КЛОД КОЭН-ТАННУДЖИ
БЕРНАР ДИУ
ФРАНК ЛАЛОЭ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
Перевод с французского
Л.Н.НОВИКОВА
Том II
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2000

CLAUDE COHEN-TANNOUDJI
BERNARD DIU
FRANCK LALOE
MECANIQUE
QUANTIQUE
Paris
Hermann
1973

КЛОД КОЭН-ТАННУДЖИ
БЕРНАР ДИУ
ФРАНК ЛАЛОЭ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
Перевод с французского
Л.Н.НОВИКОВА
Том II
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2000

УДК 530.145@75.8)
ББК^314я73-1
К767
Коэн-Таннуджи К., Диу Б., Лалоэ Ф.
К767 Квантовая механика/Пер. с фр. Л. Н. Новикова: В 2-х т. Т. 2.— Екатеринбург:
Изд-во Урал, ун-та, 2000.— 800 с.
ISBN 5-7525-1134-8 (Т. И)
ISBN 5-7525-1085-6
©Л.Н.Новиков, 2000
(перевод)
О Hermann, Paris, 1973
ISBN 5-7525-1134-8 (Т. II) © Издательство Уральского
ISBN 5-7525-1085-6 университета, 2000

Глава VII
ЧАСТИЦА
В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА.
АТОМ ВОДОРОДА

ПЛАН ГЛАВЫ VII
А. СТАЦИОНАРНЫЕ
СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ
В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО
ПОТЕНЦИАЛА.
1. Постановка задачи.
a. Некоторые сведения из классической механики.
b. Квантовый гамильтониан.
2. Разделение переменных.
a. Угловая зависимость собственных функций.
b. Радиальное уравнение.
c. Поведение решений радиального уравнения в начале
координат.
3. Стационарные состояния частицы в поле
центрального потенциала.
a. Квантовые числа.
b. Вырождение уровней энергии.
В. ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС
И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ
ДВИЖЕНИЕ В СИСТЕМЕ,
СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ДВУХ
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ
ЧАСТИЦ.
1. Движение центра масс и относительное движение в
классической механике.
2. Разделение переменных в квантовой механике.
a. Наблюдаемые, связанные с центром масс и с
относительной частицей.
b. Собственные значения и собственные функции
гамильтониана.
С. АТОМ ВОДОРОДА.
1. Введение.
2. Модель Бора.
3. Квантовая теория атома водорода.
a. Замена переменных.
b. Решение радиального уравнения.
c. Квантование энергии. Радиальные функции.
4. Обсуждение результатов.
a. Порядок величины атомных параметров.
b. Уровни энергии.
c. Волновые функции.

В данной главе нас будут интересовать квантовые свойства частицы, находящейся в
поле центрального потенциала, то есть потенциала V(r), зависящего только от
расстояния г от точки до начала координат. Эта задача тесно связана с анализом свойств
углового момента, выполненным в предыдущей главе. Действительно, инвариантность V(r)
относительно произвольного вращения вокруг начала координат влечет за собой, как мы
увидим в § А, коммутативность гамильтониана Н частицы с тремя компонентами
оператора углового момента L . В этом случае поиск собственных функций и собственных
значений оператора Н значительно упрощается, так как можно потребовать, чтобы эти
функции были также собственными функциями операторов L2 и Lz, что сразу же
позволит определить их угловую зависимость. Зная ее, уравнение на собственные значения
гамильтониана Я можно заменить на дифференциальное уравнение, в которое будет
входить только одна переменная г.
Связанный с этой задачей значительный физический интерес вытекает из важного
свойства, которое будет установлено в § В: при изучении системы, состоящей из двух
частиц, потенциальная энергия взаимодействия которых зависит только от их
относительного положения, задача может быть сведена к значительно более простому случаю
одной фиктивной частицы, движущейся в поле центрального потенциала. Нетрудно
понять, почему эта задача является очень общей: всякий раз к ее решению прибегают,
желая описать в рамках квантовой механики поведение двух взаимодействующих
микроскопических объектов.
В § С мы применим развитый ранее общий формализм к частному случаю, когда
потенциал V(r) является кулоновским. Простейшим примером системы такого типа
служит атом водорода, состоящий из протона и электрона, связанных между собой силами
электростатического притяжения. И этот пример далеко не единственный: кроме
изотопов водорода (дейтерий, тритий), можно указать также на водородоподобные ионы, то
есть системы, состоящие из ядра и единственного электрона, такие, как Не+ , Li++ и т. д.
В дополнении AVn будут рассмотрены и другие примеры. Для подобных систем мы
вычислим в явном виде энергии связанных состояний и соответствующие волновые
функции. Впрочем, можно напомнить, что исторически квантовая механика появилась как
раз в качестве теории, способной описать свойства атомов (и, в частности, простейшего
из них атома водорода), необъяснимые с позиций классической механики. Замечательное
совпадение теоретических предсказаний с результатами экспериментальных исследований
явилось самым убедительным свидетельством успеха этой области физики. Отметим,
7

Глава VII
наконец, что точные результаты, полученные при расчете атома водорода, послужили
отправной точкой для всех приближенных теоретических исследований, касающихся
более сложных многоэлектронных атомов.
А. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ
В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА
В этом параграфе мы рассмотрим частицу без спина с массой \х, подверженную
действию центральной силы, потенциальная энергия которой равна V(r) (центр силы
выберем в качестве начала координат).
1. Постановка задачи
а. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Сила, действующая на классическую частицу, находящуюся в точке М (радиус-
вектор которой ОМ = г ), равна:
dV r
F = -Vy(r) = . (А-1)
dr r
Таким образом, сила F постоянно направлена в сторону начала координат О, и ее
момент относительно этой точки равен нулю. Если
# = rxp (A-2)
угловой момент частицы относительно точки О, то теорема об угловом моменте
утверждает, что
^ = 0. (А-3)
dt
Итак, £ остается константой движения, и траектория частицы должна находиться в
плоскости, проходящей через точку О и перпендикулярной к направлению вектора £ .
Рассмотрим положение (характеризуемое ОМ = г ) и скорость v частицы в момент
времени t. Два вектора г и v расположены в плоскости траектории, и скорость v
можно разложить на компоненту, направленную вдоль радиуса-вектора г (радиальная
компонента скорости vr), и компоненту, перпендикулярную к нему (орторадиальная
компонента скорости v±). Радиальная скорость, как алгебраическая мера вектора vr,
является производной по времени от расстояния частицы до точки О:
vr = —. (А-4)
dt

Центральный потенциал; атом водорода
О скорости частицы
Рис.1
Радиальная vr и орторадиальная v± компоненты
Что касается орторадпальной скорости, то ее можно выразить через г и угловой момент
частицы <£ . Действительно, поскольку
|rxv| = r|vj, (А-5)
то Модуль углового момента 2! равен:
|^| = |гхцу| = цг|у1|. (А-6)
Полная энергия частицы:
£ = iJlv2+V(r)=^v;+|(xv:+V(r) (А-7)
может быть записана в виде:
1 , <£2
E=2»v~'+2^ + V(rh
Таким образом, функция Гамильтона равна:
(А-8)
/г с£~
ЛГ = -^- + r + V(r), (A-9)
2jLi 2цг
где
Рг=^ (А-10)
момент, сопряженный г, а величина &2 должна быть выражена через переменные /*, д ,
ф и сопряженные им моменты /;,., /;0, р . Путем несложных расчетов (см. приложение
III, § 4-а) можно найти:
22 = р1+^-тр;. (а-П)
snr v
В выражении (А-9) кинетическая энергия разложена на две составляющие: радиальную
кинетическую энергию и кинетическую энергию вращения вокруг точки О. Причина

Глава VII
такого разложения состоит в следующем: поскольку V(r) в интересующем нас случае
не зависит от углов д иф, угловые переменные и сопряженные им моменты
появляются только в члене, пропорциональном З?2, и при анализе радиального движения частицы
можно использовать тот факт, что (£ является константой движения, то есть в
выражении (А-9) заменить 4?2 постоянной величиной. Тогда гамильтониан Ж оказывается
зависящим только от радиальных переменных г и рг, а величина Я?2 играет роль
параметра. В результате получим дифференциальное уравнение только лишь переменной г:
ffce^ = -—= 4--. (А-12)
dt dt or jir dr
Все происходит так, как если бы речь шла об одномерной задаче, где г изменяется
в пределах от 0 до «>, в которой исследуется движение частицы с массой ц в поле
«эффективного» потенциала:
Я2
Vtf(r) = V(r) + —-т. (А-13)
2цг"
Ниже мы увидим, что в квантовой механике ситуация совершенно аналогична.
Ь. КВАНТОВЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН
В квантовой механике ищется решение уравнения на собственные значения
гамильтониана Н, то есть наблюдаемой, связанной с полной энергией системы. В
представлении ||г)| это уравнение имеет вид:
A + V(r)
2ц
ф(г) = Еф(г). (А-14)
Поскольку потенциал V зависит только от расстояния г частицы до начала
координат, то удобнее воспользоваться сферическими координатами (см. § D-1-a главы VI).
Запишем лапласиан А в сферических координатах*:
1 Э2 1
Г Н
дг2 -2
г дг г
( Э2 1 Э 1 Э2 ^
\ЬЬг tgb db sin1 Ь Эф2
и будем искать собственные функции <р(г) как функции переменных г, Ь, ф.
(А-15)
Выражение (А-15) определяет лапласиан только для отличных от нуля значений г. Это
происходит вследствие использования сферических координат, выделяющих начало системы
координат. Впрочем, легко видеть, что выражение (А-15) в точке г - 0 не определено.

Центральный потенциал; атом водорода
Достаточно сравнить выражение (А-15) с выражением для оператора L" [формула
(D-6-a) главы VI], чтобы увидеть, что квантовый гамильтониан И может быть
представлен в форме, аналогичной выражению (А-9):
ft2 1 Э" 1 ,
И = -— - т-^г + -—т\) + V(r)
2\х г дг 2ц/-
(А-16)
Угловая зависимость гамильтониана полностью сосредоточена в члене,
пропорциональном L2, который выступает здесь как оператор. Можно было бы еще более углубить
аналогию, если определить оператор Рг, который позволяет записать первый член
равенства (А-16) так, как это сделано в выражении (А-9).
Теперь покажем, как можно получить решение уравнения на собственные значения:
й 1 Э2 1 ., _„ ч
2\х г дг 2\хг
ф(г, f}, ф) = £ф(/\ в, ф).
(А-17)
2. Разделение переменных
а. УГЛОВАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Мы знаем [см. формулы (D-5) главы VI], что три компоненты оператора углового
момента L действуют только на угловые переменные й и ф, вследствие чего они
коммутируют с любым оператором, действующим лишь на радиальную зависимость от г .С
другой стороны, они коммутируют с L2, и, согласно выражению (А-16) гамильтониана, три
компоненты L являются константами движения* в квантово-механическом смысле
этого термина:
[//,L] = 0. (A-18)
Естественно, гамильтониан Н коммутирует также и с оператором L2.
Несмотря на то, что в нашем распоряжении имеются четыре константы движения
( Lv, LY, L: и L2), мы не можем их использовать для решения уравнения (А-17), так как
не все из них коммутируют друг с другом. Воспользуемся только операторами L2 и L..
Поскольку три наблюдаемые И , L2 и L. коммутируют, можно попытаться определить
базис пространства состояний ^г частицы с помощью собственных векторов, общих для
v Равенство (А-18) выражает, что И является скалярным оператором по отношению к
вращениям вокруг точки О (см. дополнение BVi), что вытекает из инвариантности потенциальной энергии
относительно вращения вокруг этой точки.

Глава VII
этих трех наблюдаемых. Таким образом, не ограничивая общности задачи,
сформулированной выше в § 1, можно потребовать, чтобы функции ф(г, д,ф), являющиеся
решениями уравнения (А-17), были бы также собственными функциями операторов L2 и L..
В результате требуется решить систему дифференциальных уравнений:
Яф(г) = Еф(г); (А-19-а)
Ь2ф(г) = /(/ + 1)й2ф(г); (A-19-b)
L. ф(г) = тйф( г). (А-19-с)
Общая форма собственных функций операторов L" и L. уже известна (§ D-l-b-C
главы VI): решения ф(г) уравнений (А-19), соответствующие фиксированным
значениям чисел / и пи по необходимости являются произведениями функции переменной г на
сферическую гармонику У;'"(Ф,ф):
ф(г)=Я(г) >Г(«.Ф)- (А-20)
Функция ф( г) является решением уравнений (A-19-b) и (А-19-е) независимо от формы
радиальной функции R(r). Таким образом, для решения задачи остается определить
функцию R(r) так, чтобы она была собственной функцией гамильтониана И [уравнение
(А-19-а)].
Ь. РАДИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
Подставим выражения (А-16) и (А-20) в уравнение (А-19-а). Поскольку ф(г) —
собственная функция оператора L2 с собственным значением /(/ + 1)/Г, сферическая
гармоника К/"(в,ф) оказывается общим множителем двух частей уравнения, и после ее
сокращения получим радиальное уравнение:
/Г 1 d~ / / + 1 /Г 17/ ч
тг + — + V(r)
2ц r dr2 2\ir
R(r) = ER(r). (A-21)
На самом деле решение уравнения (А-21), будучи подставленным в формулу (А-20),
не обязательно даст решение уравнения на собственные значения (А-14) гамильтониана.
Как мы уже отмечали выше, выражение (А-15) для лапласиана не обязательно
справедливо при г = 0 . Поэтому следует убедиться в достаточной регулярности поведения
решений /?(/*) уравнения (А-21) в начале координат. Только в этом случае функции (А-20)
будут действительно решением уравнения (А-14).
Решение уравнения в частных производных (А-17) относительно трех переменных
/*, О, ф может быть сведено к решению одного дифференциального уравнения относи-
12

Центральный потенциал; атом водорода
тельно единственной переменной /*, зависящему, однако, от параметра /. При этом
потребуется найти собственные значения и собственные функции оператора Н,,
различного для каждого значения /.
Иначе говоря, в пространстве состояний Ег следует отдельно рассматривать
подпространства £(/, т), соответствующие фиксированным значениям / и т (см. §С-3-а
главы VI), и исследовать уравнение на собственные значения гамильтониана Я в каждом
из этих подпространств (это возможно, так как И коммутирует с операторами L2 и L.).
Требующее решения уравнение зависит от /, но не зависит от т , то есть оно одинаково
для всех B/ +1) подпространств <* (/, т), соответствующих данному значению /.
Обозначим символом Ек , собственные значения оператора Н{, то есть собственные значения
гамильтониана И внутри определенного подпространства <$ (/, т): индекс к
(дискретный или непрерывный) позволяет уточнить собственные значения, соответствующие
одному и тому же значению /. Что касается собственных функций оператора Н,, то мы
также будем различать их с помощью тех же индексов, что и собственные значения: RkJ(r).
Тем не менее совсем не очевидно, что этого будет достаточно, ибо кажется, что возможно
существование нескольких радиальных функций, являющихся собственными функциями
одного и того же оператора Ht с одним и тем же собственным значением Ек1. В §3-Ь мы
все же увидим, что это не так, и знания двух индексов будет достаточно, чтобы
охарактеризовать различные радиальные функции. Поэтому перепишем уравнение (А-21) в форме:
tr 1 d2
,-r + ^— + V(r)
2A r clr 2\xr
RtJ{r) = EtJRkJ(r).
(A-22)
Дифференциальный оператор можно упростить, если изменить форму функции. Пусть:
**./('•) = -«*.,('•)
(А-23)
Умножив обе части равенства (А-22) на г, получим для функции «(,,(') следующее
дифференциальное уравнение:
2\х dr 2[ir
"*./('*) = £*./<<*./(>*)
(А-24)
Это уравнение очень похоже на то, которое следовало бы решать, если бы в задаче
речь шла об одномерном движении частицы с массой |я в поле эффективного
потенциала Veff(r), равного:
/(/ + 1)/Г
Veff(r) = V(r) + -
2\xr
(А-25)

Глава VII
Однако не следует упускать из виду, что переменная г может принимать только
вещественные положительные значения или равняться нулю. Член /(/ + 1)Л2 /2|лг2,
добавляющийся к потенциалу V(r), всегда больше или равен нулю, вследствие чего
соответствующая ему сила (градиент потенциала с обратным знаком) всегда стремится удалить
частицу от центра сил О. По этой причине этот член часто называют центробежным
потенциалом (или центробежным барьером). На рис. 2 представлен ход зависимости
эффективного потенциала Vejf (г) для нескольких значений числа / в случае, когда V(r)
является потенциалом кулоновского притяжения [V(r) = -е2 /г ]. Наличие
центробежного потенциала, доминирующего на малых расстояниях /*, приводит к тому, что при
/>1 потенциал Vef( (r) имеет отталкивающий характер.
Рис.2
Ход эффективного потенциала Vl1f(r) для
первых значений / в случае, когда V{r) = -e21 r .
Когда / = 0, потенциал Veff(r) просто равен
V(r)\ если / принимает значения 1, 2, .... то
Vejf(r) получается путем добавления к V(r)
центробежного потенциала /(/ + 1)/г /2цг2,
который стремится к +°о при г—>0
с. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ РАДИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ
Выше отмечалась необходимость исследования поведения решений R(r)
радиального уравнения (А-21) в начале координат для определения, являются ли они
действительно решениями уравнения (А-14).
Допустим, что при г—>0 потенциал V(r) остается конечной величиной или по
крайней мерс стремится к бесконечности не быстрее, чем 1 / /• (эта гипотеза справедлива
14

Центральный потенциал; атом водорода
для большинства встречающихся в физике случаев и, в частности, в случае
рассматриваемого в § С кулоновского потенциала). Рассмотрим решение уравнения (А-22) и
допустим, что вблизи начала координат оно ведет себя, как rs:
Rk , ос Crs. (A-26)
' г-»0
Подставив (А-26) в (А-22) и приравняв нулю коэффициент при наибольшем члене,
получим:
-s(s+l) + /(/ + l) = 0 (A-27)
и,следовательно:
[или s = l;
' (А-28)
ИЛИ S = ~(l+\).
Таким образом, для данного значения энергии Ек , можно найти два линейно
независимых решения уравнения второго порядка (А-22), ведущих себя вблизи начала
координат, как г1 или как l/r/ + 1. Всякое решение вида 1/ г1 + { должно быть отброшено, так
как можно показать, что функция (l/r/ + 1 К/"(в, ф)) не является решением уравнения на
собственные значения (А-14) при г = 0 *. Отсюда следует, что все допустимые решения
уравнения (А-24) обращаются в нуль в начале координат независимо от значения числа
/, так как
ик , ~ Crl+l. (A-29)
' г—>()
Итак, к уравнению (А-24) следует добавить условие:
и*./@) = 0 (А-30)
ЗАМЕЧАНИЕ
В уравнении (А-24) расстояние частицы до начала координат может изменяться только
от 0 до оо. Однако, благодаря условию (А-30), можно считать, что задача является
действительно одномерной, и частица в принципе способна двигаться по всей оси, но эффективный
потенциал равен бесконечности для всех отрицательных значений переменной. Мы знаем,
что в этом случае волновая функция тождественно равна нулю на всей отрицательной
полуоси; при этом условие (А-30) обеспечивает непрерывность волновой функции при г = О .
* Это верно, поскольку в лапласиан от A / г + Y (т), ф)) войдут производные /-того порядка
от 8(г), как показано в приложении II.

Глава VII
3. Стационарные состояния частицы
в поле центрального потенциала
а. КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА
Результаты предшествующего параграфа можно резюмировать следующим образом.
Следствиями независимости потенциала V(r) от углов 0,ф являются возможности:
(i) потребовать, чтобы собственные функции гамильтониана Н являлись
одновременно собственными функциями операторов L" и L., что определяет их угловую
зависимость:
Ф* / M(D = Л* /('ОС(Я• Ф) = - "* /('ОГ(«.Ф): (А-31)
г
(ii) заменить уравнение на собственные значения гамильтониана И , то есть
уравнение в частных производных по /\д,ф, дифференциальным уравнением от
единственной переменной /*, зависящим от параметра / [уравнение (А-24)] и подчиненным
условию (А-30).
Эти результаты можно сопоставить с результатами, изложенными в § 1-а, и они
являются их квантовым аналогом.
Функции Ф^/,,,0% в,ф) должны быть в принципе квадратично интегрируемыми, то
есть поддающимися нормировке:
{|ф,.„„(г,д,ф)|2Л/г^ = 1. (А-32)
Их форма (А-31) позволяет разделить интегрирование по радиусу и углам:
/|фл./.,иС'^ «»ф)|2/-2г/г r/S2 = /с7г2^//-|/?Лв/(г>|2 Jr/Q|^w@, ф)|2 . (А-ЗЗ)
Но сферические гармоники К/"(Ф,ф) нормированы при интегрировании по углам,
вследствие чего условие (А-32) сводится к равенству:
/;Л//-|я,.,(/-)|: = fcdr\ukJ(r)\2 = 1. (А-34)
На деле мы знаем, что часто удобнее выбрать такие собственные функции
гамильтониана, которые не являются квадратично интегрируемыми. Если спектр оператора Н имеет
непрерывную часть, то обычно от соответствующих собственных функций требуют
выполнения условий ортонормировки в широком смысле слова, то есть ее записи в виде:
^r\lrRl,l(r)Rkl(r) = j^Irul((r)ukl(r) = 8(k/-k), (А-35)
где к — непрерывный индекс.
16

Центральный потенциал; атом водорода
В формулах (А-34) и (А-35) интегралы сходятся на нижнем пределе г = 0 [условие
(А-30)]. Физически это понятно, так как вероятность нахождения частицы в любом
конечном объеме всегда конечна. И только из-за поведения волновых функций при /• —> °°
в случае непрерывного спектра интегралы нормировки (А=35) расходятся, если к = к'.
Итак, можно заключить, что волновые функции гамильтониана // частицы,
находящейся в поле центрального потенциала V(r), зависят по крайней мере от трех индексов
(А-31). Функция фд j ш(г, 0,ф) = Rk.t/(r)K/"@, Ф) является одновременно собственной
функцией операторов И, L" и L. с собственными значениями Е, ,, /(/ + 1)/Г и mh.
Число к называется радиальным квантовым числом, I — азимутальным квантовым
числом и /;/ —магнитным квантовым числом. Радиальная часть Rk ,(r) = — ик ,(г)
г
волновой функции и собственное значение EkJ оператора Н не зависят от магнитного
квантового числа и определяются радиальным уравнением (А-24). Угловая часть
собственной функции зависит только от чисел / и т , но не зависит от числа к , она не зависит
также от формы потенциала V(r).
b. ВЫРОЖДЕНИЕ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ
Рассмотрим теперь вырождение уровней энергии, то есть собственные значения
гамильтониана И. Функции Фд.%Л/н0\Ф,ф) с фиксированными значениями к и / [число
этих функций равно B/ + 1) ] и числом т , изменяющимся от -/ до +/, являются
собственными функциями И с одинаковым собственным значением Ек ,, и они, конечно,
ортогональны между собой, так как соответствуют различным собственным значениям
оператора L:. Таким образом, любой уровень EkJ вырожден по меньшей мерс B/ + 1) -кратно.
Это вырождение, существующее независимо от формы потенциала V(r), получило
название существенного вырождения. Оно обусловлено тем, что в гамильтониан И входит
оператор L", но не входит оператор L. *, вследствие чего число т не входит в радиальное
уравнение. Кроме того, может оказаться, что одно из собственных значений Ек ,
радиального уравнения, соответствующего данному значению /, совпадет с собственным
значением Ек.г другого радиального уравнения, соответствующего Г Ф I. Такие
совпадения имеют место для некоторых специальных форм потенциала V(r), и связанные с
ними вырождения называют случайными (в § С мы покажем, что уровни энергии атома
водорода имеют случайные вырождения).
* Существенное вырождение возникает всякий раз, когда гамильтониан инвариантен
относительно вращения (см, дополнение BV|). Именно поэтому оно часто встречается в физических
задачах.
17

Глава VII
Остается показать, что для фиксированного значения / радиальное уравнение
допускает еще приемлемое физически решение для каждого собственного значения EkJ .
Это непосредственно следует из условия (А-30). Действительно, радиальное уравнение,
будучи дифференциальным уравнением второго порядка, обладает априори двумя
линейно независимыми решениями для каждого значения Ек1\ условие (А-30) устраняет
одно из них, но для каждого значения Ек1 остается еще одно приемлемое решение.
С другой стороны, нужно также анализировать поведение решений при г —> °о ; если при
г—>«> потенциал V(r)—>0, то отрицательные значения Ек[, для которых решение
является приемлемым (то есть ограниченным) на бесконечности, образуют дискретный
ансамбль (см. пример ниже в § С и дополнение Вуц)-
Изложенное выше свидетельствует о том, что операторы //, L2 и L7 образуют
полный набор коммутирующих операторов*. Если зафиксировать три собственные
значения EkJ, /(/ + 1)й2 и mh, то им соответствует единственная собственная функция
Ф*./,/»(г): собственное значение оператора L2 указывает, какое уравнение дает
радиальную функцию; собственное значение оператора Н позволяет единственным образом
зафиксировать эту радиальную функцию RkJ(r); и, наконец, для данных значений / и
т существует единственная сферическая гармоника У"\Ъ, ф).
В. ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС
И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ В СИСТЕМЕ,
СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ
Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц без спина с массами т, и т2,
положение которых определено векторами г, и г2. Допустим, что силы, действующие на
частицы, описываются потенциальной энергией У(г, - г2), зависящей только от г, - г2.
Для этого достаточно, чтобы на систему не действовали никакие внешние силы, то есть
чтобы система была изолированной, а взаимодействие частиц между собой описывалось
бы потенциалом, зависящим только от г, - г2, то есть от относительного положения
двух частиц. Покажем, что анализ такой системы может быть сведен к анализу одной
частицы, помещенной в поле с потенциалом V(r).
* В действительности мы не доказали, что эти операторы являются наблюдаемыми, то есть,
что ансамбль функций ф*,/,//;(г) образует базис в пространстве состояний Ег.

Центральный потенциал; атом водорода
1. Движение центра масс и относительное движение
в классической механике
В классической механике состояние системы, образованной из двух точечных масс,
зависит от шести параметров, которыми могут быть, например, декартовы координаты
двух частиц в инерциальной системе отсчета. Система частиц при этом описывается
лагранжианом (см. приложение III):
Пгпг1;г2,г2) = Г-У=-ш1г1-+-ш:г2--У(г1-г2) (В-1)
и моментами, сопряженными шести координатам двух частиц, являющимися
компонентами моментов количества движения:
Pi ='»,**,;
р2 = т2 г2. (В-2)
Анализ движения двух частиц упрощается, если вместо радиуса-вектора г, ввести
три координаты центра масс (или центра тяжести):
г г =-
/и, г, +/?/2 г,
пи +ш,
(В-3)
и три координаты относительного положения частиц :
г = г, - г2.
Формулы (В-3) и (В-4) можно преобразовать к виду:
пи
г ;
т. +/>/,
(В-4)
Г, = Г,;
'1
-г .
пи +///,
(В-5)
Тогда лагранжиан запишется через новые переменные г(; и г в виде:
г/(г(;,г0.;г,г) = -ш,
пи
Г,: +
(' ш, +ш2
+ -"/2
пи +пи
-V(r)
= -Л/Гр+-ur2-V(r),
2 G 2 ^
(В-6)
* Определение (В-4) вносит некоторую асимметрию между двумя частицами.
2*
19

Глава VII
где
M=w,+m2 (B-7)
полная масса системы и
т. пи
ц = —L-i- (В-8-а)
/и, +w2
приведенная масса системы (среднегеометрическое значение масс ш, и т2):
- = — + — . (B-8-b)
ц ш, ш2
Моменты, сопряженные переменным rG и г , можно получить, дифференцируя
формулу (В-6) по компонентам переменных гс и г . Используя выражения (В-3), (В-4)
и (В-2), получим:
pG = MtG =mltl+m2t2 = р,+р2; (B-9-a)
ш.р.-ш.р,
р = \хг = (B-9-b)
/п, +т2
или
JU!l_Pl. (B-9-c)
jli mx m2
Величина pG называется полным импульсом системы, ар — относительным
импульсом двух частиц.
Теперь можно выразить функцию Гамильтона системы через новые динамические
переменные:
.nrc,pc;r,p) = ^7 + ^: + V(r). (B-10)
>1
2М 2ц
Уравнения движения получаются немедленно [формулы B7) приложения III]:
Р6=0; (В-11)
p = -VV(r). (В-12)
Первый член выражения (В-10) представляет кинетическую энергию фиктивной
частицы, масса которой М равна сумме тх +/н2 масс двух реальных частиц,
находящейся в точке центра масс системы (В-3). Ее импульс рс равен полному импульсу
р, + р2 системы. Уравнение (В-11) указывает, что эта фиктивная частица движется
равномерно и прямолинейно (свободная частица). Этот результат хорошо известен в клас-
20

Центральный потенциал; атом водорода
сической механике: центр масс системы частиц движется подобно одной частице с массой,
равной полной массе системы, которая была бы подвержена действию результирующей
всех сил, действующей на отдельные частицы. В данном случае эта результирующая
равна нулю, так как в системе действуют только внутренние силы, подчиняющиеся
принципу действия и противодействия.
Поскольку центр масс движется равномерно и прямолинейно относительно
первоначально выбранной системы отсчета, система отсчета, в которой он покоится (pG = 0),
также является инерциальной системой отсчета. Функция Гамильтона, то есть полная
энергия системы, приводится тогда к выражению:
Жг является энергией относительного движения двух частиц. Очевидно, что именно
это относительное движение представляет интерес при физическом исследовании двух
взаимодействующих частиц. Его можно описать путем введения фиктивной частицы,
которую часто называют относительной частицей: ее масса равна приведенной массе jlx ,
положение характеризуется относительными координатами г , а ее импульс —
относительным импульсом р . Движение относительной частицы подчиняется уравнению (В-12),
и она ведет себя так, как будто она находится в поле потенциала взаимодействия между
двумя реальными частицами.
Таким образом, изучение относительного движения двух взаимодействующих
частиц сводится к изучению движения одной фиктивной частицы, характеристики которой
заданы формулами (В-4), (В-8) и (В-9-с). Последнее из этих уравнений выражает, что
скорость р/ц относительной частицы действительно равна разности скоростей двух
частиц, то есть величине, которая обычно называется относительной скоростью.
2. Разделение переменных в квантовой механике
Приведенные выше рассуждения легко переносятся в квантовую механику, и сейчас
мы это покажем.
а. НАБЛЮДАЕМЫЕ,
СВЯЗАННЫЕ С ЦЕНТРОМ МАСС И С ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИЦЕЙ
Операторы R,, Р, и R2, P2, описывающие положения и импульсы двух частиц
системы, удовлетворяют каноническим соотношениям коммутации:
[х,,/>„] = <*;
[х2,рг,] = т (в-и)
21

Глава VII
и аналогичным формулам для компонент вдоль осей Оу и Oz . Все наблюдаемые с
индексом 1 коммутируют со всеми наблюдаемыми с индексом 2, и все наблюдаемые,
относящиеся к одной из осей Ох , Оу или Oz., коммутируют с наблюдаемыми, относящимися
к другой из этих осей.
Определим теперь наблюдаемые RG и R формулами, похожими на (В-3) и (В-4):
т. R, +ш, R^
R = ! ! : 1. •
14 с
/72, +Ш2
R = R,-R2,
и наблюдаемые Р0 и Р — формулами, аналогичными (В-9):
Р =
Р =р +р •
ш2Р, -/",Р2
/И, + Я?2
(В-15-а)
(B-15-b)
(В-16-а)
(B-16-b)
Нетрудно вычислить коммутаторы этих новых наблюдаемых. Результаты вычислений
таковы:
[Х(;,Р<;, ] = ///; (В-17-а)
[X,PV] = /T/ (B-17-b)
и аналогичные формулы для компонент вдоль осей Оу и <9г . Все другие коммутаторы
равны нулю. Таким образом, R и Р, а также R(; и Р0 удовлетворяют каноническим
соотношениям коммутации. Кроме того, любая наблюдаемая ансамбля { R , Р }
коммутирует с любой наблюдаемой ансамбля { Rc;, Рс; }.
Итак, допустимо интерпретировать { R , Р } // { RG , Р(; } как наблюдаемые
положения и импульса двух различных фиктивных частиц.
Ь. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНИАНА
Гамильтониан системы получается с помощью формул (В-1) и (В-2) и правил
квантования главы III:
// = -^- + -^- + V(R,-R,). (B-18)
2//?, 2ш2
Поскольку определения (В-15) и (В-16) формально идентичны выражениям (В-3), (В-4)
и (В-9) и все операторы импульсов коммутируют друг другу, простые алгебраические
вычисления дают эквивалент выражения (В-10):
22

Центральный потенциал; атом водорода
р2 р2
Я = —£- +— + V(R). (В-19)
Тогда гамильтониан Я оказывается равным сумме двух членов:
H = HG + Hr, (B-20)
где
Я0=Ц; (В-21-а)
H,~ + V(R), (B-21-b)
2ц
которые коммутируют между собой (см. предыдущий параграф):
[Яс,Яг] = 0 (В-22)
и, следовательно, коммутируют с гамильтонианом Я. Мы знаем, что при этом
существует базис собственных векторов оператора Я, которые являются также собственными
векторами операторов Яс и Нг. Таким образом, нужно решить систему уравнений:
что влечет за собой уравнение:
где
Яс|ф)=£с|Ф);
Яг|ф)=Ег|ф), (В-23)
Я|ф) = £|Ф), (В-24)
E = EG + Er. (B-25)
Рассмотрим представление {| гс, г)}, базисными векторами которого являются
собственные векторы, общие для наблюдаемых Rc и R . В этом представлении состояние
системы характеризуется волновой функцией ф(гс, г), зависящей от шести
переменных. Действие операторов Rc и R состоит в умножении волновых функций на
переменные гсиг соответственно, тогда как Рс и Р становятся дифференциальными опе-
Й Й
раторами — Vc и — V , где VG обозначает набор из трех операторов д/дхс , д/дус и
/ /
d/dzG). Таким образом, пространство состояний $ системы можно считать тензорным
произведением #г ®^г пространства С6Г состояний, связанного с наблюдаемой Rc,
на пространство £г, связанное с наблюдаемой R . При этом операторы HG и Нг можно
рассматривать как продолжения в пространстве $ операторов, на деле действующих
23

Глава VII
только в пространствах ?г и tfr соответственно. При этом можно, как было показано в
§ F главы II, искать базис собственных векторов |ф), удовлетворяющих уравнениям (В-23),
в форме:
|ф> = |Хс)®К>, (В-26)
где
\нг\уг) = Ег\уЛ
, \ ' ' ' (B-27-b)
Записав эти уравнения в представлениях {|г(;) } и {|г) }, соответственно, получим:
- ТГ7 А„ Хс (г«) = Е„ Хс (г<; >: (В-28-а)
2М
2ц
u),.(r)=£,co,.(r). (B-28-b)
Первое из этих уравнений показывает, что частица, связанная с центром масс
системы, является свободной, как и в классической механике. Его решения известны:
например, это плоские волны:
"«^-(SSF'*""*• (B■29,
энергия которых равна:
Ес = -^- (В-30)
6 2М
и может принимать любое положительное или нулевое значение. Это кинетическая
энергия трансляционного движения всей системы.
Наибольший интерес с физической точки зрения представляет второе уравнение
(B-28-b), относящееся к относительной частице. Оно описывает поведение системы двух
взаимодействующих частиц в системе отсчета центра масс. Если потенциал
взаимодействия между двумя реальными частицами зависит только от расстояния |г, -г2|, но не
от направления вектора г, - г,, то относительная частица находится в поле
центрального потенциала V(r), и задача сводится к рассмотренному ранее в § А случаю.
24

Центральный потенциал; атом водорода
ЗАМЕЧАНИЕ
Полный угловой момент системы двух реальных частиц:
J=L,+L2, (B-31)
где
L^R.xP,;
L2=R2xP2. (B-32)
Нетрудно показать, что формулу (В-31) можно записать иначе:
J = LC+L, (B-33)
где
Lc=RcxPc;
L = R х Р (В-34)
угловые моменты фиктивных частиц (из § А следует, что LG и L удовлетворяют
правилам коммутации операторов углового момента, и компоненты оператора L
коммутируют с компонентами оператора Lc ).
С. АТОМ ВОДОРОДА
1. Введение
Атом водорода состоит из протона с массой:
тр = 1,7х1(Г27кГ (С-1)
и зарядом:
<7 = 1,6х10",9Кл (С-2)
и электрона с массой:
те =0,91х100 кГ (С-3)
и зарядом -q. Взаимодействие между этими двумя частицами является существенно
электростатическим, поскольку соответствующая потенциальная энергия равна:
2 | 2
V(r) = --2 = - —, (С-4)
4Т1£() Г Г
где г — расстояние между частицами и
ч'
4яе0
= е-. (С-5)
25

Глава VII
Используя результаты, изложенные в § В, ограничимся рассмотрением в системе
отсчета центра масс. Функция Гамильтона, описывающая классическое относительное
движение двух частиц, равна:
2 2
ЛГ(г,р) = -Ц— —. (С-6)
Поскольку тр » те, приведенная масса \х системы очень близка к те:
тетр
И = — = гпе
™е+тР
(С-7)
(поправочный член те1тр порядка 1/1800). Это означает, что центр масс системы
практически совпадает с протоном, и относительная частица с хорошим приближением
может быть отождествлена с электроном. Именно поэтому в дальнейшем для
упрощения терминологии будем называть электроном относительную частицу и протоном —
центр масс.
2. Модель Бора
Напомним вкратце результаты, полученные в рамках модели Бора для атома
водорода. Эта модель, основанная на понятии траектории, не совместима с идеями квантовой
механики. Однако она позволяет простыми средствами ввести основные величины типа
энергии ионизации Е, атома водорода и некоторые параметры, характерные для атомных
размеров (например, радиус Бора а()). С другой стороны, оказывается, что энергии Еп,
определяемые по теории Бора, совпадают с собственными значениями гамильтониана,
введенного в § 3. И, наконец, квантовая теория позволяет подтвердить некоторые образы,
созданные в рамках модели Бора (см. § 4-с-C).
Эта полуклассическая модель базируется на гипотезе, согласно которой электрон
движется вокруг протона по круговой орбите с радиусом г, подчиняясь следующим
уравнениям:
1 , е2
E = -vlv2 ; (С-8)
2 г
^ = 4; (с-9)
г г
\ivr = nh, (С-10)
где п — целое положительное число.
Первые два уравнения — чисто классические: (С-8) выражает, что полная энергия
электрона равна сумме его кинетической и потенциальной энергий; (С-9) представляет собой
26

Центральный потенцией; атом водорода
фундаментальное уравнение ньютоновой механики и выражает равенство кулоновской
силы, действующей на электрон, и центробежной силы при равномерном круговом
движении. Третье уравнение отражает правило квантования, введенное Бором эмпирически,
чтобы учесть существование дискретных энергетических уровней: постулируется, что
реализуются только те круговые траектории электрона, которые удовлетворяют этому
условию. Естественно, что нумерация возможных орбит и других связанных с ними
физических величин производится с помощью приписываемого им целого индекса п .
Несложные алгебраические вычисления дают выражения для Еп, /;,, \>п :
Е„=~Е,; (С-11-а)
/г
r„ = л2л0; (C-11-b)
v„ =-v;„, (С-11-е)
/2
где
4
Е.=^г\ (С-12-а)
7 2ft-
(C-12-b)
i'„=^. (С-12-е)
ft
В то время, когда Бор выдвинул свою модель, она представляла собой решающий
шаг вперед для понимания атомных явлений, так как давала корректные значения для
энергии уровней атомов водорода. Действительно, они подчиняются (формула Бальме-
ра) закону 1//Г , как и указывает выражение (С-11-а). Кроме того, энергия ионизации,
измеренная экспериментально (энергия, необходимая для отрыва электрона от атома в
основном состоянии), хорошо совпадала с численным значением Е,:
£,=13,6эВ. (С-13)
Наконец, радиус Бора а{) хорошо характеризует атомные размеры:
д()=0,52 ангстрем. (С-14)
ЗАМЕЧАНИЕ
В дополнении Q показано, как применение принципа неопределенности к
атому водорода позволяет понять существование стабильного состояния атома и
оценить порядок величины его энергии и пространственного распределения.
27

Глава VII
3. Квантовая теория атома водорода
Найдем сначала собственные значения и собственные функции гамильтониана Н,
описывающего относительное движение протона и электрона в системе отсчета центра
масс (С-6). В представлении {|г) } уравнение на собственные значения гамильтониана
И имеет вид:
- —Д- —
2ц г
ф(г) = Еср(г).
(С-15)
Поскольку потенциал - е~ / г является центральным, можно применить полученные в § А
результаты и записать собственные функции ф(г) в форме:
Ф*./.,и(г) = -"*./('-)Г(».Ф).
(С-16)
где ukJ(r) — радиальная функция, определяемая уравнением (А-24), то есть
П2 d2 /(/ + 1)й2 е2
2ц dr2
2цг
uk.M) = EkJukJ(r),
К этому уравнению нужно добавить условие:
"*./@) = 0.
(С-17)
(С-18)
Можно показать, что спектр гамильтониана Н состоит из дискретной части (отрицательные
собственные значения) и непрерывной части (положительные собственные значения).
Действительно, обратимся к рис.3, где представлен эффективный потенциал для некоторого заданного
значения / (рисунок сделан для / Ф О, но все рассуждения остаются справедливыми и для / = 0).
Для положительных значений Е классическое движение не ограничено в пространстве: для
выбранного на рисунке значения Е > О оно ограничено слева точкой А, но ничем не ограничено
справа от нес*. Отсюда следует (см. также дополнение Мш), что уравнение (С-17) имеет
допустимые решения при любых Е > 0. Спектр Н , таким образом, непрерывен для Е > 0, и
соответствующие собственные функции не являются квадратично интегрируемыми.
Напротив, для Е < 0 классическое движение ограничено: оно имеет место между двумя
абсциссами точек В и С\ Далее мы увидим, что уравнение (С-17) дает приемлемые решения только
* Для потенциала вида -1 / г классические траектории имеют коническую форму;
неограниченное движение осуществляется по гиперболе или параболе.
"* Соответствующая классическая траектория — эллипс или окружность.
28

Центральный потенциал; атом водорода
Л<'>
Л
1 1\
ш
Е > 0
.
1 5
| Е < 0
4 — "
-^-""""с
r/at
Рис.3
Для положительных значений энергии £
классическое движение не ограничено; таким
образом, спектр квантового гамильтониана Н
непрерывен при £>0, и соответствующие
собственные функции не могут быть
нормированы. Напротив, при Е < 0 классическое
движение ограничено интервалом ВС; при
этом спектр И дискретен, и
соответствующие собственные функции могут быть
нормированы
для определенных дискретных значений Е . Таким образом, при Е < 0 спектр оператора И
дискретный, и соответствующие собственные функции квадратично интегрируемы.
а. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Для упрощения рассуждений примем величины а{) и Е{ [формулы (С-12)] в
качестве единиц длины и энергии, то есть введем безразмерные величины:
Р = г/а();
(С-19)
(С-20)
(величина под корнем положительна, так как мы ищем связанные состояния).
С учетом выражений (С-12-а) и СA2-Ь) для а{) и Е, радиальное уравнение (С-17)
примет вид:
V /0 + 1) 2 ^2
dp р р
"*./(Р) = 0.
(С-21)
Ь. РЕШЕНИЕ РАДИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Чтобы решить уравнение (С-21), используем метод, уже примененный в дополнении
Су, и разложим функцию икч1(р) в ряд.
29

Глава VII
а. Асимптотическое поведение
Попытаемся качественно понять асимптотическое поведение ик ,(р). Если р—>«>,
члены с 1/р и 1/р2 становятся пренебрежимо малыми по сравнению с постоянным
членом Х2к1, так что уравнение сводится к
Г~^*./
«*./(Р) = 0,
(С-22)
* 1*и
решениями которого являются функции е '"'. Это не вполне строго, так как мы
полностью пренебрегли членами с 1/р и 1/р2. На деле можно показать, что функция ик ,(р)
эквивалентна этой экспоненте, умноженной на некоторую степень величины р.
По физическим причинам в дальнейшем мы наложим условие ограниченности
функции ukJ(p) на бесконечности и, следовательно, отбросим тс решения уравнения
(С-21), асимптотическое поведение которых пропорционально е+рА*•'. Именно поэтому
произведем следующую замену функции:
м4</(р) = *"'*'■'vft.,(p).
(С-23)
„+р>'*.'
Эта замена, естественно, не устраняет полностью решения, пропорциональные е ' "", и
в дальнейшем их нужно будет идентифицировать и отбросить. Дифференциальное
уравнение для функций ук ,(р) без труда выводится из (С-21):
dp- "dp
2 /(/ + 1)
Р Р2
к.,(р) = 0.
К нему нужно добавить условие:
Л„@) = 0.
(С-24)
(С-25)
C. Нахождение решений в виде рядов
Рассмотрим разложение функции ук Др) в ряд по р:
у*.,(р)=р'£'»р*-
(С-26)
По определению с(| является первым отличным от пуля коэффициентом этого разложения:
с„*0. (С-27)
Условие (С-25) требует, чтобы показатель степени s был бы строго положительным.

Центральный потенциал; атом водорода
i »2
Вычислим —ук ,(р) и —-ук Др) с помощью (С-26):
dp' ' dp~
■f л.,(р)=£^+*)^р'+' (с-28-а)
dp (/=Q
^-Tyki(9)=l^ + s)(q + s-l)c(Ip(i + x-\ (C-28-b)
Чтобы получить первый член (С-24), умножим выражения (С-26), (С-28-а) и (C-28-b)
 /(/ + 1)", , ^
1 -2а к j и 1. Определенный таким образом
соответственно на множители
р р2
ряд должен тождественно равняться нулю, то есть все его коэффициенты должны быть
равны нулю.
Член самой низшей степени — по р9-2; запишем равенство нулю его коэффициента:
[-/(/ +1) + s(s -l)]c0=0. (С-29)
Если учесть условие (С-27), то ясно, что s может принимать одно из двух значений:
; (С-30)
s = -I
(снова приходим к общему результату § А-2-с). Выше мы видели, что уже одно поведение
в начале системы отсчета может привести к приемлемому решению [условие (С-25)].
Приравнивая к нулю коэффициент общего члена, пропорционального pq+s~2, получим
(с учетом s = I +1) следующее рекуррентное соотношение:
^ + 2/ + l)c;/=2[(^ + /)X,i/-l]Vi. (C-31)
Это соотношение позволяет, если зафиксировать с0, вычислить с,, затем — с2 и
далее шаг за шагом все коэффициенты cq. Поскольку с I с х —> 0 при q —»©о 9
соответствующий ряд сходится при любых значениях р . Итак, мы определили для любого
значения XkJ решение уравнения (С-24), удовлетворяющее условию (С-25).
с. КВАНТОВАНИЕ ЭНЕРГИИ. РАДИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Теперь потребуем от полученного выше решения, чтобы оно имело физически
приемлемое асимптотическое поведение. Это приведет к квантованию возможных значений
31

Глава VII
2рЛ;
\е
К,)"
q\ '
_ 2XtJ
1 Ч
Если квадратные скобки в правой части выражения (С-31) не обращаются в нуль ни
при каком целом значении q, то разложение (С-26) является истинно бесконечным
рядом, для которого:
-£- ~ —— . (С-32)
Ci,-\ Ч^°° </
Но разложение в ряд функции <ГрЛ*' имеет вид:
(С-33)
откуда следует, что
(I. 2X,.,
(С-34)
Сравнивая (С-32) и (С-34), легко понять*, что рассматриваемый ряд при больших
значениях р ведет себя как е"^Кк'' . Соответствующая функция ик , (С-23) пропорциональна
£+рА*-' ^ что неприемлемо с физической точки зрения.
Поэтому нужно отбросить все случаи, когда разложение (С-26) является бесконечным
рядом, и допустимыми являются только те значения А^ ,, для которых (С-26) содержит
лишь конечное число членов, то есть для которых функция ук , является полиномом.
Тогда соответствующая функция ик , физически приемлема, так как ее доминирующее
асимптотическое поведение пропорционально е~^к''. Таким образом, достаточно, чтобы
существовало такое целое число к, что при q - к квадратные скобки в правой части
выражения (С-31) обратились бы в нуль. В этом случае соответствующий коэффициент ск
равен нулю, и вместе с ним равны нулю все коэффициенты более высокого ранга, так как
равенство нулю ск влечет за собой обращение в пуль ск+1 и всех остальных. Будем отмечать
соответствующие значения XkJ с фиксированным / именно этим целым числом к
(заметим, что к > I, так как с() никогда не обращается в нуль); тогда согласно (С-31) имеем:
Х'-'=Т77- ,с-35)
* В дополнении Cv можно найти более полное обсуждение задачи, очень похожей на
рассматриваемую.
32

Центральный потенциал; атом водорода
Для заданного значения / оказываются возможными только такие отрицательные
значения энергии [формула (С-20)]:
Е, , = ~Е' , , где к = 1,2,3,... (С-36)
kJ (к+1J
Полученный результат мы обсудим в § 4.
Итак, функция ук , является полиномом, низшая степень которого равна р/ + |, а
высшая степень — р*+/. Его коэффициенты могут быть выражены через с() с помощью
рекуррентного соотношения (С-31), которое можно переписать с учетом (С-35) в виде:
си = —ГГ^ТТТ—77 с«-\ • (С7)
q(q + 2l + \)(k + l)
ч
Далее после несложных вычислений получим:
с -( D"( 2 V (*-')! <2/ + 1)! , гг 38»
Затем можно получить функцию ukJ(p) с помощью формулы (С-23), а коэффициент с()
определен с точностью до фазового множителя условием нормировки (А-34) [для этого,
конечно, предварительно нужно вернуться к переменной /* с помощью (С-19)]. В
результате получим истинную радиальную функцию Rk,(r), разделив ик Др) на
/-.Приведенные ниже три примера позволяют увидеть форму этих радиальных функций:
Rk-_u=l)(r) = 2(a{)yy2e-'/2a"; (C-39-a)
Rk=2J__{)(r) = 2Ba{))
-3/2
2ci
(C-39-b)
оj
/?А=1 /=1 (г) = Bа{)УУ2 -^ — е-и». (С-39-с)
л/3 ci{)
4. Обсуждение результатов
а. ПОРЯДОК ВЕЛИЧИНЫ АТОМНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Формулы (С-36) и (С-39) показывают, что для атома водорода энергия ионизации
Е,, определяемая формулой (С-12-а), и радиус Бора, определяемый формулой (C-12-b),
играют важную роль. Эти величины характеризуют порядок величины энергий и
пространственного распределения волновых функций связанных состояний атома водорода.
3 Том II. Квантовая...
33

Глава VII
Формулы (С-12-а) и (C-12-b) можно переписать в виде:
Е, =-a2jnc2; (С-40-а)
я()=—Хс., (C-40-b)
a
где a — постоянная тонкой структуры, являющаяся безразмерной константой и
играющая очень важную роль в физике:
a = £l = -X- s-L, ((Mi)
tic 4яе,//с 137
а Кс определяется формулой:
Х,= —. (С-42)
fie-
Поскольку jul мало отличается от те, массы покоя электрона, то Хс практически равна
комптоновской длине волны электрона, определяемой формулой:
— = 3,8 х 10~3 ангстрем. (С-43)
тес
Равенство (C-40-b) указывает, что величина а{) примерно в сто раз больше
комптоновской длины волны электрона. Что касается равенства (С-40-а), то оно показывает,
что порядок величины энергии связи электрона заключен между 10jic2 и \0Г5\1с2, где
[ic2 практически равняется энергии покоя электрона:
/ц,с2 =0,51х106эВ. (С-44)
Отсюда следует, что
Е, « т/~ • (С-45)
Это подтверждает возможность использования нерелятивистского уравнения Шредин-
гера для описания атома водорода. В действительности, несмотря на всю их малость,
релятивистские эффекты существуют, но именно их малость позволяет применить для
их изучения теорию возмущений (см. главы XI и XII).
Ь. УРОВНИ ЭНЕРГИИ
а. Возможные значения квантовых чисел. Вырождения
Для фиксированного значения / имеется бесконечно большое количество допустимых
значений энергии (С-36), соответствующих к = 1, 2, 3 Каждое из них B/ + 1) -кратно
34

Центральный потенциал; атом водорода
вырождено: это существенное вырождение, связанное с тем, что радиальное уравнение
зависит только от квантового числа / и не зависит от квантового числа т (§ А-3). Но
существует еще и случайное вырождение: формула (С-36) указывает, что два
собственных значения Ек , и Ек. г , соответствующие разным радиальным уравнениям (/'Ф1),
равны, если к +/ = к' + Г . На рис.4, где первые собственные значения, соответствующие
/ = 0,1,2,3, представлены на энергетической диаграмме, существование многих
случайных вырождений выглядит особенно наглядно.
Рис.4
Уровни энергии атома водорода; энергия Еп
каждого из уровней зависит только от //. При
фиксированном значении п для / возможны
следующие значения: /=0, 1, 2, ..., п- 1;
каждому из этих значений / соответствуют B/ + 1)
различных значений числа т :
ш = -/,-/ + 1 /.
Таким образом, кратность вырождения уровня
Еп равна н2
В частном случае атома водорода энергия Ек , зависит от чисел к и / не в
отдельности, а только от их суммы. Положим:
п = к + /. (С-46)
Теперь различные энергетические уровни можно фиксировать целым индексом п ,
который может быть больше или равен 1, и формула (С-36) примет вид:
£„= — £,. (С-47)
/Г
Согласно формуле (С-46) совершенно эквивалентно задать к и / или п и /, чтобы
определить волновую функцию. Поэтому в дальнейшем в соответствии с общепринятыми
обозначениями мы будем пользоваться квантовыми числами п и /, причем число п
(п = 4) .
I // = 3 > ■
Ail
4/
( // = I) +
/ - О
(л)
/ -- I
UI)
</")
3*
35

Глава VII
будет характеризовать энергию (главное квантовое число), оно, как принято говорить,
нумерует электронный уровень.
Поскольку к является целым числом, большим или равным 1 (§ 3-е), имеется лишь
конечное количество значений /, связанных с данным значением п . При
фиксированном п число / может принимать (С-46) только такие значения:
/ = 0,1,2 н-1. (С-48)
Говорят, что уровень, характеризующийся числом /?, состоит из п подуровней*,
соответствующих различным значениям числа / [формула (С-48)]. Наконец, каждый
подуровень содержит в себе B1 +1) различных состояний, связанных с различными
значениями числа т при фиксированном значении /.
Полная кратность вырождения уровня энергии Еп равна:
*„ - 1B/ +1) - 2^Ц-^ + н = /г . (С-49)
/ = o 2
На самом деле, как мы увидим в главе IX, существование спина электрона приводит к
удвоению этого числа (если учесть еще спин протона, равный спину электрона, то его
нужно еще удвоить).
Р. Спектроскопические обозначения
По историческим причинам, относящимся к периоду, предшествующему появлению
квантовой механики, когда исследование спектров привело к эмпирической
классификации наблюдавшихся отдельных линий, принято сопоставлять буквы латинского
алфавита различным значениям квантового числа /. Это соответствие имеет вид:
! = 0 <-> .у;
/ --1 <-» /;;
/ = 2 <--> d\
/ = 3f>/; (C-50)
/ = 4о#;
далее по алфавиту.
* Понятие подуровня существовало уже в полуклассической модели Зоммерфельда. В рамках
этой модели каждому квантовому числу Бора // ставилось в соответствие п эллиптических
сорбит, имеющих одинаковую энергию, но различные угловые моменты. Одна из этих орбит была
круговой, и ей соответствовало максимальное значение углового момента.
36

Центральный потенциал; атом водорода
Спектроскопическое обозначение состоит в том, что каждому подуровню ставится в
соответствие комбинация символов, где первым стоит число // и вторым — буква,
характеризующая значение /. Таким образом, основной уровень [согласно (С-49) он не
вырожден], который иногда называют «К-оболочкой», содержит лишь один подуровень \s ;
первый возбужденный уровень (или «L-оболочка» ) содержит два подуровня 2.у и 2/;;
второй возбужденный уровень («М-оболочка) состоит из трех подуровней 3s, Зр и 3d и т.д.
(заглавные буквы, которые иногда применяются для обозначения последовательных
оболочек, следуют в алфавитном порядке, начиная с буквы К).
с. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
Волновые функции, общие для операторов L2, L. и гамильтониана Н атома
водорода, обычно идентифицируются тремя квантовыми числами, но не kj,m, как это
делалось до сих пор, а числами /?, /, т [переход от одних обозначений к другим
осуществляется с помощью формулы (С-46)]. Операторы L2, L. и И образуют полный набор
коммутирующих операторов, и задание трех целых чисел л,/,/и эквивалентно заданию
их собственных значений, что однозначно определяет соответствующую собственную
функцию Ф„,,ш(г).
а. Угловая зависимость
Как и для любой формы центрального потенциала, функции ф„ ,,„(г) являются
произведениями радиальной функции на сферическую гармонику У7"($,ф). Чтобы
визуализировать их угловую зависимость, можно отложить вдоль оси, характеризуемой
I |2
полярными углами #,ф, отрезок с длиной, пропорциональной ф„,</м(/\ Ф,ф) , для ка-
I I2
ждого фиксированного значения г, то есть пропорциональный \У, @,ф) .Полученная
поверхность будет поверхностью вращения вокруг оси Ог, так как известно, что
зависимость К/'Чв.ф) от угла ф имеет вид е"щ (см. § D-1-b главы VI), и, следовательно,
К/"F,ф) не зависит от ф . Достаточно представить ее сечение плоскостью, проходя-
щей через ось Oz. Именно так сформировано изображение на рис.5 для т = 0 и
/ = 0,1,2 [соответствующие сферические гармоники определены в дополнении AVi,
формулы C1), C2) и C3)]: Y" является константой и обладает сферической симметрией,
\y{]\ пропорционален cos2 $ и У2° пропорционален (ЗсаГ О- IJ.
37

Глава VII
I
т
О
О
/
/
I - 1
т = О
Рис.5
Угловая зависимость К/"(в,Ф) некоторых
стационарных волновых функций атома
водорода, соответствующих определенным
значениям / и w. Для каждых значений полярных
углов О, ф откладывается квадрат модуля
К/"@,ф)Г; в результате получается
поверхность вращения вокруг оси Oz. При / = 0 эта
поверхность представляет собой сферу с
центром О; при других значениях / поверхность
имеет более сложную форму
C. Радиальная зависимость
Радиальные функции Rn ,(г), каждая из которых характеризует подуровень, можно
вычислить, исходя из результатов, полученных в § 3-е [следует, однако, обратить
внимание на изменение обозначений, введенное формулой (С-46)]. На рис.6 представлена
зависимость от г трех радиальных функций, определяемых формулой (С-39):
t*../<r>x*S'2
г /аЛ
R„ i(r) волновых
// = 2. / = О
Рис.6
Радиальная зависимость *V/
функций первых уровней атома водорода. При
г—>0 функция RnJ(r) ведет себя как г1;
только лишь состояния s, для которых / = 0,
имеют в начале координат отличную от 0
вероятность
38

Центральный потенциал; атом водорода
*Ч = 1./=<) — *\| = |./=<Р "к: = 2,/ = () — ^/» = 2./ = 0' *\t = |,/ = l — "и = 2.1 = 1 • \У-~5Ч
Поведение функции RnJ(r) вблизи г = 0 имеет характер г' (см. обсуждение в § А-2-с).
Таким образом, только те состояния, которые принадлежат подуровням s (I = 0),
дают отличную от нуля вероятность нахождения электрона в начале отсчета. Чем
больше /, тем больше область вблизи протона, где вероятность нахождения электрона
пренебрежимо мала. Из этого факта вытекает целый ряд физических следствий, и, в
частности, явление захвата электронов некоторыми ядрами, а также сверхтонкая структура
спектральных линий (см. § В-2 главы XII).
И, наконец, можно снова получить формулу (С-11-Ь), дающую радиусы
последовательных орбит Бора. Действительно, рассмотрим состояния, в которых / = п - 1 *.
Выделим бесконечно малый телесный угол dQ вблизи направления, зафиксированного
полярными углами -& и ф, и вычислим зависимость от г плотности вероятности в этом
телесном угле для каждого из отмеченных выше состояний. В общем виде вероятность
нахождения электрона в элементе объема d*r = r2drdQ вблизи точки (г, 6,ф)
определяется формулой:
di<t.Jr* #, Ф) = |ф,,,.,„(л в, Ф)|>2г/г dQ. = |яя</(г)|2 r2dr x\y;"($, (p)|2r/Q .
(С-52)
Здесь зафиксированы переменные О , ф и dQ , и вероятность нахождения электрона в
рассматриваемом телесном угле на расстоянии от начала отсчета между г и r + dr про-
порциональна r~\RnJ(r)\ dr. Соответствующая плотность вероятности с точностью до
постоянного множителя равна г2\Rn ,(г)\ (наличие множителя г2 следует из
выражения для элемента объема в сферической системе координат). Нас интересуют случаи,
когда / = п- 1, то есть к = п-I = 1. Из § 3-е следует, что входящий в RnJ(r) полином
состоит из единственного члена вида (г Iа{))"~1. Таким образом, искомая плотность
вероятности пропорциональна:
Эта функция имеет максимум при
r = rn=n\. (C-54)
Это расстояние является радиусом орбиты Бора, соответствующей энергии электрона Еп.
Они соответствуют круговым орбитам в рамках модели Зоммерфельда.
( V'
г
t-r/nan
( V"
(С-53)
39

Глава VII
В приведенной ниже таблице даны выражения для волновых функций первых
уровней энергии:
Уровень \s
Ф,| =!./ = (). 1/1 = О
пап
г/«„
Уровень 2s
Ф„ =
2, / = ()./« = О
т/вТЮ*"
[■--1
,-r/2att
Уровень 2р
Ф„ = 2./ = 1.„
I А* _,/2„() .
8^/яя* "<>
е sin v eч ;
Ф« = 2./ = 1./„ = 0 =
Ф„ = 2., = ..„
Г -П2а0
е cos \
4д/2яс/(; «о
1 /* -г/2«„ .
е sin х) е
па., "о

ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
Ауи. Водородонодобные системы.
Вуц. Поддающийся точному решению
случай центрального потенциала:
трехмерный изотропный
гармонический осциллятор.
Суп» Токи вероятности для стационарных
состояний атома водорода.
Dyii. Атом водорода в однородном
магнитном иоле.
Парамагнетизм и диамагнетизм.
Эффект Зеемана.
Еун. Изучение некоторых атомных
орбиталей.
Гибридные орбитали.
Fvn. Колебательно-вращательные уровни
двухатомных молекул.
Gvii- Упражнения.
Ауи: примеры различных водородоподобных
систем, к которым непосредственно применим
формализм главы VII. Внимание обращено на
физическое обсуждение и на влияние массы
частиц, входящих в систему. Из-за своей
простоты материал рекомендуется для первого
чтения.
Вуц1 анализ трехмерного гармонического
осциллятора, для которого можно точно
вычислить уровни энергии частицы в поле
центрального потенциала методом, изложенным
в главе VII (решение радиального уравнения).
Принципиальных трудностей не представляет,
можно рассматривать как материал для
практических занятий.
Cvh: дополняет результаты § С-4-с главы VII
относительно свойств стационарных
состояний атома водорода; для них вычисляется ток
вероятности. Короткое и легкое, полезно в
совокупности с дополнением DVn-
DVib анализ свойств атома в магнитном поле
(диамагнетизм, парамагнетизм, эффект
Зеемана). Дополнение средней трудности, полезное
вследствие многочисленных приложений.
Еун: дополнение, предназначенное для
введения понятия гибридной атомной орбитали,
имеет существенное значение для понимания
некоторых свойств химической связи.
Принципиальных трудностей нет, обращается
внимание на геометрический аспект
волновой функции.
Fvn: непосредственное применение теории,
развитой в главе VII, к изучению колебательно-
вращательного спектра гетсрополярных
двухатомных молекул. Является продолжением
дополнений Av и CVi, трудность средняя.
GVii: в упражнении 2 исследуется влияние
однородного магнитного поля на уровни
физической системы в случае, допускающем
точное решение. Позволяет конкретно
иллюстрировать общие рассуждения дополнений
Сv11 и Dvii относительно влияния
парамагнитного п диамагнитного членов гамильтониана.
41

Глава VII
Дополнение Ауп
ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ СИСТЕМЫ
1. Водородоподобные системы, содержащие электрон.
a. Электрически нейтральные системы.
b. Водородоподобные ионы.
2. Водородоподобные системы без электрона.
a. Мюонные атомы.
b. Адронные атомы.
Вычисления главы VII, позволившие нам выяснить некоторые физические свойства
атома водорода (уровни энергии, пространственное распределение волновой функции
и т. д.), основаны на том, что рассматриваемая система состоит из двух частиц (электрон
и протон), энергия взаимодействия которых обратно пропорциональна расстоянию
между ними. Существуют также и другие физические системы, удовлетворяющие этому
условию: дейтерий и тритий, мюоний, позитроний, мюонные атомы и т. д. Полученные
в главе VII результаты непосредственно применимы к перечисленным примерам. Для
этого достаточно изменить входящие в вычисления постоянные (массы и заряды двух
частиц). Именно это мы и сделаем в данном дополнении, где будут, в частности,
рассмотрены изменения радиуса Бора и энергии ионизации для каждого из примеров. Будут
также получены волновые функции их стационарных состояний и соответствующие им
энергии путем замены в формулах (С-39) и (С-47) главы VII величин а0 и Е, их новыми
значениями. При этом будут получены порядки величины пространственного
распределения волновых функций и энергий связи этих систем.
Напомним введенные ранее выражения для а0 и Е,:
а0 = Хс — = —-; A)
а \хе~
£,Лцс2а==^, B)
2 2/2
где ji — приведенная масса системы электрон — протон:
C)
те т
те+тр
( \
in
42

Центральный потенциал; атом водорода
и е~ характеризует интенсивность потенциала притяжения:
V(r) = -r^ г D)
|Г|-Г2|
В случае водорода мы видели, что
с/(Ш=0,52 ангстрем; E-а)
Ем = 13,6 эВ « 2,2 х 108 Дж. E-Ь)
Как получить соответствующие величины для системы, состоящей из двух
произвольных частиц с массами w, и т2, энергия взаимодействия которых описывается
формулой:
Ze2
V'(r) = - r F)
(где Z — безразмерный параметр)? Для этого достаточно вычислить приведенную
массу системы, заменив в формуле C) те и тр на тх и т2:
т. пи
И = —1-^- G-а)
/?;, +т2
и подставить полученный результат в формулы A) и B), осуществив замену:
е2 => Ze2. G-b)
Именно это мы и сделаем для некоторых физических примеров.
1. Водородоподобные системы, содержащие электрон
а. ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕЙТРАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
а. Тяжелые изотопы водорода
Самыми близкими к водороду физическими системами являются два изотопа:
дейтерий и тритий. В этих атомах протон замещен ядром с тем же зарядом, но содержащим
один или два дополнительных нейтрона. Масса ядра дейтерия приблизительно равна 2тр ,
а масса ядра трития — Ътр, вследствие чего их приведенные массы станут равными:
Vi>=»h
( \
(8-а)
43

Глава VII
И/ •='",■
'"<■
С \
{ 3»i„ J
1 «1
NN 1 ,
1836
(8-Ь)
Ч Мп1>)
Поскольку
ш I
(9)
ясно, что приведенные массы водорода, дейтерия и трития очень близки, и можно
заменить их массой электрона те, не делая при этом большой ошибки.
Если подставить либо C), либо (8-а), либо (8-Ь) в формулы A) и B), то нетрудно
заметить, что радиусы Бора и энергии атомов водорода, дейтерия и трития практически
одинаковы. Тем не менее имеются небольшие различия порядка тысячных долей, и эти
различия могут быть обнаружены экспериментально. Например, с помощью
оптического спектрографа с достаточной разрешающей силой можно констатировать, что длины
воли света, испущенного атомами водорода, слегка превышают соответствующие длины
волн атомов дейтерия, а последние, в свою очередь, превышают длины волн атомов
трития. Этот небольшой сдвиг длин волн испущенного света обусловлен тем, что ядра
атомов не являются бесконечно тяжелыми и не остаются неподвижными при движении
электрона. Этот эффект иногда называют «эффектом затягивания ядра» (изотопический
сдвиг). Эксперименты с высокой точностью подтверждают формулы G-а), A) и B).
р. Мюопий
Мюоном называют частицу, основные свойства которой такие же, как у электрона,
за исключением массы (масса mv мюона равна 207 ш,,). Мюон, кроме того, нечувствителен
к ядерным силам (сильным взаимодействиям). Существует два типа мюонов ц~ и ц+,
заряды которых соответственно равны зарядам электрона е" и позитрона е+ *. Как и
всякая заряженная частица, мюон чувствителен к электромагнитным взаимодействиям.
Итак, можно рассмотреть физическую систему, образованную мюоном \х+ и
электроном е~, в которой электростатическое притяжение будет тем же, что и у протона и
электрона, в результате чего могут существовать связанные состояния. В некотором
смысле речь идет о легком изотопе водорода, в котором протон замещен мюоном \х"
(его относительная атомная масса равна шц 1т = 0,1).
Нетрудно воспользоваться результатами главы VII, чтобы вычислить энергию
ионизации и радиус Бора мюония. Действительно, формулы A), B) и G) дают:
* Как е~ и е+ , мюоны |i и \х+ являются античастицами.
44

Центральный потенциал; атом водорода
1 + ш,/;и ( \ \
\ + mflm \ 200 j
\ + melmlt f 1 А
£*~£,''77^7^s£41-2ooJ'
Поскольку мюон приблизительно в 10 раз легче протона, эффект «затягивания ядра» в
мюонии приблизительно в 10 раз сильнее, чем в водороде. Однако, так как электрон
значительно легче мюона, этот эффект остается слабым и составляет около 0,5%.
Например, длины волн оптических линий, испущенных мюонием, должны быть близки к
длинам соответствующих волн водорода. На деле спектр испускания мюония до сих пор
не наблюдался экспериментально.
Все же мюоний был обнаружен в эксперименте благодаря свой нестабильности. Мюон )if
распадается с испусканием позитрона и двух нейтрино со временим жизни 2,2 х К) с.
Детектируется позитрон, являющийся продуктом распада и вылетающий преимущественно в направлении
спина* мюона (несохранение четности в слабых взаимодействиях). Детектирование позитронов
позволяет определить это направление. Поскольку, с другой стороны, спин мюона }!+ атома
мюония связан со спином электрона (сверхтонкое взаимодействие; см. главу XII и дополнения
к ней), то частота прецессии в магнитном поле отличается от частоты свободного мюона. Измеряя
эту частоту, можно доказать существование атомов мюония.
Изучение мюония, как в теоретическом, так и. в экспериментальном плане представляет
большой интерес. Частицы, образующие эту систему, не подвержены сильным взаимодействиям,
и можно рассчитать ее уровни энергии с очень больиюй точностью (в частности, сверхтонкую
структуру основного состояния 1л ) без каких-либо «ядерных» поправок (напрогин, для аюма
водорода нужно учитывать внутреннюю структуру и поляризуемость протона, имеющие место из-за
сильных взаимодействий). Сравнение теоретических результатов с данными эксперимента является
очень строгим тестом справедливости квантовой электродинамики. Недавние измерения
сверхтонкой структуры мюония позволили с большой точностью определить константу тонкой
структуры а --' сГ / Pic .
у. Позитроний
Позитроний — это связанная система, состоящая из электрона е' и позитрона е*.
Как и в случае мюония, можно считать позитроний «изотопом» водорода, в котором
протон замещен позитроном. Однако нужно отметить, что если в водороде протон, зна-
* Как и электрон, мюон имеет спин 1/2, с которым связан магнитный момент М = ~^-S .
A0-а)
(Ю-Ь)

Глава VI/
чительно более тяжелый, чем электрон, остается почти неподвижным, то в позитронии
дело обстоит иначе. Действительно, позитрон имеет ту же массу, что и электрон, и,
следовательно, ту же скорость, если центр масс позитрония зафиксирован (см. рис.lb).
Согласно формуле G-а) приведенная масса позитрония равна:
A1)
Тогда:
JV
«(),«,«
^//нп
2
в 2а„н ;
= -!■£
A2-а)
A2-Ь)
Таким образом, в заданном состоянии позитрония среднее расстояние между
электроном и позитроном вдвое больше расстояния между электроном и протоном в
соответствующем состоянии атома водорода (см. рис.1). Напротив, разности между энергиями
стационарных состояний оказываются в два раза меньше, и линии спектра оптического
излучения позитрония имеют длины волн, вдвое превышающие длины волн водорода.
Рис.1
Схематическое представление атомов
водорода (электрон + протон) и позитрония
(электрон + позитрон). Поскольку протон
значительно тяжелее электрона, его положе-
^ ^с'~ s* *жЛ'~ ние практически совпадает с центром масс
' атома водорода; электрон «вращается»
вокруг протона на расстоянии а()Н. Напротив,
позитрон, имеющий ту же массу, что и
электрон, вращается по той же орбите, что и
электрон, вокруг общего центра масс, причем
расстояние до него равно 2а1)Н
ЗАМЕЧАНИЕ
Не следует считать, что по формуле A2-а) радиус позитрония вдвое больше
радиуса атома водорода. Действительно, радиус Бора дает представление о
пространственном распределении волновой функции «относительной частицы» (см. § В
главы VII), положение которой г, - г2 связано не с их расстоянием относительно
центра масс, а с расстоянием между самими частицами. На рис.1 ясно показано,
что атом водорода и позитроний имеют равные размеры. В общем случае все во-
дородоподобпые системы, потенциал притяжения в которых дается формулой F)
U
46

Центральный потенциал; атом водорода
с Z=l, имеют в точности одинаковые радиусы. Действительно, формула (В-5)
главы VII показывает, что
- - - - -- JLr A3)
ш, +т2
Используя формулу A), дающую порядок величины пространственного
распределения волновой функции ф,(К)(г) основного уровня, нетрудно видеть, что
«радиус» р атома можно определить выражением:
 A4)
777, Ze"
где /77, — масса более легкой частицы (более тяжелая частица движется вблизи
центра масс). Во всех рассматриваемых до сих пор системах Z = 1 и ш, = тс, в
результате их радиусы одинаковы. Далее мы встретим случай, когда р
оказывается меньше либо из-за того, что ш, Ф тс, либо так как Z Ф 1.
Как и в случае мюония, оптический спектр позитрония пока еще не наблюдался. Только
сверхтонкая структура (взаимодействие между магнитными моментами электрона и позитрона)
основного состояния была определена с высокой точностью (см. дополнение СХц).
Поскольку позитроний, как и мюоний, является чисто электродинамической системой (ни
электрон, ни позитрон не чувствуют сильные взаимодействия), его теоретическое и
экспериментальное изучение представляет большой интерес.
Отметим также, что позитроний — нестабильная система. Поскольку основным состоянием
является состояние \s , электрон и позитрон входят в контакт и аннигилируют с испусканием
двух или трех фотонов в зависимости от состояния сверхтонкой структуры, в котором они
находятся. Исследование скорости аннигиляции представляет также большой интерес для квантовой
электродинамики.
8. Водородоподобные системы в физике твердого тела
Атомная физика — не единственная область применения теории, развитой в главе VII.
Например, донорные атомы, локализованные в полупроводниках, образуют
приблизительно водородоподобные системы в физике твердого тела. Рассмотрим кристалл
кремния. В решетке кремния каждый атом связан четырьмя валентными электронами со
своими соседями в тетраэдрической решетке. Если вместо одного из атомов кремния
ввести в решетку пятивалентный атом, например, фосфор (донорная примесь), он теряет
валентный электрон и становится положительно заряженным ионом, который ведет себя
как центр, способный притянуть электрон и образовать с ним водородоподобную систе-
47

Глава VII
му. В действительности, силу, действующую на электрон, нельзя вычислить
непосредственно по закону Кулона в вакууме, так как у кремния значительная диэлектрическая
постоянная е = 12 . Поэтому формулу D) следует заменить на
V(r) = —j^ г. A5)
Строго говоря, нужно было бы также заменить массу электрона некоторой
«эффективной» массой пг электрона в кремнии, которая из-за взаимодействия с зарядами ядер в
кристалле отличается от массы свободного электрона. Здесь мы ограничимся только
качественным обсуждением, заметив, что влияние большого значения е в формуле A5)
состоит в том, что радиус Вора увеличивается на порядок: таким образом, донорный
атом похож на очень большой атом водорода, волновые функции которого
простираются на расстояния, существенно большие параметра кристаллической решетки кремния.
Кратко опишем еще одну водородоподобную систему — экситон. Рассмотрим
кристалл полупроводника. В отсутствие внешнего возмущения все внешние электроны
образующих кристалл атомов находятся в состояниях валентной зоны (предполагается,
что температура кристалла достаточно низкая, см. дополнение CXiv)- Осветив кристалл
соответствующим образом, можно перевести электрон при поглощении им фотона в
зону проводимости, уровни которой находятся выше уровней валентной зоны. В
результате в валентной зоне оказывается на один электрон меньше. Можно считать, что
отсутствие электрона эквивалентно положительному заряду (дырке). В свою очередь дырка
может притянуть к себе электрон из валентной зоны и образовать с ним связанную
систему, которая и получила название экситона. Последний, как и атом водорода, имеет
уровни энергии, между которыми могут происходить переходы. При зюм можно
обнаружить их, измеряя поглощение света кристаллом.
Ь. ВОДОРОДОГЮД01П1ЫЕ ИОНЫ
Нейтральный атом гелия состоит из двух электронов и ядра с положительным
зарядом -2с/е. Такая система, состоящая из трех частиц, не может рассматриваться с
помощью теории, изложенной в главе VII. Напротив, если каким-то образом оторвать один
электрон от атома гелия, останется ион Не+, похожий на атом водорода.
Единственными отличиями будут заряд ядра, в два раза больше заряда протона (сам ион имеет
положительный заряд -qe\ и масса ядра, равная в случае изотопа 4Не четырем массам
протона. Конечно, существуют и другие водородоподобные ионы: ион ЬГ+
(нейтральный атом лития имеет 3 электрона), ион Ве+ + ' (Z = 4 ) и т. д.
Рассмотрим систему, состоящую из ядра с массой М и положительным зарядом
-Zqe и электрона. Если выполнить подстановку формулы G-Ь) в A) и B), получим:
48

Центральный потенциал; атом водорода
~ {)Н (\£L\
a{)Z=—; A6)
Er/=Z2EIH A7)
(поскольку М »/;/((, можно пренебречь отличием приведенной массы рассматриваемого
иона от приведенной массы водорода, то есть эффект «затягивания» ядра будет
незначительно влиять на а{) и Е, в отличие от влияния заряда). Таким образом, все
водородоподобныс ионы меньше атома водорода, ц это понятно физически, так как ядра и
электрон в них связаны сильнее. Кроме того, их энергия быстро увеличивается с ростом Z
(квадратичная зависимость): например, чтобы оторвать от иона Li++ его последний
электрон, нужно затратить энергию, превышающую 100 эВ. Именно поэтому частоты
электромагнитного поля, которое могут поглощать или испускать водородоподобныс
ионы, попадают в ультрафиолетовую область и даже при больших Z — в рентгеновский
диапазон.
2. Водородоподобныс системы без электрона
Рассматривавшиеся до сих пор системы содержали в себе электрон. Существуют,
однако, и другие частицы, имеющие такой же заряд qv, способные образовать с ядром,
имеющим заряд -Zc[c, водородоподобную систему. Приведем несколько примеров.
«Атомы», которые мы здесь опишем, конечно, гораздо более редкие, чем «обычные»
атомы, фигурирующие в таблице Менделеева. Они нестабильны, и для их наблюдения
нужно использовать ускорители частиц высоких энергий, необходимые для их
получения. Именно поэтому их называют «экзотическими» атомами.
а. МЮОННЫЕ АТОМЫ
Выше мы приводили уже некоторые характеристики мюона и отметили существование
мюона jli" . Если эта частица притягивается к атомному ядру с положительным зарядом, она
может образовать с ним связанную систему, которую называют «мюонным атомом»".
Рассмотрим простейший пример мюонного атома, состоящего из мюона ц" и
протона. Эта система нейтральна, и се радиус Бора равен:
,,,,(^,0=-^^, A8)
т е 200
* Можно было бы представить себе связанную систему, образованную мюоном Ц+ и мюоном |Л .
Поскольку пучок мюонов имеет очень малую интенсивность, такой атом очень трудно получить,
и он до сих пор не наблюдался.
4 Том II. Квантовая...
49

Глава VII
и энергия ионизации равна:
т.. е4
Et(vi\p+) = ^r=200EIH. A9)
In
Этот мюонный атом имеет размер порядка тысячных долей ангстрема, а длины волн его
спектра в 200 раз короче длин волн спектра водорода, то есть попадают в область
мягкого рентгеновского излучения.
Что произойдет, если вместо протона в таком атоме окажется ядро N с зарядом
в Z раз большим заряда протона, как, например, ядро свинца, для которого Z = 82 *?
Формулы A) и B) дают:
a0(\i\N) = -^-\ B0)
0 200Z
£/(fx",/V) = 200Z2E//Y. B1)
Подставив в эти формулы Z = 82 , получим, что энергии переходов для мюонного атома
порядка нескольких МэВ A МэВ = 106 эВ). Следует, однако, отметить, что формулы A)
и B) перестают в этом случае быть справедливыми. Действительно, равенство B0) дает:
a0(|Li~, Pb) = Зх Ю-5 ангстрем = 3 Ферми, B2)
то есть расстояние, меньшее радиуса ядра свинца. Вычисления главы VII при этом уже
несправедливы, так как основаны на форме F) потенциала V(r) **, которая применима
только в случаях, когда рассматриваемые частицы расположены на расстояниях,
больших размеров самих частиц, то есть когда их можно считать точечными. Эта гипотеза,
верная для водорода, в данном случае неприемлема.
Однако равенства B0) и B1) все же дают правильный порядок величины энергий и
радиуса мюонного атома свинца. Физические следствия существования отличного от
нуля размера ядра («эффект объема») будут рассмотрены более детально в дополнении DXj.
Здесь же отметим, что интерес к мюонным атомам как раз и обусловлен эффектами этого
типа: мюон jli~ как бы зондирует внутреннюю структуру ядра"**, и уровни энергии мю-
онных атомов зависят от распределения электрических зарядов и магнетизма внутри
ядра (напомним, что мюоны нечувствительны к ядерным силам). Именно поэтому
исследование этих уровней может дать полезную информацию в ядерной физике.
* Такая система может образоваться, если пучок мюонов направить на свинцовую мишень.
Когда мюон окажется захваченным ядром свинца, он будет вращаться вокруг него на расстоянии
приблизительно в 200 раз меньшем, чем самые глубинные оболочки атома. Однако, поскольку он
чувствует только заряд ядра, при изучении состоянии мюонного атома можно просто пренебречь
существованием остальных электронов.
*" Внутри ядра потенциал имеет приблизительно параболическую форму.
*** Понятие непроницаемости двух твердых тел является макроскопическим. В квантовой
механике ничто не мешает перекрытию волновых функций частиц, имеющих различную природу.

Центральный потенциал; атом водорода
Ь. АДРОННЫЕ АТОМЫ
«Адронами» называют частицы, испытывающие сильные взаимодействия, в
противоположность «лептонам», которые к ним нечувствительны. Электрон и мюон,
связанные состояния которых мы рассматривали ранее, являются лептонами. Протон, нейтрон,
мезоны, как, например, мезон я , являются адронами. Среди них имеются такие частицы,
которые имеют отрицательный заряд, и они способны образовывать с атомным ядром
связанную систему водородоподобного типа. Например, система ядро — мезон я"
образует «пионный атом», система ядро — гиперон I" образует «гипероыный атом»*,
система ядро — мезон К~ образует «каонный атом», система ядро — антипротон —
«антипротонный атом» и т. д. Все приведенные выше системы действительно наблюдались
и изучались. Все они нестабильны, но обладают достаточно большим временем жизни,
чтобы их можно было наблюдать с помощью некоторых линий спектра. Теория атома
водорода, учитывающая только электростатическое взаимодействие двух частиц,
естественно, неприменима к этим системам, где сильные взаимодействия играют важную
роль. Однако, поскольку эти взаимодействия являются короткодействующими, ими
можно пренебречь при изучении возбужденных состояний адронных атомов, когда
частицы удалены друг от друга. В этом случае теория главы VII может быть использована,
как и формулы A) и B), которые во всех случаях дают меньшие значения радиуса Бора
и большие значения энергий, чем для водорода. Именно так измерение частот
спектральных линий, испущенных пионными атомами, дало возможность с высокой
точностью измерить массу мезона я".
Дополнение Вун
ПОДДАЮЩИЙСЯ ТОЧНОМУ РЕШЕНИЮ
СЛУЧАЙ ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА:
ТРЕХМЕРНЫЙ ИЗОТРОПНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ
ОСЦИЛЛЯТОР
1. Решение радиального уравнения.
2. Уровни энергии и стационарные волновые функции.
Здесь мы рассмотрим частный случай центрального потенциала, для которого
радиальное уравнение решается точно: случай трехмерного изотропного гармонического
* Иногда систему, в которую входит мезон, называют «мезоатомом».
4*
51

Глава VII
осциллятора. Мы уже затрагивали эту задачу в дополнении Ev, рассматривая
пространство состояний Кг как тензорное произведение <fv®tfv®tf;1 что эквивалентно в
представлении {|г) } разделению переменных декартовых координат. При этом получаются
три дифференциальных уравнения по координатам дг, у, z в отдельности. Найдем
стационарные состояния, являющиеся одновременно собственными состояниями
операторов L2 и L,, разделив переменные в системе полярных координат. Затем укажем, как
связаны между собой два базиса пространства Vr, полученные разными методами.
В дополнении Ауш мы также исследуем стационарные состояния с определенным
угловым моментом свободной частицы, и можно рассматривать их как частный случай
центрального потенциала, когда V(r) г О, что приводит к точно решаемому радиальному
уравнению.
Трехмерный гармонический осциллятор состоит из частицы без спина с массой ц в
поле потенциала:
V(jc,.v,2) = -jx[o)J.v2+aJv^2+o);z2], A)
где 0)д.,0) ,ш. — положительные вещественные постоянные. Осциллятор изотропен,
если
0)v =cov =o), =0). B)
Поскольку потенциал (I) является суммой функций отдельных переменных х, у, z ,
уравнение на собственные значения гамильтониана:
H = lL + V{R) О)
2ц
можно решить, разделив в представлении {|г) ) переменные л, v, z . Именно это было
сделано в дополнении Ev. Тогда для изотропного осциллятора уровни энергии
записываются в виде:
3^
2)
ЙО), D)
где п — целое положительное или равное нулю произвольное число. Кратность
вырождения #„ уровня Еп равна:
*„*=!(„+ !)(„ +2), E)
и соответствующие собственные функции имеют вид:
52

Центральный потенциал; атом водорода
/о2 Л
Ф|.,.и,.|.:(*'У.г)
где
2 ' ■' * /1,! пу! п:!
Р = <
Я„(|к)Я„ (Ру)//Я.(рг),
(б)
G)
[Нр(и)— полином Эрмита степени /?; см. дополнение Bv]. Функция qnn n является
собственной функцией гамильтониана Я с таким собственным значением Еп, что
л = и, + лу + и:. (8)
Если осциллятор изотропный*, потенциал (I) зависит только от расстояния г
частицы от начала системы координат:
У(г) = ~цогг2. (9)
Таким образом, три компоненты орбитального углового момента L являются
константами движения. Мы будем искать здесь собственные состояния, общие для операторов
Я, L2 и L:. Это можно было бы сделать, как в дополнении DVi, введя операторы квантов
с правой и левой поляризациями, а также с «продольной» поляризацией,
соответствующей третьей степени свободы вдоль оси Oz (основные положения такого подхода даны
в конце этого дополнения). Но сначала воспользуемся методом, развитым в главе VII,
и решим радиальное уравнение методом полиномов.
1. Решение радиального уравнения
Для фиксированного значения квантового числа / радиальные функции Rk,(r) и
энергии EkJ определяются уравнением:
/г I d2 1 2 2 l(Ui)rr
2\i r dr2 2 *
2цг
Ru(r) = EuRu(r)
Пусть:
г
_ 2\хЕи
Е"~ Л2 '
(Ю)
(И-а)
(Н-Ь)
* Разделение полярных координат возможно только в случае изотропного осциллятора.
53

Глава VII
Тогда уравнение A0) перепишется в виде:
d2 ai , /(/+1)
dr r
«*./0-) = 0
[где P — константа, определенная в G)]. К нему следует добавить условие:
и,.,@) = 0.
Для больших значений г уравнение A2) упрощается:
d' VS-
dr
--PV
"».,@ = 0.
Асимптотическое поведение решений уравнения A2) диктуется членом е^'"п или е
Физически приемлемым является только последний. Поэтому изменим функцию:
ukl(r) = e-^2,2ykJ(r).
Нетрудно показать, что функция ук,(г) удовлетворяет уравнениям:
d~ од? d
<7Г Г/Г
Е../-Р2-
/(/ + !)'
У*.,=0;
Л./@) = 0.
Будем искать ykJ(r) в виде разложения по степеням г:
>■*./('•) = г" Хя,г«.
A2)
A3)
A4)
-P-V/2
A5)
A6-а)
A6-Ь)
A7)
где по определению «„ (коэффициент при первом члене разложения) не равен нулю:
«„*().
A8)
Подставив разложение A7) в уравнение A6-а), получим, что член самой низкой степени
пропорционален г. Его коэффициент равен нулю, если
[5(*-!)-/(/+ 1)]а0=0.
A9)
С учетом условий A8) и A6-Ь) установим, что единственный способ удовлетворить
равенству A9) состоит в том, чтобы выбрать:
S = I + 1
B0)
54

Центральный потенциал; атом водорода
(такой результат можно было предвидеть; см. § А-2-с главы VII). Следующий член
разложения уравнения A6-а) пропорционален rs~\ и его коэффициент равен:
[*(j+l)-/(/ + l)]fll. B1)
Поскольку значение s зафиксировано формулой B0), этот коэффициент обратится в
нуль, если
«,=0. B2)
Наконец, приравняем нулю коэффициент, стоящий при общем члене,
пропорциональном г« + Л:
[(ry-h^-h2)(^ + .v-M)-/(/ + l)]ac/+2 +[ел^ -р2 -2C2(гу + ^)]^ =0, B3)
то есть с учетом B0):
(<7 + 2)(<у + 2/ + з)я,/+2 = [B<7 + 2/+ З)р2-£,.,]V B4)
Таким образом, получим рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения A7).
Отметим сначала, что это рекуррентное соотношение в комбинации с формулой B2)
требует, чтобы все коэффициенты а с нечетными значениями q равнялись нулю. Что
касается коэффициентов с четными индексами, то все они априори пропорциональны а0.
Если значение Ек , таково, что ни при каком целом q квадратные скобки в правой части
равенства B4) не обращаются в нуль, то решение ук1(г) уравнений A6) записывается в
форме бесконечного ряда, для которого:
<У2 2|32
Это поведение совпадает с поведением коэффициентов разложения функции е^ г .
Действительно:
*PV = £'2„'-2'. B6)
где
_ C2/>
2р />! '
и,следовательно:
р2
B5)
B7)
B8)
с2р i>-*~ р
Так как 2р соответствует четному целому q разложения функции ук1(г), то формула
55

Глава VI/
B8) идентична B5). Отсюда можно заключить, что если формула A7) содержит
бесконечное число членов, то асимптотическое поведение ук , определяется членом e[V>"
что делает эту функцию неприемлемой физически [см. формулу A5)].
Таким образом, единственными представляющими физический интерес вариантами
решения являются те, для которых существует четное целое положительное или равное
нулю число к , для которого:
ем=B£ + 2/ + 3)C2. B9)
Действительно, рекуррентное соотношение B4) указывает, что все четные коэффициенты
ранга, превышающего к, равны нулю. Поскольку то же самое можно сказать про все
нечетные коэффициенты, то разложение A7) сводится к полиному, и радиальная функция
ик ,(г), определяемая формулой A5), уменьшается экспоненциально на бесконечности.
2. Уровни энергии и стационарные волновые функции
С учетом определений G) и A1-Ь) равенство B9) дает значения энергии,
соответствующие заданному квантовому числу /:
£Ai/=»0)[ *+/ + -], C0)
где А- — произвольное целое четное положительное или равное нулю число. Поскольку
Ек , зависит только от суммы:
/» = *+/, C1)
то имеет место случайное вырождение: уровни энергии трехмерного изотропного
гармонического осциллятора определяются формулой:
Еп =Й0)[/? + -Ч. C2)
Квантовое число / является произвольным целым положительным или равным нулю,
квантовое число к — целым четным положительным или равным нулю, вследствие чего
число и может принимать любые целые положительные значения или равняться нулю.
Снова мы получили результат D).
Зафиксируем энергию Еп, то есть значение п . Соответствующие ему значения
чисел к и / могут равняться:
(*,/) = (О,/?), B,/?-2) (/?-2, 2), (/?,()), если п — четное число; C3-а)
(А\/) = @,/*),B,/z-2),...,(/?-3, 3),(/?-I, l), если п —нечетное число. C3-Ь)
Отсюда сразу же можно получить значения / для первых квантовых чисел п :
56

Центральный потенциал; атом водорода
/7 = 0; / = 0;
/7 = 1; / = 1;
/7 = 2; / = 0,2;
/7 = 3; / = 1,3;
/7 = 4; / = 0,2,4.
C4)
На рис.1 представлены первые энергетические уровни трехмерного изотропного
гармонического осциллятора с теми же обозначениями, которые были приняты для атома
водорода (см.рис.4 главы VII).
Е\
/7 = 4
/7 = 3
/7 = 2
/7 = 1
/7 = 0
11/Ю)/2
9/?Q>/2
Ihcol
5/70J
3//о>2
4.v
„
2v
_0у_
2jl
Ail
4ci_
2±
49
3/
1 1 I 1 1 ► /
0 1 2 3 4'
Рис. 1
Первые энергетические уровни трехмерного гармонического осциллятора. При четных п
число / может принимать —+1 значений: / = /?,/*-2 0; при нечетных п число /
может принимать
/7 + 1
значений: / = /г, /? — 2 1. С учетом возможных значений для числа
\{-1<т< /) кратность вырождения уровня Еп равна
(и+ l)(/i +2)
Для каждой пары чисел (/:,/) существует единственная радиальная функция ик ,(г)у
то есть B/ + 1) функций, общих для операторов И , L2 и L.:
Ф</ж(г) = \ ,ИС(^Ф)- C5)
г
Таким образом, кратность вырождения рассматриваемого значения энергии Еп равна:
gn = X B/ + l), если п — четное число; C6-а)
/=0.2 п
57

Глава VII
g„ - Yj B/ +1), если n — нечетное число. C6-b)
/=1.3 n
Эти суммы легко вычисляются и дают:
н/2 \
для четных п : gn = X \4р + 1) = — (п + \)(п + 2); C7-а)
(я-П/2 J
для нечетных п : g„ = Z D/7 + 3] = — (п + \)(п + 2). C7-Ь)
Для каждой пары чисел (/:,/), определенных выражением C3), можно определить
с точностью до коэффициента а{) соответствующую радиальную функцию ukJ(r) и,
следовательно, B/ +1) собственных функций, общих для операторов И , L2 с
собственными значениями Еп и /(/ + \)Ь2. Вычислим, например, волновые функции трех самых
низких уровней энергии.
3
Для основного уровня Е{) = — /Ко и
к = 1 = 0. C8)
Тогда у0Л)(г) = ci0r , и, если выбрать а{) вещественным положительным числом, то
нормированная функция фА=/=и/=() запишется как:
Ф().().о(г):
'Р'^4
<ГР"'-'2. C9)
Поскольку основной уровень не вырожден (£() = 1), то cp(UU) совпадает с функцией
Ф„ =„(.=„.=» * которую получили бы при разделении декартовых переменных л\ у, с Гсм.
формулу F)].
Первому возбужденному уровню Е] =— Лео (трижды вырожденному) соответствует
также единственная пара чисел (kj):
f*=0;
D0)
/=l
и v0 , = a{)r2. Три базисные функции, определенные операторами L2 и L., равны:
8 Р
3/2
Фо...„(г) = , -Ч4-Р«"Р"г",2у.в,(*.Ф).где ш= 1,0,-1. D1)
58

Центральный потенциал; атом водорода
Известно [см. формулы C2) дополнения AVi], что сферические гармоники У"' таковы, что
гГ,°(«,ф)= ' 3
D2)
и что полином Эрмита первой степени имеет вид [см. формулу A8) дополнения Bv]:
#,0/) = 2//. D3)
Нетрудно заметить, что три функции ф(), ,„ связаны с функциями ф/? п п базиса F)
равенствами:
Ф/1д=().нг =()./?. = ! = Ф*=()./=|.м»=0 »
Фи, = l.nv = 0. «. = () = ~~ГГ [Ф* =<)./= 1.»м = -1 ~ Ф* = 0./=1./и=|]'
ФИ|во.ига:|.«..о = -7J [ф^о./=1.^-1 + Ф*=<>./=!.,„=.] • D4)
7
Рассмотрим, наконец, второй возбужденный уровень Е2 = — Лео . Он вырожден
шестикратно, и квантовые числа (кУ /) могут принимать значения:
*=0, 1 = 2;
* = 2, / = 0.
D5-а)
D5-Ь)
Функция у() 2(г), соответствующая значениям D5-а), равна а{) г3, а значениям D5-Ь):
У2Л)(Г)=а»Г
зн
D6)
Шесть базисных функций собственного подпространства, связанного с энергией Е2,
имеют вид:
Фо 2 „(г) = Ji| ^ Р:г2е-р;':/2У2"(д, Ф), где ш = 2,1,0, -1, -2 ; D7-а)
V 15 л
Ф2.0.0(Г)!
|Г£1
V2 л
.-?v
-(^-г-/2
D7-Ь)
59

Глава VII
Зная явные выражения для сферических гармоник [формулы C3) дополнения Avi] и для
полиномов Эрмита [формулы A8) дополнения BVL нетрудно доказать следующие
равенства:
Ф*=2./ = 0.»1 = 0 = JX I Ф"д = 2. пу *().«.* О + Ф«А = 0.и,*2.и.«0 + Фил *().«,.* ().«. = 2 I '
VI
S
[Ф*=0./ = 2.ш = 2 + Ф* =<)./ = 2.»» =-2 J == ~/Г [Ф>\* 2./»,. = ().«. = О ~~ Ф/»л=0,,»у = 2.н:»() J '
""ГГ [Фа»0./*2,ш = 2 "* Ф* * 0. /« 2. «• = -2 J = 'Фиг = 1,н,.«1.11:«0 »
"/Г [Ф* *()./» 2. Ml* I ~ Ф**()./ = 2.1М*-| J = ~"Фн,= 1.Ну«(),Н.*1 '
VI
1
VI
[Ф*=0,/ = 2.ш = 1 + Ф*=0./ = 2./н=-1 J """ 'Фнг*0.нг*1.»1.*1 ♦
- /Г
Ф*=0./«2.и»*0 ~" Д/ о
Ф»1.--0./»у = ()./».^2 ~ Ф«, = 2. »v. = ()./(=() - Фи,*0.н,. = 2./1. = 0
D8)
ЗАМЕЧАНИЕ
Как мы отмечали в начале этого дополнения, можно применить в этой задаче
метод, аналогичный развитому в дополнении DVi- Если а,,«,. и а. — операторы
уничтожения, действующие в пространствах состояний Хх, ? и К.
соответственно, то можно определить через них операторы:
я„ =-7r(«,-'«v):
VI
a*=vr
(fl^+taj
D9-а)
D9-b)
и показать, что аA и ак ведут себя как независимые операторы уничтожения
(дополнение DVi, §3-b). Тогда можно выразить гамильтониан И и операторы
углового момента через аA, ан, а. и сопряженные им операторы:
Г ' 3
V 2;
E0-а)
E0-Ь)
60

Центральный потенциал; атом водорода
L¥ = ь№[а*ая -«>.): E0-с)
L. = Лл[2(а*а. -я.Ч,). E0-d)
Собственные векторы X,,,.,, .„. )< общие для наблюдаемых N(l, /Vv и /V.,
получаются путем действия операторов создания я J, я J и я* на основное состояние
|0,0, ()) гамильтониана Н [это состояние с точностью до множителя является
единственным; см. формулы F) и C9)]:
I*. ----- > - ^т^ГГ(в; г (в; г (в: г"|а 0> 0>' E,)
Согласно формулам E0-а) и E0-Ь) Х„,.„ ,„ } является собственным вектором
операторов Н и L: с собственными значениями (пA + пн +п: + 3/2]йш и (пA--п)п.
Таким образом, собственное подпространство $п, связанное с заданной энергией Еп,
может быть порождено ансамблем векторов Х„,.„,.„ ) ♦ Для которых:
пA 4- /?^ 4- //, = п . E2)
Среди них кет Х,.,<и)) является собственным вектором оператора L, с
собственным значением nh, максимальным из значений, совместимых с Еп. Этот кет
согласно формуле E0-е) удовлетворяет условию:
^+|х,п.оИ>. E3)
Поэтому* он является собственным вектором оператора L2 с собственным
значением /?(/i + l)//2 и может быть отождествлен с таким базисным вектором
пространства ( ФА/ш) }, что
* + / = /*;
/ = ш = /?. E4)
Таким образом:
|Ф*=о./=м.,и=,|/ = |X„(/=„./,v =о./,. =о J - E5)
Применение оператора L_ [формула E0-d)J к обеим частям равенства E5) дает:
Этот результат следует непосредственно из равенства (C-7-b) главы VI, которое, будучи
примененным к |х„.о.о) , даст L2 |х„.о.о) = ft2( + «) 13t"-°-°) '

Глава VII
|фи.и.|,-|) = -|х„-,.о.|)- E6)
Собственное значение (и-2) Л оператора L. в отличие от двух
предшествующих дважды вырождено в пространстве $п, и ему соответствуют два
ортогональных вектора Ьс„_2.о.:) и ЬС/-и.о) • Воспользовавшись выражением E0-d),
чтобы применить оператор L_ к вектору E6), получим:
k).W.i,-2)= JV1 1 |Zn-2.0.2)--^=7 |X„-I.1.0)- E?)
1 ' V 2/7 - 1 ' ' V2/2 - 1 ' '
Можно показать, что действие оператора L+ на ортогональную линейную
комбинацию формулы E7) дает вектор, равный нулю. Таким образом, эта линейная
комбинация неизбежно является собственным вектором оператора L2 с
собственным значением (/? - 2)(и - \)tr . что дает с точностью до фазового множителя:
I \-__L_l \ I2*"-1* | \
г2"-"-2/ J2^T\ Iх"-2-0-2/* \ 2/7-1 lz"-u'0r
E8)
Так можно шаг за шагом* связать два базиса {X,,,.,, .« /I и ( Фа././»/ )• Конечно,
выразив в выражении E1) операторы я J и а* через а\ и a+v, можно представить
XW/.»,.».) в ви^е линейной комбинации векторов ф/; п п ), волновые функции
которых даны формулой F).
Дополнение Суц
ТОКИ ВЕРОЯТНОСТИ
ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ АТОМА ВОДОРОДА
1. Общее выражение для тока вероятности.
2. Применение к стационарным состояниям атома водорода.
a. Структура тока вероятности.
b. Влияние магнитного поля.
Аналогичные рассуждения будут использованы в главе X для сложения угловых моментов.
62

Центральный потенциал; атом водорода
Нормированные волновые функции Ф„<Лм,(г) стационарных состояний атома
водорода были определены в главе VII. Функция Ф„//,?(г) является произведением
сферической гармоники У/'ЧЬ, ф) на функцию RnJ(r), вычисленную в § С-3 этой главы:
Ф,,,.,«(г) = *,,<('') У,"(*. Ф>- (D
Затем была исследована пространственная зависимость плотности вероятности
нахождения частицы:
i i "*
Р,|./.»(г) = |ф|../.ш(г)| B)
для самых низких уровней энергии.
Важно понять, однако, что стационарное состояние не может быть
охарактеризовано только плотностью вероятности р„<Л/м(г) в каждой точке пространства, так как с ним
необходимо связать также и ток вероятности, выражение для которого имеет вид:
J« / ,„(г) = — Ф*. / ,„(Г^Ф„ / |И(г) + компл. сопр. C)
2[ii
[здесь предполагается, что векторный потенциал А (г, /) = 0, a р. — масса частицы].
Квантовому состоянию частицы тем самым сопоставляется «поток» (называемый
иногда «потоком» или «током» вероятности), плотность которого в каждой точке
пространства равна р(г). Этот поток не остается неподвижным, а находится в непрерывном
движении, которое характеризуется плотностью тока J . В стационарном состоянии р и
J не зависят от времени, то есть движение потока является равномерным.
В данном дополнении мы дополним результаты главы VII относительно физических
свойств стационарных состояний изучением токов вероятности J;i Л;„(г).
1. Общее выражение для тока вероятности
Рассмотрим произвольную нормированную волновую функцию \|/(г)и введем
вещественные величины сс(г) [модуль \|/(г)]и £(г) [аргумент \|/(г) ] формулой:
\|/(r) = a(r)<?*(r\ D)
где
а(г)>0 и 0<£(г)<2л. E)
Если подставить D) в выражения для плотности вероятности р(г) и тока J(r),
получим, как и ранее полагая, что А (г) = 0 :
Р(г) = сс2(г); F)
63

Глава VII
J(r) = -cr(r)V£(r). G)
Итак, p(r) зависит только от модуля волновой функции, тогда как в J (г) входит ее фаза
[например, J(r) = 0, если фаза остается постоянной во всем пространстве).
ЗАМЕЧАНИЕ
Если волновая функция \}/(г) задана, то, очевидно, что р(г) и J(r) точно определены.
Справедливо ли обратное утверждение, что заданным значениям р(г) и J(r) соответствует
единственная функция \}/(г) ?
Согласно формуле F) модуль ОС(г) волновой функции может быть найден
непосредственно из р(г) '; что касается аргумента £(г), то он должен удовлетворять уравнению:
V&D = ^. (8)
Ь р(г)
Известно, что такое уравнение имеет решение только при условии:
Vx^ = 0. (9)
Р(г)
В этом случае оно имеет бесконечное множество решений, отличающихся друг от друга на
постоянную величину. Эта величина представляет собой общий фазовый множитель, и
поэтому волновая функция частицы полностью определена заданием р(г) и J(r) , если
условие (9) удовлетворяется. Если же оно не удовлетворяется, то волновая функция,
соответствующая рассматриваемым значениям р(г) и J(r) , не существует.
2. Применение к стационарным состояниям атома водорода
а. СТРУКТУРА ТОКЛ ВЕРОЯТНОСТИ
Если волновая функция имеет вид A), где RnJ(r) — вещественная функция и
Y"'(f3, ф) — произведение экспоненты <?""ф на вещественную функцию, то
а,,л,„(г) = |я,,,(,-)||П».Ф)|:
£,„.,„ (г) = шФ. (Ю)
Конечно, чтобы р(г) могла представлять плогность вероятности, она должна быть всюду
положительной.
64

Центральный потенциал; атом водорода
Применив формулу G) и используя выражение для градиента в полярных координатах,
получим:
П Р„,/,,„(г)
J-'(r) = u/;?7^-^(r)' (И)
где еф(г) —единичный вектор, перпендикулярный к Oz и г , образующий с осью fc иг
прямую систему координат.
Ход изменения тока вероятности в плоскости, перпендикулярной оси Oz ,
представлен на рис.1.
Рис.1
Структура тока вероятности, связанного со стационарным
состоянием Ф„ / ш) атома водорода в плоскости, перпендикулярной к
оси Oz. Индекс т нумерует собственное значение mfi оператора
L.; если т > О, ток вероятности вращается в прямом направлении
вокруг оси Oz , если т < О, — в обратном направлении; если т = О,
ток вероятности равен нулю в любой точке пространства
Согласно формуле A1) ток в каждой точке М перпендикулярен к плоскости,
определенной точкой М и осью Oz : поток вероятности вращается вокруг Oz . Поскольку | J |
не пропорционален г shift p(r), речь не идет о вращении всего потока единым блоком.
Собственное значение mti наблюдаемой L. можно интерпретировать как классический
угловой момент, связанный с этим вращательным движением потока вероятности.
Действительно, вклад элемента объема rfV, расположенного в точке г , в угловой момент
относительно начала системы отсчета равен:
d2 = [irxjnlm(r)d3r. A2)
Вследствие симметрии результирующая всех элементарных моментов направлена вдоль
оси Oz у и ее модуль равен:
^=^Ve:-[rxJn,,„(r)]. A3)
Подставив выражение A1), получим:
% =^ld3rr\3l,u„(r)\sinb = mtijdirp„lm(r) = nin. A4)
5 Том П. Квантовая...
65

Глава VII
b. ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Полученные до сих пор результаты справедливы только в том случае, если
векторный потенциал А (г) = 0 . Рассмотрим, что произойдет, если это условие не выполняется.
Допустим, например, что атом водорода находится в однородном магнитном поле В.
Его можно описать с помощью векторного потенциала:
А(г) = --гхВ. A5)
Чему теперь будет равен ток вероятности, связанный с основным состоянием?
Для простоты допустим также, что магнитное поле В не изменяет волновую
функцию основного уровня*. Вычислить ток вероятности при этом можно с помощью общего
выражения для J [см. формулу (D-20) главы III]:
j,./,,»(r)=—^;,,,m(r>
-V-<?A(r)
Ф„./.,„(г) + компл- сопр. =
= -p,/,,(r)[^7}(/tm(r)>^A(r)]. A6)
Для основного состояния и при условии, что поле В направлено вдоль Oz , получим A5):
Ji,o,o(r) = -yP'.<).o(r)ezxr, A7)
где циклотронная частота 0)t. определяется выражением:
шс = -3£. A8)
И
Таким образом, в противоположность тому, что имело место при В = 0, ток
вероятности в основном состоянии отличен от нуля в присутствии магнитного поля.
Выражение A7) указывает, что поток вероятности вращается «в целом» вокруг В с угловой
скоростью озс / 2. Физически такой результат объясняется тем, что при установлении
магнитного поля В в переходном процессе неизбежно возникает электрическое поле Е(/).
Под влиянием последнего электрон, оставаясь на основном уровне, приобретает допол-
* Поскольку гамильтониан Н зависит от В , это, очевидно, не совсем точно. Однако можно
убедиться, рассматривая выражение для Н [формулы F) и G) дополнения DVu], что для выбранной
в A5) калибровки и с учетом направленности В вдоль Oz функции фм , /м(г) являются
собственными функциями оператора Н вплоть до второго порядка по В. Используя теорию
возмущений главы XI, можно показать, что для магнитных полей, обычно реализуемых в лаборатории,
поправкой второго порядка можно пренебречь.
66

Центральный потенциал; атом водорода
нительное вращение вокруг протона, скорость которого зависит только от значения В
(но не от той формы переходного процесса, который ведет к установлению магнитного
поля).
ЗАМЕЧАНИЕ
Частный выбор калибровки A5) позволил нам сохранить те же волновые функции, что
и в отсутствие поля, допуская пренебрежимо малую погрешность. Если бы калибровка
была иной, волновые функции были бы также иными [см. дополнение Нш], и в формуле A6)
член, содержащий А (г) , мог бы дать поправку первого порядка по В . Конечно, в конце
расчета все равно было бы получено выражение A7), так как физический результат не
должен зависеть от выбора калибровки.
Дополнение Dvn
АТОМ ВОДОРОДА
В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ.
ПАРАМАГНЕТИЗМ И ДИАМАГНЕТИЗМ.
ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА
1. Гамильтониан задачи. Парамагнитный и диамагнитный члены.
a. Выражение для гамильтониана.
b. Порядок величины различных членов.
c. Интерпретация парамагнитного члена.
d. Интерпретация диамагнитного члена.
2, Эффект Зеемана.
a. Уровни энергии атома в присутствии магнитного поля.
b. Осцилляции электрического диполя.
c. Частота и поляризация испущенного излучения.
В главе VII мы изучили квантовые свойства свободного атома водорода, то есть
системы, образованной из электрона и протона, связанных друг с другом
электростатическим взаимодействием, но не взаимодействующих с другими внешними полями. Это
дополнение посвящено рассмотрению новых эффектов, возникающих, когда атом
находится в статическом магнитном поле. Ограничимся только случаем однородного поля,
5*
67

Глава VII
который наиболее часто реализуется практически. Применяемые в лаборатории
магнитные поля действительно очень мало меняются на расстояниях, сравнимых с атомными
размерами.
Ранее уже было рассмотрено поведение электрона в электрическом (см., например,
главу VII) или магнитном (см. дополнение EVi) полях. Здесь мы обобщим этот анализ и
выполним расчет уровней энергии электрона, подверженного одновременному
действию внутреннего электрического и внешнего магнитного полей. В этих условиях точное
решение уравнения Шредингера может казаться очень сложной задачей, однако ее
можно существенно упростить с помощью ряда приближений. Прежде всего, мы полностью
пренебрежем эффектом «затягивания» ядра*. Затем воспользуемся тем обстоятельством,
что влияние внешнего магнитного поля значительно слабее влияния внутреннего
электрического поля в атоме, то есть сдвиги атомных уровней из-за взаимодействия с
магнитным полем остаются малыми по сравнению с энергетическими интервалами между
уровнями в нулевом магнитном поле.
Выполненный в этом дополнении анализ позволит ввести и объяснить целый ряд
важных эффектов, наблюдаемых в атомной физике: в частности, мы увидим, как в
квантовом формализме можно интерпретировать атомный парамагнетизм или диамагнетизм.
Кроме того, мы сможем предсказать изменения спектра оптического излучения атома
водорода, когда он помещается в постоянное магнитное поле (эффект Зеемана).
1. Гамильтониан задачи.
Парамагнитный и диамагнитный члены
а. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ГАМИЛЬТОНИАНА
Рассмотрим частицу без спина с массой те и зарядом q, подверженную
одновременному действию центрального скалярного потенциала V(г) и векторного потенциала
А(г). Ее гамильтониан имеет вид:
H = -±-[P-qA(R)J + V(R). A)
2тс
Если магнитное поле В = VxA(r) однородно, то векторный потенциал А(г)
можно принять в форме:
* Для атома водорода это приближение оправдано тем, что протон значительно тяжелее
электрона. Для мюония оно менее приемлемо и делается совершенно неприменимым в случае
позитрония. Впрочем, заметим, что разделение движения центра масс в присутствии магнитного поля,
строго говоря, некорректно. Если бы мы попытались учесть здесь эффект «затягивания» ядра,
простой замены массы электрона на приведенную массу системы электрон — протон было бы
недостаточно.
68

Центральный потенциал; атом водорода
А(г) = -|гхВ. B)
Чтобы подставить это выражение в A), вычислим сначала величину:
2
[P-^A(R)]2 =P2+^[P-(RxB) + (RxB)-P] + -^(RxBJ. C)
Поскольку на самом деле В есть константа, а не оператор, то все наблюдаемые должны
коммутировать с В, в результате чего, используя правила векторного анализа, получим:
2
[P-^A(R)f =P2+^[B-(PxR)-(RxP).b]+-^-[r2B2-(R-BJ]. D)
В правой части этого выражения появляется угловой момент L частицы:
L = RxP = -PxR. E)
Гамильтониан Н можно переписать в виде:
Н = Н0 + Н{+Н2, F)
где Я(),Я,,Я2 определены выражениями:
H0=^— + V(R); G-а)
G-Ь)
G-с)
В этих равенствах \iB — магнетон Бора, имеющий размерность магнитного момента:
Ив=^, (8)
2те
и оператор R± является проекцией оператора R на плоскость, перпендикулярную к
вектору магнитного поля В:
Rl-R"-^!1.
Если выбрать такую систему ортогональных осей Oxyz, что В параллелен оси Oz, то
R\ = X2+Y2. A0)
н,
н2
Л
=1*
L В;
г
69

Глава VII
ЗАМЕЧАНИЕ
Если В = 0, то Н = HQ, то есть сумме кинетической Р~/2те и потенциальной
V(R) энергий. Однако не следует думать, что при этом Р /2те является кинетической
энергией электрона. Действительно, как показано ранее (см. дополнение Нт), физический
смысл операторов, действующих в пространстве состояний, изменяется при отличном от
нуля векторном потенциале. Например, импульс Р не представляет более количество
движения П = те V , и кинетическая энергия оказывается равной:
П2 1
2та 2т
— [P-9A(R)] . A1)
Смысл члена Р2/2те , взятого в отдельности, зависит от выбранной калибровки. Для
калибровки B) можно доказать, что он соответствует «относительной» кинетической энергии
Пд /2те, где П^ — количество движения частицы в «ларморовой» системе координат,
вращающейся вокруг В с угловой скоростью 0) L = -qB 12me. При этом член Н2
описывает кинетическую энергию П^ 12те, связанную со скоростью затягивания этой системы
координат, а член Я, соответствует перекрестному члену T\E-YlRlте.
Ь. ПОРЯДОК ВЕЛИЧИНЫ РАЗЛИЧНЫХ ЧЛЕНОВ
В присутствии магнитного поля В в гамильтониане Н появляются новые члены
Я, и Н2. Прежде чем детально исследовать их физический смысл, оценим порядок
величины связанной с ними энергии АЕ (или в единицах частоты А£ / h).
В том, что касается Н0, то мы уже знаем соответствующие разности энергии А£0
(глава VII). Связанные с ними частоты лежат в диапазоне:
^-10,4...1015Гц. A2)
h
С другой стороны, используя G-Ь), нетрудно видеть, что АЕ{ можно оценить
выражением:
ML^lf^.^, A3)
271
где G)L —частота Лармора*, равная:
* Заметим, что частота Лармора СО L 12n в два раза меньше циклотронной частоты.
70

Центральный потенциал; атом водорода
Простой расчет показывает, что для электрона частота Лармора такова, что
(О,
^- = 1,4 x10ю Гц/Тесла = 1,4 МГц/Гс. A5)
В 2пВ
Для магнитных полей, обычно применяемых в лабораторных условиях, не
превышающих 100 000 Гс, получим:
^<10п Гц. A6)
2л
Сравнивая A2) и A6), заметим, что
A£,«A£0. A7)
Покажем также, что
ЛЕ2«АЕ1. A8)
Дня этого оценим порядок величины А£2 энергии, связанной с Я2. Элементы матрицы
оператора R* = X2 + Y2 имеют тот же порядок величины, что и а\ , где а0 = h21mee2 —
величина, характеризующая атомные размеры. Получим:
A9)
B0)
Вычислим отношение:
Согласно формулам (С-
А£2
12-а)и
ill
(С
Д£2 =
q2B2 2
ао
- qB S
tUQL
-12-Ь) главы VII:
АЕ0
h2
Si
mta\
h2
и с учетом A3) соотношение B0) дает:
Д£2 _ AEj
A£", AE0
B1)
B2)
что с учетом A7) подтверждает неравенство A8).
Таким образом, влияние магнитного поля практически оказывается самым слабым в
сравнении с взаимодействиями внутри атома. Кроме того, для его изучения в общем
случае достаточно сохранить член Я,, так как влияние члена Я2 существенно меньше
(его учет может потребоваться в некоторых частных случаях, когда вклад члена Нх
равен нулю или очень мал).
71

Глава VII
с. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПАРАМАГНИТНОГО ЧЛЕНА
Рассмотрим сначала член Я, [формула G-Ь)]. Сейчас мы увидим, что его можно
интерпретировать как энергию связи -М,В между магнитным полем В и магнитным
моментом М,, связанным с вращением электрона по орбите.
Для этого вычислим классический магнитный момент Л , связанный с вращением
заряда q по круговой орбите радиуса г (рис.1). Если скорость частицы равна v , то ее
движение эквивалентно току:
д;
B3)
i = q
2пг
Поскольку поверхность S , охваченная током, равна:
S = пг2,
то магнитный момент Л определяется равенством:
\Л\
■ ixS = -rv.
1
B4)
B5)
Ж
Рис.1
С классической точки зрения вращение электрона по
орбите можно интерпретировать как виток с током, имеющий
магнитный момент Л
Введя угловой момент движения i£, модуль которого, поскольку скорость
тангенциальна, равен:
\£\ = mcrv4 B6)
можно переписать формулу B5) в форме:
Ъп
B7)
(равенство векторное, так как 92, и Л параллельны, ибо оба вектора перпендикулярны к
классической орбите).
Квантовая аналогия формулы B7) представляет собой операторное соотношение:
М,
2гп
B8)
72

Центральный потенциал; атом водорода
Мы можем теперь записать Я, в виде:
Я,=-М,-В, B9)
что полностью подтверждает данную выше интерпретацию: Я, соответствует
взаимодействию между магнитным полем В и магнитным моментом атома, которым он
обладал до того, как на него подействовало магнитное поле (другими словами, М, не
зависит от В ). Член Я, получил название парамагнитного.
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Согласно формуле B8) собственные значения любой компоненты магнитного
момента М, имеют вид:
Л
x(mh) = m\iB4 C0)
Ч
\ 2те)
где т — целое число. Таким образом, \х0 дает порядок величины магнитного
момента, связанного с орбитальным моментом электрона, чем и объясняется
интерес к введению определения (8). В системе единиц СИ:
\кв = 9,27 х Ю-24 Дж/Тесла. C1)
(и) Как мы увидим в главе IX, электрон обладает, кроме орбитального углового
момента L , спиновым моментом S. С этой наблюдаемой также связан магнитный
момент Ms, пропорциональный S :
М =2i^S. C2)
s Гг
(Несмотря на всю важность эффектов, связанных со спиновым моментом, пока мы
им пренебрежем и вернемся к этому вопросу в дополнении DXn.)
(iii) Приведенное выше классическое представление не вполне корректно.
Действительно, мы не делали различия между угловым моментом:
# = гхр C3)
и моментом количества движения:
X = гхтс\ = 2?-qrxA(r) . C4)
На самом деле вносимая при этом погрешность очень мала, как мы увидим в
следующем параграфе, она состоит в том, что мы пренебрегаем членом Я2 по
сравнению с Я,.
73

Глава VII
d. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДИАМАГНИТНОГО ЧЛЕНА
Рассмотрим уровень атома водорода с орбитальным моментом, равным нулю
(например, основной уровень). Поправка к энергии этого уровня за счет члена Я, также
равна нулю, и, чтобы определить влияние поля В , нужно учесть наличие члена Н2. Как
интерпретировать соответствующий вклад в энергию?
Выше мы видели (см. § 2-Ь дополнения CVn), что в присутствии однородного
магнитного поля ток вероятности для электрона изменяется. Структура этого тока имеет
характер вращения вокруг поля В; это однородное вращение потока вероятности в
прямом направлении, если заряд q отрицателен, и в обратном направлении, если он
положителен. Соответствующий электрический ток порождает магнитный момент (М2),
антипараллельный полю В , в результате чего энергия связи положительна. Именно это
позволяет дать физическую интерпретацию члену Я2.
Чтобы детализировать такое объяснение, вернемся к классическим рассуждениям
предыдущего параграфа [см. замечание (Hi)] и учтем, что магнитный момент Л на
самом деле пропорционален X = г х m^v, а не # = г х р :
Л = ^-Х = ^- [g-qr х А(г)]. C5)
Если <£ равен нулю, то J в калибровке B) превращается в
2 2
м = -f— rx(rxB) = -7— [(г-В)г-г2в1, C6)
4те Ате L J
то есть момент Ji^ оказывается пропорционален значению магнитного поля*. Таким
образом, он представляет собой момент, индуцированный в атоме полем В. Энергия его
связи с полем В равна:
^»Ч"-«.<в')-<л>'--Т-«!(В)В = ^-[г'В,-(гВ),] = £--г;в!. C7)
Итак, мы снова получили формулу G-с), то есть подтвердили данную выше
интерпретацию. Действительно, оператор Н2 описывает связь между полем В и магнитным
моментом М2, индуцированным в атоме. Согласно закону Ленца индуцированный момент
* Л^ не коллинеарен полю В. Можно, однако, показать, что в основном состоянии атома
водорода среднее значение \М2у оператора, связанного с Ж,, антипараллельно В. Снова мы
получаем результат, известный ранее из анализа структуры тока вероятности.
74

Центральный потенциал; атом водорода
препятствует проникновению внешнего магнитного поля, и энергия взаимодействия
является положительной. Член Н2 получил название диамагнитного члена
гамильтониана.
ЗАМЕЧАНИЕ
Как отмечалось ранее A8), атомный диамагнетизм представляет собой малую
поправку, если он существует одновременно с парамагнетизмом и маскируется
последним. Это связано, как показывает равенство C7), с малостью атомного
радиуса. Для обычно реализуемых значений магнитных полей магнитный поток через
площадь атома очень мал. Однако было бы ошибочным пренебрегать Н2 по
сравнению с Я, в любой физической задаче. Например, в случае свободного
электрона, для которого радиус классической орбиты в нулевом магнитном поле был бы
равен бесконечности, мы уже видели в дополнении EVi, что диамагнитный вклад
столь же важен, как и парамагнитный.
2. Эффект Зеемана
После выяснения физического смысла различных членов гамильтониана в этом
параграфе мы рассмотрим более подробно их влияние на спектр атомов водорода. Точнее
говоря, исследуем, как в постоянном магнитном поле изменяется излучение так
называемой «резонансной» линии с длиной волны X = 1200 ангстрем. Мы увидим, что
меняется не только ее частота, но также и поляризация атомных линий: именно это явление
называют обычно «эффектом Зеемана».
Важное замечание: на самом деле существование спинов электрона и протона
приводит к тому, что спектр резонансной линии водорода состоит из набора близких
компонент (тонкая и сверхтонкая структура; см. главу XII). Кроме того, спиновые степени
свободы значительно меняют влияние магнитного поля на различные компоненты линии
резонанса (говорят иногда, что эффект Зеемана оказывается «аномальным»). В данном
рассмотрении влиянием спина мы будем пренебрегать, вследствие чего приведенные
расчеты не вполне совпадают с физической реальностью. Тем не менее полученные
результаты можно обобщить и учесть существование спинов (см. дополнение DXh). В
целом же выводы этого параграфа в том, что касается появления компонент с различными
частотами и поляризациями, остаются качественно справедливыми.
а. УРОВНИ ЭНЕРГИИ АТОМА В ПРИСУТСТВИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Резонансная линия водорода соответствует атомному переходу между основным
уровнем \s (п = 1; / = т = 0) и возбужденным уровнем 2р[п = 2; / = 1; т = +1,0, -1). Если
75

Глава VII
в основном состоянии угловой момент равен нулю, то в возбужденном состоянии дело
обстоит иначе. При вычислении изменений оптических линий в присутствии магнитного
поля В пренебрежение диамагнитным эффектом Я2 приводит к небольшой
погрешности, но позволяет выбрать в качестве гамильтониана сумму Я() + Я, .
Обозначим символом Ф„Л„() собственные состояния, общие для операторов Я0
(с собственным значением Еп - -Е, In2), L2 [с собственным значением /(/ + 1)й2 ] и L.
(с собственным значением тЬ). Волновые функции этих состояний были вычислены
в главе VII:
Ф1|.,.(Я(г,«,ф) = /?11./(г)^,и(«,ф). C8)
Выберем ось Oz параллельной полю В . Нетрудно видеть, что состояния фн, \
оказываются при этом и собственными векторами оператора Я() + Я,:
(^ + ^)|ф,,,.,„> = («0-^^^|ф„л,„) = (Е„-шцвб)|ф„,„,). C9)
Если пренебречь диамагнитным членом, то стационарными состояниями атома в поле В
остаются состояния ф/;, \ , и изменяются только соответствующие им значения энергии.
В частности, для состояний, переходу между которыми соответствует резонансная
линия, получим:
(я() + я,) |ф1<0<0) = -£, |ф|.о.о); D°-а)
(w0 + «l)|V2J.lll) = [--£i+»(Q+wa)/.)]h.i.*)' D0"Ь)
где
F - F IF
Ь 4Й
частота резонансной линии в нулевом магнитном поле.
Ь. ОСЦИЛЛЯЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ
а. Матричные элементы оператора дипольного момента
Пусть:
D = ^R D2)
оператор электрического дипольного момента атома. Чтобы вычислить его среднее
значение (D), найдем сначала матричные элементы оператора D .
76

Центральный потенциал; атом водорода
При выполнении операции симметрии относительно начала отсчета D изменяется
на -D, то есть оператор дипольного момента является нечетным (см. дополнение Fn).
Состояния ф/?; \ также имеют определенную четность: их угловая зависимость
определена функцией Yftf, ф), то есть их четность равна +1, если / — четное число, и -1,
если / — нечетное число (см. дополнение AVi). В частности, из этого следует, что
[(ф|.о.о|°|ф1.о.о) = 0;
[(Ф2.1.Я,'|0|Ф2.1.«,) = 0,
D3)
независимо от значений т и т .
Таким образом, отличные от нуля матричные элементы оператора D всегда
являются недиагональными. Чтобы вычислить элементы (ф2 , ;„ D фми)), уместно
заметить, что координаты х, у, z можно без труда выразить через сферические гармоники:
Х=^тг[у'",@'ф)">',(д,фI;
у = |ууг[к-,(в,Ф) + г,,(*,Ф)];
D4)
z =
гГ,°(д,ф).
Таким образом, в выражениях для матричных элементов появляются:
— с одной стороны, радиальный интеграл, который мы обозначим символом % :
X = j~R2ml(r)RU0(r)r3dr;
D5)
— с другой стороны, угловой интеграл, который, благодаря соотношениям D4),
сводится к скалярному произведению сферических гармоник, легко вычисляемых с
помощью соотношений ортогональности. Окончательно получим:
4TL
(ф2.1.11 °х |ф|.о.о) = -(ф2. ..-I | Dx |ф|.о.о) = -77
(ф2.!.о|^|ф1.о.о) = 0;
(ф2. I. . | Dy |ф1.0.о) = (ф2. 1.-1 | О, |ф..0.о) = Щ\
(ф2.|.о|Яу|ф1.о.о) = 0;
D6-а)
D6-Ь)
77

Глава VII
(ф2. м | Dz |фко,о) = (ф2, .,-, | c>z |ф.,о.о) = о;
(ф2.1.о|^|ф1.о.о) = %
D6-c)
P. Вычисление среднего значения дипольного момента
Результаты предыдущего параграфа показывают, что среднее значение оператора
D в стационарном состоянии равно нулю. Допустим, что в начальный момент времени
вектор состояния системы был линейной суперпозицией основного состояния h и
одного из возбужденных состояний 2/?:
|\1/ш@)) = с^а|ф100} + 5ша|ф2>1ш),
D7)
где m = +1,0, -1 и а — вещественный параметр. Тогда в момент времени t вектор
состояния равен:
\yVm(t)) = cosa\Vu0,0) + sinae-,(a*mm^ |ф2Л.,„) D8)
(здесь мы исключили общий фазовый множитель е '' ', не имеющий физического
смысла).
Чтобы вычислить среднее значение электрического дипольного момента:
(D)m@ = (v„,@|D|V„,(f)),
используем результаты D6) и D8) и будем различать три случая/
(i) Если т = 1, то
D9)
\DX) =--y=sm2acas[(& + CDL)f];
(Д>,' = 0. 6
E0)
Вектор (D)^?) вращается в плоскости хОу вокруг оси Oz в прямом направлении с
угловой скоростью Q + а .
(и) Если т = 0:
\ г/о ^з
E1)
78

Центральный потенциал; атом водорода
Движение вектора (DH(/) представляет собой линейное колебание вдоль оси Oz с
частотой Q .
(ш) Если т = -1:
Вектор (D) (f) в этом случае вращается в плоскости хОу вокруг оси Oz в обратном
направлении с угловой скоростью Q - со L.
с. ЧАСТОТА И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИСПУЩЕННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Во всех трех случаях (т =+1,0,-1) среднее значение электрического дипольного
момента является осциллирующей функцией времени, и, естественно, такой диполь
излучает электромагнитную энергию.
Поскольку размеры атома пренебрежимо малы по сравнению с длиной оптической
волны, это излучение можно считать дипольным в дальней зоне. Допустим, что
характеристики испущенного (или поглощенного) света атомом при его переходах между
состоянием ф2,1,„,) и основным состоянием определяются классическими выражениями
для излучения диполя*, равного среднему квантовому значению (D) (г).
Для уточнения условий задачи предположим, что будет рассматриваться излучение,
испущенное образцом, содержащим большое количество атомов водорода, которые с
помощью некоторого процесса были возбуждены в состояние 2р. В большинстве
экспериментов, реализуемых практически, процесс возбуждения является изотропным, и
все три состояния Ф2, i, i /' Фгл.о) и Ф2,1,-1/ возбуждаются с равными вероятностями.
Поэтому сначала мы исследуем диаграмму излучения для каждого из упомянутых выше
частных случаев в отдельности, а затем получим излучение, испущенное всем
ансамблем атомов, вычисленное как сумму интенсивностей света, испущенного в каждом
направлении пространства, для всех компонент излучения.
* Если бы мы захотели решать задачу полностью в квантовом формализме, следовало бы
использовать квантовую теорию излучения. В частности, возвращение атома в основное состояние
при спонтанном испускании фотона можно описать только в рамках квантовой теории. Однако
основные результаты, которые будут получены здесь в полуклассическом приближении, остаются
справедливыми.
«С.
sin 2a cos
[(Q-coL>];
= - —j= sin 2a sin [(q - @ L )t J;
E2)
= 0.
79

Глава VII
(i) Если ш=1, частота испускаемого излучения равна Q + coL: оптическая линия
имеет частоту, немного смещенную магнитным полем. Согласно классическим законам
электромагнетизма вращающийся диполь @)((г) испускает в направлении оси Oz цир-
кулярно поляризованное излучение (соответствующая поляризация получила
обозначение а+), а излучение, испущенное в направлении, лежащем в плоскости хОу , поляризовано
линейно (параллельно этой плоскости), то есть в общем случае излучение, испущенное в
произвольном направлении, имеет эллиптическую поляризацию.
(и) Если т = 0, следует рассматривать диполь, осциллирующий линейно вдоль оси
Oz с частотой Q , то есть с той же частотой, что и в отсутствие магнитного поля. Таким
образом, магнитное поле не изменяет частоту испущенного света, а его поляризация
остается линейной в любом направлении распространения. Например, в направлении,
лежащем в плоскости хОу , поляризация света параллельна оси Oz (поляризация к ).
В направлении оси Oz излучение вообще отсутствует, так как линейно осциллирующий
диполь не излучает в направлении, совпадающем с его осью.
(Hi) Если т = -1, результаты аналогичны случаю т = 1. Единственными отличиями
являются иная частота (Q-coL вместо Q + coL), и, поскольку диполь вращается в
противоположном направлении, меняется знак циркулярной поляризации (поляризация а").
Если теперь предположить, что количество атомов во всех трех состояниях
одинаково, то приходится сделать следующие выводы:
— в произвольном направлении в пространстве испускаются три оптические
частоты: Q/271 и (Q±wL)/27i; поляризация первой линейная, а двух других — в общем
случае эллиптическая;
— в направлении, перпендикулярном полю В , все три частоты имеют линейную
поляризацию (см. рис.2): первая имеет поляризацию, параллельную полю В , а две
других — перпендикулярную к полю. Интенсивность центральной линии в два раза больше
интенсивности каждой из боковых линий [см. формулы E0), E1) и E2)]. В направлении,
параллельном полю В, испускаются только две смещенные линии (Q±0)L)/27t; их
поляризации циркулярны, но в противоположных направлениях (см. рис.3).
Рис.2
Зеемановские компоненты резонансной линии
водорода, наблюдаемые в направлении,
перпендикулярном магнитному полю В (существованием
спина пренебрегаем). Имеется несмещенная
компонента с частотой v, поляризованная параллельно
полю В , и две смещенные компоненты на ±@L /2я,
поляризованные перпендикулярно к полю В
1
1
Q/27T
-2со/2л-
->\>
80

Центральный потенциал; атом водорода
О
G
Рис.3
Если наблюдение ведется в направлении
поля В , то имеются только две циркулярно по-
>v ляризованные в противоположных
направлениях зеемановские компоненты с частотами,
Q/2n
-2<uL/2n ► смещенными на ±coL/2я
ЗАМЕЧАНИЕ
Атом излучает свет с поляризацией а+, переходя из состояния Ф2>и) в
состояние ф, о.о)> с поляризацией а"—переходя из состояния Ф2.i.-i/ в состояние
Ф|.о.о)' и с поляризацией я— переходя из состояния Ф2К0) в состояние
ф|(Hу. Формулы D6) дают простое правило определения этих поляризаций:
единственными отличными от нуля матричными элементами операторов Dx + iD ,
Dx-iDy и D. между состояниями 2р и h являются (ф2,и \DX + /Dv Ф1ЛIо) ♦
/ф2 , _, \DX -Юу ф, 0 ()) и (ф2 ,0 D, ф 100у с поляризациями а+, а" и п . Это
правило имеет общий характер: дипольнос электрическое излучение существует
лишь тогда, когда оператор D имеет отличный от нуля матричный элемент между
начальным и конечным состояниями атома, а поляризация этого излучения
определяется тем оператором из Dx + iDy, Dx - iDy и D,, матричный элемент
которого отличен от нуля*.
* Нужно внимательно следить за порядком состояний, входящих в матричный элемент, так
как можно ошибочно перепутать а+ и О-
6 Том 11. Квантовая...

Глава VII
Дополнение Evn
ИЗУЧЕНИЕ НЕКОТОРЫХ АТОМНЫХ ОРБИТАЛЕЙ.
ГИБРИДНЫЕ ОРБИТАЛИ
1. Введение.
2. Атомные орбитали, связанные с вещественными волновыми функциями.
a. Орбитали s[l = 0].
b. Орбитали p(l - l).
c. Другие значения I.
3. Гибридизация sp.
a. Введение гибридных орбиталей sp.
b. Свойства гибридных орбиталей sp.
c. Приложение: структура ацетилена.
4. Гибридизация sp2.
a. Введение гибридных орбиталей sp2.
b. Свойства гибридных орбиталей sp .
c. Приложение: структура этилена.
5. Гибридизация sp .
a. Введение гибридных орбиталей sp .
b. Свойства гибридных орбиталей sp .
c. Приложение: структура метана.
1. Введение
В § С главы VII мы определили ортонормированный базис стационарных состояний
электрона в атоме водорода. Соответствующие волновые функции имеют вид:
Ф../.,.<г) = Л),.,(гIГ(*.Ф). A)
где квантовые числа л, /, т определяют соответственно энергию Еп = -Е{ In2, квадрат
углового момента /(/ + 1)/г2 и проекцию углового момента mh на ось Oz.
82

Центральный потенциал; атом водорода
Составив линейную суперпозицию стационарных состояний, имеющих одинаковую
энергию, то есть состояний с одинаковым квантовым числом п, можно построить
новые стационарные состояния, которые не обязательно соответствуют определенным
значениям квантовых чисел /, т . В этом дополнении мы исследуем свойства некоторых
из этих новых стационарных состояний, и, в частности, угловые зависимости связанных
с ними волновых функций.
Волновые функции A) часто называют атомными орбиталями. Линейная
суперпозиция орбиталей с одинаковым значением п , но с различными /, т называется
гибридной орбиталью. Мы увидим, что гибридная орбиталь в некоторых направлениях
пространства может распространяться значительно дальше, чем «чистая» орбиталь, которой
она соответствует. Именно это свойство, существенно важное с точки зрения
образования химических связей, оправдывает введение понятия гибридных орбиталей.
Несмотря на то, что приведенные ниже вычисления не претендуют на строгость
изложения и верны лишь для атома водорода, мы укажем качественно, как эти понятия
позволяют выяснить геометрический характер связей различного типа для атома с
несколькими валентными электронами.
2. Атомные орбитали,
связанные с вещественными волновыми функциями
В выражении A) радиальная функция RnJ(r) является вещественной, а функция
У/"F,ф), напротив, комплексная относительно переменной ф (за исключением случая
ш = 0):
Ylm($,q>) = Flm($)e,m\ B)
где Fi'"(b) — вещественная функция угла Ь .
Таким образом, в общем случае атомные орбитали — комплексные функции.
Однако если взять попарно суперпозицию орбиталей Ф///т(г) и Ф,/Л_,и(г), можно построить
вещественные орбитали, имеющие достаточно простую угловую зависимость, которую
нетрудно изобразить графически, не прибегая к вычислению квадрата модуля волновых
функций, как это делалось в § С-4-с-а главы VII.
а. ОРБИТАЛИ s(l = 0)
Если / = /л = 0, волновая функция ф„ 00(г) является вещественной, и при этом ее
называют «орбиталью 5». Обозначим соответствующее стационарное состояние симво-
6*
83

Глава VII
лом \ns). Чтобы представить угловую зависимость орбитали ns, зафиксируем г и
отложим в каждом направлении с полярными углами $ и ф отрезок длиной ф/и(г, в, ф).
Полученная при изменении й иф поверхность является сферой с центром в точке О (рис.1).
Рис.1
Орбиталь s обладает сферической симметрией, так как
волновая функция не зависит ни от © , ни от ф
Ь. ОРБИТАЛИ рA = 1)
а. Орбитали р,, рх, pv
Если воспользоваться выражениями для трех сферических гармоник
}^"'(д,ф) [формулы C2) дополнения AVi], получим три атомных орбитали,
соответствующие (/ = !)•
C)
фи,,.,(г) = -л/^/?1,1и^*^;
^п,иМ) = Л\— R,u](r)cos$\
Фя.|.-|(г) = ^«я.|И«яв^.
Образуем теперь три линейные суперпозиции:
ф„.,.о(г);
--/=[ф,м.|(г)-ф„.1.-|(г)];
-Ыфя.1.|(Г)+Ф«.1.-|(Г)]-
Нетрудно видеть, что эти три волновые функции можно представить в форме:
84
D-а)
D-Ь)
D-с)

Центральный потенциал; атом водорода
E)
Это вещественные функции переменных г, д, ф, которые, будучи ортонормированны-
ми, как и функции Ф,и,,„(г), образуют базис в подпространстве tfH>/=l. Назовем их
соответственно «орбиталями р., рх, ру », а их волновые функции E) обозначим символами
4V(r). Ф^(г) и <МГЬ
b ч
1 ' /'""'
V V'
"""-—■ - J
^- " ...
1 _ ' ч.
v -
ч
z/a0
> i
i /
/
—■"
■-.
1
/
/
м
м«
1
0.6
0.2
х/а
0.2
0.6
1
Рис.2
Два возможных представления орбитали pz(l = 1, т = 0): (а) угловая зависимость этой ор-
битали: в каждом направлении в, ф откладывается отрезок tallt/ = UH = ()(r, Ф,ф) при
фиксированном значении г. При этом получаются две сферы, касающиеся плоскости хОу в
точке О; знак указывает на знак волновой функции; (Ь) сечение плоскостью xOz семейства
поверхностей постоянного значения Ф„,, = !<,„ = 0(/%Ф,Ф) (здесь выбраны значения 0,2, 0,6,
0,9 от максимального значения функции в точках А и В. Эти поверхности являются
фигурами вращения вокруг оси Oz. Это представление зависит от радиальной части волновой
функции — изображена функция, соответствующая уровню /2 = 2 атома водорода)
85

Глава VII
Для визуализации представления орбитали \|/(г, $, ф) можно использовать два
геометрических построения. Прежде всего, можно интересоваться угловой зависимостью
орбитали: при этом фиксируется значение г и вдоль каждого направления с полярными
углами д и ф откладывается отрезок длиной | \|/(г, Ф, ф) |. Так, угловая зависимость
орбитали 2pz описывается формулой z/r = cos в . Если ф изменяется от 0 до 2я и угол
Ь — от 0 до я, то конец отрезка длиной |casd| описывает две сферы с центрами,
лежащими на оси Oz, касающимися друг друга и плоскости хОу в точке О и
симметрично расположенными относительно плоскости хОу (рис.2а). Знак, указанный на
рисунке, представляет собой знак вещественной волновой функции. Другое возможное
представление орбитали \}/(г, О, ф) состоит в том, что изображается семейство
поверхностей, соответствующих заданным значениям | \j/(r, д, ф) | (поверхности равной
плотности вероятности). На рис.2Ь это сделано для орбитали 2pz (здесь также знак
указывает на знак вещественной волновой функции). В дальнейшем мы будем пользоваться и
тем и другим представлениями.
Орбитали рх и ру могут быть получены из орбитали pz путем поворота
соответственно на углы +71/2 и -я/2 вокруг осей Оу и Ох (см. рис.3 и рис.4, где использовано
то же представление, что и на рис.2а).
А 2
Рис.3
Угловая зависимость орбитали рх (принято
представление рис.2а)
В отличие от орбитали s , имеющей сферическую симметрию, орбитали р,, рх, ру
располагаются вдоль осей Oz, Ох и Оу соответственно.
86

Центральный потенциал; атом водорода
У
Рис.4
Угловая зависимость орбитали ру
Р. Орбитали ри
Выбор осей Oz , Ox и Оу является, естественно, произвольным. Построив
линейную суперпозицию орбиталей р,, р,, р , можно образовать орбиталь ри, имеющую ту
же форму, что и предыдущие, но направленную вдоль произвольной оси Ои .
Пусть Ои — такая ось, составляющая углы а, Р, у с осями Ох , Оу и Oz .
Очевидно, что
aw2 а + cos2 Р + cos2 у = 1. F)
Рассмотрим состояние:
cosa\npx) + cos$\npy) + cosy \прг). G)
Оно нормировано в соответствии с формулой F). Используя выражения E), можно
записать соответствующую волновую функцию в форме:
(Т xcosa + ycosfr + zcosy _ fT и
\4п г V 4тг г
где
и = хсот + усс^Р + гсауу (9)
координата текущей точки М оси Оы . Сравнение с формулой E) указывает, что
построенная таким образом орбиталь как раз и является орбиталью ри.
Таким образом, всякая вещественная нормированная линейная суперпозиция
орбиталей pz,px,py:
Хф^(г) + Aф^(г) + Уф^(г) A0)
87

Глава VII
может рассматриваться как орбиталь ри, направленная вдоль направления Он с
направляющими косинусами:
\cos а = Х;
с<юР = ц; A1)
[cosy = v.
у. Приложение: структура молекул Н20 и H3N
В первом приближении (см. дополнение AXiv) можно считать, что в атоме, содержащем
несколько электронов, каждый электрон движется независимо от других в поле центрального
потенциала Vc(r), являющегося суммой потенциала электростатического притяжения ядра и
некоторого «среднего» потенциала, обусловленного отталкиванием от других электронов. Таким образом,
каждый электрон может находиться в состоянии, характеризуемом тремя квантовыми числами
л, /, т. Однако, поскольку теперь функция Vc(r) не строго пропорциональна 1 / г , энергия
зависит не только от п , но также и от /. В дополнении AXiv мы увидим, что энергия состояния 2s
слегка меньше энергии состояния 2р ; состояние 3s имеет энергию, меньшую энергии состояния
Ър , которая, в свою очередь, меньше энергии состояния 3d и т. д.
Существование спина и принцип Паули (главы IX и XIV) приводят к тому, что подуровни
Is, 2.v,... могут содержать не более двух электронов, подуровни 2/;, 3/7,... — не более шести, а
подуровни nl — не более 2B/ + 1) электронов (множитель B/ + 1) появляется из-за вырождения,
связанного с L,, а множитель 2 обусловлен наличием спина электрона).
Рис.5
Схематическая структура молекулы воды
Н20. Орбитали 2рх и 2ру образуют
связи, составляющие приблизительно
угол 90° (реальный угол равен 104° из-за
электростатического отталкивания
между двумя протонами)

Центральный потенциал; атом водорода
Так, в атоме кислорода, имеющем 8 электронов, оболочки b\ 2s заполнены и содержат
4 электрона. Остальные 4 электрона находятся на оболочке 2р: два из них с противоположно
направленными спинами заполняют одну из трех орбиталей 2р (например, 2pz), а два других
распределяются по орбиталям 2рх и 2ру. Эти последние электроны являются валентными: в
некотором смысле они остаются «неспаренными», и это означает, что занимаемая ими орбиталь
может принять другой электрон. Волновые функции 2рх и 2рх валентных электронов
направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей. Можно показать, что стабильность химической
связи тем выше, чем сильнее перекрываются волновые функции участвующих в этой связи
электронов. Два атома водорода, связанные с атомом кислорода в молекуле воды, должны иметь
центры на осях Ох и Оу соответственно. При этом сферическая орбиталь Is валентного электрона
каждого из атомов водорода максимально перекрывается с одной из орбиталей 2рх и 2ру
валентных электронов кислорода. На рис.5 изображен вид областей вероятности, связанных с
валентными электронами атомов кислорода и водорода в молекуле воды. Использованное
графическое представление аналогично тому, которое было использовано на рис.2Ь. Для каждого электрона
рисуется поверхность, определенная следующим образом: плотность вероятности имеет одно и то
же значение во всех точках этой поверхности. Это значение выбрано так, что полная вероятность
во внутренней области поверхности имеет фиксированное значение, близкое к 1 (например, 0,9).
Изложенное выше рассуждение позволяет понять форму молекулы воды. Две связи ОН
должны образовать угол, близкий к 90°. На самом деле в эксперименте этот угол равен 104°.
Отклонение частично объясняется электростатическим отталкиванием двух протонов атомов
водорода, стремящимся раздвинуть связи ОН".
Аналогичное рассуждение объясняет пирамидальную форму молекулы H3N : три валентных
электрона азота занимают орбитали 2рх, 2pY и 2р., направленные под прямыми углами друг к
другу. И здесь электростатическое отталкивание между протонами трех атомов водорода
увеличивает углы связи с 90 до 108 вследствие частичной гибридизации между орбиталями 2р и 2s
(см. § 5).
с. ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ /
До сих пор мы ограничивались орбиталями s и р . На самом деле можно построить
ортонормированный базис из вещественных орбиталей для каждого значения /. Если
заметить [см. соотношение (D-29) главы VI], что
[г/"(тЭ,ф)[ =(-1)'" Г"(й,ф), A2)
* Это отличие угла между двумя связями ОН может быть описано как результат частичной
гибридизации sp' между орбиталями 2р и 2s.
89

Глава VII
то сразу же можно установить, что для т * О можно заменить две комплексные
функции Фя,Лт(г) и Ф„>/(_т(г) двумя вещественными ортонормированными функциями:
^[ф../.-(г)+(-1Гф..,.-,.(г)]; ОЗ-а)
^[ф„.(.я,(г)-(-1Гф„.,.-м(г)]. A3-Ь)
Так, для / = 2 (d-орбитали) можно построить пять вещественных орбиталей,
имеющих угловую зависимость вида:
sinft cos $ cosy, sinb cosb s/лф,;
J— sin2 Ь cos2<p, J— sin2 ft sin2q>
(орбитали d3z2_r2,d„,dzy,dxlyl,d^).
Форма этих орбиталей сложнее, чем орбитали s и р, которыми мы ограничивались
до сих пор. Однако к ним можно применить рассуждения того же типа, что и ранее.
3. Гибридизация sp
а. ВВЕДЕНИЕ ГИБРИДНЫХ ОРБИТАЛЕЙ sp
Вернемся к атому водорода и рассмотрим подпространство Щи ® $пр, образованное
четырьмя вещественными орбиталями (pns(r), (рпр (г), ф/1/? (г) и (рпр (г),
соответствующими одной и той же энергии. Покажем, что, образуя линейные суперпозиции орбиталей
ns и пр , можно построить другие вещественные орбитали, являющиеся ортонормирован-
ным базисом в подпространстве $т ® tnp и обладающие интересными свойствами.
Начнем с образования линейной суперпозиции только двух орбиталей фП5(г) и
(рпр (г), не используя пока Ф,^(г) и Ф^(г). Заменим две функции ф^Дг) и Ф„Л;(г)
двумя вещественными и ортонормированными линейными комбинациями:
cosa ф„Дг) + sina ф^ (г); A4-а)
sina qns(r)-cosa ф,1/? (г). A4-Ь)
Потребуем также, чтобы две орбитали A4-а) и A4-Ь) имели одинаковую
геометрическую форму. Поскольку она зависит исключительно от относительного веса орбита-
90

Центральный потенциал; атом водорода
лей s и р в линейной суперпозиции, то видно, что должно соблюдаться равенство
sin a = cos a, то есть а = п 14. Таким образом, введенные новые орбитали имеют форму:
Ф..х.рг(г) = -^[ф„(г) + Фч>:(г)]; A5-а)
Ф^,Л0 = ^[ф>)-ф.,л>)] П5-Ь)
и соответствуют так называемой «гибридизации sp». Итак, мы построили новый орто-
нормированный базис £Л5 ® # , составленный из функций (p/liSt/,_(r), Ф,',.м,. (г), Ф;//,(г)
иф^(г).
Ь. СВОЙСТВА ГИБРИДНЫХ ОРБИТАЛЕЙ sp
Чтобы получить угловую зависимость гибридных орбиталей ф„ s р (г) и Ф^^(г),
зафиксируем заданное значение переменной г0 и положим:
х = у^л«.о('о);
hJI^.W. Об)
Так можно получить из формул E) и A5) следующие угловые зависимости:
-т= (X+ [1 cos®);
^2 A7)
л/2
и мы представим их с помощью метода, изложенного в § 2 (рис.2а), откладывая вдоль
каждого из направлений с полярными углами в иф отрезки длиной |^ + |Licasd|/V2 и
\Х\х cosft\/yj2 и указывая плюсом или минусом знак волновой функции. На рис.6
представлены сечения плоскостью xOz полученные этим методом поверхности, являющиеся
поверхностями вращения вокруг оси Oz (предполагается, что \х > X > О). От орбитали
Ф*,*,р. (г) к орбитали ф^р (г) переход осуществляется без труда с помощью операции
симметрии относительно точки О. Видно, что орбиталь (рПч5чРщ (г) не симметрична
относительно точки О. Эта асимметрия связана с тем, что входящие в нее орбитали
91

Глава VII
Ф„,(г) и ф/(/) (г) (см. рис.6с) имеют противоположную четность: в области г>0
функции ф/|Д.(г) и ф (г) имеют одинаковые знаки и суммируются, тогда как в области
z<0 функции ф„Дг) и ф;;/, (г) имеют противоположные знаки и вычитаются. Для
функции ф'( v p (г) условия оказываются обратными.
Рис.6
Угловая зависимость гибридных орбиталей ф„ (г) (а) и Ф,'>>у/, (г) (Ь), образованных
орбиталями ф„д.(г) и ф///; (г), имеющими разную четность (с). Гибридная орбиталь может
простираться дальше в некоторых направлениях, чем те орбитали, из которых она
образована
Таким образом, орбиталь ф„ v (r) простирается дальше в положительной области
оси Oz, чем в отрицательной, поскольку при фиксированном значении г ее модуль
больше при Ь = О, чем при Ь = п. В общем случае для больших г величины X и \х
таковы, что значения орбитали ф„ v /; (г) в положительном направлении оси Oz всегда
больше значений, принимаемых орбиталями ф„д.(г) и ф (г), взятыми в отдельности.
Аналогичные выводы справедливы для орбитали ф'; v p (г) в области отрицательных
направлений оси Oz.
Это свойство играет важную роль в изучении химических связей. Чтобы качественно
пояснить это, допустим, что в некотором атоме А один из валентных электронов может
находиться либо на орбитали ns , либо на одной из орбиталей пр . Представим себе теперь,
что другой атом В находится вблизи первого, и назовем осью Oz прямую, соединяющую

Центральный потенциал: атом водорода
точки А и В. Орбиталь ф„ (г) атома А будет иметь большее перекрытие с орбиталями
валентных электронов атома В, чем орбиталь ф/|д.(г) или ф (г). Поэтому гибридизация
орбиталей атома А может привести к большей стабильности химической связи,
поскольку стабильность тем выше, чем сильнее перекрытие образующих эту связь электронных
орбиталей атомов Aw В.
с. ПРИЛОЖЕНИЕ: СТРУКТУРА АЦЕТИЛЕНА
У атома углерода шесть электронов. В свободном атоме два из них находятся на подуровне 15 ,
два — на подуровне 2s и два — на подуровне 2р . Только два последних являются неспаренными, и
можно ожидать, что углерод должен быть двухвалентным. Именно это и наблюдается в некоторых его
соединениях. Однако в большинстве случаев углерод существует в четырехвалентной форме, так как
при взаимодействии с другими атомами один из его 2 s электронов может покидать свою оболочку и
переходить на свободную орбиталь 2р . Тогда оказывается четыре неспаренных электрона, волновые
функции которых образуются путем гибридизации орбиталей 2s , 2рх , 2/?v и 2р,.
Так, в молекуле ацетилена С2Н2 четыре валентных электрона каждого атома углерода
распределяются следующим образом: два электрона оказываются на только что введенных гибридных
орбиталях Фг.д-,,,. (г) и Фг.*./* (г) и два других — на орбиталях ф2/, (г) и Фг/> (г),
рассмотренных в §2-Ь. Согласно рис.6а и рис. 6Ь два электрона каждого атома углерода, занимающие
орбитали ф2,л. „ (г) и Ф2.л „ (г), участвуют в связях, расположенных под углом 180 друг к другу:
первый — с другим атомом углерода, а второй — с одним из атомов водорода, валентные
электроны которых занимают орбитали 15 . Поэтому понятно, что молекула С2Н2 является линейной
(см. рис.7, где использовано то же графическое представление, что и на рис.5).
Что касается орбиталей 2рх, центрированных на каждом из атомов углерода, то они образуют
боковые лепестки, как и орбитали 2pY, что выражено на рис.7 сплошными линиями. Они
увеличивают химическую стабильность молекулы. Таким образом, атомы углерода образуют друг с другом
тройную связь: одна связь обусловлена двумя гибридными орбиталями ф2 v (г) и ф2 у (г),
центрированными на каждом из двух атомов, имеющими симметрию вращения относительно оси
Oz (связь G), и две связи, обусловленные орбиталями и ф2 (г) и ф2 (г), симметричными
относительно плоскостей xOz и yOz (связи 71).
ЗАМЕЧАНИЕ
Как мы отметили выше, подуровень 2р в многоэлектронном атоме имеет энергию,
большую энергии подуровня 2s . Переход электрона с подуровня 2s на подуровень 2р
энергетически невыгоден. Однако энергия такого возбуждения в значительной степени компенсируется
увеличением стабильности за счет гибридных орбиталей, образующих связи С-Н и С-С.
93

Глава VII
Рис.7
Схематическое изображение структуры
молекулы ацетилена С2Н2. В каждом из
атомов углерода два электрона находятся на
гибридных орбиталях spz (см. рис.6) и
образуют связи С-Н и С-С (связь а); кроме того,
два электрона находятся на орбиталях рх и
р , образуя дополнительные связи двух
атомов углерода (связи я , более слабые,
чем связи с), изображенные условно
вертикальными сплошными линиями. Таким
образом, связь С-С оказывается «тройной»
4. Гибридизация sp
а. ВВЕДЕНИЕ ГИБРИДНЫХ ОРБИТАЛЕЙ sp
Вернемся к рассмотрению четырех орбиталей ф,м(г), ф (г), ф„/; (г) и ф„/;.(г) и
заменим три первые следующими тремя вещественными комбинациями:
Фя.,.л.Р, (г) = «Ф«(г) +*Ф^ (г) + *P„„, (г); ОМ
<s.Px.P, (г) = я'Ф,Лг) +Ь'ц>прх (г) + c'q>^ (г) ; A8-Ь)
<*.Рж.р, М = e\« + *\ (О+ CX,to • A8"с)
Потребуем, чтобы три функции A8) были эквивалентными, то есть переходили одна
94

Центральный потенциал; атом водорода
в другую при вращении вокруг оси Oz . Вклад орбитали Ф„Дг), инвариантной
относительно такого вращения, должен быть одинаков в каждой из них:
а = а' = а". A9)
Всегда можно выбрать систему осей так, чтобы первая орбиталь A8-а) была
симметрична относительно плоскости xOz. Тогда:
с = О . B0)
Записав условие, что три орбитали A8) являются нормированными и
ортогональными друг к другу, получим шесть соотношений, позволяющих определить* шесть
коэффициентов я, Ь, Ь\ Ъ'\ с\ с" . Несложные вычисления дают:
ф-.*,„,.р,(г) = -^ фл.Дг) + ^ ф^(г); B1-а)
<s.Px.p, (г) = -7J Ф«(г> " "^ Ч>пРх (г) + -7J ф^ <г) » BЬЬ)
Фп. ,.,,.„ (г) = -7J Ф«(г) - ^ Ф*,, (г> " -7J Ф«,у (г) • B1-с)
Тем самым реализуется ситуация, получившая название «гибридизации sp2 ». Три
гибридные орбитали B1) и орбиталь <р,1р.(г) образуют новый ортонормированный базис в
пространстве %'ns <8> %пр .
Ь. СВОЙСТВА ГИБРИДНЫХ ОРБИТАЛЕЙ sp2
Используем то же графическое представление, что и на рис.6.
Орбиталь tynsp р (г) имеет симметрию вращения относительно оси Ох , и на рис.6
и рис.8а приведены сечения плоскостью хОу поверхности, которую образует ее угловая
зависимость при фиксированном значении г. Форма полученной кривой аналогична
изображенной на рис.6а, но орбиталь выстроена в положительном направлении оси Ох .
Используя выражение D-Ь) для функции ф^ (г), нетрудно определить действие на
вектор Фл/, ) оператора вращения на угол а вокруг оси Oz :
e~iaLz'h\VnPx) = cosa\q>nPx) + sina|<р^) . B2)
Очевидно, что
* В действительности знаки коэффициентов а,Ъ^с' могут выбираться произвольно.
95

Глава VII
*~/aL:'''k„) = K>- B3)
Тогда формулы B1) требуют, чтобы
I \ -2i-LJti I \
ф' )-е 3 |ф ); B4-а)
т п. .v, рх, pv I ' ii..v,/V/'v / ^
№..,,.,.)='2'TM*|<p----'^)- B4-ь)
а Ь с
Рис.8
Угловые зависимости трех ортогональных орбиталей s/r .Орбитали Ф„ v/, v/, , ф,',*,,,,
и Фн.л./» ,р преобразуются одна в другую вращением на 120° вокруг оси Oz
Две орбитали B1-Ь) и B1-е) получаются из орбитали B1-а) с помощью поворота на
углы 2я/3 и -2л/3 вокруг оси Oz . На рис.8Ь и рис.8с изображены сечения плоскостью
хОу поверхностей, описывающих их угловые зависимости.
с. ПРИЛОЖЕНИЕ: СТРУКТУРА ЭТИЛЕНА
Как и в молекуле ацетилена, каждый из двух атомов углерода молекулы этилена С2Н4
имеет четыре валентных электрона (один — на подуровне 2s и три — на подуровне 2р).
Три из них занимают гибридные орбитали sp~ рассмотренного выше типа. Именно эти
орбитали каждого атома углерода обеспечивают связи с соседним атомом углерода и двумя атомами
водорода группы СН2. Это объясняет, почему три связи С-С, С-Н, С-Н, исходящие из атома
углерода, копланарны и образуют друг с другом углы 120 (см. рис.9, где использовано то же
графическое представление, что и на рис.5 и рис.7. Оставшийся у каждого атома углерода электрон
занимает орбиталь 2р.. Орбитали 2р. двух атомов углерода имеют частичное боковое
перекрытие, что схематически изображено на рис.9 сплошными линиями.
96

Центральный потенциал; атом водорода
Рис.9
Схематическое изображение структуры молекулы этилена С2Н4. Два атома углерода
образуют друг с другом двойную связь: связь а обеспечивается орбиталями sp2 того же
типа, что vi на рис.8 (две другие гибридные орбитали sp2, ориентированные под углами
120°, обеспечивают связи С-Н); связь п возникает за счет перекрытия орбиталей р.
Два атома углерода молекулы этилена оказываются связанными двойной связью: одна из них
обусловлена двумя орбиталями sp , имеющими симметрию вращения вокруг оси Ох ,
соединяющей атомы углерода (связь О ); другая обусловлена двумя орбиталями 2pz, симметричными
относительно плоскости xOz (связь 71 ). Именно эта последняя связь блокирует вращение групп
СН2 относительно друг друга. Действительно, если бы одна группа могла вращаться
относительно другой вокруг прямой, соединяющей два атома углерода, то оси двух орбиталей 2pz и
2рг, (рис.9) не были бы параллельны, что привело бы к уменьшению их бокового перекрытия и,
как следствие, к уменьшению стабильности всей молекулы. Эти рассуждения позволяют понять,
почему все шесть атомов в молекуле этилена находятся в одной плоскости.
5. Гибридизация sp3
а. ВВЕДЕНИЕ ГИБРИДНЫХ ОРБИТАЛЕЙ sp3
Линейная суперпозиция четырех орбиталей <p,u(r), Фл/,(г), <р (г), Фяр.(г) дает
возможность образовать четыре гибридные орбитали:
Фп,,.ря.р,.„г(г) = «Ф„(г) + 6ф^(г) + сф1Ч,/г) + £/ф1Ч,1(г); B5-а)
<s.p,.p,.pz <г>= fl/(Mr)+fe/qv (r)+с'чч о-)+^8 м; B5-b)
7 Том II. Квантовая...
97

Глава VII
tf.,,,.Р,.л. (г) = «"Ф™(г) + *>„., (D + ^"Ф,,, (г> + <*>*,, (D ^ B5"с)
ЧС.„,.„,..,, С) = «"'Ф„(г) + *Х (r)+ С'"Ф"/', <r>+ rfX>: 0") • B5"d)
Наложим еще на эти четыре орбитали условие идентичности геометрической формы, из
которого следует:
а = а -а -а . B6)
Далее можно произвольно выбрать ось симметрии одной из орбиталей и плоскость,
содержащую эту ось и ось второй орбитали. Это сводит количество свободно выбираемых
параметров к 10. Их нетрудно вычислить с помощью условия ортонормировки орбиталей B5).
Здесь мы ограничимся только одним набором таких гибридных орбиталей,
определенных коэффициентами:
]_
2'
' и' *•
-с = а = —;
B7)
a =b = c = d = ■
a" = -b" = c" = -d" =
1
:Ь'" = -С"
2
Легко доказать, что все они эквивалентны и ортонормированы. Все иные возможные
наборы могут быть получены путем вращений.
Таким образом, реализуется комбинация, получившая название «гибридизации sp3»:
четыре орбитали B5), соответствующие коэффициентам B7), образуют новый ортонор-
мированный базис в пространстве $ns ® %пр .
Ь. СВОЙСТВА ГИБРИДНЫХ ОРБИТАЛЕЙ sp
Образованные в § 5-а орбитали имеют форму, аналогичную тем, которые были
рассмотрены в § 3 и § 4. Они направлены в сторону векторов, имеющих следующие
компоненты:
A,1,1);
(-1,-1,1);
(-1,1,-1);
A,-1,-1).
B8)
Оси четырех орбиталей sp* представляют собой прямые, соединяющие центр
правильного тетраэдра с вершинами этого тетраэдра, а угол между двумя произвольными осями
равен 109°28'.
98

Центральный потенциал; атом водорода
с. ПРИЛОЖЕНИЕ: СТРУКТУРА МЕТАНА
В молекуле метана СН4 четыре валентных электрона занимают четыре рассмотренных
выше гибридных орбитали sp . Это сразу же объясняет, почему четыре атома водорода образуют
вершины правильного тетраэдра, в центре которого находится атом углерода (рис.10).
Рис.10
Схематическое изображение структуры
молекулы метана. Орбитали sp3 образуют связи,
расположенные вдоль прямых, соединяющих
центр тетраэдра с его четырьмя вершинами и
находящимися под углами 109°28' друг к другу
В молекуле этана С2Н6 один из водородов метана замещен группой СН3. Два атома
углерода оказываются соединенными простой связью, которая обеспечивается двумя гибридными
орбиталями sp , имеющими симметрию вращения относительно прямой, соединяющей два атома
углерода. Отсутствие двойной связи допускает практически свободное вращение одной группы
СН3 относительно другой.
Дополнение Fvn
КОЛЕБАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ УРОВНИ
ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
1. Введение.
2. Приближенное решение радиального уравнения.
a. Анализ состояний с нулевым угловым моментом A = 0).
b. Общий случай (I — произвольное положительное число).
c. Колебательно-вращательный спектр.
3. Оценка некоторых поправок.
a. Более точный анализ формы эффективного потенциала Veff (r) .
b. Уровни энергии и волновые функции стационарных состояний.
c. Физическая интерпретация различных поправок.
7* 99

Глава VII
1. Введение
В этом дополнении воспользуемся результатами главы VII для квантово-
механического анализа стационарных состояний системы, образованной из двух ядер
двухатомной молекулы. Мы учтем одновременно все степени свободы системы:
колебания ядер относительно их равновесного положения и вращение всего ансамбля вокруг
центра масс. Далее покажем, что результаты, полученные в дополнениях Av и Cvi, где
рассматривалась только одна степень свободы, применимы в первом приближении и в
данном случае. Кроме того, будут вычислены некоторые поправки, обусловленные
«центробежным искажением» молекулы и связью колебательных и вращательных
степеней свободы. Им будет дано физическое объяснение.
В § 1-а дополнения Av (приближение Борна—Оппенгеймера) мы видели, что
потенциальная энергия V(r) взаимодействия между двумя ядрами зависит только от расстояния
между ними г и его форма имеет вид, представленный на рис.1: функция V(r)
описывает притяжение на больших расстояниях и отталкивание на малых расстояниях, проходя
через минимум в точке г = ге глубиной VJ,. Пусть тх и т2 — массы двух ядер;
поскольку V(r) зависит только от г, то в соответствии с § В главы VII можно в отдельности
исследовать движение центра масс (свободная частица с массой М = ш, +т2) и
относительное движение в системе центра масс, эквивалентное движению фиктивной частицы
с массой:
тх +т2
в поле с потенциалом V(r), изображенным на рис. 1.
\ Рис.1
\ Зависимость потенциальной энер-
_1 £ ► гии взаимодействия V(r) между
\ | ^ г ядрами двухатомной молекулы от
\ | у^ расстояния г; при г = гс функция
\ | / V(r) принимает минимальное
\ ! / значение -VJ,. Первые колеба-
\ | / тельные уровни схематически
\\У изображены горизонтальными
линиями внутри потенциальной ямы
100

Центральный потенциал; атом водорода
Если нас интересует только относительное движение, то стационарные состояния
системы описываются (§А главы VII) волновыми функциями:
Ф1./|Я(г,в,ф) = -и1./(г)К/,,(«,Ф), B)
г
соответствующими энергиям Еу1 и радиальным функциям мг</(г), удовлетворяющим
уравнению:
2\х dr 2\ir
uvl(r) = Evluvl(r). C)
ЗАМЕЧАНИЕ
Строго говоря, мы неявно допустили в данном дополнении (как и в Av и CVi),
что проекция орбитального углового ансамбля электронов на соединяющую ядра
ось равна нулю, равно как и их полный спиновый момент. Поэтому полный угловой
момент молекулы обусловлен только вращением двух ядер. Такая ситуация
характерна почти для всех двухатомных молекул, находящихся в основном состоянии.
В общем случае, кроме энергии взаимодействия ядер, появятся и другие члены,
зависящие только от расстояния г.
2. Приближенное решение радиального уравнения
Радиальное уравнение имеет ту же форму, что и уравнение на собственные значения
гамильтониана одномерной задачи, где частица с массой [I находится в поле
эффективного потенциала:
VO = V(r)+«!±!£. D)
2\хг
а. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЙ
С НУЛЕВЫМ УГЛОВЫМ МОМЕНТОМ (/ = 0)
Для случая / = 0 «центробежный потенциал» /(/ + 1)/Г12\ir2 равен нулю, и
потенциал Veff(r) совпадает с V(r). Вблизи точки минимума г - ге функция V(r) может
быть разложена в ряд по степеням г - ге:
V(r) = -V()+f(r-reJ-g{r-rey+... E)
Коэффициенты fug положительны, так как точка г = ге является точкой минимума,
и потенциал возрастает быстрее в области г<ге, чем в области г>ге.
101

Глава VII
Для начала пренебрежем членом, пропорциональным (г- ге)ъ, и всеми членами более
высоких порядков. Тогда потенциал имеет чисто параболическую форму, для которой
собственные состояния и собственные значения гамильтониана известны. Если обозначить:
■■%•
о>= ^, F)
то уровни энергии определяются формулой:
Sv,o = "^ +1 v + £| /КО , где v = 0, 1, 2, ..., G)
а волновые функции равны (см. главу V и дополнение Bv):
1
mo=iv
-г==е-*1™гпНг[Ыг-г,)],
V2vv!
(8)
где
Р-1Г7Г (9)
V п
и Hv — полином Эрмита. На рис.1 горизонтальными линиями представлены два первых
уровня энергии. Длина отрезков дает представление о протяженности (Ar)v волновых
функций, соответствующих этим уровням. Напомним [формула (D-5-a) главы V], что
Для того, чтобы приведенные расчеты были справедливыми, необходимо, конечно,
чтобы в пределах ширины (Ar)v вблизи г = ге член, пропорциональный (г-г,K в
формуле E), был бы пренебрежимо меньше члена, пропорционального (г-геJ. То есть
/»g(Ar)v=g(ArHjv+|, A1)
где (Аг) — пространственная протяженность основного состояния:
(Лг)=рГ A2)
Это, в частности, требует, чтобы
/»*(ДгH. A3)
102

Центральный потенциал; атом водорода
Условие A3) на практике всегда реализуется. В дальнейшем мы ограничимся
достаточно малыми квантовыми числами v , чтобы условие A1) удовлетворялось.
ЗАМЕЧАНИЕ
Разложение E) вблизи г = О , конечно, не справедливо, так как V(r)
стремится к бесконечности. Таким образом, изложенные выше рассуждения предполагают
неявно, что
(Дг)г«г,. A4)
В этом случае волновые функции вблизи начала координат практически равны нулю
и пренебрежимо мало отличаются от точных решений радиального уравнения C),
которые должны строга обращаться в нуль при г = О (см. § А-2-с главы VII).
Ь. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ (/ — ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЦЕЛОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО)
а. Оценка влияния центробежного потенциала
В точке г = ге значение центробежного потенциала равно:
1A+ W2
где
Ш(/ + 1), A5)
В = - г A6)
47lJLlr;
вращательная постоянная, введенная в дополнении Сщ. В этом дополнении мы уже
отмечали, что энергия 2В1г (интервал между двумя последовательными линиями спектра
чистого вращения) всегда мала в сравнении с квантом колебаний Лео :
2ДЛ«Йсо. A7)
Здесь мы ограничимся достаточно малыми вращательными квантовыми числами /, чтобы
было справедливо неравенство:
ВИ1A + \)«Ш. A8)
В области с малой шириной Аг вблизи г = ге изменение центробежного потенциала
по порядку величины равно:
^*1дг = 2Я«(/+1)-. A9)
Изменение потенциала V(r) в этой области приближенно равно:
103

Глава VII
f{ArJ =1цш2(АгJ = i»©pLf B0)
2 2 (дг)о
где использована формула A2). Мы уже знаем (§ 2-а), что пространственное
распределение волновых функций, которые мы должны рассматривать, значительно меньше
расстояния ге, но по крайней мере имеет тот же порядок, что и (Лг)(). Отсюда следует, что
в области пространства, в которой волновые функции имеют значительную амплитуду,
изменение A9) центробежного потенциала окажется существенно меньше, чем изменение
B0) потенциала V(r). Тогда в первом приближении в уравнении D) можно заменить
центробежный потенциал его значением A5) в точке г = ге, и эффективный потенциал
приближенно окажется равным:
VeJf(r) = V(r) + Bhl(l + \). B1)
Р. Уровни энергии и стационарные волновые функции
Используя формулу B1) и пренебрегая членами третьего и более высоких порядков
в разложении E), можно представить радиальное уравнение C) в форме:
"^^ + 2^2(Г_") Г^(Г) = К/+У°"Ш(/ + П
uvJ(r), B2)
2ц dr2 2'
которая полностью аналогична уравнению на собственные значения одномерного
гармонического осциллятора.
Видно, что квадратные скобки правой части уравнения могут быть равны только
(v> + l/2)/zo), где v = 0,1, 2,..., откуда сразу же следует выражение для возможных
значений энергии Evl молекулы:
Evl=-V0 + (v + -)na + Bhl(l + \), B3)
где
Jv = 0,1,2,...
[/ = 0,1,2,...
Что касается радиальных функций, то они не зависят от квантового числа /, так как
дифференциальный оператор, входящий в левую часть уравнения B2), не зависит от /.
Поэтому:
Uyj(r) = uv(r)9 B4)
где их,(г) определяется формулой (8). В рамках этого приближения волновые функции
стационарных состояний записываются в виде:
104

Центральный потенциал; атом водорода
Ф,,/,1Я(г,в,ф) = -111.(г)^(«,ф).
B5)
Итак, мы видим, что энергии стационарных состояний являются суммой энергий,
вычисленных в дополнениях Av и Суь где энергия колебаний или вращений учитывалась
отдельно для одной степени свободы. Кроме того, волновые функции с точностью до
множителя 1 / г равны произведению волновых функций, найденных в этих дополнениях.
На рис.2 показаны два первых колебательных уровня v = 0 и у = 1 с учетом
вращательной структуры, обусловленной членом Bhl(l +1).
"Г
3=4
/ = 3
/ = 2
/ = 1
/ = О
4- / = 3
-L 1 = 2
— / = 1
— / = о
Рис.2
Диаграмма двух первых
колебательных уровней v = 0 и v = 1
двухатомной молекулы и их
вращательная структура (/ = 0,1,2,...).
В рамках сделанных предположений
вращательная структура одинакова
для всех колебательных уровней.
Для гетерополярной молекулы
представленные вертикальными
стрелками переходы дают начало
линиям
колебательно-вращательного спектра молекулы, лежащего в
инфракрасной области. Эти
переходы подчиняются правилам
отбора Д/ = /'-/ = ±1
с. КОЛЕБАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНЫЙ СПЕКТР
Здесь мы ограничимся только анализом спектра поглощения или испускания
инфракрасного излучения, предполагая, что молекула является гетерополярной (вычисления,
аналогичные приведенным в § 1-с-C дополнения Av и § 4-Ь дополнения Суь могут быть
выполнены и для гомеополярных молекул и эффекта Рамана).
а. Правила отбора
Напомним, что дипольный момент D{r) молекулы направлен вдоль прямой,
соединяющей ядра, и он может быть разложен в ряд по степеням г - ге вблизи точки ге:
105

Глава VII
D(r) = rf0+£/l(r-rf) + ... B6)
Его проекция на ось Oz равна D(r) cosb , где Ь — угол между осью молекулы и Oz .
Определим спектр частот электромагнитных волн, поляризованных вдоль Oz,
которые молекула может поглотить или испустить вследствие изменения этого дипольного
момента. Как мы уже неоднократно видели, для этого нужно найти частоты Бора,
которые могут появиться в зависимости от времени среднего значения D{r)cosb. Таким
образом, достаточно найти, при каких значениях квантовых чисел v'\Г',т' и v, /, m
матричный элемент:
(ф..'./'.«' | D(r) cos® |<Pv./.w) ^Vr<iQqv ,, ,,,,(г, fl, ф) D(r) cosbqvlm{>\ 6, <р) B7)
отличен от нуля. Используя выражение B5) для волновых функций, этот матричный
элемент можно привести к виду:
[\v<lruv,(r) D(r) uv(r)] x [J dQ. Yf{b, ф) сшдК,'"(д, ср)]. B8)
Видно, что появляется произведение двух интегралов, которые уже встречались в
дополнениях Av и Суь Второй интеграл отличен от нуля только при условии:
/'-/ = +1,-1. B9)
Что касается первого интеграла, то, если ограничиться членами с коэффициентами d{) и
dx разложения B6), он отличен от нуля лишь при
v'-v = 0, + l,-l. C0)
Набор линий, соответствующий v-v' = 0, образует спектр чистого вращения,
рассмотренный в дополнении CVi (их интенсивность пропорциональна dl). Что касается
линий v'- v = ±1, /'-/ = ±1 с интенсивностью, пропорциональной df, они составляют
колебательно-вращательный спектр, который будет кратко описан ниже.
ЗАМЕЧАНИЕ
Правило отбора /'-/ = ±1 определяется угловой зависимостью волновых функций.
Оно не зависит от приближения, выбранного для решения радиального уравнения C), тогда
как правило C0) справедливо только в рамках гармонического приближения.
р. Вид спектра
Назовем символом v' наибольшее из двух рассматриваемых колебательных квантовых
чисел (/ = v +1). Тогда колебательно-вращательные линии разделяются на две группы:
106

Центральный потенциал; атом водорода
- линии v' = v +1, /' = / +1 <-> v, / с частотами:
— + Д(/ + 1)(/ + 2)-Д/(/ + 1) = — + 2в(/ + 1),
2тг 2я
C1)
где / = 0,1,2,... (эти линии соответствуют переходам, указанным стрелками в правой
части рис.2);
— линии v' = v +1, /' = / -1 <-> v, / с частотами:
— + Д/'(/ + 1)-Я(// + 1)(/' + 2) = — -2Я(/' + 1).
2я 271
C2)
где /' = 0,1,2,... (переходы, указанные стрелками в левой части рис.2).
Колебательно-вращательный спектр имеет, таким образом, вид, представленный на
рис.3. Он состоит из двух групп эквидистантных линий, симметрично расположенных с
двух сторон от частоты @ / 2я . Ансамбль этих линий образует «полосу». Группа линий
с частотами C1) называется «R-ветвью», а группа, соответствующая частотам C2) —
«Р-ветвью». В каждой из ветвей расстояние между двумя последовательными линиями
равно 22?. Центральный интервал, разделяющий две ветви, имеет ширину 4В (часто
говорят, что в спектре «не хватает» одной линии), то есть отсутствует линия с частотой
чистого колебания со / 2я .
3—4 2—3 1—2 0—1
1-0 2-1 3-2 4-3
v
Ветви Р
со tin
Be run R
Рис.3
Вид колебательно-вращательного спектра гетерополярной молекулы. Поскольку
переходы между уровнями с одинаковым значением / (рис.2) запрещены правилами отбора, в
спектре отсутствует линия чистого колебания о)/2тг. Переходы, когда молекула падает
с уровня (v',/')на уровень (v = v'-l,/ = Г-l), соответствуют частотам — + 2#(/ + 1)
2я
(линии R — ветви); переходы, когда молекула падает с уровня (у', /') на уровень
(v = v'-l,/ = /' + l), соответствуют частотам 2В(/' + 1) (линии Р — ветви). Перехо-
2я
ды, которым соответствуют линии, обозначены Г <-> /
107

Глава VII
ЗАМЕЧАНИЕ
Рассмотренный в Av спектр «чистого вращения», состоящий из одной линии,
в действительности не существует. Только в том случае, когда используется
спектральный прибор с малым разрешением, можно игнорировать вращательную
структуру колебательно-вращательной линии и описывать полосу частот,
изображенную на рис.3, как одну широкую линию с центром оо/2тг (напомним, что
(о/2п»2В).
3. Оценка некоторых поправок
Приведенные выше вычисления основаны на приближении, которое состоит в
замене центробежного потенциала в радиальном уравнении на его значение в точке г = rt..
При этом эффективный потенциал Veff(r) получается из V(r) простой вертикальной
трансляцией B).
В этом параграфе мы рассмотрим поправки, которые следует внести в результаты § 2,
чтобы учесть изменение центробежного потенциала вблизи г = г€. Для этого будет
использовано его разложение по степеням (г-ге):
кит2 /(/+1)/г /а+1)й2 ч, з/(/+р/г / 2 г__.
3 ('-О* Z 4 (Г~Гс) +- C3)
2|i/ 2\ir2 jir3 e 2ц/;4
а. БОЛЕЕ ТОЧНЫЙ АНАЛИЗ
ФОРМЫ ЭФФЕКТИВНОГО ПОТЕНЦИАЛА Veff (г)
Если учесть выражения E) и C3), то разложение эффективного потенциала D)
вблизи точки г = rv запишется в виде:
VejfO-) = -Vi)+f(r-reJ-g(r-riy + ...
, /(/ + 1)й2 /(/ + 1)й2, ч , з/д + ой2, 2
+ —г—2 Г" 0'-О+ 4 (г-ге) +... C4)
2Ц>; [ir; 2|Ltr;
Сейчас мы увидим, что изменение центробежного потенциала вблизи точки г-ге
влечет за собой для квантовых чисел / Ф 0 следующие эффекты.
(i) Положение минимума 7С потенциала Усц(г) отличается от /;.
(и) Значение Veff (/;) этого минимума слегка отличается от -V0 + Bhl(l +1).
108

Центральный потенциал; атом водорода
(iii) Крутизна функции V()// (r) в точке г = гс [фиксирующая, как в формуле F)
частоту эквивалентного гармонического осциллятора] уже не задается значением
коэффициента / .
Эти эффекты мы оценим, основываясь на разложении C4). В том, что касается
первых двух, в выражении C4) можно пренебречь членами порядка выше второго в V(r) и
порядка выше первого в центробежном потенциале: действительно, расстояние ге - ге
оказывается очень малым [даже в сравнении с (Аг) ], и потом мы докажем, что
g(Z~re)«f\ C5-а)
3/(/ + 1)Й2,„ , J{l + \)tr
— (г, - ге) « ——з— . C5-Ь)
2^; < - tf
ос. Положение и значение минимума Vej} (r)
Если в разложении C4) сохранить только два первых члена потенциала V(r) и два
первых члена центробежного потенциала, то ?е определяется равенством:
2f(r,-re) = — C6)
или
l(l + \)tr ВИЩ + 1) ,,_.
2ц/г; fre
Из формул F) и A2) получим:
/~-г, ^2Ш(/ + 1) (Аг)()
(АгH " Г70) /;
« 1, C8)
что с учетом A3) и A4) подтверждает справедливость выражений C5-а) и C5-Ь).
Подставив это значение г, в разложение для Veff (r), найдем:
Veff(r,) = -V() + Bhl(l + [)-Gh[l(l + \)]\ . C9)
где
G = 1-—. D0)
109

Глава VII
Р. Крутизна потенциала Veff(r) вблизи точки минимума
Вблизи точки г = ге потенциал Veff (r) можно представить в виде:
' Veff(r) = Veff(re) + f\r-ref - g\r-rj + ... D1)
Коэффициент /' связан с крутизной потенциала Veff(r) в точке г = ге формулой:
/' = -
2
dr'
■v>
D2)
Лг = ?е
Чтобы оценить разность между /' и / , необходимо в разложении C4) учесть член
потенциала V(r), пропорциональный (г-геK, и, следовательно, член,
пропорциональный (г-геJ в центробежном потенциале. Тогда несложные вычисления с учетом
формулы C7) дают:
3/(/ + 1)Й2 3#/(/ + 1)/г2
2/' = 2/ + -
к
tff
При этом частоту @ , определенную формулой F), следует заменить на
со =
V
Разложив в ряд квадратный корень, получим:
(о' = о)-2гах,/(/ + 1),
где
ЗА2со
а„ = г—
8 1
D3)
D4)
D5)
D6)
Аналогичные вычисления можно выполнить для определения g'. Действительно,
поскольку член выражения D1), пропорциональный (г-ге)ъ, вносит только очень
малую поправку в результаты, полученные с помощью двух первых, можно пренебречь
изменением производной —гК/г(г) ПРИ переходе от г к г и принять g' = g.
dr
И, наконец, вблизи минимума потенциал V^(r) можно представить в виде:
VeJf(r) = Veff(re) + ±iia'2(r-reJ-g(r-re)\ D7)
где ге, К#(?;), со' даны формулами C7), C9) и D5).
ПО

Центральный потенциал; атом водорода
Ь. УРОВНИ ЭНЕРГИИ
И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ
С учетом выражения D7) для Veff (r) радиальное уравнение приобретет вид:
ft2 d2
2^dr2+2^2{r-K)-g{r~KK
uvJ(r) = [EvJ-Veff(re)]uvJ(r). D8)
Если, как и в § 2, пренебречь членом g(r-r,K, то нетрудно узнать уравнение на
собственные значения одномерного гармонического осциллятора с частотой со', положение
равновесия которого находится в точке г = ге. Отсюда следует, что единственно
возможными значениями квадратных скобок в правой части уравнения являются (у + 1/2)/Ш)',
где v = 0,1,2,.... Таким образом, в соответствии с выражением C9) получим:
Evl = -V0 + f v + - ] йш' + Bhl(l +1) - Gh [/(/ +1)]2. D9)
Что касается волновых функций стационарных состояний, они имеют ту же форму,
что и в формуле B5). Достаточно лишь заменить в выражении (8) для радиальной
функции ге на ге и Р на
*■№■
E0)
Для нахождения нового значения частоты со' мы учли член g(r-reK; поэтому для
логического завершения вычислений необходимо оценить поправки к собственным
значениям и собственным функциям радиального уравнения, обусловленные этим членом в
левой части уравнения D8). Мы сделаем это в дополнении AXi, используя теорию
возмущений. Здесь же мы удовлетворимся формулировкой результата, относящегося к
собственным значениям: выражение D9) для энергии нужно дополнить членом:
^co'L + Ij , E1)
где
^ = -т4^ E2)
4 [Гоо/!)
безразмерная величина, значительно меньшая 1.
111

Глава VII
с. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РАЗЛИЧНЫХ ПОПРАВОК
а. Центробежная деформация молекулы
Анализ, выполненный в § 3-а-а, показывает, что расстояние между двумя ядрами
увеличивается при вращении молекулы. Согласно выражению C7) это увеличение тем
больше, чем больше величина /(/ +1), то есть чем выше скорость вращения молекулы.
Это вполне понятно: в классической терминологии мы бы сказали, что «центробежная
сила» стремится отклонить ядра друг от друга до тех пор, пока сила связи 2f(re-re)
потенциала V(r) не уравновесит ее.
Таким образом, представление о молекуле как «жестком ротаторе» является не
вполне строгим. Изменение (ге-ге) среднего расстояния между ядрами влечет за собой
увеличение момента инерции молекулы и, следовательно, уменьшение (при постоянстве
углового момента) энергии вращения. Это уменьшение лишь частично компенсируется
увеличением потенциальной энергии V(re)-V(re). В этом и состоит физическая
причина поправки к энергии -Ghl2(l + lJ, фигурирующей в выражении D9). Эта поправка,
будучи отрицательной, возрастает быстрее с увеличением квантового числа /, чем
энергия вращения Bhl(l +1). Она проявляется экспериментально в том, что линии спектра
чистого вращения не строго эквидистантны, и с увеличением / интервал между
линиями уменьшается.
р. Связь колебаний с вращением
Перегруппируем второй и третий члены в выражении D9) и заменим о/ ее
значением D5). Тогда:
у + -)/ко' + Ш(/ + 1) = ( у + -]йш + 5А/(/ + 1)-а,Ы(/ + 1)[ V + -]. E3)
Два первых члена правой части уравнения E3) представляют собой энергии колебания и
вращения, вычисленные в дополнениях Av и Сщ. Третий член, зависящий одновременно
от квантовых чисел v и /, представляет связь между вращательными и колебательными
степенями свободы.
Можно переписать выражение E3) в форме:
у + -]йсо + Я1.й/(/ + 1), E4)
где
B=B-aJ l
v + -|. E5)
112

Центральный потенциал; атом водорода
Все выглядит так, как будто каждому колебательному уровню соответствует своя
вращательная постоянная Bv, зависящая от v .
Чтобы дать физическое объяснение связи между колебательными и вращательными
степенями свободы, можно использовать классическую терминологию. Вращательная
постоянная В пропорциональна 1/г2 [формула A6)]. При колебании молекулы
изменяется г и, как следствие, величина В . Поскольку частоты колебания значительно выше
частот вращения, можно определить эффективную вращательную постоянную
молекулы в заданном колебательном состоянии как среднее значение В в интервале времени,
превышающем период колебаний. Таким образом, нужно усреднить во времени
величину 1 / г2 в рассматриваемом колебательном состоянии.
Это объясняет наличие двух членов с разными знаками, которые появляются в
выражении D6) для а^. Первый из них, пропорциональный g , связан с
ангармоничностью потенциала V(r), и проявляется тем сильнее, чем больше амплитуда колебаний, то
есть чем больше квантовое число v . Поскольку форма V(r) асимметрична (рис.1),
молекула «проводит больше времени» в области г > ге, чем в области г<ге. Отсюда
следует, что среднее значение 1 / г2 меньше, чем 1 / г] , то есть ангармоничность уменьшает
эффективную вращательную постоянную. Именно это и следует из формул E5) и D6).
На самом деле даже если колебательное движение идеально симметрично по
отношению к ге (то есть если g = 0), среднее значение 1/г2 не равно 1 /г] , так как
Именно в этом состоит природа второго члена выражения D6): вычисление среднего
значения 1/г2 благоприятствует малым г, так что \1/г2) превышает 1/(г) , и это
объясняет знак второй поправки.
Общий знак ае определяется относительным вкладом рассмотренных выше
эффектов. Обычно преобладает член, обусловленный ангармоничностью, в результате чего
а, > 0 и Bv < В.
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Связь между колебанием и вращением существует даже в основном колебательном
состоянии v = 0:
Во = В-\<*е- E7)
В этом заключается новое проявление конечного пространственного распределения (Аа")
волновой функции уровня v = 0 .
8 Том II. Квантовая...
ИЗ

Глава VII
(ii) Экспериментально связь колебания с вращением проявляется следующим образом: если
(Хе > 0 , то вращательная структура более сжата в сторону более высокого колебательного
уровня v' . Можно легко показать, что ветви Р и R (рис.3) ведут себя по-разному: лежащие
рядом линии не вполне эквидистантны и в среднем расположены ближе друг к другу
в R-ветви, чем в Р-ветви.
В завершение еще раз отметим, что колебательно-вращательный уровень энергии
двухатомной молекулы с квантовыми числами v и / определяется выражением:
EvJ=-V0 + \v + ±\ha> +
B-aJv+-
hl(l +1) - Ghl2(I +1J + £[ v + - j йо), E8)
где
V{) —энергия диссоциации молекулы;
со / 2тг —частота колебаний;
В — вращательная постоянная A6);
G, ос,, £ —безразмерные константы, определенные формулами D0), D6) и E2).
Дополнение Gvii
УПРАЖНЕНИЯ
1. Частица в потенциале с цилиндрической симметрией
Пусть р, ф, z — цилиндрические координаты частицы без спина (x = pcos(p,
у = р simp ; р > 0, 0 < ф < 2я). Допустим, что потенциальная энергия частицы зависит
только от р и не зависит от ф и z. С другой стороны, вспомним, что
дх2 ду2 Эр2 р Эр р2 Эф2 '
а. Записать в цилиндрических координатах дифференциальный оператор,
соответствующий гамильтониану. Показать, что Н коммутирует с операторами L. и Р,.
Показать, что волновые функции стационарных состояний частицы могут быть приняты в
форме:
Ф *(Р,Ф.г) = Л.м(р)^^,
где индексы т и к могут принимать значения, требующие определения.
114

Центральный потенциал; атом водорода
b. Записать в цилиндрических координатах уравнение на собственные значения
гамильтониана Н частицы. Получить дифференциальное уравнение, позволяющее
получить /,,<т(р).
c. Пусть Ev — оператор, действие которого в представлении {|г) } состоит в
изменении у на -у (отражение в плоскости xOz)\ коммутирует ли Еу с Я? Показать, что
Ъу антикоммутирует с оператором Lz, и получить, что X 1фЛ1/11 Л является
собственным вектором оператора Lz; найти соответствующее собственное значение. Что можно
сказать относительно кратности вырождения уровней энергии частицы? Можно было бы
предвидеть полученный результат на основе анализа дифференциального уравнения,
полученного в пункте Ь?
2. Трехмерный гармонический осциллятор в однородном магнитном поле
Цель этого упражнения состоит в исследовании простой физической системы, для
которой можно точно рассчитать влияние однородного магнитного поля. При этом можно
точно определить относительные вклады «парамагнитного» и «диамагнитного» членов и
детально проанализировать, как изменяется волновая функция основного уровня под
действием диамагнитного члена (можно воспользоваться результатами дополнений DVi
и Вун).
Пусть имеется частица с массой \х , гамильтониан которой имеет вид:
0 2ц 2^ °
представляющая собой трехмерный изотропный гармонический осциллятор, где со0 —
заданная положительная постоянная.
a. Определить уровни энергии частицы и кратность их вырождения. Можно ли
построить базис собственных состояний, общих для операторов Я0, L2, L2 ?
b. Допустим теперь, что частица имеет заряд q и находится в однородном
магнитном поле В , параллельном оси Oz . Обозначим ooL = -qB 12I. Тогда гамильтониан
частицы в калибровке А = —г х В запишется в виде:
H = H0 + Hl((OL),
где Я, — сумма оператора, линейно зависящего от coL (парамагнитный член), и
оператора, зависящего квадратично от coL (диамагнитный член). Показать, что можно точно
определить новые стационарные состояния системы и кратность их вырождения.
8*
115

Глава VII
c. Показать, что если coL «0H, влияние диамагнитного члена пренебрежимо мало
по сравнению с влиянием парамагнитного члена.
d. Рассмотрим теперь первый возбужденный уровень осциллятора, то есть
состояния, энергия которых стремится к значению 5/?0)() / 2 при ш^ —> 0 . Определить в первом
порядке приближения по 0)L /со() уровни энергии в присутствии поля В и их кратность
вырождения (эффект Зеемана трехмерного гармонического осциллятора). Аналогичные
вопросы для второго возбужденного уровня.
e. Рассматривается основной уровень. Как изменяется его энергия в зависимости от
ш7 (диамагнитный эффект для основного уровня)? Вычислить магнитную
восприимчивость % Для этого уровня. Является ли основное состояние в присутствии магнитного
поля В собственным вектором операторов L2, L., Lx ? Определить вид его волновой
функции и соответствующего тока вероятности. Показать, что влияние поля В состоит
Г "> 1,/4
в сжатии волновой функции вокруг оси Oz (в отношении 1 + (coL /cd())" ) и в
появлении индуцированного тока.

Глава VIII
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОНЯТИЯ
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

ПЛАН ГЛАВЫ VIII
А. ВВЕДЕНИЕ.
1. Важность явлений столкновения.
2. Рассеяние на потенциале.
3. Определение поперечного сечения рассеяния.
4. Организация данной главы.
В. СТАЦИОНАРНЫЕ
СОСТОЯНИЯ РАССЕЯНИЯ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ.
1. Определение стационарных состояний рассеяния.
a. Уравнение на собственные значения гамильтониана.
b. Асимптотическая форма стационарных состояний
рассеяния. Амплитуда рассеяния.
2. Вычисление поперечного сечения с помощью токов
вероятности.
a. Поток вероятности, связанный со стационарным
состоянием рассеяния.
b. Падающий ток и рассеянный ток.
c. Выражение для поперечного сечения.
d. Интерференция плоской волны и рассеянной волны.
3. Интегральное уравнение рассеяния.
4. Приближение Борна.
a. Приближенное решение интегрального уравнения
рассеяния.
b. Интерпретация формул.
РАССЕЯНИЕ
ЦЕНТРАЛЬНЫМ
ПОТЕНЦИАЛОМ.
МЕТОД ФАЗОВОГО
АНАЛИЗА.
1. Принцип метода фазового анализа.
2. Стационарные состояния свободной частицы.
a. Стационарные состояния с определенным
импульсом. Плоские волны.
b. Стационарные состояния с определенным угловым
моментом. Свободные сферические волны.
c. Физические свойства свободных сферических волн.
d. Разложение плоской волны на свободные
сферические волны.
3. Парциальные волны в потенциале V(r).
a. Радиальное уравнение. Сдвиги фаз.
b. Физический смысл сдвига фаз.
4. Выражение поперечного сечения через сдвиги фаз.
a. Построение стационарного состояния рассеяния
с помощью парциальных волн.
b. Вычисление поперечного сечения.

А. ВВЕДЕНИЕ
1. Важность явлений столкновения
Большое количество физических экспериментов, в частности, в физике высоких
энергий, основаны на том, что пучок частиц A) (например, полученных с помощью
ускорителя) направляется на мишень, состоящую из частиц B), и исследуется результат их
столкновений: при этом регистрируются различные частицы*, образующие конечное
состояние системы, то есть состояние после столкновения (см. рис.1), и измеряются их
характеристики (направление испускания, энергия и т. д.). Цель такого исследования
заключается, естественно, в определении взаимодействий, существующих между
входящими в процесс рассеяния частицами.
Дед с к юр
о
Пучок иадаюшпх Мишень
» » »
час 1 ни A)
чаепшы B)
^
Деюкюр
Рис.1
Схема эксперимента по рассеянию частиц A) падающего пучка на частицах B) мишени.
На рисунке представлены два детектора, измеряющих число частиц, рассеянных в
направлениях, образующих углы О, и fl2 с направлением падающего пучка
Наблюдаемые при этом явления зачастую бывают очень сложными. Например, если
частицы A) и B) состоят в свою очередь из более элементарных составляющих (протоны
* На практике не всегда возможно обнаружить все испущенные частицы, и зачастую приходится
довольствоваться лишь частичной информацией относительно конечного состояния системы.
119

Глава VIII
и нейтроны ядер), то эти последние могут в ходе столкновения оказаться
перераспределенными между двумя или более частицами конечного состояния, отличающимися от
частиц начального состояния. При этом говорят о столкновениях, сопровождающихся
перераспределением. Кроме того, при высоких энергиях существует релятивистская
возможность «материализации» части энергии: рождаются новые частицы, и конечное
состояние может содержать их в достаточно большом количестве (обычно их тем
больше, чем выше энергия падающего пучка). В общем случае говорят, что столкновения
сопровождаются реакциями, для которых часто пользуются обозначениями,
напоминающими химические:
@ + B)-*C) + D) + E) + ... (А-1)
Среди всех возможных реакций* в заданных условиях под названием «рассеяния»
обозначают такие реакции, в которых и начальное и конечное состояния образованы
одними и теми же частицами A) и B). Кроме того, говорят, что рассеяние является упругим,
если внутреннее состояние частиц при столкновении не изменяется.
2. Рассеяние на потенциале
В этой главе мы ограничимся изучением упругого рассеяния падающих частиц A)
на частицах B) мишени. Если бы применялись законы классической механики, то
следовало бы определить отклонения траекторий падающих частиц под действием сил со
стороны частиц B). Если речь идет о процессах в атомном или ядерном масштабах, то,
естественно, нельзя решать задачу методами^классической механики. Необходимо
исследовать эволюцию волновой функции падающих частиц под влиянием взаимодействий
с частицами мишени [это и является причиной названия «рассеяния» частиц A)
частицами B)]. Кроме того, мы не будем рассматривать эту задачу в самом общем случае, а
введем несколько упрощающих предположений.
(i) Допустим, что частицы A) и B) не имеют спина. Это значительно упрощает
расчеты, но ни в коем случае не означает, что спин частиц не играет значительной роли в
явлениях рассеяния.
(ii) Внутренняя структура, которой в ряде случаев могут обладать частицы A) и B),
не будет учитываться. Поэтому все последующие выводы неприменимы к «неупругому»
рассеянию, когда в конечном состоянии системы, состоящей из частиц A) и B), часть
кинетической энергии частиц A) поглощается внутренними степенями свободы частиц
A) и B) (см., например, опыт Франка—Герца). Ограничимся только случаем упругого
рассеяния, не затрагивающего внутреннюю структуру частиц.
Поскольку рассматриваемые процессы происходят на квантовом уровне, в общем случае
невозможно предвидеть со всей определенностью, каким окажется конечное состояние после
каждого данного столкновения; можно только попытаться предсказать вероятность возможных
конечных состояний.
120

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
(ш) Предположим также, что мишень настолько тонкая, что можно пренебречь
процессами многократного рассеяния, то есть процессами, в которых определенная падающая
частица испытывает несколько актов рассеяния, прежде чем покинет мишень.
(iv) Мы будем пренебрегать любой когерентностью между волнами, рассеянными
различными частицами мишени. Это вполне оправдано, если протяженность волновых
пакетов, соответствующих частицам A), мала по сравнению со средним расстоянием
между частицами B). Мы будем интересоваться только элементарным процессом
рассеяния одной частицы A) пучка на одной частице B) мишени. Это исключает
определенное число эффектов, представляющих немалый интерес, как, например, когерентное
рассеяние на кристалле (дифракция Брэгга) или рассеяние медленных нейтронов на фоно-
нах твердого тела, которые дают ценную информацию относительно структуры и
динамики кристаллических решеток. В тех же случаях, когда можно пренебречь эффектами
когерентности, поток регистрируемых частиц просто равен сумме потоков, рассеянных
каждой из .А частиц мишени, то есть увеличенный в J раз поток, рассеянный
произвольной из них (поскольку размеры мишени малы по сравнению с расстоянием от мишени
до детектора частиц, положение конкретной рассеивающей частицы внутри мишени не
имеет значения).
(v) Будем предполагать, что взаимодействия между частицами A) и B) могут быть
описаны потенциальной энергией V{r{ -r2), зависящей только от относительного
положения г = г, - г2 двух частиц. Согласно § В главы VII задачу удобно решать в системе
координат центра масс* двух частиц A) и B), то есть свести ее к анализу рассеяния по-
тенциалом V(r) единственной частицы («относительной частицы») с массой ц ,
определяемой массами т, и т2 частиц A) и B) формулой:
±-J—L. <А-2)
[I т, т2
3. Определение поперечного сечения рассеяния
Пусть Oz — направление, в котором движутся падающие частицы с массой [I
(рис.2). Потенциал V(r) локализован вблизи начала О системы координат [эта точка
фактически совпадает с центром масс реальных частиц A) и B)]. Обозначим символом
Ft поток частиц падающего пучка, то есть количество частиц, пересекающих в единицу
времени единичную поверхность, перпендикулярную оси Oz и находящуюся в области
больших отрицательных значений координаты z (предполагается, что поток /Г доста-
* Для интерпретации полученных результатов в экспериментах по рассеянию, конечно,
необходимо вернуться в лабораторную систему координат. Переход из одной системы в другую
является простой задачей кинематики, и мы здесь не будем ее касаться.
121

Глава VIII
точно мал, чтобы можно было пренебречь взаимодействиями отдельных частиц между
собой).
Вдали от области, где действует потенциал, и в направлении, выделенном
полярными углами f} и ф , расположен детектор, действующая поверхность которого видна из
точки О в телесном угле dQ (детектор находится на расстоянии от точки О,
существенно превышающем линейные размеры зоны действия потенциала). С его помощью под-
считывается количество частиц, рассеянных в единицу времени в телесном угле dQ,
ориентированном в направлении (f3, (p).
Падающий пучок
Детектор D
/
Зона действия
потенциала
Рис.2
Падающий пучок, поток частиц в котором равен Fi, движется в направлении оси Oz . Его
ширина предполагается большей, чем сечение зоны действия потенциала V(r) с
центром в точке О. Вдали от этой зоны расположен детектор D, измеряющий число dn
частиц, рассеянных в единицу времени в телесном угле dQ., направление которого
определено полярными углами (f>, ф). Число dn пропорционально потоку Fi и dQ ;
коэффициент пропорциональности а@, ф) по определению называется «поперечным сечением»
рассеяния в направлении (f}, ф)
Очевидно, что dn пропорционально dQ и падающему потоку Ft. Обозначим
символом a(f>, ф) коэффициент пропорциональности между dn и F{ dQ:
dn = Ft q(v}, ф) dQ
(A-3)
Размерности dn и Ft соответственно равны Т ' и f Is Tj , вследствие чего a(f}, ф)
имеет размерность площади и называется дифференциальным поперечным сечением рассеяния
в направлении (f>, ф). Часто поперечные сечения измеряют в барнах или в долях барна:
122

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
1 барн=1(Г24см2. (А-4)
Определение (А-3) можно интерпретировать следующим образом: число частиц,
падающих на детектор в единицу времени, равно числу частиц, пересекающих в единицу
времени поверхность о@, ф) dQ,, расположенную перпендикулярно к оси Oz
падающего пучка.
Тогда можно определить полное поперечное сечение рассеяния а формулой:
a = Ja(d,<p)dQ. (A-5)
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Определение (А-3), в котором dn пропорционально dQ,, предполагает, что
учитываются только те частицы, поток которых падает на данный детектор D,
имеющий фиксированную поверхность и расположенный в направлении,
определенном углами (д, ф), причем этот поток обратно пропорционален квадрату
расстояния между D и О (это свойство характерно для рассеянного потока). На
практике падающий поток имеет ограниченные боковые размеры [его ширина
иногда бывает существенно шире зоны действия потенциала V(r)], и детектор
размещается вне его траектории, чтобы регистрировались только рассеянные
частицы. Конечно, такая установка не позволяет измерять поперечное сечение в
направлении 0 = 0 («рассеяние вперед»), и последнее можно получить только путем
экстраполяции значений а@, ф) для малых углов *& .
(ii) Понятие поперечного сечения не ограничивается лишь случаем упругого
рассеяния, и аналогично вводятся определения поперечных сечений реакций.
4. Организация данной главы
В § В кратко изложена теория рассеяния на потенциале V(r) произвольной формы,
но спадающем быстрее, чем Mr при г —> оо . Сначала введем основные понятия
относительно стационарного состояния рассеяния и амплитуды рассеяния (§ В-1); затем в § В-2
мы покажем, как, зная асимптотическое поведение волновых функций стационарных
состояний рассеяния, можно вычислить поперечные сечения рассеяния; далее в § В-3
обрудим более строго само существование стационарных состояний рассеяния,
основываясь на интегральном уравнении рассеяния. И, наконец, в § В-4 будет получено
приближенное решение этого уравнения, справедливое для слабого взаимодействия, приводящее
к борновскому приближению, в рамках которого поперечное сечение очень просто связано
с преобразованием Фурье потенциала.
Если потенциал V(r) является центральным, то общие методы, развитые в § В,
123

Глава VUI
остаются, конечно, применимыми, но часто вместо них используют метод фазового
анализа, изложенный в § С. Этот метод основан на сравнении стационарных состояний с
определенным угловым моментом в потенциале V(r) (мы будем называть их
«парциальными волнами») и аналогичных состояний в отсутствие потенциала («свободные
сферические волны»). В § С-2 мы изучим важнейшие свойства стационарных состояний
свободной частицы и, в частности, свойства свободных сферических волн; затем (§ С-3)
мы покажем, что различие между парциальной волной в потенциале V(r) и свободной
сферической волной с одинаковыми квантовыми числами / характеризуется «фазовым
сдвигом» 8;; тогда достаточно знать, как стационарные состояния рассеяния могут быть
построены из парциальных волн, чтобы получить выражение, связывающее поперечные
сечения с фазовыми сдвигами (§ С-4).
В. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ РАССЕЯНИЯ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Чтобы дать квантовое описание процесса рассеяния падающей частицы
потенциалом V(r), нужно изучить поведение во времени волнового пакета, представляющего
состояние частицы. Предполагается, что характеристики этого пакета известны для
больших отрицательных значений t, когда частица находится в далекой отрицательной
области оси Oz и еще не подвержена действию потенциала V(v). Известно, что
последующая эволюция волнового пакета может быть получена в виде суперпозиции
стационарных состояний. Именно поэтому прежде всего рассмотрим уравнение на собственные
значения гамильтониана:
Я = Я0+У(г), (В-1)
где
Я»=С (В)
описывает кинетическую энергию частицы.
На самом деле для упрощения вычислений будем рассуждать, используя понятия
стационарных состояний, а не волновых пакетов. Этот прием мы уже использовали
в главе I при рассмотрении одномерных «прямоугольных» потенциалов (§ D-2 и
дополнение Hi). Он состоит в том, что стационарное состояние рассматривается как поток
вероятности в режиме непрерывного истечения, и исследуется структура
соответствующих токов вероятности. Конечно, эти упрощенные рассуждения не могут быть вполне
строгими, так как требуется еще показать, что они приведут к тем же результатам, что и
корректное решение задачи, основанное на представлении о волновых пакетах. Именно
такую точку зрения мы примем в дальнейшем, что позволит с большей простотой
124

Элементарные понятия квинтовой теории рассеяния
продемонстрировать общие идеи теории, не прибегая к сложным математическим
выкладкам*.
1. Определение стационарных состояний рассеяния
а. УРАВНЕНИЕ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ГАМИЛЬТОНИАНА
Уравнение Шредингера, описывающее эволюцию частицы в поле потенциала V(r),
допускает решения со строго определенными значениями энергии (стационарные
состояния) вида:
\|/(г,/) = Ф(г)^'ш\ (В-3)
где ф(г) — решение уравнения на собственные значения:
П2
„ -Д + У(г)
ф(г) = йр(г). (В-4)
Допустим, что потенциал V(r) на бесконечности уменьшается быстрее, чем 1/г.
Заметим, что эта гипотеза исключает случай кулоновского потенциала, и для его анализа
необходим иной формализм, который здесь затрагиваться не будет.
Нас будут интересовать только решения уравнения (В-4), соответствующие
положительной энергии Е, которая равна кинетической энергии падающей частицы до того,
как она войдет в зону действия потенциала. Положим:
h2k2
Е = ?-=-\ (В-5)
2|х
Й2
V(r) = — U (г), (В-6)
так что уравнение (В-4) примет вид:
[д + £2-£/(г)]ф(г) = 0. (В-7)
Для каждого значения к (то есть энергии Е) уравнение (В-7) допускает
бесконечное количество решений (положительные собственные значения гамильтониана Н
бесконечно вырождены). Как и в задачах с «прямоугольными» одномерными потенциалами
* Доказательство возможности такого подхода было сделано в дополнении Ji для частной
одномерной задачи; тогда мы доказали, что анализируя ток вероятности, связанный со
стационарным состоянием рассеяния, и эволюцию волнового пакета, описывающего частицу,
испытывающую столкновение, мы получаем в итоге одинаковые результаты.
125

Глава VIII
(см. § D-2 главы I и дополнение Н^, из всех этих решений нужно выбрать такое, которое
соответствовало бы поставленной физической задаче (например, если мы хотим определить
вероятность прохождения через одномерный потенциальный барьер частицы с заданной
энергией, мы выбираем только волну, прошедшую в область, расположенную за барьером).
Здесь такого рода выбор становится более сложным, так как частица движется в
трехмерном пространстве, а потенциал V(r) априори может иметь произвольную форму.
Таким образом, нам придется интуитивным образом уточнять свойства волновых
пакетов и на их основе налагать ограничения на решения уравнения (В-7), которые могут
быть использованы для описания процесса рассеяния. Будем называть стационарными
состояниями рассеяния собственные состояния гамильтониана, удовлетворяющие этим
условиям, и обозначать символами v{kdiff)(r) соответствующие волновые функции.
Ь. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМА СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ РАССЕЯНИЯ.
АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ
Для больших отрицательных t рассматриваемая частица является свободной
[потенциал V(r) практически равен нулю на больших расстояниях от точки О ], и ее
состояние может быть представлено пакетом плоских волн. Поэтому искомая стационарная
волновая функция должна содержать член вида elkz, где к — константа, входящая в
уравнение (В-7). Когда волновой пакет достигает зоны действия потенциала V(r), его
структура полностью меняется, и дальнейшая эволюция существенно усложняется.
Однако для больших положительных t пакет покидает зону действия потенциала и снова
приобретает простой вид: он расщепляется на прошедший волновой пакет, продолжающий
свое движение вдоль положительного направления оси Oz (имеющий множитель e,kz), и
рассеянный волновой пакет. Поэтому волновая функция v[diff\r)y описывающая
стационарное состояние рассеяния, соответствующее данной энергии Е - п2 к2 /2\1, должна
равняться суперпозиции плоской волны e'kz и рассеянной волны (пока мы оставим в
стороне вопрос об их нормировке).
Структура рассеянной волны, естественно, зависит от формы потенциала V(r).
Однако ее асимптотическая форма вдали от зоны действия потенциала достаточно
проста. По аналогии с волновой оптикой можно утверждать, что рассеянная волна для
больших г должна характеризоваться следующими особенностями.
(i) В заданном направлении (д, ф) ее радиальная зависимость должна быть
пропорциональна е'кг/г. Действительно, эта волна должна быть расходящейся и имеющей ту
же энергию, что и падающая волна. Множитель 1 / г возникает вследствие трехмерности
пространства: член (А + к2)е'кг не равен нулю, тогда как
ikr
(А + к2) = 0 для любого положительного г > r0 (B-8)
126

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
(в оптике множитель 1/ г обеспечивает независимость от г полного потока энергии
через поверхность сферы радиуса г при больших значениях этого радиуса; в квантовой
механике не зависит от г поток вероятности через такую же сферу).
(и) Поскольку в общем случае рассеяние не является изотропным, амплитуда
рассеянной волны зависит от рассматриваемого направления (О, ф).
Окончательно стационарное состояние рассеяния v[<iiJf)(r) по определению является
решением уравнения (В-7), асимптотическое поведение которого имеет вид:
Jkr
<"iff)(r)rZy:+fk(b,(p)^-
(В-9)
В этом выражении только функция fk @,ф), называющаяся амплитудой рассеяния,
зависит от потенциала V(r). Можно показать (см.§ В-3), что уравнение (В-7)
действительно допускает лишь единственное решение для каждого значения к ,
удовлетворяющее условию (В-9).
ЗАМЕЧАНИЯ
(i) Мы уже отмечали, что для вычисления эволюции волнового пакета,
представляющего состояние падающей частицы во времени, его нужно разложить не по
плоским волнам, а в базисе собственных состояний полного гамильтониана Н.
Рассмотрим волновую функцию вида*:
Wrj) = l~dkg(k)vldiff)(r)e-iE'l,'> , (В-10)
где
E..0JL <в-„,
и функция g(k), которую ради простоты будем считать вещественной,
характеризуется явно выраженным максимумом при к = к() и практически равна нулю вне
этого максимума. Функция \|/(r, t) является решением уравнения Шредингера и
может правильно описать эволюцию частицы во времени. Остается убедиться, что
эта функция действительно удовлетворяет граничным условиям, налагаемым рас-
* В действительности нужно было бы получить суперпозицию плоских волн,
соответствующих волновым векторам к , имеющих немного отличающиеся направления, так как падающий
волновой пакет ограничен в направлениях, перпендикулярных к оси Oz . Для простоты нас будет
интересовать здесь только дисперсия энергии, которая будет выражаться ограниченным
распределением волнового пакета по оси Oz .
127

Глава VIII
сматриваемой частной физической задачей. Асимптотически она может быть
представлена [формула (В-9)] суммой пакета плоских волн и пакета рассеянных
волн:
ЛЬ
V(r,0 ~ ^dkg{k)eikze-iE^'+rQdkg{k)fk{,b^)— е-*'"*. (В-12)
Г—»«> Т
Положение максимума каждого из этих пакетов можно получить из условия
стационарной фазы (см. § С-2 главы I). Несложный расчет дает для пакета плоских
волн:
z*@ = vcf, (B-13)
где
vc=^. (В-14)
Что касается рассеянного пакета, его максимум в направлении (д,ф) находится
на расстоянии от точки О, определяющемся формулой:
гм(г>,ф;0 = -а;о(т>,ф) + усг, (B-15)
где oc^(f}, ф) —производная по к от аргумента амплитуды рассеяния /*(т>, ф).
Отметим, что формулы (В-13) и (В-15) справедливы только в асимптотической
области, то есть для больших значений \t\.
Для больших отрицательных значений t пакет рассеянных волн отсутствует.
Действительно, согласно формуле (В-15), образующие его волны интерферируют
конструктивно в области отрицательных значений г и, следовательно, вне
области, в которой есть зависимость от г. Поэтому имеется только пакет плоских волн,
направляющихся в сторону области взаимодействия с групповой скоростью vG.
Для больших положительных значений / присутствуют оба волновых пакета.
Первый удаляется в положительном направлении оси Oz, продолжая движение
падающего пакета, а второй расходится во всех направлениях пространства.
Асимптотическое условие (В-9) при этом позволяет описать процесс рассеяния.
(ii) Пространственная протяженность Az волнового пакета (В-10) связана с дисперсией
импульса НА к соотношением:
Azs-V- (B-16)
&к
Мы будем считать, что А& достаточно мала, вследствие чего Az превышает линейные
размеры зоны действия потенциала. В этих условиях волновой пакет, движущийся со
скоростью vG в сторону точки О (рис.3), пройдет это расстояние за время:
128

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
-Az-
& I
О
Зона действия
потенциала
Рис.3
Падающий волновой пакет с
пространственной шириной Az
со скоростью vG движется в
сторону потенциала V(r); в течение
времени порядка AT=Az/vc
он взаимодействует с
потенциалом (размеры зоны действия
потенциала предполагаются
пренебрежимо малыми по
сравнению с Az)
AT s — = -
vc vG Ak
(В-17)
Зафиксируем начало отсчета времени моментом, когда центр падающего волнового пакета
совпадает с точкой О. Тогда рассеянные волны существуют только в моменты времени
t > — AT / 2 , то есть после того, как передний фронт падающих волн достигнет зоны
действия потенциала. При t = 0 самая удаленная часть рассеянного волнового пакета находится
на расстоянии порядка Дг / 2 от точки О .
Рассмотрим теперь априори иную задачу, в которой существует потенциал, зависящий
от времени. Его можно получить путем умножения V(r) на функцию f(t), медленно
меняющуюся от 0 до 1 между моментами времени t = —AT /2 и t — О. Для времен
/ « -AT /2 потенциал равен нулю, и мы будем считать, что состояние частицы
представлено плоской волной, заполняющей все пространство. Эта плоская волна начинает
изменяться только после t = -AT 12, и в момент / = 0 вид рассеянных волн должен быть
похож на рассмотренный ранее случай.
Таким образом, можно признать, что между этими двумя задачами имеется
определенная аналогия: с одной стороны, рассеяние на постоянном потенциале падающего волнового
пакета, амплитуда которого в точке О регулярно нарастает между моментами времени
t = -AT 12 и / = 0, и, с другой стороны, рассеяние плоской волны с постоянной
амплитудой потенциалом, который медленно «включается» в том же интервале времени.
Если Ak —> 0 , волновой пакет (В-10) стремится к стационарному состоянию
рассеяния [функция g(k) стремится к 8(/: - к0) ]. Впрочем, при этом AT —> «>, и «включение»
потенциала функцией /(f) становится бесконечно медленным (часто подобное изменение
называют «адиабатическим»). Приведенные выше рассуждения, несмотря на то, что они
9 Том II. Квантовая...
129

Глава VIII
являются чисто качественными, позволяют представить стационарное состояние рассеяния
как результат действия на свободную плоскую волну адиабатического включения
рассеивающего потенциала. Такой подход можно формализовать, изучая эволюцию начальной
плоской волны в потенциале /(f) V(r).
2. Вычисление поперечного сечения
с помощью токов вероятности
а. ПОТОК ВЕРОЯТНОСТИ,
СВЯЗАННЫЙ СО СТАЦИОНАРНЫМ СОСТОЯНИЕМ РАССЕЯНИЯ
Для оценки поперечного сечения рассеяния, строго говоря, нужно было бы
исследовать рассеяние падающего волнового пакета потенциалом V(r). Однако результат
можно получить значительно проще, если использовать понятие стационарных состояний
рассеяния. Можно представить такое состояние как описывающее непрерывный поток
вероятности и вычислить поперечное сечение, рассматривая падающий и рассеянный
токи вероятности. Этот метод, как мы уже отмечали, аналогичен методу,
использованному ранее в задачах об одномерных «прямоугольных» потенциальных барьерах. Там
было получено, что отношение отраженного (или прошедшего) тока вероятности к
падающему дает непосредственно коэффициент отражения (или прохождения).
Таким образом, нам нужно вычислить вклады падающей и рассеянной волн в
стационарное состояние рассеяния. Напомним выражение для тока J(r), связанного с
волновой функцией ф(г):
J(r) = -Re
Ф*(г)т Vcp(r)
i
(В-18)
Ь. ПАДАЮЩИЙ ТОК И РАССЕЯННЫЙ ТОК
Падающий ток J, получим, заменив в выражении (В-18) функцию ф(г) плоской
волной e'kz. Он движется в положительном направлении оси Oz , и его модуль равен:
|J,| = -. (B-19)
Поскольку в формуле (В-9) рассеянная волна дана в сферических координатах,
вычислим компоненты рассеянного тока J(l по локальным осям, определенным в этой
системе координат. Напомним, что соответствующие компоненты оператора V имеют вид:
130

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
(V)r =
(V)« =
(V),=
г Эв '
1 Э
г shift Эф
(В-20)
Выбрав в формуле (В-18) в качестве ф(г) функцию fk (©, ф)е'*т / /•, получим выражение
для тока, рассеянного в асимптотической области:
М 1
/ \ ПК I | 12
i \ ft l
J =- — Re
\ rf/e ^ гз
/ v Й 1
J J =--TT-rRe
у/;(о,ф)—/,(в,Ф)
т/Л*.ф)э^Л(^ф)
(В-21)
Поскольку г велико, то (jrf)e и (j<7) значительно меньше, чем (J,/) , и рассеянный
ток является практически радиальным.
с. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Падающий пучок состоит из независимых частиц, приготовленных в соответствии
со сделанным предположением одинаковым образом. Направить на мишень большое
количество таких частиц означает повторить многократно один и тот же эксперимент с
частицей, находящейся в одном и том же состоянии. Если это состояние описывается
функцией v[<JiJf)(r), то следует признать, что падающий поток Fi, то есть число частиц
падающего пучка, пересекающих в единицу времени единичную площадь,
перпендикулярную оси Oz, пропорционален потоку вектора J, через эту площадь, или в
соответствии с выражением (В-19):
F =C J,-\ = С— . (В-22)
[X
Число частиц dn , пересекающих в единицу времени площадь входного окна
детектора (рис.2), в таком случае будет пропорционально потоку вектора ]A через эту
площадь dS [коэффициент пропорциональности С тот же, что и в формуле (В-22)]:
9*
131

Глава VIII
dn = CJl{ -dS = c(jd)r rdQ = С— |/Дв,ф)|2Л2. (B-23)
Видно, что dn не зависит от г, если только эта величина достаточно велика.
Если подставить формулы (В-22) и (В-23) в определение (А-3) дифференциального
поперечного сечения а(д, ф), получим:
°(в,ФНл(о,ф)|2. (в-24)
Таким образом, дифференциальное поперечное сечение просто определяется квадратом
модуля амплитуды рассеяния.
d. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ И РАССЕЯННОЙ ВОЛНЫ
В предыдущих параграфах мы пренебрегли вкладом, соответствующим v{. }(г) в асимптотиче-
ik~
ской области. Он определяется интерференцией между плоской волной е " и рассеянной волной и может
быть получен путем замены в формуле (В-18) функции ф (г) на е~'~ и ф(г) на fk(ft, ty)e'r Iг
(или наоборот).
Однако можно убедиться, что эти интерференционные члены не нужно учитывать, если нас
интересует рассеяние в любом направлении, кроме рассеяния «вперед» (в = 0). Для этого
вернемся к модели столкновений волновых пакетов (рис.4) и учтем, что на практике волновой пакет
/Л
II ^
I \
§-©
I'1 ч~^ II
1
b
Рис.4
Перед столкновением (а) падающий волновой пакет движется в сторону зоны действия
потенциала. После столкновения (Ь) существуют пакет прошедших волн и пакет рассеянных
потенциалом сферических волн (пунктирные линии). Прошедшие и рассеянные волны
интерферируют в прямом направлении деструктивно (сохранение полной вероятности).
Детектор D помещается сбоку от падающего пучка и чувствует только рассеянные волны
132

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
всегда ограничен в боковом направлении. Сначала падающий волновой пакет направляется в
сторону зоны действия потенциала V(v) (рис.4а). После столкновения (рис.4Ь) имеется волновой
пакет плоских волн, идентичный падающему, и волновой пакет рассеянных волн, удаляющихся от
точки О во всех направлениях. Обычно детектор D располагается вне падающего пучка, так что
в него не попадают прошедшие напрямую частицы, и наблюдается только рассеянный волновой
пакет. По этой причине нет необходимости учитывать упомянутые выше эффекты интерференции.
Однако из рассмотрения рис.4Ь следует, что интерференция пакета плоских волн и пакета
рассеянных волн существенна в прямом направлении, где они находятся в одной области
пространства. Прошедший волновой пакет является следствием этой интерференции. С другой стороны,
он должен иметь меньшую амплитуду, чем падающий пакет, так как полная вероятность
сохраняется неизменной (сохранение полного числа частиц). Рассеянные в отличных от прямого
направлениях частицы покидают пучок, и после прохождения через мишень его интенсивность
уменьшается. Это означает, что интерференция между пакетом плоских волн и пакетом волн, рассеянных
вперед, имеет деструктивный характер, что и обеспечивает сохранение полного числа частиц.
3. Интегральное уравнение рассеяния
В этом параграфе мы уточним, как можно более строго доказать существование
стационарных волновых функций, имеющих асимптотическое поведение вида (В-9). Для
этого запишем интегральное уравнение рассеяния, решения которого в точности
совпадают с волновыми функциями стационарных состояний рассеяния.
Вернемся к уравнению (В-7) на собственные значения гамильтониана Н и запишем
его в форме:
(Д + £2)ф(г) = *У(г)ф(г). (В-25)
Допустим (ниже мы убедимся, что это именно так), что имеется такая функция
G(r), что
(A + £2)G(r) = 5(r) (B-26)
[G(r) называется «функцией Грина» оператора A + k2]. Тогда любая функция ф(г),
удовлетворяющая соотношению:
ф(г) = ф0(г) + JrfУС(г - г') £/(г')Ф(г'), (В-27)
где ф0(г) —решение однородного уравнения:
(Д + *2)фо(г) = 0, (В-28)
удовлетворяет дифференциальному уравнению (В-25). Действительно, применив
оператор А + к2 к обеим частям равенства (В-27), с учетом (В-28) получим:
(Ь + к2)<р(г) = (А + к2) \d*r'G(r-r')U(r')y(r'). (В-29)
133

Глава VIII
Если внести оператор под интеграл, то он будет действовать только на переменную г , и
согласно (В-26) получим:
(& + k2)y(r) = jd*r'b(r-r')U(r')($>(r') = U(r)y(r). (В-30)
И обратно, можно показать, что всякое решение уравнения (В-25) удовлетворяет
равенству (В-27)*. Таким образом, можно заменить дифференциальное уравнение (В-25)
интегральным уравнением (В-27).
Сейчас мы покажем, что зачастую проще решать интегральное уравнение. Его
основное преимущество состоит в том, что выбирая функции ф()(г) и G(r) адекватным
образом, можно включить в уравнение желаемое асимптотическое поведение: так,
единственное дифференциальное уравнение, называемое интегральным уравнением
рассеяния, становится эквивалентом дифференциального уравнения (В-25) и асимптотического
условия (В-9).
Рассмотрим сначала уравнение (В-26). Оно требует, чтобы (A + £2)G(r)
тождественно равнялось нулю во всем пространстве, кроме начала координат [согласно
формуле (В-8) это верно для функции е'кг /г]. Кроме того, в соответствии с формулой F1)
приложения II функция G(r) при г —> О должна вести себя как -1/4яг . Действительно,
легко показать, что функции:
(В-31)
1 e±ikr
G+(r) = --
4л г
решениями уравнения (В-26):
V 4nr) 4тгг v '
К
Апг )
[Ve±lk'\
(В-32)
Тогда простые вычисления дают (см. приложение II):
ДС±(г) = -k2G±(r) + 8(г), (В-33)
что и доказывает искомый результат. Функции G+ и С_ называются соответственно
«исходящей» и «входящей» функциями Грина.
Сама форма асимптотического поведения (В-9), которую желательно получить,
побуждает выбрать для функции ф0(г) плоскую волну е'к: и для функции G(r) исходящую
функцию Грина G+(r). Теперь мы покажем, что интегральное уравнение рассеяния
записывается в виде:
* Это утверждение можно понять интуитивно, если рассмотреть £/(г)ф(г) как правую часть
неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение уравнения (В-25) получается в
виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения [правая часть равенства (В-27)].
134

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
v['m)(r) = eik:- + JrfVC+(r-r')f/(r') v['w,(r'),
(В-34)
то есть что решения уравнения (В-34) имеют асимптотическое поведение вида (В-9).
Для этого выберем точку М (положение г ), достаточно удаленную от точек Р
(положение г') зоны действия потенциала, линейные размеры которой порядка L * (рис.5):
г» L ;
r'<L.
(В-35)
Рис.5
Приближенное вычисление расстояния |г-г'|
между точкой М, удаленной от точек О и Р,
расположенных в зоне действия потенциала (размеры этой зоны
равны по порядку величины L)
Поскольку угол между отрезками МО и MP очень мал, то длина MP (то есть |г- г'|) с
хорошим приближением равна проекции MP на МО:
|r-r'| = r-u-r', (B-36)
где и — единичный вектор в направлении г .Отсюда следует, что на больших
расстояниях г:
С+(Г-Г0:
1;л
е
4л
г-г
471 Г
(В-37)
Подставив это выражение в уравнение (В-34), получим асимптотическое поведение vkcljn(r) :
1 e,k
v{k(,,fJ)(r) - e,kz-~ \d\'e-lk"r'U{v')vfff)(r'),
г-»*. An r
(B-38)
* Напомним, что U(r) уменьшается на бесконечности быстрее, чем 1 / г .
135

Глава VIII
что совпадает с формой выражения (В-9), так как интеграл уже не зависит от расстояния
г = ОМ, а только от полярных углов й и ф (через единичный вектор и),
определяющих направление вектора ОМ. Достаточно обозначить:
f^^) = -^\d'r'e-,k»r'U(r^fff){v'),
(В-39)
чтобы в точности получить выражение (В-9).
Итак, решения интегрального уравнения рассеяния (В-34) действительно
представляют собой стационарные состояния рассеяния*.
ЗАМЕЧАНИЕ
Часто бывает удобным определить волновой вектор падающей волны к, как
вектор с модулем к , направленный вдоль оси Oz падающего пучка, так что
ikz Jk.r
е = е ' .
(В-40)
Аналогично, вектор к^ с таким же модулем к, но ориентированный в
направлении, определяемом углами f} и ф, называется волновым вектором рассеянной
волны:
(В-41)
kd = kn .
И, наконец, волновой вектор, переданный в направлении ($ , ф), равен разности
kd и к,, (рис.6):
(В-42)
К = к,-к,.
Рис.6
Волновые векторы: падающий к,, рассеянный к£/ и
переданный К = k(l - к,
* Чтобы совершенно строго доказать существование стационарных состояний рассеяния,
достаточно было бы показать, что уравнение (В-34) допускает лишь одно решение.
136

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
4. Приближение Борна
а. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РАССЕЯНИЯ
С учетом выражения (В-40) интегральное уравнение рассеяния можно переписать в
виде:
vW)(r) = «А-г + \d3r'G+(r-r')U(r')v{kdiff,(r'). (B-43)
Это уравнение будем решать методом итераций.
Простое изменение обозначений (г => г'; г' => г" ) позволяет записать:
v^V') = eikrr' + Jj3r//G+(r/-O^/(r,0v^)(r"). (В-44)
Если это выражение подставить в уравнение (В-43), то
vu/#)(r) = eikrr + JdVG+(r-r/)t/(r>*,"r' +
+ jrfVJ^V,G+(r-r/)[/(r/)G+(r,-r,')f/(r'>;#)(r,/). (В-45)
В правой части выражения (В-45) два первых члена уже известны; только третий член
содержит неизвестную функцию v[diff)(Y) . Можно продолжить такую же операцию:
произвести замену в (В-43) г => г"; г' => г'" и получить v[dijf)(r"), затем снова ввести ее
в уравнение (В-45) и найти:
vfff)(r) = eikiV + JrfVG+(r-r')t/(r')Ar' +
+ \d*r'\d*r''G^Y-T')U(Y')G+(Y' -Y'')U(v")e^T'' +
+ jd3r'jd\"jd*r'"G+(Y-Y')U(Y')G+(Y'-Y")U(Y")X
xG+(r,/-rw)^(rw)v^y/)(r,//), (B-46)
где три первых члена известны, а неизвестная функция v[!i,ff)(r) перемещена в
четвертый член.
Таким образом, шаг за шагом можно построить выражение, которое получило
название разложения Борна стационарной рассеянной волны. Заметим, что каждый член
этого разложения содержит всякий раз дополнительное умножение на потенциал по
сравнению с предыдущим. Если потенциал мал, то все последующие члены становятся
все меньше и меньше. Если взять достаточно много членов разложения, то всегда можно
достичь ситуации, когда последним членом правой части можно пренебречь, то есть
выразить v(kdiff)(r) лишь через известные величины.
Подставив полученное разложение функции v[diff)(r) в выражение (В-39), получим
(разложение Борна амплитуды рассеяния. В частности, если ограничиться первым поряд-
137

Глава VIII
ком по U , то достаточно заменить v{kcl'in (г') экспонентой e'kl r в правой части
выражения (В-39). Этот случай называется борцовским приближением:
Л(Я)(», Ф) = -^ Jd V*-*u'r' */(r VVr' = - j- J</V V(k"-M"" (/(г') =
= -—J^YV'Kr'[/(r'), (B-47)
где К — волновой вектор переданной волны, определенный формулой (В-42). Таким
образом, поперечное сечение рассеяния в борцовском приближении представляет собой
просто преобразование Фурье от потенциала.
Действительно, если использовать формулы (В-24) и (В-6), то из выражения (В-47)
следует, что
a\B\b,if) = -^r\jd3re-iK-TV{r)\2. (B-48)
Согласно рис.6 направление и модуль волнового вектора переданной волны К
зависит одновременно от модуля к волновых векторов к, и к(/, а также от
рассматриваемого направления рассеяния @,ф). При фиксированных углах (т},ф) поперечное
борновское сечение зависит от к , то есть от энергии падающего пучка. Аналогично,
если задана энергия, то о{В) является функцией углов (Ф,ф). Таким образом, видно,
что в рамках простейшего борновского приближения исследование зависимости
дифференциального поперечного сечения от направления рассеяния и от энергии падающего
пучка дает возможность экспериментально исследовать форму потенциала V(r).
b. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФОРМУЛ
Формула (В-45) допускает физическую интерпретацию, которая очень четко
отражает формальную аналогию между квантовой механикой и волновой оптикой.
Рассмотрим зону действия потенциала как рассеивающую среду, плотность которой
пропорциональна U(r). Тогда функция С+(г-г/) представляет [формула (В-31)]
амплитуду волны, испущенной в точку г точечным источником, расположенным в точке г'.
Таким образом, формула (В-45) определяет полную волну в точке Г как результат
суперпозиции падающей волны elk,v и бесконечного количества волн, исходящих из
вторичных источников, индуцированных в рассеивающей среде падающей волной:
амплитуда каждого из таких источников пропорциональна значениям, которые принимает
в соответствующей точке г' падающая волна e'kl r , и плотность рассеивающей среды
[£/(гО].Эта интерпретация, схематически изображенная на рис.7, может быть
сопоставлена с принципом Гюйгенса в волновой оптике.
138

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
Рис.7
Схематическая иллюстрация
борновского приближения: учитываются
только падающая волна и
рассеянные волны, испытавшие
однократное рассеяние при взаимодействии
с потенциалом
На самом деле формула (В-45) содержит и третий член. Однако все последующие
члены борновского разложения можно интерпретировать аналогично. Действительно,
рассеивающая среда возбуждается не только падающей волной, но и рассеянными
волнами от других вторичных источников. Так, на рис.8 символически представлен третий
член борновского разложения [см. формулу (В-46)]. Если плотность рассеивающей
среды достаточно мала [U(r) очень мал], то можно пренебречь взаимным влиянием
вторичных источников.
Рис.8
Схематическое изображение члена
второго порядка по U в борновском
разложении: учитываются лишь
волны, испытавшие двукратное
рассеяние на потенциале
ЗАМЕЧАНИЕ
Только что изложенная интерпретация членов высшего порядка в борновском
разложении не имеет ничего общего с процессом многократного рассеяния,
которое может иметь место внутри достаточно толстой мишени. Здесь речь идет об
описании рассеяния одной частицы пучка на единственной частице мишени, тогда
как многократное рассеяние предполагает последовательное взаимодействие
одной и той же падающей частицы со многими различными частицами мишени.
С. РАССЕЯНИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ.
МЕТОД ФАЗОВОГО АНАЛИЗА
1. Принцип метода фазового анализа
В частном случае, когда потенциал V(r) является центральным, орбитальный
угловой момент L частицы является константой движения. Таким образом, существуют

Глава Will
стационарные состояния с точно определенным угловым моментом, то есть собственные
состояния, общие для операторов Н, L2 и Lz. Будем называть парциальными волнами
волновые функции, соответствующие этим состояниям, обозначая их символами
Ф*,/.ш(г) • Соответствующие собственные значения операторов Я, L2 и L. равны
ft2k2 /2\i, l{l + \)h2 и mh. Их угловая зависимость по-прежнему выражается с
помощью сферических гармоник У7"(Ф,ф), а потенциал V{r) входит только в радиальную
зависимость.
Можно ожидать, что для больших г парциальные волны будут очень близки к
собственным функциям, общим для операторов Н0, L2 и L,, где Я0 — гамильтониан
свободной частицы (В-2). Именно поэтому мы начнем с рассмотрения в § С-2
стационарных состояний свободной частицы, и, в частности, с тех из них, которые обладают
строго определенным угловым моментом. Соответствующие волновые функции ф@)*,/,ш(г)
являются свободными сферическими волнами', их угловая зависимость совпадает,
конечно, с угловой зависимостью сферических гармоник. Ниже мы увидим, что
асимптотическое поведение их радиальной функции представляет собой суперпозицию «входящей»
волны e~l r I г и «исходящей» волны е'r I r с вполне определенной разностью фаз.
Асимптотическое поведение парциальной волны фы,,„(г) в потенциале V(r) также
является (§С-3) суперпозицией входящей и исходящей волн. Однако разность фаз между
этими двумя волнами отличается от разности фаз, характеризующей соответствующую
свободную сферическую волну: потенциал V(r) вносит дополнительный сдвиг фазы 8,.
Этот сдвиг фазы является единственным отличием между асимптотическим поведением
ф;////(г) и функцией ф@)А./.ш(г). Таким образом, знание 5, при фиксированном к для
всех возможных значений / должно быть достаточным для определения поперечного
сечения.
Чтобы выполнить эти вычисления, мы построим (§ С-4) стационарное состояние
рассеяния v[ciiJf)(r) как линейную комбинацию парциальных волн Ф*(/>,„(г) с
одинаковой энергией, но с различными угловыми моментами /. Простые физические аргументы
говорят о том, что коэффициенты этой линейной комбинации должны быть теми же, что
и коэффициенты разложения плоской волны е'к: по свободным сферическим волнам, и
это будет подтверждено непосредственными вычислениями.
Итак, использование парциальных волн позволяет выразить амплитуду рассеяния и
поперечное сечение через сдвиги фаз 8,. Этот метод особенно интересен в том случае,
когда дальнодействие потенциала не слишком превышает длину волны, связанную с
движением частицы, так как при этом можно учитывать небольшое количество фазовых
сдвигов (§ C-3-b-P).
140

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
2. Стационарные состояния свободной частицы
В классической механике свободная частица с массой ц движется равномерно и
прямолинейно. Ее импульс р , энергия Е = р2 /2\х и угловой момент 5? = г хр
относительно начала системы координат являются константами движения.
В квантовой механике наблюдаемые Р и L = RxP не коммутируют. Таким
образом, они являются несовместимыми величинами: одновременное измерение импульса и
углового момента частицы невозможно.
Квантовый гамильтониан Н0 свободной частицы имеет вид:
Я0=-^-Р2. (С-1)
2\i
Гамильтониан Н0 сам по себе не образует полного набора коммутирующих операторов,
так как его собственные значения бесконечно вырождены (§ 2-а). Напротив, четыре
наблюдаемые:
"о. ^ Л- pz (C-2)
образуют полный набор коммутирующих операторов. Их собственные общие состояния
являются стационарными состояниями со строго определенным импульсом.
Можно также рассмотреть свободную частицу, как находящуюся в поле нулевого
центрального потенциала. Результаты главы VII тогда позволяют заключить, что три
наблюдаемые:
Н{), L2, Lz (С-3)
образуют полный набор коммутирующих операторов. Соответствующие собственные
состояния являются стационарными состояниями с определенным угловым моментом
(точнее говоря, определенные значения имеют L2 и L., но не Lx и L ).
Базисы пространства состояний, определенных операторами (С-2) и (С-3),
различны, так как Р и L являются несовместимыми величинами. Ниже мы исследуем оба
этих базиса и укажем, как можно выполнить переход между ними.
а. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ С ОПРЕДЕЛЕННЫМ ИМПУЛЬСОМ.
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
Мы уже знаем (см. § E-2-d), что три наблюдаемые Рх, Р , Р, образуют полный набор
коммутирующих операторов (для частицы без спина). Их общие собственные состояния
являются базисом в представлении {|р)}:
Р|р> = р|р). (С-4)
141

Глава Will
(НР> = Ш>Г'Й- (С-7)
Поскольку Н{) коммутирует с этими тремя наблюдаемыми, то состояния |р) являются
также и его собственными состояниями:
"o|p> = |j-|p>. (C-5)
Спектр гамильтониана Н(), таким образом, непрерывен и состоит из положительных
чисел или нулей. Каждое из этих собственных значений бесконечно вырождено, так как
если зафиксировать положительное значение энергии Е, то ему соответствует
бесконечное множество кет-векторов |р), ибо существует бесконечное множество обычных
векторов р, модуль которых удовлетворяет равенству:
|р| = л/2Й^. (С-6)
Волновые функции, связанные с векторами |р), представляют собой плоские волны
(см. §Е-1-а главы II):
г
Чтобы охарактеризовать плоскую волну, введем волновой вектор к :
к = ^ (С-8)
Л
и обозначим:
|кНл)м|р>. (С-9)
Векторы |к) являются стационарными состояниями с определенным импульсом:
Я„|к) = ^|к); (С-10-а)
Р|к) = йк|к). (C-10-b)
Они ортонормированы в широком смысле слова:
(k|k') = 5(k-k') (С-11)
и образуют базис в пространстве состояний:
|Л|к)(к| = 1. (С-12)
Соответствующие волновые функции являются плоскими волнами, нормированными
несколько иначе:
<rikHiPkr- (C-13)
142

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
Ь. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ С ОПРЕДЕЛЕННЫМ УГЛОВЫМ МОМЕНТОМ.
СВОБОДНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Чтобы получить общие собственные функции операторов Н(), L2, Lz, достаточно
решить радиальное уравнение для центрального потенциала, равного нулю. Это
решение подробно изложено в дополнении Ауш, а здесь мы только приведем его результаты.
Свободные сферические волны являются волновыми функциями стационарных
состояний Ф;0),,,} свободной частицы, имеющей определенный угловой момент. Они
имеют вид:
фГ,.„Дг) = J— ;,(**•) г/ч*, ф). (с-14)
V и
где j, — сферические функции Бесселя, определяемые равенством:
у,(Р) = (-П'р'
Р dp)
^. (С-15)
Собственные значения операторов Я0, L2, L. равны соответственно ti2k2 /2[i, l(l + \)h2
и mti.
Свободные сферические волны (С-14) ортонормированы в широком смысле слова:
{<,.,„\<.r.«) = lkk'£j,{kr) jr(k'r)r2dr\dQ.Y?(b.Ф) Y?\®,Ф) = 8(k - *')S„.5„,„,
(C-16)
и образуют базис в пространстве состояний:
J>il \<\,,)№Ц = 1- (С-17)
с. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СВОБОДНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛН
а. Угловая зависимость
Угловая зависимость свободной сферической волны Ф*0)/>/;|(г) полностью определяется
сферической гармоникой У/"(т),ф). Она зависит от собственных значений операторов
I/ и L. через квантовые числа / и т , но не зависит от энергии. Например, свободная
сферическая волна s(l = 0) всегда изотропна.
143

Глава VIII
Р. Поведение вблизи начала системы координат
Зафиксируем бесконечно малый телесный угол dQ0 вблизи направления (д0,ф0).
Если частица находится в состоянии Ф*0)/ ,„), то вероятность найти ее в этом телесном
угле на расстоянии от г до г+ dr пропорциональна:
г'№)|1ГF0,ф0)| drdQ0.
Можно показать (дополнение АУш, § 2-с-ос), что при р —»0:
(С-18)
Л(Р) -
р-^о B/ + 1)!!
(С-19)
Из этого результата, непосредственно следующего из общего анализа главы VII (§ А-2-с),
вытекает, что вероятность (С-18) ведет себя вблизи начала системы координат как г2/ + 2
и возрастает тем медленнее, чем больше /.
Вид функции p2jf(p) представлен на рис.9. Видно, что она становится очень малой,
если
p<V/(' + D. (C-20)
P2J?(P)
Ход функции p2jf(p), определяющей радиальную зависимость вероятности нахождения
в состоянии Ф^0/ ,„) • Вблизи начала отсчета эта функция ведет себя как г2/ + 2 и остается
практически равной нулю, если р < ^/(/ + 1)
144

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
Таким образом, можно считать, что вероятность (С-18) практически равна нулю, если
г<уфA + 1). (С-21)
к
Этот результат очень важен физически, так как из него следует, что частица в состоянии
Фа°/.»|) практически нечувствительна ко всему, что происходит внутри сферы с
центром в точке О, имеющей радиус:
bl(k) = jjl(l + l). (C-22)
К этому выводу мы вернемся еще в § С-3-Ь-C.
ЗАМЕЧАНИЕ
В классической механике свободная частица с импульсом р и угловым
моментом & движется по прямой, расстояние которой до точки О равно:
Ь = \4. (С-23)
|р|
Величина Ъ называется прицельным параметром частицы относительно точки О ; он
тем больше, чем больше \<£\ и чем меньше импульс (то есть энергия частицы). Если
в формуле (С-23) заменить \&\ на hy]l(l +1) и |р| на Ш, то получим выражение
(С-22) для Ь, (к), что позволяет дать этой величине полуклассическую интерпретацию.
4*
Рис.10
Определение классического прицельного
параметра Ь частицы с импульсом р и угловым
моментом £ относительно точки О.
10 Том И. Квантовая...
145

Глава VIII
у. Асимптотическое поведение
Можно показать (§ 2-с-C дополнения Ауш), что при р —> °о :
у'Др) ~ -sin
1 . ( .я
P-/-I- (С-24)
Таким образом, асимптотическое поведение свободной сферической волны ф(/)}; ;и(г)
таково, что
hk2 P~lkn P 2 -P,kr Р 2
чО^Ф) - -^Г(^Ф) (С-25)
г-*°° V я 2ikr
На бесконечности функция (pf) ш представляет собой суперпозицию входящей волны
e~'kr I г и исходящей волны e,kr I г, между которыми имеется разность фаз, равная In.
ЗАМЕЧАНИЕ
Допустим, что нужно образовать пакет свободных сферических волн,
соответствующих одинаковым значениям чисел / и т . Для этого можно применить
рассуждения, аналогичные приведенным в замечании (i) (§ B-1-b). Получим
следующий результат: для больших отрицательных значений t существует только
входящий волновой пакет, тогда как для больших положительных значений /
имеется только исходящий волновой пакет. Таким образом, свободную сферическую
волну можно схематически представить следующей моделью: сначала имеется
входящая волна, сходящаяся в точку О; по мере приближения к этой точке она
деформируется, затем на расстоянии порядка b,(k) [формула (С-22)] изменяет
направление движения на обратное и порождает исходящую волну, сдвинутую по
фазе на In.
d. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
НА СВОБОДНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Итак, мы знаем два различных базиса собственных состояний гамильтониана Н():
базис {|к) }, связанный с плоскими волнами, и базис { Ф*0),,,) }, связанный со
свободными сферическими волнами. Произвольный кет может быть разложен в любом из этих
двух базисов.
Рассмотрим, в частности, кет |0,ОД), с которым связана плоская волна с волновым
вектором к , направленным вдоль оси Ог :
146

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
(г | 0, 0, *) = (—] eik\ (C-26)
где кет |0,0, к) описывает состояние с определенными значениями энергии и импульса
( Е - trk2 /2jli ; вектор р направлен вдоль Oz и имеет модуль hk ). Но
eikz=eikr™* (C_27)
Т ,1ч, /г Э
не зависит от ф, и, поскольку оператор и действует в представлении { г)} как ——-,
/ Эф
то кет |о,од) является также собственным вектором оператора U с нулевым
собственным значением:
U |0,0Д)=0. (С-28)
Используя соотношение замкнутости (С-17), можно записать:
|0,0. *) = ]>'£ S |ф1°:,„,>(ф1о.',,„|0,0Д>. (С-29)
Поскольку |0,0, к) и ф(/'\ш) являются собственными состояниями гамильтониана Н{),
они ортогональны, если соответствующие собственные значения различны, то есть их
скалярное произведение равно 8(£' - к). Аналогично, оба этих вектора являются
собственными векторами оператора L., и их скалярное произведение пропорционально 8/и0
[см. соотношение (С-28)]. Тогда формула (С-29) принимает вид:
|о,од)=£сА,,|((С,A). (с-зо)
/ = о
Коэффициенты ckJ можно вычислить в явной форме (§3 дополнения Ауш). При
этом получим:
eik: = t il4^2^Y) j^Y?^ (C-31)
Таким образом, состояние с определенным импульсом является суперпозицией
состояний, соответствующих всем возможным значениям углового момента.
ЗАМЕЧАНИЕ
Сферическая гармоника Y, (Ь) пропорциональна полиному Лежандра Pl(cos'd)
(§ 2-е-а дополнения AV|):
10*
147

Глава VIII
^) = /^ГР'(С0*д)'
Поэтому часто разложение (С-31) записывают в виде:
elb=fli,Bl + l)jl(kr)Pl(cosb).
/=0
(С-32)
(С-33)
3. Парциальные волны в потенциале V(r)
Далее мы изучим собственные функции, общие для операторов Н (полный
гамильтониан), L2 и Lz, то есть парциальные волны q>ktltm(r) -
а. РАДИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ. СДВИГИ ФАЗ
Каким бы ни был центральный потенциал V(r), парциальные волны Ф*/т(г)
имеют вид:
Ф*,,.|Я(г) = ЛА1|(г)^(*,ф) = -11^/(г)^(«,ф),
где ик j (г) — решение радиального уравнения:
2 +V(r)
ti2 d2 l(l + \)h2
2[i dr 2\лГ
trk2
2ц
удовлетворяющего условию в начале координат:
им@) = 0.
(С-34)
(С-35)
(С-36)
Таким образом, все происходит так, как в одномерной задаче, в которой частица с
массой (X взаимодействует с потенциалом (рис.11):
Veff(r) = V(r) +
Vtf(r)->~,
/(/ + l)ft2
2цг2
если г > 0;
если г < 0.
(С-37)
Для больших значений г уравнение (С-35) может быть представлено проще:
dr2
+ к'
ukJ(r) » 0,
(С-38)
148

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
КМ
У У(г)
->г
Рис. 11
Эффективный потенциал Veff(r) является
суммой потенциала V(r) и центробежного
члена
/(/ + 1)Г
2\ir2
общим решением которого является функция:
ukl(r) « Aeikr + Be~ikr.
(С-39)
Поскольку ukl(r) должна удовлетворять условию (С-36), константы А и В не могут
быть произвольными. В эквивалентной одномерной задаче (С-37) уравнение (С-36)
выражало обращение потенциала в бесконечность при отрицательных значениях г, и
выражение (С-39) представляет суперпозицию плоской «падающей» волны e~'kr, движущейся
справа по оси, на которой находится исследуемая фиктивная частица, и «прошедшей»
волны [так как V(r) бесконечен на всей отрицательной полуоси], а «отраженный» ток
должен быть равен «падающему» току. Отсюда видно, что условие (С-36) требует, чтобы
в асимптотическом выражении (С-39):
Итак:
ukl(r) » lAl^V'+e-V"],
что позволяет переписать ее в форме:
ukJ(r) » Ся#|(*г-0,).
(С-40)
(С-41)
(С-42)
Реальная фаза C, точно определена, если потребовать обращения в нуль решения
уравнения (С-35) в начале координат. В случае, когда потенциал V(r) тождественно
равен нулю, в § С-2-с-у мы видели, что Р, = In 12 . Удобно принять это значение в
качестве опорного, то есть положить:
149

Глава VIII
ukl(r) - Cj//2 *r-/- + 8, (C-43)
и назвать определенную таким образом величину 8, сдвигом фазы парциальной волны
Ф*./.»ДГ)> который, естественно, зависит от к , то есть от энергии.
Ь. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СДВИГА ФАЗ
а. Сравнение парциальных волн со свободными сферическими волнами
С учетом выражений (С-34) и (С-43) асимптотическое поведение функции ФА.>Л/И(г)
имеет вид:
* (о - с■***-»"+"■> г(..,)-сг(м'*'<'!"'1;'''^1.
,_>оо r iir
(С-44)
Здесь, как и в случае свободной сферической волны (С-25), мы видим, что парциальная
волна фА , /н(г) образуется как суперпозиция входящей волны и исходящей волны.
Чтобы конкретизировать сравнение между парциальными и свободными
сферическими волнами, можно изменить форму записи входящей волны (С-44) так, чтобы она
совпадала с формой записи (С-25); для этого определим новую парциальную волну
Ф*./.нЛг)» умножив ф^/иДг) на е'6' (этот общий фазовый множитель с физической
точки зрения не имеет значения) и выбрав постоянную С так, чтобы
-ikr iln/2 _ ikr -Mil 2/6,
Ф,.,,,„(г) « -Г(*.Ф)- ^7 — • (С-45)
,_>оо 2ikr
Тогда можно интерпретировать это выражение следующим образом (см. замечание в
§С-2-с-у): сначала имеется такая же входящая волна, как и в случае свободной частицы
(с точностью до постоянной нормировки yjlk2 In ). По мере приближения этой
входящей волны к зоне действия потенциала она испытывает все усиливающееся возмущение,
и после того, как она изменяет направление движения на обратное, накапливает сдвиг
фазы 28/ относительно фазы свободной исходящей волны, которая была бы в случае
равенства нулю потенциала V(r). Множитель е2'6', зависящий от / и к, кумулирует,
таким образом, действие потенциала на частицу с угловым моментом /.
ЗАМЕЧАНИЕ
На самом деле все изложенные выше рассуждения справедливы только в том случае,
если волновой пакет образован из суперпозиции парциальных волн фл./,„(г) с одинако-
150

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
выми / и т , но слегка различными значениями к . Для больших отрицательных t имеется
лишь пакет входящих волн; выше мы анализировали последующую эволюцию этого пакета
волн, направляющегося в сторону зоны действия потенциала.
Но можно было бы принять и другую точку зрения, выраженную в замечании (ii) к § B-1-b,
то есть изучать медленное «включение» потенциала V(r) во взаимодействие со свободной
стационарной сферической волной. Похожие рассуждения позволили бы тогда показать,
что парциальная волна Ц)к , ш(г) может быть получена в результате адиабатического
включения потенциала V(r) во взаимодействие со свободной сферической волной
Ф»..(г>.
Р. Потенциалы конечной протяженности
Допустим, что рассматриваемый потенциал V(r) имеет конечную протяженность
действия, то есть
У(г) = 0,если r>r0. (C-46)
Выше (§ С-2-с-C) мы указывали, что свободная сферическая волна Ф^/^Дг)
практически не проникает в сферу с центром в точке О и радиусом b,(k). Если вспомнить
интерпретацию, которую мы только что дали формуле (С-45), то видно, что потенциал,
удовлетворяющий условию (С-46), практически не действует на волны, для которых
*/(*)»/«, (С-47)
так как входящая волна изменяет направление движения раньше, чем достигнет зоны
действия V(r). Для каждого значения энергии существует критическое значение 1М
углового момента, приближенно определяемое формулой:
V/M(/„+l)s*r0. (C-48)
Это значит, что сдвиг фазы существенно важен только для значений меньших или
порядка 1М.
Величина \м тем меньше, чем меньше протяженность зоны действия потенциала и
чем меньше энергия падающей частицы. Может случиться, что единственные отличные
от нуля сдвиги фазы будут соответствовать первым парциальным волнам: волне s(l = 0)
с самой низкой энергией, затем волнам ^ирс несколько большими энергиями и т. д.*
* Величина /л/ порядка kr{), то есть порядка отношения между протяженностью потенциала
г() и длиной волны падающей частицы.
151

Глава VIII
4. Выражение поперечного сечения через сдвиги фаз
Сдвиги фаз характеризуют изменения, вносимые потенциалом в асимптотическое
поведение стационарных состояний с определенным угловым моментом. Знание их
должно позволить определить поперечное сечение. Чтобы доказать это, достаточно
выразить стационарное состояние рассеяния v[diff){r) через парциальные волны* и
вычислить амплитуду рассеяния.
а. ПОСТРОЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ РАССЕЯНИЯ
С ПОМОЩЬЮ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
Будем искать линейную суперпозицию парциальных волн, асимптотическое
поведение которых имеет форму (В-9). Поскольку стационарное состояние рассеяния является
собственным состоянием гамильтониана Я, то разложение v[diff){r) будет содержать
только парциальные волны, имеющие одинаковую энергию h2k2 /2\i. Заметим, кроме
того, что в случае центрального потенциала V(r) изучаемая задача о рассеянии
обладает симметрией вращения вокруг оси Oz, совпадающей с направлением падающего
пучка. В результате стационарная волновая функция рассеяния v[diff)(r) не должна зависеть
от азимутального угла ф , так что ее разложение будет содержать только те парциальные
волны, для которых т = О . В конечном счете получим выражение следующего вида:
vi*)(r) = ic,$t.M)(r). (C-49)
Задача сводится к нахождению коэффициентов с,.
а. Интуитивные рассуждения
Если потенциал V(r) тождественно равен нулю, то функция v{k(liJf)(r) сводится к
плоской волне e'kz, а парциальные волны — к свободным сферическим волнам Ф*0)Л|И(г).
В этом случае разложение (С-49) известно: оно определяется формулой (С-31).
Если же V(r) отличен от нуля, то в функцию v[cliff)(r), кроме плоской волны, входит
и расходящаяся рассеянная волна. С другой стороны, мы видели, что Ф^/@(г) отличается
* Если связанные состояния частицы в поле потенциала V(r) существуют (стационарные
состояния с отрицательной энергией), то система парциальных волн не образует базис в
пространстве состояний; чтобы получить такой базис, следует дополнить парциальные волны волновыми
функциями связанных состояний.
152

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
от ф4;ло(г) с точки зрения асимптотического поведения только наличием исходящей
волны, имеющей ту же радиальную зависимость, что и рассеянная волна. Таким
образом, можно ожидать, что коэффициенты с, разложения (С-49) окажутся теми же, что и в
формуле (С-31), то есть:
vi^)(r)=£i,V4wBZ + lH/k./fO(r). (C-50)
/ = о
ЗАМЕЧАНИЕ
Формулу (С-50) можно также понять, исходя из интерпретации, данной в замечании
(и) к §В-1-Ь и в замечании к §С-3-Ь-ос. Если потенциал V(r) включается адиабатически,
действуя на плоскую волну с разложением (С-31), то она преобразуется в стационарное
состояние рассеяния: левая часть равенства (С-31) должна быть заменена на v{. (r) .
Впрочем, каждая из свободных сферических волн jt(kr) ^°(в), фигурирующих в правой части
(С-31), при этом включении преобразуется в парциальную волну cpAt/>0(r) • С учетом
линейности уравнения Шредингера в конце концов получаем равенство (С-50).
C. Точное доказательство
Рассмотрим теперь формулу (С-50), которая была предложена как физическое
приближение рассматриваемой задачи, и покажем, что из нее действительно можно
получить искомое разложение.
Сначала отметим, что правая часть равенства (С-50) является суперпозицией
собственных состояний гамильтониана Я, имеющих одинаковую энергию Ti2k2 I2\l, и эта
суперпозиция остается стационарным состоянием.
Теперь достаточно убедиться, что асимптотическое поведение суммы (С-50)
действительно имеет форму выражения (В-9). Для этого используем формулу (С-45):
£/74яB/ + 1)фА/0(г) - -£ |'^4яB/ + 1) У,°(Ъ)^г
/=о ' ' г-*°° / = о 2/Ат
(С-51)
Чтобы выяснить асимптотическую форму разложения (С-31), запишем:
еы> =\ + 2iei6'sin8l (C-52)
и перегруппируем члены, не зависящие от 8,:
е е 1 - е е
- е
2/6,
153

Глава VIII
li'j4nBl + l)<f>klA)(r) - -i/'V4nB/ + l)yf(d)x
-/At Jlnll ikr -Hnll Jkr л ..
e e -e e el ->i- /8
likr
e Vй' smb.
г к '
(C-53)
Если учесть выражения (С-25) и (С-31), то в первом члене правой части нетрудно узнать
асимптотическое разложение плоской волны е'к:, и в конечном счете получим:
£i'V4nB/ + l)$Wr) ~ elkz + fk(b)—,
(С-54)
где
к /=о
(С-55)
Таким образом, доказано, что разложение (С-50) является правильным, и
одновременно найдено выражение для амплитуды рассеяния fk (д) через сдвиги фаз 8,.
Ь. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Дифференциальное поперечное сечение рассеяния определяется формулой (В-24) и
равно:
а(в) = |Л(»)Г=р-
fJ^4nBl + \)ei?>'sin6l К,°(#)
(С-56)
Полное поперечное сечение можно получить путем интегрирования по углам:
1
а = jdQo(b) = — £47^B/+ 1)B/' + 1) ei{b,'&r) sinS, sin8r x
k~ /.г
xJdQ>;?*(e)^0(«).
(C-57)
Поскольку сферические гармоники ортонормированы [формула (D-23) главы VI], то
окончательно:
а = -4ХB/ + 1)л7/г28,.
/Г / = о
(С-58)
Таким образом, интерференционные члены между волнами с различными угловыми
моментами не входят в полное поперечное сечение. Каким бы ни был потенциал V(r),
* Множитель / компенсирован членом е 2 = (-/)
154

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
вклад члена —уB/ + 1)шг25м связанного с определенным значением /, всегда положи-
471
телен и ограничен сверху для заданного значения энергии величиной —у B/ + 1).
к.
В принципе формулы (С-56) и (С-58) требуют знания всех сдвигов фазы 8,.
Напомним (см. § С-З-а), что последние вычисляются из радиального уравнения при известном
потенциале V(r). Это уравнение должно быть решено для каждого значения / в
отдельности (чаще всего приходится использовать численные методы расчета).
Вследствие этого метод фазового анализа представляет практический интерес лишь в тех
случаях, когда отличных от нуля сдвигов фазы относительно немного и они малы. Как уже
отмечалось в § С-3-Ь-C, для потенциала с конечной протяженностью сдвиги фаз
пренебрежимо малы, если / > 1М , где критическое значение 1М определено формулой (С-48).
Если потенциал V(r) с самого начала неизвестен, то стремятся воспроизвести
экспериментальные кривые, описывающие дифференциальное поперечное сечение при
фиксированной энергии, минимально возможным количеством отличных от нуля
сдвигов фазы. Сама форма зависимости поперечного сечения от угла в часто подсказывает,
какое минимальное количество сдвигов фазы нужно учесть. Например, если
ограничиться волной s, то формула (С-56) предполагает изотропность дифференциального
поперечного сечения, так как У[}° — постоянная величина. Если же в эксперименте
обнаруживается угловая зависимость а(д), то отличны от нуля и другие фазовые сдвиги.
Всякий раз, когда в результате предварительного анализа экспериментальных данных,
полученных при разных энергиях, определены сдвиги фаз, вносящие основной вклад в
поперечное сечение, можно искать теоретические модели потенциалов, наилучшим
образом дающие эти сдвиги фаз и их зависимость от энергии.
ЗАМЕЧАНИЕ
Зависимость поперечных сечений от энергии Е = frk2 /2[i падающей частицы
столь же интересна, как и угловая зависимость сг(О). В частности, в ряде случаев
наблюдаются резкие изменения полного поперечного сечения а вблизи
некоторых значений энергии. Например, если один из фазовых сдвигов проходит через
значение я / 2 при определенном значении Е - £(), то соответствующий вклад в
а принимает максимальное значение, и поперечное сечение может иметь
достаточно острый максимум при Е = Е0. Это явление получило название «резонанса
рассеяния». Его можно сравнить с поведением коэффициента прохождения через
одномерную прямоугольную потенциальную яму, описанным в главе I (§ D-2-c-C).
155

ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
Глава VIII предназначена служить точкой опоры для других дисциплин (например, ядерной
физики). Этот материал можно использовать для физических приложений теории столкновений.
Аущ. Свободная частица. Стационарные
состояния с определенным угловым
моментом.
Aviii: формальный анализ стационарных
волновых функций свободной частицы с
определенным угловым моментом. Использование
операторов L+ и L_ позволяет ввести
сферические функции Бесселя и доказать ряд
их важных свойств, используемых в § С
главы VIII.
Вущ. Феноменологическое описание
столкновений с поглощением.
ВуШ: позволяет распространить на
столкновения с поглощением формализм главы VIII,
принимая феноменологическую точку зрения,
в принципе аналогичную изложенной в
дополнении Кш. Доказывается «оптическая
теорема». Существенных трудностей не
представляет, если материал главы VIII проработан
достаточно полно.
Суш* Простые примеры приложения
теории рассеяния.
Cvm: иллюстрация результатов главы VIII на
нескольких конкретных примерах.
Рекомендуется проработать §1 при первом чтении,
так как в нем рассмотрены важные
физические результаты (формула Рэзерфорда).
Следующий параграф можно рассматривать как
решенное упражнение, а в §3 сформулированы
условия задач для самостоятельной работы.
156

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
Дополнение Аут
СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
С ОПРЕДЕЛЕННЫМ УГЛОВЫМ МОМЕНТОМ
1. Радиальное уравнение.
2. Свободные сферические волны.
a. Рекуррентные соотношения.
b. Расчет свободных сферических волн.
c. Свойства.
3. Связь свободных сферических волн с плоскими волнами.
В § С-2 главы VIII мы ввели два различных базиса стационарных состояний
свободной частицы без спина, гамильтониан которой имеет вид:
Р2
И,--. (!)
Первый из них образован собственными состояниями, общими для оператора Н0 и трех
компонент оператора импульса Р, и соответствующие волновые функции являются
плоскими волнами. Второй образован стационарными состояниями с определенным
угловым моментом, то есть собственными состояниями, общими для операторов Н0, L2 и
L,, основные свойства которых были рассмотрены в § С-2 главы VIII. Здесь мы
детально изучим именно этот второй базис и, в частности, получим ряд результатов,
использованных в главе VIII.
1.Радиальное уравнение
Гамильтониан A) коммутирует с тремя компонентами орбитального углового
момента L частицы:
[#0,L] = 0. B)
Поэтому можно применить к этой частной задаче общую теорию, развитую в § А главы VII.
Мы знаем, что свободные сферические волны (собственные функции, общие для
операторов Н(), L2 и Lz) по необходимости имеют форму:
Ф(*0)/.и(г) = ^°/)(г)Г(*.Ф)- C)
Радиальная функция R[°j(r) является решением уравнения:
157

Глава VIII
Ь2 1 d2 l(l + \)h2
-r + —
2\x г dr 2\ir
R™{r) = EtJR™(r),
D)
где Ekl —собственное значение оператора //„, соответствующее функции Ф^0>, „,(г)
Если обозначить:
1
Or) = -«!>),
Г
то функция ык )(г) определяется уравнением:
d2 /(/ + 1) 2\хЕк1
dr
к которому следует добавить условие:
П1
4» = о,
4°!@) =
0.
E)
F)
G)
Прежде всего, можно показать, что уравнения F) и G) позволяют найти спектр
гамильтониана Н() и сравнить его с уже полученным при исследовании плоских волн
[формула (С-5) главы VIII]. Заметим, что минимальное значение потенциала (хотя мы и
приняли его нулевым) равно нулю, и, следовательно, стационарные состояния с
отрицательной энергией не существуют (см. дополнение Мш). Рассмотрим тогда произвольное
положительное значение Ек ,, входящее в уравнение F) и обозначим:
k=-j2\iEkJ .
(8)
Если устремить г —»с» , то центробежный член /(/ + 1) / г2 станет пренебрежимо малым
по сравнению с постоянным членом в уравнении F), которое при этом можно записать
приближенно:
dr
+ к<
«J» = 0.
(9)
В результате все решения уравнения F) имеют физически приемлемое асимптотическое
поведение (линейная комбинация экспонент е'кг и е~'кг). Единственное ограничение
налагается условием G): мы знаем (см. § A-3-b главы VII), что для заданного значения
Ек / существует единственная функция (с точностью до постоянного множителя),
которая удовлетворяет одновременно равенствам F) и G). Таким образом, для любого
положительного значения EkJ радиальное уравнение F) имеет единственное приемлемое
решение.
158

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
Итак, спектр оператора Н() состоит только из положительных значений энергии.
Кроме того, мы видим, что набор допустимых значений Ек , не зависит от /, и этот
индекс может быть опущен. Что касается индекса к, то мы идентифицируем его с
константой, определенной равенством (8), что позволяет записать:
П2к2
Ек= ,где^>0. A0)
2|1
Каждое из этих значений энергии бесконечно вырождено. Действительно, при
фиксированном значении к существует допустимое решение и(к°)(г) радиального уравнения,
соответствующее энергии Ек для каждого целого положительного или равного нулю
значения /; кроме того, определенной радиальной функции и{к°)(г) можно сопоставить с
помощью формулы C) B/ + 1) независимых волновых функций и[0)(г). Итак, в этом
частном случае мы снова обнаруживаем общий результат, доказанный в § A-3-b главы VII:
Н0, L2 и L. образуют полный набор коммутирующих операторов в пространстве Yr, и
задание трех индексов к , / и ш достаточно для единственного определения
соответствующего базиса.
2. Свободные сферические волны
Радиальные функции R(k0),(r) = — и[0)(г) можно найти, непосредственно решив урав-
г
нение F) или уравнение D). Последнее из них без труда сводится (см. замечание в § 2-с-C)
к дифференциальному уравнению, известному под названием «сферического уравнения
Бесселя», решения которого были детально исследованы. Вместо того, чтобы
непосредственно использовать эти результаты, мы посмотрим, как можно простыми средствами
вывести собственные функции, общие для операторов Н0, L2 и L,, из решений,
соответствующих нулевому собственному значению оператора L2.
а. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Определим оператор:
Р+ = РХ+*РУ (И)
через операторы компонент Рх и Ру импульса Р. Мы знаем, что Р — векторная на-
159

Глава Will
блюдаемая (см. §5-с дополнения BVi), что отражается на следующих соотношениях
коммутации* между ее компонентами и компонентами оператора углового момента L :
[L,./>,] = 0;
[Lx,Pz] = -ihPy. A2)
Остальные равенства получаются путем круговых перестановок индексов х, у, z .
Исходя из этих соотношений с помощью несложных алгебраических расчетов можно
получить коммутаторы операторов L. и L2 с оператором Р+:
[L:,P+] = »P+; A3-а)
[l2, Р+] = 2й(р+ LZ-PZL,) + 2Ь2Р+. A3-Ь)
Рассмотрим теперь произвольную собственную функцию Ф^/^Дг), общую для
операторов Я(), L2 и L. с собственными значениями Ек, l(l + \)h2 и mh. Применяя
операторы L+ и L_, можно получить 2/ других собственных функций, имеющих
одинаковую энергию Ек и одинаковые значения /. Действительно, поскольку операторы Я0 и
L коммутируют, имеем, например:
На К ф10)/.я(г) = К ЯоЧСДг) = £, ^+ фГ„„(г) , A4)
и функция L+(p[0j т(г), которая отлична от нуля, если тФ\, является собственной
функцией оператора Я() с тем же собственным значением, что и функция Ф(Л0)Лл|(г).
Итак:
^ф'Д„Д»-)-<|С.т±,(г). A5)
Подействуем теперь оператором Р+ на функцию ф(А0)Ли|(г). Прежде всего, поскольку
Я() коммутирует с Р, можно повторить для Р+ ф(Д „, предыдущие рассуждения. С другой
стороны, согласно выражению A3-а) имеем:
к Р. чС-Ог) = ^+ ^<Pu»+^fu- = 0и + 1)ЙР+фГ,„,(г). A6)
Таким образом, Р+ (рк°) т является собственной функцией оператора L. с собственным
значением (ш+1)Й . Используя аналогичным образом равенство A3-Ь), видим, что на-
* Эти соотношения могут быть получены непосредственно из определения L = R х Р и
канонических правил коммутации.
160

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
личие члена Pz L+ говорит о том, что в общем случае Р+ Ф*0/ ,„ не является собственной
функцией оператора L2. Однако если т = /, вклад этого члена равен нулю:
L2 Р^Ти = PXvTu +2hP+Lz^u +2//2/>+<Pi0),./ = [«/ + 1) + 2/ + 2]й2Р+Ф(,0)м =
= (/ + 1)(/ + 2)Й2Р+ф;0)и, A7)
и функция P+(f)f)j является собственной функцией, общей для операторов Я(), L2 и L. с
собственными значениями Ек, (/ +1)(/ + 2)Й2 и (/ + 1)Й . Поскольку эти три наблюдаемые
образуют полный набор коммутирующих операторов (§ 1), существует единственная
функция (с точностью до множителя*), связанная с этим набором собственных значений:
Используем рекуррентные соотношения A5) и A8) для построения базиса
{Ф*°/,«|(г) 1 из Функций Ф(/!о,о(г)» соответствующих нулевым собственным значениям
операторов L2 и L. **.
Ь. РАСЧЕТ СВОБОДНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛН
а. Решение радиального уравнения для I = О
Чтобы определить функции Ф*0)(и)(г)» вернемся к радиальному уравнению F), в
котором подставим / = 0. С учетом определения A0) это уравнение примет вид:
dr2
«i.i(r) = 0. A9)
Решение, обращающееся в нуль [условие G)] в начале координат, имеет форму:
u[0o(r) = aksinkr. B0)
Выберем постоянную ак так, чтобы функции Ф^мДг) были ортонормированы в
широком смысле слова, то есть чтобы
* Ниже мы уточним (§2-Ь) коэффициенты, обеспечивающие ортонормировку базиса
( ф*//, да(г) } в широком смысле слова, так как к — непрерывный индекс.
** Не следует думать, что оператор Р_ = Рх— iPY позволит «понизить» число / вплоть до нуля.
Нетрудно показать, что Р_ ф^.Дг) <* ф*0)/+ь_(/+1)(г).
1 1 Том II. Квантовая...
161

Глава VIII
Кгф«0£0(г)ф«»!,,0(г) = 6(* -*')•
Легко показать (см. ниже), что условие B1) выполняется, если
и, поскольку
фГао(г) =
2к2 1 smfcr
я -У4л кг
B1)
B2)
B3)
Докажем, что функции B3) удовлетворяют соотношению ортонормировки B1). Для этого
достаточно вычислить:
KrqC'odO ср<°>0 „(г) = !**' -L j^r'dr^-^-fdQ = А Г>«я*г яп*>.
я 4я ° *r fc'r я °
B4)
Заменив синус мнимыми экспонентами и распространив интервал интегрирования от -оо до +оо ,
получим:
-Г drsinkr sinker = Ц-^Гйг[е^к')г -
я J() я1 4jJ-°° L J
B5)
Поскольку оба индекса к и к' положительны, к + к/ сумма всегда отлична от нуля, и вклад
первого члена в квадратных скобках всегда равен нулю; второй же член в соответствии с
формулой C4) приложения II дает:
JrfVVi%%(r)V(^0(r) = -f-jl(-2w)8(fc-r) = 6(*-*/). B6)
я V 4;
Р. Построение других волн рекуррентным методом
Применим теперь оператор Р+9 определенный формулой A1), к функции Ф*0HЛ)(г).
Согласно соотношению A8) имеем:
@)
ФГ,..<г)~ЛФГо.о(г)осР+
sin kr
kr
B7)
В представлении {| г)}, в котором мы работаем с самого начала, Р+ является
дифференциальным оператором:
Ь
[дх ду^
B8)
В формуле B7) он действует только на функцию переменной г:
162

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
Р+/(г) Л (£ + ^U/(r) Л япЬ*±Пг).
i \ г г ) dr i dr
Таким образом, получим:
у1к°\А(г) <* sinbe*
cos kr sin kr
кг
(кгУ
B9)
C0)
В этом выражении можно узнать угловую зависимость кДФ.ф) [см. формулу C2)
дополнения Avi], и, подействовав оператором L_, можно найти ф*0)и)(г) и Ф^^.Дг).
Несмотря на то, что Ф*0)и(г) зависит от углов О, ф, действие оператора Р+ на эту
функцию можно определить очень просто. Канонические соотношения коммутации
сразу же дают:
[P+,X+/Y] = 0, C1)
и тогда
,т , ч ni sin kr „ x + iy d sin kr , . \ n \ d sin kr
Ф* 2.2(r) ~ K—r- ~ К " -Г —г— ~ [х + *у)Р+--г —Г- ~
kr r dr kr r dr kr
\2 1 d
( .\2ia
В общем случае:
1 d sin kr
r dr kr
1 d Л sin kr
€\M)~{*+iy)\\^)
kr
Угловая зависимость функции ф(А0)м содержится в множителе:
(x + iy)' =rl(sin$)leil\
который пропорционален Y,1 (в, ф).
Обозначим:
у,(р) = (-1)'р'
\_d_
I Р Ф)
sin p
C2)
C3)
C4)
C5)
Определенная выше функция j, называется сферической функцией Бесселя порядка I.
Ранее было показано, что Ф(Л0)Л/(г) пропорциональна произведению У^(д,ф) на j{(kr).
Выберем теперь (см. ниже задачу о нормировке):
2к2
к{:1(г)=А1—мкг),
C6)
11*
163

Глава VIII
Тогда свободные сферические волны можно записать в форме:
\2к2
ф10)/,„(г) = а — л(ИГ(».ф)- C7)
Они удовлетворяют соотношению ортонормировки:
jdWtj.Jr) Фг!г,„Дг) = 8(* - *'M/г 5„„„, C8)
и соотношению замкнутости:
1Ук f ЕфП,„(г)ф^„,(г') = 5(г-г'). C9)
/ = ()/,! = -/
Исследуем теперь нормировку функций C7). Для этого уточним сначала коэффициенты
пропорциональности рекуррентных соотношений A5) и A8). Что касается первого соотношения, то
мы знаем уже этот коэффициент из свойств сферических гармоник (см. дополнение AV|):
^±ф(*0)/,,„(г) = /Ц//(/ + 1)-т(/и±1) Ф<,,,„±1(г). D0)
Что касается соотношения A8), то нетрудно показать, используя явное выражение для )^(f},(p)
[формулы D) и A4) дополнения AVi], равенства C1) и B9), а также определение C5), что оно
может быть с учетом C7) представлено в виде:
^Ф^,(г) = ^^фП + ,, + ,(г). D1)
/ V2/ + 3
В соотношении ортонормировки C8) множители 8/r,5„;m, в правой части возникают в
результате интегрирования по углам и ортонормировки сферических гармоник. Чтобы установить
соотношение C8), достаточно доказать, что интеграл:
/Д^Д0 = ^^ф1О);/(г)ф(,(!)//(г) D2)
равен Ъ(к -к') . Мы знаем уже B6), что 1()(к, к') действительно равен этой функции, поэтому
нужно доказать, что если
I,(kA') = S(k-k'), D3)
то это же равенство справедливо и для 11 + ](к, к'). Формула D1) позволяет записать // + ,(£, /:')
в виде:
164

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
где Р_ = Рх - iPv — оператор, сопряженный Р+ . Тогда:
р р+ = р2 + р; = Р2 - р2, D5)
а функция ф^, , является собственной функцией оператора Р . Поскольку оператор Р„
эрмитов, то
/| + ,(*' Г) = Ш7 f+1" {hlk'2l<(k> k>) ~ №r [PM°!./(r)]" [^Фг.'/.Дг)]} • D6)
Остается вычислить Р. ф(А. * Дг) . Используя пропорциональность между Y, (в, ф) и (.х + /у) /г ,
нетрудно доказать:
^/lUr)—-,^ D7)
i \ п / V2/ + 3
основываясь на формуле C5) дополнения AVi. Подставив этот результат в D6), получим
окончательно:
//+1(*. Г) = -^^ — /ДА:, *') — // + 1(£, *'), D8)
/+1 2/ + 2 * ' 2/ + 2 / + 1
и из гипотезы D3) следует, что
/| + 1(*.*') = 8(*-*'). D9)
и окончательный вывод получается рекуррентным методом.
с. СВОЙСТВА
а. Поведение в начале координат
Если р —> 0, то функция j, (p) ведет себя как
У,(Р) - „УР1ЧМ. E0)
р->°B/ + 1)!!
и поэтому Ф(*0)Л;н(г) вблизи начала координат пропорциональна г1:
,@» ,.л .. ^v-,A«4_.M'_
Ф ,,,(r) ~ 1 У;"F,ф) V ' ■ E1)
Чтобы доказать формулу E0) на основе определения C5), достаточно разложить sinpl p в
ряд по степеням р :
р ~0V ; B/7 + 1)!
165

Глава VIII
( i л Л
\__d_
Ip ^pJ
Применим теперь оператор
VP
и получим:
(--Г
f (_ Л/' 2/) р2|.-
^ U B/;+1)!Р
,,-!-! _
,, = ()
-( 1)У£( lY w^-^-v-Pp-w-»]Р2„-,,
/»=() B/;+1)!
E3)
Первые / членов суммы (от р = О до р = / - 1) имеют нулевые коэффициенты, а член с номером
(/ + 1) имеет вид:
Л(Р)р~о(-1)р'(-1
/ „ Л/ 2/B/-2)B/-4)...2
B/ + 1)!
E4)
что и подтверждает формулу E0).
Р. Асимптотическое поведение
Если аргумент стремится к бесконечности, сферические функции Бесселя связаны
с тригонометрическими функциями соотношением:
j,(p) sinlp-l^-
р^°° р V 2
E5)
Таким образом, асимптотическое поведение свободных сферических волн описывается
выражением:
'iP' „т.~ ч sin{kr-lnl2)
ФГ/.«(г)
Я КГ
E6)
1 d
Применив первый раз оператор к функции sin р / р , можно представить j, (p) в форме:
Р Ф
' /
7,(Р) = (-1)Р
\__d_
1р Ф)
cosp sinp
E7)
В квадратных скобках второй член значительно меньше первого, если р —» ©о . Кроме того, если
1 d
применить оператор второй раз, то доминирующим членом будет производная от косину-
Р Ф
са, и можно заметить, что
166

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
j,(p) ~ (-i)'p'-V1
р-*~ р р
'rfV
Up;
sinp.
Поскольку
(d^
sin
р = (-1)/5ш(р-/|),
[dp)
то сразу же получим формулу E5).
ЗАМЕЧАНИЕ
Если положить:
kr-p
[ к определяется формулой A0)], то радиальное уравнение примет вид:
E8)
E9)
d2 2d
г- + +
dp р dp
1
/(/ + 1)
Я/(Р) = 0.
F0)
F1)
Это сферическое уравнение Бесселя порядка /. Оно допускает два линейно
независимых решения, которые можно различить, например, по их поведению в начале
координат: одно из них является сферической функцией Бесселя j,(p),
удовлетворяющей условиям E0) и E5), а для другого можно выбрать «сферическую
функцию Неймана порядка /», которая обозначается символом пДр) и имеет
асимптотическое поведение вида:
B/-1)!!
ЯЛР) ~ / + i •
п,{р) cos\ p-l— .
р-^00 р V 2 J
F2-а)
F2-Ь)
3. Связь свободных сферических волн
с плоскими волнами
Нам известны два различных базиса собственных состояний оператора Н0: плоские
волны v£0)(r), являющиеся собственными функциями трех компонент импульса Р, и
свободные сферические волны Ф(*0)Л;и(г), являющиеся собственными функциями операторов
L2 и L.. Эти два базиса отличаются друг от друга, так как Р не коммутирует с L2 и L,.
167

Глава VIII
Любая функция одного из этих двух базисов, естественно, может быть разложена по
функциям другого базиса. Например, выразим плоскую волну v£(,)(r) в виде линейной
суперпозиции свободных сферических волн. Зафиксируем вектор к обычного
пространства. Характеризующая его плоская волна v£0)(r) является собственной функцией
оператора Я()с собственным значением h2k2 /2ji, и ее разложение состоит из функций
Ф(*°/,»ДГ)' соответствующих этой же энергии, то есть такой, что
*=|к|. F3)
Таким образом, разложение должно иметь вид:
vj0,(r)=£ Sc„„(k)<pl°>„„(r), F4)
/ = () /»=-/
где свободные индексы к и к связаны равенством F3). Действительно, основываясь на
свойствах сферических гармоник (см. дополнение AVi) и функций Бесселя, нетрудно
доказать, что
где 0А и фА. — полярные углы, определяющие направление вектора к . Если направить
к вдоль оси Oz , то разложение F5) примет вид:
eikz = £/'V47lB/ + l) Мкг)У?&) = £i/B/ + lO/(*r)/,,(^5d), F6)
/=o /=o
где P, — полином Лежандра степени / [см. равенство E7) дополнения AVi].
Докажем сначала соотношение F6). Для этого допустим, что вектор к коллинеарен с осью Oz :
*,=*v=0 F7)
и имеет то же направление. В этом случае равенство F3) приобретает вид:
kz=k, F8)
и нужно найти разложение функции:
ikz „ikrcosQ //кл\
е = е F9)
в базисе { ф(*0)/%,и(г) }. Поскольку эта функция не зависит от угла ф , она должна быть линейной
суперпозицией только таких базисных функций, для которых т = 0 :
**'""• = £ а, ф(/п,.0(г) = t с, j,(kr) *?(«). G0)
168

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
Чтобы вычислить коэффициенты с,, можно считать экспоненту e,krcosb функцией переменной
Ь , в которой г играет роль параметра. Поскольку сферические гармоники образуют ортонормиро-
ванный базис для функций f} и ф , то «коэффициент» с, jt (kr) можно представить в форме:
с, j,(kr) = ldQYr &)€*""".
Заменим Y, его выражением, полученным из Y, (f},(p) [формула B5) дополнения AyiJ
G1)
c,j,(kr)--
Ш\
\dQ.
1;'(в.Ф)
VB0!
Jd£2K/*(«,(p)
G2)
так как оператор L+ является сопряженным по отношению к оператору L_ . Тогда формула A6)
дополнения Avi дает:
( М е*га„* = (_ OV'^VzO)' /' , eikrcm* = (- ОУ^штЭ)' (i*r)V*'twe . G3)
^ " ' dycosbj
Ho (sinU) £,ф с точностью до постоянного множителя равняется Yt (тЗ,ф) [см. формулы D) и
A4) дополнения AVj], и, следовательно:
/ \/ 2'/!
cljl(kr) = (ikr)
4я
VB0! VB' + l)!
J^|y/F,<p)|VrcYMd
G4)
Теперь достаточно выбрать некоторое частное значение кг , для которого известно значение
функции Ji(kr), и найти коэффициент с,. Пусть, например, &г—>0; при этом известно, что
j'i(kr) ведет себя как [кг) , что совпадает с поведением правой части равенства G4). Точнее
говоря, если использовать формулу E0), то можно найти:
1
./ 2'/!
4я
'B/ + 1)!! JBly.b2l + W
то есть, поскольку функция Y{ (гЗ, ф) нормирована на 1:
jdQ Г/(гЗ,ф) ,
G5)
с, =/'7471B/4-1) , G6)
и формула F6) доказана.
Общее соотношение F5) можно получить как следствие теоремы о сложении сферических
гармоник [формула G0) дополнения AV|]. Если же вектор к имеет произвольное направление с
полярными углами "дк и ф*, то всегда можно путем поворота системы осей привести задачу к
рассмотренному выше случаю. Таким образом, разложение F6) остается справедливым при
условии замены kz на к-г и cosb на cos ОС, где а —угол между к и г :
169

Глава VIII
eikr = Y,il{2U\)jl{kr)Pl{cosa). G7)
/=o
Но теорема о сложении сферических гармоник позволяет выразить P^cosOi) через углы (О, ф)
и (Ьк,(рк), что в конце концов приводит к выражению F5).
Разложения F5) и F6) показывают, что в состояние с определенным импульсом
входят все возможные орбитальные угловые моменты.
Чтобы получить разложение данной функции ф*0), ,„ (г) по плоским волнам,
достаточно обратить формулу F5), используя соотношение ортонормировки сферических
гармоник, зависящих от {Ьк, фА.), вследствие чего:
jdQk ¥Г(Ък,ук)е1кг =4nitjl(kr)Yl'"(^4>). G8)
Тогда:
<С„(г) = ^-/' W- jdQk У,'"(Ък,Ч>к)е<к' . G9)
471 \ П
При этом собственная функция операторов L2 и L, оказывается равной линейной
суперпозиции всех плоских волн, имеющих одинаковую энергию: в состояние с
определенным угловым моментом входят все возможные направления импульса.
Дополнение Вуш
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
СТОЛКНОВЕНИЙ С ПОГЛОЩЕНИЕМ
1. Принцип метода.
2. Вычисление поперечных сечений.
a. Поперечное сечение упругого рассеяния.
b. Поперечное сечение поглощения.
c. Полное поперечное сечение. Оптическая теорема.
В главе VIII мы ограничились исследованием упругого рассеяния частиц на
потенциале. Но во введении было отмечено, что столкновения между частицами в ряде случаев
могут приводить к различного рода реакциям, особенно тогда, когда энергия падающих
частиц значительна. Когда такие реакции возможны и регистрируются только упруго
рассеянные частицы, то дело выглядит так, как будто некоторые из падающих частиц
170

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
«исчезают», то есть их не обнаруживают ни в прошедшем пучке, ни среди рассеянных
частиц. Говорят, что эти частицы были «поглощены» в результате взаимодействия. На
самом деле они просто приняли участие в других реакциях, отличных от простого
упругого рассеяния. Если интерес представляет только упругое рассеяние, то этот процесс
описывают глобально как «поглощение», не вдаваясь в детали различных возможных
реакций. Здесь мы покажем, как метод фазового анализа дает удобный инструмент для
подобного феноменологического описания.
1. Принцип метода
Предположим, что взаимодействия, ответственные за исчезновение падающих
частиц, инвариантны относительно вращения вокруг точки О . Амплитуда рассеяния всегда
может быть разделена на парциальные волны, каждая из которых соответствует
определенному значению углового момента.
В этом параграфе мы увидим, как следует изменить метод фазового анализа, чтобы
можно было учесть возможное поглощение. Для этого вернемся к интерпретации
парциальных волн, которая была дана в § C-3-b-oc главы VIII. Входящая свободная волна
проникает в зону действия потенциала и порождает исходящую волну; влияние потенциала
выражается в том, что исходящая волна содержит множитель е2'6'. Поскольку модуль
этого множителя равен 1 (сдвиг фазы 8, — вещественная величина), то амплитуда
исходящей волны равна амплитуде входящей волны, и, следовательно (см. § 2-Ь), полный
поток входящей волны равен потоку исходящей волны: имеет место сохранение
вероятности в цикле рассеяния, то есть сохранение полного числа частиц. Такие рассуждения
предполагают, что в случае существования явления поглощения его можно учесть
простейшим образом, включив в сдвиг фаз такую мнимую часть, что
|е2/8'|<1. A)
При этом амплитуда исходящей волны с угловым моментом / оказывается меньше
амплитуды входящей волны, и исходящий поток вероятности меньше входящего, что и
соответствует «исчезновению» некоторого количества частиц.
Эту основную идею мы рассмотрим более строго и получим выражения для
поперечных сечений рассеяния и поглощения. Подчеркнем, однако, то обстоятельство, что
речь здесь идет о чисто феноменологическом методе описания, так как параметры,
которыми мы будем характеризовать поглощение (модуль е2'^1 для каждой парциальной
волны) на деле часто имеют сложную структуру. Заметим также, что если полная
вероятность при этом не сохраняется, то описать взаимодействие простым потенциалом
невозможно: корректный анализ всего ансамбля явлений, способных проявиться при
столкновении, требует более развитого формализма, чем тот, который был развит в
главе VIII.
171

Глава VIII
2. Вычисление поперечных сечений
Итак, воспользуемся расчетами, приведенными в § С-4 главы VIII, обозначив:
r\t=e2i6'. B)
Поскольку вероятность существования иных реакций, чем упругое рассеяние, всегда
выражается в уменьшении числа частиц, то по необходимости должно выполняться
неравенство:
Ы<1 C)
(равенство соответствует случаю чисто упругого рассеяния). Асимптотическая форма
волновой функции, описывающей упругое рассеяние в этом случае равна [см. формулу
(С-51) главы VIII]:
е',кге 2-Л/£ е 2
v[(liff)(r) ~ -£/'V4rcB/ + l)r,(H&) — • D)
r->°° /=o 2ikr
а. ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ
Выводы § С-4-а главы VIII остаются справедливыми, и амплитуда рассеяния fk(b)
может быть записана в виде:
к /=о Ъ
тогда дифференциальное поперечное сечение упругого рассеяния равно:
<М*)=р-
F)
а полное сечение упругого рассеяния:
<^=-^-£B/ + D|l-Tl,|2. G)
к /=о
ЗАМЕЧАНИЕ
Согласно формализму, развитому в § 1, поглощение в волне (/) максимально,
если |г|;| равен нулю, то есть при
Л/=0. (8)
172

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
Формула G) указывает, однако, что даже в этом предельном случае вклад волны (/) в
поперечное сечение упругого рассеяния отличен от нуля*. Иначе говоря, даже если
область взаимодействия является идеально поглощающей, она все равно порождает
упругое рассеяние. Это важное явление представляет собой чисто квантовый эффект; его
можно сравнить с поведением световой волны, падающей на поглощающую среду. Даже
в том случае, когда поглощение является полным (абсолютно черный диск или сфера),
наблюдается дифрагированная волна, сконцентрированная в тем меньшем телесном угле,
чем большую поверхность имеет поглощающее тело. Упругое рассеяние, порожденное
взаимодействием с абсолютно поглощающей средой, получило в связи с этим название
«теневого рассеяния».
Ь. ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ ПОГЛОЩЕНИЯ
Используя тот же принцип, что и в §А-3 главы VIII, определим поперечное сечение
поглощения cahx: это отношение числа поглощенных в единицу времени частиц к
падающему потоку.
Для его вычисления достаточно, как в § В-2 главы VIII, оценить полную
вероятность А/, «исчезающую» в единицу времени. Ее можно получить с помощью тока
вероятности J, связанного с волновой функцией D): А./ равна разности между потоком
волн, входящих через поверхность сферы E) с очень большим радиусом /?(), и потоком
волн, исходящих из этой поверхности, то есть взятому с обратным знаком
алгебраическому потоку вектора J, выходящего из этой сферы. Таким образом:
A* = -LJ.<S,
где
J = Re
Adiff)*
(r)—Vv[diin(r)
Ц1 K
В интеграл (9) дает вклад только радиальная Jr составляющая тока:
д:у> = - f j rdQ,
где
J,. = Re
jdiff)*
fi
(r)—v^4r)
(9)
A0)
(П)
A2)
В формуле A2) дифференцирование не изменяет угловую зависимость членов, об-
* Этот вклад равен нулю только при Г)/ = 1, то есть если сдвиг фазы является вещественной
величиной, кратной 71, что явно следует из формулы (С-58) главы VIII.
173

Глава VIII
разующих v{kd'ff)(r) [формула D)], и вследствие ортогональности сферических гармоник
перекрестные члены между парциальной волной (/) в v[diff\r) и волной (/') в v[diff)*(r)
дают в интеграл A1) нулевой вклад. Поэтому:
А^ = -Ё l_RJ?r2d£l% A3)
/=о °
где J{rl] — радиальная компонента тока, связанного с парциальной волной (/).
Несложные вычисления дают:
_(/) Ьк яB/ + 1)
, кггг tl-KI ]|П°(*)| • A4)
то есть, поскольку функция У({)(Ь) нормирована, окончательно имеем:
A.y. = ^iL|:B/ + l)[l-|11/|2|. A5)
Поперечное сечение поглощения Gabs равно тогда отношению вероятности Д./ к
падающему току Ьк I ц:
oeh=-p-£B/+i)fi-h,ri. (i6)
К / = () L J
Естественно, cahs = О, если все г), по модулю равны 1, то есть если все фазовые сдвиги
являются вещественными числами. В этом случае имеет место только упругое
рассеяние, и полный поток вероятности, исходящий из сферы большого радиуса R{),
постоянно равен нулю. Это значит, что полная вероятность, связанная с входящими волнами,
передается полностью исходящим волнам. Напротив, если г\, равен нулю, то вклад
волны (/) в поперечное сечение поглощения максимален.
ЗАМЕЧАНИЕ
tik n
Выражение A5) показывает, что величина B1 + 1) представляет собой вероят-
ность, входящую в единицу времени, связанную с парциальной волной (/) . Если разделить
эту величину на падающий ток Ьк I [I, то получим площадь, которую можно назвать
«поперечным входным сечением парциальной волны (/) »:
п
Т2
о,=— B/ + 1). A7)
174

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
Эта формула может быть интерпретирована классически. Действительно, можно
рассматривать плоскую падающую волну как пучок частиц с импульсом Ш , параллельный оси
Oz, плотность которых всюду одинакова. Какая часть этих частиц попадет на
рассеивающий потенциал с угловым моментом h^jl(l + 1) ? Мы уже отмечали связь, существующую
между угловым моментом и прицельным параметром в классической механике [см.
формулу (С-23) главы VIII]:
|#| = *|р| = Ш>. A8)
Поэтому достаточно начертить в плоскости, проходящей через точку О и
перпендикулярной к оси Oz , кольцо с центром О и средним радиусом Ъ{, чтобы
/Ц//(/ + 1) = ЛкЬ,.
A9)
Его ширина Abf должна соответствовать А/ = 1 в формуле A9) (рис.1). Все частицы,
пересекающие поверхность этого кольца, попадают в область рассеивающего потенциала с
угловым моментом Йд//(/ + 1) с точностью до h . Из формулы A9) получим:
/
/ /
N
\
\
\ \
А U >
° I I
/ I
/
Рис.1
Падающие частицы должны войти в
зону действия потенциала с
прицельным параметром Ь,, известным
с точностью Д&, , чтобы их
классический угловой момент был равен
h^J 1A + 1) с точностью до Ь
"'-^д^ЧЮ
B0)
если / » 1 и, следовательно:
ЬЬ. = -.
' к
B1)
175

Глава VIII
Площадь кольца на рис. 1 равна:
2nb,bb, = -^-B/ + 1). B2)
к
Так очень просто можно найти величину СУ, ,
с. ПОЛНОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА
В том случае, когда при столкновении частиц возможно несколько видов реакции
или рассеяния, полное поперечное сечение ош определяется как сумма поперечных
сечений (проинтегрированных по всем направлениям в пространстве), соответствующих
каждому из этих процессов. Таким образом, полное поперечное сечение является
частным от деления на падающий поток числа частиц, которые в единицу времени
участвовали в тех или других возможных реакциях, то есть подвергались рассматриваемым
взаимодействиям.
Если, как ранее, все реакции, отличные от упругого рассеяния, рассматривать
вместе взятыми, то полное поперечное сечение делится на две части:
°„„=°w+<W B3)
Формулы G) и A6) дают тогда:
2тг °°
а„„ =тт£B/ + 1)A-Яел/). B4)
Величина A-Rerj,) является вещественной частью A-Г|,), которая появляется в
амплитуде упругого рассеяния E). Кроме того, известно значение Y,{)(b) для Ь - 0:
*<>»■&
B5)
[см. формулы E7) и F0) дополнения AVi]. Таким образом, если с помощью формулы E)
вычислить мнимую часть амплитуды упругого рассеяния в прямом направлении, получим:
1тЛ@) = |£(И + 1)Ь^А. B6)
* /=о 2
Сравнивая это выражение с формулой B4), можно заметить, что
ст,„,~1т/,@). B7)
К
176

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
Это соотношение между полным поперечным сечением и мнимой частью амплитуды
упругого рассеяния в прямом направлении справедливо в самом общем случае, и оно
составляет сущность оптической теоремы.
ЗАМЕЧАНИЕ
Оптическая теорема, очевидно, справедлива и в случае чисто упругого рассеяния
(Gabs = 0 и оШ1 = се1). Тот факт, что fk @), то есть волна, рассеянная в прямом
направлении, связана с полным поперечным сечением, можно было предвидеть,
основываясь на обсуждении в § B-2-d главы VIII: именно интерференция в прямом
направлении падающей плоской волны с рассеянной волной позволяет объяснить
затухание прошедшего луча, связанное с рассеянием частиц во всех направления
пространства.
Дополнение Cviii
ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
1. Приближение Борна для потенциала Юкавы.
a. Вычисление амплитуды и поперечного сечения рассеяния.
b. Предел в случае бесконечно протяженного потенциала.
2. Рассеяние твердой сферой волны с низкой энергией.
3. Упражнения.
a. Рассеяние волны р на твердой сфере.
b. «Сферическая прямоугольная потенциальная яма»: связанные состояния и резонансы
рассеяния.
Не существует такого потенциала, для которого задача о рассеянии могла бы быть решена
совершенно точно* с помощью достаточно простого аналитического вычисления. Поэтому во всех
приведенных ниже примерах мы будем пользоваться приближениями, введенными в главе VIII.
* На самом деле можно точно решить случай кулоновского потенциала, но, как мы отмечали в
главе VIII, для этого требуется особый метод.
12 Том II. Квантовая... 177

Глава VIII
1. Приближение Борна для потенциала Юкавы
Рассмотрим потенциал вида:
е~аг
V(r) = V0 ,
A)
где V0 и а — вещественные константы, и а > 0. Этот потенциал может быть
притягивающим или отталкивающим в зависимости от того, является ли VQ отрицательной или
положительной величиной. Он тем интенсивнее, чем больше |V0|. С другой стороны,
зона его действия характеризуется протяженностью:
а
B)
Действительно, как показано на рис.1, V(r) практически равен нулю, если г превышает
2г0 или Зг0.
Потенциал A) носит имя Юкавы, которому принадлежит идея использовать его для
характеристики ядерных сил, дальность действия которых порядка 1 Ферми. Чтобы
объяснить природу этого потенциала, Юкава предсказал существование я -мезона, который
был действительно открыт несколько позже. Заметим, что при а = 0 он переходит в
кулоновский потенциал, который можно интерпретировать как потенциал Юкавы с
бесконечно большим дальнодействием.
У (г)
'о г
V
\2Ь
Рис.1
Потенциал Юкавы и кулоновский
потенциал. Наличие члена е'аг
приводит к тому, что потенциал Юкавы
стремится к нулю гораздо быстрее
при г » г0 = 1 / а (протяженность
потенциала)
178

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
а. ВЫЧИСЛЕНИЕ АМПЛИТУДЫ
И ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ
Допустим, что |V()| достаточно мал, чтобы можно было пользоваться приближением
Борна (§ В-4 главы VIII). Согласно формуле (В-47) главы VIII амплитуда рассеяния
//в)($,ф) определяется выражением:
1 W) f , Кг е~ПГ
где К — импульс, переданный в направлении (О, ф), определенный соотношением (В-42)
главы VIII.
В выражение C) входит преобразование Фурье от потенциала Юкавы. Поскольку
этот потенциал зависит только от переменной г, интегрирование по углам выполняется
очень просто (§ 2-е приложения I), после чего амплитуда рассеяния приобретает вид:
1 2\iV0 4тг foo || е'ш
/ГЧв,ф) = -— ^T^j{)rdrsin\K\r —. D)
Тогда после простых преобразований найдем:
К а2 + |К
/;->(«. ф) = -^_J—. E)
Из рис.6 главы VIII видно, что
|К| = 2*.ия—, F)
I I 2
где к — модуль волнового вектора падающей волны ив — угол рассеяния.
Дифференциальное поперечное сечение рассеяния в приближении Борна
записывается в виде:
о<«)@) = 1^ 1 Т. G)
й [a2+4k2sin2b/2\
Оно не зависит от азимутального угла ф , что нетрудно было предсказать, так как задача
о рассеянии центральным потенциалом имеет симметрию вращения относительно
направления падающего пучка. Напротив, оно зависит для заданного значения энергии (то
есть при фиксированном значении к) от угла рассеяния. В частности, поперечное
сечение рассеяния в прямом направлении @ = 0) больше, чем сечение рассеяния в обратном
направлении (в = я). Наконец, величина aUi)($) при Ь = const является убывающей
12*
179

Глава VIII
функцией энергии. Заметим, кроме того, что знак V() не имеет существенного значения,
по крайней мере в рамках борновского приближения.
Полное поперечное сечение рассеяния без труда получается в результате
интегрирования:
o^=\dQa{B\b) = ^- 2 4Я 2 . (8)
J h4 a2(or+4*2)
b. ПРЕДЕЛ В СЛУЧАЕ БЕСКОНЕЧНО ПРОТЯЖЕННОГО ПОТЕНЦИАЛА
Выше было отмечено, что потенциал Юкавы стремится к кулоновскому потенциалу,
если a —> 0. Как изменятся полученные выше формулы в этом предельном случае?
Для того, чтобы получить потенциал кулоновского взаимодействия между двумя
частицами с зарядами Z, q и Z2 q , где q — заряд электрона, введем следующие
обозначения:
сс = 0;
(9)
где
(Ю)
4тге0
Тогда из формулы G) следует:
,(C)F) = Jjl_ -.-2- = ~.-2- (П)
(здесь мы заменили к его выражением через энергию).
Оказывается, что выражение A1) полностью совпадает с поперечным сечением
кулоновского рассеяния {формула Резерфорда). Конечно, способ ее получения не является
доказательством, так как мы использовали здесь теорию, неприменимую к
кулоновскому потенциалу. Однако интересно констатировать, что борновское приближение для
потенциала Юкавы приводит к точному выражению для формулы Резерфорда в пределе,
когда протяженность действия потенциала стремится к бесконечности.
ЗАМЕЧАНИЕ
Полное поперечное сечение рассеяния кулоновским потенциалом равно
бесконечности, так как соответствующий интеграл для малых углов Ь расходится
V„ = Z,Z,e'
4яе0
4ц2 Z] Z; е*
16*: sin —
2
z?zh<
Л г п2 • 4 ^
16 Е sin —
2
180

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
[выражение (8) стремится к бесконечности, если а—»0]. Это является следствием
бесконечной протяженности зоны действия кулоновского потенциала. Даже если
частица проходит очень далеко от точки О, она подвержена действию этого
потенциала, откуда и возникает стремление поперечного сечения рассеяния к
бесконечности. Однако в реальности никогда не наблюдается строго кулоновское
взаимодействие вплоть до бесконечно больших расстояний, так как потенциал,
созданный заряженной частицей, всегда подвержен изменению за счет более или
менее близко расположенных других частиц, имеющих противоположные заряды
(эффект экранирования).
2. Рассеяние твердой сферой волны с низкой энергией
Рассмотрим центральный потенциал вида:
[0, еслиг>г0;
V(r) = \ ° A2)
©о, еслиг<г0.
Говорят, что в таком случае речь идет о «твердой сфере» с радиусом г{). Предположим,
что энергия падающей частицы достаточно мала, чтобы kr{) « 1; при выполнении этого
условия (см. §С-3-Ь-C главы VIII и упражнение 3-а) можно пренебречь всеми сдвигами
фаз, кроме фазы волны s(l - 0). Амплитуда рассеяния fk (О) при этом имеет вид:
fk(*) = Te*°ik)sin80(k) A3)
к
(с учетом равенства У0° = 1/V47C). Дифференциальное поперечное сечение изотропно:
а(*) = |Л.(*)|2 = ^-«/1260(*), A4)
и полное поперечное сечение равно:
Л.тг
o = —sin2S0(k). A5)
Чтобы вычислить сдвиг фазы Ь0(к), нужно решить радиальное уравнение,
соответствующее / = 0. Это уравнение имеет вид [см. формулу (С-35) главы VIII]:
181

Глава VIII
dr2
и*.о(г) = 0 ПРИ r>ro A6)
и с учетом, что
«*,о('*о) = 0, A7)
так как при г = г0 потенциал становится бесконечно большим. Решение ик 0(г)
уравнений A6) и A7) с точностью до постоянного множителя имеет вид:
lCsink(r-r0), еслиг>г0;
[О, еслиг<г0.
Сдвиг фазы 8() по определению задан асимптотической формой ик0(г):
uk0(r) ~ sin{kr + 80). A9)
Г—>оо
Таким образом, из решения A8) следует, что
80(*) = -*г0. B0)
Если подставить это выражение в формулу A5) для полного поперечного сечения,
получим:
а = — 5ш2 &г0 = 4яг02, B1)
так как в соответствии со сделанным предположением кг0 «1. Таким образом, а не
зависит от энергии и равно учетверенному сечению твердой сферы по диаметру,
которое «видно» со стороны падения пучка. Расчет, выполненный с позиций классической
механики, дал бы для поперечного сечения просто площадь яг(J, то есть отклонились
бы от направления падения только те частицы, которые испытали бы прямое упругое
столкновение с твердой сферой. Напротив, в квантовой механике исследуется эволюция
волны, связанной с падающими частицами, и резкое изменение V(r) при г = г()
производит эффект, аналогичный дифракции световой волны.
ЗАМЕЧАНИЕ
Если даже длина волны падающих частиц существенно меньше радиуса г{) (то
есть кг0 » 1), квантовое поперечное сечение не стремится к значению яг02. Дей-
182

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
ствительно, для больших к его можно разложить в ряд, определяющий полное
поперечное сечение через сдвиги фаз [формула (С-58) главы VIII], и найти:
а ~ 2яг02. B2)
к—*оо
Таким образом, волновые эффекты сохраняются и в пределе очень коротких волн,
что связано с тем, что рассматриваемый потенциал не является непрерывным в
точке г = г0 и быстро изменяется в интервале, меньшем длины волны частиц (см.
§D-2-a главы I).
3. Упражнения
а. РАССЕЯНИЕ ВОЛНЫ р НА ТВЕРДОЙ СФЕРЕ
Исследовать сдвиг фазы 8,(&) волны р{1 = 1) на твердой сфере и убедиться, что он
становится пренебрежимо малым по сравнению с 80(£) для волн с низкой энергией.
а. Записать радиальное уравнение, определяющее функцию икЛ(г) при г>г0.
Показать, что его общее решение имеет вид:
икЛ{г) = С
sin кг , (cos кг ,
cos кг + а\ + sin кг
кг I кг
где С и а —постоянные.
р. Показать, что определение Ьх(к) налагает условие
a = tg&x(k).
у. Определить постоянную а из условия, наложенного на функцию ик ,(г) в точке
8. Показать, что при к -» 0 сдвиг фазы 8,(/:) ведет себя как* (/:г0) , что делает его
пренебрежимо малым по сравнению с 80(&).
* Этот результат имеет общий характер: для произвольной формы потенциала с
ограниченным дальнодействием г0 сдвиг фазы Ь{(к) при низких энергиях ведет себя пропорционально
\2/ + 1
ы
183

Глава VIII
b. «СФЕРИЧЕСКАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА»:
СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ И РЕЗОНАНСЫ РАССЕЯНИЯ
Рассмотрим центральный потенциал V(r), равный:
f-Vn приг<г();
[О приг>г(),
где V0 —положительная постоянная. Положим:
к - №
0 "" й2
и ограничимся исследованием волны s(l = 0).
а. Связанные состояния (Е < 0)
(i) Записать радиальное уравнение в двух областях г > г0 и г < г0 и условие в начале
системы координат. Показать, что если обозначить:
то функция и()(г) имеет вид:
Л^-рг приг>г0;
[Вsin Кг приг<г0.
(ii) Записать условия согласования в точке г = г0. Показать, что единственными
возможными значениями р являются удовлетворяющие уравнению:
К
tgKrQ= .
Р
(iii) Обсудить это уравнение и указать количество связанных состояний s в
зависимости от глубины ямы, считая г0 постоянной величиной, а также показать, что
связанные состояния могут отсутствовать, если глубина слишком мала.
184

Элементарные понятия квантовой теории рассеяния
C. Резонансы рассеяния (Е > 0)
(i) Снова записать радиальное уравнение, считая:
*=jm;
K' = Jkl+k2 .
Показать, что функция икЛ)(г) имеет вид:
A sin (кг + 8()) при г > г();
кЛ) [BsinK'r приг<г0.
(и) Пусть А = 1. Показать, исходя из условия непрерывности в точке г = г0, что В
и 50 определены формулами:
&2+^с052/Гг()
80 = -*г0 + а(*),
где
'#а(*) = —rg/Tr().
(iii) Изобразить кривую, представляющую зависимость В2(к). На этой кривой
имеются резонансы, где функция В2(к) имеет максимум. Найти значения к ,
соответствующие этим резонансам. Чему равна функция а(&)? Показать, что если резонанс
существует при слабых энергиях (кг0 «1), соответствующий вклад волны S в полное
поперечное сечение практически максимален.
у. Связь между связанными состояниями и резонансами рассеяния
я
Допустим, что величина к0г0 близка к Bи + 1) —, где п — целое число, и
обозначим:
я
к0г0 = Bп +1) — + е, где е « 1.
185

Глава VIII
(i) Показать, что при е > О существует связанное состояние, энергия связи которого
равна Е = -fr р2 / 2\х при р = гк().
(ii) Показать, что если е < 0, то существует резонанс рассеяния с энергией
£ = /г2*2/2ц,где к2=-^.
(Hi) Доказать, что при постепенном уменьшении глубины ямы и при сохранении по-
71
стоянным г() связанное состояние, исчезающее при прохождении к0 г0 через Bп +1) —,
порождает резонанс с низкой энергией.

Глава IX
СПИН ЭЛЕКТРОНА

ПЛАН ГЛАВЫ IX
А. ВВЕДЕНИЕ
СПИНА ЭЛЕКТРОНА.
1. Экспериментальное подтверждение.
a. Тонкая структура спектральных линий.
b. «Аномальный» эффект Зеемана.
c. Существование полуцелых угловых моментов
2. Квантовое описание: постулаты теории Паули.
В. ОСОБЕННОСТИ
УГЛОВОГО МОМЕНТА 1/2.
С. НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЕ
ОПИСАНИЕ ЧАСТИЦЫ
СО СПИНОМ 1/2.
1. Наблюдаемые и векторы состояния.
a. Пространство состояний.
b. Представление [ г, Ey ).
2. Вычисление физических предсказаний.

До сих пор мы рассматривали электрон как материальную точку, обладающую тремя
степенями свободы, связанными с ее тремя координатами хч у, z . Изложенные выше
положения квантовой теории базировались на гипотезе, что состояние электрона в любой
заданный момент времени характеризуется волновой функцией \|/(х, у, z), зависящей
только от этих переменных. С этих позиций нами был рассмотрен ряд физических
систем и, в частности, в главе VII атом водорода, представляющий значительный интерес,
так как допускает очень точную экспериментальную проверку развитой теории.
Действительно, мы констатировали, что полученные ранее результаты хорошо описывают
спектры испускания и поглощения водорода: они дают правильные значения для
уровней энергии и позволяют объяснить с помощью соответствующих волновых функций
правила отбора, определяющие априори те из частот Бора, которые должны появиться в
спектре. Аналогично можно рассматривать и многоэлектронные атомы (правда, с
определенными приближениями, так как сложность уравнения Шредингера не позволяет
найти точное решение задачи), и в этих случаях согласие между теорией и экспериментом
остается удовлетворительным.
Однако, если исследовать атомные спектры более подробно, то, как мы увидим при
последующем изложении, возникают определенные проблемы, которые невозможно
объяснить в рамках развитой до сих пор теории. Это и неудивительно, так как ее
необходимо дополнить целым рядом релятивистских поправок: необходимо учесть изменения,
которые должны быть внесены релятивистской кинематикой (зависимость массы от
скорости и т. д.), а также магнитные эффекты, существование которых ранее
игнорировалось. Впрочем, известно, что эти поправки малы по величине (см. § С-4-а главы VII),
тем не менее они существуют, и достигнутая в эксперименте точность измерений
достаточна для их обнаружения.
Если применить одновременно принципы квантовой теории и релятивистского
подхода к электрону, оказывается необходимым заменить уравнение Шредингера уравнением
Дирака. Сама форма этого уравнения приводит к глубокому изменению квантового
описания свойств электрона: кроме уже упоминавшихся поправок, касающихся переменных
положения электрона, оказывается необходимым ввести новую его характеристику —
спин электрона. Вообще говоря, структура группы Лоренца (группа релятивистских
преобразований пространства-времени) предполагает появление спина как свойства,
присущего изначально многим частицам в той же мере, как, например, их масса покоя.
Исторически спин электрона был открыт в эксперименте еще до введения уравнения
189

Глава IX
Дирака. Кроме того, Паули развил теорию, в рамках которой спин можно было ввести в
рассмотрение с помощью нескольких дополнительных постулатов, не выходя за пределы
нерелятивистской квантовой механики*. При этом были получены теоретические
предсказания атомных спектров, замечательно согласующиеся с экспериментом**.
Именно теория Паули, существенно более простая, чем теория Дирака, будет
рассмотрена ниже в этой главе. В § А мы опишем некоторые экспериментальные результаты,
которые продемонстрировали само существование спина электрона, и введем постулаты,
на которых основана теория Паули. Затем в § В исследуем частные свойства углового
момента 1/2. И, наконец, в § С покажем, как можно одновременно учесть
пространственные и спиновые переменные для такой частицы, как электрон.
А. ВВЕДЕНИЕ СПИНА ЭЛЕКТРОНА
1. Экспериментальное подтверждение
Экспериментальные проявления существования спина электрона многочисленны и
обнаруживаются во многих важных физических явлениях. Так, например, магнитные
свойства многих веществ, таких как ферромагнитные металлы, невозможно объяснить
без использования понятия спина. Здесь же ограничимся только более простыми
явлениями, наблюдаемыми в атомной физике: тонкой структурой спектральных линий,
эффектом Зеемана и поведением атомов серебра в эксперименте Штерна и Герлаха.
а. ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
Повышение точности измерения структуры спектра атомов (в частности, атома
водорода) привело к обнаружению тонкой структуры: каждая линия спектра оказалась
состоящей из нескольких компонент*** с очень близкими частотами, которые можно
было четко увидеть, используя приборы с высокой разрешающей способностью. Это
означает, что существуют группы атомных уровней, расположенных очень близко друг
* Теория Паули может быть получена в пределе из теории Дирака, если допустить, что
скорость электрона мала по сравнению со скоростью света.
** Так, например, в главе XII мы увидим, используя общую теорию возмущений (глава XI),
как релятивистские поправки и существование спина позволят количественно объяснить такие
детали спектра атома водорода, которые невозможно было бы объяснить, ограничиваясь рамками
теории, изложенной в главе VII.
*** Например, резонансная линия атома водорода (переход 2р <-»