К. А. БОХАН,
И. А. ЕГОРОВА,
К. В. ЛАЩЕНОВ
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ТОМ I
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ФАКУЛЬТЕТОВ
ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ
Под редакцией
проф. Б. 3. ВУЛИХА
Издание 2-е
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
МОСКВА 1972
517.2
Б86
Бохан К. А. и др.
Б 86 Курс математического анализа. Т. I. Учеб. посо->
бие для студентов-заочников физ.-мат. фак-тов пед.
ин-тов. Под ред. проф. Б. 3. Вулиха. Изд. 2-е. М..,
«Просвещение», 1972.
51! с.
Перед загл. авт.: К. А. Бохан, И. А. Егорова, К. В. Ла-
щенов.
4-6-4	517,2
БЗ Л 8—1972—№ 14
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Предлагаемый курс математического анализа рассчитан на студентов-заочни-
ков. Хотя существует большое количество учебников по математическому анализу,
которыми пользуются студенты стационарных вузов, однако эти учебники рас-
считаны, как правило, на то, что студент изучает их параллельно со слушанием
лекций и имеет постоянный личный контакт с преподавателем. Заочник работает
в других, более трудных условиях, и'поэтому он нуждается в таких дополнитель-
ных пособиях, которые могли бы хоть частично облегчить его работу. К такому
типу пособий относится и этот курс, составленный сотрудниками кафедры
математического анализа Ленинградского педагогического института имени
А. И. Герцена.
В курсе особенно подробно рассматриваются основные понятия математиче-
ского анализа, приводится большое количество столь же подробно решенных
примеров, даются не только упражнения обычного типа для самостоятельной
работы студента, но также и вопросы для самопроверки, которые помогут
студенту-заочнику выяснить, насколько хорошо он разобрался в изучаемом
курсе. Если студент пожелает иметь дополнительный материал для упражнений
сверх того, который содержится в этой книге, ему можно рекомендовать как
различные общие задачники по математическому анализу, например Н. А. Давы-
дова, П. П. Коровкина и В. Н. Никольского, или Г. Н. Бермана, или
Б. П. Демидовича, так и специальные задачники-практикумы, изданные Мос-
ковским заочным педагогическим институтом.
В процессе изучения курса студент должен глубоко вникать в сущность всех
новых понятий и формулировок всех теорем. При разборе каждой теоремы очень
полезно выяснить, где в доказательстве используется то или иное ее условие.
Изучение того или иного параграфа можно считать законченным лишь тогда,
когда студент может безошибочно воспроизвести все содержащиеся в этом пара-
графе определения, теоремы с их доказательствами и ответить на вопросы,
поставленные для самопроверки. Только после этого рекомендуется переходить
к следующему параграфу.
При изложении материала в этом курсе иногда, по более сложным и тонким
вопросам, делаются ссылки на учебник Г. М. Фихтенгольца «Основы математи-
ческого анализа». При ссылках [1] означает том 1 этого учебника, а [2] — том 2.
Кроме книги Г. М. Фихтенгольца, студенты-заочники могут также использовать
учебники Н. А. Фролова «Дифференциальное и интегральное исчисление» и «Курс
математического анализа», часть 2, и И. Е. Жака «Дифференциальное исчисление».
При написании книги авторы пользовались сборниками задач Г. Н. Бермана,
Б. П. Демидовича и других авторов.
Весь курс состоит из двух томов, содержащих десять разделов. Доцепг
К. А. Бохан написал I и II разделы этого курса, главу девятнадцатую раздела VI,
а также § 4 главы шестнадцатой раздела V. Доцент И. А. Егорова написала
разделы V, VII, VIII, IX и X. Доцент К. В. Лащенов написал -разделы
III и IV, а также семнадцатую и восемнадцатую главы раздела VI. В согласова-
нии глав и разделов между собой принимали участие все авторы.
Проф. Б. 3. Вулих
1*
ОТ АВТОРОВ
На кафедре математического анализа Ленинградского государственного педа-
гогического института имени А. И. Герцена авторы данного курса в течение
многих лет систематически работали над созданием специальных учебных
пособий для студентов-заочников педагогических институтов. Эти пособия издава-
лись Ленинградским педагогическим институтом имени Герцена, а также боль-
шими тиражами Московским государственным заочным педагогическим инсти-
тутом. Длительное время пособия использовались в работе многих пединсти-
тутов. При подготовке к печати данного курса авторы с благодарностью учли
полезные замечания и советы, высказанные рецензентами, а также лицами,
работавшими с этими пособиями. Поэтому можно сказать, что настоящее учебное
пособие является итогом многолетней работы авторов над созданием специаль-
ных учебных пособий для студентов-заочников пединститутов.
В течение всех этих лет доктор физико-математических наук, профессор
Б. 3. Вулих неизменно оказывал нам большую помощь своими ценными сове-
тами и замечаниями и проделал огромный труд по редактированию настоящего
пособия. Мы выражаем ему особую благодарность.
Выражаем также глубокую благодарность доктору физико-математических
наук, профессору | И. П. Натансону доктору физико-математических наук, про-
фессору С. Г. Михлину и доктору физико-математических наук, профессору
Н. Я. Виленкину, которые принимали участие в чтении рукописей и сделали
много ценных указаний.
Авторы просят присылать отзывы и отдельные замечания по данному курсу
по адресу: Ленинград, Д-88, Мойка, 48, ЛГПИ, математический факультет, ка-
федра математического анализа.
авторы
Раздел I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Г Л А В А I
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
Понятие вещественного числа принадлежит к основным поня-
тиям математического анализа. Средняя школа не дает учащимся
достаточного представления о вещественных числах и их свойст-
вах. Поэтому естественно было бы начинать изучение математи-
ческого анализа с расширения и углубления школьных знаний
о числе. Однако теория вещественных чисел сама по себе явля-
ется далеко не простой. Хотя существуют различные подходы
к построению теории вещественных чисел (метод сечений, опреде-
ление вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей
и др.), но каждый из них на первых порах работы по математи-
ческому анализу, притом заочно, может вызвать значительные
затруднения. Здесь для облегчения первоначального знакомства
с вещественными числами мы ограничимся краткими сведениями
о них, не претендуя на полноту и строгость. Считаем, что этих
кратких сведений достаточно для успешной работы над последую-
щими главами. Если же читатель пожелает изучить теорию веще-
ственных чисел более глубоко и полно, то это можно сделать,
например, по рекомендованной нами книге Г. М. Фихтен-
гольца [1].
Параграфы, посвященные свойствам абсолютных величин,
а также понятиям о границах множеств, о сегментах, интервалах
и окрестностях, следует рассматривать как вспомогательный мате-
риал для последующих глав.
§ 1.	ПОНЯТИЕ множества
Понятие множества также принадлежит к числу основных
понятий математического анализа. Оно не поддается определению
через более простые понятия и может быть лишь описано или
пояснено на примерах.
Под множеством будем понимать собрание, совокупность,
коллекцию некоторых предметов, объединенных по какому-то опреде-
ленному признаку. Так, можно говорить о множестве всех нату-
ральных (целых положительных) чисел, о множестве только чет-
5
ных или только нечетных чисел. Все рыбы, находящиеся в вод-
ных бассейнах нашей планеты, также составляют определенное
множество. Можно, конечно, рассматривать множества рыб опре-
деленного вида, возраста, размера и т. д. Примерами множеств
могут служить также множество корней данного уравнения, мно-
жество всех многочленов, множество чисел, кратных 3, множество
целых чисел, больших числа 10 и меньших числа 100; множество
стульев в данной аудитории, множество букв данного алфавита
и т. п.
Предметы, составляющие данное множество, называют его эле-
ментами.
Если имеем какое-то определенное множество, то относительно
любого предмета верно одно и только одно из двух утверждений:
либо этот предмет входит в данное множество в качестве его эле-
мента, либо не входит.
Символическая запись
/И = ’х}
означает, что множество М состоит из элементов х. В этом случае
под х понимают любой элемент множества М. В зависимости,
от того, что представляют собой элементы х, определяется и при-
рода самого множества М: то ли это будет множество рыб, то ли
стульев, чисел и т. д.
Если элементы множества можно обозначить отдельными сим-
волами, то их выписывают подряд, заключая также в скобки,,
например:
Л = {а, Ь, с, d, е, f} или М = {1, 2, 3, .... п, ...}.
В последнем множестве выписаны не все элементы. Однако доста-
точно ясно показано, что N есть множество всех натуральных
чисел.
В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями:
Запись х <= М означает, что х является элементом множества М,
или х принадлежит множеству М (е —знак принадлежности).
Запись х &И означает, что х не является элементом множества М,
или хне принадлежит множеству М.
Так, например, если М есть множество четных чисел, то число
2еЛ1, а число ЗеЛ4.
Будем называть множество А подмножеством множества В или
его частью и записывать ЛсВ (или В дэ Л), если каждый эле-
мент множества А является также элементом и множества В
(сд —знак включения). Так, если Л —множество четных положи-
тельных чисел, а В — множество натуральных чисел, то Лсд В
(или В дд А). Заметим, что в определении подмножества не исклю-
чается случай, когда А совпадает с В.
Множества А и В называются равными, А = В, если одновре-
менно
А сд В и В сд А,
б
то есть если множества А и В состоят из одних и тех же элемен-
тов. Так, множество {2, 3} и множество корней уравнения
х2 — 5х + 6=0 равны.
Множество {х} называется конечным, если имеет смысл гово-
рить о числе его элементов, то есть если количество его элементов
можно выразить каким-то определенным числом. В противном
случае оно называется бесконечным множеством. Примерами конеч-
ных множеств могут служить множество жителей какого-нибудь
города или множество всех людей на земном шаре. Совокупность
всех натуральных чисел есть бесконечное множество.
Если во множестве нет ни одного элемента, то оно называется
пустым множеством. Понятие пустого множества в ряде случаев
оказывается весьма удобным. Указывая способ образования того
или иного множества, мы заранее не всегда уверены, будет
ли это множество содержать хотя бы один элемент. Например,
решая задачу об отыскании множества целых корней уравнения
ла4-х+1=0, мы придем к ответу, что это множество пустое.
Пусть даны два множества Л и В.
Если каждому элементу множества А поставлен в соответствие
един и только один элемент множества В так, что каждый эле-
мент из В при этом окажется соответствующим одному и только
одному элементу из А, то говорят, что между множествами А и В
установлено взаимно однозначное соответствие.
Если, например, между студентами в аудитории распределены
стулья таким образом, что каждый студент имеет стул и больше
свободных стульев нет, то можно сказать, что между множеством
студентов и множеством стульев, находящихся в аудитории, уста-
новлено взаимно однозначное соответствие.
При изучении математического анализа нам придется в основ-
ном иметь дело с множествами чисел и множествами точек. Введен-
ные здесь определения и обозначения в дальнейшем окажутся
весьма полезными.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Совпадают ли множества {а, Ь, с, <1, е} и {а, с, е, d, £>}?
Отв. Совпадают, так как они состоят из одинаковых элементов. Порядок
расположения элементов во множестве не имеет значения.
2.	Во время игры назывались номера: 5, 2, 3, 4, 5, 3, 5 и 7. Укажите
то множество номеров, которое участвовало в игре.
Отв. {2, Я, 4, 5, 7}.
3.	Укажите, какие из нижеперечисленных множеств будут конечными и какие —
бесконечными
а)	Множество студентов данного института.
б)	Множество целых отрицательных чисел.
в)	Множество натуральных чисел, кратных числу 7.
г)	Множество маковых зерен данного урожая.
д)	Множество корней данного многочлена.
е)	Множество всех прямых, которые проходят через заданную точку.
4.	Образуйте все возможные подмножества данного множества А = {а, b, с, d}.
Т
5.	Дано два числовых множества: А = {2, 3, 5, 6, 7} и В—{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Является ли множество А подмножеством множества В’	_
6.	Тот же вопрос по отношению к множествам А — {2, 3, о, о, 1} и в —
= 41 2 3 5 61.
7.	Дано два множества' А = -{8, 2, 1, 3, 6, 7} и В = {2, 3, 7, 1, 8}. Которое
из них является подмножеством другого’
8.	Почему про пустое множество можно сказать, что оно включается в любое
наперед данное множество’
9.	Какими должны быть два конечных множества, чтобы между ними можно
было установить взаимно однозначное соответствие’
10.	Даны два множества А—множество, состоящее из десяти стульев, и В —
множество, состоящее из десяти студентов.
Можно ли сказать, что А = В? Можно ли установить между этими множест-
вами взаимно однозначное соответствие’
§ 2.	МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Будем исходить из того, что читатель знаком с натуральными
числами, любыми целыми числами (положительными, отрицатель-
ными и числом нуль), а также с дробными числами, то есть чис-
лами вида где т и п — натуральные. Все эти числа объеди-
няются под общим названием—рациональные числа.
Заметим, что целые числа также могут быть записаны в виде
дробей вида -, если положить л=-1. При т = 0 и любом нату-
ральном п имеем: -~=0. Поэтому рациональные числа можно
определить как всевозможные числа, представимые в виде дроби ,
где т может быть любым целым числом (не исключая нуля), а п —
по-прежнему натуральное.
Если у т и п есть общие делители, то дробь можно сокра-
тить. Например,
Таким образом, всякое рациональное число, отличное
от нуля, представимо в виде несократимой дроби вида ±	.
Будем считать также известными читателю правила арифмети-
ческих действий над рациональными числами. Множество всех
рациональных чисел условимся обозначать буквой R.
Каждое рациональное число можно изобразить определенной
точкой на прямой.
В самом деле, возьмем Горизонтальную прямую и отметим на ней
произвольную точку. Она будет изображать число нуль и потому
обычно называется нулевой точкой. Возьмем затем еще какую-нибудь
точку на этой прямой справа от нулевой точки. Она будет изобра-
жением единицы. Отрезок прямой с концами в точках 0 и 1 будет,
таким образом, единицей длины, или масштабом.
Прямую, на которой выбрана нулевая точка, определено напра-
вление и указан масштаб, называют числовой прямой или числовой.
8
3	1	1 ъ
-3	-2'2-1	0 11	213
.. I -----И 'I I-----+—4——I »-
Рис. 1.
осью (рис. 1). Чтобы изобразить точкой любое целое число ±р,
нужно единицу длины отложить р раз от нулевой точки вправо
1Т	, т	т
или влево в зависимости от знака этого числа. Числам Ч-и----•
п	п
будут соответствовать	точки на	прямой,	которые	получатся,	если
единицу	длины	разделить	на п	равных частей и одну	часть	отло-
жить т раз соответственно вправо или влево от нулевой точки
(рис/ 1).
Точки прямой, соответствующие рациональным числам, называ-
ются рациональными точками.
Если два рациональных числа а и Ь удовлетворяют неравенству
а<Ь, то точка Ь расположена на прямой правее точки а. Если
рациональное число с удовлетворяет неравенству а<_с<(Ь, то точка
с находится между точками а и Ь. Соответственно говорят, что
число с находится между числами а и Ь.
Отметим основные свойства множества рациональных чисел R.
1.	Для любых двух рациональных чисел а и b справед-
ливо одно и только одно из трех соотношений: либо а<Ь,
либо а>Ь, либо а = Ь. При этом, если а<Ь и Ь<с, где
с — также рациональное число, то а<^с.
Это свойство называется упорядоченностью множества R.
2.	Если числа а и b—рациональные, то их сумма, раз-
ность, произведение и частное (последнее при делителе,
отличном от нуля) являются также рациональными чис-
лами.
3.	Между любыми двумя различными рациональными
числами а и b существует промежуточное рациональное
число.
Так, например, число	(по свойству 2) будет рациональ-
ним, и если a<z b, то а<^ c<Z b, так как а = —к—-<Г —й—<Z —я—= &•
Между числами а и с, с и b таким же способом можно указать еще
по рациональному числу и т. д. Таким образом, между любыми
рациональными числами а и b содержится не только одно, а беско-
нечное множество различных рациональных чисел. Это свойство
называется плотностью множества R.
Если последнее свойство множества рациональных чисел пере-
вести на геометрический язык, то оно означает, что между любыми
двумя различными рациональными точками на числовой прямой
содержится по крайней мере одна рациональная точка (а тогда
и бесконечное множество рациональных точек).
9
Можно доказать и более общее утверждение. Именно, между
любыми двумя различными точками на числовой прямой содержится
по крайней мере одна рациональная точка (а тогда и бесконечное
множество рациональных точек). Иными словами, любой участок
числовой прямой, каким бы малым он ни был, содержит бесконеч-
ное множество рациональных точек.
Указанное свойство множества рациональных точек называют его
плотностью и говорят, что множество рациональных точек распо-
ложено всюду плотно на числовой прямой.
При этом естественно возникает вопрос, а не будут ли рацио-
нальные точки заполнять собой сплошь всю числовую прямую? Дру-
гими словами: нельзя ли сказать, что каждой точке а на прямой
соответствует определенное рациональное число, указывающее на>
длину отрезка от 0 до и? Отри-
А	нательный ответ на этот вопрос
/	дается следующим примером.
/	\	Построим равнобедренный пря-
/	\	моугольный треугольник с кате-
/	' том, равным единице длины (рис. 2).
/	\	Откладывая гипотенузу на прямой,
/	I	получим точку М. Покажем, что
/	1	среди всех рациональных чисел не
.—-------------—	найдется такого числа, которому
соответствовала бы эта точка,
, Рис‘ 2-	то есть что точка М не являет-
ся рациональной. Прежде всего
заметим, что (0Л)2 = I2 +12 = 2. Следовательно, достаточно доказать,
что нет такого рационального числа, квадрат которого равнялся бы 2.
Допустим обратное: пусть такое число существует. Ясно, что оно
не может быть нулем. Остается предположить, что оно представимо
в виде несократимой дроби , где т и и— натуральные числа»
то есть ~у==2. Тогда
m2 = 2n2.	(1)
Отсюда следует, что т2 есть четное число. Но тогда четным будет
и число т, так как в противном случае т3 было бы также нечет-
ным, поскольку квадрат любого нечетного числа есть число нечетное:
(26+ 1)2 = 4£2 + 4£+ 1=2(2£2 + 2Л) + 1.
Пусть m--=--2k, где k — какое-то целое число. Тогда равенство (1)
примет вид: 4Л2 = 2п2, или 2&2 = п2. Из последнего вытекает, что и2,
а следовательно, и п есть также четные числа. Но тогда т ока-
зывается сократимой дробью, что противоречит нашему предположе-
нию. Этим самым установлено, что на прямой, кроме рациональных
точек, есть еще и другие точки Одновременно доказано, что vрав-
нение х2 — 2 = 0 не может быть разрешено в рациональных числах.
10
Таким образом, множества рациональных чисел 7? оказывается
недостаточно, чтобы решать даже такие простые задачи, как изме-
рение длин, решение уравнений, установление взаимно однознач-
ного соответствия между числами и точками прямой и т. д. Можно
было бы привести еще много примеров и задач, решение которых
невозможно, если иметь в обиходе только рациональные числа. Все
это привело к необходимости расширения множества /?. к пополне-
нию его новыми, так называемыми иррациональными числами.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Обладает ли свойством плотности множество всех целых чисел?
2.	Может ли быть плотным конечное множество чисел или точек?
3.	Доказать, что сумма двух рациональных чисел есть число рациональное.
4.	Доказать, что число не является рациональным.
5.	Доказать, что уравнение х3 —2 = 0 не имеет рациональных корней.
§ 3. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
Решая задачу о расширении множества рациональных чисел,
будем исходить из необходимости создать такое множество чисел,
которое можно привести во взаимно однозначное соответствие с мно-
жеством точек на прямой.
При рассмотрении прямой как множества точек существенную
роль играет следующая аксиома.
Аксиома (непрерывности прямой). Если множе-
ство всех точек прямой разбито на два класса так, что
каждый из классов не пуст и все точки первого класса
расположены левее всех точек второго, то существует
пограничная точка, которая является либо самой правой
в первом классе, либо самой левой во втором классе.
Из этой аксиомы следует, что прямая является сплошной
линией, без «дырок». В каком бы месте мы ни разрезали прямую
на две части, разрез пройдет через одну из точек прямой. Это соот-
ветствует и нашему наглядному представлению о прямой.
Займемся выяснением вопроса, нельзя ли положение произволь-
ной точки на числовой прямой определить с помощью одних лишь
рациональных точек. Если это можно каким-то образом сделать,
то, применяя аналогичную конструкцию к рациональным числам,
мы придем и к определению вещественного числа.
Пусть а — произвольная точка на числовой прямой. Тогда мно-
жество всех рациональных точек можно разбить на два класса А
и В следующим образом. К классу А отнесем все рациональные
точки, лежащие левее точки а, и будем называть его нижним клас-
сом. К классу В отнесем все рациональные точки, лежащие правее
точки а, и будем называть его верхним классом. При этом оба
класса будут не пусты. В частности если окажется, что а является
также рациональной точкой, то ее можно включить в любой из клас-
11
сов. Для определенности в этих случаях будем точку а включать
в нижний класс А.
Такое разбиение множества рациональных точек называется сече-
нием и обозначается А /В.
Два сечения A/В и А'/В' будем считать тождественными, если
их соответствующие классы совпадают, то есть если А — А'и В —В’.
Легко показать, что различные точки а и 0 на прямой задают
различные сечения. Действительно, на участке прямой между точ-
ками а и 0 найдется по крайней мере одна рациональная точка г.
В соответствии с определением сечения она будет принадлежать
нижнему классу одного сечения и верхнему классу другого. Следо-
вательно, эти сечения не тождественны.
Таким образом, любая точка а на прямой определяет некоторое
сечение во множестве рациональных точек, причем различным точ-
кам соответствуют различные сечения. Точку а называют погранич-
ной точкой между классами сечения, определяемого ею.
Можно подойти к определению сечения во множестве рациональ-
ных точек и с другой стороны, не оперируя точкой а.
Будем называть сечением такое разбиение множества рацио-
нальных точек на два класса А и В, при котором:
1)	А и В —непустые множества,
2)	каждая рациональная точка принадлежит одному из классов
А или В,
3)	каждая точка из А находится левее любой точки из В.
Из аксиомы непрерывности можно вывести, что при таком опре-
делении сечения во множестве рациональных точек всякому сечению
также соответствует некоторая пограничная точка, которая произ-
водит это сечение. Однако эта пограничная точка не обязательно
будет рациональной.
Итак, можно сказать, что между сечениями во множестве рацио-
нальных точек и всеми точками прямой существует взаимно одно-
значное соответствие.
Аналогичными построениями во множестве рациональных чисел R
можно определить вещественные числа как границы всевозможных
сечений во множестве R. Это делается следующим образом.
Разобьем множество всех рациональных чисел R на два класса
А и В так, что;
1)	Л и В не пусты,
2)	каждое рациональное число принадлежит одному из классов
А или В,
3)	каждое число из класса А меньше любого числа из класса В.
Такое разбиение будем называть сечением во множестве R рацио-
нальных чисел и обозначать А/В.
В качестве примеров сечений в R рассмотрим следующие:
1.	К классу А отнесем все рациональные числа г«<5, а к клас-
су В—все остальные рациональные числа, то есть г >5.
2.	К классу А отнесем все рациональные числа г <' 5, а к клас-
су В — все остальные рациональные числа, то есть
12
3.	К классу А отнесем все отрицательные рациональные числа,
нуль и все такие положительные рациональные числа, квадрат ко-
торых меньше 2, а к классу В — все остальные рациональные числа.
В первых двух примерах рациональное число 5 является «погра-
ничным» числом между классами А и В. Оно будет либо наиболь-
шим в нижнем классе А (пример 1), либо наименьшим в верхнем
классе В (пример 2). Сечения такого вида называются рациональными.
Они всегда имеют в качестве «пограничных» рациональные числа.
Что же касается третьего примера сечения, то «пограничного»
числа среди рациональных чисел не найдется, так как можно дока-
зать, что в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем
классе нет наименьшего. Докажем, например, что в А нет наиболь-
шего числа, то есть, что, какое бы число а из этого класса мы
ни взяли, в нем найдется число а0>а. Пусть а — любое положи-
тельное число из А (в случае, когда а<0, ясно, что оно не может
быть наибольшим, так как нуль и все положительные числа из А
будут больше а). Числа будут больше а при любых п
(п=1, 2, 3, ...). Подберем такое п, чтобы было
Раскрывая скобки, получим:
g । 2(2 	1 сэ
а	2,
а это неравенство равносильно неравенству
—* ^2а —2—а^*
Отсюда находим:
2<i 4—
«>“2=^Г
и для выполнения последнего неравенства достаточно взять
Тогда
/	1 \2
(а+ -М <2
\	“0 /
и, следовательно, число аь—а-\-~ будет принадлежать классу А.
Поскольку пода мы понимали любое положительное число в классе А,
то этим и завершается доказательство. Совершенно аналогично дока-
зывается, что в классе В нет наименьшего числа.
Сечение во множестве рациональных чисел, обладающее тем свой-
ством, что в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем
классе нет наименьшего, называется иррациональным сечением.'
13
Соотнесем каждому иррациональному сечению некоторый символ а
и будем называть его иррациональным числом.
Таким образом, иррациональное число определяется сечением
и возмещает недостающее «пограничное» число, как бы становясь
между всеми числами класса А и всеми числами класса В. В при-
мере 3 таким иррациональным числом является V2. Иррациональ-
ных чисел, очевидно, столько, сколько можно осуществить ирраци-
ональных сечений во множестве R, то есть бесконечное множество.
В силу взаимно однозначного соответствия между множеством
всех рациональных чисел и множеством всех рациональных точек
прямой каждому сечению во множестве рациональных чисел будет
соответствовать определенное сечение во множестве рациональных
точек. Следовательно, каждому иррациональному числу будет соот-
ветствовать определенная точка прямой.
Изложенный здесь способ введения иррациональных чисел с по-
мощью сечений в множестве рациональных чисел принадлежит немец-
кому математику Р. Дедекинду (1831 —1916).
Все рациональные и иррациональные числа в совокупности обра-
зуют множество так называемых вещественных или действительных
чисел, которое условимся обозначать через, W.
Из сказанного выше следует, что каждое вещественное число изоб-
ражается некоторой точкой на прямой. Можно доказать, что верно
и обратное, то есть что каждая точка на прямой является геомет-
рическим образом некоторого вещественного числа. При этом разные
вещественные числа имеют разные образы. Тем самым между мно-
жеством 1F и множеством всех точек на прямой устанавливается
взаимно однозначное соответствие.
Точки числовой оси часто отождествляются с соответствующими
числами. Вместо того чтобы сказать: «Точка, соответствующая
числу а» —говорят коротко: «Точка а».
Отмеченным выше соответствием определяется и упорядочение
множества W. Вещественное число а считается меньшим, чем вещест-
венное число р, если точка прямой, соответствующая числу а, нахо-
дится левее точки, соответствующей числу р. Числа аир равны
между собой, если им соответствует одна и та же точка прямой.
Безотносительно к точкам прямой понятия «больше», «меньше»
и «равно» определяются для вещественных чисел следующим об-
разом.
Случай 1. Оба числа а и р — рациональные. Для них эти
понятия мы считаем уже известными из курса средней школы. Мы
пользовались ими при определении понятия сечения.
Случай 2. Одно из двух чисел а или р, например сс, раци-
ональное, а второе иррациональное. В этом случае число р, будучи
иррациональным, определяется некоторым иррациональным сече-
нием В/В' во множестве рациональных чисел. Число а, как раци-
ональное, должно по определению сечения принадлежать одному из
классов, В или В'. Будем считать, что а больше, чем р, и обоз-
начать а> р, если а принадлежит верхнему классу В' сечения В/В'.
14
Если же а принадлежит нижнему классу В, то оно считается чис-
лом, меньшим, чем р, а <; р (рис. 3).
Случай 3. Оба вещественных числа а и Р —иррациональны.
Пусть а определяется сечением А/А', а р —сечением В/В'. Будем
считать, что а>р, если класс А больше класса В в том смысле,
что А целиком содержит в себе класс В, не совпадая с ним (рис. 4):
Если классы Л и В (а значит, А' и В') совпадают, то числа аир
считаются равными, а==Р (рис. 5).
Из этих определении можно вывести, что любые два веществен-
ных числа аир сравнимы между собой, то есть всегда имеет место
одно и только одно из соотношений: а>р, а<р, а = р. Это свой-
ство называется упорядоченностью
множества W.
Можно показать, что из нера-
венств а<Р и р<у, где а, р ну —
вещественные числа, следует нера-
венство а<у.
Также нетрудно установить, что
среди вещественных чисел нет ни
наибольшего, ни наименьшего.
Рис. 5.
Множество рациональных чисел всюду плотно в множе-
стве IV всех вещественных чисел, то есть если а и р—
любые вещественные числа и а < р, то существует рацио-
нальное число г, удовлетворяющее неравенству а<г<р.
Отсюда уже следует, что между аир содержится бесконечное мно-
жество рациональных чисел.
Это свойство сразу вытекает из аналогичного свойства множества
рациональных точек, но оно может быть выведено и непосредственно
из определения иррациональных чисел с помощью сечений. Пусть,
например, числа а и р— иррациональные и а<р. Предположим,
чго число а определяется сечением А/А', а число р— сечением В/В'
в множестве рациональных чисел Л?. Так как а<р, то класс А
входит в класс В, не совпадая с ним. Это значит, что существует
такое рациональнее число г, которое содержится в В и не содер-
жится в А. Из последнего следует, что тогда г должно содержаться
в А'. Так как геВ, то г<р. Так как ге=4', то г>а. Следова-
тельно, а<г<р. Этим мы доказали, что между любыми двумя раз-
личными иррациональными числами существует рациональное число.
Если же одно из чисел, например а, иррациональное, а другое, р —
15
рациональное, то из неравенства а<р следует, что число ₽ принад-
лежит классу Л' сечения Л/А', определяющего иррациональное
число а. Поскольку в Л' нет наименьшего числа, то в этом классе
найтется рациональное число г<|3. Так как геЛ', то г>а. Сле-
довательно, снова получаем а<г<;р. Случай, когда оба числа
а и Р — рациональные, рассмотрен при изучении свойств множества
рациональных чисел R (§ 2).
Аналогично сечению во множестве рациональных чисел, во мно-
жестве вещественных чисел W можно так же ввести понятие сечения
как такое разбиение множества IF на два класса X и У, при кото-
ром выполняются следующие условия:
1)	множества X и У не пусты,
2)	каждое вещественное число попадает в один ир классов,
X или У,
3)	каждое число из класса X меньше любого числа из класса У.
При рассмотрении различных случаев сечений в R мы встрети-
лись с таким сечением (иррациональное сечение), когда среди рацио-
нальных чисел не оказалось числа, которое можно было бы считать
«пограничным» в этом сечении. Это было основанием для введения
новых, иррациональных чисел с целью пополнения множества R.
После определения сечения в W естественно выяснить вопрос, нет ли
подобного случая и во множестве вещественных чисел. Иначе говоря,
не появляется ли необходимость пополнения тем же методом мно-
жества W7 за счет введения еще каких-нибудь новых чисел. Отри-
цательный ответ на этот вопрос дает следующая (основная в теории
вещественных чисел) теорема.
Теорема (Дедекинда). Для любого сеченая X/Y во
множеств всех вещественных чисел W существует вещест-
венное число, которое производит это сечение, то есть
число, которое будет либо наибольшим в X, либо наимень-
шим в У.
Иначе говоря, во множестве W не существует такого сечения,
чтобы одновременно в нижнем классе не было наибольшего числа,
а в верхнем-—наименьшего.
Это свойство множества W называется свойством полноты
или непрерывности. Из сказанного выше следует, что мно-
жество R рациональных чисел этим свойством не обладает.
Теорему Дедекинда мы приводим без доказательства.
Метод сечений позволяет так же определить арифметические дей-
ствия над любыми вещественными числами. Эти действия являются
обобщением известных действий сложения, вычитания, умножения
и деления над рациональными числами и подчиняются основным
законам арифметики. На этих вопросах мы также не останавлива-
емся и лишь в качестве примера наметим схему определения суммы
вещественных чисел.
Пусть а и р — два вещественных числа, определяемые соответ-
ственно сечениями Л/Л' и В/В' во множестве рациональных чисел R.
Обозначим через а произвольное рациональное число из класса А,
16
через а' —произвольное рациональное число из класса А'. Рацио-
нальные числа классов В и В' обозначим соответственно через b и Ь\
Тогда
ае^а^а' и Л-С В <4.
Определим сумму двух вещественных чисел а-(-Р как такое вещест-
венное число у, которое удовлетворяет неравенству а 4- b < у < а' Д Ъ',
каковы бы ни были рашюнальйые числа a, b, d и V, взятые из
соответствующих классов. Можно доказать, что такое число сущест-
вует и единственно.
В заключение коротко остановимся на представлении веществен-
ных чисел с помощью десятичных дробей. Покажем на примере
числа ]/2, как строится такое представление.
Так как 12=-1 <2, а 22 = 4>2, то 1 <У”2<2 и число 1 можно
рассматривать как приближенное значение J/2 с недостатком, а
число 2 — как приближенное, значение ]/2 с избытком. Допускаемая
погрешность такого приближенного представления, очевидно, меньше,
чем 2—1 = 1. Разделим отрезок с концами в точках 1 и 2 на 10 рав-
ных частей. Возводя в квадрат последовательно числа 1,1; 1,2;
1,3; .... получим, что 1,4а= 1,96<2; 1,52 - 2,25 >2. Следовательно,
1,4<)/2<1,5. Дробь 1,4 является приближенным значением J/2
с недостатком, а 1,5 —с избытком. Допускаемая при этом погреш-
ность меньше, чем 1,5—1,4=0,1.
Разделив отрезок с концами 1,4 и 1,5 снова йа 10 равных час-
тей и вычислив последовательно значения квадратов чисел 1,41; 1,42,
найдем, что 1,4Р =1,9881 <2; 1,422 —2,0164 >2, то есть 1,41 <
< V 2 < 1,42, и погрешность приближения меньше, чем 1,42 — 1,41 =
= 0,01. Делим отрезок с концами 1,41 и 1,42 снова на 10 равных
частей и, действуя аналогичным образом, найдем, что 1,414 <
<1/2 <1,415 с точностью приближения до 0,001, и т. д.
Очевидно, этот процесс приближения будет бесконечным, так как
в противном случае оказалось бы, что некоторая десятичная дробь
(рациональное число) равна иррациональному числу ]/ 2. В связи
с этим говорят, что число |/2 представимо бесконечной десятичной
дробью, и пишут: 1/2 = 1,414 .. . В общем случае можно доказать,
что всякое иррациональное число представимо в виде бесконечной
непериодической десятичной дроби, а всякое рациональное число—
в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Вопросы для самопроверки а упражнения
1.	Отнесем к классу А все рациональные числа, квадрат которых меньше 2,
а к классу В —все остальные рациональные числа Почему 'такое-разбиеииа
жества R не является сечением’	t „ ,-
2.	Каким основным свойством отличается множеств^ ifex	чисел W
т множества всех рациональных чисел R?
1956
3.	Чем обьяснить, что множество всех рациональных чисел R не обладает
свойством полноты или непрерывности?
4.	Доказать, что среди положительных рациональных чисел, квадрат которых
больше двух, нет наименьшего.
§ 4. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА
Понятием абсолютной величины и неравенствами, связанными с
абсолютными величинами, нам придется в дальнейшем пользоваться
очень часто как в теории математического анализа, так и в его
приложениях.
Определение. Абсолютной величиной вещественного
числа а. называется само число а., если оно неотрицательное, или
число —а, если а отрицательное.
Пользуясь принятым обозначением |а| абсолютной величины
числа, можно записать:
, . ( а, если а 2s О,
а ==<
( —а, если а<0.
Очевидно, для любого вещественного числа а справедливо
— |а|=СагС|а| и | — а| = |а|.
Теорема 1. Неравенства | а | Р и —равно-
сильны.
Доказательство. Пусть ja|«gp. Тогда — |a|Ss — р, и так
как —| а | гС а | а |, то подавно—р=са=ср.
Пусть справедливо неравенство — р «5 а р. Это значит, что
одновременно выполняются Неравенства а < р и a 2s—Р- Из послед-
него имеем: —а=ср. Так как по определению | а | есть либо а,
либо —а, то | <х | р.
Теорема 2. Неравенства | а | < Р и р<а<р равно-
сильны.
Аналогичное предыдущему доказательство этой теоремы представ-
ляется читателю.
Теорема 3. Абсолютная величина суммы нескольких
чисел не превосходит суммы абсолютных величин этих
чисел, то есть для любого п справедливо неравенство
I ®1 + a2 "Г • •  “Ь ап | * ) al ) + I К2 I 4“ • • • + I an |.	(1)
Доказательство. Воспользуемся методом математической
индукции. В основе этого метода, как известно, лежит следующий
принцип:
Утверждение справедливо для всякого натурального числа п,
если:
1)	оно справедливо для п=1 и
2)	из справедливости утверждения для какого-либо произволь-
ного натурального n = k следует его справедливость для n = k+l.
18
Иногда по смыслу вопроса приходится проверять справедливость
утверждения не с п=1, а с п = р. Так, в нашем случае установим
сначала справедливость неравенства (1) для и = 2.
Пусть cq и а2 — любые вещественные числа. Для них справед-
ливы неравенства
— | oq |	| cq | и —|aa|=sSa3<|a2|.
Складывая их почленно, получим:
— (I «1) +1 a21) < «1 + a2 (| «11 +1 a21) •
По теореме 1 это двойное неравенство равносильно неравенству
Jcq + a2|sS|oq| + |a2|.	(2)
Предположим теперь, что неравенство (1) справедливо для n~k,
то есть
I aJ + а2 + • • • + ak I I ! + I a2 I + • • • + |
и докажем его справедливость для п — A-f-l. Действительно, при-
меняя неравенство, уже доказанное для двух слагаемых, получим:
I cq -Г ос2 ~4~ * • • *4“ ~4~	|z= [ (^i “I- ^2 ~4~ • * • +	"4~ ®*л+11
I «1 + a2 + as + • • • +	|	+1 «л-  11
«С | ax j 1 I +1 аз I + • • • +1 ak I +1	1.
Отсюда следует, что неравенство (1) справедливо для любого п.
Теорема доказана.
Если в неравенстве (2) заменить си на —«а, то получим:
I а1-С<2 I I а1 14“ I a2 I >	(3)
то есть абсолютная величина разности двух чисел не пре-
восходит суммы абсолютных величин этих чисел.
Далее, так как для любых чисел ах и а2 имеем:
а1~ (а1 + аг)— а2>
то из неравенства (3) получаем:
I аХ I = I (“1 + а2) — «2 ) I «1 + а21 +1 а21-
Отсюда
К+ «2 12s HI — I «2 I-
Заменяя в последнем неравенстве а2 на —а2, получим:
I ai — «21 2s| ах | — | а21-
Таким образом, абсолютная величина суммы и разности
двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих
чисел.
Из определения действия умножения чисел следует, что
1  «21 = | осЛ [ - ] а2 [,
19
то есть абсолютная величина произведения равна произведе-
нию абсолютных величин сомножителей. Это свойство сохра-
няется и для любого числа сомножителей
] ах • а2 • as... ал | = | otj | • ] а21 • | а31... | а„
В частности, если в последнем равенстве положить a1==a2 = a3 =
= ... — a„ —а, то получим:
П1 = |аГ.
то есть абсолютная величина степени с целым положи-
тельным показателем п некоторого числа а равна этой
же степени его абсолютной величины.
Из определения частного двух чисел следует, что
I I	! ”11
I “2 I	| «2 | ’
то есть абсолютная величина частного равна частному от
деления абсолютной величины делимого на абсолютную
величину делителя.
Заметим, наконец, что абсолютной величине разности двух ве-
щественных чисел можно придать следующий геометрический смысл:
если а и Р —какие-то точки прямой, то |а — 0| есть расстояние
между этими точками. Например, если а=—5, а |J = 7, то рас-
стояние между этими точками равно |а —р| = |— 5 — 7| = 12.
Рассмотрим несколько примеров, связанных с понятием абсолют-
ной величины.
Пример 1. Решить неравенство |2х —5|=^3.
Заменим данное неравенство равносильными неравенствами: — 3=sg2x—5г£3.
Прибавляя к каждой из частей этих неравенств число 5, получим: 2 sg 2х sg 8.
Поделив почленно эти неравенства на 2, найдем искомое решение: 1 х -g 4.
Пример 2. Решить неравенство х2 —9<0.
Данное неравенство можно записать так:х2<9. Так как Ух2=1х|, то I х | <
<3 или — 3<х<3. В общем случае неравенство х2-~а<0 при любом a > О
имеет решение: j х I < У а , а неравенство х2—а>0 имеет решение | х j > У а •
Пример 3. Решить неравенство х2—5х-|-6 < 0.
Зная корни трехчлена, стоящего в левой части данного неравенства (хх = 2;
х2 = 3), можем представить его в виде
(х--2) (х— 3) < 0.
Известно, что произведение двух множителей отрицательно лишь в том случае,
когда эти множители имеют разные знаки. Следовательно, возможны два случая:
либо х —2<0, ) либо х—2 > 0, )
х-3>0, /	х — 3<0. /
Первая система неравенств не имеет решения (не совместна), а вторая имеет реше-
ние 2 < х < 3.
Заметим, что данное в этом примере неравенство можно решить и другим
способом. Действительно, представим левую часть неравенства в виде разности
квадратов:
20
Отсюда получаем:
Г	5V	1	|	5	11
\	2/ <	4 ’	|*	2	!<	2 *
Последнее неравенство равносильно неравенствам:
1	5	1
2	<х	2	<	2‘
5
Прибавляя к каждой части этих неравенств число получим:
2 < х < 3.
Пример 4. Решить неравенство | х2—5x4-6 I > х2—5x4-6.
Данное неравенство справедливо для тех значений х, при которых х2—5х
4- 6 < О (так как | а | > а только при а < 0). Как видно из примера 3, реше-
нием такого неравенства будет 2 < х <3.
Пример 5. Решить уравнение | 2х—-3 | =2х —3.
По определению абсолютной величины имеем: |а| = а при agsO. Следова-
тельно, в нашем уравнении должно быть
2х—32» 0,
3
откуда 2x^3 и х>:-^-.
Пример 6. Решить уравнение |х|=х-|-3.
По определению абсолютной величины имеем:
, ,	( х при х2а0,
X | —<
( —х при х<0.
Следовательно, при х^О данное уравнение представится в виде .
z	x = x~j~3.
Ойо, как легко видеть, не удовлетворяется никаким значением х. Если жех<0»
то получаем уравнение:
—х s= х 3.
3
Его решением будет единственное значение х=—
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Доказать равносильность неравенств j a j < р и — Р < а < р.
2.	Проверьте на пр: ме >ах справедливость неравенств, установленных для
абсолютных величин, взяв вместо букв числовые значения.
В задачах 3—12 решить неравенства и уравнения:
3.	х2—25<0.	Отв. —5<х<5.
4.	16—x2=g0.	Отв. xsg—4 и хЭ=4.
5.	|х — 31 <2.	Отв. 1<х<5.
6.	{х[<«4-1.	Отв. х>—~.
7.	х2-7|>3.	Отв. |х| <2 и I х|>}^10.
8.	х2—2х—3|>х2—2х—3.	Отв. — 1<х<3.
9.	х 4- 51 — х+5.	Отв. х — 5.
10.	x-j-lj ——(х1).	Отв. х^—1.
11.	|cosx| = cosx. Отв. — 2Ал =< х 4 2Ал, k=0, ±1; ±2; ...
12.	|х24-х—2 | —2 —х—х2.	Отв. —2<х<1.
21
13.	Какие значения х удовлетворяют одновременно неравенствам |х 2 | < 3
я |х —6К4?	Отв. 2<х<5.
14.	Записать с помощью неравенства и знака абсолютной величины условие
того, что точка х отстоит от точки х0 на расстоянии, большем пяти. Отв. |х—.
— х01>5.
15.	Найти значения х, отстоящие от точки х0 = 3 на расстоянии, не превос-
ходящем 10.	Отв. —7г^Хг^13.
16.	Отклонение температуры t от нормальной t0 не превышает 0,3°. Как это
записать с помощью неравенства и знака абсолютной величины? Отв. \t — ta
^0,3.
17.	Найти все значениях, при которых справедливы соотношения: а) /(х) = 0;
б) /(х)>0 и в) / (х) < 0, если f(x)=x — х3.
Отв. а) х = 0 и х=1, б) 0 < х < 1, в) х<0 н х > 1.
§ 5. О ГРАНИЦАХ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ
Множество, элементами которого являются числа, называется
числовым множеством.
Определение. Числовое множество Д = {х} называется огра-
ниченным сверху, если существует такое вещественное число М,
что все числа, являющиеся элементами данного множества, не пре-
восходят М, то есть x^szM. Число М в этом случае называется
верхней границей множества А.
Если существует такое число т, что все элементы множества А
удовлетворяют неравенству то множество А называется ог-
раниченным снизу, а число /п —его нижней границей.
Числовое множество А называется ограниченным, если оно ог-
раничено как сверху, так и снизу, то есть если выполняется нера-
венство	для всех xcz.i. В этом случае множество А
лежит на отрезке прямой с концами т и М.
Если .М — верхняя граница некоторого множества А, то, оче-
видно, всякое число М', большее И, будет также верхней границей
этого множества. Если т — нижняя граница множества А, то вся-
кое число т', меньшее т, будет также нижней границей этого мно-
жества. Следовательно, можно сказать, что всякое ограниченное
множество имеет бесконечно много как верхних, так и нижних
границ.
Легко видеть, что множество, все элементы которого удовлетво-
ряют неравенству |х|^К, будет ограниченным, так как в этом случае
— K^xs^K. и—К будет его нижней границей, а К — верхней
границей. Обратно, если множество А = {х} ограничено, то есть
т^х^М, то всегда можно найти такое число К, что \х\^%.
Достаточно за число К взять наибольшую из абсолютных величин
\т \ и | М j. Тогда АД>Л! (так как К.^\М\^М), а — К^т
(так как —	| m | sgm). Следовательно, для всех элементов
множества А справедливо неравенство — К -С х К, то есть
Если ограниченное числовое множество представить себе как
множество точек на числовой оси, то его границами будут концы
отрезков, содержащих все точки этого множества. Очевидно, таких
22
отрезков бесконечно много и по ним нельзя судить о протяжен-
ности расположения точек множества по оси. Поэтому вводят по-
нятие точных границ множества, что соответствует концам наи-
меньшего отрезка, содержащего все точки данного множества.
Определение. Наименьшая из всех верхних границ дан-
ного множества называется точной верхней границей или верх-
ней гранью этого множества. Наибольшая из всех нижних границ
множества называется точной нижней границей или нижней
гранью.
Точные границы множества А обозначаются:
sup А (точная верхняя граница) и inf А (точная нижняя гра-
ница) (читается — супремум и инфимум).
Если множество А не ограничено сверху, условимся писать:
sup Л = +°о. Аналогично, если множество А не ограничено снизу,
пишем: inf А= —оэ.
Рассмотрим несколько примеров множеств.
Множество всех натуральных чисел А = {1, 2, 3,..., п,...} явля-
ется бесконечным ограниченным снизу множеством. Числа msSA
будут его нижними границами, а число 1—его точной нижней гра-
ницей. Сверху это множество не ограничено, так как для него не
существует верхних границ. Каксе бы число М мы ни взяли, в
множестве А всегда найдется число п>М.
Множество B =	... ,	, .. jявляется бесконечным ог-
раниченным множеством. Его точными границами являются числа
О и 1.
Рассмотрим множество С = {(—2)"}. Его элементами являются
различные степени числа —2. Это пример бесконечного множества,
не ограниченного как сверху, так и снизу.
Множество всех рациональных чисел R является также беско-
нечным множеством, не ограниченным как снизу, так и сверху.
Множество же положительных рациональных чисел /?+ ограничено
снизу, а множество отрицательных рациональных чисел R_ огра-
ничено сверху.
Легко видеть, что любсе конечное множество будет ограничен-
ным, так как среди чисел, составляющих это множество, всегда
найдутся наибольнее и наименьшее числа, которые и будут точ-
ными границами этого множества. Сбратное утверждение неверно.
Из ограниченности множества не следует его конечность, как это
видно на примере множества В.
Представляет интерес выяснение вопроса о том, всегда ли у
ограниченного множества сушествуют точные границы. Иначе гово-
ря, всегда ли среди бесконечного множества верхних (нижних) гра-
ниц найдется наименьшая (наибольшая). Вообще говоря, среди
бесконечного множества чисел может и не быть наименьшего (наи-
большего) числа. Например, среди правильных положительных
дробей нет ни наименьшей, ни наибольшей дроби (см. ниже при-
мер 3). Что же касается существования точных границ у ограни-
23
ченного множества, то вопрос решается положительно следующей
теоремой.
Теорема. Всякое непустое ограниченное сверху множе-
ство имеет точную верхнюю границу. Всякое непустое огра-
ниченное снизу множество имеет точную нижнюю границу.
Доказательство. Докажем существование точной верхней
границы. Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Пусть
множество Д = {х} ограничено сверху. Может оказаться, что среди
чисел х найдется наибольшее число х. Тогда оно и будет точной
верхней границей множества А, так как, с одной стороны, число
х будет границей (выполняется условие х^х), с другой стороны,
любое число, меньшее х, уже не будет верхней границей.
Предположим теперь, что среди элементов множества А не най-
дется наибольшего числа. Осуществим во множестве всех вещест-
венных чисел W сечение X/Y следующим образом. Отнесем к клас-
су Y все верхние границы множества А, а к классу X — все
остальные вещественные числа. Проверим, что такое разбиение в W
есть действительно сечение.
В самом деле, класс Y не пуст, так как по условию теоремы
у множества А имеются верхние границы и они по условию обра-
зования классов отнесены в класс Y. Класс X также не пуст: его
элементами будут, например, все элементы множества А, то есть
A cz X. Далее, каждое вещественное число принадлежит одному
из классов, поскольку оно либо является верхней границей мно-
жества А (в этом случае принадлежит Y), либо не является тако-
вой (и, следовательно, принадлежит X). Наконец, каждое число
из класса X меньше любого числа из класса Y. Действительно,
пусть а — произвольное число из класса X, а произвольное чи-
сло из класса Y. Тогда в А найдется такое число х0, что а < (в про-
тивном случае а было бы верхней границей для А и находилось
бы в классе Y). С другой стороны, поскольку Р —верхняя граница
множества А, а х0—элемент этого множества, то х0<:р. Из двух
полученных нами неравенств следует, что а<р.
Итак, мы доказали, что наше разбиение есть сечение. Следова-
тельно, существует «пограничное» вещественное число у. Оно по
теореме Дедекинда должно быть либо наибольшим числом в нижнем
классе X, либо наименьшим в верхнем классе Y. Так как мно-
жество А содержится в классе X, то все его элементы х-су. Зна-
чит, у — верхняя граница множества А. Но тогда у должно при-
надлежать верхнему классу Y. Следовательно, у будет наименьшим
в У, а значит, будет наименьшей из всех верхних границ мно-
жества А или точной верхней границей для А.
Точная верхняя граница у обладает следующим важным свой-
ством. Как бы мало ни было число е>0, у — & уже не будет
верхней границей и в множестве А найдется число х>у — Если
бы такого числа х не нашлось, то у — в было бы также верхней гра-
ницей, и тогда у не было бы точной верхней границей.
Аналогичным свойством обладает и точная нижняя граница.
24
Пример 1. Числовое множество {х} состоит из всех чисел, для которых
|x|sg3. Какие числа будут границами этого множества?
Заменим неравенство |х|г£3 ему равносильными неравенствами:
— 3sgx=^3.
Отсюда видно, что число 3, а следовательно, и всякое большее число будет
верхней границей данного множества, а число —3 и всякое меньшее число — его
нижней границей. Числа —3 и 3, очевидно, будут точными границами.
Пример 2. Числовое множество {х} состоит из всех чисел, удовлетво-
ряющих условию — 6<х^4. Найти наименьшее число К, удовлетворяющее
неравенству |х| < К для всех х из данного множества. Какими границами этого
множества будут числа Д’ и —Д?
Так как неравенство |х| <Д равносильно неравенству —К <. х< Д, то в
данном случае за Д нужно взять такое положительное число, чтобы все значе-
ния х, удовлетворяющие неравенству — 6<xsg4, удовлетворяли и неравенству
— Д < х < Д. Это, очевидно, будет при Д, равном наибольшей из абсолютных
величин чисел —6 и 4, то есть при Д = 6. При этом число —6 будет точной
нижней границей, а число 6 —верхней (неточной) границей данного множества.
Пример 3. Показать, что число 1 является точной верхней границей
множества всех положительных правильных дробей.
Гак как по определению любая правильная дробь меньше 1, то 1 является
верхней границей данного множества. Остается доказать, что 1 наименьшая из
всех его верхних границ. Будем рассуждать от противного. Предположим, что
среди верхних границ данного множества есть число Л4<1; при этом М. >0.
Как известно, между вещественными числами М и 1 найдется рациональное чис-
ло г (М <т < 1). Но положительное рациональное число, меньшее 1, может быть
только правильной дробью. Таким образом, оказалось, что нашлась правильная
положительная дробь, которая больше Л4. А это значит, что М не может быть
верхней границей данного множества. Из доказанного следует, что среди верхних
границ множества наименьшей является 1, то есть 1 является точной верхней
границей.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Докажите, что множество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю
границу.
2.	Приведите примеры ограниченных бесконечных множеств. Существуют ли
конечные неограниченные множества?
3.	Приведите примеры множеств, которым принадлежат их точные границы.
4.	Приведите примеры множеств, которым не принадлежат их точные границы.
5.	Приведите пример множества, точная нижняя граница которого ему при-
надлежит, а точная верхняя граница не принадлежит.
6.	Можно ли утверждать, что в неограниченном множестве найдется бесконеч-
ное множество элементов, больших, чем любое наперед заданное число М > 0?
Рассмотреть возможные случаи.
7.	Ограничено ли снизу множество всех отрицательных чисел? Ограничено
ли сверху это множество? Если да, то указать его точную верхнюю границу.
8.	Может ли конечное числовое множество не иметь наибольшего числа? Мо-
гут ли точные границы конечного числового множества не принадлежать этому
множеству?
9.	Множество {х} состоит нз всех чисел, удовлетворяющих условию — 2sgx<3.
Найти наименьшее число К такое, чтобы для всех х данного множества выпол-
нялось неравенство |х|<К. Какими границами этого множества будут числа
~К и К?
10.	Доказать, что число 0 является точной нижней границей множества всех
положительных правильных дробей.
25
§ 6. СЕГМЕНТ, ИНТЕРВАЛ, ОКРЕСТНОСТЬ
Определение. Множество вещественных чисел х, удовлетво-
ряющих неравенству a<x-s~b, называется сегментом или отрез-
ком и обозначается [а, &]. Множество вещественных чисел х, удов-
летворяющих неравенству а<Сх<_Ь. называется интервалом и
обозначается (а, Ь). Числа а и Ь называются концами, а число
b — а — длиной как сегмента [а, Ь], так и интервала (а, Ь).
Так, например, сегмент [2, 5] и интервал (2, 5) с концами 2 и
5 имеют одинаковую длину, равную 3.
На числовой оси интервал (а, Ь) представляет собой множество
всех точек, содержащихся между точками а и b (рис. 6). Точки
а и b в это множество не входят. Если же к этому множеству доба-
вить точки а и Ь, то получим сегмент [а, Ь] (рис. 7). Таким обра-
о	b	а	ь
Рис. 6.
Рис. 7.
зом, интервал (а, Ь) отличается от сегмента [а, Ь] лишь тем, что
ему не принадлежат концы а и Ь. Однако это малое отличие во
многих вопросах математического анализа играет существенную
роль. Множество (а, Ь) не содержит в себе ни наибольшего, ни
наименьшего числа, в то время как во множестве [а, такие чис-
ла (а и Ь) имеются. На рисунках (см., например, рис. 6 и 7)
концы промежутков отмечаются жирными точками, если они при-
надлежат промежутку, и остриями — в противном случае.
Определение. Множество вещественных чисел х, удовлетво-
ряющих неравенству a^S,x<z b или a<zx Ь, называется полусег-
ментом или полуинтервалом и обозначается соответственно
так: [а, Ь) или (а, Ь] (рис. 8 и 9). Интервалы и полуинтервалы
могут быть и бесконечными. Так, для обозначения множества
всех вещественных чисел пользуются символом (— со, 4- сю) и это
множество называют бесконечным интервалом. Знаки —<х> и 4-со
не являются числами, и для них нельзя указать соответствующих
точек прямой. Поэтому в обозначениях интервалов и полуинтерва-
лов со стороны таких знаков квадратной скобки никогда не ставят.
Полуинтервал [0, 4~оо) есть множество всех вещественных чисел
х^О, а (—оо, а] есть множество всех вещественных чисел х-хха.
Сегменты, интервалы и полуинтервалы (конечные и бесконечные)
условимся объединять под общим названием — промежутки.
й	b	a	b
Рис. 8.
Рис. 9.
26
Определение. Если а — неко-
торое вещественное число, то интер-
вал (а — 6, a-j-б), где 6 — любое *	*	*~~	'
положительное вещественное число,
называется окрестностью точки	Рис- 10-
а. Точка а лежит в середине интер-
вала и называется центром окрестности, а число 6 — радиусом окре-
стности (рис. 10). Например, множество точек х, удовлетворяющих
неравенству — 5 | < 3, есть окрестность точки 5 радиуса 3. В об-
щем случае окрестность (а — 6, «4-6) может быть задана неравен-
ством —а\ <6.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Определить, какие множества заданы неравенствами —3|sg2; |x4-2j5i4;
| | <- 2;	_5 | > 2.
Оте. [1, 5]; (—со, —6] и [2, -f-oo); (—1, 3); (—со, 3) и (7, 4~со)-
2. Какая окрестность точки а определяется неравенством |х — а [ < 5?
Отв. (а—5, а 4-5).
3.	Из сегмента [—3, 5] удален интервал (—3, 5). Что осталось?
4.	Из сегмента [2, 10] вырезан интервал (3, 8). Как записать множество
оставшихся точек сегмента с помощью промежутков?
5.	Из интервала (—4, 5) вырезано два сегмента [—2, 0] и [1, 3]. Какие
промежутки остались?
6.	Можно ли из конечного числа интервалов составить сегмент путем
склеивания?
7.	Какова наибольшая окрестность нуля, содержащаяся в промежутке (— 6, 5] ?
§ 7. ДРУГОЙ ПОДХОД К ПОНЯТИЮ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА*
В конце § 3 было упомянуто о возможности представления
любого вещественного числа с помощью бесконечной десятичной
дроби. Существует и такой подход к построению вещественных
чисел, при котором бесконечные десятичные дроби используются
для определения самого понятия вещественного числа.
Будем рассматривать всевозможные бесконечные десятичные дроби
как некоторые формальные символы. Каждую такую дробь
а, щща3.. ,ап..
где « — любое целое число, а «1; «2, «3 «„,... — «десятичные знаки»,
принимающие определенные целые значения от 0 до 9 (включи-
тельно), будем называть вещественным числом. Число а называется
целой частью данного вещественного числа.
Два вещественных числа
» а = «, аха2а3...ап... и 0 = 6, bxb2b3...bn...
* Когда авторы уже полностью подготовили к печати рукопись этой книги,
была утверждена новая программа по математическому анализу для педагогических
институтов, которая вместо метода сечений рекомендует другие подходы к поня-
тию вещественного числа. При подготовке материала к экзамену студенты могут
опираться на этот параграф, ограничившись лишь прочтением § 3.
27
считаются равными, если прежде всего а — Ь и а„ = Ья при всех п,
то есть если равны их целые части и равны десятичные знаки,
стоящие на одинаковых местах. Кроме того, числа аир считаются
равными еще в одном случае. Именно, пусть а содержит девятку
в периоде, например, а = 2499,999..., а р получается из а заменой
всех девяток, стоящих в периоде, нулями и увеличением цифры,
непосредственно предшествующей этим девяткам, на одну единицу.
В нашем примере р— 2500,000... Тогда тоже а = р.
Конечные десятичные дроби отождествляются с бесконечными
23
дробями, содержащими нуль в периоде. Например, ^=2,3 =
= 2,3000... Согласно сказанному выше о равенстве двух бесконеч-
23
ных десятичных дробей дробь [0 можно записать и с помощью
23
десятичной дроби с девяткой в периоде: — 2,2999... Таким обра-
зом, все конечные десятичные дроби также включаются в множе-
ство вещественных чисел. Множество всех вещественных чисел бу-
дем по-прежнему обозначать через W.
Из школьного курса известно, что всякое рациональное число
представимо в виде бесконечной периодической десятичной дроби
и, обратно, всякая бесконечная десятичная периодическая дробь
представляет собой рациональное число. Таким образом, множество
7? всех рациональных чисел совпадает с множеством всех бесконеч-
ных периодических десятичных дробей. Непериодические бесконеч-
ные дроби составляют множество иррациональных чисел.
Заметим, что если целая часть вещественного числа а отрица-
тельна, например, а = 6,215000..., то есть
а==— 6+1Q	+	(1)
то обычно пишут: а =—5,785000..., что означает:
а = — ^5 + -jo + jog + -jooo) •	(2)
Ясно, что выражения (1) и (2) равны между собой.
Исходя из понятия вещественного числа как бесконечной деся-
тичной дроби, можно определить, что означает неравенство а>0.
Именно, полагаем по определению а>Р, если а=+р и при этом
или 1) а>Ь (то есть целая часть числа а больше целой части
числа Р),
или 2) а = Ь, но существует такое k, что ап = Ьп при n<Zk, а
ak>bk*.
С помощью понятий равенства и неравенства между двумя
вещественными числами можно показать, что множество W вещест-
* Оговорка, что а + р, в этом определении существенна. Например, пусть
а = 3,000..., 6 = 2,999... В этом случае целая часть числа а больше, чем целая
часть числа р. Однако эти числа равны между собой.
28
венных чисел обладает свойством упорядоченности, а множество R
рациональных чисел всюду плотно в W.
Если а = a, ata2a3то числа
। di , da । da ।	। dn
Cn ==	• • • &n ==^4~ "jo 4™ 1Q2 + 1Q3 +  •  + 10rt
называются десятичными приближениями к числу а с недостатком,
а числа
, 1
Сп сл4~ 10„
— десятичными приближениями с избытком.
Рассмотрим все конечные дроби вида
6 = dn 4- — 4- ~г -к- — 4-	4- d-
°0' 10 ' 102 г 10з -Г • •• Т ion,
которые меньше а.
Если число а имеет вид: а=а, ata2.. .ал000..то с„ — а и 6<с,..,
Если же среди десятичных знаков числа а, стоящих после ап, есть
хоть одна цифра, отличная от нуля, то среди всех конечных дро-
бей б дробь сп является наибольшей, то есть 6=С-с„. Таким обра-
зом, в любом из этих двух случаев можно утверждать, что
Это замечание будет использовано в конце параграфа. Легко также
видеть, что между любыми двумя неравными вещественными чис-
лами содержится некоторая конечная десятичная дробь. Например,
если а--2,5.314..., р = 2,4832..., то между ними содержится число
2,5. Тем самым подтверждается свойство плотности множества R в
множестве U".
Наметим определение суммы двух вещественных чисел. Пусть
а и Р —некоторые вещественные числа, сп и —десятичные при-
ближения к числу а соответственно с недостатком и с избытком
(Cn^a^c'n), a dn и d'n — десятичные приближения к числу р
(dn^ р «4dn). Суммой «4Р называется то вещественное число,
которое при любом п содержится между числами cn + dn и ck4 dn'.
сп + dn < а + р < сп 4- dn.
Не останавливаясь на доказательстве существования и единст-
венности такого числа, покажем на примере способ его получения.
Пусть сс = 2,523523..., р = 4,680808. ..Тогдаq = 2,5;q = 2,6; d^~-4,6;
di = 4,7 и потому 7,1 «С а 4* Р 7,3. Отсюда видно, что целая часть
числа а4~Р равна 7. Далее, с2 = 2,52; cj = 2,53; d2 = 4,68, d2 = 4,69
и потому
7,20 < а 4-р< 7,22.
Следовательно, первый десятичный знак числа а-фр равен 2.
Таким же путем определяются и последующие десятичные знаки
числа а4~р.
* Мы считаем, чго сложение конечных десятичных дробей уже известно.
29
В заключение покажем, как с помощью десятичных дробей
можно доказать теорему из § 5 о существовании точной верхней
границы у ограниченного сверху числового множества.
Пусть непустое множество А = {х} ограничено сверху, например,
числом М. Не уменьшая общности, можно считать М целым числом,
так как в противном случае вместо М мы могли бы взять в ка-
честве верхней границы множества А любое целое число, большее М.
Тогда существует лишь конечное множество целых чисел, которые
не превосходят М и являются верхними границами множества А.
Среди них выберем наименьшее и обозначим его через q. Если
взять число сп = сё—1, то оно уже не будет верхней границей
множества А. Далее, перебирая числа вида
, 1	,2	. 9
со, со+то> со + то> •••> со + то’ Сй’
найдем наименьшее из них, которое является верхней границей
множества А. Обозначим его через с,'. Тогда число ст=с[ — уже
не будет верхней границей множества А. Аналогично, перебирая
числа вида
. 1	.2	. 9
П, ^1+100> с1 + гоо* ••• с1 + 100>
найдем среди них q и	1(')0, где cj —верхняя граница мно-
жества А, а с, уже не является верхней границей этого множества.
Продолжаем этот процесс до бесконечности. Ясно, что числа сп
получаются друг из друга по следующему закону:
где 0*£а!=с9,
с2 = сх4 —, где	9,
+ где 0<а„<9,
, , 1
а числа c„ = c„ + y0-s.
Образуем вещественное число
а = с0,
и покажем, что оно и есть точная верхняя граница множества А.
Сначала установим, что а —какая-то верхняя граница мно-
жества А. Допустим противное. Пусть а не является верхней
границей множества А. Тогда существует такое хе А, что х>а.
Между а и х вставим некоторую конечную десятичную дробь:
«<0 = &о + тб+ ioa + ^ + -• - +	<х-
30
Тогда тем более число
Сп co~l 1Q-j- 102-r 10з10„ <гр«
При этом |3—Отсюда следует, что Р^=ся + р^, то есть
Р>с„. Таким образом, мы получили, что сп<.х. Это противоречит
построению, согласно которому сп было верхней границей мно-
жества А. Тем самым доказано, что а — верхняя граница мно-
жества А.
Теперь покажем, что а—точная верхняя граница. Рассуждая
снова от противного, предположим, что существует верхняя гра-
ница у, меньшая, чем а. Между числами у и а вставляем конечную
десятичную дробь:
у <6=d0+^+A-4-A+. ,.+Аг<а.
Тогда по сделанному выше замечанию Ь‘$^сп. Следовательно, с„>у
и потому сп тоже оказывается верхней границей множества А,
вопреки построению. Полученное противоречие полностью завершает
доказательство теоремы.
ГЛАВА II
ФУНКЦИИ
Центральным вопросом данной главы является понятие функции.
Изучающему нужно глубоко осмыслить определение этого понятия
и различные способы задания функций. В дальнейшем сведения
о функциональных зависимостях будут постепенно расширяться.
Поэтому тем более необходимо, чтобы первоначальные исходные
понятия о них были усвоены безошибочно и прочно. Понятие обрат-
ной функции, а также свойства четности и периодичности функции
используются при построении графиков. Кроме того, они будут
необходимы и при изучении последующих глав.
Рассмотрение элементарных функций продиктовано необходимо-
стью восполнения или закрепления знаний, полученных студентом
в средней школе, и подготовки его к успешной дальнейшей работе
по математическому анализу.
§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
Человеку, изучающему различные явления и процессы, прихо-
дится иметь дело с различными величинами (длина, площадь, объем,
время, скорость, масса, вес, сила и т. п.). Для каждой величины z
выбрана своя единица измерения. В результате сравнения некото-
рой величины с ее единичной мерой получаем число или числовое
значение данной величины.
Величины, значения которых с течением изучаемого процесса
не меняются, то есть остаются одними и теми же, называются
постоянными величинами Те же величины, значения которых
меняются, называются переменными величинами или просто пере-
менными.
Так, например, при движении некоторого твердого тела его
масса, вообще говоря, остается величиной постоянной, а путь,
пройденный этим телом, в различные моменты времени будет раз-
личным, то есть будет величиной переменной.
Далее, из формулы длины окружности l = nd следует, что при
изменении диаметра окружности d будет изменяться ее длина / и,
обратно, изменение длины окружности влечет за собой изменение
32
диаметра. Что же касается числа л, равного то оно является
величиной постоянной, как бы ни менялись I и d.
Заметим, что некоторые величины остаются постоянными не все
время, а лишь в том или ином конкретном течении процесса, при
тех или иных условиях его осуществления. Так, число пассажиров
в поезде можно считать величиной постоянной, пока поезд нахо-
дится в движении. На остановках эта величина может измениться.
По закону Ома простейшая зависимость между силой тока /,
электродвижущей силой Е и сопротивлением R выражается следую-
щей формулой:
В этой формуле все три величины можно считать переменными.
Однако если хотят ее экспериментально проверить, то одну из вели-
чин обычно сохраняют на некоторое время постоянной (не меняют)
и изучают зависимость между двумя остальными величинами.
Числовые значения величин являются абстракциями, они не
учитывают качественных свойств той или иной величины. Между тем
сами величины, отражая качество предмета, обычно конкретны. В мате-
матике, таким образом, происходит отвлечение от конкретного ка-
чественного содержания величины. Вместо нее рассматривается лишь
абстрактная величина, символически обозначенная какой-либо бук-
вой. Однако в этом следует усматривать не слабость, а силу мате-
матики, не уход от действительности, а стремление сделать матема-
тическую теорию более полной и всеобъемлющей, чтобы затем с ее
помощью обеспечить успешное исследование всего разнообразия
конкретных величин.
Множество значений, которые может принимать переменная
величина при своем изменении, называется областью изменения
этой переменной.
Так как на числовой прямой каждому вещественному числу
соответствует определенная точка, то каждое значение переменной
изображается некоторой точкой на прямой и, следовательно, гео-
метрическим изображением области изменения переменной является
определенное множество точек прямой.
Заметим, что постоянную величину можно рассматривать и как
частный случай переменной, множество значений которой состоит
всего из одного числа. Следовательно, областью изменения постоян-
ной величины в таком случае будет множество, состоящее из одной
точки.
Понятие переменной величины является основным понятием
математического анализа. Введение переменной в математику оказало
решающее влияние на дальнейшее развитие математической науки.
Увеличились познавательные возможности математики. Это привело
к значительному расширению области математических исследований.
Помимо установления количественных соотношений между постоян-
2 Бохаи и др,	33
ними величинами, математика смогла изучать процессы, связанные
с изменением величин и движением вообще.
Все явления в окружающем нас мире находятся в постоянном
изменении и развитии. При этом изменение различных величин
протекает в определенной зависимости между ними. Математический
анализ и занимается изучением зависимостей между различными
переменными величинами.
Если две величины связаны между собой так, что каждому зна-
чению одной из них соответствует определенное значение другой,
то будем говорить, что эти величины находятся в функциональной
зависимости. Примерами функциональных зависимостей могут слу-
жить: зависимость длины окружности от ее радиуса, зависимость
пройденного пути от времени движения, зависимость площади квад-
рата от длины его стороны, и т. д.
Переменные х и у, находящиеся в функциональной зависимости,
не могут одновременно принимать любые значения. Если одной из
них мы будем давать произвольные значения из области ее измене-
ния, то другая будет получать значения уже в зависимости от
первой. В этом случае первую переменную называют независимой
переменной, а вторую — зависимой переменной или функцией.
Пример 1. Формула длины окружности / = 2лг выражает зависимость
между радиусом г и длиной окружности Z. Если г давать произвольные значения,
например 1, А, то / будет принимать соответственно значения 2, 2ге, 3.
В этом случае радиус окружности будет независимой переменной, а длина окруж-
ности—зависимой переменной или функцией. Однако если эту формулу предста-
I
вить в виде г = 2^., то получим зависимость радиуса от длины окружности.
Давая различные значения I, будем получать соответствующие значения г. Пере-
менные г и I, таким образом, поменялись ролями: I стала независимой перемен-
ной, а г—функцией.
Дадим теперь более точное определение функции.
Определение*. Пусть даны две переменные х и у. Перемен-
ная у называется функцией от переменной х, если каждому значе-
нию х из области его изменения ставится в соответствие по
некоторому закону определенное значение у. Переменная х называется
в этом случае аргументом функции у.
Заметим, что аргумент не обязательно должен быть независимой
переменной. Он может, в свою очередь, находиться в зависимости
еще от одной или нескольких переменных.
Тот факт, что у есть функция от х, обычно обозначают симво-
лом y = f(x), который читается так: «игрек равен эф от икс». Такое
обозначение, однако, не раскрывает существа самого закона / зави-
симости у от х. Если же функция представлена, например, форму-
лой у=х2 — 2x4-4, то здесь дается и закон зависимости у от х,
* Определение функции, близкое к данному, было высказано великим русским
математиком Н. И. Лобачевским (1793—1856) (см. [1], гл. II, п° 21).
34
так как указывается, какие действия и в каком порядке следует
произвести над значениями аргумента х, чтобы получить соответст-
вующие значения функции у. Так, при х—0 получим: у=4, при
х — 3 получим: у = 7, и т. д.
Обозначение функций при помощи различных букв, например:
y=f(x), z/ = <p(x), у=$ (х), г/ = Д(х) и т. д., используется лишь
для того, чтобы показать, что законы зависимостей у этих функций
различны.
Значение функции y=f(х) при х = х0 обозначается так: f(x0).
Пример 2. Дана функция: f (х)=х3 — 2х-|~ —------
У 1 +х2
Найти:	/(0), f (2) и f(a + b).
Вместо х подставим соответствующее значение и произведем
Получим:
подсчет.
Н— 1) = (— 1)з_2(—   .--jiff - =	
/1 + (-1)2	/2 *
f(0) = 2; f (2) = 4 + ^;
V 5
f (а -Т b) = (а + 6)3 — 2 (а -|- Ь) -|—т— ,
М	’	/1 + (а + &)3
Пример 3. Дана функция: /'(х) = |х| — х. Найти значения: f(0), f(2) и
f (— 3).
Имеем: f (0) = • 0 [—-0“0 — 0 = 0; / (2) = 12 | — 2 = 2 — 2 = 0; f (— 3) = | 3 | —
_ (_ 3) = 3-|-3 = 6. Вообще для любого числа a5s0
f (а) = | а | — а = а — а = 0
и для любого числа а<0
f (а) =} а | — а =* — а —	— 2ct.
Пример 4. Дана функция: <р (х) = х3 + 2х. Доказать, что ф (— х) = — ф (х).
Найдем значение ф(—х). Для этого достаточно в выражение ф(х)=х3+2х
вместо х подставить —х. Получим:
Ф (— х) = (™ х)3 2 * (— х) = — х3 — 2х = — (х3 у 2х).
Сравнивая выражения для <р(—х) и для <р(х), заключие I, что <р(—х) = —-ф(х).
Пример 5. Функция y—f(x) задана формулой f(х) =х3 —Зх2 + 8х+1.
Какими формулами заданы функции:
z/ = f(2x),	y=[f (х)]2 и y = 2f (х)?
Функция у = /(2х) отличается от функции y — f(x) лишь тем, что вместо
аргумента х подставлено 2х. Что же касается самого закона образования /, то он
не изменился. Следовательно, если в формулу для / (х) подставить 2х вместо х,
то получим формулу для функции y = f(2x):
f (2х) = (2х)3 - 3 (2х)2 + 8 (2х) + 1 = 8х3 - 12х2 + 16х +1.
Аналогично получаем:
f I х\	/х\3	(х\2	/ х\	1	3
\2j	\2/	3\2/ ”*~8\2/+	8Х	4	х +4х+1.
2*
85
Так как функция у=[/(х)]2 есть квадрат функции y=f(x), то [f (х)]2 = (х3 — Зх2 +
8х+ 1)2 = хв + 9х4+ 64х2 + 1 — 6х6 + 16х4 + 2Х3 — 48х3 — 6х2 + 16х = хв— 6х5 +
+ 25х4 — 46х3 + 58х2 + 16х + 1.
Аналогично,	г
2f (х) = 2 (%з — Зх2 + 8х + 1) = 2х3 — 6х2 + 16х + 2.
Из определения функции не следует, что различным значениям
аргумента х должны соответствовать различные значения функции у.
Важно, чтобы каждому значению х соответствовало определен-
ное значение у. Например, f(x) — a тоже есть функция, хотя при
любых значениях х она принимает одно и то же значение а. Такие
функции называются постоянными функциями.
Понятие функции является основным понятием не только мате-
матического анализа, но и всей математики в целом. Специально
изучением функций занимается математический анализ.
Функция y—f(x) считается заданной, если:
а)	указана область изменения аргумента х (ее обычно называют
областью определения или задания функции);
б)	дан закон функциональной зависимости между х и у. При
этом не имеет значения, как этот закон зависимости представлен:
то ли формулой, то ли описан словами, то ли еще как-нибудь. Это
уже относится к способу задания функции.
Заметим, наконец, что мы будем все время рассматривать только
вещественные функции от вещественного аргумента, то есть будем
считать, что х и у принимают только вещественные значения.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. В чем состоит различие между понятиями «аргумент функции» и «незави
симая переменная»?
2. Дана функция: f(x) = (x—2)2 + Зх-------Найти значения: f(0), f (2),
Отв. 5, 5, Ю-i и э!.
3	2
3.	Дана функция:
<р (х) = | х + 3 |4-2х.
Найти значения
<р(0), <р(— 4), <р(— 3) и <р (4).
Отв. 3, —7, —6 и 15.
4.	Выразить радиус шара как
функцию его объема.
5.	В треугольник АВС (рис. 11)
с основанием b и высотой h вписан
/ (—2) и f (3).
прямоугольник К.МРН, высота которого х. Выразить периметр L и площадь S
прямоугольника как функции от х.
Отв. Ь = 2Ь-Ц2 fl—х, S — b fl —	, где 0<х<Л.
6. Дана функция: f (х)==х4 —cosx. Доказать, что f (—x) = f(x).
х	/ х\
7. Дана функция: f (х) = -ф sin 2х. Найти функции: /(Зх), Н-х- , f (х2) и
о	\ z у
f (х !)•
36
§ 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ
1. Аналитический способ. Существует несколько способов зада-
ния функций. Среди них наиболее распространенным в математи-
ческом анализе является так называемый аналитический способ.
Он состоит в том, что функциональная зависимость между величи-
нами изображается в виде формулы, указывающей, какие действия
(сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень,
извлечение корня, логарифмирование, нахождение синуса, косинуса
и др.) нужно выполнить над аргументом, чтобы получить значение
функции. Примерами такого задания могут быть функции:
w=—Ц, w = arcsinx, у — 1g х, S — ~
и другие встречавшиеся в курсе средней школы.
Определение. Множество всех значений аргумента, при
которых функция, заданная аналитически, имеет определенный
смысл, будем называть областью существования или областью
определения этой функции.
В соответствии с этим определением, функция у = ^-^ сущест-
вует для всех х^2, так как только при х = 2 выражение —тл
лишено числового смысла. Область существования в данном случае
складывается из двух интервалов: (—от, 2) и (2, ф-оо).
Функция j/ = arcsin х существует для х, удовлетворяющих нера-
венству —	Ее областью существования будет отрезок
[_ 1, -ф-1].
Так как отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют, то
функция у — 1g х, очевидно, существует на (0, ф-оо).
Заметим, однако, что в тех случаях, когда функция y=f(x),
заданная некоторой формулой, отражает зависимость между совер-
шенно конкретными величинами (например, физическими, геометри-
ческими или еще какими-нибудь), область ее существования может
не совпадать с той областью, где формула имеет смысл. Так,
например, если рассматривать функцию 5 = ^, не связывая ее
с какой-нибудь физической задачей, то областью ее существования
будет (—со, +от). Но, как известно, таким аналитическим выра-
жением в физике изображается закон свободного падения тела
в пустоте, где / — время, g~ускорение, S —пройденный путь. Если
это последнее учитывать, то бессмысленно было бы рассматривать
отрицательные значения t.
Точно так же сама по себе формула у = 2пх имеет смысл при
любых х (—оо<^х<ф-оо). Однако если этой формулой предста-
вить длину окружности как функцию радиуса, то естественно счи-
тать х положительным (0<х<;ф-от). В этом случае уже областью
существования будет (0, ф- от). Таким образом, формулам, как
аппарату, созданному для описания функциональных зависимостей,
37
свойственны некоторые недостатки Как видно из рассмотренных
примеров, бывают случаи, когда формула не может отразить всей
особенности нужной нам функциональной зависимости. В частности,
если по смыслу функция имеет более узкую область задания, чем
это следует из изображающей ее формулы, то нужно соответственно
указать и область рассмотрения формулы. Если же функция задана
формулой без каких бы то ни было дополнительных ограничений,
как это чаще всего и бывает, то областью задания будет считаться
вся область, где формула имеет смысл.
Пример 1. Определить область существования функции
у = ]/'4~х.
Данная функция существует для таких значений х, при которых квадратный
корень принимает вещественные значения, то есть подкоренное выражение неот-
рицательно: 4 — х^О. Отсюда получаем: х sg 4. Значит, данная функция сущест-
вует на промежутке (— со, 4] (рис. 12).
Пример 2. Определить область существования функции
_ х_________
V ~ (х +1) (х — 3) ‘
Очевидно, эта формула имеет смысл при любых значениях х, кроме х==— 1
и х = 3. В данном случае область существования функции складывается из трех
интервалов: (—оэ, —1), (—1, 3) и (3, + со) (рис. 13).
Пример 3. Определить область существования функции
,	у =	..Л*2 —х ]g (X —|-* 1).
Данную функцию мы считаем существующей при всех тех зна-
чениях х, при которых все три слагаемые имеют конечные вещест-
венные значения. Поэтому находим сначала область существования
для каждого слагаемого в отдельности.
Выражение ]/4 — ха имеет смысл при Т—Л'й -О: отсюда х2.-с4
или Iх| =С2. Область существования—отрезок [—2, 4-2].
Выражение Ух имеет смысл при любых значениях х. Следова-
тельно, его областью существования будет (— со, 4" °0)-
Выражение 1g (х 4-1) имеет смысл при х4"1>0, то есть при
—1. Область существования — интервал (—1, 4~ °°)-
Теперь остается определить область, представляющую собой общую
часть областей существования всех трех слагаемых. Ею будет полу-
интервал (—1, 2].
Рис. 13.
38
Для того гтобы легче найти область существования функции,
представленной в виде суммы нескольких слагаемых, прибегают
к геометрическому изображению областей существования всех сла-
гаемых на одной числовой оси. Тогда сразу видно, что следует
принять за область существова-
ния всей функции. В нашем z
примере такое геометрическое
изображение представлено на /	।,1 н\________________*
рисунке 14.	^2	л
Пример 4. Известно, что	-1<х^2
lgx(x—2) = lgx4*lg (х—2). Одинако-	..
вы ли области существования функ-
ций lgx(x —2) и lgx + lg(x—2)?
Область существования функции lgx(x — 2) определяется условием х(х —2)>0.
Отсюда получаем, что либо х>0 и х — 2>0, либо х<0 и х—2<0. Решая
системы неравенств
х>0)	х<0]
х-2>0 J И х — 2 < 0 f *
находим, что lgx(x —2) существует для х>2 и для х<0, то есть область суще-
ствования этой функции состоит из двух частей: (—оо, 0) и (2, -роо).
Для определения области существования функции 1g х 4-1g (х —2) следует, как
и в примере 3, найти сначала области существования для каждого слагаемого
в отдельности. Функция 1g х существует для всех значений х > 0, то есть на
(0, 4-со). Функция 1g (х —2) существует для х, удовлетворяющих неравенству
х—2>0, то есть на (2, 4-со). Следовательно, функция lgx4~lg(x—2) существует
на (2, 4-со). Таким образом, получили, что области существования функций
lgx(x —2) и lgx4-lg(x —2) не совпадают. Поэтому равенство
Igx (х —2)—Igx-f-lg (х—2)
не является тождественным. Оно представляет тождество только па промежутке
(2, 4*со).
Заметим, что функция может быть задана не одной, а несколь-
кими формулами. Если закон соответствия между аргументом и
функцией на всей области определения функции не удается изобра-
зить одной простой формулой, то иногда возможно изображение
его несколькими формулами, отображающими это соответствие на
отдельных ее участках.
Пример 5. Задание функции в виде
[X3	при —2 X 1,
у = <2х	при 1<х^2,
(4 — х при 2 < xsg3
следует понимать так: функция определена на отрезке [— 2, 4-3], причем на [—2, 1]
она изменяется по закону у = х3, на (1, 2] —по закону у = 2х и на (2, 3]—по за-
кону г/= 4—х.
Пример 6. Задание функции в виде
, , fl для рациональных значений х,
Ф(х)=<	„	(— оо<х<4-со)
I 0 для иррациональных значении х
39
следует понимать так: функция определена на всей числовой оси. В каждой рацио-
нальной точке значение функции равно единице, а в каждой иррациональной
точке — нулю *.
Пример 7. Функция f (х) определена на отрезке [0, 1]. Каковы области
определения функций: /(х2), f (sin х), /(х —2), /(х + 2), f (2х) и f
Под / (х2) мы понимаем функцию, получаемую из х2 по тому же закону, как
из х получается /(х). Например, если
/ (х) = Зх2-|-5х— 1,
то
/ (х2) = 3 (х2)2 + 5 (х2) - 1 = Зх* + 5х2 - 1.
Так как по условию f (х) определена на отрезке [0, 1], то f (х2) имеет смысл для
всех тех х, для которых 0sgx2sg 1, то есть при | х |	1. Таким образом, областью
определения функции /(х2) является отрезок [-—1, 1].
Функция f (sin х) определена для х, удовлетворяющих неравенству 0 sg sin1,
откуда
2 йл -g х-< (2т : П) л (Л: . О, I. 1, ±2, ± 3, ...).
Область определения такой функции состоит, как выяснилось, из бесконечного
множества отрезков: [0, л], [2л, Зя], [—2л, — л], [4л, 5л), [—4л, — Зя] и т. д.
Область определения функции /(х —2) характеризуется неравенствами Osgx —
— 2sgl, откуда 2sgx<£3, Функция определена на отрезке [2, 3].
Аналогичными рассуждениями легко установить, что функция /(x-J-2) опре-
делена на отрезке [—2, —1], функция /(2х) —на отрезке Q), yj и функция
f — на отрезке [0, 2]. Читателю предлагается получить это самостоятельно.
В примере 7 мы, по существу, встретились с понятием функ-
ции от функции или с так называемой сложной функцией. В даль-
нейшем это понятие будет рассмотрено более подробно.
Познакомимся еще с двумя способами задания функции — таб-
личным и графическим.
2. Табличный способ. Если функция задана в виде таблицы, в
которой различным значениям аргумента сопоставлены соответ-
ствующие значения функции, то такой способ называется таблич-
ным способом задания функции.
Иногда в технике и естествознании сам факт зависимости между
некоторыми величинами не вызывает сомнения, а закон этой зави-
симости не известен. Тогда проводят эксперимент, в результате
которого путем измерений получают ряд значений аргумента и
соответствующих значений функции в виде некоторой таблицы.
Так, например, известно, что рост любого растения является функ-
цией времени. Для того чтобы установить закономерность измене-
ния роста L при изменении времени t для конкретно выбранного
растения в определенных условиях, будем производить измерение
* Эта функция называется функцией Дирихле, по имени немецкого математика
' Петера Густава Л е ж е н а-Д и р и х л е (1805 —1859).
40
высоты через определенные промежутки времени, начиная с мо-
мента /о = О. В результате получим таблицу:
функции, так как при измерении неминуемы погрешности, зави-
сящие как от качества измерительных приборов, так и от личных
качеств экспериментатора. Но тем не менее таблица будет отражать
зависимость величин L и t, характеризующую рост растения.
Таблицами можно задавать различные функциональные зависи-
мости. Так, если записывать пройденный путь автомобиля через
определенные промежутки времени, то получим таблицу зависимо-
сти пути пробега от времени движения. Измеряя давление пара в
котле при различных температурах, можно получить таблицу,
отображающую закон зависимости давления от температуры при
постоянном объеме, и т. д.
Недостатком табличного способа задания функции является то,
что по таблице можно найти значения функции только для тех
значений аргумента, которые имеются в таблице. Однако у этого
способа имеется и ценное качество. Таблица позволяет непосред-
ственно, без всяких вычислений, получать значения функции,
соответствующие определенным значениям аргумента. Последнее
обстоятельство настолько важно, что иногда функции, заданные
другими способами, представляют в виде таблиц. Имеются, напри-
мер, готовые таблицы логарифмов, тригонометрических функций,
различных степеней натуральных чисел и др. Различные таблицы
широко используются и в производстве при технических расчетах.
При этом часто с помощью таблиц находят (хотя и приближенно)
те значения функции, которых в таблице нет. Например, существует
так называемый способ линейного интерполирования, с которым
знакомятся в школе при вычислении логарифмов.
3. Графический способ. Введем сначала понятие графика функции.
Определение. Графиком функции y=f(x), заданной в
некоторой области X, называется множество всех точек плоскости
(х, у), координаты которых х и у связаны соотношением y = f(x).
При этом х может иметь любое значение из X. Само равенство
y=f(x) называется уравнением этого графика (рис. 15).
Графики часто встречающихся функций представляют собой не-
которые сплошные кривые или, в частности, прямые линии. Однако
график может состоять и из отдельных изолированных точек; напри-
мер, график функции у — п, заданной на множестве натуральных
чисел {«} (рис. 16). Функция считается заданной графически, если
начерчен ее график. Например, для измерения давления атмосферы
41
О 1 2 3 Ь 5 6 7 8
Рис. 16
X
на различных высотах пользуемся специальным самопишущим аппа-
ратом-барографом, который на движущейся ленте записывает в
виде кривой линии изменение давления в зависимости от высоты.
В данном случае имеем графический способ задания функции.
Если функция задана графиком, то по нему можно получить
значения функции для любых значений аргумента. Значения функции
f (х), соответствующие различным значениям аргумента х, можно
получить измерением на чертеже соответствующих ординат (рис. 15).
Такая операция обычно называется «снятием» значений с графика.
Для того чтобы множество точек плоскости XOY могло служить
графиком некоторой функции, необходимо (и достаточно), чтобы
в нем не содержалось никаких двух различных точек с одинаковыми
абсциссами. Если это условие нарушено, то найдется значение х,
которому сопоставляется по крайней мере два различных значения
у, что противоречит требованию однозначности в определении функ-
ции (рис. 17). Например, парабола у* — х не служит графиком ка-
кой-нибудь одной функции вида y=f(x). Однако часть этой пара-
болы, лежащая в верхней полуплоскости, представляет график
функции у —Ух, а другая ее часть, лежащая в нижней полупло-
скости,—график функции у — — Ух (рис. 18).

Легкая обозримость и наглядность
графического способа изображения функ-
ций делают этот способ весьма удобным
при различного рода исследованиях. В
связи с этим часто прибегают к графи-
ческому изображению даже функций,
которые заданы с помощью таблицы или
формулы.
Пусть функция У=Цх) задана
таблицей. Пользуясь тем, что на плос-
кости с заданной системой координат
каждой паре чисел соответствует опре-
деленная точка, отметим на плоскости
точки, соответствующие парам чисел, помещенным в таблице. Затем,
соединяя эти точки «плавной» кривой, получим графическое изо-
бражение данной функции
Если функция задана формулой, то для ее графического изобра-
жения сначала нужно составить таблицу значений аргумента и функ-
ции, а затем действовать указанным выше способом
Пример 8 Построить график функции, заданной формулой у — хг — x-f-1.
Выбираем по нашему усмотрению несколько значений х и находим соответ-
ствующие значения у В результате получим таблицу
дой из осей выбираем масштаб В данном случае практически удобнее по оси
ординат взять более мелкий масштаб по сравнению с масштабом по оси абсцисс,
так как в таблице для у имеются существенно большие значения, чем для х.
Затем отмечаем точки, соответствующие парам чисел, указанным в таблице, и
соединяем эти точки «плавной» кривой.
Получим график, изображенный на ри-
сунке 19.
Заметим, наконец, что способ
задания функции формулой хотя
по наглядности и уступает таблич-
ному и графическому способам,
но зато является более точным
по сравнению с ними. По фор-
муле можно найти значения
функции для любых значений аргу-
мента либо абсолютно точно, либо
Рис. 19.	с любой степенью точности.
43
В дальнейшем, поступая, как и в примере 8, получим график функции, ко-
торый изображен на рисунке 20. Естественно, в точках х, которые не входят
в таблицу значений, график может не отображать точных значений функции. Чтобы
график был бопее точным, нужно при составлении таблицы брать более частые
значения для х. Тогда получим больше пар чисел,
а следовательно, и больше точек на плоскости.
От этого график станет более точным. Иногда по
ходу исследования функции нужен более точный
график не на всей области, а в окрестности неко-
торой точки Тогда нужно брать больше значений
аргумента именно в окрестности этой точки.
Следует также заметить, что не вся-
кую функцию можно изобразить графи-
чески одной или несколькими «плавными»
кривыми. Так, для функции Дирихле
(пример 6), как бы густо мы ни брали
точки на числовой оси и сколько бы то-
чек на плоскости мы ни получили, ника-
кие две из них нельзя соединить «плавной» кривой, так как между
любыми двумя значениями х имеются в неограниченном количестве
как рациональные, так и иррациональ-
ные значения и, следовательно, в любом
промежутке сколь угодно часто будут
встречаться значения функции, равные 0
и 1.
Пример 10. Построить график функции,
рассмотренной в примере 5.
График такой функции будет состоять из трех
графиков, построенных отдельно для каждой ча-
стичной области задания функции. Каждый из
них строится обычным образом. Общий вид гра-
фика показан на рисунке 21
Если смотреть на график, состоящий
из нескольких частей, то иногда бывает
неясно, какое значение ординаты следует
считать значением функции в точке стыка
между отдельными частями области за-
дания функции. В случае примера 10
такой точкой является
точка х—1. Если не иметь под руками аналитического зада-
ния функции, то по графику неясно, считать ли /(1) = 1, или
44
f(l)=2, или, может быть, какое-нибудь промежуточное значение.
Чтобы избежать этой неясности условимся тот конец графика,
который соответствует точке стыка, отмечать более жирной точкой,
а другой конец —стрелкой, как это показано на рисунке 21.
Символом Е (х) условились обозначать функцию, значение ко-
торой в каждой точке х равно целой части х, то есть наибольше-
му целому числу, не превосходящему х *. Например, £^2^ = 2,
Е(0)=0, ^(у) = 0,
Е(5) = 5, Е(/20) = 4,
и т. д. График функции у = Е (х) изображен ниже, на рисунке 57
(стр. 112).
Две функции, f(x) и g(x), заданные на некотором промежутке,
называются тождественно равными на этом промежутке, f(x) =
= g(x), если их значения в каждой точке промежутка совпадают.
Так, например, функции f(x) = l и g(x) = sin2х + cos2х тождест-
венно равны на (—оо, + оо), так как для любого х справедливо
равенство sin2x + cos2x= 1. Функции f (х) = 1g х2 и g (х) = 2 1g х
имеют разные области определения (первая определена для любых
х^О, а вторая —только для х>0). Однако эти функции тождест-
венно равны на промежутке (0, + со).
Пример 11. Тождественны ли функции
f(x)=VxYx — 2 и ф (х) = У~х (х — 2)
на промежутке [2, +со)?
Не выясняя, каковы области существования данных функций, заметим, что
обе функции, во всяком случае, определены в промежутке [2, -|-оо). Ясно, что
в этом промежутке значения / (х) и ср (х) совпадают, то есть в указанном проме-
жутке функции f (х) и ф (х) тождественно равны.
Пример 12. В каком промежутке тождественны функции
/(х) = хи ф (х) = 10'» v?
Функция )(х) = х существует при любом значении х, то есть на промежутке
(—со, -фсо). Функция ф (х) = 10l?х существует лишь для значений х>0, то
есть на промежутке (0, -фсо). Поскольку на (0, -}-оо) функции f (х) и ф (х) сов-
падают (х — 10lsI '), то они тождественны на этом промежутке.
В заключение параграфа заменим, что иногда, определяя функ-
цию, не требуют, чтобы каждому значению аргумента соответство-
вало только одно значение функции. В этом случае допускаются
многозначные функции —функции, у которых каждому значению
аргумента соответствует не одно, а два или несколько значений
функции. Например, функция у, определяемая из уравнения у2 = х,
* Обозначение Е (х) по начальной букве французского слова «entier», что озна-
чает «целый» (читается «антье»).
45
двузначна, так как каждому значению х соответствуют два зна-
чения у (у — ± УхУ Функция z/=Arcsinx является бесконечно-
значной, как хорошо известно читателю из школьного курса.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Дана функция:
sin х при — 1 < х < О,
1 4-х2 при 0 sg х < 2.
Найти /(1),	и /(0).
2.	Функция y=f(x) определена на отрезке [а, Ь].
Каковы области определения функций:
Цх—а), /(*4-а), /(Зх) и/^?
В задачах 3—J2 определить области существования функций.
3.	/ (х) = х34-бх2 — Зх4-1.	Оте. (—со, 4~с°)-
2x4-1
4.	/(х)= ^77-3^75.	Оте. (—<х>, 1), (1, 2) и (2, ф-со).
5.	f (х)= Igsin (х —3)4-]/16 —ха.	Оте. (3, 4J и (3 —2л, 3 —л).
6.	f (х) = 1 4-х + Кх2 — 9.	Оте. (—оо, —3] и [3,ф-оо).
7.	/ (х) = arc cos ------Д lg2v.	Оте. [1, 4].
О
8.	f(x) = Llkt-L.	Оте. (— со, 0) и (0, 4-со)-
9. f (л) = |"Е (х) — х 4_ 2х.
10. f (х) = (х —
11. f (х) = ]/4х2 — 9х.
Оте. При х=0, ±1, ±2,...
Оте. (—оо, —1) и [2, 4-оо).
Г9 \
Оте. (—со, 0] и 4-со)-
12.	f (х) = /^Д-х^х2?	_____ Оте. [-1, 2].
13.	Дана функция: <р (х) = У 1 — xs. Доказать, что <р [<р (х) | =; х
14.	Дана функция: )(х) = х34--^ — Зх — —, Доказать, что Ц—)=ф(х).
15.	Тождественны ли функции:
а)	/(х) = х и <р (х) = | х | на [-—2, 4*2].	Оте. Нет.
б)	f(x) = x и <р(х) = (|/х)2 на [1, 3].	Оте. Да.
в)	/(х) = х и <р(х) = |/х2 на (— со, Д-оо).	Оте. Нет.
16.	Построить по точкам графики следующих функций:
а) # = х24-сх4~1 при с = —2, 0, 2.
б)
в)
У X— 1 •
|х2
У = <4
14 — х
при — 2=^х<2,
при 2 йД х < 3,
при 3=gXsg;4.
§ 3. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Будем рассматривать функции, заданные на промежутках, сим-
метричных относительно начала координат: [ — а, ф-о], ( — а, 4-а)
или ( — со, ф-co).
46
Рис. 22.
Определение. Функция y=f(x), заданная на симметричном
промежутке, называется четной, если для любых значений х из ее
области определения справедливо равенство
f (-—x) = f (х).
Примерами четных функций являются: у = х2, y = cosx, z/ = |x|.
Они представляются графиками, изображенными на рисунке 22.
Как видно из определения и приведенных примеров, графики
всех четных функций симметричны относительно оси ординат.
Учитывая последнее, при построении графика четной функции нет
надобности строить ее по точкам для положительных и отрицатель-
ных значений х. Достаточно построить график только для
или №5 0, а затем зеркально отобразить полученную часть гра-
фика относительно оси ординат.
Определение. Функция у—~Цх), заданная на симметричном
промежутке, называется нечетной, если для любых значений х из
ее области определения справедливо равенство
f (—*- х) “ —"* f (х).
В качестве примеров нечетных функций могут служить: г/^5-
Рис. 23.
417
Особенностью нечетных функций является то, что их графики
симметричны относительно начала координат. Чтобы построить
график нечетной функции, достаточно сначала построить его часть
только для х;>0 или только для х-сО. Затем двойным отобра-
жением относительно осей координат (безразлично в каком порядке)
получается и вторая часть графика.
Неправильно было бы считать, что любая функция, заданная
на симметричном промежутке, непременно будет либо четной, либо
нечетной. Большинство функций не являются ни четными, ни
нечетными. Например, у—хф\, у=ах и z/ = x24-2x— 3.
По отношению к четным и нечетным функциям справедливы
следующие утверждения:
Теорема 1. Сумма и разность двух четных (нечет-
ных) функций есть функция четная (нечетная).
Доказательство. Обозначим сумму f(x)-\-g(x) через F (х).
Тогда, если f (х) и g(x) четные, то
F(-x) = f(-x)+g(-x)=f(x) + g(x) = F(x).
Следовательно, F (x) по определению есть четная функция.
Если же f (х) и g(x) нечетные, то F (х) будет также нечетной,
так как
F (_ Х) = f	Х) + g (_.. х) = — f (х) —g (х) =
= -|7(.v)4.g(.v)] = _f(x).
Совершенно аналогичное доказательство теоремы для случая
разности функций предоставляется читателю.
Теорема 2. Произведение двух четных или двух нечет-
ных функций есть функция четная. Произведение четной
функции на нечетную есть функция нечетная.
Доказательство. Введем обозначение F (x')-f(x') • g(x'). Тог-
да, если f(x) и g(x) четные, то
F(-x)^f(-x).g(~-x) = f(x).g(x) = F(X)-,
если f (х) и g (х) нечетные, то
F(—х)=/(—х)-^(— *)=[-Н*)Н-^Wl = F(x);
если, наконец, f (х) четная, a g(x) нечетная, то
F(-x)=f(-x).g(-x)=f(x)-[-g(x)] = -F(x).
Этим теорема доказана полностью.
.Теорема 3. Всякая функция у =f(x), заданная на неко-
тором симметричном промежутке, может быть пред-
ставлена в виде суммы четной и нечетной функций, задан-
ных на этом же промежутке.
Доказательство. Пусть на некотором симметричном про-
межутке задана функция f(x). Рассмотрим функции:
i \ ?W+/( — х)	। i \ /(«) — /( — х)
ф (х) ==	-->. и ф (х) = 'V. -L.
48
Первая из них будет четной, а вторая —нечетной, так как
ф (—х)	~ х)2+ - = ф (х),
При этом
ф W -И (х) =	+_ f (л.).
Пример 1. Представить функцию f(x)=5x в виде суммы четной и нечетной
функций.
В данном случае
Ф(х)=у[/(х)+/(-х)]=у[^ + 5^1.
ф (х) = 1 [/ (х) - f( - х) ] = 1 [5* - 5-Н.
Следовательно,
В отдельных случаях функцию, заданную на [0, а], требуется
доопределить на [ — а, 0) таким образом, чтобы она после этого стала
четной или нечетной на всем отрезке
_|-й]. эт0 делается так. Пусть,
например, / (х) — любая функция, задан-
ная на [0, а]. Тогда функция
Для 0=Cx=sSa,
ф(А/ )/( — х) для — а=Сх<0
будет четной на [ — а, +«], а функция
для —д-?:х<0
будет нечетной. Это легко проверить,
пользуясь определением четной и нечет-
ной функций. Во втором случае дооп-
ределение возможно лишь для тех функ-
ций f(x), для которых / (0) = 0 (иначе
не выполнится условие /(0) =—/(0)).
Заметим, что такому доопределению
функции геометрически соответствуют
рассмотренные выше способы построе-
ния графиков четных и нечетных функ-
ций на [ — а, +н], если они уже по-
строены на [0, а].
Операцию доопределения функции указанным способом иногда
называют четным или нечетным продолжением функции. На
рисунке 24 продолжения изображены пунктирными линиями.
49
Пример 2 Функцию / (х) = <а i-x, заданную на отрезке [0, 3], продолжить
гетным и нечетным образом hi отрезок [—3, -|-3]
Очевидно, четная функция ср (х) запишется в виде
при
при
О -'3 х -'3 3,
—3 сД х < О,
а нечетная функция ф(х) —в виде
Ф W = {
х2-|-х
—х2ф-х
при
при
О х “У 3,
—3 < х < 0.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Установить, какие из данных ниже функций f (х) являются четными,
а какие нечетными
a) f (х) = х34-3х4~-5хв, б) f(x)=x —х3, в) f (х) = ах + а~х, г) ?(х)==1§-~^,
Д) f(x) = W
2.	Можно ли по графику функции судить о ее четности или нечетности’
3.	Представить в виде суммы четной и нечетной следующие функции
a) f (x) = x24-3x24~5x-[~4, б) fix'}—2х, в) /(x) = tgx, г) f (х) = |^ха
4 Выполнить четное и нечетное продолжение на всю ось функций, заданных
при x=s0 формулами
а) /(х) = х, б) f (x) = sm х, в) /(x) = 3v—1
Построить их графики
§ 4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определение. Функция y = f(x), заданная в некоторой обла-
сти называется периодической с пеоиодом I (короче—Апериоди-
ческой), где 1^=0, если для
любого х из этой области
числа х zt I тоже входят в
область задания функции и
при этом справедливо равен-
ство
f(X-rl)^f(x).
Примерами периодических
функций могут служить три-
гонометрические функции.
Так, sinx и cosх имеют пе-
риод / = 2п, a tgx и ctgx— период 1 = п Легко проверить, что
функция у = х — Е(х) будет также периодической с периодом 1 = 1
(рис 25)
Из определения периодической функции следует, что функция
периода I имеет также период — I, так как f (х— /) = f[(x — /)-(-/] =
= / (х) Более того, покажем, что числа вида ±nl, где п — любое
натуральное число, также являются периодами /-периодической
функции Действительно,
об
f(x + 3l)=f
f(x-2l)=f
f(x—3l)=f
(x + /)4-/]=/(x + /)=/(x)>
(x + 2l) + l] = f(x + 2l) = f(x), и т
(x_/)_/]=f(x_Z)=f(x),
\x-2l)-l]^f(x-2l)==f(x), и i
f(x-\-2l')=f
Д
Часто периодом функции называют наименьший из всех положи-
тельных периодов. Функция sinx называется 2л-периодической,
хотя ее периодами будут также числа 2kn, где k = ± 1, ± 2, ± 3, ...
Заметим, однако, что не всегда среди периодов функции можно
найти наименьший. Например, постоянная функция f(x)=c будет
периодической, и ее периодом можно считать любое вещественное
чисто а=£0, так как f (x + d)=c=f (х).
Чтобы построить график 1-периодической функции, оче-
видно, достаточно его построить в пределах одного периода,
то есть от любого значения х до хф-/. Затем, сдвигая
построенный график вправо и влево на расстояние I, 2ф
31, . , получим графическое представление функции на всем
желаемом промежутке.
Изучение периодической функции также достаточно ограничить
изучением ее на промежутке одного периода, так как особенности
в ее поведении будут также периодически повторяться.
Функцию f(x), заданную на некотором отрезке [а, Ь], можно
доопределить на всей числовой оси таким образом, чтобы она стала
периодической с любым наперед заданным периодом 1>Ь — а. Эта
операция называется периодическим продолжением функции.
Пример 1 Построить для функции /(х) = х®, заданной на
отрезке [—1, ф-1], периодическое продолжение с периодом 21 (l> 1).
Прежде всего данную функцию следует доопределить на проме-
жутках [—/, —1) и (1, /] Это можно сделать различными спосо-
бами, однако с таким расчетом, чтобы ср (—/) = ср(/). Пусть, напри-
мер,
Ф(х) =
1 при
X2 при
1 при
1 < х I (рис. 26).
51
Полагая для любого значения х из [—I, 4-/]
<р (х ± 21) =<р (х),
получим периодическое продолжение функции на [—3/, фЗ/]. Поло-
жив ф (х±4/) = ф (х), ф (X .1 6/) ф (х) и т. д., можем получить
периодическое продолжение (периода 21) функции ф (х) на всю
числовую ось. При этом на [—1, 4-1] будет ф(х)=/(х).
Заметим, что если функция f (х) первоначально задана на отрезке
[а, /э] и при этом f(a)=f(b), то f (х) допускает /-периодическое
продолжение на всю ось и с периодом 1 = Ь— а. Предоставим чита-
телю самостоятельно убедиться в этом.
Пример 2. Функция f (х) с периодом 21 задана на всей оси.
Какой период имеет функция ф(х) = /(ях), где а > 0 — заданное
положительное число?
21
Покажем, что функция ф (х) имеет период Действительно,
для любого х имеем:
Ф ^х 4~	=/ £а ^х 4- —= f (ах 4~ 21) — f (ах) = ф (х).
Если, в частности, положить а = ~, то ф (х) будет иметь период 2л.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Определить, какие из данных функций !шляются периодическими, и устано-
вить их наименьший положительный период:
a) f (х) = sin х + tg у.
б) /(x)=cos2x.
в) f(x)=cosx2.
г) f(x)=Vtix.
д) f (х) = sin 2х.
е) f (х) = A sin kx-\- В cos Кх (X > 0).
Ош. 2л-периодическая.
Отв. л-периодическая.
Отв. Непериодическая.
Отв. л-периодическая.
Отв. л-периодическая.
_ 2л
Отв. -^--периодическая.
Л
2.	Доказать, что если f (х) есть /-периодическая функция, то функция <р (/) —
= будет р-пер иодической.
3.	Для функции
/« =
построить периодическое продолжение с периодом 2/ (Z > 1).
4.	Можно ли по графику функции судить о ее периодичности или непериодич-
ности?
§ 5. ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
В курсе средней школы рассматриваются конкретные примеры
обратных функций: логарифмическая функция как обратная пока-
зательной функции и обратные тригонометрические функции. Здесь
рассмотрим понятие обратной функции в общем случае.
о2
Пусть на некотором промежутке X* определена функция y = f(x),
значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток Y на
оси ординат. Это значит, что для любого значения у = уй из про-
межутка Y существует такая точка х(, из г р жежутка X (одна или
несколько), что f(x0) = y0. Тем самым каждому значению у из Y
ставится в соответствие одно или несколько определенных значений
х из X. Значит, х можно рассматривать как функцию от у, опре-
деленную на промежутке Y, со значениями в X, то есть х=ф(«/).
Отыскание аналитического ' выражения функции х = ф (у) сводится
к решению уравнения y = f(x) относительно х.
Функция х = ф (у) называется обратной функцией по отношению
к функции y=f(x).
Пример 1. Функция «/ = 2x4*3 определена на (—со, 4-со). Областью ее
значений будет также (—со, 4* °0)- Обратной функцией будет функция х == ~—,
определенная на (— оо, 4* °0)-
Пример 2. Для функции у = ха обратными будут две функции: х = Уу и
х = — Уу, или, как иногда говорят, двузначная функция х— ±Уу, существующая
только для у4г0.
Перейдем теперь к выяснению вопроса о взаиморасположении
графиков прямой и обратной функций. Так как связь между пере-
менными х и у в прямой функции y = f(x) и обратной ей функции
х = ф(у) одна и та же, то графики
этих функций совпадают. Если же
обратную функцию представить в
обычно принятых обозначениях (ар-
гумент обозначить через х, а функ-
цию—через у, то есть записать
// = ф(х), при этом функцию г/ = ф(х)
мы по-прежнему будем называть об-
ратной по отношению к функции
z/ = f(x)) и если аргумент снова от-
кладывать на горизонтальной оси,
то график обратной функции повер-
нется. Чтобы получить его новое
расположение, нужно перегнуть плос-
кость чертежа по биссектрисе первого
и третьего координатных углов. Можно сказать также, что график
обратной функции г/ = ф(х) является зеркальным отображением гра-
фика прямой функции y=f(x) в биссектрисе первого и третьего
координатных углов. Графическое изображение функций, рассмотрен-
ных в примерах 1 и 2, а также им обратных функций, дано на
рисунках 27 и 28.
* Здесь X может обозначать промежуток любого типа: Х = [а, &], Х = (а, Ь)
и пр. То же относится и к У,
53
Пример 3. Какая функция у = у(х) будет обратной для функции t/ = xs4-
+ 4х? Построить ее график.
Из уравнения х2 + 4х — у —О находим: х — — 2 ± ]/4-1~у. Значит, обратных
функций две. Если обозначения х и у поменять местами, то эти две функции
примут вид:
у ' 2 —4 —|— %* у =з —— 2	ф7'4 —ф х.
Так как графики прямой и обратной функций взаимно симметричны относительно
биссектрисы первого и третьего координатных углов, то, построив один из графи-
ков, легко получить и второй. Для построения графика прямой функции, пред-
ставляющего собой параболу, замечаем, что
X'2 4Х в (л  ; - 2)а — 4,
то есть вершина этой параболы находится в точке (—2; —4) и ветви направлены
вверх. Если еще учесть, что она проходит через начало координат, то построение
графика не вызовет затруднений (рис. 29).
Вопросы для самопроверка и упражнения
1.	Для заданных ниже функций найти обратные. Построить графики тех и
других функций, используя свойства обратных функций:
а) г/ = 2х, б) j/ = x2-—2, в) z/ = g—г) f/ = ~, Д) r/=2*-l, е) i/=log6x.
2.	Возможен ли случай, когда графики прямой фрнкции y—f (х) и ей обрат-
ной функции y = <f(x) совпадают?
3.	Найти обратную функцию для функции
!х при —со < х < 1,
х2 при	1 X ' 4;
2х при	4<х<ф-со.
Построить графики прямой и обратной функций, расположив их на одном чертеже.
1 — X
4.	Доказать, что функция у-=-,—— обратна сама себе, то есть что обратная
х X
функция для данной функции тождественна с ней.
.4
5.	На промежутке (0, +со) задана функция у = хп (п — натуральное). Найти
обратную функцию на этом промежутке и установить, при каких значениях л
значения прямой функции больше значений обратной функции, а при каких —
меньше.
§ 6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
После введения понятия функции внимание математиков было
обращено на изучение большого количества различных функциональ-
ных зависимостей. В результате непрерывного развития математики
и в настоящее время появляются все новые и новые классы функ-
ций. Среди всего многообразия функций исторически выделились
функции, отличающиеся своей простотой и наиболее широкой обла-
стью применения. Это так называемые простейшие элементарные
функции. Основное значение простейших элементарных функций
состоит в том, что они составляют базу для изучения более слож-
ных функций, являясь в большинстве своем составленными элемен-
тами последних. Поэтому уже в средней школе первое знакомство с
функциями начинают с изучения простейших элементарных функций.
Поскольку в дальнейшем нам неоднократно придется прибегать
к иллюстрации многих математических понятий на простейших
элементарных функциях, то здесь мы дадим краткое описание
последних, оставаясь на «школьном уровне». В главе IV наши све-
дения об элементарных функциях, будут существенно дополнены.
К простейшим элементарным функциям обычно относят следую-
щие:
1 .^Степенная (Ьинкиия. то есть функция вида у—х^, где у — любое
вещественное число. Эта функция имеет то или иное конкретное содер-
жание в зависимости от значений п. Рассмотрим возможные случаи.
а)	Пусть р есть целое положительное число, р = п. Тогда функ-
ция у = хп существует на (—сю, -фею) при любом п и ее график
проходит через начало координат и точку (1,1). При различных значе-
ниях п получаются различные кривые (рис. 30). Среди них будут:
у == х (п=1) — прямая линия, проходящая через начало коорди-
нат и образующая с осью ОХ угол в 45°. Эта прямая является
биссектрисой первого и третьего координатных углов.
у~х2 (и = 2) —парабола. Проходит через начало координат, сим-
метрична относительно оси OY.
у — х3 (п=3) — кубическая парабола. Расположена в первой и тре-
тьей четвертях симметрично относительно начала координат.
у — хп (п —любое четное число) — кривая, расположенная в первой
и второй четвертях симметрично относительно оси OY (в силу чет-
ности функции). По виду график напоминает график функции y = xi.
у = хп (п — любое нечетное число) — кривая, расположенная впер-
вой и третьей четвертях симметрично относительно начала коорди-
нат (в силу нечетности функции). По виду график напоминает гра-
фик функции у = х3.
б)	Пусть р —целое отрицательное число, р = — п. Тогда имеем
дробно рациональную функцию у = х~п = -^. Она существует для
65
Ул
Рис. 30.
всех х-=^0, то есть на промежутках (—оо, 0) и (0, ф-оо). Ее гра-
фиками будут (рис. 31): i/ = j (п = 1) —гипербола. Расположена
в первой и третьей четвертях и в силу нечетности функции сим-
метрична относительно начала координат. Как видно из чертежа,
биссектрисы координатных углов у = х и у — —х будут также осями
симметрии.
у = ^ (п = 2) — кривая, расположенная в первой и второй четвер-
тях симметрично относительно оси OY.
X
_ /
у х*
58
у=^(п — 3)— кривая, расположенная в первой и третьей чет-
вертях симметрично относительно начала координат.
у —i (п—любое четное число) — кривая, расположенная в первой и
второй четвертях симметрично относительно оси 0Y. По виду гра-
фик похож на график функции У=±у-
У=~Ап— любое нечетное число) — кривая, расположенная в пер-
вой и третьей четвертях симметрично относительно начала коорди-
нат. По виду график похож на график функции У — уу-
в)	Пусть р, —положительное дробное число, то есть у — где
т и « — натуральные числа, не имеющие общих множителей. Тогда
т
имеем функцию: у — хп —у хт. При этом будем считать, что при
извлечении корня четной степени из положительного числа берется
его арифметическое (положительное) значение. При нечетном п под-
коренное выражение может быть любого знака. Следовательно,
областью существования будет (—оо, 4-оо). При четном п число т
будет нечетным и корень будет иметь вещественные значения только
для x2s=0. Следовательно, в этом случае областью существования
будет [0, 4-со).
Рассмотрим частные случаи функции вида у-у^х”1.
Функция у = у/Гх (т=1) является обратной функцией по отноше-
нию к функции у = хп. Следовательно, графики функций у--уг х
при различных п симметричны относительно биссектрисы у = х гра-
фикам функции у = хп при соответствующих п. На рисунке 30 они
изображены пунктирными линиями.
П г-——
Функция у— у хт при нечетных п и т будет нечетной и ее гра-
фик расположится в первой и третьей четвертях симметрично отно-
сительно начала координат. Если п нечетное, а т четное, то функ-
ция будет четной и ее график будет симметричен относительно оси
OY, располагаясь в первой и второй четвертях. Наконец, если п
четное, а т нечетное, то функция определена только при хУэО,
а ее график расположится в первой четверти. Заметим также, что
поведение графика функции у=уГхт еще существенно зависит от
того, будет ли ^->1 или 1 (рис. 32).
г)	Пусть ц —отрицательное дробное число, ц = — Тогда функ-
ция представится в виде
57
т и п- печетн.
т- печати
т-четп , п-нечетн о -чети.
Рис. 32.
Задачу построения графиков таких функций при различных п и т
можно значительно облегчить, используя построенные графики для
функций вида у = угхт. В каждой точке х ордината функции
равна обратной величине ординаты функции у=угхт.
у7хт
Общий вид графиков функций у = Дан на рисунке 33.
/Ри
В случае иррационального ц необходимо сначала определить,
что следует понимать под символом х" Этим мы займемся несколько
позже, после ознакомления с понятием предела и непрерывности
функции (см. § 8, гл. IV).
Рис. 33.
53
2. Показательная функция
где а —любое положительное вещественное число (случай, когда
д=1, обычно не рассматривается, так как не представляет ника-
кого интереса).
Однако следует иметь в виду, что мы еще не дали определения
степени с иррациональным показателем. Когда это определение
будет дано (§ 8, гл. IV), мы увидим, что показательная функция
ах определена при всех х, то есть областью существования показа-
тельной функции является вся числовая ось (—оо, ф-оо). На рисунке
34 изображены графики показательной функции у=ах при различ-
ных а.
Характерной особенностью показательной функции является то,
что она нигде не обращается в нуль, каково бы ни было число
а>0. Иначе говоря, гра-
фик показательной функ-
ции нигде не пересекает
ось ОХ.
3. Логарифмическая
функция
У~ loga
где а —любое положитель-
ное число (отличное от 1).
Поскольку нуль и от-
рицательные числа лога-
рифмов не имеют, то об-
ластью существования ло-
гарифмической функции
будет (0, ф-оо). Логариф-
мическая функция по оп-
ределению является обрат-
ной по отношению к пока-
зательной функции. По-
этому ее график легко представить по графику показательной функ-
ции. На рисунке 34 график логарифмической функции изображен
пунктирной линией.
4. Тригонометрические функции
z/ = sinx, у = cos х, i/==tgx, z/ = ctgx, y = secx и y — cosecx.
Здесь аргумент х — числовая переменная, которую вовсе не обяза-
тельно изображать в виде угла или дуги окружности. Однако под
значением тригонометрической функции от числовой переменной х
понимают значение той же тригонометрической функции от угла,
радианная мера которого равна х (рис. 35 и 36).
Характерной особенностью тригонометрических функций явля-
ется их периодичность. Функции tg х и etg х имеют период л, а
69
Рис. 35.
остальные четыре функции - период 2л. Областью существования
для функций sinx и cos х является вся числовая ось ( — оо, ф-со).
-	,	sin х	1
Функции tgx —------ и secx =---- существуют для тех значении х,
при которых cos х #=0, то есть для x^=[k-\~^n, а функции
ctgx=||f и cxxsec х==------ существуют для x=/t=kn(k=Q, ±1, ±2,
нн 3,..
5. Обратные тригонометрические функции
i/ = arcsinx, //---arccosx, у=ardgx и у —arcctgx.
Рассмотрим функцию z/=sinx. Она определена на (— оо, ф-сю),
и ее значения сплошь заполняют отрезок [—1, ф-1]. Это значит,
что для любого у.. из [—1, +1] найдется такое хй, что sinx0 = i/0.
В силу периодичности sinx множество значений х, удовлетворяю-
щих уравнению sinx = z/0, будет бесконечным. Таким образом,
обратная функция для sin х является многозначной функцией с об-
ластью определения [—1, ф-1] и областью значений (—оо, ф-сю).
Эту обратную функцию обозначают х = Aresing или в обычных
обозначениях аргумента и функции у — Arcsinx. Использование
такой функции затруднительно из-за ее многозначности, так как
Рис. 36.
60
неизвестно, какое из многих значений следует в том или ином
случае брать. Чтобы этого избежать, выберем такой промежуток
на оси 0Y, чтобы в этом промежутке каждому значению аргумента х
из [—1, +1] соответствовало одно и только одно значение у. Так
как при изменении х от —у до -фу функция y = sinx по одному
разу принимает все значения от —1 до +1, то
каждого значениях из [—1, -ф 1J выделить то
значение z/ = Arcsinx, которое содержится в про-
межутке —у,	Такие значения Arcsinx
называются главными значениями и обознача-
ются arcsinx.
Функция у— arcsinx является однозначной
функцией на [—1, -ф1], обратной для функции
y = sinx, если последнюю считать заданной только
на [ — у, +yj. Ее графиком является часть
кривой у — Arcsinx, выделенная на рисунке 37
сплошной линией. Чтобы получить график функ-
ции z/==arcsinx, достаточно зеркально отобразить
в биссектрисе первого и третьего координатных
углов график функции i/—-sinx, рассматривае-
мый на отрезке
л
'У'
-ф у . Это достигается по-
воротом чертежа на 180° вокруг вышеуказанной
биссектрисы.
Все остальные значения функции у = Arcsinx
можно получить с помощью формулы Arcsinx =
==kn -ф (— l)ft arcsin x, где k = 6, ± 1, ±2, ± 3, ....
Аналогичным образом определяется многознач-
ная функция у — Arccos х как обратная по от-
ношению к функции у — cosx. Ее значения из
промежутка [0, л] называются главными значе-
ниями и обозначаются arccos х. График функции
у—Arccos х изображен на рисунке 37. Его часть,
условились для
\ X
Рис. 37.
соответствующая функции у — arccos х, выделена
сплошной линией. Все остальные значения арккосинуса выражаются
через главные значения следующим образом:
Arccos x = 2kn ± arccos х, где k = Q, ±1, ±2, ±3, ...
Функция z/ = Arctgx является обратной по отношению к функции
y=tgx. Так как последняя принимает все значения из (— со, -ф сю),
то и областью определения функции r/ = Arctgx будет вся
ось ( —оо, -фоо). В силу периодичности tgx каждому значению у
соответствует бесконечное множество значений x = Arctgr/. Следова-
тельно, функция z/ = Arctgx является также многозначной. Ее значе-
ния из промежутка у, называются главными и обозначаются
61
г/= arctg х. Все остальные значения Arctg х могут быть вычислены
по формуле
Arctg х = arctg хф-&л, где & = 0, ± 1, ±2, ±3, ...
График функции y = arctg х (рис. 38) получается уже известным
нам способом построения графиков обратных функций. Областью
ее определения является (— оо, ф-оо), а областью значений
/ JT . «п \
\ Т’ +'2/-
Аналогично, многозначная функция г/= Arcctg х определяется
как обратная по отношению к функции z/ = ctgx. Ее главные зна-
чения составляют интервал (0, л) (рис. 38). Все значения Arcctg х
выражаются через главные значения следующим образом:
Arcctgх —arcctgx-ykn, где k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Из определения обратных тригонометрических функций следует,
что
sin (arcsin х) = х, cos (arccos х) — х,
tg (arctg х) = х, ctg (arcctg x)=x.
И так как
cos — arcsin xj — sin arc sin x,
ctg i у — arctg xj = tg arctg x=x,
arcsin x=< ,-r,
0 < у — arctg x < л,
TO
arccos x = y —arcsin x и arcctg x = у —arctg x.
Далее, пользуясь формулами связи между тригонометрическими
функциями, получим:
sin arccos х= V1 -—cos2 arccos х —К 1 — х2,
cos arcsin х — К1 — sin2 arcsin х = ]К1 — х2,
. sin arcsin х х
tg arcsin х  ------------— -у—  
cos arcsin x У 1—X2
Учитывая, в каких четвертях находятся главные значения
arcsin х и arccos х, легко проверить, что во всех трех формулах
следует брать положительное значение радикала.
Если над простейшими элементарными функциями производить
различные арифметические действия, то будем получать новые
функции.
6. Целая рациональная функция, или многочлен,
у=== а,}хп -ф- а1хп 2 -ф- а.гх 2 -ф-... ф- а.п_уХ -ф- ап,
где п — любое натуральное число, указывающее на степень много-
члена, а ай, alt аг, ..., «„ — любые вещественные числа —коэффи-
62
циенты многочлена (а0	0). Эта функция названа так потому, что
получается в результате только рациональных действий сложения
и умножения над аргументом х и постоянными а0, аг, а2, ап.
Как легко видеть, областью существования целой рациональной
функции является вся числовая ось (— оо, -|-оо).
Рассмотрим несколько частных случаев.
а)	Если п=1, то имеем многочлен первой степени, или линейную
функцию: г/ = йох4-с1- При любых значениях коэффициентов с0 и аг
графиком этой функции будет прямая линия (рис. 39). В частности,
у — х(ай— 1, ах = 0)— уравнение биссектрисы первого и третьего
координатных углов.
График функции y = aQx (ах = 0) — прямая, проходящая через
начало координат. Для каждой точки отношение ординаты к абсциссе
равно а0. Число а0 есть тангенс угла между этой прямой и поло-
жительным направлением оси ОХ. Его иначе называют угловым
коэффициентом прямой.
График функции у = аох + а1 — прямая с угловым коэффициен-
том ай, пересекающая ось ординат в точке ах. Эту прямую можно
получить параллельным сдвигом на । аг \ единиц прямой у = айх
вдоль оси OY вверх (при ах>0) или вниз (при ах<0).
б)	Если п — 2, то имеем многочлен второй степени, или квадра-
тичную функцию:
У = а0хъ-}-а1х-\-а2.	(1)
Покажем, что при любых значениях коэффициентов а0, ах и а2
графиком этой функции является парабола, но ее расположение
на плоскости зависит от
этих коэффициентов. Нач-
нем с более простых слу-
чаев.
§3
При a0=I> fli = a2 = 0 имеем степенную функцию: у=х2. Ее
графиком, как упомянуто выше, является парабола, симметричная
относительно оси 0Y, направленная вверх и проходящая через
начало координат (см. выше рис. 30). Точка (0, 0) пересечения
параболы с осью симметрии называется ее вершиной.
При произвольном а0 и ax = a2 = 0 имеем функцию: у = аах2. Ее
график есть также парабола, симметричная относительно оси OY,
проходящая через начало координат (рис. 40). Однако направление
ее зависит от знака а0. Парабола направлена своими ветвями вверх
при ао>0 и вниз при а0<0. Абсолютная величина сказывается
на степени «расхождения» ветвей. Чем меньше | aQ |, тем ветви
больше «расходятся», как это видно из рисунка 40. Вершина па-
раболы у — а0х2 по-прежнему в точке (0, 0).
Рассмотрим функцию у — a0x2-|-d (то есть полагаем в (1) 01 = 0,
a2 = d). Ее графиком является парабола, получающаяся из графика
параболы у = айх2 сдвигом на | d | вверх (при d>0) или вниз (при
d<0) (рис. 41). Соответственно и вершина перемещена в точку
(0, d). Направление и ось симметрии остаются такими же, как и
у параболы у=айх2.
Рассмотрим теперь функцию у/=	(л*- с)2- с/. Легко убедиться,
что ее график получается из графика функции y=o0x2 + d сдвигом
на |с| вправо (при с<0) или влево (при с>0) (рис. 42). Это есть
также парабола, симметричная относительно прямой х=—с. Ее
ю квадратичной функции (1).
Ее можно преобразовать к
виду
у —а» (x-i-c)2-|-d.	(2)
в точке
общему
вершина находится
Возвратимся к

У"
X
у--
'8
’10

64
Действительно, так как по условию а„ 0, то
// =	@1Х Н" = @0	" Г" х ~Ь	•
К трехчлену, находящемуся в скобках, применим известный способ
выделения полного квадрата суммы двух членов. Рассматривая №
как квадрат первого члена (отсюда вытекает, что первым членом
будет х'), а — х как удвоенное произведение первого члена на вто-
рой ^отсюда заключаем, что произведение первого члена на второй
равно х и вторым членом будет , получим:
17 г । М2 , («з	«Ц1	л «Л2 , 4аоа2-а?
У~ 0|АХ + '2а~)	У~а°\ +^J +~45Г~-
• Положив в последнем выражении ^=си 4a,>a^-ai = d, получим (2).
Следовательно, можно утверждать, что квадратичная функция (1)
представляет собой параболу, симметричную относительно прямой
х — —4*- и направленную вверх (при а0>0) или вниз (при а0<0).
Вершина этой параболы находится в точке ( —	.
- в) Если п — 3, то имеем многочлен третьей степени, или куби-
ческую функцию, у == аих'л + щх? 4* а2х Ц- а.л. В частности, график
у = х? (а0=1, а1 = а2 = а3 = 0) —кубическая парабола, рассмотренная
нами выше.	. ,
3 Бохан и др,	65
Можно было бы провести более глубокое исследование много-
членов различных степеней. Однако теми средствами, которыми мы
сейчас располагаем, это сделать затруднительно. Средства матема-
тического анализа "значительно облегчат эту работу.
7.	Дробно-рациональная функция
а°хП+а1ХП1+а2*”~2 +   +an_ix+ап
У	ЬйХт + Ь1Х^ + Ь2>ст~* +... + Ьт_лх+Ьт
(й0 #0, Ьо # 0), то есть функция, представляющая собой отношение
двух многочленов. Область существования ее составляют все точки х,
не являющиеся корнями знаменателя. Нами уже рассмотрен частный
случай дробно-рациональной функции у—-^. К рассмотрению осталь-
ных случаев вернемся также после изучения дифференциального
исчисления.
Рассмотренные нами элементарные функции будут неоднократно
встречаться в дальнейшем. Сведения о них, данные здесь в порядке
первого знакомства, будут постепенно пополняться новыми резуль-
татами исследования.
Можно получать новые функции и так называемым способом
наложения (или суперпозиции). Этот способ состоит в том, что
вместо аргумента некоторой функции подставляется новая функция
от другого аргумента. Например, наложение функций г = у* и
y = sinx дает функцию z = siirx. С другой стороны, функцию
//-= lg:l (2л'2-у 5)''« можно рассматривать кал результат наложения
функций: y=zs, z = \gu, и~Уv и v = 2x2 + <5.
Функции, получаемые из более простых функций способом нало-
жения, обычно называют сложными функциями. В первом из наших
примеров z есть сложная функция от х. Переменная у в этом
примере играет роль промежуточной переменной, так как она
является функцией по отношению к х и аргументом по отношению
к z. Во втором нашем примере у есть сложная функция от х,
причем зависимость у от х осуществляется посредством уже трех
промежуточных переменных: г, и и V.
В общем виде, если на [а, Ь] определена некоторая функция
г = ф(х) с областью значений, составляющей [с, d] (то есть
c«£z=^d), и на [с, d] определена некоторая функция y = f (z), то у
будет сложной функцией от х, a z—промежуточной переменной.
Сложную функцию можно записать так: f [<р (х)]. Если у=Д(х),
где х = ф(0 и /=ф(н), то сложная функция у от и запишется
в виде y=f {ф [ф(и)]}. '
Заметим, что введение термина «сложная функция» относится
лишь к способу задания функции. С его помощью можно более
обозримо описать функциональную зависимость. К самой же при-
роде функциональной зависимости этот термин никакого отношения
не имеет. Одну и ту же функцию можно рассматривать и как
непосредственно заданную, и как сложную. Например, функцию
i/ = tg3x можно считать и сложной, полагая ^ = tg«, где и = 3х.
66
Все функции, получаемые из простейших элементарных функций
путем четырех арифметических действий или наложений, последо-
вательно примененных конечное число раз, составляют так назы-
ваемый класс элементарных функций. Например,
у = lg3 arctg 2Т<Л +sin3x.
8.	Функция f (х) = |х| (рис. 43) тоже относится к числу элемен-
тарных. Она получается с помощью наложения простейших эле-
ментарных функций по формуле
= Y>'
Если же воспользоваться определе-	.Z
нием абсолютной величины, то можно	/
записать, что	/
( х при х5?0,	/
f (х) = X	.........* - ......... Шиг„
( — х при х<0.	-	О	х
Эта функция определена на всей оси
(— ОО, -фоо).
Существуют также функции, кото-	Рис- 4,3.
рые нельзя выразить через простейшие
элементарные функции вышеуказанным способом. Про такие функ-
ции говорят, что они не выражаются через элементарные функции
в конечном ви£е. С ними мы познакомимся в дальнейшем при изу-
чении рядов и интегралов.
В заключение параграфа снова вернемся к вопросу о построении
графиков функций. Если дана какая-то функция //-- /’(л'), то,
прежде чем приступить к построению ее графика, следует выяснить
вопрос о ее четности и периодичности. Как уже отмечалось раньше,
это может значительно сократить работу.
Иногда при построении графиков функций можно использовать
уже известные графики. Так, если график А функции y — f(x)
построен, то различными передвижениями и деформацией его можно
получить графики многих других функций (рис. 44).
а) График функции г/ = /(л' + а) получается сдвигом графика А
параллельно оси ОХ на единиц вправо (при а<0) или влево
(при а>0).
б)	График функции у=) (x) + b получается движением графика А
параллельно оси 0Y на \Ь\ единиц вверх (при й>0) или вниз
(при b < 0).
в)	График функции y = kf(x) (&>0) получается из графика А
умножением ординат всех точек графика А на число k. Это будет
либо так называемое растяжение ординат в k раз (при k> 1), либо
сжатие в раз (при £<1).
г)	График функции y=f(kx) (Л>0) получается как бы сжатием
или растяжением (к оси OY) графика А в направлении, парал-
лельном оси ОХ. Абсциссы всех точек уменьшаются в k раз (при
3*
67
Рис. 44.
Л>1) или увеличиваются в у раз (при А<1), а величины соот-
ветствующих ординат сохраняются.
д)	График функции f(x)+g(x) получается добавлением в каждой
точке к ординате функции f (х) соответствующей ординаты функ-
ции я(х).
Пример 1. Построить график функции z/ = 3cos(2х-(-1) путем движения
и деформаций графика функции y — cosx.
Предположим, что график функции y — cosx уже построен. Измеряя ординаты
отдельных точек графика этой функции и увеличивая их в три раза, получим точки
графика функции p = 3cosx. Если затем абсциссы всех точек полученного графика
уменьшить в два раза, не меняя ординат, то получим график функции {/ = 3 cos2x. Так
как cos(2x-|-l)=cos2 (x + yj, то,
двигая график функции у — 3 cos 2х
параллельно оси ОХ влево на
1
>2 единицы, получим искомый гра-
фик (рис. 45).
Пример 2. Построить на
одном чертеже графики следующих
функций:
f(x) = 2x, g(x)=2 —4х, f(x)+
+g(x), fw— g(x),	f(x+2),
g и g (2x).
Сначала строим обычным спо-
собом по точкам графики функций
f(x) — 2x и g(x) — 2 — 4х.
Для построения графиков
функций f (х) + g (х) и f (х) — g (х)
воспользуемся тем, что ординаты
последних в каждой точке х рав-
ны соответственно сумме и разно-
сти ординат графиков функций
68
Рис. 46.
f(x) и g (х) в той же точке. На чертеже точки
графиков функций Г (х) -ф g (х) и f (х) — g (х), соот-
ветствующие различным абсциссам х, могут быть
отмечены либо после вычисления соответствующих
ординат, либо непосредственно с помощью чер-
тежных инструментов.
График функции / (х-ф2) получается сдвигом
графика функции f (х) влево на две единицы.
(X \
получается «растяжением» графика функции g (х), то
есть если, сохраняя ординаты графика функцииg (х). абсциссы увеличить в два раза.
График функции g(2x) получается «сжатием» графика функции g (х), то есть
если, сохраняя ординаты графика функции g (х), абсциссы уменьшить в два раза.
На рисунке 46 изображены графики всех этих функций.
Пример 3. Построить графики функций:
a)f/ = lg|x|;	б) y = sin х |-' sin х |; в) у = I х-ф2 |.
а)	Строим сначала график функции j/=lgx. Так как для х>0 будет |х|=х
и Ig|x| = lgx, то график функции y = lg|x| на положительной части оси (0, -фею)
совпадает с графиком функции p = lgx. Поскольку для любого xrZ:0 имеем
| —х| = ]х| и 1g х | = 1g | х то функция 1g | х | является четной. Следова-
тельно, ее график симметричен относительно оси OY. Воспользовавшись этим,
достраиваем часть графика функции p==lg | х|, соответствующую значениям х<0
(рис. 47).
б)	Строим сначала график функции </ = smx. Так как
( sinx при sin х 2s О,
I sin х | — {
(— stax при stnx<0,
{2 sin x при
n „„„
и при
sin х 3:0,
sin x<0.
69
Удваивая неотрицательные ординаты графика функции у = sin х и принимая у = О
в точках, где sinx<0, получим график функции j/ = sin х+| sin х | (рис. 48).
в)	Строим график функции y — x-^l. Так как
( х + 2 при х4-2э=0, т. е- при хэ=—2,
I — (*4-2) при х + 2<0, т. е. при х< —2,
то график функции у = |х4-2| на
[ — 2, +со) совпадает с графиком функции
j/==x+2, а на (— оо, —2) получается
симметричным отображением последнего
относительно оси ОХ (рис. 49).
Вопросы для самопроверка
и упражнения
1.	Построить графики степенной
функции у~хп при:
а) п=1, 3, 5; б) п = 2, 4, 6.
2.	Построить графики степенной
функции у — хп при:
а) и---— 1, —3; б)	—-2, —-4.
3.	Построить графики функции
	т —
у=>у xk при:
а) гн-~2,	б)	г; = 4, А»«1;	в) ж —3, А —1;	г)	/н--5,	А*=1;
д) 2,	А---3; е)	/п = 3, А = 2;	ж) т«=4, А==2;	з)	т — 3,	£ — 4.
4.	Построить графики функций: a) t/=lg( —х); б) у— — 1gх.
5.	Построить графики функции // = ?1cosx при А =2, — 2, —1, 3.
6.	Построить графики функций:
а) //—-2	б) i/ = | sin х |; в) у = sin |х	г)^ = |х3—1J.
7.	Зиая график функции y=f(x), построить графики функций:
a) y=—f(x); б) у=[/(х)|; в) р--/( —х); г) y^-f(x).
8.	Построить графики следующих функций: f(x) = |x| — х, g(x) = | х ,4-х,
(X \
•у). Построение выполнить на одном
чертеже.
9.	Путем движения и деформации графика функции t/ = sinx получить гра-
фик функции у = 2 sin (3x4-2).
10.	Можно ли из функций	и usinx составить функцию способом
наложения?	Оте. Нет.
11.	Определить целую рациональную функцию 2-й степени по условиям:
I (1)=0, /(2) = 3 и /(0) = 1.
Указание. Написать в общем виде целую рациональную функцию 2-й сте-
пени f (х) — ах'~-^Ьх-1-с. Затем, используя условия задачи, найти а, b и с.
12.	Из каких простейших элементарных функций с помощью наложения
могут быть получены следующие функции:
а) у = sin2 Зх;	б) г/==/(х4-2)3;	в) у = а1 arccos8*s;
X — 1
г) У" 1g v2 , ,;	д) z/ = cos2 sin2x2;	е) y = x” (lg х-|-1)8?
л* —J— 1
ГЛАВА HI
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
Начало изучению понятия предела положено в средней школе.
Там с помощью предельных переходов определяется длина окруж-
ности, площади боковых поверхностей и объемы цилиндра и кону-
са, площадь поверхности и объем шара. Понятие предела исполь-
зовано также при определении суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии. Здесь нам предстоит изучить теорию
предела на более общей основе, с необходимой глубиной и стро-
гостью, что позволит расширить круг приложений теории пределов
к решению теоретических и практических задач.
Понятие предела вместе с понятием функции составляют основу
математического анализа. Все остальные разделы курса так или
иначе используют теорию пределов.
§ 1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ
Пусть каждому натуральному числу п сопоставлено веществен-
ное число, обозначенное х„. Тем самым нам заданы некоторые
вещественные числа, определенным образом перенумерованные: хх
имеет номер 1, х.,-—номер 2, и т. д. Тогда говорят, что задана
последовательность чисел, или числовая последовательность:
Xj, Х2, Хд, ..., Хя, ...	(1)
Числа, составляющие последовательность, называются ее чле-
нами, а хп—общим или п-м членом последовательности.
Из способа образования числовой последовательности видно,
что характерным для каждой последовательности является уста-
новление порядка следования чисел в ней: для любого п число xn+i
следует за числом хп, а хя предшествует хя+ь Что же касается
значений этих чисел, то xn+i может быть больше, меньше и рав-
но хп. Если в данной последовательности изменить порядок сле-
дования членов, то получим уже другую последовательность. Так,
например, числовые последовательности
2, 4, 6, 8, 10, 12...2п, 2п-\-2, ...,
4, 2, 8, 6, 12, 10, ..., 2п + 2, 2п, ...
являются различными, хотя и состоят из одинаковых чисел.
71
В отличие от числового множества, у которого все элементы
различны, числовая последовательность может иметь среди своих
членов и одинаковые. Иначе говоря, множество чисел, из которых
составлена та или иная последовательность, может быть беско-
нечным, конечным и, в частности, может состоять даже из одного
элемента, например:
а, Ь, а, Ь, а, Ь, а, Ь, ,	(2)
а, а, а, а, а, а, ..., а, а, ...	(3)
Числовая последовательность (1) считается заданной,
есла указано правило или закон, с помощью которого по
номеру места в последовательности всегда можно назвать
число, стоящее на этом месте. Таким образом, числовое зна-
чение члена последовательности хп зависит от п, то есть является
функцией от п. Сама числовая последовательность может рассмат-
риваться как функция, заданная на совокупности всех натураль-
ных чисел (функция натурального аргумента). С другой стороны,
если задана функция натурального аргумента f(n), то ее значения
x„ = f(n) образуют числовую последовательность. Так, если f (п)=
, то, давая в равенстве xn = -^~j переменной п натураль-
ные значения 1, 2, 3, .... получим последовательность:
12	3	п	...
jq——-g-, xa —...,	—  , ...	(4)
14-(— 1)"	’
Общим членом x„ = ——— задается последовательность
О, 1, 0,	0, |, 0.....1...................... (5)
а последовательность
2, 4, 8, 16, 32, ....	(6)
состоящая из степеней числа 2 (с натуральным показателем), имеет
общий член х„ — 2". Последовательность (3) может быть задана об-
щим членом хп = а, а выражение общего члена последовательности
(2) может быть дано в виде
( а, если п — нечетное,
Ха~~ \ Ь, если п — четное
или
xn^[a + b + (-l)n(b-a)].
Перейдем теперь к основному в математическом анализе понятию
предела числовой последовательности.
Определение. Число а называется пределом числовой по-
следовательности (1), если для любого сколь угодно малого положи-
тельного числа е можно указать такое натуральное число N, что
72
для всех членов последовательности с номерами n>N выполняется
неравенство
\хп—а\<в.	(7)
Иначе говоря, число а будет называться пределом последователь-
ности (1) в том случае, если, какое бы малое положительное чис-
ло е мы ни взяли, абсолютная величина разности — а, начиная
с некоторого п, станет и при дальнейшем возрастании п останется
меньше этого е.
Тот факт, что последовательность (1) имеет своим пределом чис-
ло а, обозначается так:
limxn = a или хп->-а
(lim есть сокращенное обозначение латинского слова limes, означа-
ющего «предел»). Последовательность, имеющую пределом число а,
иначе называют последовательностью, сходящейся к а.
Остановимся подробнее на выяснении понятия предела, исходя
из его определения. Прежде всего заметим, что величина N зави-
сит от того, каково е, которое мы выбираем по произволу. Чем
меньше е, тем N, вообще говоря, будет больше. Исключением явля-
ется случай, когда последовательность состоит из одинаковых чле-
нов. Например, последовательность (3) имеет пределом число а, и
неравенство (7) выполняется для любого п, какое бы е>0 мы ни
взяли. Совершенно очевидно, что если	и неравенство
|х„—йР<е выполняется прн всех n>Nt, то оно подавно будет
выполняться и при п>Л/2.
Рассмотрим несколько примеров.
Показать, что последовательность (4),
своим пределом число I.
заданная общим членом
1
----[—г, ТО для оты-
Л-р 1
е, достаточно решить
Пример 1.
п
х„ =——J-, имеет
« n-f-l ’
Itl
................................................___ I
л-р1
скания значений п, удовлетворяющих неравенству | хп — 1
I	।е
неравенство ——г < е. Получим: п >--------. Следовательно, за можно взять
fl 1	с
„	1 —е	„ /1 — е\ ~
наибольшее целое число, содержащееся в -----, то есть Е[----- . Тогда нера-
8	\ 8	/
венство I хп~ 1|<е будет выполняться при всех n^>N. Если окажется, что
£ I—-—^0, то N можно взять равным 1. Поскольку е брали произвольно, то
этим и доказано, что 1 есть предел последовательности (4). В частности, если
|, если e = i, то N = E
8 = 0,01, то У = £
~ 2 \
-j— = 1, и т. д. Вы-
ч 2 /
вранные таким образом N для различных значений е будут наименьшими из воз-
можных.
Пример 2. Показать, что числовая последовательность с общим членом
*я = (— 1)” не имеет предела.
73
Эта последовательность имеет вид:
-1, +1, -1, +1,	...	(8)
Будем вести рассуждение от противного. Предположим, чю данная последователь-
ность имеет пределом некоторое число а. Это значит, что для любого е > 0, в
частности и для е= , найдется такое N, что \хп— а‘,С % Для п> X. Посколь-
ку хп принимает попеременно значения 1 и — 1, то должно быть
। 1—а|< g и К—	2-
Тогда получим:
2=j 1-а + а-(_ 1)1	1-а| + |а —(— 1)| <| + 1 = 1,
то есть 2 < 1, чего быть не может.
Для доказательства того, что некоторое число а не является
пределом заданной последовательности, достаточно убедиться, что
не все требования, сформулированные в определении предела, вы-
полнены. Действительно, по определению предела, как известно,
число а будет в том случае пределом последовательности х2,
хя, ..., х„, .... если для любого £ > 0 найдется такое .V, что для
всех п>Х выполняется неравенство х„ — а|<е. Допустим, что а
не является пределом данной последовательности. Выясним, что это
означает (обращаем внимание читателя на логическую цепь после-
дующих заключений). Из нашего допущения следует, что нельзя
для любого е>0 найти соответствующее N (то есть такое (У,
чтобы при п> X выполнялось неравенство хп — а|<е). Иначе го-
воря, существует хоть одно такое е = е0> 0, для которого соот-
ветствующего N найти невозможно; какое бы натуральное число
за N мы ни взяли, неравенство \х„ — a\<Ze0 не будет выполняться
для всех n>N- Это в свою очередь означает, что найдется по
крайней мере хоть одно значение n = nu>N, для которого
В частности, если найдется такое число те>0, что I х„—« ' ш.
при всех п, то а не может быть пределом данной последовательно-
сти. Действительно, взяв е0==+т (е0>С), будем иметь )хл — о
не только для некоторых, но и для всех ч.
Пример
3. Доказать, что число
не является пределом последовательно-
’сти, заданной общим членом хп
3/1 + 2
5п— 1 ‘
Оценим снизу абсолютную величину разности
3/1 +2	2
v—!—г — v. Имеем:
5га — 1	5
I Зп + 2	2 1	I 5п+12 1	1 5п+12	1
|5n—1	5 I ~ I 5 (5/1—1) |	5 ' 5га—1 > 5
,	5«+12	,	„	1
(так как -=—!—— > 1 при любом га). Следовательно, если взять е0< — то
0/1 ““ 1	о
|Зп + 2	2|
15/1-1	5|>е°
при всех значениях га, и уж, конечно, искать W в соответовии с определением
74
1 5
(9)
л	ТЛ	2
предела бессмысленно. Из полученного неравенства сразу следует, что число -g-
не является пределом данной последовательности.
Пример 4. Показать, что последовательность
1	11 7 Зп-1
3 ’ 11’ 2 ’ 21’ 13’ ‘" ’ 5п+1’*'*
3
имеет своим пределом число
Возьмем любое е > 0. Так как
I	3 | I Зп—1	3 |	8
Г"	5 | ~ |5п+1 — 5 I ~ 5(5«+1)’
8	8 —5е
то из неравенства =—=—< е получим, что п> , то есть достаточно
с !8 — 5е\	I 3 I
взять N~E I....2д~~1 и тогда х„—5| < 8 ПРИ п> N. Если, например, е = 0,1,
,, „/8— 0,5 \	„	„ „.	. „/’8 — 0,2 \
то n = E    — 3; если е = 0,04, то N = E —;---------- =7, и т. д.
\ 2,5 /	\	1	]
Пример 5. Рассмотрим последовательность
1, q, q\ q3, ..., qn, ...,	(10)
представляющую собой геометрическую прогрессию со знаменателем q. Покажем,
что эта последовательность сходится к 0 при | q | < 1.
Действительно, неравенство </” —0 <е равносильно неравенству | q |п < е.
Логарифмируя последнее, получим:
Ige
(знак неравенства изменился на обратный из-за того, что мы делили на lg | q | < 0),
Следовательно, для любого е соответствующее число М = 4—fe-т) •
Пример 6. Показать, что последовательность с общим членом хп
сходится к нулю.
Эта последовательность имеет вид:
Л
п
2	9	2
2, 0, -Х-, 0, 4, 0, 4,
о	О	(
1-(— 1)"
п
(11)
|1__(_1)Л I I 1-(_ 1)«|	2	2
Гак как ---——— — 0 = ------— и неравенство — < е (где е —про-
извольное сколь угодно малое положительное число) равносильно неравенству
п> -, то, взяв N = Е(—), мы получим: |хл —0|<е при n>N, то есть
—0.
Обратимся теперь к геометрическому истолкованию предела
числовой последовательности.
Числовую последовательность (1) можно рассматривать как после-
довательность точек прямой. Точно так же и о пределе можно гово-
рить, как о точке на прямой. Так как неравенство |хп—а\<ъ рав-
носильно неравенству— е<хл—а <е, которое, в свою очередь,
равносильно такому:
а — е<;х„<а-{-8,
75
о-t a-t’	o + t' a + t
* / / & '
-----,—/ 	(	.... 1 _-----------,—♦
Z? Л2 '*6---------------------------------------*7	*л 1 Xs / Xj X
Рис. 50.
то определение предела можно сформулировать и так: точка а будет
пределом последовательности точек (1), если, какую бы окрестность
(а — е, йфв) точки а мы ни задали, найдется такое число N, что
все точки последовательности (1) с номерами п > N попадут в за-
данную окрестность (рис. 50).
Вне этой окрестности может оказаться разве лишь конечное число
точек х1( х2, х3,..., Xn. Если взять е'<8, то окрестность (а—s', a-f-e')
будет также меньше окрестности (а —е, а-4-s). Следовательно, в нее
попадут точки последовательности, вообще говоря, начиная с более
высокого номера.
Общий член хп последовательности (1) представляет переменную,
принимающую эту последовательность значений. Поэтому предел по-
следовательности (1) называют также и пределом переменной хч.
Выражение общего члена последовательности есть одновременно
и аналитическое представление переменной хп как функции от п.
2Л
Так, например, хя =	можно рассматривать и как переменную,
принимающую последовательно значения
2 4 8 16 2я
3 ’ 5’9’17* •••’ 2"-М ’
и как выражение общего члена этой последовательности. Отсюда
обозначение limx„ = a можно рассматривать и как предел перемен-
ной хп, и как предел последовательности значений этой переменной.
Пример 7. Показать, что переменная хп~—имеет своим преАелом 1.
Возьмем любое е>0. Так как
I 2и + 1
I 2”
11=1 4--!— 1=1
' 2” I 2Л ’
о-о неравенство —™--------1 < е равносильно неравенству < е. Отсюда 2Л ^>
11 /, 1\
1	1	° е	I “ g I I2п । 1
> g . п 1g 2 > 1g — и	Если взять N = Е 1™	~-------1 <«-
I 1
для n^>N. А это и значит, что Нт—~—= 1.
76
Кроме рассмотренного, существуют и другие способы задания
последовательности, например способ рекуррентных зависимостей.
Последний состоит в том, что указывается, какие действия нужно
произвести над уже вычисленными членами последоватечьности
(всеми или несколькими), чтобы получить следующий член. Так,
если дана рекуррентная зависимость ап+1 = (л+1) а„, где п=1, 2,
3, ... и начальный член ^ = 1, то последовательными действиями
можем вычислить любой член:
(/1=1) а2 = 2 - аг = 2 1=2!,
(п = 2) а3 = 3-а2 = 3 • 2! =3  2 • 1 =3!,
(п = 3) at = 4 • а3 = 4 31 = 4!, и т. д.
Следовательно, можно сказать, что данная рекуррентная зави-
симость определяет последовательность факториалов *:
1!, 2!, 3!, ... , п!, .... где ал = п!
В заключение параграфа заметим, что не все величины изме-
няются таким образом, как рассмотренные нами переменные вида хп.
Окружающая нас действительность дает больше всего примеров
таких переменных, значения которых не могут быть занумерованы
и представлены в виде числовой последовательности. Они изме-
няются непрерывно, без скачков, то есть при переходе от
одного своего значения к другому принимают и все промежуточные
числа. Например, такими переменными являются: высота растения,
атмосферное давление, скорость движения поезда, путь, пройден-
ный автомобилем, и другие. К изучению таких переменных мы
подойдем несколько позже, а пока ограничимся рассмотрением пе-
ременных вида х.:.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Выпишите по пяти первых членов каждой из последовательностей, задан-
ных их общими членами:
a) х,,	б) х„ = ^+1, в) хп = ———Ц Г) х„ = (—1)л  п.
2.	Напишите общий член последовательности, состоящей из положительных
чисел, кратных трем и расположенных в порядке возрастания.
3.	Составьте последовательность по следующему условию: an L--a„ -d. где
at-—a, л = 1, 2, 3, ... Напишите выражение общего члена этой последователь-
ности.
4.	Составьте последовательность по следующему условию: а- ?- = q, где щ=
ап
= а, п—1, 2, 3, ... Напишите выражение общего члена этой последовательности.
5.	Почему из определения последовательности следует, что она бесконечна,
то есть бесконечно множество ее членов?
6.	Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать,
.	1 — 2л 2	„	, II — 2л '211.
что hm -=——X = —=-. Начиная с какого п будет v~	|
5л+ 3	5	| 5л-|-3 \ 5 /1	5
* Напоминаем читателю, что факториал некоторого натурального числа л,
то есть л!, есть произведение всех натуральных чисел от 1 до л включительно,
л! = 1.2.3-...-л.
П
7.	Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
,. Зп-|-4	3	,,	13/1 4	3 I _ ллл1^
lim _	= Начиная с какого п будет -=——« «£ 0,0001?
2п — 3	2	-	| 2п —3	2 |
8.	Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что
пг 2	1	I л2 2	11
lim 7г-;—-х- = -Х-. Для каких значений п величина	—w не превосхо-
2п2 + 3	2	I 2п2Н-3	2 I	г
7,
ДИТ 19?
9. Определить площадь прямоугольного треугольника ОАВ (рис. 51), огра-
ниченного прямой у = -~х, осью ОХ и прямой х=а, рассматривая ее как пре-
тельности.
дел суммы площадей вписанных прямоугольни-
а
ков с основаниями— при п —сю.
10. Определить площадь криволинейного
треугольника ОАМ, ограниченного параболой
/ х \2
;/ = & — ( осью ОХ и прямой х=а, рас-
сматривая ее как предел суммы площадей впи-
а
санных прямоугольников с основаниями --
_ ab
при п —< сю. Оте. .у.
11. Составить такую ограниченную сверху
последовательность, чтобы точная верхняя гра-
ница не была членом этой последовательности.
12.	Составить последовательность сегментов, стягивающихся к какой-нибудь
заранее выбранной точке.
13.	Привести пример ограниченной последовательности, не имеющей предела.
14.	Дана последовательность точек xj, хг, х3, ..., хп, ... Объяснить геометри-
ческий смысл того факта, что точка х0 не является пределом этой последова-
15. Доказать, что число 1 не является пределом переменной хп
1 1
16. Дана последовательность точек 3, 2, 5, 4, 0, у, 0, у, 0,
5п— 1
йп'+З’
у, ... Все точки этой последовательности, начиная с пятой, находятся в окрест-
ности нуля (—1;-|-1). Почему из этого, однако, не следует, что точка нуль
является пределом данной последовательности?
§ 2. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ
ВЕЛИЧИНЫ
Определение. Переменная величина хп называется беско-
нечно малой, если она имеет предел, равный нулю.
Следуя определению предела, можно сказать, что хп будет беско-
нечно малой, если для любого сколь угодно малого е>0 найдется
такое N, что для всех п > N выполняется неравенство | хп I < е.
Иначе говоря, бесконечно малой называется такая переменная вели-
чина хп, которая при своем изменении, начиная с некоторого но-
мера п, становится и остается по абсолютной величине меньше
любого наперед заданного числа е>0.
78
Необходимо различать термин «бесконечно малая величина» от
выражения «сколь угодно малая величина». Бесконечно малая вели-
чина по определению является величиной переменной. Когда же
мы говорим, что «е есть любое сколь угодно малое число», то под
этим понимаем, что е может быть выбрано произвольно, но после
того, как его выбрали, оно становится определенным фиксирован-
ным числом.
Нельзя также думать, что все бесконечно малые величины
обязаны принимать только «очень малые» значения. Характерным
для бесконечно малой является не то, насколько малые значения
она принимает, а то, что она имеет своим пределом число нуль.
Так, например, переменная = 1001(Г2'г, принимающая значения
ЮО8, ЮО6, ЮО4,
юо2 1 — — — —
, ’ ЮО2’ ЮО4’ 100® ’ ЮО8...........
будет бесконечно малой, хотя ее отдельные значения сравнительно
велики.
Пусть переменная хп имеет своим пределом некоторое число а,
тогда разность — а — ап будет бесконечно малой величиной, так
как для любого 8>0 найдется такое N, что для n>N выпол-
няется неравенство | ап | = |хл — а\ <е. Из последнего следует и
обратное утверждение: если ап — бесконечно малая, то число а бу-
дет пределом переменной хп. Таким образом, можно сказать, что
всякую переменную хп, имеющую предел, можно предста-
вить в виде суммы этого предела и бесконечно малой
величины, хл=а + ал. Обратно, если переменную х„ удается
представить в виде суммы некоторого числа и бесконечно
малой, то это число будет пределом переменной х„. Отме-
ченная нами связь будет часто использоваться при доказательствах
многих теорем.
Примерами бесконечно малой могут служить переменные хп=
= Хп= — « , хл=-Ц^-, xn = qn при \q |< 1, и др. Бесконечно
малыми также будут: амплитуда затухающего колебания маятника,
длина стороны правильного вписанного в окружность многоуголь-
ника (а также разность между его периметром и длиной окружно-
сти) при неограниченном удвоении сторон.
Пример 1. Показать, что хп = ----------— есть бесконечно малая.
I i_|	1
Возьмем произвольное е>0. Из неравенства | хл | =	== — < е полу-
чаем п> —. Если взять N~e(— ), то для п > N будет | хп | <е. При е=
8	\ 8 У
1	4	/15\
= 10 получим: N = E (10) = 10, при e = yg получим: N = Ei —1 = 3, и т. д. А это
(—1)л
и значит, что х„=------— есть бесконечно малая.
’	" п
Определение. Переменная хп называется бесконечно боль-
шой величиной, если, какое бы сколь угодно большое число М мы
79
ни взяли, найдется такое натуральное число N, что \хп\> М для
всех n>N. Иначе говоря, хп есть бесконечно большая величина,
если при своем изменении, начиная с некоторого п, она становится
и остается по абсолютной величине больше любого наперед задан-
ного положительного числа М.
О бесконечно большой переменной х„ говорят, что она стремится
к бесконечности или имеет бесконечный предел, и пишут: хл-*оо
или Нтхл = со. Последнее обозначение бесконечного предела услов-
ное, так как знак равенства можно ставить между числами. Вообще
в данном случае говорить о пределе в том смысле, как он опре-
делен нами выше, нельзя, так как оо не представляет никакого
числа.
В связи с введением нового понятия — «бесконечный предел» —
условимся предел в ранее определенном смысле называть конечным
пределом.
Пример 2. Пользуясь определением бесконечно большой величины, дока-
зать, что хп — 2^п есть величина бесконечно большая.
Возьмем произвольное положительное число М и решим неравенство. {хп\>-
то есть неравенство 2^п > М.
Предварительно его следует прологарифмировать. Получим
у'« 1g 2 > 1g м И
‘К
Возводя в квадрат обе части последнего неравенства, получим- п> -2-у) ,
]g m2
-jg-g-l , то для всех п > N будет выполняться нера-
венство хп ; >Л1. Так как М может быть любым сколь угодно большим числом,
то согласно определению величина хп = 2^п будет бесконечно большой.
Если бесконечно большая величина хп принимает значения
одного знака (все или начиная с некоторого п), то в зависимости
от знака ее называют положительной (и пишут: х„ оо) или отри-
цательной (и пишут: х„-> —оо) бесконечно большой. Так, напри-
мер, хп — п будет положительной, а х„ = —«—отрицательной беско-
нечно большой величиной. Переменная хп = (— 1)" • п есть бесконечно
большая величина, но ее нельзя назвать ни положительной, ни
отрицательной, так как ее значения все время меняют знак.
Укажем на важную связь между бесконечно малой и бесконечно
большой величинами.
Теорема. Пусть хп =£ 0*. Если хп — бесконечно большая,
то уп —   бесконечно малая; если хп—бесконечно малая,
то уп--------бесконечно большая.
Если теперь взять N 2:
*	0 означает, что значения хп отличны от нуля при любом п. Таким
обозначением будем пользоваться и впредь.
80
Доказательство. Предположим, что хп—бесконечно боль-
шая. Возьмем произвольное е>0 и положим М=~. По этому М
найдется такое N, что для n>N будет |хл| >М. Тогда |^я| —
_ 12. ! =	< 1 == е> т0 есть |уп। < е для п> N. А это значит, что
есть бесконечно малая. Аналогичное доказательство второго
утверждения теоремы предоставляется читателю.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Доказать, что переменная величина хп =
n-j-2
n2i-п
является бесконечно ма-
лой. Для каких значений п будет | хп | < 10 s? Покажите, что величина —
хп
является бесконечно большой.
2. Доказать, что переменная" величина хп — Зп является бесконечно большой.
Для каких значений п будет | хп | > 5 000? Покажите, что величина — является
хп
бесконечно малой.
/	3 \
Ош. п > Е 1 +	.
\	*8 5/
. . ,я
3.	Доказать, что переменная хп — п' ' не ограничена, но не является
бесконечно большой. В чем различие между неограниченной и бесконечно боль-
шой величинами?
4.	Может ли переменная стремиться к нулю возрастая? Приведите пример.
5.	Приведите пример бесконечно большой величины хп, значения которой
при возрастании п убывают. Как называется такая бесконечно большая?
6.	Можно ли назвать бесконечно малой величину х„=0 при всех значениях ге?
Ill	1
7.	Дана числовая последовательность 1,	2, -х-, 3, —, 4, .... п, —,
2	0	4	rt
Почему нуль не является пределом этой последовательности, несмотря на то что
любая окрестность нуля содержит бесконечное, множество членов последователь-
ности? Почему эта последовательность не имеет своим пределом оо, несмотря на то
что, какое бы большое число /И мы ни взяли, найдутся среди членов последова-
тельности большие по абсолютной величине, чем /И?
§ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Из определения предела и примеров следует, что хп может
различными способами стремиться к своему пределу. В примере 4
.	Зге— 1	3
§ 1 все значения переменной хп = =—-г- меньше ее предела -=-,
Э/t -j- I	1	э .
Зге — 1	Зге	3
так как =——г <=- = -=-, и хп+1>хп при любом п, так
Ort -j— 1	Ort	о
кяк у _______ у ___ 3n-i-2 ___ Зге — 1 _ (5re-j- 1) (Зге4-2) — (5ге-|-6) (Зге— 1) _
Ля”1	5л + 6	5я+1	(5« + 6)(5ге4-1)	“
= 7-..гА—гл > 0- Следовательно, в данном случае переменная х„
(Ort о) (Ort -j- *)
стремится к пределу^ возрастая. В примере 7 § 1 все значения пе-
2Л -4-1	2^ I 1 2rt
ременной хп= - больше ее предела 1, так как >2^=1,
81
2»+i-f-l 2n + l
и x„+1<x„ при всех n, так как хп+1 — хп = —^~----------=
2«+i -L 1_2n+1_2	1	,, _
=-------gn+i----= ~~	<'®‘ Следовательно, хп стремится к пре-
делу убывая. Переменная хп = -—— (пример 1, рассмотренный в § 2}
стремится к своему пределу 0 колеблясь (принимая поочередно по-
I_______________________________________________________/_п»
ложительные и отрицательные значения), а переменная хп =— - -
(пример 6, § 1) при своем изменении принимает наряду с другими
значениями и значения, совпадающие с пределом 0.
Однако во всех возможных случаях остается справедливым сле-
дующее утверждение:
Теорема 1. Если, переменная хп имеет пределом число а,
и а больше некоторого числа Ь, то значения переменной,
начиная с некоторого п, будут также больше этого
числа Ь.
Доказательство. Пусть хп имеет пределом число а и а>Ь.
Возьмем окрестность (а —в, а4-е)точкиа, где в меньше расстояния
между точками а и Ь, то есть 8<а — b (а~ъ>Ь). Такое е жела-
тельно взять для того, чтобы точка b оказалась вне окрестности
(рис. 52). Тогда по определению предела для любого (а значит, и
для выбранного нами) е>0 найдется такое N, что |х„ — а\<е.
или
а — е < x„ < а 4-в
для всех значений n>N. Следовательно, начиная с п = Л'4-1, имеем
хп> а — е.> Ь, то есть хп>Ъ. Теорема доказана.
Геометрически данную теорему можно истолковать так: если
последовательность точек прямой {хД сходится к точке
а, и точка а лежит правее какой-то точки Ь, то и все
точки последовательности, начиная с некоторой, также
лежат правее этой точки Ь.
Теорема 2. Если переменная хп имеет пределом а, и а
меньше некоторого числа с, то значения этой переменной,
начиная с некоторого п, будут также меньше этого числа с.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
Предлагается провести его самостоятельно, сопровождая рисунком.
Теорема 3. Если переменная хп имеет пределом число
а > 0 (а < 0), то и все ее значения, начиная с некоторого п,
будут положительны (отрицательны).
а-с	а + г
Ь	X
Д . Zj Xg хе Ху x^
Рис. 52.
£2
Эта теорема непосредственно следует из теорем 1 и 2, если в них
положить Ь = 0 и с = 0.
.Теорема 4 (о единственности предела). Если пере-
менная имеет предел, то он единственный. Иначе говоря,
переменная не может иметь двух различных пределов.
Доказательство. Допустим противное. Пусть хп имеет два
предела: limx„==a и limx„ = b, где а^Ь. Для определенности
будем считать а< Ь. Тогда между этими числами можно взять неко-
торое число г (а<_ г < Ь). Так как хп -► а и а < г, то по теореме 2
найдется такое натуральное число, которое в данном случае удобно
обозначить через Na, что хп<г для всех значений n>.Va. Так
как хп-+ b и b > г, то по теореме 1 найдется такое натуральное
число Nb (не обязательно совпадающее с Na), что х„> г для всех
значений n>Nb. Получили два неравенства:
х„<г для п> Nа,
хп>г для n>Nb.
Если же теперь взять за А' наибольшее из чисел Na и Л%, то, оче-
видно, для всех значений n>N выполняются одновременно оба
эти неравенства: хп<г и хп> г, что невозможно. Полученное про-
тиворечие и доказывает теорему.
Теорема 5 (о предельном переходе в равенствах).
Если имеем две переменные величины хп и уп, имеющие
пределами соответственно числа а и Ь, причем хп=уя для
всех п, то а = Ь.
Справедливость этой теоремы вытекает из того, что х„ и уп по
существу обозначают одну переменную, а потому в силу единствен-
ности предела а = Ь.
Теорема 6 (о предельном переходе в неравенст-
вах). Если переменные хп и уп имеют своими пределами
соответственно числа а и Ь, причем хл-:-уп для всех п, то
а^.
Доказательство. Допустим противное. Пусть при выполне-
нии условий теоремы будет а > Ь. Возьмем какое-нибудь число г
между а и b (а>г>Ь). Так как хп~>а и а>г, то по теореме 1
найдется такое Nx, что хп > г для всех значений п > Nx. С другой
стороны, так как уп~+Ь и b<zr, то по теореме 2 найдется такое
Ny, что уп<г для всех значений n~>Ny. Если через N обозначить
наибольшее из чисел Nх и Ny, то для n > N будут одновременно
выполняться неравенства:.хп> г и уп<г.
Отсюда получаем, что хп>уп для всех п> N. Это противоречит
условию теоремы. Теорема доказана.
Замечание. Из теорем 5 и 6 следует, что знаки равенства и
нестрогого неравенства сохраняются при переходе к пределу. Что
же касается предельного перехода в строгом неравенстве, xn<zy„,
то здесь в пределе может появиться и знак равенства, то есть можно
лишь утверждать, что lim хп lim у„. В качестве примера рассмот-
83
1 1
рим переменные хп—— — и Уп~п  Очевидно, хп<уп для всех п,
в то время как limxn = limy„ —0.
Теорема 7 (о сжатой переменной). Пусть имеем три
переменные хп, уп и zn, связанные неравенствами хп ^уп < z„
для всех п. Тогда если переменные хп и zn имеют один и
тот же предел а, то переменная уп также имеет предел
и этот предел равен а.
Доказательство. Возьмем любое е > 0. По этому е для пере-
менной хп найдется такое Nx, что |хл —«|<е для всех «>Аа, то
есть
а— е <хп <а + е.	(Q
По этому же 8 для переменной гп найдется такое что
12Я — о | < 8 для всех п > Nt, то есть
а— е<«4-8.	(2)
Обозначим через N наибольшее из чисел Nx и Ne. Тогда для п> N
будут выполняться одновременно неравенства (1) и (2). Используя
подчеркнутые их части, а также неравенства, данные в условии
теоремы, можем записать:
а — е < хп < уп < гп < а 4- е для п > N.
Отсюда
а— 8<1/„<Н !-8 для n>.V.
Последнее означает, что limy,,-о. Теорема доказана.
Геометрически эту теорему можно пояснить следующим образом.
Возьмем произвольную окрестность (а— 8, точки а. Так как
переменная %„->«, то все ее значения, начиная с некоторого, нахо-
дятся в этой окрестности. Аналогично, из	следует, что и
значения г„, начиная с некоторого, находятся в этой же окрестно-
сти. Так как xn<yn<z„ для всех значений п, то и значения у„,
начиная с некоторого, будут в той же окрестности (а— е, а4-е).
Поскольку окрестность выбиралась произвольно, то этим доказано,
что любая окрестность точки а содержит все значения у„, начиная
с некоторого. Последнее означает, что уп-+а.
Свойства предельного перехода в равенствах и неравенствах,
доказанные в теоремах 5, 6 и 7, наглядно могут быть представлены
следующими схемами:
Хп=-уп
а — Ь
Хп Уп
I I
а
Хп<Уп
4 4
а b
Определение. Переменную хп будем называть ограниченной,
если ограничено множество всех ее значений, то есть если существует
такое положительное число К, что | хп j < К ( — К''~хп для
всех п.
84
Теорема 8. Если множество значений переменной хп,
начиная с некоторого значения п, ограничено, то хп явля-
ется ограниченной величиной.
Доказа i ельство. Пусть множество значений переменной х„,
начиная с хп„, то есть множество
1	> Хг, 2, • • * ,	-f- k, • • •}»
ограничено. Это значит, что существует такое положительное число-
А, что для всех значений выполняется неравенство х..,
то есть — A ^xns^A. Иными словами, все значения хп для п>п0
находятся на отрезке [—А, Л]. Вне этого отрезка могут нахо-
диться лишь значения хп с номерами п<п„. Таких значений конеч-
ное множество { xlt х2, хПо_| }• Возьмем число т, меньшее чисел
Xi, х2, х3, . ., Хп„_|, — А, и число Л4, большее чисел xv х2, х3, ....
хп<,-ъ А. Тогда для всех значений п будет выполняться неравенство
m<Zxn<.M.	(3}
Действительно, если п 2г п0, то х„ А < М и х„ — А > пг. Если
же п<п0, то по выбору т и М снова имеем: т<х„<А1. Нера-
венство (3), справедливое для всех значений п, означает, что пере-
менная хп ограничена (см. § 5, гл. 1).
Теорема 9. Если переменная хп имеет конечный предел,
то она ограничена.
Доказательство. Пусть х„->-а. По определению предела
это означает, что для любого е> 0 найдется такое N, что для n> N
(то есть начиная с н0==Л^+1) выполняется неравенство |х„ — а\<е
или а— а <х„ <«--«• Получили, что множество значений хп, начи-
ная с п0=«Л(4-1, ограничено. Следовательно, по теореме 8 перемен-
ная х„ является ограниченой.
Замечание. В данной теореме доказано, что из существования
конечного предела переменной следует ее ограниченность. Обратное
утверждение неверно. Из ограниченности переменной не следует
существование предела, так как существуют ограниченные перемен-
ные, не имеющие предела. В качестве примера может служить пере-
менная хп = (— 1)", рассмотренная в примере 2, § 1.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Приведите примеры возрастающих, убывающих и колеблющихся перемен-
ных, имеющих конечные пределы.
2.	Переменные хп и уп удовлетворяют неравенству 0 < хп < уп для всех значе-
ний п. Известно, что уп есть бесконечно малая. Существует ли lim хп и если да,
то чему он равен?
3	Может ли положительная переменная иметь отрицательный предел, а отри-
цательная переменная — положительный предел? Могут ли эти переменные иметь
пределом число нуль?
4.	Докажите самостоятельно теорему 2.
5.	Приведите пример, когда при предельном переходе строгое неравенство
сохраняется.
85
$ 4. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ПЕРЕМЕННЫМИ
ВЕЛИЧИНАМИ
Докажем сначала два вспомогательных предложения.
Лемма 1. Сумма любого числа k бесконечно малых есть
величина бесконечно малая.
Доказательство. Рассмотрим случай двух бесконечно малых.
Для k бесконечно малых доказательство аналогично. Пусть ап и
бесконечно малые. Возьмем любое е>0. Так как в определении
бесконечно малой величины е может быть любым положительным чис-
лом, то по у для ап найдется такое N*, что | ал | < у для всех п > N*.
По этому же у для найдется такое N , что | |3Я | < у для всех
n>N,. Возьмем за N наибольшее из чисел Na и Тогда для
n>N будут выполняться одновременно оба неравенства: ,a„|<y
и ₽п.<2'- Следовательно,
[	+ Рга [	[ <Х„ [ 4- |	[ < у + у = 8,
то есть
I «« + <е для п> N.
А это и значит, что величина а„-: есть бесконечно малая.
Замечание. Обращаем внимание читателя на то, что в лемме
речь идет о сумме хотя и любого, но вполне определенного числа
бесконечно малых а„, р,„	. щ,.
Лемма 2. Произведение ограниченной переменной на
бесконечно малую есть величина бесконечно малая.
Доказательство. Пусть хп — ограниченная переменная вели-
чина. Значит, существует такое число М, что | хп|< М для всех п.
Пусть ап — бесконечно малая. Возьмем е>0. По Д для ал найдется
такое N, что [ал|<^для п~> N. Тогда для ti>N получим:
| хп • ап । = | хп | • | ап | < М •	= е, то есть | хп • ап | < е. Следовательно,
хл-ал есть бесконечно малая величина.
Из доказанных лемм, в частности, следует, что’
1)	произведение постоянной величины на бесконечно ма-
лую есть величина бесконечно малая (так как постоянную
можно рассматривать как частный случай ограниченной переменной);
2)	произведение двух бесконечно малых есть величина
бесконечно малая (так как любая бесконечно малая является
величиной ограниченной);
3)	разность двух бесконечно малых ап — есть вели-
чина бесконечно малая (так как —₽л = ал + (—1) где
произведение ( —1)0Л есть бесконечно малая).
86
Теорема 1. Если переменные хп и уп имеют конечные
пределы, то сумма и разность этих переменных также
имеют конечные пределы, причем
lim (хп Д-_у„) = lim хп Д- lim уп.
1 im (хп — уп) = 1 i m хп — 1 im уп.
Другими словами, предел алгебраической суммы двух
переменных, имеющих конечные пределы, равен алгебраи-
ческой сумме пределов этих переменных.
Доказательство. Пусть хп-+а и уп->Ь. Тогда хп и у„
можно представить в виде
хп = аД- ап, 1
= /> + ₽«, J
где ап и — бесконечно малые величины (см. § 2). В таком случае
и сумма Хп + Уп представима в виде
хп + уп = (а Д- а„) Д- (Ь Д- р„) = (а Д- Ь) Д- (а„ Д- рл).
На основании леммы 1 величина а„ + рп является бесконечно
малой (как сумма бесконечно малых). Следовательно, переменную
величину хп Д- уп удалось представить в виде суммы некоторого числа
а + b и бесконечно малой. А этого, как установлено в § 2, и дос-
таточно для того, чтобы число а + b было пределом переменной
Хп + Уп- То есть имеем:
lim (д-„- //„)	- limx,. -J-liin уп.
Аналогичное доказательство теоремы в случае разности х„ — уп
предоставляем читателю.
Здесь же заметим, что доказанная теорема остается справед-
ливой и в случае алгебраической суммы любого, но вполне опре-
деленного числа слагаемых. Доказательство теоремы в этом случае
совершенно аналогично только что проведенному доказательству.
Теорема 2. Если переменные х„ и уп имеют конечные
пределы, то их произведение также имеет предел, причем
lim (x„ y„) = limxn- limy>„,
то есть предел произведения переменных, имеющих конеч-
ные пределы, равен произведению пределов этих перемен-
ных.
Доказательство. Пусть хп-+а и уп~^Ь. Тогда, воспользо-
вавшись выражениями (4), можем записать:
хп • Уп = (а Д- а«) (Ь + Р«) = ab Д- (^Рл Д- ЬапД- апрп).
Величина ар„ Д- Ьап Д- а,гр„ есть бесконечно малая (как сумма бес-
конечно малых) (см. выводы из лемм 1 и 2). Следовательно,
lim (хп-Уп) = аЬ==\ш1Хп-\1туп
и теорема доказана.
81
- Заметим, что эта теорема также справедлива в случае любого,
но вполне определенного числа сомножителей и доказывается
методом математической индукции.
Теорема 3. Если переменные хп и уп имеют конечные
пределы, причем limy,, ф 0, то их частное — имеет также
Уп
предел и
Уп
то есть предел частного двух переменных равен частному
их пределов, если предел знаменателя отличен от нуля *.
Доказательство. Пусть хп-+а и уп->Ь^О. Для доказа-
тельства теоремы достаточно установить, что разность ——у есть
величина бесконечно малая.
Представим — у, используя (4) в виде
*п а .._bx-„~-ayn__ & (a j a (Z, ; fi„) _ 1
Уп & byn	byn	~~Ьуп аР->-
Легко видеть, что множитель (ban—af>n) есть бесконечно малая.
Покажем, что есть величина ограниченная. Тогда с помощью
леммы 2 получим требуемое. Так как --> 0, то найдется такое АГ,
„ | < L* I для всех п > N. Тогда | уп | = | b -J- 12=s [ b | — । । >
|&| |&|
—и> следовательно,
I 1 1............	1	1	2
I Ъуп |	|&|	’
образом, установлена ограниченность переменной й— для
*Уп
но тогда она будет и вообще ограниченной (см. теоре-
му 8, § 3).
Замечание. Обращаем внимание читателя на то, что во всех
трех теоремах этого параграфа условие существования конечных
пределов у переменных хп и уп является существенным. Без этого
условия, как будет показано в дальнейшем на отдельных примерах,
теоремы неверны, хотя предел суммы, разности, произведения и
частного все же может существовать.
Таким
* Поскольку b то и yn^Q, по крайней мере начиная с некоторого
номера п0, а тогда и частное — имеет смысл при п пп. Следовательно, говоря
Уп
Хп
о lim —, мы рассматриваем предел последовательности
Уп
хп„ *п,-Н	+ а
Упв Уп,11	Уп,‘-1 Уп
88
Леммы и теоремы, установленные в этом параграфе, имеют очень
большое не только теоретическое, но и практическое значение. Если
до сих пор мы могли лишь проверять, пользуясь определением
предела, будет ли то или иное заранее угаданное число пределом
данной переменной величины, то теперь открывается возможность
и для вычисления предела переменной.
Пример 1. Переменная хп имеет предел а ф 0. Найти предел переменной
^4~2«2
Vn~я + % + « •
Воспользуемся теоремами о пределе суммы, разности, произведения и част-
ного. Получим:
х2—2а2	limx2 —Нт2«2 а2 —2«2 а
lim уп = lim х„ 4- lim ——— = lim +	--х-птт,— « а +—q-— ==т'
хп~у-а	ПшлдтШПД	я ~г а
Пример 2. Найти предел переменной
_ 2п , sinn
Так как предел суммы равен сумме пределов слагаемых, то
lim x„ = lim
2п ,	sin п
---—г- 4- > IП1-.
п+ 1 1 п
Поделив в первом слагаемом числитель и знаменатель на п и применив теорему
о пределе частного, получим:
2
, 2п	2	2	2	..
hm —__ = hm-----р  ---------р=-т- = 2
я+*	14.2 14-lim —
п	п
так как 1^0 при «-.со).
_	мп п
Второе слагаемое —— можно рассматривать как произведение ограниченной
1
величины sin п (| sin п | г£ 1) и бесконечно малой —. Следовательно, по лемме 2
второе слагаемое есть величина бесконечно малая и предел его равен нулю.
Таким образом, окончательно получаем, что lim хп = 2	0 == 2.
1
Пример 3. Пусть х„==п + ~, уп=—п. Тогда limxn=4’«3t	= — оо,.
a lim (x„4-pn) = lim -i-=0.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Где при доказательстве теоремы 3 использовано, что 6^0?
2.	Переменная хп имеет предел aytO. Чему равен предел lim -X42k? Отв. к
3.	Переменная хп имеет предел а^О. Найти предел переменной уп =
хп + хп~~2	а2 + а—2
Отв. - _ , ,--_
2a2 4- а
2х24-*п ?
5"
4. Найти предел переменной хге — к
о 4- *
Указание. Предварительно числитель и знаменатель поделить на 5". Отв. к
5. Доказать лемму 1 для случая любого числа k бесконечно малых.
89;
§ 5.	ОСОБЫЕ ^СЛУЧАИ ПРЕДЕЛОВ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В теоремах предыдущего параграфа указаны способы нахождения
пределов суммы, разности, произведения и частного двух перемен-
ных, хп и уп, имеющих соответственно конечные пределы а и Ь.
Остановимся теперь на рассмотрении отдельных возможных случаев
вычисления пределов, которые не охватываются указанными выше
способами.
I.	Рассмотрим сначала частное — («/„#; 0).
Уп
1)	Пусть х„-*а, а уп—бесконечно большая. Тогда — будет бес-
Уп
1
конечно малая, так как его можно представить в виде—х„, где
Уп
----бесконечно малая, а хп — ограниченная величина. Следовательно,
Уп
lim — = 0.
Уп
2)	Пусть хп->а:^0, а «/„—бесконечно малая, не принимающая
Нулевых значений. Тогда — будет бесконечно большой, так как
Уп	1	1
обратная величина ^ — уп- — есть бесконечно малая ( —
хп	хп	\ХП & /
3)	Пусть хп — бесконечно большая, а уп— бесконечно малая
(Уп^- 0). Тогда — будет бесконечно большая, так как обратная вели-
Уп
ti *
чина — может быть представлена в виде произведения двух беско-
хп
нечно малых ^=—• уп и является, следовательно, бесконечно малой.
хп хп
4)	Пусть хп — бесконечно большая, а уп-*Ь^Ъ. Тогда *" будет
бесконечно большая, так как обратная ей величина по установлен-
ному в 1) есть бесконечно малая.
5)	Пусть хп и «/„ — бесконечно малые величины. В этом случае
о пределе отношения — никакого общего заключения сделать нельзя,
Уп
так как в зависимости от характера изменения переменных хп и уп
возможны различные ответы. Так, например,
а) если х„ —	1^0, п	1 Уп~ п	0,	то	Уп	1 ->	1;
б) если х„ =	-->о, п	_ 1 Уп~~'^	0,	то	хп	 Уп~	Н-»	- оо;
в) если хп =	1->о,	__ 1	0,	то	хп Уп~	п	>0;
г) если х„ =	(-1)" . п	л	1 ' 0, «/„ п	->о,	то	хп	 Уп~~		1)” предела вовсе
не имеет.
* Так как «„ — бесконечно большая, то ее значения, начиная с некоторого,
отличны от нуля.
90
Таким образом, отношение двух бесконечно малых может быть
величиной бесконечно малой, бесконечно большой, может иметь
пределом число, отличное от нуля, а может и вовсе не иметь пре-
дела. Следовательно, на вопрос о том, чему равен предел отношения
бесконечно малых, можно ответить только тогда, когда известны
законы изменения этих бесконечно малых, то есть если бесконечно
малые заданы. В связи с этим говорят, что отношение бесконечно
малых в общем случае представляет собой неопределенность, и этот
вид неопределенности обозначают символом -д- (говорят: неопреде-
0\ TZ	'
ленность вида I. Когда на основании исследования характеров
изменения данных бесконечно малых предел их отношения найден
или установлено, что его нет, то говорят, что неопределенность
раскрыта.
6)	Пусть х„ и уп — бесконечно большие величины. В этом случае
о пределе отношения также никакого общего заключения сделать
нельзя. Так, например,
а)	если	Хп	-— 		 /	—> ОО,	Уп = П	-> ОО,	то	Хп _ Уп	П -+ ОО
б)	если	Хп	= fl 	ОО,	Уп = П2	—► оо,	то	хп _ Уп	2. _> о- п	’
в)	если	Хц	= п	—> оо,	уп = п	-► оо,	то	хп _ Уп ~	1 —> 1;
г)	если	Хп	== fl (	1 )п —оо,	Уп = П	—► оо,	то	^п = Уп	
предела не имеет.
Из этих примеров следует, что отношение двух бесконечно боль-
ших может быть величиной бесконечно большой, бесконечно малой,
может иметь пределом число, отличное от нуля, а также может
вовсе не иметь предела. Поэтому говорят, что отношение двух беско-
нечно больших в общем случае представляет собой также неопределен-
ность, но уже вида —. Если бесконечно большие хп и уп конк-
ретно заданы и нам удалось найти предел их отношения или доказать,
что он не существует, то мы, так же как и выше, будем говорить,
что неопределенность раскрыта.
II.	Рассмотрим сумму двух переменных хл + уи.
1)	Пусть х„->оо, уп-+Ь. Тогда (хл + */и)-> оо. Действительно,
величина уп будет ограниченной. Пусть | уп | < М для всех п. Пере-
менная хп, начиная с некоторого п, будет удовлетворять неравенству
\хп\> Р + М, где Р — любое сколь угодно большое число. Тогда,
начиная с некоторого п, получим:
i Хп + Уп |	| Хп I - I уч i > (Р + М) - М = Р,
то есть ,хп + уп\>Р- В частности, если xn-^J[-oo(—оо), то и
(х„ + !/„)-+ +ею (—оо).
91
2)	Пусть х„->4-оо(— оо) и £/„->4-00 (—оо). Тогда х„4-г/„->
->4-оо(—оо), так как сумма бесконечно больших одного знака
есть величина бесконечно большая.
3)	Пусть х„ и уп есть бесконечно большие разных знаков. Тогда
о пределе суммы x„ + z/„ ничего определенного сказать нельзя до
тех пор, пока не будут известны законы изменения х„ и уп. Этот
предел может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному
от нуля, а также может и вовсе не существовать. Например:
а)	если х„==^п4--* + оо, £/„ = — п-> — оо,тох„4-{/п = ~-*-0;
б)	если х„ = 2п->4-оо, г/„=-п-> —оо, то хп + уп — п -> 4- оо;
в)	если х„ = (п42)->4-оо, //„= — «-> —оо, то хп-\-уп = 22;
г)	если х„ = п4-(—l)”->4-oo, £/„=-«-> —оо, то х„ + {/„ =
= (—1)" предела не имеет.
Таким образом, сумма двух бесконечно больших разных знаков
представляет собой в общем случае неопределенность, которая обозна-
чается символом оо — оо.
III. Рассмотрим произведение двух переменных х„-уп.
1)	Пусть х„ и у„ являются бесконечно большими. Тогда их произве-
дение будет также величиной бесконечно большой, так как в данном
случае — и -1-, а значит, и —-— будут величинами бесконечно
хп Уп	хп * Уп
малыми.
2)	Пусть одна из переменных имеет конечный предел, отличный
от нуля, а другая — бесконечно большая. Тогда их произведение
будет величиной бесконечно большой. Действительно, если x„->a=/=O,
а ^—бесконечно большая, то — будет бесконечно малой, a J—
величиной ограниченной (—►—). Следовательно, их произведение
------будет бесконечно малой, а тогда хп • уп будет бесконечно большой.
хп ’ Уп
3)	Пусть хп — бесконечно малая, а у„ - бесконечно большая.
Тогда имеем случай неопределенности, которая обозначается симво-
лом О-оо. Например:
а)	если х„=^-->0, уп — п? ->оо, то x„i/„==n->oo;
б)	если х„ = ^->0, t/„=n->oo, то хпуп = -> 0;
в)	если х„=А_>о, z/„ = n—>оо, то x„z/„=3->3;
г)	если хп = ^~—>0, £/„ = /1->оо, то хпуп — (—0я предела не
имеет.
„	„	0 оо
Кроме рассмотренных нами неопределенностей вида ,
оо — оо и О-оо, существуют еще другие случаи неопределенностей,
связанные с рассмотрением степеней. С ними мы познакомимся в
дальнейшем (см. § 10, гл. IV).
92
Раскрытие неопределенностей в некоторых случаях представляет
собой значительную трудность. В каждом отдельном случае прихо-
дится изыскивать особый прием, позволяющий преобразовать выра-
жение к такому виду, когда о пределе возможно дать определенный
ответ.
Рассмотрим на примерах наиболее типичные приемы раскрытия
неопределенностей.
Пример 1. Пусть хп есть многочлен степени k относительно л:
хп = айпк +	+ a2nk‘t 4-... 4- я^п 4-	(я0 56 0).
Как ведет себя этот многочлен при п~-4~оо?
Если бы все коэффициенты были одного знака, то, очевидно, хп была бы бес-
конечно большой такого же знака. При разных знаках коэффициентов имеем неоп-
ределенность вида оо — оо. Для раскрытия этой неопределенности вынесем за
скобки высшую степень п:
1,1	, а1 । а2 ।	, «*-1 । ak\
хп = пк + у +	------b-Fr+n*)-
В скобках все слагаемые, кроме первого, являются бесконечно малыми. Следо-
вательно, предел выражения, стоящего в скобках, равен я0. Множитель пк есть
величина бесконечно большая. Отсюда заключаем, что хп стремится к 4-оо или
— оо в зависимости от знака а0.
Пример 2 Пусть хп представляет собой частное двух многочленов:
Хп^'	4-...................... (ao °, &0 °)-
Рассмотрим все возможные случаи поведения частного при п-*4-со.
Как уже установлено в примере 1, числитель и знаменатель являются вели-
чинами бесконечно большими. Следовательно, имеем случай неопределенности
вида —. Вынося за скобки в числителе пк, а в знаменателе пт, получим:
, аг , а» ,	, ak i ,
ао + А + Л_|-----4-^4-4
. „ п па пк 1 пк
V ___	,	.. ,,	. .	.......Ill’ 1Г..1."	.
bo + -n+n^+ +nii^i + nm
Предел второго множителя равен	Что же касается предела первого мно-
жителя, что он будет зависеть от соотношения чисел k и т. Если k > т, то
—> со и> следовательно, х„ — ±ао (знак совпадает со знаком 2#). Если же
\	»о/
k = m, то пк~т = п° = 1 и х»-——. Наконец, если k < т, то пк~т=^=-------► О и
Ь9	пт~к
-п —* 0.
п	9 и	- (Ч —1) (ч — 2)
Пример 3. Найти предел переменной х„=-—'
Это частный случай предыдущего примера:
hm = hm \________________in______и 1.
2n*4-l	1	2
2 +
93
Здесь для раскрытия неопределенности вида — мы поделили числитель и знаме-
натель на п2.
Пример 4. Найти предел переменной хп=Уп2~р2 — У2п — 1.
Выражение переменной хп представляет собой неопределенность вида со —с©.
Если правую часть умножить и разделить на сумму Уп2-{-2-{- У2п — 1, то мы
со
придем к неопределенности вида —, которая раскрывается приемом, изложенным
в примере 3:
lim	Г2Т=Т) - 11ш	_
/п«+2 + /2п-1
1_ Л - 1
п2— 2n-f-3	п ' п2
— lim-T^-r^----....= lim —,   	....... = со.
Уп2+2 + У2п- 1	1/1 , Л . 1/2 _
V п2'п*‘т' п3 п*
В этом примере мы использовали еще и теорему о пределе корня: если хп а, то
У хп—* у а (при любом натуральном Р). Мы ее не формулировали отдельно, по-
скольку она входит как частный случай в более общую теорему о пределе степе-
ни с любым показателем (ср. также § 6, гл. IV).
П р и м е р 5. Найти предел переменной хп — _Lil	~h.n .
П2 + 5
В данном случае имеем неопределенность вида — . Так как 1 4- 2 4- 3 4-
п (п + 1)
4™ п = —    —- , то
п (п 4- 1)
hmx„ =1^5/5//
lim-------—
о 10
2 + —
Пример 6. Найти предел переменной
Так как 1 q q2 -|- ... qn есть
прогрессии со знаменателем q и
1 + у +"4 + ••• + 2й
1+4+1 +••+ i
, 1 ,	,1
+ 4 + "•+ 2«
1	j	j— .
y+g- + ••• + 3Й
сумма п 4-1 членов геометрической
1 -q™
—.—.1- то
l-q
Пример 7. Найти предел
Если
то ап = 1
2
I 4
Г -3
2
она равна
(1 —!—
\	2Л+1/ \
------j-r-j----j—г , a lim х„ =
(1 LW 1---------! 1
\	2 I \ 3ffi+1 /
ап
переменной х„ = (а > 0).
0<а<1, то ап будет бесконечно малой и lim хп — 0. Если а =1,
и limxn= у. Наконец, если а>1, то ап будет бесконечно боль-

1
2
1
2
шой и мы
имеем неопределенность вида — ; раскрывая ее, получим:
lim хп =
lim
ап
1 4-ал
= lim -j-----
1 4- 1
ап
= 1.
94
Здесь неопределенность раскрылась путем предварительного деления числителя
и знаменателя на ап.
Приведем некоторые примеры, при решении которых используется формула
бинома Ньютона. Читатель, не знакомый с этой формулой, может примеры
8—10 пропустить.
П р и м е р 8. Доказать, что lim^ = 0.
Знаменатель 2я с помощью формулы бинома Ньютона можно представить
в виде 2" = (1 + 1)" = 1 + ft + —+...+ 1 = 1+«-Ь (у—£) + ••• +
/ц \	1fi \ п2
4-1. Но 1 + n 4-(у-—g-1 4- ••• + 1 > 1 + n 4- (у—g-l >y, так как все про-
пущенные слагаемые из формулы бинома Ньютона положительны. Отсюда получаем,
что 0 <	или, умножая почленно на п, будем иметь:
Поскольку —— 0, то по теореме о сжатой переменной и 0.
Пример 9. Показать, что lim^ra =1.
Для решения задачи достаточно установить, что переменную Уп можно
представить в виде суммы 1 4- ая, где а„ есть бесконечно малая при п —оо.
Пусть уЪ = 1 4-ал. Очевидно, для любого п. Возводя обе части послед-
него равенства в п-ю степень, получим:
П = (1 +«/1)"= 1	+ —7>~ <Х? 4- •   + “п-
1-2 tl	ri
Так как все члены справа неотрицательны, то для любого n> 1 справедливо не-
равенство
i	-1)	, fl (fl—1) S
п > 14—\-f—-д а2, то есть н — 1 > —L-—2- ап.
1 ’ «	1*2
fi	2
Сокращая на (га—1), получим: 1 > у а*. Отсюда следует, что ,f > a,i или
j/ У >a,SsO.
Так как j/"у—»0 при	то по теореме о сжатой переменной будет стре-
миться к нулю и ап, то есть а„ есть бесконечно малая.
п >-
Пример 10. Показать, что lim у а — 1 при любом а > 0.
Для всех п, начиная с некоторого, будет выполняться неравенство — < а <
С п. Тогда 1/ — < у а < у п .
п. — п/~~Г	1
Так как при п — оо будет /га — 1 и 1/ — =	_ — 1 (см. пример 9), то по
' п	Уп
теореме о сжатой переменной получаем, что и у а — 1.
Пример 11. Найти предел переменной:
1 , 1 , 1 , , 1
Хп~ 1.2+ 2-3 + 3-4 * •••+ (га-1) п-
95
Вопросы для самопроверка и упражнения
1.	Какой смысл придается слову «неопределенность» при вычислении пределов^
2.	Что означают слова «неопределенность раскрыта»?
3.	Подобрать две такие бесконечно малые величины, чтобы их частное было
величиной бесконечно большой.
4.	Подобрать две такие бесконечно большие величины, чтобы их разность:
а) была величиной бесконечно малой,
б) имела предел, равный 5.
В задачах 5—17 найти пределы последовательностей.
2п	cos п з«+8 2л  1 6. х„ = sin п	. "	г п	Отв. Отв. Предел не существует.
„	sin л ,	п +1	
“	п ' } Н2 ОЛ г 6 ’	
	
/л-14-/п+1	• Отв. 0.
в х	— 1 +П + 1	Отв. 2.
”	М 1 1	
10. хп = |/,/ ft® - 2—	л® —~ 2 •	Отв. 0.
,,	п — У^п 11. х„=——— .	Этв ос.
Уп	
Ул-Ь 1 — 1 12. хп = \	Отв. 1.
J/H+1 + 1	
w , _ (л+1) (л —2) (« +2)	Отв. 1.
ia. х„	п3-л3 + 5л —2	•	
14 х - 1+4 + 9 + -.. + + п3-+-Зп + 2	
Указание. Предварительно преобразовать числитель, используя формулу
Р+22 + 32+... + п2=111+1Ж+2).	отв. 1
1з_^2э-|-334-... + пз п
15. хп~ -3	-у
Указание. Воспользоваться сначала формулой суммы кубов натуральных
чисел: 13 + 23 + 33 + ... + л3 = (1+2 + 3 + ..- + л)2, а затем—формулой суммы на-
туральных чисел, приведенной в решении примера 5.	Отв
96
§ 6. МОНОТОННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ
Определение. Если переменная хп изменяется так, что
хп <Z.
то она называется возрастающей в узком (или строгом)
смысле. Если же
Хп -^л+1
то переменная хп называется убывающей в узком (или стро-
гом) смысле.
Иногда переменную хп называют возрастающей и в том случае,
когда
Х1
Л'3
*з
понимая под этим возрастание в широком смысле (неубывание).
Аналогично, если
zzzZz %2 223- Xjj 22^- • • • 22S-	"^л+l 22S- • • • $
то переменная xn называется убывающей в широком смысле (невоз-
растающей). Переменные, возрастающие и убывающие в узком и
в широком смысле, объединяются под общим названием моно-
тонных *.
Легко заметить, что возрастающая не ограниченная сверху пере-
менная будет положительной бесконечно большой, а убывающая не
ограниченная снизу переменная —отрицательной бесконечно боль-
шой. Действительно, если, например, хп возрастает и не ограни-
чена сверху, то для любого числа А1 > 0 найдется такое щ, что
хп„>М.. А тогда для всех п>п0 и подавно хп~>М.
Монотонные переменные по сравнению с другими переменными
обладают и той особенностью, что для них из ограниченности сле-
дует существование конечного предела.
Теорема (о монотонной переменной). Любая воз-
растающая переменная х„, ограниченная сверху, имеет ко-
нечный предел. Любая убывающая переменная хп, ограни-
ченная снизу, имеет конечный предел.
Доказательство. Докажем теорему для случая возрастания
в широком смысле. Пусть хп возрастает и ограничена сверху. Сле-
довательно, на основании теоремы из § 5 главы I у множества
значений хп (Существует точная верхняя граница. Обозначим ее
через А и покажем, что А и будет пределом для хп. Действительно,
по определению верхней границы х„±уА для всех п. Возьмем 8>0.
По свойству точных границ, для этого 8
Хдг> А — б. Тогда в силу возрастания хп
найдется такое А\ что
для всех п^>1\ будет
* Слово «монотонный» происходит от греческого слова «монотос», что озна
чает «однотонный». Здесь употребляется в смысле характеристики изменения функ
ции
4 Бохан и др.
97
хп>А — е. Таким образом, для п > N получим: А—в < хп < А 4-е.
А это и означает, что limx„ = A.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Доказательство
ее рекомендуется провести самостоятельно.
В теореме о монотонной переменной устанавливается только
факт существования предела без указания способа для его отыска-
ния. Однако и это имеет очень важное значение в теории пределов.
Если по отношению к некоторой переменной уже известно, что
она имеет предел, то во многих случаях этим предрешается и
вопрос о его нахождении.
Пример 1. Доказать, что переменная хп--- (а > 0) имеет конечный пре-
дел. Найти этот предел.
Докажем сначала существование конечного предела. Так как
_ ал'1 _ а ап _ап _ а
Х"+1~ («-}-1)1	«4* 1 n! ~~ nf «4-1 Хп<
то при п-|-1>а, то есть при п>а—1, переменная хп становится монотонно
убывающей. Кроме того, она ограничена снизу, например нулем. Следовательно,
по теореме о монотонной переменной хп имеет конечный предел. Теперь, опираясь
на факт существования предела, можно найти и его значение. Пусть limx„ = A.
Тогда и limxn+1 = A, так как хпл1 пробегает ту же последовательность значений,
что и хп. Переходя в равенстве хл+1 =—тт*» к пределу, получим: А—О-А,
п 1
отсюда А=0. Таким образом, lim ^ = 0.
Пример 2. Доказать существование предела у переменной
1 , ! 1 , ,1
*”“24-1 +2« + 1 + 2’+Т+	2"4-Г
Переменная х„ возрастает, так как хп+1=хп-]- гуй+гзрр и> следовательно,
11
хп+1> Кроме того, она ограничена сверху, так как -..............г при любом п,
Л -J- 1	£.
И
1	,	1	,	1	,	,	1	-1,1.1,	,1
+	...+2?Гр<т4- 22+2» +	+
J___1
Следовательно, на основании теоремы о моно гонкой переменной заключаем, что
данная переменная имеет конечный предел. Относительно этого предела также
на основании упомянутой теоремы можно утверждать, что он не превосходит 1.
Пример 3. Последовательность задана, рекуррентным соотношением
xn+i= V	xi=)Aa,
где а > 0. Найти предел этой последовательности.
Заданная последовательность имеет вид:
I а , ]/а 4- У а , р а 4- У а |- \а > • • •, 1/ а 4~ lz а 4-	4~ •  • 4* Va
93
Сравнивая значения для хп и хп+1, легко заметить, что х„+1 > хп. Используя
последнее, получаем: хп = Уа+хп_1 < Уа + хп 
Отсюда х^<а-{-хп и х^ — хп — а<0. Решая последнее неравенство, найдем,
1,ч/ТТ-
что < -g- + I/ -4- + я Для всех значени п.
Таким образом, установлено, что данная последовательность возрастает и
ограничена сверху. Но тогда по теореме о монотонной переменной она имеет ко-
нечный предел. Для определения предела будем рассуждать, как и в примере 1.
Пусть Нтхп = А. Тогда также limXnj^A (так как значения переменной
образуют ту же последовательность, что и хп) и, переходя к пределу в равенстве
хя =	получим: А —Уа-\-А. Отсюда
А2 = а-|-А, или А2 — А — а = 0, откуда А =	± "|/ -^-+° .
Так как по условию а > 0 и по доказанному хп возрастает, то должно быть А>0,
то есть А	+ а. Таким образом, 11гпхя=—-{- j - n.
Пример 4. Дана окружность. В нее вписываются последовательно пра-
вильные многоугольники, каждый последующий из которых образуется удвоением
числа сторон предыдущего (рис. 53). Периметры этих
многоугольников образуют числовую
ность:
последователь-
Pi, Ръ Рз>  > Р п,
эта последовательность
(1)
имеет конечный
Доказать, что
предел.
Так как
двух других
на рисунке 53, Рп < Р„+1 для всех
есть последовательность (1) возрастает. Кроме того,
периметр любого вписанного многоугольника меньше
периметра любого описанного многоугольника. Это
значит, что последовательность ограничена сверху.
В качестве верхней границы можно взять, напри-
мер, периметр описанного шестиугольника. По теореме
ной последовательность имеет конечный предел lim Р„.
n-tco
сторона треугольника
сторон, то, как видно
меньше суммы
из обозначений
значений п, то
о монотонной перемен-
Задача решена. За-
метим, что предел limP„ принимается за длину окружности. Именно так вво-
п-*оэ
дится понятие длины окружности, известное читателю из элементарной геометрии.
Теоремой о монотонной переменной мы будем пользоваться еще
неоднократно, начиная со следующего параграфа.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Доказать теорему о монотонной переменной для случая убывания.
2.	Сформулировать теорему о монотонной переменной в терминах последо-
вательности.
3.	Доказать, что последовательность, заданная рекуррентной зависимостью
хл+1=——2—j где > 0 — произвольное число, сходится. Найти предел этой
последовательности.	Отв. 0.
4.	Доказать существование предела переменной хп= -|-	4- 57Т-0+

4*
99
1
on
5.	Дана переменная хп = сг . Составить рекуррентную зависимость между
значениями х„.) и хп, доказать существование предела и найти его. Отв 1.
6.	Дан равносторонний треугольник со стороной а; из трех высот его строится
новый равносторонний треугольник, и так п раз. Найти предел суммы площадей
всех треугольников при п —► со.	Отв. а2 У'З .
§ 7. ЧИСЛО е
Лемма (Бернулли)*. Для любого натурального числа т
и любого вещественного числа й> —1 справедливо нера-
венство
(l+/i)mSsl+mh,	(1)
называемое неравенством. Бернулли.
Доказательство проведем методом математической индук-
ции. При т = \ соотношение (1) очевидно (в этом случае оно пере-
ходит в равенство). Предположим, что (1) справедливо при m—-k,
и докажем его справедливость при m = k + 1. Учитывая, что l+fe>
> 0, имеем:
(1 4-/Z)A’ 1 = (1 +h)k (1+h) > (1+kh) (l+h)=l+(k+l)h + kh^
+=l + (k+l)h (так как k+'S^O). Лемма доказана.
Рассмотрим теперь переменную =	С первого взгляда
может показаться, что она имеет своим пределом единицу. Однако
это не так. Применяя только что доказанную лемму Бернулли,
видим, что для любого п
С помощью этой леммы можно доказать существование конечного
предела переменной +-£-)"•
Рассмотрим сначала переменную
/, . l\«+i
yn=\l+-j •
Покажем, что она монотонно убывает. Действительно, Уп = [~-^ \
_ / п \п УпЛ ___ rt" • Пл+1 ______ / П2	п— 1
~ (л-1 ) и ~ (и-1)".(п+!)"+» “ W-1 /	‘ ~п~ 
Так как в силу неравенства (1) ^при ft="2 -Л > m = n-|-lj
! пг у+1	/	1 V+1	, . , . ..	1	. ,	1 п
(па—1)	у+п2—1)	•— 1 + («+ О • „2_ 1	1+„ — 1 —	>
то “1^1, то есть Уп-+^Уп для всех nSs2. Ограниченность уп
Уп
* Якоб Бернулли (1654— 1705) —швейцарский математик.
100
снизу очевидна, в силу (2) у„+=2. Следовательно, уп имеет конеч-
ный предел. Но тогда существует конечный предел и переменной хп,
так как
хп=- Уп-г и limxn =—ll'm->t1v- = lim
1 -|-	lim (1 -|-)
i	n	V n j
Этот предел принято обозначать буквой е:
1- 1 \п
е — lim 14— .
\ п/
Число е является иррациональным числом и, следовательно, пред-
ставляется в виде бесконечной непериодической дроби:
£? = 2,718281828459045...
В качестве простейшего приближенного значения для числа е
полезно запомнить, что ея»2,7. Немного точнее: е = 2,72.
Подчеркиваем, что предыдущими рассуждениями мы не дока-
/ 1 \п
вывали равенство e = limfl+ — j ; мы доказали, что указанный
предел существует, и назвали его числом е.
По мере изучения математического анализа будет обнаружи-
ваться все большее значение числа е во многих вопросах теории и
практики. Пока укажем лишь, что число е принято за основание
так называемых натуральных логарифмов, которые в силу особых
свойств числа е имеют бог ее широкое применение в математическом
анализе, чем десятичные логарифмы. Натуральные логарифмы
имеют специальное обозначение: In х (In х-— log^ х).
Установим связь между In х и 1g х при любом значении х>0.
Для этого прологарифмируем тождество x = e"lj; по основанию 10.
Получим:
lgx==lnx-lge или lgx=M-lnx.
Число М называется модулем перехода:
M-lge=-—=0,434294...
/ 1
Пример I. Доказать, что переменная х„=(1 + —1 стремится к своему
пределу е возрастая
Для доказательства достаточно установить, что —— > 1 при любом п. Так
как
И х„+1 = 1 +
1 \п-Н _/п+2\«+1
п+1/	~ \п+1 /
то
zn+i ___ /п + 2\д+1	/ п /п + 2\д+1	/ п \я+1	п +1
ХП ~ \п + 1 /	V* + 1I	~ \п + 1/	\П + 1 / п
= Г (^4-2) • п ' I п +1
L (n + l)2 J ’ п 
101
Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразуем к виду
п (п + 2) _ п2-|-2п _ (п +1)2— 1 _	1
(п+1)а ~ (п + I)2	(«+1)2 “	(п+1)2'
Тогда с помощью леммы Бернулли получим:
Г. 1	++1	.	1	/ I 1\	1	1	п
(п+1)2]	(п+1)2	„+1 -’++Г*
„	Хп+1 __ п п + 1
Следовательно,	. —I—=1.
хп п +1 п
Заметим, что лемму Бернулли можно уточнить следующим образом: если
h>—1, но Л + 0, то при т>4 (т— натуральное)
(1+Л)т> 1+«-/г.
Учитывая это замечание, легко видеть из предыдущего вывода, что ^"±1. > 1,
хп
/ 1 \п
то есть что переменная хл==(1+~\ стремится к своему пределу строго воз-
растая.
Пример 2. Найти предел переменной x„ = n [In («+1) — Inn],
/	1 \n
Воспользуемся пределом	Получим-
Пт п [In («+1) —In n] = lim n  In —“ Hni In f 1 + =ln e= 1.
< Пример 3. Население страны ежегодно возрастает на 2%. Во сколько
раз оно увеличится за 200 лет?
Обозначим через N первоначальное число жителей. Очевидно, через год будем
иметь:
N ! ^'2,,,.Лг
4
через два года оно снова умножится на 11 +	, то есть будет равно
\	‘Э’"' /
/	1 \ /	1 \	/	1 \2
IV [1+до)(1+55) = ^-(1+5б/) ,
через три года
и т. д. Через 200 лет число жителей будет равно
то есть увеличится в 1 + =+ раз. Чтобы легче представить себе это число,
L \	/ J
/ 1 \п
выразим его приближенно. Так как lim 1 -|---1 =е, то при больших значениях п
/ 1 \" '
II+~) =ке> и> чем больше п, тем точнее это приближенное равенство. Так
/ 1 \5й
 	’ ' .+ можно рассматривать как выражение вида
1 >50 Г/ 1 50 I4
п = 50, то y+ggj и jjl + j =»е4. Получили, что население страны
за 200 лет увеличится примерно в е4 раз. Принимая е =«2,72, получим: е4 55.
как число
при
102
Вопросы для самопроверки и упражнения
/ 1 \п
1.	Почему выражение: «Мы доказали, что	— I равен числу е» — не-
правильное?
2.	Найдите приближенное значение е из приближенного равенства^!
«е при п = 6.	Отв. 2,521.
/ 1 \'!+1
3.	Найти предел переменной =	---\	,	Отв. е.
§ 8. ТЕОРЕМА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ
Пусть имеем последовательность отрезков, вложенных друг
в друга таким образом, что каждый последующий содержится
в предыдущем:
[01.	М дэ ... о [ап, Ьп] =>...,	(1)
причем при возрастании п длина и-го отрезка Ьп—ап -> 0. Такую
последовательность отрезков называют стягивающейся.
Теорема. Для всякой стягивающейся последователь-
ности вложенных отрезков (1) существует точка с, при-
том единственная, принадлежащая всем отрезкам этой
последовательности, то есть такая, что ап^с^Ьп для
всех п (рис. 54).
Доказательство. Левые концы отрезков последовательно-
сти (1) образуют монотонно возрастающую последовательность:
а, Щ о3 ап .,	(2)
а правые концы—монотонно убывающую последовательность:
2?- b.2 b3 2® •  • 5» bn 2» ...	(3)
При этом последовательность (2) ограничена сверху, а последова-
тельность (3) ограничена снизу, так как Ьг, a bn:^ai для всех п.
Следовательно, на основании теоремы о монотонной переменной эти
последовательности имеют пределы. Пусть lim ап=с', a limb„=c".
Тогда из соотношения
0 = lim (&„—«„) = lim bn—-\iman—c"~c'
получаем, что с'=с". Общее значение с' =с" обозначим через с,
Рис. 54.
103
то есть с'=с" = с. И поскольку ап^с, а Ьп^с при всех п, то точка с
принадлежит всем отрезкам последовательности (1).
Остается показать, что точка с является единственной точкой,
удовлетворяющей этому условию. Допустим противное. Пусть суще-
ствует точка clt отличная от с и также принадлежащая всем отрез-
кам последовательности (1). Тогда для любого п должно выполняться
неравенство Ьп — ап^\Сх — с\. Следовательно, Ьп — ап-/*0 (не стре-
мится к нулю), что противоречит условию теоремы.
Заметим, что доказанная теорема становится неверной, если
в ней вместо отрезков рассматривать интервалы. Действительно,
возьмем, например, интервал (0, 1) и разделим его пополам. Выбе-
рем в качестве второго интервала левую половину, то есть (^0, yj.
Делим [о, снова пополам и выберем левую половину, то есть
10, jj, и т. д. Этот процесс деления и выбора интервалов беско-
нечный. Следовательно, получится бесконечная последовательность
вложенных интервалов:
(0, 1) (о, тЦ => (б,	... :э (о,	=>...	(4)
\	“ 7	\	** /	\	" /
Интервалы этой последовательности не имеют ли одной общей
точки, так как, какую бы точку а на промежутке (0, 1) мы ни
взяли, найдется такое п0, что	и интервалы последователь-
ности (4), начиная с (о, j, не содержат точку а. Точка нуль явля-
ется общим левым концом всех интервалов, но не принадлежит им.
Доказанная теорема будет в дальнейшем неоднократно исполь-
зована нами при доказательстве других весьма важных теорем.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Построить последовательности вложенных отрезков, стягивающиеся:
а) к точке с = 5; б) к точке с—-—2.
2. К какой точке стягивается последовательность вложенных отрезков:
§ 9. ЧАСТИЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пусть дана некоторая числовая последовательность
Xi, х^, х3, ..., хп, ...	(1)
Если из этой последовательности выписывать не все члены подряд,
а с пропуском (например, брать члены через один, или каждый
пятый, или как-нибудь иначе), то получим новую последователь-
ность:
x«j> хп.^, хл.(, • х„А, ...,	(2)
104
которая называется частичной последовательностью или подпоследо-
вательностью по отношению к последовательности (1). Здесь nt
означает номер первого из членов хп последовательности (1), вошед-
ших в (2), п2 — номер второго из членов хп, вошедших в (2), и т. д.
Например, если последовательность (2) состоит из х3, хЙ, xllt
то «1 = 3, «а = 8, «3=Н и т. д. Порядковый номер члена в (2)
определяется уже не числом «, а числом k, и «х < «2 < «3 <... <
<«*<«а+1 <• • • Покажем, что для любого k справедливо nk^k,
то есть что при любом k член xnk есть либо хк, либо один из чле-
нов, следующих за ним в (1). Воспользуемся методом математической
индукции. При k=l неравенство « t	1 очевидно, так как х„ есть
либо хъ либо один из последующих членов в (1). Предположим
теперь, что неравенство пт^т справедливо при k = m. Тогда
Н/п + 1 =5= пт + 1 JS5 т + 1 •
Из последовательности натуральных чисел 1, 2, 3, 4, ..., п, ....
можно, например, выделить такие частичные последовательности:
1, 3, 5, 7, 9, ..., 2«—1, ...,
2, 4, 6, 8, 10, .... 2я, ....
2, 5, 10, 17, 26, ..., «3 + 1, .... и др.
Заметим, что в частном случае последовательность (2) может
и совпадать с последовательностью (1), тогда хПк = хк> где £=1, 2,
3, ...
Теорема 1. Если последовательность (1) имеет своим
пределом число а, то выделенная из нее любым способом
подпоследовательность (2) будет также иметь предел, рав-
ный а.
Доказательство. Пусть последовательность (1) сходится
к числу а. Это значит, что для любого е>0 найдется такое N,
что для п> N выполняется неравенство |х„—а|<в. Так как х„.к
либо совпадает с хк, либо правее его в последовательности (1),
то для k> N будет \хПк—а\<ъ, что и доказывает теорему.
Если последовательность (1) стремится к бесконечности, то легко
доказать, что любая ее подпоследовательность также стремится
к бесконечности. Предлагаем это сделать читателю.
Если же последовательность (1) не имеет предела, то из этого
еще не следует, что всякая ее подпоследовательность также не будет
иметь предела. Известно, например, что последовательность
+ 1, -1, +1, -1, 4- 1, .... (-1)", ...
не имеет предела (см. пример 2, § 1), в то время как ее подпосле-
довательности
4- 1, 4- 1, 4-1, 4-1... 4- 1 • •••
— 1, —1, -1, -1........ —1, ...
сходятся (первая к 1, вторая к —1).
10&
Теорема 2 (Больцано — В ейер штр асса)*. Из всякой
ограниченной последовательности можно выделить сходя-
щуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть последовательность (1) ограничена,
то есть существуют такие числа а и Ь, что а^хп^Ь для всех п.
Это значит, что все члены последовательности находятся на отрезке
|а, Ь]. Разделим этот отрезок пополам точкой d = -—^~, тогда по
крайней мере одна из частей, [«, d] или [d, 6], будет содержать
бесконечное множество членов последовательности (4)- Обозначим
эту часть через [аъ ЬД. Может оказаться, что обе части содержат
по бесконечному множеству членов последовательности (1), тогда
через [alt 6Х] можно обозначить любую из них. Делим отрезок
[ах, 6J пополам точкой dx — 01 у-— и часть, содержащую бесконеч-
ное множество членов последовательности (1), обозначим через (а2, Ь2|.
Отрезок [а2, 62| делим в свою очередь пополам и часть, содержащую
бесконечное множество членов последовательности (1), обозначим
через [а3, 63] и т. д. Этот процесс деления никогда не закончится.
Получим последовательность вложенных отрезков:
К Ы гэ [п2, 6.,] о (а3, 63| о... о \ат Ьп\ о...	(3)
При этом длина n-го отрезка 1>„ —О при п->оо. Следо-
вательно, по теореме о вложенных отрезках существует такая
точка с, что
lim ап= lim bn=c.	(4)
Возьмем какой-нибудь из членов последовательности (1), содер-
жащихся в [ах, и обозначим его через х„. Затем возьмем любой
из членов последовательности (1), содержащихся в |а2, Ь2| и следу-
ющих за и обозначим через xrii и т. д. Такому выбору ничто
не препятствует, поскольку в каждом отрезке последовательности (3>
имеется бесконечное множество членов последовательности (1). Выде-
ленная таким образом последовательность хП), лц, х„3, ..., xnk, ...
будет сходиться к числу с, так как ak^xnk^bk для любого k,
и имеет место равенство (4).
Замечание. Условие ограниченности последовательности явля-
ется существенным, так как существуют неограниченные последова-
тельности (например, 1, 2, 3, .... п, ...), из которых нельзя выде-
лить сходящуюся подпоследовательность. Однако отсюда не следует,
что только из ограниченных последовательностей возможно выделе-
ние сходящихся подпоследовательностей. Например, последователь-
ность хп — п(~1}п является неограниченной, но из нее можно выделить
сходящуюся к конечному пределу подпоследовательность. Достаточно
придавать п только нечетные значения.
* Больцано Бернард (1781 —1848) —чешский математик. Вейер-
штрасс Карл Теодор Вильгельм (1815— 1897) — немецкий математик.
106
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Доказать, что если последовательность хп (п=1, 2, 3, ...) не ограничена,
то из нее можно выделить подпоследовательность x,lft —< оо.
2.	Доказать, что монотонная последовательность сходится, если сходится
какая-нибудь ее подпоследовательность.
„ „	1113	17	1	2«—1
3.	Из последовательности j, у, —, —, —, —..... —, ...
выделить сходящиеся подпоследовательности.
4.	Из данной последовательности выделено несколько подпоследовательностей,
сходящихся к одному и тому же пределу. Можно ли на этом основании утвер-
ждать, что и сама последовательность также сходится?
5.	Из данной последовательности выделена расходящаяся подпоследователь-
ность. Можно ли утверждать, что сама последовательность также расходится?
§ 10. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция y—f(x) задана на некотором промежутке X,
за исключением, может быть, точки х0 этого промежутка. Возьмем
из X последовательность точек, отличных от х0:
^1>	'*'3’ •••> Хп, •••>	(1)
сходящуюся к хв. Значения функции в точках этой последователь-
ности также образуют числовую последовательность
H*i),	f(x3), .... f(xn), ....	(2)
по отношению к которой можно ставить вопрос о существовании
и нахождении предела. Поскольку составление последовательности (11
ничем не обусловлено, кроме того только, чтобы она сходилась
к точке х0, то ее можно составлять различными способами. Соот-
ветственно будем получать и различные последовательности (2). Если
последовательности (2), соответствующие всевозможным последова-
тельностям (1), имеют один и тот же предел, например число А,
то будем говорить, что функция y—f (х) имеет в точке х0 предел,
равный А, и обозначать: limf(x) = X.
Если же хотя бы для одной последовательности (1), сходящейся
к х0, последовательность (2) не имеет предела или имеет предел,
но отличный от предела другой последовательности (2), то говорят,
что в точке х0 функция y=f(x) предела не имеет.
Дадим теперь строгое определение предела функции в точке.
Определение 1. Число А называется пределом функции
f(x) в точке х0, если для любой последовательности точек (1) из про-
межутка X, отличных от х0, сходящейся к точке х0, последователь-
ность соответствующих значений функции (2) сходится к числу А.
Существует и другое определение предела функции.
Определение 2. Число А называется пределом функции
f (х) в точке х0, если для любого сколь угодно малого числа е > О
найдется такое число б >0, что для всех хр х0, хе X, удовлетво-
ряющих неравенству | х — х01 < б, выполняется неравенство j f (х) — A j < s.
107
Первое определение основано на понятии предела числовой после-
довательности, поэтому его часто называют определением «на языке
последовательностей». Определение же второе использует понятие
s-окрестности и 6-окрестности и потому его называют определением
«на языке 8 — 6».
Теорема 1. Первое и второе определения предела функ-
ции эквивалентны, то есть если функция имеет предел в
точке х„ согласно одному из определений, то этот же пре-
дел функция будет иметь и по другому определению.
Доказательство. Пусть А есть предел f (х) в точке х0 по
первому определению. Рассуждая от противного, предположим, что
А не является пределом этой функции по второму определению. Это
значит, что не для любого 8 > О можно найти такое 6>0, чтобы
из неравенства | х—х0 \ < 6 следовало бы неравенство \f (х)-— А | <8,
то есть существует такое 8 = е0, для которого нельзя подобрать 6,
удовлетворяющего указанному условию. А это, в свою очередь, озна-
чает, что для 80, какое бы 6 мы ни взяли, найдется хоть одна точка
х х0 такая, что |f(x)— A|Sse0, хотя \х—х01 <; 6. Возьмем в ка-
честве 6 последовательно числа:
Для 6 = 1 в X найдется такая точка хх & х0, что 5—- л-01 < I, а
|/(Xj) —A I ^S8O.
Для 6=у в X найдется такая точка х2 х,„ что |х2 —х0|<у,
a \	— A |Sse0.
Для 6=у в X найдется такая точка х;!	х,„ что |х8 —х0|<у,
a I f (хз) — А ) Ss е0, и т. д.
j	1
Для д — — в X найдется такая точка х„^хп, что \ xn — x0'<Z—,
a I f (х„) — А | =аей, и т. д.
В результате выделится последовательность точек, отличных от х0:
х1,	Х3> * • • , хп> • • • »
сходящаяся к точке х0, так как \хп—хо|<у->0 при п->оо. Тогда
согласно первому определению lirn/(x„) = А. Следовательно, по ей
найдется такое число N, что для п > N будет । f (хп)—А I < е0. Но
этого быть не может, так как для всех п выполняется неравенство
|f(x„) — A|2se0. Полученное противоречие и доказывает что число А
есть предел функции f (х) в точке х0 по второму определению.
Пусть теперь А есть предел f (х) в точке х0 в соответствии со вто-
рым определением. Возьмем любое е>0. По нему найдется такое
6 > 0, что из неравенства |х—xoj<6 будет следовать неравенство
|/(х)—А|<е. Возьмем последовательность точек х1( х2, х3, ..., х„,...,
сходящуюся к точке х0(х„^х0). Тогда по 6 найдется такое N, что
для п> N будет |х„—х0|<6. Но вместе с этим будет выполняться
108
и неравенство \f (х„)—Л|<е. Следовательно, \\mf(xn) = A. По-
скольку последовательность точек, сходящаяся к х0, выбиралась про-
извольно, то можно утверждать, что А будет пределом f (х) в точке ха
по первому определению.
После того как мы установили эквивалентность обоих определений
предела функции, можно пользоваться любым из них, в зависимости
от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.
Следует заметить также, что оба определения сами по себе еще
не дают способа отыскания предела данной функции. С их помощью
иногда можно лишь установить, будет ли то или иное число преде-
лом функции, или можно убедиться, что данная функция вовсе не
имеет предела.
Пример 1. Показать, что функция f (х) =х в любой точке х0 — а имеет пре-
дел, равный а, то есть lim f(x) — a.
х->а
Возьмем е> 0. Из неравенства \f(x)—a\=\x--a\ < е заключаем, что 6 нужно
взять sge. Тогда, если | х — х0 | = J х—а | < 8, то | /(%) — а | < 8.
Пример 2. Показать, что функция / (х) = 3х —5 имеет в точке х = 2 предел,-
равный 1. Каково должно быть 6, если в равно 1, и ™ ?
A vzVa
Возьмем любое е > 0. Задача состоит в том, чтобы по этому к найти такое
8>0, при котором из неравенства 1х — 2'<6 следовало бы неравенство
|(3х—5)—1 | < 8. Последнее преобразуется к виду 13 (х — 2) |<е или
|х — 2 | <
X 1
ТО О = ’—г~
о
Отсюда
3
; если s =
видно, что можно взять б
— В частности,
3 •
. 1
то 6= зад.
если е=1,
1
2*, то о
1 1
---- " ТТГЛ С —...... .....
g , CV.J1H & -------- IQQ )
Пример 3. Пользуясь определением предела функции в точке, доказать,
что функция f (х) = х2 — Зх — 1 имеет в точке х = 2 предел, равный —3, то
есть lim (х2 — Зх — 1) = — 3.
х -» 2
Этот пример проще решить, используя определение предела функции «на
последовательностей». Пусть {х„} — произвольная последовательность
к 2, то есть х„-*2. Тогда, применив теорему о пре-
§4), получим: limx2 — lim (хп
Х,Г2 Х,Г2
языке
значений х, сходящихся
деле произведения (см.
lim Зх„ = 3 • 2=6.
«-> 2
71
По теореме о пределе
2 = 4С
суммы и разности получим:
m / (х„) = Иm (х2 —- Зх„ — 1) = 4 — 6—1 = — 3.
—2	х„->2
Поскольку последовательность {х„} предполагалась произвольной (с одним
лишь требованием, чтобы х„ — 2), то на основании определения предела функ-
ции заключаем, что lim (х2 — Зх — 1) = — 3.
х-*2
Таким образом, решение свелось к тому, что в выражение
данной функции мы подставили х = 2. Легко понять, что прове-
денное рассуждение применимо к любому многочлену, и мы можем
сделать следующий общий вывод: для того чтобы найти пре-
дел многочлена
109
cIqX ci^x i -j— ... -j- an_]X + On
при стремлении x к некоторому числу а, достаточно
подставить в выражение этого многочлена вместо х
число а, то есть
lim (аохп + (цх^1 +... +	+ ап) ~
= аоа" + Gja"-1 +... + ап-Ла + ап.
Для сравнения решим тот же пример 3, исходя из опрэделения
предела функции «на языке е — 6». Возьмем произвольное в>0 и
найдем такое б > О, чтобы для всех точек х, удовлетворяющих
неравенству |х— 2)<б, выполнялось неравенство
| (х2—-Зх—1) — ( —3) | < 8.
Выражение, стоящее под знаком абсолютной величины, можно
преобразовать так:
(3 \2 J
X—- -g-j-=
Г / з \	1 1 г / з \ . 1 1 .	.
= '^Х “—2~\ —• ~2~J • |_ уХ--f- -g-j (X Z) (X —" 1).
Следовательно, должно выполняться неравенство
(х —2) (х — 1)|<8 или ] х —21 • | х—1 ] < е.	(1)
Пусть 6 пока еще не определено. Но если предположить выпол-
ненным неравенство |х —2|<б, то |х—1 | = |(х—2) +1
=С| х —2|+1 <6 +1 и тогда
| х—21 • | х •— 1 | <z 6 (6 -J-1).	(2)
Сравнивая (1) и (2), заключаем, что б достаточно взять таким,
чтобы 5 • (6-|- 1) = в. Решая последнее равенство, получаем:
б2--6 = г, или б2-4-б — е = 0. Отсюда б = —— ±	|-;-е.
¥
Так как б должно быть положительным, то из двух возможных
решений берем:
с 1 . -| Г 1 , j/Т 4е — 1
6==~т + | т + 8=----------g----.
В частности, если е = 2, то 6 = 1, если б * 8=|^, то 6 = 0,009, ит. д.
Заметим,что если для конкретных значений е нахождение соот-
ветствующих значений б по полученной формуле затруднительно
(как в нашем примере при е = у^), то можно вычислять его при-
ближенно. Однако округлять результат следует только в сторону
уменьшения.
110
Рис. 55.
П р и м е р 4. Показать, что функция / (х) = sin—, определенная для все х ф О,
в точке х = 0 не имеет предела (рис. 55).
Возьмем в качестве последовательностей значений х, сходящихся к нулю, сле-
дующие последовательности-»
1	1_
Зл	пл'"’
2	2
9л’ ” (4п —3) я’
шх соответствующие последовательности значений данной функ-
П± 1
1 л ’ 2л’
А
’ л ’ 5л’
Составим для
ции:
Ця/’ Цбл)’ ЦЭл) ’ 'f\(4n—3) я/ ’
/ 1 \	г 2	\
Так как при любом п значения / — sin пл=0, a f -п----------------— =
'	' \пл]	' \(4п — 3) л j
= sin 5--g—~~~ = 1> то для первой последовательности lim / (х„) — lim smnn = 0,
4п___з
а для второй — lim f (хп) = lim sin —— л = 1.
Оказалось, что для выбранных таким образом последовательностей значений
аргумента соответствующие последовательности значений функции имеют разные
пределы. А это и значит, что в точке х — 0 функция sin —предела не имеет.
Кроме рассмотренного нами понятия предела функции в точке,
существуют также понятия предела в точке слева и предела в точке
справа.
111
Если в определении предела функции потребовать, чтобы х
стремилось к х0 не любым способом, а только слева (оставаясь все
время меньше х0), то получим определение предела слева в точке х0-
Аналогично, если существует предел функции f(x) в точке х0 при
условии, что х стремится к х0 только справа (оставаясь все время
больше х0), то такой предел называется пределом справа. Пределы
слева и справа иначе называются односторонними пределами и
соответственно обозначаются так:
lim f (x) — f (х0 — 0), lim f (х) = / (х0 + 0).
—0	x-»xo + 0
Из определения предела следует, что если функция имеет в ка-
кой-либо внутренней точке промежутка предел, то она имеет в этой
точке и односторонние пределы, причем
lim / (х)=/(х0—О)=/(хо + О).
Х-+Х0
Но функция может иметь односторонние пределы и при отсутствии
предела в точке. Приведем пример такой функции.
( X2 при Xsg 1,
П р и м е р 5. f (х) = (
I х+1 при х > 1.
В точке х=1 эта функция не имеет предела, но имеет предел слева, равный 1,
и предел справа, равный 2 (рис. 56).
Если же функция в некоторой точке имеет односторонние пре-
делы, равные между собой, то их общее значение будет пределом
функции в этой точке.
Пример 6. Вычислить односторонние пределы функции у = Е(х) в точках,
соответствующих целочисленным значениям аргумента х. График этой функции
изображен на рисунке 57.
112
Пусть х — п. На промежутках [п, п+1) и [п—1, п) функция постоянна,
причем Е (х) — п на [п, п+1) и £(х) = п—1 на [п—1, п). Следовательно,
Пт £(х) = п—1, lim £(х) = п.
х-*п — 0
Аналогичная картина и в точках п.
Для функции f (х), заданной в некотором промежутке X, можно
ввести также понятие бесконечного предела в точке х0 (при х —> х0).
По аналогии с двумя определениями конечного предела функции
в точке сформулируем два эквивалентных определения бесконечного
предела.
Определение 3. Если
для любой последовательности
значений х:
сходящейся к х0 (х„+=х0),
limf(xn) = oo, то говорят, что
функция f (х) имеет в точке х0
бесконечный предел.
Определение 4.Функция
f (х) имеет в точке х0 бесконеч-
ный предел, если для любого сколь угодно большого положительного
числа М найдется такое число 6>0, что для всех значений х из
X (хЦ=х„), удовлетворяющих неравенству ) х — ха | < 6, выполняется
неравенство | f (х) | > М.
Бесконечный предел функции f (х) в точке х0 записывается сле-
дующим образом:
limf(x) = оо или /‘(х)-> С'Э при х->х0.
Аналогичным образом определяются и соотношения
lim/(x)= + оо и lim f (х) = —оо.
л-—Хо	х—х„
Последнее, например, означает, что f(x) удовлетворяет условию
из определения 3 или 4, и, кроме того, известно, что в некоторой
окрестности точки х0 функция f (х) принимает отрицательные зна-
чения.
Если бесконечный предел функции f (х) в точке х0 получается
при стремлении х к х0 только слева (х->х0—0) или только справа
(х->Хо + О), то в этом случае имеем дело с односторонними беско-
нечными пределами.
Если функция f (х) задана в бесконечном промежутке, то для
нее имеет смысл вводить определение предела «на бесконечности».
Например, если /(х) задана в промежутке (а, ф-оо), то можно ввести
понятие lim f (х).
X —
Определение 5. Число А называется пределом функции
f (х) при х -*- + оо, если для любого е > 0 найдется такое вещест-
венное число К, что \f(x)— А|<е для всех значений х>К-
113
В этом случае число А называют пределом функции на бесконеч-
ности и обозначают:
lim f(x) = A.
л-* 4-°°
Неравенство |f(%) — Aj<e равносильно неравенству А—е<
< f (х) < А + е. Учитывая последнее, можно дать следующее геомет-
рическое истолкование предела функции на бесконечности: lim f(x) = A
хco
геометрически означает, что кривая y = f(x) при х->4-оо неогра-
ниченно приближается к прямой у —А, то есть, какое бы е>0 мы
ни взяли, найдется такое /С, что для всех значений х> К кривая
y=f(x) будет находиться между прямыми у = А — е и y=A-f-e
(см. рис. 58).
Аналогично определяется и геометрически истолковывается предел
lim/(x) = A.
х-~> — оо
Можно дать равносильное определение предела функции на бес-
конечности «на языке последовательностей». Рекомендуем читателю
сделать это самостоятельно.
Пример 7. Используя определение предела функции на бесконечности, дока-
зать, что lim ех =1.
X —* со
Возьмем произвольное е > 0 и определим значения х, для которых выполня-
ется неравенство —1 |<е. Так как ех> 1 при любом х>0, то наше нера-
венство можно переписать так: е х — 1 < е, или ех < 1 -|- е. Логарифмируя обе
части последнего неравенства по основанию е, получим: —< In(l-f-e), откуда
1 Х „
х>:—л-;—Если за К Рзять число -=—;—г, то для всех значении х >К
In (l-pe)	In (1 + е) ’
будет | е х — 1 | < е. Следовательно, lim е х	1.
Очевидно, график функции у — е х при х>/< будет лежать в полосе между
прямыми у=1+е и у=1 —8.
Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать определение «бесконеч-
ного» предела функции на бесконечности, то есть, например, соотношения
lim f(x) = -фоо.
X—ют
Пример 8. Исполйзуя определение предела функции на бесконечности, дока-
зать, что lim а* = +со (при а> 1).
X —*-|~со
Покажем, что, какое бы большое положительное число М мы ни взяли, начи-
ная с некоторых значений х будет | ах | = ах > М. Возьмем любое число М > О
и будем искать значения х, при которых ах> М. Логарифмируя обе части послед-
него неравенства по основанию а, получим:
х > loga М.
Итак, по М нашлось такое число /< = Iog„A/, что для всех значений х>К
выполняется неравенство ах>М. Это и означает, что величина ах при х—»-j-co
является бесконечно большой, именно lim ал' = -|- со (см рис. 34).
со
114
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Пользуясь определением предела функции, доказать, что в точке х = 2
функция f(x) = 3x2— 2 имеет предел, равный 10. Каково должно быть 6, чтобы
из неравенства | х—2 | < 6 следовало неравенство | f (х) — 10 | < 0,01?
2x4-8
2.	Пользуясь определением предела функции, доказать, что lim —4-—- = 2*.
Х-*ОО X 1
3. Пользуясь определением
4. Пользуясь определением
предела функции, доказать, что Ита* = 0 {а > 1).
X —*—• со
.. Зх—1
предела функции, доказать, что lim -=——- ф 1.
х->со Ьх-\-2
5.	Показать, что функция у = х—Е (х) не имеет предела ни при каком целом
значении х. Чему равны односторонние пределы функции в этих точках?
§ 11. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРЕМ О ПРЕДЕЛАХ НА СЛУЧАЙ
ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Пользуясь определением предела функции f(x), можно было бы
доказать заново все теоремы о пределах. Однако в этом нет необ-
ходимости. Если исходить из определения предела функции «на языке
последовательностей» и применить доказанные выше теоремы к по-
следовательностям типа f (х„), то легко получить соответствующие
теоремы для функций общего вида.
В качестве примера того, как можно доказанные теоремы рас-
пространить на случай функций f(x), заданных в промежутке, рас-
смотрим теорему о пределе суммы, разности, произведения и част-
ного.
Прежде всего заметим, что арифметические действия над функци-
ями можно производить только в общей части их областей опре-
деления.
Теорема. Пусть функции f(x) и g(x), определенные
на некотором промежутке, в точке х(1 этого промежутка
имеют конечные пределы, Нт/(х) = Д и limg'(x) = fi. Тогда
функции, представляющие собой сумму, разность, произве-
дение и частное этих функций (последнее при условии
В^О**), имеют в точке хй также конечные пределы, причем
1 im [/ (х) ± g (х)] = А ± В; 1 im [f (х) • g (x)] = А  В;
X —х„	х—х0
..	У(х) А
lim \
х-х. «•(*)
Доказательство. Условия limf(x) = X и limg(x)=B на
X Х$	X Xq
«языке последовательностей» означают, что для любой последователь-
В •
* Если функция / (х) имеет один и тот же предел при х-»фсои при х—— со,
то этот предел можно записать так: hmf(x).
Х-»оо
** Из условия В^О вытекает, что для х, достаточно близких к х0, будет
, . , rt	f (х)
g (х) уЬ 0 и для этих х отношение & не теряет числового смысла.
на
ности значений х: х1г х2, х3, ..., хп, .... сходящейся к х0(хп^х0),
будет f(xn)->A и g(xn)-*B. Если к этим двум функциям (уже от
натурального аргумента) применить теорему из § 4, то мы получим,
что f(xn)+g(xn)->A + B. Отсюда вытекает (вследствие произволь-
ного выбора последовательности {хп}), что f (х) + g (х)-> А +В.
Другие случаи разбираются аналогично.
Таким же образом переносятся на случай функции, заданной
в промежутке, и все остальные теоремы о пределах (исключение
составляет теорема 8, § 3), а также все изложенное в § 5 относи-
тельно неопределенностей.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой
при х —> х0, если lim/(x) = 0. Функция f(x) называется бесконечно
большой при х->х0, если lim/(x) = oo.
Например, функция f(x) — —является бесконечно малой
при х->2 (так как lim *..~-у- —0) и бесконечно большой при х->3
х—2 х — d
(так как пт——я-=оо).
л-*3 х ”
Решим несколько примеров на вычисление пределов функций.
При этом в первых двух будут выведены весьма важные формулы,
которые необходимо запомнить.
Пример 1. Рассмотрим функцию f(x) — (l +х)х. Она сущест-
вует для всех х> — 1, кроме х = 0. Покажем, что
1
lim (1 + х)х —е,	(1)
пользуясь определением предела функции «на языке последователь-
ностей».
/ 1 \п
В параграфе 7 мы установили, что переменная х„ = (1-|-—)
имеет предел. Его мы назвали числом е:
/ 1 \п
e = lim 1 4— .
\ п /
Используем этот предел для доказательства равенства (1). Пусть
х стремится к нулю справа, пробегая любую последовательность
значений хх, х2, х3, ..., х*,... Можно считать, что все хА<1. Поло-
жим	Тогда nk^~<nk+i и ---1. < xft ~ .
\XkJ	xk	nk + I	Пц
Поскольку хй->-0, ясно, что nk-^oo. Следовательно,
Пределы крайних выражений могут быть вычислены следующим
116
образом:
_ Т — е
Следовательно, применяя теорему о сжатой переменной к неравен-
ству (2), в пределе получим:
JL
lim (1	—е.
Поскольку последовательность х*->0 (справа) выбиралась про-
извольным образом, мы уже доказали формулу (1) «на языке после-
довательностей», но лишь для предела справа:
1
lim (1-{-х)х=е	(3)
х—+0
(вместо х->0 + 0 пишут х->4-0).
Пусть теперь хь стремится к нулю слева (х*>—1). Положим
yk=—xtl. Тогда 0<щ. <1, yk будет стремиться к нулю справа и
1 1 —
(14-xft)**=(l—yk) Хь = (гАг}k ~	}Vh • (1 4“	•
Так как lim (1 4- Л&—'j Ук = e, a lim (1 4-=» 1, то
1—Ук1	ук^'л'
I
lim (1 -\xk)Xk=--e.
Как и выше, отсюда вытекает формула (1) для предела слева:
1
lim (1 х)х =е.	(4)
х->-0
Из (3) и (4) следует, что рассматриваемая функция в точке нуль
имеет одинаковые односторонние пределы, что и завершает доказа-
тельство нашего утверждения.
Пример 2. Рассмотрим функцию /(х) = -^2Д Она существует
для всех х # 0. Покажем, что
Inn—— =1.	(5)
л-^0 х
С этой целью в окружности радиуса 7? построим острый централь-
ный угол, радианную меру которого обозначим через х (о<х<-^.
117
a
Рис. 59.
Построив затем хорду AB и линию тангенсов,
можем утверждать, что площадь Л АОВ <
площади сектора АОВ < площади Л АОС
(см. рис. 59). Пользуясь соответствующими
формулами для вычисления указанных пло-
щадей, получим:
y/?2sinx<y7?2x< ~В2 tgx.
Разделив все части неравенства на у/?2,
будем иметь:
sinx<x<tgx^O<x<yj. (6)
Заметим, что соотношение (6) между
функциями sin х, tg х и их аргументом х
имеет самостоятельный интерес и будет использовано нами ниже.
Для решения данной задачи подвергнем неравенство (6) некото-
рым преобразованиям. Разделим sin х на каждую из частей нера-
венства. Получим:
sin x
---> COS X.
Вычитая из единицы все части полученного неравенства, находим:
0<; j — 5ДД < 1 — cos х.
Так как siny<l, то sin2 sin у. Следовательно, в силу (6)
получим:
1 — cos х — 2 sin2 у < 2 sin-y < 2 • у = х..
Тогда
Л , sin х
0< 1-------<х.
х
Возьмем е>0. Если за 6 взять наименьшее из чисел е и у, то
при 0 < х < 6 будем иметь х < 8, а потому
I < sin х | _
1-------< е.
I х I
Тем самым доказано, что Игл 1. Однако здесь мы предполагали,
х-*0 х
что х->0 справа (х>0). Но так как -у- является функцией
четной (рис. 60), то есть не меняется при замене х на —х, то
предел остается равным единице и при х->0 слева (х<0). Таким
образом, равенство (5) доказано полностью.
118
Заметим, что из выведенной выше оценки для 1— cos к сле-
дует, что
lim cosx=l.
Установим попутно еще один результат, который понадобится
нам в дальнейшем. Покажем, что для любого х справедливо нера-
венство:
| sin х |	| х |.	(7)
Действительно, для 0 < х < у оно уже установлено выше (см.
неравенство (6)). При х=0 оно очевидно. Пусть	Так как
у>1, а | sin х | sC 1 для всех х, то I sin х | < | х |. Остается доказать
неравенство (7) для х<0. Пусть х<0, тогда — х>0 и по только
что доказанному имеем: |sin( — х) | <| — х!. Таким образом, и
в этом случае | sin х)	! х |.
Как уже отмечалось выше, для раскрытия неопределенностей
даже одного какого-нибудь вида нельзя указать единого способа.
В зависимости от конкретного примера неопределенность раскры-
вается тем или иным способом. В дальнейшем с помощью диффе-
ренциального исчисления будут получены некоторые общие способы
раскрытия неопределенностей (§ 2, гл. VI). Здесь же продолжим
рассмотрение некоторых наиболее употребляемых способов и при-
емов раскрытия неопределенностей, начатое в конце § 5.
Пример 3. Найти предел многочлена n-й степени при 4-со:
lim (at,x" + tM'"1 + а2л'"2 + ... + а,1Ах + ап) (а0 & 0).
х —* -J- со
В данном случае можно повторить все рассуждения, проведен-
ные нами при решении примера 1, § 5. В случае коэффициентов
с разными знаками имеем неопределенность вида сю —оо. Для
раскрытия этой неопределенности вынесем за скобки высшую сте-
пень х, получим:
lim Vя Iп I а1 । °2 I , ап-1 , ап\
lim X flo + v + Ta + ••• +-й=г + ой .
Х-»4-0О	\	л X	X	X /
Предел выражения в скобках, очевидно, будет равен первому сла-
гаемому а0 (так как остальные слагаемые являются бесконечно
119
малыми), а предел хп — бесконечности. Следовательно, все выраже-
ние будет иметь своим пределом 4-оо или — оо, в зависимости от
знака а0.
п	л it -	~	1 - х34~5х2 + Зх !- 4
Пример 4. Наити предел lim —4_———4—
2х34-Зх4-8
Имеем неопределенность вида —. Такие неопределенности, как уже показано
в примере 2, § 5, раскрываются делением числителя и знаменателя на высшую
степень х, в данном случае — на х3:
1 , 5	3	±
х3 4- 5х2 4- Зх 4- 4	.. "г х ~ х2 ' х3 1
..2х34-Зх4-8 - Дд 3 _8	“ У*
+ х2 г X3
__ q3
Пример 5. Найти предел lim-я-т—=----------г-=---
х^,а Зх2 — Зах + 5х — 5а
В данном случае имеем неопределенность вида В подобных примерах
проще всего разделить предварительно числитель и знаменатель на х — а. Атле-
те всегда будет без остатка, так как х = а является корнем обоих этих много-
членов (вспомните следствие из теоремы Безу). Получим:
х3 -* a3	v™ х2 4™ах 4“ а3 За2
Зх2 — Зах — 5х —5а	3x4-5	За4-5*
Пример 6. Найти предел lim (х—j^x2—-4).
Х-*4“О°
Имеем неопределенность вида оо —оо. Решаем аналогично примеру 4, § 5.
Разделив и умножив на х+|/х2 — 4, получим:
1*	/ т/—у—та	т	(х — Ух2—-4)(х + угх2 — 4)	4
Нт	\Х—У X2—4) =	lim	------------угу...':"":==-----------------у—....1
x —.-f-oo	x—-Д-со	x4™ V x2—-4	X“*4"Cox4~"t x- — 4
Иногда при раскрытии неопределенностей бывает очень удобно воспользо-
ваться тем или иным уже вычисленным пределом. Так, например, с помощью
«редела (5) можно найти многие другие пределы.
Пример 7.	tgx	smx 1	smx ..	1	, ,	, lim -S— — lim •—- • —- = lim		 lim	w 1.1 = 1, x_»o x A._o x cosx x_*o x x->-0cosx „ . „ X	I . X ,	2 Sin® 7Г	,	/ Sin -Д- \	,	,
Пример 8.	.. 1—cosx	2	1	(	2 )	1,1 lim		— hm	— hm	. = . P . x—*0 X2	x->0 л X\2	2	X/2	2 4Ы	\ T /
Пример 9.	Найти предел lim 2n-sin^	—постоянная), n—»co
Имеем случай неопределенности вида оо • 0. Обычно такую неопределенность
,	0 ОО	г>
сначала преобразуют к виду или —, затем раскрывают. В данном случае выра-
. х
sin 2"	0
жение - j - уже представляет собой неопределенность вида Следовательно,
2«
120
Пример 10. Найти предел lim (1 —x)tg-=.
х 1	2
Здесь также неопределенность вида 0 • со. Воспользуемся приемом решения
примера 9. Кроме того, полезно еще положить 1— х=г. Тогда при х-• ! будет-
2 — 0 и
..	, лх	, л (I — г) ,	, /я лг\
hm (1-X)tgv= lim z-tg-\—= lim z  tg	=
X—>1	2 —* 0	2—*0	/
nz
TSZ
= lim z ctg —
z-»u 2
2 ..	2
— hm----------
3T 2 0 , JT2
°tgT
2.1=2.
Л 3T
Пример 11. Найти предел lim
Воспользуемся примером 1. Там установлено, что lim (1 4-a)“ —е. Попробуем
а—»0
представить в виде выражения (1 + а) предел которого при a—>0 нам»
г,	Х
известен. Для этого положим -
х
2 4- (х
зится через а в виде х=-—!—. Следовательно,
Г 1 12
lim L(l+a)aJ 1
= 1-f-a. Тогда a —0 при x —* co и x выра-
lim I —“т) = 1 ini (1 -j~ ct)
,* /	a—*0
Пример 12. Найти предел lim
л
^4
о
Имеем неопределенность вида -д-.
sin 2X -—COS 2х-
sin x~cosx
, sin 2х — cos 2х — 1	..
lim----------------- = hm
я	sin х—cosx
4
2 sin x cos x — 2cos2 x	/г
----------------=, hm 2cosx=2.^K- = y2.
oil J Jv VAyo A-ffY	£
Можно было также воспользоваться подстановкой х----= г (то есть х —
4	\
л \
= 2+т)-
В заключение рекомендуем читателю при раскрытии неопределенностей поль-
зоваться и пределами, вычисленными в § 10 следующей главы;
lim IggHH-*)
х-^0 X
1)
= log«e;
lim
x-^0
— = log aP = lna;
lim 0+*)и-» = и.

4
4
X
3)
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Функция y = f(x) имеет в точке х0 конечный предел Д>0 (<0). Что
можно сказать о знаке этой функции в достаточно малой окрестности точки х0?
У казакие. Сравните с теоремой 3 из § 3.
2.	Сформулируйте основные теоремы о пределах из § 3 (кроме теоремы 8)
для случая произвольных функций f (х).
В задачах 3—26 вычислить пределы.
3. lim Iх2- 8х 5х2-|-Зх*	„	8 Отв.	g-.	4. 1;т-х2~5х+6 x_2Xs — 2х2 —x-j-2’	1 Отв.	 0
5. lim а.г-5*±£. х —*оо х2 18х — 8	Отв. 3.	6. lim x8+2x+j. X —► co X —1	Отв. co.
7. Пт 8x2 + Зх 4 х —* со	X3 + 8	Отв. 0. z.	1 Отв. —. e	8. lim /?£+?? X-*00 \2x-f- 1/ *	Отв. e.
9. lim f / У х-+со \1 4~Х/		10. lim (l-J-tgx)ctgx. x-*0	Отв. e.
11. Пт (х —-Ух2+ 5% х~*оо	— 8). Отв. — -g-.	i- Ух2 4-1 — у x2—: 12. hm —	I	—- x-» + oo у X—1—Уху1	1. Отв. 0.
13. hm =	. х-. 16 у х — 4	z.	1 Отв. Т”» 4	.. tgmx 14. lim t	, x_,0 tgnx	Отв. —. n
,. sin2(x—а) Х^ах® —2ах + а2	Отв. 1.	,Л	sinx—sin а 16. hm	. x-.ii x~a	Отв. cos а.
13 tgx—sinx 17. lim -2—г	. х->0	X3	Отв. у.	18. hm (2— x) • tg^. x-*2	’	4 Отв. —. л
19. lim я 1 — tg X x-*'4	У2 Отв. — --g- •	Г . x—3 . nx] 20. lim | sin —x— • tg ~=r1, x->3L	2	6 6 у	з Отв,	. л
21. HmL— x-»0 x	Отв. 3.	„	Inx—1 22. hm -	—. x~.e x—e	1 Отв. — е
_ .. In x3 — 3 23. hm	. 1-.1 x — e	Л 3 Отв. —. е	eX — e2 24. hm 	 x_2 X — 2.	Отв. е2.
Указание, Предварительно в числителе вынести за скобки А
I х I х2_____________1	1
25.	lim i-—' ~г ---. Указание. Обозначить х-|-ха = г. Отв. —,
х-о х+ха	п
<)Х_у2	2
26.	lim --=- Указание. Обозначить х—2 —г.	Отв. 4 In —.
х_2 х —2	е
27.	Найти в точке х—0 односторонние пределы функции
(х+1 при х<0,
f(x)=l 0 при х—0,
|х— 1 при х>0.
28.	Найти в точке х=1 односторонние пределы функции
I ПРИ Х<У
' ' ' ] x-f-2 при х^ 1.
29.	Вычислить предел lim ()/(х+I)2—j/(x—I)2)-
X—>00
122
Указание. Предварительно воспользоваться формулой	———-
а2 + ab + Ь2
/^2 I 1	\
30.	Найти постоянные а и b из условия, lim —!—------ax—b =0.
х —»оэ \	*	/	v
Указание. Привести выражение к общему знаменателю х-J-l и в числи-
теле коэффициенты при х и х2 приравнять к нулю. '
31.	Стеклянная пластинка поглощает 1% падающего на нее свега. Какая часть
света будет пропускаться пачкой в 400 пластинок?
Указание. Воспользоваться решенной задачей (пример 3) из § 7 и форму-
лой (1) из § 11.	Отв. «se ! л: .
§ 12. МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ
Понятие монотонной функции является аналогом понятия моно-
тонной переменной хп.
Определение Функция f(х), заданная на некотором проме-
жутке, называется возрастающей (убывающей) на этом про-
межутке в узком или строгом смысле, если для любой пары то-
чек промежутка х' и х”, удовлетворяющих неравенству х' < х“, вы-
полняется соотношение
Если при условии х' < х выполняется соотношение
(Ж)С'f(x"))>
то f(x) называется возрастающей (убывающей) в широком или не-
строгом смысле или неубывающей (невозрастающей).
Функции указанных в этом определении видов объединяются
под общим названием монотонных.
Для монотонных функций справедлива следующая теорема.
Теорема. Монотонно возрастающая или убывающая
в широком смысле функция f(x), заданная на некотором
промежутке, имеет конечные односторонние пределы в каж-
дой точке этого промежутка*.
Доказательство. Пусть f (х) монотонно возрастает в широ-
ком смысле слова. Возьмем какую-нибудь точку с, не совпадающую
с левым концом промежутка. В силу монотонности функции мно-
жество значений f(x) для всех х<с будет ограничено сверху. Сле-
довательно, по теореме из § 5 главы I существует точная верхняя
граница. Обозначим ее через А и покажем, что эта точная граница
будет пределом слева функции f(x) в точке х=с. Действительно,
f(x)^A для всех х<с. По свойству точных границ для любого
е>0 найдется такое х' <с, что f(x')>A—е. Тогда для x'c_x<Zc
и подавно /(х)>Л—е. Итак, с одной стороны, для всех х<р_с бу-
дет f(x)=^A и тем самым f (х) <АА-е, с другой стороны, для
* Ясно, что на конце промежутка можно рассматривать лишь один односто-
ронний предел.
123
x' <Zx<Zc имеем: f(x)>A — е. Следовательно, для х' </х</с вы-
полняется неравенстве»
А — е < f (х) •< А + е.
А это значит, что lim f(x) = A, так как если за 6 взять число,
с — О
не превосходящее с—х', то \f(x)— А | <е для всех х<_с, удовле-
творяющих неравенству |х—с|<6. Существование предела справа
в точке с доказывается аналогично. Доказательство же второй части
теоремы, когда f(х) монотонно убывает, очень напоминает только
что проведенное доказательство. Рекомендуется провести его само-
стоятельно.
Если некоторая функция f(x) задана на отрезке [a, ft] и послед-
ний можно разбить на частичные промежутки так, что на каждом
из них f (х) будет монотонной, то такую функцию называют кусочно
монотонной. Из известных нам функций кусочно монотонными яв-
ляются: y — sinx (рис. 35), у=х2 (рис. 28), y = |xl (рис. 43),
=х — Е (х) (рис. 25), функция, изображенная на рисунке 21, и
Другие.
Пример 1. Определить промежутки монотонности функции f (х) =ах2 + &.
Будем считать, что а > 0. Пусть xt и х2 —любые две точки на числовой оси,
удовлетворяющие неравенству хг < х2. Тогда
f (х2) — f (Xj) ЧХ.': 4“ Ь —	Ь = С1 (х/ — Xj'/ == d • (Х3 — Х|) (х2 Х|)
и из последнего можно заключить, что
a) f (х2) — f (xt) > 0 при 0^х1<ха,
б) f (х2) — i (Л'|) < 0 при x1<x2«sO.
Таким образом, при а>0 функция f(x) = axa4-b убывает на (—со, 0] и возра-
стает на [0, +оо).
Если же предположить, что а < 0, то легко обнаружить противоположную
картину: на (—оо, 0] функция будет возрастать, а на (0, 4-аз) —убывать.
Пример 2. Определить промежутки монотонности функции f(x)=axa-|-
4-	Ьх 4- с.
Преобразуем квадратный трехчлен, дополняя его до полного квадрата:
, , ,	/ „ , b , с \ Г/ . b\2 , 4ас —62
ах2Мох-Мс — а х24---хй— = а х4- =- -4- ———
‘	1	\ а 1 а /	[\	2а/	4а2
Получим:
/ b \2 4ас—&2
/(х) = а^4-за) +-^~.
И для дальнейшего исследования можно воспользоваться результатами предыду-
щего примера, так как функция / (х) имеет такой же вид и лишь х заменено на
b	ь /
-x4-f>^. Следовательно, при а>0 функция возрастает, если х4~ —^01то есть
х^ —и убывает, если х4-^-<0 [то есть xsg—, Промежутком возра-
стания функции будет	а промежутком убывания будет —оо,
61
2а] ’
Если считать, что а < 0, то промежуток возрастания функции станет проме-
жутком убывания и наоборот.
124
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Доказать, что функция /(х) = х3 возрастает на (—•», 4-со).
[л П
О, — функция sin х возрастает, а функция cos х
убывает.
3.	Исследовать на монотонность следующие функции: a) f (х)—ах-}-Ь, б) (,(*) =
= ах (а > 0).
Отв. а) На (—со, 4-со) возрастает при а>0 и убывает при а СО. б) На
(—со, 4"°°) возрастает при я>1 и убывает при а С 1.
4.	Следует ли из неравенства f <х) С !> (х) неравенство / [/ (х)] sgg- [g (х)], если
функции f (х) и g (х) возрастающие?
5.	Привести примеры монотонных и немонотонных бесконечно малых, а также
монотонных и немонотонных бесконечно больших величин.
6.	Доказать, что монотонно убывающая функция, заданная на [л, &], имеет
в каждой точке односторонние пределы.
§ 13. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ
При изучении различных вопросов, связанных с понятием бес-
конечно малой величины, часто приходится различать бесконечно
малые по характеру их изменения. Одни бесконечно малые стремятся
к нулю «быстрее», другие «медленнее». Так, например, бесконечно
малая а = — стремится к нулю при х -* оо с «большей скоростью», чем
бесконечно малая 0== —. Действительно, еслихпробегает, например,
значения 1, 2, 3, ..., п,..., то
а— 1, 8 , 27 , 64, ...........
R-1 2 1 1 1 J
р ’ 2’ '3’> 4 ’ 5 ’ *” ’ п ’
Определение. Бесконечно малая а называется бесконечно ма-
лой высшего (низшего) порядка по отношению к бесконечно ма-
лой р, если Игл ^-=0(= оо).
В этом определении подразумевается, что аир суть функции
от одной и той же переменной (например, х) и а и р стремятся
к нулю при одном и том же условии, накладываемом на аргумент
(например, при х, стремящемся к некоторому пределу).
В соответствии с определением 2 ПрИ х->оо будет бесконечно
£
1	X®	X
малой более высокого порядка, чем —, так как Нт-. = Нтт =
*	х—^оо . х-+ооХ
1 х z
= Jim 2=о.
Определение. Две бесконечно малые а и р называются беско-
нечно малыми ооного порядка, если предел их отношения равен
125
некоторому числу, отличному от нуля, то есть если lim-p =-/! =40.
Бесконечно малые одного порядка характеризуются как бы «оди-
наковой скоростью» стремления к нулю.
В частности, если lim -^-= 1, то а и 0 называются эквивалент-
ными бесконечно малыми, что обозначается так: а=-р.
В отдельных случаях оказывается недостаточно знать, что из
двух данных бесконечно малых одна является бесконечно малой
высшего порядка, чем другая. Нужно еще как-то оценить, насколько
выше или как высок этот порядок. Последнее имеет немаловажное
значение при изучении характера изменения бесконечно малых.
Определение. Бесконечно малая а называется бесконечно
малой к-го порядка по отношению к бесконечно малой р, если а и
Р* будут бесконечно малыми одного порядка, то есть если lim Л
Так,
второго
скольку
например, 1—cosx при х-*0 является бесконечно малой
порядка малости по отношению к бесконечно малой х, по-
х	/ . х\^
у	smv
„.- = 2 lim I——I = 2• -г
x2 r^n\ x ]	4
lim
,	2 sm2
1—cosx
.—-— = lim
X2
2 •
Пример 1. Функции sin x и x являются при x-~0 эквивалентными беско-
,. sin x
вечно малыми, так как lim ---=1.
«—о х
Пример 2. Функции sin Зх и sin 5х являются при х - 0 бесконечно малыми
,. sin Зх 3
одного порядка, так как lim .=...— -=-.
х-т ЯП 5х 5
Пример 3. Бесконечно малые х и х sin — будут несравнимыми бесконечно
малыми, поскольку их отношение
(см. пример 4, § 10).
. 1
х sm —	.
х . 1	п
-------= sm — при х—-0 не имеет предела
Пример 4. Сравнить бесконечно малые: /т (х) = 2х, /2 (х) — sm х2, /3 (х) —
= sm х, (х) = ]Т14-х— 1 с бесконечно малой <р(х) = х.
2х
1)	lim — = 2. Следовательно, 2х и х одного порядка.
х-*0 х
. sin х2	,.	Г sin х2 х2
2)	hm ---= hm —=— • —
Х^О X	х2 х
sinx2
= limx = 0, hm—— = 1.
x->o x2
Следовательно, sinx2 является бесконечно малой высшего (второго) порятка.
„. ..	..	1 I hml^=hm 1/^=1
3)	|Пп'__=11т 1/	.	=ю;	х_^	± нт у х
л-*и х x-+0Lr х У X J	2
126
Значит, /sin x есть бесконечно малая низшего порядка. Ее порядок по отно-
шению к бесконечно малой х равен . В то же время х будет бесконечно малой
высшего (второго) порядка по отношению к бесконечно малой \sin х.
/Т+7—1 .	(/Гм-1) (/Г/Г-1) 1 I 1
л —> О	X х-U X (/1 +*+1)	х_»о/1+х+1	2
Следовательно, /1-|-х—1 и х одного порядка.
Теорема 1. Для того чтобы бесконечно малые вели-
чины а и р были эквивалентными, необходимо и доста-
точно, чтобы их разность а—р представляла собой беско-
нечно малую более высокого порядка, чем они сами.
Доказательство. Необходимость. Пусть а^р, то есть
lim = 1. Тогда
limlim ! 1 —	= 1 — lim — =0.
а	\ а /	а
Это значит, что бесконечно малая а —р имеет более высокий по-
рядок, чем а. Аналогично доказывается, что а —Р —бесконечно ма-
лая более высокого порядка, чем р.
Достаточность. Пусть	-0. Тогда lim 1 — -^==0 и по-
лучаем, что lim^ — l, то есть с< р.
Из этой теоремы следует, что при замене некоторой бесконечно
малой величины а эквивалентной ей величиной Р допускаемая по-
грешность не только абсолютная |а — р |, но и относительная 1^—~|
может быть сделана сколь угодно малой. Поэтому часто при раз-
личных действиях над бесконечно малой прибегают к приближен-
ной замене одних бесконечно малых другими, им эквивалентными,
но имеющими более простой вид.
Q
При раскрытии неопределенностей вида -д- во многих случаях
полезно пользоваться следующей теоремой.
Теорема 2. Если имеем две пары величин а, р и а', Р'
бесконечно малых, причем р~р', то
а, .. а,'
lim-5- = lim^7
Р Р
(предполагается, конечно, что хоть один из этих пределов сущест-
вует).
Доказательство. Отношение j можно представить в сле-
дующем виде:
« _ а а' р'
Р “ а' ‘ Р' ‘ J
(здесь мы числитель и знаменатель первого отношения умножили на
одну и ту же величину а'Р'). Переходя в этом равенстве к пределу
127
и используя теорему о пределе произведения, получим:
ct	,. а	а	В'\	а	а	6
hm ь- = 11ш - - хт • ig- = hm —  hm  hm
Р \а	р	р j	а	Р'	р
Так как по условию lim^= 1 и	то получаем:
hm-3-=hm <гг.
р р
Эта теорема означает, что при нахождении предела отношения двух
бесконечно малых функций каждую из них можно заменить любой
эквивалентной бесконечно малой и от этого предел не изменится.
При удачно выбранной замене задача раскрытия неопределенности
может быть значительно упрощена.
Пример 5. Так как при имеют место соотношения sin2x^2x и
у(х+х2)	]| х J
lim-------= Ит-~-=—.
х-о 2х х^0 4	4
х	1 х 4-
.—’— то hm ~-----’-г—~—
2 ’	sm 2х
ах—1
Пример 6. Так как при х—*0 будет tgx~ х и ах— 1 х In а, то lim —— =
х — 0 tg х
х-1па
= hm —— = In а.
x-t 0 х
Пример 7. Так как при х-^0 будет 1—cosx~-g- и sinx~x, то
.г1 2	x3 * * * * Вcosx	х3 cos х „
hm --------г— = Inn —:----г,------r-= hm —— = 2.
д .г,‘ir v - sin х x_»0 sm x(l — cos x) j-o ,
2
Замечание. В тех случаях, когда в числителе или знамена-
теле стоит сумма, при раскрытии неопределенности нельзя заменять
отдельные слагаемые эквивалентными величинами, так как такая
замена может привести к неверному результату или вовсе к потере
смысла. В теореме 2 доказана возможность замены! только всего
выражения, стоящего в числителе или знаменателе, на эквивалент-
ную ему величину.
Так, если бы в данном примере мы заменили слагаемые в зна-
менателе на эквивалентные величины (tgx на х и — sinx на — х), то
х3
в знаменателе получили бы нуль и выражение -^не имело бы смысла.
В тех же случаях, когда числитель или знаменатель представ-
ляют собой произведение нескольких бесконечно малых или беско-
нечно больших, то каждую из них можно заменять эквивалентной
величиной, так как в этом случае и все произведение заменится
эквивалентной ему величиной.
Обычно при сравнении бесконечно малых одну из них условно
принимают за основную.
Пусть а — основная бесконечно малая. Тогда бесконечно малые
вида с-а* (где с—постоянный коэффициент и А>0) естественно
считать простейшими бесконечно малыми.
128
Будем сравнивать различные бесконечно малые не с основной
бесконечно малой и, а с простейшими бесконечно малыми вида с-ак.
При этом для каждой бесконечно Малой р будем подбирать числа
с и k такие, чтобы с-а*^р.
Определение. Простейшую бесконечно малую сак, эквивалент-
ную данной бесконечно малой р, называют ее главной частью.
Например, если х принять за основную бесконечно малую, то
главной частью бесконечно малой (1 -(-х)^—1 будет цх, так как
llmL-X4T----=1-	(1)
х-*0 г*
Термин «главная часть» имеет тот смысл, что после вычитания
из бесконечно малой Р ее главной части сак остается величина р — сак,
являющаяся бесконечно малой более высокого порядка, чем р и чем
с-ак (см. теорему 1). Следовательно, при замене бесконечно малой р
ее главной частью с-ак допускаемая абсолютная погрешность д р—
— c-aft| будет бесконечно малой высшего порядка по сравнению с р.
Но тогда и относительная погрешность | L12L | будет величиной
бесконечно малой. Последнее означает, что относительная погреш-
ность приближенного равенства
Р	с • а.к
может быть сделана сколь угодно малой при а->0.
Из рассмотренных нами примеров известно, что если х считать
основной бесконечно малой, то:
а)	для sinx главной частью будет х, то есть sinx«=;х,
1	j
б)	для 1 — cos х главной частью будет ух2, то есть 1 —cos х ««ух2,
в) для tgx главной частью будет х, то есть tgx«^x, и т. д.
Заметим, что, выбрав основную бесконечно малую а, мы можем
находить главные части многих других бесконечно малых, сравни-
мых с а. При этом для заданной бесконечно малой р может суще-
ствовать много эквивалентных бесконечно малых, однако главная
часть у нее одна. Например, при х~>0 функция sinx будет экви-
валентной функциям: х, tgx, In (14-х), 2——   и др., но главной
частью будет только функция х; все остальные не являются про-
стейшими.
Выделение главной части бесконечно малой величины можно про-
изводить следующим образом. Пусть а — основная бесконечно малая.
Требуется выделить главную часть бесконечно малой р. Определим
сначала, если это возможно, порядок малости р по отношению к а,
то есть найдем такое число k> 0, при котором lim Д- = с=^ 0. Тогда,
а*
очевидно, величина сак и будет искомой главной частью, так как
lim—^- = 1.
сак
5 Бохан и др.
129
Пример 8. Выделить главную часть вида схк бесконечно малой |1 = (1 4-
+ х2)3-1.
!	/14-Х2)3__ 1
Так как lim —-—i------=3, то величина Зх2 является главной частью вели-
х-0	*2
ЧИНЫ (1 --Х2)3—1.
Формула (1) часто используется в приближенных вычислениях. Так, напри-
мер, для функции (l-j-x)!1—1 формула (1) принимает вид:
(l + x)i<- —1«=ц-х.
В частности (при натуральном п),
'У 1 + X — 1	— • X,
F	п
и по этой формуле можно приближенно вычислять корни п-й сте-
пени (где « — натуральное).
Пример 9. Найти приближенное значение корня |/1051.
Сначала преобразуем корень таким образом, чтобы целая часть подкоренного
количества стала равной единице. Сделать это всегда возможно делением или
умножением на соответствующее число. В данном случае |/"1д5Г = 1000 • 1,051 =
= 103/Н0бТ = 10 ^Т+ДОбТ.
К корню применим приближенное равенство (2), положив в нем п = 3 и
х = 0,051. Получим: $/Т+0/)51 - 1 «а• 0,051. Отсюда 3/Тб51 =« 1 + X
X 0,051 = 1,017, и окончательно имеем: >/'1051 = 10 j/"l,051 як 10-1,017=10,17.
На вопросе об оценке погрешности нашего вычисления мы не останавливаемся.
Эквивалентность бесконечно малых In (14-х) и х при х->0
можно использовать для приближенного вычисления логарифмов
по формуле 1п(1+х)№х (при малых значениях х).
Классификация бесконечно больших проводится на основании
следующих определений.
Если lim -j — оо( = 0), то бесконечно большая а будет высшего
{низшего) порядка по отношению к бесконечно большой р. Если
lim — А у-О (Д—число), то а и р будут бесконечно большими
одного порядка. В частности, если А ~ 1, то бесконечно большие
эквивалентны, Если lim = А 0, то бесконечно большая
а будет k-ro порядка по отношению к бесконечно большой [3.
Для бесконечно больших функций можно сформулировать
теорему, подобную теореме 2 об эквивалентных бесконечно малых.
Пример 10. При х—-со бесконечно большая f (х) = х24-5х-(-4 низшего
порядка по сравнению с бесконечно большой <р(х) = х3 — 2, так как
/ (х)	х2 + 5х4-4	..
lim -Х-С = цт —L—' = hm
-* СО ф 1х)	Л' —* СО	Х 2	X —> о:
1+А+±
X ~Х2~ X3
1—А
X3
130
Пример 11. При х—-со бесконечно большая 2х24-3 и бесконечно большая
(х—I)2 имеют одинаковый порядок, так как
24- —
..	2ха4-3	.. Гх2
11га	11га‘7----TV^2'
\ X J
Пример 12. При х—со бесконечно большая У х-]-а и бесконечно большая
Ух эквивалентны, так как
с Ух~Ьа 1. I Гx-j-a q Г а .
hm r——-= hm I/	hm 1/ 1+—=1.
X —> оо ух	X —. ОО Г А	Л -.СО Г	х
Пример 13. Определить порядок бесконечно большой x^-f-Sx—1 по отно-
шению к бесконечно большой Зх24-2 при х-—со.
Решение сводится к отысканию такого числа k, при котором многочлены
(Зх3 + 2)А и х44-5х—1 будут при х — со бесконечно большими одного порядка.
Из примера 2, § 5, следует, что два многочлена при х —»со будут бесконечно
большими одного порядка в том случае, если они одинаковой степени. Предо т их
отношения в этом случае равен отношению коэффициентов при высших степенях
х (см. также пример 4, § И). Следовательно, многочлен Зх2 4- 2 нужно возвести
в квадрат (& = 2), чтобы получить многочлен как бесконечно большую величину
одного порядка с многочленом х4 + 5х—1. Действительно,
lim х45х — 1 j(m .г1o.v- -1	1
х-оо (Зх2 4- 2)2	9х4 + 12х2 +~4 “ ¥ ’
Итак, х-* ~ 5х —1 есть бесконечно большая 2-го порядка по отношению к бес-
конечно большой Зх2 4- 2.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Доказать, что если бесконечно малые а, р и у удовлетворяют условию:
а ~ Р и р ~ у, то а ~ у.
2.	Будут ли объем и поверхность шара бесконечно малыми функциями его
радиуса, если последний стремится к нулю’ Определите порядок малости этих
функций относительно радиуса.
Отв. Объем есть бесконечно малая 3-го порядка, а поверхность —бесконечно
малая 2-го порядка.
3.	Сравнить следующие бесконечно малые функции в окрестности точки х = О
с функцией <р (х) = х:
a)	f(x) = 5x; б) f (х) = y~sm х ; в) f (х) = 1 — cos 2х;	г) / (х) = х 4-sin х;
д) / W = УУ-У* — У1 — х ; е) / (х) = 1g х — sin х.
4.	Определить при х —2 порядок малости следующих функций по отношению
к функции ф(х) = х—2:
а)	/(х) = х3 —8. Отв. Одного порядка, в) /(x) = tg(x—2). Отв. Эквивалентна.
б)	f (х) = Ух—2. Отв. . г) f (х) — х— 1 — 1. Отв. Одного порядка.
5.	Считая х —- 4-со, сравнить следующие бесконечно большие функции.
a)	f (х) = х2 — Зх-}-5 и <р (х) = х34-8х2 —3x4-2.
б)	f (х) = х34-2х— к и <р (х) = (х — 1 )3.
в)	f (х) = Ух2-]-5х—3 и ф (х) = 2х 4- 5.
г)	=	3 и <Р (*) =	•
д)	Г(х) = У x-j-V^x-i-Ух и <у(х)^У~х.
5
131
Определить при х—1 порядок роста бесконечно больших функций по отно-
шению к функции <р (х) = -—j-:
л2
a)	f(x) = ——р.	Отв. Одного порядка.
б)	Нх) = ту=-	Оте-~.
у 1 — х3	3
в)	=	Отв.
7.
Считая центральный угол
АОВ (рис. 61) основной бесконечно малой,
определить порядок малости следующих величин:
а) хорды АВ, б) стрелки CD, в) площади сектора АОВ, г) площади Л АВС,
Рис. 61.
д) площади трапеции АВВУУ е) площади се-
гмента АВС.
8.	Используя эквивалентные бесконечно ма-
лые, найти пределы:
a)	lim
х — о sin пх ’
б)	lim
х -* о 5х2 + 4х3'
в)	lim (>z H~tg х — 1) (У 14-х
х—о	2x-sinx
Отв.
Отв.
1) п
— .Отв.
т
п '
1
5 *
~1
4п‘
9.	Выделить главные части относительно
бесконечно малой х (вида ex'1) следующих функций:
а)	2х —Зх24~х3.	Отв. 2х.
б)	| 14" х — У1 — х.
Отв. х.
10.	Выделить главные части относительно бесконечно малой (х — 1) (вида
с(х—1)*) следующих функций:
a)	Xs —3x4-2.	”	Отв. 3(х— 1 )а.
б)	In х,	Отв. х — 1.
з л-..у | — %
в)	У 1—Ух.	Отв. ..........
2
fi	1
11.	Использовать эквивалентность бесконечно малых у 14-х—-1 и—х прц
х —0 для приближенного вычисления корней: |/Т018; j/ 10042; У 1,1. Найти зна-
чения этих же корней с помощью логарифмических таблиц. Результаты сравнить.
12. Использовать эквивалентность In (1 ф-х) и х при х—0 для приближен-
ного вычисления натуральных логарифмов чисел: 1,01; 1,03; 1,1; 1,3.
ГЛАВА IV
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И РАЗРЫВЫ ФУНКЦИИ
Понятие непрерывности функции является одним из основных
понятий математического анализа. Изучение этой главы следует начи-
нать. только после изучения теории пределов, так как непрерывность
функции теснейшим образом связана с понятием предела функции.
Непрерывные функции обладают целым рядом важных свойств,
которых лишены функции разрывные. Эти свойства создают боль-
шие удобства при использовании непрерывных функций в различ-
ного рода исследованиях, имеющих огромное теоретическое и прак-
тическое значение. Во многих случаях изучение функций более
сложной структуры удается свести к изучению непрерывных функ-
ций, благодаря чему непрерывные функции составляют основной
и самый важный для анализа клабс функций.
Понятие непрерывности позволяет более обстоятельно изучить
простейшие элементарные функции, в частности строго обосновать
введение таких функций, как показательная, логарифмическая,
степенная, обратные тригонометрические функции.
В некоторых случаях при изучении настоящей главы придется
заглядывать и в теорию пределов, что не только поможет лучше
разобраться в понятии и в свойствах непрерывной функции, но
будет также способствовать повторению и более глубокому усвое-
нию материала предыдущей главы.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.
ТОЧКИ РАЗРЫВА
Пусть на некотором промежутке определена функция f(x) и
хй— точка этого промежутка.
Определение. Если предел функции в точке ха и значение
функции в вшой точке равны, то есть
lim /(х)=/(х0),	(1)
X — Хо
то функция f (х) называется непрерывной в точке хп.
Из этого определения прежде всего следует, что о непрерывно-
сти функции можно говорить лишь по отношению к тем точкам,
в которых функция определена, то есть существует f (х0). Как
133
известно, при определении предела функции такого условия не
ставилось. Это объясняется тем, что значение /(х0) в определении
предела не участвовало.
Заметим также, что равенство (1), определяющее понятие непре-
рывности функции в точке, можно представить в виде
lim /(x)=/(lim х)
X -> Х9	X — х0
и словами можно сказать так: функция /(х) непрерывна в точке х0,
если предел функции в этой точке равен значению функции от пре-
дела аргумента, то есть если возможен предельный переход под
знаком функции. Таким образом, если функция /(х) непрерывна
и нужно вычислить ее предел при х—-х0, то достаточно в выраже-
ние функции вместо х подставить х0 и подсчитать соответствующее
значение /(х0). Это и будет искомый предел.
Соответственно двум определениям предела функции можно дать
два определения непрерывности функции: «на языке последователь-
ностей» и «на языке е — 6».
Определение 1. Функция /(х) называется непрерывной в
точке х0, если для любой последовательности значений х:
Xl> Х2> Х3’ •  • > ХП’ • • • 1
сходящейся к ха, последовательность соответствующих значений функ-
ции /(Xj). /(х2), /(х8),..., /(х„),... сходится к /(х0). При этом х,
стремясь к х„. может принимать, в частности, и значение х„.
Определение 2. Функция /(х) называется непрерывной • в
точке х„, если для любого е > 0 найдется такое 6 > О, что для
всех х, удовлетворяющих неравенству |х—xoj <б, выполняется нера-
венство | f (х) — f (х0) | < е.
Эквивалентность этих определений нами уже доказана, поскольку
доказана эквивалентность соответствующих определений предела
функции (см. § 10, гл. III).
Наконец, дадим еще одно определение непрерывности функции,
которое по существу является перефразировкой первоначального
определения, но иногда оказывается более удобным для практиче-
ского использования.
Предположим, что аргумент х при своем изменении переходит
от значения х0 к новому значению xv Величина х1 — х0 называется
приращением аргумента х и обозначается Ах (читается: дельта х).
(Таким образом, X! = x04-Ax.) Соответственно этому функция у —
—f(x) также изменит свое значение с /(х0) на /(x0-j-Ax). Разность
f (х0 + Ах)—/(х0) называется приращением функции в точке х0, вы-
званным приращением аргумента Ах, и обозначается А у (читается:
дельта у).
Пусть дана, например, функция /?(х) = х2ф-2х—3. Она опреде-
лена на всей числовой оси. Выберем некоторое значение х0 аргу-
мента х и дадим этому значению приращение Ах, x=x0-f-Ax. По-
134
лученную в результате точку вновь обозначим через х. Прира-
щение функции Ду определится из соотношения:
Д_у=/(х04- Дх) — /(х0) = [(х04-Д *)24-2(х04-Дх) — 3] —
—(х#4- 2х0—3) = Хо + 2х0 Д х + Д х2 + 2х0 + 2 Д х — 3 — xj — 2х9 4- 3 =
— 2х0 Д х + 2 А х ф Д х2 = 2 (х0 4-1) А х 4- Л х2 *.
В частности,
если х0 = 2 и А х = 0,1, то А у = 2 (2-[-1)  0,1 4-0,12 = 0,61;
если х0 = 2 и Дх = 0,01, то Ду = 2 (24-1)  0,01 + 0,012 = 0,0601;
если х0 = 3 и Дх=0,1,то Ду = 2 (Зф-1) • 0,1 4-0,12 = 0,81.
Из этого примера уже видно, что величина приращения функ-
ции Ду зависит как от величины приращения аргумента Ах, так
и от точки х0, в которой это приращение функции вычисляется.
Геометрически приращение аргумента Дх представляет собой
изменение абсциссы точки кривой y=f(x) при переходе от значе-
ния х0 к значению х04-Дх, а приращение функции Ду есть измене-
ние ординаты точки этой
кривой при переходе от
значения / (х0) к значе-
нию/ (х04- Д х) (рис. 62).
Определение 3.
Функция f(x) назы-
вается непрерывной
в точке х0, если бе-
сконечно малому при-
ращению аргумента в
этой точке соответст-
вует бесконечно малое
приращение функции,
то есть если из Дх -> 0
следует &у-+0.
Действительно, это условие означает, что lim [/ (х)—-f (хо)] = О.
х — х„
Последнее же равносильно равенству lim/(x) = /(x0), с помощью
х-*х„
которого мы и определили непрерывность функции.
Иногда приходится пользоваться понятием так называемой
односторонней непрерывности.
Определение. Функция f (х) называется непрерывной
в точке х0 справа (слева), если lim f (х) = f (х0) [ lim f (х) = /?(х0)..
х->-хо + 0	\х^х0 — 0	/
Сравнивая это определение с определением непрерывности
в точке, можно убедиться в том, что функция, непрерывная во
внутренней точке, будет одновременно непрерывной справа и слева.
Справедливо и обратное утверждение: если функция непрерывна
* Обозначение Дх следует рассматривать как единый символ. Поэтому под
Дх2 понимают не Д • х2, а (Дх)2. То же относится к Sy.
♦
135
в некоторой точке слева и справа, то она будет и непрерывной
в этой точке. Однако функция может быть непрерывной только
с одной стороны. Примером может служить функция у = Е (х)
(рис. 57), которая при каждом целом значении х непрерывна
только справа. Читатель легко может убедиться в этом самостоя-
тельно.
Определение. Функция f (х) называется непрерывной на не-
котором промежутке, если она непрерывна в каждой точке
этого промежутка. В частности, если промежутком является отрезок
[a, bj, то на его концах подразумевается односторонняя непре-
рывность: в точке а — непрерывность справа, а в точке b — не-
прерывность слева.
Определение. Точка х0, принадлежащая области опреде-
ления функции f(x), называется точкой разрыва функции f(x).
если функция f (х) не обладает свойством непрерывности в ней.
Другими словами, функция / (х) имеет разрыв в точке х0 <= X,
когда либо f (х) не' имеет конечного предела в точке х0, либо
конечный предел в точке х0 существует, но не совпадает со зна-
чением функции в этой, точке, lim f (х) Ф f (х0).
X Ху
В соответствии с данным определением функция должна быть
определена в каждой точке разрыва. Однако часто к точкам раз-
рыва причисляют точки еще одного вида, в которых функция не
определена. Именно, рассмотрим случай, когда функция f (х) опре-
делена в некоторой окрестности (х0 —б, х„-4-б) точки х,„ за исклю-
чением самой точки х„. В этом случае говорить о непрерывности
функции в точке х„ нельзя, поскольку f (х) не определена в этой
точке. По той же причине х0 не подходит и под данное выше
определение точки разрыва. Тем не менее, если в'точке х„ не су-
ществует конечного предела /(х), то х„ тоже считают точкой раз-
рыва функции /(х). Например, говорят, что х = 0 есть точка раз-
рыва функции z/ = — (здесь lim — = оо). Если же f (х) имеет конечный
Х	Х--0 х
предел в точке х(|, то достаточно дополнительно определить функ-
цию в этой точке, положив
f (x0) = lim/(x),
х-*х0
и она становится непрерывной в точке х0. В этом случае точку ха
не считают точкой разрыва первоначальной функции, а просто
говорят, что функция может быть доопределена в точке х0. Напри-
мер, функция f(x)==^^ в точке х = 0 не определена (рис. 60). Но
известно, что lim— - = 1 (см. пример 2, § 11, гл. III). Если мы
х—>0 х
дополнительно примем, что f (0) = 1, то функция f (х) окажется
непрерывной в точке х=-=0. Ниже (§ 2) будет установлено, что.
эта функция непрерывна и во всех прочих точках.
136
Ясно, что при отсутствии конечного предела функции f (х) при
х -> х0 доопределение ее в точке х0, после которого она стала бы
непрерывной в этой точке, невозможно.
Разрывы функций можно классифицировать следующим образом:
Определение. Если в точке разрыва хп существуют конеч-
ные односторонние пределы функции, то разрыв функции называ-
ется разрывом первого рода.
К разрывам первого рода относятся так называемые устрани-
мые разрывы. Именно, если f (х0 — 0) =f (хо4~0)	/ (х0), то разрыв
устраним в том смысле, что достаточно изменить значение функ-
ции в точке х0, положив f(x0) = lim f(x), и функция станет непре-
рывной в х0.
Определение. Если в точке х0 функция терпит разрыв,
причем хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или
вовсе не существует, то разрыв функции называется разрывом
второго рода.
Различные случаи разрывов и характера непрерывности функ-
ции для наглядности изображены на рисунке 63.
В точке а функция непрерывна справа, так как f (аф-0) =f (а).
В точке х4 функция непрерывна, так как lim
х—х,
В точке х2 функция имеет разрыв -первого рода, так как
-/./(х2но непрерывность слева имеет место,
В точке хя функция имеет устранимый разрыв первого рода,
так как существует lim ] (х) Ф f (л;..).
В точке лу функция имеет разрыв второго рода, так как limf (х) —
= —оо, lim 4“со.
х —0
В точке х5 функция имеет разрыв второго рода. Положение,
аналогичное точке х4, хотя и существует /'(.у,,).
137
В точке х6 функция имеет разрыв первого рода, так как
/(хв— 0)	f (xe-}-0) — f (хв), но непрерывность справа имеет место.
В точке х7 функция не определена, однако предел функции
в этой точке существует и конечен. Приняв этот предел за зна-
чение f (х7), получим функцию, доопределенную и непрерывную
в точке х7.
В точке b функция непрерывна слева, так как f (b— Q) — f(b).
Термин «непрерывная функция» связан с интуитивным пред-
ставлением о непрерывности (сплошности) кривой, то есть такой
кривой, которая может быть получена непрерывным движением
точки. Точно так же термин «разрывная функция» связывается
с представлением о разрывной (порванной) кривой. Поэтому гра-
фики функций, как видно из рисунка 56 и многих других рисун-
ков, встречавшихся нам, наглядно показывают, где функция непре-
рывна и где имеет разрыв.
Заметим, однако, что понятие непрерывности функции, опреде-
ленное нами выше, имеет более глубокий смысл и может быть
иллюстрировано графически лишь для сравнительно простых функ-
ций. Вообще же существуют настолько сложные функции, что их
графическое изображение либо очень затруднительно, либо вовсе
невозможно; более того, нелегко даже мысленно представить себе
их графики. Тем не менее среди таких функций имеются как раз-
рывные, так и непрерывные функции в том смысле, как это сле-
дует из принятых нами определений.
В математическом анализе чаще всего приходится встречаться
с функциями, допускающими графическое представление. Однако
нам уже встречались и такие функции, как функция Дирихле
(см. пример 6, §2, гл. II), график которой построить невозможно,
и функция у- sin ' (см. пример 4, § 10, гл. III), график которой
можно построить лишь вне некоторой окрестности нуля (— 6, Д- 6).
В самой окрестности (-6,4-6) график этой функции построить не-
возможно, так как нельзя на ограниченном участке графически
воспроизвести бесконечное множество колебаний этой функции.
На рисунке 55 дано лишь очень приближенное графическое изо-
бражение функции у — sin—.
Перейдем к рассмотрению некоторых свойств непрерывных
функций.
Теорема 1. Если функции f(x) и g(x), заданные на не-
котором промежутке, непрерывны в точке хп этого про-
межутка, то в этой точке будут непрерывными также
функции: f(x)±g(x), f{x)g{x) и {последняя при
& (А)
*).
Эта теорема непосредственно следует из теорем о пределе
суммы, разности, произведения и частного. Так, например, не-
* См. сноску на стр. 115.
138
f (*)
прерывность частного --в точке х0 следует из того, что
S W
lim f (х)
lim	u fW
x-.xag(x') Hmg(x) gW
x-+x0
Рассмотрим подробнее монотонные функции. Пусть на некотором
промежутке X определена возрастающая или убывающая в широком
смысле функция f (х).
Поскольку любая монотонная функция в каждой точке области
ее определения имеет конечные односторонние пределы (см. § 12,
гл. Ill), то она может иметь только разрывы первого рода.
Теорема 2. Монотонная функция у =f(x), заданная на
промежутке X, непрерывна на этом промежутке, если
множество всех ее значений Y заполняет некоторый про-
межуток на оси ординат.
Доказательство. Пусть f (х) — возрастающая функция. Пред-
положим, что в некоторой точке х0 из X, не совпадающей с правым
концом промежутка X, она имеет разрыв справа. Тогда /(х0)т^
=5* f (х0 4- 0), точнее, f (х0) < f (х0 + 0).
В силу монотонности функции будет /(х) si f (х0) для х < хп,
/(x)Ss/(x0 + 0) для х>х„.
Таким образом, получается, что функция f (х) не может иметь
значений между числами f (х0) и /(х0 • •-()). Следовательно, совокуп-
ность значений Y функции /(х) не может состоять из одного про-
межутка. Это противоречит условию теоремы.
Аналогичное доказательство теоремы для случая убывающей функ-
ции предоставляется читателю.
Замечание. В данной теореме установлено достаточное усло-
вие непрерывности монотонной функции. Из теоремы 2 § 5 будет
следовать, что это условие является и необходимым.
Пример 1. Пользуясь определением непрерывной функции, доказать, что
многочлен f (х) => х3 —- 3№ + 5х — 4 непрерывен на промежутке (—от, +со).
Возьмем любую точку х0 на числовой оси. Вычислим в этой точке предел
и значение функции. По теоремам из теории пределов находим:
lim / (х) = lim (х»-3x2 + 5Х_ 4) = х; - 3<; + 5х0 - 4,
X—XQ
а подстановкой в f (х) значения х —х0 получаем: /(х0)=»х^— Зх^ф- 5х0— 4.
Так как оказалось, что lim /(х)=/(х0), то по определению непрерывности
функция / (х) непрерывна в точке х0. Поскольку точка х0 выбиралась произвольно
на ( — со, 4-со), то этим доказана непрерывность данной функции в каждой точке,
а следовательно, и на всей числовой оси (— от, -f-oo).
Пример 2. Пользуясь определением непрерывности функции «на языке
Зу । 2
е —б», доказать, что функция f	непрерывна в точке х = 1. В каких
границах должно изменяться х, чтобы выполнялось неравенство | f (х)—f (I) | <
Показать, что эта функция имеет в точке х = ^- разрыв второго рода.
139
Возьмем произвольное s>0 и найдем окрестность точки х=1, для всех точек
которой будет выполняться неравенство । f (х) — /(1) | < s. Так как /(1) = 5, то
II \ Зх-'- 2 - Зх-|-2 — 10х-|-5 7(1 х)   7	1 х
IW	о- 2х-1	2х-1	2 j
Х 2
и неравенство запишется в виде
7 х-1
< е, или
что равносильно неравенствам
Так как абсолютная величина суммы не меньше разности абсолютных величин
слагаемых, то последнее неравенство будет выполнено, если выполнено неравенство
1
2	,	7	1	. 7
| х— 1 I 2е’	2 I х—11 2е
Отсюда получаем, что ' х— 1 I <-л—т-~-, то есть достаточно взять 6=—— и
1	2еф-7 ’	2е-|-7
из неравенства jx—11<б получим, что | f (х) — f (1) | <е. В частности, если
1	У	1
В= ду, ТО б=—_—
2	14-7	16
1
Таким образом, неравенство |/(х)—-/(1) | < -9 будет выполнено во всяком слу-
,	, ,	1	15*	17
чае, если х—1 < то есть в интервале rF<x<T?.
16’	16	16
1 1
Данная функция определена при всех	а прих^у знаменатель обра-
щается в нуль и функция не определена. Так как при этом hmf(x)=oo (точнее,
X - ту
lim /(х)=+<х>, hm /(х)=—со ), то мы говорим, что функция имеет в точке
х -* -л -f~0	х — —о
z	2
1
х= -g разрыв второго рода.
Пример 3. Доказать, что функция
(	1	-ДО
Дх)=Д	х
(0 при х = 0
разрывна в точке х = 0.
В примере 4, § 10, гл. III, нами установлено, что функция y = sin— в точ-
ке х = 0 предела не имее1 Следовательно, остается заключить, что она не может
быть и непрерывной в этой точке. В точке х = 0 имеет место разрыв второго рода.
140
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Почему из непрерывности функции слева и справа в точке следует ее обыч-
ная непрерывность, в то время как из существования односторонних пределов
функции в точке не следует существование обычного предела?
2.	Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функция /(х)=х3 —
— 5х-|-8 непрерывна на промежутке (— со, Ц-со ).
3.	Пользуясь определением непрерывности функции «на языке е—-6», доказать,
,	р . .	X -j- 3	1	,,
что функция f{x) = „ „ непрерывна в точке х = ~^, В каких границах может
2, — оХ	Z
изменяться х, чтобы выполнялось неравенство | f(x)—f | < -у? Имеет ли эта
функция точки разрыва? Назвать их.
Примечание. Поскольку решение этой задачи проводится с помощью
некоторых приближенных вычислений, читатель может получить и несколько иную
оценку для искомых значений х. Поэтому данный ниже ответ следует рассматри-
вать как ориентировочный.
Отв. o+<x<++ разрыв при х~ .
Vo	О
4.	Пользуясь определением непрерывности функции «на языке-последователь-
ностей», доказать, что функция
/W
cos ~ при х ф О,
О при х = 0
разрывна в точке х=0.
5.	В какой максимальной окрестности точки хо=1ОО ордината графика
функции у = /х отличается от ординаты y0 — W меньше, чем на b =
Отв. (10 —0,001)2<х< (Ю+0,001)2.
6.	Требуется изготовить металлическую квадратную пластинку со стороной
—10 см. В каких пределах допустимо изменять сторону пластинки х, чтобы ее
площадь отличалась от проектной площади = 100 сма не более, чем на
О 0,01 см*?	_____
Отв. /99,99 ssx «с/100,01.
§ 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
В этом параграфе мы проверим непрерывность некоторых элемен-
тарных функций, пользуясь непосредственно определением непре-
рывности функции. Другие элементарные функции будут рассмотрены
в § 6, 7 и 9.
1.	Рассмотрим постоянную функцию f(x) = c на всей прямой
(—со, /ос). Так как равенство f(x0) = c выполняется в любой
точке х0, то при х-+х0 будет f (х) = с-+ с~ f (х0), то есть lim/(x) —
Х-+Хо
= f(x0). Таким образом, постоянная функция непрерывна в каждой
точке прямой. Но тогда она непрерывна и на всей прямой (—оо,
+ оо).
2.	Функция f(x) — x непрерывна на (—со, + оо), так как для
любой точки хп при х -+ v0 имеем: f (х)=х-+ Xo = f (х0), то есть
lim f (х)=/(х0) (см. пример 1, § 10, гл. III).
Л-* х0
141
3.	Одночлен f(x) — axn («—натуральное) есть непрерывная функ-
ция на (—сю, 4-оо), так как его можно представить в виде произ-
ютения функций, непрерывность которых уже доказана в пунктах
1 .1 2:
ахп — а-х-х-х ... х.
п раз
4.	Многочлен или целая рациональная функция /(х) = похге4-
+ а1хп~1-]-а2х'1-2'-\-ап^х-]-ап есть непрерывная функция на
(—оо, + сю), как сумма непрерывных функций.
5.	Дробно-рациональная функция
f	а<Х'1 +а1хп~14- а2хп~2 + .. + а^х 4- ап
' w 6oXm4.6iXm-1+62xm-a+...+6zn_iX4.6m
непрерывна на (—оо, + оо), за исключением точек, в которых
знаменатель равен нулю, то есть кроме корней знаменателя, как
частное непрерывных функций.
6.	Рассмотрим тригонометрические функции!
sin х, cos х, tgx, ctgx, secx, cosec x.
Покажем, что функция sinx непрерывна в любой точке прямой.
Возьмем произвольную точку х0. Тогда
1 sinх — sm х01 = 2 sin	. cos —=2 sm —cos —.
г-,	| х”4“Хп I	«	| • X—Хп I	|х—~Хл I
Заменяя cos—уМ единицей, a sin—уМ — числом —g-Д
(на основании свойства, доказанного в конце § 11, гл. 111), получим
неравенство:
| sin х— sin хД jx — х01.
Для любого е>0 достаточно взять 6=8, и тогда из неравенства
)х —xa.j<6 будет следовать неравенство | sin х — sinx01 < е. Это и
доказывает непрерывность sinx в произвольной точке х0.
Непрерывность функции cosx в любой точке прямой доказывается
совершенно аналогично.
Из непрерывности функций sin х и cos х по теореме о непрерывности
,	.. , sin х	1
частного следует непрерывность функции tgx=—— и secx=-—- во
всех точках, где cos х =4= О, то есть везде, кроме точек х=(2&-р
4- 1) 9 , и функции ctgx = —r—— и cosec х = -^— во всех точках, кроме
sin х	sin X
x — kn (k = 0, ±1, ±2, ±3, zt ...).
7.	Функция f(x) = |x| непрерывна на всей прямой. Действительно,
на (0, 4-сю) она непрерывна, так как f (x) = |xj = x для х>0,
а непрерывность f(x)=x доказана в пункте 2. На (—оо, 0) функ-
ция f (х) также непрерывна, так как для х<0 она принимает вид:
f(x) = |x| = — х, a f (х)== — х = (— 1) • х непрерывна на основании
доказанного в пунктах 1 и 2, а также на основании теоремы
о непрерывности произведения. Остается установить непрерывность
142
данной функции в точке х = 0. Для этого вычислим односторонние
пределы в этой точке:
lim |х|= lim (—х) =— lim лг=О, lim |х! — lim х = 0.
х-+—0	х-* —О	х—>—0	х-*Н-0	х->4-0
Итак, lim f(x) = lim f (x) =0=f (0), то есть f (x) непрерывна и
x —— 0	v — 4-0
в точке х = 0.
Таким образом, оказалось, что все рассмотренные здесь функции
непрерывны в областях их существования. Но тогда на основании
теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения и частного
можно утверждать, что функции, получаемые из них при помощи
конечного числа арифметических действий, являются также непре-
рывными функциями в областях их существования.
Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию f (х) = x2-J-2 sin х.
Функция / (х) представляет собой сумму двух функций: х2 и 2 sin х. Поскольку
каждая из этих функций непрерывна на (— со, 4* оо), то и сумма их f (х) яв-
ляется непрерывной на (—со, + со) (см. теорему 1, § 1).
Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию f (х)
х24-3
х2 — 5х + 6
Так как /(х)—дробно-рациональная функция, она непрерывна на (—со, 4-со),
за исключением точек, в которых знаменатель равен нулю, то есть за исключением
корней знаменателя. Для определения последних решаем уравнение х2 —5х-|-6 = 0
и получаем, что точками разрыва второго рода являются х = 2 и х = 3.
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию

COSX
1 - sin X •
Как частное двух непрерывных функций f (х) непрерывна на (—со, + со),
за исключением тех точек х, для которых sinx=l, то есть за исключением лишь
точек х = (4k -j-1) -5- (k=0, ±1, ±2, ...).
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Пользуясь непосредственно определением непрерывности, доказать непре-
рывность функции cos х.
2.	Почему можно утверждать, что функция
х5 —2х3 + х2 + 9х—17
-------
непрерывна на (— со, 4- со)?
3.	Непрерывна ли функция
х3 Д- 5х2 - 9х + 1
f() х2 —9
на [—2, +2]?	Отв. Да.
4.	Непрерывна ли функция f (х) = (х2 -ф- 5х 4- 2) tg х на [0, я]?
Отя. Нет.
5.	Сколько точек разрыва может иметь функция
' ' ox54-6x34-cx4-d’
где а, Ь, с и d—вещественные числа?
Указание. Воспользоваться тем, что многочлен n-й степени может иметь
не больше чем п вещественных корней.
143
§ 3. ПРИМЕРЫ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИИ
Пример 1. Рассмотрим функцию, заданную следующим образом1
/(•*)={
х2 при х <2.
хф-1 при х Зг 2,
Эта функция определена на (— со, + сгй. На промежутке (— со, 2) функция
/(х)=х2 всюду непрерывна, на промежутке [2, + со) / (х) =-х-{-1 татже всюду
непрерывна. В частности, в точке х —2 функция f (х) непрерывна спр".тс Следо-
вательно, разрыв функции f (х) возможен только в точке х =2 Найд>1 левосто-
ронний предел функции в этой точке: lim f (x)— hm х2 = 4. Сравнивая этот
л->2—о	х-»2 —о
предел со значением / (2) =-=3, видим, что в точке х = 2 функция имеет разрыв
первого рода (рис. 64).
Пример 2. Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеет
функция
/ (*) =
х»
2х
tgx
при х < О,
м	Я
при	.
31
при Х>у.
HI
а промежутке 1-^
На промежутке (—со, 0) функция /(х)=х3 определена и всюду непрерывна,
промежутке 10,	1 функция f (х) =2х также определена и в „ду непрерывна.
\
, 4-со^) функция /(x)=tgx определена и непрерывна всюду,
за исключением точек х = (2£ф-1)(fe=l, 2, 3, ...). Следовательно, можно ска-
зать, что данная функция f (х) определена на (— со, -ф оэ), зч исключением точек
x = (2k-\-\)~ (k=l, 2, 3, ...). В точках х = (2/г-{- 1) 'j функция {(х) имеет раз-
рывы второго рода, так как в них предел функции слева равен -{-оо, а справа
равен — со. Остается еще исследовать точки ешка промежутков: х=0 и х = ^-_
Поскольку
11ш/(х)= hm х3 = 0=/(0), lim/(х)- = lim 2х = 0—/(0),
х~»0	х-» — О	X-+-J-0 х- { 0
Рис 65.
144
то в точке х = 0 функция непрерывна слева и справа, а значит, и просто непре-
рывна. Поскольку
lim /(х)= lim 2х — л ==f l-~ j, lira f(x)— lim tg x = — co zfifj,
я „	я „	\ 2 / л ,	л.„	\2 /
лг —► ~— 0	х —* t — 0	х~> (j 0	х —* 4~ О
Л
то в точке х= g- функция имеет разрыв второго рода (но непрерывна слева)
(рис. 65).
Пример 3 Функция f(x)~ ——(рис. 66) определена и непрерывна на
(—со, 4-со), за исключением точки х = 2. Определим род разрыва.
1 , 1 1
Поскольку lim ——= = со точнее, lim —- = — со и lim -----------------s ==
Х — Л	\	Ж_*2._()Х — 2	— 2
= + coj, то в точке х = 2 имеем разрыв второго рода.
Пример 4. Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеет
функция
х2 при — 2 х < О,
., .	4 при х=--0,
/(*) =
-- при 0<xsg2.
Эта функция (рис 67) определена на [-—2, 4-2]. Так как № и — непрерывны
соответственно в промежутках [—2, 0] и (0, 4-2], то разрыв может быть только
на стыке этих промежутков, то есть в точке х = 0. Поскольку в этой точке
односторонние пределы равны 0 и 4-со:
hm /Сх)^= hm ха = 0,	lim /(х) = hm — = 4-00
х——0	х—> — 0	лг-»4-0	х-» + 0 х
то х = 0 является точкой разрыва второго рода.
Пример 5. Можно ли устранить разрывы функций:
а) / (х) = х~ - в точке х — а;
6) g (х) = |
1 — х2 при xsg 2,
х — 3 при х > 2
J X2 при X ZJZ 1,
I. 2 при х = 1
в точке х — 2;
в точке х= 1.
В) ф W =
145
Как известно из определения, устранимыми могут быть разрывы только пер-
вого рода и только в том случае, когда в точке разрыва существует конечный
предел (то есть существуют равные конечные односторонние пределы).
О примере а) сразу можно сказать, что разрыв функции f (х) в точке х = а
устранить невозможно, так как в этой точке односторонние пределы — бесконечные
I lim -----= — со; lim --------= + оо')
Ох а	х—а-|-0* а	/ '
Функция g (х) хотя имеет конечные односторонние пределы в точке разрыва
х = 2
(lim g(x)— lim (1—ха) =—3, lim g (x) = lim (x — 3) =—1),
0	x—2—0	x-2+0	x—24-0
но они не совпадают. Разрыв также неустранимый.
Функция <р (х) в точке разрыва х = 1 имеет равные односторонние конечные
пределы ( lim <р(х)= lim <р (х) = lim ха= 1). Следовательно, разрыв может быть
х-1—О	x^l-i-o х-1
устранен переопределением функции в точке х —1. Для этого достаточно положить
/(1) = 1 вместо f (1) — 2.
Пример 6. Доопределить функцию /(х) = ^^ в точке х = 0 таким обра-
зом, чтобы она стала непрерывной в этой точке.
В точке х=0 эта функция не определена, но имеет конечный предел
tg X
lim / (х) —Иш--—=1. Следовательно, при определении значения функции в точ-
.V- 0	х-*0 х
ке х = 0 нужно исходить из того, что значение функции в этой точке должно рав-
няться пределу функции в этой же точке. Для этого достаточно положить / (0) = 1„
Тогда функция
(tgx	, п
—— при х 0,
1	при х — 0
будет непрерывной в точке х = 0.
Пример 7. Переопределить функцию
Isin х	. ,,
“-=— при X ZZ- 0,
2х г
2	при х = 0
в точке х = 0 таким образом, чтобы она стала непрерывной в этой точке.
Данная функция в точке х = 0 разрывна (разрыв первого рода), так как
limf(x)=lim ^Ц = ^#:/'(0) = 2
Х-*0	*
Переопределим ее в этой точке, положив / (0) =вместо /(0)=2. Тогда полу-
чим, что функция
С sin х
при х#:0,
/(*)==	j
-- при х = 0
уже непрерывна в точке х = 0, так как выполняется равенство lim /(х)=)(0).
х-0
Строго говоря, изменив значение функции f (х) даже в одной точке, мы получаем
уже другую функцию, которую следовало бы обозначить другой буквой (напри-
мер, g (х)). Однако, несколько нарушая эту строгость, мы обозначили измененную
функцию по-прежнему через /(х), чтобы подчеркнуть ее тесную связь с первона-
чально заданной функцией.
146
Пример 8. Функция
{1, если х—рационально,
О, если х—иррационально,
называемая функцией Дирихле, уже встречалась нам во второй главе (пример 6,
§ 2, гл. II). Показать, что она разрывна в каждой точке числовой оси.
Пусть х0— любая точка из (—оо, +оо). Будь она рациональной или ирра-
циональной, в любой ее окрестности найдутся как рациональные, так и иррацио-
нальные точки. Следовательно, в любой окрестности точки х0 функция <р(х) будет
иметь значения, равные 0 и 1. В таком случае не может существовать предела
функции в /о ни слева, ни справа. Следовательно, функция Дирихле в каждой
точке числовой оси имеет разрывы второго рода.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Установить, в каких точках и
функции:
(х24~ 1 при xjs 1,
1 при х < 1,
х 4— 2 х — 2.
какого рода разрывы имеют следующие
( £(*)
б) /(х) = < 1
I х — 2
при xsg 2,
при х > 2.
	х при х 0,
в) / (х) =	1 —х при 0 < х 5g 1,
	1 т-—- при X > 1. 1—X г
г) /(х) =
х2 при х < О,
1 при х = 0,
tg х Д-1 при х > 0.
Построить графики этих функций.
Отв. а) В точке х=1 разрыв первого рода, в точке х =—2 разрыв второго
рода, б) В точке х — 2 разрыв второго рода, в точках х — 1, 0, — 1, —2, —3, ...
разрыв первого рода, в) В точке х = 0 разрыв первого рода, вточкех=1 разрыв
второго рода, г) В точке х = 0 разрыв первого рода, в точках х = (2&Д-1) ” (k —
2
= 0, 1, 2, 3, ...) разрыв второго рода.
( х2 при X 1
2,	Будет ли функция / (х)=7	непрерывна на (0, 2J? Отв. Да.
I х3 при х > I
3.	Доопределить функцию f(x) = ~—~^~ в точке х = 0 таким образом, чтобы
1
она стала непрерывной в этой точке.	Отв. )(0)=-g-.
4.	Переопределить функцию
|V 1 4-х — 1 ппи
f(x) = j х Р
| — 1 при х = 0
в точке х = 0 таким образом, чтобы она стала непрерывной в этой точке.
I X I
5.	Доказать, что разрыв функции f (х) — "д в точке х = 0 устранить невоз-
можно. Построить график этой функции.
6.	Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также разрыв-
ная функция? Проверить это на примере
7.	Справедливо ли утверждение: «Если функции f (х) и g (х) имеют разрыв
в точке х0, то их сумма /(x)4~g(x) есть также разрывная функция в точке х0»?
147
Проверьте это на примере, положив
/(*)=!
О при х О,
1 при х > 0;
( 1 при Х<0,
g W = I п „
( 0 при х ;> 0.
Постройте графики.	Отв. Нет.
8.	Справедливо ли утверждение: «Если в некоторой точке х0 функция f (х)
непрерывна, а функция g (xj разрывна, то их сумма /(x)+g(x) является разрыв-
ной функцией в этой точке»?
Отв Да.
9.	Если функция f (х) непрерывна в ин-
тервале (а,Ь) и определена на его концах a
и Ь, то из этого еще не следует, что она
непрерывка на отрезке [а, Ь]. Убедитесь а
этом на примере функции
— ?ля 0<х< 1,
I (х) — < х
(0 для х = 0 и х— 1.
Постройте график этой функции.
10.	На горизонтальной плоскости р
стоят один над другим три цилиндра, ра-
диусы оснований и высоты которых соответ-
ственно равны: нижнего 3 и 2, среднего 2
и 3, верхнего 1 и 1 м (рис. 68).
а) Выразить обьем части тела, заклю-
ченного между плоскостью р и плоскостью
горизонтального сечения, как функцию расстояния этого сечения от плоскости
р. Будет ли эта функция непрерывной? Построить график этой функции.
б) Выразить площадь горизонтального сечения тела, образованного этими
цилиндрами, как функцию расстояния сечения от плоскости Р (площадь сечения,
отделяющего один цилиндр от другого, считать равной площади сечения ниж-
него цилиндра). Будет ли эта функция непрерывной? Построить ее график.
V(x) =
Отв. а) Объем
б) Площадь
9лх при 0-с xs£ 2,
10л-|-4лх при2 5=:хес5,
25л-j-лх при 5  х: - . 6,
31л	при 6 Sgx< СО,
S(x) =
9л
4л
я
0
при 0 Хг£ 2,
при 2 < х < 5,
при 5 < х < 6,
при 6<х<со,
V (х) — непрерывная функция на [0, ф-оо); S (х) —непрерывная функция на (0,2),
(2,5), (5,6), (6,-|-оо). В точках х==2; 5; 6 имеет разрывы первого рода.
§ 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
С понятием сложной функции мы уже познакомились в конце
§6, гл. II. Здесь выясним вопрос об условиях, обеспечивающих
непрерывность сложной функции.
Теорема. Пусть на промежутке X задана функция z =
= ф (х), все значения которой содержатся в промежутке Z, а
на Z задана функция y=f(z). Тогда, если у(х) непрерывна
в точке х0, a f(z) непрерывна в точке z0, причем zB = ф (х0),
то и сложная функция y=f[q(x)\—F(x) непрерывна
в точке хй.
148
Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности
функции «на языке последовательностей». Возьмем на промежутке X
любую последовательность точек
xlt х2, х3, ..., хп....
сходящуюся к точке х0, и положим z„ — (p(xK). Тогда по непрерыв-
ности функции z — ф(х) в точке х0 имеем: lim zn = lim ф(хл) =
Ф (х0) = z0, то есть последовательность точек г1; z2, z3,..., zn,. . про-
межутка Z сходится к точке z0. В силу же непрерывности функции
f (z) в точке z0 получаем: lim f (z,t) = f (z0), то есть lim / [ср (%«)]—
= /[ф (*о)]> или
lim F(x„)=F(x0),
что и доказывает непрерывность функции F (х) в точке х0.
Пример 1. Доказать непрерывность функции y=sin х2.
Функцию у — sin х2 можно рассматривать как сложную функцию, считая у=
= sin.2, где г = №. Тогда поскольку функция z = x2 определена и непрерывна при
любом значении х, то есть на ( —со,-|-со), а функция у = sin г определена и
непрерывна при любом значении г, то на основании доказанной теоремы можно
утверждать, что функция y = sin № определена и непрерывна в любой точке, то
есть на (—-со, -|-оэ).
Пример 2. Доказать непрерывность функции у = cos3 (х2+5х-|-8).
Функцию у = cos3 (х2-(-5х-|-8), рассматривая как сложную, можно представить
через простейшие элементарные функции следующим образом: y = z3, где z = cos/r,
а и = х2-|-5х-|-8. Так как функция ц = х2+ 5x4-8 определена и непрерывна
при любом значении х, а функция z = cos и определена и непрерывна при любом
значении и, то из теоремы о непрерывности сложной функции следует, что функ-
ция г — cos (х2 -j- 5х8) определена и непрерывна при любом значении х. Далее,
так как функция у = z3 определена и непрерывна при любом значении г, а функ-
ция г = cos (х3 + 5х-|-8), как мы только что доказали, определена и непрерывна
при любом значении х, то по той же теореме можно утверждать, что функция
у = cos3 (х2 + 5х + 8) также определена и непрерывна при любом значениие х, то
есть на ( — со,-|-оо).
Пример 3. Установить область существования и непрерывности функции
1
У= —-.
8ШХ
Эту функцию можно рассматривать как сложную, если положить у = —, где
z=sinx. Функция z==sinx определена и непрерывна всюду. Функция у =
= — определена и непрерывна при всех z:^0. Тогда по теореме о непрерыв-
ности сложной функции функция у = .определена и непрерывна на всей оси
(—оо,+оо), за исключением тех точек, где sinx = 0, то есть точек х=+л(£ = 0,
± 1, ± 2, ...).
Пример 4. Установить область существования и непрерывности функции
*=^27=-г
Функцию у можно представить через простейшие элементарные функции сле-
дующим образом: y = z2, где z = tg«, а и= ——j.	Поскольку функция
1
и = определена и непрерывна при всех значениях х, кроме х=1, а функция
z = tg и определена и непрерывна при всех значениях и, кроме и = (2& + 1) -5- (/г==0,
149
±1, ±2, ...), то функция г = tg ~।, как сложная, определена и непрерывна
1	л
для всех значений хУ. 1, при которых ——j-yt(2^4-l)—Последнее условие
1	(2&4~1)л	2	2
можно преобразовать:--— • х— 1 =£ .„.-.-тг-: хзЫ4-	.
г	х—1г 2	’	(2й+1)я’ r (2^4~1)п
Таким образом, получаем, что функция z = tg-~—j- определена и непре-
2
рывпа для всех значений х, кроме х — 1 и х=И 4-	(k = 0, ±1, ±2, ...).
Далее, так как функция у — г2 определена и непрерывна для всех значений
г, а область существования и непрерывности для функции г = tg ——j-уже уста-
новлена, то на основании теоремы о непрерывности сложной функции можно утверж-
дать, что данная функция существует и непрерывна па всей оси ( — со,4-со), за
2
исключением точек х—1 и х—14--^---тт— (k — 0, ±1, + 2, .,,).
(2/г4- 1)л '
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Исследовать на непрерывность следующие функции, рассматривая их как
сложные:
a)	i/ = sin3x.	Отв. Непрерывна на (—оо, 4-со)-
б)	г/=соз (1 — sin х).	Отв. Непрерывна на (—со, -|-со).
в)	y = cos——г.	Отв. Непрерывна при хД 1.
г)	z/ = ctgn2n.	Отв. Непрерывна при х-/х^ (k = 0, ± 1, 2.2, ...).
2.	Доказать теорему о непрерывности сложной функции, используя определе-
ние непрерывности функции «на языке в —6».
§ 5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
1 (первая теорема Больцано—Коши)*. Пусть на
&] определена функция f{x), непрерывная на
этом отрезке, причем на
концах отрезка она име-
ет значения разных зна-
ков. Тогда на [а, &] найдет-
ся по крайней мере одна
точка с(а<.с<.Ь),в кото-
рой функция равна нулю.
Иначе говоря, непрерыв-
ная функция при переходе от
значений одного знака к зна-
чениям другого знака прохо-
дит и через нулевое значение.
Док аз а те ль ств о. Пусть
для определенности f (а) < 0 и
f(b)>0 (рис. 69). Разделим отрезок [а, Ь] пополам точкой
Если окажется, что f[~y~! = 0, то точка и будет искомой точ-
* Огюстен Луи Коши (1789—1857) — французский математик.
Теорема.
отрезке [а,
150
кой с. Если же	то на концах одной из частей отрезка
|д, ^-g—] или [~у~> функция будет иметь значения разных зна-
ков. Обозначим эту часть через [а1( 6J. Легко видеть, что f(«i)<0,
f (Ю > 0. В самом деле, если f (^-g~^) > 0, то значения f (х) имеют
разные знаки на отрезке а, —g- . В этом случае ах = а, Ьх = —~
и	f(^i)>0. Точно так же разбирается случай, когда
j <-• q
Итак, мы получили отрезок [аъ Щ, на концах которого значе-
ния функции имеют разные знаки. Разделим этот отрезок пополам
« (It, + 6,
ТОЧКОЙ -J-y-i .
Если	= 0, то -Ц-! есть искомая точка. Пусть f
« Г «i+bil Ri + ^i l 1	°
тогда ту из частей, |п1( или -Ц—I на концах которой
функция имеет значения разных знаков, обозначим через [а2,
При этом непременно снова будет /(а2)<0, а ?(Ь.г)>0. Делим от-
резок [а2, +] пополам и повторяем такие же рассуждения. Воз-
можно, что на каком-то шагу точка деления окажется такой, что
в ней функция будет равна нулю. Тогда она и будет искомой точ-
кой с. Но возможно, что, как бы долго мы ни производили деление
отрезка [«, b|, f^~^=/=0 для всех п. Тогда получим такую бес-
конечную последовательность вложенных отрезков
[«„ Щ о [а2
Ь2] о Щ, э... □ [ап, Ь„\
что при всех п
f(an)<0,	0	(1)
и длина n-го отрезка Ьп — ап~^^ -> 0. Следовательно, по теореме
о вложенных отрезках (см. § 8, гл. Ш) существует точка с и при-
том единственная, принадлежащая всем отрезкам последовательности
lim ая=Ит Ь„—с. В точке с, как точке отрезка [а, Ь], функция f (х)
п —»оо п —* со
непрерывна. Следовательно, переходя к пределу в неравенствах (1),
получим, с одной стороны,
f(c) = limf (а„) =ssO,
п—»сс
с другой стороны,
Н<?) = lim/(&„)=>= 0.
п->оо
Отсюда остается заключить, что /(с) = 0. Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы. Непрерывная кри-
вая при переходе с одной полуплоскости по отношению к оси
ОХ на другую непременно пересекает эту ось.
151
Теорема 2 (вторая теорема Больцано—Коши). Пусть на от-
резке [а, 6] определена непрерывная функция прини-
мающая на концах отрезка различные значения, напяимер
f(a)=A,f(b) = B. Тогда, какое бы число С между числами
А и В мы ни взяли, на отрезке \а, найдется такая
точка (a<zc<zb), что f(c) = C.
Иначе говоря, непрерывная функция при переход’ ст одного
значения к другому проходит и все промежуточные числа.
Доказательство. Пусть для определенности A<zB (рис. 70).
Возьмем какое-нибудь промежуточное число С(А<.С<_Б) и рас-
смотрим вспомогательную функцию ф(х)==/(х)— С. Эта функция
непрерывна на [а, Ь], как разность непрерывных функций f (х) и
ф(х) = С. Кроме того, ее значения на концах отрезка имеют разные
знаки:
ф (а) = f (а) — С = А — С <; 0,
ф(Ь)=ЦЬ)-С--=В-С>0.
Следовательно, по 1-й теореме Больцано—Коши существует такая
точка с (а<с<Ь), что ф(с) = 0, то есть /(с) — С=0. Отсюда
/(с)-=С, что и требовалось до-
казать.
С л е д с т в и е. Если функция
f(x), заданная на промежутке
X, непрерывна на этом про-
межутке, то совокупность У
ее значений тоже представ-
ляет некоторый промежуток.
Доказательство. Положим
Л1 = зпр f(x), m — ini f (х), где обе
хеХ	хех
точные границы вычисляются для
всего множества значений f (х)
(не исключено, что == 4-со или
т==—оо, см. § 5, гл. I). Тогда
ъ точек, расположенных ниже т
или выше М. Покажем, что интервал (т, Л1)СУ. Возьмем любое
у0 £ (т, Л1) и подберем два значения нашей функции уг и у2 так,
что т <_У1<. Уо < У% < М. Существование таких значений вытекает
из определения точных границ. Пусть yi = f(x1), y2 = f (х2). При-
меняя к функции f (х) на отрезке от хг до х2 вторую теорему
Больцано--Коши, мы сразу заключаем, что у0 тоже встретится
среди значений функции fix). Следовательно, справедливо вклю-
чение (т, Л1)сУ. Концы интервала (т, М) могут как принадлежать,
так и не принадлежать совокупности У, а потому У может быть либо
интервалом (т, Л1), либо отрезком [m, М,] либо полуинтервалом
(т, М\ или [m, М).
Заметим, что 1-я теорема Больцано — Коши является частным
случаем 2-й теоремы (достаточно но 2 й теореме считать Д<0,
в совокупности У не может
152
В > 0 и С = 0). Однако из этого не следует, что 1- я теорема не нужна.
Она используется при доказательстве 2-й теоремы.
Доказанные теоремы Больцано - Коши имеют большое значение
для дальнейших теоретических исследований как в математическом
анализе, так и в других смежных областях. Кроме того, они
имеют и непосредственные практические приложения. Рассмотрим
несколько примеров.
Пример 1. Доказать, что уравнение Xs— 8х + 4 = 0 имеет корень
на отрезке [ — 2, + 2].
Воспользуемся свойством непрерывной функции, отмеченным
в теореме 1. Для функции /'(+)=--. +— 8хД4 имеем:
/( -- 2) = — 32 + 16 + 4 = — 12 < О,
f( + 2) = 32 -- 16 + 4 = 20>0.
Следовательно, существует такая точка с, что /(c) —0. А это
значит, что данное уравнение на указанном отрезке имеет, по
крайней мере, один корень с.
Пример 2. Показать, что любой многочлен нечетной степени
с вещественными коэффициентами имеет, по крайней мере, один
вещественный корень.
Рассмотрим многочлен нечетной степени с вещественными
коэффициентами
f = щл'-* ' 1 + </+* + ... + a^k +1 х -[ 	+ 2.
Как следует из примера 3, § 11, гл. Ill, при достаточно больших
по абсолютной величине значениях х многочлен имеет знак высшего
члена a1x2ft’rl, то есть при достаточно больших х>0 — знак
и при А<0—противоположный знак. Таким образом, многочлен
нечетной степени, будучи непрерывной функцией, принимает зна-
чения разных знаков. Следовательно, существует, по крайней мере,
одна такая точка с, что f (с) — 0.
Пример 3. Доказать, что функция f(x)—---5- + З принимает значение,
и о
равное 2 у, внутри отрезка [ — 2,+ 2].
Данная функция непрерывна на [ — 2,+ 2]. Кроме того,
8	4	1	8	4	4
/(-2)==-|-у+3=Г5,	Л2) = 1-з+3 = 3Г5.
Следовательно, по второй теореме Больцано — Коши функция принимает значе-
ние 2 j в некоторой точке, лежащей внутри отрезка f — 2, + 2].
Пример 4. Найти приближенное значение какого-нибудь корня уравнения
X5 д. Х2 __	+ 2 = 0.
Функция f (х) = х6 + х2 —5%+ 2 непрерывна на всей оси. Будем вычислять
ее значение для целых значений х. Так как /(!)= —1<0, а /(2)=28>0, то
уравнение имеет между числами 1 и 2 хотя бы один корень. Разделим отрезок [1, 2]
на десять равных частей точками: 1,1; 1,2; 1,3;...; 1,9. Будем вычислять значения
функции в этих точках: /(1,1)=—0,68; /(1,2) =—0,08; /(1,3)= +0,87. На этом,
можно вычисление приостановить, так как уже между точками 1,2 и 1,3 меняется
.знак функции и, следовательно, имеется хотя бы/один корень уравнения. Делим
отрезок [1,2; 1,3] на десять равных частей точками 1,21; 1,22; 1,23;...; 1,29 ненова
153-
будем вычислять значения функции в этих точках: ((1,21) = —0,01, / (1,22)= 4-0,08.
Следовательно, между числами 1,21 и 1,22 находится хотя бы один корень нашего
уравнения. Таким образом, мы вычислили значение корня уравнения с точностью
до 0,01. Если бы мы продолжили аналогичные действия дальше, то точность можно
было бы довести до 0,001, 0,0001, 0,00001 и т. д
Теорема 3 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция
f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на
этом отрезке, то есть существуют такие числа т и М,
что для всех х из [а, й] выполняется неравенство mz
^f(x)^M.
Доказательство. Докажем ограниченность функции f (х)
сверху (ограниченность снизу доказывается аналогично). Пусть f (х),
будучи непрерывной, не ограничена сверху на [а, Ь]. Это значит,
что нет такого числа М, чтобы f(x)«S/W для всех х из [а, &],
то есть, какое бы число мы ни взяли за М, найдется хоть одна
точка х из [а, 6] такая, что f(x)>M. Будем давать М после-
довательно значения: М = 1, 2, 3,.п,...
Для Л1 = 1 найдется такая точка хх из [а Ь\, что f(xx)>l;
»	М — 2	»	»	»	х2	»	[а, Ь],	»	/(х2)>2;
»	/И = 3	»	»	»	х8	»	[а, 6],	»	f(xa)>3;
Для М — п »	»	» хп » [а, Ь\, »	/'(х„)>п;
В результате получим ограниченную последовательность точек хх,
х2, хя,..., х,„.... По теореме Больцано — Вейерштрасса (теорема 2,
§ 9, гл. III) из этой последовательности можно выделить сходящуюся
подпоследовательность xrtft->x0. Точка а,., будет принадлежать отрез-
ку [а, Ь] и, следовательно, в ней f (х) непрерывна. Тогда lim f (x„k) =
k -*oo
= f (x0). С другой стороны, точки xn выбирались так, что f (xnk) > nk.
Значит, lim / (x„?e ) —	. Полученное противоречие и доказывает
fe-*C0
теорему.
Замечание. Теорема становится неверной, если в ней отрезок
[а, Ь] заменить интервалом (а, Ь) Так, например, функция /(%)==
= -непрерывна на (0,1), но не ограничена: lim - = оо.
д	X--* + О х
Доказательство не проходит в том месте, где мы утверждали,
что в точке ха функция непрерывна. Для интервала х0 может
совпасть с его концом и f (х0) не будет определено.
Пусть на некотором промежутке X определена функция f (х).
Будем говорить, что эта функция в точке х0 имеет наибольшее
(наименьшее) значение на X, если для всех остальных значений х
выполняется неравенство f (х) f (х0) (/ (х) f (х0)).
Если рассматривать множество значений функции, то наибольшее
(наименьшее) значение функции (если оно существует) будет точной
верхней (нижней) границей этого множества (см. определение точных
границ множества на стр. 23). В случае, когда точные границы
функции являются ее значениями, говорят, что функция f (х)
154
достигает своих точных границ. Однако, как известно, не всякому
множеству принадлежат его точные границы. Если множество
всех значений некоторой функции, заданной на X, не включает
в себя своих точных границ, то такая функция не имеет на X
наибольшего и наименьшего значений.
Пример 5. Функция f(x) = x— Е(х), заданная на [0, й], где
й S== 1, не имеет наибольшего значения на этом отрезке, но имеет
наименьшее значение нуль Мно-
жеством ее значений будет [0, 1],
а точными границами чис та 0 и 1
(рис. 25). Следовательно, можно
сказать, что функция достигает
своей точной нижней и не достигает
своей точной верхней границы.
Пример 6.Функция/(х) = х3,
заданная на ( — 2, -|-3), имеет
своими точными границами чи-
сла— 8 и 27, но они не достига-
ются функцией ни в одной точке
( — 2, ф-3) (рис. 71).
Из этих примеров видно, что
ограниченные функции могут и
не достигать своих точных гра-
ниц. Это происходит из-за того, что
в рассмотренных примерах либо функции не были непрерывными
там, где они заданы, либо области их определения не являлись
отрезками.
Тео рема 4 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [а, й], то среди всех ее значений есть
наибольшее и наименьшее значения.
Иначе говоря, функция f (х), непрерывная на отрезке, достигает
на этом отрезке своих точных границ. Точная верхняя граница
является наибольшим значением функции, а точная нижняя гра-
ница — наименьшим.
Доказательство. Пусть f (х) непрерывна на [в, й]. Тогда по
теореме 3 она будет ограниченной на этом отрезке. Следовательно,
существуют точная верхняя и точная нижняя границы, которые
обозначим соответственно через М и т.
Покажем, что f (х) достигает М. на [а, Ь], то есть существует
такая точка х1; что f(x1) = M. Будем рассуждать от противного.
Пусть такой точки на [п, й] нет. Тогда /(х) <Л4 для всех х из [а, й].
Рассмотрим вспомогательную функцию
Ф (х)~м—?(*)'
Эта функция непрерывна на [а, й] как частное двух непрерыв-
ных функций (причем знаменатель отличен от нуля). Следовательно,
по теореме 3 она ограничена. Пусть ее верхней границей будет
155
некоторое число ц > О, то есть .	, <ф. Тогда Цх)<.М—'.
/и I [X)	ц.
Получилось, что число М------меньшее, чем М, является верхней
границей для f(x). Но это противоречит тому, что М есть точная
верхняя граница функции f(x). Этим и доказано, что существует
точка х1( в которой f(x1) = Al.
Аналогично доказывается, что f (х) достигает и своего наимень-
шего значения, которое равно т.
Следствие. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь\, то совокупностью ее значений будет отрезок [т, М],
где т и М — точные границы функции.
Действительно, по только что доказанной теореме f (х) ограни-
чена на [a, b],	(х) <^М, а по второй теореме Больцано— Коши
любое число Р, взятое из отрезка [т, М], является значением
функции f(x) в некоторой точке хр из [а, &], f(Xp) — P.
Обращаемы внимание читателя на большое сходство данного след-
ствия со следствием из второй теоремы Больцано — Коши. Однако
там было доказано лишь то, что совокупность значений f (х) есть
какой-то промежуток с концами т и М. Сейчас, предполагая функ-
цию f (х) непрерывной на отрезке, мы доказали, что совокупность
значений fix) есть также отрезок.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а, &] и на концах этого
отрезка имеет значения одного знака. Можно ли утверждать, что на [а, 6] нет
такой точки, в которой функция обращается в нуль? Подобрать соответствующий
пример.	Отв Нет.
2.	Имеет ли уравнение х8 + 18х3 + 2 = 0 корни, принадлежащие отрезку
f—1, +Ц?	Отв. Да.
3.	Имеет ли функция х3 — 2х3 х — 2 в Какой-Либо точке отрезка [1, 3] зна-
чение, равное нулю?	Отв. Да.
4.	Имеет ли уравнение х7 — 2х3-|-х2 = 2 хотя бы один корень между числами
— 1 и 2?	Отв. Да.
5.	Принимает ли функция f (х)=2х9 —4х8 + 5х5 + 7 значение, равное 7, в ка-
кой-либо точке отрезка [ — 2, 4-2]?	Отв. Да.
6.	Имеет ли уравнение х7 — 4х6 + х3 — Зх2 = 4 корень, больший 2?
Отв. Да.
7.	Найти приближенное значение какою-нибудь корня уравнения х3 — 2х2 —
— 5х 4-8 = 0 с точностью до 0,01.
8.	Доказать, что функция
(2х при—IsgxsgO,
х+^ при 0<xs£ 1
разрывна в точке х = 0 и тем не менее имеет на [—1,	1] как наибольшее, так
и наименьшее значения. Построить график этой функции.
9.	Доказать, что функция f (х) = sin х на отрезке | —	1 имеет единствен-
ную точку, в которой f(x)=c (где с —любое вещественное число, удовлетворяю-
щее условию | с | < 1.
156
10.	Показать, что любой многочлен четной степени имеет по крайней мере два
вещественных корня, если он принимает хотя бы одно значение, имеющее знак,
противоположный знаку коэффициента при старшем члене.
11.	Имеет ли уравнение sin х—х~р 1 =0 на отрезке [0, л] хотя бы один корень?
12.	Доказать, что функция
,, . f sin—при 2,
Ш-Д х-2 к
(	0 при х = 2
принимает на отоезке [2, Ь] (где b — любое вещественное число, большее 2) все
промежуточные числа между числами /(2) и f(b), однако не является непрерыв-
ной на эгам отрезке.
§ 6. СУЩЕСТВОВАНИЕ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ,
КОРНЯ и СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Понятие функции, обратной по отношению к некоторой фун-
кции у~f(x), дано в глаге II. Там же рассмотрен и вопрос о гра-
фике обратной функции Свойства непрерывной функции, изучен-
ные в предыдущем параграфе, дают возможность доказать следую-
щую теорему.
Теорема. Пусть на некотором промежутке X опреде-
лена непрерывная строго возрастающая функцияy=f(x) с
совокупностью значений У. Тогда на У существует обратная
функция х = ф(у), также непрерывная и строго возраста-
ющая.
Аналогично, для непрерывной строго убывающей функ-
ции y=f(x), заданной на X с совокупностью значений У,
на У существует обратная функция х = у(у), также не-
прерывная и строго убывающая.
Доказательство. Пусть y=f(x) есть непрерывная строго
возрастающая функция на X. Как известно, областью значений
непрерывной функции будет некоторый промежуток У (см. след-
ствие из второй теоремы Больцано—Коши). По условию для
каждого значения у0 из Y на промежутке X найдется такая
точка х0, что f(x0) — у0. Такая точка будет единственной, так как
в силу монотонности в строгом смысле f (хТ) f (х2) при # х3.
Следовательно, каждому значению у0 из Y соответствует опреде-
ленное единственное значение х0 из X. Таким образом, обратная
функция х=ф(у) будет однозначной. Покажем, чтох = ф(у) строго
возрастает. Пусть й<1?2- Введем обозначения: <p(£/i)=Xi, ф(£/3) =
= х2. Тогда =/(х1), y2 = f(x2). Если бы оказалось, что х1^=х2,
то благодаря возрастанию функции y = f(x) мы имели бы t/i2st/3,
что противоречило бы предположению. Следовательно, х}<[х2.
Непрерывность функции х = <р(у) следует из того, что она мо-
нотонна и ее значения сплошь заполняют промежуток X.
В случае строгого убывания функции доказательство анало-
гично.
Замечание. Требование строгой монотонности функции f(x)
существенно. Если бы оно было нарушено, то х = ср(у) могло бы
157
не удовлетворять определению функции, так как нарушилось бы
свойство однозначности. Немонотонную функцию нужно поста-
раться разбить на интервалы монотонности и на каждом интер-
вале строить обратную функцию.
С помощью доказанной теоремы легко доказать существование
арифметического корня п-й степени, где п— любое натуральное
число.
Рассмотрим функцию у = х" при некотором натуральном п. Она
непрерывна и строго возрастает на промежутке [0,+ оо). Непре-
рывность нами установлена в пункте 3, § 2, а строгое возраста-
ние можно доказать непосредственной проверкой условия моно-
тонности. Действительно, для любой пары значений хх и х2
из [О, + '-о), удовлетворяющей неравенству хг < х2, имеем
По следствию из второй теоремы Больцано — Коши множество
значений функции y — xf1, рассматриваемой на промежутке Х =
= [О, -|-оо), представляет некоторый промежуток У. Так как наи-
меньшее значение функции хп на промежутке X равно 0 (оно
получается при х = 0), то 0 и будет левым концом промежутка У.
С другой стороны, хп-> +оэ при -фоо, то есть справа промежу-
ток Y не ограничен. Следовательно, Т=[0,4-оо). Тогда по до-
казанной здесь теореме на [0, ф-оо) существует обратная функ.
ция х = ]/ у. Меняя обозначения, мы можем записать эту функцию
и как
Пг-
1 Уу
Эта функция также непрерывна и строго возрастает на проме-
жутке [0, ф-сю).
Проведенным рассуждением мы доказали теорему о существо-
вании корня: для любого неотрицательного числа а и лю-
бого натурального числа п существует такое неотрица-
тельное число а, что р" = а.
Число называют арифметическим корнем п-й степени
из числа а.
Полезно заметить, что если a 2s 0, то у а!1 = а; в частности, !/а2~
= а. Однако если а< 0, то |Лх2= —а. фГак как мы рассматри-
ваем арифметический корень из а2, то р/"а2 = |а1.
Отметим еще, что если число « — нечетное, то функция //=/"х
определена уже при всех значениях х из ( — ею, ф-оо). Легко про-
П /- —
верить, что и в этом случае функция у х непрерывна и строго
возрастает на всей оси.
С помощью корня вводится понятие степени с рациональным
показателем. Пусть х>0 и г —некоторое положительное рацио-
нальное число.
т
Последнее можно представить в виде д, где т и /г —натуральные
158
tn
числа (см. § 2, гл. I). Определим хг, то есть х"как у^хт,
т
Хп =
Легко проверить, что при таком определении степени с раци-
ональным показателем сохраняются все основные свойства степе-
ней с натуральным показателем. В частности,
хп • хт = х'"т, (Лm = хпт, {ху)п = хпу'1, Y ~ и др.
\У) У
Степень с отрицательным рациональным показателем — г опре-
деляется равенством
х-г=\г(х^О).
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Доказать теорему о существовании и непрерывности обратной функции для
случая строгого убывания.
2. Покажите на примере, прибегнув к графическому представлению функции,
что теорема о существовании и непрерывности функции становится неверной, если
в ней предположить вместо строгой нестрогую монотонность функции.
3. Найти обратную функцию для функции '/ | заданной на [0, -~|-оэ).
Установить область существования и непрерывность обратной функции.
4. Доказать, что всякая функция вида y = a0x2n+1 4-
+ апх 4* где а0, Oj, аг, . . . , ап — положительные числа, имеет обратную функ-
цию, непрерывную и возрастающую на ( — оо, 4-со).
5. Дана функция f (х) =	х3. Показать, что f [f (х)] = х. Какая функция
будет для нее обратной?
6. Найти обратную функцию для функции у
чае обратная функция совпадает с данной?
ct.x [  b
сх4“ d
Оте. f (х).
(асфЫ). В каком слу-
Оте. Прий—ч/.
§ 7.	СУЩЕСТВОВАНИЕ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В главе II (§ 6, п. 5) мы уже познакомились с обратными
тригонометрическими функциями. Однако там не давалось строгого
доказательства их существования. Здесь же мы сможем легко сде-
лать это, опираясь на общую теорему о существовании и непре-
рывности обратной функции.
I.	Рассмотрим функцию t/ = sin х. Она непрерывна и строго
возрастает на отрезкеJ+ Множество ее значений, соот-
ветствующих этому отрезку, заполняет отрезок [ — 1, 4-1]. Следо-
вательно, на основании теоремы о существовании обратной функции
можно утверждать, что для функции t/ = sinx, рассматриваемой на
| ~2 > + 2 | ’ сУЩествУет на [ — 1,4- 1 ] обратная функция у = arc sin х,
также непрерывная и строго возрастающая (см. рис. 37).
159
. Множество ее значений на этом интервале со-
Выбор отрезка |—у, +'>| 113 всс'31 области (—оо, +оо)
существования функции z/ = sinx обусловлен тем, что нам нужен
был промежуток монотонного изменения этой функции, имеющий
максимальную длину. Таковым и является отрезок у, +у|-
Конечно, можно было бы взять и другие промежутки монотон-
ности sinx, например |у, -у | или |^, но обычно принято
брать промежуток [ — у, +у]> так как он наиболее близко рас-
положен от начала координат.
2.	Аналогичными рассуждениями можно доказать, что для функ-
ции y — cosx, строго убывающей на [0, л], существует на [— 1,
+ 1] обратная функция t/ = arccosx, непрерывная и строго убы-
вающая на этом промежутке (см. рис. 37).
3.	Функция у— tgx непрерывна и строго возрастает на интер-
f л . я
вале I — у, +у
ставляет всю ось (—оо, -фоо). Следовательно, на основании тео-
ремы о существовании обратной функции для нее существует на
( —оо, Ц-оо) обратная функция i/ = arctgx, изменяющаяся на ин-
тервале у, +yj, также непрерывная и строго возрастающая
(рис. 38).	г
4.	Аналогично устанавливается, что для функции i/ = ctgx,
убывающей на интервале (0, л), существует обратная функция
//--arcctgA на (-оо, -f-co), непрерывная и строго убывающая
на этом интервале (рис. 38).
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Докажите существование обратной функции t/ = arccosx на отрезке [— 1,
_|_ ]]
2.	Докажите существование обратной функции j/=arcctgx на всей оси (—со,
+ сю)
3.	Сопоставьте сведения об обратных тригонометрических функциях, получен-
ные здесь, с описанием обратных тригонометрических функций в п. 5, §6, гл. II.
4.	Можно ли рассматривать функции sin х, cos х, tg х и ctg х как обратные
тригонометрическим функциям соответственно arcsin х, arccos х, arctg х, arcctg х?
Отв. Нет.
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С ИРРАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
При рассмотрении элементарных функций (§ 6, гл. II) значе-
ние символа а'- при иррациональном р и любом вещественном а> О
осталось нераскрытым. Иначе говоря, осталось неизвестным, что
следует понимать под степенью с иррациональным показателем. Те-
перь этот символ можно определить, воспользовавшись понятием пре-
дельного перехода. При этом мы будем исходить из уже извест-
ного нам понятия степени с рациональным показателем.
160
Сформулируем сначала одно свойство иррациональных чисел,
которое может быть строго доказано i развернутой теории Ес-
тественного числа: для каждого иррационального числа р су-
ществует возрастающая последовательность рациональ-
ных чисел
г1> г2, г3,..„
сходящаяся к ц.
Например, если число ц представлено в виде бесконечной де-
сятичной дроби с целой частью k и десятичными знаками сп
|1 = k,CiC2Ca. . .сп..
то можно принять rn = k,c1c2c3...cn, то есть
г — А । C1 |	I . с3 I	t сп
п 10 ' 100	1000	••• -г )Оп •
Таким образом, в качестве гп мы берем «десятичные приближения
к р» по недостатку. Так как при эгом ,и - гп <	, то ясно, что г,, • и.
Кроме того, zn+i^r„ при всех п '
,’1емма 1. Для любой последовательности рациональ-
ных чисел r-i, г2, Л, .... гп, ..сходящейся к нулю, последова-
тельность аг>, аг*, аг, ..агп, ... {где а>0) сходится к 1,
то есть
lim аГп= 1.
га —♦ со
Д о к а з a i е л ь с т в о. Ограничимся рассмотрением случая, когда
а> 1. Докажем заново, не опираясь на рассуждение из примера 10,
§ 5, гл. Ill, что	при натуральном р - оо Так как Руа>1
Р Г
при любом натуральном р, то можно положить/а — 1 ф-/г, где h> .
Согласно неравенству Бернулли из § 7, гл. Ш, (1 ф-//)р-7й 1-i-рй.
Гюдпавляя h--'i a — 1, получим, 1 ф-р(y'ci — 1), откуда
0 <J/a — 1	.
r	р
1
По теореме о сжатой переменной отсюда следует, что а? —
р	_[	j
— у^а - 1. Но тогда на р — —j--• 1. Из доказанных соотношений
ар
вытекает, что для любого е>0 найдется такое натуральное р0, что
)	__i_
цр»<;1ф-е и а ₽»>1— е.	(1)
Так как гп—• 0, то для всех п, начиная с некоторого	«
Ро
11т	- „1
то есть----< гп <—. Тогда, начиная с того же п, а Р1> <.аГп <
Ро	Ро
6 Бохан и др. —
161
<Za P« и в силу (1) имеем: 1-8<аг“<1 + ?, то есть 1 аГп — 1 ' <8,
что и доказывает лемму.
Лемма 2. Пусть а>()и р — какое-нибудь иррациональ-
ное число. Тогда для любой последовательности рациональ-
ных чисел
Гъ г2, ...........................   (2)
сходящейся к р, последовательность а!\ аг*~, а\ ...» аГп, ...
сходится к одному и тому же пределу А.
Доказательство, а) Если а—1, то лемма очевидна. В этом
случае Л = 1.
б) Пусть а>1. Рассмотрим сначала некоторую фиксированную
неубывающую последовательность рациональных чисел pis;Sp2sS
«^Рз «£ •. • sg рп  • > сходящуюся к р. Тогда
а'>	а°2 «С . .«S (rr,‘'Z...	(3)
Возьмем рациональное число г>р. Тогда для любого п будет
рп < г. Следовательно, а°п С аг, то есть последовательность (3)
ограничена сверху. По теореме о монотонной переменной она имеет
пределом некоторое число A; lim а°п=А. При этом 4>0, так
как а'ч >0 и последовательность (3) — неубывающая.
Возьмем теперь произвольную последовательность рациональ-
ных чисел г,.-—>р. Тогда последовательность рациональных чисел
Л — рь Гч — р2, г3 —р3,.... г„ —р„,... будет сходиться к нулю
и, по лемме 1, lim o’" " f«= 1. Но г/"г/"*г". Следовательно,
п со
lim а'“ = lim • lim аг» ~г" = А.
в) Остается рассмотреть случай, когда 0<о<1. В этом слу-
1
чае положим -~Ь. Тогда &>1 и по доказанному выше для лю-
бой последовательности рациональных чисел га, сходящейся к р,
существует один и тот же предел: lim = В >• 0. Отсюда
1 1
lim аг« = lim -т-== -5 > 0.
Ьгп В
Лемма доказана.
Таким образом, мы получили, что для любой последователь-
ности рациональных чисел r2, rs........ гп,..., сходящейся к р,
последовательность аг', cf*, аГп,... сходится к одному и тому
же пределу А.
Число Л = Пт аГп принимается за значение аи»
<:C = lim аГп, если г„->р.	(4)
Заметим, что формула (4), которую мы приняли за определе-
ние ца в случае иррационального р, может быть доказана и для
случая рационального р. Действительно, в этом случае аГп==а‘х
xarn~v’. Но гп— р->0, а по лемме аГл~!Х—> 1 и по теореме о пре-
деле произведения lim аГп~ а11.
162
При а >• 1 легко проверить, что если г и г' — такие два рацио-
нальных числа, для которых	то аг<а‘'<аг (при д< 1
получится противоположное неравенство: аг > а11 > аг'). Поэтому если
г и г’ — рациональные приближения к р. с недостатком и с избытком
соответственно, то аг и аг' будут приближениями (но уже не обя-
зательно рациональными) к а' тоже с недостатком и с избытком.
Нетрудно показать, что основное свойство степени, выражаемое
тождеством ах'+х" — ах' -ах", сохраняется и для любых вещественных
значений х'и х". Для этого достаточно взять последовательности ра-
циональных чисел г'п -+ х' и г"п х" и перейти к пределу в равенстве
Г' I г*	Г' Г'‘
а п+гп^а п-а ".
Можно доказать и формулу
(ах'),:" = ах'х",	(5)
справедливую при любых вещественных значениях х' и х".
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Сформулируйте кратко, что понимается под степенью с иррациональным
показателем.
2.	Докажите, что если г>р (г— рациональное, р — иррациональное) иа>1,
то ar > аI1, а если г < и, то аг < а'1.
3.	Докажите формулу (а'ф = аяР, где а и р — любые вещественные числа.
§ 9. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
Возьмем некоторую постоянную величину а > 0 в качестве осно-
вания и переменную величину х в качестве показателя. Получим
функцию ах, которая теперь уже определена при всех веществен-
ных значениях х. Эта функция и называется показательной. Таким
образом, показательной функцией называется функция вида
у=ах (а>0),
заданная на множестве всех вещественных чисел ( — со,-|-со). Так
как при а~1 функция 1Х=1 есть постоянная и ее свойства нами
изучены, мы будем в дальнейшем предполагать, что а^ 1
Выясним некоторые свойства показательной функции. Будем
предполагать для определенности, что й> 1 Докажем, что в этом
случае функция ах строго возрастающая Пусть х1<х2. Подберем
такое1 рациональное число г, чтобы xx<v<;x2. Тогда, как отме-
чено в предыдущем параграфе, aXi<Zar, аг<ах-. Отсюда и следует,
что ах' < aXs, то есть ах возрастает.
Теперь докажем, что показательная функция ах непрерывна на
всей оси. Пусть х0 — произвольная точка на (— оо, ф-оо) и дана не-
которая последовательность точек х„ -► х0. При каждом значении п
подберем два рациональных числа г'„ и г”п так, что гп<хи<г„ и
г'п — гп<±- Тогда хп—гп->0 и г'п — х„->0. Следовательно, гп->х0
б*	163
и Гп -► хп По формуле (4) из предыдущего параграфа имеем:
arn ах" и агп -> ах°.
С другой стороны,
arn < ах" < агп.
Тогда по теореме о сжатой переменной аХп-*ах°. Тем самым мы до-
казали, что limav = ar«, а это и означает непрерывность функции ах
Г—Ло
в точке х0.
Так как аг>0 при любом рациональном г, а для любого ве-
щественного значения х существует рациональное число г < х, то
на всей прямой (— оо, ф-оо) Последнее означает, что гра-
фик показательной функции у=аЛ расположен в верхней полу-
плоскости и нигде не пересекает ось ОХ (см рис. 34).
Покажем, что совокупность значений функции ах состоит из
всех положительных чисел. Для этого благодаря следствию из
второй теоремы Больцано — Коши достаточно установить, что
sup ах— ф-оо, inf ах — 0	(1)
Представим величину а в виде а— 1ф-/г, где н >0. По нера-
венству Бернулли при любом натуральном значении п имеем: ап —
= (1 4-ft)"-2s 1 ф-пй, откуда сразу ясно, что а"-*ф-оо при п-^оо.
С другой стороны,	— 0. Отсюда и вытекают формулы (1).
Мы уже проверили, что для показательной функции ах выпол-
нены условия теоремы из § 6 о существовании и непрерывности
обратной функции. При этом областью задания функции будет
вся ось, а совокупностью ее значений — интервал (0, ф-оо). Следо-
вательно, на интервале (0, ф-со) существует непрерывная и строго
возрастающая обратная функция у—\о^ах. Тем самым, в част-
ности, доказано существование логарифма для любого положитель-
ного числа. Отрицательные числа не имеют логарифмов, так как
любая степень числа а(а>0) положительна Число нуль также
не имеет логарифма Таким образом, областью существования ло-
гарифмической функции z/=logax является промежуток (0, ф-оо)
Возьмем теперь в качестве показателя некоторую постоянную
величину ц, а в качестве основания — переменную величину к.
Получим функцию xtx, определенную, во всяком случае, при всех
вещественных значениях х>0, которая называется степенной.
Из определения логарифма и из формулы (5) предыдущего па-
раграфа следует, что (например, при п>1)
^ = (а1(,®«х)а=^-'08«х.
А тогда из монотонности логарифмической и показательной функ-
ций сразу вытекает, что х'х тоже монотонна: возрастает при р > О
и убывает при р < 0. При р = 0 степенная функция обращается
в постоянную: х°=1.
164
Из непрерывности логарифмической и показательной функций
и из теоремы о непрерывности сложной функции (§ 4) вытекает,
что степенная функция также непрерывна. Действительно, х->-х0,
тогда
logex -> logax0, ц logax-+u. logax(), a ,08aX -> a 10SaX°, то есть x‘- xg.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Доказать, что показательная функция ах при а -< 1 является строго убы-
вающей.
2.	Откуда следует, что число нуль не имеет логарифма?
3.	Построить графики функций у = ех и у = е~х.
§ 10.	ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИЙ
ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛОВ
При вычислении пределов функций фактически мы уже неодно-
кратно пользовались их непрерывностью. Так, например, утвер-
ждая, что при x->« sinx -> sin а, х"-> ап, fra и т д.,
мы были правы, поскольку эти функции непрерывны в точке х = а.
Как мы знаем, условие f f (а) при х->а и выражает непре-
рывность функций f (х) в точке х—а.
Непрерывность элементарных функций позволяет нам найти
следующие важные пределы:
Пример 1. lim(!-{- — ) =ех при любом вещественном х.
П-’ОО\ /I /
Так как, считая х#0, имеем:
(последний предельный переход сделан на основании непрерыв-
ности степенной функции*), а при х = 0 доказываемое соотно-
шение очевидно, то требуемое соотношение доказано.
Пример 2. lim	= |Ogoe. Доказать.
JL
Действительно, lim lo— Hm — loga (1 +x) = lim loga(I T-x)z
v-.O x	x —0 x	x —0
и в силу непрерывности логарифмической функции получаем тре-
буемое. В частности, при а — е имеем: lim—-—!—' — I, то есть
х —О х
In (1 4-х)~х.
Пример 3. lim---------=lna. Доказать.
х — о х
Для доказательства этого равенства положим ах— 1 — (5. Тогда
ar=i+ji, х— logo (I 4-3). При х->0 по непрерывности показатель-
* Переменным было п, а показатель х считался постоянным.
165
ной функции ах-+}-, следовательно, f->0 и, пользуясь уже ре-
шенным примером 2, получим:
ах—1	,. fJ	1	.
Jim-----= lim.-----т~а\~=;-----= In °-
x-0 x 0 - о logo 0+W log«e
n	Л |.	(1+*P— 1 n
Пример 4. hm——-----------=p.. Доказать.
x  0 x
Для доказательства положим (1 4-х)11 — 1 = [3. Тогда (I-)-x)|1 =
= 14-p и [x In (1 +Д£) = 1п (1 + ₽). Из первого равенства при х-+0
по непрерывности степенной функции р -> 0. Переходя к пределу
в очевидном равенстве
(1-}-л:)н-—1 р In (14-х)
X In(l-j-p) I1 * X
получим:
..	(14-х)н—1	..
hm а—!—i— = hm
х-О х В-0
р
In (14-Р)
In (14~х)
•р. hm——--..-
х - О х
1  [X • 1 =р
(здесь мы дважды использовали предел, вычисленный в примере 2).
Вычисленные здесь пределы будут использованы в дифферен-
циальном исчислении. С их помощью легко решаются также мно-
гие задачи на раскрытие неопределенностей.
Пример
Пример
Пример
_ ..	In X—1	, In х — In	в 1	,.
5.	lim —— = Inn .............—..- = — lim —
л--*е	X — e	x-f	e x —e	e X
e
1 ,	1 lx ,	\
 — — • 1 sz — I   *— 1 ss= 2 I
e \e j
lim
Z -» 0
In (24-1)
г
n	—
6.	lim E2.= lim cos x 	= 1 -1 = ±
x - 0 tgX X - 0	sin x	n n"
„ ex—ea ,. ea(ex~a— 1)
7,	hm-------= Um —5--------
x —* a x—a x — a x-~a
*= ea In e “ ea.
1	1
..	e г (1 + 2x)3 * —-1	n,. (14- 2x)3 — 1 o 1	2
Пример 8. lim1—*-------— 2 lim *—1—x---— 2 •	.
x-o X	x-o 2x	3	3
е-зх_1
Пример 9. lim —=---
x - О XX
3	e~^-\
jlm---
x x — 0 — 3x
3	.	3
2 ' ne~ 2
Рассмотрим функцию y~uv, где и (u>0) и и —функции, от
одной и той же переменной х. Функция и® в частном случае мо-
жет быть степенной (при постоянной и) или показательной (при
постоянной и). В общем случае она не будет ни той, ни другой,
это совсем новая функция. Мы назовем ее показательно-степенной
функцией.
Пусть и->м0>0 и v->Vq при стремлении х к некоторому пре-
делу. Найдем при этом условии предел иъ. Выражение и” можно
представить в виде
уУ--^lnuv	111 i
166
В силу непрерывности логарифмической функции In и -» In u0 при
ы-*и0. Значит, lim (v • In и) =v9 In u0. А тогда по непрерывности no-
u — u0
V - t’o
казательной функции имеем:
lim uv = lim ev ln “=evoln “• = «"».
U -* Mo и -* «0
v -* va v — Co
. В следующих трех случаях произведение v-\nu представляет
собой неопределенность вида 0-сю: если «о = О и г>0 = 0; «0=1 и
-u0 = iboo; и0 = 4~оо и ®о = 0. Следовательно, в этих случаях и вы-
ражение и® будет также неопределенностью, вид которой обознача-
ется соответственно 0°, Iе0, оо°. Раскрытие этих неопределенностей
возможно только при наличии законов изменения переменных и и v.
Способы раскрытия этих неопределенностей изложены в § 2, гл. VI.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Какие функции /(х) для ограниченной последовательности хя обладают свой-
ством lim f (х„) = / (lim х„)?
2.	Приведите пример функции /(х), для которой из х—х0 не следует /(х) —
—/W-
3.	Непрерывность каких функций использована в следующих соотношениях:
a) lim (х -|- 3)3 = (а -|~ .3)-, б) lim arctg 2х= arctg 1 = 5-?
х— а	I	*
х-»2
4.	Иногда говорят, что «если некоторое равенство /(х) = <р(х) справедливо для
любых значений переменной х, то оно сохранится и тогда, когда вместо х подста-
вим его предел (lira х)». Произведя такую подстановку в тождестве
£	2-Д 4-1*
\ X /	\ X) '
при х — со, показать, что это утверждение может привести к ошибке, если не огра-
ничиваться рассмотрением непрерывных функций.
§ 11. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Частным случаем рассмотренной нами выше показательной функ-
ции у==ах	(см. § 9) является функция у = е\ где за основа-
ние взято число е. С помощью функции ех описываются многие фи-
зические явления, такие, например, как радиоактивный распад, из-
менение атмосферного давления в зависимости от высоты и др.
С помощью этой функции определяются также функции, имеющие
широкое применение как в самой математике, так и в ее приложе-
ниях. Это так называемые гиперболические функции:
sh х=е ~2е (гиперболический синус),
qX I Q-X
ch х=—— (гиперболический косинус),
* Определение функции вида Е (х) и ее свойства даны в § 2, гл. II и в при-
мере 6, §10, гл. Ill, а график —на рисунке 57.
167
th x=
— e x
ex-^e~x
cthx
ex-f-e
ex — e
(гиперболический тангенс),
(гиперболический котангенс).
Из определения гиперболических функций следует, что все
они относятся к классу элементарных функций, так как являются
результатом арифметических действий над показательными функ-
циями вида у = ех и у=е х.
Название «гиперболических» эти функции получили потому,
что Х = сЬхиУ=5Ьх удовлетворяют уравнению гиперболы X2—
_/2=1
Г / ех е~х \2	I ех — е~х \2 eix -|~ 2 -|- eix	eix — 2-|-е“2А Т
[	2 j —	—2	) =	-	4	= 1 ],
подобно тому как тригонометрические функции X — cosx и У— sinx
носят название «круговых» в силу того, что удовлетворяют урав-
нению окружности Х24-У2 = 1.
Названия же гиперболических «синус», «косинус», «тангенс»
и «котангенс» происходят от того, что между ними имеют место
соотношения, во многом напоминающие или совпадающие с соот-
ветствующими соотношениями между тригонометрическими функ-
циями: sinx, cosx, tgx, ctgx. Так, например, thx=~^, cthx =
=	, th х • cth х = 1, ch2 x — sh2 x = 1, sh2 x = 2sh x  ch x, sh (x 4- w) =
shx’	'	1
--shx-cii (/- clix-sh у, и др.
В справедливости этих формул можно убедиться, если восполь-
зоваться определением гиперболических функций. Например,
о, ,	пех — е~х ех-\-е~х 4х—е^х
2shx-chx = 2 —g—	— =—__ =sh2x.
Так как функции ех и е'==-| определены и непрерывны на
(-оо,-|-оо), то по теореме о непрерывности суммы, разности и
частного непрерывных функций следует, что гиперболические
функции sh х, chx, thx и cthx так же определены и непрерывны
на (—оо, 4"°°) (.последняя за исключением точки х==0).
Непосредственной проверкой условия четности и нечетности
функции легко устанавливается, что функции shx, thx и cthx
нечетные, а функция chx четная.
Так как е > 1, то на промежутке [0,функция ех возра-
стает от 1 до 4-оо, а функция е~х = ~ убывает от 1 до 0. Следо-
вательно, на этом промежутке разность ех— ех возрастает от
О до 4-ос. Можно доказать, что сумма ех-\-е~х также оказывается
возрастающей функцией и ее значения изменяются от 2 до+оо.
Отсюда заключаем, что на 10,+со) функция shx возрастает от
О до+со, а функция chx возрастает от 1 до+оо. Из выражения
168
Рис. 72.
следует, что на [0,-|-оо) функция thx также возрастает от О,
оставаясь меньше 1. Поскольку cthx =-^, то, очевидно, функция
cth.v убывает на (0. -:	от -f-oo, оставаясь больше 1.
Полученные нами данные о поведении гиперболических функ-
ций на (0,+со) дают возможность представить их графически на
этом промежутке. Используя же свойства четности и нечетности
функций, можно продолжить эти графики на всю числовую ось
(рис. 72 и 73). Заметим, что из всех гиперболических функций
только одна th х является ограниченной, так как | th х | < 1 или
— 1 <thx< 1. Отметим, что кривая i/- - ch д- или кривая более
(X __ х \
е<г~[-е а) носит название цепной линии. Это
название кривая получила из-за того, что цепь или канат, закреп-
ленные с двух концов, принимают под действием собственного веса
такую форму прогиба.
Уприменения
Доказать справедливость следующих формул:
,	,	>. и , ,	,	,,,,,, th х -k th у
1.	ch (% + у) = ch х  ch у 4- sh х • sh у.	4. th («4-у) = т——
' 1 '	1	' 1	1 4- th х • th у
2.	5. !_№х=	1 .
2	.	ch2 х
„ ch2x-|-l	1
3.	ch2x =--5~~..	6. 1 —cth2x=-rr-,
2	sh2 x
Сравнить эти формулы с соответствующими формулами из тригонометрии, обра-
тив особое внимание на знаки.
169
§ 12. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Пусть на некотором промежутке определена непрерывная функ-
ция y = f(x). Как известно, непрерывность f (х) в точке х0 озна-
мость 6 от х (при одном и том
для той же функции можно
чает существование для лю-
бого е > 0 такого б > О, что
из неравенства 1х—х0|<б
следует неравенство |/(х)—
— f (х„)| < е.
Покажем, что величина 6
может зависеть не только от
выбора е, но и от точки х0,
в которой определяется не-
прерывность. Это легко уви-
деть на графике конкретной
функции, например функции
/(х)=у, заданной на про-
межутке (0, 1). На рисунке 74
показана зависимость б от 8
(в одной и той же точке х0),
а на рисунке 75—зависи-
же е). Но эту зависимость
обнаружить и чисто аналитически.
Действительно, пусть 0<х0< 1. Возьмем б>0 и 6 = min|y,
Покажем, что из неравенства |х —х0|<б следует неравенство
)/.(х) — f (х„) | < е. Так как |х—х0|<б, то—б < х--х„< б и, в ча-
стности, х — Хо> —6 или х>х(1—б. Поскольку бгС^°, ТО X > х0 —
— у, то есть х>|, С другой
стороны,
I(х) f (х0) | =
j •Л «А ц J	<a<aq
и в силу неравенства х>|-
I/(х) — / (х0) | <
I хо ~~ х I	2 __
—У	Ао	ло
2	2	2
Таким образом, мы нашли для
произвольного 8>0 соответст-
вующее ему 6>0, причем из
зависит и от х0.
Покажем теперь, что по е>0 невозможно подобрать соответст-
вующего б >0, не зависящего от х0. Будем рассуждать от против-
но
ного. Пусть е > 0, и допустим, чтое му соответствует некоторое 6 > О,
не зависящее от х0, такое, что из неравенства \х—х01 < 6 следует
неравенство |f (х)—f(x0)!<e. Возьмем на промежутке (0, 1) такую
точку х0, что х0<б, а затем возьмем х так, что 0<х<-гт1—.
1 -f- ех0
Тогда 0<х<х0, следовательно, |х—х(11 < 6. В то же время
Л Xq	Xq Хф
Полученное противоречие убеждает нас в невозможности выбора
б, общего для всех точек х0.
Из способа определения б через е и х0 по указанной выше фор-
муле можно находить и численные значения б в зависимости от е
Г>	4,	1
или отх0. В частности, если хп фиксировать, положив, например, х0 — %,
то для e=^j будет б —для	будет б = у^, и т. д. Если
, “11,
же фиксировать е, положив, например, e = jg, то для x0 = g- бу-
я 1	1 Л я 1
дет o = 5Q0, для хо=1о будет 6 = ^, и т. д.
Полученные значения б можно, конечно, округлять в сторону
уменьшения.
Таким образом, б является функцией от е и х, что обычно
обозначают так:
б = б (е, х).
Поставим теперь вопрос, существуют ли непрерывные функции,
рассматриваемые на некоторых промежутках, для которых по
любому е > 0 находилось бы соответствующее б > 0, не зависящее
от х, то есть одно и то же для всех точек х из рассматриваемого
промежутка.
Ниже будет показано, что при некоторых условиях, налагае-
мых на функцию f(x), выбор б зависит только от е, 6 = 6 (е).
Определение. Функция f (х), заданная на некотором про-
межутке, называется равномерно непрерывной на этом про-
межутке, если для любого е>0 найдется такое б>0, что не-
равенство \f (х') - - f (х"); < е выполняется для любой пары точек х'
и х" из данного промежутка, удовлетворяющих неравенству
\х — х"1 <6.
Равномерная непрерывность функции на промежутке означает,
что в любом месте этого промежутка одна и та же степень бли-
зости значений аргумента х' и х" обеспечивает заданную (выбором е)
близость соответствующих значений функции f(x') и f(x’')-
Понятие равномерной непрерывности функции относится
к наиболее сложным и трудным для усвоения понятиям математи-
ческого анализа. Поясним равномерную непрерывность на сле-
дующей модели. Представим себе, что график заданной непрерыв-
ной функции у = f (х) есть некоторая тонкая, но жесткая сталь-
ная нить. Задача состоит в том, чтобы изготовить такую муфту
171
длины 6 с цилиндрическим отверстием диаметра е (рис. 76), ко-
торая могла бы свободно передвигаться вдоль этой нити от точки
A (a, f (а)) к точке В (b. f (b)), сохраняя при этом положение, при
котором ее ось параллельна оси ОХ. Очевидно, длина 6 такой
муфты будет зависеть только от величины диаметра ее отверстия
е: чем меньше диаметр отверстия е, тем короче должна быть
муфта (меньше б). Если Для заданной кривой (нити) y = f(x)
такую муфту можно изготовить с любым сколь угодно малым
наперед заданным диаметром отверстия е, то функция f (х) равно-
мерно непрерывна на (а, б|. Действительно, в этом случае для
любой napi ’ точек х' и х", удовлетворяющих неравенству х — х"\ < 6,
будет выполняться неравенство \f (х') — f (х") | < е. Пытаясь по-
строить такую модель для функции /(х) = ^ на (0, 1), легко убе-
диться, что она не является равномерно непрерывной на этом
интервале, так как по графику этой функции приблизить муфту
в крайнее левое положение невозможно, какой бы малой длины
б мы-ее ни изготовили (рис. 77).
Теорема (Кантора*). Если функция f(x) непрерывна
на отрезке \а, Ь\, то она и равномерно непрерывна на этом
отрезке.
Доказательство. Допустим противное функция f (х), буду-
чи непрерывной на отрезке [а, 6], не является на нем равномерно
непрерывной. Это значит, что не для всякого 8>0 найдется
таксе б > О, чтобы для любых х' и х", удовлетворяющих неравен-
ству х' —х' < б, выполнялось неравенство | f (х') — j (х") | < 8. А это,
в свою очередь, означает, что существует такое е0, для которого
нельзя подобрать соответствующего 6, то есть, какое бы б мы ни
взяли, найдется хоть одна пара точек х' и х" таких, что
х'—х" । < б, в то время как 1/(х')— f (х") I 80
* Георг К d нго о (1845—1918) — известный немецкий математик, основа-
тель современной теории множесгв.
172
Возьмем последовательность значений 6, сходящуюся к нулю:
Для 6=1 найдутся такие точки x't и х'[, что |xj—xf |< 1,
но \ f «) |Sse0.
Для 0 = 1/2 найдутся такие точки xj и х2, что |х2— х2 | < г/2,
НО \ f(x'i)— f(x"t) |Ss-80.
Для 8 = г/3 найдутся такие точки xj и х3, что \х3 — х3\<1/а,
но |/(Хз)— f (Хз)|2э80.
Для 6 = 1/п найдутся такие точки х'п. и х„, что |хп — Хп\<1/п,
НО If (Хп)— / (х«) I S3 80.
Этот процесс бесконечно продолжаем.
В результате из [а, 6] выделяется две ограниченные последователь-
ности:	>
х;, х.;, xj, .... хп, ...	(1)
4. xi xi ... , Хп, ...	(2)
Из последовательности (1) по теореме Больцано —Вейерштрасса
можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Чтобы не вво-
дить новых обозначений, будем считать, что уже сама последова-
тельность (1) сходится к некоторой точке х0. Покажем, что тогда
последовательность (2) также сходится к х„. Действительно, из
очевидного равенства х’п—х0=х’п—хп + х'п — х„ следует, что \ х’п —
— x0|sg|x^ — Хп | +1 х’п — х01, и так как при п->оо будет | х„ — х„|<;
< —->0 и х'п — Хо -► О, ТО х’п — х0->0.
п	и	v
Функция / (х) по условию непрерывна в точке х„. Следова-
тельно, при п->оо будет f (х'п) -» f (х0) и f (х«)	(х0). Это значит,
что разность I f (хД — f (х,Д | должна стремиться к нулю при п->оо.
Но это противоречит тому, что | f (хД •— f (хД |5=г80 для всех п.
Обнаруженное противоречие и доказывает теорему.
Если в теореме Кантора вместо отрезка [а, рассматривать
игиервал (a, Ь), то теорема перестает быть верной. Это видно хотя
бы из примера функции f (х) = у, рассмотренной нами в начале
параграфа. Функция f(x)=* непрерывна на (0, 1), но не явля-
ется равномерно непрерывной на этом интервале.
Теорема Кантора дает возможность утверждать, что f (х) рав-
номерно непрерывна на [а, 6], как только установлена ее непре-
рывность на этом же отрезке. Однако иногда можно доказать
равномерную непрерывность функции и без теоремы Кантора.
Пример. Известно, что функция f(x) — x2 непрерывна на отрезке [0, 1].
Доказать ее равномерную непрерывность на этом отрезке, не ссылаясь на тео-
рему Кантора.
173
Возьмем любые две точки из [0, 1]: х' и х". Тогда f (х*) — f (х') = х"2 —х'2 =
= (х“’+х') (х'-х'), и так как всегда x’-{-x'sg2, то
|f(x")-f(x')|s=2|x'-x'|.
g
Если теперь взять любое е>0 и положить 6=-^-, то для любой пары точек
х' и х", взятых из -fO, 1] и удовлетворяющих неравенству J х" — х' ,1 < 6, будет
выполняться неравенство | f (х")—f (х') | < е.
А это значит, что функция f(x) = x2 равномерно непрерывна на [0, 1].
В интегральном исчислении используется один факт, который
здесь легко получается в качестве следствия из только что дока-
занной теоремы.
Введем понятие колебания функции.
Определение. Если функция f (х) определена и ограничена
на отрезке [а, Ь], то разность между ее точными границами на
этом отрезке называется колебанием функции на [a, ft], то есть
колебание
(а = М—т, где М = sup f(x), т= inf f(x).
Следствие из теоремы Кантора. Если функция f(x)
определена и непрерывна на отрезке [a, ft], то по заданному е>()
можно разбить этот отрезок на конечное число частей так, что
на каждой из частей колебание функции не будет превышать е.
Действительно, по доказанной теореме /(х) будет равномерно
непрерывной на [a, ft]. Следовательно, по заданному в найдется
такое 6, что для любых точек х' и х", удовлетворяющих неравен-
ству | х' — х" | < 6, будет выполняться неравенство | f (х') — [ (х") | < в.
Если отрезок [a, ft] разделить на такие части, чтобы длина каждой
из них была меньше 6, то, очевидно, на каждой из отдельно взя-
тых частей разность значений функции в любых двух точках по
абсолютной величине будет меньше в. В частности, это справедливо
и для разности между наибольшим и наименьшим значениями функ-
ции на каждой из частей, которая и составляет колебание непре-
рывной функции на этом отрезке.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Следует ли из равномерной непрерывности функции на промежутке обыч-
ная непрерывность на этом промежутке?	Отв. Да.
2.	Доказать равномерную непрерывность функций: a) f(x)=x3 на [0, 1],
б) /(x)=sin х на (— со, -рсо), не используя теорему Кантора.
3.	Доказать, что непрерывная ограниченная функция у = sin — в интервале
(О, 1) не является равномерно непрерывной в этом интервале. Будет ли эта
функция равномерно непрерывной на [1, 2]?	Отв. Да.
4.	Доказать, что неограниченная функция f(x)=x-(-sin х равномерно непре-
рывна на ( — со, 4-со).
5.	Будет ли функция z/ = x2 —Зх равномерно непрерывной на интервале (1, 3)?
Отв. Да.
Раздел II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ГЛ А В А V
ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ
В этой главе центральное место занимают понятия производной
и дифференциала. Исторически эти понятия возникли из практики.
Скорость неравномерного движения, плотность неоднородной ма-
териальной линии, а также тангенс угла наклона касательной
к кривой и Другие величины явились прообразом понятия
производной. Возникнув из практики, понятие производной
получило обобщенный, абстрактный смысл, что еще более усилило
его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления
чрезвычайно расширило возможности применения математических
методов в естествознании и технике. «Лишь дифференциальное
исчисление дает естествознанию возможность изображать математи-
чески не только состояния, но и процессы’, движение» (Ф. Энгельс.
Диалектика природы. К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20,
стр. 587). Таким образом, высшая математика существенно облегчает
диалектический подход к изучению различных явлений действитель-
ности.
Кроме усвоения идейной стороны излагаемых вопросов, эта глава
требует от студента продолжительной работы по овладению техни-
кой дифференцирования. Нужно довести свое умение дифференци-
ровать до такой степени, чтобы дифференцирование элементарных
функций любой сложности не вызывало затруднений. Для этого
необходимо решить большое количество примеров. Помещенные
в конце каждого параграфа примеры для упражнения нужно
рассматривать лишь как небольшую часть всей работы по практи-
ческому дифференцированию. Следует еще обратиться за примерами
к рекомендуемым сборникам задач (см. предисловие).
§ 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Исследование функций является одной из основных задач мате-
матического анализа. Методы и средства исследования все время
развивались и совершенствовались вместе с развитием математики.
Как уже отмечалось, самым важным этапом в этом развитии яви-
175
лось создание дифференциального и интегрального исчисления
(XVII век), давшее в руки математиков совершеннейший аппарат
исследования.
В основе дифференциального исчисления лежит понятие произ-
водной и дифференциала функций. Прежде чем перейти к опреде-
лению производной, рассмотрим
О	Н задачу, решение которой под-
—1ч	J, -----j ведет нас к этому понятию
5	Пусть некоторая материаль-
ная точка М совершает примо-
гии '°-	линейное неравномерное
движение. Предположим, что за
время/0 пройден путь s0, а за время/ — путь« (см. рис. 78). Тогда за про-
межуток времени А/=/ —t0 точка М пройдет отрезок пути As = s — s0.
Отношение ~ называется средней скоростью движения (оср) на уча-
стке пути As, или за время от момента /0 до момента / = /0Ц-А/.
Легко видеть, что с уменьшением дГзначение средней скорости пср
будет меняться, характеризуя движение на все меньшем и мень-
шем участке пути As. Предел отношения при А/->0 называют
скоростью v движения точки М в момент времени /0,
lim
AZ-» О
As
At
V.
(I)
Заметим, что если бы движение предполагалось равномерным,
то величина была бы постоянной и мы имели бы
,. As As
v= um T7 = r/ = Vcn,
Az-»oa< дг
то есть ц = цср.
Рассмотренное нами движение может быть задано некоторым
уравнением движения s = f (О- В этом случае, полагая =
можно представить среднюю скорость оср и скорость v в данный
момент в виде
t-ta '
o = lim
/(О-ЛА,)
t—t0
Говоря о функции, обычно имеют в виду процесс изменения
одной величины в зависимости от изменения другой. При этом
изучение характера изменения неразрывно связано с вопросом
о том, с какой скоростью (насколько быстро) происходит это
изменение.
Понятие скорости, заимствованное из механики, успешно при-
меняется и к исследованию поведения произвольной функции, при-
обретая при этом более общий характер. Для характеристики
изменения функций точно определяется, что понимать под скоро-
стью изменения функции при определенном значении аргумента,
176
то есть в определенный момент ее изменения, и как измерить эту
скорость.
Пусть на промежутке X определена некоторая функция y = f(x).
Возьмем какое-нибудь значение хп из этого промежутка и придадим
ему приращение Хх. Это вызовет соответствующее приращение
функции Xy—f (Хо + Ах) — f (х0). Заметим, что приращение аргумента
может быть выбрано произвольно как по знаку, так и по величине,
однако с таким расчетом, чтобы значение хофАх не выходило
за границы промежутка X. В противном случае f(x04-Ax) теряет
смысл, поскольку вне X функция не определена. Приращение Ху
есть величина, на которую изменилось значение функции y=f (х)
при изменении значения аргумента от х0 до х0 + Ах.
Отношение будет средней скоростью изменения функции на
отрезке [х0, х0 + Ах], а предел этого отношения lim —скоростью
Лл---.О йх
изменения функции при фиксированном значении х = х0.
Определяя скорость изменения функции, мы уже подошли, по
существу, к понятию производной. Дадим определение производной.
Определение. Производной функции y=f(x) в точке х№
называется предел отношения приращения функции в этой точке
к вызвавшему его приращению аргумента при условии, что послед-
нее стремится к нулю, то есть
lim^ = Um
Если такого предела не существует, то говорят, что данная
функция в точке х„ производной не имеет. Впрочем, в случае,
когда предел равен бесконечности определенного знака, условимся
говорить, что существует бесконечная производная.
Функция, имеющая конечную производную, называется диффе-
ренцируемой, а действие нахождения производных называется диф-
ференцированием .
Для обозначения производных пользуются следующими симво-
лами:
у'	(читается: «игрек штрих»),
у'х	(читается: «игрек штрих по икс»),
(читается: «дэ игрек по дэ икс»),
f (х) (читается: «эф штрих от икс»).
В тех случаях, когда желают подчеркнуть, что производная
вычислена в какой-то фиксированной точке х0, пользуются обозна-
чениями f (х0) или 	/
Рассмотренная нами задача о нахождении скорости движения
есть, таким образом, задача об отыскании производной от пути по
ds
времени:	Вообще, какую бы зависимость ни отражала функция
177
y—f(x), отношение ~ есть средняя скорость изменения у относи-
тельно изменения х, а у' есть скорость изменения у при некото-
ром заданном значении х = х0. Например, если f(t), как функция
времени, отражает какой-либо процесс химического соединения или
распада, то производная будет скоростью течения этого процесса;
если f (t) описывает процесс какого-нибудь развития, то f'(t) будет
характеризовать скорость этого развития в момент времени t; если
зависимость скорости некоторого движения от времени дана
формулой и = <р(/), то ф' (t) будет уже скоростью изменения скорости
или ускорением этого движения в момент времени t, и т. д.
Огромное значение производной состоит в том, что при изуче-
нии любых процессов и явлений природы с ее помощью можно
оценить скорости изменения связанных между собой величин.
Поскольку производная в заданной точке есть предел, а предел, как
известно, есть число, то и производная в точке есть также число.
Однако в различных точках значения производной, вообще
говоря, будут различными. Следовательно, производную можно
рассматривать снова как функцию точки.
Из определения производной функции вытекает и способ ее
вычисления. Чтобы вычислить производную функции y — f(x) в неко-
торой точке ху, необходимо:
1)	значению аргумента х = х0 дать некоторое приращение Ах и
получить новое значение аргумента х = х0-фАх;
2)	найти соответствующее приращения функции
Al/ = ] (х„ Ах) — f (х0);
3)	составить отношение (приращение функции к вызвавшему
его приращению аргумента);
4)	вычислить предел этого отношения при Ах-* О, если он суще-
ствует.
Пример 1. Найти производную функции f (х) = угх в точке хц = 1.
1) Дадим значению аргумента х0=1 приращение Ах. Новым значением аргу-
мента
2)
будет 1+Дх.
Найдем соответствующее приращение функции:
Ар =/ (1 + Ах)-f (1) = /Т+Дх- 1.
Составим отношение :
3)
4)
Др i/l+Ax-l
Ах— Ах
Вычислим предел этого отношения при Ах —> 0:
.. &у У1 +Ах-1 1
lim --- =з lim ---—г-----=
Дх—>0	3
(здесь мы воспользовались известным пределом, вычисленным в примере 4, § 10г
•гл. IV). Таким образом, получили, что (1) = -4-.
о
178
Пример 2. Пользуясь определением производной, найти производную функ-
ции (/=х34-3х—4 в точке у=х0.
Дадим значению аргумента х = х0 приращение Дх. Тогда функция у полу-
чит приращение
Ду = [(х0 + Дх)3 + 3 (х04-Дх)—4] —(х^ + Зх0 —4) = х^ + 3х| Ax-f-3x0 Дх2 +
Дх3 -|- Зхд ЗДх—4 — Хо — Зх0 4 = Зх2 Дх Зхо Дх2 Дх3 -f- 3 Дх.
Ду	„	. А
Составим отношение	и перейдем к пределу при Дх — 0:
lim	= lim (Зх2 + Зх0 Дх + Дх2 +3) = Зх2 + 3.
Дх->о Д* Дх—»о
В точке х0 производная равна числу 3xg-f-3, что удобнее записать так:
/' {хо) — Зх2 + 3 = 3 (xg 4~ 1).
Если вместо х0 подставлять различные значения (то есть под х0 понимать раз-
личные точки), то будем получать различные значения производной. В частности,
/' (2) = 3 (22+1) = 15; /'(0 = 6; /'(0) = 3; /' (л) = 3 (л2+1), и т. д.
Выражение /'(х) = 3 (х2-]-1) представляет собой значение производной в про-
извольной точке х, являясь функцией от х.
Пример 3. Пользуясь определением производной, найти производную функ-
ции y=cos5x в некоторой фиксированной точке х.
Дадим некоторому значению х приращение Дх, тогда функция у получит при-
ращение
Ду = cos [5 (х + Дх)] — cos 5х
, 5 Дх\ . 5 Дх
5х —__ 1 sm ___.
„	ДУ	* А
Составим отношение и перейдем в нем к пределу при Дх —0:
ZXX
п . /- . 5Ах\ . 5 Ах
—-2 sm 5х4—sin —к—
\	2 / х
hm ------*---т--------
Дх—*0
ДУ
hm
л.? -!' СХХ
. 5 Дх,
sin —тг—
2 lim
Дх*0
sin
Ax
. 5 Дх
sin —
Дх
n V .	/'г-	, 5Ах\
= —2 lirn sm 5х-|—х— • hm
Дх->0	\	I Дх->0
Итак, получили; (cos 5х)'=—5 sin 5х.
Пример 4. Закон свободного падения тела в пустоте определяется форму-
и ускорение этого дви-
5
2 sin 5х • у — — 5 sin 5х.
лой s=где g—постоянная величина. Найти скорость
жения в некоторый фиксированный момент времени t.
Дадим некоторому значению t приращение Д/. За
[/, /4-Д/] пройденный путь s получит приращение
Ло—£^ + Д^)2 gt2 _2g-t-At-\~g-AP
2	2 ~	2
Средняя скорость движения в течение промежутка [/, t Д/]:
As , , St t, , St\
Скорость движения в момент времени t\
As
v— lim -^5 =
д/-»о At
промежуток
времени
дл t
h=gt’
то есть v = gt.
179
Найдем ускорение рассматриваемого движения, имея в виду, что ускорение
есть скорость изменения скорости V. Для этого некоторому значению t дадим при-
ращение А/. Тогда v получит приращение
At» = g (t + M)—gt=g М.
Среднее ускорение
Ду g Ы
Ускорение
1-	Ду 1-
hm —= hm g=g,
Л/-.0 Д»	д/—о
то есть w—g.
Таким образом, постоянная g, участвующая в формуле свободного падения,
и есть ускорение падения тела в пустоте (g-x. 9,815 м/сек2).
Из того, что среднее ускорение шср оказалось величиной постоянной (не за-
висящей от Л/), вытекает, что в данном случае скорость падения v изменяется
равномерно.
В заключение параграфа отметим, что иногда пользуются поня-
тием так называемой односторонней производной, понимая под этим
„	,.	f (x) — f (х0)	,.	f (x) — f (ха)
односторонний предел	hm	'-.'.——-	или lim	Односто-
x-^Xv-Ci х х0	х-*л-о-|-0 х	-
ронние производные в точке х0 обычно обозначаются символами:,
f' (х0—0) — левосторонняя производная, f <х„ 0) — правосторонняя
производная.
Из существования обычной производной f (х0) следует существо-
вание и равенство между собой односторонних производных /' (х0—0)
и f (л„ • 0). И обратно, если существуют /' (л<, — 0) и f (х„ - 0 ),
равные между собой, то существует и f (х0), равная их общему
значению. Но и при отсутствии обычной производной односторон-
ние производные могут существовать. Например, функция f(x) —
= | sin х в точке х„  0 обычной производной не имеет, так как не
,. I sin х| ! sin х01	,.	| sin х I ,,
существует предела lim i—!-----------— = hm J------1. Что же касается
x-z0	X —Xo	X
односторонних производных в этой точке, то они существуют:
,,, п, ,. I sin х |	, г// , г Isin л-1	. •'
0)= hm Д--—^== —1,	f (4-0)== hm ——t=l.
х-« —0 х	х-»4-0	*
Вопросы для самопроверки ц упражнения
1.	Почему производная от функции есть, вообще говоря, некоторая функция,
в то время как по определению производная есть предел, а предел, как известно,
есть определенное число? Объяснить это на решенных примерах 1—4.
2.	Пользуясь определением производной, найти производные следующих функ-
ций:
а)	у—sin (2х ф5).	Отв. р'= 2 cos (2x4-5).
б)	г/ = Кх24-3.	Отв. у'=
у х24-3
в)	y = e-Xrl.	Отв. у' = 2й2Х+'1.
3.	Определить среднюю скорость движения, заданного формулой
5 = /2_5/ + 2
180
(где s—путь, а I—время), в течение времени: а) от момента t — 5 сек до момента
/ = 15 сек; б) от /=10 сек до t = 20 сек.
Отв. а) уср=15 ед. дл./сек, б) сср = 25 ед. дл./сек.
4.	Закон некоторого движения определяется формулой з = /34-5£2 + 8< — 4,
где s—путь в метрах, a t — время в секундах. Пользуясь определением скорости
движения, найти скорость и и ускорение w этого движения в моменты времени:
а) <=0; б) / = 2; в) t = tn.
Отв. а) п = 8 м/сек, ш = 10 м/сек*, б) v = 40 м/сек, to = 22 м/сек*,
в) о = (3^+10/о + 8) м/сек, ш = (6/о4-10) м/сек*.
5.	Можно ли определить Ду, зная только, что Дх = 2, если: а) у = 3x4-2;
б) у=х*\ в) У — ~^ ? Пояснить ответ чертежом.
Отв. В случае а) можно, Ду = 6. В случаях б) и в) нельзя.
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Истолкование производной с точки зрения механики как ско-
рости изменения функции не является единственной общей иллю-
страцией понятия производной. Можно дать и другое, геометри-
ческое толкование производной. Для этого достаточно проследить,'
каким геометрическим операциям соответствует каждый этап постро-
ения производной в данной точке, если следовать ее определению.
Но прежде чем это сделать, введем понятие касательной к кривой.
Возьмем на некоторой кривой две точки М и N (рис. 79, а)
и проведем секущую М/V. Затем, оставляя точку М неподвижной,
будем двигать точку N вдоль по кривой в направлении к точке М.
Секущая MN при этом будет поворачиваться вокруг точки М. Если
она при MN-^0 стремится к некоторому предельному положе-
нию МР, то это предельное положение секущей и называется каса-
тельной к кривой в точке М.
Дадим более точное определение касательной.
Определение. Прямая МР (рис. 79, а) называется касателы.
ной к кривой L в точке М, если угол ср между нею и секущей стре-
мится к нулю при неограниченном приближении по кривой точки М
к точке М.
181
В элементарной геометрии
обычно определяют касательную
к окружности как прямую, имею-
щую с окружностью только одну
общую точку. Это определение
охватывает лишь частные слу-
чаи кривых. В общем случае
оно не годится. Так, например,
на рисунке 79, б) касательная
имеет три общие точки с кри-
вой, а на рисунке 79, в) пря-
мая имеет одну общую точку
с кривой, но касательной не
является.
Перейдем к геометрическому
истолкованию производной.
Пусть функция f (х) имеет при
х- л-„ производную /'(х0). Покажем, что кривая y=f(x) имеет
в точке М (х0, f(x0)) касательную, причем угловой коэффициент
этой касательной равен значению производной f' (х0). С этой целью
дадим значению аргумента х„ приращение Ах и обозначим через N точку
(х04-Ах, f(x0 + Ax)) (рис. 80). Секущая MN образует с положи-
тельным направлением оси ОХ некоторый угол (5. Как видно из чертежа,
tgP = Z(£o±Aazm = ^ или р = arctg
ь г	Дх	Дх г ® Дх
Если Ал* устремить к нулю, то на графике произойдет следующее
движение:
1)	точка X будет неограниченно приближаться к точке М, дви-
гаясь вдоль по кривой y = f(x),
2)	секущая MX будет поворачиваться вокруг точки .4,
3)	соответственно будет изменяться и угол |J.
Так как по условию производная /' (х0) существует, то, поль-
зуясь непрерывностью функции arctg х, можем записать:
lim arctg =arctg ( lim д- ] == arctg f' (x0).
Дх-0 йх
Но тогда существует и предел lim (5=arctgf (х0), то есть сущест-
Аг-* О
вует предельное значение угла р, которое мы обозначим через а.
А это значит, что существует предельное положение МР секущей MN,
то есть прямая МР является касательной к кривой y = f(x)
в точке М и
arctg/' (х0) = а или f (x0) = tga.
Таким образом, производная функции f(x) в данной точке
х0 геометрически представляет собой угловой коэффи-
циент касательной к кривой y=f(x) в точке (хй, ф(хй)),
то есть тангенс угла между касательной и положитель-
ным направлением оси ОХ.
182
Если в некоторой точке производная обращается в бесконечность,
то это значит, что касательная к кривой в этой точке параллельна
оси ординат. Если же производная в точке равна нулю, то касатель-
ная к кривой в этой точке параллельна оси абсцисс (рис. 81).
Для того чтобы составить уравнение касательной к кривой y = f (х)
в некоторой точке (д-,.. //<>), достаточно написать известное из анали-
тической геометрии уравнение пучка прямых, проходящих через
эту точку:
У—Уп — k (х —х0)	(1)
и вместо k подставить значение углового коэффициента касатель-
ной f (х0).
Получим:
у—Уо=Г W (X—х0).
Прямая, проходящая через точку касания (х0, j0) перпендику-
лярно к касательной, называется нормалью к кривой в этой точке.
Из аналитической геометрии известно, что взаимно перпендикуляр-
ные прямые обладают тем свойством, что их угловые коэффициенты
обратны по величине и противоположны по знаку. Следовательно,
если в уравнении (1) принять & = —777-7, то получим уравнение нор-
/ ИО/
Мали:
У-У»=-гЬ(х~хо)-
Пример 1. Составить уравнение касательной и нормали к кривой у — х3— 5
в точке (2, 3).
Напишем уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку (2, 3):
у—3 = k (х—2).
Чтобы определить, соответствующие значения k для касательной и нормали,
найдем производную ух при х = 2:
Ух = 3х2, у'\х_2 = 3  2“=12.
183
Слёдовательио, для касательной &=12, для нормали k=— Подставляя
эти значения в уравнение пучка прямых, получим:
уравнение касательной у~ 3= 12 (х—2), илиу=12х—21,
о 1 ,	1	19
уравнение нормалиу —3=—^(х— 2), или у —— у^хф- у •
Пусть производная f (х0) не существует, а конечные односторонние
производные /' (х0 — 0> и f (х0 + С) существуют (в этом случае
f (х0 — 0) # f (хоН-О)). Тогда к кривой _у = /(х) в точке (х0, f (х0))
можно провести так называе-
мые односторонние касатель-
ные, которые образуют между
собой некоторый угол. Поэ-
тому сама точка (х0, f(x0))
в этом случае называется
точкой кривой.
|sinx|
нечны,
ствует
(рис. 81,6).
хотя они и
различны
«угловой»
Так, на кривой у
(рис. 82) такой «угловой» точ-
кой является точка х=0. Ле-
восторонней касательной яв-
ляется прямая у— —х, а пра-
восторонней— прямая у = х.
Если же односторонние
производные в точке беско-
по знаку, в точке (х0, f (х0)) суще-
то,
единственная касательная к кривой, параллельная оси OY
Пример
2. Определить угол между касательной к параболе у = у х2 в точке
ОХ.
1, и осью
Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной у'
в точке х= 1, то задача и сводится к отысканию значения производной в этой
точке. Дадим значению Х----1 приращение Дх. Тогда функция у получит прира-
щение
1	t	Аха
Ду = у (1 + Дх)2-у • Р = Дх+	.
„	Ду
Составим отношение -у-
ах
и перейдем к пределу при Дх — 0:
Ду
Дх
Следовательно, угловой
получаем искомый угол
Дх	..	Ду
-S-;	hm —- = 1.
Дх~* о Дх
коэффициент касательной равен 1, или tga = l. Отсюда
а = arctg 1=y-
Условимся .в дальнейшем под углом подъема кривой в некоторой точке пони-
мать угол между осью ОХ и касательной к кривой в этой точке.
Пример 3. Определить угол подъема логарифмической кривой у = logax
в любой точке х и исследовать зависимость этого угла от изменения х.
184
Для определения угла подъема кривой, то есть угла наклона касательной
к кривой, нужно сначала найти угловой коэффициент касательной, то есть про-
изводную логарифмической функции. Дадим некоторому значению х прираще-
ние Дх. Тогда функция у получит приращение
Д'/ = loga (х + Дх) — loga х = 1 oge L—- = loga 11 + —
и
Лг/
Дх
loga +
Дх
Дх\
X /
Поделим числитель и знаменатель этого отношения справа на постоянную ве-
личину х (у нас х^О, так как при х = 0 логарифмическая функция не опреде-
лена) и воспользуемся известным замечательным пределом:
loge(l-|-a) .
lim ——.....-—~=logae.
<i-.o a
Получим
1 , I, , Дх\	. f. , Дх\
..	Д'/	.. х °&а\ х) 1 ..	+ х /	1 .
lim -2.= lim -----------------= — hm —.......\------'= — • log„e,
дх—»оДх	дх—»о	Дх	х дх~>о	Дх - X
х	х
то есть
у х ‘
Из выражения производной видно, что угол подъема логариф-
мической кривой обратно пропорционален значению х: увеличи-
вается при убывании и уменьшается при возрастании х. Можно
также сказать, что логарифмическая кривая по мере удаления х от
нуля вправо все более и более «медленно» поднимается вверх, тай
как угол подъема постепенно убывает, приближаясь к нулю.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Доказать, что производная строго возрастающей функции неотрицательна,
а строго убывающей функции — неположительна.
2.	Какой смысл имеет знак минус у производной, если последнюю рассматри-
вать как скорость?
3.	Под каким углом а кривая y — tgx (см. рис. 36) пересекает ось ОХ?
Отв. а = 45?.
№
4.	На параболе У~~^ есть такая точка, в которой касательная наклонена
к оси ОХ под углом 60°. Найти эту точку. Составить уравнение касательной.
Отв. (2/3' 3), г/ = /Зх-3.
5.	Определить угол подъема кривой у = х3 и исследовать зависимость этого
угла от изменения х. При каком значении х угол подъема кривой равен: а) 0°,
б) 45°, в) 60°?
6. Найти углы
Отв. у' — Зх2.
а) х = 0,
в)
наклона односторонних касательных к кривой
1
/3-
при
при
б) =
( 4 — х
2<х=с4
185
в точке (2, 2). Чему равен угол между этими касательными? Дифференцируема
ли функция в этой точке?
Отв. 45ч и 135°; 90®. Функция не дифференцируема, так как f (2 — 0) ф
ФГ (2 + 0).
§ 3.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПРОСТЕЙШИХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
В дальнейшем будет показано, что дифференцирование любой
элементарной функции сводится к дифференцированию простейших
элементарных функций. Поэтому естественно начать с вычисления
производных простейших элементарных функций.
1.	Постоянная функция: y = f(x)—C, где С—постоянное число.
В данном случае для любых х и Ах будет f(x + Ax) = C и \у =
— Дх + Ах)— f (х) — 0- Отсюда при любом Ах=+0 будет ^ = 0 и,
следовательно, у' = 0. Таким образом, производная постоянной
функции равна нулю.
2.	Степенная функция у=х1\ где н — любое вещественное число*.
Дадим некоторому значению х приращение Ах. Соответствующее
приращение у представится в виде
Сосчитаем
Аг/ = (х + Ах)'1 — х!\
lim
Ах —* 0
Ау
Ах
lim
Дх — 0
(х + Ах)!1—Х11-
Ах
lim х!'- '’
Ах-» 0
(см. пример 4, § 10, гл. IV). Производная степенной функции х*
равна показателю степени р,, умноженному на степень ар-
гумента с показателем, меньшим на единицу, то есть
(Х1')' ==ЦХ;’ +
В частности, если у--х, то у' = 1 • х° =1,
если у — — , то у'==(х~т)'== — 1 • х-а ~
r~.	(TV i	[
если у—ух, то у' = \х2] = у • х 2 =^-р=.
Заметим, что при выводе формулы производной от х‘ мы пред-
полагали, что х>0 (вспомните область определения степенной функ-
ции при произвольном р). Однако при некоторых значениях р функ-
ция х;± имеет более широкую область определения. Например, если
р равно натуральному п, то область определения функции хп сов-
падает со всей осью. Можно доказать, что в этом случае формула
(x")' = nxn~i справедлива для всех х без исключения. Мы вернемся
к этому вопросу в § 5.
* Для функции xi1 область изменения х определяется а зависимости от зна-
чений р (см. § 6, гл. II).
186
Пример 1. Найти производную функции у = х3.
По формуле дифференцирования степени имеем: г/' = 3-х2.
Пример 2. Найти производную функции у=хТх2.
£
Представим функцию в виде г/ = х5‘ Тогда по формуле дифференцирования
степени получим:
,	2	2
У ~	• X 5 = —— .
5	5^Гх3
Пример 3. Найти производную функции у = х~,Тх.
Т	7 4
Как и в примере 2, представим функцию в виде у — х^. Тогда г/'=-,,-.х3
О
7
И
3.	Показательная функция у — ах, где 0<а=£1. Если значе-
нию х дать приращение Ах, то Лу — ах+&х-~ах = ах (а,Хх—1)
, &у .. ал (оДх—1) х at>'x—\
у = Inn hm —Ц:------------ — ах hm —-г—.
дх-од* д^о	д^о Д*
Пользуясь пределом, вычисленным в примере 3, § 10, гл.
лучим:
IV, по-
(о*)'=д*. In а,
то есть производная показательной функции равна самой
функции, умноженной на натуральный логарифм ее осно-
вания.
В частности, если у = е\ то у'—е*.
4.	Логарифмическая функция: y=\og„x, где 0<а=^ 1. Если зна-
чению х дать приращение Ах, то Ау= loga (х+Ах) —loga х и
lim
U-0
lim	= 1 lim
дх-,0 Дх	Ах
X
Пользуясь пределом, вычисленным в примере 2, § 10, гл. IV, по-
лучим:
(logo x)' = ~log0e.
Производная логарифмической функции равна обратной
величине аргумента, умноженной на логарифм числа е при
том же основании.
В частности, если z/ = lnx, то у' = ~.
5.	Тригонометрические функции: sinx, cosx, tgx и ctgx. Пусть
у~sinx. Для этой функции Az/=sin (х-|- Ах) — sinx и
lim = lim
д^—дх->о
sin (х 4- Дх) — sin х
Дх
. Дх
sin
= lim —-г—cos (хф- =
Дх-о	)	2.
2
187
Так как функция cos х непрерывна и lim 1^ то получим!
«-о х
(sin x)' = cosx.
Аналогичными рассуждениями устанавливается, что
(cos х)' = — stnx
(см. пример 3, § 1).
Пусть y=tgx. Тогда
i9=tg(x+Ax)-tgx-g£±^-^ „
lim ___ lim sm IхCOS X —COS (x-t-Ax) SIU Л  
Дх_0Ах	Ax cos (x + Ax) cos x
,. sm Ax
= lim —r-
Длг_о Дх
COS (х + Дх) COS X '
(tg xY
Отсюда, как и выше,
—      secй х
COS2 X
Аналогично доказывается, что
(ctgx)' = —= — cosec® к.
6.	Производная обратной функции. Пусть функция y = f (х) удовлет-
воряет условиям теоремы о существовании и непрерывности обрат-
ной функции (§ 6, гл. IV) и функция х — у(у) является для нее
обратной.
Теорема. Если существует f (хп) =/= 0, то существует
производная обратной функции в точке у0 =/(•*%), причем
то есть производная обратной функции равна обратной
величине производной прямой функции.
Доказательство. Дадим значению аргумента у0 обратной
функции х==ф(у) некоторое приращение Ду#=0. Тогда приращение
этой функции будет Дх. При этом Дх#=0, так как в противном
случае х04-Дх=х0 и в силУ однозначности прямой функции y — f (х)
мы имели бы /(х04-Дх)=/'(х0), то есть Ду = 0. Следовательно, мо-
Лх 1
жем записать: —
by by
bx
Перейдем в этом равенстве к пределу при Ду-► 0 (в силу непрерыв-
ности функции х —ф(у) будет также Дх->0). В знаменателе правой
части получим: f (хо)#=О. Следовательно, существует предел и левой
части. Получим:
или
. В качестве примера найдем производные обратных тригономет-
рических функций.
188
Рассмотрим функцию у — arcsin х на (— 1, + 1). Она будет обрат-
ной для функции x=siny, рассматриваемой на —у, +yj- На
этом промежутке x^ = cos t/=#0. Следовательно,
(arcsin х)' = -J- =	..L = гт== (—1<х<4-1),
COS у у 1 — SIH2 у у 1 — х2
то есть
,	. ,, 1
(arcsin х) = г .
v	/Т-х2
Перед корнем берем знак плюс потому, что cos у > 0 на f— %-, +	.
Функция у = arctgх определена на (—сю, -{-оо) и является об-
ратной для функции х—tgt/. Так как
x^ = sec2i/#=0 на + -”)’ т0 (arctgх)'	=
= _—. (— ОО < х<-4-оо).
14-х2У	'
То есть
(arctg х)' = —.
Аналогично устанавливается, что
(arccos х)' ---7..L..(— 1 < х < + 1),
У I —х3
(arcctgx/ = — уф? (— сю <У <4-оэ).
Поскольку логарифмическая и показательная функции являются
взаимно обратными, то, зная производную одной из них, легко по-
лучить производную другой Так, например, производная показа-
тельной функции у=ах может быть получена следующим образом:
(ах ’ — —_J-------------= у in а = ал • In а.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Найти производные следующих функций:
а)	Ото.у'=— . б) у = Ухг.
в) у—-х},гх. Отв. у' = ~ хУ\. г) у — V х]/~х \гх.
2
Отв. у
3f/x
„ > 7
Отв. у =
2.	Чему равна производная I J/ ^ln cos2 у \ ?
Отв- Равна нулю, как производная постоянной.
3.	Проверьте монотонность показательной функции ах, используя выражение
ее производной.
4.	Получите самостоятельно формулы производных для следующих функций:
-cos х, ctg х, arccos х, arcctg х.
5.	Получите формулу для производной логарифмической функции, пользуясь
производной показательной функции.
189
§ 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬЮ
И НЕПРЕРЫВНОСТЬЮ ФУНКЦИИ
Пусть на промежутке X определена некоторая функция y=f(x),
имеющая в точке х0 этого промежутка конечную производную f (х0).
Так как число f (х0) является пределом переменной при Дх->0,
то последнюю можно представить в виде = f (х0) + а, где а — бес-
конечно малая при Дх->0 (см. § 2, гл. III). Умножая обе части
равенства на Ах, получим:
Xy = f' (х0) Дх + аДх.	(1)
Из этого равенства следует, что Дг/ -> О при Дх -> 0, то есть
бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции. А это зна-
чит, что рассматриваемая функция не-
прерывна в точке х0.
Отсюда заключаем, что из суще-
ствования конечной производной
(то есть из дифференцируемости функ-
ции) следует непрерывность функ-
ции в рассматриваемой точке.
Заметим, однако, что обратное утверж-
дение неверно. Функция может
быть непрерывной в точке, не
имея производной в этой точке.
В качестве примера такой функции может служить функция
f(x) = |x|, изображенная на рисунке 83. В точке х —0 эта
функция непрерывна, так как lim/(x) = /(0) = 0. Производной же
№♦0
в этой точке не существует, так как
Ж-7 Ф)....Jxj
х—0 х ’
lim — ]jm — =—-1,	Hm	lim — —I,
X- — о X x-r — о x	x —+ o x	x—+ o x
i- /(x)-/(0)
и, следовательно, не существует lim
x^O x~u
Существуют непрерывные функции, которые не имеют производ-
ных в нескольких и даже в каждой точке их области определения.
Первый пример непрерывной функции, не имеющей производной ни
в одной точке области определения, был построен Больцано. Ее
график не только нельзя построить, но и мысленно трудно пред-
ставить себе*.
Замечание. В выражении (I) а и Ау будут бесконечно малы-
ми только в том случае, если бесконечно мало Дх. Если же Дх
* О существовании непрерывных функций, нигде не имеющих производных,
можно прочесть, например, в учебнике Г. М. Фихтенгольца [2], гл. XVI, § 2.
190
придать некоторое постоянное значение, то и а, и \у будут также
постоянными. Поясним это на примере.
Пример. Рассмотрим функцию у = х3. Ее приращение в точке х можно
выразить двумя способами:
Ду = (хф-Дх)3— х3 = Зх2 Дхф-Зх Дх2ф-Дх3,
Дг/ = (/'• Дхф-а • Дх = 3х2 Дхф-а • Дх.
Приравнивая правые части и делая возможные упрощения, получим:
а = 3х  Дх-j-х2.
Положим х = 2. Тогда если Дх=1, то а = 7; если Дх = 0,1, то а = 0,61; если
Дх = 0,001, то а = 0,0601, и т. д.
§ 5.	ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
Чтобы вычислить производную от функции, составленной из про-
стейших элементарных функций, нужно знать не только способы
вычисления производных от этих простейших функций, но также
некоторые дополнительные правила, к установлению которых мы
и перейдем.
1.	Постоянный множитель можно выносить за знак про-
изводной.
Пусть у —си, где с—постоянный множитель, а и — какая-то
функция от х, имеющая производную и’ в некоторой точке х0.
Найдем if в этой точке. Для этого дадим значению х0 прираще-
ние Ах. Тогда и получит приращение Au и, следовательно, у полу-
чит приращение Ai/=c(u +Au)—cu = cAu. Получим:
// — lim —lim с-^— = си',
Дх-М)Д* Дх-*0 Да'
то есть
(си)' — си'.
Пример 1. Найти производную функции у-..5х2.
Имеем: г/ = (5ха)’ = 5 • 2х= 10х.
2.	Пусть и, v и w являются функциями от х и в некоторой
точке х0 имеют производные и', v' и w'. Тогда их алгебраическая
сумма y — u + v — w также имеет производную в точке х0 и спра-
ведлива формула
(и + v — w)' = и' + и' — wr,
то есть производная алгебраической суммы равна алгебраи-
ческой сумме производных отдельных слагаемых.
Дадим значению х0 аргумента х некоторое приращение Ах. Тог-
да и, v и w получат соответственно приращения Ди, Aw и Ди/.
Последние в свою очередь вызовут приращение А// функции у:
\у=[(u + Au) + (о + Av) — (w + Ащ)] — (и ф- v — w),
то есть
Д//=Ди ф-Ду— Дщ.
191
Составим отношение поделив почленно последнее равенство
на Дх (Дх 0):
Ди Ли . Av Аи>	,,
- 4- -г--г- .	(1)
Ах Дх 1 Дх Дх	' ’
Перейдем в этом равенстве к пределу при Дх—>0. Так как по
условию существуют lim -г- = и , lim = д- — v , lim д- = w , то
существует предел всей правой части равенства (1). Но тогда
существует предел и левой его части. На основании теоремы о пре-
деле суммы получим:
Ли	I Au , Av Aw\ Ли , Av .. Aw
lim ~ = bm —H—*-1= *Im a— + »m t- — lim t- ,
Дх — (jA* Дх — (Да* &X ! Дх—qA* Дх— 0 А* Ax —
то есть
l/ = u' + if— Ilf,
что и требовалось доказать. Как видно из хода наших рассужде-
ний, число членов алгебраической суммы и распределение знаков
в ней не играет в доказательстве существенной роли. Следовательно,
это правило остается в силе при любой комбинации знаков и любом
числе слагаемых.
Пример 2. Найти производную функции у = 3х2 + 8х— 2cosx — ах
Имеем: i/ = (3x: + 8— 2 cos х — ах)' = (3х2)'4-(8х)' — (2 cos х)' — (ах)' = bx-|-8-f-
+ 2 sin х — ах In а
3.	Если и и v, являясь функциями от х, имеют производные
и' и v в некоторой точке х0, то их произведение y = uv также имеет
производную в этой точке и справедлива формула
(и • и)' — и' • V + и • о',
то есть производная произведения двух функций равна сум-
ме произведений производной первого сомножителя на вто-
рой и производной второго сомножителя на первый.
Дадим значению х0 аргумента х приращение Дх. Тогда мио
получат приращения соответственно Дх и До. Но тогда и функция у
получит приращение Ду
Д у = (ц -р Ди) (у + Av) — u-v = U'V + Au-v + u-Au-yAu'Av — и-с,
то есть
Ау = Дм • v + и • Av + Ди  До.
Поделив почленно это равенство на Дх, получим:
Ду Au , Av , Ли .
~ = v + и • т- + . - Av,	(2)
Ах Дх 1 Дх 1 Ах	' ’
По условию существуют lim д- = м'и lim = if. Кроме того,
из существования и' в точке х0, как известно, следует непрерыв-
ность функции v в этой точке (см. § 4), то есть До->0 при Дх->0.
Следовательно, величина • Av является бесконечно малой при
Дх->0 (как произведение величины, имеющей конечный предел,
192
на бесконечно малую) и ее предел равен нулю. Таким образом,
существует предел всей правой части равенства (2). Но тогда
существует предел и левой его части.
Получим:
Ди .. Ди ,	Ду , /Ди . \	,
11Ш -Л4 = п hm дт + п- hm + lim Ь- • \v i = v-u' + u-if
ДХ_»ОЛ% Дх —Ах — 0ах Дх — 0 \ах >
(и и v в данном случае можно вынести за знак предела как посто-
янные), то есть
lj —V - и' + и- v'.
Пример 3. Найти производную функции i/ = x2sinx.
Имеем:
у' = (х2)'. sin х-{-х2 (sin х)' =2х • sin х-|-х2 cos х.
Заметим, что правило дифференцирования произведения двух
функций легко распространяется и на случай любого числа сомно-
жителей. Так, например,
(и • v • w)' = [(и • v)  ai]' = (u- v)' • w + (u • v) • w' = (u'v + u-t/)u> +
+ U • V  w' = It'  V  W 4- и • v' • W + U • V • Ulf.
Пример 4. Найти производную функции у — ах  In х • tg х.
Имеем:
у' = (ах)' • In х • tg х-\-ах  (1пх)' • tg х—ал' lr?(tg х)' =
,,	.	. 'ix tgx , a*lnx	/,	,	, I , 21nx\
— ax in a in xtg x-(-——--—— = ax tg x Ina In x4--------,
x cos2 x	\	x sm 2x1
производные
имеет также
4.	Пусть и и v — функции от .с, имеющие в точке xlt
и' и v'. Кроме того, v 0. Тогда их частное У===“-
производную в точке хи и справедлива формула
/ и \,_ V  ll'—ll  у'
\V /	У2 ’
то есть производная дроби (частного) равна дроби, у которой
знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а
числитель—разность между произведением знаменателя
данной дроби на производную ее числителя и произведением
числителя на производную знаменателя.
Дадим значению приращение Дх. Тогда и получит приращение
Ди, v получит приращение До. Но тогда и у получит соответ-
ствующее приращение &.у:
А	и 4- Ли	и	и «Ди —и-До
J и 4- Ди	v п(п + Дп)
Разделим обе части этого равенства на Дх:
Ди Ди
V ---------------------------и.--
Ди Дх Дх
Дх v (у + Ду)
перейдем к пределу при Дх-> 0. По условию существуют lim ~ = и'
н lim — Из существования и' следует непрерывность о, то есть
Дх - о ,ХХ
(3)
7 bOXdh И др.
193
&.v -> 0 при Ах-* 0. Следовательно, существует предел всей правой
части равенства (3). Но тогда существует предел и левой части. Полу-
чим:
Ди .. Ди
. v hm — — и hm -г—	,	,
Ди	Дх Дх v-u —u-v
пт =----------г——гтт— =-----------5----->
и  hm (и-рДи)
то есть
, V ' и' — и 'V*
У ~	^2	•
ГТ	К 1-1 "	Ач	X2 4~ ЗХ 4“ 1
Пример 5. Наити производную функции у = —-	.
Имеем:
,	(х+ 1) (X'3 + 3х+ 1)' — (%24-3x4-1) (х +1)' __ (%4-1) (2x4-3)—(х24-3х4-1). 1
У “	(х+1)2	~	(х~Н)3	“
2х2 + 2х+3х + 3 —х3 —Зх—1  х2 + 2х + 2
_ —- ......._ - ____ _
Применим правило дифференцирования произведения к выводу
формулы для производной от х" при натуральном п. Рассмотрим
сначала функцию у = х. Так как при любом значении х и любом
Ах приращение Ау = Ах, то
z/'~ lim =1 при всехх.
Дх —ойх
При произвольном натуральном п представим у = х? в виде
произведения сомножителей х и найдем производную от этого
произведения,
ttf —— ( yr^\r ------------------- (У . V . V y\f
t4 -- у Hz j -——	• A Hz • • • Лj «
п
Очевидно, производная будет равна сумме п слагаемых, в каждом
из которых все сомножители, кроме одного, остаются равными х,
а один сомножитель заменяется своей производной, то есть единицей.
Таким образом, получается сумма п одинаковых слагаемых х’' ', то
есть /г-х" *. Следовательно,
(х”)' = /гхга1.
П р и м е р 6. Правило дифференцирования частного можно использовать для
отыскания производных от функций tg х и ctg х:
.,	,, /sinx\' cos2x+sin3x 1
ftp xY —----= --------5----- =----
V	\COS XJ	COS2 X	COS3 X ’
, ,	,, ZcosxV —sin2 x —cos3 x 1
(ctg x) =    = -------:—-------= —* —:—jr
\sm xJ	sin2x	sm2-X
Пример 7*. Доказать, что если Xj является корнем многочлена /(х) крат-
ности k, то для производной f (х) он будет корнем кратности fe—1.
Пусть многочлен f (х) имеет /г-кратный корень хх. Тогда, как известно из ал-
гебры, этот многочлен можно представить в виде
/(х) = (Х— Хх)*ф (х),
¥ Эту задачу можно временно пропустить, если по высшей алгебре еще не
изучен вопрос о кратных корнях многочленов.
191
где ф (х)—многочлен, являющийся частным от деления / (х) на (х—Xj)ft. Найдем
производную.
f (Х) = k(x—хО*"1 ф (х) + (х — хг)к <р' (х) = (х—х, )Л-1 [6<р (х) + (х—хх) ф' (x)J.
Из последнего легко видеть, что значение х=хг является корнем уравнения
(X— Xj)*-1 [&ф (Х) + (Х — Xj) ф' (X)] = О
кратности k— I, то есть хг является (/г—1)-кратным корнем для f' (х).
Пример 8. Пользуясь правилами вычисления производных,
найти производные гиперболических функций; shx, chx, thx и cthx.
Найдем производную гиперболического синуса. Так как shx =
= ---, ТО
(shx)'=	(ex—e~x)' = ~(ex + e~x) = chx, '
то есть
(sh x)'=ch х.
(Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования разности
и тем, что постоянный множитель можно выносить за знак произ-
водной.)
Производная гиперболического косинуса получается совершенно
аналогично. Предлагаем самостоятельно получить формулу
(ch x)'==sh х.
’ Найдем производную гиперболического тангенса. Так как thx«
sh х
2= —:—, ТО
ch х
... ,, /shxV ch х (sh x)' — sh x (ch x)'	ch2x—sh2x 1
(tnx) —	-	ch2 x	- ch2 x “cWx’
то есть
(thx)'=-4—.
(Здесь мы пользовались правилом дифференцирования частного.)
Аналогично получается формула
(cth х)' =---5^—.
'	' sh2 х
5. Производная сложной функции. Пусть дана функция у = /(х),
где x = <p(f), « существуют конечные производные f (хй) и
<p'Go) (*о=ф(А>))« Тогда у =/|ф G)] =I(t), как сложная функ-
ция от t, будет также иметь производную в точке t0, рав-
ную произведению ft (х0) на <р/ (tn), то есть
(4)
или, короче,
yi = Ух  Xt
(здесь предполагается, что сложная функция F (/) имеет смысл, во
всяком случае, в некотором промежутке, содержащем tu).
7”
195
Дадим значению tn аргумента t некоторое приращение At Тогда
соответствующее значение х0 переменной х получит приращение Ах".
Это в свою очередь вызовет приращение Ду функции y=f(x). Его
можно представить в виде
Ду=f'x (х0) • Дх + а • Ах,	(5)
где а->0 при Дх->0 (см. § 4). Заметим, однако, что если прира-
щение. Д/ мы выбирали по своему усмотрению (Д/=#0), то соответ-
ствующее приращение Ах получилось уже в зависимости от Д/ и
могло оказаться, в частности, равным нулю. В этом последнем слу-
чае равенство (5) теряет смысл, так как а было определено только
при Дх#=0. Чтобы иметь право пользоваться равенством (5) и при
Дх== 0, условимся считать в данном случае и а = 0.
Тогда равенство (5) будет справедливо и при Дх = 0. Разделив
обе части этого равенства на Д/, получим^
&У .. г (у А I „ Дх
(6)
Устремим в этом равенстве А/ к нулю. Так как по условию функ-
ция х=<р(/) имеет в точке /0 конечную производную, то она непре-
рывна в этой точке. Следовательно, вместе с А/ устремится к нулю
и Дх. Но тогда будет стремиться к нулю и а. В этом случае будем
иметь:
lim /а • д'-:О • ф'(Л)- 0.
Таким образом, правая часть равенства (6) имеет конечный предел
fx (х0) (pi (/о). Но тогда имеет конечный предел и левая часть этого .
равенства: lim	= 7у (4).
Предельный переход в равенстве (6) даст равенство (4).
В данном случае переменная у зависела от t через посредство од-
ной переменной х, которую называют промежуточной переменной.
Возможна и более сложная зависимость —с двумя, тремя и боль-
шим числом промежуточных переменных. Однако правило дифферен-
цирования и в этих случаях остается прежним. '
Так, если y = f(x), где х=<р(ы), а и=ф(у) и о = %(0. то произ-
водную y't следует искать по формуле
yi —Ух  х'и  u'v  v't.
Приведем примеры дифференцирования сложных функций.
Пример 9. Найти производную функции у=ех$.
Данную функцию можно представить в виде у = еи, где и=х2. Тогда у'х —
= уи  их=еи  2х. Заменив и на х2, окончательно получим: у' = е*2 • 2х.
Пример 10. Найти производную функции y = tg2yx2+l.
Данную функцию можно представить через простейшие элементарные функ-
ции следующим образом: г/ = «2, где u — tgi', a v — J/ш и tei=x2-pi. Тогда
_	,	1 п 2х tg р х2 + 1 • sec2 У х2 + 1
уг~у„  и„  v„.  w. — 2и  sec2, -—- 2х~-—-..—'----!—.
Ух и 1 Л	2рш	/х2+1
196
В дальнейшем, когда в практике дифференцирования накопится
достаточный опыт, можно будет обходиться и без записи сложной
функции в виде цепочки простейших элементарных, которую легко
держать в памяти, рассуждая следующим образом.
Пусть нужно найти производную от функции
у = In sin Уarctg е3х\
Замечаем, что эта функция представляет собой натуральный
логарифм некоторого выражения. Берем производную от натураль-
ного логарифма по его аргументу, то есть так, как если бы все
выражение, стоящее под знаком логарифма, было независимой пере-
менной. После этого всматриваемся, что представляет собой выра-
жение под знаком логарифма. Это есть, оказывается, синус некото-
рого выражения. Следовательно, нужно взять производную от синуса.
Выражение, стоящее под знаком синуса, есть квадратный корень
от нового выражения. Берем производную от корня. Подкоренное
выражение есть арктангенс —берем производную от арктангенса.
Под знаком арктангенса стоит показательная функция —находим
производную показательной функции. И, наконец, находим произ-
водную от показателя по правилу дифференцирования степени. Запи-
сав в виде произведения полученные результаты дифференцирования,
получим выражение искомой производной:
у' -----=1=^==- • cos [/’arctg e3xl-7=L=-------— etx’  15x*.
sin]/arctg e3*5	2] arctg 1+Л'5
Такой способ дифференцирования более быстро приводит к цели
и по существу ничем не отличается от вышеизложенного способа.
6. Производная показательно-степенной функции. Пусть y = uv,
где и и V — некоторые функции от x(u>0), имеющие в данной
точке производные и' и v'. Эта функция не подходит под известное
нам определение сложной функции (как функции от функции) и
поэтому к ней нельзя применить правило дифференцирования слож-
ной функции. Однако существование ее производной не вызывает
сомнения, так как возможно представление
а производная показательной функции е°|п“ при наших предполо-
жениях относительно и и и существует (см. п. 3, § 3). Дифферен-
цируя ev51,u как сложную функцию от х, „находим-
y'--^(evVnuy =ev Ли (у In u)' = еи1пц (o' In и = иь (o' In «-(- o“--j,
то есть
(и°У — и” In и • v' + vu^u'.
Таким образом, можно высказать следующее мнемони  еское
привило:
Чтобы найти производную показательно-степенной
функции, достаточно продифференцировать ее как пока-
зательную (то есть предполагая основание постоянным), а затем
197
как степенную функцию (предполагая показатель постоянным) и
полученные результаты сложить.
Пример 11. Найти производную функции j/ = (sin x)=os;i.
Следуя выше указанному правилу, получим:
у' = (sin x)cos* In sin x  (— sin x)4-cosx (sin x)C05*—1. cosx =
= (sin .v)’-os^—1 (cos2 x— sin2 x • In sin x).
Пример 12. Найти производную функции
|/ = хЛ‘Л.
Данную функцию можно представить в виде y=xv, где v~xx. К каждой из
этих функций применим правило дифференцирования ‘показательно-степенной
функции. Получим:
у' = xv In х • v' + v • xv~1 = x'v~1 (x • In x  o'4- v),
v' = xx In x-}-x • xxl = xx (In x4-l).
Подставляя в выражение для у' значения v и v', окончательно будем иметь:
у' — ххХ~1 [х  In X • Xх (In Хф- 1)4-ХЛ1 ==ТЛ“'’ гЛ'1 [х • In х (In л +1) + 1].
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Пользуясь правилом дифференцирования дроби, вывести формулы:
(sec х)’ — sec х • tg л j (cosec х)' — — cosec х • ctg х
2.	Найти производную дроби
ax-j~6
cx-f-d
и объяснить,
почему эта производная
будет тождественно равна нулю при ad=bc.
3.	Покажите, что производная от функции у—In i:х тождественно равна еди-
нице. Чем это объясняется?	Отв. В силу тождества lne-v=x.
4.	Покажите, что производная четной функции есть функция нечетная, а про-
изводная нечетной функции есть функция четная.
5.	Найти производные следующих функций:
а)	у = sin 1'1 4- •
6)	//- (tg х)v.
в)	у = х1пх.
г)	у = хх*.
я) x = th (In х).
Отв. у' = —4L== cos Kl 4- х2.
|/14-х2
/	2х
Отв. //'--(tg х)х (In tgx4--r—?
\	Sin х!
Отв. у’= 2х'";' -' х.
Отв. у' — хжа + ’ (2 In х4-1).
л ,	1
Отв.	—-
х ch2 (In х)
§ 6. СВОДКА ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Дадим сводку всех основных формул и правил дифференциро-
вания, полученных нами в предыдущих параграфах. Их нужно
обязательно запомнить, в особенности формулы, отмеченные номе-
рами.
1) Степенная функция-.
(X11)'=	(1)
В частности,
198
2) Показательная функция:	
(ахУ =ах\п а.	(2)
В частности,	
(еху— ех.	(3)
3) Логарифмическая функция:	
(logax)'=4jogae. г ——	(4)
	
В частности,	(1пх)' = —.	(5)
4) Тригонометрические функции:	
(sin х)' = cosx,	.6)
(cos х)' = — sinx,	(7)
(M'-cos**’	(8)
sin2x-	(9)
(sec х)'= secх-tgx,	
(cosec x)' = — cosec x • ctg x.	
5) Обратная функция: если функции y=f(x) и х=у(у)	взаимно
обратны, то	
f' (JC) =	ИЛИ Ух == ^7 •	(Ю)
В частности;	
(arcsin х) —~~	 V t — хг ’	(11)
(arccos х)' = — ==£=,	(12)
(arctg х)'=Гр3?,	(13)
(arcctg х) = —	.	(И)
6) Показательно-степенная функция:	
(uvy = и° In а ©' + © • uvlur.	(15)
7) Сложная функция: если _у=/(х), где x = <p(f), то	
y’t=y'xXt.	(16)
8) Гиперболические функции:	
(shx)'=chx, (chx)'=shx, (thx)' =	(cthx)' =—	1 sh2x’
Общие правила дифференцирования:	
(с)'=0 (с = const),	(17)
{си)' —си',	(18)
{и ± ©)' и' ± г»',	(19)
{uv}' = и' V + U1)',	(20)
/ u\	Dll'— uv*	
\V /	v'1.	(21)
199
Из правил дифференцирования и формул производных простей-
ших элементарных функций следует, что производная любой эле-
ментарной функции есть также функция элементарная. Иначе говоря,
операция дифференцирования обладает тем свойством, что она не
выводит из класса элементарных функций. В дальнейшем будет
показано (см. раздел III), что операция интегрирования, являю-
щаяся обратной для операции дифференцирования, подобным свой-
ством не обладает.
Вопросы для самопроверки и упражнения
В задачах 1—24, пользуясь формулами и общими правилами дифференциро-
вания, найти производные следующих функций:
1. f (х)=х*-Зх3 + 5х2 + 3. Найти f (0), f'(—1), f' (л), f'(a-b).
Отв. f (x) =. 4x3—9x2 + lOx; /' (0) = 0; f' (— 1) = — 23; f' (л) = 4л2 - 9л2 + 10л»
/* (ц — й) (а — Ь) [4 (ц •— Z>)2—9 (ct — b) 4-10].
5x^
2. y=-=----4- 6x. При каких значениях x: a) y'—0, б) y' — 2, в) у' ——2?
О * X*
ч	Отв. a) x=2 и x = 3, б) х=1 и x—4, в) нет таких значений х.
3.		2х-1	Отв.	у’--	14-2х — 2х2	
	У —	X2 — X + 1 '			(Х^ — Х-[- 1)2 ’	
4.		(2 —х2) (3—х3)	Отв.	У'	12 —- 6х “ 6x2 2х3 5х4 —	Зх&
	У	(1 —х)2			“	(1—х)3	•
5.		V 1-Кх	Отв.	У'		
	У	У 1-j-l^X			2/х (14-/х)'	
			Отв.	У'	X	
6.	у —	_i_ In -		 4	х2+1 •					 х4—Г	
7.	У =	In (х • sin х У1 — х2).	Отв.	У'		1_	,	X — 4~ ctg х . л	1 —— X	
8.	у—	х arctg2 -}- sin х2. О	Отв.	У'	, q х	6х	. х . п	п = arctg2 у 4- д—2 arctg j 4- 2х cos х2.	
9.		1+х arctg х	Отв.	У'	__ arctg х	
						
		У 14-Х2				
					(14-х2)2	
10. у-		= 5агс^Ч»/1?4-1)г-				
		Отв. «/' = (/4^4-1)		1п5 (^4-1)  4 /4 2}^х (14-х)	3 у х _		garctg/x *
II. у— In fin (In х)].	Отв. у' = ~.----, ,
”	1 '	"	а xlnx-lnlnx
12. у = In tg — cos х In tg х.	Отв. у'= — sin x In tg x.
13. у=arcsin 1^1 — х2.	Отв. у' —	X-		 |х|У1- x2 X— 1
14. t/ = x1<* -	Z-,	,	""^/Inx , Отв. y'—x
15. i/ = (lnx)\	Отв. у' — (In x)x (4- In In x
200
16.
^=У(х+1)г-
Отв. у'
17.
у = Х^аХ-
18.
v=/l+x2-
19.
20.
21.
22.
2
у = _____arctg
у . |/ fl2_ /,2
1	, х2 + х/2~-|-1	1	, х/2
у = —— In —!-----г—---------7=7 arcctg ——
4/2	х2-х/2+1	2/2	1—х2
y=sh3 х.
у — In (ch х)4-а-J,- -.
»	'	1 2 ch2 х
-оУ/гТпЯ 1	1п(1-Нх)1
-2 / (х+1)2	----------j,
Отв. y' = xs,nx (52^+ Inx-cosxV
Отв. у’ — ™ /1 + х2.
Отв. и' = ——.
а + b cos х
, 1
у' —------.
х*+1
у' — 3 sh2 х ch х.
Отв.
Отв.
Отв.
23.
у' = th3 х.
, _ 1
У ch2x'
у' =eehs v sh 2х.
у = arctg (th х).
у = gch® X,
Отв.
Отв.
25.	Написать уравнения касательной и нормали к кривой у = х* — 3 в точке
(1. -2).
26.	Написать уравнения касательной и
точке ее пересечения с параболой у = 2х3.
27.	На кривой у = х2 — 6х + 3 найти точку, касательная в которой параллель-
на прямой у = 2х—3.
Указание. Воспользоваться тем, что у параллельных прямых угловые
коэффициенты равны. ’	Отв. (4, —5).
28.	Под каким углом пересекаются кривые:
а)	у = х2 и у=/х.	Отв. «i=4p <ха = arctg.
х-фха
3
24.
х — Xs
б)	у— —__
х 7
Отв. у — 4х~-6, у ———-j.
нормали к кривой у = х3 -f- 2х2 — 1 в
х 15
Отв. у = 7х— 5, у ==—~—|—— *
Отв. а = 0.
Jg 2 j.
и
в) х2-р2- 12
к а з а н и е.
и ху = 8.	Отв. a = -g~.
Угол, под которым пересекаются кривые, измеряется углом
между касательными к кривым в точке их пересечения.
7
---------------------------------------------?-----\ выполнено условие fix —
— \4уу' = 5.
30.	Дана кривая 3x2-j-4y2 = 43. Выразить угол подъема этой кривой в любой точ-
ке через координаты точки. Найти угол подъема в точке (3, 2).
/ 9 \
Отв. а = arctg-----=-1.
\ * /
31.	Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, га t секунд пово-
рачивается на угол <f = a-{-bt—ct2, где а, b и с—положительные постоянные.
Определить угловую скорость и ускорение вращения. Колесо осгагавливается,
когда угловая скорость оказывается равной нулю. Определить, когда это про-
изойдет?
Отв. v = b — 2ct, ш = —2с. Колесо остановится в момент t—%-.
2с
201
32.	Точка движется по параболе у — 5 + Зх2 так, что ее абсцисса х изме-
няется с течением времени t по закону х = /3. С какой скоростью изменяется
ордината?	Отв. y't* *= 18 tb.
33.	Закон движения тела дан формулой s — a-\-bt-\-ct2. Показать, что дейст-
вующая сила постоянна.
Указание. Иметь в виду, что ускорение пропорционально действующей
силе.
34.	Лестница длиной а, прислоненная к вертикальной стене, падает, скользя
одним концом о стену, а другим о пол. С какой скоростью опускается верхний
конец лестницы в момент, когда нижний конец, отодвигающийся от стены с посто-
'°v
яннои скощсгью V, отстоит от нее на расстоянии о?	Отв. -..... -.
/ц2-й2
35.	Распад радия происходит по закону R = R0 е~м, где — количество
радия в начальный момент времени ^=0, a R — количество нераспавшегося радия
в момент времени t. Определить закон зависимости скорости распада радия от
времени. Показать, что скорость распада пропорциональна наличному количеству
радия.
36.	Сила постоянного тока определяется как количество электричества, про-
текшее через поперечное сечение проводника в единицу времени. Дать в соответ-
ствии с этим определение силы переменного тока. Определить силу ,,ока в конце
пятой секунды, если известно, что количество электричества, протекшее через
проводник, начиная с момента времени t = Q, дается формулой Q = 2^24-3Z-|-1
(кулонов).	Отв. 1 = 23«.
37.	Точка движется по прямой у = Чх—4 так, что ее абсцисса возрастает
с постоянной скоростью о = 7. С какой скоростью изменяется ордината? Отв. 21.
х8
38.	Точка движется в первом квадранте по кубической параболе 1/
48
отправляясь от точки (0, 0). Какая из координат, х или у, при этом изменяется
быстрее?
Отв. На промежутке (0, 4) быстрее изменяется х, на промежутке (4, +со)
быстрее изменяется у, при х = 4 скорости изменения х и у одинаковы.
39.	Канат висячего моста имеет вид параболы * и прикреплен к вертикаль-
ным опорам, отстоящим одна от другой на 200 м. Самая нижняя точка каната
находится на 40 м ниже точек под-
веса. Найти угол между канатом и
опорными колоннами (рис. 84).
Указание. Сначала по усло-
вию задачи составить уравнение па-
раболы, то есть определить величину
k в уравнении
Рис-	y — kx2.	Отв. а =-5. — arctg у.
40.	Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату вре-
мени. Первый оборот был сделан колесом за~8 сек. Определить угловую скорость
w через 32 сек после начала движения.	Отв. ев —2л радиан/сек.
41.	Два самолета вылетают (не одновременно) из пункта А и летят: один со
скоростью 850 км/час в южном направлении, другой — со скоростью 900 км/час
в западном направлении. С какой скоростью возрастает расстояние между само-
летами во время полета? Какова эта скорость в момент, когда расстояние первого
самолета от пункта А равно 75 км, а второго—180 км?
Отв. о= ,850х + 900г/	t> = 1157— км/час при х = 75, у— 180.
	V^+У2	13
* Как известно (см. § 11, гл. IV), тяжелая нерастяжимая нить, провисающая
под действием силы тяжести, имеет форму цепной линии. Но если провисание
невелико, то ее форма мало отличается от формы параболы.
202
42.	Три измерения кристалла, имеющего форму прямоугольного параллеле-
пипеда, х, у и г (в сантиметрах) равномерно возрастают со скоростями 2 см/сек,
5 см/сек. и 3 см/сек.. С какой скоростью возрастают поверхность и объем кристалла?
Каковы будут эти скорости в момент t, когда измерения кристалла достигнут
величин: х=10, (/ = 4 и г = 7, если при /=0 х = у — г=0? Будут ли поверхность
и объем возрастать также равномерно?
Отв. 5'= 121 смг!сек, И'=294 см^/сек. Поверхность S и объем К изменяются
неравномерно.
43.	В уравнении параболы у — х^-^Ьх-^-с определить числа & и с так, чтобы
парабола касалась прямой у = 2х — 1 при х=1.	Отв. Ь = с = О.
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Зависимость функции у от аргумента х не всегда выражается
формулой, связывающей непосредственно у и х. Связь между ними
может осуществляться и через посредство некоторой третьей пере-
менной t, называемой параметром:
х = Ф(0,
• ;р).
(1)
В этом случае говорят, что функция у or х задана парамет-
рически.
Если х и у рассматривать как прямоугольные координаты точки
на плоскости, то уравнения (1) ставят в соответствие каждому зна-
чению t из некоторой области его изменения [a, |J>| определенную
точку (л\ у) на плоскости. С изменением t точка (х, у) опишет некото-
рую кривую на плоскости. Уравнения (1) называются параметри-
ческими уравнениями этой кривой. Так, например, уравнения
x=acost, 1 Л	/	„ х
, . . } (О	I	2л)
у = osmZ J
суть параметрические уравнения эллипса с полуосями а и Ь, а урав-
нения
x = acost,
y = asint
(0<^2л)
суть параметрические уравнения окружности радиуса а. Параметри-
ческое задание функций удобно тем, что оно дает общую запись
для прямой и обратной функций.
Если в параметрическом задании функции (1) уравнение х=<р(0
решается относительно t, / = Ф(х), то параметрическое задание
функции можно свести к явному: 1/=ф [Ф (.<)] =)(.<).
Но и не решая первое из уравнений (1) относительно t, мы можем
все же рассматривать у как функцию от х, заданную через посред-
ство промежуточной переменной t. Предположим, что функции х =
= Ф (0 и £/ = ф(/) имеют производные, причем ф' (7)	0 (на некото-
ром промежутке). Кроме того, для х = ф(0 существует обратная
203
функция / = %(%), имеющая конечную производную %' (х) *. Тогда,
применяя правила1 дифференцирования сложной и обратной функ-
ций, находим:
y'x = y't-tx — yt -Л,
xt
то есть
= или’ к°Р°че’ Ух==уу
Пример 1. Найти производную функции у от х, заданной параметрически
уравнениями:
х = 2+-С, А
!/ = /2-2/8. /
Используя формулу (2), получим:
у; 2t—6P 2(/-3/2)	/(1-3/)
Ух~х; 2 + 2/	2 (]'+/)	..1"+"/ 
Пример 2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
x=acos3/, )
у = а sin8t, j
называемой астроидой, в точке А, для которой t==~ (рис. 85).'
1)	Находим координаты хну точки А: .
„л />Т'8 2а/2	/K2XS ajr2~
X (1 COSa — == I -I =  х—~~~ z==  --— . U Cl Sin3 — == £1 i —I -----
4	\2/	8	4 ’ °	4	\ 2 1	4 '
2)	Составляем уравнение пучка прямых, проходящих через точку А.
а/2	а/2'\
у-----L—= ,fe(x---!—j.	(2а)
,	а V 2
3)	Находим производную ух в точке х = ———:
у[ За • sin2/ • cos /
‘	У г — —•" — —о—~~—V7"—г-д ™ — tg /;
л xt —За • cos2/• sin/ 1 •
Отсюда заключаем, что для касательной угловой коэффициент fe=—1. Нор-
маль к кривой есть прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через
точку касания. Следовательно, искомой нормалью будет одна из построенного
нами пучка прямых (2а).- Чтобы ее выделить, нужно воспользоваться тем свойст-
вом, что угловые коэффициенты касательной и нормали обратны по величине и
противоположны по знаку. В данном случае для нормали k=l. Подставляя
в уравнения пучка прямых (2а) значения k для касательной и нормали, после
преобразования получим:
.	, а /2
уравнение касательной у — — x-j--—, уравнение нормали у = х.
* Из условия гр'(/) + О можно вывести, что функция х = ср (/) строго моно-
тонна. Тогда существование обратной функции /==^(х) вытекает нз общей тео-
ремы (§ 8, гт. JV) и эта функция дифференцируема (по теореме о производной
обратной ф)нкции).
201
К параметрическому представлению функции приводит решение
многих задач из механики, где координаты движущейся точки
М (х, у) рассматриваются как некоторые функции времени движе-
ния t:
х = ф(/),	у==Ф(0-
В качестве примера рассмотрим задачу о траектории движения тела,
брошенного под углом.
Пример 3 Пусть некоторое тело М брошено под углом <р к горизонту
с начальной скоростью о0. Определить траекторию движения этого тела при усло-
Рис. 85.
вии, что сила сопротивления воз-
духа не учитывается, то есть дви-
жение происходит в пустоте.
Предположим, что в момент
времени t — Q тело М находилось
в начале координат (рис. 86).
Если бы на тело не действовала
сила притяжения Земли, то оно
перемещалось бы равномерно и прямолинейно по прямой ОР и через некоторое
время t находилось бы в точке М' (х0, у0). Пройденный путь s определился бы
по формуле s = OM' = vat, а координаты и уа, точки /И' —по формулам-
у, — ОМ' cos if — v„t cos <p,
y„ — OM' sin <p — v01 sin <p.
Но под действием силы притяжения Земли тело М во время движения будет
несколько отклоняться вниз от прямолинейного пути ОР. Как известно из физики,
путь, пройденный падающим телом в пустоте под действием силы притяжения
Я/2
Земли за время t, равен , где g— ускорение силы земного притяжения. Оче-
видно, за время t величина и будет величиной отклонения движущегося тела
по вертикали вниз от точки М' Следовательно, в момент времени t тело М будет
находиться над горизонтом на высоте
of* <  gt2
У~Уа~2' = Msmcp—у.
Таким образом, координаты движущегося тела выразятся уравнениями:
X = i’o t cos ф,	j
.	?	(3)
I/—Z sin <р —, j
205
которые называются параметрическими уравнениями траектории движения. Пара-
метром является время t.
Исключив t из уравнений (3), получим явное уравнение траектории:
/ =------, y — v0-------sincp—^-7=—;— — х tg ф —	х21
У0СОЗф	О0СОЗф т 2vJ, COS2 ф	2 О2 COS2 ф
то есть
у=—g „ x2 + xtg(p.	(4)
я 2р|соз2ф s t	’
Исследование траектории движения можно проводить как по формулам (3),
так и но формуле (4).
Из (4) видим, что правая часть представляет собой многочлен второй степени.
Следовательно, траектория полета тела, брошенного ь безвоздушном пространстве
под углом к горизонту, есть парабола.
Чтобы определить полное время полета Т (с момента вылета до падения), до-
статочно найти значение t, при котором у = 0. Из (3) получаем:
o/i
о01 sin ф = О,
или
t (о0 sin ф—дН = 0.
Решение fi=0 соответствует началу полета, а =	— kohiiv полета Сле-
й
2о0 sin ф
довательно, Г=——х..
Легко определить также и дальность полета X. Для этого достаючно наити
значение ж, при котором y=Q. Из (4) получаем:
х3 4- х tg ф = О,
2vfi cos2 ф °
или
x(tg<p
g
cos2 ф
Решение
решение
x,=0 соответствует моменту вылета тела и нас не интересует. Второе
tg ф • 2г^ cos2 ф__2 sin ф cos ф______sin 2ф
---------------------------------------------------—
g
является искомым, то есть
о| sm 2ф
Л ~---------
Как видно из полученных формул, полное время Т и дальность полета X за-
вися! от начальной скорости о0 и угла бросания ф.
Опираясь на геометрический смысл производной, можно определить направ-
ление движения тела в любой момент времени t. Для этого достаточно найти вы-
ражение углового коэффициента касательной к траектории движения, го есть вы-
ражение производной у*. Получим:
% s,sin(p- gt	gt
у. = — =---------------= tg ф---------.
А	Uu COS ф	Uo COS ф
Отсюда видно, что направление движения при заданных о0 и ф меняется
,	„	gt п	, tgфП„COSф
с течением времени t; Ул>0 при tg ф — cos ф 10 есть ПРИ	g—- =
206
r* cin Q)	л «	% SID (p
__ u0 01» у Это значит, что при O^t<C—--------- касательная к траектории полета
g '	S
образует с осью ОХ острый угол. Следовательно, данному промежутку времени
. л . sin Ф
соответствует подъем тела: ух = ^ при / —	и> следовательно, касательная
к траектории параллельна оси ОХ. Этому моменту, очевидно, соответствует наи-
л »о sin Ф . 2о0 sin ср /	, 2on sin q>
больший подъем тела; ух < 0 при	<t<—-—1 ^при t=-------------^—2 полет
заканчивается). Это указывает на то, что касательная к траектории полета обра-
зует с осью ОХ тупой угол. Тело опускается.
Любопытно заметить, что, как видно из полученных формул, полное время
полета Т поровну делится на время подъема и время спуска.
В дальнейшем мы снова вернемся к этой задаче (см. пример 15 из упражне-
ний к § 6 главы VII).
Мы видим, что все результаты исследования согласуются с тем, что траекто-
рия полета есть парабола. Заметим, однако, что движущееся тело будет описывать
параболу лишь при условии, когда сопротивление воздуха отсутствует. В про-
странстве, окружающем Землю, сопротивление воздуха оказывает существенное
влияние на полет тела, и поэтому траектория полета не является в точности па-
раболой. Например, задача внешней баллистики (науки о движении в воздухе сна-
ряда, ракеты и т. п.) и состоит в том, чтобы вычислить точную траекторию полета
с учетом сопротивления воздуха и многих других факторов, влияющих на полет.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	В каких случаях функцию, заданную параметрически, можно преобразо-
вать к явному виду?
2.	Преобразовать функцию, заданную параметрически уравнениями х= V t,
y=\nt, к явному виду.	Отв. х = 21пх.
3.	Показать, что астроида, заданная параметрически уравнениями х = а cos3 t,
2	2	2
y = awiat, может быть также представлена уравнением х3 + уЛ = а3, или у ==
{ 1 2\3
= V -
4.	Найти производные следующих функций, заданных параметрически:
а)	х = In (1-|-/2), y=t—arctg/.	Отв.	 _
б)	За/	За/2	Отв.	. /(2 —/3) Ух 1 —2/3 *
	х ~~ J /з >	~	/з •		
в)	x=acost, y = bw\t.	Отв.	, & » . w^=-(jctg /. 1
г)	х = arc sin /, у = arc sin у i — /2.	Отв.	
И)	x = sin/, y = e^cos/.	Отв.	, sin 2/ + 1
			у	cos 2/ '
е)	x — a ch /, у = b sh /.	Отв.	х а
5.	Написать уравнение касательной	к циклоиде х = а	(/—sin/), у = а(1—cos/)
„ . л В точке, для которой * =	.		Отв.	а (л — 4) У-Х 2 •
г-—
6. Определить угол наклона касательной и нормали к кривой х — -^-, у = ]'3t
в точке, соответствующей значению /=1.	Отв. 60“ и 150°.
7. Найти точки кривой, заданной параметрически, х=-2/3— 9/2+12/-~-1,
y—P-\-t-j-1, в которых касательные параллельны оси OY. Ошв. и t — 2.
207
§ 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция y — f(x) имеет в точке х0 конечную производную
f (х,,). В соответствии с выводом, полученным в § 4 этой главы, ее
прирашение Ду в этой точке можно записать в виде суммы двух
слагаемых:
Ду=('(х0) Дх-f-oc-Дх,
где ос->0 при Дх->-0. Очевидно, если Дх считать бесконечно малой,
то оба слагаемые справа будут также бесконечно малыми. Сравним
их с величиной Ду, при условии, что f (х0) =/= 0. Имеют место сле-
дующие равенства:
.. а-Ах
hm —г—
дх—о &У
lim
Дх —0
1 I
ОС • —
Ду
Ах
= 0- 77-J-T=0,
f (Xfl)
,. р (х) Ах
11 m '—у—
Дх —0
f'(x0) • lim -rL ——i.
° Ax —0 Ay f M
&x
Из них видно, что второе слагаемое а-Дх представляет собой
бесконечно малую высшего порядка по сравнению с бесконечно ма-
лой Ду, а первое слагаемое f(x0) • Дх эквивалентно Ду. Слагаемое
f (х0) • Дх получило специальное название дифференциала функции
и специальное обозначение:
f' (х„) Дх = dy.
Таким образом, можно дать следующее определение дифференциала.
Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке
называется произведение производной в этой точке на приращение
независимой переменной:
dy=f(xn')’ Nx.	(1)
Здесь f(x0) может быть и нулем.
К понятию дифференциала можно подойти и несколько иначе.
Примем Дх за основную бесконечно' малую и сравним с ней Ду. Из
определения производной
lim4?
Дх —0	Дх-0ах
(напоминаем, что f (хо)=ДО) сразу следует, что бесконечно малые Ду
и Дх одного порядка, а бесконечно малая /'(х0) Дх представляет
главную и вместе с тем линейную часть бесконечно малой Ду (см.
§ 13, гл. III) (линейная — значит содержащая Дх в первой степени).
Поэтому можно определить дифференциал функции dy и как глав-
ную линейную часть приращения Ny.
Понятие дифференциала в некоторой точке, таким образом, свя-
зано с существованием производной в этой точке.
Поскольку Дх можно брать произвольно, независимо от х, то
значение дифференциала dy будет также меняться, оставаясь про-
208
порциональным значению Дх. Таким образом, дифференциал функ-
ции есть некоторая часть приращения функции, линейно зависящая
от приращения аргумента Дх:
dy — A  Дх.
Дифференциал функции dy отличается от приращения Ду на ве-
личину а-Дх, которая при фиксированном Дх будет величиной по-
стоянной. Но если Дх->-0, то разность Ду—dy-+O и притом «быст-
рее», чем Дх. Эту разность можно сделать сколь угодно малой.
Следовательно, приращение функции можно заменить дифференциа-
лом с любой степенью точности. Для этого нужно только взять
достаточно малое Дх.
Дифференциал функции dy линейно выражается через Дх, в то
время как приращение функции Ду находится, вообще говоря,
в более сложной зависимости от Дх. Покажем это на примере.
Пример 1. Пусть дана функция у = х3. Найдем выражения для Ду и dy
при некоторых значениях х и Дх:
Ду = (х + Дх)8 —- х3 — х3 + Зх2 Дх+Зх Дх2Дх8 — х3 = Зх2 ДхДЗх Дх24-Дх3,
dy=y' • Дх = 3х2 • Дх.
Из подчеркнутого видно, что вычисление Ду связано со значительно большим чис-
лом действий над х и Дх (в том числе с возведением Дх во вторую и третью
степень), чем вычисление dy. Сравнивая правые части,
видим, что а.Дх = Ду— dy = ЗхДх2 4- Дх8, откуда 
а = ЗхДх4-Д№. В частности, если х = 2, Ах —0,1, то
Ду =1,261, rfy=l,2 и Ду — dy = 0,061.	'
Таким образом, с одной стороны, вычисление ।
дифференциала значительно проще, чем вычисление
приращения функции, с другой, dy те Ду и допу-
скаемая погрешность при замене Ду на dy не только х
,	л ,	IД у—dv I
абсолютная |Ду — ау \, но и относительная)—|
(последняя при условии, что }' (х0) Ф 0. то есть dy ф 0), i
может быть сделана сколь угодно малой за счет
уменьшения Дх. Эти обстоятельства позволяют заме-
нять во многих случаях Ду величиной dy, что со-
здает большое практическое удобство.
Пример 2. Найти приращение и дифференциал функции у = х2 в произ-
вольной точке х при некотором значении Дх. Дать им геометрическое истолко-
вание.
Дадим некоторому значению х приращение Дх. Тогда
Ду ==(х4- Дх)2-—х2 = 2х • Дх4- Дх2, dy = уг  Дх = 2х • Дх.
Пусть х>0 и Дх>0. Тогда, как видно из рисунка 87, приращение Ду есть при-
ращение площади квадрата со стороной х, если х увеличить на Дх (все заштри-
хованное). Дифференциал dy есть часть приращения площади того же квадрата
(на рисунке покрыта одинарной штриховкой, то есть Ду без площади маленького
квадратика со стороной Дх).
Пример 3. Найти приращение и дифференциал функции у = х34-2х в точке
х = 2 при Дх = 0,1 и при Дх = 0,01. Найти абсолютную и относительную погреш-
ности, допускаемые при замене приращения дифференциалом.
Ду = ](х 4- Дх)8 4- 2 (х 4- Дх)] — (х3 4- 2х) = Зх2 Дх 4- Зх Дх2 4- Дх3 4- 2Дх,
dy=(3xM-2) Дх.
При х=2 и Дх = 0,1 имеем:
Ду = 3 • 22 • 0,14-3 • 2 • 0,124-0,134-2  0,1 = 1,461,
dy= (3 • 224-2)  0,1 = 1,4.
209
Абсолютная погрешность \&y~dy\ =0,061, а относительная погрешность j ' &у —
0Ж ,	„
= 7^-7= (то есть относительная погрешность будет около 4%).
1,461
При х — 2 и Дх = 0,01 имеем:
Ду = 3 • 22 - 0,01 +3  2 - 0,0124-0,013 + 2 - 0,01 =0,140601,
dy = (3 • 224-2) • 0,01 =0,14.
Абсолютная погрешность | Ду—dy | = 0,000601, а относительная погрешность
Ду — dy I 0,000601 .	п . .
\...- = n . (то есть будет уже около 0,4%).
l\y I Vjl^rvOvi
П р и м'е р 4. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно
изменение, претерпеваемое функцией у — х3—7х24~80 при переходе х от значе-
ния 5 к значению 5,01.
В данном случае будем считать х = 5, а Лх = 0,01. Изменение функции Дук.-
«г dy'  Дх= (Зх2 — их). Дх = (3  б2- 14  5)  0,01 =0,05.
Пример 5. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближенное зна-
® /~ 2—х
чение функции у=1/ 5-7— при х=0,15.
F Z-f~X
При х = 0 значение функции находится легко и равно 1. Остается подсчитать,
насколько изменится значение у при переходе х от значения 0 к значению 0,15.
Произведем приближенный подсчет с помощью дифференциала. Для нахождения
дифференциала данной функции удобнее ее сначала прологарифмировать:
1	2 х
1п у = -= 1п =“*-,
у 5 24-х
Дифференцируем это равенство, рассматривая In у как сложную функцию от х.
Получим:
1 ,	1	24-х	—4
у У -5 5 ‘ 2-х* (24-х)2 ’
откуда
, _ 4у
’’ ~	5(4 —х2)'
Таким образом, имеем:
к j , л 4у  Дх
by	dy = у’ • Дх = р-44—п,
»	» »	5(х2 —4)
Подставляя х=0, у = 1 и Дх = 0,15, получим:
л 4'0,15	„„„
4)~	°-03-
Следовательно,
Ух~о,и — Ух-о + Ду	1 — 0,03 = 0,97.
Если вычислить искомое значение с помощью четырехзначных таблиц, то оно
будет равно 0,9704. Как видим, сделанное нами вычисление достаточно точное.
Пример 6. Найти приближенно sin 60° 3', если уже известно, что sin 60° =
= ^ = 0,866025, a cos 60° = ~.
Решим эту задачу, также используя дифференциал. Пусть у = sinx. Значение у
при х=-= (что соответствует 60°) нам известно. Изменению градусной меры угла
О
3 • л
от 60° до 60°3' соответствует в радианной мере Дх = =т—= 0,000872. Найдем
ои • 1OU	х
210
приближенное значение Аг/ при х=у и Аг = 0,000872:
Ду яэ у' • Дх = cos х  Дх = ~  0,000872 = 0,000436
и, следовательно, sin 60«3' = sin 6ОЧ -f-\у 0,866025 + 0,000436 = 0,866461.
Полученный результат имеет точность, которая обеспечивается только семи-
значными таблицами тригонометрических функций.
Заметим, что для решения задач на приближенное нахождение
значений функции можно получить общую формулу. Пусть y=f(x)
есть функция, имеющая производную f (х) в точке х9. Тогда, если
х — х0 = Дх, то
Ду = ((х)—f(x0) и dy—f (х0)(х— х9).
Так как ky^dy, то f (х) — f (х0) f (х0) (х —х0),
или
f (X) № f (х0) + f' (х0) (X — х0).
Эта формула дает возможность приближенно заменять произволь-
ную функцию, имеющую производную, линейной функцией. При
этом точность при такой замене тем большая, чем ближе х к х„.
Геометрически эта замена означает, что участок кривой f (х) в окрест-
ности точки [х0, f(xoij заменяется отрезком касательной к кривой
в этой точке: у —— Амх—х„), где //„-Д (х.,) , а угловой коэффи-
циент k — f (х0).
В частности, если хп = 0, то приближенная формула запишется
в виде
f(x)^f(O)+r (0)-х.
Подставляя вместо f (х) различные функции, получим, что для х,
достаточно близких к нулю,
sinx^wx, tgx«=>х, е*«а 14-х, In (I t-x)- х, (1 4-х)|Х^ 1 + рх и т. д.
Перейдем к выяснению геометрического смысла дифференциала.
Как уже известно, f (х0) есть угловой коэффициент касательной
PQ к кривой f(x) в точке (х0, f (х0)) (рис. 88). Следовательно,
f (x0)==tga==^7.
С другой стороны, dy = f'(x^kx. Значит, dy = BD.
Таким образом, если изменять аргумент от некоторого значения *х9
к значению х0 4- Дх, то дифференциал функции геометрически
представит собой приращение ординаты касательной PQ,
в то время как приращение функции Ьу — ВС есть прира-
щение ординаты самой кривой y=f(x).
Из-за того, что дифференциал есть главная часть приращения
функции, можно подумать, что дифференциал всегда меньше прира-
щения. Однако это не так. Дифференциал может быть меньше
(рис. 88.), больше (рис. 89) и равен приращению функции. Послед-
нее, например, будет в случае, когда функция является линейной:
y = ax-Jrb. Тогда dy = ку = а • Дх.
211
Дифференциалу функции можно дать и механическое толкование.
Пусть у=Цх) есть „закон прямолинейного движения некоторого
тела (х — время, у —путь) Тогда производная /' (х) есть скорость
движения в момент времени х, а дифференциал dy=f (х)  Дх — путь,
который прошло бы тело в течение времени Ах, если бы оно двига-
лось равномерно со скоростью, равной скорости в момент времени к.
Выясним, наконец, вопрос о дифференциале независимой пере-
менной х. Рассмотрим функцию у — х. В этом случае дифференциал
функции будет одновременно и дифференциалом независимой пере-
менной: dy — dx. Поскольку dy=y' Дх — 1 • Дх = Дх, то получаем:
dx—Дх.
Таким образом, если функция совпадает с независимой перемен-
ной, то ее приращение и дифференциал равны между собой. В связи
с этим, говоря в дальнейшем о дифференциале независимой пере-
менной, будем считать его по определению равным приращению
этой переменной: dx = Ax.
Пользуясь последними соображениями, можно выражение диф-
ференциала функции представить в следующем окончательном виде:
dy~f’ (x)dx.	(2)
Отсюда f'(x) = ^~, то есть производную можно рассматривать и
как частное от деления дифференциала функции на дифференциал
аргумента. И несмотря на то, что dx можно брать произвольно
((/х==Дх), отношение будет постоянным, равным f (х), так как
dy изменяется пропорционально dx и /' (х) является коэффициентом
пропорциональности.
Способ отыскания дифференциала функции непосредственно сле-
дует из его определения. Чтобы найти дифференциал некото-
рой функции, достаточно вычислить ее производную и за-
тем умножить на дифференциал аргумента. Все формулы
212
для отыскания производных легко преобразуются в формулы для
отыскания дифференциалов. Так, например:
1.	d(e) = 0 dx=0 (с = const),	5. d(sin x)=cosx<Zx,
2.	d (х’) = рх11 dx,	6. d (arcsin x) =	,
3.	d(ax) = ax Ina dx,
log„ e	dx
4.	d(loga x) = —— dx,	7. d(arctg х) = удг^> и т- Д-
Правила для отыскания дифференциалов будут выглядеть так:
1. d(cu) = c du, так как d(cu)~(cu)'dx==c(u'dx')==cdu,
2. d(a±v)-=du±dv,
так как d (u±v) = (u±v)' dx = u' dx hv' dx=du±dv,
3.	dfuvy^v dii + u dv,
так как
d(uv) = (uv)' dx=(u'v-)-uv')dx=vu' dx~fuv' dx—vduf-udv,
. .! u\ vdu — udt>
4.	a — = -—-—?---,
так как
vu'— uv' , vu' dx — uv’ (lx vdu — udv
/7 t- =--------f] у ZZ2   ..........-—r _________
UX	V2 UX	V1	— V2
5.	Пусть у есть сложная функция от t, то есть у - fix], где х = ср (/).
Тогда ее дифференциал в случае существования производных у'х и x't
запишется в виде dy—y'tdt, где yt=yx-x't, то есть в виде dy=y'x.<
Xx'/dt. Но x'tdl есть dx и, следовательно, снова dy=yxdx.
Таким образом, получили, что формула (2) верна как в случае,
когда х — независимая переменная, так и в случае, когда х — функ-
ция от новой переменной t. В первом случае под dx понимается
дифференциал независимой переменной (Фх=Дх), а во втором слу-
чае—дифференциал функции (и, как правило, dx Дх). Формула
(2) носит название инвариантной (неизменной) формы дифферен-
циала.
Заметим, что формула (1), также представляющая дифференциал
функции, свойством инвариантности не обладает. Действительно,
если х —функция, то Дх, как известно, вообще говоря, не совпа-
дает с dx и справедливость формулы (2) исключает справедливость
формулы (1).
Инвариантная форма дифференциала имеет существенные пре-
имущества при пользовании ею. Так, например, для функции z/=tgx
дифференциал запишется в виде dz/=sec2 х dx независимо от того,
является ли х независимой переменной или функцией. В случае если
х - функция и конкретно задана, например x=t2, то вычисление
дифференциала dy можно продолжить. Находим дифференциал функ-
ции х (dx=2tdt) и подставляем в ранее полученное выражение для
dy. Будем иметь:
dx— sec2x • 2t • d/=2/ sec2 Z2 dt.
213
Если бы мы пользовались при этом вместо формулы (2) неин-
вариантной формой дифференциала (1), то в случае, когда х— функ-
ция (х=£а), мы не могли бы подобным образом продолжать вычис-
ление dy.
В заключение параграфа покажем еще одно применение диффе-
ренциала функции. С помощью дифференциала можно оценивать
погрешности расчетов по точным формулам, в которые подставля-
ются неточные данные.
Пусть некоторая величина у определяется по формуле y=f(x).
Если при измерении или неточном вычислении величины х допуска-
ется погрешность Ах, то это, в свою очередь, повлечет за собой
погрешность Аг/ вычисления у по данной формуле. Так как при ма-
лых значениях Ах дифференциал dy мало отличается от прираще-
ния Az/, то погрешность при вычислении у можно подсчитать ио
формуле dy—tf  &х. Величина | dy I будет абсолютной, а | — | — от-
носительной погрешностью, допускаемой при определении у по дан-
ной формуле.
Пример 7. Площадь круга вычисляется по формуле S = яг2. При измере-
нии радиус г оказался равным 5,2 см, причем допускаемая максимальная воз-
можная погрешность измерения Аг находится в пределах ± 0,05 см. Определить
абсолютную и относительную погрешности, допускаемые при вычислении площади
круга по указанной формуле.
Абсолютная погрешность:
| AS |	| dS | = | 2лт dr | «5 2я • 5,2  0,05 = 0,52л =« 1,63.
Относительная погрешность:
I dS I I 2лг dr I _ | dr
I S I I лг2 I I r
Оказалось, что относительная погрешность равна удвоенной относительной
погрешности при измерении радиуса. В числах получим:
I dS I о I dr I	0.05	1
I S I	I г I ~~	5,2	52 ’
то есть относительная погрешность не превосходит 2%.
Замечание. Понятия абсолютной и относительной погреш-
ности встретились в этом параграфе дважды —в данном примере и
в примере 3. Однако речь шла о разных вещах. Если в примере 3
мы находили абсолютную и относительную погрешности приближен-
ного равенства dy--i\y, то в данном примере само AS представляет
собой величину погрешности при вычислении площади S, и мы
оцениваем эту погрешность приближенно с помощью дифференциала,
пользуясь тем, что dS«rAS.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Найти дифференциалы следующих функций:
a) y = x3sm Ах.	Omg. dy = 3x2 (sin 3x-}-xcos3x) dx.
1	, x	dx
6)// = -arctg-.	Ome.dy=^-^. x
в) у = —.	Отв. dy = 2- dx.
KF	W x
214
2. Известно, что и, v и w—дифференцируемые функции от х. Найти дифферен-
циал функции у, если:
a) y = u-v-w.
и2
Отв. dy = v- w-du-j-u-w-dv-j-u-v- dw.
_	2u ,	! u\2 ,
Отв. dy = — du—[ — dv.
„	, du + dv
Отв. dy = ~—:—r.
я	2(« + v)
ащение и дифференциал функции у = 2х3 — Зх в точке х=1
1 и Дх = 0,01. Найти для каждого из этих значений Дх абсо-
I hy-—dy I
—. кото-
I Ду I
в) y = \nVu + V.
3. Найти прира:
при Дх=1, Дх = 0,1
лютную погрешность | Ду — dy\ и относительную погрешность
рые допускаются при замене приращения дифференциалом функции. ~
Отв. При Дх=1; Ду =11; dy = 3; абсолютная погрешность 8: относитель-
Ду = 0,362; dy = 0,3, абсолютная погрешность 0,062; от-
Дх —0,01; Ду = 0,0306; dy = 0,03; абсолютная погрешность
Отв. При Дх=1;
ная При Дх = 0,1;
1 г,
носительная «= При
О
0,0006; относительная .
4.	Найти приближенно значения функций:
a) f (х) = (х —З)2 (х —2)8 (х —4) при х= 4,001; б) f (х) = х In	2) при х = 3,015;
в) / (х) = j^3x3-]-2x — 4 при х—1,001.
Отв. а) / (4,001) д» 0,008; б) f (3,015) »= 0,045; в)/(1,001)1,0015.
5.	Найти приращение и дифференциал площади круга 8 = яг2 при некото-
ром приращении радиуса. Дать им геометрическое истолкование.
Отв. Д5 = л (г-ф-Дг)2 — лг2 = л(2г Дг-|-Дг2)=2яг Дг4-лДг2 — площадь кольца,
содержащегося между концентрическими окружностями радиусов г и г + Дг, dS =
«=2лг • Дг —площадь прямоугольника с основанием 2лг и высотой Аг.
6.	Вычислить приближенно значения: У*27,0081, sin 29°-, cos 151° и tg48°41'.
Полученные результаты сравнить с табличными.
Отв. УйдаГ «3,0003, sin 29° я» 0,4849 (по табл. 0,4848), cos 151° =»
«=-0,8747 (по табл.-0,8746), tg 44* 41' ««0,9889 (по табл. 0,9890).
7.	Цилиндр, диаметр которого был 10 см, высота — 20 см, при шлифовке боко-
вой поверхности потерял в весе 2 г. Насколько уменьшился его диаметр, если
удельный вес вещества цилиндра 2,5? Отв. Диаметр уменьшился на .
1
8.	На сколько уменьшится величина степени З4, если основание уменьшится
на 0,0063?	Отв. Ду «=0,6804.
9.	Сила тока 1 определяется, как известно, по тангенсгальванометру из фор-
мулы
/ = fe-tg <р.
Пусть dtp—ошибка, допущенная при отсчете угла ф. Найти абсолютную и отно-
сительную погрешности при определении 1. При каком значении угла ф относи-
тельная погрешность будет минимальной?
I d/ I I k	112	I
Отв. — = ---------------dtp = -—=- dtp .	Минимум при ф = 45s.
| I I | я соь2 ф • tg ф	| j sin 2ф	|	r -r
10. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближенное значение функ-
ции у=х6 — 2х4-]-Зх3 — 4х2-ф6 при х=1,001.	Отв. у «=3,998.
11. С какой относительной погрешностью допустимо измерить радиус R шара,
чтобы объем его можно было определить с точностью до одного процента?
Отв.	1 = 41-1 (=£0,33%).
215
12.	Период качания маятника вычисляется по формуле Т — л1/ 1 где I —
Т 8 ’
длина маятника, g — ускорение силы тяжести (g = 980 см/сек2). Какое влияние
на погрешность при вычислении периода Т окажет погрешность в один процент
при измерении: а) длины маятника I, б) ускорения g?
Отв. В обоих случаях относительная погрешность составляет
около 0,5 %.
13.	Ход стенных часов регулируется маятником. Передвигая груз маятника,
можно изменять его «приведенную длину» I (см), от которой зависит период
качания Т (сек) маятника, согласно формуле, приведенной в задаче 12. Часы
спешат вследствие того, что маятник совершает одно качание в течение 0,499 сек
вместо того, чтобы совершать его в течение 0,5 сек. На сколько должна быть
увеличена длина I, чтобы правильный ход часов был восстановлен?
Указание. Решение задачи сводится к нахождению дифференциала dl из
,	, gT2	0,98	„ ,
формулы I ~	Отв. М я» —я= 0,1 см.
14.	По данному расстоянию d светящейся точки от оптического центра двоя-
ковыпуклого стекла может быть вычислено расстояние ее изображения согласно
, 1 , 1 1
формуле -j у — -р, где /-—постоянная для данного стекла и данного сорта
лучей. Как влияет погрешность в измерении d па погрешность в вычислении /?
Отв. |Д/| = С| Ad |,| 4|=4-|лг
и4	/ did
§ 9. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Как уже выяснялось в § 1 этой главы, производная функции
в некоторой точке является, в свою очередь, функцией этой точки.
Следовательно, по отношению к ней можно снова ставить вопрос
о существовании и нахождении производной.
Определение. Производная от производной некоторой функ-
ции называется производной второго порядка или второй
производной. Производная от второй производной называется
производной третьего порядка или третьей производной,
и г. д.
Производные, начиная со второй, называются производными выс-
шего порядка и обозначаются:
у", У'". У{П\ у^, у'”,	у^, ... , *
или
d2y (Ру d3y (Ру d3y	dny
dx2’ dx3’ dxi’ dx3’ dx3’	dxn	>
Производная n-го порядка есть производная от производной
(п—1)-го порядка, то есть у1"1 = (у(л-1))’- Заметим, что у', которое
раньше мы называли просто производной, называют также произ-
водной первого порядка.
* Иногда при записи производных высших порядков пользуются обозначе-
нием ухх, Уххх и т. д.
-	Л Л Л
216
Второй производной можно дать механическое толкование: /’(х)
есть ускорение изменения функции по сравнению с изменением ар-
гумента. Выше мы фактически уже пользовались второй производ-
ной при отыскании ускорения движения. В дальнейшем будет по-
казано, что вторую производную можно использовать и для геомет-
рической характеристики функции, например при определении
направления вогнутости кривой, ее кривизны и т. п.
Пример 1. Пусть дана функция у=х3. Ее производная у'=3х*
есть снова степенная функция, имеющая производные у" = 6х, у"' —
=6, ^lv)=0. Все производные, начиная с четвертой, равны нулю.
Пример 2. Если (/ = ]/ 2х — х2, то
' _ 2~2х = 1 —*
У ~2/2х —х2 /2х —х2 ’
(— 1) V2х—X2 — (1 — х)	~=г
„	’________________ /2х — х2 _ — 2х+х2 — (1 — х)2	—1
У ~	2х—х2	~ (2х —х2) 1/27=^ —	А."
(2х — х2) 2
_3	5
У”' = -	(2х —х2)”2 (2-Зх) = -^—Ц. и т. д.
"	р.
(2х — х2) 2
Пример 3. Рассмотрим многочлен n-й степени:
у = пох" -f- </rvn| 4- (?2х"’2 4-... 4-	„х- 4- а„^х 4- ап.
Последовательно дифференцируя, получим:
у' = c/y/ix” ! <4 (л — 1) х” 2 	(« — 2) п~3 4*... 4~ йл„2  2х 4~	,
yv = сцп (/z — 1) х" 2 4- (/г — 1) (и — 2) х" 2 • и2 (н —-2) (// — 3) хп 2 4“
4-...4-«л-s-2, и т. д.
Легко видеть, что на л-м шагу получим:
у^=аоп(п— 1) (п — 2) (п — 3)...3-2-1, то есть
#(га) =а0 • п\ — постоянная.
Что же касается производных порядка выше п, то все они равны
нулю.
В некоторых случаях можно получить общий вид /г-й производ-
н ой, по которому сразу записывается производная любого иоряд-
ка (предшествующие производные при этом не вычисляются).
Пример 4. Для функции у-=ех имеем у' = ех, у" ==ех,у"'=ех,....
Следовательно, можно сказать, что
(ех)(Я)==ех
для любого п.
Пример 5. Для функции z/ = sinx имеем: i/' = cosx, у" =
~—sinx, У”— —cos х, z/(lv)=sinx, z/(V) = cosx, и т. д.
217
Эти производные можно представить также в виде:
у' = cosх = sin (х4- -£), у" — cos (x4--£) = sin [x-j-2-^
y'" — cos fx4-2--^ = sin[x + 3-~\,
yW — cos [x + (n— 1) ~2~j = sin (x + n- yj .
Таким образом, производную любого порядка от sin х можно
вычислять по формуле
(sin х)(“> —sin (х + п^-).
Например, (sinx)(10) = sin^х-}-10--~-^ = sin(x-f- л) ——sinx.
Аналогично получается формула для вычисления производной от
cos х:
(cos х)(я) = cos [х 4- п .
Пример 6. « —In х,
Закон получения производных может быть представлен следующей
формулой:
(1П <=(-1)м
Пример 7. у = х3 In х.
2
у' = 2х In х + «, z/' = 2 In х 4-3, у'" = 2 (In х)' = — „ ,,
Дальнейшее дифференцирование можно производить по формуле
,	а2(л — 3)!
щ>3).
Пример 8. Выведем с помощью производных формулу би-
нома Ньютона:
(а 4- х)п=ап + пап ~ »х 4-	ап - 2Ха	- зхз
4™ • •. + х •
Как известно, при натуральном п выражение (а 4-х)" есть много-
член п-й степени. Следовательно, его можно представить в виде
(а4*х)п — Ао 4~ AiX4- А2х24- А3х® 4~-• •4_Дп-1Х" 14_Anx", (1)
где коэффициенты До, А1У Д2, А3, ..., Ап^, А„ пока неизвестны.
Для определения их поступим следующим образом. Положим в
тождестве (1) х = 0. Получим: а" = А0. Дифференцируя почленно
тождество (1), получим новое тождество:
п(а4-х)"^ = А14-2Д2х4-ЗА3х24-...4-(п-1)Ara^x" 24~nA„x" К (2)
Если в нем снова положить х = 0, то получим: пап 1 = Л1. Далее,
дифференцируя почленно тождество (2) и полагая х = 0, найдем:
п (п— 1) (а 4- х)л 2 =
с=2’ 1  4 2 4~3 • 2 • Ад • х +...-}-(п — 1) (п — 2) АпЛх 34~я— 1) X
п(п— 1)ал‘2==2-1  А2, то есть А2 = ^7~ап 2 и т. д.
Мы видим, что при каждом дифференцировании степени к коэф-
фициенту добавляется новый множитель, равный показателю степе-
ни, а сам показатель степени уменьшается на единицу. Следова-
тельно, после m-кратного дифференцирования тождества (1) (т^п)
получим:
п (ji — 1) (п —-2)... [п — (т — 1)] (а-А-х)п^т =
т (т — 1) (tn -—2)...3-2 -1 • Л m (tn 4-1) tn (tn — 1)... 3 - 2 A m+iX -j-... 4-
4- n (n— 1) (n — 2)... |zi— (tn — 1)] A„  xnm.
Полагая в этом тождестве х — 0, получим:
п (п — 1) (п — 2) ... (п— т 4-1) а"^т — т (т — 1) (т — 2)... 3 • 2 • 1 • Ат,
откуда
я И (/1 — 1) (/2 -— 2) ... (tl — Ш -4- 1) п— т
=	ап т, и т. д.
Подставляя вычисленные значения коэффициентов в (1), получим
формулу бинома Ньютона.
Взяв в формуле бинома Ньютона п = 2 и 3, мы получим из нее
хорошо известные читателю формулы квадрата и куба суммы двух
чисел.
Пример 9. Пусть y = uv, где и и v — некоторые функции от х,
имеющие производные любого порядка. Тогда
у’ — u'v 4~iw', у’ = u"v-[-u'v' 4- u'v' -f- uv’ = u’’v-\- 2u'v' 4- uv",
y’" = u"'v4- u’v' 4- 2u"v' 4- 2u'v" A-U'v" A- uv’" =
= u'"v 4- 3u”v' 4- 3u'v" 4- uv’",
Правые части разложений напоминают разложения различных
степеней бинома по формуле Ньютона, где вместо показателей сте-
пени стоят числа, указывающие на порядок производных (и и v
можно рассматривать как «производные нулевого порядка» п(0) и ц(0)).
Учитывая это, запишем по аналогии общий вид производной п-го
порядка от произведения двух функций:
у(п) — (и^У") = и<п>ч} 4- пи<п _ 1 )©' 4~п ~	и<“ —2>©" 4-
4-... 4- пУп~^  ••^п ~ * ~Ь О и(п—«©<«).	(3>
Эта формула носит название формулы Лейбница. Справедливость
ее доказывается методом математической индукции. Для п = 2 и 3
она уже проверена нами. Предположим теперь, что она верна для
21Й
некоторого п, и докажем ее справедливость для n+1. С Той целью
продифференцируем выражение (3), составленное для г/,л,А
у!-п + 1'> = п<л+1) ц-|- u{rt> v’ + п [п(п) v’ + и1"’1J у"]+ -
+ П 2	v" + u(n~2) +"] + •..+
+ +2r l)	(n-fe+1) [ц(Л-А+1) y(ft) + u(n-k) У(М)] +... + u,v m + uv(n< 1).
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:
у,п Р = и{Пл п и + (n + 1) и1П} v' + [п +	zT" "1+" +... +
+	+	U(^+D v(«) +... +
+ (п+ 1) ll'um + UVl'n + 1>.
Но
n (п—1) (rt —2) .. (п— & + 2) , п (п — 1) (п — 2) ... (n — k + 1) _
«'	, п!	п! [	1	, 1 \
= (/.^1)1 (n__fe + i)! ~Т~ *! («—*)! ” (A—l)t (« —&)! ^л_й + 1 +у;-
_ п!	«4-1	_ (/1+1)!	__(п+1) n (re—1) ... (n—fe+2)
(k — 1)’(n — k)1 k (n — й-pl)!	A! (n~-A+1)!	M
Пользуясь этим, можем записать:
4 = у + (^г + i)u(«) +	zz(ZW) +' + ..• +
X	+ ... + («+!) u’v^ + uv^).
Формула (3) доказана полностью.
X
Пример 10. Найти пятую производную от функции (/=Л2.
X
Полагая и v^e2, найдем'
и' = 5х«, и" = 20хз, м"'=60х\ m(IV)=120x, i?v’=120,
XXX	хх
,	1	2	,,	1	2	...	1 2	(1V^	2	(\ч	1	2~
c' = ¥ + , v"^Te , v"'=ge , +^=Tg(> , ^> = 32e •
Подставляя в формулу (3) при п = 5, получим:
= 120 . е1 +5 • 120х • 1 е2 60*г . А е2 +^А2 20хЗ • А .е2 +
Z 1 • Z	4	1 ‘	' о	о
IV	1	А + /	95	1	\
+ 5-5х‘ -Де -Lxs- ~е2 =?120 + 300хф 150x2	+ ^xi+ JL х5)
lb	oZ	\	lb	oZ	]
Пример 11. Пользуясь формулой Лейбница, написать выражение 25-й
производной от функции y = x3cosx.
В данном случае и = х3, ы' = 3х2, и'' = 6х, и"'= 6, четвертая производная
«(IV' и все последующие равны нулю. Далее, o = cosx, и для любого п имеем:
(х + п-А.
V П| =С08
Подставляя значения в формулу (3) при « = 25, получим
220
справа только те слагаемые, у которых порядок производных от и ниже четвер-
того (так как остальные слагаемые будут равны нулю):
25-24...5-4	25-24 ... 4-3 „	, 25 • 24 ... 3 • 2 ,	,
г/'28’ =----—-------u"'V'2Zl + ——---------и’ г/23’4-----О/1,	— u'v'211 +
22!
23!
24!
, 25-24-23	. 25 - 24 „	!	,
’=----gi---6 cos (х 4- 22 у \ 4-gj—6xcos(x + 23 —! ф-
+ 25 • Зх2cos (х + 24 • -^4 ф- х3 cos х ф 25 •	=
= — 13800 cos хф 1800х sin хф75х2 cos х— х3 sin х.
Пусть функция задана параметрически уравнениями1.
х = <р(0, )
1/=ф(0- )
Ее производная при условиях, указанных в § 7, вычисляется пи
формуле
у'х = ^-.	(4
xt
При отыскании второй производной у* следует исходить из функ-
ции, заданной параметрически следующими уравнениями:
Х = ф(/),
У(
Ух — ту.
Ф
Применяя к ней ту же формулу (4) (и предполагая, что производ-
ные второго порядка от х и от у существуют), получим:
(здесь
дроби).
Итак,
--ч.
!	х-[у-
s	Ухх у- (Ух)х = ..................- = —
на^~пришлось пользоваться правилом дифференцирования
УХХ-
(5)
Аналогичным образом можно получить производную от у по х
любого порядка.
Пример 12. Найти первую и вторую производные функции
х = cos (, 1
i/ = 3sin t. j
Находим по формуле (4) сначала первую производную:
Uf 3 cos t
У’—— = -----г—7= —v 3 ctg t.
х Xt — sin t
Теперь нужно продифференцировать по х уже найденную производную у’х. Но
221
она выр-ажена через параметр t Поэтому нужно еще раз воспользоваться форму-
лой (4), применив ее к функции
X = cos t, 1
У'х = —3ctgt J
Получим:
(У'х)'	3 cosec21	3
^xx x't —sm t sm3C
При решении этого примера мы повторили вывод формулы (5) для частного
случая Но можно было бы получить как первую, так и вторую производные
путем непосредственного использования формул (4) и (5)
Перейдем теперь к определению дифференциалов высшего порядка.
Определение. Дифференциал от дифференциала функции у =
= / (х) в некоторой точке называется дифференциалом второго
порядка в этой точке и обозначается так- d (dy) — d2y. Дифферен-
циал от дифференциала второго порядка называется дифферен-
циалом третьего порядка и обозначается: d3y и т. д. Вообще
дифференциал от дифференциала (л— 1)-го порядка называется диф-
ференциалом п-го порядка и обозначается: dny. При этом диф-
ференциал независимой переменной все время рассматривается кик
постоянная.
Из определения дифференциалов высшего порядка следует и спо-
соб их вычисления. Пусть функция y = f(x) имеет в точке х произ-
водные любого порядка (х — независимая переменная). Тогда
dy = y' dx,
d2y = d (dy) — (y' dx)' dx = y" • dx- dx = y" dx2,
d*y—d (d2y) = (y" dx2)' dx — y"' dx2 dx — y'" dx3,
dny — d(dn Jy) = (yn 1 dxn~1)' dx = y'-n'> dxn 1 dx — yw dx".
Из этих выражений следует, что для любого п
, dny—yw dxn и 3,<л)=^^>
то есть обозначение можно рассматривать не только как символ,
обозначающий n-ю производную, но и как дробь.
Под обозначениями dx2, dx3, ..., dxn следует
дифференциала dx, то есть (dx)2, (dx)3, ..., (dx)n.
вать их с дифференциалом от степени переменной
значгется так: d(xn), например d (х2), d(x3).
Как для производных, так и для дифференциалов высшего
порядка справедливы следующие формулы:
(с«)<я) = б’-н<я>, d"(cu) — cdnu, (и ± ©)(л> = и(п> ± ©(я>,
dn (и ± ©) = dnu zp dnv.
Если обе части формулы Лейбница (3) умножить на dx",
то получим формулу Лейбница для вычисления дифферен-
понимать степени
Чтобы не смеши-
х, последний обо-
222
циалов высшего порядка от произведения двух функций:
(«©) — dau • v4-nd"-'udv +n <~n~d“-2u • d?v-\-...-f-udttv.
Замечание. Формула
dny =y{a} dxa
при n> 1 не обладает свойством инвариантности. Она верна, когда
х_ независимая переменная, и перестает быть верной, когда х—
функция. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.
Пусть х—независимая переменная, а функция y=f(x) имеет пер-
! вую и вторую производные. Тогда
dy=у' dx,	(6)
d2y = y" dx2.	(7)
Предположим теперь, что х не является независимой переменной,
а есть некоторая функция от t, x = q>(t). Тогда у будет сложной
функцией от t. В силу инвариантности формы (6) первого диффе-
ренциала, dy представится также в виде (6), хотя в этом случае
dx уже будет дифференциалом функции х — ф (7). Так как dx=q>' (t) dt
и ф’ (0 — некоторая функция, то dx может не быть постоянной. Диф-
ференциал второго порядка
d2y — d (у' dx) — dy'-dx^-y'-d (dx) — y" dx2 4- y' d2x
или
d2y = y" dx2 4- y' d2x.	(8)
Сравнивая (7) и (8), видим, что форма (7) второго дифференциала
изменилась, прибавилось слагаемое у' d2x. Такого дополнительного
слагаемого нет (оно равно нулю), если х—независимая переменная,
так как в этом случае dx—Ax есть постоянная величина и, следо-
в ательно, d2x = d (dx) = 0.
Пример 13. Найти дифференциалы dy, d2y и d9y от функции
y — xd'~ Зх‘4-2
в случаях, когда:
1) х—независимая переменная,
2) х—функция от другой независимой переменной.
Дифференциал первого порядка dy в силу свойства инвариантно-
сти его формы представляется в обоих случаях одинаково:
dy—у' dx—(4Х3 — 6х) dx = 2 (2х® — Зх) dx.
В первом случае под dx понимается приращение независимой пере-
менной Ах(<7х = Ах), во втором случае —дифференциал от х как от
функции (dx Ф Ах).
Что же касается дифференциалов высшего порядка, то для них
при отыскании d2y и d?y приходится решать задачу для каждого
случая отдельно.
1) Пусть х — независимая переменная. Тогда, имея в виду, что
в этом случае dx является постоянной величиной и ее можно выно-
223
сить за знак дифференциала, получим:
d2y = d (dy) = d]2('x3 * — Зх) ax) = 2dx  d (2x3 — 3x) =
= 2dx- (6x2— 3) dx = 6(2x2 — 1) dx2,
d3y = d (d2y) = d [6 (2x2 — 1) dx2] = 6dx2 • d (2x2 — 1) =
= 6dx2 • 4xdx= 24x dx3.
2) Пусть x является в свою очередь функцией от некоторой дру-
гой переменной. В этом случае величина dx уже не будет постоян-
ной и выносить ее за знак дифференциала, как мы это делали
в первом случае, нельзя. Нужно вычислить дифференциал от у' dx
как от произведения двух переменных. Получим:
d2y—-d (dy) = d [2 (2х3— Зх) dx] — 2d [(2х3— Зх) dx] =
с2 [d (2х3 — 3х) dx ф- (2х3 —- Зх) d (dx)]~2 [3 (2х2 — 1) dxdx\--
ф- (2х3 — Зх) d2x] = 6 (2х2 — 1) dx2 ф- 2 (2х3 — Зх) d2x,
d3y=d (d2y) ='d [6 (2x2 — 1) dx2 + 2 (2x3 — 3x) d2x] =
= (id [(2x2 — 1) dx2 + 2d [(2x3 — 3x) d2x] = 6 [d (2x2 — 1) dx2 +
ф- (2x2 — 1) d («/№)] Ф 21 d (2хя — Зх) d2x ф- (2x8 — Зх) d (d2x)| =
= 5 ]4x dx dx2 ф- (2x2 — 1) 2dx d2x] ф- 2 [ (6x2 — 3) dx d2x ф-
+ (2x3 — 3x) d3x] = 24 x dx3 ф- 18 (2x2 — 1) dx d2x ф- 2 (2xa — 3x) d3x.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Продифференцировать следующие функции:
а)	</ = х)^1ф-х2. Найти у", б) у = е~х‘. Найти у’".
в)	у —у х®. Найти у1", г) у = xsin2 х. Найти д) у = хге‘2Х. Найти у(20).
е)	у = -—Найти у‘*>’.
Указание. При решении последних двух примеров воспользоваться фор-
мулой Лейбница.
_12_
. ,, х(Зф-2№)	,,	, ,,,	42	5
Отв. а)	б) у’" =4е х (Зх — 2х3),	в)у'" = ^х ,
(1 ф-х2)
Г) у<.1 v> = — 1 6 (4 cos 2х + sin 2х^ , д) t/(20) = 220 е2х (х2 ф- 20х ф- 95),
2.	Найти вторые производные t/"x функций у (х), заданных в параметриче-
ской форме:
х — а cos t, ’i
у = a sin t. )
х = a (q> — sin ф)
у = а (1 — cos ф).
х = ai cos t, I
у— at sin t. )
Отв.
xx a(l—cos ф)2
2 1'1
Отв. y'’= ——7-------------M .
xx	a (cos t— t sin t)9
224
1__х2
3.	Найти Ру для функции у == In при условии, что: а) х—независимая
переменная, б) х — функция от другой переменной. Рассмотреть также частный
случай, когда x = tgt
Отв. а) (Ру = —	dx2, б) (Ру = <Рх--4 Р - dx2
И rf2x = — 4$,&p2tdP.	г—.
4.	Доказать, что для функции у = У 2х—х2 справедливо равенство у3 • у" +
4-1 = 0.
5.	Чему равна производная n-го порядка от многочлена Рп(х)=похп +
+ а1хп~1 + а2хп‘ 24~..• + «»?	Отв. аап\.
6.	Показать, что если тело движется по закону s~aer , то его ускоре-
ние численно равно пройденному пути.
7.	Точка движется так, что скорость ее изменяется пропорционально квад-
ратному корню из пройденного пути (как это, например, имеет место при сво-
бодном падении). Показать, что движение происходит под действием постоянной
силы.
Указание. Следует иметь в виду, что ускорение пропорционально дей-
ствующей силе.
8 Бохан и др.
ГЛАВА VI
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
В предыдущей главе мы учились находить производные и диф-
ференциалы функций. Теперь предстоит заняться более глубоким
анализом свойств функций и их производных. При этом будут вскрыты
связи между отдельными свойствами функций и их производных,
что составляет теоретическую основу приложений дифференциаль-
ного исчисления и открывает широкие возможности для различного
рода приложений.
Рассмотрим группу теорем, которые в силу своего большого зна-
чения названы основными теоремами дифференциального исчисле-
ния. На них и нужно обратить особое внимание при работе над
данной главой.
В качестве примеров приложения основных теорем рассмотрим
также вопрос о раскрытии неопределенностей и формулу Тейлора.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Теорема 1 (Ферма)*. Пусть функция у =f(x) определена
на некотором промежутке X и во внутренней точке ха
этого промежутка имеет наибольшее или наименьшее зна-
чение. Тогда если в точке х0 существует конечная произ-
водная, то она равна нулю, то есть f (х0) = 0.
Доказательство. Пусть f (х0) есть наибольшее значение
функции f(x) на X. Это значит, что для всех х из X справедливо
неравенство f (х) «с f (х0). По определению f' (х0) = lim	, при-
X^Xf) Х
чем этот предел не зависит от того, каким способом х стремится
к х0- Однако если х приближать к х0 слева, то х — х0 < 0 и
JSsO. Если же х приближать к х0 справа, то х—х0>0 и
Осуществив в этих неравенствах предельный переход, соответствен-
но получим: f (xo)2sO и f'(xo)«cO. Остается заключить, что
f W = 0-
*Пьер Ферма (1601 — 1665) — французский математик.
226
Случай, когда f(x0) представляет собой наименьшее значение
функции на X, рассматривается аналогично.
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что в точке
на кривой, имеющей абсциссу х0 (с указанным в теореме свойством),
касательная к кривой y=f(x), если она существует, оказывается
параллельной оси ОХ (рис. 90).
Заметим, что теорема включает и те случаи, когда f (х) —f(x0)
для нескольких или даже для всех значений х из X. Так, на
рисунке 91 касательная параллельна оси ОХ в каждой точке, где
а<х<.Ь.
Теорема 2 (Ролля)*. Пусть на [а, &] определена функ-
ция у =f(x), причем:
1)	/(д') непрерывна на [а, &];
2)	на (а, Ь) существует конечная производная f (х);
3)	f(a) -f(b).
। Тогда внутри [а, найдется такая точка с, что
f(c) = 0.
Доказательство. Положим p —	Если окажется,
что f(x)=p, для всех х из [а, Ь], то f(x)==0, как производная от
постоянной. В этом случае за точку с можно взять любую точку
внутри [а, 6]. Пусть внутри [а, &] есть точки, в которых /(х)>р.
или f(x)<zp. Для определенности будем считать, что в некоторых
точках f(x)>p. Так как функция f (х) по условию непрерывна на
[а, &], то по второй теореме Вейерштрасса она будет в некоторой
точке с иметь наибольшее значение. При этом, очевидно, f(c)>p
и, следовательно, точка с лежит внутри [«, Ь]. На основании тео-
ремы Ферма получаем, что /'(с) = 0.
Геометрически теорема Ролля означает, что если непрерывная
кривая изображает дифференцируемую функцию, то между двумя
точками, лежащими на одинаковой высоте, всегда имеется точка,
в которой касательная параллельна оси ОХ. Таких точек может
оказаться и несколько (рис. 92).
‘Мишель Ролль (1652—1719)—французский математик.
8*
227
Из последнего, в частности, следует, что между каждыми двумя
корнями дифференцируемой функции f(x) лежит корень (по край-
ней мере один) ее производной /' (х).
Замечание. На первый взгляд может показаться, что первое
условие в теореме Ролля является лишним, поскольку непрерыв-
ность функции f (х) на интервале (а, Ь) следует из второго условия
теоремы. Однако в теореме существенно необходима непрерыв-
ность функции на отрезке [а, &],
из непрерывности на интервале
(а, Ь) не следует непрерывность
на его концах а и Ь. В по-
следнем читатель мог убедиться
на приме-ре 3 из упражнений
к § 3, гл. IV.
Пример 1. Показать, что урав-
нение х:>~\-3х— 6 = 0 имеет только
один вещественный корень.
Рассмотрим функцию )(х)=х3!--
-f-Зх-—6. Она непрерывна на (—со,
•ф-оо) и имеет производную f'(x) =
= Зх2 + 3 = 3(х3 +1). Легко видеть,
что /' (х)	0 при любых вещест-
венных значениях х. Но тогда
наше уравнение может иметь не
более одного вещественного корня, так как если бы оно имело, например, два
корня q и с2, то f (c^—f (с2) = 0 и по теореме Ролля между q и са нашлась бы
такая точка с, что f (с) = 0. Последнее невозможно. Существование же одного
вещественного корня следует из того, что f(x) — многочлен нечетной степени.
Теорема 3 (Лагранжа)*. Пусть на [а, Ь] определена
функция у =f(x), причем:
1) /(х) непрерывна на [а, Ь],
2) на (а, Ь) существует конечная производная f (х).
Тогда внутри [а, /?] найдется такая точка с, что

«о
Доказательство. Рассмотрим на [а, 6] вспомогательную
функцию
ф (х)=f (х) — f (а) —	(х—а).
Эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля.
Действительно, ср (х) непрерывна на [а, &], так как она представ-
ляет собой разность между непрерывной функцией f(x) и линейной
функцией. Внутри [a, 6J она имеет конечную производную
ф' (x)=f (х) —
* Жозеф-Луи Лагранж (1736—1813)—французский математик и
механик.
228
Значения этой функции на концах отрезка [а, 6] равны:
ф (а) = f (a)	(а — а) = О,
Ф (b) = f(b)-f (а) -f (b—a)—O,
то есть ф(а) = ф(Ь).
Следовательно, для функции <р(х) справедливо утверждение
теоремы Ролля: внутри [а, Ь] существует такая точка с, что ф'(с) = 0.
Но ф'(с)==Г(с)—значит, f(с)—= Теорема до-
казана.
Доказанное равенство (1) называют также формулой Лагранжа.
Ею иногда удобнее пользоваться в виде
f (&)— f(a)=f'(c) (b— а), где a<c<b.
геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 93).
равенства (1) есть тангенс угла а
то есть tga. Правая же
тангенс угла а' между касательной
в точке (с, f (с)) и осью ОХ, то
есть f(c) = tga'. Следовательно,
tg а = tga' или a = a'. Словами
это можно высказать так: на дуге АВ
найдется точка, в которой касатель-
ная параллельна секущей АВ. Таких
точек может быть и несколько.
Замечание. Легко видеть, что
теорема Ролля является частным
случаем теоремы Лагранжа, когда
секущая АВ параллельна оси ОХ, то
есть когда f(b)—f(a).
Формулу Лагранжа можно применить
Возьмем на [а, Ь] некоторое значение х
Дх такое, чтобы хф-Дх оставалось в пределах этого отрезка. Тогда
получим:
Выясним
Левая часть
и осью ОХ,
часть,
между секущей АВ
как
известно, есть
и к части отрезка [а, &].
и дадим ему приращение
f (х + Дх) — f (х) =/'(с) Дх,
где с есть определенное, хотя и неизвестное нам, значение между
х и хф-Дх. Его можно представить так: с = хф-9Дх, где 6 — соот-
ветственно выбранное вещественное число между 0 и 1.
Представление формулы Лагранжа в виде
Ду=/'(хф-9Дх) Дх, 0<9<1,	(2)
особенно наглядно показывает связь между приращением аргумента
и соответствующим приращением функции. Поэтому ее часто назы-
вают формулой конечных приращений. Сравнив эту формулу с изве-
стным выражением для приращения функции
Ду=/'(х)Дхф-аДх,	(3)
229
видим, что при отбрасывании в (3) слагаемого аДх можно все же
сохранить равенство, но для этого нужно в производную f (х) под-
ставить вместо х некоторое определенное значение х + 9Дх, заклю-
ченное между х и х + Дх. Правда, это значение в формуле остается
для нас неизвестным, в теореме утверждается только его существо-
вание. Но несмотря на этот недостаток, формула Лагранжа имеет
очень широкое применение как в анализе, так и в других смеж-
ных дисциплинах. Мы неоднократно будем пользоваться ею.
Теорема 4 (Коши). Пусть на la, заданы функции
f{x) и g(x), причем:
1) /(х) и g (х) непрерывны на [а, &],
2) на (а, Ь) существуют конечные производные f (х) и
g’ {х) и, кроме того, g' (х) # 0.
Тогда внутри [а, &] найдется такая точка с, что имеет
место следующее равенство:
f (a) f'(c)
g{b)-g(a) g'(cy
Это равенство называют формулой Коши.
Доказательство. Прежде всего установим, что каждая из
частей формулы Коши имеет определенный числовой смысл. Дейст-
вительно, правая часть формулы имеет смысл, так как по условию
g' Левая часть потеряла бы смысл при gib)~g(a). Однако
этого не случится, так как тогда к функции g(x) можно было бы
применить теорему Ролля и оказалось бы, что в некоторой точке с
из (а, Ь) производная g’(x) равна нулю. У нас же по условию
2) g' (х) - О во всем интервале (а, й).
Чтобы доказать теорему, будем рассуждать аналогично доказа-
тельству теоремы Лагранжа. В качестве вспомогательной возьмем
функцию
Ф (х) = f (х) - f (а) -	---£(а)) 
Функция Ф(х) удовлетворяет всем трем условиям [теоремы
Ролля: она непрерывна на [а, &], имеет конечную производную
на (а, Ь) и на концах отрезка [а, У] имеет одинаковые значения
Ф(а) = Ф(Ь) = 0. Следовательно, к ней можно применить теорему
Ролля, согласно которой внутри [а, Ь] найдется такая точка с,
что Ф'(с) = 0. Но Ф' (с) = f(c)—Значит,
ш f (&)-/(«) у/м-р ипи	Г (с)
g(b)~g(a)® ( '	’	g(b) — g(d) g'(cy
Теорема доказана.
Замечание 1. Теорема Лагранжа является частным случаем
теоремы Коши (при g(x)=x). Проверка этого утверждения предо-
ставляется читателю.
230
Замечание 2. Если в условиях теоремы Коши дополнительно
потребовать, чтобы f (a) =g (а) = 0, то формула Коши примет следу-
ющий частный вид:
Теоремы Ролля,
~ТГ\—77“\ » где
g(&)	g'(c)’
Лагранжа и Коши часто называют теоремами
о средних значениях. Такое название они получили потому, что в них
идет речь о производных при каких-то средних значениях незави-
симой переменной. Во всех трех теоремах устанавливается лишь
факт существования этих средних значений. Но в отдельных слу-
чаях средние значения можно и вычислить.
Пример 2. Определить значение с из теоремы Лагранжа о среднем значе-
нии для функции /(х) = 4х3 —5х24-х —2 на отрезке [0, 2].
В данном случае f(b) = f (2) = 12, f(a)—/(0) = —2 и f (х)= 12х2 — Юхф-1.
Подставляя полученные значения в формулу Лагранжа, будем иметь: 12 —(—2) =
= f'(c)-2, откуда f (с) = 7, то есть 12с2— Юс4-1 = 7.
54-/97 .
Из последнего уравнения определяем значение с = —— (второй корень
квадратного уравнения не принадлежит отрезку [0, 2] и потому мы его отбра-
сываем).
Пример 3. Определить значение с в формуле Лагранжа для функции f (х) =
= 1пх на отрезке [1, а], а>1.
В данном случае f (a) — f (1) = /' (с) (а—1). Так как )'(%)= — , то	— .
Подставляя в формулу соответствующие значения, получим:
.	111/14	1 О----- 1	О'-1
In ci — in 1 = -— (ct — 1) или In ci = —— откуда с == -г——.
с	с	ш ci
Пример 4. Доказать, что уравнение х4 — 4х—1=0 имеет в точности два
различных вещественных корня.
Рассмотрим функцию f(x) = xi — 4x—l. Она непрерывна и на всей числовой
оси имеет конечную производную
f'(х) 4х34 =4 (х3 — 1) 4 (х — 1) (х2 4“ х4~ 1),
которая обращается в нуль только в одной точке х=1. Следовательно, непре-
рывная кривая y=f(x) может пересекать ось ОХ не более чем в двух точках,
так как в противном случае из теоремы Ролля следовало бы, что f'(x) обра-
щается в нуль более чем в одной точке. Тем самым мы установили, что данное
уравнение имеет не более двух вещественных корней. Покажем, что их и не менее
чем два. Действительно, (х) меняет знак на отрезке (—1, -j-1] и на отрезке
[1, 2]: f (—1)>0, /(1)<0, / (2) > 0. Следовательно, по теореме Больцано—Коши
функция f (х) обращается в нуль по крайней мере два раза. Итак, данное урав-
нение имеет, с одной стороны, не менее двух вещественных корней, которые на-
ходятся внутри отрезков [—1, 1] и [1, 2], а с другой стороны, не более двух
вещественных корней, то есть в точности два корня.
Пример 5. На кривой у = 5 — Зх2 найти точку, в которой касательная па-
раллельна хорде, соединяющей точки А (—1, 2) и В (0, 5).
Рассмотрим функцию /(х) = 5 — Зх2 на отрезке [—1, 0], концами которого
являются абсциссы точек А и В. На этом отрезке данная функция непрерывна
и имеет конечную производную f(x) =—6х. Следовательно, к ней можно приме-
нить теорему Лагранжа. Согласно последней на дуге АВ найдется по крайней
мере одна точка М, в которой касательная параллельна хорде АВ, причем абс-
циссой точки М будет значение с, удовлетворяющее формуле Лагранжа: f (0) —
— f (— l)=f(c) (0 — (—1)) или 5 —2 = (—6с) • 1. Отсюда с = —у. Подставляя это
231
значение в уравнение кривой, найдем i/ = 4—то есть искомой является точка
Эту задачу можно решить и не используя теорему Лагранжа: составить урав-
нение хорды как прямой, проходящей через две заданные точки, и по этому
уравнению найти точку на кривой, в которой касательная параллельна хорде.
Вопросы для самопроверки и упражнения
имеет
1.	Доказать теорему Ферма для случая, когда в точке х0 функция
наименьшее значение.
2.	Показать, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.
3.	Объяснить, почему теорема Коши неприменима для функций )(х) = х34-
4- 2х-|-3 и g'(x) = x2 —х на отрезке [—1, 4-1]. Применима ли она на отрезке
[1, 2]?	Отв. Да.
4.	Определить значение с в формуле Лагранжа для функции /(х)=х2 на от-
о. -4- Ь
резке [а, Ь].	Отв. с — —g—.
5.	На кривой у—х3 найти точку, в которой касательная параллельна хорде,
соединяющей точки А (—1; —1) и В (2; 8).	Отв. (— 1, —1) и (1, 1).
6.	Используя теорему Ролля, доказать, что производная у' .функции у =
JT
= х sin — обращается в нуль на беско-
нечном множестве точек промежутка (0, 1]
(рис. 94).
7.	Определить значение с в формуле
Коши для функций:
a)	f(x)=x3 и g(x) = x34-l на (1, 2].
„	14
Отв. с — -^.
б)	f (х) = sin х и g (х) = 1 + cos х на
Отв. с = -у.
8. Доказать с помощью теоремы Рол-
ля, что уравнение	— 32х+9 = 0 не
может иметь более двух вещественных,
корней, а с помощью теоремы Больца-7
установить, что два вещественных корня действительно существуют,
кривой у = х2 + Зх-|-1 найти точку, в которой касательная параллельна
но—Коши
9.	На
хорде, соединяющей точки А (—1; —1) и В (1; 5).
10.	Функция у—1~-у'х1 обращается в нуль при х =—1 и х = 4-1, а ее про-
2
изводная у' =----— не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [—1, 4-1].
3 ух
Не противоречит ли это теореме Ролля?
11.	Доказать, что все корни производной от многочлена f (х) = (х-|-1) (х—1)х
X (х — 2)(х— 3) действительны, и указать границы, между которыми они за-
ключены.
12.	Обнаружить ошибку в следующем доказательстве теоремы Коши: пусть
f (х) и g (х) удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Тогда каждая из них
будет удовлетворять и условиям теоремы Лагранжа. Следовательно, можно для
232
каждой из них записать формулу Лагранжа.
f(b)— f (a)=f (с) (6 — а), где а<с<Ь,
g(b)—g(a)=g' (с)(Ь~а), где п<с<&.
Разделив первое равенство на второе и проведя сокращение, получим:
((&)-( И f’(c)
g(b) — g(a) g'(c)’
где a < с < b.
§ 2. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ
Вернемся к вопросу о раскрытии неопределенностей, которым
мы занимались в главе III и который был наиболее трудным из
всей главы. Основная трудность заключалась в том, что мы не
могли указать общего способа решения задачи. В большинстве слу-
чаев приходилось изыскивать различные способы и приемы раскры-
тия неопределенностей в зависимости от вида неопределенности,
а также и от конкретного примера.
Дифференциальное исчисление значительно облегчает задачу рас-
крытия неопределенностей, предоставляя в наше распоряжение
весьма мощный и в то же время простой метод. В основе этого
метода лежит использование доказанных выше теорем о средних
значениях. Начнем с отношения двух бесконечно малых функций,
то есть с неопределенности вида у.
Теорема 1. Пусть на {а, Ь) определены функции f(x) и
g(x), причем:
1)	lim f(x) = 0 и lim g(x) = 0;
л?-»йс4-0	д-->д4-0
2)	на (а, Ь) существуют конечные производные f (х),
g' (х) и, кроме того, g' (х)=/=0;
3)	существует предел отношения производных
lim	(конечный или бесконечный).
X — о S W
Тогда отношение функций также имеет предел и
он равен k, то есть
Iim	Um
k.
Доказательство. Доопределим функции f (х) ag(x) в точке
х = о таким образом, чтобы они были непрерывными справа в этой
точке': Для этого достаточно положить f (а) = lim f(x) = O и g(a) =
= lim g(x) = 0. Тогда f(x) и g(x) будут непрерывными на [а, Ь)
(непрерывность во внутренних точках следует из существования
конечных производных f'(x) и g'(x)).
Возьмем некоторую точку х из [а, Ь). На отрезке [а, х] функ-
ции f (х) и g (х) удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Сле-
233
довательно,
равенство
внутри [а, х] найдется такая точка с, что справедливо
Если в
миться к а (так как а
= то есть LW
g(x)— g(a) g'(c) ’	g(x) g'(c)'
последнем равенстве x устремить к а, то и с будет стре-
Получим:
lim Ит =
.a+og« C^a+Og'(c)
что и требовалось доказать.
В теореме точка а является левым концом промежутка и х стре-
мится к а справа. Аналогично рассматриваются случаи, когда а —
правый конец промежутка и х стремится к а слева или когда а —
внутренняя точка промежутка и х а любым способом, !
Доказанную теорему обычно называют правилом Лопиталя*
раскрытия неопределенностей вида . Она дает возможность свести
предел отношения двух бесконечно малых функций к пределу отно-
шения их производных, который во многих случаях находится зна-
чительно проще.
Иногда отношение производных оказывается снова отношением
бесконечно малых. В этих случаях теорему следует применить по-
вторно, производя попутно необходимые упрощения и сокращения
с применением уже известных пределов.
Пример L Пользуясь правилом Лопиталя, найти lim 1—Д2Д.
х -* 0 Tg X
В данном случае f (х) = 1 — cosx, g(x) = tgx. Легко убедиться, что эти функ-
ции удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Действительно, обе функции
в окрестности нуля являются бесконечно малыми: lim (1 — cosx)=0. lira tgx = O.
х-Л)	x~*0
Их производные /'(%) = sinx и g'(x)=sec2x существуют и конечны, например,
в окрестности	точки х=0, причем g' (х)^ЬО. Предел отношения их
производных также существует:
, f(x) .. sinx 0
hm — iirn—_ —_ —о,
^og(x) x...msec2x 1
Следовательно, на основании теоремы 1 можно утверждать, что предел отношения
л  f W
данных функции также существует и равен пределу отношения их произ-
g \х)
Г(х)
водных то есть
g W ’
,	1— cos х ,.	(1—cos х)' sin x 0
hm —т------=lim -—г;—ry——=hm —— =—=0.
x-.n tgx x^0 (tgx)' x^0sec2x 1
В дальнейшем в тех случаях, когда непосредственно видно, что
функции, составляющие отношение удовлетворяют всем усло-
виям теоремы 1, мы будем располагать все вычисления в одну
*Гильом Франсуа де Л о п и т а л ь (1661—1704)—французский мате-
матик.
234
строку- Например, вместе с вычислением предела отношения произ-
водных мы будем убеждаться и в существовании этого предела.
S (х)	____
„ гг	п	"1- Кб—х—2
Пример 2. Пользуясь правилом Лопиталя, наити hm  д,.
х— I у 2 —х— 1
Имеем неопределенность вида -5-, Применяя правило Лопиталя, получим:
Кб^Т-2 ..	2)' .. /2^7	1
lim - —  -= hm ------—b-=lim ,----—-m,
x-1]/2 — x—1 х-и (j/2—-x—1)	х-И|Л>—x	2
Пример 3. Пользуясь правилом Лопиталя, найти lim.----------?—г,
о „
Имеем неопределенность вида -д-. Применяя правило Лопиталя, получим
1 — X
Xх— X	(Xх—x)'	Xх In X-f-Xx — 1 .. x-*'+I(lnx4- l)~-x
lim	- = l-,m	. =hm — ,  .............=	lim  > >— 
"“ilnx-x+1 x-1 (lnx-x+1)' x-»i
l-i
X
После первого применения правила Лопиталя мы снова получили неопределен-
ность вида -д-. Применим к полученному выражению еще раз правило Лопи-
таля, то есть еще раз заменим отношение получившихся функций отношением их
производных. Но, прежде чем перейти к последующему дифференцированию, по-
лезно, как указывалось выше, произвести возможные упрощения, сокращение
общих множителей, использование уже известных пределов и т. п. В нашем при-
мере можно в числителе вынести х за скобки и, перейдя в этом множителе к пре-
делу, заменить его единицей *. Получим:
.. Xх (In х-|- 1)— 1	.. (xv In х+хх) (In х-J- 1) -J-х-
11ГП —"——г-— .......—— ИГЛ	—  "-"-«г-'—     
х—*1	* %	х-+1	*
2.
Покажем, что правило Лопиталя остается в силе и в случае,
когда аргумент х-+<х>. Пусть f(x)-*O и g(x)-»0 при х->оо и
k. Введем подстановку х=у. Тогда при х->оо будет
НтШ-
О,
Применим,теорему 1 к функциям Цу-j и считая их при
дифференцировании сложными функциями от t. Получим:
lim М= Пт
Х — <Х>ё W f _»0
lim —
§
1 • U /	1 • Г М .
= lim —h4= lim '-T~ = k.
Ш х->оэ£ W
е \ t /
Пример 4.
Пользуясь правилом Лопиталя, найти lim -------т;--
п— 2 arctg х
Впрочем, это можно было сделать и раньше, начиная решение примера.
235
Имеем неопределенность вида -5-. Действуя по правилу Лопиталя, получим:
X2
1П 1+^
Нт —i-д----r-L= lim--------,—
¥-*ОО	2 arctg X ¥~*С0 _ о 1
1-фх2
Ит — =0.
 -+ оо %
Перейдем теперь к рассмотрению отношения двух бесконечно
больших функций. Оказывается, раскрытие неопределенности вида
— возможно по тому же правилу Лопиталя, то есть имеет место
теорема, аналогичная теореме 1.
Теорема 2. Пусть на (а, Ь) определены функции f(x)
и g(x), причем:
1)	lim /(х) = оо и lim g‘(x) = oo;
х->а4~о	л;~>а4-0
2)	на (а, Ь) существуют конечные производные f (х),
g'(х) и, кроме того, g'(x)=^0;
3)	существует предел (конечный или бесконечный) отно-
шения производных lim
л—л + о в W
Тогда существует предел отношения функций и также
равен k, то есть
lim
О
/(•О
lim
k.
Эту теорему мы сообщаем без доказательства. Читателя, интере-
сующегося ее доказательством, отсылаем к учебнику Г. М. Фихтен-
гольца [1].
Пример 5. Найти предел функции у = д....* при х —*0.
Имеем неопределенность вида |2. По правилу Лопиталя
lim ln Sin М .lim ° ctg ах - а Hm tg -
^oln sin ftx ctg bx b Xl()tgax
(производим замену tg bx и tg ax эквивалентными величинами)
a bx a b
— -j- hm —=-*- • — = 1.
b X — Oax b a
Пример 6. Найти предел функции
Имеем неопределенность вида
По
sec x 4- x	л
ПРИ
правилу Лопиталя
sin х
rnc2 v Т 1
secx-|-x ..
lim -----1— = lim
л tgx —x
^2
2
cos2x 1 __ sin х+cos2 х _
sec2x—1	1П^	1 — cos2 x
1 n X
Пример 7. Найти предел функции у = —— при х
236
Здесь также имеем неопределенность вида—. По правилу Лопиталя
In х	х	1 п
lim —г- —lim   — = lim —~ = 0.
х_»оо *	ах" 1 х^т ах"
Неопределенности вида 0-со и со — со легко преобразуются к не-
0 со
определенности вида или — и затем раскрываются по правилу
Лопиталя. Покажем это на примерах.
Пример 8. Найти lim (secx— tgx).
Л
л
При х—*-^- выражение secx —tgx представляет собой неопределенность вида
¥Т	,	1 sinx 1 —sinx
со — со. Но sec х — tg х — ---------
cosx cos X
л
при том же условии х-+ есть уже
нему правило Лопиталя, получим:
..	1 — sin х
lim --------=
л cos х
у* -* ___
2
1 - о.н л.
-------- и преобразованное выражение
cos х--г г	г
0 ГД
неопределенность вида Применяя к
,.	— cos х
hm ----:— = 0.
я — sm х
Пример 9. Найти lim х3  е1 х.
х~+со
X3
Имеем неопределенность вида 0 • со. По хге1^х=^^-1 и мы пришли к не-
определенности вида 22. По правилу Лопиталя получим:
ха	2х	2
lim x2e1^*= lim -=; = lim ——lim —7 = 0.
х-*со	х-да®* Х х-^оое 1 л^оов*1
Остановимся, наконец, на определенностях вида 0°, 1°° и оо°
(см. § 10, гл. IV). Все они с помощью очевидного тождества
---pV In и
Сф -.— Q,
преобразуются к неопределенности вида О-со, способ раскрытия
которой нам уже знаком.
Пример 10. Найти lim (х—1)1П*.
X-fl
Имеем неопределенность вида 0°. Но (х—1)|пх = е,пх'1п(х~1). Получили в по-
казателе неопределенность вида 0 - со. Раскрываем ее:
1
,	,,, In (х— 1)	.. X—1	х(1пх)2
hm [In х • In (х— 1)] = hm -—= lim------------,----= — lim —i~ =
x -> 1	x -+1	*	x -> 1__t	x 0 X — 1
Inx	x (In x)2
(In x)2+2x Inx • —
= — lim---------j--------—=— lim [(In x)34 2 In x] = 0.
x-1	1	x-1
Следовательно,
lim (x — 1),1Z= lim e,nx-in(x—i)_g0 = 1.
«-1	x-1
237
Пример 11 Найти lim (2 — х) 2 .
, лх	. ях,
tg -д-	tg-g-ln<2—X)
Имеем неопределенность вида 1°°. Так как (2 — х) 1 =е 1	и
_____1
1- Ft лх 1 /п J 1- In (2 — х) 2	2 —х
x~l L 2	'J	nx я	1
8 2 •
sm2-2-
2 sin2 ~2	2	tg —	-
= — lim -s-------= —, to lim (2 —x) 2=ея.
л 2 —x л
Замечание 1. Предостерегаем читателя, что при многократ-
ном применении правила Лопиталя необходимо каждый раз прове-
рять, не раскрылась ли уже неопределенность, иначе можно впасть
в ошибку. Если применить правило Лопиталя к выражению, не
представляющему никакой неопределенности, то можно получить
неверный ответ. Так, например,
Hm х~~Ь 5* +1 15
‘с““хЗ_2х+4	8*
Если же продифференцировать числитель и знаменатель, то по-
,.	2х+5	9
лучим: lim;yb2=ro.
Замечание 2. По правилу Лопиталя находится предел отно-
шения функций в том случае, если известно, что существует предел
отношения их производных. Если же последний не существует, то
из этого еще не следует, что не существует и предел отношения
функций. Так, например, liniliin (11, в то время
X — со х х-кя \ х I
как отношение производных, равное l-j-cosx, предела при х-*оо
не имеет.
Воспользуемся правилом Лопиталя для сравнения роста степен-
ной, показательной и логарифмической функций.
Известно, что при х->4-со функции хУ (р >0), ах (а> 1) и logax
(а> 1) являются бесконечно большими величинами.
1. Покажем, что при х->сю любая показательная функция ах
(а>1) растет быстрее, чем любая степенная функция х11 (р>0).
Ограничимся случаем, когда р натуральное, р = /г. Применяя
п раз правило Лопиталя, получим:
.. ах	ах in а .. ах (In а)2
lim -== lim -—==т= lim  . v у2—
...с,,. х	1	п(л —1)
К —*• -f-СО	X ~* -f~ оо	х —*• -j- СО '	'
lim
Следовательно, ах (а>1) при х-> + оо является бесконечно боль-
шой более высокого порядка, чем бесконечно большая х”.
Случай, когда р не натуральное, легко сводится к уже разоб-
ранному, так как xp’<xt'(ii>+1 при x->-[-oo.
238
2. Покажем, что при хсо любая степенная функция х11
(п>0) растет быстрее, чем любая логарифмическая функция log„x
(а> 1)-
По правилу Лопиталя имеем:
lim —— lim	= lim	— — оо.
x~*+oo Og& X	pCO -L jog e X-»-j-°O
X s“
Следовательно, является бесконечно большой более высокого
порядка, чем бесконечно большая logax (а > 1).
Таким образом, показательная функция растет быстрее,
а логарифмическая медленнее, чем степенная.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Доказать теорему 1 для случаев, когда х—>Ъ — 0 их —.с, где с—внутрен-
няя точка интервала (а, Ь).
2. Почему для раскрытия неопределенностей при х — а правило Лопиталя не
требует, чтобы обязательно существовали производные /' (х) и g' (х) в самой
точке а?
„ _	f (х)
3.	Предел отношения производных
ждать, что предел отношения самих функций
О
денность вида у или
не существует. Можно ли утвер-
f (х)
, представляющих неопреде-
также не существует?
В задачах 4—17 вычислить пределы с помощью правила Лопиталя.
If] у	P# -__ Р®	!
4.	Um отв. 0. 5. lim L—-L. Отв. еа. 6. lim ctg
* — o ctgx	х..Л.а x — a	\
1
„	sin2 <p —tg <p	,
д»2 £QS	т С/ О T	J
7. ]jm----------- Отв. —2. 8. lim —Отв. —
x_»0 cosx— 1	„	1—cos4<[	8
,.	ef — e
;lm ,
..о ln(l 4-0
x------j, Отв. 0,
a‘	z,	n	<•	arcsin (2—x)	_	n
Отв. 2.	10.	hm—	Отв.	0.	11. hm	-======.	Отв.	0.
x—2 j/x2 —3x4-2
..	^2x — x4 — |/"x	7	x+21nx	.
12.	lim -------,-7='—.	Отв. 1	— 13.	hm —!.	Отв.	1.
x-»i	1— {/хз	9 _v_,zn х
I 1 \tgx	gX-l-sinx
14. lim —j . Отв. 1. 15. lim —j—:—. Отв. oo.
X-^\xl	х-оэх+sinx
16. lim [tgx——U—]. Отв. co. 17. lim [—Ц-----------Д—1 Отв. —
nl 1 —sinxj	x_ 1 Lx— 1 InxJ	2
Замечание. Для приобретения навыка в раскрытии неопределенностей
по правилу Лопиталя желательно также использовать примеры, помещенные
в конце главы III.
18. Убедиться, что lim х [Sm х существует и равен 1, но не может быть
X оо х г cos х
вычислен с помощью правила Лопиталя.
233
§ 3. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Наиболее простой элементарной функцией является многочлен.
Его значения легко вычисляются, в то время как вычисление зна-
чений других функций, например sin х, In х, ах, Ух, требует опре-
деленных усилий. Над многочленами весьма просто выполняются
арифметические действия и операция дифференцирования. Произ-
водная от многочлена есть снова многочлен; многочлен непрерывен
в любой точке. Кроме перечисленных, он обладает еще многими
другими «хорошими» свойствами.
Естественно поставить вопрос, нельзя ли другие более сложные
функции заменить многочленами, не допуская при этом больших
погрешностей. Решение этой задачи по отношению к некоторым
функциям оказывается практически возможным с помощью так назы-
ваемой формулы Тейлора *.
Пусть сначала требуется многочлен п-й степени Рп (х), распо-
ложенный по степеням х, представить в виде многочлена такой же
степени, но по степеням разности х — х0, где х0 — некоторое фикси-
рованное число. В этом случае задача сводится к нахождению коэф-
фициентов Ао, Аъ Л», .... Ап, при которых выполняется тождество
Р п (х) - /1,, -К (л'лу) • Л л (-V — Л'„)‘Л „ (X—'Х^П.	(1)
Для этого продифференцируем наше тождество п раз:
Рп (х) = Л (4_ 2Л j (х—Хц) 4~ 3Аз (.г—.г,|)2 г...-'-П-4,г (х—Xg)n *,
Рп (х) = 2Д 3 • 2 * А(.v-— лг,| 4“ • • •  и (и— I) .4 .j (х — л,,)
Р'п (х) =3! Л34-- • - 4-га (« — 1) (« —2) Л(х — х0)”'3,
Р‘У (х) = п! Л„
и в полученных равенствах примем х равным х0. Будем иметь:
Дг(Хо) = Ло; Pn(.x0)=Ai', Рп(х0) ~2А2;
Р'Их0) = 3!А3; ...; ДФ (х0) = л! Л„.
Отсюда получаем искомые значения коэффициентов:
Л0==Р„(х0);	Л2=^;
л	. л
/13——3|—,	—-j—.
(1) можно переписать в виде
Р п У) —Рп (х0) = j-j (х х0) 4-
4 2j (х хо)2 4- •  • Н	— (х—х0) .
Тождество
* Тейлор, Брук (1685—1731) —английский математик.
240
Коэффициенты нового многочлена оказались выраженными через
значения данного многочлена Рп (х) и его производных в точке х0.
Равенство (2) и называется формулой Тейлора для многочлена.
Возьмем теперь произвольную функцию /Дх), определенную на
[а, Ь] и имеющую в некоторой точке х0 этого отрезка производные
до n-го порядка включительно. Составим формально многочлен:
Pn(x) = f (х0) +	(х — х0) +
+ ^(.х-хоУ + ... + ^^-(х~хоу.	(3)
При х=х0 имеем: Ря(хв) = Дх0). Представляя многочлен Рп(х) в виде
(2), получим в силу тождественности этих представлений:
pn(xo)^f\x(>),	РЦХо)^Г(х(>), ....	Р(^хй)^т(х0).
Таким образом, мы получили, что построенный формально мно-
гочлен Р„ (х) и его производные в точке х0 совпадают со значени-
ями функции f (х) и ее производными в этой точке.
Если f (х) есть, в частности, многочлен степени п, то Pn(x)=f(x'.
Если же f(x) — не многочлен или многочлен степени выше и, то
такое равенство не имеет места. В этом случае Ря(х) лишь прибли-
женно представляет функцию f (х) в окрестности точки х0. Разность
f(x') — Pn(x)—-Rn(x), очевидно, будет погрешностью, допускаемой
при замене f (х) на Р„ (х).
Подставляя в равенство f (х) = Р„(х) + Rn{x) вместо Р„(х) его
развернутое выражение, мы получим формулу, также называемую
формулой Тейлора-.
f (х) = f (Xq) -j— —(x—Хп) +
+	(x - x0)2 +... +	(x - х„Г + Rn(x).	(4)
В этой формуле Rn (x) называется остаточным или дополнительным
членом. Если f (х) — многочлен степени п, то R„(x) = 0.
При хо = О получим частный вид формулы Тейлора:
Дх) = ДО) + фххП’кч... +	хл + R„(x),	(5)
которую иногда называют формулой Маклорена.
При решении задачи о замене функции многочленом с помощью
формулы Тейлора особый интерес представляет вопрос об оценке
допускаемой погрешности и о возможностях ее уменьшения. По-
скольку отклонение Рл(х) от f (х) характеризуется функцией Rn(x),
то изучение последней позволит выяснить и вопрос о погрешности.
Но Rn (х) пока еще лишь символическое обозначение остатка в фор-
муле Тейлора. Прежде чем изучать его поведение, нужно раскрыть
этот символ, то есть выразить его через данную функцию и ее
производные. Существует несколько форм представления Rn(x). Их
241
можно найти, например, в учебнике Г. М. Фихтенгольца [1]. Здесь
мы ограничимся наиболее простой формой остаточного члена, при-
надлежащей Лагранжу.
Пусть f (х) имеет в точке х0 и ее окрестности производные до
(п+1)-го порядка включительно. Тогда и 7?n(x)=f(x)—Рп (х) тоже
имеет производные до (n-(-l)-ro порядка включительно. Напипем
для f (х) формулу Тейлора (4). Если в ней положить х = х0, то
окажется, что
f (x0)=f (x0) + Rn(xQ), то есть Rn(xo) = O.
Последовательно дифференцируя равенство (4) и подставляя х0 вместо
х, будем получать:
/' (fa) = f (fa) 4- Rn (fa), то есть Rn (х0) = 0;
Г (x0) = f" (fa)4-^(fa), то есть RnM^O}
f" (x0)=f'" (х0) 4- R"n (х0), то есть R"n (х0) = 0;
f(n) (fa) = fm (х0) + R{n} (х0), то есть R^ (х0) = 0.
Таким образом, имеем:
Rn (fa) — Rn (х0) = R„ (х0) = Rn (fa) — ... = (fa) — 0.	(6)
Что же касается (п4-1)-й производной, то от многочлена п-й степени
Рп(х) она будет равна нулю и, следовательно, получим равенство
f(n+D(x) = /?!r+1)(x),	(7)
справедливое для всех х из окрестности точки х№.
р М
Если теперь к выражению	многократно применить фор-
мулу Коши с учетом свойств (6) (см. 2-е замечание к теореме 4
(Коши), §1), то будем иметь:
Rn(x) = Rn(xJ =_____________Rn fa)______
(x Xy)rlX	(rt-^ijfXi"—х$)п (/14“1)м(Хз—' Хц)п 1
__________Rn fa)	_ Л?п'+1) (хп+1)
(«41) «(« — l)fa — ха)п 2	”	(«41)1 ’
где Xj лежит между х и х0, fa— между х, и х0, а значит, между х
и ха и т. д., x„ i лежит между х и х0. Точку х„+1 теперь уже удоб-
нее обозначить через с. Тогда из равенства
Rn(x) _7?<f+1)(4
(x~fa)"+1	(«41)1
получаем:
»(«+') м
где с лежит между х и х0.
Так как в силу (7) R^"+1)(c) = f(,I+1) (с), то остаточный член в
форме Лагранжа представится в следующем окончательном виде:
^W=7^(^-^o)n+1	(8)
242
где с лежит между к и х0. Последнее иногда отмечают и так
с = х0-]-В(х—х0), где0<е<;1.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
имеет вид:
f (х) = f (х0) = (х - х0) -г	(х - хйу +... +
+ ^(х_,оГ + 0)(х_ХоГ1.	(9)
В частном случае при хо = О имеем формулу Маклорена:
/(х) = ^(0)+фх+Мх* + ...+
! /1П1 (0) „п । Г”'1' (с)
’ п! (п + 1)!	•
(Ю)
Как видно из (9) и (10), остаточный член тем и отличается от
предыдущих членов, что значение (п+1)-й производной берется в
какой-то средней точке. И это не случайно. Легко показать, что
формула Тейлора (9) является обобщением известной нам формулы
Лагранжа о среднем значении. Действительно, если в формуле (9)
взять и = 0 и f (хй) перенести влево, то получим: f (х) — f (х0) =
= f (с) (х —х0) или Д#=/'(с)Дх, где с лежит между х и х0.
Рассмотрим несколько примеров приближенного представления
элементарных функций с помощью формулы Маклорена (10).
Пример 1. Пусть /(х) = е*. Тогда (х) = ех, где п=1, 2.
3, ... и f(0) = l, f(0)=l, ...,	(0) = 1. Следовательно, по фор-
муле (10)
у у2 гЗ	у/1
^J + ^+^ + ^+...+^+^^и	0<9<1.
Если в этом разложении отбросить остаточный член, то получим:
Можно подсчитать и погрешность, допущенную при тгком -
представлении е* на некотором отрезке, например на отрезке [0, 1].
Тогда 0=+xsC 1 и
I Р (Х\ I = I е8х xn+1 I <_-___
I («+ l)i х (п+1)!-
Из последнего видно, что погрешность стремится к нулю при
возрастании п, то есть если в формуле Тейлора брать все больше
и больше членов. Это значит, что функцию ех на данном отрезке
можно заменить многочленом с любой степенью точности. Так,
если п = 3, то | (%) | < ~, если п = 5, то |7?„(х)|<™, и т. д.
Можно поставить и обратную задачу: сколько нужно взять членов
разложения в формуле Тейлора для функции ех, заданной на [0, 1],
чтобы при этом погрешность не превышала 0,0001?
243
Для .решения этой задачи достаточно решить неравенство
(п-РТ);- < 0,0001. Последнее будет выполняться при п 7 (поскольку
8! >40 000), а
для
виде
т =
i n / а i	3	1
I Л7 W I 8Г < 81 < 40000 Тоооб•
Если в равенстве (11) положить х=1, то получим прибли-
женное значение числа е:
е~1--1 + »...+>2,7182.
Пример 2. Пусть f(x) = sin х. Тогда fw (х) = sin (х + п yj
п = 1, 2, 3, ..., и f (0) = 0, f (0) = 1, f" (0) = 0, ..., в общем
pm) (0) = sinmn = 0,	(0) = sin (та — у) = (— l)"1”1, где
= 1, 2, 3,... Положив в формуле (10) п = 2т, можно записать:
у3 у5	г2ГП-1
sinx = x-f,+^-... + (-ir-1(2Д=Т)| + ^(^	(12>
где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид:
sin Sx + (2т +1) у	ат+1
Дгт (х) =	(2т+1)!	x2,”+1 = (~ О'" COS 0х -	•
Так как |cos0x|«C 1, то погрешность при отбрасывании оста-
точного члена оценится следующим образом:
[ х lam+i
I^2fn(x) |=С(2Д+Т)|-
Формулой (12) можно пользоваться для нахождения прибли-
женных значений синуса .любых углов с любой степенью точности,
так как при любом значении х имеем /?2т(х) -> 0 при т -* оо (см.
пример 1 из § 6, гл. III). Погрешность будет зависеть как от т,
так и от х.
Пример 3. Аналогичным образом для функции f(x) = cosx
разложение по формуле (10) при п —2тф-1 даст
у2 у4	v-2/П
cosx==l-^ + |-... + (™l)m^yr + T?2m+1(x),
где
IP / X | _ I C0S|6x-!->-!-l)n]	2т+2 | I х ;ат+2 _
[КадИЛ I (2/П-+-2)!	| ~~~~ (2m-|~2)!	(2т-\-2)\'
Пример 4. Указать некоторый промежуток значений х, при
которых имеет место приближенная формула
. х2 , X4
COSX^l—2| + -^,
с точностью до 0,00005.
Правая часть приближенного равенства составляет пять первых
членов в формуле Тейлора для функции cos х (члены с х и х3
244
равны нулю). Следовательно, должна иметь место следующая
оценка дополнительного члена:
I р /,л ।Iх Iе__%в
I ^5 W I “б!	6! •
Чтобы погрешность была меньше 0,00005, достаточно потре-
бовать выполнения неравенства<0,00005.
Решая это неравенство, получим: |х| <0,84. Оказалось, что
указанная точность приближения обеспечивается значениями х,
удовлетворяющими неравенству —0,84 < х < 0,84.
Так как использованная нами оценка остаточного члена дана
«с запасом», то мы получили не наибольший промежуток, в кото-
ром обеспечивается требуемая точность нашей приближенной фор-
мулы для cosx. Эта точность может быть достигнута и в не-
сколько более широком промежутке.
Пример 5. С помощью формулы Тейлора вычислить sin 54° с точностью до
0,001.
* дт
Градусной мере 54° соответствует.ygg- = уд радиан. Если в формуле Тейлора
Зл
для функции sinx положить х— уд, то для остаточного члена будем иметь
оценку:
1П /Зя\ I _ \Ю/	1	! Зл Л
" (2m-:-1)1 < (2ш г1)! КаК 10 < )•
Теперь для определения количества членов, которое нужно взять в формуле
Тейлора, чтобы погрешность осталась в заданных границах, решаем неравенство
«.....iTi <0,001, или (2т4-1)!> 1000.
(2Л/1 “Г 1)1
Так как уже 7! =5040 > 1000, то из предыдущего получаем: 2m +1 5г 7, или т 2:3.
Итак, достаточно положить т = 3, то есть воспользоваться формулой
Xs , X5
8ШХ«=Х — — 4.— .
31	5!
3 jx
Подставляя х = уд и производя вычисление с четырьмя знаками после запятой,
находим: sin 54° »= 0,8100, или sin 54° «= 1,810. (Сохранять четвертый знак не имеет
смысла, так как мы обеспечили погрешность лишь меньшую 0,001.) По пяти-
значным таблицам sin 54° = 0,80902.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	В каком случае остаточный член в формуле Тейлора (4) тождественно
обращается в нуль (при некотором п)?
Отв. Когда f (х)— многочлен.
2.	Почему правую часть в формуле Тейлора (10) нельзя назвать многочленом
(п+1)-й степени (если f (х) не многочлен)?
f (с)
Отв. Потому что коэффициент 4 .-.-г при x”+l не является постоянной вели-
(ra-f-1)1
®иной. Его значение зависит от х.
245
3.	Разложить многочлен f (х) = х* + 2х3 — 8№ 4- 4х 4- 4 по степеням (х-|-1),
пользуясь формулой Тейлора.
Отв. f (х)= —94-22 (х4-1) 4-4 (х4-1)3 —6 (х4-1)34-2 (х4-1)4.
4.	Пользуясь формулой Тейлора, разложить функцию /(х) = хв по степеням
(х 2).
Отв. х« = 64 — 192 (х 4- 2) 4- 240 (х 4- 2)а — 160 (х 4- 2)« 4- 60 (х 4- 2)4 — 12(х 4- 2)» 4-
4-2 (х-|-2)в.
5.	Определить погрешность, допускаемую в приближенном равенстве ех 1 4-
4-x4-|j-4-...4-|y на [0, 1].	Отв. 0,0002.
6.	Разложить по степеням х функцию f(x) = ln (1-|-х), заданную на отрезке
[0, 1], с помощью формулы Тейлора. Оценить погрешность при отбрасывании
остаточного члена после пяти первых членов.	Отв.
7.	Определить значения х, при которых имеет место приближенная формула
sin X «а X— зу , С ТОЧНОСТЬЮ до 0,001.
Замечание. Смотрите примечание к примеру 3, помещенному в упражне-
ниях к § 1, гл. IV. То же относится и к примеру 9.
Отв. |х) </0Д2«30,65 = 37°15'.
8.	Выяснить происхождение приближенного равенства arcsin хя» хф-у и оце-
п	1
нить погрешность для 0 sg х s£ - .
Отв. Приближенное представление arcsin х с помощью формулы Тейлора.
Погрешность меньше 0,03.
9.	Определить, используя формулу Тейлора, значения х, для которых cosx~«
= 1 —-g- > с точностью до 0,0001.	Отв. | х | < 0,222 «= 12°30'.
10.	Сколько нужно взять членов разложения функции f(x) = sinx в формуле
Тейлора, чтобы полученный многочлен отличался от sinx на отрезке [0, 1] меньше,
чем на 0,001?	Отв. Три члена.
11.	Вычислить tg46° с помощью фррмулы Тейлора,‘взяв три первых члена
разложения функции /'(х)—-tgx. Результат сравнить с табличным.
Отв	О L	П'\3 Л-f"'I г
k 21	\	2/	3! \	2 / *
tg 46° = 1 4-2	4-2	==1,0355 (по табл, tg 16’= 1,0355).
12.	Вычислить значение cos 32° с точностью до 0,0001, пользуясь разложением
функции /(x)«=cosx по формуле Тейлора Результат сравнить с табличным.
Отв. cos 32° =» 0,8480 (по табл. 0,84805).
ГЛАВА Vll
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Данная глава является последней и завершающей главой в курсе
дифференциального исчисления. Основным содержанием ее является
исследование функций и построение графиков. Это —важнейшие
практические результаты математической теории. Аппарат диф-
ференциального исчисления представляет возможность для создания
более совершенных методов исследования функций. С помощью
производных первого и второго порядка можно, оказывается, доста-
точно быстро и полно выяснить все наиболее характерные особенности
в поведении той или иной функции.
Из самых различных областей науки и техники возникает большое
количество практических задач, решение которых связано с иссле-
дованием функций и, в частности, с нахождением наибольших
и наименьших значений. Вместе с тем рассматриваемые в главе
вопросы будут неоднократно встречаться и при дальнейшем изучении
математического анализа.
В данной главе следует особое внимание обратить на практи-
ческую сторону вопроса, то есть на методику исследования функций,
построения графиков и решения задач.
§1. УСЛОВИЯ ПОСТОЯНСГВХ, ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИЙ
Теорема 1. Пусть на [a, &J определена непрерывная функ-
ция f(x), имеющая на (а, Ь) конечную производную. Тогда:
(1)	Для того чтобы f(x) была постоянной на [а, Ь], необ-
ходимо и достаточно, чтобы f (х) =0 для всех х из (а, Ь).
(2)	Для того чтобы f(xj была возрастающей (убы-
вающей) на [а, Ь] в широком смысле, необходимо и доста-
точно, чтобы f (х)  0 (f (х) 0) для всех х из (а, Ь).
(3)	Для того чтобы f(x) была возрастающей (убывающей)
на [а, &] в узком смысле, достаточно выполнения условия
f (х)>0 (f (х) <0) для всех х из (а, Ь).
Доказательство (1). Необходимость условия очевидна,
так как известно, что производная от постоянной функции равна
нулю. Докажем достаточность. Из условия теоремы следует, что
функция f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа
247
о конечном приращении. Следовательно, для нее можно написать
формулу Лагранжа на отрезке [<з, х], где х—любая точка из [а, &]:
f(x)~ f (a)=f (с)(х — a) (a<c<x).
Так как по условию f (с) = 0, то получим, что f (х)=/(а) в любой
точке х из [а, Ь]. Справедливость утверждения (1) доказана.
(2). Докажем это утверждение для случая возрастающей функ-
ции. Случай убывания рассматривается аналогично.
Необходимость условия. Пусть f (х) монотонно возрастает; тогда
для любых точек х и х0, удовлетворяющих условию а < х0 -< х < Ь,
выполняется неравенство f (x)5sf (х0). Следовательно,
Переходя в последнем неравенстве к пределу при х^х0, получим:
f (xo)5sO. Так как х„— произвольная точка из (а, Ь), то этим
необходимость условия доказана.
Достаточность условия. Пусть f (х) S& О в каждой точке х из
(а, Ь). Воспользуемся формулой Лагранжа на произвольно выбран-
ном отрезке [х', х"] из [а, Ь]:
f (x")—f (x') = f' (с) (х"—х’), где х'<с<х".
Так как f' (с) 2г О и х">х', то и f (х") f (х'), что и требовалось
доказать.
(3). Пусть па (a, b) f (х)>0. Возьмем из отрезка [а, £>] две
произвольные точки хх и х2(х(<х2). Применим к f (х) на [х1( х3]
формулу Лагранжа. Получим:
f UJ —f (xi) = f (с) (x2 — xj, где xx < c < x...
Так как f (с) > О и x2> xx, to f (xj f(xt) >0, то есть f (x2) > / (xx).
А это и значит, что f (х)
о
Рис. 95.
на [а, й] строго возрастает. Случай,
когда /' (х) < 0 рассматривается
аналогично.
Заметим, что условие /' (х)> 0
(f (х) < 0) не является необхо-
димым для строгого возра-
стания (убывания) функции.
Строго монотонная дифферен-
цируемая функция в отдельных
точках может иметь произвоД-
7 ную, равную нулю (рис. 95).
В качестве конкретного приме-
ра можно рассмотреть функ-
цию у — х3. Эта функция строго
возрастает на (— оо, +оо), так как при хх<х2 имеем: хх<х.|. Но
ее производная у' = 3х2 равна нулю при х = 0.
Если вспомнить, что значение производной f (х) в данной точ-
ке х0 есть угловой коэффициент касательной к кривой y = f(x)
в точке (х0, f(x0)), то доказанные условия постоянства и монотон-
ности функции становятся еще более наглядными (рис. 95).
248
Замечание. Обращаем внимание читателя на то, что в дан-
ной теореме доказана монотонность функции f (х) в некотором
промежутке [а, Ь] в предположении
f' (х)	0 (> 0) или f (х) С 0	« 0)
внутри всего этого промежутка. Если
же известно, что f'(x0) > 0 «0) в одной
точке х0, то отсюда нельзя заключить,
что f (х) монотонна хотя бы в малой
окрестности точки х0. В качестве при-
мера рассмотрим функцию
2- + xasm— при х 0,
0	при х = 0
как при х = 0 выражение
f(x) =
Ее производная f'(x)=—+
— cos — . Значение f(0) из
так
(рис. 96).
„  1
4- 2х sin —
этой формулы получить нельзя,
i теряет смысл. Найдем f (0), исходя из определения производно.
,. /(х)-/(0)	.. y + x3siny	и . 1 \	1
f (0) — lim'.5.'.’>.- = lim -.——— = limbr4-xsin — =—
х-»0 х	х-»0	х	Х1
Покажем, что, хотя f'(0)>0, тем не менее ни в какой окрестности
нуля функция не монотонна. Действительно, если взять точки
у, —	(Ь —- —I— 1 —I— О	\ то ff { v, А — I 1 ____плс О/’тт -—
...............   *  '  Zг -   - М, • • , 1U j	‘" I 2^JT /   2 VVO 4rvJv —"
— jL _ 1 — __L о. Если же взять точки	= ——1—— (й = ±1,
z	z	(z/C 1) Л
±2, ±3, ...), to f'(xk)=f'	—c°s (2k + 1)я =-Л + 1 =
з
= y>0. Выбранные нами точки x* и Xk попадают в любую окрест-
ность нуля, так как xft->0 и х* -~>0 при fe->oo. Следовательно,
производная функции меняет знак в любой окрестности нуля, что
и доказывает наше утверждение. Этот факт имеет место, очевидно,
из-за того, что производная /' (х) в нуле имеет разрыв.
Пример 1. Определить промежутки, на которых функция f (х) — Зх2 — 2х
возрастает и убывает в строгом смысле.
Находим производную функции f'(x) = Sx — 2. Из неравенств 6х — 2>0и
6х —2<0 получаем, что данная функция возрастает на -f-ooj и убывает
Г 1 \
на I —оо, -g-1.
Пример 2. Определить промежутки возрастания и убывания функциг
у = ех + 5х.
Находим производную у'=ех-^Ъ. Поскольку ех > 0 при всех х, то и у' > 0
на всей числовой оси. Следовательно, данная функция строго возрастает на всей
оси (— со, 4-со).
249
Пример 3. Показать, что cx>l-f-x для всех вещественных значений
хуЬО.
Рассмотрим функцию f (х)~ех—х— 1 (—со<х< + оо). Ее производная
/' (х) = ех—1 отрицательна при х<0, положительна при х>0 и равна нулю
в точке х = 0. Следовательно, данная функция слева от нуля строго убывает,
а справа—строго возрастает. Так как в точке х = 0 значение функции равно
нулю, то все остальные ее значения будут положительными, то есть ех — х— 1 >0.
Отсюда получаем, что ех > х 4- 1 при всех х 0.
Пример 4. Доказать тождество
1 —х2
arccosT+^
= 2 arctg х
при 0«gx<4-oo.
Ее
Рассмотрим функцию f (х) = arccos
1 —X2
1 + X2
2 arctg х на промежутке (0, -роо).
производная на этом промежутке равна:
, Г .''1---Х2'2	(1 -|-Х2)2	1р-Х2
4х 2 = 2  2
(1	X2)2 '— (1 — X2)2 |1	X2)	1—X2 1 X2 1*Л'~
На основании теоремы о постоянстве функции заключаем, что f (х) является на
(0, -фсо) постоянной, то есть
.	„	1 ‘—- X2
/(х) = С или arccos-г-—;
' '	1 + X2
2 arctg х С, где С = const.
Для определения постоянной С воспользуемся тем, что последнее равенство есть
тождество, то есть справедливо при любом xysO. Дадим переменной х какое-
нибудь значение, например х = 0. Тогда С — arccos 1—2 arctg 0 = 0.
Итак, мы доказали справедливость тождества
1 —* х%
arccos т—;—— 2 arctg х = 0
l-f-x2
на [0, 4-со). Этим и завершено решение задачи.
Пример 5. Выяснить, существуют ли промежутки, на которых функция
/ (х) = arctg 2 arctg х равна постоянной, и найти эту постоянную.
Данная функция определена на промежутках (—со, —1), (—1, 1) и (1, +<эо).
Следовательно, сформулированный в теореме признак постоянства функции можно
применять лишь для каждого из этих промежутков в отдельности. Производная
функции в области ее существования:
1	2(1 —х2) + 2х-2х	2	2	2
'	/ 2х \а ’	(1—х2)2	l-f-x2~l+x2 l+x2-U-
1 + \1—X2/
Следовательно, на каждом из промежутков / (х) постоянна, f(x) = C. Однако
из этого не следует, что значения С на промежутках должны быть одинаковыми.
Для отыскания С достаточно (см. пример 4) взять по одной точке из каждого
промежутка и вычислить значения функции в этих точках. При этом целесооб-
разно выбрать такие точки, в которых значение f (х) вычисляется как можно
проще. Например, на промежутке (—1, 1) удобно взять точку х=0, на(1, -(-оо)—
точку х = ]/з и на (— оо, 1) —точку х= — 1^3. Получим: / (0) =0, / ( J .3 ) = — л
и /(—]/3) = л. Следовательно, /(х) = 0 на всем, промежутке (— 1> 1),/(х)= —Л
на всем (1, -j-оо) и / (х) = л на всем (—оо, — 1).
250
Для определения постоянных значений функции на двух последних проме-
жутках можно поступить и иначе. Именно, вычислим пределы: lim /(х)=п,
Х-*— 00
lim /(х)=—л.
X —»-4-00
Так как f (х) на каждом из этих промежутков постоянна, f(x) = C, то можно
утверждать, что С = л на (— оо, —1) и С = —л на (1, +со).
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.
в
2.
3.
Доказать пункты (2) и (3) теоремы 1 для случая убывания функции,
задачах 2 — 6 определить промежутки возрастания и убывания функций.
1^=4 •
Отв. Возрастает на (—со, —2) и (—2, 0), убывает на (0, 2) и (2, +со).
f (х) = х X 4х—-х2.	Отв. Возрастает на (О, 3), убывает на (3, 4).
4-	/(х) = 1п (х-4-}/1 -|-х2)-	Отв. Возрастает на (— со, -f-°o).
5-	f (х) = 2х2 — In х. Отв. Возрастает на coj , убывает на (й, ~j .
6.	/(х) = 3х—-Xs. Отв. Убывает на (—со, —1) и (1, -фоо), возрастает на (—1,1).
7.	Показать, что если /' (х) непрерывна в точке х = х0 и [' (х0) > 0, то f (х)
возрастает в некоторой окрестности этой точки.
8.	Обязательно ли производная монотонной функции является функцией моно-
тонной? Рассмотреть примеры: a) f (х) = х + sin х; б) f(x)^^-; в) /:(х)=ех.
Отв. Нет, не обязательно.
9.	При каких значениях коэффициента а функция f(x) = xa — ах возрастает
на всей числовой оси?	'	Отв. asgO.
10.	При каких значениях коэффициента Ь многочлен (х) = х2 — йх + 5
убывает на отрезке [ — 1, +1]?	Отв. b~S?.2.
11.	Показать, что функция у = х — sinx нигде не убывает.
12.	Показать, что функция i/ = arctgx — х нигде не возрастает.
§ 2. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
Одна из задач математического анализа состоит в том, чтобы
для каждой конкретно заданной функции f(x) установить: а) каковы
участки ее возрастания и убывания, б) имеет ли функция такую
точку х (одну или несколько), в которой ее значение является наи-
большим или наименьшим по отношению к значениям в достаточно
малой окрестности этой точки (х—й, х + й). Если в некоторой окрест-
ности точки х0(х0— 6, х0 + 6) непрерывная функция f(x) слева от xj
возрастает, а справа —убывает, то, как легко видеть, значение f (х0)
будет наибольшим в этой окрестности (рис. 97). В этом случае го-
ворят, что в точке х0 функция f (х) имеет максимум. Если же,
наоборот, в окрестности (х0—6, х0 + й) слева от х0 функция убывает,
а справа—возрастает, то f (х0) будет наименьшим значением в окрест-
ности (рис 98). В этом случае говорят, что в точке х0 функция
имеет минимум.
Дадим строгое определение максимума и минимума функции.
Определение. Функция /(х), заданная на некотором проме-
жутке, имеет максимум (минимум) в некоторой внутренней точке х(
из этого промежутка, если существует такая окрестность (х0—б, х0 + б)
251
точки ха, что для всех х из этой окрестности (кроме х0) справедливо
неравенство
f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)).
Значение f (х0) в этом случае называют значением максимума (мини-
мума) функции (рис. 97 и 98).
Заметим, что ради удобства часто слова «максимум» и «минимум»
заменяют одним словом «экстремум», а значения максимума и мини-
мума называют экстремальными значениями функции. Латинское
слово «extremum» означает «крайнее» значение.
В определении экстремума существенно, чтобы точка х0 была
внутренней точкой того промежутка, где функция задана, так как
требуется, чтобы функция имела смысл во всех точках некоторой
окрестности (х0 —6, л-„  6).
Укажем в заключение, что понятие экстремального значения
функции нельзя смешивать с понятием наибольшего и наименьшего
значений функции на всем промежутке ее задания. Экстремальное зна-
чение функции в точке есть максимальное или минимальное значе-
ние по отношению к близлежащим значениям. Так, например, если
в некоторой точке х0 функция имеет максимум, то это значит, что
значение jF(x0) является наибольшим по сравнению со значениями
в некоторой окрестности (х0 — 6, х0 + 6). По сравнению с другими
значениями Дх0) может оказаться и не наибольшим. Когда же гово-
рят о наибольшем значении функции на отрезке [а, &], то под этим
понимают такое ее значение, больше которого нет ни в одной точке
этого отрезка, включая и концы. Отсюда получается, что наиболь-
шим значением функции на отрезке может быть либо одно из макси-
мальных значений, либо значение на одном из концов отрезка Так,
на рисунке 99 функция имеет максимум в точках х2, х4 и хв, а наи-
большее значение — в точке х=Ь, минимум —в точках xlt х3, х5 и х7,
а наименьшее значение —в точке х3.
Чтобы найти наибольшее значение функции на [а, Ь] чисто ана-
литическим путем, нужно, очевидно, отыскать все ее максимальные
значения и значения на концах отрезка. Затем, сравнив полученные
числа, выбрать наибольшее. Подобным образом определяется и наи-
меньшее значение функции.
252
Рис. 99.
После того как стала ясна идейная сторона вопроса, мы поста-
раемся найти практические способы обнаружения точек, в которых
данная функция имеет экстремум и какой именно —максимум или
минимум. Для этого займемся исследованием функций с помощью
дифференциального исчисления.
Пусть f (%) определена на [а, Ь] и в точке х0 этого отрезка имеет
экстремум (максимум или минимум). Это значит, что найдется такая
окрестность (х0 — 6, х0 + $), в которой /(х0) будет наибольшим или
наименьшим значением. Тогда по теореме Ферма, если в точке х0
существует конечная производная, то она должна быть равна нулю,
то есть f'(xo)--O.
Таким образом, необходимым условием существования
экстремума в точках, где существует конечная производ-
ная, является обращение в нуль производной.
Чтобы найти точки, в которых производная равна нулю, доста-
точно выражение производной приравнять нулю и решить полу-
ченное уравнение. Предположим, что для некоторой функции
определены таким образом все точки,
где производная равна нулю. Можем
ли мы быть уверенными в том, что во
всех этих точках экстремум существует?
Оказывается, нет. Производная может
равняться нулю и в точках, где экст-
ремума нет. Так, например, функция
= имеет производную /'(х) = 3х2,
которая при х = 0 равна нулю, но в этой
точке, как легко видеть, экстремума
нет (рис. 100). Следовательно, указан-
ное условие не является достаточным
для существования экстремума.
Точки, в которых производная рав-
на нулю, называются стационар-
ными точками. В них изменение функ-
ции как бы приостанавливается, скорость
изменения обращается в нуль. Мы в даль-
253
нейшем будем называть такие точки «подозрительными на
экстремум». Дальнейшее исследование должно подтвердить или отверг-
нуть «подозрение», павшее на точку, где производная равна нулю.
Кроме стационарных, к числу «подозрительных» на экстремум
точек следует также отнести и точки, в которых производная обра-
щается в бесконечность или вовсе не существует. Среди них также
могут быть точки экстремальные, как это видно из рисунка 101.
Итак, представим себе, что все точки, «подозрительные» на экстре-
мум, нами определены. Чтобы решить вопрос до конца,будет ли в той
или иной из этих точек экстремум, следует подвергнуть каждую точку
в отдельности дополнительному исследованию.
Первый способ исследования. Пусть х„ — одна из «подо-
зрительных» точек. Предположим, что в некоторой окрестности этой
точки (хп —6, л;, i-б), за исключением, может быть, самой точки х0,
существует конечная производная, имеющая на (х0—8, х0)и (х0, А'о + ^)
постоянные знаки. В зависимости от распределения знаков производ-
ной слева и справа от х9 возможны следующие случаи:
1-й случай. f(x)>0 при х<х0 и f'(x)<0 при х>х0. По
теореме 1 из предыдущего параграфа это означает, что слева от х0
функция f(x) возрастает, а справа—убывает. Значение f(x0), таким
образом, является наибольшим в рассматриваемой окрестности, то
есть в точке х0 функция f (х) имеет максимум.
2-й случай.	при х<х0 и /'(х)>0 при х>х0. Зна-
чит, f (х) слева от х0 убывает, а справа — возрастает; f (х0) будет наи-
меньшим значением функции в некоторой окрестности точки х0, то
есть в точке х0 — минимум.
3-й случай. f'(x)>0 при х<х0 и f'(x)>0 при х>х0 или
/'(х) < 0 при х < х0 и f (х) < 0 при х > х0. Это значит, что f (х) либо
всюду возрастает, либо всюду убывает. Следовательно, в любой
окрестности точки хп найдутся значения как большие, так и мень-
шие, чем f (х0), то есть в точке х0 нет ни максимума, ни мини-
мума (рис 102).
254
Итак, если производная функция при переходе через точку
хп меняет знак, то в этой точке функция имеет экстремум.
Это условие является достаточным для существования
экстремума. При перемене знака производной с плюса на минус
в точке х0 функция имеет максимум, с минуса на плюс —
минимум. Если же при переходе через точку х0 про-
изводная знака не меняет, то в этой точке экстремума нет.
Полученные нами результаты для функции/(х), у которой
f (хо) = О, можно свести в следующую таблицу:
Знак f (х) при	Знак /' (х) при	Заключение
х„ — 6 < х < х0	хо < X < Хо + 6	
		,	Максимум
—.	4-	Минимум
	"4"	1 Экстремума
		J нет
1	5
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f/™ v х3—?гх1 2-)-6х.
о	2
Находим производную: у' =х2— 5х + 6. Приравниваем ее нулю: х2 — 5x4-
+ 6 = 0. Корни этого уравнения — 2 и х2 = 3 определяют стационарные точки.
Поскольку производная всюду существует и конечна, то в данном случае других
точек, «подозрительных» на экстремум, нет. Проверим достаточные условия экстре-
мума. Для этого производную удобнее представить в следующем виде: у’ =
= (х 2) (х 3).
1) Исследуем точку х1 = 2. Если х<2, то </'> 0; если 2<х<3,то у’ <0.
Следовательно, в точке xt функция имеет максимум. Значение функции в этой
точке г/Д_2 = у 2з-А. 22 + 6-2 = 4 у.
2) Исследуем точку х2 = 3. Имеем: у’ СО при 2<х<3 и у'>0 при х>3.
Следовательно, в точке х2 —минимум. Значение функции у |А._3 = — • З3 —• За +
о	2
+ 6-3 = 41.
Используя сведения, полученные о данной функции, и учитывая, что у = 0
при х=0, можно получить ее приближенное графическое изображение (рис. 103).
255
Замечание. Если функция имеет несколько точек, «подозри-
тельных» на экстремум, то при исследовании каждой из них
нужно проследить за знаком производной в непосредственной бли-
зости слева и справа. Иначе исследование может дать неверный
ответ. Так, например, на рисунке 104 в точке х0 функция имеет
минимум. Но если взять слева от х0 точку х', а справа —точку х",
то в точке х0 экстремума не обнаружится, так как /' (х') > 0 и
f(x")>0. Все это произойдет только потому, что точка х' взята
слишком далеко от х0, настолько далеко, что между х' и х0 оказа-
лась вторая «подозрительная» на экстремум точка хх. Во избежание
подобных недоразумений рекомендуется поступать следующим обра-
зом.
Пусть функция f(x) в области ее задания [а, Ь] имеет конечное
число точек, «подозрительных» на экстремум, а между ними f(x)
непрерывна. Расположим эти точки в порядке возрастания:
a<x1<x2<x3<...<xn<b.	(1)
В каждом из интервалов
(a, Xi), (я, х2), (х2, х3).(х„, Ь)
существует конечная производная f (х) # 0, так как точки, в кото-
рых производная равна либо нулю, либо бесконечности, либо вовсе
не существует, включены в число точек (1). Кроме того, на каждом
из интервалов производная f (х) имеет постоянный знак, так как
если бы на некотором из интервалов она меняла знак, то (в силу
непрерывности f (х) внутри этого интервала) нашлась бы точка,
в которой К (х) = 0, что невозможно. Следовательно, знак произ-
водной /' (х) в любой точке интервала будет знаком, соответствующим
всему интервалу. Взяв в качестве «пробы» по одной точке из
каждого интервала, получим некоторую последовательность знаков
f (х). Это позволит сразу решить вопрос об экстремуме функции
в каждой из точек, «подозрительных» на экстремум.
256
Пример2. Исследовать на экстремум функцию у = (х — 2)2 (x-f-l)8.
функция определена и непрерывна на всей оси (— оо, 4-со). Ее производная
u'=2(x-2)(x+1)3 + 3(x-2)2(x+1)2 = (x-2)(x+1)2(2x4-24-3x-6) = 5(x-2)x
*’	I 4 \
у 1)2 I х—g-J всюду конечна. Следовательно, «подозрительными» на экстремум
будут лишь стационарные точки. Решая уравнение
(х-2)(х+1)»	=0,
\ о /
4
получим:	— 1,	ха —2. Область определения функции разобьется этими
/	4 \	/ 4	\
точками на следующие интервалы: ( — со, —1), 1—1, -р- ,	2 , (2, 4-со).
Определение знака производной в каждом из интервалов можно провести по
следующей условной схеме-
X	— СО < X <— 1	,	4 — 1 < х< О	4<х<2 5	2 < х < -фоо
(х —2)	—	—	•—	+
(х+1)а	4“	4“	+	4~
1 4) f 5)		—	+	+
Знак у'	+	-j™	—	4“
В этой схеме по строкам выписаны знаки каждого из переменных сомножи-
телей выражения у' в каждом из указанных интервалов. Положительный коэф-
фициент 5 на знак у' не влияет.
Распределение знаков у' по интервалам (иижияя строка) дает право заклю-
4
чить, что в точках Xj = — 1 экстремума нет, в точке х2=~ — максимум: рх=08 =
1244
= 8 jjggs» 8,4, в точке х3 = 2—минимум:
Заметим также, что постоянство знака производной внутри каж-
дого из интервалов указывает на монотонность функции в каждом
интервале. Если учесть еще, что у —0 при х=— 1 и z/ = 4 при
х=0, то можно примерно представить себе график этой функции
(рис. 105).
2
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию у~х3.
_ J
Производная у' = -.-х 3 ———— не обращается в нуль ни при каком конечном
d	3 у/ X
значении х. В точке х=0 она не существует. Следовательно, единственной точ-
кой, «подозрительной» на экстремум, является точка х = 0. Так как у' <0 при
х<0 и «/'> О при х > 0, то в точке х = 0 функция имеет минимум, у|ж_о=О.
График этой функции дан на рисунке 106.
9 Бохан и др.
257
Второй способ исследования. Пусть х0— точка, «по-
дозрительная» на экстремум, в которой f'(xo) — O. Предположим,
что в этой точке существует вторая производная f"(xo)=0=O. По
определению второй производной
f''(х0) = lim Ж—
•	' V/	v __ v
х—Х — Хд
= lim
f'W
х—х0'
На основании теоремы 3 из § 3 главы III можем утверждать, что
л	f'M л
для х, достаточно близких к х0, выражение -.....будет одного зна-
Х~— Xq
ка с /”(х0).
1-й случай. /"(хо)>0. Тогда для х, достаточно близких к х0,
будут одного знака. Значит, если
x<Zx0, Tof'(x) < 0; если х>х0,
то f'(x) > 0. Получили, что пер-
вая производная при переходе
через точку ха меняет знак с
минуса на плюс. Тогда, при-
Рис. 105.
Рис. 106.
меняя первый способ исследования, заключаем, что в точке х9
функция имеет минимум.
2-й случай. /:',(х0)<0. Тогда для х, достаточно близких к х0,
то есть f (х) и х—х0 будут разных знаков: если х<хв,
то f (х)> 0; если х>х0, то f (х)<0. Оказалось, что первая про-
изводная при переходе через точку х0 меняет знак с плюса на
минус. Значит, в точке х0 функция имеет максимум.
Полученные нами результаты исследования можно представить
в виде следующей таблицы:
Знак /"(х0)
Заключение
0
о
В точке х0 минимум
В точке х0 максимум
Пример 4. Исследовать иа экстремум функцию примера 1 вторым способом.
1	5
В примере 1 рассматривалась функция f(x) = ^x3—„х2|-6х. Там же уста-
О	Z
258
новлено, что точки хх = 2 и х2 — 3 являются «подозрительными» на экстремум.
Находим вторую производную. f"(x) = 2x—5.
Так как f” (2) = 2-2 — 5<0, то в точке хг— максимум
Так как f" (3) = 2 • 3—5 > 0, то в точке х2 — минимум.
Замечание. Если сравнить между собой два рассмотренных
нами способа исследования функций, то второй способ оказывается
практически более удобным, так как он быстрее приводит к цели.
Но, к сожалению, он не всегда применим. Случаи, когда первой
производной в исследуемой точке не существует, а также когда
вторая производная равна нулю, этим способом исследования не
охватываются. Иногда и вычисление второй производной настолько
громоздко, что проще воспользоваться первым способом исследо-
вания.
Пример 5. Каковы должны быть коэффициенты р и q трехчлена х2 + рх4-
4- q, чтобы этот трехчлен имел при х = 3 минимум, равный 5?
Рассмотрим функцию f (х)~х2-}-px-\-q. Ее производная f' (х) = 2х 4- р везде
имеет конечные значения. Следовательно, минимум функции в точке х = 3 будет
в том случае, если /’ (3)=0, то есть 2-3 + р = 0 Из последнего получаем, что
р = —6. Для определения коэффициента q воспользуемся тем условием, что
f (3)=5. Тогда З2 — 6 -3 + ^ = 5, откуда q= 14 Задача решена: искомый трехчлен
имеет вид: х2 —6x4-14.
В заключение параграфа остановимся на задачах другого типа,
связанных с предыдущим. Пусть требуется найти наибольшее и наи-
меньшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [а, й]. По
второй теореме Вейерштрасса такие значения существуют. При этом
они могут достигаться как во внутренних точках отрезка, так и на
его концах. Однако если наибольшее (наименьшее) значение функции
достигается в какой-нибудь внутренней точке х0, то ,v„ обязательно
будет точкой максимума (минимума). Следовательно, чтобы найти наи-
большее и наименьшее значения функции f(x) на [а, й], нужно:
1)	найти все точки максимума и минимума, лежащие в интервале
(а, Ь);
2)	вычислить значения функции во всех этих точках, а также
значения на концах отрезка, то есть f (а) и f (b);
3)	из всех полученных значений функции (как правило, их будет
конечное число) выбрать наибольшее и наименьшее. 
Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у — х* — 2х24-б,
заданной на отрезке [-2,4-2].
Исследуем функцию на экстремум. Находим первую производную: у' — 4х3 —
— 4х = 4х (х2—1). Решаем уравнение 4х(х2 — 1) = 0 и находим стационарные точки:
*1 = 0, х2 = — 1, х3=1. Других «подозрительных? точек нет. Проверим вторым спо-
собом достаточные условия экстремума в этих точках. Находим вторую производ-
ную: у" — 4 (Зх2— 1). Так как у” । 0=—4 <0, то в точке Xj —максимум, г/^_0 =
= 5; так как у" |х = _,_ । = 8 > 0, то в точках х2 и х3— минимум, ух=+\—4.
Определяем значения функции на концах отрезка: у\х_2 = г/¥_2=13.
Сравнивая экстремальные значения функции и значения на концах, заклю-
чаем, что у = 4 является наименьшим, а у = 13— наибольшим значениями функции
на указанном отрезке.
Замечание. Решение данной задачи можно было бы упростить,
ограничившись только вычисленьем и сравнением значений функции
9*
259
в стационарных точках и на концах отрезка, не проводя исследо-
вания на экстремум в каждой из стационарных точек. Так как наи-
большее и наименьшее значения должны достигаться в одной из пере-
численных точек, то при сравнении значений фуйкции в этих точ-
ках они непременно будут обнаружены.
Сделанное замечание имеет общий характер. Именно, несколько
упрощая указанный выше способ отыскания наибольшего и наимень-
шего значений функции, можно придать ему следующую форму.
Правило. Чтобы найти наибольшее и наименьшее зна-
чения функции f(x) на отрезке [а, Ь], нужно:
1)	найти все точки, «подозрительные» на экстремум, то
есть стационарные и такие, в которых функция не диф-
ференцируема,
2)	вычислить значения функции во всех этих точках, а
также значения на концах отрезков: f(a) и f(b),
3)	из всех полученных значений выбрать наибольшее и
наименьшее.
1)	у = х~> — 6х-ф8
2)	у = х3 — 12х+ 1.
3)	//-х-(х -4)
4)	у — sin х -j- cos х.
5)	i/ = x2.f~x
6)	у = ех
^1Фх-
„ч 10г
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Может ли значение максимума некоторой функции оказаться меньше, чем
значение минимума этой же функции?	Отв. Да.
2.	Пользуясь второй теоремой Вейерштрасса, покашть, что между двумя мак-
симумами (минимумами) непрерывной функции имеется минимум (максимум) этой
функции
3.	Известно, что если функция f (х) слева от х0 возрастает, а справа убывает,
то в точке Л'о имеет место максимум. Справедливо ли обратное утверждение? Отв. Нет.
4.	Может ли монотонная функция иметь экстремум?	Отв. Нет.
5.	Исследовать на экстремум и построить графики следующих 4У1,кИий:
Отв пип при х = 3.
Ошв. max при х=—2, min при х = 2
8
Отв. max при х = 0, min при х=-д-.
Отв. max при	min при	период 2л.
Отв. min прих = 0, max при х = 2.
Отв min при х = 0.
Отв. min при х = е.
Отв min пр । х — —2, max при х = 2.
Отв. max при x = kn, min при x = 2kn±-~- (k = 0, ±1, ±2,...).
«J
(x— I)3
10) x=-.—,	' --rr. Отв. Экстремума нет.
(x+ 1) (x2 + 1)
6. Может ли функция, имеющая максимум (минимум), не иметь наибольшего
(наименьшего) значения? Может ли функция, имеющая наибольшее (наименьшее)
значение, не иметь максимума (минимума)?	Отв. Да (в обоих случаях).
260
7.Найти наибольшие и наименьшие значения на указанных промежутках сле-
дующих функций:
1)	у = | х । при — 1 xs^ 1
2)	у = Е (х) при —2^xsg 1.
3)	y = x:i — &х при —
Отв. 1 и 0.
Отв. 1 и —2.
Отв. 40 и —9.
4) y — x-j-2y х при OsSxsU.	Отв. 8 и 0.
8. Существуют ли наибольшие и наименьшие значения на указанных проме-,
жутках у следующих функций:
1)	г/ = х2 при 0<хкС 1. Отв. Наименьшее не существует, наибольшее равно 1.
2)	у = cosx при-----g-sgx<n.
Отв. Наименьшее не существует, наибольшее равно 1.
3)	г/ = — при 0 < х г£4. Отв. Наибольшее не существует, наименьшее равно .
4)	у — arcsin х при — 1 < х < 1?
Отв. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
5Т
9. Доказать, что функция f(x) = xsin — имеет бесконечное множество точек
максимума и бесконечное множество точек минимума в любой окрестности нуля.
Указание Смотри задачу 6 из упражнений к § 1, гл. VI.
§ 3.	ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
До сих пор мы строили графики функций примерно следующим
способом. Пусть требу ется построить график функции y — f (л), опре-
деленной на [а, />]
1.	Строим оси координат и выбираем масштаб.
2.	Выбираем произвольным образом некоторые точки из \а, Ь\:
Ху ха, хя, ..., хп и вычисляем значения функции в этих точках:
У1“ / (х1)> yi — f(xi)> Уз~ I (хз)> Уп =1 (хп).
3.	На плоскости отмечаем точки, соответствующие парам чисел
(xlt У1), (х.у у3), (х3, у3), .... (х„, уп).
4.	С помощью лекала соединяем точки плавной кривой и полу-
чаем приближенное графическое представление данной функции.
Изложенный способ обычно называют способом построения «по
точкам». Следует отметить, что он прост по идее и сравнительно
быстро приводит к цели. В случаях, когда функция непрерывна
и изменяется довольно плавно, такой способ может обеспечить и необхо-
димую степень точности графического представления. Для этого нужно
только брать побольше точек из [й, Ь], чтобы достичь определенной
густоты их размещения.
Предположим теперь, что функция в отдельных местах имеет
особенности в своем «поведении»: либо ее значения где-то на малом
участке резко меняются, либо имеют место разрывы. В качестве при-
мера такой функции рассмотрим функцию, истинный график кото-
рой дан на рисунке 107 сплошной линией. При построении графика
этой функции по точкам очень маловероятно, что он получится
таким, каким должен выглядеть фактически. Точки а, р и у могут
не попасть в число произвольно выбираемых значений х, и график
окрестности этих точек может оказаться далеко не похожим на истин-
261
ный. Наиболее существенные части графика таким способом могут
и не быть обнаружены. Получим в качестве наиболее вероятного
график функции, отмеченный на чертеже пунктирной линией. Только
лишь по счастливой случайности выбор значений х может пасть, напри-
мер, на значение а. Тогда после вычисления значения функции в этой
точке и сравнения его с другими значениями будет обнаружен силь-
ный скачок функции в этом месте. Насторожившись, постараемся
путем добавления новых точек в окрестности точки а уточнить поло-
жение графика в этом месте. Но разве можно рассчитывать на такую
случайную удачу. Это обстоятельство и снижает ценность способа
построения графика «по точкам».
Существует второй способ построения графиков, основанный на
аналитическом исследовании функций. Он выгодно отличается от рас-
смотренного выше способа. Важной особенностью второго способа явля-
ется то, что в его основе лежит прежде всего обнаружение и изу-
чение характерных особенностей в поведении кривой. Только после
этого приступают к построению графика. Места, где функция изме-
няется плавно, не изучаются особенно подробно, да и нет надоб-
ности в таком изучении. Зато те места, где функция имеет какие-либо
особенности в поведении, подлежат полному исследованию и макси-
мально точному графическому изображению. Легко догадаться, что
этими особенностями и являются точки максимума, минимума, точки
разрыва функции и др.
Перейдем к изложению второго способа.
Исследование функций можно вести по следующей примерной схеме:
1.	Выяснение области существования функции.
2.	Вопрос о четности и нечетности функции.
3.	Определение точек разрыва функции. Нахождение предельных
значений в точках разрыва слева и справа.
4.	Исследование функции на экстремум и нахождение экстремаль-
ных значений.
262
5.	Нахождение точек пересечения кривой с осями координат.
Эту схему мы называем примерной потому, что она может быть
изменена и дополнена новыми пунктами в зависимости от характера
функции и целей исследования. Например, могут быть включены
такие вопросы, как периодичность функции, вопрос об асимптотах
и др., а вопрос о четности и нечетности функции становится ненуж-
ным, если область задания несимметрична относительно х = 0.
Сведения, полученные о функции в результате исследования по
предполагаемой схеме, будут настолько подробны и полны, что после
этого не составляет особого труда представить себе график функции
и сделать его набросок. При этом построенный таким образом гра-
фик будет отражать все особенности данной функции, несмотря на его
неполную точность. При необходимости уточнить отдельные места
кривой можно вычислить координаты нескольких дополнительных точек
Пример 1. Исследовать и построить график функции z/ = -^--f-4x2.
Проведем исследование по предложенной нами схеме.
1.	Функция существует для всех хфО и только при х = 0 она теряет смысл
2.	Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (— х) = — -^ + 4х2
Ч f (—. X) f (х), f (—- X) Zjb — f (X).
3.	В точке х = 0 функция имеет разрыв второго рода. При этом
hm Л£4-4х2'1 = —co, lira / A. + 4x2''| = + co.
—O\x /	x—*4-0 \X ]
4.	Находим производную у'=—т— и решаем уравнение —j— = 0. Точка
Xй	Х£
x=-g- является стационарной точкой. Других «подозрительных» точек нет. Про-
1
верим достаточные условия экстремума в точке x = -g-. Так как знаменатель про
изводной всегда положителен, то достаточно проследить за знаком числителя
Получаем: у' <0 при * <-g". у'>0 при х>-^-_ Следовательно, в точке х = -^
функция имеет минимум, ее значение
в этой точке
У\ ! — 3.
5,	Точек пересечения кривой с осью OY нет, так как данная функция не
определена при х = 0. Чтобы найти точки пересечения кривой с осью ОХ, нужно
1	1^2
решить уравнение-----j-4xa = 0, откуда найдем, что 4х3=—1 или х= — ~-
(остальные два корня мнимые).
Полученные результаты исследования можно собрать в следующую таблицу
	1 \ со,— 2 ;	j 2 2	°)	0	Н)	1 2	/ 1 , \ U’+°°;
у'	—	—	—		—	0	+
У	Убывает	у=о	Убывает	Разрыв 2-го рода f(—0)=—со /(+0)=+оо	Убывает	Мини- мум z/ = 3	Возрастает
261
Заметим, что в верхней строке таблицы значения х, полученные при иссле-
довании, нужно располагать в порядке возрастания.
Переходя к построению графика, следует прежде всего выбрать удобное рас-
положение системы координат на чертеже. Так, например, если функция нигде
не имеет отрицательных значений и существует только для х>0, то естественно
ось OY сдвинуть несколько влево от центра, а ось ОХ — вниз. В нашем случае
функция существует всюду, кроме х = 0, и принимает как положительные, так и
отрицательные значения. Следовательно, начало координат можно расположить
в середине чертежа.
Масштаб по осям координат также желательно выбирать в зависимости от
того, насколько большие значения придется откладывать на той или другой оси.
Чем большие значения откладываются на оси, тем мельче должен быть масштаб.
В данном случае по оси ОХ следует взять масштаб покрупнее, так как на ней
f
По оси OY следует взять более мелкий
я 1
масштаб, так как при х —-g- значение
у — 3 является минимальным значением
функции и, следовательно, в окрестности
точки x = -g- будут значения функции,
большие 3.
По составленной выше таблице строим
график функции. Сначала наносим
точки, отмеченные в таблице. Затем де-
лаем набросок кривой, исходя из характе-
ристики ее на каждом из участков. По-
лучим график, который изображен на ри-
сунке 108. Заметим попутно, что рас-
смотренная в этом примере кривая носит
специальное наименование — «трезубец
Ньютона».
Остановимся специально на характере
графика функции около значения х = 0,
которое представляет точку «бесконечно-
го» разрыва функции. Для любого
расстояние от точки М на кривой у — Цх) до прямой х = 0 (то есть до оси Оу)
будет равно | х | (расстояние измеряется по перпендикуляру, проведенному к этой
прямой из точки М). Но когда х —0, то точка М удаляется по кривой в бес-
конечность, а расстояние от М. до оси Оу стремится к нулю, то есть кривая
неограниченно приближается к оси Оу. В таком случае ось Оу называют верти-
кальной асимптотой для данной кривой (сопоставьте с понятием асимптот гипер-
болы из аналитической геометрии).
Вопросу об асимптотах кривых будет в дальнейшем посвящен отдельный
параграф (см. § 5 этой главы).
Пример 2. Исследовать и построить график функции У=-^^_х2 
1)	Функция существует всюду, кроме точек х—± 2.
2)	Она является четной, так как f(—x) — f(x). Следовательно, ее график
симметричен относительно оси Оу. Воспользуемся этим обстоятельством и огра-
ничимся исследованием и построением графика функции только для xisO. Вто-
рая часть графика для х<0 может быть достроена по симметрии.
3)	В точке х = 2 функция имеет разрыв второго рода, причем:
X2	х2
lim ------= 4-оо,	lim ——-=— со.
х—2—о4 — х2	х_2 + 0 4—-х2
Значит, прямая х = 2 является вертикальной асимптотой для данной кривой.
264
, (4 — х2) 2х2х • х2 8х
4) Находим производную у =-----2\а-------— 2^2 и приравниваем
(4 X )	(4
ее нулю. Получим: 8х=0 или х = 0. Поскольку точка х = 0 является внутрен-
ней точкой области определения функции, то в ней может быть экстремум. Но
мы не будем проверять достаточные условия экстремума в этой точке, так как
при симметричном достраивании графика вопрос об экстремуме в этой точке будет
решен и без этого.
5) Кривая проходит через начало координат, так как у = 0 при х = 0. Дру-
гих точек пересечения кривой с осями координат нет.
Исследуем поведение кривой при х—• -фоо. Имеем:
lim
Х^4-СО
— X2
Та-
ким образом, расстояние от любой точки М на кривой до прямой у---— 1, изме-
I х2 I
ряемое величиной jf(x) —(—1) '=	. ПРИ удалении М в бесконечность
(то есть при х— со) стремится к нулю; иначе говоря, при х —со кривая неогра-
ниченно приближается к прямой у— — 1, то есть прямая у——1 является гори-
зонтальной асимптотой для данной кривой.
Составим таблицу:
	0	(0,2)	2	(2, -фоо)
у'	0	+		+
у"	4'"	-"4		
У	0	Возрастает	Разрыв 2-го рода f (2 —-0) ж	оо, f (2 -f- 0) = —- оо	Возрастает
График этой функции дан на рисунке 109. Как видим, в точке х = 0 функция
имеет минимум, уЛо = 0, а прямые х = 2 и х=—2 являются вертикальными
асимптотами.
Вопросы для самопроверки
и упражнения
1.	Почему при исследовании зна-
ка производной слева и справа от
точки х0, «подозрительной» на экстре-
мум, нужно брать точки, близкие к
х0? Чем определяется степень этой
близости?
2.	Как исследуется поведение кри-
вой y==f(x) при х —- ± оо?
3.	Как используются свойства
четности, нечетности и периодичности
функций при исследовании последних
и построении их графиков?
4.	Провести исследование и по-
строить графики функций:
a)	б) у = 3х4 —2х2—-1,
.	2
в) ^Гм2’
е) у = sin х + х.
265
§ 4. НАПРАВЛЕНИЕ ВОГНУТОСТИ КРИВОЙ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Пусть функция f (х) имеет в точке х0 конечную производную.
Тогда касательная к кривой y~f(x) в точке М (х0, f (хд)) не будет
параллельна оси ОУ.
Определение. Будем говорить, что кривая в точке М вог-
нута вниз (вверх), если в некоторой окрестности этой точки она
лежит ниже (выше) касательной. Точку М (хд, f (х0)) называют точ-
кой перегиба, если кривая переходит в точке М с одной стороны
касательной на другую, то есть если в некоторой окрестности
точки М все точки кривой с абсциссами х<х0 лежат по одну
сторону от касательной, а все точки с абсциссами x^>xg— по
другую. Если при х = х0 функция f(x) имеет с обеих сторон
бесконечную производную одного и того же знака, то точку
М (х0, f (х0)) также называют точкой перегиба кривой у—f (х) (рис. 110).
Выясним условия, при которых имеет место определенное на-
правление вогнутости, или перегиб кривой.
Пусть функция f (х) имеет вторую производную f" (х), непре-
рывную в точке х0. Составим уравнение касательной к кривой
y==f (х) в точке Л1 (х,„ уд):
У—y0=f' (xg) (x — xg).
Здесь y„ f(x„). а через У обозначена текущая ордината касатель-
ной в отличие от текущей ординаты у из уравнения кривой y=f (х).
Разность ординат у— У, соответствующих одной и той же абсциссе,
будет:
Г = у—У —у — уп — у (х0) (х — Xg)=f (х)— f (Xg) — j’ (Хп) (X — Л„).
С помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме
«Лагранжа при п = 1 можем записать:
266
следовательно,
r = -^-(x~ х,,)2
(см. § 3, гл. VI), где точка с находится между х и х0. Из этой
формулы следует, что г имеет такой же знак, что и /"(с).
Возможны следующие случаи:
1-й случай. f"(xo)>O. Так как по условию f" (х) непрерывна
в точке х0 и f (х0) > 0, то для всех точек х, достаточно близких
к х0, будет f”(x)>0. Поскольку точка с находится между х и х0,
то за счет приближения х к х0 (как слева, так и справа от х0)
получим: /"(с)>0. Но тогда будет и г>0 (то есть у — У>0,
или y>Y). Тем самым мы доказали, что в некоторой окрестности
точки х0 кривая лежит над касательной, то есть в точке М кривая
направлена вогнутостью вверх.
2-й случай. f"(xo)<zO- Совершенно аналогично доказывается,
что в этом случае в точке М (х0, у0) кривая вогнута вниз
3-й случай, f' (хо) = О. Если при этом f"(x) слева и справа
от точки х0 имеет разные знаки, то это означает, что при переходе
через точку х0 разность г меняет знак, то есть кривая переходит
с одной стороны касательной на другую. В точке Л1 имеется пере-
гиб, и эта точка отделяет участок, где кривая направлена вогну-
тостью вверх, от участка, где кривая направлена вогнутостью вниз.
Обращаем внимание читателя на то, что наличие только равен-
ства /"(хо) = 0 еще не обеспечивает наличие перегиба у кривой
в точке х„. Например, если имеем функцию /(х)==х4, то f" (х) =
= 12х2 и f,(0) = 0. Однако, как легко видеть, кривая, изобра-
жающая эту функцию, в точке х = 0 перегиба не имеет. ‘
Заметим также, что в точке х„ может быть перегиб и в том
случае, когда f" (х0) не существует. Достаточно, чтобы [" (х) меняла
знак при переходе через эту точку.
Полученные нами результаты можно представить в виде сле-
дующей таблицы:
Г (х) при Х„ —б < х < х»	Г (Хо)	f"(x) при Xq X Xq V	Заключение о кри- вой в точке х0	
	>0		Вогнута вверх	
				
	<0		Вогнута вниз	
				
<0	= 0 или не существ.	>0		 Перегиб
>0		<0		
Определение. Если кривая вогнута вверх (вниз) в каждой
точке некоторого промежутка, то она называется вогнутой вверх
(вниз) на этом промежутке.
267
Пример 1. Определить интервалы, в которых функция г/ = 3х4— 8х34-6х2 +
4- 12 сохраняет направление вогнутости, и найти ее точки перегиба.
Находим производные: у' = 12Х3 — 24х24- 12х, </" = 36х2 —48x4-12 = 36 (х — 1)Х
X [х—~). При этом у" =0 в точках х=1 и Вся область определения
\ о У	о
функции разбивается
(1, + со). На каждом
валам распределятся следующим образом:
этими точками на три интервала: —оо,, (-5-, 1 и
\	о j \ О у
из них у” будет постоянного знака, причем знаки по интер-
Ь”’ I) - (I’ 0’(1, +со)-
4-	-	+
Значит, данная кривая на
Г
з>
lj вогнута вниз. В точках х = j и
Пример 2. Определить интервалы,
и на (1, 4-со) вогнута вверх, а иа
х=1 она имеет перегиб.
в которых функция г/ = |/"х8 сохраняет
направление вогнутости, и найти ее точки перегиба
/ 5\'	2	1
..	 { 3	5 У ,, 10	10 п
Находим производные: у = \х3 ] = ,. х 3, у” — ^х 3 = ——=. В данном
о	у 9 у х
случае у" нигде в нуль не обращается. В точке х = 0 она не существует. Но так
как у" <0 при х<0 и у" > 0 при х>0, то в точке х = 0 кривая имеет пере-
гиб: вогнутость вниз сменяется на вогнутость вверх (см. рис. 32 на стр. 49)
Пример 3. Показать, что кривая // = 1п(ха—1) везде вогнута вниз.
Данная функция определена при | х] > 1, то есть на (—оэ, —1) и (1, 4*=о)-
Найдем ее первую и вторую производные:
,	1	„ 2х
'' - <х2'-О'2 2х  2х___2(х24~1)
У	(х~—-1)2	(х2— I)2
Поскольку у"<0 при всех значениях х из области определения функции, то
кривая везде вогнута вниз.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Доказать, что кривая у = / (х) вогнута вниз в точке М. (х0, у0), если f” (г,) < 0.
2.	Какое условие является достаточным для наличия перегиба в точке?
3.	Что можно сказать о поведении функции в точке, где она ь ее первая про-
изводная равны нулю, а вторая производная отлична от нуля?
4.	При каком условии точка, в которой кривая вогнута вверх (вниз), будет
точкой экстремума и какого именно?
5.	Может ли функция иметь экстремум в точке, в которой ее график имеет
перегиб?
6.	Показать, что кривая у = х24-8х —9 везде вогнута вверх.
7.	Определить направление вогнутости кривой у = х8 — 9х8 4-6х3 — 5х2 4~ 1 в точке
х = 0 и х = 2
Оте. В точке х = 0 кривая вогнута вниз, в точке х = 2 вогнута вверх.
8.	При каких значениях а кривая г/ = х84-ах34—g-x24-l будет вогнута вверх
на всей числовой оси?	Оте. При | а | «г; 2.
9.	При каких значениях а и b точка (1, 3) является точкой перегиба кривой
3	9
{/ = ах34-6х2?	Оте. При а = —%,
10.	На примере функции # = х44-8х®4- 18х24~8 проверить, что между абсцис-
сами точек перегиба кривой может и не быть точек экстремума.
268
§ 5. АСИМПТОТЫ КРИВОМ
Понятие асимптот вводится для кривых, ветви которых уходят
в бесконечность, то есть если точка М, движущаяся по этой кри-
вой, может удалиться от начала координат как угодно далеко. Это
может быть в случаях, когда функция не ограничена или когда она
задана на неограниченном промежутке.
Определение. Прямая линия называется асимптотой, для
кривой y = f(x), если расстояние точки М, лежащей на кривой, от
этой прямой стремится к нулю при движении точки М вдоль какой-
нибудь части кривой в бесконечность.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные
и наклонные.
Вертикальные асимптоты. Пусть lim /(л) = оо. В этом
случае расстояние d точки М на кривой y = f (x) от прямой х =
будет равно | х~х01 (расстояние измеряется по перпендикуляру, про-
веденному к асимптоте из точки М). Последнее стремится к нулю
при стремлении М в бесконечность (когда х-+ х0). Следовательно, пря-
мая х = х„ будет вертикальной асимптотой для данной кривой (рис. 111).
]jm ---------=— со и lim ------------------3= -Foo,
х —* 2— §Х — А	— 2
то прямая х = 2 является вертикальной асимптотой для данной кривой (см. рис. 66
на стр. 145). Все функции с бесконечными разрывами имеют вертикальные асимп-
тоты. Так, например, для функции y = tg х асимптотами будут прямые х=
вертикальной асимптотой будет ось ординат (см. рис. 23 на стр. 47); для кривой
У — вертикальной асимптотой будет также ось ординат (см. рис. 34 на стр. 59).
Рис. 11
Гориз. асимптота
269
Горизонтальные асимптоты. Если lim f(x) = A (или
при х--— оо), то прямая у = А будет горизонтальной асимптотой
для кривой y=f(x), так как d = lim (/(х) — A) = Q (рис. 111).
X -> + 00
Примеры. Кривая e/==arctg х имеет своими асимптотами горизонтальные
Л л
прямые у = — g и У = 2 (см- Рис- ^8 на СТР- Кривая у = ах имеет своей асимп-
тотой ось абсцисс (рис. 34). Ось абсцисс будет асимптотой и для кривой у =
= 7~2 (рис’ 66)’
Наклонные асимптоты. Пусть некоторая кривая y=f(x)
имеет наклонную асимптоту Y=ax-\-b (рис. 111). В данном случае
расстояние точки М на кривой от прямой будем измерять также по
перпендикуляру, опущенному из точки на прямую. Оно выразится
в виде d~(y—Y) sin а, где угол а — постоянный. Отсюда заклю-
чаем, что условие d —0 равносильно условию у — У —0, то есть
условию
lim ( V — ах—й) = 0.	(1)
X -+ со
Таким образом, условие (1) является необходимым и достаточным
для того, чтобы прямая у = ах+Ь была асимптотой.
Покажем, как найти постоянные а и Ь. Из соотношения (1)
следует, что lim------------= 0 или lim - —а =0, откуда
X -* со Х	X —* СО \	/
lim - = а.	(2)
X -• оо х
. Из условия (1) также следует, что
lim (у — ах) = Ь.	(3)
X -* 00
Обратно, если а и b определены соотношениями (2) и (3), то
условие (1) будет выполнено. Таким образом, для нахождения
наклонной асимптоты сначала из (2) определяем ее угловой коэффи-
циент а, затем, подставляя значение а в (3), находим свободный
член Ь. Если оба предела (в формулах (2) и (3)) существуют и имеют
конечные значения, причем lim -#0, то существует и наклонная
х-*оо х
асимптота.
п	, гг	-	х2-р2х-(-1	у	х24-2х-1-1
Пример	1. Для	кривой	г/ =—!-4—j	а = hm ~ =	hm —)------4— = 1;
1	X —* СО X X —. 00	ДХ 1)
.	/х2-|-2х4-1 \	3x4-1 „
b= hm (у—ах) = hm (———CL х) = hm —ДС_ = з.
X -* СО	X —> ОО ) X 1	у	X —* ОО X 1
Следовательно, уравнение наклонной асимптоты будет у — х-\-3.
Пример 2. Кривая у = (х—I)2 (хД-3) асимптот не имеет, гак как при
х-> со не только у стремится к бесконечности, но и
270
#2
Пример 3. Гипербола — ^=1
имеет своими асимптотами прямые
lim — =
Г—♦ по %
так как у=± У х2 — а2, —=± —
и	X (*
£
а ’
а2
X2 ’
lim
Ь_
а
lim ± — ]
х—* оо \ а
—а2
а =0.
— J	b
а2—х)| = ±— lim —
J	а х-»со|^Х2—о2 + х2
г-	. .. „	.	2х24~3х—5
Пример 4. Наити асимптоты кривой г/ —
—4)—=2, то прямая у = 2 является горизон-
кривой. Поскольку, как легко видеть, у — со при
lim
„	..	..	2х2 + 3х—5
Так как lim у= lim — —
асимптотой
при х
данной
4, то пря-
тальной
х-0 и .	.
мне х = 0 (ось Оу) и х—4
является
асимптотами.
Выясним
шествовании
асимптот, то
вида у —
угловой
клонной
вертикальными
предел
вопрос о су-
наклонных
есть асимптот
ах-4-b. Будем искать
коэффициент а на-
асимптоты, то
У
отношения —
X
есть
при
0.
а = lim — =
х-*со х
2^ + Зх-5
л'х. х2(х — 4)
Так как а = 0, то данная
кривая наклонных асимптот
не имеет.
При построении графика функции следует прежде всего нанести на чертеж ее
асимптоты, если таковые имеются. Это значительно облегчит построение графика
и даст представление о его поведении за пределами чертежа. График данной функ-
ции изображен на рисунке 112.
Ь_
а
а)
2х«—5х2 + 4х-(-1
6)	•
2
в)	у — хех.
г)	у = 2х — arc cos —.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Почему график ограниченной функции, заданной на ограниченном проме-
жутке, не может иметь асимптот? Может ли иметь асимптоты и какие график
ограниченной функции? Может ли иметь асимптоты и какие график функции, за-
данной на ограниченном промежутке?
2.	Найти асимптоты следующих кривых:
„	da
Отв. х =-и у = —,
с с
Отв. х =-х=1 к и —х — 2.
2 ’	а
Отв. х —О и у~х-\-1.
Отв. у — 2х—^-.
271
3.	Будет ли прямая Т = ах+Ь наклонной асимптотой для кривой у—f (х),
если величина у-- У — 0, колеблясь, то есть принимая как положительные, так
и отрицательные значения’ Иначе говоря, может ли кривая, приближаясь к своей
асимптоте, бесконечно много раз пересекать ее’	Отв. Да.
§ 6. РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
Рассмотрим еще несколько примеров на исследование функций
и построение графиков. Прежде всего заметим, что определение
направления вогнутости и перегибов, а также указанный способ
нахождения асимптот дают возможность провести исследование функ-
ций еще более детально и получить более точное представление об
их графиках. Примерную схему исследования функций, данную
в параграфе 3, можно дополнить пунктами:
6. Определение точек перегиба и интервалов, на которых функ-
ция сохраняет направление вогнутости.'
7. Отыскание асимптот кривой.
Соответственно дополнится и таблица, отмечающая основные черты
в поведении кривой.
Пример 1. Исследовать и построить график функции y = -~--------х-.
«5 -—х£
1)	Функция существует всюду, кроме точек х = ± V3.
2)	Функция нечетная, так как f (—x) = —f(x). Следовательно, ее график сим-
метричен относительно начала координат. На этом основании можно ограничиться
исследованием и построением графика только для 0=+x< + oo. Затем, пользуясь
симметричностью, можно будет легко получить и остальную часть графика.
3)	Функция имеет разрыв второго рода в точке х = уг3, причем
Ж3	X3
lim я-----5-=-|-со, lim -=------j = — со.
Следовательно, прямая х = уг3 является вертикальной асимптотой кривой.
.. ,,	, (3 — т-) 3.v2 : 2x  А3 Эх8 —ж4 х2(3—х)(3+х)
4)	Находим производную: у'^--------
Приравниваем ее нулю: -...= 0, откуда х2 (3 — х) (3+ %)==(). По-
(3 — х*)*
следнее имеет место при х = —3, х—О и х — 3. Нам придется исследовать на экстремум
только точку х = 3 (точку ,г = 0 на экстремум не исследуем, так как она является
крайней точкой области [0, +<ю)). Знак производной слева и справа от точки
х — 3, очевидно, будет зависеть от знака числителя в выражении производной,
так как знаменатель всегда положителен. В окрестности точки х = 3 имеем: у' >0
при х<3 и у' < 0 при х > 3. Следовательно, в точке х = 3 функция имеет мак-
симум, Нх-з = —4у.
5)	Так как у —0 только при х = 0, то пересечение с осями координат проис-
ходит только в начале координат.
6)	Определим точки перегиба и интервалы, на которых функция сохраняет
направление вогнутости. Находим вторую производную:
„ /9х2 —х+' (3 — х2)2(18х — 4х3) + (9х2 — х4) (3 — х2) • 4х	6х(9 + х2)
У \(3 —х2)2/ ~	(3-х2)4	~ (3 —х2)3 •
Мы видим, что у’ =0 только при х=0. При этом в окрестности точки х = 0 бу-
дет у” < 0 при х < 0 и у’ > 0 при х > 0. Следовательно, в начале координат
кривая имеет перегиб (впрочем, наличие перегиба в начале коордитат обнаружи-
272
лось бы и после симметричного продолжения графика налево от оси OY). Иногда
направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, по-
этому следует выяснить знак у" jh около точек разрыва функции. В данном слу-
чае у" > 0 на промежутке (0, /з) и у'<0 на промежутке (/З, 4-оо). Следова-
тельно, кривая вогнута вверх на (0, /3) и вогнута вниз на (\3, +оо).
Итак, исследуемая кривая характеризуется для х 0 следующей таблицей:
X \ \	0	(0, КЗ)	Кз	(Кз, з)	3	(3, 4°°)
у’	0	+		+	0	
у"	0	4		—	—	—
У	0	Возрастает Кривая вогну- та вверх	Разрыв 2-го рода f (/3—0) — 4со /(/340) =—оэ	Возрастает Кри	Максимум «' = ”4 вая вогнута	Убывает зниз
7)	Выясним вопрос об асимптотах.
а)	Наличие вертикальной асимптоты х = /3 уже установлено в пункте 3.
Xя
б)	limy---- Нт ——у = оэ. Следовательно, горизонтальных асимптот нет.
х-*<х> г-»оо 3 X
,	1* У I. Х"
в) a = lim — = lim
*-*оо х	х
= lim
Зх
1, b= hm (</ — (— х)) = hm 4-------4 х =
*-ю>	х-юДЗ х !
Следовательно, прямая у =
- — * является наклонной
асимптотой данной кривой. Так
как пределы найдены для х —- оо
(то есть они одинаковы и при
х—4-со, и при х —— оо), то
к асимптоте у — —х график
функции будет приближаться
как при удалении вправо, так и
при удалении влево (рис. 113).
Пример 2. Провести ис-
следования и построить график
функции
_ sin3 х
V 2+ sin х ’
1)	Функция существует для
Всех х.
273
2)	Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
, ,	. sin2 х ,,	. , . . .
f (-х)=у -n, nf(-x)^f(x),
&111 Л
/(—х) ф—f (х) (при sinx r/zO).
3)	Функция непрерывна на всей оси и имеет период 2л. Учитывая последнее,
будем исследовать ее и строить график только в пределах одного периода, напри-
мер на [0, 2л]. Затем, пользуясь периодичностью функции, продолжим график
на всю ось.
4)	Находим производную
, (2 +sin х) 2 sin х cosx — sin2x cos х sin х • cos х • (4 4- sin х)
у =	(2 +sinx)2----------=--------(2-]-sinx)2---- И "Риравниваем ее
нулю:
sin х • cos х • (4 -|- sin х) _ _
(2 -|- sin х)2
Отсюда следует, что sin х • cos х == 0 (так как 4 + sin х 0). В пределах отрезка
л " Зл
[0, 2л] стационарными точками будут: х=0, у, л, -у и 2л. Других «подозри-
тельных» на экстремум точек нет. Знаки производной по интервалам распреде-
ляются следующим образом:
По чередованию
, 1
w = — в точке
•J ’ Л Q »
УI зл”!'
знаков заключаем, что
х = л— минимум: 1/|л:_1 = 0;
в точке х=у —максимум:
3
в точке х = у л—максимум:
5)	Из уравнения JL... _ q наХ0ДИМ1 чго кривая пересекает ось абсцисс
в точках х=0, л и 2л. С осью ординат кривая пересекается в начале координат.
‘ 6) В исследовании функции на направление вогнутости и перегибы нет осо-
бой надобности, так как кривая везде непрерывна и поведение ее между экстре-
мальными точками легко себе представить.
7) Легко проверить, что асимптот у данной кривой нет.
Составим таблицу:
	0	/п	л т	/ л \	Л	/ Зя \ \Я’ ~2~)	Зя “2“	/ Зл 0 \ Иг2я;	2л
У’	0	+	0	—	0	+	0	—	0
У	0	Возра- стает	_1 “3 Макси- мум	Убывает	0 Мини- мум	Возра- стает	1 Макси- мум	Убывает	0
Поскольку функция отрицательных значений не имеет, то систему координат
можно сдвинуть на чертеже вниз. Так как по оси ординат максимальное из
откладываемых значений равно 1, то по этой оси следует взять масштаб крупнее,
чем по оси абсцисс.
274
После построения графика функции на отрезке [0, 2л] можно периодическим
продолжением получить график на сколь угодно большом участке и станет видно,
что в точках х = 0 и х = 2л
функция имеет минимум. На
рисунке 114 изображен гра-
фик, соответствующий отрезку
[ — 2л, 2п].
Пример 3. При изменении
параметра t от —оо до фоо
точка, определяемая коорди-
натами
За/ За/2 ,
ж= ] ф/з > У— <а>°)>
описывает некоторую кривую,
которая носит специальное на-	рис [[ф
звание — «лист Декарта». Иссле-
довать форму этой кривой.
Для решения задачи мы проведем исследование х и у как функций от t с тем,
чтобы получить ответы на все те вопросы, которые фигурировали в предыдущих
примерах.
1)	Функции х (/) ну (/) существуют на промежутках (—co, — 1) и (— 1, фсо).
. _ (1 ф/з). За —За/ - З/2 _ За (1 — 2/»)
2>Xi-	(1ф/3)2	- (1ф/3)2 
.	(1 ф /з) 6а/ - За/2 • З/2 За/ (2 - /»)
У,~	(1ф/3)2	“ (1ф/3)2 ‘
Следовательно, всюду, где х и у имеют смысл, то есть при всех t-ф — 1, произ-
водные х\ и у\ имеют конечные значения. Определим точки, в которых x't и y't
обращаются в нуль или бесконечность:
x't—Q при 1—2/8 = 0, то есть при / = -—-'
у 2
x't =ф оо при /= — 1,
y't=0 при / = 0 и при 2 — /3 = 0, то есть при / = 0 и /=рг2,
y't—-—оо при / = —1
Таким образом, если всю ось (—-оо</<фсо) разбить на интервалы
1	:’/о
.^2 ’ ’
(— 1, 0),
(— СО, '—- 1),
2, фоо),
то внутри каждого из них производные x't и y't будут конечны и постоянного знака.
Это характеризует и монотонность поведения самих функций х (/) и у (t) в ука-
1 1
занных интервалах. В самом деле, х/>0 при / с —— , x't <0 при />ут—,
у 2	у 2
y't>0 при 0 < / < У2, y't<0 при /<0 и / > У~2. Составим таблицу:
/	(—со, —1)	(-1, 0)	(°’ у'2)		(j/2, ф со)
x't	+	+	+	—	—
Vt	—,	'—	+•	+	—
X	Возрастает			Убывает	
_У	Убывает		Возрастает		Убывает
275
3) Вычислим на концах интервалов значения х и у или, если таковые отсут-
ствуют, их предельные значения:
lim х (/)= hm = 0, hm x(/) = -f-co,
t-юо	<->-1-0
lim x(t) = — oo, x(0) = 0,
o 1
3d у -
V 2
3a
/2 fl +1)
~a ^4, x C/2 ) =	a/2,
/2	l+(/2)s
hm у (t) — hm
/—* CO	/—► «
Gat2
Ths
hm y(f)~ — oo, hm </(/) = 4-oo, г/(0)=0,
/ — -14-0
/ 1 \2
/ 1 \	Зд v-у /W1 За(/2)2 За/4
>Ы°	-4	)-’+W““3---------4 5-
' V/2 /	2
Пункты 2 и 3 можно иллюстрировать следующей таблицей
t	X	У
(—со, —1)	Возрастает от 0 до 4-оо	Убывает от 0 до —со
(— 1, 0)	Возрастает от —со до 0	Убывает от -роэ до 0
/о ’ ' Vi	Возрастает от 0 до о |Л4	Возрастает от 0 до а|/"2
7 1	< г у \ Ц/2	/	Убывает от а |/4 до а|Л2	Возрастает о г а |/"2 до .ч/-1
(/2, +«=)	Убывает от а |/"2 до 0	Убывает от а /4 до 0
4) Так как х и у обращаются в нуль при t — О и t=co (то есть- hm x(t) —
/-*оо
= hm y(t} — 0), то кривая пересекает сама себя в начале координат
t —► со
5) Так как при t ——1 величины х и у стремятся к бесконечности, то кри-
вая имеет бесконечные ветви Это значит, что она может иметь асимптоту Найти
такую асимптоту можно тем способом, коюрый был изложен в § 5 для кривых,
заданных явным уравнением:
hm — = Jim
x-ш х
За/2(1-Н3)
За/(1-Н3)
Заг3-|-За/
hm (у4-х) = hm ———
L -» СО	t — — I 1 + I
.. Gat За
hm —— =—а.
—» — 1	О1£
Следовательно, уравнением асимптоты является у==— х—а.
276
Во второй и третьей колонках последней таблицы показано, как изменяются
абсцисса х и ордината у точек заданной кривой в зависимости от изменения
параметра t Учитывая эту связь, а также пункты 4 и 5, можно построить кри-
вую (рис. 115).
Этот пример показывает, что метод ис-
следования функций одной переменной может
быть использован при исследовании и по-
строении кривых, заданных в параметриче-
ской форме
До сих пор нам задавалась функ-
ция, описывающая ту или иную за-
висимость между некоторыми вели-
чинами. Наша задача состояла лишь
в ее исследовании и построении
графика.
В последующих примерах не дает-
ся готовой функции для исследова-
ния. Ее нужно сначала составить по
условию задачи. При этом важно
установить, какую величину выбрать
за независимую переменную. В задачах,
быть сделан не единственным образом, следует остановиться на том
из них, который делает функцию более простой для исследования.
Заметим также, что при решении многих задач практического со-
держания не обязательно проверять аналитически достаточность
условий экстремума (с помощью первой или второй производной),
последнее оказывается иногда весьма сложным. Заключение о на-
личии экстремума обычно легко сделать на основании условий за-
где
такой выбор может
дачи. Это относится также и к отысканию
наибольших и наименьших значений.
Пример 4. Найти число, которое, будучи
сложено со своим квадратом, дает наименьшую сумму.
Обозначим искомое число через х. Сумма хг 4-
-}-x—f(x) будет, очевидно, функцией, подлежащей
исследованию
ние 2х -ф 1=0
Для
, то f (х) в точке
\ J__________1__
/4	2 —
Имеем /' (х)=2*+1; решаем уравне-
у, Так как /' (х) =
том числе и для х =
1
= — имеет минимум:
Это значение, очевидно,
\	«б	*1
будет и наименьшим значением функции, так как на всей области своего сущест-
вования функция не имеет больше точек экстремума
Пример 5. Построить прямоугольную площадку возле каменной стены
так, чтобы с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой
стороной примыкала к стене Для этого имеется а погонных ме,ров сетки. При
каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Обозначим стороны площадки через х и у, как показано на рисунке 116
Тогда площадь площадки будет равна S = x-y. Получили функцию от двух
переменных. Такие функции мы пока исследовать не умеем Но в данном случае
эту функцию легко преобразовать к функции от одной переменной, если учесть,
что по условию, данному в задаче, должно выполняться равенство 2х-ф(/ = а.
— 2>0
____£
/(-4
и получаем х= —
всех
X, в
£
т-
X
277
Тогда у—а—2х и S — x(a—2x), где 0 х «S ~ (область существования функ-
ции S определяется из тех соображений, что размеры площадки не могут быть
'отрицательными). Дальше решаем по обычной схеме'
С*Х	Л	Л А	&	Л
S'~a — 4х; а — 4х~0;	у = а — 2
4	4	2
Так как S" =—4<0, то при х = ~ функция S имеет максимум. Ее значение
е I	а /	а\	а2	.
о а=~г а—О’ ="о” (единиц площади).
I X = -	4 \	Z /	О
Поскольку S (х) непрерывна на
и ее значения на концах S (0) и
5
ций. Таким образом, наиболее выгодным
У о
данных условиях задачи является = 2.
X
Замечание. Хотя по смыслу задачи
равны нулю, то найденное значение будет и наибольшим значением функ-
соо4ношением сторон площадки при
о	а	а
значения х = 0 и х—-^ если x = -g-(
этих случаях не получится никакой
то у — 0) нас не интересуют, так как в
площадки, и, следовательно, х нужно было искать в открытом промежутке
fo, , однако для решения задачи удобнее было перейти к замкнутому проме-
\ 1 г
жутку и рассматривать функцию S (х) на О, -у .
Пример 6. Из круглого бревна данного диаметра d требуется вырезать
балку прямоугольного сечения так, чтобы она, находясь в горизонтальном поло-
жении, обладала наибольшей прочностью * (известно, что прочность прямо про-
порциональна произведению ширины сечения на квадрат высоты сечения).
Обозначим ширину сечения через х, а высоту —через h, как показано на
рисунке 117. Тогда сопротивление представится формулой ф = йхЛ2, где k — коэф-
фициент пропорциональности. Кроме того, как видно из чертежа, зависимость
между х и h определяется равенством х2ф-/г2 = йг, откуда h2 = d2 — х2. Подставляя
это значение, получим функцию одной переменной <p(x) = £x[d3 —x2j, гдеОг£
Исследуем ее: ф'(х) —/г (d2 —Зх2), d3 — Зх2 = 0, откуда x = pL
* Под прочностью понимают способность балки выдерживать значительные
нагрузки не разрушаясь.
278
Так как <р (х) непрерывна на [0, d], неотрицательна и <р(0) = </</)= О, то
/ d \ ,	-	,
можно утверждать, что <р —— будет наибольшим значением функции, то есть
наибольшим сопротивлением. При этом h
d2
3
и отношение
R. Отсюда S' — 4л х
R
/2 '
На концах отрезка она
R
при г = —т= она имеет
/2
------= /2. Таким образом, максимальная сопротивляемость балки
на изгиб будет в том случае, когда высота поперечного сечения в У 2 раз будет
больше ширины.
Пример 7. В данный шар вписать цилиндр, имеющий наибольшую боковую
поверхность.
Пусть радиус шара — /?, а радиус основания цилиндра —г (рис. 118). Тогда
высота цилиндра h определится по формуле h = 2 //?2 — г2, и боковая поверх-
ность S —по формуле 5 = 2л г • 2 //?2 —г2, где 0
/ .________г2 \	02— 2г2
X I'R2— г2-----—......) — 4л	:---• S' = 0 при R2 — 2г2 = 0, откуда г=
V /Ж-г21	/>-г2
Функция S (г) положительна и непрерывна на [0, /?].
равна нулю Следовательно, внутри отрезка и именно
наибольшее значение. Цилиндр та-
кого радиуса будет искомым
Пример 8. Через какую
х2 у2
точку эллипса -	=1 следует
о 1о
провести касательную, чтобы пло-
щадь треугольника, составленного
этой касательной и осями коорди-
нат, была наименьшей?
Легко предвидеть, что если на
эллипсе найдет^;: одна точка, удо-
влетворяющая условию задачи, то
в силу симметричности эллипса
таких точек будет по крайней
мере четыре. Симметричность эллипса позволяет ограничиться отысканием точек
только в первой четверти, то есть точек с положительными координатами (рис. 119).
Из уравнения эллипса находим: у = у/8 — х2. Если абсциссу искомой точки
обозначить через х0, то ординатой будет: у0 ~ -С- у' 8 — xj.
касательной к эллипсу в точке (х0, у0), пользуясь известной формулой из
Зх
тической геометрии: у — y0 = k(x — x0). В нашем случае у' —.....
Зх	Х
-  11 Следовательно, уравнением касательной будет:
2 У 8—х
Найдем отрезки, отсекаемые касательной на осях координат:
х = 0; у = — /Я^Л2 ф- А..
2	2 /8-х2	2/8-х2 /8-х/
у = 0;	Х=А
2	2 /8—х;	х0
Составим уравнение
::нали-
и k~
= У‘
—— Y-
Л1
h

279
Площадь прямоугольного треугольника будет:
___1_ 8	12	_	48
2 х0 /8 — х|	хп /8 — xl'
Очевидно, она окажется наименьшей в том случае, когда выражение х0/8 — х2
будет иметь наибольшее значение. Поэтому достаточно исследовать функцию
р=хф8— х2 на предмет отыскания наибольшего значения. Имеем:
8— 2.0
г____ г2
р'=/8 —х2
-у....- =	-	 8—2№ = 0; х = 2.
УЙ —.О /8-х2
Остается показать, что точка с абсциссой х0 = 2 будёт искомой. Это вытекает,
48
например, из следующих соображений. Функция S =-------, изображающая
хоу 8 — х2
площадь треугольника, неотрицательна, а потому ограничена снизу, непрерывна
и имеет непрерывную производную на (О, /8). На концах интервала она обра-
щается в бесконечность. Следовательно, наименьшего значения она достигает
внутри интервала. Но внутри интервала производная от функции равна нулю
только в точке х0 = 2. Отсюда заключаем, что точка х0=2 и будет точкой
наименьшего значения функции. Соответствующее значение г/0 определится из урав-
нения эллипса z/0=	22 = 3. Таким образом, искомой точкой на эллипсе
будет точка (2, 3). По симметрии определяются и остальные точки: (—2, 3),
(—2, —3) и (2, —3).
Пример 9. Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра.
Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты и диаметра), чтобы на
изготовление пошло минимальное количество жести?
Обозначим радиус банки через г, а высоту —через h (рнс 120). Полная
поверхность банки 5 = 2л гг + 2п rh, а объем о = лг2Л, откуда Л =	. Подставляя
значение Л в формулу для поверхности, получим:
5 — 2лг“ ---.
&
г2'
О, найдем, что 4лг8 —2v=0, откуда
Задача сводится к исследованию S как функции от г. Имеем- S' —4лг
—	. 2v
Приравнивая производную нулю, 4пг ——
Рис. 120.
л
. А =_EL—
п /з г~v

8 Г и
21/ д-=2г.
Г 2п
280
Искомое соотношение размеров банки будет: h = 2r.
Пример 10. На какой высоте следует повесить электрическую лампочку
в классе, чтобы в точке М пола, отстоящей на расстоянии I от вертикальной
проекции этой лампочки на пол, была наибольшая освещенность. (Освещенность I
,	, COS ф
определяется по формуле / — с ~--2 , где г—расстояние от источника света, <р —
угол падения луча, с — коэффициент пропорциональности, соответствующий данной
лампочке.)
Выберем за независимую переменную высоту лампочки над полом/г (рис. 121).
Тогда r = j/7i24-Z2 и cos ср = — =	- —
г +
Функция, подлежащая исследованию, представится в следующем виде:
, п cos <р	h
1	c"^ + l^s/2'
Находим производную:
где 0 < h < + оо.
(/j2 + /2)V2__3-h (№-2h
—.........................   =с~----Гк = 0 при /2-2?Р = 0.
Л	(Л2+ /2)3	(Л2+/2) !
/	Z	X
то есть при &==-—. Так как Г > 0 при h < —?= и Г <0 при А >——
/2	/2	У 2
то наибольшая освещенность и будет при h =	0,71.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Провести исследование и построить графики функций:
в) У
г) у = уГх‘г -X,
а) у — х Iп х, б) у 8л."4У1б-
д) х — г (2 cos t — cos 2f), '( e) л-=«(/ -sin г), 1
y = r (2 sin t — sin 2t), f	y—a (1 — cos t). J
2.	Данное положительное число с разложить на два слагаемых так, чтобы
произведение первого из них на квадрат второго было наибольшим. _ с 2с
urns. и ,
3. В данный шар вписать конус наибольшего объема.
32
Оте. Максимальный объем вписанного конуса равен -jg л ая, где а — радиус
а У 8
шара; радиус основания вписанного конуса г — —~—
4.	Показать, что из всех цилиндров данного объема наименьшую полную
поверхность имеет тот, у которого осевое сечение есть квадрат.
5.	В данный конус вписать цилиндр наибольшего объема. ’
4
Оте. Наибольший объем вписанного цилиндра равен nha, где а — радиус
основания конуса, a h — его высота.
6.	В прямоугольной системе координат дана точка (1, 2). Провести через,
эту точку прямую линию так, чтобы она образовала вместе с положительными
полуосями координат треугольник наименьшей площади.
Оте. Прямая оказывается такой, что отрезок ее, заключенный между осями,
делится в точке (1, 2) пополам, ~-ф-|-=1 ,
7.	Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр
задан. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее коли-
чество света? Отв. Высота прямоугольника должна равняться радиусу полукруга.
281
Рис. 123.
8.	Определить отношение высоты конического шатра к радиусу основания при
условии, что его боковая поверхность наименьшая при заданной вместимости.
Отв. К2-
9.	На оси параболы у3 = 2рх дана точка М на расстоянии а от вершины.
Найти абсциссу ближайшей к ней точки кривой.
Отв. х — а — р при а :> р и х = 0 при asgp.
10.	Из круга радиуса 7? вырезан сектор с центральным углом а. Из сектора
сделана коническая поверхность. При каком угле а объем полученного конуса
будет наибольшим?	Отв. а = 2л	«в 293° 56'.
11.	Тело движется по закону s= 18/ г9/-’-- I3. Найти его максимальную
скорость.	Отв. Максимальная скорость о = 45 при i = 3.
12.	Три пункта А. В и С расположены так, что д. АВС=60°. Из А в В
движется автомобиль со скоростью 80 км!час, из В в С—поезд со скоростью
50 км,'час. Через сколько времени расстояние между поездом и автомобилем
будет наименьшим, если движение началось одновременно и АВ = 200 км?
Отв. Через 1 часа «а 1 час 39 минут.
13.	Луч света, выходящий из точки А, отражается в зеркале в точке В и
затем идет через точку С (рис. 122). Показать, что путь АВС будет кратчайшим
при условии, что угол падения а равен углу отражения fj.
14.	Определить, какой высоты следует поставить фонарные столбы для того,
чтобы в наименее освещенной точке между ними (посредине) освещение было
наилучшим. Расстояние между фонарями равно а (рис. 123).
Указание. Воспользоваться формулой для освещенности, данной в условии
решенного нами примера 10.	Отв.
15.	Тело брошено (в пустоте) под углом ф к горизонту с начальной ско-
ростью vn (см. рис. 86 на стр. 176). Полное время полета определяется фор-
_	2<?0 sin ф	,	„ v v?. sin 2ф
мулои Т — —, а горизонтальная дальность — формулой л =	1, где
g~ ускорение силы тяжести (см. пример 3 из § 7, гл. V).
1)	Под каким углом ф должно быть брошено тело, чтобы время полета Т
было наибольшим?
2)	Под каким углом ф нужно бросить тело, чтобы оно упало как можно
дальше?	Отв. 1) ф = 90°, 2) ф = 45°.
16.	От канала шириной а под прямым углом к нему отходит канал шири-
ной b (рис. 124). Стенки каналов плоские вертикальные. Найти наибольшую
длину / бревна, которое можно сплавлять по этим каналам из одного в другой.
/ 8
Отв. l = \a3 + &3/
282
17.	Завод А отстоит от железной дороги, идущей с юга на север и прохо-
дящей через город В, считая по кратчайшему расстоянию, на а км. Под каким
углом <р к железной дороге следует построить подъездной путь от завода, чтобы
транспортировка грузов из Л в В была наиболее экономичной, если стоимость
провоза одной тонны груза на расстояние 1 км составляет по подъездному пути
р руб., по железной дороге q руб. (р > q) и город В расположен на b км север-
нее завода Л?
„	<7	<7 -	, а
Отв. <p=arccos —, если arccos - arctg -т-:
Р ’	Р Ь'
, a	q , а
<р = arctg -т-, если arccos — < arctg т .
т b ’	р	b
18.	Из всех ваз одинаковой вместимости и имеющих форму усеченного конуса,
в котором образующая составляет с основанием угол а, найти ту, у которой
полная поверхность была бы минимальной.
Указание. В обозначениях на рисунке 125 боковая поверхность вазы вместе
с площадью дна представится в виде
о ,	, w , ЛУ хг-—(х — i/ctga)* .	,	,
S = л (х - у ctga)2 +	-------= л (х - у ctg а)2 +-
will (Л	* wig (Л
Л,	I	/	1 \ х2 1
4---------[х- — (х — у ctg а)2] = л (х — у ctg а)2	1 —  -----) 4-......-
cos а 1 v » ь / j । v v ь	cos а/ cos a J
/	^-2 jr2\
( Sg=== л/	“l- т2)	л / —........ j
х8 —(х—pctga)3 1	,	. .	,	,	..,
........= у я tg a fx3 - (х - у ctg а)8 ]
х8 —(х —р ctg а)3. Если постоянную
Объем вазы V =	л,у
!	ah г! — г§\ ...
у	!—_£	Откуда
\	3 Г1 —г2/
Зо
—..... обозначить через а3, то получим: (х —-у ctga)8 = x3 — а3. Таким
для решения задачи нужно исследовать функцию и = (х —pctga)2 fl-
X2
---- при условии, что {х—у ctg ct)3 = x3 —a3,
f 1 \ x2
V I 1 — —— ) I .
\ cosa/ ~ cos a
Зо
я tga
величину
образом.
cos а/
то есть функцию и = (х3 — а*)»Х
„ 1
Отв. х = Т—-—-
1 — cos а
28а
§ 7. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Умение строить графики функций может быть с успехом исполь-
зовано для приближенного решения уравнений.
Если дано уравнение
Г(х) = О,
(1)
то для определения его вещественных корней достаточно построить
график функции y~f(x) и найти абсциссы точек пересечения гра-
фика с осью ОХ. Действительно, если х0—абсцисса точки пере-
сечения графика функции y = f(x) с осью ОХ, то f(xo) = O, а это
значит, что хп есть корень уравнения (1). Погрешность, допускаемая
при таком решении уравнений, будет тем меньше, чем точнее по-
строен график и
предварительном
чем точнее измерена абсцисса х0. Разумеется, при
исследовании функции y=f(x) по предлагаемой
нами схеме (см. § 3 этой главы)
в пункте 5 следует ограничиться
только определением точек пересе-
чения кривой с осью 0Y.
Уравнение (1) можно графически
решать и другим способом. Послед-
ний состоит в том, что функцию f (х)
представляют в виде разности двух
функций: t (x) = f1(x) — fi(x). Тогда
уравнение (1) представится в виде
fl(x) = f2(x). Построение графика
функции y—f(x) заменяется построе-
нием графиков двух более простых
1/ = Д(х) и у-[2(х). Абсциссы точек пересечения графи-
функций будут корнями уравнения (1). Действительно
абсцисса точки пересечения указанных графи-
функций:
ков этих
(рис. 126), если х0
ков, то fi(x0) = hW и получаем, что f (х0) = Д (x0)—f2 (хо) = О,
то есть х0— корень уравнения (1). Если же графики функций у =
= fi(x) и y = f2(x) не пересекаются, то из только что проведенного
рассуждения следует, что уравнение (1) не имеет вещественных
корней.
Преимущество этого способа состоит в том, что представление
f(x)==f1(x) — f2(x) Дает возможность выбрать функции ft(x) и f2(x)
так, чтобы их графики строились как можно проще. Так, при
решении квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 удобно представить
его в виде аха =—Ьх—с, или
, b с
х2—-----х----
а а
(2)
Построение же графиков параболы (Х(х) = х2 и прямой f2(x) =
be	,
= —х— — не составляет особого труда,
284
Рис. 128.
Пример 1. Решить графически уравнение 2х3 —4х —3 = 0.
Преобразуем уравнение к виду (2):
х3 = 2х + у.
Затем строим графики функций у=х3 и t/ = 2x-|~y. Как видно из рисунка 127,
Xt и х2 являются абсциссами точек пересечения графиков. Сияв эти значения
с чертежа с помощью
данного уравнения: Xi
измерительных приборов, получим приближенные решения
3 о 2
------с- j ^2 —	•
Заметим, что поскольку любое уравнение вида ах2-\-Ьх-]-с можно
привести к виду (2), то при графическом решении нескольких таких
уравнений нет необходимости для каждого уравнения строить гра-
фик параболы у = х2. Достаточно построить его один раз (но как
можно точнее!), а затем на этом чертеже строить графики прямых
b с
у —— —х—соответствующих различным уравнениям.
Пример 2. Решить графически уравнения:
а) 2х3—х—8 = 0,	б) Зха + 6х+Ю = 0.
Преобразуем данные уравнения к виду (2): a) x2 = -g--x(4, б) х2 = — 2х—у
и строим на одном чертеже графики функций у — х2, У = ~^ x-j-4 и у — — 2х—у.
Получим, что (рис. 128) приближенными решениями первого уравнения будут
7	9
=	~ и , второе уравнение не имеет вещественных решений.
Изложенный здесь способ графического решения уравнений при-
меним также к решению кубических, показательно-степенных, лога-
рифмических и тригонометрических уравнений.
Пусть дано кубическое уравнение
ах3 ф- bx2 -rcx±cl — Q. ,	(3)
285
С помощью замены переменной по формуле x~z— что уравнение
преобразуется к виду, не содержащему квадрата неизвестного,
аг3 -ф Cj2 -ф t/j = О,
или
2з^__сХ 2_^1.
а а
Построив на одном чертеже график кубической параболы y~z9
и график прямой у=— ~z — — , находим корни преобразованного
уравнения. Для исходного же уравнения корни получим по фор-
Ь
муле x = z—
Заметим, что и здесь этот способ решения особенно выгоден,
если решается несколько кубических уравнений. Строится график
кубической параболы у-=г3 и на том же чертеже проводятся пря-
d-i
мые у ~ z — , соответствующие различным заданным уравнениям.
Пример 3. Решить графически уравнение 54х3-ф54х1 2 —90х —7 = 0.
Преобразуем это уравнение, заменив переменную х по формуле х = г —
1 \»	[	1 V	/	1\
— "Х” / 3— \ —* У / —'	\ — У /	== *
54гз^54г2+ 18z —2-ф54г2--3& + 6--9024-30^-7 = 0,542»--108z + 27=0.
Получим
54
1 1
г3 —22 + ^. = 0, или zs=2z — -^_
Затем строим параболу у=г3 и прямую у —2г — - , Из рисунка 129 полу-
5	2	8
чаем: г,=—	г2 = -=-, 2., = -=-. Следовательно, приближенными корнями исход-
о	о	Ъ
1	19
кого уравнения будут. —2, х2=--~ х3 = т^.
1 о	1 □
Напоминаем читателю, что в тех случаях, когда при построении
графиков приходится по какой-либо из координатных осей откла-
дывать сравнительно большие значения, то по этой оси желательно
брать более мелкий масптаб. Это улучшит расположение графиков
на чертеже. Кроме того, если уменьшается масштаб по оси OY
относительно оси ОХ, то графики функций будут пересекаться под
менее острым углом и становится легче определять правильное
положение точек пересечения их. На рисунке 129 масштаб по оси
OY уменьшен в два раза по сравнению с масштабом по оси ОХ.
Заметим, наконец, что кубическое уравнение (3) можно графиче-
ски решать и с помощью преобразования к виду
ах2 + Ьх -ф с = —
(последнее получено почленным делением уравнения (3) на хи пере-
носом в правую часть^. В этом случае строятся графики пара-
286
болы у — ах* + Ьх + с и гиперболы у — — после чего находятся
абсциссы точек пересечения их.

Пример 4. Решить графически уравнение 2-v — х — 2 = 0.
Представим уравнение в виде 2х = х!-2. Из уравнения сразу видно, что %! = 2
является его корнем. Это уравнение может иметь не более двух вещественных
корней, так как график показательной
функции не имеет точек перегиба и
может пересечься с прямой не более
чем в двух точках. Выясним, имеется
ли второй корень, и если да, то най
дем его значение. Для этого построим
на одном чертеже графики показа-
тельной функции у = 2х и линейной
функции у = х-|-2. Из рисунка 130
следует, что х2=—является при-
<5
ближенным значением второго корня
данного уравнения.
Рис. 129.	Рис. 130.
Упражнения
Решить графически следующие уравнения:
1. Зх* 1 2 — 5х—2 = 0.
2. х3 —9х24-20х—12=0.
3. х3 — 4х — 1=0.
5.	х = 2“<
6.	х = 2sin х.
7.	e v=cosx.
4. х4 — 4*+1 =0.
§ 8. УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
Из первой теоремы Больцано —Коши (§ 5, гл. IV) следует, что
если непрерывная функция y = f(x) на концах отрезка [а, Ь] имеет
значения разных знаков, то внутри этого отрезка уравнение
/W = 0	(1)
287
имеет по крайней мере один вещественный корень и число а можно
считать приближенным, значением этого корня с недостатком, а число
Ь — его значением с избытком. Допускаемая при этом погрешность
будет, очевидно, меньше числа b — а. В решенном нами примере 4
(§ 5, гл. IV) показан метод, с помощью которого можно как угодно
уменьшать отрезок, заключающий искомый корень, иначе говоря,
показан метод приближенного вычисления корней с любой сте-
пенью точности. Однако этот метод, хотя и прост по идее, связан
с большой вычислительной работой. Требуется вычислять боль-
шое число значений функции f lx). Практически более удобными
и более быстро приводящими к цели являются так называемые
метод хорд и метод касательных. Перейдем к знакомству с этими
методами.
1. Метод хорд. Пусть уже известно, что вещественный корень
х — с уравнения (1) находится внутри отрезка |о, Ь] (и <'с <: Ь).
Предположим также, что на [a, ft] функция /'(л)'имеет непрерывные
производные f (х) и /" (,г) постоянного знака, а ее значения )' (а) и
f (ft) — противоположных знаков. Выполнение этих условий обычно
достигается за счет уменьшения отрезка [a, ft]. Постоянство знака
f (х) указывает на монотонность функции f (х) на [a, ft] (либо только
возрастание, либо только убывание). Следовательно, в обоих слу-
чаях кривая // = /'(*) иа участке [a, ft] пересекает ось ОХ только
один раз, то есть х = с будет единственным корнем на [a, ft].
Постоянство же знака /' (х) на [a, ft] указывает на то, что направ-
ление вогнутости на этом отрезке не меняется.
Дугу кривой y = f(x) на [a, ft] заменим хордой, соединяющей
точки А(а, /(a)) и B(ft, f(ft)) (рис. 131). Примем —абсциссу точки
пересечения хорды с осью ОХ—за первое приближение корня.
Очевидно, \с — xx|<ft— а. Точку Xi можно найти и аналитически.
Для этого достаточно составить уравнение прямой, проходящей
через две точки А и В:
х — а __ y—f(a)
Ь—а ~f(b)—f(a)’	W
288 I
и подстановкой в это уравнение z/ = 0 найти точку пересечения
прямой (а значит, и хорды) с осью ОХ. Будем иметь:
х — а __ —f (а)
b — a ~f(b) — f [а)'
Отсюда
X1 = а ~	(a) f
Эта формула, как ниже будет видно, является основной расчет-
ной формулой метода хорд. Случаи, отвечающие четырем комбина-
циям знаков f (х) и f” (х) изображены на рисунке 132 Как видно
из чертежей, во всех четырех случаях хг лежит между а и b с той
стороны от корня с, где fix') имее1 знак, противоположный знаку
f" (х) (последнее можно доказать и аналитически).
Практически в каждом из случаев определяем знак /(xj и,
сравнив его со знаками f (а) и f(b), выберем тот из двух отрезков
fa, xj и [хх, Ь}, на концах которого значения функции имеют
разные знаки. На кем и будет находиться искомый корень с.
Предположим для определенности, что на [а, Ь] производные
f (х) и /" (х) положительны (в остальных случаях рассуждения
ведутся аналогично). Тогда лу будет лежать между а и с. Следо-
вательно, корень с находится внутри отрезка [хх,Ь]. Применим
к этому отрезку снова формулу (3), положив в ней а = хх. Получим:
Ь -— Лл	£. / .
Х2=Х1^_7^/(Х1).
Значение х2 оказывается между лу и с. Следовательно, с находится
внутри отрезка [х2, Применив к нему снова формулу (3), получим:
Х3 = х2 —	f (-ч) >
и т. д. На п-м шагу (/г>1) будем иметь:
Хч == хл_1 -	’ f (x«-i) •	(4)
В результате получится последовательность все более и более
точных значений корня. При этом, как видно из рисунка 131, все
они будут лежать с той же стороны от корня с, что и х1( то есть
а < < х% < х3 <z.. • < х„ <... < с.	(5)
Заметим, что при сохранении знаков у f (х) и f" (х) можно
сделать следующий вывод: если значение f (хг) оказалось противо-
положного знака по сравнению с f(b), то f (х„) и при всех после-
дующих значениях п будет противоположного знака по сравнению
с /(&). Если же / (Xi)—противоположного знака по сравнению
с f(a), то этим же свойством обладают и все последующие зна-
чения f(xn).
Остается установить, что последовательность (5) сходится к с.
Действительно, эта последовательность возрастает и ограничена
с.
10 Бохан и др.
289
сверху. Значит, она имеет конечный предел d^c. Переходя
в равенстве (4) к пределу с учетом непрерывности f (х), получим:
d = d~f(b)-f(d)
Отсюда заключаем, что f(d) = O, то есть d— корень уравнения (1).
Но поскольку на [а, Ь] имеется только один корень, то d — c и
lim хп — с.
п -> со
Оценку погрешности приближения хп корня с можно получить
с помощью формулы Лагранжа:
f (хп) —f(c)= f (х0) (х„ — с), где х„ < х0 < с.
Так как с—корень уравнения (1), то f(c) = O, и мы получим:
V	Iv л.1___ I f (Xn) I
л c~rw п Н/'(*») Г
Обозначим через т наименьшее значение \f (х)\ на [хп, Ь]. Тогда
If' (x0)|2sm, и мы получим следующую формулу для оценки откло-
нения приближенного значения корня хп от истинного значения с:
(6)
Замечание. Предупреждаем читателя, что хотя в остальных
трех случаях комбинаций знаков f'(x) 11 f" W (Рис- 132) рассуж-
дения ведутся аналогично, но для них сохранится только фор-
мула (3). Что же касается формулы (4), то она может измениться.
Именно, если предположить, что f (х) и f" (х) имеют разные знаки
на [а, Ь\, то для п>1 получим:
(вывод этой формулы предлагается сделать самостоятельно). Срав-
нивая (4) и (4'), видим, что произошла замена хп1 на а, b на xn_f
Пример 1. Решить уравнение х* — 5 = 0 методом хорд.
Эта задача равносильна задаче об извлечении квадратного корня из 5. Рас-
смотрим функцию ((х) = ха —5. Так как f (1) = — 4, f (2) =— 1, f (3) = 4, то корень
уравнения находится внутри отрезка [2, 3]. Положив в формуле (3) а = 2 и ft = 3,
получим первое приближение корня хх:
Ч__9	1
-х = 2-43=7=Ту -(-1)=2+у = 2,2-
Поскольку /(х1) = ( (2,2) = 4,84 — 5 < 0, a f (3) > 0, то корень находится внутри
отрезка [2,2; 3]. Применим к этому отрезку формулу (3), положив а = 2,2 и ft = 3.
Получим:
xa = 2,2-4_(^80J6) • (-0,16) =2,23076.
В силу того что f (х) = 2х и f" (х) = 2 постоянного знака на [2, 3], нет необ-
ходимости дальше определять знак / (хя); это значение будет отрицательным при
всех п.
290
Применим к отрезку [2,23076; 3] снова формулу (3). Получим:
ха = 2,23076 + ^g76  0,02372 = 2,23529.
Подсчитаем, какова будет погрешность приближения, если остановиться на
значении х3 Воспользуемся формулой (6). Производная f' (Х) = 2х есть возра-
стающая функция. Следовательно, на рассматриваемом отрезке [х3, ft] ее наимень-
шее значение равно значению па левом конце, то есть m = f' (х3) = 2 • х3 = 4,47058.
Найдем f (х3) — 0,00348. Тогда
I	0,0007 < о,ooi.
Если по условию конкретной задачи такая точность вычисления корня достаточна,
то можно остановиться па х3. В противном случае процесс приближения следует
продолжить.
Рассмотренный нами метод хорд иначе называют методом линей-
ной интерполяции. Такое название метод получил из-за того, что
в его основе лежит замена данной функции / (х) на каком-то участке
[а, й] линейной функцией у=
= f(a) + -5-2—^-7(х—а), полу-
чаемой из равенства (2). При
этом ее значения на концах [a, й]
совпадают со значениями функ-
ции /(х) (см. рис. 131).
2. Метод касательных.
Пусть на [а, Л] находится только
один корень с уравнения (1).
Предположим также, что на
Рис. 133.
этом отрезке существуют непре-
рывные производные f (х) и f" (х)
постоянного знака, а значения
функции /(а) и f (b) — противо-
положных знаков.
Идея метода касательных
состоит в том, что дуга кривой
у = f (х) на [а, й] заменяется
касательной к этой кривой,
проведенной в одной из точек
A (a, f (а)) и В (b, f (&)) (рис. 133),
и после этого абсцисса х(
точки пересечения касательной
с осью ОХ принимается за
первое приближение корня с.
При этом касательную следует
чтобы она пересекалась с осью
Рис. 134.
провести в той из точек А и В,
ОХ во внутренней точке [а, Ь], то
есть чтобы точка х) оказалась ближе к корню с, чем точки а и Ь.
В зависимости от комбинаций знаков /'(х) и f" (х) возможны
четыре случая, изображенные на рисунке 134. Как видно из черте-
10*
291
Жей, касательную нужно проводить в той из точек А и В, ордината
которой одного знака с f" (х), так как в этом случае касательная
всегда будет пересекать ось ОХ во внутренней точке [а, Ь]. Если
же провести касательную в точке, ордината которой имеет проти-
воположный знак с f" (х), то она может пересечь ось ОХ и вне
отрезка [a, й]
Для определенности рассмотрим снова случай, когда /' (х)>0
и f" (х)>0 (в других случаях рассуждения аналогичны). Тогда
касательную к кривой следует провести в точке В (b, f (Ь)). Соста-
вим ее уравнение: y-f(b) =
§	—f (b)  (х— 6). Положив в этом
./7	уравнении у = 0, найдем аб-
7/	сциссу точки пересечения каса-
7/7 / h	тельной с осью ОХ:
/77 ,// 1/1	Х~Ь Т/У (7)
_______у ' I у Эта формула является основ-
Т| —ус	*7 ной расчетной формулой метода
f/oii	касательных.
Как видно из чертежа 135,
А	точка х/ лежит между с и Ь.
Рис. 135.	Следовательно, корень с нахо-
дится внутри отрезка [a, x'J.
Кроме того, значение f (х/) одного знака с f" (х). Применим к этому
отрезку формулу (7), приняв Ь = х\. Получим второе приближение
корня х'2:
/...~./
Далее, точка х4 лежит между с и xj, a f (х'2) одного знака с f" (х).
Применим к отрезку [а, х2'| формулу (7), приняв Ь — х'%. Получим:
/____________________________х' f (*2)
и т. д. На п-м шагу (п>1) будем иметь:
/___/ f (Х 2-1)	/о\
Xn-X^i Г(х,п~1Г
В результате выделится последовательность все более и более точ-
ных приближений корня с:
Xj >х2
>х3'>
7~ хп	с.
Эта последовательность убывает и ограничена снизу. Следовательно,
она имеет какой-то конечный предел d/c. Осуществив в равенстве
(8) предельный переход с учетом непрерывности f (х) и f (х), полу-
чим равенство:
и и у •
292
Из последнего следует, что f (d) = 0, то есть d есть корень уравнения
(1), и, следовательно, c — d.
Формула (6), полученная нами для оценки погрешности прибли-
жения методом хорд, применима также и при приближении методом
касательных.
Пример 2. Решить уравнение V — 5 = 0 методом касательных.
Положим f(x) = xb — 5. Как уже установлено в примере 1, эта функция на
отрезке [2, 3] меняет знак с минуса на плюс и имеет на этом отрезке непре-
рывные положительные производные f {х) — 2х и f" (х) = 2. Следовательно, каса-
тельную к кривой у = х2— 5 нужно проводить в точке В (3; 4). Воспользуемся
формулой (7), положив в ней 6 = 3. Получим первое приближение корня, х\:
Применив к отрезку |2; 2yj снова формулу (7), найдем второе приближение
корня, х2':
'	3	21	21 •
Третье приближение корня получим, если применим формулу (7) к отрезку
х3' = 2	2,23607, и т. д.
& 1 Уо I
Определим с помощью формулы (6), какова будет погрешность вычисления
корня, если остановиться на х3'. Так как производная f'(x) = 2x есть возраста-
ющая функция, то наименьшим ее значением на отрезке |з; 2 g-p j будет значение
/'(2) = 4, то есть т = 4. Значение Длг3') = (2.23607)® —5 = 0,00001. Следовательно,
, ,	,	0,00001
| х’я — с\ <---—
0,0000025.
Полученное нами приближенное значение корня является, как легко видеть,
значением с избытком, то есть с <. х3' =2,23607, в то время как при решении
этого же уравнения методом хорд (пример 1) получено приближение с недостат-
ком х3 = 2,23529 <; с.
Заметим, что рассмотренные нами методы приближенного реше-
ния уравнений обладают тем общим недостатком, что каждый из
них приводит к последовательности приближений только с одной
стороны от истинного значения корня с. Поэтому не представляется
возможным хорошо оценить допускаемую погрешность. Кстати ска-
зать, формула (6), которой мы пользовались при оценке прибли-
жений в примерах 1 и 2, во многих случаях дает слишком грубую
оценку. Фактически погрешность часто оказывается гораздо меньше,
чем показывает формула (6).
Если же метод хорд объединить с методом касательных, то есть
приближаться к истинному значению корня с одновременно с двух
сторон (хорда и касательная пересекают ось ОХ по разные стороны
293
от корня), то на первом шагу (при f (х) > О и f" (х) > 0) получим,-
XiCccx/.
На втором шагу вместо отрезка [а, &] уже рассматриваем отре-
зок [хъ х/] (рис. 135). Для него найдем
по формуле (4):
X, = X, — ттА------F7T f (х1)>
2	/(*1)~7(*1)
по формуле (8):
2	/(х/)
и снова х2<с<х2'. Затем рассматриваем отрезок [х2, х2'] и т. д.
На n-м шагу будем иметь: хп<с<хга', где для и>1 значения
хп и Хп вычисляются по формулам:
v __ v_______Х’п-1 ХП-1 f (v	f (X'/l-l)
Хп'Хп^ f(x'„J)-/(x^1)-/^-i<’>	Л<3)-
При этом lim х„ = lim х'„ = с.
Оценивая разность х„' — х„, получаем возможность сразу судить
о степени точности сделанных приближений. При таком комбини-
рованном методе приближений нет надобности ни в каких специаль-
ных формулах для оценки допускаемых погрешностей.
Пример 3. Найти все корни уравнения 2х — 4х = 0 с точностью до 0.0005.
Прежде всего заметим, что данное уравнение не имеет отрицательных корней,
так как при всех значениях х<0 будет 2* —4х>0.
Рассмотрим функцию f (х) = 2х — ix. Она непрерывная и имеет производные:
f (х) = 2Jf In 2 —4, f" (х) = 2* (In 2)“.
Из выражения производных видно, что функция убывает до некоторого зна-
чения аргумента х,„ при котором 2Ха 1п2 = 4 х0 = —— 2-—j , а потом посто-
янно возрастает; ее график вогнут вверх. Отсюда заключаем, что в точке х0
функция имеет минимум и пересечение ее графика с осью ОХ возможно не более
чем в двух точках. Это значит, что данное уравнение имеет не более двух
вещественных корней.
Для определения промежутков, содержащих корни, произведем последовательно
вычисления; /(0) —1, /(1)=—2, f(2)~—4, f (3) = — 4, f (4) — 0, f (5) — 12. Даль-
нейшие вычисления излишни, так как оба корня уравнения уже обнаружены:
один корень С] находится на отрезке [0, 1], а другой с2 = 4.
Найдем приближенное значение q с требуемой точностью.
На отрезке [0, 1] /'(х)<0, а /" (х)>0. Следовательно, функция на этом
отрезке убывает (от 1 до — 2) и ее график направлен вогнутостью вверх. В таком
случае (смотри соответствующий чертеж на рисунках 132 и 134) приближения по
методу хорд будут с избытком (справа от корня q), а приближения по методу
касательных —с недостатком (слева от q).
Положив в формуле (3) а = 0 и &=1, получим:
Х1 = 0---т-,п 1	. f (0) = | = 0,33333 ...==» 0,3334.
Формула же (7) при Ь = 0 дает:
294
При этом Xi — *] = 0,3334— 0,3023 = 0,0311, то есть точность приближения
на первом шагу недостаточна.
Проделаем еще один шаг, применив методы хорд и касательных уже к отрезку
(*n xj]. Предварительно вычислим значения, которые будут нужны:
t
/ (*>) = f	= 2 3 - 4 • = 1,2600 - 1,3333 = - 0,0733,
f (х[) = 2»-3023 — 4 • 0,3023 = 1,2045 — 1,2092 = 0,0253,
/ (х;) = 2»’8|)гз • In 2—4= 1,2345 • 0,6931 —4 = —3,1444.
По формуле (3) при а — х[ и Ь^=хг находим:
х  х-_____xi t —о 3023 I 0>03П • 0,0253—Q 3104
21 f (*i)-/(*])	U,AbW+ 0,0733 + 0,0253 u’3104-
По формуле же (7) при b — x't будем иметь:
0.3023+^_».з>оз.
Разность *,-*;=0,3104 - 0,3103 = 0,0001 показывает, что полученная точность
вычисления удовлетворяет заданной. Получили, что 0,3103 < с, < 0,3104. Любое
из чисел 0,3103 и 0,3104 можно взять за приближенное значение искомого корня
z,j и допускаемая при этом ошибка не превзойдет 0,0001. Их среднее арифмети-
ческое 0,31035 будет, очевидно, еще ближе к сх.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Почему при последовательном уменьшении промежутка, содержащего корень
(при комбинированном методе хорд и касательных), можно нижнюю его границу
округлять только в сторону уменьшения, а верхнюю—только в сторону увели-
чения?
2.	Уточнить методом хорд корень уравнения *2—2 = 0, содержащийся на [1, 2|.
I
Найти хъ *2 и *8.	Отв. *1 = 1^₽» 1,333; *2 = 1,394; хя = 1,412.
3.	Уточнить методом касательных корень уравнения 3*=3*, отличный от еди-
ницы. Найти х[, *j и х',.	Отв. *] = 0,53; л<.~=0,72, *'.==0,79.
4.	Уравнение *4 + 6*2+14*2 —50=0 имеет два вещественных корня. Вычис-
лить их по комбинированному методу с точностью до 0,001.
Отв. *х =» — 3,155; *2 «= 1,425.
5.	Вычислить с точностью до 0,0005 единственный положительный корень
уравнения *6 — *===, содержащийся на отрезке (1; 1,1], Отв. с«= 1,04478.
О
i
Раздел III
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ГЛАВА VIII
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Интегральное исчисление является второй частью курса матема-
тического анализа, непосредственно следующей за дифференциальным
исчислением. Само понятие интеграла наряду с понятием производ-
ной и дифференциала является фундаментальным понятием матема-
тического анализа. Зто понятие возникло, с одной стороны, из
потребности решать задачи на вычисление площади, длины окруж-
ности, объема, работы переменной силы, центра тяжести и т. д.,
с другой —из необходимости находить функции по их производным.
В соответствии с этим возникли понятия определенного и неоп-
ределенного интегралов.
Как известно, основная задача дифференциального исчисления
заключается в отыскании производной или дифференциала заданной
функции
Можно поставить обратную задачу: по данной функции f (х) найти
такую функцию F (х), которая бы удовлетворяла условию F' (x)=f (х)
или dF(x) = f (х) dx. Отыскание функции по заданной ее производной
или дифференциалу и является одной из основных задач интеграль-
ного исчисления.
К задаче восстановления функции по ее производной или диффе-
ренциалу приводят самые разнообразные вопросы математического
анализа с его многочисленными приложениями в области геометрии,
механики, физики, техники.
Например, с такого рода задачей мы встречаемся, когда по задан-
ной скорости движения материальной точки v = f(t) требуется найти
закон движения этой точки, то есть зависимость пройденного точ-
кой пути s от времени /. В дифференциальном исчислении мы имели
дело с обратной задачей. Там по заданному закону движения s—s(t)
путем дифференцирования функции s(/) мы находили скорость v этого
296
движения, то есть v (t)-s' (f). Следовательно, в поставленной выше
задаче мы должны по данной функции u = f (t) восстановить функцию
S —«(/), для которой f (I) является производной.
Определение 1. Функция F (х) называется первообразной
(или примитивной') для функции f (х) на некотором промежутке,
если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство
р' tx) -=-f (х), или, что то же самое, dF (x) = f (х) dx.
Таким образом, функция s(t) — переменный путь — есть первооб-
разная для скорости v = f(t).
Пример 1. Функция sinx является первообразной для функции
cosx на всей оси ОХ, так как при любом значении х мы будем
иметь: (sin х)' = cos х.
Пример 2. Аналогично, функция F(x)=x3 является первооб-
разной для 1(х) = 3х2, так как (х3)'=3х2.
Возвращаясь к примеру 1, важно заметить, что первообразной
для cosx является не только sinx, но и функция sinx + C, где С —
любая постоянная, так как (sinx + C)' = cosx. То же самое можно
сказать относительно первообразной F(x)=x3 из примера 2.
Указанное обстоятельство справедливо для любой функции /(х),
имеющей первообразную. Именно справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть F (х)—какая-нибудь первообразная для
функции У(х) в некотором промежутке [а, b\; тогда функция
F(x)-|-C, где С — любая постоянная, также будет перво-
образной для f(x).
Обратно, всякая первообразная для f(x) в указанном
промежутке может быть представлена в виде /'’(x)-J-C.
Доказательство. Так как производная от произвольной
постоянной равна нулю, то
[F(x) + C|' = F' (x) = f(x),
то есть наряду с F (х) функция F (х)+С есть также первообразная
для / (х).
Покажем теперь, что любая первообразная для /(х) представима
в виде Г(х) + С.
В самом деле, пусть Ф (х) — произвольная первообразная для / (х)
в рассматриваемом промежутке, так что в этом промежутке Ф' (х) =
=Д(х). Значит, функции Ф (х) и F (х) в рассматриваемом промежутке
имеют одну и ту же производную Тогда в этом промежутке разность
Ф(х)~ F (х) имеет производную, тождественно равную нулю, то есть
[Ф(х)— F (х)]' =Ф' (x)—F' (х)=/(х)—f(x) = O.
Как известно из дифференциального исчисления (см. гл. VII, § 1,
теорема 1), производная функции тождественно равна нулю тогда
и только тогда, когда эта функция есть постоянная и, следовательно,
разность Ф(х) — F (х) есть некоторая постоянная вели .ина Со, то есть
ф(х) —F(x)=C0,
отсюда
Ф(х)-=А(х) ф Со.
297
Таким образом, первообразная Ф(х) получается из выражения
F(x) + C надлежащим выбором произвольной постоянной С = С0.
Этим теорема полностью доказана.
Из теоремы (1) следует, что любые две первообразные для одной
и той же функции могут отличаться друг от друга только на посто-
янное слагаемое. Значит, если для данной функции [(х) известна
одна первообразная F (х), то совокупность всех ее первообразных
представляется выражением
F(x) + C,	(1)
где С — произвольная постоянная. Иными словами, других первооб-
разных, не входящих в выражение (1), быть не может. В силу этого
выражение (1) исчерпывает все семейство первообразных функций для
f (х) и представляет собой самый общий вид функции, которая имеет
производную f (х) или дифференциал f (х) dx.
Определение 2. Если F(х) — первообразная функция для f (х),
то выражение F(x) + C, где С — произвольная постоянная, называется
неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
символом y(x)dx*. Итак, по определению
\f(x)dx = F(x)-\-C.	(2)
Функция f(x) называется подынтегральной функцией, произведение
f (х) dx — подынтегральным выражением, а переменная х—переменной
интегрирования. Символ $ представляет собой растянутую латинскую
букву 3 и называется знаком интеграла. Читается: «неопределенный
интеграл f(x)dx».
Таким образом, неопределенный интеграл от какой-нибудь функ-
ции представляет собой общий вид всех первообразных для этой
функции.
Формула (2) показывает, что если известна какая-нибудь перво-
образная функция для f(x), то тем самым известен ее неопределен-
ный интеграл, и, следовательно, задача отыскания какой-нибудь
определенной первообразной для f (х) равносильна задаче отыскания
ее неопределенного интеграла.
В этой связи естественно возникает вопрос: для всякой ли функ-
ции /(х), заданной на некотором промежутке, существует первооб-
разная F (х) (а значит, и неопределенный интеграл)? Оказывается,
что не для всякой. Однако если f (х) непрерывна на каком-нибудь
промежутке, то она имеет на нем первообразную (а следовательно,
и неопределенный интеграл). Это утверждение будет доказано позднее
(см. § 5, гл. IX), а пока примем его без доказательства и всюду
в данной главе будем говорить лишь об интегрировании непрерыв-
ных функций. В случае разрывной функции речь будет идти лишь
об интегрировании ее в одном из промежутков непрерывности.
* Это обозначение впервые ввел в 1675 г. знаменитый немецкий философ
и математик Г. В. Лейбниц (1646— 1716).
298
Например, функция f(x) = ^ имеет разрыв только при х = 0.
Поэтому промежутками непрерывности для нее будут (0, +°°)
и (—оо, 0). В первом из них одной из первообразных для ~ явля-
ется In х. Следовательно,
\ — dx = ln х + С.
,1 X	'
Однако для х из промежутка (—оо, 0) эта формула уже лишена
смысла (так как 1пх при х<0 не определен). В этом случае одной
из первообразных для ~ будет уже не In х, a In (—х), ибо
[1п(-х)Г=—(-1)==4
и, стало быть,
dx= In (— х) + С.
Объединяя оба случая, мы приходим к формуле:
С -- = in I х! + С.
.1 X	!	1
Восстановление функции по ее производной, или, что то же„
отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной
функции, называют интегрированием.
Поскольку интегрирование —обратное действие по отношению
к дифференцированию, то благодаря этому проверка правильности
результата интегрирования осуществляется дифференцированием
последнего: дифференцирование должно дать подынтегральную функ-
цию.
С dx
Пример 3. \  j— — tgx-J-C, то есть выражение tgx-|-C представляет
*) COS X
собой совокупность всех первообразных для функции так как (tg х~\-С)' —
=1
с<г2х ’
(*	х^
Пример 4. Проверить, что \ х8 dx =-г-+ С.
j	4
/ х^ \f
Дифференцирование дает: f-^--f-Cl=x3. Следовательно, интегрирование
жыполнено верно.
Пример 5. Проверить, что cos 2х dxPC.
Действительно,	= cos2x. Следовательно, интеграл взят верно.
Вернемся теперь к поставленной вначале механической задаче:
к определению пройденного пути .s по заданной скорости движения
Так как скорость движущейся точки есть производная от
299
пути по времени, то задача сводится к отысканию первообразной
для функции v = f(f). Следовательно,
s=\f(t)dt.	,	(3)
Пусть для определенности нам дано, что скорость движения точки
пропорциональна времени t, то есть v=at, где а — коэффициент про-
порциональности.' Тогда согласно формуле (3) мы имеем:
s= at dt = ?£- +С,	(4)
где С-—произвольная постоянная. Мы получили бесчисленное мно-
жество решений, отличающихся друг от друга на постоянное слагае-
мое. Эта неопределенность объясняется тем, что мы не фиксировали
того момента времени t, от которого отсчитывается пройденный путь s.
Чтобы получить вполне определенное решение задачи, достаточно
знать величину s = s0 в какой-нибудь начальный момент времени
/ = /й —это так называемые начальные значения. Пусть, например,
нам известно, что в начальный момент времени t-О путь s = 0.
Тогда, полагая в равенстве (4) /-=(). s = 0, находим 0 = 0 +С, откуда
С = 0. Следовательно, искомый закон движения точки выражается
at2
формулой s=-j-. В частности, если мы имеем дело с задачей о паде-
нии тела в пустоте, то a=g, где g — ускорение силы тяжести. Тргда
путь, пройденный падающим телом и отсчитываемый от точки, в кото-
рой тело выходит из состояния покоя, будет выражаться формулой
gi*
s ~— “g—.
Остановимся теперь на геометрическом смысле семейства перво-
образных F(x) + C для /(х), а значит, и на геометрическом истол-
ковании неопределенного интеграла. Заметим, что график первооб-
разной обычно называют интегральной кривой. Поэтому неопре-
деленному интегралу соответствует совокупность интегральных кри-
вых.
Как расположена одна кривая по отношению к другой? На это
дает нам ответ доказанная выше теорема. Если построена какая-
нибудь интегральная кривая, то согласно этой теореме все другие
интегральные кривые получаются из нее параллельным переносом
в направлении оси ординат (рис. 136), то есть график построенной
первообразной надо передвигать параллельно самой себе в направ-
лении оси ординат, чтобы получить все остальные интегральные
кривые.
Если F (х)— первообразная для /(х), то есть F' (x)—f (х), то, вспо-
миная геометрический смысл производной, мы видим, что график
первообразной F (х) в каждой своей точке .имеет касательную с угло-
вым коэффициентом, равным f (х).
Все другие интегральные кривые будут иметь при том же значе-
нии х параллельные касательные с тем же угловым коэффициентом
/(х) (см. рис. 136).
300
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Из определения неопределенного интеграла непосредственно выте-
кают следующие его свойства.
Г. Производная от неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции; дифференциал от неопределен-
ного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть
=f (х),
d $ f(x)dx = f(x)dx.
Действительно, из самого определения неопределенного интеграла
имеем:
(^f(x) dx}'=
=(F (х) + С)' =F' (x)=f (х).
Отсюда согласно опреде-
лению дифференциала, в
частности, вытекает, что
d^f (х) dx —
= (^f(x) dx}' dx = f tx) dx,
то есть символы d и \,
когда сначала стоит d, а
затем jj, взаимно уничто-
жаются.
2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некото-
рой функции равен сумме этой функции и произвольной
постоянной, го есть
$dF(x)=F(x)+C.
Если учесть, что dF(x) = F' (х) dx, то эту формулу можно перепи-
сать так:
§ F' (х) dx = F (х) + С.
Эта формула непосредственно вытекает из определения неопределен-
ного интеграла, если иметь в виду, что F (х) есть первообразная
для F' (х).
Отсюда видно, что символы и d также взаимно уничтожаются
и в том случае, когда d стоит после но только при этом к F (х)
надо прибавить произвольную постоянную С.
301
3°. Постоянный множитель можно вынести из-под знака
интеграла, то есть если а = const#0, то
af (х) dx = а J f (х) dx*.
Справедливость этой формулы вытекает из того, что обе части
этого равенства в силу свойства Г имеют одну и ту же производ-
ную af (х). Действительно,
af (х) d%y — af (х), {a \f (х) dx^ =а(^ f (х) dx^' —af (х).
Поэтому правая и левая части последней формулы выражают собой
одно и то же семейство первообразных для функции a f (х) и поэтому
могут отличаться друг от друга на постоянное слагаемое.
4°. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы
функций равен алгебраической сумме интегралов от каж-
дой функции в отдельности, то есть
$ (л*) ± g (,r)| dx = \ / (л*) dx ± \ g (х) dx.
Это свойство доказывается точно так же, как и свойство 3°. Доста-
точно продифференцировать обе части равенства и воспользоваться
тем, что они имеют одинаковые производные и, следовательно, могут
отличаться лишь на постоянное слагаемое.
Разумеется, это свойство справедливо для любого конечного числа
слагаемых функций.
§ 3. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Результаты, полученные в дифференциальном исчислении, позво-
ляют непосредственно проинтегрировать некоторые простые функции;
другими словами, любая формула, дающая нам производную (или
дифференциал) какой-нибудь функции, приводит к соответствующей
формуле интегрирования.
Например, формула d tg х = ——дает интеграл \ ——»—dx —
COS X	i COS X
= tgx 4-С.
Таким образом, если подынтегральное выражение f(x)dx совпа-
дает с дифференциалом некоторой функции F (х), то есть f(x)dx =
— dF(x), то достаточно прибавить к этой функции произвольную
постоянную, чтобы получить неопределенный интеграл.
Применяя последнее замечание к таблице дифференциалов про-
стейших функций, мы получим следующую таблицу интегралов:
Это равенство и последующие, содержащие неопределенные интегралы, сле-
дует понимать в том смысле, что разность между левой и правой частью есть
постоянная.
302
I.	$dx = x4-C;
II.	? /dx=^-+C (h^-1);
J	r'T" 1
III.	~ = In | x | + С (см. стр. 299);
IV.	(-r^2-=arctgx + C = —arcctgx + C*;
J 1
V.	C , dx — arcsin x 4-C =— arccosx + C*;
J V 1-х»
С	ax	C
VI.	\ axdx=-^ + C, в частности, \ exdx—ex + C‘,
VII.	^sinxdx =— cosx4~C;
VIII-	jjcosxdx~sinx4~C;
IX.	C = tgx + C;
j cos2x	G 1
x. f	— ctgx4-C;
J sin2x
Xi V . ...= X in I I 4- C(a -SO} **
ль J X2_a2	' ?	’
XII. ...= in|x + ]/V4a|+c'**-
J у x2 + a
Здесь число а может быть как положительным, так и отрицатель-
ным.
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, мы будем называть
табличными.
Приведенную таблицу, так же как и таблицу производных основ-
ных элементарных функций, следует знать наизусть.
‘ Вычисление интегралов путем непосредственного использования
таблицы простейших интегралов и их основных свойств называется
непосредственным интегрированием. Однако и этот способ требует
определенных навыков, связанных с преобразованием и разложе-
нием подынтегральной функции на сумму легко интегрируемых сла-
гаемых. Приведем ряд примеров, где используется этот способ.
Пример 1. j (x2-\--^dx= J ^xe4-3x34-34-^jdx =
= x6dx4-3 х3 dx4-3 dx 4- x~3dx — ~ 4- yx* + 3x—~ 4- C.
При вычислении этого интеграла мы пользовались свойствами 3° и
4°, а также формулой II таблицы интегралов. Здесь же заметим,
что при вычислении отдельных интегралов нет надобности после
* Напомним, что arctgx = -g-arcctg х; arcsinx=-g—arccosx.
** На выводе формул XI и XII мы остановимся ниже, а пока в справедли-
вости их легко убедиться непосредственным дифференцированием обеих частей
равенства.
303
каждого слагаемого писать произвольную постоянную, потому что
сумма произвольных постоянных есть также произвольная постоян-
ная, которую мы и пишем в конце всех выкладок.
Пример 2. \ [sin — -J-cos^-] dx = \ I sin2 4~ + 2 sin,y cos*+cos2 *\dx =
— j (1 -{-sin x) dx = j dx-f- J sin x dx = x — cos x-]-C.
Пример 3. Вычислить интеграл jtg2xdx.
Так как tg2x=sec2x — 1, то, применяя свойство 4° и формулы IX, I таблицы
интегралов, получим:
С С	с dx с
i tg3xdx=\ (sec2 х—1) dx — \	\ dx = tgx— х-{-С.
Пример 4. Вычислить интеграл f —т—=— dx.
r	’ j sm2 х cos2 х
-г ,	. , ,	, С 1	, С sin2x-{-cos!x ,
Так как 1 = sin2 х-4-cos2 х, то \ —т-з—-—т—dx= \ —г-з—1dx=.
J sm2 х cos2 х J sin2 x cos2 x
C / 1	,	1 \ ,	(’ dx	C dx
ysssz V I -  - «•+••  -   j £lX —1 ————— —J— I -- := [cf X Cl£? X ~f“ О •
'.cos' x sin2 x / J cos2 x	J sm2 x
Пример 5. Вычислить интеграл 1 + sin 2x dx.
В этом примере мы также используем тригонометрическое тождество 1 = -
= sin2 x-|-cos2 х:
j 1 + sin 2х dx = j JI -|-2 sin x cos x dx — J | sin2 x : 2 sin x cos x-{-cos2 xdx —
— |(sin x + cos x)2 dx = (sin x -{-cos x) dx * =
= j sin x dx -{- [ cos x dx — — cos x -f- sin x C.
Замечание. Все формулы основной таблицы интегралов ос-
таются спранед швыми и в том случае, когда переменная интегри-
рования не является независимой, а представляет функцию от неко-
торой другой переменной.
Действительно, пусть имеем формулу
\f(x)dx^F(x) + C,	(1)
где переменная интегрирования х является независимой перемен-
ной. В частности, под этой формулой можно понимать любую из
формул основной таблицы.
С другой стороны, пусть нам дан интеграл, в котором подын-
тегральное выражение может быть записано в виде f (u) du, где
и = ф(х)— любая дифференцируемая функция и, следовательно, du =
— ф' (х) dx. Иными словами, подынтегральное выражение имеет вид:
f [<р (х)] ф' (х) dx. Образуем сложную функцию Л(«) = Л[ф (х)]. По
правилу дифференцирования сложной функции
F’ [ф W]x = F' (и) ф' (х) = f (и) ф' (х) = f [ф (х)] ф' (х).
* Здесь мы считаем, что интегрирование совершается г таком промежутке,
где s.ii x-j-cos хЗ=0, и, следовательно, арифметическое значение корня равно suix-j-
+ COS X.
304
Тогда
J f irP W] ф' (x) dx = F [<p (x)' + C,
что коротко может быть записано и так:
\f(u) du = /?(«) + С.	(2)
для интеграла ^f(u)du (где и —функция от
мы получили формулу, имеющую тот же вид,
Благодаря этому область применения основной
значительно расширяется. Поясним это несколь-
Таким образом,
другой переменной)
что и формула (1).
таблицы интегралов
кими примерами.
Пример 6. Вычислить интеграл j sin3 х cos х dx.
С	С	sin4 х
Так как cos х dx = d sin х, то \ sin3 х cos х dx = \ sin3xdsinx = 4—-1- С.
.)	~ ,)	4
Здесь мы применили формулу II таблицы интегралов, предварительно заменив
в ней х на и— sinx. Справедливость полученного результата легко проверяется
дифференцированием.
С х dx
Пример 7. Вычислить интеграл \ —г—тг.
j р 4 j
Постараемся получить в числителе дифференциал знаменателя. Для этого
запишем интеграл так: \ -Л-гя =-1- \	, Замечая, что 2xdx = d(xa4-3),
\ X4 -j- о J ) Xй о
будем иметь:
С	-1 С 2xdx  1 С rf(*2+3) - 1 |n txi , 31 , c
\ x2 + 3 “2 J x2 + 3 ~ 2 } x2 + 3	2 n( +3) + c-
В этом примере мы воспользовались формулой III, заменив в ней х на « = х34-3.
(* dx
Пример 8. Вычислить интеграл \
Так как ех dx = dex, то f -t-t—L- = \	= arctg ех 4- С.
l+e" j 1 4- (ех)3
В данном случае мы применили формулу IV, заменив в ней х на и-=ех.
Отметим одно полезное следствие из формулы (2). Пусть и =
~axJrb (а 0). Тогда du — adx, откуда dx~~du. Подставляя это
в формулу (2), мы немедленно получим:
^/(ах + &)«?х = 2./г(ах + &) + С.	(3)
Часто встречаются случаи, когда а=1 или b — Q.
Из сказанного следует, что если мы умеем интегрировать функ-
цию f (х), то мы можем легко проинтегрировать и f(ax~\-b). Так,
например, если учесть, что у = In | х | + С, то согласно правилу,
выраженному формулой (3), находим:
--т-г = — 1п | ах 4- b | + С.
J ах 4-6	а '	1 11
Точно так же cos (ах + b) dx=2-sin (ахф- Ь) ф-С.
305
Пример 9. Вычислить интеграл ctg xdx.
Имеем:
£	,	, f cos х	,	£ d sin x	, ,	.	, .	n
\ ctg x dx = \ -— dx — \ — = In sin x 4- C.
j	®	j sin x J sin x '	11
Отсюда, в частности, в силу формулы (3) следует и более общий
результат:
ctg + b) dx = ^ In | sin (ax-\-b) Ц-С.
Несмотря на то, что применение обобщенной таблицы основных
интегралов значительно увеличивает класс функций, интегралы от
которых берутся непосредственно, однако существуют многие классы
функций, интегрирование которых не может быть выполнено только
с помощью этой таблицы. Наша ближайшая задача и будет состоять
в том, чтобы научиться интегрировать как можно более широкие
классы функций. Этому вопросу и будет посвящена остальная часть
настоящей главы.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Объясните, почему функции arcsin х и —arccos х имеют одинаковые про-
изводные (аналогично arctg х и —arcctg х).
Применяя метод непосредственного интегрирования, вычислите следующие
интегралы:
2.	\ (4х3 — 3 sin х + 6 Ух) dx.	Отв. х* + 3 cos х+ 4х Ух + С.
3.	г 0—х	2	г	£ х2— 3 \ —— dx. Отв. Зх	х| л |-С. 4. \ —— dx. Отв. х—4 arctgx4-C. .) 34-Ух	3	J 14-х2
5.	V	dx.	Отв. In | х | +2 arctg x-J-C. ' X (1 -j— X“j
6.	\ У 1+ sin xdx. -	Отв. 2 ^sin у — cosyj + C-
7.	£ cos2x ,	„	.	, „ \	—	 dx.	Отв. sinx—cosx-kC. J cosx—sinx
8.	J cos3 x sin x dx.	Отв. —j- cos4 x-[-C.
9.	Psin*cosxdx.	•	Отв. es{ax + C.
10.	[l^dx.	Отв. 4-1п3х + С. J x	3
11.	Отв. ln(l+^) + C.
12.	£ _coyx dx	Ome_ 2 ]/2sin x-f-C. ' У 2 + sin x'
13.	j У 44-x2 xdx.	Отв. -g- У(44-х2)* -|-C.
14.	(^+|dx.	Ome, x+3 lnlx-l|+c J X2 — 1	2 I X -j- 1 j
15.	t" K? it*2 — У 2 — x_	Qme arcsin— In | х-|-)У2 + х2 -f-C. J	У 4 —x4	/2
306
§ 4. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ
Метод подстановки, или замены переменной в неопределенном
интеграле, состоит в том, что при вычислении интеграла
5 f (х) dx
вместо переменной х вводится новая переменная t, связанная с х
определенной зависимостью: х==ф(/). При этом функцию ф (/ ) сле-
дует выбирать так, чтобы подынтегральная функция становилась
более удобной для интегрирования.
Пусть мы имеем интеграл
\f(x)dx.	(1)
Введем новую переменную t вместо х, положив x = q>(f), где
функция <р(0 монотонна и дифференцируема*. Тогда будет спра-
ведлива формула
$/(х)йх = $/[ф(О]ф' (t)dt.	(2)
Действительно, используя свойство 1° неопределенного интеграла,
продифференцируем обе части этого равенства. С одной стороны,
d f (х) dx — f (x) dx, а с другой, d J f [<p (/)] <p' (t) dt=f [<p (/)] $'(/)<# =
= f(x)dx (так как dx=q>' (f) dt). Таким образом, обе части формулы
(2) имеют один и тот же дифференциал и потому выражают собой
одно и то же семейство первообразных для функции f (х). Это и дока-
зывает равенство (2) в том смысле, что правая и левая части его
могут отличаться между собой разве лишь на постоянное слагаемое.
Таким образом, для вычисления интеграла (1) с помощью под-
становки х ф(Л надлежит не только в функции f(x) заменить х
через ф(/), но и dx выразить через t и dt, то есть положить dx =
= <f'(f)dt. При вычислении неопределенного интеграла с помощью
подстановки х = ф(0 мы получаем искомую функцию, выраженную
через t Чтобы возвратиться к прежней переменной х, достаточно
в полученной функции заменить t значением, которое находится из
соотношения х = ф(0, то есть значением ф(х), где ф(х) —обрат-
ная функция для ф(0**.
Пример 1. Вычислить интеграл V|/a2— x2dx.
Здесь удобно применить подстановку x = asint и, значит, dx =
= acostdt. Эта подстановка освобождает нас от корня: ]'а2— х2 =
~Уа2 — a2 sin21 = ± a cos t, и в этом, разумеется, весь смысл дан-
ной подстановки. Можно считать, что t изменяется в промежутке
Г л л I
— фу . 1огда значения переменной х заполнят весь проме-
жуток [ — а, -фа]. Кстати, в этом промежутке подынтегральная
функция определена и непрерывна. Так как cos/s^O для всех t из
* Из дифференцируемости следует непрерывность.
** Заметим, что из монотонности функции х = <р(/) вытекает существование
обратной функции / = ф(х).
307
I —V’ + v ’ т0 арифметическое значение корня У а2— x2~acost
(а>0). Далее в промежутке | — ", -Ту] функция л: = a sin/ моно-
тонно возрастает и имеет непрерывную производную %/=ocos/.
Следовательно, подстановка x = nsin t удовлетворяет всем требова-
ниям правила замены переменной в неопределенном интеграле и мы
вправе применить формулу (2). Согласно этой формуле в подынтег-
ральной функции переменную х надлежит заменить на a sin/, a dx
на a cos t dt. В результате подынтегральное выражение делается
более удобным для применения формул неопределенного интегриро-
вания: У а2 — х2 dx = a2 cos2t dt.
Итак,
У а2 — х2 dx — a2 cos2t dt — у (1 4- cos 2t) dt —
= у (J dt+ J cos2/rf/j= у (/+y sin2/) + C.
Заметим, что интеграл ^cos2?d/ с помощью подстановки u — 2tr
du- 2di приводится к табличному: \ cos 2t dt = ^cosudu =
= у sin u + C ==y sin 21 4- C.
Выразим найденную первообразную через прежнюю независи-
мую переменную х. Для этого из равенства x—asu\t находим
t= arcsin - . Затем п sin 2/ = sin/cos Ц а так как sin/=—, то cos
а	2	а
| ...--,—  j	Д'	....
— у а2—х2 и v sin 2t = ^y а2 — х2. Тогда окончательно получим:
\ У а2 — х- dx — — У а2 — х2 + arcsin — -ф С.
}	2	2d-
Предлагаем читателю проверить непосредственным дифференци-
рованием правильность этого результата, то есть что производная
правой части равна У а2 — х2.
В последующих примерах мы не будем более столь подробно
останавливаться на обосновании законности применения той или
иной подстановки; предоставляем это сделать самостоятельно.
С У* ,
Пример 2. Вычислить интеграл \ ——-----ах.
J у X + 1
Здесь полезно применить подстановку х —/6, освобождающую нас от радика-
лов. Дифференцируем это равенство: dx — §t5dt. Тогда
(* l/V	(• Z3 •	с /8	С /	1 \
5	} ^+Trf/=6 J (^+'а-‘+х+1Д=
= 6 f Д’-Д ^ + 4- /з_/ + arctg 4 + С*.
' / о о	/
* Целую часть дроби ——-г выделяем делением.
1
30#
Возвращаясь к старой переменной х, получим
-т-7=~— dx — УУ у’х7 —- у/х» +-! Ух — Ух + arctg У х\ + С.
у х +1	\ '	0 о	1
Выбор подстановки (то есть выбор функции х = ф(/)) может быть
подсказан разнообразными соображениями. Так, в примере 1 под-
становка приводит к тому, что корень извлекается и мы освобож-
даемся от иррациональности. В примере 2 корни Ух, Ух, фигури-
рующие в подынтегральном выражении, также наводят на мысль
подставить вместо х такую переменную t, чтобы оба корня извле-
кались.
При замене переменной весьма часто бывает выгоднее задавать
не х как функцию /, а, наоборот, задавать t как функцию от х и
писать подстановку в виде / = ф(х).
Теоретически оба способа равнозначны, так как если функция
х = ф(/) монотонна, то всегда можно выразить t как функцию от х
и написать: / = ф(х). Однако при вычислении некоторых интегралов
подстановка /=ф(х) может оказаться более удобной. К сожалению,
нельзя дать общих правил, по которым следует выбирать ту или
другую подстановку применительно к заданному интегралу; умение
разыскивать удачные подстановки достигается практикой. Отдельные
замечания, относящиеся к определенным типам подынтегральных
выражений, будут сделаны ниже вместе с указанием типичных под-
становок. Однако не следует слепо придерживаться какого-то раз
навсегда установившегося шаблона в выборе подстановки. Весьма
часто встречаются интегралы, которые могут быть вычислены с по-
мощью различных подстановок, и искусство вычислителя состоит
в том, чтобы применить ту из них, которая быстрее и проще ведет
к цели.
Рассмотрим ряд примеров на применение подстановки £ = ф(х).
Г 1 --
Пример 3. Вычислить интеграл I ^ех dx.
,,	. I1 \ dx
1ак как d I™ I = —-	то данный интеграл можно записать так:
С 1 j , с -.т
,	\ -г-- dx = — \ ех d\ — .
J X2	J \Х J
Последний интеграл подстановкой t — ~ сразу приводится к табличному. Стало
быть
(* 1 —	f — / 1 \ р
\ -хех dx= — \ е х d! — I = — I е1 dt = — е(4-С.
' х2 J \х /	1
Возвращаясь к переменной х, окончательно получим:
С ! 1	*
\ е х dx = — ех -р С.
309
Пример 4. Вычислить интеграл (2х + З)8 ^х.
• Этот интеграл можно было бы вычислить методом разложения
подынтегральной функции по формуле бинома Ньютона и затем
интегрировать сумму из 9-ти слагаемых Но такой прием слишком
громоздок. Гораздо проще данный интеграл берется непосредственно
с помощью правила, выраженного формулой (3) из § 3, и табличной
формулы II:
J (2х + З)8 dx = А (2х + 3)« + С.
Данный интеграл может быть легко вычислен и при помощи
подстановки / = 2хд-3. Действительно, замечая, что d(2x-( 3) = 2rfx,
мы видим, что указанной подстановкой наш интеграл сводится к ин-
тегралу от стегенной функции; так что подстановка / = 2x4-3, dt =?
= 2 dx дает:
£ (2х + 3)8с/х = 4“ 'i ^ = A^ + C = i(2x + 3)» + C.
Пример 5. Вычислить интеграл \ J/Т—xdx.
Так как d (1 — х)= — dx, то подстановкой /=1—.х этот интеграл сводится к
интегралу от степенной функции. Таким образом, подстановка /=1 — х, dt=—dx
дает:
Пример 6. Вычислить интеграл еах dx.
Как известно, если а постоянна, то d(ar)=adx. Отсюда при аДО dx=»
= A d (ах) и интегралу можно придать вид:
еах dx = А \ er,x d (ах)*.
Последний интеграл подстановкой t = ax сразу приводится к табличному (см. фор-
мулу VI):
С еах dx—A	rf(ax)==A С е> dt = -1- У-уС - 1 <:"Л' 4- С.
а	« J а а ‘
Пример 7. Вычислить интеграл cos т xdx.
Этот интеграл берется тем же приемом: под знак дифференциала подведем
постоянный множитель т и разделим на него интеграл. В результате получим:
( cos тх dx = А \ cos тх d (тх).
J	т '
Здесь уже напрашивается подстановка t — mx, приводящая интеграл к табличному:
Jcos тх dx = A f cos тх d (тх) = А С cos t dt = A sin 14- С = A sin mx 4- C.
m J	m J	m	m
* Заметим, что таким же путем устанавливается и общая формула
f(x)dx = A ^f(x)d(ax),
то есть под знак дифференциала можно ввод пь постоянный множитель, разделив
при этом на него весь интеграл.
310
Отметим, что интегралы в примерах 5, 6 и 7 могут быть также вычислены
с помощью формулы (3) из $ 3, что и рекомендуется сделать самостоятельно.
Пример 8. Вычислить интеграл \ e~x‘xdx.
Замечая, что <1 (х2) — 2х dx, полагаем t——x2. Отсюда dt*=—2х dx. Тогда
_л. а	1
е х xdx = —2~
е<Л = _1^+С=-у е~х‘+С.
Пример 9. Вычислить интеграл
Подстановка t = х3, dt — Зх2 dx дает:
х2 ,
т~,—» ах.
14-х8
P х2 , If Зх2 If dt 1	_	1	_
J	3 l + (x3)2dx=3 J i_|_/a= 3 arctg/ + C-y arctg x +C.
В этой связи заметим, что если подынтегральное выражение имеет
вид: f(x2)xdx, f (х?) х2 dx и т. п., где f (t) — легко интегрируемая
функция, то следует соответственно применить подстановку x — t2,
x = t3 и т. д.
Пример 10. Вычислить интеграл j tg х dx.
Так как tgx = ^-^, то наш интеграл можно записать в виде
COS X
С .	, С sin х .
\ tgxdx=== у ---dx.
J	J cos X
Теперь, замечая, что dcosx= — sinxrfx, полагаем f = cosx. Это дает: dt-- — sinxrfxn
f ,	, Г sin х Cd cos х С dt , ,, . , „	.	, , „
\ tg х ах — у--ах = — I --—== — I —- == — in * H-G = — in COS X -г-G .
J	J COS X	J COS X J t	111	1	1
Пример 11. Вычислить интеграл \ -j—г—-gdx.
,) l-j-x
Подстановка П = >-;l ~| • 1, dt = 3x2dx дает:
C x2 1 C 3x2 dx 1 C dt 1 . . ,, , „	1	„
\ 1	\ гутг = *з 1 у = -jln 1* l+c = y In | хя +11 + c.
Вообще для интеграла, в котором числитель равен производной
знаменателя, будем иметь:
^’-‘"ifWI+c.	(ЗУ
Действительно, подстановка t = f(x), dt = f (х) dx дает:
^ = ln|/|+C-ln|f(x)| + C.
С е^х
Пример 12. Вычислить интеграл У j dx.
Подстановка х —In/, dx—— дает:
С	dt (* /з р г	i \
J е-х—1 dx=" J (t—l)t = J 7^\dt = J (/2 + / + 1+/2Гт) dt =
= 4/3+T/2 + Z + lnlZ-1 \ +C=’je2X+~e2X+ex + ln\ex-l Ц-С.
311
Пример 13 Вычислить интеграл \ -1 + ^^—dx,
J К*+1- 1
Подстановка t—Ух-у 1, х = Р — 1, dx = 2t dt дает
С	dx^2 (£+111 dt = 2 ^ + 2+ —-г'| dt = 2 fl /24-2/ +
j j/x+i-i .w-i м 1 t-n \2
+ 2 In Ц — l|) + C = /2 + 4/ + 41n t— 1 1 + С = х+4/х+Т+41п11'х+1 —1 i+Cj,
где С1 = С-}-1—произвольная постоянная.
п	, . г,	С х dx
Пример 14. Вычислить интеграл i 	—
.1 у х-|-2
Подстановка / = |/х4~2, x~t3 — 2, dx = 3t2dt дает
\	( (£АА1£А£=з С (/4-20л=з fl^-^+c=
' ух+2 J t У	\5
= 3 Г(+127-з;/(7+2р+с.
Вообще, если подынтегральное выражение не содержит других
п _------------------------------------------------------У
иррациональностей, кроме корня из линейной функции /ах-\-Ь, то
следует применять подстановку t—yax + b.
С d v
Пример 15. Вычислить интеграл \ ъ, w-'*1.
J -|— Xй
„	, х tJ dx
Подстановка t-= —, dt = ~ дает:
а а
Таким образом, мы получили формулу
\	= A arcta А_рс.
5 аН*3 а 8 а ь
(* dx
Пример 16. Вычислить интеграл \
J Уа2-х2
Применяя подстановку ^=”> получим:
dx
УсА — х3
dt . . , „	. х , „
arcsin t - - С = arcsin-р С.
f 1-Р	а '
Следовательно, мы пришли к следующей формуле:
С dx	. х ,
\	= arcsin----ЬС*.
' ф а2 — х2	а
(4)
(5)
* Заметим, что формулы IV, V таблицы интегралов получаются из формул (4)
и (5) соответственно при а=1.
312
Пример 17. Вычислить интеграл \ ——— (а^О).
Имеем
С dx .. 1 С (х4-а)-(х-а)	1 I’ ' 1_______1_Ъг =
3 х2 —а2 2а J х2 — а2	2а J \х — а х-|-а/
= ~ (In | х—а | — In । %4-а| ) + С=^- In I - l-j-C.
2а'	2а | х-\-а |
Здесь мы использовали формулу (3). Этим установлена формула XI таблицы
интегралов
С dx
Пример 18. Вычислить интеграл у 2
Здесь удобно положить У x2-\-a = t~x, где / — новая переменная *. Возводя
^2 — д	^2 I
в квадрат, получим: х=—у-, откуда dx^—^-dt. Так что
)/х24-а=/
/2 — a	t2-ya
2t ~ 21
Y= In\t |4~C = ln | x+]/x2 + a|+C,
Окончательно получаем:
C dx _______ С у 4- а) 2/ dt
J РЖрТ J
то есть получили формулу XII таблицы интегралов.
Замечание. В отдельных простейших случаях, когда после
несложных преобразований подынтегрального выражения становится
ясно, какая подстановка приводит данный интеграл к табличному,
само интегрирование целесообразнее осуществлять без введения новой
переменной (новой буквы) и подстановку при этом лучше произво-
дить в уме, мысленно. Проиллюстрируем это замечание на примере:
С х2 dx	1 (•	ЗхМх	1 fd(14-xS)	1,	, .	.	z,
} 14-х»	3 3	1 + *3	3 J Ч-х3	3	! Г	И
На последнем этапе мы мысленно применили подстановку t =
= 1-ф-х8, после чего интеграл преобразуется в табличный: \ -у =
Таким же экономичным приемом можно было вычислить при-
меры 4—10, что
и предлагается сделать студенту.
Упражнения
5.
Отв. sin (5x4- 3)-|-C. 2. (	-. Отв. — -Un ,2 —3v 14-C.
О	J A — ox	«5
1	(* X	1
-n-tg3x-(-C.	4. \ j dx. Отв. arctg x2 4-C.
«5	j 1 -j- X*	2
Гр457п 2x Отв. yin (1 + sin 2x)+C. 6.
cos (5x -p 3) dx.
dx
—Snr-. Отв.
cos2 3x
cos 2x
 •;.. Отв. 2 arctg } x -f- C.
* На этой подстановке мы остановимся ниже.
313
7.	dx. Отв. 2 sin}^x -]-С.
J Ух
2
3. ( —-г. Отв. -А(2-5хр+С.
J ф 2 — ах	1и
10.	\ -^=-г	(Г?+М.
Уел+ 1
,, (• dx {	1 \
11.	\  г.= ...а	Ж —-Г •
J хУ X2— 1	\ У
12.	с..
31+Кх+1
8. ( yZx-Sdx. Отв. 4-(2х-3)2+С.
j	<5
Отв.
У^+1-1
Уех+1 +1 Ф
Отв, С — arcsin
х
Отв, 2	%+1 — In (1	1)] 4~С.
13.	Jx3/x*+l dx.
к	__
Отв. ^^+1)5+С.
[* dx
14.	\ -F- (/==1пх)
J X In X '
15.	\ ~^=~= (x~asmt).
}уа^хч
Отв. In | In х | + С.
Отв.
arcsin — у У а2—х2 -|- С.
§ 5.	МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Метод интегрирования по частям основан на обращении формулы
дифференцирования произведения двух функций.
Пусть и и V — дифференцируемые функции от х. Тогда d. (uv) =
— и dv У v du, откуда udv = d(uv) — v du. Проинтегрировав обе части
этого равенства, получим формулу:
,	^udv = uv— \vclu.	(1)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Она позволяет свести вычисление интеграла и dv к вычислению
интеграла \ v du, который может оказаться более простым для
интегрирования.
Рассмотрим ряд примеров на применение формулы (I).
Пример 1. Вычислить интеграл jj arctg xdx.
Интересной особенностью данного примера является то, что
разложение на множители и и dv подынтегрального выражения
здесь как бы уже дано в готовом виде и нам остается положить
и — arctg х, dv = dx,
откуда
, dx
du=T+^' v = x-
Применяя формулу (1), получим:
С .	,	. Г dx	,	1 f 2xdx
\ arctgxdx = x arctgx— \ x- —r = xarctgx—-x- \	„ —
•)	v 1-f—Xa	Z Л 1~[-Xa
= x arctg x — у In (1 4~ x2) ф C.
314
Далеко не всегда интегрирование по частям совершается так
относительно просто, как это было в примере 1. В более сложных
случаях все искусство применения формулы (1) заключается в том,
чтобы удачно разбить подынтегральное выражение на два множи-
теля: и и dv, что, разумеется, не всегда сразу удается. Например,
если бы мы, пытаясь применить формулу (1) к интегралу \xexdx,
взяли u = ev, dv — xdx, откуда du = exdx, к=|х2, то получили бы
хех dx = у х2ех —	х2ех dx,
то есть пришли бы к еще более сложному интегралу, нежели тот,
от которого отправлялись. То же самое получится и в случае, если
взять и = хех, dv = dx. Однако если принять и = х, dv = exdx и,
значит, du — dx, v=ex, то формула (I) быстро приводит к цели:
хех dx — хех — ^ех dx = хе* — ех + С.
Таким образом, приведенный пример показывает, что и и dv
нельзя выбирать как попало. Только последний выбор оказался
удачным, и это не случайно. В самом деле, из двух множителей
подынтегральной функции второй множитель (то есть сЛ) при диффе-
ренцировании и интегрировании не изменяется; первый же (то есть х)
при интегрировании повышает степень, а при дифференцировании
обращается в единицу—выражение более простое, чем он сам. По-
этому выгоднее первый множитель дифференцировать, а второй инте-
грировать, то есть положить и = х, dv = exdx, что и сделано выше.
Пример 2. Вычислить интеграл \xlnx.7x.
Этот интеграл отличается от предыдущего только тем, что вместо
ех стоит Inx. Но если бы мы здесь за и взяли х, a Inxdx за dv,
то пришлось бы искать еще отдельно и V. Хотя таким путем задачу
все-таки можно было бы довести до конца, все же и здесь, руко-
водствуясь теми же соображениями, что и выше, можно указать
иной путь, более простой, а именно: положим и —Inx, dv—xdx.
Отсюда du — —, f==y. Тогда
С „ 1	. х2 . С х2 dx х2	1 С , х2 , х2 , „
\ х in х dx — .,- ln х — \	In х —	\ х dx— ь-]п х —г -С С.
*7	£	Л X Л	“ *3	4
Часто формулу интегрирования по частям приходится применять
последовательно несколько раз.
Пример 3. Вычислить интеграл ^x2sinxdx.
Пусть и — х2, do = sinxdx, тогда du = 2xdx, v=—cosx. Следо-
вательно, Jx2sin xdx— —x2cosx-|-2 Jxcosxdx. К последнему инте-
гралу опять применим правило интегрирования почастям, полагая и = х,
Л» == cos х <7х, du = dx, o = sinx. Тогда §xcosxdx=xsinx —
315
— ^sinxdx=xsinx + cosx-(-C и окончательно получаем;
j х2 sin х dx = — x2 cos x 4- 2 (x sin x + cos x) 4- C.
Таким же образом вычисляется и интеграл ^x2cosxdx.
Итак, разобранные примеры показывают, что применение метода
интегрирования по частям состоит в том, что подынтегральное выра-
жение f (х) dx представляется в виде произведения двух множите-
лей и и dv, причем последний содержит в себе и dx. Общих правил
для разложения подынтегрального выражения на указанные мно-
жители, к сожалению, дать нельзя. Однако следует иметь в виду,
что разложение на множители подынтегрального выражения нужно
производить так, чтобы в результате дифференцирования одного
множителя (то есть и) и интегрирования другого множителя (то есть dv)
подынтегральное выражение v du интеграла правой части формулы (1)
по возможности легко интегрировалось. Разумеется, не всегда за
счет указанной разбивки подынтегрального выражения на множи-
тели и п dv формула интегрирования по частям приводит к инте-
гралу, более простому для интегрирования.
Иногда повторное интегрирование по частям приводит заданный
'интеграл к самому себе. В этом случае может получиться или ничего
не дающее тождество (значит, интегрирование было проведено нера-
ционально), или такое уравнение первой степени относительно иско-
мого интеграла, из которого находится заданный интеграл. Иллю-
стрируем сказанное двумя примерами.
Пример 4. Вычислить интеграл \с!Л sin bx dx.
Положим u-—smbx, dv — eaxdx, отсюда du = b cos bxdx, v = ^eax
м, следовательно, по формуле (1) будем иметь:
1	И*
\ e‘x sin bxdx — — e'ix sin bx——- \ eaxcos bxdx.
J	a	a J
Полученный интеграл вычисляем снова интегрированием по час-
тям; полагая u — cosbx, dv = eaXdx, откуда du — — b sin bxdx,
v — — еаж, так что
a ’
eexcos bxdx= — eJX cos bx-\- — eax sin bxdx, (2)
.)	a	' a J
то есть мы пришли к исходному интегралу — это обычный камень
преткновения для начинающих. Может показаться, что надо искать
другой спосрб; на самом же деле задача почти решена. Действи-
тельно, подставляя значение этого интеграла в предыдущее выраже-
ние, получим:
\ eoxsin bxdx = — eaxsin bx — — [—eaX cos йх-J- — ? eax sin bx dx} =
J	a	a \ a	1 a J	j
= ^e!X (a sin bx — b cos bx) —£ e1* sin bx dx.
316
Перенося ишеграл из правой части этого равенства в левую,
получим:
( е«х sin bxdx^a-^^^eax + C^
а2 2	а
и окончательно
J еах sinbx dx = asinb-^~^^^ <?“* + £**.	(3)
Заметим, что по ходу вычисления интеграла е‘1Хsin bxdx нами
по существу вычислен и интеграл \е',х cos bxdx, так как из (2) и (3)
следует:
е“х cos bx dx = acos^+-?,sin^ c«+ c.
j	a2, + o*	1
Пример 5. Вычислить интеграл $ У x2-\-a dx.
Здесь так же, как и в примере 1, разбивка на множители и и dv
дана уже в готовом виде, и нам остается положить
и = У x2-i-a, dv — dx.
Тогда
, xdx
аи	х»
у х- + а
Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
£ 1/х2 + ал!х = хУ х2 + а — ( ~У=^=.
.)	J V х2 + а
Но
С x2dx	(•	(х34-«) — а ,	(•	1/—у:— .	[• dx
\ ...\	dx=\	И 4-a dx — а	\	—	=
j/x«4-a	J	Ух^а .1	j/x2 + a
=\! ха — a dx— a In jx4-У*2 4-й).
Подставляя последний результат в предыдущее равенство, находим:
$Ух2 4-a dx — хх2а — § | x2 4-й dx + a In I x4~ Ух2-}-й j.
Объединяя оба интеграла в левой части, будем иметь:
2 У х2 4- « dx = х У х2 4- а 4- a In ) х 4- Ух2 4- a j 4~ С.
Отсюда
Ух2 4-a dx == у |/х2 4- а 4- у In | х 4- Ух2 4- а 14- С.
* Появление произвольной постоянной С станет ясным, если учесть, что неопре-
деленный интеграл в левой части неявно содержит в себе слагаемым произвольно
постоянное число и, следовательно, его должна содержать и правая часть.
** Поскольку С — произвольная постоянная, то и kC — также произвольная
постоянная при А? у-0; при этом если учесть, что способ записи произвольной посто-
янной несуществен, то при вычислении интегралов вместо kC пишут просто С.
317
Сходным образом вычисляется интеграл ^]/а2 — х2 dx.
В заключение отметим, что этим способом, который естественно
назвать способом приведения интеграла к самому
себе, можно было бы вычислить интеграл, рассмотренный в при-
мере 2, положив при этом и = х1пх, dv = dx.
Замечание. Правило интегрирования по частям имеет более
узкую область применения, чем метод замены переменной. Однако
следует иметь в виду, что есть интегралы, которые только и могут
быть вычислены с помощью метода интегрирования по частям,
например следующие:
$ хпеах dx, хл sin ах dx, хл cos ах dx, хл In"1 х dx,
j хл arctg х dx, j x” arcsin x dx.
Пример 6. В качестве еще одного примера применения
метода интегрирования по частям выведем рекуррентную*
формулу для вычисления интеграла
! п~-	3, ...).
Применим к этому интегралу формулу (1), полагая
и = (х2-\-а2уп, dv = dx, отсюда du = —v — x,
и мы получим:
г _ х । о „ С «2 dx
1 п —	\ ^5Tj^2jn+i •
Последний интеграл преобразуем следующим образом:
С х2 dx (’ х2 + а2 — а2 , ____
С dx „ dx .
J pt8^.£j2)'n““a j +	'«4
Подставляя значение этого интеграла в предыдущее равенство,
получим:
In = yfiy'giyi 4~ 2н/п 2на2/п+1,
откуда находим:
. ____ х	.2/1 — 1 ,	,
/л+1~ 2па2 (х2 Н-а2)” ‘ 2па2 'п‘	W
Эта формула позволяет свести вычисления интеграла /„fl к вычис-
лению интеграла 1п и, следовательно, дает возможность шаг за ша-
гом понизить значок и до 1 и в результате прийти к известному
интегралу
, С dx 1	, х
А — \ -v—s = - arctg -.
1 J х2~ра2 а ь а
* От латинского слова recurrens —возвращающийся.
318
Такие формулы называют рекуррентными, то есть «возвращающи-
мися» к ранее полученным результатам.
Полагая в формуле (4) п—1, мы найдем:
x2_j_a2+ 2аЗ arctS а'
Зная /2, по формуле (4) найдем при п = 2:
1 х .	3 , __ х । Зл ।	3 i,ax
4 = 45а' (х2 + а2)2 + 4^2 7 2 — 4С2 (х2 _|_ а2)2 + 8а« (х* + «2) + 8а8 arCXg а
и т. д.
Замечание. При интегрировании часто приходится последова-
тельно применять метод подстановки и метод интегрирования по частям.
Покажем это на примере.
Пример 7. Вычислить интеграл j e^xdx.
Положим здесь t = y'x, так что х = /г и, значит, dx = 2tdt. Тогда получим
j e^xdx=*2 j te* dt.
Применяя интегрирование по частям к последнему интегралу, мы положим
u — t, dv = ei dt, так что du — dt, v = d, откуда находим:
2 j tef dt = 2 (te1 - p dt) =2 (tef - ef) + C.
Наконец, возвращаясь к переменной х, получаем:
В заключение коротко остановимся еще на одном методе вычис-
ления неопределенных интегралов специального вида, основанном
на многократном применении формулы интегрирования по частям.
Это так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть кото-
рого заключается в том, что вычисление интеграла определенного
вида производится по некоторой формуле, специально выбранной
для интеграла данного вида, в которой неизвестными являются
лишь некоторые буквенные коэффициенты. В качестве примера
рассмотрим интеграл вида
J Р (х) еах dx,
где постоянная а Ф 0, а Р (х)— многочлен n-й степени. Применяя
формулу интегрирования по частям, приняв и = Р(х), dv = eax dx,
получим:
jj Р (х) eaxdx = l Р W e<lX~d Р' e<lXdx-
Мы видим, что интеграл справа принадлежит к тому же
виду, что и интеграл слева, но степень многочлена Р'(х) на единицу
ниже степени многочлена Р(х). Применяя к нему снова интегри-
рование по частям, мы придем опять к интегралу сходного
типа, то есть к интегралу JP" (х) еах dx, где уже степень много-
319
члена Р" (х) на две единицы ниже степени многочлена Р(х). Так как
производная порядка п от многочлена n-й степени есть по-
стоянная, то, применяя последовательно п раз формулу интег-
рирования по частям и принимая каждый раз еах dx за dv, мы
придем к интегралу \ еах dx = ~ еах + С (см. § 4, пример 6).
Что касается всей алгебраической суммы, которая получается
в правой части после n-кратного интегрирования по частям задан-
ного произведения Р (х) еах, то ее можно представить в виде Q (х) еах 4- С,
где Q (х)— многочлен той же степени, что и Р (х), а С —произволь-
ная постоянная. Следовательно,
\Р(х)еах dx==Q(x)eax Д-С.	'	(5)
Для определения неизвестных коэффициентов многочлена Q(x)
обычно прибегают к так называемому методу неопределенных коэф-
фициентов. С этой целью записывают формулу (5), причем коэффи-
циенты многочлена Q(x) рассматриваются как неизвестные, затем
дифференцируют обе части написанного равенства, сокращают об-
щий множитель еах 0 и приравнивают коэффициенты при одина-
ковых степенях х, стоящих в разных частях равенства. Из полученной
системы линейных уравнений и находят коэффициенты многочлена
Q (х). Проиллюстрируем изложенный метод конкретным примером.
Пример 8. Вычислить интеграл f (х2— 3x4- 1) е2х dx.
В данном случае равенство (5) имеет вид:
j (№ — Зх + 1) е2х dx — е’х (ах2 4- Ьх ф- с) 4- С.
Дифференцируя обе части этого равенства и затем сокращая на
общий множитель е2х 0, мы получим:
х2 —.Зх 4™ 1 = 2 (ах2 4~ йх 4™ с) + 2ах 4- й,
или
х2 —- Зх 4™ 1	2ах2 4- 2 (а 4- Ь) х 4™ 2с 4~
Написанное равенство является тождеством. Поэтому, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему из трех
уравнений для определения коэффициентов а, b и а
х2 1=2а,
х —3=2 («4- Ь),
х°	\=2с + Ь.
1	3
Решая эту систему, находим:	Ь —— 2, с=2-. Таким об-
разом, окончательно
(х2 — Зх 4- 1) е2х dx = -| е'х (х2 — 4х 4- 3) 4- С.
Разумеется, двукратное интегрирование по частям приводит к тому
же результату, в чем мы рекомендуем читателю убедиться самосто-
ятельно.
320
Аналогичным способом могут быть вычислены и интегралы вида
J Р (х) cos ах dx, \ Р (х) s'xnaxdx, где Р (х)— многочлен. Здесь также
путем многократного интегрирования по частям (принимая каждый
раз cosaxrfx или sinaxdx за dv) можно показать, что указанные
интегралы могут быть вычислены по формулам:
( Р (х) cos ах dx = aQ (х) sin ах + Q' (х) cos ах + С, )
(6)
\ Р(х) sin ах dx — aQ(x) cos ах— Q (x)sin ах + С, J
где Q(x) — по-прежнему многочлен той же степени, что и Р(х).
Пример 9. Вычислить интеграл j (х2 — 5х 4- 6) cos Зх dx.
Согласно формуле (6) имеем
j (х2— 5х-|-6) cos Зх dx = 3 (ах2 4- Ьх 4- с) sin Зх (2ах 4* b) cos Зх-f-C.
Дифференцируя обе части этого равенства, получим:
(х2 — 5х 4- 6) cos Зх = 3 (2ах + b) sin Зх 9 (ах2 4- Ьх 4- с) cos Зх 4-
4- 2а cos Зх—3 (2ах 4- Ь) sin Зх.
Отсюда
(х2 — 5х -р 6) cos Зх = (9ах2 4- 9Ьх 4- 9с + 2а) cos Зх
и, значит,
х2 — 5х + 6 = 9ах2 + 9Ьх + 9с + 2а.
Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях х дает:
х2	1=9а,
х — 5--94
х»	6=9с+2а.
1	5	52
Решая эту систему, находим: а=-=-, Ь = —	6 = ^-. Следовательно,
У	У	о!
С	1	1
\ (х2 — ox 4- 6) cos Зх dx	(9х2 — 45х 4* 32) sin Зх 4- - (2х — 5) cos Зх 4 С.
J	У
Рекомендуем этот же интеграл вычислить с помощью формулы интегрирова-
ния по частям.
Упражнения
1.	pnxdx.
2.	^х arctg х dx.
3.	arcsin х dx.
4.	х in2 х dx.
3- arctg Yj: dx.
6. t ^Idx.
J Г1+х»
Отв. xlnx — x-f-C.
x2 4- 1	, x —
Отв. —g— arctg x—у 4 C.
Отв. x arcsin x-j-У1—x2 -j-C.
Отв. -^-x2ln2x—x2 In x4--^-x24-C.
Отв. x arctg Ух — Ух 4-arctg Ух 4-C.
Отв. У14-х2 arctgx—In ! x-J-У 14-х- ,4-C.
Отв. 2 (sm Ух — Ух cos У x) 4-C,
11 Бохан и др.
321
8.	)' x cos2 x dx.
Отв
9.	\ У х In х dx.
10.
j sm3 х
Отв.
Отв.
х2 1	1
__ х sjn2x+-g- cos 2x~j~C,
| /х3 fin x — —
<j \	о J
cos X , 1 , I , X I _
2 sin2x + 2 П |tg 2~| + C-
, 1
dv = dx.
sin2 x
г-,	1
Указание. Положить и = -—,
sin х
Применяя метод неопределенных коэффициентов, вычислить следующие интег-
ралы:
11.	(х2 — 2x4-5) ё~х dx.	Отв.	е~х (х24- 5) 4-С.
12.	$ (2%3 — х24-2х — 5)e2Xdx.	Отв.	(х2 — 2х24-3х — 4)е2*4-С.
13.	\ (х2 4-5х4-6) cos 2х dx. Оте. (2х2 4-10x4-11) sin 2x4-(2x4-5) cos 2х-}-С.
14.	х (х2 4~ 6) sin х dx.	Отв.	Зх2 sin х — х3 cos х 4- С.
15.	(х?4-2х4~3) cos х dx.	Отв.	(х-|- I)2 sin х-|-2 (х-(-1)	cos х + С.
§ 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые легко вычис-
ляются после несложных преобразований.
I. Интегралы типа
§ sin mx cos nx dx,	cos mx cos nxdx, § sin nx sin mx dx,'
где m и n — постоянные числа.
Подынтегральные функции легко приводятся к сумме первых
степеней синусов и косинусов с помощью известных формул три-
гонометрии:
sin a cos [sin (а + Р) + sin (а —0)],
1
cos а cos Р== у [cos (а 4- Р) -(-cos (а—-fl)],
(1)
sin а sin р=у [cos (а — Р) — cos (а 4- Р)].
Рассмотрим несколько примеров на применение этих формул.
Пример 1.
Пример 2.
sin Зх sin 5х dx = -% \ (cos 2х — cos 8х) dx =
= 4- t cos 2х dx —1- С cos 8х dx — ~ sin 2х — X sin 8х 4- С,
2 J	2 J	4	16
\ cos 2х sin 4х dx = -i- V (sin 6х 4- sin 2х) dx =
sin 2x dx = —	cos 6x —J- cos 2x 4- C,
12	4
322
cos Зх) sin Зх dx=
и п — любые целые
п будет нечетным
sinx=Z, получим:
Пример 3. sin х sin 2х sin Зх dx=~
= -i- cos х sin Зх dx —g- cos 3x sin 3x dx =
«= (sin 4x4- sin 2x) dx—sin 6x dx =
= J,- cos 6x—cos 4x —cos 2x 4- C.
24	16	8
II. Интегралы вида \ sin™x cos" xdx, где tn
показатели.
1) Пусть хоть один из показателей т или
положительным, например п=2А4-1. Полагая
cos xdx —dt и потому
§ sinm х cos" х dx == sinm x cos2* x cos xdx —
— $ sin™ x (1 — sin2 x)k d sin x = J tm (1 — Z2)* dt.
Этот интеграл после разложения (I—/2)* по формуле бинома
Ньютона вычисляется непосредственно.
Аналогично поступаем, если т — нечетное положительное.
Пример 4. § sin2 xcos3 х dx = ij sin-x (1 — sin2x) d sin x =
(*	t* Z5 1.1
га \ Z2 (1 — I2) d/ = e *g" 4“ Z? я=»~3~ sin3 x	sin5 x 4“ (2.
„	_ C cos5 x , C (1 —sin2x)2 . f (1-Z2)2.,
Пример 5. \-r—-dx=\-:—r-i--------— dsmx=\-———t-dt =
j sin® x ,) sm6 * * x	j Z°
dt 9 C dt C dt 1	2	1	1	2	1
r- '	+ ' Z2 “	t '	5 sin5x+ 3 siipx sinx4*6.
2) Пусть оба показателя tn и n — четные и положительные
числа, тогда указанный выше прием не приводит к цели, и в этом
случае предпочтительнее другой прием, основанный на примене-
нии формул
. »	1—-cos2x	l+cos2x
sin2x =----g---, cos2 х = —4-2----.	(2)
Именно, пусть m = 2k, п — 21 и k>l, k — r-\-l, тогда
§ sin2*xcos2Z xdx = ^ sin2"x (sin xcos x)aZ dx —
-^1 sin2r x • sin2Z 2x dx=2^-r (1 — cos 2x)r sin2Z 2xdx.
Применяя формулу бинома Ньютона и затем перемножая, мы
получим сумму интегралов того же вида: cos9 2х sinp 2х dx, но
с показателями степеней, меньшими первоначальных. Те из них,
в которых хотя бы один из показателей р или q оказывается
нечетным, вычисляются приемом, разобранным выше (первый слу-
чай). Интегралы, в которых оба показателя р и q четные, могут
быть вычислены с помощью многократного применения формул (2).
11*
323
Пример 6. sin® х cos2 х dx = ~ sin2 2х sin4 х dx =*
= ~ \ sin22x (1—cos 2х)2 dx = ~ \ sin22x(l— 2 cos 2х + cos2 2х) dx
lo j	lo j
= tL sin2 2x dx —— f sin2 2x cos 2x dx 4- X \ sin2 2x cos2 2x dx —
16 J	8 J	16 J
=	(1 — cos 4x) dx —X sm22xdsm 2x4- J.- \ sin24xdx =
32 J	’	16 J	64 J
= A X^T28 Sin 4x~ isin32x +158 5 (l-™8x^x =
= 158X-158 S1" 4x-isin32x-1^4 sin 8x + C-
III. Интегралы вида	пРинадлежат к числу
основных интегралов, часто встречающихся на практике. В числи-
теле подынтегральной функции стоит линейный двучлен Ах-]-В,
а в знаменателе —квадратный трехчлен x* + px + q. Чтобы взять
этот интеграл, выделим из трехчлена в знаменателе полный квад-
рат двучлена хф- :
, ,	. I <> , о Р , р2\ , !	р°\	(	, р\2 , I ра\
X* рх (J = I X* -j- 2 * ~iy" X -j- -у' / нН i Q-T") = [ X q—X- I -j~ I Cf — v ) •
Это разложение
подсказывает нам подстановку:
X = t dx = dt.
n — Pl-
Ч 4
числом
Положим далее
отрицательным
зуется к виду
*
где h может быть положительным или
В результате наш интеграл преобра-
Ах+В
.—	- — dг
At-j-B-A %.
.........  fit
I fi + h и '
(3)
Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов, тогда
С Ах-^-В ,	1 . С 2t dt , / п Ар\ С dt
J x^ + px + qaX~"2A J t2 + h + \	2] J P + h'
Первый интеграл в правой части берется непосредственно, так
как у него в числителе стоит дифференциал знаменателя, и потому
он равен логарифму абсолютной величины знаменателя**.
$^=’n|/2 + /i| + C=ln|^ + px + 7| + C.
* Мы считаем, что квадратный трехчлен x2-f-px + ^ не является полным квад-
ратом какого-нибудь двучлена, так что
’* См. формулу (3) § 4.
324
Второй интеграл вычисляется по формуле (4) § 4 или по формуле
XI таблицы основных интегралов, в зависимости от того, будет ли
р2 ,
разность q — положительным или отрицательным числом.
Обратимся к примерам.
_	_ D	(* 6%+5
Пример 7. Вычислить интеграл 1 %2_p4x_|_g dx-
Выделим в знаменателе полный квадрат двучлена: х24-4х4-9 = (х4-2)24~5.
Теперь прибегаем к подстановке х4-2 = /(тогда x — t—2, dx = df), которая дает:
' С 6*+5 dx- С 6х-}-5	С 6(^-2)+ 5
J х24-4х4-9	J (х4-2)24-5	J /24-5
С 6Z-7	„ С 2tdt _ С dt ... , ..	7 t
— \ ^2+5 dt~3 3 /2 + 5	7 J /2+5	31n<z +5) |/5arctgp<5 + c-
dx —
Возвращаясь к переменной х, получим:
6х-|-5	, о j . 9	. 1п\	7	х-|-2
dJC==3 П {Х +4* + 9)~p^arctgy|-
С.
Пример 8. Вычислить интеграл
С 3x4-2
J хз.6х4-5
Так как № — 6x4-5= (х—З)2 —4, то, полагая х — 3 = t, откуда х = /-!-3.
dx=dt, находим:
С Зх —2	, С 3(t4-3)-2	С 3/4-7 м
} (х—З)2 —4 j /2 — 4	j /2 — 4
2tdt
__4
3
. „ С dt 3.	„	7 - I /—2 1
т“ • \ То-7 “ "гГ 1^1 1Л 4 4~ -- 1П	I -4- (j,
J р— 4 2	4	/-f-2
1
2
7 I г S I
In I X2—6x4-5 14- T In -г 4-C.
4	I X 1 I
IV. Интегралы вида	jx вычисляются точно таким
же приемом, что и интегралы вида III.
Как и в предыдущем случае, здесь также выделяем полный
квадрат из квадратного трехчлена x^ + px + q^^x 4----^4-q—
Затем прибегаем к той же подстановке х 4- -у= t, которая пре-
образует данный интеграл к виду
я	Л , О Сл/4-5-4г
С Дх 4” В , I	2 ,,
\ —r-- - -dx= I ——at.
j у х24-рх4-q	J J//2+^
Отсюда
(	= - £  JL_d/4- (в—-^L-,	(4)
J Их24-рх4-<?	2 J//24-й	\	2 / J J/T24-A
где по-прежнему h = q — Первый интеграл есть интеграл вида
325
—	если положить и — t2 + h, и, следовательно,
J V и
у^^2У1^Уг + С = 2Ух* + рх + ч + С.
Второй интеграл вычисляется непосредственно по формуле XII
таблицы основных интегралов.
Аналогичным приемом вычисляется интеграл вида ( . AxJr^=H=dx
J V—x2+px+q
при условии, что	Обратимся к примерам.
(*	4х — 8
Пример 9. Вычислить интеграл \  .— dx.
J/x2+6x-2
Выделим полный квадрат из подкоренного выражения: х2 + 6х— 2 = (х4-3)2—11,
Подставляя х-|-3 = £, x—t— 3, dx — dt, получим:
f 4х — 8	, С 4«—3) — 8,	f « — 20 ,,
J j/x2 + 6x--2 J /г--11	J у72-н
= 2 С ------20 С .....=
J i 1 J утггц
= 4)/>-11 —201nU + V^2—И I + C-
= 4 х‘~ "j- 6х —-2 — 20 In | х -f- 3 4- Ух2 4” Ох — 2 j С.
(•	Х-4-3
Пример 10. Вычислить интеграл \ -7  -— dx.
JV5+2X-X2
Выделим полный квадрат: 5---2х —х2==6 —(х—1)-. Подстановка х—1=4
х = /4-1, dx = dt дает:
С x + 3 dx — С * + 4 dt= L ( ~2tdt 4 С dt
J /5+'2х-х2	J Уб^	2 .'	' /6^
= — у б_^2_|_4 arcsin ^=~уС = —’Уб4~2х—х2-|-4 arc sin
Заметим, что первый интеграл вычисляется с помощью подстановки u = fi—t2t
du=—2t dt, так что
С 1—'2/ dt (* du п.. /— „
\ —=>= \ -—. = 2 у и --С,
J/6-г2 iVu
а второй выражается через арксинус согласно формуле (5) § 4.
Замечание. Разобранные примеры показывают, что сущность
рассмотренного способа вычисления интегралов вида III и IV состоит
прежде всего в выделении полного квадрата двучлена из квадрат-
ного трехчлена в знаменателе с последующим применением подста-
новки t — x-y^- и затем в представлении данного интеграла в виде
суммы двух интегралов, один из которых берется непосредственно
(так как числитель его есть дифференциал двучлена t2-yh в знаме-
нателе), а другой сразу приводится к одному из табличных интег-
ралов (в зависимости от знака числа h). На практике указанное
преобразование лучше производить без введения новой переменной
326
интегрирования t. В этом случае каждый из интегралов вида III
и IV в результате такого преобразования представится так:
С	л.. Л С 2х4~р	. । /р Ар\ С dx
x2 + px + qax— 2 } x^+px + qa 2 ) J x^+px+q	( f
И
С	-^±L^dx + (B-%-} (—±=.	(6)
J V x2+px + q	2 J Vx^ + px + q	\ z ' J Vx2 + px+q
Легко видеть, что эти формулы непосредственно следуют из "фор-
мул (3) и (4), если в последних перейти к первоначальным обозна-
чениям.
Интегралы в правых частях формул (5) и (6) вычисляются уже
непосредственно, если учесть, что в числителе каждого из первых
интегралов стоит дифференциал трехчлена в знаменателе, а вторые
интегралы после выделения из этого трехчлена полного квадрата
двучлена % + у сразу приводятся к одному из табличных интегра-
лов в зависимости от знака числа q — ^1.
Проиллюстрируем указанный прием на конкретных примерах.
S4x 7
—————xdx.
X* — ОХ —р 1 о
В числителе подынтегральной функции выделим производную знаменателя,
равную 2л —С. Для этого, как легко видеть, достаточно сначала из числителя
вынести за знак интеграла множитель 2, а затем вычесть и прибавить в числи-
теле 6. В результате получим:
п	7	f 7\
I	2х—2"	I (2х— б)-}™ (6—x"-j
	f о  .. ... —	ft у ——, о 1 —	,...  у , ,, / /7 у т—t
1 х2 —6x4-13	1 х2 —6x4-13
i (2х— 6)4-у (	2	_	Г .
-2 i	dx==2 I -^L^-^dx+5 I
I хл—6х-|-13	] х2—6x4-13	1 х2—6x4-13
v	v
Первый из интегралов правой части равен In (х2 —6x4-13) (см. формулу (3) § 4).
Второй интеграл, как видели выше, вычисляется путем выделения полного квад-
рата двучлена из трехчлена в знаменателе:
С dx С d(x—3)	1 х—3 _
J х2 —6x4-13 — J (х-3)24-4“ 2 arctg 2	!~С‘
Здесь мы использовали формулу (4) § 4.
Таким образом, окончательно будем иметь:
\ Г2-6х4-13^ = 21п(х2-6х+13)+ yarclg^t^C.
Пример 12. Вычислить интеграл I = {	— dx.
J /24-4х-х2
Выделим в числителе производную подкоренного выражения, равную 4—2х.
Для этого числитель дроби сначала умножим на — 2 и, следовательно, перед ин-
327
тегралом поставим множитель —«Г > а затем в числителе прибавим и вычтем 4:
.	с х4-3	.	1 р (—2)(х-|-3) , If	—2х— 6
1 •= \ -7====== dx ——~ \	..‘.= dx ——tj- \	.....— dx —
J /2-}-4х — х2	2 J /2-|-4х —х2	2 J/24-4X —X2
_ _ _1Г (4 —2х)—10 dx______1_ С 4 —2х
2 J /24~4х —х2	2 ' /2-}-4х — х2
dx
/2-}-4х— х2’
Первый интеграл есть интеграл вида С	= 2 У и 4- С, где и — /24-4х — ха
' Уи
а второй интеграл после выделения полного квадрата двучлена из подкоренною
выражения берется непосредственно:
(• dx Г d(x—2)	. х —2
J /2 4-4x-x2 j/б —(x—2)2	Уб
Здесь мы воспользовались формулой (5) § 4.
Окончательно получаем:
С .F-";=::=== dX = — /2 4Х — X2 4~ 5 аГС81П ^-7^4-0.
J /24~4х—х2	/б
f* dx
V. Рассмотрим интеграл вида \ —у==========- (х>0). Этот ин-
j х у ах ”т— ох с
теграл легко берется с помощью простой подстановки x=-i-. Дей-
и d/
ствителыю, ах = — , тогда
______dx_____
x/ax24-fex4-c
tdt
__ Г 1 j
I/ а “f* b * —|— с
dt
ya-Vbt-Vcta’
а последний вычисляется методом выделения полного квадрата из
подкоренного выражения.
Пример 13. Вычислить интеграл i .....—------
J х/х2-4x4-1
п	1 J dt	'
Применим подстановку x——-t dx— — -^, тогда
_____________________ _	______dt_____
х/х2 —4x4-1 “	J
dx
— In [ Z-24-//2— 4/4-1 |4-С=— In
dt
АП 4~/,
- In
1 — 2x4~/x2 —4x|-l
4-C=ln ।	--------
I 1—2x4-/x2— 4x-}-l
_ I l — 2x—/x2 —4x-pl
4-C=
4- Ct,
x
х
где Ci = C— In 3.
328
Упражнения
1.	( cos 2х sin 4х dx.	Отв
2.	\ cos2 x sin4 x dx.	Отв.
3.	C sin3x , \ —r— dx. J COS4 X f X — 2	Отв.
4.	I 		dx J X2 —7X_|_ 12 ax- e 3x— i	Отв.
5.	\ -7====dx. J /x2+2x+2 /» —11	Отв.
6.	\	,	 dx. J /54-2x—x2 C	dx	Отв.
7.		Отв.
х у х2 -f-4x — 4
— Д cos 6х —J- cos 2х -4- С.
12	4
1 х-1 sin 2х -1 sin 4х + 1^2 sin 6х + С.
------5- + с.
3 COS3 X СОЗ X
ln(*-4)2 । с
|х-3| +С'
3 Ух2+2х + 2 — 4 In | х + 1 + /х24-2х-|-2 | 4-С.
С - 8/5 + 2х - а* - 3 arcsin	.
/б
Д arccos—Д-р С.
2 хУч
§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Будем называть элементарной функцией любую функцию, кото-
рая выражается через основные элементарные функции * с помощью
конечного числа арифметических действий и операций взятия функ-
ции от функции. Например, функция
1 -j- sii 1 Зх
_j___у_
будет элементарной.
Самый важный класс функций, интегралы от которых всегда
выражаются через элементарные функции, представляют рациональ-
ные функции:
у=arctg 1/
где Р(х), Q(x) — многочлены. Если эта рациональная дробь непра-
вильная**, то мы всегда с помощью деления Р (х) на Q(x) можем
выделить из нее целую часть (то есть многочлен), интегрирование
которой осуществляется непосредственно и приводит при этом снова
к целой рациональной функции. Например,
f х* — 4х3 2х2 — 1 , С / » о	х + 1 \ ,
\ ——s—Ц-i----ах=\ х2 —-Зх — 2Ч--5——т-г ах=
J	х2 —х-pl	j \	1 х2 — х4-1/
х3 3 „ о f х 4-1	, х3 3,о.
= 3---2Х “2х+)	=	-2х +
+ |ln’,x2-x+l| + K3arctg^- + C***.
* Степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обрат-
ные тригонометрические функции
'* То есть степень числителя Р (х) не ниже степени знаменателя Q (х)
*** См. § 6, интеграл вида III.
329
Поэтому мы сосредоточим внимание исключительно на интегрирова-
нии правильных рациональных дробей, то есть дробей, у которых
степень числителя ниже степени знаменателя.
Интегрирование правильной рациональной дроби основано на
следующей теореме*.
Каждая правильная рациональная дробь может быть
представлена в виде суммы конечного числа простых дро-
бей следующих четырех типов:
I. —;	И. 7—(6=2, 3, 4, ...);
х—а*	(х—v	’	* п
iii. -5*^4-;	Iv- /	(п=2, з, 4,
x2+px+fl’	(х2+рх+<7)га	'	’ ’ ’ п
где А, В, С, D, М, N—числовые коэффициенты.
При этом предполагается, что трехчлен х24-рх4-<?, фигуриру-
ющий в дробях III и IV типов, не имеет вещественных корней
(следовательно, <?<0 .
Таким образом, для интегрирования правильных рациональных
дробей нужно прежде всего научиться представлять их в виде суммы
простых дробей и затем уметь интегрировать последние.
Остановимся сначала на интегрировании простых дробей. Дроби
I и II типов мы уже умеем интегрировать:
I —-— dx = A In I х—а I + С;
j х а
Интегрирование дроби III типа показано в § 6 (см. интеграл
вида III). Что касается вычисления интеграла от простой дроби IV
типа, то есть вычисления интеграла
f МхЦ-N
J (х2 + рх + <?)«“Л>
то к нему применим тот же прием, который мы применяли при вычи-
слении интегралов вида III и IV в § 6 (см. замечание), то есть
метод выделения в числителе первого интеграла производной трех-
члена х2 + рх + <7, а именно:
С Mx+N л,, м С 2х+р	нг । Гу Мр\ С dx
i (x2 + px + q)nUX~ 2 3 (х2 + рх-Н)«	2 ] J (x2 + px4-p)« ‘
Первый интеграл в правой части есть интеграл вида^^ =
= у—и1'" + С, где и = х2пхКо второму интегралу применим
* Доказательство этой теоремы можно найти, например, в кн.: Г. П. Тол-
стов, Курс математического анализа, 1954, т. I, гл. VIII, § 8; Н. С. Писку-
нов, Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, 1963, гл. X, §9.
330
I p i
подстановку х4--~ = т, в результате получим:
t f dx __ dt
In~~ } (x2 + px + q)n	J \p+tfi)n ’
где a2 — q—Последний интеграл может быть вычислен при
любом п по рекуррентной формуле*:
1 ге+1 2па2 Ц2 + д2)+ 2иа2 In	2>
Если подставить сюда значения t = x-\-~ и ai = q — у , то получим
для интеграла
, __С dx
п~~ .) (ха + рх-Н)"
следующую рекуррентную формулу:
х+Е
I	2	f 2/z — 1 g
4гФ1 7	р2\	I 7 “	•
2/1( Q ~^Х^-j—jDX-р	2п( Q -—
Итак, мы установили, что интеграл от каждой простой дроби
выражается через элементарные функции, или, как принято гово-
рить, каждая простая дробь может быть проинтегрирована в конеч-
ном виде. Этим исчерпывается вопрос об интегрировании простых
дробей.
Таким образом, интегрирование любой рациональной дроби при-
водится к интегрированию многочлена и конечного числа простых
дробей. Поэтому мы получаем следующую важную теорему:
Интеграл от любой рациональной дроби есть элемен-
тарная функция, выражающаяся через рациональные функ-
ции, логарифмы и арктангенсы.
Эта теорема имеет особо важное значение по той причине, что
далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выража-
ющийся через элементарные же функции. Так, например, интегралы:
к----Ух, у----dx, —	\—-dx, \e dx \sinxadx,
J X ’ J X ’ J Inx ’ J X ’J	’ J	’
?cosx2dx, ]/sirixdx , f	C	.
J	J	J |/x3+l J /2 —sin2x
и ряд других не выражаются конечным числом элементарных функ-
ций. О таких интегралах говорят, что они не берутся в конечном
виде. Однако это не значит, что эти интегралы не существуют; они
существуют**, но первообразные для их подынтегральных функций
не выражаются никакой конечной комбинацией элементарных функ-
* См. формулу (4) в § 5.
** В теории определенного интеграла мы докажем, что если подынтегральная
функция непрерывна в некотором промежутке, то она имеет первообразную в
этом промежутке.
331
ций и, следовательно, представляют собою функцию более сложной
природы. Это подобно тому, как мы иногда говорим, что «]/2 не
извлекается», разумея под этим лишь то, что не существует рацио-
нального числа, квадрат которого равнялся бы 2. Однако мы знаем,
что существует такое вещественное число—У"2 — иррациональное,
квадрат которого равен 2. То обстоятельство, что неопределенные
интегралы от некоторой части элементарных функций не выража-
ются через элементарные функции, указывает на существенное отли-
чие операции интегрирования от обратной ей операции дифференци-
рования, которая, как известно, замкнута относительно класса
элементарных функций (то есть производная любой элементарной
функции есть элементарная функция).
Перейдем теперь к вопросу о разложении рациональных дробей
на простые дроби. Мы не будем здесь излагать доказательство тео-
ремы о разложении рациональной дроби на простые, а ограничимся
лишь разъяснением этой теоремы, то есть дадим более точные ука-
зания относительно числа и вида тех простых дробей, на которые
разлагается данная правильная рациональная дробь.
Из алгебры известно, что всякий многочлен с вещественными
коэффициентами степени выше второй разлагается единственным
образом на линейные и квадратичные множители с вещественными
коэффициентами. Таким образом, этими множителями являются
либо линейные функции вида х—а, где а —вещественное, либо
квадратичные множители вида х2 рх + q с вещественными коэффи-
циентами, но с комплексными корнями и, следовательно, неразло-
жимыми на вещественные линейные множители.
Например. 1) х3— 1 = (х— 1) (х8
2) х«-1 = (х- 1) (х +1) (x-’-J-2);
3) х« +1 = (х8+/2х +1)
Некоторые из множителей, на которые разлагается данный мно-
гочлен, могут входить в его разложение несколько раз. Объединяя
одинаковые множители (если они есть), разложение любого много-
члена Q (х) можем представить в следующем виде:
Q (х)—а0(х—(х—а2)**... (х—х
X (х2 + ^х + ?г)г‘ ... (х2 + ртх + qmYm,  (2)
где а0 — коэффициент при наивысшей степени х в многочлене, а
klt k2,..., ks, t\, r2  rm — натуральные числа*. Разложение (2)
знаменателя Q (х) рациональной дроби на множители теснейшим
образом связано с разложением самой дроби на простые дроби.
В алгебре устанавливается, что:
1. Каждому неповторяющемуся множителю вида х — а отвечает
д
в разложении одна простая дробь вида
* Заметим, что если степень многочлена Q (х) есть п, той14-^а+ •••	+
+ 2(Г14-га4- ... +гт) = л.
332
2.	Каждому множителю вида (х—a)k отвечает сумма k про-
стых дробей вида
3.	Неповторяющемуся множителю x2A-pxA-q отвечает одна
-л /г -з /Их—
простая дробь вида
4.	Каждому множителю вида (х2 + px + q)r отвечает сумма г про-
л — v -j	/И^х—pjVj	AlnX-^-ZVo
стых дробей вида -ч—-+__—
(х* + рх +?)'••
Здесь А, М, N, Ah Mh Уг —числовые коэффициенты.
Таким образом, зная разложения (2), мы тем самым знаем зна-
менатели всех тех простых дробей, на которые разлагается данная
р (х)
рациональная дробь Остановимся на определении коэффици-
ентов At, Mt, Af,-; при этом заметим, что если степень много-
члена Q (х) равна п, то и всех коэффициентов будет тоже п.
Для определения этих коэффициентов обычно прибегают к зна-
комому нам методу неопределенных коэффициентов, который в дан-
ном случае состоит в следующем: после того как правильная ра-
Р (х)	, «
циональная дробь записана в виде суммы простых дробей, в
числителях которых стоят неопределенные буквенные коэффициенты,
эти дроби приводим к общему знаменателю, которым, очевидно, бу-
дет Q(x). Затем отбрасываем знаменатель в обеих частях равенства
и получаем равенство двух многочленов: слева — многочлен Р (х) с
известными коэффициентами, а справа — многочлен с неизвестными
буквенными коэффициентами (п— 1)-й степени. Так как это равен-
ство должно быть тождественным, то, приравнивая между собою
коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях,
мы получим систему п линейных уравнений с п неизвестными, из
которой и определяются эти неизвестные коэффициенты. Как это
делается практически, мы разъясним на примерах.
Пример 1. Пусть дана дробь
жим ее на простые дроби.
Так как множители знаменателя все линейные и различны, то
разложение будет иметь вид:
2х2 —х-|-3 _ Д	В	С
х(х—1)(х-|-2) х	х—1	х-|-2 ’
где коэффициенты А, В, С нам пока неизвестны и их численные
значения требуется определить. Умножая обе части этого тождества
на общий знаменатель дробей, то есть на х(х—1)(х-|-2), и затем
отбросив его, мы получим тождество:
2х2 —х + 3 = Л (х— 1)(х + 2) + Вх(х + 2) + Сх(х— 1),	(3)
или, если раскрыть скобки и собрать члены, содержащие одинако-
вые степени х, получим тождество:
2х2-х + 3 = (А+В + С)х2 + (АА-2В-С)х-2А.
333
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой
и правой частях этого тождества, мы получим следующую систему
из трех уравнений относительно неизвестных А, В, Ci
при х2 А-\-В-\-С = 2,
при х А-\-2В-—С = — I,
при х° — 2а = 3.
3	4	13
Решая эту систему, мы находим: Д=—%-, В = -у, С=-^-, так
что искомое разложение будет:
2х2 —х + 3 _ _ 3	4	,	13
х (х—1)(х-|-2) 2х 3 (х—1) |~6(х4-2)‘
Замечание. В рассматриваемом примере коэффициенты А,
В, С можно было бы определить быстрее. Действительно, положим
в тождестве (3) х=0, тогда все слагаемые справа, кроме пер-
вого, уничтожаются и мы сразу получим, что 3=—2А, откуда
д = —з/2. Затем, полагая последовательно х— 1, х=— 2, мы ана-
логичным образом найдем: 4 = ЗВ, 13 = 6С, откуда В = %, С = 13/в.
Такой способ нахождения коэффициентов обычно называют ме-
тодом частных значений. Как мы только что видели, этот способ
требует затраты значительно меньшего труда и потому заслуживает
особого внимания при интегрировании рациональных дробей. Если
корни многочлена в знаменателе только простые вещественные, то
для определения неизвестных коэффициентов целесообразно пользо-
ватья именно этим способом. В остальных случаях для определения
неизвестных коэффициентов можно комбинировать оба способа: спо-
соб частных значений и способ неопределенных коэффициентов.
Как это делается, мы покажем ниже на примерах.
Пример 2. Разложить на простые дроби следующую дробь:
Зх+5__ Зх + 5___________
х^ —-1	(х — 1) (х -р 1) (X2 + 1) *
Здесь мы имеем:
Зх+5 _ А В Cx-\-D
х4—1 х—1 +х+1 + х2 + 1 ’
откуда
Зх + 5 = Л (х+ 1) (х2 + 1) + В (х— 1) (х2 + 1) + (Сх+£>) (х2- 1).
Для определения коэффициентов применим комбинированный прием:
при х— 1 I 8 = 4.4, Д=2,
при х= —1 I 2= — 4В,
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:
при х3 I А + В + С = О,
при х2 | А— В+ 0 = 0.
3	5
Подставляя значения А и В, находим: С=—D =---------~. Так что
' Зх + 5_ 2	1	Зх + 5
х4-1 ~х-1 ~2(х+1) ~2(х2+1)-
334
Пример 3. Разложить на простые дроби следующую дробь:
Зх2 —8x4-2
(F^2Hx2+*+l)‘
В данном случае будем иметь:
Зх2 —8x4-2 А В Cx + D
(х —2)2 (х24-х4-1) ~ х — 2 + (х— 2р + х24-х Н -
Отсюда после приведения к общему знаменателю получим:
qx2-8x4-2 = А (х-2)(х24-х4-1)4-В(х24-х4-1)4-(0х4-Г>) (х-2)2.
2
Полагая х=2, получим: —2 = 7В, В =---у-. Сравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях х, находим:
при Xs
при х2
при х°
44-С=0,
— 44-B4-D —40 = 3,
— 2А 4-54-40 = 2.
Подставляя значение В = —из этой системы находим:
38	__38
49 ’	49 ’
Г = Тогда данная дробь представится в виде
49
Зх2—-8х-|-2	38	2	38х —47
(х — 2)2 (х24-х4-1)	49(х—2)	7(х —2)2	49 (х2-|-х-1-1)'
После того как произведено фактическое разложение рациональ-
ной дроби на простейшие, ее уже нетрудно проинтегрировать, что
и предлагается сделать студенту в разобранных выше примерах.
г,	. т->	С х&—	-4-Зх “4-4 .
Пример 4, Вычислить интеграл \ -------—-------— dx.
Подынтегральная функция —неправильная рациональная дробь, поэтому выде-
лцм ее целую часть делением числителя на знаменатель. В результате получим:
х« — 2х3 4-*3x-I-4	_ 2х-|-6
-......Г-ГЗ---— = X — 2 4- -5-7-;-
х34-1	x»4-i
х_24-2--Г±1-
1	хз+1-
Полученную справа правильную дробь разложим на простые дроби:
х4-3	х-|-3	А ВхА-С
хнИ —	= х+'Т + X2_x+f-
Отсюда х4-3= А (х2 —х4-1)4 (Вх-|-С) (%4-1).
2
Полагая х=—1, находим: 2 = ЗД, Д== —. Сравнивая коэффициенты, полу-
чим:
О
при х2 Д-|_В = О, отсюда В =—1~.
7
при х — Д 4--В4-^=1, отсюда С~^~.
О
Следовательно,
х4-3	2	2х — 7
хЗ-|_1 — 3(х4-1) 3(ха —х-Н)’
335
и окончательно находим, что
х* —2х3 + Зх + 4 Г Г п .	4	2 2х — 7 1 .
-------jf-7-j-dx— \ х — 24-5-;——г?----5- • -=--— dx
х3+1	J j 1 3(х+1)	3 х2 —х+1 |
dx—6
уз	д	о	я	__1
= у-2х+у In I х+1 1-3- ln (х2-х+1)+ ~ arctg
r j,	1 х2 + 2х+7	,
Пример 5. Вычислить интеграл \ -----йГТ+ЗТпа “х"
Здесь
х2 + 2х+7	А ВхА-С DxA-E
(х—2) (х2 + 1)2~ х—2+ х2+1 +(х2+1)2’
Отсюда
х2+2х + 7 = Д (х2+ 1)2 + (Вх + С) (х-2) (x2+l) + (Dx+E) (х-2).
Полагая х = 2, находим: 15 = 25А, А =	Сравнивая коэффициенты,получим:
О
Тогда
					3
при	X4	А 4"-В =0,	отсюда	ЕЕХ —	5 ’
при	X2		отсюда	(2 —• 		 	6 "5 ’
при	X2	2/1 В — 2(2 -f" D 1»	отсюда	[) == —	2,
при	X»	А-2С-2Е = 7,	отсюда	Е== —	2.
С	№ + 2х + 7	С Г 3	3 х + 2	2 (х+1) |
\ (х-2) (х2+1)«	" [б(х —2)	5~’х2+1	(х2+1р|"
-=~ 1п ( X
5
3	6	1	1
2!~ 10 111 (*3+1)~5- arctgx + ^y-2 ^qfypr
Применяя к последнему интегралу рекуррентную формулу*, найдем:
, С dx х , 1
/а" \ ___	arc tg х,
и окончательно получаем:
С х2 ~^2х ~j~7	3 . . 9 о1 1 / « 1 1 \ * 1 — %
J (х —2)(ха+1)2 б/Хж=’5 1п Iх ~21—1б1п(х +1) + )?+Т
П
-g-arc tgx + C.
Упражнения
Вычислить следующие интегралы:
1. I -2-> , - dx.
х2 — 6х + 5
2 С 2х2-Их-25
---------- dx
х2-7х-6
Ome. In j/+
Оте. nliil^ + C.
См. формулу (4) в § 5.
336
(* Зх — 1
3- \ V-x3-2x dX-
x3—2x-|-7
x4—9x3+23xa—15x
dx.
6.
x* + x*~J>
x3 —4x
{x2_1)(x+2)^-
t X3-7x+18 ,
7- \ -~х2_зх + 2 dX'
C 7x—6
®-	2x3- 6x+4 dx'
Xs +1 j
..!., v; dx.
x (x— I)3
x44~2x3— 18xa + 54
x3 (x+ 3)2
(* x2
IL J (x+2)3 (x+ if dX'
C	2x3 — 3x — 3
121	(x-l)(x3-2x"+5)
в.
dx.
dx.
15.
^(]-x3)
-—^-ax.
3x-}-5
x3 “J™ 3x—2
dx.
5
Отв. lnf*(x-24)6.
(х-1)3
A
(x-l)4 (x—5);
z 1
(x — 3) 3x15
x3 x3	x3(x—2)5
T + T + 4x+ln7J-pW-+C.
^—2x+~ In I 1 + In | x-f-2 |4-C.
2	6	| (x+1)3 |	3	<	1
^!±6x + 12 Inl^Lc.
2	j x— 1 | '
b^+C.
/x -1
In—p-j	__+ c.
1п|х + 3|+^ет + С.
(X -j- -J) X*
-±,+ ln|x+l| + C.
X -+- X
Отв.
Отв.
Отв.
Отв
Отв.
Отв.
Отв.
Отв.
+-С.
61
I20
— 4-C.
3	I x________1
Otne. In (x3 — 2x -j- 5) —- In | x —— 1 | y— arctg ..— ~f“ 0.
1 1
Отв. -g-arctgx2—^-ln (x4+l) + C.
Отв. 5 In j x, — у In (x3  г 1) r + у arctS *+ c-
dx.
(x3 —x-j- I)2 (x— I)2
_	7 —5x	2	25	, 2x—1 , „
Отв. --j—....-..........r....— arctg —-=r- + C.
3(x2-x4-l)	x-1 з/з /3
§ 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос об интегрировании
простейших иррациональных и трансцендентных (неалгебраических)
функций.
Выше мы установили важную теорему об интегрировании в конеч-
ном виде любой рациональной функции. Эта теорема естественным
образом приводит к мысли: нельзя ли какой-либо подстановкой
свести интегралы от некоторых иррациональных и трансцендентных
функций к интегралам от рациональных функций? Если это преоб-
разование удастся осуществить, то тем самым будет положительно
337
решен вопрос об интегрировании в конечном виде этих функций.
Преобразование подынтегральной функции в рациональную функ-
цию с помощью надлежащим образом выбранной подстановки назы-
вается рационализацией интеграла. Таким образом, рационализация
интеграла есть один из методов, с помощью которого устанавли-
вается интегрируемость в конечном виде некоторых классов нераци-
ональных функций.
В качестве примера применения этого способа рассмотрим несколь-
ко простейших типов интегралов, допускающих указанную рациона-
лизацию.
Предварительно введем одно обозначение, которое будет весьма
часто встречаться в этом параграфе. Речь идет о символе R(x, у).
Этим символом будем обозначать рациональную функцию своих
аргументов, то есть х и у. Другими словами, R(x,y)— это такая
функция, которая получается из х и у, а также некоторых посто-
янных с помощью рациональных действий, то есть четырех арифме-
тических действий*. Такова, например, функция
г> /	\	Зх2 — ху3
R (х, у) = — —7=.
^ + 3x3y-V 5
Если R (х, у) —рациональная функция от х и у и вместо у подстав-
лена какая-нибудь рациональная же функция от х, то полученная
сложная функция от одной переменной х будет то же рациональ-
ной. Однако если вместо у подставить некоторую иррациональную
функцию от х, то сложная функция может уже не быть рацио-
нальной. Например, А’ (х, у) — хф- у — рациональная функция. Под-
ставим у==\х- Получим: R (х, у) = х + У х, а это уже иррацио-
нальная функция от X.
Остановимся на интегрировании некоторых простейших ирраци-
ональных функций.
I. Интеграл вида 
где подынтегральная функция есть сложная функция от х, полу-
ченная из рациональной функции R (х ,у) подстановкой у = ~[/ —-г—.
г ex -f- g
Иными словами, подынтегральная функция есть рациональная функ-
''\/их-+-Ь о	,
ция от х и 1/ —г-. Здесь т — натуральное число, a, b, с, g—
г cxrS
постоянные коэффициенты.
Рационализация этого интеграла достигается с помощью под-
т /~ах4-Ь
становки у —Л откуда
ахЦ-b = tm х=gtm—b	, = (ag —cb) mtm~' ,
схЦ-g ’	а — ctm ’	(а — rfm)2
* К арифметическим действиям относят сложение, вычитание, умножение и
деление.
338
Тогда для данного интеграла получим*:
где Ri(t) — рациональная функция от переменной t. Полученный
интеграл вычисляется по правилам интегрирования рациональных
функций. Переход к старой переменной х осуществляется с по-
мощью подстановки
V cx+g'
Замечание. К интегралу вида I приводится интеграл
А	г
С в Г<.	.
У L ’ [сх+g] ’ \cx4-gj
где символ R по-прежнему указывает, что над величинами, стоя-
щими в скобках, производятся лишь рациональные действия, а
k, п, ..., г, s —целые положительные числа. Действительно, пусть
т — общий знаменатель дробей	. Тогда —— =
ns	п tn	s
= . Отсюда
т
V ^+ii........V У) j-У VУ 
то есть подынтегральная функция оказывается рациональной функ-
цией ОТ X И т/^2.
V cx+g
Пример 1. Вычислить интеграл \.?.....
3 ТДх-1)з(х--2)
Так как
С	С -] /~ х—2	dx
J К(х-1)»(х-2)“" ' V хУГ (х-1) (х-2)’
/х—2 „
-—. Тогда
х—2	2 — 1* , 2tdt
Поэтому
С -|/‘х^2 dx
' V х-1 ’ (х-1) (х-2) =
•f'/2-,. ,Л-(. 9'-пУд-г p-2<+C-2/i=f+C.
С* dx
Пример 2. Вычислить интеграл I —--	-,
 J у/у
* Если вместо х, dx и радикала подставить их значения.
339
Положим
. 4/x-i	1	3/2	„
<=]/ —, тогда *=-^3’ dx=^t3}idt и
/2d/
(1-/3) (2Ч-П'
К последнему интегралу применим известный метод интегрирования рациональных:
дробей. Разложим на простые дроби подынтегральную функцию
/2	А В Ct+D
(I-/3) (2 + Z)- 1 -1 +2+/ + /«+<+ 1 ’
откуда /2 = Л (2 + /) (/2 + / + 1) + В (1 - /) (/2 + / + 1) + (С/ + D) (1 - /) (2+/).
Для определения неизвестных коэффициентов применим комбинированный
способ:
при /= 1	1-М. Л-L,
при / = — 2	4==9В, B = ~zr~t У
при /3	0 = А ” В — С. С =£	, 3 *
при /°	0 == 2Д В-4--£), О =—»—-в 3
Следовательно,
fdx „ О /2
(Г-*8) (2+/)
X I 2 —н I /	— ) I
\ Г	х /	J
<й С ^+1
/ + 2 )о + /+1“
If 2/+1 Jt 1
2 \ О + /+1 at 2
3
1	4
-g- 1п | 1 — t | +
dt
IV .Jj
2/ + 4
1	4	1	1 “ ’	9/ | 1
= j- ln| 1-/| + у In / + 2 - In (/2 + /+1)—-2= arctg =-±^+C,
и, возвращаясь к старой переменной х, получим окончательно:
II. Рассмотрим интегралы вида
]У”(а4-/>хп)р dx,
где а, b — любые постоянные, показатели пг, п, р—рациональные
числа. Подынтегральное выражение хт (а 4- bx?)p dx называется
340
fiiiyaMitnuKuhuu Виффрррнцпплпи. Знаменитый русский математик
П. Л. Чебышев в 1853 г. доказал, что при интегрировании бино-
миальных дифференциалов интеграл берется в конечном виде (то
есть выражается в элементарных функциях) только в следующих
трех случаях:
1)	когда р—целое число,
	m-4-l
2)	когда —----целое число,
3)	когда ~—Ь р — целое число.
Если ни одно из этих условий не выполняется, то интеграл
не берется в конечном виде.
В первом случае, когда р — целое положительное, интегрирова-
ние выполняется непосредственно Для этого достаточно разложить
бином в сумму по формуле Ньютона.
Если р—целое отрицательное, то рационализация достигается
с помощью подстановки х —Z11, где р,—общий знаменатель дробей
тип.
__1/	1\—2
Пример 3. Вычислить интеграл V -у=——-у—=1 х 2\1-|-х3/ dx.
J у х (1 + у х /
1	i
Здесь /n=п — ^, р= —2. Применим подстановку x = fi, dx--&P> dt.
Z	о
Тогда
С	— 6 f	— 6 C +1 — 1 _ 6 C dt
'	(1J P (1 4-fb-~ ' ll-ф: “ ' 14-/» ~
f tit	/	t \
_6 Ц-p^p = 6arctgi-r--3 arctg/ + C = 3 ^arctg+C =
=-3 i arctg'jz.v-..	-f-С; при этом заметим, что для вычисления интеграла
\	1X/
С dt
/2	\ —.-.-у. мы применили рекуррентную формулу (4) § 5.
+ рр ‘	....	-	.......
Во втором случае, когда	— целое число, рационализация
интеграла осуществляется с помощью подстановки a + bx"=ts, где
«—-знаменатель дроби Р=~.
Пример 4. Вычислить интеграл jj/x	1 -(-ЗуД^ dx — j xs(l -J-Зх3)3 dx.
о	1	2
Здесь /и = ~—, п= „-,
О	о
новку 1 + Зх3=^/3, откуда
1	Ш-(- 1 л гт
отсюда —5——2. Поэтому применяем подста-
о	П
1/Д" / 1 -|- 3 |/Д2 dx =
I P(P-\.)dt =
/3	2	2 J
If	1 IP t* \	1 ,	2. 7	1 /	2. 4
= у (/в-/з)Л==2.^_у+с = 11(14-Зхз)3-±(14-Зхз>+С.
341
(* dx (*	_ i
Пример 5. Вычислить интеграл i -----------------= \ х"1(14-^5) ’ dx.
,' X j/ 1 - Х^ J
О	1	Е	1	Ч~ 1 А Г'
Здесь —	отсюда •—-—=0. Следовательно, применяем
1	3 /2 dt
подстановку 1~|-х5 — /3, откуда x~(t3 — 1)^ и dx —-g---------Тогда
5 (/3-1р
dx __ р 1	1	3	/2 dt
_________3 I	1 * I ’ 5	4
хУТ+%6 J (/3-1)5	(/2-1)5
1 С /-1	1 , ,,	, ,	1 С 2/+1	, 3 С	dt
5 I /2 + /+1	5	1	'	10 I /24-/+1 а +10 \ [	1 \2	. 3
J	J	J V + 2) +4
1 ,	/-1	, /3	, 2/+1 , „
— —In ——=== Н----------arctg——-Ц-С,
5 уТ2 + /+1	5	/3
где / = |/г1+х5. Заметим, что для вычисления интеграла I —мы применили
известный нам метод интегрирования рациональных дробей.
В третьем случае, когда + р —целое число, подынтеграль-
ное выражение преобразуется к рациональному виду с помощью
подстановки д + fa" = /У, где к — по-прежнему знаменатель дроби
«-
г $ •
1
Пример 6. Вычислить интеграл J х )Ч -|-х* dx = х (1 }-№)2 dx.
Здесь т—1, п = 4, р = -^ и	—ур=1. Поэтому 1-)-х,1 = /гх*, отсюда
_Л	!	-6.J
х = (/'г— 1) 4 ий=-у((8-1) 4 id/. Следовательно,
__Д_	_5
х/Г+^& = -1	(/2-1) 4 (/2—1) 2 /(/2-1)	=
= 4-1x2 /Г+^ + In (х2 + /Г+%4") + С.
При этом последний интеграл вычисляется известным нам способом интегрирова-
ния рациональных дробей
/2	/3 А В С D
(/2-l)2-(/_ 1)SS (/+1)2 =* /-1 + (/_. 1)2 + /+1 +(/+1)2>
отсюда /2 = л (/ - 1) (/ +1)2 + В (/ + I)2 + С (/ + 1) (/ - 1)2 + О (/ - 1)2.
* Более подробное изложение вопроса интегрирования биномиального диф-
ференциала см. в учебнике Г. М. Фихтенгольца [1], стр. 306.
342
Для определения коэффициентов применим комбинированный способ:
при / = 1	1=4В, В = 4, 4 ’	
при / = — 1	1=40, 0=4-, 4 ’	
при / = 0	0 = —Л+В + С4-О '	с=-4
при t3	0 = 44-0	
Следовательно,		/
f О dt 1 , , . . .	1	1 , , , , 1 ,	1	, „	1 . I t— 1 I
](/*-!)*	4 n'Z 4(/-l)	4	+	4(i + i) + C 4ln[/ + i|
“ 2"(^=1)"’ + C - - у Iх2	+ln (x2 +	+C-
Пример 7. Вычислить интеграл (-----------*==— = ( х"'и (1 4-х1) 2 dx.
x11 pl 4-х4 J
J	! 1
Здесь m — — 11, n=4, p = —g- и —2—-4-p =—3. Поэтому 1 -l~x4 = t2x4I,
_1	i	_A
отсюда x = (Za—1) 4 udx = — y(Za— 1) 4 t dt. Следовательно,
11 1 _ ®
i ll*	' С	,(Z2^1)2 (Z2 —1) 4 dt=3
J xuy 14-x4	2 J
—-         	—w  .» .        ...——>	—_    
1 Лн+х<\5	1	Л1фх*\« ИЛ+^.Л	/ i/i+x*
= __|/ (—+y |/	—J—; C, rai< как /== |/ ——.
III. Интегралы вида
/? (x, /ctx^ 4™ bx 4™ c) dx,
где R — рациональная функция от x и от Vax^-j-bx-j-c. Этот ин-
теграл представляет интерес в том случае, когда квадратный трех-
член не имеет равных корней, в противном случае мы придем
к рациональной функции, которую уже умеем интегрировать.
Казалось бы, по аналогии с интегралом вида I и здесь для
рационализации (а значит, и вычисления) данного интеграла следо-
вало бы применить подстановку j/«x24- bx-j-c =t. Однако, как
легко проверить, в этом случае х и, следовательно, dx не выра-
жаются рационально через t. Поэтому такая подстановка не осво-
бождает нас от иррациональности и тем самым не решает постав-
ленной задачи. Оказывается, рационализация данного интеграла
достигается с помощью одной из трех подстановок Эйлера
(1707-1783).	---------------------
343
Первая подстановка Эйлера. Если ц> О, то полагаем *
У ах2 -У Ьх ~У с = t — V ах.
Возводя в квадрат, получим: ах2-у bx + с = t2—2 Уа tx-Уах2, откуда
после уничтожения члена ах2 находим: bx-yc = t2—2~Уa tx, так что
& + 2/а t	(& + 2/а /)2
1/--2 Т""ь—Г7Г l'a i2 + bt + с Уа
У ах2 + Ьх + с — -——!—.
Ь + 2Уа
Мы видим, что х, dx и радикал рационально выражаются через L
Подставляя в данный интеграл вместо х, У ax2-ybx + c и dx их
значения, получим:
Г р'с У"а Р + Ы + сУа \ 2(Уа P-ybt+сУа) .
\У\Ь + 2Уа1' b+2Vat ) (Ь+2УаУ
где уже под знаком интеграла стоит рациональная функция от пе-
пеменной I.
_	_	f rfx
Пример 8. Вычислить интеграл \   ; —=====.
r	J х + У х- — 1
Воспользуемся первой подстановкой Эйлера. Положим Ух2 — l = t — x, отсюда
1 -L /2	Р—1
х2 — 1	— 2txyx2, — 1=/3 — 2tx, х = —^—, dx = g-g-dt, при этом заметим,
что х-уУх2 — 1 = 1. Следовательно,
I’ dx	1 С ^-1	1 f t 1	Г.	..	1 Л	. , 1 ' ,
J х^/х^Т	2 ' *3	2 JU	У 2 С	t|+2UT
-11„ I x+V^T 1+4 .^4^.,.+ c_
= in lx+/F^H^(x-'’/'*^1)a+c-
Замечание. Формула XII таблицы интегралов, то есть
V — = ]п | х-уУх2У-а |4~С, нами была как раз установлена
J Ух2у-а	_____
с помощью первой подстановки Эйлера: У x2~ya = t—х (см. § 4,
пример 18).
Вторая подстановка Эйлера. В случае если с>0, то
для рационализации интеграла можно применить вторую подста-
новку Эйлера:	_______ _
Уах2 + Ьх-Ус =х1-[-Ус **.
* Можно было бы положить и У ax2~ybx~yc= t-У У ах.
** Можно было бы положить и Уах2 -у bx-ус =х(-Ус-
344
Возводя в квадрат обе части равенства, получим: ax+b — xt2^
2 V с t, откуда х=2^с_^--. Дифференцируя, находим. dx =
При э™
Пример 9. Вычислить интеграл
Полученные выражения показывают, что х, dx и радикал рацио-
нально выражаются через t и, следовательно, подынтегральное вы-
ражение рассматриваемого интеграла преобразуется к рациональ-
ному виду, а значит, интеграл берется в конечном виде.
________dx_______
(1 + X) V1 4-Х —X2 ’
Полагаем |/1 4-х— x---tx — 1; отсюда 14-х — х2 = /2х2 — 2/x-f-1 и, следова-
14-2/ ,	2(1—/—/2) ..	.,.., /24-/-1 _
тельно,	</х=-,-^-у2—rfZ, J/l+x-x2—^^^-. Тогда
С	dx	_ С dt „ (• dt	_	,	,
\ --------........= — 2 \ ------- =— 2 \ ------- = — 2 ЭГЙй (/ 4~ 1) 4"
J (14-х)/14-х-х2	/24-2/4-2	J(/4-l)2+l
, „	_	. j/j'T х — х2 4- х 4-1 , _
4™ б2=1 — 2 arctg —--—--------1- С.
Замечание 1. Рассмотренные выше два случая (а> 0, с>0)
приводятся один к другому подстановкой х=у. Поэтому можно
ограничиться применением первой подстановки. Покажем это на
предыдущем примере.
п	(’	dx	1	,
Применяя к интегралу \	..- —— подстановку х = —, rfx =—
? (х 4-1)1 1 ;-Х — Xs	2
dz	(*	dx	С dz
-- г. мы получим: \ ———z.=====-===-— \---------...... - L а к послед*
г3	J (х4-1)/14-х-х2 J (г4-1)/г24-г-1 ’
нему интегралу можно уже применить первую подстановку Эйлера.
Третья подстановка Эйлера. Если квадратный трех-
член ах24-Ьх4-с имеет (различные) вещественные корни а и 0,
то (считая х~> а) мы получаем:
У ах2 4- Ьх 4- с — V а (х—а) (х— 0) — (х—а)
Следовательно, подынтегральная функция рационально зависит от
х и радикала -445^-, так что
R (х, У ах2 4- Ьх 4- с ) dx=	^х,
и мы пришли к рассмотренному выше интегралу I типа, который
рационализируется с помощью подстановки )/"	Эта под-
становка и представляет собой третью подстановку ""Зилера.
345
X — 1
3—х ’
Пример 10. Вычислить интеграл ? -----—--------.  
(х—2)]/—34-4х-х2
то, полагая
Так как У—34~4х — х2=р(3 — х)(х—1) = (.
I —— = t, найдем:
3— х
3/2+1	/2_1	4tdt
Х~~ 1+Р ’ х~~2~ P+V dX~(P + W’
Г-3 + 4,
тогда
С	dx	С* * 1-J-Z2 1 4-/2 4t .	dt
J (x — 2) K — 34-4x — x2 J /2—1	2/	(14-72)2	' P— 1
==ln 1—1 +C=ln .........k'i.l 4-C.
/4-1	/x-14-/3-x
Замечание 2. Выше мы уже отмечали, что вторая подста-
новка Эйлера с помощью замены переменной х= * приводится
к первой подстановке, и потому уже с чисто формальной точки
зрения мы можем ограничиться применением первой и третьей
подстановки, чтобы любой интеграл рассматриваемого здесь вида
привести к интегралу от рациональной функции. Это замечание
справедливо не только формально, но и по существу. В самом деле,
•если квадратный трехчлен ах2 -! Ьх- с имеет вещественные корни, то,
как мы только что установили, и подынтегральная функция
Rix, ]/ах2 + Ьх + с) преобразуется в рациональную функцию с помо-
щью третьей подстановки Эйлера. Если же корни этого трехчлена
не являются вещественными, то при всех значениях х он имеет
тот же знак, что и его старший коэффициент а*. А так как в этом
случае Ь2—4ас<0, то коэффициенты а и с имеют одинаковые
знаки. Следовательно, если с > 0 (применима вторая подстановка),
то и а>0—значит, применима и первая подстановка. Если же
a < 0 (значит, и с<0), то в этом случае трехчлен ах2у Ьх-:\ с
всегда отрицателен и радикал 'Уах2-1гЬх + с имеет невещественные
значения, то есть этот случай выводит нас из области вещественных
чисел, а мы занимаемся интегрированием функций, принимающих
только вещественные значения. Поэтому при а<0 имеет смысл
рассматривать лишь случай, когда корни трехчлена вещественны,
и мы снова приходим к третьей подстановке.
Таким образом, двух подстановок Эйлера (первой и третьей)
достаточно для того, чтобы любой интеграл III типа свести к инте-
гралу от рациональной функции и, следовательно, вычислить в ко-
нечном виде.
Г /	& \ 2 Ade —— Ь2 1
* Это следует из равенства ах24-Ьх4~с=а	----4а2— > если Учесть>
что выражение в квадратных скобках положительно при всех значениях х.
346
Теоретическая ценность подстановок Эйлера очевидна, однако
следует отметить, что на практике они обычно приводят к сложным
и трудоемким выкладкам. Поэтому для вычисления интегралов III
типа следует прибегать по возможности к другим приемам. Так,
(• dx	,
например, для вычисления интеграла V — —-  — целесообразнее
х у ах* -ox ~j- с
1
применить подстановку х—у, на которой мы уже останавливались
ранее.
До сих пор мы систематически изучали интегралы только от
алгебраических функций (рациональных и иррациональных). Ниже
мы рассмотрим интегралы от некоторых классов неалгебраических»
в первую очередь тригонометрических, функций.
IV. Рассмотрим интеграл типа
$ R (sin х, cos х) dx,
где, как и выше, R обозначает рациональную функцию своих аргу-
ментов sinx и cosx.
Например, интегралы
Ssin х , С . „	.	, С dx
—--------—-dx,	\sm2xcos4xax, \-------
Sin2 хД-З COSX ’ J	’ JCOSX
являются интегралами такого типа, но этого нельзя сказать, напри-
мер, об интегралах
\ cos х у/~ sin х dx, \ .7=*—-dx.
J	j 2 у cos x— sm3 x
Рационализация этого интеграла достигается с помощью так
называемой универсальной подстановки
tgy=t, —л<х<л.
Действительно, так как х=2arctg/,	dx = -T-— dt	и sinx =
—__-----—	i-f-p	——
2 tg —	1 — tg2 ~
g 2 2t	g 2	1-t2
=--------=—,cosx=------------7'==гт_й> то> подставляя в данный
i+tg24 l+r —-	i+tg24 +
интеграл вместо sinx, cosx и dx значения, выраженные через t,
получим:
J/?(sinx, cosx)rfx= J p(i^,	 Y^dt,
где уже под знаком интеграла стоит рациональная функция от
переменной t и, следовательно, интегрирование совершается в конеч-
ном виде.
Пример 11. Вычислить интеграл \	;--——------
J 5 — 4 sin x4-3cosx‘
347
Подстановка / = tg-^ дает:
f* dx
_______________= 2 Г1_____________
I 5 —4 sin x-{-3 cosx	I / 8t „ 1 - t2 *\	, ,2i
J	J \	1-Нг+ 1~H2/ ( +
— С &	— 1 i r —	1____i r
- I {i-2^-2-t+b~ 2_tg£ ' •
Несмотря на то что универсальная подстановка дает возможность
проинтегрировать всякую функцию вида R (sinx, cosx), однако
на практике она часто приводит к слишком сложным и трудоемким
выкладкам. Поэтому наряду с универсальной подстановкой полезно
знать и другие подстановки, которые во многих случаях быстрее
приводят к цели. На некоторых из них мы уже останавливались
в § 6 (специальные приемы интегрирования). Здесь укажем еще
ряд таких подстановок.
1.	Если подынтегральную функцию R (sinx, cosx) можно пре-
образовать в рациональную же функцию только от tgx, то есть
/?(sinx, cosx) —Rt (tgx), то рационализация может быть достигнута
с помощью подстановки Z = tgx. Действительно, в этом случае х=
--arctg/, dx=~.....так что tgx и dx рационально выражаются
1 -j-i
через t и, следовательно, все подынтегральное выражение приво-
дится к рациональному виду.
к
R (sinx, cosx) dx= \ /?! (tgx)rfx = Rt (t).....
Замечание. Подстановку / = tgx целесообразно применять
и в том случае, когда выражение jR (sin х, cosx) не меняется от
перемены знака одновременно перед sinx и cosx.
(* dx
r r	J stns х cos х
гт	л.	1
Подынтегральная функция -z-z—не изменится,
«in х на (— sin х) и одновременно cos х на (— cos х
dt	tg X
откуда х — arctg t, dx = т-у—,5 и sin х =-—-
...	_	1 ~г*
1
-=	. 1 . 1огда
/1-р2
/1 +tg2 X
У I4-/ 2
если в ней заменить
тому полагаем tg х — t,
,11 cos х — --7-..=»
/H-tg2X
( ... dx—= С (1±^Л==_±_1_+1П 11i+c=
J sm6 х cos х j Iе	4t4 ta
= — ctg4 x — ctg2 x + In I tg x I+C.
C dx
Пример 13. Вычислить интеграл \—-----z—.
r	J sm4 x cos2 x
В этом случае также полагаем t = tgx, отсюда, поступая аналогично, получим:
dx С (1-Н2)2	1	2 , t t о t 1
^xcos2x = J —Г~ dt=~№ ~ t +t + C = tg^-2 ctg x- 3 cig4 x+C.
348
2.	Если выражение /?(sinx, cosx) при замене sinx на (—sinx)
только меняет знак, то интеграл J /? (sin х, cos х) dx легко рациона-
лизируется подстановкой / = cosx.
Пример 14. Вычислить интеграл I dx-
При замене sin х на (— sin х) интеграл только меняет знак. Поэтому пола-
гаем cosx = t, отсюда sin х = /1 —/2, dx =--- .—    Следовательно,
|1-/2
f cos2x , е Pdt	t , 1 . I 1+/ I , „
cos3*:	J (1—/2)2~ 2(1—/2)+ 4 n I 1 —d + C=a
cos x 1,1. x I , „
2 sin2 x 2 П tg 2 +C‘
С Pdt	* „
Интеграл \	вычислен методом разложения на простые дроби. Именно,
/2	А В С , D
(1—/2)2	1 —/ + (1 —/)2 + 1-Н ' (1-Н)2’
Отсюда /2 = А (1 —/)(1 +/)2 +В (1 + /)2 + С(1+ /)(! —/)2 + D(l — /)2.
Для определения коэффициентов применим комбинированный способ:
/=1	1—4B, B=—
4 ’
/ =—] 1=4£) £>=JL
4 ’
г	0 —— ~~—A “J-' С	|
> А = С =-------.
t®	О — А+Д + С + П)	4
_ 1 Г С dt л. С dt С dt > С dt I
4 [Ъ-1 G— 1/-	'+1 + (Н-1)3 J =
1 г. ,< , ,. 1	1 ।. „
Так что
C fldt
J (1 —/3)2
= —j“ I ill { t — 1 I -j- Tj  — 111 I £ -j- 1 I  —r- I G =
4 L	1 — t	t --j- 1 J
3.	Точно так же, если функция /?(sinx, cosx) при замене cosx
на (— cos х) лишь меняет знак, то интеграл от этой функции преоб-
разуется в интеграл от рациональной функции при помощи под-
становки Z = sinx.
Пример 15. Вычислить интеграл i -—dx -= f = .	-
J sm x sm 2x J 2 sm2 x cos x
Подынтегральная функция только меняет знак при замене cosx на (—cosx).
Поэтому целесообразно применить подстановку /=sinx, откуда х — arcsin/,
и
ах= —, Следовательно,
С  _dx _ 1 С dt	1 С 1 — /2 + /2	1
' ~2 sin2 х cos х “2 J /2(1—/2) ~ 2 J /2(1 — /2)
--4+~Нта!+с—гй+Н/
dt
I-/2 ~
X
2
349
(1 -t)2 + (14-/)г] dt+
U________П ,
\i—t i+J +
(* dx
Пример 16. Вычислить интеграл \ —.
В этом случае также целесообразно применить подстановку sinx=Z. Эта
подстановка дает:
С dx С dt _ 3 С f !	1
J cos« х — J (i _ /2)а — 16 J Д _ t + TqZ
+ J 5 [(i-/)3 + (1 -H z)3] Л==Тбln
, 1 / 1	1 \ _ 3 , I /л x'
+ 16\(1-Z)2 (l + /)2; + C“ 8 ,n Itg U + 2.
3 sin x 1 sin x
‘ 8 cos2x + 4 cos4r-r
Заметим, что для вычисления интеграла \ —:—тгд- мы применили известный
J (1 I )л
нам метод интегрирования рациональных дробей.
V. Интеграл вида
$ R (ех) dx
рационализируется подстановкой ех = t. В самом деле, так как
х=1п/ и	то получим:
то есть пришли к интегралу от рациональной функции относительно
переменной t.
Пример 17. Вычислить интеграл \ —— dx.
*) & Н-
dt
Полагаем ex^=t, отсюда dx=j- и, следовательно,
С	е dt	£ 2Z —(Z+1)	,, о С dt	f dt
j e*4-l	j	<4-1 t	j (<4-l)Z	J/fl	j t
= 21n(l + 0-lnZ+C = 2 1n(l 4-e*)-H-C.
Итак, мы рассмотрели ряд подстановок, с помощью которых
интегралы от некоторых иррациональных и трансцендентных функ-
ций приводятся к интегралам от рациональных функций и потому
интегрируются в конечном виде. Однако в подобных случаях часто
интегрирование можно производить посредством других подстановок,
не приводящих подынтегральное выражение к рациональному виду.
Для этих подстановок нельзя дать никакого общего правила, а изо-
бретательность и навык приобретаются практикой в решении
достаточно большого числа примеров.
Упражнения
1.	f	Отв. -^(6х-9а)У(х + а)2 + С.
3	°
2.	\ у dx-	- Отв. ^(286-24х + 54х2)Г1 + Зх + С.
V г |"дл
350
Р у 1	х 1 3. \ .	—— dx.
JУ 1+х—1
(	1	~1 Г 2 — х . 4- J (2-х)2 У 2-yxdX'
5. J j/a-±2Ldx.
р	dx
 V(*~ i)3 (*+2)5
(• х3 dx
7. \ —	— } У 1+2*2
р xi dx
J У(1— x2)3 2
с (1+2х3)3 . ®- У х« dx-
р	dx jQ V 	
J (X + 1) У 1 + X + X2
(•	х2 dx
11 к .—,	
J "У 1 — 2х —~ х2
12 f * ~Ь Г 1 + х + х2
J хУ 1 +х + х2‘
13. j}/x2-2x-l dx. Отв.
Отв. x-J-4 /х-Н-|-41п ! /х+1 — 1 |+C.
Отв. lj/j±^+C.
-------и-
Отв. Уах-^-х2 2~ In
Отв. Ат Af______I4
3 Г х + 2 '
С.
Уа-^х — У х
Уа+x+V х
Отв. ~(х2~1)У1-у2х2 + С.
г	х(х2 — 3)	3
Отв. С-----а...~ arcsin х.
2|'1-х2	2
А
„	_	(1+2*3)3
5х5
+ С.
Отв. In 1	У 1+* + х2 + х 1 У1 + х + х2 + х + 2 1
Отв. -g- (3	— х) У 1—2х — х2 -j- 2arcsin-С.
Отв.
х —• 2
х— \+Ух2 — 2х— 1 |+С.
14.	sin3 х dx.
15.	sin3 х cos2 x dx.
16.	’ sin3 x , , —~r- dx. 1 cos4 X
17. (	dx
	I sin3 x ’
18.	l-±^dx. 1 sm 2x .
19.	f dx
	J 5 + 4 sin x ‘
20.	f dx
	J 1 + sin2 x'
21.	( ytgx
	J sm x cos x 4
Ух2 —2х— 1 +1п j
Отв.	—2—— cos х + С. о
Отв.	1 Yg cos3 х (3 cos2 х — 5) + С,
Отв.	_±	i_ . с 3 cos3 X	COS X г
Отв.	COS X	1 I X 1 С 2 sin2 х + 2 n 1tg 2 1 *
Отв.	A(tgx + ln|tgx|)+C.
Отв.	2	5tgy + 4 3 arctg	3	^C-
Отв.	— arctg (1^2 tgx)+C. V £
Отв.	2 ytgx-j-C.
351
22.	Р	Ay \	—=-.	Отв. х — In (14-е*)4-С. j 14-^
23.	f /!	dx-	Ozzie. In I x 14- C. J x(l-\-xex)	\l+xex 1
24.	(*	Ax \ —	Отв. C — V l+ir2*. J ехУ l+e2X '
25.	j i'eix— 1 dx. Отв. — t— — In (1 + 0 + ^ In (/a — / +1) ~L2arctg	+ C,
где t = у "e4-v — 1.
ГЛАВА IX
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Понятие определенного интеграла наряду с понятием неопре-
деленного интеграла также является основным и даже более фун-
даментальным понятием математического анализа.
Понятие определенного интеграла довольно сложное, и поэтому,
прежде чем его сформулировать, мы считаем целесообразным ра-
зобрать две конкретные задачи, приводящие к понятию опреде-
ленного интеграла. К этому понятию приводят самые разнообраз-
ные вопросы и задачи из области геометрии, механики, физики и
техники. Из всего многообразия задач мы рассмотрим только две
задачи, взятые из двух совершенно различных областей: одну—-из
геометрии, другую —из механики, к решению которых, как мы
увщшм, будет применен один и тот же метод.
луЗадача о площади криволинейной трапеции. В школьном
курсе элементарной геометрии вычисляются площади прямолиней-
ных фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции, многоуголь-
ника. Единственная криволинейная фигура, площадь которой там
вычисляется, — это круг.
Рассмотрим следующую геометрическую задачу.
Вычислить площадь плоской криволинейной фигуры достаточно
общего вида, а именно фигуры аАВЬ*, ограниченной сверху
кривой = а^х^Ь, при этом f(x) За 0, с боков—двумя
ординатами х—а и х = Ь, эскизу — отрезком оси ОД (рис. 137).
Такую фигуру принято называть криволинейной трапецией.
Требуется определить ее площадь. Для этого разделим основание
трапеции произвольным образом на конечное число частей, что
равносильно дроблению промежутка )а, Ь], на котором задана
функция y=f(x), на п произвольных частей точками a = x0<;xi<
< х2 <... < xi < хм <... < хп-х <zxn — b.
* Понятие площади плоской фигуры будет дано в гл X, а пока мы пользу-
емся интуитивным представлением о площади плоской фигуры.
12 Бохан и др.	353
Восставим в этих точках ординаты кривой. Тогда криволиней-
ная трапеция разобьется на п полосок. В каждом из полученных
частичных промежутков [хг, xi+1], где /==0, 1, 2... п—1,
выберем произвольную точку & (Х{ <	х^) и восставим в них
ординаты
Заменим приближенно l-ю полоску прямоугольником с основа-
нием длины Дхг — х;+1 — xt и высотой, равной В результате
вся криволинейная трапеция приближенно заменится некоторой
ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольни-
ков. Так как площадь 1-го прямоугольника равна /(^,-)Дх,-, то
площадь всей ступенчатой фигуры, очевидно, равна
Рступ = f (g„) Дх„ f (£j ДХ1 +••• + /	Д-*тг-1 — 2 f (ii) Д^« * •
Естественно считать, что эта площадь при достаточно мелком фоб-
лении промежутка [а, 6] является приближенным значением пло-
щади Р криволинейной трапеции, то есть
п—1
Р^ £f(&&Xi**.
f=ssO
Ясно, что это приближенное равенство будет тем более точно,
чем мельче дробление промежутка [а, &], то есть чем меньше мы
будем брать длины Дх,-. Поэтому точное значение площади Р по-
лучится как предел суммы площадей указанных прямоугольни-
ков ***, то есть
Р = lim2 f^i)\xi	(1)
* Символ S (вытянутая прописная греческая буква «сигма») обозначает
знак суммирования (сложения).
** Знак "*- обозначает приближенное равенство.
*” Это рассуждение согласуется с тем общим определением площади плос-
кой фигуры, которое будет дано в гл. X, § 1.
354
при условии, что длина наибольшего частичного промежутка, то
есТЬ Х = тах {Дх,}, стремится к нулю *^Очевидно, если X- -О,
то длины всех частичных промежутков будут стремиться к нулю,
то есть все Дх, —О**. Таким образом, задача о вычислении
площади криволинейной трапеции приводит нас к рассмотрению
предела суммы вида
<т=2Г(^)Дхг.	(2)
Мы видим, что
ную величину,
предела такой
эта сумма представляет собою некоторую перемен-
имеющую весьма специальный
переменной при к — 0 будет
дано ниже, в § 2 (см. замечание).
Таким образом, новое понятие площади
криволинейной трапеции вводится с помощью
операции предельного перехода, исходя уже
из известного понятия площади прямоуголь-
ника. Как нам известно, в элементарной гео-
метрии площадь круга также определялась с
помощью операции предельного перехода —
как предел площадей вписанных и описанных
многоугольников.
Пример 1. Вычислить площадь криволи-
нейной трапеции, ограниченной сверху кривой
р = ех, OsCxsCl (рис. 138).
Разобьем промежуток [0, 1] на га равных
частей точками О = хо<хх<...<х„= 1, при
А	1	2	i
этом хо = О, х1='-,Х2=-, ... ,х,-=-,... ,
V f 1 п >	£ п »	’ ‘ ft ’	»
вид. Определение
Рис. 138.
j
х„ = 1 и все hxt — -, где i=;0, 1, 2. га	—1. Выберем h — —
следовательно, высота t-го прямоугольника будет крайняя левая
ордината i-й полоски, равная / (|г)—а" . Тогда площадь ступен-
чатой фигуры выразится следующей суммой:
n—1 i	1	2	п—\	n~l 1
п L п L
1-е"	_1
Здесь пользуемся формулой суммы геометрической прогрессии. Эта
сумма выражает приближенно значение площади нашей фигуры.
* Величину X, характеризующую мелкость дробления промежутка [а, 6],
иногда называют рангом дробления.
Вместо X 0 было бы неправильно писать п—• оо, так как увеличе-
ние числа точек дробления промежутка [a, 6J еще не обязательно означает, что
дробление становится более мелким, то есть все Дх/ неограниченно убывают; если
же л 0, то все Дх, — 0 и обязательно п — со .
12»
355
Предел этой суммы, очевидно, дает точное значение искомой пло-
щади, то есть
P==lim - 	= (е— 1) lim-j—-——е— 1 *.
п оо —	П -> ОО -
п	п
Замечание. Выше мы
нимает на промежутке [а.
предполагали, что функция f (х) при-
й] только положительные значения,
то есть график ее расположен целиком над осью ОХ. Рассмотрим
теперь случай, когда функция f (х) меняет свой знак на промежутке
[«/&], то есть некоторые части
Рис. 139.
графика находятся над осью, а
- другие под осью ОХ (рис. 139).
Если в этом случае соста-
вим сумму (2), то слагаемые
X f (&) A Xi, соответствующие час-
тям графика, лежащим под осью
ОХ, будут отрицательными,
ибо Лх,- > 0, а орди ната f (£,•) —
такой суммы даст величину,
частей фигуры, находящихся
отрицательна. Тогда предел
которая будет учитывать площади
над осью ОХ, со знаком плюс и
под осью ОХ —со знаком минус. Следовательно, в этом общем
случае предел суммы (2) будет выражать алгебраическую сумму
площадей, заключенных между осью ОХ, графиком функции
y=f (х) и ординатами х = а и х=Ь. При этом площади над осью ОХ
будут получаться с положительным знаком, а под осью ОХ —с от-
рицательным.
К отысканию предела суммы вида (2) приводит не только задача
вычисления площади криволинейной трапеции, но и многие другие
задачи физики, техники и естествознания.
@ Задача о пройденном пути. В качестве второй общей задачи
рассмотрим вопрос из механики.
Определить путь s0, пройденный материальной точкой за промежу-
ток времени от момента ta до момента Т, если известна скорость дви-
жения точки как функция времени t, то есть задано v = f(t).
Разобьем промежуток времени [/0, Г] на п произвольных частей
точками
А) <^2 < • • •	< Ат-i < • • • <С 6г .j — Т.
В результате промежуток |70, Г] разобьется на частичные проме-
жутки вида [ti, 641], где Z = 0, 1, 2,..., и—1. Величину i-ro про-
межутка времени обозначим через А/г = 6+1— Затем в каждом из
них выберем произвольно момент времени тг, 6,	и вычи-
* Здесь мы использовали формулу lim--------— 1
х — 0 х
356
слим скорость в этот момент, то есть найдем — Если дроб-
ление промежутка [£0, Т] достаточно мелко, то приближенно мы
можем считать, что в течение каждого частичного промежутка вре-
мени движение происходит равномерно, то есть с постоянной ско-
ростью.
Для определенности будем считать, что в течение всего t-ro про-
межутка времени точка движется с постоянной скоростью, рав-
ной уг = /(т,). Тогда путь, пройденный точкой за i-й промежуток
времени, очевидно, будет приближенно равен щД/;, и, следовательно,
путь, пройденный за все время от ta до Т, приближенно будет ра-
вен сумме этих величин, то есть
t==o	/io
Это приближенное равенство будет тем точнее, чем мельче дробле-
ние промежутка [t9, Г], то есть чем меньше частичные проме-
жутки [tit и в пределе, когда величина наибольшего частич-
ного промежутка времени (которую мы обозначим через Х = тах {Д/,})
будет стремиться к нулю, получим точное равенство:
s0 = lim (т,) Mi.
Решение обеих задач, как мы видим, свелось к одному и тому же
вычислительному процессу. Можно было бы привести еще целый
ряд задач из других областей, которые решаются точно таким же
методом и в конечном итоге приводят к рассмотрению предела
суммы вида (2), то есть
lim 2/(^<) Дм-
Изучение предела такого рода суммы и приводит к понятию
определенного интеграла.
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Дадим теперь строгое аналитическое определение определенного
интеграла, впервые данное для непрерывной функции в 1823 г.
французским математиком О. Коши (1789—1857). При этом Коши
Дал первое аналитическое доказательство существования определен-
ного интеграла от непрерывной функции. Позднее немецкий мате-
матик Б. Риман (1826—1866) показал, что определение, данное
Коши, применимо к более широкому классу функций. Это позво-
лило ему впервые высказать в общей форме определение интеграла
и установить условия его существования.
357
Определение. Пусть функция f (х) определена в промежутке
1й, Ь]. Разобьем этот промежуток на п произвольных частей точ-
ками
а = х0 < хг < х2 <... <х; < х, + j <... < х„ = Ь.
В каждом из полученных частичных промежутков [х„ х1+1], где
1 = 0, 1, 2,..., п—1, выберем произвольно точку & (xt <х, +
Вычислим значение функции f (£,) и умножим его на разность
х, + 1— х/ = Дх,, после этого составим сумму* **
О = (1)
,=0
которая называется интегральной суммой для функции f (х) на
промежутке [а, &]. Пусть X по-прежнему обозначает наибольшую
из разностей Ax,--=x, + j— х,-, то есть длину наибольшего частичного
промежутка
Если существует конечный предел интегральной суммы (1) при
А. — 0, не зависящий ни от способа дробления промежутка {а, Ь]
на части, ни от выбора точек то этот предел называется
определенным интегралом функции fix) по промежутку (а, Ь]
и обозначается символом * *
/ = $ / (х) dx.	(2;
а
Таким образом,
b	п—1
5 / (х) </х = lim 2/ (£<) Ах,.	(3)
а	,=0
Функция /(х) в этом случае называется интегрируемой в про-
межутке [«, Ь]. Числа а и b называются соответственно нижним и
верхним пределами интеграла, f (х) —подынтегральной функцией,
х — переменной интегрирования.
Возвращаясь к задачам, рассмотренным в предыдущем параг-
рафе, мы можем полученные там формулы для площади Р криво-
линейной трапеции и пройденного пути s0 записать в следующем
виде:
ъ	т
P-\f(x)dx, =
в	«о
Замечание. Уточним понятие предела интегральной суммы о,
ибо это не совсем обычный предельный переход. В самом деле, до
сих пор когда мы говорили о пределе, то имели в виду предел
функции, зависящей только от одной переменной. Теперь речь идет
* Сумму а иногда называют суммой Римана.
** Это обозначение было введено французским ученым Ж. Фурье (1768 —
- 1830).
358
о пределе интегральной суммы (1), которая не является функцией
в обычном смысле слова. Действительно, интегральная сумма о за-
висит как от способа дробления, то есть от выбора точек х„ так и
от выбора точек которые в каждом частичном промежутке бе-
рутся произвольно, и, следовательно, не является функцией одной
переменной. Поэтому необходимо точно определить смысл предела
интегральной суммы, то есть предела (3). Предел (3) будем по-
нимать так, что каждому числу е>0 отвечает такое 6>0, что
при любом способе дробления, при котором и при любом
выборе в соответствующих частичных промежутках точек будет
выполняться неравенство
п—1	/>
У f (U Лх, — 5 f (х) dx
i=0	а
<8.
Таково определение интеграла на языке «в —6».
Из определения определенного интеграла как предела интеграль-
ной суммы непосредственно следует, что величина интеграла (2) (если
он существует) зависит только от вида функций f(x) и от чисел
а и Ь. Следовательно, если f (х) задана и пределы интегрирования
а и b закреплены, то интеграл (2) определяется однозначно и
представляет собой некоторое число. Отсюда, в частности, следует,
что определенный интеграл не зависит от переменной интегрирова-
ния х. Поэтому букву х можно заменить любой другой буквой и
это не отразится на величине интеграла. Иными словами, опреде-
ленный интеграл не зависит от обозначения переменной интегриро-
вания, то есть
D	1>	'
^f(x)dx=^f(t)dt — ...==^f(u)du.	(4)
на	а
Это свойство интеграла вполне аналогично тому, когда мы, на-
пример, пишем:
10	10
21 —у1
1=1	ft=l
Здесь обе суммы выражают одно и то же число, а именно:
1+4+4+---+то-
Значит, сумма не зависит от того, как мы обозначим индекс сум-
мирования. Для лучшего понимания сделанного замечания ре-
комендуем читателю продумать, как строятся интегральные суммы
i	1
для интегралов jx2dx n^t^dt, и убедиться, что это построение
о	о
в обоих случаях одно и то же и никак не зависит от обозначения
переменных х и t.
359
Приведенное выше определение интеграла дано для случая а<^Ь,
в соответствии с этим Xi<xi+i и, следовательно, Дх,->0. Анало-
гичным образом можно дать определение интеграла в том случае,
если а>Ъ (то есть если нижний предел больше верхнего), с той
лишь разницей, что интегральная сумма о в этом случае состав-
ляется для дробления а = х0 > х1 > х2 >... > х, > х№1 2>... > хп — Ь,
где уже все Дх; = хг+1 —х,- будут отрицательны.	'
Вопросы для самопроверки
1.	Сколько интегральных сумм можно составить для заданного способа разбие-
ния промежутка [а, &]?
2.	Приведите пример функции, для которой величина интегральной суммы не
зависит ни от способа разбиения промежутка fa, b] на части, ни от выбора то-
чек Е,- в этих частях.
3.	Почему в определении определенного интеграла вместо Л —> 0 нельзя писать
п—> со (последнее означает неограниченное увеличение числа частичных проме-
жутков)?
§ 3. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Существование конечного предела интегральной суммы о, а сле-
довательно, и существование определенного интеграла прежде всего
зависит от свойств подынтегральной функции /(х), заданной на про-
межутке интегрирования [а, й]. Поэтому законно возникает вопрос:
для каких функций указанный
К.
Рис. 140.
предел (то есть определенный
интеграл) существует? Прежде
всего отметим, что имеются
функции, от которых опреде-
ленный интеграл заведомо не
существует. Такими функциями
являются, например, все неог-
раниченные функции. Действи-
тельно, пусть функция /(х)
задана в промежутке [а, Ь] и
не ограничена в окрестности
некоторой точки с внутри этого
промежутка (рис. 140). Тогда,
если разбить этот промежуток
произвольным способом на час-
ти, то функция /(х) будет неограниченной хотя бы в одной из них,
пусть, например, в [х,-, х;+1], содержащем точку с.
В этом случае за счет надлежащего выбора точки Е, в проме-
жутке [х„ х(-+1] слагаемое /(£,•) Дх; интегральной суммы, а вместе
с ним и вся интегральная сумма о могут быть сделаны по абсо-
лютной величине сколь угодно большими Поэтому интегральная
сумма о не будет иметь конечного предела, а это означает, что
Определенный интеграл от неограниченной функции не существует.
Таким образом, если функция /(х) интегрируема в {а, 6], то она
необходимо ограничена в этом промежутке. Отсюда, конечно,
360
не следует, что всякая ограниченная функция интегрируема (уста-
новленное условие не является достаточным).
Поясним это на примере. Рассмотрим функцию Дирихле, кото-
рая определяется на сегменте [0, 1] следующим образом:
| 1, если х рационально,
™' ' I 0, если х иррационально.
Как видим, эта функция ограничена на сегменте [0, 1], однако
она не интегрируема в нем. В самом деле, если мы, составляя интег-
ральные суммы о, в качестве точек будем брать, например, ра-
циональные точки, то получим: о = 1. Следовательно, и предел о
в этом случае при Х->0 (где X по-прежнему длина наибольшего
частичного промежутка) будет тоже равен единице. Если же все £г
брать иррациональными, то о обращается в нуль и, значит, пре-
дел суммы о при л->0 в данном случае будет равен также нулю.
Таким образом, поведение интегральной суммы о существенным
образом зависит от выбора точек 1 и поэтому за счет одного лишь
уменьшения X интегральная сумма о не может приблизиться ни
к какому конечному пределу, а это значит, что функция ф(х) не
интегрируема в промежутке [0, 1].
Таким образом, для существования определенного интеграла
от некоторой функции последняя, помимо ограниченности, очевидно,
должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими
ее интегрируемость. Как мы увидим ниже, таким свойством, напри-
мер, является непрерывность.
Пусть на сегменте [а, задана непрерывная функция /(х).
Тогда в силу первой теоремы Вейерштрасса* функция f (х) огра-
ничена на [а, б]. Следовательно, существуют такие постоянные
т и М, что
т f (х)	М, а «С х Ь,
и поэтому условие, необходимое для интегрируемости функции
I (х), выполнено. Числа т и М можно считать соответственно
точной нижней и точной верхней границами для значений функции
/(х) в промежутке [а, Ь]. Напомним, что наибольшая из всех ниж-
них границ некоторого множества называется точной нижней
границей этого множества, а наименьшая из всех верхних границ —
точной верхней границей множества.
Так как функция f(x) непрерывна на [а, Ь], то в силу вто-
рой теоремы Вейерштрасса* эта функция достигает своих точных
границ, так что числа т и М можно просто считать соответственно
найменьшим и наибольшим значениями функции/(х) в промежутке
[а, б].
Суммы Дарбу. Разобьем промежуток [а, Ь] на п произволь-
ных частей. Так как функция /(х) непрерывна на [а, &1, то она
* См. гл. IV, s 5.
361
будет непрерывной и в любой его части. Через и Mt обозначим
соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (х)
в z-м промежутке [х,-, xi+il и составим следующие суммы:
п~~ 1	п—1
S—JC/n,-Ax,-, S = &xt-
z=0	«=0
Эти суммы называются соответственно нижней и верхней инте-
гральными суммами или нижней и верхней суммами Дарбу*. Так
как пу и Mt являются значениями функции f (х) в частичном про-
межутке [хг, х,'..11 (то есть в этом промежутке существуют такие
точки S,-, что f = и f (£,') = Л1,)» то при заданном способе
дробления промежутка [а, 6] суммы Дарбу являются просто наи-
меньшей и наибольшей из интегральных сумм о, так что
(1)
В случае, когда / (х) > 0, всюду на промежутке (а, й] суммы
Дарбу s и S, как легко видеть, геометрически выражают собой
площади ступенчатых фигур, изображенных на рисунке 141. Сту-
пенчатая фигура, соответствующая нижней сумме Дарбу, входит
в криволинейную трапецию, ограниченную сверху кривой y = f(x),
а^х^Ь (см. рис. 141, а), ступенчатая фигура, соответствующая
верхней сумме Дарбу, выходит из указанной криволинейной тра-
пеции (см. рис. 141, б).
Важно отметить, что суммы s и S зависят только от способа
дробления промежутка [а, Ь] и полностью им определяются, в то
время как интегральные суммы о зависят не только от способа
дробления данного промежутка, но и от выбора точек &.
Суммы Дарбу обладают следующими простыми свойствами.
Свойство 1. От добавления новых точек дробления
промежутка [a, &J нижняя сумма Дарбу не уменьшается,
а верхняя сумма Дарбу не увеличивается.
Доказательство. Мы остановимся на доказательстве этого
свойства лишь для верхних сумм Дарбу. Очевидно, для этого до-
статочно рассмотреть тот случай, когда к имеющимся точкам дроб-
* Гастон Дарбу (1842—1917)—французский математик.'
362
ления промежутка [й, Ь] добавляется хотя бы одна новая точка
дробления х'.
Пусть промежуток [a, bl разбит на части точками а = х0<х1 <
<ZXi<---<.Xi<xl+l<...<xn = b, и S —верхняя сумма Дарбу,
отвечающая данному дроблению.
Допустим, что новая точка х'
окажется между точками хк и
то есть xk<x' < xk+i (рис. 142).
Обозначим через S' верхнюю
сумму Дарбу, отвечающую по-
лученному новому дроблению про-
межутка [a, bl. Она, очевидно, бу-
дет отличаться от прежней суммы
S только тем, что в сумме S про-
межутку [хА, X/j+il отвечало одно
слагаемое Мк (х*+1—х*), в то время
Рис .142.
как в сумме S' этому проме-
жутку (который уже разбит точкой х' на два промежутка) отве-
чает сумма двух слагаемых Мк (х’~хк) + Мк (х*+1—-х'), .где Мк и
М —наибольшие значения функции ^/(х) в промежутках [хк, х'| и
[х', x*+tJ. Так как эти промежутки являются частями промежутка
[х», xA+il, то Мк^Мк, Мк^Мк. Тогда будем иметь:
М.к(х — хк)^Мк (х' — хк), Мк (xft, 1 — х’) < Мк (х*. t — х).
Складывая эти неравенства почленно, получим:
Л4* (х' — хк) + Мк (xk+i — х) < Мк (x*+i — хк).
В случае неотрицательной функции это неравенство выражает
простой факт, заключающийся в том, что сумма площадей двух
прямоугольников с основаниями [хЛ, х'] и [х, хк + J не превосходит
площади прямоугольника с основанием [х*, xft+1] (см. рис. 142).
Итак, сумма двух новых слагаемых, отвечающих промежуткам
[х*, х'], [х', х/((|], не превосходит одного слагаемого, отвечающего
Г' --->|t—¥-¥—*----и-м-----*---./>
>	! 1 I 1 ।	и 1
J .
I	* ’ I I I I I I I ‘
I II Illi I
।	| ।	।	j । I	j 11	! ।	1
। ।	। 1 । । । ।	।
Tj ai-4-1-64—
Рис. 143.
363
промежутку [Xft, x*+il- Это и доказывает, что S'sgS. Аналогично
этому доказывается данное свойство и для нижней суммы Дарбу.
Свойство 2. Каждая нижняя сумма Дарбу не больше,
чем каждая верхняя сумма Дарбу, хотя бы отвечающая
и другому дроблению промежутка.
Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь два способа
Т1 и Т2 дробления промежутка [а, Ь] на части, и пусть способу Tt
отвечают суммы Дарбу и 5Х, а способу Т2 отвечают суммы s2 и 32.
Составим новое дробление Т3 путем объединения всех точек дробления
способов Т\ и Тг (рис. 143). Пусть этому способу дробления отвечают
суммы Дарбу \3 и 53. Так как способ дробления Т3 получается из
способа Тх или Т2 добавлением новых точек деления промежутка [а, Ь],
то в силу свойства 1 из сопоставления способов дробления 7\ и Т3
получим: «х $3, а из сопоставления способов Т2 и Т3 будем иметь:
S3=s£S2. Но s3=sgS8, тогда, сопоставляя последние три неравенства,
мы и получим: »х=с52, что и доказывает свойство 2.
Замечание 1. Установленные свойства справедливы также и
для сумм Дарбу, составленных для любой ограниченной функции,
имеющей точки разрыва, и доказательство этих свойств проводится
аналогично.
Замечание 2. Свойство 2 показывает, что множество всех
нижних сумм Дарбу {$} ограничено сверху. В качестве верхней
границы может служить, например, какая-нибудь верхняя сумма S<>.
Тогда во известной теореме множество нижних сумм {$}, отвечающих
всевозможным способам дробления промежутка [а, Ь], имеет конечную
точную верхнюю границу /=sup {«}, причем / ибо S„ явля-
ется просто верхней границей для множества )«}, а /—точной
верхней границей этого множества. Так как So есть произвольная
верхняя сумма Дарбу, то постоянное число / будет удовлетворять
неравенству
fisC/sgS,	(2)
где s и S - совершенно произвольные нижняя и верхняя суммы
Дарбу. Если интегральная сумма о и суммы Дарбу $ и S отвечают
одному и тому же способу дробления, то из сопоставления нера-
венств (1) и (2) сразу следует, что
(3)
Это неравенство существенным образом нами будет использовано
при доказательстве теоремы о существовании определенного интеграла
от непрерывной функции.
Теорема- (достаточное условие интегрируемости).
Если функция / (х) непрерывна в промежутке [a, &J, то она
интегрируема в этом промежутке, то есть интеграл
ь
\f(x)dx	(4)
существует.
364 '
Доказательство. В силу теоремы Кантора’ функция f(x),
непрерывная в промежутке [а. Ь], равномерно непрерывна в этом
промежутке. Значит, каково бы ни было чцсло е > 0, по числу
что неравенство j х" —х' | < б
_5—> о найдется такое число 6>0,
Ь — а
влечет за собой новое неравенство у
где бы в пределах рассматривае-
мого промежутка [а, Ь] ни лежали
точки х' и х".
Разобьем промежуток [а, Ь)
произвольным образом на части ______
[xh xi+1] (i = 0, 1, 2. n-1) с о
длинами Дх,<б. Пусть этому
(5)
дроблению промежутка отвечают	Рис. 144
суммы Дарбу s и S. В частичном
промежутке [х,-, х,-.|] так выберем точки х'( и х",-. чтобы было т,- =
= ) (хД и M.t — f(x"i}, где mi( по-прежнему обозначают наимень-
шее и наибольшее значения f(x) на [xi( xz+ij (рис. 144). Тогда
в силу неравенства (5) мы будем иметь:
Л1, —--------------(l = 0, 1, 2,..., 71—1),
и — a	f
откуда получаем:
П—-I	/3—— J
V / л/	а	е V	е /<.
о-—S = / (Л14 — Шн Д Xi <C~l---------/ А Х[ = т“-—-(и — О)==8,
jgmti	0 ~~~	и — С1
если Х<6, где Z = тах)Дх,-}.
Пусть о — одна из интегральных сумм, отвечающая тому же
дроблению промежутка [а, 6], что и суммы Дарбу s и S. Тогда из
последнего неравенства и неравенства (3) непосредственно следует,
что [о-—/ |<е, если л<6, а это и означает, что существует пре-
дел
Л— о
то есть существует интеграл (4). Теорема доказана.
Не следует думать, что определенный интеграл существует только
для непрерывных функций. Так, например, существует интеграл от
функций, имеющих конечное число точек разрыва первого рода* **.
Таким образом, непрерывность функции является достаточным, но
необходимым условием ее интегрируемости.
Замечание. Выше мы рассмотрели задачу об определении
площади Р криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой
* См. гл. IV, § 12.
UJ, стр. 327. Как указано в предисловии, символ [1] означает ссылку
на учебник Г. М. Фихтенгольца «Основы математического анализа», т. I, 1955.
365
y=f (x), где f (x) — положительная непрерывная функция, заданная в
промежутке [а, Ь[. Площадь Р этой трапеции была вычислена нами как
/1—0
предел суммы а =	т0 есть была получена формула
/=о
ь
Р = $ / (х) dx.	(6)
а
Теперь мы видим, что в силу доказанной теоремы этот интеграл
существует, то есть формула (6) при этих условиях всегда имеет
смысл.
Таким образом, если f (х) — положительная, непрерывная в про-
межутке [а, /Д функция, то определенный интеграл от этой функ-
ции выражает собой площадь указанной выше криволинейной тра-
пеции. В этом и заключается геометрический смысл оп-
ределенного интеграла
Вопросы для самопроверки
1. Сколько сумм Дарбу можно составить для данного фиксированного разбие-
ния промежутка [а, 6)?
2. Проведите доказательство первого свойства сумм Дарбу для нижних сумм
Дарбу.
§ 4. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим ряд свойств определенного интеграла, доказательство
которых, как мы увидим, будет основано на его определении как
предела интегральной суммы.
Не делая каждый раз особых оговорок, ниже, при изложении
свойств определенного интеграла, мы будем считать все рассматри-
ваемые функции непрерывными, так что определенные интегралы
от них заведомо существуют.
Свойство 1. Если переставить между собой пределы
интегрирования, то определенный интеграл изменит только
знак, то есть
Ь	а
\f(x)dx — \f(x)dx.	(1)
а	b
Доказательство. Пусть а<Ь. Составим интегральную
сумму
o =	(&) А*.
«=0
для дробления: а~х0<.хг<х2 <... < х, <xi+i <• • • <xn=b. Те-
перь поменяем ролями а и Ь, то есть будем считать а верхним пре-
делом, а b — нижним, сохраняя при этом все прежние точки дроб-
ления промежутка [а, Ь] и все выбранные ранее точки Так
как нумерация точек дробления промежутка всегда ведется в на-
ЗЬЬ
$0 *1 Ъ *г	*1 хч-1	*n-t ^п-1 Т
Ъп-1 Ъп-г	V	л, (а ,
Хп хп.^ хП-2	О
Рис. 145.
правлении от нижнего предела к верхнему, то прежние точки дроб-
ления xt и точки Ь будут теперь занумерованы в обратном порядке
(рис. 145):
i> = xo>*i >xi> ... >xi>xi+x> ... >Хп — а,	(2)
где уже Дх* = xi+1 — xi < 0 (£ — О, 1, 2,..., n —1).
п—1
Легко видеть, что интегральная сумма </“_£}/(&) Дх*> состав'
k=0
ленная для точек дробления (2), отличается от прежней суммы
о только знаком:
а жж —о'.	(3)
Предел левой части этого равенства по условию существует и
равен интегралу \f(x)dx, следовательно, существует предел пра-
а
вой части равенства (3) и по определению этот предел и есть оп-
ределенный интеграл:
а
'i f (х) dx=lima'.
ь	к -о
Переходя к пределу в равенстве (3), мы и получим равенство (1).
Ясно, что это равенство справедливо при любом соотношении
между пределами а и Ь. Согласно доказанному свойству всякий
интеграл, нижний предел которого больше верхнего, всегда можно
свести к интегралу, нижний предел которого будет меньше верх-
него. Для этого достаточно переставить между собою пределы ин-
тегрирования и изменить знак перед интегралом.
Свойство 2. Каковы бы ни были числа а, Ъ, с, всегда
имеет место равенство
Ь	с	Ь
\f (x)dx^\f(x) dx-'r\f(x)dx.	(4)
а	а	с
Доказательство. Допустим сначала, что а<с<6. Так
как предел интегральной суммы не зависит от способа дробления
промежутка [а, 6] на части, то будем дробить его так, чтобы точка
с всегда была бы точкой дробления промежутка. Если с = хт, то
интегральную сумму можно разбить на две суммы:
п—1	т—1	п—1
а = £ f &) Дх, = f &) Дх, + f (I,-) Дх,.
1=0	,=0
367
Каждая из этих сумм является интегральной суммой функции f(x)
соответственно для промежутков [а, &], [а, с], [с, Ь] *. Переходя
в последнем равенстве к пределу при Х-»0, мы и получим ра-
венство (4).
Суть доказанного свойства состоит в том, что интеграл по всему
промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям.
Другое взаимное расположение точек а, Ь, с легко приводится
к рассмотренному случаю. Пусть, напри-
мер, эти точки расположены так: а < b < с.
Тогда по доказанному будем иметь:
с	Ь
$ f (х) dx = \f (х) dx +У (x) dx,
a	a	b
откуда
b	с	c
$ f (x) clx-=^ (x) dx — ^f (x) dx-
i	a	b
переставив в последнем интеграле преде-
рис. 146.	лы, мы опять придем к соотношению (4).
Установленное свойство интеграла в случае
неотрицательной функции выражает простой геометрический факт:
если криволинейная трапеция с основанием [a, Z>| разбита на две —с
основаниями [а, с] и [с, Z?] (рис. 146), то площадь данной трапеции
равна сумме площадей двух ее частей.
Свойство 3. Постоянный множитель можно вынести
за знак определенного интеграла, то есть
»	»
\kf(x)dx~k\f(x)dx.
а	а
(5)
Доказательство. Разобьем промежуток [а, Ь] произвольно
на части и составим интегральную сумму для функции kf (х). Оче-
видно, будем иметь:
W&) Дхг = *2М)Лхг.
z=0	Z==О
Переходя в этом равенстве к пределу при ^->0, мы и получим фор-
мулу (5).
Свойство4. Определенный интеграл от алгебраической
суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов:
b	ь	ь
$I/(*)±£(X)1 dx = \f(x)dx±\ g{x)dx.
а	а	а
(6)
* Функция f (х) непрерывная на [а, 6], будет непрерывной на любой егс
части, а следовательно, интегрируема на промежутках [а, с], [с, Ь].
368
Доказательство. Составим интегральную сумму для функ-
ции / (х) ±g (х). Очевидно, будем иметь:
• £ [f (SO ±g О Ах,- =	&) Дх,- ± 2'ё &) Ах,-. '
;=0	i — 0	1=0
Остается в этом равенстве перейти к пределу при ^-^-0, чтобы по-
лучить формулу (6).
Это свойство легко распространяется на случай любого конеч-
ного числа слагаемых функций.
Свойство 5 Если/(х)— неотрицательная на [а, Ь] функ-
ция и нижний предел интеграла меньше верхнего, то и
сам интеграл будет числом неотрицательным, то есть
ь
\f(x)dx^0.	(7)
а
Доказательство. Пусть a<b Hf(x)^sQ. Тогда при любом
дроблении промежутка [а, Ь] на части и каком угодно выборе
точек Ь, очевидно/ будем иметь:
дЛ-.:;.;о,
i—0
так как [ (;,-) Ss 0, Д х; > 0, и остается перейти здесь к пределу при
Х-+0, чтобы полу ить неравенство (7)*.
Замечание Если функция j (х) неположительна на |</, />] и
ь
а<_ Ь, то аналогичным образом можно показать, что j / (х) dx<~Q,
а
что и предлагается сделать самостоятельно.
В этой связи также заметим, что при а > b будем иметь:
ь
f(x)rfx^£0, если	на [а, Ь],
а
И
b
jj /(x)dx3s0, если /(x)sgO на [а, 6].
а
Оба эти неравенства вытекают непосредственно из свойства 1
и из только что доказанного свойства.
Свойство 6. Если функции f(x) и g(x) заданы в про-
межутке [а, &], где acb и всегда f(x)' ::g(x), то
b	ь
\f(x)dx^\g(x)dx,	(8)
а	а
то есть неравенства можно почленно интегрировать.
* Мы воспользовались теоремой о предельном переходе в неравенствах (см.
369
Доказательство. Применяя предыдущее свойство к раз-
ности g {x) — f (х) JS» 0, получим:
ь
$[#(*)—/*)] dx^Q.
а
Но в силу свойства 4
b	ь	ъ
5 [я (х) — f (x)J dx = \g (х) dx — 5 f (х) dx,
а	а	а
следовательно,
b	ь
\g (х) dx—^f (х) dx О,
а	а
откуда и получаем неравенство (8).
Замечание. Несколько труднее доказывается более точный
результат, а именно: если функции f (х) и g(x) непрерывны в [а, 6]
и f(x)^g(x), причем f (х) не всюду равна g(x), то
6	ь
\f (x)dx<\g (х) dx
а -	а
(равенство исключается).
Свойство 7. Если функция f(x) задана в промежутке
|а, &] и а<Ь, то
ь	ь
\j(x)dx ^\\f(x) dx,	(9)
а	а
то есть абсолютная величина интеграла не превосходит
интеграла абсолютной величины подынтегральной функции.
Доказательство. Применяя предыдущее свойство, проинтег-
рируем почленно очевидное неравенство
— !/(x)!</(x)<|f (х)|.
В результате получим:
b	b	ь
— I f (х)! dx =С f (х) dx $ | f (х) i dx,
а	а	а
а это равносильно неравенству (9).	4
Свойство 8. Если т и М — соответственно наименьшее
и наибольшее значения функции f(x) в промежутке {а.
где а<Ь, то
ь
т(Ь — a)^^f(x)dx^M(b — а).	НО)
а
Доказательство. По условию для всех х из [a, bj имеем:
т -С f (х) М,
370
Проинтегрировав почленно эти неравенства (применяем свойство 6),
получим:
b	b	6
т § dx sg § / (х) dx sg М $ dx.
а	а	а
b
Отсюда, замечая, что ^dx = b — а*, находим:
а
b
т{Ь — d)^^f (х) dxsg М (Ь — а),
а
что и требовалось доказать.
Следствие. Если во всем промежутке [а, 6] (а <6) имеет
место неравенство | / (х):	/С, то
ь
(x)dx ^ДДЬ-а).
(И)
Действительно, неравенство | f (х) | «g К равносильно двойному
неравенству
—“ /С f (х) /С.
Отсюда в силу свойства 8 находим:
ь
‘— /С (Ь — ti)	f (х) dx (b — а),
a
а это равносильно неравенству (11).
Свойство 9 (теорема о среднем). Если функция f(x)
непрерывна на промежутке (а, то в этом промежутке
существует хотя бы одна точка с такая, что
ь
y(x)dx^f(c)(b-^a)* **.	(12)
а
Доказательство. Пусть a<zb. Так как функция f(x) не-
прерывна на [а, Ь], то по второй теореме Вейерштрасса *** она
принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение М,
так и наименьшее значение т, так что для всех х из [а, &] будем
иметь: т sg f (х)	М. Отсюда в силу свойства 8 находим:
f
т (b — a)	(х) dxs^M (b—a),
а
b	п—1
‘Действительно, fdx = lim V 1-Лх, — Ь — а.
а	“* 0 / гя о
** В формулировке этой теоремы условие непрерывности функции весьма
существенно.
См. гл. IV, § 5.
371
откуда
j f (х) dx
----^М.
Ь — а
Положим
Ь
J / W dx
Ь — а
(m=C|isCM).
Так как число р заключено между наименьшим и наибольшим зна-
чениями непрерывной функции f (х) на промежутке [а, Ь], то не-
прерывная функция f(x), принимающая значения т и М, по вто-
рой теореме Больцано—-Коши * должна принимать и все проме-
жуточные значения между ними. Следовательно, существует такая
точка с в промежутке [а, Ь], что f(c)=p, или
ь
f (х) dx
~~ 6-а.
а это равносильно равенству (12).
Величину f (с) принято называть средним значением функции f (х)
в промежутке [а, Ь].
Заметим, что формула (12) справедлива не только при и<Ь,
но и при (
а > Ь. Этот случай легко приводится к рассмотренному.
В самом деле, если а>Ь, то в
силу формулы (12) будем иметь:
dx — f (с) (а — Ь) (а^с^Ь).
ь
Остается переставить пределы ин-
тегрирования, чтобы получить фор-
мулу (12) для этого случая.
Замечание. Формула (12)
имеет простой геометрический
смысл. Действительно, пусть функ-
ция f (х) неотрицательна на [а, Ь].
слева формулы (12) выражает.пло-
Тогда, как нам известно, интеграл
щадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y~=f (х), а
правая часть этой формулы представляет площадь прямоугольника
с тем же основанием и высотой, равной f(c) (рис. 147). Таким
образом, формула (12) геометрически выражает тот факт, что для
площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной
кривой, всегда существует равновеликий ей прямоугольник с тем же
основанием и высота его равна одной из ординат этой кривой.
* См. гл. IV, § 5.
372
Пример 1 Оценить интеграл jx(I — х] dx.
о
Вычисляя наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции
в промежутке [0, 1], легко убедимся в том, что 0 х (1 — х/ sg (Osgxsgl).
Отсюда в силу свойства 8 будем иметь:
1
0<	х(1 — x)dx<-^ *.
о
1
Интересно заметить, что точное значение интеграла равно -g-.
1
По и мер 2. Оценить интеграл \	. -— dx,
F F	J)/2 + x-x2
о
Так как подынтегральная функция непрерывна на [0, 1], то нетрудно уста-
новить, что свое наименьшее значение эта функция принимает при x = -^-t а наи-
большее—на концах промежутка [0, 1], то есть при х=0 и х=1. Этими значе-
, 1 \	2	1
ниями будут: / — =—а=0,67 и / (0) =/(!) =-—=» 0,70. Следовательно, для
у 2 /	3	у 2
всех х из промежутка [0, 1] имеют место неравенства:
2	1	1
Отсюда согласно свойству 8 находим:
2	(!	1	'
““	~"""т-"--'"—г-: dX <Z. —Z— .
3	.)/2 + х-х® )2
о
Заметим, что точное значение интеграла равно:
1 1 1
Л 1	Л 1	2х— 1 I	1
i -?====== dx =ь I —-—==.' dx — arc sm —— = 2 arc sin 0,68,
I /2 + x —x2	11/9/12	3 I	3
J J У	«
в	0	v '
л
Пример 3. Оценить интеграл ^-^-dx.
л
4
Сначала исследуем поведение подынтегральной функции f(x)=^~^ на про-
Г Я Я ! гт	х cosx—япх
межутке —, — . Для этого находим ее производную: f (х) =-----=
---COS X (х — tg х) _	л	л
_________________________________________________-Й-. Так как cos х > 0 и х — tg х < 0 для < х < — **, то /7 (х) <0.
Л	4	z
* Равенство исключается — см. замечание к свойству 6.
** Напомним, что если 0<х</-, то sinx<x<tgx (см. гл. III, § Иг
пример 2).
!78
Значит, данная функция монотонно убывает на промежутке^, yj. Тогда
. / л \ 2V 2	(л \	2
/ Нг =-------наибольшее значение, а г 1 =---наименьшее ее значение
\ 4 / я	\ 2 / Л
y-w	I JT JT 1
в указанном промежутке. Поэтому для всех к из I— f l будем иметь:
2 sin %	2 "l/-2
... , Отсюда по свойству 8 получаем;
л
а	_
1 С sin х ,	)^2
я
I
В этом случае точное значение интеграла нельзя найти элементарным путем.
Пример 4. Найти среднее значение функции/(х) —cos2 х на промежутке
10, л].
По формуле (12) имеем:
я	я	л
f(c) =— С cos3 х dx =	\ (1 4-cos 2х) d v-= , • Гс Ч- siri 2х I =4-.
' л ,1	2л J ' 1	2л \	2	2
оо	о
В заключение этого параграфа заметим, что свойства 1 — 8
определенного интеграла, установленные выше для непрерывных
функций, справедливы также и для любых интегрируемых функций,
причем доказываются они аналогичным способом *. По аналогии
с теоремой о среднем для непрерывной функции доказывается подоб-
ная теорема для любой функции f(x), интегрируемой (и, значит,
ограниченной: т «С f (х) < М) в промежутке [а, &]. В этом случае
вместо формулы (12) доказывается равенство
ь
У (х) dx=}i (b — a),
а
где число ц содержится между границами т и М.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1.	Почему в формуле (12) (см. теорему о среднем) точку с нельзя считать
произвольной точкой из промежутка [а, 6]?
2.	Приведите пример функции, для которой формула (12) справедлива для
любой точки промежутка [а, &].
3.	Сформулируйте теорему о среднем для интегрируемой функции и дока-
жите ее.
4.	Применяя теорему о среднем, найти средние значения следующих функций:
а) /(х) = х2 на промежутке [0, 1]; б) f(x)=cosx на промежутке | 0, у |;
1	12	1
в) / (х) = — на промежутке [1, е].	Отв. а) г-; б) —; в)-г.
X	<3 л (?— 1
* См. (I), стр. 330-333.
374
5.	Не вычисляя интегралов, установить, какой ня интегралов больше:
х dx или \ sin х dx; б)
или
“2	2	I	1	II
———• в) С е* dx или
14-х» ’ ’ J
е
2	2
r)	sin"1.с dx или	sin xdx.
6. Доказать неравенства:
7. Оценить интегралы:
1
а) /=^ Vl+Pdx;
Отв.
Отв. в) первый; б) второй; в) первый; г) второй.
1	тс
а)	1<^Лг<е; б) 2 <	-
Я
4	2
б)	/=Ц xj/tgl^;	в) /= С
6	0,3
г—	31*
а) 2 </< J/5; б) ()</<;'.; в) 0,51 </<0,85.
<j2
§ 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с посто-
янными пределами интегрирования. Как уже отмечали ранее, вели-
чина такого интеграла для данной подынтегральной функции зави-
сит только от пределов интегрирования а и Ь. Следовательно, если
мы будем изменять, например, верхний предел Ь, то величина
интеграла будет, вообще говоря, меняться. Другими словами, интег-
рал с переменным верхним пределом представляет собой функцию
своего верхнего предела. Таким образом, если мы имеем интеграл
\f(t)dt с постоянным нижним пределом а и переменным верхним
а
пределом х, то величина этого интеграла будет функцией верхнего
предела х. Обозначим эту функцию через Ф(х), то есть положим
Ф = dt.	(1)
а
Здесь переменную интегрирования мы обозначили буквой t с тем,
чтобы не смешивать ее с верхним пределом х (это всегда возможно
сделать, если учесть, что величина определенного интеграла не
зависит от обозначения переменной интегрирования).
Заметим, что если функция f (t) непрерывна на [а, 6], то она
будет также непрерывной и в промежутке [п, х], где а<^х^Ь;
так что интеграл (1) существует, и функцию Ф(х) имеет смысл
375
рассматривать для всех х из [a, bj, то есть для всех точек замкну-
того промежутка [а, Ь], кроме точки х-=а, в которой интеграл (1)
пока теряет смысл. В самом деле, определение определенного интег-
рала мы дали только для случая, когда пределы интегрирования
не равны между собой, то есть когда а ^Ь. Чтобы не исключать
случая х = а, мы должны придать определенный смысл выражению
Ф (а) = f (t) dt.
а
Применяя теорему о среднем к интегралу (1), находим:
Ф (х) = 5 f (0 dt = f (с) (х — а),
а
где с содержится в промежутке [а, х]. Если теперь устремить х к
точке а (следовательно, и с->а) и при этом учесть ограниченность
f (с), то в пределе мы получим:
lim Ф (x) = limf (с) (x — a) = f (а) -0 — 0.
х -* а	х -* а
Отсюда естественно в качестве определения принять, что
а
Ф (а) = f (t) dt = 0,
а
(2)
и притом не только для непрерывной, но и для любой интегри-
руемой функции. Это дополнение к определению определенного
интеграла расширяет понятие интег-
рала.
Замечание I. Исходя из гео-
метрического смысла интеграла, мы
заключаем, что в случае неотрица-
тельной функции f(t) новая функция
Ф(х) (определенная равенством (1))
выражает собой площадь переменной
г криволинейной трапеции с основа-
t нием [а, х] (рис. 148). При х = п эта
функция согласно формуле (2) при-
нимает значение, равное нулю, что
естественно и с геометрической точки зрения. В самом деле, в
этом случае основание криволинейной трапеции стягивается в точку-
а ее боковые стороны х = а и х = Ь сливаются в одну линию х = а.
Значит, трапеция вырождается в прямолинейный отрезок, площадь
которого равна нулю.
Теперь остановимся на важной теореме, которую следует
считать одной из основных теорем математического анализа, а
именно на вопросе о производной oi интеграла по переменному
376
верхнему пределу или на вопросе о существовании первообразной
для непрерывной функции.
Теорема. Производная определенного интеграла от
непрерывной функции по его верхнему пределу существует
и равна значению подынтегральной функции в верхнем
пределе, то есть
Iх	V
К f(t)dt —f(x) или ®'(x)=f(x).	(3)
\Л	] X
Доказательство. Рассмотрим произвольное значение х из
[й, Ь] и придадим ему произвольное приращение Дх 0, причем
так, чтобы точка х-]-Дх не вышла из [а, й], то есть а?-:~ х±^x-s~b.
Тогда функция (1) получит новое значение:
Х~\-&Х	X	x-j-Ax	x-J-A.v
Ф (х 4” f (0	/ (0 ”h § f (0 “ Ф W 4“ 5 f (О
а	а	х	х
Отсюда находим приращение функции Ф (х):
Ф(х-)-Дх)— Ф(х) =
X
Применяя к этому интегралу теорему о среднем (см. формулу (12)„
§ 4), получим:
Ф (х Дх) — Ф (х) = f (с) Дх,
где с находится между х и х-|-Дх, так что если Дх-» 0, то с-*х.
Разделив обе части последнего равенства на Дх, получим:
Ф Д + Дх) —Ф (х) = ,. ,
Дх	' ’’
Если теперь Дх устремить к нулю, то точка с будет стремиться
к точке х и тогда в силу непрерывности /(х) на [а, Ь] будет f (с)
стремиться к /(х). Поэтому в пределе получаем:
Пт ..±(£.±_^.~ ф = Hm f =
Ах-0	ах	с-~х
или Ф'(x) = f (х). Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает, в частности, что Ф(х) — непрерывная
Функция на [а, Ь]. В связи с этим отметим, что непрерывность
функции Ф(х) может быть установлена и при более широких пред-
положениях относительно подынтегральной функции f(x). Применяя
рассуждения, подобные тем, какими мы пользовались при доказа-
тельстве последней теоремы, а также теорему о среднем для интег-
рируемой функции (см. формулу (13), § 4), нетрудно доказать не-
прерывность функции Ф(х) для любой интегрируемой на Га,
Функции /(х).
377
Из доказанной теоремы следует, что если функция '[(х) непре-
рывна, то она имеет первообразную, которая равна определенному
интегралу f (t) dt.
а
Итак, мы установили, что всякая непрерывная функция имеет
первообразную. Случай, когда определенный интеграл имеет пере-
менный нижний предел и постоянный верхний предел, легко при-
водится к рассмотренному, если воспользоваться свойством 1
определенного интеграла (см. формулу (1), § 4). Примерами, ил-
люстрирующими доказанную теорему, могут служить следующие
равенства:
1) cos3/fifzj = cos3x; 2)	® dtj
/х	у	/8	/х У
3) ($ ]/~sin / <й) ='|/”sinx; 4)	== — ех\
Замечание 2. Доказанной теореме можно дать геометричес-
кое толкование. Действительно, пусть функция fix) непрерывна и
положительна на [а, £>], тогда функция Ф (x) = jj/ (/) dt — определен-
а
ный интеграл с переменным верхним пределом будет выражать со-
бой переменную площадь криволинейной трапеции, органиченной
кривой y — f (х), начальной ординатой х=а, некоторой подвижной
ординатой, отвечающей переменному значению х, и отрезком оси ОХ
(см. рис. 148 —заштрихованная часть). В таком случае доказанную
теорему на геометрическом языке можно прочитать так: производ-
ная от переменной площади Ф (х) по абсциссе х равна конечной
ординате f(х) Другими словами, переменная площадь Ф(х) явля-
ется первообразной для данной ординаты f(x).
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ ИНТЕГРАЛ
Обычно логарифмическая функция (или, коротко, логарифм)
определяется как функция, обратная показательной, и все свойства
логарифма вытекают из свойств показательной функции. Сейчас мы
укажем другой подход к определению логарифмической функции.
Из интегрального исчисления нам известна формула
In х =
dt
t
(х>0).
(1)
Попробуем принять эту формулу за определение Inx, то есть за
определение логарифмической функции, и, опираясь на свойства
определенного интеграла, вывести отсюда ряд свойств логарифма.
378
1°. Функция Inx определена только для х>0, ибо при х«£0
интеграл (1) не существует.
2°. In 1 = 0—очевидно.
3°. Логарифмическая функция непрерывна во всякой точке, где
она определена, то есть при всех х>0. Это сразу следует из того,
что интеграл является непрерывной функцией своего верхнего пре-
дела. Кроме того, ясно, что Inx—возрастающая функция от х.
4°. Далее, (lnx)' = H yj = *>0. Отсюда также следует, что
' 1	' X	I
jnx_функция возрастающая.
5°. ]пу = 1пх1 —1пх2. Действительно, с помощью подстановки
х2/== и находим:
Х3	Xi	1	Х3	X*	хя
, х,	V dt f du f	du .	C	du	f	du C du .	,
In =x=	1-7- = \ — == \---h*	1	-— =	1	---\ — = 1П Xi — Ш X*.
xa	J	/	J	U	J	U	'J	U	JU JU	1	*
1	x*	xt	1	11
В частности, In  = In 1 — Inx —0—Inx —— Inx.
6°. In (Xj x2) = In xt + In x2. В самом де.ле, In (x2 x2) «= In у = In хл —
In - ==1пх1Д lnx2. Отсюда lnx® = ln(xx) = lnx + Inx-— 2Inx.
Xj
Общая формула In x” = n In x легко доказывается методом индук-
ции.
7°. 1пе»=1. Действительно,
i-i-l
п
1	1	1
== (по теореме о среднем) — л • — — = —,
Сд п	сп
где 1 < сп < 1 + ~. В силу непрерывности логарифмической функ-
ции предел левой части равенства .равен In е, то-есть
/	1 \л	/	1 \Я
lim In 1 Ч—) — In lim (1-Ь —) =lne.
л-»оо \	п-»оо '	**/
А правая часть 1 при п->оо, так что в пределе получим:
1пе=1.	"
Из свойств 6° и 7° сразу следует, что для любого натурального
п имеем: 1пе" = п. Отсюда нетрудно вывести (используя 7° и 6°),
что и для любого рационального числа г выполняется равенство
*п(ег)==г. А тогда, используя непрерывность показательной функ-
ции ех и логарифма, мы сразу видим, что 1п(еД=х для любого
379
вещественного х. Таким образом, функция Inx, определенная форму-
лой (1), является обратной для функции г*, то есть совпадает
с обычной логарифмической функцией.
§ 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Вычисление определенных интегралов методом, основанным на
определении интеграла как предела интегральной суммы, как пра-
вило, связано с большими трудностями даже в простейших случаях
(см. § 1, пример 1). Поэтому естественно возникает задача: найти
другой практически более удобный и легкий метод вычисления
определенных интегралов. Такой метод существует и, как мы увидим
ниже, основан на тесной связи, существующей между понятиями
неопределенного (первообразной) и определенного интегралов.
Пусть f (х) непрерывна в Промежутке [а, Ь]. Тогда, как мы
только что установили, определенный интеграл с переменным верх-
ним пределом
$ f (О dt
'	а
является одной из первообразных для функции f (х). Допустим,
что нам известна еще какая-нибудь первообразная для f (х), напри-
мер F (х). Тогда эти первообразные, как известно, разнятся между
собой на определенное постоянное слагаемое Со (см. теорему 1 из
§ 1, гл. I). Следовательно, мы будем иметь:
]f(f) dt=F(x) + Ctt.
а
Полагая здесь х = а (в силу формулы (2), § 5), мы находим: 0 =
X
F (а) — С,„ откуда C0 — — F(a) и, следовательно, f (t) dt — F (x) —
a
— F (а). В частности, при x = b мы получим:
b
\f(x)dx = F(b)-F(a).	(1)
a 	-   ——.
Это и есть основная формула интегрального исчисления, которую
также называют формулой Ньютона — Лейбница*.
Заметим, что правую часть этой формулы часто обозначают
символом F(x)\ba (знак двойной подстановки от а до 6), и тогда
формула (1) при этом обозначении принимает вид:
&
\f{x)dx = F{x)^a.
а
* Исаак Ньютон (1642—1727)— величайший английский физик и мате-
матик.
380
При выводе этой формулы мы считали, что a<Zb, однако это огра-
ничение легко устраняется. В самом деле, если а — Ь, то формула
(!) очевидна, так как обе части ее обращаются в нуль. Случай,
когда а > Ь, легко приводится к рассмотренному. Действительно,
согласно формуле (1) для интеграла, у которого нижний предел
меньше верхнего, будем иметь:
У(х) dx = F(a) — F(b),
h
а затем, переставив пределы, придем к прежней формуле (1).
Заметим, что здесь в качестве F (х) может быть выбрана любая
первообразная для f (х) из семейства F (х) + С, и от этого разность
F(b) — F(a) не изменится (ведь все первообразные отличаются друг
от друга на постоянную величину, которая-при вычитании все равно
уничтожается).
Итак, формула Ньютона—Лейбница, как мы видим, с одной
стороны, устанавливает связь между определенным и неопределен-
ным интегралами, с другой стороны, она дает простое, эффектив-
ное средство для вычисления определенного интеграла, которое
можно сформулировать в виде следующего правила.
Правило. Значение определенного интеграла от непре-
рывной функции равно разности значений любой перво-
образной для нее при верхнем и нижнем пределах инте-
грирования.
Приведем несколько примеров на применение формулы Ньютона —
Лейбница:
2
\ sin = — cos х
о
2
COS
2
2) С
2
2	2
з(^2) = 4;
/2
С xdx
у)
1	. х-
—?==. = — arcsin
/4-х*	2	2
/2
1 /	• 1 и
= -- I arcsin I — arcsin —
2 \	2 >
е2х dx = ~~ е-
>2
= 1(?2_е0)=1_(е2
О
U
Л
6 ’
Таким образом, формула Ньютона — Лейбница дает практически
Удобный способ вычисления определенных интегралов: она позволяет
трудоемкую задачу о вычислении предела интегральной суммы све-
сти к более легкой в ряде случаев задаче отыскания первообразной
Для подынтегральной функции. Эта формула, по существу, устанав-
ливает тесную связь между двумя фундаментальными разделами
математического анализа—дифференциальным исчислением (куда и
381
относится понятие первообразной) и интегральным исчислением. Эта
связь впервые была установлена Ньютоном и Лейбницем. Именно
поэтому формулу (1) связывают с именем Ньютона и Лейбница.
Только с открытием формулы (1) важнейшее в математическом ана-
лизе понятие определенного интеграла нашло то большое значение
в математике и ее приложениях, какое оно имеет в настоящее время.
Эта формула значительно расширила область применения определен-
ного интеграла: благодаря этой формуле стало возможным решение
многих задач геометрии, механики, физики и техники единым мето-
дом.
Замечание. При вычислении определенных интегралов с по-
мощью формулы Ньютона—Лейбница следует особое внимание обра-
щать на законность условий ее применения. Напомним, что приме-
нение этой формулы для вычисления определенного интеграла от
непрерывной в [а, й] функции f (х) существенно предполагает для ее
первообразной F (х) выполнение равенства F'(x)=f(x) во всем зам-
кнутом промежутке [а, й]. Отсюда, в частности, следует непрерыв-
ность первообразной F (х) в этом промежутке. Нарушение непрерыв-
ности F(x) и f(x) хотя бы в одной точке промежутка [а, й] (конечно,
в этой точке уже не будет иметь смысла и равенство F'(x)=f(x))
может привести к ошибочному результату. Поясним это замечание
на примере.
"4* 1
Рассмотрим интеграл \ -r^—sdx. В данном случае подынтеграль-
J 1 Х“
-1
ная функция	непрерывна в промежутке [ — 1, 4-1| и
ее первообразная F (х) нам хорошо известна: F(x) — arctg х. Следо-
вательно, по формуле Ньютона—Лейбница находим:
1-4-х dx = arctgX	= arctgl — arctg(— l) = 2arctgl =
Л 1 -t- X*1	b
—1	-I
Заметим, что функция F(x) = arctg x непрерывна в промежутке
[—1, -f-1] и во всех точках его выполняется равенство F' (x)~=f(x).
Стало быть, применение формулы Ньютона—Лейбница обосновано
и получен верный результат. Если же для вычисления этого интег-
рала в качестве первообразной взять функцию F (х) = arcctg —
^легко проверить, что ^arcctg 4-j =-J—при х=#СН, то формальное
применение формулы Ньютона—Лейбница дает:
+ 1
5 гтз? dx arcctg Т Е=arcctg 1 ~ arcctg	1)~ Т лt •
—1
Пришли к абсурду, так как	—у. Ошибка возникла потому,
382
что функция F (х) = arcctg j в точке х = 0, принадлежащей проме-
жутку [—1. -hl]» не имеет смысла; значит, равенство F'(x) = f(x)
ПрИ х=0 тоже лишено смысла. Кроме того, при переходе через
эту точку функция F (х) делает скачок, равный —л ^действительно,
lim arcctg — = л и lim arcctg —=0). Наличие скачка (разрыва)
' _о х	-м х /
А 1
v функции F(x) = arcctg— в точке х = 0 и привело к тому, что
применение формулы Ньютона—Лейбница оказалось незаконным.
Далее необходимо отметить, что формула Ньютона—Лейбница
сохраняется для всякой интегрируемой в [а, 6] функции f(x), если
последняя имеет в этом промежутке непрерывную первообразную
функцию F(x), удовлетворяющую условию
F’(x)=f(x)	(2)
во всем промежутке [а, Ь], за исключением разве лишь конечного
числа его точек. Говоря здесь о «первообразной» функции F(х), мы
понимаем ее в несколько более широком смысле: прежде мы требо-
вали, чтобы равенство (2) выполнялось для всех точек промежутка
{а, д], а теперь F(x) должна иметь своей производной f(x) всюду
в этом промежутке, за исключением, может быть, конечного числа
его точек, лишь бы и в них не нарушалась непрерывность функ-
ции F(x).
В заключение заметим, что теорема о среднем значении для
интеграла от непрерывной функции представляет частный случай
теоремы Лагранжа (см. гл. VI, § I).
Действительно, пусть /(х) непрерывна на [a, b], a F(x) —ее
первообразная. Тогда F'(x)=/(x) и по теореме Лагранжа
F (b) — F (a) — F’ (с) (b —a) = f(c) (b—a),
то есть
ь
У (х) dx~f (с) (Ь — а), где а<с<&.
Вопросы для самопроверки и упражнения
2
1. Рассмотрим интеграл \ ------r^-dx. Непосредственно формула Ньютона—
J (я
2
Лейбница дает: \ —__________ — __1_ |2 =
J (х — I)2 х — 1 |о
Но это невозможно, так как определенный интеграл от неотрицательной функ-
ошибТаКЖе не0ТРИ1*ателен (см- свойство 5, § 4). объясните, почему произошла
383
2. Рассмотрим интеграл
л
\ 14-coSax 35есь подынтегральная функция
f	= TTTw V непрерывна
будет функция * F(x) = —arccos ..
/2 ]/T+cos2x
межутке [0, л] и во всех его точках выполняется равенство F' (x)—f(x). Значит,
формула Ньютона—Лейбница применима и мы будем иметь:
в промежутке [0, л] и одной из ее первообразных
У 2 cos х _	,
. Эта функция непрерывна в про-
dx 1	!r2 cos х л
ТД-----= -V- arccos ..........
1 +cos2 X	К1 + cos2 X о К2
Эго верный результат. Если же в качестве первообразной взять функцию F (х)~
1 х tg х /	/1	. tg х\'	1	я’
= arctg легко проверить, что arctg	-----— при х^=~
|2	У2\	\/2	>2/ l+cos2x Е ^2,
то формула Ньютона—Лейбница дает:
dx
1 + cos2 х
п
1 X tg X |	„
-Г- arctg = 0.
Г2	/2 |о
Объясните, почему в последнем случае применение формулы Ньютона—Лейб-
ница приводит к ошибке.	»
Вычислить с помощью формулы Ньютона—Лейбница следующие интегралы:
2
3.	\ х (3 — х) dx.
о
л
~2
4.	\ sin 2х dx.
о
Отв .
Отв 1.
Отв 2.
7.	j Л 2	ех	- dx.	Отв	In
8-	л	СОЗ X sin3 х	dx.	Отв	3_ 2 ’
С dx
1 ^==
§ 8.	ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Пусть f (%) — непрерывная функция, заданная в промежутке [а, &],
"	ь
и требуется вычислить интеграл ^f(x)dx.
а
Предположим, что х есть некоторая функция от t, то есть х =
= гр (/), удовлетворяющая следующим условиям:
1)	Ф (0 — непрерывная однозначная функция, заданная в проме-
жутке [а, ₽] и имеющая в нем непрерывную производную <р' (/);
i * Эта первообразная может быть найдена подстановкой /—    --------------,
'	У 1 + cos2 х
Предлагаем также непосредственным дифференцированием убедиться в том, что
Е' (х) = .	.
'	1 + COS2 X
384
2)	значения функции х=ф(/) при изменении t в промежутке
[а, Р] не выходят за пределы промежутка [а, Ь];
’ 3) <р(а) = а и (рф) = &.
Тогда справедлива формула
ь	₽
=	(t)dt,	(1)
а	а 
которая называется формулой замены переменной или подстановки
в определенном интеграле.
Действительно, прежде всего заметим, что в силу непре-
рывности подынтегральных функций оба интеграла из формулы (1)
существуют; более тою, существуют и соответствующие им неопре-
деленные интегралы, то есть первообразные функции для подын-
тегральных функций. Теперь докажем равенство этих интегралов.
Для этого введем в рассмотрение функцию
С (х) =
а
которая является первообразной для функции / (х), то есть F (х) =
= /(х)*- Тогда по формуле Ньютона—Лейбница будем иметь:
4	§ f (х) dx = F (d) — F (а).
а
С другой стороны, рассмотрим сложную функцию от переменной t:
Ф(0=Лф(01-
Согласно правилу дифференцирования сложной функции находим.
Ф'(0=г |<Р(01 ч' (0 Лф (/)] (О-
Отсюда следует, что функция Ф (/) является первообразной для
функции Л.ф(0]ф'(0 и потому по формуле Ньютона —Лейбница
получаем:
$Лф(0 ] ф' (/)Л = Ф(₽) — Ф(а)~
а
Ъ
=Лф(Мф(М = Л*)-ЛНМ&
а
Этим установлена справедливость формулы (1).
Замечание 1. Если при вычислении неопределенного интег-
рала с помощью замены переменной мы должны были от новой
переменной t путем обратного преобразования возвращаться к ста-
рой переменной х, то в этом нет необходимости при вычислении
определенного интеграла.
а
Пример 1. Вычислить интеграл |/аа___х2фу ^>0).
о
См. формулу (3) § 5, гл. IX.
13 Бохан и др.
385
Полагаем х —asin/, откуда видно, что х=0 при t—О и х — а
при t—~-^ следовательно, t изменяется в пределах от 0 до у
(см. таблицу). Проверим законность такой подстановки.
Во-первых, подынтегральная функция /(х) = ]/а2—х'2 непрерывна
в промежутке интегрирования; во-вторых, функция x=sin/ непре-
рывна вместе со своей производной x't—a cos t в промежутке [о,—j
и, в-третьих, при изменении t от О до-^- функция x=tp(/)=a sin/
возрастает от 0 до а. При этом <р (0) = 0 и ф0^ = а. Таким об-
разом, данная подстановка действительно удовлетворяет всем тре-
бованиям правила замены переменной в определенном интеграле и
потому мы вправе применить формулу (1). На основании этой фор-
мулы указанная подстановка дает:
а* 1 £
у ) (14-cos 2/) dt
о
у ла2.

Замечание 2. Часто вместо подстановки х = ср(О применяют
обратную подстановку / = ф(х). В этом случае пределы аир для
переменой I определяются непосредственно: а = ф(а), р = ф(ф).
Однако здесь следует иметь в виду, что функция х=ф(«) (ко-
торая получается из уравнения / = ф(х), если его решить относи-
тельно х) должна по-прежнему удовлетворять всем указанным
выше условиям замены переменной в определенном интеграле, в
частности функция х=ф(/) должна быть непрерывной однозначной
функцией от t в пределах интегрирования, и при непрерывном
изменении х от а до b переменная t также должна непрерывно
изменяться от а до р.
Если хотя бы одно из этих условий не соблюдено, то формула
(1) может привести к ошибочному результату. Покажем это на при-
мерах.
Пример 2. Вычислим интеграл х2 dx.
—2
Непосредственное вычисление по формуле Ньютона—Лейбница дает:
4
Применим теперь к этому интегралу подстановку t = x2, так что dx=—
2Vt
386
у[з соотношения / = х2 находим пределы интегрирования для /: если х= — 2, то
( = 4, и если х = 4, то /=16, следовательно, t изменяется в пределах от 4 до 16.
Тогда указанная подстановка приводит к результату:
4	16
С	1 С	1 ,л -Р6	1 ,а. оч 56
\ х2 dx —	\ Vt dt = t3 L = -g- (64 — 8) = -g- ,
—2	4
Получили другой результат. Полученная ошибка объясняется тем, что функ-
ция х=±У^ не однозначна, а двузначна. Поэтому, если взять положительную
часть х= +1^, то при t — 4 мы получим: х = 4~1'Л4 = 4-2, а не —2, как должно
было быть; а если взять х~ — |z/ , то при / = 16 мы получим: х = —К16= —4. а
нед.-4, как должно было быть. Следовательно, подстановка t — x2 здесь неприме-
нима, так как обратная ей функция неоднозначна.
Пример 3. Рассмотрим еще пример, когда невыполнение указанных выше
условий замены переменной в интеграле также ведет к ошибке. Пусть мы имеем
интеграл
л	л
dx = x =л.
о	о
С другой стороны,
л л	л	п
С С____________dx_____С dx_____________ С d tg х
\dx= j	cos2x-}-sin2x	' cos2 x(1 4-tg2 x)	—	j	14-tg2x‘
0	0	о	0
К последнему интегралу естественно применить подстановку / = tgx. При этом
если х = 0, то t = 0, и если х=л, то 1 = 0, то есть t изменяется от 0 до 0. При-
меняя формально формулу (1), получим:
л я	О
С	С d tg х (* dt -
.гх== ' l + tg2x - 3 14-^	'
0	0	о
Как видим, пришли к абсурду, так как луД). Это произошло потому, что урав-
нение t = tgx для Osjxsgn определяет функцию х = arctg t как двузначную при
t = 0 и, кроме того, при непрерывном изменении х от 0 до я переменная Z=tgx
имеет разрыв при переходе х через Таким образом, функция х = arctg/ не удов-
летворяет сформулированным выше условиям (см. замечание 2) и потому приме-
нение формулы (1) не оправдано.
Замечание 3. На практике замену переменной обычно про-
изводят с помощью монотонных непрерывных функций по той при-
чине, что, во-первых, с ними проще оперировать, во-вторых, моно-
тонность гарантирует однозначность как прямой, так и обратной
функции и, наконец, в-третьих, при изменении переменной t в про-
межутке [а, р] значения функции х = ф(() не выходят из проме-
жутка [а, Ь] (рис. 149).
В заключение этого параграфа остановимся на применении
правила подстановки при интегрировании четных и нечетных
функций. Как известно, функция /(х) называется четной, если
f(—	и нечетной, если f{—х) = — f(x). Геометрически это
значит, что график четной функции симметричен относительно
оси OY (рис. 150), а график нечетной функции симметричен отно-
сительно начала координат (рис. 151).
13*
387
Покажем, что
-\-а	а
§ f (х) dx=2 J f (х) dx,
если /(х) четная, и
-f- а
§ f(x) dx = 0,
если f(x) нечетная.
Если к интегралу подойти с геометрической точки зрения как
к площади криволинейной трапеции с учетом знаков площади, то
эти формулы вполне очевидны.
В первом случае фигура симмет-
рична относительно оси ординат,
и потому площадь ее равна
удвоенному интегралу по поло-
вине промежутка, симметричного
относительно начала координат.
Во втором случае фигура, огра-
ниченная кривой, симметрична
относительно начала координат,
при этом площадь части ее, рас-
положенной в первой четверти над
осью ОХ, будет получаться со
знаком плюс, а площадь второй
равной части, расположенной в третьей четверти под осью ОХ,—
со знаком минус, и потому алгебраическая сумма площадей этих
|>игур равна нулю.
Дадим аналитическое доказательство указанных формул. Пусть
/(х) задана в симметричном относительно начала координат про-
межутке [— а, а]. Тогда по свойству 2, §4, будем иметь:
f (х) dx — § f (х) dx ф- § f (х) dx.
— а	-—а	О
388
В первом интеграле справа произведем замену переменной
х = —t и воспользуемся свойством 1, § 4:
о	0	a	J
$ f(x)dx = —	0	=	= x)dx.
— a	а	О	0
Тогда получим:
$ f (x) dx = y (— x) dx + У^х) dx = yf(—x) + f(x)]dx.
— а	о	oo
Если теперь /(x) —четная функция, то сумма /(—x)-f-f(x)
равна 2/(х), и мы будем иметь:
J f (х) dx —2 f (х) dx,
~а	О
а если f(x) —нечетная, то сумма f(— x) + f(x) равна нулю и потому
4~ а
f(x)dx — O,
что и требовалось доказать.
Это свойство часто бывает полезным на практике. Например,
4- 1
интеграл $ sinx3dx = O, ибо подынтегральная функция нечетная
и интеграл берется по симметричному относительно начала коор-
динат промежутку [—1, 4-1]. При этом заметим, что неопределен-
ный интеграл от этой функции не берется в конечном виде.
Вопросы для самопроверки и упражнения
4
I* /fv
1- \ ---------т=-. Оте. 4—2 1п 3.
л
Оте. —.
3
8
2. J
3
тс
Г
Г dx
J 3-(-2 cosx
2	1
Оте. arctg
J 5 J 5
Оте. 2 — -^-.
6. Объяснить, почему формальная замена переменной
+ 1
С dx л
\	~ ПРИВОДИТ к неверному результату.
1
x = j- в интеграле.
з _________
7. Почему в интеграле ^x]4l — х2 dx нельзя положить x = sin^?
3
389
те	те
2"	Г
8. Доказать, что если / (t) непрерывна на [0, 1], то f (sinx) dx=)j f(cosx)dx.
о	о
9. Доказать, что для непрерывной периодической с периодом ш функции f (х)
а 4~ °>	ш
справедливо равенство j f (х) dx=\f (х) dx.
а	О
§ 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Для определенных интегралов имеет место формула интегриро-
вания по частям, аналогичная той, которая ранее была установлена
нами для неопределенных интегралов.
Теорема. Если функции и (х), © (х) — непрерывные
вместе со своими производными в промежутке [а, &], то
имеет место формула
ь	ь ь
— ^vdu.	(1)
а	а а
Формула (1) называется формулой интегрирования по частям
для определенного интеграла.
Доказательство. По условию функции мин имеют про-
изводные; следовательно, по правилу дифференцирования произве-
дения будем иметь:
(uvy —u'v^uv'.
Отсюда следует, что функция uv будет первообразной для функ-
ции u'v-\-uv' и ввиду непрерывности последней в промежутке [а,
интеграл от нее существует в этом промежутке. Тогда согласно
формуле Ньютона—Лейбница будем иметь:
*	6
\ (u'v-y-uv')dx~uv I ,
J	la
a
отсюда
ь	ь	ь
^u'vdx+^uv’dx—uv\,
а	а	а
или, что одно и то же,
b	ь
откуда и следует формула (1).
Пример 1. Вычислить интеграл
е
рп х dx.
1
390
Положим и = In х, dv = dx, отсюда du——l v = x, и по формуле (1) находим:
е	«'
С	Р	С dx	I
\ In х dx = х In х — \ х — — е — х =1.
J	11	.>	х	|1
1	I
2
Пример 2. Вычислить интеграл х sin х dx.
о
Положим « = х, sinxdx — dv, отсюда du — dx, v — —cosx Тогда
тс	тс
Г	|	2	*
j х sin х dx = — х cos х |o -f- j" cos x dx — sm x |Q = 1.
Пример 3. Вычислить интегралы
IT	к
2	2*
/„ = 5 sin"x-/x, /* = ^ coS'xdx,
о	.о
где п — целое неотрицательное число.
Предварительно покажем, что = Действительно,
К	ТС
F	f
/*= \ cosnxdx — sin"(^— x^dx.
о	б
Полагая	x = t в последнем интеграле, получим:
ТС
о	Г
I* — — \ sin" tdt — ^ sinntdt = ln.
тс	О
2
Остановимся на вычислении первого интеграла. Легко видеть,
что /0 —у, lt— 1. Пусть теперь п>1. Полагаем и — sin'1'4 х, dv—
= »inxdx, отсюда v — — cosx, du = (n — I) sinn-2xcosxdx.
Тогда интегрирование по частям дает:
тс
/п = \ sin” 1xd (— cos х) = — sin" 1 xcos x 4-
j	Io
тс	TC
2	Г
+ (n—l)jj sin"'2xcos2xdx = (n — 1) \ sin',-2x(l — sin2x) dx =
О	0
TC	TC
2*	F
= (zi — 1)$ sin"~2x dx — (n— I) § sin"xdx.
0	u
391
Если использовать введенное обозначение, последнее равенство
можно записать и так: /л = (п—1)/п_2 —(n—1) 7П, отсюда находим
рекуррентную формулу:
=	(2)
по которой интеграл 1п последовательно приводится к /0 или /х
в зависимости от того, число п четное или нечетное.
Рассмотрим оба случая.
1.	Пусть n = 2m; тогда, применяя формулу (2) последовательно
т раз, получим:
.  2т — 1 ,	_2m — 1 2m — 3 ,	_
im~~~~2m~ 12т~2	2т~ ‘ 2m —2	=
2m—1 2m —3 2m —5	3 _ 1 , __ (2m— 1) (2m — 3) ... 3 • 1 л
“ 2m 2m —2 2m — 4"‘ 4 2	0 2m (2m —2) ... 4 • 2 IT’
что сокращенно записывается так:	‘
л
2*
1чт = sin2"1 х dx
О
__ (2т— 1) II л
....(2m j I I	2“ ‘
2.	Если п = 2т 4-1, то аналогично
,	2m (2m —2) ... 4 • 2	.
hm+l	,о„. i ii (9.„_ 11	3.1 I*’ a TaK KaK
предыдущему
/1=1, то в сокращенном
виде получим:
(2т+1)(2т-1) ... 3- 1
п
2
/2т+1=Л Sin2"1«xdx = f^$4l!
Таким образом, объединяя полученные
иметь:
Г	(	л
с	л!!	2
cos'"xdx = \ sin"xdx = \ .	....
У	(п— 1) !!
°	In!!’
результаты, мы будем
если п четное;
(3)
если п нечетное.
Формула Валлиса. С помощью формулы (3) легко получить зна-
менитую формулу Валлиса *, дающую простое выражение для
числа я через натуральные числа.
Легко видеть, что для всех х интервала |^0, имеют место
неравенства:
sin2m+2 х < sin2”111 х < sin2"1 х.
*Д. Валлис (1616—1703) —английский математик.
392
Интегрируя эти неравенства в пределах от 0 до у, получим:
2	2	2
sin2m+2xdr<;§ sin2m+1 xdx < § sin2f"xdx
ООО
или (если заменить интегралы их численными значениями по фор-
муле (3))
(2т4-1)!1 л (2m)!!	__ (2m—1) !! л
(2m + 2) II ’ У	(2/n-|-i) II (2m) 11 У*
Отсюда после несложных преобразований находим:
2т-|-1 л	Г (2m) II I2 1 л
2т+2 ' У	[ (2m— 1) U ] ‘ 2m'-f-1 < У'
Так как lim ^^=1, то (по теореме о сжатой переменной*) из
последнего неравенства следует, что
л	Г (2m) II р 1
2 “	I <2m—1) If I ‘2т+Г
Это и есть формула Валлиса. Эта формула мало пригодна для при-
ближенного вычисления числа л, но она имеет значение в различ-
ных теоретических рассуждениях, например при выводе формулы
Стирлинга**:
е
п!=Г2^("ран, 0<е<1.
Упражнения
Вычислить интегралы:
1
\.^xexdx,	Отв. L
о
а
3,	\ У а2 — х2 dx.	Отв. <
о
1
5. arc tg Ухс1х. Отв. —1.
о
л
4
С	4
7. \ sin6 2х dx. Отв. .
10
о
2.	1 j xln (х2 0 л		Onw.	1n2 —1
4.	0	х2 cos х dx.	One.	— 2л.
	л			
6.	1	X cos8 - dx.	Отв.	35 128
8.		arcsinx , r.	 dx. ^l-j-x	Отв.	rtf 2—4.
* См. гл. III, § 3, теорема 7.
” Д. Стирлинг (1692— 1770) —шотландский математик. Вывод формулы
см. [2], стр. 57.
393
§ 10.	ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона — Лей-
бница не всегда возможно, ибо далеко не все функции интегриру-
ются в конечном виде, то есть первообразные таких функций не
выражаются через элементарные функции с помощью конечного
числа арифметических действий и операций взятия функции от
функции.
Даже если первообразная функция известна, но имеет весьма
сложный и неудобный для вычисления вид, то и в этом случае
применение формулы Ньютона — Лейбница крайне затруднительно.
В этих случаях прибегают к приближенным методам вычисления
определенного интеграла; на некоторых и з них мы остановимся ниже.
Пусть требуется вычислить интеграл
ь
l=J/(x)dx,	(1)
а
где f(x)— непрерывная функция в промежутке [а, Ь].
Так как интеграл (1) представляет собой предел интегральной
суммы вида	n_i
0= 2	(2)
/ явя(1
(где х, <xJ+i, Д Xi = xi+1 — х,), то последняя может служить
аппаратом приближенного представления интеграла (1). Таким обра-
зом,	b
\f(x)dx^- 2	(3)
a	i «о
Это приближенное равенство будет тем более точным, чем мельче
дробление промежутка \а, Ь], и погрешность этого равенства стре-
мится к нулю, если все длины Ах, стремятся к нулю. Как нам
известно, в случае интегрируемой функции предел соответствующей
интегральной суммы не зависит ни от способа дробления промежутка
|«, Ь], ни от выбора точек в частичных промежутках |х,-,	+
Однако если мы будем рассматривать произвольные дробления
промежутка интегрирования и произвольно выбранные точки &
в частных промежутках, то практическая ценность приближенной
формулы (3) будет невелика. Поэтому на практике во многих слу-
чаях при вычислении интеграла по формуле (3) промежуток инте-
грирования [а, Ь] делят на п равных частей длины А х; = —~ —.
Рассмотрим три простейших способа приближенного вычисления
определенного интеграла.
1.	Способ прямоугольников. Разобьем промежуток [а, Ь] на п
равных частей точками xf = а +1 ——, z=0, 1, 2, ..., п и поло-
жим — то есть у, —значения функции в точках Xj. Если
394
учесть, что здесь Д х,- = х;+1 —хг = -Ц^-, г = 0, 1, 2,	п-1, то
формула (3) в данном случае приводит к двум приближенным фор-
мулам:
&	ч
§ / (-*0 dx (_Уо +.У1 -f-...	(4)
а
&
<\f(x)dx^-?~(yt+yi + ...+yn)	(5)
а
в зависимости от того, берем ли мы за & начальные точки частич-
ных промежутков [х/( х,+1], то есть h — Xi, или конечные точки их:
Ь = х;+1. Формулы (4) и (5) назы-
ваются формулами прямоугольни-
ков.
Замечание. Формулы прямо-
угольников имеют простой геомет-
рический смысл. В самом деле,
если f (х) — непрерывная положи-
тельная функция на промежутке
[а, Ь], то интеграл, стоящий в ле-
вой части формул (4) и (5), выра-
жает собой площадь криволинейной
трапеции аАВЬ (рис. 152). Правые
части этих формул представляют
собой площади ступенчатых фигур, составленных из прямоугольни-
ков* с равными основаниями. Следовательно, формулы прямоуголь-
ников геометрически выражают тот факт, что площадь криволиней-
ной трапеции приближенно заменяется площадью ступенчатой фигуры.
2.	Способ трапеций. Если за приближенное значение интеграла (1)
принять среднее арифметическое правых частей приближенных фор-
мул (4) и (5), то получим так называемую формулу трапеций:
(^о-Е^я
\ 2
f(x)dx
f” У1 -t-Уг + • • • +_Уп-1) •
(6)
Эта формула имеет простой геометрический смысл в случае непре-
рывной и положительной на промежутке [а, Ь\ функции f (х). Дей-
ствительно, в этом случае, как мы уже отмечали, левая часть фор-
мулы (6) выражает собой площадь криволинейной трапеции,
ограниченной сверху кривой y = f(x). Правая часть этой формулы,
которую можно записать и так:
а I Уо ~ЬУ1	।	У1 + У2	I	Уа+Уз	i	,	Уя -1 ~Ь Уя
я )	2	'	2		2	'	'	2
* Этим и объясняется название этого способа.
395
представляет собой сумму площадей прямолинейных трапеций с осно-
ваниями yt и z/i+i и высотой Лх; = —, 1 = 0, 1, 2..... п	— 1
(рис. 153).
Таким образом, применение формулы (6) геометрически означает,
что площадь криволинеинои трапеции приближенно заменяется пло-
щадью фигуры, состоящей из прямолинейных трапеций. Этим и
объясняется название формулы
(6)—формула трапеций.
Вычисление по формуле тра-
пеций практически не сложнее,
чем по формуле прямоугольни-
ков, однако формула трапеций
при равных условиях обычно
доставляет большую точность,
чем формула прямоугольников.
Этот факт геометрически оче-
виден: сумма площадей прямо-
линейных трапеций более точно
выражает площадь криволи-
нейной трапеции, чем площадь ступенчатой фигуры, составленной
из прямоугольников. Это обстоятельство также подтверждается оцен-
кой погрешности упомянутых выше приближенных формул.
Для функции / (х), имеющей в промежутке [а, Ь] непрерывную
производную первого порядка, доказывается, что абсолютная вели-
чина погрешности* формулы прямоугольников имеет следующий
вид**:

(7)
Для формулы трапеций при условии, что f (х) имеет в этом про-
межутке непрерывные производные первых двух порядков, абсолют-
ная величина погрешности выражается формулой***
IRn I = -ni? ।	।	(8)
Из сопоставления этих формул видно, что с увеличением п
погрешность формулы прямоугольников убывает примерно как —,
а погрешность формулы трапеций убывает как бесконечно малая
порядка то есть значительно быстрее. Таким образом, мы видим,
что формула трапеций, вообще говоря, значительно точнее, чем фор-
мула прямоугольников, то есть при одном и том же п погрешность,
* Абсолютная величина разности между точным и приближенным значе-
ниями интеграла. Погрешность часто называют дополнительным членом прибли-
женной формулы.
** См. Г. П. Толстов, Курс математического анализа, т. 1, 1954.
*** См. [1], стр. 351.
396
даваемая формулой трапеций, как правило, будет меньше, чем
погрешность формулы прямоугольников.
(* dx
Пример 1. Пусть дан интеграл /= \= In 2	0,69315.
о
Найдем его приближенное значение по формуле прямоугольников
при п —10.
Разобьем промежуток [0, 1] на 10 равных частей точками хо = 0;
Х1 = 0,1; х2 = 0,2; х9 = 0,9; х10=1, так что	i = G, 1,
2, ..., 9. Вычислим значения функции у = в этих точках,
которые мы обозначим через у0, ylt у2, ., уы. Значение этих орди-
нат мы должны записать с помощью десятичных дробей. Поэтому
возникает вопрос, с каким количеством десятичных знаков следует
записывать эти дроби, если промежуток разбит на 10 частей? Оче-
видно, что число знаков при заданном п находится в прямой зави-
симости от степени точности, которую доставляет та или другая
приближенная формула; при этом число знаков при записи дробей
имеет смысл брать тем больше, чем меньше погрешность приближен-
ной формулы. Чтобы установить это число знаков при записи ука-
занных выше ординат, произведем оценку погрешности, которую мы
делаем в нашем примере, применяя формулу прямоугольников (4)
или (5) при п = 10.
В нашем случае f (л) = ——1—, 0«£х=С1, отсюда следует,
что | [' (х) |	1. Тогда формула (7) дает:
1^0 1=^ Г© К ^ = 0,05.	(9)
Таким образом, формула прямоугольников при п = 10 гарантирует
нам погрешность, не превосходящую 0,05.
Вычислим ординаты уу, ylt у2,	р10 с тремя знаками после
запятой, то есть с точностью до 0,0005. Так как при вычислении
каждой ординаты с тремя знаками мы делаем ошибку, меньшую,
чем 0,0005, то при сложении всех этих 10 ординат мы можем полу-
чить ошибку от округления, меньшую, чем 0,005*. Далее согласно
формуле прямоугольников мы должны эту сумму умножить на
Ь—а 1
—п—= То > в результате чего ошибка ее уменьшится в 10 раз, то есть
она будет опять не больше, чем 0,0005. Следовательно, общая ошибка,
возникающая от погрешности формулы прямоугольников и от округ-
ления, будет все же меньше, чем 0,051.
Разумеется, мы могли бы вычислять ординаты и с большим чис-
лом знаков, но при полученной оценке погрешности формулы такое
вычисление было бы совершенно бесполезным, потому что в нашем
* При сложении и умножении ошибка может возрасти в соответствующее число
раз, а при делении — уменьшиться в соответствующее число раз.
397
результате нет никакой уверенности за второй знак после запятой.
Вернемся к нашему примеру. Вычисляя ординаты у0, у1г у2, .у1д
с тремя знаками после запятой, получим: у0= 1,000; Ух = 0,909;
у2 = 0,833; у3 = 0,769; у4 = 0,714; у5 = 0,667; ув = 0,625; у7 = 0,588;
у8 = 0,556; у9 = 0,526; Ую = 0,500.
В этом случае формулы прямоугольников при п=10 дают:
t	•
=4 (уо+У1+...+л)=4-,7’187==°-7187>
о
или
1
ТТГ dx=ТУ	+ •' • +	= ‘о ' 6-687 = 0,6687.
б
Мы видим, что эти значения отличаются от точного значения меньше,
чем на 0,03, то есть истинная погрешность меньше полученной
оценки (9).
Теперь вычислим этот интеграл по формуле трапеций при п = --10.
1	2
Для подынтегральной функции у = -у-у— имеем: у =-^-^5-,
0=С№С1- Легко видеть, что |y"j«s2. Отсюда по формуле (8)
находим:
1J?J^3y2^ = ^<OiOO18>	(10)
Будем вычислять ординаты с четырьмя знаками после запятой;
при этом, как легко проверить, погрешность от округления ординат
может быть включена в приведенную выше опенку (10). В самом
деле, общая погрешность при округлении ординат согласно формуле
трапеции при п=10 не превосходит величины —(l-j-J- 1« --
= 0,00005, а если учесть, что ординаты у„, у10 точные, то эта по-
грешность от округления не превзойдет величины ^5222.9 === 0,000045.
Следовательно, общая погрешность, возникшая от самой формулы
трапеций и от округления ординат, не превосходит величины 0,0018.
Итак, вернемся к вычислению интеграла по формуле трапеций
при п = 10. Так как у0= 1,0000; yi = 0,9091; у2 = 0,8333; у3 = 0,7692;
у4 = 0,7143;	ys=-0,6667; ув = 0,6250; у7 = 0,5882; у8 = 0,5556;
у9 = 0,5263; у10 = 0,5000, то формула трапеций при п = 10 дает:
1
Jj __L_ dx № А.	+У1 + у2 + ... + у9) А.. 6,9377 = 0,69377.
о
Здесь уже верны три знака, результат отличается от точного
примерно на 0,0006, и истинная погрешность значительно меньше
приведенной выше оценки (10).
В этой связи заметим, что формула (8), служащая выражением
для погрешности формулы трапеций, имеет скорее теоретическое,
598
чем практическое, значение, так как эта формула обыкновенно
дает довольно грубую оценку погрешности. Такое же замечание
можно сделать о’ выражении погрешности у других приближенных
формул интегрирования.
Итак, разобранный пример подтверждает, что формула трапеций
дает более точный результат, чем формула прямоугольников.
3.	Формула Симпсона. Предварительно нам потребуется следую-
щая лемма.
Лемма. Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной
параболой
у — Ах2-\-Вх-{-С,	(11)
осью ОХ и двумя ординатами ее у(), у2, расстояние между которыми
равно h, выражается формулой
5 =	+	(12)
где у 1—- ордината кривой, равноотстоя-
щая от крайних ординат уи и у2
(рис. 154).
Доказательство. Для простоты
будем считать, что кривая лежит над
осью ОХ. Так как площадь трапеции
не изменится, если перенести ее парал-
лельно самой себе, то, не нарушая об-
щности, мы можем считать, что основа-
нием трапеции служит отрезок оси ОХ,
симметричный относительно начала кос
для площади такой параболической трапеции мы получим:
+А	+Л
S = \ (Ах2+ Вх-\-С) dx = 5 (/!№:.С) dx + В $	=
— ~	__ л
2*	2	"“V
h
2
— 2 (Ах2 + С^х = 2(а~+Сх}\* =2(Л § +	= v + 6CV
о
Таким образом,
S = -g-(x^ + 6C).	(13)
Вычислим значение ординат у0, ух, у2. Подставляя значение
абсцисс точек А, В, С в уравнение (11), мы получим соответственно:
Уо = А-^-By-f-C, У1 = С, Уг—А 4-Ву + С>
Отсюда находим, что у0 + 4г/х + х2 = Л у Д-6С.
Сопоставляя это равенство с выражением (13), мы и получим
для искомой площади формулу (12).
399
Вернемся опять к интегралу (1). Как и в первых двух случаях,
разобьем промежуток [а, Ь] на п равных частей, считая, однако,
п четным числом, то есть п — 2т. Здесь также Xj = а + гг = 0,
1, 2,	2т, суть точки дробления промежутка [а, У]. В этих
точках восставим ординаты yr=f(xl) (i = 0, 1, 2, .... 2т). В резуль-
тате криволинейная трапеция разобьется на 2т полосок.
Рассмотрим двойной частичный промежуток [а>;, ль,-2|. i = 0, 1,
2, ..., т— I. Заменим дугу кривой y — f(x), соответствующую
этому промежутку дугой параболы с вертикальной осью, то есть
параболой (11), проходящей через вершины трех смежных ординат,
то есть через три точки (х3„ y.it), (х2М, у...л1), (х.м, y.ti^) (рис. 155).
Такую параболу можно провести единственным образом через указан-
ные выше точки. Действительно, если координаты этих трех точек
последовательно подставить в уравнение (11), то получим систему
из трех уравнений с тремя неизвестными коэффициентами А, В, С,
из которой определяются они однозначно, а значения этих коэф-
фициентов единственным образом определяют уравнение параболы.
В результате каждые две смежные полоски заменяются одной соот-
ветствующей параболической трапецией. Тогда вся криволинейная
трапеция аАВЬ приближенно заменится фигурой, состоящей из т
параболических трапеций, а площадь криволинейной трапеции при-
ближенно заменится площадью этой фигуры.
Так как площадь полоски, соответствующей промежутку [х2(-,
х.3,2], приближенно равна площади соответствующей параболической
трапеции, то согласно формуле (12) будем иметь:
\ f (х) dx g- (у21 + 4z/2, j + y%t 2)>
2!
ш b — a 2 (b — а)	Л	.
где =	=	-2 1 = 0, 1, 2, .... m — 1.
400
Сложив почленно все эти приближенные равенства, получим при
ближенную формулу:
Ь	т — 1
(х) dx ~ (Ун + 4f/ai+i + t/2;+2)
ч	a	г—о
или (для n = 2m) в развернутом виде:
Ь — а
f (х) dx «=! g-- [у» + t/л + 2 (t/2 Ц- уц Ц-.. .-'г уп ч) + 4 (t/i+t/з +..4- у, j)],
а
которая и называется формулой Симпсона * (или параболической
формулой). При этом если функция f (х) имеет непрерывные произ-
водные до четвертого порядка включительно, то можно установить,
что абсолютная величина погрешности формулы Симпсона (в пред-
положении, что промежуток разбит на п = 2т частей) имеет сле-
дующий вид**:
(14)
Эта формула показывает, что погрешность формулы Симпсона
убывает примерно как бесконечно малая порядка , то есть убывает
значительно быстрее, чем в случае формулы трапеций, не говоря
уже о погрешности формулы прямоугольников.
Для сравнения точности приближенных формул вычислим тот же
интеграл
1
/= £ т4^ = 1п2^0,69315
J 1 -f~ X
о
по формуле Симпсона при п = 4.
Разобьем промежуток [0, 1] на четыре равные части точками
1	1	3
х(| = 0, хх = -х2==у, х3=^-, х4=1 и вычислим значение функ-
ции	в этих точках. Чтобы выяснить, с каким количеством
десятичных знаков целесообразно записывать ординаты уР, у1( у2,
t/3, у4, мы, как и выше, предварительно оценим погрешность фор-
мулы Симпсона при п = 4. Для подынтегральной функции у—^г^
24
мы имеем: yw - .	,-g, откуда видно, что j у(4'(х) |	24 при ОмЛ
(1 -j-x)
Тогда согласно формуле (14) будем иметь:
1^1^Тя^'24= iio <0-00053<°-0006>	(15)
1 ОС* * i	L
что гарантирует нам погрешность, не превосходящую 0,0006.
* Т. Симпсон (1710—1761) —английский математик.
** См. [1], стр. 352.
401
Если вычислим ординаты с четырьмя знаками после запятой,
то, как легко проверить, погрешность от округления ординат может
быть включена в приведенную выше оценку (15). Действительно,
общая погрешность при округлении ординат согласно формуле
г'	л	0,00005 /о , о . о.
Симпсона при п = 4 не превосходит величины — (2 + 2 • 1 + 4 • 2) =
= 0,00005, а если учесть, что три ординаты у0, ylt у.1 точные, то
0,00005
эта погрешность от округления не превосходит величины —X
X (2 • 1 + 4 • 1)	0,00003. Следовательно, общая погреш-
ность, возникающая от погрешности формулы Симпсона и от округ-
ления ординат, не превосходит величины 0,0006.
В нашем случае уй~ 1,0000; щ = 0,8000; z/3 = 0,6667; г/3 = 0,5714;
z/4 = 0,5000. Тогда формула Симпсона при п==4 дает:
V	1 [1,5 + 2  0,6667 + 4 (0,8 + 0,5714)]	1 • 8,3190 = 0,69325.
о
Получили верные три знака, и результат отличается от точного
примерно на 0,0001. Следовательно, истинная погрешность меньше
границы (15).
Если этот интеграл вычислить по формуле Симпсона при п = 6,
1
то получили бы \0,693169, то есть верны четыре знака и
о
результат отличается от точного не более чем на 0,00002.
Итак, мы видим, что формула Симпсона дает результат намного
точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций, несмотря на то,
что здесь мы разбили промежуток [0, 1] всего на четыре части.
Иными словами, формула Симпсона часто может дать более точный
результат даже при меньшем количестве ординат по сравнению
с предыдущими двумя формулами.
Упражнения
1.	Применяя формулу прямоугольников и трапеций для п—10, приближенно
4
(•	43
вычислить интеграл /== \ х2 dx~-у 21,33.
о
Отв. По формуле прямоугольников I 18,24; по формуле трапеций / =«21,44.
2.	Применяя формулы трапеций и Симпсона для /г = 6, вычислить интеграл
2
4* г/г
/ = \ -—-Ц-=arctg2== 1,10714...
1 1 -4— X*
0
Отв. По формуле трапеций / »= 1,1057, по формуле Симпсона / = 1,10704.
1
( г
3.	Вычислить по формуле Симпсона для я = 10 интеграл / = \ е х dx
s=0,74682.	Отз. / = 0,746825.
402
В примерах 4 — 6 при вычислении по формулам прямоугольников и трапе-
ций взять и=10, а по формуле Симпсона и = 4. Полученные результаты сравните
с точными.
2
(• Ах.
4.	\ - =1п 2	0,6931472.
J х
1
Отв. По формулам прямоугольников 0,71877 и 0,66877; по формуле трапеций
0,69377; по формуле Симпсона 0,69315.
л
%
Б. j sin х dx = 1.
о
Отв. По формулам прямоугольников 0,91941 и 1,07657; по формуле трапеций
0 997 95; по формуле Симпсона 1,00000.
(*	//у
6. \ —-—^0,25436. Отв. По формулам прямоугольников 0,27580 и 0,23691;
1
по формуле трапеций 0,25486; по формуле Симпсона 0,25435.
7. Ширина реки 50 м. Промеры глубины в поперечном сечении реки через
каждые 5 м дали следующие результаты:
X	1 0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
У	I0'1	1,2	1,5	2,2	3,4	3,8	3,6	3,1	2,4	1,6	0,3
где X означает расстояние от одного берега, а у — соответствующую глубину
в метрах. Определить площадь Р поперечного сечения реки и секундный расход
воды Q, зная, что средняя скорость течения 1,5 ж/сек.
Замечание. С такими задачами приходиться встречатся при строитель-
стве гидростанций, плотин, дамб и т. п.
Отв. По формуле трапеций Р 115 м'2, по формуле Симпсона Р 116,3 М
Расход воды соответственно равен Q= 172,5 м3/сек и Q= 174,4 мя/сек.
ГЛАВА X
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР
1.	Определение площади. С понятием площади простейших плос-
ких фигур (прямоугольников, многоугольников, круга и его частей)
мы уже встречались в школьном курсе элементарной геометрии;
там понятие площади для указанных фигур было достаточно хорошо
изучено, и мы знаем способы и формулы для ее вычисления. С об-
щим определением понятия площади произвольной плоской фигуры,
ограниченной замкнутой кривой, можно подробно ознакомиться,
например, в учебнике Г. М. Фихтенгольца «Основы математического
анализа», т. I, стр. 354. Здесь мы ограничимся лишь самыми общими
сведениями, касающимися понятия
площади произвольной плоской фи-
гуры. Как известно, в элементарной
геометрии площадь круга опреде-
ляется как предел площадей вписан-
ных и описанных многоугольников.
Оказывается, понятие площади произ-
вольной плоской фигуры, ограничен-
ной замкнутой кривой, может быть
введено также путем операции пре-
дельного перехода.
Пусть дана произвольная плос-
кая фигура (Р), ограниченная замк-
нутой кривой, которую называют границей или контуром дан-
ной фигуры. Рассмотрим всевозможные многоугольники (Л) пло-
щади А, целиком содержащиеся в (Р), и многоугольники (В) пло-
щади В, целиком содержащие в себе (Р) (рис. 156). Многоуголь-
ники (Л) буАем называть «входящими», а многоугольники (В) —
«выходящими». Для площадей этих многоугольников будем всегда
404
иметь А В. Отсюда следует, что множество чисел {Л} ограничено
сверху, например, любым числом В. Следовательно, это множество
имеет конечную точную верхнюю границу* P*=sup{X} и, кроме
того, Р*^В, где В — площадь любого выходящего многоуголь-
ника (В). Так как множество чисел {В}, таким образом, оказывается
ограниченным снизу числом Р*, то оно имеет конечную, точную
нижнюю границу P* = inf{B}, причем Р^:Р*. Это следует из
того, что P# является просто нижней границей для множества {В},
а р*__точной нижней границей этого множества, то есть наиболь-
шей из нижних границ.
Определение. Если обе границы Р* и Р* равны друг другу:
р^р^=р,	(О
то их общее значение Р называется площадью фигуры (Р), а саму
фигуру в этом случае называют квадрируемой.
Приведенное определение позволяет сформулировать условие
квадрируемости в виде следующей теоремы:
Теорема 1. Для того чтобы фигура {Р) была квадриру-
ема, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие
две последовательности многоугольников {(Л„)} и {(В,,)}
содержащихся в (Р) и содержащих (Р) соответственно,
площади которых имели бы общий предел
lim ,4„ - lim В., - Р,	(2)
тогда этот предел Р и будет площадью фигуры (JP).
Доказательство. Необходимость. Предположим, что фи-
гура (Р) имеет площадь Р (следовательно, имеет место равенство (1)).
Тогда по свойству точной верхней границы для любого п найдется
такой входящий многоугольник (Л„) площади Ап, что будет
Р—' сЛ^^Р.
п
Переходя к пределу в этом неравенстве при n-э-со и используя
при этом теорему о сжатой переменной, получим: lim Л„ = Р. Исполь-
зуя свойство точной нижней границы, аналогично можно построить
такую последовательность выходящих многоугольников {(_В„)}, что
Р fig Вп < Р + и, следовательно, limB„ = P.
Достаточность. Пусть существуют две последовательности много-
угольников {(Л„)} и {(В„)}, содержащихся в (Р) и содержащих (Р)
соответственно, такие, что имеет место условие (2). Так как пло-
щади многоугольников (Лн) и (В„) удовлетворяют, очевидно, нера-
венствам Ап sg Р* sg Р* =g Вп, то из (2) сразу следует, что Р* =
= Р* = р, то есть фигура (Р) квадрируема и площадь ее равна Р.
Следует заметить, что иногда вместо многоугольников целесооб-
* См. гл. I, J 5.
405
разнее рассматривать другие фигуры, квадрируемость которых уже
установлена. В этой связи имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Если для фигуры (Р) можно построить
такие две последовательности квадрируемых фигур {(Qn)} и
{(/?«)}, содержащихся в (Р) и содержащих (Р) соответст-
венно, площади которых имеют обший предел
lim Qn = lim/?„ = P,	(3)
то фигура (Р) квадрируема и предел Р будет ее площадью.
Доказательство. Так как фигура (Qn) квадрируема, то по
свойству точной верхней границы существует такой содержащийся
в ней многоугольник (Дп) площади Ап, что будет Qn—<A„sgQre.
Откуда в силу (3) и теоремы о сжатой переменной имеем: lim Ап ==
— limQn=P. Аналогично по свойству точной нижней границы суще-
ствует такой многоугольник (Вп)
IP)	(Р) площади Вп, содержащий в себе
''"Х	фигуры (/?„), что R„ < В„ < R„ 4-
/	\ /О|\ /хТоГ4) /пЛ ' »• Отсюда в СИЛУ (3) находим:
i 1 \	) \	lim Вп -dim Rn-—P. Таким обра-
x	3om, мы имеем: lim An = lim Bn — P
„	и согласно теореме 1 фигура (Р)
рис- 1о7,	квадрируема. Теорема доказана.
Итак, каждой квадрируемой фи-
гуре (Р) можно соотнести число Р, называемое площадью этой фигуры.
Отметим простейшие свойства площади, необходимые нам для
дальнейшего.
1°. Конгруэнтные (равные) фигуры имеют равные площади.
2°. Площадь части фигуры меньше, чем площадь всей фигуры.
3°. Если фигура (Р) разбита на две фигуры (PJ и (Р2) (рис 157),
то квадрируемость двух из этих трех фигур (Р), (Рх). (Р2) влечет
за собой квадрируемость третьей, причем всегда Р = РгА-Р^ то есть
площадь обладает свойством аддитивности.
Если фигура (Р), лежащая в плоскости OXY, может быть раз-
бита с помощью прямых, параллельных осям координат, на такие
части, каждая из которых представляет собой квадрируемую
«криволинейную трапецию», то прежде всего по свойству 3° сама
фигура (Р) квадрируема и площадь ее равна сумме площадей кри-
волинейных трапеций, составляющих эту фигуру.
Плоские фигуры, встречающиеся на практике, как правило,
всегда могут быть разбиты на такие трапеции. Таким образом,
отправляясь от площади криволинейной трапеции, можно вычислять
площади практически любых плоских фигур.
2.	Площадь криволинейной трапеции. Обратимся теперь к вычис-
лению площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной сверху
непрерывной кривой y—f(x), a--cxxzb, где f(x)— положительная
и непрерывная в промежутке [а, Ь] функция, с боков —ординатами
406
AD и ВС и снизу — отрезком оси ОХ (рис. 158). При этом не исклю-
чается и тот случай, когда любая из боковых сторон AD и ВС
стягиваются в точку.
Мы уже сталкивались с задачей о вычислении площади криво-
линейной трапеции в главе IX § 1. Однако там мы, скорее, стояли
чем на строгом обосновании понятия
на интуитивной точке зрения,
площади плоской фигуры.
Указанная задача, как мы
помним, рассматривалась как
задача, подводящая к поня-
тию определенного интеграла.
Поэтому и решение ее было
основано на рассмотрении
предела суммы, имеющей весь-
ма специальный вид (ю есть
суммы, которая потом была
названа интегральной).
Теперь мы рассмотрим,
Y
О
впервые в строгом изложе-	Рис. 158.
нии, ту же задачу об опре-
делении площади криволинейной трапеции, исходя из сформулиро-
ванного в этом параграфе определения площади плоской фигуры.
Итак, пусть нам дана криволинейная трапеция ABCD (см.
рис. 158). Разобьем промежуток [а, />| на п произвольных частей
точками а = х0<х1<х2<. ..<х„ = &. Обозначим через m,-, М, соот-
ветственно наименьшее и наибольшее значения функции f (х) на час-
тичном промежутке [ад, х, J (г = 0, 1, 2. ..., n —1). В силу непре-
рывности f (х) по второй теореме Вейерштрасса такие значения
существуют.
Составим суммы Дарбу:
п —-1	п — 1
s=2 miAxi, S=2 MiAxi,
(=0	i = 0
где Ax/ = xi+1—-X/. Сумма Дарбу s, очевидно, представляет собой
площадь ступенчатой фигуры (входящего многоугольника), целиком
содержащейся в криволинейной трапеции ABCD; сумма Дарбу S
выражает площадь ступенчатой фигуры (выходящего многоуголь-
ника), содержащей эту криволинейную трапецию (см. рис. 158).
Так как для непрерывной функции f (х) суммы Дарбу s и S
являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм,
то по теореме о существовании определенного интеграла обе суммы
при A.=max{AXf}->-0 имеют своим общим пределом интеграл
] f (х) dx:
а
b
lim s= limS = ^(x)rfx,	(4)
Х-0 л — 0	"
407
откуда и следует*, что площадь Р данной криволинейной трапеции
существует и равна этому же интегралу:
ь
P^f(x)dx.	(5)
а
Таким образом, если f(x) положительная и непрерывная функ-
ция на [a, bj, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной
сверху кривой y=f (х), выражается определенным интегралом и
вычисляется по формуле (5). Итак, исходя из общего определения
площади, мы доказали квадрируемость криволинейной трапеции ука-
занного вида и снова получили для ее площади ту же формулу,
что и в главе IX (§ 3).
Таким же способом можно установить, что всякая криволиней-
ная трапеция, ограниченная непрерывной кривой x = g(y)^Q
(c^y^d), двумя горизон-
тальными отрезками прямых
у=с, y — d и отрезком оси
0Y, квадрируема и ее пло-
щадь Р выражается формулой
а
Р = ^ё(У)^У-
Пусть функция f (х) не-
прерывна на [а,	О,
то есть кривая y=f (х) и кри-
волинейная трапеция,ограни-
ченная снизу этой кривой, лежат под осью ОХ. Рассмотрим функцию
^/ = — f (х). Эта функция уже неотрицательна и, следовательно, гра-
фик ее лежит над осью ОХ и симметричен графику функции у = [ (х)
относительно оси ОХ, а криволинейная трапеция, ограниченная
сверху кривой у= —-f(x), представляет собой зеркальное отражение
первоначальной трапеции (рис. 159). Следовательно, фигуры ABCD
и ABCD' конгруэнтны (равны), и, следовательно, по свойству 1°
площади их равны. Так как площадь криволинейной трапеции
ABCD', лежащей над осью ОХ, выражается формулой
Рис. 159.
ь	ь
Р= $ I—/(X)J dx = —\f(x) dx,
а	а
16)
или
b
Р= \f(x)dx ,
то этой же формулой выражается площадь данной трапеции, рас-
положенной под осью ОХ.
* В силу теоремы 1, § 1, гл. X.
4Q8
Таким образом, если f(x)-sgO на [а, £>], то определенный интег-
рал (5) по абсолютной величине также дает площадь Р криволиней-
ной трапеции, расположенной под осью ОХ.
Замечание. Формула (6), записанная в виде \f(x) dx = ~ Pt
а
b
показывает, что в случае /(%)«£ 0 определенный интеграл \f(x) dx
дает площадь криволинейной трапеции ABCD, лежащей под осью ОХ,
но взятую со знаком минус. Это совсем не означает, что площадь
отрицательна (площадь есть величина положительная), а говорит
лишь о том, что перед числом Р, выражающим площадь этой тра-
пеции, стоит знак минус.
3.	Площадь фигуры в декартовых координатах. Рассмотрим
теперь общий случай, когда некоторые части кривой y = f(x) нахо-
дятся над осью ОХ, а другие —под осью ОХ. В этом случае интег-
рал (5) и по абсолютной величине не дает уже площади всей заштри-
хованной фигуры (рис. 160), а пред-
ставляет собой алгебраическую сумму	V
площадей тех частей фигуры, ко-
Рис. 160.	Рис. 161.
и тех ее частей, которые находятся под осью ОХ; причем первые
входят в сумму со знаком плюс, а вторые —со знаком минус
(см. предыдущее замечание). Поэтому площадь всей фигуры в дан-
ь
ном случае выразится формулой Р = § | f (х)) dx, или (в случае, изо-
браженном на рис. 160)
с	d	b
P = \f(x) dx~\f(x) dx+\f(x)dx.	(7)
а	с	d
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у — х2 — Зх,
прямой х—~2 и осью ОХ (рис. 161).
Часть фигуры находится над осью ОХ, а часть —под осью ОХ, следовательно,
искомая площадь находится по формуле (7):
р	?
(х2 — Зх) dx— \ (х2 - Зх) dx = [^- — ~	---1	|3 = ?1
-2	0
40‘
Пусть фигура ограничена снизу и сверху кривыми У1=Л(х),
y2=-f2(x) и fi(x)<f2(x), a^x^b (рис. 162), где /\ (х), f2(x)—две
непрерывные функции. Используя установленное выше, можно до-
казать, что фигура такого вида квадрируема, но мы на этом не
останавливаемся. Если этот факт считать уже известным, то ясно,
что площадь такой фигуры находится как разность площадей двух
криволинейных трапеций:
р = $ Л (х) dx - S /1 (•*) dx = $ 1/2 (*) -/1 (*•)]dx-	(8)
а	а	а
Заметим, что это формула справедлива и тогда, когда (х) и
f2 (х) принимают отрицательные значения.
Упомянем также, что можно доказать и более общий результат,
а именно: если контур фигуры (Р) состоит из нескольких непре-
рывных кривых, каждая из которых задается уравнением вида у ~
— f (х) или x—g(y), то эта фигура квадрируема.
Для вычисления площади такой фигуры рекомендуется с по-
мощью прямых, параллельных координатным осям, разбить ее на
части, представляющие либо криволинейные трапеции, либо такие
фигуры, площади которых вычисляются как разность площадей
криволинейных трапеций.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой 1/2x4-3
и параболой г/ = № (рис. 163).
Найдем точки пересечения прямой с параболой, решив совместно их уравнения
у = х3,
у — 2х -|-3.
Следовательно, № —2с—3 = 0, откуда находим:	—1, ха = 3. Согласно
формуле (8) будем иметь:
(2x + 3-№) dx
410
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х3--- Зх и
прямой i/4-Зх—4 = 0 (рис. 164).
В данном случае заштрихованная фигура ограничена двумя линиями. Следо-
вательно, для вычисления площади этой фигуры надо применить формулу (8).
Для этого найдем точки пересечения параболы и прямой. Решая систему
(t/ = x2— Зх,
\у = 4 — Зх,
получим Xi = + 2, х2 = —2. Тогда для площади искомой фигуры согласно фор-
муле (8) будем иметь:
+2	+2
Р =	(4 — Зх — х2 Зх) dx — У (4 — х2) dx —
“4“ 2
„ С ,л	х®\|2	8\	32
псе х > 14 ~~	иХ jL I 4Х Тл* j I =*: «fii 1 О ~7V") ’~1Я' —* ♦
J	\	3 / |о \	3/3
4.	Случай параметрического задания кривой. Рассмотрим случай,
когда кривая АВ задана параметрическими уравнениями
х=ф(0,	1	\
} ст
причем точка А соответствует значению t — а, точка В — значению
( = р*. Когда t изменяется от а до р, то точка описывает кривую
от Л до В (рис. 165), при этом, а —ф (а), & = <р(Р), где а а b—
абсциссы точек А и В. Производя замену переменной в интеграле
(5) по формуле х = ср(/), мы, очевидно, получим:
Р = j ф (t) ф' (Z) dt.	(10)
а
В самом деле, для осуществления указанной замены функции
ф(0, Ф(0 должны удовлетворять всем необходимым требованиям.
А именно, мы считаем, что ф (/), ф' (/), ф (/) непрерывны на [a, PJ,
кроме того, функция ф(/) монотонная на [а, р]. Тогда по теореме
* О параметрическом задании кривой см. гл. V, § 7.
411
об обратной функции (см. гл. IV, § 6) существует обратная функ-
ция ( = у(х), а^хё^Ь. Подставляя это выражение для t в урав-
нение у=ф(/), получим:
!/ = ф (/) = ф [у (х)] = /(х), a^xt^b,	(11)
где / (х) — непрерывная функция на [a, fej. Так как мы пришли
к явному способу задания кривой, то для вычисления площади
криволинейной трапеции мы можем воспользоваться формулой (5):
ь
P=^f (х) dx.
а
Производя замену переменной в этом интеграле по формуле х = ф(/)
и учитывая условие (11), получим:
ь	в	Р	р
Р=У (x)dx= у [<р (/)] ф' (/)Й = $ф [о (ф (/))] ф' (/) dt =	(/) ф' (t) dt,
а	а	а	а
то есть формула (10) доказана.
Замечание. Формула (10) может быть также использована
для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой,
при условии, что вся кривая обходится один раз по направлению
вращения часовой стрелки, когда параметр t изменяется от а до (J.
Пример 4. Вычислить площадь эллипса (рис. 166)
Ввиду симметрии кривой относительно осей координат достаточно вычислить
площадь части эллипса, находящейся в первой четверти. Поэтому находим:
я
а	0	2
Р — 4 1 у dx — 4 k b sin t • а (—• sin t) dt = 4ab	sin2 t dt — tab • 4- • -5- = nab *.
J	J	Л	Л -Z
о л	о
2
Пример 5. Вычислить площадь фигуры (рис. 167), ограниченной замкну-
той кривой
j х = a sin t,
I у = Ь sin 2t.
Предварительно остановимся на описании формы кривой. Эта кривая симмет-
рична относительно осей координат. Действительно, из уравнений кривой видно,
что при замене t на л — t переменная х не меняется, а у изменяет только свой
знак. Это значит, кривая симметрична относительно оси ОХ. Точно так же при
замене t на л-j-Z переменная у не меняется, а х изменяет только свой знак. Сле-
довательно, кривая симметрична относительно оси OY Этим установлена сим-
метрия кривой относительно обеих осей и, стало быть, относительно начала
* Воспользовались формулой (3), § 9, гл. IX.
412
i
координат. Последнее можно также установить из следующих соображений: при
изменении знака t будут изменять свой знак х и у, то есть точка кривой пере-
ходит в положение, симметричное с первоначальным относительно начала коор-
динат. Следует учесть, что все точки кривой в силу перводичности функций sin t
и sin 2/ получаются уже при изменении t в промежутке [0, 2л]. Кусок кривой,
лежащей в первой четверти, получается при изменении параметра t в промежутке
10. уj, так как только в этой части промежутка (0, 2л] выполняются оба нера-
венства- хЭ:0, y~S*Q. Поэтому для выяснения формы кривой достаточно построить
ее часть, лежащую в первой четверти, а затем воспользоваться симметрией. На
рисунке 167 изображена данная кривая и на ней отмечены точки, соответству-
ющие значениям t, приведенным в таблице 1.
Таблица 1
t	X	У
0	0	0
л 4	а РТ	ь
л 2	а	0
Итак, ввиду указанной симметрии кривой мы можем ограничиться вычисле-
нием площади фигуры, расположенной в первой четверти, и результат умножить
на 4:
п	л
а	2	2
/»	л	р
/> = 4 ydx = 4 \ b sin 2/ • a cos / dt= — 8ab \ 0	0	0 п 2 8 ,	|	8 t — —у ао cos3 /	= у ао, 0	cos21 d cos t —
413
Пример 6. Вычислить площадь петли
х = £.(2-/2)1
г/=-рР-з),
где а и 6 —положительные постоянные.
Из уравнений кривой видно, что областью существования данных функций
является промежуток (— со, + оо) и что с изменением только знака параметра
t функция к не изменяется, тогда как у лишь изменяет свой знак. Отсюда следует,
что данная кривая симметрична относительно оси ОХ. Найдем те значения пара-
метра t, при которых х и у обращаются в нуль — точки пересечения с осями
координат. Для этого сперва положим х = 0, то есть 2 —/2 = 0, отсюда t—± У 2.
Подставляя эти значения во второе уравнение, получим две взаимно симметрич-
b	b
ные точки	, у2—	, в которых кривая пересекает ось OY. Затем,
V &	9
полагая у—О, найдем: / = ±]/3, t — О. Подставляя эти значения в первое урав-
, х2 = а пересечения кривой с осью ОХ; при-
а
чем через точку %!=—кривая проходит
дважды при t = + /3, пересекая самое себя,
образуя петлю (рис. 168). Из уравнений
кривой следует, что х — — со при t—» ± оо,
з у —* —оо при / —* —оо и у —*—- оо при
t — —со. Отсюда ясно, что кривая имеет
две бесконечные ветви: одну —во второй
четверти, другую —в третьей.
Из всего сказанного нетрудно заметить,
что при возрастании параметра t от — оо
до -(-оо точка М. обходит кривую так, как
указано стрелкой на рисунке 168; при
этом петля обходится по часовой стрелке
при возрастании t в промежутке [—'|/3,
+ Гз].
Учитывая симметрию фигуры относи-
тельно оси ОХ, достаточно вычислить поло-
вину искомой площади и результат удвоить.
Найдем, например, площадь верхней части
фигуры (над осью ОХ), которой, как это
соответствует изменение параметра t от
следует из наших рассуждений,
— фЗ до 0 — это и будут пределы интегрирования. Тогда, учитывая, чтох/ = — at,
по формуле (10) находим:
о	о
Р = 2 yx'tdt=2 A/p-3)(-a/)d/=
-фз	—/3
о
= ab (3/2 — /*) dt—ab (& —
-Vi
Отметим, что если интегрирование производить в пределах от — J/З до -ф ]/3,
то формула (10) сразу даст площадь всей петли. Предлагаем в этом убедиться
непосредственно.
1°	6 г-
= -1/За6.
I—уз	5
414
5. Площадь сектора в полярных координатах. Расгмотрим слу-
чай, когда кривая АВ задана в полярных координатах:
г = ф (0), а<;0<:р,
где ф (0) —непрерывная в промежутке [а, ft] функция.
Вычислим площадь Р сектора, ограниченного данной кривой и
двумя полярными радиусами, соответствующими значениям 0=--=а
и 0==р (рис. 169). Для этого разобьем промежуток [а, р] на п
произвольных частей точками
а = 0о< ©х<•••< 0< < ©«.д <•••<©« = Р
и проведем соответствующие этим углам полярные радиусы, тогда
криволинейный сектор АОВ разобьется на п частичных криволиней-
ных секторов. Если через т, и /И, мы обозначим соответственно
наименьшее и наибольшее значения функции г—ф(0) в г-ом проме-
жутке 0«т1] (г —0, 1, 2, ..., и—1), то круговые секторы, опи-
санные радиусами, равными т, и Mit будут соответственно «входя-
щими» и «выходящими» для сектора АОВ.
Так как площадь z-го входящего кругового сектора радиуса п =
= т, равна у m'j где Л0,-“ Н,-t —0,-, а площадь выходящего
/-го сектора радиуса гг- = ЛД равна у Л4?А0,-, то суммы
п — 1
s = А \ m’iAOt,
£ ЛшА
/ »= О
п — 1
5 = 1У <Д0г
* JMN
I =г: О
выражают собой площади двух фигур: первая —площадь фигуры,
составленной из входящих круговых секторов, вторая—площадь
фигуры, составленной из выходящих круговых секторов для сектора
АОВ.
Суммы s и S, как легко видеть, представляют собой суммы Дарбу
для интеграла -у^ф2(0)ф0. Следовательно,
а
=	= ( ф2(0 d0,
где Х = шахЛ0/. Отсюда в силу теоремы 2 §1 площадь Р криволи-
нейного сектора АОВ существует и равна этому же интегралу:
Р = у Ф2(0)Ж	(12)
а
Пример 7. Вычислить площадь, ограниченную -лемнискатой Бернулли
(рис. 170) г2 = a2 cos-20 (а>0).
415
в
Предварительно остановимся на описании формы кривой. При © — ^-поляр-
ный радиус кривой обращается в нуль, следовательно, кривая проходит через
полюс.
Из уравнения кривой видно, что полярный радиус г принимает вещественные
значения, когда cos 20	0, то есть когда угол 20 удовлетворяет неравенствам *
л	_	5	л _ л 3	5
-—„	20	эх 20 -Чг- эх, откуда----0	-т-; —г- эх 0 л.
2	2	2	2	4	4	4	4
Заметим, что когда 0 изменяется от —у до	то полярный радиус г
описывает часть кривой, расположенной в первой и четвертой четвертях, а при
3	5
изменении 0 от я до -у л он описывает часть кривой, расположенной во вто-
рой п третьей четвертях. Если к тому же учесть, что период cos 2© равен л, то
при замене 0 на 0-}-л (что равносильно повороту полярного радиуса г на
угол я) полярный радиус г не изменится, и поэтому кривая симметрична отно-
сительно полюса О. Более того, эта кривая симметрична относительно полярной
оси, так как для значений 0, отличающихся только знаком, г не изменяется
Этих соображений уже достаточно для того, чтобы построить всю кривую (см.
рис. 170).
Таким образом, вся кривая расположена в двух вертикальных углах между
_ л _	3
прямыми, проведенными под углами 0=-^- и 0 = ^п к полярной оси, и пере-
секает сама себя в полюсе О.
Перейдем к вычислению площади. Учитывая симметрию кривой относительно
полюса и полярной оси, мы можем ограничиться вычислением площади фигуры,
находящейся в первой четверти, а это соответствует тому, что 0^0^^-, Сле-
довательно, вся площадь фигуры согласно формуле (12) будет равна
п	я
'4	4	Е
Р = 4 • 4- \ г2 dQ = 2а2 \ cos 20 d& — a2 sin 20 = а2.
2	.1	Р
* Значение cos 20 будет неотрицательным при
+	/г = 0, +1, ±2, ...
В нашем случае достаточно взять k = 0 и k--\.
416
Пример 8. Вычислить площадь, ограниченную кривой г —a cos3 0 (а > 0).
Легко видеть, что кривая проходит через начало координат и симметрична
относительно полярной оси (в силу четности cos©). Так как величина поляр-
ного радиуса должна быть неотрицательна, то и cos 0 0, а это возможно только
в первой или четвертой четверти. Таким образом, кривая расположена в первой
и четвертой четвертях (рис. 171). Половина этой кривой, расположенной в первой
четверти, получается при возрастании 0 от 0 до у. Поэтому вся площадь фи-
гуры равна:
л
2'
Р = 2 • у г2 <70
О
л
2
С	1 ч. ч
а2 \ cos« 0 de = а2 н-т-7
J	2-4*6
л
т
4 ла2 *.
_	о	а
Полученная площадь составляет у площади круга радиуса у.
Пример 9. Найти площадь кардиоиды (рис. 172) r = a (14-cos 0).
Так как кривая симметрична относительно полярной оси (в силу четности
cos0), то достаточно вычислить площадь верхней половины. Эту половину поляр-
ный радиус г опишет при изменении 0 от 0 до л. Тогда по формуле (12) на
ходим:
71	П	JX
Р — 2 • у г2 dQ = а2 \ (1 4-cos 0)2 d© — а2 ? (14-2 cos 0 4~cos2 0) d© ==
/ 3
==а2 (у 0 4-2 sin 0
sin 20 \ |л 3
+ ~1~1 |о = 2
па2.
Упражнения
1.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у — Ъх — х2 и осью
ОХ.	Отв 36.
2.	Найти площадь фигуры, ограниченную линиями у = х2 + 4х, у — х+4.
Отв. 20 А.
о
3.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (у — х)2 = х3, х=1.
Отв. 0,8
* Воспользовались формулой (3) § 9, гл. IX.
14 Бохан и др.
417
4.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и одной дугой цикло-
иды х=а(/ —sin/), t/ = a (1 —cos/).	Отв. Зла2.
5.	Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x=acos3/, у —a sin8/.
„	3
Отв. — ла2.
О
6. Найти площадь петли x — 2t—t2, y — 4t — t3.
Указание. Кривая имеет две бесконечные ветви, расположенные во второй
и третьей четвертях, дважды проходит через начало координат, образуя петлю
в первой четверти.
8
Отв. —.
7.	Найти площадь петли х = 3/й, y = t—t3.
Указание. Кривая симметрична относительно оси ОХ, имеет две бесконеч-
ные ветви, касается оси ОУ в начале координат и дважды проходит через
точку (3, 0), образуя петлю, расположенную в первой и четвертой четвертях
г> 8
Отв.
5
8.	Вычислить площадь одной петли кривой г —a cos 20. Отв. ла2
О
9.	Найти площадь, ограниченную замкнутой кривой r = acos30, а > 0.
Указание Кривая симметрична относительно полярной оси и образует
три одинаковые петли. Полная площадь равна шестикратной площади половины
5
петли, соответствующей изменению угла 0 от 0 до — .	Отв. а2 .
10.	Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля r=2a (2-f-cos 0),
а> 0.
Указание Кривая замкнута и симметрична относительно полярной
оси.	Отв. 18л«2.
11.	Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой r=a sm 0 cos2©,
а > 0.
Указание Кривая проходит через полюс, образуя две петли в первой
и второй четвертях, симметрично расположенных относительно оси OY. Отв .
12.	Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой r=a Kcos 40,
я > 0.
Указание. Кривая проходит через полюс, образуя четыре петли, симмет-
рично расположенные относительно осей ОХ и ОУ	Отв. а2.
13.	Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой (х2-\-у2)3 = а2х2.
Указание. Перейти к полярным координатам: x=r cos 0, у — г sin 0.
3
Отв. -о па2.
О
§	2. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
\
х С понятиями длины прямолинейного отрезка и длины окруж-
ности мы уже сталкивались в школьном курсе элементарной геомет-
рии. Нам известны способы и формулы для вычисления длины
этих линий, а также линий, составленных из конечного числа
отрезков (ломаная линия) и конечного числа дуг окружностей. Если
понятие длины отрезка строилось с помощью сравнения его с некото-
рым фиксированным отрезком, принятым за единицу масштаба,
то в случае кривой линии мы не можем использовать этот элемен-
тарный способ измерения длины, так как никакая часть прямо-
линейного отрезка не совмещается с кривой. Как нам известно,
понятие длины окружности уже требует довольно тонкого подхода,
418
связанного с операцией предель-
ного перехода, и это подавно
будет иметь место при опреде-
лении длины дуги произвольной
кривой. К точному выяснению
понятия длины дуги кривой мы
сейчас и перейдем.
Пусть плоская кривая АВ
(рис. 173) задана уравнением
y=f (х), а^х^Ь, где f(x) —
непрерывная функция на про-
межутке [а, &]. Разобьем кри-
вую АВ на п произвольных частей точками Л = Л40, МЪМ2,
Mit Mi+1, Мп — В (занумерованными по порядку от Л к В).
Соединив эти точки хордами, получим некоторую вписанную
ломаную линию, периметр которой обозначим через р.
Определение. Если существует конечный предел s периметра
р вписанной в кривую ломаной, когда наибольшее из ее звеньев
стремится к нулю, то этот предел и называется длиной дуги АВ:
s=lim р,
д -» о
где ц—длина наибольшего звена ломаной*.
Кривую, длина которой существует, называют спрямляемой. На
языке «8 — 6» это определение означает, что для каждого числа е>0
найдется такое число 6>0, что для любой вписанной ломаной, у
которой п<<\, будет выполняться неравенство |s—pj<e.
1.	Длина дуги в прямоугольных координатах.
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна вместе со
своей производной f (х) на промежутке [a, &J, то кривая
АВ спрямляема и длина ее выражается формулой
ь
«=^1 +f'*(x)dx.	(1)
а
Доказательство. Разобьем кривую АВ на п произвольных час-
тей точками А=Мй, Mlt М2, ...,	Мп=В и соединим
их попарно хордами. Координаты точки Mt обозначим через xt и f (х;)
0 = 0, 1, 2, ..., п), так что для абсцисс этих точек получим:
а=хй < Х]_ <zx2 <Z...<ZXi<Z xi+1 <.. .<zxn = b. Тогда длина /,• одного
звена М[М,+1 ломаной линии вычисляется по известной формуле
из аналитической геометрии:
li = F(\+1 -х,)2 + [/(х/+1)-f(Xi)]\ z = 0, 1, 2,..., п-1.
По формуле Лагранжа f (xi+1) — f(xi) = /'(&) (*/+i ~ х{), где xt	& =C xi+1.
* В этом определении подразумевается, что предел s не зависит от способа
разбиения кривой на части.
14*
419
Следовательно, li — V 1 +/'2 (£,•) • Дхг, где Дхг = Х;+1— хг. Таким обра-
зом, периметр всей ломаной линии равен
р=”.£ k = х /1+Г2&) •д*<-
; = 0	i = 0
Мы имеем здесь интегральную сумму для интеграла (1). Так
как функция ]/Л1 -f-f'2 (х) непрерывна на [а, &], то предел этой
суммы существует, когда Х = шах {Дх/} -> 0, тем более, когда
max I, -> 0, и равен соответствующему определенному интегралу, то
есть
п — 1 ________ b ______________
s = lim р = lim У V1 + f '2 (£,•) • Дх; = \ УI + f'2 (х) dx,
u-0 x-*oz^o	i
при этом а при р~>0 и подавно Х-»0. Теорема доказана.
Пример 1. Найти длину полукубической параболы ш/2 = х3, а>0отх = 0
до х=5а (рис. 174).
Эта кривая симметрична относительно оси ОХ. Мы вычислим длину дуги
одной ветви кривой (например, верхней).
Из уравнения у — —— х2 находим: у'=—— х2. Следовательно, по
] а	2у а
муле (1) получим:
Фор-
[ X	х\
Пример. 2 Найти длину дуги цепной линии * у = -^\еа 4-е а/отх=0до
х=а (рис. 175).
* Название цепная линия происходит от того, что такую форму принимает
гибкая и нерастяжимая тяжелая нить (например, цепь), подвешенная за оба
конца.
420
Из уравнений цепной линии находим: У' ~-^-\еа —г а). Поэтому сог-
ласно формуле (1) будем иметь:
а
/1 +1/'2 dx
О
X —
е“ — е “ ) dx==
s =
a
еа — е =	---1А
‘ |о	2 \ е ]
2	2	2
Пример 3. Вычислить длину астроиды х3+у3 =а3 , а>0 (рис. 176).
Эта кривая симметрична относительно осей координат. Достаточно вычислить
длину дуги в первой четверти. Положив в уравнении у—0, найдем: х= ± а. Из
з	1
/А А\г _ JL 7 А А\ ”2
уравнения астроиды находим: у = \а3— х3/ , у' = — х 3 \а3—х3/ ’ тогда
“	_____ "	2"_2 / "2_ 2Т
s = 4 \ jAl-t-y'2 dx = 4 i-px 3\а3—x3/dx =
0	о
_1	3—1“
3 dx = 4 j/~a • х 3 = 6а.
2 о
X
кривая АВ задана параметрическими
Рис. 176.
= 4 j/a J
ь
Замечание. Пусть
уравнениями
х = <р (/),
y = ty (/),
Предположим, что обе эти
функции имеют непрерывные
производные в промежутке [70,
Т], при этом <р'(7) =# 0. Тогда
х = <р(() монотонна в [70, Т],
так что она имеет обратную
функцию 7 —о(х), также моно-
тонную, непрерывную в проме-
жутке [а, 7>] * (где а = q>(70),
6==ф(7’)) и имеющую непре-
рывную производную t'x— Л
xt
{x't 0). В таком случае пере-
менная у определяется как функция от х и уравнение кривой АВ
может быть записано в явном виде:
г/==Ф(О=ф[Р (х)]=/(х),
a^x-<zb, где, как легко видеть, f (х) будет непрерывной функцией
на [а, 6], для которой также существует непрерывная производная.
* См. гл. IVt § 6.
421
Вычисление этой производной может быть выполнено по известному
правилу (см. гл. V, § 7):
Ух x't ф' (t) ’
Итак, поскольку уравнение кривой АВ может быть записано
явным уравнением у—Цх) и функция /(х), заданная на [а, Ь],
удовлетворяет всем условиям доказанной выше теоремы, то длина
дуги АВ может быть вычислена по формуле (1):
ъ ________
8=5 А-у'х dx.
а
Производя замену переменной в этом интеграле с помощью фор-
мул (2), находим:
s= /1 dx= 1/ 1+h^j X/ dt= С + dt.
a	ta	К
Таким образом, длина дуги АВ, заданной в параметрической
форме, выражается формулой
т _________
s = 5 /л*? + yi3 dt,	(3)
где tn и Т — значения параметра t, соответствующие начальной
точке А и конечной точке В дуги или значениям х=а, х — Ь.
Заметим, что формула (3) по сравнению с формулой (1) имеет то
большое преимущество, что она применима к более разнообразным
кривым, в частности к замкнутым.
Это замечание относительно применимости формулы (3) не вы-
текает из наших рассуждений. Однако следует иметь в виду, что
формулу (3) можно было бы вывести не из формулы (1) (как это
мы сделали), а непосредственно, исходя сразу из задания кривой
параметрическими уравнениями (2), как это проводится во многих
учебниках по математическому анализу *. В этом случае уже не-
трудно распространить формулу (3) и на случай замкнутой кривой.
При этом если кривая задана параметрическими уравнениями (но
не замкнута), то определение ее длины ничем не отличается от того,
которое было сформулировано в начале этого параграфа. Если кри-
вая замкнута, то можно произвольным образом разбить ее на два
куска и определить длину всей кривой как сумму длин этих кусков.
Впрочем, в следующем параграфе будет указан другой подход
к понятию длины кривой, одинаково применяемый к любым кривым.
Пример 4. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды х = a (t— sin t),
у = а(1 — cos f) (рис. 177).
В данном случае параметр t изменяется от 0 до 2л, так как точка М опи-
сывает одну ветвь циклоиды при одном обороте круга. Из уравнения циклоиды
* См. [1J, стр. 370 — 375.
422
находим, что x’t = a (1 — cos t), y't = a sin t и, следовательно, xz's4-z/z'2 = 4a2 sin2-^-.
Тогда по формуле (3) находим:
2л	2л
С т/—'г----Т	С t	[ t \ |2л
s= \ V xt -4-yt dt=2a I sin -%- dt — 4a I — cos1	— 8a.
о	6
Пример 5. Вычислить длину петли кривой х=)'Л3 72, y = t—t3.
Из уравнений кривой видно, что областью существования функций х и у
является промежуток (— со, + со) и что с изменением только знака параметра t
переменная х не изменяется, тогда как у изменяет лишь свой знак. Отсюда вы-
текает, что данная кривая симметрична относительно оси ОХ. Так как х>:0 при
всех t, то кривая расположена в первой и четвертой четвертях. Непосредственно
из уравнений кривой следует, что х —4-со при 7-*±со, а у-
и у — — ся при t — -|~оо. Это значит, что кривая имеет две
одну —в первой четверти, другую— в чет-
вертой.
Найдем теперь точки пересечения кри-
вой с осями координат. Из уравнения для
х сразу видно, что х = 0 только ири
7=0. При этом значении параметра t пере-
-*-}-co при t~-—co
бесконечные ветви:

Рис. 177.
менная у тоже равна нулю; значит, данная кривая имеет с осью OY единст-
венную общую точку в начале координат. Положив теперь у=0, то есть t—ts=
= 0, найдем 7=0 и t=± 1. Подставляя эти значения в первое уравнение, по-
лучим две точки хх = 0, х2=|/'3 пересечения кривой с осью ОХ; при этом через
точку х2 = +УЗ кривая проходит дважды (при /=± 1), пересекая самое себя и
образуя петлю (рис. 178). Из всего сказанного легко вывести, что при возраста-
нии параметра t в промежутке (— оо, со) точка М обходит кривую так, как
указано стрелкой на рисунке; при этом петля обходится по часовой стрелке при
возрастании t в промежутке [— 1, +1]. В силу симметрии кривой относительно
оси ОХ достаточно вычислить длину половины петли и результат удвоить. Найдем,
например, длину верхней части (над осью ОХ), которой соответствует изменение
параметра t от 0 до 4- 1—это и будут пределы интегрирования Так как xt =
= 2]/<s t, y't = l — 3t2 и xz'24-(/z'2 = (14-372)2, то согласно формуле (3) искомая
длина равна:
1_________1 1
s=2 jKxt2 + y't2 d/ = 2^(l+372)d7 = 2(7+73) =4.
оо	о
2.	Длина дуги в полярных координатах. Наконец, рассмотрим
случай, когда кривая АВ задана в полярных координатах уравнением
r=/(0),
где f (0) имеет непрерывную производную f' (0) на промежутке
[а, ₽]; при этом точкам А и В соответствуют значения а и р.
423
Известно, что прямоугольные координаты х и у связаны с поляр-
ными г и 0 соотношениями
x = rcos0, y==rsin0.	(4)
Если учесть, что r—f (0), то уравнения (4) можно рассматри-
вать как параметрическое задание кривой АВ с параметром 0.
Тогда
х'а = r'e cos 0 — г sin 0; у'е = rj sin 0 ф- г cos 0,
так что хё2 + гё2 = г2 + те3, и формула (3) дает
в ________
s ]/r24-/v’</0.	(5)
а
Пример 6. Вычислить длину кардиоиды r = a(14-cos0) (см рис. 172 на
стр. 417).
Так как кривая симметрична относительно полярной оси, то при изменении
0 от 0 до л полярный радиус г опишет половину кривой. Тогда, если учесть,
что г’в ——a sin в, формула (5) дает:
л -	л
s = 2 V r2 + r62 d0=2f/a?(l+cos0p + a2sin2e d0 =
b	о
л	л
, f* г-------- С	6	6 |л
= 2 I 2а \ V 1 + cos 0 dQ = 4а \ cos rf0 = 8a sin -$ — 8a.
•)	10
6	0
Вернемся снова к формуле (1) и найдем с помощью ее выраже-
ние для дифференциала дуги в прямоугольных координатах.
3.	Дифференциал дуги. Возьмем на дуге АВ произвольную
точку М. отвечающую значению х из промежутка \а, Ь], и будем
считать ее переменной точкой кривой АВ. Тогда длина дуги AM
будет функцией от х и согласно формуле (1), если в последней за-
менить верхний предел b переменной х, получим для длины дуги AM
формулу:
s(x)==J/T + rW^.	(6)
а
Так как здесь подынтегральная функция непрерывна, то, при
нимая во внимание правило дифференцирования интеграла по верх
нему пределу, из последней формулы находим:	—У"1+/'2 (х)
отсюда получим формулу для дифференциала дуги:
ds—j/~l-\-^^dx или ds=^Vdx2-\-dy2.	(7)
Эта формула позволяет дать простое геометрическое истолкование
дифференциала дуги. Действительно, дифференциал дуги ds чис-
ленно равен длине отрезка МР касательной к кривой в точке М,
то есть является гипотенузой прямоугольного треугольника с кате-
тами \dx\ и |di/| (рис. 179).
424
Остановимся еще на одном применении формулы (1) и с помощью
ее установим интересный результат, которым часто пользуются во
многих приложениях математического анализа, а именно: эквива-
лентность бесконечно малой дуги и стягивающей ее хорды.
4.	Эквивалентность бесконечно малой дуги и стягивающей ее хорды.
Пусть М^М — какая-нибудь дуга кривой АВ (рис. 180). Точку АД
будем считать неподвижной.
Теорема 2. Если кривая АВ задана уравнением у =f(x)
и функция f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы 1,
то предел отношения длины дуги к длине стягиваю
щей ее хорды М tМ равен единице, когда точка М. стремится
к Mj то есть
lim
.и . и, МгМ Ь
Доказательство. Пусть координатами точек ЛД и Л1 соответ-
ственно будут х„, у„ и х0 + Дх, уоф- Ду. Тогда длина хорды
равна | \.v2 4-А(/2 == '| ' ] ф- • Дх (мы считаем, что Дх>0), а
длина дуги МхМ согласно формуле (1) равна интегралу
Хо+Длг _______
j У1-ЬГ(Х) dx.
х0
Применяя к этому интегралу теорему о среднем *, получим!
дл. М[М = /1 + f2 (с) • Дх,
где с находится между х0 и хвф-Дх; так что если	или
(что равносильно) Дх-*0, то с->х0. Так как функция f(x) имеет
производную f' (х) и эта производная непрерывна, то
См. гл. IX, § 4, свойство 9.
425
Поэтому
Hm ~	П+г-и _ri+/->W_,
то есть получили требуемый результат.
Таким образом, при указанных выше условиях бесконечно малая
дуга и стягивающая ее хорда суть эквивалентные бесконечно малые.
Легко видеть, что это свойство приме-
нительно к дуге окружности выражается
известным нам предельным равенством
,. sin х ,
lim--------------------= 1.
Х-»0 х
Действительно, для дуги Л4ХМ окруж-
ности радиуса R (рис. 181) имеем:
дл. М,М 22? sinx ..sinx .
lim -----А_ = iim------— lim-----=1,
м-«Л|ДЛ.	x—о 2Rx ж-*о x
где х — половина центрального угла дуги МгМ.
Упражнения
1.	Вычислить длину дуги кривой p2--(x-j-1)8 9 10, отсеченной прямой х = 4.
_	670
О/мв. .
£.1
2.	Вычислить длину дуги кривой 9у2 = х(х—З)2 между точками пересечения
с осью ОХ.	Отв. 4)^57
о г,	,	„	1	1
3.	Вычислить длину дуги кривой у=1п(1 — Х-) от Х = g- ДО X = -g-,
Отв. 2 in 3 — 1.
4.	Вычислить длину дуги кривой у — Ух—х3 + arcsin Ух .
Указание. Промежуток интегрирования определяется областью существо-
вания функции.	Отв. 2.
5.	Найти длину петли кривой х = 22, у —4-(22 —3).	Отв. 4 1^3 .
О
6. Вычислить длину дуги кривой x = 4j/2asin2, у —a sin 21.
Указание. График этой кривой примерно такой же, что и на рисунке 167.
Отв. 8ла.
7. Вычислить длину дуги кривой r = a sin3
Указание. Полярный радиус опишет кривую при изменении 0 от 0 до Зя.
..	3
Отв. — ла.
Отв ла.
8. Вычислить длину дуги кривой r = 2asm0.
9. Найти длину дуги кривой r = a sin4-^-.
Указание. Эта кривая симметрична относительно полярной оси, и поляр-
ный радиус опишет ее при изменении 0 от 0 до 4л.	Отв. а.
s	jx	3
10. Вычислить длину дуги кривой г = 2а (sin 0+ cos 0) от 0 =----до0= — л.
426
Указание. Уравнение г = 2а (sin 0 + cos 0) = 2 )/л2 a cos ©представ-
ляв! собой окружность. Оно легко преобразуется к прямоугольным координатам:
xtJryi=2a(x+y).	Ome.2naV2.
§ 3. УСЛОВИЕ СПРЯМЛЯЕМОСТИ кривой
, Укажем несколько иной подход к определению длины кривой.
Для простоты начнем с кривой, заданной явным уравнением
y—f(x) (a^x^b),	(1)
причем функция f (х) непрерывна. Как и в предыдущем параграфе,
впишем в эту кривую произвольную ломаную, периметр которой
по-прежнему обозначаем через р. Рассмотрим совокупность {р} пери-
метров всевозможных ломаных, вписанных в данную кривую. Если
эта совокупность ограничена, то данная кривая называется спрям-
ляемой; ее длина s определяется как точная верхняя гра-
ница множества чисел {р}, то есть s^sup \р}.
Можно доказать, что это определение равносильно тому, которое
было дано в § 2.
Поставим вопрос: какое свойство функции f (х) необходимо и
достаточно для того, чтобы кривая (1) была спрямляемой? В пре-
дыдущем параграфе мы видели, например, что наличие непрерывной
производной [' (х) достаточно для спрямляемости кривой. Чтобы
ответить на поставленный общий вопрос, нам нужно ввести один
важный класс функций, имеющий применение во многих вопросах
математического анализа.
Пусть в промежутке [а, задана функция f(x). Разобьем этот
промежуток произвольным образом на п частей точками х0 = а<
<хх< х2 <;... < х,- <x/+i хп = Ь и составим сумму:
(2)
Эта сумма полностью определяется способом дробления промежутка
[а, 6]. Различным способам дробления этого промежутка на части
отвечают, вообще говоря, различные значения суммы v. Следова-
тельно, если мы будем брать все возможные разбиения промежутка
[й, b , то получим множество чисел {ц}.
Определение. Функция f (х) называется функцией с огра-
ниченным изменением (или ограниченной вариации) в
промежутке [а, Ь], если совокупность всевозможных сумм v ог-
раничена. При этом точную верхнюю границу этого множест-
ва называют полным изменением (или полной вариацией) *
функции f (х) в указанном промежутке и обозначают симво-
* Функции с ограниченным изменением введены французским матаматиком
К. Жорданом (1838—1922).
427
b.
лом V (/)• Таким образом,
а
b
V(f) = sup {о}.
а
Покажем, что всякая монотонная функция будет функцией с огра-
ниченным изменением. Пусть для определенности f (х) не убывает
на промежутке [а, &]. Тогда при любом дроблении промежутка
[а, 6] на части и для любых двух соседних точек х, и xi+1
I f (*<+1) — f (Xi) | = / (Xi+1) — / (X{).
Поэтому для каждой из сумм (2) имеем:
“	~ W = [/W ~ / И + [/ te) -/ (*1)1 + [f (хя)
l acc()
+  • •+ [f (b)—f (xnl)] = f(b) — f (a).
Следовательно, суммы v не зависят от способа дробления проме-
жутка [а, Ь], они все равны f(b)—f (а). Но множество, состоящее
из одного числа, ограничено, а потому f (х) — функция с ограни-
ченным изменением и
ь
V (f) — f(b) — f(a).
а
Известно, что монотонная функция может иметь точки разрыва.
Следовательно, функция с ограниченным изменением не обязана
быть непрерывной.
Немного сложнее доказывается, что если функция f (х) кусочно-
монотонна на [a, 6], то есть если промежуток [а,6] может быть
разбит на конечное число частей, на каждой из которых f (х) моно-
тонна, то f (х) — функция с ограниченным изменением.
Проверим еще, что если f (х) имеет в [а, 6] ограниченную произ-
водную | /' (х) j =sS М, то f (х) — функция с ограниченным изменением.
Действительно, в этом случае каждое слагаемое из суммы
(2) легко оценивается с помощью теоремы Лагранжа:
I/(^+1)—f (Xi) | = | f (с) I (xM—хг)<M (xi+1—Xi),
XiCc<Xi+1. А тогда
n-1
J] (x;+1 — xt) = M (b — a);
i = 0
гем самым суммы v в совокупности ограничены.
Заметим, что функции с ограниченным изменением могут быть
охарактеризованы как такие, которые представимы в виде разности
двух возрастающих функций.
Перейдем к установлению условия спрямляемости кривой.
428 ’
Теорема Жордана. Для того чтобы кривая (1) была
спрямляемой, необходимо и достаточно, чтобы f(x) была
функцией с ограниченным изменением*.
Доказательство. Необходимость. Пусть кривая (1) спрям-
ляема и имеет длину s. Тогда при любом дроблении промежутка
\а, 6] с помощью точек хг имеем: \f (хг+1) — f (х;) [ =С/г, где h — длина
звена Mt Mi+1 вписанной ломаной (см. рис. 173 на стр. 419).
п — 1
- Отсюда следует, что гх-С li=p, где р — периметр ломаной. А так
м
как p^=s, то суммы v в совокупности ограничены числом s. Таким
образом, f(x)—функция с ограниченным изменением.
Достаточность. Пусть /(х) — функция с ограниченным измене-
нием на [а, Ь\. При любом дроблении промежутка fa, b] для пери-
метра р вписанной ломаной имеем**:
P = £/-• = 2 V(xi+1 - О2 + [f (Xi+1) -/(х”) R:
/==я0	(=0
П— 1
^2 Г(Х< Н — Xi) + I/ (Xi:-j) — f(xi) I] =
n—1	П—1	ft
%i) + Ju l/C^i+l) — t	| ~ (Ь — Cl) “p V Ь —(! 4™ V(f).
f=0	t=0	n
Таким образом, периметры p в совокупности ограничены и потому
кривая спрямляема
Определение длины, данное в начале этого параграфа, без вся-
кого изменения переносится и на кривые, заданные параметричес-
кими уравнениями:
х = ф(^), г/=ф(О (t0=sgzt*=^Т),	(3)
где функции ф (/) и ф (0 непрерывны (кривая (3), в частности, может
быть замкнутой). В этом случае для построения вписанной ломаной
следует разбить промежуток [/0, 7’] на конечное число участков. Если
4 <^i < •  • <tn — T суть точки деления, то за вершины ломаной
берутся точки Mi, соответствующие значениям параметра t,, распо-
лагаемые в порядке возрастания параметра: (Мо, Mlt ..., Л4Й)***.
Для кривой (3) также справедлива теорема Жордана.
Теорема Жордана. Для того чтобы кривая (3) была
спрямляемой, необходимо и достаточно, чтобы q (t) и ty(t)
были функциями с ограниченным изменением.
*	Как всегда, при определении кривой функция f (х) предполагается непре-
рывной.
*	* Мы пользуемся здесь очевидным неравенством } "а~-i-Ь2| a |-f-| b |.
*’* Легко показать, что периметр такой ломаной вычисляется по формуле
га—1
р= 2и<р - ф йр+1ф (^-+1) - ф йж
i=0
429
В частности, если функции <р (t) и ф (0 имеют непрерывные
производные, то длина вычисляется по формуле (3) из предыдущего
параграфа:
т ________
s= Wx't^y't2 dt.	(4)
Сказанное сейчас о спрямляемости кривых, заданных парамет-
рическими уравнениями, переносится и на пространственные кри-
вые. Так как пространственным кривым специально посвящена
глава XIII, то здесь мы на этом понятии останавливаемся лишь
вкратце, в связи с вопросом о спрямляемости кривых.
Пространственные кривые, как и плоские, часто задаются пара-
метрическими уравнениями. Иными словами, координаты х, у, z
точки пространственной кривой задаются как непрерывные функ-
ции некоторого параметра Р.
х = ф(0, г/=Ф(О. z = X(0 (^<Z<7’).	(5)
Для пространственной кривой определение длины дуги может
быть дано в таком же виде, как и для плоской кривой. Если эта
кривая задана параметрическими уравнениями (5) и все три функ-
ции имеют непрерывные производные, то справедливо следующее
обобщение формулы (4):
т ____________
8 = J | Х? + y'l' + z'ts dt.
to
При этом длина дуги, отвечающая произвольному значению пара-
метра t из промежутка [/„, 7’] выразится формулой
t _
s — s (t) = J V xt* yt* dt
to
и, следовательно,
sJ=s'(O —К^24-^2+г?.	(6)
§ 4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Пусть в плоскости OXY дана спрямляемая кривая АВ длины
S, заданная уравнением y = f(x), a-~ix^:b (рщ. 182), где функция
f(x) непрерывна вместе со сроей производной на сегменте [а, &].
Для простоты рассуждений будем считать, что кривая АВ распо-
ложена над осью ОХ (см. рис. 182). Если кривую АВ вращать
вокруг оси ОХ, то она опишет некоторую поверхность, которую
будем называть поверхностью вращения. Требуется вычислить пло-
щадь Р этой поверхности.
430
поверхности вращения
' Предварительно дадим определение площади поверхности вра-
щения. С этой целью разобьем промежуток [а, 6] на п произволь-
ных частей точками а = х0 < хг < х2<... < х,- < х,+1 <... < хп = Ь,
затем впишем в нашу кривую
у.) i = 0, 1, 2,..., п. Вместе
с‘ кривой будем вращать
вокруг оси ОХ и эту лома-
ную, в результате она опи-
шет поверхность, составлен-
ную из п усеченных конусов
(в частном случае вырождаю-
щихся в цилиндры или кону-
сы), площадь боковой поверх-
ности которых вычисляется
по известным нам правилам
элементарной геометрии.
Пусть по-прежнему Х=
=тах {Ах/}—длина наиболь-
шего частичного промежутка,
где Ах/ = хг+1—X/. Под площ>
будем понимать конечный предел * площади поверхности вра-
щения ломаной при Х->0. Таким образом, если через Рп обоз-
начить площадь поверхности вращения ломаной, то согласно опре-
делению площади поверхности вращения кривой будем иметь:
P = limP„.	/п
х-о	' >
Площадь боковой поверхности усеченного конуса, образованного
вращением /-го звена, равна ** 2л-.—ib где// —длина хор-
ды ,. Эта длина (как нам известно, из аналитической геомет-
рии) выражается формулой lt = V(х^ — хг)2 + [/(х,-+1) — /(х,-)]2.
Но по теореме Лагранжа f (х/+1) —f (х,) = f (j;/) (х,-+1—хг), хг=С
<^<Х/+1. Тогда /z = l/l +/'2&)Ахг, где Ах/=хм—хг. Значит,
для площади поверхности вращения ломаной будем иметь:
П — 1
Рп=^2л	/Т + Г Й/) Ах/.
/ = о
Разобьем эту сумму на две суммы следующим образом:
Рп = 2л 2 / &) Ю+Гао Ах/ +
1 — Q
+ л 2 [f (*/) + f to+1) -2f &)] Vl+f &) Ах/. (2)
( = 0
* Если этот предел существует.
'* Легко видеть, что из этой формулы как частный случай получаются
формулы для боковой поверхности цилиндра или конуса.
Первая сумма в правой части этого равенства является интеграль-
ъ
ной суммой для интеграла 2л f (х) 1 + f'2 (х) dx, и при 7, -> О в силу
а
непрерывности функции f (х)	1 + f2 (х) интегральная сумма имеет
своим пределом этот интеграл. Покажем, что вторая сумма в правой
части равенства (2) стремится к нулю при А.->0. Действительно,
в силу равномерной непрерывности функции f (х) в промежутке [а, Ь]
по всякому сколь угодно малому числу 8 > 0 всегда найдется такое
6>0, что если только промежуток [а, Ь] разбить на части с дли-
нами, меньшими 6, то есть 7. <6, то каждая из разностей \f(xi)—
— f (&) |> If 0+i) — f fe) I будет меньше е. Тогда | f (xi) + f (xi+1) —
— 2f (i-)l=sS|f (xi) — f(ii)\ + \f(xi+1)—f (?;)) <8 + 8 = 2e и, следова-
_________ n“1
гельно, | л S [f (xi) + f (xi+1) — 2f (&)] V1 + f &)	)< л £ | f (x<) +
z«=o
ft —* j[
+ f (xi+1) - 2f (s,-) I /Г+ГШ^Xi < 2ле V j T+”p]|.j A.v. = 2ле x
z=o
n— 1
X v /;<2л5в.
/’=»()
Так как 2л5 — постоянное число, а 8 произвольно мало, то отсюда
следует, что рассматриваемая сумма стремится к нулю при /.О.
Таким образом, переходя в равенстве (2) к пределу при 7^ >0,
мы получим:
» ______ » __________________________________________
р=2л+/'2(x)rfx или Р = 2.-т \_у г’1+у'-(х) (/.V. (3)
а	а
Замечание. Если кривая АВ задана параметрическими урав-
нениями х = ф(0, г/ = ф(О, tos^t^T, где обе функции имеют
непрерывные производные на промежутке [?n, Т], причем <р' (t) Ф О,
с = ф(70), & —ф(Т), и тогда ф (t) монотонна на р0) Г], то прежде
всего в этом случае мы можем от параметрической формы задания
кривой АВ перейти к явной форме y = f (х) и вычислить площадь
поверхности вращения по формуле (3). Чтобы получить выражение
площади через первоначальные функции х = <р(7), г/ = ф(7) и пара-
метр t, достаточно в интеграле (3) произвести замену переменной
по формулам х=ф(7), г/=ф(/):
ь	т	__________________
2л \у /1 + у'2 Дг = 2л \ ф (/) 1/" 1 + ф' (0 dt =
V	«у	г	\ Ч' v / /
а
Т
= 2л$ф(/)/ф'2 (/)+ф'2(/)Л.
1	z0
432
Следовательно, для площади поверхности вращения кривой, задан-
ной параметрическими уравнениями, получаем формулу
р	4(0Кф'2(0 + Ф'2(0	(4)
^0
Впрочем, эта формула может быть выведена и без предположения
О монотонности функции ф(0-
Наконец, если кривая задана уравнением в полярных коорди-
натах: г = /(©),	где/(0)
ную f (0), то этот случай задания
кривой, как мы уже отмечали, с по-
мощью формул перехода x = rcos0 =
= f(0)cos0, y=rsin0=f(0) sin 0
приводится к параметрической форме
задания кривой, если параметром
считать 0.
Так как	+ у® = г2 + , то из
формулы (4) получаем:
р=2л^г sin 6 pr-—-r(?rf0.	(5j
где а и р —углы полярных радиусов,
соответствующих точкам Л и В.
имеет непрерывную производ-
Рис. 183.
Пример 1. Определить площадь поверхности шарового пояса.
Пусть дуга АВ полуокружности у=У№ — х? вращается вокруг оси ОХ (рис. 183).
Вычислим площадь поверхности, образованной вращением этой дуги. Пусть абс-
циссы ее концов будут и х2> xv Из данного уравнения окружности находим:
х	R
у = -р==,	=р==. Тогда формула (3) дает:
Р = 2л) уУ\ -\-У'2 dx*=2n ( --тт——-т— dx = 2л/? \dx = 2nRh,
i	i, Vr^x^ л.-;
где A — Xa — Xj —высота пояса. Следовательно, площадь поверхности шарового по-
яса равна произведению длины окружности большого круга на высоту шарового
пояса. Заметим, что если xt= —R, xt — R и, значит, h = '2R, то получим: Р = 4л/?2
— площадь поверхности шара.
Пример 2. Найти площадь поверхности, образуемой вращением астроиды
вокруг оси ОХ.
Уравнения астроиды в параметрической форме суть х — а sin31, xt = acos3/
(a>0). Так как кривая симметрична относительно оси OY (см. рис. 176 на стр.
421), то достаточно вычислить площадь поверхности, образованной вращением ду-
ги астроиды, находящейся в первой четверти.
Из уравнения астроиды находим: xt = За sin2 t cos t, yt — — За cos2 t sm t и по-
тому xt +{// = 9а2 sin2 t cos2 t. Тогда по формуле (4) получим:
л	л
1	2 Z---------
Р — 2л j у у х* A-yt3 dt = 2n
о
л
~2"
= — бла2 j cos4 td cos / = — бла2 C°J’
о	5
j a cos3 t • За sin t cos t dt —
о
л
_ 6	12
— с ла2. Отсюда P = ла2.
o	b
433
Пример 3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиои-
ды г = а (1 -j-cos 0) вокруг полярной оси (см. рис. 172).
в
Из уравнения кардиоиды находим:	—a sin 0, так что г2 4-= 4а2 cos2 -у.
Тогда по формуле (5) получим:
71	71	А
Р = 2л j г sin 6 г2 г'2 dfl = 4 ла2 f (1 4-cos 0) sm 6 cos dO =
О	о	2
, д 2 С .В в	„„ „ Cos66 I “	32	2
==16ла2\ cos* „ sm . аО -=—32ла2 —=— = >-ла2.
J 2	2	5 [о 5
о
Упражнения
1. Определить площадь поверхности, образованной вращением дуги кубиче-
ской параболы у — х3 вокруг оси ОХ от начала координат до х = 1.
Отв.
2. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси ОХ от начала координат до х = 3а.
Найти площадь поверхности, образованной вращением
петли кривой 9ш/2 = х (За — х)2.
4.	Найти площадь поверхности тора, образованного
x2-j-(y—Ь)г = а2 вокруг оси ОХ, Ь>а.
5.	Вычислить площадь поверхности, образованной
= 4ах
3.
~ (фПООО—-1).
параболы у2 =
„	56 ,
Отв. -г,-ла2.
3
вокруг оси ОХ
Отв. Зля2,
вращением круга
Отв. 4л2аЬ.
вращением вокруг оси ОХ
• ——    Q ®
вращением вокруг оси ОХ
Отв. 2л|| 2 - h(l-J4>)|.
а [ а . а	п
цепной линии у—^Хе 4-е /от х = 0 до х = а.
6.	Вычислить площадь поверхности, образованной
дуги синусоиды y=sinx от х==0 до х = л.	(
7.	Определить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ
62
дуги у2 = 44-х, отсеченной прямой х — 2.	Отв. -$-л.
8.	Определить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ
и вокруг оси 0Y одной арки циклоиды x = a(t — sin 0. у —а (1 — cos/)
64
Отв. -vna3; 16;пга2.
9.	Определить площадь поверхности, образованной вращением петли кривой
х —/2, у=-д-(/2—-3) вокруг оси ОХ,	Отв. Зл.
10.	Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ и
OY кривой x = e/sin/, у = в1 cost от Z = 0 до t— .
Отв. |-К2л (е~ —2); (2етс 4-1).
11.	Определить площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты
r2 = a2 cos26 около полярной оси	Отв. 2л (2 —}^2) а2.
12.	Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой r = a2cos0
около полярной оси.	Отв. ла2.
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ
Понятие объема тела произвольной формы вводится совершенно
аналогично понятию площади плоской фигуры. Разница будет со-
стоять только в том, что если определение площади произвольной
434
плоской фигуры строилось на основе понятия площади многоуголь-
ника, то в определении понятия объема тела произвольной формы
за основу берется понятие объема многогранника.
Пусть дано тело (V) произвольной формы, ограниченное замкну-
той поверхностью. Рассмотрим всевозможные многогранники (X)
объема X, целиком содержащиеся в теле (У), и многогранники (У)
объема V, содержащие в себе (У). Рассуждая так же, как и в слу-
чае определения площади, мы здесь убеждаемся в существовании
точной верхней границы 7* для множества чисел {X} и точной
нижней границы V* для множества чисел {У}, причем 7*=С7*.
Определение. Если обе границы 7# = sup{X} и 7* = inf{7}
совпадают, то их общее значение V называется объемом тела (V),
а само тело в этом случае называется кубируемым.
Для объема имеют место предложения, аналогичные теоремам
1 и 2, установленные в § 1 гл. X для площадей, которые мы здесь
сформулируем применительно к объему.
Теорема 1. Для того чтобы тело (V) имело объем,
необходимо и достаточно, чтобы существовали такие две
последовательности, соответственно входящих и выходя-
щих многогранников {(Х„)} и {(У„)}, объемы которых имели
бы общий предел limX'„ = lim У„= V. Этот предел и будет
объемом тела (V).
Теорема 2. Если для тела (V) можно построить две
последовательности соответственно входящих и выхо-
дящих кубируемых тел {(Тя)} и {({/„)}, объемы которых
имеют общий предел lim Г„ = Пт£/я= 7, то этот предел и
будет объемом тела (У).
На свойствах объема мы не останавливаемся; они аналогичны
тем, какие имеют место для площади.
Допустим сначала, что данное тело (7) есть прямой цилиндр
высоты Н, основанием которого служит квадрируемая фигура (Р).
Докажем, что объем этого цилиндра, так же как и объем пря-
мого кругового цилиндра, равен произведению площади основания
на высоту: 7 = Р  Н.
В самом деле, пусть многоугольники {(А„)} и {(В„)}, содержа-
щиеся в (Р) и содержащие (Р) соответственно, таковы, что их пло-
щади А„ и Вп стремятся к Р. Построим на этих многоугольниках
прямые призмы {(Q,,)} и {(Р„)} высотой Н. Так как объемы этих
призм Qn-An-H и Rn = Bn-H имеют общий предел V = P H, то
в силу теоремы 1 этот предел и будет объемом данного цилиндра и,
значит, цилиндр кубируем.
Рассмотрим теперь некоторое тело (7). Допустим, что нам изве-
стна площадь любого его сечения, произведенного плоскостью, пер-
пендикулярной к некоторой прямой, например к оси ОХ (рис. 184).
Абсциссы крайних сечений тела обозначим через а и Ь. Площадь
сечения, перпендикулярного к оси ОХ, будет меняться вместе
с перемещением секущей плоскости, то есть каждому х между а и Ь
будет отвечать некоторое сечение с определенной площадью; поэтому
435
площадь этого поперечного сечения будет некоторой функцией от х.
Обозначим эту функцию через S (х) и будем считать ее непрерыв-
ной функцией на [а, й].
Допустим, что любая пара сечений, будучи ортогонально спроек-
тирована на плоскость, перпендикулярную к оси ОХ, дает проекции,
Рис. 184.
целиком лежащие одна в другой.
При этих условиях тело (V) имеет
объем V, который выражается
формулой
ь
V \S{x}dx.
а
(1)
Действительно, разобьем про-
межуток [а, й] произвольно на п
частей точками а = Хо<хх<х2<;
<... < Xt < хг+1 <... < хп = Ь. Че-
рез эти точки проведем плоскости, перпендикулярные к оси ОХ. Эти
плоскости разобьют тело (V) на п тонких слоев, толщина каждого
из которых равна величине Ах, = хг+1 — Xt (i = 0, 1, 2. ..., п— 1).
Рассмотрим i-й слой, заключенный между плоскостями x — xt и
№х,-+1 (i = 0, 1, 2. ..., п — 1). Обозначим через т,- и М; соответ-
ственно наименьшее и наибольшее значения функции S (х) в частич-
ном промежутке [х„ Xj+J —это будут площади наименьшего и наи-
большего сечения в i-м промежутке. Легко видеть, что i-й слой
содержится между двумя прямыми цилиндрами высоты Ах,-, постро-
енными на сечениях площади т, и М,. Объемы этих цилиндров
равны соответственно ///, и Д1,Ах,. Построив такие цилиндры
для каждого слоя, мы получим два ступенчатых тела, одно из кото-
рых состоит из входящих цилиндров, а следовательно, содержится
в данном теле (V), а другое —из выходящих цилиндров и, следова-
тельно, содержит данное тело. Объемы этих тел соответственно равны:
Т»-^'т/Ахь С/я=2! Mtkxt.
/=о	г=о
.Поскольку эти суммы являются суммами Дарбу для непрерыв-
ной функции S(x), то они являются просто наименьшей и наиболь-
шей из интегральных сумм. Тогда по теореме о существовании
определенного интеграла обе суммы при А. = тах Ах,—► 0 имеют своим
ь
общим пределом интеграл $ S (х) dx, откуда и следует, в силу тео-
ремы 2, что этот интеграл и будет выражать собой объем рассмат-
риваемого тела (V); так что формула (1) доказана*.
В случае, когда рассматриваемое тело получено вращением неко-
торой кривой y—f(x) вокруг оси ОХ (рис. 185), в сечении этого
* Формула (1) пригодна для вычисления объемов практически любых гел, а не
только тех, которые обладают указанным вначале условием.
436
тела плоскостями, перпендикулярными к оси ОХ, будут получаться
круги плошали S (x) = ny2 = nf2 (х). Подставив это в формулу (1),
получим формулу для вычисления объема тела вращения:
ь	ь
V=zt\y2 dx = n\f2 (х) dx.	(2)
а	а
Замечание. Если кривая, вращением которой образуется тело
вращения, задана параметрическими уравнениями
х=ф(/), y—tyit),	(3)
где <р (0 и ф(0 удовлетворяют упоминавшимся ранее в аналогичных
случаях требованиям, то, производя замену переменной в интег-
рале (2) по формулам (3), получим:
₽
V = л $ ф2 (/) ср' (f) dt,	(4)
а
где а и Р таковы, что ф(а) = а и ф $) = &.
Иногда приходится вычислять объем тела, полученного враще-
нием кривой x=g(y), c^y^d вокруг оси 0Y (рис. 186). Объем
этого тела вращения вычисляется по формуле
d
V = л \ х2 dy,
С
которая выводится аналогично формуле (2).
Подводя итог сказанному, заметим что аналогично результату,
указанному в параграфе о площади плоской фигуры, и здесь можно
доказать, что если тело (У) ограни-
чено несколькими поверхностями,
каждая из которых порознь задается
явным уравнением одного из трех
Рис. 185.
видов: z=--j(x, у), y — g(z, x),x = h(y, z) (где f, g, /г —непрерывные
Функции в некоторых ограниченных областях), то это тело ку-
рируемо.
431
Замечание. Возвращаясь снова к основной формуле (1):
ь
V — \ S(x) dx, мы видим, что для вычисления объема тела по этой фор-
а
муле важно знать только площади 5(х) его поперечных сечений, форма
же этих сечений на играет при этом никакой роли. Поэтому из
этой формулы непосредственно вытекает так называемый принцип
Кавальер и, названный так по имени итальянского математика
XVII века Кавальер и.
Принцип Кавальери для объемов. Если два тела, со-
держащиеся между двумя параллельными плоскостями А и В, обла-
дают тем свойством, что в сечении их любой плоскостью С, па-
раллельной А и В, получаются всегда равновеликие фигуры, то
объемы этих тел равны.
Исходя из формулы (8) § 1 этой главы, можно сформулировать
аналогичный принцип и для площадей плоских фигур.
С развитием дифференциального и интегрального исчисления
принцип Кавальери утратил свое былое значение, однако в элемен-
тарной геометрии он и сейчас применяется для вычисления объемов.
Рассмотрим теперь ряд примеров на вычисление объемов.
Пример 1. Вычислить объем тела, отсеченного от прямого кругового цилин-
дра плоскостью, проходящей через диаметр основания (рис. 187).
Пусть 7? —радиус основания цилиндра, а —угол между секущей плоскостью
и основанием цилиндра. В произвольной точке х производим сечение, перпендику-
лярное к оси ОХ. Это сечение будет прямоугольным треугольником АВС, пло-
щадь которого 5(х) = ^ВС-ЛС. Но АС==у и ВС=у tga. Следовательно, S(x) =
= tga, а так как уа = /?а —№, то площадь сечения запишется так: 5’(л)--
= А (7?2—x2)tga, — R^xt^+R. Тогда согласно формуле (1) находим:
К	п
V = A. tg a С (R2 — №) dx = tg a (R2 — a-) dx = tg a
-R	о
= tg a (R'3—\ — -3-R3 tg a —у R^h, где h=*KL=R tga.
Рис. 187.
438
Эту задачу можно решить иначе, если производить сечение тела плоскостями,
перпендикулярными к оси OY (рис. 188). В результате в сечении получим пря-
моугольники с площадью
S (y)=AD • MN—2 V R2-у2 у tga.
Тогда искомый объем будет:
R	R ________ R J
l/ = ( S (у) dy=2 tg a j ]/ R2 — y2 у dy=* — tg а (R2 — y2)2 d(—y2) =
оо	6
з
“-tga-J^2-^)7!* = 4*g« R3=~R2h.
О	| 0 о	о
Пример 2. Вычислить объем тора (кольца), образуемого вращением круга
около непересекающей его прямой, лежащей в его
плоскости (рис. 189).
Пусть расстояние центра круга от оси вращения
равно Ъ. Приняв ось вращения за ось ОХ, а пря-
мую ОС за ось OY, получим уравнение окруж-
ности х2-]-(у — Ь)2 = а2 (Ь > а), где а —радиус круга. Из этого уравнения на ход м
t/i = &+ У а2 — № — для верхней части окружности,
у.2~Ь~У а2 — х2 — цля нижней части окружности.
Тогда объем тора определится как разность двух объемов, каждый из кото-
рых вычисляется по формуле (2):
У=2л j у2 dx—2n^y% dx = 2n j (у2- у2) dx = 2a ^у^Уг) (Ух—Уг) dx^=
0	0	0	0
a
= 8лЬ \ /a2-x2dx = 8n44/a2-x2 + ^arcsin4)| = 2л2а2Ь *.
J	\ 2	2 A 1 |o
Пример 3. Вычислить обьем тела, образованного вращением одной арки
циклоиды
x=a(t— sin/), у = а(1— cos/)
вокруг ее основания (рис. 190).
* Вычисление У а2— х2 dx см. гл. VIII, § 4, пример 1.
439
Объем этого тела вычисляется по формуле (4). Следовательно,
2л	2я	2л
У==л ( y3x't dt^na3 j (1—cos f)3 dt = ла3 j (1—3 cos t -|- 3 cos 3t—cos3 t)dt =
0	0	0
f 6	3	1	\ 12Л
— яа3 -jr-1 — 4 sin /4--- sin 2^4- sin3 = 2л2а8.
\ 2	4	3	J |o
Упражнения
1.	Точка пересечения диагоналей квадрата перемещается вдоль диаметра
круга радиуса а\ при этом плоскость, в которой лежит квадрат, все время
остается перпендикулярной к плоскости круга, а две противоположные вершины
квадрата перемещаются по окружности. Найти объем тела, образуемого движу-
щимся квадратом.
~	8 Q
Отв.— а3.
х2
2.	Определить объем тела, полученного вращением эллипса -т + ту—1 вок-
а* 0“
4
руг оси ОХ.	Отв. у лЬа2
3.	Определить объем тела, полученного вращением полуволны синусоиды
л2
у = sinx вокруг оси ОХ.	Отв. у.
4.	Определить объем тела, полученного вращением астроиды x = acos8/,
32
i/ = asm3/ вокруг осей ОХ и 0Y.	Отв. ла3.
5. Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной
линиями:
а) ху = 4, х=1, х = 4, {/ = 0 вокруг оси QX,	Отв. 12л.
б) </2 = (х-|-4)3, х = 0 вокруг оси OY.	Отв. 58,5л.
	512
в) j4 = 4 —х, х = 0 вокруг оси OY.	Отв. -г=- л. 15
г) у = х3, у = 4 вокруг прямой х — 2.	Отв. -=•- л. 3
2	я2
д) у = sinx, у = — х вокруг оси ОХ, х>0.	Отв. 12
е) г —a2 cos 0 вокруг полярной оси.	—	Я#8 Отв. “тг-. 6
§ 6. СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
Рассмотренные выше задачи на геометрические приложения опре-,
деленного интеграла показывают, что для решения их применяется
один и тот же вычислительный метод: составляют интегральные
суммы, а затем предельным переходом получают интеграл, выра-
жающий искомую величину. Этим же методом решают целый ряд
других задач из механики, физики и техники. В качестве первого
примера приложения определенного интеграла к задачам из указан-
ных областей рассмотрим вопрос из механики — определение статиче-
ского момента и центра тяжести материальной кривой.
1. Статический момент и центр тяжести материальной кривой.
Пусть на плоскости OXY мы имеем материальную точку А массы
т (рис. 191). Тогда, как известно из механики, статическим моментом
материальной точки А (т) относительно какой-нибудь оси называ-
440
ется произведение массы этой точки на расстояние ее до этой оси;
при этом для точек, лежащих по одну сторону от оси, расстоянию
приписывается знак плюс, а по другую —знак минус. Таким обра-
зом, произведения тх и ту суть статические моменты точки А соот-
ветственно относительно осей 0Y и ОХ.
Если имеется система материальных	статическим момен-
том этой системы относительно некоторой оси называется
сумма статических моментов отдельных ее точек относительно
той же оси. Статические моменты системы материальных точек отно-
сительно осей ОХ и 0Y будем соответственно обозначать через Л4Л и
Mv. Таким образом,если мы имеем в плоскости OXY систему мате-
риальных точек Л1(хь й), Л2(х2, z/2), .... Л„(хя, уп) (рис. 192), в
которых сосредоточены соответственно массы тг,..., т„, то для
статических моментов Мх и .41, этой системы относительно осей ОХ
и 0Y будем иметь:
п	п
= 2 т1У1<	т‘х1-	<!>
1 =в 1	I == 1
Из механики также известно,что центр тяжести каждой системы
материальных точек можно определить как такую точку С, что ес-
ли в ней сосредоточить массы всех точек системы, то ее статический
момент относительно любой оси будет равен статическому
моменту всей системы точек относительно той же оси. Следователь-
но, если мы имеем в плоскости OXY систему п материальных точек,
то согласно определению центра тяжести будем иметь:
п	п	п	п
Xc-^i	m‘Xi' Ус-Ti	rnitji,
i == 1	z = l	i ~ 1	i = I
где xc, yc—координаты центра тяжести данной системы. Отсюда нахо-
дим координаты центра тяжести рассматриваемой системы: *
У mtyt
Ус^1-~----.
5
441
Рассмотрим теперь случай, когда система материальных точек за-
полняет сплошь некоторую плоскую кривую АВ, то есть случай пло-
ской материальной кривой. Определим статические моменты этой
кривой относительно осей координат и ее центр тяжести (рис. 193).
Будем считать,что кривая АВ задана параметрическими уравне-
j/i	ниями х=ср (s), y = (s),	S,
At	q где параметром s является длина
А	’——о дуги* кривой, отсчитываемая от
А	начальной точкиЛ до переменной
I z	точки М с координатами х, у, a S
А° j	обозначает длину всей кривой АВ.
I "с	Когда точка М описывает кривую
1	АВ, параметр s изменяется от О
—-------------'---------, ’—до S. Функции <p(s) И ф($) мы
 X полагаем непрерывными на [О, S].
Рис. 193.	При этом.будем считать, что ма-
териальная кривая однородна, то
есть вдоль по этой кривой непрерывным образом распределена масса
так, что ее линейная плотность р (то есть масса, приходящаяся на
единицу длины) постоянна.
Вычислим статические моменты Мх и Му этой материальной кри-
вой относительно осей ОХ и OY. Для этого кривую АВ разделим на п
частей точками Л = Л0(х0, yu)f Лх (хь yr), ...,.А1(хг, у,), ...
-  • > Лп (хл, уп) == В.
Пусть эти точки соответствуют значениям so = O<Z s'i <Z s2 <Z •  . <
<Sj<si+1<.. .<sn = S переменной дуги». Если длину дуги Л,Л^
обозначить через As/ = s,-+1 —s,-, а массу этой дуги — через /И/, то
/п, = рДзг(г = 0, 1,2, ... ,п— 1). При достаточно мелком дроблении кри-
вой АВ на части приближенно можно считать, что вся масса i-й дуги
Л/Л«+1 сосредоточена в одной какой-нибудь ее точке, например в на-
чальной точке Л,-(х,-, у{), где /—0,1,2, ... ,п— 1. При таком допуще-
нии вся наша материальная кривая АВ приближенно заменится систе-
мой, состоящей из п материальных точек: Ло, Лъ Л2, ... , А/, ... ,Лп-1.
Тогда статический момент Мх кривой АВ приближенно будет равен
сумме статических моментов этих п материальных точек относительно
оси ОХ. Следовательно,
п-1	П — 1
мх^	т1У1 = Р У У1^1-
/=0	1=0
Ясно, что это приближенное равенство будет тем более точным, чем
мельче дробление дуги АВ, то есть чем меньше X = max {As,-} —длина
наибольшей частичной дуги. Поэтому естественно считать, что в
* Так как с изменением длины дуги AM изменяется положение точки М (х, у)
на кривой и, следовательно, изменяются ее координаты х и у, то последние явля-
ются функциями от s: x=<p(s), «/ = ip(s).
442
пределе, когда %->0, мы получим точное значение статического
момента Мх:
п — 1
Мх = р lim У yiKst.
ь -* ° г = 0
Так как мы имеем здесь предел интегральной суммы, составлен-
ной для непрерывной функции y = ip(s) на сегменте [0, S], то этот
S
предел существует и равен интегралу yds. Следовательно, для
о
статического момента кривой АВ относительно оси ОХ мы будем
иметь:
s
= yds.	(3)
о
' Рассуждая аналогичным образом, мы получим выражение стати-
ческого момента кривой АВ относительно оси OYi
S
Му — р jj х ds.	(4)
о
Теперь найдем координаты хс, ус центра тяжести кривой АВ.
Так как вся масса этой кривой равна m = pS, то (согласно опреде-
лению центра тяжести) мы должны иметь: тх, А!,, тус=Мх.
М.. Мх
Отсюда хс=—, ус==~т~-
Подставляя сюда значения Мх, Му и т, окончательно получаем:
\ х (s) d s	(у (s) ds
Хс=, ус=.	(5)
Эти формулы показывают, что в случае однородной кривой коорди-
наты ее центра тяжести зависят не от плотности, а только от формы
кривой*.
Следует заметить, что если кривая симметрична относительно
какой-нибудь оси, то, как легко видеть, центр тяжести ее лежит на
этой оси.
При использовании формул (5) на практике параметр s обычно
заменяют через ту переменную интегрирования, которая играет роль
независимой переменной в уравнении кривой АВ. Так, например,
если кривая задана в явном виде уравнением у=у (х) (а^х^Ь),
Для которой дифференциал дуги ds = ]/1 -ф у'2 dx (см. формулу (7)
* Для неоднородной кривой, то есть р yt const в формулах (3) и (4) плот-
ность будет под знаком интеграла, и формулы (5) принимают вид:
5	S
J р х ds	j р у ds	s
хс — 2----- ус = 2------ где т. = f р (s) ds.
т *	т ’	X
443
§ 2), то формулы (5) в этом случае принимают вид!
b	ь
§ +y'idx	у У1 &'лdx
(6)
Пример 1. Найти центр тяжести дуги АВ окружности х2 + у2 =
= г2, лежащей в первой четверти (рис. 194).
В качестве независимой переменной выберем х; тогда у —У г2— х2?
С «£ х =ь-:; г. Отсюда у' = -	_и У1 + ух2 — -=У=.. Так как длина
У г2— х2	у г2 — х2
четверти окружности равна то по формулам (6) находим:
2 С xr dx _ —1
ЛГ J |/г2 _ х2 Л
Из второй формулы (6) мы получаем: ус- S = ^уУ 1 А-Ух&к. Умно-
жая обе части равенства на 2л, будем иметь:
2лус  S = 2л J уУ 1 + у'х dx.
Правая часть этого равенства есть площадь Р поверхности, об-
разованной вращением дуги АВ вокруг оси ОХ. В левой части
множитель 2пус—длина окружности, опи-
санной центром тяжести кривой при вра-
щении ее вокруг оси OX, a S—длина дуги
АВ; так что
и мы приходим к первой теореме
Гу льдин а*: площадь поверхности, по-
лученной от вращения кривой вокруг оси,
не пересекающей ее, равна произведению длины
дуги этой кривой на путь, описываемый
центром тяжести этой кривой.
В
Рис.- 194.
Эта теорема позволяет найти площадь поверхности вращения,
если известно положение центра тяжести вращающейся кривой,
и обратно —определить центр тяжести кривой, если известна пло-
щадь поверхности вращения ее вокруг оси.
2	3	2
Пример 2. Определить центр тяжести дуги астроиды х3 + у3 — а3, лежа-
щей в первой четверти (см. рис. 176 на стр. 421).
* Пауль Гульдин (1577—1643)— швейцарский математик.
444
Так как величина площади поверхности, описанной этой дугой при вращении
вокруг любой из осей, равна -g-ла2 (см. § 4, пример 2), а длина этой дуги равна
Зд (СМ, § 2, пример 3), то по первой теореме Гульдина сразу находим: хс = ус~
Пример 3. Найти площадь поверхности тора, образованного вращением
вокруг оси ОХ окружности х2Ч-(у —&)2 = а2, при этом а<Ь (см. рис. 189 на
стр. 439).
Длина окружности равна s = 2na. Центр тяжести окружности, очевидно,
совпадает с ее центром, который отстоит от оси ОХ на расстоянии, равном Ь. Сле-
довательно, длина пути, описываемого центром тяжести при вращении вокруг
оси ОХ, равна 2лЬ. Тогда по формуле (7) Р = 2л&• 2ла = 4л2аЬ.
2. Статический момент и центр тяжести плоской фигуры. Пе-
у=/А7
Рис. 195.
рейдем теперь к определению статического момента и координат
центра тяжести плоской материальной фигуры— тонкой пластинки
постоянной толщины. Пусть эта
пластинка однородна, то есть
по всей площади ее равномерно
распределена масса, так что
поверхностная плотность ее (то
есть масса, приходящаяся на
единицу площади) постоянна.
Пусть эта пластинка имеет гео-
метрическую форму фигуры
ABCD, ограниченной снизу и
сверху соответственно непре-
рывными кривыми J=g(x),
у = f (х) (а eg л - Ь) и с боков от-
резками прямых х=а, х—Ь
(рис 195). Вычислим статичес-
кие моменты этой пластинки
относительно осей ОХ и OY, обоз-
начив их соответственно через Мх и Для этого разобьем сегмент
(а, Ь] на п частей точками a — x0<Zx1 <х2 <.. . <х/ <х1-+:1<;..  <
<ixn — b и пусть Л=тах {Ах,}, где Ах; = хг+1—х,. Прямыми х = хг
0 = 0, 1, 2... «) разобьем нашу фигуру ABCD на п узких полос.
Так как функции f (х) и g(x) непрерывны, то при достаточно
мелком дроблении промежутка [а, й] они мало меняются в каждом
из полученных промежутков [х,-, х)+1] (1 = 0, 1, 2,..., п — 1).
Поэтому без большой погрешности их можно считать на промежутке
U,, х/+1] постоянными и равными значениям f (&) и #(£,-), где Bi —
средняя точка промежутка [хг, х,+1]. Ясно, что сделанное допуще-
ние равносильно тому, что мы заменяем приближенно упомянутые
выше полоски соответствующими прямоугольниками, а всю нашу
фигуру ABCD — ступенчатой фигурой, изображенной на рисунке 195.
В этом случае масса нашей фигуры приближенно заменится массой
ступенчатой фигуры.
445
Таким образом, если речь идет об z-й полоске, то она прибли-
женно заменяется прямоугольником с высотой, равной разности
ординат /(£,•)—g(£;), и основанием, равным величине Дх(.
Так как площадь такого прямоугольника равна
то масса его равна р [f (£,) —£(£,)] Дх,- (i — 0, 1, 2.п—1).
Эта величина и будет приближенной массой i-й полоски. Из
механики известно, что центр тяжести прямоугольника лежит
в точке пересечения его диагоналей и, следовательно, координаты
центра тяжести z-ro прямоугольника равны соответственно и
2 [/&) + £&)]•
Будем считать, что вся масса z-ro прямоугольника сосредоточена
в его центре и, следовательно, статические моменты z-й полоски
относительно осей ОХ и OY (соответственно) приближенно будут
равны:
Р [f &) - g О Дхг. У [/ &)+g &)] =4 р [/2 (Ы (Ь)]
p[f &)-£&)] ДхИ,-
Просуммировав статические моменты всех прямоугольников отно-
сительно осей ОХ и OY соответственно, мы получим приближенное
значение статических моментов Мх и М.. всей фигуры ABCD:
. ZZ— I	п—-1
< Ч р^l/2^)^g2(b)]A.v,- и Му^р [/&•)-я(£,-)]Дхг.
z=o	Z=0
Эти приближенные равенства будут тем точнее, чем мельче дробление
промежутка [a, fe], то есть чем меньше X. Поэтому естественно
считать, что в пределе, когда 7. -> 0, мы получим точные равенства:
Mv=U Рlim S № Си) -g2 &) ] Дх,,
V-0 Д
M,=piim2> [/&)-g&) ] ДЛ|.
Л.—0 1^0
Так как мы имеем здесь пределы интегральных сумм, состав-
ленных соответственно для непрерывных на сегменте [а, Ь] функций
|/2(х)— ^(х)] и х If (x)~g(x)], то эти пределы существуют и
равны соответственно интегралам:
1 Р	е
9~р\[Г(х)—g2(x)]dx и p\x[f (х)—g(x)]dx.
а	а
Следовательно,
1 е	е
Мх=~ р ? [Р (х) —g-2 (х)] dx и Му = р 5 X [f (х) — g (х)1 dx.
а	а
446
Теперь найдем координаты хс, ус центра тяжести фигуры ABCD.
Так как масса всей фигуры равна
ь
т = р $[/(*)— gWl dx = pP,
а	'
где Р — площадь всей фигуры, то для определения координат центра
тяжести фигуры, как и в предыдущем случае, значение статических
моментов Мх и Му следует разделить на массу всей фигуры:
ь
fx [f (х) - g (х) ] dx
у _______________________________
Хс~ т ~ Р
г>	>
i \ IP « - g2 (-')1 dx
t, M V «
Vc~ In	P
(8)
Отсюда видно, что в случае однородной пластинки координаты
центра тяжести ее зависят не от плотности, а только от геометрической
формы пластинки.
Замечание. Если фигура ABCD есть криволинейная трапеция,
ограниченная сверху кривой y=f(x), a^zx^b, с боков двумя
ординатами х — а, х — Ь и снизу отрезком оси ОХ (рис. 196), то,
полагая в формулах (8) g(x) — 0, получим:
ь	1 С
j ху dx	~2 j у2 dx
*c=‘L-p-, Уе = -^р---------,	(9)
ь
где P = ^ydx — площадь данной трапеции.
а
Пример 4. Найти центр тяжести фигуры (однородной пластинки)*, ограни-
2
ченной прямой у =—х, синусоидой у = sinx при х > 0 (см. рис. 197).
* Ниже, говоря о центре тяжести фигуры, мы будем всегда иметь в виду центр
тяжести однородной пластинки.
447
Легко видеть, что прямая и синусоида пересекаются в начале координат и при
х—	 Тогда по формулам (8) будем иметь.
1 Г,	.12	л21	1 /,	Л2\	12—л2
_|(_Xcosx+slnx)|o =
Я	! л	\
1	1'2	л \
If/.,	4	, I f , .	4 х3 I "2
= 27 \ S’n “ 72 XldX==2P\\ Sm XdX~ «2 ' /3 n
и	'о
_ 1 / 1 л л\ __ л
" 2Р \2 2~ ту "247-
Так как
л
2	л
С/	2 \	/	№ \ 12	4 — л
Р— \ sin х---х ] dx = — cos х -I--	= —j— ,
\	« J	\	л / n 4 ’
0
TO
12 — л2	л
*С=12^3Н’ Ус = 24^6й-
Пример б. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кри-
вой Ух уУу =У'а * и осями координат (рис. 198).
Из уравнения Ух + У" у = У а	находим. у = а-)-х—2 У ах; Os^x^a.
Тогда формулы (9) дают:
а	а
If	if.	г—\	а3
х,.	\ xydx = x, \ л‘(</ ^.v—- 2 У ах) rfx':—:/XiX*
Р )	Р J	01) г
О	О
а	а
1
^ = 27
О	о
а	а
Поскольку Р= \ ydx— I (a-j-x — 2 Уах) dx=-=-, то xc = yc = ~t то есть
’	«J	«7	®	О
о	о
y2dx = 2j- \ (а + х—2УахУ dx = -~p-.
центр тяжести лежит на биссектрисе первого координатного угла. Это можно
было предвидеть, если учесть, что фигура симметрична относительно указанной
биссектрисы.
Перепишем формулу (8) для ус следующим образом:
^Ус • Р = 5 [Z2 W—S2 (*)]
а
* Эта кривая является параболой, осью которой служит биссектриса первого
координатного угла.
448
откуда (после умножения на л) получим:
ь
2лус • Р — л jj [/2 (х) — g2 (x)J dx.
а
Правая часть этого равенства представляет собой объем V тела,
образованного вращением плоской фигуры ABCD (см. рис. 195)
вокруг оси ОХ. Объем этого тела равен разности объемов тел, полу-
ченных при вращении вокруг оси ОХ криволинейной трапеции,
ограниченной сверху кривой y = f(x), и трапеции, ограниченной
сверху кривой y=g(x). Поэтому
(10)
Эта формула выражает собою вторую теорему Гуль-
дина: объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг
не пересекающей ее оси, равен произведению площади этой фигуры
на длину окружности, описываемой центром тяжести фигуры.
Вторая теорема Гульдина позволяет по двум из величин, вхо-
дящих в формулу (10), находить третью. Покажем это на примерах.
Пример 6. Вычислить объем тора, образованного вращением круга
*2 + (У — 6)2 = а2 вокруг оси ОХ, Ь>а (см. рис. 189).
Площадь данного круга равна Р~яа2, центр тяжести круга совпадает с его
центром, то есть лежит в точке (0, &), и, следовательно, путь, описываемый цент-
ром тяжести круга при вращении его вокруг оси ОХ, равен 2л&. Тогда по фор-
муле (10) находим V ~2лЬ • ла2 = 2л2а2Ь.
Пример 7. Найти центр тяжести однородного полукруга, ограниченного
осью ОХ и полуокружностью у = )'Z — х2 (рис. 199).
В силу симметрии х,=0. Для отыскания ординаты центра тяжести восло.т-
1 V
зуемся формулой (10), согласно которой t/c=g—в нашем слУчае
1	4
Р~-^лР2 и V —-х-лД3 как объем шара, полученного вращением полукруга
Z	о
4
вокруг своего диаметра. Поэтому ус ~ R «s 0,425R«
ол
15 Бохан и др
449
Упражнения
1.	Пользуясь первой теоремой Гульдина, определить центр тяжести следую-
щих кривых
а)	дуги АВ окружности радиуса R (рис. 183), используя результат примера 1
§ 4 для случая х1==— х2.
rh
Отв. хс = 0, ус — — , где s — длина дуги АВ, h — длина хорды АВ.
б)	одной арки циклоиды x=a(t— sin/), у —а (1 — cos /) (рис. 177).
4
Отв. хс — ~ла, ус = ~а_
2.	Найти координаты центра тяжести полуокружности радиуса г.
2г
Отв. хс = 0, ус = —
л
3.	Найти центр тяжести дуги окружности радиуса R, стягивающей централь
ный угол а.	а
sin -
Отв. Центр тяжести лежит на биссектрисе угла а на расстоянии 2R ———. от
центра.
4.	Найти центр тяжести фигуры, расположенной в первой четверти и огра-
ниченной эллипсом №-Ц?- = 1 и окружностью х24-у2=1.
т:
5.	Определить положение центра тяжести фигуры,
4	4
Отв. Хг— •=—, уг =----
с Зл ’ ас л
ограниченной синусоидой
у = sin х и отрезком оси ОХ от х = 0 до х = л.
6.	Найти центр тяжести фигуры, ограниченной косинусоидой у = cosx от
л л „	1	_ п 2л + 3 (АТ
х =----до х-=— и прямой у =—.	Отв. хг = 0, ус—------------.
2	2	2	24|/3^8л
7.	Найти центр тяжести фигуры, ограниченной параболами у3 = 2рх и
х‘* = 2ру.	Отв. xc = yc = Q,<3p.
8.	Найти центр тяжести фигуры, ограниченной полукубической параболой
ау3 = х3 и прямой х=а, а>0.	Отв. хс = — , ус — ().
9.	Найти центр тяжести параболического сегмента, отсекаемого от параболы
3
//- 2р.г прямой х—h.	Отв, xc = -=-h, ус=0.
О
10.	Найти центр тяжести фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
x—a(t— sin/), y — a(l— cos/).	Отв. хс — ла, ус = -^а.
11.	Пользуясь второй теоремой Гульдина, найти центр тяжести полукруга
„ п 4а
радиуса а.	Отв. хс = 0, г/е=д—.
оЛ
§ 7. РАБОТА ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ
Из механики известно, что если действующая на материальную
точку сила F сохраняет постоянную величину и постоянное направ-
ление *, совпадающее с направлением движения, а само перемещение
* Всюду в тексте книги жирным шрифтом обозначены векторы. Если а—век-
тор, то |а| обозначает его длину. Иногда, чтобы отличать векторы от скаляров,
над буквами, обозначающими векторы, ставят черту или стрелку: а или а. При
рукописной записи (когда «жирное написание» невозможно) необходимо пользо-
ваться одним из последних обозначений.
450
А м F	В
q.----——-—--------------------------•
5=50 S	5 = 5
Рис. 200.
точки происходит прямолинейно, то работа W этой силы на пути s
вычисляется по формуле
W=F-s.	(1)
Пусть теперь материальная точка М движется по прямой линии
под действием переменной силы F, причем направление силы совпа-
дает с направлением движения. Требуется определить работу, про-
изведенную силой F при перемещении точки М из начального поло-
жения А в конечное положение В (рис. 200). Длину пути s, про-
ходимого точкой М, будем отсчитывать от некоторой точки О пря-
мой (см. рис. 200).
Положение переменной точки М вполне определяется длиной
отрезка ОМ, то есть величиной s. Пусть начальная и конечная точки
пути (то есть А и В) отстоят от начала О соответственно на рассто-
янии $0 и S. Тогда каждому значению s из промежутка ls0, S| отве-
чает определенное положение точки 'VJ на пути АВ. Если к тому
же учесть, что сила F имеет определенную величину в каждой точке
пути АВ, то эту силу можно рассматривать как функцию расстоя-
ния s: F=F (s).
Мы считаем, что F(s) является непрерывной функцией от s в про-
межутке |S]. Работу, произведенную этой силой при перемеще-
нии точки М вдоль пути АВ, то есть на участке пути от s„ до S,
можно определить следующим образом.
Разобьем промежуток [s0, 5] на п произвольных частей точка-
ми s0< S| < s., <... < s,: < s( + 1 <... < s„ = S и пусть Z -шах j.Asij,
где Asi = si+1 — s, — длина Pro участка пути (рис 201). Выберем в
каждом из полученных промежутков [s,, где / = 0, 1, 2,...
.... п~1, произвольную точку It	Сила, действующая
в этой точке, равна F=F (£,). Если дробление промежутка |s0, S]
достаточно мелко, то (в силу непрерывности) сила F (s) мало изме-
няется при sf, • s- .s; j, и поэтому приближенно будем считать, что
сила F в каждом из промежутков [s,-, sI+1] не изменяется и сохра-
няет величину, равную, например, значению F (£,-). Так как рабо-
F&)
).----------i ----------—— ------------i---1--------...  ------.£
5 = 0	50 5, 5г 5,	5„,	5л_;	5„=S
Рис. 201.
15*
451
та такой силы на каждом из промежутков [s;, s,+1] выражается в
силу формулы (1) произведением F (£,) Де,-, то работа этой силы
на всем промежутке пути [s0, S| будет равна сумме*
п — I
.	(2)
1 = 0
Величина этой суммы является лишь приближенным значением
искомой работы W, причем тем более точным, чем короче участки
[s,, smJ, то есть чем меньше Л. Поэтому вполне естественно точное
значение работы определить как предел суммы (2) при Х->0:
Так как мы имеем здесь предел интегральной суммы, состав-
ленной для непрерывной функции F (s) на промежутке js0, S], то
этот предел существует и равен интегралу $ /'(s) as. Таким обра-
se
зом, для искомой работы мы будем иметь!
S
F (s) ds.	(3)
So
Пример Вычислить работу, совершаемую при сжатии пру-
жины на 20 сл\ если известно**, что сила пропорциональна сжатию
пружины и что для сжатия на 1 см необходима сила в 2 kF.
Здесь мы имеем случай работы переменной силы: сила возрас-
тает пропорционально сжатию пружины. Если сжатие пружины обо-
значить через s (рис. 202), то силу можно записать формулой
F=-ks,	(4)
где k — некоторая постоянная, зависящая от упругих свойств пру-
жины. Найдем работу этой силы, которую она производит при
сжатии пружины на 20 см, то есть на пути от so = O до S = 0,2 м.
Вычислим эту работу в технической системе единиц, то есть в кило-
граммометрах (сокращенно kFm).
Согласно формуле (3) будем иметь:
S	0,2	0.2
W = F ds = ks ds = k у | = k	kFм.
So	6	0
* Из механики известно, что работа силы на некотором пути равна сумме
ее работ, соответствующих отдельным участкам, на которые разбит весь путь.
** Закон Гука.
452
Численное значение k определим из формулы (4) при условии, что
Е = 2кГ, а .$==0,01 м, то есть k~— = Д-= = 200.
s 0,01
Подставляя это значение k, мы и получим искомую работу
w, 200 -(0,2)2
w =-----кГм = 4 кГм.
Приведем еще один пример на вычисление работы, решение ко-
торого не будет опираться на формулу (3)
Пример 2. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы
выкачать воду из полусферического сосуда (котла), радиус которого
R (рис 203).
Задача сводится к вычислению работы, которую следует чагра-
тить для того, чтобы последовательно поднять все частицы воды
на уровень краев котла, так как дальше она уже под действием
собственной силы тяжести сама вытекает из него При этом можно
считать, что каждая частица опишет путь, равный глубине ее погру-
жения в котле. Так как сила, которую надо прикладывать к каж-
дой частице при ее поднятии, равна весу частицы, то работа под-
нятия одной частицы равна произведению веса частицы на глу-
бину ее погружения. Для вычисления всей работы мы поступим
следующим образом. Разобьем промежуток [0, /?| оси ОХ на п про-
извольных частей точками 0 = х0<ч <х8х,<х<+1<...<х„ =
= fin рассмотрим сечения сферического сосуда плоскостями, проведен-
ными через эти точки деления перпендикулярно оси ОХ, тогда сосуд
разобьется на отдельные шаровые слои. Рассмотрим i-й слой воды,
содержащийся между плоскостями x=xi и x = Xi+l (i = 0, 1, 2, ..
.. , п — 1). Приближенно заменим Рй слой воды цилиндрическим слоем
той же высоты А х, =лу.н —-х„ основанием которого служит круг с
центром в средней ючке промежутка хг+1 (см. заштрихован-
ную часть на рис. 203), при этом, как легко видеть, площадь ука-
Рис. 202.
453
занного круга равна ntfl, где yj = R2— Й- Значит, объем этого
цилиндрического слоя воды равен
Поскольку речь идет о воде, удельный вес которой равен еди-
нице, то вес i-ro цилиндрического слоя воды численно равен его
объему. Так как сила, которую надо приложить к этому слою для
поднятия его до свободной поверхности жидкости, равна весу его,
то работа, которую совершает эта сила* при поднятии ьго слоя
воды на расстояние приближенно равна n(R2—£;)е,Дхг. Так
как это рассуждение может быть проведено для всех слоев воды,
то полная работа W, необходимая для выкачивания всей воды из
котла, выразится приближенным равенством:
п—1
V* 2 n(R2-^)Zt&Xi.
1=0
Это приближенное равенство будет тем точнее, чем мельче дроб-
ление промежутка [0, /?], и в пределе при л -+ О (где, как обычно,
Л = тах {Дх/}) получим, очевидно, точное равенство:
п — 1
Так как мы имеем здесь предел интегральной суммы, составленной
для непрерывной в промежутке |(), /?| функции F(x) — n(R2— х-)л,
то этот предал существует и равен интегралу
\ R
)	n\{R2~x2)xdx,
О
и, следовательно, для искомой работы будем иметь!
W = л (7?2 —x2)xdx=nf/?2y - j) I* =
о
В частности, если R — 4 м и работу мы желаем вычислить в кило-
граммометрах, то, как легко убедиться, искомая работа будет равна
103-64л кГ м.
Упражнения
1.	Вычислить работу, которую необходимо затратить для того, чтобы выка-
чать воду, заполняющую цилиндрический сосуд высотой Н — 5м и радиусом осно-
вания R = 3m.	Отв. 353 250 кГм.
2.	Какую работу надо затратить, чтобы растянуть упругую пружину на
10 см, если сила в 1 кГм растягивает эту пружину на 1 си? Отв. 0,5 кГм.
* Эту силу можно считать приложенной к центру тяжести указанного слоя.
454
3.	Цилиндр диаметром 20 см и длиной 80 см заполнен паром под давлением
10 кг/см?. Какую работу надо затратить, чтобы уменьшить объем газа в два раза,
считая, что температура газа остается постоянной?
Указание. Использовать закон Бойля —Мариотта: jw = c=const. Легко
установить, что работа внешней силы (которая по величине равна давлению пара)
по сжатию пара от объема va до объема о, (о, < п2) вычисляется по формуле
? -
J v
dv — с In —
V1
Отв. 1740 кГм.
ГЛАВА XI
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ь
В определении определенного интеграла \f(x)dx мы считали
а
пределы интегрирования конечными, а подынтегральную функцию
f(x) ограниченной в промежутке [а, Ь} Поэтому приведенное ранее
определение интеграла теряет смысл, если не выполняется хотя бы
одно из указанных выше условий, то есть когда промежуток интег-
рирования бесконечен или подынтегральная функция не ограничена
в промежутке интегрирования. Однако и в этих случаях иногда
удается обобщить понятие определенного интеграла. В результате
такого обобщения и возникает понятие о так называемых несобст-
венных интегралах.
§ / НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА - НЕСОБСТВЕННЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
Определение. Пусть функция f (х) задана в промежутке
[«, + со) и интегрируема в любой его части [а, А ], то есть суще-
А
ствует определенный интеграл Jj f (х) dx при любом А>а. Тогда,
а
если существует конечный предел
А
lim \f(x)dx=l,	(1)
л- + оо “
то его называют несобственным интегралом первого рода
или несобственным интегралом функции f(x) в промежутке
[о, оо) и обозначают символом
+ оо
/ = $ f W дх.	(2)
В этом случае говорят, что несобственный интеграл (2) суще-
ствует, или сходится. Если же предел (1) не существует или беско-
456
нечен, то говорят, что несобственный интеграл (2) не существует,
или расходится.
Аналогично интегралу (2) вводится несобственный интеграл сле-
дующего вида:
§ f(x)dx = lim p(x)rfx.	(3)
— оо	Л —* 00 л
Наконец, как сумму подобных интегралов можно определить несоб-
ственный интеграл с обоими бесконечными пределами, то есть опре-
делить его равенством
4- оо	a	-f- оо
$ f (x)dx = f (х) dx + [ f (х) dx,	(4)
— оо ч	— оо	а
где а —любое число; при этом предполагается существование обоих
интегралов справа. Можно доказать, что сумма двух интегралов
в формуле (4) не зависит от выбора точки а.
Так как несобственный интеграл определяется как предел опре-
деленного интеграла, то на несобственный интеграл переносятся
все те свойства определенного интеграла, которые сохраняются при
этом предельном переходе. Например, свойства 1—7 определенного
интеграла, установленные нами в § 4 гл. IX, без труда переносятся
на случай интеграла с бесконечными пределами. Свойство 9 (тео-
рема о среднем) здесь, очевидно, теряет смысл.
Заметим, что само вычисление несобственного интеграла осно-
вано на его определении. Действительно, если через F (х) обозна-
чить первообразную для функции fix), то из определения несоб-
ственного интеграла (2) следует:
) f(x)dx= lim ^/(x)dx = lim [А (Л) —F (a)] =
a	A — co	A -* 4- co
WH-co)--/?(«b/; (x)|+°°,
где F(4-oo)= lim F (Л) есть условное обозначение этого предела.
А —+ оо
Последний предел существует одновременно с несобственным интег-
ралом (2). Следовательно, для вычисления несобственного интег-
рала (2) мы получили следующую обобщенную формулу Ньютона—
Лейбница:
$ f (х) dx = F(+ оо) — F(a).	(5)
а
Аналогично,
§ f(x)dx = F(a) — F(—oo),
— со
f (х) dx = F (+ оо)— F (— оо),
где F(—оо)= lim F(А).
4 — —оо
457
Таким образом, несобственный интеграл (2) может быть вычис-
лен по формуле (5) как результат двойной подстановки; при этом
из самого доказательства видно, что несобственный интеграл (2)
существует в том и только в том случае, когда существует конеч-
ный предел
lim F (A) = F(4- оо).
-hco
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл j' е~ах dx, а>0.
о
По определению имеем:
+ оо	А
С	С	Г 1	1 и
\ е ах dx — lim \eaxdx = lim-----------e =
Л — 4-оо j’	Л—+ ooL а J Ю
=----L ]jm (е~“Л —i)=—;
а Л-Н-00	а
интеграл сходится. Если учесть, что в данном случае существует конечный пре-
дел lim е~аА = 0, то вычисление интеграла можно произвести непосредственно
А -*4~°°
по формуле (5), то есть
4- СО
С -а.х	* -ах |+°°	1	1
% й	X — —е ““сГ *	~ о"’
О
4-	со
С х dx
Пример 2. Исследовать интеграл \	—т.
I	J 1 -j- X"
/ Согласно определению находим:
/	4-оо	А
\ тА" = |'т ^т-т~2 = Пт [ 1 In (1 -1-Д'3) 111 =
1+*а Л-+® .j) !+*a л-+®12 'JI1
= -^- lim [In (1 4-Л2) —In 2]==+с°.
* Л— + со
следовательно, данный интеграл расходится.
Пример 3. Исследовать, при каких значениях показателя а
существует несобственный интеграл
4- со
$ ~ (а>0).	(6)
а
Нижний предел а считается положительным, так как в против-
ном случае подынтегральная функция ~ вблизи точки нуль будет
неограниченной, то есть при х = 0 она ^обращается в бесконеч-
ность» *.
* Понимать это надо так, что при х—»0 функция стремится к бесконеч-
ности.
458
К = lim и
Р 1 ОС Д I m
Приступим к исследованию интеграла (6).
1. Пусть сначала а=#1. Тогда по определению несобственного
интеграла имеем:
J- со
С - lim И* = _2_
1—а А
а	а
Если а > 1, то
А
lim А1 а = 0 и мы получаем:
-»4-оэ
4- оо
С dx___ а1~х
хА ~’ а— 1 ’
интеграл сходится. Если
вательно,
же а<1, то lim А1 ”'== + оо и, следо-
(" dx
J Xs
а
интеграл расходится.
2. Пусть теперь а=1, тогда
“Ь оо	Л
dx__
х ~ ,
по определению находимз
dx
х
lim (In А — In а)
интеграл расходится.
Итак, мы установили, что несобственный интеграл (6) сходится
при а > 1 и расходится при а «С 1.
Полученным результатам можно дать простое геометрическое
толкование, если предварительно ввести понятие площади для бес-
конечной области (бесконечной
трапеции). На первый взгляд
кажется, что не имеет смысла
говорить о площади такой
области, которая простирается
в бесконечность. Однако, как
мы j видим ниже, с помощью
предельного перехода можно
ввести понятие площади и для
такой области.
Пусть а > 1. Рассмотрим
бесконечную область, ограни-
ченную сверху кривой =
слева — прямой х = а и снизу —
осью ОХ (рис. 204). Эта область бесконечно простирается вправо,
а кривая, ограничивающая ее сверху, асимптотически приближается
к оси ОХ. Предварительно вычислим площадь переменной криволиней-
ной трапеции aMNA (см. на рис. 204 заштрихованную часть). Обозна-
459
чим площадь этой трапеции через Р (Л), величина которой зависит от
положения точки А и растет вместе с А, так что
А
Р(А)=\	= —L-=-T-L-
' ' J х“	1 — а	|а	1 — а '	'
Найдем предел этой величины при Л-> + со, то есть
lim Р(Д) Нт (Л1"’—«!-’)=-^Ц-,
/1-»4-со	1—“Л-Ч-оо	“	1
так как ИтЛ1-а = 0 при а>1. Естественно найденную величину
Л— + оо
принять за площадь всей указанной выше бесконечной
области.
Если же верхнюю границу бесконечной области заменить гипер-
болой z/==i или кривой у = при а<1, то площадь Р (А) кри-
волинейной трапеции в первом случае выразится величиной
А
Р (Л) = \	= In Л — In а,
X	*
а
а во втором
А
Р ( /3 "•"тт	yr;	®
у ' J х® 1 — аv	°
а
где а<1. В обоих случаях предел площади переменной криволи-
нейной трапеции при Л ->4-оо равен + оо, то есть lim Р (Л) — "4“ ОО у
так что в этих случаях простирающаяся в бесконечность область
уже не имеет конечной площади.
Таким образом, сходимость интеграла (6) при а>1 геометри-
чески означает, что площадь указанной выше бесконечной области
конечна, а расходимость его при asci означает, что упомянутая
площадь бесконечна.
Результатами этого примера мы воспользуемся при выводе при-
знака сходимости и расходимости несобственных интегралов рас-
сматриваемого типа.
Часто встречаются несобственные интегралы от функций, перво-
образные которых неизвестны. В этих случаях приходится прибе-
гать к признакам, дающим возможность судить о сходимости или
расходимости интеграла без отыскания самой первообразной. Исполь-
зуя результаты последнего примера, мы приведем простой достаточ-
ный признак сходимости и расходимости несобственного интеграла
с бесконечными пределами в случае, когда подынтегральная функ-
ция неотрицательна в промежутке интегрирования.
Признак сходимости. Пусть функция f (х) непрерывна и
неотрицательна, то есть	в промежутке [а, -f- оо), а>0.
460
Тогда интеграл
4- ОС
$ f<x}dx	(7)
сходится, если при a ^x<z + oo выполняется неравенство
/(*)<!	(8)
где сс>1 и М—некоторая положительная постоянная. Если же
при а -С х< 4-со выполняется неравенство
Ж 2^-	<9>
где a-gl, М > 0, то интеграл (7) расходится.
Доказательство. Так как функция f (х) неотрицательна, то
определенный интеграл с переменным верхним пределом
А
Ф (Л) = f (х) dx	(10)
а
представляет собой монотонно возрастающую функцию от перемен-
ной А *. Тогда для первого случая (когда выполняется неравенство
(8)) будем иметь:
Ф(Л)= (f(x)dx^: ( "dx<M \
а	а	а
то есть функция (10) ограничена и, будучи возрастающей, по из-
вестной теореме из теории пределов** имеет конечный предел при
Л->4-оэ. Таким образом, существует интеграл
4- оо	А
? f(x)dx— lim \f(x)dx.
a	Л-4-со^
Во втором случае (когда выполняется неравенство (9)) мы будем
иметь:
А	А
Ф(Л) = р(х)йх^
а	а
А
f* dx
Но при а -С 1 (см. пример 3) lim I 75 = 4-00,
л-+оо J х
а
и из последнего неравенства вытекает, что
А
lim Ф(Л) = lim ( f(x) dx — 4-00,
Л-+4-со	Л-» + со q	'•
* Это легко видеть из геометрических соображений.
** См. гл. III, § 6 и 12.
461
то есть интеграл (7) расходится. Этим признак полностью доказан.
Из доказанного признака вытекает другой весьма простой и
практически удобный достаточный признак, а именно: пусть
функция f (х) неотрицательна и непрерывна в промежутке [а, +оо);
тогда интеграл (7) сходится, если при а > 1 существует ко-
нечный предел
lim х7(х) = /,	(Н)
и тот же интеграл расходится, если при а «с 1 существует
конечный или бесконечный предел
lim х7(х) = Л#0,	(12)
Г—*4-0°
отличный от нуля.
Рассмотрим первый случай. Пусть существует предел (11)
при а> 1. Тогда из определения предела следует, что по е>0
можно указать такое N, что как только x>N, то будет выпол-
няться неравенство x"f (х) < 14- е. Отсюда f(x)<~|, гдеЛ! = /+е>
>0. Мы получили,'таким образом, условие (8), из которого еле-
4“0О
дует существование интеграла f (х) dx. Из очевидного равенства
N К
§ f(x)dx= § f(x)dx + J f(x)dx	(13)
a	a	N
вытекает сходимость интеграла в левой части этого равенства, то
есть сходимость интеграла (7) (в правой части этого равенства оба
интеграла существуют).
Второй случай. Пусть существует предел (12) при as£l.
В нашем случае/>0. Возьмем положительное число М, меньшее,
чем /. Тогда по выбранному .11 можно найти такое N, что при х> N
будет выполняться неравенство* x7(x)>M, из которого получаем:
f (x)>F.
Мы получили условие (9) доказанного выше признака, из кото-
со
рого вытекает расходимость интеграла f (х) dx, а за ним в силу
N
равенства (13) и расходимость интеграла (7).
4-00
С dx
Пример 4. Исследовать интеграл \	---,
i ухз + х2 + 2
f (х) — —--------.
Ух^Ц-х^Ц-2
Представим подынтегральную функцию в следующем виде’
11 — 1
—х--------. Произведение x2f(x) —--
- V1 +1+^	/'44
* Известно, что если хп — Ь и b < г (6 > г), то хп < г (хп > г) начиная с не-
которого места (см. гл. III, § 3).
462
как легко видеть, стремится к 1 при х—»4-со. Так как показатель	> h
то данный интеграл по доказанному признаку сходится.
4-00 ЗЛ——----
С V 1 + х2
Пример 5. Исследовать интеграл \	dx.
Подынтегральная функция имеет вид: f(x)
ух2 4-1
/х2—1
Следовательно, произведение x3f(x) = -—	 —» 1 при х-*4-со> а так как
/’Ч
а = -х-<1, то интеграл расходится.
«5
4~ со
Пример 6. Исследовать интеграл Пуассона f е~х> dx, имеющий важное
о
значение в теории вероятностей и математической статистике.
Полагаем f (х)=е~х‘. Пользуясь правилом Лопиталя, легко показать, что при
любом положительном а произведение х“ f (х) = х“ • е — х2 стремится к нулю при
х —4-с°*- В частности, это верно и при а>1 (например, при <х = 2); отсюда
по доказанному признаку данный интеграл сходится. Интересно заметить, что
значение этого интеграла
равно
Упражнения
Вычислить следующие несобственные
интегралы:
Отв.
Отв. Расходится.
,, л
Отв. -%.
4-00
2. cos х dx.
О
4- со
л	dx
4 .) х24-2х’'-42-
— оо
-(-с©
6. е~^х dx.
О
Исследовать на сходимость следующие интегралы:
4-00	4-00
, С х2 , л _	о f dx
7. \ —j—; г-г dx. Отв. Расходится. 8. I о ,
j х34-%4-1	J х34-1
о •	о
4- оо s _	4-о°
9. С х Qmg расходится. 10. £ —..... dx
J 1+х2	.) х|/х + х2
Отв. Расходится.
Отв. л.
Отв. 2.
Отв. Сходится.
Отв. Сходится.
* Действительно, при а = 2 имеем: lim —-
‘ л->4-оо ех
.. 2х ..	1 л
hm —-5= hm —,=0.
х-»4-оо2хе х->4-оо е
463
-f-oo
tl	С IП (1 -j” j r\	n
11.	\ —*—5—-dx. Отв. Расходится.
J *
1
-f-OO
_л	0 x arctg x . ~	„
12.	I ' 3 . ?- -— dx. Отв. Сходится.
J Vl+x’
4-	co
13.	) fz г1 dx. Отв. Сходится.
o'
+ oo	--
C	ft
Пользуясь с|ормулами e~**’dx= r_2~" и
о
следующие интегралы
4-00
f sin x . я
| ------dx — -?-, вычислить
J x 2 ’
о
-f-00	__	-f~OO
14.	? ё~а*г dx(a^O). Отв. il/ 5-. 15.	£ -^y~rdx.	Отв. Ул.
J	1 T X-	J V X
О	0
4- 'o
16.	х2е~х‘dx. Указание. Применить интегрирование по частям.
о
Отв. -г- |/*я.
4
-f-oo
, - С sin ах ,	„л	л ft	л
17.	\	dx.	Отв. -тг. если а>0, и —если а<0.
х	2 ’	2 *
о
-<-оэ
18.	\ 2!”—L dx. Указание. Применить интегрирование по частям.
1 хг
о
Отв.
-Ь оо
С sin3 г .
19.	\---------dx.
? х
о
1	л
Указание. Воспользоваться формулой sin3 х —	(3 sin х~ sin Зх). Отв. .
§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА - НЕСОБСТВЕННЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть f (х) задана в промежутке (а, 6], но не ограничена в нем,
например, вблизи точки b (см. рис. 205). Точку b при этом будем
называть особой точкой. Тогда, как бы ни было мало положитель-
ное число е, функция f(x) заведомо неинтегрируема в каждом
промежутке [Ь — е, 6] слева от точки Ь. Однако будем предпола-
гать, что функция f(x) интегрируема (следовательно, ограничена)
в любом промежутке [а, b — е). Тогда, если существует конечный
предел
Ь — е
lim С f(x)dx = l,
8-0
(О
464
т0 его называют несобственным ин-
тегралом второго рода функции f(x)
от а до b и обозначают
ь
l—fy(x)dx,	(2)
а
а про интеграл (2) говорят, что
он существует, или сходится. Если
же предел (1) не существует или
бесконечен, то говорят, что несобст-
венный интеграл (2) не существует,
или расходится.
Аналогично, если а — особая точка
и функция f (х) интегрируема во вся-
ком промежутке fa-фе', &], как бы
ни было мало положительное число
в этом случае определяется так:
ь	ь
\f(x) dx= lim \
a	е’"0 a-t-
е', то несобственный интеграл
f (х) dx.	(3)
Если функция f (х) неограничена в окрестности какой-нибудь
промежуточной точки с промежутка [а, 6], то есть если точка с
особая и a<c<b, то по определению полагают
j j (х) dx = \ f (х) dx Щ \ )' (х) dx,
а	а	с
при этом интеграл в левой части этого равенства существует, если
существуют интегралы в правой части его.
Наконец, если функция f (х) неограничена вблизи точек а и b
(то есть а и Ь—особые точки), то в этом случае несобственный
интеграл определяется как сумма
Ь	с	Ь
f (х) dx = f (х) dx + ^f (х) dx
а	а	с
(где с — любая точка интервала (а, Ь)), если оба интеграла справа
существуют. При этом сумма не зависит от выбора точки с.
1
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл -
, У 1 х
Подынтегральная функция
=== при х~ 1 «обращается в беско-
нечность», то есть точка х — 1 особая; в остальных точках проме-
жутка интегрирования эта функция непрерывна и потому интегри-
руема в любом промежутке [0, 1— в], где 0 < е < 1. Следовательно,
465
I —8
dx ,. С dx
= lim \ -7== = lim arcsin х
по определению имеем:
1 —е
= limarcsin (1—е) = -?_
о ”
Следовательно, интеграл существует.
Пример 2. Исследовать, при каких значениях показателя
а>0 существует несобственный
1
о
интеграл
dx
х*'
(4)
Подынтегральная функция обращается в бесконечность при
в остальных точках промежутка она непрерывна и, следовательно,
интегрируема в любом промежутке [е, 1], как бы мало ни было
е > 0.
Пусть сначала a=?fc 1. Тогда согласно определению несобствен-
ного интеграла 2-го рода имеем:
1 1 1
lim \	= -Д— lim л'1’ = -j----lim (1 — е’ ").
?-rs g^o •’ х 1я g-o 1-а8_0
О *	€	£
Этот предел будет равен если а<1, и он равен бесконеч-
ности, если а>1, а это значит, что при а<1 интеграл (4) схо-
дится, а при а> 1—расходится. Наконец, при а=1 имеем:
ili	1
( —	== lim ( — = lim In	х — lim	(In 1 — In e) = lim	In — =	-f- oo,
x « — 0 J x «-»0	e-.O	e-»0	8
0	8	s
то есть интеграл (4) расходится.
Итак, мы установили, что интеграл (4) сходится при а<1 и
расходится при a^sl.
Полученным результатам (так же, как и в примере 3, § 1) можно
дать простое геометрическое истолкование.
Действительно, для всякого сколько угодно малого е > 0 интеграл
1
Р(е)= ( —у = т—(1 — 81")
' 7 J хя 1 — av 7
8
выражает собой площадь криволинейной трапеции, заштрихованной
на рисунке 206. Эту площадь мы обозначим через Р(е). Очевидно,
если 8 —► 0, то заштрихованная фигура неограниченно простирается
вверх, а площадь ее Р (в) непрестанно возрастает. Однако, если
а<1, то, как мы установили выше, интеграл (4) сходится и най-
1
денную величину —- естественно принять за величину площади
466
бесконечной трапеции, ограниченной сверху кривой справа —
прямой х— 1, слева — осью OY и снизу — осью ОХ.
Если аэ=1, то интеграл (4) расходится, то есть интеграл	—,
8
а с ним и площадь Р (е) переменной криволинейной трапеции
с уменьшением е растет безгранично; так что вся бесконечная
трапеция в этом случае уже не имеет конечной площади.
Вычисление несобственного интеграла второго рода. Пусть функ-
ция /(х) определена и непре-
рывна в полусегменте [а, Ь) и
вблизи точки b функция неог-
раничена (точка b — особая
точка для нее). Тогда для f (х)
в этом промежутке существует
первообразная функция F (х), и
по основной формуле интег-
рального исчисления (формула
Ньютона — Лейбница) будем
иметь:
\ f'(x) dx = F (b — e) — F (а). (5)
Отсюда следует, что несобственный интеграл (2) существует тогда
и только тогда, когда существует конечный предел
UmF (b—e)=F(b).
е->0
(6)
Иными словами, интеграл (2) существует тогда и только тогда,
когда функция F (х) имеет конечный предел в точке b и, следова-
тельно, может рассматриваться как непрерывная на всем промежутке
[а, 61. Переходя к пределу в равенстве (5)*, мы и получим формулу
Ньютона — Лейбница:
ь
\f(x)dx = F(b)-F(a).	(7)
Замечание. Эта же формула справедлива и в том случае,
если особая точка лежит внутри промежутка интегрирования. Важно
помнить, что формула (7) применима в том случае, если первооб-
разная функция F (х) для f (х) будет непрерывной на всем проме-
жутке интегрирования [а, 6], в том числе и в особых точках.
Существование такой первообразной обеспечивает и существование
несобственного интеграла. Если же первообразная F (х) имеет раз-
Мы воспользовались теоремой о предельном переходе в равенствах.
467
рыв второго рода, хотя бы в одной точке промежутка [а, Ы, то
несобственный интеграл не существует.
Итак, для вычисления несобственных интегралов от неограничен-
ных функций можно использовать формулу Ньютона — Лейбница^
если только функция F (х) непрерывна на ссем промежутке [a,
и F' (.г) = f (х) во всех точках, где f (х) конечна.
27
non	f dx
Пример 3. Вычислить интеграл \
В данном случае первообразная функция F (х) — 3у^х непрерывна во всей
промежутке [—1, +27], в том числе и в точке х=0, в котором подынтегральная
функция обращается в бесконечность. Следовательно, можно применить фор-
мулу (7):
27
f dx
i -----= з у х
27
= 3(3 + 1)== 12.
С dx
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл \	.
В точке х — 0 подынтегральная функция обращается в бесконечность (х=0 —
особая точка). Так как не только подынтегральная функция, но и его первооб-
разная F(x)«=—— имеет бесконечный разрыв в точке х=0, то данный интеграл
расходится и равен бесконечности. Если бы мы, не обратив на это внимания,
формально применили формулу (7) к этому интегралу, то получили бы нелепый
результат:
X
Пример 5. Доказать,
ЧТО
b
несобственный интеграл
dx
(8)
и расходится при р
Ь —е
где р > 0, сходится при р < 1	.
Легко видеть, что подынтегральная функция вточкех = 6 имеет
бесконечный разрыв, то есть Ь — особая точка для нее. Пусть сна-
чала р 1. Тогда по определению несобственного интеграла имеем:
b	b — s
S (Ь^=Л)Р =	$ (+=7)Р =	1™ (Ь~ХУ Р
а	а
= —L]im[ei-P_(ft_a)i-P],
Р~ 1 е — О
Отсюда видно, что при р < 1 существует конечный предел, равный
— a)w, й, следовательно, данный интеграл сходится, а при
а
468
р>1 этот предел равен бесконечности, следовательно, интеграл
расходится.
Если же р=1, то
b	b-е	Ь—е
=	\	= — lim In (b — х)	= lim[ln(6— а) — lne] =
\b— x г^0 J C —x s^O	г— О
П	a	a
_= lim In---=-4-oo, то есть интеграл расходится. Таким образом,
«-о	8
мы доказали, что интеграл (8) сходится при р<^1 и расходится
при рЭ 1.
Аналогично доказывается, что интеграл
(9)
сходится при р<1 и расходится при
Используя результаты этого примера, установим следующий про-
стой достаточный признак сходимости и расходимости
несобственного интеграла от неограниченной функции.
Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна в полусег-
менте [а, Ь) и в точке b функция претерпевает бесконечный разрыв
lim /(х) = 4-со.
— О
Тогда:
1) интеграл
Ъ
f (х) dx
а
(10)
сходится, если существуют такие постоянные М ~^> 0 и р<^1>
что при а^х<^Ь выполняется неравенство

(Н)
2) интеграл (10) расходится, если существуют такие постоян-
ные р 1
и /VI>0, что при а<х<^1) выполняется неравенство
f(x)
М
(Ь — х)р-
(12;
Докажем сначала первую часть признака. В первом случае
согласно условию (11) мы будем иметь:
Ь — 6	b — г	Ь
®W= J Цх)^х^М $	(^ = «4^(р<1).
а	а	а

Следовательно, функция Ф(е) ограничена сверху и, будучи возра-
стающей*, имеет конечный предел при е^-0, то есть интеграл (10)
сходится.
Во втором случае в силу условия (12) имеем!
6—t	Ь—£
Ф(е)= $ f(x)dx^M J
а	а
& —а
но lim \ ,	— -фоо при р2&1 (см. пример 5). Тогда и подавно,
«—►О J (O-X)f'
а
Ь—£
как это следует из последнего неравенства, lim \ f (х) dx ~ 4- со,
е-»0 а
V
то есть интеграл (10) расходится. Этим признак полностью доказан.
Из этого признака следует весьма простой практически удобный
достаточный признак сходимости и расходимости
несобственного интеграла второго рода; а именно: пусть f (х) неот-
рицательна и непрерывна в полусегменте [а, Ь) и lim /(х) =
х-*Ь — О
— + со, то есть b — особая точка для этой функции; тогда интег-
рал (10) сходится, если при р<^1 существует конечный предел
lim (b — х)р f(x) — I, и этот интеграл расходится, если при
p"5s 1 существует конечный или бесконечный предел lim (6 —х)р/(х) =
х —•* b ~~ О
= /	0, отличный от нуля.
Действительно, в первом случае предел произведения — лУ/'(х)
при х->& равен /, при этом / может быть и нулем. Возьмем какое-
нибудь положительное число М~>1, тогда произведение (6 — x)pf(x)
при х достаточно близких к b будет меньше М, то есть
(&-хН(х)<Л1, а<с<х<4>,
где с выбрано столь близко к
промежутка [с, 6] имело место
неравенства находим, что
Ь, чтобы для всех значений х из
последнее неравенство. Из этого

С=£СХ<Ь(р<1),
то есть получили неравенство (11), из которого согласно локязан-
* Так как функция f(x) неотрицательна в промежутке [а, Ь), ю шашрал
Ь— г
Ф (в) = j f (х) dx возрастает с уменьшением е.
а
470
ь
ному признаку и следует сходимость интеграла ^/(х)а'х. Тогда из
С
равенства
Ъ	с	Ь
f (х) dx = f (х) dx + $ f (х) dx
а	а	с
вытекает сходимость интеграла (10)*.
Во втором случае произведение (Ь — x)pf(x) при х -> b стремится
к пределу 1	0. Выберем какое-нибудь положительное число М<^1.
При х достаточно близких к b указанное произведение будет
больше М, то есть
(Ь — x)°f(x)^>M при а<^с^х<^Ь,
где с достаточно близко к Ь. Из этого неравенства следует, что на
всем промежутке [с, 6]
(где	то есть получили неравенство (12), из которого выте-
кает по ранее доказанному признаку расходимость интеграла
b	b	с	b
(х) dx, а последний в силу равенства (х) dx=^f(x)dx + ^f(x)dx
влечет за собой расходимость интеграла (10), что и требовалось
доказать.
Замечание. Полученный признак сохраняет силу и в том
случае, когда подынтегральная функция f (х) обращается в беско-
нечность при приближении к нижнему пределу, то есть когда
точка а является особой точкой. В этом случае надо рассматривать
предел произведения (х — а)р f (х) при х->а, и если это произве-
дение имеет конечный предел при р<1, то интеграл (10) сходится,
а если это произведение имеет конечный или бесконечный предел,
отличный от нуля при р1, то этот интеграл расходится**.
1
Пример 6. Исследовать интеграл \ -7=7—-- .
J V 1 — х3
о
Подынтегральная функция f (х) — y—L=r- в точке х = 1 обращается в бесконеч-
ность, то есть х=1 — особая точка. Представим эту функцию в следующем виде:
1 11
'^^уТ^сУх'+х+х3- Отсюда находим: (1-х)2/(х)=уу^-+д;2. Следо-
2	1	1
вательно, Jim (1 — х) 2f (х) = Hm р/ д хyj-•
* Так как оба интеграла в правой части этого равенства существуют.
** Этот признак доказывается аналогичным образом, как и в первом случае,
С помощью интеграла (9).
471
Так как здесь показатель р =	< 1, то согласно доказанному признаку дан-
ный интеграл сходится.
f Ух
Пример 7. Исследовать интеграл \ —.......—dx.
Легко видеть, что точка х=1 является особой точкой для подынтегральной
Ух	Ух	2.
функции. Так как f(x) =—----------*=-. —-	-....... то (1—х)2/(х)=я
УТ=Т* К1-хК(1 + х)(1+^) ’	' М
Ух	,. ,,	, ч	Ух 1
= , - —   -> откуда находим: lim (1—х)2 f (х) = lim —— '  ........ =—.
у (1+х)(1+х2)	Х-1	X-l/(l-|-x)(l-|-X8)	2
,т 1
Но	’ следовательно, интеграл сходится.
1
С dx
Пример 8. Исследовать интеграл \ *——.
о
Точка является особой для функции / (%) =« ~1—ш Запишем эту функ-
цию так: /(х) = ц—откуда (l-~x)/(x)==rj_L—2. Следовательно,
1 1
lim (1 — х) f (х) = lira	—-—- = —,
А--»|	X — I 1 + X + Xs	3
Так как найденный предел отличен от нуля и показатель р=1, то данный
интеграл по доказанному признаку расходится.
Пример 9. Исследовать интеграл \ In х dx.
о
Точка х=0, то есть нижний предел интеграла является особой точкой для
функции /(х) = 1пх. В данном случае произведение (х—о)/’/(х), предел которого
мы должны найти в точке а = 0, принимает вид: хИпх. Рассмотрим предел этого
произведения, когда х ~~ 0. Мы имеем здесь неопределенность вида 0 • со. Приме-
няя правило Лопиталя, убеждаемся в том, что при любом положительном р это
произведение стремится к нулю.
Действительно, пусть р > 0, тогда
1
lim хР In х— lim ^4 == lim-------—--------- ,im x^^O.
x-o	x-oxP x-o — px P~i p x-.ij
В частности, это будет иметь место, например, при всех значениях р<1, а сле-
довательно, по установленному выше признаку данный интеграл сходится.
I
С dx
Пример 10. Исследовать интеграл \ ~.
У х — sin х
Как легко видеть, нижний предел, то есть х = 0, является особой точкой для
подынтегральной функции. Здесь мы должны исследовать предел произведения
(x--O)Pf (х) = хР/(х), когда х —0. Из равенства Цх} = ——5-----------! :  
Ух— sinx
\ Ух I
472
— 1 1
непосредственно находим, что ]/х/(х) =--------Следовательно, limx2 f (x'j
i	.„ I g=l, поскольку lim ^~ = lim Vain х 1/
. ЯП*	х-V V
Г*	1
Так как показатель Р—^ <-	10 ИитегРал сходится.
Упражнения
Вычислить несобственные интегралы (или установить расходимость):
i' xdx
8
Отв.
«J
2	. \ x In x dx. Отв.--r.
J	4
о
2 С	dx	Отв.	Расходится.	1 4. ? 1п х dx. От». — i
д;2 — 4х 3			
1			/ 0
2 Г dx	Отв.	Сходится при р <	; 1 и расходится при
J х InP х '			
Исследовать на сходимость следующие интегралы:
(* dx
6.	\ ?-==. Отв. Сходится.
J 1-х*
8(’ dx
V	«Л'Л*	__	#"*
. К—----------- О/Пв. Сходится.
J ,У*	1
II е —1
Ю. I —-------- Отв. Расходится.
J е*—cosx
7.	\	. Отв. Расходится.
9.	I —Е*— dX, Qme. Сходится.
1 Л»1ПХ 1
0	1
1
11. \	dx. Отв. Сходится.
J У 1-х
Л г
X
_п
2
12.
—dx. Указание. Следует записать / (х)=——------------
COS X	COS X • n
sm3
•чЗ
1
^2
и
/л \з
рассмотреть предел произведения (— хj / (х)—
л
sin
Отв. Расходится.
Раздел IV
КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛАВА. XII
КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ
Мы уже неоднократно встречались с вопросами, относящимися
к изучению плоских кривых (задача о проведении касательной,
определение длины дуги кривой и др.)- В частности, мы встречались
и с различными способами задания кривой: явным уравнением, пара-
метрическими уравнениями. В этом параграфе мы коротко остано-
вимся на некоторых понятиях и терминах, часто используемых при
рассмотрении кривых.
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями
x—(p(t), y=ty(t) (oisC/sCp).
Если двум различным значениям параметра I, из которых хоть
одно отлично от а и |5, на кривой соответствует одна и та же
точка, то такая точка называется кратной. Это могут быть, напри-
мер, точки самопересечения или точки самоприкосновения кривой
(точки М. на рис. 207).
При совпадении точек кривой, отвечающих двум крайним зна-
чениям а и ₽ параметра t, кривая оказывается замкнутой, а точка М,
служащая одновременно ее началом и концом, уже не считается
кратной (рис. 208).
Будем далее предполагать, что на рассматриваемой нами кривой
нет кратных точек, так что различным значениям параметра t отве-
Рис 207.
Рис. 208.
474
чают различные точки кривой (кроме случая замкнутой кривой,
когда ср (а) — <р (₽), ф(а) = ф(₽)). Кроме того, предположим, что
функции <р (/) и ф (/) имеют непрерывные производные <р' (/) и ф' (/).
Точка кривой, отвечающая значению параметра t, при котором
одновременно
x't=y't — 0, то есть <р' (0=ф' (0 = 0,	(1)
называется особой.
Это название связано с тем, что, как можно показать, в неосо-
бых (простых) точках (то есть таких, для которых не выполняются
условия (1)) кривая имеет касательную и угловой коэффициент
касательной находится по известному правилу дифференцирования
функции, заданной параметрически (см. гл. V, § 7):
Vi	 x't
ух = Т ИЛИ Ху = ~г.
xt	У1
Определение. Кривая, заданная параметрическими урав-
нениями
х = ф(/), £/ = ф(0 (а=С0),
называется гладкой, если функции ф (/) и ф (/) имеют непрерывные
производные ф' (t), ф' (t), не обращающиеся одновременно в нуль
(последнее условие означает, что
на кривой нет особых точек).
Геометрически гладкость кри- f X/
вой означает, что кривая во всех
своих точках имеет касательную,	Рис. 209.
причем при непрерывном переме-
щении точки касания вдоль кривой направление касательной изме-
няется тоже непрерывно.
Если непрерывная кривая составлена из конечного числа глад-
ких кривых, то такая кривая называется кусочно-гладкой (рис. 209).
Например, всякая ломаная, состоящая из конечного числа прямоли-
нейных отрезков, будет кусочно-гладкой линией.
Всякая кусочно-гладкая кривая спрямляема. Это легко выводится
из спрямляемости гладких кривых.
Кривую, заданную явным уравнением y — f(x), aszx^b, всегда
можно рассматривать как частный скучай кривой, заданной парамет-
рическими уравнениями, поскольку вместо уравнения y = f (х) всегда
можно написать: х=х, y — f(x) (и считать, что х — параметр). По-
этому, если кривая задана явным уравнением y = f (х) и функция f (х)
непрерывна вместе со своей производной f (х), то такая кривая не мо-
жет иметь особых точек и, следовательно, всегда будет гладкой.
Действительно, в этом случае всегда х'х~ 1 (то есть про-
изводная х'х всюду отлична от нуля) и, стало быть, условие (1)
не выполняется. Разумеется, все сказанное относится и к кривой,
заданной уравнением вида x=g(y).
Итак, на кривой, заданной явным уравнением (при выполнении
указанных выше условий), особых точек нет. Это обстоятельство
475
играет существенную роль в теореме об эквивалентности бесконечно
малой дуги и стягивающей ее хорде (см. гл. X, § 2, теорема 2).
Эту теорему можно доказать и в более общем случае, когда кривая
задана параметрически, но тогда нужно поставить дополнительное
условие, чтобы точка не была особой.
§ 2. КРИВИЗНА И РАДИУС КРИВИЗНЫ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
касатель-
точки /Ujl
Одним из элементов, характеризующих форму кривой, является
степень-ее искривленности, изогнутости в различных точках
Рассмотрим какую-нибудь плоскую спрямляемую кривую, кото-
рая не содержит кратных точек и имеет в каждой точке
ную. Возьмем на этой кривой какие-нибудь две близкие
и М и проведем касательные к кри-
вой в этих точках. При этом точки
Mi и М выбираем настолько близко
друг к другу, чтобы касательная при
перемещении точки касания от Л1 к
Рис. 210.	Рис. 211.
поворачивалась в одном направлении (рис. 210). Через со обозначим
угол между этими касательными, или, точнее, угол поворота касатель-
ной при переходе от точки М к точке Мр Этот угол, который мы всегда
считаем положительным, называется углом смежности дуги /VH/Vt.
Угол смежности в некоторой степени дает представление об искрив-
ленности, изогнутости, или «кривизне», дуги М^М. Из двух дуг оди-
наковой длины больше изогнута та дуга, у которой угол смежности
больше (ср. рис. 210 и 211).
Однако, рассматривая дуги различной длины, мы не можем оце-
нить степень их изогнутости, пользуясь только одним углом смеж-
ности. Один и тот же угол смежности могут иметь две дуги с заве-
домо различной изогнутостью. Поэтому изогнутость, кривизну дуги
естественно характеризовать углом смежности, рассчитанным на еди-
ницу ее длины, тс есть отношением у, где угол со измеряется в ра-
дианах, а I — длина дуги МгМ. Это приводит к следующем} опре-
делению.
476
Определение. Отношение угла смежности дуги кривой к ее
длине называется средней кривизной дуги:
w —
Аср ( •
Поскольку внак угла <о не учитывается (угол берется по абсолют-
ной величине), то средняя кривизна есть число неотрицательное.
Для одной и той же кривой средняя кривизна на различных ее
участках может быть различной. Естественно, чем меньше дуга МгМ,
тем средняя кривизна лучше характеризует изогнутость дуги вблизи
точки Л41; и для того, чтобы охарактеризовать степень изогнутости
в непосредственной близости к точке Мг, вводят понятие кривизны
в данной точке.
Определение. Кривизной кривой в точке называется
предел, к которому стремится средняя кривизна дуги М^М, когда
точка М стремится по кривой к точке Mv
Обозначая кривизну кривой в точке буквой К, по определе-
нию имеем:
К-=Нт Кср = lim 7 .
Л1-* Mt	1-и 1
В частности, для любой дуги окружности радиуса R (рис. 212) имеем:
ЛСр=у = ^=^-=const, и, следовательно,
К =	(1)
Таким образом, кривизна окружности в любой ее точке есть вели-
чина постоянная и равна величине, обратной радиусу окружности.
Этого нельзя сказать о кривизне произвольной кривой. Для
произвольной кривой кривизна в различных ее точках, вообще го-
воря, будет различная. В этом мы убедимся ниже.
Перейдем теперь к выводу формулы для вычисления кривизны
плоской кривой в любой ее точке.
Пусть кривая задана явным уравнением y—f(x), a<x<:b,
и пусть функция f (х) имеет первую и вторую производную на [а, 6].
Отсюда, в частности, вытекает, что f (х) всюду существует и непре-
рывна, следовательно, кривая спрямляема и в каждой точке имеет
касательную. Возьмем на кривой точку ЛД (х, у), и пусть ей отве-
чает дуга s, отсчитываемая от некоторой закрепленной точки Л1о
(рис. 213). Точнее, дуга s — это длина дуги AfoAfi, которой приписан
еще и знак; именно, если отсчет дуги от Л40 к происходит в на-
правлении возрастания параметра (в данном случае параметр — х),
то дугу s считают положительной, а в противном случае ее считают
отрицательной.
Придадим s произвольное приращение As. Тогда дуга s-f-As
определит на кривой новую точку М. Проведем касательные к кривой
477
в точках и М. Через а иафДа обозначим соответственно углы,
образуемые этими касательными с положительным направлением
оси ОХ (см. рис. 213). Непосредственно из рисунка видно, что угол
смежности ® дуги МгМ равен |Асс|*.
Так как в данном случае кривая задана в декартовых коорди-
натах явным уравнением y—f (х), то величины а и s обе зависят от х:
а = а(х), s = s(x).
Следовательно, а можно рассматривать и как функцию от s, задан-
ную параметрически, а, стало быть, можно ставить вопрос о вычис-
лении производной от а по s. Как известно (вспомните геометри-
ческий смысл производной), y' = tga, отсюда cc = arctg у', и, значит,
Но dy'=y"dx. Тогда
da —	75- dx.	(2)
1-Н'г
С другой стороны, дифференциал дуги ds = V 1 +у'2 dx.
Из последних двух равенств следует, что существует производная
от а по s и она равна
(1 +У2Г°
Поскольку в нашем случае длина дуги I = | As j и угол смежности
<о = | Аа |, то по самому определению средней кривизны дуги М^М.
* Приращение Да может быть и положительным, и отрицательным, в зависи-
мости от направления вогнутости кривой, а угол смежности мы всегда считаем
положительным.
478
г, <о 1 Да I хч
имеем: /<ср = у	Отсюда для кривизны кривой в точке Мх
находим:
I Да
As —o|
K = lim Kcp=lim|^
M —Mi
da |
ds ’
или в силу (3)
К
О +У2Г
Из этой формулы, в частности, следует, что в точках перегиба
кривой, где (как известно) у" = 0, кривизна равна нулю. Здесь же
заметим, что в последней формуле значение корня в знаменателе
берется только арифметическое (то есть положительное), ибо кри-
визна кривой по определению есть величина неотрицательная.
Введем еще одно определение.
Определение. Величина, обратная кривизне кривой в какой-
нибудь ее точке, называется радиусом кривизны (кривой в данной
точке). '
Таким образом, если радиус кривизны обозначить через R, то
7? = -^, а из формулы (4) вытекает, что
(5)
Из формулы (И следует, что радиус кривизны окружности
в любой ее точке равен радиусу окружности.
Пример 1. Найти кривизну и радиус кривизны параболы у==ха.
Так как у'= 2х, у"—2, то формула (4) дает:
(1-ф-4х2)’2
Легко видеть, что эта величина будет наибольшей при х=0, для которого ^ = 2.
Этот факт подтверждается и геометрически, так как при х = 0 парабола действи-
тельно изогнута более всего.
1 1 3
Для радиуса кривизны в силу формулы (5) будем иметь:/? = -^ =-g-(1-|-4х2р ,
и, значит, при х = 0 радиус кривизны R = ~—.наименьший радиус кривизны
данной кривой.
Пусть теперь кривая задана параметрически: x — cp(t), г/ = ф(О,
причем <р(/) и ф(7) имеют непрерывные производные 1-го и 2-го
порядков. Тогда, как известно (см. гл. V, § 7),
. _jt , _y"ix't~ytxt
yx — x-t, Ух-^5	.
(6)
479
Подставляя эти выражения в формулы (4) и (5), получим соответ-
ственно:
Х =	(7)
(х12+у?У
3
Как видим, формула (7) теряет смысл в тех точках, где хг
и y’t обращаются одновременно в нуль *. В таких точках кривая
может и не иметь касательной, и, значит, не имеет смысла гово-
рить о кривизне кривой в таких точках.
Пример 2. Найти кривизну циклоиды x — a(t—sin/), у — а(1—cos/).
Вычислим производные: х\ — а (1 —cos /), x/=asm/, z/j—asm/, yg=acost.
Подставив эти значения в формулу (7), найдем К =—:—-—т-r-. Отсюда видно,
4a sin у
что наименьшую кривизну циклоида имеет при/ = (2n-f-1) л (л=0, ±1, ±2,...).
Из формулы (7) легко получить формулу для вычисления кри-
визны кривой, заданной уравнением в полярных координатах г —
Ф(О). Действительно, этот случай задания кривой приводится
к параметрическому с помощью обычных формул перехода: х —
= rcos0 —<jp(0)cos0, y = r sin 0 = <p (0) sin0; роль параметра здесь
играет угол 0. Для этого случая
x'e=r' cos 0 —г sin 0, xe = r' cos 0 — 2r' sin 0 —г cos 0;
уе = г' sin 0 + г cos 0, yh — r" sin 0 — 2r' cos 0—r sin 0;
так что + y'J = г2 + r«i и y&c'e — у'еХе — г2 + 2г'2 — rr", и в силу (7)
находим:
_ {9)
(г»4-г'4)*
Пример 3. Найти кривизну кардиоиды (см. рис. 172 на стр. 417):
г— a (l-|-cos0) (а>0).
Находим производные: г'——a sin 0, г'= —a cos 0. По формуле (9) после
несложных преобразований находим:
ТА_______3
I 0 I •
4a cos £-
Отсюда видно, что в точке, где 0—0, кардиоида имеет наименьшую кривизну,
а в точке, где 0 = л, кривизна теряет смысл
В особых точках (см. условия (1) из $ 1),
480
Упражнения
1.	Найти кривизну и радиус кривизны гиперболы хг/ = 4 в точке (2, 2)
[-'2	4
и построить соответствующий круг кривизны	Отв. К~-----, R=—^=.
4 у 2
2.	Найти кривизну и радиус кривизны кривой у = sinx в точке , lj и
построить круг кривизны в этой точке	Отв. R = R—i
3.	Найти точку кривой у —Inx, в которой кривизна наибольшая.
Отв.	-yln2j.
Л
4.	Найти крив!гиу эллипса x = acos/, y = bsmt в точке, для которой / =
(За2 + &2)2
5.	Найти кривизну и радиус кривизны кривой х = 372, г/ = 3/—t3 при t = i.
Указание Вид этой кривой примерно такой же, что и на рисунке 178.
Отв !<=== . , R—6.
6 ’
4
6.	Найти кривизну кривой г =а cos3 0 (a > 0) при 0 = 0 (см. рис. 171). Отв. —.
§ 3. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ОКРУЖНОСТЬ И ЦЕНТР КРИВИЗНЫ
Рассмотрим некоторую кривую, имеющую в точке Л4 кривизну К.
В этой точке проведем нормаль к кривой, направленную в сторону
вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, рав-
ный величине (рис. 214). Опишем из точки С окружность радиуса
= Эта окружность имеет с данной кри-	,
вой в точке М общую касательную и одина- /	—
ковую кривизну. Эта окружность называется
соприкасающейся окружностью. Иными ело- Jr
вами, соприкасающаяся окружность (с4 кри-	г \
вой в точке /И) —это окружность, прохо- А ^"'«2
дящая через точку М, радиус которой равен / \
радиусу кривизны кривой в точке М и ко- / \Ч
торая имеет в точке М общую касательную	---
с кривой и одинаковые направления вогну-	Рис_ 214<
тости. Соприкасающуюся окружность назы-
вают также кругом кривизны (здесь слово «круг» употребляется в
смысле «окружность»).
Центр соприкасающейся окружности называется центром кри-
визны данной кривой в точке М. Таким образом, центр кривизны
лежит всегда на нормали к кривой в данной точке со стороны
направления вогнутости кривой.
Соприкасающаяся окружность примыкает к кривой в окрестно-
сти точки Л4 наиболее тесным образом по сравнению с другими
16 Бохан и др.
481
окружностями, проходящими через точку М и имеющими в этой
точке общую касательную с кривой. Можно доказать, что эта
окружность представляет предельное положение окружности, про-
веденной через три точки, взятые на кривой, которые стремятся
к совпадению с точкой М (рис. 215).
Выведем теперь формулы для координат центра кривизны в лю-
бой точке М кривой у f(x). Функция ; (х) предполагается дважды
дифференцируемой. Координаты точки М обозначим через х и у,
а координаты соответствующего ей центра кривизны С—через £ и ц.
Напишем уравнение нормали к кривой в точке М (см. гл. V, § 2):
..  у zsz:	~	--х)f	(1)
Ух
где X, Y обозначают текущие координаты точки нормали, а х, у —
координаты точки касания, то есть точки М (рис. 216)*.
Так как точка С (центр кривизны) лежит на этой нормали, то
ее координаты удовлетворяют уравнению (1):
т] —«/ = — -~(|—х).	(2)
Но поскольку точка С отстоит от М на расстояние, равное радиусу
кривизны R, то
(5-х)2 + (ц-у)2 = Р2.	(3)
Решая совместно уравнения (2) и (3), найдем значения £ и г). Дей-
ствительно, подставляя значение разности ц—у из (2) в (3), получим:
а-х)а+42 а-х)2=я2,
Ух
* В процессе вывода мы считаем, что	но окончательные формулы
верны и без этого ограничения.
482
отсюда
и, значит,
ё-х=±- Ух , R.
(1+^)2‘
1 + <Л
Подставляя значение этой разности в правую часть уравнения (2),
найдем:
—+----------i Я-
(1+^)2
Таким образом, для координат центра кривизны будем иметь:
g = х ±-——р- R,	I) — z/ г(_ - -—р- R,
(1+У^	(1+.«/'»2
з
а так как (см. (5), § 2, гл. XII) /? = (1±£.А.то
! Ух I
^=х±^+0,	(4)
Ух 1	Ух
Вопрос о выборе знака перед дробью решается следующим обра-
зом Если ухХ), то в точке М кривая вогнута вверх (см. гл. VII,
§ 4) и, значит, т]>г/ (см. рис. 216), и потому следует брать в фор-
мулах (4) нижние знаки Если к тому же учесть, что в этом слу-
чае \у'х\ = Ух, то формулы (4) принимают вид:
л==5;+Н^1.	(5)
Ух	У v
Аналогичными рассуждениями можно показать, что эти формулы
остаются справедливыми и в том случае, когда	что предла-
гается проверить самостоятельно. Следовательно, формулы (5) дг ют
нам координаты центра кривизны для любой точки кривой.
Если теперь кривая задана параметрическими уравнениями
х = <р(/), г/ = ф(/), то, заменяя в формулах (5) у* и у* их выраже-
ниями по формулам (6) из предыдущего параграфа, получим:
Е x’t+y't .	. x'X't .
х/у/	xt&t ^tUt
Так как х, у и их производные являются функциями параметра t,
то, как это видно из формул (6), и координаты центра кривизны
В, т] являются функциями того же параметра t.
16*	483
Пример. Найти координаты центра кривизны параболы г/2 = 2рх в произ-
вольной ее точке М (х, у) и в точке Мг (0, 0).
У%Р_
2/х
Имеем: у = ± }''2рх, откуда у'х =
Р_.
У ’
далее, по правилу диффе-
ренцирования сложной функции, находим: у".
у2 Ух У3
Подставляя эти
значения в формулы (5), получим координаты центра кривизны в произвольной
точке М (х, у): £ = Зх-|-р,
У
Р‘
Затем, заменяя х и у координатами точки
Mi (0, 0), найдем: 5 = р, т] = 0 — координаты центра кривизны кривой, соответ-
ствующего точке Мх.
Упражнения
1.	Найти координаты 5, т] центра кривизны и построить соприкасающуюся
окружность гиперболы ху = 4 в точке (2, 2).
Отв. ^ — 4, г] = 4.
2.	Найти координаты 5, г] центра кривизны и построить соприкасающуюся
окружность кривой у = 1п х в точке пересечения ее с осью ОХ.
Отв. 5 = 3, г| = —2.
3.	Найти координаты центра кривизны и построить соприкасающуюся окруж-
ность полукубической параболы У»1 в точке (1, 1).
„	„ И 16
Cjfite. ——	2 *	' 3 *
4.	Найти координаты г] центра кривизны и радиус кривизны для произволь-
ной точки синусоиды y=sin х.
3
Отв. 5 = x-|-ctg х(1 -|-cos2x), т] = — Х, /? = —.....т-С08‘ Л'>
sin х | sin х j
5.	Найти координаты 5, р центра кривизны и радиус кривизны кардиоиды
х = 2а cos t — a cos 2t, у = 2а sin t — a sin 2t.
Отв. 5=y cos< + ^cos2i*, r| = ^ sinZ + g-sin 2^ /? = yjsm-| I.
§ 4. ПОНЯТИЕ ЭВОЛЮТЫ И ЭВОЛЬВЕНТЫ
Выше мы видели, что для произвольной плоской кривой L каж-
дой ее точке отвечает свой центр кривизны. Поэтому, если точка
М (х, у) перемещается вдоль данной кривой, то соответствующий
ей центр кривизны С (S, т|), вообще говоря, также перемещается,
описывая некоторую кривую, нарываемую эволютой данной кривой.
Иными словами, эволютой плоской кривой L называется геоме^
трическое место ее центров кривизны. Ери этом сама исходна?
кривая L по отношению к своей эволюте называется эвольвентой, илт
разверткой.
Ясно, что прямая линия не имеет эволюты, а эволютой окружности
является одна точка — ее центр. В прочих случаях эволютой слу-
жит, вообще говоря, некоторая линия. Нетрудно видеть , что фор-
мулы (5) и (6) § 3, выражающие координаты § и центра кривизны
С через параметр х или t, можно рассматривать как уже готовые
параметрические уравнения эволюты данной кривой. Исключая из
этих уравнений параметр х или t, мы получим для эволюты урав-
нение, связывающее непосредственно координаты g и тр
484
Пример 1. Найти эволюту параболы z/ = axa.
Так как у' =2ах, у” = 2а, то по формулам (5) § 3 находим:
= х-----4——- • 2ах = — 4а2х3
2а
, 1-|-4а2х2	1+4я2ха
= 2- (1 -|-6а2х2).
Таким образом, параметрические уравнения эволюты параболы будут: £ = — 4а2х3,
1	16
Г]= _ (1 -|-6«2х3). Исключая из этих уравнений параметр х, получим: gs=™-
• а(т] — ^3,Мы видим, что эволютой параболы является полукубическая пара-
бола (рис. 2Ц).
Пример 2. Найти эволюту эллипса x — acost, y=bsmi.
Так как x'f =— a sin t, х( = — a cos t; y^ = bcost, у'} — —b sin i, io, подставляя
это в формулы (6) § 3, получим:
р , b cos t (a2 sin2 t-[-b2 cos2 t) a2 — b2 ,
E = a cos t —  --——-----—!—----------=------cos3 t,
ab	a
, . . a sin t (a2 sin2 t4-b2 cos2 t)	b2~a2 . , ,
ab	b
Исключая параметр t, получим уравнение этой эволюты в неявном виде
2	2 А
(ag)3 + (&т])3 = с 3, где с2 = а2 — Ь2.
видим, что эволютой эллипса является астроида (рис. 218).
Отметим два важных свойства эволюты и эвольвенты, устанавли-
вающих связь между ними.
1°. Нормаль к данной кривой (то есть к эвольвенте) является
касательной (в центре кривизны) к ее эволюте.
485
Доказательство. Допустим, что кривая задана явным урав-
нением y=f(x). Угловой коэффициент касательной к эволюте, задан-
ной параметрическими уравнениями (5) предыдущего параграфа
(причем параметром служит х), равен
' тк=^	(О
Далее, введем обозначение v — —-, откуда щ/" = 1 + у'2. Тогда
упомянутые уравнения (5) коротко запишутся так: £ = х — y'v,
ri — y-]-v. Отсюда дифференцируя по х, найдем: £*= 1 — y"v — y'v'
ит}х=У + п'. Но так как y"v= 1 + у'2, то	—у'(у' +&')• Подста-
вляя эти значения и щ в формулу (1), получим:
п..-	У'+и'	1
Ч	y’ly'+v')	у'х-
Итак,
1
Tjp = — у.
« Ух
Слева стоит угловой коэффициент касательной к эволюте, а у)
есть угловой коэффициент касательной к данной кривой (эвольвенте)
в соответствующей точке. Поэтому последнее равенство означает,
что касательная к кривой в некоторой ее точке и касательная к
эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, то есть
нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте, что
и требовалось доказать.
Замечание. Мы доказали приведенное выше свойство для
случая, когда кривая задана уравнением в явном виде у — [(х).
Однако это свойство остается справедливым и в том случае, если
кривая задана параметрическими уравнениями, причем доказа-
тельство его проводится совершенно аналогично.
Второе свойство приведем без доказательства.
2°. Пусть радиус кривизны изменяется вдоль дуги эвольвенты
монотонно, то есть либо только возрастает, либо только убывает.
Тогда приращение радиуса кривизны эвольвенты равно (по абсолют-
ной величине) соответствующему приращению дуги эволюты.
Так, например (рис. 219),
СХС.,^М2С.,-М}(\, 'С£3^М3Са — М2С2, С/?4 = Л14С4-/И3С3 и т. д.
Приведенные выше два свойства позволяют дать очень простой
механический способ построения эвольвенты по ее эволюте. Предпо-
ложим, что нам дана выпуклая кривая CD — эволюта. Представим
себе гибкую нерастяжимую нить, одним концом закрепленную
в точке С и натянутую на эту эволюту CD. Если мы станем эту
нить развертывать, сматывая с эволюты, сохраняя ее все время
натянутой, то второй конец нити опишет кривую АВ — эвольвенту
данной кривой CD (см. рис. 219). Следовательно, закрепив в конце
486
этой нити острие карандаша, мы сможем указанным способом вычер-
тить эвольвенту по известной ее эволюте.
Нетрудно видеть, что данная эволюта имеет бесчисленное мно-
жество различных эвольвент.
Пример 3. Найти эвольвенту (развертку) круга.
Пусть мы имеем окружность радиуса а (рис. 220). Возьмем ту
из эвольвент этой окружности,
мы непосредственно из рисунка видим, что координаты х, у точки
М выразятся следующим образом:
х = ОС = OD DC •= OD + FM = a cos t ВМ sin t =
= a cos t + at sin t = a (cos t +1 sin t).
Далее,
y-=C.M -FD = DB-~FB = a sin t-BM cost^
= a sin t — at cos t — a (sin t — t cos t).
Таким образом, эвольвента круга представляется следующими пара-
метрическими уравнениями:
х = а (cos t-]-t sin t), y~a(sint — icos/), причем 0	< +сю.
Геометрически это будет некоторая спираль, которую нетрудно
себе представить.
Легко проверить, что исходная окружность, то есть £ = acos/,
т] = а sin t является эволютой полученной только что развертки ок-
ружности, что и предлагается сделать самостоятельно.
Упражнения
2	2
1.	Найти эволюту гиперболы ху — 4	Оте. (x-{-t/)3—(х—у)3 =4.
16 /	3 V
2.	Найти эволюту параболы x = 2t, y = t2 — 6. Оте. =2 = 243 ('Н + ту) 
487
3.	Найти эволюту полукубической параболы у3 = ах2.
Отв. £= ± у (Зу + а), i] = — ^(9t/2+2at/).
4.	Показать, что эволютой циклоиды x—a(t — sin f), у = а(\ — cost) является
смещенная циклоида.
Указание. Параметрические уравнения эволюты переходят в уравнения
первоначальной циклоиды после преобразования координат и параметра по фор-
мулам £ = £1 + ла, г] = п1 —2а, Z =
5.	Показать, что эволюта кардиоиды x = 2acos/— a cos 2t, y = 2asmt— a sm 2t
есть также кардиоида, подобная данной.
Указание. Полученные параметрические уравнения эволюты преобразовать
к новым координатам и параметру при помощи формул ?=—gj, т]=—гц, t==
— ;х-|-л. В результате получим параметрические уравнения эволюты ^=2 у cos О—
а	2а	а	,
— -h-cos2^, гц =-=-sin sm 2гх, которая будет подоена данной кривой с от-
<5	□	2
ношением подобия 1: 3.
ГЛАВА XI 11
КРИВЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА.
УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Известно, что одним из основных понятий математического ана-
лиза, выражающим идею взаимной связи переменных величин, явля-
ется понятие функции. До сих пор мы изучали функциональную
зависимость между величинами, принимающими только численные
значения. Другими словами, если переменная величина х есть
функция переменной величины I, то есть x = x(t), то как значения
независимой переменной t, так и значения самой функции х суть
числа. Таким образом, t и х являются в этом случае скаляр-
ными величинами, или просто скалярами; иными сло-
вами, мы имеем скалярную функцию скалярного аргумента. По ана-
логии со скалярной функцией можно ввести понятие векторной
функции скалярного аргумента.
Определение. Если каждому значению параметра t из неко-
торого промежутка отвечает определенный вектор г (зависящий
от й), то вектор г называется векторной функцией от скаляр-
ного аргумента t, ив этом случае пишут:
r=r(t).	(1)
При изменении аргумента t вектор г (Г) изменяется, вообще говоря,
как по величине, так и по направлению.
Как и в векторной алгебре, мы здесь рассматриваем свободные
векторы, то есть такие векторы, которые считаются равными, если
они равны по величине и одинаково направлены, или, иначе говоря,
если они имеют равные проекции на оси координат. Свободные век-
торы могут быть отложены от какой угодно точки. Будем считать,
что вектор г К) исходит из начала координат, то есть вектор г—
радиус-вектор некоторой точки М. В этом случае при изменении
параметра t конец вектора r(t) опишет некоторую линию L, назы-
489
ваемую годографом векторной функции г (f) (рис. 221). Уравнение (1)
называют векторным уравнением этой кривой.
С векторной функцией скалярного аргумента весьма часто при-
ходится встречаться в кинематике при изучении движения точки,
когда радиус-вектор г(/) движущейся точки является функцией вре-
мени t. Годографом такой функции является траектория дви-
жения точки.
Если через х, у и г мы обозначим проекции вектора г(/) на оси
прямоугольной системы координат в пространстве (рис. 222), то эти
величины для каждого значения параметра t в свою очередь прини-
мают определенные численные значения и потому являются скаляр-
ными функциями скалярного аргумента Г
x = x(f), y=y(t), z = z(t).	(2)
Как известно из векторной алгебры, разложение вектора r(t)
по ортам прямоугольной системы координат имеет вид (рис. 222):
г(?)=х(/)/+у(/)/4-г(/)Л.	(3)
Таким образом, задание векторной функции скалярного аргумента
(то есть функции (1)) равносильно заданию трех скалярных функций
того же аргумента (то есть функций (2)).
Так как уравнение (1) является уравнением некоторой кривой в про-
странстве, то ту же кривую задают и уравнения (2). Уравнения (2) —
обычные п а р ам ет р ич ес к и е уравнения кривой в про-
странстве. С помощью этих уравнений для каждого значения t
определяются координаты х, у и z соответствующей точки кривой,
а по координатам можно определить и радиус-вектор этой точки.
В качестве примера неплоской кривой рассмотрим винтовую
линию. Так называется линия, описываемая точкой Л4, которая
движется по какой-нибудь образующей прямого кругового цилиндра,
вращающегося в то же время около своей оси так, что путь, про-
ходимый точкой М по образующей, все время пропорционален углу
поворота цилиндра. Винтовую линию можно получить так. Пусть
нам дан прямой круговой цилиндр радиуса а, ось которого совпа-
490
7
дает с осью OZ (рис. 223). На данный цилиндр будем навивать пря-
моугольный треугольник АВС так, чтобы вершина его А лежала в
точке пересечения образующей цилиндра с осью ОХ, а катет АС
навивался на круг в основании цилиндра. Тогда гипотенуза образует
на цилиндре указанную выше винтовую линию. Выведем уравнение
винтовой линии.
Обозначим через х, у и z координаты ее переменной точки М
и через t угол AOD поворота цилиндра, то есть угол, образованный
проекцией радиуса-вектора точки М на плоскость XOY с осью ОХ.
Мы считаем, что в начальном положении точка М совпадает с А.
Тогда из рисунка видно, что x = acost, y=asmt. Кроме того,
поскольку перемещение точки вдоль образующей пропорционально
углу /, координата z = ct, где с —коэффициент пропорциональности.
Значит, параметрические уравнения винтовой линии запишутся так:
x = acos/, у — asin/, z — ct	(4)
или в векторной форме
r=acos tiA-a sin tjA-ctk.	(5)
§ 2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ
СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
Рассмотрим векторную функцию r=r(t) скалярного аргумента t.
Для этой функции можно ввести основные понятия математического
анализа аналогично тому, как это делается с обыкновенными ска-
лярными функциями.
Дадим прежде всего определение предела для векторной функ-
ции r(t).
Пусть функция г (/) определена в окрестности точки /0> кроме, быть
может, самой точки t0.
491
Определение. Вектор г0 называется пределом векторной
функции г (t) при стремлении t к t0 (или, короче, в точке t0),
если длина вектора r(t)—r0 стремится к нулю, то есть
lim|r(0—г0| =0-	(1)
t-+t0
Если г0 есть предел функции г (0 при t -> /0, то это записывается так:
limr(/)=r0 или г(/)->г0 при t -> t0.
>-*t„
Итак, когда мы пишем: limr(/) = r0, то подразумеваем под этим
соотношение (1).
Мы видим, что определение предела для векторной функции
сводится к понятию о стремлении к нулю скалярной величины —
понятию, уже известному нам из анализа.
Если мы запишем векторную функцию г(0 и вектор г0 в проек-
циях (см. формулу (3), §1):
г(0 = х(/)/ +г/(/)/+?(/) k,
r0 — xai + y0j+z0k,
то получим:
r0| =V( X (/) — x0 |2 + [ у (/) — 1/O|a + [ z (/)—z0]2.	(2)
Тогда из условия (1) сразу следует, что
11 in х	== Хф, liгп у (fy=™ z/o, 1 im z (/)	(3)
то есть вычисление предела векторной функции можно производить
по каждой проекции в отдельности. Обратно, из формул (3) с по-
мощью (2) сразу вытекает соотношение (1) Таким образом, соотно-
шения (1) и (3) равносильны.
Далее непосредственно из определения следует, что если r(t)-+r0,
то и I г (t) | -> | г01. Это сразу вытекает из неравенства |) г (t) | — | r01|
=С|г(/) —г0|. В частности, г(/)->0 равносильно с | г (/) |-> 0.
Пользуясь определением предела векторной функции, нетрудно
доказать, что пределы суммы, разности двух векторных функций,
а также произведения скалярной функции на векторную существуют
и равны соответственно сумме, разности и произведению их пределов.
Дадим теперь (по аналогии со скалярной функцией) определение
непрерывности векторной функции r(t) Пусть функция г (0 опре-
делена в точке / = /0 и в некоторой ее окрестности.
Определение. Функция г (t) называется непрерывной в
точке t0, если выполняется условие
limr(0=r(^)-	(4)
В случае нарушения этого условия говорят, что функция r(t) имеет
разрыв в точке ta.
492
Мы уже знаем, что соотношение (4) равносильно следующим трем
соотношениям для проекций вектора г фр
lim х (/) = х (Zo), lim у (t)	(t0), lim г (/) = z (Q,
t-^to	f^t0
а эти последние соотношения в свою очередь выражают непрерыв-
ность функций х(0, уф), ?(/) в точке t0.
Таким образом, для непрерывности. векторной функции r(t)
необходимо и достаточно, чтобы все три ее проекции на
оси координат были непрерывны.
Как' .мы уже отмечали, из условия г (/) -> г (t0) вытекает соотно-
шение [г(ф-> r(^0)i при Это значит, что непрерывность
векторной функции' влечет за собой не-
прерывность ее модуля*. Обратного утвер-	fх
ждения сделать нельзя. Существуют векторные	\
функции, модули которых непрерывны, а сами fv'	\
они имеют точки разрыва. Примером такой /
функции является любая векторная функция /	...
г(/) с постоянным модулем | г (/) |, но такая,
что направление вектора гф) меняется скач-
ками. Действительно, из геометрических сообра- Рис. 224.
жений легко понять, что при стремлении г (О
к г(/0) направление вектора г(0 имеет своим предельным положе-
нием направление сектора г(/0) (см. рис. 224). Таким образом,
можно говорить о «непрерывной зависимости» от t направления век-
тора г (0 в случае, если векторная функция гф) непрерывна. На-
рушение этой «непрерывной зависимости» направления (даже при не-
гцеэырности ее модуля) приводит к разрывам векторной функции
Нетрудно показать, что сумма, разность двух непрерывных
векторных функций, а также произведение непрерывной векторной
функции на непрерывную скалярную функцию являются непрерыв-
ными функциями В дальнейшем мы будем рассматривать только
непрерывные функции
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ ПО СКАЛЯРНОМУ
АРГУМЕНТУ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Перейдем теперь к вопросу о производной от векторной функции
по скалярном' аргументу.
Пусть векторная функция
r=r(0	(1)
задана в промежутке [Л, Л- Исходя из некоторого произвольного,
но вполне определенного (фиксированного) значения скалярного аргу-
мента t, придадим ему приращение Д/, не выводящее его из про-
межутка [То, Т], так что и новое значение Т Д/ принадлежит этому
* Мы называем длину вектора также его модулем.
493
промежутку. Тогда значение функции r(t) заменится новым значе-
нием г(t-J-At), то есть получит приращение Ar(t)=r(t + At) —r(t).
Составим отношение:
Аг (t) _ г (t + At) — г (t)
At ~ At
Определение. Если существует предел отношения прираще-
ния векторной функции к вызвавшему его приращению аргумента,
когда At -> 0, то этот предел называется производной вектор-
ной функции r(t) по скалярному аргументу t, а сама функ-
ция r(t) называется дифференцируемой в точкеt Производная
обозначается через г' (t) или
Таким образом, по определению имеем:
lim	(2)
Af-О
Ясно, что производная г (t) есть также векторная функция того же
скалярного аргумента t и ее
Z
производная по t, если она сущест-
вует, дает вторую производную г" (t)
и т. д.
Исходя из определения производ-
ной, нетрудно показать, что функция
r(t), имеющая производную, будет
непрерывной в рассматриваемой точ-
ке; предлагаем это проверить само-
стоятельно
Дифференциал векторной
функции определяется, как обыч-
но, равенством
dr(t)=r'(t) dt.
Рис 225.	Теперь выясним геометрический
смысл производной векторной функ-
ции. Пусть задана дифференцируемая векторная функция r(t).
Мы знаем, что векторное уравнение (1) является уравнением неко-
торой пространственной кривой L, являющейся годографом век-
торной функции r(t). Пусть точка М этой кривой соответствует
какому-нибудь фиксированному значению t, а точка Mj —значению
t-j-At (рис. 225).Обозначим через ОМ и OMt радиусы-векторы точек
М и Мъ так что OA4=r(t), OM1=r(t +At). Тогда разность этих
векторов даст новый вектор ММ1 = ОМ1— ОМ=r (t ф- At) —г (t) =
= выражающий приращение векторной функции r(t). Мы
видим, что вектор MMt есть вектор-хорда кривой, соединяющий
исходную точку М с новой точкой Mv Разделив вектор Ar(t) =
= ALWj на At, мы получим новый вектор
Q
_ Ar (t)
At
494
коллинеарный* с вектором Аг(/), так как он получается из
Дг (0 умножением на скалярный множитель Если А/0, то при
умножении на направление вектора Аг (7) не изменится и век-
тор ci, как и вектор Аг (7), будет направлен по секущей /WAfj в
сторону возрастания параметра f. Если же А/<^0, то вектор Аг (О
направлен в сторону убывания t, но при делении на отрицательное
число AZ направление вектора меняется на противоположное и, сле-
довательно, вектор q по-прежнему лежит на секущей и направлен
в сторону возрастания t.
Выясним направление векторной производной г' (/); при этом в
дальнейшем будем предполагать, что годограф функции г (0 во всех
своих точках имеет касательную.
Так как при А7->0 точка Л4, приближается к точке М, то
секущая /HTVlj годографа в пределе превращается в касательную к
нему в точке М. Поэтому векторная производная г' (t) лежит на
касательной к годографу и направлена в сторону возрастания пара-
метра I (см. рис. 225).
Остановимся коротко на механическом смысле производной век-
торной функции.
Пусть годограф векторной функции г=г(/) является траекто-
рией движущейся точки; уравнение г г(7). где t—время, явля-
ется уравнением движения этой точки. Тогда вектор приращения
MM! = Ar(0 изображает перемещение точки М за время А7, а
Дг (/)
отношение.....-.выражает среднюю скорость перемещения ее за этот
промежуток времени. В пределе этот вектор средней скорости даст
вектор скорости © в момент t, то есть
<0= lim	(Гу.
ы-о А/
Таким образом, производная радиуса-вектора движущейся
точки по времени есть вектор скорости движения, каса-
тельный к траектории в соответствующей точке и направ-
ленный в сторону движения (то есть в сторону возрастания t).
Полученный выше вектор скорости ® = г' (/) также зависит от
времени t, и, дифференцируя его, получим вектор ускорения:
IS) =	— Г" (/),
Рассмотрим теперь единичный вектор a0(t), изменяю-
щийся при изменении t только по направлению, но сохраняющий
постоянную длину, равную единице: , а0 (/) | = 1 при всех t.
* Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, назы-
ваются коллинеарными.
495
Ясно, что годограф такой векторной функции r—a0(t) есть кри-
вая, расположенная на единичной сфере. Йо так как векторная про-
ч^1г(0Г- Примером может
изводная г'=д'о(О направлена по
касательной к годографу, а а'п (О ле-
жит в касательной плоскости к сфере
и потому перпендикулярен к вектору
a0(f). Итак, производная от еди-
ничного вектора a0(t) есть век-
тор, перпендикулярный к нему
(рис. 226).
В заключение этого параграфа за-
метим, что модуль производной от век-
торной функции вообще не равен про-
изводной от ее модуля, то есть | г' (О i
служить единичный вектор: производная
модуля такого вектора просто равна нулю как производная от по-
стоянной, а производная же самого единичного вектора есть век-
тор, перпендикулярный к нему.
§ 4. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ВЕКТОРОВ
(ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ)
Теперь остановимся на вопросе практического вычисления про-
изводной векторной функции.
Пусть векторная функция r(i) задана в проекциях на оси коор-
динат (см. формулу (3), § 1). Тогда выбранному значению t будет
отвечать вектор г(0 = х(0/" + у (0/ + z(0^> а значению —вектор,
г (Z +ДО = т(( + Д()/ + </(/+ A0/+z(( + AO к.
Найдем приращение вектора г (0, то есть вектор Дг (0 — г (( + ДО —
— г (0- Так как вектор Дг(0 представляет собой разность векторов
г(/-фД/) и г (0, то Дг (0== Дх (0 i + Ь-У (О J + (f) гДе
А.х (0 — х (t + ДО —-х (О,
Дх (t)=z(t^M)-z(t).
Тогда, разделив на Д/ # 0, получим:
Аг (0 _ Ах (0 . . Аг/ (0 . Дг(0 .
Д/ Дг1 Дг1 J Н М
Если функции х (0, 1/(0 и z (0 имеют производные при выбранном
значении t, то, переходя в последнем равенстве к пределу при
А/—>0, получим формулу
r,(0 = ^(0^+/(0/+z'(0^	(1)
позволяющую фактически вычислять производную векторной функции.
Пользуясь выражением (1) для производной г' (0, легко пока-
зать, что все основные правила дифференцирования скалярных фу нк-
496
ций остаются в силе и для векторных функций. Перечислим эти
правила. Ниже будем рассматривать только такие функции, кото
рые имеют производные.
Г. Производная суммы двух векторов равна сумме про-
изводных:
(^(1)+^^))'(2)
2°. Если векторная функция r(t) умножается на ска-
лярную функцию qp (0, то
(Ф(0г(0)'=ф' (О Г (0 + ф(0 Г' (t).	(3)
Следствие. Постоянный числовой множитель можно
вынести за знак производной: (ar(t))' = ar'(t).
3°. Производная от скалярного произведения векторов
выражается формулой
(Р (0  Р (0)' = ф)  гг (0 + гх ф)  r2 ф).	(4)
4°. Производная векторного произведения векторов выра-
жается формулой
(п (0 х г2 (/))'=г; (0 х г2 (0+гх (0 х (0.	(5)
Последние три формулы показывают, что известное правило дифферен-
цирования произведения обобщается на случай произведения скаляра
на вектор, а также на случай скалярного и векторного произведений.
Отметим, что в левых частях формул (2), (3), (5) фигурируют
производные векторных функций; в левой части формулы (4) —про-
изводная скалярной функции. В правых частях формул (2), (3), (5)
стоит сумма векторов, а в правой части формулы (4) —сумма скаля-
ров. При этом в формуле (5) нельзя переставлять сомножители,
ибо векторное произведение не обладает переместительным свойством.
Выше мы отмечали, ’-то вывод всех этих формуй может быть
произведен с помощью формулы (1). Однако они могут быть также
установлены, если исходить из общего определения производной
векторной функции (см. (2), § 3); при этом доказательство всех этих
формул аналогично доказательству соответствующих формул диффе-
ренциального исчисления. В качестве примера выведем таким способом
формулу (4), для краткости вместо /*, (/), г2 (/) будем писать г, и гг.
Для приращения скалярного произведения при переходе
от точки t к точке Z4-A7 получим:
Л (р • f2) = (П + Ari)  (г2 + Лг2)—г, • г2 =
•- /у. г2 + Г|  Ьг2 + Др • г2 + Др • Дг2 —р • р =
== Др • р, -г р  Др + Др • Др.
Пользуясь правилом внесения скалярного множителя под знак ска-
лярного произведения*, можно написать:
Д(Г1-г2) Дгх , Дг2, л„ Дг2
~дГ~ = ^Тг* + Г1,^Г + ЛГ1‘ АГ
* Как известно, (та • Ь) = т (а • Ь), где а, Ь — векторы, т — числовом множи-
тель
497
Переходя в этом равенстве к пределу при А/->0, получим:
Нт А (г|7г^- = Нт • г2) + Нт I + Нт кгг 	=
Д/-*0 Л£ д/_0\Л‘	1	д/-о\	лг >	д/-»о\	а‘>
= г\ • г2 + п • г2 + О  г2*=r'l • г2 + гг • /<.
Значит,
(Г1-Г2)’=Г; -Г2 + Г1-Г2,
что и требовалось доказать. Доказательство остальных формул мы
предоставляем читателю.
В заключение этого параграфа докажем еще раз, используя
теперь правило 3°, что производная от единичного вектора д0(/)
есть вектор, перпендикулярный ао(0-
Имеем: доао=1. Дифференцируя это скалярное произведение,
получим:
а0 • а0 + а0 • а0 = О,
то есть 2ап -ао = О или а'о-ао==О. Но равенство скалярного произ-
ведения нулю как раз и означает, что векторы а0 и ай перпенди-
кулярны.
§ 5. КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ. НОРМАЛЬ И ЕДИНИЧНЫЙ
ВЕКТОР ГЛАВНОЙ НОРМАЛИ
Пусть точка /И (х, у, г) описывает некоторую спрямляемую
пространственную кривую L (рис. 227). Параметром, определяющим
положение точки М на кри-
вой, будем считать длину »
дуги AM кривой, отсчитывае-
мую от определенной точки А
кривой до точки М. Так как
положение точки М (х, у, z)
на кривой определяется значе-
нием дуги s, то координаты х, у
и г, а также радиус-вектор г этой
точки можно рассматривать как
функции длины дуги s:
x=x(s), y=y(s), z = z(s)
и r=r(s) или в проекциях
r=x(s)/ + y(s)J+z(s)fe. (1)
Продифференцируем вектор r(s) по s (здесь и ниже мы предпола-
гаем, что все необходимые производные существуют); при этом мы
считаем, что на кривой нет особых точек, то есть точек, где одно-
* Нетрудно проверить, что предел скалярного произведения равен скаляр-
ному произведению пределов сомножителей.
498
временно x~ = y's = z‘s = 0. Получим новый вектор
т=л,	(2)
направленный, как мы знаем, по касательной к кривой в сторону
возрастания s (см. рис. 227). Модуль этого вектора
!T| = [rS1= lim 1^1 = 1,		(3)
As->0 । as I
ибо отношение длины хорды \Ar\ = MMlt стягивающей дугу ММп
к длине As этой дуги при стягивании последней в точку стремится
к единице (см. гл. X, 2, теорема 2*). Таким образом, вектор т
есть единичный вектор, направленный по касательной к кривой
в точке М в сторону возрастания s. Положительным направлением
касательной будем считать то направление, которое совпадает с на-
правлением касательного вектора т. Если вектор г задан в проек-
циях (см. (1)), то согласно формуле (1) § 4 имеем:
т (s) = r's = x'si + y'sj+z's k.	(4)
ЕГО МОДУЛЬ 1 =| T| = l^sa + i/s2 + Zs2.
На основании полученных результатов легко написать уравне-
ние касательной к кривой L, заданной уравнением (1), в точке
М (х, у, г).
Из аналитической геометрии известно, что уравнения прямой,
проходящей через точку М (х, у, г), имеют вид:
—х у—у и —- г
т ~ п ~ р ’
где X, Y, Z — текущие координаты точки прямой, а т, п, р — про-
екции направляющего вектора прямой, то есть числа, пропорцио-
нальные направляющим косинусам той же прямой.
Так как единичный вектор т лежит на касательной к кривой
в точке М (х, у, г), то проекции этого вектора x's, y's, z's на оси ко-
ординат (см. (4)) могут быть приняты за т, п и р. Следовательно,
уравнения касательной к кривой в точке М (х, у, г) запишутся так:
X—-х __ Y — у _ 2 — г
~	~ С ’	(
где значения производных Xs, yj, z's вычисляются в точке касания.
Если в уравнениях кривой вместо длины дуги $ .взять любой
другой параметр t, то, рассматривая длину дуги s как функцию
параметра t, получим: X/=XsS/', yi=y'ss't, z't = zsst. Следователь-
но, производные от х, у, z по t пропорциональны их произ-
водным по s. Поэтому в уравнениях (5) производные x's, y's и X
можно заменить производными xi, yi и z't (соответственно).
* Доказанная там теорема справедлива и для пространственной кривой.
499
Тем самым мы приходим и к такой форме уравнений касательной:
X — х Y — у __ Z—г
У/ ~ ~^Г'
(6)
Пример. Написать уравнения касательной к винтовой линии (см. (4), § 1)
л
г—a cos/, y — asmt, z=ct для произвольного значения t и для t = -^.
Так как xt =—a sin t, y't — a cost, z't=c, то из формулы (6) получаем:
X — a cos t   Y — a sin t 1 — ct
— a sin t a cos t c
n	, л
В частности, при ‘ = -j- касательная определяется уравнением:
У	аУ2 v a/2	л
X-----Y-----------Z-cT
а V2 а /2 с '
2	2
Плоскость, перпендикулярная касательной и проходящая через
точку касания, называется нормальной плоскостью (рис. 228). Вся-
кая прямая, лежащая в этой плоскости и пересекающая кривую
в точке касания М, называется нор-
малью кривой, и, следовательно, про-
странственная кривая в каждой точке
имеет бесчисленное множество норма-
лей. Найдем уравнение нормальной
плоскости к кривой в точке М (х, у,
г). Известно, что уравнение плоскости,
проходящей через точку М (х, у, г),
имеет вид:
Рис. 228.
А (А — х) • - В (К — у) -J С (Z — z) = О
Здесь коэффициенты А, В, С пропор-
циональны направляющим косинусам
перпендикуляра к этой плоскости. Поскольку перпендикуляром к
нормальной плоскости служит касательная (6), то уравнение нор-
мальной плоскости имеет вид:
Xt (X — х) -j- yt (Y— у) -f-Zt (Z— z)— 0.
Рассмотрим теперь вторую производную г" векторной функции г (s).
Из формулы (2) следует, что r's = [rs]s = xs. Так как вектор x(s) еди-
ничный, то вектор производной xj перпендикулярен к нему (см. 3).
Следовательно, вектор х^ лежит в нормальной плоскости и опреде-
ляет некоторую нормаль. Эту нормаль называют главной. Положи-
тельным направлением главной нормали будем считать то, которое
совпадает с направлением вектора xj. Таким образом, вводится сле-
дующее определение.
00
Определение. Главной нормалью кривой в данной ее
точке М называется прямая, проходящая через точку М и
имеющая направление вектора х(.
Если кривая плоская, то главная нормаль кривой совпадает
с нормалью, лежащей в плоскости самой кривой.
Построим единичный вектор п этого направления, то есть на-
правления вектора т«. Для этого, как известно, нужно разделить
Выясним геометрический смысл	рис_ 229.
модуля вектора Ts. Из равнобедрен-
ного треугольника, построенного на рисунке 229 (напоминаем,
что длины векторов x(s) и x(s + As) равны единице), видно, что
| Ax(s) ] = 2 sin -£
(8)
Угол со — угол поворота касательной при переходе из точки М
в точку Afj, то есть угол смежности дуги ММг. Из равенства (8),
следует, что (при As>0)
2 sin —
As А.-.П A®
Заменяя числитель на эквивалентную бесконечно малую со, получим:
Отношение стоящее справа, представляет среднюю кривизну
дуги ММг. Поэтому, как и в случае плоской кривой, величину j т( I,
естественно, назвать кривизной кривой в точке М. Обозначив ее, как
обычно, через К, мы имеем:
К^\т'\ = \г;\.	(9)
Тогда формула (7) принимает вид:
х; = К«.	(Ю)
Так как
Ts — Cs —Xsi + ysj~\~ Zsk,	(И)
то для вычисления кривизны пространственной кривой получаем
формулу:	_____________
xf + yf + zf.
(12)
501
Пример. Вычислить кривизну винтовой линии r = acosti-\-asmtj-\-ctk(CM.
формулу (5) § 1).
Перейдем от параметра t к нужному нам параметру — длине дуги s Из фор-
мулы (см. формулу (6), гл. X, § 3) s't==y лф + yz-'+ г)-' находим:
-S/ = '|Za2 sin2 t-\-a2 cos3Z-|-c2 = |/a2+c2. Обозначая ]/аг4-с2 через т, получим:
р-—т или ds = mdt. Беря за начало отсчета точку А (см. рис. 223), котовой
•отвечает Z = 0, получим:
t	t
s = ^ds = m^dt = mt,
b	о
g
•откуда/ = —, то есть параметр t пропорционален длине дуги s. Тогда уравне-
ние винтовой линии после замены параметра примет вид:
s . , s . , s ,
г = a cos — I a sm — / -4- с — k-
т	т ‘ т
Дифференцируя последнее равенство по s, получим:
.	а	. s	a	s	. , с .
х = г =-----sm — и—cos —Л—k.
s	т т	т	т т
Дифференцируя еще раз, найдем:
a s . а . s .
т == г -= -.—-a cos.- t —.-г sin — J,
s s m2 m m* m
io есть
„„ a s ,, a . s „ л
x	—-	cos  -, У ч ~ — —д, sm —. z _=0.
m2 m ’ тг m ’ s
Отсюда согласно формуле (12) находим кривизну винтовой линии:
Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны
кривой в данной ее точке. Обозначим радиус кривизны через R,
тогда = у и формула (10) принимает вид: xs — ^-n. Отсюда «==
= Rx's—-Rr'i. Так как вектор т$ лежит на главной нормали,то проекции
этого вектора (см. формулу (11)) пропорциональны направляющим
косинусам главной нормали к кривой в точке М (х, у, г). Следова-
тельно, уравнения главной нормали кривой будут иметь вид:
X —х Y — y L~z
где X, У, Z — текущие координаты точки на главной нормали.
В частности, уравнение главной нормали к винтовой линии будет
таким:
v s	. s „ s
X—a cos— Y— а sin— Z—с—
т	т т
s	s
cos — sin —	О
т	щ
502
или
X — a cos t _ Y — a sin t	Z — ct
cos t	sin t	0
(так как ~=t—см. выше).
Введем еще одно понятие, которым мы воспользуемся ниже.
Определение Плоскость, проходящая через точку на кривой
и перпендикулярная главной нормали в этой точке, называется
спрямляющей плоскостью.
Исходя из этого определения, можно сразу написать уравнение
спрямляющей плоскости
x's (X— x}—y's (Y—y) + z’s (Z —z) = 0,
проходящей через точку М (х, у, z) кривой.
§ 6. БИНОРМАЛЬ И КРУЧЕНИЕ. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ
ПЛОСКОСТЬ
Введем еще один вектор, тесно связанный с кривой, именно-
положим
& = Т х п,
где по-прежнему т —единичный вектор касательной, ал —единичный
вектор главной нормали. Так как хил взаимно перпендикулярны
и имеют длину, равную 1, то из определения векторного произве-
дения следует, что и вектор b имеет длину, равною 1, и что он
перпендикулярен векторам т и л. Тем самым вектор b лежит в пере-
сечении нормальной и спрямляющей плоскостей и, значит, направлен
по одной из нормалей к кривой. Вектор b называется единичным
вектором бинормали.
Итак, векторы т, л и b взаимно перпендикулярны, а их взаимная
ориентация совпадает со взаимной ориентацией координатных
ортов (рис. 230).
Если кривая —плоская, то векторы хил находятся в плоскости
кривой, а потому вектор Ь, будучи перпендикулярным этой плоскости,
остается постоянным (рис. 231). Для неплоской кривой вектор
503
§ 4 имеем: &i = rjxra 4-тхлД Но вектор rs = Kn и потому Tjx« = 0.
Таким образом, b's = xxn's. Из этой формулы следует, что вектор
b's перпендикулярен касательному вектору т и потому лежит в нор-
мальной плоскости. С другой стороны, вектор b's, как производная
от единичного вектора, перпендикулярен самому вектору Ь. Будучи
перпендикулярным к векторам т и Ь, вектор b's должен располагаться
по главной нормали, то есть лишь скалярным коэффициентом отли-
чается от единичного вектора га:
b's = — Хга
(1)
^коэффициент и может быть как положительным, так и отрица-
тельным) *. Формула (1) — одна из так называемых формул Френе.
Другой формулой Френе называется соотношение T,'s — Kn, которое
мы получили в предыдущем параграфе. Еще одна формула Френе
представляет выражение для n's, а именно: n's = v.b — АД. Дейст-
вительно, при указанной выше
ориентации единичных векторов т, я, b
имеет место следующая формула вектор-
ного произведения: rr b r. Найдем
производную вектора я. По формуле
(5) из § 4 имеем:
n's == b's х т 4- b х т(.
Но &(= — ига,т( = АДг и потому ns =
— (— хга х т) + (Ь х Кп) = — х(га х х т) +
АД&хга), а так как пхх= —Ь, Ьх
X га = — т, то
Рис. 232.
д' =
/\Т,
что и требовалось доказать.
Величина и имеет для каждой точки, вообще говоря, свое зна-
чение и называется кручением кривой (2) (в соответствующей точке).
Для плоской кривой кручение во всех ее точках равно 0.
Три взаимно перпендикулярных вектора т, га и Ь, связанные
с каждой точкой кривой, составляют так называемый основной три-
эдр (рис. 232). При движении точки вдоль кривой векторы основ-
ного триэдра, вообще говоря, меняют свое направление, оставаясь
все время взаимно перпендикулярными.
Приведем без вывода формулу, по которой можно вычислить
кручение:
Xs,
x's,
Xs",
1
х — №
У st	2S
У<»	-2s
y's,	Z's
* В некоторых учебниках этот коэффициент обозначают через х (без минуса).
-50 4
где все производные, входящие в определитель, берутся по s, а К —
кривизна*. При переходе к произвольному параметру t формулы и
для кривизны, и для кручения усложняются. Так, например, фор-
мула (12) из § 5 для кривизны К в этом случае принимает вид.
(х'ЧА*'2)2
где все производные берутся по t. В частности, если кривая — плос-
кая и, значит, z = 0, то это выражение сильно упрощается, и мы
приходим к известной нам формуле (7) из § 2 гл. XII. По формуле (2)
легко подсчитать кручение винтовой линии:
а2 ф- с2
Предлагаем это проверить самостоятельно.
Определение. Плоскость, проходящая через точку М на кри-
вой перпендикулярно ее бинормали в этой точке, называется сопри-
касающейся плоскостью (« кривой в точке /И).
Иными словами, соприкасающаяся плоскость — это плоскость, про-
ходящая через касательную к кривой и ее главную нормаль (рис. 232).
Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с той
плоскостью, в которой лежит кривая, и, следовательно, для всех
точек кривой будет одна и та же. Для неплоской кривой сопри-
касающаяся плоскость меняет, вообще говоря, свое положение при
переходе из одной точки кривой в другую. В общем случае сопри-
касающаяся плоскость в точке Л1 представляет собой предельное
положение плоскости, проходящей через точку М и две другие
точки Л1х и М-2 на кривой, при условии, что и ЛД стремятся к Л4.
Абсолютная величина кручения показывает, насколько быстро кри-
вая отходит от соприкасающейся плоскости.
В заключение приведем без вывода уравнение соприкасающейся
плоскости, проходящей через точку М (х, у, z) кривой, заданной
параметрическими уравнениями x = x(t), y=y{t), z=z{t). Это урав-
нение имеет вид:
(y'tZt — z'ty't) (X — х) + (z'tXt — x'tz't) (У — у) + (xiXt — yix't) (Z—z)=0. (3)
Его можно также записать с помощью определителя 3-го порядка:
X — х Y~^у Z— z
= 0.
* См., например:А. П. Норден, Дифференциальная геометрия, Учпедгиз,
1948.
505
Пример. Написать уравнение соприкасающейся плоскости к винтовой
(см. (4), § 1] x==acos^, i/ = asin^ z=ct тя произвольного значения t
1 = —
4-
Так как x't = — a sin t, xj'= —acosi, y't= acost, y"t = — a sin t,
z^'—О, то согласно формуле (3) уравнение соприкасающейся плоскости к
вой линии принимает вид:
с sin t • (X — a cos t) —с cos / • (У — a sin /) + a (Z — ct) = 0.
В частности, при i — эта плоскость определяется уравнением
линии
и для
Zt~Cy
винто-
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора.................................................. 3
От авторов . . ,  ..................................................... 4
Раздел 1
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава I. Вещественные числа
§	I.	Понятие множества ............................................. 5-
§	2.	Множество рациональных чисел .................................. 8
§	3.	Вещественные числа.............................................. 11
§	4.	Абсолютная величина числа ...................................... 18
§	5.	О границах числовых множеств ................................. 22
§	6.	Сегмент, интервал, окрестность................................. 26
§	7.	Другой подход к понятию вещественного чщла.................... 27
Глава II. Функции
§	1.	Понятие функции................................................ 32
§	2.	Способы задания функций ....................................... 37
§	3.	Четные и нечетные функции ..................................... 46
§	4.	Периодические функции......................................... 50
§	5.	Понятие обратной функции...................................... 52
§	6.	Элементарные функции.......................................... 55
Глава III. Теория пределов
§	1.	Числовая последовательность и ее предел........................ 71
§	2.	Бесконечно малые и бесконечно большие величины................. 78
§	3.	Основные теоремы о пределах ................................... 81
§ 4.	Арифметические действия над переменными величинами ........  .	86
§	5.	Особые случаи пределов и неопределенности ..................... 90
§	6.	Монотонная переменная и ее предел.............................. 97
507
§ 7.	Число е .................................	100
§ 8.	Теорема о вложенных отрезках .................................................................................................... 103
$ 9. Частичные последовательности...........,.......................................................................................... 104
§ 10.	Предел функции.................................................................................................................   107
§ 11.	Распространение теорем о пределах на случай произвольных функции 115
§ 12.	Монотонная функция и ее предел..................................................................................................  123
§ 13.	Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших .........	125
Глава IV. Непрерывность и разрывы функции
§ 1.	Определение непрерывности функции. Точки разрыва ................................................................................ 133
§ 2.	Непрерывность некоторых элементарных функций .................................................................................... 141
§ 3.	Примеры разрывных функций ....................................................................................................... 144
§ 4.	Непрерывность сложной функции .................................................................................................   148
§ 5.	Свойства непрерывных функций .................................................................................................... 150
§ 6.	Существование и непрерывность обратной функции, корня и степени
с рациональным показателем....................................... 157
§	7.	Существование и непрерывность обратных тригонометрических функций	159
§	8.	Определение степени с иррациональным показателем................. 160
§	9.	Показательная, логарифмическая и степенная функции	.......	163
§	10.	Использование непрерывности функций при вычислении	пределов . .	165
§11.	Гиперболические функции и их свойства ..............'.....	167
=§ 12. Равномерная непрерывность функции .............................................................................................. 170
Раздел II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Глава V. Производная и дифференциал
§ 1.	Понятие производной.............................................................................................................  175
§ 2.	Геометрический смысл производной ................................................................................................ 181
§ 3.	Вычисление производных простейших элементарных функций ....	186
§ 4.	Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции . . .	190
§ 5.	Правила вычисления производных................................................................................................... 191
§ 6.	Сводка формул дифференцирования ................................................................................................. 198
§ 7.	Дифференцирование функций, заданных параметрически............................................................................... 203
§ 8.	Дифференциал функции............................................................................................................. 208
§ 9.	Производные и дифференциалы высшего порядка...................................................................................... 216
Глава VI. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Правило Лопиталя. Формула Тейлора
§ 1.	Основные теоремы дифференциального исчисления.................................................................................... 226
§ 2.	Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.................................................................................. 233
§ 3.	Формула Тейлора................................................................................................................   240
508
Глава VII. Исследование функций и построение графиков
§	1.	Условия постоянства, возрастания и убывания функций. 247
§	2.	Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения.................................................. 251
§	3.	Исследование функций и построение графиков................... 261
§	4.	Направление вогнутости кривой и точки перегиба......................................................  266
§	5.	Асимптоты кривой .................................................................................... 269
§	6.	Различные примеры и задачи .......................................................................... 272
§	7.	Графическое решение уравнений........................................................................ 284
§	8.	Уточнение корней уравнения........................................................................... 287
Раздел III.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава VIII. Неопределенный интеграл
§	1.	Первообразная и неопределенный интеграл......................... 296
§	2.	Основные свойства неопределенного интеграла .................... 301
§	3.	Таблица основных интегралов.......................................................................... 302
§	4.	Метод подстановки...................................................................................  307
§	5.	Метод интегрирования по частям ...................................................................... 314
§	6.	Специальные приемы вычисления некоторых интегралов................................................... 322
§	7.	Интегрирование рациональных функций.................................................................. 329
§ 8.	Интегрирование простейших иррациональных и трансцендентных функ-
ций ..................................................................   337
Глава IX. Определенный интеграл
§	1.	Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла................................................. 353
1.	Задача о площади криволинейной трапеции ....................... —
2.	Задача о пройденном пути .......................................................................... 356
§ 2.	Определение определенного интеграла.................................................................. 357
3.	Условия существования определенного интеграла........................................................ 360
§ 4.	Основные свойства определенного интеграла ........................................................... 366
§ 5.	Определенный интеграл как функция верхнего предела. Существова-
ние первообразной для непрерывной функции............................. 375
§ 6.	Определение логарифмической функции через интеграл................................................... 378
<§ 7. Вычисление определенного интеграла. Основная формула интеграль-
ного исчисления................................................. 380
§ 8.	Замена переменной в определенном интеграле ........................................................... 384
§ 9.	Интегрирование по частям .................'........................................................... 390
§ 10.	Приближенное вычисление	определенного интеграла ..................................................... 394
1.	Способ прямоугольников............................................................................... —
2	Способ трапеций.................................................................................... 395
3.	Формула Симпсона................................................................................... 399
509
Глава X. Геометрические и механические приложения
определенного интеграла
§ 1.	Вычисление площадей плоских фигур ............................ 404
1.	Определение площади........................................ —
2.	Площадь криволинейной трапеции.............................. 406
3.	Площадь фигуры в декартовых координатах..................... 409
4.	Случай параметрического задания кривой ..................... 411
5.	Площадь сектора в полярных координатах ..................... 415
§ 2.	Длина дуги кривой............................................. 418
1.	Длина дуги в прямоугольных координатах ..................... 419
2.	Длина дуги в полярных координатах .......................... 423
3.	Дифференциал дуги........................................... 424
4.	Эквивалентность бесконечно малой дуги и стягивающей ее хорды 425
§ 3.	Условие спрямляемости кривой .............................  .	427
§ 4.	Площадь поверхности вращения ................................. 430
§ 5.	Вычисление объемов тел ...................'................... 434
§ 6.	Статический момент и центр тяжести ........................    440
1.	Статический момент и центр тяжести материальной кривой ....
2.	Статический момент и центр тяжести плоской фигуры........... 445
§ 7	Работа переменной силы........................................ 450
Глава XI. Несобственные интегралы
1.	Несобственные интегралы первого рода —несобственные интегралы с
бесконечными пределами ........................................... 450
§ 2.	Несобственные интегралы второго рода— несобственные интегралы
от неограниченных функций ........................................... *04
Раздел IV.
КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Глава XII. Кривые на плоскости
§ 1.	Некоторые общие сведения о кривых............................. 474
§ 2.	Кривизна и радиус кривизны плоской кривоЗ..................... 476
§ 3.	Соприкасающаяся окружность и центр кривизны .................. 481
§ 4.	Понятие эволюты и эвольвенты ................................. 484
Глава XIII Кривые в пространстве
§ 1.	Векторная функция скалярного аргумента. Уравнение кривой в про-
странстве ........................................................... 489
§ 2.	Предел и непрерывность векторной функции скалярного аргумента .	491
510
§ 3.	Производная векторной функции по скалярному аргументу, ее геоме-
трический и механический смысл .................................... 493
§ 4.	Правила дифференцирования векторов (векторных функций)......	496
§ 5.	Касательная к кривой. Нормаль и единичный вектор главной нор-
мали .............................................................. 498
§ 6.	Бинормаль и кручение. Соприкасающаяся плоскость.............. 503