TRAITÉ
DE
MÉCANIQUE CÉLESTE.
TOME I.

13649 PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS,
Quai des Grands-Augtislln», 55.

TRAITÉ
DE
MÉCANIQUE CÉLESTE
PAR
F. TISSERAND,
MEMBRE DE L'INSTITUT ET DU BUREAU DES LONGITUDES,
PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES.
TOME I.
PERTURBATIONS DES PLANÈTES D'APRÈS LA MÉTHODE DE LA VARIATION
DES CONSTANTES ARBITRAIRES.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
Quai des Grands-Aiiguslins. 55.
1889
(Tous droits rôserïés.)

PRÉFACE.
Le Traité de Mécanique céleste, dont je publie aujourd'hui la
première Partie, a pour base les Leçons que j'ai faites à la Sorbonne
depuis i883 comme suppléant, puis comme successeur de M. V.
Puiseux. Les Leçons de ce Maître éminent brillaient par une clarté
incomparable, et c'est un grand dommage pour la Science qu'elles
n'aient jamais été publiées. Je suis heureux de les avoir suivies
pendant plusieurs années, et les élèves de M. Puiseux en retrouveront des
traces nombreuses dans mon Ouvrage.
Le Tome I comprend la théorie générale des perturbations, fondée
sur la méthode de la variation des constantes arbitraires.
Dans le Tome II, je traiterai de la figure des corps célestes et de
leurs mouvements de rotation.
Le Tome III sera consacré à la théorie de la Lune, à un abrégé de
la théorie des satellites de Jupiter, à la méthode de Hansen pour le
calcul des perturbations des petites planètes et aux divers travaux qui
ont enrichi le domaine de la Mécanique céleste dans ces dernières
années.
Le présent Volume est susceptible, je l'espère du moins,
d'intéresser les géomètres et les astronomes. J'ai présenté la méthode de la
variation des constantes arbitraires, ou plutôt son application à la
Mécanique céleste, de deux façons différentes, en me reportant aux
travaux de Jacobi ou à ceux de Lagrange.
Cette méthode n'offre peut-être pas toujours le moyen le plus rapide
d'arriver au calcul des perturbations, notamment quand il s'agit des
astéroïdes; cependant, au point de vue de l'enseignement, elle est
d'une grande simplicité.

VI PRÉFACE.
Du reste, elle a permis à Le Verrier d'édifier ses théories des
anciennes planètes. Les formules qui lui ont servi constamment dans
l'ensemble imposant de ses recherches sont adaptées avec un rare
talent aux besoins de la pratique, et j'ai jugé utile de m'y conformer.
J'espère que les jeunes astronomes qui voudront étudier ce premier
Volume n'éprouveront aucune peine à s'assimiler ensuite tous les
détails des théories de Le Verrier, telles qu'elles ont été publiées
dans les Annales de l'Observatoire.
J'ai cru devoir consacrer un Chapitre à la découverte de Neptune,
qui a fourni la confirmation la plus éclatante de la théorie de la
gravitation.
Bien que le Volume actuel traite surtout de l'application de la
méthode de la variation des constantes arbitraires, j'y ai donné nombre
de résultats qui appartiennent aux méthodes de Hansen, dont
l'exposition dans le Tome III aura été ainsi notablement facilitée.
Il va sans dire que, si le lecteur peut, avec le Traité actuel, s'initier
assez facilement aux détails d'une science ardue, il ne sera pas
dispensé, s'il veut la pénétrer plus profondément, de recourir au grand
Traité de Laplace, dont tous les Chapitres présentent encore
aujourd'hui aux astronomes les plus exercés des sujets variés de méditations
fécondes.
Je dois adresser de vifs remerciements à MM. Gauthier-Villars, qui
ont apporté à l'impression des soins minutieux et auront contribué
ainsi à faciliter la lecture de l'Ouvrage.
J'ai plaisir à remercier aussi tout particulièrement M. O. Callandreau,
qui ne s'est pas borné à m'aider dans la revision des épreuves, mais
m'a donné souvent des conseils judicieux.
io novembre 1888.

TABLE DES MATIÈRES
DU TOME I.
INTRODUCTION.
PBges.
Équation générale de la Dynamique i
Principe d'Hamilton a
Équations de Lagrange 5
Forme canonique d'Hamilton 7
Théorème d'Hamilton 11
Théorème de Jacobi 14
Cas où la fonction des forces est indépendante du temps 18
Relations de Jacobi 20
CHAPITRE I.
Recherche de la force qui produit le mouvement elliptique des planètes 25
Problème inverse. — Trajectoires résultant de la force centrale —~ 28
Loi de la gravitation universelle 31
Orbites des étoiles doubles 35
Recherche de la force qui produit les mouvements des étoiles doubles 36
Problème de M. Bertrand 43
Théorème de Newton 49
CHAPITRE IL
Généralités sur l'attraction 5i
Potentiel 52
Équation de Laplace 55
Attraction des couches sphériques homogènes 55
Attraction d'un corps sur un point éloigné 5g
CHAPITRE III.
Équations différentielles des mouvements absolus des planètes 64
Les dix intégrales connues 67
Équations différentielles des mouvements relatifs des planètes autour du Soleil 70
Les quatre intégrales connues 72
T. - I. b

VIII TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITRE IV.
Pages.
Forme symétrique des équations différentielles des mouvements relatifs des planètes autour du
Soleil • 77
Les quatre intégrales connues 85
CHAPITRE V.
Équations différentielles des mouvements avec les coordonnées polaires 87
Formes diverses de ces équations 9°
CHAPITRE VI.
Équations différentielles du problème des deux corps 93
Intégrales premières 9^
Détermination de l'orbite 97
Calcul de la position dans l'orbite. Équation de Kepler 100
Calcul de la position héliocentrique. Éléments du mouvement elliptique 104
Formules du mouvement elliptique 107
Maximum de l'équation du centre 109
Mouvement parabolique des comètes 110
Théorème d'Euler 112
Mouvement hyperbolique 114
Détermination des éléments du mouvement elliptique 11C
Détermination des éléments du mouvement parabolique 120
Hodographe 121
CHAPITRE VII.
Intégration des équations différentielles du mouvement elliptique par la méthode de Jacobi 123
Éléments canoniques 127
CHAPITRE VIH.
Recherches de Lagrange sur le problème des trois corps 128
Cas particuliers remarquables 147
CHAPITRE IX.
Méthode de la variation des constantes arbitraires. — Variation des éléments canoniques. Leurs
dérivées 159
Éléments osculateurs 166
Dérivées des éléments elliptiques 169
Transformation utile de quatre de ces éléments 170
CHAPITRE X.
Variation des constantes arbitraires. Méthode de Lagrange 173
CHAPITRE XI.
Considérations générales sur les perturbations planétaires 189
Perturbations des divers ordres 195

TABLE DES MATIÈRES. IX
Pages.
Perturbations du premier ordre 196
Inégalités périodiques , 197
Inégalités séculaires 198
Inégalités à longues périodes 19g
Perturbations du second ordre 202
CHAPITRE XII.
Fonctions de Bessel. — Leurs propriétés principales 206
CHAPITRE XH1.
Applications des fonctions de Bessel au mouvement elliptique 215
Développements divers qui se rattachent au mouvement elliptique 222
CHAPITRE XIV.
Théorème de Cauchy. 228
Nombres de Cauchy 234
(r \m
il 237
» » de ( — ) '• 23g
» » de l'équation du centre 242
» » de certaines fonctions des coordonnées d'une planète 245
CHAPITRE XV.
(r\n / f\n
- j sinmcv et I - ) cosmw. . .. 249
CHAPITRE XVI.
Convergence des séries du mouvement elliptique 26?
Aperçu de la démonstration de Laplace pour trouver la limite de l'excentricité 266
CHAPITRE XVII.
Propriétés diverses des fonctions de a qui représentent les coefficients des cosinus des multiples
de <J> dans le développement de l'expression (1 -1- as— 2acos^)~*. — Méthodes diverses pour
le calcul de ces fonctions et de leurs dérivées 270
CHAPITRE XVHI.
Développement de la fonction perturbatrice dans le cas où les excentricités et les inclinaisons
mutuelles des orbites sont peu considérables. — Ordres des divers termes du développement. 292
CHAPITRE XIX.
Transformation des dérivées des éléments elliptiques 321
CHAPITRE XX.
Formules de Le Verrier donnant les perturbations du premier ordre des éléments elliptiques 33o

X
TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITRE XXI.
Piges.
Perturbations du premier ordre des coordonnées héliocentriques 35o
CHAPITRE XXH.
Premiers termes des perturbations périodiques des coordonnées héliocentriques 35g
CHAPITRE XXffl.
Découverte de Neptune 374
CHAPITRE XXIV.
Perturbations du second ordre par rapport aux masses 387
CHAPITRE XXV.
Théorème de Poisson sur l'invariabilité des grands axes dans la deuxième approximation par
rapport aux masses 3gi
CHAPITRE XXVI.
Expressions générales des inégalités séculaires. — Travaux de Lagrange et de Laplace. — Formules
numériques de Le Verrier. — Indications sur les expressions générales des coordonnées dans
le problème des trois corps 404
CHAPITRE XXVII.
Méthode de Gauss pour le calcul des inégalités séculaires. Exposition de M. Halphen 431
CHAPITRE XXVIII.
Développement de la fonction perturbatrice lorsque l'inclinaison mutuelle des orbites est
considérable , 443
CHAPITRE XXIX.
Transformation de Hansen pour les équations différentielles du mouvement des planètes 461
FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES DU TOME I.

TRAITÉ
DE
MÉCANIQUE CÉLESTE.
TOME I.
INTRODUCTION.
1. Équation générale de la Dynamique. — En combinant le principe de
d'Alembert avec celui des vitesses virtuelles, Lagrange a pu condenser en une
seule équation symbolique les équations du mouvement d'un système
quelconque de points matériels soumis tous, ou quelques-uns seulement, à des
forces données.
Cette équation est
2[(*-»£)*"Kv-™£)*H*-»£H=o
ou encore
x, y, z désignent les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque du
système; m sa masse; X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de la
résultante des forces directement appliquées à ce point. Cette équation (i) doit avoir
lieu pour tous les systèmes de valeurs des variations infiniment petites &r,
ty> &z, ... des coordonnées x, yy z, ... compatibles avec les liaisons du
système; dans cette même équation, le ^ du premier membre s'étend à tous les
points du système, et celui du second seulement à ceux de ces points auxquels
des forces sont appliquées.
T. - I. i

2 INTRODUCTION.
Les liaisons seront représentées par un certain nombre d'équations, telles que
if(t, x,y,z; x', ...) — ot
(2) j cp(f, x, y, z; x'y ...) = o,
Les variations &r, &y, ... devront vérifier les équations suivantes
dx dy
p-6x + ^<
dx oy
-^- dx + -r^ ày +... = o,
obtenues en diûerentiant les équations (2) par rapport à la caractéristique S
sans faire varier le temps t.
On sait comment, en introduisant les facteurs indéterminés de Lagrange,
on tire de ce qui précède les équations différentielles du mouvement des divers
points du système.
Nous allons transformer l'équation (1) de manière à en déduire le principe
d'Hamilton.
2. Principe d'Hamilton. — Soit, dans le système considéré, n le nombre
des points matériels et, par suite, 3/i le nombre des coordonnées xy yy ...; si
3/i — k désigne le nombre des équations (2) de liaison, on pourra tirer de ces
équations les valeurs de 3/i — k coordonnées en fonction de t et des k autres qui
pourront être considérées comme des variables indépendantes; pour plus de
symétrie, on pourra dire que, en partant des équations (2), il est possible
d'exprimer toutes les coordonnées en fonction de t et de k variables indépendantes
Çtj ?2» •••» Çki on aura, par exemple,
x = F(t, qlt qi} ..., qk).
Les variations infiniment petites &qt, $q2, ..., Bqk pourront être absolument
quelconques; quant aux variations &r, &y, qui figurent dans l'équation (1), on
les calculera ensuite par des équations analogues à la suivante
àF . àF . àF
(3) 8x= -j— èqt-\- 3— oqt-i-. . . -V- 33- oqt,
obtenues en diûerentiant l'expression de x par rapport à la caractéristique S
sans faire varier le temps.
Pour arriver au principe d'Hamilton, nous allons considérer les $çt, qui

INTRODUCTION.
3
peuvent être quelconques, comme des fonctions de t, fonctions arbitraires,
mais infiniment petites; en partant de là, nous transformerons l'équation (i);
les &r, ty, ... seront des fonctions de t déterminées par les formules (3),
et nous pourrons écrire
cPx * d /dx * \ dx dèx
~dPàX-~dt\dtÙX)~~dt ~dt
Pour une valeur donnée de t, quand on change x en x ■+■ Sx, il en résulte dans
-t? le changement %-ri'y on aura donc
*dx d(x + èx) dx
ou bien
on en conclut
dt dt dt
d èx « dx #
dt ~ ~dt>
dx dèx dx ~dx , ~{dx\*
~di ~dT ~~dt ~dt ~* \dt) '
et l'expression de -^ Sx devient
De cette équation et des équations analogues concernant^, z, x', ..., on déduit
(5)
On voit s'introduire dans cette équation la demi-force vive du système; nous la
représenterons par T :
Si nous posons
(7) _ ^(\èx + \èy + Zèz)^\]'f

4 INTRODUCTION.
l'équation (i) donnera, en ayant égard aux formules (5), (6) et (7),
<8> a2>(>+£*'+a«')=dT+u'
Le second membre de cette équation ne contient plus rien qui se rapporte au
système de coordonnées employé, car T = - Vw' n'en dépend pas, et il en est
ainsi de U' qui, par sa définition même, représente la somme des travaux
des forces pour le déplacement virtuel caractérisé par &r, Sy, ....
Il en est de même aussi du premier membre de l'équation (8), car l'expression
^fc.+ £*, + £&
dt dt J dt
représente le produit de la vitesse v du point M par la projection, sur la direction
de cette vitesse, du déplacement virtuel Bs du même point M (Bs a pour
projections sur les axes &r, 8j, Bz).
Multiplions l'équation (8) par dt et intégrons entre t0 et tt deux valeurs
quelconques de t; nous trouverons
où le premier membre représente la différence des valeurs que prend, pour
t = t0 et t = tt, l'expression ^^ ( -^ Bx -{- -^ By -h -^ Bz).
Si nous imposons aux variations Bqt la condition de s'annuler pour t = t0 et
t=tt, il en sera de même des variations &r, By, ..., et l'équation (9) donnera
(10) f\àT + U')dt = o;
celte formule constitue ce qu'on appelle le principe d'Hamilton.
Dans un cas très général, il est permis de simplifier l'équation (10) : c'est le
cas où il existe une/onction des foires U, c'est-à-dire où l'on a
v dU v dU „ dV
A — 3— t I — 3— > L = -3— y
ox dy az
X-dP' ' '
la fonction U est supposée ne dépendre que des coordonnées x, j, s, x', ... des
divers points du système et du temps t qui peut y figurer explicitement.

INTRODUCTION.
En se reportant à la définition de U', on trouvera
et l'équation (10) s'écrira
(ÔT + ÔU)--o
ou, plus simplement,
(u) ô /"(T + U)rf/=o;
ainsi la variation de l'intégrale / (T-t- U)A doit être nulle.
Nous supposerons désormais l'existence d'une fonction des forces, de la
nature indiquée, ce qui se trouvera réalisé dans les applications à l'Astronomie
dont nous aurons à nous occuper.
3. Equations de Lagrange. — Le principe d'Hamilton se prête très
facilement à la transformation des équations différentielles du mouvement d'un
système, lorsqu'au lieu des coordonnées rectangulaires on introduit d'autres
variables pour déterminer les positions des divers points du système.
Supposons que, à l'aide des équations de liaison (2), on ait exprimé les
coordonnées x, y, .s, x\ ... de tous les points du système en fonction de t et des
k variables indépendantes q,, q2, ..., qk. Posons d'une.manière générale
dt Ç"
l'expression (6) de T prouve que cette quantité deviendra une fonction de t, de
qlt q2> ..., qk et de q\t q2, ..., qk\ U ne dépendra que de t et de qt, q2, ..., qk. On
sait qu'en différentiant par rapport à la caractéristique 0 on doit regarder comme
constant le temps qui figure explicitement dans les équations de liaison ; on aura
donc
puis
+ T-O?*-
i=k
i = k
Y au
1
«=23â*<+25â*;

6 INTRODUCTION.
en portant ces expressions de SU et de ST dans (i i), il viendra
(i3)
or on a
r'1 [fàT <HJ \ . ( àT dU\ . 1 ,,
l si?'1"11-),, ap.'w*-^ 35»,-ar*
ou bien, en intégrant par parties,
=[sh:-/^P**
Mais, puisque les variations Bq{ sont supposées nulles pour t = t0 et pour / = /,,
il vient
rs**=-/'^**
et l'équation (i3) peut s'écrire
■<>ri[^-^V--4^-^]
jk[dt = o.
Cette équation doit avoir lieu quelles que soient les variations infiniment
petites ô<7,, ùq2, ... qui sont indépendantes les unes des autres; on en conclut que
l'on doit avoir identiquement
_ <rr _<w _
(i5)
dt dqx dqi
d\WJ àT dU =o^
dt dqt dqt
»
d\dYJ àT dV =Q
\ dt dqk dqk '
car, si ces quantités n'étaient pas identiquement nulles, on pourrait donner aux

INTRODUCTION. 7
variations &q,, Sq^, ... des signes tels que, pour toutes les valeurs de t comprises
entre t0 et tt, chacune des expressions
\d\âg'J d(T + U)\
L dt dqt J
soit constamment positive, et alors, tous les éléments de l'intégrale (i4) ayant
le même signe, cette intégrale ne pourrait pas être nulle.
Les équations (i5) sont dites équations de Lagrange; elles ont été données
pour la première fois par ce grand géomètre.
On voit donc qu'aussitôt que, dans les problèmes de Dynamique considérés,
on a fixé le choix des variables indépendantes à l'aide desquelles on peut
exprimer les coordonnées de tous les points du système, on est à même de former
sans élimination, par un calcul élégant et facile, les équations différentielles
propres à déterminer les variables introduites.
4. Forme canonique d'Hamilton. — Nous considérons maintenant les
problèmes de Dynamique dans lesquels les liaisons sont indépendantes du
temps; nous admettons toujours qu'il existe une fonction des forces,
dépendant seulement, comme nous l'avons dit, des coordonnées des divers points,
et pouvant contenir explicitement le temps.
Soient qt, qif ..., qk les variables indépendantes à l'aide desquelles on peut
exprimer les coordonnées de tous les points; on aura, puisque les liaisons sont
indépendantes du temps, des expressions de cette forme
X = F (qu ÇiJ • • •> 1k)>
d'où, en représentant comme précédemment par q\ la dérivée -£-',
dx
lû
dy
dt
= 4\
= rft
àF
dqy
làqt
, àF
àqt
+ ..
+ ..
• •+ Qk "5 »
* àqk
• •+ Çk "5 »
* àqk
En portant ces valeurs dans
•^=M(ëH£H£)']

8 INTRODUCTION.
on trouvera un résultat de cette formé
2T = A,,,?',* + 2 A,,,?', q\ + 2 Att,q\ q\ + . . . + 2 A,,kq\ ?'*
+ a,,,?;» + 2 a,, ,?;?;+... +2 a,,*?;?*
(16) < +
+ A*,*0J?"
On voit que T est une fonction homogène et du second degré des variables q';
les coefficients A,,,, Ali2, ... sont des fonctions des variables q ne contenant pas
le temps explicitement.
Les variables q seront déterminées par k équations différentielles, telles que
(ll) dt dq~dqt'
quand, après avoir formé la dérivée partielle (3-1)» on remplacera q\, q'.2, ...
respectivement par -J^» -J^» •••> on voit que l'équation (17) sera une équation
différentielle du second ordre. Le problème dépendra donc de l'intégration de
k équations différentielles simultanées du second ordre.
Nous allons actuellement faire un nouveau changement de variables en
posant
, fi, dT àT dT
(l8) Wi~P" àq\=Pu •" Wk=Pk'
nous remplacerons les k variables q\ par les k nouvelles variables/?,.
Si l'on tient compte de (16), les équations (18) pourront s'écrire
( />i = Alfl?'l + Altlq't +.. . + \lfkq'k,
(*9) |/>« = Alfl?'l + Alfl?'14-... + AM?;t,
En résolvant ces k équations du premier degré, on aura les valeurs de q\,
q2, ..., q'keu fonction depttp2t ...,pk et de qtt q2, ..., qkt et si Ton reporte ces
valeurs dans (16), on trouvera un résultat de la forme
!2T = Blfl/>î+2 !*,,,/>,/>, 4-..+2B,, */>,/>*
+ B»,«/>« +... + aB,t kPxPk
+
+ BM/>i>
où les coefficients Blfl,Blf2, ... seront des fonctions deqtt qut ..., qk.

INTRODUCTION. C)
Quant à la fonction U, elle ne changera pas, puisqu'elle est supposée ne pas
contenir les variables q'.
T, qui était d'abord une fonction des variables y,et^., devient maintenant
une fonction des variables qt etpi■; d'après ce qu'on a dit plus haut, qt n'entre
pas de la même manière dans les deux expressions de T; il convient de désigner
-j— la dérivée partielle de T prise dans l'hypothèse des variables qt et q\\
la dérivée" prise dans l'hypothèse des variables qt etp{ sera représentée simple-
ment par -r— •
r dpt
L'équation (17), en ayant égard à (18), s'écrira donc
, , dpt [àTl OU
(2o) -dr-i^r^'
On aura, pour la différentielle totale de T prise dans le premier cas,
«=:s[S]*+2S"i
ou
(21) ^T=2 I ^-. IdÇi^-^Pidq'i,
et, pour la même différentielle totale prise dans le second cas,
On a enfin, en appliquant le théorème des fonctions homogènes à T,
ou bien
(23) 2T = J/'/îi)
d'où
idl — ^Pidq't-^r^ q't dp(.
En retranchant de cette équation l'équation (21), il vient
(24) ^=-2 [a^]^-»-]£*'*<»
T. — I. 1

IO INTRODUCTION.
et, en comparant les deux expressions (22) et (24) de dl, on trouve
(25)
T—1———
qi =
àPi;
>5),
dpt
dt
dqt
dt
— —
_ÔT
~,àpi
dT
dqi
dqt
cette dernière équation peut s'écrire
(b6)
On tire, du reste, de (20) et (25),
(27)
En donnant à 1 les valeurs 1, 2, ..., k, les équations (26) et (27) présentent
le résultat cherché sous la forme de ik équations différentielles simultanées
du premier ordre, d'aspect très simple.
Mais on peut obtenir encore plus de symétrie en introduisant une notation
spéciale pour représenter la différence T — U et posant
H = T —U;
si l'on remarque que, par hypothèse, U ne contient pas les variables pit on voit
que
dpt ~ dpt
On a, du reste,
àqt~ àçt dqt
et les formules (26) et (27) deviendront le type des équations du groupe
suivant :
H = T —U,
(28)
dq±_ ÔK
dt dpi
dq1_ <m_
dt dpt
dqjç_ âB_
\ dt dpk
dp% __àR
dt dqt
dp1__m
dt dqt
»
dpk dK
dt dqk
Il résulte de là que la résolution d'un problème quelconque de Dynamique

INTRODUCTION.
II
(avec les restrictions énoncées) se ramène à l'intégration d'un système de
ik équations différentielles simultanées du premier ordre dans lequel les
variables sont conjuguées deux à deux ; la dérivée de l'une quelconque des variables
par rapport au temps est égale à la dérivée partielle d'une même fonction H,
prise par rapport à la variable conjuguée, ou à cette dérivée changée de signe.
Ces équations (28) sont dites ramenées à la forme canonique.
5. Théorème d'Hamilton. — Supposons que l'on ait intégré les ik
équations différentielles simultanées (28); on aura donc exprimé les variables qt et
pi en fonction de t et de ik constantes arbitraires c,, c2, ..., c2k\ on pourra
exprimer de la même manière la fonction H. Cherchons, dans cette supposition,
la dérivée partielle -5-; nous aurons
ÔE
dct-
àR dpt dU dpt
dpx dct àpt dct
dqt dci dqt dct
'+dHdpj
dpk dct
àqu àct
ou bien, en tenant compte des équations (28),
àct dt dct dt àct ' ' ' dt dct
_ dj>± àq± _ dpi dqi _ _ dp^ âqk
dt dct dt dci " ' dt dct
ce que Ton peut encore écrire
àU _, à ( dqt dqt dqk\
ou encore, à cause de la relation (23),
dE 2dT d( <ty, <ty. dqk\
dït=d^-*{**;+Ptwt+---+Pàwt)'
On en tire, en remplaçant H par T — U,
<?(T + U)_ d ( àq, dqx dqk\.
Multiplions cette équation par dt et intégrons entre les limites /0 et /, t0 étant

12 INTRODUCTION.
supposé indépendant des constantes c,• ; nous trouverons
(29) < '°
les indices f0 et t placés au-dessous des parenthèses indiquant qu'il faut y
remplacer t successivement par t et
Reposons
(30) S-- I (T-r U)dt;
cette fonction a été appelée par Hamilton jonction principale; elle est, d'après ce
qui précède, exprimée à l'aide de t et des ik constantes arbitraires r,,
c2, ..., cit ..., c2k. Donnons à ces constantes des variations infiniment petites Se,
indépendantes les unes des autres ; désignons par Bq{ et SS les variations
correspondantes de qt et de S; nous aurons
^=3^^
fyl =
Désignons par (/>,)„, (Çi)o* (&9i)o °c que deviennent les expressions de pif qt
et Bçi quand on y fait t = t0 ; si nous multiplions l'équation (29) par Se, et si,
attribuant à l'indice i les valeurs 1, 2, ..., 2 k, nous faisons la somme des
équations obtenues, nous trouverons
(3ij <5S— Pioqi-{- p1àq1+ . .. + pkèqk— (/>i),(tyi)o — (/>i)o(fy,)0 —... — (/>*)o(<fy*)o-
S était d'abord, comme nous l'avons dit, une fonction de t et des ik constantes
arbitraires; or, en désignant par Ç, une certaine fonction de t et des constantes,
on a
(32) qi—ïi{t, c„ c„ ..., c,A),
d'où l'on déduit
(33) {qt)o = Kt{to> c„ c„ ..., c,A).
On a £ équations telles que (32) et k telles que (33); on en peut tirer les
valeurs des ik constantes c,, c2, ..., cik en fonction de f, t0, qt, q2, ..., qk et de

INTRODUCTION.
l3
(q,)0, (ya)o. ■■■» (Çk)o et les reporter dans S, qui deviendra une fonction des
mêmes quantités; on aura donc, en remarquant que dans le calcul de &S on ne
doit faire varier ni t ni t0,
(34) \/i> = W,à9'+W,s'"+-+W^
En comparant les expressions (3i) et (34) de SS, on trouve
(3o) Wt=Pl, Wt=Pt, ..., tj-t=P*>
(36) àrl)o=-{Pi)°> d(fs=-(^ ■■■■ &=-^)-
On peut maintenant, si l'on veut, regarder les ik quantités (qt)0t
(^2)0. •■■• (?*)<>» (/>i)o» (^2)0' ■■■» (p*\ comme de nouvelles constantes
arbitraires pouvant remplacer les anciennes clf c2, ..., c.îk\ alors les 2^
équations (35) et (36) seront les intégrales générales des équations (28). En se
plaçant au point de vue spécial du problème de Dynamique considéré, on pourra
dire que les équations (36) sont les intégrales de ce problème; car, à elles
seules, elles donnent les valeurs de qit q2, ..., qk et, par suite, les valeurs des
coordonnées de tous les points du système exprimées en fonction de t et de
ik constantes arbitraires. La forme remarquable sous laquelle se présentent les
équations (36) donne lieu au théorème suivant, dû à Hamilton :
Les intégrales d'un problème de Dynamique, dans lequel les liaisons sont
indépendantes du temps et où il existe une fonction des forces indépendante des
vitesses, peuvent toutes s'exprimer en égalant à des constantes les dérivées partielles
d'une autre fonction S prise par rapport à d'autres constantes.
D'après la manière dont la fonction S a été introduite, il semble que, pour
la connaître, il soit nécessaire d'avoir préalablement résolu le problème proposé;
il paraît en effet nécessaire d'exprimer d'abord T -h U en fonction de t et des
ik constantes cit d'effectuer la quadrature / (T -+- U)dt et d'exprimer ensuite
le résultat, en fonction de t, des k variables qt, q2, ..., qk et des k constantes
(îOo» (0a)o» •■•» (?*)<>; heureusement, on peut opérer autrement. Hamilton a
prouvé, en effet, que cette fonction S vérifie une certaine équation aux dérivées
partielles du premier ordre.
Pour le faire voir, remarquons que l'équation (3o) donne
3,) f=T+U-

l^ INTRODUCTION.
D'après ce qu'on a dit plus haut, S est une fonction de t, des variables q: et des
constantes (y4)0 ; S contient donc le temps explicitement et implicitement, et l'on
aura
dS_d$ y dS dqt
dt ~ dt +2à dqt dt
ou bien, en tenant compte de (35) et (37),
ou encore, en ayant égard à la formule (23),
de
Posons comme précédemment H = T — U, et nous aurons
(38) § + H=°-
La fonction U ne contient que le temps t et les variables qt\ mais T dépend
des variables qt et q't ou bien des variables qt et/?,; on peut donc écrire
l'équation (38) comme il suit :
-fi} +il(', Çt> Ç» • • -i Çki Pi> Pi* • • •» Pk) = o,
ou encore, en ayant égard aux formules (35),
(39> Tt+R\i*q»9»~-9kidïi'àq;' ■■"55J=0*
On voit donc que la fonction S est une intégrale complète d'une équation aux
dérivées partielles du premier ordre, dans laquelle figurent les k -h 1 variables
indépendantes t, qt, q2, ..., qk; cette intégrale contient les £ constantes («7,)0,
(ç*)o* ••■» (y*)o» sans compter la constante qu'on peut lui ajouter directement,
puisque l'équation (39) ne contient pas S, mais seulement ses dérivées
partielles.
Remarque. — L'équation (39) est du second degré par rapport aux dérivées
d~' â~' '"'à—' cela est une conséquence des formules (16') et (35).
6. Réciproque de Jacobi. — Il y avait lieu de se demander si, en prenant
pour S une intégrale complète quelconque de l'équation (39), on aurait encore
les intégrales du mouvement sous la forme remarquable exprimée par les équa-

INTRODUCTION. l5
tions(35) et (36); c'est ce qu'a fait Jacobi en démontrant le beau théorème
suivant :
Soit l'équation
(4o) f + H = °-
dans laquelle H = T — V est une fonction de t et des ik variables qt, q2, ..., qky
Pu Pi* •••»/>*» en faisant pi = 3— » on obtient une équation aux dérivées partielles
du premier ordre contenant k -+•1 variables indépendantes t, qt, q2, ..., qk.
Supposons que l'on ait obtenu une intégrale complète S de cette équation, c*est-à-dire une
solution fonction de t et des k variables qt et contenant k constantes arbitraires,
a,, a2, ..., aA, indépendamment de la constante que Von peut toujours ajouter
directement à S ; alors les équations
(42) dq-*=Pl' dq->=Pt' ••' dq~k =^'
dans lesquelles fî,, f$a, ..., $k désignent k nouvelles constantes, seront les intégrales
générales du système des 2 k équations différentielles simultanées
(43)
Différentions en effet les équations (4i) complètement par rapport au temps:
nous aurons
^S ^S dqt à1 S dqt
dqx _ dH
dt dpi
dqk dH
dt dpk
dpx _ dH
dt dqx
dpk dH
dt dqk
d<xx dt d<xt àqi dt da, dqt dt
d*S d*S dqx d»S dqt
4- —2-1 _) —— -\-. .
(44) { d<xtdt d/Xtdqx dt d<x,dq, dt
^S d*S dqt d»S dqt
àxkàt àxkàqi dt d<Xkdqt dt
Si, dans l'équation (4°)» on suppose S remplacé par sa valeur en fonction
de t, des variables qt et des constantes a,, on aura une identité ; on peut donc
différentiel* relativement aux constantes a,- ou par rapport aux variables q\. Fai-
àtxt dqk
dix, dqk
dtXkàqk
dqk
dt
dq,,
dt
dqk
dt
= 0,
= 0,
= 0.

ïG INTRODUCTION.
sons-le d'abord par rapport à a, : nous trouverons
d»S , dH dpx , dB. dp* ^ , dH dpk _ p
dtd*t dpt doti dpi dctx '" dpk da.
ou bien, en tenant compte de (42).
dsS dH d'S dH d*S dH d»S
-H -s 5 ; 1-
dt doit dpi dqt da, dp* dqt da, * * dpk dqk dxt
On trouvera d'autres équations toutes pareilles en difTérentiant (4o) par
rapport à a,, a3, ..., aA, et l'on pourra écrire cet ensemble d'équations
(45)
d»S d»S dH d*S dH
d£ da, d^, dxi dpx dqx dxt dpt
d*S d*S dH d*S dH
-+- + + ..
dt datt ' dqt àact d/>, d^, dott dpt
d*S d*S dH d*S dH
dlda* dqidoik dpt dqtd*k dpt
d*S dH _
dgr* dctx dpk
d'S dH _
dqkdat dpk ~ '
d*S dH
dqkdctk dpk
On va comparer ce système d'équations avec le système (44); on sait que
l'on a
d»S _ d'S
d»i dt ~ dt doti '
d»S d»S
dgr* dctj ôolj dqi '
il en résulte que, si l'on considère, dans les équations (44), -A~* -£> •• •> ^
comme les inconnues et si l'on prend pour inconnues, dans les équations (45),
dH dH dH , , , . .. , . , , ,
-T-» -t— » •••! -*—» on aura deux systèmes de k équations du premier degré a
k inconnues. Dans les deux systèmes, leR coefficients des inconnues et les termes
tous connus seront les mêmes; donc les inconnues correspondantes auront les
mêmes valeurs dans les deux systèmes. On en conclut, d'une manière générale,
la première moitié des formules (43) est ainsi démontrée.
Partons maintenant de l'équation
dS

INTRODUCTION.
nous en déduirons
l7
dPi _ ^S ^S
dt dqt dt dqt dqx
ou, en ayant égard à (46),
(47) *'= ^S + *S
K*7) dt dqtdt àqtàqt
dqx ( d*S dqx
dt dqt dq\ dt
dpt dqt dqt dpt
+ ^S dqk
dqtdqk dt
d»S dH
àqidqk àpk
Or, en différentiant (4o) par rapport à q^ on trouve
_ d'S ^^H^^H^i^^H^i^ ^dR dpk
t
ou bien
dtdqt dqt dpx dqt dpt dqt ' ' àpu dqt
_ d*S dU d*S dH d*S dU
~ dtdqt dqt dq^dqtdpx '" dqkdqt dpu
en remarquant que (42) donne
dpj _ ô2S
dqt dqj dqt
En rapprochant cette équation de l'équation (47)» on obtient
dPi _ dE.
~dt ~ dqtJ
donc la seconde moitié des formules (43) est démontrée.
On voit donc que les équations (40 et (42)» qui déterminent les ik variables
Pi et qt en fonction de t et des ik constantes arbitraires a,- et $it sont bien les
intégrales générales des équations différentielles simultanées (43).
Remarque. — Les équations (41) déterminent qlt q.2, ... et, par suite, les
coordonnées de tous les points tlu système en fonction de t et des 2/c constantes
arbitraires; elles suffisent à résoudre le problème proposé. Les équations (42)
déterminent ensuite les inconnues auxiliaires plt p.2, ...; on les appelle
intégrales intermédiaires.
Tout problème de Dynamique dans lequel les liaisons sont indépendantes du
temps et où il existe une fonction des forces (pouvant contenir le temps
explicitement) se ramène, comme on l'a vu, à un système d'équations différentielles
simultanées, tel que (43); on peut donc en conclure que la solution de chacun
des problèmes de Dynamique considérés plus haut se ramène à la détermination
T. — I. 3

l8 INTRODUCTION.
d'une intégrale complète d'une certaine équation aux dérivées partielles du
premier ordre.
Cette équation n'étant pas linéaire, on n'a pas de méthode générale pour
en trouver une intégrale complète; on peut néanmoins l'obtenir dans un
certain nombre de cas et, par suite, résoudre le problème correspondant, comme
nous le montrerons dans la suite de ce Traité.
7. Cas où la fonction des forces ne contient pas le temps
explicitement. — T est déjà supposé ne pas contenir le temps explicitement; il en sera
donc de même de H = T — U, et l'équation aux dérivées partielles sera
(48)
dS „/ <)S dS d$\
En désignant par a une constante, nous poserons
(49) -S = -a« + S'f
et nous supposerons que S' ne contienne pas le temps explicitement; on aura
dS dS'
et l'équation (48) deviendra
agi dg, '
(oo) h^,,^...,^,^-,^, .-.,—)=«.
S contenant déjà la constante a, il suffira de trouver une solution S' de
l'équation (5o) renfermante— i constantes arbitraires a,, a2, .... aA_, ; on aura
ensuite, en désignant par {3,, p2, .... fJA_,, fi, k nouvelles constantes arbitraires,
ce qui devient, en remplaçant S par sa valeur (49),
(0,) ^=^ *;=&' •••' 3st;=p-^ ^=<+p-
On voit donc qu'on est ramené à la recherche d'une intégrale complète d'une
équation aux dérivées partielles contenant k — 1 variables indépendantes au
lieu de k.
Voyons ce que deviennent les résultats ci-dessus dans le cas de n points
matériels entièrement libres.
Nous supposons toujours qu'il existe une fonction des forces pouvant contenir

INTRODUCTION. IÇ)
le temps explicitement, mais ne dépendant que des coordonnées des points
considérés.
Soient xh ytf, zit m, les coordonnées rectangulaires et la masse de l'un
quelconque de ces points; on aura 3n coordonnées et 3n équations différentielles,
telles que
nti'dF~'d^ii
(52) { m,-yV- = 3—'
I dtZidU
\ mi~dF -Wt'
Soit 2T la somme des forces vives des n points du système; on aura
(53) aT=2]m/(*;»-f-jr;» + 5;»)f
en posant
dxi , dyi , dz( ,
~dt = œh ~dl ~f" ~dt = Z'1'
Puisqu'il n'y a pas de liaisons, on pourra prendre #,, yh zu pour les
variables q\ on tire de (53)
àT
— = mixi;
axi
les variables p seront donc m,^., nny^ miz\.
On aura
miXi = teY m'-y' = ^' mtS'=dï*
et la formule (53) donnera
•^[(SHëHS']'
l'équation (4o) sera donc, dans le cas actuel,
S+i2à[(£H£M£)'H
où U désigne une fonction connue de t et des 3/i variables indépendantes
#i. y h zi-
Pour obtenir les mouvements des n points du système, il suffira donc de
trouver une solution S de l'équation (54) aux dérivées partielles contenant le temps /,
les 3/i coordonnées xt, yh zt et 3/i constantes arbitraires a,, a2, ..., a3„; après
quoi, en désignant par (3,, (3,, ••■• Pa«» 3*1 nouvelles constantes arbitraires, les

2o INTRODUCTION.
intégrales générales seront fournies parles formules
les intégrales intermédiaires seront
dx; d% dyt dS dz, dS
Si la fonction des forces ne contient pas le temps explicitement, ce qui arrivera
si les points matériels sont soumis seulement à leurs attractions mutuelles, on
devra considérer, au lieu de (54), l'équation aux dérivées partielles suivante
; 2 si [(§,)'+ (f)'+ Si)']=u + -■
où a désigne une constante arbitraire, et en trouver une solution S' contenant
les 3/i variables a?,-, yu *i et 3/i — i constantes arbitraires a,, aa, ..., a,,,., en
dehors de la constante a ; les intégrales générales seront
8. Relations de Jacobi. — Nous allons démontrer un théorème qui nous
sera utile dans la suite.
Soit S une fonction de n quantités qtt q2t ..., qn et de n autres a,, a2, ..., a„;
posons
(a)
<*)
On pourra tirer de ces équations
( ) en fonction de ( n n n \>
et, en portant ces valeurs dans les équations (6), on aura des identités que l'on
pourra différentier par rapport à l'une quelconque des quantités a et p. On
pourra tirer aussi des formules (a) et (b)
(yT'",ln) en fonction de (*'*> "'M,
\Plt P«» • • • , ?n / \?i, </«» • • • > ?» /
et, en portant ces valeurs dans les équations (a), on aura des identités que l'on
pourra différentier par rapporta l'une quelconque des quantités/? et q.
Pl=W
3 -<>S
oqt
3 -<*
" p'=df.
" P--55-.

INTRODUCTION. 21
Il en résultera, en désignant par i eik deux indices quelconques de la série
i, 2, ..., /*, des dérivées partielles, au nombre de ^n2, de l'une de ces formes
dpj_ dp± dqj_ dq±
{C) <W d£k' <W d$k'
et un second groupe de in2 dérivées partielles de la forme
dpt ' dqt ' dpt ' dqt
Les relations suivantes, dues à Jacobi, permettent d'exprimer d'une manière fort
simple l'une quelconque des dérivées (c) au moyen de l'une des dérivées (d) :
(e) ÉEL- ÊË*, U) dSL- È5Z,
{6) d*k~ dqt' {b) d£k- dpt*
( f\ à£L——à*k ,,v dgt _ â$k
W) d$k- dqt' {n) dxk~ dpt'
Tel est le théorème qu'il s'agit de démontrer.
Différentions les n équations (a) par rapport à qé, puis les n équations (b)
par rapport à aA; nous trouverons
(55)
(56)
d*S d'-S
dqx dqt ' dqx datx
d*S d'S
dqt dqt dqt datx
d*S d*S
dctx datk dctx dqx
-r .— -+- -= :
d*x d*S
dqt dqx doit
doc, d*S
dqt dqt dat
dq, + ^S
d<xk datx dqt
dqx ^S
àatt
dqt
àatt
dqt
dg*
dctk
dq*
o,
dactdack dottdqx dotk datdqt datk
o,
o,
En multipliant les équations (55) respectivement par -^-, T^' *" et ajoutant,
il vient
q_ d*S dqt d'S dqt dctx / d'S dqx d'S âq, \
~ àqx dqt dctk dqt dqt àctk '" dqt \dqx datx dxk dqt d<Xx dxk '")
dcttf d*S dqx d'S âq, \
dq( \dqx dtxt datk dqtdott dotk " ')
-+- ,
ce qui, à cause des formules (56), se réduit à
_ d«S dqt d*S dqt ( â*S dctx d*S àct
dqx dqt datk dqtôiji da.k \dotxdotk dqt dattdatk
à<7,+■■■)'

22 INTRODUCTION.
si l'on ajoute et si l'on retranche ^—->— > on peut écrire encore
dak\dqt) dqt \dak)~°
ou bien, en ayant égard à (a) et (b),
àpi _ d$km
da.h dqt '
c'est la formule (e).
Différentions les n équations (b) par rapport à (3A; nous aurons
<>*S dqt , d*S <ty, _
dati dqt d$k da, dqt d$k
d*S dqt { d*S àqt t =Q
(57)
d*S dqt ^S <ty,
daA<ty, (7(3* datkdqt dfik
Multiplions ces équations (57) respectivement par -r^-1» ~y ••• et ajoutons, il
viendra
à*u _ àqt / d'S dati d»S do, \
<ty* — 5J5*\d«i<tyi <ty, dtxtdqt dqt '")
àqt / d«S do, (PS do, \
<*(3* \d«, dqt dqt dat dqt dqt '")
ce qui, à cause de (55), se réduit à
àqt ~' \àqt àqi !ïfk + dq%âqt àqk + " " '/ dfik \âqt) ~ d$k'
c'est la formule (/).
Différentions les équations (a) par rapport à/>„ nous trouverons
+ ... = 0,
dqt dati dpt dqx dxt dpt
d'S fat . d«S ofo,
, dqtd<xx dpt "^ d?,da, d/>,
+ ... —o,
<ty* (tel d/>* <ty* da» d/>*
1

INTRODUCTION. 23
Multiplions ces équations respectivement par -Q> -Jp ••• et ajoutons, cela
nous donnera
d$k dpt\dqxdatx d$k <fy,da, d$k '")
| <W d'S âg, t d»S dqt t \
+ ;
en vertu des relations (57), cela se réduit à
agi _ d<xk
dpk- dPt>
c'est la formule (g).
Multiplions enfin les équations (58) respectivement par -p1, ~ > • • et
ajoutons, il viendra
da2 ( d*S dqt à*S dq
dpi \ dqi d<xt d<xk dq
tà<xt dxk " )
ce qui devient, à cause des formules (56),
dpt \àatk) àpt '
d<xk docld(xk àpt àxtàxk àpt
c'est la formule (h).
On pourra faire usage des relations (e), (/), (g), (h), quand on aura intégré
les équations d'un problème de Dynamique par la méthode de Hamilton-Jacobi;
en effet, les conditions (a) et (b) seront bien remplies, S étant une fonction de
Çt* Ci, • •■. qa* a<» a». .... a„ et de /; en prenant les dérivées partielles, on n'aura
pas, bien entendu, à se préoccuper de t.

CHAPITRE I. — LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 2J
CHAPITRE I.
DE LA LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE
TIRÉE DES OBSERVATIONS.
1. Les planètes, dans leurs mouvements autour du Soleil, obéissent aux lois
suivantes, que le génie de Kepler a fait jaillir des observations de Tycho-Brahé :
i° Les planètes se meuvent dans des courbes planes et leurs rayons vecteurs
décrivent des aires proportionnelles aux temps;
i° Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe un foyer;
3° Les carrés des durées des révolutions sidérales des planètes autour du Soleil
sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites.
Nous allons appliquer aux mouvements des planètes les théorèmes de la
Mécanique rationnelle; ces théorèmes reposent- sur le principe de l'inertie et sur le
principe des mouvements relatifs.
D'après la seconde partie du principe de l'inertie, quand un point matérielest
en mouvement] si aucune force nagil sur lui, son mouvement est rectiligne et
uniforme.
Considérons une planète P dans son mouvement autour du Soleil; ce
mouvement n'est pas rectiligne. Donc une force R agit sur elle à chaque instant pour
l'éloigner de la ligne droite qu'elle décrirait si elle était absolument libre; nous
nous proposons de trouver les lois qui régissent cette force, sa direction et son
intensité. Chacune des lois de Kepler va nous fournir, à ce sujet, un
renseignement important. Je rappelle d'abord le théorème suivant de la Mécanique
rationnelle :
Si la trajectoire d'un mobile est plane et si le rayon vecteur mené du mobile à un
point fixe du plan de la trajectoire décrit des aires proportionnelles au temps, la
force motrice est constamment dirigée vers ce point fixe.
T. - I. 4

26
CHAPITRE I.
En appliquant ce théorème à la première loi de Kepler, nous voyons que la
force R, que nous savons agir à chaque instant sur la planète P, est constamment
dirigée vers le centre S du Soleil. Le théorème des aires', mentionné plus haut,
nous apprend seulement que la direction de la force coïncide avec la droite SP ;
pour en conclure que la force R est bien dirigée vers le point S et non en sens
contraire, il suffît de remarquer que la trajectoire elliptique de la planète tourne sa
concavité vers le point S. La force qui éloigne à chaque instant la planète de la
tangente à son orbite tend donc à la rapprocher du Soleil : c'est une force
attractive.
Puisque nous avons affaire à une force centrale, nous pouvons employer
l'expression suivante de la force R
m désigne la masse du point matériel P soumis à la force R dirigée
constamment vers le centre fixe S; r la distance SP et 6 l'angle XSP que fait le rayon
vecteur r avec une droite fixe SX passant par le point S et située dans le plan de
la trajectoire; enfin c désigne le double de l'aire décrite par le rayon vecteur SP
dans l'unité de temps; dans la formule (i), on a pris 6 comme variable
indépendante.
D'après la seconde loi de Kepler, l'orbite de la planète est une ellipse ayant
le point S pour foyer. Soient (jfig. i) A le point de l'orbite le plus rapproché du
Fig. i.
foyer S, point que l'on nomme le périhélie (A', le point le plus éloigné de S,
reçoit le nom d'aphélie); on aura
sp = /-; xsp = e.
Soient co l'angle constant XSA, v l'angle ASP, e l'excentricité, p le paramètre de
l'orbite, on aura, par un théorème connu de la Géométrie analytique à deux
dimensions,
'--=—p— ;
i + ecosf
or

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 27
On aura donc
d'où
I I
r~p
d*1-
r
~dëi~
-\— cos(0 — w):
P
g
cos(0 — co).
p
cfii
Si l'on porte ces valeurs de - et de -^ dans la formule (i), elle devient
D me1 1
p r*
ou bien
m\i.
en posant
R- ,.,
"=7
Or, pour une même planète, m, c et p sont des constantes; donc la force qui
retient une planète dans son orbite varie en raison inverse du carré de la distance de
cette planète au Soleil.
On voit que les deux premières lois de Kepler nous ont fourni des résultats
importants; adressons-nous maintenant à la troisième loi. Soient a et b les
longueurs des demi-axes de l'orbite de la planète P, T la durée de la révolution de
cette planète sur son orbite; l'aire de l'ellipse étant égale à Tzab, l'aire décrite
par le rayon vecteur r dans l'unité de temps est égale à -™- ; on aura donc
2i:ab
C = -Y-'
On a du reste
6S
il en résulte
p-^p~'
P r. Tî
En considérant le mouvement d'une autre planète P' autour du Soleil et
désignant pour cette planète par R', r/f m, ja', a', T" les quantités analogues à R, r,
m, (x, a, T, on aura
'..'
R' =
m p
,.n

28 CHAPITRE I.
Or la troisième loi de Kepler nous fournit la relation
fl — —-
il en résulte
/*' = **
et
r'1
Ainsi (x est le même pour toutes les planètes, et la loi de la force R' rentre dans
celle de la force R; nous arrivons donc au résultat suivant :
Soient P l'une quelconque des planètes, m sa masse; dans chacune de ses
positions, elle est sollicitée vers le centre du Soleil par une force dont l'expression
est —£} (X désignant une constante commune à toutes les planètes.
Si nous considérons que les positions occupées successivement par la
planète P sont comprises entre deux cercles concentriques de rayon a(i — e) et
a(i -h e), de même que celles de la planète P' sont comprises entre les cercles
de rayons a'(i — e') et a'(i + e'), ..., nous sommes conduits à admettre que,
partout où se trouvera une molécule matérielle M, de masse m, située à la
distance r du centre S du Soleil, elle sera nécessairement soumise à l'action d'une
force dirigée suivant la droite MS et ayant pour expression ^£-
2. Après être arrivé au résultat précédent, Newton s'est proposé la question
inverse :
Un point matériel de masse m est soumis constamment à l'action d'une force
dirigée vers le centre du Soleil et variant en raison inverse du carré de la distance :
trouver sa trajectoire.
On voit, par raison de symétrie, que la trajectoire doit être plane, son plan
étant astreint à passer par le centre du Soleil et par la vitesse initiale du point
matériel. Soit R = —£ la force donnée; on aura, par la formule (i),
d'où
*G-s)
dO*
(*-*)=-

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 29
On en tire, en intégrant et désignant par e et co deux constantes arbitraires,
^ = ^ecos(0— w),
r c1 c1 v '
(2)
1 + ecos(0— co)'
donc la courbe est une section conique ayant le point S pour foyer.
Remarque. — On peut supposer e > o ; car, si la constante e était négative, on
la changerait en une autre égale et de signe contraire en remplaçant dans
l'équation (2) (o parr co -+- ir.
Demandons-nous si l'on peut disposer des données initiales de manière que
la trajectoire soit l'une quelconque des trois sections coniques.
Soient 60 et r0 les valeurs initiales de 6 et de r pour t = t0, V0 la valeur
initiale de la vitesse du mobile, et yj0 l'angle que fait cette vitesse avec le
prolongement du rayon vecteur. On a, par les formules connues de la théorie des
forces centrales,
c
V0 simo0 =
r„
V0COSY}0=— C
On en conclut, en ayant égard à l'équation (2),
e sin(0o— &>)= —2 r0 simo0 cosyj0,
(3) ' **
I ecos(0o — w) = —-f0 sinsY}0—1;
ces équations déterminent sans ambiguïté les constantes e et (0; e est
l'excentricité de l'orbite, comme le montre l'équation (2), et co est l'angle polaire qui
correspond au périhélie; — est égal au paramètre p ou à
on aura donc
(4) a(i-c»)=^/-»siri"rj0.
En élevant au carré les équations (3) et les ajoutant, on trouve
V* 2V1
ei — ~-jr\ sinsY}0 + 1 ^ /•„ sinsïj0,
5" = ^r«8in«tj.(^-V»);

3o CHAPITRE I.
la trajectoire sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que la
valeur de i — e1 sera positive, nulle ou négative; si donc on a
V% < —> la trajectoire sera une ellipse;
ro
VJ = -^> » » parabole;
7'o
VJ > -^» » » hyperbole.
On voit que le genre de la section conique ne dépend que des données initiales
r0 et V0 et nullement de yj0.
La formule (4) donnera ensuite, avec la valeur ci-dessus de i — e1,
le grand axe de l'orbite est indépendant de yj0.
3. Orbites des comètes. — Kepler avait négligé d'étudier les mouvements
des comètes, sans doute parce qu'il attachait une médiocre importance à ces
astres qu'il considérait comme des « météores engendrés dans l'éther ». Newton
voyant que, sous l'influence de la force considérée ci-dessus, un point matériel
peut décrire autour du Soleil, non seulement une ellipse voisine d'un cercle,
comme le sont les orbites des planètes, mais une ellipse très allongée ou même
une parabole, Newton, disons-nous, fut amené à penser que, comme les
planètes, les comètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer, toute la
différence consistant en ce que les orbites planétaires sont peu excentriques,
peu inclinées sur l'écliptique, tandis que les comètes décrivent des ellipses très
allongées et situées dans des plans quelconques. On s'expliquera ainsi pourquoi
les comètes ne sont visibles que pendant un temps limité; c'est le temps
pendant lequel elles sont assez voisines à la fois et du Soleil et de la Terre pour que
leur éclat permette de les apercevoir.
On sait que la parabole est la limite d'une ellipse ayant même sommet et
même foyer, et dont le grand axe augmente indéfiniment; il en résulte que,
dans le voisinage du périhélie, l'orbite d'une comète, supposée elliptique et très
allongée, différera fort peu d'une parabole ayant le Soleil pour foyer. Newton
fut donc amené à penser que les orbites des comètes peuvent être considérées
comme paraboliques. Il eut bientôt l'occasion de mettre ses idées à l'épreuve :
le 14 novembre 1680 parut une comète qui se rapprocha rapidement du Soleil
et disparut dans ses rayons le 5 décembre. Le 22 décembre suivant, une comète
très brillante apparaissait de l'autre côté du Soleil. En calculant les observations
des deux comètes, Newton démontra qu'elles ne formaient qu'un seul et même
astre; elles avaient décrit chacune un arc d'une même parabole.

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE.
3l
On a observé depuis un nombre considérable de comètes paraboliques; pour
chacune d'elles, le centre du Soleil coïncide avec le foyer de la parabole et le
rayon vecteur décrit des aires proportionnelles aux temps. Donc chaque comète,
dans l'une quelconque de ses positions, est soumise à une force R dirigée vers le
Soleil et ayant pour expression
_ me1 i
n = r-
p rz
Si l'on compare aux quantités c et p les quantités c' etp', c" et/?", ..., qui
correspondent à d'autres comètes, on constate que l'on a
cs _ c'* _ c"1 _
p~y~y~=";
de plus, la valeur commune de ces rapports est égale à la quantité
correspondante
commune a toutes les planètes.
Nous retrouvons donc la même loi d'attraction R = -^> où ja est une
constante pour tout le système planétaire, et nous sommes en droit de considérer le
centre du Soleil comme le foyer d'une force attractive qui s'exerce dans toutes
les directions, sur tous les corps, proportionnellement à leur masse et en raison
inverse du carré de la distance.
On voit quelle force les comètes apportent à cette démonstration : à l'aide des
planètes, on ne pouvait démontrer l'existence de l'attraction que pour des points
situés dans le voisinage de l'écliptique; les comètes, au contraire, sillonnent
l'espace dans tous les sens et, partout où elles pénètrent, elles nous montrent
la même loi d'attraction qui les accompagne.
4. Pour passer de la loi d'attraction exercée par le Soleil à la loi de la
gravitation universelle, il restait un pas difficile a franchir; voyons quelles sont les
idées qui ont guidé Newton dans cette voie.
Les observations démontrent que les satellites obéissent à très peu près aux
lois de Kepler dans leurs mouvements autour des planètes. Considérons, par
exemple, Jupiter et l'un de ses quatre satellites; nous désignerons par m, la
masse de ce satellite et par r, sa distance au centre de Jupiter. On déduira des
deux premières lois de Kepler concernant le mouvement relatif de ce satellite
que, dans chacune de ses positions, il est soumis a l'action d'une force R,
dirigée vers le centre de la planète et ayant pour expression
». - -7j-
On démontrera l'existence d'une force analogue pour chacun des trois autres

32
CHAPITRE I.
satellites, et, en partant de la troisième loi de Kepler, on prouvera que ja, est le
même pour les satellites. Voilà donc le centre de Jupiter qui est le siège d'une
force analogue à celle que nous avons reconnue dans le Soleil; les deux forces
suivent la même loi : il n'y a de différence que pour les constantes jx et jx, .
On peut en dire autant de toutes les planètes qui ont plus d'un satellite,
savoir de Mars, de Saturne et d'Uranus; pour les planètes qui n'ont qu'un
satellite, la Terre et Neptune, on ne peut appliquer que les deux premières lois
de Kepler. On démontrera donc seulement que le satellite, dans chacune de ses
positions, est soumis à l'action d'une force R, dirigée vers le centre de la planète
et ayant pour expression
R _"»if*i
i
Si l'excentricité de l'orbite du satellite était très forte, r, varierait dans des
limites très étendues, et il serait bien démontré que la planète exerce une
attraction variant en raison inverse du carré de la distance; mais, si l'excentricité est
petite, et c'est le cas, les deux premières lois de Kepler ne permettraient guère
de trouver la loi de variation de la force; elles prouveraient seulement son
existence et permettraient de calculer son intensité moyenne.
Il convient ici de faire une remarque au sujet des mouvements des satellites.
PM
Soient {fig. 2) S le Soleil, P Jupiter, M l'un de ses satellites: le rapport -5^
Fig. 2.
étant très petit, les droites PS et MS peuvent être considérées sensiblement
comme égales et parallèles. La force R = —£> émanant du centre du Soleil, doit
s'exercer sur P et sur M. D'après ce qu'on vient de dire sur les^droites PS et MS,
les forces PA et MB, appliquées respectivement à l'unité de masse de P et à
l'unité de masse de M, pourront être considérées comme sensiblement égales et
parallèles; ces forces auront donc seulement pour effet d'imprimer un
mouvement de translation au système formé par Jupiter et ses satellites. D'après le
principe des mouvements relatifs, les mouvements des satellites autour de la
planète seront donc à peu près les mêmes que si la planète était immobile.
Considérons actuellement la Terre et son satellite unique, la Lune; les deux
premières lois de Kepler étant vérifiées, il en résulte que, dans chacune de ses
positions, la Lune est sollicitée par une force R ayant pour expression
c\ 1 _ 47TX m,
17T 7« — t* 7*
Pi ri Li ' 1

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 33
et dirigée vers le centre de la Terre. L'excentricité de l'orbite de la Lune étant
assez petite, on peut ne considérer que la valeur moyenne de R, et y faire
r, = a, ; on aura ainsi
11
L'accélération moyenne correspondante à cette force sera
47i!a,
<?i = —?Fr- >
11
évaluons-la en prenant pour unité de longueur le mètre et pour unité de temps
la seconde sexagésimale de temps moyen; soit p le rayon de la Terre supposée
sphérique. On a, à fort peu près, pour la distance moyenne de la Lune à la Terre,
a, =: 6op;
on a du reste
2 7ip — 4° 000 000m.
Enfin, la durée de la révolution sidérale de la Lune est
T, = 27J 7h 43m = 39 343m = 3g 343 x 6os ;
on trouvera ainsi
4 7TS X 60 X 40 000 000 _
* = 27TX (39343 x 60)' = °^0027o6.
Nous sommes évidemment portés à admettre que la Terre exercerait son
attraction sur tout autre corps que la Lune et que cette force suivrait la loi de la
raison inverse du carré de la distance. Demandons-nous ce qu'elle serait à la
surface même de la Terre, c'est-à-dire à une'distance du centre de la Terre
—2
soixante fois plus petite que dans le cas de la Lune; l'attraction sera 60 fois plus
—ï
grande et l'accélération correspondante sera égale à om,002706 x 60 = 9™, 74.
Or l'accélération moyenne de la pesanteur à la surface de la Terre est g = 9™, 82,
nombre très peu différent du précédent. Lorsqu'on tient compte de plusieurs
causes secondaires que nous avons laissées de côté pour simplifier, on trouve
entre les deux nombres une identité absolue.
Que faut-il en conclure? Évidemment que la force qui retient la Lune dans son
orbite n'est autre chose que la pesanteur terrestre affaiblie en raison inverse du carré
de la distance. "
Ainsi la loi de la diminution de la pesanteur qui, pour les planètes
accompagnées de plusieurs satellites, est prouvée par la comparaison des durées de
leurs révolutions et de leurs distances, se trouve démontrée, dans le cas de la
T. - I. 5

34 CHAPITRE I.
Terre, parla comparaison du mouvement de la Lune avec celui des projectiles
à la surface de la Terre.
Les forces d'attraction dont le Soleil et les planètes sont le siège ne doivent
plus nous paraître aussi mystérieuses, puisque nous sommes familiarisés avec
l'une d'elles, la pesanteur, par l'expérience journalière.
L'analogie nous porte évidemment à admettre que les planètes qui n'ont pas
de satellites, Mercure et Vénus, sont douées de la même force attractive. Nous
ferons un nouveau pas en avant par la considération suivante : le Soleil attire
Jupiter et ses satellites; Jupiter attire ses satellites, cela est démontré; mais on
doit admettre que l'attraction de Jupiter s'exerce à toute distance et se fait
sentir même sur le Soleil; ainsi, si le Soleil attire Jupiter, Jupiter aussi doit attirer
le Soleil, et, d'après le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, ces
deux forces doivent être égales. Soient donc M la masse du Soleil, m celle de
Jupiter, r leur distance, ja la constante qui figure dans la loi de l'attraction
exercée par le Soleil, jx, la constante correspondante pour Jupiter; on devra
avoir
7T — ~pr'
On en conclut, en désignant par f une autre constante,
ii — ti — r
f* = fM;
ainsi la valeur commune des deux attractions réciproques du Soleil et de Jupiter
est
U fMm§
les deux corps s'attirent donc proportionnellement à leurs masses et en raison
inverse du carré de la distance.
Nous avons fait abstraction jusqu'ici des dimensions des corps Célestes que
nous avons réduits à leurs centres respectifs; mais la propriété attractive ne
réside pas seulement dans ces centres : elle est propre à chacune des molécules
des corps considérés. On peut le prouver pour l'attraction exercée par l'un de
ces corps, la Terre; on démontre en effet que, dansle vide, tous les corps tombent
avec la même vitesse. On peut diviser un corps en un nombre quelconque de
fragments; le poids total est égal à la somme des poids des divers fragments; chacun
d'eux, abandonné à lui-même, tombe dans le vide avec la même vitesse que le
corps primitif; la pesanteur s'exerce donc sur les moindres parties des corps,
et l'on doit admettre qu'il en est de même de l'attraction d'une manière générale.
Ainsi le Soleil doit attirer toutes les molécules de chacune des planètes, de
chacun des satellites; de même une planète doit attirer toutes les molécules du

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 35
Soleil. C'est de cette manière que Newton a été conduit à la loi de la gravitation
universelle à laquelle souvent on donne simplement le nom de loi de Newton :
Deux points matériels quelconques s'attirent mutuellement, proportionnellement à
leurs masses et en raison inverse du carré de la distance.
Soient M et M' les deux points, m et m' leurs masses, r leur distance; le
point M est soumis à l'action d'une force MA dirigée vers le point M'; le point M',
à l'action d'une force M'A' dirigée vers le point M; on a
M'A' = MA = ^-';
la constante f est l'attraction de deux unités de masse a l'unité de distance.
5. Nous allons traiter une question intéressante qui se présente
naturellement.
La loi de Newton mérite-t-elle réellement la qualification (['universelle? Pré-
side-t-elle aux mouvements des systèmes éloignés et, en particulier, aux
mouvements observés avec tant de soin depuis W. Herschel dans les étoiles
doubles.
Pour se prononcer, il faut voir d'abord quelles sont les données précises de
l'observation; elles sont résumées dans les deux lois suivantes :
(a) Dans tous les systèmes binaires, la projection du rayon vecteur mené de
l'étoile principale au satellite, sur le plan tangent à la sphère céleste, décrit des
aires proportionnelles aux temps.
(b) L'orbite apparente du satellite est une ellipse.
Il convient d'insister sur ce point que l'observation nous donne ce qui se
rapporte à l'orbite apparente et non pas à l'orbite réelle; c'est qu'en effet les
mesures des astronomes se rapportent à la projection du satellite sur le plan
tangent à la sphère céleste mené par l'étoile principale; le satellite pourrait
occuper une position quelconque sur le rayon qui le jointà la Terre, en avant ou en
arrière du plan tangent considéré. Au point de vue strictement rigoureux, il
serait impossible de déterminer l'orbite réelle; il faut faire une hypothèse, et la
plus naturelle est d'admettre que cette orbite est plane ('); il en résulte
aussitôt que la loi des aires a lieu pour l'orbite réelle, et que cette orbite est une
(!) La loi des aires ayant lieu pour la projection sur le plan tangent à la sphère, il en résulte quo
la force rencontre la droite SO (S désignant la Terre, ou plutôt lo Soleil, et 0 l'étoile principale). On
peut dire la même chose pour les autres étoiles doubles; S est d'ailleurs un point quelconque, n'ayant
aucun rapport avec les points tels que 0; il est donc tout naturel d'admettre que la force passe
toujours par le point 0; la force étant centrale, l'orbite est plane.

36 CHAPITRE I.
ellipse, puisque sa projection sur le plan tangent, qui n'est autre que l'orbite
apparente, est elle-même une ellipse; mais, dans l'orbite apparente, l'étoile
principale est un point quelconque; la position du plan de l'orbite réelle est
inconnue, et il nous est impossible de décider, par les observations usuelles, si
l'étoile principale occupe réellement l'un des foyers de l'ellipse réelle.
On démontrera immédiatement, de la même manière que pour les planètes,
que, dans chacune de ses positions, l'étoile satellite est soumise à l'action d'une
force R dirigée vers l'étoile principale; mais il ne sera pas possible d'arriver à
la connaissance de l'intensité de R en partant de cette unique donnée, que le
satellite décrit une ellipse. Toutefois, on peut généraliser les conclusions des
observations en remarquant que les étoiles doubles dont on connaît les
mouvements relatifs sont nombreuses; que ces mouvements sont très différents d'un
système binaire à un autre, pour ce qui concerne les dimensions, les
excentricités, etc. des ellipses, et il est naturel d'admettre que la force R est telle qu'elle
ferait décrire à un satellite quelconque une conique, quelles que soient, à
l'époque initiale, la position du satellite et sa vitesse, en grandeur et en direction.
Nous admettrons enfin que l'intensité R de la force ne dépend pas de la vitesse
du satellite, mais seulement de sa position.
Soient :
Ox, Oy deux axes rectangulaires menés par l'étoile principale 0 dans le plan de
l'orbite réelle;
x et y les coordonnées du satellite M à l'époque t;
Ha distance OM.
Les équations différentielles du mouvement de M seront
cPx _. x
m—j- = — R-,
dt r
(5) [ ^
m^--RF'
où R = $(;r, y) est une fonction inconnue des deux variables indépendantes <r
et y; il s'agit de déterminer cette fonction de manière que l'orbite qui résulte
de ces équations différentielles soit une conique, quelles que soient les valeurs
initiales x0,y0, x0 — (-^A , y'0=. (737) des coordonnées et des composantes
de la vitesse.
Ce beau problème a été proposé par M. J. Bertrand, dans le tome LXXXIV
des Comptes rendus de l'Académie des Sciences; ce même volume renferme deux
solutions complètes et entièrement différentes, dues à M. Darboux et à M.
Halphen. Depuis, M. Darboux a développé sa méthode dans l'une des Notes
remarquables dont il a enrichi la Mécanique de M. Despeyrous. Nous allons reproduire

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 37
ici la solution de M. Halphen, avec quelques modifications qui rendent peut-être
la démonstration un peu plus longue, mais lui donnent, à ce qu'il nous semble,
plus d'homogénéité.
Nous ferons
Idx , dy ,
~dt ~ X ' dt ~ * '
R =— mur;
u sera comme R une fonction inconnue de x et y\ les équations différentielles (5)
se trouveront donc remplacées par le système suivant :
Idx dy , dx' dy'
—r-=x\ -£=y', —r-^ux, -5- = uy,
dt ' dt J dt dt "'
u = W(x, y).
Nous aurons dans la suite à prendre les dérivées par rapport au temps de
fonctions des quatre quantités x, y, x',y'; nous les calculerons par la formule
suivante, qui se déduit immédiatement des équations (A)
dv, , /x ,ॠt ,ॠt / dF d¥\
dans le cas où la fonction F ne contient que x, cela se réduit à
Lemme. — Trouver l'équation différentielle commune à toutes les coniques.
L'équation générale des coniques est
(8) A.r2+2B^>' + CjJH-âFa? + 2GiX + H = o;
elle définit y en fonction de x et de cinq constantes arbitraires. Prenons x pour
variable indépendante et différentions cinq fois de suite, nous trouverons, en
désignant les dérivées par la notation de Lagrange,
Cyy' +B(a:/+y) + Xx-h G/' + F = o,
C(jJff +.r") +B(*/' + 2/)+A -hGy" =o,
(9) {C(yym+3y'y") +B(^ + 3j') + G/" =o,
C(j/v-H4j'r+3/'«) +B(*/v+4.r") +G/V =o,
C( JJV + 5/j,v+io/y ) + B{xyv + 5/v) + Gjv = o.

38
CHAPITRE I.
A
Il reste à éliminer entre les six équations (8) et (9) les cinq quantités g» • • •,
h; les trois dernières des équations (9) contiennent seulement, et sous forme ho^
mogène, les trois quantités B, C, G; on aura donc le résultat de l'élimination en
égalant à zéro le déterminant
A =
yy" + 3/'/'
//v+ 4/7* +3/"
y y -+■ 5y'ylv-h ioy"y"
xym _,_ 3y
xylv+by"
*y + 5/,v
y
y
y
On trouve aisément, en partant des propriétés élémentaires des déterminants,
que A se réduit à
o sy y
A= 3/'» ky" yv
en supprimant le facteur y et revenant à la notation différentielle, il vient
(B)
/cPyYd'y ,rd*y cPy cPy . /rf*y\*
L'ordonnée d'une conique quelconque vérifie cette équation, et,
réciproquement, toute fonction de x qui y satisfait pourra être considérée comme
l'ordonnée d'un point quelconque d'une conique dont a? serait l'abscisse.
Il faut maintenant considérer l'une quelconque des trajectoires qui résultent
des équations (A), regarder^ comme une fonction de x, former les dérivées
d~^' '"' cT*' et^essu^stituer dans la relation (B).
On a d'abord, en tenant compte des formules (A) et (7),
dy__y_
dx x' '
. d*y x'uy—y'ux
x . . = —
dx1
x'
ou bien
(.0)
*"^ = «r-/*)«•
Remarquons que, d'après la loi des aires, le binôme x y — y'x est constant;
en ayant égard à cette remarque et aux formules (7) et (7'), on déduira
aisément de la formule (10), différentiée plusieurs fois par rapport au temps, les

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 39
formules suivantes :
'idl^—i<x'y — yx)(x'-d^ — iouxx,d^ — 3«^,!!+i5a3^2y
X
op y I d3 u d^ u f du
*"d£ = ^'y-y'^ [*" *?■ ~l5"**"** ~ l0XX'\-di
-=-(io$ a* X* x'—i6a.r'3) + 45a*a?a?'î—io5a*a?3
Portons ces valeurs (10) et (n) dans l'équation (B); nous apercevons de
t / /p' y y' /p \^ ,
suite le facteur commun -— M;—-; supprimons-le et effectuons les calculs;
il y aura, après les réductions, encore un facteur x'3, et il restera seulement
du
~di'
. d?u ,„ du diu . /du\3
(i2> a^-4ow^^+4oUJ=9
Cette équation se simplifie notablement en posant
(i3) u =. w s;
w sera, comme m, une fonction de x ety\ on trouve sans difficulté que
l'équation (12) devient simplement
r d*w -\dw
(C) ~dT=w Tt'
Il nous reste à calculer -j- et —r^\ en ayant égard aux formules
dx' -l dy'
dt ' dt 7
on trouve
rfw , dw ,dw
dt dx J dy
d*w __ /3 d3w , o „ , à3w „ , ,2 d3w
^a -if ,&w _,_ ,d»w\
3 -1/ dw dw\ / .dw ,àw\

^o CHAPITRE I.
en portant ces deux dérivées dans l'équation (C), il vient
d3w „ „ , d3w , 2 , ,, d3w j3à*w
-,.'3
(D) +^v \_*w\*T*+y^riï\*iï+yto)\
Cette équation doit avoir lieu quel que soit t, et en particulier pour t = o,
auquel cas, comme on l'a vu, x, y, x', y peuvent être quatre quantités
quelconques, indépendantes les unes des autres. L'équation (D) donnera donc les
six équations suivantes :
d3 w d3w à3 w d3 w
(l4) dx1=°' lxTdy~°y ~dx~dy-°> dy*~0i
(d1 w d1 w \ âw / dw dw\
(dxw d*w \ dw / dw dw\
y dy1 dx dy) ày\ dx dy )~
iw
(,5)
iw
Les formules (i4) montrent qu'en désignant par a, b, c, /, g, h six
constantes arbitraires, w est de la forme
(E) w = ax%-\- ibxy + cy*-\- ifx + igy ■+- h.
Substituons cette expression dans les relations (i5), et nous trouverons,
après réduction,
(bf-ag) xy-h(cf - bg)y*-h (/« - ah) x + (fg-bh)y = o,
(bg— cf)xy-h(ag— bf)x1-h(fg—bh)x-h(g* — ch)y = o.
Ces deux équations devant avoir lieu quels que soient x et y, on en conclut
ag — bf = o,
(16)
( bg — c/=o;
(17) \ g1 — ch=o,
fg — bh = o.
On tire des formules (17)
fh(ag—b/) = o, gh(bg — cf) = o;
si donc aucune des quantités/, g, h n'est nulle, les relations (16) sont une
conséquence de (17), et il suffit de vérifier ces dernières.

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. /\l
Or l'équation (E) donne
(18) *>=±[(/x-hgy-hhy-V*-ah)x*-(g>-ch)y>-2Vg-bh)xy)l
ce qui, à cause des formules (17), se réduit à
h
Les formules (6) et (i3) donnent ensuite
(F,) R, = mA»
(Jx+gy+hf
c'est une première loi pour la force cherchée; quelles que soient les quantités
/, g, h, la trajectoire sera une conique.
Supposons maintenant h = o; les formules (17) entraînent/= o, g=o;
elles sont alors vérifiées, ainsi que les relations (16); on a donc
w
= ax--\- ibxy ■+- cy*,
r
(F,) R, = m 3,
(ax*-h ibxy ■+- cy1)1
c'est une autre loi de la force; les constantes a, b, c peuvent être quelconques.
Dans le cas où /= o, (16) et (17) donnent
ag=.bg = ah = bh = o, g* = ch,
d'où
a = b = o;
en portant dans la formule (18), il vient
h
la valeur correspondante de R s'obtient donc en faisant /= o dans la
formule (F,). Ainsi il y a deux lois de forces, et rien que deux, qui répondent à
la question; mais les forces R, et R2 contiennent non seulement r, mais encore
l'angle polaire 6 = arctang--
Si l'on veut que ces forces ne dépendent que de r, ce qu'il est naturel
d'admettre, on devra faire, dans (F, ), /= g—o, et, dans (F2), a = c et b = o ; on
T. — I. 6

42 CHAPITRE I.
trouve ainsi
R, = mp.r,
La première de ces lois est incompatible avec les observations, car, si elle avait
lieu, le satellite décrirait toujours une ellipse ayant pour centre l'étoile
principale, et cette propriété se conserverait dans l'orbite apparente; or les
observations montrent qu'en général cela n'a pas lieu; il ne reste donc que R2 = —~ ou
la loi de Newton.
Conclusion au point de vue de V Astronomie. — On voit par ce qui précède qu'il
est impossible de conclure d'une façon rigoureuse que la loi de Newton préside
aux mouvements des étoiles doubles; toutefois, cela est très vraisemblable,
puisque les autres forces qui pourraient expliquer les mouvements observés
seraient telles, qu'à des distances égales une même étoile exercerait sur des
masses égales des attractions variables suivant les diverses directions.
Remarque. — Dans les Additions à la Connaissance des Temps de i852 se
trouve un Mémoire de M. Yvon Villarceau ayant pour titre : Du mouvement des
étoiles doubles, considéré comme propre à Journir la preuve de l'universalité des lois
de la gravitation planétaire.
M. Villarceau s'était demandé déjà si la force qui produit les mouvements
observés dans les étoiles doubles rentre nécessairement dans la loi de Newton;
il avait vu que d'autres forces centrales, dépendant des deux coordonnées du
satellite, peuvent lui faire décrire une ellipse autour de l'étoile principale; mais
il avait laissé subsister dans l'expression de la force les paramètres qui figurent
dans l'équation de l'ellipse considérée, et n'avait pu ainsi s'élever aux deux
lois générales exprimées par les formules (F,) et (F2).
Dans un Travail inséré au tome XXXIX des Monthty Notices of the Royal
astronomical Society, M. Glaisher a fait observer, à l'occasion des beaux
résultats obtenus par MM. Darboux et Halphen, que Newton avait montré (Principes,
Fi g. 3.
Livre I, scolie de la Proposition XVII) que, si une ellipse E (fig. 3) est décrite par
un mobile M sous l'action d'une force S proportionnelle à la distance et dirigée

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 43
constamment vers le centre C de cette ellipse, elle peut être décrite aussi sous
l'action d'une autre force R dirigée constamment vers un point fixe 0 choisi à
volonté, pourvu qu'entre les intensités R et S on ait toujours la relation
s ômIcm
R~ CG8 '
G désignant le point où la tangente MT est rencontrée par le rayon CG parallèle
à OM; on a, par hypothèse,
S = fx.CM;
il en résulte donc
r="-om(ot)s-
M. Glaisher montre géométriquement, et l'on peut le faire par un calcul des
plus simples, que -r^r est une fonction du premier degré des coordonnées
rectangulaires du point M; on voit donc que la force R qui résulte de la remarque
de Newton rentre dans la formule (F,).
Enfin, M. Glaisher rappelle que W. Hamilton avait prouvé que, si un mobile
est attiré vers un point fixe par une force qui soit directement proportionnelle
à la distance comptée du point fixe et inversement proportionnelle au cube de
la distance du mobile à un plan fixe, ce mobile décrira toujours une conique;
c'est en quelque sorte la réciproque du théorème qui résulte de la remarque de
Newton.
Il est inutile d'insister sur la différence de ces résultats, et de la réponse
générale donnée par MM. Darboux et Halphen au problème nouveau proposé
par M. Bertrand.
6. On vient de voir qu'on peut trouver l'expression de la force capable de
produire les mouvements des planètes, quand, au lieu de se donner les trois
lois de Kepler complètes, on n'en regarde qu'une partie comme démontrée par
l'observation.
M. Bertrand a été plus loin dans cette voie (Comptes rendus de VAcadémie des
Sciences, t. LXXVII, 1873) en résolvant le problème suivant :
On considère une planète attirée par le Soleil suivant une force dont Vintensité
ne dépend que de la distance. On suppose connu ce seul fait : que la planète décrit
une courbe fermée, quelles que soient à l'époque initiale la position de la planète
et sa vitesse, en grandeur et en direction. On demande de trouver la loi d'attraction
d'après cette seule donnée.
Il est entendu toutefois que la vitesse initiale V„ doit être inférieure à une
certaine limite.

44 CHAPITRE I.
Le mouvement s'effectue dans un plan passant par le centre 0 du Soleil; il est
produit par une force centrale; donc la loi des aires a lieu. Soient r et 6 les
coordonnées polaires de la planète à l'époque t, l'origine de ces coordonnées
étant placée en 0: représentons l'intensité R de la force motrice par
R = m/(r),
et par k la constante des aires; nous aurons, par une formule connue, en ayant
égard à l'intégrale des forces vives et désignant par r0 la valeur initiale de r,
-"[©■-GOl^-r
f(r)dr.
Nous ferons
et il viendra
d'où
7 = -t 7 = so, rV(r) = 9(a),
*s(s+5,)=vo'+2/%(*)^;
d9= kdz
Nous poserons encore
il <f(z)dz=ty(z)}
et nous supposerons que l'axe polaire passe par le rayon vecteur initial ; nous
aurons ainsi
('9) 9=*£i/v>.-£+«.)
On trouvera aisément, par les formules ci-dessus,
(20) R = |/ns* <]/(*);
on aura enfin
(2I) *=roVosinYj0 =
V0sinT)0
£«
en désignant par y)0 l'angle que fait la vitesse initiale avec le prolongement du
rayon r0.
Si l'angle yj0 est obtus, r commencera par décroître, et z par croître à partir

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 45
de z0; on suppose essentiellement que la trajectoire est fermée et ne rencontre
pas le Soleil; z ne croit donc pas indéfiniment, mais seulement jusqu'à un
maximum {3; la quantité fi doit annuler le radical qui figure dans la formule (19).
Ainsi, on a la relation
(22) V02-*'(3> + <K(3) = o.
Pour z > p, le radical considéré deviendrait imaginaire; z va donc décroître et
repasser d'abord par les valeurs précédentes jusqu'à z = z0; on voit aisément
que le rayon vecteur minimum r, = g sera un axe de symétrie de la courbe;
r croîtra encore au delà de r0 = —, mais pas indéfiniment, puisque la courbe est
supposée fermée; z décroîtra donc jusqu'à une valeur a qui annulera aussi le
radical considéré plus haut. On aura donc
(23) v»-*»«» + <K«) = of (<*<P);
le rayon vecteur maximum r2 = - sera aussi un axe de symétrie de la courbe.
Soient OM1 le rayon vecteur minimum r, (fig. 4), OM2 le rayon vecteur maxi-
Fig. 4.
mum r2, 0 l'angle M,OM2; la courbe se composera d'une série d'arcs égaux à
M, AM2,et l'on aura
(24) *-.k f -— dz
Pour que la courbe se ferme d'elle-même, il faut que l'angle 0 soit commensu-
rable avec ir; on devra donc avoir, en désignant par >. le quotient de deux
nombres entiers,
0 = Xtt,
d'où

^5 CHAPITRE 1.
Cette équation devra avoir lieu, quelles que soient les conditions initiales;
donc, quelles que soient les quantités V0 et k [(cette dernière dépendant des
données initiales par la formule (21)].
Or on tire de (22) et (23)
m_<KP)-<K")
„.,_«»<H(3)-(3»<H«)
vo— (3*—a»
et, en reportant dans (23), il vient
C2 j 27r ya </***&)-fm«)-*wp)-wi+ip-«*)m*)
il faut déterminer la fonction <|>(s) de manière que cette équation ait lieu
quelles que soient a et {3.
Remarquons d'ailleurs que le nombre fractionnaire \ devra être indépendant
de a et p; car, s'il changeait d'une orbite à l'autre, une variation infiniment
petite de a et fi, ou bien des conditions initiales, apporterait un changement
fini dans le nombre des arcs égaux à M, AMa dont se compose la courbe.
Posons
(27) (3 = A-he, <z = h — e, z = A-heÇ;
l'équation (28) devra avoir lieu quels que soient h et e; aux limites a et p de z
correspondront les limites — 1 et -+-1 de £; nous allons développer suivant les
puissances de e, par la série de Taylor, les quantités
les séries seront convergentes si e est assez petit. Écrivons d'abord
l'équation (26) comme il suit :
(28) Xtt= C dz = ft-
J« V((3 a)+(P)-+(«)"(*"a)
Nous négligerons e% sous le radical ; pa — aa contenant c en facteur, on pourra
prendre
T T i.2T 1. a.3T 1.2.3.4
<K*)-*K«)_
«KP>-<K«>~
\T iT i.aT i.a.3T 1.2.3.4 /_
ty + lY+±- <j/ + _g—d,» + e ,4*"-*-...
T IT I.2T 1.2.3' 1.2.3.4
— ^_£^' + _£L^ ^-çO^h ^0-7 ^,v— ...^
V iY i.2Y i.a.3Y i.a.3.4Y /.

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 47
où l'on a écrit, pour abréger, ^, <|/, ... au lieu de '\i(h), '\>'(h), ...; en réduisant
et développant le dénominateur suivant la puissance de e, il vient
i — C* i -+-13 i — £*
1/ * 1/ x (" + g)f Le^ + JJtLLe»,^_i_i_e3^ + >i>
<K-g) —<K«)_ 2 T 6 T 24 T
_/,+c i-rcr , i+c3c>r i-^^r
4 4/ ia 4/ 48
Ç-)K?--)
_ 1 h- g 1 — g' <K » 1 — g' , <T 1 — g* 3^T 1 —g' ,i^K
— 2 4 ed/ ç 12 e <]/ 48 e d/ + 24 e d/« +'"
La quantité placée sous le radical de la formule (28) se réduit à
e2(i — Ç2) est un facteur commun à tous les termes; on a ensuite
J v^g^y/i
d/ 3 l|/ 12 d/+6 d/« +*
ou bien, en faisant £ = sinl; et développant en série suivant les puissances de e,
1 /* [ sin£ Aed/ 1 + sin»g Ae»d/*
/—rW « Ll+~ê- y-hy+ 24 d/-Ad/
12 d/(d/— /td/) + 24 (d/ — Ad/)» +
...]*
Or on a
il vient ainsi
, v o •> * r Ae* / A^» 9I1V wù-\ 1
(29) e = xff = -r=^[«+wy_Ar)(yI^ + 3r-^y-)4--..J.
Cette équation doit avoir lieu quels que soient e et h, en particulier quel que

48 CHAPITRE I.
soit e; on en conclut
(3o) X =
V^
La formule (3o) donne, en remettant h en évidence sous les signes <|/ et '«l/,
d'où, en désignant par C une constante arbitraire,
(32) V(h) = Chi~*'1
si l'on porte dans l'équation (3i) cette valeur de <\>'(à) et les expressions qui en
résultent pour '\>"(h), '\>m(h) et ^(A), on trouve aisément
S(-*)(«-i)*^=*
d'où ces deux valeurs
X=i, X = i,
qui sont bien commensurables. La formule (32) donne ensuite ces deux valeurs
de y (h)
f(A) = Ci f(A) = CA-»i
et, en employant ensuite la formule (20), il vient
_ mC mu.
a r1 r1
n mC
Ri = r = mur.
Telles sont les deux seules lois d'attraction qui permettent au mobile de
décrire une courbe fermée quelles que soient les données initiales (la vitesse étant
cependant au-dessous d'une certaine limite); si l'on suppose l'attraction nulle
à une distance infinie, il ne reste que
ou la loi de Newton, qui aurait pu être ainsi déduite de ce seul fait conclu de
l'observation : qu'une planète quelconque décrit une courbe fermée, sans qu'on
soit obligé de connaître la nature de cette courbe.

LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 4g
7. Théorème de Newton. — Supposons qu'un point matériel M de masse m
soit attiré vers un centre fixe 0 par une force d'intensité
(33) R = mjuL/»;
les calculs du numéro précédent seront applicables en remplaçant/(r) par jxr";
le rayon vecteur r restera toujours compris entre un minimum OM, = r, =-» et
un maximum OM2 = r2 = -; la courbe se composera d'une série d'arcs égaux
à M, AM2. Soit encore 0 l'angle M,OM2; on trouvera sa valeur en partant de la
formule (29) et remplaçant '\>'(h) par son expression
conclue des formules (20) et (33). On aura
hù"(h)
il viendra donc
e=-pg=r,+(,,-,)(/,,+a)^+...i.
Les formules (27) donneront d'ailleurs
e_ _ (3 — « _ rt — r,
A ~" (3 + a ~~ r, + r, '
on trouvera ainsi
Telle est l'expression de l'angle compris entre un rayon vecteur minimum r, et
le rayon vecteur maximum suivant r2, lorsque la force centrale est représentée
par la formule (33); si les données initiales varient de telle façon que la
différence r2— rt tende vers zéro, on aura
(35) lim0 =
v/w + 3
C'est dans cette relation que consiste le théorème de Newton; on voit qu'il se
rapporte à une orbite presque circulaire décrite sous l'influence d'une force
centrale proportionnelle à une puissance de la distance.
Pour les mouvements des planètes autour du Soleil, on a n = — 2, R = —£,
et la relation 0 = tt est rigoureuse; mais on peut se demander ce qui arriverait
si l'on modifiait d'une très petite quantité l'exposant — 2 de la loi d'attraction;
T. - I. 7

30 CHAPITRE I. — LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE.
si l'on supposait par exemple n = — 2,001, il en résulterait
yi — 0,001 \ 2 /
On voit donc que, si l'exposant de la loi d'attraction différait de 2 seulement de
0,001, l'angle formé par deux rayons vecteurs maxima et minima consécutifs de
l'orbite d'une planète différerait de 1800 de plus de 5'. Nous supposerons
l'orbite peu excentrique; le second terme de la formule (34) est très petit à cause
des facteurs (r2 — r,)2 et n -+- 2 = 0,001, de sorte qu'on peut employer la
formule (35). L'orbite se composant d'une infinité de parties identiques à celle qui
est comprise entre un rayon vecteur maximum et le rayon vecteur minimum
suivant, on voit que le point le plus rapproché du Soleil, le périhélie (fig. 5),
BL
"•\
Fig. 5.
A
S
"»/
M,AB = i8o% M,AC = i8o',
BSM, = 5'a4'; M.SM^ io'48\
se déplacerait à chaque révolution de 10'48', c'est-à-dire d'une quantité
considérable et tout à fait incompatible avec les observations. La fixité des périhélies
planétaires prouverait donc à elle seule que, si l'attraction solaire est de la
forme —£t on doit avoir n = 2.
Les résultats précédents sont dus à Newton (Principes, Livre I, Prop. XLV).
Remarque. — Le terme en ( r*~r*\ disparait de la formule (34) pour n = 1
et n = — 2; il en serait de même des termes suivants en (7'~r') > (r*~r|) >•••;
Vi+rJ \rt-hrj
car, pour/i = i, l'attraction est proportionnelle à la distance, la trajectoire est
une ellipse ayant pour centre le centre d'attraction; on a donc toujours 0 = -,
quel que soit le rapport r'~7' ; c'est bien à quoi se réduit alors l'expression •
r*-t" '1 y n -+- 3
Pour n = — 2, cette même expression est égale à tt ; la trajectoire est une ellipse
ayant l'un de ses foyers au centre fixe, et l'on doit avoir 0 = ir, quel que soitr*~r'-

CHAPITRE H. — GÉNÉRALITÉS SUR l'aTTRACTION. 5l
CHAPITRE IL
GÉNÉRALITÉS SUR L'ATTRACTION. — ATTRACTION DES COUCHES SPHÉRIQUES.
ATTRACTION D'UN CORPS SUR UN POINT ÉLOIGNÉ.
8. Newton a donné à sa loi une généralité que n'exigeaient pas les lois de
Kepler. Il en résulte que les planètes ne peuvent plus se mouvoir dans des
ellipses, obligées qu'elles sont d'obéir, non seulement à l'attraction du Soleil,
mais encore aux attractions des autres planètes, c'est-à-dire à des forces
nombreuses, complexes et variables à chaque instant. Les lois de Kepler cesseront
donc d'être vérifiées rigoureusement; elles ne représenteront plus qu'une
première approximation des mouvements.
Il faut maintenant prendre la loi de Newton comme point de départ et en
déduire par l'Analyse les mouvements des corps célestes; on aura ensuite à
comparer les résultats du calcul à ceux de l'observation.
Nous ferons une première simplification en nous bornant à considérer
seulement les corps qui composent notre système planétaire, et laissant de côté les
étoiles. Les distances des étoiles au Soleil sont très grandes par rapport aux
dimensions du système solaire; ainsi l'étoile la plus rapprochée est environ
7000 fois plus éloignée du Soleil que ne l'est Neptune. Dans ces conditions, les
attractions provenant des étoiles, avec les données admissibles sur leurs masses,
pourront modifier un peu le mouvement de translation du système solaire dans
l'espace, mais ne dérangeront pas d'une façon appréciable les mouvements
relatifs dans l'intérieur du système, et ce sont ces mouvements qui nous intéressent.
Considérons l'un des corps de notre système; nous pouvons décomposer son
mouvement en deux autres : le mouvement de son centre de gravité et le
mouvement du corps autour de son centre de gravité. De là les deux principaux
problèmes de la Mécanique céleste :
i° Déterminer les mouvements des centres de gravité des corps célestes;

52 CHAPITRE H.
2° Déterminer les mouvements des corps célestes autour de leurs centres de
gravité.
Nous commencerons parle premier problème, qui fera l'objet du tome I de
cet Ouvrage; la solution du second ne sera donnée que dans le tome II.
Nous nous appuierons sur le théorème du mouvement du centre de gravité :
Les équations différentielles du mouvement du centre de gravité d'un système
sont les mêmes que si toute sa masse y était concentrée et si toutes les forces qui
agissent sur les divers points du système y étaient transportées parallèlement à
elles-mêmes.
Soient A et A, (fig. 6) deux des corps célestes, M un élément de masse
déterminé du premier, M,, M',, ... les éléments de masse du second; le point M
Fig. 6.
sera soumis à l'action de forces connues dirigées suivant les droites MM|t
MM',, .... Il faudra d'abord trouver la résultante MR de toutes ces forces, puis
déterminer la résultante générale des forces MR qui correspondent à tous les
éléments M du corps A, toutes ces forces étant transportées parallèlement à
elles-mêmes au centre de gravité G de ce corps.
On voit donc que la première question qui se présente est la détermination
de l'attraction d'un corps sur un point extérieur; on est amené tout
naturellement à considérer en particulier le cas où ce corps est sphérique et
homogène, ou composé de couches sphériques concentriques homogènes; on y est
conduit par l'observation qui nous montre les corps célestes sous des figures peu
différentes de la sphère, et par l'hypothèse de la fluidité primitive.
9. Soient A {fig. 7) un corps donton veut calculer l'attraction R sur un point
extérieur N, dm l'élément de masse qui correspond au point M, (x la masse

GÉNÉRALITÉS SUR L'ATTRACTION. 53
du point N, u la distance MN; l'élément M exerce sur le point N une
attraction NB dirigée suivant NM et ayant pour intensité
fpdm
Il faut trouver la résultante de toutes les forces, telles que NB, appliquées au
point N, quand l'élément M parcourt toute la masse du corps A.
Pour y arriver, prenons trois axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oj, Oz ;
désignons par x, y, z les coordonnées du point N, par a, 6, c celles du point M,
par p la densité du corps au point M, enfin par X, Y, Z les composantes
parallèles aux axes de l'attraction cherchée R. Décomposons la force NB en trois
autres parallèles aux axes; elles auront pour expressions, en grandeur et en
signe,
, dm a — x , dm b — y , dm c — z
^ u1 u ^ u1 u ^ u* u
On peut maintenant faire la somme algébrique de toutes les composantes
parallèles à Ox, et de même pour les deux autres axes. On trouve ainsi
X = f*V ^ï^dm'
(0 < Cc—z
z =ffv 1~n?~dm'
où
u = ^(a — xy-h (b—yy-h(c — zy.
En remplaçant dm par p dadbdc, on peut écrire aussi
X = îlxJ j j ^-^Pdadbdc>
Z =ÇlxJ J J °:—^rLPdadhdc'
On doit supposer que p est une fonction connue de a, by c, F(a, 6, c) ; dans les
formules (Y), les intégrations s'étendent à toute la masse du corps A.
On est donc ramené au calcul de trois intégrales triples.
On peut faire dépendre la détermination de X, Y, Z de celle d'une seule
intégrale triple. Posons, en effet,

54
CHAPITRE II.
OU
rrrpdadbdc _ r r r F(«, », o .,
K ' J J J « JJi ^F^FFTF+F1^
les intégrations s'étendant à toute la masse du corps A ; on voit que V sera
finalement une fonction de x, y, s; c'est ce que l'on nomme Injonction potentielle
ou simplement le potentiel relatif à l'attraction du corps A sur le point
M(#,y, z). La formule (2) montre que le potentiel représente la somme des
éléments de masse du corps divisés par leurs distances au point attiré.
Nous supposerons essentiellement ici (') que le point N est extérieur au
corps ou plutôt qu'il ne fait pas partie de la masse du corps; dans ces
conditions, les éléments différentiels, dans les formules (1') et (2'), sont toujours
finis; X, Y, Z et V sont des fonctions continues et finies de x, y, z. Cherchons
la dérivée partielle de V par rapport à x. Dans la formule (2'), l'élément
différentiel reste toujours fini; les limites des intégrations sont indépendantes
de x; on peut différentier sous le signe I I I ; on trouve ainsi
~J J J àx
à\ m
(3) -^= / / / -^pdadbdc.
Or on a
u1 — (x — a)* + (y — bf -h (z — c)1,
d'où
u 1 a.u1 x — a
dx au' dx u9 f
l'équation (3) donnera donc
Jx[=fff^pdadbdC'
En comparant avec (1'), on obtient la première des trois formules suivantes :
(4) X = f>^' Y = f>^' Z = f>dT
Il suffira doic de déterminer la fonction V pour que X, Y, Z, et par suite
l'attraction R, soient connus en grandeur et en direction.
Désignons par r le rayon vecteur ON mené de l'origine 0 des coordonnées
au point attiré N, par P la projection de la résultante R sur la direction ON,
comptée positivement dans le sens ON et négativement dans le sens contraire.
(•) Une théorie plus complète du potentiel sera donnée dans le tome II de cet Ouvrage.

GÉNÉRALITÉS SUR L'ATTRACTION. 55
On peut appliquer la première des équations (4) en supposant que, pour un
moment, l'axe des x coïncide avec ON; on trouve ainsi la formule
dY
la signification de la dérivée -p- est la suivante : soient, sur le prolongement
de ON, N'un point infiniment voisin deN, NN'= Sr, V-+- SV la valeur du potentiel
pour le point N'; on aura
d\ .. ÔV
^ = limôT
dîY d*Y d*V
10. Equation de Laplace. — Calculons l'expression -=—T -h -py -+- -pj- en
partant de la formule (2'). Nous pourrons différentier deux fois sous le signe / / / ;
nous trouverons donc
^V d*V d'Y I I I [" u diTi , diû
1 + dz>-J J J \dx*
^ + -dï/pdadbdc;
or on a
d'où
dx* ây1 ôz- J J J \<te2 dy
a a3 1 x — a x — a
dx* dx ~~ u3 u" u
d» 1 di - d*-
u u u 3 3 r/ ., , ... . v._ 3 3,
On a donc, pour toutes les valeurs de x,y, z qui répondent à des points ne
faisant pas partie du corps attirant, l'équation remarquable
^V d*Y â*X
( ' dx* + dy* + dz* ~
qui a été découverte par Laplace.
. 0
11. Attraction des couches sphériques homogènes. — Considérons une
couche sphérique homogène d'épaisseur finie et cherchons son attraction sur
un point N ne faisant pas partie de la couche, situé soit à l'extérieur, soit dans
l'intérieur de cette couche.
Prenons le centre 0 de la couche pour origine des axes; il est évident a priori
que le potentiel V ne doit dépendre que de la distance rdu point N au point 0;
d'ailleurs la fonction V doit vérifier identiquement l'équation (G). On aura

56
les formules suivantes :
CHAPITRE II.
r* = x*-\-y*-h z*,
dr x
dx r
dV dV dr dV x
dx~ dr dx~ dr ry
d*V__d*\_/x\* dX(l_^\
dx1 ~ dr1 \r ) + dr \r r* )'
d*V
dr1
d*\
r dr*
d
-h
+
«V
a dV
r dr
dV
2d?
r
— = o
= o
= o
Ajoutons cette expression de ->—,- aux expressions analogues de -3-7 et -p^> et
portons dans (6); nous trouverons
ou bien
ou encore
c
' dr*
On en tire, en désignant par A et B deux constantes arbitraires,
Vr = À-hBr,
(7) V=£+B.
Détermination des constantes. — Supposons d'abord le point N placé dans
l'intérieur de la couche; on devra avoir A = o, sans quoi la formule (7) donnerait
V = oo pourr=o, c'est-à-dire pour le centre de la couche, ce qui est
impossible, V restant évidemment fini par sa définition même. On aura donc, pour
tous les points situés à l'intérieur de la couche,
d'où
dv_
dx
X =
0,
:0,
V
= B =
dV
dy
Y
= constv
— 0,
= 0,
>
dV
dz *
Z =
0,
:0,
On a donc ce théorème dû à Newton :
Une couche sphérique homogène n exerce pas d'action sur les points de son
intérieur.

GÉNÉRALITÉS SUR L*ATTRACTION. 67
Supposons, en second lieu, le point N extérieur à la couche : soit r, le rayon
extérieur de la couche; la plus petite valeur de u est r—r, et la plus grande
r-+- r, ; on pourra donc écrire, en désignant par M la masse de la couche,
ou bien
ou encore
/dm r dm Ç dm
r-h rt J ~â J r — /',
-l_ rdm<r*a<-i-f
*' + rxJ J u r — rtJ
dm
(8) -^-<V< M
/• -+■ r, r — r,
Si le point N s'éloigne indéfiniment, r tend vers l'infini; V reste toujours
compris entre deux quantités qui se rapprochent indéfiniment de zéro; donc V tend
vers zéro. Si, dans la formule (7), on fait r = oo, V = o, il vient B = o; il en
résulte
v=£;
portons cette valeur de V dans les inégalités (8), et nous aurons
M A M
<A<
i + ^i 1-^
r r
Si nous faisons tendre r vers l'infini, nous voyons que A reste compris entre
deux quantités qui tendent vers M; donc A = M, et l'on a, pour tous les points
extérieurs à la couche,
la formule (5) donne ensuite
P désigne la projection de l'attraction R sur la direction ON; or, par raison de
symétrie, l'attraction est dirigée suivant la droite NO. On a donc
R=-P
et, par suite,
1X— r» '
T. — I.

58 CHAPITRE 11.
cette attraction est égale à celle qu'exercerait sur le point N un point matériel
de masse M placé en 0. De là ce second théorème, dû également à Newton :
Une couche sphérique homogène attire les points extérieurs comme si toute sa
masse était réunie à son centre.
Ce résultat a encore lieu pour un corps formé de couches sphériques
concentriques homogènes, d'épaisseurs quelconques, finies ou infiniment petites, la
densité de chaque couche variant d'une manière quelconque, du centre du corps
à sa périphérie; carie théorème est vrai pour chacune des couches.
Ainsi le Soleil, les planètes et leurs satellites pouvant être considérés
sensiblement comme des corps de la nature supposée ci-dessus, ils attirent à fort
peu près les points extérieurs comme si l'on supposait leurs masses réunies à
leurs centres de gravité respectifs.
Si nous nous reportons à \* fig. 6, n° 8, en supposant les deux corps
composés de couches sphériques concentriques homogènes, et si nous désignons par
M, la masse du corps A,, par G, son centre de gravité, par dm la masse de
l'élément M, par A la distance IMG,, la résultante des attractions exercées sur M par
tous les éléments du corps A, sera une force MR dirigée suivant la droite MG,,
ayant pour intensité
%KTt f Mi dm fM| dm
MGt A
on aura (fig. 8) des forces analogues appliquées aux éléments M', M", ...,
M'R'
M"R" =
i/ n/ _.f Mi dm'
A'» '
f M, dm"
A»*
Il faudra maintenant transporter toutes ces forces parallèlement à elles-mêmes
au point G, centre de gravité de A, et prendre leur résultante. On peut les
Fig. 8.
transporter d'abord au point G, par lequel passent toutes leurs directions; on
voit que leur résultante a sera égale et opposée à la résultante des attractions
exercées sur un point matériel de masse M, placé en G, par tous les éléments du
corps A; d'après le second théorème de Newton, cette résultante est dirigée

GÉNÉRALITÉS SUR L*ATTRACTION. 5g
suivant la droite G, G et a pour intensité
fMM,
(9) * =
GG,
Nous arrivons donc à cette conclusion que, si l'on transporte au point G,
parallèlement à elles-mêmes, toutes les attractions exercées sur les divers éléments
de A par les divers éléments de A,, la résultante <& sera dirigée suivant la
droite GG, et aura une intensité déterminée par la formule (9).
Si donc la figure et la constitution des corps A, A,, A2, ... étaient celles
qu'on a supposées plus haut, on pourrait faire abstraction des dimensions de
ces corps et les remplacer par des points matériels G, G,, G2, ..., de masses M,
M,, M2, .... s'attirant mutuellement suivant la loi de Newton ; et, pour avoir les
équations différentielles des mouvements des centres de gravité des corps
considérés, il suffirait d'écrire les équations différentielles des mouvements d'autant
de points matériels de masses données, soumis à leurs attractions mutuelles
s'exerçant conformément à la loi de Newton.
On formera ces équations différentielles dans le Chapitre suivant.
Mais, en réalité, les corps célestes ne sont pas rigoureusement sphériques;
bien que les observations n'aient pu nous révéler encore un aplatissement
sensible dans le Soleil ni dans un certain nombre de planètes, la Géodésie nous a
appris à mesurer l'aplatissement de la Terre; il suffit de regarder Jupiter et
Saturne dans une lunette, sans faire aucune mesure, pour voir que ces corps
s'éloignent notablement de la forme sphérique.
La réduction des corps célestes à leurs centres de gravité respectifs n'est donc
qu'une approximation ; fort heureusement, une circonstance particulière rend
cette approximation très voisine de la réalité; cette circonstance est que les
dimensions des corps célestes sont très petites par rapport aux distances qui les
séparent les uns des autres; nous allons développer ce point dans l'article
suivant.
12. Attraction d'un corps sur un point éloigné. — Soit le corps A (Jig. 9)
dont on cherche l'attraction sur un point matériel N dont la distance GN = r au

60 CHAPITRE II.
centre de gravité G est très grande par rapport aux dimensions du corps. Nous
prendrons le point G pour origine des coordonnées et nous ferons passer
l'axe GX par le point N; désignons par M l'un quelconque dm des éléments de
masse du corps, par a, b, c ses coordonnées, par f la distance GM, par u la
distance MN et enfin par V le potentiel relatif à l'attraction du corps sur le point N.
Nous aurons
dm
/dm
ui = (r — a)t-hb*-h c»,
r'* = a1-hbi-hc1,
u* = r*— lar ■+- /•'*,
i
i i / lar — rJi\
u r \ r* )
D'après l'hypothèse, quel que soit le point M à l'intérieur ou sur la surface du
r'
corps A, le rapport— est très petit, et il en est de même, a fortiori, du
rapport -; nous allons considérer — et - comme de petites quantités du premier
ordre suivant les puissances desquelles nous développerons l'expression de -
donnée ci-dessus. Nous trouverons aisément, en négligeant le troisième ordre,
i i / a 3a»—r'» \
- = -( H 1 s h... ),
d'où, en multipliant par</m et intégrant pour tous les points du corps A,
V=- fdm-h± Cadm-h-^-j ("(3a' — r'*)dm-h....
Or, si M désigne la masse du corps, on a
I dm = M ;
puisque l'origine des coordonnées coïncide avec le centre de gravité, on a aussi
/ a dm ■=. o,
et il en résulte
V=M+J_ f(3a*-r'*)dm-h...
r ar'J

GÉNÉRALITÉS SUR l'ATTRACTION. 6l
ou encore, en remplaçant a2 par r'2 — (b2 -+- c2),
(10) V=7 + ^/r'lrfm-i/(6,+ c^m + --
Désignons par I le moment d'inertie du corps par rapport à la droite GN et
par A, B, C les moments d'inertie principaux de ce corps relatifs à son centre de
gravité G; on a, comme on le voit aisément,
fr'^dm —
d'ailleurs
A + B + C
f(b*-hc*)dm = l
la formule (10) donnera donc
,, M A + B-t-C-31
ir*
Soient a, (3, y les angles que fait la droite OG avec les axes principaux
d'inertie du point G; on a, par un théorème bien connu,
I = Acos'ot + B cos*(3 + C cos'y = (A — C) cos*a + (B — C) cos*(3 + C;
la formule (n) pourra donc s'écrire
y_M (A — C) (i — 3 cos'a) + (B — C) (i — 3 cos'ft)
ou encore, en désignant par r\ la plus grande valeur de r' le long de la surface
du corps,
„ M[ /A—C i —3cos*a B — C i — 3 cos'SN fr'.y "1
(,2) v=7LI + VTfi7- 5 + W *)\i)+'''\'
Quand il s'agit de l'attraction d'un corps céleste sur un point très éloigné,
la formule (12) se réduit à fort peu près à V = —, à cause d'abord du petit
facteur (^j > et ensuite parce que les quantités „ ,, , „> ,, sont petites aussi,
car ces quantités seraient nulles si le corps considéré était composé découches
sphériques concentriques homogènes, hypothèse peu éloignée de la réalité.
On pourra donc, le plus souvent, se borner à
v=M,
r

62 CHAPITRE II.
d'où, relativement à un système quelconque d'axes Gx, Gy, Gz se coupant
en G, en désignant par œ, y, z les coordonnées du point N relatives à ces axes,
V= M
sjx1 -hy*-hz*
et des expressions analogues pour Y et Z; le corps A attire donc à très peu près
le point N comme si toute sa masse M était réunie à son centre de gravité G.
Pour'nous faire une idée de la grandeur du coefficient de f^f) dans la
formule (12), supposons que le corps A soit un ellipsoïde homogène de révolution
autour du diamètre auquel correspond le moment C et aplati suivant cet axe;
on aura, comme on sait, en désignant par c' le rayon polaire et remarquant que
r\ = a' est le rayon équatorial,
B=A=M T »
a a
C = 2M -=-»
et la formule (12) donnera
V=7[i+ iQg/, (3cos'a + 3cos'(3-a)^7j +...J
ou encore, avec une précision suffisante, en supposant petit l'aplatissement
£ = ~ de l'ellipsoïde,
V=£[,+ $.(,-Sco*y)(£)V..].
Remarque I. — Dans le cas où l'on considère l'attraction exercée par une
a'
planète sur un point d'une autre planète, le rapport — est très petit, et l'on
peut toujours se borner à
V=M
r
Mais il n'en est plus ainsi pour l'attraction exercée par la Terre sur la Lune;
— est environ ^; pour l'attraction de Jupiter sur son premier satellite, — = s;
a' 1
s'il s'agit enfin de Saturne et de son premier satellite, on a —=3* C'est donc

GÉNÉRALITÉS SUR l'ATTRACTION. 63
seulement dans l'étude des mouvements des satellites qu'il y aura lieu de
compléter l'expression approchée — du potentiel.
Remarque II. — Le système solaire se compose de planètes isolées et de
systèmes secondaires formés chacun d'une planète et de ses satellites; les centres
de gravité de ces systèmes partiels sont très éloignés les uns des autres
relativement aux distances respectives des corps de chacun d'eux; si donc on
considère le potentiel relatif à l'attraction d'un de ces systèmes sur un point
très éloigné, on pourra appliquer la formule (12) et la remplacer simplement
par V = —> à cause de la petitesse du facteur f-M ; mais cette réduction sera
moins approchée qu'elle ne l'était dans le cas d'un des corps célestes, parce que
les quantités M ,a et „ ,t ne sont plus très petites. On voit donc que les
centres de gravité des planètes isolées et ceux des systèmes secondaires se
meuvent à fort peu près comme si toutes leurs masses étaient réunies à leurs
centres de gravité, ces divers centres s'attirant mutuellement deux à deux
suivant la loi de Newton.
Nous pourrons donc introduire une simplification importante et considérer
le système solaire comme formé d'un nombre limité de points matériels de
masses données s'attirant mutuellement suivant la loi de Newton et
correspondant : le premier au Soleil, le deuxième à Mercure, le troisième à Vénus, le
quatrième à l'ensemble de la Terre et de la Lune, le cinquième à l'ensemble de
Mars et de ses satellites, etc.
Quand on connaîtra le mouvement du centre de gravité d'un système
secondaire et les mouvements relatifs dans ce système, il sera aisé d'en déduire le
mouvement de la planète correspondante; ainsi la théorie générale fera
connaître d'abord le mouvement du centre de gravité de la Terre et de la Lune;
on déterminera ensuite le mouvement relatif de la Lune autour de la Terre,
et c'est alors seulement qu'on sera à même de calculer complètement le
mouvement de la Terre.

64
CHAPITRE 111.
CHAPITRE III.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ
DES CORPS CÉLESTES.
13. Nous pouvons maintenant, après les simplifications précédentes, former
aisément ces équations.
Prenons trois axes rectangulaires fixes 0$, Oyj, OÇ; soient, relativement à
ces axes, Ç„» *]o» £o les coordonnées du centre de gravité M0 du Soleil dont la
masse sera représentée par m0; désignons par £,-, y],-, £,-, m,- les quantités
analogues relatives au centre de gravité M,- de l'une quelconque des planètes ou au
centre de gravité de cette planète et de ses satellites, l'indice i prendra les
valeurs i, 2, 3, ..., /i, n désignant le nombre des planètes; nous représenterons
d'une manière générale par A,,y la distance des deux points M,- et My. Cherchons
les équations différentielles du mouvement du point M0; ce point est soumis à
l'action de n forces dirigées suivant les droites M0M,, M0M2, ..., M0M„; la
première de ces forces a pour intensité —-r£—-; ses projections sur les axes de coor-
données sont égales respectivement, en grandeur et en signe, à
Aj\i A0il ' AJ>t AM ' AJ>t A0>1
On formera donc aisément l'équation suivante
(i) m0^=fm0ml^^+fm0m1^^+... + fm0mrt^^i2
al A0.1 A0,J .'xOtn
et deux autres équations toutes pareilles en yj et Xa.
De même,

ÉQUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ. 65
Lagrange a donné à ces équations une forme très symétrique en introduisant
la fonction
fm0mt fm0ms fmnm„
U =
A.,.
»0,2
fm,m2
Ai,»
que nous écrirons plus simplement
on a du reste
(3)
A0l»
fm„_1m„
au
A?,/ = (5/-Çy)»+(tJ/-tly)»+(C|-Cy)î
fm0m„ aA0.»
On peut calculer les expressions des dérivées partielles ^-» ^>
partant de (2) et (3); on trouve aisément
fm0/w, JA0tl fm0ms aA0.«
au
ar.' en
a;,, aç. A»fl aç0
aA0t1 _ gp—gt aA0tî _ g„—£»
A0>,
a£0
A0,i
a£0 ~ a... '
d'où
fm0mn
g»-g..
AS.» '
après quoi l'équation (1) donnera
rf2£„ au
W.-T7 =
</«" ~~ a£„
On pourra donc donner la forme suivante aux équations différentielles des
mouvements des centres de gravité des n -+-1 corps considérés
m»-dF-dïS
d% _ dV
dt- - dlx ''
m
(«)
d'n0 dU
rf*Yi, _ au
> >
d*in_du d*n„ _ au
mtntj
m
m
d*Ka _ au
0 dt* ~aç0'
*ç, _au
dt* ~ aç,'
</*£„ _ au
t. - 1.
A?J = (5/-^)'+(n,-riy)'+(C,-Çy)'.

66
CHAPITRE 111.
La fonction U est la fonction des forces; il est important de remarquer qu'elle ne
contient explicitement ni le temps / ni les composantes -j^» ••• des vitesses.
La détermination des mouvements de M0, M,, ..., M„ dépend de l'intégration
du système (a) de 3n -+- 3 équations différentielles simultanées du second
ordre; c'est le problême des n -f-1 corps. Mais il n'a été possible jusqu'ici de
faire l'intégration complète que dans le cas de n = i ; le système n'est alors
formé que de deux corps, le Soleil et une planète. Dans les autres «as, même
pour le fameux problème des trois corps, malgré les efforts des plus grands
géomètres, on n'a pu obtenir qu'un petit nombre d'intégrales que nous allons
faire connaître.
14. Commençons par une remarque sur la fonction des forces U. On a
d'où
On en conclut
ou e \? <j — l
i
t d\5 dU e \y lifij — fiilj
« /
si, dans les termes élémentaires des seconds membres, on change i eny et
inversement, on voit que ces termes élémentaires sont égaux et de signes contraires.
On en conclut donc
(4) 135 = °' 2(^-^35) = °
i i
et quatre autres relations analogues que l'on obtiendrait par des permutations
de lettres.
Cela posé, on tire des équations (a), en ayant égard aux formules (4),
/-v V d*lt v< dtrii v^ dît,
(0> 2m<^=0' 2><V=°> 2m<^=°

et
ÉQUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ.
(6) jWç^i-fc
cPli r «f»Ç,
dt1 ■" <ft*
o,
V / cPm d*ÇA
Occupons-nous d'abord des formules (5); on en déduit, en désignant par alf bt,
c,, a2, b2, c2 six constantes arbitraires,
(b) «i=2><^f» *'=2m'^' c«=2m'§''
(7) «i * + «i = 2] m< &» M + *J = 2] /W'Y1" C, * H-C, = 2] »*i Ci.
d'où
( «j=2 ™» s. - « 2 mt -ji >
(c) | 6, = 2"»/T0i— '2m'"^'
[c2=2m'^-<2m'rff'
Les formules (6) et (c) sont de la forme
17 (y *• r d£o dfl0 dÇ0 ^£1
const. = F ^„ „.,<;.; Ç,, ...; Jfc, w, —; JL, .
ce sont donc des intégrales du système (a); elles sont au nombre de six et
sont connues sous le nom d'intégrales du mouvement du centre de gravité; les
formules (7) expriment en effet que le mouvement du centre de gravité des
n -+■ 1 points matériels considérés est rectiligne et uniforme.
Passons maintenant aux équations (6), multiplions-les par dt, intégrons-les
et désignons par a3, b3, ca trois nouvelles constantes arbitraires; nous
trouverons
• F „ V (z dr]i ^A
Ces trois nouvelles intégrales sont les intégrales des aires; elles expriment que la
somme algébrique des aires décrites par les projections sur chacun des plans

68 CHAPITRE III.
coordonnés des rayons menés de l'origine aux n -+- i points considérés est
proportionnelle au temps.
Multiplions enfin les équations (a) respectivement par 2-^» 2^> 2^;
2^1, ..., ajoutons-les et remarquons que la fonction U ne contenant
explicitement que les quantités Ç0» *]o» £0 î £ ^ on a
rfU_^U4 d\J_dfu dVdÇo <W d^
dt ~ dE0 dt + dri0 dt + dK0 dt + «H-, rf* ^ " ' '
nous trouverons
ou bien
dïa d>£_0 ^ dr>0 d*r>, dÇo d*ï0\ f^d% \
~dl dt* + dt dt* + 2 </* a» y + ' V dt dt* +* " 7
<& ^ mi v«a» + rf«» + 5*v dt'
_ dV
~ 2 dt
On peut intégrer après avoir multiplié par dty et l'on trouve, en désignant par h
une constante arbitraire,
c'est une nouvelle intégrale, l'intégrale desjorces vives.
Les dix intégrales (6), (c), (c?), (/) sont les seules intégrales rigoureuses
que l'on ait pu obtenir jusqu'ici.
15. Nous allons obtenir une formule dont Jacobi a tiré des conséquences
intéressantes (Vorlesungen ùber Dynamik von C.-G.-J. Jacobi, hcrausgegeben von A.
Clebsch, p. 26-3o).
On déduit des équations (a) la formule suivante
or, U étant, par sa définition même, une fonction homogène et de degré — 1 des
quantités Ç0, yj0, l0, S, on a
ce qui permet d'écrire ainsi la relation précédente

ÉQUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ. 6ç)
En rapprochant cette formule de l'équation (/), on en déduit
ou bien
ou encore
^2m'(5?+t,'1+c?)=aU+4A-
Si l'on désigne par p,- la distance du point M, à l'origine des coordonnées, on aura
donc
(8) _^___ = 2U + 4,.
Il est possible de transformer le premier membre de cette équation de
manière à n'y introduire que les distances mutuelles AI>y des points matériels, au
lieu de leurs distances à l'origine des coordonnées.
On a, en effet, ces identités bien connues et d'ailleurs faciles à vérifier
2 ™<2 ™#5?-(2] "»<&)"= 22 »»/'Mtf+ Vj~ a5/ 5y),
2 m,2 "*/*!?— (2 m^*f = 22 m'my(r*? + ^y— 2*i»*iy)>
2 m< 2 m' Ç'? ~ (2 m'ç<)* = 22 m' m>( Ç'? + Éy — a & Cy ) >
en les ajoutant, on trouve
( 2^2m'^+ï,'1+w)-(2m'5'),-(2m'ï,'),-(2m'^),
ou bien, en ayant égard à la signification de p, et de A/>y et tenant compte des
équations (7),
2m<2m' p< =22m<m; A'y+ (*»'+a*)ï+ (*»'+"6»)s+(ci*+c»)s •
Tirons de là 2 m/P? Pour Ie porter dans la formule (8), et il viendra
, [>22m<m;A'; 1
y—[ dp + 2(aî+&î + cî)J=2U + 4A,

70 CHAPITRE III.
d'où, en désignant par h' une nouvelle constante arbitraire,
d1 V mt nii A?,
dtX = (aU + 4A') 2 *»/
ou bien
(10)
5*»
,f22T^+**')2"'-
Il importe de remarquer que cette équation ne contient que les distances
mutuelles des points matériels pris deux à deux et leurs dérivées premières et
secondes par rapport au temps.
Si l'on nomme p^ la distance du point M, au centre de gravité du système,
on tire aisément de l'équation (9) la formule
22 m' mi A* J — Z m* 2! m'P'a'
de telle sorte que l'équation (10) peut aussi s'écrire
d* 2 mt Pi1
dt*
2U + 4A'.
16. Les observations astronomiques ne nous font pas connaître les
mouvements absolus des planètes, mais seulement leurs mouvements relatifs par
rapport au Soleil; il importe donc de former les équations différentielles dont
dépendent les mouvements relatifs; c'est ce qui va nous occuper maintenant.
Menons par le point M„, centre de gravité du Soleil, trois axes M0<r, M0y,
M0s parallèles aux axes fixes; soient, relativement à ces axes qui sont mobiles
mais conservent une direction invariable, xn yK, s, ; <ra, y2, s2; ..., xn,yn, zn
les coordonnées des centres de gravité des n autres corps. Nous poserons en
même temps
M0M,— r,=z AM, M0M, — r, = A0>„
Enfin nous aurons les relations
L'équation (1) donnera

ÉQUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ. 71
La relation
lk = £0 -+" xk
nous montre d'abord que xk ne sera introduit que par \k\ on aura donc
. ,. d\J_dV
La même relation nous donne
*xk *lk &l.
dt1 ~ dt* dt*
ou, en ayant égard à la formule (12),
dxxk d%\k ,. ^1 ntj Xi m
~dë~ ~ ~dt* 2à r] '
les équations (a) nous donnent du reste, si nous tenons compte de (i3),
dljk _ 1 d\l _ 1 <HJ
dt* mk d^k mk dxk
Il viendra donc
dixk _ 1 dU fermai
(1*} dt* ~ mk àxk Zà r\
Il convient de mettre à part dans U les termes qui contiennent m0 en facteur;
on trouve aisément
(l5) u=f2^+f22^=f-.2^+u''
en posant
dans cette formule, les indices ietj'ne peuvent plus prendre la valeur zéro. On
trouve immédiatement «
» d-
te-k2àTt-mk-iïrk=-mk7î>
l'équation (14) pourra donc s'écrire
d2xk xk fX^niiX, 1 dU'
dt* r% Â* r\ mk dxk
Les mouvements relatifs des centres de gravité des n corps considérés, par

72 ' CHAPITRE 111.
rapport au Soleil, dépendront donc des 3/i équations différentielles suivantes
(*)
[ d*xx
~dlr
d'y,
dt'
#zA
dt*
lm»7f +l2à~7f -J^ldxl
nnyt _ i à\J'
°/J JU /•• m, dj,
«i „ ^i m, 5f i dU'
où l'on a
On voit que le nombre des équations différentielles (g) est inférieur de trois
unités à celui des équations (a); il y aura donc dans les intégrales générales
six constantes de moins que dans celles des équations (a); ces constantes sont
précisément celles qui figuraient dans les intégrales du mouvement du centre
de gravité.
17. On ne connaît que quatre intégrales des équations (g); elles
correspondent aux intégrales (d) et (/) du n° 14; nous allons les déduire de ces
dernières.
Dans les formules (7), remplaçons Çf-, yj„ £/ par leurs valeurs (11), et nous
trouverons
d'où
«.=
ax t + a, = l9(m9 + 2] m<) + 2] m'Xu
(16)
*lo =
Co =
bt t + 6S — 2] mt yt
dt
\-i dxt
a>-ltm<-dT
>
2]m<
TOfl
TO0+2]m/
M * + Cs — 2] *»/ Zt
mo+2]m'
dt
: )
mo+2]m'
"»o+2]m*

ÉQUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ. j3
En faisant la même substitution dans les formules (/) et (d), il viendra
('7)
(18)
. (dl\ dnl dÇ»\ / x? \ \? (dx* dYÎ dzf\
dt Jmd ' dt dt J-d dt dt ^ l dt
et deux autres formules analogues relatives à b3 et c3; l'indice i doit recevoir
partout les valeurs i, 2, ..., n, n désignant le nombre des planètes.
Il suffit maintenant de porter les expressions (16) dans les formules (17)
et (18). On trouve, après quelques réductions,
-1—^— 'U1C1—c**>i+y ™« zi y »».■ -s?—y ™« j* y ™« -si ;
en introduisant la fonction 0' par la formule (i5) et changeant de constantes,
on trouve les quatre intégrales sous la forme suivante :
/ V1 ( dzt dn\
a'=Ztt"\y<di-i"-3î)
(<*')
1 /v' V dxi v' V dzA
T. — I.
10

74 CHAPITRE III.
et
!V^ fdxj dy\ dz}\ , v< mi IT/
2* = 2 m< {dï + £ + ut) ~ *'m> 2 77 -2U
On peut écrire ces intégrales d'une manière un peu différente ; on vérifie en
effet aisément qu'en changeant encore une fois de constantes et posant
a"=a'(j+^^-), b»=b'\i + =^)> c'= c' ( i+ =^ ),
\ mo J \ mo J \ ™o J
A"=*'('+%^),
on a
^22^[<^(ï-ï)-^($-§)]'
i et/ désignent deux quelconques des nombres i, 2, ..., /i.
Les formules (d') ou (*/") représentent les intégrales des aires et la
formule (/') ou (/") l'intégrale des forces vives dans le mouvement relatif des
planètes autour du Soleil; ces quatre intégrales sont les seules que l'on
connaisse jusqu'ici.
18. La forme (g) des équations différentielles du mouvement relatif n'est pas
la forme définitive; pour arriver à cette dernière, considérons les trois
premières des équations (g). En ayant égard à la valeur de U'et remarquant que
les quantités A2>3, A2>4, ..., A,i4, ... ne dépendent pas de x,, y,, s,, nous pour-
(d")

ÉQUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ. ^5
rons les écrire ainsi :
id%xx xx »//wsj7j m3x3 \ „ d ( m, m3 \
--j^+f(m»+m')73+H-7r+-7r+--J=f^fe+Â7;+--j'
r2, r,, ... ne dépendent pas de a?,,y,, s, ; on a donc
**__à_ x\Xi + y\yi + z\z*
r\ dxx /•»
La première des équations (19) devient
+f^(^,-*'*'+r;rs,v)
+
On obtient ainsi la forme suivante, la plus usitée, pour les mouvements relatifs
des planètes autour du Soleil :
dixi
dl1
d'y,
dt*
d*zt
dt1
dixi
dt1
d\y*
dt*
d*zt
dt1
+ f(m0
4-f(m0
-i-f(m0
+ f(m0
+ f(m0
4-f(m0
+ m
+ m
+ m,
+ m.
+ m.
-h m.
*
>3
dxt
_dRt
~ àyt'
<*R,
~dzt>
~ dx.
_^R,
~~ dy*
<*R,.
\

76 CHAPITRE III. — ÉQUATIONS DÉS MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ.
où Ton a posé
Rl_fm^__ _ ) + i^{^s 71 J+""
4^ = *,»,,= (*,- a?y)«+(jr/_ ry)«+(,,_ Sy)«.
Ces équations (A) constituent un système de 3/i équations différentielles
simultanées du second ordre. Pour en déduire les valeurs les plus générales de xit
yif zt: x2>y2, z2; ..., il faudrait obtenir 6n intégrales distinctes de ces
équations; jusqu'ici, comme nous l'avons dit, on n'en connaît que quatre, qui sont
données par les formules (d') et (/') ou (d") et (/")•

CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES. J'J
CHAPITRE IV.
FORME SYMÉTRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
DU MOUVEMENT RELATIF DES PLANÈTES.
19. Les équations (A) du Chapitre précédent sont celles dont on se sert
effectivement pour calculer les mouvements des planètes; dans certaines
recherches théoriques, elles présentent toutefois un grave inconvénient, elles
ne sont pas symétriques : leurs seconds membres contiennent en effet des
fonctions R,, R2, ..., qui diffèrent d'une planète à l'autre. Il est possible
d'obtenir pour les n planètes des équations différentielles dont les seconds membres
ne contiennent qu'une seule et même fonction ou plutôt ses dérivées partielles
du premier ordre
Conservons les notations du Chapitre précédent; nous allons remplacer les
variables Ç0, yj0, Ç0, Ç,, y],, Ç,, ... par un système de coordonnées défini comme
il suit.
Fig. 10.
/M,
% »r^ m
M» Gi Mi
Soient {fig. 10) :
G, le centre de gravité des masses M0 et M, (lesquelles sont condensées, comme
on l'a dit» aux points M0 et M, ) ;
G2 le centre de gravité des masses M0, M, et M2;
>
G„_, le centre de gravité des masses M0, M,, M2, ..., M„_, ;
G celui de tout le système.

j8 CHAPITRE IV.
Nous prendrons comme nouvelles variables :
Xi» yi» Z|, coordonnées de M, par rapport à trois axes parallèles aux axes fixes et
passant par M0;
x2, y2» z2, coordonnées de M2 par rapport à trois axes parallèles aux axes fixes et
passant par G, ;
x>» y3» Z3» celles de M3 par rapport à G2 ;
x«» yn» z«» celles de M„ par rapport à G„_,.
Nous y ajouterons les-coordonnées X, Y, Z du point G par rapport aux axes
fixes.
La première chose à faire, c'est d'exprimer les anciennes variables en fonction
des nouvelles.
Pour y arriver, représentons par X,-, Y/, Z* les coordonnées de G/ par rapport
aux axes fixes et posons d'une manière générale
(1) m0-t-Toi + TOj +.. . + m/ = jui/,
l'indice ipouvant prendre les valeurs o, 1, 2, ... n\ nous aurons
(2) £i = £o + x„ Çs = X, + xs> £,— X,+ x„ ..., £„ = X„_i + x„.
Mais on a aussi, d'après les propriétés du centre de gravité,
r, X,=m0So+'tti£i,
jx, Xj = m0 £0 + m, Ç, + ms Çs>
(3)
r„_, X„_, = m0 £0 + m, Ç, + m, £s +... + m„_, £„_„
r„ X =m0 £o + m, |, + m, £, +... + /n„_, £„_, + mn £„.
Tirons de là les valeurs de X,, X2, ..., X„_, et portons-les dans les relations (2) ;
nous trouverons
*'- s—+x"
ss — H- X„
ri

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES.
Résolvons ces n équations par rapport à Ç,, Ç2, ..., Ç„, et il viendra
79
(4)
ri
£s = £0 + rm — + ™« — + x3,
ri r»
Ç»-i = Ço+/w, — + m, h...-t-m„_3
ri r» Pn-%
+" Xn-J>
£„_, = £„ + ™i "7 + m* — ■+- ■ • • -H ™«-
ri r»
h /W/t_j h X.„_|,
^«-3 r»->
1v >. Xi Xi X,|—» Xi»—j X/; — |
\ ri r» r»-3 r«-« r»-i
Portons ces valeurs de Ç,, Ç2, ..., ÇB dans la dernière des équations (3), et nous
en tirerons
ixnX = r„ £0 + m, (jul, + m, +... + mn) -*
ri
+ »«i (f*i h-»»« + •• • + »»»)7r + --- + ™«-i(r»-i-+-m«)-îî::i+ "*»*«;
r» r»-i
d'où
Xj»_«
Xj»_|
^o-X-m,- m, ... — m„_, m„_, m„ — .
ri r» r»-« r»-i r»
Substituons cette valeur de !j0 dans les équations (4), et nous trouverons
Ç.= X + rJI_|i5,
r»
r« r»—i
£„_, = X — m„ m„_,
r» r»-i
r»-»
r»-«
(5)
£,= X — mn^ -mn_.
r» r»—i
Ci = X — mn m„_,
r» r»-i
Ç^X-m^-m,,.,^
r« r«-i
X3 X»
— m, h r, —
r» r»
x, x,
_ m h ro —
r« ri
x, x,
— m, — —m.—
r« ri
Ces formules et deux groupes tout pareils, relatifs aux coordonnées yj et Ç,

80 CHAPITRE IV.
définissent les 3/i -h 3 anciennes variables en fonction des nouvelles, qui sont
A., X|, X], • • • > Xn,
^> yp y*» • • • » y«>
^» . 2|» Zjj • • • > Z/;«
20. Les formules (5) rentrent dans le type suivant
£o = X + «0,1 *l + a0,J X, +. . . + a0,n *n>
Ëi = X + a,,, x, + a,,, x, +... + a,,„ x„,
( f\\
* h = X + a/,, x, + aiA x, +... + a,,„ x„,
£n = X + an>i X| + a„,iX, +... + art>„ x„,
si l'on pose
[au = — tt> P°ur «</.
(7) \ <*t,j = o, pour *>y,
Cela posé, formons l'expression de la quantité
en y remplaçant les quantités Ç par leurs valeurs (6); H deviendra ainsi une
fonction du second degré des quantités X, x,, x3, .... x„.
Le coefficient de X2 dans H sera
m0 + m, -+-... -+- m„ — fxn ;
on trouvera pour celui de aXxy
l=n
m0a0j -hmtaitj +...+ mna„j = ^ /W/a/.yî
i=0
pour celui de axyxA, j étant différent de k,
i = n
m0a0j a0tti ■+- mtaltJ aXtk ■+-... H- m„anj a„tk = ^ JW/#i,y <ii,k,
et enfin, pour le coefficient de xj,
(=n

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES. 8l
Or, en tenant compte des formules (7), on trouve aisément
i=n
V mtatj = m0a0t/ + m, altJ +... -h my_, ay_l>y + ntj aJtj
i = 0
. mi u,_,
= —(m0+m,-i-... + /Wy_l)-^ + my!^_ = 0,
i=n
et, en supposant, pour fixer les idées, J <£,
i = n
Zj nti^ij attk = m0a0tJ a0tk -+- m, aljy «,,*+... -h my_, a/_it/ tfy-i,* + rnj aJtJ- aJtk
t=o
= (m,+ m,H-...+ m/_, -^ —- — m.,^-i- — = o.
V-i V-k f-j V-k
On a donc ces relations
£i miai,j — °y
i=n
(8) < Jm/fl/.ya/.^o, pour j%k,
t=o
et il en résulte cette formule remarquable
(9) "loÊî + 'ni £"+•..+ **»& — ^rtXî+ii0/nlxî+ ^m,x| + ...+ ^m„x*.
On en aurait deux autres toutes pareilles pour les coordonnées yj et Ç.
On peut différentier les équations (6) par rapport au temps; on aura entre les
dérivées -t-> -^, -£ des relations de même forme, telles que
m
T. - I.

82 CHAPITRE IV.
On en conclut immédiatement l'expression de la force vive 2T du système des
points matériels M0, M,, M2, ..., M,„ exprimée avec les nouvelles variables; on
a en effet
-=4(§H^(§)*]+-—. [fêHSrH*)']'
d'où
21. Cherchons maintenant à calculer une expression qui nous sera utile dans
un moment, celle de
i = 0
où l'on doit remplacer d'une manière générale Ç, et y), par leurs valeurs
£t- = X + a,-,,x,+. ..-\-ciijXj-\-.. ,-haitnxn,
t]*=Y + at-,,y,-+-. . . + aiykyk+. .. + «,-,„¥„,
déduites des formules (6); on a tout d'abord
dE{ dX dx. dxj dxn
dnt _dY dyt dyk dyH m
Hë-dî +a<''-d7+'- + a'>*-à7+'-- + ai>n-dï>
en substituant dans (11), il vient
* i y /
dY v^ V dX v^ V
+ dï2ix'2imtai-'- dï2é**2émiai>*
7 i k i
-«- 22Xj ~dt 2 m'a'.ya'-.*—22y* "^ 2 mia*.*at.j-
i k i f * i
En vertu des formules (8), cela se réduit à
On obtient ainsi la formule cherchée

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES. 83
22. Nous allons former enfin les équations différentielles dont dépendent nos
nouvelles variables; nous emploierons pour cela les formules de Lagrange.
Les relations (5) expriment les coordonnées de tous les points du système
en fonction des variables indépendantes X, Y, Z, x,,y,, z,, x2, ..., z„; soit qk
l'une quelconque de ces variables, q'M = -^; on aura
(i3) ^fY—^1- —= -—•
dt\dq'k) dqk ~dqk'
La fonction T est donnée par la formule (10).
Il faut remarquer que U, qui, d'après les équations (a) du n° 13, ne contenait
que les différences Ç, — Ç,-, yj, — y)y, £, —Ç, des coordonnées, ne dépendra pas
de X, Y, Z, mais seulement de x,, x2, . . ; y,, y2. • ; z,, z2, ... ; cette fonction
ne contiendra pas non plus le temps explicitement.
Prenons d'abord
?*=X;
nous aurons
à? _ v,_ <K
dT dll
- — = o, -.— = o ;
df/k àqk
donc la formule (i3) donnera
rflX
~dr- =°>
d'où, en désignant par a, (3, y, a', (3', Y six constantes arbitraires,
(i/,) X —«* + «', Y-=(3*-h (3', Z=.yt-hy';
on retrouve ainsi le théorème connu pour le mouvement du centre de gravité d'un
système soumis seulement aux actions mutuelles de ses points.
Faisons ensuite
qk = *t;
nous aurons, en partant de (io),
dT u,_, , u/_, d\f
d*i & {x,- dt
dT

84
et la formule (i3) donnera
CHAPITRE IV.
Hi ' dt* d&{'
Il viendra donc, pour les équations différentielles cherchées,
(B)
jul, ' dt* dx-t
Hi * dt* dyt
u0 rf'zt d\J
jui, dt1 dz,
jui, oPx, _ dU
/UL, ^ dt* - dXt
p.tm> dt* -dyt
jui, d1z1 dH
jul9 * dt* dzt
F-o
= m„
[xt= m0-h mt;
fx9 — m0 -h nti + m, ;
On voit que ces équations possèdent maintenant la symétrie demandée.
Il convient de voir quelle sera, d'une manière générale, la composition de U
à l'aide des nouvelles variables.
En ayant égard à l'expression connue de U en fonction des A,-,y et aux
relations (5), on trouvera aisément les formules suivantes
| \Ao,i AM AM / \A,,, A,,, /
+tai(£+...)+...,
Aî,,=*i+y? + *î.
(C)
:*■)'•
»

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES. 85
on est ainsi ramené à un système (B) de 3n équations différentielles simultanées
du second ordre, dans lesquelles la fonction U dépend des nouvelles variables
par les formules (C).
23. On aura naturellement quatre intégrales de ce système; elles se
déduiront des formules (d) et (/) du n° 14, en ayant égard aux équations (10)
et (12) du présent Chapitre, et remarquant que, d'après les formules (i/j), les
quantités
t'dxy /dY\* fdzy
dZ „d\ dX. dZ dY dX
xd~t~L~dV Ldt~^dt' Kdt~x~dï'
sont des constantes. On trouvera ainsi, en désignant par a\, b\, c\% hx quatre
constantes arbitraires,
i = \
'l~ Zi |UL, ^{^ dt ^ dt)'
1 = 1
On voit que, non seulement les équations différentielles ont une forme plus
simple, mais aussi les quatre intégrales connues, quand on emploie les nouvelles
variables \t, y,, z, au lieu des anciennes xh yit s,.
Il nous reste enfin à indiquer comment, en supposant effectuée l'intégration
du système (B), on trouvera les coordonnées des planètes rapportées au Soleil ;
les formules (4) répondent à la question; elles donnent en effet
, mx m, m,
*,=x,+ — x„ j2=yiH y., «i = Zj+-Zi,
(U) { *** **' ***
mt m, ms m, m, m,
La considération des équations (B) peut être utile dans certaines recherches
théoriques, comme nous aurons occasion de le montrer dans la suite de cet
Ouvrage.

86 CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES.
Remarque I. — Soient, relativement à des axes fixes, P,, P2, ..., Pn, n points
ayant pour coordonnées x,, y,, z, ; x2, y2, z2, ...; x„, y„, z„; attribuons à ces
points des masses égales respectivement à —m,, — m2, ..., ^=^mn> et suppo-
sons-les soumis à des actions admettant une fonction des forces U, définie par
les formules (C); les équations différentielles du mouvement absolu des points
P,, P2, ... seront identiques aux équations (B). Dans ce mouvement, les
formules (D) et (F) représenteront les intégrales des aires et des forces vives.
Remarque II. — La fonction U est plus compliquée que chacune des fonctions
R,, R2, .-.» qui figuraient dans les équations (A) du n° 18; on voit, par les
formules (C) que A0f2 ne représente plus la distance du point P2 à l'origine;
A,,2 ne représente plus la distance P,P2. Toutefois, qnand on considère les
mouvements des planètes autour du Soleil, les rapports —l-, —, ■•■, -- sont
petits, inférieurs à y^; on voit donc que la quantité A4iy diflère peu de la
distance des deux points P, et Py.
Remarque III. — Les variables x4, y,, z4- diffèrent de même très peu de <r,,
yh zt\ mais on a rigoureusement, pour la planète M,,
•^i = Xi» Ji=yi» *i=ii.
Il va sans dire que l'on pourra prendre pour M, l'une quelconque des planètes
M,,M2, .., M„.
La substance de ce Chapitre est tirée d'un intéressant Mémoire de M. R. Radau,
intitulé « Sur une transformation des équations différentielles de la Dynamique »
{Annales de l'École Normale, ire série, t. V); M. Radau avait pris lui-même pour
point de départ des résultats particuliers obtenus par Jacobi dans son célèbre
Mémoire Sur l'élimination des nœuds dans le problème des trois corps {Journal de
Liouville, r* série, t. IX).

CHAPITRE V. — ÉQUATIONS DU MOUVEMENT EN COORDONNÉES POLAIRES. 87
CHAPITRE V.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES
EN COORDONNÉES POLAIRES.
24. Si l'on se reporte aux équations (A) du n° 18, on peut écrire comme
il suit les équations différentielles du mouvement de la planète M dont les
coordonnées rectangulaires héliocentriques sont x, y, z :
<P± - d& _ y d%y — dÇi - v *£± — dÇi — 7
{a) dt"- ~àx —X' 'dF - dy ~ * dp-~dï~L>
où Ton a fait
x', y', z', f\ m' désignent les coordonnées rectangulaires, le rayon vecteur et la
masse de l'une quelconque M' des planètes perturbatrices; enfin m0 -+- m est la
somme des masses du Soleil et de la planète M.
Dans un très grand nombre de questions, il est utile de remplacer les
coordonnées rectangulaires x, y, z par les coordonnées polaires r, v, 9; on aura
d'abord
(2) x = /• cos 0 cos v, y= rcosôsinc, s-=/*sin0;
rest le rayon vecteur, v la longitude et 0 la latitude.
Pour trouver les équations différentielles que vérifieront r, v et 0, il n'y a qu'à

88 CHAPITRE V.
appliquer les formules de Lagrange; on aura d'abord à exprimer, à l'aide des
nouvelles variables, la quantité
on trouve
«*=®-'-'(S),+*(S,:
En appliquant la formule
\dq';) (fï _ d&_
dt dqt dqt
et prenant q, = r, q2 = i>, y, = 6, on obtient les équations cherchées
dt* ,yJ"OJdt* dt*-
d(rl™19d)) m
dt ~ dv '
d .de ... .dv*
d-trd-t-hrsin6cos6dr*
- dr'
dSi
~ dd
(«)
25. Nous allons transformer ces équations en introduisant, au lieu de r et ô,
les nouvelles variables u et s définies par les formules
(3) u = -, s = tang0;
rcos0
- est la projection du rayon vecteur sur le plan des xy\ s est la tangente de la
latitude.
Nous trouverons aisément
//x dSl dSl dSl dSl . . ,N dû
or du do ou ' os
Multiplions d'abord par 2racos2ÔT- les deux membres de la deuxième
équation (a); il viendra
d— —
2 dv u% dt 2 d£l dv
~u^d~t dt ~~ô* ~dv ~di'
d'où, en intégrant et désignant par Aa une constante arbitraire,
( l dv\* a« r i dSt dv .

ÉQUATIONS DU MOUVEMENT EN COORDONNÉES POLAIRES. 89
d'où
(5) dt = dv
Multiplions maintenant la première des équations (a) par — cosO, la troisième
par h —, et ajoutons; il viendra
acPr . ûd16 . ûdr dd ûd6i adv'-
— COS0-T— +/-sin0-r-r + 2Sin0-r- -j- + rcosô-r-r + rcos0-.-i
dt* dt% dt dt dt2 dt%
ndQ sinô dQ
= — COS0 -r- H — -rfl •
or r oB
Le premier membre de cette équation peut s'écrire
d>±
d* r cos 0 „ dv1 u 1 dv*
de- + rco8®5* = " rfF + û S*:
on aura donc
.dt\u* dt)+u dt* -~cosV-oJ. + ,. «J0*
Nous allons remplacer dt par sa valeur (5). ce qui nous donnera
Dd& sinô dQ
.— — cosô-j- h -r ;
or r 06
d'où, en effectuant les calculs et prenant v pour variable indépendante,
Remplaçons de même dans la troisième équation (a) dt par sa valeur (5); il
viendra
+ /**/•* sin 0 cos0 A* + 2 l — -3- rfr — -r*
\ J m" de / <J0
T. - I. I2

go CHAPITRE V.
ou bien, en tenant compte des relations (3),
/dSl ds dQ\
dSi
d'où
(7)
d*s
dv*
"(»+*/*»
i dSi \ \ dv dv dd
Réunissons maintenant les formules (5), (6) et (7) et tenons compte des
relations (4); nous trouverons
dt —
dv
(«0
d*u
dv*
d*s
dv*
dQ du dQ s dQ
dv u*dv du u. ds
,. fdSl dv
dSi ds
dSi
— o.
dSi
<7P <ip du x ' ds
=0.
Nous ferons remarquer que, d'après les formules (1) et (2), û est une
fonction de r, p, 6 et du temps / qui sera introduit par //, / 6', r", y", 6", ...; on
pourra écrire aussi
fi = $((>, U, S, £);
ty u et s devront être censés exprimés en fonction de la variable indépendante v.
Les équations (a') servent de base à la théorie de la Lune de Laplace.
26. Il peut être avantageux d'introduire, au lieu de -*!-, ^-, -3-, les
projections de la force accélératrice de la planète M sur trois axes rectangulaires
Fig. u.
que nous allons définir. Soient {fig. 11), à l'époque t, M et Q la position de la

ÉQUATIONS DU MOUVEMENT EN COORDONNÉES POLAIRES. 91
planète et sa projection sur le plan fixe xOy, QA le prolongement de OQ, QB la
perpendiculaire menée sur OQ dans le plan fixe xOy, dans le sens où les
angles v croissent, QC la parallèle à Oz; les axes mobiles sur lesquels on va
projeter la force accélératrice seront QA, QB, QC, et les projections de la force
en question sur ces axes seront représentées respectivement par P, T, S.
On aura
d£l d£l
*= Xcose + Y sinp= 3— cosp + 3— sinp,
dx dy
dQ dQ
(8) { T =— X sin v + Y cosp — — -5— sin v + -3- cosp,
* dx dy
dz
Donnons au point M un déplacement virtuel caractérisé par Bx, By, Sz; soient
ùv, Bu et Bs les variations correspondantes de vy u et s; on aura
-3-&F+ 3-ÔV+ ~èz = (Pcosv — Tsinc)^ + (P'Sinp + Tcosc)âK + Sàz
dx dy J dz v v ' J
dQs dQy dQs
= 3- ov -\- 3- du + -3- es.
dv au as
En substituant pour Bx, By, Bz leurs valeurs tirées des formules
cose sinp s
u J u u
et égalant dans les deux membres les coefficients de Bv, Bu et Bs, on trouve
aisément
(9)
si l'on porte ces valeurs dans les formules (a'), elles deviennent
dt dv
dil
dv ~
d&
du
dil
ds ~~
1 rr
-T,
U
P
-S;
u
+
u1
S
T du P
d* u u3 dv u1
u
(°° <*•■-■ A,+2y rA
T^ d± Ps—S
d*s u3 dv u3
s H ^-m — o.
dv1
li1 + 2 I —- dv
J n3

92 CHAPITRE V. — ÉQUATIONS DU MOUVEMENT EN COORDONNÉES POLAIRES.
27. Donnons enfin une dernière transformation très simple des équations
différentielles. Si l'on désigne par p la projection rcosô = - de r sur le plan
des xy, on a
a? = pcos<y ^ = psinp, s = ps;
en partant des formules (a) et (8), on trouve aisément
_ d*x . d*y d*p cosv . c^psinp
P^ cosp—.+s.n,-^ cosP^r-+sinP-J^i-,
_, . dix div . d*p cosv d*p s\nv
T=-SinP^+C0SP^=-S,np-fe-+C0SP-^-'
diz d*ps
~dt* ~ ~dF'
d'où l'on tire, en réduisant, les équations suivantes
(«')
qui ont été fréquemment employées, notamment par M. Airy dans son Mémoire
intitulé Numerical iunar Theory ( Londres, 1886).
d*p dv*
d~t*~*~dP~~
p dt\ dt)
d*ps
~d~F ~~
=p,
= T,
= s,

CHAPITRE VI. — PROBLÈME DES DEUX CORPS.
93
CHAPITRE VI.
PROBLÈME DES DEUX CORPS. — PREMIÈRE APPROXIMATION DU MOUVEMENT
DES PLANÈTES. — MOUVEMENT ELLIPTIQUE. MOUVEMENT PARABOLIQUE.
MOUVEMENT HYPERBOLIQUE.
28. Soient 0 le centre de gravité du Soleil, P, P,, P2, ... les centres de
gravité des diverses planètes ou des systèmes secondaires formés chacun d'une
planète et de ses satellites; nous prendrons pour unité la masse du Soleil, et
nous désignerons par m, mt, m2, ... les masses des planètes isolées ou les
masses des systèmes secondaires. Par le point 0, menons trois axes Ox, Oj-,
Oz, de directions invariables, et soient, relativement à ces axes, x, y, z, r,
xm yti zm r\y ••• les coordonnées des points P, P,, ... et leurs distances au
centre du Soleil.
Les équations différentielles du mouvement des points P, P,, ... ont été
données au n° 18; nous allons les reproduire avec de légers changements de
notation. Nous poserons
rJ — x2 + y1 + z1 ;
r\=zx\ + y\ + z\;
et nous aurons
(a)
1 + m, fjLx —
(«1)
d*x
~dl*
d>y
~dF
cPz
dt*
d*xt
dt1
d'y,
dt1
d1zl
dt*
X
+ '**£ =
, , z
+ ff*J3:
' 1
+ '*£ =
' 1
' 1
_àR
~~ dx
dR
âR
Si9
_<*R,
~~ dxx
àRt
-àyl9
_dR1
~~ dzi '

94 CHAPITRE VI.
et
+fmt r - ^«+^.+^.1
+
(<X) U,= fm I" ' *« * + jy + *, *1
H.fmt ["__ ' _ a?ia?i+.yi^>+gig>1
On a donc à intégrer, si i désigne le nombre des planètes, un système de
3i équations différentielles simultanées du second ordre. On a dit déjà que, même
pour i = 2, on ne sait pas résoudre rigoureusement le problème; fort
heureusement, une circonstance particulière va nous permettre d'obtenir une solution
approchée. Les masses des planètes sont en effet très petites par rapport à celle
du Soleil ; ainsi la masse la plus considérable, celle de Jupiter, n'est pas la
millième partie de celle du Soleil; les seconds membres des équations (a), (a,), ...
contiennent dans tous leurs termes en facteur un des nombres très petits m,
m, qui expriment les rapports des masses des planètes à celles du Soleil;
d'autre part, les distances mutuelles des planètes ne deviennent pas très
petites; donc les attractions qu'une planète éprouve de la part des autres planètes
sont très faibles par rapport à celle que lui fait subir le Soleil. On trouvera, par
exemple, dans les seconds membres des équations (a), en posant PP, = A, les
quantités
fWlj Xi — X
A* A '
j\—y
A '
fm, zy — z
A* A
1—>
tandis que les seconds termes des premiers membres de ces mêmes équations
sont
f(i + m) x f(i + m) y f(i + m)s
H r' r* 7' F* F'
or m, est très petit devant i + m, ^ est comparable à — •
On peut donc, dans une première approximation, réduire à zéro les seconds

PREMIÈRE APPROXIMATION DU MOUVEMENT DES PLANÈTES. q5
membres des équations (a), (a, ), . . ; on trouve alors les équations
(*)
(*:)
d*x
dt1
cP.Y
dt*
d* z
~dt*
d*xx
dt1
di.Y\
dt*
dïz,
dt1
+
+
+
+
+
+
1>
i>
*>
*>>
*fr
ff*.
X
y
r3
z
73
xx
y*
ri
■ri
= 0,
= 0,
= o;
= 0,
= 0,
= o;
Les équations (b) forment un groupe indépendant de (bt); on a naturellement le
même résultat que si l'on avait traité du mouvement de chaque planète comme
si elle existait seule autour du Soleil.
Nous allons donc nous occuper de l'intégration des équations (6); cette
intégration peut se faire rigoureusement; les formules générales auxquelles nous
arriverons conviendront aux équations (6,), . .; l'ensemble de ces formules
constituera la première approximation. Il restera ensuite à montrer comment
on peut utiliser les intégrales des équations (b), (bt ), ... pour intégrer par
approximation les équations (a), (at)
29. Intégrales premières. — Si l'on ajoute les deux premières équations (b)
après les avoir multipliées, la première par —y9 la seconde par -+- x, on obtient
une combinaison intégrable; on trouve ainsi, en désignant par C, C, C" trois
constantes arbitraires
(A)
ce sont les intégrales des aires.
On forme avec les équations (b) une autre combinaison intégrable, en les
multipliant respectivement par 2dx, idyy idz et ajoutant. Soit a une constante
dz
ydt
dx
z~di
rdy
dt
dy
~~ * ~di
dz
— X —;- :
dt
dx
~y~di
= c,
= u,
= C;

Ç)6 CHAPITRE VI.
arbitraire; on trouve ainsi
dx* , dy* dz1 _2ip. f>,
w dt* ~*~ dt* "*" dt* ~ r a '
c'est l'intégrale des forces vives.
Nous montrerons dans un moment comment on peut déterminer la courbe
décrite par la planète en partant des intégrales ci-dessus.
Mais nous allons d'abord faire connaître trois autres intégrales données par
Laplace dans la Mécanique céleste et qui nous serviront plus loin.
On tire des équations (b)
d*y d>z_ C>z-C"y
L dF lj dt* -'** /' '
et, en remplaçant dans le second membre C et C" par leurs valeurs (A), il vient,
après une transformation facile,
8 dx dr
r,d}y rid*z e r ~di~Xr'dt
on peut intégrer, ce qui donne
™ dy „,dz . x
C" -■£ — C -77 = f a - + consl.
dt dt ^ /•
Soient donc F, F', F" trois constantes arbitraires; on aura les trois intégrales
cherchées
F'=l>f+ c£-C'^.
\ ' /• dt dt
Il faut supposer dans ces formules C, C, C" remplacés par leurs
expressions (A).
Entre les sept constantes C, C, C", a, F, F', F", il existe deux relations faciles
à obtenir. On trouve d'abord, en ajoutant les formules (C) après les avoir
multipliées par C, C, C",
CF + C'F'+CffF"= ^(o + C'j + C's);
mais les formules (A), multipliées par x,y, z, donnent
(i) Cx + C'y + Cz^o;

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. qn
il vient donc
CF + C'F'4-C"F" = o.
On démontre ensuite par des calculs faciles que l'on a identiquement
Fî4-F"+F"î+ Ï£(CS+C'» + C'») — fV = o,
a v r
Il résulte des deux dernières formules que, sur les sept intégrales (A), (B)
et(C), cinq seulement sont distinctes.
30. Revenons à la détermination de l'orbite ; l'équation (i) montre qu'elle est
plane, et que son plan passe par le Soleil. Nous prendrons ce plan pour acOy,
de manière que z sera constamment nul; les intégrales (A) et (B) se
réduiront à
00 dt y dt ~ L '
dx2 + dy% „ (i \\
—s^-='»*(;-ï>
ou bien, en remplaçant C" par c et introduisant au lieu de a? étales
coordonnées polaires r et S,
(2) rl^7=c>
(3)
dt
dr*+ r'flfe*
~dP
*e-3-
Soit S l'aire décrite par le rayon vecteur r quand la planète passe de la
position qui répond au temps t0 à la position quelconque qui correspond au temps t.
On a
la formule (2) donnera
d$= -r'ûfr;
2
S=j(«-«0).
Les aires décrites par le rayon vecteur sont donc proportionnelles aux temps
employés à les décrire. On retrouve ainsi la première loi de Kepler; on voit en
même temps que la constante c représente le double de l'aire décrite dans l'unité
de temps. Si l'on élimine dt entre (a) et (3), il vient
, dr*
I. i3

CHAPITRE VI.
r \ f |UL 2 f JUL C*
,d5 / a r . r*
cd-
d$ =
rf& =
/ f> 2f> C*
y a r r*
/fV _ f> _ (c _ ff*\»
y c* a \r c )
On aura donc, en intégrant et désignant par co une constante arbitraire,
— u = arccos
C f |UL
r c
y c» a
d'où
(4) r= **-
v/^-S
I + y I_f^cos(&~w)
c'est l'équation de la trajectoire. On voit que c'est une section conique ayant
pour foyer le centre du Soleil; dans le cas des planètes, les conditions initiales
doivent être telles que cette courbe soit une ellipse. Nous retrouvons la seconde
loi de Kepler.
Désignons par p le paramètre, a le demi grand axe, e l'excentricité de
l'orbite, qui sera inférieure à l'unité; soit (fig. 12) A le point de l'ellipse le plus
voisin du foyer 0, point qu'on nomme le périhélie (le point A' le plus éloigné
du point 0 est Y aphélie)', représentons par w l'angle AOP que fait avec OA le
rayon vecteur r = OP de la planète au temps t; w est appelé YanomaUe vraie de
la planète.

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. gg
L'équation bien connue de l'ellipse, avec les coordonnées r et wy est
p a(i — é1)
r = £ = —- — ;
v-\-e cos w î + e cos w
la comparaison de cette expression avec (4) donne
(5) w = S — w = XOA;
(o est donc l'angle que fait avec OX le rayon vecteur du périhélie; on a ensuite
d'où l'on tire
(6)
«(.-«■)=£. e=v/,-ê
c = \Jîpp = \/fp& ( ' — e* )
et
a = a;
ainsi la constante a, que nous avions introduite dans l'intégrale (B) des forces
vives, n'est autre chose que le demi grand axe de l'orbite.
Si donc V désigne la vitesse de la planète à l'époque t> on aura, d'après (3),
(7) -.V=r,.(ï-i);
c'est une formule importante.
L'aire de l'ellipse est
Tzab = i:a}\Ji —e2 ;
si l'on représente par T le temps employé par la planète à décrire son ellipse,
l'aire - décrite dans l'unité de temps sera
c i:a.*^i — e*
2 ~ T
remplaçons c par sa valeur (6), et nous trouverons
(8) *££=tvL = ni + m),
ce qui est une relation fondamentale pour la suite.

IOO CHAPITRE VI.
Pour la seconde planète P,, on aura de même
«*P=fm = f<, + m,);
on conclut des deux dernières formules
I! — f!i I + mi.
(9) T?~a» i+m '
on n'a plus
Il — --
et la troisième loi de Kepler cesse d'être vérifiée rigoureusement; mais elle l'est
d'une façon très approchée, car nous avons dit que les nombres m et mK sont
très petits; la fraction —: diffère fort peu de l'unité.
On désigne ordinairement par n le quotient
. 27T
(*o) n=~Y>
qu'on appelle le moyen mouvement; c'est la vitesse angulaire que devrait avoir
un rayon vecteur fictif qui tournerait d'un mouvement uniforme autour du
point 0, de manière à faire une révolution complète dans le même temps T que
le rayon vecteur de la planète.
Si l'on introduit la quantité n dans les formules (6) et (8), on trouve les
relations
(n) n1a» = ffA = f(i + m),
(12) c=na*tfi — e*,
qui sont d'un usage constant.
31. Calcul de la position dans l'orbite. — Nous allons montrer
maintenant comment on peut déterminer la position de la planète sur son orbite à une
époque quelconque.
On a, d'après(5),
dt ~ ~dl>

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. ÎOI
il viendra donc, en ayant égard aux formules (2) et (12),
( * dw , / ï
l r* —j- = naïsji — e%,
\ dt
(i3)
i _ aji — e1) t
\ 1 + ecosw'
ces deux équations déterminent ret^en fonction de /.
Éliminons w : nous aurons
1 — e* 1 1
cos w = a >
ère
d'Où
. a\J\ — e% dr
dw— -I _=\
r \/aiei—{a~r)1
en portant cette valeur de w dans la première des équations (i3), il vient
/ ,\ . r dr
04) ndt—-
a \/aie1 — (a—ry
On est conduit à prendre une variable auxiliaire u définie par la relation
a — r = ae cos u ;
on en tire
(i5) /■= a(i — ecosu),
et, en portant cette valeur de rdans l'équation (i4). il vient
ndtT=(i — ecosu) du,
d'où, en intégrant et désignant par 1 une constante arbitraire,
(16) u — esinu— n(t — t).
La variable auxiliaire u est susceptible d'une interprétation géométrique très
simple. Décrivons, en effet, un cercle sur le grand axe de l'ellipse comme
diamètre; l'ordonnée QP (fig* i3) perpendiculaire sur CA rencontre cette
circonférence en R; menons la droite CR et faisons pour un moment
CQ = x;

102 CHAPITRE VI.
nous savons, par les formules de la Géométrie analytique, que l'on a
OP= r = a — ex.
En comparant avec la formule (i5), il vient
x = a cos u ;
mais le triangle rectangle CQR donne
x = acos(QCR)
u = QCR.
on a donc
C'est l'interprétation cherchée ; la variable auxiliaire u se nomme Vanomalie
excentrique de la planète.
Fig. i3.
La formule (16) fera connaître la valeur de l'anomalie excentrique en fonction
du temps; l'équation (i5) donnera ensuite r.
Nous pouvons remarquer qu'au point A on a u = o; la formule (16) donne
alors t = 1 ; donc la quantité 1 représente le temps du passage de la planète à
son périhélie.
Il nous reste à déterminer w en fonction de u. Pour y arriver, il suffit d'égaler
les deux expressions (i3) et (i5) de r. On trouve ainsi
—i '— =a(i — ecosa),
i + ecosw
d'où
(•7)
COSw:=
cos a — e
1 — ecosa
SÎn W = y7! —
sina
1 — ecosa
L'une ou l'autre de ces formules permet de calculer w en fonction de u; mais

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. Io3
elles ne sont pas les plus commodes pour le calcul numérique. On tire de la
première
, w (i — e)(i + cosa)
I + COS W ■= 2 COS* — =r : — >
2 i — ecosa
. . w (i + e) (i— cosu)
i — cos w = i sin* — = — >
2 i — ecosa
d'où
i . u
i/i + esin —
. w 2
sin - = = 3
2 yi— ecosa
i i u
(18) / v1 — ecos —
cos— =
2 ^i — e cos u
langT = vr^tang2'
Enfin, en combinant les formules (i5), (17) et (18), on peut écrire encore
r sin w = a ^1 — e* sin u,
(I9)
r cos w = a (cos u — e) ;
sjr sin — = ya(i + e) sin — »
(20)
yrcos — = ya(i —e) cos-«
Ces deux groupes de formules donnent en même temps r et w en
fonction de u; on les emploie, le dernier surtout, quand il s'agit de calculs
numériques.
On voit que la position de la planète sur son orbite est déterminée
complètement en fonction de u; la valeur de u est déterminée elle-même en fonction
de t par l'équation (16), qui est transcendante et que l'on appelle Y équation de
Kepler.
L'angle n(t — 1) = 211—=-- est ce que l'on nomme Yanomalie moyenne; on
la représente généralement par Ç. On voit que c'est l'angle dont a tourné depuis
le périhélie le rayon fictif considéré plus haut à partir du moment où il
coïncidait avec OA.
Nous pouvons résumer comme il suit les formules essentielles qui servent à

104 CHAPITRE VI.
calculer la position de la planète dans son orbite :
Ç = «(*-t),
(c) \ u— esina^Ç,
J /■ = a(i — ecosu),
F w I \ ■+- e u
\ X™S-ï = \/—e laDg2-
Il nous reste à donner les intégrales complètes des équations (b).
32. Calcul de la position héliocentrique. — Nous reprenons trois axes
Ox, Oy, Oz de directions invariables se coupant au centre du Soleil; il est dans
l'usage actuel d'adopter pour plan des xy le plan de l'écliptique au ier
janvier i85o; la partie positive de l'axe des x sera la droite menée du point 0 à
l'équinoxe moyen du printemps à la même époque. La partie positive de l'axe
des y sera dirigée vers le solstice d'été, et la partie positive de l'axe des z vers
le pôle boréal de l'écliptique.
Du point 0 comme centre, avec un rayon égal à l'unité, traçons une surface
sphérique; soient (fig. i4) #» J» z les points où elle est percée par les parties
positives des axes. Le plan de l'orbite de la planète coupe la surface de la sphère
Fig. 14.
suivant un grand cercle MN qui rencontre le grand cercle xy en deux points
qu'on appelle les nœuds du plan de l'orbite : l'un est le nœud ascendant, l'autre
le nœud descendant. La définition du nœud ascendant est la suivante : Dans son
mouvement, la planète perce le plan des xy en deux points C et C; considérons
celui de ces points, C, où le z de la planète, en devenant nul, passe du négatif
au positif; le rayon OC rencontre la sphère au point N qui est le nœud
ascendant.
L'arc <rN compté à partir du point x, dans le sens xy, jusqu'au point N est la
longitude du nœud ascendant; nous la représenterons par 6. L'angle jNM que

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. Io5
fait le plan de l'orbite avec le plan des xy est Xinclinaison de l'orbite; nous la
désignerons par <p; elle est définie sans ambiguïté par les directions Ny et NM
prises respectivement dans le sens xy et dans le sens du mouvement de la
planète.
Les deux quantités 6 et 9 déterminent sans ambiguïté la position du plan de
l'orbite; 6 peut être compris entre o° et 36o°. Toutes les planètes tournent dans
le même sens, sens direct, autour du Soleil ; le plan des xy diffère peu de
l'orbite d'une des planètes, la Terre; donc l'angle <p sera compris entre o° et 900. Jl
y a plus, les anciennes planètes ont des orbites peu inclinées les unes sur les
autres; 9 sera donc pour chacune d'elles un angle assez petit.
Pour les comètes, <p peut être compris entre 900 et 1800; alors le mouvement
de la comète est rétrograde; les définitions de <p et 6 données ci-dessus sont
applicables à tous les cas.
Après avoir fixé la position du plan de l'orbite, il faut indiquer l'orientation
de l'ellipse dans ce plan : soient A le périhélie, P une position quelconque de la
planète sur son ellipse; les rayons OA etOP percent la surface de la sphère aux
points II et M; pour déterminer la position du point II, on donne la somme des
arcs #N et Nil (Nil est compté à partir du point N jusqu'au point II, dans le
sens du mouvement de l'astre), et on la représente par o; on a donc
*n + nii = gj,
d'où
NII = gt-0;
o est ce que l'on appelle la longitude du périhélie,
Il faut maintenant faire connaître la forme de l'ellipse, en donnant son
excentricité e, et sa grandeur absolue, en donnant le demi grand axe a, ou la distance
moyenne de la planète au Soleil.
On doit dire ensuite comment la planète parcourt son orbite ; cela se fait en
introduisant la durée T de sa révolution, ou le moyen mouvement
•m
n = -Y'i
enfin, il faut savoir à quel point de son orbite la planète se trouve à un moment
déterminé; on donne pour cela le temps du passage au périhélie, t.
Il est facile maintenant de calculer la position de la planète en fonction du
temps et des constantes qui viennent d'être définies; on aura d'abord
u — esina = n(t — t),
t—a (1 — e cosa) ;
désignons par v la somme des arcs xN et NM, l'arc NM étant compté comme Nil
T. — I. 14

IOÔ CHAPITRE VI.
à partir du point N, dans le sens du mouvement de la planète; v est ce que Ton
nomme la longitude de la planète dans son orbite.
L'anomalie vraie w est l'angle
w = AOP = HM = p —gj;
on aura donc, d'après la dernière équation (c),
v — ts A /i + e u
tang-^-=y/T—-tang-;
on a ainsi r et v.
Reste à former les expressions de x, yy zy coordonnées rectangulaires de la
planète P, par rapport aux axes définis au commencement de ce numéro. Or ->
—t - sont les cosinus des angles que fait le rayon OP ou OM avec les axes; si
donc nous traçons les arcs de grands cercles Ma?, M y, Mz, nous aurons
- = cos(Mar), ^ = cos(M,y), -=cos(Ms).
Pour obtenir ces cosinus, nous considérons les triangles sphériques
MarN, M.yN, MsN,
dans lesquels on a
*N = 9,
,N = £-'*
zN= -,
2
NM = p-0,
a;NM = 7r— 9,
vNM=9,
2 T
en appliquant à chacun de ces triangles la formule fondamentale de la
Trigonométrie sphérique, on trouve '
cos(Ma:) = cos0cos(p — 9) — sin# sin(p — 9) C0S9,
cos(Miy) = sin# cos(p — 9) + cos# sin(p — 0)cos9,
cos(Ms) = sin(p —0) SH19.
On voit que les formules précédentes font connaître x, y, z en fonction de-*'
et des six constantes arbitraires a, e, <p, t, tzr, 6; la quantité n ne doit pas être
comptée comme une constante distincte de a, puisque c'est une fonction de a
définie par la première des relations (c). On a donc ainsi les intégrales
générales des équations (6).

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. IO7
Les astronomes introduisent généralement à la place de t un autre
élément £ défini comme il suit : imaginons, comme plus haut, un rayon vecteur
fictif coïncidant avec le rayon vecteur de la planète aux époques t, t-hT,
t -+- 2T, ..., et tournant d'un mouvement uniforme autour du point 0 ; il
effectuera donc une révolution dans le temps T, et sa vitesse angulaire sera n; à
l'époque t, ce rayon percera la surface de la sphère au point M', et l'on aura
si sur OM' on prend une longueur OP' = a, P' sera une planète fictive qui
resterait à une distance constante du Soleil, et serait animée sur son orbite
circulaire d'un mouvement uniforme.
La longitude de cette planète fictive, dans son orbite, serait
^N+NM'=cr + IIM'=CT + n(f — z) = l;
l est ce qu'on appelle la longitude moyenne de la planète P; à l'époque zéro, elle
se réduit ào-ni, quantité que l'on représente par e; e est donc la longitude
moyenne à l'époque zéro; on dit plus simplement que c'est la longitude moyenne
de Vépoque. On a donc
gj — nx = e,
d'où
/it = gj — e;
l'anomalie moyenne devient
(21) Ç = n£—/it = nt + e—gj;
la longitude moyenne / peut s'écrire
Z = e 4- nt,
de sorte que
(22) Ç= l — gj.
Nous aurons donc finalement, pour les intégrales générales des équations (6),
cet ensemble de formules
u — e sin u = nt ■+- e — gi,
r =a(i — ecosa),
v — ts A /i +e t u
lang___ = ^_lang_,
x=z r[cos#cos(p — 9) — sin 9 sin (p — 9) coscp],
y=z r[sin0cos(p — 9) + cos0sin(r — 9) coscp],
.s = rsin(p — 9) sin 9.
(d)

io8 CHAPITRE VI.
Les six constantes 6, <p, g, e, a, e sont appelées les six éléments du
mouvement elliptique, ou souvent, par abréviation, les six éléments elliptiques de la
planète.
Remarque. —L'arc IIM' étant égal à l'anomalie moyenne, on a
w=Ç + M'M,
p = Z + M'M;
la quantité M'M est ce qu'on appelle Y équation du centre; c'est ce qu'il faut
ajouter à l'anomalie moyenne pour trouver l'anomalie vraie, ou à la longitude
moyenne pour obtenir la longitude vraie; si nous la représentons par C, nous
aurons
(23) £—w— Ç,
et il en résultera
(a4) ? où
e -+- nt.
Iou
33. Revenons à la fig. i4; prolongeons l'arc de grand cercle zM. jusqu'à sa
rencontre en H avec le grand cercle xy; la droite OH sera la projection du rayon
vecteur r sur le plan des xy. Posons
x H = <>,, HM = s ;
c4 et s sont la longitude kéliocentrique et la latitude héliocentrique de la planète,
et constituent avec rses trois coordonnées polaires.
Le triangle sphérique MHN est rectangle en H; on a dans ce triangle
NH = <>, — $, NM = c —0;
on en conclut
(25) tang(p, — 0) = cos<ptang(c — 0),
(e) sins= sin^sinfc — 0);
ces formules permettront donc de calculera, et s.
Lorsque l'inclinaison <p est petite, et c'est le cas usuel, on calcule
généralement vt d'une autre façon; on sait qu'on déduit de l'équation ( a5)
tang* - tang* -
(p,— 0) = (p— 0) r-^siI12(P-0) + -,—^sin4(^ — 0)— .-•;
sin i" v ' S1112"

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. I 09
on peut donc écrire
tang2 i tang* -!-
p = :—=- sin2(p — 9) + —:—T sin4(^— 0)—... ,
r sini" sin2" v '
ces formules permettront de calculer vK très facilement; la quantité p, qui est
très petite dans le cas considéré, se nomme réduction à Vécliptique.
34. Maximum de l'équation du centre. — L'équation du centre C est une
fonction de la variable Ç et du paramètre e; cette fonction s'annule pourÇ = o
et Ç = ir, quel que soite; entre ces limites de Ç, elle est d'ailleurs positive,
car on voit aisément que l'on a Ç<w< w; elle passe donc par un maximum,
et c'est ce maximum que nous nous proposons de déterminer.
On a
r £[C 1 dw ■__ 1 s dw c a2 \Ji — e-
' dX> n dt nr% dt hrx rx '
on aura donc, pour le maximum,
r = a(i — e2)*.
Les expressions connues de r en fonction de u et w donnent ensuite
1
1—(1—e»)
cos u = - '-
,_(1_e»)ï
cosw = — :
e
cosu est positif et cosw négatif; il convient de poser
on aura donc
(26)
u= u,
2
,
\ sin u' =.
1 sinw'=
w = —h w
2
r—(1 —e*)*
1 —(1 —e2)"'
e
Ces formules feront connaître u! et w'; on aura ensuite
C ■= w — u -\- e sin u}

HO CHAPITRE VI.
d'où
(27) C = u'-hw'-he\/i— sin* u'.
Si e est petit, les formules (26) donneront pour sinw' et sinw' des expressions
que l'on pourra développer en séries très convergentes suivant les puissances
de e; ces séries commenceront à la première puissance de e; on en conclura les
développements analogues de u', w', et du maximum C par la formule (27).
On trouve ainsi
_ 11 , 5qo . 17219 ,
48 5120 229370
On peut tirer de cette relation la valeur de l'excentricité en fonction de la
plus grande équation du centre; on trouve
e - l- C - -±- £»_ 587 C._ *°583 a- •
e_2C 2».3 2".3.5C 2». 5.7.9C '••'
cette formule a été employée pendant longtemps au calcul des excentricités des
orbites planétaires.
35. Mouvement parabolique des comètes. — Si l'on suppose infinie la
constante a qui figure dans l'intégrale (B) des forces vives, le coefficient de
cos(& — (o) dans la formule (4) devient égal à l'unité. La trajectoire est une
parabole ayant le Soleil pour foyer; c'est le cas du plus grand nombre des
comètes. On a alors, en représentant par/7 le paramètre de la parabole,
(28) r=—-£■ ,
' I + COSW
(29) r,"^" = v/ô^;
w est la distance angulaire de la comète à son périhélie (le périhélie n'est autre
chose que le sommet de la parabole).
Le calcul de.r et w en fonction de t est essentiellement différent de ce qu'il
était pour les planètes.
L'élimination de r entre les formules (28) et (29) donne
1
i/fu dt = —— dw
4 cos* —
1

MOUVEMENT PARABOLIQUE. III
ou bien
lï-J±dt= ( i + tang* — Wtang — ;
d'où, en intégrant et désignant par t l'instant du passage de la comète au
périhélie,
(3o) ^(,_T) = tang^+itang*-
P1
i
Cette équation donnera w en fonction de t : après quoi la formule (28) fera
connaître r. Ayant obtenu ainsi r et w, on passera au calcul des coordonnées
rectangulaires oc, y, z de la comète par les mêmes formules que pour les planètes.
Pour suivre l'usage adopté par les astronomes, il convient d'introduire, au
lieu dep, la quantité q=-> qui représente la plus courte distance de la
comète au Soleil, et que l'on nomme simplement la distance périhélie. On a ainsi cet
ensemble de formules
tang ^ + i tang3 ^ = -^= (t - T),
2 ^ v27
r=-^
(g)
cos* —
2
V = TB ■+- W\
x= r [cos#cos(p — 0) — sin#sin(p — 9) cos<p],
y = r [sin0cos(p— 9) + cos#sin(p — 9) cos<p],
\ z = r sïn(v— 0)sin<p;
la formule (7) donne d'ailleurs pour la vitesse V de la comète cette expression
très simple
/•
On obtiendra ainsi a?, y, z en fonction de t et des cinq constantes arbitraires ou
éléments paraboliques 6, <p, tzr, q, 1.
La signification des éléments 6, <p, tzr etT est la même que pour les planètes.
Remarque. — La fonction tang—h {tang*— croît sans cesse avec w\ elle est
nulle pour w = o et infinie pour w = ir ; donc la première des formules (g)
donne toujours pour w une valeur et une seule, comprise entre o et ± ir, selon
que l'on a t\i. On voit que la détermination de w est ramenée à la résolution

112 CHAPITRE VI.
w
i
pratique, on évite la résolution de cette équation du troisième degré en la
remplaçant par le système suivant :
d'une équation du troisième degré dans laquelle l'inconnue est tang-- Dans la
(30 dh = ^—^}
(32) 3TL= y/^ (tang|+ itang'^,
où diL est une quantité auxiliaire.
On construit une Table numérique donnant la valeur de la fonction otl de w,
déterminée par la formule (32), pour des valeurs équidistantes de l'argument w;
une fois cette Table construite, on pourra en tirer la valeur de w qui répond à
celle de 3TL déterminée par la formule (3i).
La Table en question sera la même pour toutes les comètes, parce que, leurs
masses étant très petites et absolument négligeables devant celle du Soleil, on
peut prendre ja = i ; dès lors, il n'entre rien dans la formule (32) qui se
rapporte à telle comète plutôt qu'à telle autre.
36. Théorème d'Euler. — On doit à Euler une expression des plus
remarquables pour le temps S que met une comète, dans son mouvement parabolique,
à passer d'une position P à une autre P'; cette expression contient seulement,
et d'une manière très élégante, la sommer -h i* des rayons vecteurs menés du
Soleil aux points P et P' et la corde a = PP' qui les joint.
Soit W* la valeur de w qui répond au point P' : nous regarderons w et w' comme
positifs après le passage au périhélie, comme négatifs avant, et nous
supposerons «/>«>. En retranchant l'équation (3o) de l'équation analogue pour le
point P', on trouve, en faisant pour abréger l'écriture k = v/fjx,
-TS = tang — — tang- + ^ ( tang3-^- — tang'-J .
ou bien
(33) -j 6 = (^tang - - tang- j |^3 ^i + tang - tang—j + (^tang — - tang - J J.
On a d'ailleurs
(34) '=-E-^' ''=-LS'
2C0S* — 2C0S*—
2 1
w' — w
a* = r"+ r11— irr' cos(w' — w) = (r + /•')* — ^ rr' cos* ;

MOUVEMENT PARABOLIQUE.
d'où
(35) 2 sjrr' cos = ± v/('" + r' + °") ('' + r'~ <0 ï
on devra prendre le signe +, si l'on a
w' — W < 7T,
et le signe —, si l'on a
w'— W>7T.
Posons pour un moment
( /• + r' + a = A,
(36)
et remplaçons dans (35) ret r' par leurs valeurs (34); nous aurons
w'— w
w w' p
cos — cos— r
2 2
d'où
(37) 1 + lang-tang- = ±l_-.
On tire ensuite des formules (34)
r -\- r' =.- (2+ tang3 h tang3 — )
ou bien, en ayant égard aux relations (36),
—— = af 1 + tang- tang— J + (^tang—-tang-J ;
cela peut s'écrire, à cause de (37),
A_tBfWÂB = (tang^_tang.y;
d'où, en remarquant que tang tang— est positif par hypothèse,
(38) tang- -tang- = v T.v •
2 \P
Il ne reste plus qu'à porter dans (33) les expressions (37) et (38).
T.- I. i5

n4
CHAPITRE VI.
trouve
76=-^-l , : )•
On voit que le diviseur/?5 disparaît, et il reste simplement
ou bien, en remplaçant A et B par leurs valeurs (36),
(h) ■ • 6kG=(r-hr'-h<j)\i£(r-hr'—<jy;
c'est la formule d'Eulerque l'on attribue souvent, mais à tort, à Lambert; Euler
l'a donnée le premier. On a vu plus haut comment le signe ambigu =fc doit être
fixé dans chaque cas.
Il convient d'insister sur cette formule; on pouvait exprimer a priori w et w'
à l'aide de r+ r\ de a et de/?; la formule (33) devait donc donner pour s un
résultat de cette forme -
6 = $(/• + /•', <y, p);
ce qu'il y a de remarquable dans la formule (h), c'est d'abord la manière dont
y entrent les quantités r-t- r' et a; mais c'est surtout le fait que p n'y figure
plus.
C'est la raison du rôle fondamental que joue cette formule dans la belle
méthode d'Olbers pour la détermination des orbites paraboliques des comètes.
37. Mouvement hyperbolique. — Si l'on suppose négative la constante a
qui figure dans l'intégrale (B) des forces vives, le coefficient de cps(6 — w)
dans la formule (4) est supérieur à l'unité, et la trajectoire est une hyperbole
dont le Soleil occupe un foyer. Ce cas paraît être réalisé pour quelques comètes
et surtout pour certains bolides. Nous supposerons l'astre en mouvement sur la
branche d'hyperbole qui tourne sa concavité vers le Soleil; le mouvement ne
pourrait avoir lieu sur l'autre branche que si la force émanée du Soleil était
répulsive. Nous n'examinerons pas ce dernier cas, quoiqu'on ait à le considérer
dans la théorie de la figure des comètes (Bessel, Faye, Roche, Bredichin, etc.).
La formule (4) nous donnera
— a(e«— i)
i h- ecosw
on obtiendra les points de la branche considérée en supposant que w varie de
— ( rc — arc cos- j à +(«—•• arc cos - j ; toutes les valeurs de r seront positives.

MOUVEMENT HYPERBOLIQUE. Il5
Cela posé, pour obtenir les formules du mouvement hyperbolique, nous
pouvons partir de celles du mouvement elliptique
u — esjnu = J—~ (t — t),
a\Ja
r=çi(i — ecosw),
hn6â=vr^lang-'
e "2
et nous les transformerons en posant
i ' ' * M,
a — — au a = ,
a, désignant une quantité positive et ut une quantité réelle.
Soit E la base des logarithmes népériens; nous aurons
E"i — E-"« Eui + E_Mi
Sin U = =— > COS U = : ,
u
tang - =
^=7 JB-. + I*
et il en résultera, en choisissant convenablement le signe du radical qui figure
dans tang
— >
2
E". — E""i y/Fa .
■ E~"i
(c ) \ r — ax \e
w /e + i Eui,-- i
On peut introduire, au lieu de u,, une variable auxiliajre § définie par la
formule
E^tang(^-f),
d'où
E". -+- E-"i = —^-s » E". — E-"i = 2 lang,f,
E". — i A $
Ë=rT7 = tangï'
si l'on introduit en outre la quantité auxiliaires, = I/-Ç et e = o —/i,t,

Il6 CHAPITRE VI.
on trouvera, en partant des formules (V), cet ensemble de relations
(<f)
e tang^ — log tang ( -7 + - J = n, £ + e — gj,
y e — i
tang -^- = \/ -—7 tang -,
.z; = r [cos0cos(p — 6) — siadsin(t>— 0) cos<p],
y = r [sin0cos(p— 0) + cos0sin(p — 0) cos<p],
\ z=rsin(p— 0) sino.
La seconde de ces formules permettra de calculer l'inconnue auxiliaire ^ qui
remplace l'anomalie excentrique; on obtiendra ainsi les coordonnées
rectangulaires héliocentriques exprimées en fonction du temps t et des six éléments
hyperboliques 6, ç, ta, e, a,, e.
38. Détermination des éléments du mouvement elliptique d'une
planète, connaissant la position et la vitesse de la planète à un moment
donné *0. — Cette question se présente très souvent en Astronomie. Soient
x0> y0> z0, r0 = \/x*0 h-y\ -+- z\ les coordonnées de la planète à l'époque /,
et < = (ln\' ^ = (^)o' *» = (§)o ^ COmP°SanteS de Sa YiteSSe
V0 = >Jx* -\-y* ■+■ z'*, au même instant.
Commençons par une question accessoire :
Exprimer; à l'aide des éléments du mouvement elliptique, les trois constantes C,
C, C des intégrales des aires, intégrales (A) du n° 29.
On a donc ces formules
(A) K,-y dt z di, ^-*di *ât' L-Xdt y dt
Soit Q le point où la sphère de rayon i, ayant pour centre le centre 0 du
Soleil, est percée par la normale au plan de l'orbite, menée d'un tel côté qu'un
observateur placé les pieds en 0 et la tête en Q voie le mouvement de la
planète s'effectuer de sa droite vers sa gauche. Je dis qu'on aura, dans tous les cas,
en grandeur et en signe, les formules
(3g) C = ccos(Qx), C'-ccos(Qy), C'=ccos(Qz),

DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS DE L'ORBITE. 117
où c désigne la quantité essentiellement positive \Jf[i-p, qui représente, comme
on l'a vu, le double de l'aire décrite dans l'unité de temps par le rayon vecteur r
de la planète.
Il suffira de démontrer l'une des formules (39), la dernière par exemple;
soient r" la projection de r sur le plan des x,y, S" l'angle que fait r" avec Ox, S"
l'aire décrite à partir d'une certaine position par le rayon r"; on aura
x = r"cos$", j = /-"sinS",
d'où
dy dx _, dS" _,_ rfSff
dt J dt dt dt
On voit que C" représente ± le double de l'aire décrite dans l'unité de
d%"
temps par le rayon r"\ suivant que -3- est positif ou négatif, c'est-à-dire suivant
que le déplacement de r" s'effectue dans le sens xy, ou dans le sens yx. Mais
S"
l'aire S" est la projection de l'aire plane S décrite parr; le rapport-jt- est donc
égal au cosinus de l'angle que fait le plan de l'orbite avec le plan des xy, et
l'on a, au signe près,
(4o) C" = ccos(Q*).
Or, si l'angle (Qz) est aigu, le mouvement de r" s'effectue dans le sens xy;
il s'effectue, au contraire, dans le sens yx si l'angle (Qz) est obtus; donc C"
et cos(Q-s) sont toujours de même signe, et la formule (4°) est générale.
Si l'on considère maintenant les triangles sphériques QNx et QNy, N
désignant le nœud ascendant de l'orbite, et si l'on remarque que QN = ->
l'application de la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique donne
immédiatement
[ cos(Qj?) ^sinçsinfl, cos(Q/)——sin<pcos0;
(4») l on a d'ailleurs
( COS(Q Z) =:COS<p.
Les formules (39) et (41) nous fournissent donc les relations cherchées,
v/fjûi/jsinç sin0,
v/fjÛL/JsiiKpcosô,
\Jî[i.p cos<p.
(*)
_ dz dy
L -yTt~zTt
r> — - dx v dz
L -"Tt x dt
_. dy dx
Cff = d?-f —y -r
dt J dt

Il8 CHAPITRE VI.
Nous allons écrire de nouveau les intégrales (C) du n° 29, mais sous une
forme un peu différente, en remarquant que Ton a identiquement
_, dz rn'dy dx / dx dy dz\ /dx1 dy* dz*\ dr dx yji
nous trouverons ainsi
(C,)
u * x ™ dr dx
v-*..y
dr dy
-r*n n Z *T. dr dz
Cela posé, les formules (k) et (C) appliquées à l'époque t0 donnent
C = z0x0 x0zot
C ^=-x0y0 ^o^o» ■
F'=ffxf°+C'x'0-C<,
ro
F' = f^+C/0-C'*'0;
ce qui détermine, en fonction des données, les valeurs des six constantes C,
C, C", F, F, F"; on aura ensuite
(m)
^fjm/>sin9sin0 = C, ^({Mpsiny cos0 = — C, v/fjm/?cos9 = C,
d'où, sans ambiguïté, les valeurs des quantités p, <p et 6.
La formule (7), appliquée à l'instant f0, donne d'ailleurs
(n)
vo.
1 2
a r0 f jul '
d'où le demi grand axe a de l'ellipse ; on a ensuite
(*)
e* = i--p,
ce qui fait connaître l'excentricité.
Nous appliquerons maintenant les formules (G,) au moment t où la planète
passe à son périhélie; nous désignerons par X4, Y,, Z, les coordonnée? de

DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS DE L ORBITE. I 19
ce point, et par r, = a(i — e) '== \JX] -+■ YJ -+- ZJ la distance périhélie. Nous
, . dr • . • •
aurons, a ce moment, -r- = o, puisque r, est un minimum.
La formule (7) donne d'ailleurs
d'où
1 -W a
%-*=*<:.-$=-%:
Les formules (C,) donneront donc
,, , X, F Y, F' Z, F"
Remarquons en passant qu'il résulte de là une représentation géométrique
simple des constantes F, F', F'; ces quantités sont, en effet, les projections sur
les axes d'une longueur égale à fjxe portée sur le grand axe de l'ellipse à partir
du foyer O, dans la direction du centre. *
On déduira des formules (42) les cosinus directeurs du rayon mené au
périhélie; mais il est préférable d'obtenir la longitude o du périhélie. Or les
formules (d) donnent
— = cos0cos(gj— 0) — sin0 sin(ni — 0) cos<p,
ri
Y
(43) { — = sin0cos(nr— 9) ■+■ cos0sin(nr— 0)cos<p,
ri
2
— =sin(nj—0)sin<p;
r\
X Y
en portant les valeurs de — et de — dans les deux premières formules (42), et
résolvant par rapport aux inconnues e cos(© — 6) et esin(nr — 6), il vient
!fjmecos(Gj— 9) =— Fcos0 — F'sin0,
. . , as Fsin0 — F'cos0
fae sinfnj—0) —
r cos<p
On aura donc sans ambiguïté e et xs\ la valeur ainsi trouvée pour e devra
coïncider avec celle qu'a donnée la formule (o).
Reste à calculer la longitude moyenne de l'époque, e; on aura, en
désignant par (/0 l'anomalie" excentrique et par v0 la longitude dans l'orbite,

120 CHAPITRE VI.
pour t = t0,
"o _ . A — g
2 y n-e
tang -- = i / ——- tang
(q) { 2 y i-he ° 2
e = gt— nt0 + (#„— e sinw0).
Il n'y a plus qu'à trouver v0\ or on tire aisément des trois dernières
formules (d)
l r0cos(r0—0) =x0cos6-hy0sin6,
('') \ fl. —j?0 sinô-h jocos0 s0
i r0 sin(p0— 6) =
cos<p sin<p
»
ce qui donnera t>0 et aussi r0 qui est déjà connu.
Les formules (/), (m), (n), (o), (p), (q), (r) font connaître les valeurs des
éléments cherchés, a, e, ç, Ô, gt, £.
La solution obtenue ne laisse rien à désirer au point de vue de la rigueur; il
est possible d'abréger les calculs numériques et d'obtenir des vérifications des
calculs, autres que celles que nous avons indiquées ; mais nous
n'insisterons pas.
39. Détermination des éléments du mouvement parabolique d'une
comète, connaissant la position et la vitesse de la comète à un moment
donné t0. — Les données devront vérifier la relation
#~ r.
Les formules (/) et (m) détermineront sans ambiguïté les éléments <p, 6 et
On trouvera de même xs sans ambiguïté par les formules que l'on déduit
de (/>), en y faisant e = 1, savoir
!f>cos(nj— 0)=— Fcos0 —F'sin0,
, . . fl. Fsin0 — F'cos0
fasinfci—0) = :
r cos<p '
si cos<p est petit, on pourra, pour avoir plus de précision, calculer par la
formule
F'
(j>i) fu.sin(nj--0)— :—y
^ ^ s ' SID9

HODOGRAPHE. I21
z
qui se déduit de la dernière des relations (43), en y remplaçant — par
_ F
Les formules (r) donneront v0, après quoi on tirera de la première des
formules (g)
(„) T = ,„_^[lan6^ + itan6^];
le problème sera donc résolu par l'ensemble des formules (/), (m), (pi)ou(p2),
(r)et(qt).
40. Hodographe. — Hamilton a résolu la question suivante :
Par le centre 0 du Soleil, on mène des droites égales et parallèles aux vitesses
d'une planète ou d'une comète dans les divers points de son orbite. On demande
de trouver le lieu des extrémités de ces droites; ce lieu se nomme Yhodo-
grapke.
Partons des intégrales (C), et supposons, pour simplifier, que l'on ait choisi
le plan de l'orbite pour plan des xy, l'axe des x passant par le périhélie. On aura
i=o, C = o, C'=o, C = \/fp.p = c ;
les formules (42). dans lesquelles on a maintenant
X«-, Y'-n Z' „
^1 rx 'l
donneront
F = -fjme, F'=Fff=o;
les équations (C) deviendront donc
e x dy
- r dx
Mais les coordonnées a?', y du point de l'hodographe qui répond au point (x, y)
ont respectivement pour valeurs 77? et h£- On aura donc
X
*>7 =-cx';
T. - I. 16

122 CHAPITRE VI. — HO DO GRAPHE.
d'où, en élevant au carré et ajoutant,
^(/-VtOH*-
Donc l'hodographe est un cercle ayant son centre sur la perpendiculaire
menée par le centre du Soleil au grand axe de l'ellipse, ou à l'axe de la parabole ;
le rayon de ce cercle est i/ — » et l'ordonnée de son centre est et/ —•
Dans \&fig. i5, la demi-circonférence A1B1 A', répond à la demi-ellipse ABA';
dans le cas de la parabole, l'hodographe est tangent à l'axe au foyer; enfin,
pour l'hyperbole, l'hodographe ne coupe pas l'axe transverse.
Fig. i5.
M. Darboux a montré tout récemment, d'une manière très élégante, que la
considération de l'hodographe permet d'écrire presque immédiatement les trois
intégrales (C); nous renverrons le lecteur à une Note qu'il a,publiée sur ce sujet
dans le Bulletin astronomique {t. V, p. 89).

CHAPITRE VII. — MÉTHODE DE JACOBI. 123
CHAPITRE VIL
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE
PAR LA MÉTHODE DE JACORI.
41. Ces équations, qui ont été données au n° 28, peuvent s'écrire
(«)
cPx d\J
dt1 ~ dx'
en posant
u_f>_
r \f&
d*y dU
dt* ~ dy ;
k*
l + 7, + s»'
cPz
dt*
dU
~ dz
ce sont les équations différentielles du mouvement d'un point matériel libre, de
masse i, la fonction des forces étant représentée par U.
Si nous nous reportons au n° 7 de l'Introduction, nous voyons qu'il nous
suffira de trouver une fonction S de ty oc,y, z et de trois constantes arbitraires a,,
a2, a,, vérifiant identiquement l'équation
alors on aura, pour déterminer ^j, zy les formules suivantes :
(c) 5^=f3" *;=*• m=p-
Pour trouver plus commodément la fonction S, il convient de remplacer x,
y, z par les coordonnées polaires r, vt, s, rayon vecteur, longitude, latitude,
au moyen des formules
(i) x — rcoss cos*»!, / = r cosssin^, s^zrsins.

124 CHAPITRE VII.
On trouve sans peine que l'équation (b) doit être remplacée par la suivante :
d$ i r/^s\» i /asy j/dsyi £_
(2j àt + 2l\àr) +r"cos«*^/ + r*\ds) J r ~ °*
Cette dernière ne contenant explicitement ni £ ni vt, nous ferons
(3) S = — «!<+«! ('i-H S1(
S, ne renfermant plus explicitement ni t ni ?,; nous aurons
<fr ~~ ai' dr — dr ' dp, — "»' <fc ~~ <fc
et l'équation (2) deviendra
/^S,y. \ fo/ cosV_ a A:»
W W+^ = — ■-*-""
Il nous reste à trouver une solution de cette équation, fonction de r, s, et
d'une nouvelle constante arbitraire a, ; nous pouvons faire
\ ds J cos' 5 • '
(**lY + -' = —
\dr J r1 r
ict.
s'il est possible de vérifier ces relations, l'équation (4) sera elle-même satisfaite.
Or on a
ds y ' cos*
i i / n <■» _i_ 2.»
d7 = V
= i/ la.
1 "^ r ,-« '
la première de ces expressions ne dépend que de *, la deuxième que de r; on
peut donc prendre
Adoptons zéro et r, comme limites inférieures des deux intégrales; nous
trouverons, eu égard à la formule (3),

MÉTHODE DE JÀCOBI. 125
La limite r, est arbitraire; nous la prendrons égale à la plus petite des deux
racines de l'équation
2** a'
(6) 2a,+ — _-l=o;
on voit qu'elle sera une fonction des deux constantes a, et a,.
Nous allons former maintenant les équations (c); remarquons que l'on a
r I 2** <x\ . ^ dr , / 2** ol\ drx
J \f ".+ —-7Î
le second membre de cette équation se réduit à sa première partie, parce que
dr
le coefficient de -r-1 s'annule d'après (6) ; on trouvera de même
J_
dot,
^ / a Âr* . ai' . /*r rfr
'«A-, V '• '* / ,-/ a*« a',
et les formules (c) deviendront
(«0 Pi = -"
*'+ / - -.1
/*s ds pr dr
1 Fi" i v-t-3".
(«> &=*,- " rf*
(/) (33 = «
Ces équations feront connaître les trois coordonnées polaires r,, t>, et *, en
fonction de t et des six constantes arbitraires aif aa, a,, [3,, (3a, p3. Il est inutile
de développer les calculs qui nous feraient retomber sur les formules trouvées
dans le Chapitre précédent; nous nous bornerons à donner la signification
géométrique de chacune de nos six constantes.
La formule (d) montre que r ne peut prendre que des valeurs rendant positif
le premier membre de l'équation (6); le maximum ra et le minimum r, de r
seront les deux racines de cette équation, que l'on peut écrire
2 otj r1 -•- a k1 r — «J = o ;

126 CHAPITRE VII.
on en conclut
/-,+ /•, = —-, r,r, = ——i.
a, 2 a,
Or on a
r, = a(i — e), r, = a(i + e);
il en résulte
D'après la même formule (</), quand la planète passe à son périhélie, on a
'• = '•1» Pi = —*;
si donc t désigne le temps du passage au périhélie, il viendra
La formule (e) montre ensuite que 5 doit varier entre des limites telles que la
a*
quantité aj -,- soit positive; or, <p désignant l'inclinaison de l'orbite, on sait
que s est compris entre — <p et H-<p; on aura donc
' cos*9 '
d'où
a, = a3 cosç = ksjp cosç.
La formule (e) donne (32 = ?,, pour 5 = 0; la planète passe alors par un de
ses nœuds. Soit ô la longitude du nœud ascendant; on pourra prendre
Avant d'arriver à la signification géométrique de la constante fJ3, introduisons
au lieu de 5 une variable auxiliaire r\, définie par la formule
sin$ ^sinçsinT);
si nous nous reportons à \&fig. 14 et à la formule (e) du n° 32, nous verrons que
Y) représente l'arc NM = v — 6; c'est ce qu'on appelle Xargument de la
latitude; cela posé, on trouve
/** ds /** cossds /,Y,sin9COSTj drt ^_
I i /g» g»~ J0 V^côs^s^côs*^ J0 y/sin^cos'Tj
*/0 y * cos*$

METHODE DE JACOBI. 127
la formule (/) peut donc s'écrire
dr
1 rV2ai+--^
au périhélie, r = r, ; donc p3 est égal à la valeur correspondante de Y), c'est-à-dire
à l'argument de la latitude du périhélie; c'est (fig. i4) la distance angulaire
Nil = xs — 6 du nœud ascendant au périhélie.
Voici donc finalement le système canonique d'éléments auquel nous sommes
amenés :
^g* \ a,= *v//>cos<p, (3,= 0, k — sjïïi..
<x3 = k^p, (3,= gi — 0.
Si l'on égale les deux expressions n(t — t) et nt -h e — tzr de l'anomalie
moyenne, on voit que l'on peut écrire aussi
g —cj g —cj A

128 CHAPITRE Yin.
CHAPITRE VIII.
RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS.
Lagrange (') a écrit sur ce sujet un de ses plus beaux Mémoires dont nous
croyons devoir reproduire les points principaux; nous avons surtout en vue de
donner une idée de la difficulté de la question; d'ailleurs, certaines recherches
récentes relatives à une solution approchée du problème des trois corps, et qui
rentrent directement dans le cadre de cet Ouvrage, se rattachent d'assez près au
Mémoire de Lagrange.
Fig. 16.
c f e
42. Soient (fig. 16)
C, C, C" les positions des trois corps à l'époque t\
r= C'C", /= C"C, i* = CC leurs distances mutuelles;
m, m', m" les produits de leurs masses par la constante f de l'attraction.
Soient encore
x, y, z les coordonnées de C" par rapport à C pris pour origine ;
a/, y, s' » C » C"
x\y\z" ., c .. c
ces coordonnées étant comptées parallèlement à trois axes fixes rectangulaires.
C1) Laghangb, Œuvres, t. VI.

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. 129
Si l'on forme les équations différentielles des mouvements absolus des
points C, C et C", et qu'on retranche deux à deux celles qui correspondent à un
même axe, on trouve
/ ePx
(0
(2)
d*z
de +(m
dix
1?
cPz'
~dt*
dix
~dt*
dix , , „. x ( x x' x"\
__ + (m + m/+ m") _ _ m ^_ + _ + _ j = o,
*' + /»') 7, -™ ^ + p3 + pr3J = °;
x' (x x' x"\
+ (m + m' + m«) _ _ m' ^_ + _ + _j = o,
( m + m' + m" ) iL _ m» ^ + £. + iE_ j = o,
(3) ]^ +<»» + "»'+»»'>;£. -|W'(f. + ^ + p^) = 0'
f rf*a" s" /s s' 5" \
| ___ _H (m + m/+ m*) _ _ m^_ + _ + _ j = o.
On a d'ailleurs
(4) r*=xi + y1 + z\ r'i = x'i + y'i+z'\ t^^x^-hy^-hz'*;
(5) X -\- x'-hx"=ZO, j+j'+j»— o, S + s'-h5" = 0.
Quand on aura déterminé les valeurs de a/, y, z'; x",y", z", on connaîtra les
mouvements relatifs de C" et C par rapport à C, ce que l'on cherche en
Astronomie, s'il s'agit, par exemple, de déterminer les mouvements de deux planètes
C et C" autour du Soleil C; on n'a introduit x, y, z que pour avoir des formules
symétriques.
Soient a, b, c trois constantes arbitraires; les intégrales des aires seront
l mV dt z dtj^^y a z -di) + n?Y ~dt • ~di)-a'
... ) 1 / dx dz\ 1 / , dx' , dz'\ 1 / „dx" „ dz'\ L
(6) \m V ~di ~ X -dt) + m< \Z -dt ~x -dt) + m' [S Si ~* Ht) = b>
\ L( & _ d^\ l f ,df _ , dx'\ l f 11 df j, dx"\ _
\m\X dt y dtj^m'X* dt y dt)^"^\X~dt~^~dt)-C-
On le vérifie en difTérentiant, remplaçant les dérivées secondes par leurs valeurs
tirées de (i), (2), (3), et ayant égard à (5).
T.- I. ,7

IJO CHAPITRE VlII.
Posons ensuite
, dx1 dy* dz* „ dx'* dy'% dz'1 „ dx"'- dynt dz"*
et désignons par A une constante arbitraire; l'intégrale des forces vives sera
u1 u'1 u'* ( i i i \
(8) 1 j -\ -„ — 2(/n + m'+m") j y—, -\ r-lv )=h;
v ' m m m \mr m r m" r J
on le vérifie de la même manière que pour les intégrales des aires.
Si l'on tient compte des relations (5), on voit que la solution du problème
dépend de six inconnues qui doivent être déterminées en partant d'un système
de six équations différentielles simultanées du second ordre; on connaît les
quatre intégrales (6) et (8); il en resterait huit à trouver.
43. Lagrange décompose le problème en deux autres : il cherche d'abord à
déterminer en fonction du temps les côtés du triangle formé par les trois corps;
en supposant cette question résolue, il lui reste à fixer la position du plan du
triangle, et l'orientation du triangle dans ce plan. Il introduit les notations
suivantes :
, v j_ i_ _ j i_ _ , i L— »
v9; rn ' rn—7» ;.»s ;.s—7> r, rn — 9*
d'où ces identités
(io) 7 + 7'+</» = 0, i + iL+iL = o.
Soit encore posé
(n) — p = x'x1' -hy'y-hz'z", — p' = x" x + f y->r z" zt — p" = xx' + yy' + zz';
on en conclut, en tenant compte de (5),
(12) p-hp"=r\ p"-hp=,'\ p^-p'—rn\
(id) p = , p'= , p* = .
2 r 2 r 2
Si Ton différence deux fois l'expression (4) de r3, on trouve, à cause de (7),
\_ d1/1 _ d*x d*y d*z t
i~dF-x~d^'hy~SF'hz~dF'¥ui
d'où, en remplaçant dans le second membre les dérivées secondes par leurs

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l3ï
valeurs (i), et tenant compte de (i i) et (12),
1 cPr* m-h m'-hm"
2 dt
d'après (9), les coefficients de mp' et de mp" dans le second membre sont égaux
respectivement à — mq/ et -\-mq". On aura donc ainsi
, 1 d*r2 m-h m'-h m"
2^- " + m(p'q'-p»q»)-u>=0,
. ,. J 1 cPr'1 m-h m'-h m"
04) \ï~dF + F7 +m'(p"q"-p 7)-«'« = o,
f 1 dV'1 m + m'+mff
\2"^- + ? + m"(pq-p'q')-u">=0.
Ces équations font connaître les valeurs de m2, m'2, m"2, en fonction de r, z^, r",
et des dérivées premières et secondes de ces quantités par rapport au temps. On
en conclut
m + m' + m" ~ 2 m dt2 + 2 m' d*2 + im" dt2
-h (m + m'+ m") ( — h l— H J-^ )
\m/- m r m r J
ou bien, en ayant égard à (8),
2 dt*\m m' m") v ' \mr m'/' m"r"J
Cette formule coïncide avec la formule (10) du n° 15 lorsque, dans cette
dernière, le nombre des corps se réduit à trois : c'est l'une des équations
fondamentales du Mémoire de Lagrange.
44. On peut poser, en désignant par p une indéterminée,
// .dx" .dy" ,dz"\ / „dx' „dy' „dz'\
/K, \ ( ,dx ndy „ dz\ (. dx" dy" dz"\
I / dx' dy' dz'\ ( , dx ,dy , dz\
\ \x w +y w + z in) - \* dt +* di + z dï)=e->
car, en retranchant la seconde de ces équations de la première, on trouve
,v dx" , /x dy" , ,v dz"
d(x +x') d(y+y') mW d(z-hz') _
~X ~dt y W dt ~°'

ou bien, à cause de (5),
dx"
dt
dy
CHAPITRE VIII.
dx"
dy"
j ~jt z j* +j7 j, ~*~y lit
dt
dt
dt
dt
d^_
dt
= o,
ce qui est une identité.
On tire du reste des relations (i i) la formule
dx'
dt
7 dt
dz"
Tt
dx'
dt
dt
dJ_
dt
dp
Tt
qui, combinée avec la première équation (i5) par voie d'addition et de
soustraction, donne les deux premières des formules suivantes :
,dx" ,dy" „I<W — L(_d£
dt +<r dt +S dt~*\ dt +P
dt J dt dt a V dt ?
d£ + _„ <*£ _ i / dp'
dt dt 2 \ dt
- d^. — l(_dÉ.
dt 2 \ dt
dx' dyl d£ _ i_ (_ df/
dt+ydt'hZdt~i\ dt+P
, dy , dz i / dp"
(16)
tdx
~dl
dx" dy[
x dt +^ ~d!
dx
dt
Remarquons maintenant que les coordonnées des points C et C" rapportés au
point C ont pour valeurs respectives x", y, z" et — x', —y, —z'; par un
point fixe 0 (fig. 17), menons les droites OM', ON', OM", ON* ayant pour
cosinus directeurs
pour OM',
pour ON',
pour OM",
pour ON";
(17)
x'
_.. —_ J
r'
1 dx'
~û! ~dTy
a?
■+-—»
r"
1 dx'
û* ~dti
y
r' y
1 dy'
u' dty
.y
. • dy
+ V"~dly
z'
~~ /•'
1 dz'
u' dt
z"
1 dz"
+ u" dt
nous désignons par M', N', M*, N" les points où les quatre droites percent la
sphère de rayon 1, ayant pour centre le point 0, et nous joignons ces points
deux à deux par des arcs de grands cercles. On voit que la droite OM' est parai-

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. 133
lèle à CC", tandis que OM" l'est à CC; si donc on prend 00" = CC", 00' = CC,
le triangle OO'O" sera égal au triangle formé par les trois corps, et les côtés des
deux triangles seront parallèles deux à deux. Les droites ON' et ON" sont
respectivement parallèles aux vitesses des corps C" et C dans leurs mouvements
relatifs autour de C. Le point 0 est fixe; le lieu du point 0" est une certaine
courbe. Considérons le plan qui passe par la tangente à cette courbe au point 0"
et par le rayon 00"; c'est ce que'l'on nomme le plan de Vorbite du point 0* à
l'époque t; on voit que ce plan coïncide avec celui du grand cercle M'N'. On
pourra donc dire que, si l'on considère les orbites relatives des corps C et C" par
rapport au point C, les plans de ces orbites relatives, à l'époque t, seront
respectivement parallèles aux plans des grands cercles M"N" et M'N'.
Cela posé, si l'on se reporte aux expressions (17), on trouve
«/m/ * / ,dx' ,dy' ,dz'\ 1 dr' ,«»T» ' dr"
u' r \ dt J dt dt J u' dt u" dt
ou bien, en vertu des relations (16),
coSM'N' = j^(*-P), cosM'N-^^-p).
On a ensuite
enfin
C S n ~ u'u"\dt dt ^ dt dt ^ dt dt)
Mais on trouve, à cause de (5),
/1 »! t — dx'% dy'x dz>1 d*"1 df* dz"*
\dt + dt ) \dt+dt) \dt+ dt J '

I 34 CHAPITRE VIII.
et il en résulte
cosN'N" = !—„
2 IV U
Pour résumer ce qui précède, nous poserons
a' = cosM'M", P' = cosM'N', / = cosM'N',
a"=cosN'N", (3'=cosM"N', y'=cosM'N';
iu'* + u'* — u1 «"+«•- u'* . m1+m'1—a'1
2 2 ' 2
dou
w* = v' + i'", m'" = v" + e, m'1 = p + i>' ;
nous aurons les formules suivantes :
P „»- "
a' =
s/(p +/>') (p+p") v/(" + ô (^ + p')
dp dp
09) P'=-7=%777=T=^' P' =
2V/(/> + />')(p+ O 2V/(/>+/>')(p+t>ff)
dp dp' dp dp'
, dt dt „ dt dt
y ——/- - - > y
45. Reportons-nous à lay?^. 17; nous voyons que a', p', y', a", p", y" sont les
cosinus des quatre côtés et des deux diagonales d'un quadrilatère sphérique
M'M"N'N". Or ce quadrilatère est déterminé quand on donne les quatre côtés
et seulement une diagonale M'N", car on peut construire alors les deux triangles
sphériques M'N'N", M'M'N"; il existe donc une relation entre les six quantités
a', p', y, a."y p", y"; cette relation, qui sera démontrée plus loin, est la
suivante :
l 1 — (a'«+ P'"+ /« + a'" + P'" + y'1) + a(a'|3y + a'Py + a'P'y'+ a'PV )
(20) X
K ' \ _j. «'»«'»_,_ p'ip»»_,_ y'iy«_ aa'a'P'P'— 2(3'(3y/ — a//a'a' = b.
Si l'on y porte les expressions (19) de nos six cosinus et que l'on pose, pour
abréger,
(,0 4,=,<,+,)+v(,£_,£)+,g+,£+,(£+£)\

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l35
on trouvera, après un calcul assez long que l'on dirigera de manière à
ordonner par rapport à v, v\ v" et aux produits de ces quantités deux à deux,
(B)
16 \p dt dt dt dt~*~ dt dt ) ~ '
les expressions (21) de 2, 2' et S" contiennent p au premier et au second degré;
donc l'équation (B) est une équation du quatrième degré en p, dans laquelle p3
ne figure pas.
Les quantités/?,/>',/>" sont données en fonction de r, r^'par les formules (13);
v, v't v" peuvent être exprimés à l'aide de r, r', r" et de leurs dérivées premières et
secondesau moyen desformules(i4)et (i8)entre lesquelleson devra éliminera2,
u'2 et u"2. Donc on connaîtra finalement l'inconnue auxiliaire p en fonction
, , „ dr dr' dr" cPr d*r' , d*r'
de r,r>,r, ^, -^-, -^-, -^-, ^ et -^--
Remarque. — La première des formules (21) peut s'écrire
^^P^P^P^-p-^^P^P^PP^^)-,
mais on trouve, en remplaçant/?,/>', p" par leurs expressions (i3),
(22) p'p'+p"p + pp' = \(r + /"+ /•")(/• 4- /•' —/■')(/• — /•'+ /•") (— r + /•'+/•") = a1,
? désignant le double de la surface du triangle formé par les trois corps; il vient
donc
cela prouve que les quantités S, 2' et 2" sont essentiellement positives.
46. Différentions la première des formules (i5) par rapport au temps, et
remplaçons les dérivées secondes de x\y\ s', x\ y", z" par leurs valeurs tirées
de (2) et (3); nous trouverons
>){x'j+yf+s>j)(±--jfiy)
dp , 1 ,
--f =-. ( m -+■ m + m
dt
. /xj;»+v/+ zz" x' -" ' -' -•'
- m
, (xx" -4- y y" -h zz" x'x"-h y'y"-h z'z" x^ + y»*-*-z»*\
y ï« + ,.'» + j pi )
./xx'+yy' + zz' *'* + /*+*'* x'x" +y'y" + z'z"\
+>» {—7T— -+- —u— + —pi—y

l36 CHAPITRE VIII.
ou bien, en ayant égard à la définition des quantités^et q,
— (m + m' + m")pq + m' (—/>'q' -+■ pq) + m"(— p"q"-hpq),
d'Où
(C) -j? -hmpq -hm'plq'-hm"p',q'' = o.
Cette équation, qui joue aussi un rôle important dans la théorie de Lagrange,
donne -£ en fonction de r, f et K.
Nous allons chercher maintenant à déduire des intégrales (6) des aires une
combinaison qui ne contienne que les distances mutuelles et leurs dérivées;
élevons ces équations au carré, ajoutons-les, et posons
nous trouverons
(25) m» "*~ m" + m'" + m'm" + m" m + mm' ~ '
où nous avons fait, pour abréger,
i„ / dz dy\* ( dx dz\'- ( dy dx\*
n=^Tt-zdt) -h\zdi-xTt)+\xdi-y-di)'
^-y^ï ~^ï)y w ~ dtj + y dt x dt)\z dt x dt)
( ,d? ,dx'\( „df .dx"\
^yW y~dt)\°~dt r~dlp
les valeurs de II', II", V et V s'en déduisent par des permutations d'accents.
Les expressions de II et V sont susceptibles de la transformation suivante
„ , . . ,v /dx1 dy* dzl\ ( dx dy dz\*
m , , , , . , ,^fdx' dx" dy' dy" dJ dz"\
( ,dx" ,dy" ,<fc*\/ ,dx' ,dy' , dz'\ '
-(* sr +y-ij + * si)\x w +s di+~di)■

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. iSj
en ayant égard aux formules (4), (7), (11) et (16), et aussi à la relation
dx' daf dy_df dz' dz" _ u* — u'*—u"* _
dt dt dt dt dt dt 2
déjà rencontrée, on peut écrire encore autrement les expressions ci-dessus
de n et de W.
On trouve finalement
I dr"2 1 1 do"2
II"— m"2/-"2— /■"* —— , W— o"v"-h - 0-— - -*— •
Avec ces valeurs, la formule (25) devient
rf*2 ) + m'2 V rf<2 / ™"2 V dt* )
(I)) ) +^^?(/" 4^/ ^^\^ 4 rf'V w\^ 4^
m + m' h- m"
2/w/w'm
A-2.
Le premier membre de cette équation peut être exprimé à l'aide de/\ r', r" et
de leurs dérivées premières et secondes; il en est de même des expressions (27)
de n, ..., W".
47. Nous allons résumer l'état.de la question :
Les quatre équations à retenir sont (A), (B), (C) et (D); il est entendu une
fois pour toutes que les quantités/?, //, p", u2, u'2, u"2, *>, v\ v\ S, 2', S" sont
exprimées en fonction de r, f, r" et de leurs dérivées des deux premiers ordres
à l'aide des formules (i3), (i4). 08) et(2i); après quoi l'équation (B) donne p
exprimé en fonction des mêmes quantités.
Le problème est ramené à l'intégration des trois équations différentielles
simultanées (A), (C) et (D), où les inconnues sont r, r\ r"; les équations (A)
et (D) sont du second ordre ; elles contiennent les deux constantes h et k; (C)
est une équation du troisième ordre.
Ainsi, tes distances mutuelles des trois corps dépendent d'un système de trois
équations différentielles simultanées; deux de ces équations sont du second ordre, et la
dernière est du troisième ordre.
L'intégration de ce système amènerait sept constantes arbitraires; en y joi-
T. - I. 18

1 38 CHAPITRE V11I.
gnant les deux, h et k, qui figurent déjà dans les équations différentielles,
on voit que les expressions les plus générales de r, r/, r", en fonction du temps,
contiendront /iew/" constantes arbitraires. En supposant cette intégration faite,
on aura à introduire deux éléments pour fixer la position du plan des trois
corps, et enfin un dernier indiquant l'orientation du triangle dans son plan. On
aura bien ainsi introduit les douze constantes arbitraires dont doivent dépendre
les mouvements relatifs de deux des corps autour du troisième. Pour cette
dernière partie de la solution, on se servira, bien entendu, de deux des trois
intégrales (6) déjà connues, dont on a utilisé une seule combinaison représentée
parla formule (D).
Remarque. — L'équation (B), qui est du quatrième degré en p, manque, comme
nous l'avons dit, du terme en ps; si donc, dans les termes en p2 et p\ on
remplace pa par sa valeur tirée de (D), cette équation (B) donnera p par une formule
du premier degré. Cette remarque a été faite par M. R. Radau dans un Mémoire
publié dans le tome III du Bulletin astronomique, p. n3; ce Mémoire contient
d'autres résultats intéressants. Les formules principales de Lagrange y sont
obtenues d'une manière très directe; nous y renverrons le lecteur.
48. Pour arriver plus rapidement au but, nous avons laissé de côté des
formules qui, sans être indispensables, peuvent être cependant utiles; nous allons
les démontrer ici.
On a, en partant de la définition (7) de u,
1 du'- d.r rf*.T dy d*y dz d*z
z~dt~~dt ~cïF "*" ~di~dl}' ~*dt ~dt*'
en remplaçant les dérivées secondes par leurs valeurs tirées de (1), et ayant
M~*" + p)];
</'p)>
</p);
égard aux formules (1), (12) et (16), on trouve aisément
du2 , , ,/ r r l (<lr' dP"\ l ( <lp" \
d'où la première des formules ci-dessous,
Idl
d«*- , , ,, '• ( .<*v' ,dP'
dt v ' dt y dt ' dt
, _i_
.du'* . , " /■' ,/ dp „dp"
F H —
d""1 , , ., '" J ,dp' dp

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l3ç)
multiplions ces équations par dt, intégrons, etportons les valeurs de u-, u'2, u"'1,
qui en résultent, dans les formules (i4); il viendra
ce sont les formules que nous voulions obtenir; si on les différentie, on fera
disparaître les signes /; les équations différentielles ainsi obtenues, bien
qu'étant d'un ordre plus élevé, ont été très utiles à M. Lindstedt dans son important
Mémoire Sur la détermination des distances mutuelles dans le problème des trois
corps (Annales de l'École Normale, 3e série, t. I, p. 85).
49. Supposons que l'on ait résolu le problème restreint, c'est-à-dire que l'on
ait déterminé r, r', r" en fonction de t et de sept constantes arbitraires distinctes
de h et k; nous allons montrer comment on pourra calculer a?', y, z',x",y", z".
Commençons par donner une interprétation mécanique simple et bien
connue des formules (6) :
Considérons trois points matériels P, P', P" ayant respectivement pour
coordonnées, rapportées à une même origine 0, x, y, z; x',y', z'; x", y", z";
appliquons à ces points des forces F, F', F" dont les composantes parallèles aux axes
soient
_ i dx i dy i dz
m dt m dt m dt
v, i dx' i dy' i dz'
' m' dt m' dt m' dt
_j_da/ ±_df_ J_^f\
' m" dt ' m" dt ' m" dt '
par le point 0, menons trois forces S, S', S" respectivement égales et parallèles,
mais de sens contraires, à F, F', F". Les forces F et S forment un couple; il
en est de même de F' et S' et de F" et S". Ces trois couples se composent en un
seul dont l'axe est une certaine droite OH et le moment G. Les équations (6)
pourront s'écrire
Gcos(HOa?) = a, Gcos(HOj) = fc, Gcos(HOs) = c;
d'où l'on conclut, en se rappelant qu'on a posé a2 -f- b* -+- c2 = te* :
G = k;
cos(HO*) = ^, cob(HO/)=£, cos(HO«)=j.-
2
(29)
dt
1 d}r
2 dt*
2 dt-
r
m -f- m'
/•'
m -+- m'
-h m"
•11"
-t- m

l4° CHAPITRE VIII.
On voit donc que la droite OH reste invariable pendant toute la durée du
mouvement; si nous la prenons pour axe des s, nous devrons avoir
donc
cos(OHx) = o, cos(OHj) = o, cos(OH.s)=i;
a = o, b=.o, . c = k,
et les formules (6) deviendront
i m \ydt dt)^ m'y dt dt ) m" y dt dt ) '
/0 v ] i / dx dz\ i ( .dx' ,dz'\ i / ,dx" „dz"\
(30) < — [z —. x— ) H ,\z' -, x'-r- M -Az11 —. x"-r- ) = o,
v ' j m \ dt dt J m'\dt dt ) m" \ dt dt J '
/ i / dy dx\ i / ,dy' ,dx'\ i / „ df „ dx^\ _
ï m\Xdl~y ~dt)~h m'\X~dl~y dt ) + m11^ ~dt ~ y dt )-*'
dz' dy' dx' dz'
Multiplions ces équations respectivement par y -jj- — z'-jt> z' ~jr ~ x' ~Jt>
dy' dx'
&'-jj — Y~2T e* aJ°utons. En ayant égard aux formules (26), nous trouverons
/2 x V II' V . / ,dy' ,dx'\
(31) 1—7 h—s = *(^-r—y-i-1;
v ' m m' m" \ dt J dt /'
dz" dy"
nous aurons de même, en employant maintenant les facteurs y"-jr ~z'jT> "'
(32) , -\ ; = k ( x" -4 y —7- ) •
v ' m m' m" \ dt J dt J
Ajoutons maintenant les équations (3o) après les avoir multipliées d'abord
par a^,y, s', puis par x", y, z"; nous obtiendrons ainsi des expressions de kz'
et de kz" dans lesquelles les coefficients de — > —> —» seront représentés par
des déterminants qui se déduiront aisément, en ayant égard aux relations (5),
des suivants:
C X' —r—
dt
(33) ô =
, dx
x' X —r-
dt
1 y dt
, dz
dt
On trouvera, en effet,
(34)
* =
x'
f
~«
( k
\ k
z' —
z" =
, dx'
X 1t
y' ^
7 dt
, dz'
Z -dl
m m"
m m'
y y"
dy
dt
dz"
dt
Nous allons montrer comment on calculera les quantités S, S', S".

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l4l
50. L'expression (33) de S peut s'écrire, à cause des formules (5),
X" X
, dx
~dt
J y dt
dt
en combinant cette expression avec celle de S', on trouve
, d(x + x')
y y
-" -/
dt
d(y + y')
dt
d(z-hz')
dt
x" x
y y
, dx^
dt
dy"
dt
d£
dt
on vérifie aisément, toujours en s'appuyant sur les relations (5), que le dernier
déterminant écrit est égal à S". On a donc cette formule importante
(35)
+ ô' + ô" = o.
On peut d'ailleurs trouver directement les valeurs de S, S', S", en élevant au
carré les déterminants (33) par la règle connue et ayant égard à des relations
obtenues antérieurement; il vient ainsi
-» -K'-£)l
-p"
dr
' dt
-K'-£)
dt
Développons ce déterminant et rappelons-nous la formule (22); nous
trouverons sans peine
*. . . , „ dr* dr „ dp" 1 , dp"* ( f dr 1 dp"\ 1 , ,
è* = «y* m* — r1 r'1 j-t + /* -7- p -7- 7 /•■ -4-5- + p (/>"/• -, r1 -Ç- ) — 7 p* r1.
dt * dt^dt 4 dt1 Y y dt 1 dt J \v
En remplaçant r*p2 par sa valeur
.11 /? , ( ndP' ,dP"\ idP"X ndp'X (dp1 dp"\*

lt\1 CHAPITRE V11I.
tirée de la première des équations (21), on trouve, après réduction, la première
des formules suivantes :
(36) ô = ^<7*u* — I, i' = ^tx*u'* — I', à"=\l<j1u't—l\
On aura donc ainsi ô, £', ô" en fonction des quantités connues; mais il faut
associer convenablement les signes des trois radicaux du second degré, ce qui
peut se faire de la manière suivante : la formule (35) donne
2 0 0 0* — 0 — 0 ,
d'où, en remplaçant dans le second membre Sa, S'2, S"2 par leurs valeurs (36),
/ è' ô"= { (2' + I"— I ) — a2 v ;
) de même,
(37) <
V J> j 8"o={(2'+2-2')-aV,
' ôô' =i(2+2'—2') —<7«r».
Les seconds membres de ces équations sont connus en grandeur et en signe ;
si donc on se donne le signe de 0, on en déduira les signes de 0' et de 0"; si Ton
venait à changer le signe de S, ceux de S' et S" changeraient aussi, et les
formules (34) montrent que cela reviendrait à changer le signe de la quantité k
dont le carré seul figurait dans (D).
En combinant les formules (35) et (36), on trouve
(38) s/<t*u* — 2 + v/W* — 1' + s/^u'2 — 1" =0;
on vérifie aisément qu'en chassant les radicaux on retombe sur l'équation (B)
dont on a ainsi une forme intéressante.
51. Les formules (34) et (36) donnent
., _ \J<j*u"t—ïn _ y/a'*/*— 1
m" k mk
(E) ,
,_ y/q»M'» —I' _ sl<j*u} — l
m'k mk
Reste à trouver les valeurs de a/, y, x\ y"; posons
\ m + m' + m' - V '
(39) <
m m' m"

RECHERCHES DE LA.GR.WGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l43
les quantités V et V" pourront être considérées comme connues; cela posé, les
formules (3i) et (32) pourront s'écrire
~dl y dt v dt y dt v
Si donc on fait
| —x' = ^r'i — z'1cos(f', — / = v//,'ï — *'2sin<p',
( x" = ^r"*—z"*cos<¥", f-= )//** — z"*siny",
on aura
rf©' V do" V"
<ft — kir'1- z'1)' dt ~~ k(/"*- -"*)'
d'où, en intégrant et désignant par e0 et e, deux constantes arbitraires,
(G)
i /*' V
o' = e0 — Ei-h-k J /l3 _ s,t dt,
les formules (F) et (G) feront connaître x1,y\ x", y".
Les valeurs de x',y, z\ x",y\ z" qui viennent d'être déterminées doivent
vérifier la relation
(4o) x'af+y'y' + z'sr = — p\
si l'on applique cette relation à l'époque zéro, on trouve
Vro —-"o V7o — ro cOS2£i — -30*.0 "• ~ »
ce qui donnera la constante e,, exprimée en fonction des neuf constantes
arbitraires qui figurent dans les expressions de r, r', r" ; e, n'est donc pas une
nouvelle arbitraire; il n'en est pas de même de e0 qui reste quelconque; mais les
formules (G) montrent que l'on peut supposer cette constante nulle en faisant
tourner d'un angle convenable les axes des x et des y dans leur plan.
Enfin, si l'on prend un nouveau système d'axes rectangulaires tout à fait
quelconques, on passera des coordonnées relatives x\y\ z\ — x\ — y\ — z'
des corps C et C" aux coordonnées rapportées aux nouveaux axes, en
introduisant les trois angles d'Euler qui doivent être considérés comme trois nouvelles

l44 CHAPITRE VIII.
constantes arbitraires qui, s'ajoutant aux neuf du problème restreint, donneront
le nombre voulu de douze arbitraires.
Si l'on porte dans la formule (4o) les valeurs (F) de x',y, oc" et y, on
obtiendra immédiatement, et sans intégration, la valeur de <p"— ç'; on aura
ensuite
kJo (,-'»_ 2'* + r"î-z"1)dt;
<p'+ <p =2£0 +
on voit donc que, si le problème restreint est supposé résolu, on n'aura plus à
effectuer qu'une quadrature. Nous avons dit qu'il reste sept intégrales à trouver
dans le problème restreint; c'est donc à sept intégrales et une quadrature, au
lieu de huit intégrales comme dans la méthode usuelle, que Lagrange ramène
la question; on peut dire qu'il a fait faire un pas vers la solution.
52. Il nous reste à démontrer la formule (20); nous ferons connaître en même
temps la manière de calculer à une époque quelconque les positions des plans
des orbites décrites par les corps (7 et C" autour de C.
Revenons à \&fig. 17, et posons
LM'=Ç', LM' = Ç", M'N' = #', M"W = g", M'LM' = J.
Si nous appliquons la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique
aux triangles M'LM", N'LM", ..., nous trouverons
a! = cosM'M" = cosÇ'cosÇ',+ sinÇ'sinÇ'cosJ,
(3' = cosM'N' = cosÇ'cos(C + g") -+- sinÇ'sin(C + #')cosJ,
y' = cosM'N' = cos g'-,
a.'— cosN'N" = cos(Ç' + g') cos(Ç"+ g") + sin(Ç'+ g') sin(Ç" + g') cos J,
(3"= cosM'N'= cos(Ç' +#') cosÇ"+sin(Ç'+#') sinÇ" cosJ,
y' =r COSM'N" = COS^".
En éliminant entre ces six relations les cinq quantités £', Ç", g', g" et J, on
aura la formule cherchée.
Nous poserons
IcosÇ'cosÇ'-f- sin Ç'sin Ç" cos J = 1,
sin Ç' cosÇff— cosÇ'si nTcosI — X,,
cosÇ' sinÇ"— sin Ç' cos C cos J =X8,
sin Ç' sin Ç" + cosÇ'cosÇ'cosJ = X3,
ce qui nous permettra d'écrire ainsi les formules (41)
a' = X, (3'=Xcos#"— X, sin^, y'=cosg';
<x'= \ cos#'cos#ff— X, sin#'cos#' — X, cos£-'sin#" + X, sin#' sirt#' ;
(3"=Xcos#' —^sin^', y'—zosg*.
(40

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. iZp
On peut résoudre par rapport à A, A,, A2, X3, cos^ et cosg"; on trouve
aisément
(43) *=«', h = &=£, !*=*£=?, _«»-yy<-PY+«'y'f
S/l-y'* Sjl — f* V/(I_y'»)(,_y'l)
Or les formules (42) donnent
!(i + cosJ)cos(Ç" — Ç') = X -hX„
(i"+cosJ)sin(Ç' —Ç')=X,—X„
(1 — cosJ)cos(Ç"+Ç')=X— X„
(1 — cos J) sin (Ç* + Ç') = X,+ X,;
d'où
(1 + cos J)"= (X + X,)1 + (X, — X,)1,
(1 - cos J)s = (X - X,)* + (X, + X,)«,
1 + cos* J = X* + X* + XJ + X*,
(45) cosJ = XXs — X|X,.
et, en éliminant cosJ entre les deux dernières équations,
(46) 1 + (XX8 - X,X,)« = X» + X» + X» + X».
Mais on tire des formules (43)
(47) M>-liX1=-=g,a'-P,P' ,
V/(i-/»)(i-/«)
1 « i« _l i« •» « _ a"+(3"+«',,+ (3"»— 2 yVP'+g'P') — 2 /(a'P'+g'PQ+a //(a V+ (3' (3' )
A +A,-+-A,-+-A5— (, /*)(! y*«) " '
si l'on porte ces expressions dans la formule (46), on tombe, après réduction,
sur la relation (20) cherchée.
53. Les formules (45) et (47) donnent d'ailleurs
cosJ= r r :
d'où, en ayant égard aux valeurs de a', p', y, a", p", y", obtenues au n° 44,
cos J =
>!-i(£-d
T. - 1. 19

l46 CHAPITRE VIII.
ou encore, à cause des formules (27),
(H)
cosJ =
v/mr
On tire ensuite des équations (42)
X* +1\ = cos'Ç' + sin,Ç'cos* J = 1 — sin'Ç'sin'J ;
sin,Jsin,Ç' = i — X«—1\,
sin^sin'C^i —X1 —XJ.
En remplaçant X, A, et A2 par leurs valeurs (43), il vient
d'où
et de même
(48)
sinJsinÇ'= - , ' *—*->
v/i-/«
. ¥ . „„ \J\ — a'*— 3ffî — y'« + 2a'S'y'
sinJsinÇff= - r. ' *—*-■
v/i-/«
Si l'on élève au carré l'expression (33) de S', et qu'on introduise les éléments
delay?g\ 17, on trouve
— r'r* cosM'M' — «VcosM'N'
r'1 uVcosM'N'
— r'r"cosM'M' r"
— a'/-,cosM'N' u'r'cosM'N'
d'où
y*=r'iiJ'iu'i
1 — a' — (3ff
— a' 1 y'
_.(3ff / 1
_ ,'tfjrtu't^ _ a'i_ p»i_ y/i+ 2a'(3'/)
oa encore, en tenant compte de (36),
«'" —2'
. _ «/._ (3«- /»+ 2«'(3y= ^TTïyî
La seconde des formules (48) donnera donc

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. 147
on trouve ainsi, en introduisant les quantités II' et II",
\ sinJsin;— l 7=—»
) /-yn"
(K)
J . _ . „, y/g* m"-2'
I sinJsinÇ — 1=
VIT
La formule (H) fait connaître l'inclinaison mutuelle J des grands cercles M'N'
et M"N" qui représentent les plans des orbites de C" et C autour de C, et les
formules (K) donnent les distances angulaires £' = LM' et Z," = LM" des corps C
et C à l'intersection mutuelle de leurs orbites relatives.
En résumé, la solution de la seconde partie du problème est fournie par les
formules (E), (F), (G), (H), (K).
54. Le problème des trois corps peut être résolu complètement dans le cas
particulier où leurs distances mutuelles conservent des rapports constants
pendant toute la durée du mouvement.
Soient A, A', A" trois constantes et \ une nouvelle variable, on aura
r = AÇ, r' = k% r" = A'Ç,
(49) iP = tf* P'=ïï, Pn=^'l\
V"
?=?i» ?'=fï» <f=t*
en posant, pour abréger,
2|* = A'1-T-Aff,— A», v
i i
(5o) { aji'=A'»+A"-A'», v' = JL_.Lf
a,*'=A«+A'"-A'»f *=jL-JL;
d'où
(5i)
v+v'-f- vff=o,
( |*' + |*"=A2, fi'+fi = A'1> p. -+- p.'^ A"
L'équation (C) donne
dp m fAv + m'ii'V + m" p.*v"
dt H l — °'

i48
d'où
(52)
CHAPITRE Vlll.
= P.-i/f.
p0 désignant une constante arbitraire et I ayant pour valeur
I = mfjLv + m'p!v' -\-m"\l"v\
On trouve maintenant que la première des équations (28) devient
d( , m + m! + m"\ 11"v" — u.'v' d£ mv ( ¥ Cdt\
si l'on multiplie par dt cette équation et les deux autres analogues, qu'on les
intègre et qu'on désigne par x,, x, et x", trois constantes arbitraires, on aura
m -h m' -h m" u.
u1 = 2 — ham c
(53)
a'* =2
AS
m -h m'-h m"
A'Ç
m + m' + mf
«"■= 2 rrr t- ÎIB-
A'S
.V— 11V |p» Vf
<i£ + mxj,
<i£ + mx't,
A + mx",.
Portons ces expressions de m\ m'2 et w"a dans les formules (i4)» et nous
trouverons
1 rf*|* _ m[i + (f*V—f*V)A] + m'-+-mff
2 ~dt* X"?
(54) { 1 rf'g» m + m,[i+(f*y— ju.v)A,] + mff m
2 dt1
A" S
1 d*|* m + m'+ m"[\ ■+- (p.v — fjLV)Aff] m
2 <ft»
A"£
mv / ?* J l j, 7nxt _ „
UJ ? A--JT-0,
I*-2fii=o,
*-S3 =
Ces équations doivent être identiques. On en conclut que l'on doit avoir les
conditions
(55)
m[i + (fiV— p."*") A]-h m'-h m' _ m + m'[i -+-(f*'V — f*v) A'] + m'
À1 ~~ Â7»
_ m + m'+m'[i+(fiv — f*'v') Aff]
"" A"

et
(56)
(57)
à moins
(58)
RECHERCHES
que l'on
n'ait
DE
LAGRANGE
mv
HT "
Po=0
SUR LE
m'v'
" A'2 "
m'x',
" A'2 "
. et
PROBLÈME
m'v'
- A*« >
m'x",
- v, '
I = o;
DES
TROIS
CORPS.
»49
de là deux solutions suivant que l'on considérera le système (55), (56), (57),
ou l'autre (55), (57) et (58).
55. Occupons-nous d'abord du premier. Les formules (56) donnent
mv m'v' m"v" v + v' + v"
T»- "Â75" ~~Xiir~ Â* Â7» ÂFi~ °;
m m' m"
on a donc
v = v'=v' = o, A = A'=Aff, r = /•'=/•";
ainsi les trois corps forment toujours un triangle équilatéral; on peut faire A = 1
et prendre \ = r/, et, si l'on pose
mx, = m'x', = m"x'J =— x,
les formules (54) se réduisent à
. e . 1 d* r1 m -h m' -h m"
(59) 5rf?- = P x'
Les équations (53) donnent ensuite
(60) U*= U'î=l Ulri=.2 ; X,
d'où
1 ,,#.
a
2
I est nuï, et la formule (5a) donne p = p0 = const.
On trouve ensuite sans peine
p=P'=P-=r-,
r'2 / //r'«\
2=r=r=T(ps + $^*r):
p'p"+p"p+/>/>'= "'= -j-;

IDO CHAPITRE VIII.
la formule (B) se réduit à
/ dr'1 \ *
(pS + 3,'',^-3r'2"") = °»
d'où
(60 9\ = SH* (**-*£).
On tire d'ailleurs de (60) et (61)
dr"- , / m + m'+m" \ 1
(62) ^__ = /.'^2 _ *)-3PÎ.
d'où
(63) <fc = ^'rf,''
On a ensuite
i/-x/-',+ 2(m+m'+m')r'- lp*
'''-2=!'"«"-i^(pj-*-3-"w>
quantité nulle d'après (61) et (62); on aura de même
a* a'1— 2'=o, ff"a'" — 2ff= o,
d'où, par les formules (E),
z=o. z" = o;
ainsi les mouvements relatifs de C et C" s'effectuent dans un plan fixe.
En continuant à appliquer les formules générales, on trouve
dr'* 1
n<=n'=„'v-,"^ = 3P5,
et il en résulte, d'après (G),
(64) r'« ^ = r" *! = I £î (± + JL + _L V
Enfin l'équation (D) donne
,, _ m -t- m'-h m" , /j_ 1 j_ 1 1 1 \ / „ „ ,,<//•" \
~ imm'm" p,+ ^m, + in;i + mîï+2m'm' + im" m+ 2mm'/ V " «**" /

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. 151
dr'1 i
et l'on en tire aisément, en remplaçant r'^iï*— r'2-^ par ^p*,
^3 \m m' m")
moyennant quoi (64) donne
(b5) dt-^/r
on a d'ailleurs
3
?'=?'+?>
et, si l'on pose
, m + m'-t-m" ... ... pj , , . / , »
x 3x
les formules (63) et (64) donnent
-,dr'
n'dt= a
v/[r'_a'(,_e')][a'(I + e')_/.']
Il en résulte que C" décrit autour de C comme foyer, conformément à la loi des
aires, une ellipse ayant id pour grand axe, ri comme moyen mouvement et é
comme excentricité.
La trajectoire de C est une ellipse égale à la précédente, qui aurait tourné de
l'angle ^ autour de C.
Il convient de remarquer que les vitesses initiales relatives u0 et u0 de C" et C
doivent être égales et faire entre elles un angle égal à -*•
56. Considérons maintenant la seconde solution qui sera fournie par les
formules (55), (57) et (58); on tire de (52)
P = °
et
(66) miiv -+- m'iL'v'-+- m'iL'v" = 0;
ainsi l'inconnue auxiliaire p, qui était constante dans le premier cas, est nulle
dans le second. La formule (66), dans laquelle on remplacera les quantités ja

ID2 CHAPITRE VI11.
et v par leurs valeurs (5o), donnera une équation de condition qui devra être
remplie par les masses m, ?n\ m" et les constantes A, A', A".
La première des équations (.55) peut s'écrire
ou bien, à cause de (5o) et (5i),
u.' v' — u." v* , tiv — u." v"
A» + A'» = °
■ '»»' •■"..»
/ i 1rs il U.'V— U"V" , U.V — U." V"
(m + m' + mff) v" + m!—:—*-r h m'^ „ r— =o
ou, en réduisant,
ou encore
y' _|_ yff Vff + V
mu.' — j + m'u. -= h m"V = o
V V
— mu.' —; j — m'u. -= h m'y" = o.
On arrive aisément à mettre cette relation sous la forme
(li'li"-h li"li -h u|UL')(/nv + m'v' — m"V) — ^"(m^iv + m'^i'v'-h m'^v") = o;
à cause de la formule (66), cela se réduit à
(u.'u.ff+ u.ffu. + u.".') (mv + m'v'— m"V) = o.
Si la quantité u.'u."-t- ^"(x-h jau.' n'est pas nulle, la formule précédente et celles
qu'on en déduit par des permutations d'accents donneront
mv+mV-m'v'=o, m'v'+m'v'-mv = o, mV+mv-mV = o,
d'où
v = v'= v"= o;
on rentrerait ainsi dans le premier cas. On doit donc avoir
u.' [i" ' + U."u. + u.u.' = o ;
si l'on remplace ja, u.', u." par leurs valeurs (5o), on trouve
( A + A'+ Aff) ( A + A' — Aff) ( A — A' + Aff) (— A + A' + A») = o.
On devra donc avoir l'une des relations
A±A'±Aff=o,
d'où
r± r'± r" = o;
ce qui prouve que les trois corps resteront constamment en ligne droite.

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l53
La quantité <r est donc nulle; les formules (36), dans lesquelles S, S', 2" ne
peuvent jamais être négatifs, donnent
il en résulte
-'— ~n — ft.
*a -41 \J ■
ainsi les mouvements relatifs de C et C" s'effectuent dans un plan fixe.
Les trois équations (54) se réduisent à la suivante
où l'on a fait
/CQ. v m -h/n'-\- m"-\- #n'(uv — uV) A"
\w) t — — -gr3 ,
mx, /n'x'j /n"x'J
-jr — -pr - -£*r — — *•
Multiplions l'équation (67) par ^\-jt^ intégrons et désignons par H, une
constante arbitraire ; nous aurons
(69) ?^=aF5-xÇ»-H,.
On trouve ensuite aisément
1JlL — ^1 — OÏL— 3Z _
Aa — A'a — k"*~ £ ~*'
v_ _ (/ _v^_ _ 2F
(70) { (x~ (x' ~ (X" ~T~*'
n'=A'*H„ n"=A"*H,,
jl1" = jï7* = ^ = Hl '
on a d'ailleurs
A'IA"I= Cfx h-^'X^h-^) =fx*-|- (/jl/jl'+ /jl/jl" + /*'p') =? p" ;
ce qui permet d'écrire aussi
w _ y _ w
A'1 A"1 ~~ Â^A1 "~ A1 A'* ~~ '•
T. — 1. 20

I 54 CHAPITRE VIII.
On trouve, en continuant l'application des formules,
A'« - A"* ~~ ' \m + m' + m" ) '
d^__d^_U1/Ar A^ A^\j_
dt~dt~ k \m + m' + m" ) ? ' .
En substituant dans l'équation (D) les valeurs trouvées ci-dessus pour p,
«, u', w", c, c', v'\ r, r', r", on obtient, toutes réductions faites,
.. „ /A» A" A"\»
A2 = H, h —7 + —„ ;
d'où il résulte
(70 ?%--?%=^-
On peut prendre, si l'on veut, A"=i, d'où \ — r"\ les formules (69)01(71)
donneront donc
r"dr"
dl = ,
v/-x/' + 2F/- H,
dt
r"-± =v/ÏT-
On voit par là que le point C décrit, dans son mouvement relatif, une ellipse
ayant pour foyer le point C, et la décrit conformément à la loi des aires; le demi
F / x H
grand axe de l'ellipse est -> l'excentricité t/1—p^ et le moyen mouve-
x*
ment y
La trajectoire de C" est naturellement une ellipse bomothétique à la
précédente.
Pour que les trois corps restent ainsi toujours en ligne droite, il faut d'abord
qu'ils aient été placés en ligne droite à l'origine du mouvement; il faut ensuite
que les vitesses relatives de C et C" aient été primitivement parallèles entre
elles, et proportionnelles aux distances r0 et r'0; mais il faut de plus que la
condition (66) soit vérifiée.
Supposons, pour fixer les idées, qu'à l'origine le point C se soit trouvé placé
entre C et C" ; on aura donc eu
/•0 = /■; + /■;.
On a d'ailleurs, en faisant A"= 1,

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. 155
il en résulte donc
A'=^°, A = i + A', A'=i.
Avec les valeurs (5o) de (jl et v, et les valeurs ci-dessus de A et A", on trouve
aisément que la formule (66) donne, après réduction,
m (A' - 3T») + ™' [■ + A'- ï^hjr]+ m" [ôtâ7!2 " 4^-]=°'
ou, en chassant les dénominateurs et ordonnant,
j {m -+- m') A'3+ (2/n + 3 ira') A'*+ (m + 3 ira') A'3
j — (/n + 3/n")A'2 — (2/n + 3/n")A' — (m-hw*) = o.
Cette équation est du cinquième degré; elle n'a qu'une variation : donc elle a
une racine positive et une seule.
Si donc, les masses m, rri, m" étant données et pouvant d'ailleurs être
quelconques, on place à l'origine les trois corps en ligne droite en C0, C0, C0, le point
C<, étant entre C0 et C^, si l'on prend
1*0 1*0 A/
A' désignant la racine positive de l'équation (72), si l'on imprime à C0 et C'^ des
vitesses relatives parallèles qui soient entre elles comme 1 et A', les trois corps
resteront constamment en ligne droite, et l'on aura pendant tout le mouvement
ce
— — A'
ce ~
Il nous reste un mot à dire sur la détermination des constantes F, x, et H, en
fonction des données initiales.
Nous prendrons pour ces données : le rayon vecteur initial r\, la valeur
initiale u"0 de la vitesse relative du corps C et l'angle y\0 que fait cette vitesse avec la
droite C0C0; la formule (68) donne
(73) F = "' + m' + m'[(7^).-^
on tire de (70)
(74) x=i£-il?;

l56 CHAPITRE VIII.
on a enfin
[dr"\
et, comme (69) donne
/dr" \ 2
'.,.(&-).=rf''.-"?-H»
il en résulte aisément
(75) H1 = (2F-x/-;)/-;sinIm';;
les formules (73), (74) et (75) résolvent la question.
Dans le cas où l'on aurait
■k F
^o = r' u? = y>
il en résulterait
xH,
les excentricités des orbites relatives de C et C" seraient nulles, et ces orbites
seraient des circonférences parcourues par les points C et C" avec des
mouvements uniformes.
57. Supposons que C désigne la Terre, C le Soleil, C" la Lune, et voyons si
l'on aurait pu, à l'origine des choses, placer ces trois corps en ligne droite, la
Lune étant en opposition avec le Soleil, de manière qu'ils restassent toujours en
ligne droite.
On a, dans ce cas,
m' m" 1
— := 524000, z=-x-\
m moi
l'équation (7a) montre que A' est petit et que l'on aura une valeur très
approchée en se bornant à
(m + 3/n') A'8 — (m + m") = o,
d'où
A' = — à peu près.
100 r r
Laplace en a donc pu conclure (Mécaniquecéleste, t. IV) que si, à l'époque
arbitraire prise pour origine, la Lune s'était trouvée en opposition avec le Soleil à
une distance de cet astre représentée par 101, celle de la Terre étant représentée
par 100, et que les vitesses relatives de la Terre et de la Lune autour du Soleil
eussent été aussi à cette époque parallèles et dans le rapport de 100 à 101, la
Lune serait toujours restée en opposition avec le Soleil.

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. iS']
Laplace a reproduit cette assertion dans VExposition du système du Monde :
« Quelques partisans des causes finales, dit-il, ont imaginé que la Lune a été
donnée à la Terre pour l'éclairer pendant les nuits. Dans ce cas la nature
n'aurait point atteint le but qu'elle se serait proposé, puisque nous sommes souvent
privés à la fois de la lumière du Soleil et de celle de la Lune. Pour y parvenir,
il eût suffi de mettre à l'origine la Lune en opposition avec le Soleil, dans le
plan même de l'écliptique, à une distance de la Terre égale à la centième partie
de la distance de la Terre au Soleil, et de donner à la Lune et à la Terre des
vitesses parallèles et proportionnelles à leurs distances à cet astre. Alors la
Lune, sans cesse en opposition avec le Soleil, eût décrit autour de lui une ellipse
semblable à celle de la Terre; ces deux astres se seraient succédé l'un à l'autre
sur l'horizon, et, comme à cette distance la Lune n'eût point été éclipsée, sa
lumière aurait remplacé constamment celle du Soleil. »
M. Liouville (Journal de Mathématiques, t. VII, et Connaissance des Temps de
i845) s'est demandé si le système, dans l'état considéré par Laplace, aurait été
un système stable, tendant à résister aux perturbations, et à revenir de lui-
même à son état régulier de mouvement; il a donc examiné le problème
suivant :
« Trois masses étant placées non plus rigoureusement, mais à très peu près
» dans les conditions énoncées par Laplace, on demande si l'action réciproque
» de ces masses maintiendra le système dans cet état particulier de mouvement
» ou si elle tendra au contraire à l'en écarter de plus en plus. »
M. Liouville a reconnu que « les effets des causes perturbatrices, loin d'être
contrebalancés, sont au contraire agrandis d'une manière rapide par les actions
mutuelles de nos trois masses; cette conclusion subsiste quels que soient les
rapports de grandeur des masses. Si la Lune avait occupé à l'origine la position
particulière que Laplace indique, elle n'aurait pu s'y maintenir que pendant un
temps très court. »
58. On vient de voir que l'on sait intégrer rigoureusement les équations
différentielles du problème des trois corps lorsque leurs distances mutuelles
conservent entre elles des rapports constants; ce cas se subdivise en deux autres;
les trois corps forment toujours un triangle équilatéral, ou bien ils restent
constamment en ligne droite.
Ces deux cas sont, à notre connaissance ( ' ), les seuls connus où l'on ait pu
résoudre le problème; on n'a pas pu surmonter les difficultés analytiques, même
en supposant que les trois corps resteraient constamment en ligne droite, sans
(i ) Nous ne comprenons pas dans lo problème des trois corps, tel que nous l'avons déûni, le mou -
vement d'un point matériel attiré par deux cenlres JLces, problème que l'on sait résoudre.

158 CHAPITRE VIII. — RECHERCHES DE LAGRANGE, ETC.
admettre que leurs distances soient dans des rapports constants; après Euler,
Jacobi a considéré ce cas dans son Mémoire Theoria novi mulliplicatoris...
(C.-G.-J. Jacobi, Gesammelte Werke, t. IV, p. 478.)
Nous devons signaler aussi un Mémoire intéressant de M. H. Poincaré : Sur
certaines solutions particulières du problème des trois corps (Bulletin astronomique, 1.1,
p. 65); l'auteur montre qu'il y a une infinité de positions et de vitesses initiales
telles que les distances mutuelles des trois corps soient des fonctions
périodiques du temps; les conditions pour qu'il en soit ainsi se trouvent remplies
approximativement dans le système formé de Saturne et de deux de ses
satellites, Titan et Hypérion.
Si nous avions voulu faire un exposé complet de tous les travaux importants
qui se rapportent au problème des trois corps, nous aurions dû parler du
célèbre Mémoire de Jacobi Sur l'élimination des nœuds dans le problème des trois
corps (Journal de Mathématiques, t. IX, 1844)- Dans ce Mémoire, Jacobi, qui
n'avait certainement pas connaissance du travail de Lagrange, arrive pour le
problème à une réduction analogue; il lui reste à intégrer un système formé
de cinq équations différentielles du premier ordre et d'une autre du second,
et à effectuer ensuite une quadrature.
Nous devrions parler aussi d'un beau Mémoire de M. J. Bertrand (Journal de
Mathématiques, t. XVII, i852), de la thèse de M. Bour (Journal de l'École
Polytechnique y XXXVIe Cajiier), des recherches intéressantes de M. Radau,
Sur une propriété des systèmes qui ont un plan invariable (Journal de
Mathématiques, 2e série, t. XIV, 1869), etc.; mais nous sortirions ainsi des limites
que nous nous sommes imposées.

CHAPITRE IX. — VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. 15g
CHAPITRE IX.
MÉTHODE DE LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. - VARIATION
DES ÉLÉMENTS CANONIQUES. — ÉLÉMENTS OSCULATEURS. - VARIATION
DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES.
Puisqu'il n'y a pas lieu de songer à intégrer rigoureusement les équations
différentielles du mouvement des planètes, même quand ces planètes se réduisent
à deux, on a recours à des méthodes d'approximation répondant aux besoins de
l'Astronomie, sinon pour toutes les époques, du moins pour un assez grand
nombre de siècles; l'une d'elles, la plus fréquemment employée, est la méthode
de la variation des constantes arbitraires. Avant de l'exposer, nous allons
démontrer un théorème important.
59. Considérons le système canonique suivant de ih équations
différentielles
, x dq, dR dPi dR .
où l'on a
dt dpt dt àqi
II = F(f, q\,q%, -■-, *ïhi Pi,Pi, • ■ -,Ph)-
Supposons que l'on ait suivi, pour intégrer ces équations, la méthode de
Jacobi; on aura donc d'abord réussi à trouver une solution S de l'équation
as _/ as as as
contenant h constantes arbitraires a,, a2, ..., aA, sans compter celle que l'on
peut toujours ajouter directement à S; on a vu, dans le n° 6 de l'Introduction,

i6o
CHAPITRE IX.
que si l'on désigne par (3,, (32,..., $A, h nouvelles constantes arbitraires, les
intégrales générales des équations (i) seront données par les formules
(2) â^=(3" dïi=p" (« = '.».■■••*).
qui, résolues par rapport aux variables p et q, fournissent des expressions de
cette forme
Les équations (i) doivent être vérifiées identiquement par ces valeurs de p{
et qt; ainsi, les relations
u; d* ~ dpC dt ~ dqt'
dont les seconds membres sont supposés aussi exprimés à l'aide de t et des 2 h
constantes arbitraires a, et (3,-, doivent avoir lieu quelles que soient ces
quantités ot; et p,-.
Supposons maintenant que l'on veuille intégrer ce nouveau système
canonique de 2 h équations différentielles
rfy,_d(H-R) rf„_ <?(H-R)
(5) "5T- ^7~"' ~di~~ dq, ' <«-".«. •■■.*).
qui ne diffère du précédent qu'en ce que la fonction H y est remplacée par
H — R, R désignant une certaine fonction de / et des 2 h variables pt et qt.
Il est naturel de chercher à tirer parti de l'intégration déjà faite des
équations (1). On retient, pour résoudre le nouveau problème, les mêmes
expressions analytiques (3) des variables pt et qit mais en y considérant les 2 h
quantités a et (3, non plus comme des constantes, mais comme de nouvelles variables
que l'on déterminera convenablement; cela revient à faire un changement de
variables, et la méthode indiquée reçoit le nom de méthode de la variation des
constantes arbitraires. On tirera maintenant des formules (3)
i=h
*3l — à?i . V /^££ d*l .àq± dfij\
dt dt Zà \docj dt dfij dt /'
i=h
dt dt Zà \doLj dt "^ d$j dt )

VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. l6l
En substituant dans (5), il viendra
~dt ~ dp,- + 2â \7hTj ~dt + tfj ~dt) ~ api'
7 = 1
j = h
dtyi ^H , Y (àpt_ d<xj ࣱ d$j\ <?R .
dt + dqt 2à \daj dt + d$j dt) "^ dqt'
>=i
ces équations se simplifient eu égard aux relations (4) qui, ayant lieu
identiquement, sont encore vérifiées lorsque les quantités a et (3 sont variables, au
lieu d'être constantes. On trouve ainsi
dK ^ /dqt d<Xj dqt d$j
~ dp~i~ 2à \dôTj ~dt +~d$'j~dl
(6) { '~=\ } (i=i, a,..., A).
^R _ Y (dpi da^ dj>i_ d$j\
dqt Zà \d<xj dt d$j dt )'
j=i
On a là un système de ih équations renfermant au premier degré les ih in-
connues dt> > dt, dt> > -%
La résolution de ces équations, que nous allons faire par un procédé indirect,
fournit pour les inconnues des expressions d'une simplicité remarquable.
Les équations (2) coïncident avec les équations (a) et (b) du n° 8 de
l'Introduction; on peut donc appliquer les relations (e), (/), (g), (h) de ce même
numéro, ce qui permet d'écrire ainsi les formules (6),
<?R _ y /dfij daj _dal dpj\
dpt ~ 2d \dft dt dpi dt )
7 = 1
i=h
dR ^1 /dfij doij dctj dfij
dqt Zd \dqt dt dqt dt
(7) [ '-'
7 = 1
où les dérivées partielles -£±, £+, ~-, ~J- supposent que l'on a résolu les
équations (2) par rapport aux quantités a et (3.
Supposons maintenant que, dans les formules (3), on attribue aux quantités
a,, . ..,aA, p,,.. , pA des variations infiniment petites arbitraires Sa,,..., SaA,
$(3,, .., S(3A> sans toucher au temps/; il en résultera pour/?,, ..., ph, qt, ..., qh
des variations correspondantes et faciles à calculer; R, qui est une fonction de t
et de/?,, ...,ph,qt, ..., qhy prendra aussi une variation correspondante $R, et
T. - I. ai

l62 CHAPITRE IX.
l'on aura
«=ï(S*H-S«*>
d'où, en remplaçant 3— et ^— par leurs valeurs (7),
«=??[(S^g*)T?-(g*»-S>)S
' y
ou encore
mais on a évidemment
i
Il vient donc
y
Or on peut calculer autrement $R, en remplaçant d'abord dans R les
quantités/? et q par leurs expressions (3); R devient ainsi une fonction de / et des 2h
quantités a et (3, et l'on aura
y
Cette expression de &R doit être égale à la précédente, quelles que soient les
ih variations £ay et 5(3,, qui sont indépendantes les unes des autres. On en
conclut
d<xj <m d$j <m . . ..
Ces équations, dont les seconds membres sont des fonctions supposées
connues de / et des quantités a et (3, détermineront les nouvelles variables dont les
expressions devront être ensuite substituées dans les formules (3) pour obtenir
les valeurs cherchées des inconnues pt, pa, ..., qt, q2, • • • • Les équations (8)
ont, comme on le voit, la forme canonique. Si l'on avait intégré les équa-

VARIATION DES ÉLÉMENTS CANONIQUES. 163
tions (r) par une méthode autre que celle de Jacobi, les constantes arbitraires
ainsi introduites, devenues variables pour l'intégration des équations (5),
auraient dépendu, en général, d'équations plus compliquées que les équations (8),
et qu'il aurait fallu former et calculer dans chaque cas, suivant la nature de la
fonction R = F(t, qt, q2, ..., qh;p{,p2, ..,/>*)• Le grand avantage que
présente la méthode de Jacobi, c'est que l'on peut écrire immédiatement les
formules (8).
60. Appliquons les résultats précédents à la détermination des mouvements
des planètes. Soient a?, y, z; xt, yt, zK ; ... les coordonnées des planètes P,
P,, ... ; my mt, ... leurs masses, celle du Soleil étant prise pour unité; les
équations différentielles du mouvement de la planète P sont, comme on l'a vu
au n° 18,
d*x x dR.
d*z , z dR
où l'on a
(9) R = f/tt,[- ' =-**'+** + "»1+...,
En supprimant R, on a les équations différentielles du mouvement elliptique,
d%x „ x
d* z z
Posons
dx . dy dz
dt— ' dt~y' dt
T — I(^'»+v'I + 5'1), U = ^> H —T —U;
2 ' /'
en remarquant que R ne contient que <r,y, z, et le temps t qui sera introduit

I 64 CHAPITRE IX.
par xK, yK, zK, . ., mais ne renferme pas x', y,z', nous pourrons écrire comme
il suit les équations (a) et (b) :
(«)
dx _ d(H —
dt ~~ dx'
dx'_ d(U —
dt dx
dx _ dH
dt ~ dx''
dx' _ dR
dt dx
R)
»
R)
—>
dy d(R —
dt ~ dy
dy'_ d(U-
dt dy
dy dR
dt ~ dy''
dy' _ dR
dt ~ dy'
R)
>
R)
>
dz d(H — R)
dt ~ dz'
dz' _ d(H —R).
dt dz
dz dR
dt ~ dz''
dz' _ ffl
dt ~ dz'
(P)
On voit que les formules (a) et((3) coïncident avec les formulés (5) et (i) du
numéro précédent.
Or, dans le Chapitre VII, on a intégré par la méthode de Jacobi les
équations (6), ou leurs équivalentes ((3); on a introduit ainsi six arbitraires
canoniques a,, a3, a,, (3,, (32, (3,, dont la signification géométrique a été précisée, et
sera rappelée dans un moment. Il en est résulté, pour les intégrales générales
des équations ((3), des expressions de cette forme
( x = (fi(t, «,,«,,«3, (3,,f3„ (3,), /=?î, * = ?»
(?) i i dx , /x o o o • i ^X i < dz .
^ = -^ =4^1 ('i«i»«j. «3, Pi, Pi> P>), y ^=^*' rf7=^"
Cela posé, d'après la méthode indiquée, quand il s'agit d'intégrer les
équations (a), on conserve pour xy y, s, x\ y', z' les mêmes expressions
analytiques (y); mais alors, a,, a2, a,, (3,, (32, (3, seront de nouvelles variables, et
nous savons, par le numéro précédent, que nous aurons les six équations
canoniques
/ da±_ dR da1_ dR_ da, _ ^
l dt ~ dS,' dt ~ ^3,' dt ~ dpV
rf3J__aRj rf(3,__dR_ d(3, _• dR
\ dt ~ dcti' dt dctt ' rff dx,1
où l'on doit supposer que R est une fonction de t, a,, a2, a,, (3,, (32, (38, obtenue
en remplaçant, dans (9), x, y, z par leurs expressions (y).
Ces expressions n'ont pas été développées dans le Chapitre VII; mais elles
sont une conséquence des formules (d) du n° 32 et (g) du n° 41, formules que

ÉLÉMENTS OSCULATEURS. l65
nous allons écrire de nouveau, pour plus de clarté :
/ k
k = v^Â, n = — > u — e sin u = nt -+- e — zs,
(d)
v — zs /i -+- e A m
r =a(i— ecosw), tang = V/ tang->
x r= /• [cos0cos(<> — 0) — sin0 sin (v — 0)cos<p],
y =r[sin0cos(e— 0) + cos0sin(<>— 0) cos<p],
z = 7#sin(p—0)sin<p;
p
a,= > <xy=ksja(\— e,)cos<p> ct%=ksja(\— e1),
ig)
E — TS
3
Pl= —T— «S Pl=9| (33 = 7ÏT —
Il suffit, en effet, d'éliminer les quantités a, e, ... entre (d) et (#) pour
obtenir la première série des formules (y), la seule que nous utiliserons; «on
trouverait celles de la seconde série en différentiant les expressions de x, y, z
sans faire varier les éléments.
Pour l'intégration des équations (a), on devra considérer les éléments a,
p, ... ou a, e, ... comme variables, et l'on obtiendra les équations
différentielles correspondant aux variables a, e, ... en remplaçant dans (S) les
éléments canoniques par leurs expressions (g) en fonction des éléments employés
par les astronomes. Ce calcul sera fait plus loin. En somme, les éléments
canoniques n'auront servi que d'intermédiaires permettant d'écrire immédiatement
les équations (S).
Ce qu'il faut retenir, c'est que les expressions de x,y, z, x',y, z' sont de la
forme
!.#=<&,(*, a, e*. ..), y = &t(t, a, e, ...), z = <&3(f, a, <?, ...),
qu'il s'agisse des équations ((3) ou des équations (a); seulement, les quantités
a, e, ... sont constantes dans le premier cas, variables dans le second.
61. Supposons que l'on connaisse les expressions, fonctions du temps, que
l'on doit mettre dans les formulas (io) à la place de a, e, ... pour représenter
le mouvement de la planète P ; soient a0, eot ... leurs valeurs à une époque
déterminée et d'ailleurs quelconque t0. Remplaçons dans (io) a, e, ... par a0,

l66 CHAPITRE IX.
e0, ..., et désignons par x, y, z ce que deviennent x, y, z; il viendra
j x = Ql(t, a0,e0, ...), y =*,(/, Oo, e0> •■•)> z =<&,(*, a0, e0, ...),
)^=lVl(t,a0,e0,..,), -^=Wt(t,a0,e0,...), ^ =1Ip,(/>a0>eoi • • •);
on aura visiblement, pour / = *0,
dx dx d\ dy dz dz
(12) x = x, y=Y, z = z, — — -7-> -jr = -7r> -n = -7r'
v ' » j y» > dt dt dt dt dt Ut
Les formules (11) représentent le mouvement elliptique d'une planète fictive
de masse m, qui aurait à l'époque t0 même position et même vitesse que la
planète P, et qui ultérieurement, dans chacune de ses positions, serait soumise
seulement à l'attraction du Soleil, —^—^—•
Les éléments a0, e0, ... sont appelés les éléments oscillateurs de l'époque t0 ; ce
sont donc les éléments de l'orbite elliptique invariable que décrirait la.
planète P, si, à partir de l'instant t0, elle cessait d'être attirée par les autres
planètes P,, P2, On pourra les calculer par les formules du n° 38, connaissant
les valeurs, pour l'époque t0, des coordonnées x0, j0, z0, et des composantes
\~dli ' \~dt) ' x'dl) ^e ^a v*tesse* Si donc le mouvement de la planète était
connu, rien ne serait plus facile que de calculer les divers systèmes d'éléments
osculateurs qui correspondent aux époques /0, /,
Soient (fig. 18) P0C l'orbite de la planète, P0 sa position et P0A0 = V0 sa
vitesse à l'époque /0, P sa position au temps/; soient P0C l'orbite elliptique de
la planète fictive considérée plus haut, P' sa position au temps/; supposons que
l'intervalle / — Z0 soit une quantité infiniment petite du premier ordre. On
pourra calculer x, yy s, coordonnées du point P, et x, y, z, coordonnées de P',
par la formule de Taylor :
-^m^m:-^-

VARIATION DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES. 167
on aura, à cause de (12),
-~[(sa-(£)j^---.
et, en ayant égard aux formules (a) et (b),
/<m\ (t-t0y
7o ia
on aura des formules semblables pour les différences y — y, z — z ; si l'on
remarque que les quantités \-x~) » \~â~) ' (tf) contiennent dans chacune de
leurs parties l'un des petits facteurs numériques mt, m2, . ., on voit que la
distance des points P et P' sera infiniment petite du second ordre, à cause du
facteur (t — J0)2, et qu'elle sera plus petite encore à cause de la présence des
facteurs mt ou m2, ... , dans le coefficient de (/ — t0)2. On pourra, pour un
intervalle de temps suffisamment petit, remplacer le mouvement de la planète
de P0 en P par celui de la planète fictive, sur l'arc d'ellipse P0P'. C'est donc le
problème des deux corps, dont la solution est bien connue, qui sert en quelque
sorte d'élément infinitésimal pour aborder le problème du mouvement d'un
nombre quelconque de corps.
Définitions. — Le mouvement de la planète P sur son orbite P0C est appelé le
mouvement troublé; on peut dire que ce mouvement, qui serait elliptique si les
autres planètes n'existaient pas, est troublé par la force dont les composantes
sont -j-> -j— > -^j que l'on nomme force perturbatrice ;la fonction Rest elle-même
nommée fonction perturbatrice. Les différences x — x, y — y, z — z sont
appelées les perturbations des coordonnées; les différences a — a0, e — e0, ... sont
elles-mêmes les perturbations des éléments. Enfin, la partie de la Mécanique
céleste qui a pour but le calcul des perturbations reçoit le nom de Théorie des
perturbations.
Remarque. — Soit C='%(x, y, z> zfi> -jj> jj) une intégrale première des
équations différentielles du mouvement elliptique; C sera donc une certaine
fonction des éléments elliptiques; on aura la même relation dans le mouvement
troublé, pourvu que l'on remplace dans C les éléments par leurs valeurs
variables à l'époque t. Cela est évident si l'on se reporte aux formules (11) qui
représentent le mouvement elliptique ou le mouvement troublé, suivant que l'on
y suppose les éléments constants ou variables.
62. Il nous reste à conclure des formules (S) celles qui donnent les dérivées
des éléments elliptiques a, e, 9, 0, gt, e.

i68
CHAPITRE IX.
Pour y arriver, nous résoudrons les équations (g) par rapport à ces éléments,
ce qui nous donnera
(i3)
a a, r
cos<p = — >
t-|5t + |5,+ &(-2al)*.
Nous aurons d'abord
et
da
dl
dt
k1 da^
ia\ dt
a, ( da, da,\
= T>{a>-dt+2*>-d7ï
da, dat
d9_eXl~dJ-"1
l,~dl
ol"T dt -
dO _ rf(3,
dt~ dt '
dm _ rf[3, rf(3,
de ~ dt + dt '
«î
dï--dt+-d7 + T*{-™i) ■rfT-F»(3,(_aa,) "S*"'
d'où, en tenant compte des formules (S) et (g),
04)
a a» dR
rfe a\Ji — e
dl ~ k'e
» / , -, dR k dR\
dy_ i / àR_àR\.
dt ~ ks/a{i — e*) sin<p \? <*(3, d$J '
dB dR
dt dat
dm dR
dt àat
dR
da,
de __ dR_ dR_± i5_?a/_ ^àR_
dt ~ dat da, \ dat k1 (£ W) <** '
Wx

VARIATION DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES.
On tirera ensuite des formules (i3)
169
dR _ 1 A dR _ k dR
dR_dR dR dR
d(3, de dnr de '
dR dR dR
d[33 ~ dxs de '
dR _ ^ dR o|^ dR _ 3g, | dR
A~. o/»ï An ^~ L-ln, A» fc* \ •' A£
dai aaj da kKe de
sa^dR
k1 da k2 e de
dR
da,
a 1 —e" dR 3a , x dR
-Tï(e-w)-dT:
dR 1 dR
a,sin<p d<p ksja(i — e*) sin<p <*P'
dR a a,a3 dR
da.
a, dR
e kK de sin<p <x\ d<p
i_ y/i — e» dR __i
ksja e àe A^â v/i — e2sin<p <ty
cos<p
dR
En portant ces valeurs des dérivées partielles -^
et réduisant, il vient
dans les formules (i4)
(/')
da _ _a_ dR
a7 na de
de
dR
dt na1 \/1— e* §in<p <ty
osj _ tang â dR y/T^P" <?R
dt na*^i— e* ^? /ia*e de
Ëf _ y7!—g' dR _ , , 1 — y/T^ë» dR
aï /ia*e dra * /ia*e de.'
d£_ 1 dR langI /dR dR\
^ na}\J\ — e* sin<p ^ zia'y/i —e* \à& de/1
6-- -n-
de
«7
a dR
na da na1^/i — e1 <ty
19
tailg â dR , 5 1 - v/ï^ï. ^R
na3 e de
On a remis, pour abréger l'écriture, n au lieu de —
a1
T. — I.
aa

170 CHAPITRE IX.
Ces formules (h) sont la base fondamentale des théories des mouvements
des planètes; elles contiennent en germe toutes les propriétés de ces
mouvements.
63. Nous allons présenter à leur sujet quelques observations.
On peut partager les éléments en deux groupes, 0, o, e d'une part, a, ey <p de
l'autre; les trois éléments du premier groupe expriment des longitudes; leurs
dérivées par rapport au temps ne contiennent, comme le montrent les
formules (A), que les dérivées partielles de R prises par rapport à un ou plusieurs
des éléments du second groupe; la réciproque a lieu pour-j-, ~Tt^dt'
dR 1 ,, 1 de
-p dans 1 expression de -r-
Le coefficient de -j- dans l'expression de -r peut s'écrire
y/i —e»
na*
1 + y/i — é1
donc, si e est une petite quantité du premier ordre, et c'est le cas général, le
coefficient en question sera une petite quantité du même ordre, malgré le
diviseur e qu'il paraissait contenir tout d'abord.
Mais ce petit diviseur e existe bien réellement dans les formules qui donnent
dt e^~dty ^ans cepklns cas il en Peut résulter des inconvénients sérieux; on les
évite en posant
(i5) h = es'inis, / —e cosra,
et remplaçant les variables e etxs par h et /; on trouve d'abord
dh . de dis
-y- = SITÏTS -r- +CCOS7ÏT — >
dt at dt
dl de . dm
-y- =■- cosnT — —esinnT-r-»
at dt at
dR dR dR
-r- = sinnr-Ti—1- cosnr -rrr»
de dh de
dR dR dR
otj dh dl
après quoi, en tenant compte des expressions (h) de -r et -t-> et réduisant, on

VARIATION DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES. 171
trouve
/tang?
dh_ \Ji—h* — PdR s/i—h'—l* h dR 6 a dR
dt ~ na* dl na> , + à/,_^a_/a de na} 1/1—Aa —/* <*? '
(«6) {
h tang 2
rfA 1 dR
dt na? dl '
di 1 <m
dt na* dh
dl _ sj\— h} — l1 dR y/i—&»—/' l dR "w"&a ^r
d~t ~ nax dh na* , ->rSJl—hi — li de nay,_A>-/> dy
On verra plus loin que l'on substitue à la fonction R un développement dont
les divers termes sont ordonnés par rapport aux puissances des excentricités
et des inclinaisons des orbites; on apercevra dès lors aisément que, si l'on
consent à négliger de petites quantités d'un ordre supérieur de deux unités à celui
des quantités conservées, l'excentricitéytétant regardée conHn^^jij^mjej,^rdrei
on peut alors réduire les équations (i6)liïïxsuivantes, qui sont très simples :
(■7)
De même, les valeurs de -7- et de ~ peuvent être sujettes à des difficultés
si <p est petit, ce qui arrive le plus souvent; on les évitera en faisant, par une
transformation analogue à la précédente,
(18) ^>=tang<p sin0, q = tang<p cos0,
et remplaçant ç et 0 par les nouvelles variables p et q.
On trouvera
dp . dd sin0 d<p
~— tang<pcos0 -j- h s- -77»
dt OT dt cos'<p dt
dq . . „ dd cos 0 d<p
dt OT dt cos'<p dt
dR 4 adR , . adR
-™ = tango cos0 -r langç sin0 -r- ;
d0 dp dq
dR_ sin0 dR cos0 dR
dy cos' <p dp cos' <p <ty '
di _ i dR p (dR àR\ ■
dt
na»^i-«*C08»9 dq 2na^T=*co*9co#î ^ *'
(«9)
dq_ I dR q (dR dR\
dt - na}s/T=* cos'cp dp a „a, V/T=iï cos? Cos» S \ *" + * / "

I-p CHAPITRE IX. — VARIATION DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES.
Si l'on consent encore à négliger des quantités d'un ordre supérieur de deux
unités à celui des quantités conservées, l'inclinaison <p étant considérée comme
du premier ordre, on peut se borner à
dp _ 1 ÔR dq^_ 1 <?R.
dt~ na1 sjT^é* àq ' dt ~ na% S/JZ- ei dp '
si e est petit en même temps que <p, on pourra même prendre plus simplement
dp _ j_àK dq_ i_ àR.
^ dt na* dq' dt na1 dp>
on voit l'analogie de ces formules avec les formules (17).

CHAPITRE X. — VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. I73
CHAPITRE X.
VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. — MÉTHODE DE LAGRANGE.
64. Les formules (h) du n° 62 permettent de résoudre toutes les questions
relatives au mouvement des planètes; nous les avons obtenues par la voie qui
nous a paru la plus directe. Mais nous croyons ne pouvoir nous dispenser de
reproduire l'analyse employée pour arriver aux mêmes formules par Lagrange,
qui doit être considéré à juste titre comme le créateur de la méthode de la
variation des constantes arbitraires.
Dans le Chapitre précédent, nous avons mis les équations différentielles du
mouvement de la planète P sous la forme
dx <Î(H —R) dx' d(H — R) _
dt dx' ~°' dt + dx ~ °'
, dy d(H — R) dy' d(H — R)
<-> <#—w^ ' a^-h?, =°'
dz _ d(H--R) _ d£ d(H — R) _
dt dz' ~ °' dt + dz ~°'
Lagrange considère d'une manière plus générale les o.h équations
dx d& v, dx' d£i v
-dl-dx-'-X=°> rf7+^-X=°'
(a) id2L_M _ dy dQ
dt dy ' dt +d~y~x — '
Cl est une fonction donnée quelconque de t, x, y, ..., x\ y, ...; il en est de
même des quantités X, Y, ..., X', Y', ...; le nombre h des groupes de deux
équations associées peut être quelconque.

174
CHAPITRE X.
Concevons qu'on ait réussi à intégrer rigoureusement ie système suivant,
que l'on déduit du précédent en y supposant nulles les quantités X, Y, ...,
X', Y', ...,
cte_dQ_ dzS dQ_
dt dx'~°' dt +te~ °'
(&) {dy_dÙ_ dy[ d&_
dt dy'~°' dt + dy ~ °'
On aura donc obtenu des expressions de xy y, ..., x\y ... fonctions de t et
de ih constantes arbitraires a, 6, c, ...,/, gy vérifiant identiquement les
équations (6), quelles que soient ces constantes arbitraires; écrivons ces
expressions
(i) x = Ql(t, a, b, ...,g), x'^W^t, a, b, ..., g),
On va, pour représenter les intégrales des équations (a), conserver les mêmes
expressions analytiques (i) de x, x', ...; seulement on regardera a, 6, ...., g
non plus comme des constantes, mais comme de nouvelles variables.
On aura, dans cette hypothèse,
dx
~di
dx'
dt
dx dx da dx db
~dl +dâ dt+db ~di + '"'
dx' dx' da dx' db
~~dT + ~dâ~di + 'dTdT+""
Portons ces expressions dans les équations (a) et remarquons que l'on a
( dx _dQ_ dzS dQ_
(a) ) dt dx'~°' dt + dx~°'
puisque les formules (i) substituées dans les équations (b) doivent donner des
résultats nuls, quelles que soient les quantités a, «6, ..., constantes ou variables;
il viendra
dx da dx db^ dx de _,,
dâ dt^lb dt~i"dc ~di + '"~ '
dy da dy db dy de _Y'—o
da dt db dt ^~ de dt^~' " '
dx' da dx' db dx' de _.
~dâdl + ~àbdt+~àcdi+'"+y
dy[da .df_db dy[dc
da dt^~ db dt^~ de dt^~'"~t' ,

VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. \J3
Ces ih équations contiennent au premier degré les ih inconnues -r-t 37» ■• » -it\
dt dt dt
dx' dy'
La grange les combine en les multipliant respectivement par — ^—, — -£-, •••,
+ ^, + -f, '•'',-£ disparaît, et il vient
da da ai *
db (dx dx' dx dx' dy dy' dy dy' \
dt \ da db db da da db db da '" )
(3) {
de /dx dx' _ \ —dx „dy X'— \'^lL —
dt\da de " ') ' ' ' da da '" da da • • • — •
Posons
H\ R — Y **-4-V <fr-4- -j-Y'^'-i-V'^'-i-
_ dx dx[_ dx <W dy dy[_ dy d/
() L' ]~dadb dbda~*~dadb àbàa~^"''
introduisons des quantités analogues Ré, ..., R„; fa, c], .:., [a,#]; [6, a],
[6, c], ..., qui seront fournies par des formules se déduisant immédiatement
de (4) et (5), et l'équation (3) nous donnera la première des relations ci-
dessous
r , t db r-.dc r , ds -.
[a>6]5F+[fl>c]5F+...+ [a>*]^+R. = of
(6) / \.b9à\^ + [bte^^...+ [b9g^ + ^b = o9
65. Les quantités [a, b], [a,c], ..., [6, c], ..., introduites par Lagrange,
jouissent de propriétés importantes.
En premier lieu, on a
[a, a] = [b, b] =... = [g, g] = o;
cela résulte de la définition même par la formule (5).
En second lieu, on a
[a, b]-h[b, a] = o;
cela résulte encore immédiatement de la formule (5), qui montre que [a, b]
change de signe quand on échange entre elles les lettres a et b.
Enfin la propriété la plus importante consiste en ce que [a, b] ne contient

I76 CHAPITRE X.
pas le temps explicitement; il faut entendre par là que, si dans le second
membre de la formule (5) on remplace œy x\ ..., y, y, ... par leurs valeurs (1),
lesquelles sont fonctions de t et de a, 6, ..., g, une fois les calculs effectués,
t disparait.
Pour démontrer cette proposition, il nous suffira de prouver que l'on a
d\a,b]
—^—- = o.
dt
On trouve en effet, en partant de la formule (5;.
d[a, b] d*x dx' dx d*x' dlx dx' dx d*x'
dt dadt db da db dt dbdt da db dadt
4-
d (dx dx' dx' dx \
~~dâ\dt ~àb~~àT ~àb+"'J
dx d1x'
~dt d~âdb
dx d*x'
da dbdt
dx'
+ W
dx'
da
d*x
daàb
d'x
dbdt '
ou bien
d[a, b] à /dx dx' dx' dx \ d (dx dx' dx' dx
dt ~d~â\~dt ~d~ÏÏ~~dT d~b+'") ~db\~dt ~dâ~~dT da
■)•
ou encore, en ayant égard aux formules (2),
d[a, b]_ d /d£i dx dQdx[ \_±{dSd^. Ê& f?f! Y
dt ~da\dx'db + dx' db+") db\dx da+ dx' da +" ' );
ce qui peut s'écrire, en remarquant que Cl ne contient b ou a que para?, a/, ...,
d\a, b]_ d d&_d_ dQ_ d*Q d*Q _
dt da db db da db da dadb
Dans chaque cas particulier, û ayant une valeur déterminée et les fonctions
<!>,, Wt, ... qui figurent dans les équations (1) étant supposées connues, on
déterminera les quantités [a, 6], ... par un calcul algébrique, en partant des
formules (5) et(i); on aura ainsi à en calculer un nombre égal à
1.2 x
on remplacera ensuite dans les équations (6) les symboles [a, b] par leurs valeurs

VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. 177
ainsi déterminées et l'on aura, en résolvant ces ih équations du premier degré,
les valeurs de -£> -t-, •••» -jj exprimées à l'aide de Ra, R$, ..., R^ et de a,
6, ..., g.
On voit que tout ce calcul, qui peut être très long, est évité quand on suppose
les équations (b) intégrées par la méthode de Hamilton-Jacobi.
La propriété qui vient d'être démontrée permet souvent d'abréger les calculs,
en assignant une valeur particulière convenablement choisie au temps t qui
finalement doit disparaître.
Supposons, par exemple, que l'on fasse t = o, et soient x0, yQ, ..., x0,y'0, —
les valeurs correspondantes de x, y, ..., x\ y', ... ; on aura
Va h~\ — ^5 -^o — ^? ^1 +- ^-2 -^4 — 0*1 ^I± _i_
L ' J— da db db da da db db da '»'■•■•
Admettons, ce que l'on peut toujours faire, que a, b, ... désignent
précisément les quantités x0iyQ, ..., a?'0, y0, ... ; il viendra
°' oJ dx0 dx\ dx'0 dx0 dx0 dx'0 dx'0 dx0 " '*
Or toutes les dérivées qui figurent au second membre de cette formule sont
nulles à l'exception de deux, -p* et -pr» qui sont égales à -h i ; on aura donc
["#0» -^o] =+ l »
on trouvera tout aussi facilement
Oo,/o]=o, o0, y0]=o, ..., Oo»yo]=+i» • >
de sorte que les formules (6) deviendront
dx0 R dx0 _
(7) \d.vo_^K dy\ _
Les valeurs initiales des variables x, y, ...,x\y\ ... constituent donc un
système très simple d'éléments, au point de vue de la méthode de la variation
des constantes arbitraires; cependant on n'emploie pas ces éléments en Astro-
T. — I. 23

I78 CHAPITRE X.
nomie parce qu'ils entrent d'une manière trop compliquée dans les
expressions (1).
Remarque. — Quand on donnera ainsi à t une valeur particulière tt, si cette
valeur dépend d'une ou de plusieurs des quantités a, 6, ..., il faudra avoir
soin de ne faire t=t{ qu'après avoir calculé les dérivées partielles de x, a/, ...,
par rapport à celles des quantités a, 6, ... qui figurent dans tt. Supposons, en
effet, que l'on ait t, = /(a); il est évident que la dérivée par rapport à a de
x = <pt(t, a, b, ...), dans laquelle on fera ensuite /=/(a), ne sera pas la
même que celle de l'expression $, [/(a), a, b, ...].
66. Appliquons la théorie précédente à la détermination des mouvements
des planètes.
Nous devrons faire
G=H=T— U = - (a?'* +/*+*'*) — ?£,
a J r
X'=o, Y'=o, Z'=o;
dans ce cas, les premières des formules {a) donneront
Les intégrales générales des équations (b) du mouvement elliptique ont été
données au n° 32; nous les rappellerons bientôt.
Fig. 19.
• x
-•
y
Commençons par un calcul préparatoire; traçons la sphère de rayon 1,
ayant pour centre le centre 0 du Soleil ; elle est percée aux points a?, y, z par
les parties positives des axes de coordonnées, et le plan de l'orbite de la planète
la coupe suivant le grand cercle NH. Soit Ç le point de cette sphère où vient
aboutir le rayon mené du Soleil au périhélie; prenons, dans le sens du
mouvement de la planète, l'arc %r\ = 900, et soit Ç le pôle boréal du grand cercle Sy). Les
axes Oîj, Or), OÇ forment un système d'axes rectangulaires que nous allons
considérer, à côté de l'ancien système Ox, Oy, Oz. Désignons par a, (3, y; a',
P', Y'* a"» P", y" les neuf cosinus des angles que font les axes du premier

VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. 179
système avec ceux du second, ce qui sera clairement indiqué par le Tableau
ci-dessous :
X
y
z
\
et
P
y
ri
et'
P'
/
c
et"
P»
/
Posons, comme nous l'avons fait antérieurement,
j?N = 0, HNy = <p et N£ = w;
Ci) = Bï—0, GT = 0 + Ci).
nous aurons
Cela posé, la Trigonométrie sphérique nous donnera aisément, par une
application répétée de la formule fondamentale,
et = cos 0 cos w — sin 0 sin w cos 9
(8) | j3 = sin 0 cos a) + cos 0 sin co cos 9
y = sin a) sin 9
et' = — cos 0 sin co — sin 0 cos co cos 9
(3' = — sin 0 sin co-h cos 0 cos co cos 9
y' = cos co sin 9
et"= sin0sin9
(3ff = —cos0sin9
y" = COS 9
On a d'ailleurs les relations bien connues
(9)
(.0)
«' +(3* + y* =1
et" + (3'1 + y'1 = 1
1 « = |3y—/p*
(3 =-y' et"— et'y'
y = a'[3ff — pv
aa' +(3(3' + yy' =0,
aa" + (3(3" + yy" = o,
aV+(3'(3ff + yy=o;
a'=f3"y-yvf3
(3'= y" et — et" y
y' = a"f3 — (3'a
a"=f3y'-yf3',
(3ff = ya'— ay',
y" = a(3'— (3a\
Il nous faut calculer les dérivées partielles de nos neuf cosinus par rapport
à 0, cp et co; on trouve aisément, en partant des formules (8), les valeurs
suivantes :
00
dot „
T9=-P>
à0~ + a'
dy
50=°'
d9 P'
•â0"- + a'
dy'
d9=°>

l8o CHAPITRE X.
àct. . . dot.' .
— = orsinw, -3— = or cos w,
(ta) { J-=f3"sinw, -j- = p"cosw,
ày ày'
^=/sina>, ^=/co8»;
(i3)
dot ,
du p'
dot'
Soient £, y), o les coordonnées de la planète par rapport aux nouveaux axes;
on aura
(i4) ^ =o£ 4-a't), / = PS + p'*), s=y£+y't);
d'où
(i5) x'=a%+ «V, / = f3$'+f3'tj', *'=>£' + /»',
en faisant
5-3*' Y1-^'
Les formule? du n° 31 deviennent, en y remplaçant — ni par x,
(16) n —-jj k-=-^îp., u—e&in u = nt-\- x;
(17) £ = a(cosw — e), n = a^i — eIsin«/;
on en tire
rf*/ n
dt 1 — e cos u
. o- ,., has'xnu . naJi — e*cosu
(18) £,'= , YJ = -
1 — e cos u 1 — e cos u
Les formules (i4). i1^)* (l&)> (!7)» (*8) et (8) donnent, comme on voit, les'

VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. l8l
expressions de a?,y, z; x', y\ z', en fonction de t et des six éléments
(19)
v î// (a, e, x.
67. Il nous faut maintenant calculer les quinze quantités [a, b] par la
formule (5) en prenant successivement pour a et b deux quelconques des
éléments (19) :
[0,u], [0,9], [w, 9];
[0, a], [0, e], [0, x]; [w, a], [w, e], [w, x]; [<p, a], [<p, e], [<p, x].
[a, e], [a, x], [e, x],
Soient K et L deux éléments du premier groupe (0, û>, <p) : on aura
r„ . , dx dx^ dx dx'
on a d'ailleurs, par les formules (i4) et(i5), en remarquant que S, yj, £', y)' sont
indépendants de 0, o>, <p,
dx ^ doc doc' dx t dot. dot!
dx' „doc , doc' dx' >,doc , dot'
dK~^M+ri M* 1l~^d~L + rïd~L'
d'où, en substituant dans [K, L],
rir r n /t i tt\ / àoc doc' doc doc' \
mais on a
(20) fr' — r>ï' = l^ — yj ^ =na*s/T=? = ksja{i — e»);
il vient donc
(l) rKLl-^iA^i^^!-^^: . dld_P_dldp, dy_&/_dy dy'\
11,1 ,LJV e\dKdL dLdK + dKdL dLdK + dKdL dL dK:)
Soient, en second lieu, K un élément du premier groupe et P un élément du
second (a, c, x); a, (3, y, a', P', y' sont indépendants de P : on trouve aisément

l82 CHAPITRE X.
les formules suivantes :
LBt' FJ - dK dP dP~dK
[K'P]= ^dK+^M){aàP+a^)-^m+^M){aà+a^)+'-'
\ dK + P dK + ' dK) V àP % dP)
+{am+PdT^ydK)yidp-ridp)
( doc' , d? dy'\/ àl' ,àl\
+ {adK + Pdk + yÂ){ridp-'ndP)
_u (j dct ^w d$ .v, ày \ ff dn' f, dn \
+ {a dK+P d~K+y dKj{tdp-t dP)
Or on tire de (9)
adK + PdK+ydK-a-dK + P M+y dK-°'
il viendra donc
r K PI - foc' — + R' ^& + y' ^ Vê — - V — -11 ^ + w' -^
ou
ou bien encore, à cause de la formule (20),
(II) [K,P]._*(^ ^+3 ^. + y ^j ^
Soient enfin P et Q deux éléments du second groupe; nous aurons
rp ~n àx dx' dx àx'
LF'yj — dP dQ ~ dQ ~dP+" '
~(,aâP + a dP)\adQ + adQ)~{adQ + a dQj{"dP + aW)+"
K +p + y ;^p aQ dç dpj-t-^a +p -t-y >^P dQ dQ âPj
+ {aa+W+W){dPdQ-dQ'dp-hdQdPdP dQ y

VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. 183
d'où, en vertu des relations (9),
Klll) Lr' yj — dP dQ dQ dP "*" dP dQ dQ dP
Il ne reste plus qu'à appliquer les formules (I), (II) et (III).
68. Faisons d'abord K = 0, L = û>, dans la formule (I), et tenons compte des
relations (11) et (i3); nous trouverons
[0, w] = «aïv/i — e"(P« + P'«' — «p — a'(3') = o;
en posant, dans la même formule (I), K= 0, L = <p, et ayant égard aux
relations (11) et (12), il vient
[0, <p] = na1 \fi-e11 (apff — pa") cosw + (p'aff — a'p")sinw )
ou, en vertu de (8) et (10),
[0f <p] = nax\J\ — e*(— y' cosw — y sinw) = — na*sj\ — e\ sin<p.
Enfin la formule (I) donne, pour K = û> et L = <p, en se reportant aux
relations (9), (1a) et (i3),
[w, <p] = na*\Ji — e% j(a'a" ■+- f3'f3"+ y'y") cosw + (a<x" ■+■ (3(3" -h yy")sinw ) = o.
Passons à la formule (II) dans laquelle nous supposerons d'abord P = x, ce
qui nous donnera
dp = 0, [K, x] = o;
il en résulte donc
[0, x]=o, [w, x]=o, [<p, x]=o.
Si maintenant nous faisons P = a, ce qui entraîne
k A„ = 7=^-=\na\/i-e\
nous trouverons
d'où, en donnant successivement à K les valeurs 6, o>, <p et ayant égard aux re-

l84 CHAPITRE X.
lations (8), ..., (i3),
[0, a]=\na \/i— e'(a(3'— (3a') =%nasj\ — eiy" = \ na ^i — e* coscp,
[w, a] = {nas/1 —e*(a'* + p* + y'*) = ±nas/i—e*,
[<p, a] = {■ na\J\ — e* (a'a"+p'^-t-//) sinu = o.
Pour P = e, nous aurons
*^a('-e'>=-/ty/â
- e e
àe \fi-e1 \fi-e1
et la formule (II) devient
en comparant cette formule à celle qui donnait, il n'y a qu'un moment, la valeur
de [K, à], il vient
il n'y a plus qu'à faire successivement K = 6, K = û>, K = <p, et à remplacer
[6, à], [û>, à], [<p, a] par leurs valeurs ci-dessus ; on trouvera ainsi
[0, e] = — na1 ——= cos<p,
yi — e*
[w, ej =— na-
\J\-e1
[<p, e] = o.
Nous arrivons enfin à l'application de la formule (III).
Pour faciliter le calcul, nous donnerons à Ha valeur particulière
X X \
t = =— 7 a3 ,
n k
qui annule u; cette valeur est fonction de a et x; on ne devra donc faire
j = t qu'après avoir effectué les différentiations relatives à a et x; on pourra
calculer les dérivées relatives à e après avoir fait t = t. En prenant Q = e, la
formule (III) donne
t»t\ rp ei-^^L'_^^ + *l^_^*L'.
K ' L ' J "~ dP de de dP dP de de dP'

VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. l85
les formules (17) et (18) donnent
pour*=t;
\ =a(i — e), n = 0,
t, 1 , /' +« k /i+g.
i'=o, n—nai/ = -—4/ ;
on en tire
dl dn
Te=-a> d-e=°>
d% _ dn' _ nfl 1
de ~ ' de — i/ï_ea 1 — e
et la formule (21) devient
/ n m -1 <*?' na dn
les relations (17) et (18), différentiées par rapport à P, donnent, en faisant
ensuite t= t, u = o,
d£' na /dw\
âP~~ '7=1 \àP)t=*'
<jp
après quoi nous trouvons, par la formule (22),
rrk , na! /du\ na- (' du\
on en tire donc
[a, e] = o,
[x, e] = o.
Reste seulement à trouver [a, x]; la formule (III) donne
r , d\ d% dl dl' dn an' an an'
I CL XI — — ^ _i_ .
da d*. dx da àa d* d* àa
En partant de (16), (17), (18), difTérentiant par rapport à x, et faisant ensuite
t = t, on trouve aisément
du 1
dx 1 — e
T. - I. a4

i86
et
^ -o
âx~°'
d% na
!h~~ (ï —e)'1
CHAPITRE X.
s="V
/i+e
' i — e
ax
l'expression ci-dessus de [a, x] donne donc
(a3)
[a, x] =
na d\
(ï —e)" da
A +e dn'
y ï —e da
Différentions ensuite (17) et (18) par rapport à a, faisons * = t, et nous
trouverons
Êk — _ ^! — V7' —e' àna _4 /i_±_f ^a — _ 1 4 /1 + e.
da ' da 1 — e da y î — e da ~ ' y 1 — e '
en substituant dans (23) et réduisant, il vient enfin
[a, x] = — {na.
69. Nous pouvons actuellement écrire ce que deviennent les équations (6)
dans le cas présent; nous aurons
n de r .. o*x r n 0*9 r .. rfco r ... o*0 _.
[a. «] ^ + [a, x] -^ + [a, <p] ^ + [a, w] -^ + [a, 0] ^ + Ra = o,
dt
dt
dt
d'où, en remplaçant les quantités [a, e], ... par leurs valeurs trouvées ci-dessus,
/ d 1 d* 1 / ï <**> 1 / « ^
R« —Jwa-^ — |/iayi — e* -^7 — j/ia y i — ecos<p -3- =0,
(O
aV
a7
R,
na'e rfw wa'ecoscp a*0
= 0,
^/i_e« a7 ^i — e* dt
da
d~t
n . 1 r da na*e coso a*e . , ; . d<p
Rô + ïwavi — e' cos<p -3 T -7 /iasyi — e'sincp -f- =o,
U( i/l __ ai Clt Clt
n i da
Rx + i «A -77 = o,
a"0
R» + /ia* v^i — e* sin<p -3- = o,
dt
_ , / -da na*e de
R« -h i /iayi — e' -77 , -77 = o.
1 dt Jx ei dt

VARIATION DES CONSTANTES. — METHODE DE LA GRANGE.
On tire de ces six équations, en les résolvant par rapport aux dérivées
les formules suivantes :
187
da
~di'
(d)
da _ a
dl ~~ «a x'
de _ ; r_R _u
1 — e1
^
dt naxe "* ' ncPe
dy cos<p
Ru»
dt
de
Rc
Rç>
nax\J\ — e1 sincp na*\/i — e* sincp
1
Ro,
dt na* \/i —e2 sin<p
d(ù , coscp D \/i — e*
dt
dx.
dt
na1 y/i — e1 sin <p
Rç — .
R«,
= +i-^-Re + — Ra.
ncre na
La comparaison de formules (a) et (à) montre que l'on a, dans le cas actuel,
X'=of Y'=o, Z'=o;
v_ dR v dR „_ dR
A — — 3—» I —— -5—) L— 5—
dx dy dz
(4) donne ensuite
__àR <^_djldy_dRds__dR.
a dx da dy da dz da da '
les formules (d) pourront donc s'écrire comme il suit :
(O
da
dl
de
dl
dy
~dl
de
dt
doi
~dl
dx
di
_a_ dR
na dx
1 —e» dR y/i — e1 dR
na*e dx naxe dw
coscp dR 1 dR
na1 ^1 — é1 sincp dd
na- yi — eJ sincp
1 dR
zia'y/i — e'sincp ày
du
coscp
dR
na}\Ji — e1 sincp ày
1 —e» dR 2^ dR
na*e de na da
na1 e de

l88 CHAPITRE X. — VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE.
Si l'on introduit enfin au lieu de û> et x les éléments © et e par les formules
on verra aisément que les formules (e) sont identiques aux formules (h)
du n° 62.
Il convient de remarquer que les formules (d) s'appliqueraient encore au cas
où X, Y, Z ne seraient pas les dérivées partielles d'une même fonction de x,
y, z et t; X, Y, Z pourraient même contenir a/, y, z'; seulement Ra aurait
alors pour valeur
Ra = X^+Y^+Z^.
oa oa oa
Cela se présente quand on veut tenir compte de l'influence de la résistance
d'un milieu sur les mouvements des planètes.

CHAPITRE XI. — CONSIDÉRATIONS SUR LES PERTURBATIONS PLANÉTAIRES. 189
CHAPITRE XI.
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES PERTURBATIONS PLANÉTAIRES. —
PERTURBATIONS DES DIVERS ORDRES. — PERTURBATIONS DU PREMIER
ORDRE. — INÉGALITÉS PÉRIODIQUES. — INÉGALITÉS SÉCULAIRES. —
INÉGALITÉS A LONGUES PÉRIODES. - PERTURBATIONS DU SECOND ORDRE.
70. Pour connaître le mouvement de la planète P, il suffit d'obtenir en
fonction du temps ses coordonnées rectangulaires héliocentriques x, y, z.
En suivant la méthode de la variation des constantes arbitraires, nous avons
transformé le problème et introduit, au lieu des trois inconnues x, y, s, six
variables auxiliaires a, e, <p, Ô, ©, e. Les relations qui lient l'un à l'autre les deux
systèmes sont (n° 32)
"V^
m)
—-) u— esinu = nt-\-e — rs,
v —xs /i + e u
r = a(i — ecosu), tang =\/ tang->
(i) / a V ï — e a
.3; = r[cos0cos(*' — 0) — sin0 sin(y — 0) cos<p],
y = r[sind cos(y — 0) ■+- cos0sin(*' — 0) coscp],
z =■ /*sin(p — 0)sincp.
Il convient d'ajouter que les valeurs de -£■> ~d7^~Jï s'obtiennent en différen-
tiantles formules précédentes par rapport au temps, sans faire varier a, ey ..., e.
Nous savons, d'après le n° 62, que les variables nouvelles doivent vérifier les

igo CHAPITRE XI.
équations
/ da
dl
de
dt
dxs
dl
(3) I*
dt
dt
de
\ dt
On a d'ailleurs
x',y,z';x", ... désignant les coordonnées des planètes Y,V\ ...,etm',m", ...
les rapports de leurs masses à celles du Soleil.
Si l'on remplace xy y, z par leurs valeurs (i), x',y, z', ... par leurs valeurs
analogues, R deviendra une fonction connue du temps tel des éléments a, 6,...
a', 6', ... des diverses planètes, et les diverses parties de R contiendront en
facteur l'une ou l'autre des petites fractions m\ m", ... que nous regarderons,
ainsi que m, comme de petites quantités du premier ordre.
Les formules (2) montrent que, au moins pendant un intervalle de temps
limité, les éléments a, Ô,... varieront entre des limites assez resserrées ; il en sera
de même de a', 6\ ...; on pourra, par suite, dans une première approximation,
considérer les éléments comme constants dans les seconds membres des
équations (2), et l'on obtiendra des valeurs très approchées de a, 6, ... par des
quadratures.
C'est là l'avantage que l'on trouve à remplacer les trois équations
différentielles du second ordre en x, y, z par les six équations différentielles (2) du
premier ordre, bien que ces dernières soient assez compliquées, parce que R est
loin d'être une fonction simple de t et de a, 6
En opérant comme nous venons de l'indiquer, il est toutefois utile d'éviter
un grave inconvénient que nous allons signaler. Il sera démontré, dans le cours
a
na
dR
"3T
1
dR
na*\J\ — es sincp <ty
= tang â dR \/T=7* dR
nai\/i — e1 à<? na*e de*
\fi-e1 dR , r 1 — s/T^ë* dR
nn'f> tint » nn*i> /ie
ncPe dxs
naïe de
9
dR tan^
__ 1 dR _ *""p a /dR dR\
na}\J\— e»sin9 dd nd}\l\ — ex \à& de)
V
na da na*\Ji — e* <ty
XT+VÏ
-_1_v/nr^<m
naxe de

CONSIDÉRATIONS SUR LES PERTURBATIONS PLANÉTAIRES. igi
de ce Volume, que la fonction perturbatrice R peut en général être développée
en une série convergente de la forme
(4) R=£CcosD>
où l'on a
(5) D=i(#i* + e) + i'(n't + e') + krs + k'rs'+jd +jd';
i, ï, k, k'fjetj' sont des nombres entiers quelconques, positifs, nuls ou
négatifs. Les coefficients C sont des fonctions de a, a', e, e\ <p et <p', qui diminuent
en général assez rapidement quand les valeurs absolues des nombres entiers
iy i', ky k\ j, f augmentent.
Dans l'expression (4) devraient figurer aussi des termes analogues à ceux que
nous avons mis en évidence, et dans lesquels n\ e', ... seraient remplacés par
n", e" On voit bien ainsi de quelle manière entrent les divers éléments des
planètes P, P', P", ... dans le développement de R.
Les dérivées partielles de R par rapport à l'un quelconque des cinq éléments
e, <p, 6, o, e seront exprimées par des développements de même forme que (4).
sauf que les cosinus pourront être remplacés par des sinus.
Il en va tout autrement de la sixième dérivée partielle -p; elle se compose,en
effet, de deux parties : la première, que nous représenterons par (-)—)> s'obtient
en faisant varier a seulement dans les coefficients C; la seconde provient de la
variation de a dans n sous les signes cosinus. D'après la formule (5), les
arguments D dépendent den, par suite de a, d'après la relation
/iaa3= f(i + m).
On aura donc
<m _ /<m\ <m dn
dn \daJ dn da'
ou bien, en remarquant que n n'entre dans R que par nt qui accompagne
toujours e,
(6 <m_ /<m\ àKtdn
da \da J de da
On trouvera ainsi, en se reportant aux formules (4) et (5),
dR v* ^C rw . dn ^ .
te=ZdaC°SÏ)-tdaZlCsmî)'
On voit que le temps t est sorti des signes cosinus; de là un grave inconvé
de
dt
de
nient que présenterait l'emploi de la valeur (2) de -t-> la seule des six dérivées

192 CHAPITRE XI.
des éléments qui contienne -=-• Malgré la petitesse du facteur m! qui entre dans
le coefficient C, le terme C* sinD pourrait prendre des valeurs très grandes, et
serait gênant de toutes façons. Voilà l'inconvénient dont on a parlé; on l'évite
comme il suit :
Si l'on a égard à la valeur (6) de -5-1 la dernière des formules (2) donne, en
" • * u » 1 * àR . dR
n écrivant pas, pour abréger, les termes en -p et -=->
de a_ /àR\ _ _a_ dR dn
dt na\àa) na de da
Or on a
dn dn da 2 dR dn
dt da dt na de da
ce qui permet d'écrire comme il suit l'équation (7),
de ^___L/^5\
dt dt na \da )
On est ainsi conduit à prendre, au lieu de e, un nouvel élément e(0, tel que
l'on ait
de™ de dn
W -dT = dt+tdi'
On trouvera immédiatement, en écrivant maintenant les termes en -3- et -=->
de d<p
9
tang -
^1— -jL(^.\ a dK J\—^ 1 - y/i - g' ^R
^' dt ~ na\daj na*sj 1 — ex ^9 na*e de
Or on tire de (8)
eO = e+ / t -^ dt — e -t-nt— I ndt,
(10) nt-\-e= I ndt + e{l).
On voit donc que le changement de variable sera bien facile à faire, puisqu'il
se bornera à remplacer dans les expressions (1) de x, y, z, nt ■+• z = l par
/ndi -h ew. La formule (10) montre d'ailleurs que l'on aura
dR _ dR
de ~ <fe<*> '

PERTURBATIONS DES DIVERS ORDRES. ig3
Si l'on remplace dans la première, la quatrième et la cinquième des
formules (2), -j-par-j-^> et si on les rapproche ensuite de (9), on voit que les
nouvelles équations différentielles ne différeront des anciennes qu'en ce que e
et -T- auront été remplacés respectivement par e(I) et (-p )• II convient, pour
ne pas multiplier les notations, de supprimer l'indice de e(I) et la parenthèse
de (-5-); cela permettra de conserver les équations (2) sous leur première
forme. Seulement il sera bien entendu que la dérivée -p y devra être prise sans
faire varier a sous les signes cosinus, et que, dans les formules (1), qui donnent
xy y, z, nt -h e devra être remplacé par / ndt -h e.
Nous ferons, pour abréger,
!•
\dt=:ç>, d'où n=-j-;
quand n sera connu, en effectuant la quadrature / ndt, nous n'ajouterons pas
de constante d'intégration, parce qu'elle irait se fondre avec e qui accompagne
toujours In dt. Enfin nous ferons remarquer qu'ici, comme partout ailleurs, la
lettre n n'a d'autre sens que celui qui est défini par la formule n = 1/ *f tm> de
sorte que l'on a
p=Vtf(i+m) f~
J a1
Pour déterminer le mouvement de la planète P\ il y a lieu de considérer des
équations toutes pareilles à (2), qu'on obtiendra en accentuant les lettres, et
mettant au lieu de R la fonction perturbatrice R'. On devra former la dérivée
■j-j sans faire varier a' sous les signes cosinus; mais, dans les formules qui
donnent a/y y, z' en fonction de t, a, 6', ..., il faudra remplacer n't-ht' par
I n'dt-ht'; nous poserons aussi In'dt = p'. La considération des équations
différentielles en -£-> -r- > • • • est indispensable, même pour déterminer le
mouvement de la planète P, quand on va au delà de la première approximation.
71. Pour fixer les idées, ne considérons que deux planètes P et P'; nous
aurons à intégrer par approximations successives le système des douze équations
T. — I. 25

Ip4 CHAPITRE XI.
différentielles simultanées suivantes :
da _ 2_ <m
dt na de
(n) {dd_ ; àR
dt ~~ na*^! — e*sin<p <V
da' _ a dR'
dt n'a' de'
(12)
où l'on a
dB'
dt
n'
a'Vi
i
e'*
sin<p'
dR'
dy'1
R = £CcosD» m
(!3) l D = i(p + e) + i7(p' + e') + Arw + Ar'w' +y 0 +/0\
p =. I ndt, p' = I /i'rf£;
r'=2c'cosD';
C et D' sont de même forme que C et D.
Nous avons déjà fait observer que les seconds membres des équations (n)
et (12) sont de petites quantités du premier ordre, à cause des facteurs m' et m
qui entrent dans les coefficients C et C.
Nous allons chercher à développer les expressions des éléments variables sous
la forme
[ a = a0 ■+■ d| a0 ■+■ dt a9 ■+■...,
0 = 0o + d, 00 + ^,00 +•••»
04)
a'— a'0 + <5,a'0 + àta'0 -+-..
B' = B'0+ôl&0 + di&0+..
a0, 60, ..., d0, 6'0, ... sont douze constantes arbitraires dont on trouvera les
valeurs numériques en comparant la théorie à l'observation; les quantités
représentées d'une manière générale par la caractéristique St sont des fonctions
inconnues du temps t, des constantes ci-dessus et des masses m et m';
relativement à ces masses, tous les S, seront de l'ordre i; ceux des S, qui se rapportent
à la planète P devront s'annuler avec m', et contenir m' en facteur, tandis que
pour la planète P' ils auront le facteur m.

PERTURBATIONS DES DIVERS ORDRES. ig5
On mettra ainsi en évidence les quantités S, a0, $2a0, ..., ou les perturbations
du premier ordre, du second ordre, etc., de l'élément a, et de même pour les
autres éléments.
Il s'agit de calculer ces perturbations des divers ordres. Nous poserons
aussi
(i5) n=/i0-hà>0+ô,/i0-H...
et nous prendrons
ce) "o-y—^—
En substituant les valeurs (i4) et (i5) de a et n dans la relation
il viendra
_3
na + ôln0-hSin0-h... = n0( i+ -!—5 + -=-* + ...
\ ao ao /
0 L a ao a a0 8 \ a0 / " ' J '
d'où, en égalant de part et d'autre les quantités de même ordre,
. 3 ô,a0
Oiwo = no >
(17)
On posera ensuite
(18) po=n0t, àip0= I <5,/i0rf*, ôtp0= I dtn0dt, ...,
et la formule p = /n«ft combinée avec la relation (i5) donnera
(•9) p = Po+5Ip0+ô,p0 + ...;
S,p0 sera du premier ordre, S2po du second, etc. On aura des formules toutes
pareilles pour la planète P'.
Il faut substituer dans les équations différentielles (11) et (12) les
expressions (i4). (i5) et (19).

I96 CHAPITRE XI.
72. Perturbations du premier ordre. — Pour commencer, nous allons faire
la substitution indiquée, en ne considérant que les quantités du premier ordre,
et négligeant celles du second. On pourra donc, dans les seconds membres des
équations (11) et (12) qui sont déjà du premier ordre, remplacer a, 6, ..., a',
6', ... par aot 60> ..., a'0, 6'0, ..., et aussi p et p' par nQt et ri01. On trouvera ainsi
(20) R0 = 2cocosDo»
(21) D0=«(/i0* + e0) + i'(n'0t + e'0) + krs0+ *'< +jd0 +jd'0,
dd,a0 _ 2 dR0
dt
dt
=
n0a0 ^£o
1
n.oaWi —
eJsin<po
<m0
d<?0'
Les seconds membres de ces formules sont des fonctions connues de t; on
aura donc
2 fdKo ..
O|a0=: I -3—dt,
1
n0a*\/i — e* sin<p0^ ^?o
(a) \ A fl î r*-"0^/
nnaî\/i — elsinQoJ r
On est ainsi ramené à des quadratures; il est inutile d'ajouter des constantes
qui, dans les expressions (i4) de a, 6, ..., iraient se fondre avec a0, 60, Au
point de vue analytique, toutes ces quadratures dépendent d'une seule,
IJ{0dt; car on a, par exemple,
/t'*=£/».<*•
On aura de même
2 raR'0
Oi«o = ZT-r I -57- dt,
(<*')
ô,0'o =
ri0a'*\J\ — e'^siiKp
- fd-^dt
R0 et R0 sont des fonctions très compliquées du temps t et des constantes a0,
60, ...; de telle sorte qu'il ne faut pas songer à effectuer rigoureusement les
quadratures qui figurent dans les formules (a) et (a').
On pourrait bien avoir recours aux quadratures mécaniques; c'est ce qu'on

INÉGALITÉS PÉRIODIQUES. 197
fait le plus souvent dans la pratique, pour les astéroïdes et les comètes. Mais
on n'obtient ainsi que les valeurs numériques des perturbations, sans rien
connaître des lois analytiques qui les régissent. De plus, quand on cherche les
perturbations pour une seule époque très éloignée, on est obligé de les calculer
pour un nombre considérable d'époques intermédiaires.
Aussi préfère-t-on, dans les théories des anciennes planètes, décomposer la
fonction R0 en une série de termes tels que l'effet de chacun d'eux, dans les
formules (a), puisse être déterminé analytiquement; la série (20) remplit ces
conditions. On trouve, en effet, en tenant compte de l'expression (21) de D0 et
en ayant égard à la façon dont les quantités e0, <p0, ... entrent dans les
coefficients C0 et dans les arguments D0,
^=-2«C.8inD.f
Les formules (à) donnent ensuite
<5, a„ = 5 «C0 / sinD0dt,
n0a0+d °J
n0al\/i — e\ sin<p0 *+ \<*Po J )
On voit sans peine que les seconds membres des quatre équations qui n'ont
pas été écrites ne contiennent non plus que les quadratures
I sinD0dt et / cosD0dt.
Or, en se reportant à l'expression (21) de D0, on trouve
/• ™ j, cosD„ C _ ,# sinD0
sinD0rff = — t-~t> I cosD0 dt=- ^-7-.
Il vient ainsi
. a V «CoCosDo
oia0-= y -. =—-)
n0a0 ** m0 ■+■ V n0
àÇo ....
*' 5» = , / -—: \. 7:
n0a% y 1 — e\ sin<p° ^" "

198 CHAPITRE XI.
On voit que chaque terme C0cosD0 du développement de R0 donne naissance
à des termes correspondants, ou, pour employer le langage des astronomes, à
des inégalités correspondantes dans les expressions des divers éléments. Ces
inégalités sont en général périodiques comme les termes de R0 d'où elles
dérivent; celles que l'on a mises en évidence dans les formules (b) ont pour période
la période même de l'argument Dô, savoir
T,= ™
Si l'on pose
on pourra écrire
in0 -+■ i n'0
„ _ 27T , 27T
n0 n0
1 1 i
Les nombres entiers i et i' ont en général des valeurs peu considérables,
parce que, dans la formule (20), les coefficients C0 diminuent assez rapidement
quand i et i' augmentent. La période T, sera donc comparable aux durées des
révolutions T0, T0 de deux planètes fictives peu éloignées des planètes réelles.
73. Inégalités séculaires. — Les formules (b) sont en défaut quand on a
«/Iq + H n'0 = o ;
cela arrivera d'abord si les nombres i etï sont nuls tous les deux, cas que nous
allons considérer immédiatement.
Nous envisageons donc, dans le développement (4) de R, les termes qui sont
indépendants des longitudes moyennes /et /'; pour ces termes, t disparaît de
l'expression (21) de D0 qui doit dès lors être traité comme une constante; on
aura
D0 = krs0 ■+■ k' rs'0 + j 0O + f &0,
/ sinDo dt= isinDo, / cosD0dt = t cosD0.
Si l'on porte ces valeurs dans les formules (22), et qu'on y fasse i = o, il
viendra
ôia0 = o,
dC0
/ a.eu = —l— S p cosD0,

INÉGALITÉS A LONGUES PÉRIODES. 199
Le signe ^ ne porte plus maintenant que sur les indices k, K, j ety'.
Les termes que l'on vient de considérer dans R introduisent donc dans
l'élément 6 des parties proportionnelles au temps, et il est très aisé de voir qu'il
en est de même pour les éléments e, <p, o, e. Ce sont là les inégalités séculaires
de ces cinq éléments. Les termes de R qui les produisent sont appelés par
extension termes séculaires.
Les inégalités séculaires, variant constamment dans le même sens,
acquièrent une importance capitale quand on envisage deux états du système solaire
séparés par un intervalle de temps considérable, formé d'un nombre plus ou
moins grand de siècles; elles modifient son aspect d'une manière très sensible ;
tandis que les inégalités périodiques, au bout de l'intervalle en question, se
compensent en partie, ou du moins restent comprises entre les mêmes limites.
Il importe de remarquer que, dans la première approximation, les grands axes
des orbites n*ont pas d'inégalités séculaires; c'est ce que montre la première des
formules (c). On voit que cela tient à ce que l'expression (2) de -t->
da 2 dR
dt na de
ne contient que-j-> quantité qui se réduit à zéro, pour i= i' = o; les cinq
. ,, • , ,. „ dR dR dR dR dR ,A . , , , ,
autres dérivées partielles ^— > -5- > -r— > -jâ> j- ne se réduisent pas a zéro dans
les mêmes conditions, et l'une au moins de ces dérivées partielles figure dans
, . / x j de dca d9 dxs . de
les expressions (2) de ^, ^, ^, -^ et ^
Le moyen mouvement n n'a pas non plus d'inégalité séculaire; c'est une
conséquence de la première des formules (17),
(*3) <5,/i0=— ~no—— >
qui donne S, n0 = o, quand on suppose B, a0 =0.
L'absence d'inégalités séculaires dans les expressions de a et n, dans la
première approximation, constitue le Théorème de r invariabilité des grands axes et
des moyens mouvements, théorème fondamental que nous aurons occasion de
compléter, et qui sert de base aux théories des mouvements des planètes.
74. Inégalités à longues périodes. — Il nous reste à examiner ce qui arrive
lorsque l'équation
(24)
m„ + i' n'0 = o

200
CHAPITRE XI.
est vérifiée sans que «et i' soient nuls; on aurait donc dans ce cas
n± __ £.
n'0 ~ iy
c'est-à-dire que le rapport des moyens mouvements n0 et n0 serait
rigoureusement commensurable. Les valeurs de n0 et #i'0, qui sont liées à a0 età0 par la
formule (16) et sa correspondante, doivent être tirées des observations; les valeurs
numériques ainsi obtenues ne sont exactement commensurables pour aucune
combinaison des planètes prises deux à deux. Mais il y a en revanche un assez
grand nombre de commensurabilités approchées. Ainsi, il arrive fréquemment
que, pour des valeurs entières convenables des indices i et «', en général peu
considérables, la quantité in0 -+- i'ri0 est petite par rapport à n0 et #i'0, de
sorte que la condition (24) est vérifiée approximativement.
Si l'on considère les termes du développement de R pour lesquels i et i' ont
ces valeurs particulières, les inégalités périodiques des éléments, calculées par
les formules (6), pourront être très sensibles, en raison du petit diviseur
in0-+- V n\ qui figure dans ces formules.
La période T, = - —- de ces inégalités sera très grande par rapport à
0 = — et Tn = —> car on aura
T,_ 1 T,
ï0 /tfio-nXy T'o (in0+i'n'0\'
Ces inégalités, qui sont en quelque sorte intermédiaires entre les inégalités
séculaires et les inégalités périodiques ordinaires, ont reçu le nom ^inégalités
à longues périodes; elles jouent dans notre système planétaire un rôle très
important.
C'est surtout dans l'expression de la longitude moyenne que ces inégalités
sont très sensibles. On a en effet
/ = p + e+.r;
d'où
1= l0-\-dll0-\-dil0-\-..., l0=n0t-\- e0.
Or les formules (18) et (23) donnent
<5,p0 = — - -^ I 8,a0^>

INÉGALITÉS A LONGUES PÉRIODES. 201
d'où, en remplaçant $,a0 par sa valeur (6),
o
3 v' «CoSinDo
ce qui montre que celles des inégalités de la longitude moyenne qui
proviennent de p contiennent le petit diviseur i#i0-f- ïri0 au carré, tandis que ce diviseur
ne figure dans les autres éléments qu'à la première puissance.
Quand on connaîtra les valeurs numériques de n0 et #i'0, il sera facile de
trouver les nombres entiers i et i', tels que in0 -+- i'n0 soit très petit par rapport à n0
et n0 : il suffira, en effet, de convertir en fraction continue le rapporta; les
no
nombres i' devront être pris dans la série des numérateurs des réduites, changés
de signe, et les nombres i dans la série des dénominateurs. Avec ces nombres,
on formera la suite des valeurs de in0 -+- tv/i'0, et l'on verra si, parmi elles, il s'en
trouve une très petite. Si, pour arriver à ce résultat, on est obligé d'employer
de grandes valeurs de i et i', les inégalités à longue période correspondantes
seront généralement peu sensibles, à cause de la petitesse du coefficient C0;
il s'agira du reste de s'assurer de l'ordre de grandeur de l'expression
(mo + i'/i'J*
Pour la planète P', dont le mouvement dépend de la force perturbatrice R',
il y aura des inégalités à longue période correspondantes.
On a, par exemple, pour Jupiter et Saturne, en prenant le jour solaire moyen
pour unité de temps,
n0 = 299" ,1284, «'0 = 120", 4547 î
on trouve aisément
=?=,+ !_
nn 1
2 -+-
14 + .
les réduites successives sont-> -> •••> et l'on a
1 2
i» n.
5n'0 — 2/i0 = 4"»ol67 — ~7 = t2 (environ).
On voit que les termes de R et R' qui sont de la forme
C cos ( 2 / — 5 /' + krs + k'rs1 +J 6 +/ 6' )
T. - I. 36

202
CHAPITRE XI.
peuvent donner naissance à des inégalités périodiques très sensibles, bien que
les coefficients C et C soient assez petits; leur période sera égale à environ
74 fois celle de Jupiter, soit tout près de 900 ans.
Ces inégalités sont, en effet, très considérables dans les longitudes moyennes,
et la longitude héliocentrique de Saturne se trouve altérée, par ce fait,
d'environ 5o'.
75. Perturbations du second ordre. — La considération des inégalités du
premier ordre ne suffit pas généralement pour établir les théories des planètes;
on est obligé d'avoir égard aux perturbations du second ordre, ou du moins aux
plus importantes de ces dernières. Nous allons donner, dès à présent, quelques
indications à ce sujet.
Considérons l'une quelconque des formules (2), celle par exemple qui donne
-t:, et écrivons-la comme il suit
ai
— — w'F(p+e, p' + e', a, a', ...);
nous allons y substituer
0=0O + <5,0O+<5,0O + ..., p = p0+<î,poH-..., e = e0+<5,e0 + ...,
et égaler de part et d'autre les termes du second ordre. On développera, par la
formule de Taylor, l'expression
FCpo+eo + âipo + ôjÊo, p'o + eo + âipo + ôie'0, ao + dia^ a'0 + ô,a'0, ...),
en négligeant les carrés et les produits des quantités £,. On trouvera ainsi, en
désignant par F0 ce que devient F quand on y remplace p, e, ... par p0, e0, ...,
On mettra dans le second membre, pour les perturbations du premier ordre,
les expressions obtenues précédemment. On aura déduit du développement (20)
de R0 un développement analogue pour la fonction F0; c'est de là qu'on
tirera les expressions de -, ---> -v^> • • • qui figurent au second membre de la for-
mule (26); il faudra effectuer les produits tels que -j-^p,,, et les mettre sous
une forme commode pour l'intégration. Finalement, on obtiendra S260 par une
quadrature; on n'ajoutera pas de constante d'intégration; on calculera de même
les perturbations des cinq autres éléments.

PERTURBATIONS DU SECOND ORDRE. 2o3
Pour ce qui concerne $2p0» on tire des formules (17) et (18)
On peut aussi diriger le calcul autrement, en partant de la formule
qui se déduit aisément des relations
dp , , ,, . da a dR
-£=#i, n*a3= f(i + m) et -77 =— -5- ;
dt dt na de
mais c'est un sujet sur lequel nous aurons l'occasion de revenir.
S'il était nécessaire de calculer les inégalités du troisième ordre, on
égalerait, par exemple, la valeur de J ° au produit par m' de l'ensemble des
termes de second ordre dans le développement par la formule de Taylorde
l'expression
F ( p0 + e0 + ô, p0 + <5, e0 + ôâ p0 + ô, e0, • • • ) •
La méthode est, on le voit, des plus simples; il n'en est pas de même
des calculs, qui se compliquent singulièrement avec l'ordre des
perturbations. Fort heureusement, dans les théories des anciennes planètes, on n'a le
plus souvent à calculer que quelques inégalités du second ordre; il y a lieu de
faire toutefois une exception pour Jupiter et Saturne où le nombre des
inégalités du second ordre dont il faut tenir compte est considérable; on est même
obligé d'avoir égard à quelques inégalités du troisième ordre. On doit convenir
que, dans ce cas, la substitution des six éléments variables aux trois
coordonnées d'une planète paraît être une source de complications; car cela augmente
beaucoup le nombre des termes à considérer dans les développements où
intervient la formule de Taylor.
Nous ferons remarquer que la méthode suivie, qui revient en somme à
développer les perturbations des éléments suivant les puissances des petites
quantités m, m' ne peut pas être employée pour un intervalle de temps indéfini.
Elle convient pour un certain nombre de siècles, ce qui tient à la petitesse
des inégalités séculaires quand il s'agit d'un pareil intervalle; cela suffit aux
besoins actuels de l'Astronomie. L'emploi de la formule de Taylor suppose, en
effet, que les quantités B,60, £,©„, ... Sa^o» ••• restent toujours assez petites
pour que la convergence des séries soit assurée ; or, S|G0, BtxsQt ... contiennent
des termes de la forme Am't; ces termes, qui sont petits pour des intervalles

2o4 CHAPITRE XI.
modérés, à cause du facteur m', finiraient par grandir au delà de toute limite,
et, à supposer que les séries restent convergentes, elles ne seraient plus
d'aucune utilité pratique.
76. Poisson, dans la théorie du mouvement de la Lune, pour laquelle les
inégalités séculaires sont considérables, a apporté une modification utile au procédé
donné plus haut pour le calcul des perturbations des divers ordres; bien que
nous nous proposions d'étudier ce point complètement dans le tome III de cet
Ouvrage, nous croyons utile d'en parler dès à présent, et d'une manière générale.
Nous considérons toujours, pour fixer les idées, deux planètes P et P', et nous
écrivons les équations différentielles sous la forme
dd
(29)
— = /n'F(p + e, 6, m, a, .
~ = /n'<fc(p + e, 0, w, a, .
de
— = m'W(p-he, 0, nr, a, .
da
•., p'+e',
-, p'+e'i •
.,p' + e', ■
• •),
..)■
..),
dt '
En ayant spécialement en vue les inégalités séculaires des éléments 0, ©, e,
désignons par X, jjl et v trois constantes indéterminées, par 6,, xs{ et e, trois
nouvelles variables, et posons
(3o) & = 6i-\-'km' t, T3 = i3i-\- ixm' t, e^ti + vm' t\
les formules (29) pourront s'écrire comme il suit :
—± — /ft'[F(p + e, + vm't, 0,+ X/n'i, nr, + prit't, ...) — X],
dzs\
(3i)
—t- = m'[&(p +61 + vm't, 0, + X/n'i, nr, + pm't, ...) — /jl],
de
-^ = /n'[*F(p + e|-t- vm't, 0, + X/n'i, nr, + pm't, ...) — v],
da
dt ~
Cela posé, on peut appliquer la méthode primitive aux équations (3i) et
faire
01 = 0o + ^1.00 + ô, 0O -h . . . ,
5J|=d0+ Ô|7ïT0 H- ÔtTS0 + . . . ,

PERTURBATIONS DU SECOND ORDRE. 2()5
en désignant de nouveau par 60, ts0, ... des constantes arbitraires ; seulement,
quand on développera les fonctions F, $, W, ... suivant les puissances et les
produits des S,, S2» • ••. on aura soin de ne pas faire sortir les termes \m' t, \j.m' t,
vm't des signes F, <&, Ainsi, par exemple, on écrira
F(p + e + v/n'f, .. .)=rF(p0 + e0 + v/n'f, 0o + X/n'i, w0 +/jl/n'f, ...)
dF
On déterminera ensuite les inconnues X, p.etv de manière que les
expressions de 6,, xs{ et e,, fournies par les approximations successives, ne contiennent
pas de parties proportionnelles à /.
On applique généralement le premier terme de la transformation précédente,
même dans le cas des planètes. On calcule en effet le plus souvent, dans la
première approximation, les inégalités périodiques en substituant dans leurs
expressions les éléments e, m, 6, e\ ©', 6' augmentés de leurs inégalités
séculaires. Si, par exemple, on considère dans le développement de la
fonction perturbatrice le terme dont l'argument est
D = i(nt + e) +i'(n't + e') ■+■ kxs + k'xs' +/0 +/0',
on prendra dans les formules (22)
J)0=i(n0t -\-t0-\-vm't) -+■ i'(n't-\-e0 -\-v'mt)
-+-k(zs0 + ixm't)-h k'(Ts'Q-h ix'ml)-hj\d0+vm't)+J(d'0-hv'mt),
— cosD0
I sinD0a*= —. 77 77—; r—
k [i m' + k' [).' m -\-j'v m' -\-f v' m
Il convient de remarquer qu'en opérant ainsi on tient compte, dès la
première approximation, de termes qui sont du second ordre par rapport aux
masses.
Après avoir donné ces indications générales sur le calcul des perturbations,
nous devrions nous occuper du développement de la fonction perturbatrice R
sous la forme (4) mentionnée au commencement de ce Chapitre.
Nous traiterons cette question avec toute l'étendue désirable; mais nous
commencerons par un certain nombre de recherches et d'études préliminaires, qui
nous serviront à établir le développement cherché.

20Ô CHAPITRE XII.
CHAPITRE XII.
TRANSCENDANTES DE BESSEL.
Nous aurons besoin fréquemment, dans la suite de cet Ouvrage, de certains
développements en séries des coordonnées d'une planète dans son mouvement
elliptique autour du Soleil.
hes^agctinns ou transcendantes de Besselconstituant la base de ces
développements, jioqLS croyons utile de présenter ici une théorie concise de ces
fonctions.
77. Considérons l'expression
(i) Z = E^v";),
dans laquelle E désigne la base des logarithmes népériens, x et z deux
quantités quelconques réelles ou imaginaires (nous supposerons néanmoins dans ce
qui suit x réel); cette fonction peut être développée en une série convergente
suivant les .puissances positives et négatives de z.
On a, en effet,
X _ X
Z=Ea*xE **;
X X
E" est développable en série convergente suivant les puissances de -z et E **
l'est aussi suivant les puissances de — > en exceptant toutefois le cas où le
module de z serait égal à zéro; on aura

TRANSCENDANTES DE BESSEL. 207
on en conclura
... ,=. (-)^(f)
\<x+p
0 z=2 1 , .,...«■■'/,... p*-"-
a=o p=o
Nous ferons
(i) e»v *-' = y j,(*)*'.
1 «=+•
c'est-à-dire
Z = J0(a?)+J| (#).3 + J, (.r)*2 +... + J1 (x)zl + ...
+ J_,(aj)a-' + J_i(a?) s_I + ... +J_/(a?)s-'-H
Nous allons chercher les expressions générales et les propriétés principales
des fonctions h(x) qui s°nt les fonctions de Bessel.
L'expression (i) ne change pas quand on remplace s par — -; nous aurons
donc
Z = J0(a?) —J-i(«)« +J_1(o?)s» — ... + (— iyj-i(x) z{ + ...
-J, (*)*-•+ JS (*>)*-»_...+ (—i)'J, (^)s-'+^*..
La comparaison de ces deux expressions de Z donne
J-i(ar)= — J|(«), J_,(-ar) = J1(o?)> ...,
(II) J_,(*) = (-i)'J<(*).
On peut donc se borner au cas où l'indice i est positif.
Si, dans la formule (2), nous faisons a = (3 H- i9 de manière que l'exposant
de s soit égal à i, nous trouverons pour le coefficient de z' dans Z, c'est-à-dire
pour Jj(d?)f l'expression suivante
p=. (-i)p(^)
*tK } Zà i.a...(3.i.a...(* + [3)'
p=o
d'où
(III)
.,, (?y r Q', @' 1
,v ' i.a...i*L 1.(1 + 1) 1.a.(i+i)(i + a) "J

2o8 CHAPITRE XII.
On conclut de (II) et (III)
h (-*) = (-0'J/(*).
J_/(— x) = it(x).
La série qui figure dans l'expression de h(x) est convergente; car, si l'on
considère les deux termes consécutifs (— i)pup et.(— i)/H"' i*^, on a
(î)'
up+i
Up ~~ C? + »)(/>+ '*+»)'
et ce rapport tend vers zéro quand p croît indéfiniment. La convergence sera
d'autant plus rapide que x sera plus petit et i plus grand; si x est considéré
comme unepetite quantité du premier ordre, J,(a?) sera de l'ordre i.
Les fonctions J,(a?) avaient été considérées avant Bessel par Fourier dans sa
Théorie de la chaleur; aussi leur donne-t-on souvent le nom de fonctions de Fou-
rier-Bessel.
L'équation (I) peut s'écrire, en tenant compte de (II),
eï(2-;) _ Jo(<r) + Jj( ^ (;s« + z-t) + Jt(<r ) (5» + s-») + # # _
+ Jt (a?) (* - -i) + J,(ar) (s» _ «-a) _,_... ;
faisons, dans cette formule,
s = E?^rï;
il viendra
EaV-"l,i"» = J0(^) + aJ,(^)cosa<p + ajt(.a;) cos4? +...
+ y7—i [aJ,(.a;) sin<p + aJ3(.r) sin3<p +...].
Supposons x et <p réels; nous aurons, en égalant dans les deux membres de
l'équation ci-dessus les parties réelles et les coefficients de y^— i,
Icos(.#sin<p) = J0(^) + aJj(^) cosa<p + ijk(x) cos4? -K • •
sin (.r sin<p) = aj,(^)sin<p -\- ajj(.a;) sin3<p +
On voit donc que les fonctions de Bessel permettent de développer en séries
périodiques les expressions (a?sin<p).

TRANSCENDANTES DE BESSEL. 209
En changeant <p en <p -+- -> il vient
( cos(j7cos<p) = Jo(^p) — aJj(^) cosacp + aJt(a;) cos4<p —...,
( sin(^ces<p)= aJi(^) cos<p —aJ3(^)cos3<p + —
78. Entre trois fonctions consécutives J£_,(x), J,(a?), J ,+,(#), il existe une
relation très simple que nous obtiendrons en differentiant l'équation (I) par
rapport à z, ce qui nous donnera
î(.+£)i?H>=2.w
ou bien
-i-oo -t-oo
f(i+?)2Jf^s/=2t*Jf(^)^",;
—« —»
d'où, en égalant dans les deux membres les coefficients de zl~\
(V) ut(x) = \ [Jf+,{x) + j,_,(*)] ;
c'est la relation cherchée.
SoitT une quantité quelconque; on a
Ef H) [,_ i (2 +1)] = 2 ['.(*> _ t W£l±i-l£)] -
ou bien, à cause de la relation (V),
o) i?H)[.-î(.+i)]=l"(.-^)j,(»)^i
i= — •
cette formule a été employée par Cauchy dans un de ses Mémoires.
La relation (V) est utile surtout pour les déterminations numériques.
Supposons qu'on veuille calculer J0(x), J| (a?)» h(&) h(&)' a? ayant une valeur
connue; on calculera directement J0 et J, par les séries (III); la relation (V)
donnera de proche en proche J2, J3 J£, mais avec une précision qui ira en
diminuant à mesure qu'on s'éloignera du point de départ. On vérifiera J, en le
calculant directement par la série (III).
Toutefois, il vaut mieux avoir recours au procédé suivant :
Posons
U) Pi = Ti P* = T' '"' P'—l—' Pi+i— -J-> •■•!
T. - I. 27

2F O CHAPITRE XII.
nous en tirons
1 >
[ 3i = J0.pip3...pi.
On est donc ramené, d'une part, au calcul de J0 par la série (III); d'autre part,
au calcul dep,,p2 /?,.
La relation (V) peut s'écrire
ou b
(6)
d'où
(7)
ien
l'on
tire successivement
2l _
X
ai
x ~
Pi =
Pi+\ =
Ji-i
[h
i
"Pi
2i
X
i , Ji+i
.Ji
+ £>M-1 >
I
-^/+1
I
21 ■+- a
On aura donc ce développement de/?, en fraction continue :
(8) #»i=T7
21
.# an- a
^ a i + 4
On calculera/), par cette formule. L'équation (6) donnera ensuite, pour le calcul
de/>,-_, pt,
I 2Î — 2
— />»
Pi-l &
i ai — 4
(9) { />'-» ~ x
— Pt-u
i a

TRANSCENDANTES DE BESSEL.
211
Voici donc l'ensemble du calcul :
On détermine directement J0 et J, par les séries (III), pt par la fraction
continue (8), pi-t, pi-2 p{ par les formules (9), J,, J2 J, par les
relations (5); la valeur trouvée ainsi pour J, devra coïncider, dans les limites de la
précision cherchée, avec la valeur obtenue directement. S'il en est ainsi, tout
le calcul se trouvera vérifié.
La fraction continue (8) se calculera elle-même par cet ensemble de
formules
1
Pt+J - 21 + 2/
X
I
Pt+J~l - 3I + 2/-2 '
- Di^:
P< =il '
* ~Pi+i
où le nombre y aura généralement une valeur peu considérable, telle que 1,
2, 3, et que l'on détermine rapidement par tâtonnements : le calcul est plus facile
quand on a recours aux Tables de logarithmes d'addition.
Dans son Mémoire sur la détermination des perturbations absolues dans les ellipses
d'une excentricité et d'une inclinaison quelconques, Hansen a calculé des Tables
numériques donnant avec six décimales les valeurs de J0 et J, ; l'argument
est-; il varie de o à 10, en augmentant chaque fois de la quantité
constante o,o5.
Dans le Tome I des Mémoires de Bessel, publiés par Engelmann, on trouve,
p. io3, des Tables donnant avec dix décimales les valeurs des fonctions J0 et J, :
l'argument est x; il varie de centième en cenlième, depuis o jusqu'à 3,2.
On pourra évidemment faire usage de ces Tables pour déterminer J0 dans le
procédé de calcul indiqué plus haut.
79. On peut exprimer la dérivée de J, (x) en fonction de J,+1 (x) et de J£_, (x) ;
il suffit, pour y arriver, de différentier l'équation (I) par rapport à x, ce qui
donne
en égalant dans les deux membres de cette équation les coefficients de s1, il

212 CHAPITRE XII.
vient
(VI) ^^ = j[Ji-.(*)-W*)].
On tire de là
cPit{x) _ i_ rrfj/_,(a7) _ dii+l{x)'\
dx* a |_ dx dx \
ou bien, en remplaçant les deux dérivées premières par leurs valeurs conclues
de (VI),
<">> ^liïp- = i L W*> - a J'<*> + *'-■<*)]•
Or on tire de la relation (V)
(i + i)J/+i(o?) = j[J*+i(a?) + J,(j?)],
(i —i)Ji_,(o?)= j[J*-i(a?)+J,(a?)],
d'où
i[Jl+I(a?) + J,_,(a?)] - [J/-i(*) — J.-m(a?)] = j[J/+i(a?) + J,-,(a-) -+- 2 J,( a?)],
ou bien, à cause de (V) et (VI),
^ «*(*) - a ^^-) = Î[JI+1(*)-2J,(*)+!*.,(*)] +2^^);
en combinant cette équation avec l'équation (io), on trouve enfin
cette équation différentielle que vérifie la fonction J,(a?) est linéaire, du
deuxième ordre, à coefficients variables et sans second membre; elle est très
utile quand on veut faire une étude approfondie des fonctions de Bessel.
Écrivons, comme il suit, la formule (I)
e«" ^ = j0(^) + ^j,(^)5'+2(-,)^(^)-';
i i
en changeant z en -> il vient
E »y ~^ = J0(x) + ^iJi(x)z^+^i(-iyji(x)z';

TRANSCENDANTES DE BESSEL. ai 3
si nous multiplions ces équations membre à membre, nous obtenons une
équation de la forme
i=A0+2 Atz'r+2 A-'-s"'
i i
qui, devant avoir lieu quel que soit z, nous fournit les relations
A0=i,
A, = o, A_, = o;
nous ne développerons que la première, qui nous donne
(VIII) j = J* (.*) +a J*(.z) +a J* (*)+....
Cette formule curieuse montre que, a? étant supposé réel, la valeur absolue
de J„(a?) est plus petite que i, et que celle de chacune des fonctions suivantes
Jt(a?), J2(-z0» ••• est inférieure à -=•
y/a
On pourrait vérifier la formule (VIII) en partant de l'expression suivante, à
laquelle on arrive assez facilement pour le carré de la fonction J,(a?) :
I.2.3...(2|») \l)
(IX) JJ<*) - 2 (—1)""' [i.a...(/» —OÎ [i .af. -(/» H-0] (- -a" - -/»)*"
P=i
80. On peut exprimer J,(a?) par une intégrale définie.
Revenons, en effet, à la formule que l'on obtient en remplaçant, dans (I), z par
E?v/_l, savoir
pz= + tc
p = — »
on en tire
rtw — — p%? r1*
Jo p=_m Jo
ou, en remarquant que l'on a
o pour 7<o,
0
f E-f/ç-x.in?)»/-!^.
o
= 3 7T POUF 7=0,
Ï7t

2l4 CHAPITRE Xll. — TRANSCENDANTES DE BESSEL.
y—i disparaît du second membre de cette formule, comme on le voit aisément,
et il reste
pin
a7rJ,(^)= / cos(i'<p — xsmy)dy
"0
ou plus simplement
i rn
(X) J,-(j?)=- I cos(i'<p — xsin<p)d(p.
On peut obtenir une autre forme en opérant comme il suit :
L'expression générale (III) de J,(a?) peut d'abord s'écrire ainsi
/ \ w/ \ ,r 1 i x*~p i.3...(ao —i) ~]
(il) li(x)=Xt -. . —... + (— l)P X —, f-f- ^r + ... .
x ' x ' l_a.4-..ai x ' 1.2. ..a/> a.4- • .(a«+ *p) J
Or on a cette formule bien connue, dans laquelle A et B désignent deux
nombres entiers positifs,
f* • >a >b ^ [i.3...(aA-i)][i.3...(aB —i)]
/ sinïAœcosïB<prf9= ^ *—-. '-f\ ^r ^7t;
J0 a.4...(aA + aB)
on en tire, en faisant A = «et donnant successivement à B les valeurs o, i />,
. — —r ]—. - / sin"©rf<p,
\...*i i.3...(ai — i) irl ' T'
a.4.
i.3...(a/> — i) i i r* . ,. . ,
^- — — —ô ;—-. r- / sin"<pcosï''9rf<p,
i.3...(ai—i) nj0 t t
a.4...(a*'+a/>)
En portant ces valeurs dans la formule (i i), il vient
v ' i.3.. .(ai — i) i:J0 TL ï-a i.a...a/> J T
ou bien
xt i r*
(XI) J{(a;)=—= —- -- / cos(.#cos9) sin'^rfœ.
i.3...(ai — i) nj0 t/ t t
C'est la seconde forme cherchée; elle a sur la première l'avantage de mettre en
évidence le facteur xl ; si x est considéré comme une petite quantité du premier
ordre, h(x) sera de l'ordre i.

CHAPITRE Xlll. — APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 2l5
CHAPITRE XIII.
APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL
AU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.
81. Théorème préliminaire. — Soit/(Ç) une fonction périodique de Ç, dont
la période est 2it, qui reste finie pour toutes les valeurs de Ç; cette fonction
est('), pour toutes les valeurs réelles de a?, développable en série convergente
comme il suit :
( /(Ç) = £A0+(A,cosÇ+ B,sinÇ) + (A,cosaÇ +B,sinaÇ) +...
(i) <
( + (A/ cos iK + BiSiniK)+
Les coefficients'A et B peuvent être exprimés par des intégrales définies; on a,
en effet,
-\T>
/(K)cosiïdï,
Bi=1- f /"(Ç)siniÇdÇ;
cette expression de A, convient aussi pour i = o, si l'on a eu soin, comme nous
l'avons fait, de mettre dans la formule (i)£A0et non A0.
(•) Considérons une fonction quelconque de Ç, *(Ç)f et portons notre attention sur les limites o
et 2ir de Ç et sur les valeurs correspondantes de *(Ç) que nous supposons finies. Le théorème de
Fourier et la démonstration de Lejeune-Dirichlèt nous apprennent que, dans cet intervalle, on peut
toujours trouver un développement périodique convergent de la forme (i), c'est-à-dire
f(0 = i Ao■+■ (A! cosÇ -+- B, sinÇ) -h.. .-t- (A, cos/Ç ■+- B, sin*'Ç) -+-...,
loi que, dans tout l'intervalle considéré, on ait /"(£) = *(£)» et ce développement est unique; la

2l6 CHAPITRE XIII.
On en conclut que le développement périodique (i) n'est possible que d'une
seule manière.
Si la fonction/(Ç) est paire, les sinus doivent disparaître de la formule (i);
on a, en effet, par hypothèse, pour toutes les valeurs de Ç,
(3) /(C)=/(-C);
en remplaçant/(Ç) et/(— Ç) par leurs valeurs déduites de la formule (i),
supprimant les termes communs aux deux membres, il reste
o = B, sinÇ + Bj sinaÇ + ... + B, sini"Ç + ... ;
cette équation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de Ç; on peut appliquer la
dernière des formules (2), en remplaçant sous le signe / la fonction /(£)
par o; on trouve ainsi
B, = o, Bt = o, ...;
donc, dans ce cas, le développement (1) se réduit à
(4) /(Ç) = |A0+A,cosÇ + ...+ A,cosiÇ +
On conclut de la formule (3) la relation
/(a*-'C)=/(C);
on a, d'ailleurs,
cost(a7T— Ç) = cosiÇ;
si donc on considère les valeurs de l'élément différentiel de la formule
1 /•"
Ai=z / /(OcosiÇdÇ,
qui correspondent aux valeurs Ç et 2it — Ç, on voit que ces valeurs sont égales
et de même signe, et l'on peut écrire
(5) A,= - f f{ï)cosiïdÇ.
fonction *(Ç) peut môme être discontinue. Mais, de 2ir à 4ir, de 4"* à 6ir, ..., /(Ç) reprendra les
mêmes valeurs que l'on a obtenues de o à 211; tandis qu'en général *(Ç) pourra prendre des valeurs
n'ayant aucune espèce de rapport avec celles de *(Ç) pour Ç compris entre o et 211. Il n'en est plus
de même quand la fonction * est périodique et a la période 211; les fonctions /(Ç) et *(Ç)
coïncideront alors pour toutes les valeurs réelles de x.

APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 217
Si la fonction/(Ç) est impaire, on a, quel que soit Ç,
(3') /(C)+/(-C)=o;
d'où, en remplaçant /(£) et/(— Ç) par leurs valeurs tirées de la formule (i), et
supprimant les termes qui se détruisent,
o=\ A„ + A, cosÇ + . .+ A/Cosi'Ç + ...;
Si donc on applique la première des formules (2) en y remplaçant/(Ç) par o,
il viendra
A„ = o, A, = o, ...,
et, dans ce cas, le développement (1) se réduit à
(4') /(0 = BlSinÇ + BîSinaÇ + ... ;
on aura ensuite
/(arc — K) = — /(?), sint(27r— K) = — sim'Ç,
et en groupant les éléments différentiels, comme on l'a fait plus haut, on verra
que la seconde des formules (2) pourra s'écrire
(5') B,= - f /(Ç)siniÇ<£.
82. Soient e l'excentricité de l'orbite d'une planète, excentricité qui sera
comprise entre o et 1 ; Ç l'anomalie moyenne correspondante au temps
quelconque f; u, w et ries valeurs de l'anomalie excentrique, de l'anomalie vraie et
du rayon vecteur qui se rapportent à la même époque. On aura, comme on l'a
vu au n° 32, l'équation
(6) u —esini/ = Ç.
Soity un nombre entier positif : considérons la fonction
cosju =/(K);
lorsque £ augmente de 2it, u augmente aussi de 2it, et la fonction cosju ne
change pas ; cosju est donc une fonction périodique de £ dont la période est 2it ;
d'ailleurs, cette fonction reste finie. On peut donc la développer sous la
forme (1), et appliquer les formules (4) et (5), parce que/(Ç) est une fonction
paire. Nous poserons
(a) cosj'u = ±p{J) + p[J) cosK+p^ cosaÇ + .. .-\-pl/] cos«Ç + ... ;
T. — I. a8

2l8 CHAPITRE Xlll.
la série sera convergente, quelle que soit la valeur de e entre o et i, et nous
aurons
7T ■ rn
2J>o)=l cosjudK,
(7) -zPP— I cosyacosiÇdÇ.
•/o
On tire de la formule (6)
d£ =(1 -- e cosu)du;
il en résulte d'abord
_ /»^ /»tc
- ^J/' = / cos y u du — e f cos u cos j'u du ;
on en conclut que, siy est supérieur à 1, on a
lorsquey = 1, il vient
pV = oi
1 cos* udu = e,
0 a
d'où
La formule (7) peut s'écrire
— pP — J cosju di. dÇ;
en intégrant par parties, il vient
*n (h C* • -y dCOSJU
rfC,
ou bien, en remarquant qu'aux limites o et n de Ç répondent les mêmes limites
de u,
—,pi/)= ! siniÇsinj'udu.
Nous pouvons remplacer £ par sa valeur (6), ce qui nous donnera
/**
— ^5/' — / asinyi/sin^ï/ — iesinu)cfa

APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 219
ou bien
-^^/'=: ! cos[(t—j) u— ies\nu~\du — I cos[(i-\-j) u— iesinu]du.
J Jo «'o
Si l'on a égard à la formule (X) du n° 79, on voit qu'on peut écrire
[ pT = o, pour j > i,
On aura, en particulier, pour j = i,
„(i)__ St-i(ie) — J,+1(/e)
Pi - (
cette expression peut être transformée au moyen de la formule (VI) du n° 79,
qui donne, en y remplaçante parte,
J,_, ( le ) — J/+1 ( le) = -. Je ;
il viendra donc
(O
Pl i» de
><«>= —
\ Pï'=-e.
Considérons maintenant la fonction
siiy*/=/(Ç);
c'est une fonction périodique de Ç dont la période est ait; cette fonction reste
toujours finie, elle est du reste impaire; on pourra donc poser
(a') sinyM = 7(/,sinÇ + gr',-"sin aÇ +. . .-\-q^)s\niK + •. • ;
cette série sera convergente pour toutes les valeurs de e comprises entre o et i,
et l'on aura, par la formule (5'),
- q{/] = j s'mjusimÇdÇ
ou bien
— g¥> = -j smju dt. dK;

220 CHAPITRE XIII.
d'où, en opérant comme précédemment,
cos iÇ cosj'u du,
w
— q(p = I a cos ju cos ( iu — ie sin u)du,
1 «/o
= I cos[(i — j)u— iesinu]du-\- I cos[(i+j)u—ies\nu]du,
(V) ri" = 4[Ji-y(fc) + Ji+y(k)]-
On aura, en particulier, poury = i,
,,, _ Jf-I(fe) + J/+i(t'g).
*' — ,• »
cette expression peut être transformée au moyen de la formule (V) du n° 79,
qui donne, en y remplaçant x par ie,
Jf_,(ie) ■+- JM(ie) = - Jt(ie);
il viendra donc
(O q\u=^eh{ie).
Remarque. — On tire des formules (a) et (b), (a') et (£'), en supposant
7>i.
1 = 06
cos iÇ
(d) cos/u=j^i[Ji_j(ie) — Ji+J(ie)]^-y
l = oe
(<*') sinyM —j 2 [Jw( fe ) + J,+y (ie)] ^-.
i = i
On peut écrire ces formules comme il suit
/ \ • V ¥ / • v COS l'Ç
(e) cosju=j 24 J/-/(*e)—j->
i = — «
i = + oe
/_/\ • • • V w / • v sini'Ç
(e/) sitiju=j ^ *i-j(le)—i->

APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 221
où l'indice i prend la série des valeurs entières positives et négatives, zéro étant
excepté.
Pour le voir, il suffit de remarquer que l'on a
J_ t-j (— ie ) = ii+j (ie).
83. Nous pouvons appliquer ce qui précède au développement périodique du
rayon vecteur r, dans le mouvement elliptique. On a
/• = a(i — ecosu);
il suffit donc de remplacer cosm par son développement fourni par les formules
(a) et (c); on trouvera ainsi
1 = 06
</> 5=' + ;'-2i
r ' . V diAie) cosiÇ
-=i+-e* — >.ae '
de
en remplaçant J/(«e) par son développement en série
J/(*0 =
i .a.
.i\\l) 1.(1+1) ^ I.2.(l + l)(l + 2) J
et faisant
(A) C,= 7
_ a \i) t i + a U/ ' + 4 W ,
' ii.a...i'L «(i + i) i i(* + i)(*+a) i.a ' -J»
la formule (/) donnera
1= 06
(B) - =i+- - V C,cosiÇ.
Les formules (A) et(B) résolvent la question proposée; il est important de
remarquer que, si l'excentricité e est considérée comme une petite quantité du
premier ordre, le coefficient de cos i£ dans le développement de r est de l'ordre «,
et qu'il ne contient que les puissances i, i + 2, i + 4. • • • de e.
Cherchons maintenant le développement de la différence u — £ entre
l'anomalie excentrique et l'anomalie moyenne; on a
a— Ç =r esinM

222 CHAPITRE XIII.
ou bien, en ayant égard aux formules (a') et (c'),
i = «
a
= i
Posons
(A,D->iiU (*)' , ®' (tT
^ ; ' ii.a...i|_ 1.(1 + 1) ~ri.a(i+i)(i+a) i.a.3(i+i)(i+a)(i + 3)
et nous aurons
i = «
(B') M-Ç=2D'siniÇ-
1 = 1
On voit que le coefficient D£- de sini'Ç est de l'ordre i et qu'il ne contient que
puissances i, i'-+- 2, i: -h 4, • • • de e.
84. C'est ici l'occasion de donner deux formules qui sont souvent utiles;
signons par w l'anomalie vraie de la planète; on a
tang-w = i/ ^-L-ftang^*/;
a VI —e w a
a y 1 —
cela rentre dans le type
tang^ = jji tanga?,
qui donne, comme on sait,
(8) y = a? + " sinaa?+ - ( ) sin4-^+ 0 ( ) sin6a?+...;
' J fx + i a\|jn-i/ 3 \fx -H 1 y
on aura, dans le cas actuel,
A -+- <? jix — 1 e
lX~V ' —e' f* + * ~~ i-j-V7! — e1'
/ T e . 1 e1 .
I hp> =: m + a I ; sin m H— 7 — sin a m
j L,+v/irr7« a(I + v/,_e«)1
/ +57 f N, sin3t/-t- ... .
(C)
On peut écrire aussi
a y 1 + e
tang ^ u = \/ j-^—^ lang - w.

APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 223
Pour appliquer la formule (8), on devra prendre
il en résultera
u = w — al ■
L'+v' —e*
(C,)
Nous allons considérer ensuite la différence entre l'anomalie moyenne et
l'anomalie vraie. On a les formules
Ç= u — e s'inu,
sinw
fX-I
fX + I
I
a
ï
+ 3
=—
(" +
0 +
e
i+s/i — e1'
é1
VT^e')'
e% „:_*„.
s/i-e>y
sin u =^i — e1
ï + ecosMP"
d'où
, x „ , zd. log(n-ecosw)
(9) ç=a + s/,_e» &!__ L.
Or on peut éérire
i + ecosw= -^(i-+-f3EH'^r')(i + (3E-M'v^ri)f
en posant
ï —y7! —e1 e
(3- - .
e ï + s/i — e'
On en conclut
log(i+ecosw)=log -g + &(EH'v^ï + E-M'»/::7) — &!.(E*"'/rï + E-1"'^rï)
= log —5 + a ( (3 cos mp" (31 cos a w + ^ j33 cos 3 w —... J,
et, en substituant dans la formule (9),
Ç = « + a y/i — e*(— (3 sinhp-+ (3*sina»v — (3* sin3w + ...).
On peut remplacer u par son développement (C,), ce qui donne
Ç = w+ "S ^~ 7 f v sintV-t-ay/i — gaV (—i)< 7 si
'2à~~r~ 7 / -,v v'+1yl —e)Slnitv'
siniw,
Ç = w + a

224
On a
(D) C =
donc cette formule
f . i i + a i/i
L a(I + v/I.
CHAPITRE
Xlll.
— e1
-eIsina«
-e2)1
I I -H 3 v/l — «" a . 9
ô 7 sae3sin3np'
3 (I+v/,_eI)3
■■]
Remarque. — Considérons les trois anomalies u, Ç, w, et d'abord les deux
premières; on peut se proposer de développer la différence u — £ suivant les sinus
des multiples de Ç: ce but est atteint par la formule (B'); la même différence
s'exprime bien simplement à l'aide des sinus des multiples de m, puisque l'on a
u — £ = es'mu. Les formules (C) et (C,) donnent ensuite le développement de
la différence w — u suivant les sinus des multiples de u ou de w.
La troisième différence £ — w est développée par la formule (D) en fonction
des sinus des multiples de w\ il reste à y introduire les sinus des multiples
de Ç; c'est une question très importante, et plus compliquée que les
précédentes; elle sera résolue plus loin.
On peut remarquer encore que, dans les expressions (C), (C, ) et (D), les
coefficients sont des fonctions algébriques très simples de l'excentricité; il n'en est
pas de même dans la formule (B), ni dans celle qu'il nous reste à obtenir, et qui
doit donner Ç — w en fonction des sinus des multiples de Ç.
85. Donnons encore quelques formules intéressantes dans lesquelles figurent
les fonctions de Bessel. On vérifie très aisément les deux relations suivantes :
a du
<,o) 7 = 3t'
Or
(n) ■ ■ ■=. aesint/.
La première donne, en ayant égard à la formule (/'),
1=0»
(g) - =i -+-a2J'(*B)cosiÇ.
i = l
On a donc ainsi le développement périodique de -•
On tire ensuite de la formule (i i), en tenant compte de (a') et (c'),
/■■
d. — '=-
a" / v i / • \ sin *'£

APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 225
d'où, en intégrant et désignant par C une constante arbitraire,
. . cos iÇ
1 = 1
Reste à déterminer C; or on a
r1 , , e* é1
—- =: i — a e cos u -+- e1 cos1 « = n a e cos u-\ cos a u ;
a* a a
on a vu plus haut que le terme non périodique de cosw est > et que celui de
r1 3
cos2w est nul; donc la partie non périodique de — est r -h -e2 = C, et l'on a
i=•
ii, r* 3 . . v< w / • \ cos iÇ
1 = 1
On peut obtenir aussi facilement les développements périodiques de sinw et
cosw :
On a d'abord
a(i — e*)
r = — >
i + ecosw
d'où
a
ecosw=:— i H— (i — e2),
ou bien, en remplaçant - par son expression (g),
i = m
(A") coshp-^—e + a > J/(ie)cosiÇ.
On vérifie ensuite aisément la formule
a e
= sinw,
e
rfÇ v7
i — e1
qui donne, après qu'on y a remplacé - par sa valeur (/)
,n\ • / ; V d. J<(*e) sini'Ç
i = i
T. - I.
"9

226 CHAPITRE XIII.
Soit C l'équation du centre; on a
C = vr-Ç,
sin C = sin w cos Ç — cos w sin Ç ;
d'où, à cause des formules (k) et (k'),
i — » ! = •
. P i ; V dJi(ie) sini'ÇcosÇ . y i — e* v1 w / • \ •* • ».
sinC= aVI-e X —^7—' +esinç— 2 > J,(ie)cosiÇsinÇ;
i=l 1=1
si l'on transforme sin iÇ cos £ et cos i'Ç sin £ en une somme et une différence de
sinus, on obtient la formule suivante
sin£ = \] F/sim'Ç,
i=l
où l'on a
(0
I __ p% I
F, = e-\ J,(ae)+ - \j\ — ë
"âfe-!
et pour i > 1,
Ff =
1 — e"
+ V/7ZT^
[j/+I[(i+i)e] — J,_,[(i — i)e]|
1 rfj,+,[(i+ i)e] 1 rfJi-i [(*—!)«]
I ■+■!
rfe
1 — 1
rfe
86. Soient Ç et yj les coordonnées d'une position quelconque de la planète
dans son mouvement elliptique, par rapport au grand axe (axe des £), et à la
parallèle au petit axe menée par le centre du Soleil (axe des yj). On aura
\ =/•cos»'=:a(cosM — e),
t) =/' sinw = a^i — e*sina.
Si l'on remplace sin« et cosm par leurs développements périodiques trouvés
plus haut, on obtient sans peine les formules suivantes
(m)
y \ 3 V 1 / • x COS l'ÇH
l = a - -e+ 2i Ji-i(««)—j— ,
yj = a\J 1 —
dans les^, on doit donner à l'indice i toutes les valeurs entières depuis — qo
jusqu'à 4- 00, en exceptant la valeur zéro.

APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 227
Enfin, dans une méthode importante relative à la théorie des perturbations
planétaires due à Hansen, on a besoin des développements des expressions
—j— et —£-> suivant les sinus et cosinus des multiples de l'anomalie moyenne.
Ces développements sont faciles à obtenir; on a, en effet,
cosmp" \ sinw _ t)
/•* r3 r* ~ r3
Par rapport aux axes Oîj et Or), les équations différentielles du mouvement
elliptique de la planète sont
d*l e l
d*n e Y)
dt1 r r3 '
on en tire, à cause des formules
a3l
r*
a3n
7»~
— _
= —
*5
d?'
d'-n
' d?
Dans les seconds membres des deux dernières équations, remplaçons Ç et yj
par leurs valeurs (m), et nous obtiendrons
i =+»
£ COSW I V" •¥ / • ^ •*-
7» = —,-— ^ï ^ iJ|_,(ie)cosiÇ,
i —— »
i =+■ »
Y) sinw y/i — e' v1 i / • ^ • •*
7» = -7i-= a> 2é lJ*-i("OsiniÇ.
Dans ces dernières formules, on praut ne plus excepter o parmi les valeurs
de i; les termes correspondants sont nuls.

228
CHAPITRE XIV.
CHAPITRE XIV.
THÉORÈME DE CAUCHY. - NOMBRES DE CAUCHY.
87. Considérons une fonction S, finie et bien déterminée, de l'anomalie
excentrique u, ayant pour période 2it; S sera aussi une fonction périodique
de Ç, admettant la même période; on aura donc ces deux développements
convergents
i
1S = - a0 -+- a, cos u -+- a, cos a u -+-...
a
+ 6| sin u -+- bt sin a u-\-...,
J S= - A0 +A,cosÇ +A,cosaÇ + ...
( + B, sinÇ-i- B,sinaÇ +
Supposons que le premier soit connu, et proposons-nous d'en déduire le
second; cela est facile en partant des formules trouvées dans le Chapitre
précédent pour les développements de cosju et s'inju suivant les sinus et cosinus des
multiples de Ç. On avait fait
on trouvera aisément
cosju = l-pw
siny« =
+
2 p]f> cos iÇ,
1=06
2 qf sini'Ç;
l~ Ao= ^c+^o'»
Ai = atpft" + aap\9) +... -h ajpf +...,
Bf = biq\» + btqp + . . .+ bjtf +. .. .

THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY.
229
ou bien, en mettant pour les quantités pf et ql/} leurs expressions à l'aide des
transcendantes de Bessel, formules (b) et {b') du Chapitre précédent,
AO = 0O— a\ei
iki = 1 a, [J,_, (ie) — J,+, (ie)]
+ a at [ J, _, ( ie ) — Jl+, ( fe )]
+ 3 a3 [ J,-3 (ie) — J.+3 (iie)]
+ ,
i'B,= 1 6i[J/-i(ie) + J/+i(««)]
H- a6,[J,_,(i'e) + Ji+i(*e)]
H- 363[ J,-_3(ie) -h J/+,(ie)]
(3)
La question proposée est entièrement résolue par ce système de formules;
on devra, pour les appliquer numériquement, calculer les valeurs des
transcendantes
Jo(e), J0(2e), J0(3e), ...,
J,(e), J,(ae), J,(3e), ...,
J,(e), J2(2e), J,(3e), ...,
Cauchy a résolu la même question d'une façon différente, au moins quant à
la forme; nous allons faire connaître les résultats auxquels il est arrivé, sans
donner les démonstrations dans toute leur généralité; nous nous contenterons
de considérer les cas qui nous serviront réellement.
88. Posons
(4)
la formule (2) va devenir
EÇ/=î = 5>
S=^A0+ i A, (*+ *-«) + 1 A,(*" + *-«)
4 ^B, (* — *-» H ^=zB,(zi — z-'-)
ay/— 1
a y7—1
ou bien
(5)
S = P0 + P,s +P1sI +...+ pl^ +..
+ P.lz-x-\-P-tz-* + ...+ P_/s-' + ..

23o CHAPITRE XIV.
en posant
p -IA -i -' •
d'où
j A0=aP0,
(6) Jai = P, + P_/>
| B, = V/=ri(P.-P-f).
l zpdl, est égale à 211, et qu'elle
0
est nulle sip désigne un nombre entier quelconque positif ou négatif; cela
résulte de la formule
zPdÇ= I cos^ÇdÇ + y7—i / s'inpKdZ.
On aura donc, en multipliant les deux membres de l'équation (5) para"'rf£t
et intégrant entre les limites o et 2it,
(7) 27rP,-=:/ Ss-'dÇ;
cette formule a lieu pour toutes les valeurs entières de i, positives, nulles ou
négatives.
Posons maintenant
(8) E"/^ — s;
il existe entre les variables z ets une relation importante; on a, en effet,
Ç = u — esin u;
d'où
Remplaçons yf— i sin m par
I (E„,pr_E—/zï) = !/,_!
a x ' a \ s
et nous trouverons
(9) » = *E~ï('~ï);
telle est la relation cherchée.

THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. 231
Nous aurons ensuite
dï
= (i — e cosu)du= li (H— )rf";
portons ces valeurs de z et de dX, dans la formule (7); elle va nous donner, en
remarquant que, si Ç croît de o à 2it, u croît lui-même de o à 2itf
ou bien
(10)
en posant
(»)
37TF
,=J.
U:
icp^y^s^'E^'"*) [1- j(*+j)] rf«
fin
Us-1' rf«,
o=«îH)[.-!(.+i)].
La fonction S est développable en série convergente procédant suivant les
puissances positives et négatives de s; cela résulte des formules (1) et (8); il en
est de même du produit de S par l'expression
*H)HK)}
c'est-à-dire de U.
Nous pouvons donc écrire
( u = p; + p; s +ptsî +...+P1 s* +...
(ia) j +p:i5-2+pli5-î+...+p'_i-5-/+....
On conclut de cette équation que l'on a
r u
n
s-' ds= 2 7rPJ,
et, en comparant cette formule à la formule (10), on arrive à
P, = Pi.
Donc le coefficient P,- de z't dans le développement de (5), est égal au
coefficient Pî de 5' dans le développement (12) ; on voit qu'on est ramené à développer,
suivant les puissances de s, la fonction U qui est un produit de trois facteurs:
s + -j est tout développé, l'autre E1^ *' se développe aisément

232 CHAPITRE XIV.
(cela introduit les fonctions deBessel); enfin, dans un grand nombre
d'applications, S est une fonction simple de s : c'est en cela que consiste le théorème de
Cauchy.
Quand on aura déterminé ainsi les coefficients P{, on calculera A{ et B{ par les
formules (6).
On peut donner au théorème de Cauchy une forme différente ; écrivons d'abord
l'équation (7) comme il suit :
27rP, = — . — / S—-j-—dK.
is/—iJ0 «Ç
Si nous intégrons par parties, il vient, en remarquant que S prend la même
valeur pour £ = o et £ = 2it,
D 1 ftwdsv »j-i~ 1 r™dsds .,
is/—iJ0 <% iyf^îJt ds du
Remplaçons z par sa valeur (9), et -7- par >J — 1 EUv/rr = s^— 1, et nous
trouverons finalement
(i3) 27rP,= i f s-f'-D^E^V'^rfa.
Or, si nous considérons la fonction
y ~ i ds **
et que nous la supposions développée suivant les puissances positives et
négatives de s, de manière à avoir
v=7^E^~^ = Qo + Q, * +Q, *» +... + Q,-, *'-« +...
+ Q-,r'+Q-1r'+...+ Q_(/_lï*-('-«>+...,
nous en conclurons, en multipliant par £-(l'-,,</i* et intégrant de o à 2it
relativement à u,
La comparaison des formules (i3) et (i4) donne
P, = Q,_,;
donc P, est le coefficient de s*-* dans le développement de la fonction V.

THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. 233
Voici donc le théorème complet dû à Cauchy :
Considérons le développement
S = P0+Pi* + ... + P, *' + ...
+ P_, z-1 -+- ... -+- P-/*"1 +
i° P,- est égal au coefficient de s1 dans le développement de la fonction
(«) u=8i5H)[I_î(,+ i)].
2° P,- est encore égal au coefficient de sl~K dans le développement de la fonction
(?) v=;*e*H>.
Dans les applications, on prendra celle des deux formes qui paraîtra la plus
avantageuse; il faut remarquer que, pour le calcul de P0, *'étant nul, on devra
employer la forme (a).
On pourra se convaincre facilement qu'en partant de la forme (a), et passant
ensuite des valeurs des coefficients P, à celles des A, et B£, on retombe sur les
formules (3).
Faisons néanmoins une application au développement de -, déjà considéré
ci-dessus.
On a
S = " = (i - e cos*/)-• = [i - \ (s + iJJ ;
la fonction U se réduit à
U = E*v~');
-(*-1-)
P/ est donc égal au coefficient de s1 dans le développement de E,v- *', c'est-
à-dire à Ji(ie); P_£- est égal à J_/(— ie) =Ji(ie) = P£. Les formules (6)
donnent
-A0 = J0(o)=i, A/ = aJf(ie), B,=o;
on retrouve bien la formule déjà obtenue
i = •
- =1 + 2 V Jf(ie)cosi"Ç.
I = 1
Avant de faire des applications plus compliquées, nous allons introduire des
coefficients numériques que l'on rencontre dans plusieurs questions, et
auxquels on a donné le nom de nombres de Cauchy.
T. - 1. 3o

234 CHAPITRE XIV.
89. Soient j et q deux nombres entiers positifs ou nuls, p un entier quelconque,
positif, nul ou négatif; l'expression
)'
I = *-->[* +!)'(*-i|
peut être développée suivant les puissances positives et négatives de x ; le
développement contient d'ailleurs un nombre limité de termes. Nous représentons
par N_pjfÇ le terme indépendant de x dans ce développement; on peut dire
aussi que ^-pj,q est le coefficient de af dans le développement de l'expression
(x 4- -) (x — - J suivant les puissances de x; ^-pj,q représente l'un
quelconque des nombres de Cauchy. L'introduction de ces nombres permet de
présenter d'une manière plus simple certains développements qui se rapportent au
mouvement elliptique; nous allons faire connaître quelques-unes de leurs
propriétés.
On a
= i, si j' + q — p est nul,
('4) N..n,/,„ .
( = o, si j + q —p est négatif ou impair.
En effet, le développement du produit (x -h - ) (x — - ) est de la forme
(x-\--\ (x J =^-|-» + c,^-f-»-a+c,^-|-»-4 + ...;
on en conclut
I — x~p(x-\--\ (x— -j =xJ+i-P-t-cix'+i-P-i-{-cixJ+-i-P->-\-
On voit que, s\j-hq—p est nul, la partie constante de I est égale à i ; si
j -h q — p est négatif, il n'y a pas de partie constante, et il en est de même
siy -h q — p est impair.
On a la relation
('5) N^,f=(-i)»N_^>y,f.
En effet, ^-pj,q est le terme indépendant de x dans le développement de
x~p(x h— j (x —- j ; ce sera aussi le terme indépendant de x' dans le
développement de l'expression suivante, que l'on déduit de I en changeante? en —,•>

THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. 235
or ce dernier terme est par définition égal à ( — i^N^y^; la formule (i5) est
donc démontrée.
Cherchons l'expression analytique de N_Pt0>ï en supposant q>p, ce qui est
toujours possible d'après la formule (i5).
On a
^-ff^-ov,..'...-;.-?..:^-^
oii a et (3 sont deux entiers nuls ou positifs vérifiant la relation a 4- (3 = q; pour
obtenir le terme constant de ce développement, il faut faire
« — P — p — o\
on en conclut
«=*±£, (3=?^
et
N-p,m=(-i) »
<7—n
— 1.2,
O -+-0 <7— D
a... - — i.a... -
a a
(16) N-,,.,,^-!)
1.2. .. -——
a
On pourra calculer par cette formule les valeurs de N_Pi->ï et former un
premier Tableau contenant tous ces nombres : p sera l'argument horizontal, et^
l'argument vertical du Tableau.
On a ensuite la relation
(*7) N_|,,i/+ify=N_|,+i,y>y+ N-^-i^y,
qui résulte de la formule
*-' (•+i)'+' (• - £)'=•"*** (•+s)' (• - s)'+*~'~' (•+5)' (• - ï)*-
On aura, en particulier,
™—p,l,q^ ™~P+l,0,q "+■ "—P—l|0,9t
on pourra donc former un second Tableau contenant les nombres de Cauchy
pour lesquels y = 1.
On continuera ainsi poury = 2,7 = 3
Nous allons reproduire quelques Tableaux donnant les valeurs des nombres
de Cauchy, N_pjtqt poury = o,y = 1 ety = 2; p est l'argument horizontal, 7
l'argument vertical ; quand une case est vide, c'est que le nombre correspondant est
égal à zéro.

236
CHAPITRE XIV.
Tableau des tf-P,o,q-
{p est rarvnment horlionlal et q l'argument Tertiotl. )
0
1
2
3
4
3
6...
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5.,
6
7
0
-4- I
— 2
-l- 6
— 20
-1- 70
0
0
-1- 2
— 2
-+- 4
— 10
-1- 1
-4- 1
— 3
-+- 10
— 35
-1-126
■+■ *
-+- 1
— 1
-l- 2
— 5
-+- i4
-+- 1
H- I
— 2
-l- 5
- M
-4- 2
-+- 1
-4
-1- i5
— 56
-l- 2
-l- 1
— 2
-l- 5
- 14
-l- 2
-l- 1
— 1
-+- 4
-1- 3
-4- 1
— 5
-1- ai
- 84
-+- 4
-4- I
— 6
-+- 28
Tableau des N-,
-4- 3
-4- 1
— 3
-l- 9
— 28
-1- 4
-1- 1
- 4
■+■ i4
Tableau des N-
-4- 3
-1- 1
— 1
-4- 1
-1- 4
-1- 1
— 2
■+■ 4
-1- 3
' -4- I
— 7
-1- 36
Pi«W
-1- 5.
-1- 1
— 5
-1- 20
PW
-4- 3
-1- I
— 3
-l- 8
-4- 6
-4- 1
— 8
-l- 6
-4- I
— 6
■4-" 6
-4- I
-4
-4- 7
-1- 1
— 9
-l- 7
-l- 1
— 7
-4- 7
-4- 1
— 5
-1- 8
-1- i-
-1- 8
-1- 1
-1- 8
H- I
-l- 9
-
-I- 1
-1- 9
-
-1- 1
H- 9

THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. Q.Z']
Nous renverrons pour plus de détails à un Mémoire intéressant de M. Bourget,
inséré dans le Tome VII des Annales de l'observatoire de Paris, et
particulièrement aux pages 3oo-3o3 de ce Mémoire.
Le lecteur pourra consulter aussi le Tome V de la ire série des Œuvres
complètes de Cauchy-, p. 3o8-3io (Paris, Gauthier-Villars, i885).
90. Développement de (- — i) suivant les cosinus des multiples de
l'anomalie moyenne, m désignant un nombre entier positif. — S = ( i j
est une fonction périodique de Ç; la période est 2ir, et la fonction est paire; on
aura donc en série convergente
I = ce
(18) U— i)m— ^c(0w)+2cîm,COSI'S
«' = i
ou bien
1 = 06
s = p^'+2p'OT,(2'-
avec
on a
c.m)_ap(mi.
/ e\ m / l\m
(19) S = (—ccos«)»=(—i)«(-J ('+-) •
Pour trouver PjJ"', nous appliquerons la première forme du théorème de
Cauchy; P(0m) sera égal au terme indépendant de s dans le développement de la
fonction
".=<-)-(-:)"(—i)"[-K-î)]-
Il y a deux cas à considérer, suivant que m est pair ou impair :
i° m = im'.
On a
D'=er(-îr-(ïH('+îH
le terme en ( s-h -J ne donnera pas de terme indépendant de s; il y en
s ■+- - j , et son coefficient sera
(m'-\-i)(m' + a)... im'%
1 .a.. .m' '

*38
on aura donc
(20)
20 m= im' ■+■ 1.
On a alors
-c,
a
CHAPITRE XIV.
(i»n_ (yn/+i)(/n/+a)...a/n
0 1.a.3... ira'
: en
D'=-(ï) (*+ï) +(ï) Kî) •
j -h - j qui ne contiendra pas de partie in-
dépendante de 5, tandis que (*-+--) donnera la partie constante
(m'+ a) (mf + 3)... (am'+ a).
i.a...(m'+i) '
on aura donc
(ai) -c
1 ,„„+„_ (m'+ a) (m'+ 3)... (am' + 2) /e\»^
a ° i.a... (m' + i)
©"
Il nous reste à calculer5cj.m) = PJOT), iétant différent de zéro; nous
appliquerons la seconde forme du théorème de Cauchy, et nous aurons poup^cj"" le
coefficient de *'"• dans le développement de la fonction
1 ds
en remplaçant S par sa valeur (19), on trouve que cela revient à chercher le
coefficient de 5* dans la fonction V'= V$f
en développant l'exponentielle suivant les puissances de s , il vient
s
ie
■i.2...q\S+ s) V */
q+\

THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. 23g
Le coefficient de s* dans le second membre de cette formule sera, en
introduisant les nombres de Cauchy,
(-) (-y (-y
. ^-/,/m-I,I+ —J—^-i.m-l.j-i —— ^-i,m-l,3-r- • • ~t- ^—^ g ^-i,m-i,ç+i "+■ • • • •
<7 = « / _
On aura donc
,7 = 0
Les formules (20), (21) et (22) résolvent le problème qui se trouve ramené
au calcul des nombres de Cauchy; ces formules sont dues à M. Bourget. On
remarquera que, pour que N_/>m_llï+1 ne soit pas nul, on doit avoir
— i-\- (m — 1) -+- q -+■ 1 = 2 k,
k étant un entier positif ou nul; donc
m -+■ q = i-t- ik.
Il en résulte que, relativement à e, cjm) est de l'ordre i, et ne contient que des
puissances de e dont les exposants sont de même parité que i.
(r\~m
- ) suivant les cosinus des multiples de
l'anomalie moyenne, m désignant un nombre entier positif. — Nous aurons en
série convergente
(23) S = ^)"" = iGi-> + 2Gi")M8^ = p(o",-,-2pi,")(al + *"').
1=1 1=1
en faisant
Gim,= aPJm).
La fonction S a d'ailleurs pour expression
-HK1)]--
Nous appliquerons le théorème de Cauchy sous sa première forme; P^*' sera
le coefficient de s' dans le développement de la fonction
«> u=[.-|(,+ i)]-"-V(-o.

2^0 CHAPITRE XIV.
Commençons par Pl™]; ce sera le terme indépendant de s dans le
développement de
^HK)r";
or on a, en laissant de côté les puissances impaires de s + -> qui ne nous
donneraient aucune partie indépendante de s,
U0=i +
On trouvera ainsi
(m
f^(-:)"K)'
(m — i)m.. . (/n + ap — a)
i.a...ap
ITH)
*p
(25)
a (
-i)m /e\»
0* W
(m — i)/n(/n + i)(m + a)
. (i.a)'
(/n—i)/n(/n + i).. .(m ■+- ap — a) /e\'P
©'
©"
(1.2...p)«
Venons maintenant à la recherche de G}*'; posons, pour abréger,
m —i
(a6)
(m— i)m
m,= y
1.2
(m — i)/n.. .(/n +y — a)
TXT7 ;
nous aurons, par la formule du binôme,
HH)]~'=2V(g'H)'-
/=»
La formule (24) nous donnera ensuite
/=
/ 9

THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. 2^1
On en conclut, en introduisant les nombres de Cauchy,
i 1
j varie de o à ■+-<x>, et q aussi; on a vu que, pour que N_£)y>ç ne soit pas nul, on
doit avoir
j + q — i ■+■ 2 k,
k désignant un nombre entier nul ou positif; il en résulte que, relativement à e,
le coefficient GJm> sera de l'ordre i, et ne contiendra que les puissances de degrés
i, « ■+- 2, i■+• 4, ••• de e.
Calculons en particulier G,"*'; nous trouverons
iGr,= |(/nIN_J>I,o-h/n0N_I>M)
+ (|)3(.3N-l>M+^N_l,I,l+^N_l,l,2+r^3N_l>0>,)
+ ( - J ( m.N-,,,,0 + ~r N-,,4,1 + ~N.,,,,, + —^N_I>I>3
\2/\ I 1.2 1.2.0
, "*« N - mo N \
1.2.3.4 I.2.3.4.5 ''/
On trouve directement
N_i,i,0=+1, N_i,0,i = +i;
N_,,j,0 = +3, N_i,,,, = +i, N_,,,,j=— 1, N_,,0>3= —3;
N-,,6>o = +10, N_I>M = +a, M_I>3>,=—a, N_,,1,,= —a, N..I,I,t = + a, N-,,o,s = +io;
et, en remplaçant m0, m{, ma, ... par leurs valeurs (26), il vient
£ r(m) /e\ m(m}-\-m—3) /e\3 m(mk-\-6ms-\- 5/n1—8/n—3) /e\*
92. Appliquons les formules précédentes au cas de m =2; nous aurons
alors
1 = 1
la formule (25) donne ensuite
1 _,., * 1 . i.3 . i.3...(ap —1) ,„
2 ° a 2.4 a.4-..ap
T. — I. 3i

2^2 CHAPITRE XIV.
le second membre se trouve être le développement de (i — e2) *. On a donc
2 ' n/i—e1
Les formules (26) et (27) donnent ensuite
Ttl0 = 7?l| = TWj = ...111,
il {e\J+i
/ 1
enfin on aura
1 = 0»
v 1 = 1
Nous allons déduire de là un développement dont l'importance est
fondamentale, celui de l'équation du centre suivant les sinus des multiples de
l'anomalie moyenne.
En désignant toujours par w l'anomalie vraie, le principe des aires nous
donne
on en conclut
. dw .
dw a2
et, en remplaçant -5 par son développement (29),
^ = 1 + sjx -e* 2 Gi»» cosiÇ.
Multiplions par Ç, intégrons et déterminons la constante par la condition
que, pour £ = o, on ait w = o; il viendra
i — \
Si donc nous désignons l'équation du centre par C et que nous fassions
i — n
(et) C= 2 H/siniÇ,
i=l

THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. 243
nous aurons
<P>
«.-^2^(^r^;
/ '/
tout est donc ramené en dernière analyse au calcul des nombres de Cauchy.
On se rappelle que les indices j et q prennent toutes les valeurs entières
nulles ou positives satisfaisant aux conditions
J +q = l,
j -\-q = i-\-i,
on aura donc pour H,- une expression de cette forme
Cherchons l'expression de H^01; nous aurons
/ n
oùlesindicesy etq prennent toutes les valeurs entières nulles ou positives, telles
que y -4- q ■= i\ or on a vu que, dans ces conditions, on a N_{-,y^ = i ; on
trouvera donc, pour le coefficient cherché,
i=
«foi V *7 ' ' ■ l
' ^mk i .2.. .q i i .a i .a.. .i
7=°
Remarque. — On a vu dans les nos 91 et 92 que, pour m = i, - G(0*} est égal
à i et que, pour m = 2, - GJ,"1' se réduit à • On peut démontrer que l'on
peut sommer la série (25) quel que soit le nombre entier m, supposé
maintenant supérieur à 2. On tire, en effet, de la formule (23),
ou bien, en remplaçant aX par sa valeur tirée de (3o) et remarquant que w varie
entre les mêmes limites, o et au, que Ç,
2 s/i — e'KJ, W

244 CHAPITRE XIV.
On a d'ailleurs
i.a
a i + ecosw'
il viendra donc
I *- m i S*"*
- G0"" = (i —e»)* - I (i-\-ecosw)m-*dw.
Or on a, en employant la formule du binôme,
(H-ecosMP,)m_ïrfHP,= / dw-\ et coswdw
(m-a)(/n-3) , /** , .
->- — e1 I cos' w dw +.
i-a.../» J0
L'intégrale / cospwdw est nulle si /> est impair, et égale à
i.3.5...(jp-i)
a.4.6.,./» '
si /> est pair. On trouve ainsi, après une légère transformation des coefficients,
ior'=(.-o{-[. + ("-,)Iiw-3)g)'
(/n — a) (m — 3).. .(m — p — i) „ . ,
(3i)
(m — a)(/n—3)(/n — 4)(m—5) /e\*
©'
(ï-3)»
(m-2)(m-3)...(m-7) /e\' 1
(1.2.3)- W J
On voit que la série qui figure au second membre de cette formule se termine
d'elle-même, si m est un nombre entier supérieur à 2 ; pour m = 2, ce second
membre se réduit bien à —=
V/i — e»
Pour terminer ce sujet, nous reproduirons ici l'énoncé d'un théorème que
nous avons démontré dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XCI,
p. 897 :
Soit/(r) une fonction finie et bien déterminée du rayon vecteur r; on pourra
développer cette fonction suivant les cosinus des multiples de l'anomalie
moyenne
(=06
/ -0

THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY.
245
Le coefficient B/ est représenté par une série ordonnée suivant les puissances
de l'excentricité ; voici sa valeur symbolique :
(3a) lB|=(-i)' ^r
©'+"
p = 0
2...p.l.2...(i-hp)
za-i)i+p-ia+i)p-ia + t+*p);
quand on aura effectué le produit
on devra y remplacer une puissance quelconque de S, Ç* par
£*=a*
rfa*
le coefficient de (- ) dans -B, se présentera sous la forme suivante :
df(a) _,_ „ . */(«)
,_ rf^/(g)
«o/(«)+«.« "^~ + «.a* -^- +... + «.^a-»* ^^ ,
où les a sont des coefficients numériques; on voit qu'on a pu condenser cette
expression en adoptant une notation symbolique.
93. Posons
x= 1
a
y = w — K = C]
nous trouverons sans peine, en partant des formules des nos 90 et 92,
(33)
I
-[t(ï)-t(-:),+-1-«
cosÇ

246 CHAPITRE XIV.
['=+[«©-(î),+ie),+w©,--]*«
H-Kîy-ïfâVïe)'--]-»
*[ïe),-?(î),*î©,--]-«
-[tO'-çCï)'*-]-"
+[î2z(ï),-¥©,+-]-5c
i ^pe)--]-^^©'--]--*^--
Ces deux formules sont l'une des bases fondamentales du développement
usuel de la fonction perturbatrice, celui qu'a adopté M. Le Verrier.
On aura à en conclure les développements de x2, x8, ..., de y2, y8, ..., de
xy, x2y, ..., xy2, xy8, ..., et en général de xOTy" suivant les sinus ou cosinus
des multiples de Ç.
Pour ce qui concerne les puissances successives de x, la question est résolue
par les formules du n° 92; elles montrent que xOT ne contient que des cosinus
des multiples de £ et que le coefficient de cosi'Ç est de la forme
( 35 ) cei+lk -+- Ci ei+ik+* -+- c, e'+»*+* +...,
k désignant un entier positif qui peut être nul; on doit avoir d'ailleurs
i -h a k > m.
Pour les puissances successives de y, on les effectuera de proche en proche, en
partant de la formule (34), que nous écrirons ainsi
y =... + bp sin/?Ç +... H- bq sinqÇ -+-... ;
bp et bq sont respectivement des ordres/? etq relativement à e, et ne renferment
que des puissances de e dont les exposants sont de même parité que/? et q; on
aura d'abord
y* = . •. + bps'in1pK + b*s\ntqK + 2bpbqsinpÇsiTiqZ-h...
ou bien
y«=... + i( &> + &>) — \bpCOS2pK — {bqCOS2qK
+ bpbqcos(q — p)K — bpbqcos(q -\-p)K ■+-

THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. 247
11 n'y aura donc que des cosinus dans le développement de y2; l'ordre de ^bp,
coefficient de coszpZ, est ip\ celui de bpbq, coefficient de cos(y -h p)Z, est q -\-p;
l'ordre de bpbq, coefficient de cos(q —p)X> est q -\-p = (q — p) ■+- ip.
On en conclut aisément que le coefficient de cosi'Çdansy2 est de la forme (35),
et que l'on doit avoir
On verra de même que y3 ne contiendra que des sinus et que le coefficient de
sim'Ç sera de la forme (35), avec
i + 2À:=3.
En général, le développement de yn ne renfermera que des cosinus, si n est
pair, et des sinus, si n est impair; les coefficients de cosi'Ç et de sini'Ç seront de
la forme (35), avec la condition
i ■+- ikz.n.
On passera ensuite aisément aux développements périodiques des produits
tels que x"*^, où m et n désignent des nombres entiers positifs ou nuls; xn,y"
ne contiendra que des cosinus si n est pair, des sinus quand n sera impair; les
coefficients de cosi'Ç et de sim'Ç seront de la forme (35), avec la condition
i-+- ikz.m-\- n.
Le Verrier a donné les développements ci-dessus, pour toutes les valeurs
telles que m■+■ n'S'j, dans le Tome I des Annales de l'Observatoire de Paris,
pages 343-345; il a négligé c8, e9, ....
94. Nous aurons besoin également des développements périodiques de
xp-^coshy et de \P-ismhy,
oùp, q, h sont des nombres entiers nuls ou positifs, q étant au plus égal h p.
Pour les obtenir, il suffira de remplacer cosAy et sinAy par leurs
développements connus suivant les puissances de hy.
On trouvera ainsi
h* hK
v ' J i.a J i.a.3.4
(3;) \P-i$mhy = -\P~iy _x/'-»y, + ...;
il n'y aura plus qu'à remplacer les diverses puissances, telles que xayP, parleurs
développements ci-dessus; le nombre entière restera indéterminé.

248 CHAPITRE XIV. — THÉORÈME DE CAUCHV. — NOMBRES DE CAUCHY.
On verra aisément que np~9 coshy ne contiendra que des cosinus, tandis que
x^^sinAy ne renfermera que des sinus; le coefficient de cosi'Ç dans x^^cosAy
sera de la forme (35), avec la condition
« + a*=/>— q;
le coefficient de sini'Ç dans x*~*sinAy sera de la forme (35), avec la
condition
i + ik^p — q-\-\.
Ces nouveaux développements se trouvent dans les pages 346-348 du Tome 1
des Annales de l'Observatoire.
Enfin il nous sera encore nécessaire d'obtenir les développements
périodiques de
x^cosAy x^sinAy
[T+T)^ e (n-x)^1'
p, q et h désignant des nombres entiers nuls ou positifs ; on les obtiendra en
développant par la formule du binôme (i -+- x)~p"1 suivant les puissances entières
et positives de x :
£±i x*- coshy + <* +'></> + '> x*-' coshy -...,
i i .a
£±-' x*+> sin hy + (/> + *)(/> + *) x,+, sin hy _....
I 1.2
On se trouvera donc ramené à appliquer plusieurs fois les formules (36) et (37) ;
le développement (38) ne contiendra que des cosinus et sera de la forme (35)
avec la condition
i+2k = q;
(3p) ne contiendra que des sinus, avec la condition
1 + a k = q ■+■ 1.
Ces développements occupent les pages 348-355 du Tome I des Annales de
l'Observatoire.
(38) / T7rT = x*cosAy —
,„ x x?sinAy „ . ,
(3o) t- r=ï=x*sinAy —

CHAPITRE XV. — FORMULES DE HANSEN.
249
CHAPITRE XV.
FORMULES DE HANSEN POUR LE DÉVELOPPEMENT DE CERTAINES FONCTIONS
DES COORDONNÉES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.
Dans la méthode de Hansen, relative au calcul des perturbations absolues des
petites planètes, on a besoin de développer, suivant les sinus et cosinus des
multiples de l'anomalie moyenne, des fonctions autres que celles que nous avons
considérées jusqu'ici. Hansen a traité ce sujet dans son Mémoire intitulé :
Entwickehing der negativen und ungeraden Potenzen... (Mémoires de la Société
Royale des Sciences de Saxe, t. IV). Nous croyons devoir résumer ici la partie
essentielle de ce Mémoire.
95. Il s'agit de développer les fonctions
( - J sin/nw et I - ) cos/nw
met n désignant deux nombres entiers, le premier positif, le second positif ou
négatif.
Ce sont des fonctions périodiques de Ç; la première est impaire, la seconde
paire. On aura, en séries convergentes,
+ Bi sinÇ + R,sihaÇ +...+ B/sim'Ç+...,
-C0+ C, cosÇ + CjCOsaÇ-4-...-+-Cf cosi'Ç +
2
3 a
I - I sinmw =
i — j cos/n«' =
T. - I.

25o CHAPITRE XV.
Posons, comme dans le Chapitre précédent, E^-' =z; nous tirerons de (i)
(^Ye»W~i = - C0 + - C,(2 + z-i) +-... + - C,(*'+ *-') + ...
\aj 22 2
+ -B1(^-r')+...+ -B^-2-')+....
2 2
Faisons
— Ijo — -^-o >
i(C, + B1) = X7."> ^(C,-B1) = X«r,
£ (C, -t-B,) =X?'"> \ (C,- B,) =Xlim,
>
il viendra
+ X^/**-' +... + X^m*-f +...
ou, plus simplement,
f=-f-oe
(2) (Ç\n w»^ = 2 x?-"V.
On est donc ramené à développer ( - J E"""^"* suivant les puissances positives
et négatives de z. On aura ensuite
( C0=2X"'m,
(3) o o »
Avant de procéder à la détermination générale de X",w\ nous allons résoudre
quelques questions préliminaires.
96. Considérons deux nouvelles exponentielles qui correspondent à
l'anomalie excentrique et à l'anomalie vraie,
(4) x = E»J~l, y = E"^ri, z — tf-^;
y est ce que nous appelions s dans le Chapitre précédent. On aura donc, comme
on l'a vu dans ce Chapitre,
(a) a = iyE~",v").

FORMULES DE HANSEN.
25l
On peut aussi trouver une relation entre x et y; partons, en effet, de la
formule
tang
2 y i + e
e w
tang—,
i y— i
i x— i
remplaçons-y tang - par-^= ^=—-^= = ^=£+f> tang^par^= ^,
et posons
V i + e ~ i + (3'
d'où
(4)
e =
P =
e
i — v^1 — gï
nous trouverons ainsi
d'où
<*)
on en déduit
y — i i — (3 x — i
y +1 — i + |3 ^ -+- i
x -\- fi x
' ~ \-\-fix~ i + (3^*
Si nous éliminons y entre les équations (a) et (6), nous aurons une relation
entre s et x\ nous tirons d'abord de la formule (b)
X'— I
y Y (l ^ôc + PKi + P*)
^'-^(t^-^)'
En portant dans la formule (a) la valeur (b) de y et la valeur ci-dessus
de y , et remarquant que l'on a - (i — $*) = $\/i — e*t on trouve
y 2
(c)
= x (i + 5VI + fix)~l E Pv/IZ^(i+px- i+"px-«).
Il convient de remarquer que, d'après sa définition (4). (3 est plus petit que e,
et diffère peu de - si e est petit.

a5a chapitre xv.
Exprimons maintenant le rayon vecteur r en fonction de x ou de y; on a
d'abord
r__i_efi_\__ ey*—zy-he
a a\ y) *y
d'où
On a ensuite
;• i — e1 i — e* 2(1 — e1)^
a i + ecosw et i\ ex*-\- ix -\- e
1 -+-
2(1 — e*)^ 2(1 — e*)x
a .(.+i±£=*)(,+i=£=±) .<-+p>(»+£)
- = 2[3
ou bien
(6) â-T^ "
1 <«+p*>('+!)
Nous aurons tout à l'heure à introduire du ou cfo> au lieu de dX\ nous
aurons pour cela les formules
(7) dÇ='-du,
(8) dï=--^..
a i/i — e*
r* dw
7*
97. Nous pouvons maintenant aborder la détermination de X"'m.
Multiplions les deux membres de l'équation (2) par z~ldÇ9 et intégrons
relativement à X, entre les limites o et ir. ; nous trouverons
(9) , x?"=^jf (;)"*'"*-'«■
Nous pouvons remplacer maintenant, dans le second membre de cette for-

FORMULES DE HANSEN. 253
mule, r, x, z, dX, respectivement, d'abord par leurs valeurs (5), (b'), (a), (7),
puis par leurs valeurs (6), (c), (8) (dans cette dernière substitution on ne
touche pas à la quantité x)\ il viendra
) X?'m=--(i + (3a)-'t-1—- / /"'"'(i —(3j)n-m+1(i—-j E»^ ^rfw,
')
(, flJ\Jn+3 , /»** / Q\-i-n-i jQJÏZZ^f—Z. £L_Î_ \
Xf.«=LÎ ïJ—r— / «"-'(i+P'aO1-"-8! I + -) E ^i + p* î + par-;^.
A chacune de ces équations correspond une des formules de Hansen.
Puisque (3 est compris entre o et 1 et que les modules de x et y sont égaux
/ Q \ H-HW+I 1 » 1 11 ' '
à 1, on voit que (1 — py)"'™** et I 1 — — j sont développables en séries
convergentes suivant les puissances de y ou de -; il en est de même
relativement à x, pour (1 -4- (3a?)'"-2 et (1 -4- -) ; E 1~*1 ^P* est développable
. .r-t
suivant les puissances de —^5—» donc suivant celles de x; E * i+p^«
est de même développable suivant les puissances de x~K.
On en conclut que, si l'on considère les fonctions
(B) $ =(I_(3J)«-//»+i f,_ H j eïV r',
ces fonctions seront développables en séries convergentes procédant suivant
les puissances positives et négatives dey ou de x.
Désignons par x le coefficient de y~m dans le développement de $, et par x'
celui de xi~m dans le développement de $' ; nous aurons
(C) X^m = (i-h^)-^X,
car le terme Xy'~m donnera, dans l'intégrale du second membre de la
formule (A),
1 /•'*
X x — / du = X,

254 CHAPITRE XV.
et tout autre terme, tel que ^yi~mhj, donnerait
i /•'*
iJb X — I YJ'du=o.
Nous allons nous occuper d'abord des formules (A), (B), (C).
98. Il convient de remarquer que le théorème de Cauchy conduirait
immédiatement à Informulé (A) de cette première méthode.
Nous supposerons d'abord i = o ; la fonction $ se réduit à
y) '
soit x9 le coefficient dey~m dans $G; on aura
Posons, pour un moment,
p = n — /n + i, q = n -+■ m ■+- i ;
on aura
qlP,
parce que m est un entier nul ou positif; le terme général de $0 est égal à
p(p— i)...(/> — r + i) q(q — i)...(q — s + i) vP_,
on doit avoir
^ I .2. . ./• 1.2. . .S J
r — s= — m, d'où s = r -+■ m.
On donnera ensuite à r les valeurs o, ■+■ i, + 2, ... et à s les valeurs
correspondantes; il viendra ainsi
0 v ' H L 1.2...m ^ 1 1.a...<iî» + i) H
On aura donc
/>(/>—0 y(y—Q...(y —m —1) .t
1.2 1.2.. .(/n + 2)
(»)
x°'m=7i^c+^V-[(" + a)(" + 3)---(" + "' + ')
n — m + 1 (n + 1) (n -+■ 2).. .(/i+ m + 1)
m +1
(n — /n + i)(/i—m) /i(/i + i).. .(/H-/n + i) ftv
1.2 (m+.i)(/n +2)

FORMULES DE HANSEN.
Si le nombre n est tel que l'on ait
n >— m — i,
255
la série qui figure dans le second membre de la formule (D) se termine
d'elle-même; si n est égal a l'un des nombres — a, — 3, ..., — m — i, on a
XJ,OT= o. Si l'on a /i<—m — i, la série se prolonge indéfiniment. On peut
écrire alors, en employant la notation employée pour représenter la série hyper-
géométrique,
(3'« (n + 2)(n + 3)...(/i+m + i)
(D,) Xf"=(-i)«
(! + £«)»+»
i .2...m
F (m — n — i, — n—iy m-\-i, (31).
Considérons maintenant le cas général où i est un nombre positif ou négatif
différent de zéro; en faisant
(10)
la formule (B) donnera
(m)
ie . i + i/i — e*
v= —à =i 1
ap a
<D=ee„
en posant
0 = (i — p<y)»-»-»-1EvPJr>
e,
-(-I
Nous allons chercher le développement de 0 suivant les puissances dey; nous
en conclurons celui de ®, en changeant y en -> m en — m, v en — v.
On a, en séries convergentes,
/ a \„ mJ.i n-m + i 0 (w — m+i)(n—m) a<t .
_ (* — *n + i)(ji — m)(n — m — i)
I .2.
PV
Si donc on pose
(12)
n — m -4-1 v
Pi r= >
I I
_ (n — m-\-i)(n — m) n — m -+■ i v v*
P = —I ,
1.2 I I I .2
_ (/» — /n + i)(n— m)(n — m — i) (n — /n + i)(/i—m) v
p i — . —
1.2.3 1.2 I
n — m ■+■ i vJ
I.2 I .2.3

256
on aura
CHAPITRE XV.
(i3) 6 = i _p1[3<r + Pî[3V-Pi(3V + "--
On fera de même, en changeant m et v en — m et — v,
n -+■ m -+■ i v
Q.=
Q.=
i i
(n -f- m ■+-1) (n -+■ m) n ■+- m ■+-1 v
1.2 I I I .2
(i2|) \ (n -+- m -\-i)(n -\-m)(n -+- m — î) (n -+- m -+■ i) (n -+- m) v
I .2
n ■+- m + i v5
1.2" 1.2.3'
et il viendra
<i3.)
e1 = i-Q,|+Qi£-Q,^+....
Il faut maintenant faire le produit des seconds membres des équations (i3)
et (i3,), et chercher dans ce produit le coefficient X du terme eny~m.
Si i — m est positif, on trouve
X = (- i y- » ( Pf._OT (3'-'« + Pf_^ , Q, P'-«+» + ...);
au lieu que, dans le cas de i — m négatif, il vient
On aura donc ces valeurs de X",m :
(E)
(F)
i° i > m,
X|*.« = (-i)'-(i + P")-"-|Pl—(Pi-« + Pi-»+,Q,j51 + Pi-»+1 Q,(34 + ...),
2° i < m,
X?-" = (-i)—'(i+P1)—1P"-'(Q»-i + Qm-i+,P,15"+QJII-i+,P115* + ...).
Il convient de remarquer que, dans les formules (E) et (F), il suffira d'un
nombre de termes peu considérable, puisque chaque nouveau terme contient un
facteur (32 de plus que le précédent.
Les quantités P(t P2, ..., Qt, Q2, ... seront calculées par les formules (12)
et (12,), v étant défini par la relation (10).

FORMULES DE HANSEN. 257
a1
Appliquons ces formules au développement de -^; nous aurons donc/z = — 2,
m = o; les formules (12) et (12,) donneront
i
Pi=i -\ 1 y
i 1.2
PV V
3 = 1 + r + - H
I 1.2 I.2.3
-Q, = i-Y»
Q,= I 1 :
I 1.2
— Q3=i — - -h—- —
I .2.3
après quoi la formule (E) deviendra
X7ï'° = (-Of(3'(I + [3')(P/ + Pl+1Q1[3»+P,+îQî[3* + ...).
99. Nous allons appliquer maintenant les formules (B') et (C).
Nous considérerons en premier lieu le cas de i = o; la fonction $' se réduit
alors à
soit ,&'„ le coefficient de x~m dans cette formule, on aura
on arrive ainsi sans peine à la formule suivante :
X» -1.2...m (. + [3»)— L<» + a)(» + 3)...<n
+ /n + 1)
,D,v , . n-t-2 (w-t-2)(w-t-3)...(n-t- m-t-2) -,
' 1 ni ■+■ 1
(w + 2)(w+3) (w-t-2)(w + 3)...(w-t-/n-t-3) -t
1 .a (m + 1) (m + 2)
T. — I. 33

258 CHAPITRE XV.
On voit que la série qui figure dans cette formule se termine d'elle-même
lorsque n + m + i est négatif, auquel cas la série qui entre dans (D) se
compose au contraire d'un nombre illimité de termes.
On peut donc toujours exprimer Xl,m sous forme finie.
Si n ■+■ 2 est positif, la série qui figure dans (D') n'est pas limitée; on peut
écrire, comme on le voit aisément,
(D't) Xg'" = (-i)"K(|l_t_p^l * i.J...m ^F(/n + /i + 2,/1 + 2, m+i,
On vérifie facilement l'identité des formules (D,) et (D'(), en partant de la
propriété de la série hypergéométrique qu'exprime la relation suivante :
04) F(a, b, c, p») = (i - py-«-*F(c- a, c-b,c, (3«).
Enfin on a aussi cette autre propriété [Œuvres de Gauss, t. III, p. 225,
formule (ioo)],
(i5) F(2a',2a'+i-c',c', [3») = (i + [3»)-»«'F[a',a'+I, c', ^,)8]>
qui donne, en posant
-za'=m — n— i, c'=m-\-i:
F(m - w - i, — n— i, m + i, (3>) = (i + p»)»+i-«F ^m~^~I, ^-^> m + i, eA.
La formule (D,) peut donc s'écrire
(D.) Xf = (-,)- (» + »)(■» + »)•••<»+»+') g)-F(gUipi, Spj, m+,,e,),
ou encore, en tenant compte de la propriété (i4)»
(D;) xr=(-.r"+i)(t^,i"+m+"g)"(.-o,+|ï(=±^.^±-3>»+..
On aurait pu, d'ailleurs, démontrer beaucoup plus simplement ces relations
(D2)et(D'2). On a, en efTet,
— —^== I ( — ) cosmwmv
V/i —e* 27r^0 W
*+* i r,w
=.• (i — e') *— / (i + ecosw)-"-* cos mwdw

FORMULES DE HANSEN. a5g
ou bien, en développant (i -+- ecosw)-"-2 par la formule du binôme,
Xn,m = (I _ ei)»+\ 2 ["(_,)? (n+2)(n + 3)...(n+9+i) g? _^_ jf %osP„cosm„rfJ .
i /,ï1ï
Or l'intégrale — I cospcos7w*>efo> est nulle si p est plus petit que m; elle
l'est encore si, p étant plus grand que m, la différence p — m est impaire ; dans
le cas où cette différence est paire,
p = /n + ap', p'^o,
on a
m
cosmH~ïP' w cos mw dw =
i i. a.. ( m 4- a p' )
awi+jp' i.a.. .p'.i.a.. .(/n +p')
Il viendra donc
y»-/ lVn /g\mf, -Mw+i Py"(ii + 2)(ii + 3).. .(w + m + i + ap') /gyP'.
on vérifie aisément que cette formule coïncide avec (D'2).
Considérons maintenant le cas général où i est un nombre positif ou négatif
différent de zéro; en posant
(io') v'= i\/i — e*,
la formule (B') donnera
*, = e,e,1>
en faisant
(ii')
0' = (i + |3j?)~a E » + ?', A =#1 + 2 — 1,
e'j^i + pay-^-a.E V« + P^-, /i,= n + a + i;
nous allons chercher le développement de ®' suivant les puissances de a?; nous
en conclurons celui de ®', en changeant x en -» « en — i, v' en — v'.
Or on a
v-âi!L v' v'»
E «+P*=i+ - (i + j3^)-'(3a;H (i +(3^)-"[32^2h-. .. ;
on en conclut
%'= (i + (3a-)-'' + - (i + (3^)-(A+|)[3^ + — (i + |3 j?)-<a+»P»j?* + ....

2ÔO CHAPITRE XV.
On peut développer les puissances de i ■+- $x, et ordonner par rapport à $x;
on est conduit à poser
p, n+a — i v'
1 I I
p, _ ( /i + a — i) ( n + 3 — i ) n + 3-i'v' j/*_
1 i .a i i i .a
(ia') { p, _ (rc + a — Q(m + 3 — 0(ii + 4 — Q (rt-î-3 — Q(m + 4 — 0 v'
' i.a.3 i.a i
w + 4_i v'« v'»
i.a i.a.3
on a alors
03') e' = i—p'.p^ + p;^»— p;p>a?>+....
On fera de même, en changeant t'en — « et v' en — v',
n + a + i v'
y, = 1— >
1 i i
~, _ ( n + a + 0 ( n + 3 + 0 #i + 3 + i v' v'a
1 i.a i i i.a
(ia'i) < ^> _ ( w + a + Q ( w + 3 + Q ( w + 4 + Q , (n + 3 + i)(n+4 + i)v'
vi —
i.a.3 i.a i
i i.a 1.2.3
ce qui donnera
(i»',) e'I=i-Q'1(3^-»+Q;(3^-ï-Q;[3'^-» + ....
Il faut maintenant faire le produit des seconds membres des équations (i3')
et (13',), et chercher dans ce produit le coefficient x' du terme en a?1-"*.
La formule (C) donnera ensuite XJ,OT; on trouve, comme précédemment,
qu'il y a à distinguer deux cas, et l'on arrive aux formules suivantes :
( i" i> m,
(E') { (j QJ\J7H-I
| x?,m=(- o1-" (I+y)B+1 p1— [p;-«+p;--,„„ q; p»+y>t-m+1 q; p* +...] >
a° i < m,
(F') < /, a«\ïin-j
xy» = (- o»-' yt +p^)B+I p»-* [Q;B_f + Q'w_f+I p', p» + Q;B_f+, p^p*+...]■

FORMULES DE HANSEN. 261
On peut remarquer que, si l'on développe suivant les puissances de e les
quantités 3 = f et v' = i Ji — ë2, X'l,m sera de l'une des formes
r i + sji—e* '
a0ef-m + a,e,'-",-|-ï + a4e,'-",-,-* +..., i > m,
60em-/ + 6,e",-'-,-ï+ 6te",-/-|-* + ..., i'</n.
Proposons-nous comme exemple de calculer XJ'1 au quatrième ordre près
inclusivement; on a ici
/n = i, n=: a, i = /n = i.
La formule (E') donne
on trouve, d'ailleurs,
P',= 3-V,
p'— 6 —4v'+ - v'a,
2 a
Q',= 5 + v\
Q; = i5 + 6v'+ -v'«;
/ ' 1 — 3'
Xî-^i + a(3»-^(3* + ...f
X;-« =i + -e«-î5^ + ...;
2 64
c'est le résultat cherché.

26 2
CHAPITRE XVI.
CHAPITRE XVI.
CONVERGENCE DES SÉRIES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.
100. On a vu, dans les Chapitres XIII et XV, que les quantités -» u — Ç,
w — Ç, (-] cosqw, l-j sinqw, où p et q désignent des nombres entiers
positifs ou négatifs, peuvent être développées en séries convergentes suivant les
sinus et cosinus des multiples de l'anomalie moyenne Ç. Ces séries convergent
pour toutes les valeurs de l'excentricité comprises entre o et i ; leurs divers
termes sont, les uns positifs, les autres négatifs. Si on les groupe autrement, la
convergence peut ne pas subsister.
Il y a lieu d'examiner ce qui arrive quand on ordonne les séries par rapport
aux puissances de l'excentricité. Laplace (') a montré le premier que les séries
ne restent convergentes pour toutes les valeurs de l'anomalie moyenne
qu'autant que l'excentricité est inférieure à 0,6627.... C'est une question importante;
car, dans la théorie analytique des perturbations, on est obligé de négliger les
puissances des excentricités à partir d'un certain ordre, et c'est réellement
suivant les puissances de ces excentricités que l'on ordonne les calculs.
Pour traiter le problème, nous nous appuierons sur les résultats, aujourd'hui
bien connus, concernant la convergence de la série de La grange.
Soit l'équation
(1) z — a — <xf(z) = o,
dans laquelle ay a et z désignent des quantités réelles ou imaginaires; soit S un
( • ) Mécanique céleste; t. V, Supplément.

CONVERGENCE DES SÉRIES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 263
contour fermé, tel que l'on ait sur tous ses points
mod J v ' < i ;
z— a
nous supposerons la fonction /(z) holomorphe dans tout l'intérieur de S.
On démontre (voir le Cours de M. Hermite à la Faculté des Sciences de Paris,
3e édition, p. 167; 1886) que l'équation (1) admet une racine z et une seule
dans l'intérieur de S, et, en désignant par U(z) une fonction holomorphe
quelconque de cette racine, on a ce développement de II(s) en série convergente
suivant les puissances de a :
n(,) = n(«)+ 2 ,.1..<^ + ,) £[*'<-)/««>].
n= 0
Nous prendrons pour l'équation (1) l'équation de Kepler
(a) u— Ç — esin*/ = o,
dans laquelle nous supposerons £ et e réels.
D'après ce qui précède, si l'on peut trouver un contour fermé S sur tous les
points duquel on ait
/0. , esini/ , sini/
( 3 ) mod s = e mod = < 1 ;
u — ç u — Ç
l'équation (2) admettra une racine u, et une seule, dans l'intérieur de ce
contour, et l'on aura en série convergente
Il = as
(4) n(») = n«)+l1.,..*^ + .)^P|'(»,ln*MtJt
Voici comment M. Rouché arrive à trouver la plus grande valeur de e pour
laquelle la série (4) reste convergente, quelle que soit la quantité réelle Ç.
Soient A le point de l'axe des x dont l'abscisse est Ç et M le point dont l'afïixe
est u. Prenons, pour le contour S, une circonférence de rayon p décrite de A
comme centre. Faisons mouvoir le point M sur cette circonférence et désignons
par ç l'angle que fait le rayon AM avec l'axe des x\ posons d'ailleurs y7— 1 = i.
Nous aurons
La condition (3) reviendra à
(5) -modsiD(Ç + pEf?)<i.
P

264 CHAPITRE XVI.
Soit F(p) le maximum du module de sin(Ç -h pE1'*) quand <p varie de o à 2it
et que £ prend toutes les valeurs réelles possibles; si l'on donne à e une valeur
telle que l'on ait
la condition (5) sera vérifiée et la série (4) sera convergente pour toutes les
valeurs réelles de Ç.
Si l'on détermine ensuite la valeur p, du rayon p de manière que l'expression
p^-r soit la plus grande possible, et que l'on fasse et =^-r, la série (4) sera
certainement convergente quand on aura
e<e,.
Il faut trouver d'abord l'expression de F(p). Or le carré du module de
sin(Ç-hpE/?) est égal à
sin(Ç + pE'?)sin(Ç + pE-'?) = sin(Ç + pcos<p + ipsin<p)sin(Ç + p cos<p — ipsin<p)
= cos'(ipsin<p) — cos'(Ç + p cos<p).
On aura donc
modsin(Ç + pE*P) = i/ ( J — cos'(Ç + p cos<p).
Le maximum de cette expression, pour une valeur donnée de p, aura lieu
J sera le plus grand possible, c est-à-dire pour sinip = i,
et qu'on aura en même temps
7T
cos'(Ç + pcos<p) = o, cosÇ = o, Ç = zt--
Il viendra donc
F(P)=ïîii2.
Il faut maintenant trouver le maximum et de l'expression
- aP
EP + E-P
En égalant sa dérivée à zéro, on trouve
EP(p —i)-E-P(p+i) = o.
Le premier membre de cette équation prend des valeurs de signes contraires
pour p = i et p = 2; sa dérivée p(Ep-h E-p) est toujours positive. Donc cette

CONVERGENCE DES SÉRIES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.
équation admet une racine p, positive et rien qu'une; on trouve
p,= 1,9967..., ep^'e-p, =o,66a7...=e,..
Donc les séries sont convergentes pour e < 0,6627
Les excentricités de toutes les planètes et celles des astéroïdes compris entre
Mars et Jupiter sont toutes notablement inférieures à la limite ci-dessus; il en
est de même pour cinq des comètes périodiques actuellement connues. Donc,
pour tous ces corps, la convergence des séries du mouvement elliptique est
assurée.
Il est facile de former l'équation transcendante dont dépend e{ ; si l'on
élimine, en effet, p, entre les deux équations
on trouve aisément l'équation cherchée
1 + v/i + ej = CiE*fi+«î.
101. En faisant successivement, dans la formule (4),
TL(u) = u et II(a)=cosi/,
il vient
em dm-is\nmK
(6) a = Ç + esinÇ-i- +
(7) cosu = cosÇ — esin'Ç—...—
1 .a... m dKm~i
e/7i-i dm-1sinmÇ
i.a...(/n —1) dÇm-*
Or on a ces formules connues :
Pour m pair,
m
sinm^=^rr[C0S/n^- jCOs(m-2)K-h — ™~' cos(/n —4)Ç-...l
et, pour m impair,
m-l
sin^Ç^z -—m_t sin/nÇ sin(/n— a)Çn 2 '- sin(/n —4)Ç —.
T. - I. 34

266 CHAPITRE XVI.
On en tire aisément
rfm_1sinmÇ
cKr
inmÇ i f , . „ m , , . , .„
3j— = -^j mn-lsinmç (m— a)"»-1sin(/n — a)Ç
m (m — i)
i.a
(m-4)'»-isin(/n-4)Ç-.. .1 ;
cette formule convient aux deux cas de m pair ou impair; seulement, elle se
termine au terme en sin 2 Ç dans le premier, et au terme en sinÇ dans le second.
On trouve de même
rfm-,sinmÇ
<%'
3^—^ = ^tj hmm-ïcos/nÇ (m — a>m_ïcos(/n — a)Ç
m(/n — i)
i .a
(m — 4)OT_ïcos(m
-4K-...],
où l'on doit s'arrêter au terme en COS2Ç si m est pair, et au terme en cosÇ si m
est impair.
En ayant égard aux formules (6) et (7), on obtient ensuite
u — Ç = e sin Ç -\ sin a Ç -t-
(8) { i.a.../n.a'
[m
mm~i sin/nÇ (m — a)m-1sin(m — a)Ç
* (m — 4)m-1sin(/n — 4)Ç
1 .a
....].
r é1 é1 „
- = 1 -\ e cos Ç cos a Ç —...
a a 1 .a
(9)
; ———r /nm-*cos/nÇ (m— a)m^scos(/n— a)Ç
1 .a.. .(/n —ija"*-1 L 1
• m(/n_l) (m-4)m-ïcos(/n-4)Ç-...],
1 .a
102. C'est Laplace, avons-nous dit, qui a trouvé le premier la limite et de
l'excentricité pour la convergence des séries ; son analyse est très remarquable.
Disons quelques mots de la marche suivie. Laplace était arrivé facilement à
trouver les expressions générales des coefficients de é* dans les formules (8)
et (9). Considérant le dernier de ces coefficients, il remarque qu'il prend sa
plus grande valeur absolue pour £ = -> quand m est pair; il est alors égal à
1.1.. .{m —i)im-1 L 1 i.a x J

CONVERGENCE DES SÉRIES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 267
Laplace trouve ensuite, par un chemin assez difficile, cette expression
approchée de AOT quand m est très grand
t,n\ A a r g(i-aco)E y
{ } m~/nv/m(i-aw)V^iL^-(i-a))»-J '
(i> étant déterminé par la formule
(n) iZl2=E1-»w.
Ci)
Si la quantité
e(i — aco)E
acow(i — co)1"10
surpasse l'unité, l'expression (10) de A,„ deviendra infinie avec m, et la série (9)
sera divergente. La limite des valeurs de l'excentricité qui font converger cette
série sera donc
, v 2C0u(l — CO)1"10
(Ia) e\ ——r^ re-•
x ' (1 —aco)E
Si l'on tire de (11) la valeur
pour la porter dans (12), il vient
_ ay/coQ — co)
ci — .
1 — aco
d'où
I
1 — aco =
v/i+ej
1 —co _ (1 + yAi + e\)'
co
En portant ces valeurs dans la formule (11), il vient
,+v/1 + e* = eiEv^^y;
on retombe bien ainsi sur l'équation déjà trouvée.
Laplace arrive ensuite au même résultat en partant de l'expression du
coefficient de e™ dans la formule (9).
C'est Cauchy qui a donné une démonstration plus directe et plus rigoureuse

268 CHAPITRE XVI.
des résultats de Laplace; M. Rouché a simplifié à son tour la démonstration de
Cauchy.
Nous renverrons le lecteur à une Note intéressante de M. 0. Callandreau
(Bulletin astronomique, t. III, p. 528); l'auteur considère le coefficient de em
dans le développement de - suivant les puissances de e; il arrive d'une
manière très simple à l'expression asymptotique de ce coefficient, et il en déduit
facilement la limite et.
103. Nous croyons devoir donner, en terminant ce Chapitre, quelques
indications sur d'autres expressions asymptotiques. Reprenons le développement
périodique
- = C0-i- C^cosÇh-. . .+ C,„cosmÇ + ... ;
a
le coefficient Cm est une fonction de e, et l'on peut se proposer d'en trouver
l'expression approchée lorsque m est très grand.
Laplace a traité cette question (Mécanique céleste, t. V, Supplément), et il a
trouvé que, pour m très grand, on a approximativement
C a(i-e^/ eE^* \"\
m\]m ^/2 7T \ n- y/i — e1/
La même question a été traitée plus complètement par Carlini, et surtout par
Jacobi (Astronomische Nachrichten, nos 665 et 709-712).
Considérons en second lieu le développement
l-j =F0-v-F, cosÇ-i-. .. + F,„cos/nÇ + ...,
d'où l'on passe aisément à celui de l'équation du centre. Jacobi a donné pour
les coefficients C,„ et F,„ les expressions asymptotiques suivantes
c=-.(ungiTB-»yv^ïr,-îrj—(,—v)+-l.
\ °aT / V 27r/na L 8/ncos<p\ gcos1?/ J
F,„ = —— (lang- cpEc°»«pYYi + r-^— 1 /^— +...),
cos<p\ °aT / \ 3cos<p y 7r/ncos<p /
où l'on a fait
^ = sin<p.
On voit immédiatement que la première partie de l'expression de C,„ coïncide

CONVERGENCE DES SÉRIES-DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 269
avec celle de Laplace. Dans le tome XVII desMathematische Annalen, M. Scheibner
a calculé, dans les expressions asymptotiques de Cm etF,„, les coefficients de
puissances plus élevées de —=.> et il a résolu le même problème pour les
développements de (-J cosqw et (*) s\nqw.
Enfin, M. Flamme, dans une Thèse soutenue en 1887 devant la Faculté des
Sciences de Paris, a trouvé par une méthode rigoureuse fondée sur de belles
recherches de M. Darboux ('), les expressions asymptotiques d'autres
développements qui jouent aussi un rôle dans la théorie des perturbations.
(*) Mémoire sur l'approximation de fonctions de très grandi nombres (Journal de Mathématiques,
3° série, t. IV, 1878).

270
CHAPITRE XVU.
CHAPITRE XVII.
SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES QUI SE PRÉSENTENT
DANS LE DÉVELOPPEMENT DF ' A FONCTION PERTURBATRICE.
104. Soient o.a et ia! les grands axes des orbites de deux planètes; nous
aurons, dans le développement des fonctions perturbatrices, à développer
suivant les cosinus des multiples de la quantité réelle ty les expressions qu'on
déduit de la suivante
(a* h- a'1— aaa' cosij;)-',
en donnant à s les valeurs ->-»->'»
a a a a
Les fonctions ainsi obtenues sont des fonctions périodiques de ^ à période 2it ;
elles sont paires et finies pour toutes les valeurs réelles de 4*» si a est différent de a'.
Nous pouvons donc poser
—*■ i
(a*H-a"—aaa'cos4») * = - A(0) -+- A<!) cosij; + A(I) cosaij; -+-...,
ou bien, en convenant de prendre A{_l) = + A(l"\
I +06
(a*h- a'1— aaa'cos40 * = - V A<" cosiip;
— m
faisons de même
+ 06
aa'(a}->ra'* — aaa'cosij;) J = - V B^cosiip,
(0
-t-oe
-£ I VI
a'a'^a*h-a"—aaa'cos4») " = - V C(0cosiip,
— oe
+ 06
_1 I ^
a3a'*(a*-t-a'*— aaa'cosij;) * = - V D(/) costip,

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES.
371
En supposant a<a', faisons —, = a; a sera donc compris entre o et i ; la
fonction
(i + a1— a a cos 4» )-'
pourra être développée suivant les cosinus des multiples de 4*« Nous poserons
(H-a1—aacosij;) * =- > 6(,) cosi'ij;, ô<-0 = + &<*>,
— m
(i-h a1— aacosij;) * = - y, c^cosiip, c(-,) = +c''),
1 — «
(a> < -i «;;
(i -v-a1 — aacosij;) * = - V e(/) cos iip, e(-')=r+e(f,
(i + a1— 2a cosïJO'" = - 2 flt) cos'+» /("° = +/(')»
et, en général,
(A) (i-v-a*— 2acosij;)-5 = - V ift>^' cosi(p= -Uî^°> + ife^1' cos(p+...+ itb^,cos<(p + .. .
Les divers coefficients uî,"' sont des fonctions de a; on aura
En faisant dans (i) a = aa' et comparant à (2), on trouve aisément
(3) a'A<« = #'>, a'B<« =.«<?<'>, a'C<«'> = «'«<«'), a'D<« = «»/(«,
Les fonctions A(l), B('\ Cw, D('\ ... sont donc des fonctions homogènes de degré
— 1 de a et a' qui se ramènent aux fonctions afc>"' de la seule quantité a.
105. Cherchons l'expression analytique de dï,"'.
Posons
d'où
a cos 4» = « + -s-1» 2 cos i\p = .s'-t-W,
(1— a-s)(i — ar1) = n- ot}— a a cos4».

272 CHAPITRE XVII.
La formule (A) deviendra
(I _as)-.(l_ a5-i)-*=Ii&«°>-t- iifi>»> (* + «-•)+... + ii&;" (*' + *-<) -+-...
ou bien
— »
Or, le module de z étant l'unité, as et as-1 ont des modules égaux à a, par
suite inférieurs à l'unité; on a donc, en séries convergentes,
s .v(.v + i) , , *(5 + i) (5+a)...(5+ 1— 1) ,',
v ' I 1.2 l.2.5... I
S . 5(5 4-1) , , 5(5 + l)(5+2)...(5+1 —l) , ,
(i-«s-')-,= > + 7«--1+i7i-a^+'-' + J 1.2.3... 1 '«'--'+••••
Le coefficient de s' dans le produit de ces deux séries sera, d'après la
formule (4), égal à -i&i''; on trouvera ainsi sans peine
(B)i^=f^+i)---(f+'-')«'r.+î^«'+^ti2(^o(^'+-)g.+,.,i,
K } 2 * 1.2...1 L * I+I ia (« + 0(« + a) J
En calculant directement-i«>J", on voit que la formule précédente s'applique
. , i- • j 1 5(5 + 0-• • (v +1- 0 1» •«'
pour i=coala condition de remplacer — — -. par I unité.
On aura, en particulier,
li.a. i.3.5...(2i-^QMir. é 1 21 + 1 i.3 (21 + 0(21 + 3) "1
i- £>('» =. s—= : <X' I 14 —: Cf 4 7 7 : r-7 ; j-r OC + . . . ,
2 2.4.6. ..21 [. 2 21 + 2 2.4 (2l+2)(2l + 4) J'
, 3.5.7 (,. + ,)g,r 3 ■* + !,,+ L« (.< + 3)(,fH5) 1
2 2.4.6. ..21 L 2 21+2 2.4 (2f+2)(2I-i- 4) J
On voit que les coefficients des mêmes puissances de ce2- sont plus grands dans c(l)
que dans b(i) ; la convergence de la série qui donne afc>"' diminue quand 5 augmente.
Pour 1'= o, il faudra, comme précédemment, prendre égaux à l'unité les
coefficients qui précèdent a' dans les seconds membres.
Voyons comment converge la série
W0+«!-*-• ••+ «n + - • • »

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 273
qui figure dans le second membre de la formule (B). Nous avons
_ 3(3 + 1). • • (s -h n — 1) (s + t)(s + t'-n)...(s + t' + n-i) Jn
Un~ i. 2... n (i + i)(i + a). ..(1 + 11) a '
d'où
u„+y s -+- n s -+- i-\- n
n ■+■ 1 1 ■+- n -+-1
a1
pour n infini, ce rapport tend vers a2 qui est plus petit que i, et la série est
convergente. Tous les termes de cette série étant positifs, la formule (B)
montre que afc£' croît sans cesse quand a croît lui-même de o à i ; pour a = o,
on a d'ailleurs
Uî>«» = a et U^'» = 0 pour i = i.
106. Nous allons exprimer u»^" par une intégrale définie.
Puisque afc>i" est le coefficient de cosi^ dans le développement de l'expression
(n-a1— 2acos0)--%
la formule (5) du n° 81 donne
a /•*
(C) Ul,<,,= -I (i-f-a* — aacos^)-*cosi^rf^;
cette formule s'applique aussi pour i = o.
On aura, en particulier,
^ Ja (n-a1—aacosij;)1
m=i r cosii—_rf+>
JQ (n-a1—aacosij;)1
En partant de ces expressions, on démontre facilement que b(i\ c(0, ... sont
infinis pour a = i ; en effet, on trouve, pour cette valeur de a,
sin-*-
c<"=4i / -77$ ^
T. - I.
35

2y4 CHAPITRE XVII.
L'élément différentiel de chacune de ces intégrales est infini à la limite
inférieure, et l'application d'une règle bien connue de Calcul intégral montre que
les intégrales elles-mêmes sont infinies.
107. Nous allons faire connaître une autre expression de b{i) par une
intégrale définie.
La première des formules (b) nous donne
l6,„ = a,p-3-.(».--0 + ; ..3..■(,<+.)• «.8 ,-3...(..; + 3) 1
a L 2.4...ai 2 a.4- • • (21 + 2) 2.4 2.4- • • (2H-4) J'
les coefficients de a0, de -a2, ... s'expriment par des intégrales définies, en
partant de la formule connue
/sin,Biprfip =
i.3... (2/1 — 1)
— -7t.
2.4. • • 2/1
On trouve ainsi
\ «/ 0 "0 "4 J 0
= af / sinIf 4" ( * -+- - a* sinI4" ~*—"7 a* sin*4» H- • • • ) dty.
On a d'ailleurs
i , . ,. i.3 ... . i
a T 2.4 T s/ï —««sin1^
il vient donc
w J0 yi — a'sin1^
En comparant les formules (c) et (d), on trouve cette relation intéressante
(5) /•" cosj* rf+= „, ^^L4
,/0 yn-a1—2acos4» »/„ V1 — a* sin'ip
En faisant dans (d) i = o et i = i, il vient

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 275
Si donc on désigne, suivant l'usage, par F, et E, les intégrales elliptiques
complètes de première et de seconde espèce relatives au module a, on aura
4F
7T Ct
Or Legendre a donné des Tables étendues pour le calcul numérique de F, et
de E, (Exercices de Calcul intégral, t. III, p. 125 et suiv.); l'argument, qui est
arcsin£, ou ici arcsina, varie de dixième en dixième de degré depuis o°
jusqu'à 900; les Tables donnent logF, et logE, avec 12 et 14 décimales.
On a donc le moyen de calculer très rapidement les valeurs numériques de
#0) ei £(o p0ur une valeur donnée de a.
108. Nous allons chercher une relation entre ofei", ife""1' et iib"-1>.
Partons de la formule générale
(6) [■ + «'-«(* + £)]"'= 5 2 ifci"*';
nous en tirerons, en différentiant par rapport à z,
(7) 5a[I+aI-a(5+^)]",~,(I-i) = ^2^',^",'
d'où, en ayant égard à (6),
+ 06 -h as
*« (*- î) ï 2 *i"*l= [*+aï-« (*+î)] ï 2 ,,*i"al-
— » — «
En égalant dans les deux membres de cette équation les coefficients de s'-1,
il vient
sa[ifi>il'-1) —ifi»^] =(1 + a»)(i - ijifei'"1» — a [(1 — a)ift,i'-*'-i- nft><"],
d'où
(F) *«»= fcî (- + 5) *?""- ^- <-•
Cette formule est très commode pour le calcul numérique; elle permet de
déterminer de proche en proche ui.^', afc£", ..., connaissant uî^01 et ubj" que l'on
calculera directement par la série (B), ou par une des autres formules qui
seront données dans la suite de ce Chapitre.
(«)
6«»
6(D

276 CHAPITRE XVII.
La formule (F) donnera, en particulier,
(/')
1 6(») = |eô(i)_l6Wf
b^ — Vl—ïebd-i)— L'jil? 6(/-Df
21 — I
en faisant
1
'ii — i
e = <x-\-
a
Ayant donc déterminé 6(0) et 6(l) par les formules (c) et les Tables de Legendre,
on calculera ainsi de proche en proche 6(2), ft(3), ... ; on vérifiera l'ensemble du
calcul en déterminant directement la dernière transcendante b{i) dont on a
besoin par la première des formules (b). On devra remarquer que la précision
diminue avec le nombre des calculs, et que, si l'on veut avoir b(i) avec un assez
grand nombre de décimales, il faudra en prendre davantage dans bw et 6(l).
On aura de même
if)
21
* 21
2 II 11 2I
3 21
ee
(«->)
21
21
7 y 2
— i
— 3
-5
+ 3
-7
109. Il est facile d'exprimer afc>i' en fonction de deux des transcendantes qui
se rapportent à la valeur s + 1 de l'indice s.
La formule (6) donne en effet, en y changeant ;en* + i,
[, + *_«(, +i)]~'=i 2 *».*;
— »
après quoi l'équation (7) devient
-(,"?)ï2<«2'=ï2'<'2'--
_oe —00
Égalons dans les deux membres les coefficients de s1-1, et nous trouverons
(G)
iy>V/> = s*[MJ-»-MJïï>].

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 277
En appliquant cette formule, on pourrait donc obtenir successivement
les quantités e(i) en fonction des /W,
» c(i) » e(,),
» bW » <?<«;
mais il vaut mieux suivre la marche inverse et, prenant comme point de départ
les fonctions bli) qui jouent le rôle le plus important, chercher à en déduire
successivement les c[i\ puis les el'\ et enfin les/w.
La formule (F) donne d'abord, en y remplaçant i et s pari4-1 et $ + 1,
(8) « *»"= '<' + «">«g. = ('-">"«iS',
portons cette valeur de ife^" dans (G), et nous trouverons, après réduction,
(9) ^=.I»«»fc"-(.+«')*a..
d'où, en changeant l'enj + i,
I — S
(1.) . ^..=t"*ffi.r(-t-a,)*»i"
1 — s +1
Les équations (8), (9) et (10) permettent de déterminer les trois inconnues
uî»i£(,), ife£, et uî)""/1 qui y figurent au premier degré; (9) et (10) donnent
d'abord
aalfcfc11 = (1 + «»)*& + l-=^ Uï-i'',
en portant dans (8) ces valeurs de ilb£"(,} et^i'+V'» on trouve, toutes réductions
faites,
.. ,,-, _(i+Q(i + «»)*jfl-a(i-« + i)«ift/+»
Cette formule résout la question; mais on peut obtenir des résultats plus
satisfaisants au point de vue des calculs numériques en procédant comme il suit :
changeons dans (H) l'en — 1 — 1, et nous trouverons

278 CHAPITRE XVII.
Nous tirerons ensuite aisément de (H) et (H'),
■ 2 l 5+1 *+i j 2S(i— a)'
( 2 LVb*+» ~ ^+1 J - 25(1 4-"^
Ce sont là les formules dont Le Verrier fait usage pour calculer
numériquement les ift>,+1 en partant des afc>,.
On trouvera, en particulier,
I [<•<'>+ C(f+i>] = (»,•+,) ^—^—,
2L J 2(1 — a)"
J 1 ftd) _i_ ft(/+i)
_ [C(0_ <•('+•>] = (21 + i) , „ ;
I îL J v ' 2(1 + a)" '
on appliquera ces formules comme il suit :
1 £(0)_£(l)
i[C(0)+c(.)]=° »
2 L J 2(1 —a)*
d'oùc(0)et c(,),
d'oùc^etc^;
2 L J 2(1 + a)'
i[c(D + c(i)] = 3^ °
2 L J 2(1 — a)1
2 L J 2(1 + a)1
On voit que d*\ c'2), ..., ct'-,) seront calculés deux fois, ce qui donnera une
vérification utile.
On trouvera de même
( i [.(*) + *™n = l- (»'+3)cC0-(a«-,)c^')
] 2 L J 6 (1 — a)*
(*f) Irew-ecwn-1 (" + 3)c">+(*«'-')c<*-'>.
[ 2 Le e J - 6 (!+"«)'
[ I r/«,+/«+.,i_ i. (»-+5)g(0-(a«-3)g«^)
(2^ +/ J-IO (,_«)•
)'ir f^ni= - (2t-+5)^) + (2t--3)g^')
\ 2 v y J 10 (i+ a)*
En résumé, on calculera directement bm et 6(,,t soit par les séries déduites
de la première des formules (6), soit par les formules (e) et les Tables de

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 279
Legendre ; les relations^/') donneront ensuite bwy è(3), ..., après quoi on
trouvera les c('\ e[i) et/(i) en appliquant successivement les formules (k), (kf) et (k").
Enfin les formules (3) donneront les A('\ B">, C"> et D<>.
110. On peut introduire très utilement dans cette théorie la série
hypergéométrique
„/a t> n x A B A(A+i)B(B + i) .
F(A>B>C^)=i+7:ïï^+ ,.a.C(C + .) * + ~~
La formule (B) nous donnera, en effet,
/ x l .wi) s(s-\-i).. .(s + i — i) ._,. . . ,.
(n) -Uî,<£)= — : al¥(s, 5 + i, i + i, a');
v ' 2 * i .2.. .i x
on aura ainsi l'avantage de pouvoir employer les propriétés bien connues de la
série hypergéométrique, pour lesquelles nous renverrons à deux Mémoires de
Gauss, insérés dans le tome III de ses OEuvres.
On a d'abord cette relation remarquable
(12) F(A, B, C, *) = (i-*)-*f(a,C-B, C, fj^)>
qui donne, en y faisant
(i3) A = s, B = s + i, C = i + i, x-=.cP
et, tenant compte de la formule (n),
'«y,= «(« + .)■■■(«+<-.) «'p( t_,ti+ =*\
2 * 1.2...1 (i—a')* \' ' î — a1/
ou bien
2 ''* i. 2... i ( i — a* )* L n'+i i-a'
■?(•? +0 (5 — 0(^ — 2) / «» y ■]
+ i.2 (I+I)(i+2)Vi—«>y +—j-
Cette formule importante est due à Legendre; si on la compare à (B),
on voit que le facteur '-: est remplacé par i^- qui est petit quand i est grand ;
de même —r—— est remplacé par-r^—; la formule (L) sera donc beaucoup
plus avantageuse que (B) pour les calculs numériques, si i est assez grand. La
série qui figure au second membre de l'équation (L) procède suivant les puis-

280 CHAPITRE XVII.
sances de _ a> et il est aisé de voir, en appliquant la règle relative à la limite
de -^j qu'elle est convergente tant que l'on a _ ,< i, d'où a < 0,707
Si nous appliquons la formule (12) à F( C — B, A, C, £-—)> nous
trouverons
d'où
f(c-b,a,c>7-^) = (i+7^) (C""b,f(c-b,c-a,c,^),
f(a, C —B,C, y^W(i —^)c-bF(C-A,C-B, C, x)>
et, en portant cette valeur dans (12), il vient
F(A, B, C, a?) = (i-.r)c-A-BF(C-A, C - B, C,a?).
Nous avons déjà fait usage de cette formule dans le n° 99; si nous y donnons
à A, B, C, x les valeurs (i3), et que nous portions le résultat dans (n), nous
trouverons
-^H — —= ;——_im, 1 F(t + i — s, i — s, i + i,aa) -
2 * 1.2...1 (1 —a*)'*-1 x 1 > » /
ou bien
1 li>_s(s + i)...(s+i-i) ce1 r i-s i+i-s
2 *~~ 1.2. ..I (l_a«)«*-lL+ I *-+-! "
(L') t
(i —S)(2—S) (1 + 1—s)(l + 2—S)
1.2 (i-|_i)(i + a)
«*+...]
La série qui figure dans le second membre de cette formule reste finie pour
a = 1, si l'on a^-jon voit donc qu'on a mis en évidence le facteur -. r^—r
> 2 ^ (1— or)ls~l
qui rendait Wtn infini pour a = 1 ; mais la série en question est encore infinie
pour a = 1 lorsque s = -• (Il suffit pour le voir d'appliquer une règle de Gauss,
Œuvres, t. III, p. 139.)
La série hypergéométrique vérifie une équation différentielle linéaire du
second ordre, savoir
ABF-[C-(A +B+ 1)*] ^-(*-*») g =0.

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 281
En faisant x = a2 et donnant à A, B, C leurs valeurs particulières (i3), on
trouve sans peine
rf*F d¥
a(i —a') -1-5- +[21 +-1 — (21+ i + 4s)a'] -j 4<*s(i + s)F=o.
Si l'on pose enfin dans cette équation, conformément à la formule (î 1),
F = ct-'ïlh^ x par une constanle,
on obtient finalement
cette équation pourra être utile dans certaines recherches.
111. Indiquons encore pour les ofe"' un autre procédé de calcul employé
surtout par Hansen.
On tire de la formule (F)
,. x Uî>i" . 1 + a* i + s — 2
d'où
<i4)
en faisant
(,5)
Posons encore
(16)
(«7)
(«-
. ... . . . 1 + a1 i + s — 2
-*)/>i" = « <) „ -77=11-'
FA-'-t-*-' «
* i 1 + a2
H s — * s fs »
et l'équation (i4) donnera
,. .1 + 5 — 1 a ,,.. • + a* . i—i 1 + a' 1
(l—s) r : y'" = (l —i) (l +S — a) ^ TyrriJ
x ' 1 i+a"'' v 'a v 'i + s—2 a y*1 "
ou bien
(i-s)(i+s-i) / ce y „ i_
1(1-1) \i+W y' ~ yil_n
T. — I. 36

282 CHAPITRE XVII.
d'où
08} V«-D— ! ,
1 rs fs
où l'on a posé
v y' K* 1(1 — 1) \i + «7
Supposons que y"' ait été calculé d'une façon quelconque; on en déduira, de
proche en proche, par la formule (18), les valeurs de yi'"11. yi'~21» •••» Y,"; on
calculera par (16) et (17) les valeurs depll\ /»""", ..., p1", après quoi (i5)
donnera
!*<«» = *<•'/>»',
*<»' = *<•'ri'W,
»
On connaîtra donc ainsi toutes les quantités ift>"'en partant delà première ifbj0'
que l'on calculera directement par l'une des formules (B) ou (L).
II nous reste seulement à montrer comment on calculera y^'; nous aurons
recours à la formule suivante (Œuvres de Gauss, t. III, p. i34),
F(A, B + i, C + i, j?) _ 1
F(Af B, C, œ) a^x
6,-27
où l'on a
cxx
_ A C — B B + 1C + 1-A
a,-CÏÏ^7 *,_ïï+7 ~CT^_,
_ A + i C + i — B j _ B + 2 Ç + 2 —A
Cl_C + 2 C + 3 ' rf,-C + 3 C + 4 '
les relations (11), (i5), (16) et (17) nous donnent
( 2I ï lfe*<} - ' + '-' „ F(5t5 + ltl + It«') _ (<) _ 5 + t~l « (i)
^ ; Ul,"-» ~ 1 aF(*, 5 + 1-1,1, a*) ~Ps "' 1 i+«»y''
d'où
1 (/)_ F(s, t -i-s, t'+ 1, a-8)
1 + a* 7* — F(s, 1: + s -- 1, *', a») '

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 283
on aura donc, en appliquant la formule de Gauss mentionnée ci-dessus,
(22)
/
i -ha
_vi«.
ifs
ai a3
avec
_s(i— s)
_(^ + l)(2— S)
1 -(1 + 2KI+3)'
6, a*
c.a1
, (i + s)(n-i — s)
(H-l)(l + 2)
rf| =
(t -t-s-t- i)(t-t- 2 —s)
(i + 3)(i + 4)
Lorsque i est grand, at est petit, la fraction continue se calcule très
rapidement; i tendant vers l'infini, y"' tend vers i -h a2, et la formule (21) donne
lim^TPT. = **
ainsi, quand i augmente, les ub"' tendent vers les termes consécutifs d'une
progression géométrique de raison a.
Résumé. — Supposons que l'on veuille calculer irt^01, afc>in, ..., MVsl) ; on
calculera directement u^0) comme on l'a dit, y"' par la formule (22), puis
F'1», F<»>, ..., F<", par la formule (16),
» (i9)>
(18),
» (17)»
après quoi les formules (20) donneront enfin dî>[°, iiï^2', ..., uî>"\.
112. Il sera nécessaire encore de calculer, pour le développement de la
fonction perturbatrice, les dérivées successives des fonctions M\>(sl) par
rapport à a.
On pourrait sans doute les obtenir en partant de la formule (B) difiérentiée
plusieurs fois par rapport à a ; on trouverait ainsi
,-, _ ^1 s(s -t- 1). ..(s + n — i) s(s -t-i)...(s + £+ n— 1)
u(,)
r-s t
v('-i '
fs
„(1)
Fs t
u(3)
r~s »
„(2)
rs t
• • t f-s »
v(l)
2* ^ 1.2... n 1. a. . . ( 1 + H ) ^ "
(23)
2 "ÔV7"
= 2B'«a
/+««-/»

284 CHAPITRE XVII.
en posant
B„ = (l + 2/l)(l + 2/? — i). . . (l + 2/1— p + l) A„.
On en conclut
, ,v Bw+I _ (i + aii + iHi + aii + a) Aw+I _^ A„+l ^
^ B„ (1+2/1 — ^-!_!)(! +2 71— JP-i-2) A„ " A„
in -^i = lim —P11 > pour n = 00 .
La série (23) est encore convergente pour les valeurs de a comprises entre
o et 1 ; mais la convergence est moins rapide. En effet, remarquons d'abord
que, dans la formule (23), on doit avoir i -\-in — />> o. L'expression de kn qui
résulte de la formule (24) donne ensuite
*„>(. '+2n+i y
\l-\- 2/1 —p ■+■ 2/
ou bien
kn>(,+^_pzii—y.
\ l + 2 /l — p -\- 1 )
On voit que kn, qui tend vers 1 pour n infini, est notablement supérieur à 1
pour les premières valeurs de n, surtout quand p est grand. La série (23)
convergera donc bien plus lentement que celle qui donne ub"'.
rfgift>(B)
Exemple, t- Considérons , \ ; nous trouverons aisément
J doc* > ""u°
B»-,,A»
b;-I2â,'
Bt 26 At
B, _ 7 A,'
B, 11 A,
B,- 2 A,'
B,_35 A,
Bt 12 A4
On voit qu'il faut aller assez loin dans la série pour trouver une diminution des
termes aussi rapide que celle qui a lieu pour uî^".
Il convient donc d'avoir recours à d'autres procédés pour calculer , * •
Revenons à l'équation (6) et différentions-la par rapport à a; nous
trouverons
[»-(-;)]h'-(* + :)r",= ïï«l
da
d'Où
s\z-\- -
'«Hï-a'^ï"^

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 285
en égalant dans les deux membres de cette équation les coefficients de s', il vient
(N) ^£- =*L*iti,) + *iïi,)-a«*iSi]-
. Les !&,_,_, ayant été calculés, cette formule résoudrait la question pour les
dérivées premières des ift>,; mais il est préférable d'introduire dans le second
membre les afc>, au lieu des ift>,+,.
La formule (G) donne d'abord
-in,(/-i)— ip,('*+l)_i L illl1')
Vos+i — Uo*+i + ~ 0Î>* »
sa
et, en portant dans (N), il vient
Si l'on met dans cette formule, au lieu de !&£, et de ilb£jn, leurs valeurs (H)
et (H')» on trouve, après réduction,
Mais il serait difficile de calculer ainsi les dérivées suivantes.
Nous allons trouver une autre formule qui nous sera plus commode; en
retranchant de (N) ce que devient cette équation quand on y change «en i — 2,
il vient
-^ ^- =-«[*iï-.i,-*a,T-«w'+r-*&i,] + "«wt."
or chacune des trois parties du second membre de cette équation peut se
déduire de la formule (G) elle-même, ou de cette formule dans laquelle on
remplace i par i — 1 ou par i — 2; en opérant ainsi, on trouve
^-^--J =-(«-a) *i/-1)+(a«-a)«*i|-,)-«ifti*.
Cette formule importante ne contient pas * explicitement; elle s'applique
donc aux quantités bli), c('\ c(I),/f/).
Elle permet, en donnant à i les valeurs 2, 3, ..., de calculer de proche en
proche —r-> —f- » • • • » —r2- en fonction de —r*—» de —r^- et de uï>; , ifej , ....
ilbj"; ces dernières quantités doivent être considérées comme connues par ce
qui précède; il restera seulement à déterminer —y- et —— •

286 CHAPITRE XVII.
En différentiant (p — i) fois la formule (Q) par rapport à a, on trouvera
a^^ = a-^ (' + !>—)-55?rf--('-|>-') ^
l +(a'-a)La-rf^r-+(/'---)-5^-J-
En faisant dans cette formule d'abord
p = 9. et i ■= a, 3, . ..,
puis
p = 3 et i = a, 3, ...,
on obtiendra de proche en proche toutes les dérivées des divers ordres des
fonctions afc^' en fonction des quantités connues et des dérivées des divers
ordres de ift^0' et de ir£\ Il ne nous reste donc plus qu'à montrer comment on
pourra calculer , f et —ry- ou bien
dPb^ dPbW dPcM dPcW dPe«» dPeW dPf^ dPfV>
dat.P ' daP ' dctP ' ~dW* dct? ' dctP ' ~daP~ ' ~daP~ '
113. Commençons par , f et —-*-$—
En faisant dans la formule (P) $ = - et « = o, puis i = — i, il vient
dbw _ abw— ft<«> dbM _ ctb^—b^\
dix i — a* d<x et ( i — et1) '
d'Où
(q) «(,_««) ^r=flt6W_ 6(1),
Ces formules donneront d'abord —j— et —j— ; en différentiant p fois la for-
det det r
mule (q), ou trouve
dP-*bW
(a5) / -P(P-i)(P — *) daP-t

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 287
On tire, d'ailleurs, de (q')
dP-lbW dP~lbW . dP-*W
grâce à ces deux dernières formules, (25) donne
v ; l rf*-»ft<» , v d'aï»
l ./ .dP-*bW .
rfa*
Les formules (r) et (r') donneront, de proche en proche, les dérivées secondes,
troisièmes, etc., de bw et 6(,); a n'est pas donné par la relation (V); mais
on trouve directement, en partant de (q) et (q'),
d*bw rfftt1)
(/•") a»(l_a5)^_=(3a»-i)a^r+6(').
114. Il nous reste enfin à indiquer le calcul des dérivées des divers ordres
des fonctions c<°\ c<«\ e(0), e<«\ /(0), /(,),
Les formules (A) donnent
(i — a)1 [c<°> -h c">] = bW — 6(»,
(i + a)![c'°»-c"'] — ft(o) +- 6(«).
En différentiant ces équations, par rapport à a, une fois d'abord et ensuite
p — i fois, on en tire aisément
(«)
S \_~dV + ^Tj = i(7=T)i h^T " -5ÔTJ + 7^ [cW + cl) ]'
a [ d<x "rf«J~a(i + «)![rfa + rf« J i+a[C _C ]î
rffçC" rf/>ç(') _ a/> r^-'çW rfi'-'ct1)"! ^>(/> — i) \'dP~9cW dP-*cW\
daP + daP ~ î — a |_ rfa*-' + da*-1 J ~~ (i — «)« [ ^a*-* + rfa*"8 J
+ (i — a)1 I docP ~d*P~J '
(• + «)• L

288
CHAPITRE XVII.
Ces formules résolvent la question pour les dérivées de cl0) et c(l > ; on en trouvera
d'analogues pour les dérivées de e(0) et e(,), et de f™ et/(,), en partant des
formules (k') et (k"). Nous renverrons pour plus de détails au tome X des Annales
de l'Observatoire de Paris, p. 17-36, où Le Verrier a développé complètement
tous ces calculs.
115. Dans le développement de la fonction perturbatrice, il nous faudra
encore calculer les expressions suivantes :
I
I
I
I.
aP
.a..
aP
.a. .
aP
.a..
aP
.a..
.p daP
.p daP
.p daP
.p daP
— A"''
— B("
— p(t')
= D</>.
Si l'on remarque que l'on a, à cause de a = —,
dan a'n dan
on tirera aisément des formules (3) les expressions cherchées, savoir
p 1. a.. .p daP
,_,., at.p r dpcw dp-tc^n
p 1. a.. ./> |_ docP r d<xP~l J
olp T dPfii] o dP~lfl)
p 1. a.../? |_ aa' aa' '
116. Nous allons terminer ce Chapitre en faisant connaître une manière
spéciale de calculer, soit les quantités ofe"', soit leurs dérivées des divers ordres.
Nous avons dit que les séries directes se prêtent mal au calcul des quantités
y ; mais il est possible d'obtenir un résultat satisfaisant en transformant
ces séries.

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 289
Considérons d'une manière générale la série convergente
(26) /(#) — A + Btf + Ctf' + Da?»+...,
dans laquelle nous supposons o< a?< i. On peut écrire
/(a?) = A(i + a? + a?* + ...) + (B — A)(a?+#»+#»+...)+ (C — B)(#'+#»+...) + ...,
comme on le voit en réunissant les termes qui contiennent A, puis B, .... Or
le coefficient de A peut être remplacé par ——; celui de B — A, par _ »
On en conclut cette formule importante
A+ Btf+Ca?' + Dar« +... = —— -\ — [B — A + (C — B)x+(V — C) *' + ...],
1 — x 1 — x L x J
ou bien
I /(x) = A + Bx -+- Cx* + Dx3 +...
(27) =—^—+—^—(d,A + a:d1B+a:"d1C + a:1d1D+...);
nous avons introduit l'algorithme des différences, en posant
<5,A = B — A, <5,B=C — B,
Nous ferons de même, dans un moment,
<5,A=<5,B-<5,A, ô,B=ô,C— <5,Bf ...;
Ô3A = Ô,B — ô,A, <5,B=<5,C —<î,B, ...;
Appliquons la formule (27) à la série S,A + a?$,B-h ... ; nous trouverons
d,A + xdtB + a?»d,C+ a?Jô,D +... = -^A_ + —^- (Ô,A+ a?ô,B + x*ôtC + ar'^D +
i — xi — x
Nous aurons de même
I a,A+a3»B + a,iïC + *,3ïD + ...= -^-+-^-(aIA+*aIB + ar»i,C+...),
(29) < - 1 — a? i — x
On conclut de (27) et (28), puis de (27), (28) et (29), les formules sui-
T. - I. 37

29O CHAPITRE XVII.
vantes :
(3o)/(ar) = ^ + îr-£ï55alA + (r^y(a1A + *a1B + *«*1c+...),
(3I)/(.)=^+^^ôlA + (-^ô,A+(^)\ô3A + ^,B + ^3C + ...),
La loi de ces diverses formules est manifeste; la dernière de toutes, qui est
d'Euler, serait
On pourra employer, pour le calcul de/(a?), l'une des séries (26), (27),
(3o), (3i), ... , (32), en admettant, bien entendu, que ces séries soient
convergentes; il pourra se faire que quelques-unes d'entre elles soient beaucoup
plus convergentes que les premières.
Appliquons ces considérations à la fonction aft/" : si nous faisons
i _„*(* +!)•■.(* + »'—!) p_„ S S(S + 1)...(*+Q
A = a -. > d zz a - : —. —> • • • »
i.a... 1 1 i.a.. .(1 + 1)
i — or
nous trouverons
*
<&? = a*(A + Bas+ Ca* +...),
ifei1» = a|-«|3»A + a'PV*! A + a'Ô.B -h a4<5,C +...),
Dl,i/,= af-,(3»(A + (3,ôIA)-t-a/(3*(ô,A + aIô,B+a*ô,C + ...)»
aft,;f,= a'-»p»(A + j3»d, A + (34ô,A) + af(36(ô,A + a»<5,B + a*<5,C + ...)»
»
aft£' = af-«|3»(A + j3»d, A + (3*ô,A + (3«ô,A +...).
C'est en suivant cette voie que Le Verrier est arrivé à obtenir des séries assez
rapidement convergentes, soit pour ift»^', soit pour , * ; elles lui ont servi à
df"\&>{t)
contrôler les valeurs de * obtenues par la méthode indiquée au ri° 112 ; pour
les détails nous renverrons le lecteur au tome II des Annales de l'Observatoire de
Paris, p. 10-17.
J'énoncerai en terminant un théorème que j'ai donné dans le tome XC des

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 291
Comptes rendus de l'Académie des Sciences (voir dans le même Volume des Notes
intéressantes sur le même sujet, par M. G. Darboux, et M. 0. Callandreau).
.L'expression
i. a.. .p dtxP
i 3 5
dans laquelle s désigne l'une des quantités ->-»-> •••> tend vers zéro pour
a<-> et vers l'infini pour a>•-, quand, i et s restant fixes,/? croît
indéfiniment.

2Q2
CHAPITRE XVIII.
CHAPITRE XVIII.
DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE DANS LE CAS OU LES
EXCENTRICITÉS ET LES INCLINAISONS MUTUELLES DES ORBITES SONT
PEU CONSIDÉRABLES.
117. Nous allons chercher les expressions analytiques des coefficients du
développement de la fonction perturbatrice suivant la forme indiquée au n° 70.
Considérons deux planètes P et P', les rayons vecteurs r = SP et r' = SP'
menés du Soleil S à ces planètes; désignons par a le cosinus de l'angle PSP'.
Les fonctions perturbatrices correspondant aux actions de P' sur P et de P
sur P' s'obtiendront en multipliant respectivement par îrri et fm les quantités
suivantes :
ra
R°>1 — â— 7*'
R -i-_^,
MM - A r»
Ces quantités ont une partie commune t> l'inverse de la distance mutuelle
A = PP'; nous ferons
(a) R! = à" =(r"+ #■'"— a/T'ff)"*,
et nous nous occuperons d'abord du développement de R,.
Fig. 20.
x N' N
Traçons une sphère de rayon i ayant son centre au centre S du Soleil {fig. 20).

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 2g3
Les parties positives des axes de coordonnées la perceront en x et y; soient
NM et N'M' les grands cercles suivant lesquels la sphère est coupée par les plans
des orbites des deux planètes pour l'époque quelconque t, et soit G le nœud
ascendant de la première orbite par rapport à la seconde. Les rayons vecteurs
SP et SP' perceront la sphère en M et M', et l'on aura
a = cosMM'.
N et N' sont les nœuds ascendants des deux orbites relativement au grand
cercle xy. Il convient de rappeler que le plan de l'orbite d'une planète à un
moment donné est le plan qui passe par le Soleil et par la vitesse de la planète
à l'instant considéré.
Posons
*N = 0, /NG = <p; a?N'=0\ jN'G=<p';
xN + NG = r, *N'+N'G = t';
MGM'=J.
La première chose à faire est de calculer J, t et t' en fonction de 6, 6', <p
et <p': cela revient à résoudre un triangle sphérique NGN' connaissant un côté
NN' = 6 — 6' et les angles adjacents NN'G = <p' et N'NG = u — <p; les autres
éléments NG = t — 6, N'G = t' — 6' et NGN' = J seront calculés sans ambiguïté
par les formules de Delambre
/ . J . (t'-0') + (t — 0) . 6—6' . 9 + 9'
sin - sin = sin sin -1 ^,
2 3 3 2
(3)
. J (T'_0') + (T_0) 6 — 6' . 9 — 9'
sin - cos- — = cos sin J- ^- ;
3 3 3 3
J . (t'-0') — (t— 0) . 0-0' 9 + 9'
cos - sin =r sin cos -1 ^ 5
3 3 3 3
J (T'_0')_(T_0) Q-Q' 9 — 9'
COS- COS^ i = COS COS-1 — •
3 3 3 3
On en tirera, en effet, - > t — 6, t' — 6', d'où J, i et t'.
On peut aussi employer pour le même but le groupe des formules de Gauss:
sinJsin(T — 0) = sin9'sin(0 —0'),
sinJcos(r—0) = cos9'sin9 — sin 9'cos 9 cos (0 — 0'),
(4) { cosJ = cos9Cos9'+sin9sin9'cos(0—0'),
sinJsin(T'—0')= sin9 sin(0 —0'),
sinJcos(r'— 0') —-- cos9sin9' + sin9COS9'cos(0— 0').
Si l'on ajoute les deux premières ou les deux dernières des relations (3) après

294 CHAPITRE XVIII.
les avoir multipliées par des facteurs, tels que — sin
et -t- cos
, d
es-
tinés à faire disparaître ou du premier membre de l'équation
résultante, on trouve les formules suivantes :
.J T-f-T7 0-f-0' 0 — 0'. O— O' .0 +
sin - cos = cos cos sin -1 z sin
22 222 2
. J . t + t' . 0 +
sin - sin = sin
22 2
0 —0' . 9 —9' 0 +
cos sin ï 2- -+- cos
3 2 2
. 0 — 0'. 9 + 9'
sin sin - - j
2 2
. 6 — 0'. 9 + 9'
sin sin - —:
2 2
J T - T'
cos - cos = cos"
22 2
/»i-kc'
9 —9' . „ 0 — 0' 9 + 9'.
COS 1 — -+- Sin8 COS i — :
2 2 2
cos - sin
2 2
= l sin(0-0') (cos^^ - cosÎJtVy.
Une transformation facile donne ensuite
(5)
sin - ,
2 T -+- T <D « <D
, cos = lang -*- cos0 — tang-1- cos0',
99 2 ° 2 ° 2
cos- cos —
2 ' 2
. J
sin -
2
9 9
cos- cos —
2 2
T -t- t' <P <p'
, sin — tang ■*- sin0 — tang-5- sin 9',
cos
9 9
cos- cos —
2 2
COS
> cos : =i + tangi tangi- cos(0 —0'),
t — r 9 9
9 ©' SÎn ~~2~~ = laflg 2 tal16 2 ^^ ~~ 0,)'
COS - COS
2 2
Des deux dernières de ces formules, on conclut
tang
T —T'
tang ? tang 2- sin(0 — 0')
1 + tang ? lang ï- cos ( 0 — 0' )
Or la relation
tang/ =
vsin.£
1 h- v cos a?
dans laquelle la valeur absolue de v est supposée inférieure à l'unité, entraine,
comme on sait, pour celle des déterminations dey qui s'annule avec x, le déve-

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 2^5
loppement convergent
y = vsin.2; v'sinaa; -+- ~ v3 svn.Zx —
2 O
On aura ainsi, dans le cas actuel,
(6) Iz^L — tang^tangî- sin(0 — 0') — - tang» £ tang»2- sina(0 — 0') +
2 2 >S Ja Ja Ja
Si donc <p et <p' sont considérés comme de petites quantités du premier ordre,
la différence t — t' sera du second, et l'on pourra prendre, en négligeant
seulement le quatrième ordre,
t— t'= 2tang^ tangi- sin(0 — 0').
118. Soient v et?' les longitudes des planètes dans leurs orbites (Jig. 20);
on aura
*> = .zN + NG + GM, p' = a?N' + N'G + GM',
d'où
GM=p-t, GM'=p'-r'.
Le triangle sphérique MGM' donne ensuite
a =cosMM' = cos(p — t)cos(p' — t') -+- sin(p — T)sin(p' — t') cosJ,
a = cos(*> — p'h-t' — t) — 2sin*- sin(f — T)sin(p' —t').
Il convient de représenter sin- par yj et de poser
u = *N'+N'G + GM;
on aura ainsi cet ensemble de formules
( • J
\ t) = sin-> u^c+r — t,
(7) 2
( a = cos(u — v') — 2tj* sin(u — t') sin(t>'— t').
L'expression (2) de R, pourra s'écrire
(8) R,—[r«+r'î— 2/r'cos(u — v')] » ïh-1— —i ' K —1\ .
l_ ;•*+/•"— 2 /v'cos(u — v') J
Or les orbites des anciennes planètes sont peu inclinées les unes sur les autres;

296 CHAPITRE XVIII.
c'est ainsi qu'à l'époque actuelle on a, pour Jupiter et Saturne, J = i° 17', pour
Mercure et Vénus, J = 8° 46'; la plus grande valeur de J est i2°3o', et elle se
présente pour Mercure et Mars. Même dans ce dernier cas, le plus défavorable,
la quantité r\2 = sin2- est petite, et il en sera de même de l'expression
. . 4tj,/'/-'sin(u—T')sin(t>' — t')
(9) ,r*+r'*— 2/v'cos(u — v') '
qui est inférieure en valeur absolue à
krr' . ,J
7~7 ^ Sln -')
(r — ry 2'
J » Urr'
le facteur sin2- est petit et l'autre, . ,_ „> ne prend jamais de valeurs très
grandes, parce que les rayons vecteurs r et r' de deux planètes sont toujours
notablement différents.
On pourra donc développer, par la formule du binôme, en une série
rapidement convergente l'expression
_i
I" h*i*rr'sin(v — t') sin(t>' — t')"| *
[ /•,H-r"— 2/t'cos(u — v') J
et la formule (8) deviendra
^11,= [/•»+/•"—2/v'cos(u — p')]~»
_2
— rr' [/•*+/•'*—2/r'cos(u — f')] * 2tj*sin (u -r')sin (v'— t')
(,0) ( +/-V'l[/-'+r"- 2/r'cos(u — v')]~* 6yj4 sin*(u —t') sin»(f'—t')
— r'r'3[/•*+/•"— 2/r'cos(u — f')] * 20tj,sin'(u — t') sinJ(f'— t')
Les quatre premiers termes du second membre suffisent pour toutes les
anciennes planètes.
Si l'on considérait les planètes Jupiter et Pallas, le développement (10) ne
serait pas toujours convergent; on peut, en efFet, assigner à ces deux planètes,
sur leurs orbites, des positions telles que l'expression (9) soit, en valeur
absolue, supérieure à l'unité; cela tient, d'une part, à la très grande inclinaison
de l'orbite de Pallas sur celle de Jupiter (34° environ) et aussi à la grande
excentricité de Pallas (0,24) qui diminue notablement la différence r'—r à de
certains moments. Il faudra donc, dans l'étude des perturbations causées par

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 297
Jupiter dans le mouvement de Pallas, employer un autre mode de
développement.
119. Il faut maintenant remplacer dans l'expression (10) les quantités r, /,
u etc' par leurs valeurs
!r'=a'(n- x'), *>'=/'+y',
en posant
(12) X=/ + t' — t.
Dans ces formules (n) et (12), on a désigné par a, a', / et,/' les demi
grands axes et les longitudes moyennes dans les mouvements elliptiques de
l'époque t; x et y sont des fonctions connues de l'excentricité e et de
l'anomalie moyenne /— cr; elles contiennent e en facteur; de même, x' et y'
dépendent de é et de /' — tn', et renferment le facteur e'. On a donné au n° 93 les
premiers termes des développements périodiques des quantités x, y, x' et y'.
Les excentricités e et e' étant petites, nous développerons, suivant leurs
puissances et leurs produits, les diverses parties de l'expression (10) de R,. en
employant la formule de Taylor; le premier terme de cette formule sera ce que
devient R, quand on y suppose
e —o, e'=o
et, par suite,
r = a, r'=a', u = A, tf=l'.
Soit R0 cette valeur correspondante de R, ; si l'on fait
(I)= [a'-+a'* -2aa'cos(/'— A)]_ï,
(II) —aa! [a»+a"— 2aa'cos(/'-A)]"T 2tj'sin (/'— t') sin (A —t'),
(13) < (111) = a,a"[a,+ a" — 2aa'cos(/' — A)]~* 6yj4 sin»(/'— t') sin»(A -- t7),
(IV) =a3a'3[aa+a" —2aa'cos(/' — A)]~ï20Yj9sin,(^-T')sin3(A—T'),
on pourra écrire
(i4) Ro = (I)-(II)-MIH)-(IV) + ....
T. — I. 38

2Ç)8 CHAPITRE XVIII.
Or, dans le Chapitre XVII, on a appris à développer, suivant les cosinus des
multiples de /' — X, les fonctions
[a* -+- a" — 2 aa' cos ( /' — X )]-*,
dans lesquelles s reçoit les valeurs -> -, —
On a posé
[a2+a"—2aa'cos(/'—X)]~'=i£ A<« cosi(t — X),
aa' [a'+a"— 2aa'cos(/'— X)]~* = - £ B"> cosi(J' — X),
(.5)
a'a'^a'+a"—a aa'cos (Z'-X)] »= i £ C">cosi(?—X),
a»a'3[a»+a"— 2aa'cos(/' — ^f'^-^Df'cos^/'- X),
L'indice i prend toutes les valeurs entières de — oo à ■+- oo; on a
À<-« = A"'\ B«-') = B««
A(i), B('\ ... sont des fonctions homogènes du degré — i de a et a'; leurs
valeurs, quand l'augmente, diminuent d'autant plus rapidement que le rapport-,
est plus petit (en supposant a < a').
Il faut maintenant porter les expressions (i5) dans les formules (i3); on
doit chercher à n'introduire finalement dans R0 que les sinus ou cosinus des
multiples de /'et X; on trouvera, dans ce but, parles formules les plus
élémentaires de la Trigonométrie :
asin (/'— <r')sin (X — t') = cos(/' — X) — cos(/' + X — 2t'),
8sin»(/' —T')sin»(X —t') = 2 + cos(2/' —2X)—2Cos(2/' —2t')
— 2Cos(aX — 2t') -+- cos(2/'h- 2X — 4t'),
(»6) ( 3asin»(/' —T')sin»(X —t') = 9Cos(/' —X)+cos(3/'—3X)
— 9Cos(/' + X —2t')—3cos(3/'—X- ît') ^
— 3cos(—/'+3X—2t') + 3cos(3/' + X —4t')
+ 3cos(/'+3X —4t') -cos(3/' + 3X-6t').
En substituant les expressions (i5) et (16) dans(i3), on sera amené à une

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 299
suite de termes de la forme
cosv2]I>(',cosi(/'-X) = -2D(,',cos[ï(^-^)+v]+ j2D">cos[i(/'-3l)-v]j
or les deux ^ du second membre sont égaux, comme on le voit, en changeant
dans l'un ien —i, ce qui reproduit l'autre; on a donc
cosv £ D"> cosi(l'-l) = £ D«> cos[i(/' — l) -+- v],
et cela aura lieu aussi quand on remplacera D(/) par C{i) ou B(l). On trouvera ainsi
aisément
(II) = - yja2B(0cos(i-M)(/' —X) —-yja2 BMcos[(i + i)(J —À)+aX —a<l,
(III)= | y}* S 2 ^ C(')cosï(/'-X)4-2Cf/)cos(i + 2)(/'-X)
— 2^T C^)C0S[(l + 2)(/'— X)+2X — 2T']
— 2 ^ C<«COS [!(/'— X) + 2* — 2 T']
+ 2]C<'>COS[(l-Ha)(f-À)+4*-4T']|,
(IV) = ^Y)6J9]rD">cos(i + i)(/'-X) + 2 D(/,cos(i + 3)(f —X)
— 9 £ DC) COS[(l -M)(/'— X) + 2* — 2T']
— 3]TD"'>cos[(i + 3)(/'-X)-f-2X —2t']
— 3]TDWC0S[(l'-l)(/'— X) + 2X— 2T7]
+ 3]TDWcos[(i'-f_3)(/'-X) + 4X-4T']
+ 3]Td">cos[(i-m)(/'-X)+4X-4t']
— 2D(')cos[(i + 3)(/'-X)4-6X-6t'] j.
On peut dans ces J] changer «, tantôt en i — i, « — 2, « — 3, ou i + i, de ma-

3oO* CHAPITRE XVin.
nière à ramener toujours sous les cosinus le coefficient de /' à être égal à i; on
trouvera ainsi
' R0= J^U^ cos i(l' — l)
+ 2] N<« cos[>'(/' - X) + 2X - 2t']
(I7) | + 2]P">cos[i(J'-X) + 4X-4V]
+ 2] Q(/> cos[i(f — X) + 6X — 6t']
où l'on a fait, pour abréger,
a a 8 10 v
N<«=- Yj,B('-I)-7tj4[C"'> + C"'-,>] + 4^[D(,'-f-|, + 3D(/-,)+D('-»)]-...,
2 4 16
(l8) P"> = £ »*C<'-»>-^t)«[D<'-» + D<'-'>]+.
o lu
I
Q'"=4i'D"-"---.
L'indice 1 prend toutes les valeurs entières, depuis —00 jusqu'à -4- 00; on voit
que les quantités M('),N('),... dépendent de a, a'et dey)2. On remarquera que nous
n'avons négligé que y)8, c'est-à-dire les quantités du huitième ordre, en
regardant y) = sin - comme une petite quantité du premier ordre.
Il convient d'observer que chacun des arguments de la formule (17) est de
la forme
i( /' — X) -+- a p\ — 3/>t';
la somme des coefficients de /', X et t' est donc égale à 1 — (1 — ip) — 2p ; elle est
nulle; on voit de plus que le coefficient de cos[i (/' — X) -4- 2p\ — zpt'] est de
la forme
c'est ce que l'on vérifie aisément pour p = 1, p= 2 et/* = 3, d'après les
formules (17) et (18).
Si l'on fait h = i— 2/?, l'argument considéré ci-dessus devient
il'— AX—(1 — A)t\
et l'expression (17) de R0 rentre dans la forme suivante,
(19) R0= ^W'» cos[il' - hï- (i- h)r'],

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3oi
en prenant successivement
!h = i, K«>A> = MO,
h = i'-2, KC*) = N(«f
h = i-b, K«'.*> = P<«,
A = i-6, K ('.*> = Q<«,
et donnant à «toutes les valeurs entières de — qo à +x.
120. Il faut maintenant remplacer dans l'expression (19) de R0
a, a', ly F
respectivement par
a(i + x), a'(i + x'), X + y, F+y'j
1' restant le même ; le résultat de cette substitution changera R0 en R,.
Faisons d'abord la substitution dans K('**\ qui est une fonction homogène et
de degré — 1 de a et a', que nous représenterons par F(a, a'); nous aurons
donc, en désignant par k une quantité quelconque, et par la définition même des
fonctions homogènes,
F[*a(i-hx), *a'(i + x')] = j F[a(i + x), a'(i + x')];
d'où, en prenant k = ,»
(21) F[a(i + x), a'(i + x')]- ~ f[«i(i + 7=^). «'] •
On peut développer
„/ x-x' .A
t a + fl , > a'
par la série de Taylor relative au cas d'une seule variable a, ce qui donnera
„/ x —x' A x— x' a <?F(a, a')
F(a + a—■—v a') =F(a, a') h 7 y—'-
\ n- x' / x ' n- x' i da
/x —x'\» _a«_
\i-f-x'/ 1.2
da1
x— x'
cette série convergera rapidement parce que ——-, est petit

3o2 CHAPITRE XVIII.
En remettant pour F(a, a') sa valeur K(',A), et posant d'une manière générale
(23) J P I.a.../> do^ '
( K(0I''*» = K('.*),
les formules (21) et (22) donneront
F[a(i + x), a'(i + x')] = -^—, + 7^ r^ K(/'A)
L \ /» \ /J I_|_X' (I+X')ï «
+ (i+x')' a (i + x')*+1 p ^ "■
Il ne nous reste plus qu'à remplacer, dans le second membre de la
formule (19), K(',A) par l'expression précédente, etX par X -4- y, /' par /'-H y7; nous
trouverons ainsi
(24) R| = 2]Ki,'.*)i^^ïC08[ir-AX-(i-A)T'+iy-Ay],
où p devra recevoir les valeurs o, +1, 4-2, ..., et où il faudra remplacer
ensuite h et K(',A) par les valeurs indiquées dans le Tableau (20); i prend du
reste, comme on sait, toutes les valeurs entières, depuis — 00 jusqu'à -4- 00.
Le Verrier a poussé son développement jusqu'aux quantités du septième ordre
inclusivement, en considérant y), e et é comme de petites quantités du premier
ordre; ce degré d'approximation lui a suffi pour établir les théories des
anciennes planètes. On devra donc donner à p, dans la formule (24), les valeurs
o, i, 2, ..., 7.
On voit que ce qui nous permet de limiter le développement actuel, c'est la
petitesse des excentricités des orbites; en résumé, dans la formule (24), les
indices p et h seront limités, le premier par la petitesse de e et éy le second
parcelle de yj; l'indice i prendra des valeurs qui seront d'autant moins
nombreuses que le rapport — sera plus petit.
121. On remplacera cos[<7 — AX — (i — h)z' -h iy' — hy] par
cos[i7'—h"k — (1 — h)r'] (cosAy cosiy' -+- sinAysiniy')
-+- sin [it — h"k— (i— h)r'] (sin/iy cosi'y' — cos/iy siniy'),
et(x— x'/ par
xp— E X"-»x'+ P(P~l) x/>-«x's_...
i -1.2

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3o3
et la formule (24) donnera sans peine
R, = K?'*> (cosAy ^^ + sinAy ^') cos[iT- hl -(« - A)r']
+ K^)(sinAy^^-cosAy^)sin[l7'-AX-(I'-/l)T']
t^^a, T » cosiy' . . siniy'
+K''" LxcosAy (TT7)î + xs,n/iy (TTFT«
, x'cosiy' . ' x'siniy'"] r... ,. . ,
— cosAy ■— — sinAy ^ cosu/' — nk— (1 — h)ï]
J (H-x')a J (i+x')2J L \ 1 s
*r,ih\ï • «. cosiy' , siniy'
+K'.' ' LxsinAy (ITT? -xcosAy (TTF?
- sinAy^p^ + cosAy£^] sin[.T-A*- (.-A)r'l
„,,,,.[ ? cosiy' P „ . , x'cosiy'
•K«.«[ »'cosAy ([ + x,^, - g x->- cosAy (, + 1>)^
+ £(£=i2 x^cosAy ,x"co?'^ — ..
1.2 J (H-X')/"1-1
i*v' n v'cïn/i/'
„ . , siniy' p „ , . . x'simy'
-hx^sinAy ; ^-—r — - x^-'sinAy , -^—T
PiP — 1) „ * • t x^siniy' "I r... .. ,. . v ,,
+ A^vr i xp-1 sinhy —£- —... cos[i/'— AX — (1 — A)t']
1.2 J (l +X')^+1 J L V / J
trtih\ T „ • t cosiy' P „ , • 1. x'cosiy'
+ K'i'*' x* sinAy ; ^—-, — - x*-1 sinAy -, r-^-v
i.a ' (1 -t-x')^-1-1
, siniy' P „ , , x'siniy'
-«""*» (TT^h + , x' cos*y F7F
_ djL^l x,-cosAy X"Si?^,+...l sin[,7'-AX-(,-A)r<]
i.a (ï + x'y+l J L v / j
On trouvera cette formule écrite tout au long, jusqu'à p = 7, dans les
pages 355-357 du tome 1 des Annales de r Observatoire.
On voit qu'on est ramené à trouver les développements, suivant les sinus et
cosinus des multiples des anomalies moyennes, de facteurs rentrant dans les

3o4 CHAPITRE XVIII.
\
quatre types suivants : \
®L = xp-icoshy, %=xP-isinhy,
«/_/ n,/>(J> + 0-■•(/> —«7+0 x^cosiy
* k ; 1.2...q (i + x')^1'
9'=( Iw/?</?-0--^-g+0 \/yainiy
*' v ' L2...7 (i+x')|M"1'
Ces quantités ne dépendent chacune que de ce qui concerne une seule des
planètes.
Les formules (36) et (37) d'une part et (38) et(3g) de l'autre, du n° 94,
donnent ces développements (dans les deux dernières, il faut accentuer les lettres).
122. Voyons maintenant quelle sera la forme finale des divers termes de R, ;
nos facteurs ^sont développables, comme il suit, en séries procédant suivant
les sinus ou les cosinus des multiples des anomalies moyennes £ et Xj :
s> =2 3t> cos/iÇ, ^1 = 2 S^i sin/iÇ,
^' = £^'cos/!'Ç', ^^^^'iSinw'Ç';
3t> et 3t>, sont de la forme c"+2P(p(es), p désignant un entier positif ou nul, et
<p(e2) une série convergente procédant suivant les puissances de e2; de même
&f et ZK,'t sont de la forme e'",+ip,«|;(c/I)t p' désignant un entier positif ou nul. Ces
remarques, qui résultent de ce qui a été dit au n° 94, nous seront utiles dans
un moment.
Portons les expressions ci-dessus de ®>, «>,, «>' et £( dans le terme général de la
formule (25); nous trouverons
K<f'A' (X ^'cos/iÇcos/i'Ç'+St,,^', sin/iÇsin/i'Ç')cos[i7'— hl — (i — h)r']
+ K£A,(0&I3Ç/sin/iÇcosn'Ç'— 3fc Jt/jCOS/iÇsin/i'Ç') sin[i7' — hl — (i — A)r'].
Cette expression, dans laquelle figurent des produits de trois lignes trigono-
métriques, se transforme aisément, par des formules bien connues, dans la
suivante, qui ne contient que des cosinus :
- Kph) (£%,£%,'— St»^', - Sfc^'-h Sfc,Sfc,\) cos[i7'-AX — (1 —A)t'+ /iÇ+ /i'Ç']
(26)
+ j Kp'^iSf&K,'— St»,^', + Sfc,^'- X^'J cos[i7'-hl — (i-h)r' — nÇ— n'K']
■+- j K^A)(X0t'+0î,I^'1 — JC.St,'— SK,X,\)cos[il' — hl — (i — A)t'+ /iÇ — n'Ç'.]
+ ]:K^A,.(X0î,'+3^IX'1-h3^1JC'4-%0î,'I)cos[i7'--AX — (i-h)r'— /iÇ + /i'Ç'].
A

(29)
DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3o5
On a
Il convient de faire
(27) û) = tït+t' — t;
on aura
(28) ' K = l — &>, X>'—V — rs';
en portant ces valeurs de Ç et £' dans l'expression (26), on pourra l'écrire
ainsi :
^ Kjf-A' (JC —JCI)(JC'+JC'I)cos[(i + /i')/'+(—A + n)X- nu- n'rs' — {i — h)z']
■+- lj K£A) (X + JC,)( JC'— JC',) cos[(i — n')l' + (—h — n)ï + nv + n'rs'— (i — h)r']
+ - K<f'">(3t, — X,)(3t,' — ^'1) COs[(i — n')l'-h (- A -h /i)X — nu + /i'gt' — (1 — /i)t']
+ 7 K'''A)(X + 3Ç,,)(0V+ JC',) cos[(i + /i') *' + (— A— ")* + im- /i'©' — (1 — h)*].
4
Le développement de R, résulte immédiatement des formules (25) et (29).
On voit qu'il ne contiendra que des cosinus d'arguments D renfermant les cinq
quantités X, t, <o, xs' et 1' de cette manière
(3o) D±raX+a7'+|3û> + |3'7ïT'— 2yr',
en désignant par a, a', (3, (3' des nombres entiers positifs, nuls ou négatifs, et par
y un nombre entier positif ou nul (car on a vu que iy = i — h ne doit recevoir
que les valeurs o, 2,4, .•.). Il convient de remarquer dès à présent que la somme
algébrique des coefficients a, a', (3, (3' et — 2y de X, /', a), xs' et t' dans D est
nulle; cela se voit immédiatement sur l'expression (29); pour le premier des
arguments qui figurent dans cette expression, on a, en effet,
a +a'+ (3 + |3'— 2y = (i + n') + (— h + n) — n — n'— (i — h) = o,
et la même constatation se fait pour les trois autres arguments de l'expression (29).
On peut d'ailleurs démontrer autrement la relation générale
(3i) a + a' + [3 + |3'_2), = o,
en remarquant que la fonction R,, qui représente l'inverse de la distance mutuelle
des deux planètes P et P', doit être indépendante de la situation de l'axe des x
T. - I. 39

3o6
CHAPITRE XV1I1.
dans le plan fixe des xy; il doit en être de même de chacun des arguments D.
Or, si l'on fait tourner dans ce plan l'axe des x d'un angle quelconque jx, les
quantités /, /', tnr, tn', t, t' augmenteront toutes de (x: il en sera de même de X
et d), en vertu des relations
"k = l + z'—t, &) — gt + t'—t;
alors, d'après la formule (3o), la variation de D sera égale à
/ji(a + a'+[3 + [3'—2y),
et, cette quantité devant être nulle quel que soit jx, la relation (3i) en découle
immédiatement.
123. Nous avons maintenant à nous rendre compte de la composition
générale des coefficients de cosD dans le développement de R(.
Considérons pour cela la première ligne de l'expression (29) : x — St.,, qui
dépend seulement de e, ne contient, d'après une remarque faite au
commencement du numéro précédent, que des puissances de e dé la forme c""1"3?, p
désignant un nombre positif qui peut être nul; d'ailleurs, le coefficient de <o dans
l'argument correspondant de la première ligne de l'expression (29) est égal à
— n, et sa valeur absolue est h- n. Donc, le plus petit exposant de e dans le
coefficient de cet argument est égal à là valeur absolue du coefficient de <o,
augmentée d'un nombre pair qui peut d'ailleurs être nul. On peut faire la même
remarque pour les trois autres arguments de l'expression (29), et aussi pour ce
qui concerne les exposants de ef comparés aux valeurs absolues des coefficients
de tn' dans D.
En décomposant donc le coefficient de cosD en diverses parties contenant
chacune un produit tel que eHe'n\ et se reportant à la formule générale (25), on
pourra dire qu'un terme quelconque du développement de R, est de la forme
[2C/,K#'/"]xeIVB*cosD,
où Cp désigne un coefficient numérique, et H et H' ont la signification
suivante :
H = | (31 + un nombre pair,
H'= |[3'| + un nombre pair,
en représentant, suivant l'usage actuel, par|(3| et|(3'| les valeurs absolues de
P et p'.
Si maintenant on remplace K^,A) par
\.i...p daP

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 5oj
et que l'on tienne compte des formules (20), on trouvera que K(£A) se compose
d'une suite de termes, tels que
1. 2.. .p dW ™~p
gp dPBW
1.2.. .p daP
— À'"
— ap »
— B'-"
— "u »
multipliés par des puissances de yj dont les exposants sont 2y, 27 + 2, ...;
cela résulte des formules (18) et des remarques qui les suivent.
Donc, en considérant à part les diverses puissances de yj et envisageant le
développement de a'R, au lieu de celui de R,, on pourra écrire ainsi la forme
générale de ce développement
(32)
et l'on aura
| a'RI = £1VIVI,''r>FcosD>
( D=aA + a7'+|3û> + |3'7ïT'— 2yr',
H = | (3 | + un nombre pair,
H'= 113'| + un nombre pair,
F — 2 y -1- un nombre pair.
Enfin le coefficient N, sera de la forme
(33) N, = VWa'AW + V'/'a'A'/» + V«/,a,A(/) + .. . ;
VJ,7) est un coefficient purement numérique indépendant de a et a'; A{^ peut
être remplacé par l'une des quantités BJ/', C{J\ DlJ\ dont on a donné les valeurs
au n° 115 et qui se trouvent ainsi constituer la base fondamentale du
développement de a'R,. On remarquera d'ailleurs que a! AJ/' est une fonction homogène
et de degré zéro de a et a', ne dépendant donc que du rapport -;♦
L'ordre du terme général du développement de a'R, défini par les
formules (32) et (33) est égal à
(34) H + H'+F= |[3J + ||3'| + 2y + un nombre pair qui peut être nul.
On peut donner de cet ordre une autre expression très utile, en remarquant
que la somme des valeurs absolues de plusieurs quantités positives ou négatives
est égale à la valeur absolue de leur somme algébrique ou bien à cette valeur
augmentée d'un nombre pair.

3o8 CHAPITRE XV111.
On déduit de la relation (3i)
2y — (3 — |3' = a + a',
et l'on en conclut, en observant que y est positif,
( 35 ) 2 y ■+- | (31 -+■ | |3' | = | a + a' | + un nombre pair.
De là cette seconde règle :
L'ordre du coefficient de cosD dans un terme quelconque du développement
de fl'R, est égal à la valeur absolue de la somme algébrique des coefficients de
/' et X dans l'argument D, ou bien à cette valeur augmentée d'un nombre pair.
Application de ce qui précède. — Considérons les termes séculaires du
développement de a'R,, pour lesquels on a simultanément a = a' = o; l'application
de la dernière règle montre que ces termes seront des ordres o, 2, 4> ••••
Considérons en second lieu les termes suivants
C, cos(— 2X + 5/'— 3&>),
CjCos(— 2^ + 5/'— au- et'),
C3cos(— 2X + 5/'— m— 2t'),
qui jouent, comme nous l'avons déjà dit, un rôle considérable dans les théories
de Jupiter et de Saturne.
On voit immédiatement que C,, C2, C3, ... sont d'un ordre au moins égal
à la valeur absolue de — 2 -h 5 = 3; ils sont donc au moins du troisième
ordre. De plus, la présence de — 3<o dans le premier argument indique que C,
doit contenir le facteur é*; C2, C,, ... renfermeront de même les facteurs e*é,
erf, ....
Nous remarquerons enfin, en terminant, que si l'on ne voulait pas conserver
sous forme de monômes les coefficients de cosD, on pourrait présenter comme
il suit le développement de a'R, :
fa \
DK, = elPl e'lP'1 yj«Y$ ( -|, e\ e'\ n1 j,
$ désignant une série ordonnée suivant les puissances de ea, e'2 et rf; les
coefficients des puissances et produits de c2, e'2, yj2 seraient des fonctions de —,•
Nous allons donner ici le développement de R, jusqu'aux termes du second

(37)
DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3c>9
ordre inclusivement :
R, = £ |~£ A") - i VBC-» + t^l (_ 4,1 a<0 + a A'/'H- a Ai1'»)"] cosi(f — X)
+ -e J [— aiA<" — A'/'] cos [il'— (i — i) X — &>]
+ - «' 2 Kai'+ ')A(0 + Ai"lcos K' + ')/,_ a~w'l
+ ^'2 [(4*'— 50 AC) + (4i — a) A'1'' + a A'/'] cos [iT— (i — a) A — au]
+ 7 ee'2 [(4lX+ a0 A(" — 2 Al° — 2 A«"] COS[(l + I) /'— (I + I) A — GT'+ ù>]
+ Zee'2t(— 4»1 — 2i)A(,) + (--4i — aJA',1''— aA'/'Jcos^i+i)/' — (i — i)A— m'— w]
H- g e'1 £ [(4«*+ 9« + 4) AC' H- (4« + 6) A'/' + aA',"] cos [(i + a) l'-il - aw']
+ -1)» 2] B('_1) cos [il'— (i— 2) A— ît'].
Dans cette formule, l'indice i doit prendre toutes les valeurs entières, de
— qo à -h qo ; A'/' et AJ,0 ont la même signification qu'au n° 115.
Pour l'expression complète du développement de R, jusqu'au septième ordre
inclusivement, nous renverrons au Tome I des Annales de i'Observatoire, où la
formule qui donne R, occupe les pages 277-330; elle ne renferme pas moins de
469 termes.
Dans une Thèse soutenue en i885 devant la Faculté des Sciences de Paris,
M. Boquet a étendu le développement de R, jusqu'aux termes du huitième ordre
inclusivement (voir le Tome XIX des Annales de /'Observatoire).
124. Il faut maintenant passer du développement de R, à ceux de R0il et
de R, 0.
On a, par les formules (1),
(38) R.^R.-IL,,
(3g) R,,o = R,-^<t.
Occupons-nous d'abord de R0|l : quand on néglige les excentricités, la
quantité — -75 <r, en ayant égard aux formules (7), se réduit à
--^cos(/'-A) + ^tjïsin(A-T')sin(/'-T')
(4o) { a a
= -4ïCOS(/'-A)+ ^Y)tCOS(/'_A)-4î^COS(/'+A-aT').

3lO CHAPITRE XVIII.
Or, si dans les formules (17) et (18) on suppose
A(l)=A(-„ = _ « , B(0) = _if,
a" a"
et tous les autres coefficients A('\ Bw, C('\ D(l) nuls, on trouve
2 a'1 a'1 ian a'*
tous les autres coefficients M(/), N(l), P(0, Q(l) sont nuls, et il vient
R0 = [M<«> + M<-«>] cos(/'— 1) + N<» cos(/' +1 — ar'),
Ro = (- pi + ^ u") cos(/'- X) - ^ yj» cos(/'+ l ^ ar').
C'est précisément l'expression (4o).
Tous les raisonnements et calculs faits dans les nos 120, 121 et 122 ne
supposent qu'une chose, c'est que K(,,A, est une fonction homogène et de degré — 1
de a et d\ on pourra donc les appliquer dans le cas actuel; seulement, on devra
remarquer que l'on a
dA<»> _ dA(-*> _ 1
da ûa a'1
et que les dérivées suivantes sont nulles.
11 suffira donc d'appliquer la formule (37) en donnant à l'indice i dans les
divers termes les valeurs -4- 1 et — 1 et prenant
A<»>=A<-»>=-4> B<«)=-^,
a'* a'1
Ad)— A(-i)— f* 1(1)— A(-l)— 0
A, —A, —— ^> A, —A, — O.
On trouvera ainsi, en négligeant toujours les termes du troisième ordre :
^(Ro.i-Ri)= [-' -h^(e*-he'*) + n*\cos(l'-"k)
3
— ee' cos(a/' — aX — nr'+ w) -\— e cos(/'— w)
ecos(/' — aX + &>) —ae'cos(a/' — "k — rs')
(4i) ( ' 3
— g e'cos(/'+X —aw)— g eïcos(/'—3X+ au)
+ 3ee'cos(a/' — rs'— w) — ^ e" cos(/' + X — anr')
I — ^e^cosCS/' —X —aw')—yjïcos(/'+X —ar').

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3ll
On verra de même qu'en négligeant les excentricités Rli0 —R, devient
(4o') - (Jp - ^-tri*\ cos(l'-l) - ^tj" cos(/' +X- 2t').
C'est à cette même expression que se réduit R0 quand, dans les formules (17)
et (18), on suppose
a1 a*
tous les autres coefficients étant nuls; on en déduit
dA<» _ 2a' ^A") _ a' •
—5 — H 1- > —■> , — — 2 . 3 —7 y • • ■ y
oa a3 oa* a*
d'où
C'A»'= a'Air" = (— i)«+i(/i + i) ^.
Alors, si dans la formule (37) on donne à l'indice «les valeurs -4- 1 et — 1,
l'expression correspondante de R, se confondra avec celle de Rlf0 — Rlf et l'on
trouvera sans peine
£ (R,,o- Ri) = [-1+ £ (C + e") ■+■ yj»1 cos(l'-l)
q
— 2ecos(/'—. 2X + W) + -e'cos(X— xs') e'cos(2/'— "k — m')
1 27
(4i') / — 0 e*cos(/'-i-A — 2u) ^-e'cos(/'—3X + 2w)
— ee'cos(2/'— 2A —nr' + w) + 3ee'cos(2A— et' —w)
— ^ e,2cos(/'+ A — 2 et') — g e'" cos(3/' — X — 2 et')
— tjïcos(/'+X —2t').
Les divers termes dans lesquels on développe ainsi les différences Rlf0 — R,
et R0>1 — R, rentrent dans la forme générale (32); dans chacun des arguments D,
la somme algébrique des coefficients de X, /', a), xs' et l'sera nulle ; on aura, pour
fixer les limites inférieures des exposants de ey e' et Y), et de l'ordre du terme, les
mêmes règles que pour R(t puisque le procédé de développement est identique.
125. On peut obtenir aisément l'expression générale d'un terme quelconque
des développements des différences R0il — R(t R1>0 —R, à l'aide des fonctions
de Bessel, comme nous allons l'indiquer.

3l2 CHAPITRE XVIII.
On a, en tenant compte des formules (7) et (38),
r r
Ro.i—Ri = -t cos(p — v'-\-t' — t) + atj1 -jî sin(p — T)sin(p' —t')
ou bien, en introduisant les anomalies vraies w et «/et posant encore
(1) = XS H- l'— T,
r /*
R0.1 — Ri= ji cos(w — hp-'+w — rs') + 21)2 -^ sin(MP'-i-û) — t') sin(hp>'+ w'— t');
/ « « / /x / cosw' . sinw'X
R0,i — R, = — cos(o> —nr) (/•cosmp' —^ 1- rsinHP- —j^— 1
. , ,v / costv' si-nw'X
+ sin(w —w')(rsinw-pi /cosw-p^-J
+ atjï[/,coswsin(û) — t') + r sinwcos(&> — t')]
—pï- sin(w' — t') + -pj- cos(gt'-t')J .
Or on a obtenu dans le n° 86 les développements périodiques de rcosw,
rsinw, —rj—, ,a ; les formules (m) et(/i) de ce numéro donnent
(43)
- cosw= ^ A„cos/iÇ,
— oe
_ J/i-,(we)
An — >
- sinMP"= V B„sin/iÇ,
— oe
A0 —— -e;
ct" cos w'
nris\nw'
^Ti = 2à A"' C0S n Ç ' —pi— =2rfB'"Sin/lÇ '
A'„, — /i'J„_,(/iV),
B'.1=v^-7îii,Jii.-,(iiV).
A'0 = o.
(44)
En portant ces valeurs dans la formule (42), elle donnera
— (R0,i —Ri)— — cos(iu—m') ^^ (AH A'^, cos/iÇcos/i'Ç'+ BnB'n,s\nnÇ sin/i'Ç')
+ sin(«—nr')^^ (BnA^,sin/iÇcos/t'Ç' —AnB'n,cosnÇ sin/i'Ç')
+ atjï|sin(&) —t')^ A„cos/iÇ + cos(o> — t')^ BBsin/iÇ|
x [sin(w' — t')£ A';|/cos/i'Ç'+cos(7ît' — t')£ B'n, sin/i'Ç'I.

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3l3
On mettra sans peine le second membre de cette formule sous la forme (32);
nous ne ferons pas ce calcul, et nous nous bornerons à deux remarques :
En premier lieu, A'0 n'étant pas nul, on voit que le second membre de la
formule (44) pourra bien contenir des termes indépendants de Ç, mais qu'il ne
renfermera pas de termes indépendants de Ç'î la différence R01 — R, ne
contiendra donc pas de termes séculaires.
En second lieu, les formules (43) montrent que A„ et B„sont, relativement à e,
de l'ordre n — i; A'n et B^, sont de même de l'ordre ri — i relativement à e'.
Cela posé, en examinant attentivement la formule (44). on reconnaît que le
coefficient d'un argument contenant ±n\± riV sera de l'ordre des quantités A„A^,,
BrtB)|;, B„A^,, A^B^,, ou de l'ordre de ces quantités multipliées par r\2. L'ordre
du coefficient considéré sera donc égal à/i— i -h ri — i = n -h ri — 2 plus un
nombre pair.
En général, en prenant D sous la forme (32), on pourra dire que l'ordre du
coefficient C est au moins égal à
|«| + |«'|-a.
Cette limite pourra être plus élevée que l'ancienne | a -4- a' |, qui ne cesse pas
d'ailleurs d'être applicable ici, comme pour R,.
Exemples. — Considérons de nouveau les termes dont les arguments sont de
la forme
D= — 2l + 5 l'+q,
g contenant ©', <o et i\ mais non /' ni X.
La règle ci-dessus montre que l'ordre des termes de cette nature, qui
proviendront de R0fl — R,, sera au moins égal à a-h 5 — 2=5, tandis que les
mêmes termes qui provenaient de R, étaient du troisième ordre.
Dans la théorie des perturbations de Pallas par Jupiter, les arguments de la
forme
D=— jl-hlSC-hq
sont très importants à considérer, parce que la différence entre 7 fois le moyen
mouvement de Pallas et 18 fois celui de Jupiter est très petite. DansR,, le
coefficient de cosD sera de l'ordre 18 — 7 = 11 ; tandis que, dans R0>1— Rt, il sera
de l'ordre 7 -4-18 —2 = 23; les termes de la forme indiquée seront entièrement
insensibles dans R0>1 — R,.
126. Il résulte de ce qui précède que les développements de R0fl et R,f0 sont
de la forme
(45) a'R0>I = 2Ne»e',I*tjFcosD, fl'RliD^2N'eHe"l'ïiFcosD)
T. — I. 4o

3l4 CHAPITRE XVIII.
où l'on a
D = <xk ■+- oc'V ■+- (3w + (3'nr'— ayr',
(46) { '
H = | a | + un nombre pair,
H'= \<x'\ ■+■ un nombre pair,
F = ay + un nombre pair.
N et N' sont des fonctions de —, qui peuvent être différentes à cause des termes
provenant de R0fl — R, et de Rlf0 — R,.
Parleurs définitions mêmes, formules (i), les fonctions R0#1 et R1>0 doivent
être complètement indépendantes et de la 'position du plan fixe des xy et de
l'orientation de l'axe des x dans ce plan. Il doit en être de même des
arguments D, et il est bon de le vérifier. Cela est facile, car on peut écrire
D = a (l + t'— t) + ot!V-+- (3 (w + t'— t) H- (3'gt' — (a + a' + |3,+ |3')t',
(47) D = al + <x' l' + Ç>xs + Ç>'xs' — (« + [3)t— («' + [3')t'.
Cette expression est symétrique par rapport aux éléments des deux planètes.
Désignons maintenant par L, L', Q, Cl' les longitudes moyennes des deux
planètes et les longitudes de leurs périhélies, toutes ces longitudes étant
comptées sur les orbites respectives des deux planètes, à partir du point G de la
fig. 20. Nous aurons
L = l — t, L'=l'— t', G = gt — t, G' = gt' — t',
et la formule (47) deviendra
(48) D = aL-ha'L'+|3G + |3'G';
cette expression est maintenant tout à fait indépendante de la position des axes
de coordonnées; il en est de même des fonctions perturbatrices, qui peuvent
s'écrire
(49)
j a'R0iI = £ * (£\ e"e'"' (sin ^ jYcos(«L + a'L'+ (3G + |3'G'),
a'RI>0 — 2] ^(f,) *"*'*' (sin £ jYcos(«L + a'L' + (38 + |3'G').
Ce sont des expressions réduites qui ne dépendent plus que de la situation
relative des deux orbites, et non de leurs situations absolues.
Il n'y figure que quatre arguments L, L', Cl, Q'.

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
3l5
127. En parlant, au n° 70, du calcul général des perturbations, nous avons
supposé, pour chacun des termes du développement de la fonction perturbatrice,
une forme un peu différente de celle que nous venons de trouver, savoir
G cos(a/ + <x'l'+ (3gj + (3'gj' -+-J9 -+-J'9'),
le coefficient G dépendant de a, e, <p, a', e\ <p'. Nous allons démontrer ce
résultat.
Les expressions des coordonnées rectangulaires x> y> z trouvées au n° 32
peuvent s'écrire
x ©
- = cos v + 2 sin 0 sin ( v — 0) sin* x >
•2- = sini> — 2 cos0 sin(i> — 0) sin! ->
* = sin(f — 0) sin 9;
on a des expressions toutes pareilles pour ^-> ^-,> -,> et l'on en conclut
<T= 7 -+--—, -+---; =cos(t»'— f) + 2sin* -*- sin0sin(^ — 0)cosi>' +
r /•' r r r r * ' 2
Nous avons écrit dans le second membre la partie indépendante de <p et <p', et
seulement l'un des sept autres termes, qui sont du second ordre ou du
quatrième, si l'on regarde ç et ç' comme de petites quantités du premier ordre. On
transforme les produits, tels que sinôsin(V — ô)cos*>', en sommes de cosinus,
et l'on trouve ainsi
ct = cos (y'— v) + - Q,
en faisant
Q = ( — 2sin* 2- — 2 sin*— + 2 sin* ™ sin* — ) cos(i>'— v)
\ 2 2 2 2/ v '
+ sin9sin<p'cos(i>'— v — 9' -+- 9) +2sin* ^ sin*— cos(f' — v — 2 9'-+- 20)
© ©' ©' ©
■+- 2 sin* - cos* — cos(f' + f — 20) + 2 sin*— cos* — cos(^'+ v — 20')
2 2 v ' 2 2 v
— sin 9 sin 9' cos (*>'+ i> — 0 — 0').
Nous poserons en même temps
r«_j_ r'l— 2/T' C0S(f'— i>)= P,

qui
3l6 CHAPITRE XVIII.
de telle sorte que la formule
h}=r*-+- /•'* — 2/t'ct
nous donnera
Rl=i=(P-rr'Q)-*.
Q est du second ordre, et, pour les anciennes planètes, la valeur absolue de
l£ est petite; on peut développer (P — r/Q) 2 par la formule du binôme, ce
li donne
R, = P"5 + - /v'P~î Q +... + '•3---(fl*-0 rkr,kp-(k+ï) q* + ....
2 ^ 2.4. ..aA: ^
Il faut mettre pour r, r\ *\ «/ les valeurs
r = a(i-h\), /-'=a'(n-x'), i>—./ + y, v'=l'-\-y';
on commencera par faire
/• = a, /•' = a', ^ = /, v' =.V \
Ro P, Q se changeront en R0, P0 et Q0, et il viendra
Pc = a*+- a'1— 2aa'cos(/'— /);
>o = ( — 2 sin* - — 2 sin* — + 2 sin* - sin* ?- ) cos( /'— /)
\ 2 2 2 2/ v '
+ sin9sin9'cos(/'— /— 0' + 0) 4- 2 sin* ? sin* — cos(/' — /— 2 0' +
4-2sin*- cos* — cos(/' + /— 20) -+- 2sin* — cos*^ cos(/' + /— 20')
2 2 v ' 22 '
— sin9sin9'cos(/'+ l— 0 — 9');
Ro=P?+ l- aa> P;? Qo + ...+ i^^L- «*a'*P;(*+ï)Q{ + .. ..
Il convient de poser
(5i) tang2=x, tang—=x'.
Les coefficients des divers termes de Q0 se développeront aisément suivant les
20)

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3l7
puissances des petites quantités x, et x\ et ces termes eux-mêmes seront de la
forme
(5a) xGx'G'cos(a/ + a'/'-hy'0+y'0').
les entiers G et G' étant égaux aux valeurs absolues dey et y\ ou à ces valeurs
augmentées de nombres pairs; c'est ce que l'on constate sur la formule (5o);
on peut remarquer en même temps quey -hy7 est pair et que l'on a
a + a'+y'+y'=o.
Il faut maintenant élever Q0 à la puissance k et, au lieu des puissances de
cosinus, n'introduire partout que des cosinus des multiples des arcs /, /', G et G'.
Il est facile de voir que les divers termes de Qj seront encore de la forme (52);
on aura encore
G = \j | -+- un nombre pair,
G' = |y*'| + un nombre pair;
la démonstration se fait d'abord pour QJ et s'étend ensuite de proche en proche.
Les remarques faites sur les sommes y-f-y' et a -t-a'-t-y-t-yv subsistent
pour Qj. Nous aurons ensuite
(53) P7^+i^ = - Uî>{0), + ifk"' j cos(/' — /) -Mi>(î) j cosa(/'— /)+...,
et il faudra multiplier cette expression par a*a'*Qj; les divers termes du produit
seront de la forme
(54) MoxGx'G'cos(a/+a'/'+y0+y'0'),
M0 étant une fonction homogène de a et a', de degré — i ; on aura encore
a+ a'+j -t-y' = o,
parce que, dans chacun des termes de l'expression (53) la somme des
coefficients de / et /' est nulle.
Nous avons ainsi obtenu le développement de R0 ; pour passer à celui de R,, il
faut remplacer a, aï, /, /' par a -h ax, a'-t- a'x', /-t- y, /' -t-y'; tous les
raisonnements et calculs faits dans les nos 120, 121 et 122 subsistent identiquement,
et l'on arrive à cette conclusion qu'un terme quelconque de la fonction
perturbatrice peut être mis sous la forme
(a) MeHe'H'(tang^)'(langî-) cos(a/+ a'/'-i- (3gj + ^'w'+jB -hy'0');

3l8 CHAPITRE XVIII.
M désigne une fonction homogène de degré — i de a et a'; les différences
H — |P|, H'— |P'|, G— \j\, G— |/| sont des nombres pairs positifs ou nuls; la
somme y -+-/ est toujours paire^ et enfin on a
a + at! H- (3 + (3' +j +j' = o.
128. Reprenons la première forme
!/ J\F
MeHe'H' (sin - ) cosD,
D = al + a! V + (fo + (3' gj' — 2 yr'.
Il ne sera peut-être pas inutile de transformer directement (A) en (a).
On aura d'abord
ou bien
D = A — 2 y ad
2 2
en faisant
(55) 1 «=«+p_y.
Désignons par p un nombre entier positif qui pourra être nul; nous aurons à
transformer l'expression
6=(sin-j cos(A— 2y 26 j
ou bien
(56) e = u(sin^VP,
en posant
(57) U = (sin -J Ycos (a - 2y T-^l _ adlzJLj.
Il y a lieu d'introduire
v / • JVY • /"a t + t/ ^t-t'\
V=(sin-J sinlA —2y 20 J-

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3lQ
On aura
(58) U + V^=7 ^sin^'V^E-^^E-^1^.
Or, si l'on a égard aux formules (5) et (5i), on trouve
sin-E * =— ,
/=iï=I , -i- xx'E*6'-0»^1
h = = ;
cos - \/i + x2 v/i + x'*
2 v v
en portant dans l'équation (58), il vient
EAv/=î(xE-6»/:z^-x'E-0'/^T)ÎYfI + xx'E(0'-6»v^l,6
u + vv/-,= ±-——g ^-i i-;
( COS - ) ( 1 + X» )Y+8 (i+ x'« )Y+8
U sera la partie réelle du second membre.
Or le terme général du développement de ce second membre est de la forme
AxP+Vx'i'i-P+V E[A_/,6-(sY-/»64-7(6'-0)) J=if
/ J\2â
(COS-J (H-xî)Y+8(i+x'J)t+8
où A est un coefficient numérique, p et q deux entiers positifs ou nuls, infé- -
rieurs ou égaux respectivement à 2y et 2 S.
On en conclut la valeur de U, et, en tenant compte de (56), il vient
/ . ,J\p
( sin* - ]
6= 7 fTÎT^ — 2 Axr+ix'*y-r+<'COs[k-(p + qyt9-(2y-p-q)9')].
(cos-j (i+x»)T+«(i + x'»)T+«
On tire, d'ailleurs, des formules (5),
. . J X*+x'*—2XX'COS(0- 0')
2 (I + Xl)(i + X'l) '
si l'on porte cette valeur de sin2 - dans la formule (5g) et que l'on remplace A
par sa valeur (55), on voit sans peine que 0 se compose d'une série de termes
de la forme
xGx'G' cos (a / + a' /' + (3gj + (3'gj' +y 0 +/6'),

320 CHAPITRE XVIII. — DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
avec la condition que l'on ait
G = \j | + un nombre pair, G'= \f \ -+- un nombre pair;
a + a' + (3 + (3' +j +f — o.
C'est le résultat que nous avions obtenu précédemment dans le n° 127.
Le Verrier a employé constamment la forme (A) dans ses théories des
anciennes planètes; il a eu ainsi l'avantage de réduire les arguments à cinq au lieu
de six, en ajoutant à / et xs la très petite correction t'— t.
Mais les équations différentielles (h) du n° 62 supposent la fonction
perturbatrice développée sous la forme (a).
Pour utiliser le développement (A), il est nécessaire de transformer les
équations différentielles : c'est ce qui va faire l'objet du Chapitre suivant.

CHAPITRE XIX. — TRANSFORMATION DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 321
CHAPITRE XIX.
TRANSFORMATION DES DIFFÉRENTIELLES DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES.
129. Nous considérons spécialement deux planètes P et P' auxquelles
correspondent les fonctions perturbatrices
m'
(i) R—f/w'R0fl——n* a3 R0fl où jx=i + /w,
r"
(2) R'=fmRlr0=^nVRli0 où yl—i + m'.
Nous avons d'ailleurs, d'après le Chapitre précédent,
(3) a'R0fl= ^NeV'VcosD,
(4) a'Rli0=2]N'eVAVcosD,
(5) D = A + i'/' + *w + à-'gj'+ht',
(6) j'+i' + * + A'+« = o;
i, i't k, k sont des entiers positifs, nuls ou négatifs; u est un entier pair négatif
ou nul; N et N' sont des fonctions homogènes et de degré — i de a et a',
h, A', y sont des entiers positifs ou nuls, et les différences
h-\k\, h'-\k'\, f-\u\
sont des nombres pairs, positifs ou nuls.
Les relations
(7) )i = /+T'— T, W = GJ-f-T'— T,
dans lesquelles t' — t ne dépend que de <p, <p' et 0 — 0', nous montrent que nous
T. - I. 4i

32a
aurons
(8)
CHAPITRE XIX.
dRo., _ dRo,,
de ~ dl '
dRo.i <?Ro,i
dis
don
Nous allons maintenant effectuer les substitutions (i) et (8) dans les
formules (h) du n° 62; en même temps, nous éliminerons des expressions de -j-
et de -r, la valeur de —p^> au moyen de l'équation
dB m' na dRo.i
dt~ y. y/,_ e»siD(p <ty
Nous trouverons ainsi sans peine
dt
(A)
rfa 2 m' . dR0 i
dt y dA
cfe /m' . dR01 /»' wae v/i — e* dR„, q> . d9
-j-=—2—na1—^ h v —r- +tang-!-sin<p-77>
dt y aa J* i 4- ^i e* "e 2
a*e /m' nay/i — e* dR0,i /n' nae\J\ — e* dR0,i
a7 f* e dw jjl i _|_ i/i e» d)i
cfej /m' na v^i — e* dR01 o . dB
di= y ë dt + tÊD^lm^'
(«)
Nous aurons de même
de _
dt
d<p
dt
m' na àR0.,
F- y/i— e* s'1119 <*?
/n' na dK0,x
f* y/i —e'sinç ^
, na tang™ .._
àn0.:
don
(A')
(*')
aV im , ,. dR, o
-i- = —>- n a'* ''
«7 a' dl'
de' m . „<m,„ m n'a'e'sji — e'1 dRin 9' . , dB'
-n=— 2 — n'a'*^f + -, ; -~ +tang^-sin9'-77
dt y' âa' y' x _|_ \J\ — e'* "e 2 «*
aV _ _ m n'oVi-e" <?Ri,0 _ m n'a'e' \ji — e" dRU0
dt ~ a' e'
dta'
y' , + s/i — e'* àl'
dm' m n'a'di — e'* dK, „ 9' . , a*0'
dt
m
n'a'
<?R,,o
/a' v/T"-^ê7*sin9/ <ty
n'a'
0*9' m
i ~dt ~~y' y/T^Visi^' ^
n'a'tang
?'
dR,,. _ m " ""& 2 /<m,,0 dRlt,\
<>0' /x' ,/7-^e7» V <*f <**' /

TRANSFORMATION DES DIFFÉRENTIELLES DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES. 323
130. Il nous faut transformer les équations (a), parce qu'il y figure les
dérivées partielles de R0j par rapport à ç et G et que l'expression (3) de R0), ne
contient pas directement <p et G, mais les quantités t', t — t' et yj = sin-, qui sont
des fonctions connues de ç, G, ç' et G'.
Nous aurons, en ayant égard aux formules (7),
(9)
(10)
dRo.i _ dR^ àr^ + (\
dy dr1 dy \
tl _ dRoA dr[ A
~ dr' dS "*" \
dR
39
dl
<?Rq,i
dl
0.1 , <m„,1\<?(T'-T)
don ) dy
d(ù ) d6
1 dR0 1 J dJ
5-^ COS- -t->
2 dt\ 2 dy
1 ôR
J dJ
A cos - -™
0,1
La première chose à faire actuellement est donc de calculer les coefficients
différentiels
dr1 dr' d(r'-r) d(r'-r) dS dJ
— de' -■ -•
<ty
dy
dB
<*p de
Il suffit, pour cela, de différentier totalement les formules (3) ou (4) du
n° 117 ou mieux d'appliquer au triangle NGN' de \&fig. 20 du même numéro
les formules différentielles connues de la Trigonométrie sphérique
00
dk = — coscdB— cos bdC -h sincsinBrfa,
sinkdb— sincefB -+- sinftcosArfC -+- coscsinBrfa,
sinArfc = sine cosA^/B + sin b dC + cosftsinCrfa;
elles donnent ici
!dJ= cos(t — 0)rfy — cos(t' — 0')rfy' + siny'sin(T'— 0')rf(0 — e'),
sinJrf(r — 6)— — cos J sin (t— 0)rfy + sin(r'— 0')rfy' + siny'cos(T'— 0')rf(0 — e1),
s\nJd(r'—e')— — sin(x — 0)rfy h-cosJsin(r' — 0')rfy'+siny cos(t — 0)rf(0 —0').
On en conclut
(i3)
g= cos(r-0), g,=-co.(t'-fl')f
àJ àJ . . . n. . » . / , «,»
-te = — -je-, = siny sin(r — 6) = sin9' sin(r' — 0'),
de
de1
dr __ cos J sin (t— 6)
dy — sinJ
dr _ siny'cos(T' — 6')
de sinJ
<W __ sin(r —0)
dy sinJ
dr1 _ siny cos(t — 0)
de ~ sinJ
dr^_ sinÇr'—0')
dy' ~ sinJ
dr_ _ _ siny'cos (t'— e1)
de' ~ iïiïJ '
<k^ _ cos J sin (t'— e1)
ày' ~ sin J
dr' _ _ siny cos (t—0)
db' ~l slïïJ

3a4 CHAPITRE XIX.
On tire de là
(l4) ^%~T)=-t*"g'sin(T-0),
. -x d{T? — t) _ siny cospr— 9) — siny'cosQr'— 9') __ ô(t— t')
1 ' ^9 - sinJ -l_ d0'
Cette dernière expression doit être transformée, car nous savons d'avance, par
la formule (6) du n° 117, que Ââ* ^°^ etre une Pet*te quantité du second
ordre, et cela n'apparaît pas dans la formule (i5).
Or la formule connue
(16) sinBcosc = sinAcosC -+- sinCcosAcosft
donne, quand on l'applique au triangle NGN' de la^. 20,
(17) sin<p'cos(T'— &)■=■ — cosœsinJ -+- sin<pcosJcos(T — 9);
si l'on élimine cos(t' — G') entre (i5) et (17), il vient
(18) —' = tang - sin<pcos(T— 9) — 2 sin* -•
Nous remarquerons, en passant, qu'en partant des formules (5) du n° 117 on
arrive aisément à cette expression plus élégante
<p ©' J
,. sin* ± -+- sin* ■*- — sin* -
, x d(r — r) 222
(,9> • -Liè- = TJ
COS* -
2
Les formules (9), (10), (i3), (14) et (18) donnent maintenant
(20)
(21)
09 sinJ dr 2 2 v dr\
— tang - sin(r
2 V <ft d&>
dRo.t sin<pcos(T —0) dR0il 1 J . . . flxdR0i
—&r = —ï—^î ^o11 -+- - cos - sin© sin(r — 9) ~^-
Ô9 sinJ dr' 2 2 T v ' <fr]
+ [.,ngi sinTcos(T- »>- 3sï„' t] (^ + ^l).
Si Ton porte ces valeurs de —^ et de —^r1 dans les formules (a), on trouve

TRANSFORMATION DES DIFFÉRENTIELLES DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES'. 325
qu'elles deviennent
/ J
jû / JD ,na cos - JD
ad m' na . , n. dR0, x m' a . .. tfRo.i
sin© -j-= , sin(T — 0)—dr1 + cos(t— 0) —^
(B) / ^ V—»' V dl
d(ù J
J
, na cos -
-ï1 = , cos(t— 0) -^p sin(r — 0) —r-^
dt p. y/,_e*sinJ àz' 2 p y/,_e» *n
m,natang- ^ dRM\
cos(t
131. Il faut maintenant faire des calculs correspondants pour la planète P'.
Si l'on conservait dans ces calculs la fonction Rlt0 sous la forme (4)» les dérivées
-jpr- et -tet introduiraient —^ et —^ à cause de t' — t qui figure dans les
formules (7); il y aurait aussi—^ et -^f qui existent déjà dans les
équations (a'). Ce serait un inconvénient que l'on évite comme il suit.
On pose pour un moment
(7') A'=r + T-T', o>' = gj' + t-t';
l'expression (5) de D devient
(5')" D = il H- iyï' + km + k' w' -+- ut,
car, si l'on retranche (5') de (5), on trouve
o = (t'— t)(*4- i' + k + k'+ u),
condition qui est satisfaite d'après (6).
Pour plus de clarté, nous mettrons des parenthèses aux dérivées partielles
de R,,0 prises dans l'hypothèse où D est mis sous la forme (5').
Nous aurons
(2!> ~w-\~&r)m + l\w)+ \w~)\~d9' + i~^r 2^j
calculons d'abord ~ T par la formule (i5) que nous transformerons au
moyen de la relation
sin<pcos(T — 9) = cos<p'sinJ + sin©'cos J cos (t'— 9')

326 CHAPITRE XIX.
conclue de la formule (16); nous trouverons
(18') d^dë>T>) =-tong \ sin<p' cos(t'- 0') - asin» £•
Les formules (20') et (21') nous donneront ensuite, en tenantcompte de(i3)
et (18'),
dR.0 sin©' , . a,./àRU0\ 1 J . . . . . ... dRj 0
',' = —V- cos(t'—9') -^^ ) cos - sin<p'sin(T' — 0') —^
d0' sinJ ' \ or J 2 2 T v dn
" [«an^ sio^cose-*') + ,si„. £] [(%-•) + (*^)].
Il n'y a plus qu'à porter ces dérivées partielles dans les formules (a'); mais
nous reviendrons en même temps à la première forme (5) des arguments D dans
le développement de Rl|0; nous aurons évidemment, par le simple
rapprochement de (5) et(5'),
\ dr ^ ~ dr' ' V <&' / «*/' ' \ à(ù' )~ dw' '
et nous trouverons finalement
jfl/ / / jD n'a'cos- -_
. cfô' /m n'a' , ., dRli0 1 m 2 , , fl/v dRi.o
sin©' -î- = —, . siii(t'— 0 ) ^r 7 , cos(t' —0') -T^-
J
n'a'tang- D u .
+ q , 2sin(T'-0') (ggti» -i- ^yV
ja' y/i _ e'* \ d/' dcr' /
, / J
j 1 11 jD n'a' cos - ,_
^ = m n^ %!+I2 -^=2 Sin(r'- 0') ïï*i*
d* y.' ^ — e'^sinJ <^ 2/x' V/I_e'i ' dn
n' a' tang -
(R')
™ 2 cos(t' - 9') (**1* + *?»A
\ "?~7
132. Nous allons écrire de nouveau l'ensemble des formules auxquelles nous
venons d'arriver; nous y joindrons celles qui donnent ^-f et-^r d'après la
formule (28) du n° 75; enfin, dans les coefficients des dérivée» partielles de R0,,
et RM, nous ferons avec Le Verrier
(22) e = sin4', e' = sintj/.

TRANSFORMATION DES DIFFÉRENTIELLES DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES. 32^
Dans l'expression de ^r> nous remplacerons -^y1 par sa valeur tirée de la
première des équations (A).
Cela posé, les formules (A) et (A), (B) et (B') deviendront
a'Ro,i = 2 Ne/' e'AVcosD,
i
D = ik -h i' V + k(ù -+- k'w' + ut' ;
da m' . dR0. d*p m' , dR0,
— = 2—na* ~^y -j£= — 3 — n*a-^,
dt \l dA dt1 jx dA
de m' , dR0tl m' , ib dR0tl a . d9
-y =—2— na2 —y*" h nacosytang i —^—' + tang *■ sin© -p,
cfr jx da jx T ° 2 de ° 2 T dt
de m' na dR01 <\> . i da
— = r —--i! — tang -£ cosip — -r- >
a7 jul tangy dw a T 2a dt
(C) / cfej /m' na dR0 , <p . dQ
-J7= — : r —ï^ H-tang-î- sin© -7-,
ai jul tangy de ° a T rff
0*9 m' na V \ dR0<1 , J /dR0il dR0 Al
\ m! na J dR0ll . , flx
— r cos 5-^ sin (t — 0),
a jx cos 7 2 drj '
sin
</0 m' na f 1 dR,,, , t J/dR0ll dR0Al . ,
1 m' na J dR0.i , „.
H r cos ^cosCt— 0);
a jx cos^ a dt]
a'Rli0 = 2]N'c*c'*VcosDf
D = il + i'V -+- ktù -r- At'gj'4- mt' ;
*'= 2™nV2^, ^'=-3^n"a'^°,
a7 jx' dt' dt* jx' d/'
tf*6' "* / « <^Bi.o , m . . d>' dR, 0 <p' . , d9'
^=-2?n'a''-^ + ?n'a'cosftanglL_Jfo+tangî.sin(p,_,
aV m n'a' dR,,0 t t|/ ,, 1 da'
dï=-? ûïïgf W - t3ng a C0S* ïrf W
(C) { cfcj' /n n'a' dR, „ 9' . ,0*0'
' "3r = -7: n * -+- tang-1- S1119' -r-,
dt yJ tangtj/ de' & a Y dt
d<?' m n'a' [ 1 dR,.„ J /dR,,0 dR, Al ,, .lv
* = ?c^[sTnl-d^+langaH-d7" + ^)JC0S(T-9')
+ i-^;cosi^sin(r'-0'),
a jx' costj/ 2 dt] v "
. . d9' m n'a' f i dR, „ J/dR, „ dR, „\1
_:q^C08£^_.C0s(T-_y).
2 jx' cos4» 2 dt] '

328 CHAPITRE XIX.
C'est la forme employée par Le Verrier dans ses théories des anciennes
planètes.
133. Il n'y aura aucune difficulté à former les dérivées partielles de R0i, et
Rlt0 en partant de leurs développements qui viennent d'être rappelés en tête des
formules (C) et (C); ily a lieu cependant de donner quelques explications pour
ce qui concerne —^i et -t-t*- On trouve immédiatement
n aa aa'
. ( aa> ^M =Vflf eV'V cosD,
\ da ±d da '
!a',wî=i:(a'^-N')e4e'^/c»sD-
a'
Considérons maintenant le développement de a'R, = -^, et faisons
(24) a'J{l—'^tNiehe"l'nfcos'D.
Il résulte des formules (40 et (4'') du n° 124 que l'on a
N = N, + Q-,, N' = N, + Q'^,
a' a1
où Q et Q' sont indépendants de a et a'. On en tire
da aa a' aa' aa' a*
La fonction N, étant homogène et de degré zéro, on a
il en résulte
, dN, dN,
adï=-a-da->
<£-«=-%-**+*£
Les formules (a3) donnent ensuite
(25)
On est ainsi ramené au calcul de -^«

TRANSFORMATION DES DIFFÉRENTIELLES DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES. 32g
Or on a vu au n° 123 que N, est de la forme
(26) N| = V/'>a'AM + V^a'A'/' + V'/'a'A'/' +... ;
V(y), V(/', ... sont des coefficients indépendants de a et a'; A(y) est l'une des
fonctions A(y), B(y), C^, D^ définies au n° 104; on a fait en outre
f^J) — u .
n 1.2...n dan
On en tire
da 1.2...(n — 1) da" 1.2... n dan+l'
(27) fl^,=nA"l+(rt+I)A-«-
Les formules (26) et (27) donnent finalement
(28) a ^ = V^a'A'/' + V'/'ta'A'/' + aa'Atf»] + V^[aa'A'/' + 3a'Af ] +....
On voit ainsi que le calcul de -r-1 se trouve ramené à celui des fonctions AJJ',
BJ/' calcul qui sera fait par les formules (T) du n° 115.

33o 4gAPITRE XX.
CHAPITRE XX.
PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES.
134. Nous adoptons les notations très claires employées par Le Verrier dans
les tomes II et X des Annales de VObservatoire.
Nous nous occuperons d'abord de la planète P, et nous partirons des
formules (C) du n° 132; nous poserons
a\ m' dR0ti d*\ m1 . dR0fi
dt jul <tt dt* jul àA
dA, m' , ÔR0A de m' . dR01
-7- — —a — na* ' i -j-= —na cosù . ' »
dt jx aa dt jx T de
J
d<2 _ m' na cos^ dR0tl dÇ _ i m' 2 dR0,i
(a) / dt f* e? da> ûte 2 jul cos^ dt]
rfS 1 mr na 1 dR0il
dt 2 a J . n àz1
^ cos - cos y
2 T
ûfc jJL COS 4*
\ <ft "*" <to /
Nous ferons de plus
0) --,=B;
y. a'

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS.
alors les formules (C) du n° 132 nous donneront
33]
(*)
(c)
^ = — aBna Y i'NeAe'AVsinD,
dt ^^
^4= 3Bn» YiNeAe'AVsinD,
ai1 ^J
dt*
dÂo
ON
—=- =—aBn > a -r— ehe'h vfcosD,
dt *à da '
d£
dt
^ ^Bncost^ *NeA-»e'*VsinD,
= Bn cos^ 2 /iNeA-»e'A'-rî/cosD,
,_ Bncos-
f[S _ 1
dt a cos
"5*
»a —
-r-^ 2^NeAe'/"'rî/_1C0Sl)'
?^ 2 "NeV*V-' sinD,
cos - cos4*
Bntang -
-ï— Y(i + *)NeAe'A'-r/sinD;
cos<
dt ~ dt*
d*p _d*A
dt* ~ dt* '
de dX <b d$ <p . dQ
d}=lû + i*nel-d-t+t*DelSlD<?di>
de d<£
i <
^^-tangjcos*^,
dt dt
dm dÉ
e-di = dt+ei*Deisin<?*->'
d9
dt
S = --.(r-^ï+«(.-.,(f+S),
. de
SlIKp-T- = COS
Pour la première approximation par rapport aux masses, d'après ce qui a été
dit au n° 71, il faut remplacer, dans les seconds membres des équations ( b) et (c),
les éléments a, e, ..., a', ef, ... par des constantes a0, e0, .... a0, é0, ... ; ce
seront douze constantes d'intégration, dont les valeurs devront être déterminées
ultérieurement par la comparaison de la théorie avec les observations; les
constantes n0 et ri0 dépendront de a0 et a0 par les relations
n»aj=f(i + m) = f/xf n'0»a'0» = f(i + m') = ff*'.

332
On aura ensuite
CHAPITRE XX.
l0 = n0t-+-z0-+-r0 — t0, /'„ = n'01 + e'0 ;
D0 = (in0-hi'n'0)t-h ie0+ *V0 + kxn0-h k'xn'0— (i + At)t0 — (*' + *')t'0.
En calculant £0» A0, .. -, V0 par les formules (6), on aura à effectuer des
quadratures que l'on calculera comme il suit :
/• Tk j, cosl)0 C .. . sinD0
sinD0dt = — ^^-r, lcosD0ûfc:=- T-r>
m0 + t'n0 J m0 + t'n0
C C • ™ j,» sinl)o
I I sinD0 rff* = — j-.—-—,-t. •
135. Pour abréger l'écriture, nous omettrons les indices zéro, en nous
rappelant, bien entendu, la signification de a, e, ..., a', e', ..., qui, dans les seconds
membres des équations(b) et (c), seront des constantes d'intégration.
Nous poserons
(2)
et nous trouverons
n'
41 =
A
(d)
2Ba \ ^-^7-NeAe'A'-r]/cosD,
:_ 2B Y t—L-a^eAe'AVsinD,
B cos^ 2 -=-^-7- NeA-»e'AV sinD,
— B cos^ S . *., Ne''-»e'AVcosD,
i» J
B cos -
= ^ y^T-NeAe'A't]/-1sinD,
2 COS^ ^t + IV '
B
- i ^ V -r-^-r- NeAe'A'-rî/-1cosD,
2 J . ^d l + t'v
cos- cos7
V = —
Btang- ,
_i y J_±A_ n eA e'A' tj/ cos D.
cos<

(e)
PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS. 333
On voit que ces valeurs de £, A, ..., V sont de la forme
-C = 2AcosI)' A=£LsinI)»
^ = 2EcosI), &l,=2CsinI)'
G^^GcosD, ,f=2PsinI)'
V^^UcosD, (j = 2TsinD-
On a les expressions analytiques des coefficients A, C, ..., U qui
correspondent à chacun des arguments D, et l'on pourra calculer leurs valeurs numériques
quand on connaîtra celles des constantes a, e, ....
On trouvera l'ordre de chacun des coefficients A, C, ... , en faisant la somme
des exposants de e, e' et ï] dans ces coefficients; car nous considérons toujours
e, é et y] comme de petites quantités du premier ordre.
Peut-être convient-il de remarquer qu'il résulte de ce qui a été dit au n° 126
que les expressions ci-dessus de £, A, ..., V ne dépendent en aucune façon, ni de
l'a position du plan fixe des xy, ni de l'orientation de l'axe des x dans ce plan.
Nous ferons encore observer que l'on conclut des deux dernières
formules (d),
U /+* . , J
^^ 2 cm'
U
sinz -i
ï
de sorte que, sauf le cas de u = o, les divers termes de V seront beaucoup plus
petits que les termes correspondants de s.
Les équations (c) donneront ensuite
i ài« = -Ci <5ip = A,
8j e = .a, -+- § tang - + tang - sin<p ôj 0,
(/) / àie=i£ — tang^cos^^,
eâjGj = § -h étang" siiKpôjfl,
âj(p = -gsin(T— 0) + (6 + V)cos(t — 0),
\ sin9 ô, 9 = -+- (Jcos(t — 9) + (S + V) siti(r — 9).
Si l'on remplace dans ces formules les quantités (,A V par leurs
valeurs (e), on aura les expressions, analytiques ou numériques, des inégalités
périodiques du premier ordre des éléments de la planète P.

334 CHAPITRE XX.
Dans le cas où le diviseur i -t- i'v qui figure dans les formules (d) est très petit,
on a les inégalités à longues périodes dont il a été question au n° 74.
Remarque. — On aurait pu calculer S, p par la formule
àlp= Jàindt = I àxadt-
elle aurait conduit au même résultat que celui que nous avons tiré de
l'équation
d*p 0 m' , dR0,,
de* p dl
136. Les formules (d) cessent d'être applicables lorsque i et i sont nuls
simultanément, car alors le dénominateur i -4- i'v est égal à zéro.
Dans ce cas, il faut remonter aux expressions (6) et les intégrer après y
avoir fait i = o, i = o, et en regardant D comme une- constante. Si nous
considérons l'ensemble des termes de la fonction a'R0ti pour lesquels i = i' = o,
termes que l'on appelle séculaires, comme nous l'avons déjà dit au n° 73, nous
aurons
a'R0tl = 2iNehe'h'nfcosV,
D = k(ù -+- k' gj' + ut'.
Pour simplifier l'écriture, nous employons ici les mêmes lettres N, h, h', /,
k, k', u, que précédemment.
Cela posé, nous tirerons des formules (6),
4^=0, A = o,
X = — 2Bnt ^ a — ehe'h'-t\f cosD,
§= Bwicostj; ^ ANe^-V^T/cosD,
<£ = Bntcosty V ArNe^-V^VsinD,
J
cos -
n = lBne r Y/NeAe'A'ïi/-' cosD,
J 2 COStf' -^
<*)
G = -Bnt
i
j ]£ «NeV^V-1 sinD,
cos - cosd»
2 T
, J
tang-
V= Bne ^ y (i + A:)NeVAVsinD.

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS.
335
Nous aurons ensuite, pour déterminer les variations séculaires du premier
ordre des éléments de la planète P, les formules suivantes :
âta=o, âtp = o,
ai l = ai e = «ib + ^tang ± + tang " sin <p ô, 0,
eo,TS = 3 + étang-1- sinœ Oi0,
2
dif =— £sin(T — 0) + (E + V)cos(t — 0),
siiKpâjô = + £cos(t — 0) + (6+V)sin(T — 0).
On retrouve le résultat du n° 73 : dans la première approximation, le grand axe
n'a pas d'inégalités séculaires, tandis que les cinq autres éléments e, e, xs, 9, ô
en sont affectés.
Il sera facile de calculer par les formules (g) et (A) les variations annuelles
de ces cinq éléments; il suffira, en effet, de faire / = 1, en supposant que n et ri
soient exprimés en prenant l'année julienne de 365J, 25 pour unité de temps. On
trouvera ces valeurs numériques pour les anciennes planètes dans le tome II des
Annales de VObservatoire de Paris, p. 100 et 102. Il faut, bien entendu, faire la
somme des valeurs obtenues en combinant la planète P, d'abord avec P', puis
avec P",
Si l'on fait, pour chacun des éléments, la somme des inégalités périodiques et
séculaires données par les formules (/) et (h), on aura l'ensemble des
inégalités du premier ordre.
137. Occupons-nous maintenant de la planète P'.
Nous nous bornerons à reproduire les formules sans explication, vu qu'elles
sont tout à fait analogues à celles que nous venons d'obtenir.
Nous posons
(«')
(!')
/
d&
dt
5= *m,n<a"dy,
de y' dl'
dX' m . ,, dRi.o
-y-=—2 — n'a'i-r-lj-,
de y' da'
d<£' _ m n'a' cost|/ <*R,,0
de ~ y' e' ors'
1 m n'a' 1 d\{ito
~ 2 a' J ,, n àr'
^ COS- COS0/
2 T
m n'
y' n
d*\'
de*
d§'
de ~
' de
d\' m
de ~ y'
—; V = B'.
F-
3 m nna' ^''"v
V ° dl' '
^n'a'cosf ^V0,
y' T de'
/ / J
n'a'cos- ,~
1 m 2 dR,f0
2 y! cos 4*' dr\
"''"■«J/*,, , **,..<
cosf V àl' ors' t

336 CHAPITRE XX.
Les formules (C) du n° 132 nous donnent
^ =- B'na'2^N'e''e'A'-r]/sinD,
d*A
(b')
d(T= 3 B' nn' ]£ i' N' eh e'h' t/ si n D,
^= aB'n 2(a^+N')eAe'AVcosD,
^- =B'ncos^'^2] /i'N'eV''-1T]/cosD,
dq< _ i
B'/icos -
. — —rr^- Y/N'eV'V-'cosD,
dt 2 cost]/ ^rf*'
^E! — L B n
dt 2 J ,,
COS - COSt]/
2 T
^wNeV'V-'sinD,
rfV'
B'ntang-
ï^ Y (i'+*')N'eAe'AVsinD;
(C)
-r- = —ï- + lang — -;- + tang — sinœ' -y
dt dt * i dt ° 2 T dt
dé d<$> 4 d;' ,, i «*£_'
-j- = —; lang ■*- cost]/ —; -^,
cfr cfc 6 2 r 2 a' dt
.dxsj' d§> . <p' . ,d9'
é —r- = -j- H-e'tang^- sinœ'-î-»
cfc cfc ° 2 T dt
do'
-f- = sin
dt
(T._^f _cos(T._y)(f
.in,' § =_cos(r'-0')f--sin(r'-0')^
d*

w
PERTURBATIONS • DU PREMIER ORÏ0RE DES ÉLÉMENTS.
On trouvera sans peine, en partant des formules (6'),
' f'= 2B'a' S v-^7-NV'e'AVcosD,
| A' = -3B'v Y —j!_—N'eV''VsinD,
JL'= 2B' V ^-i—fa^+N,N\eAe'A'-r]/sinD,
£' = B'costl/ V , V. N'e^e'^'-^/sinD,
T *d l + H
£' = — B'cosJ/ y — ^~ NV'e'^VcosD,
B'cos -
(?' —
«'COS - .
r^ y ^L NV'e'AV-1 sinD,
2 COS 4* Adl + tV
' — — f- y __^ Ne^e'*'*/-1 cosD,
COS - COSt]/
5' —
B'tangi
v lang - ., ,,
* y i_±JL N' e* g'*'tj/ cos D.
cos y ^ t -i- v v
V'-~ —
i
Les inégalités périodiques de la planète P' seront déterminées par les*
mules
| d,a'=C âlP'=A',
âje' = «H>' + £'lang — -+-tang1- sin<p'<5,0',
dlr=dlp'+dle',
(/') / â.e'-Ç'-tang^cos^'^,
e'â,Gj'=^'--i-e'tang 2- sin<p'ôj0',
â,(p'= Ç' sin(T'— 0') — (S' + V')cos(t/— 0').
I siiKp'â.ô'.— -(J'cos(t'— 0') — (S'+V')sin(T'— 0').
On aura enfin, pour le calcul des inégalités séculaires,
«'Ri.o = ^ N'eV'VcosD,
D = Arw + k'xn' -+- ut'
T.- I.
43

338
et
CHAPITRE XX.
te)
(/*')
£'=o, .A'=o,
eJU'= iWnt 2 (a ^ + nA e'>e'"'nfcosD,
§' = B'nccosy ]£ A'N'e/'e"''-1T]/cosD,
£'= B^cos^'^*'1*'6*6'*'-1^8'110'
(
J
cos -
G' =- Bru r, Y/N'e'^"''-^-1 cosD,
*J 2 cos4< ^
5' = -B'/i*
2
y 2 «NVe'AV-'sinD,
cos - cosd»'
2 T
t J
tang-
V'= B'/i* £ S (*'+À')N'e"e"'VsinD;
cos <J/ -^
ô,a' = o, ô,p' = o,
<5,/' -.= ô,e' = X'+ J'tangf- + tang^- sin<p'â,0',
<5,e' = £',
?'
ejâjcj'^ J' + e'tang 3- gin9'3,6',
d,<p'= Ç'sin(T' —0')-(6' + V')cos(t'-0'),
siiKp'âjô' = - Ç'cos(t' - 9') - (6'+ V')sin(T'- 0').
Le lecteur trouvera une application très détaillée des formules ci-dessus dans
le tome X des Annales de l'Observatoire de Paris, pour Jupiter et Saturne. Les
Tableaux numériques donnant les valeurs des quantités A, L, ..., T y occupent
les pages 110 à ii$\ les pages 127 à 142 sont remplies par les Tableaux qui
répondent aux formules (/). Les données correspondantes pour Saturne se
trouvent dans le même volume, p. i45 à i63 et p. 164 à i83.
138. On peut présenter sous une forme un peu différente le calcul des
perturbations du premier ordre de 9 et G, <p' et G'.
On a trouvé
(2)
| ô,9 = — gsin(r — 0) + (S + V)cos(t — 0),
j sinyô, 0 = -+- Çcos (t — 9) + (S + V) sin (t — 9).
Supposons que l'on change de plan fixe et que l'on adopte la position du plan de
l'orbite de la planète P' à un moment donné /„; nous savons que les quantités

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS. 33q
£, 6 et V ne seront pas affectées par ce changement. On a, en général (fig. 21),
NG = t —G; à l'époque /0, le grand cercle N'G est couché sur xy\ on a NG = o. La
Fig. 21.
x ~~N' N
quantité 1 — G, qui est ainsi nulle à l'instant ;0, sera petite, de l'ordre des masses,
à l'époque /. Comme il s'agit ici des perturbations du premier ordre, on pourra
faire, dans les formules (2), t — G = o et sinç = sinJ. Les valeurs
correspondantes de S, 9 et S, G seront les perturbations de l'inclinaison et du nœud
ascendant de l'orbite de P sur le plan primitif de l'orbite de P', quantités que nous
désignerons par $ et 0; ainsi
fc = jNG, 0 = <rN.
Les formules (2) donneront donc
(O 0,0 = 5 +V, sinja,0 = £.
Ces équations offrent une représentation physique intéressante des quantités
G -h V et (j.
Les formules (2), entendues dans leur ancienne généralité, pourront s'écrire
j <5,9 — cos(t — 6)<5,<& — sin(T — 0)sinJ<5,0,
. ( sin<pô,0 = sin(T — 0)<5,<&-hcos(t — 0)sinJ<5,e.
Si l'on a égard aux expressions (d) de ç, 6 et V et que l'on pose
B cos - .
H = - ^ ^-rj- N e" e'*' yj/-« ,
2 cosy 1 + 1'v
R u + 2(1 -+- Ar)sin*-
K=-- f s = -NeV'V"1,
cos -cosd»
2 T
on pourra écrire les formules (1) comme il suit :
(k) d.O = 2]KcosI)» sinJâ,e = 2]Hsin,)-

34o CHAPITRE XX.
En portant ces valeurs dans (y), il vient
<5,<p= 2 3-±-^cos(D +t- 9) - 2 5LzL^cos(D - t + 0),
sinyô, 9= ^ J*_±*: sin (D + t - 0) + 2 ^T^ sin (D ~ T + 9)-
On obtiendra ainsi les diverses inégalités périodiques du premier ordre de <p et
de G.
On sait qu'à un argument donné D, dans lequel le coefficient de t' est u,
correspondent les valeurs — m, — h + 2, — w -f- 4» • • • de/; si l'on peut négliger
sin2- devant l'unité, il sera permis de faire/— — u; les formules (3)
donneront
les expressions (/) se simplifient et deviennent
(/,) â,9 = 2]Hcos(I) + T—0)' sin9Ô,0 = 2] Hsin(D+T— 0);
les formules (k) deviennent, dans la même hypothèse,
(*,) â,O = 2]Hc0sI)» sinJâ,e = 2]HsinD.
On voit qu'on passe de (At ) à (/, ) en remplaçant simplement D par D H- t — G.
Si les formules (/, ) et (kt ) ne sont pas entièrement rigoureuses, elles donnent
du moins, sous une forme très simple, les parties les plus importantes de S, 9
et S, G.
Dans ses théories des diverses planètes, Le Verrier calcule les inégalités
périodiques du premier ordre de ç et 0 par les formules (k) et (/).
Faisons les mêmes modifications pour la planète P'.
Soient <£' et 0' l'inclinaison et la longitude du nœud ascendant de l'orbite de
P' par rapporta la position qu'occupe à l'époque t0 le plan de l'orbite de P.
On trouvera
(*') d,*' = 6'+V'f sinJô.e'^g';
en portant ces expressions dans les formules
d,<p'= (,"sin(T'-0')-(S'+V')cos(T'-0')»
sm^'àl9'=-g'cos(r'- 0') — (S' + V) sîii(t'- 9'),
(0

on aura
PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS. 341
( a,<p'=— cos(t'— 0')<5,<&' + sin(T'— 0') sin J 0,6',
J | sin9'âI0'=-sin(T'-0')â,O'-cos(T'-0')sinJâIe'.
On pourra poser
(*') ôIO' = 2K'C0sI)» sinJ<5,e' = 2H'sinD;
on en déduira
( sin <p' d, 0' =- ]£ H^K sin (D + t'- 0' ) - 2 ""Y^" sin (D - t' + 0' ).
139. Il nous faut donner encore les formules qui permettent de calculer les
perturbations du premier ordre de i' et y), quantités qui figurent explicitement
dans les développements des fonctions perturbatrices; la connaissance de ces
perturbations est très utile pour le calcul des inégalités du second ordre.
La première des formules (12) du n° 130 donne d'abord
^ = cos(t - 0) ^ + sin(r - 0)sin9 ^ - cos(t'- 0') ^£ - sin(r'- 0') sin?' ^;
en remplaçant -^ et -r d'une part, -£- et -7- d'autre part par leurs valeurs (c)
et (c'), on trouve aisément
... dJ /d& dV\ /d& dV'\
(4) di = \di + di) + \-dt+ -diy
On peut ensuite mettre la troisième des formules (12) du n° 130 sous cette
forme
smJ^=-sm(T-0)^+cos(T-0)sin9^+sin(T'-0')-^-
dô' do'
(5) { -cos(T'-0')sin9'^--(i-cosJ)sin(T'-0')^-
je/
+ [sin9'cos(r'— 0') — sin9COs(r— 0) + sinJ] -r--
Les quatre premiers termes du second membre se réduisent à -^ -t- -4r
quand on y remplace, comme plus haut, j?» jt» -JÇ-» tt par leurs valeurs (c)

3^2 CHAPITRE XX.
et (</). Il y a lieu de transformer le coefficient de -j- en y mettant pour
cos(t — G) et cos(V — G') leurs expressions tirées des relations
cosç'= cosç cosJ + sinç sinJ cos(t — 9),
cosç = cosç'cosJ — sinç'sin Jcos(t'— 6').
On trouve ainsi
1 / / ai\ 1 flx • ¥ sin*J—(1 —cosJ) (cosç + cosç')
siiiç'cos(t'— 0') — sinçcos(T— 0) + sinJ = ^ ^ ± -*—'
T T sinJ
= lang- f acos* cosç — cosç')
= 2 tang - ( sin* - + sin* - sin* - )»
0 2 \ 2 2 2/
et la formule (5) donne finalement
/ . _ d-c' de de' . j . , rfç'
l sinJ -ï- = -£ + -g- — 2 sin» - siii(t'— 9') -£-
I dt dt dt -x dt
(6) { , J
/ 2lang^
f H ;—j- sin* i- + sin* ± sin* - ) sin ç' -t- •
\ sinç' \ 2 2 2/ T dt
Les deux derniers termes du second membre de cette équation seront très
petits; car les coefficients de -£- et sinç'-j- sont du second ordre -par rapport
aux inclinaisons.
En intégrant les équations (4) et (G) multipliées par dt, on obtient les
expressions suivantes pour les perturbations du premier ordre de J et de 1' :
â,J = (G4-V) + (G' + V),
J$iT, = (J-Y-Cj'-2sini -sin(T'-0')a1?'
sin
J
2 lang -
H ;—^ (sin» ^ + sin* 2 sin» - ) sinç'ô, 9' :
sinç' \ 2 2 2/ T '
d'où, à cause de in = sin ->
• 2
t J(5 + V) + (Ê'+V)
>, Y) = COS - - - - :
(m) ^tIalt'=-î-J[£±£-8in^8in(t'-ê')^l?'
+ tang - (sin* ? + sin* ? sin* - ) ô, 0'
cos -
2

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS. 3/|3
Le plus souvent, ces formules pourront être réduites à
/ * 5 + 6'
O, Y) = :
(m,)
ou encore a
(n)
|w = ^
, â,0 + â,<I>'
Ô,Y1 = ' :
I yiâ,T'=r I [sinJô.e + sinJôte'],
formules dans lesquelles on devra remplacer S,$, sinJS,0, §,<!>', sin JS,0' par
leurs expressions (k) et (£'), si l'on veut avoir les inégalités périodiques de y)
et de t'.
On pourra obtenir aussi les inégalités séculaires du premier ordre de y] et t',
en remplaçant dans les formules (m), £, s, V, £'» G', V par leurs
expressions (g) et (g'), et S, a/, S, G' par les valeurs {h'); on voit ainsi que les
quantités y] et t' sont affectées d'inégalités séculaires.
140. Nous avons dit déjà au n° 63 que, quand les inclinaisons <p et ç' des
orbites sont très petites, il est souvent avantageux d'introduire, au lieu des
quatre quantités ç, Q, ç't G', quatre nouvelles variables p, q, p', q' définies par les
relations
( p =tang9 sin0, q = tangç cos0,
(7) \
( p'—; tangç'sinô', <7' = tang9'cos0';
on y trouve cet avantage que les variations de p, qyp'> q' sont toujours petites;
il n'en serait pas de même de là variation G si (p était très petit; de plus,
l'introduction des variables/? et q facilite le calcul des perturbations de la latitude
héliocentrique.
En différentiant la première des formules (7) et remplaçant ^ et j par
leurs expressions, on trouve successivement
dp 0d9 sin0 do cos0 . d6 sin0 do ° 2 . . do
-£ = tang© cos0 -T- h r fA = sin© -j- h -£ -\ tang© sin0 -7!-
dt OT dt cos*© dt cosç T dt cos© dt cos? OT dt
COS0
cos 9
^Cos(T-0)^+sin(r-0)^ + ^jJ
sin0 I . , .Jll , aJdG dV\~\
COS 9 rf/

344 CHAPITRE XX.
C'est ainsi qu'on obtient les formules suivantes :
dp
COSÇ -~ = COST
dq . /d& dV\ <p d<p
^+sinTU^^)+/>tang^'
dq dq (d§ dV\ 9 do
C0S(p ^ =_ sinT _i +C0ST ^ + _j+^tangï J,
(8) < x 7
, dÇ' ,Afë' dV'\ . 'a' do'
,dq'
C0S(P sfr =+ SinT'
On peut avoir besoin d'exprimer J, t et t' à l'aide de p, qy p' et g'; pour cela,
il y a lieu de se reporter aux deux dernières formules (4) du n° 117, et de les
multiplier respectivement par cosG' et sinô', ce qui donne
sinJsinT'^sinçcosfl' sin(0 — 0') — cos9sin9' sinô' + S1119COS9' sin0'cos(0 — 0'),
d'où
7 sinr' = tang© sinô — tang9' sin0'
COS9COS9' OT OT
+ tang(f [— COS9' sin0 + COS9' sin0'cos(0 — 0') -hcos0' sin(0 — 0' )]
ou
-iÎHi_7sinT' = />-/>' + 2sin'^ta^64sin(0-0')cos0',
COS9COS9' r r 2 C0S(p/ v /
en remplaçant, dans le coefficient de —"-?» sinô par
r v COS9 r
sin0' cos(0 — 0') + cos0' sin(0 — 0').
C'est ainsi, et par des calculs analogues, que l'on arrive aux formules ci-
dessous :
s'mJ . . ,9 tang9' . /a ... a
7 sinr = p—p' H-asin*■*- —s-1- sin(0 —0')cos0,
COS9COS9' r r 2 cog(p /
(9) \
sinJ . . , 9 tangœ' . /fl ... . D
rcosr =q —q' — asin* z —^-i- sin(0 — 0')sin0;
COS9COS9' 11 2 COS9
sinJ . , , . , «p' tang9 . /fl fl/. a.
; sinr =p — p' -h asin*-î ^-f sin(0 — 0')cos0',
COS9COS9' r r 2 COS9'
(9') {
-^Bl—cosT' = ?-?'-2sin»£^^sin(0-0')sin0'.
COS9COS9' ' ' 2 COS9'
D'autre part, la formule
cos J = COS9 COS9' + sin9 sin9' cos(0 — 0')

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS. 345
donne
cosJ = cos<pcos<p'(i -\-pp' -+-qq');
or
tang* 9 =/>* + £*, tang* 9' = />'»+ q'*,
d'où
COS*9 COS*©' = - — — ;
il en résulte successivement
(I+/>î+<7,)(I+/>"+<7")
{i+pp' + qq'Y
Les formules (9), (9') et (10) sont rigoureuses et déterminent avec précision
les quantités J, 1 et t\ en fonction des auxiliaires/?, q, p\ q'.
En négligeant les cubes des inclinaisons, les relations (9') donnent
. x ( sinj sinr' =p—p',
00 i
( sinJcosr' = ^ — q'.
D'autre part, la formule approchée
t — t'= - tang9 tang9'sin(0 — 0'),
démontrée au n° 117, donne, en exprimant t — 1' en secondes,
(12) t-t' =
pq'—qp'
sina*
On tirera des équations (8) les formules suivantes pour calculer les
perturbations du premier ordre des quantités/?, q, p', q' :
COS9 <5,/> = ç cost -h (S + V ) sinr + p tang ? <5,9,
(.3) ;
cos9 <5. q =—Ç sinr + (S + V)cost + q tang - â,9;
/ ©'
1 cos9'<5,// =— g'cost'— (S' + V) sinr'H-/?' tang J- <5,9\
('3')
/ cos9'â,^' = + Ç'sinT' — (S' + V')cost' + ?'tang £- 5,9'.
T. - l. 44

346 CHAPITRE XX.
On peut écrire encore, à cause des relations («) et (*"'),
(*)
l cosç ô,p = sint ô,O + cost sinJ ô,© +/? tang ® ô, 9,
( cos© ô, 7 = cost ô,0 — sinr sinJô,© + «7 tang - #19;
l cos9'â,/?' = —sinT'â,^'— cost'sinJôj©' + />' tang î- 0,9',
/ cos9'âi^' = — cosr'â,0'+ sinr'sinJô,©' + y'tang Î- 5,9'.
Ces formules permettent de calculer les inégalités périodiques du premier
ordre dep, q, p\ q/, et aussi leurs inégalités séculaires, ou plutôt leurs
variations annuelles.
En tenant compte des relations {k) et (£'), on peut mettre les formules (o)
et (o') sous cette forme :
cos<
H + K . „ v vi H -K
9*tP= 2 t" sMD + t) + 2 —-— sin(D-r) + />tang | 5,9,
(Ol) {
COS9 â,y = V cos(Dh-t) — V ——— cos(D— t) +q tang 2 5,9;
cos9'<51/>' = - 2 5-^-— sin(D + t') - 2 H~K sin(D — t') + //tang 2-' 0,9',
(o',) {
cos 9'*,?' = — 2^Z^cos(D+0+2^~^'cos(D_T') + ^tang~â,<P'-
Les derniers termes des seconds membres de ces équations, ceux qui
contiennent 8,ç et S,9', seront le plus souvent négligeables; on en tiendra compte,
s'il y a lieu, en ayant égard aux relations (/) et (/').
Il nous reste enfin à calculer les inégalités du premier ordre de 1' — 1 ; elles
nous seront nécessaires pour calculer celles de X et co par les formules
>i ■=. I -+- t' — T, (ù = GJ + T' — T,
en partant des inégalités de /et or, lesquelles ont été considérées déjà; or on
tire de la formule (12)
(/>) àt{r'-r)=l-{p'àiq-q'àtp-pàiq'-hqàtp/);
donc, en tenant compte des formules (o,) et (o't), on aura les perturbations
cherchées, lesquelles sont d'ailleurs très petites et négligeables dans un grand
nombre de cas.

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS. 347
La différence t' — t sera affectée d'une petite inégalité séculaire du premier
ordre.
141. Les trois termes de l'expression (h) de S,/= S, s contiennent/en facteur;
soit al la somme de ces trois termes; on voit que l'expression de/, fournie parla
première approximation, sera de la forme
( i4 ) nt -+- e + at -+- les perturbations périodiques ;
Gt représente les inégalités séculaires du premier ordre de l'élément e.
Le coefficient de / dans cette formule (14) est égal à /ilt en posant
/i, = n -+- a;
c'est lui que l'on obtiendra directement quand on comparera deux valeurs de la
longitude moyenne déduites des observations faites à deux époques séparées par
un intervalle de temps considérable. 11 est naturel de déterminer une quantité
at par la relation
(i5) n\à\ = f(i + m);
on a déjà
n*a3= f (i -h m),
et l'on en conclut
n\a\ = (nt— a)*a3;
d'où, en négligeant a2, qui est de l'ordre de m'2,
(.6) „ = «,(. + !£).
On pourra écrire ainsi l'expression (14)
n, t -+- e + les perturbations périodiques ;
on calculera a,, puis a par les relations (i5) et (16); partout où a figurait
directement, on devra donc mettre sa valeur (16). Sous les signes sinus et cosinus, ce
qui entre jusqu'ici dans nos formules, c'est nt = (nt —a)/; on devrait donc faire
cette substitution si l'on tenait à ordonner rigoureusement suivant les
puissances des masses perturbatrices. Mais, dans l'approximation suivante, il
faudrait remplacer / par ntt -t- e -t-..., c'est-à-dire arriver finalement à mettre nt
au lieu de n; il vaut donc mieux le faire dès la première approximation.
Quand n figure en dehors des signes sinus et cosinus, il n'est là que pour

348 CHAPITRE XX.
abréger l'écriture et représente l'expression 1/ , î c'est ce qui arrive, par
exemple, pour le coefficient — na2 qui entre dans la première des formules (a).
On ne doit pas y remplacer n par nit mais écrire
— na*= — a*l/-Ç= i/- m'Ja= i/- m'JaA i+ i — );
/a {A Va3 Vjav VfAv,\ 3 n,/'
toutefois, pour la première approximation, on pourra ne pas tenir compte du
terme en a de l'expression précédente, car cela reviendrait, à introduire
immédiatement un terme de l'ordre du carré des masses; on voit donc que, dans la
première approximation, on pourra prendre — na2 = — nta2t, ce qui revient à
remplacer partout n et a respectivement par nt et at ; mais, dans les
approximations suivantes, il faudra procéder comme nous l'avons indiqué (').
Donnons quelques indications sur le calcul de at par la formule (i5); nous
appliquerons cette formule au mouvement de la Terre autour du Soleil en
mettant deux accents aux lettres; nous aurons ainsi
(17) f(i + /n')=-.n>;3,
En éliminant f entre (i5) et (17), il vient
„ / 1 + m n"t\
l'unité de longueur étant arbitraire, nous la choisirons de manière que d\ = 1,
ce qui nous donnera
n'f l/\ + m
a. = ,/—'—,- —— »
S/iH-m" ni
a" = 1 + ■= — •
3 n,
La formule (17) montre que l'unité de longueur se trouve être actuellement le
demi grand axe de l'orbite d'une planète fictive qui ne serait soumise qu'à
l'action du Soleil, et serait animée d'un moyen mouvement égal au moyen mouve-
(' ) Pour ne pas multiplier à l'excès les notations, nous laisserons n et a là où nous devrions mettre
ni et «i.

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS. 349
ment apparent de la Terre. On a, par les observations, pour le moyen
mouvement de la Terre, en une année julienne de 365j,25, ri\ = i 295 977", 38. Le
Verrier adopte m" = 0—-—> et il a trouvé, par la théorie du mouvement de la
r 520000 r
Terre, a"= + 2",507, Les formules ci-dessus deviennent ainsi
3/ -•'•
a, = (4,075o645) y 1 + /n n, 3,
a=a«(i+f£)'
a' = 1,000001 29;
le nombre mis entre parenthèses dans la première de ces formules désigne un
logarithme.
Remarque. — Le changement de n en nt permet de tenir compte, avec la
même forme analytique, des inégalités séculaires du premier ordre de
l'élément £.
Nota. — Outre le tome X des Annales de l'Observatoire de Paris, on pourra consulter
avec fruit, pour l'application des formules de ce Chapitre, un travail de M. Perrotin sur
les perturbations de Vesta {Annales de l'Observatoire de Toulouse, t. I).
(18)

35o CHAPITRE XXI.
CHAPITRE XXI.
PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES COORDONNÉES
HÉLIOCENTRIQUES.
Quand on connaît les perturbations des éléments de l'orbite d'une planète P,
il est facile d'en déduire les perturbations des coordonnées héliocentriques.
Nous ne nous occuperons ici que des perturbations du premier ordre par
rapport aux masses.
142. Perturbations de la longitude héliocentrique. — Considérons
d'abord la longitude dans l'orbite, v. L'anomalie moyenne est égale à
/ — GJ = ~k — Ci),
et l'on a, en se reportant à l'expression de l'équation du centre, y, donnée au
n° 93,
( v = / + y,
(i)
( y = Ci sin()i — w) -h C,sina(>L— w) +...— CiSin(/ —gj) -+- C,sina (/— gj) -+-...,
avec ces valeurs de C,, C2, ....
l*=«G)-6H©'--.
U=«(9-ïG)v-
On voit que la valeur de v dépend des trois quantités /, e et or. Il n'y a qu'à
remplacer ces quantités par leurs valeurs en tenant compte des,perturbations

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES COORDONNÉES. 351
du premier ordre déterminées dans le Chapitre précédent, savoir
On trouvera par la formule de Taylor, en négligeant les carrés et les produits
de S, /, S, e, S, xs que nous laissons actuellement de côté comme contenant m'2 en
facteur,
<5, v = <5, / + Ci cos()i — w)<5,/ + aC, cosa (X — w) <5,/ + ...
H—ï-Î sin (X — &)) <5,e cos(>i —w) e^cj,
(3) <
+ -j-^ sin2()i — w) <5, e - cosa()i — w) e<5,Gj,
On tirera d'ailleurs les valeurs de-pi -j-5» • • des formules (2), savoir
M)
Les formules (/) et (A) du n° 135 donnent les expressions de S,/, Bte et
eS,©. Si nous considérons spécialement dans ces expressions, ce qui
concerne un même argument,
D rjl + i'/'+bi- k'xn'-h ht',
et si nous posons d'une manière générale
(5) Qdte=2MLcoBD,
I y -^eô|Gj= V <&>sinD,
la formule (3) nous donnera
ô,i> = â|/+ V [a^sinDcosy (>i — w) + 01LcosDsiny'(>i — w) — X sinDcosy'()i — w)]
ou bien
(6)ôt,=ôt/+2[(^^i^)s^

35a
CHAPITRE XXI.
On peut faire une remarque utile : Cy- contient des termes en ej, ei+2, ei+k, ... ;
e étant supposé petit, le premier de ces termes sera de beaucoup le plus
important, et l'on aura à peu près
D'autre part, en se reportant aux formules (d) et (/) du n° 135, on voit que
* les parties principales de Bte et e$txs ont pour expressions
<5ie = £=-B Y -r-k-., NeA-'e'"'T]/cosD,
1 Amd l + l'v *
e*xw = § = B y ^T-Ne^-'e'A'n/sinD.
1 Amà 1-+- l'v
Si on les rapproche des formules (5), on trouve
31L=- ^ B ^-\- NeA-«e'AV,
de i-hi'v
0t = y ^ B --^r>- NeA-' c'A'tiA
^ r t+ i'v
En tenant compte de l'équation approchée (7), il vient
3t __h
OÏL — k'
Or les valeurs de h sont égales à \k\ ou | k | -t- 2, ... ; les termes les plus
importants correspondront à h = | A|, ce qui donne
X = ± OÏL.
Donc, dans l'expression (6), l'une ou l'autre des quantités D\i ■+■ X et D\i — 3fc
sera voisine de zéro, et il en résultera une simplification notable.
On calculera de même les perturbations de la longitude qui répondent aux
inégalités séculaires de e et ex. Toutefois, il convient de dire que les astronomes
ont l'habitude de ne pas faire figurer les inégalités séculaires de xs dans le calcul
de £,?; cela tient à ce qu'ils calculent l'équation du centre par les formules du
mouvement elliptique
5
(8) y = aesinÇ + ^-e*sin aÇ-h...,
Ç = l — GT,
mais, en y introduisant la valeur de xs affectée de ses inégalités séculaires. Ils
emploient généralement aussi dans ce calcul la longitude moyenne nt -+- e du

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES COORDONNÉES.
353
mouvement elliptique augmentée de ses inégalités à longues périodes.
L'expression ( 8) de y est convertie en Table d'argument Ç ; c'est cet argument sur
lequel on fait porter et les inégalités séculaires de xs et les inégalités à longues
périodes de /.
On voit donc que, dans la formule (3), S, xs doit représenter l'ensemble des
inégalités périodiques de or et S,/ l'ensemble des inégalités du premier ordre
de /, en omettant celles qui ont de longues périodes. On a vu, à la fin du
Chapitre précédent, que / peut être considéré comme n'ayant pas d'inégalités
séculaires du premier ordre ; la variation séculaire de l'équation du centre ne
proviendra donc que de la variation séculaire de l'excentricité. On la calcule comme
il suit :
On a
dy _ d(w — Ç) _ dw
de ~~ de de '
les formules
i /i + e ï
tang-^y/ —tang-a,
u — esina = Ç
donnent
du sinu . i + ecosw
-r— = = S1I1 U ; )
de ï — e cos u ï — e*
dw sinw du s\nw . i + ecosw sinw
de sinu de \ — et i — e1 ï — e*
On aura donc
. . 2 4-flC0S(f — GJ) *
ô, y =. sin ( v — gj) ^ - o, e.
Si l'on attribue à Bte sa variation séculaire, on aura pour S,y une expression
de la forme a/; a est une fonction de v ou de Ç; on donnera sa valeur dans la
Table même dont on a parlé ci-dessus, à côté de la valeur de l'équation du
centre qui résulte de la formule (8).
Quand on aura obtenu les diverses inégalités périodiques de p, on y remettra
/ -t- t' — t et gt -h t' — t au lieu de X et co. On réduira ensuite en un seul tous
les termes dépendant d'un même arc gt-h$, et l'on construira, une fois pour
toutes, une Table numérique avec / pour argument, donnant la valeur de
l'inégalité en question.
On passera de la longitude v dans l'orbite à la longitude héliocentrique p,
par les formules (/) du n° 33,
tang* - tang4 -
p= =—.- sina(i> — 0)-\ :—r- sin4(f — 0) —...,
r sini" v ' sina" ^v ' '
vi = v +p;
T. - I. 45

354 CHAPITRE XXI.
les inégalités de p seront généralement insensibles, et on les atténuera en
remplaçant v par sa valeur perturbée; il y aura lieu toutefois de tenir compte de la
variation séculaire de p provenant de celles de <p et G.
143. Perturbations du rayon vecteur. — On a, en se reportant à la valeur
de x donnée au n° 93,
(9) r=a + ax = flA0+ aAj cos(/ — m) + aAsC0S2(/ — gj) +.. .,
avec ces valeurs des coefficients,
a°=i+2(02'
^-•©-©'-se)'--
*■—(ovTey—-
On tirera de là les dérivées
dA0 dki dA.t
de de de
après quoi, si l'on remplace dans la formule (9) a, e, / et xs par a-h Bta,
e ■+■ S, e, l ■+■ S, /, xs ■+■ S, or, on aura, en négligeant les carrés des masses
perturbatrices, l'expression suivante de S,r,
dtr = AoâjflH- AjCOS()i— w) âja + A, cosa()i — w)ô1a + . ..
— a Ai sin(7i — w) âj/— 2aA, sina(A — w)^/ —. ..
/ .\ ] a dAa . ,« . aA< » /i \ «Aj «,
(11) < H =—2 âje + acosfA — w) -~ OjeH- aC0S2(A — w) —j1 ôje +. ..
1 de de de
«A. . ,.. . ,, 2aAj . .
—- sin(A — w) eôiGJH - sina(A — w)eôiGj +
Considérons les termes qui contiennent un même argument D, et posons
- Ay àta = £ UcosD,
-yVzAyâ,/ = 2KsinI)'
(12)
^^eâiGj = 2QsinD;

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES COORDONNÉES. 355
en portant dans (i i), il viendra
(i3)
+ (H - K + ^-^) cos(D -jl +y»l
On verra, comme pour S, v, que l'une ou l'autre des quantités P -f- Q et P — Q
sera généralement très petite.
On construira une Table numérique donnant la valeur de
(l4) - — A0 + Aj COSÇ+ ASC0S2Ç+ ,
Dans chaque calcul de r, à l'aide de la Table, on déterminera la valeur de
l'argument Ç = /— gt, en affectant xs de ses inégalités séculaires, et /de ses
inégalités à longues périodes. Ces inégalités de xs et / devront, bien entendu, être
omises dans les formules (12). La variation séculaire de r proviendra
uniquement de celle de e; on la calculera comme il suit :
dr du e — cos u
-r- = — a cos u ~h ae sin u
de
àlr = — acos(f — cjj^e
-r- = — a cos u ~h ae sin u -r— = a ■= — a cos w.
de de 1 — e cos u
Si l'on attribue à Bte sa variation séculaire, on aura S,r= y/, y étant une
fonction de pou bien de î^; on inscrira la valeur de y dans la Table qui
représente l'expression (i4)> à côté de la valeur de -• On réduira finalement en un
seul tous les termes périodiques de S, r dépendant d'un même argument gt ■+■ p,*
et l'on construira, une fois pour toutes, un nombre de Tables numériques égal à
celui des arguments gt -+■ p.
Remarque importante. — Les perturbations du premier ordre de la longitude
et du rayon vecteur, calculées comme on vient de l'expliquer, contiendront des
termes dépendant de l'anomalie moyenne Ç. Nous représenterons ces termes par
SsinÇ 4- TcosÇ pour la longitude, et par S.sinÇ -t-T,cosÇ pour le rayon
vecteur. Dans le mouvement elliptique, la longitude contient le terme C,sinÇ, et,
de même, le rayon vecteur renferme le terme aA, cosÇ; on pourra donc écrire,
en ne considérant dans v et r que les termes en sinÇ et cosÇ,
(i5) v = ... + (C1 + S)sin(/ — gj) + Tcos(/— gj)+...,
(16) r.-.. .SjSiaC/—Gj) + (aA! + T,)cos(/ — rs) -+-....

356 CHAPITRE XXI.
On a, d'ailleurs,
Ci = ae — 7e3 + ...,
4
Aj— — e + g e3—
Cela posé, concevons que l'on remplace les constantes e et or par e -t-Ae et
tn + Acx, les petites corrections Ae et Acr étant dé l'ordre des masses
perturbatrices m', m",... ; en faisant cette substitution dans les formules (i5) et (16),
on pourra laisser invariables S, T, S, et T, (les variations de ces quantités
donneraient des termes de l'ordre de m'2); on pourra de même négliger les produits
tels que SAe, S Acr, ..., et l'on prendra simplement
dCi rfAt
"3e"- 2' "3e"--1"
On trouvera ainsi
(17) v = ... +(d + S + aAe)sin(/ — gj) + (T— ae Agj)cos(/ — gj) 4- .
(18) r =... (S,—ûfeAnj)sin(/ —gj) + (aAj + Ti — a Ae) cos(/— gj) +..
Or on peut disposer des indéterminées Ae et Ara de manière à avoir
S+aAe = o, T—aeAcj=o;
d'où
Ae = --S, eAnj = +-T,
a a
et les formules (17) et (18) deviendront
(19) f = ...-hC|SinÇ + ..;,
(20) r= /aAi + Ti+iaS^cosÇ+(Si— 1 flTJ sinÇ + ....
On voit que, grâce à l'artifice employé, la longitude v ne contient pas de
terme en cosÇ, et qu'en outre le coefficient C, de sinÇ est le même que dans le
mouvement elliptique. Mais l'expression du rayon vecteur contient un terme
en sinÇ, et un autre en cosÇ; le coefficient de ce dernier n'est plus le même que
dans le mouvement elliptique. Il faudrait encore remplacer e et gj respectivement
1 1 T
par e — S et ex h dans les autres termes de v et r, qui dépendent de 2Ç,
3Ç, ... ; mais ces termes contiennent e2, e8,..., et la modification qu'il y aurait
lieu de leur apporter serait insensible. Enfin il n'y a pas lieu de faire la
substitution en question dans les perturbations du premier ordre de r et p, car cela

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES COORDONNÉES. 357
reviendrait à tenir compte des carrés des masses perturbatrices. On se bornera
donc à prendre dans v le même coefficient de sinÇ que dans le mouvement
elliptique, et l'on calculera, comme on vient de le dire, les coefficients de sinÇ et
cosÇ dans r; eetor resteront des constantes dont la valeur sera fournie par les
observations. Ainsi se trouve fixée d'une manière précise la signification des
quantités e et© qui n'étaient jusqu'ici que des constantes d'intégration, et dont
les valeurs pouvaient dépendre des procédés de calcul employés.
144. Perturbations de la latitude héliocentrique. — La latitude héliocen-
trique s est donnée par la formule
(21) sins = sin9sin(f — 0),
ou bien, en introduisant les quantités/? = tang<psinô, q = tang<pcosô,
(22) sins= cos<p (^sinp — pcosp).
Nous supposerons, conformément à l'usage généralement adopté, que la
longitude psoitafFectée de ses perturbations, quand on l'emploie dans la formule (21)
au calcul de la latitude; les perturbations de s ne dépendront, d'après (22), que
des perturbations de/?, q et ç, et l'on aura
âjs = - (ôj^sinp —ô^cosf) —tangstaDgçôjcp.
Si l'on a recours aux expressions de S,/> et S, y, formules (ot ) du n° 140, il
vient
coss [_ Jmd 2 v '
_ tang 3-
2 " 2 *sin(f + D — t) + —--£ sinsôj? I — tang* tang 9 ^9
H-K __._,.. . „ % . ""'6 2
COS9
ou bien
H + K
>,*J
àiS— > sin(f — D— t)
COSSJtd 2 V '
(23)
^Ts2d —— sin(i> + D — T) —tang* tang jd,<p.
Le dernier terme de cette formule sera presque toujours insensible, et, dans
les deux premiers, on pourra le plus souvent réduire a l'unité le facteur —— •
Il restera à mettre dans le second membre de la formule (23) pour v sa va-

358 CHAPITRE XXI. PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE, ETC.
leur elliptique /-+- 2esin(/— or) -+-..., et, le plus souvent, il suffira de
remplacer p par /; les inégalités périodiques de la latitude se trouveront donc aussi
dépendre d'arguments de la forme gt-\-$ et seront aisément réduites en Tables.
La valeur elliptique de s fournie par la formule (21) sera également convertie
en une Table dans laquelle on entrera avec l'argument v — G, v étant affecté de
ses perturbations, comme on l'a dit plus haut.
On trouverait pareillement, pour la planète P',
( âly = _ _L_ V !L±i^8in(^_D-T')
\ ' COSS' Jbd 2 K '
(23')
( -^l^-sin^' + D-rO-tangytang^,,'.

CHAPITRE XXII. — PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PÉRIODIQUES. 35g
CHAPITRE XXII.
PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PÉRIODIQUES
DES COORDONNÉES.
145. Les perturbations périodiques des coordonnées, qui sont du premier
ordre relativement aux masses, déterminées par les formules du Chapitre
précédent, se trouveront développées suivant les puissances des petites quantités e,
é et Y].
Nous allons chercher les expressions analytiques des premiers termes de ces
développements, en ne conservant que les parties qui contiennent linéairement
e, é et y]. Les formules auxquelles nous arriverons ont joué, à plusieurs reprises,
un rôle important dans la Science, notamment à l'occasion de la découverte de
Neptune.
Pour obtenir, dans les perturbations des coordonnées, les termes du premier
ordre par rapport à e, e' et rj, on doit conserver les termes du second ordre
dans le développement de la fonction perturbatrice. Soit toujours R, l'inverse
de la distance mutuelle des deux planètes P et P'; la formule (37) du n° 123
donne précisément le développement de R, avec les termes des ordres o, 1
et 2. Cette formule peut être condensée ainsi :
iR, = l- 2 M^p.ePe'P'cos[t(/'-1) -+- £{ï - w) + (3'(X- gj')]
+ 1-(e-+ e'*) 2 NO cosi(/' — l) + i ee' ^ P(l) cos[i(l' — l) + w—gj']
- £ yi! 2 B"-») cosi(/' -l) + l-n* 2 B«-»>cos [*(/'-1) •+- a* - 2t'];
l'indice 1 varie de — 00 à -t- 00; p et p' ont les valeurs o, 1 ou 2; Ma.*, Nw et P(l)

36o
ont les expressions suivantes :
CHAPITRE XXII.
(2)
M(l') _ A(l)
0,0 — " »
M(/;o= —a«AW—a
dA<'>
da
Mj, =(aj-i)A('-li+a
M(t'i»t = 3(4*,"-5i)A(«+ï(ai-i)a
dA^ i_ tdVAV>
da 4 da!
M'/,', =—(« — i)(2«— i)A<'-«> — (ai — i)a
dA"-') i „ d'A"'-»
da
a'
a
i dA<'> i . d»A'0
4- 7 a*
4
da*
d8A('-8>
da1
N<'> = — i!A(')+: a .
2 aa
+ 7 «Z
4 " da!
P«) =(,■_,)(«_,) A(-«) -a ^—--a» ^-i
da
da*
la signification de A(/) et de B(l'-<) est la même que dans les formules (i5) du
n° 119; on voit que M^0 et N(l) restent les mêmes quand on change i en — i.
On pourra remarquer que, pour obtenir la formule (i), on a remplacé i par
i — r, ou par i — 2, dans certains termes de la formule (37) du n°123,et A"'et
A'" respectivement par
dA<'>
da
1 , d!A">
et ~ a a »
2 da}
Soit R0)l la fonction perturbatrice qui correspond à la planète P; d'après ce
qui a été dit au n° 124, le développement de R0,, se déduira de celui de R,, en
remplaçant A(,) et A(-,} par A(,) - £t, et B<0) par B(0) - ^-
Il suffira de faire ce changement tout à fait à la fin, dans les expressions des
perturbations des coordonnées.
146. Nous allons appliquer les formules du Chapitre XX aux divers termes
du développement (1). Les expressions (d) du n° 135 pour £, © et V
contiennent le facteur yj, comme on s'en assure aisément; d'après les formules (/) du
même numéro, il en sera de même pour $, 9 et sin^S, 0. Si l'on néglige le second
ordre, ces formules (/) deviendront
(3)
ôj a = £, ôj p = A, ô, e = «d. + - e§,
die =9— -.e — > ed.in = $.
4 &

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PÉRIODIQUES. 361
Les formules (a) du n° 135 combinées avec l'expression (i) de R, donneront,
au degré de précision cherché,
|' <■= yflS 2 p + y_r+iv M^ePe'P'cos[f-(/'-^)+Pa-«) + P'a-^)],
* = ^'"2 p + y-i + iv MJfp.rf-VP'8in[i(l,-X) + |îa-»)+|î'(X-«i')]
-77rv«27N(''8inj,(f-x)-5^^fp,',rin^
*- im'« 2 p + y-f-+f-v Mgp.eP-VP'co8[i(l'-X)+|î(X-») + |î'(X-w')]
2 fX
i_ ™|_^e, y lpu)Cos[i{l'-l)-\-(ù-xn'].
On a posé dans ces formules
TV
II
On a maintenant, d'après la formule (n) du n° 143,
— = — ecos(>i — (ù) — hesin(A— w) (â,p H-ô.e) -+-eâ«e
a a a ' r
— [cos()i — (ù) âje + sin()i — w)eâjGj] — e[cos(2>i— 2w) ô,e + sin(2>i — 2&))éd,Gr]
ou bien, en tenant compte des relations (3),
IA ¥• P 3 ('
— = — — [£cos(A —u) +^sin(A — &>)] — 7 e ^= cos(A — w)
a a 4 a
+ e(A +JU)sin(A —w) + e£ — e[<?ços(2A — 2w) + ^sin(2A — ju)],
On aura ensuite, d'après la formule (3) du n° 142, l'expression suivante, pour
la perturbation de la longitude,
âj v — ai p + âje + 2ecos(A — w)(âj p + <5je) + 2[sin( A —w) âj e — cos (A — w) eâjgj]
5
+ - e[sin(2A— 2«)ô1e — cos(2A -au) e^w]
T. — I. 46

362 CHAPITRE XXII.
ou bien, en tenant compte des formules (3),
<51c = A4-«^4-2[^'sin(>L— w) — ^cos()i — w)] e — sin(>i— w)
(5')( ■ 5
+ 2e(A +e&>)cos()i — w) + - e$-\- - e[£sin(2>i —2w) —c?cos(2>i— aw)].
147. Il n'y a plus qu'à remplacer, dans les formules (5) et (5'), £, À, «n,, $y <%
par leurs expressions (4). On donnera à (3 et (3' les valeurs o, 1,2, en ne
retenant que les termes du premier ordre; on aura à effectuer des transformations
très simples par des relations telles que
cos(X - ») 2 Q(° cost(/'— 1) = -2 [Q(0 ■+- Q("°] cos[t(/'— X) + 1 -w],
sin {1 — (ù) 2 Q(0 snu(/'-1) = - l- 2 [Q(,) - Q("°J cos[t (/'-1) +1 - w],
qui se simplifieront encore si l'on a QM) = Q(t) ou Q(-l) = — Q(/).
Dans le calcul des quantités
y?cos()i — (ù) -+- ^sin()i — (ù),
ïsin(>i — (ù) — ,Tcos()i — (ù),
les deux termes multipliés par Mjjp. se réduiront en un seul ayant pour
argument
*(/'—X) + (P — i){l — w) + p'(X — gj');
les deux termes multipliés par P(<) se réduiront aussi à un seul argument
il y aura des réductions analogues pour les quantités
ïcos(2>i— au) -\-$ sin (2)1 — au),
ïsin(2>i— au) — ^cos(2>i -aw).
On trouvera ainsi les expressions suivantes dont nous donnons le détail pour
guider le lecteur :
£ _ Tl _^_ V m««, cos*(/'- X)
a jx 1 — v ^u 0,u '
(6) | + 7 ae 2 ,-7+» *'&cos W~ *) + X- »]
+ 7^2 ,_7+iv M°'1 cos [t'(/,_ X)+1 - *!

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PÉRIODIQUES.
363
et
jul i-v^[2(i-v) 0,° aa \ i
(6') { ---ST ,3(Tf> MP.+«ffi»1 L__sin[,V-D + >-U]
v ' » jul ^|_2(i — t+tv) 1,° <)a Ji-i + iv L v ' J
-"'ae-vf »('70 M'.l. + aM ?-^sin[,-(/'-l) + l —'],
jul ^ |_2(i —t-i-tv) °'1 da J i — i + iv L a
— [£cos()i — w) +^sin(>i —w)]
= --— a Y -? r-M^cos *(*'-*)
(7) < _ — ae V ["., ! . N<*> + ?—r-Mftlco8[i(r-X) + X-u]
a ^L'(,-v) 2—i-J-iv ,,0J l \ / j
- I — ae''Y [*., ! . P(0 -+- )—-?- MV',1 cos[i(/' - 1) -+- 1 - ra'],
2 a ^L'(,-v) 2 —t+tv 1,fJ L v ' J
(7')
2[£sin()i — (ù) — ^cos(>i— w)]
= - — a Y l—^ M'A siin(/'-*)
a ^i-i + iï M
+ 2 — ae Y f-.—-i—- N"> 1 r- M(,"01 sin [*(/' - l) +1 - a>]
-+- — ae' Y [*., ! x P(0 -' î—r- MV',1 sin[«(/'-X) +X -bj'],
(8) - | e | costf -u) =- | ^ ^ e JJ M(0':o cos[7(/'-X) + X - a>],
(8') -l-e^sina-(o)=-^r^e^W^sm[i(l'-l)+l-^l
(9)
e(A + «H.) sin(7 — w)
a i—v Jmd |_3(i — v) 0,u aa J i L v ' J
!2e(A -l-Jl.) cos(>, — (ù)
m' a Vf 3 m(«) ^ ^01 i . r./#, _x .
— 2 e > — . M(0"0 + a °'° - sin [*(/'—X) +X —w],
a i—v +* |_2(i— v) 0,° da J i L v ' J'
c* = - — ae Y î r- M',", cos[i(/'-X) + X ~ w],
(io)
(io')
-e§=\— ae y 1—r- M'A sin[i(/'- X) + X - w]

364 CHAPITRE XXII.
et
(II)
— e[ïcos(2>i— 2w) +^sin(2>i — 2w)]
=-l^ae^1_Uiv^looos[i(i'-D-a-o>)]
=-iyae21 + Lt-vM^'C0S[t'(/,~X)4-a~(,))];
5
2
e[$sin(2>i —2w) — ^cos(2A —20))]
(»') < =-j — ae\ ! ^MftsintiC/'-A)--(/-*>)]
5 /^
= + 7 — ae Y ! r- M(r5 sin[t(/'- a) + A- w].
On n'aura plus maintenant qu'à faire les sommes
a =(6) + (7) + ... + (n), â^ = (6') + (7') + ...+ (n').
et l'on trouvera sans peine
*£ = * a \ [-1- M<«0 , ' M<"01 cosi(/'- A)
a f* ^LI-V 2(1 —i + iv) 1,0J v '
H ae >, — 77 r I + -, r M(0"0 — -, r <Z
**'£•
_
da
(«) { + f- - ^ —ï—- m<"0 - -—-.—r- M<-'0'
1 \2 Jl — l + lV f'° 2(l+t— tV l,°
! r- M'",- ., ' x NO ! COS[t(/'-A) + A-0)]
2 — t + tv ',0 t(i — y) I
"ae' 51 [ '7*. M'/', - UrMf, ^ r P«>1 COS[t(/'-A)-+-A-Gj'].
L Jmd\_l— 1-+-IV °'1 2(2 — t + iV) 1,f 2l(l — V) J
T fx ^[21(1- v)* °'° t(i —v) da 1 — i-\-iv 1,0J '
^aeVi_J_r_? H M'" I 3 a^»'"
+ 77 lT7-^ (l + 6 '~* ) M(/'o
4(' — H-iv)\ 1 — t + ivj ,,°
c') < —;— «^ +., 5 .. mï*
1 1 — n-tv da 4(n-*— ™y l'9
^y[ ,3"r". w> L_a«i
jx ^U |_2(i — 1+ iv)* •'* i_t + tv da
!—r- M'", + t—?—r P<'>1 sin[t(/'-A) + a-o'].
2 — 14-lV »'■ t(i—v) J

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PÉRIODIQUES. 365
148. Il faut maintenant remplacer, dans les formules (a) et (a'), M^.M^, ...,P(/)
par leurs valeurs (2).
Il convient de poser
(12)
l — IV =Zt
et de mettre partout -—r^ au lieu de v.
*./■
L'expression de — prendra la forme
-i— = - — > C*cosi(/' — X)
a 2 U. Jmd
(*)
— e V D|COs[c(/' —X) + >i — w]
m'
un calcul assez long, mais qui ne présente aucune difficulté, donne
Cf= ; r flA"H a* —r ,
5,(i — z;) 1 — zt da
(c)
-?(i —*?)(* —*i)
;z« + ,a, _ 3 f dA^> 1 3 d»A">
s;(i — s*,) (2 — z,) da 22,(2 — zt) da*
_ (/-Q(y-OtaA(f-„
*i(l — -S;) (2 — £,)
tS, — I
S«(I — -i)(2 — 2,)
dA<'-'>
da
2 3,(2— S,-)
On peut, si l'on veut, changer, dans C,, 1 en — 1, par suite zt en — zit et
remplacer C, pari(C, -+- C_f); on trouve ainsi
(c«)
C,=
2taA(') + ztà1
<?A">
da
Zi(l-Zj)
L'expression (a1) de S,p prendra de même la forme
(*')
H e VG,sin[t(/'—X) + X —w]
+ ^ e'2 Hisin [*(''-*)-+-*-**'],

366 Chapitre xxli.
et le calcul direct donnera
F,- = i —4- r— aA"» H -; r a* —j—,
G =t.(i —Q^+(t —a)g? + (n —apg? —a(at + 5)g|+6 flAff1
, ,. y i*J + 3(i — a)S*+2(1 + 6)2,— 12 , dA«ï 1 , d*A<'>
x 2 5((i — «i)"(H-*i)(a — */) da 5i(i—Zi)(2 — Si) da*
H, = (i-i)(ai-i) *?~flf'+4 xaA<'->
v 'a*/(i—*,)*(a —*,)
(j_,)zi + 2(,-+,)Z/_4' dA('-»> 1 , «FA*'-»)
-|- - 1—i i - ci1 a •
izt{\—^)*(a— si) da zt(i — zt)(2 — si) da*
On peut, si l'on veut, changer, dans F,, 1 en — 1, et remplacer F, par
j(F, — F_,); on trouve ainsi
i(z}-hZ)a\W-h2Zia* ^—
(O F<=- *T7=7* -■
149. Les formules (a) et (a') sont en défaut lorsque 1 = o, car certains termes
contiennent i en dénominateur.
Il y a lieu de reprendre la formule (1), d'y faire 1 = o et de considérer à part
les termes correspondants; on trouve ainsi
ro _ l xw + I (e» + e") N<°> -+- ^ ee'P<°> cos(w -xn')—{ u«Bi"
(la) ;
l-2 M^°,p.ePe'P'cos[P {l - w) + £'(* -gj')] + - tj»B"' cos(a), — ar');
P et P' ne devront pas être nuls simultanément, puisqu'il en résulterait une
partie constante dans Rj, et que cette partie constante a été mise en évidence
et désignée par JA(0).
On tire des formules (a) du n° 134, en y remplaçant R0il par
l'expression (12),
^ = — a lift ecos(X — w) H aM1,»1, e' cos(X — gj'),
"\ m' Km'
2 u ' au,0'1
«*• = a* -5— ni a* *,B esin(>i - w) a* .t0'1 e'sin(>i — or')
ix aa u. oa u. da v '

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PÉRIODIQUES. 36^
et
— 'Hi. raN(0)e + - flP(0,e' cos(w — gj') 1 nt
li L 2 -1
i m'
2 ^T
a2^p7M^eP-»e'P'sin[P(X-a)) + P'(^-^)],
1 7W
* = - - aP^e'sin(to —cj')ni
2 f*
Il n'y a plus qu'à substituer ces valeurs dans les formules (5) et (5'); voici les
principaux détails du calcul :
— [£cos(A — G))+£sin(A — w)]=— — |aN«»esin(A —w) + X- aP«»e'sin(A — gj')Ï nt
— \ — [«Mft + aM',% ecos(X - w) + ^ aM*/» e'cos(A-i
2[£sin(A—g)) —^cos(A —g))]—— 2 — raN«»ecos(X — w)-h ^ aP<°>e'cos(A— gj')1 ni
- — la M(,% e sin ( A - w) -+- l- a M\°\ e< sin ( A—gj')1 ,
— x e — cos(A — w) = o, e — sin(A — w) = o,
o a 2 a
/w' dA*0'
e(A + «,l>) sin(A — w) =— — nfa! -^— e sin(A — w),
jx âa
2e (A + X)cos(A— w) =— 2— /i£a* —^— ecos(A— w),
jul aa \ /»
t m'
-e#=| — aM'.^esinCA —w),
2 4 jx 1,u v '
— e[ïcos(2A —2w)+^sin(2A —2w)]= aM(j%ecos(A —w),
5 , 5 /w/
-e[a?sin(2A — 20)) — #cos(2A — 2u)]=+ 7 — aMWsin(A — w).
2 4 a *

368 CHAPITRE XXII.
On trouve finalement
^=_^nf r/aN(o> + a»5^\esina-w)+ ^ aP«»e'sin(X-gj')1-^ — aM',%
+ — (aM',% - £ aM(t%) e cos(X - a>) + — (aM1;,1, - j aM1,0,1,] e'cos(X -gj'),
àxv= — — a}^- nt—i — nt\ ( aîiw-h a* ^-Je cos(l — <ù) +^ aP^e' cos{ï-tsj')\
1 j + aM1,0,1,, 1 e sin (X — w)
(3 dM(0) i \
^aM<°>+a» ^i + I aMftj e'sina -gj'].
Si l'on remplace N(0), P(0\ M',%, ... par leurs valeurs tirées des formules (2),
on trouve aisément
-^- =r nt I [3a1 -r h - a3 . , esin()i — w)
a 2 jul 1 \ âa 2 da" /
+ ^A<» - a» -^- - - a3 _- j e'sina - «)\
H a» -^ 7 — 3 a»—j h-a» , , ecos()i—w)
2 jx aa 4 H \ »a 2 aa* /
— 7 — 3aA(I)—3a* -3 a3 . , e'cos()i —gj'),
4 J* \ da 2 da1 / "
o,? = a* —r— nt nt ( 3a* —r 1— a* . . ecos(A — w)
1 jx da jx L\ da 2 <to* / '
(i3)
(i3')
(a* -^ h - a* —r-r— e sin (X — w)
2 jx \ aa 2 aa* /
™Y a m .<*A(I) 3 3^A(1)1 / • o
+ _^aA(t)-2a»-^--^a3-^i-Je'sina-GT').
150. On a expliqué dans le Chapitre précédent comment on peut faire
disparaître de S, v les termes en sinX et cosX, pour les reporter uniquement sur S, r;
nous allons opérer ce changement. Soientc, etc', les coefficients de ecos(X — co)
ete'cosÇk — cj')dans —» st ets\ les coefficients de esin(X— co)ete'sin(>. — xsf)
dans S, v. Si nous changeons e et xs en e -t- Ae, et cr -t- Acx, — et St p deviendront
(i4) -1— =...C!ecos(>L— w) + c'1e/cos()i — gj') — Aecos(>i — w)— eAGJsin()i —&>)+...,
a
31p = ...*1esin()i — w) + *'je'sin()i — gj') + 2Aesin(>i — w)— 2cAgjcos()i — &>)+....

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PÉRIODIQUES. 369
Si l'on égale à zéro les coefficients de sinX et de cosX dans S, v, on a deux
équations d'où l'on tire aisément
(.5)
i Ae = [ste-+-s\e' cos(<ù— gj')],
eÙH3-=. -s'.e'sin(w—gj');
2
en reportant ces valeurs de le et elxs dans la formule (i4)» il vient, après
réduction,
_Ll =...+ (c,+ -s,Yecos()i — w) -+- (c\ -+- -s\\ e1 cos(ï—&')-+-
On trouve d'ailleurs
i im'. d*A«»
Il convient de poser
(d)
, 2 , dA<°> i » d*A<
(o)
<?a
da"
-/=-^A<'>-«'-^_«>^-):
oa 2 da1
— D = aA'1' — a* -^ a3 . , :
oa 2 aa1
alors, si l'on tient compte des changements réalisés par l'introduction des
valeurs (i5) de le et e Acr, les formules (i3) et (i3') donneront
-1- = a"—« 1 [C —2a* -^—)ntesin(l — (ù)-i Dnte'sinft — gj')
a 2 ja da 2 ja \ da/ 2 F
m'/ . t 2 , dA(0>\ .. x m' *, , /■> ix
— —(/-+- 3 a" -^-)ecos(X-w)-—/'e'cos(X-Gj');
(16') d^ = a*—5— nt-\ [ C — 2a'—;— ) nteco&Ck — w)H DntdzosCk— m').
ja oa At \ da / ft
Ces valeurs de — et S, v devront être ajoutées aux valeurs (b)et(b') trouvées
plus haut.
T. - 1. 47

370 CHAPITRE XXII.
Les expressions elliptiques de r et v sont d'ailleurs
r
(17) — = 1 — ecos(X — (S) -+-...,
(17') v = nt + z + 2esin()i— w) +....
Il convient de poser, comme on l'a déjà fait au n° 141,
. Q, (m! %dk™\
(18) «^ __«._) = „,.
On calculera at par la formule
n\a\ = niài,
ce qui donnera
/ai»' d\«»\
(.9) a = at{i-2ya*-sry
Désignons par X, ce que devient X quand on y change n en nt; nous aurons
cos()i — w) = cos[>i|— <ù-+-(n— nt)t] = cos(Ai —w) — (n — n,)f sin(A, — w),
sin(>i — w) = sin[>i|— w -h (n— n,)f] = sin(>i| — w) + (n — n,)fcos(A,— w),
ou bien, en vertu de la relation (18),
[ cos(A— (ù) = cos()it— (ù) a* -^— nf sin(At— w),
1 p aa
(20) • /•> x • /■» x "*' «^A(0) , /■»
F sin (A — w) = sin (A,— w) h a* —r—ntco&Ck,— w).
V 11 ' aa
Si l'on effectue les substitutions (18) et (20) dans les formules (17) et (17')»
on trouve
— = 1 — ecos(A| — w) — ^ — a* —; h 0 — a —3— ecos(A, — w)
, ax ' ' 3 u da 3 u. da v
(21) {
m' dA<°> . ,.
H a1 —5— nlesin(A, — w) 4-
_./ /9A(o)
v — ntt 4-e 4-a e sin (A, — w) H a* -^— ni
, , 1 u da
(21')
H a* —3— /ifeCOS(A, — w) 4-
fx da
Les trois derniers termes de l'expression (21) se réduisent avôc des termes
correspondants de la formule (16); il y a des réductions analogues pour v et

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PÉRIODIQUES. 3^1
Btv et, finalement, on peut prendre, en supprimant les indices de nt, at etX,,
I ô.r i m' , dA(0) i m' n . . i m' _ .
la b u. aa i u. i u.
(/) ^
| /ecos()i — w) /'e'cos(>i—gj');
(/) <5, c = — Cn<ecos(>i —w) H Dnfe' cos(>i — gj').
Les expressions de — et de Stv qui résultent des formules (b) et (/) d'une
part, (b') et (/') d'autre part, sont, comme on s'en assure aisément, identiques
à celles que Laplace a trouvées par une autre méthode dans le n° 50 du Livre II
de la Mécanique céleste, si l'on a égard à ce que Laplace représente par — A{i)
ce que nous avons désigné par 4- A(/). Nous aurions dû, pour nous conformer à
l'usage adopté aujourd'hui et d'après ce que nous avons dit au n° 142, ne pas
faire sortir des signes sinus et cosinus dans les expressions de S, r et S, v les
inégalités séculaires de ex; nous l'avons fait cependant, mais uniquement pour
retrouver les formules de Laplace.
151. Il reste enfin à tenir compte de la seconde partie, R0), — R,, de la
fonction perturbatrice. Il suffira, eomme nous l'avons dit, de remplacer A(0 par
A(,) -2- Nous pourrions nous en tenir à cette indication; mais, la
connaissance des perturbations de r et v provenant de la seconde partie de la fonction
perturbatrice peut être utile dans certaines recherches, et nous allons faire
connaître les expressions de ces perturbations.
Il faut, en somme, diminuer aA{,) de -^j et a2 -3— aussi de -77: a3 , . res-
a'* da a'1' da*
tera le même.
Il n'y a donc qu'à chercher dans les expressions (b) et (6'), (/) et (/') les
parties qui contiennent A(,) ou A(_0; on trouve ainsi sans peine, pour—»
(Ci4-C_,)cos(/' — )i) h D.ecos(/' — &)) 4- — D_,ecos(— V-{-il — u)
-+- — E,e'cos(2/'-X-Gj')-— /'e'cos(X-Gj'),
r" r"
et pour Btv,
H G_!esin(— l' + zl — w) H H,e'sin(2/' — 1 — gj').

372 CHAPITRE XXII.
Si l'on remplace/' par son expression (d), et C,, C_,, D,, ... par leurs
expressions (c'), et qu'on fasse en même temps la modification indiquée, on
trouve
dtr m' a* [ v —3 ... .. v3 — 3v*4- av ■+■ 3 ..,
~J- = 7Ï -7 T7 7 COS(/' — l) + —, tït ; rz -eCOS(/'— &))
a fx a'* |_v(i—v)(a—v) v(i — v)'(i + v)(2 — v)
(*). < +-7 £7 wa * ecos(— l' + il — cù)
vo ' » v(i — v) (2— v)(3—v)
■+- —, 2V7T -e'cos(2/'— l — gj') ;
2V(I —V)(l — 2V) 'J
. /m' a* f v*—4^4-6 . .„ ,v v3 —3v*—v —9 . ...
ài«' = 75 7 ^7 rsin(/'—1)-\ ; y—-esin(/' — w)
/Jl a'* L V(l —V)*(2—V) ' 2V(I — V)!(l + V)(2-V)
, , 1 3 v*— qv*4- 33v*— 5iv ■+■ 3o . . „ .
xo ' » 2 v(i — v)*(2 — v)!(3—v) v '
V(l — V)(l — 2 V)* ~ ' \
v désigne toujours dans ces formules le rapport — •
En résumé, les valeurs complètes de — et Btv seront données :
i° Par les formules (b) et (b') dans lesquelles on donne à i toutes les valeurs
entières positives et négatives, excepté zéro;
20 Par les formules (f) et (f)\
3° Par les formules (g) et (g').
On devra ajouter l'expression de S, r à la valeur elliptique
a 1+ - e*— ecos()i — w) e*cos(2>i — 2w) +... I,
et de même celle de S, v à la valeur elliptique
5
/+ 2esin()i — w) 4- 7 e*sin(2>i — aw) -K ...
4
152. Nous dirons, pour terminer, quelques mots sur le calcul des
perturbations de la latitude s, toujours avec la même précision.
On a
siru = sintp sin(f — 0);
d'où, en supposant v affecté de ses perturbations, et remplaçant par l'unité les
»
àxs = sin(i> — 0)di9 — cos(f— SJsinçô, 0
facteurs —- et —— >
coss coss

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PÉRIODIQUES. 373
ou bien, en vertu des formules (2) du n° 138,
(a3) ô,s = (S + V)sin(i> — t) — £cos(f + t).
Or, quand on remplace R0>i par l'expression (1) dans les trois dernières
formules (a) du n° 134, on trouve
6 = l — sin - J S \ ! 7- flB"-" cos[/(/'-^) + 2X - 2t'] + - aB"> cos(aX - 2r')
2 p 2 *d(2 — 1-+-IV J2 '
V= I— sin - J V —— aA<'>cosi(/'-X),
2 y. 2 ^ v — i
G =-- — sin - Jah^nt -+- - — sin - J | — Y 4 aBC-" sini(l'-l)
J 2fX 2 2 /JL 2 | V— I^i '
+ V ?—^ aBC-^sint/C/' -*) -+-2X - 2r'l
-+- -aB(»)sin(2X —2t')
Dans ces formules (24), «prend toutes les valeurs entières, excepté zéro.
Il n'y aura qu'à porter dans la formule (23) les valeurs précédentes de G -t- V
et g; on devra remplacer A(,) et B(0) respectivement par
A*»)-" B<°>-^.
a'! a'2
2 fx
4)

3;4
CHAPITRE XXIII.
CHAPITRE XXIII.
DÉCOUVERTE DE NEPTUNE.
La découverte de Neptune a marqué une époque remarquable dans la théorie
de la gravitation, à laquelle elle a apporté une confirmation éclatante. Aussi
croyons-nous devoir lui consacrer un Chapitre spécial, qui trouve ici sa place
naturelle, car cette découverte prend sa source dans les formules du Chapitre
précédent.
153. Le i3 mars 1781, W. Herschel rencontrait accidentellement la planète
Uranus dont le disque sensible avait attiré son attention.
Quand l'orbite de cette planète fut connue approximativement, on constata
qu'avant sa découverte elle avait été observée vingt fois comme étoile fixe de
6e grandeur, depuis 1690 jusqu'à 1771, par Flamsteed, Bradley, Mayer et Lemon-
nier. Vers 1820, Bouvard entreprit la théorie de cette planète, en prenant pour
point de départ les expressions analytiques que Laplace avait données quelque
temps auparavant dans le tome III de la Mécanique céleste, pour les perturbations
d'Uranus causées par Jupiter et Saturne.
Bouvard disposait donc de quarante années d'observations régulières
modernes (de 1781 à 1820), et de vingt observations anciennes, échelonnées entre
1690 et 1771. Ces dernières étaient évidemment inférieures aux premières en
précision ; cependant elles rachetaient cet inconvénient en raison de la grande
extension qu'elles donnaient à l'arc observé de l'orbite d'Uranus.
Bouvard construisit ainsi les Tables d'Uranus dont les astronomes se sont
servis pendant un quart de siècle; mais il ne put pas les établir d'une façon
satisfaisante : il lui fut impossible en effet de représenter à la fois par les mêmes
formules les anciennes observations et les modernes. N'arrivant pas à concilier
les deux systèmes, Bouvard prit le parti de rejeter entièrement les observations

DÉCOUVERTE DE NEPTUNE. 375
anciennes, et il fonda ses Tables uniquement sur les quarante années
d'observations méridiennes :
« Laissant, dit-M, aux temps à venir le soin de faire connaître si la difficulté
de concilier les deux systèmes tient réellement à l'inexactitude des observations
anciennes, ou si elle dépend de quelque action étrangère et inaperçue, qui
aurait agi sur la planète. »
Il ne fut pas nécessaire d'attendre longtemps pour prononcer; dans l'espace
d'un petit nombre d'années, des erreurs sensibles se manifestèrent, dont la
valeur augmenta graduellement, si bien que, vers i845, la longitude d'Uranus
calculée par les Tables de Bouvard différait d'environ 2' de la longitude
observée. Les Tables qui ne représentaient pas les observations anciennes étaient
donc également impuissantes à représenter l'ensemble des observations
modernes. Il devenait probable que la planète Uranus avait été soumise à quelque
action « étrangère et inaperçue ».
La question de l'irrégularité des mouvements d'Uranus se trouva ainsi mise à
l'ordre du jour. Dans le courant de l'été de i845, Arago la signala d'une
manière pressante à Le Verrier, qui, dans ses premiers travaux, venait de révéler un
talent de premier ordre. C'est vers cette époque que Bessel écrivait à de Hum-
boldt :
« Je pense qu'un moment viendra où la solution du mystère d'Uranus sera
peut-être bien fournie par une nouvelle planète, dont les éléments seraient
reconnus par son action sur Uranus et vérifiés par celle qu'elle exerce sur
Saturne. »
154. Le Verrier se mit à l'œuvre; redoutant quelques inexactitudes dans les
calculs de Bouvard, il entreprit d'abord de démontrer d'une manière indiscutable
que l'ensemble des observations méridiennes d'Uranus ne pouvait être
représenté par une ellipse dont les éléments varieraient en vertu des seules actions
perturbatrices de Jupiter et de Salurne.
Les erreurs de la latitude tabulaire d'Uranus pouvaient être annulées à très
peu près par des changements dans l'inclinaison de l'orbite et dans la longitude
du nœud, assez faibles pour n'avoir aucune influence sur la longitude d'Uranus.
Soient donc n> s, e et xs les quatre autres éléments elliptiques adoptés pour
Uranus, v la longitude calculée avec ces éléments pour l'époque / ; si leurs valeurs
exactes sont représentées par n -t- An, s 4- As, e -t- Ae, gj -t- Agj, la longitude
elliptique, calculée exactement, sera
àv A . dv A . dv A dv A
f4-3-A/i4-—-Ae4- — Ae4-— Acr:
an de de dw
les coefficients ->-> ->-» -*-> ->— sont des fonctions connues de t et de n, e, e, xs.

376 CHAPITRE XXIII.
Soit <? la perturbation en longitude causée par Jupiter et Saturne; désignons
par v0 la longitude déduite des observations pour l'époque t. On devrait avoir
(0
àv a àv A dv A dv A
+ 3- A« + -3- Ae 4- 3- Ae 4- 3— Agj — f0:
d« de de dw
fc—t\>=o;
autant d'observations, autant d'équations de cette forme, contenant au premier
degré les quatre inconnues Ara, As, Ae, Agj.
Le Verrier avait repris avec un soin méticuleux le calcul des perturbations de
la longitude causées par Jupiter et Saturne, de sorte qu'il était bien certain des
valeurs des quantités <%. Il eut un total de 25g équations telles que (1), fournies
chacune par une observation méridienne faite entre 1781 et i845.
Il groupa les équations voisines, 10 par 10, à peu près, de façon à n'avoir
que 26 équations normales, correspondant à un nombre égal d'observations
idéales beaucoup plus précises qu'une observation isolée.
En combinant convenablement ces équations, il obtint des valeurs plausibles
des inconnues qui, substituées dans les équations individuelles, donnèrent les
résidus suivants, valeurs devc — vQ :
1781-1782
1783-1784
1785-1788
1789-1790
1791-1792
1793-1794
1798-1796
1797-1801
1802-1804
1804-1806
1807-1808
1808-1810
1811-1813
-+-
—
—
—
-+-
Tableac (A).
»
'.20,5
10,8
2,0
8,1
7,8
io,5
10,1
6,7
3,4
o,4
3,1
3,8
4,4
1813-1815
1816-1817
1818-1820
1821-1823
1824-1827
1828-1830
1835-1835
1835-1836
1837-1838
1839-1840
1841-1842
1842-1844
1844-1845
+ 4,5
■+- 6,o
.. -H 3,8
.. ■+- 1,7
•• -7,6
• -7,3
,. -4,5
■• -4,7
.. -2,1
• ■+■ 0,7
-+- 1,5
.. +3,1
.. +6,5
On voit que la représentation s'est améliorée; au lieu de 2', le plus grand
écart n'est que de 20", 5.
Mais les résidus n'en sont pas moins inadmissibles, par leur grandeur et par
leur allure systématique, surtout quand on se rappelle que chacun des
nombres p„ est la moyenne de dix observations méridiennes très précises.
155. Aussi Le Verrier, plein de confiance dans l'exactitude de la loi de
Newton, aborda résolument l'hypothèse d'une planète encore ignorée, et chercha
si les perturbations produites par cette planète permettraient d'expliquer les
irrégularités du mouvement d'Uranus. Soit P la perturbation correspondante de

DÉCOUVERTE DE NEPTUNE. 3^7
la longitude d'Uranus à l'époque /; dans chacune des équations (i), $ devra être
remplacé par Ç -+- P.
Il y avait lieu d'apporter quelques simplifications au problème.
Tout d'abord, on sait que les orbites de Mars, Jupiter, Saturne et Uranus font
avec le plan de l'écliptique des angles petits, inférieurs à 2°3o'; il était donc
naturel d'admettre que la planète inconnue se mouvait à fort peu près dans le
plan de l'écliptique, supposition d'autant plus plausible que, comme nous
l'avons déjà dit, les latitudes d'Uranus peuvent être représentées presque
exactement, en tenant compte seulement des actions de Jupiter et de Saturne.
En second lieu, la planète inconnue ne peut pas être supposée placée entre
Saturne et Uranus, car elle produirait dans les mouvements de Saturne des
dérangements qui n'auraient pas passé inaperçus. Il faut donc qu'elle soit au delà
d'Uranus. Ici, la loi de Bode, malgré son caractère empirique, va jouer un rôle
important; elle indique que la nouvelle planète doit être à une distance moyenne
du Soleil double de celle d'Uranus. Le Verrier s'est donc ainsi trouvé conduit à
poser la question en ces termes :
« Est-il possible que les inégalités d'Uranus soient dues à l'action d'une
planète située dans l'écliptique, à une distance moyenne double de celle d'Uranus ?
Et, s'il en est ainsi, où est actuellement située cette planète? Quelle est sa
masse ? Quels sont les éléments de l'orbite qu'elle parcourt? »
Soient a'', ri', e\ s', gj' les éléments de la planète inconnue; on aura
3.
a \ n' /'a\* i
(2) a = —, = - » v= —= (—)=—.
a 1 n \a'J f
Les excentricités des orbites de Jupiter, Saturne et Uranus sont voisines de
0,06, donc petites; il est naturel de supposer qu'il en sera de même de é. Dans
ces conditions, on pourra calculer la perturbation P de la longitude d'Uranus
par les formules du Chapitre précédent, qui laissent de côté les quantités du
second ordre par rapport à e et e'.
Pour l'intervalle de i55 ans, compris entre 1690 et 1845, les inégalités
séculaires de v données par la formule (/') du n° 150 sont négligeables, comme on
s'en assure aisément.
156. La formule (b') du n° 148 donnera donc pour la perturbation-P, en
remplaçant (x par l'unité et remarquant qu'on a ici z' = t, X = /, co = ex,
I P=- m' ^ Fisini(/'—/)
(3) | -r-m'e^] G'Sin[/'(/'-/)+/ —ra]
| -h m'e'2]H/sin[i(/'-/) hl— gj'].
T. — I. 48

3^8 CHAPITRE XXIII.
Les valeurs des coefficients F,, G;, H, seront calculées par les formules (&)
du n° 148 ; elles dépendent de
Zt= l — IV = Il I ^
■H)
quantité connue, et de «A(l), a2 —^— et a3 , •
Or on a, avec les notations du Chapitre XVII,
aA(,)=«o(,), a-—r— = a* —p—> g3 . _ — a3 , . :
a« rfa da* doc*
a étant supposé connu, on pourra calculer ces quantités. On tiendra compte
de la seconde partie R0>, — Rt de la fonction perturbatrice en remplaçant aè(0
et a2 —7— respectivement par
da.
Donc, dans la formule (3), les coefficients F,-, G,- et H,- peuvent être supposés
connus. En faisant ce calcul, on trouve que F, est petit par rapport à F, quand
la valeur absolue de * surpasse 3; on voit aussi que les seules valeurs à
conserver pour G/ et H,- sont G,, G2, G3 et H,, H2, H3.
On remplacera / par nt-h s, t par n't -t- s', et l'on fera
e' sin gj' = h', e' cos gj' = k' ;
L= -(F, — F_,)sin[(n' — n)t + z'-z\
+ - (F,— F_s)sin[(2/i'— in)t + it'— 2e]
(4) { +-(F3—F_,)sin[(3/i'-3/i)<+3e'—3e]
+ eG|Sin(n'£+ e'—gj)
+ eGiSin[(2/i'— n)t + iz' — e — gj]
-+- eG,sin[(3/i'— 2/i)J + 3 s'— ae —gj],
H = —H,cos(/i'£ + e')
(5) \ — H,cos[(2/i'— n)t + it'— e]
— H, cos[(3n' — 2/i)J + 3e'— 2 e],
/ K= H,sin(n'* + e')
(6) \ +H,siii[(2/i'— /i)* + 2e' — e]
+ H|sin [(3 n! — 2 n ) t -+- 3e' — 2e].

DÉCOUVERTE DE NEPTUNE. 379
La formule (3) pourra s'écrire ainsi
(7) P = Lm'-hUm'h'-hKni'k';
e, n et £ sont connus; il en est de même de
n' = ^r
s' est inconnu; c'est la longitude moyenne de la planète au ier janvier 1800. Les
formules (4), (5) et (6) montrent que L, HetK sont de la forme
<&>i cos e' + «H., cos 2 e' -h JU3 cos 3 e'
-+-1JÎ), sine' + ift), sin2e' + \!î>3sin3e',
où «A»,, oA>2, oA>3, îil»,, iil»2, ub3 peuvent être considérés comme connus.
Si l'on porte la valeur(7) de P dans l'équation (1), on trouvera
(a) -^- An + -^- Ae + -^ Ae -+- -^ Agj + H/u'A'h- K/u'ât'h- L/n' + c + <?— c0 = o.
v ' dn de de du*
On aura autant d'équations de cette forme qu'il y a d'observations; Le
Verrier, par des moyennes, a réduit ces équations à dix-huit, qui correspondent aux
époques suivantes : 1690,98; 1712,25; 1715,23; 1747,7; 1754,7; 1761,7;
1768,7; 1775,7; 1782,7; 1789,7; 1796,7; 1803,7; l8lo»7î 1817,7; l824»7î
1831,7; 1838,7; 1845,7 (■).
157. Le problème dépend donc de dix-huit équations à huit inconnues, Ara, As,
Ae, Acr, m'h', m'k', m' et s'; les sept premières figurent linéairement dans les
équations de condition (a); la huitième entre dans ces équations sous forme
transcendante par (s', 2s', 3s').
Si les observations étaient rigoureusement exactes, il suffirait de prendre
sept des équations (a), d'en tirer, par des éliminations successives, les valeurs
des sept inconnues A/i, ..., m qui n'y entrent qu'au premier degré, et de porter
ces valeurs dans l'une des autres relations (a), qui deviendrait ainsi une
équation transcendante ne contenant plus que l'inconnue s'.
Mais les observations anciennes sont peu précises; les différences v ■+■ £ — *>„
sont en somme assez petites, et il arrive qu'après avoir éliminé six des
inconnues il reste pour la septième m' une équation de la forme
(8) Dm'— N = o,
( ' ) Ces époques sont équidistantes, sauf les trois premières, et il est possible de proûler de colle
circonstance pour abréger les calculs.

38o
CHAPITRE XXÎII.
dans laquelle les quantités D et N sont très fortement affectées par les erreurs
des observations, d'autant plus que les coefficients qui figurent dans D et N sont
très petits par rapport à ceux qui entraient dans les équations primitives, de
sorte que le moindre changement apporté dans les données fait varier m'dans
des proportions extraordinaires.
Le Verrier avait obtenu cette équation (8) et, en écrivant que m' doit être
essentiellement positif, il espérait limiter les intervalles dans lesquels il fallait
chercher la vraie valeur de s'. Il avait posé
e'
tang - = x,
ce qui lui avait permis d'exprimer N et D algébriquement en x; il était
arrivé à
(i+*1)1N = Nlt (i+.r»)8D=Dlt
N, et D, étant des polynômes en x de degrés 4 et 10.
Mettant à profit le théorème de Sturm, Le Verrier avait vu que les
racines de l'équation N, = o étaient toutes imaginaires, tandis que l'équation
D, = o avait quatre racines réelles. Il était ainsi amené à conclure que s' devait
être compris entre 96°4o' et i89°55', ou entre 263°8' et 358°4i'. Or, quand il
attribuait à s' des valeurs comprises entre ces limites, et qu'il les substituait
dans l'ensemble des équations (a), il n'obtenait jamais une représentation
satisfaisante; de sorte que la vraie valeur de s' transportée dans l'équation (8)
devait conduire pour m' à une valeur négative.
« J'avouerai sans peine, dit-il, que c'est ce qui m'est d'abord arrivé:
longtemps j'ai été arrêté dans mes recherches par cette difficulté. Aussi croirai-je
faire une chose utile en insistant encore sur cette partie de la question; elle est
très propre à montrer par ses détails combien sont délicats certains points des
recherches numériques; combien il est souvent plus pénible d'arriver à une
connaissance rigoureuse de la vérité en raisonnant sur des nombres entachés des
erreurs d'observations, qu'en discutant des symboles algébriques susceptibles
de représenter les données de la question avec une exactitude absolue, et de se
prêter à toutes les restrictions. »
Il fallait donc opérer autrement, en ayant égard à toutes les observations.
Voici la méthode employée :
Le Verrier considère les quatre équations (b) du type (a) qui correspondent
aux années 1715, 1775, 1810 et i845; il représente par p et q les erreurs
commises dans les anciennes observations de 1715 et 1775; il suppose nulles les
erreurs en 1810 et ï845, puisque dans chaque cas on a une moyenne d'un assez
grand nombre de bonnes observations méridiennes. Les premiers membres des
deux premières équations (b) devront donc être augmentés dep et q respective-

DÉCOUVERTE DE NEPTUNE.
381
ment. On tirera des quatre équations (b) les valeurs des quatre inconnues A/i,
As, Ae, A© pour les substituer dans les autres relations (a); cela donnera des
équations (c) dont les premiers membres seront des fonctions linéaires de/), q
m'h\ m'k' et m'. Le Verrier fait les moyennes des équations (c) qui répondent,
d'une part, aux années 1817, 1824, i83i et i838; d'autre part, aux années 1782,
1789, 1796 et 1801, et il en tire les valeurs des inconnues m'h' et m'A'.
Il connaît donc les six premières inconnues en fonction des deux dernières,
s' et m'y et des erreurs/? et q de 1715 et de 1775. On peut voir qu'on a utilisé
des observations de sept en sept ans, à partir de 1775 jusqu'en i845; de sorte
que toutes les observations comprises dans cet intervalle de soixante-dix ans
seront représentées presque exactement quelles que soient les valeurs de s', m'y
p et q. Mais on n'en peut pas dire autant des observations de 1690 et 1747 ; c'est
en essayant de représenter ces observations qu'on pourra déterminer s'.
On substituera donc les valeurs des six premières inconnues dans les
équations (c) qui répondent à 1690 et 1747» et l'on aura des résidus de la forme
(9)
A + B/h' + Cjp + D?.
Le Verrier a efFectué tous les calculs qui viennent d'être indiqués pour
quarante valeurs équidistantes de s\ entre o° et 36o°. Voici les résidus (9) pour
quelques-unes des valeurs de s' :
e'-
0
0
45
90. .
136
180. .
22b ...
234
243
252
26t
270
279
288
318
Tableau (B).
Erreur de la théorie
en 1690.
It M H H
-t- 3î4 -4-87/71-4- o,4p — 2,07
-4-207— 8m'—o,ip—1,57
-H 148 — 48m'—o,ap—1,67
-t- 138 -+- 42m'—o,3p — i|5g
■+" 79 •+■ 18/n'— ot5p—i,5g
-4- 6—57m'—o,6p — 2,07
— 2 — 57m'—o,6/>— 2,2g
— 7--53m'—o,6p — 2,27
— 8 — 45m'—o,5/> — 2,3«y
— 4 —35m'—o,Sp — 2,5</
-t- 4 — 21m'—o,4p — 2,6g
-4-17— 5m'—o,3/> —2,87
-+- 37 — 14m'— o,ip — 2,9ç
-t- i44 -+- 73m'-4- o, \p — 3,07
Erreur de la théorie
n
26l
167
-II4-
— IO6 -+■
- 76-
— 33 —
— 27 —
- 24-
- 24-
— 24 -+■
— ag-H
— 38-4-
— 5i -4-
— 123-4-
en 1747.
Il H »
16m— 1,3/> — 1,67
116m'— 1 ,o/> — 2,0 7
2m'—o,Sp — 1,87
63m'—o,8/> — 1,87
4m'— ot7/>— 1,97
11 m'—o,yp — 1,67
9m'— oj7/>— 1,57
6m'— o,7/>— 1,47
3 m'— otyp— 1,37
im'—o,8/>— 1,27
6m'—o,8p— 1,27
12m'—o,g/>— 1,17
18m'—o,gp— 1,07
37m'— i,2p'—0,87'
Le Verrier examine ensuite la marche des erreurs contenues dans le Tableau
précédent, en ayant égard aux limites dans lesquelles doivent rester comprises
les quantités m'y p et q.
La discussion des observations lui a montré que p ne peut surpasser i5"et

382
CHAPITRE XXIII.
q 10"; d'autre part, il était arrivé à reconnaître (') que m' ne peut être supposé
supérieur à 4» sans quoi la planète inconnue exercerait sur Saturne des
perturbations appréciables qui n'ont pas été constatées.
Cela posé, on voit que pour s' = o, en prenant p = — i5, q = — 10, l'erreur
en 1747 serait de —226"— 16"m', donc en valeur absolue supérieure à 226";
l'erreur de 1690 serait encore beaucoup plus considérable. L'hypothèse s' = o
est donc impossible; les valeurs suivantes, jusqu!à 225°, sont également
impossibles. Mais on remarque que les parties constantes A des résidus du
Tableau (B) atteignent leur minimum absolu, tant en 1690 qu'en 1747» dans le
voisinage de e' = 252°; c'est là seulement qu'on peut avoir une solution
susceptible de représenter les observations.
158. La partie la plus difficile du problème est maintenant résolue; il n'y a
plus qu'à perfectionner la solution et à lui faire acquérir le maximum de
précision. Le Verrier pose
(10) e'=252°+i8°p,
et, pour tenir compte de ce que la loi de Bode a pu assigner à a' une valeur
inexacte, il fait aussi
(n) a=-^ =o,5-h 0,2y,
en désignant par (3 et y deux indéterminées.
Il reprend tous les calculs à leur début et se propose de développer les
résultats suivant les puissances de P et y ; il y arrive par interpolation, en faisant six
calculs correspondant à
( P=ot y=o; P = o, y = + i; P = o, y=—i;
(12) <
( (3=+i, y = o; P = —i, y = o; P = — 1, y=+\\
dans chacune de ces hypothèses, il calcule les équations (a), qu'il prend même
plus nombreuses que précédemment, en formant un plus grand nombre de
groupes avec les observations modernes (il en a maintenant 33 au lieu de 18).
Il résout chacun de ces systèmes de 33 équations par la méthode des moindres
carrés, relativement aux 6 inconnues A/i, As, Ae, Acr, m'h' et m'kf dont il trouve
les valeurs exprimées linéairement en m'. Il calcule aussi les 33 résidus obtenus
en substituant dans les équations de condition les valeurs des 6 inconnues. Il a
donc, en correspondance avec les 6 systèmes (12), 6 systèmes des 33 résidus
(')/»' désigne dans le travail de Le Verrier le rapport de la masse de la planète inconnue à la dix-
millième partie de la masse du Soleil.

DÉCOUVERTE DE NEPTUNE.
383
exprimés sous la forme
JU -+- i)î> m' y
où x et ifî> ont chaque fois des valeurs numériques connues. C'est maintenant un
calcul facile que d'obtenir les 33 résidus qui correspondraient aux valeurs
générales (10) et (n) de s' et a sous la forme
(i3)
A + B(3 -hCy +D(3* + E(3y + Fy*
iii'(A'+ B'P + C'y +D'P*+ E'(3y + F'y!);
les quantités A, B, ..., A', B\ ... ont actuellement des valeurs numériques
connues. Le Verrier cherche ensuite, à l'aide de certaines simplifications
plausibles, à déterminer les valeurs de (3, y et m! qui rendent un minimum la somme
des carrés des 33 résidus. Il trouve
04)
il en résulte
(3 =— o,65o 3o, y =—1,02925, m! =1,0727;
a' •=. 36,1639.
En introduisant les valeurs (14) de (3, y et m' dans les expressions de m'h' et
m'k mises préalablement sous la forme (i3), on obtient les valeurs les plus
précises de h' et k'. On en déduit
e' = o,io76i, gj'=28405'48'.
Le Verrier est ainsi à même de calculer la longitude et le rayon vecteur de la
planète inconnue pour le ier janvier 1847; il obtient
i>'=326» 32', #'=33,o6.
Voici comment la solution précédente représente les observations :
Dates.
1781-1782....
1783-1784....
1785-1788
1789-1790....
1791-1792....
1793-1794....
1798-1797..,.
1797-4801....
1802-1804....
1804-1806....
1807-1808....
1808-1810....
1811-1813....
Tableau (A').
Calcul
molni
observation.
■+- a,3
-+- 0,1
.. — i,a
.. -3,4
-t- o,3
— o,5
.. — 1,0
•• -«-0,9
-+- 0,8
-t- 0,8
.. ■+- a,i
-+- 0,8
— o,5
Dates.
Calcul
moin»
observation.
1813-1818 - 0,9
1816-1817 -1- 0,4
1818-1820 + 0,4
1821-1823 -1-0,9
1824-1827 - 5,4
1828-1830 — a,a
1833-1833 —0,8
1833-1836 -4- a,3
1837-1838 -h a,5
1839-1840 -4- a,a
1841-1842 — o,a
1842-1844 -0,4
1844-1843 — o,3

384 CHAPITRE XXIII.
Toutes ces observations sont bien représentées; la comparaison des
Tableaux (A) et (A') parle du reste d'elle-même.
Voici, d'ailleurs, comment la solution trouvée représente les observations
anciennes :
1690. Une observation de Flamsteed — 19,9
1712 et 1718. Quatre observations de Flamsteed -1- 5,5
1750. Deux observations de Lemonnier — 7,4
1753 et 1756. Deux observations de Mayer et Bradley — 4,0
1764. Une observation de Lemonnier -+- 4,9
1768 et 1769. Huit observations de Lemonnier -+- 3,7
Ces écarts n'ont rien d'anormal.
Le 18 septembre 1846, Le Verrier écrità M. Galle, astronome de Berlin, pour
lui communiquer la position de la planète, et le jour même où il reçoit cette
lettre, le 23 septembre, M. Galle observe la planète a 52' de la position
assignée.
159. En même temps que Le Verrier, et même avant lui, un jeune géomètre
anglais, devenu depuis un astronome illustre, M. Adams, trouvait de son côté
une solution du problème. Son attention avait été appelée sur ce sujet, dès 1841,
par un Rapport de M. Airy sur les progrès récents de l'Astronomie. En 1843,
M. Adams faisait un premier essai en supposant circulaire l'orbite de la planète
inconnue, avec un rayon double de la distance moyenne d'Uranus au Soleil; le
résultat qu'il obtint lui montra qu'il était possible d'établir un accord général
et satisfaisant entre la théorie et l'observation. Ayant reçu, en février 1844» les
résultats de toutes les observations d'Uranus faites à Greenwich, il aborda la
solution du problème avec une orbite elliptique, et il communiqua en
septembre et octobre i845, à M. Challis et à M. Airy, les valeurs qu'il obtint
pour la longitude, la masse et les éléments de la planète supposée.
Cependant l'excentricité de l'orbite lui parut trop grande; les dernières
observations d'Uranus lui semblèrent n'être pas représentées avec toute
l'exactitude désirable. Aussi M. Adams se décida-t-il à recommencer les calculs
en diminuant la distance moyenne de ^; il communiqua les nouveaux
résultats, très satisfaisants cette fois, à M. Airy dans les premiers jours de
septembre 1846.
Le Verrier avait fait connaître dans les Comptes rendus de l'Académie des
Sciences, dès le ier juin, la longitude de la planète inconnue, et le 3i août
sa masse et ses éléments. Enfin, c'est sur ses indications que, le 23
septembre, M. Galle trouvait la planète; aucun des résultats obtenus par
M. Adams n'avait encore été publié. Il n'est donc pas douteux que l'honneur
de la découverte appartient à Le Verrier. Mais il est certain que M. Adams

DÉCOUVERTE DE NEPTUNE. 385
était arrivé de son côté à la connaissance de la position très approchée de la
planète (').
L'ensemble des recherches de M. Adams fut communiqué à la Société
Astronomique de Londres, le i3 novembre 1846, et imprimé immédiatement dans
l'Appendice du Nautical Almanac pour i85i; une traduction française du
Mémoire a paru dans le Journal de Mathématiques, 3e série, t. II, 1876. La
méthode employée est simple et élégante; la discussion est cependant moins
approfondie que chez Le Verrier; la position calculée diffère de celle observée par
M. Galle de 2?tf.
160. Quand on eut observé Neptune pendant un certain temps, il fut possible
de déduire des observations ainsi faites les éléments elliptiques de son orbite,
en faisant intervenir une ancienne observation deLalande, qui avait catalogué la
planète en 1795, comme une étoile fixe; on put aussi calculer depuis la masse
de la planète en partant des observations de son satellite. Nous rapprochons,
dans le Tableau ci-dessous, quelques-uns de ces éléments des valeurs
correspondantes calculées par Le Verrier et M. Adams :
Observations.
a! 3o,o367
é 0,008719
ri 47°ia'
m' o,oooo56
Cette comparaison ne fut pas sans causer quelque étonnement : les deux
orbites calculées étaient voisines l'une de l'autre, mais elles différaient
considérablement de l'orbite réelle. On se demanda comment des éléments aussi
éloignés de la vérité avaient permis de représenter les perturbations d'une
manière satisfaisante, et de fixer aussi exactement la position de la planète. Un peu
de réflexion suffit pour faire comprendre la chose.
Remarquons d'abord que les perturbations d'Uranus par Neptune sont surtout
sensibles aux environs de la conjonction : mettons 20 ans avant et 20 ans
après environ. Les conjonctions arrivent à peu près tous les 171 ans; la
dernière a eu lieu en 1822, la précédente en i65i. Donc, dans toute la période
comprise entre la première observation de Flamsteed (1690) et le commencement
du siècle actuel, l'action de la planète perturbatrice a été presque négligeable.
Il suffit donc de voir comment les éléments de Le Verrier représentent la
position de Neptune, à partir de 1800; c'est ce que montre le Tableau suivant; la
Le Verrier.
36,153g
0,107610
a84°6'
0,000107
Adams.
37,^474
o,iao6i5
299°n'
0,00015o
(') Pour plus de détails sur la découverte de Neptune, je renvoie le lecteur à un excellent Ouvrage
intitulé : Hùtorjr of Physical Asironomy> par Hobert Grant, i85a.
T. - I. 49

Le Verri
V.
0 '
a3i.34
25l.IO
371.28
392. 8
3i:».36
33a.a5
35i.i7
er.
r.
33,6
3a,8
3*/4
3a,3
3a,6
33,3
34,3
386 CHAPITRE XXIII. — DÉCOUVERTE DE NEPTUNE.
deuxième et la troisième colonne donnent les coordonnées héliocentriques v
et r de Neptune, déterminées par les éléments exacts; dans la quatrième et la
cinquième, on a inséré les nombres calculés avec les éléments de Le Verrier :
Neptune.
Dates. v. r.
1800 2a6. 4 3o,3
1810 247.20 3o,3
1820 268.52 3o,2
1830 290.31 3o,i
18*0 3ia.i7 3o,i
1850 334.ia 3o,o
1860 356.i4 29,9
On voit que, dans tout cet intervalle, l'erreur en longitude des formules de Le
Verrier reste comprise entre =L 5°, 5; les valeurs assignées aux rayons vecteurs
sont trop grandes d'environ ^ au moment de la conjonction. Les forces
perturbatrices calculées auront donc des directions très voisines des directions réelles,
seulement les intensités seront trop faibles; mais ce défaut sera compensé en
partie par la valeur trop forte trouvée par Le Verrier pour la masse de
Neptune.
C'est ainsi qu'une combinaison convenable des éléments, dont chacun est
très erroné, peut représenter presque exactement le lieu héliocentrique de
Neptune et les perturbations d'Uranus, pendant tout l'intervalle de temps limité où
ces perturbations ont été sensibles, et satisfaire par suite aux conditions du
problème.
La loi empirique de Bode a donné une valeur très peu exacte de a', 38 au
lieu de 3o; le calcul, avec sa logique inflexible, va au plus pressé; il assigne à
l'orbite de Neptune une forme elliptique très prononcée, où le périhélie est
dirigé à très peu près suivant la ligne de conjonction de 1822, ce qui corrige en
grande partie l'erreur provenant de la valeur inexacte assignée à a', en
rapprochant Neptune du Soleil, à l'époque de la conjonction, presque à la distance
voulue, 32,4 au lieu de 3o,2; la forte valeur obtenue pour m' fait le reste.
Si l'on considère que la valeur réelle de é est au-dessous de 7^, on est fondé
à penser qu'on serait arrivé par des calculs plus simples à une représentation
satisfaisante des observations avec une série d'orbites circulaires dont les rayons
auraient été en diminuant de 38 à 3o.

CHAPITRE XXIV. — INÉGALITÉS DU SECOND ORDRE, ETC.. 387
CHAPITRE XXIV.
INÉGALITÉS DU SECOND ORDRE PAR RAPPORT AUX MASSES.
161. Reprenons l'expression
(1) a'R0>1 = £NeVA' t\fcos{il 4- i'V4- *w 4- At'gj'4- «:') ;
nous avons donné dans le n° 134 les formules qui font connaître jt» ^7» —
On a, en particulier,
(2) ^--VUl^ V Mehe'"'nf sin{ïk-\- i' l' -h ku + k'*j' 4-mt').
dt y. a **
On a intégré l'équation (2) en remplaçant dans le second membre a, a , ...
par des constantes, ce qui a donné l'expression de S, a/
Pour obtenir l'ensemble des perturbations du second ordre de l'élément a, il
faut maintenant remplacer, dans le second membre de l'équation (2), a, a, e, ...
par leurs valeurs a 4- S, a, a' 4- S, a', e 4- S, e, ..., fournies par la première
approximation, et développer ce second membre par la formule deTaylor, en
négligeant les carrés et les produits des S,. Si l'on écrit, non pas le second membre
lui-même, mais son accroissement, on trouvera ainsi l'expression de —4- •
Les valeurs de S, a, Bta', ... sont de cette forme :
â,a= £AcosD> â,a'= 2A'cosD'
<5,e — bt 4-^EcosD, <5,e' —b't 4- £ E'cosD,
(3) | a,X=^4-2LsinI)> â|/'- 2L'sinD'
e^—ct +2] PsinD, e'âiGj' = c'i 4- £ P'sinD,

388 CHAPITRE XXIV.
où D désigne l'on quelconque des arguments de la première approximation,
D = i, X 4- Ct V 4- kt (ù 4- k\ gj' 4- ai t' .
Le terme séculaire gt de S, X provient de t' — t qui figure dans \ = l -t- t' — t;
il sera le plus souvent insensible. Les coefficients A, A', ..., Q, b, b\ ... ^sont
connus, et contiennent tous une petite masse planétaire en facteur dans leurs
diverses parties.
En opérant comme on Ta indiqué plus haut, on trouvera
i dd
— = r 7 iehe'hf\f — ( - N 4- a ^- ) 7 ( N 4- a ^- )
t p a' ^d La \2 daj a'\ da )
+n(±ix±i*l'+-e+^e'+£f±-p±*V±-qY|
x sin(ïX + i'I'A- ku 4- At'gj' 4- ut' ±D)
_™!_a}nt yfhb + h^b,+ f1\ ;NeVAVsin(a + ,*// + *u 4- #©'+ «t')
/ma' ^d \e e' t] / '
— ^-t-»*2(~ c+ ~7C'+ -x + w)«Nc*c'*'ti/cos(*X+«'/'+*«+ At'gj'h- mt'),
formule dans laquelle on doit prendre ensemble, d'abord les signes supérieurs,
puis les signes inférieurs, et faire la somme. Nous ferons observer que nous
avons remplace a -r-, par — a -p-
On en déduira, en nommant w le coefficient de t dans D,
/ . m'a1 v* in . ... f
1 àta = r> - ,. . . ehe'u'r\f
fia' Jmd in 4- v n' ± w
TA/i^ dm A'/*t dN\
+ (jE + ^ E'+ £f) N± (iL 4- i'L'4- j P 4- £' P' 4- - Q) n]
x cos(t)i + /'/'+ £&) + £'gj'4- ut' ±D)
/ma' -rf-rf \e e' n^Ji-hi'v
x icos(A4-t'/'4- Arw4-At'gj'4- «t')— -—^7—7 sin(A 4- i'V + k^ + k'js'+ ut')
L w + Jrt J
2m'a* v' /^ k1 . u . \ i ^T . ... .
I x isin(A4- «'/'-+- À-U4- #'gj'4-mt')4- -—î-^—, cos(A 4- t'/'4- *w 4- k'm'+ ut1) .
\ |_ in-i-v n' y 'J
On voit que, pour le calcul de S2a, on aura à faire toutes les combinaisons

INÉGALITÉS DU SECOND ORDRE PAR RAPPORT AUX MASSES. 389
deux à deux des arguments des fonctions perturbatrices. Si l'une des quantités
in ■+■ i'ri ± w était nulle, il faudrait remonter à la formule (4). dans laquelle le
terme correspondant devrait être considéré comme constant. Il en résulterait
dans S2a un terme proportionnel au temps. Le théorème de l'invariabilité des
grands axes, relativement aux inégalités séculaires, n'aurait donc lieu que dans
la première approximation, et pas dans la deuxième. Nous verrons dans le
Chapitre suivant qu'il n'en est rien; les divers termes en / se détruisent dans B2a.
162. Si l'on considère trois planètes, on aura dans %2a des arguments de
la forme
q désignant une constante,y,/,/' trois nombres entiers positifs ou négatifs. S'il
arrive que, pour certaines valeurs de y,y7, y", la quantitéyn-t-y'n'+y'V soit
très petite par rapport à chacune des quantités n, n', n", il en résultera dans la
distance moyenne a des inégalités à longue période qui pourront être très
sensibles en raison du petit diviseur jn-\-j'n' -\-j"n" que l'on trouve dans la
première partie du second membre de la formule (5). Ces inégalités seraient
encore beaucoup plus fortes dans S2/, car le petit diviseur en question y figure
au carré, et non plus à la première puissance.
Nous nous bornerons aux indications précédentes sur le calcul des
perturbations des éléments, qui sont du second ordre par rapport aux masses, et, pour ce
qui concerne S2/, B2e, S2gj, $2p et S2y, nous renverrons le lecteur au tome II
des Annales de l'Observatoire, p. 43-57» et au tome X, p. 192 et^uiv., où Le
Verrier a traité la question en détail; il nous suffira d'avoir indiqué le principe du
calcul qui ne présente d'autre difficulté que sa longueur dans la pratique.
Dans les théories de Mercure, Vénus, la Terre et Mars, le nombre des
inégalités du second ordre qu'il y a lieu de considérer est très restreint, et encore, le
plus souvent, on n'a à en tenir compte que dans la longitude moyenne. Il n'en
est pas de même, malheureusement, pour les autres planètes, et surtout pour
Jupiter et Saturne, dont les théories sont, par cela même, extrêmement
compliquées; il faut même tenir compte de certaines inégalités du troisième ordre.
M. A. Gaillot a donné dans le tome V du Bulletin astronomique, p. 329, les
formules générales pour le calcul des perturbations du troisième ordre.
Nous ferons, en nous bornant aux inégalités du second ordre, une remarque
importante : les expressions générales de -^> -^> -£, -£ et -£ contiennent toutes
des termes séculaires, c'est-à-dire des termes de la forme
Me'«e'AV Slfl (Aw + k'm'+ ur'),
cos '
la dérivée —r- étant la seule à n'en pas renfermer. Or, quand, pour obtenir la

390 CHAPITRE XXIV. — INÉGALITÉS DU SECOND ORDRE, ETC.
seconde approximation, on remplacera dans ces termes séculaires a, e, ...,
respectivement par a + S,a, e -t- S, e, ..., on verra apparaître des termes en
sïn
t (k(ù + k'w' -+-ur').
ços
Dans l'intégration, comme l'argument koi -t- £'gj' -h wt' doit être considéré
comme constant, il s'introduira des termes en P*
L'expression de l'un quelconque des éléments e, e, xs,petq fournie par la
seconde approximation sera donc de la forme
(6) P + P^+P'^ + 2Asi0nS(a' + P) + '2A'si>n(a'' + P')-
Quand il s'agit du grand axe, P' et P" sont nuls; nous avons dit au n° 141
que l'on peut faire abstraction du terme P'/ dans l'expression de e.
Les inégalités du second ordre des coordonnées héliocentriques se déduiront
aisément des inégalités du même ordre des éléments. On pourra appliquer pour
cela la remarque suivante : soit F(/, a, e,...) une fonction quelconque de /et des
éléments (ce sera le rayon vecteur, la longitude ou la latitude héliocentrique);
il faut y remplacer /, a,... respectivement par /4- S,/-t- S2/» a-\- Bta-hB2a,...,
et ne conserver, dans le développement par la formule de Taylor, que les termes
du second ordre. On trouve
1 <*'F ,. ,„ 1 <>'F,. ,.
d!F
+ !£«.'«..+....
Nous ajouterons enfin que, dans les théories de Jupiter, de Saturne, d'Uranus
et de Neptune, Le Verrier n'a pas calculé les perturbations des divers ordres
des coordonnées héliocentriques, mais seulement celles des éléments. Les
Tables font connaître les valeurs des éléments osculateurs à une époque
quelconque ; on calcule ensuite la position de la planète avec les éléments
précédents, par les formules ordinaires du mouvement elliptique.

CHAPITRE XXV. — THÉORÈME DE POISSON.
3gi
CHAPITRE XXV.
THÉORÈME DE POISSON.
INVARIABILITÉ DES GRANDS AXES DANS LA DEUXIÈME APPROXIMATION
PAR RAPPORT AUX MASSES.
163. Il nous sera avantageux d'employer ici la forme symétrique que nous
avons donnée dans le Chapitre IY aux équations différentielles du mouvement des
planètes.
Soient xh yif zt les. coordonnées rectangulaires héliocentriques de l'une
quelconque des planètes, m{ sa masse, m0 celle du Soleil; nous avons posé dans
le Chapitre IV
(1) p0 = m0, r,= m0-hml + . . . + m(;
nix mt /n,
x\ — xi » xi — xs H ~~" *i » x%— x3 4- x2 -+- — X| ; ... ;
ri Fs f*i
(2) \yx — yx\ 7î = yî + —y>; /3 = ys+—- y.-H — yi; •••;
ri rs ri
mx m. m.
Zi=Zi; zt=zt-+- — zi; z3 —; z, h zsH zt;
ri f1! fM
C'est la définition des nouvelles variables x,-, y/f z, ;
. *ïk = (Xj-Xk)i + <jj-ykY+ {zj-zky,

3g 2 CHAPITRE XXV.
et nous avons trouvé, d'une manière générale, les équations différentielles,
fx,_, ePxt _ dV
ja, ' dt* -dx~t'
(4) {JTmidë = ïïi'
"jji" "*' ~dl* ~ dît'
On peut développer U suivant les puissances et les produits des petites
quantités m,, m2, ...; nous désignerons par U' l'ensemble des termes du premier
ordre; U' proviendra seulement-de la première partie de U, savoir f/w0 V r^-\
en ayant égard aux formules (2) et (3), et posant
on trouve aisément
n
u' = rm.2-A
La différence U — U' sera du second ordre, et il en sera de même de la
quantité
(5) V = U-f^yK + m/±i^
/
Or on tire de là
-3— = f/n,(/n0 + m/) *——■ -j-»
dx, <Jx, ^ fx/ /•;
et, en portant, dans (4), il vient
—y—' -+- fX/Tlo+m,-) -y = -Ci -3—,
(6) { -£- + f(/n0-|-/nl) if = -£ -.-,
f «P*/ , p/ , v zi f*' ' ^V
\ dt* v /•; fx,-! m/ dzi
Ce sont les équations d'un mouvement elliptique troublé par une force
perturbatrice; la fonction perturbatrice est ici
(7) R/=-£L_LV;

THÉORÈME DE POISSON. 3g3
les fonctions analogues qui correspondent aux divers corps m, ne diffèrent de R,
que par des facteurs constants.
Il est aisé de voir que le petit dénominateur /w, qui figure dans
l'expression (7) disparaît dans les seconds membres des équations (6), parce
que les dérivées partielles-j—> -5—> -5- contiennent précisément ce facteur; il
nous suffira po,ur cela de prouver que -5— s'annule avec mit quelles que soient
les autres masses m,, m2, ....
Remarquons d'abord que, pour m, = o, x( disparait de la partie
— f >; m,(mQ-+- nt:)*-*—- —
Aà JK pj rj
de l'expression (5) de V; il suffit de montrer que la même chose a lieu pour'U.
Or nous voyons sur les formules (2) que, pour m, = o, toutes les quantités xj,
sauf xit deviennent indépendantes de x,; donc A0,y ne contient pas x,- si j est
différent de i, et Ay->A ne contient pas \t si aucun des indices y et k n'est égal à 1.
Si donc on suppose m, = o dans l'expression (3) de U, on fait disparaître d'un
coup tout ce qui contenait x(.
Il en résulte que si, dans le développement de V suivant les puissances
entières et positives de mt, m.2, m3, ..., on représente un terme quelconque par
m}ntfml... A,
A ne contiendra que les coordonnées x,, xy, xA, ..., y,, yy, yA, ..., zt, zy, zA, ...
des masses mi9 my, mky ... qui entrent en facteur dans ce terme; car autrement,
si ce terme contenait par exemple x,-, la dérivée -r—; ne s'annulerait pas pour
m,- = o, quelles que soient miy mj, mk, ....
164. Cela posé, quand on supprime les seconds membres des équations (6),
ces équations représentent un mouvement elliptique dans lequel nous
désignerons par at le demi grand axe, ni le moyen mouvement, /,- la longitude moyenne
et £,- la longitude moyenne de l'époque; nous aurons
Pour passer du mouvement elliptique au mouvement troublé, nous
conserverons pour x/t y,-, zit -£> H71 -^ les mêmes expressions analytiques en
fonction de // et des autres éléments; seulement nous prendrons li^=fnidt-^- e,;
nous supposerons que l'on fasse de même pour les autres planètes.
Ayant développé, comme nous l'avons dit, V suivant les puissances des
T. — I. 5o

3g4
CHAPITRE XXV.
masses,
V = V'+V + VW + ...,
on substituera dans chaque partie pour x,, y,, z,, x2, y2, z2, ... leurs valeurs
en fonction de /,, /2, ... et des éléments, et l'on développera le résultat en
sinus et cosinus d'arcs de la forme 'a//-*- p//-f-y4-t- .. ., a, [3, y, ... étant
des nombres entiers positifs ou négatifs. Si a n'est pas nul, le coefficient de
(a/,4- p/y-t-y/*-+-...) contiendra m, en facteur; de même pour [3, .... Donc
la partie V de V, qui est du second ordre par rapport aux masses, contiendra
au plus deux longitudes moyennes /,, lJf dans chacun des arguments qu'elle
renferme ; la partie V" du troisième ordre en contiendra au plus trois, etc.
Nous aurons, pour déterminer le demi grand axe dans le mouvement troublé,
fto/ _ _a_ <?R< _ _1_ _£i_ J_ à\_ _ a_ / _^_\ j_ d(V' + V' + ...)
dt /i,a,- dti n,a; /£,_! m( de,- n^a,- \ f*/-i/ "** de*
ou bien, en développant et n'écrivant dans le second membre que les termes
qui sont des ordres i et 2,
dai 2 1 dV 2 1 dW 21 d\"
dt niai nii dci nta.i m0 de,- n^a,- /ra,- de;
Nous représenterons la valeur d'un élément quelconque dans le mouvement
troublé par/?, h- §,/>, -t- S2/>t -+-..., pi désignant une constante, Btpit B2ph ...
des fonctions du temps qui soient des ordres respectifs 1, 2, ... par rapport aux
masses; le demi grand axe dans le mouvement troublé sera représenté en
particulier par
ai-+-èiat-+-8iai-+-... ;
le moyen mouvement devra également être remplacé par ,
n,--H âtn,•+ âsn,• + • • • ;
n( et <z( sont deux constantes liées entre elles par la relation
nfaf = f(m0+/n,);
on doit avoir aussi.
(»i + âjnt + <5,nt +.. .)!(a,+ ôja, + ô,a,+ . ..)3 = f(/w0+ /n,) = /i*a?,
d'où
2 at
(9) { * 3 nt 5, _ i5 «/
2 a/
o a/
En faisant la substitution indiquée dans les deux membres de l'équation (8),

THÉORÈME DE POISSON. 3$5
tant pour les éléments de m, que pour ceux de my, et continuant à n'écrire que
les quantités des deux premiers ordres, il viendra
rfâja, dàtat 2 i dV' 2 i . dV' 2 dV' , 1
aï aï ' n,a,- /m,- de,- /i,-a,- m,- de,- /m,- de,- n,a,-
2 1 dV' 21 dV'
H -> 1 3 h...;
n,-a,- tw0 aet- i,-a,- m^ ae,-
d'où, en égalant dans les deux membres les termes du premier ordre et ceux du*
second, et remarquant qu'on a, à cause de (9), S, = Btait
, x rfâja, 2 1 dV
(IO) —~JT~ — ï~>
ai niai m,j de,-
, . dàtai 2 1 . dV 1 1 dV' 2 1 dV 21 dV
dt n,-a,- /m,- de/ n,af /Wj- de,- n,-a,- /ra0 de,- n,-a,- /m,- de,-
S, -t— représente la variation de la fonction -5— quand on augmente les éléments
de m, et de mj de leurs perturbations du premier ordre.
La formule (10) donne, pour les perturbations du premier ordre de aiy
. 2 1 fd\'t
Ô^i— I -r— dt,
n,a, tu, J de,
-j— ne se compose que de termes périodiques, et S, a, n'a pas de partie
séculaire; passons à l'examen des perturbations du second ordre ; les deux dernières
parties de l'expression (11) ne pouvant donner que des termes périodiques,
nous devons nous borner, dans la recherche des termes séculaires, à
dàtai 2 1 . dV 1 ï dV'
dt n,a; /ra,- o£i iiia) mi de,-
Considérons d'abord la dernière partie du second membre; pour obtenir un
terme non périodique, il faudra combiner deux termes de -3— et de S, a, dont
les arguments contiennent les mêmes multiples des longitudes moyennes; soit
(12) A sin(a//+ p/y) + Bcos(a/,- + (H)
l'ensemble des termes de V qui renferment a/^-t-fH; n°us écrirons, suivant
les cas, ces deux termes sous l'une ou l'autre des formes suivantes
AsintjM-BcostJ;»
Csin(4' + w);
en posant

396 CHAPITRE XXV.
et nous remarquerons que A, B, C et co sont indépendants de ef- et de ey ; ce sont
des fonctions des éléments elliptiques autres que tt et ey-.
On aura, en réduisant V à ces deux termes,
àx*t= / cos(tL + w)ûft = ; —5—r sin(a/,-i-p/y4- w),
ntat mt J VT n»;ii;a/(aiif+piiy) r/ /
dV'
—- =r aCcos(a/,•+p/.-+ w) ;
dV'
les deux termes considérés donneront donc dans le produit -3— ùiai la partie
sina (a//+ p(/ + &>),
mi n,- a,- ( a n,• + (3 «y )
laquelle est essentiellement périodique; il nous reste donc seulement, au point
de vue auquel nous nous plaçons, à considérer l'équation
, dd.at 2 ,» dV'
(15) —-7-— =r ôj -5— •
, at miniCii ott
Soient pt et qt deux quelconques des éléments, autres que e,, du corps mi, pj
et qj les éléments correspondants pourmy; posons
de manière que
pt= I n(dt, pj= ! njdt,
h — pi+£h lj—Pj-+-£j>
dV[_d\^_dV; dV' _ dV _ dV'
dpt dtt dit ' dpj dzj dlj
Nous aurons
v ' l d!V
. dV d»V , /d'V . d»V , d»V .
âidi;= w diPl+l*r âl6/+di^;â^+d^;âi^+-
!V' a . / »V * „ d'V A d'V' \
d«7^dlPy + V5^d,8y+S^dl^+*^;d|^ + "-J-
Considérons d'abord le terme
d'V d!V /• 3n,d»V /\ .,
wdiPt=-fer J **n*dt=-™t-dïrJ**aidl>
d*V /* (\
nous aurons, en considérant dans les deux facteurs -jy- et / ùlaidt les parties

THÉORÈME DE POISSON. 397
qui dépendent du même argument ip déjà défini,
d'V
-j-5- =— asC sin(^ + w),
——-à,pi — =- a—rz sin2(a/l + p/y +w),
quantité essentiellement périodique.
Nous allons nous occuper maintenant des autres termes de la première ligne
de la formule (j4).
On a les formules connues pour exprimer 737»-Jt> -Jrî dans leurs seconds
membres figurent les dérivées partielles de R,; en se reportant à (7), on voit
qu'on peut réduire R, à — V, quand il s'agit d'obtenir les perturbations du
premier ordre, S, e,-, Btpi D'après les formules (A) du n°62, on aura des
expressions de cette forme
dzt
dt ~~
dpt
dt ~~~
dqt
dt ~~
dpi dqt
azi dqt
-H^--K^-+...,
dti dpt
G, H, K, ... sont ici des constantes; quelques-unes d'entre elles peuvent être
nulles; on en conclut
»
d!V y d'Y' . d"V .
-Ôlf âl6'+ dïdFt diPi+ d^dq-t d^' + ' ' '
\ àef J dpi detdpij âet )
\ àef J dqt detdqiJ du J
\dztdptj dqt dtidqtj dpt J

398 CHAPITRE XXV.
Or, en réduisant, dans toutes les parties du second membre, Y' aux deux mêmes
termes Asin^p -t-Bcostj' considérées plus haut, ce qui est la seule manière d'ob-
tenir un terme séculaire dans les produits tels que -jj- I -5— dt, ..., on trouve
dV' /A , „ • IX àV dA . , dB ,
-tt— =a(Acosd» — Bsind»), -^—=-r—sind»+-r—cosd»,
dst T •' dpi dpt T dpt T
/-^—dt = ^-ô—(AsintL + BcostM,
de, oMi+Çnij^ T T/
fdV . 1 fdk , dB . A
J dpi ani + ^njXdpi Y dpt Y/
-rr / -r—dt= à—(Asind» + Bcosd») ( 3—cosd» t—sind»),
def J dpi *m + pnjK T \àpi T <*/>, V
-t—5— / -r—dt = 5—(3— cosd»—3— sintM (Asind»+ Bcosd»).
Chacun de ces termes donnerait une partie séculaire
mais les deux termes en question se détruisent identiquement dans le coefficient
de G, au second membre delà formule (i5); on trouvera de même, pour le
coefficient de K,
a fdk , dB . A /dA , dB . A
â—( -*— cosdi— —- sindi) ( 3— cosd»— 3— sind»)
ani-hPnj\dpi T dpt ^J \dqt T dqt y
a /dA , dB . A/dA , dB . A
H s—( 3— cosd»— 3— sind») ( 3— cosd»— 3— sind») =0.
OMi-t-finj \dqi T dqt T/\dpi T dpt TJ
dV
Donc les termes de o, -j— provenant des perturbations du premier ordre des
éléments du corps m, ne donnent aucun terme séculaire dans $2a{; il nous reste à
montrer qu'il en est de même pour les termes analogues provenant du corps mr
165. Nous allons donc considérer la seconde ligne de la formule (i4). et
d'abord la partie , , S, py- ; or, en prenant toujours les deux mêmes termes
A sin ip -t- B cos^ de V, on a
» 2 rdv . apc ... „, .
°iaj = / -3— dt= r-*- 5—; sin(a/,+ £/,+ &>),
ô,p/ = / tfjnjdt = * / diaJdt = -\ ^—r-. K-J—5—^

et
THÉORÈME DE POISSON.
399
d*V'
= — Ca(3 sin^ + &>),
dztdzj
d*V' y 3aP»C» -lia, x
-—— âjp. = i-rJI ô—rr sin2(a/, + S /.- + w),
quantité périodique.
On aura ensuite, sans qu'il soit nécessaire d'expliquer en détail les
formules,
dt apj d<jj
dt dzj dqj
dt dtj dpj
d'où
d'où encore
(16)
! d'-V
ài£j
d'Y'
*iPj-
à*y
<W
diidij J dtidpj J dsidqj
\dtidtj J dp/ azidpjj dzj J
M/ d'Y' ^dV' rff d'Y' rdV' A
\dzidzj J dqj dzidqjj dzj )
N / d'Y' /^V'^ d'Y' fàVd\
\dzidpjj dqj dzidgjj dpj J
Or on a, en mettant toujours en évidence ce qui concerne l'argument ip,
/"dV'# i /dA , dB . A
/ 3— "' — 5— 1 3— cosd*— -3— sind»),
J dpj <xnt + pnj\dpj T d/>y y
/dV' 3
——dt= £—^—(Asin^ + Bcos^)

400 CHAPITRE XXV.
et
= — a(3(Asint]; + Bcos^),
detdej
3ms= n^cos*-^sin*>
On en conclut que le coefficient de L dans l'expression (16) est identiquement
nul ; il en est de même de M et N.
Il est donc démontré que ' * ne contient que des termes périodiques et
que, par suite, S2a, ne renferme aucun terme séculaire; ainsi :
a( n'a pas d'inégalité séculaire, quand on tient compte des premières et des
secondes puissances des masses.
Mais, pour le corps m, en particulier, at est le demi grand axe de l'orbite
décrite autour du Soleil, et l'on peut prendre pour ce corps m, telle des planètes que
l'on voudra. On a donc démontré le théorème de Poisson :
Les grands axes des orbites décrites par les planètes autour du Soleil n'ont
d'inégalités séculaires, ni à la première ni à la seconde approximation.
Remarque I. — Bien que l'expression de S2a,- ne comprenne pas de termes
séculaires, elle n'est cependant pas non plus composée uniquement de termes
périodiques. Reportons-nous, en effet, aux formules (i3) et (i4). et
remplaçons-y Stpi, S, Çi, ... par leurs parties séculaires, lesquelles sont de la forme
&iPj — Pi1* âi Çj — Çj0* • • • i
si l'élément/*, coïncide avec ait on aura p\ = o; il n'y aura pas non plus à
considérer les variations séculaires des éléments s, et sy, d'après ce que nous avons
vu dans le n° 141. Cela posé, si nous envisageons toujours dans Y' la partie
Asinip + Bcosi)', l'expression , §,/>, nous donnera
\àpi Y dpi V
Nous trouverons donc dans ^a, la portion suivante
2CiPi f 3— (tcosdidt— 3— I tsindidt);
mintatXdptJ T dptJ T /

THÉORÈME DE POISSON.
401
or on a
, , isind» cosd»
tcos<bdt=z -£ \- i—=,
T a/l,-|-p/ly (a/lf+pi;)*
. , , fcosd» sind»
tsinydt = w H 7 —k—T7-
T aw,-+-p/iy an,+ pn;-
Il y aura donc dans S2a/ des termes en /sinij» et tcosty, savoir
^ t > > ô— ( ^— sin d» + -r— cos d» ).
i,-n{at *d*d <xn(-+- pnj \dpt T a/?,- T/
Ces inégalités des grands axes, qui sont de la forme /sind/ ou /cosd/, sont en
quelque sorte intermédiaires entre les inégalités séculaires et les inégalités
périodiques; elles s'annulent pour des valeurs du temps qui forment une
progression arithmétique de raison ^—; mais leur valeur maxima va sans cesse
n a nt + (3 rij '
en augmentant.
Remarque II. — La quantité
pi= I *idt,
qui figure dans la longitude moyenne du corps mit devra être remplacée par
Pi-+-^tPi+àipi = nit -+- I àxHidt -+- I déniât,
expression qui devient, à cause des relations (9),
07) „„_ ? =.'/«,.,*+ "«ftwa-l %j*,«,dt.
D'après ce que l'on a vu plus haut, les intégrales f^aidt et f^2atdt ne
contiennent pas de termes séculaires; quant à l'intégrale f(^iaiydt1 elle
comprendra des termes périodiques et un petit terme proportionnel au temps
dont l'origine est la suivante : quand on élève au carré l'expression de S, aif
laquelle est composée uniquement de termes périodiques, et qu'on transforme
par les formules connues les carrés et les produits de sinus, on trouve un
ensemble de quantités périodiques et une partie constante qui donne naissance à
un terme proportionnel au temps dans l'intégrale /(S,aty dt. Il en résultera
donc que, en ayant égard aux deux premières approximations, le coefficient du
temps dans l'expression (17) de p, sera égal non pas à nt mais à /i,(i -t-a,).
Si la quantité ?( était sensible, il en résulterait pour at un changement
appréciable analogue à celui que l'on a rencontré quand on a réuni à ntt le
T. — I. 5i

402 CHAPITRE XXV.
terme provenant des inégalités séculaires de s,-; mais, en considérant le cas de
Jupiter et de Saturne, lequel est très favorable pour augmenter a,, on verra
aisément que cette quantité at ne dépasse guère 0,000 01, de telle sorte que le
changement qui en résulterait pour at est à peu près négligeable.
Nous avons vu, dans le Chapitre précédent, que les perturbations du second
ordre introduisent dans l'élément s, un terme proportionnel au carré du temps,
qui se reporte sur la longitude moyenne /,; mais ce terme, qui joue un grand
rôle dans la théorie de la Lune, est presque insensible pour les planètes.
Historique. — Laplaçe a le premier énoncé (' ) le théorème de l'invariabilité
des grands axes; mais il ne tenait compte que des premières puissances des
masses et des quantités du premier et du second ordre par rapport aux
excentricités et aux inclinaisons. Lagrange démontra (a) ensuite, d'w/i trait déplume,
pour employer l'expression de Jacobi (3), que le théorème subsiste quand on
a égard à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons, mais en se
bornant toujours aux premières puissances des masses. Dans un beau Mémoire (*)
Poisson réussit à étendre le théorème en tenant compte des termes qui sont du
second ordre par rapport aux masses; mais son calcul était long et compliqué.
Lagrange (5) a cherché à le simplifier, en considérant les mouvements des corps
célestes autour de leur centre de gravité commun ; mais il avait commis une faute
de calcul qui réduit sa démonstration à néant; cette faute de calcul, signalée
d'abord, croyons-nous, par M. Houèl, a été indiquée par M. Serret, dans le tome VI
de son édition des Œuvres de Lagrange. C'est la remarque de M. Serret qui m'a
engagé à étudier de nouveau la question, et j'ai réussi (°) à donner à la
démonstration la forme exposée dans ce Chapitre. Je dois dire que M. É. Mathieu est
arrivé de son côté (T) à une démonstration presque identique. Dans une Thèse
soutenue à la Sorbonne en 1878, M. Spiru C. Haretu a suivi la voie que j'avais
indiquée ; il a repris, en outre, une ancienne démonstration dans laquelle Poisson (8 )
croyait avoir prouvé que les grands axes n'ont pas d'inégalités séculaires du
troisième ordre par rapport aux masses, quand on a égard seulement aux
variations des éléments de la planète troublée. M. Haretu arrive à montrer que les
(t) Mémoire présenté à l'Académie des Sciences de Paris en 1773.
(*) Mémoires de l'Académie de Berlin pour 1776.
(*) Fbrlesungen ùber Dynamik, p. 29, édition de Clebsch.
(*) Journal de l'École Polytechnique, XVe Cahier, p. i-56.
(B) Œuvres complètes de Lagrange, t. VI, p. 741-749.
(6) Mémoires de l'Académie de Toulouse, 7e série, t. VII, et Comptes rendus de l'Académie des
Sciences de Paris, t. LXXXII.
(7) Journal de Borchardt, t. LXXX.
(■) Mémoires de l'Académie des Sciences, t. I, p. 55-67, année r8i6.

THÉORÈME DE POISSON. Zjo3
grands axes ont des inégalités séculaires du troisième ordre par rapport aux
masses; mais il n'a pas cherché à se faire une idée de la grandeur de ces
inégalités. Enfin, dans le tome XI des Annales de l'Observatoire (Additions au
Chapitre XXI, p. 126), Le Verrier a trouvé un petit terme du troisième ordre en i2
dans le développement de la partie fndt de la longitude moyenne de Saturne
troublé par Jupiter, ce qui confirmerait le résultat de M. Haretu. Toutefois, Le
Verrier n'obtient le terme en question que par un calcul d'interpolation, calcul
purement numérique. Il y aurait lieu de chercher l'expression analytique du
terme en question; peut-être pourrait-on y arriver en partant des formules de
M. Haretu.

4o4
CHAPITRE XXVI.
CHAPITRE XXVI.
EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES.
166. On a vu, dans le n° 162, que les inégalités séculaires de cinq des
éléments elliptiques se présentent sous la forme
(i) P'*+P'*»+...;
grâce à la petitesse des coefficients P", les formules obtenues peuvent être
étendues a un assez grand nombre de siècles, dans le passé et dans l'avenir. On peut
toutefois se demander, et cette question intéresse à un haut degré nos
connaissances sur la stabilité du système planétaire, si les expressions générales des
éléments elliptiques osculateurs d'une planète contiennent effectivement des
termes de la forme (i), ou bien si leur introduction dans les formules ne
provient pas uniquement de la marche qu'on a suivie pour l'intégration. Admettons,
en effet, que les termes qui ne renferment pas le temps explicitement dans les
équations différentielles introduisent, par l'intégration rigoureuse des
équations, des termes périodiques dont les arguments varient proportionnellement
aux masses perturbatrices : ces termes, quand on développera les intégrales
suivant les puissances des masses perturbatrices, feront apparaître dans la
solution approchée du problème des expressions de la forme (i).
Dans cet ordre d'idées, en l'absence d'une intégration complète et rigoureuse
qui est impossible, il serait très intéressant de chercher à intégrer les équations
différentielles dont dépendent les éléments des diverses planètes, en y réduisant
les fonctions perturbatrices à leurs parties séculaires, c'est-à-dire aux termes
qui ne contiennent pas le temps explicitement. Mais, même dans ce cas, on se
butte à des difficultés analytiques qui n'ont pas encore été surmontées ; Lagrange
n'a pu résoudre la question qu'en négligeant, dans les parties séculaires des

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 4°5
fonctions perturbatrices, les termes qui sont du quatrième ordre par rapport
aux excentricités et aux inclinaisons mutuelles supposées être, à un moment
donné, de petites quantités du premier ordre, comme cela arrive en réalité pour
les anciennes planètes.
167. Considérons d'abord la fonction perturbatrice R„,, relative au
mouvement de la planète P, en tant qu'il est troublé par la planète P'. On a vu au
n° 125 que la différence R0tl — R, ne contient pas de partie séculaire; on peut
donc prendre ici R0>l =R,. D'ailleurs, la formule (37) du n° 123 donne, en ne
prenant que la partie séculaire de R, et négligeant dans cette partie les termes
du quatrième ordre,
(2)
In > Af.i l it»„, ï/i nx/ <^(0) l , <PA<°>\
Rj= -A") yi*B<1>+ 7 (e* + e'*) (a— h - a* , ,
2 2 4 \ àa 2 da* J
-+- - ( A(1> — a—^ a * —t-t— ) ee'cos(w — gj').
2 \ da 2 da* J
Puisqu'on néglige le quatrième ordre, on pourra remplacer ta par xs. On a
d'ailleurs
cosJ= cosç cos<p'+ sin9sin<p'cos(0— 0'),
et l'on pourra prendre, avec la même précision,
J © ©'
4iQs = 4sins - = 2 — 2 cosJ = 4sin* -- + 4sin* — — 2sin© sin©'cos(0— 9')
2 2 2
ou même
4Tr)* = tang*9 + tang*9' — 2tang9 tang9'cos(0 — 9').
Il convient de transformer les coefficients de e*-±-ef2 et de ee'cos(w —or')
dans la formule (2) ; on a, en introduisant les notations du Chapitre XVII,
dA<°> 1 , d'A^y dbi» 1 ,d*bw
u _ /.» \ — ~ h - a" —7-r »
da. 2 aa1
, / dAW i_ ,()ÎAW\_
\ da 2 da* /
a' ( A<»> — a -5 a* -3-— ) = &<»> — a —: a* —1-v
\ da 2 da* / dot. 1 da*
Remplaçons 6(0) et 6(,) par leurs développements en séries
,m ■ 1 3 „ i.3..,(at — 1) 3.5...(21 + 1) ,._,,
24 2.4. ..21 ^.b.. .(21-+-2)

4o6 CHAPITRE XXVI.
et nous trouverons, après des réductions faciles,
, / dXw i q, d8A(°>\
\ da 2 da} )
-3«*[\+35a» + , 3.5...(ai + i) 5.7...(ai + 3) , 1
2 L 2 4 2.4«..2t 4-6. . .{21 -+- 2) J
fl,(A(1)-fl-5T-5fl -^rj
__3^a.ri+32a,+ 3.5...(a«+i)7.9...(a« + 5) 1
- 2.4 L >6a+,,,+ 2.4. ..ai 6.8...(2i-+-4) J'
on en conclut, en se reportant aux formules et notations du Chapitre XVII,
a— h - a* = —.xc^= -B<»>,
da 2 oa* ia' 2
da 2 oa* ia' 2
La formule (2) deviendra donc
!Rj = - A<°> + gB<1)[e1+ e'* — tang»? — tang*<p' + 2 tang? tang<p' cos(0 — 0')]
— 7B<*>ee'cos(GJ — m').
4
On obtiendra la fonction perturbatrice R qui doit être substituée dans les
équations différentielles en multipliant l'expression (3) de R, parfm', et
ajoutant à l'expression obtenue les quantités analogues qui répondent aux actions
des planètes P", P'% — Il convient de poser
(4) iAO=MM, |B(« = NM> |BW = Pttl;
on pourra écrire
!R=£f/n(v)Mo,v
+ 2] fm|v,N,|V[e,+ (e^))*—tang«9 - tang*<p<v) + 2tang9 tang<p<v> cos(0— 0<v>)]
— 2 2 fm<v) P0,v ee<v>cos(cj — gj<v>).
168. Il faut substituer cette valeur de R dans les équations (A) du n° 62; la
première de ces équations nous donnera
da

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 4°7
ainsi a, a\ a"> ... sont constants; il en sera de même de n, n't n", ... et des
quantités M„,v, N0>vet P0,v.
Il convient de faire le changement de variables indiqué au n° 63, en posant
Iesincj=A, e'sincj'=A', ....
ecoscj = /, e'coscj'=/', ...;
I tang? sin0=jo, tangcp' sin0'=jo', ...,
(7) {
( tang<pcos0 = <7, tang<p'cos0' = <7',
Les nouvelles variables dépendront des équations différentielles (16) et (19)
du n°63; en négligeant dans ces équations les quantités du troisième ordre,
ce qui revient à négliger le quatrième dans R, on peut les écrire simplement
/ dh _ j_ <m dt i_ <m
\ dt nar dl' dt na* dh '
(8) {
v/ jdp_j_dR dq_ idR
l dt nd1 dq' dt nà1 dp
L'expression (5) de R devient d'ailleurs
(R=£f/n(v)M<>.v
(9) < +2f7^l(v)No,v[A,+ P+(A<v0,+ ('(v0,--^
[ -2j]f7»WP0iV(AAM + //W).
Il n'y a plus qu'à substituer cette valeur de R dans les équations (8); si nous
posons
, x afmWNp.v afm«v'Pp,v r _
(10) ^pT(^F)V=(p'v)' ^pR5(p^ = [P'w^
nous trouverons sans peine
fi — | (0,l) + (0,2)+... | / +[0,l]/'-+-[0,2]/'+... = 0,
dl 1 ,
fi +| (0,l)+(0,2)+... \h-[o,l]h'— [0,2]A' + ... = 0,
(A) {dh' _ | (i^o) + (i^2) +_ | f + [lf0] t + [I>2] F+mmm=Qt
dt
dl
dt
dl'
-j- + | (1,0)+ (1,2)+... \h'— [i,o]A —[i,a] *'-+-... = o,

4o8 CHAPITRE XXVI.
et
fi +|(o,i) + (o,a)+... \q — (o,i)q'-(o,2)q'-... = o,
fi -|(o,i) + (o,a)+... \p +(o,i)jp'+(o,2)/>' + ...z=o,
(V) i^4-|(l,o)+(l,2) + ...|?'-(l,o)?-(l,2)?'-...= 0,
dt
dq
~di
da1
^7 - I (',<>) + (1,2) +. . . j/>'+ (I,0)JE> + (l,2)/>' + . .. = 0,
Les quantités (0,1), (0,2), (1,2), ..., [0,1], [0,2], [1,2], ... définies par les
formules (10) dépendent des masses et des grands axes; ce sont des constantes
qui sont positives, parce que, toutes les planètes tournant dans le même sens,
«w est réellement positif; elles vérifient les relations
{ i»(p) n<P> (a(P> )* (p, v) = i»(v) n<v> (aW )» (v, p),
(ll) I m(p)n(p)(a(P)),[p,v] = mWftW(oM)>[v,p];
on le voit immédiatement en partant des formules (10) et remarquant que Np>v
et Pp>v sont des fonctions symétriques de a(p) et «(v).
Soit N le nombre des planètes; la détermination de e, e', ..., tzr, ex', ... est
ramenée à l'intégration d'un système (A) de 2N équations linéaires simultanées
du premier ordre, à coefficients constants.
De même, la connaissance de <p, <p', ..., G, G', ... dépend du système
analogue (A').
169. Occupons-nous d'abord du système (A). Posons, pour effectuer
l'intégration,
Alt \M
h— — sin(^ + P), /= —-== cos(^ + (3),
aymn asjmn
(\i\ l Ml' M'
a! \J m'ri a'sjrriri
en désignant par g, (J, M, M', ... des constantes.
Si nous substituons ces expressions dans les 2N équations (A), nous ne
trouverons que N conditions distinctes; en les multipliant respectivement par
— a \Jmn, — a' sjm'n', ..., il viendra
i/ \ / \ ) w .a\lmn r n__. a\lmn r __,_
(o,i) + (ot2)+...-g(M- ; [o,i]M/- , »—- [0,2] M'-... = <>,
a sj m'ri a'sjmrnr
a' s]m'ri r n,, ( . . . ».,, a' sjrri ri r ,,,,
jL7=-[i,o]M+ (i,o) + (i,2)+...-g M'- v_^= [1,2] M'-. .. = <>,
as/mn a'sjrriri1

ou bien encore
(i3) .
où l'on a posé
04)
EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES.
(A0,0-^)M + AMM' + A0,1Mff + ...^o,
A1,,M + (A1,1-*)M'-+-A1,1M'h-... = o,
A,,, M+ Alfl M'-»-(Altl-*)M'+ ... = <>,
»
A0,o = (o,i) + (o,2)+...,
Ai,i = (i,o) + (ita)+...,
4o9
A, * = \i, Al.
La définition précédente de Aitk suppose les indices 1 et£ essentiellement
différents; si l'on remplace [i, &] par sa valeur (10), il vient
A _ afy#/tt«>i»<*>
(i5)
on en conclut
(16) A|,* = A*,I-.
Cela posé, considérons le déterminant
(17)
G =
A0,o— #
A|,o
Aj,o
An-i,o
Ao,i
A,.,-
A,.,
An-i.i
g
Ao,j
Alt,
Aï,!" g •
An-1,2
A0,N-1
Al.R-l
Aj.N-l
• • Ajj-i.N-l -
-g
il est symétrique par rapport à la diagonale, d'après la relation (16). Si ce
déterminant n'est pas nul, la théorie des équations homogènes du premier degré
montre que l'on ne pourra satisfaire aux équations (i3) qu'en prenant en même
temps
M = M'==M'=... = o,
ce qui ne saurait nous convenir, puisque notre solution (12) disparaîtrait
alors.
Pour que cette solution existe, il faut donc que g vérifie l'équation
(B)
G = o.
Le degré de cette équation est égal au nombre N des planètes ; car, dans le
produit des termes de la diagonale du déterminant (17) se trouve le terme
(— i)N#N qui ne peut être détruit par aucun autre. Nous représenterons par g,
T. - I. 5a

4lO CHAPITRE XXVI.
S\> gn •••» gn-t les racines de cette équation; ces quantités seront des constantes
dont les valeurs dépendront de m, m', ...,m{îi~l\ a, a', ..., a(N~"; N— i des
équations (i3) détermineront les rapports de N—i des quantités M, M', ... à la
Nième; cette dernière sera Tune des constantes arbitraires qui figureront dans la
solution (12); l'autre sera p. A la racine gt correspondront des équations que
l'on déduira de (i3) en changeant #, p, M, M',... en git p,t M,, M',, ...; de là une
seconde solution renfermant deux constantes arbitraires, p, et l'une des
quantités M,, M', On trouvera ainsi N solutions particulières, chacune avec deux
constantes arbitraires; les équations (A) étant linéaires, on aura une nouvelle
solution composée avec les précédentes en ajoutant les diverses valeurs de A, /,
h'y t, .... Ce sera donc
ahsfmn = M sin(^ + (3) -+- Mj s\n(gxt + (3j) +... + MN_t sin^-j* + fin-i),
al sjmn = Mcos(^ + (3) •+- Mjcos^j* + (3j) +...+ Mn_iCOs(5'n--1* + Pn-i)>
(c) j a'h'\/m'n' = M'sin (gt + $)+Wx*\ii(gxt + $x)+... + Mn_, sin (gt,-x t + (Vi ),
F a'Vsjm'ri = M'cos( j*-h(3) +MjCOs(^i* -+- Pi) -h... + Mn_1cos(#*_,/: + pN_,),
Cette solution comprend 2N constantes arbitraires et donne les intégrales
générales des équations (A).
Remarque. — En différentiant par rapport à g l'expression (17) de G, en
trouve évidemment
dG _ / dG | dG \
On en conclut que, si la racine g n'est pas une racine multiple, on ne peut pas
avoir simultanément
dG dG
= °. tï— =0.
^A0>0 ' ^Ai,i
Donc les N déterminants que l'on déduit de G en supprimant la ligne et la
colonne qui aboutissent à chacun des éléments de la diagonale, ne peuvent pas
être tous nuls en même temps. Supposons par exemple jj— ^o; alors, en
supprimant la première des équations (i3), il en restera N— 1 autres qui détermi-
M' M"
neront les N— 1 inconnues tt» -^1 ■■•> car le dénominateur commun de ces
M M
/if
inconnues n'est autre chose que 37—' et il est essentiellement différent de
1 oA0,0
zéro.
170. Lagrange a remarqué que, si quelques-unes des racines de l'équation
G = o étaient imaginaires, les expressions de h, /, h\ /', ... contiendraient des
exponentielles qui, en croissant indéfiniment, auraient pour effet de rendre les

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 4I(
orbites très excentriques, et de détruire la stabilité du système planétaire. Les
planètes connues alors étaient au nombre de six (Herschel n'avait pas encore
découvert Uranus) ; les influences de Mercure, de Vénus et de Mars sur Jupiter et
Saturne étant faibles, Lagrange a pu remplacer très approximativement
l'équation G = o par deux autres, l'une du second degré, l'autre du quatrième. Avec
les valeurs numériques dont il disposait pour m, m', .,., <z, a\ ..., il trouva que
les deux équations ci-dessus avaient leurs racines réelles et inégales. Mais
certaines des masses employées étaient entièrement hypothétiques : ainsi, celles
de Mercure, de Vénus et de Mars avaient été calculées en partant de leurs
volumes et tirant leurs densités d'une loi empirique d'après laquelle les densités
des planètes seraient inversement proportionnelles aux.grands axes de leurs
orbites. On pouvait donc se demander si, avec d'autres données notablement
différentes, on trouverait encore seulement des racines réelles : « Il faudrait,
disait Lagrange, pouvoir démontrer que, quelles que soient les valeurs des masses,
pourvu qu'elles soient positives, les racines de l'équation dont il s'agit sont
toujours nécessairement réelles et inégales, et il ne paraît pas impossible de
parvenir, par quelque artifice particulier, à résoudre cette question d'une manière
générale ('). »
Laplace répondit bientôt au desideratum exprimé par Lagrange ; il prouva en
effet que, quelles que soient les données numériques supposées pour les masses
et les distances moyennes des planètes au Soleil, l'équation G = o a
toujours toutes ses racines réelles, pourvu que les planètes tournent toutes dans
le même sens. Nous allons reproduire la démonstration de la Mécanique céleste.
Ajoutons les équations (A), après les avoir multipliées respectivement par
mna2h, mna2l, m'n'a'2h', m'n'a'2t, ... ; nous trouverons
J ,dh ,dl\ , , ,t/,.dh' „dl'\
mna\hTt+ldt)+mna\h-dl+lTt)+---
4- (/*/'— lh')\ mno![o,i]- /n'/i'a'*[i,o] | h-... = o,
ou bien, en vertu de la seconde des relations (n), et remarquant que n et a
sont constants,
(18) J^|m/ia!(/i! + /2) + //i'7i'a'2(A'»+/'*)+... j — o.
On aura donc, en désignant par C une constante arbitraire,
(D) //ma* (A*-+-/*)+m'n'a'2 (/*'* + /'*) +-... = C
ou bien
(Dj) /wna1cs+m'«'a'1c'1-h...= C;
(») Voir les Mémoires de Lagrange sur les inégalités séculaires des planètes, t. V et VI de ses
Œuvres.

4l2 CHAPITRE XXVI.
on a ainsi une intégrale des équations (A). On peut l'écrire comme il suit, en
prenant la masse du Soleil pour unité,
m y/i -+- m \fâ e2 4- m' \J\ 4- m' y/a' e'! 4- . . . = const.,
ou bien, en négligeant m2, m'2
(D,) /ny/ae* — m'\fâ'e'*-+-. . . = const.
Supposons maintenant que deux des racines de l'équation (B) soient
imaginaires, g et gt ; on aura donc
(19) g=U + <7\f^î, gi = U—(7^—lt
m et a étant réels, et a >• o. Si l'on pose
- (McosP + MjCOsPj^ OÏL cosy, - (Msin(3 4-MjSinPj) r=01L siny,
^—î (Mcos(3 — Mjcospj) — ;JH,cosylf (Msin(3 — MjSinPt) = 01L,siny,,
on voit aisément que le résultat de la substitution des valeurs (19) de^etg-,
dans les deux premières formules (C) est le suivant
aAv/^ = '^sin(^4-y)(E<T'+E-,T0 + ^cos(^4-y,)(E,T'—E-<T') + M,sin(^,<+p!)+ ••-
a//jw» = 3ILcos(«£+y)(E"H-E-»0 —3^iSin(«* + /,)(E«—E-»0 + M1cos(g'1* + p,)+....
OTL, Oïl,, 7 et y, sont quatre constantes arbitraires qui doivent être réelles pour
que h et /le soient aussi. On aura des expressions analogues pour A', l', h", /", ...
en mettant des accents aux lettres on., on.,, y et y,.
Si l'on substitue ces. valeurs de h, /, h', /', ... dans l'équation (D), on
trouvera un résultat de la forme
( 20) (3H« + On,» 4- OTL" 4- OïL'j14-... ) Eîff< 4- XE" 4- ift> 4- ©E-"4- G)E-Îff<= C.
Or, si la quantité positive a n'est pas nulle, quand t croîtra indéfiniment, le
terme en E2at arrivera à être infiniment plus grand que tous les autres, et
comme il croît au delà de toutes limites et que son coefficient on,2H- on/2 -+ ...
est essentiellement positif si toutes les planètes tournent dans le même sens
(auquel cas n, n', ... sont positifs), la relation (20) ne pourra pas être vérifiée.
On doit donc avoir a = o, et les racines g et gt ne peuvent pas être imaginaires.
Si l'on admettait plusieurs couples de racines imaginaires dans l'équation (B),
il y aurait d'autres quantités (/, a", ... analogues à a; en supposant
a > a' > cr" > . . .,
on verra sans peine que le premier membre de l'équation analogue à (20) fini-

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 4'3
rait par grandir indéfiniment avec le terme en E2at; on devra donc avoir a = o;
on démontrera ensuite que <f = o, —
L'équation générale que l'on obtient en égalant à zéro le déterminant (17)
a toutes ses racines réelles, quelles que soient les quantités réelles Au et Aitk;
parmi les démonstrations qui ont été données de ce beau théorème, nous
citerons celle de M. Sylvester (voir Baltzer, Théorie des déterminants), et celle de
Borchardt (Journal de Mathématiques, t. XIII).
171. Voici maintenant comment Laplace prouve que l'équation G = o ne peut
pas avoir de racines égales; supposons en effet g = gt- Les expressions de
h, l, h', /', ... seront de la forme
( ah\[mn =■- (X* 4- %,) sin(gt-hfi) 4- Ms s\n(gtt 4- ps) 4-...,
(2I) j al\finn = (3K,t-h X,) cos(gt-hfi) 4-M, cos(£-,f 4-(3j) 4-...,
En substituant dans la formule (D), on aura une équation dont le premier
membre contiendra un terme prépondérant en /a, avec le coefficient
essentiellement positif 3ç,a -t- 3Ç/2 +... ; ce premier membre ne pourra donc pas conserver
une valeur constante, et il est impossible que les racines g et gt soient égales.
Cette démonstration de Laplace prouve seulement que les expressions de h, /,
h', l',... ne peuvent pas contenir le temps en dehors des signes sinus et cosinus,
comme le supposaient les formules (21), et qu'elles sont formées par la réunion
de termes périodiques; c'est là l'essentiel au point de vue dç la stabilité du
système planétaire. Mais il n'en résulte pas nécessairement que l'équation
G = o ne puisse jamais avoir de racines égales, car on sait aujourd'hui (')
qu'il peut arriver dans ce cas que les intégrales générales des équations (A) ne
renferment pas le temps en dehors des signes sinus et cosinus.
On peut donc se poser la question suivante :
Pourrait-on disposer des masses des planètes et de leurs distances moyennes
au Soleil de manière que l'équation (B) ait des racines égales?
Cela est impossible quand il n'y a que deux planètes. En effet, l'équation (B)
se réduit à
Ao.o g ^0,1
— o,
A|,0 A,,, — g
et, pour que ses deux racines soient égales, il faut qu'on ait
(A0,o —A|,,)î4-4A»iI = o;
(•) Voir Thomson et Tait, Treatise on natural Philosophy, 2* édit., t. I, Partiel, p. 381; —
E.^J. Rodth, Stabilitjr ofa given State of Motion, 1877; — Œuvres de Lagrange, t. XI, Note VIII de
M. G. Darboux.

4 I 4 CHAPITRE XXVI.
en remplaçant A0lo>A|fl etA0il par leurs valeurs qui résultent des formules (10),
(i4) et (i5), il vient
\na} n'a"-) ^ + nn'a'a'* ^' ~ °'
N0,i et P0)l étant essentiellement différents de zéro, la condition précédente ne
peut pas être remplie; il pourrait en être autrement si les planètes se
mouvaient en sens contraire, car alors le produit nri serait négatif.
M. Seeliger a examiné le cas de N = 3 dans le n° 2231 des Asironomische
Nachrichten, t. 93, 1878, et il a réussi à prouver directement que, si l'équation
G = 0 avait deux racines égales, une certaine équation de condition
Xm 4- X'm' -+- X"m" = o
devrait être satisfaite, dans laquelle x, x', x" sont des quantités
essentiellement positives; cela est impossible ('). Je ne sache pas qu'on ait encore
démontré la même impossibilité pour N > 3.
172. Laplace a tiré de l'intégrale (D,) une conséquence importante au point
de vue de la stabilité du système planétaire : puisque tous les termes du
premier membre sont de même signe, l'une quelconque des excentricités, e par
exemple, ne pourra jamais acquérir une valeur supérieure à celle qui serait
donnée par la formule
mnd* e1 = C,
d'où
mna-
A cause de la petitesse actuelle des excentricités, la constante G a une valeur
(') Le cas de m = o doit être excepté; car alors, d'après la formule (i5), on a
Ao,i = Ai,o = o> A0,j = Aji0 = o,
et l'équation (B), qui se décompose dans les deux suivantes
g — A0,o — o,
(g — \\,i)(g— A,,,) - A|,,A,i, = o,
aura des racines égales si l'on peut déterminer a par la condition
(Ao,o — A|ii)(A0,o— A»(i) — Ai,] A2|t = o,
qui équivaut a
|(o,!)-T-lo,2)-(i,a)| j(o,i)-i-(o,a) —(a,i)j —[i,a][a,i] = o.
Si l'on suppose, par exemple, que les planètes P' et P* soient Jupiter et Saturne, et qu'on remplace a',
a", m' et m' par les valeurs numériques correspondantes, on- trouve que la condition ci-dessus est
satisfaite par a = 1,85.

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. [\ID
très petite. Par conséquent, l'excentricité e elle-même restera toujours fort
petite, si la masse m correspondante constitue une partie considérable de la
somme des masses du système. Mais on ne peut tirer de l'intégrale (D,), aucune
conclusion analogue pour les planètes dont les masses sont faibles. Pour savoir
si leurs excentricités resteront toujours comprises entre d'étroites limites, il
faut avoir recours aux formules (G). On en tire
mna} e- — W 4- M\ -+- M* + . . . + 2 MM, cos[(g - gx) t + (3 — (3, ]
-t- 2MM2cos[(#' —gx) t ■*- P - M
-h ;
la plus grande valeur de e2 répond au cas où tous les cosinus sont égaux à±i,
de manière que les termes où entrent ces cosinus soient tous positifs; on aura
donc
(M) .<|M| + |M.Jti".l+--:
a \Jmit
on trouvera ainsi une limite supérieure de l'excentricité e. Cette limite pourra-
t-elle être réellement atteinte? C'est une question d'analyse indéterminée que
nous ne chercherons pas à approfondir. II paraît vraisemblable qu'on pourra
trouver des époques où les différents angles, tels que
approcheront autant qu'on voudra de certains multiples pairs ou impairs de ir;
alors e atteindrait sa limite. On n'a pas d'expressions générales des
quantités (22), susceptibles d'une discussion analytique, et l'on ne peut se prononcer
sur les limites des excentricités qu'après avoir effectué tous les calculs
numériques.
173. Nous avons à montrer maintenant comment on pourra calculer les
valeurs des 2N constantes qui figurent dans les formules (C), en fonction des
données initiales; ces données seront les valeurs e0, éQt .... cr0, tarj,, ... des
excentricités et des longitudes des périhélies à l'époque t=o\ On en déduira d'abord
les valeurs correspondantes hu, /0, h'0, l0, ... de h, /, h\ /', ... par les formules
( h0— e„siiiGJ0, h'o = e'o ainsi',, ...,
( l0 =e0cosGj0, t0 =e'0coscj'0, ....
Si l'on fait / = o dans les formules (C), il vient
( M sin(3 4-M1 sin(3, +...-t-Ms_|Sin(3N_, = ah0 \Jrnn,
(24) J M'sinP-i-M'Isinpi-i-... + M'!,_1sinPj,_I = a7t'0v/^V,

4l6 CHAPITRE XXVI.
et
[ M cos(3 + M, cosPi + . -. + Mh-i sin(3K_i = al0 \Jmn,
(a5) j M'cosP4-M'1cosP, + ...4-MN_1cospN_1 = a'/'0v/mV,
Nous supposons que l'on a calculé les racines g, gt, ... de l'équation (B)
dont tous les coefficients ont des valeurs numériques connues.
M' M'
N —i des équations (i3) donnent les rapports tj-=-, —, •••; en changeant
dans ces équations g en gt, on aura de même les rapports^» -rp» • • •> et ainsi
de suite, de telle sorte que les N équations (24) contiennent au premier degré
les N inconnues MsinJS, M^infJ,, . .., MN_, sinf3M_,; de même, on a le
système (a5) pour déterminer lesN inconnues Mcos[3, M,cos^,, ..., MN_,cospN_,.
Nous allons établir des relations qui rendront très facile la résolution des
équations précédentes. Reprenons la première des formules (i3) et celle qu'on
en déduit par le changement de g en gt,
(A0t0 — g)M +A,,|M' +A,,,M'+... = o>
(A0,o — tfi)Mi+ Ao.tM', +A,,,MÎ+. .. = 0;
on en déduit, par l'élimination de A0|0,
(26) (^1-^)MM1 = AM(MM'l-M,M1) + Atl,(Mirl-M,M1)+....
La seconde des formules (13) et les suivantes donnent de même
. j (^1-^)M'M'1=Alf0(M1M'-MM'1) + Alf!(M'M;-M'M'1)+...,
(27) j
Si l'on ajoute les équations (26), (27),... et que l'on ait égard à la
relation (16), il vient
(*1-<r)(MM, + M'M'1+...) = o.
On peut supprimer le facteur gt — g qui est différent de zéro, et l'on trouve
ainsi, en supposant maintenant que g et gt représentent deux racines
quelconques gr et gt de l'équation (B), la relation
(28) mpm,+m;m;-i-m;m;+... = o>
dans laquelle rets désignent deux indices différents quelconques de la série
o, 1, 2, ..., N— 1.
Cela posé, si l'on ajoute les équations (24) après les avoir multipliées par les
facteurs Mr, M^,, M', ... et qu'on fasse de même pour les équations (25), on
trouve, en ayant égard à la condition (28),
( M * + M;* + M';* +...) sin (3r = ah0 \fmn Mr + a'h'9 yfmîn' M'r +...,
(M"+M,r1-HM;* + ...)cospr=a/,v/m«Mr+a'f0v/iwVM;+...>

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 41?
ce que l'on peut écrire ainsi
V|-/
ah0\Jmn -+- a'h'0 sjm'n' -~ -+-...
M, sin (3,=
/m; y /m;y
(E, , , +(■;)-■ (■;)--■
al0 \Jrnn -+- a' l'0 \Jm' n' ^-p -+-.. .
M,.cospr= — '"
i +
(S)'-®'
m; m:
Les rapports rp> \f"' ' " sont connus Par ce qui précède; ils seront donnés
par la résolution de N — i des équations
.m; .- m;
Ao,o — gr ~t- A0>i jt| h Ao.î ît| h. . . = O,
(F) { . IK .m; . m;.
Ai,,-4-(A,tl — gr) jg- +A,(Î|^- + ...= 0,
L'ensemble des calculs numériques à exécuter correspond donc :
i° A la résolution de l'équation (B) du degré N;
20 A la résolution des N systèmes d'équations du premier degré àN-i
inconnues, que l'on déduit de (F) en attribuant à l'indice r les valeurs o, 1,2,...,
N-i.
Après quoi la solution sera fournie par les formules (C) et (E).
174. Il est souvent possible d'avoir une donnée importante sur la manière
dont varient les longitudes or, gj', ... des périhélies.
Les deux premières des formules (C) peuvent, en effet, s'écrire
i=N-l
a\fmnesinin = \ Mis\n(gtt-y-^t),
i = N —1
ay/m/iecoscj= ^ Micos(git-+-fii).
1 =0
On en conclut, en désignant par y l'un des nombres o, 1, 2, ..., N— 1,
a v/^m e sin (gj — gjt — (3y) — £ M«sin l(gt— gj) ' + P«— Py ],
(29) ay/^ecos(Gj — gjt — (3y) = My +£ M^cos^,— gj)t+$t— py];
dans le second membre, la valeur/est maintenant exceptée de celles que doit
prendre l'indice 1.
T. - 1. 53

4l8 CHAPITRE XXVI.
Supposons que la valeur absolue de My soit supérieure à la somme des valeurs
absolues de M, M,, ..., My_,, My+M ..., MN_, ; la formule (29) montre que
cos(cr — gjt — Py) ne pourra jamais s'annuler quel que soit t. On pourra donc
poser
(3o) m—.ki: + gjt + Çij-^ j,
la valeur deu ne pouvant qu'osciller entre et-h -; kit ■+■ gjt-\- [3, sera donc
la valeur moyenne de or, dont le moyen mouvement sera, par suite, égal àgy;
xs oscillera autour de cette valeur moyenne et l'écart sera compris entre les
limites et h
2 2
La formule (29) donne.ensuite
(- i)*as/Jim ecosu = M; -+- 2] M,cos[(# — gj) t + (3, — (3y] ;
le signe du second membre est celui de My ; cosu est essentiellement positif.
Donc, l'entier k pourra être pris égal à zéro si My est positif et égal à 1 si My est
négatif.
Donc, si le cas en question est réalisé, le périhélie tournera toujours dans le
même sens, sauf les oscillations; si ce cas n'a pas lieu, on ne peut pas dire
d'avance le sens du mouvement du périhélie.
Supposons maintenant que la même chose ait lieu pour une autre planète, la
seconde par exemple, et que la valeur absolue de M} soit supérieure à la somme
des valeurs absolues de M', M,, ..., M}_,, M'J+i, ..., MJ,_,, j étant le même que
précédemment; on aura de même
(3i) gj' = k'7T + gjt + $j-F- y',
la valeur absolue de u' étant inférieure à -• On tirera des formules (3o) et (3i)
gj — gj' = ( k — k' ) 7r + u — u' ;
donc la valeur moyenne de or— or' sera égale à {k — k')Tt; d'après ce qui
précède, elle sera nulle si My et M} sont de même signe, et égale à ir si My et My- sont
de signes contraires.
175. Les intégrales (C) peuvent donner, à la rigueur, toutes les circonstances
des variations des éléments e, or, e\ gt7, ... ; mais elles sont d'une discussion
difficile à plusieurs égards. On peut trouver N intégrales distinctes des
équations (A), ne contenant pas explicitement le temps /, mais seulement les
excentricités et les positions relatives des périhélies pour l'époque /. L'intégrale (D)
est dans ce cas; c'est l'une de celles que nous allons faire connaître.

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 4*9
Remarquons que les équations (C) ne diffèrent des équations (24) et (25)
qu'en ce que h0, /„, h'0, l'0, ... sont remplacés par h, /, h', /', ... et Mrsinpr,
MrcosPr par Mrsin(gri-h $r) et Mrcos(grt -h (3r). On pourra donc appliquer
les formules (E) en y faisant les changements indiqués ci-dessus, ce qui
donnera
ah\Jmn + a' h' \jm' n' —^ 4-. . .
MP sin (grt + (3,) — ——
1 +
(»'
al sjmn -+- a' V \Jm! n! —- +,
M,cos(^ + p,) =
1 +
®)'-
Si l'on ajoute ces équations après les avoir élevées au carré, le temps
disparaît, et il reste l'intégrale
( ah Jmn -+- a'h' Jm' n' ^ +... ) 4- ( al Jmn -+- a' V Jrn' n' ^- -+-... )
(32) M»=^— MJ ^ M J--
h(»'-(»--j'
dans laquelle Mr est la constante arbitraire ; les valeurs des rapports ^> ==£-1 • ■ •
sont déterminées par les formules (F) en fonction des données ay a', ...,
m, m\ ... et ne contiennent rien d'arbitraire. L'intégrale précédente peut
s'écrire
mnaiei-hm'n'a"e'i( ^rL) +...+ 2\Jmm'nn'aa' r^ee'cosfxn— gj') + . ..
(G) m« = *£d : M*- .
H»'*®)'-]'
il n'y figure plus que les positions relatives des périhélies.
Si, entre les N intégrales (G), on élimine les N— 1 différences
GJ —Gï', GJ — GJff, ..., GJ —GJ^"1),
on tombera sur une intégrale indépendante des périhélies, et qui devra
coïncider avec (D,).
Les intégrales (G) permettent de calculer directement les valeurs des
excentricités qui répondraient à un état déterminé des positions relatives des
périhélies, sans avoir à se préoccuper de l'époque à laquelle le phénomène peut
arriver.

420 CHAPITRE XXVI.
176. Venons maintenant à l'intégration des équations (A') ; nous poserons,
en gardant les mêmes lettres M, M', ..., p et g, afin de ne pas trop multiplier les
notations,
(12')
M
s\n(gt + fi),
9 =
M
a\mn
M
a^mn
M'
ZO$(gt + fi),
p'=—-^^ sin (gt +fi), 9'= , ,-j- cos(gt + fi),
a'ym'n' a'y m'a'
En substituant dans (A'), il viendra
(,3')
on a fait
('4')
d'où
(.5')
(16')
On posera
(17')
{A0,o + £r)M + A0,,M' + ...— o,
A,,,M + (Alf, -hg)M'-h...= o,
a0,o = (o,i) + (o,2)+. .:,
Ai,i = (i,o) + (i,2)+...,
a«y™(,)'*(0
A,-.*= (1, k);
2fi///ii')/n<*> _.
A,-,* = -—. Ni.*
G' =
Ao,o+^ A0>1
Ai.o A.itl-+-g
et l'on devra prendre successivement pour g les N racines de l'équation
(B') G' = o.
Les intégrales des équations (A') seront
ap s/mn = M sin (gt + fi ) + Mt sin (^ * + fa ) +...,
aq\/mn = M COs(gt-\- fi) -+- Mj COS^j* + Pj) +...,
(33) j ayv/^7«7=M'sin(^ + P)+M'Isin(^1i + p1)+...,
[ a'?' sjm'n' — M'cos(gt ■+- fi) + M'j cos(^ t + fi{) +...,

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 421
177. Il y a ici une simplification tenant à ce que l'équation (B') a une racine
nulle. Si l'on suppose, en effet, dans les formules (i3'),
M M'
a \Jmn a' \Jm' n!
*
en ayant égard aux relations (i4')» on tombe sur des identités telles que
[(O, i) + (0,2) -H . . .] — (O, I) — (0,2) — . . . = O.
Les formules (33) peuvent donc s'écrire
1 = N - I
(C
ap \fin7i — M sin (3 -+- \ MiSin(git -+- (3,),
1=1
aq\/mn = M cos(3 -+- \ MiCOs(git + $t)t
i = \
i = N-l
a'p' V^V=M'sinp + ^ M/sin^n-fr),
1=1
a'q'y/m'n' = M'C0s(3 -+- V Micos(^,< -+- (3,),
Si l'on ajoute les équations (A') après les avoir multipliées respectivement
par mna2p, mna2q> m'n'a'2p\ m'ria'^q', ..., on trouve, en vertu de la première
des relations (n),
(18') ^ [mna*{p*+ q*) + m'n'a'^p'* + q'*) + ...] = o.
On a donc l'intégrale
(D') m/iûf*(/>* + ?*) + m'n'a'*(p'*+ q'*) +.. .= C
ou bien
(D',) /n/ia» lang*(p + m'n'a'1 lang*<p' + .. . = C'
ou encore, en négligeant m2, m'2, ...,
(D',) /nv/âlaDg,9 + /n'y/ô7lang,(p' + .. . = const.
La démonstration de Laplace, pour la réalité des racines de l'équation (B'),

422 CHAPITRE XXVI.
se fait en partant de l'intégrale (D'); elle est identique à celle qui a été donnée
pour l'équation (B). Il va sans dire que les démonstrations de Sylvester et de
Borchardt sont aussi directement applicables.
Les valeurs actuelles des inclinaisons des orbites sur le plan de l'écliptique
de i85o étant petites, il en est de même de la constante C de la formule (D,).
L'une quelconque des inclinaisons, <p par exemple, ne pourra jamais acquérir
une valeur supérieure à celle qui serait donnée par la formule
mnà1 tang'cp = C,
d'où
C
tang*© = •
Donc l'inclinaison <p restera toujours très petite; tel est le raisonnement de
Laplace.
Mais cette conclusion n'est légitime que pour les planètes dont les masses
constituent une fraction notable de la masse totale du système. Pour savoir si
leurs inclinaisons resteront toujours comprises entre d'étroites limites, il faut
avoir recours aux formules (C) qui donnent
mna* tang* <p = M* + MJ +... + aMMj cos(git + |3| — (3)
+ aMjM, cos [(£-! - gt) 14- (3, — £,] +... ;
on en conclura
(22') tang<p<^—!—!—±L
a ymn
On pourra fixer ces limites des inclinaisons quand on aura fait tous les calculs
numériques.
La détermination des constantes arbitraires à l'aide des données initiales se
fera par les formules
I ap0 \Jmn + a'p'0 \]m' n' =~ -(-...
lMrsinpr=
/m; y
aq0 \[mh -+- a'q'0 \Jm! n! ^p
Mrcospr= —ï
i +
M'
les rapports ~ sont donnés par des équations analogues à (F), que nous nous

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 423
dispensons d'écrire. On a d'ailleurs
/>o = tang<posin0o, p'0 = lang<p'0 sin0'o, ...,
?o = tang<pocos0o, ?'o = tang<p'ocos0'o,
Pour r = o, les formules (E') se simplifient. On a vu, en effet, que l'on a dans
ce cas
M' _ a's/nTn1 W _ a" sfnVnï
M a ^mn ™ a \]mn
il vient ainsi
[M . a mnà1 tangcp0 sin0o + m' /i'a/! tan g <p'0 sin0'o +...
\admn mna* + m'n'a'* +...
(E' ) <
0 j M _ _ mnà1 lang<p„cos0„ -+-m'n'a'*tang<p'ocos0'o +...
[ay/m« mna1-h m'n'a'*-h...
178. Il est possible de donner une représentation géométrique très simple de
M et [3, en introduisant \eplan invariable du système planétaire.
Reportons-nous aux intégrales des aires dans les mouvements relatifs des
planètes autour du Soleil, telles qu'elles sont données par les formules (d')
du n° 17. Soient a', b', c' les constantes de ces formules; le plan invariable
aura pour équation
a'.r + b'y -+- c'z = o.
Si l'on néglige les carrés et les produits des masses, les formules que l'on vient
de rappeler se réduisent à
En les appliquant à l'époque t = o et ayant égard aux relations (k) du n° 38,
on trouve
a'— mnaïsjx — e\ sin<p0 sin0o-H m'n'a'* ^i — e'0* sin<p'0 sin0'„
(34) ' —b'— mnaïyi — e\ sin<pocos0o+ m'n'a'1 ^i — e'0* sin<p'ocos0o
c' — mna>\]\ — ejcos<p0 + m'n'a'^s/i — e'0!cos<p'0 +... .
Or, si l'on désigne par II la longitude du nœud ascendant du plan invariable
sur le plan fixe des xy et par y son inclinaison, on a
a' b'
tangysinîl—-,» tangycosII = -,•
C C

424 CHAPITRE XXVI.
Remplaçons a', b',c' par leurs valeurs (34) et négligeons, comme nous l'avons
fait jusqu'ici, ej, <?'02, .... <pj, <p'02, ... devant l'unité; nous trouverons
. „ m7ia*tang<posin0oH-7ra'n'a'*tangq>nsin0n+...
tangysinll^ — 5 . . „ s_l° °.
°' mna% --h m'n! a'1 +...
j „_ mna*tang<poCOS0o-i- m'n'a'* tangy'0 cos 9'0-i-...
La comparaison avec les formules (E0) donne
M
Telle est l'interprétation cherchée.
a\Jmn
= tangy.
179. Nous allons rapporter les orbites au plan invariable; soient, en se
reportant à hjig. 20 du n° 117, NM l'orbite de la planète P, N'G le plan invariable.
Nous ferons
N'G=6, NGN' = fc;
nous avons déjà
a?N'=IIt NN'G = y, a?N = 0, ^NG = <p,
Le triangle sphérique NN'G donne
sinOsin© = sin<psin(0 — (3),
sin$cos© =— cosçsiny + sin<p cosycos(0 - -(3);
on peut prendre
sin$ sin© = tangcp sin(0 — (3) =pcos(3 — qsin|3,
M
sinOcos©^ —siny + tang<pcos(0 — (3) — —— +/>sin(3 + «7 cos (3;
a\Jmn
en remettant pour p et ^ leurs valeurs (C), on trouve la première des formules
suivantes :
ay/mnsinO sin© = V M;sin(^^+ $t— (3),
«■=1
i = N-I
ay/iwnsinfl cos© = V M/COs(^< ■+- p,— (3),
a'v//M'n'sinO'sin©'= V Misin^f + fy—(3),
« = i
i = N-l
a'v//Jï7n7sin<&'cos©'= ^ M|COs(#* + fy — (3),
(C.)

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 42^
On démontrera, comme au n° 174, que si la valeur absolue deMy- est supérieure à
la somme des valeurs absolues de M,, ..., My_,, My+I, ..., MN_,, la valeur
moyenne de 0 sera égale à git -+- [3y — P ■+- kn ; le nœud delà première orbite
sur le plan invariable se mouvra donc toujours dans le même sens, sauf les
oscillations, et son moyen mouvement sera égal à gj.
S'il arrive que la valeur absolue de M, soit supérieure aussi à la somme des
valeurs absolues de M',, ..., My_,, My+I, ...,Mn_,( gjt-t- (3y — (3-f-#ir sera la
valeur moyenne de 0'. On aura ainsi
(36) 6 =&£+£/— P-+-ÂT7T-+-U,
(37) # = gji + Py- P+ *'*-+- u'.
u et u' sont deux quantités qui oscillent de part et d'autre de zéro entre des
limites dont les valeurs absolues sont inférieures à -• On aura
a
8 — 6'= (k — k')Tz -+- u — u';
la valeur moyenne de la distance des nœuds des deux planètes sur le plan
invariable sera donc égale à zéro ou à ir, suivant que My- et My- seront de même signe
ou de signes contraires.
180. Nous avons dit que les calculs numériques effectués par Lagrange
reposaient sur des valeurs fort peu exactes des masses; de plus, Uranus n'y figurait
pas. Le Verrier entreprit en i83g de reprendre avec toute la précision désirable
la détermination numérique des inégalités séculaires des sept grosses planètes
connues alors. Je 'me bornerai à quelques indications sur la marche suivie et
sur les résultats obtenus, renvoyant pour les détails au tome II des Annales de
VObservatoirey p. 105-170.
Si l'on remplace f par > ——, ■ • •, les formules (10) donnent
1 \ m> ■K! r n m> n
(0,1) = 2 — noNo,,, [o,i] = a-nflP0pI,
r r
les quantités aN0l, aP0,,, ... ne dépendent que des rapports —; on prend pour
unité de temps l'année julienne; on devra mettre pour n, n\ ... leurs valeurs
correspondantes exprimées en parties du rayon. A cause de la petitesse des rap-
T. - I. 54

4 26 CHAPITRE XXVI.
m!
ports —> les valeurs numériques de (0,1), [o,i], ... seront très petites. Il
est préférable de les exprimer en secondes sexagésimales, et alors il en sera de
même de g, g,, ....
Quand on a calculé tous les coefficients numériques A,t, et A,-,*, on forme
les sept équations (i3); on constate que dans les trois dernières les
coefficients de M, M', M" et M" sont très petits. On peut les négliger dans une
première approximation, et l'on a ainsi trois équations homogènes entre lesquelles
on élimine M", W et M", ce qui donne une équation du troisième degré en g
que l'on résout. On trouve de la sorte les valeurs approchées de trois des racines
de l'équation G = o, ceHes qui proviennent de la présence des planètes Jupiter,
Saturne et Uranus. Ces trois grosses planètes ne peuvent être que très peu
dérangées parles quatre autres; on peut donc, dans les quatre premières
équations (i3), négliger les termes en M'\ Mv et M". On a ainsi quatre équations
homogènes entre lesquelles on élimine M, M', M" et M"; il en résulte une
équation du quatrième degré en g que l'on résout, ce qui donne des valeurs
approchées des quatre racines de G = o qui proviennent de la présence des
quatre premières planètes.
Avec ces valeurs approchées, Le Verrier détermine les valeurs exactes par un
système d'approximations successives aisé à concevoir; il arrive à
I * = 2ff,a584, gw— 7',5747,
gx = 3% 7136, g6 = 17', 1527,
gt=22', 4273, g%= 17% 8633;
gt= 5', 2989,
les valeurs approchées trouvées d'abord n'en diffèrent pas de o",ooi.
Quelques-unes des masses planétaires pouvant recevoir dans la suite certaines
corrections, Le Verrier a voulu que tous les résultats de ses calculs pussent
être utilisés encore; il a représenté les vraies valeurs des masses par m(i -t- v),
m'(i -t- v'), ..., et il a développé les résultats suivant les premières puissances
de v, v', ..., de sorte que, si l'on vient à corriger la masse de Mercure, par
exemple, il suffira d'introduire dans les formules la valeur correspondante de v,
pour obtenir le même résultat que si l'on était parti de la masse exacte. Les rap-
t M M' M, A . , , . ., ,,v
ports jjpi> ]jf7;> •••» j^ ••• sont exprimes de la même manière (').
Le Verrier donne ensuite les expressions numériques des formules (C)et(C'),
et l'on peut y lire immédiatement les limites supérieures des excentricités et des
(*) Au sujet de la résolution des équations (i3), le lecteur pourra consulter avec fruit un Mémoire
de Jacobi, Zur Théorie der Sœcular-Stôrungen {Journal de Crelle, t. XXX).
yooj

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 427
inclinaisons; les voici :
Limites
des excentricités.
Mercure 0,226
Vénus 0,087
La Terre o ,078
Mars 0,142
Jupiter o ,062
Saturne o,o85
Uranus 0,064
On voit donc que les excentricités et les inclinaisons, qui sont actuellement
petites, resteront toujours très petites.
Ce résultat et l'invariabilité des grands axes et des moyens mouvements
constituent la stabilité du système planétaire.
Si l'on substitue les expressions ci-dessus de esincx, ecoscx, tangipsinô,
tangçcosô, ... dans les coordonnées héliocentriques de chaque planète, ces
coordonnées ne contiendront que des termes périodiques. Ainsi les inégalités
séculaires sont en réalité périodiques; elles ne diffèrent des inégalités
périodiques ordinaires que par la durée de la période, qui est, pour elles,
extrêmement grande; c'est ce qui résulte des nombres (38) qui donnent les très petits
angles dont les arguments augmentent en une année; le terme sin(gt -+- fi) a
une période de 574 000 ans environ.
181. Le Verrier n'avait pu faire entrer dans ses calculs la planète Neptune
qu'il ne devait découvrir que six ans plus tard. M. Stockwell a publié en 1873,
dans le tome XVIII des Smithsonian contributions to knowledge, un Mémoire
important sur les variations séculaires des huit principales planètes, dans lequel il
a tenu compte de l'action de Neptune. Ce travail, dont les calculs paraissent
faits avec soin, renferme des remarques curieuses. Ainsi M. Stockwell trouve
que, dans les formules (C), la valeur absolue de M1* est supérieure à la somme
des valeurs absolues de M'\ M", ..., M1,*; il en est de même pour M" comparé
à MTI, My, ..., M*1; enfin M',T et M" sont de signes contraires. Il en résulte donc,
d'après ce qui a été dit au n° 174, que :
Le moyen mouvement du périhélie de Jupiter est exactement égal au moyen
mouvement du périhélie d'Uranus, et que les longitudes moyennes de ces
périhélies diffèrent exactement de 1800.
Suivant les calculs de M. Stockwell, le périhélie de Jupiter peut osciller
autour de sa valeur moyenne, gKt-\- [3,, entre les limites ± 24° 10', et celui
d'Uranus, autour de la même valeur moyenne, entre les limites ±47°33'. Les
périhélies des deux planètes peuvent donc se rapprocher jusqu'à la distance
i8o°-(24oio'4-47033') = io8°i7'.
des inclinaisons.
O I
9-17
5.i8
4-52
7- 9
2. 1
2.33
2.33

4a8 CHAPITRE XXVI.
M. Stockwell trouve de même, en partant des formules (C,), que :
Le moyen mouvement du nœud de Jupiter sur le plan invariable est
exactement égal à celui du nœud de Saturne, et que les longitudes moyennes de ces
nœuds différent exactement de 1800.
Il trouve aussi que le nœud de Jupiter peut différer de sa valeur moyenne de
± i9°38'; pour Saturne, ces limites deviennent ± rj°rj'. Les deux nœuds
pourraient donc se rapprocher jusqu'à i53°i5'.
182. Parmi les inégalités séculaires importantes, il y a lieu de signaler celle
qui concerne l'excentricité de l'orbite terrestre. Cette excentricité est
actuellement décroissante; elle continuera à diminuer pendant 24000 ans, après quoi
elle augmentera pendant très longtemps. Nous verrons dans le tome III de cet
Ouvrage que c'est là la cause d'un phénomène resté longtemps inexpliqué,
l'accélération séculaire du moyen mouvement de la Lune.
Nous n'avons pas parlé encore des inégalités séculaires du sixième des
éléments elliptiques, e. La dernière des formules (h) du n° 62 est
9
dt~ na da na*(i-h s/T^H*) àe na*\/i—e* ày
On peut prendre, au degré de précision adopté,
de a_ âR e âR tangcp dR
dt na da inà1 de inà1 d®'
formule dans laquelle il faut remplacer R par son expression (5).
Si l'on fait cette substitution et si l'on met pour e2, e'2, ..., esino, é sin ©', ...,
ecoso, e'coscr', ...,tang2ç, tang2ç', ..., tangçsinô, tangç'sinô',..., tangçcosG,
tangç'cosô', ... leurs expressions séculaires fournies par les formules (C)
et (C), on trouve finalement une expression de la forme
tt = H + VKcos(x* + x'),
d'où
e = s0+H<+y — sin (xi + x');
la longitude moyenne sera donc
e0-t"(n + H)* + V - sin(x£ + x').
A cause de la petitesse des coefficients x, on pourra développer les termes

EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 4^9
sin(x/-f-x') en séries très convergentes suivant les puissances de /; le terme
en /a sera très petit et le plus souvent négligeable.
183. On a vu que les excentricités et les inclinaisons des orbites des
planètes doivent toujours rester très petites. Cette conséquence importante ne se
trouve toutefois établie que pour les valeurs numériques adoptées pour les
grands axes, et nous ignorons ce qui se produirait pour d'autres distances
moyennes des grands axes. Il est à regretter qu'on ne puisse pas discuter
facilement les variations des limites (22) et (22'), quand on fait variera, a', ....
Toutefois, quand on ne considère que trois planètes, l'équation (B'), qui a une racine
nulle, s'abaisse au second degré; la discussion devient facile. Le Verrier a
montré (Annales de VObservatoire de Paris, t. II, Addition III) « qu'il existe, entre
Jupiter et le Soleil, une position telle, que si l'on y plaçait une petite masse,
dans une orbite d'abord peu inclinée à celle de Jupiter, cette petite masse
pourrait sortir de son orbite primitive, et atteindre de grandes inclinaisons sur le
plan de l'orbite de Jupiter, par l'action de cette planète et de Saturne. Il est
remarquable que cette position se trouve à peu près à une distance double de la
Terre au Soleil, c'est-à-dire à la limite inférieure où l'on a rencontré jusqu'ici
les petites planètes ».
J'ai moi-même cherché à étendre les conclusions de Le Verrier, en tenant
compte de termes négligés par lui, dans un Mémoire auquel je renvoie le lecteur
(Annales de l'Observatoire, t. XVI).
184. 11 ne faut pas se faire d'illusion sur la généralité des conclusions
énoncées ci-dessus relativement à la stabilité du système planétaire. En premier lieu,
les équations différentielles (A) et (A') ont été obtenues en négligeant, dans les
parties séculaires des fonctions perturbatrices, les termes du quatrième ordre;
Le Verrier a cherché à tenir compte de ces termes en faisant varier les constantes
arbitraires des formules (C) et (C) (voir l'Addition III du tome II des Annales
de VObservatoire). L'une des conséquences auxquelles il est arrivé est qu'on ne
peut obtenir, par la méthode des approximations successives, aucune
conclusion sur la stabilité du système formé de Mercure, Vénus, la Terre et Mars, à
cause des incertitudes qui régnent sur les valeurs des masses et peuvent
modifier du tout au tout les petits diviseurs qui interviennent dans les formules.
En second lieu, il n'est pas prouvé que l'on obtienne toutes les inégalités
séculaires des éléments en réduisant, dans les équations différentielles, les
fonctions perturbatrices à leurs parties séculaires; le contraire est même certain.
La théorie exposée dans ce Chapitre est importante, si je ne me trompe,
surtout parce qu'elle nous met sur la trace d'une forme analytique générale des
perturbations où le temps ne sort pas des signes sinus et cosinus, et dont l'usage
s'impose dans les théories des satellites, notamment dans la théorie de la Lune.

43o CHAPITRE XXVI. — EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES.
Les termes en72, / ! (a/ -+- P) trouvés dans les théories usuelles des planètes
sont introduits par les procédés de calcul ; ils n'existent pas réellement. Dans
cet ordre d'idées, quelques travaux importants ont été faits, et je crois devoir
les signaler.
En généralisant la belle méthode employée par Delaunay dans sa théorie de la
Lune et considérant le cas de deux planètes seulement, Jupiter et Saturne par
exemple, on arrive à se convaincre (') que les éléments a, e, <p, a', è', ç'
peuvent en général être exprimés par des séries de la forme
\ Acos(a)i -+- tx^t -+- a,)i,-4-...),
dans lesquelles a, a,, a2,... désignent des nombres entiers positifs ou négatifs,
et X, Xlt X2, ... des fonctions linéaires de t. La forme même de ces expressions
assurerait la stabilité, si la convergence des séries était démontrée.
Les autres éléments e, or, G, e', gj', G' s'expriment par des séries telles que
x t -+- x' -+- £ B sin (pik -+- a.y \ -+- a, X, -h... ).
Enfin, M. S. Newcomb est arrivé à des résultats du même ordre, très curieux
et importants, pour un nombre quelconque 4e planètes, dans son Mémoire On
the gênerai intégrais ofplanetary motions (Smithsonian contributions to knowledge,
t. XXI, 1876).
Il faut dire toutefois que, si l'on essayait, dans la pratique, de mettre sous
cette forme les théories planétaires, on aurait des calculs presque inextricables,
en raison du nombre immense de termes qu'il faudrait considérer. Il est bien à
désirer que les géomètres s'occupent de ces questions et cherchent à faire
bénéficier l'Astronomie des progrès récents qu'a faits l'intégration des équations
différentielles.
D'autre part, nous souhaitons vivement de voir couronnés de succès les efforts
persévérants de M. Gyldèn pour l'introduction efficace des fonctions elliptiques
dans les formules de la Mécanique céleste.
(') Voir mon Mémoire sur le problème des trois corps {Annales de l'Observatoire, t. XVIII).

CHAPITRE XXVII. — MÉTHODE DE GAUSS.
43 F
CHAPITRE XXVII.
SUR LA MÉTHODE DE GAUSS POUR LE CALCUL DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES.
Gauss a publié en 1818 un Mémoire remarquable ayant pour titre : Determi-
natio attractionis quant in punctum quodvis positionis data exerceret planeta si ejus
massaper totant orbitam ratione temporis quo singulœ partes describuntur unifor-
miter esset dispertita (Gauss, Werke, t. III, p. 331). Ce Mémoire fournit un mode
de calcul des inégalités séculaires autre que celui que nous avons indiqué et
qui, dans certains cas, peut seul être employé. Aussi croyons-nous ne pouvoir
nous dispenser d'en exposer les points fondamentaux; mais il nous faut
commencer par résoudre une question préliminaire.
185. Reprenons les formules (A) du n° 62; on peut les transformer très
utilement en y introduisant les projections de la force perturbatrice sur trois axes
rectangulaires, aux lieu et place des dérivées partielles -r-> ->-> — Le résultat
est très simple quand on prend pour ces trois axes : le prolongement du rayon
vecteur de la planète troublée, la perpendiculaire menée à ce rayon vecteur dans
le plan de l'orbite, du côté où croissent les longitudes, et enfin la normale au
plan de l'orbite dirigée vers son pôle boréal. Soient fm'S, fm'T, fm'W les
projections de la force perturbatrice sur ces trois axes; ses projections sur les axes
de coordonnées sont -p> -j-> -p* On trouvera, par le théorème des projections
et à l'aide des formules delà Trigonométrie sphérique,
-—, — = S (cosucos0 — sinu sin0cos<p) -+-T(— sinu cos0 — cosusin0cos<p)-+-Wsin0sin
1 in o x
7—; 3— =S(cosu sin0-+-sinucos0cos9)-+-T(—sinu sin0-+- cosucos0cos<p)—Wcos0sin
fm' oy T/
1 àl\ a . _, . _r
■e—; -3- =Ssinusinœ -hTcosusinœ -hWcosœ,

432 CHAPITRE XXVII.
où l'on a désigné par u la distance de la planète à son nœud ascendant, c'est-
à-dire l'argument de la latitude.
Soit ? l'un quelconque des éléments elliptiques; on aura
à^_àRdx^dRdy^dRdz
da dx da dy da dz da
Les valeurs de -^-> ~ et -p seront tirées des formules du mouvement elliptique,
savoir :
# = r(cosucos0 — sinu sin0 coscp), y = r(cosusin0-i-sinucos0cos<p),
z = r sin u sin 9, u ■=. gj — 9 -+- ne,
(3) { u — e sin a = nt -+- e — gj, r = a(i — ecos«) = — >
1 ' i-+-ecosw
1 . /i-+-
;-w = 4/
2 y 1 —
tang-w^/^-^ tangua.
Les dérivées relatives à 9 se calculent sans difficulté; pour celles qui se
rapportent à ô, il faut remarquer que ô figure explicitement dans les formules et
implicitement par u; on aura ensuite
à__à__à_%
drn du de
Enfin les dérivées relatives à a, e et e s'obtiendront aisément, en remarquant
que l'on a
dr /• du
da a da
dr dv 2-+-ecos«> .
de de 1 — e*
dr ae . dj à1 i/i — e*
Nous ne faisons pas varier a dans nt -h e — xs, parce que nous supposons qu'on
mette dans les formulés fndt au lieu de nt. Ayant donc -^> -p et -£ par le
calcul précédent, les formules (1) et (2) feront connaître les dérivées -p- Voici

MÉTHODE DE GÀUSS. 433
les résultats auxquels on arrive, après des réductions faciles,
i <fll _ s /•
fm' da a
s—. -^— = — Sa cosw -h T ;— r sinw,
fm' de i — e*
i dR „ ae -.a* y ;
j—, -3- = S sinw-hT — yi — e1,
I <?R m . , 9 nr .
t—. -T7T =— aTrsin*-1- — Wsinœ rcosu,
fm' d6 2 T
1 <m_ i_ dK Jr
fm' dw fm' de
(4)
Il n'y a plus qu'à porter ces expressions (4) dans les formules (h) du n°62.
On trouve aisément, en remplaçant f par -
ri* a*
da im' na3 /c ^ p\
dt i -+- m i/l — e1 \ r /
de m'
(A)
dt 1-+- m
dy m' na
dt ~ i -+- m y't — e*
d9 m' na
na*y/i — e*[S sinw -+-T(cosa -h cosw)],
Wrcosu,
i*v ut nu __.
Sinœ-j- = Wrsinu,
dxs . ,
e-=- = aesin
dt
? -r h ——na*v^i —e* — Scos«>-+-T ( i-h- ) sinne
2 dV I -+- 771 T L- \ P / J
ûfe 2 /M' - e* ûftiJ , r . ,<D dQ
-j-= naSrn , -37 -+-2^1— e* sin* -*- -7--
ai 1 -+- m | _|_ i/, e« dt T 2 ai
Si l'on ajoute au second membre de la dernière de ces équations la quantité
ij a dt J dt '
on aura la valeur de
Ê+" = s(£-+-/"'")'
c'est-à-dire de la dérivée de la longitude moyenne.
Les formules (A) sont très importantes, surtout quand on veut obtenir les
valeurs variables des éléments à l'aide de quadratures mécaniques, car il est
possible d'obtenir les valeurs numériques des quantités S, T et W, dans une pre-
T. — I. . 55

434 CHAPITRE XXVII.
mière approximation, à l'aide des coordonnées (3) du mouvement elliptique, et
il n'en est pas de même des formules (h) du n° 62 où figurent les dérivées
-r—J -r—»
aa de
De plus, ces mêmes formules (A) mettent bien en évidence les influences des
trois composantes S, T, W de la force perturbatrice sur les divers éléments. Les
explications élémentaires données par J. Herschel et M. Airy des principaux
effets de la force perturbatrice ne sont, au fond, qu"un commentaire des
formules en question.
Enfin nous remarquerons les relations suivantes, que l'on déduit
immédiatement des équations (A),
d\[p m! }
dt i -+- m
(B)
â /dà* . . d9* m' na w
y dt2 T dt* i -+- m J, _ ei
y/i —e»
elles donnent des expressions très simples pour la dérivée de la racine carrée
du paramètre et pour la vitesse du pôle boréal de l'orbite, dans sa trajectoire
sur la sphère de rayon i ayant son centre au centre du Soleil.
186. La fonction perturbatrice R se compose de deux parties qui
correspondent aux attractions de la planète P' sur la planète P et sur le Soleil ; nous avons
dit au n° 125 que cette seconde partie ne donne pas de termes séculaires quand
on ne considère, comme nous le faisons ici, que les perturbations du premier
ordre par rapport aux masses. Nous pourrons donc nous borner à la première
partie de R; dès lors, S, T, W seront les projections, sur les trois axes définis
plus haut, d'une longueur i portée sur la droite PP'. Les expressions de ces
trois projections pourront être développées suivant les sinus et cosinus des
multiples des anomalies moyennes Ç et Ç', et si, dans les formules (A), on
remplace sinw, cosw, cosm, r, -» -, rsinu et rcosu par leurs développements
périodiques relativement à Ç, on aura, pour la dérivée d'un élément quelconque a,
une expression de la forme
(5) -£ = A,,,-+- 2A'.'' cos(tÇ -+- i'K' -+- g) ;
les seconds membres de ces équations ont, du reste, déjà été obtenus dans le
Chapitre XX. On en conclut, dans la première approximation,
<7 = const. -+-A0l0'-+- V -—^4—-, sin(iK-+-?K'-+-q);
Jmd in-+- i'n s 7/

MÉTHODE DE GAUSS. fô5
si les moyens mouvements ne sont pas exactement commensurables, on n'aura
jamais i>n-i'/i'=o, et A0f0* constituera toute l'inégalité séculaire de
l'élément a. Le calcul des inégalités séculaires est donc ramené à celui des
coefficients A0,o que nous désignerons par -^ ; nous tirerons de l'équation (5),
Nous appliquerons cette formule aux cinq éléments e, <p, G, ex, e, puisque le
sixième a n'a pas d'inégalités séculaires, et nous poserons, pour abréger,
i' r™
l- SdC=stf
'0
m' r*n
(6) <-jf T#=TW
m' P
-f WdP=W.;
nous trouverons alors
tde~\ na}>j\ — e* i f nrc . _, _
^Jo.o= -TT^T- 7*J0 [SoSin^ + ToCcosa+cos^)]^,
r^-1 = ^==_L TVorcosurfÇ,
L«'Jo,o (i-+-/w)y/l —e* 2^J0
(7) ^ Sin?[^]o,o=^^7^X W.r.lo«*f
4^]o,o=2esini&1o.o+naiv^/[~Socos"+T°(i+^)sin"]^'
L^Jo.o i-+-v/7^7lL^Jo,o v aL^Jo.o i + i»J
Nous serons donc ramenés, d'une part au calcul de S0, T0, W„ par les
formules (6), et d'autre part au calcul des diverses intégrales qui figurent dans les
seconds membres des équations (7).
Concevons que l'on répartisse la masse de la planète P' tout le long de son
orbite, de manière à former un anneau, la quantité d\k! distribuée sur
l'élément dsf étant proportionnelle au temps dt que la planète emploie à décrire cet
élément; on aura
m' "~T'"~ arc'

436 CHAPITRE XXVil.
et la première des formules (6) donnera
,=yw.
im'Sd\tJ est la projection, sur le rayon vecteur r, de l'attraction exercée sur la
planète P par l'élément d[tf; îm' f§d\t.' sera la projection sur la même droite de
l'attraction résultante exercée sur la planète P par l'anneau elliptique infiniment
mince considérée plus haut. Donc f m'S0, fm'T0 et f m'W0 ne sont autre chose
que les projections de cette attraction résultante.
187. Nous voici donc conduits au problème de Gauss :
Calculer l'attraction exercée sur un point P par un anneau elliptique
infiniment mince, dans lequel la densité d[*' d'un élément quelconque est
proportionnelle à l'aire 2' du secteur ayant l'élément pour base et pour sommet l'un
des foyers S de l'anneau.
Nous allons exposer la solution simple et élégante que vient de donner
M. Halphen dans le tome II de son Traité des /onctions elliptiques.
Soient
P le point attiré ;
E' l'anneau;
a' et b' ses demi-axes ;
P' et P', les deux extrémités de l'élément d\t.'\
A la distance PP';
2' i
l'attraction de l'élément sur l'unité de masse placée en P sera îrri —j-n -r^-
r iza'b' A*
Prenons trois axes rectangulaires se coupant en P; soient, relativement à ces
trois axes,
xo> y<>» zo les coordonnées du Soleil S;
x', y', z' celles du point P';
x' -t- dz', y' + dy', z' 4- di! celles du point P',.
Si nous laissons de côté le facteur îm't les composantes de l'attraction suivant
les nouveaux axes seront
(8)
y'
iza'b' A»' Tza'b' A»' . iza'b' A»'
Soient V le volume du tétraèdre PSP'P',, h la distance du point P au plan de

MÉTHODE DE GAUSS. 4^7
l'anneau ; on a pour V ces deux expressions
y=îhl'>
V = g [x0 (y'dz'-z'dy')-+-y0(z'dx'- x'dz') -+- z0(x'dy'-y'dx')];
en les égalant, on aura la valeur de 2' que l'on portera dans les composantes ( 8)
de l'attraction élémentaire. Si l'on pose ensuite
u fx'(y'dz'-z'dy') _ fy'(y'dz'-z'dy') _ rz'(y'dz'-z'dy')
P»-J Ai ' Pr-J ai > P*-J ai >
» rx'(z'dx'-x'dz') - fy'{z'dx' —x'dz') - Cz'{z'dx' — x'dz')
Qx-j ff > Qy-J ^ > Q.—J ai >
n fx'(x'dy'-y'dx') p Çy'Wdy'-y'dx1) _ f z'jx'dy'- y'dx')
R*-J Â^ ' Ry-J Â* ' R'-J A» '
où l'on a A2 = x'24- y'2 4-z'a et où les intégrations s'étendent à toute l'ellipse,
on aura, pour les composantes <ÊX, <Êy, $, de l'attraction exercée par l'anneau
sur le point P,
K= iizl'b'h (xopx-+-yoQx-+-z0Rx-),
(9) \ *y = ^a'b'h CxoPr-+-yoQy-+-z0Rr),
*I= ^r67Â(x°Pl"+"yoQ,"+"ZoRl')'
M. Halphen fait plusieurs remarques au sujet de ces formules ;
a. Pr, ..., R,. sont homogènes et de degré zéro par rapport à x', y', z'; si l'on
fait pour un moment
% = u\ t. = </,
z' z' '
on trouve aisément
Px = -
r u'dv' A, py.=- f v'dv' „ P,=- r d<
Q„= f «*< k> Q,.= f <** „ Q„= Z" f*fL_
R ru'ju'dv'-v'du')^ R _ rv'(u'dv'-v'du')^ R _ /» u'dv'-v'du'

438 CHAPITRE XXVII.
l'équation du cône ayant E' pour base et P pour sommet est de la forme
v' = F(u');
donc les intégrales Px-, ..., R,. dépendent uniquement de la forme du cône;
elles conserveraient les mêmes valeurs si, le cône restant le même, on
remplaçait la courbe E' par une section quelconque du cône.
On peut, en particulier, effectuer les intégrations le long de la courbe C que
l'on obtient en coupant le cône par le plan 2 = 1; dans ce cas, v! et v' sont les
coordonnées d'un point quelconque de C.
b. Les formules (10) montrent que l'on a identiquement
(11) P,-+-Q,.-+-Rv = o.
c. On a aussi
n n C u'du'+v'dv' 1
Py— Qx' = — / r = , -hconst.,
de sorte que, si l'anneau E' est fermé, u' et v' reprenant à la fin de l'intégrale
les mêmes valeurs qu'au commencement, on trouve la troisième des
relations suivantes; les deux autres s'en déduisent par des permutations de
lettres :
(12) Q. = Ry<, Rx<=P,, P,'=Qx.
Dans ce cas général d'un anneau fermé quelconque, les composantes (9) de
l'attraction de cet anneau sont les dérivées partielles, prises par rapport à x„,
y0, z„, de l'expression
(l3) $=^r^(x?Px'-+-yo,Qy'-+-zJR.'-+-2yoZoRy'-+-2ZoXoP.'-+-2X0y0Qx.).
d. Supposons que le cône admette le plan des zx pour plan de symétrie; la
courbe C aura un axe de symétrie parallèle à l'axe des x ; si l'on compare deux
éléments symétriques, on voit que u' et d%f restent les mêmes, tandis que v' et
duf changent de signe; si donc on se reporte aux formules (10), on trouvera
Pr=Qx, = o, Q, = R7.= o.
Si le cône admet en outre le plan des zy pour plan de symétrie, on aura en
plus

MÉTHODE DE GAUSS. 4^9
L'expression (i3) se réduit donc à
où il n'y a que deux des intégrales Px-, Qr, R, à calculer, à cause de la
relation (i i). On a ensuite
<l5> *«=i^*^x»- *'=iSm^ *-=ïïtfâz"
et l'on en conclut
<&x $y $i
— H ' H = O,
x„ y0 zo
ce qui montre que l'attraction est située dans le plan
x y z
h — -h - =o,
x0 yo zo
dont la position, indépendante de la forme du cône, est entièrement déterminée
par les deux points P et S.
188. Les résultats précédents ont lieu quelle que soit la nature de la
courbe E'; admettons maintenant que ce soit une ellipse ayant pour foyer le
point S. Alors, le cône est du second degré, et, rapporté à ses axes principaux,
il aura pour équation
x* y* z*
(16) G'^G^G-01
on peut supposer G, G' et G" positifs. En faisant z = i, on aura la courbe C;
soit \ l'anomalie excentrique d'un point quelconque de cette courbe ayant pour
coordonnées u! et v'\ on aura
(i7) M'=y/5.cos$, ç.'=y/^-sin$.
Les formules (10), (i5) et (17) feront connaître les composantes de
l'attraction
[.*_ . V/GG7G7 f* cos'gdg
X *y 0
*'- y° iza'b'h I
J0
*I= 2uv/Gf^ r
°i:a'b'hj (G-+-G'cos»$-+-G"sin»$)*
(18)
* 0
(G
(G
-+-G'
-h G'
cos*S -+- G"
cos*£ -+- G'
sinȣ)*
sin*0*

44° CHAPITRE XXVII.
Ces composantes sont rapportées aux axes principaux du cône; elles
s'expriment à l'aide des intégrales elliptiques.
Supposons G' > G", et posons
(■9)
la relation
donne
d_f sin£cos£ \ _ 1 — 2 sin'g -+- k*sin*g
(20) / 2 5—^^ = 0.
(1 —À^sin^)"
On tire aisément des formules (19) et (20)
(G-+-G')*
(G-+-G')*
(G-+-G')*
r* cos'grfg P% cos'gdg =Ft-Et
y, (G + G'cos»$ + G'sin»0* ./ (i-^sin«0* **
./ (G-+-G'cos«£-+-G'sinïO* */ (i-A»sin«$)* k\x~kï V
/ (G-+-G'cos,$-+-G'sin,$)* ./, (i-^sin^)' I_ *"'
après quoi les formules (18) donneront les composantes [de l'attraction
exprimées à l'aide des intégrales complètes F, et E, de Legendre.
Ces composantes se trouvent rapportées aux axes principaux du cône : on en
déduira facilement les valeurs S0, T0 et W„ des composantes de la même
attraction par rapport aux axes définis au n° 185. On voit que, dans la solution
précédente, il faut calculer la position et la grandeur des axes du cône ayant son
sommet au point P et pour base l'ellipse E'; c'est une simple question de
Géométrie analytique qui exige, comme on sait, la résolution d'une équation du
troisième degré dont G', G" et — G sont les racines. M. Halphen a montré qu'on
peutéviter larésolution de cette équation, en introduisant les fonctions elliptiques
sous la forme moderne; nous renverrons le lecteur qui désirerait approfondir le
sujet au Traité de M. Halphen.
189. Il résulte de ce qui précède que, pour chacune des positions du point P,

MÉTHODE DE GAUSS. 44 !
on est à même de calculer S„, T„, W0 ; pour obtenir les valeurs ( 7 ) de \-jt\ » • • ■ »
on aura à effectuer des intégrations telles que
(.0 sjf "+<«*•
L'expression analytique de la fonction ipest très compliquée ; aussi est-on obligé
de déterminer numériquement les intégrales ci-dessus, par des formules de
quadrature. Supposons la fonction ip développée suivant les sinus et cosinus des
multiples de Ç,
( <WÇ) = a0+a1cosÇ + ascosaÇ + . ..
(22) \
[ -+- 6tsinÇ + 6ssin2Ç -h. .. ;
2 7T
divisons la circonférence en y parties égales et donnons à Ç les valeurs o, -y->
^î-i •••> (y — 1) ^; nous pourrons calculer les valeurs numériques
correspondantes de ^(£)t ^0f tyi* •••» tyj-t: Nous aurons les relations
, 27T 27T , . 2TT , . 27T
^j = a0 -h aj cos — -+-<?, cos 2 — -+-...-+- bx sin —r- -h Oj sin 2 —^ -h...,
Si nous faisons la somme, nous trouverons, en vertu de formules bien
connues,
+0-+- +1 -+-.. • -+- <W-i =y«o -+- iaj -+-y«»y -+- —
On a d'ailleurs
1 y"**
— j <\,(K)dZ = a0;
il viendra donc
<î3> ^^,%(Ç)^=i^^±it1_(a,+0v+...).
Si le développement (22) est assez convergent, y ayant du reste une valeur
notable, la somme ay-t-aay-t-,.. pourra généralement être négligée, et la
formule (23) se réduira à
^/'»(C)<g=»+*l+;"+*>-.
On obtiendra donc ainsi des valeurs numériques très approchées des
intégrales (21), et il aura suffi, pour les obtenir, de déterminer les valeurs
numériques des fonctions '|»(Ç) qui répondent à y valeurs équidistantes de Ç.
On trouve que, si P désigne l'une des anciennes planètes» il suffît de prendre
T. — I. 56

442 CHAPITRE XXVII. — MÉTHODE DE GAUSS.
j = 12, pour obtenir toute la précision désirable; on aura donc, en somme, à
calculer les composantes de l'attraction d'un anneau elliptique sur douze
positions du point P.
On peut, dans les intégrales (21), mettre en évidence l'anomalie excentrique u
au lieu de l'anomalie moyenne'; on a
r
dt = ( 1 — ecosu) du— — du.
s 'a
On sera donc amené à considérer des intégrales telles que
Si l'on donne à u les valeurs équidistantes o, —-, —-, •••> les points
correspondants de l'orbite de P formeront un polygone inscrit qui différera fort peu
d'un polygone régulier; les différences seront en effet de l'ordre de e", comme
le montrent les expressions
a cos w, ay/i — e* sinu
des coordonnées d'un sommet quelconque, rapportées aux axes de l'ellipse. Ces
mêmes coordonnées sont égales à
a(cosÇ— esin*Ç -+-.-.)> a\/\ — e* (sinÇ -hesinÇcosÇ-h...);
si donc c'està Ç qu'on attribue des valeurs équidistantes, le polygone inscrit
différera plus que précédemment d'un polygone régulier; la différence sera de l'ordre e;
aussi préfère-t-on donner des valeurs équidistantes à l'anomalie excentrique.
La méthode de Gauss a fait l'objet d'un assez grand nombre d'études ou
d'applications, parmi lesquelles nous mentionnerons :
Nicolaï. — Neue Berechnung der Secularànderungen der Erdbahn (Astronomisches
Jahrbuch, p. 224; 1820).
Claosen. — A lia solutio problematis a celeberrimo Gauss in opère « Determinatio attrac-
tionis... » tractati (Journal de Crelley t. VI, i83o).
Adams. — On the orbit 0/ the november meteors (Monthly Notices, t. XXVII).
Boor. — Thèse de doctorat, i855.
Sebliger. — Ueber das von Gauss herrùhrende Theorem die Sàcularstôrungen betreffend
(Astronomische Nachrichten, t. XCIV, 1879).
G.-W. Hill. — On Gauss's method 0/ Computing secular perturbations, dans le tome I
des Astrondmical Papers de S. Newcomb, 1882.
O. Callandreau. — Calcul des variations séculaires des éléments des orbites (Annales de
l'Observatoire de Paris, t. XVIII, i885).

CHAPITRE XXV111. — SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION, ETC. 443
CHAPITRE XXVIII.
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE LORSQUE
L'INCLINAISON MUTUELLE DES ORBITES EST CONSIDÉRABLE.
190. Le développement usuel de la fonction perturbatrice, étudié dans le
Chapitre XVIÏI, suppose la quantité
4/v'sin(u — t') sin(i>' — t') . , J
* = "^ 7^ T 7 7T Sin -
rt _)_/•'«—2rrcos(u — v) a
inférieure à l'unité. J'ai déjà dit que, dans le cas où les planètes considérées
P etP' sont Pallas et Jupiter, la condition ci-dessus n'est pas toujours satisfaite;
pour la démonstration, je renvoie le lecteur à mon Mémoire Sur les perturbations
de Pallas par Jupiter (Annales de VObservatoire, t. XV).
Il faut donc, dans ce cas et dans les cas analogues qui peuvent se présenter
pour quelques-uns des astéroïdes, recourir à un autre développement. Le Verrier
avait donné quelques indications sur la marche à suivre, dans le tome I des
Annales de VObservatoire, p. 33i-333. En partant de ces indications sommaires, je
suis arrivé à trouver la forme analytique générale du développement qu'il
convient d'adopter.
SoitR la fonction perturbatrice qui correspond à la planète P; on a, en se
reportant aux n°9117 et 118, dont on conservera les notations,
R = {m1 ( i - -^ cos V) = irri ( , ' - -^ cos \\ ,
cosV = ct = cos(f — t) cos(^ — t') + sin(i> — T)sin(i>' —t') cosJ
= cos* - cos (c'-c-t' + r)+ sin* - cos (v ' -+- v — r' — t) .

444 CHAPITRE XXV1H.
Posons maintenant
I Vf — V — T'+T = iF, V1 + V — T'— T=J,
J cos* - = u, sin* - = v, d ou <z + v = i •
[ 2 2
il viendra
(2) ct = cosV = /jlcos# + vcosy.
Faisons d'ailleurs
(3) x= - ' = = - V.l<»>C08#iV;
A v//î+/.'«_ 2,v'cosV * **
X(H) sera une fonction homogène-fit de degré — 1 de r et f qui coïncidera avec la
fonction A(/,) du n° 104 quand on remplacera retr' par a et a'.
Toute la question se réduit à trouver l'expression générale du développement
de cos/iV suivant les cosinus des multiples de x et y\ en partant de la
formule (2).
Avant de résoudre ce problème, nous allons aborder quelques questions
préliminaires.
191. Considérons l'expression
(4) *<#»>=(i-aPff+p»)-p.
dans laquelle/7 désigne un nombre positif, et p une quantité positive inférieure
à l'unité. Cette expression est développable'en série convergente suivant les
puissances entières et positives de p, car on peut écrire
Z(P) = (, _ ^Ey^)-p (1 - PE-^)-''»
et chacun des facteurs de cette expression peut se développer en série
convergente suivant les puissances de p, par la formule du binôme, parce que les
modules de (3EV^ et de (3EV~
sont égaux à p, donc inférieurs à l'unité.
Nous pouvons donc faire
(5) 3<p> = 1 -+- p V1,"» + p» V1/" +... = 2 p» V(„";,
71=0
et nous commencerons par chercher l'expression analytique de VJf'. Nous
pouvons écrire
^=['-'p('-îOr=2i^+'l-.;:(.^",)^>'('-;p)'

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 445
ou bien, en développant (a — \ P)1 par la formule du binôme,
ziP)= y y (_ 0,v-, p(P + i).~(p + i-i) ^Jat_Jm
AdAd^ i.a...y.i.a...(i—y) r
« i
Si l'on donne à i et y toutes les valeurs entières et positives, telles que
* +j = n,
on aura, d'après (5),
vT = y y (_ ,y 3w hp + ■>••■ o»+ ''-') ,.->.
B ^U^U v ' i .2.. .y.1.2.. .(i—y)
On en conclut, en donnant à y les valeurs o, i, 2, ... et à 1 les valeurs
correspondantes, n, n — 1, n — 2, ...,
rw = a« P(p + i)...(p + n-i) r _ i_ n(n-i) ffB_,
n i.a...n l as i.(p + n — i)
1 n(n — i)(w — 2)(w — 3)
2* 1. a. (p +
)(n-a)(n-3) g._, 1
n—j)(/> + n —a) 'j'
V(„p) est un polynôme entier en a et de degré n.
La quantité z{p) définie par la formule (4) est une fonction de [3 et de a; on
vérifie aisément qu'elle satisfait à l'équation
Si l'on porte dans cette équation l'expression (5) de z{p) et qu'on égale à zéro
le coefficient de p*, il vient
(7) (1- a>)-^- - (2P + i)v -j!>- + n(2p + n)VT = 0;
voilà une équation différentielle linéaire du second ordre, à laquelle satisfont les
polynômes Ve*'.
Nous considérerons d'une manière spéciale les valeurs/? = £ et p = 1, et nous
ferons
\r(l) — p vu)_it

446 CHAPITRE XXVIIT.
Les formules (5), (6) et (7) nous donneront
(i-2Pa + P»)"'=2^P'"
(8)
(9)
_3„i.3...(2«-0L n(n-i) g,_1 | n(n-i)(n-a)(n-3)g._t "I
B 2.4. an L 2.(an — 1) 2.4.(2/1 — i)(an-3) *"'J'
(.-■■>^-^ + »<» + 0P.= o.
Ut = 2a, U,= 4^s—», Us=8as—4^, U4 = i6ct*—i2<7*+i,
tt nT „ n(n —1) „ , n(n — i)(n — 2)(n — 3) n . "I
B L 2.2/1 2.4.2/1(2/1 — 2) J '
(1 —a*) —j-£ — 3<T-^-? +i(n + 2)UB = o.
P„ est le polynôme de Legendre; il joue un rôle fondamental dans l'étude de
la figure des corps célestes, et nous aurons à le considérer en détail dans le
tome II de cet Ouvrage.
Les polynômes Urt sont susceptibles d'une autre expression remarquable. On
peut écrire, en effet,
j(D —
i-ap5 + P« (I_pEvy=i)(I_ pE-v/-«)
_ 1 / E^1 E-v*^ \
"" EV^ — E-v*^ \i — PE*^_ 1 — PE-V^-V '
On en conclut
5(D= f (e*^ V ^E"*^ — E-v*^ V ô»E-"v^r«y
2y/^-isinV\ ^ ~* J
*<" = -r^, Y PBsin(n +1) V.
On a d'ailleurs
Il en résulte donc
, x IT sin(n+i)V sin[(n + i)arccosal
(10) U»=—V v —. -•
sinV y/,_ a»
192. Revenons au problème que nous nous sommes proposé; cos/iVs'exprime

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 447
à l'aide de cos"V, cosn-2V, ... ; d'ailleurs une puissance quelconque de cosV,
cos^V est composée d'un nombre limité de termes tels que
fxAvBcosAa?cosB/, avec A + B = 7;
si l'on exprime cosAa? en fonction de cosAa?, cos(A — 2)a?, ... et si l'on fait de
même pour cosBj, on voit que cos^V est composé d'une série de termes, tels que
D cosia? cosjy; le coefficientD contient en facteur [x'V et les différences^ — i' — j
sont des nombres pairs, positifs ou nuls. On pourra donc supposer
(a) cosnV=Q'0%+a2] Qft'cos^ + a^] Q(.'}cosy>+42] Qtycosixcosjy]
i etj désignent des nombres entiers positifs, tels que
i -+-j = n — un nombre pair;
QJ"j est une fonction de (x et de v qui est de la forme
(il) /JL'V<&(/JL*, V2).
Il s'agit de trouver la forme générale de la fonction $ : elle est susceptible
d'une expression analytique remarquable; mais, pour y arriver, il faut passer
par un intermédiaire. On a l'identité
,r sin(n+ i) V—sin(n — i) V
acosnV= —^-=p— —,
sinV
qui devient, en vertu de la formule (10),
(12) acosnV = U„— Urt_,.
Le développement de cos/iV se trouve ainsi ramené à celui de la fonction U„
considérée au numéro précédent. Nous pouvons poser, en ayant égard à
l'expression (9) du polynôme U„ et à ce qui a été dit du développement de a*,
(b) Vn- R(0% + 2 ^ R'# cosix + 2 ^ Ri"} cosy> + 4 £ R$ cosixcos7> î
RJ-j sera de la forme (i i) et les indices i ety remplissent les mêmes conditions
que dans la formule (a).
La relation (12) donnera
(c) aQfr'^Rft-Rft-».
Les fonctions RJj s'expriment très simplement, comme on va le voir.

44 8 CHAPITRE XXVIII.
193. On trouve, par le calcul direct,
ICT = JUL COS X + V COS/,
2 a* = jx* + v* + jx* cos 2 a; + v* cos 2/ -+-4 jxv cos a; cos/,
4<7,= 3jx(fx,+ 2 v*) cos a; H-jx'cos3a; + 3v(v2+ 2jx*)cos/ + v»cos3/
+ 6{x,vcos2a;cos/^-6{xv, cos a; cos 2/,
8a*= 3(fx*H-4fx*vs-h v*) + 4jx,(fx, + 3v,)C0S2a; + jx*cos4#
+ 4v*(vs-+- 3jx*) cos 2/+ v* cos 4/ + 24^v((jl* + v*) cos a; cos/
+ i2{x*v* cos 2 a; cos 2/+ 8jxsv cos 3 x cos/ + 8 jxv3 cos a; cos 3/,
Si l'on porte ces valeurs de a, a", a3, a*, ... dans les expressions (9) des
polynômes U,, U2, .U,, U4, ... et que, dans la fonction ^((x2, v2) qui figure dans le
terme général
HlvJ^FCfx*, v*) cos ix cosy/,
on remplace [* par 1 — v, on trouve, après des transformations faciles,
U1 = 2/xcosa; + 2vcos/,
Uj= (l — 2V)* + 2/JL*COS2J? -H 2 V* C0S2/ + 3jXVCOS47 COS/,
U,= 2jx(i — 3 v)* cos a; + 2 jx* cos 3 x + 2v(2 — 3v)* cos^H- 2 v8 cos 3/
+12 jx* v cos 2 x cos/ H-12 fxv* cos a; cos 2/,
U4= (1 — 6v +6vs)*+ 2jx*(i —4v)*COS2a; + 2jx*cos4^ + 2v*(3 — 4v)*COS2/
+ 2v*cos4/ H-i6/yLv'cosa;cos3/ + 2 4jx,v*C0S2a;c0S2/H- i6jx'v cos3a;cos/,
L'inspection de ces valeurs particulières des polynômes U„ m'a conduit à
penser que R'^j est égal au produit de (x'V par le carré d'un polynôme entier
en v, de degré n~ l~J• J'ai réussi, dans mon Mémoire déjà cité (Sur les
perturbations de Pallas), à prouver que cela est bien général, et j'ai pu donner en
même temps l'expression du polynôme en v, qui se trouve être un des
polynômes de Jacobi, contenus comme cas particuliers dans la série hypergéomé-
trique.
Ma démonstration repose sur les propriétés de la série hypergéométrique
données par Gauss; elle est rigoureuse,mais compliquée; M. Stieltjes (Comptes
rendus de VAcadémie des Sciences, t. XCV) en a donné depuis une autre très
simple, que je vais reproduire.
194. M. Stieltjes remarque que la formule
a = cos* - cos x -+- sin* - cos y
2 2 J

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 449
est un cas particulier de la suivante
a = cos 4* cos <J/ cos x -+- sin <\> si n <\>' cosy,
quand on y fait
* = * = [■
On peut donc prendre
04) a = a cos4* cos# + bsin<J'Cosay,
(i5) a=cos4*', br^sin^'.
Il faudra voir ce que devient le polynôme U„ de degré n en a défini par l'une
des formules (9), quand on y remplace a par sa valeur (14) et qu'on développe
le résultat suivant les cosinus des multiples de x et y. On va chercher, en
partant de l'équation différentielle que vérifie le polynôme U„ considéré comme
fonction de a, à former une équation aux dérivées partielles pour U„ envisagé
comme une fonction de ip, x ety, à l'aide de la formule (i4)«
On trouve immédiatement
-c-p = (— asin^cos^r H-bcos^cosj) —j-^t
-^-rj = (— asintpcoso? H-bcos^cos/)* , a — (acos^cosa; -t- bsin^cosj) -y-5»
-r—r = a* cos* d» s in* x —=—.- — acosycosa; —=-?,
ox1 T ad1 de
-^5- = b'sin^sinV -^ - b sin^cosy -^-
On a d'ailleurs, par la dernière des formules (9),
n ( 71 +2 ) U„ — [(a cos 4* cos a; + bsii^cosj)* — 1]
da*
+ 3(acos4' cos.r H-bsii^cos/) -j-2*
On en conclut sans peine, en tenant compte de la relation a2 4- b2 = 1,
d*Un , 1 d*Un 1 à*Un
n(/n-2)U„
dty* cos'4' àx* sin*4' ày*
rf*U
= (— 1 + a* cos* a; + b* cos1/ + a* sin* a; -+- b* sin'j) . ta
. ( . u • 1 a b \dKn
-h ( aacosd»cosa; + ab sind»cosy r cosa; :—r cos y) —=-?
\ T T J cos 4/ sin^ / da
= COS 2 0/1 pCOSa; : r COS y ) —j^ =: — 2 COt 2 Ù -3-r^ •
T\cos4' sin4' / dd T <ty
T. - l. 57

45o CHAPITRE XXVIII.
On a ainsi l'équation cherchée
PVn . , à\Jn i ^U„ i d*Un , xrT
v ' d<\>* T <ty cos*^ «te sin*^ djr* ,
U„ est un polynôme entier en <r; une puissance entière et positive
quelconque de
a = a cos <\> cos x + b sin <\> cosy
se compose des termes de la forme
( a cos 4»),+,p ( b sin <\>y+*i cos i x cos j'y
= 'ài+ipbJ+*i(i — sin*40psin*»4*x cos'^sin-'4*cosixcosy'/.
On en conclut que U„ est de la forme
(17) U„ = 4 y\ '^\j cos'4»sin-'4* cosi-xcosy'/,
où T"}est une fonction entière de sin'^ et aussi de a et b; la différence n— i — j
est positive et paire.
Si l'on porte cette expression de U„ dans l'équation (16) et que l'on égale à
zéro le coefficient de cosia?cosjy, on trouve, après réduction,
^jt¥ + -^-1 r Kv -+-0 cos1^- (a/+1) sin'd,] ^~
cty sin^cos^ dAf
-h (n — t —y) (n + t -+-y + 2) T$ = o.
On peut enfin poser, d'après ce qui a'été dit,
sin* 4* = *»
et l'équation précédente devient
(18) (!■-«)-^+[(«+y+a)«-(/ + 0]^ + 5.('+y-»)(«+y + ii+a)T^=o
ou encore
en faisant
(20) a-—J- , p= J— , y=y + i.

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 4^1
Nous savons que l'on a
Vnj _ A(0) + k{i)t + A(l) f« + . . . — ^ A"») P,
avec un nombre limité de termes au second membre.
Si nous substituons cette valeur de T"j dans l'équation (19), nous trouverons,
en égalant à zéro le coefficient de tp,
(p + 0 (/> -+- y)A(p+1) = (/> + «)(/>-+- P)A(p) ;
il en résulte
do Ty; = Ac»)r, + ^r+g<g + ,>P<P+,)i'+...1.
'•7 L «-y i-a-y(y-Hi) J
On reconnaît dans le second membre la série hypergéométrique F(a, (3, y, /),
ce qui devait être, puisque l'équation (19) n'est autre chose que l'équation
différentielle linéaire que vérifie la série hypergéométrique.
Nous écrirons C au lieu de A(0), de sorte que, en tenant compte des valeurs (20)
de a, (3, y, la formule (21) deviendra
(») Ti5 = C'F(i±4^', i±Z±Jl±-»,y + I, ,iB.+),
C est une fonction de a et b, donc de i|/. On a dit plus haut que n — 1 — y est
positif et pair; il en résulte que -—-—- est égal à un nombre entier négatif.
Si l'on se reporte à la formule (21), on voit que F représente ici un polynôme de
degré J ~ n en sin2^.
Posons pour un moment
(23) Siy=Tiycos'^sin^ = C'cos^sin^F^i^—?, *+y "^ n + 2, 7-+-1, s\n*ty\;
la formule (17) nous donnera
(24) U„ = 4 2] siny cos'^ cosy>.
Or l'expression
a = cos^cos^'cosir-i- sin^sin^'cosj
reste la même quand on échange entre elles les lettres ip et i|/ ; il doit en être de
même de U„ et, par suite, de SJJ. On aura donc, en se reportant à la for-

452 CHAPITRE XXVIII.
mule (23) et désignant par C ce que devient C quand on y remplace i|/ par ip,
C'cog'^ sin^ f(' +y~ n, i+J'\n + a»y-<-i, sin'^)
^Ccos^'sin'f f(^±{—^> l'+y'^w + fl,y + i> sin»<|/) ;
d'où
: C
~~ t\ • Mr/'+y'-" i+y-h/n-a . • ,i\'
cos' 4* sin-' y F ( - » - > y -+- » i sin" ty \
Le premier membre de cette équation est une fonction de <]/ seul; le second
ne dépend que de ip; ip et ip' sont arbitraires; donc ces deux membres doivent
être égalés à une constante indépendante de ip et i|A Désignons-la par é") et nous
aurons
C'=cffcos^'sin^'F(—y^—-, l+y^n + a,yH-itsin»fV
après quoi la formule (28) donnera
iSi1} =c$(costpcost|/^(sin^sin^Ffi^7-—^, i±J_±JL±l,y _+_,, sin»tj,\
xF\ 1 ' a »y-+-i,sin»t|/J.
Il n'y a plus maintenant qu'à supposer
+ = +-=£;
la formule (24) coïncidera avec (b) etSJJ avecRj"j; on aura donc
ou bien
«0 Rrj=ca><,yF.(i±Z^, £±Z±JLtl,/+I, „).
C'est la formule cherchée; elle est bien de la forme indiquée par l'induction.
Il ne reste plus qu'à trouver l'expression de la constante c1"].

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 4^3
195. Cherchons le terme du degré le plus élevé en v dans R^j, quand on y
remplace (x par sa valeur i — v. On voit aisément que le terme de degré le plus
élevé en v dans
F
est
(i+j—n i+j +n + i . \
\—2 '——2 >J + *'")
(_,) » \ f L\ ?L—:—L v »
= (-,) »
/ • w • x / — i-+- n
(J + 1)(J + 2)...J-
n(n)n(y)
V »
où l'on a posé d'une manière générale
i .2.3... q = U(q).
Le terme de degré le plus élevé en v dans R^j sera donc, d'après (d),
[„(-±l±Z).(-=i±Z)J
et l'on pourra écrire
U„= 4v» 2 (- 0'43 f" /^f+yl^.f+yvl *C0Sl* cosy> +*, V-« +*,v—
On a, d'autre part,
a = fXCOS.2? + VCOSj' = COS.r + v(C0Siy — COSJ7).
On en conclut
(27) U„= 2B(cos7 — cos#)BvB-hC1vB-1 + S,vB-* + ... ;
si l'on compare les expressions (26) et (27) de UB, on trouve
(28) 2" (COS V — COS#)B = 4 V (— l)'cJB7 I ; ; ^- ^/-^ : rr- I COS/# COS/V,
^ nf n + <+y)n(n~t+;)
de sorte que le calcul des coefficients cj*j se trouve ramené au développement
de (cosj'— coso;)'1 suivant les cosinus des multiples de x et y.

454 CHAPITRE XXVIII.
Posons
(29) 2n (COSJ — COS#)B = 4 £ K\j COStJ? COSj'y,
et nous aurons
(30) c#=(-
l)h^l n(n)U(j) J
Nous allons chercher les coefficients h["j.
On a
/ . x -h v\n( . x — y\n
2B(cosiy — cos#)B = I asin — ) (asin ^ J
=(_ ». (e^ - e'^)" (e^ - *-'-?-*)'.
Or la formule du binôme donne
Ve- -e ; -It-^'iKp)^)12
(e^^ e-^^V-w ,w n(n) if^-*^.
Ve -e ; -^c-O'-n^n^E
les nombres p et p,, p' et p', prennent toutes les valeurs entières et positives
vérifiant les conditions
(3i) p + Pl=nt p'-+-p\ = n.
On conclut de ce qui précède
Pour trouver dans le second membre le terme en cosiajcos/y, il faut poser les
équations
03) p-p.y-p-,=±,- P-P.-P'+P',=±y,
si on les combine avec les équations (3i), on en tire
r 2 r 2
2

(-0'
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA PONCTION PERTURBATRICE. 4^5
Les termes considérés dans le second membre de la formule (32) pourront
s'écrire
[II(«)]» T Elte+M v^ï +-EUx-jy)^
n/w + ,'+Anfn-i—An(n + i—J\n(lni±ï) l_+ e-<«'*+*>/=» + e-«'*-.w•=»
la somme des quatre exponentielles est égale à 4 cosia? cos jy et la formule (32)
donne
04) *» = (-.)' tneor
11 convient d'examiner à part le cas dey = o; on tire alors des équations (3i)
et (33)
n±i , n+J
on aura, dans le second membre de l'équation (32), à considérer les termes
[B(-±.)B(-=..)]-
la somme des deux exponentielles est égale à i cosix, et il vient
(35) AiS =£(-!)'
[n(n)]»
K^>(^')]"
on trouverait de même
(36) Ac, _ I ["(")]'
'•■'-• [„(-±^)„(-^]'
Il reste enfin à considérer le cas de i = o avec y = o; le terme constant du
second membre de la formule (32) est
[n(n)]'
[-©!'
et l'on trouve
(37) A'"> - ' [n(n)]>
["©]'

456 CHAPITRE XXVil!.
Il est possible de déduire les formules (35), (36) et (37) de la formule (34),
en y supposant nuls l'un ou l'autre des indices 1ety, ou tous les deux; il suffit
en effet d'écrire comme il suit la formule (29),
a"(cosj — cos#)B = 4 £ K'j cosi-x cos/y "+" 2 £ M!ocosi-x + 2 ^ iïfjcosj'y -+- h!f>0 ;
on a d'ailleurs opéré ainsi dans l'équation (6).
Les formules (3o) et (34) donneront
(.) «= v a M a ; •
[no->rn(î±i^)n(i=i^)'
cette formule est générale, à la condition d'y remplacer II(o) par 1.
Les relations (c), (d), (e) feront donc connaître entièrement les
quantités Q#.
196. Si l'on combine le développement (3) avec l'expression (c) de cosnV,
on voit que la fonction ^ se composera d'une série de termes de la forme
2<&>in) cosix cosj'y = <A>(B) cos(ix +jy) + &>(n) cos(t\r —jy),
chacun de ces termes étant multiplié par une fonction connue de J. Il faut
arriver à développer toutes ces expressions suivant les puissances de e et ef \ on
commencera par supposer e = o, e' = o, ce qui donnera r = a, f = a', v = /,
*/ = /', x = /' — / — 1' ■+■ t = /' — À, y = V '■+■ / — 1' — t = /' -h À — 21' ; le terme
xw cos(ix -\-jy) deviendra donc
(38) À<»>cos[(«+/)/'-(«-y) A-ayV].
Il faudra maintenant remplacera, a', À, /' respectivement par
a+a\y a' + a'\'y A-hy, /'-h y',
x, y, x' et y' étant les quantités considérées au n° 93.
L'expression (38) est de la même forme que celle donnée pour R0 par la
formule (19) du n° 119. Nous rentrons donc dans une question connue, qui ne
présente plus de difficulté, et le problème théorique que nous nous étions
proposé peut être considéré comme résolu.
197. Lorsque le rapport - est assez petit, comme lorsqu'il s'agit des pertur-

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 4^7
bâtions de Pallas par Saturne, il convient de développer ^ suivant les puissances
de -• Les formules (3) et (8) donnent
pour résoudre la question, il n'y aura qu'à trouver ce que devient le polynôme
P„ de Legendre quand on y remplace a par son expression (2), le résultat
devant être développé suivant les cosinus des multiples de oc et y; c'est ce qu'a
fait Hansen dans le tome II des Mémoires de la Société Royale des Sciences de Saxe.
M. Cayley a donné depuis une autre démonstration des formules auxquelles était
arrivé Hansen, dans le tome XXVIII des Mémoires de la Société Royale
astronomique.
Nous suivrons une méthode tout à fait analogue à celle employée dans les
numéros précédents; nous pourrons faire tout d'abord
(/) P»0O = A'0B)0 + 2 2] A'ft cosw? -+- 2 2] Kj cosy> + 4 £ K) cost> cos./>»
où AJIJ- est une fonction de J. Il y a lieu maintenant de chercher à former une
équation différentielle que vérifie la fonction P„, envisagée comme dépendant de
x, y et J. On trouve sans peine
àPn 1 • f, ,dPn
-rp = - SinJCcOSj' — COS#) —j—,
-^r^ ■= -cosJCcosj'— cosar) -j-2 -+- j sin*J(co3j' — cos#)* -y-52»
d'P* dPn , „ . . «aPP,
■5ïr=-fAC08*-5^+^|-C08-*)-^r»
«PP» ^P» , ,d*Pn
_j» = _VCoSir_+v»(i-cosV) ^r-
On a d'ailleurs, par la dernière des formules (8),
dP, d*P
n(n -+- i)Pn=z2(ixcosx-+-vcosy)—j-^-h(ix*cos*x-+- 2/jlvcosj" cosy -+- v1cos*y— 1 ) " •
On tire aisément de là l'équation cherchée
__r+coU-3r + --aïr + --?jT+«(» + .)P. = o.
Si l'on substitue dans cette équation l'expression (/) de P„ et qu'on égale
T. - 1. 58

458 CHAPITRE XXVIII.
à zéro le coefficient de cosia? cosyy, il vient
On voit directement que A}"' doit contenir le facteur ja'V; il y a donc lieu de
faire
En substituant dans (4o), il vient, après des réductions faciles,
^^H-^[(2t + 2y+i)cosJ + 2y-2t]^ + (/i-t-y-)(/i + t+y+i)B^'=o.
aâ S1DJ "J
Nous regarderons BJj comme une fonction de v = sin2 - et nous trouverons
aisément que l'équation précédente devient
jjBim /fît"1*
(v*-v) ^r + [(«+p + ov - ^ ^:+ aPF=°
C'est l'équation
de la série hypergéométrique, en prenant
a — i+j—n, p = i+/+n + i, y =2/4-1.
On aura donc, en désignant par k{"j un coefficient numérique,
(g) M" — ^Jfx'WF(i +y — n, t +y + n + 1, 2y + 1, v).
Il reste à trouver l'expression de £J"j; 1 4-y — n étant égal à un nombre entier
négatif pair, F est un polynôme entier en v, dans lequel le terme du degré le
plus fort est
/_ 0«-/-7 ('+/+* + ')(' +./+/I+ 2)... 2/1 vn_._Jt
(2/-h i)(2y+ 2)... (n — t+y)
d'ailleurs, le terme de degré le plus élevé dans [*V = (i — v)'vy est (— i)V+y :
le terme du plus fort degré dans A'"jse met dès lors aisément sous la forme
(-!)<#,«; n(2#i)II(ay)
U(» + i+y')II(» — i+j) '
et l'on en conclut
l Pm{tr) = H^Yi(-i)t^mJm n(2n??/(2y) • r-cosixcosj'r
(4i) j V ' ** ' 'J II(7i"HiT+-y)II(7i —i+y) J/
( +Ul>'Iv»-| + i}l>iv',-» +

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 4^9
On trouve, d'ailleurs, en remplaçant dans
p.(.) = ^'-3-y<' —'>r^--5k=ll.-'+.. .1
V/ 2.4. -.2/1 L 2(2/1 — 1) J
a par cosa? -t-v^os^— cos a?), et ayant égard à la formule (29),
(42) PJi(ff) = 4v« il^l^Z^2 MjCOSij?cosy>+ ©>»-»+ ©>«-» + ....
La comparaison des expressions (41) et (42) donne
A|,y - (- I) A|,y 2»«II(2y)[II(/l)]»
et, en remplaçant A(/'j par sa valeur (34), il vient finalement
,h) ktm = n(w-«-i-«-/)n(w-i+,/)
•■' ,.„(v,„(i±i±z)„(^i^)„(i±i=z)„(iL^^y
Les formules (f), (g), (h) résolvent la question.
198. Le développement de la fonction -r se composera donc d'une série de
termes de la forme
7TO cosia?cosy>= -2 ^5 cos(i\r+y» + l- ^ cos(ia?—y».
Si l'on remplaces? et y respectivement par
W1—W -+- Gï'— f'—(GJ— T), w'+W + GT' — t'+GJ— T,
on voit qu'on sera ramené à trouver les développements périodiques de
r"Sifl (i±y)»vf
cos v J ' '
1 sin ..... ,
»'«+!
r"-1-' cos
on a obtenu ces développements dans le Chapitre XV.
199. Le développement de la fonction perturbatrice a donné lieu à un très

4ÔO CHAPITRE XXV1U. — SUR LE DÉVELOPPEMENT, ETC.
grand nombre de travaux; il nous est évidemment impossible d'en rendre
compte. Nous nous bornerons à citer les Mémoires suivants :
Caochy. — Œuvres complètes, re série, t. V, plusieurs Mémoires.
V. Puisecx. — Journal de Mathématiques, 2e série, t. V et VI, trois Mémoires.
Boorget. — Annales de l'Observatoire de Paris, t. VII.
G.-W. Hill. — On the development oj the perturbative function in periodic séries.
S. Newcomb. — Development of the perturbative function (Astronomical Papers, t. III).
Gyldèn. — Undersôkningar af Theorien for Himlakropparnas Rôrelser, II.
0. Bacelond. — Zur Entwickelung der Stôrungsfunction {Mémoires de VAcadémie des
Sciences de Saint-Pétersbourg, 7e série, t. XXXlI).
R. Radau. — Annales de VObservatoire de Paris, t. XVIII.
B. Baillaud. — Annales de l'Observatoire de Toulouse, t. II.

CHAPITRE XXIX. TRANSFORMATION DE II AN S EN.
461
CHAPITRE XXIX.
TRANSFORMATION DE HANSEN POUR LES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES
DES MOUVEMENTS DES PLANÈTES.
200. Hansen a donné pour les équations différentielles des mouvements des
planètes une transformation importante qui forme la base de tous ses travaux.
La force perturbatrice y figure par ses composantes S, T, W, rapportées au rayon
vecteur r de la planète troublée, à la perpendiculaire au rayon vecteur, dans le
plan de l'orbite et à la normale au plan de l'orbite. Dans l'ordre d'idées que
nous avons adopté jusqu'ici, il nous paraît naturel de déduire la transformation
de Hansen des formules (A) du n° 185, dans lesquelles se trouvent déjà les
composantes S, T, W; il nous semble d'ailleurs qu'on pénètre ainsi assez
profondément au fond des choses.
Commençons par rappeler celles des formules (A) ou de leurs combinaisons
qui vont nous servir :
/ #*=f/uL = f(H-/n) = n»a3, u = w + gj— 0,
(«)
dt
d(xn — 9)
de m' ,/-_-.. _,. xn
^ = — kyp\ps\Tnv -+- r(cosM + cosw)J»
dt
= — cos
d9 m' k\/prc ( /\r_ . "|
9 -s — S cosw — H— ) r sin w ,
T dt ix e l V PJ \
\
dy m' k Ttr
d9 m' k „T .
sinœ -r- = — Wrsinu.
dt
Remarquons maintenant que, dans la méthode de la variation des constantes
arbitraires, les expressions analytiques de x, y, s,
dx dy dz
dt dt dt
sont les mêmes,

/|62 CHAPITRE XXIX.
dans le mouvement elliptique et dans le mouvement troublé; il en sera ainsi
dr
dt
de r et -r > puisque r = y/x2 -h y2 -+-z2 est une fonction de x, y, z. On voit d'ail-
dr na
leurs aisément que, dans le mouvement elliptique, on a -3- = . e sinw. On
aura donc aussi dans le mouvement troublé
0
1 + ecosw
dt k
<2> dï = ^eSmw'
Formons l'expression de -37 en différentiant la relation (1) et tenant compte
de la formule (2); nous trouverons
dw k\Jp . 1 dp de
esinw -7- = —-f- esxnw — - -f 4- cosw -r--
dt r1 r dt dt
Remplaçons 37 et -3^ par leurs valeurs (a) et nous obtiendrons après des
transformations faciles,
/ o v dw kJp m' k\fp\^ ( r \ _ . ~\
<3> ^=-^+7-FLScos"'-('+^)Ts'd"'J.
ou bien, en ayant égard à l'expression (a) de ~ >
d(w-\-w— 9) kJp dS
(4) â =-^-cos<p^-
201. On est amené ainsi à introduire deux nouvelles variables v et a, définies
par les formules
/kx da d9
(5> dt=C0S(*dt>
(6) V = tt> + GJ — 0-t-CT = U + CT.
Les relations (4), (5)et (6) donneront alors
/ \ dv ksfp .dv ,-
(7) di=*' rldt=k^>
d'où, en différentiant et remplaçant -£- par sa valeur (a),
C'est l'une des formules fondamentales de Hansen.

TRANSFORMATION DE HANSEN. 4^3
Si nous différentions maintenant la relation (2), nous trouverons
d*r k . de k dw k . dp
-— = — sinw -7- -\- —= ecosw-j- — esinw -7-;
dt \lp dt \/p dt ipsfp dt
mettons pour -^> -£- et -£ leurs valeurs (a) et (3), et il viendra
(9) 5? = 7leco8W+-A*S;
la composante T a disparu de cette équation, et c'est là un fait important.
On peut ensuite remplacer ecosw par sa valeur^ — 1, déduite de là
formule (1), ce qui donne
d*r k*p k* m' „_
dt* r3 rs /jl
ou bien, en vertu de la relation (7),
, x d*r dv* k1 m' _
(10) znï — r -jâ + -i = — S;
v ' ai* dt1 r! /jl
c'est encore une des formules fondamentales de Hansen.
Si nous introduisons une notation spéciale pour représenter la quantité
— = h, les formules (<z), (7), (8) et (10) nous donneront donc cet ensemble de
slP
relations :
d*r dv* k* _m'
dt*~r'd~p+T*-i:k*'
»("£)=7k'Tr'
(c) h = —-=- = —,
** sTp
dt
do m' -..
-J- = — AWrcosfp — 9),
dt y. \ /»
/ _ix 1 . d6 m' ,~T . .
(d) lsin<tjfi = — hWrsin(v — *),
d(j dS
di=cos<tdi'
Ce sont bien les formules qui servent de base aux méthodes de Hansen.

464 CHAPITRE XXIX.
202. Il est facile d'obtenir une représentation géométrique de l'inconnue
auxiliaire a.
Soient (Jig. 22) NI et N,I les grands cercles suivant lesquels la sphère de
Fig 22.
rayon 1 est coupée par les positions du plan de l'orbite aux époques / et / -t- dt\
la position limite du point d'intersection I de ces deux grands cercles sera le
point M où le rayon vecteur rde l'époque / perce la sphère. Abaissons le grand
cercle NA perpendiculaire sur N,I; nous aurons
NNi = d9, ANi = cos 9 dB ;
donc, d'après la relation (5),
ANt=rfcr.
Soient X et X, des points pris sur les deux grands cercles NI et N,I, tels que
NX = a, N1X1 = a + rfa;
on aura AX, = NX et, aux infiniment petits près du second ordre,
IX = IX,;
on obtiendra donc la série des points X sur la sphère en supposant que le grand
cercle NM roule sans glisser sur la courbe C, lieu des points M, le point X restant
fixe sur ce cercle mobile. La courbe C n'est autre chose que l'intersection de la
sphère et du cône dont le sommet est le centre de la sphère et la directrice la
trajectoire de la planète P. Dans ce mouvement, l'axe instantané de rotation
coïncide à chaque instant avec le rayon vecteur SM ; il est facile de calculer la
vitesse angulaire a> de la rotation instantanée. On a, en effet,
XM = u + ij=c, MN = f-u, NA = sin<prf0,
_ NA _ sinç dB
"~ sinMN dt ~ sin(i> — a) dt '

d'où, en remplaçant sinç -r- par sa valeur (d),
TRANSFORMATION DE HANSEN. 4^5
9
di
(e) ' *>= — hWr,
fX
L'angle a n'étant donné que par sa différentielle, sa valeur <r0 à l'époque zéro
reste arbitraire; Hansen prend <r0 = G0.
Remarque. — Prenons sur le grand cercle XM l'arc XY = 900, et soient x et y
les coordonnées de la planète P rapportée aux axes mobiles SX et SY. On aura
x = rcosv, y = rsmv.
ci»/. 1 • 1 d**- i 1 d*Y * * 1 d'r . d*v
Si 1 on forme les expressions de -3-5- et de -~, et qu on y remplace -^ et -^
par leurs valeurs tirées des équations (6), il vient, après réduction,
d'x ( k1 m! _\ m! rp .
-ï-ï- = ( s h k* S ) cos v k* T sin v,
dt* \ r! fx / fx
-=-v = ( s h £*S siium £!Tcosi>;
cfc* \ /'* fx / fx
(X)= — ^(Scosf —Tsinf),
(Y) — — *s(Ssini> + Tcosi>),
( d*\ k'x
\-dï + -rT={X)'
dp* r* K }
si l'on pose
00
on pourra écrire
Il résulte des formules (11) que (X) et (Y) sont les projections de la force
perturbatrice sur les axes SX et SY. Les équations (b') sont les équations
différentielles du mouvement relatif de la planète dans le plan de l'orbite; on voit
qu'elles sont les mêmes que si les axes SX et SY étaient fixes. On aurait pu
obtenir directement ces équations (6'), ainsi que les formules (d), par la théorie
des mouvements relatifs, en appliquant le théorème de Coriolis [voir la Thèse
de M. Périgaud, Exposé de la méthode de Hansen, etc. (Annales de l'Observatoire
de Paris, t. XVII)].
203. Il nous faut montrer actuellement comment on calculera les
composantes S, T, W.
Si l'on différence par rapport à x, y et z l'expression connue de la fonction
T. - I. 59

466 CHAPITRE XXIX.
perturbatrice du mouvement de la planète P, on trouve, pour les projections de
cette force sur les axes de coordonnées,
C) '«' (^ - £> '«' (^ - £)•' '«' (^ - £)>■
où A désigne la distance des planètes P et P',
A = ^(«'-*)1+ (/-/)* + (*'-*)*.
Supposons maintenant que l'axe des a? coïncide avec le rayon vecteur r, l'axe
des y avec la perpendiculaire à r située dans le plan de l'orbite, et l'axe des z
avec la normale au plan de l'orbite. Soient (fig. 23) M, P et Q les points où ces
Fig. a3.
trois droites rectangulaires percent la sphère de rayon i. On aura
x — ry y — o, z = o.
Les trois composantes (12) seront respectivement égales à fm'S, tm'T et
fm'W; on aura donc
<l3> s=*'0.-^)-r" T=Wà-^> *=*(£-?■)•
Soient X le point considéré antérieurement sur le grand cercle MN, X' le point
analogue pour M'N' ; on aura
XN = at- XM = ««, X'N'=a', ' X'M'=?'.
Nous poserons
XG = 6, X'G = e';

TRANSFORMATION DE HANSEN. 4^7
il en résultera
MG = f-6, M'G = /-8', NG = 6-a, N'G = e'-</.
L'application de la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique aux
triangles M'GM, M'GP, M'GQ fera connaître les cosinus des arcs M'M, M'P, M'Q,
lesquels sont égaux respectivement à — > "—> — ; si, dans les formules obtenues,
on remplace cosJ par i — 2sin2 -> il viendra
^ = cosM'M=cos(i>'— v — 6'+ 6) — 2 sin* - sin(f — 6) sin(i>' — 6'),
(i/J) { ^j = cosM'P = sin(i>'— v — Sf-\-S) -asin* -cos(i> — e)sin(i>'— 6'),
—, = cosM'Q = —sinJ sin(i>' —6').
Le triangle NGN' donnera d'ailleurs
. J . 6'— a' + e — a . 0-0' . 9+cp'
sin - sin = sin sin * 1
2 2 2 2
. J 6'— a'+e — a 0 — 0' . 9 — 9'
sin - cos = cos sin — >
2 2 2 2
(«5)
K ' S J . 6'—a'—6 + a . 0 — 0' 9+9'
cos - sin = sin —--— cosI >
2 2 2 2
J e'—a'—6-f-a 0 — 0' 9 — 9'
cos - cos = cos cosI — •
2 2 2 2
On a aussi
A* = r1 -f- /'* — 2 rr' cos MM',
(16) A*=/•*+/•'*— 2/t'cos(^'— v — ©' + ©) + 4'T'sin* - sin(p — e)sin(i>' —6').
Les formules (i3), (i4). (i5) et (16) déterminent S, T et W en fonction de
r, r', vy v' et de a, a', G, G', <p et <p'.
Les équations (6) et (rf) paraissent décomposer le mouvement en deux autres,
le mouvement relatif dans le plan de l'orbite et le déplacement du plan de
l'orbite; les premiers membres des équations (b) ne renferment en effet que ret*>;
mais il est bon de remarquer que les seconds membres contiennent G, ç et a, qui
sont introduits par les expressions données plus haut pour S et T.
Nota. — Les formules (6), (c) et (d) ont été données aussi par Wronski (voir,
dans le tome II des Annales du Bureau des Longitudes, un Mémoire de M. Yvon

468 CHAPITRE XXIX.
Villarceau, Sur une nouvelle forme des équations différentielles du mouvement des
planètes et des comètes); mais c'est Hansen qui les a publiées le premier.
204. Supposons effectuée l'intégration des équations (b), (c), (d); voyons
comment on calculera pour une époque quelconque la longitude et la latitude
héliocentriques L etB. Abaissons {fig. 23) l'arc de grand cercle MH
perpendiculaire sur le grand cercle xy\ nous aurons
NH = L — 0, HM=B, MN=i> — a, HNM = <p,
et le triangle rectangle MHN nous donnera
!cosB sin(L — 0) = COS9 sin(i> — a),
cosBcos(L — 0) = cos(f—a),
sinB =sin9sin(f—a).
Le calcul de L et B par ces formules présente cet inconvénient que les facteurs
cosç et sinç sont variables à cause des perturbations et qu'on ne peut pas
construire commodément des Tables pour le calcul des seconds membres de la
première et de la troisième des formules (17). Hansen a surmonté cette difficulté
par un artifice remarquable que nous allons expliquer.
Soient <p0et G0= <r0 les valeurs initiales de ç et G; Hansen cherche à
déterminer les quantités I\ ip, t]/ et*, de manière à avoir
!cosBsin(L— 90 — T) = cos<p„sin(i> — 0O) — ^,
cosBcos(L- 0O — T)= cos(? —0,)-«-i|/t
sinB = sin90sin(i>— 0O) h- s.
On peut écrire
L — 0O— T=L— 0-+-(0 — 0O — T),
développer c!og(L—G0 — r) et remplacer cosBsin(L —G), cosBcos(L —G) et
sin B par leurs valeurs (17); si l'on met en même temps (v — a) + (a — G0) au
lieu de v — G0, les relations (18) donneront
ty = [cos<p0cos(<7— 0O) — cos9cos(0— 0O — T)] sin {y — a)
+ [cos<p0sin(a — 0O) — sin (0 — 0O — T)] cos(f — a),
<|/= [sin(a—0O) — cos9sin(0 —0O — T)] sin(i> — a)
+ [— COS(a— 0o)-hcos(0 — 0O— r>] COs(r— a),
s= [—sin90cos(a —0O) + sin9] sin(i> — a)
+ [—sin9oSin(a— 0O)] cos(f — a).
(ic\\

TRANSFORMATION DE IIANSEN. 4^9
On va profiter de l'indétermination de I1, donc de G — G0 — T, de manière que,
pour toutes les valeurs de v — a, on ait
(20) ^ = a$, y=k's,
A et A' étant des quantités indépendantes de v — a.
Si l'on se reporte aux expressions (19), les conditions (20) donneront
cos<p0cos(<7 — 0O) — cos<pcos(0~- 0O— T) = A[sin<p — sin<p0cos(<7 — 0o)],
cos<p0sin(<7 — 0O)— sin(0 — 0O — T) = — Asin<p„sin(<7 — 0o),
sin(a —0O) — cosç sin(0 — 0O — T) = A'fsinç — sin90cos(a—0o)],
— cos(ct — 0O ) + cos(0 — 0o— T) = — A'sin90sin(a— 0o).
On tire de là deux valeurs de sin(G — G0 — T); en les égalant, on aura une
équation de premier degré entre A et A'; on ferademême pour cos(G — G0 — T).
On trouve ainsi
(21)
(22)
[ sin(0 —0o— T) — (cos<p0 + Asin<p0)sin(<7 — 0o),
I cos(0 — 0O — T) = cos(ct — 0o) — A'sinço sin(a— 0o),
Asin<p0cos9sin(<7 — 0O) H-A'fsinç — sin90cos(a — 0O)"|
= (1 — cos<p0 cosç) sin(a — 0O),
Afsinç — sin90cos(a— 0O)] — A'sin©0cos9 sin(a — 90)
= (COS90 — COS9) COS(a — 0O).
L'élimination de A entre les deux équations (22) donne
. ,. u . . a. 1 — cos90cos9 — sin90sin9cos(a— 0O)
(23) A'=sin9Sin(<7 — 0O) ^-. : ^—,— „ ,-,. . . *=—r-^ *—;
v ' T [sin9 —sin90cos(a —0o)]*+sin,9ocos!9Sins(a—0O)
le dénominateur de cette expression peut s'écrire
(sin*9o— sin*9o cos!9) cos*(ct — 0O) — 2sin90 sin? cos (°" — Qo) + sin*9 + sin*90 cos*9
= [1 — sin90sin9cos(a — 0O)]*— cos*90cos,9;
sous cette forme, on voit qu'il est divisible par le numérateur, et il reste
seulement
.,_ sin9sin(o- — 0O)
A - x '
en posant
x = i + COS90COS9 — sin9„sin9 cos(ct — 0O).
Portons cette valeur de A'dans la première des équations (22), et supprimons

470 CHAPITRE XXIX.
le facteur sin(<r— G0); nous trouverons
xAsin<p0cos9 = 1 — coss<p0cos*9 — sin*9 + sin90cos90sin9cos9cos(<7 — 0„),
. _ 8^19,10089 -f-cos9osin9 cos (g — 0O)
x
En substituant ces valeurs de A et A' dans les formules (21), on obtient
sin(e-e0-r)=(COS9o + COS9)sin(g-g"),
X
cos(0 — 0 T)= (' -^- cos<pocos<p) cos(q- — 0„) — sin90sin9
x
et l'on vérifie sans peine que l'on a
siii*(0 — 0o — T) +cos»(0 — 0o— r) = 1 ;
les conditions (20) sont donc bien remplies.
Voici l'ensemble des formules qui résolvent la question :
(e) x. —1 +COS90COS9 — sin9„sin9 cos(a — 0O),
(/) s =sin9sin(f — a) — sin90sin(f — 0O),
cosBsin(L — 0O — T) = cos90sin(i> —0O) [sin90cos9 + cos90sin9cos(a — 0O)],
(g) { ' s
K3 ' ' cosBcos(L —0o-r) = cos(f —0O) + - sin9sin(a —0O),
sinB =sin90sin(f — 90)-+-s;
sin(0-0o^r)^(COS9"+cosy)si"(g-g"),
««o/fl a r-\ (H-coscp„cos9)cos(cr—0„) —sin90sincp
COS (a — u0 — 1)—
(/')
On calculera T par l'une ou l'autre des formules (h).
Le but cherché est atteint, car on pourra construire trois Tables donnant les
valeurs des premières parties des seconds membres des formules (g), savoir
cos<p0sin(V — G0), cos(V — G0) et sin<p0cos(p — G0); on entrera dans ces Tables
avec l'argument v — G0; les parties complémentaires des seconds membres des
formules (g) sont petites, car elles contiennent en facteur la quantité s qui est de
l'ordre de m'sinç0; en effet, si l'on supposaitm' = o, on aurait <p = <p0, a = a0 = G0
et la relation (/) donnerait s = o ; a — G0 est de l'ordre de m'. La valeur (e) de
x est égale à
1-+-cos 90 cos 9 — siir90siii9 = i -+- cos(90-+-9),
en négligeant m'2 ; en négligeant/»', on peut prendre x= 1 -t-cos2ç0 = 2COsQç0'

TRANSFORMATION DE HANSEN. 47l
On verra d'ailleurs dans un moment que T est de l'ordre de m'2; si donc on
peut laisser de côté les termes en m'2, ce qui arrivera souvent, les formules (g)
pourront être réduites à
!cosB sin(L — 0O) = cos<p0sin(*> — 0O) — s tang<p0,
cosBcos(L — 0„ ) = cos(i> — 0„),
sinB = sinço sin(i> — 0„) -w,
ayant construit les trois Tables dont on a parlé, il suffira de calculer dans
chaque cas la petite quantité 5et l'on obtiendra ainsi, avec la plus grande facilité,
LetB.
205. Dans le cas général où l'on conserve les formules (g), Hansen trouve
encore le moyen de présenter les résultats précédents sous une forme plus simple
en introduisant deux quantités auxiliaires P et Q au lieu de 9 et a, par les
formules
i P = sin© sin(a — 0„),
(/t) . "
( Q = S1119 cos(ct— 0O) — sin<p0;
P et Q seront de l'ordre de m' sinç0« L'expression (/) de s donnera, en y
remplaçant v— <rpar v — G0— (a— G0),
s = [sinç cos(ct— 0O) — sin(p0]sin(f — 0O) — sincp sin(a-- 0O) cosp — 0O
ou bien
(/) s=Qsin(v — 0O) — Pcos(f — 0O).
La valeur (e) de x pourra du reste s'écrire
x = i-+-cos<p0cos<p — sin<p0(Q + sin90),
(m) x = cos©o (cosço + cosç)—Qsin<p0.
On aura ensuite
sinçoCosç + cos<p0sin<pcos(<7 — 0O)
= sin9„cos9 H-cosçoCQ -+-sin<p0)
= S^? [cos90(cos9„ + cosç) - Q sin90] -+- -^- = x lang9„
COS901- T T/ TUJ cos90 DT° cos9„
de sorte que les formules (g) pourront s'écrire
cos
B sin(L — 0O — T) = cos90 sin(i> — 0O) — s (lang90n ?—Y
\ xcos90//
» cosBcos(L — 0O — T)= cos(f — 0O) -+-s-
sinB = sin9o sin(i> — 0O) -+-s,

472 CHAPITRE XXIX.
Calculons -r- et -^ en partant des relations (k); nous trouverons
dP . , n v da . . f, . d(j
— =cosfSin(«r — 0O) -^ +sin9COs(a— 0O) ^,
(23) ^Q / „v«*P • • / «v*
-^ = cos9COs(a —0O)^ — S1119 shi(ct —0O)^;
d'où, en remplaçant-^ par cos ç ^- et ^> ^ par leurs valeurs (rf),
-j- = —• Ar sin(f — 0O) W COS9,
(0) jrfQ w\ , fl,w
[ -£= — hr cos(f — 0O) Wcosç.
Il nous reste à faire connaître une expression remarquable donnée par Hansen
pour la quantité T. On tire des formules (A)
tang(0-0o-r)= (cosc>o + cos9)sin(a-0o)
(1 + cos 9,,cos 9) cos (o- — 0„) — sin90sin9'
en différentiant et réduisant, il vient
_ [1 + COS90COS9 — sin90siii9cos(a — 0O)M (cos 90-1-cos 9 ) ^ -+-sin90sin(a — 0„) -^
cfc [i +COS90COS9 — sin9„sin9COs(a— 0O)]*
je
il y a un facteur commun que l'on peut supprimer; on peut aussi remplacer -r
par —— -£ et il en résulte
r cos 9 dt
dT sin© — sin©„cos(a — 0O) du . . , . v d<p
x -7- = sin9 -=- — sin9o sin(a — d0) -£.-
dt COS9 T dt t« v 0/ ^t
Portons dans cette équation les valeurs de -£- et -j- tirées des formules (23)
et il viendra, après réduction,
dT _ . . . x _ dP . . , a^dQ
XCOS9 -r- =[sin9COS (a — 0„) — sin90] -7- — sin9Sin(a — d0) -^
ou simplement, en vertu des relations (£),
dT _ v dt r dt
^"' dt XCOS9

TRANSFORMATION DE HANSEN. ^3
Si l'on remplace -^- et -~ par leurs valeurs (o), on trouve
dT m' Qsin(f —0O) -Pcos^ — 0n)
dl p x
ou bien, à cause de la relation (/),
. , dT m' hrs _,r
Cette expression est de l'ordre de m'2, à cause des deux facteurs — et 5; il
résulte d'ailleurs des formules (h) que, pour / = o, on a T = o. Donc T est une
très petite quantité de l'ordre de m'2 : elle est aussi du second ordre par
rapport aux inclinaisons. On pourra écrire
/ ^ ti m' C' hrs „, ,
(r) T — —I — Wdt.
F J, x
En négligeant m'3, cela se réduit à
(/•') T=— ^— f rsWdl.
206. Voici le résumé général des formules
(A)
dV _ dv* k'- m
~dl} ~r'dt
-r-n +-; = — *!S,
£("*) = £*•*'.
(B) *= -s>,
dt
(C)
(D)
m' C1
=:— I ArWcosçsin^ — 0O) dt,
f1 «^0
l-?r
A/-W cos<pcos(f — 0O) dt,
sinç sin(a — 0„) — P, •
sin<pcos(<7— 0O) — sin(p0 = Q,
i/o
(E) 0 - 0„ = / -^ <".
/, cosç
T. - I. 60

474 CHAPITRE XXIX. — TRANSFORMATION DE HANSEN.
et
(F) s=Qsin(v-60)-Pcos(v — 0O),
(G) x;=cos<p0(cos<p0 + cos<p) — Qsin<p0,
' 'hrs
F J9
(H)
cosB sin(L — 0o--r) — cos<p0sin(i> — 0„) — M tang<p0 h ——
(K) I cosBcos(L — 90 — T)= cos(f — 0O) -*-s ~ ,
sinB = sin<p0sin(i> — 0O) + s,
formules auxquelles il faudrait joindre celles du n° 203, donnant les expressions
de S, TetW.
M. Périgaud, dans sa Thèse déjà citée, a donné une démonstration
géométrique assez simple des formules (g) et (h). On pourra aussi consulter sur le
même sujet une Note intéressante de M. 0. Callandreau, présentée en 1878 à
l'Académie des Sciences de Stockholm, Sur les rapports qui existent entre les
méthodes de Hansen et de Laplace pour le calcul des perturbations.
Nous avons ainsi présenté d'une manière assez complète la partie géométrique,
on pourrait dire cinématique, du célèbre Ouvrage de Hansen, Auseinandersetzung
einer zweckmàssigen Méthode zur Berechnung der absoluten Stôrungen der kleinen
Planeten. Nous avons d'ailleurs exposé, chemin faisant, d'autres parties de ce
travail dans les Chapitres XII, XV et XXVIII, de sorte qu'il nous restera
relativement peu de chose à faire pour mettre le lecteur au courant -d'une méthode
importante, présentant de nombreux avantages, pour le calcul des
perturbations des astéroïdes. Cette méthode a été appliquée déjà par plusieurs
astronomes et notamment par M. G. Leveau, qui s'en est servi pour la Théorie de
Vesta (Annales de l'Observatoire de Paris, t. XIV). Nous terminerons ce sujet
dans le tome III de cet Ouvrage.
FIN DU TOME I.
13649 Paris. — Imprimerie GAUTMER-VILLARS Eï FILS, quai des Grands-Augustins, 55.