r-— \ <■
B. CALVO, /.DOYEN
A. CALVO, F.BOSCHET
exercices
d'analyse
Iercycle scientifique, Veannée
préparation aux grandes écoles
\
\
, Armand Colin _ collection U

Série «Mathématiques» dirigée par André REVUZ
Bernard CALVO, Jacques DOYEN
Maîtres-Assistants à l'Université Paris VII
Adina CALVO, Françoise BOSCHET
Assistantes à l'Université Paris VII
EXERCICES D'ANALYSE
1er cycle, 1re année et Mathématiques Supérieures
LIBRAIRIE ARMAND COLIN
103, boulevard Saint-Michel, Paris 5e

AVANT-PROPOS
Le présent volume fait partie d'une série de recueils d'exercices à l'usage des
étudiants en Mathématiques et Physique du premier cycle et aussi des élèves des
classes préparatoires aux Grandes Ecoles. Il s'adresse plus particulièrement aux
étudiants de première année et traite des questions d'Analyse généralement
étudiées en M. P. 1. Les exercices ont été regroupés en chapitres dont le sujet
est indiqué en tête et ils sont, dans la mesure du possible, classés par ordre de
difficulté croissante. On trouvera ci-après une table qui fournit une classification
des exercices autour des thèmes principaux de chaque chapitre. Le dernier
chapitre se compose de problèmes de synthèse dont certains ont été proposés
à l'examen de M. P. 1 à Paris. Nous avons donné explicitement la solution de
tous les exercices proposés afin, en particulier, de faciliter le travail de
l'étudiant isolé qui utilise cet ouvrage.
Nous espérons que la pratique de ce livre aidera les étudiants à assimiler
plus rapidement les notions et méthodes nouvelles introduites au début des
études supérieures en Analyse.
L'ordre des chapitres est le même que celui du Cours d'Analyse de
MM. Raymond Couty et Jacques Ezra (tome 1) paru dans la même série,
auquel nous nous référons (par exemple cf. C. E., Ch. 9, § I, n° 129, renvoie au
numéro 129 du paragraphe I du chapitre 9). Nous avons extrait de cet ouvrage
de nombreux énoncés ; certains autres proviennent de devoirs donnés ces
dernières années en M. P. à la Faculté des Sciences de Paris ; nous tenons
donc à remercier ici MM. Raymond Couty et Jacques Ezra, et tous nos
collègues, pour l'aide qu'ils nous ont ainsi apportée.
Nos remerciements vont aussi à MM. André Revuz et Michel Queysanne
qui nous ont proposé la rédaction de ce livre et à la librairie Armand Colin
pour le soin qu'elle a apporté à la présentation matérielle de l'ouvrage.
A. Calvo, B. Calvo, F. Boschet, J. Doyen

TABLE DES MATIERES
Chapitre 1. Nombres réels ; suites de nombres réels 9
Propriétés de R : exercices 1.1 à 1.5 et 1.19 à 1.21
Suites : exercices 1.6àl.l4etl.l8
Critère de Cauchy : exercices 1.15 à 1.17
Chapitre 2. Fonctions réelles d'une variable réelle 35
Propriétés et calculs de limites : exercices 2.1 à 2.5
Continuité : exercices 2.6 à 2.11
Suites récurrentes : exercices : 2.12 à 2.17
Continuité uniforme : exercices 2.18 à 2.20
Propriétés des fonctions continues sur un segment : exercices 2.21 à 2.26
Fonctions circulaires réciproques : exercices 2.27 et 2.28
Chapitre 3. Fonctions différentiables d'une variable réelle 72
Dérivabilité : exercices 3.1 à 3.5
Théorèmes de Rolle et des accroissements finis : exercices 3.6 à 3.13
Formule de Taylor : exercices 3.14 à 3.16
Fonctions convexes : exercices 3.17 et 3.18
Chapitre 4. Fonctions exponentielle et logarithme. Développements limités .. 99
Propriétés des fonctions exponentielle et logarithme : exercices 4.1 à 4.10
Équivalents classiques : exercices 4.11 et 4.12
Calculs de développements limités : exercices 4.13 à4.25 et 4.30
Développements limités généralisés : exercices 4.26 à 4.29
Chapitre 5. Études de fonctions 135
Chapitre 6. Intégration 186
Exercices théoriques : exercices 6.1 à 6.12 ; 6.16 à 6.19 ; 6.24 ; 6.26 et
6.30
Calculs d'intégrales : exercices 6.13 à 6.15; 6.20 à 6.23; 6.25; 6.27 à
6.29; 6.31 à 6.34
Chapitre 7. Équations différentielles 236
Équations à variables séparables : exercice 7.1
Équations homogènes : exercice 7.2
Équations linéaires du premier ordre : exercices 7.3 à 7.6
Équations de Bernoulli : exercice 7.7
Équations linéaires du second ordre à coefficients constants : exercices 7.8
, à7.11
Équations se ramenant à des équations des types précédents : exercices
7.12à7.14
Chapitre 8. Problèmes de synthèse
275

1
NOMBRES RÉELS
SUITES DE NOMBRES RÉELS
1.1 Soient a et b deux nombres réels tels que pour tout nombre réel x vérifiant
x > b, on ait a < x. Démontrer que a < b.
Supposons a > b, alors il existe un nombre réel x tel que b < x < a (cf.
C. E., Ch. 1, § I, n° 6, b). Cet élément x vérifie l'inégalité x > b et ne vérifie pas
l'inégalité a<xce qui est impossible. Par suite nous ne pouvons avoir b < a
et comme R est un corps totalement ordonné nous avons a < b.
I ■& On dit qu'une partie non vide A, de R, est une partie ouverte si pour tout
élément x de A il existe un nombre réel e > 0 tel que l'intervalle ouvert
]x — b, x + e[ ^
soit contenu dans A. Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.
1° Démontrer que l'intervalle ouvert )a, b[ est une partie ouverte de R.
2° Démontrer que le complémentaire, dans R, de l'intervalle fermé [a, b]
est une partie ouverte de R.

10
EXERCICES D'ANALYSE
Solution 1° Soit t un élément de \a, b[. Nous avons alors a < t < b ; posons
e = ilnf(f - a,b - t),
il est clair que e est un nombre réel strictement positif. D'autre part nous avons
a = t — (t — à) donc a < t — (t — à)/2 or e < (t — a)/2 d'où a < t — e.
Nous démontrerions de manière analogue que t + e < b ; par suite l'intervalle
ouvert ]t — e, t + e[ est contenu dans l'intervalle ouvert ]a, b[.
2° Soit x un nombre réel n'appartenant pas à [a, b]. Nous avons donc
x > b ou x < a. Supposons x < a, alors x appartient à l'intervalle ouvert
]x — 1, a[. Nous avons vu au 1° qu'il existe un nombre réel e > 0 tel que
l'intervalle ]x — e, x + ê[ soit contenu dans l'intervalle ]x — 1, a[. Ce dernier
étant inclus dans le complémentaire de [a, b], l'intervalle ]x — e, x + e[ est
contenu dans {jR[a, b]. Si nous avions x > b, la démonstration serait analogue.
I •3 Soit K un corps totalement ordonné (cf. C. E., Ch. 1, § I, 1 et 2). On suppose
que toute partie non vide et majorée de K admet une borne supérieure (cf.
C. E., Ch. I, § II, 13). Soient a et b deux éléments de K tels que a > 0. Soit A
l'ensemble des éléments de K de la forme na = a + a + •■• + a (n fois) où n
décrit l'ensemble des entiers naturels non nuls.
1° Démontrer que si A n'est pas majoré il existe un entier p tel que pa > b.
2° On suppose que A est majoré et on désigne par m la borne supérieure de A.
Démontrer qu'il existe un entier q tel que m — a/2 < qa < m. En déduire qu'il
est impossible que A soit majoré. Démontrer que K est un corps archimédien
(cf. C. E. Ch. I, § 1, 3).
Solution 1° Si A n'est pas majoré il existe un élément u de A tel que u > b. Par suite
il existe un entier/? tel que pa = u, donc pa > b.
2° La borne supérieure m de A étant le plus petit majorant de A, comme
a > 0, m — a/2 n'est plus un majorant de A donc il existe un élément qa (q
élément de N) de A tel que m — a/2 < qa. Puisque m est un majorant de A nous
avons qa < m soit m — a/2 < qa < m.
Ajoutons a aux deux membres de la première inégalité, nous obtenons
m + a/2 < (q + 1) a. Or (q + X)a est un élément de A donc nous avons
(q + 1) a < m, d'où m + a/2 < m, ce qui est impossible. A n'est donc pas
majoré.
Soient a et b deux éléments de K tels que a > 0. Puisque l'ensemble A n'est
pas majoré, d'après 1° il existe un entier p tel que pa > b. K est donc un
corps archimédien.

NOMBRES RÉELS
11
1A Soit / une partie non vide de R telle que pour tout couple (x, y) d'éléments
de 7, vérifiant x < y, l'intervalle ouvert ]x, y[ soit contenu dans /.
1° Démontrer que si / n'est ni majoré ni minoré alors / = R.
2° On suppose / bornée. Démontrer que / est soit un intervalle fermé, soit
un intervalle ouvert, soit un semi-segment (cf. C. E., Ch. 1, § I, 5).
Solution 1° Nous avons par hypothèse / c R. Soit t un nombre réel, puisque / n'est
pas minoré (resp. majoré), il existe un élément x (resp. y) de / tel que
x < t (resp. y > t). Par suite l'intervalle ouvert ]x, y[ est contenu dans /
Comme t appartient à ]x, y[, t est un élément de / Ceci démontre que R c: /,
d'où / = R.
2° Puisque / est bornée et non vide, / admet une borne inférieure a et une
borne supérieure b.
Si a = b, comme / est non vide, a appartient à / donc / = [a, a], par suite /
est un intervalle fermé.
Supposons a < b et étudions le cas où a et b sont éléments de /. Nous avons
alors ]a, b[ c /donc [a, b] c I. Réciproquement soit t un élément de /, comme
a (resp. b) est un minorant (resp. un majorant) de /, nous avons a ^ t < b
donc t appartient à l'intervalle fermé [a, b], d'où / c [a, b] et par suite
/ = [a, b].
Etudions maintenant le cas où ni a ni b n'appartiennent à /, nous allons
démontrer que / = ]a, b[. Soit t un élément de /, alors comme précédemment
nous avons a < t < b et comme t # a et t # b, t appartient à l'intervalle
ouvert ]a, b[, donc / c ]a, b[. Réciproquement soit t un élément de ]a, b[.
Nous avons a < t < b, donc d'après les propriétés des bornes supérieures et
inférieures, il existe des éléments x et y de / tels que a^x<tett<y^b.
Or a et b n'appartiennent pas à / donc nous avons a<x<tett<y<b.
D'après l'hypothèse, l'intervalle ouvert ]x, y[ est contenu dans / dont t
appartient à /ce qui prouve que ]a, b[ a /par suite / = ]a, b[.
Etudions le cas où a appartient à / et où b n'appartient pas à /. Nous allons
démontrer que / est le semi-segment [a, b[. Soit / un élément de /, alors nous
avons a < t < b. Comme b n'appartient pas à /, t ^ b donc a < t < b, par
suite t appartient à [a, b[. Réciproquement soit t un élément du semi-segment
[a, b[. Si t = a alors t appartient à /, sinon nous avons a < t < b. Puisque b est
la borne supérieure de /il existe un élément^ de /tel que t < y < b et comme b
n'appartient pas à / nous avons t < y < b. D'après l'hypothèse, l'intervalle
]a, y[ est contenu dans / donc t appartient à /. Ceci démontre que [a, b[ est
contenu dans /, et comme nous avons vu que / c [a, b[ on a / = [a, b[.
Nous démontrerions de manière analogue que si a n'appartient pas à /et si b
appartient à /, alors / est égal au semi-segment ]a, b].

12
EXERCICES' D'ANALYSE
lib Soit A une partie non vide de R telle que A et $KA soient des parties
ouvertes de R (cf. exercice 1.2).
1° Démontrer que A n'est pas majorée (on pourra raisonner par l'absurde).
2° Supposons que Gr A soit non vide et soit x un élément de cet ensemble.
Désignons par B l'ensemble des éléments t de A tels que x < t. Démontrer que
B est non vide et admet une borne inférieure m, telle que m > x.
3° Démontrer que m ne peut appartenir ni à Gr A ni à A. En déduire que
A = R.
Solution 1° Supposons A majorée ; puisque A est une partie non vide de R, A admet
une borne supérieure M.
Supposons que M appartienne à A, alors par hypothèse il existe un nombre
réel e > 0 tel que l'intervalle ouvert ]M — e, M + e[ soit contenu dans A.
Or le nombre réel M + e/2 appartient à cet intervalle donc à A, ce qui est
impossible puisque M est un majorant de A.
Supposons que M appartienne à Gr A, alors il existe nombre réel e > 0
tel que l'intervalle ]M — e, M + e[ soit contenu dans Cr A. D'autre part,
puisque M est la borne supérieure de A il existe un élément t de A tel que
M — e < t < M, ce qui est impossible car cette inégalité prouve que t appartient
à ]M — e, M + e[ donc à Cr A. Ces deux cas étant impossibles, A n'est pas
majorée.
2° Puisque A n'est pas majorée, il existe un élément t de A tel que x < t
donc B est non vide. Il est clair que B est minoré par x donc B admet une borne
inférieure m telle que m > x. Puisque CR A est une partie ouverte de R, il
existe un nombre e > 0 tel que l'intervalle ouvert ]x — e, x + e[ soit contenu
dans GR A. Si m = x, il existe un élément t de B tel que m < t < m + e, par
suite t appartient à ]x — e, x + e[ donc à Gr A. Ceci est impossible puisque t
appartient à B donc à A, par suite m ^ x donc m > x.
3° Supposons que m appartienne à Cr A, alors il existe un nombre réel e > 0
tel que l'intervalle ouvert ]m — e, m + e[ soit contenu dans Cr A. Nous savons
qu'il existe alors un élément t de B tel que m =ç t < m + e. Par suite t devrait
appartenir à Cr A ce qui est impossible.
Supposons que m appartienne à A, alors il existe un nombre réel e > 0 tel
que l'intervalle ouvert ]m — e, m + e[ soit contenu dans A. Posons
e' = Inf (e, m — x) ,
alors ]m — e', m + e'[ a A et x < m — e'. Le nombre m — e'/2 appartient
à l'intervalle ~\m — e',m + e'[ donc à A.
D'autre part x ^ m — e' < m — e'/2 donc m — e'/2 appartient à B ce qui
est impossible puisque m est la borne inférieure de B.
Nous avons démontré que A n'était pas majorée et qu'il était impossible de
trouver un nombre réel n'appartenant pas à A, ceci démontre que A = R.

NOMBRES RÉELS
13
1.6
3« — 1
On considère la suite de nombres réels («„) définie par «„ = pour tout
2 n + 3
entier positif n.
1° Démontrer que cette suite est croissante et majorée.
2° Démontrer, en utilisant la définition de la limite d'une suite, que
lim u„
3
2
Solution 1° La fonction homographique de R+ dans R définie par
3x - 1
Xi-*
2x + 3
est croissante pour x > 0, donc la suite («„) est croissante. Démontrons que
la suite (w„) est majorée par §. Nous avons pour tout n > 0 :
3 3«
u„ — - =
1
11
2 2 n + 3 2 2(2 n + 3) *
Cette différence est négative pour tout entier positifs donc la suite (w„) est
majorée par f.
2° Soit e un nombre réel strictement positif. Nous avons
_ 3 - ~ 11
"" 2 ~ 2(2 n + 3)
d'où
11
2(2 n + 3) '
Nous avons
11
< £
Si
»>Î(^H-
2(2 n + 3)
R étant un corps archimédien, nous savons qu'il existe un entier p tel que
donc si n ^ p nous aurons | w„ — f | < £. Par suite pour tout nombre réel
e > 0 il existe un entier naturel p tel que pour tout entier n > p nous ayons
I un — 11 < £• Ceci démontre que la suite («„) admet la limite f.

14
EXERCICES D'ANALYSE
I il Etude de la suite (uj = (x") où x est un nombre réel.
1° On suppose x > 1 et on pose x = 1 + a. Démontrer par récurrence que
pour n > 2 on a (1 + a)" > 1 + na. En déduire que la suite (w„) a la limite + oo
lorsque n tend vers + oo.
2° On suppose 0 < x < 1. Démontrer que lim w„ = 0.
3° Etudier les cas x = 1 et x < 0.
Solution 1° La formule est vraie pour n = 2. Supposons la vraie pour un entier « ;
nous avons alors (1 + a)" > 1 + «a d'où
(1 + a)n+1 > (1 + na) (1 + a) = 1 + (n + 1) a + na2 .
Par suite (1 + a)"+1 > 1 + (n + 1) a, la formule est donc vraie pour l'entier
« + 1. Ceci démontre que pour tout entier n ^ 2 nous avons
(1 + a)" > 1 + na.
Soit A un nombre réel positif. Puisque R est archimédien, il existe un entier p
tel que pa ^ A — 1. Par suite pour tout entier n ^ p nous aurons na + 1 ^ A
d'où «„ > A Ainsi pour tout nombre réel positif A, il existe un entier/) tel que
pour tout entier n > p nous ayons un > A. Ceci démontre que la suite (w„)
a la limite + oo lorsque n tend vers + oo.
2° Puisque 0 < x < 1, en posant f = l/x nous avons f > 1 et
M" = 6) =?-
Soit e un nombre réel strictement positif, nous aurons 1/t" < e si t" > 1/e. La
suite (t") ayant la limite + oo lorsque n tend vers + oo, il existe un entier/) tel
que pour tout entier n > p nous ayons t" > tp > 1/e, soit l/t" < e, d'où u„ < e.
Ceci démontre que lim u„ = 0.
n-* +oo
3° Supposons x= 1, alors «„ = 1 pour tout entier n et la suite (u„) est
convergente et admet la limite 1.
Supposons x = 0, alors nous avons lim u„ = 0.
n-» + ro
Supposons — 1 < x < 0. Posons t = — l/x, alors t > 1 et | m„ | = f".
Nous sommes ramenés au cas étudié au 2°, par suite lim | «„ | = 0 d'où
n-» + ro
. lim u„ — 0 .
Supposons x = — 1 alors u2„ = 1 et w2«+i = — 1 pour tout entier n.
La suite («„) n'est pas convergente.

NOMBRES RÉELS
15
Supposons x < — 1. Nous avons | u„ \ = \ x" \ = | x \" donc la suite (| u„ |)
a la limite + oo (voir 1°). Mais u2„ ^ 1 et w2«+i < — 1 pour tout entier n. \j&
suite (w„) est donc divergente.
Conclusion
Pour x > 1
lim x" = + oo.
n-* +œ
Pour x = ] lim x" = 1
Pour - 1 < x < 1 lim x" = 0
Pour x < — 1
la suite (u„) n'a pas de limite.
1.8 Soient a et b deux nombres réels strictement positifs. Etudier la suite
(cet exercice utilise les résultats de l'exercice précédent).
Solution Puisque b est un nombre réel non nul posons k = a/b, alors
k" - 1
u„ =
k" + 1
et k est un nombre réel strictement positif.
Supposons k = 1, alors u„ = 0 pour tout entier n, donc lim w„ = 0.
Supposons A: < 1. L'exercice 1.7 nous a permis de démontrer que
lim k" = 0 .
rt-» + oo
Nous allons démontrer que la suite (u„) a la limite — 1. Nous avons :
Puisque k > 0
«„ - (- 1) I =
2fe"
k" - 1
/c"+ 1
+ 1
2fe"
fc"+ 1
k" + 1
2fc"
fc" + 1
^ 2/c"

EXERCICES D'ANALYSE
Soit e un nombre réel strictement positif, nous savons {cf. exercice 1.7, 1°)
qu'il existe un entier p tel que pour tout entier n ^ p nous ayons k" < e/2 ;
alors pour de tels entiers n, | u„ — (— 1) | < 2 k" < e. La suite (w„) admet donc
la limite — 1. Donnons une autre démonstration de ce résultat. Puisque
lim k" = 0 nous avons
lim {k" - 1) = - 1 et lim {kn + 1) = 1.
n-* + œ n->+ go
Par suite
k" - l lim {k" - 1) - 1
lim = "i±^ = = - 1.
n- + oofe" +1 lim k" + 1 1
n-*+ co
Supposons k > 1. Nous allons démontrer que lim w„ = 1. Nous avons
I u„ - 1 | =
^1-1
k" +1
2 2
k" + 1 ^ fc"
Soit e un nombre réel strictement positif, l'inégalité 2/fe" < e est équivalente à
k" > 2/e. Nous savons {cf. exercice 1.7, 1°) qu'il existe un entier p tel que
pour tout entier n ^ p nous ayons k" > 2/e, alors pour de tels entiers k on a
2
I u„ - 1 | «S — < e .
La suite (w„) admet donc la limite 1.
Conclusion
Pour a < b lim u„ = — 1.
Pour a = b lim u„ = 0.
«-»+ CO
Pour a > b lim u„ = 1.
n-* + co
1.9 ? Soient a et 6 deux nombres réels tels que a < b. Soit x un élément de
l'intervalle fermé [a, b].
1° Démontrer que pour tout entier n il existe un entier k„ unique vérifiant
0 «S k„ < 2" et
'.' b — à s ., _ fe — a
tf+ k„ ^ x < a + {k„ + 1)
( 2" 7 v " ' 2"
2° En déduire que tcraf élément x de l'intervalle [c, 6] est limite d'une suite
(u„) où les un sont de la forme
u„ = a + k„ avec 0 < k„ < 2" .

NOMBRES RÉELS
17
Solution 1° Soient n un entier positif ou nul et A l'ensemble des entiers p ^ 0 vérifiant
/ .x b — a
a + (p + 1) > x .
2"
Cet ensemble est non vide puisque
,^b — a , b — a ,
a + (2" + 1) = b + > b ^ x .
2" 2"
Comme A est une partie non vide de N, A admet un plus petit élément k„,
mais k„ — 1 n'appartenant pas à A, nous avons
,, < hn b — a ,, ..b — a
a + (fc„ - 1 + 1) —^- ^x <a + (k„+l) —^-
d'où
, b — a ^ „ ..b — a
a + k„ =g x < a + (k„ + 1) .
2" 2"
Mais nous avons vu que 2" est un élément de A donc k„ ^ 2" et comme k
appartient à A nous avons k„ ^ 0. Supposons qu'il existe un autre entier k'„ ¥= k„
tel que 0 < k'„ ^ 2" et vérifiant
,, b — a ,,, ^.b — a
a + k„ < x < c + (k; + 1)
alors nous avons k„ < k'„ ou fcj, < k„. Supposons que k„ < k'„ alors k„ et k'„
étant des entiers nous avons k„ + 1 < k'„ d'où
., ,. b — a „ ,, b — cz
x < a + {k„ + 1) *•; a + fc„ «S x
2" 2"
d'où x < x ce qui est impossible donc &„ est unique. Nous venons ainsi de
trouver pour tout entier n ^ 0, un entier unique k„ vérifiant
0 =g k„ ^ 2" et a + fc„ —— < x < a + (fc„ + 1) ~ g .
2° Soit x un élément de l'intervalle [a, b]. Nous définissons u„, pour chaque
entier « > 0, par
, b — a
m, = c + k, - —
où &„ est l'unique entier vérifiant
0 ;g k„ ^ 2" et a + k„ ~ < x < c + (k„ + 1) —^~— .

18
EXERCICES D'ANALYSE
Il est clair que
b - a
0 < x — u„ <
2"
Soit e un nombre réel strictement positif nous savons (cf. exercice 1.7, 2°)
qu'il existe un entier p tel que pour tout entier n ^ p nous ayons
1 £
— < d'où 0 =g x — u„ < £ soit I u„ — x I < £
2" b - a
ceci démontre que la suite (u„) admet x pour limite. Par suite, tout point x de
l'intervalle [a, b] est limite d'une suite (u„) où les u„ sont de la forme
u„ = a + k„ avec 0 < k„ < 2" .
2"
1.10 1° Soit (u„) une suite de nombres réels. On suppose qu'il existe un nombre réel
k > 1 et un entier n0 tels que u„0 > 0 et u„+1 ^ ku„ pour tout entier n ^ n0.
Démontrer que
lim un = + oo .
«-*+ go
2° Soit (f„) une suite de nombres réels. On suppose qu'il existe un nombre
réel k et un entier n0 tels que 0 < k < 1 et | v„+1 | =g k \ v„ | si n ^ n0.
Démontrer que
lim v„ = 0 .
Solution 1° Nous avons
Supposons que
alors
donc
K„o+l > ku»0-
"„„ + «+! > ^+1m»o-
Nous venons de démontrer par récurrence que pour tout entier positif q, nous

NOMBRES RÉELS
19
avons u„0+q > kq u„0. Soit A un nombre réel strictement positif, nous savons
{cf. exercice 1.7, 1°) qu'il existe un entier p tel que pour tout entier q ^ p nous
ayons
Alors pour de tels entiers q,
w„0+« > k"u»0 > A-
Ainsi pour tout nombre réel A > 0 l'entier p + n0 est tel que pour tout entier
n ~5* p + n0 nous ayons u„ > A, ce qui démontre que
lim u„ = + oo .
/]-*+ GO
2° Nous avons
Ko+l I < fcl "wl
Un raisonnement analogue au précédent montre que pour tout entier
g^O nous avons
I f„„+9 K fc* I vno I •
Supposons v„0 = 0 alors pour tout entier q nous avons
vno+q = ^ donc lim v„ = 0 .
«-* + oo
Supposons | d„0 | > 0 et soit e un nombre réel strictement positif. Nous
savons {cf. exercice 1.7, 2°) qu'il existe un entier p tel que pour tout entier
q ^'P nous ayons
fc* < -r^—. d'où | v„0+q K K> | v„01 < e .
Ainsi pour tout nombre réel e > 0, l'entier p + n0 est, tel que pour tout entier
n ^ p + n0 nous ayons | v„ | < e. Par suite lim vn = 0.
1.11 Soient / un nombre réel et (uj une suite de nombres réels non nuls tels que
lim ^±1 = /.
«-»■ + GO Wn
On se propose d'étudier la convergence de la suite (u„) suivant les valeurs de /.
(On pourra utiliser les résultats de l'exercice 1.10).

20
EXERCICES D'ANALYSE
1° On suppose que 0 < / < 1. Démontrer qu'il existe un nombre réel k
et un entier n0 tels que
un+l
l < k < 1
et
< k
pour tout entier n ^ n0. Déterminer la limite de la suite (w„) lorsque n tend vers
+ oo. En déduire la limite de la suite (u„) lorsque — 1 < / < 0.
2° On suppose que | /1 > 1, étudier la limite de la suite (w„).
3° Donner des exemples de suites convergentes et de suites divergentes
telles que
lim ^±i = 1.
4° Soient k un entier relatif et x un nombre réel non nul. Etudier la suite
«-©■
Solution 1° Puisque / < 1, il existe un nombre réel k tel que 1 < k < 1. Par hypothèse
la suite (d„) = (un+juj admet / pour limite, donc il existe un entier n0 tel que
pour tout entier n ^ n0 nous ayons \v„ — l \ < k — l d'où
- (k - l) <
l <k- l
soit
11- k <
Un+1
< k , or 2 Z — k >
donc
k <
*«+i
< k
soit
<n+l
< k.
Nous allons démontrer que
lim m„ = 0 .
lre méthode. Pour tout entier n ^ n0 nous avons | u„+1 | < k\u„\ alors la
démonstration donnée à l'exercice 1.10, 2° nous montre que lim un = 0.
2e méthode. Pour tout entier n ^ n0 nous avons |w„+1| <k|u„| ork< 1
donc | u„+l | < | u„ \. Par suite à partir de l'entier n0 la suite | u„ \ est
décroissante et comme \u„\ ^ 0 la suite | un \ admet une limite. Les inégalités se
conservent par passage à la limite donc
0 <: lim |uB+i|< lim k\u„\.

NOMBRES RÉELS
21
Or
lim fc|u„| = fc lim | u„ | et lim | u„+l | = lim \u„\.
n-*+co n-> + go n-* + co n-> + co
Nous avons donc les inégalités
0 =g lim | u„ | =S k lim \u„\ , mais si lim | u„ \ ¥= 0
«-)•+ co n-*+œ n-* + co
nous obtenons
d'où
k lim i u„ | < lim | u„ | puisque k < 1
/j-* + co n~* + on
lim | u„ j < lim | m„ |
n-* + co n-* + œ
ce qui est impossible donc
lim | u„ | = 0 soit lim u„ = 0
Supposons maintenant que — 1 < / < 0 alors
lim
n-> + co
U„+l
donc la suite (| u„ |) vérifie les hypothèses précédentes, par conséquent
lim | m„ | = 0 d'où lim u„ = 0 .
n~* + co H-» + co
2° Supposons / > 1, alors il existe un nombre réel k et un entier n0 tels que
1 < k < l et pour tout entier n ^ n0, nous avons
Hï±I _ ;
<l - k
Nous avons donc
- (Z - fc)< -"— - l<l - k d'où
w«+i
> k,
par suite | un+1 | > k\u„\ et \ u„0\ > 0 ; la suite (| u„ |) vérifie les hypothèses
de l'exercice 1.10, 1° donc lim | u„ \ = + co. D'autre part l'inégalité
> k
nous montre qu'à partir du rang n0, tous les termes de la suite conservent le
même signe, par suite
lim u„ = + oo si u„0 > 0 et lim u„ = — co si u„0 < 0.
n-* + co n~* + co

EXERCICES D'ANALYSE
Supposons maintenant / < — 1, alors la suite (| u„ |) vérifie les hypothèses
précédentes donc lim \u„\ = + oo. D'autre part il existe un entier/? tel que
n-* +œ
pour tout entier n ^ p nous ayons
un+\ __ i
un+\
< - l d'où ^=ii < 0,
ce qui prouve que les termes de la suite changent alternativement de signe.
Comme lim | u„ | = + oo la suite u„ est divergente.
n-y + oo
3° La suite (u„) = (1/w) a la limite 0 et
lim ^±i = 1,
de même la suite (u'„) = (n) vérifie l'hypothèse
lim ul±l = i
et nous avons
lim u'„ = + oo .
«-> + oo
4° Etudions la suite (u„) = (nkjj^). Nous avons
u„+1 _(n+ 1/ x" L | l\fcl
w„ x"+1 n* \ n/ x'
Il est clair que pour tout entier relatif k,
lim (l + -) =1 donc lim ^=±i = - .
Si | l/x | 5^ 1 la discussion précédente nous donne la nature de la suite (u„).
Supposons que x = 1, alors u„ = nk. Si k > 0 lim u„ = + oo ; si k = 0
n-» +œ
M« = 1 Pour tout entier n, donc lim u„ = 1 ; enfin si A: < 0
«-» +C0
u„ = —— , donc lim u„ = 0 .
n n- + «>
Supposons que x = — 1, alors u„ = (— l)"«fc, par suite | w„ | = nk donc si
A: > 0
lim | u„ | = +oo
«-> + 00
et comme les termes de la suite changent alternativement de signe, la suite (u„)

NOMBRES RÉELS
23
est divergente. Si fc = 0, un = ( — 1)" et la suite (w„) est divergente, enfin si
k <0
lim | u„ | = 0 donc lim u„ = 0 .
n-* + oo n-» + co
Conclusion
Si x > 1 lim m„ = 0
«-» + °°
fe > 0 lim u„ = + co
Si x = 1 J fc = 0 lim w„ = 1
«->+ CO
k < 0 lim u„ = 0
n-» + co
Si 0 < x < 1 lim u„ = + oo
n-* + °o
Si — 1 < x < 0 la suite (u„) est divergente
!fe ^ 0 la suite (u„) est divergente
k < 0 lim u„ = 0
n-> + co
Si x < — 1 lim w„ = 0 .
B-»+ CO
1.12 Soit (w„) une suite de nombres réels convergeant vers un nombre réel /.
Le but de cet exercice est de démontrer que la suite (vn), définie par
uy + u2 + ■■■ + u„
v„ =
pour tout entier n ^ 1, est convergente et admet la limite /.
1° Soit e un nombre réel strictement positif. Démontrer qu'il existe un entier
p tel que pour tout entier n ^ p on ait
\up- l\ + \ up+i - 11 + - + | u„ - /1 < n |.
2° L'entier p étant celui trouvé précédemment, démontrer qu'il existe un
entier g tel que pour tout entier n ^ q on ait
| (Ul - l) + (u2 - l) + - + (wp_! - Z) | < nB-.
3° Déduire de ce qui précède que lim v„ = l.

24
EXERCICES D'ANALYSE
Solution 1° La suite (w„) étant convergente il existe un entier p > 1 tel que pour tout
entier n > p nous ayons | u„ — /1 < e/2, alors comme la somme
l«P- 'I + K+i ~ /| + - + K- /|
comporte n — /> + 1 termes nous avons
I up - l\ + | up+1 - l\ + - + | u„ - l\ < (n - p + 1) | < n î.
2° Puisque R est un corps archimédien il existe un entier positif q tel que
| (i*! - l) + (u2 - l) + - + (mp_! - Z) |
o.l > 4J -
E
soit
21 («i - 0 + ("2 - 0 + - + K-i - 01
e
d'où l'inégalité
| (Ml - /) + (u2 -l) + - + (up_! - /) | < n |
pour tout entier n ^ g.
3° Nous avons
, (ut - l) + (m2 - Q + - + (u„ - /)
Soit e un nombre réel strictement positif, nous avons vu au 1° qu'il existe un
entier p tel que pour tout entier n ^ p nous ayons
g
\up - l\ + |mp+1 - l\ + - + \u„ - l\ < n 2-
De même nous avons vu au 2° qu'il existe un entier g tel que pour tout
entier n ^ g nous ayons
| (Ui - /) + (u2 - /) + - + (up_! - Q |<
imposons v = Sup (p, g) ; alors pour tout entier n ^ v nous avons
,. J («î - 0 + («2 - 9 + - + (wp-i - 0 I ,
1 Up - l\ + j Mp+1 - / j + - + | U„ - l |
n
d'où | v„ — /1 < e. Ceci démontre que la suite (i>„) est convergente et admet la
limite /.

NOMBRES RÉELS
25
1.13 1° Soit g une application strictement croissante de N dans lui-même.
Démontrer que pour tout entier « > 0 on a g(n) ^ n.
2° Soient (w„) et (v„) deux suites de nombres réels telles que
lim v„ = + oo et u„ ^ v„
n-* + oo
pour tout entier positif n. Démontrer que toute suite extraite de la suite (u„)
admet pour limite + oo.
Solution 1° Nous allons démontrer la relation par récurrence. Il est clair que g(0) ^ 0.
Supposons que g(n) ^ n alors puisque l'application g est strictement croissante,
g(n + 1) > g(ri) ^ n ; donc nous avons g{n + 1) > n. Mais g(n + 1) est un
entier d'où g(n + 1) ^ n + 1. L'inégalité est donc vraie pour tout entier n.
2° Soit (wg(„)) une suite extraite de la suite («„). La fonction g est donc une
application strictement croissante de N dans N. Soit A un nombre réel
strictement positif, puisque lim v„ = + oo il existe un entier p tel que pour tout
n-* + oo
entier n ^ p nous ayons v„^ A. Mais d'après ce que nous avons vu au
1°, g(n) ^ n donc vgiti) > A d'où wg(B) ^ vgM ^ A. Ainsi pour tout nombre réel
A > 0, il existe un entier p tel que pour tout entier n ^ p nous ayons wg(B) ^ j4,
ceci démontre que la suite (wg(„)) admet la limite + co.
1.14 Soit (u„) une suite de nombres réels telle que les suites extraites (u2„), («2«+i)
et (w3„) soient convergentes. Démontrer que la suite (m„) est convergente.
Solution Nous savons que si une suite (vn) de nombres réels est convergente et admet
pour limite un nombre réel v, alors toute suite extraite de la suite (v„) est
convergente et admet v comme limite.
La suite (u6„) est extraite des suites (w2„) et (u3n), donc cette suite est
convergente et admet une limite qui est la même que celle des suites (u2n) et (u3„) d'où
lim u2„ = lim u3„.
«-> + oo n-> + oo
La suite (u6n+3) est extraite des suites (w2«+i) et («3») donc comme
précédemment nous avons
lim m2«+i = 'im u3„.

26
EXERCICES D'ANALYSE
Par suite
lim u2n = lim u2n+1 ■
n-* + oo n-» + co
Notons / la limite commune aux suites (m2„) et (w2«+i)- Soit e un nombre réel
strictement positif alors il existe un entier n1 (resp. n2) tel que pour tout entier
n ^ «t (resp. n ^ n2) nous ayons | u2n — l\ < e (resp. | u2n+l — /1 < e).
Posons «0 = Sup(2«l5 2 «2 + 1) alors pour tout entier n ^ «0 nous avons
| w„ — /1 < e ce qui démontre que la suite (m„) admet la limite /. La suite (m„)
est donc une suite convergente.
1.15 Soit (u„) la suite de nombres réels, définie pour tout entier n ^ 1 par
* 1 1 1
„.= !+- + -+...+-.
En considérant la différence u2n — u„ démontrer que la suite (w„) n'est pas
une suite de Cauchy.
Solution Nous savons qu'une suite (u„) est une suite de Cauchy si et seulement si pour
tout nombre réel e > 0 il existe un entier n tel que, pour tout couple {p, q)
d'entiers vérifiant p ^ q > n nous ayons \up — uq\ < e. Par conséquent pour
démontrer que la suite (u„) n'est pas une suite de Cauchy il faut et il suffit de
trouver un nombre réel e > 0 tel que pour tout entier n, il existe un couple
{p, q) d'entiers vérifiant p ^ q ^ n et | up — uq \ ^ e. Nous avons
1 1 1
u2n - un = —-—r + —— + — + — ;
n + 1 n + 2 2n
cette somme comprend n termes qui sont minorés par — donc
. 1 1
Ainsi pour le nombre réel \, quel que soit l'entier n ^ 0 le couple d'entiers
(2 n, n) vérifie 2 n ^ n et n ^ n et, | u2„ — u„ \ ^ \ ce qui démontre que la
suite (m„) n'est pas une suite de Cauchy.
1.16 Soit k un nombre réel tel que 0 < k < 1. Soit (w„) une suite de nombres réels
telle que pour tout entier n ^ 0 on ait | u„+2 — un+l \ < k \ u„+l — u„ |.
1° Démontrer que | un+1 — u„ \ < k" \ ux — u0 \ pour tout entier n ^0.

NOMBRES RÉELS 27
2° Démontrer que si/? et q sont deux entiers tels que/? ^ q ^ 0 alors
3° Déduire de ce qui précède que la suite (m„) est une suite de Cauchy.
Solution 1° Démontrons l'inégalité par récurrence sur l'entier n. Pour n = 0 il est clair
que l'inégalité est vraie. Supposons que
I "„+i - u„\ ^kn\ul - u0\ alors | un+2 - u„+1 | ^ k \ m„+1 - u„ \
donc | un+2 — m„+i | ^ kn+1 | ul — m0 |. L'inégalité est donc vraie pour tout
entier n > 0.
2° Nous avons
UP- uq = (up - Mp_t) + (mp_! - mp_2) + - + (uq+1 - uq),
d'où
I Up - M, | ^ | Up - Mp_! | + | Mp_! - Mp_2 | + - + | M9+1 - M, | ,
par suite
\up- ug\ ^ (k"-1 + kp~2 + - + *«) | «! - «o | .
Or nous savons que
k"
donc
(i _ kp~q\
\_k ) et 0 < fc < 1
■ ,_-,«! Ml "-Mol
I «p - «« I < « —j _ k ■
3° Si u1 = m0 alors m„ = u0 pour tout entier n ^ 0, par conséquent la suite
(m„) admet la limite m0 donc la suite (m„) est une suite de Cauchy. Supposons
Uy # m0 et soit £ un nombre réel strictement positif. Nous savons (cf.
exercice 1.7, 2°) qu'il existe un entier n tel que pour tout entier q ^ n nous ayons
| Mt - M0
Par suite, pour tout couple d'entiers (/?, ç) vérifiant p ^ q ^ n nous avons
| mp — uq | < £. Ceci achève de démontrer que la suite (m„) est une suite de
Cauchy.

28
EXERCICES D'ANALYSE
1.17 Soit (w„) une suite décroissante telle que pour tout entier n ^ 0 on ait u„ ^ 0 ;
on suppose de plus que lim u„ = 0. On pose
n-» + oo
V„ = «O - "l + «2 + - + (- 1)" Un .
1° Soient q et k deux entiers positifs. Démontrer que
Uq - «8+1 + "« + 2 + - + (- 1)* Uq+k > 0 .
2° Démontrer que la suite (vn) est une suite de Cauchy.
Solution 1° Nous allons démontrer l'inégalité par récurrence sur l'entier k. Si k = 0
il est clair que l'inégalité est vraie. Supposons la relation vraie jusqu'à l'entier
k — 1 ; alors, ou bien k est pair et puisque uq+k ^ 0 nous avons
uq ~ M«+i + - + (- 1)* ",+t = (", - ",+ i + - + (- l)*"1 «,+*-i) + uq+k
donc
"« - "«+i + - + (- 1)* ««+* > 0 ;
ou bien k est impair et puisque uq+k-1 — uq+k ^ 0 nous avons
"« - "s+i + - + (- 1)* "«+* = («, - ",+ i + - + (- l)*-2 «,+*-2) +
+ (««+*-1 - «,+*)
donc
"« - w«+i + - + (- !)* "«+* S* ° •
2° Calculons î;9+fc — vq.Si k ^ 2 nous avons
»,+* -», = (-1)9+1 "9+i + (- o9+2«,« + - + (- iy+kuq+k, d'où
»,+* -», = (- i)*+1 k+i - "«+2 + - + (- n*-1 «9+j -
Or nous avons vu que [m9+1 — uq+2 + — + (— l)t_1 uq+k~\ ^ Odonc
I vq+k -vq\= K+i - "«+2 + - + (- l)*"1 «,+*]
donc
I Vq + k ~ "q I = ["«+1 - K+2 - "« + 3 + - + (~ 0*"2 "«+*)] ■
Nous avons vu que m9+2 — m9+3 + — + (— l)*-2 uq+k ^ 0 donc
I Vq+k - v9\ ^ ",+ i-
Il est clair que cette dernière inégalité est vraie pour k = 1 et & = 0 donc pour
tout entier k ^ 0 nous avons | v +k — vq\ ^ uq+1. Soit e un nombre réel strie-

NOMBRES RÉELS
29
tement positif, puisque la suite (u„) admet la limite 0 lorsque n tend vers + oo,
il existe un entier n tel que pour tout entier m ^ n nous ayons \um\ < e soit
um < s. Par suite pour tout couple d'entiers (p, q), vérifiant p ^ q > n — 1
nous avons | vp — vq | < uq+i < s. Nous venons ainsi de démontrer que la
suite (v„) est une suite de Cauchy.
1.18 Soient a et b deux nombres réels tels que 0 < a < b. On définit les suites
(m„) et 0„) par : u0 = a, v0 = b et
Un + »„
u„+\ = \/ti„v„, v„+1 = -JL——- pour tout entier n ^ 0.
1° Démontrer que pour tout entier h ^ 0 on a :
u0 ^ u„ < un+l < vn+l <vn^v0.
2° Démontrer que
vn ~ u« ^ — pour tout entier n ^ 0 .
En déduire que les suites (un) et (v„) sont convergentes et ont même limite.
Solution 1° Il est clair que tous les termes des deux suites sont des nombres réels
strictement positifs. Nous allons démontrer les inégalités proposées par récurrence
sur l'entier n.
Pour n = 0, il est clair que
/ , "o + vo
Mo < V"o v0 et < v0 .
Démontrons que
r-r a + b
En élevant au carré les deux membres de cette inégalité, nous obtenons
4 ab < (a + b)2
soit 0 < a2 — 2 ab + b2 ce qui est vérifié, par suite
u0 ^ u0 < ut < vt < v0 ^ v0 .
Supposons les inégalités vraies jusqu'à l'ordre n — \. Nous avons
"o ^ w«-i < u„ < v„ < v„_ i < v0 .

30
EXERCICES D'ANALYSE
Mais comme précédemment nous avons
u„ < yfu„ v„ , — < v„ ainsi que y/u„ v„ < —-—s .
Par suite nous avons
m0 ^ w„-i < m„ < m„+i < f„+i <v„ < «„_! =? «o
soitM0 < u„ < m„+1 < vn+1 < v„ ^ v0, l'inégalité est donc vraie pour l'entier n
d'où la relation m0 < u„ < m„+1 < vn+l < v„ ^ v0 pour tout entier n ^ 0.
2° Nous allons démontrer cette inégalité par récurrence. Il est clair que
^o - "o ^ 2o •
Supposons que nous ayons
«o — «o
"» "" ^ ^T
Nous avons
»» + u« /—- ^ ^
i;„ — u„
2 v " " 2
car après simplification nous obtenons — v un v„ ^ — u„ ce qui est vérifié. Par
suite
V„+l - M„+1 < — - ^
2«+i
ce qui démontre que
2"
Nous savons (ç/! exercice 1.7, 2°) que
lim — = 0.
pour tout entier n ^ 0 .
Or
0 < i;„ - w„ < —
*s un un *=s „
d'où par passage à la limite
0 < lim (t;h — u„) ^ lim I ———— I soit lim (v„ — u„) — 0 ,
lï-> + 00 M-> + CO \ 2 / IÎ-* + CO

NOMBRES RÉELS
31
D'autre part la suite (w„) est croissante, la suite («„) est décroissante et ces deux
suites vérifient u„ < v„ pour tout entier n ^ 0. Ces suites sont donc des suites
adjacentes, par suite elles sont convergentes et admettent la même limite
{cf. CE., Ch. 1, § II, 15).
Soient (a„) et (b„) deux suites de nombres réels telles que pour tout entier
K^Oon ait a„ ^ o„+1 < bn+1 ^ b„.
1° Démontrer que les suites (a„) et (bn) sont convergentes. Soit a (resp. b)
la limite de la suite (an) (resp. (£„)) ; démontrer que a < b.
2° Démontrer que
PI [««> Kl = la, b~\ .
neN
3° On suppose que lim (b„ — a„) = 0. Démontrer que f*| [a„, b„] est
«-> + co neN
réduite à un seul nombre réel. (II ne s'agit pas dans cette dernière question-
d'utiliser le théorème sur les suites adjacentes.)
Solution 1° Il est clair que pour tout entier n ^ 0 nous avons
a0 «S a„ «S a„+1 *£ b„+1 *£ b„ ^ b0 .
La suite (c„) est croissante et majorée par b0 donc elle est convergente. La
suite (b„) est décroissante et minorée par a0 donc elle est convergente.
Soit p un entier, alors pour tout entier n ^ p nous avons ap ^ a„ ^ bn ^ fcp
donc ap ^ fc„, il est d'autre part bien clair que ap ^ bn pour n ^ p donc gp
est un minorant de la suite (bn) d'où
ap < lim b„.
n-» + co
Ce raisonnement étant vrai pour tout entier p, nous avons ap < b pour tout
entier /? d'où par passage à la limite, lim ap < b soit a ^ b.
P~* +00
2° Nous savons que a = Sup { a„ } et b = Inf {£„} (c/. CE., Ch.l, § II, 14).
neN neN
Par suite pour tout entier n ^ 0 nous avons a„ ^ a < b ^ £>„ d'où
[a, 6] c [o„, Z>„]
ce qui prouve que
[a, b] <= fl [>„, fcj •
neN
Réciproquement nous allons démontrer que si x n'appartient pas à l'intervalle
[a, b] alors x n'appartient pas à f) [a„, bn]. Supposons x < a (le raisonnement
neN

32
EXERCICES D'ANALYSE
est analogue si x > b), puisque a est la borne supérieure de l'ensemble des a„
pour tous les entiers n ^ 0, il existe un entier p tel que x < ap ^ a. Par suite x
n'appartient pas à l'intervalle fermé [ap, bp] donc x n'appartient pas à
l'intersection de tous les intervalles [an, b„]. Ceci démontre que
fi [e„, bj a la, b-\
«eN
donc nous avons
PI [«-» b«\ = [o, &] •
«eN
3° Nous allons démontrer que a = b. Nous savons que a ^ b, supposons que
a < b et posons e = b — a. Puisque lim {b„ — a„) = 0, il existe un entier p
tel que pour tout entier n ^ p nous ayons \b„ — a„\ < £ soit bn — a„ < e
puisque b„ ^ a„. Or nous avons vu au début de la 2e question que pour tout
entier n nous avons a„ ^ a ^ b ^ bn, par suite b„ — a„ ^ b — a. Alors pour
tout entier n ^ p nous avons b„ — a„ < e et b„ — a„ > e ce qui est impossible.
Ceci démontre que a = b, donc p) [o„, fc„] est réduite à un seul nombre réel.
n6N
On se propose de démontrer le théorème suivant : « De toute suite bornée
de nombres réels on peut extraire une suite convergente ».
Soit (u„) une suite de nombres réels ; on suppose que cette suite est bornée.
On note E l'ensemble des éléments de la suite (i. e. l'ensemble des nombres
réels u„ pour tous les entiers n ^ 0).
1° Démontrer le théorème si E est un ensemble fini.
2° On suppose E infini. Soit u un point d'accumulation de E {cf. CE., Ch. 3,
27).
à) Soient n et p deux entiers positifs tels que n # 0. Démontrer qu'il existe
un entier m ^ p tel que \um — u\ < \jn.
b) Construire par récurrence une suite (wg(„)), extraite de la suite (m„), et
convergeant vers le nombre réel u.
Solution 1° Puisque E est un ensemble fini, il existe un élément u de E tel que u„ = u
pour une infinité d'entiers n. Nous allons construire la suite extraite (ugM) par
récurrence.
Désignons par g(0) le plus petit entier k tel que uk = u.
Supposons défini g(n — 1) alors g(n) sera le plus petit entier /, strictement
plus grand que g(n — 1), tel que ut = u. Il est clair sur cette construction que
l'application g est une fonction strictement croissante de N dans N. Par
conséquent la suite (wg(„)) est extraite de la suite (m„) et converge vers le nombre réel u.

NOMBRES RÉELS
33
2° à) Puisque u est un point d'accumulation de E, il existe une infinité
d'éléments de la suite, tous disctints de u et appartenant à l'intervalle ouvert
1 ! l\
\u , u + - .
\ n n\_
Par suite il existe un entier m ^ p tel que \um — u\ < \jn.
b) Posons g(0) = 0. Supposons défini g(n — 1). Nous choisirons pour g(ri)
le plus petit entier q, strictement plus grand que g(n — 1), tel que
| uq - u | < -.
Nous avons ainsi défini une suite (ug(n)) extraite de la suite (u„). Soit e un nombre
réel strictement positif, alors il existe un entier p tel que pour tout entier n ^ p,
nous ayons l/n < e; par suite pour de tels entiers n, | Mg(/l) — u \ < e. La suite
(Ms(«)) admet donc la limite u.
1.21 Soit (m„) une suite de Cauchy de nombres réels. On se propose de démontrer
que cette suite est convergente en utilisant le théorème démontré à l'exercice
1.20.
1° Démontrer que la suite (u„) est bornée.
2° Soit (wff(„)) une suite extraite de la suite (u„) et convergeant vers un nombre
réel m. Démontrer que lim u„ = u (on pourra utiliser l'exercice 1.13, 1°).
Solution 1° Puisque la suite («„) est une suite de Cauchy, il existe un entier n0 tel que
pour tout couple d'entiers (p, q) vérifiant/? ^ q ^ n0 nous ayons | up — uq \ < 1
Soit en prenant q = n0, | up — uno | < 1 ou encore u„0 — 1 < up < u„0 + 1.
Soit a' (resp. b') la borne inférieure (resp. supérieure) de l'ensemble des nombres
réels uk pour k ^ n0 — 1. Posons g = Inf (a', um — l)et b = Sup (b', u„0 + 1),
il est alors clair que pour tout entier n ^ 0 nous avons a ^ u„ < b ; la suite (w„)
est donc bornée.
2° Soit e un nombre réel strictement positif. D'une part il existe un entier n0
tel que pour tout couple d'entiers (p, q) vérifiant p ^ q ^ n0 nous ayons
\UP — uq\ < £/2- D'autre part il existe un entier ni tel que pour tout entier
n 5s «t nous ayons | ugi„) — u \ < e/2. Posons v = Sup («0, nt) ; alors pour tout
entier n ^ v nous avons g(n) ^ n (cf. exercice 1.13, 1°) donc g(ri) ^ nu par
suite | Me(„) — u | < e/2. De même puisque g(ri) ^ n ^ «0 nous avons
I "ew ~ un I < ô •
Calvo. — Exercices d'analyse
2

34
EXERCICES D'ANALYSE
Nous avons u„ — u — (un — wg(n)) + (w9(„) — u) d'où
£ £
I "« - « I < I «« - wS(») I + I "9(«) -M'<2 + 2 = £'
Ainsi pour tout nombre réel £ > 0 il existe un entier v tel que pour tout entier
n > v nous ayons \u„ — u\ < £ ; ceci démontre que la suite (u„) est
convergente.

2
FONCTIONS REELLES
D'UNE VARIABLE RÉELLE
L.l Soient x un nombre réel et a un nombre réel strictement positif. On considère
une application / définie sur l'intervalle ouvert ]x — a, x + a[ et à valeurs
réelles. Démontrer que s\f(x + fi) admet une limite finie / lorsque h tend vers 0,
alors lim [/(x + h) —f(x — fïj] = 0. La réciproque est-elle vraie ?
7i-»0
Solution lre démonstration : Soit e un nombre réel strictement positif. Puisque
lim/Oc + h) = l,
h-*0
il existe un nombre réel rj > 0, tel que pour tout nombre réel h vérifiant
0 < | h | < r\, nous ayons \f(x + h) — /1 < s/2. Mais
f(x + h) -f(x -h) = (f(x + h)-l) + {l -f(x - h)),
donc
\f(x + h) -f(x -fi)\^\f(x + h)-l\ + \l -f(x -h)\;
par suite si 0 < | h | < rj nous aurons
i/(* + a)-/(x-/oi <!+! = «.

EXERCICES D'ANALYSE
Pour tout nombre réel e > 0, il existe un nombre réel r\ > 0 tel que pour tout
nombre réel h vérifiant 0 < | h | < rj, nous ayons |/(x + h) — /(x — h) | < e.
Ceci démontre que
lim [/(x + h) - /(x - M] = 0.
7i-*0
2e démonstration : Nous avons
lim/(x + h) = lim/(x - h) — l.
D'autre part
lim[/(x + h) -/(x - h)] = lim/(x + K) - lim/(x - fi);
*-»0 7i->0 li-»0
par suite
lim [/(x + h) - /(x - fc)] = 0 .
A-»0
Considérons la fonction/ définie sur l'intervalle ]— 1, 1[ par /(x) = 1/x2
si x ¥= 0 et/(0) = 0. Nous avons, f {h) -/(- h) = 0 donc
lim /(0 + fc) - /(0 - fc) = 0 .
D'autre part lim /(0 + A) = + oo donc la réciproque est fausse.
7i->0
LiL Calculer les limites suivantes
1° rima„x" + a„_! x"-1 + — + a1 x + a0
x-*a
où a est un nombre réel et at un nombre réel pour 0 < i < n.
lim0^"'*"
où n est un entier naturel et x et h des nombres réels.
3° lim
a„x" + a„_x x" + ••• + al x + a0
x-+» bmxm + b„,^1 xm + - + bx x + b0
où m et n sont des entiers positifs et at et bj des nombres réels pour 0 < i < n
et 0 < j < m ; on suppose de plus que a„ ^ 0 et bm ± 0.
lim vA + - +1- J-2 + --1
x-»0 V X X v X X
lim x sin — .
v->n X

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
37
Solution 1° Nous savons (cf. C. E., Ch. 4, § 42, é) que
lim xk = ak, lim ak xk = ak ak
x-*a x-*a
et
lim (anx" + a„_1 x"-1 + — +ax x + a0) = aBa" + a,I_1 a"~1+ ■■■ + a, o + fl0 •
2° Nous avons d'après la formule du binôme
(x + h)" = x" + nx"-1 h + h2 Q(h)
où Q est un polynôme en h dont les coefficients sont le produit d'un
nombre réel et d'une puissance de x. Par suite
(x + hj -v; = ^^ + fce(A)
Lorsque h tend vers 0, g(^) tend vers g(0) (ç/: question 1°)
donc
(x + hy-x-
hm t = nx
3° Supposons d'abord m = n ; en divisant le numérateur et le dénominateur
de la fraction par x", nous obtenons :
an x" + a„_ t x" ] + ••• + at x + a0
b„x" + b„_! x"-1 + ••• + *>! x + fc0
Mais
lim -?*- = lim A. = o
pour tous les entiers fc tels que 0 < k < n — 1. Par suite le numérateur admet
la limite a„ et le dénominateur la limite bn d'où
a„ x" + «„_! x"-1 + ••• + ax x + a0 _ a„
X- + OC b„x" + b„_i x"-1 + - + btx + b0 b„'
CL H h — H r H
bn+b-^+
bi b0

EXERCICES D'ANALYSE
Supposons maintenant m > n ; en divisant le numérateur et le dénominateur
de la fraction par x'n nous obtenons :
a„x" + a„_! x"~1 + •■■ + ax x + a0 _
bmxm + bm.lxm-l +
bt x + b0
an +
xm'n
K +
xm'n+1 xm~l xm
b'«-i _l _i_ bi . b°
^7 ~^ m
Lorsque x tend vers + oo le numérateur admet 0 pour limite et le
dénominateur admet bm pour limite, par suite :
lim a«x" + a«-ix"~l + - + Qix + a0 = Q
»- + co bmxm + &,„_! xm_1 + ••• + &! x + fc0
Supposons enfin n > m ; en effectuant la division euclidienne du numérateur
par le dénominateur nous obtenons :
a„ x" + «„_! x"-1 + ••• + «! x + a0 =
= QW (fcm x'" + bm_x x""1 + - + b, x + b0) + R(x)
où JR est un polynôme de degré strictement inférieur à m. Par suite
a„x" + «„_! x"-1 + — + at x + a0
bmxm + bm-1xm-1 +- + blX + b0
= G(*) + ^ •
bmxm + b,„_! xm + - + bt x + b0
Lorsque x tend vers + oo, R(x)/(bmxm + b,„_1 jc™"1 + — + bt x + b0) tend
vers 0 d'après l'étude précédente. Nous savons que le polynôme Q est de la
forme
Q(x) = ^x"-,n+ Q'(x)
"fît
où <2' est un polynôme de degré inférieur ou égal à n — m — 1, par suite
ew^W-^ + ^l
\bm x"-mI
Lorsque x tend vers + oo, Q'(x)lx"~m tend vers 0 donc
lim Q(x) = lim ^x"-'n,

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
39
par suite
lim g(x) = + oo si ~- > 0 et lim Q(x) = - oo si -^ < 0.
Conclusion
,. a„ x" + q„_1 x" + — + ai x + a0 _
*-+«, b,„ xm + bm_! x"1-1 + - + bi x + b0
0 si n < m
si n = m
+ oo si n > m et -— > 0.
4° Nous avons
— oo si n > m et -— < 0
bm
\l x2 x y x2 x /1
J -2 + - + i + Jh + -
V X X v X X
Si x > 0 posons X = l/x alors lim X = + oo d'où
x->0 +
1 1 ■>
lim — H h 1 = lim X + X + 1 = + oo
x->0+ X X X-» + oo
lim -^ + i - 1 = lim X2 + X - 1 = + oo
x->0+ X X X-»+ o=
d'où nous déduisons que
lim J\ + - + 1 + . \ + -
x-,o+ V x2 x V x2 x
1 = + oo
par suite
lim J\ + - + 1 - -2 + -
x^o+ V x2 x V x2 x
1 = 0.
Si x < 0, posons X = — l/x alors lim X = + oo et nous démontrerions
x-»0 —
comme précédemment que

40
EXERCICES D'ANALYSE
5° Nous savons que | sin u | < 1 pour tout nombre réel u. Soit e un nombre
réel strictement positif, alors si 0 < | x | < e nous avons
. 1
x sin -
x
< I x \ < e
ce qui démontre que lim x sin (1/x) = 0.
C,o Démontrer que la fonction réelle/, définie sur R par
f{x) = cos - si x # 0 et /(0) = 0,
n'a pas de limite lorsque x tend vers 0.
Remarquons tout d'abord que si k est un entier naturel non nul
/(i) = 1 et /((2kTT)^) = ~ * ■
Nous allons donner deux démonstrations du résultat.
lre démonstration : Nous allons prouver que / ne vérifie pas les hypothèses
du critère de Cauchy. Nous devons trouver un nombre réel e > 0, tel que pour
tout nombre réel a > 0, il existe deux nombres réels x et x' vérifiant 0 < | x \ < a
et 0 < | x' | < a et pour lesquels nous ayons \f(x) — f(x') \ > e. Prenons
e = 1 et soit a un nombre réel strictement positif, nous savons qu'il existe un
entier k tel que
1 , _,, , , 1 1 1
k > 7; H 1 doufc> -— soit —r— < a et 7 - < a .
2 na 2na 2 kn (2 k + 1) n
Posons
1
x = —:— et x =
2 kn (2 k + 1) n '
alors \f(x) — f(x') | = 2 > e. La fonction/ne vérifie pas les hypothèses du
critère de Cauchy donc cette fonction n'admet pas de limite au point 0.
2e démonstration : Nous allons construire une suite (x,,),.^ de nombres
réels telle que lim xn = 0 et que la suite /(xj n'ait pas de limite. Posons
«-> +00
x„ = Unit, il est clair que lim xn = 0, et que/(:*:„) = (— 1)", la suite (/GO)
n'est pas convergente ce qui prouve que/n'admet pas de limite au point 0.

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
41
2.A Soit /une fonction réelle définie sur R. On suppose que/est périodique de
période T (cf. C. E., Ch. 4, § I, 36, g), et que /admet la limite / lorsque x tend
vers l'infini. Démontrer que/est la fonction constante de valeur /.
Solution Nous allons donner deux démonstrations.
lre démonstration : Supposons / non constante, alors il existe deux nombres
réels x et x' tels que x =^ x' et/(x) ¥= fix1). Posons
e =
|/(x')-/(xi|
puisque lim /(x) = /, il existe un nombre réel A tel que pour tout nombre réel
t ^ A nous ayons |/(f) — /1 < e. Nous savons qu'il existe un entier nx tel que
«! T> A — x et un entier n2 tel que n2 T > A — x'. Posons n = Sup («,, n2) ;
alors nT + x > A et nT + x' > A donc | f(nT + x) — / | < e et
\f(nT + x') - /1 < e soit l/(x) - /1 < e et |/(x') - /1 < e. Mais
/(x) -/(x') = (/(x) - /) + (1-fM) d'où |/(x) -f(x') | < |/(x) - /|
+ | / - /(x') | soit |/(x) - /(x') | < 2 e .
D'autre part, d'après la valeur de e nous avons 2e < |/(x) —/(x') I d'où
contradiction ; par suite la fonction / est constante et comme
lim /(x) = /,
x-t + m
/est la fonction constante de valeur /.
2e démonstration : Considérons un nombre réel x et soit e un nombre réel
strictement positif. Puisque lim f(x) = /, il existe un nombre réel A tel que
X-> + 00
pour tout nombre réel / > A nous ayons \f(t) — /1 < e. D'autre part il existe
un entier n tel que nT > A — x soit nT + x > A, donc \f(nT + x) — 11 < e
soit | / (x) — / | < e. Ainsi pour tout nombre réel e > 0 nous avons
|/(x) — / [ < e d'où |/(x) — /1 = 0 (cf. exercice 1.1). Ceci étant vrai pour
tout nombre réel x,/est la fonction constante de valeur /.
2.5 Soient u un nombre réel strictement positif et a un nombre réel. Soit/une
fonction réelle définie sur l'ensemble /„ = ]a — u, a + u[ — { a }. On suppose
que / vérifie les hypothèses du critère de Cauchy au point a, et on se propose
de démontrer par une méthode différente de celle utilisée dans (CE., Ch. 4,
§ II, 42, c) que la fonction/admet une limite au point a.
1° Démontrer qu'il existe un nombre réel h > 0 tel que l'application / soit
bornée sur l'ensemble ]a — h, a + h[ — {a}.

42
EXERCICES D'ANALYSE
2° Construire une suite décroissante (a„) de nombres réels, telle que
pour tout couple (x, x') d'éléments de /„ vérifiant 0 < | x — a \ < a„ et
0 < | x' — a | < an on ait
|/(*)-/(*')|<-2--.
En déduire que
Sup f{t)- Inf /(*)<-.
0<|f-a|<a„ 0<|f-a|<a„ n
3° On pose
y„= Inf fit) et z„ = Sup fit).
0<|<-a|<a„ 0<|r-a|<a„
Démontrer que la famille { [yn, z„] }„eN» est une famille d'intervalles emboîtés.
En déduire que l'application/admet une limite au point a.
Solution 1° Puisque la fonction/vérifie les hypothèses du critère de Cauchy au point a,
il existe un nombre réel h > 0 tel que h < u et pour tout couple (x, x')
d'éléments de /„ vérifiant 0 < | x — a\ < h et 0 < | x' — a\ < h nous ayons
|/(x) — /(x') | < 1, soit/(x') — 1 </(x) </(x') + 1. Soit x'0 un élément
de la vérifiant 0 <\x'0 — a\ < h alors pour tout élément x de l'ensemble
]a — h, a + h[ — { a } nous avons/(xé) — 1 <fix) <fix0) + 1, la fonction
/est donc bornée sur l'ensemble ]a — h, a + h[ — { a}.
2° Puisque la fonction/vérifie les hypothèses du critère de Cauchy au point a,
pour tout entier n ^ 1 il existe un nombre réel a'„ > 0 tel que pour tout couple
(x, x') d'éléments de /„ vérifiant 0 < | x — a | < oej, et 0 < \x' — a\ < a'„
nous ayons
| /(x) - /(x') | < ~ soit /(x') - ±-n < /(x) < /(x') + -~ ,
par suite
/(xO-J-< Inf /(0< Sup /(0</(jO+;J-,
^ " 0<|t-a|<a^ 0<|t-a|<aA Z"
d'où
Sup /(0- Inf /(0<^-
0<|r-n|<a„ 0<|«-a|<a„ "
Les propriétés précédentes sont encore vraies pour tout nombre a„ < an, posons

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
43
donc cc„ = Inf (ai, a2,..., a„) alors pour tout couple (x, x') d'éléments de /
vérifiant 0<\x — a\<a„etO<\x'—a\<a„ nous avons
|/00-/(*')|<^
L n
et comme précédemment nous en déduisons que
Sup f(t)- Inf /(0<^;
0<|(-a|<a„ 0<|(-a]<a„ "
d'autre part il est bien clair d'après la définition de a„ que la suite (cc„) est
décroissante.
3° Puisque la suite (cc„) est décroissante on a
]a - a„+1, a + a„+1[ - { a } <= ]a - a„, a + ccj - { a }
donc pour tout nombre réel x appartenant à ]a — an+1, a + a„+1[ — {a}
nous avons
f{x) < Sup f{t);
0<| t—a | <a„
Sup f{t) est donc un majorant de l'ensemble des /(/) pour tous les
0<| t — a | <a„
nombres réels / appartenant à l'ensemble ]a — a„+1,a + a„+it— {«} par suite
Sup f(t) 4: Sup /(/) soit zn+1^z„.
0<|f—o|<a„+i 0<|f — fl | <ct„
Nous démontrerions de même que y„ < y„ + i, par suite pour tout entier « > 1
nous avons [yn+1, z„+1] c [yn, z„]. Puisque pour tout entier n > 1 nous avons
z« ~ yn ^ 1/" la suite (z„ — yn) admet la limite 0 lorsque n tend vers l'infini,
ainsi la famille { [y„, z„] }„eN* est une famille d'intervalles emboîtés dont
la longueur tend vers 0, donc f) [y„, z„] est réduite à un seul nombre réel
jeN*
que nous noterons /.
Nous allons démontrer que / est la limite de la fonction/au point a. Soit e
un nombre réel strictement positif, alors il existe un entier n tel que \\n < e.
Pour tout élément x de /„ tel que 0 < | x — a \ < a„, nous avons
yn < f(x) < zn ;
comme yn < / < z„ on a
\fix)-l\<zn-y„<1n<s.
Par suite pour tout nombre réel e > 0 il existe un nombre réel an tel que pour
tout élément x de /„ vérifiant 0 < | x — a \ < a„ nous ayons \f(x) — /1 < e,
ceci démontre que la fonction/admet la limite / au point a.

44
EXERCICES D'ANALYSE
2.6 1° Soit x un nombre réel, démontrer qu'il existe un entier relatif unique,
noté [x], tel que [x] < x < [x] + 1.
2° On considère la fonction réelle/, définie sur R* par/(x) = x[l/x].
Démontrer que/peut être prolongée par continuité au point 0.
Solution 1° Supposons d'abord x > 1 ; soit A l'ensemble des entiers n tels que
n > x — 1, nous savons que A n'est pas vide (car R est un corps archimédien)
donc il admet un plus petit élément [x] ; [x] — 1 n'appartient pas à A donc
[x] — 1 < x — 1 < [x] d'où [x] < x < [x] + 1. Supposons x < 1 et soit B
l'ensemble des entiers n tels que n 5= — x. Cet ensemble est non vide, donc il
admet un plus petit élément n0. Comme n0 — 1 n'appartient pas à B nous avons
«0 — 1 < — x < «0 d'où — w0 < x < — n0 + 1. Si nous posons [x] = — n0
alors nous avons [x] < x < [x] + 1.
2° Nous allons d'abord étudier la limite de la fonction/à droite du point 0.
Nous avons
ni 1 m
+ l
1
x
1
< <
X
1
—
X
d'où
- 1 <
Ë
=g
par suite, puisque x > 0,1 — x < x[l/x] < 1, d'où 0 < 1 — x[l/x] < x. Soit e
un nombre réel strictement positif, alors pour tout nombre réel x vérifiant
0 < | x | < e nous avons | 1 — x[l/x] | < e ce qui démontre que
lim x
x->0 +
= 1.
Nous démontrerions de manière analogue que
Y
lim x
x->0-
= 1.
Considérons la fonction/ définie sur R par/(x) = f(x) si x # 0 et/(0) = 1.
Nous avons lim f(x) = /(0) donc la fonction/ est continue au point 0, ce qui
x->0
démontre que la fonction/peut se prolonger par continuité au point 0.
2il Soit/une fonction réelle définie sur l'intervalle ouvert ] — 1, 1 [.
1° On suppose qu'il existe un nombre réel k > 0 tel que \f(x) | < k \ x \
ur tout élément de l'ensemble ]— 1,1[—{0}. Démontrer que/est continue
pour
au point 0 si et seulement si/(0) = 0.

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
45
2° Plus généralement, on suppose qu'il existe deux fonctions réelles g et h,
définies et continues sur l'intervalle ouvert ]— 1, 1[, et vérifiant g(0) = h(G) et
g(x) ^ f{x) ^ h(x) pour tout élément x de l'ensemble ] — 1, 1 [ — { 0 }.
Démontrer que/est continue au point 0 si et seulement si/(0) = g(0).
Solution 1° Démontrons que lim f(x) = 0. Le résultat est vrai si k = 0, supposons
x->0
donc k > 0. Soit e un nombre réel strictement positif, alors pour tout nombre
réel x vérifiant |x|<let0<|x|< e/k nous avons \f(x) | ^ k \ x | < e ce
qui prouve que lim f(x) = 0. Nous savons que la fonction/est continue au
point 0 si et seulement si lim f(x) = f(0), donc /sera continue au point 0 si
jc-O
et seulement si/(0) = 0.
2° Démontrons que lim f(x) = g(0).
x->0
ire démonstration : soit e un nombre réel strictement positif ; puisque la
fonction g (resp. h) est continue au point 0, il existe un nombre réel r\± (resp. n2)
strictement positif tel que pour tout nombre réel x vérifiant
|jc|<1 et 0<|x|<?;1 (resp. 0 < | x \ < n2)
nous ayons
| g(x) - g(0) | < | (resp. | h{x) - h(O) | < |) .
Posons n = Inf (»/i, V2) l alors pour tout nombre réel x vérifiant | x | < 1 et
0 < | x | < n nous aurons
| g(*) - g(0) | < \ et | h(x) - h{0) | < |
soit
g(0) - \ < g(x) < g(0) + | et g(0) - | < h(x) < g(0) +1,
d'où
g(0) - \ < g(x) ^ /(x) ^ h(x) < g(0) + | donc | /(x) - g(0) | < e .
La fonction/admet donc la limite g(0) au point 0.
2e démonstration : Puisque g et h sont des fonctions continues au point 0
nous avons lim g(x) = lim h(x) = g(0) ; or pour tout nombre réel x vérifiant
0 < | x | < 1 nous avons g(x) ^ f(x) ^ h(x) donc
0^f{x)-g(x)^h(x)-g(x).

46
EXERCICES D'ANALYSE
Comme lim (h(x) — g(x)) = 0 nous en déduisons que
x-0
lim (/(x) - g(x)) = 0 d'où lim /(x) = g(0) .
x->0 x->0
La fonction f sera continue au point 0 si et seulement si lim f(x) = /(0),
x-»0
donc/sera continue au point 0 seulement si/(0) = g(0).
Soient/et g deux fonctions réelles définies et continues sur R.
1° Démontrer que l'ensemble N des nombres réels x tels que/(x) # 0 est
une partie ouverte de R (cf. exercice l. 2).
2° Démontrer que l'ensemble M des nombres réels x tels quef(x) > g(x)
est une partie ouverte de R.
Solution 1° Soit x un nombre réel tel que/(jt) ^ 0. Supposons/"(.x:) > 0, la fonction/
étant continue au point x, il existe un nombre réel r\ > 0 tel que pour tout
nombre réel / vérifiant \ t — x\ <r\ nous ayons \f(t) — f(x) | <f(x) soit
f(x) — f(x) <f(t) <f(x) + f(x) âoncf(t) > 0. Par suite pour tout point t
de l'intervalle ouvert ]x — r\, x + rj[ nous avons f(t) > 0, donc f(t) =£ 0. Le
raisonnement est analogue si f(x) < 0. Nous venons donc de démontrer que
pour tout élément x de N il existe un nombre réel r\ > 0 tel que l'intervalle
ouvert ]x — r\, x + rj[ soit contenu dans N, par suite N est une partie ouverte
de R.
2° Soit x un nombre réel tel que f(x) > g(x) ; alors f(x) — g(x) > 0. La
fonction / — g est continue au point x donc il existe un nombre réel r\ > 0 tel
que pour tout nombre réel t vérifiant \ t — x\ <r\ nous ayons
| (/ - g) (0 - (/ - g) (x) | < f{x) - g(x)
d'où 0 < {f — g) (t) soit f{f) > g(t). Ainsi pour tout élément x de M il existe
un nombre réel r\ > 0 tel que l'intervalle ouvert ]x — r\, x + rj[ soit contenu
dans M, ce qui démontre que M est une partie ouverte de R.
L.M Soient a un nombre réel et/une fonction réelle définie et continue sur R,
telle que/(l) = a et telle que pour tout couple (x, x') de nombres réels on ait
f(x + x')=f(x)+f(x').
1° Démontrer que/(«) = na pour tout entier relatifs.
2° Démontrer que f(i/q) = ajq pour tout entier q > 0; en déduire que
/(r) = ra pour tout nombre rationnel r.
3° Démontrer que tout nombre réel est limite d'une suite de nombres
rationnels. En déduire que/(x) = ax pour tout nombre réel x.

FONCTIONS REELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
47
1° Soit n un entier strictement positif; nous avons «=1 + 1 +— +1
(« fois) donc/(«) = /(l) + /(l) + - + /(l) (« fois) d'où/(«) = na. D'autre
part/(l + 0) =/(l) +/(0) donc/(0) = 0.
Soit n un entier strictement négatif ; nous avons
0 =/(0) =/(-« + «) =/(- «) +/(«)
d'où /(«) = — /(— «), par suite f(na) = — (— «a) = «a ; par conséquent
/(«) = «a pour tout entier relatif n.
2° Soit q un nombre entier strictement positif ; nous avons
1 =- + -+■•• + (g fois)
9 « «
d'où
par suite
/0).=/(ï)+/(î) + "'+/(ï) fafois)
« = ,/(!) ** ,(i)-|.
Soit r un nombre rationnel positif, alors il existe deux entiers positifs p et q
(q # 0) tel que
pli 1 . , ..
r = - = - + - + -+ - (p fois) ,
q q q q
par suite
/M =/(") +f(~) + - +/(£) (Pfois) soit /(r) = p^ = ar.
Si r est un nombre rationnel négatif alors /(— r + r) = /(0) = 0 d'où
/(/■) = — /*(— r) par suite /(r) = or. Ceci démontre que/(r) = ar pour tout
nombre rationnel r.
3° Soient x un nombre réel et n un entier strictement positif. Nous savons
qu'il existe un nombre rationnel r„ appartenant à l'intervalle ]x — \/n, x + l/«[.
Nous pouvons ainsi construire une suite (r„) de nombres rationnels, telle que
pour tout entier n > 1 nous ayons \ x — rn\ < l/n ; par conséquent
lim | x — rn | < lim — d'où lim | x — r„ \ = 0 soit lim r„ = x .
La suite (r„) est donc une suite de nombres rationnels convergeant vers x.
Soit x un nombre réel et (r„) une suite de nombres rationnels convergeant
vers x. Nous avons/(/■„) = ar„ pour tout entier n > 1, donc par passage à la

48 EXERCICES D'ANALYSE
limite : lim /(r„) = lim ar„. Mais/est continue au point x et lim r„ = x
n-»+co l)-*+co n->+œ
donc
lim /(rJ=/( lim r„) = f(x),
par suite/(x) = ax. Ceci démontre que/(x) = ax pour tout nombre réel x.
2.10 On considère l'ensemble A des fonctions réelles/ définies et continues sur R,
telles que pour tout couple (x, x') de nombres réels on ait
/(^~:) = i[/W+/(x')]
1° Soit /un élément de A tel qu'il existe un couple (x, x') de nombre réels
pour lequel/(x) = f(x') = 0 et x < x'. Démontrer que pour tout entier n ^ 1
et tout entier k vérifiant 0 ^ k ^ 2", on a
4+^)=°-
En utilisant l'exercice 1.9 démontrer que pour tout nombre réel t appartenant à
l'intervalle fermé [x, x'] on af(t) = 0. En déduire que/est l'application nulle
de R dans R.
2° Démontrer que la différence de deux fonctions de A est un élément de A.
Soit (a, b) un couple de nombres réels, démontrer que la fonction affine h,
définie par h(x) = ax + b pour tout nombre réel x, est un élément de A.
3° Démontrer que tout élément de A est une fonction affine de R dans R.
Solution 1° La propriété est vraie pour « = 1 par hypothèse; supposons la vraie
jusqu'à l'ordre n — 1. Soit k un entier tel que 0 ^ k ^ 2" ; ou bien k est de la
forme k = 2 k' où k' est un entier tel que 0 ^ k' ^ 2"_1 et alors nous avons
4+k^)-/(*+t'i^)=0;
ou bien k est de la forme k = 2 k" + 1 avec 0 ^ k" ^ 2"_1 — 1, alors
*+^--;[("^)4*<*+i>^]
d'où
4+*^H [4+^)+4+<*■+»^)]

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
49
donc
La propriété est donc vraie pour l'entier n, par suite cette propriété est vraie
pour tout entier n > 1.
Dans l'exercice 1.9 nous avons vu que tout nombre réel t de l'intervalle
[x, x'] est limite d'une suite (x„) où
x' — x
x„ = x + k„ avec 0 ^ kn ^ 2".
2"
La fonction / étant continue au point x, comme lim x„ = x, nous avons
lim f(x„) = fl lim x„\ = f(x) .
Mais/(jt„) = 0 pour tout entier n > 1 donc/(x) = 0 par suite la restriction
de la fonction fà l'intervalle [x, x'] est nulle. Soit t un élément de [x, x'], nous
avons/(f) = 0 ; supposons que/(/ + k(x' — x)) = 0 pour tout entier k tel que
0 ^ k ^ n alors
t + n(x! - x) = %[t + (n - 1) (x' - x) + t + (n + 1) (x' - x)~]
par suite
/(/ + n{pc' - x)) =f{W + (n - 1) (x' - x) + t + (n + 1) (x' - x)])
d'où 0 = i[/(/ + (n - 1) (x' - x)) + f(t + (n + 1) (x' - x))] par
conséquent f(t + (n + 1) (x' — x)) = 0. Ceci démontre que/(/ + n(x! — x)) = 0
pour tout entier n > 0. Nous démontrerions de même que f{t + n(x' —x))= 0
pour tout entier n ^ 0. La fonction /* est une fonction périodique de période
x' — x; comme cette fonction est nulle sur l'intervalle [x, x'] de longueur
x' — x, elle est nulle sur R.
2° Soient / et g deux fonctions de A et (x, x') un couple de nombres réels.
Nous avons
d'où
(/ - g) (^9 = \\U ~ *> (*) + (/ - g) (*')] ,
par suite la fonction/ — g est un élément de A.

50
EXERCICES D'ANALYSE
Soit {x, x') un couple de nombres réels, nous avons
j+ b = 2 Kax + b) + (ax> + b)]
ce qui démontre que la fonction affine h est un élément de A.
3° Soit f un élément de A. Considérons les nombres réels b =/(0) et
a =/(l) — /(0) ; alors la fonction g, définie par g{x) = f(x) — (ax + b) pour
tout nombre réel x, est un élément de A et d'après le. choix des nombres a et b,
nous avons
£(0) = g(D = 0 .
D'après ce qui précède nous savons que la fonction g est la fonction nulle
donc/(x) = ax + b pour tout nombre réel x. Ceci démontre que toute
fonction f appartenant à A est de la forme/(x) = (/(l) — f(0))x +/(0), i.e.
f est une fonction affine de R dans R.
CA I Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et/une fonction réelle définie
et bornée sur l'intervalle [a, b]. On définit la fonction M par
M(x) = Sup /(0
pour tout élément x de [a, b]. Démontrer que si la fonction/est continue en un
point x0 de [a, b] et si/(x0) < M(x0), alors il existe un intervalle ouvert non
vide, contenant le point x0 sur lequel la fonction M est constante.
Solution Puisque la fonction/est continue au point x0, il existe un nombre réel r\ > 0,
tel que pour tout élément x de [a, b] vérifiant ) x — x0 \ < r\ nous ayons
\JW -J(x0) | < d ou /(x) < ^
par suite/(x) < M(x0). Nous allons démontrer que pour tout nombre réel x
appartenant à [a, b] et à ]x0 — r\, x0 + t][ nous avons M(x) = M(x0). Soit x un
élément de [a, b] appartenant à ]x0 — r\, x0 + t][ ; pour tout nombre réel t
appartenant à [a, x0] nous avons f(t) ^ M(x0) et pour tout élément t de [a, b]
appartenant à ]x0 — t], x0 + t][ nous avons f(t) < M(x0), par suite M(x0) est
un majorant de l'ensemble des f{t) pour tous les éléments t de l'intervalle
fermé [a, x]. Soit e un nombre réel strictement positif ; posons
,' = lnf(«,yfa)2--^);
'

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
51
puisque M(x0) = Sup f(t), il existe un élément £ de l'intervalle [a, x0\ tel que
M(x0) — e </(£) ^ M(x0) d'où M(x0) — e </(£)• Mais
M(x0)-/(x0) , M(x0) + /(xp)
e < donc M(x0) — e ^ —
d'où
ce qui prouve que le point £, ne peut appartenir à l'intervalle ouvert
]x0 -rj , x0 + t}[
donc £, appartient à [a, x0 — rj\. Par suite, pour chaque élément x de
]x0 — r\, x0 + /?[, M(x0) est un majorant de l'ensemble des /(/) pour tous
les éléments / de l'intervalle [a, x] et quel que soit le nombre réel e > 0 il existe
un élément £ de l'intervalle [a, x] tel que M(x0) — e < /(£) ^ M(x0). Ceci
démontre que M(x0) = Sup f(t) pour tout élément x de l'intervalle ouvert
]x0 — r\, x0 + t][, par suite la fonction M est constante et égale à M(x0) sur
l'intervalle ]x0 — r\, x0 + t][.
2.12 Soit/une fonction réelle définie sur l'intervalle fermé [0, 1] qui prend ses
valeurs dans cet intervalle. On suppose que pour tout couple (x, x') d'éléments
de [0, 1] on a
\f(x)-f(x')\^\x-x'\.
Montrer que / est l'une des fonctions fu fi définies en posant pour chaque
élément x de [0, 1]
/iW = x f2(x) = 1 - x.
Solution Comme/prend ses valeurs dans [0, 1], on a pour chaque couple (x, x')
d'éléments de [0, 1]
|/(x)-/(*') | ^ 1.
En particulier |/(0) —/(1)| < 1 et il résulte de l'hypothèse que
|/(0) - /(l) | > 1 donc |/(0) - /(l) | = 1
et par suite on a soit/(0) = 0 et/(l) = 1, soit/(0) = 1 et/(l) = 0.
Lorsque /(0) = 0 et /(l) = 1, si x e [0, 1] on a
/W=|/M-/(0)|>|x-0|=x

52
EXERCICES D'ANALYSE
et
1 -/(*) = |/(1) -/(*) | > I 1 - x | = 1 - x
de la seconde inégalité il résulte que f(x) ^ x donc /(x) = x et f = /,.
Lorsque /(0) = 1 et /(l) = 0 si x e [0, 1] on a
f(x) = \f(x)-f{l)\>\x- 1 I = 1 - x
et
1 -/(*) = |/(0) -f(x) | > | 0 - x | = x
de la seconde inégalité il résulte que/(x) ^ 1 — x donc/(x) = 1 — x et/ = f2.
2.13 Soit/une fonction réelle définie sur R. On suppose qu'il existe un nombre réel
k tel que 0 < k < 1 et tel que pour tout couple (x, x') de nombres réels on ait
|/(x)-/(x')| ^k\x-x'\.
1° Démontrer que la fonction /est continue sur R.
2° Etant donné un nombre réel a, on définit la suite de nombres réels (x„) par
x0 = a et x„+1 = /(x„). Démontrer que la suite (x„) est convergente (on pourra
utiliser l'exercice 1.16) et que sa limite / vérifie la relation / = /(/).
Solution 1° Soit x0 un élément quelconque de R ; nous allons démontrer que la
fonction / est continue au point x0. Soit e un nombre réel strictement positif;
alors pour tout nombre réel x vérifiant | x — x0 | < e/k nous avons
\f(x) - /(x0) | s; k | x - x0 | s; e .
Par suite pour tout nombre réel e > 0, le nombre e/k est tel que pour tout
nombre réel x vérifiant | x — x0 | < e/k nous ayons |/(x) — /(x0) I < e ;
ceci démontre que la fonction/est continue au point x0. Ce raisonnement étant
valable pour tout nombre réel x0, la fonction/est continue sur R.
2° Pour tout entier n > 0 nous avons x„+2 — *n+i =f(xn+1) — /(x„)
donc | x„+2 — x„+1 | ^ k | x„+1 — x„ |. Nous avons démontré que sous ces
hypothèses la suite (x„) était convergente (cf. exercice 1.16). Soit / la limite de
la suite (x„), démontrons que/(/) = /. La fonction/est continue au point / et
lim xn = l, par suite
«-► + 00
lim /(x„) = / Mim x„\ =/(/), d'où lim x„+1=/(/)
soit/=/(/).

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
53
Soient a un nombre réel positif et (w„) la suite de nombres réels, définie par
m0 = a et w„+1 = 1 + yjun ; démontrer que cette suite est convergente et
déterminer sa limite.
Solution Démontrons d'abord qu'il existe un nombre réel / unique tel que
Nous devons avoir / — 1 = \fl ce qui est équivalent à (/ — l)2 = / et / — 1 > 0
soit l2 - 3 / + 1 = 0 et / > 1, d'où / = (3 + V5)/2.
Etudions le cas 0 ^ a ^ /. Supposons que la relation
0 ^ u0 ^ mx ^ ••• ^ u„ ^ /
soit vraie jusqu'à un certain entier n, alors w„_ x ^ un ^ / d'où
Vm«-i ^ V"^ ^ V' eL ! + Vm«-i ^ i + Vî^ ^ i + V7,
par suite w„ :% w„+1 ^ / ; la relation est donc vraie pour l'entier n + \. Comme
cette relation est vraie pour n = 0 elle est vraie pour tout entier n > 0 ce qui
démontre que la suite (m„) est croissante et majorée par /, par conséquent la
suite (un) est convergente.
Etudions le cas a > /. Supposons que la relation u0 > ux > ••• > u„ > /
soit vraie jusqu'à un certain entier n. Nous avons alors
m„_! 5= w„ 3* / d'où VM«-i 3* \/m^ 3* V'
donc
1 + V«n-i ^ ! + V"n 5* 1 + V/,
par suite u„ 5* «„+i 5* / ; la relation u0 5* «i 5* "" 5* m„ 5* /est donc vraie pour
tout entier « > 0. Ceci démontre que la suite (w„) est décroissante et minorée
par / ; cette suite est donc convergente.
Nous venons de voir que pour tout nombre réel a la suite (w„) admet une
limite u telle que O^M^/siO^a^/et telle que u > / si a > /. Soit/la
fonction réelle définie sur R+ par f(x) = 1 + \jx pour tout nombre réel x ^ 0;
cette fonction est continue au point u. Comme lim u„ — u nous avons
lim /(m„) =// lim u„\ = f(ii) d'où lim un+l = f(u)
«-► + 00 \n-» + oo / n-> + co
d'où u = f(u). Nous avons vu au début de cet exercice que le seul nombre réel /
vérifiant la relation t = 1 + \jt était le^ nombre / = (3 + \/5)/2, par
conséquent la suite (w„) admet la limite (3 + y5)/2 et ceci quel que soit le nombre réel
a > 0.

54
EXERCICES D'ANALYSE
2.15 Soient a un nombre réel non nul et (w„) la suite de nombres réels, définie par
u0 = a et un+1=u„-\ 1
pour tout entier n > 0. Etudier la convergence de cette suite et déterminer sa
limite (on étudiera séparément les cas a > 0 et a < 0).
Solution Etudions le cas a < 0. Supposons que un ^ — n alors
1
u„+1 = un-\ 1 < u„ - 1 < — n - 1 ,
par suite w„+1 ^ — (n + 1). Ainsi nous avons u0 ^ 0 et si u„ ^ — « alors
m„+1 < — (n + 1), par suite u„ ^ — « pour tout entier « > 0 ce qui démontre
que la suite (w„) admet la limite — oo.
Etudions maintenant le cas a > 0. Supposons que nous ayons un > 1 pour
un certain entier n, alors l/w„ ^ 1 donc u„ + \\u„ — 1 ^ w„ soit w„+1 ^ w„.
D'autre part w,2 — 2 u„ + 1 > 0 d'où wj + 1 > 2 «„ soit w„ + l/u„ > 2 car
«„ > 0 d'où «„ + (l/w„) — l > 1 soit encore m„+1 > 1. En particulier si
u0 > 1 tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à 1. Supposons que
nous ayons 0 < w0 < 1 alors
Mi = Mo "1 1 d'où u0{ux — 1) = Uq — 2 u0 + 1 = (w0 — l)2
M0
donc u1 — 1 > 0 soit wt > 1. Nous avons démontré que si 1 ^ w„ alors
1 ^ un+i ^ "n» donc pour tout entier n > 1 nous avons 1 ^ m„+1 ^ u„, par
conséquent la suite (w„) est décroissante et minorée par 1, elle est donc
convergente. Soit / la limite de la suite (u„) ; nous avons / > 1 donc la fonction /,
définie par f(x) = x + (l/x) — 1 pour tout nombre réel x > 0, est continue
au point /, par suite
lim f(un) = /(/) d'où lim u„+1 =/(/)
soit / = /(/). Ceci démontre que pour tout nombre réel a > 0 la suite (u„) est
convergente et admet une limite / vérifiant / = /(/) c'est-à-dire
ce qui est équivalent à / = 1 ; par conséquent la suite (w„) admet la limite 1.

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
55
Soit (w„) la suite de nombres réels définie par u0 = 0 et «„+1 = cosw„
pour tout entier n ^ 0.
1° Démontrer que les suites extraites (w2„) et (u2n+l) sont convergentes.
2° Désignons par / (resp. /') la limite de la suite (w2„) (resp. (u2n+1)).
Démontrer que / = cos /' et /' = cos /. En admettant l'inégalité | sin x | < | x \
si x ^ 0, démontrer que / = /'.
Solution 1° Nous avons u0 = 0, u^ = 1 etw2 = cos 1 ; comme 1 < njl, 0 < cos 1 < 1
d'où u0 < u2 < «i < nj2. La fonction cosinus est décroissante sur
l'intervalle fermé [0, n/2] donc nous avons cos u0 ^ cos u2 ^ cos u1 ^ 0 soit
u1 ^ u3 ^ u2 ^ 0 d'où
Mo ^ M2 ^ u3 ^ Mi •
Supposons que pour un entier n nous ayons
U0 < U2n < W2)1+2 < U2„+3 ^ u2n+l ^ Ml ^
la fonction réelle qui associe à chaque nombre réel / le nombre cos (cos t), est
croissante sur l'intervalle [0, nj2] donc nous avons
cos (cos w0) < cos (cos u2n) < cos (cos u2n+2) < cos (cos u2n+z)
< COS (COS M2„+i) < COS (COS Mi)
soit
M2 < U2n + 2 ^ W2„ + 4 < U2n + 5 ^ W2n + 3 < M3 ,
par suite
Nous venons de démontrer que les inégalités
M0 ^ W2„ ^ W2„ + 2 < «211+3 ^ u2n+l ^ Ml
sont vraies pour n = 0 et que si elles sont vraies pour un entier n alors elles sont
vraies pour l'entier n + 1, par suite ces inégalités sont vraies pour tout entier
n ^ 0. La suite (w2„) est donc croissante et majorée par ui et la suite (w2„+1)
décroissante et minorée par u0, ces deux suites sont donc convergentes.
2° La fonction cosinus est continue au point / et comme lim u2n = 1,
H-»+TO
nous avons
lim cos u2n = cos l
n->+ co

56
EXERCICES D'ANALYSE
or cos u2„ = u2„+i donc
lim cos u2n = lim u2n+1 = Y d'où V = cos/.
M-> + œ n-» + go
Une démonstration analogue prouverait que / = cos /'. Nous avons donc
Y — l = cos / — cos /' soit
Y - 1 = -2 sin —^— sin —^- d'où | Y - 1 \ s$ 2 sin _
Si / ^ Y, alors /' - / ^ 0 donc
. /' - /
sin—— <
par suite nous aurions | /' — /1 < | /' — /1 ce qui est impossible donc, / = /'.
Ceci démontre que la suite (w„) définie par u0 = 0 et w„+1 = cos un pour tout
entier n ^ 0, admet une limite / vérifiant la relation / = cos /.
2.17 Soit a un nombre réel strictement positif. Considérons la fonction réelle f
définie sur l'ensemble ]0, + co[ par/(x) = 2 + a/x. Etant donné un nombre
w0 > 0, on définit la suite de nombres réels (w„) par son premier terme u0 et par
un+i =f(un) pour tout entier n ^ 0.
1° Démontrer que l'équation x = f{x) admet une et une seule racine
positive. Soit a cette racine, démontrer que si 0 < u„ < a alors u„ ^ un+2 ^ a. En
déduire que les suites (w2„) et (u2n+l) sont convergentes (on pourra étudier
séparément les cas 0 < u0 ^ a et u0 ^ a).
2° Démontrer que la suite (w„) admet toujours une limite et calculer cette
limite.
1° Résolvons l'équation x = 2 + ajx, nous obtenons x2 — 2x — a = 0
d'où x = 1 ± VI + a par suite la racine positive est a = l + -Jl + a.
Supposons 0 < un < a, la fonction/est décroissante sur l'intervalle ]0, + co[
donc/(w„) ^/(a) d'où un+1 ^ a, par suite /(w„+1) </(a) soit w„+2 < a.
Démontrons que u„ < m„+2 ; soit
un < 2 +
ou encore
w„ <
4 u„ + 2 a + au„
2 + (a/w„) "*" ^ 2u„ + a
comme un ^ 0 cette dernière inégalité est équivalente à
2«„2 + au„ < 4 a„ + 2 a + au„
5>OH
mI! - 2un
a < 0.
Mais w„ est compris entre les racines 1 —VI + a et a du trinôme x2 — 2 x

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
57
par suite u2 — 2 uu — a < 0 d'où u„ < un+2. Supposons 0 < u0 ^ a. Le calcul
précédent nous montre que 0 < u0 < w2 < a- Supposons que nous ayons
u2„ ^ u2„+2 < a alors nous avons u2n+2 < w2n+4 ^ a, par suite pour tout
entier n ^ 0 nous avons 0 ^ w2„ < w2n+2 < «• La suite (w2„) étant croissante et
majorée par a, admet une limite / telle que 0 < / < a. Puisque la fonction/"est
décroissante nous avons f(u2t) ~^f(u2n+2) ^ f(a), d'où u2n+l ^ w2n+3 ^ a,
la suite (w2n+1) est donc décroissante et minorée par a, par suite elle est
convergente et admet une limite /' telle que /' ^ a.
Supposons u0 ^ a, alors 0 < f(u0) < /(a) donc 0 < u1 < a ; un raisonnement
analogue au précédent nous démontre que la suite (w2„+1) est croissante et
majorée par a et que la suite (w2„) est décroissante et minorée par a, par
conséquent les suites (u2n) et (w2„+1) sont convergentes.
2° Soient / la limite de la suite (m2„) et /' la limite de la suite (u2n+1) ; l'étude
précédente nous montre que dans les deux cas les nombres / et /' sont strictement
positifs donc la fonction / est continue aux points / et /', par suite comme
lim u2n = / nous avons
lim f(u2n) = f(l) d'où lim h2b+1 =/(')
n-y + go n-> + go
soit /' = /(/)• Nous démontrerions de manière analogue que / = /(/')• Nous
avons donc/(/') =/[/(/)] d'où /=/[/(/)] soit
, „ a ,, , , 41 + 2a + al
1 = 2+ - ; d'où / = ——
2 + ail 21 + a
et puisque />0, 2/ + a>0 donc l'égalité précédente est équivalente à l'égalité
212 + al = 4 / + 2 a + al soit l2 — 21 — a = 0. Nous avons vu au 1° qu'il
existe un nombre réel unique a = 1 + VI + a, vérifiant cette égalité. Nous
avons donc/ = 1 + V1 + a d'où/' =/(/) = 1 + v 1 + a, par suite pour tout
nombre réel u0 les suites (w2„) et (w2„+1) sont convergentes et admettent la
même limite 1 + vl + a. Par conséquent la suite (w„) admet la limite 1 + y]\+a.
2.18 Soient a et b deux nombres réels tels que a < b. Soit/une fonction réelle
définie et uniformément continue sur l'intervalle ouvert ]a, b[.
1° Démontrer que / admet une limite à droite (resp. à gauche) au point
a(resp. b).
2° Démontrer que / se prolonge en une fonction / uniformément continue
sur l'intervalle fermé [a, b].

58
EXERCICES D'ANALYSE
Solution 1° Nous allons démontrer que la fonction/vérifie les hypothèses du critère
de Cauchy à droite du point a. Soit e un nombre réel strictement positif; puisque
la fonction/est uniformément continue il existe un nombre réel r\ > 0 tel que
pour tout couple (x, x') de points de ]a, b[ vérifiant \ x' — x \ < r\ nous ayons
|/(x') — /(x) | < £. Par suite pour tout couple (x, x') de points de ]a, b[
vérifiant 0<\x — a\<rjetO<\x' — a\<rj nous avons 0<x— a < t] et
0 < x' — a < r] d'où — t] < x' — x < r] soit | x' — x | < rj donc
|/(X')-/(X)|<£.
Ceci prouve que la fonction/vérifie les hypothèses du critère de Cauchy à droite
du point a. Une démonstration analogue prouve que la fonction / vérifie les
hypothèses du critère de Cauchy à gauche du point b, par suite la fonction
admet une limite à droite au point a et une limite à gauche au point b.
2° Définissons la fonction/ par/(x) =/(x) si x appartient à l'intervalle
ouvert ]a, b[ et f (a) = lim /(x),/ (b) = lim /(x). La fonction / prolonge
x->a+ x-*b —
la fonction/, or/est uniformément continue sur l'intervalle ]a, b[ donc/est
continue en tout point de cet intervalle, par suite/ est continue sur ]a, b[.
Comme
/(</) = lim /(x) et f(b) = lim /(x) ,
x-»0+ x->b-
la fonction / est continue aux points a et b donc sur l'intervalle fermé borné
[a, b] donc la fonction / est uniformément continue sur cet intervalle (cf. C. E.,
Ch. 4, § IV, 49).
2.19 Soit / une fonction réelle, définie et continue sur un intervalle fermé borné
[a, b]. On se propose de démontrer que la fonction/est uniformément continue
sur cet intervalle en utilisant le théorème démontré à l'exercice 1.20 : « De toute
suite bornée de nombres réels on peut extraire une suite convergente. » On
raisonne par l'absurde ; supposons donc que/ne soit pas uniformément continue
sur l'intervalle [a, b].
1° Démontrer qu'il existe un nombre réel £ > 0 et deux suites (x„) et (x£)
de points de [a, b] telles que pour tout entier n ^ 1 nous ayons
\xn- x'„\ <- et |/(x„) - f(x'„) \>e.
2° Soit (x,,^)) une suite convergente extraite de la suite (x„). Posons
lim x^,,) = / ; démontrer que lim x^,„) = /.
«-♦+00 M->+GO
3° Démontrer que la fonction/n'est pas continue au point /.

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
59
Solution 1° Puisque la fonction/n'est pas uniformément continue il existe un nombre
réel £ > 0 tel que pour tout nombre réel rj > 0, il existe un couple (x, x') de
points de [a, b], vérifiant | x' — x \ < rj et |/(x) — /(x') | ^ e. Par suite pour
tout entier n ^ 1 il existe un couple (x„ x'„) de points de l'intervalle [a, b] tel que
' X" ~ X" ' < « et l^^ ~~ ^Xn) I ^ £ -
Nous venons ainsi de définir deux suites (x„) et (x'„) de points de [a, b].
2° La suite (x„) est bornée donc nous pouvons en extraire une suite
convergente (xV(n)). Soit a un nombre réel strictement positif; alors il existe un entier n1
tel que pour tout entier p ^ nx nous ayons \\p < a/2. Nous savons que
(p(k) ^ k {cf. 1.13) donc pour tout entier p ^ n1 nous avons
i ' lia
I *„q.) ~ *,.(rt I < ^^ - < j •
Puisque lim Xç,()1) = / il existe un entier n2 tel que pour tout entier p ^ n2
n-> + oo
nous ayons | x,,(rt — /1 < a/2. Posons n0 = Sup («l5 n2)', alors pour tout entier
p ^ «0 nous avons
(x«>(p) ~ 0 = (*«>(p) — ^(p)) + (X«>(P) ~~ 0
donc
I x'<pU>) ~ 11 < I xUp> ~ x«>(p> I + I xrtr) ~ 11 d'ou I x'<pU» ~ l\ <a,
ce qui démontre que la suite (x^,,)) admet la limite /.
3° Supposons que la fonction/soit continue au point /. Nous avons
lim x<pM = / donc lim f(xvM) = f(ï)
de même
lim /(x;w) = /(/).
n-* + oo
D'autre part, d'après la construction des suites (Xç,(„)) et (x^,(„)) nous avons
l/tx^do) - /(Xpoo) | ^ £ d'où par passage à la limite |/(/) - /(/) | ^ e ce qui
est impossible.
Ceci démontre que si la fonction / n'est pas uniformément continue sur
l'intervalle [a, b], alors il existe un point / de cet intervalle où la fonction /n'est
pas continue. Par hypothèse la fonction/est continue en tout point de
l'intervalle fermé borné [a, b] donc elle est uniformément continue sur cet intervalle.
2.20 Soit/une fonction réelle définie et continue sur l'ensemble [0, + oo[ et à
valeurs dans [0, + oo[. On suppose que pour tout couple (x, x') de points
de [0, + oo [ on ait

EXERCICES D'ANALYSE
On se propose de démontrer que la fonction / est uniformément continue.
1° Soit (x, x') un couple de nombres réels tels que 0 < x < x'. Démontrer
que pour tout entier n et tout entier k vérifiant 0 < k < 2" on a :
f{x + k *j^} > /(x) + | [/(x') - /(x)] .
En utilisant l'exercice 1.9 démontrer que pour tout nombre réel t appartenant
à l'intervalle [x, x'] on a
f(t) >(t — x) ; h J{x) .
x — x
2° Soit x un nombre réel positif; démontrer que l'application q> définie sur
l'ensemble ]x, + oo[ par
est décroissante. Démontrer que la fonction <p est à valeurs positives (on pourra
raisonner par l'absurde) et en déduire que la fonction/"est croissante.
3° Soient x, y et z trois nombres réels vérifiant 0 < x < y < z. Démontrer
que
f(y)-m^m-f(y)
y — x ^ z — y
Soient h et x deux nombres réels strictement positifs. Démontrer que si h < x
alors/(A) -/(0) > f{x + h) -/(x) S* 0.
4° En utilisant le fait que l'application / est continue au point 0, démontrer
que la fonction/est uniformément continue sur l'ensemble [0, + oo[.
Solution 1° Il est clair que la relation est vraie pour n = 1. Supposons la vraie pour un
certain entier n — 1 ; alors pour tout entier k' vérifiant 0 < k' < 2""1 nous
avons
/(* + k' ^=r) > /<*> + ^r VW - /W] •
Soit k un entier tel que 0 < k < 2" ; ou bien k est de la forme k = 2 k' avec
0 < k' < 2"'1 et alors

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE 61
donc
f{x + k *^*) > /(x) + ^[/OO - /(x)] = /(x) + | [/(x ) - /(x)] ,
ou bien k est de la forme k = 2 k" + 1 avec 0 < k" < 2"_1, et alors
x +
^-{[h^M'***»^)]
donc
4 + '-#*K [(* + ^M< +(r + "i-ID
d'où
2
^ [/(*) + ^ (/(*') - /(*)) + /(*) +k^ (/(*') - /(*»]
soit
Ceci démontre que l'inégalité
/(x + fc X'^^ > /(x) + ^[/(x) - /(x)]
est vraie pour l'entier n. Comme cette inégalité est vraie pour l'entier n = 1
nous avons
f(x + fc-*^) >f(x) + £ [/(x') -/(x)]
pour tout entier n ^ 1 et tout entier & vérifiant 0 ^ k < 2".
Nous savons d'après l'exercice 1.9 que tout nombre réel t, de l'intervalle
fermé [x, x'], est limite d'une suite de nombres réels (x„) où x„ est de la forme

EXERCICES D'ANALYSE
avec 0 < k„ < 2". La fonction/est continue au point t et comme lim x„ = t,
n-* + oo
nous avons lim /(x„) = f(t). Or pour tout entier n ^ 1 nous avons
n-> + oo
soit
/oo ^ /w + (*„ - *) /(x,),~/(x)
x — x
Les inégalités se conservent par passage à la limite donc
J(x')-f(x)
f(t)>f(x) + (t-x)J
x — x
Nous remarquons que ceci signifie que le graphe de la fonction/est au-dessus
de la corde déterminée par les points de coordonnées (x,/(x)) et (x', /(x')).
2° Soient t et t' deux nombres réels tels que x < t < t' ; alors d'après la
question précédente nous savons que
/(0 > /OO + (< - x) ; d ou ^ ;
t — x t — x t — x
puisque t — x > 0 ; ceci démontre que la fonction <p est décroissante. Supposons
qu'il existe un nombre réel t tel que x < t et q>(t) < 0. Alors
/(0-/W <Q
f — x
donc la fonction affine g définie par
giu)=f(x) + (u-x)f^t^)-
pour tout nombre réel u, prend la valeur — 1 pour
u-x (/(*) + !)(*-*) soit u , (/(Q + l)(t-x),
mais
/(0^0 et -_f=^T<0 donc Ç/W+iJlO^x) < 0
w /(0-/00 /(0-/00
d'où u > t. Nous avons d'autre part/(w) ^ 0 donc
f(u) >/(x) + (u — x) soit > ■
WJ/V t — x u — x t - x

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
63
ce qui signifie que <p(u) > q>(t) ; ceci est impossible puisque la fonction cp est
décroissante. Nous venons donc de démontrer que l'application q> est une
application décroissante et positive sur l'ensemble [0, + oo[.
Soient x et x' deux nombres réels tels que 0 < x < x' ; comme la fonction q>
définie par
t - x
est positive, nous avons <p(x') ^ 0 d'où/(x') ^ f{x) ; ceci démontre donc que
la fonction/est croissante sur l'ensemble ]0, + oo[. Soit x un nombre réel tel
que 0 < x. Puisque la fonction/est continue au point 0 nous avons
lim/(t) = /(0).
Supposons que /(0) > f{x) et posons £ = /(0) — f(x) ; alors il existe un
nombre réel r\ > 0 tel que pour tout nombre réel t vérifiant 0 < t < r\ nous
ayons \f(t) — f(0) I < £. Soit t un nombre réel tel que 0 < t < Inf(rç, x),
alors nous avons \f{t) -/(0) | < e d'où /(0) - e <f(t) </(0) + £ soit
f(x) </(0 ce qui est impossible puisque la fonction / est croissante sur
l'ensemble ]0, + oo[, par suite/(O) </(x) si x > 0, donc la fonction/est
croissante sur l'ensemble [0, + oo [.
3° Puisque cp est une application décroissante nous avons
^ d ou J[z) ^ J(x) + (z — x)
z — x y — x y — x
par suite
/(z) - fiy) > m + (z-X) myZfxX) ~ f(y>
soit
/W-/(y)X«-y)^"/(ï)
y - x
et comme z — y > 0 nous avons
/(z)~/(y)../(?)-/(*)
z - y " y - x
Nous avons 0<h^x^x + h donc en appliquant ce qui précède aux
nombres 0. x, x + h nous obtenons
m-f{o)pf(x + h)-m
x — 0 ^ x + h — x

64
EXERCICES D'ANALYSE
or
/W-/(Q)</(fc)-/(Q)
x ~~* h
car la fonction ç> est décroissante, donc nous avons
m-m>f_0L+h)-m d,où _ ^ + /(x)
n «
La fonction/est croissante donc/(x + h) ^ /(x) et par suite
/(fc) - /(0) ^ f(x + h)- f{x) > 0 .
4° Soit £ un nombre réel strictement positif; puisque la fonction/est continue
au point 0, il existe un nombre réel rj > 0 tel que pour tout nombre réel x ^ 0
vérifiant x < t] nous ayons |/(x) — /(0) | < e/2. Nous allons démontrer que
pour tout couple (x, x') de nombres réels positifs vérifiant | x' — x | < r\\2,
nous avons |/(x') — f(x) | < £. L'inégalité est vraie si x = x', supposons donc
x < x' et posons x' = x + h où h est un nombre réel strictement positif
vérifiant l'inégalité h < r\\2.
Etudions d'abord le cas x ^ r\. Nous avons 0<h<x<x + h d'où
f(x + h) -/(x) <f(h) -/(0) < e/2 < e.
Etudions le cas x < r\ < x + h. Nous avons r\ — 2h ^ x — h d'où x > h
par suite 0</z<x<x + /z d'où/(x + A) — /(x) < £.
Etudions maintenant le cas 0^x<x + h<r]. Nous avons
\f(x + h)- /(0) | < | et |/(x) - /(0) | < |
d'où
|/(x) -/(x + h) | = | (/(x) -/(0)) + (/(0) -/(x + h)) | <
|/(*) -/(0) | + |/(0) - f(x + h) | < e .
Nous venons donc de démontrer que pour tout nombre réel £ > 0, le nombre
réel r\\2 est tel que pour tout couple (x, x') de points de l'ensemble [0, + oo[
vérifiant | x' — x \ < rj/2 nous ayons |/(x) — /(x') | < e, ceci achève de
démontrer que la fonction/est uniformément continue sur l'ensemble [0, +oo[.
tiZl Soit/une fonction définie et continue sur l'intervalle fermé [0,1] et à valeurs
dans ce même intervalle. Démontrer qu'il existe un point x de l'intervalle [0, 1]
tel que/(x) = x.

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
65
Solution Considérons la fonction g: [0, 1] -» [0, 1] définie par g(x) = f(x) — x
pour tout élément x de [0, 1]. Cette fonction est continue sur l'intervalle [0, 1]
puisqu'elle est la différence de deux fonctions continues. Nous avons g(0) = /(0)
et g(l) =/(l) — 1. Comme /(l) < I nous avons g(l) < 0, et d'autre part
g(0) ^ 0. La fonction g étant continue sur l'intervalle fermé [0, 1], d'après le
théorème des valeurs intermédiaires (cf. C. E., Chap. 4, § IV, 47) cette fonction g
prend toute valeur comprise entre g(0) et g(l), donc en particulier la valeur 0,
par suite il existe un point x de l'intervalle [0, 1 ] tel que g(x) = 0 donc/(x) = x.
2.22 Soit/une fonction réelle définie et continue sur R. On suppose que
lim /(0 = + oo et lim f(l) = - oo .
t~* + co t~* — co
1° Démontrer qu'il existe un nombre réel x (resp. y) tel que/(x) < 0 (resp.
f(y) ^ 0). En déduire que l'équation f(t) = 0 admet au moins une solution.
2° Démontrer que tout polynôme de degré impair à coefficients réels admet
au moins une racine réelle (on pourra utiliser les résultats de l'exercice 2.2, 3°).
Solution 1° Puisque lim f{t) = + oo il existe un nombre réel y tel que pour tout
nombre réel t ^ y nous ayons f(t) ^ 0, donc/(j) ^ 0. Nous démontrerions
de même l'existence d'un nombre réel x tel que/(x) < 0. La fonction / étant
continue sur R, est continue sur l'intervalle d'extrémités x et y ; d'après le
théorème des valeurs intermédiaires la fonction/prend toute valeur comprise entre
f(x) et/(j) donc en particulier la valeur 0. Par suite il existe un nombre réel t
tel que f(t) = 0.
2° Soit P(x) = a2n+lx2n+1 + a2nx2n + — + at x + a0 un polynôme de
degré impair, à coefficients réels. Nous savons d'après l'exercice 2.2, 3° que
lim P(t) = + oo si a2„+i > 0 et que lim P(t) — — oo si a2n+i < 0 .
De même lim P(i) = — oo si a2n+l > 0 et lim P(t) = + oo si a2n+1 < 0.
Supposons a2n+1 > 0; alors la lre question démontre qu'il existe un nombre réel t
tel que P(t) = 0. Si a2n+, < 0 il suffit de raisonner sur le polynôme — P. En
conclusion tout polynôme de degré impair, à coefficients réels, admet au
moins une racine réelle.
2.23 Soient a et b deux nombres réels tels que a < b. Soient/et g deux fonctions
réelles définies et continues sur l'intervalle fermé [a, b]. On suppose que pour
tout élément x de [a, b] on a/(jc) > g(x). Démontrer qu'il existe un nombre
réel A > 0 tel que pour tout élément x de [a, b] on ait/(jc) ^ g(x) + A.
Calvo. — Exercices d'analyse
3

66
EXERCICES D'ANALYSE
Solution Considérons la fonction h = f ■— g définie sur [a, b] par h(x) = f(x) — g(x)
pour tout élément x de [a, b]. Cette fonction est définie et continue sur
l'intervalle fermé borné [a, b], par suite elle admet un minimum en un point c de
fa, b] et nous avons Inf h{t) = h{c) ; or h{c) > 0 donc si nous posons h(c) = X
t e [o,fc]
nous aurons h{x) ^ A pour tout élément x de [a, b] par suite pour tout point
x de l'intervalle fermé [a, b] nous avons/(x) ^ g(x) + L
2.24 Soit / une fonction réelle définie et continue sur R. Démontrer que si / est
périodique de période T alors/est bornée sur R.
Solution La fonction / étant continue sur R, elle est continue sur l'intervalle fermé
borné [0, T], par suite / admet un maximum M et un minimum m. Soit x un
nombre réel alors nous savons qu'il existe un entier relatif n tel que
n < x/T < n + 1
(cf. exercice 2.6, 1°) donc nT < x < {n + 1) T d'où O^ç x — nT < gT,
par suite m < f(x — nT) < M donc m < /(x) < M. Ceci démontre que la
fonction/est bornée sur R.
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et/une fonction réelle définie
et continue sur l'intervalle fa, b]. On suppose que/admet un maximum local
en un point xl de [a, b] et un maximum local en un point x2 de [a, b] tels que
Xx < x2. Démontrer que/admet un minimum local en un point c de
l'intervalle ouvert ]xu x2[.
Solution La fonction/ étant continue sur l'intervalle fermé borné [xu x2], admet un
minimum en un point c' de l'intervalle [xu x2]. Nous avons
/(<•')= Inf f{t) donc /(c') </(*!> et /(c')</(x2).
tElXl,X2'\
Supposons d'abord que l'une des inégalités soit une égalité et par exemple
/(c') = f(xt). Puisque xx est un maximum relatif il existe un nombre n > 0
tel que pour tout point x vérifiant xt < x < x^ + r\ nous ayons/(x) ^/(xi).
Mais/(x!) = Inf f(t) donc pour tout nombre réel x vérifiant xt < x < x± +t]
le[n,l2]
nous avons/(x) = /(xi), par suite la fonction/est constante sur l'intervalle
2.25

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
67
[xt, xt + t]] donc elle admet un minimum relatif au point c = xt + - (comme
d'ailleurs en tout point de l'intervalle ouvert ]xu xx + t][). Supposons
maintenant/^') < Inf (f(x1),f(x2))m, alors c' ¥= *i et c' ^ x2 donc c' appartient à
l'intervalle ouvert ]xu x2[. Posons t] = Inf(c' — xux2 — c'); alors en tout
point x de l'intervalle ]c' — r\,c' + r\[ nous avons f{x) > f(c'), par suite la
fonction / admet un minimum relatif au point c'. Ceci démontre qu'il existe
un point c de l'intervalle ouvert ]xt, x2[ où la fonction / admet un minimum
relatif.
2.26 Soient a et b deux nombres réels tels que a < b. On considère une fonction/
définie et croissante sur l'intervalle fermé fa, b] telle que
/([«,*]) = [/(«),/(*)]•
Démontrer que la fonction/est continue sur l'intervalle [a, b].
Solution Soit x0 un point du semi-segment [a, b[; nous savons (cf. C. E., Ch. 4, § V, 51)
que lim f(x) = Inf f(x). Posons i"0 = Inf f(x), nous avons f(x0) < i0.
x~*xo+ xo<x^b xo<x^b
Supposons que /ne soit pas continue à droite au point x0 ; alors/(x0) < j0.
Soit y un élément de l'intervalle ouvert ]/(x0), »'0[ ; comme
]/(*o), *>[ <= [/(û),/(fe)] ,
y appartient à l'ensemble/([a, b]) donc il existe un élément x de l'intervalle
[a, b] tel que f(x) = y. Nous avons alors f{x0) < f{x) donc x0 < x et par
définition de i0,f(.x) ^ «o ce Qui est impossible car y appartient à l'intervalle
ouvert ]/(x0), i0[. Nous venons de démontrer que pour tout point x0 de [a, b[,
f est continue à droite au point x0, nous démontrerions de manière analogue
que / est une fonction continue en tout point xt du semi-segment ]a, b], par
suite l'application/est continue sur l'intervalle fermé [a, b].
2.27 Soient a et b deux nombres réels ; calculer Arc tg a + Arc tg b.
Nous savons que pour tout couple (a, p) de nombres réels vérifiant
tg a tg fi ^ 1 on a

EXERCICES D'ANALYSE
Par suite si tg (Arc tg a) tg (Arc tg b) ¥= 1 nous aurons
tg (Arc tg à) + tg (Arc tg b)
tg (Arc tg a + Arc tg b) =
1 - tg (Arc tg a) tg (Arc tg b) '
D'autre part tg (Arc tg x) = x pour tout nombre réel x donc nous avons
tg (Arc tg a + Arc tg b) = -r si ab ¥= 1.
Nous savons que la relation Arc tg x = y est équivalente à
igy = x et _2<-V<2'
par suite
- - < Arc tg a < ^ et - - < Arc tg b < -
d'où — 7t < Arc tg a + Arc tg fe < 7t. Nous avons donc
a + b ,
Arc tg a + Arc tg b = Arc tg r + K7t
où k est un entier rationnel ; plus précisément
a + b
Arc tg a + Arc tg b = Arc tg
1 - cb
si — n < Arc tg a + Arc tg b < — -
a + b
Arc tg a + Arc tg b = Arc tg
1 — ab
si — - < Arc tg a + Arc tg b < -
a + b
Arc tg a + Arc tg b = Arc tg T + n
1 — ab
si — < Arc tg a + Arc tg fc < 7t.
Etudions maintenant le cas ab = 1. La relation tgoctg/? = 1 est équivalente
à la relation
tg a = —- soit tg a = tg I - - jSJ et a ^ /crc

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
69
donc
soit encore
a = — — P + kn et a ^ kn,
a + fi = - + kn et a ^ kn.
Par suite si ab — 1, tg (Arc tg a) tg (Arc tg b) = 1 d'où
Arc tg a + Arc tg b = =• + kn et Arc tg a ¥= kn
ce qui nous donne
et
Conclusion
Arc tg a + Arc tg b = — - si a < 0
Arc tg a + Arc tg b = - si a > 0 .
a + b
Arc tg o + Arc tg b = Arc tg + n
1 — ab
si — 7r < Arc tg a + Arc tg b < — —
Arc tg o + Arc tg b = Arc tg
Si ab ¥= l
si
a + b
l - ab
— < Arc tg o + Arc tg b < —
a + b
Arc tg a + Arc tg b = Arc tg ;— n
1 — ab
si — < Arc tg a + Arc tg b < n .
Si ab = 1
1 7t
Arc tg a + Arc tg - = — - si a<0
Arc tg a + Arc tg - = - si a > 0 .
a 2

/u
EXERCICES D'ANALYSE
2.28 Calculer
2 x 1 — x2
Arc sin + Arc cos
1 + x2 1 + x2
suivant les valeurs de x (on pourra poser x = tg 6/2).
Posons
0 n 6 n .
x = tg- ou — -=<-< — soit — % < 0 < % ,
e2 2 2 2
Nous avons alors
2 x . . 1 — x2 „
= sin 0 et = cos 0
l + x2 1 + x2
Nous savons que la relation y = Arc sin x est équivalente à sin y = x et
— 7t/2 < j < 7r/2, de même la relation y = Arc cos x est équivalente à cos y = x
et 0 < y < 7r. Posons Arc sin (sin 0) = a et Arc cos (cos 6) = P alors nous avons
. n ■ % %
sin 0 = sin a et —- < a < —,
2 2
donc 0 = a + 2A:7tou0 = 7t — a + 2 kn. Les conditions imposées à 0 et à a
nous donnent
e si -^<0<J
2 2
n
Arc sin (sin 6) = \— n — 6 si —7t<0<— —
n — 6 si — < 0 < 7t.
De même nous avons cos 0 = cos /5 et 0 < fi < n, donc 0 = + fi + 2 kn ;
les conditions imposées à 9 et fi nous donnent
» , m f e si 0 < 0 < 7T
Arc cos (cos 0) = { . „
v ' 1-0 si -7t<0^O.

FONCTIONS RÉELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
71
Par suite nous avons
- n - 26 si -7r<0<-y
0 si - ? < 0 < 0
Arc sin (sin 6) + Arc cos (cos 0)
2 6 si 0 < 6 <
2
n
2
si - < 6 < n
Comme x = tg 0/2 avec — n < 6 < n nous avons 0 = 2 Arc tg x d'où
en transformant les conditions sur 6 en conditions sur x
n — 4 Arc tg x si x < — 1
2 x . 1 + x2 ) 0 si - 1 < x < 0
Arc sin + Arc cos
1 + x2 1 - x2 / 4 Arc tg x si 0 < x < 1
7T Si X ^ 1

3
FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES
D'UNE VARIABLE RÉELLE
3il Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et soit/une fonction
différentiable en tout point de l'intervalle fermé [a, b]. On suppose que / admet des
maxima locaux aux points xt et x2 (*i < x2) de l'intervalle [a, b]. Démontrer
qu'il existe un point x0 de l'intervalle ouvert ]xu x2[ tel que/'(x0) = 0.
Solution La fonction/est différentiable sur [a, b] donc elle est continue sur [a, b] et à
fortiori sur l'intervalle fermé borné [xu x2]. Par suite (cf. C. E., Ch. 4, § IV, n° 46)
la fonction/admet un minimum en un point x0 de l'intervalle [x„ x2]. Ou bien
x0 appartient à l'intervalle ouvert ]xlt x2[ ou bien x0 est l'un des points xu x2.
Supposons que x0 = x1. Puisque la fonction / admet un maximum local au
point xu il existe un nombre réel strictement positif»;' tel que pour tout point x
de [a, b] vérifiant | x — xt | < t]' nous ayons/(x) < /(xj). Mais/(jc0) = /(xj
est la borne inférieure de l'ensemble des f{t) pour tout élément t de [xlt x2]
donc/Cxj) < f{x) pour tout élément* de [xu x2]- Posons?;' = lnf(t],x2 — xt)
alors pour tout point x du semi-segment [xlt x1 + rj[ nous avons/^i) = f{x) ;
la fonction est donc constante sur cet ensemble par suite elle admet aussi un
minimum au point xt + t]/2 appartenant à l'intervalle ouvert ~\xt, x2[. Si nous
avions x0 = x2 un raisonnement analogue prouverait que/admet un minimum
en un point de l'intervalle ouvert ]xu x2[. Nous venons donc de voir que dans
tous les cas la fonction / admet un minimum en un point x0 de l'intervalle
ouvert ]xy, x2[ ; comme cette fonction est différentiable sur cet intervalle nous
avons f'(x0) = 0.

FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
73
Soient/une fonction réelle, définie au voisinage d'un nombre réel x0, et a
un nombre réel. On dit que / satisfait à une condition de Lipschitz d'ordre a
au point x0 s'il existe des nombres réels strictement positifs M et a tels que pour
tout élément x de l'intervalle ouvert ]x0 — a, x0 + a[ on ait
|/(*)-/(*o)| <M\x-x0\*.
1° Démontrer qu'une fonction qui vérifie une condition de Lipschitz d'ordre a
en x0, est continue au point x0 si a > 0.
2° Démontrer qu'une fonction qui vérifie une condition de Lipschitz d'ordre a
en x0, est différentiable et admet une dérivée nulle au point x0 si a > 1.
3° Donner un exemple de fonction, vérifiant une condition de Lipschitz
d'ordre a au point x0, qui est continue mais non différentiable au point x0.
Solution 1° Soit / une fonction réelle, définie au voisinage de x0, et vérifiant une
condition de Lipschitz d'ordre a > 0 en x0. Nous savons qu'il existe deux
nombres réels M et a, strictement positifs, tels que pour tout nombre réel x
vérifiant | x — x0 | < a nous ayons \f(x) — f(x0) | < M | x — x0 \". Soit e
un nombre réel strictement positif; nous cherchons un nombre réel tj > 0
tel que pour tout nombre réel x vérifiant | x — x0 | < rj nous ayons
|/(*)-/(*o)|<*-
Comme pour tout élément x de l'intervalle ouvert ]x0 — a, x0 + a[ nous avons
\f(x) ~f(xo) j -c A/" | jc — jc0 |Œ, il suffit de trouver un nombre réel r\ tel que
0 < Y] < a et que pour tout élément x de ]x0 — rj, x0 + rj[ nous ayons
M | jc — x0 |a < e. La fonction réelle x i-> | x — x0 \" est continue au point x0 si
a > 0, donc il existe un nombre réel t\± > 0 tel que pour tout nombre réel x
vérifiant | x — x0 \ < rj^ nous ayons \x — x0\" < e/M. Posons
rj = Inf(a, ?h)
alors pour tout élément x de ]x0 — r\, x0 + t][ nous avons
|/(*)-/(*b)| <M\x-x0\'<e.
Ceci démontre que la fonction/est continue au point x0.
2° Soit/une fonction réelle, définie au voisinage du point x0 et vérifiant une
condition de Lipschitz d'ordre a > 1 en x0. Nous savons qu'il existe deux
nombres réels M et a, strictement positifs, tels que pour tout nombre réel x
vérifiant | x - x0 \ < a nous ayons \f{x) - f(x0) | < M \ x - x0 \a. Soit e
un nombre réel strictement positif; nous cherchons un nombre réel r\ > 0 tel que
pour tout élément x de l'intervalle ouvert ]x0 — rj, x0 + t][ nous ayons
|/(*)-/(*o)| <e\x-x0\.

74
EXERCICES D'ANALYSE
Comme pour tout élément x de ]x0 — a, x0 + a[ nous avons
|/(*)-/(*q)| <M\x-x0\"
il suffit de trouver un nombre réel rj tel que 0 < rj < a et que pour tout
élément x de ]x0 — rj, x0 + rj[ nous ayons M \ x — x0 \" < e \ x — x0 \, soit
| x — x0 |a_1 < e/A/. Puisque a — 1 > 0 la fonction réelle x i-^-\ x — x0 \"~l
est continue au point x0 donc il existe un nombre réel r\1 > 0 tel que pour tout
nombre réel x vérifiant \ x — x0\ < r\x nous ayons | x — x0 |a-1 < ejM.
Posons rj = Inf (jj„ a); alors pour tout nombre réel jc vérifiant | x — x0 \ < r\
nous avons \f{x) — f(x0) \<M\x — x0\"<e\x — x0\. Ceci démontre
que la fonction/est différentiable au point x0.
3° Considérons la fonction réelle définie au voisinage de 0 par/(;>c) = %x.
Cette fonction vérifie une condition de Lipschitz d'ordre 1/3 au point 0 par
conséquent elle est continue en ce point. Nous avons
,- v*
lim = + oo
donc la fonction/n'est pas différentiable au point 0.
3.3 Soit / une fonction définie au voisinage du nombre réel x0. On définit la
dérivée symétrique de/au point x0 par
fs(x0).= "m —t ■
quand cette limite existe.
1° Démontrer que si la fonction / admet une dérivée à droite /d(x0) et une
dérivée à gauche f'g(x0) au point x0, elle admet une dérivée symétrique au
point x0. Calculer cette dérivée symétrique en fonction àef'g(x0) etf'd(x0).
2° Démontrer que la fonction réelle/définie par/(x) = xsin (1/x) si x ^ 0 et
/(O) = 0, admet une dérivée symétrique au point 0, mais n'admet pas de dérivée
à gauche ni de dérivée à droite au point 0.
3° Démontrer que si une fonction réelle /, définie et croissante sur un
intervalle ouvert ]a, b[ (a et b étant des nombres réels tels que a < b) admet en
tout point de cet intervalle une dérivée symétrique, celle-ci est positive.
4° Montrer au moyen d'un exemple que la fonction / peut avoir un extre-
mum local au point x0 sans quef's(x0) soit nulle.
Solution 1° Nous remarquons que la quantité
Kxp + h) - f(x0 - h)
2h

FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
75
ne change pas si nous remplaçons h par — h, par suite
ri . r,v, f(xo + h) - f(x0 - h)
La fonction/admet des dérivées à droite et à gauche au point x0, nous avons
donc
ri \ Vm f(x0 + h) - f(x0) , i,-m /(*o + h) - f(x0)
fd(xo) = «m r el Jg(x0) = hm ,
Ji->0+ " )i-0- "
par suite
f(x0-h)-Ax0)
fg(x0) = lim
d'où
*-o+ - h
,,, ^ ,. /(x0 + ft) - /(x0 - h)
L(x0) = «m Yh
Ji-»0 +
(/(*o + h) - /(x0)) + (/(x0) -/(x0 - *))
= lim o i.
A-0 + 2«
donc
fs(x0) = 2 (/d'(^o) + /9'(*o)) ■
2° Calculons la dérivée symétrique de / au point 0. Nous avons
fifi) — /( — h) = 0 pour tout nombre réel h par suite
lim/(o + /t)-/(o-_j0=0
ce qui démontre que/admet une dérivée symétrique nulle au point 0. D'autre
part nous avons
f(h) - /(0) _ h sin (1/fc) - 0
d'où
h h
Une démonstration analogue à celle donnée dans l'exercice 2.3 nous montre que
la fonction h\—>sin (1//j) n'a pas de limite lorsque h tend vers 0, par suite la
fonction/n'admet ni dérivée à gauche ni dérivée à droite au point 0.

76
EXERCICES D'ANALYSE
3° Pour tout nombre réel h > 0 tel que les points x0 — h et x0 + h
appartiennent à l'intervalle ouvert ]a, b[, nous avons
/(x0 + h) - /(x0 - h) >
2h
puisque la fonction/est croissante. Mais les inégalités se conservent par passage
à la limite donc
,im /(»„ + h)-f(x0 - h) ^ Q d,où ^ Q
Ceci étant vrai pour tout point x0 de l'intervalle ouvert ]a, b[ la dérivée
symétrique de/est positive sur tout l'intervalle ]a, b[.
4° Considérons la fonction réelle / définie par /(x) = x pour x > 0 et
f{x)= — 3 x pour x < 0. La fonction / admet une dérivée à gauche et une
dérivée à droite au point 0 donc elle admet une dérivée symétrique et nous
avons
/,'(0) = H/;(o) + /.'(o)) = i(i - 3) = - i.
D'autre part, comme/(x) > 0 pour tout nombre réel x, nous avons/(x) >/(0)
ce qui prouve que/admet un minimum au point 0.
oA Soient k un nombre réel et/la fonction réelle définie sur R par
■> 1
/(x) = xÀ sin - + fcx si x # 0 et /(0) = 0 .
1° Démontrer que la fonction/est différentiable sur R et calculer sa dérivée
en tout point de R.
2° On suppose maintenant 0 < \k\ < 1. Démontrer que pour tout nombre
réel a > 0 la fonction dérivée/' change de signe sur l'intervalle ouvert ]— a, a[.
La fonction x\—>f'(x) est-elle continue sur R ?
Solution 1° Si x # 0 les théorèmes sur la somme, le produit et la composée de
fonctions différentiables nous permettent d'affirmer que la fonction / est
différentiable au point x. Etudions la différentiabilité de / au point 0 et pour cela
calculons
lim/W-^0).
x-*0 x

FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
77
Nous avons
par suite
J-^—^^ = x sin- + k et lim x sin - = 0;
x x x_>0 x
no) = .im^w(o) = fc,
La fonction/est donc différentiable en tout point de R. Nous venons de voir
que/'(0) = k et nous avons
/'(x) = 2 x sin cos —h k
x x
pour tout nombre réel x non nul.
2° Si a est un nombre réel strictement positif nous savons qu'il existe un entier
n > 0 tel que l/nn < a; alors les nombres réels l/nn et !/(« + 1) n sont des
éléments de l'intervalle ouvert ]— a, <x[. Nous avons
/'(—)=(-l)"+1 + fc et /'( * )=(-iy + fc.
Comme | & | < 1 ces deux nombres sont de signes contraires ce qui démontre
que la fonction dérivée/' change de signe sur ]— a, a[.
La fonction x\-*f'(x) est continue pour tout élément x non nul de R car
alors
/'(x) = 2 x sin cos —\- k .
x x
Supposons que/' soit continue au point 0, alors il existe un nombre réel a > 0
tel que pour tout nombre réel x vérifiant | x | < a nous ayons
\f'(x) - k | < | k |
soit k - | k | </'(*) < k + | k \. Sik > 0alors/'(x) > 0 et si k < 0,f'(x) < 0;
par suite pour tout élément x de ] — a, u[,f ' garde un signe constant ce qui est
impossible donc la fonction x t—>f'(x) n'est pas continue au point 0.
ûib Calculer et comparer les dérivées des fonctions réelles f et g définies pour
x#0etx#— 1 par
1 x x — 1
/(x) = Arc tg —- et g(x) = Arc tg Arc tg .
2 x x + 1 x
Pouvait-on prévoir le résultat ?

78
EXERCICES D'ANALYSE
Nous avons
1 V _ J_
x3 4x
fi \ ^2 *2'
f (x) =
(è)
l+l^l 1+ - 4x +l
x*/ 4 x4
de même
(x — 1\' x + 1 — x x — x + 1
\x + lj l x /
f.w_ ..., . -, _ <*+»'
.♦(-JL.)' 1+(^if ,+_ï^ 1 +
\X + 1/ \ X / (X + l)2
(X - 1)'
(x + 1)^ x2
d'où
,, x 1 1 4x
2 x2 + 2 x + 1 2x2-2x + l 4 x4 + 1
Nous avons donc/'(x) = g'(x).
Nous savons (cf. exercice 2.27) que
u — v
Arc tg u — Arc te v = Arc tg ^ h K7t
1 + uv
où A; est un entier. Nous avons donc
x x — 1
Arc tg — Arc tg = Arc tg h kn
x + 1 x x — 1
+ x + 1
d'où
g(x) = Arc tg —- + kn soit g(x) = /(x) + kn ,
2x2
par suite pour tout nombre réel x différent de 0 et de — 1 nous avons
6.0 Soient a et b deux nombres réels tels que a< b et/une fonction réelle définie,
continue et n fois différentiable sur l'intervalle ouvert ]a, b[. On suppose déplus
que la fonction/s'annule en n + 1 points distincts de l'intervalle ]a, b[.
Démontrer qu'il existe un point de cet intervalle où la dérivée d'ordre n de /prend la
valeur 0.

FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE 79
Solution Soient a0, au ..., a„ les n + 1 points distincts où/s'annule. Nous pouvons
appliquer le théorème de Rolle à la fonction/ sur l'intervalle [ak, ak+l] (0 ^ k
< n — 1) . Il existe donc un point a\ de l'intervalle ouvert ]ak, ak+l[ tel que
f'(ak) = 0, par suite la fonction/' s'annule en n points distincts de
l'intervalle ]a, b[. Désignons par/(p) la fonction dérivée p-ïème de / (1 < p < n) et
supposons que /(p) s'annule en n + 1 — p points distincts, a*, a{,..., a'-p, de
l'intervalle ouvert ]a, b[. Nous pouvons appliquer le théorème de Rolle à la
fonction/(p) sur chacun des intervalles [a{, ak+i] (0 < k < n — p), par suite
il existe n — p points ak (0 < fc < n — p — 1) appartenant chacun à
K, efk+l[ tels que/(p+1)(4t ) = 0. Nous venons de démontrer par récurrence
surp que pour tout entier q vérifiant 0 < q < n, la fonction/(,) s'annule au
moins en n + 1 — q points distincts de l'intervalle ouvert ]a, b[, par suite il
existe un point de cet intervalle où la fonction /(n) s'annule.
Soient petq deux nombres réels et n un entier strictement positif. Démontrer
que le polynôme/(x) = x" + px + q ne peut avoir plus de deux racines réelles
si n est pair et plus de trois racines réelles si n est impair.
Solution Soient a et b deux racines du polynôme x" + px + q. Désignons par / la
fonction polynomiale définie pour tout nombre réel x par
f(x) = x" + px + q
et appliquons le théorème de Rolle à cette fonction sur l'intervalle fermé
[a, b]. Il existe donc un point de l'intervalle ouvert ]a, b[ en lequel la fonction/'
s'annule, par suite si le polynôme / admet k racines /' en admet au moins
k — \. Etudions la fonction/' ; nous avons/'(x) = nx"-1 + p. Si n est pair
l'équation x"'1 = — pjn admet une et une seule racine réelle donc le polynôme
/admet au plus deux racines réelles. Si n est impair l'équation x""1 = — pjn
admet au plus deux racines réelles donc le polynôme / admet au plus trois
racines réelles.
Démontrer les inégalités suivantes :
x
1° Arc sin x < ^== si 0 < x < 1 .
Vl -x2
2° Arc tg x > si x > 0.
1 + x2
3.7
3.8

80
EXERCICES D'ANALYSE
Solution 1° Appliquons le théorème des accroissements finis à la fonction
t »—> Arc sin t
sur l'intervalle [0, x]. Nous savons qu'il existe un point c de l'intervalle ouvert
]0, x[ tel que
Arc sin x — Arc sin 0 = (x — 0) —= .
Vl -c2
Comme 0 < c < x, nous avons
1 - c2 > 1 - x2 et — < ,
Vl - c2 Vl - x2
d'où
X
Arc sin x < — pour 0 < x < 1 .
Vl - x2
2° Appliquons le théorème des accroissements finis à la fonction
11-* Arc tg t,
sur l'intervalle [0, jc]. Nous savons qu'il existe un point c de l'intervalle ouvert
]0, x[ tel que
Arc tg x — Arc tg 0 = (x — 0) .
1 + c2
Comme 0 < c < x nous avons
2.2 1 1
1 + c2 < 1 + x2 et >
1 + c2 1 + x2
d'où
X
Arc tg x > pour x > 0 .
1 + x2
d.y Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et/une fonction réelle, définie
continue sur l'intervalle fermé [a, b], différentiable en tout point de l'intervalle
ouvert ]a, b[, sauf peut-être en un point x0 de ]a, b[.
1° Démontrer que si la fonction dérivée/' admet une limite au point x0
alors la fonction/est différentiable au point x0 et
/'(x0) = lim /'(x).

FONCTIONS D1FFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE 81
2° En étudiant la fonction réelle g définie par
g(x) = x2 sin - si x # 0 et g(0) = 0 ,
démontrer que la réciproque de la propriété démontrée au 1° est fausse.
Solution 1° Soit x un point de l'intervalle [a, b], tel que x < x0. Appliquons le
théorème des accroissements finis à la fonction / sur l'intervalle [x, x0]. Nous
savons qu'il existe un point r\x de l'intervalle ouvert ]x, x0[ tel que
/(x) - /(x0) =
X Xq
Puisque x < rjx < x0 , lim r\x = x0 donc
x-*x0
lim = lim f'(t]x) = lim /'(x).
x-*xq— -^ 0 x-*xq— x-*xr> —
Par suite la fonction / est différentiable à gauche au point x0 et sa dérivée à
gauche/g(x0) en ce point vérifie
/;(x0)= lim /'(x).
x->Xo —
Nous démontrerions de manière analogue que la fonction/est différentiable
à droite au point x0 et que sa dérivée à droite /d(x0) en ce point vérifie
/d'(x0) = lim f'(x) .
Par suite la fonction / est différentiable au point x0 et sa dérivée en ce point
vérifie
/'(x0) = lim /'(x) .
x-»x0
2° Il est clair que la fonction g est différentiable sur R sauf peut-être au
point 0. Nous avons
lim g(*> ~ g(°> = iim x sin - = 0 (cf. exercice 2.2).
x-»0 X x_,o X
La fonction g est donc différentiable au point 0 et sa dérivée g'(0) en ce point
est nulle. D'autre part pour tout nombre réel x # 0, nous avons
g (x) = 2 x sm cos —.
xx
Lorsque x tend vers 0, 2xsin (1/x) tend vers 0 mais la quantité cos (1/x) n'a
pas de limite (cf. exercice 2.3) par suite la fonction g' n'a pas de limite lorsque
x tend vers 0.

82
EXERCICES D'ANALYSE
3.10 Soit / une fonction à valeurs réelles définie et continûment tlérivable sur
l'intervalle [0,1]. On suppose de plus que la fonction/' est strictement positive
sur l'intervalle fermé [0, 1].
1° Démontrer qu'il existe un nombre réel A > 0 tel que pour tout élément
de l'intervalle [0, 1] ont ait/'(x) > A.
2° En déduire que si/(0) = 0 alors/(x) > Ax pour tout élément de
l'intervalle fermé [0, 1].
Solution 1° La fonction/' étant continue sur l'intervalle fermé borné [0, 1], admet
un minimum en un point c de [0, 1]. Nous avons donc
Inf/'(0 =/'(<?) mais f'(c) > 0;
re[0,l]
par suite si nous posons f'(c) = A, pour tout élément x de [0, 1] nous aurons
/'(*) > A.
2° Soit x un élément de l'intervalle ]0, 1]. Appliquons le théorème des
accroissements finis à la fonction / sur l'intervalle [0, x]. Nous savons qu'il
existe un point u de l'intervalle ouvert ]0, x[ tel que/(x) — /(0) =f'(u)x.
Mais/(0) = 0 et/'(w) > A donc/(x) > kx. D'autre part cette inégalité est
vraie pour x = 0 donc nous avons/(x) > Ax pour tout élément de l'intervalle
fermé [0, 1].
dil 1 Soit / une fonction à valeurs réelles définie, continue et différentiable sur le
semi-segment ]0, 1]. On suppose que pour tout élément x de ]0,1] on a
On considère la suite (w„) définie par u„ =/(l/n) pour tout entier n > 1 ;
démontrer, en utilisant le critère de Cauchy, que cette suite est convergente.
Solution Soit e un nombre réel strictement positif ; pour démontrer que la suite (u„)
est une suite de Cauchy nous devons trouver un entier N tel que pour tout
couple (p, q) d'entiers, vérifiant p > q > N, nous ayons | up — uq \ < e. Nous
avons

FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
83
par suite nous pouvons appliquer le théorème des accroissements finis, à la
fonction/ sur l'intervalle fermé [1/p, l/q]. Nous savons qu'il existe alors un
point x de l'intervalle ouvert ]l/p, \jq[ tel que
Comme \f'(x) \ < 1 nous obtenons
K-«,l = |/Q-/Q| = U-i||/'W|«
La suite (1/n) est convergente donc c'est une suite de Cauchy, par suite il
existe un entier N tel que pour tout couple (p, q) d'entiers vérifiant p > q^ N,
nous ayons
< E
d'où
\up -uq\ < e,
Ainsi pour tout nombre réel e > 0 il existe un entier N tel que pour tout
couple (p, q) d'entiers vérifiant p > q > N, nous ayons | up — uq \ < s. Ceci
démontre que la suite (w„) est une suite de Cauchy donc une suite convergente.
3.12 Soit y une fonction définie sur R+, à valeurs dans R, continue et dérivable
sur R+. On suppose de plus que la fonction dérivée/' est strictement
décroissante et à valeurs positives.
1° Démontrer que pour tout élément x de l'ensemble [l, + oo[ on a :
f{x + 1) -/(x) </'(*) </(x) -/(* - 1) .
En déduire que si /admet une limite finie A lorsque x tend vers + co, alors/'
admet la limite 0 lorsque x tend vers + oo.
2" On définit la suite (sp) par sp = /'(l) + /'(2) + - + f'(p) pour tout
entier p > 1. Démontrer que la suite (sp) est convergente si et seulement si la
fonction/admet une limite finie A lorsque x tend vers + oo.
Application : Etudier la convergence des suites suivantes :
1 1 1
1 + 1"
1
+
+
1 + 2Z
1
+ - +
Vl + 1 Vl + 2
+ - +
1+P2
1
vr
(p>i)
+ p

84
EXERCICES D'ANALYSE
3° On définit les suites (op) et (a'p) par ap = sp — f(p + 1) et a'p = sp — /(/))
pour tout entier p > 1. Démontrer que les suites (<rp) et (<Tp) sont des suites
monotones et que l'on a ap < a'p pour tout entier p > 1. Trouver une condition
nécessaire et suffisante sur la fonction/' pour que les suites (<rp) et (a'p) soient
adjacentes.
Solution 1° Soit x un nombre réel tel que x > 1 ; les hypothèses faites sur la fonction/
nous permettent d'appliquer le théorème des accroissements finis à / sur
l'intervalle [x — 1, x]. Nous savons donc qu'il existe un point ct de l'intervalle
ouvert ]x — 1, x[ tel que/(x) — f(x — 1) =f'(cl). La fonction/' est
strictement décroissante donc /'(ct) > f'(x) par suite f(x) — f(x — 1) > f'(x).
En appliquant de nouveau le théorème des accroissements finis à la fonction/
sur l'intervalle [x, x + 1] nous trouverions un point c2 de l'intervalle ouvert
]x, x + 1[ tel quef(x + 1) — /(x) = f'(c2). La fonction/' étant strictement
décroissante nous avons/'(x) > f'(c2) à'oiif'(x) > f(x + 1) —/(x). Ainsi
pour tout élément x de l'ensemble [1, + oo [ nous avons
f(x + 1) -/(*) </'(*) </(x) -f{x - 1) .
Si la fonction/admet la limite A lorsque x tend vers + oo alors
lim [/(x + 1) -/(x)] = lim [/(x) -/(x - 1)] = 0
donc par passage à la limite dans l'inégalité ci-dessus nous obtenons
lim /'(x) = 0 .
2° Si x prend les valeurs 1, 2, ...,p nous obtenons les p inégalités suivantes :
/(2)-/(l) </'(l) </(l)-/(0)
/(3)-/(2) </'(2)</(2)-/(l)
f(p + 1) ~f(p) <f'(p) <f(p) ~f(P ~ 1) •
En effectuant la somme membre à membre de ces inégalités nous obtenons
f(p + 1) — /(l) < sp <f(p) —/(0). Puisque la fonction dérivée/' est
strictement positive la fonction/est strictement croissante.
Supposons que/admette la limite A lorsque x tend vers + oo alors pour tout
entier p > 1 nous avons sp < f(p) — /(0) < A — /(0). La suite (sp) est donc
majorée. D'autre part, puisque/' est une fonction strictement positive il est clair
que sp < sp+1 pour tout entier p > 1, donc la suite (sp) est croissante ; la
suite (sp) est donc convergente.
Supposons que / n'admette pas de limite finie lorsque x tend vers + oo,

FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE 85
alors comme la fonction/est croissante lim f(x) = + oo. Mais nous avons
x-* + oo
vu que sp > f{p + 1) - /(l) donc
lim sp ^ lim [/(p + 1) - /(l)] d'où lim sp = + oo ;
p-> + 00 p-> + OO p-» + OO
la suite (sp) n'est donc pas convergente. Ceci démontre que la suite (sp) est
convergente si et seulement si la fonction/ admet une limite finie lorsque x tend
vers + oo.
Application :
Considérons la fonction réelle fx définie pour x ^ 0 par /x(x) = Arc tg x.
Cette fonction est continue, différentiable pour tout nombre réel x ~& 0 et
nous avons f\(x) = 1/(1 + x2) par suite la fonction /' est bien strictement
décroissante et positive. Nous avons ap =/î(l) +/î(2) + — +fî(p) et
comme lim Arc tg x = 7t/2 nous pouvons affirmer que la suite (ûp) est
X-* + oo
convergente.
Considérons la fonction réelle/2 définie pour x ^ 0 par/2(x) = 2 VI + x.
Cette fonction est continue, différentiable pour tout nombre réel x ^ 0 et nous
avons/^x) = 1/vl + x, par suite la fonction/' est bien strictement
décroissante et positive. Nous avons bp = f'2{\) + /â(2) + — + fz(p) et comme
lim 2 yjl + x = + oo nous pouvons affirmer que la suite bp admet la limite
*-* + 00
+ oo donc est divergente.
3° La suite (op) est croissante car
op+ 1-°p = sp+l-sp -f(p + 2) +f(p + 1) =f\p + 1) -f(p + 2) +f(p + 1)
et nous savons d'après l'inégalité démontrée au 1° que
f'{p + 1) >f(p + 2) -f{p + 1) donc ap+1 -ap>0.
De même nous avons
<r'P+i ~ °'P = sp+i - sp -/(P + 1) +/(P) =f'iP + 1) -fip + 1) +/(P) ,
or
f'iP + 1) < /(P + 1) - /(P) donc a;+1 - op < 0 .
La suite (<rp) est donc croissante et la suite (a'p) décroissante. D'autre part la
fonction/est croissante donc/(p) </(/? + 1) d'où ap < a'p pour tout entier
p ^ 1. Les suites (op) et (<rp) seront donc adjacentes si et seulement si
lim (o'p - ap) = 0 soit lim [f(p + 1) - /(p)] = 0.
p-* + OO p-» + oo
Nous allons démontrer que cette dernière condition est équivalente à
lim /'(x) = 0 .

EXERCICES D'ANALYSE
D'après l'inégalité démontrée au 1° nous avons 0 <f{p + 1) — f{p) <f'(p)
donc si
lim f'(x) = 0 alors lim f'(p) = 0
X^> + oo p-»- + go
et comme les inégalités se conservent par passage à la limite nous obtenons
lim [/(/>+l)-/(/>)] = 0.
P~* + GO
Réciproquement d'après l'inégalité démontrée au 1° nous avons
0 <f\p)<f{p) -f(p-l)
donc si
lim [/(p + 1) - /(p)] = 0 alors lim [/(p) - f(P - 1)] = 0
P~* + GO p-> + OO
et par passage à la limite nous obtenons lim /'(/>) = 0. Soit e un nombre réel
p-* + 00
strictement positif, puisque lim /'(/>) = 0 il existe un entier N tel que pour
P~* + 00
tout entier p ^ N nous ayons f'(p) < e, alors pour tout nombre réel x > p
nous avons f'(x) <f'(p) < e, ce qui démontre que lim f'(x) = 0. Ceci
X-* + 00
achève de démontrer que les suites (<rp) et (a'p) sont adjacentes si et seulement si
lim /'(x) = 0 .
X-» + 00
3.13 Soient a un nombre réel et/une fonction réelle définie, continue et différen-
tiable sur l'ensemble [a, + oo[.
1° On suppose que lim /'(*) = + °°- Démontrer que
X~* + 00
lim f(x) = + oo .
2° On suppose que lim f'(x) = 0. Démontrer que
X-* + OO
JC-* + GO X
3° On suppose que lim f'(x) = / où /est un nombre réel strictement posi-
X-* + OO
tif. Démontrer que
f(x)
lim = / et que lim f(x) = + oo .
■r—> A- oo ■" v—»■ 4- co

FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
87
Solution 1° Puisque lim f'(x) = + oo il existe un nombre réel A tel que pour tout
nombre réel x > A nous ayons f'(x) > 1. Nous pouvons appliquer le
théorème des accroissements finis à la fonction/sur l'intervalle [A, x] donc il existe
un éléments de l'intervalle ouvert ]A, x[ tel que/(x) =f(A) + (x — A)f'(cx).
Comme cx > A nous avons/'(c*) > l d'où/(x) > f{A) + (x — A). Par suite
il est clair que lim /(x) = + oo.
x-y + oo
2° Soit e un nombre réel strictement positif. Puisque
lim /'(x) = 0,
X-f + ZO
il existe un nombre réel A ^ a tel que pour tout nombre réel x > A nous ayons
|/'(x) | < £/2- Nous pouvons appliquer le théorème des accroissements finis
à la fonction / sur l'intervalle [A, x] donc il existe un élément cx de l'intervalle
ouvert ]A, x[ tel que /(x) = f{A) + (x — A)f'(cx). Nous avons alors pour
tout x > Sup {A, 0)
/W
f(A) + (x- A)f'(cx)
f(A)
-f'(cx)
Puisque cx > A, f'(cx) <
donc ^—f'(cx) < ^ •
D'autre part si x >
nombre réel x >
démontre que
E X
2 \f(A)
< -z par suite
pour tout
Suplyl,—! ^,01 nous avons | /(x)/x | < e ce qui
lim^ = 0,
3° Soit e un nombre réel strictement positif ; puisque lim f'(x) = /,
x-> + oo
il existe un nombre réel A ^ a tel que pour tout nombre réel x vérifiant x > A
nous ayons |/'(x) — /| < e/3. Nous pouvons appliquer le théorème des
accroissements finis à la fonction / sur l'intervalle [A, x], donc il existe un point cx
de l'intervalle ouvert ]A, x[ tel que/(x) = f(A) + (x — Â)f'(cx). Nous avons
donc
/(*)
- I
m - ix
f(A) + xf'(cx) - Af\cx) - Ix
d'où
/(x)
- /
f(A)
+ \f'(cx) -l\+A
f'(cx)

EXERCICES D'ANALYSE
Puisque cx > A nous avons
|/'fo)-J|<^
Nous avons
, ,lsi ,»llMl alors
3 e
/(^)
|/'(x) - l\ < | si
x > ^4 donc | /'(c*) - 11 <
d'où
et par suite
'-f </'(0<' + f
iH)<^<H' + l)
pour tout nombre réel x > Sup (A, 0). Par passage à la limite nous obtenons
lim^^ = 0 d'où lim /l-^ = 0;
X-+ + GO X j-^ + oo X
par suite il existe un nombre réel A' tel que pour tout nombre réel x > A'
nous ayons
,f'(cx)
£
<3"
Ainsi pour tout nombre réel e > 0 il existe un nombre réel, à savoir
3|/(^)| y
Sup
(a«./.o)
tel que pour tout nombre réel x vérifiant
3 |/0<0| A.
/ 3/04)| \
x > Sup \A, — ■, A , 01
nous ayons
/(x)
- Z
< £
ce qui achève de démontrer que
,im^ = Z,

FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
89
Soit M un nombre réel strictement positif. Puisque / > 0 il existe un nombre
réel e tel que 0 < e < l, et comme lim /(x)/x = / il existe un nombre réel B
x-* + oo
tel que pour tout élément x de l'ensemble ]B, + oo[ nous ayons
X
f(x)
< E SOit l — E < < l + E .
X
Si x > Sup (B, 0) alors x(l — e) < f(x) < x(l + e) d'où :
M
f(x)> M si x(Z — e) > M soit x >
/-£
Ainsi pour tout nombre réel x > Sup If}, 0, 1 nous avons f(x) > M
ce qui démontre que
lim /(x) = + oo
*-> + OO
3.14 Soient a un nombre réel et h un nombre réel strictement positif. Soit/une
fonction réelle définie continue sur l'intervalle fermé [a — h, a + h], différen-
tiable sur l'intervalle ouvert ]a — h, a + h[.
1° Démontrer qu'il existe un élément \x de l'intervalle ouvert ]0, 1[ tel que
f{a + h) - f(a - h)
^ =f(a+[ih)+f(a- fih)
2° Démontrer qu'il existe un élément 6 de l'intervalle ouvert ]0, 1[ tel que
f(a + h)-2f(a)+f(a -h)
h
3° On définit la fonction réelle <p par
= f\a + 6h) - f'(a - 6h) ,
. . f(a + u)~ 2f(à) + f(a - u) _ . . ,
<p(u) = — H-^—— pour 0 < | m | < h .
m2
Démontrer que si f"(à) existe alors lim q>(u) = f"(à).
4° Donner un exemple où lim <p(u) existe et où/ "(a) n'existe pas.
Solution 1° Considérons la fonction F, définie pour tout nombre réel x de l'intervalle
fermé [0, 1] par .F(x) = f(a + xh) — f(a — xh). La fonction F est continue
sur l'intervalle [0, 1] et différentiable sur l'intervalle ouvert ]0, 1[, par suite

EXERCICES D'ANALYSE
nous pouvons appliquer le théorème des accroissements finis. Nous savons donc
qu'il existe un point fi de l'intervalle ouvert ]0, 1 [ tel que
F(l) - F(0) = F'(n)
c'est-à-dire
fia + h) -f{a -h)- [fia) -/(a)] = hf\a + fih) + hf'{a - »h)
d'où
f{a + h) —f(a — h) .,, .. .,, ,.
— h = fia + fih) + fia - nh) .
2° Considérons la fonction G, définie pour tout nombre réel x de l'intervalle
fermé [0,1] par G(x) = fia + xh) +fia — xh). Une méthode analogue à la
précédente nous démontre l'existence d'un élément 6 de l'intervalle ouvert
]0, 1[ tel que G(l) - G(0) = G'(0) soit
fia + h)-2fia)+fia-h) = ^ + ^ _ /f(fl _ flfc)
3° Ecrivons la formule de Taylor à l'ordre 2, pour la fonction/, sur
l'intervalle [a, a + u] et sur l'intervalle [a — u, a] où u est un nombre réel vérifiant
0 < m < h. Nous avons
fia + u) - fia) = uf'ia) + ^-[/"(a) + £i(m)J où lim eM) = 0
£ u->0
et
M2
fia - u) - fia) = - uf'ia) + ^r[/"(a) + £2(")] où lim e2(u) = 0 .
Additionnons membre à membre ces deux égalités ; nous obtenons
<?(") = fia) + ô >
mais
lim [e^u) + e2(M)J = 0 donc lim <p(u) = fia) .
u-»0 u-»0
4° Considérons la fonction/définie par/(x) = x2 sin (1/jc) si x / 0 et/(0) = 0.
Posons a = 0 ; nous avons donc
.. u2sin(l/u) - 0 + u2sin(- 1/u) _ , .. . . n
q>iu) = ^-^ — = 0 donc hm <p(u) = 0 .
« u-»o

FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
91
D'autre part nous savons {cf. exercice 3.4, 1°) que
/'(") = 2 « sin cos - pour m / 0
u u
et /'(0) = 0 ,
donc
/'(") „ . 1 1 1
—— = 2 sin cos -
u u u u
par conséquent la quantité/"'(")/" n'a pas de limite lorsque « tend vers 0 ce qui
signifie que/' n'admet pas de dérivée au point 0 donc/"(0) n'existe pas.
3.15 Soient a un nombre réel strictement positif et/une fonction réelle définie et
continue sur l'intervalle fermé [ — a, a], deux fois difFérentiable sur l'intervalle
ouvert ]— a, a[. On suppose de plus que/(0) = 0 et que la fonction \f" \ est
bornée sur l'intervalle ouvert ]— a, a[. Démontrer que la suite (w„), définie par
+ "®+<® + -+f@
pour
n >
1
est convergente et déterminer sa limite.
Solution Appliquons la formule de Taylor à l'ordre 2 à la fonction / sur
l'intervalle [0, p/n2] (n > \ja et 0 < p < ri). Nous savons qu'il existe un élément Çp
de l'intervalle ouvert ]0,p/n2[ tel que
\n I n 2n
Nous obtenons donc
«.= Ê/(4)=/'(°)(î 4)+ i Any-
P=i \n I \p=i n ! p=i 2 «
Soit M un majorant de \f" | sur l'intervalle ]— a, a[ nous avons
p=i 2 n
if'XU
«I ^M = ^ f p2
2 n p=i
p^i 2 n4
nous savons que
" 2 n(« + 1) (2 n + 1)
&P = 6

EXERCICES D'ANALYSE
donc
p=i 2 n
< M
n(n + 1) (2 n + 1)
12 n4
D'autre part
donc
«„-/'(()) i 4
P=i n
^ n(n + 1)
L P = ?
P=i ^
/'(0) ii(n + 1)
< M
n(n + 1) (2 n + 1)
Î2«* "
Nous avons
.. n(n+l)(2n + l) _ . ,. »(» + 1) t
hm — ^—^ = 0 et hm —-—-—- = 1
n-» + co 12 H n-»+co tl
donc par passage à la limite dans l'inégalité précédente nous obtenons
0 < lim
lï-»+ GO
/'(0) n(n + 1)
< M lim
n-*+ co
soit
n(n + 1) (2 n + 1)
12 n4
IhnLmL d'où lim «„«■».
n-> + co \ ^ / I n-» + co -^
Nous venons donc de démontrer que la suite (u„) est convergente et admet la
limite/'(0)/2.
3.16 Soient a un nombre réel et u un nombre réel strictement positif. Soit / une
fonction réelle définie, continue et n + 1 fois continûment différentiable sur
l'intervalle fermé [a — u,a + u]. On suppose de plus que/("+1)(a) / 0. Pour
tout entier p vérifiant 0 < p < n on écrit la formule de Taylor sous la forme
f(a + h) =/(fl) + ^ ^/(r)(«) + (pft++l)!/(l'+1)(fl + M'+l(/°)
où 0 < 6p+l(h) < 1.
1° On suppose que/(p+1)(a) ^ 0. Démontrer que
1
lim OJh) =
*-»o
p+1

FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
93
2° Onsupposeque/(p+1)(a)=0etsoitrlepluspetitentiertelque/(p+r)(a) / 0.
(Un tel entier existe puisque f(n + i\à) #0et onap + r < h+ 1.) Démontrer
que
lim6p(h) = \fr\p[Y".
h-*o l(P + r) !J
Solution 1° Ecrivons la formule de Taylor à l'ordre p et à l'ordre p + 1 pour la
fonction/au voisinage du point a. Nous avons
f(a + h) =f(a) + hf'(a) + - + ^ ,/(P"%) + ^/p(fl + fc^*))
/(«. + *) = /(a) + /«/'(a) + - + J^_ l)lfl'~1\à) +
En comparant les deux égalités nous obtenons :
^/<»(a + hBJffi» = £/«(„) +(-^T/»«)(fl + AflF+1(||))
soii
/<">(a + hBJLh)) - f<*\a) = y^f^X" + hOp+1(h)).
Si nous appliquons le théorème des accroissements finis à la fonction f(p) sur
l'intervalle \a, a + h6p(h)] nous obtenons
fip)(a + h6p(h)) - f(p\a) = h6p(h)fip+^(a + kh6p(h)) où 0 < k < 1 .
Nous avons donc
6p(h)fip+1\a + M6p(h)) = -J-_/e+1>(fl + A0p+1(ft)) .
La fonction/(p+1}, étant continue au voisinage du point a, les deux membres de
cette dernière inégalité admettent une limite lorsque h tend vers 0. Par suite
nous avons
lim [0p(/O/(P+1)(a)] = -J-r^'OO
A->0 P + L
et comme /(p+1)(a) # 0 nous avons
1
/.-o P + 1
lim fl/fc) =

EXERCICES D'ANALYSE
2° Ecrivons la formule de Taylor à l'ordre p et à l'ordre p + r pour la
fonction/au voisinage du point a. Nous avons
fia + h) =/(o) + hfXa) + - + ( ^i),/0"1^) + J\f{P\a + MM
fia + h) =/(o) + /*/'(«) + - + (p^l),/0"» + ^T-*"'» +
En comparant ces deux égalités nous obtenons :
£fO\a + hOpih)) = £/'(*) + ^^/^(a + h6p+r{h)). (1)
Appliquons la formule de Taylor à l'ordre r à la fonction/(p) sur l'intervalle
[a, a + h6pihj] nous obtenons :
f(p\a + h6„ih)) = f(p\a) + h6pih)f+1(a) + - +
+ 0^ï/<"+'>(a + JlAfl^fc)) où 0 < A < 1 .
Mais
/fp+1)(a) = - = fip*r~1\a) = 0
donc en comparant avec l'égalité (1) nous obtenons
\Mlf^\a + XhOpih)) = jj^/P+r\a + h6p+rih)) ■
La fonction/(p+r) étant continue au voisinage de a les deux membres de cette
égalité ont une limite lorsque h tend vers 0. Nous obtenons donc
et comme/(p+r)(a) / 0 nous obtenons la relation
3.17 Soient a et b deux nombres réels tels que a < b. Soit / une fonction réelle
définie et convexe sur l'intervalle fermé [a, b].
1° Soient Àu A2, A3 trois nombres réels tels que At + A2 + A3 = 1 et
xlt x2, x3 des éléments de l'intervalle [a, b]. Démontrer que
/(At xt + X2 x2 + A3 x3) < X1fix1) + A2/(x2) + A3/(x3) .

FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE
95
2° Soient Al5 ..., A„ n nombres réels tels que £ A; = 1 et xl5 x2,..., x„ ,
i=l
n éléments de l'intervalle [a, b\. Démontrer que
fit 4*«)< t*tf(xù-
2 Y \ 2 Y
Solution 1° Nous avons (A, + A2) + A3 = 1 et 1 \ 2 7 est un élément de
[a, b] car
Aj A2
+ v^^=l
Aj H- >^2 >^i "T~ ^2
D'autre part
n •• / 1 1 \ 1 ^1 ~ï~ 2 ^2 T
X^ X^ ~l~ A2 X2 "* 3 ^3 == VI ~* ™1) ï " ' 3 ^3
Aj + A2
donc puisque la fonction / est convexe nous avons (cf. C. E., Ch. 5, § IV, 69)
f^ Xl + A2 x2 + A3 jc3) < (*i + ^)f(~^~1) + ^/fe)
mais
/At xt + A2 x2\ < At/(x!) + A2/(x2)
\ A^ + A2 / Aj + Â2
donc nous avons
/(At xt + A2 x2 + A3 x3) < Ai/C^i) + A2/(x2) + A3/XX3).
2° Nous allons raisonner par récurrence. La propriété est vraie pour
n = 1, 2, 3 ; supposons la vraie pour l'entier h — 1. Nous avons
n— 1 3
l—i n-l
i=l
i=l
donc
V"1,5 V

96
EXERCICES D'ANALYSE
donc
'U **)*(£ *)
/
/n-1
Z ÀiXi\
n-1
z
i=l
Z^
+ Kf(.xn).
Mais d'après l'hypothèse de récurrence nous avons
. Z ^X,\ „-!
Z J,
i=l
d'où
xi=l / i=l
)■
La propriété est donc vraie pour n par suite nous avons cette inégalité pour
tout entier « $= 1.
3.18 1° Soient x et y deux nombres réels strictement positifs et soient/? et q deux
nombres réels strictement supérieurs à 1 vérifiant
Démontrer que
i + i-i.
P 1
xup //« ^ * +1 _
2° Soient al5 a2> •••> «n> ^i> ^2> —» K des nombres réels strictement positifs.
En appliquant le résultat précédent aux couples de termes
x: =
af
Z«f
Z bl
pour i = 1, 2,..., «
i=l i=l
démontrer l'inégalité (de Hôlder)
» / » \i/p/ n \ 1/9

FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES D'UNE VARIABLE RÉELLE 97
3° Les notations étant les mêmes que ci-dessus démontrer l'inégalité (de
Minkowsky)
[" T l/p r n T l/p r n T
i/p
Solution 1° L'inégalité proposée est équivalente à
i(ï)+i_(ï)**>0.
p \y/ q \y!
Etudions la fonction
1 1
t *->/(!) = -t + - - t1/p pour t > 0 .
P 1
Nous avons
f(i) = 1-1 fd/")"1 = 1(1 - fd/ri-i) .
Comme l/p — 1 < 0,/'(0 est positif pour / > 1 et négatif pour f < 1. La
fonction/admet donc un minimum pour t = 1 et nous avons
/(1) = 1 + 1-1=0.
Par suite la fonction/est toujours positive ce qui démontre l'inégalité
2° Ecrivons l'inégalité précédente pour les valeurs proposées ; nous obtenons,
aï \1/P/ bï \llq 1 of 1 bf . « „
vi=l ' vi=l ' i=l i=l
Effectuons la somme membre à membre de ces n inégalités ; nous obtenons :
t («f)1/PW)1/9 , f of , £ *î
i=l - x i=l . A i=l
^ — \-
x>f) (£*?) pz«f *£;.
Calvo. — Exercices d'analyse

98 EXERCICES D'ANALYSE
d'où
n
ÂQihi 1 1 ,
n \l/p/ n \1/, p q
(n \l/p/ n \1
£*) fe")
ce qui nous donne
3° Remarquons que fo + £,)" = afa + b^f~l + b^ + b,)"'1, d'où
I (fli + W = I afa + bdp~l + £ bfa + bt)
i=l i=l i=l
Appliquons l'inégalité de Hôlder à chacun des termes en posant
— = 1 c'est-à-dire q =
,p-i
q p p - 1
Nous obtenons
n / n \ l/pr n "1 (p-l)/p
et
n / n \ l/pr n "I (i>-l)/p
X btat + b,)"- 1<(L bf) [.1 («i + foi)"J
En additionnant membre à membre ces deux inégalités nous obtenons
l'inégalité cherchée :
l/P / n \ l/P / n \ 1/p
[n ] l/P / » \ l/P / n \

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET
LOGARITHME. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
4ï I Soient u0 un nombre réel et (u„) la suite définie par son premier terme u0 et par
n + 1
pour tout entier n^O. Etudier la suite (w„).
Solution Pour tout entier n ^ 1, nous avons u„ > 0 puisque la fonction exponentielle
ne prend que des valeurs strictement positives. Comme u„ > 0 pour «^ 1
nous avons e-"" < 1 d'où 0 < u„ < 1/w pour tout entier » ^ 1. Soit e un
nombre réel strictement positif, nous savons qu'il existe un entier n0 tel que
l/w0 < £ alors pour tout entier n 5= n0 nous avons
0 < u„ <-< — <£ d'où | w„ — 0 | < e
n n0
ce qui démontre que la suite (un) admet la limite 0.
4i£ Soit a un nombre réel ; calculer la dérivée zi-ième de la fonction réelle définie
pour tout nombre réel x par/(jc) = excos a cos (x sin a).

100
EXERCICES D'ANALYSE
Solution Nous avons / '(x) = cos a ex cos a cos (x sin a) — ex cos " sin (x sin a) sin a, d'où
f'(x) = excosa cos (x sin a + a). Supposons que nous ayons
/(n)(x) = excosa cos (x sin a + «a)
alors nous aurons
/("+1)(x) = cos a excosa cos (x sin a + wa) — excosa sin (x sin a + na) sin a
d'où /(n+1)(x) = excosa cos (x sin a + (h + 1) a). Ceci démontre que
/(n)(x) = excosa cos (x sin a + «a) pour tout entier n > 0 .
4id Calculer les dérivées des fonctions réelles suivantes définies par :
1° f(x) = Log (Log x) pour tout nombre réel x > 0.
2° g(x) = Arc tg (Log x) pour tout nombre réel x > 0.
3° /î(x) = Log VI —2 sin2 x pour tout nombre réel x tel que — -r < x < -r.
1° Nous trouvons
1
/'(*) =
x Logx
2° Nous trouvons
x(l + Log x)
3° Remarquons que h(x) = \ Log (1—2 sin2 x) par suite
.... — 4 sin x cos x sin 2 x
h (x) = — = = — tg 2 x ,
2(1 - 2 sin2 x) 2 sin2 x - 1
4i4 Soit/la fonction réelle définie par/(x) = — Log (Log x) pour tout nombre
réel x > 1.
1° Démontrer que/est une fonction convexe.
2° En déduire l'inégalité
a + b
Log —-— 5= VLoë a Log b
où a et b sont deux nombres réels supérieurs à 1.

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
101
1° Il est clair que la fonction/est deux fois dérivable pour tout nombre réel
x > 1, par suite pour démontrer que l'application/est une fonction convexe il
suffit de démontrer que la dérivée seconde de/est positive. Nous avons
/ (x) = d ou / (x) = — -
x Log x (x Log x)
puisque x > 1 nous avons Log x > 0, donc f"(x) > 0 pour tout nombre réel
x > 1.
2° Puisque l'application/est une fonction convexe nous avons
/(^Hw»+/c»]
soit
- Log I Log ^—j < ^ [_ L°ê (L°ê fl) _ Lo8 (L°8 fc)]
LoglLog—-—j< - Log VL°g a Log fc .
La fonction logarithme étant croissante cette dernière inégalité nous donne
a + b
d'où
Log —-— 5= \fhog a Log £
4.5 Pour tout nombre réel x > 0 démontrer les inégalités
x
x + 1
< Log (1 + x) < x .
Solution La fonction réelle / définie sur l'intervalle [0, x] par/(f) = Log (1 + t), est
continue sur cet intervalle et différentiable sur l'intervalle ouvert ]0, x[, par
suite nous pouvons appliquer le théorème des accroissements finis. Il existe donc
un nombre réel c appartenant à l'intervalle ouvert ]0, x[ tel que
/ (x) - /(0) = xf'{c) d'où Log (1 + x) = —
Comme c > 0 nous avons
x
c
x
< x
1 + c

102 EXERCICES D'ANALYSE
et comme c < x nous avons
1 + c < 1 + x donc <
1 + x 1 + c"
Par suite nous obtenons les inégalités
x
x + 1
< Log (1 + x) < x ,
4iB Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et/une fonction réelle définie
et continue sur l'intervalle fermé [a, b]. On suppose que / ne s'annule pas
sur l'intervalle [a, b] et qu'elle est différentiable sur l'intervalle ouvert ]a, b[.
Démontrer qu'il existe un élément c de ]a, b[ tel que
f(°) _ (o-*)/'(c)//(c)
f(b)
/
La fonction g = Log |/| est continue sur l'intervalle fermé [a, b] et
différentiable sur l'intervalle ouvert ]a, b[, par suite nous pouvons appliquer le
théorème des accroissements finis. Il existe donc un élément c de l'intervalle
ouvert ]a, b[ tel que
1/(0)1 f'(c)
g(a) - g(fc) = (a - b) g'(c) d'où Log \^\ = (a - b) J-±J.
\f(b)\ (c)
Puisque la fonction/est continue et ne s'annule pas sur [a, b] cette application
conserve un signe constant donc
\f(a)\_f(a) d?QÙ fUO = ei.-W'Mmcy
\f(b) | f(b) f(b)
4i7 Exprimer à l'aide de la fonction logarithme les applications suivantes définies
par
1° f(x) = Arg sh (l/x) pour tout nombre réel x # 0.
2° g(x) = Arg th [(x2 — l)/(x2 + 1)] pour tout nombre réel x.

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
103
Solution 1° La fonction/étant impaire il suffit de l'écrire pour x > 0. Nous trouvons
/w=Log(i+N/r77)
d'où
/(x) = Log (i + y'1 * *') =Log (1 + Vl + x2) - Log x
Pour x < 0, nous avons
/(*) = -/(- x) = - Log(l + Vl + x2) + Log(- x).
2° Nous avons
1 +
x2-l
1 „ x2 + 1 1, 2 x2 1
2 ~ x2 - 1 2 "2 2
g(x) = ^ Log j^tJ~: = ~ Loê -1™ = 7 L°ê x2 = Log | x | .
1
xz + 1
4-ib Démontrer que la fonction réelle/, définie par/(x) = e~i/*2 pour tout
nombre réel x # 0 et par/(0) = 0, est indéfiniment différentiable au point 0
et que les dérivées de tous les ordres sont nulles au point 0.
Solution Etudions d'abord la dérivée première. Pour x # 0 nous avons
/'(JC) 2e-i/* et r(Q) = Hm/W = lim ie-i/^
X jc-»0 X x-i-0 X
Si x tend vers 0 par valeurs positives alors 1/x tend vers + oo donc
lim -V^2 =0
x->0 + X
en vertu des théorèmes de croissance comparée des fonctions exponentielle et
puissance (cf. C. E., Ch. 6, § VIII, 93) ; de même nous avons
lim -e~llxl = 0
x-0- x
par suite / est dérivable au point 0 donc continue en ce point. Ceci démontre
que la fonction/est continue et dérivable en tout point de R.

104
EXERCICES D'ANALYSE
Faisons l'hypothèse de récurrence suivante : pour tout entier positif/?
inférieur à un entier n, la fonction fip) est définie, continue et de plus
/(p)(0) = 0 et fip\x) = Pp(^j e~1/x2 pour x * 0
où Pp est un polynôme.
Montrons que/("+1) existe et vérifie toutes ces conditions. Pour x # 0 nous
avons
e1"1
d'où
/("+1)(x) = Pn+1 ^) e-iM2 où Pn+l(u) = - u2 P'M + 2u3 Pn{u)
Nous avons
/—(0) = toffi^Œ = lim Ip.(i)e-^ = 0
jc-»0 X x-*0 ^ \^v
toujours en vertu des théorèmes de croissance comparée des fonctions
exponentielle et puissance. La fonction/("+1) est continue en tout point de R* et
comme
lim/(n+1)(x) = limP„+1(-)e-1/jt2 = 0 =f+l
l(0)
x-*0 x-»0 \-V
la fonction/("+1) est continue au point 0. Nous venons ainsi de démontrer que
la fonction/("+1) vérifie encore l'hypothèse de récurrence par conséquent /
est indéfiniment différentiable et/(n)(0) = 0 pour tout entier n ^ 0.
4i9 Déterminer toutes les applications continues/de R dans R* qui vérifient la
relation
f[-~J=^f(x)f(y)
pour tout couple (x,y) de nombres réels (cet exercice utilise le résultat de
l'exercice 2.10).
L'application / ne prenant que des valeurs strictement positives l'égalité

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
105
est équivalente à l'égalité
Log/^-y^) = \ (Log/(x) + Log/(y)) •
Nous voyons donc que la fonction g = Log of vérifie la relation
g(^)=^[g(*) + g(j>)],
par suite d'après l'exercice 2.10 nous savons qu'il existe deux nombres réels
a, b tels que g(x) = ax + b pour tout nombre réel x. Nous avons donc
Log/(x) = ax + b d'où f(x) = eax+b,
ceci démontre que toutes les fonctions réelles continues / vérifiant la relation
/(^y2)=V/W7ÔÔ"
pour tout couple (x, y) de nombres réels, sont de la forme/Oc) = eax+b où a et b
sont des nombres réels.
4.10 Soit n un entier naturel.
1° Déterminer toutes les applications continues de R+ dans R+ qui vérifient,
pour tout couple (x, y) d'éléments de R+, la relation
/(*)+/M =/[(*"+Jn)1/n].
2° Déterminer toutes les applications continues de R+ dans R+ qui vérifient,
pour tout couple (x, y) d'éléments de R+, la relation
/«/M =/[(*"+Jn)1/n].
Cet exercice utilise le résultat de l'exercice 2.9.
Solution 1° Puisque x et y sont des nombres réels positifs la relation
/(*)+/(>0 =/[(*"+ /01/n]
est équivalente à la relation
f(xllK) +f(y1/K) =/[Cx + j01/n] .

106
EXERCICES D'ANALYSE
Si on appelle g la fonction réelle définie par g(x) = x11" pour tout élément
x de R+, la relation précédente s'écrit
f° g(x) + fo g(y) = fo g(x + y) .
Nous savons (cf. exercice 2.9) que les seules applications continues h de R
dans R vérifiant la relation h(x + y) = h(x) + h(y), pour tout couple (x, y)
de nombres réels, sont de la forme h(x) = ax où a est un nombre réel, par suite
fo g(x) = ax
pour tout élément x de R+ et comme la fonction jg est bijective nous avons
f(x) = ax" pour tout nombre réel x ^ 0.
2° L'égalité/(x)/O0 = f[(x" + y")1'"] est équivalente à la relation
LogL/to/OO] = Log/[(*" + y")1'"']
soit Log/(x) + Log/(jO = Log/[(x" + j>")1/n]. Nous voyons donc que la
fonction Log o/doit satisfaire à la condition étudiée dans la première question,
par suite Log/(x) = ax" où a est un nombre réel donc,/(x) = eax" pour tout
nombre réel x ^ 0.
4il 1 Calculer les limites suivantes :
1 — cos x ,. (1 — cos x) Arc tg x (1 — e*) sin x
lim ; lim — ^— ; hm ——-—
x-o tg x x->o x sin x x-o x + x
Solution Nous savons que 1 — cos x ~ x /2 et tg x ~ x au voisinage de 0, par suite
,. 1 — cos x ,. x2/2 1
lim = lim —— = - .
x-»0 tg X x->0 X 2
Nous avons Arc tg x ~ x et sin x ~ x au voisinage de 0 donc
,. (1 — cos x) Arc tg x ,. (x2j2)x 1
lim — =— = lim ——j— = - .
x-»o x sin x x->o xx 2
Nous savons que 1 — e* ~ — x au voisinage de 0 donc
(l-e^sinx (-x)x -1
lim — = lim -^-—— = lim = — 1 .
x->0 X + X x-0 X + X x->0 1 + X

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
107
4.12 Calculer les limites suivantes :
lim - Log ;
lim (cosx)17*"
x-»0 +
où m est un élément de R+.
Solution Nous avons
mais
donc
1T e* - 1 1 1
- Log = - Log (e - 1) Log x ,
Jv .fa *fa .fa
lim ^^ = 0 (cf. C. E., Ch. 6, § VIII, 94)
1 e* — 1 1
lim - Log = lim - Log (e* — 1) .
Nous avons
e* — 1
lim = 1 donc lim (Log (e* — 1) — Log e*) = Log 1 = 0
d'où
lim (Log (ex - 1) - x) = 0 soit lim ^^ ^ -1=0
X-» + CO JC-» + CO
X
donc
lim - Log (e* - 1) = 1
Nous avons (cos x)1/:e",=e(1/:e"')LoE(<:os:e). Au voisinage du point 0 nous
savons que
x2
cos x ~ 1 —— et Log (1 + w) ~ u

108
EXERCICES D'ANALYSE
comme lim cos x — 1 = 0 ,
x-»0
x2
Log (1 + (cos x — 1)) ~ cos x — 1 —
donc Log cos x x2/2 au voisinage de 0. Par suite : si m > 2
lim — Log cos x = lim — = — oo d'où lim (cos x)11*™ = 0
*-o+ xm x->o+ 2xm *->o +
si m = 2
d'où
si m < 2
lim — Log cos x = lim =
x->o+ x x->o+ 2 2
lim (cosx)1/xm = e-1/2 = -^
lim — Log cos x = lim — x2 m =0
*->o+ xm x-»o+
d'où
Conclusion
lim (cos x)
x->0 +
l/x™
Si m > 2 , lim (cos x) '* = 0 .
x-*0 +
Si m = 2, lim (cos x)1'*"" = —— .
x-»0 +
^
Si 0 < m < 2 , lim (cos x)I/x" = 1
x-»0 +
4.13 Trouver les développements limités à l'ordre 4, au voisinage de 0, des
fonctions suivantes définies par :
1° /i(x) =
2° h(x) =
sm x
1
cos x

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
109
Solution 1° Nous avons
3 S
sinx = x—v] + ^7 + °(^S)
d'où
sin x x
x
--6+Ï2Ô+0(x) 1--6+Ï2Ô + 0(x)
Nous avons d'autre part
-. = 1 - u + u2 + o(u2)
1 + w
pour u au voisinage de 0, donc
sin
d'où
smx
t x2 7 x4
= 1+-6 + 36Ô
+ o(x4).
Nous pourrions obtenir ce résultat en effectuant la division suivant les
puissances croissantes, de 1 par 1 — (x2/6) + (x4/120).
2° Nous avons
cos x = 1 - — + ^-| + o(x4).
Effectuons la division suivant les puissantes croissantes, de 1 par
, x2 x4
nous obtenons
1
, x2 x4
-1 + y-24
x2 x4
2 24
x2 x4
~T + -4-
5x4
24
x6
48
x6
48
1
1
x2 x4
2 + 24
x2 5x4
+ 2+ 24

110
EXERCICES D'ANALYSE
Par suite
1 x j x . a.
= ! + ^ + -^T + °(*4) ■
cos x 2 24
Nous pouvions aussi obtenir ce résultat en utilisant la méthode indiquée dans
le 1°.
4.14 Trouver les développements limités à l'ordre 4, au voisinage de 0, des
fonctions suivantes définies par :
1° /l(x) = L°g(1+x)
/iW =
1 + X
X
e* - 1
Solution 1° Nous
avons
- = 1 - x + x2 - x3 + x4 + o(x4)
et
x2 x3 x4
Log (1 + X) = X - — + y - -j + 0(X4)
d'où en effectuant le produit de ces deux développements limités
Log(l+x) 3x2 11 x3 25 x4 , 4x
i + x =x~^r + —6 n- + oix)
2° Nous avons
e -l = x +_ + _ + _ + _ + o(x5).
Effectuons la division par puissance croissante de x par
x2 x3 x4 x5

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
111
nous obtenons
D'où
" 2
x2
2
x2
2
6 24 120
x3 x4 x5
6 ~ 24 ~~ Ï2Ô
+ T + Ï2 +48
x3 x4 x5
12 + 24 + 80
x3 x4 x5
12 24 72
X
720
ï! î! ï! ^1
* + 2 + 6 + 24 + 120
1 ~~ 2 + Ï2~ 720
e* - 1 2 12 720
4.15
Donner les développements limités à l'ordre 4, au voisinage de 0, des
fonctions suivantes définies par :
1°
2°
3°
4°
A(x) = V1 + sin x
Mx)
s^x/cos x
A(x) = (l + x)^.
1° En posant u = sin x nous avons
/1(x) = (l + u)* = l+iu +
(i)(-i)
wz +
(i)(-i)(-l) ,
+
2! " ' 3!
4!
u* + o(u*).

112
EXERCICES D'ANALYSE
Mais
d'où
x3
sin x — x — —- + o(x4)
v4
u2 = x2 - y + o(x4) ; u3 = x3 + o(x4) ; u4 = x4 + o(x4)
donc
/■w - »+ ï (' - i) ~ H*2 " t) + à*" - à*4 + *4>
d'où
2 3 4
•A' ,A* ,A* A/
/1(x)=l + 2-ï-48+384 + ^4)
2° Nous savons que
ms y = 1 —
2! 4
x2 x4
cos x = 1 - — + —j + o(x4)
donc
f (x) = e1-<*2/2> + (*4/24) + °(*4) = ee-(x2/2) + (jc"/24) + o(^)
Si nous posons
x2 x4 u2
w = - y + 24 + »(**) al°rs e"=l+u+y + o(w2)
d'où
«' = '+(-t + s) + Î(t) + *4> = 1-Ï + t + *4>
Nous avons donc
3° Nous avons
/-•x ^2 ^4 , 4.^
/2(x) = e - - x +-x +o(x).
cos x . x2 x4 , 4.
1-T + 24 + 0(x)

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
113
En posant
nous trouvons
XX . A.
"=-T + 24+°(x)
cos
soit
= z = 1 - w + w2 + o(u2) =l-(-^- + ^r) + ^- + o(x4)
>sxl + w \2 24/ -4 '
1 x2 5 x4 , 4. x x3
= 1 + ^- + -~- + o(x4) donc = x + -- + 0(x4).
cos x 2 24 cos x 2
Si nous posons
x3
v = x + — + o(x4)
nous avons
/3(x) = e» = i + ,, + |l + |l + ^ + o(r4) .
Mais i>2 = x2 + x4 + o(x4) ; i>3 = x3 + o(x4) ; d4 = x4 + o(x4) par suite
/3(x) = 1 + x + y + - (x2 + x4) + - x3 + 24 x4 + o(x4)
d'où
x2 2x3 13 x4
.A\
Mx) = !+*+ — + — + ~2j- + o(x*)
4° Nous avons/4(x) = (1 + xflx = e(1/*)Log(1+*). Mais
X X X X _ , 5
Log(l+x) = x-y + y- — + y + o(x3)
donc nous avons
2 x3 x4
Log (1 + x) = 1 - £ + ^r - — + -=- + o(x4).
* -w s* -v 4 XX X -^ . x 4-
x - 2 3 4 5
Si nous posons
w = - - + -= j + y + o(x4) alors /4(x) = e.e"
d'où
r , x /\ W2 W3 M4 . 4.\
/4(x) = e^l + u + — + — + — + o(w4)j

114
EXERCICES D'ANALYSE
D'autre part
.2 3 ,, 4
y X X X X /■ 4.-V ^C X 13 X s d.\
" =T-T + T + T + 0(x) = T-T + -36- + 0(x)
3 4
w3 = - -g + T + o(x )
« = ïg + o(x4) .
Nous avons donc
T. x x2 x3 x* l(x2 x3 13x4\
1 / x3 x4\ 1 x4 , 4J
Donc
., . L x 11 x2 7x3 2 447 4 , 4J
/<« = «1/" 2+-24--l6- + 576Ô3e + °(* }J "
4.16 Donner le développement limité jusqu'à l'ordre 3 de la fonction / définie
par f(x) = tJx au voisinage de 1.
Solution lre méthode : Nous pouvons appliquer directement la formule de Taylor
au voisinage de 1 ; nous obtenons ainsi
/(*) = /(i) + (-^V(i) + —r^f'V) + (~^f"XD + o[c* -1)3].
Nous avons
/(1) = 1; f\x) = J- d'où f'(ï) = \;
2yJX 2
/"(*) = - —lj= d'où /"(l) = - \;
A six3 4
r(X) = -^= d'où /"(i) = |.

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
115
Par suite nous trouvons
/(x) = 1 + — 8 + 16 + o[(x - l)3] .
2e méthode : Posons w = x — 1. Quand x se trouve au voisinage de 1, m est
au voisinage de 0 et on peut appliquer les formules habituelles
d'où
/- , x - 1 (x - l)2 (x - l)3 r, <x3,
V* = 1 + "^ i + + 0[(X - l)3] .
16
4.17 1° Donner le développement limité à l'ordre 3, au voisinage d'un point x0,
de l'intervalle ouvert ]0, n[, de la fonction/ définie par f(x) = Log sin x.
2° En déduire le développement limité à l'ordre 3 de / au voisinage du
point 7t/2.
1° Nous allons utiliser la formule de Taylor :
m =/(x0) + ^=^/'(x0) + (x~,Xo)2/w> +
+ ^-j f'"(x0) + o[(x - x0) ]
Nous avons
(x — x0) r,„,
TT
/'(x) = cotg x , /"(x) = - -±- , /'"(x) = —^
sin x sin x
pour tout élément x de ]0, n[, d'où le développement cherché
(x - x0)
2 sin2 x0
Log sin x = Log sin x0 + (x — x0) cotgx0 — 2° h
+ COS,X° (x - x0)3 + o[(x - x0)3] .
3 sin x0
2° Si nous appliquons le résultat ci-dessus pour x0 = n/2 nous obtenons :
Logsinx=-i(x-^ +"[(x-?)]-

116 EXERCICES D'ANALYSE
Faisons le calcul directement : posons u = x — n/2 alors nous avons
?
2
donc
sm x = sinl u + — I = cos u mais cos u = 1 —— + o(« )
d'où
Log cos u = Log 1 - y + o(«3) = - y + o(«3)
Logsinx=-i(x-yj +4(X-i)]-
4.18 Donner le développement limité jusqu'à l'ordre 3 de la fonction / définie par
/(x) = ArctgN/^±ï
au voisinage de + oo.
Solution Comme
lim . / = 1,
x^ + 00 Vx + 2
cherchons d'abord le développement limité de la fonction Arc tg au voisinage
de 1. En appliquant la formule de Taylor nous trouvons :
Arc tg v = Arc tg 1 + ^y^ (Arc tg)' (1) + ^y^ (Arc tg)" (1) +
\3
+ {jL-yT- (Arc tg)'" (1) + o[(v - l)3]
Nous avons
Arc tg 1 = - ; (Arc tg)' (x) = —L- d'où (Arc tg)' (1) = \
4 1 + x2 2
(Arctg)" (x) = ~2* d'où (Arc tg)" (1) = - \
(1 + x2)2 2
(Arc tg)'" (x) = 2fx2~2^ d'où (Arc tg)'" (1) = i .
(1 + x2)3 2

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
117
Par suite nous obtenons
4 + 2 4 ' 12
n v-l (v-l)2 (v-l)3 r, .-3,
Arc tg v = 7 + — —^— + —T.— + °[(v - !) ]
Développons maintenant v(x) = V(x + l)/(x + 2) au voisinage de + go.
Posons X = 1/x, nous avons alors v(x) = V(l + X)/(l + 2X) à développer
par rapport à A' au voisinage de 0 or :
= 1-2X + 4X2-8X3 + o(X3)
1 + 2X
d'où
YYTx = (1+XÎ(1~2X + 4X* ~ 8*3 + °(*3)) =
= 1 - X + 2X2 - 4I3 + o(X3).
Si nous posons w = — X + 2 X2 — 4 X3 + o(X3) nous devons développer
2 ..,3
www
„ = >/l"+w = l+^_Jjl + JL- + 0(w3).
Nous avons w2 = X2 - 4 X3 + o(X3) et w3 = - X3 + o(X3) d'où
1 X 7I2 25 X3 , -
par suite
X 7X2 25X3 , , , X2 IX3
(v - l)3 = - ~- + o(X3).
En remplaçant dans la formule donnant Arc tg v nous trouvons
A 4 7t 1/X 7 X2 25 X3\ 1/X2 7 X3\
Arctg, = - + -{-- + _ - _j - - (_ - _j +
+iH-ï)+o(*3)
7t X 3X2 55 X3 , -.
= 4 ~ 4 + 1- - - 96~ + °(X }
d'où finalement
x + l ri 1 3 55 / 1 \
Arctg / = + — ,+o J.
Vx + 2 4 4x 8x2 96 x3 \x3/

118
EXERCICES D'ANALYSE
4.19 Donner le développement limité au voisinage de 0, jusqu'à l'ordre 5, de la
fonction/définie par
,, . Arc sin x
f(x) = — .
Vl-x2
En déduire le développement limité au voisinage de 0, à l'ordre 6, de la fonction
g définie par g(x) = (Arc sin x)2.
Solution Calculons le développement limité au voisinage de 0 de 1/vl — x2, nous
avons
1 =(i-x2ri/2=i + - + —+ o(x4).
Vl - x2 2 8
Nous savons que Arc sin x est la primitive de 1/vl — x2 qui s'annule pour
x = 0, d'où le développement de Arc sin x au voisinage de 0 :
Arc sin x — x + — + —7- + o(x5) .
6 40
Par suite nous avons
,, . Arc sin x (. x2 3 x4 , 4.\ / x3 3 x5 , 5 \
f(x) = — = 1 + — + + o(x4) x + — + + o(x5))
■s/l-x2 \ 2 8 A 6 40 /
d'où
/(X) = X + -y- + — + 0(X5) .
Nous remarquons que
, 2 Arc sin x
g (x) = = 2/(x) ,
Vl -x2
par suite g(x) est la primitive de 2/(x) qui s'annule pour x = 0. Nous avons
donc
// . „ 4x3 16 x5 , 5s
.g'(x) = 2 x + -y- + —jj- + o(x5)
d'où
g(x) = x2 + — + — + o(x5)

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
119
4.20 Trouver, lorsque x tend vers 0, la partie principale de la fonction / définie
par
f(x) = 1 — cos x + Log cos Jt.
Solution Nous savons que
x2 x4
cos x = 1 - — + — + o(x4)
au voisinage de 0. Posons
X X y 4\
« = - y + 24 + °(x ) '
nous trouvons alors
u2 x2 x4 x4
Log cos x = Log (1 +«) = «- — + o{u2) = ~y + 24~lf + °^
d'où
X X _ j. 4-.
Log cos x = - — - — + o(x ) .
Par suite nous avons
La fonction / est donc un infiniment petit, d'ordre 4 au voisinage de 0, et de
partie principale — x4/8.
4-itl Trouver la partie principale et l'ordre de la fonction/définie par
/(x) = Arg th (Arg sh x) — Arg sh (Arg th x)
au voisinage de 0.
Solution Calculons d'abord les développements limités au voisinage de 0 des fonctions
qui interviennent. Si g(u) = Arg th u nous avons
g M =
1 -u2

120
EXERCICES D'ANALYSE
et au voisinage de 0, g'(u) = 1 + u2 + u4 + u6 + o(u6) d'où
3 5 7
g(«) = «+ — + _ + _ + 0(«7) car g(0) = 0
Posons h(v) — Arg sh v, nous savons que
h'{v) = 1
Vl + v2
donc au voisinage de 0 nous avons
h\v) = (1 + »*)-* = l_£+^î-l£ + 0(^)
d'où
^) = ^-~ + ^--^ + o(^7) car /î(0) = 0.
Nous avons alors :
x3 3x5 5x7 l/3 x5 9x7 x7\
Argth(Argshx) = x--y + — -7^ + 3^ -y + ^ + ïlj
I/5 5 x7\ x7 , 7.
= X ~ ~6 + T + ~4Ô~ _ ~6~ + T + ~4Ô~ ~ 77Ï6
777
J\t J\/ .A. - *7-,
+ 36-y + T + °(x)-
D'autre part nous avons
Arg Sh (Arg th x) = X + y + -y + y - g I X3 + X + -y- + y I
3 / 5 5 x7\ 5 x7 . 7.
~X+3 6+5 6+40+7 10
X J X D X y *7-.
T8 + -4Ô-7TÏ6 + °(X)-

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
121
Nous avons donc
Arg th (Arg sh x) — Arg sh (Arg th x)
3x7 x1 x1 x1 x1
+
+ 77T + 77T ~
40 36 6 10 18
5x7
40
+ o(x7)
= -fo + ^7>-
La fonction/est d'ordre 7 au voisinage de 0 et de partie principale — x7/30.
4.22 Déterminer les nombres réels a et b de manière que la fonction/ définie par
/(x) = sin x
x + ax
1 + bx
2 '
soit au voisinage de 0 un infiniment petit d'ordre aussi élevé que possible ;
trouver alors sa partie principale.
Solution Divisons le polynôme x + ax3 par le polynôme 1 + bx2 selon les puissances
croissantes. Nous obtenons
x + ax
— x —fox3
(a-b)x3
(a-b)x3-b(a-b)x5
■b(a-b)x5
b(a-b)x5 + b2(fl-b)x7
b2(a-b)x7
1+bx2
x + (a - b) x — b(a — b) x + b (a — b)x
Nous avons donc
x + ax
1 + bx2
et d'autre part
x + (a - b) x3 - b(a - b) x5 + b2(a - b) x1 + o(x7)
x3 x5 x7
sin x = x - — + ~ - — + o(x7) ,

122
EXERCICES D'ANALYSE
par conséquent pour que / soit d'ordre aussi élevé que possible nous devons
avoir :
a-b=-\ et -Ha-b) = ^.
Par suite il faut prendre
1 117
b = 2Ô Cl a =2Ô~6 ="60'
nous aurons alors
..7
f(x) = ~~- b2(a - b) x1 + oix1) = (- ^y + ^jôô) *" + "(*7)
soit
Si a = — 7/60 et b = 1/20, la fonction / sera un infiniment petit d'ordre 7
et de partie principale — 11 x7/50 400.
4.23 Déterminer les nombres réels a et b de manière que la fonction/, définie par
f(x) = cos x
1 + ax2
1 + bx2 '
soit au voisinage de 0 un infiniment petit d'ordre aussi élevé que possible ;
trouver alors sa partie principale.
Solution Développons d'abord (1 + ax2)/(l + bx2), nous avons
Î-— = 1 - bx2 + b2 x* - b3 x6 + o(x6)
1 + bx
et par suite
2
2 = (1 + ax2) (1 - bx2 + b2 x4 - b3 x6 + o(x6))
1 + ax2
1 + bx'
= 1 + (a - b) x2 - b(a - b) x4 + b\a - b) x6 + o(x6).

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
123
2 4 6
Comme
pour que/soit d'ordre aussi élevé que possible il faut prendre
a -b =
ce qui nous donne
»-è
Nous trouvons alors
6
1
2
et
et
a = ■
-Ha-b)=±
1 1 5
2 + 12 ~ 12 '
/ 1 i
fM = - 720 - ^ ~b)xb+ °(*6) = (- 720 + ife)*6 + °(*6)
donc
^ '.*
Si a = — 5/12 et & = 1/12, la fonction/sera un infiniment petit d'ordre 6 et de
partie principale x6/480.
4.24 Trouver la limite lorsque x tend vers + oo de la fonction /définie par
/(x) = x - x2 LogU + IV
Solution Quand x tend vers + oo, l/x se trouve au voisinage de 0 et on peut écrire
Logjl +-)= - + r+ o(—)
\ xl x 2 x 3 x \x I
et par suite
'«-'-''(KViP+H?))

124
EXERCICES D'ANALYSE
d'où
/(x) = x_x + i__L+0(i)=i_-3L+0(i).
Nous avons donc
lim f(x) = -.
4.25 Donner un développement limité généralisé, jusqu'au terme en l/x , au
voisinage de + oo, de la fonction /définie par
/(*) =
x3 + 2
x - 1
Solution Nous remarquons que
3n
f(x) = x
z 1 +(?/* )
1 - (l/x)
Posons X = l/x. Lorsque x tend vers + oo, l/x est au voisinage de 0, donc
nous pouvons faire un développement limité à l'ordre 4 de la fonction
1 + 2I3
1 -X
au voisinage de 0. Nous avons
j-^=l +X+ X2 +X3+X4+ o(X4)
d'où
11+_2j" = (l + 2X3)(l + X + X2 + X3 + X4 + o(X4)) =
= l+X + X2 + 3X3 + 3XA + o(X4).

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
125
Par suite
soit
/M = 4 + l+L + 3 + 3 + o(I4))
/(x) = x2 + x + l+- + — + o(—)
X Xz \XZ/
4.26 Donner un développement limité généralisé jusqu'à l'ordre 3, au voisinage
de 0, de la fonction/définie par
cosx
Log(l + x)
Solution Nous savons que
et que
cosx=l T + ZÏ + °(x4)
Log(l + x) = x-^- + ^--^- + ^- + o(xs)
Nous trouvons alors
X .X ' 4\
„, 1 1--2 + 24+0(x)
2 3 4
J\ - J\ Jv J\ A , A -
Effectuons la division selon les puissances croissantes du polynôme
, x2 x4
par le polynôme

EXERCICES D'ANALYSE
nous obtenons
1
1 , x
-1+2
X
2
X
~2
-
+
x2
2
x2
3
5x2
6
x2
4
7x2
12
lx2
12
+
+
+
x3
4
x3
4
x3
6
x3
12
7x3
24
5x3
24
5x3
24
x4
+ 24
x4
5
19 x4
120
x4
+ ¥
x4
30
7x4
+ 36
29 x4
1 180
5x4
48
Nous obtenons donc
i +
41 x4
720
7x2
12
d'où
X X
1-2+ y
x3 x4
T + T
x 7x
1+2-"Ï2-
5x3 41 x4
24 + "720
5 x3 41 x4 . 4,\
-2T + -720- + 0(X))
~ * 1 1 7 x 5 x2 41 x3 . 3.
/(x)=x+2--Î2-24- + -72Ô- + 0(x)
4.27 Déterminer les parties principales au voisinage de 0 des fonctions suivantes
définies par :
1°
/(x) = yjsin x — ,/sh x
2°
3°
g(x)
- v^
ft(x) =
Vtgx
V sin x — tg2 x
pour
pour
pour
x > 0
x > 0
x > 0.

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
127
1° Nous savons que
x3 x3
sin x = x —— + o(x3) et sh x = x + — + o(x3) .
6 o
Nous avons
I ^3 / x2 \l/2
Vsïnx = ^x - — + o(x4)= Jx 11 - — + o(x2)\
d'où
V^ = V^(l - ^ + 0(X2)) = X1'2 - "Ç + 0(X5'2) .
D'autre part
Vsh^ = aJx + ~ + o(x3)
x3 . , s,
et de manière analogue nous obtenons
xs/2
par suite
yf&ï = X1'2 + ^y + o(x5'2)
Y5/2
/(x)= -^-+o(x5'2).
2° Trouvons d'abord le développement de la fonction tangente au voisinage
de 0. Nous avons
j
tgx =
X - —r + 0(X3)
sin x 3 !
1 - y + o(x3)
d'où
tg x = (x - ^ + o(x3)\ (l + y + °(*3)) = x + y + °(*3) »
par suite
yig^ = x^(i + ^ + 0(x2))1/4 = x1/4 (i + g + 0(x2)).

128 EXERCICES D'ANALYSE
Nous obtenons donc
g(x) = x1» - x''*(l + g + o(x2)) =~Ç + o(*9/4) •
3° Nous avons sin x = x + o(x2) et tg2 x = x2 + o(x2) d'où
\/sin x - tg2 x = Vx - x2 + o(x2) = x1/3(l - x + o(x))1/3
= x1/3(l-| + o(x))
et par suite
3/ . * 2 : = *~1/3 (l + ^ + "(x)) .
V sin x — tg x \ 3 /
Nous avons alors
h{x) = (x - x1/2) x-1/3 (l + | + o(x)) = - x116 + o(x1/6)
car x2/3, x5/3 et x7/6 sont des infiniment petits par rapport à x1/6.
4.28 Donner un équivalent au voisinage de + oo de la fonction/ définie par
/(x) = x[\/x2 + Vx4 + 1 - x V2] .
Solution Nous trouvons d'abord
d'où
par conséquent
V1 + ),w + ^ + 0(i),
1/2

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
129
Nous avons finalement
fM.xyïx+£-j2X+.£)] «H /w_^+.£).
par suite au voisinage de + oo
x[a/x2 + y/l + X4 - X V2] ~ ^
4.29 Déterminer le nombre réel A tel que la fonction/définie par
/(x) = Vx2 - x + 1 + *Jx3 + foc2 + 1
admette 0 pour limite lorsque x tend vers — 00 ; trouver alors un équivalent
de / au voisinage de — 00.
Solution Nous avons
W-""H + Pr + *H + ;?)'
1/3
d'où
Ainsi nous obtenons
lim /(x) = - + -,
jç-> — 00
cette limite sera nulle si et seulement si À = — f et nous aurons alors
4.30 Soient a et t deux nombres réels. On définit la suite de nombres réels (x„)
en posant x0 = 0 et x„+1 = a + t sin x„ pour tout entier n ^ 0.
1° Démontrer que quels que soient les nombres réels u et v on a l'inégalité
| sin « — sin c | < | « — c |.
Calvo. — Exercices d'analyse 5

EXERCICES D'ANALYSE
2° Démontrer que pour tout entier n > 0 on a | x„+1 — x„ | < | a | 11" \.
3° Démontrer que si | /1 < 1 et m > n on a
En déduire que si | t \ < 1 la suite (x„) est convergente et que sa limite x est le
seul nombre réel qui vérifie la relation x = a + t sin x.
4° Si on suppose a fixé, xt(t) = a et x2(/) = a + t sin a sont des fonctions
continues de /. Démontrer par récurrence que les fonctions x„ définies par
xn(t) = a + t sin x„_1(/) sont continues.
5° Ecrire le développement limité à l'ordre 3 de la fonction sinus au voisinage
du point a.
6° Démontrer par récurrence sur n, que pour tout entier p strictement positif
la fonction x„ possède un développement limité d'ordre p au voisinage de 0,
qu'on écrira
x„(t) = c0(n) + c^n) t + — + cp[n) t" + ep(x, () t" avec lim ep(x, t) = 0.
t-0
7° Démontrer que si m ^ n > r on a c,(«) = cr(m) (autrement dit les
coefficients cr(n) de tr dans les développements limités des x„(/) sont tous égaux dès
que n > r). On notera cr cette valeur commune.
8° Démontrer que si | t \ < k < 1 on a
\x{t)-x„(t)\<Y^kU["-
En déduire que pour tout entier p strictement positif, la fonction x admet le
développement limité d'ordre/? au voisinage de 0
x(0 = c0 + Cj t + c2 t2 + — + cptp + ep(t) t" avec lim ep(t) = 0.
t-»0
9° Calculer le développement limité d'ordre 3 de la fonction x au voisinage
deO.
Solution 1° Supposons u < v ; nous savons que la fonction sinus est continue sur
l'intervalle fermé [u, v] et différentiable sur l'intervalle ouvert )u, v[ par suite
nous pouvons appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction sinus
sur l'intervalle [u, v]. Il existe donc un point w de l'intervalle ouvert ]u, v[ tel que
sin v — sin u = {v — u) cos w, comme | cos w \ < 1 nous avons
| sin v — sin u \ = \ v — u \ \ cos w \ < | v — u \ .
Si v < u nous ferions un raisonnement analogue et enfin si u = v l'inégalité
est vérifiée.

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
131
2° En appliquant l'inégalité précédente nous trouvons
\x„+i- x„\ = \tsinx„- t sin x„_t | < | /1 | *„ - *„_! | .
Par suite nous avons les n inégalités :
\xn+1 - x„\ ^\t\\x„- x„_i |
\x„ - x„_t | < \t\ |x„_, - x„_2|
\x2 - Xi | < | /1 | xt - x0 | .
En multipliant ces n inégalités membre à membre nous obtenons
\xn+1-xm\^\t\"\x1-x0\ = \a\\t\".
3° Comme m est supérieur à n nous avons
(Xm — Xn) = \Xm ~ Xm-l) + (Xm-1 ~ Xm-2J + "' + (XB+1 — Xn)
d'où
| xm — x„ | < | xm — xm_! | + | xm_! — xm_2 | + ■"■ + I x„+1 — x„ I
et par suite
| xm - xj *S | a | \t I""1 + \a\\t \m~2 + - + | a \ \t |"
d'où
i _ It \m~"
| xm - xj < | a | | 11- (1 + | 11 + - + | 11"-"-1) = | a | | 11- !_,,, •
Comme | /1 < 1 nous avons 1 - | * | > 0 et | f \m~" > 0 donc
I xm - x„ | < | « | | M -T_T-r<r_T7ï.
Pour démontrer que la suite (x„) est convergente nous allons démontrer que
c'est une suite de Cauchy. Il est clair que si a = 0 alors x„ = 0 pour tout entier n
et la suite (x„) est une suite de Cauchy. Supposons donc \a\ =£ 0 et soit e
un nombre réel strictement positif. Comme | /1 < 1 nous savons qu'il existe
un entier n0 tel que pour tout entier n > n0 nous ayons
I a |
par suite pour tout couple (m, ri) d'entiers vérifiant m ^ n ^ n0 nous avons
I xm ~ x„ | < e. La suite (xn) est donc une suite de Cauchy, par suite elle est
convergente. Posons
x = lim x„ ;

132
EXERCICES D'ANALYSE
comme la fonction réelle w i—> o + / sin u est continue au point x, nous avons
lim (a + t sin xj = a + t sin x
n-* + co
d'où
lim x„+1 = a + t sin x soit x = a + t sin x .
Soit x' un nombre réel différent de x et tel que x' = a + tsinx'. Comme
| /1 < 1 nous avons | x — x' | = | /1 | sin x — sin x' | ^ | t \ \ x — x' | ce qui
est impossible car \t\\x — x'\<\x — x'\, par suite x est l'unique nombre
réel vérifiant la relation x = a + t sin x.
4° Supposons la fonction x„ continue, alors la fonction sin x„ est continue
car composée de deux fonctions continues et par suite xn+1(t) = a + /sin x„(/)
est une fonction continue. Comme xt est une fonction continue toutes les
fonctions x„ le sont.
5° Ecrivons la formule de Taylor à l'ordre 3 au voisinage du point a ; nous
obtenons :
sin x = sin a + (x — à) sin' (a) -\ —— sin" (a) +
+ (X ~,a)3 sin'" (a) + o[(x - a)3] .
On obtient le développement :
, x sin a, .,
sin x = sin a + (x — a) cos a — (x — a) —
cos a, 3 r. .3-,
6° La fonction constante xt admet des développements limités de tous ordres.
Supposons que x„ admette un développement limité d'ordre p au voisinage de 0.
Comme la fonction sinus admet des développements limités d'ordre
quelconque au voisinage de tout nombre réel, la fonction sin x„ admet un
développement limité d'ordre p au voisinage de 0 et par suite la fonction
*„+i(0 = « + 'sinx„(/)
en admet aussi un.
7° Comme x„(0) = a pour tout entier n nous avons bien c0(n) = c0(m). Nous
pouvons faire un raisonnement par récurrence sur r, l'hypothèse de récurrence
étant que c^ri) = cfyri) pour i < r — 1. Nous avons alors
xjf) - x„(0 = y £ (Ci(m) - c,(n)) f J + (ep(m, t) - ep(n, t)) t" .

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
133
Mais d'après le 3° nous savons que
| *m(f) - *„(f) l < !_ |t|»
donc
t
(cr{m) - cr(n)) + t f t Hm) - ct(n)) t1"'-1 +
Li=r+1
+ (ep(m,0-eP(«,0)'i'_r"1] *Sy
«11*1"
M
Comme r < n, en divisant les deux membres de cette inégalité par | t \r nous
obtenons
{cr{m) - cr{n)) + t \ t Hm) - cfr)) t1"'-1 +
Li=r+1
+ (£>, 0 - £p(n, 0) 'P"r_1] | < |a1lit'"Mr •
Mais
lim'-"V7 = 0.
et la limite du premier membre lorsque t tend vers 0 est c£m) — cr(«). Nous
avons donc cr(m) = cr(n), par suite cr{m) = cr(n) pour tout triplet (m, n, r)
d'entiers vérifiant m ^ n > r.
8° L'inégalité démontrée au 3° devient pour | /1 < k < 1
i xjt) - xm i < ^y^1 '
par suite lorsque m tend vers + co nous obtenons l'inégalité
|*(0-x„(0|^_^.
Choisissons n > p nous avons alors
xn(t) = c0 + c1t + - + cp t" + o(t").
D'autre part pour n > p, \ t \" = o(t") donc | x(t) — x„(t) | = o(<p) et par
suite x(/) — x„(/) = o(t"). Nous trouvons donc x(t) = xn(t) + o(t") d'où
x(t) — c0 + ct(f) + ••• + cp(/p) + o(/p) ce qui donne le développement limité
à l'ordre p de la fonction x.
9° D'après ce que l'on a vu il suffit de déterminer le développement limité à
l'ordre 3 de x4(/). Nous avons xt(*) = a, x2(t) = a + t sin a,
x3(t) = a + t sin (a + / sin a) .

134
EXERCICES D'ANALYSE
Si nous utilisons le développement limité de sin x au voisinage du point a nous
obtenons
• , ■ ■ i sin3 a , ,.
sin (a + t sin a) = sin a + t sin a cos a — t — 1- o(t )
et par suite
, ^ • i ■ * sii3 o , 3x
x3(t) = a + t sin a + t sin a cos a — t — \- o(t ).
Comme x4 = a + t sin x3(f ) nous devons calculer le développement limité à
l'ordre 2 de sin x3(t), nous avons
sin (a + t sin a + t2 sin a cos a + o(t2)) =
= sin a + cos a(t sin a + ( sin a cos a) — t + o(r) .
Nous obtenons donc
.. . 2 . 31 . 2 sin3 a\ , 3.
x4(f) = a + t sin a + t sin a cos a + t I sin a cos a —I + o(t ) .
D'où
x(f) = a + t sin a + t sin a cos a + t I sin a cos a — I + o(t ) .

5
ETUDES DE FONCTIONS
Ce chapitre est entièrement consacré à des études de fonctions réelles de
variable réelle. Rappelons que l'étude d'une fonction comporte les étapes
suivantes :
1) Détermination de l'ensemble de définition ; cet ensemble est le plus souvent
une réunion d'intervalles de R.
2) Etude de la continuité et des limites aux bornes de chacun des intervalles
composant l'ensemble de définition. Eventuellement, prolongement par
continuité de la fonction.
3) Détermination, s'il y a lieu, des asymptotes et de la position du graphe
par rapport à ces asymptotes.
4) Etude de la dérivabilité de la fonction prolongée.
Détermination du signe de la dérivée.
5) Etablissement du tableau de variation et tracé du graphe.
5.1 Etudier la fonction réelle / définie pa.rf(x) = x*.
Solution Nous avons f(x) = xx = e*Log*, donc l'ensemble de définition de la
fonction/est l'intervalle D = ]0, + oo[ et/est continue sur cet ensemble. Comme
lim x Log x = 0
x-»0

136
EXERCICES D'ANALYSE
nous avons
lim f(x) = 1,
de même
lim x Log x = + oo donc lim f(x) = + oo .
jc-> + oo x~* + do
Nous voyons que l'on peut prolonger la fonction par continuité en posant
/(0) = 1.
Pour tout élément x de D nous avons
/'(*) = e*Lo8*(Logx + l);
la fonction dérivée/' est du signe de l'expression Log x + 1 qui s'annule pour
x = 1/e. Etudions maintenant si la fonction prolongée par continuité est déri-
vable à droite au point 0. Nous avons :
f(x) - 1
xLogx _ j
axLogx
lim = lim
x-»0+ x x->0+ x
= lim
1 x Log x
x
x_o+ xLogx x
Lorsque x tend vers 0 +, x Log x tend vers 0 donc
lim -
x^0+ xLogx
d'autre part
lim Log x = — oo donc lim = — oo .
x->0 +
Résumons dans un tableau ces résultats
x
f'(x)
f (x)
+
+ 0C
P-+00

ÉTUDES DE FONCTIONS
137
Nous obtenons le graphe suivant
FIG. 5.1
5.2
Etudier la fonction/ définie par
/(x) = (x2 - 1) Log
1 + x
1 - x
Solution Pour que la fonction/soit définie il faut et il suffit que
1 + x n
1 >0'
1 — x
par suite l'ensemble de définition de / est D = ]— 1, 1[. Remarquons que
/(- x) = (x2 - 1) Log ^~ = - /(x) ,
la fonction/est impaire ; il suffit donc de l'étudier sur l'ensemble D' = [0, 1[.
Remarquons aussi que pour tout élément x de D', 1 + x et 1 — x sont des
nombres réels positifs, par suite nous pouvons écrire
Comme
f(x) = (x2 - 1) Log (1 + x) - (x2 - 1) Log (1 - x).
lim (x — 1) Log (x — 1) = 0 ,

138
EXERCICES D'ANALYSE
nous avons
d'où
lim (x2 - 1) Log (1 - x) = 0
x-l-
lim (x2 - 1) Log (1 + x) - (x2 - 1) Log (1 - x) = 0 ,
x-l-
d'autre part il est clair que/(0) = 0.
Pour tout élément x de D' nous avons
r(x) = 2xLogl±-%(x2-l)[ri^ + r^]
= 2[xLogi^ - l] = 2x[Logf±^ - i].
Nous sommes donc conduits à étudier la fonction g définie sur ]0, 1 [ par
, , T 1 + x 1
g(x) = Logr-^--
Nous avons
, 2 1 x2 + 1
g W = : â + -i =
1 - xz x2 x2(l - x2)
donc pour tout élément x de l'intervalle ]0, 1[ nous avons g'(x) > 0 ce qui
prouve que la fonction g est strictement croissante. Nous avons
lim g(x) = — oo
et
lim g(x) = lim Log (1 + x) — lim Log (1 — x) — lim — = + oo .
x-*l— x-»l— x-+l— x-*l — x
La fonction g s'annule donc une fois pour une valeur a et comme la fonction
dérivée/' est du signe de g nous avons/'(x) < 0 pour 0 < x < oc et/'(x) > 0
pour oc < x < l. Enfin il est clair que/'(0) = — 2. Calculons maintenant la
pente de la demi-tangente à gauche du point 1. Nous avons
lim J_ = lim [(x + 1) Log (x + 1) - (x + 1) Log (1 - x)] = + oo .

ÉTUDES DE FONCTIONS
139
Résumons ces résultats dans le tableau de variations
x -1 —a 0 +o 1
f(x)
f(x)
dk
+ 00 +- 0
-2
0 -+- +<
</M'
-0
0.
-/(«y
Nous obtenons le graphe suivant
FIG. 5.2
O.d Etudier la fonction / définie par/(x) = x1/(x 1}.
Solution Nous avons/(x) = e(Logx)/(x 1} donc l'ensemble de définition de/est
l'ensemble D = ]0, l[u] 1, + oo[. Nous avons lim /(x) = + oo et lim /(x) = 1.

EXERCICES D'ANALYSE
Pour étudier/au voisinage du point 1 posons x = 1 + u : lorsque .v tend vers I.
u tend vers 0 et nous pouvons écrire
flx\ _ e(Logx)/(x-l) _ e[Log(l+«)]/» _ el-(u/2) + o(u)
d'où
/(x) = e.e-,"/2)+o("' = e(l - ![ + o(n))
ew , , e(x — 1)
= e - - + o(w) = e - — + o(x - 1).
Nous voyons que lim /(x) = e, par suite nous pouvons prolonger par conti-
jc->1
nuité la fonction/au point 1 en posant/(l) = e. De plus nous avons
limMza = lim/W - e
1
>i x — 1
e
2
ce qui démontre que la fonction prolongée est dérivable au point 1 et que
/'(l) = - e/2.
Pour tout élément x de D nous avons
/'(x) = e'Logx)/(*
D [(l/x)(x-l)-Log x]
L (x - l)2 J
donc la fonction/' a le même signe que la fonction g définie par
g(x) =1 Log x .
Nous avons
lim g(x) =
X-* + 00
Comme
x - 1 - xLogx
oo et lim g(x) = lim = — oo
g (x) = -^ - -
nous voyons que g'(x) = 0 pour x = 1 par suite la fonction g croît de — oo à
g (1) = 0 lorsque x varie de 0 à 1 et ensuite décroît de 0 à. — oo quand x
varie de 1 à + oo. La fonction g et par conséquent/' est toujours négative.
Nous avons le tableau de variations suivant :
x
+00
f'M
i
fM
+00-
1

ETUDES DE FONCTIONS
141
Nous obtenons le graphe suivant
y a
FIG. 5.3
5.4
Etudier la fonction / définie par
/(*) =
Logx'
Solution La fonction/est définie et continue sur l'ensemble
D = ]0, l[u]l, + oo[.
D'après la croissance comparée des fonctions puissance et logarithme nous
avons
lim f(x) = + oo et lim f{x) = 0.
Nous pouvons donc prolonger par continuité la fonction/au point 0 en posant
/(O) = 0. D'autre part
lim f(x) = + oo et lim f(x) = — oo .
x-»l+ x-»l-
Calculons/'(x) pour tout élément x de D. Nous avons
Logx — 1
/'(*) =
(Logx)2

142
EXERCICES D'ANALYSE
par suite f'(x) = 0 pour x = e. Cherchons si la fonction prolongée est déri-
vable à droite au point 0. Nous avons
/(*)
lim
X-+0+ x
lim
1
= 0 d'où /d'(0) = 0 ,
*-o+ Logx
Résumons ces résultats dans le tableau de variations suivant
X
f'(x)
f(x)
(
I
1
1
)
o -
—OO
—
+0O - _
e
0
*^e
+ 00
+
*-+°c
Nous obtenons le graphe suivant :
FIG. 5.4

ÉTUDES DE FONCTIONS
143
5.5 Etudier la fonction/ définie par / 00 = et*-1)/*2.
Solution La fonction/est définie et continue sur l'ensemble R*. Comme
lim ™- = 0 ,
x-* ± oo X
nous avons
D'autre part
lim f(x) = 1
X-> ± OO
X - 1
lim ——- = — oo donc lim f(x) = 0 .
x->0 X x->0
Nous pouvons donc prolonger la fonction/par continuité au point 0 en posant
/(O) = 0.
Calculons/'(x) pour tout élément x de R* ; nous avons
f'fx\ _X ~ 2X(X ~ l)e(x-l)/x2 _ 2 ~ X e(x-l)/x2
x4 x3
Comme e<*- lVx2/x2 > 0 pour tout élément x de R*, le signe de la fonction /' est
le même que celui de l'expression x(2 — x). Cherchons si la fonction prolongée
est dérivable au point 0 ; nous avons
lim—-= bm-e(1 }/ = hm "
x^0 x x^0x x-o e~(x~1)/x2 x(x-l)/x2
mais — (x — 1)1 x2 tend vers + oo lorsque x tend vers 0 donc
d'autre part
par suite
.. (x - l)/x2
lim -—-—-^-3- = 0 .
»-o e-(x~1)/x
1 *
lim = lim = 0
*->o x(x — l)/x x-»o x — 1
lim^ = 0
x-»0 *■
ce qui prouve que la fonction prolongée est dérivable au point 0 etque/'(0) = 0.

144
EXERCICES D'ANALYSE
Résumons ces résultats dans un tableau de variations
x -oc 0 2
f(*)
/(*)
— 0 + 0
+0O
Nous obtenons le graphe suivant :
FIG. 5.5
5.6 Etudier la fonction / définie par/(x) = (x - 1) ex/(x 1).
L'ensemble de définition de / est l'ensemble D = R — { 1 }. Etudions le
comportement de/au voisinage du point 1. Nous pouvons écrire
f(x) = e(x- ^e1"*-1»,
si x tend vers 1 par valeurs plus petites, l/(x — 1) tend vers — oo donc
lim (x - l)e1/(x_1) = 0 et lim /(x) = 0.
x-»l- x--l-
Si x > 1 nous avons
ei/(*-n
lim /(x) = lim eT— p-
X-+1+ X-.1+ ll\X ~~ l)

ÉTUDES DE FONCTIONS
145
et comme
lim
.1+ x - 1
= + oo ,
le théorème sur la croissance comparée d'une exponentielle et d'une puissance
nous montre que
lim e
>!/(*-!)
= + oo
^1+ l/(x - 1)
Pour tout élément x de D nous avons
/'(x) = e^-1)(l+(x-l)^^)
\ (x — 1) /
»*/(*-!)
!j X — 2
x- 1
par suite la fonction/' s'annule pour x = 2 et est du même signe que
l'expression (x — 2) (x — 1). Déterminons la pente de la demi-tangente à gauche du
point 1, nous avons :
lim J^L= lim e*«*-" = 0.
*-»i- x ~ 1
jc-»1-
Pour faire l'étude des branches infinies remarquons que si x tend vers + oo,
l/(x — 1) tend vers 0 ; nous pouvons donc écrire :f(x) = e(x — 1) e1/(x-1) d'où
/W -*-!>(.+ -L- + ^ + . ((-Lp))
d'où
/(x) = ex
2(x - 1)
»(^)
Le graphe de/admet donc pour asymptote la droite y = ex.
Résumons ces résultats dans le tableau de variations :
X
f(x)
IN
—OO
— OO —
+
0
^-0
l
—
+ O0
2
0
^ê^^-
+ 00
+
_^^+°°

146
EXERCICES D'ANALYSE
Nous obtenons le graphe suivant
5i7 Etudier la fonction/définie par
m = (i + lj

ÉTUDES DE FONCTIONS
147
Solution Nous avons/(x) = e*LogC(x+ 1)/x], la fonction/est donc définie et continue pour
(x + l)/x > 0, i.e. pour tout élément x de l'ensemble
D = ]- oo, - l[u]0, + oo[.
Lorsque x tend vers + oo ou vers — oo nous avons
par suite
Comme
nous avons
xLog(l + i)=x(I + o(i)) = l+o(l),
lim /(x) = lim e1+o(1) = e.
x-^ + œ x~*±œ
r T x + 1
lim x Log = + oo
x-(-l)- x
lim /(x) = + oo .
x-(-l)-
Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives nous savons que x Log x tend vers 0
donc
x + 1
lim x Log = lim x Log (x + 1) — lim x Log x = 0
x-»0+ x x-»0+ x-»0 +
d'où
lim /(x) - 1.
x-*0 +
Nous pouvons ainsi prolonger la fonction/par continuité au point 0 en posant
/(0) = 1.
Calculons/'(x) pour tout élément x de D; nous avons
^ e*L°g[(*+i)/*]/LogX + 1 L_\
\ X X + 1/
Le signe de/'(x) est le même que celui de
, x+ 1 1
g(x) = Log—-^n-
Etudions sommairement la fonction g. Nous avons
lim g(x) = 0 ,
X-»±C0
lim g(x) = + oo
et
,- , , r (x + 1) Log K* + l)/x] - 1 ,- - 1
lim g(x) = lim sJ^_ 'J—é = km = + œ
x-»(-l)- jc-*(-1)- X + 1 JC_>(_1)_ X + 1

148
EXERCICES D'ANALYSE
Comme
>t \ 1 l j. 1
g (x) = +
X + 1 X (X + l)2 X(X + l)2
la fonction g croît de 0 à + oo lorsque x varie de — oo à — 1 et décroît de
+ oo à 0 lorsque x varie de 0 à + oo ; la fonction g reste donc constamment
positive. Etudions si la fonction/est dérivable à droite au point 0. Nous savons
que
lim x Log ^ii = 0 donc e*Log[(x+1)/x] - 1 ~ x Log ?-±±,
x-*0+ x x
par suite nous avons
/(*) - 1
lim
x-»0+ x
lim
x-»0 +
jcLog[(jr+l)/x]
- 1
= lim
X-+0 +
x Log [(x + l)/x]
= + oo
Le graphe de la fonction/admet donc une demi-tangente verticale à l'origine.
Nous avons le tableau de variations suivant :
x -ce
ffxl
J(x)
-1
0
+
-\-O0
+0C
+ OC
+
Nous obtenons le graphe suivant :
FIG. 5.7

ÉTUDES DE FONCTIONS
149
5.8 Etudier la fonction / définie par f(x) = x + v*2 — 1-
Solution La fonction/est définie pour x2 — 1 ^ 0 donc sur l'ensemble
D = ]- oo, - 1] u [1, + oo[.
Etudions/au voisinage de + oo, nous avons
x) = x + x ^1 - —
/(x) = x + x(l-2-i, + o(l))=2x-2L + 0(I);
/(
d'où
par suite
lim /(x) = + oo ,
le graphe de/admet la droite d'équation y = 2 x comme asymptote et se trouve
au-dessous de cette droite. Au voisinage de — oo nous avons
/(
d'où
x) = x - x Jl - 1
/(x) = x-x(l-2-L + o(i))=A- + o(i);
par suite
lim /(x) = 0 ,
Calculons/'(x) pour tout élément x de D, différent de 1 et de — 1, nous
avons
, , , x ^x2 - 1 + x
f(x) = l+-—== .
Vx2 - 1 Vx2 - 1
Il est clair que /' ne s'annule jamais ; comme /' est continue sur chacun des
intervalles ]— oo,— l[et]l, + oo[ elle y garde un signe constant. Comme
/'(-2) = ^-^<0,
/' est négative sur l'intervalle ]— oo, — 1[ ; de même
/'(2) = >£±i>0,
V3
donc/' est positive sur l'intervalle ]1, + oo[.

150
EXERCICES D'ANALYSE
Déterminons la pente de la demi-tangente au graphe à droite du point 1 ;
nous avons
lim
JC-1 +
x + Vx2 - 1 - 1
x - 1
. / Vx + 1\
= hm 1 + , +
*-i+\ Jx - v
oo
De la même manière déterminons la pente de la demi-tangente au graphe
à gauche du point — 1 ; nous avons
lim * + V^V + 1= lim (1-7*^4)--
oo
Nous avons le tableau de variations suivant
x -oc —1 1
f'M
— OO
f(x)
Nous obtenons le graphe suivant
+O0
+
+ O0
J-OO

ÉTUDES DE FONCTIONS
151
5i9 Etudier la fonction / définie par
/(x) = e1/xVx(x + 2),
La fonction / est définie si x(x + 2) ^ 0 et x # 0, donc l'ensemble de
définition de/est l'ensemble D = ]— oo, — 2] u ]0, + oo[. Etudions la limite
de la fonction/à droite au point 0, nous avons
eiM
lim e1,x yfx = lim — = + oo
x-o+ *-o + (l/x)1/2
d'après la croissance comparée d'une exponentielle et d'une puissance au
voisinage de + oo ; par suite lim /(x) = + oo. Etudions la fonction /lorsque x
jc-»0 +
tend vers ± oo, nous avons
x \x/
et
V^T2)= 1x1^1-^=1x1 (i + 1 - J_ + 0(^)).
Lorsque x tend vers + oo nous avons
le graphe de la fonction/admet donc la droite d'équation y = x + 2 comme
asymptote et se trouve au-dessus de cette droite. Lorsque x tend vers — oo
nous avons
le graphe de la fonction / admet donc la droite d'équation y — — x — 2
comme asymptote et se trouve au-dessus de cette droite.
Pour tout élément x de D tel que x jt — 2 nous avons
/'(x) = M-V^^ + 2x + —)= — -i^=-.
\ x2 2 Vx(x + 2)1 x yjx{x + 2)
/' est donc du signe de l'expression x(x2 — 2) et la fonction/admet un
minimum pour x = V2. Il est aisé de vérifier que/(V2) > y/2 + 2 donc ce mini-

152
EXERCICES D'ANALYSE
mum est situé sur le graphe au-dessus de l'asymptote. Déterminons la pente de
la demi-tangente à gauche du point — 2 ; nous avons
lim I^L= lim -e1'*
x-»(-2)-
x + 2
x-(-2)-
pi.
Vx + 2
oo
La demi-tangente à gauche du point — 2 est donc parallèle à l'axe Oy.
Nous avons le tableau de variations suivant :
f(x)
Nous obtenons le graphe suivant.
FIG. 5.9

ÉTUDES DE FONCTIONS
153
5.10 Etudier la fonction / définie par /(x) = x2 Arc tg [l/(x + 1)].
La fonction / est continue pour tout nombre réel x appartenant à l'ensemble
D = R— {— 1}. Nous avons
> lim /(x) = - - et lim /(x) = -.
x-»(-l)- L jc-h-1)+ L
Pour étudier la fonction / au voisinage de l'infini posons u = l/(x + 1).
Nous avons
Arc tg
par suite
1 A \2 2 1
= Arc tg u = u + o(u2) et x2 = I 1) =1 \-— ;
x + 1 \u ' u u
/(x) = - - 2 + u + o(u) d'où /(x) = x - 1 + —— + o(—--r) ;
M X "T" J- X-X" "T" 1/
le graphe de la fonction/admet la droite d'équation y = x — 1 pour asymptote
lorsque x tend vers + oo ou vers — oo.
Calculons la dérivée de/pour tout élément x de D. Nous avons
/'(x) = 2 x Arc tg -±- + x2 ~ 1/(X + 1)2
x + 1 1 + [l/(x + l)2]
d'où
/'(x) = xll Arc tg ^— - -^ -).
\ x+1 x2+2x + 2/
Pour connaître le signe de/' nous devons étudier la fonction g définie par
1 x
g(x) = 2Arctg
x + 1 x2+2x + 2
Nous avons
lim g(x) = 0, lim g(x) = — n + 1 et lim g(x) = 7r + 1
jc->±«) x-(-l)- x-*(-l) +

154
EXERCICES D'ANALYSE
Comme
g'00 = 2
l/(x + D2
x2 + 2x + 2-2x2-2x
1 + [l/(x + l)2]
- 2
(x2 + 2 x + 2)2
-x2+2
4x
x2 + 2 x + 2 (x2 + 2 x + 2)2 (x2 + 2 x + 2)2
nous remarquons que g' est toujours négative donc la fonction g est
décroissante et par suite négative pour x < — 1 et positive pour x > — 1.
Calculons les pentes des demi-tangentes à droite et à gauche du point — 1 ;
pour cela posons x + 1 =v. Pour v > 0 nous avons
f(x) - (tt/2) = (v - l)2 [Arc tg (1/p)] - (tt/2)
X + 1 V
_ (v2 - 2 v + 1) [(tt/2) - Arc tg v] - (tt/2)
i;
= I [(1 - 2 » + o(D)) (| - v + <*>))- |]
= -[— v — nv + o(w)] = — 1 — 7r + o(l) .
Donc
lim /«#=-!
*-(-!) +
X + 1
Pour « < 0 nous ferions un calcul analogue en utilisant la relation
Arc tg v =
- - Arc tg -
2 i;
(c/. exercice 2.27), nous obtenons le résultat
lim *»> + ^ = » - 1 .
jc->(-1)- X + 1
*
Résumons tous ces résultats dans le tableau de variations suivant
0
x
f(x)
7w
-i
-h
7t-l
-1-7T
0
+
+ 0O
,+oo

ÉTUDES DE FONCTIONS 155
Nous obtenons le graphe suivant :
FIG. 5.10
5.11 Etudier la fonction/définie par f(x) = ^/x3 - 3 x + 2.

EXERCICES D'ANALYSE
La fonction / est définie et continue sur R tout entier. Pour étudier les
branches infinies posons X = l/x et effectuons un développement limité pour X
au voisinage de 0.
d'où
li
-4 + -3 = -(1-3X2 + 2I3)1'3 = - (1 - X2 + o(X2))
x x X X
/(x) = 1 - X + o(X) = x - - + o[l
JL X \X
Le graphe de/admet la droite d'équation y = x pour asymptote et se trouve au-
dessus de cette droite quand x tend vers — co et au-dessous lorsque x tend
vers + co.
Remarquons que/(x) = VC* — l)2 (■* + 2), la fonction/est donc dérivable
sur R sauf peut-être pour x = 1 et x = — 2. Pour x J= 1 et x J= — 2 nous
avons
/'(*) =
1
3x2- 3
x2 - 1
3 l/(x - l)4 (x + 2)2 ^(x - l)4(x + 2)2 '
la fonction/' est donc du même signe que l'expression x2 — 1. Au voisinage
de 1 nous avons
Um /JXWO) = ^ (X - 1)^ (X + 2)l/3 = Hm (X + 2);/3 = + ^
x->l + X — 1
de même
x - 1
x-l+ (x — 1)
1/3
a/3
limm^m= iim(* + 2>* -oo
x-»l-
1
x-1- (x — l)
1/3
Le graphe de / présente donc un point de rebroussement à demi-tangente
parallèle à l'axe Oy. Au voisinage du point — 2 nous avons
lim /M-*-3 = fim (-1)2/3^ + 2)1/3 = lim (x-^^+œ;
x + 2
x + 2
X-+-2 (X + 2)
2/3
le graphe de/admet une tangente parallèle à l'axe Oy.
Nous avons le tableau de variations suivant
X
f(x)
/M
-00
—00 —
+
-2 -1
+00 -t-OO +0
— -oc
"~^^c
1
-1-ao
l-"-^"
+
+00
r-+°0

ÉTUDES DE FONCTIONS
157
Nous obtenons le graphe suivant
FIG. 5.11
5.12 Etudier la fonction / définie par
/(*) =
Log | x - 2 |
Log | x |

158
EXERCICES D'ANALYSE
Solution La fonction/est définie et continue sur l'ensemble D = R — { — 1, 0,1, 2 }.
Nous avons
donc
comme
lim Log | x | = 0
x-»-l
lim /(x) = + oo et lim f(x) = — oo
x-H-l)- x-(-l)+
lim Log | x | = — oo
x-*0
nous avons
lim/(x) = 0,
x->0
nous pouvons donc prolonger par continuité la fonction/en posant/(0) = 0.
D'autre part, puisque
lim x Log | x | = 0,
x-»0
nous avons
lim —- = + oo et lim = — oo
x-,o- x x->o+ x
ce qui prouve que le graphe de / admet un point de rebroussement à demi-
tangente parallèle à l'axe Oy. Pour étudier / au voisinage du point 1 posons
x = 1 + u où u est au voisinage de 0. En ce cas | — l+w| = l — wet
| 1 + u | = 1 + u, nous pouvons donc écrire
f(x\ = Log | - 1 + m | = Log (1 - u)
J( } Log|l + w| Log(l+w)
d'où
/(*) = -
W2 r 2x
- u - — + o{u )
u - — + o(u)
= (- 1 - | + o(u)\M + ~ + o(u)j = - 1 - u + o(u)
Nous avons donc
lim/Oc) = - 1,
x->l

ÉTUDES DE FONCTIONS
159
par suite/peut être prolongée par continuité au point 1 en posant/(l) = — 1.
Comme
,. /(*)-/(!) ,. - 1-« + <*«) + 1
hm — = lim = — 1,
x-*l X — \ „_,0 U
la fonction / prolongée en posant /(l) = — 1 est dérivable au point 1 et
/'(l) = — 1. Il est clair d'autre part que
lim/(x) = — oo et lim /(x) = lim
x-*2 jc-*±go x-* ± oo
Log | x | + Log | 1 - (2/x) |
Log | x |
= 1.
Le graphe de la fonction / admet donc comme asymptotes les droites
d'équations x = — 1, x = 2 et y = 1.
Pour tout élément x de D nous avons
/'(*) =
Log I x I Log I x — 2 1 T ,, .
x - 2 e' ' x e' ' _ x Log | x | - (x - 2) Log | x - 2 |
(Log | x \f x(x - 2) (Log | x î)"2 "
Nous sommes donc amenés à étudier la fonction g définie par
g(x) = x Log | x | - (x - 2) Log [ x - 2 | .
Cette fonction est définie et continue sur R si nous posons g(0) = g{2) = 2 Log 2.
Nous avons
g'(x) = Log | x | + 1 - Log | x - 2 | - 1 = Log
Il est clair que | x/(x — 2) | > 1 pour x > 1, | x/(x — 2) | = 1 pour x = 1 et
| x/(x — 2) | < 1 pour x < 1 ; par suite g'(l) = 0, g'(x) < 0 pour x < 1 et
g'(x) > 0 pour x > 1. La fonction g admet donc un minimum pour x = 1 et ce
minimum vautg(l) = 0, ceci prouve donc que la fonction g est toujours positive
et par suite la fonction/' a le même signe que l'expression x(x — 2).
Nous avons le tableau de variations suivant :
X
/'(*)
/(x)
-OO
-]
"h
\^
_H"3C
0
-h +°o
-oo
-OO
)->^^
1
-1
*i-l_
2 +°o
—
^~"*^00
+
—OO

160
EXERCICES D'ANALYSE
Nous obtenons le graphe suivant
y h
FIG. 5.12
5.13 Etudier la fonction/définie par/(x) = (1 + tg x)s,n x.

ÉTUDES DE FONCTIONS
161
Solution Comme /(x) = esin*L°s(i+ts*) ]a foncti0n / est définie si et seulement si
1 + tg x > 0 et x # 7t/2 + kn (k e Z). La fonction / étant périodique de
période 2 n, nous pouvons nous limiter à l'étude sur l'ensemble
^ 1 n n[ ~\3it 3n[
H-4-2HT-TL
Etudions le comportement de/aux bornes des intervalles constituant D. Nous
avons
lim esin*Log(1+,gx) = + oo ;
x-(-n/4) +
lim esin*Log(1+,gx) = + œ; lim esin*Log(1+,gx) = 0;
x-»(ji/2)- x-*(3ji/4) +
lim e»°*Lo8(»+tg«) = o.
x->(3ji/2)-
Nous pouvons donc prolonger/par continuité en posant
/(^+2fc*) = /(^+2fc*)=0
pour tout entier relatif k.
Cherchons la pente de la demi-tangente à droite au point 3 n/4. Posons
x = (3 n/4) + u ; lorsque x tend vers 3 n/4, u tend vers 0 et nous aurons
Log (1 + tg x) = Log (l + tg (^ + „)) = Log(l + "Vtgu")
= Log (2 tg u) — Log (1 + tg u) = Log (2 tg u) - u + o(u)
(3 7i \ . 3 n 3 n . Jl,
—,—h u I = sin —— cos u + cos —— sin u = —— (cos u — sin u)
4/4 4 2
= ^-(1 -Il + <*«)).
Nous avons donc
/W ~ ■/(3 nM) _ 1 (V2/2)(l -« + <,(«)) (Log (2 tgu)-« + o(«))
x — (3 7t/4) u
d'où
/M /(3 ^Z^) _ }_ p (-v/2/2)(Log(2tg«)-u-«I-og(2tgij) + o(«))-i
X - (3 7t/4) M L J '
Calvo. — Exercices d'analyse

162
EXERCICES D'ANALYSE
par suite
/(x)-/(3tt/4)
lim
x->(3ji/4)+ x (3 ft/4)
r (V2/2)Log(2tgKn r "1
= lim ? lim e(V2/2)(-u-ULcg(2,gK)+o(U))
U-*o+ u J Lu-»o+ J
Comme
d'où
m Log (2 tg m) = —— 2 tg h Log (2 tg m) ,
2 tgw
lim (— u — u Log (2 tg u) + o(u)) = 0
K-0
lim e<V2/2)(-U-uLog(2tg«) + o(u)) _ J.
d'autre part
e(V2/2)Log(2 tgu) _ £) tg U)^12
et comme —- < 1,
par suite
.. (2tg«)^'2
lim = + oo
/(x)-/(3rc/4)
lim - — = + oo ;
*-(3*/4) + X - (3 7t/4)
le graphe de/admet donc une demi-tangente parallèle à l'axe Oy. Pour chercher
la pente de la demi-tangente au point 3 7r/2, posons x = (3 n/2) — v. Nous
savons que
. (3n \ (3n \ .
sin I — v I = — cos v et cos I —r v I = — sin «
d'où
/3tt \ 1
par suite
sin x Log (1 + tg x) = — cos « I Log 11 + -—11

ÉTUDES DE FONCTIONS
163
d'où sin x Log (1 + tg x) = — cos v Log (1 + tg v) + cos v Log sin v
cos v Log cos v. Il est clair que
lim (— cos v Log (1 + tg v) — cos v Log cos v) = 0
»->o+
par suite
lim ■/ V*/ J \* nl-^) _ î- Ie. -cosi>Log(l+tgtO-cosi>Logcosi>|
*-(3*/2)- X-(3 7t/2) „-0+ L - » J
d'où
]im /fr)-/(3tt/2)= Hm e"'1^»1"
x-»(3ti/2)- X — (3 7t/2) „-»0 + ~~ "
Nous avons
cos» Log sin» r LogsinlH ■
c r_(cos 17— 1) Log sin u-i |~ I r (cos u— l)Logsinv-i 5ili t
— » L — ^ J — v
d'où
lim eC05"LOgSin" = [lim e(cos"-1>Logsin''] [lim ^1.
u->0 + " Lk-»0+ J Lu-»0 + ~~ ^J
Mais
sin v
lim = — 1
»-»o+ — v
il suffit donc de déterminer
lim (cos v — 1) Log sin v ,
v->0 +
Nous avons
, . cos i? - 1 .
(cos î; — 1) Log sin v = . sin v Log sin v .
sin î;
Lorsque v tend vers 0+, sin î; Log sin v tend vers 0+, cos v — 1 ~ i;2/2 et
sin v ~ v donc
cos v — 1
lim : = 0
„_0+ sini?
par suite
lim (cos v - 1) Log sin v = 0 d'où lim -ftx) ~!}3^ = - 1.
»-»0+ x-»(3n/2)- X — (3 7t/2)

164
EXERCICES D'ANALYSE
Calculons la dérivée de /. Nous avons :
fl + tg2 x 1
cos x Log (1 + tg x) + sin x + -
= /(x) cos x I Log (1 + tg x) + t + t x I •
La fonction tangente étant strictement croissante, la fonction qui se trouve
entre crochets dans l'égalité ci-dessus aura le même signe que la fonction g
définie par
g(W) = Log(l + W) + ^p
1 + u
lorsque u varie de — là + oo. Il est clair que g(0) = 0. Calculons g' ; nous
avons
,. 1 (l + 3u2)(\ + u)-u-u3
g (u) = +
1 + u
(1 + uY
d'où
g'(«) =
(TTw)2
Nous devons donc trouver le signe de P(u) = 2u3 + 3u2 + u + 2 pour
m > — 1. Comme P'(u) = 6 w2 + 6 h + 1 admet les racines
u, =
3- y/3
et
M, =
-3 +V3
le polynôme P est d'abord croissant ensuite décroissant puis à nouveau
croissant. La valeur du minimum relatif est
PiM2) =
216 - 24 yj3
108
qui est strictement positive donc P change une seule fois de signe. Comme
P{— 1) = 2 est strictement positif on a P(u) > 0 pour tout u > — 1. La
fonction g est alors strictement croissante et comme elle s'annule pour u = 0
elle est négative pour u < 0 et positive pour u ^ 0. Nous pouvons construire
le tableau de variations de/.
/(*)

ETUDES DE FONCTIONS
165
Nous obtenons le graphe suivant :
FIG. 5.13
5.14- Etudier la fonction / définie par /(x) = x e1/x pour tout nombre réel
x < 0, /(O) = 0 et /(x) = x2 Log [(x + l)/x] pour tout nombre réel x > 0.
Solution La fonction/est définie sur R et continue partout sauf peut-être au point 0.
Nous avons
lim /(x) = lim x e1/x = 0
et
par suite
lim /(x) = lim [x2 Log (x + 1) - x2 Log x] = 0;
lim /(x)=/(0)= lim /(x),
x->0- x->0 +
la fonction/est donc continue au point 0.
Etudions la dérivabilité en ce point. Nous avons :
Um m^m = lim ew. = o
x-»0- X x->0-
/«-/(0)
lim
x->0+ X
= lim [x Log (x + 1) — x Log x] = 0 .

166 EXERCICES D'ANALYSE
Il existe donc une dérivée à gauche et une dérivée à droite et comme elles sont
égales, la fonction/est dérivable au point 0 et/'(0) = 0.
Lorsque x tend vers — oo nous avons :
/(x) = xe1/x = xll + - + —- + 0 1--))= x + 1 + — + o(-).
\ x 2 x \x 11 2 x \x/
Le graphe de / admet donc la droite d'équation y = x + 1 comme asymptote
et se trouve au-dessous de cette droite. Lorsque x tend vers + oo nous avons :
1 1 /1\
2 3 x \x/
Le graphe de / admet donc la droite d'équation y = x — \ comme asymptote
et se trouve au-dessus de cette droite.
Pour tout nombre réel x < 0 nous avons
/'W = e'«(l-i)
par suite la fonction/' est positive pour x < 0. Comme
lim /'(x) = lira L1/x - - e1/x) = 0,
la fonction dérivée/' est continue à gauche du point 0. Pour x > 0 nous avons :
r M - 2 » Log £±i + ** (J^ - I) . „ (2 Log i±i - ^J-j).
Nous devons étudier le signe de
g(x) = 2 Log -
x + 1
Nous avons
,. , , ,. 2(x + 1) Log (x + 1) — 2 x Log x — 2 Log x — 1
lim g(x) = lim = + 00
x-*0+ x->0+ X + 1
et
lim g(x) = 0 .
X-* + 00
Comme
2 2 1 - x - 2
g (x) = + =
x + 1 x (x + \y x(x + 1)
est strictement négatif pour tout nombre réel x > 0 la fonction g décroît de
+ 00 à 0, et reste donc positive. D'autre part nous avons
lim /'(x) = lim [2 x Log—— ^—1 = 0 =/'i
x->0+ J-.0+ L x X + 1J
(0)

ETUDES DE FONCTIONS
167
ce qui prouve que la fonction /' est continue à droite de 0 donc continue au
point 0.
Les résultats précédents se trouvent résumés dans le tableau de variations
suivant :
X
f'M
f(x)
—oc
-00
-h
0
0
^o"
+
-foc
_^H-oo
Nous obtenons le graphe suivant
FIG. 5.14

168
EXERCICES D'ANALYSE
5.15 1° Etudier les variations et construire le graphe r de la fonction f de R
dans R définie par/(f) = Log ch t.
2° Former l'équation de la tangente au graphe r au point d'abscisse t0.
Déterminer l'ordonnée g(t0) du point de cette tangente d'abscisse nulle.
3° Etudier les variations et construire le graphe de la fonction g.
Solution 1° Comme ch t est un nombre réel strictement positif quel que soit t
appartenant à R, la fonction/est définie et continue sur R. Comme/est une fonction
paire nous l'étudierons pour t > 0. Lorsque t tend vers + oo nous avons
/(O = Log ^~^~ = Log e» + Log (1 + e~2') - Log 2
= t - Log 2 + e_2t + o(e-2').
Le graphe de/admet la droite d'équation y = t — Log 2 comme asymptote
et r se trouve au-dessus de cette droite.
Nous avons
J w chf
Pour t > 0, th t est positive donc/est croissante.
Nous avons le tableau de variations suivant :
t
f'ft)
fit)
—oo
—
+oo^
0
0
^~~--^0^^
4-
+oo
^^4oc

ETUDES DE FONCTIONS
169
Nous obtenons le graphe suivant :
FIG. 5.15.1
2° La tangente cherchée est la droite de pente/'(/o) = th t0 qui passe parle
point de coordonnées (t0,f(t0)) = (t0, Log ch t0). Son équation est
y = Log ch t0 + (t - t0) th t0
si t = 0 nous obtenons g(tg) = Log ch t0 — t0 tht0.
3° La fonction g est définie et continue sur R et est paire. Lorsque t tend
vers + oo, lim th t = 1 et Log ch t ~ t — Log 2 ; nous avons donc
lim g(f) = - Log 2 .
Comme g'(t) = th t — th t — t(l — th2 t) est négative pour t > 0, nous
obtenons le tableau de variations suivant :
t
e'U)
g(t)
—oc
-Log2"
+
0
0
^^0-^^
-+-00
—
^^-Log2

170
EXERCICES D'ANALYSE
Nous obtenons le graphe suivant :
n?
-Log2
FIG. 5.15.2
5.16 Pour chaque nombre réel a on considère la fonction^ définie par
/„(*) = (* - «r -
On désigne par ra le graphe de fa. Etudier les variations de la fonction fa et
construire le graphe ra dans chacun des cas suivants :
a < — 1 ; a = — 1 ;— 1 < a < 0 ; a = 0 ;
0 < a < — ; a = -; — < a < 1; a > 1.
e e e
La fonction /a(x) = eajcL°8(* °) est définie et continue pour x e ]a + oo[.
Quand x tend vers a par valeurs supérieures nous avons
lim fa(x)= lira £<■(*-<■>!-<*(*-<.) e*2Log(*-<.) = 0_
Nous pouvons prolonger par continuité la fonction fa en posant fa(a) = 0.
Comme
lim x Log (x — à) = + oo ,
nous avons
lim /„(x) = + oo si a > 0, lim /0(x) = 1
JC-* + OO X-* + OO

ÉTUDES DE FONCTIONS
171
et
lim fa(x) = 0 si a < 0.
X-* + 00
Calculons la pente de la demi-tangente à droite au point a. Nous avons :
ff\ _ f f \ a(x-a)Log(x-a) a2 Log (x - a)
lim JgW hW = lim ? 5
soit
Mais
lim
x-*a+
x — a ,,-»„+ x — a
•^—^> = lim e^-<.)Log(x-a)(x _ fly.2-i
x - a M„.
lim (x — a) Log (x — a) = 0 ,
x-*a +
par suite la pente de la demi-tangente est 0 pour a2 — 1 > 0,1 pour a2 — 1 = 0
et + oo pour a2 — 1 < 0.
Nous avons
/.'OO = «/.(*) [Log (x - a) + —Ï-J.
Si nous posons
x
g„(x) = Log (x - a) +
x — a
le signe de f'a sera celui de aga(x). Nous avons
lim g„(x) = + co
,. , , ,. (x - a) Log (x - a) + x x
lim g„(x) = lim = lim .
x-*a + x-+a+ X — 0 x—a+ X — a
Cette limite vaut + oo pour a > 0 et — oo pour a < 0.
Nous avons
... 1 x — a — x x — la
g&O = +
x — a (x — à)2 (x — a)
Si a < 0, gâC*) est positive pour x > 0 et comme
lim g„(x) = — oo et lim g„(x) = + oo
x-+a+ x-* + oo

EXERCICES D'ANALYSE
il existe un nombre réel unique cca tel que aa > a et ga(a^) = 0 ; par suite
gJix) < 0 pour x < <xa et gjx) > 0 pour x > aa. Si a > 0, g'a(x) s'annule pour
x = 2 a et le signe de g„ dépend de celui de ga(a) = Log a + 2. Nous
distinguerons les trois cas suivants :
(i) 0 < a < 1/e2 ; nous avons le tableau de variations suivant :
X
gjx)
gjx)
a
-(-oc -_
2a
0
^—^gpa)^
+
+ oo
-^^' + °0
Comme ga{2 a) < 0 il existe deux nombres réels fia et ya tels que pa
appartienne à l'intervalle ] a, 2a [, ya appartienne à l'intervalle ] 2a, + <x> [ et
gÂPa) = gaila) = 0 •
(ii) a = 1/e2 ; nous avons le tableau de variations suivant :
X
gjx)
g (x)
a
1
é-2
+O0-——.____^
2
e2
0
---—^o—""
+
-J-OO
_-^--|-oo
(iii) a > 1/e2 ; nous obtenons le tableau de variations suivant
X
g^)
gjx)
a
+00 -____^
2a
0
^—gj2a)^
+
+ oo
-^-+°°
Comme g„(2 a) > 0 la fonction g ne s'annule jamais.
Résumons ces divers cas dans des tableaux de variations àefa et contruisons
les graphes correspondants ; nous obtenons :
a < - 1
X
f'(x)
a
m
a
■H»
O-"
+
a
a
0
_/ fa )-__
+ OC
~^"~^o

ÉTUDES DE FONCTIONS
Le graphe de/„ est
FIG. 5.16.1
a = - 1
X
£(*}
w
-î
î
o—
+
a-\
0
-~£(«-1)^-
+ oo
~~~"~~^o
On remarque que a_t =0 et/_i(a_t) = 1, donc le graphe de/_t est
i y
FIG. 5.16.2

174
- 1 < a < 0
X
JaM
Mx)
a
+ 00
o
+
aa
0
--sw-—
-t-oo
"~~-*^o
Le graphe de /„ est
ky
a = 0
Nous avons /0(x) = x° = 1, la fonction f0 est constante et de valeur 1. Le
graphe de f0 est :
m
m
m
Ému
O
FIG. 5.16.4

ETUDES DE FONCTIONS
175
0 < a < -
e2
X
•W
fa(x]
a
foc
0^
h
+ 0
^SaM^
ya
~ 0
Ja I c/
+ OC
+
+ OC
Le graphe de/fl est :
FIG. 5.16.5
a =
X
e2
e2
i
e2
+OC
0
+
2
e2
0
+
4-oc
__+00

176
EXERCICES D'ANALYSE
Le graphe de/1/e2 est
il 1
e2 e2
< a < 1
FIG. 5.16.6
X
f'al*)
saM
a
+ OC
0 "~
+
+ oo
______^-^~4-°0

Le graphe de/a est
177
FIG. 5.16.7
a = 1
X
f[M
/,(*/
i
i
o-——"
+
+OC
^-|-QC
Le graphe de/j est :
FIG. 5.16.8

178
EXERCICES D'ANALYSE
a > 1
X
W
w
a
0
o-
+
-|-oc
___-»»- +OC
Le graphe de fa est
y
FIG. 5.16.9
5.17 On considère les applications/^ de R dans R, dépendant du paramètre réel k,
définies en posant f^{x) = k e* + x2 + 2 x + 2. On désigne par C^ le graphe
de A-
1° Etudier le comportement de/^ quand x tend vers + oo. Démontrer qu'il
existe une application g de R dans R telle que lim (f^{x) — g(x)) = 0 pour
X~*— 00
tout nombre réel k.
2° Calculer fx(x). Démontrer que y = fxix) et y' = fl(x) vérifient quel que
soit k une relation de la forme F(x, y, y') = 0 que l'on déterminera. En déduire
l'ensemble des points de Cx où la tangente est parallèle à l'axe Ox.
3° Calculer y" = /l(x). En déduire l'ensemble des points d'inflexion de Cx.

ÉTUDES DE FONCTIONS
179
4° Etudier le signe de//.
5° Pour k # k' étudier les positions respectives des graphes Cx et Cy.
6° Etudier les variations de fk et construire sur un même graphique, les
graphes Cx pour k < - 2;k= - 2 ; - 2 < k < 0 ; k = 0 ;k > 0.
Solution io si k = o
lim /0(x) = lim (x2 + 2 x + 2) = 4- oo .
si A # 0
lim A(x) = lim kex(l + * +2x + 2\ = ^ ^^
quand k > 0 nous avons
lim //(x) =+oo
et quand k < 0
lim //(x) = - oo .
JC-> +C0
Comme lim e* = 0, en posant g(x) = x2 + 2x + 2= f0(x) nous avons
lim (A(x) - g(x)) = 0.
2° Nous avons/l(x) = k e* + 2 x + 2. La relation cherchée est
j - / - x2 = 0.
Nous savons que la tangente au graphe Cx au point (x, y) est parallèle à l'axe
Ox si et seulement si/l(x) = 0. Par suite les coordonnées de ce point vérifient la
relation y = x2. Ceci signifie que l'ensemble des points de Cx où la tangente est
parallèle à l'axe Ox est l'intersection de Cx avec la parabole d'équation y = x2.
3° Nous avons//(x) = k e* + 2. L'équation k e* + 2 = 0 n'a pas de solution
réelle si k > 0 et admet l'unique solution x = Log (— 2jk) si k < 0. Comme
flix) > 0 si x < Log (- 21X) et/l'(x) < 0 si x > Log (- 2/k), le point
x = Log(-2M)
correspond à un point d'inflexion du graphe Q. La relation trouvée au 2°
devient par dérivation y' — y" — 2 x = 0 d'où y — y" — x2 — 2 x = 0. Les
points d'inflexion de Cx se trouvent donc sur la parabole d'équation
y = x2 + 2 x .
4° Cherchons le signe de
/i(x) = kex + 2x + 2.
A la question précédente nous avons étudié le signe de la dérivée de//. Si k > 0,
f'x(x) croît de — oo à + oo donc s'annule une fois et change de signe. Si k < 0,

180
EXERCICES D'ANALYSE
fx admet un maximum pour x = Log ( — 2/A) et tend vers — oo quand x tend
vers + oo ou vers — oo. Nous devons donc chercher le signe du maximum.
Nous avons :
A(Log(- *)) = Ae— + 2Log(- *) + 2 = 2Log(- *),
donc si A < — 2 le maximum est négatif et f[ est toujours strictement négative.
Si A = — 2,f'-2 s'annule pour x = 0 et est strictement négative pour x # 0.
si A > — 2, le maximum est strictement positif et f'k s'annule deux fois et
change deux fois de signe.
5° Si A < A' nous avons fx.(x) — fx(x) = (A' — A) e* ce qui prouve que
/^(x) > //(x) pour tout nombre réel x donc Cy est au-dessus de Cx.
6° Donnons les tableaux de variations de fx pour chacun des cas étudiés
précédemment.
A < - 2
X
m
AH
-oc
-+OC
—
-foo
——^-—oo
A = - 2
X
£M
IM
—oc
+oo _____
0
0
-f oo
—
fc— OC
- 2 < A <0
X
4M
AM
—oc
-foo ^
a
0
WAM-
+
/*
0
-$M\
-foo
^ —oo
A = 0
X
AM
m
—00
—
-)-oo ___^
-l
0
~~~-~-~~^_1 -—-
+
+OC
^j^--\~'X>

ÉTUDES DE FONCTIONS
X > 0
X
SÂM
AN
—oc
—
+00
a
0
^/,w^
+
+OC
^^+00
Nous obtenons les graphes suivants
y kX>G C0
X<-2 A=-2
FIG. 5.17

182
EXERCICES D'ANALYSE
5.18 Soit {fx } une famille de fonctions définies pour tout nombre réel X par
fx(x) = (x — X) e1'*. On appelle rx le graphe de la fonction/^.
1° Etudier fk au voisinage de 0 pour A<0;A = 0;A>0.
2° Etudier les branches infinies àefx.
3° Calculer la dérivée de 7^ et étudier son signe pour
4° Si X et X' sont deux nombres réels tels que X < X', que peut-on dire des
graphes 7^ et rk. ?
5° Etudier les variations des fonctions/* et dessiner sur un même graphique
les graphes rx pour X < 0 ;X = 0 ; 0 < X < J ;X = £ ; J < A < i ; A =i ;
$ < X < 1 ; X = l ; X > l.
1° Nous savons que
et
lim x el,x = + oo = lim /0(x)
x->0 + jc-»0 +
lim x e1,x = lim f0(x) ~ 0 .
x-»0- jc-»0-
De plus
lim M?Ù. = lim ei/* = o
jc-»0- -X jc-»0-
ce qui prouve que r0 admet l'axe Ox pour demi-tangente à gauche au point 0.
Nous avons
lim/j(x) = lim(- Ae1")
x->0 x-*0
donc pour A > 0 nous avons
lim (- Ae1'*) = - oo et lim (- Ae1/x) = 0.
jc-»0+ x-»0-
Pour 1 < 0 nous avons
lim (- X e17*) = + oo et lim (- A e1,x) = 0 .
x-»0 + x-»0-

ÉTUDES DE FONCTIONS
183
De plus
lim ££> = lim Ili£^X= o
x-*0— x jc-»0 — x
ce qui prouve que tous les graphes des fonctions fx admettent l'axe Ox comme
demi-tangente à gauche du point 0.
2° Lorsque x tend vers l'infini 1/x tend vers 0 et nous avons
«■*=,+' +-L + ()(A)
x 2 x \x /
et par suite
Le graphe 77 admet donc comme asymptote la droite d'équation
y = x + (1 - X) .
Pour X > \ ce graphe se trouve en dessous de l'asymptote quand x tend vers
+ oo et au-dessus quand x tend vers — oo. Pour X < \, 77 se trouve au-dessus
de l'asymptote pour x tendant vers + oo et en dessous pour x tendant vers
— oo. Pour connaître la position de r1/2 par rapport à la droite d'équation
y = x + ^ nous devons calculer le terme suivant du développement limité defx.
Nous avons
j7(x) =(!+-+ —- + — + o(— I I (x - } = x + + o ( — )
\ x 2 x2 6 x3 \x3/ / \ 2/ 2 12 x2 \x2/
par suite le graphe Jn1/2 se trouve au-dessous de l'asymptote lorsque x tend vers
+ oo ou vers — oo.
3° Pour tout nombre réel x # 0 nous avons :
Mx) = ellx(l - ^) = Ç (x2 - x + 1) .
Le signe de/l est le même que celui du trinôme x2 — x + X. Le discriminant
de ce trinôme est A = 1 — 4 X, par suite pour X > \, A est strictement négatif
et x2 — x + X est toujours strictement positif, donc la fonction/^ est croissante.
Pour X = \ le trinôme admet la racine double x = \ et est positif pour tout
nombre réel x, la fonction/1/4 est donc croissante. Si X < \, le trinôme admet
deux racines distinctes a et fi et est négatif pour a < x < P et positif pour
x < a ou x > fi. Comme a/? = X, quand X > 0, a et P sont de même signe et
comme a + p = 1, ils sont tous deux positifs. Déplus,de l'égalité a + P = 1
nous déduisons que a < 1 et P < 1 donc X = a/? < a et X < p. Quand A < 0
a et P sont de signes contraires. Pour X = 0, la dérivée/o s'annule pour x = 0
et x = 1.
4° Si X < X', pour tout élément x de R* nous avons
/*(*) - fx-Oc) = (* ~ *) e1/x - (x - X') e1'* = (X' - X) e1'*,
par suite si X < X' le graphe 7\ se trouve au-dessus du graphe 77-.

184
EXERCICES D'ANALYSE
5° Nous obtenons les tableaux de variations suivants
1 < 0
X
iM
■4M
-ûo A
+
^- 0""
—oc ^^
a 0
o —
f, +00
- o +
40c ^
+OC
Le minimum/^(j8) est strictement positif car fx ne s'annule qu'une fois pour
x = À.
1 = 0
X
foi-)
w
-OO
— oc -
+
0
0
-—0
-|-oc
1
n
e
-(-oc
+
^+■00
o < i < i-
x
AN
■4M
j3 +°o
+
+
0 +
-#<
-f-oc
Km
Comme/j ne s'annule qu'au point x = À nous avons nécessairement
/»>0 et A(/0>0.
X
4
-4M
4
-OO
-OO'"
-h
(
0
^o
)
— oc -
+
1
2
0
■^ 2
+
4-oo
^--j-oc
X
M*)
&(*)
— OO
0
+
— OC -~~
^-0
A
+ 00
+
—oc --"
JU-"
—^+°C
Pour A > £ toutes les fonctions/^ ont le même tableau de variations, les courbes
ne différant que par leur position par rapport aux asymptotes

ÉTUDES DE FONCTIONS
185
Nous obtenons les graphes suivants
FIG. 5.18

6
INTÉGRATION
Di I Soit x un nombre réel strictement positif ; à l'aide des propriétés des
progressions géométriques, démontrer que
h p = n-l x __ «
lim - Y epx!" = - -•
n-> + co n p = 0 X
Utiliser ce résultat pour établir pour, tout nombre réel x > 0, la relation
f e' df = ex - 1 .
J o
La quantité
p = n — 1
£ epx/n
p=0
est la somme des n premiers termes de la progression géométrique de raison
ex/" et de premier terme 1. Nous avons
P = n-1 1 _ pfixjn
Zpxjn _1 c
p=o 1 — e '
par suite
1 p="-1 1 _ Px
- y epx/" -
n P=o n(l - ex/")

INTÉGRATION
187
Lorsque n tend vers + oo, ex/n — 1 tend vers 0 en étant équivalent hx/n (cf.
C. E., Ch. 6, § I n° 76, b) par suite
lim h(1 - e*'B) = - x d'où lim - £ e"x'" = ^-Z-1 •
«-> + OC B-» + CB ^ p=0 X
Calculons l'intégrale I e'd/ comme limite des sommes de Darboux infé-
J o
rieures, relatives au partage de l'intervalle [a, b] en n parties égales. Nous
obtenons :
rx p=n-l
e' df = lim - £ epx/" = ex - l
J 0 «-> + oo n p = 0
(cf.C. E., Ch. 8, §11, n°112).
v.C Soit a un nombre réel strictement positif.
1° Pour quelles valeurs de a l'intégrale
f
J o
2n
2\
Log (1 — 2 a cos x + a ) dx
est-elle définie ?
2° Calculer / lorsqu'elle est définie.
Solution 1° L'intégrale / est définie lorsque la quantité 1 — 2 a cos x + a2 est
strictement positive sur l'intervalle fermé [0, 2 k] ; or
- 1 4- «2
1 — 2 a cos x + a = 0 si cos x =
2a
Comme l'expression (1 + a2)/2 a a toujours une valeur supérieure ou égale à 1
et ne prend la valeur 1 que pour a = 1, l'intégrale /est définie pour tout nombre
réel a strictement positif et différent de 1.
2° Supposons a # 1 et calculons / comme limite des sommes de Darboux
relatives au partage de l'intervalle [0, 2 n] en n parties égales. Nous obtenons
/= lim £ Logll-2cccos—- + a )
n-> + oo p=l W \ n I
d'où

188
EXERCICES D'ANALYSE
Le trinôme 1 — 2 a cos (2 npjn) + a2 admet pour racines les nombres
complexes e2iKpl" et e"2'7""". Les nombres e2'""1" et e"2''*"7" sont les n racines
n-ièmes de l'unité lorsque p varie de 1 à h, par suite :
fi 1 - 2 a cos =^ + a2 = f] (« ~ e2'""7") Il (« ~ e"2i,Ip/")
p=i \ ni p=l p=1
"n (l - 2 a cos ^ + a2) = (a" - 1) (a" - 1) = (a" - l)2 .
d'où
Nous obtenons donc
/ = lira — Log (a" - l)2 = lira — Log | 1 - a" |
d'où 7=0si0<a< l. Si a > 1 nous avons
Log | 1 - a" | = Log (a" - 1) = Log a"U - 1j = n Log a + LogM - —\
d'où / = 4 71 Log a.
D^o Soient a et b deux nombres réels tels que a<betf une fonction réelle à
valeurs positives définie et intégrable sur l'intervalle fermé borné [a, b] de R.
Démontrer que la fonction v/est intégrale sur [a, b].
Solution Soit (xp) (0 < p < ri) une suite finie de points de l'intervalle [a, b] telle que
x0 = a,xp^.l < xppour 1 < p < netx„ = b. Soient Mp (resp. wp) le maximum
(resp. minimum) de la fonction/sur l'intervalle [xp, xp+ J pour 0 < p < n — 1.
La fonction / étant intégrable sur [a, b], pour tout nombre réel e' > 0 il existe
un nombre réel t]' > 0 tel que si xp+1 — xp < tj' pour/? = 0, 1,..., n — 1 alors
p = n~ 1
£ (Mp - mp) (xp+1 - xp) < e'.
p=0
Si Afp et mp ne sont pas tous deux nuls nous avons :
jMp + V^p
par suite Mp ^ e' implique
VMp - Jmp < %^ < -ir(Mp - mp)

INTÉGRATION
189
et d'autre part Mp < e' entraîne \JMp — y/mp < y/Mp < Ve'- Dans tous les
cas nous avons
VMp - 4™p < -;= (Mp - mp) + Ve7.
Si Mp et mp sont tous deux nuls il est clair que cette dernière inégalité est
encore vérifiée. Nous avons donc
p=n — 1
E (y/Mp ~ yf™î>) (*p+i - xp) <
p = 0
1 p=n_1 ,—
< -= X (MP - mp) (*P+i - *p> + Ve'(t-a)
Ve' p=°
soit encore si xp+] — xp < rj' pour/? = 0, 1,..., n — 1 :
" I (VMp - yfà) (xp+1 - xp) < VeXfc - a + 1).
p=0
Soit e un nombre réel strictement positif, en posant e' = e2/(b — a + l)2
ce qui précède nous démontre l'existence d'un nombre réel rj' > 0 tel que si
xp+1 — xp < t]' pour/» = 0, 1,..., n — 1 alors
p = n— 1
E (Vmp - VmP) (*P+i - *P) <£>
p=0
ce qui démontre que la fonction v/est intégrable sur [a, b] (cf. C. E., Ch. 8,
§11, n° 114).
Di4 Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et/une fonction réelle définie
et continue sur l'intervalle fermé [a, b]. On suppose que
f[/(x)]2dx = 0.
Démontrer que la fonction/est nulle sur l'intervalle [a, b].
Solution Supposons que / ne soit pas nulle alors il existe un point x0 de l'intervalle
[a, b] tel que f(x0) =£ 0. La fonction étant continue au point x0, il existe un
nombre réel rj > 0 tel que pour tout élément x de [a, b] vérifiant | x — x0 | < rj
nous ayons
/(x0)
|/M-/M<^-
soit
|/(*)
>

190
EXERCICES D'ANALYSE
Par suite si nous posons a = Sup (o, x0 — rj) et p = Inf (b, x0 + n) il est clair
que l'intervalle [a, p] est de longueur non nulle d'où :
L7<*o)]\ tQ Af(x0)f
f [/(x)]2dx > \ [f(x)f dx > [ l^pLdx = (/»-«)
J a ''CL * CL
La dernière quantité étant strictement positive, [/200] dx est non nulle
J a
ce qui est en contradiction avec l'hypothèse, par suite si
I
[/(x)]2 dx = 0
alors/est la fonction nulle.
Di5 Soient a et b deux nombres réels tels que a < b,f une fonction continue sur
l'intervalle fermé [a, b] et g une fonction positive et intégrable sur [a, b]. On
désigne par m (resp. M) le minimum (resp. maximum) de/sur [a, b].
1° Démontrer que la fonction F définie sur [a, b] par
F(x)=f(x) [ g(t)dt
est continue et trouver ses extrema en fonction de m et M.
2° En déduire qu'il existe un élément c de [a, b] tel que
~b
\ f(t)g(t)dt=f(c) \ g(t)dt
* a * a
(Cette égalité est appelée première formule de la moyenne.)
Etudier le cas où g est la fonction constante de valeur 1.
1° Posons A — I g(f) âl ; alors F = Af donc F est une fonction continue
^ a
sur [a, b] ; comme A ^ 0 le maximum de F est AM et son minimum Am.
2° Pour tout élément t de [a, b] nous avons :
mg(t)<f(t)g(t)<Mg(t)
d'où
m [ g(t)dt < [ f(t)g(t)àt < M [ g(t)àt
J a J a J a

INTÉGRATION 191
par suite
•b
mA < I f(t) e(t) dt < MA
f /(0 g(0 dt
J a
La fonction F étant continue sur l'intervalle [a, b], le théorème des valeurs
intermédiaires appliqué à la fonction F nous montre qu'il existe un élément c
de [a, b] tel que
m = f no g(o dt d'où fV(o g(o àt = m \ g(o dt.
La fonction constante g de valeur 1 est intégrable sur [a, b] et nous avons
g(f) dt= b - a,
J a
par suite il existe un nombre c de [a, b] tel que
f f(t)dt = (b-a)f(c);
ceci n'est autre que le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction
idt.
x ^ | /(t) (
J a
biO Soient a et b deux nombres réels tels que a < b, f une fonction continue et
monotone sur l'intervalle fermé [a, b] et g une fonction continue sur [a, b].
On désigne par G la fonction définie par
G(x)= fg(0df
J a
pour tout élément x de [a, b] et on considère l'intégrale :
/= f /(0g(0dt= [ /(t)C'(t)dt.
1° Démontrer que pour tout nombre réel £ > 0, on peut trouver une famille
finie d'éléments o, (/ = 0, 1,..., ri) de [a, b] tels que
/ - Ê f f{*ù G'(t) dt < e .
i — 1 J at - i I
2° Etablir l'égalité :
'f f"' /(flj C'(t)dt =/(&) C(6) - 'f G(fl,_,)[/(*,-) -/(«,_,)] -
î = 1 J flî _ I ï — 1'

192
EXERCICES D'ANALYSE
3° On pose
^.= ï" f /(«,)G'(t)dt.
î = 1 "* flj - 1
Démontrer que le nombre ./,, — f(b) G(b) appartient à l'intervalle limité par
les nombres
[/(fli) -/(&)] [ Inf G(x)l et [/(fll) -/(6)] [ Sup G(x)l ;
Lx e [aM i Lx e [a,6] J
en déduire que le nombre / — f(b) G{b) appartient à l'intervalle limité par les
nombres
[/(«) -/(*)] [ Inf G(x)l et [/(a) -/(&)] [ Sup G(x)l .
Lxe[o,(>] J Lxe[a,(>] J
4° On considère la fonction continue H définie sur l'intervalle [a, b] par
H(x) = \_f(a) — f(b)~] G(x) ; démontrer qu'il existe un nombre c de l'intervalle
[a, b] vérifiant H{c) = I — f(b) G(b). En déduire l'égalité suivante :
/=/(«) f g(0 dr + /(6) [ g(t)dt.
•J a >* c
(Cette égalité est appelée seconde formule de la moyenne.)
Solution 1° Considérons une famille finie de points at (i = 0, 1,..., ri) telle que
a0 = a, a„ = b et at < ai+1 (i = 0, 1, ..., n — 1). Nous avons :
I ~ 'Ï f' /(«*) G'(0 dt = 'f f" [/(*) - f{a$\ G'(t) dt.
La fonction /étant continue sur l'intervalle fermé borné [a, b], est
uniformément continue sur cet intervalle, donc pour tout nombre réel ex > 0 il existe un
nombre réel nt > 0 tel que pour tout couple (x, x') de points de [a, b] vérifiant
| x' — x | < r]x nous ayons |/(x) — f(x') | < e,. Supposons que la famille (o;)
vérifie en outre la condition | ai+i — at\ < nt (i = 0, 1,..., n — 1), alors
pour tout élément t de [ai_l, at] nous avons \f(t) —/(fl;) | < Et. Nous
déduisons de ceci que :
1 - f p f(°i) g'w d* < ï p i/« - /(«.) i g'(o àt
< E" £i P I C'(0 I df = £i f | G'(t) | dt.
Il est clair que si la fonction g(t) = G'(t) est partout nulle le problème est
évident, nous exclurons donc ce cas. Nous supposons donc que
[ | G\t) | dt > 0,

INTÉGRATION
193
si nous choisissons
£1 =
f le©:
•J a
àt
< £.
nous obtenons
/ - 'f p f(<*i) G'(t) àt
»= 1 J «i-i
2° Nous avons :
'f P /(«i) G'(0 dt = /(fll) [G(fll) - G(«)] + f(a2) [G(a2) - G(0l)] + - +
£=1 J ai-i
+ /(«„_ OCG^-x) - 6(0.-2)] + /(b)[G(b) - Gte-J] .
En regroupant différemment les termes de cette somme nous obtenons
"f P f(ad G'(t) àt = f(b) G(b) - £ G^i-x) [/(«,) - /(a,-!)] ■
3° La fonction G est continue sur l'intervalle fermé borné [a, b] ; elle est donc
bornée sur cet intervalle. Posons
M = Sup G(x) et m = Inf G(x).
Supposons la fonction/croissante alors/(oj) — /(ûj- 1) ^ 0 pour i = 1,2,..., «
et par suite :
m '£" [/(«i) -/(fli-i)] < f G(fl,_!)[/(«,) -/(a,-!)]
i=2 i=2
a'f[/w-/M.
i=2
ce qui peut s'écrire :
"»[/(&) -/(fli)] < 'f G(fl|_1)[/(aJ -/(a,-!)] < M[/(b) -/(aj]
i=2
Supposons la fonction/décroissante, nous avons :
M[/(b) -/(«!)] < '£ G(a,_1)[/(aJ) -/fe-x)] < m[/(fc) -/(«x)] .
£=2
Nous avons donc dans tous les cas
•*. -/(*) G(b) = - '£ G(fl,_ !)[/(«;) -/(a,-!)]
Calvo. — Exercices d'analyse 7

194
EXERCICES D'ANALYSE
par suite le nombre ./e — f(b) G(b) appartient à l'intervalle limité par les
nombres m^/fai) — f(b)~\ et M[/(«i) — /"(£>)]. Nous pouvons choisir la suite
finie (a;) associée à e de telle manière qu'elle vérifie outre la condition
K+i - «il < >/i»
la condition | ai+1 — at | < e pour i = 0, 1,..., n — 1. Nous avons alors
| / - Jz | < 6 (Cf. 1°)
Si la fonction / est croissante nous pouvons écrire :
M\f(flù -/(*)] < Jz -f(b) G(b) < m[/(0l) -/(£)] .
Lorsque e tend vers 0, ./„ tend vers / et ax tend vers a. A la limite nous avons
donc M[f(à) -/(*)] < /-/(*) G(Z>) < m[/(«) -/(fc)].
Si/est croissante nous obtenons les inégalités de sens contraire. Dans tous
les cas le nombre I — f(b) G{b) appartient à l'intervalle limité par les points
4° La fonction H définie par H(x) = [/(o) —/(6)]G(x) sur l'intervalle
[a, b] est continue sur [a, b]. Ses extrema sont M[f(a) — f(b)~] et m[/(a) —f(b)~].
Le nombre / — f(b) G(b) appartient à l'intervalle d'extrémités M[f(à) — /(&)]
et m[/(o) — f(b)] donc le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à la
fonction H, nous montre qu'il existe un point c de l'intervalle [a, b] tel que
H(c) = J — /"(£) G(b). Nous avons donc
[/(«) - /(&)]. fC G(t) dï = / - /(b) f g(r) dt,
soit encore
/ = /(a) f g(0 dt + /(b) [ J* g(0 dt - £ g(() dl]
et par suite
/=/(«) fCg(0dt+/(b) [ g(0d(.
6i7 Les notations sont celles de l'exercice précédent. On suppose que / est une
fonction continue sur l'intervalle fermé [a, b], positive et décroissante et que g
est une fonction continue sur [a, b].
1° Démontrer les inégalités
f(à)\ Inf G(x)"U/</(a)[ Sup G(x)l.

INTÉGRATION
195
2° En considérant la fonction K continue, définie sur [a, b] par
K(x) = f{a) G(x), démontrer qu'il existe un nombre réel x0 de [a, b] tel que
rx0
= /(«) g(0
J a
ât,
Solution 1° Considérons le nombre J^e défini à la question 3° de l'exercice précédent.
Nous pouvons écrire
S* =f(b) G(b) + £* Gfe-i) [/(«*-1) -Rafi .
« = 2
Comme la fonction/est décroissante nous avons /(0;_i) —/(#;) !> 0 pour
i = 1, 2,..., n et d'autre part/(fe) 5= 0. En notant toujours Met m le maximum
et le minimum de la fonction G sur [a, b] nous avons :
m
[/(*) + ï (/(fll-l) -/M] < ^a < Af[/(6) + 'f (/(O,-!) "/M],
soit encore mf{a^) < ./„ < Mf(a^). Lorsque 6 tend vers 0, ax tend vers a et ^£
vers /, à la limite nous avons donc
mf(a) < / < Mf(a) .
2° La fonction A: définie sur [a, b]. par /î:(x) = f(a) G(x) est continue sur
[a, b], son maximum et son minimum sont respectivement Mf(a) et mf(a),
/est un nombre compris entre les extrema de K sur [a,b], le théorème des
valeurs intermédiaires, appliqué à la fonction K, nous montre qu'il existe
un nombre x0 de l'intervalle [a, b] tel que K(x0) = I, c'est-à-dire que
J a
ât.
6.8 Soient a et b deux nombres réels tels que a < b, et / et g deux fonctions
bornées et intégrables sur [a, b], vérifiant la relation :
[]"/(*) ffa) dx] 2 = [j" [/(x)]2 dx] [j" [g(x)]2 dx] # 0.
1° Démontrer qu'il existe un nombre réel k tel que
[ [/W - kg(x)]2 dx = 0 .
2° Que peut-on en conclure si de plus les fonctions/et g sont continues sur
l'intervalle [a, b] ?

196 EXERCICES D'ANALYSE
1° Considérons le trinôme du second degré en t
rb rb rb
f [g(x)]2 dx-2t\ /(x) g(x) dx + \ [/(x)]2 dx .
Le discriminant de ce trinôme est
rb T 2 rb
[]"/(*) g(x) dx] 2 - j"* [g(x)]2 dx j" [/(x)]2 dx;
ce discriminant est nul par hypothèse, le trinôme admet donc la racine double
f /(x)g(x)dx
k =
fk(*)]2
dx
soit
Le nombre réel k ainsi trouvé vérifie donc la relation :
fc2 [ [Sto]2 dx - 2 k [ /(x) g(x) dx + f [/(x)]2 dx = 0
\ UM - kg(x)f dx = 0 .
2° Si les fonctions/et g sont continues alors la fonction/ — kg est continue,
d'où/ — kg = 0 (</. exercice 6.4), soit encore/ = kg.
UmO On considère la suite (g„) de fonctions en escalier sur l'intervalle [0,1]
définie par :
g„(x) = 0 pour x 3s -
g„(x) = n pour x < - .
1° Existe-t-il une fonction bornée définie sur [0, 1] qui soit limite de cette
suite ?
2° Soit/une fonction continue sur [0,1] ; démontrer que la suite (m„) définie
par
"« = /(*) &.(*) dx
J o
a pour limite/(0) lorsque n tend vers l'infini.

INTÉGRATION
197
Solution 1° Pour tout élément x du semi-segment ]0, 1[, g„(x) tend vers 0 lorsque n
tend vers l'infini. En effet pour tout élément a de ]0, 1] il existe un entier N tel
que l/N < a, donc pour tout entier n ^ N nous avons g„(a) = 0. D'autre part
g„(0) = n pour tout entier n 5= 0, donc lorsque n tend vers l'infini g„(0) tend
vers l'infini ; il n'existe donc pas de fonction bornée sur [0,1] qui soit limite de
la suite (g„).
2° Nous avons
J o J o
fl/n
D'après la première formule de la moyenne appliquée à l'intégrale /(x) dx,
J o
nous savons (cf. exercice 6.5) qu'il existe un nombre <x„ de ]0, l/«[ tel que
çl/n j
/(x)dx = -/(«„).
J 0 "
Par suite /„ = /(oen). Lorsque n tend vers + oo, <x„ tend vers 0 et comme la
fonction/est continue f(çQ tend vers/(0). La suite (/J admet donc la limite
/(O) lorsque n tend vers 1 infini.
6.10 On considère la suite de nombres réels (/„) définie par
'■-f
•n/2
sin" x dx
o
pour tout entier n ^ 0. Démontrer que cette suite admet 0 pour limite lorsque n
tend vers l'infini.
Soit 6 un nombre réel tel que 0 < £ < n/2 ; la fonction sinus est une fonction
positive croissante sur l'intervalle [0, n/2] par suite pour tout élément x de
[0, n/2 — 6/2] nous avons
^ • (n £\
0 < sin x < sinl^ — ^1
et par suite
Le nombre réel sin (n/2 — e/2) est strictement plus petit que 1, il en résulte que
js.HH]"-0-

198
EXERCICES D'ANALYSE
Çn/2~c/2
En raison de l'inégalité précédente sin" x âx tend aussi vers 0 lorsque n
J o
tend vers + oo, donc il existe un entier N tel que pour tout entier n ^ A'nous
ayons
-?i/2-£/2
sin xdx^-.
2
m e
D'autre part
pn/2
0 < sin" x dx <
J n/2-£/2 2
et
rn.l2-t.l2 rn/2
/„ = sin" x dx + sin" x dx,
J 0 J n/2-£/2
par suite, si n ^ N nous aurons 0 < /„ < e. La suite (/„) admet donc 0 pour
limite lorsque n tend vers l'infini.
DilT Soit/une fonction réelle définie et continue sur l'intervalle fermé [— 1,1] ;
démontrer que la fonction réelle F définie par
psin x
F{x) = f(t) ât
J o
pour tout nombre réel x, est dérivable et vérifie la relation F'(x)=cos x ./(sin x).
Solution La fonction F est la fonction composée de la fonction g définie par
g(")= [7(0 df
J o
et de la fonction sinus. Comme ces fonctions sont dérivables, la fonction iF est
dérivable et nous avons F'{x) = g'[u(x)] (sin)' (x). Mais (sin)' (x) = cos x et
g'(u) = /(m) par suite -F(x) = cos x./[sin x].
6.12 Soit/une fonction réelle définie et continue sur R. Démontrer que l'existence
d'une période T pour/entraîne la propriété suivante : La fonction F définie
pour tout nombre réel x par
F(x) = f /(*) ât
J x
est constante.

INTÉGRATION 199
Solution Supposons que la fonction / admette la période T, nous avons
f(x) =f(x+T)
pour tout nombre réel x. Considérons l'intégrale
*■(*> = r /(o àt,
J x
on remarque que
F(x) = f fit) ât + f f(t) ât + \" fit) ât.
Effectuons le changement de variable t = u + T dans l'intégrale
rx + T
)T màt-
Nous obtenons
f fit) ât = \X fiu + T)âu= [fiu) au
J T J 0 J 0
par suite
F(x) = \ fit) ât
■> o
et F est une fonction constante.
Dil 0 Pour tout nombre réel x strictement positif, établir l'égalité
f1 df = C1/x ât
J x 1 + t2 ~ J i TT? '
Solution Première méthode.
Considérons l'intégrale
f1 dt
J x 1 + t2
cette intégrale est toujours définie puisque la quantité 1 + t2 ne s'annule
jamais. Effectuons un changement de variable en prenant comme nouvelle

200
EXERCICES D'ANALYSE
variable u = l/t, ceci est possible puisque t ne s'annule jamais sur l'intervalle
d'extrémités 1 et x. Nous obtenons
ç1 dt _ r1 i / du\ _ r1 du _ r1'* du
J * ï +t2 ~~ J i/« 1 + (1/m2) l ^V~ J i/« 1 + u2 ~ J i 1 + u2 '
Nous avons donc
dt
r1 dt r1/x dt
J * 1 + f2 J ï 1 +
>2
Seconde méthode.
On a r = Arc tg 1 — Arc tg x = - — Arc tg x
J x 1 + t2 4
f1/x dt 1 . , . 1 n
et r = Arc tg Arc tg 1 = Arc tg
Jjl+t2 x 6 6x4
1 n
or {cf. exercice 2.27) on sait que si x > 0, Arc tg x + Arc tg — = ^ d'où
le résultat.
6.14 Soit k un nombre réel strictement positif. On considère la fonction F définie
pour x > 0 par :
F(x) = sk sin (sx) as .
J o
1° Etablir l'égalité suivante :
1 f*
F(x) = ——- tk sin ( df.
x*+1 Jo
2° En déduire que la fonction F est dérivable pour x > 0 et vérifie la relation
xF'(x) + (k + 1) F(x) = sin x pour tout nombre réel x > 0.
Solution 1° Le nombre réel x étant strictement positif nous pouvons effectuer le
changement de variable t = sx. Nous obtenons :
f1 k ■ / n j Çx <* • dt 1 fx * . J
s sin (sx) ds = — sin ( — = —— ( sin ( d(.
J o J ox* x x Jo

INTÉGRATION
201
2° La fonction n—» tk sin t est une fonction réelle définie et continue sur
l'intervalle fermé [0, x]. Par suite la fonction
xi-> tk sin t ât
J o
est dérivable et sa dérivée au point x est xk sin x (cf. C. E., Ch. 9, § I, n° 130).
La fonction jFest donc dérivable car elle est le produit de deux fonctions déri-
vables ; nous avons :
F'(x) = -L xk sin x - ^-±1 | ** sin t dt
x x ^ o
et par suite
xF'(x) + (k + ï) F(x) = sin x .
6.15 Soient k un nombre réel tel que 0 < k < 1 et x un nombre réel quelconque ;
on considère l'intégrale
T 1
J ° V1 - k2 sin2 (
On pose T = y(n/2).
1° Etudier directement la fonction y ainsi définie sur R. Montrer que y est
une fonction différentiable et calculer sa dérivée y'. En déduire que la fonction z
définie pour tout nombre réel x par z(x) = y(x + n) — y(x) a une valeur
constante que l'on exprimera à l'aide de T.
2° Démontrer que la fonction G admet une dérivée seconde G" vérifiant
G"(y) + k2 sin G(y) cos G(y) = 0 pour tout nombre réel y.
3° Pour tout nombre réel v on définit les fonctions Sn, Cn et H par
Sn(v) = sin G(v), Cn(v) = cos G(v) et H(v) = yj\ - k2 sin2 G(v) .
Etudier la parité de ces fonctions. Calculer les dérivées de ces fonctions.
Solution 1° Le nombre réel k vérifiant 0 < k < 1, k2 sin2 t est toujours strictement
plus petit que 1 donc 1 — k2 sin2 t ne s'annule jamais et la fonction
1
VI - k2 sin2 (

EXERCICES D'ANALYSE
est continue pour tout nombre réel t, par suite la fonction y est définie pour
tout nombre réel x. Nous avons
J(
- x) = f
J 0
ât
Vl - k2 sin2 t
df;
effectuons le changement de variable t = — u, nous obtenons
dw
y(
JoVl -
k2 sin2 m
= - y(x).
La fonction y est donc impaire. La fonction
1
ti
Vl - k2 sin2 f
étant continue pour tout nombre réel t la fonction y est dérivable et sa dérivée
est définie par
y(x) =
Vi
k2 sin2 x
(cf. C. E., Ch. 9, § 1, n° 130). La fonction y est donc strictement croissante
puisque sa dérivée est toujours strictement positive. La fonction z a pour
dérivée 0, car y'(x + n) = y'(x) pour tout nombre réel x, cette fonction
étant continue elle est constante et égale à y(n) — j(0) soit aussi
y(ri)
= f" 1
J o Ji _ k
k2 sin2 f
df.
Nous avons :
J*
r*/2
>o =
■I o
d(
Vl - k2 sin2 f
+
r ât
J n/2 Vl _ fc2 sin2 (
Effectuons le changement de variable u = n — t dans la seconde intégrale,
nous obtenons :
df
«/2 Vl - k2 sin2 (
= f ° -d» = r/2
J */2 Vl - fe2 sin2 m J ° Vl -
au
k sin m
Par suite y{n) = 2 Tet z(x) = y(x + n) — y(x) = 2 T pour tout nombre réel x.
Si « est un entier nous déduisons de ce qui précède que y(x + nn) — y(x) = 2 nT
et donc que y(x) tend vers + oo lorsque x tend vers + oo. Le tableau de
variation de la fonction y(x) est donc :
x
— OO
0
y(x)
+ OC
^+oo

INTÉGRATION
203
2° La fonction y étant continue et strictement croissante, elle admet une
fonction réciproque G également continue et strictement croissante sur R
(cf. C. E., Ch. 4, § V, h° 52). La fonction G est dérivable et sa dérivée est
G'(y) = — =\'l - k2 sin2 x
y'to
avec x = G(y) (cf. C. E., Ch. 5, § I, n° 62). Nous avons donc
G'(y) = Vl - k2 sin2 G(y) .
La fonction y \-* \J\ — k2 sin2 G(y) étant dérivable comme fonction composée
de fonctions dérivables, G' est dérivable et par suite nous avons
G"(y) = i[l - k2 sin2 G(y)]"1/2 [- 2 k2 G'(y) cos G(y).sin G(y)~]
soit G"O0 = - k2 cos G(j) sin G(j).
3° La fonction y étant impaire, la fonction G est aussi impaire, nous avons
donc
Sn(- v) = sin G(- v) = sin [- G(u)] = - sin G(v) = - Sn(v) .
Cn(- v) = cos G(- v) = cos [- G(t;)] = cos G(v)= Cn (v)
H(- v) = y/T- k2 sin2 G(- v) = H(v) .
La fonction Sn est impaire, les fonctions Cn et H sont paires. Nous avons
H(v) = - G'(f) d'où H'(v) = G"(v) = - k2 Cn(v) Sn(v). Les fonctions Sn
et Cn sont dérivables comme fonctions composées de fonctions dérivables et
nous avons :
Sn'(v) = G'(v) cos G(v) = H(v) Cn(v)
Cn'(v) = - G'(v) sin G(v) = - H(v) Sn(v) .
6.16 1° Etudier la fonction F définie pour tout nombre réel x ^ 0 par
F(x) = f e-'2 dr.
J o
Démontrer que F admet une limite finie K lorsque x tend vers + oo.
2° Etudier la fonction G définie pour tout nombre réel x > 0 par
r*2
G(x) = e-'2 ât.
3° Soit k un nombre réel tel que 0 < k < K ; démontrer qu'il est possible
de définir une fonction y vérifiant sur un intervalle que l'on précisera
ry(x)
e-,2ât=k.
Etudier la fonction y.

204
EXERCICES D'ANALYSE
Solution 1° La fonction r i—v e '2 est continue sur l'intervalle fermé [0, x] donc, la
fonction F est définie et dérivable pour tout x ^ 0 et sa dérivée au point x est
e~*\ La fonction x i-> e~*2 étant positive pour tout x, la fonction F est
croissante. Pour t > 1, e-'2 est inférieur à e~* car la fonction x i—» ex est croissante.
Nous avons donc pour t > 1, e-'2 < e-' et par suite pour x > 1,
e '2 dr < e ' ât =
Lorsque x tend vers + oo, e ' tend vers 1/e ; donc quand x tend vers + oo
la fonction F est majorée par
fV^ + i
Jo e
et comme F est croissante, F admet une limite finie K. Le tableau de variation
de la fonction F est donc :
U
+oo
F(x)
La dérivée de la fonction F vaut 1 pour x = 0 par suite la tangente à l'origine
du graphe de F a pour pente 1. Nous obtenons le graphe suivant :
FIG. 6.16.1

INTÉGRATION
205
2° La fonction G est définie pour tout x ^ 0 et nous avons
G(x) = F(x2) - F(x) ,
La fonction G est dérivable et sa dérivée est
G'(x) = 2 xF'(x2) - F'(x) = 2 x e-*" - e~*2 = e_*2[2 x e
-x4+x2
-1]
Etudions la fonctionzdéfinie par z(x) = 2xe x +x — 1. Nous avons
z'(x) = 2 e-x4+x2[l +x(-4x3 + 2 x)] = 2e~*4+*2 [1 + 2 x2 - 4x4] .
Le trinôme 1 — 2 X + 4 X2 admet la racine positive (1 + y/5)/4. Posons
x0 = V(l + V5)/4. On remarque que x0 < 1, nous déduisons de ceci le tableau
des variations de la fonction z.
X
z'(x)
z(xj
0
+
-\^
Xq
0
Ax*)^
1
"~*"1—-
—
-J-ao
»t-l
Nous déduisons de ceci que la fonction z admet deux racines l'une plus petite
que 1 que nous noterons a et l'autre plus grande que 1 que nous noterons p.
Le signe de z(x) nous donne le signe de G'(x). Le tableau des variations de la
fonction G est donc :
X
G'M
G(x)
0
0^
a
- o
m '""
1
+
^-0^"
P
0
^rM^
-\-00
—
~^-*-o
La fonction G admet donc un minimum négatif m et un maximum positif M.
La tangente au graphe, à l'origine a pour pente — 1. Nous obtenons le graphe
suivant :

206
EXERCICES D'ANALYSE
FIG. 6.16.2
3° La fonction F étant continue, croissante sur l'intervalle [0, + oo[, elle
admet une fonction réciproque H, également continue et croissante sur
l'intervalle [0, K[, telle que H(0) = 0 et lim H(y) = + oo. La fonction H est égale-
y- K-
ment dérivable sur [0, K[ et sa dérivée au point y0 = F(x0) est :
H'(y0)
1
1
n*0)
= e~
d'où H'(y0) = é*™*
Soit k un nombre réel fixé tel que 0 < k < K, cherchons s'il est possible de
ry(x)
définir une fonction y vérifiant I e~'2 àt = k c'est-à-dire telle que
-" x
F(y(x)) - F{x) = k ;
y est définie par F(y{x)) — F{x) + k ; ceci suppose que F(x) + k < K donc
que x < H(K — k). La fonction y ne peut être définie que sur l'intervalle
[0, H(K — k)\_ et sur cet intervalle elle est définie par y(x) = H[F(x) + k].
Les fonctions F et H étant croissantes, la fonction y l'est également. Le tableau
des variations de y est le suivant :
X
F(x)
F(x)+k
y(x)
0
0 ——
k
H(k)
H(K-k)
■—^"" K-k
—-^ K
_^—*r +°0

INTEGRATION
207
La fonction y est dérivable comme fonction composée de fonctions dérivables.
Nous avons
y\x) = H'[F(x) + k].F'(x) = e[yW]2.e'*2.
Le graphe de la fonction y est le suivant :
FIG. 6.16.3
6.17 Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et g et h deux fonctions réelles
continues admettant sur l'intervalle [a, b] des dérivées d'ordre n + 1 continues.
On note gw (resp. h(k)) la dérivée d'ordre k de g (resp. h). On poseg(0) = g et
/z(0) = h. Pour tout élément x de [a, b] établir l'égalité :
fg(0 tf-+l\t) dt = kf (- u* ryV) tf'-k\x) - g("(«) /,("-»(û)] +
+(- iv+i rg("+i)(o*o)dt.
J a

208 EXERCICES D'ANALYSE
Quel résultat obtient-on dans le cas particulier où
n !
Solution Nous allons démontrer cette formule par récurrence. Pour n = 0 nous avons
d'après la formule d'intégration par parties :
fX g(0 h\t) àt = [g(x) h(x) - g(«) h(a)-] - \X g'(t) h(t) àt;
c'est-à-dire que la formule proposée est vraie pour n = 0.
Supposons que la formule soit vraie jusqu'à l'ordre n et appliquons-la au
couple (g, h') ; nous obtenons :
f g(0 (fe')00 (0 àt = * £ (-1)* [gw« (hT"1-" (x)-Jk\a) {hT~1~k\")'}
+ (-1)" f VV) h\i) àt
Mais
f g(n)(0 fc'(0 àt = g(n)(x) fc(x) - g(n)(a) fc(o) - f g(n+1)(0 h{i) àt
J a J a
et en remplaçant dans l'égalité précédente nous obtenons :
f g(o &(n+1)(o àt = k t\- iy [gww ft("_t)w - gw(«) ft1""^)] +
J a k = 0
+ (- ir bww*w - g(n)(«)fc(«)] + (- D"+1 fV+1)(o fc(0dt
= l" (- l)*[gwW fe(-k)(x) - gw(a) fe<-*>(a)] +
+ (-l)"+1 fV+1)(0&(0dt.
J a
La formule est vraie pour l'entier n + 1 donc par récurrence la formule est vraie
pour tout entier n ^ 1.

INTÉGRATION 209
Dans le cas particulier où h(t) = (t — x)"/(n !) nous obtenons la relation
0 = l" (- If [gw(*) h("-k\x) - g<k\a) tf"-kXà)\ +
* = 0
+ (-D"+1 \X gln+1\t){^~^
j a n .
= g(x) - g(a) + "f (- D* gw(a) ^-^ +
1=1 K ■
dt
+(-d2b+i rg(B+i)(o(-^^d/
d'où
• x , x (* — ") „ -> (x — a)2 „. . (x — «)" fnW .
g(x) = g(a) + 1; Vte) + 2! g(a) + "" + »! g (û)
J a " •
Ceci est la formule de Taylor avec reste sous la forme d'une intégrale (cf.
C. E., Ch. 9, § I, n° 132).
Dil b 1° Soient ku k2, A et B des nombres réels et y une fonction réelle admettant
sur un intervalle fermé [a, b] une dérivée y' et une dérivée seconde y" vérifiant
pour tout élément x de [a, b] les relations :
(1) y"(x) = kx+ k2(x - a).
(2)y(a) =A.
(3) y'(a) = B.
Déterminer la fonction y.
2° Etant donné un nombre réel C trouver une fonction y vérifiant les relations
(1) et (2) et la relation y(b) = C.
1° La fonction y' est la primitive de la fonction y" prenant la valeur 2?pour
x = a ; par suite
y'ix) = -~ (x - a)2 + kt(x - a) + B.

210 EXERCICES D'ANALYSE
y est la primitive de y' prenant la valeur A pour x = a ; par suite
y(x) = -/ (x - a)3 + -rf (x - a)2 + B(x - a) + 4 .
6 2
2° j' est une primitive de y", donc il existe un nombre réel k3 tel que
k
/(x) = -^ (x - a)2 + fcj(x - a) + fc3 .
Comme j est une primitive de y', il existe un nombre réel k4 tel que
k k
y(x) = ~(x - af +~{x - af + k3(x - a) + fc4 .
o z
Comme y (à) = ^4 nous obtenons k4 = A. Comme y(b) = C nous obtenons
C = ^(b- a)3 + ^(b - a)2 + k3(b -à) + A
b 2
d'où:
La fonction y qui vérifie les trois conditions imposées est donc :
j(x) = ^(x-a)3+^(x-a)2 +
+ (lbi - §(fc ~ «)2 - |(fc - fl))(*-fl) + A,
soit encore
k2
y(x) = -^ (x - a) (x - b) (x + b - 2 a) +
6
+ -± (x - a) (x - b) + (x - a) + A .
1 b — a
6.19 Soit h un nombre réel strictement positif ; on pose X; = ih pour i = 1,2,3.
Calculer l'intégrale
/ = I | x(x — xt) (x — x2) (x — x3) | dx .
J -h

INTÉGRATION
211
Solution Sur l'intervalle fermé [— h, h] les expressions x — xt pour i — 1 , 2, 3 sont
négatives, par suite nous avons :
f°
/ = I x(x — Xi) (x — x2) (x — x3) àx —
J -h
rh
— x{x — xt) (x — x2) (x — x3) àx .
J 0
Nous devons calculer la primitive du polynôme
P(pc) — x(x — Xj) (x — x2) (x — x3) = x[x3 — (xj + x2 + x3) x2 +
-|- v^l *^2 ' *^2 *^3 "* *^3 "^1/ "^ -^1 -^2 *^3 I
soit P(x) = x4 — 6 hx3 + 11 h2 x2 — 6 h3 x. Nous avons donc
rO r><
I = P(x) àx - P(x) àx
J -h J 0
d'où, si Q désigne une primitive du polynôme P, I = — Q(— h) — Q(h). Nous
pouvons prendre
_, . x5 3 foc4 Uh2x3 „ ,3 2
60) = — y~ + —3 3h x
et par suite / = 9 h5.
6.20 Soient a, b, c trois nombres réels ; on considère la fraction rationnelle
/(*) =
ax 2 + bx + c
(x-l)2(x + l)2
1° Décomposer cette fraction rationnelle en éléments simples.
2° Soit/ la fonction rationnelle associée à/! A quelles conditions les primitives
de f sont-elles des fonctions rationnelles ? Donner leurs expressions lorsque
ces conditions sont satisfaites.
1° La décomposition de la fraction rationnelle/est de la forme
r, n a P y s
f(x) = ; + —— + , +
(X - l)2 X - 1 (X + l)2 X + 1
où ce, P, y, 3 des nombres réels. Nous obtenons a (resp. y) en multipliant f(x)

212
EXERCICES D'ANALYSE
par (x — l)2 (resp. (x + l)2) et en remplaçant x par 1 (resp. — 1) dans le
résultat obtenu. Nous trouvons
a + b + c a — b + c
« = —-a—» y = —â—•
En calculant/(0) et la limite lorsque x tend vers + oo de xf(x), nous obtenons
c = u-0 + y + ô et 0=0 + 5 d'où
P =
a — c
et
ô =
Nous avons donc
,. . a + b + c a — b + c a — c X \ Il
/(x) = H T +
4(x - l)2 4(x + l)2 4 Lx - 1 x + lJ
2° Les primitives de la fonction/sont toutes de la forme
„. . a + b + c — 1 a — b + c — 1 a — c ^
FM = à 7 + À -7TT-* + —*— L°8
x - 1
x + 1
x - 1
X + 1
+ k
où k désigne une constante réelle. Les primitives de/seront donc des fonctions
rationnelles si et seulement si a = c. Dans cette situation nous obtenons
F(x) = -
2a + b 1
2 a
1
4 x - 1
où k désigne une constante réelle.
x- 1
+ k
6.21
Soient a et x deux nombres réels strictement supérieurs à 1 et tels que a < x.
Calculer les intégrales des fonctions rationnelles suivantes.
1°
2°
fx 3 t3 + 10 t2 - 2 t
~ J a (t2 - l)2
j= r, i , dt.
J a t\\ + t3)
ât.
1° Les racines du polynôme (t2 — l)2 étant extérieures à l'intervalle [a,x],
la fonction rationnelle (3 t3 + 10 t2 — 2 t)l(t2 — l)2 est continue sur
l'intervalle [a, x] donc intégrable.

INTÉGRATION
213
Décomposons la fraction rationnelle (3 <3 + 10t2 — 2t)/(t2 — l)2 en
éléments simples, cette décomposition sera de la forme :
3 t3 + 10 t2 - 2 t _ A B C_ D
(t2 -If (t - l)2 7^1 + (t~+T)2 t + 1 '
Nous obtenons A (resp. C) en multipliant l'égalité (1) par (t — l)2 (resp.
(t + l)2) et en remplaçant x par 1 (resp. — 1) dans l'égalité obtenue. Nous
avons A = 11/4 et C = 91 A. Pour t = 0 nous obtenons la relation
0=A-B+C+D.
En multipliant les deux membres de l'égalité (1) par t et en faisant tendre t
vers + oo nous obtenons la relation 3 = B + D d'où B = 4 et D = — 1.
Nous obtenons donc
3(3 + 10/2-2( 11 1 9 1 4 1
+ T " ^ +
(t2 - l)2 4 (I - l)2 4 0 + l)2 t - 1 t + l
L'intégrale est donc égale à
r ii i 9i 1*
/=[-T7-1----rT + 4LogM-l|-Log|( + l|jn
soit
L 2 t2 - 1 I t + 1 |J a
d'où
1 TlOx + 1 10 a + H , (x
2 L x2 - 1 a2 - I J (x+ l)(a - l)4
2° Nous avons t3(\ + f3) = ?3(1 + /) (1 - / + t2). Les racines réelles du
polynôme /3(1 + t3) sont donc 0 et — 1 ; elles sont extérieures à l'intervalle
[a, x] donc l'intégrale J est bien définie. Nous avons
1 11
rV + i) t3 1 + t3 '
Décomposons en éléments simples la fraction rationnelle 1/(1 + t3). Nous
obtenons
1 A Bt + C
1 + f3 . I + t 1 - t + t2
où A, B, C désignent des nombres réels. En réduisant le second membre au

EXERCICES D'ANALYSE
même dénominateur et en identifiant avec le premier membre, nous obtenons
A = \,B = — \ et C = f, nous avons donc
1 = ! _ ! [ 1 2 - t 1
t\t3 + 1) ~ t3 3 Ll + / l-t + t2ï
La fraction rationnelle (2 — <)/(l — t + t2) peut s'écrire
1 3
2-t ~2(2t_1) + 2 12/-1 3 2
+
1 - ( + t2 t2 - t + 1 2 f2 - t + 1 2 /, 1\2 . 3
soit encore
-'-<+' 2H)\
2 - ( 1 2( - 1
+
1 - t + t2 2
Nous obtenons donc :
r T 1 1 !T i,
J= -;i--Log l+« +
L 2 r 3
"-, + 1 M*'
+ -Log| t2 - t + 1 | - ^ Arctg^f' - -)]'■
6 3 V3\ 2/ia
Soit
1 T1 11 1 T 1 + x 1 _ x2 - x + 1
J = — Log 1— Log —
2 U2 a2l 3 1 + a 6 a2 - a + 1
\T_(x_I)_Arctg^,
f [ArctgA(x_i)_Arct2^_l)j.
6.22 Pour chaque entier n > 1 calculer l'intégrale
J 0 /,. T .. I 1 W1 , „„
h = | /nW àx où fn(x) = — ^-
(x Log n + 1) (1 + nx Log n)
Lorsque n tend vers l'infini étudier les suites (/„) et (f„(x)).
Solution La fonction/,, est une fonction rationnelle dont le dénominateur a pour seule
racine réelle x = — 1/Log n, nous obtenons donc
f A Cx + D
/-(*) = -,: : + : r, • ^
x + (1/Logn) 1 + nx Log n

INTÉGRATION
215
Pour calculer A, multiplions les deux membres de cette égalité par x + (1/Log ri)
et remplaçons x par — 1/Log n dans l'égalité obtenue. Nous trouvons
A = — 1/Log n .
En remplaçant x par 0 dans l'égalité (1) nous obtenons D = 0 et en calculant
la limite lorsque x tend vers l'infini de l'expression xf„(x) nous obtenons
A +
n Logn
d'où C = n. Par suite nous avons
1 1
/„(*) = -
0,
+
Log n x + (1/Log n) 1 + nx2 Log n
Une primitive def„ est donc
1
w =
Log n
Log
x + v I + t^—tt: Log I 1 + nx2 Log n |
Log n I 2 Log n
Par suite /„ = Fn(l) - FJO) soit
/„= -
Logn
Log
1 +
Logn
+
2 Log n
Log | 1 + n Log n | +
+
Logn
Log
Log n
d'où
/„= -
Logn
Nous savons que
Log (1 + Log n) + 7T- Log (1 + n Log n)
2 Log n
lim^ = 0,
par suite :
Log(l + Logn) Log(l + Logn) 1 + Logn
hm = hm • — = 0.
»- + » Logn
D'autre part
1 + Log n
Logn
Log (1 + n Log n) _ 1
2 Log n 2
1 +
(i + Logn)
Logl- + Log
Logn

216
EXERCICES D'ANALYSE
Comme
Logl- + Log ni Logl- + Log ni - + Log n
Log n 1 Log n
B - + Log n
n
nous avons
Logl- + Log ni
lim ^ = 0 .
n^ + co Log"
Par suite lorsque n tend vers l'infini /„ tend vers \. D'autre part
lim /„(0) = - 1
n-* + oo
et pour tout nombre réel x de ]0, 1], nous avons
lim /„(x) = 0;
7I-+ + 00
nous voyons donc que dans ce cas particulier :
lim I„ ± \ I lim fn(x))àx = 0.
6.23 Soit m un entier positif, on considère l'intégrale
J o 1 + t2
/„= I ^-Çd*.
Démontrer que Im vérifie une égalité de la forme : Im = Am + Bm n + Cm Log 2
où Am, Bm et Cm sont des nombres rationnels. Trouver les entiers positifs m tels
que Bm = 0 ou Cm = 0.
Solution Décomposons en éléments simples la fraction rationnelle (1 — i)ml(l + t2).
Nous obtenons
— y~ tm(t) + ~, Y
l + r l + r
où Em(t) représente la partie entière de la fraction rationnelle et am et flm des

INTÉGRATION
217
nombres rationnels. Le polynôme Em(t) est à coefficients rationnels si m ^ 2
sinon Em(t) = 0. Par suite
/„ = [JUO + y Log (1 + t2) + pm Arc tg ï] ^
oùPm(t) désigne une primitive de la fonction polynôme i:,„. Nous obtenons donc
/- = PJtt - PJP) + y Log 2 + pm -^ .
Comme Em est un polynôme à coefficients rationnels, il est clair que Pm est aussi
un polynôme à coefficients rationnels, donc Im est de la forme
Im = Am + Bmn+ CmLog2
où Am, Bm et Cp, sont des rationnels définis par :
Am = PJV) - Pm(0) , Bm = Es. et Cm = ^.
Les expressions de Em(t),fîm et <xm s'obtiennent par division du polynôme
(1 — ty par 1 + t2. Ecrivons l'identité de la division de ces deux polynômes,
nous avons : (1 — t)m = (1 + t2) Em(t) + am t + fim. Pour t = i nous obtenons
(1 - /)m = am i + pm, d'autre part
l-i = y/2 e-i,l/4 donc am i + pm = (J2)m e"''""174 .
Nous avons donc
pm = (V2)m cos ^ et am = - (V2)m sin ^.
Les entiers m tels que Bm = 0 sont les entiers tels que jSm = 0 donc tels que
cos (mn/4) = 0, par suite Bm = 0 si et seulement si m = 2 + 4 A; où A; est un
entier naturel. De même les entiers m tels que Cm = 0 sont les entiers /w tels que
sin (mn/4) = 0 donc Cm = 0 si et seulement si m = 4 k ou A; est un entier naturel.
6.24 Soient a un nombre réel et F une fonction rationnelle définie sur l'intervalle
[a, + oo [. La fonction G définie sur [a, + oo[ par G(x) = F(i)àt est-elle
bornée ?

218
EXERCICES D'ANALYSE
Solution La fonction F est définie pour t ^ 0, ses pôles réels sont donc tous strictement
plus petits que a. Considérons la décomposition en éléments simples de la
fonction F(t), cette décomposition comporte une partie entière E(i)
(éventuellement nulle), des termes de la forme AJ(t — a,-)** (ai étant un pôle réel de la
fonction et k{ un entier strictement positif) et des termes de la forme
Cj t + Bj
(t2 + bjt + cjTJ
(Cj, Bj, bj, Cj étant des nombres réels et rrij un entier strictement positif).
L'intégrale E(t) àt est un polynôme en x équivalent pour x tendant vers
J o
l'infini à un monôme de la forme ap xp où p est le degré de ce polynôme. Nous
avons d'autre part
fx a, At=_ ^_ r i i î
J « (t - af' kt - 1 l(x - af'-1 (a - a£)fcilJ
lorsque kt est différent de 1 et
x — a.
r
J a
= At Log
1 a (t ~ G;)"'
lorsque kt = 1.
Par suite lorsque x tend vers + oo
r a
a — a.
K(t- afl
àt
tend vers 0 si kt jt l et vers l'infini en étant équivalent à At Log x si kt = 1.
Si nij est différent de 1,
—J * + Bj àt = H(x) + Arc tg [L(x)]
J a (f + bj t + Cj)"
où H(x) est une fonction rationnelle ayant la limite 0 lorsque x tend vers + oo
et L(x) un polynôme du premier degré en x. Par suite
r C't + B' d,
J a (t1 + bj t + Cj)mj
a une limite finie lorsque x tend vers + oo (cf. C. E., Ch. 9, § I, n° 132 et
§ II, n° 134). D'autre part
Cj bj
Cjt + Bj Cj 2t + bj [ Bj~~T~
t2 + bjt + Cj 2 t2 + bjt + Cj t2 + bjt + Cj '

INTÉGRATION
219
Par suite
+ Dj Arc tg L'(x) + Ej
C,t + B, C,T
J ' dt = —- Log
ar + bjt + Cj 2
x2 + bj-x + Cj
a + bj a + Cj
Dj et Ej étant des constantes et L'(x) un polynôme du premier degré en x, donc
lorsque x tend vers + oo,
]at2 + bjt + Cj
tend vers l'infini en étant équivalent à C,- Log x.
Dans la décomposition de la fraction rationnelle F(t), considérons la somme
S des coefficients relatifs aux termes qui sont d'ordre 1/ï lorsque t tend vers
l'infini. Si E(t) est non nul l'étude précédente montre que lorsque x tend vers
+ oo, F(i) dt est équivalent à ocp x" + S Log x (avec ap # 0) donc admet
une limite infinie.
Si E(t) est nul, F(t) est équivalente à S Log x pour x tendant vers + oo
J o
donc si S # 0, jF(ï) admet une limite infinie. La fonction G est donc bornée si
J o
et seulement si la partie entière de la fraction F(t) est nulle ainsi que la somme
des coefficients relatifs aux termes qui sont d'ordre 1/ï dans la décomposition
en éléments simples de la fraction.
6.25 Calculer les intégrales suivantes :
1° r àt où x est un nombre réel quelconque
J o 1 + r
2° t\l + t ) dt où a; est un nombre réel quelconque
■J o
3° —-— dt où x est un nombre réel strictement positif
J i t
[x 1
4° -dt où m est un entier positif et x un nombre réel stricte-
J 2 t(Log t)m ment pjus granci que 2.
5 cos f sin t dt où x est un nombre réel quelconque.
J o

220
EXERCICES D'ANALYSE
Solution D'après les conditions imposées à x toutes les intégrales données ci-dessus
sont définies.
1° Prenons comme nouvelle variable u = t2, nous avons :
f* tàt f*2 idw H ,. ,lx2 T n 1
■= = = - Log 1 + m M = Log Vl + x2 .
J o 1 + r Jol + w L2 Jo
2° Effectuons le changement de variable u = ts, nous obtenons
I>+ ,5)Sd' =C(1 + u)1d" - [t]".' - àt<»+ »s>6 - '] •
3° Prenons comme nouvelle variable u = Log t, nous avons :
f'Log*. fLo8X . rw2lLo8X 1„ ,2
Ji « df=Jo MdM = LTJo =2(L°gx)-
4° Avec la même méthode qu'au 3° nous obtenons
"Logjc
2 tÇLog 0'
Si m = 1 nous avons
n~-L_-d,= pdw.
JltfLogtr J Log 2 M™
I
Logxdu Logx Logx
Le82V=CLogM]-- = LogLo72-
Si /w # 1 nous avons
~LoS*,l„ 1 fi ~lLogx
rLogxdu = 1_ I" 1 1
JLog2Mm 1 - m Lwm_1JLog2
d'où
r î î_r î i—\.
J 2 f(Log 0m 1 - m L(Log x)m_ x (Log 2)m~]J
5° cos5 i sin f df = — cos5 t d[cos f]
J o J o
r cos6iix i 6
= r~^Jo = 6[1-cos x]
6.26 Soit z une fonction définie sur R et à valeurs dans C. Pour tout nombre réel x
on note/(x) la partie réelle de z(x) et g(x) sa partie imaginaire. Si /et g sont
deux fonctions intégrables, et a et b deux nombres réels, on pose
rb rb rb
I f(x) dx + i g(x) dx = z(x) dx
J a •* a "a

INTEGRATION
221
Soit a un nombre complexe ; on note h sa partie réelle et k sa partie imaginaire.
Pour tout nombre réel x on pose par définition e"x = e^fcos kx + i sin kx].
Démontrer que l'on peut définir
rb rb Yfaxl *
ea*dx et que eax dx = — .
Solution Les fonctions réelles ehx cos kx et ehx sin kx étant continues sur R, pour tout
couple (a, b) de nombres réels on peut définir
-6
e** cos kx dx et ehx sin kx dx
J a Jfl
et par suite
•b
e"x dx
r
J a
Soit F(x) (resp. G(x)) la partie réelle (resp. imaginaire) de eax/a. Nous avons
ehx
(h — ik) (cos kx + i sin kx)
et par suite
et
a h2 + k2
ehx
F(x) = — (h cos kx + k sin kx)
" 2 ■ ir2.
hA + k
ehx
G(x) = — (— k cos kx + h sin kx).
Calculons F'(x) et G'(x) nous obtenons :
h ehx ehx
F'(x) = (h cos /ex + k sin /ex) H— ( — kh sin kx + k2 cos /ex)
h + k2 h2 + k2
soit encore F'(x) = ehx cos kx. Nous démontrerions de même que
G'(x) = ehx sin Àrx
nous avons donc :

222
EXERCICES D'ANALYSE
6.27 Soient/ une fonction réelle continue sur l'intervalle [0, n], et n un entier
strictement positif. On considère l'intégrale
fi(«) = f"/C
J o
/i(n) — /(*) cos nx dx .
J o
Soit k un entier strictement positif, calculer/t(«) dans les cas suivants
1° /(*) = SLn kx
2° /(x) = e*\
3« f(x) = x2 - 2 nx.
Solution 1° Nous avons
f"
/i(n) = sin kx cos nx àx .
■J 0
Supposons k jt n alors sin kx cos nx = ^[sin (A; + n) x — sin (A: — ri) x].
Par suite nous avons
,, , 1 T cos (k + n) x cos (k — n) xl *
/l(8) = 2[" fc + n + fc-n J0
d'où
M = 1 r (- i/*b (- !)*-■ 1 1 1
Comme A: + « et k — n ont même parité nous obtenons :
/i(«) = 7yiL^[(-ir"-l].
Supposons maintenant que k = n, alors
/i(n) = sm nx cos w:x dx
J 0
d'où
/1(«) = -joSm2«xdx = -[--T7r-jo = 0.
2° Nous avons
/i(") = e** cos «x dx .
J 0

INTÉGRATION
223
Posons zt(ri) = e(*+i»)* ,jx (cy exercice 6.26),/i(n) est la partie réelle de Zi(n).
J o
Or nous avons
zi(") = et = ~i i e [cos nx + 1 sin nx]
L/c + inJ o fc + in fc + n
donc
[e** 1* fc
-(fccosnx + n sin nx) = — -[(- If ek* - 1] .
fc2 + n2 J o fc2 + n2
3p Nous avons
f" 2
/j(n) = (x — 2 roc) cos nx dx
J o
soit
/i(n) = x2 cos nx dx — 2 7t x cos nx dx .
Par intégration par parties nous obtenons successivement :
f" T sin nxl* f" sin nx ,
I x cos nx dx = x — dx
Jo L n J0 J0 n
= [cos nx] " = (- 1)" - 1
~L n2 Jo~ n2
f ™ 2 , r 2 sin nxl * f"2x sin nx ,
x cos nx dx = x — dx
Jo L « Jo Jo «
= I x sin nx dx
n Jo
f" T cos nxl" fcosnx,
x sin nx dx = I — x + dx
Jo L « Jo Jo «
_ (- l)n+17t fsin nxl " = (- 1)"+1 n
n L n2 J o n
Par suite nous obtenons
., . (-D"2 7r [(- 1)" - 1] 2
/i(«) = 2 2 7T ^ = -
w2 L n J n

224
EXERCICES D'ANALYSE
6.28 Soient A, B, C, a, x des nombres réels tels que 0 < a < x. On suppose que
A > 0 et que B2 — AC < 0 et on considère la fonction g définie pour tout
nombre réel t par g(t) = VAt2 + 2 Bt + C. Calculer au moyen d'une
intégration par parties l'intégrale g(t) et.
Solution Compte tenu des hypothèses faites sur A, B, C le trinôme At2 + 2 Bt + C
est strictement positif sur R et la fonction g est définie, continue et strictement
positive sur tout intervalle fermé [a, x] de R. Par intégration par parties nous
obtenons :
fx r -T--, lx f (At + B)tdt
g(t)dt = \ts/At2 +2Bt + C\ - ======
Ja L h J a^At2 + 2Bt + ■
(1)
Observons que
sJAt2 + 2 Bt + C = si A
Vk-ï
+
AC - B2
et posons
nous obtenons :
u = t +
B
et K =
v:
AC -B1
- (B//4)] dw
f* (At + B)tdt = ,- C*nBIA)u[u-(Bi
J a y/At2 + 2BI + C J a+(B/A) sju2 +
^ Çx+^A\_i^Au__ __ B_ p+(BM> u au
J a+(BiA) V"2 +K2 m'a~ J 0+(BM)Vw2 + K2
Mais
j^ rx+jBIA) u àu
JA
et d'autre part
= Ju2+K2
V<4
x + (B/,4)
a + (BM)
B
^At2 + 2 Bt2 + C
<x + (BIA) jfl
çx + iB/A) u2du p çX + WA)
^Â\ ===== g(t)àt-^A
J a + (B/A) ^U J a J a + (B/A)
K'àu
JxSTk2

INTEGRATION
225
Nous avons donc :
I \Mt2 + 2Bt + C J I +fBMi Vm2 + K2
- || -/i*2~+ ÏbTVc1 ;
mais
I
*+(«M) du
a + (B/A)
donc nous obtenons
+ B)ât
Ju2 + K2
= JLog | u + V"2 + K2|l
x+(BM)
(B/X)
J a y/At2 + 2Bt + C J a [A
- \k2 y/A Log | u + Vw2 + K2\
et en portant ce résultat dans l'égalité (1) nous obtenons finalement :
]x +
o +
x + (B/X)
(«M)
x + (B//l)
(B/X)
d'où
g(0 ât = - (x + — I V^x2 + 2 Bx + C - - I a + — I yj Aa2 + 2 Ba + C
+
+
v4C - B2
2 A V'Â
Log
^4x
/4a
+
+
B
B
+ s/A s/Ax2
+ y/A yjAa2
+
+
2£x + C
2Ba + C
6.29 Soient a un nombre réel strictement supérieur à 2 et x un nombre réel tel que
x ^ a. Calculer les intégrales
j_r t + i dv J=r' t2 _
J. (t2 - 3 t + 2)v> ' J. (4 + 9 f 2)M
d<
Calvo. — Exercices d'analyse

226
EXERCICES D'ANALYSE
Solution Calculons /. Nous avons
t2-3f + 2=(t-|)2-i = iL(2f-3)2-l].
Prenons comme nouvelle variable m = 2 t — 3. Nous avons alors
J 2o-3 1 l~, 7 J 2u-3 V«2 — 1 J 2o-3 V«2 — 1
jV« — 1
et par suite
"]2x-3
Vw2 - 1 + 5 Log | u + Vu2 - 1 |
J2o-3
nous obtenons donc
/ = [2 Vf2 - 3 t + 2 + 5 Log | 2 f - 3 + 2 Vf2 - 3 t + 2 \fa
d'où
1 = 2 yjx2 - 3 x + 2 - 2 Va2 - 3 a + 2
+
5 Log
2x - 3 + 2 Vx2
2a - 3 + 2^0?
- 3x + 2
- 3a + 2
Calculons /. Nous avons
4+9f=4
H")-
Prenons comme nouvelle variable m = Arg sh (3f/2) et posons
a ,3a „ . , 3 x
a = Arg sh —- et p = Arg sh—y.
Nous obtenons
1
' vf) (shM)22
-=—-, - ch w dw soit J
2 ch m 3
-■sf.*'
du
Calculons I sh2 m dw par une intégration par parties ; nous obtenons
J a
rP rP
sh2 uàu = [sh u ch w]£ — ch2 u du ,
J a J a
or ch m = 1 + sh m

INTÉGRATION
227
donc
f 2
2 sh2 w dw = [sh w ch w — w]f et par suite J = — [sh m ch m — w]„ .
Nous avons
et par suite
d'où
27
u = Arg sh^ = Log(^ + J\ t2 + l) ,
-^•^^-mï+vf+o]:
3 /■ /^ rT^ /^ iT^ r 3 x + V9 x2 + 4
(x V4 + 9 x2 — a V4 + 9 az) - Log
4 3 a + V9 a2 + 4
6.30 1° Soit a un nombre réel. Démontrer que toute fonction G, définie sur
l'intervalle [— a, a] par
P(sin x, cos x)
G(x) =
g(sin x, cos x)
où P(u, v) et Q(u, v) sont des polynômes à deux indéterminées m et v, peut
s'écrire
L^cos x) + sin x. M^cos x)
L2(cos x) + sin x.M2(cos x)
ou Lt(v), Mi(v), L2(v) , M2(v) sont des polynômes en v.
2° Démontrer que dans l'hypothèse où pour tout élément x de [—a,a],
G(x) = — G(— x), la fonction G est de la forme G(x) = S(cos x) sin x où 5
est une fonction rationnelle.
3° En déduire une remarque utile pour reconnaître que l'intégrale
>
G(x) dx
peut être calculée à l'aide du changement de variable s = cos x.
Quelles sont les remarques analogues pour reconnaître que cette intégrale
peut être calculée à l'aide du changement de variable s = sin x ou s = tg x ?
r

EXERCICES D'ANALYSE
1° Le polynôme P(u, v) peut s'écrire sous la forme
P(u, v) = £ apq up if
où apq est le coefficient du monôme ur vq de ce polynôme. Séparons les monômes
qui contiennent u à une puissance impaire des monômes qui contiennent m à une
puissance paire. Nous avons
0«2r«m l«2r+l«m
Si u = sin x et i; = cos x nous avons m2 + v2 = 1. Soit L^v) le polynôme
0«2r«m
et Mt(i;) le polynôme
Z fl2,+i„a-f2)r^
l«2r+l«m
alors pour u = sin x et v = cos x nous obtenons P(u, v) = L^v) + uMt{v).
Nous démontrerions de manière analogue qu'il existe deux polynômes L2(v)
et M2(v) tels que pour m = sin x et v = cos x nous ayons
Q(u, v) = L2(v) + uM2(v)
et par suite
L^cosx) + sin x. Mt(cos x)
L2(cos x) + sin x.M2(cos x) '
2° Supposons que pour tout élément x de [— a, a] nous ayons
G(x) = - G(- x) .
La fonction cosinus est une fonction paire et la fonction sinus une fonction
impaire. Nous avons donc
Lt(cos x) + sin x.Mi(cos x) _ L^cos x) — sin x.Mx(cos x)
L2(cos x) + sin x. M2(cos x) L2(cos x) — sin x. M2(cos x)
pour tout élément x de [— a, a]. Par suite :
L1(cos x) jL2(cos x) + sin x[Af ^cos x) L2(cos x) — L^cos x) M2(cos x)] —
— sin2 xMt(cos x) M2(cos x) = — L^cos x) L2(cos x) +
+ sin x[Mt(cos x) L2(cos x) — L^cos x) M2(cos x)] +
+ sin2 xMt(cos x) M2(cos x)

INTÉGRATION
229
pour tout élément x de [— a, a]. Nous avons donc la relation
L^cos x) L2(cos x) — sin2 xM^cos x) M2(cos x) = 0
pour tout élément x de [—a, a]. Supposons que le polynôme L2 ne soit pas
identiquement nul, alors nous aurons
T , „ sin2 xM,(cos x) M,(cos x) _, ,. sinxM^cosx)
LAcos x) = =—. -^—^ et par suite G(x) = —r—: r— .
1V ' L2(cos x) y L2(cos x)
Si le polynôme L2 est identiquement nul alors nécessairement le polynôme Mt
est identiquement nul, car M2 ne peut être identiquement nul en même temps
que L2. Nous avons alors
LAcos x) . L^cosx)
G(x) = — = sin x
sin xM2(cos x) (1 — cos x) M2(cos x)
Donc si G(x) = — G(— x) pour tout élément x âe [— a, a] il existe une
fonction rationnelle S telle que G(x) = sin x. S(cos x).
r"
3° Nous déduisons du 2° que l'intégrale I G(x) dx peut être calculée en
faisant le changement de variable cos x = s, si G(x) = — G(— x) soit encore si
l'élément différentiel G(x) dx est invariant par la transformation x i—► — x.
Les notations et les hypothèses étant celles de la question précédente nous
avons alors
rb rb
I G(x) dx = I sin x5(cos x) dx ;
donc si S est une primitive de la fonction rationnelle S, nous avons :
f*
I G(x) dx = 5(cos b) — S(cos a) .
J a
Nous démontrerions de même que l'intégrale proposée peut être calculée en
faisant le changement de variable sin x = s (resp. tg x = t) si l'élément
différentiel G(x) dx est invariant par la transformation
x i-» n — x (resp. x i—► n + x) .
Dijl Soient b et c deux nombres réels non nuls et a et x deux nombres réels tels que
chacune des intégrales suivantes soit définie :
1° r * -*: 2' f^d,; 3« f-'i'-d,;
■I a 2 + cos t J a sin t J a cos t
4° r 2 X 2 df' 5° f*-, ' dr;
J a sin ï cos f J a b cos r + <■ sin t
Calculer ces intégrales.

230
EXERCICES D'ANALYSE
Solution 1° Prenons comme nouvelle variable u = tg (t/2). Nous obtenons :
r 1 _ pg(x/2)l + u2 2 du rtg(x/2) 2 du
J o 2 + COS f J tg(a/2) 3 + U2 1 + U2 J tg(o/2) 3 + M2
d'où
dt = — Arctg —
J n 2 + cos ï ^/3 L x/3Jtg(o/2)
^-fjArctg^-Arctg^l.
2° L'élément différentiel cos3 f/sin4 î df est invariant par la transformation
x i—► n — x, prenons donc u = sint comme nouvelle variable. Nous obtenons
J a Sin t Jsino U L 3 M uJsinu
par suite
r^„-iU-j.it_L__L.
J o sin t 3 Lsin x sin ai sin x sin a
3° L'élément différentiel considéré est invariant par la transformation
x h-» x + n nous pouvons donc prendre u = tg t comme nouvelle variable.
Nous avons
\xj%L àt = rx udu=ktx=i [tg2 x - tg2 à].
J a COS t J tg a L 2 J tg u 2
4° Nous avons comme ci-dessus en posant u — tgt
J a sin t cos ( J tgo m
r i vgx i i
= + " = 7 : + tg x - tg a .
L " Jtgo tga tgx
5° Nous avons de même :
r i ^ ctEx i ^ i r* . c itgx
—; 7 5 ï— dt = —r r du = ArC tg - M
J a b cosz t + c sin2 t J tgU b2 + c u cbV. b Jtgo
= à[ArCtg(|tgX)-ArCtgfetgfl)]-

INTÉGRATION
231
6.32 Soit n un entier positif ; calculer :
f(tgOBd<
•> a
Solution Posons
/„= f(tgO"df
J a
et effectuons le changement de variable tg t = u. Nous obtenons
•tgx n
" I < 2
J tgo 1 + M
Nous pouvons écrire que m" = (1 + m2) w" 2 — w" 2 et par suite que :
/„ = rxw-2du ~ i„_2=—Lr[(tgx)"-1 - (tga)-1] - /„_2
J tgo ni
Ceci nous permet de calculer /„ par récurrence pour tout n ^ 0 si nous
connaissons IQ et /t. Nous avons
/0 = I ât = x — a
J a
et
/!=| tgtdï=| ~^—^= LogVl + w2 = Log
J o J tgo 1 + M L J tga
cos a
cosx
Supposons n pair. Si nous posons n = 1 p nous obtenons :
l2> = YV^\[(tg X)2P_1 _ (tg a)2"'^ ~ /2""2
'2p-2
2p - 3
[(tgx)2"-3-(tga)2"-3]-/2p_4
*2 = 2 PS x - tg fl]
70 = x — a .
-/i,

232
EXERCICES D'ANALYSE
De ces p + 1 égalités nous déduisons :
+ 2y^3^x>2"3 - te")2"-3] + -
+ (~ l)""1 (tg x - tg a) + (- 1)" (x - a) .
Supposons n impair. Si nous posons n = 2p + 1 nous obtenons
hP+i = ^z [(tg x)2p - (tg a)2'] - I2rl
z. p
■*2p-l —
2/7-2
[(tg X)2""2 - (tg fl)2*-2] - /2p_3
/3 =^[(tgx)2-(tgû)2]-Jt
h
Log
cos a
cos x
Des /? + 1 égalités précédentes nous déduisons :
/2p+i = ^[(tgx)2' ~ (tg«)2"] + JJ~2^tëx)2P~2 ~ ^fl)2""2J + - +
(-1)
p-i
[tg2 x - tg2 a] + (- l)p Log
cos a
cosx
6.33
Soient a et x deux nombres réels et n un entier rationnel. Calculer les
intégrales suivantes :
df
J « 3 + ch t J a (sh t
(sh t + ch t)"
Solution Effectuons le changement de variable u = th(r/2) dans / ; nous obtenons
1 , 1 + u2
d« = -(l-u2)df, cht = —-^

INTÉGRATION
et par suite en posant a — th(a/2) et fS = th(x/2) nous avons :
Cx àt _ f" 1 2àu _ C" Au
J03 + chï Ja„ 1 + w2 1 - w2 Kl-u2
1 -M2
Mais nous avons
— = — [ 1 + —î—1
-w2 2 Jï IJÏ - u J2 + ul
donc
J « 3 + ch t 2 J2 U a J2 - u J a J2 + id
V2
soit
J = -^ Log
2v/2
Si « = 0 nous avons
= _L[Log|^H'
2^/2L IV2-u|J«
(V2 + thfr/2)) (V2 - th(a/2))
(V2 - th(x/2)) (V2 + lh(o/2))
J0 = I àt = x — a;
J Q
si n ^ 0, en observant que sh t + ch t = e' nous obtenons
/„ = e-"'df
d'où
J- =
6.34 Soient a et x deux nombres réels strictement positifs ; on considère l'intégrale
fx t"
F(x, n,p)= ——
J a (e —
D"
àt
oùn etp sont des entiers positifs tels que/? > 1. En supposant w > 1 et/> > 1
exprimer F(x, «,/?) à l'aide de F(x, n,p — l)et de F(x, n — \,p — 1). Démon-

234
EXERCICES D'ANALYSE
trer que le calcul de F(x, n,p) peut se ramener à celui d'intégrales de la forme
F(x, m, 1) avec 1 < m < n (on ne cherchera pas à calculer ces dernières).
Appliquer cette méthode à la réduction de l'intégrale
F(x,l,2) = [*—1
J a (e —
l)2
àt.
Solution Nous pouvons écrire
m , fx f(l - e' + e')
F(x, n, p) = — at
h (e' - 1)"
et par suite
F (x, n, p) = - F(x, n, p - 1) + —
■I a (e
1)"
dï.
L'entier p étant strictement supérieur à 1, nous obtenons par intégration par
parties :
r_j^_dt = r * il'--M' t"1 xdt-
J . (e' - 1)" L(l - p) (e* - l)"-lh 1 - p J ■ (e' - l)p_1
Nous avons donc
1 T x" a" 1
F(x, n, p) = r +
l-pUe'-l)"-1 (e0-!)"-1]
fl
+ r F(x, n - 1, p - 1) - F(x, n, p - 1) .
p - 1
Si n ^ 2 et p — 1 > 1 nous pouvons appliquer à nouveau la formule précédente
à F(x, n,p — 1) et à F(x, n — l,p — 1) ce qui ramène le calcul de F(x, n,p)
au calcul d'intégrales de la forme F(x, r, p — 2) avec n — 2 < r < n. Donc
si n ^ p à la suite de p — 1 opérations nous ramenons le calcul de F(x, n, p)
à celui d'intégrales de la forme F(x, r, 1) avec 1 </•<«. Si p < n, après p — 1
applications de la formule précédente nous nous ramenons au calcul d'intégrales
de la forme F(x, m, 1) avec 1 < m =$ n et au calcul d'intégrales de la forme
F(x, 0, r) avec p — w < r < 1. Démontrons que ces dernières intégrales se
calculent par récurrence. Nous avons
F(x, 0, s) = = ât +
J . (e' - l)s J a (e' - l)s J . (e' -
(e' - l)s J a (ef - l)s J - (e' - l)s
soit
F(x, 0, s) = - F(x, 0, s - 1) + ~— [—-L—J X
1 - s L(e' - l)s M «

INTEGRATION
235
d'où
F(x, 0, s) = - F(x, 0, s - 1) + — \ r -r].
s - 1 L(e" - 1),_1 (ex-l)s-'J
En ajoutant membre à membre les r égalités obtenues en multipliant la j-ième
égalité ci-dessus par (— l)s_1 pour s = 1, 2,..., r, nous obtenons
F(x, 0, r) = —— T -1 -
r-\ L(ea- l/"1 (e*- ïf-1}
~ 7^2 L(e" - IY'2 ~ (ex - iy-2\ + + le" - 1 ~ e^^lJ
+ (- l)-1 Log
ex - 1
1
+ (-iy(x-a).
Par suite dans tous les cas le calcul de F(x, n, p) se ramène à celui d'intégrales
de la forme F(x, m, 1).
Etudions F(x, 1, 2). Nous obtenons
F(x, 1, 2) = f—? —?—1 + F(x, 0, 1) - F(x, 1,1) .
Le — 1 e — 1J
Mais
F(x, 0, 1) = - (x - a) + Log
Nous avons donc :
F(x, 1, 2) = \~ -iL_] - (x - a) + Log
Le — 1 e — 1J
ex - 1
e" - 1
e"- 1
F(x, 1, 1) .
Le calcul de F(x, 1, 2) se ramène donc au calcul de F(x, 1, 1).

ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES
7.1 Intégrer les équations différentielles suivantes
(1 + x2)2 y' + 2 x + 2 xy2 = 0 (1)
Vl + x2 y' - y2 - y - 1 = 0 (2)
0- (3)
y^-.-y
Vl + x2
Ces trois équations sont à variables séparables.
1° L'équation (1) s'écrit aussi
(1 + x2)2 y = - 2 x(l + y2)
soit encore
y' -2x
1 + y2 (1 + x2)2
En intégrant les deux membres de cette dernière équation on trouve
1
Arctgy = + K
1 + x

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
237
où Kest un nombre réel ; donc les solutions de l'équation (1) sont de la forme
où K est un nombre réel.
2° L'équation (2) se met sous la forme
,< y2 + y + !
Vl+x2
Le polynôme r2 + r + 1 ne possède aucune racine réelle donc l'équation (2)
est équivalente à l'équation
y' 1
y2 + y + i Vx2 + i
Pour intégrer le premier membre posons u — y + \ et t = 2 w/\/3, alors
y2 + y + i 2 , /V3\2 V3 '2 + i
' ■•+(£)
donc une primitive du premier membre est
2 a ♦ 2y + l
-- Arc tg
V3 V3
Par ailleurs nous savons (cf. C. E., Ch. 9, § I, n° 129) que les primitives du
second membre sont de la forme
Arg sh x + 1
où 1 est un nombre réel, donc on a
2 a . 2y + i
—. Arc tg ^z— = Arg sh x + A.
V3 V3
d'où
et
-^■—— = tg v Argsh.v +
^3 \ 2 2 /
V3 /\3A . A v 3\ 1
J' = -2- tg^-2- Arë sh * + —2~J ~ 2

EXERCICES D'ANALYSE
donc les solutions de l'équation (2) sont de la forme
V3+ „A/3
y = ^jrteyY Arg sh x + K) ~ 2
où K est un nombre réel.
3° L'équation (3) s'écrit aussi
y'
y/x2 + 1
soit encore
y e
' ** = Vx2 + 1 .
Une primitive du premier membre est ey ; pour calculer une primitive du
second membre posons x = sh u, alors
y/x2 + 1 dx = Vsh2 m + 1 ch u du = ch2 u
du
ch 2 u + 1 . sh2u + 2u
du = h K .
où K est un nombre réel ; or
sh2u + 2« shwchu + u x y/x2 + 1 + Arg sh x
donc
x \!x 2 + 1 + Arg sh x
2
où K est un nombre réel. Comme la fonction
x y/x2 + 1 + Arg sh x
Xh" 2
est strictement croissante de — co à + co lorsque x varie de — co à + co,
pour chaque nombre réel K l'ensemble des nombres réels x tels que
x Vx2 + 1 + Arg sh x K > Q
2
est un intervalle ouvert, soit
]aK, + oo [

ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES 239
et l'équation (3) admet alors, sur cet intervalle la solution
(x-Jx2 + 1 + Arg sh x rA
y = Lo*( 2 + K)
7i2 On considère les équations différentielles
x + y'
(1)
xy = y +
Vx2 + y2 . (2)
Trouver leurs intégrales générales sur chacun des intervalles ] — co, 0[ et
]0, + oo [.
On constate aisément que les équations (1) et (2) sont inchangées lorsqu'on
remplace x par kx et y par Ay où A est un nombre réel. Ces deux équations sont
donc homogènes.
1° Cherchons d'abord si l'équation (1) possède une solution de la forme
y = tx où t est un nombre réel ; on devrait avoir pour cela t = (x + tx)/x
pour tout nombre réel x non nul, ce qui est impossible.
Posons à présent y = tx, t étant une fonction dérivable de x. Alors on a
y' = t'x + t et en portant dans l'équation (1) on trouve
, x + tx
t' x + t = .
x
Dans chacun des intervalles considérés cette équation équivaut à
t' x = 1
soit
x
et par intégration
t = Log | x | + K
où K est un nombre réel.
La solution générale de l'équation (1) est donc de la forme
{y = x Log x + /C, x si xe]0, + co[
y = x Log (— x) + K2 x si x e ] — co, 0[
où Klt K2 sont deux nombres réels.

EXERCICES D'ANALYSE
2° On démontre facilement que la seule solution de l'équation (2) de la forme
y = txoùt est un nombre réel, est la fonction constante de valeur 0. Cherchons
à présent les solutions de l'équation (2) sous la forme y = txoùt est une
fonction dérivable de x. On a y = t' x + t d'où en portant dans l'équation (2)
x(t' x + t) = tx + Jx2 + t2 x2
soit encore
f x2 = | x | y/i +t2.
Dans chacun des intervalles considérés cette équation équivaut à
_J1_ = j*j
Vl + t2 x2
Dans l'intervalle ]0, + oo[ on obtient en intégrant les deux membres
Arg sh t = Log x + Kt
où Kt est un nombre réel ; d'où t = sh (Log x + Ky).
Dans l'intervalle ]— oo, 0[ on obtient
Arg sh t = — Log (— x) + K2
où K2 est un nombre réel ; d'où t = sh (K2 — Log ( — x)).
Par suite la forme générale des solutions de l'équation (2) est
(y = xsh(X! + Logx) si xe]0, + oo[
y = x sh (K2 — Log (— x)) si x e ] — oo, 0[
où Ku K2 sont deux nombres réels.
On peut transformer l'expression de ces solutions en posant Kt = Log Ct.
K2 = Log C2 où Cu C2 sont deux nombres strictement positifs ; on a alors
cix ~ ç"-^ C2 x2 - l
sh (Xt + Log x) = sh (Log Q x) = —— — 1
sh
(K2 - Log(- x)) = sh^Log(- ^)) =
2C(x
1^2 -^
0-> X C--9
'2
2 2 C2x
la forme générale des solutions de l'équation (2) devient alors
C\x2 -
2 Ci
x2 -C\
1
si
si
xe]0, + oo[
xe]— oo, 0[
où Cy, C2 sont deux nombres réels strictement positifs.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
241
/■O On considère l'équation différentielle
xy' - (je + 1) y + ex(x2 + 1) = 0 . (1)
1° Trouver son intégrale générale dans chacun des intervalles ] — co, 0]
et ]0, + oo [.
3° Montrer qu'il existe des fonctions définies et continues sur R qui sont
solutions de l'équation (1) pour x # 0.
Solution 1° L'équation homogène associée à l'équation (1) est
xy'-(x + l)y = 0. (2)
Dans chacun des intervalles ]— co, 0[ et ]0, + co[ les solutions de cette
équation qui ne s'annulent pas sont celles de l'équation
(3)
y' = x + l
y x
En intégrant chacun des membres de l'équation (3) on obtient
Log | y | = x + Log | x | + K
où Kzst un nombre réel ; il en résulte que
y = Cx ex
où C est un nombre réel.
Pour déterminer la solution générale de l'équation (1) sur chacun des
intervalles]— oo, 0[et]0, + oo[, appliquons la méthode de variation des constantes.
Ecrivons y sous la forme
y = C(x) x ex (4)
où C est une fonction dérivable de x. Alors on a en dérivant (4)
y' = C'(x) x e* + C(x) e* + C(x) x e*
et en portant dans l'équation (1) on obtient
C'(x) x2 e* + C(x) x e* + C(x) x2 e* - C(x) x2 e* - C(x) x e* +
+ e*(*2 + 1) = 0
soit
C'(x) x2 e* + e*(x2 + 1) = 0

242
EXERCICES D'ANALYSE
X
C(x) = — x H \- k
1
d'où il vient
d'où en intégrant
où k est un nombre réel.
L'intégrale générale de l'équation (1) est donc de la forme
y = (- x2 + 1 + ki x)ex si xeR*
y = (— x2 + 1 + fc2 x)e* si xeR*
où fcx, k2 sont des nombres réels.
2° Pour tout nombre réel A: on a
lim (- x2 + 1 + fcx) e* = 1
x->0
donc les fonctions gx„(A e R, ju e R) définies par
SawW = (~ x2 + 1 + Àx) ex si x e RÎ.
gxM) = (- x2 + 1 + fix) ex si xe R%
satisfont à la question
lA On considère l'équation différentielle
xy' - j = Log | 1 + x | (1)
1° Trouver son intégrale générale dans chacun des intervalles ]— oo, — 1[
]- 1, 0[et]0, + oo[.
2° Montrer qu'il existe des fonctions définies et continues sur R qui sont
solutions de l'équation (1) pour x ^ 0 et x ^ - let qui ont des dérivées
infinies pour x = 0etx= — 1.
1° L'équation homogène associée à l'équation (1) est
xy' - y = 0 (2)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
243
Dans chacun des intervalles ]— oo, 0[, ]0, + oo[ les solutions de l'équation (2)
qui ne s'annulent pas sont celles de l'équation
y x
d'où en intégrant
Log | y | = Log | x | + K
donc y = Cx où C est un nombre réel.
Comme Log | 1 + x | n'est pas défini pour x = — 1, nous allons déterminer
la forme de l'intégrale générale de l'équation (1) dans chacun des intervalles
]— oo, — 1[, ]— 1, 0[, ]0, + oo[. Pour cela nous appliquons la méthode de
variation des constantes en posant
j = C(x)x (4)
où C est une fonction dérivable de x. En dérivant (4) on obtient
y' = C'{x) x + C(x)
d'où en portant dans l'équation (1),
C'(x) x2 = Log | 1 + x |
d'où
Log | 1 + x |
C'(x) =
x2
Une intégration par parties donne alors
... . - (x + 1) Log | 1 + x | r , , ,
C(x) = —- — + Log | x | + k
où k est un nombre réel.
La forme générale de l'intégrale de l'équation (1) est donc
Iy = — (x + 1) Log (x + 1) + x Log x + kt x
y = — (x + 1) Log (x + 1) + x Log | x | + k2 x
y = — (x + 1) Log | x + 1 | + x Log | x \+ k3x
où klt k2, k3 sont des nombres réels.
2° Observons que pour tout nombre réel k ona
Km [— (x + 1) Log (x + 1) + x Log | x | + kx] = 0
x-+0
si
si
si
xe]0, + oo[
xe]- 1,0[
xe]— oo — 1[

EXERCICES D'ANALYSE
donc si ku k2 sont deux nombres réels, on définit une fonction g continue sur
]— 1, + oo[ en posant
|g(x) = — (x + 1) Log (x + 1) + x Log x + kt x si x e JO, + oo[
g(0) = 0
g(x) = — (x + 1) Log (x + 1) + x Log | x | + k2 x si x e ] — 1, 0[.
A présent observons que
Jim [— (x + 1) Log (x + 1) + x Log | x | + k2 x] = — k2
et
lim [— (x + 1) Log | x + 1 | + x Log | x | + fc3 x] = — k3
Il en résulte que pour tout couple (ku k2) de nombres réels, la fonction gklk2
définie sur R par
gklk2(x) = — (x +1) Log (x +1) + xLogx + kt x si xe]0, + oo[
| &,b(0) = 0
i gfc!fc2W = —(x + 1) Log(x+l) + xLog | x | + k2 x si xe]—1,0[
gt,k2(- 1) = - k2
gklkl(x) = —(* + l) Log | x + 1 |+xLog | x \ + k2 x si xe]-oo,—1[
est continue sur R et sa restriction à chacun des intervalles 1 — co, — 1 [, ] — 1, 0[
et ]0, + oo[ est évidemment solution de l'équation (1). Soit (ku k2) un couple
de nombres réels ; posons g = gkl k2 où gkl k2 est la fonction définie comme
ci-dessus ; alors,
lim ^ ^9 = lim [_^JliLog(x + 1) + Log | x | + kj =
X-+0+ X x->0+ L X J
et
lim gW - «<
x-*0- X
0)
donc la dérivée de g
D'autre part
limg(x) - g(r
x_>_1 x + 1
1)
= lim f
au point
=
x
Oest
+
x
-
-Il
00,
■oo
oo
,. — (x + 1) Log | x + 1 | + x Log | x | + k2 x + k2
= lim 7 ^r = + 00
*--1 (x + 1)
donc la dérivée de g au point — 1 est + oo.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
245
7i5 On considère l'équation différentielle
xOc2- ï)y' + 2y = x*. (1)
1° Trouver sa solution générale dans chacun des intervalles]— co, — 1[,
]-l,0[,]0, l[et]l, + oo[.
2° En déduire qu'il existe une fonction réelle g et une seule, définie, continue
et dérivable sur R qui soit solution de l'équation (1) dans chacun des intervalles
]- oo,- 1[,]- l,0[,]0,l[et]l, + oo[.
Solution 1° L'équation homogène associée à l'équation (1) est
x(x2 - 1)/ + 2y = 0. (2)
Dans chacun des intervalles ]— oo, — 1[, ]— 1, 0[, ]0,1[, ]1, + oo[, les
solutions de cette équation qui ne s'annulent pas sont celles de l'équation
g- = - 22 ■ (3)
y x(x2 - 1)
En décomposant la fonction rationnelle — 2/x(x2 — 1) en éléments simples
on obtient
- 2 2 1 1
x(x2 — 1) x x — 1 x + 1
et en intégrant les deux membres de l'équation (3) il vient
x2
Log | y | = Log — — + K
I x2 - 1 |
où K est un nombre réel ; il en résulte que
y =
Cx2
x2-l
où C est un nombre réel
Pour déterminer la solution générale de l'équation (1) sur chacun des
intervalles ]— oo, — 1[, ]— 1, 0[, ]0, 1[, ]1, + oo[ appliquons la méthode de
variation des constantes. Posons
y = C{x)~ (4)
x2 - 1
où C est une fonction dérivable de x. Alors en dérivant (4) on obtient
y' = C'(x)-^--C(x) 2X
x' - 1 (x2 - l)2

246
EXERCICES D'ANALYSE
d'où en portant dans l'équation (1)
x3 C'(x) = x2
soit
1
et en intégrant
où k est un nombre réel.
C'(x)
C(x) = Log | x | + k
Revenant maintenant à la formule (4) on a l'intégrale générale de l'équation
(1) sous la forme
y = (Log | x | + kt)
\ y = (Log | x | + k2)
| y = (Log | x | + k3)
y = (Log | x | + k4)
x
x2 - 1
2
X
xz - 1
2
X
xz - 1
2
X
x2-l
si x e] — oo, —1[
si xe]- 1, 0[
si x e ]0, 1[
si x e]l, + oo[
où ku k2, k3, fc4 sont des nombres réels.
2° Supposons qu'il existe une fonction g définie et continue sur R dont la
restriction à chacun des intervalles ]— oo, — 1[, ]— 1, 0[, ]0, 1[, ]1, + oo[
soit solution de l'équation (1). Alors on a des nombres réels ku k2, k3, k4 tels
que
g(x) = (Log \x\ + kt)
g(x) = (Log | x | + k2)
x2-l
x2-l
g(x) = (Logx + k3) '-
g(x) = (Log x + k4)
x
x2
x2-l
si x e] — oo, — 1[
si xe]- 1,0[
si x e ]0, 1[
si x e]l, +oo[.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
247
Comme g est continue au point 1, on a
x2 x2
g(l) = lim (Log x + k3) — = lim (Log x + k4) — -
x->l- X — 1 x-l + X — 1
Calculons la limite de x2 Log x/(x2 — 1) lorsque x tend vers 1 ; en posant
x = 1 + h, on a
Logx _ Log(l + /i)
x2 - 1 ~ 2h + h2 '
Au voisinage de 0, Log (1 +fï)~het2h + h2~2h donc
lira J^ = i = lim *4^g*
x-l X — 1 2 x-1 X — 1
Mais on a
g(l) = - + lim -£— = -+ lim ^~—
2 x-i-xz-l 2 x-i+x -1
donc on a nécessairement A:3 = k4 = 0.
En utilisant la continuité de g au point — 1 on démontre de la même manière
que kt = k2 = 0 ; par ailleurs on a
lim ^oghci = Q
x-0 X — 1
et g est continue au point 0 donc g(0) = 0. Par suite la fonction g est définie par
lg(x) = ^^1^ si xeR-{-l,0, + 1}
1 xz - 1
/g(-l) = g(l)= \ et g(0) = 0.
Comme il est clair que ces formules définissent une fonction continue sur
R, nous venons de démontrer qu'il existe une fonction g définie et continue
sur R, et une seule, dont la restriction à chacun des intervalles
] —oo, —1[, ] — 1, 0[, ]0, 1[ et ]1, +oo[ soit solution de l'équation (1).
Montrons que cette fonction g est dérivable en tout point de R. Sur
R-{- 1,0, 1},
g s'exprime sous forme d'un produit de fonctions dérivables donc est dérivable.
D'autre part g est une fonction paire donc il suffira de démontrer que g est
dérivable aux points 0 et 1. On a
g(x) ~ g(0) _ x Log | x |
x x2 - 1

248
EXERCICES D'ANALYSE
donc
lim^-^0
x-i-0 ■*■
par suite g est dérivable en 0 et g'(0) = 0.
Faisons un développement limité de g au voisinage de 1 ; en posant x = 1 + h
on a
g(x) = (l + h)2Lo&(l + h)
(l + 2h + o(h))(h - y + #))
2h + h2 2h + h*
soit
g(x) = 2 + 2 + o(,l) = 2 + ^i~ + °(X ~ ^
or g(l) = | donc
lim ^ ~ f(1) = \
x^i x - 1 2
par suite g est dérivable au point 1 et g'(i) = \.
7i0 On considère l'équation différentielle
2x(l -x)y' + (1 -x)y= 1. (1)
1° Trouver son intégrale générale dans chacun des intervalles ]— oo, 0[,
]0, l[et]l, + œ[.
2° Montrer qu'il existe une fonction / continue sur ]— oo, 1[ et une seule,
qui soit solution de l'équation (1) pour x # 0. Montrer que/est dérivable sur
]- oo, 1[.
3° Montrer qu'il n'existe aucune fonction g définie et continue sur R dont
la restriction à chacun des intervalles ]— oo, 0[, ]0, 1[ et ]1, + oo[ soit solution
de l'équation (1).
Solution 1° L'équation homogène associée à l'équation (1) est
2 x(l - x)y' + (1 - x)y = 0 . (2)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
249
Dans chacun des intervalles ]— oo, 0[, ]0, 1[ et ]1, + oo[ les solutions de
cette équation qui ne s'annulent pas sont celles de l'équation
y 2x "
En intégrant les deux membres de cette équation il vient
Log | y | = - i Log | x | + K
où ^Test un nombre réel, d'où
C
(3)
Vl*l
où C est un nombre réel.
Pour trouver la solution générale de l'équation (1), appliquons la méthode
de variation des constantes. Nous distinguerons deux cas suivant que x
appartient à ]— oo, 0[ ou a l'un des intervalles ]0, 1[ ou ]1, + oo[.
Dans l'intervalle ]— oo, 0[ posons
,-Z£ (4)
V — x
où C est une fonction dérivable de x ; en dérivant (4) on obtient
C'(x) C(x)
y =
V— X 2XyJ — X
d'où en portant dans l'équation (1)
2 x(l - x) C'(x) 2 x(l - x) C(x) (1 - x) C(x) _
y/— X 2Xy/—X y/— X
soit
C'(x) = J~* = ~ . (5)
2x(l-x) 2yf-x(l-x)
On intègre (5) en effectuant le changement de variable u = v — x et on
trouve
C(x) = ArctgV- x + K
où K est un nombre réel. La forme générale de la solution de l'équation (1)
dans ]— oo, 0[ est donc
Arc tg V - x K
y = ==— +
où K est un nombre réel.

250
EXERCICES D'ANALYSE
Dans chacun des intervalles ]0, 1[ et ]1, + oo[ posons
y/x
où C est une fonction dérivable de x ; alors en dérivant (6) il vient
y = ^ _ c(*>_
y/x 2 X y/x
et en portant ce résultat dans l'équation (1) on trouve
2 x(l - x) C'(x) 2 x(l - x) C(x) (1 - x) C(x)
(6)
y/x
soit
C'(x) =
2X y/x
y/x
y/>
2 x(l - x) 2 Vx(l - x)
On intègre (7) en faisant le changement de variable u = y/x, et il vient
(7)
C(x) = -Log
1 + Vx
1 -y/x
+ K'
où K' est un nombre réel, donc la forme générale de la solution de l'équation (1)
dans chacun des intervalles ]0, 1[ et ]1, + oo[ est
y =
î
2y/x
Log
1 + y/x
1 -JJc
+
y/x
où K' est un nombre réel (cf. C. E. Ch. 9, § I, n° 129).
Il résulte de tout ceci que l'intégrale générale de l'équation (1) se présente
sous la forme
/ _ Arc tg yj — x K1
v-~
y/— X
1
y =
2 y/x
1
2 y/x
Log
Log
1
1
1
1
+ y/x
— y/x
+ y/x
— y/x
= + -£ =
Kz _ ArgthV* K
y/x y/>
+
y/x
K3
y]X
si xe] — oo, 0[
si x e ]0,1[
si xe]l, + oo[
où Ku Kz, K3 sont des nombres réels (cf. C. E., Ch. 6, § VIII, n° 91).

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
251
2° Supposons qu'il existe une fonction / continue sur ]— oo, 1[ dont la
restriction à chacun des intervalles ]— oo, 0[ et ]0,1[ soit solution de l'équation
(1). Alors il existe des nombres réels Ku K2 tels que
, „ , Arc tg V~^x Xi . „_
/(x) = t^=— +T= S1 xe]-co,0[
r, . ArgthVx Kz -,„ ,r
/(x) = B v + -i si x e]0, 1[
Vx vx
de plus on a
/<Q) = lim [Arç^_x+ X^l = ^ fArgth Vx + X,1
x->0- L y/ — X yf — xi x-0+ L VX y/xi
Or les développements limités au voisinage de 0 des fonctions Arctg et
Arg th sont
W3 , 3x
Arc tg u = u —— + o(u )
w3
Arg th u = u + — + o(w3)
(cf. C. E., Ch. 7, § II, nos 102 et 103) ; on a donc au voisinage de 0 les
développements limités
ArctgV- x . x . N .
^=— = 1 H f- o(x) , pour x < 0
V- x 3
et
ArgthVx t x . . n
— = 1 + - + o(x), pour x > 0.
Vx 3
Il en résulte que
,. ArgthVx , t ,- ArctgV-x
. lim — — =1 et lim f===— = 1 •
x->0 + V^ x-»0- V- X
Par ailleurs, lim KJyf — x est infinie si A^ ^ 0 donc on a nécessairement
x->0-
Kx = 0. De la même manière on voit que Kz = 0 et/(0) = 1. Or il est clair
que la fonction/définie sur ] — oo, 1 [ en posant
, ArctgV- x .
|/(x) = p^ si xe]-co, 0[
V— x
\f(0) = 1
I ArgthV* • nn ir
| /(X) = ,- SI X 6 ]0, 1[
Vx

EXERCICES D'ANALYSE
est continue sur ]— oo, 1[ et est solution de l'équation (1) pour x ^ 0 ; cette
fonction/est la seule fonction définie et continue sur ] — oo, 1 [ qui soit solution
de l'équation (1) pour x ^ 0. Montrons que/est dérivable sur ]— oo, 1[ ; en
tout point de cet intervalle différent de 0, / s'exprime sous forme d'un produit
de fonctions dérivables donc est dérivable, de plus en se servant des
développements limités calculés ci-dessus, on a
lim m-m = )im /(*)-/(Q) = lim i + 0(1) = i
x-»0 + x x->0- x x->0 * *
donc/est dérivable en 0 et/'(0) = i, par suite/est dérivable sur l'intervalle
]- oo, - 1[.
3° Supposons qu'il existe une fonction g définie et continue sur R dont la
restriction à chacun des intervalles ]— oo, 0[, ]0, 1[ et ]1, + oo[ soit solution
de l'équation (1) ; alors nécessairement la restriction de g à ]— oo, 1[ est/
donc il existe un nombre réel K tel que
/g(x)=ArctgV-x
V-
|g(0) = l
g(*) =
Arg th yfx
y/x
1
gOO = ^7= Log
2 y/x
1 + y/~>
1 - V>
+
K
Jx
Or
lim Argthjc = +
X"»l- y/x
SI
SI
SI
oo
xe] — oo, 0[
X6]0,l[
X6]l, +00[.
et pour tout nombre réel K, on a
lim (—-
x-i+ \2Jx
Log
1 + yjx
1-V'x
+
Jxl
+ oo
donc la fonction g ne peut être continue au point 1, par suite il n'existe aucune
fonction g définie et continue sur R qui soit solution de l'équation (1) pour
x # 0 et x =£ 1.
7.7
On considère l'équation différentielle
y - i. + x3 y4 = 0 .
(1)
Trouver son intégrale générale dans chacun des intervalles ] — oo, 0[ et ]0, + oo [.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
253
Solution Cette équation est une équation de Bernoulli (cf. C. E., Ch. 11, § I, n° 166).
Cherchons donc ses solutions qui ne s'annulent pas en la divisant par y4 et en
posant z = V/.Onaz' = — 3 y'/y4 et l'équation (1) qui s'écrit alors
devient
<--^-o
y xy3
Z Z 3
3 ~ x + X " (2)
Cette équation est linéaire. L'équation homogène qui lui est associée est
-^-f-0 (3)
Les solutions qui ne s'annulent pas de l'équation (3) sont de la forme
Z=Cr (4)
X
où C est un nombre réel. Pour obtenir les solutions de l'équation (2) on applique
la méthode de variation des constantes ; on obtient
' - Ç!M _ 3C(x)
Z ~'xT~ ~xir~
et en portant dans l'équation (2)
+ x3 = 0
CM . „3
3x3
soit
C'(x) = 3 x6
et en intégrant on obtient
3x7
C(x) = ±f + K
où K est un nombre réel ; il en résulte que la forme générale des solutions de
l'équation (2) est
3 x1 + Kx . _ nr
Z = SI X 6 J — 00, 0[
7x3
_ 3 x1 + K2
— si xejO,+oo[
7x3
où Kt, Kz sont des nombres réels.

254
EXERCICES D'ANALYSE
Pour que l'on ait 3 x7 + Kx # 0 pour tout élément x de ]— oo, 0[ il faut et
suffit que K1 ^ 0 ; de même pour que l'on ait 3 x7 + K2 # 0 pour tout
élément x de ]0, + oo[, il faut et suffit que Kz ^ 0 donc la forme générale des
solutions de l'équation (1) est
y-s/sx1 + k±
si xe] — oo, 0[
7x3
y = \l'3xTl^-2 S1 ^]0,+oo[
où Ku K2 sont deux nombres réels tels que Kt < 0 et K2 ^ 0.
7.8 Intégrer les équations différentielles suivantes
y" - 3/ + 2j = 2x3 -7x2 + 2x- 1 (1)
y" - 4 y' + 4 y = 2(x - 2) ex (2)
y" - 2/ + 2y = 2 x2 - 4 x + 4 (3)
Solution 1° L'équation caractéristique associée à l'équation (1) est
r2-3r + 2 = 0
elle admet les racines 1 et 2 donc {cf. C. E., Ch. 11, § II, n° 167) l'équation
homogène associée à l'équation (1) admet pour solution générale les fonctions de la
forme
y = A ex + B e2x
où A et B sont des nombres réels.
Comme le second membre de l'équation (1) est une fonction polynôme du
troisième degré en x, cherchons une solution particulière de l'équation (1) sous
la forme
y — ax3 + bx2 + ex + d
On a
y' = 3 ax2 + 2 bx + c et y" = 6 ax + 2 b
d'où en portant dans l'équation (1)
(6 ax + 2 b) - 3(3 ax2 + 2 bx + c) + 2(ax3 + bx2 + ex + d) =
= 2x3-7x2 + 2x-l

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
255
soit
2 ax3 + (2 b - 9 a) x2 + (2 c - 6 b + 6 a) x + (2 b - 3 c + 2 d) =
= 2x3-7x2 + 2x-l
par suite on a
!2a = 2
2b - 9a = - 7
2c-6b + 6a = 2
2b-3c + 2d=-l
d'où a = 1, è = 1, c = 1 et d = 0. La forme générale des solutions de
l'équation (1) est donc
y = Aex + Be2x + x3 + x2 + x
où A et B sont des nombres réels.
2° L'équation caractéristique associée à l'équation (2) est
r2-4r + 4 = 0.
Elle admet une racine double égale à 2 donc (cf. C. E., Ch. 11, § II, n° 167)
la forme générale des solutions de l'équation homogène associée à l'équation
(2) est
y = (Ax + B) e2*
où A et B sont des nombres réels.
Comme le second membre de l'équation (2) se présente sous la forme de
produit par e* d'une fonction polynôme du premier degré, cherchons une
solution particulière sous la forme
y = (ax + b) ex
On a
y' = ex(ax + b + a), y" = ex(ax + b + 2 a)
d'où en portant dans l'équation (2)
ex[ax + b + 2a-4ax-4b-4a + 4ax + 4b] = e*(2 x - 4)
soit
ex[ax + b - 2 a] = ex[2 x - 4]
d'où
f a = 2
[b - 2a = - 4

EXERCICES D'ANALYSE
soit a = 2, b = 0 et la forme générale des solutions de l'équation (2) est
y = (Ax + B)e2x + 2xex
où A et B sont des nombres réels.
3° L'équation caractéristique associée à l'équation (3) est
r2 -2r + 2 = 0.
Elle admet les racines complexes 1 + i et 1 — i donc (cf. C. E., Ch. 11, § II,
n° 167) la forme générale des solutions de l'équation homogène associée à
l'équation (3) est
y = ex(A cos x + B sin x)
où A et B sont des nombres réels.
Comme le second membre de l'équation (3) est une fonction polynôme du
second degré en x, cherchons une solution particulière sous la forme
y = ax2 + bx + c.
On a y' = 2 ax + b, y" = 2 a d'où en portant dans l'équation (3)
2a-4ax-2b + 2ax2+2bx + 2c = 2x2-4x + 4
soit
2 ax2 + 2(b - 2 a) x + 2{a + c - b) = 2 x2 ~ 4 x + 4
on en tire
2a = 2
2(b - 2 a) = - 4
2{a + c - b) = 4
d'où a = 1, b = 0, c = 1 et la forme générale des solutions de l'équation (3) est
y = ex(A cos x + B sin x) + x2 + 1
où A et 5 sont des nombres réels.
/■i) Intégrer les équations différentielles suivantes
y" - 2 y' + y = 6 x ex (1)
y" + 2 y' - 8 y = 4 e2x(3 x + 5) (2)
j" - 4/ + 13 >> = 10 cos 2 x + 25 sin 2 x. (3)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
257
Solution 1° L'équation caractéristique associée à l'équation (1) est
r2 - 2r + 1 = 0.
Elle admet une racine double égale à 1 donc (cf. C. E., Ch. 11, § II, n° 167)
la forme générale des solutions de l'équation homogène associée à l'équation (1)
est
y = (Ax + B) ex
où A et B sont des nombres réels.
Comme le second membre de l'équation (1) se présente sous forme de produit
par e* d'une fonction polynôme du premier degré en x et comme 1 est racine
double de l'équation caractéristique, nous devons chercher une solution
particulière de l'équation (1) sous forme de produit par e* d'une fonction polynôme
du troisième degré en x. Compte tenu de la forme des solutions de l'équation
homogène associée à l'équation (1), il nous suffira de chercher cette solution
particulière sous la forme
y = (ax3 + bx2) ex
On a
y' = (3 ax2 + 2 bx + ax3 + bx2) e* = (ax3 + (b + 3 a) x2 + 2 bx) e*
et
y" = (3 ax2 + 2(b + 3 a) x + 2 b + ax3 + (b + 3 a) x2 + 2 bx) e*
soit
y" = (ax3 + (b + 6 a) x2 + 2(2 b + 3 a) x + 2 b) ex .
En portant dans l'équation (1) on trouve
ex(ax3 + (b + 6 a) x2 + 2(2 b + 3 a) x + 2 b - 2 ax3 - 2(b + 3 a) x2
— 4 bx + ax3 + bx2) = 6 x e*
soit e*(6 ax + 2 b) = 6 x e* d'où a = 1 et b = 0 et la forme générale des
solutions de l'équation (1) est
y = (Ax + B) ex + x3
où A et B sont des nombres réels.
2° L'équation caractéristique associée à l'équation (2) est
/■2 + 2r-8 = 0.
Elle admet les racines - 4 et + 2 donc (cf. C. E., Ch. 11, §11, n° 161) la forme
générale des solutions de l'équation homogène associée à l'équation (2) est
y = Ae2x + Be~*x
où A et B sont des nombres réels.
Calvo. — Exercices d'analyse 9

258
EXERCICES D'ANALYSE
Comme le second membre de l'équation (2) se présente sous la forme du
produit par e2* d'une fonction polynôme du premier degré, comme 2 est racine
simple du polynôme caractéristique, compte tenu de la forme générale des
solutions de l'équation homogène associée à l'équation (2), nous chercherons
une solution particulière de l'équation (2) sous la forme
y = (ax2 + bx) e2x .
On a
y' = (2 ax + b + 2 ax2 + 2 bx) e2* = (2 ax2 + 2(a + b) x + b) e2*
et
y" = (4 ax + 2(a + b) + 4 ax2 + 4(a + b) x + 2 b) e2* =
= (4 ax2 + 4(2 a + b) x + 2{a + 2 b)) e2*
d'où en portant dans l'équation (2)
e2*[4 ax2 + 4(b + 2 a) x + 2(a + 2 b) + 4 ax2 + 4(a + b) x + 2 b -
- 8 ax2 - 8 foc] = 4 e2*(3 x + 5)
soit
e2x(12ax + 2a + 6b) = 4e2x(3 x + 5)
d'où
12 a = 12
2 a + 6 b = 20
soit a = 1, b = 3 et la forme générale des solutions de l'équation (2) est
y = (x2 + 3 x + A) e2x + £ e~4*
où A et B sont des nombres réels.
3° L'équation caractéristique associée à l'équation (3) est
r2 - 4 r + 13 = 0 .
Elle admet les racines complexes 2 + 3 i et 2 — 3 i donc {cf. C. E., Ch. 11, § II,
n° 167) la forme générale des solutions de l'équation homogène associée à
l'équation (3) est
y = e2x(A cos 3 x + B sin 3 x)
où A et B sont des nombres réels.
Cherchons une solution particulière de l'équation (3) sous la forme
y = a cos 2 x + b sin 2 x.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
259
On a
y' = - 2 a sin 2 x + 2 b cos 2 x et /' = - 4 « cos 2 x - 4 b sin 2 x
d'où en portant dans l'équation (3)
(- 4 a - 8 b + 13 a) cos 2 x + (- 4 b + 8 c + 13 b) sin 2 x =
= 10 cos 2 x + 25 sin 2 x
d'où
9 a - 8 b = 10
8 a + 9 b = 25
donc a = 2, b = 1 et la forme générale des solutions de l'équation (3) est
y = e2x(A cos 3 x + B sin 3 x) + 2 cos 2 x + sin 2 x
où yl et fi sont des nombres réels.
Intégrer l'équation différentielle
y" + 4 >>' + 3 y = 2 e*(4 x2 + 6 x + 5) - 6(cos 3 x + 2 siii 3 jc) . (1)
Solution L'équation caractéristique associée à l'équation (1) est
r2 + 4r + 3 = 0.
Elle admet les racines — 1 et — 3 donc (cf. C. E., Ch. 11, § II, n° 167) la forme
générale des solutions de l'équation homogène associée à l'équation (1) est
y = Ae~x + Be'3x
où A et B sont des nombres réels.
D'après le principe de superposition des solutions (Joe. cit.) pour trouver une
solution particulière de l'équation (1) il nous suffira de trouver une solution
particulière de chacune des équations suivantes
y" + 4 y' + 3 y = 2 e*(4 x2 + 6 x + 5) (2)
y" + 4 y' + 3 y = - 6(cos 3 x + 2 sin 3 x) (3)
et de les additionner.
Cherchons une solution particulière de l'équation (2) sous la forme
y = ex(ax2 + bx + c)

EXERCICES D'ANALYSE
On a
y' = e*(ax2 + {b + 2 a) x + (c + b))
et
y" = ex(ax2 + (b + 4 a) x + (c + 2 b + 2 a))
d'où en portant dans l'équation (2)
ex(ax2 + (b + 4 a) x + (c + 2 b + 2 a) + 4 ax2 + A(b + 2 a) x + 4(c + b) +
+ 3 ax2 + 3 bx + 3 c)j = 2 ex(4 x2 + 6 x + 5)
soit
e*(8 ax2 + (8 * + 12 a) x + (8 c + 6 è + 2 a)) = e*(8 x2 + 12 x + 10)
d'où il vient
8c = 8
8b + 12 a = 12
8c + 66+2a = 10
donc a = l,b = 0, c=l et une solution particulière de l'équation (2) est
y = ex(x2 + 1) .
A présent cherchons une solution particulière de l'équation (3) sous la forme
y = a cos 3 x + b sin 3 x .
On a
y' = — 3 a sin 3 x + 3 b cos 3 a: et y" = — 9 a cos 3 x — 9 b sin 3 x
d'où en portant dans l'équation (3)
(- 9 a + 12 b + 3 a) cos 3 x + (- 9 è - 12 a + 3 6) sin 3 x =
= — 6 cos 3 jc — 12 sin 3 x
d'où
-6a + 12b=- 6
-12a-6b=-12
donc a = 1 et b = 0 et une solution particulière de l'équation (3) est
y = cos 3 x.
On a donc une solution particulière de l'équation (1) en posant
y = ex(x2 + 1) + cos 3 x
et la forme générale des solutions de l'équation (1) est
y = Ae~x + fie"31 + ex(x2 + 1) + cos 3 x
où A et B sont des nombres réels.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
261
7i 11 Intégrer l'équation différentielle suivante
y" - 2 ay' + y = e"x(x + 1) (1)
où a est un nombre réel.
Solution L'équation caractéristique associée à l'équation (1) est
r2 - 2 ar + 1 = 0.
Son discriminant est a2 — 1. Nous distinguerons donc quatre cas suivant que
a2 — 1 > 0, a2 — 1 < 0, a = 1 ou a = — 1.
a) a2 — 1 > 0. Alors l'équation caractéristique possède deux racines réelles
rx = a + y/a2 - 1 et r2 = a - Va2 - 1 donc (c/. C. E., Ch. 11, § II, n°167)
la forme générale des solutions de l'équation homogène associée à l'équation (1)
est
où A et B sont deux nombres réels.
Comme a2 — 1 > 0, a n'est pas racine de l'équation caractéristique par suite
nous cherchons une solution particulière de l'équation (1) sous la forme
y = eax(ax + b).
On a
y' = eax(aax + ah + a) et y" = e"x(a2 ax + a2 b + lad)
d'où en portant dans l'équation (1)
e"*(a2 ax + a2 b + 2 txa - 2 a2 ax - 2 a2 b - 2 aa + ax + b) = eax(x + 1)
soit
e"*(a(l - a2) x + b(l - a2)) = e^x + 1)
d'où l'on tire a = b = 1/(1 — a2) et la solution générale de l'équation (1)
dans ce cas est de la forme
y = A éa+VT^r)x + B e("- Vï^ï* + e<«/iL±_J
où A et B sont des nombres réels.
b) a2 — 1 < 0. Dans ce cas l'équation caractéristique admet deux racines

EXERCICES D'ANALYSE
complexes conjuguées r± = a + iyjl — a2 et r2 = a — i \fl — a2 donc
(cf. C. E., Ch. 11, § II, n° 167) la forme générale des solutions de l'équation
homogène associée à l'équation (1) est
y = é**(A cos (Vl - oc2) x + B sin (VT^â2) x)
où yl et fi sont des nombres réels.
Comme 1 — a2 > 0, a n'est pas racine de l'équation caractéristique par
suite nous cherchons une solution particulière de l'équation (1) sous la forme
y = eTiax + b) .
Les mêmes calculs que dans le cas a) fournissent a = b = 1/(1 — a2) et la
solution générale de l'équation (1) dans ce cas est
y = e"! A cos (Vî^ô2) x + B sin (Vl - a2) x + 2J
où A et B sont des nombres réels.
c) a = 1. L'équation (1) s'écrit dans ce cas
y" - 2/ + y = ex(x+ 1).
Son équation caractéristique est
r2 - 2r + 1 = 0.
Elle admet une racine double égale à 1 donc (cf. C. E., Ch. 11, § II, n° 167) la
forme générale des solutions de l'équation homogène associée à l'équation (1)
est
y = (Ax + B) e*
où A et B sont des nombres réels.
Comme 1 est racine double de l'équation caractéristique et compte tenu de la
forme des solutions de l'équation homogène, nous devons chercher une solution
particulière de l'équation (1) sous la forme
y = ex(ax3 + bx2) .
On a
y' = ex(ax3 + bx2 + 3 ax2 + 2 bx) = ex(ax3 + (b + 3 a) x2 +2 bx)
et
y" = ex(ox3 + (b + 3 a) x2 + 2 bx + 3 ax2 + 2(b + 3 a) x + 2 b) =
= ex(ax3 + (b + 6 a) x2 + 2(2 b + 3 a) x + 2 b)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
263
d'où en portant dans l'équation (1)
ex(ax3 + (b + 6 a) x2 + 2(2 b + 3 a) x + 2 b - 2 ax3 - 2 bx2 -
- 6 ax2 - 4 bx + ax3 + bx2) = ex(x + 1)
soit
ex(6 ax + 2 b) = e\x + 1)
d'où l'on tire a = £ et b = \ et la forme générale des solutions de l'équation (1)
dans ce cas est
y H-j + y + Ax + B)e
où A et B sont des nombres réels.
d) a = — 1. L'équation (1) s'écrit dans ce cas
y" + 2y' + y = e~x(x + 1).
Son équation caractéristique est
r2 + 2r + 1 = 0
et elle admet une racine double égale à — 1 donc (cf. C. E., Ch. 11, § II, n° 167) ;
la forme générale des solutions de l'équation homogène associée à l'équation (1)
est
y = (Ax + B) e~x
où A et B sont des nombres réels.
Comme — 1 est racine double de l'équation caractéristique et compte tenu
de la forme générale des solutions de l'équation homogène associée à l'équation
(1), nous cherchons une solution particulière de l'équation (1) sous la forme
y = e~x(ax3 + bx2)
On a
y' = e~x(- ax3 - bx2 + 3 ax2 + 2bx) = e"*(- ax3 + (3 a - b) x2 + 2 bx)
et
y" = e~x(ax3 - (3 a - b) x2 - 2 bx - 3 ax2 + 2(3 a - b) x + 2 b)
soit
y" = e~x(ax3 - (6 a - b) x2 + 2(3 a - 2 b) x + 2 b) ,
d'où en portant dans l'équation (1)
e-^ax3 - (6 a - b) x2 + 2(3 a - 2 b) x + 2 b - 2 ax3 + 2(3 a - b) x2
+ 4 bx + ax3 + bx2) = e~x(x + 1)

264
EXERCICES D'ANALYSE
soit
e~*(6 ax + 2 b) = e~*(x + 1)
d'où l'on tire a = £, b = \ et la forme générale des solutions de l'équation (1)
est dans ce cas
où A et B sont des nombres réels.
On désigne par E l'espace vectoriel sur R des fonctions réelles définies et
indéfiniment dérivables sur R+. Pour chaque nombre réel non nul a, on définit
une application Ta de E dans lui-même, en posant pour chaque élément y de E
Ta{y) =y + axy'.
1° Montrer que pour tout nombre réel non nul a, l'application Ta est un
endomorphisme de E et déterminer son noyau.
2° Soient a et b deux nombres réels non nuls. Déterminer le noyau de
Ta o Tb et écrire l'équation différentielle du second ordre que vérifient les
éléments de ce noyau.
3° Trouver tous les éléments de E qui sont solution de chacune des équations
différentielles suivantes :
a) y + 8 xy' + 4 x2 y" = 0
b) y + 2 xy' + \ x2 y" = 0 .
Solution 1° Si y est un élément de E il est clair que Ta{y) = y + axy' est une fonction
indéfiniment dérivable sur RÏ donc l'application Ta prend bien ses valeurs
dans E. Si yu y2 sont deux éléments de E et ax, a2 deux nombres réels, on a
TJcn J>i + cc2 y2) = («! yt + a2 y2) + ax{çx,y y^ + a2 y2)'
= ai ^i + axat yi +«2^2 + axa2 y'2
= «i(yt + axy\) + a2(y2 + axy'2)
soit
ro(«i Ji + «2 y2) = «i ^«(Ji) + «2 Ta(y2) .
Donc Ta est bien un endomorphisme de E.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
265
Pour qu'un élément y de E appartienne à Ker Ta, il faut et suffit que y soit
solution de l'équation différentielle
y + axy' = 0. (1)
En intégrant cette équation on voit que le noyau de Ta se compose des
fonctions de la forme
y = Cx'11"
où C est un nombre réel.
2° Pour qu'un élément y de E appartienne au noyau de Ta o Tb il faut et
suffit que Tb(y) appartienne au noyau de Ta, donc d'après la question précédente,
y appartient à Ker Ta o Tb si et seulement si il existe un nombre réel C tel que
y + bxy' = Cx-lla . (2)
En vertu de la question 1° les solutions de l'équation homogène associée à
l'équation (2) sont de la forme
y=ClX-llb.
Pour trouver la solution générale de l'équation (2) dans R+ appliquons la
méthode de variation des constantes ; posons
y = C1(x)x-1'b (3)
où Ct est une fonction dérivable de x. Alors en dérivant (3) on obtient
et en portant ce résultat dans l'équation (2) il vient
focCi(jc)x-1/* = Cx'1'"
soit
Ci(x) = |x(-1/o,+(1/w-1. (4)
A présent nous distinguerons deux cas suivant que a et b sont égaux ou non.
Si a = b on obtient en intégrant (4)
C
Ciix) = -r Log x + B
où B est un nombre réel. Dans ce cas la solution générale de l'équation (2)
dans R* est de la forme
y =ljLogx + B)x-1/b

EXERCICES D'ANALYSE
où B est un nombre réel, et le noyau de Ta o Tb se compose des éléments y de E
de la forme
j; = 04Logx + B)x'llb
où A et B sont deux nombres réels.
Si a =£ b on obtient en intégrant (4)
Cl(x) = -^-r x»'»»-*1'" + B
a — b
où B est un nombre réel. Dans ce cas la solution générale de l'équation (2)
dans R+ est de la forme
y = -^-x-lfa + Bx-1'"
a — b
où B est un nombre réel et le noyau de Ta o Tb se compose des éléments y de E
de la forme
y = Ax'1'" + Bx'11"
où A et B sont des nombres réels.
A présent soit y un élément de E ; on a
Ta o Tb(y) = Ta(y + bxy') = y + bxy' + ax{y' + by' + bxy")
soit
Ta o Tb{y) = y + (a + b + ab)xy' + abx2 y" .
Par conséquent les éléments du noyau de Ta o Tb sont les éléments y de E qui
sont solution de l'équation différentielle
y + (a + b + ab) xy' + abx2 y" = 0.
3° Dans chaque cas cherchons des nombres réels a et b tels que les solutions
des équations proposées soient les éléments du noyau de Ta o 7^,.
o) On doit résoudre le système
a + b + ab ~ 8
ab = 4
soit
la+b=4
\ab = 4
donc a et b sont les racines de l'équation
I2-4I+4 = 0

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
267
d'où a = b = 2. En se servant du résultat de la question précédente on voit
que les éléments y de E qui sont solution de l'équation différentielle
y + 8xy' + 4x2y" = 0
sont les éléments de la forme
y = (A Logx + B)x~m
où A et B sont des nombres réels.
b) En appliquant la même méthode que ci-dessus on trouve a = 1, b = \
et les éléments y de E qui sont solution de l'équation différentielle
y + 2 xy' + i x2 y" = 0
sont les éléments de la forme
y = Ax~J + Bx~2
où A et B sont des nombres réels.
7.13 On considère l'équation différentielle
x2y" + 4xy' + (2 - x2)y = 1 . (1)
1° Trouver son intégrale générale dans R+ et dans R_ en effectuant le
changement de variable u = x2 y.
2° Montrer qu'il existe une fonction /définie et continue sur R, et une seule,
qui soit solution de l'équation (1) pour x ¥= 0. Montrer que cette fonction est
dérivable en tout point de R.
3° Quelles sont les solutions de l'équation (1) qui restent bornées lorsque x
tend vers + oo et lorsque x tend vers — oo ?
Solution 1° En posant y = u/x2 on a
, u' 2 u „ u" 4 u' 6 u
= ~ï - — et ^ = ^ - — + —
L'équation (1) devient alors
u" - u = 1 . (2)
L'équation (2) admet le polynôme caractéristique r2 — 1, donc la solution
générale de l'équation homogène associée à l'équation (2) est de la forme
u = A ex + B e~x
où A et B sont des nombres réels.

268
EXERCICES D'ANALYSE
Comme la fonction constante de valeur — 1 est une solution évidente de
l'équation (2), cette équation admet pour solution générale
u = Aex + Be~x - 1
où A et B sont deux nombres réels ; par suite la solution générale de l'équation
(1) est de la forme
y = -Ar~ + z r SI X6R.
Ax e Bx e~x
+
x2 x2
A2ex B2e~x
x2 x2
1
1
x~2
*
si xe R+
x~
où Au Bu A2, B2 sont des nombres réels.
2° Supposons qu'il existe une fonction / définie sur R, continue et dont la
restriction à R* et R* soit solution de l'équation (1), alors en vertu de la
question précédente, il existe des nombres réels Au Bu A2, B2 tels que
si xe R*
x2 x2
x2 x2
1
~V2
1
si xe RÎ.
et
/(0)
.. (Axe Bte~x l\ ,. [A2e B2e~x l\
= lim -4- + -4- - ~2 = lim -V + -4 -2}
x-»0- \ X X XI x->0 + \ X X X I
Or on a au voisinage de 0 les développements limités
x2 x3
ex = l+x+ — + ~ + o{x3)
l D
e~x = 1 - x + -7T - ~r + o(x3)
z o
d'où
A^ + B^1_l2 = (Ai+Bil)l2 + (Ai_Bi)i+A^B1+o(x)
et
^ + ^-A = W2 + BI-1)l—-^i^^±^
*\ A/ A/ J\ J\

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
269
A ex B e_x 1
Comme / est continue au point 0, —^—I ^ 2 possède une limite
finie lorsque x tend vers 0 par valeurs inférieures, donc on a
At + B1 = 1
A±- Bl=0
d'où A±= Bx=\
2-
/4 ex B e~x 1
De même, 22 "' ^2 7ï possède une limite finie lorsque x tend vers
x
0 par valeurs supérieures, donc on a
A2 + B2 = l
A2 - B2 = 0
d'où A7 = B7 = l et on a
2
,, , ex + e x 1 ch x - 1 D*
l /(*) = ^ o = 0— S1 x 6 R
^v / 'i 2 2 2
2x x x
\W) = \
Nous venons de démontrer que la seule fonction définie et continue sur R
dont la restriction à R* est solution de l'équation (1) est la fonction définie
par les formules ci-dessus. Montrons que / est dérivable sur R. En tout point
de R*, la fonction/s'exprime comme produit de fonctions dérivables donc est
dérivable ; au voisinage de 0 le développement limité de ch est
donc
par suite
et
chx = l+-y + 24 + o(x5)
/(*) = \ + ya + °(*3)
f(x) — i X . 2.
x-0 x
/'(0) = lim-7-^ * = 0
donc f est dérivable au point 0 et par suite / est dérivable en tout point de R.

270
EXERCICES D'ANALYSE
3° Soit y une solution de l'équation (1) ; alors d'après la première question
il existe des nombres réels Au Bu A2, B2 tels que l'on ait
A1 e* B, e_x 1 . „-
x2
A,e
x2
+
x2 x2
B2 e~x 1
2 2
X X
y = '^r~ + -^-5 -r si x e R+
Quels que soient les nombres A1 et B2 on a
,. ^ex 1 ,- B2e~x 1 _
x-* — oo X X x-» + oo X X
D'autre part, si A2 # 0 on a
,. ^2 ex
hm —— = eoo
3C-> + OD X
où e est le signe de A2 et si Bt /Oona
hm — = e oo
où e' est le signe de Bu donc pour que y soit bornée lorsque x tend vers + oo
et lorsque x tend vers — oo, il faut que A2 = B1 = 0 et il est clair que cette
condition est suffisante.
7.14 On considère l'équation différentielle
ay'" + by" + cy' + dy = 0 (1)
où a, b, c, d sont des nombres réels avec a ¥= 0.
1° Chercher une solution de l'équation (1) sous la forme y — erx où r est
un nombre réel. Montrer qu'il existe toujours une telle solution.
2° Si rt est une racine réelle de l'équation
ar3 + br2 + cr + d = 0.
Montrer qu'il existe des nombres réels a et fi tels que la fonction
z = ay" + ay' + fiy
vérifie l'équation différentielle
z' -r1z = 0. (2)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
271
Calculer a et p en fonction de a, b, c et r1. Montrer que
(ar2 + ar + p) (r - rt) = ar3 + br2 + cr + d.
3° Montrer que l'équation (1) est équivalente au système
( ay" + ay' + py = z
\ z' — rx z = 0
où a et P sont les nombres réels calculés à la question précédente.
4° Donner la forme générale des solutions de l'équation (1)
Solution 1° Si y = erx on a y' = r erx, y" = r2 erx, y'" = r3 erx et l'équation (1) s'écrit
erx(ar3 + br2 + cr + d) = 0
et ceci n'est possible que si
ar3 + br2 + cr + d = 0.
Or nous savons que tout polynôme du troisième degré à coefficients réels
possède au moins une racine réelle, donc il existe toujours une solution de la
forme y = erx.
2° Posons z = ay" + ay' + Py.où aetp sont deux nombres réels ; alors on a
z' = ay'" + ay" + fiy' et
z' - rtz = ay'" + (a - ^ a) y" + (jS - ^ a) y' - n py.
Pour que la fonction z' — rvz soit nulle, il suffit que l'on ait a — rt a = b,
P — rt a = c et — J5rx = d, soit a = b + arx et /? = c + ar± = c + brY + ar2 ',
alors on a bien — Prx = — crx — br2 — ari = d de plus on a
(ar2 + ar + P)(r - rt) =
= [ar2 + (b + ari) r + (c + èrt + ar2)] (r — rt)
= ar3 + (b + ort) r2 + (c + brt + orj) r — or2 rt — (b + ort) ^r-
— (c + br! + or2) rt
= or3 + br2 + cr — ar3 — brf — c^ = or3 + br2 + cr + d.
3° Nous savons déjà que si y est solution de l'équation (1) alors y vérifie le
système (3). Réciproquement, supposons que y soit solution du système (3),
alors on a
z = ay" + ay' + Py
donc
z' = ay'" + ay" + Py'

EXERCICES D'ANALYSE
et
2' - n z = 0 = ay'" + (a - «rO/' + 0! - arjy - pr, y =
= ay'" + by" + cy' + d
donc y est solution de l'équation (1).
4° Les solutions de l'équation (1) sont celles du système (3). La forme
générale d'une solution de l'équation z' — rt z = 0 est z = K eriX où K est un nombre
réel. On doit donc résoudre l'équation
ay" + ay' + py =K e"* . (4)
Nous distinguerons plusieurs cas suivant que les racines de l'équation
ar3 + br2 + cr + d = 0
sont toutes trois réelles ou pas.
o) Si le polynôme or3 + br2 + cr + d possède trois racines réelles distinctes
ru r2, r3, alors le polynôme ar2 + ar + P possède deux racines réelles distinctes
r2 et r3 et dans ce cas l'équation homogène associée à l'équation (4) admet pour
solution générale les fonctions de la forme
y=K2 er2X + K3 er3X
où K2, K3 sont des nombres réels (cf. C. E., Ch. 11, § II, n° 167). Cherchons
une solution particulière de l'équation (4) sous la forme y = Xx er'x où Xt
est un nombre réel. On a
y = h rt erix, y" = h r\ eriX
et on doit avoir
Ai eriX(ar2 + art + P) = K er,x .
Comme ar2 + art + p # 0 on doit avoir
K- ^ •
art + art + P
Finalement la forme générale des solutions de l'équation (4) est
y=- -— enx + K2 er2X + K3 e'3*
art + ar1 + p
où K2, K3 sont des nombres réels, et la forme générale des solutions de
l'équation (1) dans ce cas est
y = Kj er,x + K2 e2X + K3 er3X
où Ky, K2, K3 sont des nombres réels.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
273
b) Si le polynôme ar3 + br2 + cr + d possède une racine réelle rl et deux
racines complexes conjuguées X + ico et X — ico, alors les racines complexes
sont celles du polynôme or2 + ar + fi donc la solution de l'équation homogène
associée à l'équation (4) se présente sous la forme
y = eXx(K2 sin cox + K3 cos cox)
où K2, K3 sont des nombres réels (cf. C. E., Ch. 11, § II, n° 167). Comme au cas
a) on vérifie que y = X1 e"x est une solution particulière de l'équation (4) si
*.- K
ar2 + ar1 + P
donc la forme générale des solutions de l'équation (4) est
K
ar2 + ar1 + p
enx + e«(x2 sin cox + K3 cos cax)
où K2, K3 sont des nombres réels, et la forme générale des solutions de
l'équation (1) dans ce cas est
y = Kt erix + ekx(K2 sin cox + K3 cos cox)
où Ku K2, K3 sont des nombres réels.
c) Si le polynôme ar3 + br2 + cr + d admet la racine simple rl et la racine
double r2 avec r1 # r2, alors r2 est racine double du polynôme ar2 + ar + fi
et la solution générale de l'équation homogène associée à l'équation (4) est de
la forme
y = er^(K2 x + K3)
où K2, K3 sont des nombres réels. Comme dans les deux cas précédents, on voit
que
*=-*—^ e"X
art + art + fi
est une solution particulière de l'équation (4), donc la solution générale de
l'équation (4) est de la forme
K er,x + e'2X(K2 x + K3)
art + ar± + fi
où K2, K3 sont des nombres réels, et la solution générale de l'équation (1) est
de la forme
y = Kt erix + erix(K2 x +K3)
où Ku K2, K3 sont des nombres réels.

274
EXERCICES D'ANALYSE
Le cas où r, est racine double du polynôme or3 + br2 + cr + det r2 racine
simple avec r, # r2 se traite de manière analogue.
d) Si le polynôme ar3 + br2 + cr + d admet la racine triple ru la méthode
précédente n'est pas valable car ar2 + arl + fi = 0. Cherchons les solutions
sous la forme y = u(x) er'x où u(x) est une fonction deux fors dérivable de x ;
on a
y' = i/(x) eri* + i-! u(x) er'x
et
y" = u"{x) erix + 2r, u\x) e"x + r\ u(x) er,x .
L'équation (4) devient alors
[au" + (2 art + a) u' + (ar\ + ou\ + fi) u] er'x = K erix .
Mais ar2 + ary + /? = 0 et 2 ary + a = 0 donc l'équation (4) devient
nf >. K
u (x) = —
a
d'où
et
u'(x) = — x + K2
a
K ,
u(x) = — x + K2 x + K3
2 a
où A*2, K3 sont des nombres réels. La forme générale des solutions de l'équation
(4) est donc
y =(—x2 +K2x + kX
où K2, K3 sont des nombres réels et la solution générale de l'équation (1) est de
la forme
y = (Kt x2 + K2 x + K3) erix
où Ku K2, K3 sont des nombres réels.

8
PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
8.1 Soit/une fonction à valeurs réelles, continue sur R, dérivable sur R* et dont
la dérivée est stricte
suppose de plus que
la dérivée est strictement négative sur R_ et strictement positive sur R+.On
lim /(x) = lim /(x).
X-+ + CC X-*— oo
1° Montrer que pour tout élément x de R* il existe un élément y de R* et
un seul tel que x ^ y et f(x) = f{y). Dans la suite du problème on pose
y = (p(x) et ç>(0) = 0 .
2° Démontrer que la fonction <p admet une fonction réciproque et que
(p~1 = (p. Que peut-on dire du graphe de <p ?
3° Démontrer que la fonction <p est continue sur R.
4° Démontrer que la fonction <p est dérivable sur R* et calculer, sa dérivée.
5° Etudier les variations de la fonction (p. Calculer
lim ç>(x) et lim <p(x).
X-*-— 00 X-+ + OD
6° Montrer que si le graphe de/admet pour asymptote la droite d'équation
y = a± x + a2 avec a^ ¥= 0 (resp. y = bt x + b2 avec bx j= 0) lorsque x tend
vers + co (resp. — co) alors le graphe de <p admet des asymptotes lorsque x
tend vers + co ou vers — oo. Déterminer ces asymptotes.

276
EXERCICES D'ANALYSE
Solution 1° Supposons x > 0 ; comme/est strictement croissante sur R+ on ne peut
avoir f(x) = f(x') avec x ^ x' et x' > 0, et on a
Or
/(0) </(*)< lim f(t).
(-► + 00
lim f(t) = lim fit) et lim /(() = sup fit)
t-* + oo *-»■ — oo t-* — oo teR-
donc il existe un élément z de R tel que
/(x)</(z)< lim /(t).
«-►-00
Mais alors fix)e [/(0),/(z)] ; le théorème des valeurs intermédiaires nous
permet d'affirmer qu'il existe un élément y de R* tel que fix) = fiy). Cet
élément est unique car on ne peut avoir fiy) = fiy') avec y ¥= y' et y' < 0.
On fait un raisonnement analogue lorsque x < 0.
2° Par définition de (p, pour tout nombre réel x non nul on a ç>00 ^ * ; or x
est le seul réel différent de <pix) tel que/(ç>00) = /00> donc ç)(ç)(x)) = x.
Comme ç>(ç>(0)) = ç>(0) = Oonaç>oç> = IdR, par suite (p est une bijection
et ç>-1 = ç>. Dans un repère orthonormé le graphe de (p est symétrique par
rapport à la droite d'équation y = x.
3° Comme la restriction f\ R+ de / à R+ est injective elle établit une bijection
entre R+ et l'ensemble [/(0), lim /(*)[; f\ R+ admet donc une fonction
réciproque g définie sur [/(O), lim /(x)[ et à valeurs dans R+. Nous savons
x-* + oo L
(c/. CE., Ch. 4, § 5, n° 52) que la fonction g est continue et strictement
croissante sur [/(O), lim fix) \ et que (c/. CE., Ch. 5, § I, n° 62) g est dérivable sur
]/(0), lim /(x)T. De même,/! R_ admet une fonction réciproque h définie,
X-* + O0 L
continue et strictement croissante sur le même intervalle que g et dérivable
sur 1/(0), lim /(x)[. Remarquons que pour x > 0 nous avons (pix) = h o/(x)
et pour x ^ 0, (pix) = g o/(x) ; pour x — 0 les deux définitions coïncident car
h o/(0) = g o/(0) = ç)(0) = 0. Il en résulte que la restriction de <p à R+ ou
R_ est continue comme composée d'applications continues.
4° La dérivabilité de la fonction <p, résulte comme sa continuité du fait que
| R*+ = hofetq
x > 0 nous avons
(p | RÎ = hofet (p | R- = gof. Pour le calcul de (p', rappelons que pour
g'(/(x)) = -L- et pour x < 0, /t'(/(x)) = -L-
/ 00 / W

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
277
{cf. C. E., Ch. 5, § I, n° 62). Nous avons donc pour x > 0
<?>(*) = Kf(x)) = h(f(<p(x))) et (p{x) < 0,
<?'(*)= fc'[/(ç>(*)]/'(*) = -£^r
/ vpM)
et pour x < 0, ç>(x) = g(f(x)) = g(/ (ç>(x)) avec (p(x) > 0, donc
p'W = g'[/(ç>(*))]/'M = t{~;
par suite pour tout élément x de R* nous avons :
ç>'(*) =
/'(«**))
5° Nous savons que/' est strictement positive sur R+ et strictement négative
sur R_, donc/'(x) et/'(ç)(x)) sont de signes contraires; par suite <p'(x) < 0
pour tout x ¥= 0 et (p est une fonction strictement décroissante sur RT et RI.
Montrons que lim cp(x) = — co. Soit j4 un nombre réel strictement négatif.
X~* + 00
Comme lim /(x) > f(A) il existe un nombre réel strictement positifs tel que
pour x > B nous ayons/(x) >/(^4) ; mais alors/(ç)(x)) >/(^4) et comme/
est décroissante sur R_, cp(x) < A. Nous venons donc de démontrer que pour
tout nombre réel négatif A, il existe un nombre réel positif B tel que pour tout
élément x de ]B, + co[, nous ayons q>(x) < A, par suite lim q>(x) = — co.
x-* + oo
Nous démontrerions de manière analogue que lim q>(x) = + co.
X-*— OO
6° Comme le graphe de/admet une asymptote lorsque x tend vers + co, le
graphe de g en admet aussi une. Cherchons à déterminer son équation en
fonction de ax et a2. Posons g(x) = m, x + m2 + o (1). Nous savons que
g(f(x)) = x pour tout x > 0 ; calculons le développement limité de g(/(x)) au
voisinage de + co. Nous avons :
g(f(x)) = mAa\ x + a2 + o(l)) + m2 + o(l) =
= m! a± x + («! a2 + m2) + o(l)
d'où par identification, mx = l/a1etm2 = — a2jau par suite
g(x) = —x-^+ o(l).
"i "i
Un calcul analogue donne
1 b2
«à-TS-v;*0®-

278 EXERCICES D'ANALYSE
Lorsque x tend vers + co nous avons
cp(x) = h(f(x)) = 1 (fll x + a2 + o(l)) - ^ + o(l)
a, a2 — b2 ,.x
Lorsque x tend vers — co nous avons
<P(x) = g(/W) = -^{blX+b2 + o(l)) - J + 0(1),
d'où
, n &i b2 — a2 ...
ç>(x) = — x + — + o(l).
Le graphe de la fonction <p admet la droite d'équation
a< a-, — b2( bt b-, — a,\
y = ~ x + -~—- resp. y = — x + ~—-—
pour asymptote lorsque x tend vers + co (resp. — co).
0.2 Soit f une fonction réelle définie, continue, positive, décroissante sur
l'ensemble R+ des nombres réels strictement positifs. Pour chaque entier n > 1
on pose :
«- = l"/(p) et 1„= [7(0 df.
1° Démontrer que pour tout entier b ^ 2 on a :
[" fit) df < f{n) < f " fit) df.
2° Démontrer qu'il existe des nombres réels positifs aetb tels que pour tout
entier n ^ 2 on ait : I„+l — a < u„ — b < /„. En déduire que les suites (w„)
et (/„) convergent ou bien divergent en même temps.
3° Démontrer que la suite (i>„) = (w„ — /„) est décroissante et convergente
et que sa limite / vérifie les inégalités 0 < / < fil). Lorsque la suite (/J est
convergente démontrer que l'on a les inégalités :
lim J„ < lim u„ < /(l) + lim I„.
n~* + oo n-r + oo n-* + oo

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
279
4° Pour chacune des fonctions f1,f2,f3, f4, définies pour tout nombre réel
x > 0 par
Ato = i/x
f2(x) = l/xf où a est un nombre réel strictement plus grand que 1
f3(x) = e~Px où fi est un nombre réel strictement positif
/4(x)= l/[x + x(Logx)2].
a) Calculer /„ pour n ^ 1.
b) Déterminer si la suite (/„) est divergente ou convergente.
c) Dans le cas où la suite (w„) est convergente, trouver un encadrement de sa
limite.
Solution 1° Puisque la fonction f est décroissante, nous avons pour tout élément s
de [n — l,n] et tout élément u de [n, n + 1] :
f(u)<f(n)^f(s)
donc (cf. C. E., Ch. 8, § n, n° 118)
f" /(r)dK/(«)< f f(t)àt.
2° D'après la question précédente nous avons les inégalités
j" f(t)dt </(2)< J f(t)dt
J /(Odt </(3)< J /(t)dï
f" /(Odt </(«)< f" /(f)dt
d'où en additionnant membre à membre
-11+1
Or
J" /(t)df <M„-/(l)< J"/(0dr
J" /(0d* = /„+1-/2
donc a = I2 et è =/(l) sont deux nombres réels positifs tels que l'on ait pour
tout entier « ^ 2
4+i ~ « < "„ - b < In (1)

EXERCICES D'ANALYSE
Comme la fonction / est positive, la suite (w„) est positive et pour tout entier
n ^ 1, /„ Ss 0 (cf. C. E., Ch. 8, § II, n° 118, c) ; de plus w„+1 - u„ = f(n + 1)
donc u„+1 — u„ ^ 0 et la suite (w„) est croissante ;
rn+l
In+i ~ h = /(') df donc In+1 -ln>0
et la suite (/„) est croissante. La double inégalité (1) ci-dessus nous montre que
si la suite (u„) (resp. (/„)) converge, la suite (/„) (resp. («„)) est majorée, donc
converge ; par conséquent les suites (/„) et (w„) convergent ou divergent en
même temps.
3° Pour tout entier n ^ 1, nous avons
vn+i - »» = (w„+i - O - (J„+i - 4)
donc
rn+l
t>„+i - v„=f(n + 1) - /(f)dt;
or nous avons démontré à la première question que
rn+l
f(n + 1) < f(t) df donc v„+1 - v„ < 0
J n
ce qui prouve que la suite (v„) est décroissante. Par ailleurs nous avons pour tout
entier n ^ 1 :
v„ = [/(D - J /(0 df] + [/(2) - J /(t) df] + - +
+ [/(n-l)-J" /(()d(] + /(n);
or f (ri) ^ 0 et chacun des (n — 1) premiers termes de cette suite est positif
d'après la première question, donc v„ ^ 0 ; par conséquent la suite (v„) est
positive et décroissante, donc convergente (cf. C. E., Ch. 1, § II, n° 14). Posons
/ = lim v„.
De l'inégalité obtenue à la question précédente il résulte que pour tout entier
n ^ 1 nous avons 0 < v„ < f(l), donc par passage à la limite nous obtenons
0</</(l).
Si la suite (/„) converge il en est de même de la suite (w„) et nous avons
lim vn = lim u„ — lim /„
«-* + oo n~* + oo n-* + oo
donc
0 < lim u„ - lim /„ < / (1)

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
281
d'où
lim In < lim u„ <f(\) + lim /„.
4° à) Pour tout entier n ^ 1 nous avons :
/.(/,)= J"^- = [Log t]ï = Log"
I(f)= ràt-\ -1 1"- -1 *
a - 1
J it(l +
df
t(l + (Log 02)
d'où en faisant le changement de variable m = Log t ;
TLog" du
Wù = -2 = [Arc tg (Log t)]! = Arc tg (Log n).
J 0 1 + M
b) Si n tend vers + oo, Log n tend vers + co donc la suite (I„(fi)) est
divergente. Lorsque n tend vers + co nous voyons que la suite (/„(/2)) converge et
admet la limite l/(a — 1), la suite (/„(/3)) converge et admet comme limite
l/P e" et la suite /„(/4) converge et admet la limite n/2.
c) Des résultats de la seconde question nous déduisons que la suite (w„(/i))
est divergente et que les suites (w„(/2)), (u„(f3)) et (w„(/4)) convergent. En
utilisant le résultat de la troisième question nous obtenons les encadrements suivants :
< lim w„(/2) < + 1
a - 1 «- + <» « - 1
- < hm m„(/4) < - + 1 .
OiJ Dans tout le problème, / désigne une fonction réelle, définie et continue sur
l'intervalle [a, b] de R, dérivable sur [a, b] et dont la dérivée f est strictement
croissante sur [a, b[.
1° a) Soit x un point de ]a, b] ; démontrer qu'il existe un point unique c de
]a, b[ tel que/(x) - f(a) = (x - a)f'(c).

EXERCICES D'ANALYSE
b) Pour tout point t de ]a, b] on pose
Démontrer que l'application g est continue sur ]a, b]. Démontrer qu'elle se
prolonge par continuité au point a.
c) Démontrer que la fonction g est strictement croissante sur [a, b].
2° Soit (p la fonction réelle définie sur [a, b] par q>(a) = a et pour tout élément
x de ]a, b] par ç>(x) = c où c désigne l'unique point de ]a, b[ tel que
f(x)-f(d) = {_x-d)f\c).
a) Démontrer que <p est une application strictement croissante.
b) Soit y un point quelconque de l'intervalle [a, (p(b)\, démontrer qu'il
existe un point unique x de [a, b] tel que g(x) = f'(y).
e) Démontrer que q>([a, b]) = [a, (p(b)]. En déduire que la fonction <p est
continue.
3° On suppose de plus dans cette question que l'application/' est
continûment dérivable sur [a, b] et que/" ne s'annule pas sur [a, b].
a) Démontrer que/'admet une fonction réciproque continûment dérivable.
En déduire que l'application (p est continûment dérivable sur [a, b].
b) Calculer l'intégrale
ryM,md,
c) Calculer q>(t) pour f(t) = e' et a = 0, b = 1. En déduire la valeur de
f'fe' -e'+ 1
t2
dt.
Solution 1° à) Soit x un point de ]a, b] ; alors la fonction / est continue sur
l'intervalle fermé [a, x] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, x[. Le théorème des
accroissements finis (cf. C. E., Ch. 5, § II, n° 65) nous permet d'affirmer qu'il
existe un point c de ]a, x[ tel que nous ayons
f(x)-f(a) = (x-a)f'(c)
Supposons que c' soit un point de ]a, b[ tel que/(x) — f(à) = (x — a) fie1),
alors nous avons (x — a)f'{c) = (x — d)f'(c') donc/'(c) =/'(c'), or/' est
une fonction strictement croissante sur ]a, b[ donc c = c' d'où l'unicité du
point c.

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
283
b) La fonction g est le quotient de deux fonctions continues sur ]a, b], de
plus la fonction qui figure au dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle,
donc (cf. C. E., Ch. 4, § III, n° 43, c) g est continue sur ]a, b]. Comme la fonction
f est dérivable sur [a, b[, la fonction g possède une limite à droite au point a
égale kf'(q), donc en posant g(a) = f'(a), la fonction g se trouve prolongée
par continuité sur [a, b].
c) La fonction g est le quotient de deux fonctions dérivables sur ]a, b] et la
fonction qui se trouve au dénominateur ne s'annule pas sur ]a, b], donc g est
dérivable sur ]a, b] et pour tout point de ce semi-segment nous avons :
Va _ (t-fl)/'(0-(/(0-/(«))
(t - a)2
D'après (1°, a) il existe un point unique u de ]a, t[ tel que l'on ait
f(t)-f(à) = (t-à)f'(u)
donc
t — a
or u < t et f est strictement croissante, donc f'(u) </'(/); d'autre part,
t — a > 0 donc g'(t) > 0. Comme ceci est vrai pour tout point de ]a, b], la
fonction g est strictement croissante sur ]a, b]. De plus si x est un élément de
]a, b], nous savons d'après 1° a) qu'il existe un point unique c de ]a, b[ tel que
g(x) =f'(c) et/' est strictement croissante sur [a, b[ donc f'(a) <f'(c) soit
g(a) < g(x). Il en résulte que la fonction g est strictement croissante sur [a, b].
2° à) De la définition de q> il résulte que <p prend ses valeurs dans [a, b[ et que
pour tout point x de [a, b], g(x) =/'(ç>(x)). Soient x et x' deux éléments de
[a, b] tels que x < x' ; alors comme g est strictement croissante, nous avons
g(x) < g(x') soit f'{(p(x)) </'(ç)(x')). Or /' est strictement croissante sur
[a, b[ donc (p(x) < (p(x'), ce qui prouve que <p est une fonction strictement
croissante.
b) Comme /' est strictement croissante, pour tout élément y de [a, (p(b)]
nous avons a < y < (p(b), donc f (a) <f'(y) <f'(<p(b)) ; or
f'(a) = g(a) et f'{cp{b)) = g(b)
et la fonction g est continue, donc pour tout élément y de [a, (p(b)J il existe un
élément x de [a, b] tel que f'(y) = g(x). Soit x' un élément de [a, b] tel que
g(x) = g(x'), alors x = x' car g est strictement croissante, d'où le résultat.
c) Comme l'application <p est strictement croissante, pour tout élément x de
[a, b] nous avons a < x < b donc ç>(a) < ç>(x) < ç>(5) et ç>(a) = a ; par suite
ç)([a, b]) <=. [a, (p(b)\. Réciproquement, si y est un élément de [a, (p(b)\ il
résulte de 2°, b) qu'il existe un point x de [c, b] et un seul tel que g(x) = f'iy),
donc/'(j>) =f'((p(x)) et comme/' est strictement croissante, y = (p(x), donc

284
EXERCICES D'ANALYSE
\a, (p(bj] c <p([a, b]) d'où q>([a, b]) = [a, (pQ})\. Comme <p est monotone sur
[a, b] et vérifie (p([a, b]) = [q>(a), (p(b)], q> est continue (cf. exercice 2.26).
3° à) Comme/' est dérivable sur [a, b] elle est continue sur cet intervalle.
Comme/' est croissante sur [a, b[, nous avons
f'(b) = lim /'(*) = Sup f'(x)
x~*b— x e [fl.fc]
(cf. C. E., Ch. 4, § V, n° 5l,b) donc pour tout élément x de [a, b],f'(b) ^ f'(x).
Soit x un point de [a, b[ tel que f'(b) = f'(x) alors il existe un élément y de
[a, b[ tel que x < y donc f'(b) <f'(y) et ceci est impossible ; par suite pour
tout élément x de [a, b[ nous avons/'(x) < f'(b) ; il en résulte bien que/' est
strictement croissante sur l'intervalle [a, b], donc (cf. C. E., Ch. 4, § 5, n° 52)
/' admet une fonction réciproque h continue et strictement croissante ; de
plus comme/" ne s'annule pas sur [a, b], la fonction réciproque h de f est
dérivable (cf. C. E., Ch. 5, § I, n° 62) et nous avons
h'(y) = l
f"(h(y))
pour tout élément y de [f'(a),f'(b)\. Comme h et/" sont continues et comme
/" oA ne s'annule pas sur [/'(o),/'(è)] nous voyons que h est une fonction
continue et donc que h est continûment dérivable.
b) Nous avons
(bf(t)-f(a) vXt) dt = p g{() vXf) d{ = fbr(ç)(0) vXt) àt
d'où
p/(0-/(«) 9V) dt = [/(ç,(0)]* = f^(b)) _ ffaà))
(cf. C. E., Ch. 9, § I, n° 131).
c) Si/(/) = e', a = 0, b = 1 et si / est un point de ]0, 1] alors
fit) -/(0) = tf'(<p(t)) donc e' - 1 = te^
d'où
e'- 1
<p(t) = Log—— et ç>(0) = 0 .
Nous avons alors pour ces fonctions
té-é+1 /(Q-/(o) ,
2 = <P (0
r t
donc :
[lf£t~f+1dt =/(ç,(l)) -/(ç.(0)) = e1-*-" - 1 = e - 2.
J o f

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
285
0i4 1° Soit /une fonction réelle continûment dérivable sur un intervalle [a, b],
fermé borné de R. Montrer que :
lim f(x
«-* + oo J a
b
) sin nxàx = 0 (n étant entier) .
2° On considère la fonction
.. sin t
cpif) = _
et on pose
F (x) = <p(i) àt.
J o
à) Montrer, en utilisant une intégration par parties que | F(x) — F(x') |
tend vers 0 lorsque x et x' tendent vers + co.
b) En déduire que F admet une limite lorsque x tend vers + oo ; on note c
cette limite.
3° Soient b un nombre réel strictement positif et / une fonction réelle deux
fois continûment dérivable sur [0, b].
à) Montrer que la fonction g définie sur [0, b] par
Ux^m^m si ^o
lg(0)=/'(0)
est continûment dérivable sur l'intervalle [0, b].
b) En appliquant le résultat démontré à la question 1° démontrer que :
rb
lim /(x) ^-^ dx = c ./(0) (n e N).
4° Soit / une fonction réelle deux fois continûment dérivable sur [0, n].
à) Montrer que
f" ,, .sin (2 n + 1) x f"'2 /,, x , ,, ^sin (2 n + 1) x
J/(X) sïn^ dX = J0 (/«+/(»-*» sin^ ÛX-
b) Montrer que la fonction h définie sur [0,7i/2] par
h{x) = (/(x) + fin - x)) £^ si x # 0
A(0)=/(0) +/(n)
est deux fois continûment dérivable.

286
EXERCICES D'ANALYSE
c) Déduire du résultat de la question 3° que
i- f * „>siii(2n+l)x, . _.„. ,. ..
«-► + oo J 0 Mn x
5° à) Montrer que
sin (2 n + 1) x
sin x
fe) En déduire la valeur de
= 1 + 2 cos 2 x + — + 2 cos 2 nx ,
pin(2n+l)xdx,
J o sin x
c) En déduire la valeur de c.
Solution 1° Comme /' est continue sur [a, b] nous pouvons intégrer par parties
P/to
J a
sin nx dx .
Nous obtenons ainsi
r-6
f6 ,, . . _, f cos nx J* f6 cos nx ,
1 7(x)smnxdx= j(x) + 1 j (x) dx
Or
/(a) cos na — /(b) cos nb
^\f(fl)\ + \Kb)\
donc
D'autre part
et en posant
lim r_ço8«x/(x)j»Œ0>
n-» + ooL w Jo
ffcçosnx//(x)dx <Ip|Ax)|dx>
M= [ |/'(x)|dx,

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
287
on trouve
Il en résulte que
r
cos nx
/'(x) dx
M
lim / (x) dx = 0 ,
d'où le résultat cherché.
2° à) Nous avons
F(x) - F(x') = dt=\- - —- àt,
J x- t L t ix- J x- r
donc
I ev \ „.| . COSX COS X
I F (x) - F(x ) | < — +
T IcostL 11 1
—— àt < - + -,
J x' f I X X
+
r-
àt
2
d'où
| F(x) - F(x')
1 1
- + — +
x x'
1
x'
1
X
1 1 1 12 2
t i t
J\ J\ J\ J\ J\ J\
Lorsque x et x' tendent vers + oo, | F(x) — F(x') | tend vers 0.
b) Compte tenu du résultat précédent, le critère de Cauchy (cf. C. E. Ch. 4,
§ II, n° 42, c) nous permet d'affirmer que F(x) possède une limite c lorsque x
tend vers + oo.
3° a) Comme / est continûment dérivable sur ]0, b], il est clair que g est
continûment dérivable sur ]0, b] et sa dérivée est égale à
g,(x) = x/'(x)-/(x)+/(0) s. x^Q
X
Etudions la dérivabilité au point 0. Il s'agit de voir si le rapport
g(x) - g(0) _ [/(x)-/(0)]/x-/'(0) _ /(x)-/(0)-x/'(0)
possède une limite lorsque x tend vers 0 à droite. Or/est deux fois continûment
dérivable sur [0, b] donc nous pouvons lui appliquer la formule de Taylor à
l'ordre 2 en 0. Nous obtenons ainsi
/(x)=/(0) + x/'(0)+^^x2
avec
O<0 < 1.

288
EXERCICES D'ANALYSE
Il en résulte que
g(x)-g(0)=/"(fa)
x 2 '
Lorsque x tend vers 0, 6x tend vers 0 et comme/" est continue, nous avons
limg(x)-g(0)=^0)
x-o+ x 2
Il nous reste à prouver la continuité de g' au point 0 ; or, pour x ^ 0 nous
avons
.,, */'(x)-/(x)+/(0)
et nous
donc
avons vu que
/(x)-/(0)
x/'(x) -
f'(x\ —
h \X)
5 W
x2
= xA0) + x^-"f) (0
x/'(0) -
x2
f"(6x) 2
2 X /'(x) -
x
< e <
-/'(O)
i)
f\ex)
2
D'après le théorème des accroissements finis appliqué à/', il existe un nombre
réel À tel que
0 < X < 1 et /'(*) -/'(0) = xf"{Xx)
d'où
g 00 = / (Ax) — .
Lorsque x tend vers 0, comme/" est continue nous avons
«m g'W=a»
par suite
g'(0) = lim g'(x)
x->0 +
ce qui montre que g est continûment dérivable sur [0, b].
Appliquons à g le résultat du 1° nous obtenons
lim
n-> + œ J 0 X
sin nx dx = 0 ,

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
289
d'où
-b ss~\ rb
nx ,
dx =
r f /W • ., ^ i- f sinn
lim ■LL-^ sin nx dx = /(O) lim
«-► + oo J 0 x n-» + oo J 0 x
= /(0) lim P^^dy =/(0).c
n->+oo j o y
4° a) Nous avons :
r-jt/2
f" ., . sin (2 n + 1) x , f*'2 ,, .sin (2 n + 1) x ,
/(x) ~ '— dx = /(x) —^ '— dx +
J o sin x J 0 sin x
f * ,, . sin (2 n + 1) x ,
+ /(x) ^ — dx .
J H/2 S1« *
Dans la seconde intégrale faisons le changement de variable y = n — x ;
nous obtenons :
f" /(x)sin(2"+i)*dx= r -/(*-30sin(2wil)(r^
J*^' sinx Jn/2 " sm(jt-.y)
K/2 .. . sin (2 « + 1) y
r-K/2.
f(*-y)
J 0
o sin y
ày
et comme y est une lettre muette dans la dernière intégrale, nous avons en
portant dans l'égalité précédente :
sin(2n + l)x, f*/2 , ,. . .. . .sin (2 n + 1) x ,
^„ _ i ///„\ i </_ „w -dx.
f" .. . sin (2 n + 1) x , Ç7"2 , ,. . ,, . ,s
J o Mn x J o
sm x
fe) Comme lim x/sin x = 1 la fonction h est continue sur [0, n/2]. D'après
X-.0
les hypothèses, la fonction xi->[/(x) + fin — x)] est une fonction deux fois
continûment dérivable sur [0, n/2], par suite pour démontrer que «est deux fois
continûment dérivable sur [0, n/2] il suffit de le démontrer pour la fonction
k définie par k(x) = x/sin x. Les fonctions IdR et sinus sont dérivables et ne
s'annulent pas sur ]0, n/2] donc k est dérivable sur ]0, n/2] et nous avons
,,, . sin x — x cos x . .
k (x) = — si x =^ 0 .
sin x
Au point 0 nous avons k(0) = 1 donc
k(x) — k(0) _ x — sin x
x x sin x
En faisant un développement limité au voisinage de 0 de ce rapport nous
voyons que
k(x) - k(0) x , x . .. k(x) - k(0)
—— — = - + o(x) donc hm -^ — = 0
X O x-»0 + x
Calvo. — Exercices d'analyse 10

290
EXERCICES D'ANALYSE
soit k'(G) — 0. A présent observons que sur ]0, n/2], k' est un produit de
fonctions dérivables donc est dérivable et nous avons
,,,, -, x + x cos2 x — sin 2 x
k (x) = —- si xjéO.
sin x
Par ailleurs k'(0) = 0 donc
k'(x) — k'(0) sin x — x cos x
En faisant un développement limité au voisinage de 0 de ce rapport nous
trouvons
—— — = - + o(x) donc k (0) = hm —— — = - .
Ainsi nous venons de démontrer que k est deux fois dérivable sur [0, n/2],
donc k' est continue sur [0, n/2] et nous allons nous assurer de la continuitéde
k" sur cet intervalle. Tout d'abord il est clair que k" est continue sur ]0, n/2].
Calculons la limite de k"(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs positives. En faisant
un développement limité de k"(x) au voisinage de 0, nous trouvons
k"(x) = \ + o(x) donc lim k"(x) = k"(0)
et la dérivée seconde de k est bien continue,
c) Nous savons d'après 4°, a) que :
f* Nsin(2n + l)x , f*/2 r ,, . ,, ,n sin (2 n + 1) x ,
/(*) ^ — dx = [/(x) + f(n - x)] ^ '— dx
J 0 sin x J o sm x
or
[/(x) + fin - x)] Sln(2s.nn+1)x = hix) Sin(2nx+1)x
f- rin(2,+ l)»dx= p sin(2n + l)xdx
J o sin x J o x
Comme A est deux fois continûment dérivable nous pouvons appliquer le
résultat de 3°, b) et nous obtenons :
f *'2 .- - sin (2 n + 1) x „ , ,„. , „,„. ,, x*
hm h(x) Z-J— dx = c.h(0) = c(/(0) +/(ji))
donc
donc
lim /(x;
n-»+œ J 0
sin (2 n + 1) x , ,
} sïn^ dx = c(/(0) +/(*)).

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
291
5° à) La formule est vraie pour n = 0. Supposons la vraie pour (« — 1),
alors
sin (2 n + 1) x — sin (2 n — 1) x 2 sin x cos 2 nx
: = : = 2 cos 2 nx ,
sin x sin x
donc
sin (2 n + 1) x sin (2 n — 1) x
: = ; h 2 cos 2 nx
sin x sin x
= 1 + 2 cos 2 x + ■•■ + 2 cos (2 n — 1) x + 2 cos 2 nx .
La formule est donc vraie pour tout entier n ^ 0.
è) Pour tout entier p ^ 1 nous avons
r -, j rsin 2 p*i * «
cos 2 px dx = — = 0 ,
Jo L 2p J0
donc compte tenu de l'égalité trouvée à la question précédente et de la linéarité
de l'intégrale nous avons :
Ç" sin (2 n + 1) x ,
: ax = n .
J 0 sin x
c) Prenons pour/la fonction constante de valeur 1 et appliquons le résultat
obtenu au 4°, c). Nous avons pour tout entier n ^ 0 :
f sin (2 n +1)^ f"
: dx = 7i donc hm
J 0 Sin X n-> + œ J 0
sin x
Mais/(0) =f(ji) = 1 donc
sin (2 n + 1) x ,
dx = 7i,
lim f
sin (2 n + 1) x tt
: dx = 2c dou c = — ,
sin x 2
8.5 On désigne par E l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur
l'ensemble R des nombres réels. A tout élément / de E, on associe la
fonction <p = u(f) définie pour tout nombre réel x par
cp(X) = n m ât
J x
1° a) Démontrer que u est une application linéaire de E dans E.
b) Calculer la fonction q> associée à la fonction / définie par / (x) = cos ax
(a ^ 0) ; pour a convenablement choisi, la fonction <p peut-elle être nulle quel
que soit x ?

EXERCICES D'ANALYSE
2° a) Démontrer que pour tout nombre réel x, <p est dérivable et que
<p'(x)=f(x + l)-/(x).
b) L'application u est-elle surjective ?
c) Trouver le noyau u. L'application u est-elle injective ?
3° a) On suppose que/admet une limite finie / lorsque x tend vers + oo ;
<p = u(f) a-t-elle une limite lorsque x tend vers + oo ? Si oui, laquelle ?
b) La réciproque de la propriété que l'on vient de trouver est-elle exacte ?
Si elle ne l'est pas, donner un exemple qui la met en défaut.
4° La fonction/, élément de E, est choisie de manière qu'il existe des nombres
réels a, b, c tels que l'on ait :
/(x) = ax + b + - + ^-^ avec lim r(x) = 0 . (1)
X X x-»oo
Démontrer qu'il existe des nombres réels a, /?, y tels que pour ç> = u(f) on ait :
<p(x) = ax + p + - + ^^ avec lim p(x) = 0. (2)
X X v-*rr,
5° Dans cette question on pose/(x) = -Jx3 — x + 1 ou ^JA désigne l'unique
nombre réel dont le cube soit A, et naturellement (p = w(/). On ne cherchera pas
à calculer une primitive def.
a) Trouver les racines réelles de l'équation ç)'(x) = 0.
b) Etudier les variations de la fonction (p.
c) Indiquer l'allure de la courbe d'équation y = q>(x). Déterminer en
particulier son asymptote.
N. B. Pour trouver des valeurs approchées du maximum et du minimum de <p,
on pourra utiliser la courbe y = /(x). On donne
^V^3sU0 et 7l-^- 0,85 auprès.
Solution 1° a) Soient/ g deux éléments de E et A un nombre réel ; alors il résulte de
la linéarité des intégrales que pour tout nombre réel x nous avons :
«(/ + g) « = fX (/ + g) (0 d' = fX (fit) + g(0)
J x J x
rx+l rx+1
fit) àt + g(0 àt
•J x J x
ât

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
293
d'où
«W + S) 00 = "(/) (x) + w(g) (x)
et
u(Xf) (x) = f {If) (0 àt = k T /(0 dt = M/) (x) .
Nous avons donc u{f + g) = w(/) + w(g) et w(A/) = ku{f), ce qui prouve que
m est une application linéaire
b) Nous avons
f":,c+1 r-:" ~*"i*+1 sin (ax + a) — sin ax
. . T+1 , rsinatlx+1
(jp(x) = I cos at àt = =
par conséquent si a est de la forme 2 &7r avec k entier rationnel, nous avons
sin (ax + a) = sin ax et ç>(x) = 0 pour tout nombre réel x.
2° à) Posons
f(x)= \Xf(t)àt.
Comme/est continue sur R, nous savons {cf. C. E., Ch. 9, §1, n° 130) que pour
tout nombre réel x, ^est dérivable et F'(x) = /(x). Or ç>(x) = F{x + 1) — F(x)
donc pour tout x de R, cp est dérivable et nous avons :
<p'(x) = F'{x + 1) - F'(x) =/(x + 1) -/(x).
£>) Nous venons de démontrer que pour tout élément / de E, u(f) est une
application dérivable de R dans R ; comme il existe des applications continues
non dérivables, u n'est pas surjective.
c) Soit / un élément du noyau de u ; alors ç> = u(f) = 0 donc <p'(0) = 0
par suite pour tout nombre réel x nous avons (p'(x) = f(x + 1) — f(x) = 0.
Donc/est périodique admettant 1 pour période et nous avons
fX+ f(t) àt = f f(f) ât = 0 .
J x J 0
Réciproquement si/est une fonction appartenant à E, admettant 1 pour période,
dont l'intégrale est nulle sur [0, 1] ; alors pour tout élément xde R nous avons :
"(/) (x) = f* fit) àt = f f{t) àt = 0 ,
J x J 0
donc u{f) = 0 et/appartient au noyau de u.
Le noyau de u est donc formé des applications continues sur R et à valeurs
dans R, admettant 1 pour période et dont l'intégrale sur [0, 1] est nulle. Il a été
montré au 1°, b) que si k est un entier la fonction non nulle cos 2 knx appartient
au noyau de m, donc le noyau de u n'est pas réduit à { 0 } et u n'est pas injective.

EXERCICES D'ANALYSE
3° à) Pour tout nombre réel e > 0, il existe un nombre réel A tel que pour
tout nombre réel t ^ A nous ayons / — e < f(t ) < / + e ; alors si x ^ A,
x + 1 ^ A donc / — e < <p(x) < / + e d'où lim ç>(x) = /.
fe) La réciproque de cette propriété est fausse ; ainsi par exemple nous avons vu
que si/(x) = cos 2 nx, <p(x) = 0 pour tout nombre réel x, donc lim cp(x) = 0
x-> + oo
alors que/ne possède pas de limite lorsque x tend vers + oo.
4° Comme la fonction/est continue, il en est de même de la fonction
r(x) = x/(x) — ax2 — bx — c.
Comme lim r(x) = 0, pour tout nombre réel e > 0, il existe un nombre réel
A > 0 tel que pour tout nombre réel t vérifiant \ t\ ^ A, nous ayons
| KO | < « •
Il en résulte que si | x | ^ A + 1, pour tout élément t de [x, x + 1] nous avons
| 11 ^ A donc | r{t) | < e et r(t)/t est continue dans [x, x + 1] donc intégrable.
Si x ^ A + 1, nous avons :
ât <
donc
Si x < — A — 1, nous avons :
KO
ât <
donc
Posons
lim xp^
r+1 ko .
Pito = xJ Yd';
lim x
k-* + oo J je
|X+ 1
+ 1
KO
df = 0.
ât = 0.
alors nous avons
}
*+1KPdf _Pi(*)
f x
et nous venons de démontrer que lim pt(x) = 0.
X-*O0
Compte tenu de ce résultat, pour | x | ^ A + 1, nous avons :
ç,(X) = n+1 l + b+£) d<+^
= ax +
(§ + »),
+ cLog
x + 1
+
Pi(x)

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
295
Or pour | x | ^ A + 1, nous avons
x + 1
Log
par suite
= Log 11 + - j = - + EAW. avec iim p2(x) = 0;
\ XJ X X jc->oo
(p(x) = ax + ly + b) + - + -— avec p(x) = px(x) + c p2(x)
d'où lim p(x) = 0. Par suite a = a, )3 = (a/2) + b et y = c.
5° La fonction réelle / définie par/(x) = -Jx3 — x + 1, pour tout nombre
réel x, est continue donc appartient à E. D'après la question 2°, a) la fonction
(p = w(/) est dérivable pour tout x de R et nous avons
<p'(x) = f(x + 1) - f(x) = %(x + l)3 - (x + 1) + 1 - vV - x + 1.
Si « et b sont deux nombres réels, il est clair que a3 — b3 et a — b sont de même
signe donc le signe de <p'(x) est celui de :
\j/(x) = (x+l)3-x-x3+x-l = 3x2+3x = 3x(x+l).
Les racines de l'équation (p'(x) = 0 sont donc x = 0etx= — 1.
b) Du résultat de la question précédente on déduit le tableau de variations
de <p :
x
q>'(x)
9 (x)
-1
0
-|-00
-h
+
■9 H
X
+ 00
(*)■
un minimum.
ç>(— 1) = f(t) àt est un maximum ; ç>(0) = f(t) ât est
J _i J o
c) Pour calculer les valeurs approchées de ç>(— 1) et ç>(0), étudions l'appli-
cation/dans l'intervalle [— 1, 1]. Cette application se comporte comme
l'application P(x) = x3 — x + 1 qui est dérivable de dérivée 3 x2 — 1 donc / est
croissantejlans [— 1, — l/v3] décroissante dans [— l/\/3, l/v3] et croissante
dans [l/V3, 1]. De plus on a
/(- 1) = /(O) = /(l)
1 Cl /(^)=V1-2f3-0'85'

296
EXERCICES D'ANALYSE
de même
4-$-*+¥->».
le graphe de/dans [— 1, 1] est donc le suivant
y»
-î
-î
w
o
FIG. 8.5.1
è
Par suite 1 < <p(- 1) ^ 1,10 et 0,85 ^ ç>(l) ^ 1.
c) En faisant un développement limité de / au voisinage de l'infini nous
trouvons
/ i n1/3 i r(x)
f(x) = xl 1 + — I = x 1- -^ avec lim r(x) = 0 .
\ X X I 3 X X x-co
De la question 4° il résulte que
l 1 , p(x)
(p(x) = x + - - -^— +
2 3 x x
avec lim p(x) = 0 .
Par conséquent le graphe de <p admet comme asymptote la droite y = x + \.

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
297
Il se trouve au-dessus de l'asymptote lorsque x tend vers — oo et au-dessous
lorsque x tend vers + oo. Le graphe de <p est donc :
FIG. 8.5.2
0.0 Dans tout le problème on étudie des fonctions d'une variable réelle qui
prennent, selon le cas, des valeurs positives ou strictement positives. On désigne
par a un nombre réel.
1° Soit ga la fonction définie en posant pour tout nombre réel x strictement
positif,
ga(x) = x"c-1/x.
Calvo. — Exercices d'analyse il

EXERCICES D'ANALYSE
Démontrer que ga(x) a une limite lorsque x tend vers 0 par valeurs
strictement positives.
On suppose désormais que ga a été prolongée par continuité en 0 et on définit
la fonction/^ en posant pour tout nombre réel x positif,
/„(*)= fXt"e-1/(df.
J o
2° Démontrer que pour tout entier naturel n, la dérivée M-ième de la fonction
ga est de la forme
gi"\x) = x"-2" e'11* Pa,„(x)
où Pa„ est un polynôme de degré inférieur à n.
Calculer Pa<„(x) pour n = 0, 1, 2 et écrire la relation permettant de calculer
P„„ en fonction de Pa,„-i et de sa dérivée.
3° Démontrer la relation
fa(x) = xa+2 e"1'* - (a + 2)fa+l(x)
4° Démontrer qu'il existe une suite de nombres (Cfl,)i6N telle que
k
fa\x) = x e 2^ Ca<ix + Cajc+1fa+k+l(x),
i = 0
pour tout entier naturel k, et calculer les nombres Ca t (i'eN).
5° Démontrer que pour tout nombre réel positif x, on a
0 </„+i(x) < xfa(x)
6° Les fonctions fa et x i-» ha(x) = xa+2 e~1,x sont-elles équivalentes
quand x tend vers 0 par valeurs strictement positives ?
7° Résoudre l'équation différentielle
y' = 1 - x~2y (E)
où y est une fonction de la variable x, qui ne prend que des valeurs strictement
positives (on utilisera la fonction f0).
Solution 1» Si a > 0,
lim x" = 0 et lim e~1/x = 0 donc lim ga(x) = 0.
x-»0+ ■ x-»0+ x->0 +
Si a < 0 en posant y = l/x on a
EJix) = y~

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
299
or
y""
lim — = 0
j>->+oo ey
(cf. C. E., Ch. 6, § VIII, n° 93) donc
lim g„(x) = 0 .
x-»0 +
Par suite nous voyons que pour tout nombre réel a, on a
lim g„(x) = 0
x->0 +
et nous poserons dans la suite ga(0) = 07
2° On a pour tout nombre réel x strictement positif,
g'a(x) = ax-'1 e~llx + x"-2 e"1/x = x"-2 e_1/>x + 1)
g"£x) = «x"-2 e"1/x + («x + 1) [(a - 2) x""3 e_1/x + x"~4 e~1/x]
soit
g^'(x) = x"-4 e"1/x[a(a - 1) x2 + 2(« - 1) x + 1].
La proposition énoncée est donc vraie pour n = 0, 1, 2, et on a
f.,oW = 1
^a.lC*) = ÛX + 1
^>,2C*0 = «(« - 1) x2 + 2(a - 1) x + 1.
Pour démontrer le résultat général nous allons procéder par récurrence.
Supposons que la dérivée (n — l)-ième de ga soit de la forme
gr1)W = x"-2"+2e-1^Pfl,„_1(x)
où -Pfli„_i est un polynôme de degré (n — 1) au plus. Alors on a
g<">(x) = x"~2"+2 e~1,x P'^x) + *■-* e-1* P^Oc) +
+ (a-2n+ 2)xa~2n+1 e~l/x Pa,^1(x)
soit
g<">(x) = x""2" ^"[P^-iix) + x2 P;n_!(x) + (a + 2 - 2 n) xP^xj] .
Posons
P.Jx) = ** K,n-i(x) + (a + 2-2n) xP^.^x) + P^-^x) .
Alors on a
g<")(x) = xa-2"e-1^Pfl,„(x)
et comme le degré du polynôme Pflj„_ i est inférieur à (n — 1), celui du polynôme
P„3„ est inférieur à n, d'où le résultat.

EXERCICES D'ANALYSE
3° En intégrant par parties ta+1e llt ât on obtient
J o
r ta + 2 "1 x fi fa ^.«+2 i
/a+1(x) = U-?e-1H - ' e-1''dl = ^e-1*--L-/.(x)
la + 2 J0 J 0 a + 2 a + 2 a + 2
d'où
/„(x) = xa+2 e"1'* - (a + 2)/fl+1(x) .
4° La relation démontrée à la question précédente fournit des nombres
Ca,o = 1, Cflil = - (a + 2)
tels que l'on ait
/„(x) = x-^e-^Qo + Cfl>1/a+1(x).
Supposons trouvés des nombres Cfl0, Ca>1,..., Ca%k tels que
/„(x) = x"+2 e"1'*^ Q.X1 + CaMfa+k(x)
j=0
alors en remplaçant fa+k(x) par x0+'c+:2 e-1/x — (a + k + 2)fa+k+1(x) dans
l'égalité précédente, on obtient
fJLx) = x"+2 e-1/x[lo Cfl>Ix' + CflJtx*] - C„> + fc + 2)/fl+lk+1(x)
donc en posant Ca>ft+1 = — Ca<fc(û + k + 2) on a
/„(x) = x°+2 e-1M(l Ca>Ix')+ Cfl,t+1/a+fc+1(x) .
Ceci démontre qu'il existe une suite (C„ ()ieN de nombres réels telle que, pour
tout entier naturel k, l'égalité ci-dessus soit satisfaite. Cette suite est définie
de manière récurrente par Cfl0 = 1 et Cak+l = — CaJ£a + k + 2) ; on a donc
CaA = — (a + 2), Ca2 = (a + 2) (a + 3) et pour tout entier k,
Ca,k = (- 1)* (a + 2) (a + 3) ... (a + k + 1) .
5° fa+i(x) est l'intégrale d'une fonction positive sur [0, x] donc
(cf. C. E., Ch. 8, § II, n° 118, c). Par ailleurs pour tout nombre réel t tel que
0 < / < xonafe-1'' > 0donc/a+1 e_1/' < xt" e'1" et on a (loc. cit.)
P f"+1 e'1" dt < x f'i-e-^dt
J o J o
soit

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
301
Par suite on a bien pour tout nombre réel x positif
0</.+ i(*)< JSft*)-
6° On a
\fa(x) - xa+2 e"1'* | = | (a + 2)fa+1(x) \ ^ (a + 2) x/„(x)
or xfa(x) = o(fa(x)) donc fa(x) est équivalente à /î„(x) lorsque x tend vers 0
par valeurs strictement positives.
7° Pour les valeurs strictement positives de x, l'équation différentielle (E)
s'écrit aussi
X
L'équation homogène associée à l'équation (E) est
y'+1-2y = o. Ci)
X
Les solutions de l'équation (1) qui ne s'annulent pas sont celles de l'équation
/_ 1
donc en intégrant
y = Cellx
où C est un nombre réel. Pour trouver les solutions de l'équation (E) appliquons
la méthode de variation des constantes ; posons
y = C(x) e1'* (2)
où C est une fonction dérivable de x ; alors en dérivant (2) on obtient
y' = C'(x) e1'* - OÙ eu*
et en portant dans l'équation (E) il vient
C'(x) e1/x = 1
soit
C'(x) = e"1/X. (3)
En intégrant (3) on obtient alors
C(x)=f0{x) + K

302 EXERCICES D'ANALYSE
où ^f est un nombre réel, donc la forme générale des solutions de l'équation (E)
est
y = (fo(x) + K)e1/x
où K est un nombre réel.
Oi7 On désigne par <é> l'ensemble des fonctions à valeurs réelles, définies et
continues sur l'intervalle [— \, J] et on associe à chaque fonction/de <& la suite
des nombres
Q(/)= j* f(x)xkàx (feeN).
I. 1° On désigne par/une fonction de ^ et par Fia primitive de/qui s'annule
pour la valeur — \. Calculer les nombres Ck(F) en fonction des nombres
Ck(f).
2° Montrer que si P est un polynôme à coefficients réels et / une fonction de
<ê, l'intégrale
f f(x)P(x)àx
•> -i
s'exprime simplement en fonction des nombres Ck(f).
II. Dans cette partie a et h sont deux nombres réels tels que
0</z<£et/i<a<l-/i
et on définit la fonction <Ph sur [— 1, + 1] par
^ / ^ ! ~ ?
1° Etudier rapidement les variations de 4>h et tracer son graphe.
2° Déterminer pour tout nombre t de [— 1, + 1] la limite de la suite de
terme général
a»(0 = [*A(0]".
3° Montrer sans calculer l'intégrale que la suite de terme général
Jo-l
a pour limite + oo (On pourra considérer l'intégrale de la fonction «P» dans
l'intervalle [- h/2, h/2]).

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE 303
4° On désigne par g une fonction à valeurs réelles définie et continue dans
l'intervalle [a — 1, a] et minorée dans [— h, + h] par un nombre m strictement
positif. Montrer que l'intégrale
J a-l
est strictement positive dès que n est assez grand.
III 1° Montrer que si / est une fonction de ^ et si /(0) n'est pas nul, les
nombres Ck(f) ne sont pas tous nuls. On pourra étudier pour une valeur
convenable du paramètre réel h, l'intégrale
■> -Vi
2° Montrer que si la fonction / de ^ n'est pas nulle pour une valeur x0 de
l'intervalle ] — \, i[, les nombres Ck(f) ne sont pas tous nuls.
En déduire que l'application qui à toute fonction / de ^ associe la suite
(Q(/))*6n est injective.
Solution I. 1° Soit k un entier naturel. Calculons l'intégrale
Ck{F) = F(x) xk dx
J -y2
au moyen d'une intégration par parties ; on obtient
donc
(fe+l)2t + 1 fc+lJ->/2
Or,
F{^)=\/\màx = C0(f)
et
f 2 f(x)xk+1dx = Ck+1(f)
J -y2

304
EXERCICES D'ANALYSE
donc
2° Posons
Alors on a
«"-iTTlfÉ?-^]-
P(X)= £ ÛJtX*.
/c=0
f 2 /(x) F(x) dx = f 2 £ akf(x) xk àx =
= î «J/2 /(*)** dx= £ atQ(/).
(t=0 J -i/2 t=0
II. 1° <?fc(0 est un trinôme du second degré en t qui atteint son maximum pour
r = 0 et s'annule pour t = — 1 et f = + 1. L'ordonnée de son maximum est
$h(0) = 1/(1 — h2) et son graphe est la parabole suivante
FIG. 8.7
2° On voit sur le graphe précédent que si t est un élément de [— 1, + 1], on a
\$h(t)\<l si te[- 1, -h[u]h, + 1]
3*7.(0 =1 si t = h ou t = — h
| #„(0 | > 1 si te]-h,+h[

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
305
Par conséquent
si tel- 1,- fc[u] h, + 1], Iim u„(t) = 0
si t = h ou t = — h, lim u„(t) = 1
si t e ] — h, + h\_, lim u„(f) = + oo .
3° On a les inégalités
fc h
donc
-*/2 r +'1/2
r — Itii. r +A/2 ra
Vn=\ [p„(t)fàt+\ [^(0]"dt+ [^(0]"dt.
J a-1 J -h/2 J A/2
Comme la fonction [<Pfc(f)]B ne prend que des valeurs positives dans [— 1, + 1]
les trois intégrales ci-dessus sont positives, donc
rh/2
Vn>\ |>*(0]"df.
J -A/2
Or
rh/2
rh/2
[$h(t)Ydt>h Inf j>„(0]" (c/.,C.E.,Ch. 8,§II,n°119)
J -A/2 tet-h/2, A/2]
et
inf [*i(or-k(Dl"-«-ê).
»e[-A/2,*/2] L \-^/ J V-^/
Mais on a vu à la question précédente que la suite u„(h/2) tend vers 4- oo. Il en
est donc de même de la suite de terme général w„ = hu„(h/2) et la suite (v„)
qui majore la suite (w„) tend aussi vers + oo.
4° On a les inégalités a — 1 < — h ^ h ^ a donc on a
-h p+A
+
ra r-h r+h
g(0|>A(0]"d'= g(0|>A(0]"df+ g(0[^0)]"dt
J o-l •> a-1 J -A
+ fg(0[^A(0]"C
Observons que l'on a aussi
I P g(0 |>a(0]" dt I < f * I g(01 [**(0]" d* < [ Sup |>h(0]"l x
|J„-1 | J.-1 Lte[a-1, -M J
x f " |g(0|
J «—1
df

306
EXERCICES D'ANALYSE
soit en posant M = | g(t) | àt et en remarquant que
J a-1
Sup [^(t)]"=[^(-ft)]"=l
te[o-l, — hl
on obtient
f " g(0[^(0]"dt <M.
| J a-l
On démontre de la même manière que
f" g(0[^(0]"df <W
I J h
avec N = I g(f) | df. Par suite on a
- (M + N) < f " g(0 |>h(0]" dt + f " g(0 |>„(0]" dt < (M + JV) .
Jn-1 •> h
D'autre part compte tenu des hypothèses on a
-h/2
•+h/2
r+h r+h r+h/2
g(0 |>*(0]" dt > m |>„(0]" dt > m |>„(0]" dt
J -h J -h J -A/2
r+A/2
et on a vu à la question précédente que [#*(0]" df tend vers + oo lorsque
J -h/2
r+h
n tend vers + oo, donc g(f) [^h(0]" df tend vers + oo lorsque n tend vers
J -h
+ oo et il existe un entier P tel que pour tout entier n> Pon ait
r+h
g(0[^(0]"df >(M+JV).
J -j,
Alors, pour tout entier n > P l'intégrale
f" g(0|>*(0]"df
est strictement positive.
III. 1° Pour appliquer le résultat précédent, il faut montrer que/est minorée
sur un intervalle de la forme [— h, + h].
Comme/(0) ^Oon peut supposer/(0) > 0. Posons/(0)/2 = m ; comme/
est continue en 0 il existe un nombre réel h > 0 tel que pour tout élément x de
[— h, + h] on ait/(x) ^ m.

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
307
D'après la question II.4 appliquée avec a = \, il existe un entier P tel que
pour tout entier n^Pon ait
f 2 /(x)[^(x)]"dx>0.
J _i/2
Or [3>h(x)]n est une fonction polynôme en x de degré 2 n ; soient a0, ax,..., a2„
ses coefficients ; alors en appliquant le résultat de la question 1.2 on obtient
\A /(x)[^(x)]"dx= X akCk(f)
■> -y2 k=o
par suite, l'un au moins des nombres Ck(f) (0 ^ k ^ 2 n) est non nul.
2° On se ramène au cas précédent au moyen du changement de variable
y = x - x0,
r'/i rVi-xo
/(*) |>„(x)]" dx = f(y) |>hO0]" ày ■
J ->A ■> -y2-*<>
On applique le même résultat avec a = \ — x0 et la fonction polynôme
P(x) = [&h(x - x0)]".
Soit A l'application de l'espace vectoriel réel *& dans l'espace vectoriel réel
des suites de nombres réels, définie en posant pour chaque élément / de <£,
A(f) = (Ck(f))keN.
Cette application est linéaire ; en effet, si /, g sont deux éléments de "^ et X, \i
deux nombres réels, alors pour tout entier naturel k on a
ckW + wO = f2 W + m) (x) dx
J -l/2
= l\ /(x) dx + fi\ g(x) dx = kCk(f) + nCk(g)
■> -lA ■> ~lA
par suite on a
AW+ M) = M{f) + fiA(g).
Le noyau de A se compose des applications/de *& telles que l'on ait pour tout
entier naturel k, Ck(f) = 0 ; or on a vu que si/ ¥= 0 il existe un entier k tel que
Ck(f) ¥= 0, donc Ker A = { 0 } et l'application A est injective.
8.8 I. à) Si / est une fonction réelle de variable réelle, montrer en utilisant le
critère de Cauchy que si lim | f(i) | df existe, alors lim f(t)dt existe.

EXERCICES D'ANALYSE
b) Démontrer que si a est un nombre réel strictement positif, alors
hm df
existe.
c) Soit / la fonction définie par/(x) = e* cos x2 et/' sa dérivée. Les quantités
f%-'/(t)d» et [V'AOdf
J o J o
admettent-elles des limites quand x tend vers + oo ?
II. à) Soit g une fonction continue de variable réelle, à valeurs réelles et
telle que lim g(x) = L.
Trouver toutes les solutions de l'équation différentielle
y + y = g(x) . (1)
b) Montrer que pour tout nombre réel strictement positif e il existe des
nombres réels Xet X± tels que 0 < X < Xt et pour tout x > Xx on ait
rg(0e-(JC-'>df-L
J x
< e.
En déduire que si la fonction y est solution de l'équation (1) alors
lim y(x) — L .
m. à) Soit h une fonction de R dans R admettant une fonction dérivée
continue ; vérifier l'égalité
\X e~* h'(t) ât = e~* h(x) - h(G) + f e~'fc(0 df.
J o J o
f * e-' h'
J o
&) On suppose que e ' h'(t) dt tend vers une limite finie Lx lorsque x
J o
tend vers + oo. Déterminer une fonction réelle de variable réelle g, continue
et ayant une limite finie lorsque x tend vers + oo, telle que
J 0
àt
soit solution de l'équation différentielle (1).
c) Montrer que l'existence d'une limite Lx pour
PV'fc'e)
J 0
àt

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
309
lorsque x tend vers + oo, entraîne l'existence d'une limite pour
I àt et pour e-* h(x) .
\ e_tft(0«
J o
d) Réciproquement, le fait que e ' h(t) àt possède une limite lorsque x
J o
tend vers + oo entraîne-t-il l'existence d'une limite pour
fX e-' h'(t) «
J o
.)àt
J o
lorsque x tend vers + oo ?
Solution I. a) Posons
F(x) = J* |/(t) | àt et G(x) = J*/(0
àt.
Dire que lim F(x) existe est équivalent d'après le critère de Cauchy à
X-* + 00
(Ve e R* ) (3X e R) (Vx 6 ]X, + oo[) (Vx' 6 ]X, + oo[) [| F(x) - F(x') | < e] .
Montrons que G satisfait aussi au critère de Cauchy ; on a
| G(x) - G(x') | = I f f(t) àt I < f |/(0 | df
= | F(x) - F(x') |.
Donc
(Ve e R%) (3X e R) (Vx 6 ]X, + oo[) (Vx' e ]X, + oo[) [1 G(x) - G(x') | < e]
d'où on déduit que G(x) possède une limite lorsque x tend vers + oo.
b) Une intégration par parties donne
f cos t , Tsinfl . f*sinf ,
àt = +a -vrdf
Ji c L f Ji Jif+1
fx sin t
sin x . . f sin t ,
sin 1 + a —- àt.
On a
smx
lim = 0
je-* +oo X

EXERCICES D'ANALYSE
fx sin t ,
et d après la question précédente pour que —^y àt ait une limite
J 1 l
[x\sint\ ,
lorsque x tend vers + oo, il suffit que ] —g+1 àt en ait une. Comme
J 1 t
| sin 11
f+i
>0
la fonction H(x) = I —g+1 àt est croissante. Montrons qu'elle est
J 1 t
majorée. On a
Ji f+1 Jif+1 «\ W «
car x > 1 et a > 0. La fonction H est croissante et majorée ; elle possède une
fx sin t ,
limite lorsque x tend vers + oo, par suite -^ df en possède une aussi.
c) On a
[ e~7(f)df = [ cosf2df.
J o J o
En faisant le changement de variable u = t2 et en posant
A = cos t2 àt,
J o
on trouve
rx rx rV*cosw
e */(0 dt = A + cos t2 d/ = ^ + 2~~TdM •
rV*cosw r*
D'après fc), lim I -—T^àu existe donc e *f(t)àt possède une limite
X-»+oo J 1 2 VM J 0
lorsque x tend vers + oo.
On a
f'(t) = e'(cosf2 - 2fsinf2)
d'où
i e~'/'(0 dt = - 2 [ f sin f2 df + [ cos f2 àt.
J o J o J o

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
311
Nous savons déjà que cos t ât possède une limite lorsque x tend vers + oo.
J o
D'autre part on a
2 t sin r dt = cos x2 - 1
f
J o
donc — 2 t sin t2 dt ne possède pas de limite lorsque x tend vers + oo ;
J o
par suite
rx
idt
J 0
n'a pas de limite lorsque x tend vers + oo.
II. a) L'équation homogène associée à l'équation (1) est
y' + y = 0. (2)
Les solutions de l'équation (2) qui ne s'annulent pas sont celles de l'équation
^=-1 (3)
y
d'où en intégrant
y= Ce"
où C est un nombre réel.
Pour trouver la solution générale de l'équation (1) appliquons la méthode de
variation des constantes ; posons
j> = C(x)e-* (4)
où C est une fonction dérivable de x ; en dérivant (4) on obtient
y' = C'(x) e~* - C(x) e~*
d'où en portant dans l'équation (1)
C'(x)e-* = g(x)
soit
C'(x) = g(x) ex>
et
C(x)= f e'g(0df+ 1
J o

EXERCICES D'ANALYSE
où X est un nombre réel. La solution générale de l'équation (1) est donc
^ = e-*(£e'g(0df + 2)
où A est un nombre réel.
b) Si X et x sont deux nombres réels tels que X < x on a
f* S(t) e~(*-t) àt-L = e~x P g(t) e' àt - e~x P L e' dt +
J x J x J x
+ e~x\ L e àt -
J x
■■ P(g(0-L)e'df + Le-*[e';&-L
J x
P(g(0-L)e'df-Lex-*.
J x
— e
= e
Comme lim g(t) = L pour tout nombre réel a strictement positif, il existe un
nombre réel Xtel que pour tout x ^ X on ait | g(t) — L | < a. Pour cet ^nous
obtenons la majoration
f g(0 e~(*~° àt- L < a e~x \' e' àt + | L |
J x J x
„*-*.
or
«e-1 \ e'dt + | L | ex_* < a(l - ex_*) + | L | ex_* < a + (| L | - a)ex
J x
donc
P g(f) e-(x-° df - L < a + (| L| - a) e*-* .
I Jx
Comme lim e~* = 0 il existe un nombre réel Xt que l'on peut choisir supérieur
X-*- + 00
à X, tel que pour tout x > X1 on ait (| Z, | — a) ex~* < a. On a alors pour
x > X,
g(0 e
-(*-«)
àt - L
< 2a
ce qui démontre l'inégalité cherchée en prenant pour tout nombre réel e
strictement positif, a = e/2.

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
313
Si y est une solution de l'équation (1) nous savons que
Soit e un nombre réel strictement positif. Nous savons qu'il existe deux nombres
réels A'et Xt tels que 0 < X < A"j et tels que pour tout x ^ Xt on ait
J x
£
<2"
On a alors
I r* I rx
y(x)- L\ = \ e~* ef g(f) df + A e~* - L < e~* e'g(f) dt + A
I J o I J o
+ {' e-l'-»g(t)ût-L
J x
I e'g(f)ât + A est une constante et comme lim e x = 0, il
J 0 | je-» + oo
Comme
existe un nombre réel X2 tel que pour tout x > A^ on ait
fXe'g(0
J o
àt + X
£
Alors pour x > sup (Ar1, A"2) on a
ce qui prouve que
Xx) - L | < | + | = e
lim y(x) — L
X-* + 00
III. à) En effectuant une intégration par parties on trouve
f * e~ h'(t) ât = [e-* h(t)~]x0 + fX e"' h(t) àt
J o J o
h(x) - h(0) + \ e"' h(t) àt.
J o
b) Pour que e-' h(t) àt soit solution de l'équation (1) il faut et suffit que
J o
= e
l'on ait
P e-' h(t) àt = ex ([' é g(f) àt + lj

EXERCICES D'ANALYSE
d'où on tire
e* f e-'h{t)ût = \ ég(t)dt + l.
J o J o
En dérivant par rapport à x les deux membres on trouve
e* le-* h(x) + f* e-' h(t) àt\ = e* g(x) .
La fonction g est donc nécessairement définie par
g(x) = e~* h(x) + f e-' h(t) dt.
J o
La fonction g ainsi définie est évidemment continue ; il reste à montrer qu'elle
admet une limite lorsque x tend vers + oo. D'après l'égalité de III, a, on a
g(x) = f e_t h'(t) àt + h{0) d'où lim g(x) = Lt + h(0) .
J 0 jc-* + oo
c) D'après la question 111,6, e~'h(t)dt est solution de l'équation (1)
J o
où figure une fonction g telle que
lim g(x) = Lx + h(0) .
Mais d'après la question II, b nous savons que
lim e_t h(t) dt = lim g(x) = Lt + h(0) .
En reportant ce résultat dans l'égalité III, a on trouve
lim e~x h(x) = lim ( f e_t h'(t) dt + h(0) - f e-' h(t) dt) = 0 .
d) I ê~ h(i) dt peut avoir une limite quand x tend vers + oo sans que
J o
f e-'h'(t)dt
J o
en ait une. La fonction x h-► /(x) = ex cos x2 étudiée dans la question I, c
fournit un exemple de cette situation.

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
315
0i9 1° Soit/une fonction à valeurs réelles, définie, continue, deux fois dérivable
sur l'intervalle [a, b] et telle que f(à) — f(b) = 0. Soit x0 un élément de
]a, b[ ; montrer qu'il existe un nombre réel £, e ]a, b[ tel que
f(xo)=f-^(x0-a)(x0-b).
(On pourra étudier la fonction x h-» /i(x) = f(x) — 04/2) (x — à) (x — b) où
2/(x0) \
(x0 - a) (x0 - b)/ '
A =
2° Soit g une fonction deux fois dérivable sur [a, b] telle qu'il existe deux
nombres réels met M tels que pour tout élément x de [a, b] on ait
m ^g"(x) ^ M.
Démontrer que l'on a pour tout élément x de [a, b]
„ (x - a) (x - b) x - b x - a (x - a) (x - b)
M - ^ g{x) - g(fl) - g(b) < m ■
1 a — b b — a 1
En déduire les relations
,{b-a)3 f6„/AJ b-a.,.,.,^^ „ (b - a)3
M
— a) f , x , b — a , . . .,., (b - a) ...
-^- ^ J g(x) dx — (g(fl) + g(b)) ^ - m 12 . (1)
3° En appliquant la double inégalité (1) à la fonction Log sur
l'intervalle [n, n + 1] (où n e N*), démontrer la relation
1
2 A" + ^)(L°g(" + !) - L°g«) - ! < J^i •
12(« + 1)
4° On pose pour tout enîier n non nul,
u„ = Log (nn+l e-") - Log (« !)
et pour tout entier « ^ 2,
1
v„ = u„ +
12(n - 1)-
Démontrer que la suite (u„) est croissante et que la suite (v„) est décroissante.
En déduire que la suite («j converge vers une limite C et que l'on a pour tout
entier n S= 2
1 (2)
< w„ < C
12(« - 1)
5° On pose pour tout entier « e N
ritt
J 0
Tt/2
sin" x dx,

316
EXERCICES D'ANALYSE
Démontrer les relations : I0 = n/2, It = 1,
I0> h> - > /„ > In+l > •
et
n — 1 r
I„ = i„_2 pour tout entier n > 2 .
n
En déduire les valeurs de l2n et 72n+1-
6° Démontrer la relation
,. 24"(« !)4
n = lim —
n-» + oo ((2 n) !) n
et en déduire que
C = - i Log 2 n .
Solution 1° On a/i(o) = /(o) = 0,/i(Z>) = /(b) = 0,/t(xo) = 0. D'après le théorème
de Rolle il existe un nombre réel rj e ]o, x0[ et un nombre réel t]' e ]x0, b[
tels que/ï(»?) =fî(rf) = 0. En appliquant à nouveau le théorème de Rolle on
trouve un nombre réel £ e ]rj, r]'[ tel que/"{(<!;) = 0. Mais
/i(*) = /'(x) - Ax + a-~ et /l'(x) = /"(x) - X ;
donc
/;® = o d'où x=/"(o
et on obtient l'égalité cherchée.
2° Considérons la fonction /* définie par
h(x) = g(x) - g(a) r - g(b) t .
a — b b — a
On a A(o) = /*(£) = 0 et h est deux fois dérivable sur [a, b]. En appliquant le
résultat précédent à la fonction h on trouve pour tout élément x de ]o} b[ un
nombre réel £, e ]a, b[ tel que
h(x) = l^(x - a)(x- b).
Mais /*"(<!;) = g"(0- Tenant compte du fait que (x — a) (x — b) est négatif on
obtient
(x - a) (x - b) (x - à) (x - b)
M ^ h(x) < m — .

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
317
Comme les inégalités, sont évidemment vraies pour x = a et x = b, on a bien
démontré l'inégalité demandée pour tout élément x de [a, b]. L'intégrale
conservant les inégalités, on en déduit
M rb
f f m f
(x — a) (x — b) dx ^ h(x) dx < — (x — a) (x — b) dx .
J a ^ a •* o
Or on a
r-6
(x — a) (x — b) dx =
f6 Tx3 x2 l6
= [x2-(a + b) x + ab]dx = — - (a + b)-y + abx\
b3 (a + b)b2 2 fl3 (a + b)a2 2
= _ T- + ab -y + —j « *
2b3-3ab2-3b3 + 6ob2-2fl3 + 3o3 + 3o2b-6a2b (&-a)3
D'autre part
rb rb
[ h(x) dx = [ g(x) dx - -^- f (x - b) dx - -^~ [ (x- a) dx
g(a)(a-b)2 g(b)(b-a)2
= [ g(*)
dx
2(o - b) 2(b - à)
= Ç g(x) dx - h-^ (g(fl) + g(fc)) .
On obtient finalement
, (b - a)3 f6 , . j (b - a) , . , ,... (b - a)3 „.
- Mv 12 < J g(x) dx - 2 (g(c) + g(b)) < - mv 12 . (1)
3° On a
-n+l
pn+l
Log x dx = [x Log x — x]£+1 = (« + 1) Log (« + 1) - n Log n
La dérivée seconde de Log x étant — 1/x on a
1 1
M = et m = r
(n + l)2 n2

318
EXERCICES D'ANALYSE
L'inégalité (1) devient
1
12(« + 1)
<(« + !) Log (« + !) — « Log n — 1
Log n _ Log (n + 1) 1
2 2 " 12 n2
ce qui équivaut à
r < (« + -)[Log (« + 1) - Log «] - 1 < .
12(« + l)2 \ 2/L J 12 n2
4° Calculons d'abord wn+1 — w„. On obtient
un+1 -un = Log ((n + l)n+(3/2) e-"-1) - Log (n + 1) ! -
- Log (nn+(1/2) e-") + Log (« !)
= (n + 2)Lo8 (" + 1) - « - 1 - (« + 2")Log " +
T (n + 1) !
+ n - Log- j-^-
n !
= (n + 2) [Log (« + !)- Log ri]- l.
Comme
w„+i - w» > 7— -^ > 0
12(« + l)2
la suite (m„) est strictement croissante. D'autre part
1 1
vn+i - «B = "n+i - wn +
12 n 12(« - 1)
= un+1 - n, - —— < m„+1 - u„ - -— < 0
12 n(n — 1) 12 «
d'après l'inégalité (1). Donc (t>„) est une suite strictement décroissante, de plus
il est clair que pour tout entier n > 2 on a u„ < vn et que
lim («„ - w„) = 0
B-* + OO
donc les suites (un) et (vn) sont adjacentes et par suite elles convergent vers une

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
limite commune C. La suite (u„) étant croissante on a pour tout entier n
u„ < C et la suite (v„) étant décroissante on a pour tout entier n S= 2,
1 !
M„ = «„ — ttt; rr > C -
12(« - 1) 12(n - 1) '
d'où l'inégalité (2).
rn/2 n rn/2
5° I0 = dx = -; Ii = sin x dx = [— cos x]j$/2 = 1
J o 2 J 0
On a
/•Tt/2
/„ — /„_!= (sin x — 1) sin"-1 xdx < 0
J o
donc la suite (/„) est strictement décroissante.
Pour tout entier n > 2 on a
rn/2 rn/2
I„ = sin" x dx = (1 — cos2 x) sin"-2 x dx
J o J o
rn/2 rn/2
~ sin"~2xdx— sin"-2 x.cos2 x dx
J o J o
^[sin"-1x.cosx]S/2 , .„
n — 1 n — 1
,= '«-2 - - rCsin""1 ^.cosx]S/2 - TI}
d'où
Ai — Ai-2 r'i
1_
n- 1*""
On obtient donc bien
1" ~ „ J"~2
On a alors
_2n-l_2«-3 1 (2 w) !
2 « 2 « — 2 2 2 («!)
2 « 2 « - 2 2 r 22n(« !)2
J2n+1 — o „ . i o „ 1 n ■*! /'
2/! + l 2/i-l 3 * (2 « + 1) ! '
6° Nous savons que I2„-i > hn > Iin+i- On a donc
22(""1)[(«- l)!]2 (2 w) ! n 22"(» !)2
(2^- 1) ! > 22n+1(« !)2 (2 « + 1) !

320
EXERCICES D'ANALYSE
... n(2 n) !
En multipliant par 2„_1—^ on trouve
Comme
on a
n.2n ((2«)!)2n 2«
1 = > vv y y 7T >
2 n2 24n(« !)4 2 n + 1
hm 7 = 1 ,
„-+002« + 1
24"(« !)4
lim — = 7r.
„-> + «> ((2 «)!)2«
D'après 4° nous savons que
lim (Log («n+(,/2) e-") - Log n !) = C;
donc
„»+(%) e-«
lim = e
Par suite, lorsque n tend vers + oo on a
C/2)„-2n-C
« ! ~ «n+(,/2) e-"-c et (2 n) ! ~ (2 n)2n+(1/2' e
et par suite
24n(«!)4 24"«4"+2e-4n~4c 1 _2C
((2«)!)2« (2«)4"+%e-4"-2C 2
mais nous savons que
> 4n/M i\4
24> !)4
lim — = % ,
»- + oo ((2«)!)2«
donc on a i e~2C = n d'où C = — \ Log 2 n.
8.10 Soient/et g des fonctions continues à valeurs réelles, définies sur l'intervalle
[— 1, + 1]. Soit M la fonction définie pour tout nombre réel u par
M(u)= SuP (/+wg)(x).
-l«x«l

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
321
Pour tout nombre réel u, on désigne par E(u) l'ensemble des points x de
l'intervalle [— 1, + 1] tels que
(f+ug)(x) = M(ii).
1.1° Déterminer explicitement la fonction M et l'ensemble E(u) pour tout
nombre réel u dans chacun des cas suivants :
a) f(x) = Vl - x2, g(x) = x
b) f(x) = x4 - 2 x2, g(x) = 4 x2.
On montrera que dans le cas (b) la fonction M n'est pas dérivable au point £.
2° On suppose que g(x) = x pour tout élément x de [— 1, + 1]. Démontrer
qu'il existe une fonction / et une seule, dérivable sur ]— 1, + 1[, telle que
/(O) = 0 et telle que pour tout élément u de l'intervalle ]— ji/2, + 7i/2[, sin u
appartienne à E(u). Déterminer la fonction M associée. Déterminer E(u) pour
tout nombre réel u.
II. On revient au cas général.
1° Soient u et v des nombres réels, x un point de E(u), y un point de E(v).
Montrer que l'on a
(v - u) g(x) ^ M(v) - M(u) ^ (v - u) g(y).
2° Montrer que la fonction M est continue.
3° Soit q> une fonction définie sur R à valeurs dans [— 1, + 1] telle que
pour tout u de R, ç>(u) appartienne à E(u) ; on pose h = g o q>. Montrer que si
u < v < w et si j; est un élément de E(v), alors h(u) ^ g{y) ^ h(w).
4° Montrer que pour tout nombre réel v, h admet une limite à droite et une
limite à gauche au point v et qu'on a
lim h(u) ^ Inf g(v) ^ Sup g(y) ^ lim h(u) .
u^*v— 3?eE(u) yeE(u) u-*v +
5° Soit v un nombre réel ; montrer qu'on peut extraire de la suite
une suite (wk) telle que la suite (ç(wk)) admette une limite finie y. Montrer que y
appartient à E(v) et en déduire que
lim h(u) = Sup g(x) .
u-*v+ JceE(u)
Indiquer comment on démontrerait que
lim h(u) = Inf g(x) .
u-*v— xeE(v)

322
EXERCICES D'ANALYSE
6° Démontrer l'équivalence des trois conditions suivantes
(a) h est continue au point v.
(P) g est constante sur l'ensemble E(y).
(y) M est dérivable au point v.
Solution lo à) Nous avons (/+ ug)(x) = y/l — x2 + ux. Etudions la fonction
f + ug sur l'intervalle [— 1, + 1] ; on a
(f+ug)(- 1)= -u
{f+ug)(\) = u
et si x e ]— 1, + 1[
,r V/ . —x — x + u V1 — x2
(/ + "g) (x) = , + u =
Vl - x2 Vl - x
2
La fonction dérivée s'annule si et seulement six = uyjl — x2 soit
u
x2 = w2(l — x2) soit encore x =
car x est du même signe que u. On a
Vl + u2
"♦-brTïKA-iT?
u2 1 + u2
+ -i=2 = i . = vi
Vl + w VI + w
+ u
2
Or on a (f + ug) (1) = u, (f + ug) (— 1) = - u, et | t \ ^ V1 + t2 Pour tout
nombre réel t, donc nécessairement M(u) = v 1 + w2. L'ensemble ^(m) est
l'ensemble des points x de [— l, + l] tels que (/+ ug)(x) = M(w), mais
l'étude de la fonction prouve que/ + ug présente un et un seul maximum local
sur [— 1, + 1] donc la valeur M(u) est prise une seule fois d'où
(
E(u) =
. Vl + w2
b) Nous avons (/+ ug)(x) = x4 + (4 u — 2)x2. Etudions la fonction
f + ug sur l'intervalle [— 1, + 1] ; on a
(f+ ug){- 1) = (/+ ug)(\) = Au - 1
(/+ ug)' (x) = 4 x3 - 4 x(l - 2 w) = 4 x(x2 + 2 m - 1) .
Nous devons donc distinguer les cas 2u— 1 ^0et2w— 1 <0.

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
323
Si 2 u — 1 < 0, f + ug admet un maximum local au point 0 et des
minimums locaux aux points VI —2m et — VI — 2 w ; nous devons donc
comparer (/■+ ug) (0) = 0 et (/"+ ug) (1) = 4 u - 1.
Si 4w — l > 0, M(u) = 4u - 1 et si Au — 1 s^O, M(u) = 0. La fonction
M est donc définie par M(u) = 4u — 1 si u ^ £ et M(u) = 0 si m < %. Il est
clair que M est continue, qu'elle admet une dérivée à droite et une dérivée à
gauche au point \ et que celles-ci sont différentes puisque
M'JX) = 4 et M'g{\) = 0 .
De l'étude déjà faite on déduit immédiatement que si u > %, E(u) = { — 1, + 1} ;
E(i) = { - 1, 0, + 1 } ; et si u < i, E(u) = { 0 } .
2° Nous cherchons une fonction / telle que la fonction F(x) = /(x) + ux
admette un maximum au point sin u. Il faut avoir pour cela F'(sin u) = 0
c'est-à-dire/'(sm w) = — u, ce qui pour — n/2 < u < n/2 équivaut à
f'(x) = — Arc sin x avec — 1 < x < 1 .
Comme/(0) = 0, on a nécessairement
/(x) = — Arc sin t.dt.
■J o
Cette intégrale se calcule par parties et on trouve
/(*) = [— t Arc sin (]£ + —- = — x Arc sm x — \j\ — x2 + \ .
J o V1 - t2
Il est clair que pour obtenir une fonction continue sur [— 1, + 1] il faut
définir la fonction/aux points — 1 et + 1 par la même formule. Nous venons
de démontrer que si le problème admet une solution, c'est nécessairement la
fonction /définie sur [— 1, + 1] par
/(x) = — x Arc sin x — V1 — x2 + 1 .
Vérifions maintenant que cette fonction convient ; on a bien /(0) = 0 et / est
dérivable sur ]— 1, + 1[. La dérivée (/ + ug)' (x) = — Arc sin x + u s'annule
une seule fois au point sin u si u e ] — n/2, + n/2[. Comme la fonction Arc sin
est croissante, (/ + ug)' (x) ^ 0 si x ^ sin u et (/ + ug)' (x) < 0 si x 5= sin u,
donc la fonction / + ug admet un maximum et un seul au point sin u. On a
(/ + ug) (sin m) = — u sin u — vl — sin2 w+l+wsinw=l— cos u
car cos u ^ 0 pour u e ] — n/2, + n/2[.
Par suite on a pour — n/2 < u < n/2, M(u) = 1 — cos u et sin u e E(u) ;
si u 5= n/2 ouu< - n/2 la dérivée de / + ug ne s'annule pas donc M(u) est
égal au plus grand des nombres (/ + ug) (1) = 1 — n/2 + u et (/ + ug) (— 1)
= 1 - (n/2) - u .

EXERCICES D'ANALYSE
Finalement on a
!M(u) = 1 — (n/2) — u si u < — n/2
M(u) = 1 — cos u si — n/2 < u < n/2.
M(u) = 1 - (n/2) + u si u ïs n/2
La fonction M est partout dérivable sauf peut-être aux points — n/2 et n/2 où
toutefois elle admet des dérivées à droite et à gauche. Or on a Mj(n/2) = 1
et M'g(n/2) = sin (n/2) = 1, donc M est dérivable au point n/2 ; par ailleurs on a
Mg(- n/2) = - 1 etMâ(- n/2) = sin(- n/2) = - 1, donc M est dérivable au
point — n/2, et par suite partout dérivable.
On a:
E(u) = { - 1 } si u ^ - n/2
E(u) = { sin u } si — n/2 < u < n/2 .
E(u) = { + 1 } si u ïs n/2
II. 1° D'après les hypothèses on a
A^(") = /(*) + ug(x)
et
M(r)=/0) + qgOO.
Comme f(x) + vg(x) ^ M{v) on a
/(*) + «*(*) - [/"(*) + ««(*)] < M(») - M(u)
donc
(v - u) g(x) ^ M(v) - M(u).
De même /(y) + ug(y) < M(u) et par suite
/GO + »«G0 - [/"M + »*G0] < M(u) - M(v)
donc Af(u) — M(m) ^ (v — u) g(y) ce qui démontre la double inégalité
(» - m) g(x) ^ M(v) - M{u) < (» - u) gO) . (1)
2° La fonction g étant continue sur [— 1, + 1], elle est bornée sur cet
intervalle. Posons
a = Sup |g(x)|.
xe[-l,+ l]
Si a = 0, la fonction g est la fonction nulle et la double inégalité (1) montre que
M est constante donc continue.
Supposons a # 0 et montrons que M est continue au point u. La double
inégalité (1) entraîne
| M(v) - M(u) \^a\v-u\;
si b est un nombre réel strictement positif, il suffit de prendre | v — u | < e/a
pour avoir | M(u) — M(v) \ < b ce qui prouve que M est continue.

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
325
3° La double inégalité (1) montre que si u < v, si x est un point de E(u) et y
un point de E(v), alors g(x) ^ g(y) ; mais par définition (p(u) est dans E(u) donc
h(u) = g|>(w)] *S g(y) ■
On démontre de la même manière que g{y) < h(w) en remarquant que <p(w)
est un élément de E(w).
4° Nous venons de démontrer que h est une fonction croissante ; or nous
savons (C. E., Ch. 4, § V, n° 51) qu'une fonction croissante admet des limites à
droite et à gauche en tout point et plus précisément que
lim h(u) = Sup h(u) et lim h(iî) = Inf h(ii) .
M-*D— U<V U~*V + U>V
On vient de voir que si y est dans E(v) alors g(y) ^ h(w) pour tout w < v, donc
g(y)^\nïh(u);
u>v
comme cette inégalité est vraie pour tout élément y de E(v) on a bien
Sup g(y) < lim h(u).
On démontre de manière analogue que
lim h(u) ^ Inf g(y)
«-♦K— yeE(v)
et on trouve bien
lim h(u) < Inf g(y) ^ Sup g(y) < lim Ji(").
M->I>— J>éIs(d) J)é£(d) W-HJ +
5° La suite \<plv H—) )„3:1 est minorée par — 1 et majorée par + 1. On
peut donc (cf. exercice 1.20) en extraire une suite convergente (q>(wk)).
Posons
y = lim (p(w^ ■
fc-»+co
Nous savons que
M(wk) =f(<p(wk)) + wkg((p{wk)) ;
pour tout élément x de [— 1, + l]ona
/(*) + wkg(pc) ^M(wk).
Sachant que
lim wk = v et lim <p(wk) = y ,
fc->+oo fc-*+oo
en utilisant la continuité de/et g on obtient par passage à la limite
/(*) + »*(*) </(y) + ««00 •

EXERCICES D'ANALYSE
Cette inégalité étant vraie pour tout élément x de [— 1, + 1], elle prouve que y
est un élément de E(y). Or
lim h(u) = lim h(wk) = lim g^w^) = g(y).
Ce résultat joint à la formule (2) prouve que
Pour montrer que
lim h(u) = Sup g{y) .
lim h(u) = Inf g(y) ,
M-»D— yeE(v)
il suffit de montrer qu'il existe une suite (w'k) extraite de la suite
telle que (<p(w'k)) converge vers un élément de E(v).
La formule (2) devient
lim h(u) = Inf g(y) ^ Sup g(y) = lim h(u).
m-*u— yeE(v) yeE(v) u-*v +
6° La fonction h est continue au point v si et seulement si
lim h(u) = lim h(u),
ce qui d'après la formule (3) est vrai si et seulement si
Inf g(y) = Sup g(y),
y e E(v) y e E(i>)
c'est-à-dire si et seulement si g est constante sur E(v). Nous avons donc démontré
que les conditions (a) et (/?) sont équivalentes.
Montrons que la condition (oc) implique la condition (y). Si u est un nombre
réel, nous savons que <p(u) appartient à E(u), et <p(v) appartient à E(v). La
double inégalité (1) s'écrit alors
(v - u) g(<p(u)) < M(v) - M(u) «S (v - u) g(<p(v))
et pour i)#Mona
,, „ M(v) - M(u) ,, ,
h(u) < —^ ^ ^ h(v) ,
V — U
on a donc
M(u) - M{v)
U — V
h(v)
s£ | h(u) - h(v) |

PROBLÈMES DE SYNTHÈSE
327
La fonction h étant continue au point v,
lim | h(u) - h(v) \ = 0 ,
et par suite
lim = h(v )
m - i;
ce qui prouve que Af est dérivable au point v et que
M'(v) = *(») = g(ç>(»)).
Remarquons que ce résultat est indépendant du choix de ç) ; en effet, si la
condition (oc) est satisfaite, la condition (/?) l'est aussi et g est constante sur E(p).
Montrons maintenant que la condition (y) entraîne la condition (/?).
Supposons M dérivable au point v et posons D = M'(v). Si v > u et si y est un élément
de E(v), la double inégalité (1) donne
M(P) " M(M) < gCv)
d — u
d'où
,. M(v) - M(u)
D = lim —4 -^ sj g(y) .
De la même formule on déduit que si v < u, alors
M(v) - M(u)
v-u > *">
donc
,. M(«) - M(u)
D = lim —^ -^ ^ g(y) .
On a donc pour tout élément y de £■(«), g(y) = D ce qui prouve que g est
constante sur £Xtf).
Notons que ces résultats permettent d'affirmer directement que la fonction M
trouvée à la question 1(1) (b) n'est pas dérivable au point \, et que les fonctions
M trouvées au 7(1) (a) et au 1(2) sont partout dérivables.
Imprimé en France — JOUVE, 18, rue Saint-Denis, 75001 PARIS
N° 11413. Dépôt légal : Mai 1983 - 7e édition - N° Armand Colin : 8.525