЧ2 + г2 sin2 υ ψ2) + f,
и соответствующие обобщенные импульсы — это
рг = μτ, № — μτ2$, ρφ = μν2 sin2 β φ.
Условия квантования БВЗ
prdr = 2nh(k+\), (5.5)
>Р0{й? = 2тг(/-т+§), (5·6)
Ρφαφ = 2пТьт, (5.7)
l·
в которых интегрирование ведется по замкнутой орбите задачи Кеплера
с энергией Ε < 0, точно определяют уровни энергии Еп, η = к + I + 1.
Действительно, имеем ρφ = Мсз, где Мс = (Mci, МС2,Мсз) — клас-
сический угловой момент. Он постоянен на орбите, так что уравнение (5.7)

3.5. Атом водорода и SO(4)
269
определяет собственные значения оператора Мз (см. раздел 3.3.2). Для вы-
числения §ρ$αυ воспользуемся полярными координатами (г, х) в плоско-
сти орбиты Ρ (см. раздел 1.1.6 главы 1). Поскольку %2 = д2 + sin2$</?2,
на орбите получаем pxdx = p^dd + ρφαφ, где рх = μν2Χ = |МС|. Условие
(5.6) теперь следует из равенства
fpxdx = 2тг|Мс| = 2пЦ1 + §), (5.8)
то есть из правила квантования квадрата полного углового момента7. Нако-
нец, чтобы вычислить ffprdr, воспользуемся уравнениями (1.7)и(1.11)из
раздела 1.1.6 главы 1 и получим, что
prdr = μτ-dr = μ-^x dr = —j- ( -£ ) dX = px 6 Sm X d\,
dx r2 \dxj (1 + ecos*)2
где 0 < e < 1 — эксцентриситет орбиты. Имеем
/МГ = P*I (l + Zl^ = ^ (ТГ^ - λ) '
что может быть показано с помощью подстановки z = егх и теоремы Коши
о выче-
тах8. Из уравнения (1.12) в разделе 1.1.6 главы 1 следует, что
\Л - е2 =
\мс\^/Щ
α^[μ
и из (5.5) и (5.8) получаем
2п2П
Е\ = -Еп = μ(* 0, π = * + / + !.
7Это равенство дает квантованные значения /i2(/ + — )2, при больших Ζ хорошо согласую-
щиеся с собственными значениями h2l(l + 1) оператора Af2.
8 Этот интеграл был вычислен Зоммерфельдом в 1916 г.

270
Глава 3
3.5.2. Непрерывный спектр
Положим 2Е = к2, где к > 0, и рассмотрим уравнение
Подстановкой
fi(r)=rl+1e-ikrFl(r)
уравнение (5.9) сводится к
К+(Щ1>-^+(1-ЩтутЛ (5.Ш)
Решение уравнения (5.10), удовлетворяющее условию i*}(0) = 1, можно
в явном виде записать как
Ft (г) = F (I + 1 + <λ, 21 + 2,2гкг), λ = ±,
где F(a, 7, г) — вырожденная гипергеометрическая функция, определенная
абсолютно сходящимся рядом
( '7* } ε*Γ(α)Γ(7 + η)η!
для всех аи7^0,-1,-2, ... . Вырожденная гипергеометрическая функ-
ция является целой функцией от переменной z и удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению
zF" + (7 - z)F* -aF = 0.
При а = — fc и 7 = Ρ + 1, где fc, ρ = 0,1, 2, ..., вырожденная гипергео-
метрическая функция сводится к обобщенным многочленам Лагерра:
(%(*) = £^F{-k,p + l,x),
рассмотренным в предыдущем разделе. При Re 7 > Re α > 0 функ-
ция F(a,7, z) допускает интегральное представление
1
F(a>7,*) = г, ^7) , [r-Hl-tr-o-Wdt, (5.11)
Γ(α)Γ(7 - a) J

3.5. Атом водорода и SO(4)
271
получаемое по методу Лапласа. Вырожденная гипергеометрическая функ-
ция удовлетворяет функциональному уравнению
F(a,7,*) = ezF(7-a,7,-*) (5.12)
и имеет следующую асимптотику при z —+ оо:
^(а'7'г) = г^)("гГа(1 + 0(г"1))+ (5·13)
Из (5.12) следует, что функция fi(r) = rlJtle~ikrF(l + 1 + гА,2/ +
+ 2,2гкг) вещественнозначна, а из (5.13) следует, что функция
Ыг) = J_' е™ |Г(/ + 1 - iA)|/i(r) (5.14)
>/2π(2Ζ + 1)!
имеет следующую асимптотику при г —^ оо:
/£?i(r) - у | sin (кг + Alog2fcr - Ц + i,) + о(1), (5.15)
где
««(*) = argT(/ + 1 - <λ), λ = \ = -L=, (5.16)
— фазовый сдвиг. Частичная 5-матрица для кулоновской задачи — это
Sl(k) _ ет{к) _ гр + 1-»А)
Она допускает мероморфное продолжение в верхнюю полуплоскость
ImA; > 0 и имеет простые полюса в точках к = ixji, соответствующих
собственным значениям Eki радиального оператора Шрёдингера Hi. Ради-
альные собственные функции непрерывного спектра (5.14) удовлетворяют
условию нормировки (4.15).

272
Глава 3
Замечание. Поучительно сравнить асимптотику (5.15) для кулонов-
ского потенциала, являющегося дальнодеиствующим, с соответствующей
формулой (4.16) для общего короткодействующего потенциала. Дальнодей-
ствующая природа кулоновского взаимодействия проявляется в добавочном
логарифмическом члене Alog2fcr в (5.15).
Теорема о разложении по собственным функциям для оператора Шрё-
дингера Η атома водорода имеет такой же вид, как и в разделе 3.4.3: соб-
ственные функции фыт{я) даются формулой (5.4), где к = О,1, ..., Ni =
= оо, а собственные функции непрерывного спектра даются формулой
Фе1гп(х) = -^—Yim(n), Ζ = 0,1, ..., т = -/,..., I.
3.5.3. Скрытая SO(4) симметрия
Как мы видели в разделе 1.1.6 главы 1, у классической системы с функ-
цией Гамильтона
Яс(Р,*) = £^-?,
вдобавок к угловому моменту Мс есть три добавочных интеграла движе-
ния, которые даются вектором Лапласа-Рунге-Ленца
W = — х Μ — —
Согласно примеру 2.2 из раздела 1.2.6 главы 1, интегралы Мс и Wc для
задачи Кеплера имеют скобки Пуассона:
{Mcj, Мск} = -EjkiMd, {Wcj, Мск} = SjklWcU
{Wcj,Wck} = 2HcejklMch
rnej, k,l= 1,2,3 и 6i23 = 1·
Квантовая задача Кеплера — это кулоновская задача. В координатном
представлении Ж = L2(M3, d3x) ее гамильтониан — это
и Р2 а
где г = \х\, и мы положили т = 1. Квантовый вектор Лапласа-Рунге-
Ленца — оператор Лапласа-Рунге-Ленца W — определяется формулой
W=±(PxM-MxP)-?Q

3.5. Атом водорода и SO(4)
273
или покомпонентно
Wj = yjki(PkMl-^MlPk)-^, j = 1,2,3.
Здесь Qi — операторы умножения на xiy и все время подразумевается сум-
мирование по повторяющимся индексам 1,2,3. В силу коммутационных
соотношений (3.5) имеем также
aQ
olQ
w = PxM--^-ihP = -м xp--^ + ihP,
(5.17)
где слагаемое ifiP играет роль «квантовой поправки». Следующий резуль-
тат выявляет скрытую симметрию кулоновской задачи.
Предложение 5.1. Оператор Шрёдингера Η атома водорода имеет
шесть квантовых интегралов движения Μ и W,
[Я,М,] = [Я,^]=0, г =1,2,3,
удовлетворяющих условиям W'M = M-W = 0u v
W2 = а2 + 2НМ2 + 2ft2 tf. (5.18)
Кроме того, самосопряженные операторы Μ uW удовлетворяют следу-
ющим коммутационным соотношениям:
[Mj, Mk) = iUjkiMi, [Wj,Mk] = ibejklWi, [Wj,Wk] = -2iUjkiM{E.
Доказательство.
Мы знаем, что [H,Mj] = 0. Чтобы доказать, что Wj — квантовые
интегралы движения, сперва вычислим
отношений Гейзенберга следует, что
, 1
Р2 Qi
31 г
г6
Из коммутационных со-
(5.19)
так что, используя правила Лейбница и соотношения г2 — х\ + х\ + х2,
[Mj, г] = 0 и QjPk - QkPj = EjkiMu получаем
Р2 Qi
= 2Л^ + 2<Йе^|%М|.

274
Глава 3
Теперь, воспользовавшись первым уравнением в (5.17) и уравнени-
ем (5.19), получаем
[H,Wj} =
а
aQj
^- - y,ejkiPkMt - -^ - гПР3
Qj Qk Qk Qj
= -гаТг— - iaUejki—Mi + iaTiejki—Mi + гаТг— = 0.
Легко доказать соотношение W · Μ = W\M\ + W2M2 + W3M3 = 0.
Действительно, из определения Μ и коммутативности Рк и Q/ при к φ Ι
следует, что
MP = PM = MQ = QM = 0,
и, используя первое уравнение в (5.17) и коммутационные соотношения
для компонент углового момента, немедленно получаем, что W · Μ = 0.
Чтобы доказать, что Μ · W = 0, надо воспользоваться вторым уравнени-
ем в (5.17).
Проверка условия (5.18) требует большей работы. Имеем
W2 = WjWj =
aQj , ,*D \ L о л„ aQj
= SjkiMiPk ^ + ifiPj ejmnPmMn -+ - iftP, =
= ejkiisjmnMiPkPmMn - аМ{Рк — - iUMiPkPj)-
- OLEjmn-^-PrnMn + ο? ^-γ- + гаЬ-^-Рэ + гЬеэтпРэРшМп-
- гаПР~ + П2Р7Р7· =
j г
3* 3
= α2/ + ГР' + EjkiEjmnMiPkPmMn-
- aejki f M/P^ + ^PfcM/ ) - iah
Qj
31 r
Поскольку операторы Μ3· и Р3 коммутируют, тождество (а X Ь)2 = а2Ъ2 —
— (а· Ь)2 по-прежнему применимо, и мы получаем, что
r2D2
е^е^пМЛРгпМп = -(МхР)-(РхМ) = М2Р2-(М-РУ = М2Р

3.5. Атом водорода и SO(4)
275
Используя (5.19), легко находим (суммирование по повторяющимся индек-
сам), что
ρ 9i
= гП|-г + ^з)=—Г'
Поскольку [М2, г] = 0, из равенства Μ = Q Χ Ρ следует, что
ejkt (μΛ0- + ^РкмЛ = М-\ + 1М2 = 2М!.
Собирая все вместе, получаем (5.18).
Нетрудно также установить коммутационные соотношения между Mj
и Wk. Используя (3.5) и свойства Sjki, получаем
[MhWk]
MhtkmnPmMn - ^А - ihPk
}
= iH£jrnp£kmnPpMn+ejnp€kmnPmMp)-iTiejkl f — h iUPi
= ih(PjMk - MkPj) - ibejki (^p- + гЬРЛ = itejkiWi.
Наконец, чтобы установить коммутационные соотношения между ком-
понентами W, воспользуемся представлениями
W = QP2-P(Q P)-^=P2Q-(P Q)P-^. (5.20)
Первая формула в (5.20) следует из первой формулы в (5.17), если вос-
пользоваться соотношениями
EjklPkMi = SjklSimnPkQrnPl = Sjkl{eijkPkQjPk + ZlkjPkQhPj) =
= PkiPkQj - PjQk) = QjP2 - Pj(P · Q) - 2ihPj
и соотношением Ρ Q = Q- Ρ — ЗгЫ. Вторая формула в (5.20) следует из

276
Глава 3
первой в силу коммутационных соотношений Гейзенберга. Дальше имеем
£jki[Wk, W[] = 2ejmnWmWn =
= 2ejmn (p2Qm - (Ρ ■ Q)Pm - ^>j (quP* - Pn(Q · P) - ?Щ =
= 2Mj (-P2{Q -P) + (P- Q)P2 + f (Q · P) - (P · Q)f) =
(p2 - ψ)
= -2i%Mj P2 - ψ = -AifiMjH,
Ρ Q,\
ψ.Это
где были использованы равенства [Μ", Ρ · Q] = 0 и
доказывает, что [Wk, Wi] = —2i?i€jkiMjH.
Пусть Jif0 = Ря(—оо, 0)Ж, где Ρ я — проекторная мера для оператора
Шрёдингера Н. Поскольку самосопряженные операторы Μ nW коммути-
руют с Н, подпространство Л?о — инвариантное подпространство для этих
операторов. Оператор Шрёдингера Η неотрицателен на Jifo, так что на этом
пространстве корректно определен оператор (—2#)-1/2. Далее, на <Щ по-
ложим
J(±) = |(М± (-2Я)"1/2И^).
Из предложения 5.1 следует, что самосопряженные операторы J. ' на ^
удовлетворяют коммутационным соотношениям
[jj±\4±)]=i**ii*j}±), H+),4i=0 (5.21)
и
(J(+))2 = (j(-))2 = _I^2/ + ^. (5.22)
Уравнения (5.21) — это коммутационные соотношения для образующих ал-
гебры Ли 50(4), что соответствует изоморфизму алгебр Ли so(4) ~ so(3) 0
0 5θ(3) и чем демонстрируется скрытая S0(4) симметрия кулоновской за-
дачи! Вместе с (5.22) они позволяют найти уровни энергии чисто алгебра-
ически.
А именно: собственные значения операторов (J(+))2 и (J(-))2 — это
соответственно ft2Zi(Zi + l) и ^2/2(Ь + 1), и из (5.22) следует, что l\ = ^ = U
так что соответствующее собственное значение Η — это
£« = -Г#1' п = 21 + 1.
2П2п2

3.5. Атом водорода и SO(4)
277
Предполагая, что
Ж0с± 0 Vi®Vh (5.23)
где суммирование происходит по всем неотрицательным целым и полу-
целым значениям I, получаем из разложения Клебша-Гордона (3.13), что
кратность собственного значения Еп — это
21
dim Vz ® Ц = Y^(2j + 1) = (2/ + Ι)2 = η2.
з=о
Для доказательства ортогонального разложения (5.23) надо рассмот-
реть уравнение Шрёдингера для атома водорода в импульсном представле-
нии. Используя сферические координаты вЕ3и элементарный интеграл
I
Sin Г , 7Г
г аг ~ 2 '
о
легко показать, что для любого φ е У(Ш3)
2n2?iJ \p-q\2 (>/2πη)3 J r
где ψ = βΗ(Ψ) — зависящее от Ь преобразование Фурье9. Пусть ψ — соб-
ственная функция Η с собственным значением Ε < 0. Из (5.24) следует,
что в импульсном представлении соответствующее уравнение Шрёдинге-
ра — уравнение на собственные значения Нф = Еф — принимает вид
(р2+р1Жр) = \[-Щ^а\ (5.25)
R3
αμ
где ро = \/—2μΕ и λ = —^-. Дальше рассмотрим однородные координа-
той
ты -в!3 как координаты стереографической проекции единичной сфе-
ры S3 в М4. А именно: обозначив как η единичный вектор из начала ко-
ординат в северный полюс S3, получим для точки и £ S3, соответствую-
ЩеЙ£еМ3' 2 2
и = — η + — Ρ-
Р2+Ро Ρ +Ρο
9Поскольку х — переменная в координатном представлении, здесь q — другая переменная
в импульсном представлении.

278
Глава 3
Для формы объема на 53 имеем
аП
(2ро)3
(р2+Р2о)3
53
2π2.
Используя равенство
, ,2 (Р2+Ро)(Г+Ро), ,2
|р - q\ = —~ \и ~ v\
где ν € Ss соответствует — е R3, и вводя
Ф(и)-
(2ро)2
вод
1 (р2 + р1)2
Ψ(ρ),
у/Ро (2р0)2
можно переписать уравнение (5.25) как
2πΖ J \и — vr
S3
Имеем также
J |*(«)|2<Ю« = J ^^\i>(P)\2d3p = J \ф(Р)\2а3р.
S3 , Ж3 ° Кз
Действительно, из уравнения Шрёдингера следует, что
I I2
^ Jp2mP)\2d3P = ±j\^\d*x = J(E- У{г)Жх)\Ч*х,
(5.26)
(5.27)
2μ,
ж3
Ж3 Ж3
и по теореме о вириале (см. раздел 3.1.3) получаем
|2
i / ПИТ** = -^ /δ*(*Μ*)Λ* = -| J У(г)\ф(х)\Ч3х,
где V(r) = — ", так что
/" ^(г)|^(ж)|2й3х = 2Я /" |V(x)|2d3a; = 2£ /" |^(p)|2dV

3.5. Атом водорода и SO(4)
279
Это показывает, что задача о собственных значениях уравнения Шрё-
дингера эквивалентна задаче о собственных значениях интегрального урав-
нения (5.26) на L2(53, dQ). Последняя — классическая задача теории сфе-
рических гармоник. А именно: функция G(u) = τ—r·, где и = \и\,
47Г1Г
и G R4, — фундаментальное решение оператора Лапласа Δ на R4:
ди2 ди2 ди2 ди2
а уравнение (5.26) — уравнение, которому удовлетворяют сферические гар-
моники на 53: собственные функции сферической части Δ0 оператора Ла-
пласа на R4, определенного формулой
Δ = -L-£- (и3—} + —Δ
и3 ди \ ди) и2
Хорошо известно из теории представлений группы Ли SO (4), что сфе-
рические гармоники — это ограничения на 53 однородных гармонических
многочленов на R4 степени η — 1, η Ε N. Соответственно, уравнение (5.26)
получается как предел |гх| —> 1 формулы Грина для однородных гармо-
нических функций степени η — 1 в единичном шаре в R4 с использо-
ванием потенциала двойного слоя. Это дает λ = η, чем опять устанав-
ливается точная формула для уровней энергии атома водорода. Изомор-
физм Ж§ ~ L2(53, dVt) следует из (5.27), а (5.23) — из разложения
L2(S3,dn)~ 0 Vi®Vi
регулярного представления SO(4) в прямую сумму неприводимых компо-
нент. Можно также получить явный вид (5.4) собственных функций, вос-
пользовавшись теорией представлений SO(4). Мы оставляем все эти детали
заинтересованному читателю.
Замечание. При Ε > 0 надо рассмотреть подпространство Ж\ =
= Р#(0, oo)J^ и определить J(±) = i(M ± (2H)~l/2W). Вместо (5.21)
эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры
Ли 5о(3,1) группы Лоренца SO(3,1). Задачу нахождения собственных
функций непрерывного спектра для кулоновской задачи можно решить, ис-
пользуя гармонический анализ на трехмерном пространстве Лобачевского.

280
Глава 3
Задача 5.1. Покажите, что компоненты углового момента Μ — об-
разующие 50 (4), соответствующие бесконечно малым вращениям в под-
пространстве R4 с координатами (0,р), а компоненты вектора Лапласа-
Рунге-Ленца W соответствуют бесконечно малым вращениям в плоско-
стях (poPi), (P0P2) и (роРз) в М4.
3.6. Квазиклассическая асимптотика - I
Здесь мы опишем соотношение между классической и квантовой ме-
ханикой, рассмотрев поведение волновой функции t/j(q,t) — решения зави-
сящего от времени уравнения Шрёдингера10
ih^ = -^Aip + vm (6.1)
при Ь —> 0. Подстановка
ф{Ч,Ь)=е-*8(с,т (6.2)
сводит (6.1) к следующему нелинейному уравнению в частных производ-
ных: , ν 2
Замечательно, что (6.3) отличается от уравнения Гамильтона-Якоби (2.4)
для функции Гамильтона #с(р, q) = ~ \- V(q), рассмотренной в разде-
ле 1.2.3 главы 1, только слагаемым в правой части, пропорциональным %.
Таким образом, при Ь —► 0 уравнения движения квантовой механики пере-
ходят в классические уравнения движения.
--Et
Для стационарного состояния t/j(q,t) = ^{q)e h подстановка (6.2)
превращается в .
ip(q,t) = е п . (6.4)
Соответствующее нелинейное уравнение в частных производных:
Χ(|)2 + η,) = Ε+||Δ<,, т
отличается от соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби для укоро-
ченного действия, рассмотренного в разделе 1.2.5 главы 1, пропорциональ-
ным Ть слагаемым в правой части.
103десь будет удобно обозначать декартовы координаты на Rn как q = (qi, ..., qn).

3.6. Квазиклассическая асимптотика - I
281
В этом разделе мы рассмотрим квазиклассическую асимптотику:
асимптотики уравнений в частных производных (6.3) и (6.5) при Ть —> 0.
Они описывают точное соотношение между квантовой и классической ме-
ханикой и представляют количественную форму принципа соответствия,
обсуждавшегося в разделе 2.2 главы 2. В частности, используя квазиклас-
сическую асимптотику стационарного уравнения Шредингера, мы выведем
правила квантования Бора- Вильсона - Зоммерфельда, которые были посту-
лированы в разделе 2.2.5 главы 2.
3.6.1. Асимптотика, зависящая от времени
Здесь мы рассмотрим задачу нахождения коротковолновой асимпто-
тики — асимптотики при Ь —> 0 решения фп{ч^) задачи Коши для одно-
мерного уравнения Шредингера (6.1),
с начальным условием
Mq,t)\t=Q = <p{q)ebs(q).
Предполагается, что вещественнозначные функции <p(q) и s(q) — гладкие,
s(q), φ{<1) £ C°°(R) и что у «амплитуды» φ(ς) компактный носитель. Под-
становка (6.2) — это tl>h(q,t) = е*> ' ' , и дифференциальное уравне-
ние (6.3) принимает вид
dS . 1 fdS\\v(, ifi d2S ,RRx
Чтобы определить асимптотическое поведение S(q,t,%) при Ь —> 0, пред-
положим, что при Ь —> О
оо
S(q,t,?i) = J2(-ih)nSn(q,t),
71=0
и подставим это разложение в (6.6). Сравнивая члены с одинаковыми сте-
пенями Ti, получим, что So(q,t) удовлетворяет задаче с начальными усло-
виями
w+Hti+vw=° (6·7)

282
Глава 3
So(q,t)\t=0 = 8(q), (6.8)
где Si (q, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
dt + m dq dq 2m dq2 ' ^ '
так называемому транспортному уравнению, и
Si(q,t)\t=Q = \og<p(q). (6.10)
Функции Sn(q, t) при η > 1 удовлетворяют неоднородным дифференциаль-
ным уравнениям, подобным (6.9).
Задача с начальными условиями (6.7)-(6.8) — это задача Коши для
уравнения Гамильтона -Якоби с функцией Гамильтона
Hc(p,q)=^ + V(q),
рассмотренной в разделе 1.2.3 главы 1. Согласно предложению 2.1 в раз-
деле 1.2.3 главы 1, решение уравнений (6.7)-(6.8) получается методом ха-
рактеристик: t
S0{q,t) = s{qo) + J L{i{r))dT. (6.11)
О
Здесь L(q, q) = ^mq2 — V(q) — функция Лагранжа, a η (τ) — характери-
стика, классическая траектория, начинающаяся в точке qo в момент вре-
мени г = 0 с импульсом ро = -^-(qo) и заканчивающаяся в точке q в мо-
мент г = t, где qo однозначно определяется из q. (Мы предполагаем, что
гамильтонов фазовый поток gt удовлетворяет предположениям, сделанным
в разделе 1.2.3 главы 1.) Из теоремы 2.7 в разделе 1.2.3 главы 1 следует, что
на характеристике
— (q,t)=m-(t\
так что
ж + шд^1)^т) = ^1Ыш (6.12)
Теперь мы можем решить задачу Коши (6.9)-(6.10) для транспортного
уравнения явным образом. Рассмотрим поток π* : R —► R, определенный

3.6. Квазиклассическая асимптотика - I
283
в разделе 1.2.3 главы 1, и обозначим11 как 7(<2> Ч\т) характеристику, соеди-
няющую точки q в момент τ = 0 и Q = π* (q) в момент г = t (при наших
предположениях, что поток щ — диффеоморфизм и отображение q \-+ Q
взаимно однозначно). Дифференцируя уравнение
dSo-(Q,t) = m^(Q,q;t)
dQ
-Ι'
по q, получаем
**(Q t№
dQ2^' >dq
"•J>-<>-f(f
так что (6.9) можно переписать как
и, используя (6.10), получаем
5i(Q,i) = v(9)
а9
(?)
Поэтому
iMQ, *) = ¥>(«)
9ς
(9)
i.
2e^(S(Q,</;t)+S(</))(1 + 0(^)))
(6.13)
где S(Q,q;t) — классическое действие на характеристике, начинающейся
в точке q в момент τ = 0 и кончающейся в точке Q в момент τ = t.
Строгое доказательство того, что (6.13) — асимптотическое разложение
при ^г. —► 0, использует предположения, сделанные в разделе 1.2.3 главы 1,
и оставляется заинтересованному читателю. Здесь мы только заметим, что
асимптотика (6.13) согласуется с сохранением вероятности: для любого
борелевского подмножества Ε С R
J \MQ, t)\2dQ = J Mq)\2dq + 0{П)
Et Ε
при % -> 0, где Et = щ(Е).
Не путать с оператором квантовой координаты Q.

284
Глава 3
Замечание. Когда предположения раздела 1.2.3 главы 1 не выпол-
няются, ситуация становится более сложной. А именно: в этом случае мо-
жет быть несколько характеристик 7j(r)> которые заканчиваются в точке Q
при τ = t, имея qj своими соответствующими начальными точками. Тогда
Фп(я^) = Σ(ρ(<υ)
dQ_
dq
Ы
i(5«^5*)+-to))-f^(i + OW)>
где μ^ Ε Ζ — индекс Морса характеристики jj. Он определяется как число
фокальных точек на фазовой кривой (q(r),p(r)) с начальными данными qj
и pj = -^-(Qj) по отношению к конфигурационному пространству R. Это
частный случай более общего индекса Маслова.
Случай η степеней свободы рассматривается похоже. При предположе-
ниях раздела 1.2.3 главы 1 решение фп(я^) уравнения Шрёдингера (6.1)
с начальным условием
M4,t)\t=0 = V>{q)e^4\
где вещественнозначные функции s(q) и (p(q) — гладкие, a (p(q) — еще и с
компактным носителем, имеет следующую асимптотику при Ь —> 0:
^h(Q,t) = 4>{q)
detlfta)
ef (S(Q,<7;t)+*(<7))(1 + о(П)). (6.14)
3.6.2. Асимптотика, не зависящая от времени
Здесь мы рассмотрим квазиклассическую асимптотику для одномерно-
го уравнения Шрёдингера
5S + W"*
(6.15)
Этот асимптотический метод известен также как метод ВКБ (в честь
Дж. Венцеля, X. Крамерса и Л. Бриллюэна). Подстановка (6.4) — это
фп{х) =еп
а{х\Тг)
, и уравнение (6.5) принимает вид
2га
ъЬ d2a
dxj. v ' 2ra dx2

3.6. Квазиклассическая асимптотика - I
285
Как и в предыдущем разделе, воспользуемся разложением
оо
а(х,К) = Y^(-ih)nan(x)
71=0
и для первых двух членов получим
±<tf = E-V(x) и σ'0σ[ = -\σΙ (6.16)
Пусть р(х) = л/2т(Е — V(x)) — классический импульс частицы, дви-
жущейся в потенциале V(x) с энергией Е. Решение первого уравнения
в (6.16) дается формулой
Ч
σο = ± / p(x)dx,
а из второго уравнения в (6.16) мы получаем
ai = -|logp.
Волновая функция в приближении ВКБ имеет вид
ЫХ) = 7^m(cJfP{X)dX + C2e-^Pix)dX)(l + 0(n)), (6.17)
где р(х) вещественно в классической области V(x) < Ей чисто мнимо
в классически недоступной области V(x) > Ε (см. раздел 1.1.5 главы 1).
Заметим, что асимптотика (6.17) верна, только если %\ση\ <С (я7)2, что
в первом приближении дает
d ( П
dx \p(x)
<1.
Введя классическую силу F = —^-, это условие можно переписать как
ах
Щ?- < 1. (6.18)
ρ6
Таким образом, приближение ВКБ не работает, когда классический им-
пульс р(х) мал. В частности, оно неприменимо вблизи точек поворота,
где Ε = V(x), и поэтому р(х) = 0. Пусть х = а — точка поворота. Ес-
ли F0 = F(a) т^ 0, то, используя приближение Ε — V(x) ~ F0(x — а)
вблизи х = а, можно заменить (6.15) уравнением
^Ψ" = Ρ0(Χ-α)ψ.

286
Глава 3
Это дифференциальное уравнение в явном виде решается методом Лапласа.
Его ограниченное решение — это
1_
φ(Χ)=Φ(ξ), £=(^)3(a-z),
где Φ (ξ) — функция Эйри-Фока, определенная несобственным интегралом
V 7Г J
Асимптотика функции Эйри-Фока при больших ξ, полученная методом
перевала, следующая:
ФЮ = ^е"^5 (1 + 0(Г2)| при ξ ^οο, (6.19)
Ф(0 = -7=въ(§1^ + Т ) (H-O(lir^)) при ξ^-οο. (6.20)
Используя асимптотику (6.19)-(6.20), можно получить формулы, свя-
зывающие приближения ВКБ для классической и недоступной областей.
Строгое обоснование этого подхода технически достаточно трудоемко,
и мы не будем приводить его здесь. Вместо этого мы обсудим простей-
ший случай, когда имеется только одна точка поворота х = а с Fo > О,
так что х < а — классически недоступная область. Из (6.17) получаем,
что волновая функция ВКБ в недоступной области х < а экспоненциально
затухает:
тогда как в классической области х < а — осциллирует:
1 Τ f P(s)ds —— f p(s)ds - x
V\vkb(x) = -r=(Cieft · + C2e n · ) = -£- sin(± fP(s)ds+a).
y/p{X) \V\X) a a
Как следует из (6.18), приближение ВКБ вблизи точки поворота х = а
1
остается уместным при \х — а\ > ^ ( -^=- 1 , что эквивалентно усло-
2 \mtoJ
вию |£| > 1. С другой стороны, когда \х — а\ <С 1, волновая функция имеет

3.6. Квазиклассическая асимптотика - I
287
асимптотику
1М*) = сф(0(1 + ОД).
Чтобы определить неизвестную фазу а и найти соотношения между коэф-
1
1 ( Ь2 λ 3
фициентами Л, В и С, рассмотрим область - I —— I <С |ж — а| <С 1
2 утгоJ
и сравним приближение ВКБ для волновой функции с асимптотикой функ-
ции Эйри-Фока при больших ξ. А именно: при х < а имеем ^>1и
2Л 2 ПГ-^г ч! 1 Λ , mj 4/7 >/1р(*)1
|f5 = Α^^(α _ Ж) 2 ~ I у |ρ(β)|ω> </£
y2mhF0
Сравнивая (6.19) с волновой функцией ВКБ при х < а, получаем, что 2Л
= \/2mbFoC. При ж > α имеем £ <С — 1 и
а;
у/р(х)
0тЩ
а
Сравнивая (6.20) с волновой функцией ВКБ при х < а, получаем,
что а — J и В — ^2m%FoC9 так что В = 2А. Таким образом, в этом
примере волновая функция ВКБ — это
a Uws)lds
I /. , е а , когда х < а,
^wkb(x) = { ^^ я (6.21)
2А
/р(х)
sin(^ Jp(s)ds + J), когда ж > α.
Случай, когда имеется только одна точка поворота ж = Ь с Fo < 0,
так что х > Ь — классически недоступная область, сводится к предыду-
щему примеру с помощью изменения ориентации х н+ — х. Как результат,
получаем
^wkbOe) = <
Ъ
Щ- sin(£ Jp(s)ds + f), когда ж < 6,
Р(Х) ! хж , (6.22)
—■ — е ь , когда ж > о.
[у/\р&)\

288
Глава 3
Задача 6.1 (Прохождение через потенциальный барьер). Рас-
смотрим потенциальный барьер для заданной энергии Ε — потенциал V(x),
такой, что {х Ε Μ : V{x) > Ε} = (α, b). Покажите, что
2 ь
--f\p(x)\dx
Jwkb = e
Проверьте непосредственно, что коэффициент прохождения для потенциала
из задачи 2.9 в квазиклассическом приближении дается этой формулой.
Задача 6.2 (Отражение над барьером). Предположим, что по-
тенциал V(x) допускает аналитическое продолжение в верхнюю полуплос-
кость, и пусть Ε — энергия, такая, что Ε > V(x) для всех веществен-
ных х. Предположим, что существует лишь одно комплексное хо, такое,
что V(xq) = Ε. Покажите, что в квазиклассическом приближении
4 хо
— — Im f p(x)dx
^WKB — e α i
где р(х) — yJlm{E — V(x)), a a G Μ (выбор α не влияет на мнимую часть
интеграла в экспоненте). Проверьте непосредственно, что коэффициент от-
ражения для потенциала в задаче 2.9 в квазиклассическом приближении
дается этой формулой.
Задача 6.3. Найдите коэффициенты прохождения и отражения для
параболического барьера — потенциала V(x) = —^кх2, где к > 0, — и про-
верьте непосредственно, что в квазиклассическом приближении они удо-
влетворяют при Ε < 0 и Ε > 0 соответственно формулам из задач 6.1
и 6.2.
3.6.3. Правила квантования Бора-Вильсона-Зоммерфельда
Метод ВКБ позволяет определить уровни энергии в квазиклассическом
приближении. Рассмотрим для простоты финитное движение одномерной
частицы в потенциальной яме: в потенциале V(x) с энергией Е, такое, что
имеются две точки поворота а и Ь. Классическая область — это а ^ х < Ь,
и движение периодично с периодом
6 6 6
ах
Τ = 2 I ^ = 2т J ψ = урЫь (
yjE-V{x)
Области х < а и х > Ь недоступны (см. раздел 1.1.5 главы 1).

3.6. Квазиклассическая асимптотика - I 289
Из (6.21) - (6.22) следует, что волновая функция ВКБ экспоненциально
затухает в недоступных областях х < а и х > Ъ. Воспользовавшись (6.21),
мы видим, что в классической области волновая функция ВКБ имеет вид
^wkb(z) = -r= sin [ £ / p(s)ds + \ ,
тогда как, используя (6.22), получаем
ъ
2В
fp(x)
^wkb(s) = -fesin τ Jp(s)ds + τ Ι =
Χ
Д- sin U Jp(s)ds + f - (Ι |ρ(,)Λ + f)
Эти два выражения определяют одну и ту же функцию на а ^ ж ^ Ь, если
и только если существует положительное целое число п, такое, что
£^ρ(*)ω; + | = (η+1)7Γ, (6.23)
α
тогда Л = (—1)п+1£. Уравнение (6.23), записанное в виде
ь
λ [ ^2т(Е - V(x)) dx = пЦп + |),
определяет квазиклассические уровни энергии. Из (6.21)-(6.22) следует,
что число η равно количеству нулей волновой функции ВКБ. В соответ-
ствии с теоремой об осцилляции случай η = О отвечает основному состоя-
нию, случай η = 1 — состоянию со следующим уровнем энергии, и т. д.

290
Глава 3
Обозначив, как и в главах 1 и 2, координату х как q, можно переписать
(6.23) как
<bpdq = 2nh(n+l), (6.24)
где интегрирование идет по замкнутой классической орбите в фазовой
плоскости R2 с каноническими координатами р, q. Условие (6.24) — это
известное правило квантования Бора - Вильсона - Зоммерфельда для случая
одной степени свободы (см. раздел 2.2.5 главы 2). Подчеркнем, что, вообще
говоря, правило квантования БВЗ применимо только для больших η и да-
ет квазиклассическую асимптотику уровней энергии Еп. Однако, как было
показано в разделе 2.2.6 главы 2, уровни энергии гармонического осцилля-
тора, полученные по правилу БВЗ, точны. Правила БВЗ также точны для
уровней энергии атома водорода (см. раздел 3.5.1).
Этот квазиклассический анализ можно обобщить на системы с η сте-
пенями свободы, соответствующие вполне интегрируемым классическим
гамильтоновым системам (см. раздел 1.2.6 главы 1). Правила квантования
Бора-Вильсона-Зоммерфельда принимают вид
pdq = 2π.η(ηΙ + \ maj). (6.25)
Здесь интегрирование ведется по всем 1-циклам η в лагранжевом подмного-
образии Λ = {(ρ, q) е R2n : Яс(р, q) = Ε, F2(p, q) = E2, ..., Fn(p, q) =
= En}, a ind7 — индекс Маслова цикла 7 в Λ. Для переменных
действие-угол (Ι,φ) интегрирование в (6.25) ведется по базисным 1-
циклам п-тора Тп, и получаются условия квантования Ii = {щ + -)Ti9
г = 1, ... ,п.
3.7. Замечания и ссылки
Классический текст [Лан89Ь] содержит множество основных фактов
относительно уравнения Шрёдингера, представленных с физической точки
зрения. В учебнике [Фок76Ь], тоже классическом, пристальное внимание
уделяется деталям. Существует масса математических статей и моногра-
фий, посвященных разным аспектам уравнения Шрёдингера, и мы упомя-
нем здесь только использованные нами источники. За критерием самосо-
пряженности из раздела 3.1.1 читатель отсылается к энциклопедическому
обзору [Роз89], а также к монографии [RS75] и ссылкам в ней; в частности,
в [RS75] можно найти доказательство того, что оператор Шрёдингера слож-
ного атома существеннно самосопряжен. Доказательство теоремы Сирса
i

3.7. Замечания и ссылки
291
см. в [Бер83а]. Теоремы 1.6 и 1.7 (последняя — частный случай V\ = 0) из
раздела 3.1.2 доказываются в [Бер83а] и [Роз89]; см. [RS78] для доказатель-
ства теоремы 1.7 в общем случае и других обобщений. Доказательство тео-
ремы Като можно найти в [RS78]; см. также [Роз89]. Доказательство оценки
Бирмана-Швингера см. в [RS78]. В монографии [HS96], помимо введения
в спектральную теорию, содержатся доказательства множества результатов
из разделов 3.1.1-3.1.2; см. также монографию [CFKS08] для этого и дру-
гих результатов.
Раздел 3.2 основан на фундаментальной статье [Фад64], классических
обзорах [Фад59, Фад74Ь] и монографии [Мар72], посвященной обратной
задаче квантовой теории рассеяния. Для большей информации и деталей
по поводу материала из раздела 3.2.1 и задач 2.2, 2.3, 2.4 см. [Фад64]
и [Мар72]. Комплексное интегрирование ядра резольвенты — мощный ме-
тод доказательства теоремы о разложении по собственным функциям, осо-
бенно при наличии абсолютно непрерывного спектра, и в разделе 3.2.2
мы следовали изящному подходу [Фад59]; задача 2.6 взята из [Фад74Ь].
Раздел 3.2.3 основан на [Фад59, Фад64, Фад74Ь]; см. также монографию
[New02] для исчерпывающего изложения теории рассеяния с физической
точки зрения и новую книгу [Яфа94] для ее абстрактной математической
формулировки. Мы отсылаем читателя к [Фад74Ь] и ссылкам в этой работе
за большими деталями по поводу материала в разделе 3.2.4.
Раздел 3.3 довольно стандартный; с физической точки зрения этот ма-
териал можно найти почти в любом учебнике квантовой механики; см.
ясное изложение в [Лан89Ь, Фок76Ь]. Группы Ли в квантовую механи-
ку ввел Г.Вейль [Wey50], и в наше время теория представления групп
Ли — часть учебной программы по физике; см., например, [BR86]. Есть
и множество математических учебников и монографий по теории пред-
ставлений компактных групп Ли; см., например, [Knp78,FH91], а также
[Вил65]. В разделе 3.4 содержится стандартный материал, присутствую-
щий в любом учебнике квантовой механики; см. физическое изложение
в [Лан89Ь, Фок76Ь, Mes99]. Нашей целью здесь была точная математиче-
ская формулировка основных фактов; за доказательствами всех результатов
этого раздела (а также за решениями задач) и их обобщений мы отсылаем
читателя к монографии [RS79].
Решение задачи о собственных значениях атома водорода, данное
Э. Шрёдингером в 1926 г., было главным триумфом квантовой механики.
До этого уровни энергии атома водорода получили Н. Бор в 1913 г., исполь-
зовавший модель Бора (впоследствии ее заменила модель Бора-Зоммер-
фельда и правила квантования БВЗ), и в 1926 г. В.Паули, воспользовав-
шийся квантовым вектором Лапласа-Рунге-Ленца. Разделы 3.5.1 и 3.5.2

292
Глава 3
стандартны, и наше изложение следует [Лан89Ь, Фок76Ь]. Мы начали раз-
дел 3.5.3, изложив подход Паули (см. [BR86] для дальнейшей детализа-
ции по поводу теории представлений). Скрытую SO (4) симметрию ато-
ма водорода открыл В.А.Фок, а конец раздела 3.5.3 основан на [Фок76Ь]
(см. [BI66a, BI66b] для дальнейших деталей и случая абсолютно непрерыв-
ного спектра).
Имеется обширная литература по квазиклассической асимптотике
и методу ВКБ, которых мы лишь слегка коснулись в разделе 3.6. Мы от-
сылаем читателя к [Лан89Ь] и [Дав73] за физическим обсуждением и к
[GS77,BW97] — за математическим введением. Детальное изложение одно-
мерного метода ВКБ можно найти в [01v97] — справочной книге по спе-
циальным функциям, использованным в этой главе. Мы отсылаем читателя
к монографиям [Мас76а] и [Ler81] за детальным изложением гораздо более
сложного многомерного метода ВКБ.

Глава 4
Спин и тождественные частицы
4.1. Спин
4.1.1. Операторы спина
До сих пор мы молчаливо предполагали, что гильбертово простран-
ство квантовой частицы — это Ж = 1/2(М3,е/3ж). Основываясь на этом
допущении, мы нашли в разделе 3.5.1 главы 3 уровни энергии атома водо-
рода. В частности, в основном состоянии третья компонента Ms операто-
ра Μ квантового углового момента имеет собственное значение 0. Однако
известный эксперимент Штерна-Герлаха показал, что у электрона в ато-
ме водорода есть еще и «магнитный угловой момент», третья компонента
которого в основном состоянии может принимать два значения, отличаю-
щиеся знаком. Поэтому вдобавок к оператору Μ «механического углового
момента» с компонентами Mi, M2, Ms у электрона есть еще и оператор S
«внутреннего углового момента» с компонентами 5ь52,5з, называемый
спином. Спин описывает внутренние степени свободы электрона и не за-
висит от положения электрона в пространстве1. Гильбертово пространство
состояний электрона — это Жз = Ж®С2, т. е. состояний у него вдвое боль-
ше, чем у бесспиновой частицы. Гильбертово пространство Жз состоит из
двухкомпонентных векторнозначных функций на R3,
где
||ф||2 = j |^i(x)|2d3x + ( |^2(ж)|2^3ж < оо.
Каждой наблюдаемой А в Ж соответствует наблюдаемая А 0 /г в ^5»
задаваемая 2x2 блочно-диагональной матрицей ($ д). Наблюдаемые ви-
да / 0 5, где I — тождественный оператор в Ж, a S — самосопряженный
1 Спин — это чисто квантовое явление, отсутствующее в классической механике.

294
Глава 4
оператор в С2, описывают внутренние степени свободы и коммутируют со
всеми наблюдаемыми А ® /2. Полный набор наблюдаемых в J#s состоит
из операторов Qi ® h, Q2 <8) h, <2з <8) h и / (8) 5i, J (8) 52, / (8) 5з, где Qj —
операторы координат, а 57 — операторы спина, самосопряженные опера-
торы в С2 с нулевым следом, удовлетворяющие тем же коммутационным
соотношениям, что и квантовые операторы углового момента,
[Si, S2] = ifiSs, [52,5з] = ifiSi, [S3, 5i] = i?iS2-
В терминах стандартного базиса е\ = (J), е2 — (?) пространства С2,
Sj = 7j&j, j = 1,2,3, где Gj — это так называемые матрицы Паули'.
О 1\ /О -Λ Λ О
повсеместно используемые в физике. Удобно также представлять Φ Ε ^5
как функцию ф(х,а) двух переменных, где х е R3, а σ принимает
два значения - и —-, положив ф(х,-) = фг(х) и ф(х,—-) — ^(ж).
Каждая функция ф(х,а) является конечной линейной комбинацией функ-
ций ф{х)х(а) — разложимых на множители элементов тензорного произве-
дения L2(R3) (8) С2. Здесь мы отождествляем С2 с комплексным векторным
пространством функций %:{—^,^} —> С, сопоставляя стандартному бази-
су еь е2 функции %ь %2, определенные формулами х1(1) = 1,х1(-1)=0
ихг(^) = 0,Х2(— ^) = 1. Это отождествление также повсеместно исполь-
зуется в физике.
В этих обозначениях оператор 5з становится оператором умноже-
ния на Тьа,
8зф(х,с) = Тгаф(х,а),
и
Siip(x, σ) = %\σ\ψ(Χ, —σ), 52'0(ж, σ) = —гЬаф^х, —σ).
Здесь и в нижеследующем мы всегда будем предполагать, что оператор
спина действует только на переменную σ, и часто будем писать Sj вме-
сто I <S> Sj. Оператор S2 = 52 + 52 + 5| называется оператором квадрата
полного спина, и52 = li25(5 + 1)/2, где s = \σ\ = - — полный спин.
В терминологии физиков спин электрона равен -.

4.1. Спин
295
4.1.2. Спин и теория представлений SU(2)
Математическая интерпретация спина дается теорией представлений
алгебры Ли su(2), обсуждавшейся в разделе 3.3.2 главы 3. А именно: пусть
Α\=—-^σ\, Α2 = —-σ2, As = _9σ3
— стандартный базис алгебры Ли su(2) — алгебры 2x2 косоэрмитовых мат-
риц с нулевым следом, удовлетворяющий коммутационным соотношениям
[АиА2] =А3, [А2,Аз] =Аи [А^Аг] = А2,
и пусть Pi — двумерное (фундаментальное) представление su(2) в Vx ~ С2.
2 2
Операторы спина даются формулами
Sj=i?ip1(Aj), j = 1,2,3,
и pj называется представлением спина -. В общем, представление р3
2 2
в 2 s + 1-мерном комплексном векторном пространстве V^ называется пред-
ставлением спина s G ~^о· Действие операторов Tj = ips(Aj) на Vs опи-
сывается формулами (3.10)-(3.12) из раздела 3.3.2 главы 3 (где I заменено
на s). Существует другая явная реализация представления ps на векторном
пространстве &*s многочленов f(z) степени не выше 2s. А именно: отоб-
ражением
. я 4-т.
т = —s, —s+ 1, ... , s — l,s,
y/(s + m)\(s — т)!
устанавливается изоморфизм между векторным пространством Vs со ска-
лярным произведением, определенным ортонормальным базисом esm,
и векторным пространством 2PS со скалярным произведением
(2а+1)! [ f(z)g(z) j2
(/,<?) = — J (1 + N2)2s+2d2' />i6#»· (L1)
С
Соответствующие операторы Tj = грДА,) в £?s даются формулой
Тг - гТ2 = -f, Ti + гТ2 = z2 j- - 2sz, T3 = z^-~ s. (1.2)
az az az

296
Глава 4
Легко проверить, что Т\, Тг, Тз — эрмитовы операторы по отношению к ска-
лярному произведению (1.1). Представление ps алгебры Ли su(2) интегри-
руемо, ps = dRs, где Rs — неприводимое унитарное представление группы
Ли SU(2), определенное формулой
Rs(g)(f)(z) = (fiz+apf (j^\ , 9 = ("ρ f) e SU(2), / e 9..
Замечание. Представление Rx в С2 спина i также явным образом
2
описывается как
и называется фундаментальным представлением.
Замечание. Представление Rs группы SU(2) можно поднять до се-
мейства представлений всей унитарной группы U(2), действующей на том
же векторном пространстве 2?s. А именно: любое д Ε U(2) можно за-
писать как д — ago, где а2 = detg и определено с точностью до знака,
а до G SU(2). Тогда для любого целого I с тем свойством, что 2s + I четно,
формула
Ri,a(g) = alR3(go)
определяет неприводимое унитарное представление U(2) в £?s. Условие,
что ^ + s — целое число, гарантирует, что RiiS не зависит от выбора знака
в определении а. Представление R^s является представлением U(2) стар-
шего веса с доминантными весами Ai = jr + s ^ Аг = jz — s, Ai + Аг = /.
Обозначим соответствующий и(2)-модуль как У\,ь где А = (Ai, Аг) — до-
минантный вес, причем \г + \2 = I. Как 8и(2)-модуль, V\j = Vs, где s =
= |(Ai - λ2).
Возвращаясь к основным принципам квантовой механики, сформули-
рованным в разделе 2.1 главы 2, мы обобщаем теперь первый постулат А1
на случай частиц со спином.

4.1. Спин
297
ΑΙ0 (Частицы со спином). Гильбертово пространство состояний
квантовой частицы спина s€{0 ^ 1,^, ...}- это
J(?s = L2(R3)®Vs,
где V3 — 2s -\- 1-мерное комплексное векторное пространство неприводи-
мого представления Rs группы Ли SU(2) спина s. Операторы спина S =
= (Si, S2, £3) даются формулой
5; = ihps(Aj), j = 1,2,3,
где Ai,A2,As — стандартные образующие алгебры Ли su(2), a ps = dRs —
соответствующее представление $и(2) в Vs. Частицы с целым спином на-
зываются бозонами, а с полуцелым спином — фермионами.
Как и в случае спина i будет удобно представить Φ Ε Жя как функ-
цию ф(х,а) двух переменных, где х Ε Μ3, а переменная σ принима-
ет 2s + 1 значение из множества {—s, —s +1, ..., s — 1, s}. Для заданного σ
функция ψ(Χ,σ) — это fc-я компонента к = s — σ + 1, 2s + 1-мерного век-
тора Φ (ж). Каждая функция ψ(Χ,σ) является конечной линейной комбина-
цией функций ф(х)\(а) — разложимых элементов тензорного произведе-
ния L2(R3)(g)C2s+1, где мы отождествили C2s+1 с комплексным векторным
пространством функций % : {—s, — s + 1, ..., s — 1, s} —> С, сопоставляя
элементам е& стандартного базиса ei, ..., е25+1 функции %&, определенные
формулой Xfc(s -h 1 — fc) = 1 и равные 0 иначе.
Полный набор наблюдаемых для квантовой частицы со спином s со-
стоит из операторов координат Qi Θ/2^+1> Q2®hs+\, Qz®hs+u где hs+\ —
тождественный оператор в Vs, и операторов спина I ® Si, I ® S2, / Θ S3.
Операторы полного углового момента J = (Ji, J2, J3) в ^% — это самосо-
пряженные операторы в J^s, задаваемые формулой
J = M® /2e+i -f / 0 S.
Они удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и опера-
торы спина:
[Λ, Ы = ibJz, [J2, J3] = ihJ\, [«/3, Λ] = sfrJ2.
Как и операторы углового момента Μ (см. лемму 3.1 из раздела 3.3.2
главы 3), операторы полного углового момента J связаны с унитарным

298
Глава 4
представлением группы Ли SU(2) в гильбертовом пространстве J#s =
= L2(M3, d3x) ® Vs. А именно: пусть R — унитарное представление SU(2)
в Ж = L2(R3,d3x), соответствующее присоединенному представле-
нию SU(2) в 5и(2) ~ Е3,
(R(g)tl>)(x)=il>(Aag-1x), g G SU(2), ψ е Ж,
где
(Adg х) - σ = д(х · <х)<7-1, х · σ = xiai + £202 + #з0"з·
Лемма 1.1. Имеем
где α = (ai, α2, аз) G Μ3.
Задача 1.1. Выведите формулы (1.2) и покажите, что операто-
ры Ti, T2, Т3 эрмитовы по отношению к скалярному произведению (1.1).
Задача 1.2. Докажите лемму 1.1.
4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле
4.2.1. Гамильтониан Паули
Классическая частица с зарядом е, движущаяся в электромагнитном
поле с векторным потенциалом А(х) и скалярным потенциалом ср(х), опи-
сывается функцией Гамильтона
Яс(р, х) = 2^ (р " | А) + еу>(ж), ^ = (я, у, z) € Μ3
(см. задачу 1.27 в разделе 1.1.7 главы 1). Как мы видели в примере 2.3 из
раздела 2.2.4 главы 2, соответствующий оператор Гамильтона бесспиновой
частицы дается формулой
Н° = ^{Р--сА)2+^х)· (2Л)
Однако квантовые частицы со спином взаимодействуют с магнитным по-
лем, так что гамильтониан Н°, являющийся оператором на гильбертовом

4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле 299
пространстве Ж = L2(R3,d3x), не адекватен для их описания при s ^ 0.
Правильное предписание состоит в том, чтобы включить спиновые степе-
ни свободы и рассмотреть оператор Гамильтона в гильбертовом простран-
стве Jifs = Ж 0 Vs. В случае электрона — частицы со спином - — соответ-
ствующий гамильтониан дается формулой
Н=^(РА-<г)2 + е<р(х), РА = Р-\А. (2.2)
Используя элементарные результаты о том, что матрицы Паули антикомму-
тируют и удовлетворяют условиям о\ — о\ = о\—12^
σ\σ2 = газ, cr2a3 = io\, σ%σ\ = io2,
мгновенно получаем
(РА ■ σ)2 = (Pi - |Лх)2 + (р2 - § А2)2 + (р3 - |Л3)2 +
+ г [Pi - |ЛЬ Р2 - f А2] σ3 + г [р2 - §Л2, Р3 - |Л3] σΧ +
+ i[p3-|^3,Pi-|^i]a2 =
= (ρ - f А)2 - ^(Βκη + β2σ2 + Ρ3σ3).
Здесь Β = (Si,S2,B3) — магнитное поле, В = curl А, а в последней
строке мы воспользовались коммутационными соотношениями Гейзенбер-
га (см. похожее вычисление в примере 2.3 из раздела 2.2.4 главы 2). Га-
мильтониан (2.2) принимает вид
Η = Η°-μΒ.σ, μ = Μ-ο, (2.3)
и известен как гамильтониан Паули; величина μ — это полный магнитный
момент электрона. По традиции пишут μ — —μ^, где
„в = *U 0,927 х 10- »Г
2тс ' гаусс
— так называемый магнетон Бора. Соответствующее зависящее от времени
уравнение Шрёдингера ~ ,
в этом контексте называется волновым уравнением Паули.

300
Глава 4
Замечание. Волновое уравнение Паули получается из релятивист-
ского уравнения Дирака для электрона в пределе с —» оо отбрасыванием
членов порядка с-2.
Соответствующий гамильтониан для квантовой частицы со спином s
и зарядом е имеет сходный вид:
Н = Н
°-Βμ, M=£S,
где S = (Si, S2, S3) — операторы спина со спином s, величина μ — полный
магнитный момент частицы, а оператор μ — ее «внутренний» магнитный
момент.
4.2.2. Частица в однородном магнитном поле
Здесь мы рассмотрим задачу нахождения уровней энергии заряженной
частицы со спином -, движущейся в постоянном магнитном поле. Выбрав
ось z в направлении поля, В = (0,0,Б), получаем А\(х) = —By, Лг(ж) =
= Аз(х) = 0 и ip(x) = 0. Гамильтониан Паули принимает вид
H=L·
(Pi + py) +Pi + H
μΒσ3-
(2.4)
Уравнение на собственные значения
Нгр(х, σ) = Еф(х, σ)
в Jifs сводится к двум (для каждого значения σ = ±-) уравнениям на
собственные значения
(Pi + fWf + pl + p-
в Ж. Разделяя переменные
ч T(kix+k3z)
ф(х) = еп х(у),
1
2т
ψ — μΒσψ = Εψ
получаем
где
~2^х +—(у-у
ск\
(У-У0УХ= [Ε + μΒσ-^
(2.5)
и ив
\е\В
тс '

4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле 301
Уравнение (2.5) совпадает с задачей на собственные значения для од-
номерного гармонического осциллятора с частотой ив, решенной в разде-
ле 2.2.6 главы 2. Таким образом, мы получаем
к2 1
Ε = (га + \)bwB + 2^ ~ μΒσ, η = 0,1, ...; σ = ±±. (2.6)
Первое слагаемое в этой формуле дает дискретные уровни энергии, на-
зываемые уровнями Ландау, для движения в плоскости, перпендикулярной
магнитному полю.
Спектр гамильтониана Паули (2.4) абсолютно непрерывен и заполняет
[-(Ъшв — μΒ), оо) с переменной бесконечной кратностью. Его можно пред-
ставлять как счетное объединение ветвей [(га + -)Tiujb — μΒσ, оо), каждая
с кратностью, параметризованной R х {±1} (все к\ £ R и ±&з при фикси-
рованном &з соответствуют одному и тому же Е). Соответствующие нор-
мированные собственные функции непрерывного спектра — это
грп(х;кик3) =
г ти;в
TTIUb 1 ft(k1x+k3z)--^-(y-y0y
*·{№*)·
27гга у π ft, у/2пп\
где —оо < fci, кз < оо.
Для электрона Тмив = ~Мв, и формула (2.6) принимает вид
к2
Ε=(η+± + σ)μΒΒ + ^.
В этом случае имеется дополнительное вырождение спектра: уровни энер-
гии с га и σ = - и уровни сга + 1иа = — - совпадают.
Задача 2.1. Выведите теорему о разложении по собственным функ-
циям для гамильтониана (2.4).
Задача 2.2. Покажите, что операторы
соответствующие координатам центра окружности (см. задачу 1.5 из разде-
ла 1.1.3 главы 1), являются квантовыми интегралами движения, т. е. комму-
тируют с гамильтонианом Н, но
{X0,Yoh = ^L

302
Глава 4
4.3. Система тождественных частиц
Рассмотрим квантовую систему из N частиц спинов s\, ..., 5дг. Со-
гласно основным принципам квантовой механики гильбертово простран-
ство состояний системы дается формулой
^к = JKki ® · · · ® ЖБы = L2(R3) ® ... (8) L2(R3) ®Ув1 ® ... ® V^.
4 ν '
В терминах переменных & = (ж*,^), где ж» £ R3 и σ* £ {—s^, — s» +
Η- 1, ... ,Si — 1, Si}, полную волновую функцию системы можно записать
как Ф(£ь ..., &v)· Полная волновая функция — конечная линейная комби-
нация произведений
Ф(£ъ ..·,€λγ) = Ф(жь ...,xN)x(v\, ...,σΝ),
где Ф(ж1, ... ,xn) £ L2(R3iV) — координатная часть, a x(ai, ... ,στν) —
спиновая часть полной волновой функции. Спиновая часть, в соответствии
со структурой тензорного произведения VSl ® ... ® VS7V, является конеч-
ной линейной комбинацией произведений \kx {σ\)... \kN (адг) функций х^,
определенных в разделе 4.1.
Гамильтониан системы из N частиц (без спинового взаимодействия)
в координатном представлении имеет вид
Ν 2 Ν
г=1 г г=1 l^i<k^N
где первое слагаемое — это оператор кинетической энергии системы из N
частиц, второе слагаемое описывает взаимодействие частиц с внешним
полем, а последнее слагаемое описывает их попарное взаимодействие.
Заметим, что хотя гамильтониан Ην действует только на координатную
часть Ф(ж1, ... ,xn) полной волновой функции, физические свойства си-
стемы зависят от спинов частиц.
4.3.1. Постулат симметризации
Для системы из N тождественных частиц с массой т и спином s со-
ответствующее гильбертово пространство — это
JfN = L2(R3N)®V®N. (3.1)

4.3. Система тождественных частиц
303
Неприводимое представление Rs группы Ли SU(2) в векторном простран-
стве Vs естественным образом определяет представление RfN в V®N:
RfN(9)(vi 0 · · · 0 vN) = 11а(д)щ (8 · · · 0 Rs{g)vN, g G SU(2).
Соответствующее представление pfN алгебры Ли su(2) дается формулой
Ν
pfN(x)(vi (8 · · · (8 vN) = ^2 Vl ® ''' ® Ps(x)yk (8 · · · (8 vN, x G su(2).
k=l
Операторы полного спина S = (Si,S2,Ss) системы из N тождественных
частиц даются формулой
N
Sj^i?ipfN(Aj) = ^2s^\ j = 1,2,3. (3.2)
k=l
Здесь Sj = hs+i 0 · · · Θ iTips(Aj) 0 ... 0 /2s+i — операторы спина fc-й
частицы; они нетривиально действуют только на fc-й множитель тензорного
произведения Vg®^.
Представления Я®^ и pfN приводимы и содержат все представле-
ния Vi со спинами / G ~2^о, такие, что sN — I — неотрицательные целые
числа. Действительно, оператор S2 квадрата полного спина имеет вид
s2 = s2 + si + si = s.s+ + s3(s3 + ni),
где S± = S\ ± 1S2, a I — здесь тождественный оператор в V^^. Лег-
ко видеть из (3.2), что собственные значения оператора S% — это —TisN,
Ti(—sN Η-1), ..., %(sN — 1), Us N. Далее, по лемме Шура ограничение S2
на неприводимое представление V\ — это Ti2l(l +1), помноженное на тожде-
ственный оператор в Vi. Поскольку V\ содержит вектор старшего веса, кото-
рый аннигилируется оператором 5+ и является собственным вектором опе-
ратора 5з с собственным значением Ы, можно заключить, что V®N содер-
жит все неприводимые представления спинов I G ~^о> таких, что sN—l —
неотрицательные целые числа. Задача определения кратностей, с которыми
представления Vi входят в разложение V®N в прямую сумму неприводи-
мых представлений, будет обсуждаться ниже. Она играет фундаментальную
роль в классификации уровней энергии системы из N тождественных ча-
стиц спина s.

304 Глава 4
Имеется также естественное действие группы Sym^ перестановок N
элементов на J4?n, задаваемое формулой
ДгФ(€ь ...,€лг) = Φ(€π-1(1)» ••·>€π-1(ΛΓ)), π G Sym^.
Соответствующий гамильтониан в этом случае имеет вид
2 Ν Ν
Hn = ~L· ΣΔ*+Z)^xt(«i) + Σ *kt(*i - *o (з.з)
i=\ г=1 l^i<k^N
и коммутирует с действием Sym^:
[Ην, Ρπ] = 0 для любого π G SymN.
Таким образом, оператор Ην можно ограничить на SymN-инвариантные
подпространства Ж, в частности, на подпространство Ж^ ' полностью
симметричных функций Ф(£ь ..., &v):
ΡπΦ = Φ для любого π G Sym^,
и на подпространство полностью антисимметрических функций
Ф(€ь ···,€*):
ΡπΦ = (-1)ε^π^Φ для любого π G SymN,
где ε (π) — четность перестановки π.
В классической механике, в принципе, можно отметить тождественные
частицы (скажем, целыми числами 1,2, ..., Ν) и проследить траекторию
каждой отмеченной частицы индивидуально. Из соотношений неопреде-
ленности Гейзенберга следует, что в квантовой механике невозможно про-
следить временную эволюцию отмеченных частиц индивидуально. Други-
ми словами, в квантовой механике тождественные частицы истинно «нераз-
личимы», так что гильбертово пространство (3.1) содержит «слишком мно-
го состояний». Существует еще один постулат квантовой механики, выде-
ляющий «правильное» гильбертово пространство состояний системы тож-
дественных частиц.
АН (Постулат симметризации). Гильбертово пространство состоя-
ний системы из N тождественных частиц со спином s — это полностью
симметрическое подпространство Ж^ ' АГ-кратного тензорного произведе-
ния (L2(R3) ® VS)®N в случае бозонов (частиц с целым спином) и пол-
ностью антисимметрическое подпространство Ж^ ' в случае фермионов
(частиц с полуцелым спином).

4.3. Система тождественных частиц
305
Замечание. Из постулата симметризации следует принцип запрета
Паули, утверждающий, что никакие два фермиона не могут находиться в од-
ном и том же состоянии. Принцип запрета Паули является фундаменталь-
ным для атомной и молекулярной физики, также как и для всей химии.
В случае тождественных частиц спина 0 из постулата симметриза-
ции следует, что соответствующее гильбертово пространство Ж^ ' — это
подпространство всех полностью симметричных функций ^(xi, ... , ждг)
в L2(R3N), и для того чтобы найти уровни энергии системы, надо решить
уравнение Шрёдингера
HN4> = ENV (3.4)
только в полностью симметрическом подпространстве Ж^ ' простран-
ства Ж^. Решения задачи на собственные значения (3.4), не принадлежа-
щие этому подпространству, не имеют физической интерпретации.
Для частиц спина - ситуация отличается: свойства симметрии коор-
динатной части полной волновой функции зависят от свойств симметрии
соответствующей спиновой части. Рассмотрим сперва простой пример си-
стемы из двух электронов. В этом случае имеем разложение в прямую сум-
му гильбертовых пространств,
ж2 = ж2{Б) ® ж2(А\
мгновенно следующее из представления
Ф(€ь6) = £(Ф(€ь€2) + Ф(6,€1)) + £(Ф(€1,6) - Ф(€2,€0).
Используя тождество
Ф(жьa;2)x(ai, σ2) - Ф(ж2, х\)х(а2, σ{) =
= !(*(*!, as2) + Ф(х2, *1 ))(x(*i, σ2) - \(σ2, σ1))+
+ |(Ф(ц,ж2) - Φ(β2, яя))(х(^1,σ2) + Χ(σ2, σΧ)),
можно представить Ж2 ' как прямую сумму гильбертовых пространств
Ж2{А) = 6о®6и
где
во = (L2(K3) ® L2(R3))(S) ® Л2 С2

306
Глава 4
состоит из конечных линейных комбинаций произведений Φ (£1,^2) =
= Ф(ж1,ж2)хх(^1,а2), причем Ф(ж1,ж2) G L2(R3)®L2(R3) симметрично,
а х(я"ъ яг) € Λ2 С2 антисимметрично, и
6i = (L2(R3) ® L2(R3))(A) ® Sym2C2
состоит из конечных линейных комбинаций произведений, причем Щж i, ж2)
антисимметрично, a х(аь аг) симметрично. Векторное пространство Λ2 С2
одномерно и порождается функцией хоо, соответствующей вектору
^(ei (8) е2 - е2 Θ ех) (Ξ С2 ® С2,
а векторное пространство Sym2C2 трехмерно и порождается функция-
ми хц, хю, Хы, соответствующими векторам
ei0ei, ^(ei<g)e2+ e2(g)ei), e2 ® e2 G С2 <8> С2.
Сравнивая разложение
С2 0 С2 = Λ2 С2 Θ Sym2 С2
с разложением Клебша - Гордона
2 2
обсуждавшимся в разделе 3.3.2 главы 3, видим, что2 Λ2 С2 = Vo
и Sym2 С2 = V\. В терминологии физиков Vo — это спин-синглетное про-
странство, a Vi — спин-триплетное пространство. Мы резюмируем по-
лученные результаты в следующем утверждении.
Предложение 3.1. Для системы из двух тождественных частиц спи-
на ^ полная волновая функция спина 0 имеет вид Ф^ьа^ХооСв'ъ^)*
где Ф(ж1,Ж2) симметрично и удовлетворяет уравнению Шрёдингера (3.4).
Полная волновая функция спина 1 имеет вид Ф(аз1, X2)Xim(^ii σ2)> где т =
= —1,0,1, а Ф(жх,Ж2) антисимметрично и удовлетворяет уравнению
Шрёдингера (3.4).
Замечание. Координатная часть Ф(жх,Ж2) полной волновой функ-
ции допускает обычную вероятностную интерпретацию. Таким образом,
2 Это также можно проверить непосредственно, вычисляя действие операторов полного
спина.

4.3. Система тождественных частиц
307
для простого примера системы из двух электронов с Vint (ж) = 0 коорди-
натная часть полной волновой функции имеет вид
где ф\(х) и ф2{х) — одноэлектронные координатные волновые функции,
знак плюс относится к спин-синглетному состоянию, а знак минус —
к спин-триплетному состоянию. Соответствующая плотность вероятно-
сти — это
1^(Ж1,Ж2)12^3Ж1^3Ж2 = J(l^i(^i)l2l^2(^2)|2 + |^1(ж2)|2|^2(ж1)|2±
±2Ке(ф1(х1)ф2(х2)ф1(х2)ф2(х1)))а3Х1с13Х2,
где последнее слагаемое называется обменным членом. Из этой формулы
следует, что когда два электрона находятся в спин-триплетном состоянии,
вероятность найти их в одной и той же точке х £ R3 равна нулю. Однако
когда электроны находятся в спин-синглетном состоянии, существует нену-
левая вероятность найти их в одной и той же точке пространства благодаря
обменной плотности.
Рассмотрим теперь систему из N частиц со спином -. В этом случае
полная волновая функция Ф(£ь ... ,£лг) £ ^у удовлетворяет условию
ΗΝΦ = ΕΝΦ и 52Ф = ?i2s(s + 1)Ф (3.5)
и описывает связанное состояние с полным спином s, где -N — s — неот-
рицательное целое. Кажется естественным предположить, что если мож-
но найти координатную волновую функцию ^(x\, ... ,xn), удовлетворя-
ющую (3.4), и спиновую волновую функцию x(ai, ... ,адг), являющуюся
собственной функцией S2, то полную волновую функцию Ф(£ь .. . ,£τν)
можно получить процедурой антисимметризации:
Ф(€ь --·Λν) = Σ (-1)ε(π)φ(Χπ(1), ...,απ(Λτ))Χ(σπ(1), ...,σπ(ΛΓ)).
Однако может оказаться, что для координатной волновой функции
Ф(жх, ...,ждг), удовлетворяющей (3.4), соответствующая полная волно-
вая функция Ф(£ь ... ,&ν) — тождественный ноль! Требование того, что-
бы полная волновая функция Ф(£ь ... , £τν) не обращалась тождественно
в ноль, определяет допустимые свойства симметрии координатной волно-
вой функции Ф(ж1, ..., xn), описываемые неприводимыми представлени-
ями симметрической группы Sym^.

308
Глава 4
4.3.2. Диаграммы Юнга и теория представлений Sym^
Количество неприводимых представлений симметрической группы
Sym^ — это число ее смежных классов, которое, в свою очередь, равно чис-
лу разбиений λ = (Ai, ..., λη) числа Ν: Ν = λ\ + ... + λη, где λ\ ^ \2 ^
^ ... > λη ^ 1. Обозначим как Раг(ЛГ) множество всех разбиений чис-
ла N. Для каждого разбиения λ G Par (AT) существует неприводимое пред-
ставление G\ группы Sym^, которое строится так. Пусть Y\ — диаграмма
Юнга, связанная с λ G Par (Ν), — набор из N клеток, расположенных в η
выровненных слева строк, где первая строка содержит Ai клеток, вторая —
λ2 клеток, и т. д. Таким образом, диаграмма
I 1 I 1 I ]
соответствует разбиению 10 = 5 + 3 + 2. Таблица Юнга А, отвечаю-
щая диаграмме Юнга Υ\ — это сопоставление N целых чисел 1,2, ..., N
и N клеток, такое, что разным клеткам соответствуют разные числа; обо-
значим как Та множество всех таблиц Юнга, соответствующих разбие-
нию λ G Par (AT). Каноническая таблица Юнга А\ G Хд получается по-
следовательной нумерацией клеток по строкам слева направо. Для таблицы
Юнга A G Ха> которую мы назовем канонической, определим две подгруп-
пы Sym^:
Row(^) = {π G SymN : π сохраняет строки Л},
Со1(Л) = {π G Sym^ : π сохраняет столбцы А}.
Теперь пусть 21 = CSym^ — групповая алгебра SymN, комплексное век-
торное пространство с базисом {еж}ж^утм и отображением умножения,
определенным правилом еЖ1 · еЖ2 = еЖ17Г2. Обозначим как R регулярное
представление SymN в 21, определенное формулой
R(n)x = еп · х, х G 21.
С заданной таблицей Юнга А можно связать два элемента в групповой
алгебре 21: симметризатор строк
Ra = Σ π'
neRow(A)

4.3. Система тождественных частиц
309
и антисимметризатор столбцов
Сл= Ε (-1)ε(π)π·
πΕθοΙ(Α)
Определим симметризатор Юнга формулой
ПА = CARA £ 21
и рассмотрим левый Sym^-модуль3 Gx = 21 · ГЦ и представление
Г\: SymN —► ЕпаСл, где Sym^ действует умножением слева. Следую-
щий результат является фундаментальным.
Теорема 3.1. Всякое представление Хд является неприводимым пред-
ставлением Sym^y, и представления Тх и Τμ не изоморфны, если λ φ μ.
Размерность представления Т\ дается формулой Фробениуса
dx = Л—Т7 П(г< ~ ^' h = Xi + n-i, i = 1, ..., η,
l\. . . . ln. .
г<3
и П^ = б?лП^. Любое неприводимое представление Sym^ изоморфно пред-
ставлению Тх для некоторого разбиения λ £ Par (AT).
Замечание. Из теории представлений конечных групп следует, что
R= 0 dxGx (21 = 0 ЕпсШа как алгебра),
АеРаг(ЛГ) AGPar(iV)
ТаКЧТ° ЛП = Σ d\.
AGPar(iV)
Существует и другое выражение размерностей dx в виде произведения по
клеткам диаграммы Юнга Yx, которое дается так называемой формулой
длины крюка.
Замечание. Можно явно построить базисы подпространств Gx с по-
мощью следующей процедуры. Пусть А — стандартная таблица Юнга для
разбиения λ £ Par (AT): таблица Юнга, удовлетворяющая условию, что
в каждой строке Y\ числа в клетках строго возрастают слева направо, а в
каждом столбце — строго убывают сверху вниз. Пусть π £ Sym^ — един-
ственная перестановка, такая, что А = π (Ах), и положим е^ = П^е^ То-
гда векторы вА, где А пробегает по всем стандартным таблицам Юнга для
разбиения λ, образуют базис в Gx. Другими словами, базисные элементы
получаются последовательной симметризацией по строкам Y\ с последую-
щей антисимметризацией по столбцам.
3Другой выбор таблицы Юнга А £ Тд дал бы Sym^-модуль, эквивалентный Gx.

310
Глава 4
Разбиение λ = (Ν) соответствует диаграмме Юнга только с одной
строкой и порождает тривиальное представление Sym^. Разбиение λ =
= (1, ..., 1) соответствует транспонированной диаграмме Юнга — диа-
грамме только с одним столбцом — и порождает другое одномерное пред-
ставление, знакопеременное представление π i—> (—1)ε(π\ В общем случае
пусть λ' = (А'ь ..., λ^) — разбиение, сопряженное к разбиению λ, опреде-
ленное транспонированием диаграммы Юнга Υ\ с помощью перестановки
строк и столбцов (λ^ — это число слагаемых в разбиении λ, больших или
равных г). Тогда
Tv=rA®T(lf...fl). (3.6)
Другие разбиения соответствуют симметриям смешанного типа.
Следующий результат будет играть решающую роль в определении
свойств симметрии координатных волновых функций.
Предложение 3.2. Тензорное произведение Т\ ® Τμ содержит триви-
альное представление Sym^, если и только если μ = X, в каковом слу-
чае оно имеет единичную кратность. В терминах базиса {е*}^ про-
странств G\, такого, что представление Т\ задается ортогональны-
ми d\ х d\ матрицами Ь\(тт)^:
dx
T\(n)ei = Y^t\(n)jiej, г = 1, ...,dA,
3 = 1
одномерное подпространство тривиального представления пороэюдается
dx
вектором Σ ег ® £% £ G\ ® G\. Соответственно, тензорное произведе-
г=1
ние Т\ ® Τμ содержит знакопеременное представление Sym^, если и толь-
ко если μ = У, в каковом случае оно имеет единичную кратность. В тер-
минах базиса {e'j}^ пространства G\/, такого, что представление Т\/
задается матрицами t\t (π)ij = (—1)ε(πΗ\(π)^, одномерное подпростран-
dx
ство знакопеременного представления порождается вектором Σ ei®e'i £
eGx®Gx:
Задача 3.1. Докажите все утверждения этого раздела. {Указание: см.
литературу к этой главе.)

4.3. Система тождественных частиц
311
4.3.3. Двойственность Шура-Вейля и симметрия волновых функций
В добавление к диагональному действию группы Ли SU(2) на тен-
зорном произведении (С2)®^, обсуждавшемуся в разделе 4.3.1, имеется
также левое действие симметрической группы Sym^ перестановкой мно-
жителей4:
T(n)(vi ® ... <8> υΝ) = νπ-1(1) (8) ... 0 νπ-1(ΛΓ), π € Sym^.
Для любого разбиения λ £ Par (AT) обозначим как П а симметризатор
Юнга, соответствующий канонической таблице Юнга А\, и как S\С2 об-
раз оператора Т(Пл) в (C2)®N. Подпространство S\C2 нульмерно, когда
у диаграммы Юнга Y\ более двух строк, и является неприводимым U(2)-
модулем, называемым модулем Вейля, когда у диаграммы Юнга Y\ одна или
две строки. Для разбиения λ = (Ν) модуль Вейля S\C2 — Sym^ С2 и изо-
морфен модулю старшего веса V\,n с доминантным весом (N,0), опреде-
ленным в разделе 4.1.2. Для разбиения λ = (А^Аг) модуль Вейля S\C2
изоморфен модулю старшего веса V\,n с доминантным весом А.
Замечание. Эта конструкция — частный случай общей конструкции,
предложенной Г. Вейлем, подходящей к действию симметрической группы
на тензорном произведении V®N, где V — конечномерное векторное про-
странство. Модули Вейля S\V, связанные с диаграммой Юнга Y\, нуль-
мерны, когда число строк больше чем η = dim V, и изоморфны модулям
старшего веса GL(V) с доминантным весом А, когда число строк меньше
или равно п. Сопоставление V i—> S\ V называется функтором Шура.
Следующим результатом, известным как двойственность Шура-Вей-
ля, устанавливается явное соответствие между неприводимыми представ-
лениями U(2) и Sym^, входящими в разложение представления SU(2) x
Sym^ в (С2)®^, на неприводимые компоненты.
Теорема 3.2 (Двойственность Шура-Вейля). Представление R®NxT
2
раскладывается в прямую сумму неприводимых компонент:
(С2)®"= 0 SXC2®GX,
AGPar(iV,2)
где Par(iV, 2) — множество разбиений N с количеством слагаемых, мень-
шим или равным 2.
^Оно передвигает вектор с г-го места тензорного произведения на 7г(г)-е место.

312
Глава 4
Положив Ai = -~- Η- 5,λ2 = -~ — s (см. раздел 4.1.2), получаем из
формулы Фробениуса
^ = dimG^(f-J-(f —J· (3·7)
Теперь вернемся к основной проблеме нахождения полных волновых
функций, удовлетворяющих (3.5). Из двойственности Шура-Вейля следу-
ет, что имеется (2s + l)d\ линейно независимых спиновых волновых функ-
ций Xmj(ai, ..., ajsr) со спином s, удовлетворяющих условию
S2Xmj = ?12S(S + l)Xmj И S3Xmj = hmXmj, (3.8)
где т = —s, — s ·+ 1, ..., s — 1, s и j = 1, ..., d\. Здесь d\ соответствует
разбиению λ = (— + s, —— s) (или λ = (JV) при s = —) и дается ра-
венством (3.7). Представление ps группы SU(2) со спином s действует на
индекс т спинной волновой функции xmj(ai, ..., адг), а представление Т\
группы Sym^ — на индекс j. Полная волновая функция имеет вид
Фт(€ь ••·,€λγ) = 5^*j(a:i, ... ,aJjv)Xmj(^i, ...,<глг), (3.9)
j=i
где т = — 5, ..., s. Из предложения 3.2 следует, что полная волновая функ-
ция
Фт(£ъ ···?£#) полностью антисимметрична, если и только если коорди-
натные волновые функции \^(жь ..., xn) преобразуются согласно сопря-
женному представлению T\t группы Sym^:
dx
(ΡπΦ»)(2Β1, ...,жлг) = Y^tXf(n)ji^j(xll ...,жя), i = l, ...,d\.
J = l
Резюмируем эти результаты следующим образом. ^ ' '
Теорема 3.3. Координатными волновыми функциями ^(жь ..., xn)>
соответствующими полной волновой функции со спином s системы из N
тождественных частиц спина -, являются решения N-частичного урав-
нения Шрёдингера (3.4), которые преобразуются согласно представле-
нию T\i симметрической группы Sym^, где λ' — разбиение, сопряжен-
ное к λ = (— Η- 5, —— s). Спиновые волновые функции Xmj(0i, ..., στν)
удовлетворяют (3.8), а соответствующие полные волновые функции
Фт(£ь ···>£#) даются формулой (3.9). В общем случае для заданного
уровня энергии Ε существует 25 + 1 линейно независимых полных волновых
функций со спином s, 0 ^ s ^ —, и —— s — целое число.

4.3. Система тождественных частиц
313
Замечание. При наибольшем значении полного спина s = ^ коор-
динатная волновая функция ^(xi, ... , жлг) полностью антисимметрична.
Поскольку (TV)' = (1, ..., 1) ^ Раг(ЛГ, 2), когда N > 2, координатная вол-
новая функция в случае N > 2 не бывает полностью симметричной.
Используя явное описание симметризатора Юнга из предыдущего раз-
дела, получаем следующий результат.
Следствие 3.4 (В. А. Фок). Координатная волновая функция
Ф(ж1, ... ,ждг), соответствующая полной волновой функции спина s, ха-
рактеризуется следующими свойствами симметрии:
(/) Ф(а?1, ..., ждг) антисимметрично по отношению к группе аргументов
я?1, ... ,scjfe, k = у + s;
(н) Ф(ж1 , ..., ждг) антисимметрично по отношению к группе аргументов
Xk+i, · · · ,xn;
(ш) Ф(ж1, ..., xn) удовлетворяет условию
Ф(я?1, ...,жлг) =
= 2^ ^(«1, . . . , Xi-U xk+l, Ж»+1, · · · , Ж/., Ж;, Ж/-+2, · · · , Жлг)·
г=1
Случай ЛГ тождественных частиц произвольного спина s разбира-
ется подобным образом. Свойства симметрии координатных волновых
функций получаются с помощью двойственности Шура-Вейля для дей-
ствия U(Z) х SymN на Cl9 где I = 2s + 1. Она имеет вид
(CTN= 0 SxCl®Gx,
АеРаг(ЛМ)
где Par(iV, /) — это множество разбиений N с количеством слагаемых мень-
шим или равным /, a S\Cl — модуль Вейля, соответствующий представле-
нию старшего веса группы U(Z) с доминантным весом λ.

314
Глава 4
Задача 3.2. Докажите следствие 3.4.
Задача 3.3 (Приближение одного электрона). Допустим, что
Vint0*0 = 0, и пусть ф\(х), ..., фк(х), к ^ —, — одноэлектронные волно-
вые функции: собственные функции одноэлектронного оператора Шрёдин-
гера Н\ (см. (3.4)). Покажите, что координатные волновые функции
Ф(жь ...,жлг)
^i(xi) ... ф\{хк)
фк{х\) ··· Фк(хк)
^l(xfc+l) ... Φ\{Χν)
\l>N-k(Xk+l) ··· 1pN-k(xN)
где | · · · | обозначает определитель матрицы, удовлетворяют свойствам сим-
метрии из следствия 3.4.
4.4. Замечания и ссылки
Понятие спина электрона оказывается фундаментальным при согла-
совании квантовой механики с экспериментами. См. [Mes99] для обсто-
ятельного обсуждения основных экспериментальных данных, говорящих
в пользу гипотезы спина электрона (эффект Зеемана, эксперимент Штер-
на-Герлаха). В классических текстах [Лан89Ь, Фок76Ь] также вводится по-
нятие спина с физической точки зрения. Теория представлений группы
Ли SU(2) — простейшей компактной неабелевой группы Ли — детально об-
суждается в [Вил65]; для описания всех неприводимых представлений U(n)
см. [FH91]. В обсуждении гамильтониана Паули в разделе 4.2.1 мы следу-
ем [Фок76Ь]; случай частицы в неоднородном магнитном поле из разде-
ла 4.2.2 впервые рассмотрел Л. Д. Ландау в 1930 г. (см. [Лан89Ь]). Задача 2.2
показывает, что в присутствии магнитного поля операторы Хо и Уо» соот-
ветствующие координатам классических траекторий заряженной частицы,
нельзя измерить одновременно.
Волновое уравнение Паули в разделе 4.2.1 нерелятивистское, т.е. оно
не принимает в расчет постулаты специальной теории относительности.
Правильное квантовое описание электрона во внешнем электромагнитном
поле предложил Дирак; волновое уравнение Паули получается как нереля-
тивистский предел уравнения Дирака [Фок76Ь]. Уравнение Дирака — это
уравнение для одной частицы, описывающее электрон и частицу с заря-
дом —е — позитрон. Для описания квантовых процессов рождения и уни-
чтожения частиц необходимо перейти от квантовой механики к квантовой
теории поля, изучающей системы с бесконечным числом степеней свободы,
и мы отсылаем читателя к [IZ80] за введением в эту дисциплину.

4.4. Замечания и ссылки
315
Постулат симметризации, сформулированный в разделе 4.3.1, — дру-
гой фундаментальный принцип квантовой механики, и мы отсылаем чи-
тателя к [Mes99] за его физическим обоснованием. Все свойства атомов
описываются TV-частичным уравнением Шрёдингера. Однако на практике
его невозможно решить аналитически (для потенциалов атомной физики)
и даже численно, если N > 2; случай атома гелия (N = 3) показывает
трудности задачи. Для этой цели были разработаны различные приближен-
ные методы, такие как приближение одного электрона, метод Хартри-Фо-
ка и его модификации (см. [Лан89Ь], [Фок76Ь] для подробностей и [Фад01]
для ясного введения). Правильное описание свойств атомов и объяснение
периодической системы элементов Д.И.Менделеева, основанное на этих
методах, было большим триумфом квантовой механики. Мы отсылаем за-
интересованного читателя к [Лан89Ь, Фок76Ь] и [Фад01] за детальным из-
ложением. ΛΓ-частичное уравнение Шрёдингера, в принципе, также описы-
вает5 все свойства молекул, которые изучает химия. Однако этот «редук-
ционизм» не работает из-за сложности квантовой задачи N тел, и прибли-
женные методы, такие как приближение Хартри - Фока, играют в квантовой
химии центральную роль.
Векторное пространство С2®С2 описывает спиновые степени свободы
двух электронов, и спиновые состояния, не представляемые в виде тензор-
ного произведения и® υ, называются запутанными6. Запутанные состояния
используются при описании парадокса Эйнштейна-Подольского-Розена,
квантового эксперимента, который, как кажется, нарушает принцип локаль-
ности (см. его описание в [Ве187, Sak94]). Тот факт, что квантовая механи-
ка верна и позволяет дать аккуратное описание микромира, несомненен
и подтверждается многочисленными физическими экспериментами. Пара-
докс Эйнштейна-Подольского-Розена является «парадоксом» только по-
тому, что классическая интуиция не всегда соответствует физической реаль-
ности. Более того, из неравенств Белла [Ве187] следует, что любая попытка
превратить квантовую механику в детерминистскую теорию посредством
введения так называемых скрытых переменных обречена; мы отсылаем чи-
тателя к веб-сайту http://en.wikipedia.org/wiki/EPR paradox
за дальнейшими ссылками. Векторное пространство С2 0 ... 0 С2, описы-
вающее спиновые степени свободы нескольких тождественных частиц спи-
на i также играет фундаментальную роль в теории квантовых вычисле-
ний. Это быстро развивающаяся область, и мы отсылаем заинтересованного
читателя к монографии [Кит99] за математическим введением и к веб-сайту
В этом смысле квантовая механика — это «теория всего» для химии.
Недавно стали также употреблять термин зацепленные. —Прим. перев.

316
Глава 4
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum computer за свежей ин
формацией о специальной литературе. Другое быстро развивающееся и за-
хватывающее новое приложение квантовой механики — квантовая крип-
тография, см. обзор на http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum
cryptography.
Раздел 4.3.2 представляет собой ускоренный курс теории представле-
ний симметрической группы Sym^ — красивого образца классической ма-
тематики, находящего множество интересных приложений в современной
комбинаторике и теории представлений. Нашей целью было дать сжатое
и ясное представление основных необходимых фактов, и мы ссылаемся
на классический текст [Wey50] и на [FH91] для подробного изложения тео-
рии представлений, а на [GW98] — для обсуждения двойственности Шура-
Вейля. В разделе 4.3.3 мы подчеркиваем роль двойственности Шура-Вей-
ля в изучении свойств симметрии координатных волновых функций. Фи-
зические учебники, такие как [Лан89Ь], [Дав73] и [Sak94], аккуратно раз-
бирают основные примеры, но остаются несколько туманны при описании
формы полной волновой функции N частиц. Монография [Фок76Ь] в этом
отношении очень четкая, но в своем изложении В.А.Фок старается све-
сти использование теории групп к минимуму. Нашей целью в разделе 4.3.3
было заполнить этот пробел и дать ясное описание свойств симметрии ко-
ординатных и спиновых частей полной волновой функции, используя язык
теории представлений. Для случая N частиц спина - эту задачу решил
В.А.Фок в 1940 г.; см. [Фок76Ь], а также классическую работу [Wig59].
Для дальнейших приложений теории групп к квантовой механике мы ссы-
лаемся на последний текст и на [Wey50].

Часть II
Функциональные методы
и суперсимметрия

Глава 5
Фейнмановская формулировка
квантовой механики
5.1. Фейнмановский интеграл по путям
В этой главе мы представим фейнмановский подход к квантовой меха-
нике, основанный на интеграле по путям. В фейнмановском подходе про-
пагатор квантовой системы с гамильтонианом Н, т. е. ядро оператора эво-
--ш
люции U(t) = e h , выражается в виде «суммы по траекториям» соот-
ветствующей классической системы.
5.1.1. Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера
Напомним (см. раздел 2.1.3 главы 2), что в терминах оператора эво-
--ш
люции U(t) = е п решение ip(t) задачи с начальными условиями для
зависящего от времени уравнения Шрёдингера
ih^(t) = H4{t), (l.i)
tf(*)lt=o=V>, (1-2)
дается равенством ip(t) = U{t)^. Для оператора Гамильтона
квантовой частицы в Rn, движущейся в потенциальном поле V(q), задача
с начальными условиями (1.1) — (1.2) в координатном представлении пре-
вращается в следующую задачу Коши:
гП^=-£1Аф + У(д)ф, (1.3)
4(q,t)\t=0 = l>{q), (1.4)

320
Глава 5
где Δ — оператор Лапласа на Rn. При достаточно общих условиях на потен-
циал V(q) (т.е. когда V Ε L^c(Rn) ограничен снизу) задача Коши (1.3)-
(1.4) имеет фундаментальное решение: это функция K(q, q', t), удовлетво-
ряющая в смысле обобщенных функций уравнению в частных производ-
ных (1.3) по отношению к переменной q (т. е. K(q,qf,t) — слабое решение
уравнения Шрёдингера) и начальному условию
K(q,q',t)\t=0 = 6(q-q'). (1.5)
Решение задачи Коши (1.3)-(1.4) формально можно записать как
ф(ц\ t)= J K(q', q, t)xP(q)dnq, (1.6)
где интеграл понимается в смысле обобщенных функций.
Для φ е L2(Rn) формулу (1.6) следует понимать как
ф(Я\ t) = 1 i.m. / K(q', </, t)^(q)dnq = l.i.m. / K(q\ q, ^(q)dnq,
R—юо J J
где l.i.m. обозначает предел по норме L2. В общем случае i/j(q,t) — лишь
слабое решение уравнения Шрёдингера (1.3); оно является регулярным, ко-
гда φ принадлежит области Гординга Dq (cm. задачу 1.7 в разделе 2.1.3 гла-
вы 2). Фундаментальное решение K(q,q\t) является обобщенным функ-
циональным ядром (в смысле теоремы Шварца о ядре) оператора эволю-
ции U(t).
Используя групповое свойство U(t + tf) — U(t)U(t'), можно перепи-
сать (1.6) в виде
ф(Ч\ О = J K(q', t'; q, t)i>{q, t)<Pq, (1.7)
где K(q,1t,;q,t) = K(q',q,t' — t). Физический смысл функции
1^(<7'5£';*М)|2 — распределение условной вероятности найти квантовую
частицу в точке qf Ε Rn в момент времени tf при условии, что она была
в точке q Ε Rn в момент t.
Замечание. В терминологии физиков обобщенное функциональное
ядро K(q', t'; q, t) оператора эволюции U(t'—t) называется комплексной ам-
плитудой вероятности или, просто, амплитудой или пропагатором. В обо-
значениях Дирака — K(q\t'; q, t) = (qf, tf \q,t).

5.1. Фейнмановский интеграл по путям
321
Нахождение пропагатора заданной квантовой системы — фундамен-
тальная задача квантовой механики. Когда спектральное разложение опе-
ратора Гамильтона Η известно, пропагатор можно получить в замкну-
том виде. А именно: допустим для простоты, что у Η чисто точечный
спектр, т. е. что имеется ортонормированный базис гильбертова простран-
ства Ж — L2(M.n,dnq), состоящий из собственных функций {ψη(ς)}™=0
гамильтониана Η с собственными значениями Еп. Имеем
°° г
^(з) = Σ c^n(q), сп= φ(ς)φη(ς)(Γτς1
оо £
так что
п=0
оо Στ? г Г
i>(q',t') = $>"* "' М4) / МЯЖЧ)<ГЧ,
„—ел J
n=0 Rn
где ряды и интегралы сходятся в смысле L2. Если бы перестановка сумми-
рования и интегрирования была обоснована, то можно было бы записать
оо i
К(д',Ь;д^)==^2е~^Е"Тфп(я'Шч), T = t'-t. (1.8)
п=0
Ряд (1.8) сходится в смысле обобщенных функций и дает представление
пропагатора в терминах спектрального разложения Н.
Сходное представление пропагатора существует и когда спектр гамиль-
тониана Η абсолютно непрерывен. Рассмотрим простейший случай свобод-
ной квантовой частицы с оператором Гамильтона
Р2
Соответствующее уравнение Шрёдингера можно решить методом Фурье
(см. раздел 2.2.3 главы 2), и мы получаем
2
i){q',t') = 1Л.т.(2тгй)~2 i е^{ч'Р~^Т)ф(р,1)(Гр =
= l.i.m. J K(q',t';q,t)tP(q,t)dnq,

322
Глава 5
где
г>2
КМ>*>*>*) =-pjfiy j'е*{р{д'-д)-*™Т)сГр, T = t'-t. (1.9)
Воспользовавшись классической интегральной формулой Френеля
00 7risgn(a)
π
etaxdx = e 4 J— (1.10)
'a
/
— oo
и выделив полный квадрат в (1.9), получаем следующее выражение для
пропагатора свободной квантовой частицы:
*<**«·«-UjsM
i^^",~''>°. Я")
πτη
где г2 = е 4 и Г > 0.
Замечание. Формально заменяя настоящее «физическое» время t
в уравнении Шрёдингера
для свободной квантовой частицы массы m евклидовым временем (или чи-
сто мнимым временем) —it, получаем уравнение теплопроводности
на Еп с коэффициентом теплопроводности D = -—. Замечательно, что
в соответствии с этой формальной процедурой пропагатор (1.11) для сво-
бодной квантовой частицы получается из ядра теплопроводности1 на Кп
аналитическим продолжением Τ ь-► — гТ.
!Ядро теплопроводности, также называемое ядром уравнения теплопроводности, это фун-
даментальное решение уравнения теплопроводности. — Прим. перев.

5.1. Фейнмановский интеграл по путям
323
Задача 1.1. Покажите, что
R->ooJ R-+00J 2 у 2
О О
проинтегрировав функцию e~z по подходящему контуру.
Задача 1.2. Покажите непосредственно, что
η
<P(q',t) = (е^Ш»(д') = l.i.m. (^) ' f e^4^?i>{q)^q.
Задача 1.3. Дайте выражение для пропагатора, когда Η — оператор
Шрёдингера с быстро убывающим потенциалом, рассмотренный в разде-
ле 3.2 главы 3.
5.1.2. Фейнмановский интеграл по путям в фазовом пространстве
Для общего оператора Гамильтона Η = Щ + V, где V = V(Q),
нет простой формулы для пропагатора K(q',t']q,t), подобной (1.11). Это
--ш
связано с тем, что операторы Но и V не коммутируют, так что е п φ
ψ е п е h .
Фундаментальным открытием Фейнмана было то, что существует дру-
гое представление пропагатора квантовой системы, описывающее его в тер-
минах соответствующей классической системы. Мы начнем с описания
фейнмановского подхода для случая квантовой частицы с одной степенью
свободы. Он основывается на так называемой формуле произведения Ли -
Като-Троттера, позволяющей выразить экспоненту ег(А+в^ двух неком-
мутирующих самосопряженных операторов в терминах отдельных экспо-
нент егА и егВ.
Теорема 1.1 (Формула произведения Ли-Като-Троттера). Пусть А
и В — самосопряженные операторы на Ж, такие, что оператор А + В
существенно самосопряжен на D(A) Γ)Ω(Β). Тогда для φ Ε Ж
е^А+вЦ = lim (епАепВ)пф.

324
Глава 5
Доказательство.
Рассмотрим только частный случай, когда А и В — ограниченные опе-
раторы, который был разобран уже Софусом Ли. Положим Сп = ег(л+Б)/п
и Dn = егА/пегВ/п. Имеем телескопическую сумму
CZ-DZ = C%- СГх Д, + C^Dn - C:~2D2n +...+
+ CnDnn~l-D^ =
n-l
= Y/C:-k-1(Cn-Dn)Dkn
fc=0
ты с > 0, получаем
и, так как по формуле Тейлора \\Сп — Dn\\ ^ — для некоторой констан-
Этим доказывается результат со сходимостью в равномерной топологии.
Будем всегда предполагать, что гамильтониан Η — Щ + V существен-
но самосопряжен на D(Hq) Π D(V), так что формула Ли - Като - Троттера
применима. (Согласно теореме 1.2 из раздела 3.1.1 главы 3, в случае η = 3
можно предположить, что V = Vi + V2, где Vi € £2(R3), a V2 G L°°(E3).)
Применяя формулу Ли - Като - Троттера к А = ——Щ и В= — —V, полу-
п η
чаем, что в сильной операторной топологии
е * = lim(e * е * ν)", At=j-, (1.12)
где Τ = t' — t. В координатном представлении оператор е Λ является
оператором умножения на функцию е h , а обобщенное функцио-
_iAtjj
нальное ядро оператора е h дается формулой (1.9), в которой Τ заме-
нено на At. Таким образом, обобщенное функциональное ядро K(q\ q\ At)
оператора е h e h дается формулой
ОО „2
K(q,q;At) = — / е^ 2™ dp. (1.13)

5.1. Фейнмановский интеграл по путям
325
Поскольку ядро произведения двух операторов является композицией
соответствующих ядер, получается следующее интегральное представ-
ление для обобщенного функционального ядра Kn(q\tf;q,t) операто-
pa (e h ° е h )n:
/„п—1 п—1
... / Π^(^+1,^;ΔθΠ^, (1.14)
Rn-i ^=0 fc=l
где go = Ъ Qn — Qf- Теперь заменим каждый множитель K(qk+i,qk',Ai)
в (1.14) его интегральным представлением (1.13), в котором соответствую-
щая переменная интегрирования обозначается какр^, /с = О, ..., п — 1. По-
меняв порядок интегрирования в получившемся (2п— 1)-кратном интеграле
и используя (1.12), приходим к следующему замечательному представле-
нию пропагатора квантовой частицы в виде предела кратных интегралов,
когда число интегрирований стремится к бесконечности:
K{q',t'-q,t) = lim Kntf,t';q,t) = (1.15)
η—юо
η-1
= JI™, / ' ' ' / eXP {i Σ (P*(flfe+1 ~ 9fc) ~
R2n —1 ^=0
-tfc(Pfe,9fc)Ai)j^n^r·
fc=l
Здесь i/c(p, q) = ■= h V(q) — классическая функция Гамильтона, aqo = q,
qn = q'·
Эвристически формула (1.15) допускает следующую интерпретацию.
Каждой точке (ро?Ръ · · · >Рп-ъ(7ъ · · · ?<7n-i) £ R2n_1 сопоставляется
кусочно-линейный путь σ в расширенном фазовом пространстве Е2 х R
классической частицы, определенный следующей процедурой дискретиза-
ции времени. Пусть tk = t + λ;Δ£ и σ(τ) = (р(т), #(τ), τ), где
Ρ(τ) = р*, g(r) = qk + (г - *fc)^_^

326
Глава 5
и г £ [tfc,tfc+i], А: = 0, ... ,п — 1. Тогда для интегрируемого по Риману
потенциала V(q) имеем
п-1
Σ (Pk(qk+i - Як) ~ Нс(рк, qk)At) = 5(σ) + о(1) при η -► оо, (1.16)
к=0
где
5(σ) - J{pdq - Hcdr) = j(p(r)q(r) - Яс(р(т),«(т)))<*т
— функционал действия классической системы с функцией Гамильто-
на Hc(p,q) (см. раздел 1.2.2 главы 1). Это наводит на мысль интерпре-
тировать (1.15) как некий «интеграл» по пространству JP(K2)^* всех пу-
тей σ(τ) = (p(r),g(r),r) в расширенном фазовом пространстве R2 x R,
таких, что2 q(t) = q и #(£') = #', которое использовалось при формулировке
принципа наименьшего действия в фазовом пространстве (см. раздел 1.2.2
главы 1). Таким образом, мы полагаем
KtfJ;q,t)= J e*SW9P9q, (1.17)
pmtt
где «мера» S^pS>q на P(R2)^'* дается формулой
fc=l
Представление (1.17)-(1.18) и есть известный фейнмановский инте-
грал по путям в фазовом пространстве для пропагатора квантовой части-
цы. Пропагатор K(q',t';q,t) выражается в виде «взвешенной суммы» по
всем возможным «историям» классической частицы — путям σ Ε P(R2)qA ,
Обращаем внимание, что не накладывается условий на значения р(т) в конечных точках.

5.1. Фейнмановский интеграл по путям
327
причем каждый путь σ имеет комплексный вес ехр{^5(а)}. С одной сто-
роны, этим представлением ясно показывается фундаментальное различие
между классической и квантовой механикой. Так, в классической механике
частица движется по классическим траекториям, являющимся критически-
ми точками (экстремалями) функционала действия S(a), тогда как в кван-
товой механике все возможные пути вносят вклады в комплексную ампли-
туду вероятности K(q',t'',q,t). С другой стороны, представление (1.17) —
(1.18) ясно указывает на соотношение между квантовой и классической
механикой в квазиклассическом пределе Тг —► 0. А именно: при Тг —► 0 ве-
са ехр{^5(а)} становятся быстро осциллирующими и их вклады в (1.17)
будут взаимно уничтожаться, кроме случая, когда действие почти посто-
янно. Последнее имеет место вблизи критических точек, которые и дают
основной вклад в (1.17). Таким образом классические траектории части-
цы возникают из квантового описания, что мы обсудим подробно в разде-
ле 5.6.1.
Замечание. Фейнмановский интеграл по путям в фазовом простран-
стве не является интегралом в смысле абстрактной теории интегрирования,
поскольку формальное выражение $tp$iq не определяет меры3 на простран-
стве путей P(R2)^ . К тому же функционал ехр{|-5(а)} по модулю всегда
равен 1 и не может быть интегрируемым по отношению к какой бы то ни
было мере αμ, обладающей свойством μ(Ρ(Κ2)*3 ) = оо. Строго математи-
ческое значение формул (1.17)-(1.18) — это изначальная формула (1.15),
выражающая пропагатор в виде предела кратных интегралов при стрем-
лении числа интегрирований к бесконечности. Этим объясняется видимый
«парадокс», в котором квантовая механика якобы определяется полностью
в классических терминах формулой (1.17). Это не так, поскольку нет ни-
какого «естественного» определения формулы (1.17) в классических тер-
минах, за исключением процедуры дискретизации времени (1.15), которая
сама требует специального выбора приближения (1.16) функционала 5(σ)
суммами Римана.
5.1.3. Фейнмановский интеграл по путям в конфигурационном
пространстве
Используя интеграл Френеля (1.10) для интегрирования по ρ в (1.13),
получаем следующую формулу для обобщенного функционального ядра
3В абстрактной теории мера неотрицательна и счетно-аддитивна.

328
Глава 5
оператора е п е п :
г ,т (Я-Ч')2
2mfiAt
Повторив процедуру дискретизации времени из предыдущего раздела, вме-
сто (1.15) получаем теперь
(. т λ2
к«'*«л = 1&{шш) х (L19)
Χ/^{Ι|(¥(·^)·.ν(.,)^}πν
Полагая, что qk = #(£*;)> fc = 0, ...,п, для некоторого гладкого пу-
ти 7(т) = <?(т) в R, где #о = 4 и gn = <?', получаем при η —► оо
Σ (f (~^)2-^)) Δ* = 5(7)+ о(1),
где
5(7) = У ЦУ(r))dr = J L(q(r), g(r))dr, Ц<?,<?) = ±m<j2 - V%),
t t
— функционал действия классической частицы массы т, движущейся в по-
тенциальном поле V(q) (см. раздел 1.1.3 главы 1). Это наводит на мысль
интерпретировать предел кратных интегралов (1.19) как фейнмановский ин-
теграл по путям в конфигурационном пространстве
K(q',t';q,t)= J e*Sb]' 9q. (1.20)
Здесь P(R)^l — пространство гладких параметризованных путей η в кон-
фигурационном пространстве R, соединяющих точки q и q', а «мера» $q

5.1. Фейнмановский интеграл по путям
329
\я',*
на P(E)^t дается формулой
— —1
4 у к=1
Как и фейнмановский интеграл в фазовом пространстве, фейнмановский
интеграл в конфигурационном пространстве не является в действительно-
сти интегралом в смысле теории интегрирования, и математически кор-
ректный смысл (1.20)-(1.21) дается формулой (1.19). Формула (1.20) вы-
ражает пропагатор K(q\t';q,t) в виде суммы по всем историям в конфи-
гурационном пространстве классической частицы — путям 7 £ Р(ЩЯд*г >
сопоставляя каждому пути 7 комплексный вес ехр{^5(7)}·
Замечание. Сходимость в (1.19), также как и в (1.15), понимается
в смысле обобщенных функций. В частности, для любого ψ £ L2(R)
η
(e~ftTiV)(<7)= lim (V^V x
lU7i V Ac—U \ /J К—1
где все интегралы понимаются как J = lim J , а все пределы —
— оо
в смысле L2.
R^°°\q\^R
Замечание. В физических учебниках говорится, что фейнмановский
интеграл по путям в конфигурационном пространстве получается из фейн-
мановского интеграла по путям в фазовом пространстве вычислением ин-
теграла Френеля по 3>р\
0{™q2-V{q))dr [ 0{pq-Hc{p,q))dT
h 9 Λ ' eh* @p@q. (1.22)
Заметим, что у символа S>q два разных значения: в левой части (1.22) он
определен формулой (1.21), а в правой — как часть формулы (1.18).

330
Глава 5
5.1.4. Несколько степеней свободы
Пусть
— оператор Гамильтона квантовой частицы в Rn, движущейся в потен-
циальном поле V(q). Как и в случае одной степени свободы, пропага-
тор K(q',t'\q,t) выражается с помощью формулы произведения Ли-Ка-
то-Троттера в виде предела кратных интегралов, когда число интегрирова-
ний стремится к бесконечности,
N-1
^(^^^,0 = ^^··^βΧΡ{|^(ρ^(^+1-^)- (1.23)
£(2JV-l)n k—°
и ( \л*\\ dnPv TT dnpkdnqk
Ρ 2
здесь пс{р, q) = -τ \- V(q) — классическая функция Гамильтона, и qo=q,
Qn — q'- Это представление символически записывается в виде фейнманов-
ского интеграла по путям в фазовом пространстве Л — T*Rn:
. . Г Г f(pq-Hc(p,q))dr
K(q\t'',q,t)= J ehi' ®p$q, (1.24)
где
я, c> v dUPQ TT dnpkdnqk
a P(^)%1 — пространство всех допустимых путей σ в расширенном фа-
зовом пространстве i^xi, соединяющих точки (q,t) и {q\tf) (см. раз-
дел 1.2.2 главы 1).

5.1. Фейнмановский интеграл по путям
331
Эквивалентным образом пропагатор K(q',tf;q,t) можно записать в ви-
де
nN
"/•••/■4,{is(?(&^)'-"(»))^}n1'··
Эта формула символически записывается в виде фейнмановского интеграла
по путям в конфигурационном пространстве,
г г'
/— Г L{q,q)dr
ehi ®q, (1.26)
где L(q,q) = ^mq2 — V(q) — соответствующий лагранжиан,
η Ν Λ/._1
а Р(М)^ — пространство гладких параметризованных путей в конфигу-
рационном пространстве М, соединяющих точки qn q'. Точный математи-
ческий смысл формулы (1.26) тот же, что у (1.20).
Замечание. Формально можно продолжить определение (1.24)
фейнмановского интеграла по путям в фазовом пространстве на слу-
чай (Λ^,ω,Η€), где Μ — Τ*Μ и ω = αθ, дифференциал канонической 1-
формы Лиувилля на Ж. А именно: можно получить обобщенное функци-
ональное ядро K(qf,t';q,t), используя ту же дискретизацию времени, что
и в (1.24), и заменив 1-форму pdq на 0, а форму объема dnpkdnqk на под-
ходящую форму, пропорциональную форме объема Лиувилля на Ж. Точно
так же представление (1.26) можно формально продолжить на случай про-
извольной лагранжевой системы (М, L), где конфигурационное простран-
ство Μ — какое-то риманово многообразие, используя ту же дискретизацию
времени и заменив dnq\z на риманову форму объема на М. Однако в об-
щем случае неясно, для каких унитарных операторов эти фейнмановские

332
Глава 5
интегралы являются настоящими обобщенными функциональными ядра-
ми. Более того, даже в случае Μ = Rn со стандартной евклидовой мет-
рикой представления (1.26) и (1.24), где Нс — преобразование Лежандра
функции L, не обязательно соответствуют друг другу, когда L не являет-
ся функцией вида «кинетическая энергия минус потенциальная». Однако
если L = ^μ^(Χ)ΧμΧΙ/ — V(x) (см. пример 1.7 из раздела 1.1.3 главы 1),
то при определенной подходящим образом дискретизации времени фей-
нмановские интегралы по путям (1.26) и (1.24) совпадают и равняются
пропагатору для оператора Гамильтона
Здесь Ад — оператор Лапласа римановой метрики на Μ, введенный в при-
мере 2.4 из раздела 2.2.4 главы 2.
Замечание. Формула (1.24) может служить эвристическим сред-
ством, помогающим в определенных случаях проквантовать классическую
гамильтонову систему (^, ио,Нс). В общем случае это довольно нетри-
виальная задача, особенно когда фазовое пространство Ж — компактное
многообразие.
5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям
В разделах 2.2.7 и 2.3.3 главы 2 были введены виковские, pq-9 qp-
— -ТН
и вейлевские символы операторов. Для оператора эволюции U(T) = е п
эти символы тоже можно представить с помощью фейнмановского интегра-
ла по путям. Здесь мы рассмотрим лишь случай одной степени свободы, так
как обобщение на несколько степеней свободы очевидно.
5.2.1. до-символ
Пусть Fi(p,q,T) — до-символ оператора эволюции U(T). Исполь-
зуя (1.15) и формулу (3.18) из раздела 2.3.3 главы 2 — соотношение меж-
ду до-символом оператора и его обобщенным функциональным ядром, —
получаем
Fi(p,(z,r)= J K(q-v,T;q,0)e*PVdv= (2.1)
— оо
= п^о / " ' /еХР{| Σ ЫЯк+1 - Як) - Hc(pk,qk)At)} Π ^Ч^,
fc=0 fc=l

5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям 333
где Рп-1 = Ρ и до = Qn = Я- Формулу (2.1) можно также получить
из формулы композиции до-символов (см. задачу 3.9 из раздела 2.3.4
главы 2). Действительно, достаточно заметить, что до-символ операто-
iAt «At., iAt __ . л
рае " е п — это f(p,q) = е п , и представить до-символ
_1^Яо _iAty
оператора (е h e h )n в виде кратного интеграла
/ "' / f(PiQn-i)f(Pn-2,qn-2)'~f(P2,q2)f(po,q)x
R2n-2
( п-2 ^ п-1
v х ехр UΣ(ρ-Pk^qk-qk^ \ Π Pk2n%qk)
где ^о = q- В том же духе, что и (1.15), формулу (2.1) можно записать
в виде следующего фейнмановского интеграла по путям для до-символа:
Fi(p,(7,r)= J e*S(<r)9p9q, S(a) = J(pdq - Hcdt), (2.2)
n(p,q)(R2)
где Ω(ρ?ς)(Μ2) = {σ : [О, Г] -> R2 : σ(0) = σ(Γ) = (ρ, g) € R2} - простран-
ство параметризованных петель в фазовом пространстве R2, начинающихся
и кончающихся в точке (р, q).
Замечание. Математический смысл (2.2) — исходная формула (2.1)
с подходяще выбранным приближением 5(σ) суммами Римана.
5.2.2. ςτρ-символ
Пусть F2(p, q, T) — до-символ оператора эволюции U(T). В этом слу-
чае вместо формулы (1.12), удобной для до-символов, следует рассмотреть
эквивалентное представление
е л = lim(e * е h °)n. (2.3)
η—юо
Обобщенное функциональное ядро K(q\ q\ At) оператора е п е п
дается формулой
ОО 2
if (<7 , g; Δ£) = — eh 2m dp, (2.4)
-oo

334
Глава 5
и, как и в разделе 5.1.2, получаем
,п—1 п—1
/л it— j. it— J.
··· / Y[K(qk+1,qk;At)Y[dqk =
/г . п—1
• · · /ехр{^ Σ (Pfc(9fc+i ~ Як) - (2.5)
и ( \\Л dPo ТТ dpkdqk
2π%
k=l
Воспользовавшись формулой (3.19) из раздела 2.3.3 главы 2, получаем
из (2.5)
τρναν
F2(p,q,T)= J К(д,Т;д + у,0)е**
—оо
/Г . п~1
" / ехр{ % Σ (Pk(Qk+i ~ Ы - (2.6)
fc=l
где ро = Ρ и ^о = <7п = Я- Формулу (2.6) можно также вывести из формулы
композиции для до-символов (см. задачу 3.10 из раздела 2.3.4 главы 2), за-
iAt i At г At
~~Γν ~^~яо -^~яс(р,д)
метив, что до-символ оператора е п е п — это опять е п
В том же духе, что и (1.15), формулу (2.6) можно записать в виде следую-
щего фейнмановского интеграла по путям для до-символа:
F2(p,g,T)= J e*S{a)®p®q. (2.7)
Ω(Ρ)9)(Μ2)
Это выражение выглядит в точности как (2.2), т. е. формальное представ-
ление в виде интеграла по путям не различает pq- и до-символов! Конечно,
математический смысл (2.7) — это исходная формула (2.6), которая требу-
ет специального выбора приближения S(a) суммами Римана, отличного от
того, которое использовалось в случае од-символа.

5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям 335
Задача 2.1. Выведите формулу (2.6) из формулы композиции для
до-символов.
5.2.3. Вейлевский символ
Пусть F(p, q; T) — вейлев символ оператора эволюции U(T). Из фор-
мулы обращения Вейля — формулы (3.12) из раздела 2.3.3 главы 2 — сле-
дует, что
оо
F(p,q,T)= J K(q - \υ,Τ;q + \υ,0)e^P%' dv.
— OO
Однако в случае произвольного потенциала V(q) невозможно провести ин-
тегрирование по υ, используя или (1.15), или (2.5), и мы применим другой
подход. А именно: обозначим как U(At) оператор4 с вейлевским симво-
-±;Hc(p,q)At
лом е h и предположим, что
U(T) = lim U{At)n. (2.8)
η—юо
Используя формулу композиции вейлевских символов и формулу (3.24) из
раздела 2.3.3 главы 2, мы можем выразить вейлевский символ как
F(p,q,T)=\imoJ · · · J ехр{±(2^ (fa ~ tk)fa+i - Vk) - (2-9)
R4(n-1) fc=0
dpkdqkd^k-id^-i
- (як - *7*)(&+1 - ы) - Σ Hc^ u)At)} Π π%
к=0 к=1
где £о = Ρ,ηο = Я и ξη-i = pn-uVn-i = Qn-i- Что касается формулы
(1.15), формулу (2.9) можно записать как следующий фейнмановский ин-
теграл по путям для вейлевского символа:
F(p,q,T)= (2.10)
Г T/{2(p(t)-^(t))i7(t)-2(g(t)-»7(t))4(t)-Hc(p(t),g(t))}dt
_гЛ*я _ iAt у
4Не существует простого способа выразить его в терминах е h и е h

336
Глава 5
где
η—юо -*■■*■ 7Γ/1
fc=l
и «интегрирование» ведется по пространству вещественнозначных функ-
ций p(t), q(t), £(£) и 77(t) на [О, Г], удовлетворяющих условиям ξ(0) =
= ρ, 1,(0) = ς и ξ(Τ) = р(Г), r?(T) = q(T).
Замечание. Выражение (2.10) выглядит совсем не так, как (2.2)
и (2.7). Однако переменные £(£) и η(t) лишь линейно входят в показа-
тель экспоненты в (2.10), и их можно проинтегрировать явным образом.
Действительно, с помощью интегрирования по частям (опустим тонкости,
касающиеся обращения с граничными членами) можно преобразовать ин-
теграл по @ξ в
/
^/«t)M(t)-2i7(i))di
е п ° @£,
который равен произведению дельта-функций 5{2f]{t) — q(t)) на [0, Τ] и поз-
воляет заменить 2f)(t) на q(t) в (2.10). Таким образом, мы получаем фор-
мулу
τ
выглядящую в точности как (2.2) и (2.7)! Эвристическое рассуждение по-
казывает, что наивно понимаемый фейнмановский интеграл по путям «сти-
рает» различие между разными символами оператора эволюции. Конечно,
для того чтобы получать правильные результаты, всегда следует говорить,
какое конкретно конечномерное приближение к 5(σ) используется.
Задача 2.2. Найдите интегральное ядро оператора U(At).
Задача 2.3. Выведите формулу (2.9).
5.2.4. Виковский символ
Вместо переменных z и z, использованных в разделе 2.2.7 главы 2,
удобно использовать переменные а = \fTiz и а = y/fiz, которые вводят
явную зависимость от Ti в исчислении виковских символов. Пусть Н(а, а) —
виковский символ оператора Гамильтона Н. Здесь мы выведем формулу
— —тн
для виковского символа U(a,a;T) оператора эволюции U(T) = е п

5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям 337
ъг· т~г/а \ — — H(a,a)At
Обозначим как и (At) оператор с виковским символом е п и, как
и в предыдущем разделе, предположим, что
U(T) = lim U(At)n. (2.11)
π—юо
Используя формулу для композиции виковских символов (см. теорему 2.2
и задачу 2.18 в разделе 2.2.7 главы 2), получаем следующее выражение для
виковского символа £/η(α, α; Τ) оператора U(At)n:
С/п(й, α; Г) = / · * * / exp {| (a(an_i - a) - iff(a, an_i)Ai + (2.12)
η—1 η—1 -2
+ X](5fc(afc-i ~ o,k) - Ш(ак, afc_i)Ai)J J JJ —^,
fc=l fc=l
где ao = α. Положив an = α, можно переписать суммы в (2.12) как
η
^2(ак(ак-г - ак) + а(ап - а) - Ш(ак, ak-i)At)
к=1
и получить
[7(a,a;T) = lim Un(a,a;T) =
η—юо
= J-irn^ / · · · / exp | - ( ^(afc(afc_i - ak) + a(an - a)- (2.13)
Qn-l fc=l
iF(afc,afc_i)Ai))}rj
n—1 jo
<rak
fc=l
Как и в предшествующих примерах, можно представить формулу (5.2.4)
в виде следующего фейнмановского интеграла по путям для виковского
символа:
г т 1
/■£ f(iaa-H(a,a))dt+-ra(a(T)-a)
eh° h ®а$а, (2.14)
(а(Т)=а\
\a(0)=a/

338
Глава 5
где
n-l
т®а= lim TT^·
/с=1
Здесь интегрирование ведется по всем комплекснозначным функциям a(t)
и a(t), удовлетворяющим граничным условиям а(0) = а и а(Т) = а и та-
ким, что a(t) комплексно сопряжено с a(t) при 0 < t < Т.
Замечание. Следует подчеркнуть, что в формуле (2.14) значе-
ния а(0) и а(Т) не являются комплексно-сопряженными к фиксированным
граничным значениям о(0) = α и &(Т) = а, а скорее представляют собой
«переменные интегрирования». Это следует сравнить с формулой (1.17),
в которой граничные значения функции q(r) фиксированы, а граничные
условия функции р(т) могут меняться. Различие в том, что при t = 0 мы
фиксируем граничное значение функции a(t), тогда как при t = T мы фик-
сируем граничное значение другой функции a(t).
~.гргт
Замечание. Виковский символ U(a, α; — гТ) оператора е h =
= U(—iT) можно также представить выражением
U(а, а; — гТ) = lim Un(a, а; — гТ) =
п—>оо
/ρ Π
··· / ехр [т[^2Ы(ак-1 - ак) - H(uk,ak-i)At)+ (2.15)
(£n-l К=1
n-l
Λ1 ТТ d2ak Г -^/(аа+Я(а,а))Л+йа(а(Г)-а)
(а(Т)=а\
\а(0)=а/
к=1
представляющим собой так называемый евклидов интеграл по путям —
фейнмановский интеграл по путям по отношению к евклидовому времени,
который будет обсуждаться в разделе 6.2.3 главы 6. В частности, если га-
-тТН
мильтониан Η имеет чисто точечный спектр, а оператор е п — оператор
со следом, то, воспользовавшись соотношением между следом и виковски-

5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям 339
ми символами (см. задачу 2.17 из раздела 2.2.7 главы 2), получаем из (5.2.4)
1 1 Т
--ТН f ~τ f(aa+H(a,a))dt
Tre л = / e h° m@a, (2.16)
/α(0)=α(Τ)1
\α(0)=α(Τ)/
где интегрирование ведется по всем комплексно-сопряженным функци-
ям a(t) и a(t), удовлетворяющим периодическим граничным услови-
ям а(0) = а(Т) и а(0) = а(Т), и
Ш^а = lim е ^пап 17 —
-ranfln т~г <i ftfc
..η
fc=l
Действительно, из евклидовой версии равенства (2.12) мгновенно выводит-
ся, что
TrU(At)n = \ I Un(a, a; -гТ)е~ ^Va =
с
J i i
Cn fc=l
тгй '
где переменные интегрирования a = ao и а = ап теперь комплексно-
сопряжены. Это означает, что ao = a = an, ao = a = an, и в пределе η —> οο
получаем формулу (2.16).
В голоморфном представлении матричный символ if (a, a; T) операто-
ра эволюции играет роль пропагатора K(q',T;q,0) в координатном пред-
ставлении. Используя соотношение между матричными и виковскими сим-
волами (см. лемму 2.4 в разделе 2.2.7 главы 2), получаем
г т 1
/I f(iaa-H(a,a))dt+±;aa(T)
еп° п ®а®а. (2.17)
[а{Т)=а\
\a(0)=a/
Задача 2.4. Найдите соотношение между виковским символом опе-
ратора эволюции и пропагатором. {Указание: воспользуйтесь аналогом фор-
мулы (2.45) из раздела 2.2.7 главы 2.)

340
Глава 5
5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического
осциллятора
На первый взгляд, фейнмановский интеграл по путям представляет-
ся не слишком практичным. Действительно, он определяется как предел
кратных интегралов при стремлении числа интегрирований к бесконечно-
сти, и кажется, что посчитать его очень сложно. На самом деле это не так:
фейнмановский интеграл по путям оказывается очень полезным при самых
разных расчетах, а в ряде важных случаев его можно вычислить точно.
Здесь мы рассмотрим основной пример5 — фейнмановский интеграл по пу-
тям для гармонического осциллятора.
5.3.1. Гауссово интегрирование
Вычисление фейнмановского интеграла по путям упрощается, когда
соответствующие конечномерные интегралы можно точно посчитать для
любого η (или для достаточно большого п). Так обстоит дело в случае
важного класса гауссовых интегралов.
Лемма 3.1 (Гауссово интегрирование). Пусть А — положительно
определенная, вещественная, симметрическая матрица η х п. Имеем
f\(Aq,q)+(p,q)dnq = у/(2^ е|(А-1Р,Р)) (зл)
л/det А
где (, ) обозначает стандартное евклидово скалярное произведение на Жп.
Доказательство.
Выделяя полный квадрат, получаем
-\{Aq,q) + (p,q) = -\{A{q - A^p), (q - A~lp)) + \{A~lp,p),
так что заменой переменных q = x+A~lp интеграл сводится к стандартно-
— ( А /у» or» J
му гауссову интегралу J e 2 ' dnx, который вычисляется приведением
матрицы А к диагональному виду и использованием одномерного гауссова
интеграла
/-
5 Простейший случай свободной частицы приводит к тривиальному примеру, поскольку
рмула произведения Ли-Като-Троттера сводится к тоз
ла (1.14) дает такой же ответ, что и (1.11) для любого п.
-А
формула произведения Ли-Като-Троттера сводится к тождеству егА = (еп )п, и форму-

5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического осциллятора 341
Формула (3.1) — один из фундаментальных математических резуль-
татов, используемый во множестве дисциплин, от теории вероятностей до
теории чисел. Для приложений к квантовой механике необходим вариант
леммы 3.1, в котором затухающий экспоненциальный множитель заменен
на осцилирующий экспоненциальный множитель, как в (1.10).
Следствие 3.1. Пусть А — вещественная, невырожденная симмет-
рическая матрица η х п. Тогда
I
Q~ у/[ША\е ' ( }
где интеграл понимается в смысле обобщенных функций как lim f ,
αν — число отрицательных собственных значений А.
Доказательство.
Формула (3.2) следует из (3.1) аналитическим продолжением. Ее так-
же можно доказать непосредственно, выделяя полный квадрат матрицы А
и используя интегральную формулу Френеля (1.10). Существует также ком-
плексная версия гауссова интегрирования, которая дается следующим ана-
логом леммы 3.1.
Лемма 3.2 (Гауссово интегрирование в комплексной области).
Пусть С — комплексная η х η матрица, такая, что ее эрмитова
часть -(С + С*) положительно определена. Имеем
I
e-(Cz,z) + (a,z)+(^,b)^2nz = 7ГП ^C'^b) ? (3.3)
Q61 О
Сп
где ( , ) обозначает стандартное эрмитово скалярное произведение на Сп,
а,Ье Сп, и d2nz = d2zx...d2zn.
Задача 3.1. Докажите лемму 3.2.
5.3.2. Пропагатор гармонического осциллятора
Классический гармонический осциллятор с одной степенью свободы
описывается функцией Лагранжа L(q,q) = \m(q2 — ω2ς2). Соответству-
ющий оператор Гамильтона для квантового гармонического осциллятора

342
Глава 5
дается формулой
р2 mg;2Q2
Я=2^ + _Т-·
Следующий результат — точное вычисление пропагатора K(q',t';q,t) для
гармонического осциллятора с помощью фейнмановского интеграла по пу-
тям в конфигурационном пространстве.
Предложение 3.1. Фейнмановский интеграл по путям явно вычисля-
ется следующим образом:
I
ЪТП Г/ ,2 2 2\j
®q =
PWtt
τηω
2niTismu)T
o2hsinu>T
{(q2+q 2) cosujT-2qq'}
πν
гдедля^-=Ти<Т < Ти+г =
π(Ι/+1)
τηω
ω
7гг жги
, ν G Ν, имеем
τηω
2шЪ,8шшТ \/ 2π%\ sino;T|"
Когда Τ —у TVy правая часть сходится в смысле обобщенных функций
к е 2 S(q — q') при четных ν и к е 2 S(q + q') — при нечетных.
Доказательство.
В этом случае (га — 1)-кратный интеграл в (1.19) является гауссовым
и точно вычисляется по формуле (3.2). А именно: у нас есть
п-1
Σ((<7*+1 - <Ζ*)2 - e2q\) = (An-iq, q) - 2(p, q) + g2 + </ 2,
где ε = ωΔ£, qr = (gi, ..., tfn-i), Ρ = (q, 0, ..., 0, q') — векторы в Rn_1,
a An-i — следующая трехдиагональная (η — 1) x (η — 1) матрица:
An-i =
(2-е2
-1
0
0
-1
2-ε2
-1
0
0
0
-1 ·
2-ε2 ·
0
0
• 2
0
0
0
-ε2
-1
0 \
0 '
0
-1
2-ε2/

5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического осциллятора 343
Из (3.2) следует, что
I ГП \2 I 2hAt Σ ((Qk+i-Qk) ~e qk) π f
ЫМ J e k-° П** =
Rn — 1 «—1
27riftAi|detA„_i
;e^ii^a-(A.-ilP*)}| (34)
где i/ = vn-\ — число отрицательных собственных значений матрицы An]_v
Легко найти det Ап-\ и (А~^гр,р). А именно: положим ап = det An. Рас-
кладывая det An по последней строке, получаем трехчленное рекуррентное
соотношение
an+i = (2 - ε2)αη - ап_ь η = О,1, 2, ..., (3.5)
с начальными условиями a_i = 0 и ао = 1. Рекуррентное соотношение
(3.5) имеет два линейно независимых решения zn и z~n, где 2 — ε2 =
= 2 + г""1, а решение αη, удовлетворяющее заданным начальным условиям,
это
αη =
г; — z l
Отсюда легко вывести, что собственные значения матрицы Ап даются фор-
мулой
\к = z + z'1 -2cos^TT, k = 1, ...,п.
Поскольку ε = ^-, получаем, что z = егв, где θ — ε + 0(п~2), и
det^n_1 = ^ = ^f(l + 0(n-1)) при η-οο,
sin0 uAt
и при достаточно большом η матрица Ап-\ имеет в точности ν отрица-
тельных собственных значений Τν <Т < Τν+\. Для того чтобы посчитать
скалярное произведение (А~\р,р), нам надо лишь знать угловые элемен-
ты обратной матрицы В = А~}_г, задаваемые формулой
„ 0 ап-2 _ sin(n - 1)0
#11 = &п-1п-1
Bln-1 = Вп-ц —
an-i sinn0
1 _ sinnfl
an-i sin#

344
Глава 5
Таким образом, получаем
g2 + g,2-(^i1p,p) =
1 L . θ (2η-1)0, 2 , /2ч
2sin ξ cos ςγ"^(« + 4 ) ~ 2sin 0 ад'
sinn# l 2
Воспользовавшись этими формулами и переходя к пределу η —» оо в (3.4),
получаем выражение для пропагатора в случае Τ φ Τν. Предел Τ —» Ti,
вычисляется с помощью следующей стандартной формулы из теории обоб-
щенных функций:
г{х~у)2 тгг
2* - е 4 5(ж - г/).
Замечание. Из предложения 3.1 следует, что в пределе ω —► О пропа-
гатор гармонического осциллятора превращается в пропагатор (1.11) сво-
бодной частицы.
Замечание. При четных ν особые значения Ти — целые числа, крат-
2π
ные периоду — гармонического осциллятора (см. раздел 1.1.5 главы 1),
так что когда t' — t = Ти, экстремаль, соединяющая q в момент времени t
и q' в момент времени t', существует, если и только если q' = q. Соот-
ветственно, когда t' — t — Tv при нечетных г/, экстремаль, соединяющая q
и q', существует, если и только если q' = — q. В общем случае t' — t φ Tu,
экстремаль, соединяющая q в момент времени t и q' в момент времени t\
существует для всех q и q'. Целое число ν — это индекс Морса траекто-
рии q{r) — число отрицательных собственных значений соответствующего
оператора Якоби J,
J=-m-f--mD2, t^r^t',
drz
с граничными условиями Дирихле (см. задачу 1.7 в разделе 1.1.3 главы 1).
Задача 3.2. Вычислите вейлевский, pq- и до-символы оператора
эволюции для гармонического осциллятора, используя: (а) формулу (3.2)
и представление в виде интеграла по путям из раздела 5.2; (б) формулу
(3.6) и формулы (3.12), (3.18) и (3.19) из раздела 2.3.3 главы 2.

5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического осциллятора 345
Задача 3.3. Покажите, что матричный символ оператора эволю-
ции для гармонического осциллятора — это К(а, α; Τ) = ехр{аае~гшТ —
— |ωΤ}, используя: (а) ряд (1.8) в голоморфном представлении; (Ь) лем-
му 3.2 и представление в виде интеграла по путям из раздела 5.2; (с) фор-
мулу (3.6) и результат задачи 2.4.
5.3.3. Тоадество Мелера
Поучительно сравнить замкнутое выражение
для пропагатора гармонического осциллятора с рядом (1.8). Положив х =
——q, у = а —^— q и воспользовавшись явной формулой для норми-
п уд
рованных собственных функций
V пП V2nn\
соответствующих собственным значениям Еп = Ττω(η+ -), где Hn(q) —
классические многочлены Эрмита-Чебышева (см. раздел 2.2.6 главы 2),
получаем ряд
/ °° -^(92W2)-i-T(n+i)
KtfJ;q,t) = J^ Σ ~ 2^ Hn(x)Hn(y),
" η=0
сходящийся в смысле обобщенных функций. Положив z = e~lujT и сравнив
с (3.6), получаем формулу
g^^Wg„(^^exp{^-/f;^}, ,3,)
где z Φ ±1, а квадратный корень в правой части понимается как в пред-
ложении 3.1. Когда \z\ < 1, формула (3.7) — это классическое тождество
Мелера из теории многочленов Эрмита-Чебышева. Таким образом, вычис-
лив пропагатор гармонического осциллятора двумя разными способами, мы
получили тождество Мелера при \z\ = 1 в смысле обобщенных функций.

346
Глава 5
Формула (3.6) показывает, что пропагатор K(q' ,t'-,q,t) — гладкая
функция от q,q', и Τ = t' — t всегда, когда Τ φ Τν, и является син-
гулярным при Τ = Τν. Соответствующие собственные значения операто-
pa эволюции U(TV) — это е г , так что при ν четном мы имеем
nil/
U(TU) = е 2 J, и поэтому
iviv
K(q',t + T„iq,t) = e- 2 5(q-q'),
в совершенном согласии с предложением 3.1. При нечетных г/, используя
ряд (1.8), получаем
оо
πτν
e-RHT'=e-—Yi{-\)nPn,
п=0
где Рп — операторы проекций на собственные подпространства Сфп
гамильтониана Н. Поскольку Hn(—q) = (—l)nHn(q), в этом случае
мы имеем
K(q,,t + T1/;q,t) = e- 2 % + </),
что опять согласуется с предложением 3.1.
5.4. Гауссовы интегралы по путям
Мы уже упоминали в разделе 5.1, что в квазиклассическом преде-
ле % —> 0 основной вклад в пропагатор K(q,t'-,q,t) дается классиче-
ской траекторией qc\(T). Поэтому разумно представлять путь 7 — я(т) G
G P(M)qft как q(r) = qc\(T) + у(т), где у(т) — квантовые флуктуации —
удовлетворяют граничным условиям Дирихле y(t) = y(t') = 0. Из принци-
па наименьшего действия (см. раздел 1.1.2 главы 1) следует, что
τ
Sfoci + У) = &1 + 5 /W " У"Ы(т))у2)ат +
4- члены старшего порядка по у,

5.4. Гауссовы интегралы по путям
347
где Sc\ = S(qc\) — классическое действие. Аналогично, в случае нескольких
степеней свободы,
t'
S(Qc\ + У) = Sc\ + \ \ J(y)ydr + члены старшего порядка по у, (4.2)
2
t
где J — соответствующий оператор Якоби (см. задачу 1.7 из раздела 1.1.3
главы 1). Замечательно, что гауссов интеграл
/
Ь(*')=о\
\y(t)=of
е2П * Sly (4.3)
по флуктуациям можно явно вычислить в терминах регуляризованного де-
терминанта дифференциального оператора второго порядка J. Здесь мы
проделаем это вычисление для случая свободной частицы и гармоническо-
го осциллятора и дадим другую интерпретацию формул (1.11) и (3.6) для
пропагаторов. Гауссов интеграл по путям (4.3) также играет фундаменталь-
ную роль в квазиклассической асимптотике, которая обсуждается в разде-
ле 5.6.1. В общем случае формула (4.2) с членами старшего порядка по у
и гауссовым интегрированием по $у составляет основу для пертурбатив-
ного разложения пропагатора6.
5.4.1. Гауссов интеграл по путям для свободной частицы
Пропагатор свободной квантовой частицы — это
. im{q-q')2 r ™*[?ατ
^'^=v^fee 2hT = Iе 9q> (4·4)
а соответствующая классическая траектория —
(Zci(r) =q + (r- t)1^1, T = t'-t.
6 Это разложение в ряд по теории возмущений. — Прим. перев.

348
Глава 5
Используя разложение q(r) = qc\(r) + у(т), где y(t) = y(t') = О,
мы получаем
t'
S(q) = ±[mq2dT = Scl + S(y),
где
t'
m(q - q')2
\\mq\
dr
2T
Полагая, что @q = @y при «замене переменных» q = qc\ + у, можно пере-
писать фейнмановский интеграл по путям для свободной частицы как
г ρ JlHL V ·2 1
KtfJ;q,t)=e*S* J е2П^У Т®у.
fv(t')=o\
I y(t)=o J
tSc\
Замечательным образом классическая часть eh c = е 2ПТ в точности
воспроизводит экспоненциальный множитель в пропагаторе для свободной
частицы. Интеграл по флуктуациям — гауссов интеграл по путям для сво-
бодной частицы — не зависит от q и q' и, как мы знаем, совпадает с первым
множителем в (4.4).
Концептуальная интерпретация этого результата следующая. Пусть
A = -D\ D=4~
ат
— дифференциальный оператор второго порядка на интервале [t,tf], удо-
влетворяющий граничным условиям Дирихле y(t) = y(t') = 0. Опера-
тор А самосопряжен на L2(t,t'). Для любой вещественнозначной абсо-
лютно непрерывной функции у (г), удовлетворяющей граничным условиям
Дирихле и такой, что у, у 6 L2(t,t'), интегрируя по частям, получаем
(Ау
t f
,У) = - yydr= у2 dr.

5.4. Гауссовы интегралы по путям
349
«Подынтегральное выражение» в множителе, отвечающем флуктуациям,
~2h f y dr π
е2П * S>y
fv(t')=o\
\y(t)=oj
— это экспонента квадратичной формы оператора А, и в соответствии с
конечномерной формулой (3.1) естественно ожидать, что этот гауссов ин-
1
теграл по путям пропорционален (det A) 2. Конечно, проблема здесь —
понять, что имеется в виду под детерминантом дифференциального опера-
тора. Ясно, что его следует определить с помощью какой-то регуляризации
расходящегося бесконечного произведения П^=1 ^т где λη — ненулевые
собственные значения А.
Самая естественная и полезная регуляризация дается так называемой
дзета-функцией оператора. А именно, пусть А — неотрицательный само-
сопряженный оператор в гильбертовом пространстве Ж с чисто точечным
спектром 0 ^ Ai ^ λ2 ^ . ·., такой, что для некоторого а > 0 опера-
тор (А + /)~~а имеет след. Тогда дзета-функция Ca(s) оператора А опреде-
ляется для Re s > а следующим абсолютно сходящимся рядом:
λη>ο Λη
Если Ca(s) допускает мероморфное продолжение на большую область, со-
держащую точку s = 0, и регулярна при s = О, то можно определить
регуляризоваиный детерминант оператора А формулой
det'A = exp{-^(0)}. (4.5)
Здесь штрих над символом det показывает, что нулевые собственные зна-
чения не включаются в определение операторной дзета-функции. В том
случае, когда 0 не является собственным значением А, принято обозначать
регуляризоваиный детерминант А как det А. Мы будем писать также
det'A = JJ λη,
λη>0

350
Глава 5
где штрих означает, что бесконечное произведение регуляризуется дзета-
функцией оператора. Имеем Cca(s) = c~~s£a(s) при с > 0, так что
det/cA = cCA(0)det/A,
что показывает, что Са(0) играет роль «регуляризованной масштабной раз-
мерности» гильбертова пространства Ж (по отношению к оператору А).
Если dime Ж = п<ооиА>0, то Сл(0) = η и Сл(0) = logAi + ... +
+ logAn, и мы приходим к обычному определению det А.
Такая схема работает для общего случая эллиптического оператора на
компактном многообразии М. В квантовой механике фигурируют только
детерминанты дифференциальных операторов на одномерных7 многообра-
зиях Μ = [t, t'} или Μ = S1. Мы изучим их систематически в разделе 5.5,
тогда как здесь мы рассмотрим простейший случай оператора второй про-
изводной А = — D2, соответствующий свободной частице. Собственные
значения А, которые нас интересуют, это Хп = 1Щ^\ ,п=1,2,...,и для
дзета-функции оператора получается
2s
&(*)=(£) С(2«),
где £(s) — дзета-функция Римана. Используя классические формулы
С(0) = -I и С'(0) = -|log27r, получаем
Сл(0) = -| и &(0) = -1ο8|-1ο82π = -1ο82Τ. (4.6)
Таким образом, для оператора А = — D2 на промежутке [t, £'], удовлетворя-
ющего граничным условиям Дирихле, имеем
detA = 2T. (4.7)
Формула
/
2тПТ
fv(t')=o\
\у(*)=о/
согласуется с нашей интерпретацией, в которой гауссов интеграл про-
_1
порционален детерминанту (det А) 2. Коэффициент пропорционально-
I тп
сти ст,% = J—— определяется из сравнения с реальным пропагатором
свободной частицы.
'Многообразия высшей размерности используются в квантовой теории поля.

5.4. Гауссовы интегралы по путям
351
Замечание. В разделе 6.3.1 главы 6 мы докажем, что для гауссовых
винеровых интегралов соответствующая константа это Λ / —.
V 7ГД
Задача 4.1. Покажите, что пропагатор частицы в постоянном одно-
родном поле / задается следующей формулой:
K(q',t'-q,t) =
г ( m(g-g')2 f2T3 )
V 2тПТ С
1^^2
(Указание: воспользуйтесь функцией Лагранжа L = ~mq2 + fq.)
5.4.2. Гауссов интеграл по путям для гармонического осциллятора
Замечательно, что такая же интерпретация (с такой же констан-
той ст?й) верна и для гармонического осциллятора. А именно: согласно
предложению 3.1 имеем
ггп
/till Г( -2 2 2\.
— / (q — ω q )dr
PWtt
= / ™" exp/ im" ((q2 + q'2) cosu;T - 2qqf)\ .
Далее, разрешив классические уравнения движения с граничными услови-
ями q(t) = qn q(t') = q', получаем, что при Τ φΤν
t'
Scl = f |(й - "2&т = ^f ((Я2 + я'2) созсГ - 2qq'),
так что eh c — это в точности экспоненциальный множитель в пропагато-
ре. Что касается вклада от флуктуации — гауссова интеграла по путям для
гармонического осциллятора — имеем
/
— f(y -ω у )dr __ , m
®y =
nift det Αω'
iy(t')=o\

352
Глава 5
где Αω = — D2 — ω2 — дифференциальный оператор второго порядка на
интервале [t,tf], удовлетворяющий граничным условиям Дирихле. Таким
образом, для того чтобы обосновать в нашем случае интерпретацию вклада
от флуктуации в терминах регуляризованного детерминанта, необходимо
показать, что det Αω = 2si^T, когда Τ φΤν.
На эвристическом уровне это можно сделать с помощью следующе-
го красивого вычисления, восходящего к Эйлеру. А именно: собственные
/ \2
значения Αω — это Χη(ω)= I — 1 —ω (О не является собственным значе-
ниям Αω, так как Τ φ Τν), и мы имеем
det Αω _ γτ Χη(ω) = ту Λ ω2Τ2\ _ sinwT
detAo 111 λη(0) ±\ V n2n2J ωΤ '
η=1 ν ' η=1 ч '
Поскольку det Α0 = 2Τ, получаем результат. Для строгого вывода удоб-
ней рассмотреть вместо оператора Αω положительно определенный опера-
тор АъШ, где ω > 0.
Лемма 4.1. Пусть Α{ω = —D2 + ω2 — дифференциальный оператор
второго порядка на интервале [t, t'], удовлетворяющий граничным услови-
ям Дирихле. Тогда _ . , _,
detAiw = 2sm*"T.
Доказательство.
Обозначая &ω(β) = Ca^(s), имеем при Res > ~,
7
η η=1
2'
dx
о
х х
оо
idx
Г(а) JC *\Т2
х
2T(s)J " " \Т2)~ х 2ω23'
о
где д(х) = Σ е_7ГП х — тета-ряд Якоби. Воспользовавшись формулой об-
nez
ращения Якоби
0 (\ J = у/х#(х), X > 0,

5.4. Гауссовы интегралы по путям
353
получаем следующее представление:
оо
О
Х°~2^§- =
(4.8)
где
oo
Ks{x) = \fe^{u+U'l)u^, x>0,
0
— if-функция Макдональда (модифицированная функция Бесселя второ-
го рода). Поскольку К3(х) = 0(е~х) при х —» оо равномерно по s e С
на компактных подмножествах, из представления (4.8) и признака Вейер-
штрасса следует, что Quj(s) допускает мероморфное продолжение на всю
плоскость s с простыми полюсами в точках s 6 — ^ + Ζ^ο· Посколь-
ку limsr(s) = 1, получаем равенство СгсДО) = — L· Воспользовавшись
классическими формулами
К1_(х) = К_1_(х) = ^е-* (4.9)
и Г(|) = ^/π, из (4.8) получаем
т> СЮ
"Цгы /пч _ , ,,т , V^ 1 -2ηωΤ _
n=l
= logo; - ωΤ - log(l - e"^ ),
так что
dQu>,^\ 2sinhu;T
det^ = eXp{-^(0)} = ^

354
Глава 5
Следствие 4.1. Пусть Βω = — D2 + iu>D — дифференциальный опе-
ратор второго порядка на интервале [t, t'}, удовлетворяющий граничным
условиям Дирихле. Тогда det Β2ω = det Αω.
Доказательство.
Подстановка у (τ) = eluJTf(r) превращает задачу на собственные зна-
чения Β2ων = Ху ъ задачу на собственные значения Αω/ = А/.
Пусть / — тождественный оператор в L2(t, t'). Помимо регуляризован-
ного детерминанта det'А дифференциального оператора А = —D2, можно
определить так называемый характеристический детерминант А — целую
функцию det (Л — XI) на комплексной плоскости λ, все простые нули кото-
рой — собственные значения λη = I ^Щ ) .
Действительно, рассмотрим для Re(Ai — λ) > 0 дзета-функцию
оо
U-xi(s) = Ε (Λ 1Λ). =Х)е-^-А), (4.10)
η=1 ^ ' η=1
где используется главная ветвь логарифма. Как и ранее, (,a-\i{s) абсолют-
но сходится при Re s > ^ допускает мероморфное продолжение в ком-
плексную плоскость 5, и регулярно при 5 = 0. Тогда при Re(Ai — λ) > 0
определим
det{A - XI) = Π'(λη - λ) = exp { - ^%^(0)},
что дает голоморфную функцию от λ. Далее, предположим, что det (A — XI)
уже определено для Re(Ajv — λ) > 0 и является голоморфной функцией. Для
того чтобы продолжить ее на область Re(Ajv+i — λ) > 0, положим
det(A - XI) = Ц(Хк - X) J]' (An - A),
к=1 η=ΛΓ+1
где регуляризованное произведение определяется «обрезанной» дзета-
функцией
оо
n=N+l (λη ~ λ>

5.4. Гауссовы интегралы по путям
355
при
.(ΛΓ+1)
ВГ ^
An - A J = exp < -
n=JV+l
Π' (Ап-Л)=ехр{-^^(0)}. (4.11)
Требуется доказать, что Сл-λ/ (5) допускает мероморфное продолжение
в комплексную плоскость 5 и регулярно при 5 = 0. Это делается с по-
мощью представления
оо 1
C^)(S) = 2k)Ie~X^N+l{x)xS^ + 2k)Se~X^N+l{x)xS^
1 О
где N
0N+i(aO =#(х) -2^е"л^ - 1.
Поскольку Re(An — λ) > 0 для любого η > Ν, первый интеграл в этой
формуле абсолютно сходится при всех 5 Ε С и определяет голоморф-
ную функцию. Воспользовавшись формулой обращения Якоби и разло-
жив е_Лж, e~AlX, ..., е~ХмХ в степенной ряд по х, заключаем, как и рань-
ше, что второй интеграл допускает мероморфное продолжение в плос-
кость s с π
при Μ > Ν
кость s с простыми полюсами в точках s 6 — - + Ζ^ο· Поскольку
м
Π (λ« -λ) = Π (λ* -λ) Π' (λ« - λ)>
η=ΛΓ+1 fc=JV+l n=M+l
det(A — λ/) корректно определено и является целой функцией от λ, имею-
щей простые нули в точках λ = λη.
Для того чтобы получить замкнутую (и простую) формулу для
det(A — XI), заметим, что при Re(Ai — λ) > 0 из (4.10) следует, что
дСл-xi, ν ν^ 1
(*) = *Σ
Этот ряд абсолютно сходится при Res > — |, так что при Re(Ai — λ) > 0
имеем
п=1

356
Глава 5
Аналитическим продолжением доказывается, что формула (4.12) верна для
любого λ φ λη· Поскольку λη = ( -Tj-r ) , имеем
— (Шк\
\т) '
^-—' \ — \„ о./Т 2)
det(A-AJ) = c-
так что . rr
sin νλΤ
а сравнение формулы det(A + ω21) = detA^ и леммы 4.1 дает значе-
ние с = 2. Таким образом, мы доказали следующий результат.
Лемма 4.2. Характеристический детерминант det(A — XI) операто-
ра А = —D2 на интервале [t, £'], удовлетворяющего граничным условиям
Дирихле, корректно определен и является целой функцией от X. Явно он
задается формулой
2sin\/AT
оо
det(A-XI) = detA
σο / \
п,'-£-
п=1 ч '
Vx
Задача 4.2. Докажите формулу обращения Якоби. (Указание: ис-
пользуйте формулу суммирования Пуассона
оо оо
Σ f(n) = y/2^ £ /(2τη),
η=—οο η=—оо
где / G «^(R), a / — преобразование Фурье функции /.)
Задача 4.3. Докажите формулу (4.9).
Задача 4.4. Пусть
L=^(x2+y2 + z2) + ^(xy-yx)
— лагранжиан классической частицы, движущейся в постоянном магнитном
поле В = (О, О, В). Покажите, что пропагатор соответствующей квантовой
частицы (см. пример 2.3 в разделе 2.2.4 главы 2) дается формулой
*с-*'-*>-(йМ1^«*в{&^3!+
+u>cotu;T[(x - х')2 + (у - у')2} + 2ш(ху' - ух')}·
(Указание: воспользуйтесь следствием 4.1.)

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 357
5.5. Регуляризованные детерминанты дифференциальных
операторов
Здесь мы изучим характеристический детерминант det(A — XI) опера-
тора Штурма-Лиувилля
A = -D2+u(x), D=4-,
ах
на интервале [О, Т] с граничными условиями Дирихле или периодическими
граничными условиями, а также его обобщения на случай матриц.
5.5.1. Граничные условия Дирихле
Допустим, что и(х) Ε C1([0,T],R). Оператор А самосопряжен
в L2(0, T) и имеет область определения
D(A) = {у(х) € W22(0,T) : j/(0) = у (Τ) = 0},
где W2'2(0,T) — пространство Соболева. Его спектр — чисто точечный,
с простыми собственными значениями Xi < Х2 < ... < λη < · · · и точкой
сгущения в оо. Кроме того, при η —» оо
τ
Хп = ~ + с + 0(п-2), где c=±[u(x)dx. (5.1)
о
Рассмотрим сперва случай А > 0. Положив
^ω = 5>-λ»*,
n=l
имеем для Re s > -
оо
Са(«) = щ/^(^| = (5-2)
О
оо 1
1 О

358
Глава 5
Поскольку т?а(£) = 0(e~Xlt) при t —» оо, первый интеграл в (5.3) схо-
дится абсолютно при всех s £ С и определяет целую функцию. Используя
асимптотику (5.1) и формулу обращения Якоби, получаем при t —» О
0л(*) = |e-ci ^ (||) - l) (1 + 0(t)) = a-± + aQ + ад),
где
°-* = Vi' a0 = ~^ (5'4)
и t?a(£) = 0(y/i). Таким образом, для второго интеграла в (5.3) имеем
О Z О
так что он допускает мероморфное продолжение в полуплоскость Res> — -
и регулярен при 8 = 0. Поэтому можно определить
det'^=n'An = exp{-^(0)}.
п=1
Теперь, слово в слово повторяя рассуждения в доказательстве леммы 4.2,
видим, что при Re(Aw — λ) > 0 обрезанная дзета-функция Ca-xi \s) до~
пускает мероморфное продолжение до Re s > — i и регулярна при s = 0.
Определив регуляризованное произведение n^Ljv+i(^i "" ^) тои же самои
формулой (4.11), видим, что
N °°
det(A - XI) = Ц(Хк - λ) Ц' (λη - λ)
k=l n=iV+l
является целой функцией от λ с простыми нулями при λη. Чтобы избавить-
ся от предположения А > 0, заменим А на А — А+ (а — \{)1 > 0, где а > 0.
Тогда8
det(A - λ/) = det(A - (λ + λΧ - α)/),
определение детерминанта det'A не зависит от выбора a > 0.

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 359
det'A = <
( det А, если 0 не является собственным
значением А,
lim λ г det (Α + λ/), если 0 является собственным
значением А.
Пусть у\ (х, λ) — решение дифференциального уравнения второ-
го порядка
-у" + и(х)у = Ху (5.5)
на [О, Т], удовлетворяющее начальным условиям
j/i(0,A)=0, yi(0,A) = 1. (5.6)
Известно, что для любого 0 ^ х ^ Τ решение yi(x,X) — целая функция
от λ порядка ^, и при λ —> оо
yi{xA) = ^01+O(\X\-'e\Re^x). (5.7)
Целая функция d(A) = у\ (Τ, λ) обращается в ноль на собственных значени-
ях λη оператора А и имеет следующее представление в виде произведения
Адамара:
«А)-.Л'П(1-£)· (М)
Здесь с — константа, i = 1, если 0 — собственное значение А, и 5 = О
иначе.
Теорема 5.1. Характеристический детерминант det (А — XI) дается
простой формулой
det(A-AJ) = 2d(A).
Более того,
det(A - XI) = δ
det'A а„*о
чем определяется константа в (5.8), как и с= -(—l)(5det/A

360
Глава 5
Доказательство.
Поскольку и та, и другая функция — целые, достаточно доказать ра-
венство det(^4 — XI) = 2d(X) для Re(Ai — А) > 0. В этом случае, используя
равенство ^
оо
а-А/(5) = гф)/Ъе"(Л_А7)^Т
0
при Re s > ^ и дифференцируя под знаком интеграла, получаем
оо
О
а этот интеграл теперь абсолютно сходится при Re s > — i Дифференцируя
по s при s = 0, получаем
оо
^Сл-а/(0) = JTre-^-^dt = Tr(A - А/)-1.
О
Из (5.1) следует, что оператор R\ = (А — А/)-1 — резольвента операто-
ра А — имеет след. Таким образом, все наши манипуляции вполне обосно-
ваны, и мы приходим к следующей очень полезной формуле:
^ log det(A - XI) = -ТгЯа, (5.9)
обобщающей известное свойство конечномерных детерминантов.
Для того чтобы вычислить след в (5.9), воспользуемся представлением
оператора R\ при Α φ Χη в виде интегрального оператора с непрерывным
ядром R\(x^) (ср. с формулой (2.21) в разделе 3.2.2 главы 3). А именно:
пусть у2(х, А) — другое решение уравнения (5.5) с граничными условия-
ми у2(Т, А) = 0 и у2(Т, А) = 1, так что
W(yi,y2)(X) =y[(x,X)y2(x,X)-yi(x,X)y2(x,X) = -d(X).
Используя метод вариации произвольных постоянных, для решения неод-
нородного уравнения
-у" + и(х)у = Ху + /(ж), λ φ λη,

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 361
удовлетворяющего граничным условиям Дирихле, получаем
τ
у(*) = Уяа(*,0/(0#.
где
Г i/i(z,A)ife(£,A)
Лд(а;,0 = <
d(A)
3/i(£,A)3/2(x>A)
d(A)
, если х ^ ξ,
, если х ^ ξ.
(5.10)
Поскольку R\ — оператор со следом в L2(0,T) и интегральным яд-
ром R\(x^)9 являющимся непрерывной функцией на [0,Г] х [0,Г], его
операторный след равняется «матричному следу»:
τ τ
TrRx = / Rx(x,x)dx = -~[7ττ / 2/i(z> A)2/2(:z, A)cfa.
Последний интеграл вычисляется тем же приемом, что использовал-
ся в доказательстве предложения 2.1 в разделе 3.2.1 главы 3. А именно:
Оу
положим у(х, А) = -кг(х, А) и рассмотрим следующую пару уравнений:
ил
-у" + и(х)уг = \уг + уг,
-у'2+и(х)у2 = лу2.
Умножая первое уравнение на уъ(х, А), второе уравнение на yi(#, А) и вы-
читая, получаем
2/12/2 = ill 2/2 - У" 2/2 = -W(yi, y2)'\
так что
1
Jyi(x,X)y2(x,X)dx = -W(y1,y2)\l. (5.11)

362
Глава 5
Эта формула верна для любых двух решений дифференциального уравне-
ния (5.5). Из граничных условий для решений у\ и у2 мы наконец получаем
τ
j yi(x,\)y2{x,\)dx = yi(T,\). (5.12)
" О
Таким образом, мы доказали, что для Re(Ai — λ) > О,
TrRx = --^\ogd(X)1 (5.13)
из чего следует, что
det(A-XI) = Cd(X) (5.14)
для любого λ е С и некоторой константы С.
Из (5.7) следует, что
^_μ) = ξ^(1 + 0(μ"2)) при μ -> +оо. (5.15)
Таким образом, для того чтобы определить константу С в (5.14), достаточ-
но вычислить асимптотику выражения det(^ + μΙ) при μ —» +оо. Имеем
оо 1
dt
t '
Первый интеграл — целая функция от s, производная которой экспоненци-
ально затухает, когда s = О при μ —> +оо. Что касается второго интеграла,
мы имеем
о о
(О 1 \
/
Поскольку #а(£) = О {у/1) при i —> 0, первый интеграл абсолютно сходится
-μ* iS θ£

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 363
при Res > —-, а его производная, когда s = О, имеет порядок О (μ 2)
при μ —> +оо. Для остальных интегралов имеем
} 1
W)J
0 '
(* 1 λ
L7T+ao
-/it ,S (Й _
e t t -
^ / k-
а ! μ2
2
Γ(β)
r(e-I)-Je-«i-5f ) +
+ %№)
oo >
Элементарно показывается, что производная по 5 этого интеграла при 5 =
= 0 имеет асимптотику —2у/па г ^/μ — ао log μ + 0(β~μ/2) при μ —> +оо.
~2
Используя (5.4), мы наконец получаем
при μ —> +оо, и сравнение с (5.15) дает С = 2.
Замечание. Если ноль не является собственным значением А, то
обратный оператор А"1 имеет след и
det(A-AJ) J /r λ Α 1ч
detA -detF(/-A^),
где detir — это детерминант Фредгольма.
Замечание. В разделе 5.6.1 мы используем теорему 5.1 для вычисле-
ния вклада от флуктуации в квазиклассическую асимптотику пропагатора,
а в разделе 6.3.1 главы 6 — для вычисления гауссовых интегралов Винера.
Сходный результат выполняется для матричнозначных операторов
Штурма-Лиувилля, удовлетворяющих граничным условиям Дирихле.
А именно: пусть U{x) = {и^(х)}^=1 — С1-функция на [О,Г], имеющая
значениями вещественные, симметрические η х η матрицы, рассмотрим
A = -D2In + U(x),

364
Глава 5
где Ιη — единичная η х η матрица. Дифференциальный оператор А, удо-
влетворяющий граничным условиям Дирихле, самосопряжен в гильберто-
вом пространстве L2([0,T],Cn) Сп-значных функций и имеет чисто то-
чечный спектр с точкой сгущения в оо. Его регуляризованный детерми-
нант det Α и характеристический детерминант det (А — XI), где I — тож-
дественный оператор в L2([0, Т], Сп), определяются как и в случае η = 1.
Пусть Υ (х, λ) — решение дифференциального уравнения
-Υ" + U(x)Y = АУ,
удовлетворяющее начальным условиям
У(0,А) = 0, Y'(0,A) = Jn,
и положим D(X) = det У (Τ, λ). Целая функция D(X) устроена так же,
как d(X)9 и выполняется следующий аналог теоремы 5.1.
Предложение 5.1. Характеристический детерминант det (А — XI)
дается формулой
det(A-XI) = 2nD(X).
Более того,
det(A-XI) = s
пИ)·
det'A An*0
где S — это кратность собственного значения X = 0.
Задача 5.1 (Тождество следов Гельфанда-Левитана). Дока-
жите, что
Г
оо \
X)(An-Ai»)-c) = i/«(x)dx-
n=l n
u(0)+u{T)
1 1 0

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 365
5.5.2. Периодические граничные условия
Как и в предыдущем разделе, мы предполагаем, что и(х)еС1([01 Т], R).
Оператор Штурма-Лиувилля А = — D2 + и(х) с периодическими гранич-
ными условиями самосопряжен в L2(0, T) и имеет область определения
D(A) = {у(х) е W2'2(0,T) : у(0) = у(Т) и г/(0) = у'(Г)}·
У него чисто точечный спектр с собственными значениями
λθ < Ai ^ Аг < ... < A2n-1 ^ ^2n < * · ·
и точкой сгущения в оо. Более того, при η —► оо
A2„-1 = ^ + c+0(n-2), A2„ = ^! + c + 0(n-2), (5.16)
где с — то же, что и в (5.1). Заменяя при необходимости А на А — (Ао + а)/
с а > 0, всегда можно предположить, что Ао > 0, и определить
оо
71=0
Используя асимптотику (5.16), получаем, что при t —» О,
*л(*) = e~citf (^) (1 + О(0) = ^ + O(Vi),
Τ
где a_i = ——, как в (5.4), но ао = 0. Это позволяет определить
2 2д/7Г
регуляризованный детерминант det'A и характеристический детерми-
нант det (Л — XI) точно так же, как в предыдущем разделе. Посколь-
ку ао = 0, мы теперь получаем, что при μ —> +оо
det(A + μΙ) = е^т (l + 0(μ~5)) (5.17)
(см. конец доказательства теоремы 5.1).
Здесь мы обозначим9 как τ/i (ж, А) и 2/2 (#, λ) решения уравнения Штур-
ма-Лиувилля (5.5), удовлетворяющие начальным условиям yi(0,A) = 1,
9 Не должно возникать путаницы с обозначениями из предыдущего раздела.

366
Глава 5
у[ (О, λ) = О и 2/2(0, λ) = 0,3/2(0? λ) = 1. Решения 2/i и у2 линейно незави-
симы для всех А, и матрица
v J \уЛхЛ) 2/2 (я, λ)/
удовлетворяет начальному условию F(0, λ) = /2, где /2 — единичная 2x2
матрица, и обладает свойством det Y(x, A) = 1. Для фиксированного х мат-
рица Y(x, А) — целая матричнозначная функция от А со следующей асимп-
тотикой при А —» оо:
(cos у/Хх —— sin vAx \ / , , . т> /η ч \
VX (/2 + 0(|A|-1elRe^j. (5.18)
л/А sin л/Ах cos λ/Α# /
По определению матрица монодромии периодической задачи Штур-
ма-Лиувилля — это матрица
Τ(λ) = Υ(Τ,λ).
Матрица монодромии удовлетворяет условию det T(А) = 1и является це-
лой матричнозначнои функцией. Следующий результат — аналог теоре-
мы 5.1 для периодических граничных условий.
Теорема 5.2. Имеем
det(A - XI) = -det2(T(A) - /2) = 2/i(T, A) + у'2{Т, X) - 2,
где det2 — детерминант матрицы 2x2. Более того,
det(A-AJ) б
п ('-£)·
, -ΑΠ Ν П/
где {Хп}^=0 — собственные значения оператора Aa0^i<2- крат-
ность собственного значения X = 0.
Доказательство.
Доказательство близко следует доказательству теоремы 5.1, и мы бу-
дем предполагать, что А > 0. Во-первых, в точной аналогии с (5.9) мы
получаем, что при λ φ Χη
^logdet(A-A/) = -Tri2A,

5.5. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫ ДИФФ. ОПЕРАТОРОВ 367
где R\ = (Α — λ/)-1. Чтобы получить замкнутое выражение для интеграль-
ного ядра Д(:г,£) оператора R\9 воспользуемся тем же методом вариации
произвольных постоянных, что и в предыдущем разделе, но теперь для
периодических граничных условий. В результате получаем, что симметри-
ческое, непрерывное ядро R\(x, ξ) дается для х =ξ ξ формулой
Да(*,0 = - Μ*,λ),!/2(*,λ)) (Τ(λ) - /2)-1Γ(λ) (^(t λ)) =
= -Ъ2 {(Γ(λ) - /2)-1Γ(λ)Ζ(Χ,ξ;λ)} ,
где Тг2 в последней формуле — матричный след, а
7(„ с. \\ _ ( 2/1(^λ)2/2(ξ,λ) 2/2(^,λ)2/2(ξ,λ)\
Ζ&,ξ,λ) - \_yi(x> А)У1(£,А) -^(x.AJj/xiCA); *
τ
Как и в доказательстве теоремы 5.1, нам надо посчитать f Z(x, x\ \)dx.
о
Из формулы (5.11) и определения матрицы монодромии мгновенно следу-
ет, что
τ
l·
Z(x,x;X)dx = T-1(X)^rT(X).
СЬЛ
О
Поэтому
^ logdet(A-A/) = ΙΥ2 ((Τ(λ) - /2)-i J-T(A)) = ^ logdet2(T(A)-J2)
и det(^ — XI) = Cdet2(T(A) — /2)· Чтобы определить константу С, поло-
жим А = — μ —► +оо и сравним асимптотику (5.17) с асимптотикой
_1
det2(r(-/x) - /2) = 2 - ΤτΤ(-μ) = 2 - 2coshy/fiT{l + 0(μ 2)) =
= -β^(1 + 0(μ~2)),
следующей из (5.18). Таким образом, С = — 1.
Замечание. В разделе 6.3.2 главы 6 мы воспользуемся теоремой 5.2
для вычисления гауссовых интегралов Винера по пространству петель.

368
Глава 5
В частном случае и(х) = О имеем
2/1 (ж, A) =cosVAx и у2(х,\) = ——,
λ/Α
так что гг
det(-D2 - XI) = 2(cos\/Ar - 1) = -4sin2 ^ψ-. (5.19)
Положив А = — ω2 < 0, получаем для оператора Aiu) = — D2 + ω2, что
det^=4sinh2^, (5.20)
а также
det^o = - lim detiA~XI) = lim ^ = Т\ (5.21)
Замечание. Используя тот факт, что спектр Aiu) состоит из двой-
ных собственных значений Χη(ω) = ( -^ J , η = 1,2, ..., и простого соб-
ственного значения ω2, можно вывести формулы (5.20)-(5.21) непосред-
ственно, как мы сделали в разделе 5.4.2 для граничных условий Дирихле.
Имеется также аналог эвристического вычисления в разделе 5.4.2:
det Aiuj л π An(cj)2 , ,2ΤΤ Λ , ^2Γ2 \2 4 . ,2 ωΤ
^^=ω U,^w= US ^=^ ^'
Похожий результат выполняется для дифференциального оператора
второго порядка общего вида А = —D2+v{x)D + u{x) на интервале [0, Т]
с периодическими граничными условиями. А именно: повторив доказатель-
ство теоремы 5.2, имеем следующее.
Теорема 5.3. Для дифференциального оператора А = —D2 + v{x)D +
+ и(х) выполняется свойство
1 т
det(A - А/) = -е~2 ^(Ж)^ае12(Г(А) - /2) =
fv{x)dx / f v(x)dx\
(yi(T,X)+y'2(T,X)-l-eo ),
где решения 2/i,2(#, А) и матрица монодромии Τ(X) определены теми лее
формулами, что и в случае v(x) = 0.
В частности, следующий результат будет использоваться в разде-
ле 8.2.2 главы 8.

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 369
Следствие 5.4.
det'(-D2 + luD) = Щ- sinh ωΤ
Доказательство.
Доказательство состоит в элементарном вычислении с использованием
теоремы 5.3 явного вида решений у\^(х, А) и формулы
2 , ™ _ i:_ det(-D2 + ωΩ - XI)
det'(-D2 +luD) = - lim
λ-»ο A
Замечание. Поскольку оператор —D2+luD на [О, Т] с периодически-
ми граничными условиями имеет простые собственные значения λη(α) =
/2πη\2 · /2πη\
= I -— J + zcj I -— J, η = — oo, ..., оо, можно также повторить эвристи-
ческое вычисление в разделе 5.4.2:
det'(-D2+wD) = тт Λ uW_
det'(-D2) Ц\ 4π2η2
4 ' η=1
-nO+^)-^-f-
Похожий результат выполняется для матричнозначного оператора
Штурма-Лиувилля с периодическими граничными условиями. А именно:
пусть U(x) = {у>ц{х)}™л=1 — С1-функция на [О, Г], имеющая значениями
вещественные, симметрические η х η матрицы, и рассмотрим оператор
А = -D2In + U(x).
Дифференциальный оператор А с периодическими граничными условия-
ми самосопряжен в гильбертовом пространстве L2([0,T],Cn) Сп-значных
функций и имеет чисто точечный спектр с точкой сгущения в оо. Его
регуляризованный детерминант det'A и характеристический детерми-
нант det(A — AJ), где I — это тождественный оператор в L2([0, Т],СП),
определяются так же, как для случая η = 1. Пусть Y\(x, А) и 1^(х, А) —
решения дифференциального уравнения
-Y" + U(x)Y = \Y,
удовлетворяющие соответственно начальным условиям
1Ι(0,λ) = /η, Yi(0,A) = 0 и У2(0,А) = 0, Y2'(0,A) = Jn.

370
Глава 5
Матрица монодромии Τ(λ) определяется как следующая блочная 2п х 2п
матрица:
тт_^1(Г,А) ^(Γ,λ)\
Ι(λ>-\Υ{(Τ,λ) УЦТ,Х))>
и является матричнозначной целой функцией. Аналог теоремы 5.2 — сле-
дующее утверждение.
Предложение 5.2. Характеристический детерминант дается форму-
лой
det(A - XI) = (-l)ndet2n(T(A) - J2n),
где det2n — детерминант 2п х 2п матрицы, и
det(A - XI)
= (-^n(i-f)
1.4(1 \ Λ«/
det'A A„*>
где i — кратность собственного значения λ = 0.
Задача 5.2. Докажите теорему 5.3.
Задача 5.3. Выведите следствие 5.4.
5.5.3. Дифференциальные операторы первого порядка
Здесь мы по-прежнему предполагаем, что и(х) G C1([0, T],R), и рас-
сматриваем дифференциальный оператор первого порядка
А = D + и(х)
на интервале [0, Т] с периодическими граничными условиями у(0) = у(Т).
Уравнение
у' + и(х)у = Ху
X
Xx—f и(т)ат
имеет явное решение у{х) = Се ° , периодическое, если и только
если λ = Ап, где
Хп = и0 + Щ^, пеЪ, и u0 = ^[u(x)dx.
-ψ—, iv с ^i, и u,(j —
Таким образом, спектр оператора Л совпадает со спектром операто-
ра А0 = D + но.

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 371
Предложение 5.3. При щ > О
det(D + и(х)) = 1 - е~иоТ
и det'D = Τ при щ = 0.
Доказательство.
Дзета-функция оператора А с щ > 0 дается рядом
Са(-)= Σ тт>
п=—оо "
где Ап 3 = е s log Λη с главной ветвью логарифма. Этот ряд абсолютно схо-
дится при Res > 1. Введя дзета-функцию Гурвица
оо
71=0 Ч 7
где Rea>0nRes>l, можно переписать Ca(s) как
Хорошо известно, что дзета-функция Гурвица допускает мероморфное про-
должение на всю плоскость s с одним простым полюсом в точке s = 1
с вычетом 1, и
as
С помощью классической формулы
С(0, а) = | - а, ■£ (0, а) = log Г(о) - ± log 2тг.
Г(1 + *)Г(1 - г) =-
π2
sin7T2
получаем
^(0) = 1оё|Г(а)|2-1о8ЫоГ+^ =
= _log(e 2 _е 2 ) + ^,
так что det(D + п(х)) = 1 — e_,UoT. Наконец, Cd(5) — lim (Сл(«) — UqS),
и мы получаем
det^=limdet^ + "0)=r.

372
Глава 5
Замечание. Для щ < 0 надо использовать ветвь логарифма с раз-
резом по положительной полуоси, и из приведенных выше рассуждений
следует, что
det(D + u(x)) = l-eUoT.
Замечание. Можно также рассмотреть оператор А = D + и{х) на
интервале [О, Г] с антипериодическими граничными условиями у(0) = —
—у{Т). Соответствующие собственные значения — это
тгг(2п + 1)
лп=и0-\ , η е Ζ,
и переход от периодических граничных условий к антипериодическим сво-
дится к замене г^о на щ + Щ. Из предложения 5.3 следует, что при г^о > О
det(D + и{х)) = 1 + е-иоТ.
Замечание. Предложение 5.3 очень полезно при вычислении гаус-
совых интегралов по путям в голоморфном представлении, обсуждавшемся
в разделе 5.2.4. В качестве примера рассмотрим гармонический осцилля-
тор с виковским символом Η (α, α) = ω(αα + ~Tt). Формула (2.16) выража-
_ -\тн
ет след Ire n в виде интеграла по путям в голоморфном представле-
нии. С другой стороны, используя явный вид собственных значений Еп =
= ω%(η + «), мы мгновенно получаем
1 оо 1 —-и>Т
-ттн ^ ~JEnT _ е 2 _ 1
Ττβ-*'"=Σ
е
1-е~"т ос^ъсЛ;
n=o 1_e 2sinh^
Сравнив с (2.16), приходим к формуле
/
1 т _.
~Т f(a>a-\-ujaa)dt -i
е h° @a@a=—-± -, (5.22)
det(D + ω) ν J
/α(0)=α(Τ)\
\α(0)=α(Τ)/
которую следует рассматривать как специальный аналог конечномерного
гауссова интегрирования в комплексной области — формулы (3.3).
Задача 5.4. Дайте прямое доказательство формулы (5.22).

5.6. Квазиклассическая асимптотика - II
373
5.6. Квазиклассическая асимптотика - II
Здесь мы рассмотрим квазиклассическую асимптотику — асимптоти-
ку пропагатора10 Kn{q',t';q,t) при Ь —> 0. Мы сравним эвристический
метод, основанный на представлении в виде фейнмановского интеграла по
путям (1.26), со строгим анализом, основанным на коротковолновой асимп-
тотике, выведенной в разделе 3.6.1 главы 3.
5.6.1. Использование фейнмановского интеграла по путям
Начнем с лагранжиана L(q, q) = ^mq2 — V(q) для классической ча-
стицы с одной степенью свободы. Пропагатор Kn{q',t'-,q,t) дается фейн-
мановским интегралом по путям (1.20), и мы формально применим ме-
тод стационарной фазы для исследования его поведения при Ь —> 0. Как
и в разделе 5.4, мы предположим, что имеется единственная классическая
траектория <7ci(t), соединяющая точки q и q' в моменты времени t и t',
положим q(r) = qc\(r) + у(т) и рассмотрим разложение (4.1), т. е.
t'
S{q) = Scl + \m J (у2 - u(r)y2)dr + 0(y%
t
где и(т) = ^V"(9ci(t)), и
t'
Sd = j{\mq2cl - V(qc]))dr = S(q', t'; q, t).
t
Согласно методу стационарной фазы (см. раздел 2.2.3 главы 2) основной
вклад в фейнмановский интеграл (1.20) при Ть —> 0 приходит от критиче-
ской точки функционала действия — классической траектории qc\{r). Таким
образом, мы получаем при Ь —> 0
Kn{q',t';q,t)^e*Scl J е2П ^ ®у =
/i/(O=0l
\ 1/(*)=о /
103десь зависимость от постоянной Планка Тг вводится явным образом.

374
Глава 5
Здесь А — это соответствующий оператор Якоби — дифференциальный опе-
ратор второго порядка — D2 — и(т) на интервале [£,£']> удовлетворяющий
граничным условиям Дирихле. (Мы предполагаем, что потенциал V(q) до-
статочно гладок, так что и{т) Ε Cl([t,t'}).) Формула (6.1) — замечатель-
но простое выражение, показывающее глубокую связь между квазикласси-
ческой асимптотикой квантово-механического пропагатора и классическим
движением.
Замечание. При и(т) = ^V,,(qc\(r)) регуляризованный детерми-
нант дифференциального оператора А = —D2 — и{т) на интервале [£,£']>
удовлетворяющего граничным условиям Дирихле, можно выразить полно-
стью в терминах классической траектории qc\{r). А именно: дифференци-
руя уравнение Ньютона
mq = -V'(q) (6.2)
по отношению к г, мы находим, что функция у (г) = qc\(r) удовлетворяет
дифференциальному уравнению Ау = 0. Когда y(t) = qc\(t) = 0, функция11
ш{т) = W)
удовлетворяет начальному условию (5.6) (где интервал [0, Т] заменен ин-
тервалом [t, £']). Согласно теореме 5.1 в этом случае мы имеем
detA = 2yi(0 = -2mf^. (6.3)
У (Я)
Чтобы найти решение у\{т) дифференциального уравнения Ау = 0 для
случая y{t) φ 0, заметим, что вронскиан у\у — уу\ двух его решений по-
стоянен на [£,£']. Используя (5.6), получаем
У\У ~ 2/2/1 = y(t),
а решив это дифференциальное уравнение, —
yi(r) = y(r)y(t)
J
ds
t A*Y
Таким образом, мы получили формулу
t'
det A = 2y{t)y{t') [ -^- у{т) = <?с1(т), (6.4)
J УЛ*П
выражающую осциллирующий множитель в квазиклассической асимптоти-
ке пропагатора в терминах классического движения.
11 Здесь мы предполагаем, что y(t) φ 0, так что Vf(q) Φ 0.

5.6. Квазиклассическая асимптотика - II
375
Аналогично для случая η степеней свободы, когда
L = \mq2 - V(q),
и V(q) e C3(Rn,R), мы получаем
при Ь, -» О, где А = -D2 - U(t) и
д2У,
dq2
U(t) = ^r(9ci(r))
5.6.2. Строгий вывод
Пусть Kh(q,q',t) — фундаментальное решение уравнения Шрёдин-
гера — решение задачи Коши (1.3) и (1.5). Поскольку Kn(q'\t'\q,t) =
= Kn(qf,q,T), где Τ = t' — t, нам надо найти асимптотику фундамен-
тального решения Kh(q,q',T) при Ь —> 0. Решение этой задачи можно
разделить на две части.
1. Найти коротковолновую асимптотику — асимптотику при Ь —> 0 реше-
ния ψη(<1·> Τ) задачи Коши для уравнения Шрёдингера
с начальным условием
где s{q),(p{q) G C°°(R,R), и амплитуда (p{q) имеет компактный
носитель.
2. Используя представление
<Р(Я) Г k(q-qo)
de,
где φ имеет компактный носитель и удовлетворяет условию (p(qo) = 1,
выразить Kn(Q,qo,T) в виде интеграла по αξ решений уравне-
ния Шрёдингера с начальной амплитудой φ(ς) и начальной фа-
зой s(q, ξ) = ξ(<7 — qo). Используя асимптотику из части 1, вычислить
получившийся интеграл методом стационарной фазы при Ь —> 0.

376
Глава 5
Первую задачу мы решили в разделе 3.6.1 главы 3, так что сразу
перейдем ко второй. Для фиксированного ξ пусть ^л((7, £;£) — решение
уравнения Шрёдингера с начальной амплитудой φ(ς) и начальной фа-
зой s(q) = ξ(ς — qo). По принципу суперпозиции
оо
Kh(Q,q0,T) = ^ J MQ,T;t№. (6.6)
Пусть 7(*;(7>£) ~~ классическая траектория, решение уравнения Ньюто-
на (6.2) с начальными условиями
.7(0; 9,0 = я и 7(0;я,0 = йР (6·7)
Как и в разделе 1.2.3 главы 1, мы предполагаем здесь, что отображе-
ние # н-► Q = 7 (T; q, ξ) — диффеоморфизм, и обозначаем соответствующую
обратную функцию как q = q(£, Q):
-Y(T;q&Q),Z) = Q- (6-8)
Асимптотика ^fc(Q,T;£) при Ь —» 0 дается формулой (6.13) из разде-
ла 3.6.1 главы 3, где p{q) = -^- = ξ, так что характеристика, заканчива-
ющаяся в точке Q, имеет начальный импульс ξ и начальную координа-
ту q = ς(ξ, Q). Подставляя это выражение в (6.6), получаем
оо _! #
Kh(Q,q0;T)~^ f<p№,Q))\^jj{T;q&QU)\ * х
— оо
ΧβΧΡ^(8(<3,ς(ξ,ς>);Τ)+ξ(ς(ξ,ς>)-ςο))\αξ.
Для того чтобы применить метод стационарной фазы к этому интегралу,
надо найти критические точки функции S(Q, q(£, Q); Г) + ξ(ς(ξ, Q) — qo).
Воспользовавшись формулой
^(0,9;Τ) = -Ρ=-ξ,

5.6. Квазиклассическая асимптотика - II
377
следующей из предложения 2.2 в разделе 1.2.3 главы 1, получаем
О
9ξ
(S(QMt,Q);T) + t№,Q)-*>)) =
= -φξ(ξ,Q) + q(ξ,Q)-qo+ξ^(ξ,Q) = q(ξ,Q)-qo,
так что единственная критическая точка ξο определяется из уравне-
ния </(£сь Q) = qo· Префактор в методе стационарной фазы дается формулой
Ч>(Яо)
^(Γ;βο,&)^(&,«)
которую можно упростить с помощью равенства 4>{qo) = 1 и уравнения
(Ь dl_dq n
следующего из (6.8). Таким образом, окончательное вьфажение для квази-
классической асимптотики — это
Kh(Q,q0;T)~
у/2тЬ
8η
(Т;<7о,Ы
"2 ^S(Q,q„;T)
(6.9)
Замечательно, что формула (6.9) при отождествлении Q = q' и qo = q
совпадает с формулой (6.1)! Действительно, в них фигурируют одинаковые
экспоненциальные множители, а равенство соответствующих префакторов
следует из следующего результата.
Лемма 6.1. Пусть j(t; q, ξ) — классическая траектория с начальными
условиями (6.7). Тогда
g(r;^) = ^detA
(6.10)
где А — дифференциальный оператор —D2 — u{t) на интервале [0, Г], удо-
влетворяющий граничным условиям Дирихле, и u(t) = ^—- .

378
Глава 5
Доказательство.
δη
Дифференцируя уравнение (6.2) по ξ, получаем, что y(t) = ^τ(£; <7, £)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
так что Ау = 0. Дифференцируя начальные условия (6.7) по ξ, получаем
у(0) = 0 и ^1
так что по теореме 5.1 det A = 2ту(Т).
Замечание. Можно получить другую замечательную формулу для
яс
префактора в представлении (6.9). А именно: дифференцируя -^-(Q, q; T)=
dq
=—ξ по Q, получаем
d2s
ад'
dqdQ
где Q = ~f(T;q,£). Таким образом, (6.9) можно переписать полностью
в терминах классического действия
Kn(Q,q0;T)
\/2ni?i
d2S
dqdQ
(Q,qo;T)
2 ±5(д,„,;Т)
(6.11)
Замечание. Когда предположения из раздела 1.2.3 главы 1 не выпол-
няются, существует несколько характеристик, соединяющих точки qo и Q,
и ситуация становится сложней. В этом случаем мы имеем
1
кл{Я,яо,т)^^—к
\/2mh
δη
(Г;иъ&)
2 Σ
^((^Λοεο^-γμ,
где ξj — начальный импульс, а μ^ — индекс Морса характеристи-
ки l{t\ Oo,£j) (см· Р^Дел 3.6.1 главы 3).
Случай п степеней свободы рассматривается аналогично. Используя
коротковолновую асимптотику (6.14) из раздела 3.6.1 главы 3, получаем,
что при Ь —> О
Kh(Q,q0,T)~(2nin) 2
где0 = 7(*,до,€о).
det(^(iid,Co))
':S(Q,q0;T)
(6.12)

5.7. Замечания и ссылки
379
С помощью уравнения
Э* = d2S = / g2g Г
можно переписать (6.12) как
1
d2S
Здесь det известно под названием детерминанта ван Флека.
Задача 6.1. Обоснуйте вычисления в этом разделе.
5.7. Замечания и ссылки
Подход к квантовой механике, основанный на интегралах по путям,
разработал Фейнман в своей принстонской диссертации 1942 г., опублико-
ванной в [Fey48]. В дополнение к классическому тексту [FH65] — лучше-
му введению в фейнмановские интегралы по путям в конфигурационном
пространстве, написанному с физической точки зрения, — мы отсылаем
читателя к современному учебнику [DR01]. Фейнмановский интеграл по
путям в фазовом пространстве ввели Фейнман [Fey51] в 1951 г. и Тобок-
ман [ТоЬ56] в 1956 г. Сегодня это очень полезный метод квантовой тео-
рии поля (см., например, лезушские лекции Фаддеева [Fad76] и моногра-
фию [Сла88с]). Наш вывод фейнмановского интеграла в разделе 5.1 стан-
дартен и следует монографии [RS75], содержащей также полное доказа-
тельство формулы Като-Ли-Троттера. Как упоминалось в разделе 5.1, при
таком подходе сходимость конечномерных приближений, таких как (1.15)
и (1.23), к пропагатору устанавливается только в смысле L2. Мы отсылаем
читателя к статье [Fuj80] за доказательством сходимости в других тополо-
гиях функциональных пространств и к монографии [АНК76] за строгим
определением фейнмановского интеграла по путям как бесконечномерного
интеграла Френеля.
В разделе 5.2 мы следуем схеме из [Бер71а] и [Fad76,Oia88c] и строго
выводим формулы (2.1) и (2.6) для pq- и ^р-символов оператора эволюции
с помощью явных соотношений между символами и пропагатором. Одна-
ко, соответствующие формулы (2.9) и (5.2.4) для вейлевских и виковских
символов оператора эволюции выводятся только эвристически. Подчерки-
валось уже в [Бер71а], что в этом случае необходимо обосновать форму-
лы (2.8) и (2.11). Эта нетривиальная задача была лишь недавно решена
det(^(Q'9o;4
2 Д5(д,„0;Г)

380
Глава 5
в [Dyn98] для большого класса символов, и мы ссылаемся на эту статью
для дальнейших подробностей и ссылок. Однако, следуя [Fad76], [Сла88с],
мы аккуратно разбираемся с граничными условиями для виковского симво-
ла, выводя правильное выражение (2.14) (а не формулу в [Бер71а]). Мате-
риал раздела 5.3 — стандартный, и в нашем изложении сделан особый упор
на детали вычисления, связанные с индексом Морса. Формула для пропага-
тора гармонического осциллятора в предложении 3.1 называется формулой
Фейнмана-Сурио в [DR01]. Связь между формулой (3.6) для пропагатора
гармонического осциллятора и тождеством Мелера для многочленов Эр-
мита-Чебышева была установлена в [FH65]. За ответом к задаче 3.2 мы
отсылаем читателя к [Бер71а] (где надо исправить опечатки), а за изящным
эвристическим решением задачи 3.3 — к [Сла88с].
Помимо своего концептуального значения, формализм интегралов по
путям важен как очень удобное вычислительное средство, так как он поз-
воляет использовать — хоть и на эвристическом уровне, — такие методы
конечномерного интегрирования, как замену переменных, интегрирование
по частям и приближение стационарной фазы. Существует обширная лите-
ратура, посвященная приложениям фейнмановского интегрирования по пу-
тям к квантовой физике. Мы упомянем лишь пертурбативное разложение
пропагатора с помощью диаграмм Фейнмана [FH65], являющееся сегодня
главным вычислительным методом квантовой механики и квантовой теории
поля (см. также лекции [Kaz99] с математически строгим разбором конеч-
номерного примера). Для дальнейших приложений см. монографию [DR01]
и цитируемую там литературу.
Идея вычислять гауссовы интегралы по путям с помощью раздель-
ного вычисления классического вклада и вклада от флуктуации восходит
к работе [FH65], и задачи 4.1 и 4.4 брались из этого источника. В раз-
деле 5.4 мы подчеркнули роль регуляризованных дзета-функцией детер-
минантов дифференциальных операторов, рассмотрев простейший пример
оператора А = — D2. Мы отсылаем читателя к учебнику [Аро76] за основ-
ными свойствами дзета-функции Римана. Наше доказательство леммы 4.1
можно рассматривать как упрощенный одномерный аналог вывода пер-
вой предельной формулы Кронекера, приведенной в [Lan87]. Для случая
операторов Лапласа на компактных римановых многообразиях определе-
ние (4.5) регуляризованного детерминанта det/Л (под названием анали-
тическое кручение) было дано в [RS71], а дзета-функция оператора Са(5)
вводилась в [МР49]. Похожее понятие детерминанта возмущения восходит
к М. Г. Крейну [Кре62]; согласно задаче 2.6 из раздела 3.2.2 главы 3, коэф-
фициент перехода α(\/λ) — это детерминант возмущения оператора Η — XI,
где Η — одномерный оператор Шрёдингера. Заметим также, что регуля-

5.7. Замечания и ссылки
381
ризованные детерминанты дифференциальных операторов многократно ис-
пользовались в квантовой теории поля. Соответствующее определение дали
В. А. Фок в 1937 г. и Дж. Швингер в 1951 г., оно сходно с (4.5). В настоящее
время оно известно [ΙΖ80] как метод собственного времени Фока-Швин-
гера.
В общем случае доказательство существования мероморфного продол-
жения дзета-функции Сл(5) оператора А и его регулярности при 5 = 0 ис-
пользует теорию комплексных степеней A~s, разработанную в [See67] (или
коротковолновую асимптотику t —> 0 выражения Тге~Л* — следа ядра теп-
лопроводности оператора А, — когда оператор А неотрицателен [Gil95]).
В разделе 5.5 мы используем элементарный подход к коротковолновой
асимптотике ядра теплопроводности, основанный на асимптотике при боль-
ших η собственных значений соответствующих граничных задач Штурма-
Лиувилля. В монографии [Лев88а] содержатся все факты, использованные
в разделах 5.5.1 и 5.5.2. Коэффициенты а_\ иоо в формуле (5.4) и их
аналоги в периодическом случае называются коэффициентами Сили. На-
ше доказательство ключевого соотношения (5.13) и его аналога для пе-
риодического случая использует тождества вронскиана (5.11) и восходит
к статьям [Фад57], [БусбО] о тождествах следов для одномерных операторов
Шрёдингера (см. также задачу 2.6 в разделе 3.2.2 главы 3). Теорему о том,
что «операторный след равен матричному», использовавшуюся в разделах
5.5.1 и 5.5.2, также как и свойства определителя Фредгольма, можно найти
в классической монографии [ГК69]. Задача 5.1 — тождество следов Гель-
фанда-Левитана — взята из статьи [Гел53] (см. также [Дик58] для обоб-
щений). Свойства дзета-функции Гурвица, использованные в разделе 5.5.3,
доказываются в [Аро76]. За общим подходом к характеристическим детер-
минантам дифференциальных операторов η-го порядка с матричными ко-
эффициентами на интервале, удовлетворяющих граничным условиям Ди-
рихле или периодическим граничным условиям, мы отсылаем читателя
к [BFK91,BFK95].
Наше изложение в разделе 5.6 следует [GS77] с учетом упроще-
ний, возникающих при рассмотрении случая одной степени свободы. Лем-
ма 6.1 устанавливает эквивалентность эвристического подхода в разде-
ле 5.6.1, использующего интегралы по путям, и строгого подхода в разде-
ле 5.6.2, использующего коротковолновую асимптотику. Мы отсылаем чи-
тателя к [GS77] и [Мас76а] за деталями. Также см. [Фок76Ь] для соотноше-
ния между детерминантом ван Флека и каноническими преобразованиями
в классической механике и [DR01] для примеров.

Глава 6
Интегрирование в функциональных
пространствах
В предыдущей главе мы изучали пропагатор K(q', t; ςτ, 0) — интеграль-
--ш
ное ядро оператора эволюции U(t) = е п , — используя представление
в виде фейнмановских интегралов по путям. Здесь мы заменим физическое
время t евклидовым — it и изучим интегральное ядро полугруппы е п
при t > 0, используя представление интегралами Винера.
6.1. Гауссовы меры
В этой главе мы рассматриваем простейшие примеры гауссовых мер,
которые естественно определяются на конечномерных и бесконечномер-
ных векторных пространствах и используются во многих областях анализа
и теории вероятностей. Основной результат о гауссовом интегрировании —
теорема Вика — представляет собой главный инструмент для пертурбатив-
ного разложения в квантовой механике и квантовой теории поля, удобно
выражаемый в виде диаграмм Фейнмана.
6.1.1. Конечномерный случай
Пусть А — положительно определенная, вещественная, симметриче-
ская пх η матрица. Основная формула гауссова интегрирования — это
/
■-1wm,'W£$
(см. лемму 3.1 в разделе 5.3.1 главы 5). Соответствующая гауссова мера,
связанная с матрицей Л, это вероятностная мера μ а на Rn, определенная

6.1. Гауссовы меры
383
формулой
4М«) = ]Щ^{Ая'я)^я. (1.2)
Мера μ а — это вероятностная мера на Шп с нулевым средним и ковариацией
G = А~г. Когда А = 1п — единичная их η матрица, соответствующая мера
обозначается μη.
Как следует из леммы 3.1 в разделе 5.3.1 главы 5,
/■
е^)^л(д) = е2(Ср'р), (1.3)
и, продолжая аналитически,
/\<ρ^αμΑ{ο)= \ш^ [ е^р^Л(д) = е~2(С?Р,р). (1.4)
i*n WqHR
— — — — /г* \
Функция (2π) 2 е 2 — преобразование Фурье меры μ а·
I
Теорема 1.1 (Теорема Вика).
(v1,q)...(vN,q^A(q) =
JO, N нечетно,
[E(Gvn, vi2)... (Gv^.i,«»дг), N четно,
где суммирование ведется по всем возможным спариваниям (ii, 22), ...,
(zjv_i, zjy) — всем разбиениям на пары множества {1,2, ..., N}.
Доказательство.
Применяя к (1.3) производную по направлению вдоль вектора υΕΜη —
дифференциальный оператор
η
я д γ^ д
dp £-[ opfc
(дифференцирование под знаком интеграла, очевидно, законно), получаем
/
(v,q)el™^A(q) = (Gv,p)e^(Gp'p). (1.5)

384
Глава 6
Положив здесь ρ = О, получаем
(ν,ς)αμΑ(ς) = О,
Rn
тогда как применив к (1.5) другой оператор dv/ и положив после это-
го ρ = 0, получим
J(v, q)(v', ς)αμΑ(4) = (Gv, v'). (1.6)
Rn
В общем случае продифференцируем (1.3) N раз вдоль векторов vi, ..., ν ν
и положим ρ = 0.
Задача 1.1. Пусть Vi,Wj Ε Шп такие что (Avi,Wj) = 0, i,j =
= 1, ..., TV, и пусть F и Η — ограниченные измеримые функции
на RN. Покажите, что функции /(g) = F((vi,g), ..., (vN,q)) и /i(g) =
= H((wi, ςτ), ..., (гу^, ςτ)) удовлетворяют соотношению
/ f(q)K<l№A(q) = / f{q^A(q) J h{q^A{q).
6.1.2. Бесконечномерный случай
Пусть Ψ = R°° — декартово произведение счетного числа копий Ш,
снабженное топологией Тихонова, и пусть
Ж = £2(Ш) = | ж = {хг}£г Ε У : ||х||2 = JTx2i < ос I
— вещественное гильбертово пространство со скалярным произведенн-
ое
ем (ж, у) = Σ хгУг- В частности, гильбертово пространство Ж содержит
г=1
все элементы с конечным носителем: элементы х Ε Ψ, такие что Х{ = 0
при достаточно больших г.
Гауссова мера μ на У определяется как прямое произведение гауссо-
вых мер μ\\
μ = Moo = Mi x Mi x · · · Χ Mi Χ · · · .

6.1. Гауссовы меры
385
Точнее, мера μ определяется так. Пусть Ч> — множество цилиндрических
подмножеств У: С Ε ^, если С = р~1{Е\ х ... х Еп) для некоторого п,
где рп : У —► Шп — это проекция декартова произведения на первые η со-
множителей, а Е\, ..., Еп — борелевские подмножества R. Тогда положим
μ{α) = μ1(Ε1)...μ1{Εη)
и продолжим μ на всю порождаемую ^ σ-алгебру с помощью теоремы Кол-
могорова о продолжении меры. В частности, если F(x) = f(xi,... ,жп)>
где / — ограниченная измеримая функция на Мп, то
^φ. = ^/φΖη. (1.7)
Эквивалентным образом гауссова мера μ характеризуется следующим свой-
ством.
Лемма 1.1. Мера μ — единственная вероятностная мера на У, такая,
что для любого υ Ε У с конечным носителем
S
е^)ф(х)=е"5|М|Я.
Доказательство.
Доказательство мгновенно следует из (1.4), поскольку меры μη одно-
значно определяются своими преобразованиями Фурье.
Замечание. Гауссову меру μ эвристически можно представить в ви-
де
ф=(27г)-°°е 2" " Цахг.
г=1
_ _I||a.|ja
Здесь «расходящееся к 0» произведение (2π) °°е 2 компенсирует
«расходящееся к оо» произведение n£i dxi-
Далее, для а = {a*} Ε У пусть
( оо
00
i=l J
Следующий результат — вариант известного закона Колмогорова 0-1 в тео-
рии вероятностей.

386
Глава 6
Предложение 1.1.
(&>\ = /°' еслиа £ ^>
^ aj~[l, если а е Ж.
В частности, μ(<#?) = 0.
Доказательство.
Пусть ха — характеристическая функция множества Жа С У,
Ха(х) = lim lim exp ^ -62Va·!· У.
ε—»0 η—»оо ^—'
I i=l J
Дважды применяя теорему Лебега о мажорируемой сходимости, получаем
μ{Ж0ί) = / Χααμ = Hm lim / exp < —ε2 2_^a:2£2 \ αμη(Χ) =
ψ Kn L *=1 )
η
= lim lim TT(1 + 2Α*2)"1/2,
г=1
и произведение n£i(l + 2ε2α2) сходится, если и только если a G ^.
Замечание. Для ν е Ж пусть г>(п) = (vu ..., υη, 0,0, ...). Из (1.6)
следует, что «
у(«<Ч^2Ф(*) = 11«(п)112,
ψ
так что последовательность функций Fn(x) = (у(п\х), х G У, является
последовательностью Коши в Ι?(Ψ,αμ) и сходится в L2 к функции ^(х).
Злоупотребляя обозначениями, запишем F(x) = (v,x) G Ь2(У, αμ). Таким
образом, несмотря на то что μ(<#?) = 0, лемма 1.1, а значит, и теорема
Вика, выполняются при υ G Ж.
Задача 1.2. Докажите, что не существует вероятностной меры μ
на Ж, такой, что μ{0) = μη(Ε) для любого цилиндрического подмно-
жества С = р~1{Е) пространства Ж, где рп : Ж —> Мп — естественная
проекция, а Е — борелевское подмножество Мп. Покажите однако, что су-
ществует конечно-аддитивная, неотрицательная функция ν на цилиндриче-
ских подмножествах Ж, удовлетворяющая этому свойству.

6.2. Мера Винера и интеграл Винера
387
Задача 1.3. Покажите, что формула
η
1у({хеУ:хг eh, ...,жп€ Jn}) = JJ^i(fcJfc),
/c=l
где klk = (kctk,kPk) при J* = (otk,Pk) ^ J^> определяет вероятностную
меру I/ на У, такую, что ν (Ж) = 1.
6.2. Мера Винера и интеграл Винера
6.2.1. Определение меры Винера
Здесь мы определим вероятностную меру на пространстве ^ =
= C([0,oo),Rn;0) непрерывных параметризованных путей вМпс началом
в нуле, называемую мерой Винера. Она связана с броуновским движением:
процессом диффузии в Шп с коэффициентом диффузии D > 0, который
описывается плотностью вероятности,
P(q',q;t) = (4nDt) 2e *Dt , (2.1)
того, что частица, изначально с определенностью находившаяся в точ-
ке q £ Rn, через время t попадает в точку q' eRn.
Будет удобно компактифицировать Rn, добавив точку на бесконечно-
сти, Йп = Rn U {oo} ~ Sn. Пусть
Ω = Yl Rn
0^t«x>
— декартово произведение копий Rn, параметризованное R^>o· В топо-
логии Тихонова Ω — компактное топологическое пространство — про-
странство всех параметризованных путей в Rn. Для любого разбие-
ния tm = {0 ^ ti ^ ... ^ tm} и любого F е С(Шп х ... х Шп) опре-
т
делим φ G С (SI) формулой
φ(Ι) = F(7(ti), . · · ,7(*m)) Для любого ~у е Ω,.
Обозначим как <7βη(Ω) подпространство <7(Ω), натянутое на функции φ при
всех возможных разбиениях tm и всех непрерывных функциях F. Опреде-

388
Глава 6
лим линейный функционал I на <7βη(Ω) по следующей формуле:
1(φ) = ... F(qu ..., qm)P(qm, qm-i', tm - im_i)... (2.2)
R" R«
...Р(ди0;и)апд1...апдгп.
Из полугруппового свойства
PtfiQirf ~ ti)P(qi,q;t! - t)dnqi = P{q*\q;t' - t)
l·
Rn
(называемого также уравнением Колмогорова в теории вероятностей) сле-
дует, что функционал I корректно определен. Функционал I положителен:
1(φ) ^ 0 при φ ^ 0, он удовлетворяет свойству Z(l) = 1, и
1^)1 <Ы1оо = SUp И7)|.
Подпространство <7βη(Ω) разделяет точки в Ω и 1 е (7βη(Ω), так что по
теореме Стоуна - Вейерштрасса <7βη(Ω) плотно в <7(Ω). Далее, функцио-
нал I допускает единственное продолжение до непрерывного положитель-
ного линейного функционала на <7(Ω) с нормой 1, и по теореме Рисса-
Маркова существует единственная регулярная борелевская мера μ^ на Ω
с μ^(Ω) = 1, такая, что
1(φ) = / φαμ„.
Ω
Мера μν/ называется мерой Винера. Интеграл по мере Винера называется
интегралом Винера.
Замечание. Теорема Рисса-Маркова доставляет естественный спо-
соб определять меры в различных задачах функционального анализа. В об-
щем случае она гарантирует существование бэровской меры — меры, опре-
деленной на σ-алгебре множеств Бэра. Однако в случае компактных про-
странств бэровская мера единственным образом продолжается до регуляр-
ной борелевской меры — меры, определенной на σ-алгебре, порожденной
всеми открытыми множествами. Борелевская мера μ регулярна, если для
любого борелевского множества Ε С Ω
. . _ J inf μ{11), Ε С U, U открыто,
Ι sup μ (К), К С Ε, К — компактное борелевское множество.
Пространство Ω настолько «велико», что его σ-алгебры бэровских и боре-
левских множеств не совпадают.

6.2. Мера Винера и интеграл Винера
389
Предложение 2.1. Мера Винера μ^ сконцентрирована на непрерыв-
ных путях с началом в нуле, т. е. μ\ν(^) = 1·
Заменяя плотность вероятностей jP(qri,0;£i) на P(qi,qo',ti) в опре-
делении (2.2), для фиксированного qo Ε Ш.п получаем меру Винера μ9ο,
сконцентрированную на пространстве ^0 = C([0,oo),Mn;qr0) непрерыв-
ных путей вМпс началом в qo.
Замечание. Пространство, на котором сконцентрирована мера Вине-
ра μη, можно охарактеризовать точнее следующим образом. Для 0 < а ^ 1
пусть Ωα — подпространство Ω, состоящее из гельдеровских непрерывных
путей порядка а:
[ t,oo \t-t\a J
Тогда
(1, если 0 < а < -,
О, если ± ^ α ^ 1.
Замечание. Кажется естественным определить меру Винера с по-
мощью следующей конструкции. Положим для простоты п=1 и для любо-
го разбиения tm={0 < t\ ^ ... < £m} и интервалов (ai, /?i), ..., (am, /?m)
определим меру цилиндрического множества
Ct = {7 € Ω : ai < 7(ii) < A, · · ·, «m < 7(*m) < /Ы
формулой
β1 βτη
v(Ct)= /··· / ^(9m,9m-i;*m-*m-i)-..-P(9i,0;ii)dg'i...d9m. (2.3)
По теореме Колмогорова о продолжении меры и полугрупповому свойству,
μ продолжается до меры на σ-алгебре, порожденной цилиндрическими под-
множествами Ω, которую мы по-прежнему будем обозначать μ. Однако
множество ^ непрерывных путей с началом в 0 оказывается неизмеримым!
Конкретно, можно показать, что
μ*(&)=0 и μ*(ν) = 1,

390
Глава 6
где μ*(Ε) и μ*(Ε) обозначают соответственно внутреннюю и внешнюю
меры подмножества Ε С Ω. Правильный подход к этой проблеме состоит
в том, чтобы с самого начала определить цилиндрические множества Ct как
множества, состоящие только из непрерывных путей, а μ(^) определить
той же формулой, что и выше. Тогда мера μ продолжается до σ-алгебры,
порожденной цилиндрическими подмножествами ^, и совпадает с мерой
Винера μνν.
Замечание. Ту же самую формулу (2.3) можно использовать для
определения меры Винера на пространстве <7([0,π],Μ;0) непрерывных
функций на интервале [0, π], обращающихся в ноль при t = 0; в этом слу-
чае tm будет разбиением отрезка [0, π]. Это — классическое определение
меры Винера, которое дал сам Винер.
Следующий результат будет использоваться, чтобы представить инте-
гральное ядро однопараметрическои полугруппы е п для t > 0 интегра-
лом Винера.
Предложение 2.2. Пусть вещественнозначная функция V Ε С(Ш.п)
ограничена снизу. Тогда для любого t ^ 0 функция Tt ' 4> —+ Ш, определен-
ная формулой
-}v{n{T))dT
интегрируема по мере Винера, и
J Tt αμΧν = ^lim^ / ... / exp < - ^ V(qk)At > P(qN, 4n-i] At)...
.P(qi,0;At)dnqi...dnqN, &t=jj.
Доказательство.
Для7Е ^
ь Ν
/V(7(T))dr= lim £>(7(tfc))At,
0 fc=1
N
где tk = kAt. Поскольку по определению любая функция Σ V(l(tk))At
k=l
измерима по мере Винера на ^, функция Tt измерима, будучи поточечным

6.2. Мера Винера и интеграл Винера
391
пределом последовательности измеримых функций. Функция Tt ограниче-
на и поэтому интегрируема на ^ по мере Винера. Наконец, по теореме
Лебега о мажорируемой сходимости
/
^αμν
lim
N^oo
/ехтё
ν{Ι(^))Μ\αμλν{Ι),
и результат следует из (2.2).
Замечание. Заметим, что предел в предложении 2.2 существует, по-
тому что функция Tt интегрируема, а не наоборот. Это напоминает рассуж-
дение из элементарного математического анализа о том, что предел
n1™o(1+^+---+^-1°gn)
существует, потому что интеграл
/И*])*
сходится. Здесь [х] обозначает наибольшее целое, не превосходящее х.
Задача 2.1. Докажите все утверждения о носителе меры Винера.
Задача 2.2. Постройте меру Винера, определяя ее на цилиндриче-
ских подмножествах ^ формулой (2.3).
Задача 2.3. Докажите, что мера Винера μλν на С([0,7г],М;0)
при D = - на самом деле совпадает с мерой и, определенной в задаче 1.3.
(Указание: покажите, что отображением j(t) \-> j(t) — y(0) устанавливается
изоморфизм пространства С([0,7г],М) функций, ортогональных к 1, с про-
странством С([0, π], R; 0), и используйте коэффициенты разложения Фурье
по синусам для вложения С([0, π], Μ.) <-> У.)

392
Глава 6
6.2.2. Условная мера Винера и формула Фейнмана-Каца
Пусть
— пространство всех параметризованных путей в Rn, начинающихся в точ-
ке q G Rn в момент времени £ и кончающихся в точке q' G Rn в момент £',
и пусть ^q,9' — соответствующее подпространство непрерывных путей.
Условная мера Винера μ4^ на £lq,q' определяется аналогично. Заменим
положительный линейный функционал I на <7(Ω) положительным линей-
ным функционалом lq^ на C(QqiQ')9 определенным для φ G Cfin(Oq)Q/)
формулой
lq,q'(v)= / ··· J F{qu ,..,qm)P(q\qm\t'-tm)...
... P(Qi,4'M- t)(Pqi · · · dnqm,
где t ^ ii < ... < im ^ i' и ^(7) = F(7(ii), ... ,7(*m))· Тогда
W0p) = Ι <pdVq,q'·
Как и в случае меры Винера /iw, условная мера Винера μ4^ сконцентри-
рована на непрерывных путях, и
Пусть
H = Ho + V = ^ + V(Q)
— оператор Шрёдингера в L2(Rn,dnq) с непрерывным, вещественнознач-
ным, ограниченным снизу потенциалом V(q). Обозначим как Ln{q', t'\ q, t),
t' > t, ядро теплопроводности — интегральное ядро оператора диффу-
-—я
зии е h . Вот главный результат этого раздела.

6.2. Мера Винера и интеграл Винера
393
Теорема 2.1 (Формула Фейнмана-Каца).
Lh(q',t']q,t)= е п* Фм'М,
где μ4^ —условная мера Винера с коэффициентом диффузии D = -—.
Доказательство.
Имеем по формуле произведения Ли-Като-Троттера
е п = hm (e n e n ) , Δ£ = 4т,
где Г = t' — t. Пусть Lf^(q\t\q,t) — интегральное ядро операто-
pa (e n e h )N. Вычисляя, как в разделе 5.1.3 главы 5, и используя
определение условной меры Винера, получаем
(q',t'\q,t)= f exp|-i^^7(^))Ail^^(7).
Значение предела N —+ оо находится по теореме о мажорирующей сходи-
мости, чем доказательство завершается.
Используя условную меру Винера, легко определить меру μ£ορ на про-
странстве
£={7€ Π К" : 7(0 = 7(0}
t<T<t'
свободных параметризованных петель в Rn. А именно: пространство С —
дизъюнктное объединение по q G Rn пространств Qqq параметризо-
ванных петель с началом и концом в точке q Ε Шп. По определе-
нию функция φ : С —+ С называется интегрируемой, если ее ограниче-
ния φ\Ω измеримы по мере μ9)9 для любого q Ε Μη, и если функ-
ция / φαμ4,4 : Мп —+ С интегрируема по Лебегу на Шп. Тогда
'<*.<*
У φ V°°P = f J ψ αμ4Λ dnq. (2.4)

394
Глава 6
Допустим, что оператор Шрёдингера Η = #о + V с непрерывным, ве-
щественнозначным и ограниченным снизу потенциалом V(q) имеет чисто
τ
тт
точечный спектр и что е п — оператор со следом1. Следующий резуль-
тат — полезное следствие формулы Фейнмана-Каца.
Следствие 2.2.
--н Г -т}уЫ*)№ 1
Ire h = I е ho Ф1ГР(7).
с
Доказательство.
Ядро теплопроводности L^(g',T;g,0) — интегральное ядро операто-
т
— fj
pa е п со следом — непрерывная функция от q и q\ так что по теореме2
о том, что «операторный след равен матричному», использовавшейся в раз-
делах 5.5.1-5.5.2 главы 5, мы получаем
Тге~*Н = J Lh(q,T-q,0)dnq.
Результат следует теперь из формулы Фейнмана-Каца и уравнения (2.4).
Замечание. Меру Винера на пространстве петель
£ = {7eC([0,T],IR):7(0)=7(T)}
можно выразить в терминах коэффициентов Фурье
°о 2nint
Tlv = / _j СпС > бп = С_п,
п= — оо
следующим образом:
*"ta' = l/sH?*» Π (^P^V^'^'Vc,,. (2.5)
v n=l
!Так обстоит дело, когда V(q) —> оо при ||qr|| —> сю «достаточно быстро»,
т.е.У(9)^С||д||2.
2См. раздел 5.7 главы 5.

6.2. Мера Винера и интеграл Винера
395
В частности,
|/(7)VrP(7) = sf^ j i//(^7o)VrP(7o) ) dx. (2.6)
С -оо Vo /
Здесь Cq — это пространство петель 7оссо = 0,а£ = Мх£ов соответ-
т
ствии с разложением η = х + 7о> где / ^yo(t)dt = 0, так что ж = со(7)·
о
Задача 2.4. Выведите из формулы Фейнмана-Каца, что для любо-
го φ е L2(Rn)
(е л 1>)(q) = I ФЫ*))е ° Η(7).
Задача 2.5. Докажите формулу (2.5) и выведите из нее (2.6). (Ука-
зание: воспользуйтесь задачей 2.3.)
6.2.3. Соотношение между интегралами Винера и Фейнмана
Очень поучительно сравнить интегралы Фейнмана и Винера. На эври-
стическом уровне условную меру Винера можно записать как
9qw=e 2hi" T@hq, (2.7)
где
ξ:Ν-1
*« = й(ш)2П^· (2·8)
Конечно, «меры» 3>%q не существует: бесконечное произведение (2.8) рас-
ходится, а траектория 7 — я(т) не является, вообще говоря, дифферен-
t'
цируемой, интеграл f q2dr расходится. Однако из-за наличия знака минус

396
Глава 6
в экспоненте у нас получается неопределенность вида «бесконечность, де-
ленная на бесконечность», и получившемуся выражению (2.7) можно при-
дать точный смысл меры Винера. Соответствующая «мера» для фейнманов-
ского интеграла по путям получается заменой % на гТг в (2.7)-(2.8), и экс-
поненциальный множитель больше не компенсирует расходимость fynq,
поскольку представляет собой комплексное число с модулем 1 в случае
дифференцируемой траектории и не имеет смысла в случае недифференци-
руемой.
Однако, как мы видели в разделах 5.1.3-5.1.4 главы 5, фейнмановский
интеграл по путям позволяет представить пропагатор квантовой частицы
в весьма осмысленном виде, показывающем глубокую связь классической
и квантовой механики. А именно:
Kh(q',t';q,t)= f e*Sh]' %nq,
fq(t')=q'\
I q(t)=q J
t'
где S(j) — J L(q^q)dr — функционал действия, вычисленный на траек-
t
тории 7 = <z(r)> a L(q,q) = ^mq2 — V(q) — соответствующая функция
Лагранжа. Можно также формально переписать интеграл Винера для ин-
тегрального ядра L%(q' ,tf\q,t) — формулу Фейнмана-Каца — в похожем
виде:
1 «'
/-Т f E(q,q)dT
I Q(t)=q ]
где E(q, q) = ^mq2 + V(q) — функция энергии. Однако в этом представ-
лении мы уже не видим соответствующего функционала действия, и связь
с классической механикой теряется.
Точное соотношение интегралов Винера и Фейнмана такое. Как и в
случае формулы Фейнмана-Каца, предположим, что вещественнозначный
потенциал V(q) € C(Rn) ограничен. Используя формулу Ли-Като-Тро-
ттера, легко показать, что ядро теплопроводности L%{q',t'\q,t) для опе-
ратора Η = Hq — V, определенное при % > 0, допускает аналитическое
продолжение в полуплоскость Re Ь > 0. Тогда
Knid, *'; Я, t) = lim Lih+e(q', t'\ g, t). (2.9)

6.3. Гауссовы интегралы Винера
397
Замечание. Пусть / — гладкая ограниченная функция на R, такая,
что f'(x) = О^х^1) при \х\ —► оо. Гауссов интеграл J f(x)e~x dx абсо-
—оо
оо 2
лютно сходится, тогда как интеграл / /(х)егх dx сходится лишь условно.
—со
В формуле
оо со
f f(x)eix2dx = lim f f{x)e{i-^x2dx
— CO
он интерпретируется как предел ε —> О интеграла по комплекснозначной
гауссовой мере е^г~^х dx. Было бы соблазнительно продолжить такую ин-
терпретацию и на интегралы Винера и определить комплекснозначную ме-
ру Винера для комплексного коэффициента диффузии D с Re D > 0 такой
же формулой (2.2). Однако теорема Камерона утверждает, что линейный
функционал /, определенный по аналогии с (2.2) для ReD > 0, уже не
будет ограничен на (7βη(Ω), так что такой подход ни к чему не приводит.
Задача 2.6. Пусть I — функционал на Cfin(Q), определенный форму-
лой (2.2), где P(q', q,t) дается формулой (2.1) с ReD ^ 0.
(i) Докажите, что при Re D = О
sup {\1(φ)\ : |М|оо = 1, 4>{l) = F(y(t))} = оо.
t^0,FeC(R)
(ii) Докажите, что при Re D > О
sup_{|i(¥>)|:|M|oo = l,
tm,F£C(Rm)
V(7) = ^(7(*l),---,7(*m))} =
ReD
6.3. Гауссовы интегралы Винера
В разделе 5.4 главы 5 мы вычисляли гауссовы интегралы Фейнмана
в терминах регуляризованных детерминантов соответствующих дифферен-
циальных операторов. Здесь мы рассмотрим эту же задачу для гауссовых
интегралов Винера.

398
Глава 6
6.3.1. Граничные условия Дирихле
Пусть
-D2 + u(t), D
А
где и е С1 ([О, Г]) — оператор Штурма-Лиувилля на интервале [О, Г], удо-
влетворяющий граничным условиям Дирихле. Следующий результат явля-
ется фундаментальным.
Теорема 3.1. Допустим, что u(t) ^ 0. Тогда
-^Ju(t)y2(t)dt
I
αμοΑν)
т
π% det A
Доказательство.
Используя предложение 2.2 и формулу конечномерного гауссова инте-
грирования (1.1), получаем
/
^0,0
-§-fu(t)y2(t)dt
= lim _m
n-+oo \2nTlAt
Rn~1
n-1
m
det An-
(см. доказательство предложения 3.1 в разделе 5.3.2 главы 5). Здесь
Уо = Уп = 0, tk = kAt, At = -, и
An-i =
/ai -1 0 ·
-1 a2 -1 ·
О -1 a3 ·
0 0 0-
\0 0 0 ·
О 0 \
О О
О О
ап-2 —1
-1 an_i/

6.3. Гауссовы интегралы Винера
399
где α/e = 2 + u(tk)(At)2, к = 1, ... , η — 1. Пусть у^ — At, умноженное
на главный минор порядка к — 1 матрицы An-i, соответствующий ее ле-
вому верхнему углу, так что у η = Atdet An-\. Последовательность у^'
удовлетворяет начальным условиям
у{2п) = 2At + 0((Δ*)3), у{3п) = 3At + 0((At)%
(n) j
и, раскладывая определитель ук+г порядка к по последней строке, мы по-
лучаем рекуррентное соотношение
V& + У{:\ - 22/in) = u(tk)(Atfy£\ к = 3, ..., η - 1.
Поскольку
lim u(tk) = u(t), когда lim tk = t,
/с,η—»oo /с,η—»οο
из метода конечных разностей решения задач с начальными условиями для
обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что
lim у[п) = y(t),
к,п—юо
где y(t) — решение дифференциального уравнения
-у" + u(t)y = О
с начальными условиями
(п) _ (п)
2/(0) = lim у^ = 0, у'(0) = lim Уз У* = 1.
n—»oo n—»oo /At
Используя теорему 5.1 из раздела 5.5.1 главы 5, наконец получаем
lim Atdet Лп_1 = lim у™ = у (Τ) = ±det'A
η—»oo η—»oo Ζ
Замечание. Это же вычисление подходит и для фейнмановских ин-
тегралов по путям, чем дается строгое доказательство формулы
/
τ
2n/(y2-«(%2)<«^_ / ^Г
mTiaetA'
li/(o)=o/
где А = —D2 — м(£) — положительно определенный оператор (см. раз-
дел 5.6.1 главы 5). В частности, коэффициент сш^п из раздела 5.4 главы 5
" I тп
действительно равен л/-^.
V 7ггд

400
Глава 6
6.3.2. Периодические граничные условия
Пусть А = —D2 + u(t), где и G С1([0,Т]) — оператор Штурма-Ли-
увилля на интервале [0,Г], удовлетворяющий периодическим граничным
условиям. Здесь мы докажем следующий аналог теоремы 3.1.
Теорема 3.2. Предположим, что u(t) > 0. Тогда
I
-^fu(t)y2(t)dt
d^°4y) =
VdetA'
где С — пространство свободных петель в R, параметризованных интер-
валом [0, Г].
Доказательство.
Как и в доказательстве теоремы 3.1, имеем
/■
га
7-.Μ-5ε*ς:«»«-»>·+
= lim [ Λ ^ Α
n->oo \27T?lAt
+u(tk)(At)2y2k)\T[dyk= lim
7 J ΑΧ η—юс
k=1 +<*> y/aetAn
Здесь 2/o = У η, а Ап — следующая матрица η х η:
/αο -1 0 - 0 -1 \
-1 oi -1 ■·· 0 0
_ 0 -1 а2 ··· 0 0
71 — I ! '. '. '. '.
0 0 0 ··. αη_2 -1
\-1 0 0 ··· -1 an_i/
где ак = 2 + и(^)(Д^)2, А; = 0,1, ..., η — 1. Вычислим det An с помощью
следующего изящного рассуждения. Во-первых, заметим, что веществен-
ное λ является собственным значением Ап, если и только если разностное
уравнение
-(Ук+i + Ук-i - 2ук) + u{tk)(At)2yk = Хук, к = 0, ... ,п - 1, (3.1)

6.3. Гауссовы интегралы Винера
401
с начальными условиями y_i и уо имеет «периодическое решение» —
решение {yk}k=v удовлетворяющее условиям yn_i = y_i и уп = у0.
Для заданного λ обозначим как vk (λ) и ν£ (λ) решения уравнения
(3.1) с соответствующими начальными условиями ν_1{λ) = 1, Vq (λ) = 0
И V_l(X) = 0, 17q (λ) = 1 И ПОЛОЖИМ
Γη(λ)" U1}w ^АЪ
Легко показать, что дискретный аналог вронскиана vjc_1(X)vje} (X) —
— ν[ (A)^_X(A) не зависит от к, так что detTn(A) = 1. Поскольку любое
решение у к задачи с начальными условиями для (3.1) — линейная комби-
нация решений υ^ \λ) и ν[ (λ), имеем
rH«fc)
Из этого можно заключить, что λ является собственным значением мат-
рицы АП9 если и только если det(Tn(A) — /2) = 0, а кратность λ — это
кратность корня этого алгебраического уравнения. Поскольку
^Λ(λ) = 0(λ"-Χ), «W(A) = (-A)n + 0(A"-1) при λ^οο,
мы получаем
det(An - λ/η) = - det(Tn(A) - h) = ^(λ) + νη2\λ) - 2.
Остается вычислить lim det(An — λ/η). Обозначим как у Ι (λ)
π—юо
и у[. \λ) соответственно два решения разностного уравнения (3.1) с на-
чальными условиями у_1(Х) = 2/q (λ) = 1 и у_1(Х) = 0, у$ \\) = At.
Имеем
^(λ)=»?'(λ)-^Γ(λ) и 42)(А) = ^У12)(А),
так что
det(An - λ/η) = ^Λ(Α) + У"2)(Л)^-1(Л) - 2. (3.2)

402
Глава 6
Теперь из метода конечных разностей следует, что
lim y£\\)=yi(t,X), lim 2/f (λ) = y2(t,\) (3.3)
к,п—кх> fc,n—>·οο
при lim tfc = t, где ?/i,2(£, λ) — два решения дифференциального уравне-
fc,n—юо
НИЯ
-у" + и(*)у = \у
с начальными условиями yi(0, А) = 1, yj(0, λ) = 0 и ?/2(0, λ) = 0,
2/2(0,λ) = 1. Используя (3.2)-(3.3) и теорему 5.2 в разделе 5.5.2 главы 5,
мы наконец получаем
lim det(An - λ/η) = yi (Г, λ) + у£(Г, λ) - 2 = det(A - λ/).
Пример 3.1. Следствие 2.2 и теорему 3.2 можно использовать
для вычисления Тге п в случае гармонического осциллятора Η =
= тгЧР2 + m2u2Q2). Имеем
2mv 7
m ~1ГТЯ 1
Tre h - i
где A^ = —Ζ)2 + ω2, и по формуле (5.20) из раздела 5.5.2 главы 5
— Υ1 ff -1
Тге л = 1 . (3.4)
2sinh^
Конечно, поскольку собственные значения — это Еп = %ω(η + ~), можно
получить тот же результат, используя геометрическую прогрессию
1 сю 1 ωτ оо
Ъе-*ТН = У e~bTEn = е"^" У е~"Тп = i .
п=0 п=0 2 Sinh -~-
Аналогичные результаты имеют место для общего дифференциального
оператора второго порядка А = — D2 + v(t)D + гг(£) на интервале [0,Т],
удовлетворяющего периодическим граничным условиям.

6.3. Гауссовы интегралы Винера
403
Теорема 3.3. Допустим, что det А> 0, где А = —D2 + v(t)D + u(t).
Тогда
τ
/e-^i(e(t)*Ww(t)^(tV(t))%lr(y) - -^—
J y/detA
с
Пример 3.2. Пусть А = -D2 + ωΩ. Из теоремы 3.3 и (2.6) следует,
что для ε > 0
1 = [ЛЬ*{Ш*)^{(ти..*»(,.\ =
./det (А + ε/) 7
^ / е-?Ь^/e-Si<*<'«'>«*'»V^(»)
Τ
= ^-£Je-^^Mt)y°{t)+£y°{t))dtdti°4yo),
Co
Τ
где мы воспользовались разложением y(t) = х + 2/о(£)> f Vo(t)dt = 0.
о
Здесь £о — подмножество пространства С свободных петель, состоящее
из петель с нулевым постоянным членом в разложении в ряд Фурье. Ис-
пользуя следствие 5.4 из раздела 5.5.2 главы 5, получаем
-5й/«-Л>(0«.(0Л Ту/ё _ τ _
/ е 2П о ФС РЫ = lim
J ε^ο
г^0 V'ditpTeT) Vdel/Л
· (3-5)
vsi„hf j
Мы воспользуемся этим результатом в разделе 8.2.2 главы 8.
Задача 3.1. Выведите формулу (3.4) с помощью (2.5).
Задача 3.2. Докажите теорему 3.3.

404
Глава 6
6.4. Замечания и ссылки
Имеется обширная литература о теории интегрирования Винера и бро-
уновском движении, и мы излагаем в очень сжатой форме только самые ос-
новные результаты. Материал в разделе 6.1 стандартный, и наше изложение
следует разделу упражнений в [Rab95]. За необходимыми сведениями из
теории вероятностей, включая теорему Колмогорова о продолжении меры
и введение в случайные процессы, мы отсылаем читателя к классическому
труду [Loe77], [Loe78] и недавней монографии [Kho07]. В частности, утвер-
ждение μ(<%?) = 0 в предложении 1.1 следует из сильного закона больших
чисел.
Изящное построение меры Винера в разделе 6.2 принадлежит Е. Нель-
сону [Nel64], и наше изложение, включая доказательство формулы Фейн-
мана -Каца, следует [RS75]. Мы отсылаем читателя к классической моно-
графии Ито - МакКина [IM74] за построением меры Винера с точки зрения
теории вероятностей; на этом пути получаются решения задач 2.1 и 2.2.
Классическая книга [Кас59] и лекции [Кас80] М. Каца — еще один отлич-
ный источник информации об интегрировании Винера и его приложениях
к разным областям математики. Связь между интегралами по путям Вине-
ра и Фейнмана в разделе 6.2.3 принадлежит Е. Нельсону [Nel64]. Задача 2.6
взята из статьи Р. Камерона [СатбЗ] (см. также [RS75]); этот результат по-
казывает, что не существует комплекснозначного аналога меры Винера, свя-
занной с комплексным коэффициентом диффузии с Re D > 0 (в противовес
утверждению, сделанному в [Гел56]).
Теоремы, доказанные в разделе 6.3, служат строгим обоснованием для
обсуждения гауссовых интегралов Фейнмана по путям в разделе 5.4 гла-
вы 5. Наше доказательство теоремы 3.1 в разделе 6.3.1, использующее ме-
тод конечных разностей, следует схеме из работы [Гел56], в которой при-
водится ссылка на [Моп52]. Доказательство теоремы 3.2 в разделе 6.3.2,
кажется, новое.
Евклидова квантовая механика, получаемая заменой физического вре-
мени t евклидовым (или мнимым) временем — it, очень тесно связана с тео-
рией случайных процессов. Ее можно сформулировать с помощью аксиом
одномерной евклидовой квантовой теории поля, и мы отсылаем заинтере-
сованного читателя к [Str05] за подробным обсуждением.

Глава 7
Фермионные системы
7.1. Канонические антикоммутационные соотношения
7.1.1. Мотивировка
В разделах 2.2.6 и 2.2.7 главы 2 мы показали, что гильбертово про-
странство Ж ~ L2(M, dq) одномерной квантовой частицы можно описать
в терминах операторов рождения и уничтожения. А именно: операторы1
a* = -L(Q-*P) и a = -^=(Q + zP)
удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению
[a,a*]=/
на W2>2(R) Π W2'2(M), и векторы
^ = ^-=г^о, fc = 0,1,2,...,
где V>o(tf) == (тгй) 4е 2а Ε J^ удовлетворяет условию а-00 = 0, образу-
ют ортонормированный базис в Ж. Соответствующий оператор N = а*а
самосопряжен и имеет целочисленный спектр:
Ni/>k = kil>k, fc = 0,1,2, ....
Аналогично для нескольких степеней свободы Ж ~ L2(Rn,dnq) операто-
ры рождения и уничтожения даются формулами
а\ = -L (Qk - гРк) и afc = -J= (Qk + гРк), fc = l,...,n, (1.1)
1 Здесь для сравнения с разделом 2.2.6 главы 2 мы положим ω = 1.

406
Глава 7
и удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям
[ак,сц] = [а*к,а*] = 0 и [ак,а*] = 5к11, к,1 = 1,...,п. (1.2)
П _ 1 2
Основное состояние, вектор ^(з) = (nfi) 4e 2a Ε Jf7, обладает свой-
ством
afc^o = 0, к = 1, . ..,п,
и векторы
V>fcl,... |fcn = 1J, ;"\n V>o, fci, ..., fcn = 0,1,2, ...,
образуют ортонормированный базис в Jf7. Оператор
η
fc=l
самосопряжен и имеет целочисленный спектр:
^fci,...,fcn = (&1 + ... Η-^η)^!,...,*:»,
а гильбертово пространство Jf раскладывается в прямую сумму инвари-
антных подпространств
оо
Л* = 0^ (1.3)
к=0
— собственных подпространств оператора N.
С другой стороны, операторы спина, вводившиеся в главе 4, удовлетво-
ряют алгебраическим соотношениям другого рода. А именно: рассмотрим
9 9
операторы σ± = — S± = — (Si ± г^г), где Si и 5г — операторы спина кван-
товой частицы со спином - (см. раздел 4.1.1 главы 4). Воспользовавшись
явным представлением операторов спина в виде матриц Паули, получаем
/0 0\ /0 1
Операторы σ± нильпотентны, σ± = 0, и удовлетворяют антикоммутаци-
онному соотношению
σ+σ_ +σ_σ+ = /2,

7.1. Канонические антикоммутационные соотношения 407
где /2 — тождественный оператор в С2. Вводя понятие антикоммутатора
двух операторов,
[А,В]+ = АВ + ВА,
мы видим, что операторы а = σ_ и α* = σ+ удовлетворяют каноническим
антикоммутационным соотношениям
[а,а]+ = [а*,а*]+ = 0 и [а,а*]+=/2.
Вектор ео = (5) удовлетворяет свойству аео = 0, и вместе с векто-
ром а*во = (J) они образуют ортонормированный базис в С2. Матрица
tf = a\i=ifo + J2)=(j j)
имеет собственные векторы ео и а*е0 с собственными значениями 0 и 1.
Таким образом, в полной аналогии с предшествующим обсуждением мы
скажем, что а и а* — фермионные операторы рождения и уничтожения
для случая одной степени свободы. Гильбертово пространство фермионной
частицы — это Ж — С2, а вектор ео — основное состояние.
Такая конструкция легко обобщается на случай нескольких степеней
свободы. А именно: канонические антикоммутационные соотношения име-
ют вид
[ak,ai]+ = [ai,ai]+ = 0 и [ak,a*]+= δΜΙ, k,l = 1, ... ,n, (1.4)
где / — тождественный оператор, и операторы рождения а* сопряже-
ны к операторам уничтожения dj в фермионном гильбертовом простран-
стве Жр. Канонические антикоммутационные соотношения (1.4) реализу-
ются в гильбертовом пространстве Жр = (С2)®77, = С2П следующим обра-
зом:
Q>k = 03®.. .®аз<8>а® h® · · · ® hi (1.5)
fc-1
alb = сг3 ® ... (8) σ3 ® α* ® /г ® ... Θ /г, (1.6)
Ч ^ /
fc-1
fc = 1, ... ,п. Основное состояние, вектор Vo = ео ® ... Θ ео Ε ^f,
удовлетворяет условию
afcVo^O, fc = l, ...,n, (1.7)

408
Глава 7
а векторы
^1,...,fcn = K)fcl...«)fcn^o, fci,...,fcn = 0,l, (1.8)
образуют ортонормированный базис в Жр. Оператор
η
k=l
самосопряжен и имеет целочисленный спектр:
Wku...,kn = (fcl + ... H-fcn)^fci,...,fen»
а гильбертово пространство J^ раскладывается в прямую сумму инвари-
антных подпространств
η
Ji3r = 0jft (1.9)
fc=0
— собственных подпространств iV.
Замечание. Фермионное гильбертово пространство Жр изоморф-
но спиновой части гильбертова пространства η квантовых частиц со спи-
ном i обсуждавшегося в разделе 4.3.1 главы 4. Соответствующие ферми-
онные операторы рождения и уничтожения можно также использовать для
описания спиновых степеней свободы. Фундаментальное значение ферми-
онного и бозонного гильбертовых пространств — Жр = (С2)071 и Жв =
= L2(Rn, dnq) — выявляется в квантовой теории поля, которая формально
соответствует случаю п = оои описывает квантовые системы с бесконеч-
ным числом степеней свободы.
Лемма 1.1. Реализация (1.5)-(1.6) канонических антикоммутацион-
ных соотношений β фермионном гильбертовом пространстве Жр непри-
водима: любой оператор в <Ж*р, коммутирующий со всеми операторами
рождения и уничтожения а*к и а&, кратен тождественному.
Доказательство.
Достаточно показать, что если {0} Φ V С. Жр — инвариантное под-
пространство для всех операторов а^ и а£, то V = Жр. Действительно,
любое ненулевое ψ £ V можно записать в виде
Ψ= Σ C*l,...,fcn^fcl,...,*n·
fei,. . . ,fcn=0,l

7.1. Канонические антикоммутационные соотношения 409
Пусть Cfcb ,кпфк1,.. · ,кп — какая-нибудь его ненулевая компонента с мак-
симальной степенью к\ + ... + кп. Используя канонические антикоммута-
ционные соотношения и (1.7), получаем
а*" ... а^ф = cV>o, с = cfcll... ,кп φ 0,
так что ψο е V. Применив операторы рождения к ψο, получаем V = Жр.
Замечание. Реализация канонических антикоммутационных соотно-
шений в фермионном гильбертовом пространстве Jifp аналогична пред-
ставлению канонических коммутационных соотношений числами заполне-
ния, обсуждавшемуся в разделе 2.2.7 главы 2, и называется представлени-
ем числами заполнения для фермионов. Следует подчеркнуть, что алгеб-
раическая структура антикоммутационных соотношений допускает реали-
зацию в конечномерном гильбертовом пространстве, тогда как алгебраиче-
ская структура коммутационных соотношений требует бесконечномерного
гильбертова пространства.
Аналогично (1.1) операторы координаты и импульса для фермионов
определяются формулами
Qk = yfi(ak + a*k), Рк = -гуД(ак-а*к), fc = l,...,n. (1.10)
Как следует из (1.4), они удовлетворяют следующим антикоммутационным
соотношениям:
[Qk,Ql]+ = [PlB,Pl]+ = MklI и [P*,Qz]+ = 0, fc,Z = l, ...,n,
(1.11)
— фермионному аналогу коммутационных соотношений Гейзенберга, вве-
денных в разделе 2.2.1 главы 2. Следующий результат представляет собой
фермионный аналог теоремы Стоуна-фон Неймана из раздела 2.3.1 гла-
вы 2.
Теорема 1.1. Любое неприводимое конечномерное представление ка-
нонических антикоммутационных соотношений унитарно эквивалентно
представлению числами заполнения в фермионном гильбертовом про-
странстве Jiffr.
Доказательство.
Пусть V — гильбертово пространство, в котором реализуется непри-
водимое представление канонических антикоммутационных соотноше-
ний (1.4). Прежде всего, существует ψο Ε V, \\ψο\\ = 1, такое, что
а>1<Ро = ... = αηψο = 0.

410
Глава 7
Действительно, выберем любое ненулевое φ £ V; если α\ψ Φ 0,
заменим его на вектор ацр, который, очевидно, удовлетворяет усло-
вию ai(ai^i) = 0. Если α,2(α,\φ) ф 0, заменим его на α,2α\φ, который ан-
нигилируется операторами ai и а2, и т.д. За конечное число шагов мы
приходим к ненулевому вектору ф, который аннигилируется оператора-
ми ai, ..., ап, и ψο = ф/\\ф\\. Теперь рассмотрим подпространство Vq про-
странства V, натянутое на векторы
Wbi,... ,кп = K)fcl · · · «)fcn^o, fci, · · ·, кп = 0,1.
Из (1.4) следует, что Vo — инвариантное пространство для всех операто-
ров a,k и а£, так что Vq = V. Поскольку операторы а*к и a,k сопряжены по от-
ношению к скалярному произведению в V, легко видеть, опять воспользо-
вавшись каноническими антикоммутационными соотношениями (1.4), что
векторы (pklt... ,кп образуют ортонормированный базис в V. Отображени-
ем V Э (ркг,... ,fcn ·—► V>fci,... ,fcn £ ^f устанавливается изоморфизм гиль-
бертовых пространств V сх Жр.
Задача 1.1. Вьфазите операторы спина 5 · * к-й частицы в системе η
частиц со спином - (см. раздел 4.3.1 главы 4) в терминах фермионных
операторов рождения и уничтожения на Jifp.
7.1.2. Алгебры Клиффорда
Мы видели в разделе 2.2.1 главы 2, что гейзенбергова алгебра Ли яв-
ляется фундаментальной математической структурой, связанной с канони-
ческими коммутационными соотношениями. Аналогично фундаментальная
математическая структура, связанная с каноническими антикоммутацион-
ными соотношениями, это алгебра Клиффорда.
Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем к
нулевой характеристики и пусть Q: V —> к — симметрическая невы-
рожденная квадратичная форма на V, т.е. Q{v) = Φ(υ,υ), ν £ V,
где Φ : V <g>k V —> к — симметрическая невырожденная билинейная форма.
Пара (V, Q) называется квадратичным векторным пространством.
Определение. Алгебра Клиффорда C(V, Q) = C(V)9 ассоциирован-
ная с квадратичным векторным пространством (V,Q), это /с-алгебра, по-
рожденная векторным пространством V и соотношениями
υ2 = Q(v) · 1, υ е V.

7.1. Канонические антикоммутационные соотношения 411
Эквивалентно алгебру Клиффорда можно определить как факторалгеб-
РУ
C(V) = T(V)/J,
где J — двусторонний идеал в тензорной алгебре T(V) пространства V, по-
рождаемый элементами и®у+у®и—2Ф(и, υ)·1 при всевозможных и, ν £ V,
а 1 — единичный элемент Т(V). В терминах базиса {ei}™=1 пространства V,
алгебра Клиффорда С(У) — это /с-алгебра с образующими ei, ..., еп, удо-
влетворяющими соотношениям
[е<,е^]+ = e<ej + е^е; = 2Ф(е<,е^) · 1, г, j = 1, ... ,n.
Когда к = С (или любое алгебраически замкнутое поле нулевой характери-
стики), всегда существует ортонормированный базис bV — базис {ei}™=1,
такой, что Ф(бг,е^) = 5^. В этом случае в любой размерности η есть од-
на (с точностью до изоморфизма) алгебра Клиффорда Сп с образующи-
ми ei, ..., еп и соотношениями
G-i&j ~\~ &j&i == j-O-ij · JL5 Ъ) К —- JL5 . . . ; 77».
Замечание. При к = R существуют неотрицательные целые чис-
ла ρ + g = η и изоморфизм V ~ Rn, такие, что
д(ж) = х?+ ... +х2-ж2+1- ... -4, жемп.
Так классифицируются алгебры Клиффорда над R.
Определение. Левый модуль S для алгебры Клиффорда C(V) — это
конечномерное векторное пространство S над к и линейное отображе-
ние ρ : C(V) ® S -> S, такое, что
ρ(α6 0s)= р(а ® р(6 0 s))
для всех а, 6 G C(V) hsES.
Фермионное гильбертово пространство J4?f, введенное в предыдущем
разделе, является неприводимым С<т-модулем. Действительно, из канони-
ческих антикоммутационных соотношений (1.4) следует, что самосопря-
женные операторы
72fc-i = α* + α£, (1.12)
72fc = -г(ак - ajfe), fc = l, ...,n, (1.13)

412
Глава 7
удовлетворяют соотношениям
ΙμΙν + ΙνΙμ = 1δμ1/Ι, μ, ν = 1, ..., 2η, (1.14)
где / — тождественный оператор в 3^f- Определим действие алгебры Клиф-
форда С2п на J(?f, положив
р{1) = 1 и ρ{βμ) = ημ, μ = 1, ...,2га,
и продолжим его до гомоморфизма С-алгебр ρ : С^п —> End(^jr). Соотно-
шения (1.14) показывают, что отображение ρ допускает подобное продол-
жение.
Предложение 1.1. Гомоморфизм ρ : С^п —> End(J#5r) является изо-
морфизмом С-алгебр.
Доказательство.
Из леммы 1.1 следует, что представление ρ неприводимо: любой опе-
ратор в Jfp, коммутирующий со всеми элементами С-алгебры р(С2п), кра-
тен тождественному оператору. Тогда по теореме Веддерберна р(С2П) =
= End(JifF), и поскольку dim С2П = 22n = dim End(^jr), отображение ρ —
изоморфизм.
Замечание. Структура алгебры Клиффорда с нечетным числом об-
разующих несколько иная. Так, отображение р(е^) = σ&, где σ^, к =
= 1,2,3, — матрицы Паули (см. раздел 4.1 главы 4), определяет непри-
водимое представление Сз в Jtfp = С2. Однако в этом случае Сз ^
~ End(C2) ® С [ε], где ε = ге^ез и удовлетворяет условию ε2 = 1.
η
Определим оператор киральности формулой Γ=6πτΝ, где АГ= JZ aj aj·
j=i
Поскольку спектр оператора JV целочисленный, Г2 = /. Более того, мы
имеем
[Γ,7μ]+=0, μ=1, ...,2га. (1.15)
Действительно, как следует из (1.4),
Να) = α*(AT + /) и ΛΓα,- = α,(Ν - J),
так что
e*iNa) = а*е^^+/) = -α*βπ^ и е™% = α^Ν~^ = -a^iN\

7.1. Канонические антикоммутационные соотношения 413
Таким образом, Г антикоммутирует со всеми α7·, α!·, а значит, со всеми ημ.
Поскольку Г2 = /, операторы
р± = |(/±г)
являются операторами ортогональных проекций, и мы имеем разложение
на подпространства спиноров положительной и отрицательной киралъно-
сти. Из (1.15) следует, что
Ιμ(<#ρ) = -#τ> μ = 1, ..-,2η.
Также, поскольку e™a*aj = I — 2a!·a-/ = —ij2j-i72j, мы имеем
r = (-t)n7i...72n.
Замечание. Когда η = 2, 4 х 4 матрицы 7ъ 72> 7з> 74 — это знамени-
тые гамма-матрицы Дирака (для евклидовой метрики на R4), и Г = 75·
Задача 1.2. Покажите, что определение алгебры Клиффорда C(V)
совместимо с заменой поля: если к С К — расширение поля, и Vk =
= К ®к Vk, то
C(VK) = K®kC(Vk).
Задача 1.3. Пусть С · 1 = С0 С С1 с ... С Сп = С(У) - есте-
ственная фильтрация алгебры Клиффорда C(V), где Сг натянуто на эле-
менты υ\... vs, s ^ г. Пусть
η
c8r(vr) = 0cfc/cfc-1
fc=l
— соответствующая градуированная алгебра. Покажите, что отображение
кососимметризации
υλ Л ... Л vr ^ ^ Σ (-i^Mi) · · · МО
' a€Symr
устанавливает изоморфизм Z-градуированных алгебр Л*(V) ~ C&T(V), где
Л*(У) — внешняя алгебра пространства V.
Задача 1.4. Сформулируйте и докажите аналог предложения 1.1 для
алгебр Клиффорда с нечетным числом образующих.

414
Глава 7
7.2. Алгебры Грассмана
Для квазиклассического описания фермионов необходимы алгебры
Грассмана — алгебры с антикоммутирующими образующими. Соответству-
ющее математическое определение таково.
Определение. Алгебра Грассмана на η образующих — это С-алгебра
Grn с образующими 0i, ..., θη9 удовлетворяющими соотношениям
OiOj +6j6i = О, г J = 1, .. . ,n.
В частности, из этих соотношений следует, что образующие алгебры
Грассмана нильпотентны: θ\ = ... = θ\ = 0. Эквивалентно,
Grn = C<0i, ...,0n)/J
— фактор свободной С-алгебры C(0i, ..., θη)9 порожденной образующими
01, ..., θη, по двустороннему идеалу J, порожденному элементами 0i0j +
+ 0j9i,iJ = 1, ...,n.
Замечание. Из (1.11) следует, что в квазиклассическом преде-
ле ft —> 0 фермионные операторы Р& и Qfc, k = 1, ..., 2п, удовлетворяют
определяющим соотношениям алгебры Грассмана Gr2n-
Сравнение с полиномиальной алгеброй
С[д?1, ...,жп] =С(д?1, ...,хп)/1
— фактором свободной С-алгебры C(a;i, ...,жп) по двустороннему идеа-
лу, порожденному элементами XiXj — XjXi, i,j = 1, ..., η, показывает, что
алгебру Грассмана Grn можно рассматривать также как полиномиальную ал-
гебру от антикоммутирующих переменных #i, ..., θη. В нижеследующем
мы будем все время использовать латинские буквы для обозначения комму-
тирующих переменных, а греческие — для антикоммутирующих, так что
Grn = C[0i, ...А].
Не стоит напоминать, что полиномиальная алгебра С[х\, ..., хп] изоморф-
на симметрической алгебре векторного пространства, порожденного эле-
ментами #1, ..., хп, а алгебра Грассмана C[0i, ... А] изоморфна внеш-
ней алгебре A*V векторного пространства V = C0i Θ ... Θ Свп с бази-
сом 01, ...А·

7.2. Алгебры Грассмана
415
Алгебра Грассмана Grn является комплексным векторным простран-
ством размерности 2П и градуирована над Z: она допускает разложение
Grn = 0Gr* (2.1)
к=0
на однородные компоненты Gr^ степени к и размерности (£), к = 0, ..., п,
где Gr^ = С · 1. А именно: обозначим как | · | степень однородности
элемента алгебры Грассмана, |а| = к для а е Gr^. Тогда умножение в Grn
удовлетворяет условию Gr^ · Gr^ С Gr^+Z, где Gr^+/ = 0, если к +1 > п,
и является градуированно-коммутативным:
α/?=(-1)Η0Ι/?α, (2.2)
для однородных элементов α, β Ε Grn. Элементы алгебры Грассмана Grn
четной степени называются четными элементами, а нечетной степени —
нечетными элементами.
7.2.1. Реализация канонических антикоммутационных соотношений
Алгебра Грассмана доставляет явное представление канонических ан-
тикоммутационных соотношений с помощью операторов умножения и диф-
ференцирования, аналогичное голоморфному представлению канонических
коммутационных соотношений (см. раздел 2.2.7 главы 2). А именно: пусть
— операторы частных производных слева, определяемые на однородных
одночленах θ^ ... 6ik формулой
к
-QQ-^h · ..0ifc = 2^(_1) "^mAi . ..0», .. .0»fc,
* 1=1
где 6it обозначает пропуск множителя θ^. Операторы дифференцирования
имеют степень —1 и удовлетворяют градуированному правилу Лейбница:

416
Глава 7
Замечание. Можно также ввести операторы частных производных
справа с помощью формулы
к
1=1
'двг
которые будут удовлетворять следующему градуированному правилу Лейб-
ница:
<«*>&-"('я)+(-1)И(°я>-
Чтобы различать левые и правые частные производные функции / Ε Grn,
будем обозначать их соответственно как т^р/ и /т^г·
Будучи комплексным векторным пространством, алгебра Грассма-
на Grn снабжена стандартным скалярным произведением, которое опре-
деляется условием, что однородные одночлены θ^ ... вгк со всевозможны-
ми 1 ^ %\ < ... <ik ^n образуют ортонормированный базис:
(0<i · · · вгк > 6ji · · · θji ) = falSirf! · · · itfcjfc · (2.3)
С помощью проверки на однородных многочленах элементарно устанавли-
вается, что
(dif, g) = (/, Oig), f,ge Grn,
где §i — операторы левого умножения на вг в Grn, так что θ{ = <9*. Также
легко проверить, что операторы в\ и д{ удовлетворяют антикоммутацион-
ным соотношениям
[0,, §j]+ = [di, dj]+ = 0 и [04,5,·]+ = йу J, г, j = 1, ..., η,
где / — тождественный оператор в Grn. Таким образом, получаем следую-
щий результат.
Предложение 2.1. Сопоставлением
ЛЬэФь fcn-^...^eGrn
устанавливается изоморфизм Жр ~ Grn между фермионным гильберто-
вым пространством η тождественных частиц и векторным простран-
ством алгебры Грассмана на η образующих. Изоморфизм сохраняет разло-
жения (1.9) и (2.1) и обладает свойством, что
a*^§i и а* н-> —, i = l, ...,п.

7.2. Алгебры Грассмана
417
С помощью предложения 2.1 очень легко проверить также, что пред-
ставление канонических антикоммутационных соотношений в фермионном
гильбертовом пространстве Жр неприводимо. Действительно, предполо-
жим, что В £ End(Grn) коммутирует со всеми операторами §i и <%. Тогда
0i(B(l)) = B(ft(l)) = O, t=l,...,n.
Единственное решение уравнений d\f = ... = dnf = О — это / = с · 1,
так что -В(1) = с · 1. Поскольку В коммутирует со всеми операторами
рождения θ и мы получаем В = cl.
Замечание. Мы покажем в разделе 7.2.3, что с использованием по-
нятия интеграла Березина скалярное произведение (2.3) в Grn можно запи-
сать в виде (2.11) аналогично определению скалярного произведения в го-
ломорфном представлении формулой (2.52) в разделе 2.2.7 главы 2.
7.2.2. Дифференциальные формы
Алгебра дифференциальных форм от антикоммутирующих перемен-
ных θ\, ..., θη — это С-алгебра Ω* с нечетными образующими θ\, ..., θη
и четными образующими
d6i, ..., αθη, удовлетворяющими соотношениям
вг · d6j = d6j · #i, г, j = 1, ..., п.
Эквивалентно Ω* — это симметрическое тензорное произведение над С ал-
гебры Грассмана Grn и полиномиальной алгебры C[d6i, ..., d9n], и любой
элемент ω Ε Ω* единственным образом записывается в виде
оо
^ = ΣΛ(^1)*1···(^η)*η, /*eGrn, (2.4)
fc=0
где к = (rCi, ..., /cnJ — мультииндекс иД = 0 для любого fc, за исклю-
чением конечного их числа. По определению степень однородности \ω^\
компоненты ω^ = Д (d6i)kl · · · (d6n)kn G Ω* — это |Д |, степень однород-
ности Д е Grn.
Замечание. Поучительно сравнить алгебру Ω* с алгеброй полино-
миальных дифференциальных форм на Сп. С одной стороны, Ω* — бес-
конечномерная алгебра на коммутирующих переменных dQ\, ..., d6n с ко-
эффициентами в конечномерной алгебре Грассмана C[0i, ... ,θη]. С дру-
гой стороны, алгебра дифференциальных форм от коммутирующих пере-
менных х\, ..., хп — это конечномерная алгебра на антикоммутирующих

418
Глава 7
переменных dx\, ..., dxn с коэффициентами в бесконечномерной полино-
миальной алгебре С[х\, ..., хп].
Аналогом внешнего дифференциала (дифференциала де Рама) на алгеб-
ре Ω* является отображение d : Ω* —> Ω*, определенное формулой
αω = ΣΣ^ WW1?1 - - - (d^)fen' /fc G Gr-
fc=0 г=1 г
где ω дается формулой (2.4). Дифференциал можно также записать в ви-
п
де d = ^2d6idi, где предполагается, что di(dOj) = 0 для любых
2=1
г J = 1, . ..,п.
Лемма 2.1. Внешний дифференциал d на Ω* удовлетворяет градуи-
рованному правилу Лейбница
d(u)iuj2) = aji c<;2 + (—l)'a;i'o;iciu;2
для однородных ω\ и является нильпотентным, d2 = 0.
Доказательство.
Градуированное правило Лейбница для d следует из соответствующе-
го свойства операторов частных производных <9г. Свойство d2 = 0 следует
из коммутативности «дифференциалов» d6i и антикоммутативности част-
ных производных di. Следующий результат — аналог леммы Пуанкаре для
дифференциальных форм на антикоммутирующих переменных.
Лемма 2.2. Предположим, что форма ω G Ω* замкнута, αω = 0.
Тогда ω точна: существует η G Ω*, такое, что ω = dr\.
Определение. 2-форма ω G Ω*,
η
ω = Ι ]Γ ω14θταθ0, ujij = c^* G Grn, (2.5)
называется симплектической формой на алгебре Грассмана, если она за-
мкнута, du; = 0, и невырождена: симметрическая η х п матрица {u/J}™J=1
обратима в Grn.

7.2. Алгебры Грассмана
419
В частности, 2-форма ω с постоянными коэффициентами шгэ G С обя-
зательно замкнута и является симплектической, если и только если мат-
рица {^}^=1 невырождена. Поскольку любая квадратичная форма над С
записывается в виде суммы квадратов, всегда можно предположить, что об-
разующие #1, ..., θη выбраны так, чтобы симплектическая форма ω с по-
стоянными коэффициентами имела канонический вид
η
г=1
Любой симплектической форме (2.5) соответствует скобка Пуассона
на алгебре Грассмана, определенная формулой
<>·*>=J:(/4)^ (<!')· '•'eGr" (2·7)
где {uij}™j=i — это обратная матрица к {^U}^J=1, и использованы обо-
значения для левых и правых частных производных, введенные в предыду-
щем разделе. Следующий результат — аналог теоремы 2.9 из раздела 1.2.4
главы 1 — фундаментален для формулировки гамильтоновой механики для
систем с антикоммутирующими переменными, которые будут обсуждаться
в главе 8.
Предложение 2.2. Предположим, что все коэффициенты ω^ замкну-
той симплектической формы ω четные. Тогда отображение скобки Пуас-
сона
{ , } : Grn х Grn —> Grn
удовлетворяет следующим свойствам:
(/) (Градуированная кососимметричность)
{/,<?} =-(-i)l/ll9W};
(и) (Градуированное правило Лейбница)
{f9,h} = f{9,h} + (-l)MMg{f,h};
(in) (Градуированное тождество Якоби)
{/, {9, h}} + (-1)1/К1»1+1"1){д, {h, /}} + (_1)1М(1/1+Ы){Л) {/> g}} = θ
для любых f,g,h£ Grn.

420
Глава 7
Доказательство.
Часть (i) следует из (2.2), свойства
дв/ к } J дв{
и условия четности коэффициентов ω1^. Градуированное правило Лейбница
следует из соответствующего свойства операторов правых частных произ-
водных. Градуированное тождество Якоби для скобки Пуассона
<'·«>-Σ (/&)(&»)■
соответствующей канонической симплектической форме (2.6), можно про-
верить прямым вычислением. Доказательство в общем случае оставляется
читателю.
Задача 2.1. Завершите доказательство леммы 2.1.
Задача 2.2. Докажите лемму 2.2.
Задача 2.3. Завершите доказательство предложения 2.2.
7.2.3. Интеграл Березина
Есть существенная разница между дифференциальными формами от
коммутирующих и антикоммутирующих переменных. Первые можно диф-
ференцировать и интегрировать, и дифференциалы связаны с интегралами
по формуле Стокса. Последние же можно только дифференцировать. Тем
не менее аналог интегрирования по антикоммутирующим переменным су-
ществует.
Определение. Интеграл на алгебре Грассмана Grn с упорядоченным
множеством образующих θ\, ..., θη (интеграл Березина) — это линейный
функционал В : Grn —► С, определенный формулой
£(/) = /12-·Λ
где
η
/ = Σ Σ r--Akeil...0ikeGxn.
k=0 l^n< . . . <ifc^n

7.2. Алгебры Грассмана
421
По традиции интеграл Березина записывают в виде
B(f) = J№<W1...<Wni
где θ = (01, ..., 0П), как если бы / = /(0i, ..., 0П) и вправду было «функ-
цией антикоммутирующих переменных». Из определения операторов част-
ных производных следует, что
/
/(«)*...<».=д.... А/,
откуда следует:
" д
I
ддДв)(Ю1...МП = 0.
Это приводит к следующей формуле интегрирования по частям для инте-
грала Березина:
/ т (щ9){θ)αθ1 ·■·<»» = / (/4){θ)9{θ) Ml'" αθη>
для однородных f,ge Grn.
Замечание. Интеграл Березина не является интегралом в смыс-
ле теории интегрирования. Он определяется как линейный функционал
на алгебре Грассмана Grn и зависит от того, как упорядочены образую-
щие 01, ..., 0П алгебры Grm что символизируется записью αθ\... αθη. Для
любого σ Ε Symn
J /(0)d0i ...αθη = (-1)β<*> У/(*)<»σ(1) · · · Μσ(η),
где ε(σ) — четность перестановки σ.
Замечание. Используя вложение Gr^ с Grn при к ^ п, физики
обычно определяют интеграл Березина как «повторный интеграл», начиная
со следующих «одномерных интегралов»:
/ dOi = О, / вгавг = 1, г = 1, ..., п.

422
Глава 7
Лемма 2.3 (Замена переменных в интеграле Березина). Пусть
θ\, ..., θη и θ\, , θη — два множества образующих алгебры Грае-
смана Grn, связанных преобразованием 0; = Σ aijOj> г^е ti х η матри-
ца А= {dij}?j=i невырождена. Тогда
J /(0)d9i... d0n = -^ J f{e)dh ... d»„,
г<)е /(β) = /(β) = /(£ сцД-, ..., £ апД).
j=l 3=1
Доказательство.
Из полилинейной алгебры следует, что f12-n = ^12... η ^ ^4
Замечание. Согласно лемме «плотность» αθ\... αθη преобразуется
по закону
d»i... d(9n = -4-г <Юг... d(9n (2.8)
det Л
при замене переменных 0* = Σ αυΑ· Это отличается от обычной формулы
замены переменных для интеграла Лебега
/ f(xu ...,xn)dxi...dxn = \detA\ / f(yu ... ,yn)dyi.. .dyn, (2.9)
или dx\... dxn = I det A\dyi... dyn, где Хг = Σ aijVj- Конечно, интеграл
3 = 1
Березина — это скорее многократная производная, нежели интеграл по ме-
ре, чем и объясняется такое глубокое различие.
Пусть А = {dij}fj=i — кососимметрическая η х η матрица. Для чет-
ного η = 2га пфаффиан Pf (А) определяется формулой
Pf^ = га!2™ Σ (_1)ε(σ)ασ(1)σ(2) · · · ασ(η-1)σ(η),
a£Symn
где ε(σ) — четность перестановки σ. По определению Pf (A) = О при нечет-
ном п.

7.2. Алгебры Грассмана
423
Предложение 2.3 (Гауссово интегрирование по антикоммутирую-
щим переменным). Пусть А = {α^·}£ ·=1 — кососимметрическая η х η
матрица. Тогда
(О
/п
ехР {\ Σ MA }^i '-'αθη = Pf(A).
(//) Для любой невырожденной п х η матрицы С
РЦСАС*) =Pf(A)detC.
(ш)
Pf(A)2 = detA.
Доказательство.
Часть (i) очевидно выполняется для нечетных п, поскольку подын-
тегральное выражение является четным элементом Grn. Из определения
пфаффиана мы получаем для η = 2га
η
-Х_(£ау0^) = Pf(A)01...0n,
а раскладывая экспоненту в степенной ряд, —
iexph^ aijOiOj \ αθλ... αθη = Pf (Α) Ι ΘΧ... θη dSx... αθη = Pf(A)
Часть (ii) следует из части (i) и леммы 2.3. Часть (Ш) — классический ре-
зультат, который можно доказать с помощью интеграла Березина следу-
ющим образом. Допустим сперва, что А вещественнозначна. Существует
ортогональная матрица С с детерминантом 1, такая, что
/ 0 λ!
-Ai О
С АС"1 =
О О \
О О
О 0 ··· О АГ
V о о ... -хт о/

424
Глава 7
— блочно-диагональная матрица. Используя часть (ii) с этой матрицей С,
получаем
Pf(A) = I eXl§1§*+' ·' +*miam-i0amdgi u u u d02m = Ax... Am,
так что Pi(A)2 = det А. Это соотношение выполняется для комплексно-
значных А, поскольку левая и правая части — многочлены от перемен-
ных dij, 1 ^ г < j "^ п, совпадающие при вещественных а^·.
Для алгебры Грассмана &2η = C[0i,_..., 0П) 6\L ..., 0n] с 2 η обра-
зующими обозначим как J αθαθ = / αθ\αθ\.. .αθηαθη соответствующий
интеграл Березина:
Лемма 2.4. Для любой η х η матрицы А = {о>ц}™^=\
I
ехР ^ Σ aijOify ( αθαθ = det A
Доказательство.
Из определения матричного детерминанта следует, что
^ I 51 ЪАЪ I = det Λ Mi · ·. Μη- (2.10)
Определение. Инволюция на алгебре Грассмана Grn над С — это ком-
плексное антилинейное отображение Grn Э / ь-> /* £ Grn, удовлетворяю-
щее УСЛОВИЯМ (/*)* = / И (/#)* = £*/* ДДЯ ЛЮбыХ /,0 G Grn.
На алгебре Грассмана C[0i, ..., 0n> 0i, · · · > 0п] есть естественная ин-
волюция, определенная на образующих формулой (0i)* = 0i,(0i)* =
= 01, ..., (0n)* = 0η, (0η)* = 0η. В частности, для
η
/(β) = Σ Σ ^--^^...^eGrnCGra,,
fc=0 l^ii< . . . <ifc^n
имеем
η
/(β)* = /Μ=Σ Σ /7ΓΤΤΤ7Γ *** · · A e Gr2»·
fc=0 l^ii< . . . <ifc^n
Следующая лемма выражает скалярное произведение на алгебре Грассма-
на Grn, введенное в разделе 7.2.1, в терминах интеграла Березина.

7.2. Алгебры Грассмана
425
Лемма 2.5. Стандартное скалярное произведение (2.3) на алгебре
Грассмана Grn = C[0i, ... ,0η] дается следующим интегралом Березина
по алгебре Грассмана Gr2n = C[0i, ..., 0n, #i, ..., 0η]:
j h(e)f2(e)e-eedede, (2.11)
(/ь/2)= I Мв)Ше-таВаВ,
где ΘΘ = Θ1Θ1 + ... + θηθη.
Доказательство.
Положим /i (θ) = fljj ... 0ifc и /2 (θ) = 6j1... 9jt. Ясно, что интеграл
(2.11) обращается в 0 всегда, кроме случая /с = I и i\ = ji, .. .,ik = jk,
в каковом мы имеем
(eh ... Bih, 9h ... 9ik) = J 6h ... eik§ik .. A e-<*e'+ · · · +§"θ^αθαθ =
V'
θ\...θηθη .. .θ\dudO =
= /0i0i...0n0nd0d0 = l.
Следующий результат уже приводился в разделе 7.2.1. Лемма 2.5 позво-
ляет доказать его в духе, напоминающем о голоморфном представлении
(см. раздел 2.2.7 главы 2).
Следствие 2.1. Операторы дг и §i, г = 1, ..., п, сопряжены по отно-
шению к скалярному произведению на Grn.
Доказательство.
Используя лемму 2.5, формулы <%/(0) = 0, дгв~вв = вге~вв, и инте-
грирование по частям, получаем
(dtfi, /2) = J dih {в)Ш)е-ёвМаё =
= -(-1)ΙΛΙ+ΙΛΙ //,(в)Щвге-^ММ =
! = -(-1)ΙΛΗΛΙ j ^{в)ЖЫв)е-ёваваё =
= (ЛД/2),
поскольку и последний интеграл, и (/i, 0г/г) обращаются в 0 всегда, кроме
случая, когда |Д| + |/г| нечетно.

426
Глава 7
Задача 2.4. Вычислите интеграл Березина
/η η
ехр {\ Σ ανθ*θ1+ Σ ^λ }d0i · · · dfln,
ij'=l fc=l
где ?7i, ..., ryn — переменные Грассмана.
Задача 2.5. Докажите формулу (2.10).
Задача 2.6. Докажите, что
if(0)e-eed0de = f(O)
— постоянный член в разложении /(в) в сумму одночленов в C[0i, ..., Θη].
7.3. Градуированная линейная алгебра
7.3.1. Градуированные векторные пространства и супералгебры
Понятия градуированного векторного пространства и супералгебры,
которые мы вводим в этом разделе, позволяют рассматривать коммутирую-
щие и антикоммутирующие переменные на одном и том же основании.
Определение. Ъ/2Ъ-градуированное векторное пространство {гра-
дуированное векторное пространство — для краткости, или векторное су-
перпространство) над С — это векторное пространство W вместе с разло-
жением
на четное и нечетное подпространства. Элементы VF°UVF1\{0} называются
однородными, а четность — это отображение | · | : W° U W1 \ {0} —> {0,1},
такое, что |ги| = 0 для w G W° и |ги| = 1 для w Ε W1.
Оставим обозначение V для обычных (четных) векторных пространств
и будем обозначать градуированные векторные пространства как W. Ес-
ли W конечномерно, определим градуированную размерность как па-
ру (dim W°, dim W1), что обычно обозначается как n0|ni, где щ = dim Wl,
г = 0,1. Когда W0 — Ср и W1 = Cq, соответствующее градуированное век-
торное пространство W обозначается как Ср'9. Фермионное гильбертово

7.3. Градуированная линейная алгебра
427
пространство Жр — это градуированное векторное пространство, у которо-
го четное и нечетное подпространства даются разложением (1.9):
^f — 0 <%·> ^f = 0 ^fc·
к четно к нечетно
Градуированная размерность Жр равна 2η-1|2η_1.
Прямая сумма и тензорное произведение градуированных вектор-
ных пространств определяются так же, как для обычных векторных про-
странств. В прямой сумме однородные подпространства определяются фор-
мулой
{Wi®W2)k = Wf®WZ, к = 0,1,
а в тензорном произведении —
{Wi ® W2)k = 0 W7 ® Wi, к = 0,1.
Разница между обычными и градуированными векторными пространства-
ми становится ясной при определении соответствующих тензорных катего-
рий. А именно: морфизм ассоциативности
cWlW2w3 : Wi ® (W2 ® W3) -> (Wi ® W2) ® W3
для градуированных векторных пространств определяется той же форму-
лой,
(wi ® (ги2 ® гиз)) = (wi ® w2) ® w3,
что и в случае обычных векторных пространств, тогда как морфизм комму-
тативности
<rWlw2 :W1®W2->W2®W1
определяется на однородных элементах формулой
σπ^^^νο^ = (-l)'™1"™2'^ ®wi.
Тензорная алгебра T(W) градуированного векторного пространства W
определяется с помощью морфизма ассоциативности. Однако, внешняя ал-
гебра A*W и симметрическая алгебра Sym(VF) пространства W определя-
ются как факторалгебры алгебры T(W) с помощью морфизма коммутатив-
ности. А именно
Sym(W) = T(W)/I,

428
Глава 7
где / — двусторонний идеал в T(W)9 порожденный элементами w\ 0 W2 —
— a(w2 ®Wi),Wi,W2€: W, И
A'(W) = T(W)/J,
где J — двусторонний идеал в T(W), порожденный элементами w\ 0 w2 +
+ a(w2 <g> wi), wi,W2 G W. Здесь σ = σγ/yv — морфизм коммутативности.
Определение. Пусть W = W° 0 W1 — градуированное векторное
пространство. Векторное пространство со сменой четности UW — это гра-
дуированное пространство, у которого (ГПУ)0 = W1 и (ПТУ)1 = W0.
Из определений мгновенно следует, что для четного векторного про-
странства V
Sym(UV)=Am(V) и Am(UV) = Sym(V). (3.1)
Определение. Супералгебра над С — это градуированное векторное
пространство А = А° Θ А1 со структурой С-алгебры, такой, что 1 G А0 и
А0-А0 С А0, А°-АгсА\ А1-А1 с А0.
Супералгебра А называется коммутативной супералгеброй, если
α·6=(-1)ΙαΙΙ6Ι6.α
для однородных элементов а, 6 G А.
Четная супералгебра А — это просто обычная С-алгебра.
Определение. Левый (супер) модуль над супералгеброй А — это гра-
дуированное векторное пространство Μ вместе с линейным отображением
А<8>Мэа<8>т\->а-теМ,
таким, что \а · т\ = (\а\ + |m|) mod 2 для однородных a G А и т G Μ
nab- т = a · (b · га) для любых а, Ь G Аит G М.
Задача 3.1. Пусть σ G Symn. Покажите, что изоморфизм
Wi <g> . . . 0 Wn ~ И^-1(1) 0 ... 0 И^-1(П),
индуцированный морфизмом коммутативности градуированных векторных
пространств, корректно определен: он не зависит от представления σ в виде
произведения транспозиций в Symn.
Задача 3.2. Покажите, что для градуированного векторного про-
странства W алгебры Sym(W) и A*(W) — супералгебры.

7.3. Градуированная линейная алгебра
429
7.3.2. Примеры супералгебр
Пример 3.1 (Тензорная алгебра). Тензорная алгебра
оо
T(y) = 0F®fc, V° = C-1,
fc=0
четного векторного пространства V является супералгеброй. Умножение
дается тензорным произведением, а четное и нечетное подпространства —
формулой
T(V)° = 0 V®k, T(V)1 = 0 V®k.
к четно к нечетно
Пример 3.2 (Симметрическая алгебра). Симметрическая ал-
гебра Sym(y) четного векторного пространства V является коммутатив-
ной алгеброй. Выбором базиса х\, ..., хп в V устанавливается изомор-
физм Sym(F) ~ C[xi, ..., хп] — полиномиальная алгебра на коммутирую-
щих переменных х\, ..., хп.
Пример 3.3 (Внешняя алгебра). Внешняя алгебра А·У четного
векторного пространства V является коммутативной супералгеброй с умно-
жением, заданным внешним произведением; четное и нечетное подпро-
странства — образы соответствующих подпространств T(V) при сюръек-
тивном отображении
T(V) — \TV = T(V)/J,
где J — двусторонний идеал в Т(У), порожденный элементами u®v+v®u,
u,v e V. Согласно (3.1) А*(V) = Sym(nF). Выбором базиса #i, ...,0П
в нечетном векторном пространстве HV устанавливается изоморфизм
A'(V)~C[0b...,0n].
Здесь С [01, ..., θη] — алгебра Грассмана, полиномиальная алгебра на анти-
коммутирующих переменных θ±, ..., θη.
Пример 3.4 (Алгебра дифференциальных форм). Пусть Μ — п-
мерное многообразие. Градуированная алгебра А* (М) гладких дифферен-
циальных форм на Μ — коммутативная супералгебра.
Пример 3.5 (Алгебра Клиффорда). Алгебра Клиффорда C(V)
квадратичного векторного пространства (V,Q) является супералгеброй

430
Глава 7
с умножением и градуировкой, унаследованными от тензорной алгеб-
ры T(V) при сюръективном отображении
T(V) -> A*V = T(V)/J,
где теперь J — это двусторонний идеал в Τ (У), порожденный элемента-
ми u®v+v<g)u—2Ф(и, υ)·1, и, ν е V. Естественное отображение У <—> C(V)
инъективно, и У отождествляется со своим образом в C(V). Элементы У
нечетны в C(V). Фермионное гильбертово пространство Жр является ле-
вым супермодулем над С2п, а изоморфизм С-алгебр ρ : С2п —* End («#/?)
(см. предложение 1.1) — изоморфизм супералгебр.
Пример 3.6 (Градуированная матричная алгебра). Пусть W —
градуированное векторное пространство. Векторное пространство End(W)
всех эндоморфизмов W является градуированным векторным простран-
ством: четное подпространство состоит из всех эндоморфизмов, сохраня-
ющих градуировку W, а нечетное — из меняющих градуировку. Векторное
пространство End(VF) — супералгебра с умножением, заданным компози-
цией эндоморфизмов, и W является модулем над End (ТУ). Когда W = Ср'9,
супералгебру End (ТУ) обычно обозначают Mat(p|g). Ее элементы удобно
представлять в виде блочных матриц 2x2
_ /An A12\
Л ~ \A2i А22) '
где Ац9 Ai29 A2i и А22 — соответственно матрицы порядков ρ х ρ, ρ х q,
q х ρ и q x q. Четные и нечетные элементы Mat(p\q) — это соответственно
блочно-диагональные и антидиагональные матрицы ( о1 А22) И (a2i о*)·
Пример 3.7 (Супералгебра Ли). Градуированное векторное про-
странство д называется супералгеброй Ли, если на нем определена супер-
скобка Ли — линейное отображение [ , ] : д 0 д —> д, удовлетворяющее
следующим свойствам.
(i) (Суперкососимметричность)
[ar,y] = -(-l)|x|lvl[y,*]
для однородных я, у G д.
(ii) (Супертождество Якоби)
[х, [y,z]} + (-i)\*\l\v\+\'\)\y, [z,x]} + (_i)l*KI«l+lvl)[2> [Х)У]] = 0
для однородных х, у, z £ д.
Согласно предложению 2.2 алгебра Грассмана Grn со скобкой Пуассо-
на (2.7) является супералгеброй Ли.

7.3. Градуированная линейная алгебра
431
Для классических простых алгебр Ли есть соответствующие суперал-
гебры Ли.
Задача 3.3. Докажите все утверждения этого раздела.
Задача 3.4. Покажите, что на супералгебре А вводится структура
супералгебры Ли с суперскобкой Ли, определенной формулой
[a,b]=ab-(-l)^%a
для однородных a,b e А.
7.3.3. Суперслед и березиниан
Пусть Л = Л° Θ А1 — коммутативная супералгебра. Имеется следую-
щее общее понятие градуированной матричной алгебры.
Определение. Градуированная матричная алгебра с коэффициентами
в Л — это супералгебра Mat^(p|g) блочных 2x2 матриц
А = ft1 Ал12) .
\А21 А22)
где Ац9 А12, А21 и А22 — соответственно матрицы порядков ρ х ρ, ρ х q,
qxpnqxqc элементами из А. Элемент А £ Mat^(p|g) четен, если соот-
ветствующие матрицы Аци А22 состоят из четных элементов А, а матри-
цы Л12 и A2i — из нечетных элементов А. Элемент А е Mat^(p|g) нечетен,
если матрицы Аци А22 состоят из нечетных элементов Л, а Аи и А21 — из
четных элементов А. Градуированное векторное пространство Mat^(p|g) —
супералгебра с произведением, заданным умножением матриц.
Алгебра Mat(p\q) в примере 3.6 соответствует случаю А = С; другой
интересный пример — когда А — алгебра Грассмана.
Довольно замечательно, что такие основные понятия линейной алгеб-
ры, как след и определитель, допускают нетривиальные обобщения на слу-
чай градуированных матричных алгебр.
Определение. Суперслед на градуированной матричной алгебре — это
линейное отображение Trs : Mata(p\q) —* А9 определенное формулой
TrsA = TrAn - (-1)^ТгА22, А = (*£ *£) € MatA(p\q),
где Тг — обычный матричный след.

432
Глава 7
Предложение 3.1 (Циклическое свойство суперследа).
TrsАВ = (-1)MWTt8BA, A,Be M&tA(p\q)·
Доказательство.
Мы проверим только случай, когда обе блочные 2x2 матрицы А
и В — четные элементы Ma,t j[(p\q)- Другие случаи разбираются аналогично
и оставляются читателю. Из циклического свойства следа имеем
ТгаАВ = Tr(Aii£n + А12В21) - Υτ{Α21Β12 + А22В22) =
= Тг(ВцАг1 - В21А12) - Тг(-В12А21 + В22А22) = TrsBA.
Супералгебра End{J^f) соответствует случаю Л = С и является изо-
морфной с Mat(2n_1|2n_1). Суперслед на End(^jr) дается формулой
TrsA = ТгАц - ТгА22 = ТЫГ, А е End(^r), (3.2)
где Г — оператор киральности (см. раздел 7.1.2). Как блочная 2x2 матрица
он имеет следующий вид:
г=(ол). "
где / обозначает тождественный оператор в Ж$ и Ж}.
Нетривиальной задачей является определение супердетерминанта —
естественного аналога детерминанта для градуированных матричных ал-
гебр, который был бы мультипликативен и удовлетворял обобщению пра-
вила deteA = еТтА. Соответствующий объект, определенный только для
обратимых A G Mat^plg), ввел Ф. А.Березин. Теперь этот объект повсе-
местно называют березинианом и обозначают Вег(Л).
Рассмотрим сначала случай четной диагональной А = ( 01Х ^2 )* ^°"
отношение
Вег(ел) = е^А
определяет березиниан формулой
Вег(Л) = det Ац det A^.
Таким образом, в этом случае четная q x q матрица А22 с необходимостью
обратима, т.е. det A22 — обратимый элемент коммутативной алгебры Л°,

7.3. Градуированная линейная алгебра
433
так что существует обратная матрица А22 . Теперь рассмотрим четную мат-
рицу А е Mata(p\q) общего вида и предположим, что матрица А22 обра-
тима. Легко проверить следующий аналог разложения Гаусса:
(Ап А12\ _ (Ιρ Α12Α22λ\ (ΑλΧ-Αλ2Α22λΑ2Χ 0 \( 1Р 0\
V^2i А22) \0 Iq )\ О А22) \А^А21 ij'
где 1Р и Iq — соответственно ρ х ρ и q x q единичные матрицы. Этим
обосновывается следующее определение.
Определение. Пусть А Е Mat^(p|g) — четная матрица, такая, что
соответствующая четная q x q матрица А22 обратима. Тогда березиниан
(супердетерминант) А дается формулой
Вет(А) = detail - A12A22A2i)det А22.
Предполагая, что ρ х ρ матрица Ац обратима, получаем разложение
[Ап А12\ _( Ιρ 0\ (Αλ1 0 \ (1р А~?А12\
\А21 А22) ~ \А21А^ Ij \ О A22-A21A^A12J \0 Iq J '
из которого можно предположить, что также
Вег(Л) = detail det(A22 - A2iA^A12)~1.
Фундаментальный факт заключается в том, что для четных обратимых
A G MatA(p\q) эти две формулы березиниана совпадают.
Теорема 3.1. Пусть
А = if1 i12)
\А21 А22)
— четный элемент Ма^(р|д). Тогда
(г) А обратимо, если и только если матрицы Ац и А22 обратимы;
(и) при обратимых А Вег(Л) — обратимый элемент Л°, удовлетворяю-
щий формулам
Вег(Л) = det^n - Ai2A22 A2i) det A22 =
= detail det(A22 - A2iA'^A12)~1

434
Глава 7
и
Вет{А-1)=Вет(А)-1',
(ш) если четные А, В £ Mat^(p|g) обратимы, то
Вег(АВ) = Вет(А)Вет(В).
Задача 3.5. Завершите доказательство предложения 3.1.
Задача 3.6. Докажите теорему 3.1.
7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих
переменных
7.4.1. Виковские и матричные символы
Здесь мы приведем исчисление виковских и матричных символов опе-
раторов в фермионном гильбертовом пространстве Жр, аналогичное ис-
числению виковских и матричных символов в голоморфном представлении
в разделе 2.2.7 главы 2. Как и в случае бозонов, принято работать в ан-
тиголоморфном представлении, используя Jifp = C[0i, ... ,θη] в качестве
фермионного гильбертова пространства с операторами рождения и уничто-
жения
А О
ак = вк и а* = -=-, fc = l, ...,n. (4.1)
двк
Скалярное произведение (2.11) принимает вид
(Λ, /2) = J Λ(θ)ΜΘ)ε-θθΜαθ, (4.2)
и одночлены
fi(6) = 6i1...eik, K<i < ... <гк^п,
параметризованные подмножествами I = {н, ... ,гк} С {1, ... ,п}, обра-
зуют ортонормированный базис в Jifp-

7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 435
Определение. Матричный символ оператора А : M*f —» ^f — это
элемент Α(θ, 0) е C[0i, ..., 0n, #i, ..., Θη], определенный формулой
i(0, θ) = ^(A/j, fi)fi{e)jAe) =
/,J
= /,(Afa» //) ^i · · · ^ A · · · 0ji .
I,J
Здесь ведется суммирование по всем подмножествам I = {zi, ...,г&}
и J = {л, ...,jz} множества {1, ...,п}, и, как и в разделе 7.2.3, мы
обозначаем символом /(0) естественную инволюцию на алгебре Грассма-
наС[0ь...,0п,01, ...,0П]:
1Щ = ва1...ва1 для ΙΛΘ) = θυλ...θ01.
Согласно предложению 1.1 С2П — End(^i?), так что любой опера-
тор А : Жр —> Jfp единственным образом представляется в виковской
нормальной форме следующим образом:
А = Σ ки < · · · aikah ·'' азг
Определение. Виковский символ оператора А : Jiffr —> J#f — это
элемент А(0,0) £ C[0i, ..., 0η, Θ±, ..., Θη], определенный формулой
Л(0, 0) = 22 KU hi · · · ^ А · · · θ31'
I, J
Замечание. Определение матричного и виковского символов в фер-
мионном случае дословно повторяет соответствующее определение для
бозонов из раздела 2.2.7 главы 2. Заметим, однако, что в случае ферми-
онов произведение θ31 ... 6j1 в определении матричного символа упоря-
дочено противоположно, как того требует скалярное произведение (4.2)
вС[ёь ...А].
Матричному и виковскому символам Л(0,0) и Α(θ,0) оператора А
канонически сопоставляют элементы А(0,а), А(0,а) и Л(а,0), А(а,0)
большей алгебры Грассмана:
С[а,а,0,0] =C[ai, ...,ап,аь ...,ап,0ь ...,0П0Ь ...А],

436
Глава 7
заменяя соответственно вг на с^ и θ г на а*. Неполный интеграл Березина
J dctda. на С [α, α, β, β] определяется формулой
/
fdoLda=JL^-u.uJL^-fj /еС[а,а,0,0],
и обладает свойством
/ Λ(0, 0)$(α, a)dada = Λ(0, θ) / #(α, a)dada. (4.3)
Мы будем также использовать неполный интеграл Березина J αθαθ, опре-
деленный формулой
Как следует из доказательства следствия 2.1,
J{alh1h<r°*dedB = -(-1)Ι/Ι1+ΙΛΙ J f{M2Je-™dede, (4.4)
где операторы a£ и a& даются формулой (4.1) и Д, /2 G C[a, α, β, 0].
Следующий результат показывает, что матричный символ оператора А
в Jifp, являющегося просто 2n x 2П матрицей, можно рассматривать как
интегральное ядро в антикоммутирующих переменных!
Лемма 4.1. Пусть А(0, Θ) — матричный символ оператора А в Жр.
Тогда для любого /(0) £ J$?f
(Λ/) (β) = /i(0,a)/(a)e-*adada. (4.5)
Доказательство.
Достаточно доказать (4.5) для f = fK, где К = {fci, ...,fcm} С
С {1, ..., п}. Используя (4.3) и лемму 2.5, получаем
/
i4(0,a)/jr(a)e-eedadu =
- £>/j,//)//(0) [jJ(u)M(x)e-&adcxda
i,j Ι

7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 437
Следующим шагом введем грассманов аналог когерентных состояний
(см. раздел 2.2.7 главы 2). Положим
Фа(ё) = еёа = '£/1(ё)ищ и Фа(в) = е~ёа = ^Ш)Мё).
I I
Как и в бозонном случае, элементы Φ<*,Φα £ С[а,а,0,0] удовлетворяют
уравнениям
о>к$<х = акФа и акФа = ~^Фа, /с = 1, ..., п. (4.6)
Очень просто выразить матричный символ оператора в терминах когерент-
ных состояний.
Лемма 4.2. Пусть А (а, а) — матричный символ оператора А в Jifp-
Тогда
A{ol,ol) = (ΑΦλ,Φλ).
Доказательство.
Доказательство состоит в элементарном вычислении (см. доказатель-
ство леммы 2.4 в разделе 2.2.7 главы 2)
A(a,a) = J^(AfjJI)fI(a)jAa) =
= Σ {AfjJA*),7K*)fl) = (ΑΦβ, Φα)·
Следующий результат — точный аналог леммы 2.4 из раздела 2.2.7 главы 2.
Лемма 4.3. Матричный и виковский символы оператора А в Жр свя-
заны соотношением
i(a,a) = e*aA(a,a).
Более того, i(d, 0) = е*вΑ(α, β) и i(0, α) = е*<*Л(0, α).
Доказательство.
Как следует из определения когерентных состояний,
(Фв,Фв) = ей<\
Теперь, представив оператор А в виковской нормальной форме и воспользо-
вавшись

438
Глава 7
свойствами (4.4) и (4.6), получаем
(АФа, Фв) = Σ Ku(ah · · · aikah · · · а31Ф*, Ф«) =
/,J
Λ·/
= Si-1)15^^^! · · · aA>a** · · · aiM =
I,J
/,j
= A(a, α)(Φβ, Φβ) = ейаА(а, а).
Этим же вычислением с заменой Фа на Ф#, или Фа на Ф#, доказываются
оставшиеся две формулы. Таким образом, мы показали, что 2п х 2п матри-
цы — операторы в фермионном гильбертовом пространстве Ж? — можно
рассматривать как интегральные операторы от антикоммутирующих пере-
менных, интегральные ядра которых даются матричными или виковскими
символами. Следующий результат — точный аналог теоремы 2.2 из разде-
ла 2.2.7 главы 2; в нем устанавливается исчисление символов для операто-
ров в Жр.
Теорема 4.1. Пусть А\ и А2 — операторы в Жр с матричными сим-
волами j4i(0,0) и Лг(0,0) и виковскими символами Α\(Θ,Θ) и Аг(0,0).
Тогда имеют место следующие формулы.
(/) Матричный и виковский символы оператора А = А\А2 даются фор-
мулами
i(0,0) = /ii(0,a)i2(a:,0)e-oocdada,
Λ(0,0) = f Al{e,OL)A2{oL,e)e-(<e-OL^e-OLUoLdOL.
(if) След и суперслед оператора А в Жр даются формулами
TrA = i Α(θ,θ)β-θοαθαθ= fΑ(θ,θ)ε-2θ§αθαθ,
TrsA = / i(0, в)е~ёваваё = / A(0,0)<Ш0.

7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 439
Доказательство.
Часть (i) для матричных символов доказывается следующим элемен-
тарным вычислением:
[ Аг (0, а) Л2(а, 0)e~OCOLdotdot =
= Σ Σ (Л^> Λ) (A*h> f«) \ fiV)7A&fK(6L)7Zffie-™dada =
/,J K,L J
= Σ {AifjJi){A2fLJJ)fI(e)fL(e)
I,J,L
Y, {A2fL,fj){fj,A\fI)fI{e)fL{e)
I,J,L
= Σ {A2fL,AlfI)fI(e)fL(§) = Σ {AiA2fLji)fiifl)fL{e) = Α(θ,θ).
I,L I,L
Соответствующая формула для виковских символов теперь следует из лем-
мы 4.3. Доказательство части (И) тоже очевидно. Имеем
(A{e,e)e-e6dede = Yj{AfJJI) ifj(e)7Ji§)e-e6dede =
Ι i,j Ι
= Y,(AfI,fI) = TrA.
I
Аналогично,
/ i(0, θ)β~υθαθαθ = ^(Λ/j, /j) / Ш77ф)е-ёеММ =
J i,j J
= 2(-l)"Jl(A/J,/J) = TreA,
где |7| обозначает мощность подмножества I С {1, ..., η}. Соответствую-
щие формулы для виковских символов следуют из леммы 4.3.

440
Глава 7
Задача 4.1. Докажите непосредственно все результаты из этого раз-
дела для простейшего случая одной степени свободы, когда Жр — С2.
Задача 4.2. Покажите, что виковский символ произведения А =
= Ai... А\ дается формулой
/Г 1~г
··· / Az(e,ai_i)...Ai(ai,0)exp|^afc(afc_i - схк) +
** k=i
+ в(оц-\ — 0) \doL\dOLi... dcti-idcti-i,
где αο = θ и А&(0, β) — виковские символы операторов Ак.
Задача 4.3. Докажите, что виковский символ Г(0,0) оператора ки-
ральности Г это е~2вв.
7.4.2. Интеграл по путям для оператора эволюции
Пусть Η — гамильтониан системы из η фермионов — оператор
в Jtfp с виковским символом Η(θ,θ). Здесь мы выразим виковский сим-
вол υ{θ,θ\Τ) оператора эволюции U(T) = е~гТН, используя интеграл по
путям в грассмановых переменных. Изложение будет параллельно разде-
лу 5.2.4 главы 5, с очевидными упрощениями, вызванными тем, что фер-
мионное гильбертово пространство Жр конечномерно. Конкретно, вместо
предположения (2.11), сделанного в разделе 5.2.4 главы 5, будет использо-
ваться следующий элементарный результат.
Лемма 4.4. Пусть U(Ai) — оператор с виковским символом е-гНФ>в)А*.
Тогда
ЩТ) = lim U(At)N, где At = £.
Доказательство.
Виковский символ оператора R(At) = I — iHAt — U(At) — это мно-
гочлен от At с коэффициентами из алгебры Грассмана, с первым чле-
ном (Δ^)2. Легко видеть, что ||Д(Д£)|| < c(At)2 для некоторого с > 0,
и
U(T)= lim (I-iHAt)N= lim (U(At) + R(At))N = lim U(At)N.
N—юо N-+00 N—юо
Используя формулу для композиции виковских символов (см. теоре-

7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 441
му 4.1 и задачу 4.2), можно представить виковский символ Un{0,0;T)
оператора U(At)N как (N — 1)-кратный интеграл Березина. А именно:
рассмотрим антикоммутирующие переменные ctk = {а\, ... ,а£}, а& =
= {а\, ..., а£}, к = 1, ..., N — 1, — образующие алгебры Грассмана с ин-
п
волюцией — и обозначим α&α& = Y^OLlkalk и т.д. Тогда
1=1
г г N
υΝ(θ,θ;Τ) =/·../ exp { ^(afc(afc_! - afc) + β(α^ - β) -
^ ^ fc=l
ΛΓ-1
-z#(afc,afc_i)Ai)J JJ doLkdcxk,
fc=l
где ao = в, и мы положили α^ν = θ. Из леммы 4.4 следует, что
υ(θ,θ;Τ)= lim υΝ(θ,θ;Τ) =
Ν—>οο
= lirr^ Λ·. Аехр{^(аА,(а^_1-аА,)+в(а^-в)- (4.7)
^°°·' ** fc=i
iV-l
-iff(afc,afc_i)Ai)j J| d<xkdOLk.
fc=l
Эта формула выглядит в точности, как соответствующая формула
(5.2.4) для виковского символа оператора эволюции в разделе 5.2.4 гла-
вы 5! Соответственно, мы интерпретируем предел N —> оо как следующий
фейнмановский интеграл по путям в грассмановых переменных (или грае-
сманов интеграл по путям):
τ
/г [(гаа-Н(а,а))сИ+в(а(Т)-в)
е о ®ol®ol. (4.8)
/α(Γ)=β1
\α(0)=β/
Здесь «интегрирование» ведется по всем функциям a(f), ct(t) с антикомму-
тирующими значениями2 на интервале [О, Т], удовлетворяющим граничным
2Для любого 0 ^ t ^ Τ имеется копия независимой алгебры Грассмана с образующи-
ми а1^), ...^"(t^a^t), ...,an(t).

442
Глава 7
условиям α(0) = 0, ol{T) = θ и
N-l
QiolQiol = TT doL(t)dOL(t) = lim TT dctkdak.
Как и в разделе 5.2.4 главы 5, при 0 < t < Τ переменные ct{t) сопря-
жены к ct(t) относительно инволюции алгебры Грассмана, тогда как а(0)
и ct(T) — тоже переменные интегрирования — не сопряжены к граничным
значениям а(0) = 0, ct(T) = θ.
Замечание. Следует подчеркнуть, что единственный строгий смысл
грассманова интеграла по путям (4.8) — это предел кратных интегралов
Березина в (4.4). Однако, как мы уже видели в главе 5, оказывается очень
полезным представлять, что у интеграла по путям есть и независимое опре-
деление, и формально обращаться с ним так, как если бы это действительно
был интеграл.
Используя теорему 4.1, легко выразить суперслед оператора эволю-
ции U(T) — оператора в конечномерном гильбертовом пространстве Жр —
как грассманов интеграл по путям. Имеем
Trse~iTH = lim Ι υΝ(θ,θ'Τ)αθαθ = lim Λ · · /exp \θ(αΝ - θ) +
Ν-+οο J N-+00 J J ^
N N-l
+ ^2(oLk(oLk-i -OLk) - iH{oLk,OLk-i)M)\ J| doLkdOLkdGde =
k=l k=l
τ
г J{iOLOL—H{OL,cx))dt
fa(0)=a(T)l
\α(0)=α(Γ)/
— грассманов интеграл по путям с периодическими граничными условия-
ми. Периодические граничные условия возникают здесь из условий olq = θ
и адг = θ точно так же, как в разделе 5.2.4 главы 5, с использованием на
этот раз теоремы (4.1) и задачи (4.2). Обозначив как Λ соответствующее
«пространство грассмановых петель» — пространство всех функций с ан-
тикоммутирующими значениями ct(t) и a(t), сопряженных относительно
инволюции алгебры Грассмана и удовлетворяющих периодическим гранич-
ным условиям a(0) = ct(T) и а(0) = cl(T), — можно переписать предыду-
щую формулу как
τ
■πυ f if(iaot-H(a,a))dt
Тг3е~гТН = e о 9ol9cl.

7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 443
Заменяя физическое время t на евклидово время —it, а Т на — гТ, полу-
чаем представление виковского символа оператора U(—iT) = e~TH в виде
грассманова интеграла:
τ
/- Г(асг+Я(а,а))Л
е о ^α^α,
Γ«(τ)=β1
\α(0)=β/
а также для суперследа —
Тг5е_тя = / е ° ^α^α. (4.9)
Задача 4.4. Выразите матричный символ оператора эволюции как
грассманов интеграл по путям.
Задача 4.5. Покажите, что
™ ТЯ / -/(«а+Я(в,а))Л
/
/β(0)=-β(Γ)1
\α(0)=-α(Τ)/
— грассманов интеграл по путям с антипериодическими граничными усло-
виями.
7.4.3. Гауссовы интегралы по путям в грассмановых переменных
Для простоты мы рассмотрим здесь только случай π = 1. Как и в раз-
деле 5.5.3 главы 5, для u{t) G С1([0, Т],М) положим
τ
1
1
= !/«(*)* и D=ff
0
и рассмотрим на интервале [0, Т] дифференциальный оператор первого по-
рядка D + u(t) с периодическими граничными условиями. Следующий ре-
зультат дает значение простейшего гауссова интеграла по путям для грас-
смановых переменных.

444
Глава 7
Теорема 4.2. Имеем
г -J
Iе °
J\aot-\-u{t)aa)dt
®α$α = det(D + u(t)) = 1 - e_u°T.
Доказательство.
Используя лемму 2.4, получаем
/
— f (aa+u(t)aa)dt
e ° @a@a =
N (- - \ N
f f Σ [ak(ak-i-(*k)-u(tk)cxk<*k-iAt) γτ
= lim / · · · / efc=1 dakdak =
= lim del An-
Здесь αο = ο.ν, olq = ατν, ifc = &Δ£, a An — следующая TV x N матрица:
iAT
/10 0
h 1 0
0 b2 1
0 0 0
\o о о
где 6fc = — 1 H- u(tk)At. Имеем
N
0 бдД
0 0
0 0
1 0
bN-i I )
N
det AN = 1 - (-1)" Ц bk = 1 - JJ(1 - u(tk)At),
fc=l
fc=l
так что
τ
-fu(t)dt _
lim detA^^l-e о = 1 - e"ttoT.
ЛГ-юо
Доказательство завершается использованием предложения 5.3 из разде-
ла 5.5.3 главы 5.

7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 445
Пример 4.1 (Фермионный гармонический осциллятор). Фер-
мионный аналог гармонического осциллятора — это гамильтониан
Я = \ω{α*α - аа*) = ω(α*α - \l) = ω(Ν - § J),
где α* и а — операторы рождения и уничтожения в однофермионном гиль-
бертовом пространстве JPp = С2 (см. раздел 7.1.1). Виковский символ опе-
ратора Η — это Н(а, а) = ω(αα — |). Теперь, воспользовавшись (4.9)
и теоремой 4.2, получаем
т. ΤΗ Γ "/(δα+Η(δ,α))Λ
Λ
= е 2 / е о ^α^α = е 2 (1 - е"^) = 2sinh ^.
л
Конечно, тот же результат можно получить непосредственно, так как
ωΤ _ωΤ
е~тн — это просто матрица 2 х 2 с собственными значениями е 2 и е 2
и соответствующими собственными подпространствами ^р и ^f· Та-
ким образом,
ωΤ ωΤ rjl
Υτ8β-ΤΗ = е 2 - е" 2 = 2sinh Ц-,
Замечание. Имеется следующий аналог формулы (2.6) из главы 6
для интеграла по путям в грассмановых переменных:
/ Да, а)®а®а = [ \ [ ДА Θ; Д, Θ)9β9β I ММ, (4.10)
Λ \ \Λ0 /
где
τ
а(*) = 0+ /?(*) и fp(t)dt = 0,
о
а Ло — пространство грассмановых петель /З(^), /?(t) с нулевым постоянным
членом.

446
Глава 7
Пример 4.2. Воспользовавшись формулой (4.10) и теоремой 4.2, по-
лучаем
τ
— f(aa+u>aa)dt
/— f(aa+<jjaa)dt
е о ^α^α =
л
= β~ωΤθθαθαθ е о 9β9β = ωΤ е ° 0/?0/?,
Л0 Л0
так что
τ
/■ -fppdt det(D + Lj) 1-е~шТ
/ е о #/?#/J = Нт Ц- ^ = lim -—%-— = 1.
Λο
Эквивалентно,
/ е ь 9p&p=±det'D, (4.11)
Λη
где det'D = Γ (см. предложение 5.3 из раздела 5.5.3 главы 5). Введя
0i(t) - -±=(/3(i) + £(*)), 02(i) = -l^(/?(t) -0(t)),
так что 0j(£) = 0j(£), j = 1,2, можно переписать (4.11) как
/ е 2° ^i^2 = ψ det'D = 1.
Λο
Поскольку Pf '(£>) = Vdet'D = у/Т, имеем
/ е 2° ®e=-j=Pf'(D) = l. (4.12)
Ло(К)
Здесь область интегрирования Ло(М) состоит из всех функций 6{t) со зна-
чениями в алгебре Грассмана над R, имеющим нулевой постоянный член
и удовлетворяющим периодическим граничным условиям 0(0) = Θ(Τ). Мы
воспользуемся формулами (4.10) и (4.12) в разделе 8.2.2 главы 8.

7.5. Замечания и ссылки
447
Задача 4.6. Покажите, что
/
Γδ(0) = -α(Τ)\
\а(0) = -а
τ
— f(aa+u(t)aa)dt _
е о ^а^а = 1 + е~и°т
mi
— регуляризованный детерминант оператора D + u(t) на [О, Т] с антипери-
одическими граничными условиями.
Задача 4.7. Для фермионного гармонического осциллятора докажите
формулу
Тге_тя = 2 cosh ^- как непосредственно, так и с помощью результатов
задач 4.5 и 4.6.
Задача 4.8. Докажите формулу (4.10). (Указание: следуйте доказа-
тельству теоремы 4.2 и воспользуйтесь разложением а& = 0 + /?fcj где βο =
= βΝ и Σ fa = о.)
fc=l
Задача 4.9. Дайте прямое доказательство формулы (4.12).
7.5. Замечания и ссылки
Канонические антикоммутационные соотношения, обсуждавшиеся
в разделе 7.1, ввели П.Йордан и Э.Вигнер в 1928 г. [JW28]. Мы отсылаем
читателя к классической монографии Ф. А. Березина [Бер86с] за исчерпы-
вающим математическим разбором канонических коммутационных и ан-
тикоммутационных соотношений. Хотя работа [Бер86с] посвящена в ос-
новном квантовым системам с бесконечным числом степеней свободы,
изучающимся в квантовой теории поля, в ней обсуждается и более про-
стой случай конечного числа степеней свободы. Замкнутое математическое
введение в алгебры Клиффорда, их представления и другие темы мож-
но найти в [Var04] и цитируемых там работах. Фундаментальную идею
о том, что системы с грассмановыми переменными возникают как квази-
классические пределы фермионов, сформулировал И.Л.Мартин в 1959 г.
[Mar59b,Mar59a]. Ф. А. Березин в [БербЗ] независимо ввел грассмановы пе-
ременные для строгого математического описания вторичного квантования

448
Глава 7
фермионных систем с помощью производящих функционалов для векторов
и операторов. Материал в разделе 7.2 — дифференциальное и интегральное
исчисление на алгебре Грассмана — принадлежит Ф. А. Березину, и наше
изложение следует [Бер86с] и [Бер83с]. Супералгебру — линейную алгебру
градуированных векторных пространств, — которую мы очень кратко изла-
гаем в разделе 7.3, тоже открыл и разработал Ф. А. Березин [Бер83с]. Источ-
ники [Ман84], [Fre99] и [DM99] познакомят читателя с более абстрактным
математическим описанием предета, тогда как лекции [Var04] дополняют
теоретико-категорный подход [DM99] мотивациями из физики. Мы ссыла-
емся на [Бер63,Бер86с] для общего обсуждения интеграла по путям в пере-
менных Грассмана и матричных и виковских символов операторов в фер-
мионном гильбертовом пространстве. В разделе 7.4 мы следуем изящному
изложению [Сла88с]; как и в разделе 5.2.4 главы 5, мы аккуратно разбираем
граничные условия для грассмановых интегралов по путям для виковских
символов (в отличие от формул [Бер71а]).

Глава 8
Суперсимметрия
8.1. Супермногообразия
На координатном векторном пространстве V = Ш.п есть естественная
структура гладкого многообразия, сопоставляющая любому открытому под-
множеству U СМ71 коммутативную R-алгебру C°°(U) всех гладких функ-
ций на U. Сопоставление
U^C°°(U)
для открытых U С Rn определяет пучок коммутативных R-алгебр (ком-
мутативных колец) на топологическом пространстве Rn и превращает его
в окольцованное пространство. Любое гладкое n-мерное многообразие Μ
является окольцованным пространством — топологическим пространством,
на котором определен пучок коммутативных колец, — локально изоморф-
ным окольцованному пространству Rn. Легко видеть, что такое определе-
ние эквивалентно стандартному, в котором многообразие получается склеи-
ванием координатных окрестностей. В понятии супермногообразия эта идея
обобщается с помощью локальных моделей, связанных с градуированными
векторными пространствами.
А именно: пусть W = Rp'9 — координатное градуированное векторное
пространство размерности p\q над R. Следующим определением формали-
зуется интуитивное представление о том, что нечетные координаты на W
антикоммутируют.
Определение. Супермногообразие Rp'9 — это топологическое про-
странство Rp вместе с пучком коммутативных R-супералгебр (суперкомму-
тативных колец) над R, называемым структурным пучком и определенным
сопоставлением
u^c°°(u)[e\...,eq]
для открытых U С MP, где С°°([/)[0\ ..., 6q] — алгебра Грассмана на об-
разующих 01, ..., 6q над коммутативным кольцом C°°\U).

450
Глава 8
Замечание. Элементы С°°(С/)[^1, ..., Θ9] имеют вид
f = J2fi6I, 0/ = 0*1...0i* и //GC°°(£/)
при / = {ii, ..., ik} Я: {1, ..., q} и называются функциями на супермно-
гообразии Rp'9 над U. Таким образом, M?\q — координатное пространство
с четными координатами х = (х1, ... ,хр) и нечетными координатами
θ = (0\ ..., θ"), и мы будем записывать элемент /GC00^1,..., 6q]
как /(ж, 0).
Определение. Супермногообразие размерности p\q — это пара
(X, Ох) — топологическое пространство X вместе с пучком Ох супер-
коммутативных колец над R, называемым структурным пучком, локально
изоморфным Rp\q.
Супермногообразия образуют категорию: морфизм между супермного-
образиями (Х,Ох) и (У, Ογ) — это непрерывное отображение φ : X —» Υ
вместе с отображением пучков φ* : Ογ —> Ох над φ — набором гомомор-
физмов суперкоммутативных колец над R,
Ψν '· Oy(V) —► Ox(ip~1(V))y где подмножество VCY открыто,
коммутирующих с отображениями ограничений пучков.
Любому векторному расслоению Ε ранга q над обычным р-мерным
многообразием Μ соответствует супермногообразие НЕ размерности p\q9
определяемое сменой четности в слоях Е. То есть для каждого открыто-
го U С Μ пусть C°°(U, Е) — пространство всех гладких сечений Ε над U.
Это свободный С°°(£/)-модуль, порожденный q сечениями 01, ..., 09. Рас-
смотрим их как образующие алгебры Грассмана (этим объясняется исполь-
зование греческих букв) и определим структурный пучок супермногообра-
зия НЕ, сопоставляя U ь-> С°°{и)[в1, ..., вя]. Можно показать, что любое
супермногообразие изоморфно (неканонически) НЕ для некоторого вектор-
ного расслоения Ε над М.
Замечание. Морфизмов супермногообразий гораздо больше, чем
морфизмов векторных расслоений, так как разрешается перемешивать чет-
ные и нечетные переменные. Так, для супермногообразия R1'2 с четной
координатой х и нечетными координатами θ\, 02 отображение
ip(x) = х + 0102, φ(θ*) = θ\ г = 1,2,
— изоморфизм R1'2, не индуцированный изоморфизмом тривиального рас-
слоения ранга 2 над R.

8.1. Супермногообразия
451
С помощью этих определений можно развивать дифференциальную
геометрию супермногообразий и соответствующую теорию интегрирова-
ния, довольно похожие на обычную геометрию многообразий (см. ссылки
в разделе 8.7). Мы рассмотрим здесь только простейший пример супермно-
гообразия ПТМ, где Μ — обычное многообразие. Замечательно, что основ-
ные понятия дифференциальной геометрии многообразия Μ можно сфор-
мулировать в терминах супермногообразия ПТМ.
А именно: пусть Д*(М) — коммутативная супералгебра гладких диф-
ференциальных форм на n-мерном многообразии Μ и пусть С°° (ПТМ) —
коммутативная супералгебра глобальных сечений структурного пучка
ПТМ — супералгебра функций на супермногообразии ПТМ. Изоморфизм
А*{М)~С°°(ПТМ)
позволяет интерпретировать дифференциальные формы на Μ как функции
на ПТМ. Действительно, любой форме ωρ € АР(М), заданной в локальных
координатах на U С Μ формулой
ωρ = 2_] 0»%!... гр (x)dxn Л ... Л dxtp,
l^ii< . . . <гр^п
сопоставим
ωρ(Χ,θ)= Σ α^..Λρ{Χ)θ^...θ1>€θ°°{υ)[θ\...,θη}.
l^ii< . . . <гр^п
Из определения дифференциальной формы и супермногообразия ПТМ
тривиально выводится, что при заменах координат компоненты а^.. .ip(x)
преобразуются как коэффициенты дифференциальной формы, &θ\...,θη —
как компоненты касательного вектора, так что ωρ(Χ,θ) — корректно опре-
деленная функция на супермногообразии ПТМ. Соответственно, диффе-
ренциал де Рама d порождает нечетное векторное поле δ на ПТМ,
удовлетворяющее свойству δ2 = 0. Наконец, на супермногообразии ПТМ
имеется каноническая форма объема ахав — dx1... dxnd91... αθη, кор-
ректно определенная благодаря противоположным формулам замен пере-
менных в обычном интеграле и интеграле Березина (см. раздел 7.2.3 гла-
вы 7). Интегрирование по Μ дифференциальной формы старшей степени
сводится к интегрированию соответствующей функции по ПТМ по кано-
нической форме объема,
/ ωη = / un(x,e)dxde.
М ПТМ

452
Глава 8
Замечание. Иногда в математической литературе, подчеркивая, что
формулы замены переменных в обычном интеграле и интеграле Берези-
на противоположны, форму объема на супермногообразии UTM обознача-
ют dxdO~l.
Задача 1.1. Докажите все утверждения этого раздела.
8.2. Эквивариантные когомологии и локализация
8.2.1. Конечномерный случай
Пусть Μ — компактное ориентируемое n-мерное многообразие, на ко-
тором задано действие окружности — действие абелевой группы U(l) = 51,
и пусть V Ε Vect(M) — векторное поле, соответствующее этому действию,
V(f)(z) = |
/(ей -ж), хе М.
Рассмотрим линейный оператор
D = d - iv : АШ(М) ^ А*(М),
где гу — оператор внутреннего произведения с V. Воспользовавшись отож-
дествлением Am(M) ~ С°°(ПГМ), в локальных координатах
х = (ж1, ...,хп)на[/сМ можно представить D как
μ=1 μ=1
Из формулы Картана (см. главу 1) или непосредственно из (2.1) следует,
что
D2 = -Су,
где Су — производная Ли. Таким образом, D — это дифференциал на под-
комплексе A*(M)S Sг-инвариантных дифференциальных форм на М. Ко-
гомологии этого комплекса и есть эквивариантные когомологии в форму-
лировке Картана. Поскольку dniy имеют соответственно степени 1 и —1,
эквивариантно замкнутые формы на Μ в общем случае имеют несколь-
п
ко компонент. Конкретнее, уравнение Da = О для а = Σ ар € А*(М)
р=0
эквивалентно следующей системе уравнений:
da.v = iyap+2, Ρ = 0, ..., η — 2, и iyot\ = О, dan-\ = 0.

8.2. Эквивариантные когомологии и локализация 453
Пусть My — локус нулей векторного поля V, т.е. множество непо-
движных точек действия окружности. Имеем следующее фундаментальное
свойство эквивариантно замкнутых дифференциальных форм.
Лемма 2.1. Эквивариантно замкнутая дифференциальная форма на
компактном многообразии Μ эквивариантно точна на Μ \ My.
Доказательство.
Пусть а £ А*(М) такое, что Da = 0. Мы хотим найти дифференци-
альную форму λ на Μ\My, такую, что а = DX на М\Му. Предположим,
что существует форма ξ на Μ \ My с компонентами нечетных степеней,
удовлетворяющая условию Ωξ = 1. Положив λ = ξ Λ α, получаем
DX = Ωξ Λ a - ξ Λ Da = a.
Чтобы построить такую форму £, выберем S1 -инвариантную риманову мет-
рику раМи обозначим как β е Лг(М) 1-форму на М, двойственную
к векторному полю V относительно римановой метрики, β = (V, ·). По-
скольку метрика g Sλ -инвариантна, Суд = 0, поэтому Су β = 0. Имеем
£>/? = # + Ω, где K = -\\V\\2 и Ω = αβ.
Поскольку К е Л°(М) не обращается в ноль на Μ \ My,
ξ = /wr1 = f (i + к-'пу1 = | D-^S' i =
является корректно определенной формой на М\Му со свойством £)£ = 1.
Следствие 2.1. Старшая компонента эквивариантно замкнутой фор-
мы на Μ точна на Μ \ My.
Замечание. В локальных координатах х = (ж1, ..., хп) на Μ рима-
нова метрика д имеет вид1 ds2 = gμvdxμdxь', и уравнение Суд = 0 —
условие того, что V является векторным полем Киллинга относительно
метрики д, — можно записать в виде
gμx V„vX + 9и\ V/У = 0. (2.2)
Здесь Vu — ковариантная производная по векторному полю -^—-. Для 1-
ΟΧμ
формы β = g/Jil/vl/dxfJ' имеем также
Dβ = -g^v" + ωμναΧμ Λ dxv', где ωμν = д„\Ч^х. (2.3)
предполагается суммирование по повторяющимся индексам.
П
2

454
Глава 8
В силу (2.2) η х η матрица и(х) = {ωμ1/(Χ)}Ι^1,=1 кососимметрична. Для
четного η = 21 ориентация на Μ позволяет определить Pf(o;(x)) как
произведение Ai... А/ наддиагональных элементов в канонической фор-
ме2 кососимметричной матрицы ш(х) (см. раздел 7.2.3 главы 7). Соответ-
ственно, Pf(u;)(x)(det д(ж)) 2 не зависит от выбора локальных координат
и определяет функцию на М. Для любого х £ Μ существует также ли-
нейное отображение Lx : ТХМ —> ТХМ, определенное формулой LXW =
= (VwV)(x), где W — ковариантная производная по W е ТХМ. Посколь-
ку det Lx det^(ar) = Pf(u;(a;))2, определим
Щи(х))
^d^Lx = ^^lL. (2.4)
y/detg(x)
Для х € My отображение Lx не зависит от выбора S1 -инвариантной мет-
рики д и дается матрицей < —-(ж) >
V UX ) μ,ν=1
Согласно лемме 2.1 интеграл fa эквивариантно замкнутой диффе-
м
ренциальной формы α локализуется на локусе нулей My. Более точно это
выражается в следующем утверждении.
Предложение 2.1. Допустим, что Da=0 на М. Тогда для любого S1-
инвариантного β Ε Λ1 (Μ) интеграл f aetD@ не зависит от L
м
Доказательство.
Обозначим этот интеграл как Z(t). Имеем
iaDPetDP = fD(paetDP) + i pD(aetD^) = О,
dt
MM Μ
где первый интеграл равен нулю по теореме Стокса, а второй — в силу
условий Da — О и В2 β = 0.
Обычно этот результат используется для вычисления Ζ(0) = f а с по-
м
мощью нахождения асимптотики Z(t) при t —► оо. Для подходящим обра-
зом выбранной 1-формы β основной вклад дается интегралом по трубчатой
2 Полученной с помощью ортогонального преобразования с детерминантом 1.

8.2. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ 455
окрестности локуса нулей компоненты К = (DP)о е А°(М), который
можно вычислить в замкнутом виде при t —> оо. Простейший случай яв-
ления локализации происходит, когда у действия окружности на Μ есть
только изолированные неподвижные точки, т. е. когда My — конечное мно-
жество, a Lx невырождено при х Ε My. В частности, в этом случае η
четно.
Теорема 2.2 (Теорема локализация Н. Берлин-М.Вернь). Пусть
Μ — компактное ориентированное 21-мерное многообразие, на котором
задано действие окружности, имеющее только изолированные неподвиж-
ные точки. Тогда для любой эквивариантно замкнутой формы а € А* (М)
J
а = (2π)' Σ αθ{Χ)
h xeMv VdetLx
Доказательство.
Пусть β — 1-форма, вводившаяся в доказательстве леммы 2.1, так что
в локальных координатах Ω = αβ = ωμναΧμ Λ dxv'. Используя предложе-
ние 2.1 и отождествление А'(М) ~ С°°(ПГМ), получаем
[а= lim / a^^Je-^^W^^^W+^^^^^dxde.
J t^oo J
Μ UTM
Имеем, в смысле обобщенных функций,
lim fiV y/detg(x)e-t9^x^^vU^ = S(V(x)) (2.5)
t—юо \/г/
— главную формулу метода Лапласа (см. метод стационарной фазы в раз-
деле 2.2.3 главы 2) и
,Ит (2*Г1^ГТТ^(х)в^ = т (2.6)
t-^oo Pf(o;(x))
— главную формулу гауссова интегрирования по грассмановым перемен-
ным (см. предложение 2.3 в разделе 7.2.3 главы 7). Поскольку а0(рс) = а(ж,0),
результат получается с помощью формул (2.5)-(2.6), (2.4) и

456
Глава 8
Задача 2.1. Докажите формулы (2.2) - (2.4).
Задача 2.2. Докажите формулы (2.5) - (2.6) и завершите доказатель-
ство теоремы 2.2.
8.2.2. Бесконечномерный случай
Важный класс бесконечномерных многообразий составляют простран-
ства петель. Пусть Μ — компактное ориентируемое n-мерное многообразие
и пусть
C(M) = C°°(S\M),
где S1 = R/Z — его пространство свободных петель. Пространство пе-
тель С{М) — бесконечномерное многообразие Фреше, и касательное про-
странство Т7С(М) к С(М) в точке η е £(М) — это
Г7£(М) = Г(51,7*(ГМ))
— векторное пространство гладких векторных полей V = {v(t) €
£ ΤΙφΜ, О ^ £ ^ 1} на петле η в М.
На пространстве петель С{М) определяется каноническое действие
окружности — действие S1 на себе вращениями. Соответствующее этому
действию векторное поле — это j, векторное поле скоростей j(t) на пет-
ле 7 в М. Неподвижные точки действия — это постоянные петли, так что
£(М)7 = М.
Векторное поле η на С{М) — генератор действия окружности
на С(М) — аналогично векторному полю V на М, рассмотренному
в предыдущем разделе. Как и в конечномерном случае, обозначим как D =
= d — ц эквивариантный дифференциал на комплексе A*(C(M))S экви-
вариантных дифференциальных форм на С(М). Воспользовавшись отож-
дествлением А'(С(М)) ~ С°°(ПГ£(М)), имеем следующий бесконечно-
мерный аналог представления (2.1):
DF = J'U(t)^-x»(t)^\dt, FeC°°(UTC(M)). (2.7)
Здесь мы используем вариационные производные (как в вариационном ис-
числении), локальные координаты х = (ж1, ... ,хп) на Μ и соответству-
ющие стандартные координаты на Г7(4)М и ПГ7(^М, так что 7 Μ =
= (х1®, ... ,xn(t)) e Tl{t)M и 0(t) = (θλ(1), .. .,&"(*)) е ПГ7(4)М. Как

8.2. Эквивариантные когомологии и локализация 457
и в конечномерном случае,
0 х '
Чтобы определить бесконечномерный аналог 1-формы β, выберем рима-
нову метрику gμvdxμdxv на Μ и рассмотрим 5l-инвариантную риманову
метрику на С(М), полученную интегрированием д по петле3,
1
{VUV2)7 = j\vi(t)Mt))dt, VUV2 е Г7£(М).
о
1-форма β на С(М) двойственна векторному полю η относительно рима-
новой метрики на С(М) и задается следующей функцией на ПТС(М):
1 1
0(7,0) = f m\9{t))dt = f g^{i{t))i^{tW{t)dt. (2.9)
о о
Лемма 2.2. 1-форма β на С(М) является S1-инвариантной, и функ-
ция Ωβ = —25 на ИТС(М) дается формулой
1
5(7,(?) = \ J (II7WII2 + {9{t),44t)e{t)))dt, (2.10)
о
где V^ — ковариантная производная вдоль η. Первый член в —25 — аналог
функции К в конечномерном случае, а второй — аналог 2-формы Ω.
Доказательство.
1-форма β является 51 -инвариантной по определению. Имеем
Ωβ = αβ- цР,
3Здесь и ниже (vi(t), V2(t)) всегда обозначает скалярное произведение в ΤΙ^Μ, задава-
емое римановой метрикой д.

458
Глава 8
где второй член, функция —ц@ на ИТС(М), очевидно, дает второй
член в (2.10). Далее, воспользовавшись тем, что, в смысле обобщен-
ных функций,
δ
SxP(s)
x»(t) = 6pl*S(t-s)
δ x^{t) = δρμ^-δ{1 -s) = -δρμ-^δ(1 - s),
5xp(s) w dt v } ds
вычислим αβ следующим образом:
1 1
αβ{η,θ) = ||^(5)^^(^(Χ(0)^(^))^(0^Λ =
о о
1 1
= j f 0p{s)(^rx^t)5{t -s)- δρμ9μ,£δ^ - 8))ev(t)d8dt =
о о
1
= I (g„v{x{t)W{t)ev{t) + d-l^{x{t))±»{t)ee{tw{t))dt.
0
Из определения символов Кристоффеля (см. пример 1.7 в разделе 1.1.3 гла-
вы 1) и антикоммутативности θμ следует, что
^ х"№ = 9μνΥ\σΧ^Θ\ (2.11)
и мы получаем
1
«#(7,0) = /д^ЫЩ^) + T»x(x(t))x"(t)ex(t))e»(t)dt =
о
1
= J{vme(t),e(t))dt.
Как и в главе 6, можно развивать теорию интегрирования на £(М)
по отношению к мере Винера, соответствующей римановой метрике на М,

8.2. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ 459
с помощью соответствующего ядра теплопроводности4. Можно также инте-
грировать дифференциальные формы по С(М) при условии, что С(М) ори-
ентируемо. Как и в конечномерном случае, последнее определяется требо-
ванием, чтобы структурная группа £(80(п))-расслоения C(FM) —► £(М),
где FM —► Μ — расслоение базисов, редуцировалась к связной компоненте
единицы. Из гомоморфизма трансгрессии
H2(M,Z2)-+H\C(M),Z2)
следует, что образ второго класса Штифеля - Уитни многообразия Μ — пре-
пятствие к ориентируемости С(М). В частности, если Μ — спинорное мно-
гообразие, то С(М) ориентируемо, а если Μ односвязно, то это условие
является и достаточным.
В нижеследующем мы не будем пытаться развивать теорию инте-
грирования на С(М)9 а сформулируем и «докажем» бесконечномерную
версию общей теоремы локализации Берлин-Вернь только на эвристиче-
ском уровне. Ключевое наблюдение состоит в том, что согласно лемме 2.2
дифференциальная форма e~s на £(М) эквивариантно замкнута, поэтому
функциональный интеграл J e~s локализуется — сводится к КОНечНО-
мерному интегралу по С{М)^ = М, локусу нулей векторного поля η.
Для количественной формулировки этого результата вспомним поня-
тие Л-рода. А именно: Л-род риманова многообразия (М,д) — это диф-
ференциальная форма А(М), определенная следующим образом. Пусть
R е А2(М,$о(ТМ)) — риманова кривизна Μ и пусть βμ — локальный ор-
тонормальный базис ТЫ. Положим
Κμ„ = (Дем,е„) е Л2(М),
ИПУСТЬ ./т.ч , /sinhR/2\
^R) = det(-R7^J
— дифференциальная форма четной степени на М. Она не зависит от вы-
бора локального ортонормального базиса ТМ, и Л-род многообразия Μ
определяется формулой5
i(M)=j(R)"2 =det ' R//2
sinhR/2
Это замкнутая дифференциальная форма, класс когомологий которой не
зависит от выбора римановой метрики на М.
4В главе 6 рассматривался случай Μ = Rn со стандартной евклидовой метрикой.
5Это геометрическое определение Л-рода; в топологии R заменяют на (2пг)~гК.

460
Глава 8
Замечание. В локальных координатах на Μ
ΙΧμΙ/ = ;τ-*£μΙ/ρσ(ΖΧ A CLX ,
где Κμνρσ — тензор кривизны Римана.
Теорема 2.3. Пусть Μ — компактное ориентируемое многообразие,
такое, что пространство свободных петель С(М) ориентируемо. Тогда
£(М)
АЗАТЕЛЬСТВО.
(Эвристическое.) Интеграл
= (2тгг)~
С{М) UTC{M)
"2 [ А(М).
м
o-S{l,e)S,x^Q
локализуется на локусе нулей С(М)^ = М, так что достаточно про-
интегрировать по маленькой трубчатой окрестности многообразия НТМ
в ИТС(М). Для этого рассмотрим нормальные римановы координаты нор-
мального расслоения Af(UTM) к UTM в точке (х(ь#о) € ПТЖоМ, имею-
щие вид y(t) = {у1®, .. .,yn(t)) в ТХ0М и φ) = (q1^), ... ,Vn(t)) e
е ИТХоМ и удовлетворяющие условию
1 1
jy^(t)dt = 0 и [rf(t)dt = 0, μ=1,
,η.
Координаты (ey(t),e^t))9 где вещественное ε достаточно мало, соот-
ветствуют точке (expXo(sy(t)),P(ej){0o + ^(t))) в нормальном расслое-
нии Af(UTM), где ехр — экспоненциальное отображение, a P(e,t) — па-
раллельный перенос в UTM из хо вдоль пути expXo(sy(t)) при 5, изменя-
ющемся от 0 до ε.
Поскольку мы интегрируем по произвольно малой трубчатой окрест-
ности НТМ в ПХХ(М), достаточно разложить 5(7,0) ДО членов второго
прядка в локальных координатах (y(t), r/(i)). Поскольку в римановых нор-
мальных координатах около хо на Μ
Ы*) = ^ + 0(||х||2) и κμ1/ρσ(Χο) = ^.--^-,

8.2. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ 461
легко получаем, что в (хо> #о) € ПТЖоМ
*^(7? 0) — Sq(xq, #о; У, ν) + члены старшего порядка по 2/μ(£), ?7μ(£),
где
5о(хо,^о;У,^) =
1
= | У (^(i)^(t) - ^иЫГ{^{1) - ff{t)Tf{t))dt, (2.12)
βμΙ/(^θ) — 2^μ^σ(^θ)^θ^Ο·
Теперь, используя свойство (2.6) из раздела 6.2.2 главы 6 (где т = Ь = 1
и Τ = 1), формулу (4.10) из раздела 7.4.3 главы 7 и производя гауссово
интегрирование, получаем
/ е"5 = (27г) * / ( / e-Soixo^y>r»@y@vyxodeo =
UTM Я{ПТМ)
= (2тг)"2 / det^-^^-R^^o^o)^)"2^^^,
£(М)
птм
где мы также воспользовались формулой (4.12) из раздела 7.4.3 главы 7.
Поскольку R = {ΕμΙ/}μ,!/=1 — кососимметрическая матрица с четными мат-
ричными элементами, существует ортогональная матрица С с детерминан-
том 1, такая, что
CRC'1 =
Легко увидеть, что матричные дифференциальные операторы второго по-
рядка
(°
-п
1 °
V о
Г1 ··
0 ··
0 ··
0 ··
• 0
• 0
• 0
Гт
°\
0
Тт
оУ
, т=*

462
Глава 8
где /2 — единичная 2x2 матрица, имеют один и тот же спектр. Воспользо-
вавшись формулой (3.5) из раздела 6.3.2 главы 6 с ω = ±ггк, получаем
det'(-£2V " *ν#) = ft det' ( ~^2/2 + ( r° ~~q] Dj =
m
= Π det'(-£>2 - irkD)det'(-D2 + irkD) =
= №)■
Поэтому, используя отождествление С°°(ПТМ) ~ А*(М), мы в конце кон-
цов получаем
( е-5 = (2тг)""2 / j(iR(x,e))~*dxd0 =
итм е
(2тгг)"2 [ А(М).
Замечание. Воспользовавшись формулами (2.6) из раздела 6.2.2 гла-
вы 6 и (4.10) из раздела 7.4.3 главы 7, можно видеть, что тот же результат
выполняется для пространства Cj(M) петель на М, параметризованных
интервалом / = [0, Г]:
/ е ° 3>х$в = (2m) 2 / А(М).
ПГ£7(М) М
Задача 2.3. Выведите формулу (2.8).
Задача 2.4. Выведите формулы (2.11) и (2.12).
С{М) ПТМ
Задача 2.5. Обоснуйте рассуждения в «доказательстве» теоремы 2.3.
(Указание: см. ссылки в разделе 8.7.)

8.3. Классическая механика на супермногообразиях 463
8.3. Классическая механика на супермногообразиях
Как упоминалось в главе 4, понятие спина является чисто квантовым
и не имеет классических аналогов, то же относится к фермионным систе-
мам, рассматривавшимся в главе 7. Однако, можно формально рассмотреть
частицы с антикоммутирующими координатами и сформулировать класси-
ческую механику на супермногообразиях. Хотя такие системы не имеют
физической интерпретации6, формальным квантованием из них получают-
ся фермионные системы. Это позволяет интерпретировать частицы с грас-
смановыми степенями свободы как квазиклассические пределы фермионов.
8.3.1. Функции с антикоммутирующими значениями
Любое гладкое отображение f : Μ —> N гладких многообразий Μ πΝ
порождает гомоморфизм алгебр Фреше
/* :Соо(Л0->Соо(М),
где f*(<p) = φ ο / для φ е C°°(N). Обратно, любой гомоморфизм алгебр
Фреше F : C°°(7V) —> С°°(М) является гомоморфизмом такого вида для
некоторого гладкого отображения f : Μ -> N.
По определению отображение (морфизм) между супермногообразия-
ми X и Υ — это гомоморфизм супералгебр
F:C00(Y)-^C00(X),
где С°°(Х) и C°°(Y) — коммутативные супералгебры глобальных сечений
соответствующих структурных пучков Ох и Ογ (см. раздел 8.1). Обозна-
чим как Мар(Х, Υ) пространство всех отображений между супермногооб-
разиями X и Υ. Вот простейшие случаи:
1. X = R0'1 — нечетное одномерное супермногообразие, а Υ = Μ —
обычное (четное) многообразие;
2. X = R (или S1 и I = [to,ti]) — четное одномерное многообразие,
a Y = R°'n — нечетное n-мерное координатное векторное простран-
ство.
В первом случае любой гомоморфизм супералгебр F : С°°(М) -» Щв]
имеет вид
F(<p) = A(<p) + B(<p)0, φβΟ°°(Μ),
6В классической механике, описывающей физические явления на макроскопическом
уровне, с необходимостью используются коммутирующие координаты.

464
Глава 8
где А : С°°(М) -> R - гомоморфизм R-алгебр, а В : С°°(М) -►
—► С°°(М) — дифференцирование на коммутативной алгебре С°°(М). По
теореме Гельфанда-Наймарка существует х G М, такое, что Α(φ) = <р{х)
и В (ψ) = αφ(ν), где υ € ТЖМ. Таким образом, любое отображение
/: R0'1 —» Μ определяется точкой (ж, г;) G ГМ.
Однако во втором случае мы имеем гомоморфизм супералгебр
F:R[0\ ...,0n]->C°°(R),
и поскольку коммутативная алгебра C°°(R) не содержит нильпотентных
элементов,
F((91)= ... = F(0n) = O.
Такой результат, конечно же, неудовлетворителен, поскольку любое отоб-
ражение R —» R°'n тривиально: 0fc(£) = 0, к = 1, ..., п. Чтобы исправить
ситуацию, следует рассмотреть аналог функтора точек Гротендика из алгеб-
раической геометрии. А именно: введем вспомогательную алгебру Грассма-
на W = R[ql, · · · 5 VN] и рассмотрим произведение7 W x R с супералгеброй
функций С00^)^1, ..., 77^]. «VF-точки» пространства Map(R, R°'n) опре-
деляются гомоморфизмами коммутативных супералгебр
F : R[0\ ..., θη] -> C°°(R)[v\ ..., ηΝ].
В этом случае принято писать
9k(t) = F(ek) = α\{1)η1 + ... + akN(t)VN, к = 1, ..., η, (3.1)
где вещественнозначные ак (£), ..., a^(t) G C°°(R). Удобно думать о 0fc(£)
как о гладких функциях от переменной t с антикоммутирующими значени-
ями и определять
ek(t) = ak1(t)v1+...+akN(t)vN, (3.2)
где точка обозначает производную. Чтобы подчеркнуть, что грассмановы
переменные 6k(t) «вещественнозначны», мы всегда будем предполагать,
что W — это множество неподвижных точек в алгебре Грассмана с ин-
волюцией над С, так что
ek{t)=ek(t), Jfe = l, ...,n.
Таким же способом определяются VF-точки пространств Map(51,R°'n)
HMap(7,R°ln).
7Геометрически это соответствует семейству пространств, параметризованных W.

8.3. Классическая механика на супермногообразиях 465
Замечание. Такое определение пространства отображений
Мар(/,М°1П) (а также пространств Мар(М,М°1п) и Мар(51,М°1п)) моти-
вируется определением, которое используют физики: они вводят бесконеч-
номерную вспомогательную алгебру Грассмана W, так что для любого t
значения вк (t) — «независимые грассмановы переменные».
Замечание. Можно также определить функции на пространстве
Мар(/, М°1П) — функционалы от функций с антикоммутирующими значе-
ниями 9k(t). Так, для простейшего примера квадратичного функционала
S(0) = \ J e(t)0(t)dt, (3.3)
to
где мы положили η = 1 и θ1^) = 6(t), используя (3.1)-(3.2), получаем
ti
S(0) = \ j (ak(t)<n{t) - ak(t)ai(t))dtVkVl e R[V\ .. .,ηΝ].
to
Здесь множитель г = \/—I гарантирует, что τη1*η1 — вещественные грассма-
новы элементы, т. е. i^rf = —irf"r\k = ir\k,rf. В общем случае пространство
«функций» на Мар(/, Μ°·η) - это Л#(Мар(/, Мп)*)®W, где Мар(/, Мп)* -
(топологическое) векторное пространство, двойственное к векторному про-
странству Map(J, Mn), a W — алгебра Грассмана с бесконечным числом
образующих.
Векторные поля с антикоммутирующими значениями естественно ас-
социируются с пространством путей на гладком многообразии М. А имен-
но: пусть
Р/(М) = {7:/-М},
где I = [£(b£i]> — пространство гладких параметризованных путей на М.
Рассмотрим супермногообразие UTM (см. раздел 8.1), и для любого
7 £ Pi(M) пусть 7*(ПТМ) — обратный образ расслоения над I. По опре-
делению векторное поле с антикоммутирующими значениями 6{t) — это
сечение 7*(ПГМ) над I. В локальных координатах х = (ж1, ..., хп)
Таким образом,
ПГР/(М) = {(7, в) : 7 е Р/(М), θ е Г(/,7*(ПГМ))}.
Задача 3.1. Покажите, что S е Л*(Мар(/,М)*) ® W, где S — квад-
ратичный функционал, определенный формулой (3.3).

466
Глава 8
8.3.2. Классические системы
Здесь мы рассмотрим основные примеры классических систем на су-
пермногообразиях.
Пример 3.1 (Свободная классическая частица со спином i).
Конфигурационное пространство — супермногообразие ПТМ3 ~ M3'3, каса-
тельное расслоение к R3 с обратной четностью слоев, с четными и нечет-
ными координатами х = (ж1, ж2, ж3) и θ = (θ1, θ2, θ3). Функционал дей-
ствия S : ПТР/(М3) —> W, где W — некоторая вспомогательная алгебра
Грассмана, определен формулой
ti
S(x(t), 0(t)) = / L(x(t), x(t), 0{t))dt =
to
i i(mx2 + iee)dt, (x(t), e(t)) € ΠΓΡ/QR3). (3.4)
2
to
Здесь
— функция Лагранжа. Она вещественнозначна, поскольку
L(x(t),x(t),e(t)) = ±(mx2{t) + i0{t)e(t))
%в{Ь)в{Ь) = -i0(t)e(t) = %e(t)e(t).
Как и в разделе 1.1.2 главы 1, классические уравнения движения имеют вид
следующих уравнений Эйлера-Лагранжа:
x(t) = О и 0(t) = 0.
Канонически сопряженные импульсы8 определяются формулами
рк = Щ=тхк и пк = А-Ь = -Ук, к = 1,2,3,
дхк двк 2
а функция Гамильтона Я получается с помощью преобразования Лежанд-
ра:
р2
Η = рх + вп - L = £-.
2m
8 Здесь индексы поднимаются и опускаются с помощью стандартной евклидовой метрики
наМ3.

8.3. Классическая механика на супермногообразиях 467
В соответствии с классическими уравнениями движения 0(t) — О га-
мильтониан Η не зависит от нечетных переменных. Фазовое простран-
ство — супермногообразие М6'3 с вещественными координатами р, ж,0
и симплектической формой
ω = dp Λ dx — ^αθαθ.
В согласии с разделом 7.2.2 главы 7 скобки Пуассона нечетных переменных
даются формулой
{0*,0г} = г<5ы, Μ = 1,2,3. (3.5)
Скобки Пуассона удовлетворяют следующему свойству инволюции:
{ЛГЫ = (-1)|/1||Л|{Л./2}, h,f2ec[e1,e2,e3}. (з.б)
Мы увидим в разделе 8.5, что после квантования эта система описывает
свободную квантовую частицу со спином -.
Пример 3.2 (Классическая частица со спином А в посто-
янном магнитном поле). Эта система описывается конфигурацион-
ным пространством М3'3 с вещественными координатами ж, 0 и функцией
Лагранжа
L = Umx2(t) + гв{Ь)ё{Ь) - г(В х 0)0).
Δ
Соответствующие фазовое пространство и симплектическая форма — те же
самые, что и в предыдущем примере, а функция Гамильтона —
н = ш + %в*9»· (3·7)
Мы увидим в разделе 8.5, что квантованием гамильтониана (3.7) получает-
ся гамильтониан Паули.
Пример 3.3 (Свободная частица на Мп|п). Обобщая пример 3.1,
рассмотрим конфигурационное пространство ПТМП ~ Мп'п — касательное
пространство кЕпс обратной четностью слоев, с четными и нечетными ве-
щественными координатами х = (х1, ..., хп) и 0 = (01, ..., θη). Функция
Лагранжа
L(x(t),x(t),e(t)) = ±(τηΧμΧμ + Ιθμθμ) (3.8)
приводит к тем же уравнениям Эйлера-Лагранжа, что и в примере 3.1,
х = 0 и 0 = 0.

468
Глава 8
Соответствующее фазовое пространство — супермногообразие R2n'n с ве-
щественными координатами р, ж, θ и симплектической формой
ω = dp Adx — ^αθαθ,
а функция Гамильтона — 9
H=f.
2m
Пример 3.4 (Свободная частица ha UTM). Пусть (М,д) —
риманово многообразие с римановой метрикой §μ1/αΧμαΧ1/. По аналогии
с построениями в разделе 8.2.2, рассмотрим фазовое пространство ПТМ
с функцией Лагранжа
L=i(||i||2 + i<e,V40»,. (3.9)
где Vi — ковариантная производная вдоль пути x(t) (обозначаемая так-
же D/Dt) и 0(t) £ ПТХМ. Соответствующий функционал действия опре-
деляется как
*0
или, в локальных координатах х = (ж1, ..., хп) на М,
*0
ti
to
Мы увидим в следующем разделе, что этой системой описывается супер-
симметричная частица на римановом многообразии.
Задача 3.2. Разработайте лагранжев и гамильтонов формализмы
классической механики на супермногообразии.
Задача 3.3. Докажите формулу (3.6).
Задача 3.4. Покажите, что уравнения Эйлера-Лагранжа для систе-
мы с лагранжианом (3.9) — это
п DW _ 1 г> -ρημην „ £Ю" _ п
9λμ1Ξ>Γ 2 Χρμ" ~Ж
— уравнения движения вращающейся частицы в гравитационном поле.

8.4. Суперсимметрия
469
Задача 3.5. Опишите фазовое пространство и найдите функцию Га-
мильтона в примере 3.4.
8.4. Суперсимметрия
Лагранжева система, которую мы рассмотрели в примере 3.3 предыду-
щего раздела, обладает замечательными симметриями.
8.4.1. Полный угловой момент
Во-первых, лагранжиан (3.8) очевидно инвариантен относительно дей-
ствия ортогональной группы G — SO(n):
L(0-i,0.0) = L(i,0), geG. (4.1)
Соответствующая сохраняющаяся величина — нётеровский заряд J G g*,
принадлежащий двойственному пространству к алгебре Ли д — so(n), мож-
но получить следующим образом (см. доказательство теоремы 1.3 в разде-
ле 1.1.4 главы 1).
Рассмотрим инфинитезимальную замену четных и нечетных координат
x{t) *-> x(t) = x(t) + Sx(t), 0(t) *-> §(t) = 0(t) + SO(t),
и, используя равенство θδθ = —δθθ, вычислим SL = L(x + δω, θ + δθ) —
— L(x, θ) с точностью до членов второго порядка по 6х и δθ:
δΣ = τπΧδΧ+^(δθθ + θδθ) =
= -mxSx + m-fj- (ΧδΧ) + \{δθθ-θδθ) + ^(θδθ) =
dt & ^ их
= -mx6x + mj- (xSx) + %δθθ + ~(βδβ)Λ
Cut £ Cut
Таким образом, на решениях уравнений Эйлера-Лагранжа х — О, θ = О
имеем
6L = j-(rnx δΧ + ±0 δθ).
Теперь, используя (4.1) с д — ееи, где и — {w£}JJjl/=1 — кососимметри-
ческая η х η матрица, видим, что 5L = 0 для δΧμ = eu^xv и δθμ = εημθν.

470
Глава 8
Выбирая стандартный базис в пространстве кососимметрических пхп мат-
риц, находим, что компоненты
3μν = m{x^xv - ΧνΧμ) - %θμθν (4.2)
являются интегралами движения
^-3μν = 0
at
на решениях уравнений Эйлера-Лагранжа. В частности, при η = 3
получаем
32:=331=М2-гв3в\
J3:=J12 = M3-ifl1fl2,
где Μ1, Μ2, Μ3 — компоненты углового момента А4* частицы в R3 (см. раз-
дел 1.1.4 главы 1). Мы увидим в следующем разделе, что после квантова-
ния вектор J = (J1, J2, J3) перейдет в оператор полного углового момента
квантовой частицы со спином - в R3.
Замечание. На самом деле лагранжиан (3.8) инвариантен относи-
тельно действия G х G на Rnln, так что и угловой момент τη{ΧμΧν —ΧνΧμ)
в Rn, и «грассманов угловой момент» —%θμθν в R°'n сохраняются.
8.4.2. Преобразование суперсимметрии
Замечательно, что вдобавок к симметриям, обсуждавшимся в предыду-
щем разделе, лагранжиан (3.8) инвариантен также относительно специаль-
ных преобразований Rnln, которые перемешивают четные и нечетные коор-
динаты. А именно: пусть (j(t), 0(t)) e nTP/(Rn), где 0(t) G IIT7P/(Rn) -
сечение над I = [to,ti] обратного образа касательного расслоения TW1 при
отображении 7 с обратной четностью слоев:
0(«) = ^«)я^епг7(ом.

8.4. Суперсимметрия
471
Рассмотрим следующую инфинитезимальную замену координат, пере-
мешивающую четные и нечетные переменные:
x(t) »-+ x(t) + Sex(t) и 0(t) »-+ 0(t) + Se0(t), (4.3)
где
S£x{t) = ie0(t) e Tx{t)Rn, и See(t) = -mex(t) е ПГя(4)Кп, (4.4)
и ε — нечетный вещественный элемент. Тогда для
6£L = L(x + δεΧ, θ + δεθ) - L(x, θ)
получаем
6£L = mx δε± + ^(δεθ θ + θ δεθ)
= гтхев- Щ- {ex θ + θ ex) =
= ψ(Χεθ + εθΧ) =
Таким образом, при периодических граничных условиях функционал
действия
to
инвариантен при замене координат (4.3),
£eS(7,0) = 0 для любых периодических (7, Θ) е ПТР7(МП).
Инфинитезимальное преобразование (4.3) называется преобразованием су-
персимметрии.
Замечание. Подчеркнем, что инвариантность действия при преоб-
разованиях суперсимметрии имеет место для всех (7(0? ^№) с периодиче-
скими граничными условиями, а не только на уравнениях движения!

472
Глава 8
Введя величину
Q = гтвх = гвр = Ιθμρμ,
называемую генератором суперсимметрии (или суперзарядом), можно ре-
зюмировать проделанное вычисление так:
Другое замечательное наблюдение состоит в том, что лагранжиан L можно
восстановить по суперзаряду Q. А именно: простое вычисление
6£Q = τη(δεθ x + θ δεΧ) = me(—mx2 — гв θ)
дает равенство
-2mieL = 6£Q. (4.6)
Используя (3.5), получаем
{Q, Q} = -ip2 = -2тгН, (4.7)
что показывает, что гамильтониан Η тоже можно восстановить по суперза-
ряду Q.
Замечание. Геометрически преобразование суперсимметрии — это
просто эквивариантный дифференциал на пространстве £/(Rn) свободных
петель на Мп, параметризованных интервалом I = [to, h], который мы рас-
сматривали в разделе 8.2.2 (для интервала [0,1]). А именно: положим т = 1
и рассмотрим виковский поворот t ь-> — it в евклидово время, так что пре-
образование суперсимметрии (4.3)-(4.4) превращается в
5ex(t) = ie0(t), δεθ(η = -iex(t). (4.8)
Теперь сразу видно, что формулы (4.8) можно записать в виде
Sex(t) = ieDx(t) и δεθ{η = ieD0(t),
где D — эквивариантный дифференциал (2.7),
to

8.4. Суперсимметрия
473
удовлетворяющий уравнению D2 — —£7. Соответствующий евклидов су-
перзаряд Q совпадает с функцией β на ПТ£(МП), заданной формулой (2.9),
так что
*1
q= [θμ(ηΧμ{η(α,
to
где мы используем стандартную евклидову метрику на W1. Из леммы 2.2
следует, что
DQ = - /\x(t)x(t) + e{t)e(t))dt = -2S(x(t),0(t)),
to
где 5 обозначает теперь евклидово действие. Инвариантность действия 5
при преобразовании суперсимметрии означает, что 5 эквивариантно за-
мкнуто, DS — 0.
Задача 4.1. Докажите, что
[4i,<5£2] = 2z£i£2^,
где si,£2 — нечетные переменные, и выведите из этого формулу (4.7).
8.4.3. Суперсимметричная частица на римановом многообразии
Классическая система с лагранжианом (3.9), рассмотренная в приме-
ре 3.4 из раздела 8.3.2, описывает суперсимметричную частицу на рима-
новом многообразии (М,д). А именно: для (j,0) € ПТР/(М) определим
преобразование суперсимметрии х(t) н-> x(t)+S£x(t) n0(t) н-> 0(£)+<5ε0(£)
в локальных координатах x(t) и 6(t) той же формулой (4.4):
Sex(t) = %εθ{£) е ПТ7(4)М, 5е0(£) = -mei(i) G ПГ7(4)М, (4.9)
где ε — нечетный вещественный элемент.
Лемма 4.1. Преобразование суперсимметрии (4.9) «в зависит от вы-
бора локальных координат.
Доказательство.
Пусть х = (ж1, ..., хп) — другие локальные координаты на Μ, Χμ =
= /μ(#), μ = 1, ..., п. Вдоль пути 7 = a?(t)

474
Глава 8
где
Имеем
5e^{t) = |g(x(i))4^(i) = i^(x(t))e<T(t) = ie&*(t)
δε§μ{1) = l^ww + -£^{Χ{1))δεΧσ{1)°ν{1) =
= -me^(x(t))x"{t) + i£-£^(x(tW(t)9»(t) =
= -rne^(t),
поскольку θμ (t) антикоммутируют.
Как и в предыдущем разделе, определим суперзаряд Q формулой
Q(t)=im(i(t),0(f)).
Главный результат этого раздела — следующее утверждение.
Предложение 4.1. При преобразовании суперсимметрии (4.9)
6£Q = -2mieL, (4.10)
где
L=f||i||2 + i<0,V^> (4.11)
лагранжиан свободной частицы на UTM. Также
edQ
2 dt '
^=εΛ· (4Л2)
Доказательство.
Вывод формулы (4.10) — простое вычисление с использованием (2.11).
Формула (4.12) доказывается с помощью другого вычисления подобно то-
му, как доказывалось (4.5) в предыдущем разделе.

8.5. Квантовая механика на супермногообразиях 475
Следствие 4.1. Функционал действия
ti
5(7,0) = У" Д7(*), *(*))*
to
инвариантен при преобразованиях суперсимметрии,
5eS{y, θ) = 0 для всех периодических (7, Θ) е ПТР/(М).
Замечание. Как и для примера свободной частицы Rnln, рассмат-
ривавшегося в разделе 8.4.2, евклидова версия преобразования суперсим-
метрии (4.9) соответствует эквивариантному дифференциалу (2.7) на про-
странстве Ci(M) свободных петель на М, параметризованных интерва-
лом I = [to, ti]. Соответствующий евклидов суперзаряд Q (при т — 1) сов-
падает с функцией β на ПТ£/(М), определенной формулой (2.9), и пред-
ложение 4.1 сводится к утверждениям о том, что DQ — — 25 и DS = О,
где 5 — евклидово действие, которые были доказаны в лемме 2.2.
Задача 4.2. Докажите все формулы этого раздела.
Задача 4.3 (Формализм суперполей). Для (7,6) e UTM опре-
делим суперполе формулой X(t) = x(t) + r}0{t), где η — вспомогательная
грассманова переменная, и пусть V = -~ η-~-. Покажите, что
t1
19flu(X(t))X{t)V(X)(t)dtdV = - J(\\x\\2 + (θ, VyO))dt
to
— удвоенное евклидово действие суперсимметричной частицы на римано-
вом многообразии М.
8.5. Квантовая механика на супермногообразиях
Здесь мы опишем квантовые системы, которые соответствуют клас-
сическим системам из раздела 8.3.2. Согласно принципу соответствия
(см. раздел 2.2 главы 2), чтобы проквантовать четные координаты, следует
заменить скобки Пуассона { , } скобками г[ , ], где г = \/—Г и [ > ] —
коммутатор9. Для квантования нечетных координат в соответствии с раз-
делом 7 Л главы 7 заменим соответствующие скобки Пуассона скобка-
ми г[, ]+, где [ , ]+ — антикоммутатор.
9 Здесь мы положили Ть = 1.

476
Глава 8
Пример 5.1 (Квантовая частица со спином ±). Соответству-
ющее фазовое пространство — супермногообразие R6'3 с четными коор-
динатами ρ = (р1,Р2,Рз) и х — (я1,#2,#з) и нечетными координатами10
θ = (#i, 02, #з)> с каноническими скобками Пуассона
{ρμ,Χν} = δμν и {θμ,θν} = τδμν, μ, i/ = 1,2,3.
Квантовые операторы Ρ — (Р1,Р2,Рз) и Q = (<2ь<22,<2з), соответству-
ющие каноническим координатам ρ и ж, удовлетворяют коммутационным
соотношениям Гейзенберга (см. раздел 2.2.1 главы 2), тогда как операто-
ры Θ = (61,62,63), соответствующие антикоммутирующим координа-
там Θ, удовлетворяют следующим антикоммутационным соотношениям:
[θμ,θ„]+ = δμ„Ι, μ,ν = 1,2,3. (5.1)
Поскольку операторы у/2 θμ определяют представление алгебры Клиффор-
да Сз, единственная неприводимая реализация (5.1) — это
θμ = ^=σμ, μ = 1,2,3, (5.2)
λ/2
где σμ — матрицы Паули (см. раздел 4.1.1 главы 4). Таким образом, гиль-
бертово пространство системы — это Ж = L2(R3) ® С2, гильбертово про-
странство квантовой частицы со спином ~, и оператор Гамильтона — это
Р2
Я=2^
Используя (5.2) и таблицу умножения матриц Паули, получаем следующую
форму нётеровых квантовых интегралов движения (4.2):
J = M + S,
где Μ — оператор углового момента (см. раздел 3.3.1 главы 3), a S — ^<т.
Таким образом J — это оператор полного углового момента квантовой ча-
стицы со спином ^ (см. раздел 4.1.2 главы 4).
103десь удобно опустить все индексы с помощью стандартной евклидовой метрики на R3.

8.5. Квантовая механика на супермногообразиях 477
Пример 5.2 (Квантовая частица со спином i в постоянном
магнитном поле). Гильбертово пространство — то же самое, что и в
предыдущем примере, тогда как оператор Гамильтона, соответствующий
классическому гамильтониану (3.7), принимает вид
Таким образом, оператор Η — это гамильтониан Паули с полным магнит-
ным моментом μ — i (см. раздел 4.2.1 главы 4).
Пример 5.3 (Суперсимметричная квантовая частица
НА Rn). Фазовое пространство — супермногообразие R2nln с четными ко-
ординатами ρ = (pi, ... ,рп) и х = (#1, ..., хп) и нечетными координата-
ми θ = (#i, ..., 0П), с каноническими скобками Пуассона
{ρμ,Χ„} = δμν и {θμ,θν} = 1δμν, μ,Ι/ = 1, ...,η.
Квантовые операторы Ρ = (Pi, ..., Pn) и Q — (Qi, ...,Qn)5 соответству-
ющие каноническим координатам р и ж, удовлетворяют коммутационным
соотношениям Гейзенберга, а операторы Θ = (0i, ..., θη), соответствую-
щие антикоммутирующим координатам 0, удовлетворяют следующим ан-
тикоммутационным соотношениям:
[θμ,Θν]+ = δμνΙ, μ,Ι/=1, ...,η. (5.3)
Операторы \/2 θμ определяют представление алгебры Клиффорда Сп. При
четном η единственная неприводимая реализация (5.3) — это
θμ = ^дъ'
где 7μ — операторы в J#f = (C2)®d, d = ^, определенные формулами
(1.12)-(1.13) из раздела 7.1.2 главы 7. При нечетном η операторы η дей-
ствуют на (C2)®d, где d = \Щ (см. задачу 1.4 из раздела 7.1.2 главы 7).
И в том, и в другом случае гильбертово пространство системы — это Ж —
= L2(Rn) ®ЖГ = L2(Rn) <g> C2d, оператор Гамильтона -
Р2
Я=2^'

478
Глава 8
а нётеровы квантовые интегралы движения —
После квантования суперзаряда получается оператор
где
— оператор Дирака на Rn.
Оператор Дирака антисамосопряжен в Ж:
$* = -$.
При четном η разложение Жр — Жр 0 Ж^ на подпространства спиноров
положительной и отрицательной киральности (см. раздел 7.1.2 главы 7)
дает разложение
Ж = Ж+®Ж-, где JP± = L2(Rn)®Jtfi,
и, воспользовавшись тем, что 7μ(<^^) = ^f (см· Р^Дел 7.1.2 главы 7),
можно представить оператор Дирака как следующую блочную 2x2 матри-
цу:
Здесь оператор $+ : Ж+ —» J£L называется киральным оператором Дирака.
Имеем
[Q,Q]+ = 2Q2 = $2 = -2mtf,
так что 2тН — лапласиан Дирака — $ . В матричном виде
*--(*о%>+)·
Пример 5.4 (Суперсимметричная квантовая частица на ри-
мановом многообразии). Мы видели в примере 2.4 из раздела 2.2.4
главы 2, что хотя для свободной квантовой частицы на римановом мно-
гообразии (М,д) нельзя построить операторы Ρ и Q, соответствующие

8.5. Квантовая механика на супермногообразиях 479
стандартным локальным координатам (р,х) на Т*М, оператор Гамильто-
на Η корректно определен как оператор Лапласа-Бельтрами римановой
метрики. Замечательно, что для непротиворечивого квантования суперсим-
метричной частицы необходимо, чтобы Μ было спинорным многообрази-
ем, и при четном η = dim Μ соответствующий оператор суперзаряда Q
совпадает с оператором Дирака!
А именно: пусть Spin(n) — спинорная группа: связная односвяз-
ная группа Ли, двулистно накрывающая SO(n). Говорят, что ориенти-
рованное риманово многообразие (М,д) размерности η имеет спинор-
ную структуру (и называется спинорным многообразием), если рассло-
ение SO(M) ориентированных ортонормальных базисов над Μ — глав-
ное SO (η)-расслоение — продолжается до главного Spin(п)-расслоения
Spin(M). Это эквивалентно условию, что для некоторого открытого по-
крытия Μ — \JaeA Ua функции перехода tap : Ua Π Up —► SO (η) каса-
тельного расслоения ТМ поднимаются до функций перехода ταβ : Ua Π
Π Up —» Spin(n); tap = ρ(ταβ), где ρ : Spin(n) —» SO(n) — канониче-
ская проекция. Многообразие Μ — спинорное, если и только если обра-
щается в ноль его второй класс Штифеля - Уитни W2 £ Я2(М, Z2); в этом
случае различные спинорные структуры параметризуются пространством
Η1(Μ,Ζ2) ^ Hom(7ri(M),Z2), где ni(M) — фундаментальная группа М.
При четных η = 2d неприводимое представление ρ алгебры Клиффорда Сп
в Jtfp ^ С2 (см. раздел 7.1.2 главы 7) определяет унитарное представле-
ние R спинорной группы Spin(n) на Жр, коммутирующее с оператором
четности Г. По определению расслоение спиноров 5 на четномерном спи-
норном многообразии Μ — это эрмитово векторное расслоение, ассоции-
рованное главному 8рт(п)-расслоению Spin(M) посредством унитарного
представления R. Другими словами, 5 — комплексное векторное рассло-
ение с функциями перехода R(rap) : Ua Π Up —> U(2d), где U(2d) —
группа унитарных 2d x 2d матриц. Разложение векторных пространств
jf?F = jj?+ 0 jj?~ определяет разложение
спинорного расслоения 5 на расслоения 5+ и 5_ спиноров положительной
и отрицательной киральности.
Оператор Дирака 0 : C°°(M,S) —» C°°(M,S) четномерного спинор-
ного многообразия Μ определяется так. Пусть V5 — связность на рассло-
ении спиноров 5, индуцируемая связностью Леви-Чивита на касательном
расслоении ТМ. Тогда в координатной окрестности U С Μ с локальными

480
Глава 8
координатами х = (х1, ... ,хп) имеем
$ = ^{х)У% (5.5)
<? д
где V£ — ковариантная производная по векторному полю —- над U,
а 7М(Ж) — эндоморфизмы расслоения спиноров S над U, удовлетворяющие
уравнению
[*f(x),-f(x)]+ = 2g»v(x)I, (5.6)
где / — тождественный эндоморфизм. Легко показать, что существует от-
крытое покрытие Μ = \JaeAUot, такое, что 7μ(2Κ) существуют на каж-
дым Uа, и что локальные выражения (5.5) порождают глобально опре-
деленный оператор 0 : C°°(M,S) —» C°°(M,S). Эквивалентно, если
ξ eC°°(M,S) дается формулой ξ = {ξα}α€Α9 ξα · Ua -> Jiffr, где
ξα = Ι1(ταβ)ξβ на Ua Π Up, то
#«£« = Β·(ταβ)$βξβ, (5.7)
где 0а дается формулой (5.5) при U = Ua. Имеем также
Φ : C°°(M,S±) -> C°°(M,ST).
Эрмитова метрика || \\s на расслоении спиноров S и риманова метрика g
на Μ позволяют определить гильбертово пространство Ж глобальных се-
чений S с интегрируемым квадратом:
Ж = {ξ € Г(М, S) : ||ξ||2 = J \\ξ(Χ) ||| ф(х) < сх»}.
Μ
Будучи изначально определенным на С°°(М, S), оператор Дирака про-
должается до антисамосопряженного оператора в Ж, который мы по-
прежнему будем обозначать $. Как и в предыдущем примере, используя
разложение гильбертова пространства Ж = Ж+ Θ Ж-, можно представить
оператор Дирака как следующую блочную 2x2 матрицу:
HI *)·
где $+ : Ж+ —► Ж- — киральный оператор Дирака на спинорном многооб-
разии М.

8.6. Формула Атьи- Зингера для индекса
481
Замечание. Оператор Дирака из предыдущего примера — это опе-
ратор Дирака на спинорном многообразии Rn со стандартной евклидовой
метрикой; соответствующее расслоение спиноров — тривиальное эрмитово
векторное расслоение Cn x Жр-
Пространство состояний квантовой суперсимметричной частицы на
спинорном многообразии (М, д) — гильбертово пространство Ж интегри-
руемых с квадратом сечений расслоения спиноров S над М. Соответству-
ющие оператор суперзаряда Q и оператор Гамильтона Η даются теми же
формулами, что и в предыдущем примере:
Q = ^-0 и [Q,Q]+ = 2Q2 = f = -2mH.
Оператор
— лапласиан Дирака на спинорном многообразии М.
Задача 5.1. Покажите, что спинорную группу Spin(n) можно отож-
дествить с группой обратимых элементов алгебры Клиффорда Сп.
Задача 5.2. Докажите соотношения (5.7).
8.6. Формула Атьи-Зингера для индекса
Пусть Μ — четномерное, ориентированное, компактное спинорное
многообразие с римановой метрикой д. Операторы $+$+ и $+$+ — со-
ответственно самосопряжены в гильбертовых пространствах Ж+ и Ж-
и имеют чисто точечные спектры, состоящие из неотрицательных собствен-
ных значений конечной кратности с единственной точкой сгущения на оо.
В частности, комплексные векторные пространства ker$+$_|_ = ker$+
и ker$+$+ = ker$+ конечномерны, и индекс та$+ кирального оператора
Дирака $+ определяется как
ind $+ = dim ker $+ — dim ker $+.
Имеем следующий основной результат.

482
Глава 8
Теорема 6.1 (МакКин-Зингер). Для любого Τ > О
ind$+ = TrseT^2 = Тге~тГ+0+ - Тге~т0+Г+.
С другой стороны, мы видели в примере 5.4 из последнего раздела,
что — $ = 2Н, где Η — оператор Гамильтона свободной суперсимметрич-
ной частицы массы га = 1 на спинорном многообразии М. Таким образом,
для любого Τ > О
ind$+ = Trse-2T//.
В разделе 6.2.2 главы бив разделах 7.4.2 и 7.4.3 главы 7 был развит форма-
лизм для выражения следов и суперследов оператора эволюции в евклидо-
вом времени с помощью интегралов по путям. Используя эти результаты,
на физическом уровне строгости можно представить суперслед Тг5е-2ТЯ
следующим интегралом по путям:
1г,е-2ТЯ = ( e-s*^®x®0. (6.1)
Здесь
UTCi(M)
IT
sE(j,e) = lJ(\\j\\2 + (e(t),v^(t)))dt
О
— евклидово действие суперсимметричной частицы на римановом много-
образии М, полученное из функции Лагранжа (4.11) заменой времени t на
евклидово время — it, a Ci(M) — пространство свободных петель на М,
параметризованное интервалом [0,2Т]. Когда11 2Т = 1, интеграл в (6.1)
совпадает с интегралом / e~s, рассматривавшимся в разделе 8.2.2. Вос-
С{М)
пользовавшись теоремой 2.3, получаем
ind$+ = Тг5е~я = (2тгг)~? f А{М)
м
— знаменитую формулу Атьи-Зингера для индекса оператора Дирака на
спинорном многообразии!
Согласно замечанию в разделе 8.2.2 то же самое верно при любом Τ > 0.

8.7. Замечания и ссылки
483
Замечание. Интегрируя по грассмановым переменным в (6.1), по-
лучаем
1г5е~я= / Pf(V,y)d/iw, (6.2)
С{М)
где d/iw — мера Винера на пространстве петель £(М), ассоциированная
с римановой метрикой д на М. Можно показать, что когда Μ — спинор-
ное многообразие, пфаффиан Pf (V^) оператора ковариантной производной
вдоль 7 £ £(М) — корректно определенная функция на С(М). Таким об-
разом, формула (6.2), в отличие от локальных вычислений при выводе тео-
ремы 2.3, отражает глобальные свойства многообразия М.
Задача 6.1. Докажите теорему МакКина-Зингера.
Задача 6.2. «Выведите» формулу (6.1). (Указание: см. ссылки в сле-
дующем разделе.)
8.7. Замечания и ссылки
Целью раздела 8.1, помимо определения супермногообразия, было вве-
сти изоморфизм А*(М) ~ С°°(ПТМ), впервые отмеченный Э.Витте-
ном [Wit82a, Wit82b] и постоянно используемый в физической литературе.
Для систематического введения в супермногообразия мы отсылаем чита-
теля к классическим текстам [Kos77,Bep83c], также как и к современным
источникам [Ман84, DM99, Var04] и ссылкам в этих работах. Подробное
изложение эквивариантных когомологий и локализации в конечномерном
случае можно найти в монографии [BGV04]; наше доказательство теоремы
локализации Н. Берлин и М. Вернь в разделе 8.2.1 следует [SzaOO]. Наше из-
ложение бесконечномерного случая основывается на работах [ВТ95, SzaOO]
и проводится на физическом уровне строгости. Теорему 2.3 первоначально
сформулировал Э. Виттен в своем знаменитом подходе к выводу форму-
лы Атьи-Зингера для индекса оператора Дирака с помощью интеграла по
путям. Оригинальный подход Виттена ясно изложил Атья в [Ati85]. Наше
изложение следует [Wit99b], с особым упором на аккуратное обращение
с постоянными множителями; см. также [AG83,Alv95] и [ВТ95, SzaOO].
Для подробного объяснения функтора точек и обсуждения классиче-
ской механики на супермногообразиях см. [Fre99]; наши примеры класси-
ческих систем были взяты из [Alv95]. Суперсимметрия, введенная в раз-
делах 8.4.2-8.4.3, называется N = ^ суперсимметрией и получается ре-
дукцией N = 1 суперсимметрии; см. лекции [Alv95,DF99b,Fre99,Wit99a,

484
Глава 8
Wit99b] и [CFKS08] для дальнейших деталей и ссылок. В частности,
в [Fre99, Wit99a] описывается формализм суперполей, полезный для по-
строения суперсимметрических лагранжианов, намеченный в задаче 4.3 из
раздела 8.4.3. Материал в разделе 8.5 основан на лекциях [Alv95]; мы от-
сылаем читателя к монографии [BGV04] за инвариантным определением
операторов Дирака на спинорных многообразиях и связанными с этим те-
мами.
Следует подчеркнуть, что наш вывод формулы Атьи - Зингера в разде-
ле 8.6 — чистая эвристика. Строгое обоснование этого подхода с помощью
исчисления случайных процессов Ито - Маллявена предложил Ж.-М. Вис-
мут [Bis84a,Bis84b,Bis85]; оказывается, что в формуле (6.2) в разделе 8.6
нужен дополнительный множитель: экспонента с показателем, пропорцио-
нальным интегралу от скалярной кривизны по пути. При Τ —» 0 эта строгая
формула для индекса совпадает с эвристическим выражением (6.2). Тем
не менее интегрирование дифференциальной формы «старшей степени» по
пространству петель в [Bis85] остается формальным, и это представляет
собой выдающуюся нерешенную задачу. Наконец, мы отсылаем заинтере-
сованного читателя к [ASW90] за выводом формулы характеров Г. Вейля
с помощью интеграла по путям и к [Wit99b] за разбором оператора Дирака
на пространстве петель.

Литература
[АМ78] R.Abraham and J. E. Marsden, Foundations of mechanics,
Benjamin/Cummings Publishing Co. Inc., Reading, Mass., 1978.
[AHK76] S. A. Albeverio and R. J. H0egh-Krohn, Mathematical theory of Feynman
path integrals, Lecture Notes in Mathematics, vol. 523, Springer-Verlag,
Berlin, 1976.
[AE05] S. T. Ali and M. Engliš, Quantization methods: a guide for physicists and
analysts, Rev. Math. Phys. 17 (2005), no. 4, 391-490.
[AG83] L. Alvarez-Gaumé, Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem,
Comm. Math. Phys. 90 (1983), no. 2, 161-173.
[ASW90] O. Alvarez, I. M. Singer, and P. Windey, Quantum mechanics and the
geometry of the Weyl character formula, Nuclear Phys. В 337 (1990), no. 2,
467-486.
[Alv95] O.Alvarez, Lectures on quantum mechanics and the index theorem,
Geometry and quantum field theory (Park City, UT, 1991), IAS/Park City
Math. Ser., vol. 1, Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1995, 271-322.
[Apo76] T. M. Apostol, Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts
in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1976.
[Ati85] M. F.Atiyah, Circular symmetry and stationary-phase approximation,
Astérisque (1985), no. 131, 43-59, Colloquium in honor of Laurent
Schwartz, vol. 1 (Palaiseau, 1983).
[BI66a] M. Bander and С Itzykson, Group theory and the hydrogen atom. Part I,
Rev. Mod. Phys. 38 (1966), 330-345.
[BI66b] M. Bander and С Itzykson, Group theory and the hydrogen atom. Part II,
Rev. Mod. Phys. 38 (1966), 346-358.
[Bar61] V. Bargmann, On a Hubert space of analytic functions, Commun. Pure
Appl. Math. 3 (1961), 215-228.
[BR86] A. O.Barut and R. Raczka, Theory of group representations and
applications, second ed., World Scientific Publishing Co., Singapore, 1986.
(Имеется рус. перевод: А. Барут, Р. Рончка, Теория представления групп
и ее приложения, Мир, М., 1980, 452)
[BW97] S. Bates and A. Weinstein, Lectures on the geometry of quantization,
Berkeley Mathematics Lecture Notes, vol. 8, Amer. Math. Soc, Providence,
R.I., 1997.

486
Литература
[BFF+78a] F. Bayen, M. Flato, С. Fronsdal, A. Lichnerowicz, and D. Sternheimer,
Deformation theory and quantization. I. Deformations of symplectic
structures, Ann. Physics 111 (1978), no. 1, 61-110.
[BFF+78b] F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, and D. Sternheimer,
Deformation theory and quantization. II. Physical applications, Ann.
Physics 111 (1978), no. 1, 111-151.
[Bel87] J.S.Bell, Speakable and unspeakable in quantum mechanics, Collected
papers on quantum philosophy, Cambridge University Press, Cambridge,
1987.
[BGV04] N. Berline, E. Getzler, and M. Vergne, Heat kernels and Dirac operators,
Corrected reprint of the 1992 original, Grundlehren Text Editions,
Springer-Verlag, Berlin, 2004.
[Bis84a] J.-M. Bismut, The Atiyah-Singer theorems: a probabilistic approach. I. The
index theorem, J. Funct. Anal. 57 (1984), no. 1, 56-99.
[Bis84b] J.-M. Bismut, The Atiyah-Singer theorems: a probabilistic approach. II The
Lefschetz fixed point formulas, J. Funct. Anal. 57 (1984), no. 3, 329-348.
[Bis85] J.-M. Bismut, Index theorem and equivariant cohomology on the loop
space, Comm. Math. Phys. 98 (1985), no. 2, 213-237.
[BT95] M.Blau and G.Thompson, Localization and diagonalization: a review
of functional integral techniques for low-dimensional gauge theories and
topological field theories, J. Math. Phys. 36 (1995), no. 5, 2192-2236.
[Bry95] R.L.Bryant, An introduction to Lie groups and symplectic geometry,
Geometry and quantum field theory (Park City, UT, 1991), IAS/Park City
Math. Sen, vol. 1, Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1995, 5-181.
[BFK91] D. Burghelea, L. Friedlander, and T. Kappeler, On the determinant of elliptic
differential and finite difference operators in vector bundles over S1,
Comm. Math. Phys. 138 (1991), no. 1, 1-18.
[BFK95] D. Burghelea, L. Friedlander, and T. Kappeler, On the determinant of elliptic
boundary value problems on a line segment, Proc. Amer. Math. Soc. 123
(1995), no. 10, 3027-3038.
[Cam63] R. H. Cameron, The Ilstow and Feynman integrals, J. Analyse Math. 10
(1962/1963), 287-361.
[Cra83] M. Crampin, Tangent bundle geometry for Lagrangian dynamics, J. Phys. A
16 (1983), no. 16, 3755-3772.
[CFKS08] H. L. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch, and B. Simon, Schrodinger operators
with application to quantum mechanics and global geometry, Corrected and
extended 2nd printing, Texts and Monographs in Physics, Springer - Verlag,
Berlin, 2008.

Литература
487
[DEF+99] P. Deligne, P. Etingof, D. S. Freed, L. C. Jeffrey, D. Kazhdan, J. W. Morgan,
D. R. Morrison, and E. Witten (eds.), Quantum fields and strings: a course
for mathematicians, vol. 1, 2, American Mathematical Society, Providence,
R. I., 1999, Material from the Special Year on Quantum Field Theory held
at the Institute for Advanced Study, Princeton, NJ, 1996-1997.
[DF99a] P. Deligne and D. S. Freed, Classical field theory, Quantum fields and
strings: a course for mathematicians, vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997),
Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1999, 137-225.
[DF99b] P. Deligne and D. S. Freed, Supersolutions, Quantum fields and strings: a
course for mathematicians, vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997), Amer.
Math. Soc, Providence, R.I., 1999, 227-355.
[DM99] P. Deligne and J.W.Morgan, Notes on supersymmetry (following
J. Bernstein), Quantum fields and strings: a course for mathematicians, vol.
1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997), Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1999,
41-97.
[Dir47] P.A.M.Dirac, The principles of quantum mechanics, Oxford, at the
Clarendon Press, 1947. (Имеется рус. перевод: П. А. М. Дирак, Прин-
ципы квантовой механики, Мир, М., 1971, 244)
[DR01] W. Dittrich and M. Reuter, Classical and quantum dynamics. From classical
paths to path integrals, third ed., Advanced Texts in Physics, Springer-
Verlag, Berlin, 2001.
[Dri87] V. G. Drinfel'd, Quantum groups, Proceedings of the International Congress
of Mathematicians, vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986) (Providence, R. I.),
Amer. Math. Soc, 1987, 798-820.
[Dyn98] A. Dynin, A rigorous path integral construction in any dimension, Lett.
Math. Phys. 44 (1998), no. 4, 317-329.
[EnrOl] B.Enriquez, Quantization of Lie bialgebras and shuffle algebras of Lie
algebras, Selecta Math. (N. S.) 7 (2001), no. 3, 321-407.
[Erd56] A. Erdélyi, Asymptotic expansions, Dover Publications Inc., New York,
1956. (Имеется рус. перевод: А. Эрдели, Асимптотические разложе-
ния, Гос. изд-во физ.-мат. лит., М., 1962, 127)
[ЕК96] P. Etingof and D. Kazhdan, Quantization of Lie bialgebras. I, Selecta Math.
(N.S.) 2 (1996), no. 1, 1-41.
[Fad76] L. D. Faddeev, Course 1. Introduction to functional methods, Méthodes en
théorie des champs/Methods in field theory (École d'Été Phys. Théor.,
Session XXVIII, Les Houches, 1975), North-Holland, Amsterdam, 1976,
1-40.
[Fad98] L. D. Faddeev, A mathematician's view of the development of physics, Les
relations entre les mathématiques et la physique théorique, Inst. Hautes
Études Sei., Bures, 1998, 73-79.

488
Литература
[Fad99] L. D. Faddeev, Elementary introduction to quantum field theory, Quantum
fields and strings: a course for mathematicians, vol. 1, 2 (Princeton, NJ,
1996/1997), Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1999, 513-550.
[Fey48] R. P. Feynman, Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics,
Rev. Modern Physics 20 (1948), 367-387.
[Fey51] R. P. Feynman, An operator calculus having applications in quantum
electrodynamics, Physical Rev. (2) 84 (1951), 108-128.
[FH65] R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum mechanics and path integrals,
McGraw Hill, New York, 1965. (Имеется рус. перевод: Р. Фейнман,
А. Гиббс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, Мир,
М, 1968, 382)
[Fla82] M. Flato, Deformation view of physical theories, Czechoslovak J. Phys B32
(1982), 472-475.
[Foc32] V. A. Fock, Konfigurationsraum und zweite Quantelung, Z. Phys. 75 (1932),
no. 9-10, 622-647.
[Fre99] D. S. Freed, Five lectures on super symmetry, Amer. Math. Soc, Providence,
R.I., 1999.
[FH91] W.Fulton and J.Harris, Representation theory, Graduate Texts in
Mathematics, vol. 129, Springer-Verlag, New York, 1991.
[Fuj80] D. Fujiwara, Remarks on convergence of the Feynman path integrals, Duke
Math. J. 47 (1980), no. 3, 559-600.
[Gil95] P. B.Gilkey, Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer
index theorem, second ed., CRC Press, Boca Raton, FL, 1995.
[God69] С Godbillon, Géométrie différentielle et mécanique analytique, Hermann,
Paris, 1969. (Имеется рус. перевод: К. Годбийон, Дифференциальная
геометрия и аналитическая механика, Мир, М., 1973, 188)
[Gol80] H.Goldstein, Classical mechanics, Addison Wesley, 1980. (Имеется рус.
перевод: Г. Голдстейн, Классическая механика, Гостехиздат, М., 1957,
408)
[GW98] R.Goodman and N.R.Wallach, Representations and invariants of the
classical groups, Encyclopedia of Mathematics and its Applications,
vol. 68, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
[GS77] V. Guillemin and S. Sternberg, Geometric asymptotics, Amer. Math. Soc,
Providence, R. I., 1977, Mathematical Surveys, no. 14. (Имеется рус. пе-
ревод: В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики, Мир,
М., 1981, 504)
[GS03] S. J. Gustafson and I. M. Sigal, Mathematical concepts of quantum
mechanics, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

Литература
489
[HS96] RD.Hislop and I. M. Sigal, Introduction to spectral theory: With
applications to Schrodinger operators, Applied Mathematical Sciences,
vol. 113, Springer-Verlag, New York, 1996.
[IM74] K. Itô and H.P.McKean, Jr., Diffusion processes and their sample
paths, Second printing, corrected, Die Grundlehren der mathematischen
Wissenschaften, Band 125, Springer-Verlag, Berlin, 1974. (Имеется рус.
перевод: К. Ито, Г. Маккин, Диффузионные процессы и их траектории,
Мир, М., 1968, 396)
[IZ80] С. Itzykson and J. В. Zuber, Quantum field theory, International Series in
Pure and Applied Physics, McGraw-Hill International Book Co., New York,
1980. (Имеется рус. перевод: С. Ициксон, Дж. Б. Зубер, Квантовая тео-
рия поля, Мир, М., 1984, 848)
[Jim85] M. Jimbo, A q-difference analogue ofU(g) and the Yang-Baxter equation,
Lett. Math. Phys. 10 (1985), no. 1, 63-69.
[JW28] P. Jordan and E. Wigner, Über das Paulische Aquivalenzverbot, Z. Phys. 47
(1928), 631-658.
[Kac59] M. Kac, Probability and related topics in physical sciences, Lectures in
Applied Mathematics. Proceedings of the Summer Seminar, Boulder, Colo.
1957, vol. 1, Interscience Publishers, London-New York, 1959. (Имеется
рус. перевод: М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, Мир,
М., 1965, 399)
[Кас80] М. Kac, Integration in function spaces and some of its applications, Lezioni
Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei, Pisa, 1980.
[Kaz99] D. Kazhdan, Introduction to QFT, Quantum fields and strings: a course for
mathematicians, vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997), Amer. Math. Soc,
Providence, R.I., 1999, 377^18.
[Kho07] D. Khoshnevisan, Probability, Graduate Studies in Mathematics, vol. 80,
American Mathematical Society, Providence, R. I., 2007.
[КопОЗ] M. Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds, Lett. Math.
Phys. 66 (2003), no. 3, 157-216.
[Kos77] B. Kostant, Graded manifolds, graded Lie theory, and prequantization,
Differential geometrical methods in mathematical physics (Proc. Sympos.,
Univ. Bonn, Bonn, 1975), Lecture Notes in Math., vol. 570, Springer-
Verlag, Berlin, 1977.
[Lan87] S.Lang, Elliptic functions, second ed., Springer-Verlag, New York, 1987.
(Имеется рус. перевод: С.Ленг, Эллиптические функции, Наука, М.,
1984, 312)
[Ler81] J. Leray, Lagrangian analysis and quantum mechanics, A mathematical
structure related to asymptotic expansions and the Maslov index, MIT
Press, Cambridge, Mass., 1981.

490
Литература
[LV80] G. Lion and M. Vergne, The Weil representation, Maslov index and thêta
series, Progress in Mathematics, vol. 6, Birkhäuser Boston, Mass., 1980.
(Имеется рус. перевод: Ж. Лион, M. Вернь, Представление Вейля, ин-
декс Маслова и тэта-ряды, Мир, М., 1983, 217)
[Loè77] M. Loève, Probability theory. I, fourth ed., Graduate Texts in Mathematics,
vol. 45, Springer-Verlag, New York, 1977. (Имеется рус. перевод: M. Ло-
ев, Теория вероятностей, ИЛ, М., 1962, 720)
[Loè78] M. Loève, Probability theory. II, fourth ed., Graduate Texts in Mathematics,
vol. 46, Springer - Verlag, New York, 1978.
[Mac04] G.W. Mackey, Mathematical foundations of quantum mechanics, Reprint
of the 1963 original, Dover Publications Inc., Mineola, N. Y, 2004. (Име-
ется рус. перевод: Дж. Макки, Лекции по математическим основам
квантовой механики, Мир, М., 1965, 222)
[Mar59a] J. L. Martin, The Feynman principle for a Fermi system, Proc. Roy. Soc.
Ser. A 251 (1959), no. 1267, 543-549.
[Mar59b] J.L.Martin, Generalized classical dynamics, and the 'classical analogue'
of a Fermi oscillator, Proc. Roy. Soc. Ser. A 251 (1959), no. 1267, 536-
542.
[Mes99] Albert Messiah, Quantum mechanics, Dover Publications Inc., Mineola,
N. Y, 1999. (Имеется рус. перевод: А. Мессиа, Квантовая механика,
Наука, М., 1978, 1 том, 483, 2 том, 588)
[Моп52] Е. W. Montroll, Markoff chains, Wiener integrals, and quantum theory,
Comm. Pure Appl. Math. 5 (1952), 415^53.
[MP49] S. Minakshisundaram and Â. Pleijel, Some properties of the eigenfunctions
of the Laplace-operator on Riemannian manifolds, Canadian J. Math. 1
(1949), 242-256.
[Nel59] E. Nelson, Analytic vectors, Ann. of Math. (2) 70 (1959), 572-615.
[Nel64] E.Nelson, Feynman integrals and the Schrödinger equation,
J. Mathematical Phys. 5 (1964), 332-343.
[New02] R. G. Newton, Scattering theory of waves and particles, Reprint of the 1982
second edition, with list of errata prepared by the author, Dover Publications
Inc., Mineola, N. Y, 2002. (Имеется рус. перевод: Р. Ж. Ньютон, Теория
рассеяния волн и частиц, Мир, М., 1969, 600)
[01v97] F.W.J.Olver, Asymptotics and special functions, Reprint of the 1974
original, АКР Classics, А К Peters Ltd., Wellesley, MA, 1997. (Имеется
рус. перевод: Ф. Олвер, Асимптотика и специальные функции, Наука,
М., 1990, 528)
[PW35] L.Pauling and E.B.Wilson, Introduction to quantum mechanics. With
applications to chemistry, McGraw-Hill Book Company, New York and
London, 1935.

Литература
491
[Rab95] J.M.Rabin, Introduction to quantum field theory for mathematicians,
Geometry and quantum field theory (Park City, UT, 1991), IAS/Park City
Math. Ser., vol. 1, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1995, 183-269.
[RS71] D.B.Ray and I.M.Singer, R-torsion and the Laplacian on Riemannian
manifolds, Advances in Math. 7 (1971), 145-210.
[RS75] M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics. II.
Fourier analysis, selfadjointness, Academic Press, New York, 1975. (Име-
ется рус. перевод: M. Рид, Б. Саймон, Методы современной матема-
тической физики, т.2: Гармонический анализ. Самосопряженность,
Мир, М., 1978, 394)
[RS78] М. Reed and В. Simon, Methods of modern mathematical physics. IV.
Analysis of operators, Academic Press, New York, 1978. (Имеется рус. пе-
ревод: M. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической фи-
зики. т.4: Анализ операторов, Мир, М., 1982, 432)
[RS79] М. Reed and В. Simon, Methods of modern mathematical physics. Ill,
Academic Press, New York, 1979, Scattering theory. (Имеется рус. пе-
ревод: M. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической фи-
зики. т.З: Теория рассеяния, Мир, М., 1982, 443)
[RS80] M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics. I,
Academic Press, New York, 1980. (Имеется рус. перевод: М. Рид, Б. Сай-
мон, Методы современной математической физики, т.1: Функцио-
нальный анализ, Мир, М., 1977, 357)
[Ros04] J.Rosenberg, A selective history of the Stone-von Neumann theorem,
Operator algebras, quantization, and noncommutative geometry, Contemp.
Math., vol. 365, Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 2004, 331-353.
[Rud87] W. Rudin, Real and complex analysis, third ed., McGraw-Hill Book Co.,
New York, 1987.
[Sak94] J. J. Sakurai, Modern quantum mechanics, Addison-Wesley Publishing
Company, 1994.
[See67] R. T. Seeley, Complex powers of an elliptic operator, Singular Integrals
(Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, 111., 1966), Amer. Math. Soc,
Providence, R.I., 1967, 288-307.
[STS85] M. A. Semenov-Tian-Shansky, Dressing transformations and Poisson group
actions, Publ. Res. Inst. Math. Sei. 21 (1985), no. 6, 1237-1260.
[SW76] D. J. Simms and N. M. J. Woodhouse, Lectures in geometric quantization,
Springer-Verlag, Berlin, 1976, Lecture Notes in Physics, 53.
[Ste83] S. Sternberg, Lectures on differential geometry, second ed., Chelsea
Publishing Co., New York, 1983. (Имеется рус перевод: С.Стейнберг,
Лекции по дифференциальной геометрии, Мир, М., 1970, 412)

492
Литература
[Str05] F. Strocchi, An introduction to the mathematical structure of quantum
mechanics. A short course for mathematicians, Advanced Series in
Mathematical Physics, vol. 27, World Sei. Publishing, London - Singapore,
2005.
[SzaOO] R.J. Szabo, Equivariant cohomology and localization of path integrals,
Lecture Notes in Physics. New Series m: Monographs, vol. 63, Springer-
Verlag, Berlin, 2000.
[Sze75] G. Szegö, Orthogonal polynomials, Amer. Math. Soc, Providence, R. I.,
1975. (Имеется рус. перевод: Г. Сегё, Ортогональные многочлены,
ГИФМЛ, М., 1962, 500)
[Так90] L. A. Takhtajan, Lectures on quantum groups, Introduction to quantum
group and integrable massive models of quantum field theory (Nankai,
1989), Nankai Lectures Math. Phys., World Sei. Publishing, River Edge,
NJ, 1990, 69-197.
[Tob56] W. Tobocman, Transition amplitudes as sums over histories, Nuovo
Cimento (10) 3 (1956), 1213-1229.
[Var04] V. S. Varadarajan, Supersymmetry for mathematicians: an introduction,
Courant Lecture Notes in Mathematics, vol. 11, New York University
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York, 2004.
[vN31] J. von Neumann, Die eindeutigkeit der schrödingershen Operatoren,
Mathematische Annalen 104 (1931), 570-578.
[vN96] J. von Neumann, Mathematical foundations of quantum mechanics,
Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press,
Princeton, NJ, 1996. (Имеется рус. перевод: Дж. фон Нейман, Мате-
матические основы квантовой механики, Наука, М., 1964, 366)
[Vor05] Alexander A. Voronov, Notes on universal algebra, Graphs and patterns
in mathematics and theoretical physics (Stony Brook, NY, 2001), Proc.
Sympos. Pure Math., vol. 73, Amer. Math. Soc, Providence, R. I., 2005,
81-103.
[Wey50] H. Weyl, Theory of groups and quantum mechanics, Dover Publications,
New York, 1950. (Имеется рус. перевод: Г.Вейл, Теория групп и кван-
товая механика, Наука, М., 1986, 497)
[Wig59] Е. P. Wigner, Group theory: And its application to the quantum mechanics
of atomic spectra, Pure and Applied Physics, vol. 5, Academic Press, New
York, 1959. (Имеется рус. перевод: Е. Вигнер, Теория групп и ее при-
ложения к квантомеханической теории атомных спектров, ИЛ, М.,
1961, 452)
[Wit82a] E.Witten, Constraints on supersymmetry breaking, Nuclear Phys. В 202
(1982), no. 2, 253-316.
[Wit82b] E.Witten, Supersymmetry and Morse theory, J. Differential Geom. 17
(1982), no. 4, 661-692(1983).

Литература
493
[Wit99a] E.Witten, Homework, Quantum fields and strings: a course for
mathematicians, vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997), Amer. Math. Soc,
Providence, R.I., 1999, 609-717.
[Wit99b] E. Witten, Index ofDirac operators, Quantum fields and strings: a course
for mathematicians, vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997), Amer. Math. Soc,
Providence, R. I., 1999, 475-511.
[Woo92] N. M. J. Woodhouse, Geometric quantization, second ed., Oxford
Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press,
New York, 1992.
[YI73] K.Yano and S.Ishihara, Tangent and cotangent bundles: differential
geometry, Marcel Dekker Inc., New York, 1973, Pure and Applied
Mathematics, no. 16.
[Арн85а] В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь, Симплектическая геометрия, Динами-
ческие системы - 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат.
Фундам. направления, т. 4, ВИНИТИ, М., 1985, 5-135.
[Арн85Ь] В.И.Арнольд, В.А.Козлов, А.И.Нейштадт, Математические аспек-
ты классической и небесной механики, Итоги науки и техн. Сер. Со-
врем, пробл. мат. Фундам. направления, т. 3, ВИНИТИ, М., 1985.
[Арн89с] В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, На-
ука, М., 1989.
[АХ93] Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбер-
товом пространстве (2-е изд.), Наука, М., 1966, 544.
[БербЗ] Ф. А. Березин, О канонических преобразованиях в представлении вто-
ричного квантования, ДАН СССР 150(5) (1963), 959-962.
[Бер71а] Ф. А. Березин, Невинеровские континуальные интегралы, ТМФ 6
(1971), по. 2, 194-212.
[Бер71Ь] Ф. А. Березин, Виковские и антивиковские символы операторов, Ма-
тем. сб. 86(128) (1971), 578-610.
[Бер74] Ф. А. Березин, Квантование, Изв. АН СССР. Сер. матем., 38(5) (1974),
1116-1175.
[Бер83а] Ф.А.Березин, М.А.Шубин, Уравнение Шрёдингера, МГУ, М., 1983.
[Бер83с] Ф. А. Березин, Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими
переменными, МГУ, М., 1983.
[Бер86с] Ф. А. Березин, Метод вторичного квантования, Наука, М., 1986.
[Бир80] М.Ш.Бирман, М.З.Соломяк, Спектральная теория самосопряжен-
ных операторов в гильбертовом пространстве, ЛГУ, Л., 1980.
[БусбО] В. С. Буслаев, Л. Д. Фаддеев, О формулах следов для дифференциально-
го оператора Штурма—Лиувилля, ДАН СССР 132 (1960), 13-16.

494
Литература
[Вил65] H. Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп,
Наука, М., 1965.
[Гел53] И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан, Об одном простом тождестве для соб-
ственных значений дифференциального оператора второго порядка,
ДАН СССР 88 (1953), 593-596.
[Гел56] И. М. Гельфанд, А. М. Яглом, Интегрирование в функциональных про-
странствах и его применения в квантовой физике, УМН 11 (1956),
по. 1(67), 77-114.
[Гер50] Я. Л. Геронимус, Теория ортогональных многочленов, Гостехиздат, М.-
Л., 1950.
[ГК69] И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопря-
женных операторов, Наука, М., 1965, 448.
[Дав73] А.С.Давыдов, Квантовая механика, Наука, М., 1973.
[Дик58] Л. А. Дикий, Формулы следов для дифференциальных операторов
Штурма-Лиувилля, УМН 13 (1958), по. 3(81), 111-143.
[Дри83Ь] В. Г. Дринфельд, О постоянных квазиклассических решениях кванто-
вого уравнения Янга-Бакстера, ДАН СССР 273 (1983), по. 3, 531-535.
[Дри86Ь] В. Г. Дринфельд, Квантовые группы, Зап. научных семинаров ЛОМИ
155 (1986), 18-49.
[Дуб98а] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия.
Методы и приложения, т. 2: Геометрия и топология многообразий,
Эдиториал УРСС, М., 1998.
[Дуб98Ь] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия.
Методы и приложения, т. Г. Геометрия поверхностей, групп преоб-
разований и полей, Эдиториал УРСС, М., 1998.
[Кир02] А.А.Кириллов, Лекции по методу орбит, Научная книга, Новоси-
бирск, 2002.
[Кир78] А.А.Кириллов, Элементы теории представлений, Наука, М., 1978.
[Кир85с] А.А.Кириллов, Геометрическое квантование, Динамические систе-
мы - 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. на-
правления, т. 4, ВИНИТИ, М., 1985, 141-176.
[Кит99] А. Китаев, А. Шень, М. Вялый, Классические и квантовые вычисления,
МЦНМО-ЧеРо, М., 1999.
[Кре62] М. Г. Крейн, Об определителях возмущения и формуле следов для уни-
тарных и самосопряженных операторов, ДАН СССР 144 (1962), 268-
271.
[Лан88Ь] Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц, Механика (Теоретическая физика, т. 1),
Наука, М., 1988.

Литература
495
[Лан89Ь] Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц, Квантовая механика: Нерелятивистская
теория. (Теоретическая физика, т. I), Наука, М., 1989.
[Лев88а] Б. М. Левитан, И. С. Саргсян, Операторы Штурма -Лиувилля и Дира-
ка, Наука, М., 1988.
[Ман84] Ю. И. Манин, Калибровочные поля и комплексная геометрия, Наука,
М., 1984.
[Мар72] В.А.Марченко, Спектральная теория операторов Штурма-Лиувил-
ля, Наукова думка, Киев, 1972.
[Мас76а] В.П.Маслов, М.В.Федорюк, Квазиклассическое приблиэюение для
уравнений квантовой механики, Наука, М., 1976.
[Реш89а] Н. Ю. Решетихин, Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Квантование групп
и алгебр Ли, Алгебра и анализ 1 (1989), по. 1, 178-206.
[Роз89] Г.В.Розенблюм, М.3.Соломяк, М.А.Шубин, Спектральная теория
дифференциальных операторов, Дифференциальные уравнения с
частными производными - 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл.
мат. Фундам. направления, т. 64, ВИНИТИ, М., 1989, 5-242.
[Сла88с] А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибро-
вочных полей, Наука, М., 1988.
[Тах86а] Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солито-
нов, Наука, М., 1986.
[Фад01] Л.Д.Фаддеев, О.А.Якубовский, Лекции по квантовой механике для
студентов-математиков, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика,
Ижевск, 2001.
[Фад57] Л.Д.Фаддеев, О выражении для следа разности двух сингулярных
дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля, ДАН СССР
115 (1957), 878-881.
[Фад59] Л. Д. Фаддеев, Обратная задача квантовой теории рассеяния, УМН
14(1959), по. 4(88), 57-119.
[Фад64] Л. Д. Фаддеев, Свойства s-матрицы одномерного уравнения Шрёдин-
гера, Тр. МИАН СССР 73 (1964), 314-336.
[Фад74b] Л. Д. Фаддеев, Обратная задача квантовой теории рассеяния II, Итоги
науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат., т. 3, ВИНИТИ, 1974, 93-180.
[Фок76b] В. А. Фок, Начала квантовой механики, Наука, М., 1976.
[Яфа94] Д. Р. Яфаев, Математическая теория рассеяния, Изд-во СПбГУ, СПб.,
1994.

Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или
электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш
Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414,
тел.: (499) 135-54-37, (495) 641-69-38
2. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж)
3. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г. Долгопрудный,
Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409-93-28)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Тахтаджян Леон Арменович
Квантовая механика для математиков
Дизайнер В. А. Толстолуцкая
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерный набор и верстка П. И. Несмелое
Корректор О. А. Шемякина
Подписано в печать 11.07.2011. Формат 60 х 841/16.
Печать офсетная. Усл. печ.л. 28,83. Уч. изд. л. 30,12.
Гарнитура Таймc. Бумага офсетная № 1. Заказ № Р-985.
AHO «Ижевский институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500-295
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленного электронного оригинал-макета
в типографии филиала ОАО «ТАТМЕДИА» «ПИК «Идел-Пресс».
420066, г. Казань, ул. Декабристов, 2.
E-mail: idelpress@mail.ru