К. А. БОХАН,
И. А. ЕГОРОВА,
К. В. ЛАЩЕНОВ
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ТОМ II
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ФАКУЛЬТЕТОВ
ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ
Под редакцией
проф. Б. 3. БУЛИXА
Издание 2-е
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
МОСКВА 1972

617. 21
Б 86
Бохан К. А. и др.
Б86 Курс математического анализа
т. II. Учеб. пособие для студентов заочников физ.-
мат. фак-тов пед. ин-тов. Под ред. проф. Б. 3. Ву-
лиха. М., «Просвещение» 1972.
439 с.
Перед загл. авт.: К. А. Бохан, И. А. Егорова, К. В. Лащенов.
4-6-4 517. 21
БЗ № 8—1972—№15

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ТОМУ
В книге особенно подробно рассматриваются основные понятия
математического анализа, приводится большее количество столь же
подробно решенных примеров, даются не только упражнения
обычного типа для самостоятельной работы студента, но также и вопросы
для самопроверки, которые помогут студенту-заочнику выяснить,
насколько хорошо он разобрался в изучаемом курсе. Если студент
пожелает иметь дополнительный материал для упражнений сверх
того, который содержится в этой книге, ему можно рекомендовать
различные общие задачники по математическому анализу, например
Н. А. Давыдова, П. П. Коровкина и В. Н.
Никольского, или Г. Н. Бермана, или Б. П. Демидовича,
а также специальные задачники-практикумы, изданные Московским
заочным педагогическим институтом.
В процессе изучения курса студент должен глубоко вникать
в сущность всех новых понятий и формулировок всех теорем. При
разборе каждой теоремы очень полезно выяснить, где в
доказательстве используется то или иное ее условие. Изучение того или иного
параграфа можно считать законченным лишь тогда, когда студент
может безошибочно воспроизвести все содержащиеся в этом
параграфе определения, теоремы с их доказательствами и ответить на
вопросы, поставленные для самопроверки. Только после этого
рекомендуется переходить к следующему параграфу.
При изложении материала в этом курсе иногда, по более
сложным и тонким вопросам, делаются ссылки на учебник Г. М. Фих-
тенгольца «Основы математического анализа». При ссылках [1]
означает том I этого учебника, а [2]—том II. Кроме книги
Г. М. Фихтенгольца, студенты-заочники могут также использовать
учебники Н. А. Фролова «Дифференциальное и интегральное
исчисление» и «Курс математического анализа»., часть 2 и И. Е. Жака
«Дифференциальное исчисление».
Весь курс состоит из двух томов, содержащих десять разделов.
Доцент К. А. Бохан написал I и II разделы, а также главу XIX
раздела VI и § 4 главы XVI раздела V. Доцент И. А. Егорова
написал-а разделы V, VII, VIII, IX и X. Доцент К. В. Лащенов
написал разделы III и IV, а также главы XVII и XVIII раздела VI.
В согласовании глав и разделов между собой принимали участие
все авторы.
Проф. Б. 3. By лих
3

Раздел V
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ГЛАВА XIV
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
При изучении различных процессов, протекающих в природе,
мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух
переменных величин. Например, при изучении процесса
распространения тепла в каком-либо неоднородном теле мы должны
исследовать величину температуры в разных точках тела в разные
моменты времени. Положение точки в трехмерном пространстве
в декартовой системе координат определяется тремя числами х, у иг.
Поэтому фактически в указанном процессе надо изучать совместное
изменение пяти переменных величин: трех координат точки, времени
и температуры. Изучая процесс поперечных колебаний упругой
пластинки, мы исследуем совместное изменение четырех величин:
двух декартовых координат, определяющих положение точки на
пластинке, времени и величины смещения в каждой точке пластинки.
Изучая смещение точек натянутой струны при ее поперечных
колебаниях, мы исследуем совместное изменение трех величин: одной
координаты, определяющей положение точки на струне, времени
и величины смещения в каждой точке струны.
В первых двух разделах настоящей книги мы намеренно
ограничивались изучением созместного изменения только двух
переменных величин, так как математическая теория в этом случае была
наиболее простой. Теперь надо перенести основные идеи и методы
дифференциального исчисления на более общие случаи совместного
изменения нескольких переменных.
Читателю настоятельно рекомендуется сравнивать каждое новое
вводимое понятие с уже известными аналогичными понятиями для
функции одной переменной и уяснять, какие изменения в этих
основных понятиях вызываются увеличением числа переменных.
Во всяком конкретном процессе можно всегда выяснить, какие
из участвующих в этом процессе величин можно считать
независимыми переменными. В приведенных выше примерах видно, что
время и координаты точек исследуемого объекта можно считать
независимыми переменными, так как мы можем сами указывать,
в какой момент и в какой точке мы будем измерять, например,
температуру или смещение. Значения же температуры или смещения
4

получаются в зависимости от того, когда и где мы производим
измерение. В этих примерах совокупности значений независимых
переменных соответствует по определенному физическому закону
значение изучаемой величины — температуры или смещения. Это
понятие соответствия, которое было положено в основу
определения функции одной переменной, также лежит в основе понятия
функции нескольких переменных. Например, для случая
совместного изменения трех переменных величин можно дать следующее
определение.
Определение 1. Даны три переменные величины х, у и г.
Если каждой паре значений независимых переменных х и у из
области их изменения соответствует по некоторому закону определенное
значение переменной z, то переменная z называется функцией
двух независимых переменных х и у.
Обозначение функции двух переменных следующее:
* = f(x, У), (1)
где буква перед скобками, как и для функции одной переменной,
обозначает закон соответствия между парами чисел (х, у) и
числами г.
Пара чисел х и у определяет положение точки на плоскости.
Поэтому функцию двух переменных z = f(x, у) можно
рассматривать как функцию точки плоскости и писать z=f (М), где М и есть
точка плоскости с координатами х и у.
Может быть, что аналитическое задание функции (1) имеет
смысл не для всех возможных пар чисел {х, г/), то есть не во всех
точках плоскости. Например, для функции, заданной формулой
г=У(х-1)(3-у), (2)
не всегда в области вещественных чисел выполнимо извлечение
корня. Действительно, если, например, х = 0, а у=1, то (х — 1)х
Х(3 — у) = — 2 и вещественного значения для z по этой формуле
не получается.
Определение 2. Множество тех пар чисел (х, у), для которых
в области вещественных чисел определено соответствующее значение
функции z, называется областью существования функции z.
Областью существования функции двух переменных может быть
вся плоскость или часть плоскости.
Для функции (2) областью существования будет множество тех
пар чисел (#, у), для которых подкоренное выражение
неотрицательно. Неравенство (х—1) (3 — у)^0, очевидно, будет верно, или
если
3=S}'ToeCTbS}> (3)
или если
5

Отмечая на плоскости
местоположение точек (х, у), координаты
которых удовлетворяют или неравенствам
(3), или неравенствам (4), получаем
в качестве области существования
функции (2) часть плоскости,
заштрихованную на рисунке 1,
Пример!. Для функции,
заданной формулой
областью существования будет вся
плоскость, так как действия,
указанные в правой части формулы,
выполнимы в области вещественных
чисел для любых пар чисел (х, у).
Пример 2. Для функции,
Рис.1
заданной формулой z-
об-
ластью существования будет вся
плоскость, за исключением тех точек (х, у), для которых Ъх—у = 0,
так как для таких пар чисел (х, у) действие деления теряет смысл.
Точки (х, у), для которых Зх—у = 0, заполняют на плоскости
прямую. Таким образом, областью существования в данном случае
является вся плоскость, за исключением точек прямой линии
3*— у = 0.
Пример 3. Функция задана формулой 2=arcsiny + arccos2r/.
Найдем область существования этой функции.
Из тригонометрии известно, что аргументы арксинуса и
арккосинуса изменяются в промежутке от—1 до 1. Поэтому изданной
формулы получаем следующие промежутки изменения х и у:
— 1^
1, откуда— 3^х^3
— К2г/<1, откуда —у^г/<т.
Точки плоскости, координаты которых удовлетворяют этим
неравенствам, заполняют прямоугольник, изображенный на рисунке 2.
Пример 4. Пусть функция задана формулой
z = \n(2x + 5y). (5)
Для того чтобы эта формула имела смысл, надо, чтобы было
2х + 5у>0, (6)
так как логарифм нуля и отрицательных чисел не существует
в области вещественных чисел. Это неравенство можно переписать
б

в виде
У>~Т*- (7)
Для того чтобы уяснить, где расположены на плоскости точки,
координаты которых удовлетворяют этому неравенству, рассмотрим
равенство у = —^-х.
Это уравнение прямой, проходящей через начало координат.
Следовательно, областью существования данной функции (5) будет вся
9
часть плоскости, расположенная выше прямой у = — -g-x, так как
там и будет выполняться неравенство (7), или, что то же,
равносильное ему неравенство (6). Область существования функции (5)
заштрихована на рисунке 3.
В дальнейшем функции, заданные какой-нибудь конкретной
формулой, будут считаться заданными всюду, где эта формула имеет
смысл. Однако иногда приходится рассматривать функцию не во
всей области ее существования, а в некоторых ее частях, которые
также будут называться словом «область». Так, например, функцию
z=3x2 — r/2, определенную на всей плоскости, можно рассматривать
только в каком-нибудь прямоугольнике или круге на плоскости.
Такие случаи будут всегда специально оговорены.
Если дана функция z = f (х, у), то для каждой пары чисел (х0, у0)
из области существования функции можно определить
соответствующее значение z0 = f(x0, yQ). Взяв систему координат в пространстве,
мы можем, следовательно, для каждой точки (x0i yQ) из области
существования функции отложить соответствующую аппликату г0
и получить точку М0 (х0, г/0, г0) в пространстве.
Множество всех таких точек в пространстве называется графиком
(пространственным) функции двух переменных. Большей частью
графиком является какая-нибудь поверхность. Сама формула, задающая
функцию z = f(x, у), и есть уравнение этой поверхности. Читателю
уже знакомы различные поверхности и их уравнения из курса
аналитической геометрии. Так, например, известно, что уравнение
z—2x + 3t/ + 8 = 0 есть уравнение плоскости. Следовательно,
указанная плоскость есть график функции z = 2x — Зу—8. Эта функ-
I I
Рис. 2 Рис. 3
7

ция z линейна относительно х и у. Графиками всех линейных
функций z = ax-\-by + c и только их графиками являются плоскости.
Область существования линейной функции есть вся плоскость OXY.
Уравнение z = х2-\-у2 является, как известно, уравнением
параболоида вращения. Указанная функция z определена на всей
плоскости OXY.
Уравнение x2 + y2-\-z2 = R2 есть уравнение сферы радиуса R
с центром в начале координат. Это уравнение было получено из
геометрических соображений, с учетом того, что сфера есть
геометрическое место точек, равноудаленных от центра. Отвлекаясь
теперь от этих соображений, мы можем сказать, что сфера радиуса
R с центром в начале координат есть график двух однозначных
функций:
z=VR*—x*—y* и Z = — VR2—x2—y2.
Если брать корень со знаком плюс, то получим половину сферы,
расположенную над плоскостью OXY, если со знаком минус, то
получим половину сферы под плоскостью OXY. Область
существования этих функций — та часть плоскости ОХ У, в которой х2 + у2 ^ R2,
то есть в плоскости OXY круг радиуса R с центром в начале
координат.
Построение графиков функций двух переменных в большинстве
случаев представляет значительные трудности.
Для того чтобы легче представить себе график какой-либо
функции
* = /(*. У), (8)
часто пользуются пересечением его с плоскостями, параллельными
координатным плоскостям. Именно, если график функции (8)
пересечь плоскостью z = c, где с — некоторое вещественное число, то
получим уравнение
f (*. У) = с, (9)
геометрическим образом которого является совокупность
определенных точек плоскости OXY. Обычно эта совокупность образует
некоторую линию, которая в этом случае называется линией уровня
данной функции. В частности, линия уровня может вырождаться в одну
или несколько точек или распадаться на несколько линий (рис. 4).
Линия уровня, определяемая уравнением (9), является проекцией
на плоскость OXY всех тех точек поверхности (8), которые
находятся на одном уровне с по отношению к плоскости OXY'. Очевидно,
давая с различные значения (однако такие, чтобы имело место
пересечение поверхности с плоскостью z = c)t будем получать различные
линии уровня.
По линиям уровня, построенным для данной функции (8) с
одинаковыми промежутками между значениями съ с2, с3, ..., сп, ...,
можно получить представление о графике функции (то есть о форме
поверхности). В тех местах, где линии располагаются ближе друг
S

к другу, функция при переходе от одного значения с к другому
изменяется быстрее, чем там, где линии распределены реже (см.
рис. 4). Термин «линии уровня» заимствован из картографии. На
физических картах наносятся линии, на каждой из которых все
точки обладают тем общим свойством, что в них высота местности
над уровнем моря постоянна. Это и будут линии уровня. По ним
можно судить не только о высоте над уровнем моря в интересующей
нас точке местности, но и о крутизне спуска или подьема в
различных направлениях, если местность гористая. Так, если
предположить, что на рисунке 4 нанесены горизонтальные сечения,
соответствующие высотам над уровнем моря сг=\§ м, с2 = 20ж, с3 = 30 м
и т. д., то по их виду можно сразу сказать, что:
1) точка А — самая высокая точка местности (вершина горы),
2) высота точки А над уровнем моря равна 60 м,
3) спуск с горы в направлении АС более крутой, чем в
направлении АВ,
4) точка С находится в долине, простирающейся с юга на север.
Последняя сначала резко сужается, затем снова расширяется,
разветвляясь в двух направлениях.
Пример 5. Построить линии уровня функции z = x2-\-y2.
Для того чтобы найти линии уровня данной функции, пересечем поверхность
z = x2-\-y2 плоскостью 2 = с. Получим линию уровня х2-{-у2 = с. Давая с различные
значения (очевидно, неотрицательные), например: сг= 1,с2 = 2, с3 = 3, •••, сп = /г,...,
получим семейство линий уровня, которые представляют собой концентрические
окружности с центрами в начале координат и радиусами |/"l , У2, УЗ , ...
..., У/г,— При с=0 окружность вырождается в точку (0, 0). Из того, что
линиями уровня оказались окружности с центрами в начале координат, сразу
следует, что графиком данной функции должна быть поверхность вращения вокруг
оси OZ. Это подтверждается и видом функции. Действительно, из аналитической
геометрии известно, что уравнение z = x2-\-y2 определяет параболоид вращения,
осью которого служит OZ (рис. 5).
По аналогии с определением 1 легко дать и определение
функции трех переменных u = f(x, yt г). Областью существования вся-
9

кой функции трех переменных является
часть трехмерного пространства или
все пространство.
Пример 6. Дана функция
a = VJ\n(y+2)
Vx-5 '
Ее можно рассматривать только для
таких троек чисел (#, у, г), для
которых z^O, г/ + 2 > 0 и л: — 5 >0, то есть
для которых х>Ъ, у>—2 и г^О.
Точки с такими координатами
заполняют в пространстве бесконечную па-
раллелепипедальную область (сделайте
чертеж).
График функции трех переменных
мы не можем наглядно изобразить или
представить себе. Он является
совокупностью точек в так называемом
четырехмерном пространстве.
Четырехмерным пространством называется^
множество всех возможных четверок чисел (ху у, z, u)\ сама
четверка чисел (х, у, г, и) называется точкой в четырехмерном
пространстве, а числа х, у, z и и называются координатами этой точки.
Эта терминология вводится по образцу геометрической терминологии
одномерного, двумерного и трехмерного пространств, то есть по
образцу тех случаев, когда термины «точка» и «пространство»
(одномерный случай — прямая, двумерный случай — плоскость, трехмерный
случай—трехмерное пространство, в котором мы находимся) имеют
доступный для нас наглядный смысл. Продолжая аналогию в
геометрической терминологии дальше, можно ввести понятие расстояния
между двумя точками Мг (хъ уъ zly иг) и М2 (хъ y2i z2i и2) в
четырехмерном пространстве. Именно: положим расстояние между Мг и
М2 равным числу
V(Xi-X2)2 + (yi-y2)2 + (Zi-Z2)2 + (u1-u2)*
Рис. 5
(сравните с формулой для расстояния между двумя точками в
двумерном и трехмерном пространствах). Так же можно вводить
понятие прямой, плоскости, сферы, параллелепипеда и др.
Например, параллелепипедом в четырехмерном пространстве
называется совокупность точек М (х, уу z, u)} координаты которых
удовлетворяют неравенствам a^x^b, c^y^dy h^z^H, l^u^L,
где a, b, с, d, h, Н, I к L—-числа.
Сферой в четырехмерном пространстве называется совокупность
точек, М (х, у, г, и), координаты которых удовлетворяют
неравенству x2 + y2 + z2 + u2^R29 где R — постоянная.
10

Такая геометрическая терминология, хотя и не связывается
с наглядными геометрическими образами, тем не менее очень удобна
и полезна в математических рассуждениях. Все сказанное выше
можно перенести и на пространства любого числа измерений.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Напишите точное определение функции трех переменных и функции
четырех переменных.
2. Начертите на плоскости области существования следующих функций двух
переменных:
а) г = /(*-1)(*-3) + У0,-4)(*/ + 1);
б) г = 1п^—";
2 — у'
У
г) z = VTx + Vy +V*-x-yv
\ • х , У
д) z = arc sin -=- + arc cos -^ ;
е) z= In (// — д:2); _
ж) г= In (2 — х — tf)+Yx •
3. Изобразите в пространстве области существования следующих функций
трех переменных:
а) и=1+}ГТ^ + У7{А=Я
Уу&-у)
б) и=|/"1б—х2-у2—z2;
в) u = Vy +Vxz. _
г) и = /*-1+)Л/ + 3 + /г;
д) и = arc sin -у + arc sin з> + arc cos -^-.
4. В упражнении 2 найдите значение функции а) в точках О (О, 0) и Л (0, 5}
и функции б) в точках Б ( — 2, 4) и С (8, —3).
5. В упражнении 3 найдите значения функций а) и б) в точках А (1, 1, 1);
В (—1, 2, 1) и С f —д", — 1, 3J (при выполнении упражнений 4 — 5 проверьте,
находятся ли эти точки в области существования функции).
В упражнениях 6 — 9, вспомнив уравнения некоторых простейших
поверхностей, изучавшихся в курсе аналитической геометрии, постройте графики
следующих функций:
6. г = Бх+у — 4. 7. z = 3x — 2. 8. z = x2+2y2. 9. z = x2.
В упражнениях 10 —12 постройте линии уровня указанных функций,
придавая z целые значения от —5 до 5:
10. г = я*у + х. И. z = x2y+y. 12. z = 2xy+l m
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Будем обозначать расстояние между любыми двумя точками
А к В через р(Л, В). Рассмотрим на плоскости последовательность
точек Мп(хп, уп) п—\, 2,...)..Так как положение точки на плос-
11

кости определяется двумя координатами, то задание
последовательности точек Мп на плоскости равносильно заданию двух
последовательностей чисел {хп\ и {уп}.
Определение 1. Последовательность точек Мп
стремится к точке М0 (сходится к точке М0), если расстояние
р (М0, Мп) стремится к нулю при п -> сю. Точка М0 называется
в этом случае предельной точкой последовательности точек
Мп*.
Определение 1 аналогично определению, данному при рассмоту
рении последовательности точек на прямой. Действительно, так
как каждая точка Мп на прямой изображает некоторое
вещественное число хп, то задание последовательности точек Мп на прямой
равносильно заданию одной последовательности чисел {хп}.
Расстояние между двумя точками А и В, изображающими числа а и b
на прямой, определяется, как известно, по формуле р(Л, В) =
= \а — Ь\. Если вспомнить, что по определению предела
числовой последовательности запись limxn = x0 равносильна записи
П-+СО
Нт|л;Л—л;0|=0, то видим, что выражение «Последовательность
71-»-ОО
точек Мп на прямой стремится к точке М0» и означает, что
р(Мп, М0)->0 при я->оо. Таким образом, определение 1 является
просто распространением известного читателю понятия с
одномерного случая на двумерный (том I, гл. III, § 1).
Теорема 1. Для того чтобы последовательность
точек Мп (хп, уп) стремилась к точке М0 (х0, у0), необходимо
и достаточно, чтобы
Хп->Х0, Уп~+Уо- (1)
Доказательство, а) Достаточность. Пусть даны
соотношения (1). Из аналитической геометрии известно, что р(М0, М„) =
z=V{xQ—xnYJr(yQ—yn)2. Поэтому из соотношений (1) вытекает, что
р(М0, Мп)-+0 при п-+оэ, то есть Мп->М0 в силу определения 1.
б) Необходимость. Пусть известно, что М„->М0.
доопределению 1 это означает, что р(М0, Мп) = ]/ (х0—хп)2 + (Уо—Уп)2 -» 0 при
п-+оо. Очевидно, что \хп—х0\ ^V(x0—xn)2 + (y0—уп)2, \уп—Уо\^
^У(Хо—Хп)2 + (Уо—Уп)2 и, следовательно, хп^х0 и уп-+Уа-
Определение 2. Множество точек М(х, у) на плоскости
называется ограниченным, если все точки М (х, у) содержатся в
некотором прямоугольнике \а, Ь; с, d]**.
Определение 2 применимо, в частности, и к последовательности
точек на плоскости, А именно: последовательность точек Мп(хп, уп)
* Читатель может встретить в математической литературе термин «предельная
точка» в несколько ином смысле. В настоящем пособии этому термину
приписывается только тот смысл, который дан в определении 1.
** [а, Ъ\ с, d\ —это условное обозначение для прямоугольника, то есть для
множества точек (х, у), координаты которых удовлетворяют неравенствам а^х^
12

на плоскости ограничена тогда и только тогда, когда ограничены обе
последовательности чисел хп и уп, то есть когда выполняются
неравенства а^хп^Ь и c^yn^d для п=1, 2, 3,...
Не всякая ограниченная последовательность точек Мп сходится
к предельной точке. Например, последовательность точек Мп (1 —
, (—\п)\ ограничена, так как все Мп содержатся в
прямоугольнике {0,2; —2,2]. Но так как последовательность чисел уп = (—1)"
не имеет предела при я-^оо, последовательность точек Мп не
сходится ни к какой предельной точке.
Нетрудно доказать, что если последовательность точек сходится
к некоторой предельной точке, то эта последовательность
ограничена (см. аналогичную теорему в теории пределов для
последовательности чисел, том I, гл. III, § 3, теорема 9).
Так же как это было сделано для последовательностей точек
на прямой, то есть для числовых последовательностей, можно
ввести понятие частичной последовательности (или
подпоследовательности) данной последовательности точек плоскости. Для
ограниченных последовательностей точек на прямой было доказано
следующее утверждение (теорема Больцано — Вейерштрасса, или
«принцип выбора»): из всякой ограниченной последовательности точек
на прямой всегда можно выделить подпоследовательность,
стремящуюся к предельной точке (см. том I, гл. III, § 9). Такое же
утверждение можно доказать и для последовательностей точек на
плоскости.
Теорема 2 (Больцано — Вейерштрасса). Из всякой
ограниченной последовательности точек на плоскости всегда
можно выделить подпоследовательность, которая
сходится к некоторой предельной точке.
Доказательство. Последовательность точек Мп(хп, уп)
ограничена, поэтому ограничены обе последовательности чисел хп
и уп. По теореме Больцано —Вейерштрасса для числовых
последовательностей выделяем из последовательности {хп}
подпоследовательность {ХпЛ, сходящуюся к конечному пределу х0. Составляем
подпоследовательность [УпЛ (номера nk те же, что и в
подпоследовательности {*/i.}), которая также ограничена, и опять выделяем из
нее подпоследовательность \уп \, стремящуюся к некоторому
конечному пределу у0. Так как всякая подпоследовательность
последовательности чисел, имеющей предел, стремится к тому же пределу,
что и вся последовательность, то подпоследовательность \хп \
/номера/г те же, что и у у п.) стремится к пределу х0.
Составляем теперь последовательность точек (хп , уп ), (*л,0,
УпЛ>"<> (Xnk> Упь)9"*' К0Т0Рая является подпоследовательностью
13

данной последовательности точек Мп(хп, уп)\ так как хПк ->х0 и
уПк -> у0, то построенная последовательность точек стремится по
i
теореме 1 к предельной точке М0(х0 yQ).
Так, из рассмотренной выше ограниченной последовательности
точек Mn(l — —, (—1)л), не стремящейся к предельной точке,
можно выделить подпоследовательности, сходящиеся к предельным
точкам. Таковыми будут, например, следующие
подпоследовательности: м2к{\ — ^д)->м0(1,1), Мок-г[\—2^п> — i)->m;o, —1).
Понятие предела функции двух переменных дается, как и для
функции одной переменной, двумя равносильными способами см.
том I, гл. III, § 10).
Определение 3. Если для любой стремящейся к точке
Мо (*о> Уо) последовательности точек Мп (хп, уп) [отличных от точки
Л4о(*о> Уо)] последовательности соответствующих значений функции
f (Mn) = f (xnt у г) всегда стремятся к одному и тому же числу А,
то это число называется пределом функции f(x, y)=f (M) в
точке М0(х0, г/0).
Обозначается это следующим образом:
А= lim f(M), или A = \\mf{x, у).
М -* М о х-*-х0
У-*Уо
Такая форма определения предела функции использует понятие
предела последовательности.
Определение 4. Число А называется пределом функции
f(M) = f(x, у) в точке М0(х0, у0), если для любого сколь угодно
малого 8 > 0 можно подобрать число б > 0 так, что для тех пар
чисел (х, у) (из области существования функции и отличных от пары
(*о> Уо))> которые удовлетворяют неравенствам
\х—*о|<6, \у — Уо\<8, (2)
выполняется неравенство \f(x, у)—Л|<е (вместо неравенств (2)
можно требовать выполнения неравенства вида р(М, М0)<б).
Равносильность определений 3 и 4 доказывается так же, как
для функций одной переменной (см. том I, гл. III, § 10).
Окрестностью точки М0 на плоскости назовем любой квадрат с
центром в М0. Если х и у удовлетворяют неравенствам (2), то точки
М (х, у) заполняют квадрат с центром в М0 и со сторонами -26, за
исключением самой точки М0. Поэтому можно сказать, что если А
есть предел функции в точке М0, то значения функции / (М) во
всех точках AI, лежащих в достаточно малой окрестности точки М0у
и отличных от точки М0, сколь угодно мало отличаются от числа А.
В качестве окрестности точки М0 можно брать не только
квадрат, как было указано выше, но и прямоугольник, в котором точка
М0 лежит на пересечении диагоналей, или круг с центром в М0.
U

Легко привести примеры функций, которые не имеют предела в
какой-либо точке.
Пример 1. Функция f(x> y)= f. существует во всех
точках М (х, у), кроме точки О (0, 0). Покажем, что она не имеет
предела при М(х, #)->О(0, 0).
Действительно, пусть точка М (х, у) пробегает последовательность
Мп[—, 0),то есть стремится к началу координат по положительной
части оси ОХ. Тогда соответствующая последовательность значений
1.0
функции имеет вид: f(xn, yn) = -} =0, а потому f(xn, уп)->0-
Возьмем теперь другую последовательность точек, стремящуюся
к О (0, 0) по направлению биссектрисы первого координатного угла:
Л4'п (—,—]. Соответствующая последовательность значений функции
имеет вид:
= у, то есть f(xn, Уп)-+-2.
Таким образом, двум разным последовательностям точек,
стремящимся к началу координат по разным путям, соответствуют две
последовательности значений функции, имеющие разные пределы.
Следовательно, согласно определению 3 функция не имеет предела
в начале координат.
Можно привести очень много подобных примеров. Легкость
построения такого рода примеров объясняется тем, что существует
бесконечное множество различных путей приближения к заданной
точке на плоскости и требование одинакового во всех случаях
поведения функции, сформулированное в определении 3, является очень
жестким требованием, налагаемым на функцию. Поэтому легко
строить сравнительно простые функции, ке удовлетворяющие этому
требованию.
Все положения теории пределов функции одной переменной легко
переносятся без существенных изменений на функции нескольких
переменных. Пределы функции можно вычислять по обычным
правилам.
Пример 2. hm0 ^ , =7^—-? ^
r r x_^l2xy—i 2 urn xhm у — 1
1+8
i ?*Л,у X ?. 1Ш1 Л, 11111 If 1 2 • 2 I
15

Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Сформулируйте теорему 1 для последовательности точек в пространстве.
2. Придумайте пример такой последовательности точек в пространстве,
которая бы не имела предельной точки.
3. Сформулируйте определение предела функции трех переменных двумя
способами (по аналогии с определениями 3 и 4).
4. Покажите, что функция f (x, y)= J* не имеет предела в точке (0, 0).
5. Придумайте пример функции, которая не имела бы предела в какой-либо
точке.
3
6. Вычислите предел функции lim —; —^г- формулируя используемые при
х-+о х-гУ-г*
этом теоремы о пределах функции.
§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пользуясь понятием предела функции, можно сформулировать и
определение непрерывности функции двух переменных в точке
плоскости.
Определение 1. Пусть функция z = f(х, у) определена в
точке M0(xQ> y0) и в некоторой ее окрестности; если имеет место
равенство
\imf(x, y) = f(x0i r/o)> (1)
X -+ XQ
У -+Уо
то функция называется непрерывной в точке M0(xQ, yQ).
Если это определение записать в виде lim f (M) = f (M0), то оно
полностью совпадает и по внешней форме с определением
непрерывности в точке для функции одной переменной (см. том I, гл. IV, § 1).
Понятие непрерывности можно формулировать и на «языке е — б»,
пользуясь определением 4 из § 2.
Определение 2. Функция z = f(x, у) называется
непрерывной в точке M0(xQi y0), если для любого сколь угодно малого е>0
можно подобрать число б>0 так, что для тех пар чисел (х, у),
которые удовлетворяют неравенствам
\х — Xo|<6, \y — г/о|<6, (2)
выполняется неравенство \f(x9 y)—f (xQ, yQ) \ < e.
(Достаточно малые изменения независимых переменных х и у
обеспечивают сколь угодно малые изменения значений функции.
Геометрически это означает, что достаточно малые сдвиги точки на
плоскости OXY ведут к сколь угодно малым изменениям аппликаты
точек поверхности, являющейся графиком функции z=f(x, у).)
Вместо неравенств (2) можно требовать выполнения неравенства
р(М, М0)<6.
Очевидно, что из непрерывности функции двух переменных
z = f(x9 у) в точке MQ(xQi y0) вытекает непрерывность функции од-
16

ной переменной z = f(x, у0) при х = х0и функции одной переменной
z = f(x0, у) при у = Уо, то есть из непрерывности функции двух
переменных по совокупности обеих переменных вытекает непрерывность
этой функции по каждой из переменных в отдельности. Обратное
утверждение, вообще говоря, неверно. Пример, поясняющий это,
можно прочитать, например, в [1] стр. 236*.
Если в какой-либо точке плоскости для функции z = f (х, у)
нарушается условие (1), то говорят, что функция г = / (х, у) (а
следовательно, и ее график, то есть поверхность, заданная уравнением
z = f(xt у)), имеет разрыв в этой точке. Функция может иметь
разрывы не только в отдельных точках, но и сплошь вдоль какой-либо
кривой. Разрывы поверхностей гораздо труднее представить себе
и тем более изобразить на чертеже, чем разрывы кривых на
плоскости.
Арифметические действия над непрерывными функциями и
построение сложных функций из непрерывных функций приводят к
непрерывным же функциям (при условии, что деление производится на
функцию, не обращающуюся в нуль). Это утверждение
доказывается так же, как для функций одной переменной, применением
соответствующих теорем о пределах функции.
Справедлива и теорема о непрерывности сложной
функции. Так, например, если функции x = (p(s, t) и r/==i|)(s, t)
непрерывны в точке (s0, /0), а функция z = f (х, у) непрерывна в точке
(х0, Уо), где x0 = cp(s0, /0), y0=ty(s0, t0), то функция z = f[q(s, t),
\j)(s, t)] тоже непрерывна в точке (s0, t0).
Иногда приходится использовать и следующий, более частный,
вид теоремы о непрерывности сложной функции.
Теорема 1. Если функция у = у(х) задана в некотором
интервале и непрерывна в точке х0 из этого интервала,
а функция z =f(x, у) непрерывна в точке (х0, у0), где у0 = ф (х0),
то сложная функция z=f[x, y(x)\ непрерывна в точке х0.
Справедливы также свойства непрерывных функций в некоторой
области, аналогичные свойствам непрерывных функций одной
переменной. Для формулировки этих свойств введем понятия связной
области и замкнутой области.
Определение 3. Множество точек на плоскости называется
связным, если любые две точки этого множества можно соединить
ломаной, целиком принадлежащей данному множеству.
Примерами связных множеств точек на плоскости могут служить
прямоугольник, круг и вообще любая фигура, не распадающаяся
на отдельные, не соединенные между собой части.
Определение 4. Множество точек на плоскости называется
замкнутым, если предельная точка (см. определение 1 в § 2)
любой сходящейся последовательности точек этого множества также
принадлежит множеству.
* Как указано в предисловии, [1] означает ссылку на учебник Г. М. Фихтен-
гольца «Основы математического анализа», том 1.
17

Например, круг, рассматриваемый вместе с ограничивающей его
окружностью, является замкнутым множеством точек. Круг же,
рассматриваемый без присоединения к нему точек ограничивающей
его окружности, не является замкнутым множеством. Действительно,
можно взять последовательность точек в круге, стремящуюся к
точке окружности, а эта последняя не принадлежит
рассматриваемому множеству точек по условию.
Если какая-либо фигура на плоскости представляет собой
ограниченное или связное, или замкнутое множество точек на
плоскости, то мы ее будем называть соответственно ограниченной, или
связной, или замкнутой областью. Круг с включенными точками
ограничивающей его окружности, прямоугольник с включенными
точками его сторон, треугольник с включенными точками его
сторон— это все примеры простых ограниченных, связных, замкнутых
областей *.
Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна
в каждой точке этой области.
Теорема 2 (теорема Коши о промежуточных
значениях непрерывной функции). Если функция f(x, у)
непрерывна в некоторой связной области (D) и в двух
точках этой области принимает значения А и В, причем
АФВ, то, каково бы ни было число С, заключенное между
числами А и В, всегда найдется в области (D) точка
М0(х0, у0) такая, что f(xQ, у0) = С.
(В частности, отсюда следует, что если числа А я В разных
знаков, то всегда найдется в области (D) точка, в которой функция
обращается в нуль).
Доказательство. Пусть f (хг, у1)=А, f(х2, Уъ) = В и,
например, А <В. Возьмем любое число С такое, что А<.С<.В.
Соединим точки Мг (хг, уг) и М2 (х2, у2) ломаной, целиком лежащей в (D).
(Это можно сделать, так как область (D) связная.) Будем
перебирать по очереди все точки, являющиеся вершинами этой ломаной,
и вычислять значения функции f (x, у) в каждой вершине. Если
значение функции в какой-либо вершине окажемся равным С, то
эта вершина и есть искомая точка М0. Если же ни в одной
вершине функция не принимает значения С, то на каком-нибудь из
звеньев ломаной значения функции в двух соседних вершинах
М' (х', у') и М" (х", у"), являющихся концами этого звена,
окажутся одно больше С, а другое меньше С. Если звено М'М" не
параллельно оси 0Y, то его уравнение можно написать в виде
y = kx~\-b. Подставим1 это выражение для у в функцию f (х, у).
Тогда в силу теоремы о непрерывности сложной функции (см.
теорему 1) в точках звена М'М" функция f (х, у) будет непрерывной
сложной функцией от одной независимой переменной х:
F(x)=f{x, kx + b).
* В более тонких вопросах анализа понятию области придается более точный
смысл. См. [1], л\л. VIII, § 1, п. 127.
18

Так как из двух чисел F(xf) и F (х") одно больше С, а другое
меньше С, то по теореме о промежуточных значениях функции одной
переменной F (х), непрерывной на отрезке [х\ х"\ (см. том I, гл. IV,
§ 5) можно утверждать, что между х' и х" найдется такое
значение х0, что
F(x0) = f(x09 kx0 + b) = C.
Обозначим kxQ + b=y0\ тогда f (xQ, y0) = C и точка М0(х0, у0)
является искомой.
Если звено М'М" параллельно оси ОУ, то его уравнение имеет
вид х = х' и надо будет применить теорему Коши к функции одной
переменной F (y) = f (х\ у), непрерывной на отрезке [у', у"].
Итак, теорема доказана.
В следующих теоремах рассматриваются функции, непрерывные
в некоторой замкнутой области (D). Непрерывность функции в точке
контура области понимается так же, как в определениях 1 и 2
с тем ограничением, что числа х и у, фигурирующие в этих
определениях, таковы, что точки М (х, у) принадлежат области (D).
Теорема 3 (теорема Вейерштрасса об
ограниченности функции). Если функция f(x, у) непрерывна в
ограниченной замкнутой области (D), то f(x, у) ограничена в
области (D).
Доказательство (проводится от противного, аналогично
доказательству для случая функции одной переменной). Допустим,
что / (х, у) не ограничена сверху. Это значит, что, какое бы целое
число /г>0 мы ни взяли, в области (D) найдется точка Мп(хпу уп)
такая, что
f(xn, Уп)>п. (3)
Пусть я-*оо, тогда из бесконечной ограниченной
последовательности точек Мп можно по теореме 2 из § 2 выделить
подпоследовательность точек МПк(хПк, уп), сходящуюся к некоторой предельной
точке M0(xQl y0). Эта точка обязательно принадлежит области (D),
так как область (D) по условию замкнутая. По непрерывности
функции f (х, у) в точке М0 имеемг f {xn^ yn,)-*f(Xo> Уо) ПРИ &->оо,
а по (3) f(xnk, уП])->со при ?->оо.
Полученное противоречие доказывает, что f (х, у) ограничена
сверху в области (D).
Так же доказывается, что / (х, у) ограничена снизу в области (D).
Теорема 4 (теорема Вейерштрасса о достижении
функцией своего наибольшего и наименьшего
значения). Если функция f(x, у) непрерывна в ограниченной
замкнутой области (D), то в области (D) найдутся по
крайней мере две точки М1(х1, уг) и М2(х2, у2) такие, что
f(*v Уг) — наименьшее значение функции f(x, у) области (D),
a f(x<L> y2) — наибольшее значение функции f(x, у) в
области (D).
19

Доказательство состоит в перенесении на функции двух
переменных (аналогично тому, как это было сделано в теореме 2)
доказательства для случая функции одной переменной (см. гл. IV, § 5).
Можно ввести и понятие равномерной непрерывности функции
двух переменных в области.
Определение 5. Функция z =f(x, у) называется равно-
мерно непрерывной в области (D), если для всякого сколь угодно
малого е > О можно подобрать 6 > О так, что для любых двух точек
М'(х', у') и М"{х", у") из (D) таких, что |*'—х"|<б,
I У' — У" I < ^ имеет место неравенство \ f (xf, у') - / (х"', у") | < е.
(Сравните это определение с определением равномерной
непрерывности функции одной переменной на отрезке; том I, гл. IV, § 12.)
Для функции, непрерывной в замкнутой области, справедлива
теорема, аналогичная теореме для функции одной переменной,
непрерывной на отрезке.
Теорема 5 (Кантора). Если функция z =f(x, у)
непрерывна в ограниченной замкнутой области (D), то она
и равномерно непрерывна в этой области.
Доказательство этой теоремы мало отличается от
доказательства соответствующей теоремы для функции одной переменной.
(Его можно найти, например, в учебнике [1], гл. VIII, §2, п. 136.)
Вопросы для самопроверки и упражнения
В задачах 1—3 проверьте, везде ли непрерывны данные в них функции
и если нет, то укажите, где расположены их точки разрыва.
1. г = -ут—2. Отв. Разрыв в точке (0, 0).
2. z = — . Отв. Разрывы на прямой у = х.
3. г = —-^-. Отв. Разрывы на прямых х = 0 и */ = 0.
4. Сформулируйте определение непрерывности функции трех переменных
в данной точке.
5. Придумайте несколько примеров непрерывных функций трех переменных.
6. Докажите, что сумма, произведение и частное двух непрерывных функций
двух переменных также непрерывны.
7. Укажите, в каком месте доказательства теоремы 2 используется связность
области.
8. Укажите, в каком месте доказательства теоремы 3 используется
замкнутость области и в каком месте используется ограниченность области.

ГЛАВА XV
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Перенесем на функции нескольких переменных основные
понятия дифференциального исчисления функций одной переменной, а
именно понятие производной и дифференциала. Для функций
нескольких неременных придется определять несколько производных,
точнее, столько производных, сколько независимых переменных
у данной функции. Позже в § 7 будет определено более общее
понятие производной для функции от нескольких переменных,
которое будет содержать как частные случаи определенные ниже
производные по каждой из независимых переменных в отдельности.
Определение 1. Точку М (х,у), принадлежащую области (D),
будем называть внутренней точкой этой области, если области (D)
также принадлежит и некоторая окрестность точки М.
Так, например, если область (D) есть круг с присоединенной
к нему окружностью, его ограничивающей, то точки этой
окружности не являются внутренними точками области (?>), так как
всякая окрестность любой точки окружности захватывает часть
плоскости, не принадлежащую кругу. Все же остальные точки круга
являются его внутренними точками.
Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, у) в области (D)
и внутреннюю точку М (х, у) этой области. Придадим переменной х
приращение Дя, а значение переменной у менять не будем, то есть
перейдем на плоскости от точки М (а:, у) к точке М' (х + &х,у)
(Да: таково, что точка М' также лежит в области (D)). При этом
значение функции f(xt у) также изменится. Назовем это изменение
частным приращением функции по переменной х. Оно будет равно:
bxf(x, y) = f(x + Ax, y)—f(x, у).
Аналогично можно составить частное приращение по
переменной у:
byf(*> y) = f(*> y + &y) — f(x, У)-
Определение 2. Если существует конечный предел
hm —г lim —: i
21

то он называется частной производной по переменной х (по
переменной у) от функции z = f (x, у) в точке М (х, у).
Частные производные обозначаются одним из следующих символов:
гх,гу, или f'xJ'y, или ^ |, или g, |.
Последние четыре обозначения являются только символами, их
нельзя рассматривать как дроби (обозначение —- для производной
функции одной переменной можно рассматривать как частное от
деления двух дифференциалов).
Если нужно явно указать, в какой точке вычислена та или
другая частная производная, то пишут, например, так:
Гх(Хо> Уо)> или zx\x=Xo .
У = Уо
Из определения 2 следует, что частная производная функции
двух переменных равна обычной производной функции одной
переменной, полученной при условии, что вторая независимая
переменная сохраняет постоянное значение.
Следовательно, правила отыскания частных производных те же,
что и правила отыскания обычных производных функций одной
переменной (см. том I, гл. V, § 5, 6).
Пример 1. Найти частные производные функции z = x3y2 + 2x In у+хУ.
При отыскании частной производной по х считаем у постоянным и
дифференцируем по х, пользуясь правилом дифференцирования суммы и степенной функции:
г'х = Зх*у* + Ипу + ухУ-1;
при отыскании частной производной по у считаем х постоянным и
дифференцируем по у, пользуясь правилом дифференцирования суммы, степенной
функции, логарифмической и показательной функции:
z'=2x3y + 2x • —+хУ • In х.
у У
Частные производные функции двух переменных имеют вполне
определенный геометрический
смысл. Рассмотрим
поверхность, являющуюся графиком
функции z = f{x, у) у и
возьмем на этой поверхности
некоторую точку А (х09 г/0, z0).
Проведем через эту точку
сечение поверхности
плоскостью Q, параллельной
координатной плоскости OYZ.
Уравнение плоскости Q имеет
вид: х = х0. Эта плоскость
пересечет поверхность по
некоторой кривой А В (рис. 6).
Кривая А В плоская (так как
она лежит в плоскости Q) и
Рис. 6
22

лежит на поверхности. Во всех точках этой кривой координата х
постоянна: х = х0. Поэтому уравнение кривой АВ получится, если в
уравнении поверхности положить х = х0:
z = f(*o, У)-
Производная этой функции, вычисленная при х = х0, совпадает с
частной производной по у от функции двух переменных z = f(x,y)
в точке (х0, у0) и, как производная всякой функции одной
переменной, совпадает с угловым коэффициентом касательной к
кривой АВ в точке А (х0, у0, z0) (z0 = f(x0i y0)). Таким образом,
частная производная по у функции z = f(x, у), вычисленная в точке
(хо> У о) у равна угловому коэффициенту касательной в точке А (х0,
yQ, zQ) к плоской кривой АВ (см. рис. 6):
f'y(Xo, #o) = tgp.
Проводя сечение поверхности плоскостью Р, параллельной
координатной плоскости OXZ, и повторяя предыдущие
рассуждения, убеждаемся, что частная производная по х функции z=f(x, у),
вычисленная в точке (х0, у0)} равна угловому коэффициенту
касательной в точке A (лг0, yQ, z0) к плоской кривой, получающейся в
пересечении поверхности с плоскостью Р (сделайте
соответствующий чертеж сами).
Понятие частной производной определяется так же и для
функций любого числа переменных. Так, для функции трех
переменных u=f(x, у, z) можно определить три частные производные: -^,
да да
ду dz
Пример 2. Пусть и = 6xyz2 + 5x2z — ух. Требуется найти ее частные
производные.
Дифференцируя по обычным правилам, получаем: -^- =6yz2-{-lQxz — y, — =
= 6*22 — Xf ^ = \2xyz + 5x2.
Можно ввести понятие частной производной порядка выше
первого. Так как частные производные -^ и ^- какой-либо функции
двух переменных z(x, у) сами являются, вообще говоря,
функциями двух переменных, то от них можно опять брать частные
производные по а: и по у. Результат диффенцирования называется
частной производной второго порядка (или просто второй частной
производной). Если от -к- взять частную производную по х, то есть
вычислить лт(з-)т то результат обозначается так: -~\, или zxx. Это
обозначение опять-таки является чисто символическим, эту запись
нельзя рассматривать как дробь.
23

От той же частной производной ^ можно взять частную
производную по у: t-(^j)- Результат дифференцирования называется
смешанной частной производной второго порядка и обозначается
дч
так: Жду' ИЛИ г*г
Таким же образом можно вычислить частные производные вто-
d2z d2z
рого порядка 0-^- и ^, полученные от дифференцирования по х
. дг
или по у частной производной ^-.
Пример 3. Для рассмотренной выше функции (пример 1) z — х3у2 + 2х\пу -\-
+ ху имеем: zxx = 6xt/* + y {у— 1) ху~2; zxy = 6x2y+—+xy~l +yxy~x\nx\
У
гуу = 2х3-^г+хУ1п2х> znyX=Wy+j+yxy-X\nx+T.
Пример 4. Докажем, что функция
1
Vx2 + y2 K ]
удовлетворяет соотношению
^+^ = 0. (2)
дх2^ду2 {)
Перед тем как находить частные производные функции (1), упростим ее вид,
пользуясь правилами логарифмирования:
In .J— = In 1 - 1 In (x2+y2) =--1 In (x2 + y2).
У x2+y2 z z
Итак,
z = -±in(x2+y2). (3)
Находим последовательно нужные частные производные второго порядка:
dz^ 1_ 1 2 *
ал: 2 '*2+#2 * * а;2 + г/2; (4)
^?? — __ (*2+#2)~ 2*'* _ х2 — у2
дх2 ~ (ЛГ2 + #2)2 — (^2 + ^2)2 * (5)
Так как выражение (3) симметрично относительно переменных х и у, то, не про-
dz d2z
изводя выкладок, можно написать сразу выражения для ^- и -г-^, просто
переменив местами буквы х и у в выражениях (4) и (5):
dz у d2z y2 — x2
(6)
ду х2 + у2' ду2 (х2+у2)2'
Составляем сумму:
d*z д2х _ х2 — у2 + у2 — х2
дх2+ду2~ {х2 + у2)2 "~
Таким образом, результат подстановки выражений (5) и (6) в левую часть (2)
дает тождественно нуль. Следовательно, функция (1) действительно удовлетворяет
соотношению (2).
24

Можно определить и производные еще более высоких порядков.
Так для функции z = f(x, у) можно написать восемь частных
производных третьего порядка:
Zxxxt Zxxyi Zxyxy Zxyut Zyyxy Zyyyi Zyxxi Zyxyi
шестнадцать частных производных четвертого порядка и т. д.
Если рассматривать функцию трех переменных и(х, у, z), то
для нее имеем три частные производные первого порядка (uXi u'y, uz),
девять частных производных второго порядка:
Uxxy UXyy UXZi Uyx, Uyy, UyZ, UZx> UZy, UZZy
двадцать семь частных производных третьего порядка и т. д.
Таким образом, видно, что число частных производных
определенного порядка данной функции нескольких переменных тем
больше, чем больше число независимых переменных и чем выше
порядок частной производной. Количество различных частных
производных данного порядка может быть для большинства встречающихся
на практике функций уменьшено благодаря тому, что большей
частью совпадают по величине частные производные, отличающиеся
друг от друга только порядком, в котором производится
дифференцирование.
Так, в рассматриваемом выше примере 1, действительно z'xy = ZyX.
Если для функции и = 6xyz2 + 5x2z—ух, рассмотренной в примере 2,
д3и д^и
вычислить частные производные третьего порядка д ^ 2 и dz дх dz,
которые также отличаются только порядком дифференцирования, то
убедимся, что и они равны между собой:
d?=l2xyz + 5x2; ^±=l2yz+l0x; g^ = 12у.
Существуют различные условия, достаточные для того, чтобы
величина смешанных частных производных какого-либо порядка не
зависела от того, в каком порядке производится дифференцирование.
Приведем наиболее простое и часто употребляемое условие, причем
для простоты обозначений в теореме и доказательстве сформулируем
ее для функции двух переменных и для смешанных частных
производных второго порядка.
Теорема 1. Если у функции г =f(x, у) существуют
производные fXy fy, fxy и fyx в точке М0 (х0, у0) и некоторой ее
окрестности и при этом смешанные производные fxy(x, у)
и fyx(x, у) непрерывны в точке M0(xQ, y0), то fxy(xQt Уц) =
=fyx(X0> Уъ).
25

Доказательство. Составим выражение
w
= f (*о + К Уо + k) -f (x0 + h, y0) —f (x0t yQ + Q+f (xQ, г/0).
hk
где h и k — настолько малые положительные числа, что
прямоугольник [х0, x0 + h; у0, y0 + k] содержится в окрестности точки М0.
Для того чтобы легче было запомнить, как строится величина w, рассмотрим
прямоугольник ABCD (рис. 7). Его вершины имеют следующие координаты:
Л (x0 + h, y0 + k), В (*0, y0 + k)t С (x0t y0), D (x0 + h, y0).
Тогда числитель величины w представляет собой алгебраическую сумму значений
функции / (х, у) в вершинах этого прямоугольника. При этом значение в
вершине А берется со знаком плюс и при обходе остальных вершин против
часовой стрелки знаки перед остальными слагаемыми чередуются.
Рассмотрим функцию Ф (х) =' Уо \~~ **'Уо . Здесь числитель
представляет разность значений функции f(x> у) в точках стороны
В А и CD с одинаковыми абсциссами.
С помощью функции ф (х) можно переписать выражение w в
следующем виде:
ф(*о + й) — ф(*о)
h
w-
Таким образом, величина w есть разность значений функции
ф(х) в точках D и С, поделенная на длину стороны CD.
Вычислим производную от у(х):
ф' ,х\ =Рх(*> Уо + к)—Рх(х, у о)
(7)
(производные в правой части существуют по условию).
Так как функция ф (х) имеет производную ф' (х) в промежутке
[х0, x0 + h] и, следовательно, непрерывна в этом промежутке, то
к ней можно применить формулу конечных приращений и
написать, используя (7):
= Ф(*о + Ь)-Ф(*о) = ^{Хо + вк) =
У%
w--
_ U (*о + ®h> yo + k)-fx{x0 + Qh, уо)
(8)
Рис. 7
~~ k
где 0 < в < 1. Так как по условию
существует и производная fxy = (fx)yy то к
функции fx(x0 + @h, у), как к функции
от г/, можно снова применить формулу
конечных приращений, на этот раз в
промежутке [у0, Уо + k], и написать, исходя
из (8):
w = fxy(x0 + Bh9 Уо + Qik),
где О<0<1, 0<в1<1. (9)
26

Если вместо функции ср (х) ввести функцию ^(l/)— ъ-}х—
и повторить рассуждения, аналогичные приведенным выше, то
получим для w следующую формулу:
w = fyx(x0 + ®3h, Уо + ®2к), (10)
где 0<62<1, О<03<1.
Сравнивая (9) и (10), получаем:
fxy(xQ + Qh, yQ + Qik) = fty(x0 + esh, yQ + %k). (11)
При й->0 и А-^0 аргументы в обеих смешанных производных
стремятся соответственно к х0 и у0 и по непрерывности сами
смешанные производные стремятся к своим значениям в точке (х0, у0).
Таким образом, после перехода к пределу получаем из (11):
1ху(Х0> Уо)—1ух \Х0> У О/'
В рассмотренных выше примерах смешанные частные производные
были действительно непрерывными функциями (там, где они были
определены), поэтому смешанные частные производные были равны
между собой. В случае невыполнения условия непрерывности
смешанные частные производные могут и не совпадать. Пример такого
рода можно найти в [1] (глава IX, § 2, п. 147).
Утверждение, аналогичное теореме 1, может быть доказано и
для смешанных производных любого порядка. Короче говоря,
смешанные производные любого порядка при условии их
непрерывности не зависят от порядка дифференцирования; например,
дьг дъг
дх2 ду3 ~ дх ду2 дх ду '
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Напишите формулы, по которым определяются частные производные
первого порядка функции трех переменных.
2. Сформулируйте теорему 1 для смешанных производных третьего порядка
функции двух переменных.
3. Сформулируйте теорему 1 для смешанных производных второго порядка
функции трех переменных.
В упражнениях 4—14 найдите частные производные первого порядка
указанных функций (правильность решения можно проверить при выполнении
упражнений 1 и б из § 4; см. ниже, стр. 41).
3 — Ъу хх ——
4. z = xy у — тг=. 5. 2 = arctg — . 6. 2 = lntg—-. 7. z = e xf
ух У У
8. z = \nlx + ^\. 9. z = y In*. 10. a = P, n- « = ***»
_yz
12. tt = arctg —. 13. u = e *2 14- u = \n(x-y2z).
У
15. Найдите следующие частные производные:
_// _ II „II '" '" tm" ' .у( 4 .' /у' 4 )
*хх' *ху 'уу' хху' zxxx' *хуу zxxyy> ~yyyy
27

функций упражнений 7 и 9,
у
х* л; +° J' *-W_ *з * ^ х г)> хху е \х* л* л*
-- / 6 г/2 6г/\ 1 —-
гххуу—* \xt~x? хь]' УУУУ х4
*) гхх — -~-&>гуу — и> Zxy —~?>ххх~~~&> *хуу — "> Zyyyy — K3> Zxxy — — -tf'
*xxyy
16. Найдите следующие частные производные:
ихг' uyz> UX2X
для функции u = xz.
У
Отв
«;.~?*'-(i+f)i -и—Щ+тУ- "--
17. Докажите, что функция z = ex (xcosy—у sin у) удовлетворяет соотноше-
ниюа^ + ^==а
18. Докажите, что функция м= удовлетворяет соотношению
У х2 + у2 + 22
д2и д2и д*и _Q
дх2 + <fy2 + дг2 "" '
19. Докажите, что функция 2 = x3— Зх#2 удовлетворяет соотношению
dx* + д*/2
20. Докажите, что функция z= 2_ 2 удовлетворяет соотношению ^-2 =
21. Докажите, что функция и= 1 1 удовлетворяет со-
отношению _ + -+_ +2 (__ ^ g_ +-_j в0.
§ 2. ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x,y) и некоторую
внутреннюю точку М0 (х0, у0) из области существования этой
функции. Придадим значениям обеих независимых переменных х0 и у0
какие-нибудь приращения Да: и Аг/.
28

Определение 1. Полным приращением функции z=f(x, у)
в точке М0 называется приращение функции, которое она
получает при произвольных приращениях обеих переменных Az =
=f(x0 + Ах, у о + Ау)—f (xQ, У о) (сравните с частным приращением
функции f (х, у) по одной переменной, определенным в § 1).
Если функция удовлетворяет некоторым требованиям, то ее
полное приращение можно выразить через ее частные производные в
точке М0 и через приращения независимых переменных аналогично
тому, как это было сделано для функции одной переменной. Для
функции одной переменной y = f(x) из существования конечной
производной в точке xQ вытекала следующая формула для
приращения функции:
&y = f (*о + Ах) — f (х0) = f (х0) Ах + а Ах,
где а — величина, зависящая от Ах и стремящаяся к нулю вместе
с Да: (см. том I, гл. V, § 4, формула (1)). В формулируемой ниже
теореме устанавливается аналогичная формула для полного
приращения функции двух переменных, но приходится требовать больше,
чем просто существования частных производных в точке M0(xQi yQ).
Теорема 1. Если у функции z =f(x, у) существуют
частные производные в точке М0(х0, у0) и в ее окрестности
и они непрерывны, как функции двух переменных в точке
М0 (х0, у0), то полное приращение функции может быть за-
писано в следующем виде:
Дг = f'y (х0, у о) Ах + /; (х0, уо) Ау + аЛ* + Р Аг/, (1)
где а и $ —величины, зависящие, вообще говоря, от Ах и
Ау и стремящиеся к нулю вместе с Ах и Ау.
Доказательство. Полное приращение функции путем
тождественных преобразований представим в виде:
Az = f (х0 + Ах, у0 + Ay)—f (х0, у0) = [f (х0 + Ах, у0 + Ау) —
—!(Хо,Уо + Д#) ] + If (Xq, У о + Ау)—/ (х0, г/о) ] •
Выражение в первых квадратных скобках является частным
приращением функции f (х, у) по переменной х, вычисленным в
точке (х0, у0 + Ау); выражение во вторых квадратных скобках
является частным приращением функции f (х, у) по переменной у,
вычисленным в точке (х0, у0). Следовательно, каждое из этих
приращений может быть записано по формуле конечных приращений
для функций одной переменной; тогда получим:
Аг = /; (х0, + в Ах, у 0 + Ay) Ax + fy (x0, у0 + в±Ау) Ау,
где О<0<1, О<01<1.
Сделаем опять тождественное преобразование полученного
выражения для Аг\
Az = f'x(x0, y0)kx + fy(x0, y0)Ay+[fx(x0 + &Ax, y0 + Ay) —
fx(xQ, yo)]kx + [fy(x0, y0 + 9iby)—fy(x0t y0)]Ay (2)
29

и обозначим
fx(x0 + QAx, y0 + Ay)—fx(x0, Уо) = <*>
fy(xQ, Уо + @1Д^)— &(*о> 0о) = Р-
Тогда из (2) имеем:
Az=f'x(xQ, Уо)Ьх + ?у(Хо, у0)Ау + аАх + ^Ау,
причем из формул (3) видно, что а и р зависят, вообще говоря,
от Ах и Ау. Пусть теперь Ах—0 и Д#~0. Тогда х0 + @Ах — х0,
так как 6 — множитель, меняющийся вместе с Ах, но ограниченный;
также и у0 + Ау—>у0 и y0 + ®iAy—*yi)(@1 — также переменный,
но ограниченный множитель). Из непрерывности частных
производных функции г в точке (х0, у0) следует, что так как аргументы
первых слагаемых в левых частях формул (3) стремятся кх0и у0,
то сами значения частных производных стремятся к f'x (x0i y0) и
fv(xo> Уо)> а следовательно, а и Р стремятся к нулю.
Следствие. Из существования и непрерывности в
данной точке (xQ, y0) частных производных fxtify функции
f(x, у) вытекает непрерывность самой функции f(x, у) в
точке (х0, у0).
Действительно, при сделанных предположениях имеет место
формула (1), а из нее следует, что при А* — 0 и Ау — 0 все четыре
слагаемых в правой части формулы (1) стремятся к нулю, то есть
f(x0 + Ay, y0 + Ay)—f(xQ, Уо)—+0- А это и означает, что \imf(x, y) =
У-+У0
— f(xo> Уо)> то есть» что функция f(x9 у) непрерывна в точке
(*о. Уо)-
Можно показать на примере, что одного только существования
частных производных в точке (х0, у0) недостаточно для
справедливости формулы (1). Такой пример можно найти в [1] (гл. IX, § 1,
п. 139).
Пример. Написать формулу (1) для полного приращения функции z =
= х* + 3ху — 2у*.
Запишем Дг, исходя из определения полного приращения функции:
Аг = (х + Ах)2 + 3(х + Ах)(у + Ау)-2(у + Ау)*--х*--Зху + 2у2 = х* + 2хАх +
+ (Ах)* + Зху + ЗхАу + ЗуАх + 3 Ал: Ау — 2r/2 _ fy^y — 2 (At/)2 — х2 — Зху+у2 = (2х+
+ Зу) Ах+(3* - Ау) Ау + (Ал:)2 + ЗА* Ау — 2 (Ау)*.
Последние три слагаемых можно сгруппировать, например, так:
Az = (2х + Зу) Ах + (3* — 4у) Ау + (Д* + ЗАу) Ах — 2Ау • Ау.
Множители при Да: и Ау в первых двух слагаемых правой части совпадают
с частными производными функции 2 по х и по у:
Сравнивая полученное выражение для Дг с формулой (1), видим, что можно
принять
Д* + ЗДг/ = а, —2Дг/ = р.
Таким образом, действительно, аир зависят от Дк и Ау и стремятся
к нулю вместе с ними.
(3)
30

Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Напишите в общем виде формулу для полного приращения функции трех
переменных, аналогичную формуле (1).
2. Напишите формулу (1) для функции z = З*3 + 8у* — 5х и найдите аир.
Отв. (9*2 — 5) A.v + 1 %у Ау + [9* Ах + 3 (А*)»] А* + 8 (Ау)2.
3. Сосчитайте полное приращение функции упражнения 2 при следующих
числовых данных: x — 2t у=\у Д* = 0, 01, Ау =—0,02.
Отв. — 0, 004997.
4. Сформулируйте и докажите теорему 1 для функции трех переменных.
5. Дан бак, имеющий форму прямого кругового цилиндра с радиусом
основания 20 см и высотой 40 см. Бак выстилается внутри обкладкой толщиной в 1 см.
На сколько от этого уменьшится емкость бака?
Указание. Найдите приближенно полное приращение функции v = nr2h
при данных: г = 20, h = 40, Аг = АЛ= — 1.
Отв. Приблизительно на одну восьмую исходного объема.
§3. ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
При построении сложных функций нескольких переменных можно
брать в качестве составляющих функций функции с различным
числом независимых переменных. Поэтому запись в одной формуле
всех возможных случаев, которые могут встретиться при построении
сложной функции, громоздка. Вследствие этого ниже будет изложено
только несколько самых простых случаев.
1. Пусть функция z = f(x, у) задана в некоторой области (D)
к х п у являются сами функциями от переменной t. Эта последняя
изменяется в таком промежутке [а, Ь], что значения функций x(t)
и y(t) при изменении t в [а, Ь] не выходят за пределы области (D).
В таком случае z через посредство переменных х и у является
сложной функцией от одной переменной t:
* = f[x(t), y(t)) = F(t). (1)
dz_
ду
Если существуют непрерывные частные производные -—- и
функции z и существуют производные -? и -^-, то существует
производная по t от сложной функции (1) и вычисляется по
следующей формуле:
dz _ dz dx dz dy .~
IT ~~ ~~dx It + ~dy It * W
(Обращайте внимание на то, когда пишется круглое «3» в
обозначениях производных и когда прямое «d».)
Для доказательства формулы (2) придадим переменной t
приращение Д?; оно вызовет соответственно приращения Дл: и Ау функций
х (t) и у (t),a они в свою очередь вызовут приращение функции z (x, у).
Представим это полное приращение функции z (х, у) по формуле (1)
из § 2 (что возможно в силу предположенной непрерывности частных
31

производных функции г):
Поделим обе части на At:
Дг __ dz Ах дг Ау Ах Ау ,~
~At-~dx~ At "1"ф""А7"1"а'А7""1"Р"АГ' W
и устремим At к нулю. При этом Ах и Ау также будут стремиться
к 0, так как функции x(t) и y(t) непрерывны как функции,
имеющие производные, а следовательно, аир также будут стремиться
к 0. Слагаемые &-?¦ и $-А- будут стремиться к 0 как
произведения бесконечно малых на ограниченные величины (-гт- и -—•
ограничены при Д^ — 0, так как они имеют конечные пределы-^- и ~
при Д/-—0], и в пределе из формулы (3) получим формулу (2).
Пример 1. Пусть z=f (х, у), *=^+2, y = 3t4—l. Таким образом, z через
dz dz dz
посредство х и / зависит от t. По формуле (2) имеем:-т- = ^-3^2 + ^- 12г3.
2. Пусть задана функция одной переменной z = f(t) в
промежутке [а, 6], а переменная t зависит от двух переменных х и у,
причем х и у изменяются в такой области, что значения функции t
не выходят за пределы [#, Ь]. Тогда через посредство t величина
z зависит от двух переменных х и г/, то есть является сложной
функцией от х и у: z = f[t(x, у)]. Пусть существуют производные
dx' dv^Tt' Т°гда можно ставить вопрос о существовании и вычислении
частных производных функции z по х и по у. Закрепим значение
переменной у и будем менять только х. Тогда z будет сложной
функцией одной переменной х и можно вычислять частную
производную по ху пользуясь формулой дифференцирования сложной
функции одной переменной:
dz dz dt ,.v
Ъх"~ЪЪ~х W
(обратите внимание на обозначения производных). Аналогично
dz___dzdt_ -
dy~~dtdy' w
Пример 2. Пусть z = f(t), t — — \ тогда функция * = /(—)
является
сложной функцией от х и у. По последним формулам находим: j- = -г-— ;
dz __dz [ х\
dy~~~di'\~72)m
32

3. Пусть функция z = f(x, у) задана в некоторой области (D)
и х и у являются функциями от переменных s и /, причем s и t
изменяются в такой области, что соответствующие значения
функций х и у не выходят за пределы области (D). Тогда z через
посредство х и у является сложной функцией от s и t:
z=f[x(s, t)t y(s, f)]. (6)
r* dz dz
Если существуют непрерывные частные производные^-и^- и
существуют частные производные g-, -^, ~, -^,то существуют и частные
производные сложной функции (6) по s и t и вычисляются по
формулам
dz dz дх , dz ду # dz dz dx j,dz dy^ ,~
Ts'~dx'ds^"dy'ds; ~di~'dx'di'^"dy'di' ^ '
Действительно, для вычисления частной производной фиксируем
значение одной из переменных s или t\ тогда получаем условия уже
рассмотренного случая 1. Формула (2) и дает в обоих случаях
формулы (7). (Сравните обозначения производных в формулх (2) и (7):
в формулах (7) х и у являются функциями двух переменных и
поэтому для их производных используются круглые «д».)
t2
Пример 3. Пусть z=/(*, у), x=t2 + 2s, z/ =—. По формулам (7) имеем:
ds~dx' ^~dy\ s2/' dt~dx г~*~ду s" K)
Пусть функция 2=/(*, у) задана конкретной формулой, например,
2 = sin (*2 + */3),
а х и у выражаются через s и t так же, как выше. Тогда можно непосредственно
делать подстановку выражений для х и у в функцию z:
sin|>+2s)3 + (y)3].
Отсюда можно найти ^-, пользуясь правилом дифференцирования сложной
=cos[(^ + 2S)*+(ii)3] • [2(<Ч.ЗД2+з(|),(-|)].
функции одной переменной
dz_
ds
Раскроем скобки в правой части и введем опять обозначения х и у:
g = cos (jfl + tfl • 2х • 2+cos (х*+ г/з). Зг/2 (—g .
Так как
dz dz
^ = cos (x* + y*) 2x, Ty = cos (*»+0») ЗЛ
то мы действительно получили формулы (8).
Не останавливаясь на выводе формул для производных высших
порядков в общем случае, покажем на примерах, как находятся
производные второго порядка сложной функции.
33

Пример 4. Найти частные производные второго порядка
сложной функции z = /(x, у)у если # = /2, y = s3.
Находим частные производные первого порядка по формулам (7)
!=!•*+!• о-* |,
dz dz Л . dz 0 9 о 9dz
ds дх 1 ду ду
Дифференцируем -~г еще раз по t, учитывая, что 4- есть сложная
функция от s и /:
а-я(и®-81+!'(»-а+йрл)-!,Е+«,г- <э>
Аналогично
Вопросы для самопроверка и упражнения
В упражнениях 1 — 9 найдите частные производные первого порядка от
указанных сложных функций (правильность решения можно проверить при выполнении
упражнений 9 из § 4; см. ниже стр. 41).
U гв/ГЙ- 2' z = f(xS + y*)- 3- 2 = /(*2 + */). 4. z = f(x, у); x = fl, у = Р+1.
5. z = f (х, у); x==sin t, у— cost. 6. z = f(x, у); x = 3s + 2t, y = 5s + 4/. 7. z~f (x, y)\
x=f*st t/ = ^4 — s*. 8. * = /(*, */); ^=7-, f/ = s2— P. 9.z = f(x, y)\ x=t + 2s, y = s».
10. Напишите в общем виде формулу для производных первого порядка
сложной функции u = f(t), t = y(x, у, z) (и примените ее к функциям упражнений
11 и 12).
11. а=/(-
ад.
*2 Г
ди _ du 1 /__*+# ди ^ du 1 да __ cfa
тв' ~дх ~~ dt ' "г2" » ~~ z2 » ^Г "" ~d7~ " "г2" * ~dz ~~ W #
2х + 2у\
г3 J
trt г, х ~ ди du . ди du ди
12. u = f (х-уг). Отв. ж = -^-, гда/-х-»г, -^ = -—2, ^ =
du
13. Напишите в общем виде формулы для частных производных первого
порядка сложной функции
" = /(*, У, 2), *=*(s, 0, y = y(St f), Z = Z (S, f).
14. Докажите, что сложная функция г = г/ф (*2—#2), где ф — любая дифферен-
1 dz , 1 dz z
цируемая функция, удовлетворяет соотношению — • -—j • -^—= —.
34

15. Докажите, что сложная функция z = ycp (х+ау)-\-^(х—ау), где ф и г|? —
любые дважды дифференцируемые функции, удовлетворяет соотношению -г-^ =
16. Докажите, что сложная функция z =— [ф (ax-{-y)-{-ty (ах—y)]t где ф
У
И1|) — любые дважды дифференцируемые функции, удовлетворяет соотношению
дх* ~ у* ' ду[У ду)'
§ 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть дана функция одной переменной y=f(x), имеющая
производную; как уже упоминалось выше (§ 2), ее приращение можно
написать в виде Ау = у' Ах + аАх, где ос->0 при A#->0.
Дифференциалом функции y = f(x) мы называем первое слагаемое этой
формулы, линейно зависящее от Ах и отличающееся от Ау на
бесконечно малую более высокого порядка малости, чем АхиАу. Из
формулы видно, что дифференциал равен у'Ах. Таким образом,
понятие дифференциала определено для всякой функции, имеющей
производную, и поэтому выражение «функция y=f(x)
дифференцируема» означает как то, что она имеет производную, так и то, что
она имеет дифференциал.
Для функций нескольких переменных, как указывалось в § 2,
свойство функции иметь частные производные еще не обеспечивает
справедливость формулы (1) из § 2 для полного приращения
функции. Поэтому целесообразно выделить из всего класса функций,
имеющих частные производные, те функции, для которых имеет
место формула (1).
Определение 1. Если полное приращение функции z = f (х, у)
в точке (х0, у0) может быть записано по формуле:
А/ (*о, Уо) = fx (*о, Уо) Ах + f'y (х0, у о) Ау + аАх + $Ау, (1)
еде а -> 0 и Р -> О при Ах -> О и Ау -+ О, то функция z=f (х, у)
называется дифференцируемой в точке (x0l y0).
Как следует из формулировки теоремы 1 цз § 2, всякая
функция, имеющая в точке (х0, у0) непрерывные частные производные,
дифференцируема в этой точке.
Проверим, что при Дх->0 и Ау->0 разность между Af (х0, у0)
и суммой fx(x0y Уо) Ах + f'y (x0, y0) Ay есть бесконечно малая
высшего порядка по сравнению с бесконечно малой р = ]/г(Ах)2 + (Ау)2
(бесконечно малая р есть расстояние между точками А (х0, у0) и
В(х0 + Ах, у0 + Ау)). Действительно, в силу формулы (1) эта
разность равна аДя + рДг/ и при Дх-^0 и Ау->0 имеем:
hm XH_^.==iim а — + p-f =0, (2)
d-+o Р p-*oV Р Р /
35

так как а — 0 и Р — О, а множители при них по абсолютной
величине не превосходят единицы. Равенство (2) и означает, что
бесконечно малая аД# + рДг/ имеет высший порядок малости по
сравнению с бесконечно малой р. Отметим также, что выражение
аДя + рДг/, как правило, зависит от Ах и Ау нелинейно, так как
аир могут зависеть от Ах и Ау (см. формулу (3) из § 2, а
также пример из § 2).
Определение 2. Пусть дана функция z = f (хг у),
дифференцируемая в точке (х0, у0); часть
fi(*o» У о) Ax + fy(x0, у 0) Ау
ее полного приращения Д/ (х0, у0)} которая линейно зависит от
Ах и Ау и которая при Ах —*0 и Ау—>0 отличается от полного
приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка
малости, чем бесконечно малая p = V(Ax)2-{-(Ау)2, называется
полным дифференциалом функции г=\ (х} у) (вычисленным в точке
(хо> У о)) и обозначается dz.
Таким образом, полный дифференциал в точке (х0, у0) имеет вид:
dz = f'x (х0, у0) Ах + fy (х0, у0) Ау. (3)
Пользуясь другой записью частных производных, можно
написать формулу для полного дифференциала в следующем виде:
Таким образом, понятие полного дифференциала в случае
функций нескольких переменных определено не для всякой функции,
имеющей частные производные, а только для дифференцируемых
функций.
Под дифференциалами независимых переменных условимся
понимать произвольные приращения этих переменных: dx = Ax, dy =
= Ау. Тогда полный дифференциал функции можно написать по
формуле:
Так, например, если г = еРх у2, то dz = 3e3Xу2 dx+2e3X у dy, или dz =
= y<**(3ydx+2dy).
Формулу (1) полного приращения дифференцируемой функции
можно теперь записать в следующем виде:
Az = dz + аДл: + Р Ау, (5)
где аир стремятся к нулю вместе с Ах иАу.
Выведем одно очень важное свойство полного дифференциала.
Вычислим сначала полный дифференциал сложной функции. Пусть
z= f(x> У)> а х и У в свою очередь зависят от переменных s и t
и существуют непрерывные частные производные ~ и ~, а также
36

непрерывные частные производные от х и у по s и t. Тогда z
является сложной функцией от s и / и по (4) можно написать:
dz = ^ds + §dt,
где ds и dt произвольные приращения независимых переменных s и t.
Заменим в выражении dz производные j- и -^ и по формулам (7)
из § 3, раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
dz= ~
Hi Hi _L Hi ty\ A I (Hi Hi _L ^Z НЯ\ At
dxfc + di}fc) й8+\дхд1 + д^д1) Ul~
Множители в скобках в последней части равенства являются по
определению полными дифференциалами функций x = x(s, t) и
y=y(s, t), и, следовательно, получаем;
dz=pxdx+pydy.
Таким образом, форма записи полного дифференциала и в этом
случае оказалась такой же, как и тогда, когда х и у были
независимыми переменными (см. формулу (4)). Однако смысл символов
dx и dy теперь иной:
dx=d?ds+Ndt> dy=Psds+d?dt> <6>
поэтому, вообще говоря, dx=?kx и dyфЬ^y.
В связи с этим форму полного дифференциала
dz=Txdx+%dy
называют инвариантной или неизменной.
Мы доказали, что полный дифференциал функции двух
переменных обладает неизменной формой так же, как и
дифференциал функции одной переменной (см. том I, гл. V, § 8).
Неизменная форма полного дифференциала может быть
использована для сокращения выкладок при отыскании дифференциалов
и частных производных. Например, пусть дана функция z = -—,
где х и у — независимые переменные. По формуле (4) имеем:
j 1_, x , у dx—xdy
dz = —dx -dy = - ^—-.
у у2 * у2
Пользуясь неизменной формой полного дифференциала, можно
утверждать, что такое выражение для dz сохранится и в том
случае, если хну будут не независимыми переменными, а функциями
других переменных. Это правило совпадает с тем правилом, по кото-
37

рому вычисляется дифференциал от частного двух функций одной
переменной. Можно также проверить, что и остальные правила
вычисления дифференциала (от суммы и произведения) функций
нескольких переменных совпадают с теми, которые уже известны
для функций одной переменной. А именно, если и и v — функции
нескольких переменных, то
d(u±v) = du± dvf
d(uv) = udv + vdu,
v du — и dv
<®-
О*
(7)
Пользование этими правилами иногда ускоряет выкладки.
Отметим еще одно полезное утверждение: если в процессе
вычислений для дифференциала функции получено выражение dz = Adx +
+ Bdy и х и у—независимые переменные, то А=-^у ^ = дй9
Действительно, сопоставляя полученное выражение для dz с
формулой (4) получаем:
Adx + Bdy = d?dx + %dy. (8)
Так как dx и dy обозначают произвольные приращения
независимых переменных, то есть произвольные числа, то последнее
равенство возможно, только, если А=^г и В = щ. Действительно,
можно, например, положить dx=l и dy = 0. Тогда из (8) получаем:
А = 4-- Если положить dx=0, a dy=l9 то из (8) получим: В = ^-.
Пример 1. Найти полный дифференциал и частные производные функции
z_x* + 3y*
х — У в
По указанным выше правилам (7) находим:
Ат _(x-y)d(*2 + 3y2)-(x2 + md(x-y) _
(х-у) (2xdx + 6y dy)-(x* + 3y*) (dx-dy)
~ (х-У)2 ~
_ (2*2 — 2xy — x2—3r/2) dx + (6xy — 6#2 + *2 + 3ff2) dy
~ (х-У)2 ~
x2 — 2xy — 3r/2 . , х*-\-Ъху — Зг/2 . я . , _ .
= т— Ч9 dx-\ -у—,, й?г/ = Л dx + Bdy.
(x — y)z ^ (x — y)2 *
~ * dz x* — 2xy — 3y* dz xz + 6xy — 3y*
Следовательно, как было указано выше, 3- = ;— чо . з- =—т— ч» .
J ' д* (х — у)2 ду (х—уУ
Таким образом, получены выражения сразу для дифференциала и для обеих
частных производных.
3*

Пример 2. Найти полный дифференциал и частные производные функции
A'2*/+=2ln)36r/3_5;t).
Находим сначала полный дифференциал, пользуясь неизменной формой
полного дифференциала:
az~ г>х*у + Ьу*-Ьу • \Р)
Вычисляя теперь дифференциал, стоящий в числителе, получаем, используя
правила (7):
d (Зх*у + бг/з __ 5*) = 3d (х*у) + Ы (у*) — Ых = 3 (2xdx. у + хЧу +6 • ЪуЧу —
— 5d* = (бху — b)dx + (Зх2 + \8у*) dy.
Возвращаясь к (9), имеем:
а\ to 2 i а ч с ч 6л:г/ —5 , , Зл-2+18г/2 ,
dln(3^y + ^-5x)= з^ + 6^-5* dx+ 3x*y + wUxdy*
Отсюда получим выражения от частных производных.
dz __ бху — 5 Л 3*2+18г/2
dx Зх*у + 6уЗ — Бх ' dy Зх2*/ + 6#3 — 5л; *
Конечно, в обоих последних примерах можно сначала находить
частные производные и из них составлять выражение полного
дифференциала по формуле (4).
Формула (5) для полного приращения функции дает возможность
получить приближенную формулу для полного приращения
функции через полный дифференциал.
При малых кх и Д# и, следовательно, малых Дг и dz
можно приблиэюенно полагать полное приращение функции
равным полному дифференциалу функции:
Az^dz. (10)
Эта приближенная формула может быть использована двояко.
а) Ею можно пользоваться, если в какой-либо задаче требуется
хотя бы приближенно подсчитать малое изменение функции. Полный
дифференциал, как правило, легче подсчитать, чем полное
приращение, так как он проще (линейно) зависит от Ах и Ау, чем полное
приращение.
Пример 3. В примере из § 2 было сосчитано в общем виде полное
приращение функции г = х2 -(- Зху — 2у2:
Дг = (2х+Зу) Ах+(Зх — Ау) Ау + (Д* + 3Ау) Ах — (2Дг/)2. (11)
Найдем приближенное выражение для него.
Пользуясь формулой (5), можно написать: Az = dz-\-(Ax-\-3Ay) Ax—2 (Дг/)2,
откуда, отбрасывая последние слагаемые, получаем приближенную формулу: Дг^з
е^г?г = (2* + 3#) Д*+(Зл;—Ау) Ау. Возьмем численные значения: *=2, у=19
Дл:=0,001, Дг/ = — 0,002. Тогда dz = 7 • 0,001 —2 • 0,002 = 0,003. Это число можно
принять за приближенное значение Дг : Дг гз» 0,003. Подсчитывая точное
значение Дг по формуле (11), получаем: Дг = 0,003 + (—0,005) • 0,001 —2 • 0,002)2 =
= 0,003 — 0,000013 = 0,002987.
Абсолютная погрешность замены Дг на dz меньше, чем 0,00002, а
относительная погрешность меньше, чем 0,007.
39

б) Приближенной формулой (10) можно пользоваться при оценке
погрешностей вычисления. Пусть дана некоторая формула z = f (х, у),
по которой надо сосчитать значение г. Значения величин х и у,
которые подставляются в эту формулу для вычисления z, сами
неточные (например, получены как результаты каких-либо измерений).
Тогда неточность значений х и у влечет за собой при вычислении
и ошибку в значении г. Пусть точные значения х и у обозначены
х0 и у0у а неточные х0 + Ах и у0 + Ау(Ах и Ау—ошибки в
значениях х и у). Тогда ошибка в вычислении z равна f(x0 + Ax,
Уо + Ау)— f(x0iy0) = Az, то есть она представляет собой полное
приращение функции z, соответствующее изменениям Ах и Ау. Эту
ошибку можно приближенно подсчитать по формуле (10) и
получить оценку для погрешности вычисления.
Пример 4. Пусть дана формула для площади треугольника z = ~^-xyy где
х—основание и у— высота. Значения для основания и высоты получены
измерением: х-\-Ах и у-\-Ау. При этом известно, что погрешность измерений | Д* | =
= |Д#|<0,01. Вычисляя площадь треугольника по указанной формуле, получаем
ошибку Дг, которую подсчитываем по формуле (10):
Az^dz = ^Ax + ^Ay = ±yAx+±xAy;
отсюда | Дг | < —-у. 0,01 +у х • 0,01 = (у + х) • 0,005.
Если, например, для х и у были получены значения я =1,53 и у = 3,08, то
| Дг | < 4,61 • 0,005 = 0,02305 < 0,03.
в) Формула (10) может быть использована и для вывода известных
правил оценки относительной погрешности вычислений в общем виде.
Например, если z = uv, где и и v могут быть функциями любого
числа переменных, то по (7) dz = udv + vdu. Отсюда Az^^udv + vdu
и, заменяя погрешности Аи и Av их наибольшими возможными
по абсолютной величине значениями, получаем правило оценки
абсолютной погрешности произведения:
| Az | ^ | и | max | Av \ + \ v | max | Au |.
Деля обе части неравенства на |z| = |wu|, получаем правило оценки
относительной погрешности произведения:
|Дг
z
max | Av | , max | Au \
v
Это неравенство означает, что относительная погрешность
произведения не превосходит суммы максимальных относительных
погрешностей сомножителей. Тем же способом выводится такое же правило
оценки относительной погрешности частного z = —:
Az
z
max | Au | , max | Av \
Таким образом, относительная погрешность частного не
превосходит суммы максимальных относительных погрешностей числителя
и знаменателя.
40

Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Найдите непосредственно полные дифференциалы функций из упражнений
4—9 из § 1 и из выражения полного дифференциала определите частные
производные функции по х и по у так, как это было сделано в примерах 1 и 2.
Сравните полученные выражения для частных производных с теми, которые были
получены при решении упражнений 4—9 в § 1. Это даст проверку правильности
решения в обоих случаях.
В упражнениях 2—4 найдите частные производные первого порядка и полные
дифференциалы первого порядка следующих функций двумя способами: 1) сначала
найдите частные производные и с их помощью составьте полные дифференциалы;
2) сначала найдите полные дифференциалы и из них определите частные
производные.
2. г=-^-!—-. 3. z = (<ox+y)cosx. 4. z=cos(x + y).
и ~~ X
5. Дайте определение полного дифференциала функции трех переменных и
напишите для него формулу.
6. Найдите непосредственно полные дифференциалы функций из упражнений
10—14 из § 1 и из полученных выражений полного дифференциала определите
частные производные. Сверьте результаты с теми частными производными,
которые были получены при решении в § 1.
7. Сосчитайте приближенно по формуле (10) полные приращения следующих
функций:
а) z = 3x2 — xt/2 + 4i/3, x=l, y= — l, Ах = Дг/ = 0,005;
б) 2 = 3* + ]/"л:2 + г/2, * = 3, */ = 4, Д* = 0,001, Д*/ = 0,002;
в) z = ^f=^' х==2> у==1> Ал: = Дг/ = 0,001.
Отв. а) —0,095; б) 0,0052; в) 0,000 (5).
8. Измерения дали: диаметр основания конуса равен 10,2 см; образующая
44,6 см; абсолютная величина погрешности измерений меньше 0,1 см. Вычислить
объем этого конуса и указать погрешность подсчета.
Отв. v= 1206,3 см*\ Да ^48,3 еж3; —^4%.
v
9. Найдите непосредственно полные дифференциалы сложных функций из
упражнений 1—9 из § 3. Затем из полученных выражений для полных
дифференциалов определите частные производные сложных функций по s и по / и сверьте
с ответами, полученными при решении в § 3.
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Так же как и в случае функций одной переменной, можно для
функций нескольких переменных вычислять дифференциалы
порядка выше первого (см том I, гл. V, § 9). Пусть х и у являются
независимыми переменными. Дифференциалом второго порядка
от функции z = f(x, у) называется дифференциал от полного
дифференциала:
d2z = d(dz).
Он вычисляется в предположении, что dx и dy остаются
постоянными.
Для d2z можно получить легко запоминающееся выражение
(в последующих выкладках учитываем, что dx и ^ — величины
41

постоянные и dx и dy, появляющиеся в квадратных скобках, те же
числа, что и dx и dy в начале выкладок):
db = d{dz)-d{*dx + *dy) = dxd(*) + dyd(%) = Ц|(?> +
(Предполагается, что функция z = f (х, у) удовлетворяет условиям
д2z д2 z
теоремы 1 из § 1 и поэтому слагаемые -^—^-dxdy и j-^dxdy
подобны.) Полученное выражение напоминает формулу для квадрата
суммы двух слагаемых. Можно также подсчитать d3z = d(d2z) и
убедиться в том, что полученное выражение напоминает формулу
для куба суммы двух слагаемых (проделайте выкладки сами):
*z = gdx* + 3^dx4y + 3^dxdy* + *dy*. (1)
Эта аналогия в формулах может быть продолжена и дальше:
формула для любого dnz напоминает формулу для разложения
двучлена в п-ю степень по правилу бинома Ньютона.
Пример 1. Найти d2z для функции 2 = -^?
Непосредственным дифференцированием легко находим:
дг_ 2у te_^}_ дЪ = 6у д2г _ 2 <^г__п
дх ~~ *з ' ду~х2' дх2~х* ' дхду~~~ х* ' ду2
Отсюда по формуле (1):
d*z = %d*-±dxdy.
Можно решать иначе. Имеем по формуле для дифференциала частного (см.
формулы (7) из § 4):
__ х2 dy—2ху dx __ х dy — 2у dx
dZ- 33 ~ ^ •
Применяя еще раз формулу для дифференциала частного, находим.
_ x3d (x dy —¦ 2у dx) — {xdy—2y dx) 2>х2 dx _ xd (x dy—2у dx) — 3(xdy — 2y dx) dx
Далее, так как
d(xdy—2y dx) —dxdy—2dy dx== — dy dx,
то
-x dy dx—Ъх dy dx + Qy dx2 __—Axdy dx + 6y dx2
d*z*
X* X*
то есть приходим к той же формуле.
Заметим, что если нам удалось каким-нибудь способом представить d2z в виде,
d2z = Adx2 + 2Bdxdy + Cdy2
42

(л; и у — независимые переменные), то отсюда, как и для дифференциала первого
a2z d2z d2z
порядка, легко вывести, что Л=^—2, ?=. - , С = ^—2. Поэтому, вычислив в
примере 1 непосредственно d% мы из его выражения находим и частные
производные:
d*z_by дЧ _ 2 ^2_0
дх2~х* ' дхду~~ л*' ду*
Для сложных функций дифференциалы порядка выше
первого не обладают неизменной формой и выражения для
них более громоздкие, чем формулы (1), (2) и др .
Действительно, пусть z=f(x,y), x = x(s, t), y=y(s, t).
Ввиду неизменной формы полного дифференциала первого порядка
можно написать и в этом случае:
dz=Txdx+rydy>
но множители dx и dy в этом случае не постоянные, а зависят от
s и t по формулам (6) из § 4. Поэтому при вычислении
дифференциала от dz нужно вычислять дифференциал от каждого из двух
слагаемых по правилу вычисления дифференциала произведения:
d2z = d(dz) = d(^dx+d^dy) =
=M?)+?^)+M§)+Sd№/)-
Первое и третье слагаемые .дадут выражение (1). Таким образом,
получим:
te=gd* + 2^dxdy + ?df + *<Px + %*y. (3)
Отсюда видно, что полученное выражение для d2z не совпадает
с формулой (1). Однако следует отметить, что если х и у зависят
от s и t линейно, то dx и dy постоянные* d2x = d2y=0 и
формула (3) в этом частном случае совпадает с формулой (1).
Выражения для d3z, d*z и т. д. еще более громоздкие.
Пример 2. Найти d2z для следующей сложной функцию
z=f(x) x = s2 + t*.
дх дх
Так как gj = 2s и ^=3t2, то получаем:
dz = z'xdx = zx l%rsds + % dt\ = zx (2s ds + 3i2 dt).
Беря дифференциал второй раз, имеем:
dH = d (г'х) ¦ (2s ds + 3t2 dt) + z'xd (2s ds + 3t2 dt) = zx dx (2s ds + 3t2 dt) +
+ z'x (2ds ds + 6t dt dt) = zx (2s ds + 3t2 dt)2 + zx (2ds2 + & dt2) = zxx x
X (4s2 ds2 +12st2 ds dt + 9** dt2) + zx (2ds2 + Ы dt2) = (4s2zxx + 2z'x) ds2 +
+ 12st2z"xx ds dt + (№гхх + 6tzx) dt2.
43

Следовательно,
Можно было начать с того, что по заданной сложной функции
найти частные производные (см. § 3), а потом с их помощью
составить по формуле (1) выражение для d2z. Получили бы то же самое
выражение. Проделайте это самостоятельно.
Пример 3. Найти d2z для следующей сложной функции: z =
= f(x, у)\ x = t2, y = s3.
Эта функция рассматривалась в примере 4 из § 3 и там были
найдены ее частные производные второго порядка по s и по t
(см. (9), (10) и (11)). Составляя с их помощью выражение для d2z
по формуле (1), получим:
^ = (2| + ^S)^ + 12/s^^ds + (6s| + 9s*0)^. (4)
Это же выражение может быть получено и если находить
непосредственно дифференциалы данной сложной функции. Используя
неизменную форму полного дифференциала, можно написать:
dz=%dx+%dy=%2tdt+%^ds-
Отсюда получаем:
d^ = d(|)2^^ + 2|^^ + d(|)3SMS+3|dS.2sdS = (g4^^2 +
+^6^Лл) + 2*Л- + (^«в»ЛЛ + 098*Л-) + 6»|л--
Таким образом, проводя выкладки другим приемом, мы
получили тот же результат (4).
Упражнения
В упражнениях 1 — 5 найдите d2z двумя способами: 1) сначала найдите
частные производные второго порядка и по формуле (1) напишите d2z\ 2) найдите
сразу dz и d2z и оттуда определите частные производные второго порядка (как
это было сделано в примере 1).
1. z = arctg— (используйте решение упражнения 5 из § 1).
X
2. z — e у (используйте решение упражнения 7 из § 1).
3. z = y\nx (используйте решение упражнения 9 из § 1).
4. г = ух. 5. г = 2*0.
В упражнениях 6 — 8 найдите двумя способами d3z.
6. z = x2y3 — x3y2 + 5xy. 7. z = cos(x-y). 8. z = xb-yb.
9. Найдите d*z для функции z.= 3x2 y-\-2xy2 — 5* +г/4. Отв. 24 dy*.
44

д2и д2и
10. Найдите d2u для и = х*<— Зх3у-{-у*г — z2 и определите оттуда ¦^-Ti -г-у,
д2и д2и д2и д2и
dz2 ' дхду' дудг' дхдг'
Отв. d2u = (l2x2—\8xy)dx2—l8x2dxdy+\2y2z dy2 + 8y* dy dz — 2dz2;
дх2 ду2 * dz2 ' дл:д# ' ду dz * ' dxdz
11. Найдите d3a для функции u = xyz. Отв. 6dxdydz.
12. Найдите c?4u для функции u=cos (*+#-)-z).
0/ne. cos (x+y + z) - (dx-\-dy + dif.
13. Найдите двумя способами d2z для сложной функции 2 =/(*); x — 3st — s3
(см. пример 2).
14. Найдите двумя способами d2z для сложной функции z=f(xf у); x = ts,
y=t2.
15. Найдите двумя способами d2z для сложной функции z=f(x, у); x=2s-\-t,
y = t2 (см. пример 3).
§ 6. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
1. Пусть дано уравнение вида
F(xt y) = 0; (1)
в левой части имеем функцию двух переменных, заданную в
какой-нибудь области на плоскости, например в некотором
прямоугольнике [а, Ь\ с, d]. Если для каждого значения х из
промежутка [а, Ь] существует одно значение у ?jj [с, d], которое вместе
с х удовлетворяет уравнению (1), то уравнение (1) определяет
функцию у = у(х) в [a, b]. В этом случае говорят, что не
разрешенное относительно у уравнение (1) определяет неявную функцию
у = у(х) в прямоугольнике [а, Ь\ с, d]. Подчеркнем, что термин
«неявная» функция относится только к способу ее задания. Если
эту функцию подставить в (1), то получим тождество относительно
х в [а, Ь]:
F[x, у(х)]==0.
Пример 1. Пусть, например, дано уравнение
у\пх — х2еУ+1=0 (х>0). (2)
Хотя мы и не умеем решить это уравнение относительно г/, но
можно поставить вопрос: существует ли такой промежуток
изменения х, что для каждого х0 из этого промежутка можно найти
вполне определенное значение у0 так, что пара чисел (х0, у0)
удовлетворяет уравнению (2)? Иначе говоря, существует ли неявная
функция y = f(x), определяемая уравнением (2)? Ниже мы сумеем
ответить на этот вопрос.
Если наложить некоторые ограничения на характер функции
F(x, y)f то можно по виду левой части уравнения (1) сказать
заранее, существует ли неявная функция, определяемая этим
уравнением в некотором прямоугольнике, или нет. Можно даже ответить
на вопрос, существует ли производная у этой неявной функции.
В случае существования производной можно указать и способ
45

ее вычисления. В следующей теореме даются достаточные условия
того, чтобы уравнение (1) определяло в некотором прямоугольнике
однозначную и дифференцируемую неявную функцию.
Теорема 1. Пусть дано уравнение F(x, y) = 0 и функция
F(x, у) удовлетворяет следующим условиям:
1) F(x, У)> Fx(x> У) и Fy(x> У) определены и непрерывны
в прямоугольнике [xQ — a, х0 + а; y0—b, y0 + b\,
2) F(x0 y0) = 0,
3) Fy(x0, yQ)^0.
Тогда справедливы следующие утверждения:
а) в некотором прямоугольнике (х0—Ь, х0 + Ь; у0 — Ъ',
Уо + Ь') уравнение (1) определяет неявную функцию у=у(х),
б) У(х0) = у0,
в) в промежутке [ха—Ь, х0 + Ь] функция у = у(х)
непрерывна,
г) в промежутке [лг0—6, лг0 + 6] функция у = у(х) имеет
непрерывную производную.
Доказательство. (Проводим доказательство отдельно для
каждого пункта утверждения теоремы.)
а) В условии (3) предположено, что Fy(x0, y0)^0\ для
определенности дальнейших рассуждений допустим, что F'y (x0f y0) > 0.
Так как по условию 1) F'y(x, у) — непрерывная функция, то в
некоторой, хотя бы и малой, окрестности точки М0 справедливо
неравенство
F'y(x,y)>0. (3)
В качестве такой окрестности возьмем квадрат со сторонами 26'
и с центром в М0: jR = [jc0 — б', х0 + &'\ у0—8', */0 + 6']-
Будем передвигаться по вертикали АВ. При этом x=x0i а у
растет от у0 — б' до yQ-\-bf (см. рис.8). Тогда по (3) (признак
возрастания функции одной переменной) функция одной переменной
F(х0, у) возрастает. Так. как при у = у0 по условию 2) эта функция
обращается в нуль, то
F(Xq, У о — S')<0 (так как у0 — &'<у0) (4)
и
f(x0t у0 + 8')>0 (так как у0<у0 + 6'). (5)
Теперь будем передвигаться по горизонтали, проходящей через
А (см. рис. 8). При этом у=у0 — 6'. Тогда функция одной
переменной F {ху у0 — б') принимает по (4) при х = х0 отрицательное
значение; так как функция F (х, у) по условию 1) непрерывна как
функция двух переменных, то она непрерывна и как функция одной
переменной х и поэтому в некоторой достаточно малой окрестности
(х0 — б", х0-\-д") точки х0 она также принимает только
отрицательные значения. Теперь будем передвигаться по горизонтали,
проходящей через В (см. рис. 8). При этом у = у0-\-8'. Рассматриваем
функцию одной переменной F(x, у0 + б') и рассуждая так же, как
и ранее, получаем в силу (5), что в некоторой достаточно малой
46

окрестности (х0—б'", х0 + Ь'")
точки х0 функция ^(л;, у0 + Ь')
принимает только
положительные значения. Положим 6 = min
(б", б'") (см. рис. 8). Тогда для
х0 —6<х<л;0 + 6 имеем:
(6)
Рис. 8
F(x, */0-б')<0
и F(x, уо + б')>0.
Таким образом, установлено
следующее: функция F(x, у)
принимает отрицательные
значения на линии CD и
положительные значения на линии MN
(см. рис. 8).
Возьмем теперь любое х = х
из промежутка (х0 — б, л:0 + б) и
будем изменять у, увеличивая
его от у0 — б' до Уо + 8', то есть
будем двигаться по линии PQ (см. рис. 8). При этом функция
F(x, у) является непрерывной функцией одной переменной у, а
именно F (х, у). Ее значения на концах промежутка PQ имеют
разные знаки вследствие неравенств (6). Следовательно, по свойству
непрерывных функций одной переменной (1 - я теорема Коши, см.
том I, гл. IV, § 5) в промежутке (Уо — 8\ у0 + 8') найдется
значение у=у такое, что F(x, у) = 0. Так как по (3) функция F (х, у)
монотонно возрастает, то такое значение у = у найдется только одно.
Таким образом, доказано, что для каждого значения х из
(х0 — б, л:0 + б) существует одно-единственное значение у, у0 — б'<
<У<{/о + б', которое вместе с х удовлетворяет уравнению F(х, у) =
= 0. Иначе говоря, доказано, что в прямоугольнике (х0 — 6, *0 + б,
#о — 6'» Уо + 6') уравнение (1) определяет у как неявную функцию
от х. Обозначим ее у=у(х).
б) Так как у0 есть то значение у (единственное по уже
доказанному пункту а)), при котором имеем F (х0, у0) = 0, то у0 и есть
значение неявной функции при х = х0 (y0 = f(x0)).
в) Непрерывность неявной функции будем проверять с помощью
следующего известного утверждения: если Ду-^0, при Дл;->0, то
у—непрерывная функция от х (см* том I, гл. IV, § 1).
Придадим х приращение Ах\ приращение неявной функции
обозначим Ау. Так как F (x9 y) = Q n F (х + Аху у + Ау) = 0, то и
AF=F(x + Axy y + Ay)-F(x, y) = Q.
Преобразуем последнее равенство:
AF = F(x + Ax, y + Ay)-F(x, y) = [F(x + Axt y + Ay)-F{xy y +
+ ky)] + [F(x,y + Ay)-F(xiy)]=F'x(x + eAx,y + Ay)Ax + Fy(x>y +
47

+ ®г^у) Ay = 0, где 0 < 0 < 1, О < 6Х < 1 (см. аналогичные
преобразования в доказательстве теоремы 1 из § 2). Отсюда находим:
Ау_ Гх(х + вАх, у + Ау)
Л* F'y(x, у + вгАу) • {П
Так как по условии? 1) F'x(x9 у) — непрерывная функция, то
в построенной выше окрестности R точки М0 она ограничена (см.
гл. XIV, § 3, теорему 3), то есть i F'x (x, у)\^М.
По условию 1) Fy(x, f/)—также непрерывная функция в R, и
в R имеем неравенство (3). Поэтому наименьшее значение функции
F'y(xy у) (которое существует в силу 2-й теоремы Вейерштрасса, см.
гл. XIV, § 3) также положительно. Обозначим его т>0. Тогда
из (7) получаем:
^Ш9 \Ау\^М\Ьх\.
т' ' ^ ' т1
Из последнего неравенства вытекает, что при Ая-*0 имеем: Ду-*0.
г) Пусть Дл;->0; по доказанному и Д*/-*0; по непрерывности
функций F'x (х, у) и F'y (л:, у) имеем:
Fx(x + SAxy y + Ay)-+F'x(x, у),
Fy(x, y + e^y)-^F'y(xt у)т±0.
Отсюда, переходя к пределу в (7), получаем:
4у , F'x (*, у)
*у(х> У)
imr =их= — ~т-, г. (8)
Этим доказано существование производной неявной функции у
и одновременно дан способ ее вычисления.
Непрерывность производной у'х как функции от х следует из (8).
Действительно, по доказанному (пункт в)) неявная функция у=
= у(х) непрерывно зависит от х. По условию 1) F'x(x, у) и F'y (x, у)
непрерывно зависят от х и у. Следовательно, в силу теоремы
о непрерывности сложной функции (см. гл. XIV, § 3) функции
F'x [x, у(х)] и F'y[x, y(x)] являются непрерывными функциями от х.
В силу неравенства (3) знаменатель в правой части (8) не
обращается в нуль в промежутке [х0—б, х0 + б]« Поэтому дробь,
стоящая в правой части (8), является непрерывной функцией от х.
Итак, теорема доказана полностью.
Все приведенные рассуждения отвечали на вопрос, существует
ли неявная функция у{х)у определяемая уравнением (1). Можно
точно так же ставить вопрос о том, существует ли неявная функция
х (у), определяемая уравнением (1). (В уравнении (1) переменные х и у
«равноправны»). В этом случае в теореме 1 надо изменить условие
3), а именно: надо требовать, чтобы было F'x (x0, у0) Ф 0. Если же
функция F (х, у) такова, что одновременно Fx(xQ, yo) = F'y(x0, y0) =
= 0, то теорему 1 формулировать нельзя и нельзя утверждать,
48

что уравнение (1) определяет какую-нибудь неявную функцию у(х)
или х(у).
Уравнение (1) можно рассматривать как уравнение какой-либо
кривой на плоскости. Всякая точка, где F'x(x0, yQ) = F,i/(x0, у0),=
= О, называется особой точкой этой кривой. С геометрической точки
зрения теорема 1 утверждает, что неявное уравнение кривой (1)
можно в окрестности не особой точки кривой заменить явным
уравнением у=у(х) или х = х(у). На рисунке 8 эта кривая
изображена линией KS.
Пример 1 (продолжение). Вернемся к уравнению (2). Здесь
F(x, у)=у\пх — х°~еУ + \ (*>0).
Очевидно, что функция F (х, у) и ее частные производные непрерывны для х >0
и для любого у. Можно указать такие точки (х0, у0), что F (х0, у0) = 0 и F'y (х0, у0) Ф0.
Действительно, например, в точке (1,0) имеем:
F(l, 0)=0—1 + 1=0, F' (1, O) = (ln*-A*0*-i=--l-
у у=о
Следовательно, в окрестности такой точки уравнение (2) определяет у как
неявную функцию от х. Производную этой неявной функции можно найти по
формуле (8):
У 2хеУ
х у — 2хЧУ .
\пх—х2еУ х(\пх — х2еУ)
Эту же производную можно найти и несколько иначе. Будем в уравнении (1)
понимать под у ту самую неявную функцию, которую оно определяет; тогда
уравнение (1) обратится в тождество относительно х. Тогда и производная по х от
левой части также будет равна нулю при всех х. Найдем производную от левой
части по х, помня, что у — функция от х, и, зная уже, что производная этой
функции существует:
у' In х+у - — 2хеУ — хЧУу' = 0 (9)
(производную от еУ берем как производную сложной функции).
Отсюда находим у':
— У- + 2хеУ
'--йпЬнг (10)
Это выражение совпадает с тем, которое было получено выше по формуле (8).
Указанный способ удобнее тем, tfro не надо запоминать формулу (8). Тем же
способом можно находить и производные высших порядков функции у.
(Существование у" легко установить из (8) при наличии непрерывных частных
производных второго порядка функции F (х, у).)
В рассматриваемом примере для отыскания у" используем тождество* (9).
Продифференцируем его еще раз:
у"\пх+у'~ +у' у~ —2еУ — 2хеУу' — 2хеУу' — х2еУу'у' — х*еУУ"=0. (11)
Отсюда можно найти у":
— — —; —2еУ — 4хеУу' — хЧУ (у'?
У = х*еУ — 1пх "
В правую часть нужно вместо у' подставить выражение (10).
Для отыскания у'" надо дифференцировать тождество (11) и т. д.
49

2. Пусть дано уравнение вида
F(x, у, г)=0 (12)
(в левой части имеем функцию трех переменных, заданную в
какой-нибудь области в пространстве). Если для каждой пары
значений независимых переменных х и у из какой-либо области на
плоскости существует одно значение г, которое вместе с х и у
удовлетворяет уравнению (12), то уравнение (12) определяет функцию
г = г(х, у).
Говорят, что посредством не разрешенного относительно z
уравнения (12) задана неявная функция z = z(x, у). Если эту
функцию z(x, у) подставить в (12), то получим тождество относительно
х и у:
F[xt у, г(х, у)] = 0.
Так же как и в рассмотренном выше случае уравнения (1),
можно сформулировать условия, наложенные на функцию F (х, у, г),
достаточные для того, чтобы уравнение (12) определяло неявную
дифференцируемую функцию двух переменных z = z (x, у). Эти
условия похожи на условия теоремы 1, но, естественно, осложнены
наличием большего числа переменных.
Отыскание частных производных или полного дифференциала
этой неявной функции можно осуществлять приемом, указанным
выше.
Пример 2. Пусть дано уравнение
г — 3zy2 + z3*3 + 8ху* — 5х = 0, (13)
определяющее z как неявную функцию от х и у. Подставляя мысленно эту
неявную функцию в заданное уравнение, обращаем его в тождество относительно х и
у. Дифференцируем это тождество по х'и по у, помня, что z— функция от х и
у. Например, дифференцирование по х (при постоянном у) дает:
2zz'x — Зэд/2 _|_ ЗгЧхХ9+z* • Зх* + 8у2 — 5=О,
откуда
, _ 5 — 8у2 — За3*2
Аналогично дифференцируя по у (х постоянно), находим:
2zzy — 3zyy2 — 3z-2y + 3z2zyx* + 8x ¦ 2y = 0, (14)
откуда
' _. 6zy — 16xy
Zy~2z — 3y2 + 3xW
Так же можно находить и частные производные более высоких порядков.
Например, дифференцируя тождество (14) по х, находим смешанную производную
второго порядка:
Zzxz'y + 2zzxy — Зг'ухУ2 — бад + 6zzxZyj<* + Ъг*г'ух& + §z2zyx2 + 16^ = 0.
откуда
" _ %zxzy ~ bzxy + 6zzxzyx3 + 9z2ZyX2 +16у
Zv* ~ Зг/2 — 2z — 3z2x* '
50

Можно сразу, исходя из тождества (13), определять полный дифференциал
неявной функции z:
2zdz — 3dz • у* _ 3z2ydy + ЪгЧг . & + s*3x*dx + 8dx • y* + 8x2ydy — Ых = 0.
Отсюда находим dz:
_ —3x2z3 — 8y2 + 5 ^ 6yz — Шу л
'— 2z-3y* + 3zW йХЛ~ 2z-3yz + 3z4* йу
и множители при dx и dy совпадают с найденными выше частными производными
г'х и Zy
3. Пусть дана система двух уравнений вида
F(x, у, г) = 0Л (15)
Если для каждого значения х из некоторого промежутка
существуют значения у и z такие, что три числа х, у и z удовлетворяют
системе (15), то система (15) определяет в этом промежутке две
функции одной переменной у(х) и z(x). Говорят, что система (15)
определяет две неявные функции у (х) и z(x). Можно также дать
условия, налагаемые на функции F (х, у, z) и Ф(лг, у, z), достаточные
для того, чтобы система (15) определила две неявные
дифференцируемые функции у(х) и z (х). Не формулируя точно этих
условий, отметим, что они содержат требование, чтобы определитель
Fy F2
(16)
не обращался в нуль в некоторой окрестности точки х0 (в которой
определяются неявные функции у (х) и z (x)). Этот определитель
называется часто якобианом или определителем Остроградского *.
Если, зная, что существуют производные неявных функций
у (х) и z (х), определять их из равенств (15), рассматриваемых уже
как тождества относительно х, путем дифференцирования их по х,
то в общем виде получим:
Fx + Fyyx + Fzzx = Q9
Перепишем систему в виде
Fyyx + Fzzx=—Fx,
Если определитель этой линейной неоднородной системы
уравнений (определитель, составленный из коэффициентов при
неизвестных) отличен от нуля, то система однозначно разрешима
относительно неизвестных у'х и zx. Определитель этой системы и есть
якобиан (16).
* М. В. Остроградский (1801 — 1861) — русский математик; К. Я ко б и
(1804 — 1851) — немецкий математик.
51

Примерз. Найти производные первого и второго порядков при л:= 1 неявных
функций у (х) и z (х), заданных системой уравнений:
x+y+z=0, Л
&+(/*—з*—10 = 0, / (1?)
причем известно, что у (1) = 1 и z (1) = — 2.
Подразумевая в (17) под у и z неявные функции, которые этой системой
определяются, дифференцируем эти тождества по х:
Зх2 + 3у2у' — 3z2z' = 0. ) К '
Подставляем заданные числовые значения х, у и z:
1+у' + г' = 0, Л
3 + 3*/'-12z'=0. J
Определитель этой системы отличен от 0 ( L _,о = — 15 ) и можно определить
у' и z': #' = — 1, г'=0. Для отыскания производных второго порядка
продифференцируем еще раз тождества (18):
*/"+z" = 0,
6х+6# (у')2 + 3у2у" — 6z (z')2 — 3z2z"
Подставляем числовые значения х, yt z, у' и z':
y"+z"=0,
12 + 3*/"-12г"=0.
z"=0. J
4 4
Находим: у" = — =-, г" = к-
Упражнения
Найдите у' и у" для неявных функций в упражнениях 1 —4.
еу е2У(2 — ХеУ)
1. хе»-у + 1=0. Отв.у'= j^^,*/ = (1L^)s ¦
2.—*—2л# + 4г/2 + 4*/+1=0 при # = -о; известно, что у ( — )=—=-.
Ome. t/r = 0 #" = 0.
1-1-J/2 —2П4-Г/2)
3. x + arctgr/—r/ = 0. Отв. #'=±±^,t/'' = LpJ .
4. x2-\-2xy+y2 — 4x-{-2y — 2 = 0 при *=1; известно, что t/(l) = l.
Ome. t/'=0, #"=—-.
5. Найдите d2z для неявной функции z (x, у), заданной уравнением 2*2 + 2r/2 +
+z2 + 8xz — 2 + 8 = 0 при *= — 2, z/ = 0; известно, что 2 ( — 2,0) = 1. Решите этот
пример двумя способами: а) найдите все частные производные второго порядка
и по ним составьте d2z\ б) найдите сразу dz и d2z.
4 4
Отв. d2z = ^=dx2 + j=dy2.
6. Найдите z*2 и z'x'y при *=1, f/=l для неявной функции z (*, у),
определяемой уравнением 5*2 + 5г/2 + 5z2 — 2ху — 2yz — 2xz — 72 = 0; известно, что z(l, 1) = 4.
Отв. z*2=—— ? z'xy==—t
52

7. Найдите у', у*, г' и z" для неявных функций у (х) и z (x), заданных
следующими системахми уравнений:
а) x!* — y*+z* = \, y* — 2x+z = Q при х=1;
известно, что у (1) = 1, z (1) = 1.
б) 22 + r/2__2x2 = 0, z2+2z/2+x2 = 4 при *=1;
известно, что у{1) — — 1, z(l) = l.
Отв. а) */' = !, 2' = 0, */"= — ~, г" = |-; б) г/' = 3, z' = 5, у" = 12, z"=—20.
§ 7. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ
Рассмотрим на плоскости точку М0(х0, у0) и исходящий из
нее луч /. Пусть М (х, у) обозначает переменную точку на луче I.
Рассмотрим также функцию f (x, у).
Определение 1. Если существует конечный предел
u f(M)-f(M0)
при условии, что точка М стремится к точке М0 по лучу /, то
он называется производной функции f (х, у) по направлению I в
точке М0 и обозначается-
Так как производная показывает скорость изменения функции,
можно сказать, что -^ характеризует быстроту изменения функции
f(x,y) по направлению / в точке М0. Если направление / совпадает
с положительным направлением оси ОХ, то 4j есть частная
производная функции f(x, у) по а: в точке М0; если I совпадает с положи-
тельным направлением оси OF, то -~ есть частная производная
функции f(x, у) по х в точке М0.
Таким образом, определенные ранее частные производные
функции можно рассматривать как производные по направлениям
координатных осей.
Покажем, при каких предположениях относительно функции/ (л;, у)
существует производная этой функции по заданному направлению,
и дадим формулу для вычисления этой производной по направлению.
Теорема. Если функция f(x, у) имеет в точке М0 (х0, у0)
непрерывные частные производные, то в точке М0
существует производная по любому направлению I,
исходящему из М0; вычисляется она по следующей формуле:
-JT ^f* (Х<» уо) C0S а +& (Х°' У°) C0S Р' (2)
где cos а и cos (5 — направляющие косинусы направления I.
Доказательство. Возьмем на луче I точку М (х0 + Ах,
Уо + ky). Так как функция f(x, у) имеет непрерывные частные про-
53

изводные в точке М0, то ее полное приращение, соответствующее
приращениям Ах и А*/, можно записать в виде (см. § 2, теорему 1):
Az=f (М) — / (М0) =f'x (х0, у0) Ах + fy (xQ, уо) Ay + Yi Л* + У*Ьу\ (3)
здесь Yi и Y2 стремятся к нулю, когда Ах и Ау стремятся к нулю.
Положим М0М = А1 (рис. 9).
: cos а и —-g-=sina = cos р. По-
Из рисунка 9 видно, что-
А/
делим обе части равенства (3) на А/:
— fx(Xo, Уо)~?1 г~/#(*о» У о) "~хг
А*
¦Ti-дГ
= Г* (*о> Уо) cos a + /у (*о. У о) cos р + Yi cos a + ?2 c°s Р. (4)
Устремим теперь точку М к точке М0 по лучу /; при этом Ая-*0,
Ау — 0 и, следовательно, А/ = ]/(Дл:)2 + (Аг/)2 — 0. Третье и
четвертое слагаемые в правой части
равенства (4) (Yicos а и
Y2 cos P) тогда также стремятся
к нулю. Поэтому все
выражение, стоящее в правой
части равенства (4), имеет
предел, равный
fx (х0, Уо)cos a + fy(x0, y0) cosp.
(5)
Таким образом доказано, что
при М —*М0 существует
конечный предел отношения
f(M)-f(M0)
Л
Уо+Щ
Уо
0
1
.
KL
М \f^
1
1
1
1
1
х0
J^
\а
&х
м^
LiJ
\
i
!
1
}
*о
у-лх
I,
—'—-j№-
X
Рис. 9
•, равный числу
мм0
(5), то есть существует
производная функции f (х, у) в точке М0 по направлению I и
-0j- = /H*o» Уо) cos а + f'y(xo* Уо) cos P« Теорема доказана.
Очевидно, что если дана функция трех переменных u = f(x, у, z)
и в пространстве задано направление /, то определение (1) остается
без изменений, а формула (2) обращается в формулу
ЯР
-ЗГ = /*(*о> Уо> zo) cosa + fy(x0l у о, г0) cos р + fz(x0, y0i z0) cosy, (6)
где a, p и y—углы между направлением / и положительными
направлениями трех координатных осей.
Пример 1. Найти производные по направлению биссектрисы первого
координатного угла в точке М0(1, 1) функции z = xsy — 5xy2 +8.
Очевидно, что a = p = ^* Находим: f'x = Зх2у — 5*/2, f'y=x3 — \0ху.
Следовательно, по (2)
о — о У *"
| = (3-Ы -5-1) ^.+(1-10.1.1)1^—
¦V2-
54

В физике часто используется понятие градиента скалярной
функции.
Определение 2. Градиентом скалярной функции z = f (х, у)
называется вектор, проекции которого на координатные оси
совпадают с соответствующими частными производными функции z =
=/(*, у):
grad/ = |/+|/ (7)
Пользуясь понятием производной по направлению, можно
вывести некоторые свойства градиента.
Возьмем единичный вектор какого-нибудь направления I:
/ = /cosa+ycosp, |/| = 1
(составляющие по осям единичного вектора любого направления
совпадают с направляющими косинусами этого направления).
Поскольку скалярное произведение двух векторов равно сумме
попарных произведений составляющих этих векторов, то в силу (7)
можно написать:
(grad/, l)=§xcosoc + J cos p.
Сравнивая с формулой (2), получаем:
(grad/, /)=§. (8)
С другой стороны, по определению скалярного произведения имеем:
(grad /, [) = \ grad /1 •|/1cos (grad /, Z) =
= | grad /1 cos (grad /, I) = np, grad / (9)
(|grad/| обозначает длину вектора grad/). Сопоставляя (8) и (9),
получаем:
| = | grad /| cos (grad/,/). (10)
Из этой формулы видно, что производная функции по
направлению I будет наибольшей по величине в том случае, когда
cos (grad/, /) = 1, то есть когда направление / совпадает с направ-
лением вектора grad /. В этом случае из (10) будем иметь: 4, = \ grad f\.
Итак, градиент функции f(x, у) имеет направление
быстрейшего увеличения функции (так как ^„ то есть скорость
изменения f (х, у) по направлению I в этом случае положительная и
наибольшая возможная) и по величине равен производной функции по
этому направлению.
Если ввести в рассмотрение линии уровня функции / (х, у)
(см. гл. XIV, § 1), то можно показать, что в каждой точке линии
уровня градиент имеет направление нормали к линии уровня
в этой точке (см. стр. 61).
55

Понятие градиента можно также определить и для функции
трех переменных f(x, у, z):
vr-?i+%/+l*- <»)
Основные свойства градиента в этом случае также сохраняются.
Направление градиента будет теперь совпадать с нормалью к
поверхности уровня функции f(x, у, г).
Упражнения
1. Найдите производную функции z = Qxy2 + 5л:2 по направлению / = / + 3/
в точке М0(1, 3). Отв. Г
XV
2. Найдите градиент функции z = в точке М0 (0, 3). Отв. 3i.
х ~гУ -г*
3. Найдите производную функции и =x2yz по направлению l = i + 2j + Sk
в точке М0 (2, 4, 6) (см. (6)). Отв. -^L.
j/14
4. Найдите градиент функции u = cos(2x-\-y—z) в точке М0(— 1, 1, —1)
(см. (11)). Отв. / 2 sin 2+/sin 2 —? sin 2.

ГЛАВА XVI
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Для функций одной переменной F(t) известна формула Тейлора
F(t)^F(a) + F(a)(t^a) + ^(t^a)' + ... + ^(t^ar +
-г (д+1)! I* а)
(где с — некоторая промежуточная точка между а и /)> выведенная
в предположении, что существуют F' (t), F' (t), ..., F(n + 1) (t) (см.
том I, гл. VI, § 3). Заменим а через t0, t через t0-\-At и
перенесем первый член правой части в левую часть формулы. Тогда
в левой части получим: F(t0-\-At)—F (t0) — AF (t0), и формула
примет вид:
где 0<G< 1.
Пользуясь формулами для дифференциалов первого и высших
порядков, можно формулу Тейлора переписать в следующем виде:
AF(t0) = dF(t0) + ±d*F(t0) + ... + ±d"F(t0)+-^
В таком виде формулу Тейлора можно перенести и на функции
нескольких переменных.
Пусть дана функция z = f(x, у), имеющая непрерывные
частные производные всех порядков до (п+\уго порядка
включительно в некоторой окрестности точки М0 (х0; у0). Придадим
независимым переменным хну произвольные приращения Ах и Ау
(но так, чтобы точки M(x + Axt у + Ау) находились в указанной
выше окрестности). Положим
x = x0 + tAx, y=y0 + tAyt
где t — новая независимая переменная, изменяющаяся в пределах
от 0 до 1 (при t = 0, x = x0 и у=у0; при t=l, х=х0-\-Ах, у =
= у0-\-Ау). Подставим эти выражения х и у в заданную функцию:
z = f(x, y) = f(x + tAx, y + tAy).
57

Получается сложная функция от t. Обозначим ее через F (f). Тогда
Д/(*о, 0о) = /(*о + Д*. </о + Л</)-/(*о, y0) = F(l)-F(0) = AF(0)
и полученное приращение функции F (t) на участке изменения t
от 0 до 1 можно написать по указанной выше формуле Тейлора
для функции одной переменной (?0 = 0, t0 + At=l, A/=l):
AF(0) = dF(0)+^d2F(0) + ...+^dnF(0) + j^d^F(Q)9
О<0<1. (1)
Перейдем в этой формуле от функции F (t) обратно к функции
f (х, у)\ при выписывании дифференциала dF (0) пользуемся
неизменной формой полного дифференциала (см. гл. XV, § 4), то есть
возможностью написать дифференциал сложной функции F (t) в той
же форме, что и дифференциал функции f(x, у):
dF (0) = f'x (х0, у о) dx + fy (х0, у 0) dy = fx (x0, y0) dt Ах + Ту (*о, У о) dtAy =
= f'x (х0, у о) Л* + /; (х0> у о) Ay = df (x0, у о).
Здесь dx = d(x0-\-tАх) = dtAx = AtAx = Ax, так как dt = At=l
и аналогично dy = Ay.
Поскольку х я у в нашем случае линейно зависят от t9 то для
вычисления дифференциалов высших порядков мы тоже можем
использовать их простейшую форму (см. гл. XV, § 5). Тем самым
мы получим:
d2F (0) = fxx (*0> У о) dx2 + 2fxy (х01 у 0) dxdy + fnyy (х0, у0) dy2 =
= fxx (xQ, Уо) Л*2 + 2fxy (Хо, Уо) Ах Ay + f"yy (*0, yQ) Ay2 = d2f {x, у)\
аналогично d2F (0) = d3f (x0y yQ) и т. д.
Подставив все полученные выражения для дифференциалов
функции F(t) в формулу (1), получим:
А/ (Хо, У о) = df (х0, у 0) + gj- d2f (x0t y0) + --- + ^dnf (xQ, y0) +
+ ^^dn+1f(Xo + ®&x, y + SAy), 0<G<1. (2)
Это и есть формула Тейлора для функций двух переменных.
По внешнему виду она похожа на формулу Тейлора для
функции одной переменной, написанную через дифференциалы. Но на
самом деле, если раскрыть выражения дифференциалов функции
f (x, у) в формуле (2), получим формулу гораздо более
громоздкую, чем формула для функции одной переменной.
Положив в формуле Тейлора (2) /г = 0, получим формулу
Конечных приращений для функций двух
переменных (сравните с формулой конечных приращений для функции
одной переменной): Af (xQ> yQ) = df (xQ + @Ax, y0 + QAy), 0<6<1,
или
f(xQ + Ax9 y0 + Ay) — f(xQ, y0) =
=f'x(x0 + QAx, yQ + @Ay)Ax + fy(x0 + @Axf y0 + QAy)Ay.
58

Из формулы конечных приращений можно сразу сделать
следующий вывод: если, например, в некотором прямоугольнике имеем:
j-=0 и ^ = 0, то функция z = f(x1 у) постоянна в этом
прямоугольнике (все приращения функции оказываются равными нулю).
Из выражения полного дифференциала (см. гл. XV, § 4 (4))
следует и такое утверждение: если полный дифференциал функции
тождественно равен нулю в некоторой области R, то сама
функция постоянна в этой области. Действительно, пусть
df(x, y) = dJ-xdx + d±dy = 0 в Я.
Так как dx и dy— произвольные числа, то можно, например, взять
dt/=0 и dx=l для любой точки области R. Тогда получим: J- =
= 0 в R. Взяв dx = 0 и dy=l во всякой точке области R,
получаем -J- = 0 в R. А тогда в силу сделанного ранее замечания
f(x> У) = const в R.
Формула Тейлора (так же как и для функции одной
переменной) может быть использована для приближенного вычисления
значений функции двух переменных. Например, при п=\ из (2)
получаем:
Af (*o. yo) = df(x0, y0) + 2id2f(x0 + @&x, у0 + вЬу).
Отбрасывая остаточный член, получаем приближенное равенство:
Л/(*о> yo)^df(xQf y0).
(Это приближенное равенство уже встречалось раньше, см. гл. XV,
§ 4, (10).) Погрешность этого приближенного равенства можно
теперь оценить через остаточный член, а именно: абсолютная
погрешность не превосходит числа
max „г | d2f (x, у)\.
х,у LX
При я = 2 получим из формулы Тейлора приближенную формулу:
Д/(*о, yo)^df(x0, y0) + 2[d2f(x0, t/o),
откуда видно, что абсолютная погрешность не превосходит числа
max^ jd3/(A:, y)\.
х, у
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Укажите, в каком месте вывода формулы Тейлора (2) мы воспользовались
предположенной непрерывностью частных производных функции / (х, у).
2. Вычислите приближенно приращение функции z = ху'3 — 2х2 + Ау в точке
M(lt 1), вызванное приращениями А^ = 02012 Аг/ = — 0Х01.
59

Проделайте вычисления по двум указанным в тексте приближенным
формулам. Отв. —0,1; —0,1002.
3. Напишите первые три члена разложения z = e2x sinSy по формуле
Тейлора (2) при х0 = г/о = 0.
Отв. Дг = ЗД*/ + 6ДлгДг/ + 6Д*2Дг/ — -| byz + \\d*z(Q).
§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ К ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
1. Пусть кривая на плоскости задана неявным уравнением
F(x, t/) = 0. Для того чтобы написать уравнение касательной к этой
кривой в заданной точке M0(xQi г/0), надо найти угловой
коэффициент касательной в этой точке, то есть производную от ординаты
по абсциссе, вычисленную при х = х0. Ордината в данном случае
задана как неявная функция абсциссы, поэтому производную надо
искать по формуле (8) из § 6 главы XV:
F' (х0, г/о)
После этого уравнение касательной можно написать как
уравнение прямой с известным угловым коэффициентом, проходящей
через точку М0(х0, у0):
F'x (*о, Уо) . ч
Можно это уравнение написать в более симметричной форме:
F'x{xQ, y0)(x—xQ) + Fy(x09 Уо){у—у0) = 0. (1)
Это уравнение определяет касательную к данной кривой
в точке М0 и в том случае, когда Fy(x0, у0) = 0, но Fx(xQ, у0)ф0.
Если же Fx(x0, y0) = Fy(xQ, r/0) = 0, то (как уже упоминалось § 6,
гл. XV) точка М0 называется особой точкой кривой F (х, у) = 0
и в такой же точке уравнение (1) теряет смысл. Касательная в
особой точке может не существовать.
Пример 1. Написать уравнение касательной к гиперболе,
заданной уравнением 5л:2 = 12ху—22х— 12*/— 19 = 0, вточкеЛЫО; — -^j.
Находим Fx = 10х+ 12*/—22, ^= 12л:— 12, отсюда Fx(x0, yQ) =
= — 41, Fy(x0i yQ) = —12.
Таким образом, получаем уравнение касательной:
— 41x—l2(y + ^j = 09 или 41л:+12*/+19 = 0.
2. Пусть на некоторой линии уровня f (х, у) = с0. Возьмем на
этой линии уровня точку А10(*о> Уо) и напишем уравнение
касательной к линии уровня в точке М0 по формуле (1):
Гх(Хо, Уо)(х—х0) + !У(х0, у0)(у—Уо) = 0.
Отсюда найдем угловой коэффициент этой касательной:
_ Гх{хь Уо)
60

Так как по определению градиента его проекция на ось ОХ равна
f'x(Xo, Уо) и проекция на ось 0Y равна f'y(x0, у0), то тангенс угла,
который градиент составляет с положительным направлением оси
ОХ, равен:
, fy(x0, Уо)
К=т-
К (*о. Уо) *
Из формул для k и kx видно, что kkx = — 1, то есть градиент
перпендикулярен к касательной к линии уровня в точке касания М0.
Итак, градиент функции f(x, у) в точке плоскости М0 имеет
направление нормали к линии уровня, проходящей через эту точку,
и по величине равен производной функции f no направлению этой
нормали.
Упражнения
1. Напишите уравнение касательной и нормали к линии х*+у* — х2у3=9
в точке (1, 2). Отв. х—у+\=0, х+у — 3=0.
у 2
2. Найдите: а) линии уровня функции z = 2 1 и б) направление градиента
X"-f- 1
этой функции в точке М (0, 3).
Отв. а) параболы у — (2 + с) = сх2\ б) по оси OY (с=1).
§ 3. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Пусть поверхность задана уравнением
F(x, у, z) = Q (в частности, z = f(x, у)) (1)
и дана точка М0(х0, yQ, z0) на ней. Проведем на поверхности
какую-нибудь кривую L через точку М0 (рис. 10). Кривая L, как
кривая в пространстве, имеет
следующие параметрические уравнения:
x = x(t), y = y(t), z = z(t). (2)
Так как кривая L лежит на
заданной поверхности, то координаты точек
этой кривой удовлетворяют уравнению
поверхности. Поэтому при подстановке
в уравнение поверхности (1) вместо х,
у и z их выражений (2) получаем
тождество относительно t:
F[*V)> 0(0. *(/)] = 0. (3)
Z\
О
1
<@>
1 *»
Рис. 10
Следовательно, равен нулю и полный
дифференциал левой части (3) при всех
t, sl его в силу неизменной формы полного дифференциала можно
написать в следующем виде:
F'x(x0, у0, z0)dx + Fy(x0, y0, ?0)dy + F'z(x0, yQ, zo)dz = 0, (4)
где dx = x' (t) dt, dy = y' (t) dt, dz = zf (t) dt. Таким образом, числа dx,
dy и dz пропорциональны знаменателям в уравнениях касательной
61

к кривой L в точке М0 (из гл. XIII тома I известно, что касатель-
ная к кривой (2) в точке М0 задается уравнениями 7~(*°= ~(^° =
= ~ \°) • Но знаменатели в уравнениях прямой линии
пропорциональны, как известно из аналитической геометрии, направляющим
косинусам этой прямой. Следовательно, dx, dy и dz
пропорциональны числам cos a, cos p и cosy, где а, р и у—углы между
проведенной к L в точке М0 касательной и положительными
направлениями координатных осей.
Тогда (4) можно переписать в следующем виде:
F'x(xQ, у о, zQ) cos a + Fy(x0, у0, zQ) cos р + F'z (х0, y0, z0)cosy = 0. (5)
Равенство (5), как известно из аналитической геометрии, есть
условие перпендикулярности двух прямых в пространстве: одна из
прямых определяется направляющими косинусами cos a, cos p и
cosy, то есть является касательной к кривой L в точке М0, авто-
рая прямая определяется числами
Fx(x0, у о, z0), Fy(xQ, у о, zQ), F'z(x0, у0, zQ) (6)
(они пропорциональны направляющим косинусам этой прямой). Это
последнее направление не зависит от выбора кривой L на
поверхности, а определяется лишь заданием поверхности и точки М0 на
ней. Если проводить разные кривые L на поверхности через УИ0,
то равенство (5) будет каждый раз выражать условие
перпендикулярности касательной к взятой кривой и одного и того же
направления, определяемого числами (6). Следовательно, касательные
в М0 ко всем возможным кривым, проведенным на поверхности
через М0, лежат в одной и той же плоскости. Эта плоскость и
называется касательной плоскостью к поверхности в точке М0.
Определение. Касательной плоскостью к поверхности
в точке М0 называется плоскость, в которой находятся
касательные, проведенные в точке М0 ко всем возможным кривым, лежащим
на поверхности и проходящим через точку М0.
Уравнение всякой плоскости, проходящей через точку М0, имеет
вид:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0,
где числа А, В и С пропорциональны направляющим косинусам
перпендикуляра к плоскости. В силу сказанного выше, в качестве
чисел А, В и С в уравнении касательной плоскости можно взять
числа (6) и уравнение касательной плоскости к поверхности (1)
в точйе М0 будет иметь вид:
Fx(xQ, у о, z0)(X—x0) + Fy(x09 у 0, z0)(Y — y0) +
+ F'z(Xq, У о, z0)(Z — z0) = 0. (7)
62

Если поверхность задана явным уравнением z=f(x, у), то его
можно переписать в виде f(x, у) — г = 0. Сравнивая с (1), имеем:
F(x, У, z) = f(x, у) —г. Поэтому Fx = f'x, Fy = fy и F'z = — l.
Уравнение (7) в этом случае будет иметь вид:
М*о. Уо)(Х-Хо) + Гу(х0, yo)(Y-yo)-(Z-z0) = 0. (8)
Направление, определяемое числами (6), то есть направление,
перпендикулярное к касательной плоскости в М0, называется
направлением нормали к поверхности в точке М0. Уравнение
нормали в М0 имеет следующий вид:
X—*o Y—Уо Z — zQ
__ у f
Fx (*0. Уо> zo) рУ (*о> Уоу г0) Fz (х0. У* *о)
Если поверхность задана явным уравнением z = f(x, у), то
уравнение нормали принимает вид:
X— хо __ У — У о __ % — zo /q\
/* (*о. #о) ^ (*о. Уо) —1 * * '
Отсюда можно найти выражения для направляющих косинусов
нормали:
cosa = —г р -, cosB= -JL—-— cosv= r "~ :»
где p = fx(x0, y0) и q = fy(x0, y0).
Пример 1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке
М0(\, 1, 2) к поверхности параболоида вращения г = х2 + у2.
Так как уравнение параболоида вращения решено относительно г, то
пользуемся формулой (8) для уравнения касательной плоскости:
Гх-2х, Гу-2у, fx(l, 1) = 2, fy{\, 1) = 2,
тогда 2(Х —1) + 2(У —1) —(Z—2) = 0, или
2X + 2Y — Z — 2=0.
Уравнение нормали пишем в виде (9): —~— = ¦—п— = « .
Используя уравнение касательной плоскости (8), можно придать
геометрический смысл понятию полного дифференциала. Пусть
Мо (*о> */о» 20) — исходная точка, в которой вычисляется полный
дифференциал функции z = f(x, у). Приращения независимых
переменных, для которых вычисляется дифференциал, обозначим так:
х — х0 = Дл:, у—у0 = Ьу. Тогда
dz = f'x(x0, Уо)(х — х0) + Гу(х0, Уо)(У — Уо)-
Сопоставляя (8) с этим выражением, видим, что уравнение
касательной плоскости можно записать в виде
dz — (Z — z0) = 0, или dz = Z — zQ. (10)
63

Равенство (10) дает следующий
геометрический смысл полного
дифференциала: полный
дифференциал функции z = f (xy у),
вычисленный в точке М0 для
приращений Ах и Ау независимых
переменных, совпадает с приращением
аппликаты точки касательной плоскости
в точке М0 к поверхности z = f (x, у),
соответствующим взятым
приращениям Ах и Ау (сравните с
геометрическим смыслом дифференциала функции
одной переменной, см. том I, гл. V, §8).
На рисунке 11 через точку
Mo(*o» f/o> z0) на поверхности
проведена касательная плоскость к поверхности. Точка Мг (х0 + Ах,
у0 + Ау, z0 + Az) также лежит на поверхности (Дл:<0, Аг/>0,
Az>0). Линия М0С параллельна Л В, и поэтому BC = AM0=z0.
Следовательно, CM1=z—z0 = Az. Точка D является точкой встречи
линии BD с касательной плоскостью, прямая MQD лежит в касательной
плоскости. Следовательно, в соответствии со сформулированным
геометрическим истолкованием dz можно сказать, что CD=dz. Для
поверхности, изображенной на рисунке, имеем: dz> Дг>0. Длина отрезка
M±D в данном случае равна dz—Az = \aAx + $Ay\ (см. гл. XV, § 4,
формула (5)).
Рис. И
Вопросы для самопроверки и упражнения
В упражнениях 1—3 напишите уравнения касательной плоскости и нормали
к указанным поверхностям.
х2 у2
1. К эллипсоиду ~ + y + -q-=1 в точке М0(1; *-тг", 2
]/ТГ
Отв. 9х + 6]Л1 y + 8z — 36 = 0,
2х2 у2
2. К эллиптическому параболоиду z = — + ^г в точке М0
о 4
Отв. 4*—3# + 3z + 5 = 0,
л— 1 Gy — Yl\ z — 2
9 ~ 36]ЛТ ~~ 8 '
х+1 у — 2 3z — 5
4 3 9 *
3. К гиперболическому параболоиду у2—#2 = z в точке М0 (—1; 2; 3).
х+\ у —2 2 — 3
Отв. 2х+4у — г — 3 = 0,
4 —1
х2 и2
4. Показать, что уравнение касательной плоскости к эллипсоиду — + ^ +
*о*
+ ^-= 1 в точке М0 (х0, у0, z0) имеет вид: -^ + ^f + -- = 1.
М
62
z0z
5. Повторите рисунок 11 для вогнутой поверхности.
64

§ 4. СЕМЕЙСТВО КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ. ОГИБАЮЩАЯ
И ДИСКРИМИНАНТНАЯ КРИВЫЕ
Как мы знаем, уравнение F (х, у, с) = 0 при постоянном с
определяет некоторую линию на плоскости ОХУ. Если же с считать
величиной переменной, то различным ее значениям будут
соответствовать различные кривые. Следовательно, можно сказать, что
уравнение
F(x, у, с) = 0 (1)
есть уравнение семейства плоских кривых с одним параметром с.
Естественно поставить вопрос, существует ли для данного
семейства кривых такая кривая, которая касалась бы всех кривых этого
семейства*. Такую кривую, если она существует и вся целиком
состоит ИчЗ точек касания, называют огибающей данного семейства.
Найдем уравнения, из которых огибающая может быть
определена. Предположим, что огибающая семейства (1) существует. Это
значит, что, какое бы значение с из области его изменения мы ни
взяли, соответствующая ему кривая семейства касается огибающей
в некоторой точке (*, у). Для простоты "будем считать, что каждая
из кривых семейства касается огибающей только в одной точке.
Тогда каждому значению параметра с соответствует одна
определенная точка огибающей, именно та, в которой огибающая касается
кривой семейства (1), определяемой данным значением с. Поэтому
координаты х и у точек огибающей можно представить как
функции параметра с:
* = ф(0> У = Ъ(с). (2)
При этом для любого значения с, очевидно, имеет место тождество
F(<p(c), ф(с), с) = 0. (3)
Угловой коэффициент касательной к огибающей определяется
из (2) по формуле:
* = ?=?• (4)
Угловой коэффициент касательной к кривой семейства (1)
получим, дифференцируя (1) по х (при постоянном с):
Fx + Fyyx = 0.
Отсюда
A = jfc = -J?. (5)
у
Так как в точке касания (х, у) касательная к огибающей
должна быть одновременно касательной к соответствующей кривой
семейства (1), то их угловые коэффициенты должны совпадать.
Следовательно, из (4) и (5) получим:
Ус F'x
= - или Fxxc + Fyyc = 0. (6)
хс Гу
* Говорят, что две кривые, имеющие общую точку, касаются в этой точке,
если они имеют в этой точке общую касательную.
65

С другой стороны, продифференцировав тождество (3) по с
(рассматривая левую часть как сложную функцию), получим:-
FxXc + Fyy'c + Fe. 1=0. (7)
Сравнивая (6) и (7), заключаем, что F'c = 0.
Таким образом, для того чтобы некоторая кривая (2) была
огибающей семейства кривых (1), необходимо, чтобы координаты каждой
точки этой кривой удовлетворяли одновременно уравнениям:
F(x, у, с) = 0, )
Fc(x9 у, с) = 0.1 (б}
Из этой системы определяются параметрические уравнения
огибающей (2).
Установим теперь обратный результат: если уравнения (8)
определяют некоторую кривую вида (2) (без особых точек) и если на
этой кривой F'x и F'y не обращаются в нуль одновременно, то есть
на ней нет особых точек кривых семейства (1), то эта кривая —
огибающая.
Действительно, подставляя координаты точек кривой (2) в
первое уравнение системы (8), получим тождество (3). Дифференцируя
его по с, получим (7). Принимая во внимание второе уравнение
системы (8), заключаем, что Fxx'c + Fyyc = 0. Это уравнение
справедливо для всех точек кривой (2). Из него получаем:
*с FV
Слева имеем выражение для коэффициента касательной к
кривой (2) в некоторой точке (х, у); справа — выражение для
коэффициента касательной в этой же точке к соответствующей кривой
семейства (1). Оказалось, что касательные в точке (х, у) совпадают,
и так как (х, у) — произвольная точка кривой (2), то последняя
есть огибающая семейства (1).
Геометрическое место точек (х, у), удовлетворяющих
условиям (8), называется дискриминантной кривой для семейства (1)*.
Очевидно, огибающие являются частным случаем дискриминантных
кривых. Однако в состав дискриминантной кривой могут входить
еще и особые точки кривых семейства (1). Иногда дискриминант-
ная кривая распадается на несколько линий, некоторые из
которых могут быть огибающими.
Может оказаться, что система (8) определяет не кривую, а лишь
отдельные точки.
В качестве примера рассмотрим семейство окружностей х2+у2 — 2сх — а2 = 0,
где с —параметр, а— фиксированная величина. Из системы уравнений
F(x, у, с) = х2 + у2 — 2сх — а2 = 0, 1
F'c(x9 у, с)=—2* = 0, /
* Точнее, если условия (8) вообще определяют некоторую кривую, то эта
кривая называется дискриминантной кривой.
66

получаем, что * = 0, у—±. а. Это значит,
что дискриминантная кривая выродилась
в две точки (0, — а) и (0, а). Все
окружности, составляющие семейство, проходят
через эти две точки.
Заметим, наконец, что система
(8) может оказаться даже
несовместной. В частности, это будет,
когда уравнение (1) разрешено
относительно с, c = f(x, у). Тогда
F(x, у, c) = f(x, у) —с, Fc = — l
и второе уравнение из (8) не
удов летвор яется.
Пример 1. Найти огибающую
семейства кривых (х — с)2 + у2 = 4с.
Данное уравнение определяет
семейство окружностей с центрами в точках
(су 0) и радиусами 2 Ус. Имеем:
F(x, у, с) = (х-с)2+у2-4с,
F'e(xf у, с) = —2(*-с)-4.
Из системы уравнений
(х — с)2 + у2 — 4с = 0, ^
— 2(х-с)-4 = 0 )
исключаем с. Получим: у2 = 4х-\-4. Это
и есть уравнение дискриминантной
кривой; так как на этой кривой F'x = 2 (х — с)
и F = 2у одновременно не обращаются
в нуль, то у2 = 4х-\-4 есть огибающая
данного семейства (рис. 12).
Пример 2. Найти огибающую-
семейства кривых (х — с)2 — у3 — 0.
В данном случае F (х, уу с) =
=(Х-С)2_уз, F-c(Xt Уу с)=—2(х-с).
Решая систему уравнений
(х — с)2-уз = 0, \
х — с = 0, ]
находим, что х = с, у = 0. Поскольку с
может принимать любые вещественные
значения, то дискриминантная кривая есть
вся ось ОХ. Производные F'x = 2(x—с)
и F' = — Ъу2 во всех точках оси ОХ
равны нулю. Следовательно, все точки
оси ОХ особые и, как видно из рисунка
13, ось ОХ не является огибающей.
Пример 3. Лестница длиной /,
прислоненная к отвесной стене, падает,
скользя по полу (рис. 14). Найти
огибающую всех возможных ее положений.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Так как ОА —
= /соБф, OB = l sin ф, то уравнение прямой в отрезках на осях примет вид:
-=1,
/ sin ф / cos ф
или, освобождаясь от знаменателя, х cos <р+у sin ф = / sin ф cos ф. Очевидно,
каждому значению ф (ф — параметр) соответствует своя прямая, то есть
определенное положение лестницы. Имеем:
F (*> У> ф) = *со^<р + */sin q> —/ sin cpxoscp,
¦^Ф (ху У у ф) = — # sin ф+# cos ф — / cos2 ф + / sin2 ф.
Решая систему уравнений
х cos ф + у sin ф — / sin ф cos ф = 0.
cos ф = 0. ^
т2ф = 0, /
— х sin ф+у cos ф — / cos2 ф + / sin
получим уравнение дискриминантной кривой в параметрическом виде
х = I sin3 ф, у = / cos3 ф. (9)
Так как F'x = cos<p и F" = sm<p одновременно в нуль не обращаются, то
дискриминантная кривая есть огибающая. Если в (9) исключить параметр ф, то
2_ 2_ 2_
получим уравнение огибающей в декартовых координатах: х% + */3 +/3 (эта
кривая называется астроидой, см. том I, гл. V, § 7, пример 2).
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. В каком случае дискриминантная кривая является огибающей?
2. Из семейства кривых, имеющего огибающую, выделена определенная
кривая. Можно ли найти точку, в которой эта кривая касается огибающей? Как
это сделать?
3. Найти огибающую для семейства кривых у = с(х — с)2.
Убедиться на этом примере, что огибающая семейства кривых может быть одной
4
из кривых семейства. Построить график. Отв. у = — х3 и г/=0.
с2 х4
4. Найти огибающую для семейства кривых у = сх2—»-. Отв. у—-ту.
5. Найти дискриминантную кривую для семейства кривых (у — с)2 — (х—с)3.
4
Отв. у=х—1г= (огибающая) и у = х (геометрическое место особых точек).
6. Найти дискриминантную кривую для семейства кривых у2 — (*+c)3 = 0.
Отв. Ось ОХ (огибающая и в то же время геометрическое место особых
точек).
7. Найти дискриминантную кривую для семейства кривых уА—у2 + (х—с)2=0.
Отв. Прямые г/=±1 (огибающие) и прямая у = 0 (геометрическое место
особых точек).
§ 5. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Для функций нескольких переменных термины «максимум
функции» и «минимум функции» имеют тот же смысл, что и для
функций одной переменной, а именно: этими терминами обозначается
наибольшее или соответственно наименьшее значение функции
в точке М0 по сравнению со значениями функции в точках,
соседних с М0. Дадим строгое определение.
68

Определение 1. Если в некоторой окрестности (х0 — б, х0 + б;
Уо—Ь\ Уо + &') точки М0(х09 Уо) выполняется неравенство f (x0, у0)>
>/(*>#) (f (*о> Уо)<!(х> У))', ™>о говорят, что функция z = f(x, у)
имеет максимум (минимум) в точке М0.
Теорема 1. (Необходимые условия экстремума.)
Если дифференцируемая функция z=f(x, у) имеет
экстремум в точке М0, то обе частные производные функции
f(x> У) в этой точке равны нулю.
Доказательство. Предположим для определенности, что
f(x, у) имеет максимум в точке М0(х0, у0) и, следовательно, в
некоторой окрестности (х0 — б, х0 + б; у0 — б', у0 + &') точки М0
выполняется неравенство
f(x0, yo)>f(x, У). (1)
Рассмотрим только те точки окрестности, для которых y=yQ.
Неравенство (1) в этих точках принимает вид: f (x0, yo)>f(x,y0).
Оно указывает на то, что дифференцируемая функция одной
переменной f (х, уо) имеет максимум при х = х0. Как известно из
теории экстремумов функции одной переменной, в таком случае при
х = х0 производная функции должна обращаться в нуль (см. том I,
гл. VII, § 2). Но обычная производная /' (х, у0), функции одной
переменной f(x, у), вычисленная при х = х0, совпадает с частной
производной по х функции двух переменных / (х, у), вычисленной
в точке М0 (х0; у0). Поэтому получаем:
Гх(х0, у0) = 0. (2)
Теперь рассмотрим только те точки окрестности, для которых
х = х0; неравенство (1) принимает вид: f (x0y y0)>f(x0 у), и
указывает на то, что функция одной переменной f (xQ, у) имеет
максимум при у=у0. Проводя те же рассуждения, что и выше,
убеждаемся в том, что
М*о. Уо) = 0- (3)
Равенства (2) и (3) доказывают теорему.
Замечание 1. Необходимые условия экстремума могут быть
сформулированы в следующем виде: если в точке М0(х0, у0)
дифференцируемая функция z = f(x, у) имеет экстремум, то полный
дифференциал функции f (х, у), вычисленный в точке М0г равен нулю.
Покажем, что эта формулировка равносильна той, которая была
дана в теореме 1.
1) Если даны равенства (2) и (3), то из формулы (4) § 4 главы
XV следует, что df (x0y y0) = fx(x0, y0) dx + f'y(xQf y0)dy=0.
2) Пусть дано равенство df (xQ, у0) = 0. Так как можно написать
0 = 0dx-\-0-dy, получаем, что fx(x0, Уо) = 0 и fy(x0j у0) = 0. (см.
замечание в § 4 гл. XV).
Замечание 2. Как видно из уравнения касательной плоскости
(8) из § 3, уравнение касательной плоскости в той точке графика
дифференцируемой функции, в которой она имеет экстремум, имеет
69

вид: Z = z0. Таким образом,
касательная плоскость в такой
точке параллельна плоскости
OXY (это заключение можно
сделать также, исходя просто
из геометрического смысла
полного дифференциала).
Замечание 3. Точки, в
которых обе частные
производные функции z ===/(*, у)
обращаются в нуль, называются (так же
как и в случае функции
одной переменной) стационарными
точками.
Однако дифференцируемая
Рис. 15 функция может и не иметь
экстремума в стационарной
точке (так же как и в случае функций одной переменной). Иначе говоря,
необходимые условия экстремума, данные в теореме 1, не являются
условиями, достаточными для наличия экстремума у функции
в точке М0. Это подтверждает следующий пример.
Пример 1. Пусть дана дифференцируемая функция
z=x2— у2.
Найдем ее стационарные точки:
zx = 2x, Zy = — 2y, z'x = Zy = 0 при x = y = 0.
Итак, найдена стационарная точка М0 (0, 0). Значение самой
функции z в точке М0 равно 0, как видно из (4). Но в сколь угодно
малой окрестности точки М0 функция принимает как положительные, так
и отрицательные значения: действительно, если |*|<1#1» то г<0;
если же | х | > | у |, то z > 0. Следовательно, в стационарной точке М0
функция (4) экстремума не имеет. Графиком функции (4) является
гиперболический параболоид (рис. 15).
Условия, достаточные для наличия экстремума у
дифференцируемой функции двух переменных в стационарной точке,
формулируются следующим образом.
Если в стационарной точке М0 (х0, у0) выполняется неравенство
Г™ (*о, Уо) Пи (*о, Уо) - [Пу (х09 г/о)]2 > 0, (5)
то функция z = f(x, у) имеет в М0 экстремум:
минимум в случае, когда \"кх (х0, у0)>0, и
максимум, когда fxx (х0, у0) < 0.
Доказательство этого утверждения не приводится. Его можно
прочитать, например, в [1], гл. IX, § 3, п. 152.
Пример 2. Найти экстремумы функции г = л:2 + г/2+1.
Найдем стационарные точки: zx = 2xy z'y = 2y, zi = 0 при # = 0, zy = 0 при
у=0. Итак, есть одна стационарная точка М0 (0, 0). Проверим, выполняется ли
неравенство (5): их (0, 0) = 2, z'yy (0,0) =2, z'xy {0, 0) = 0; 2-2 —0>0, то есть
70

неравенство (5) выполнено. Так как Zxx (0, 0)>0, то в точке М0 функция имеет
минимум и в этой точке 2=1.
Графиком рассмотренной функции является параболоид вращения.
Наименьшая аппликата поверхности (минимум z) z=l при х = 0 и г/ = 0. Касательная
плоскость в этой точке горизонтальна и ее уравнение z=l. (График функции
нарисуйте самостоятельно.)
Если не ограничиваться рассмотрением только
дифференцируемых функций, то необходимые условия экстремума придется
дополнить. Ссылаясь на необходимые условия экстремума функции одной
переменной, получим:
если функция / (#, у) имеет экстремум в точке М0, то
а) или обе частные производные равны нулю в точке М0,
б) или хотя бы одна из частных производных не существует
в точке М0.
Вопросы для самопроверка и упражнения
Найдите экстремумы функций, указанных в упражнениях 1 — 3.
1. z= — х2 — ху — у2-\-х-\-у. Отв. Максимум в точке (-~-, -~-).
2. г = *3 + #3 — Ъху. Отв. Минимум в точке (1, 1).
3. z = x2-\-xy + y2-\ 1 (х>0, у>0). Отв. Минимум в точке (rF^» ГТ^")-
4. Проверьте, что функция z = х3у2 (5 — х — у) не имеет экстремума в
стационарной точке (0, 0) (см. решение примера 1).
5. Сформулируйте необходимые условия экстремума функции трех переменных
и докажите их справедливость (по аналогии с доказательством теоремы 1).
§ 6. НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ОБЛАСТИ
Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области (D) задана
дифференцируемая функция z = f(x, у) и требуется найти
наибольшее и наименьшее значения этой функции в области (D) (они
достигаются в силу теоремы Вейерштрасса, см. гл. XIV, § 3, теорему 4).
Так как функция г = /(х, у) дифференцируема в области (D), то
наибольшее и наименьшее значения функции во внутренних точках
области могут достигаться только в точках экстремума. Поэтому
внутри области (D) нужно найти все точки, в которых возможен
экстремум. Затем, не выясняя, имеет ли функция f (х, у) в этих
точках экстремумы, вычислить значения функции во всех найденных
точках. Далее следует принять во внимание, что функция может
принимать наибольшее и наименьшее значения и на границе области
(D). Поэтому нужно отдельно найти наибольшее и наименьшее
значения функции на границе области. При этом можно использовать
уравнения границы области, что позволит уменьшить число
независимых переменных у функции и свести задачу к исследованию
71

функции одной переменной (на примере
ниже будет показано, как это делать).
Сравнивая все полученные таким образом
значения функции, выбираем из них
наибольшее и наименьшее.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее
значения функции z = *3 + 6*/ (у — х) в замкнутой
области, заданной неравенствами 0^у^х^2.
Для того чтобы начертить эту область,
расчленим неравенство на отдельные части; точки
плоскости, ординаты которых удовлетворяют
неравенству О^у^х, расположены выше оси ОХ и
р ig под биссектрисой у = х\ точки плоскости, абсциссы
которых удовлетворяют неравенству х^.2,
расположены левее вертикальной прямой х = 2. Точки
плоскости, абсциссы и ординаты которых одновременно удовлетворяют
указанным выше неравенствам, заполняют прямоугольный треугольник (рис. 16) вместе
с его границей. Будем искать стационарные точки данной функции внутри
треугольника: г^ = 3;с2 — 6г/, З*2 — 6# = 0; z'y=\2y — 6*; 12г/ — 6д: = 0; у = у; 6х2 —
— 6# = 0, *! = (), х0=1; #1 = 0, r/0=-jr-. Итак, найдена одна стационарная точка
п
О
\
\м,
' оМ0
<
Л
Ь >
м{
(1, -=-) внутри области. Подсчитаем значение функции в этой точке: z0= —^-
Для исследования изменения функции на границе данной области рассмотрим
отдельно каждую из трех линий, образующих границу.
И ее ледов а н и е н а линии M±M2. Уравнение этой линии: г/ = 0. Так
как сейчас нас интересует изменение заданной функции только на линии MiM2,
то в выражении для функции z можно положить г/ = 0, тогда получим: z = x3.
Так как х растет от 0 (точка Mi) до 2 (точка М2) и х3 при этом тоже растет,
то достаточно сосчитать самое маленькое значение функции на линии MiM2,
то есть значение в точке Mi(zi = 0) и самое большое на линии М±М2 значение
функции в точке М2 (z2 — 8).
Исследование на линии М2М3. Уравнение этой линии: х = 2, В
выражении для функции z полагаем х = 2\ тогда получим: z = 8-f 6#2 — 12*/, то есть
на линии М2М3 функция z обратилась в квадратичную функцию. Находим для
этой квадратичной функции стационарные точки: z' = \2y—12, z' = 0 при г/ = 1.
Таким образом, найдена еще точка М4 (2, 1). Вычисляем значение функции
в М4 (z4 = 2). Находим и значение функции в точке М3 (конец промежутка изменения
у), так как функция одной переменной может достигать наибольшего или
наименьшего значения на концах того промежутка, в котором она изменяется.
Получаем: z3 = 8; значение на другом конце промежутка изменения у, то есть
в точке М2, уже было вычислено раньше.
Исследование на линии М1М3. Уравнение этой линии: у*=х.
В выражении для функции z полагаем у = х\ тогда получаем: z = *3. Так как это
возрастающая функция, то нужно сосчитать ее значения только в начале и
в конце промежутка изменения х} то есть в точках Мг и М2. Эти значения
функции уже были вычислены.
Сравнивая теперь между собой все пять вычисленных значений функции,
видим, что самое большое из них 8 и самое маленькое —~-. Итак, наибольшее
значение функции z = 8 в заданной области достигается в точках М2 и М3;
наименьшее значение функции г =—-^ достигается в точке MQl
72

Пример 2. Указать размеры
прямоугольного параллелепипеда наибольшего
возможного объема, вписанного в прямой круговой
конус с радиусом основания R и высотой Н.
Обозначим размеры основания
параллелепипеда через х и у и высоту через г. Тогда
объем V = xyz. Используя то, что
параллелепипед вписан в данный конус, можно найти
соотношение между х, (/, г, Я и R.
Действительно, из подобия треугольников ОАВ и CAD
(рис. 17) находим:
2(H-z) = Н
V*2+y2 ~ R'
(1)
н
откуда z = H — ^-5yrx2-\-y2. Подставляя выра-
ZR
жение для z в формулу объема, получаем
объем параллелепипеда как функцию двух
переменных х и у:
Н
V = ^xy(2R-VxZ + y*).
(2)
Рис. 17
Из рисунка 17 видно, что х и у должны быть такими, чтобы всегда выполнялось
неравенство
4" (*2+У2) ^ Я2. или *2 + У2 ^ 4#*.
(3)
Таким образом, надо найти наибольшее значение функции (2) в замкнутой
области (3) (круг радиуса 2R).
Находим стационарные точки внутри области (3):
V'x = — y WV'^2Ty2-2x2-y2
2/Г Ух* + У2
, Н ^2RVW+If2-x2--2y2
V U — 7 v——
'У*
'2R*
Vx2+y2
откуда Vx = 0 и V'y = 0 при х = у, то есть при 2RxY2 — Ъх2 х = у =
2V?,
(Значения х — 0 и у = 0 не рассматриваем, так как в этом случае т/=0.)
Н 8
При этом по (1) имеем: z = -^. Объем при таких размерах равен:!/ = ^=7?2#.
Исследуем функцию (2) на границе области (3): если x2 + y2 = 4R2, то по (2)
Н
V = 0. Следовательно, полученные выше размеры х = у = -
дают действительно наибольший возможный объем.
R и z =
Упражнения
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 2 = -~(1 - ~Л
в области х^>0, г/^0, -^- + -^-^1.
Отв. Наибольшее значение z-
г = 0 на всей границе.
в точке
i.T,
наименьшее значение
73

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z = x2y (х-\~у — 1)
В ОблаСТИ 0^*^ 1, O^y^l.
Отв. Наибольшее значение г=1 в точке (1, 1), наименьшее значение
1 /1 Г
2=~64ВТОЧКе V2' 4.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции упражнения 1
в области 0=^*^3, 0^г/^4.
Отв. Наибольшее значение z=-q- в точке (1, -^-], наименьшее значение
2 = —6 в точке (3, 4).
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции г = Зх2 + Зу2 — 2х—
— 2у-\-2 в области х^О, у^0у х-\-у^\.
Отв. Наибольшее значение 2 = 3 в точке (1, 0) и (0, 1), наименьшее значение
4 /1 Г
г = увточке V3, з
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г = е~*2—уг (2д:2 + Зг/2)
в области, заданной неравенством х2-\-у2-^\.
3
Отв. Наименьшее значение г = 0 в точке (0, 0), наибольшее значение z ——
в точках (0, — 1) и (0, 1).
6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г = х*-\-у* — 2х2-\-Ьху—
— 2г/2 в области, заданной неравенствами O^jc^I, 0^r/^l.
Отв. Наименьшее значение г =—1 в точках (0, 1) и (1, 0), наибольшее
значение 2 = 2 в точке (1, 1).
7. Разделить данное положительное число а на 3 части так, чтобы их
произведение было наибольшим. Отв. а = —+ -^- + —.
о о о
8. Для каких значений трех величин х, у, г сумма x-\-y-\~z достигает своего
наименьшего значения, если х, у} z не отрицательны и xyz = const?
Отв. x = y = z = \/rc •
9. Найти размеры открытого прямоугольного ящика вместимостью 13 м3 так,
чтобы его поверхность была наименьшей. Отв. л; = г/ = уЛ3, г = |/~3.
10. Найти- размеры прямоугольного закрытого ящика наибольшего объема
при данной полной поверхности 5=10 м2 Отв. Куб со сторонами"!/ -~-.
§ 7. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ
Рассмотрим в этом параграфе дифференцируемую функцию трех
переменных u = f(x, у, z) и предположим, что еще дано некоторое
соотношение, связывающее переменные х, у, z:
Ф(х, у, z) = 0 (1)
(будем предполагать, что функция ф(д:, у, z) также
дифференцируема). Назовем это соотношение уравнением связи.
Определение 1. Пусть дана точка M0(x0i y0, zQ),
координаты которой удовлетворяют уравнению связи (1). Если во всех тех
точках М(х, y,z) некоторой окрестности М0, координаты
которых также удовлетворяют уравнению связи (1), выполняется
неравенство f(xQi y0, z0)>f(xi у, z), (f(x0i у0, z0)<f(xt у, г)), то
говорят, что функция u=f(x, у, г) имеет относительный
максимум (относительный минимум) в точке М0.
74

Экстремум функции u = f(x, yy z) ищется в этом случае только
на поверхности ф(л;, у, z) = 0, так как рассматриваются только те
точки пространства, которые лежат на этой поверхности.
Если из уравнения связи можно найти выражение для z через
х и у, то можно подставить это выражение в функцию u=f(x, у, z)
вместо z и превратить эту функцию трех переменных в сложную
функцию двух переменных:
" = f [*. У> ё(х> У)]- (2)
Тогда, очевидно, относительный экстремум функции u — f(x, г/, z)
совпадает с обычным экстремумом сложной функции (2). В
примере 2 (§ 6) именно так и было сделано: требовалось найти
минимум функции трех переменных V=xyz при наличии
дополнительного условия (1) (уравнения связи). Из этого уравнения связи
было найдено выражение z через х и у и подставлено в функцию V,
которая обратилась в функцию двух переменных. После этого
обычным путем находились стационарные точки этой функции.
Однако иногда этот прием отыскания относительного
экстремума нежелателен, так как получается очень громоздкая сложная
функция (2), а иногда и просто невозможно найти фактически z из
уравнения связи. В таких случаях можно находить относительный
экстремум другим путем, так называемым методом множителей Лагранжа.
Этот метод состоит в следующем. Пусть даны функция u = f (x, у, z)
и уравнение связи ф(л:, у, z) = 0 и пусть известно, что в некоторой
точке М0(х0, Уо> zo) функция u = f(x, у, z) имеет экстремум.
Допустим, что уравнение связи определяет z = z(x, у) как неявную
функцию х и г/, и будем в функции u = f(x, у, г) подразумевать
под z именно эту неявную функцию. Тогда, как было указано
выше, сложная функция u = f[x, у, z(x, у)] имеет обычный
экстремум в точке (х0, г/0). По замечанию 1 к теореме 1 (§ 5) полный
дифференциал этой сложной функции в точке (*<,, у0) равен нулю.
В силу неизменной формы полного дифференциала его можно
написать в следующем виде:
f'x(x0, yQ, z0)dx + fy(xQ у0, z0)dy + f'z(xQ, r/o, zQ)dz = 0 (3)
(здесь dx и dy — произвольные приращения независимых
переменных, a dz — дифференциал неявной функции z = z(x, у)).
Если в уравнении связи (1) под z подразумевать неявную
функцию z = z(x, у) (которая этим уравнением связи и определяется),
то уравнение (1) обратится в тождество относительно х и у:
<р[х, у, z(x, y)] = 0.
Полный дифференциал левой части тоже равен нулю при всех
х и у, в частности и при х = х0, у=у0. Опять в силу неизменной
формы полного дифференциала пишем его в виде:
фИ*о> J/o> z0)dx + q>y(x0, у о, z0)dy + <pz(xQt y0, z0)dz = 0 (4)
(dx и dy — произвольные приращения независимых переменных,
a dz — дифференциал неявной функции). Умножим равенство (4)
75

на некоторый числовой множитель X и сложим почленно с
равенством (3):
Ux (х09 у0, г0) + крх (х09 у0, г0)] dx + [fy (х0, у0, г0) + Х<р'у (х0, у0, г0)] dy +
+ [fz(x0, у о, г0) + Цг(х09 у0, z0)]dz = 0. (5)
Выберем число X так, чтобы множитель при dz обращался в нуль:
Гг(х0, у* z0) + Xy'z(x0, y0, г0) = 0. (6)
Тогда равенство (5) примет вид:
[/И*о, Уо, Zq) + Wx(x0j у о, zQ)]dx + \fy(xQ, у 0, z0) +
+ Wy (*о> Уо, г0)] dy = 0. (7)
В силу того, что, как указывалось выше, множители dx и dy
являются произвольными числами, равенство (7) возможно, только
лишь если
/И*о, У о, г0)+Х<р'х(х0, у о, z0) = 0 (8)
и
Гу(х0, Уо, г0) + Х(р'у(х0, yQi г0) = 0. (9)
Если еще добавить равенство
<р(*о> у о, z0)=0 (10)
(по условию координаты точки М0 удовлетворяли уравнению связи),
то из системы четырех уравнений (6), (8), (9) и (10) можно
определить четыре неизвестные величины: х0, y0i z0 и X (определение X
нужно только как вспомогательное вычисление). Таким образом
можно определить координаты х0, у0 и z6 точки М, в которой
функция u = f(x, у, z) имеет относительный экстремум.
Для того чтобы легче было запомнить, как составить нужную
систему уравнений, можно дать следующее правило: надо
составить функцию
Ф(*, у, z)=f(x, у, z) + Xy(x, у, z), (11)
приравнять нулю ее частные производные по х, у и z и
присоединить уравнение связи. Из полученной системы
Ф'х(х, у,г) = 0,
Ф'у(х, У> *) = 0,
Ф'г(х, у, z) = 0,
q>(x, yf z) = 0.
найти х, у и z. Они и дадут координаты точки относительного
экстремума.
Этот метод применим и в случае функций другого числа
переменных.
Пример 1. Найти треугольник, имеющий наибольшую возможную
площадь, если известно, что периметр треугольника должен равняться 40 см.
76
(12)

Обозначим стороны треугольника х, у и г и напишем его площадь по
формуле
S(x, у, г) = /20 .(40 — *) (40-г/) (40-г)
Для упрощения выкладок можно рассматривать функцию
и(х, у, z) = (40-*)(40-*/)(40-z),
(13)
ибо функции Shu достигают наибольшего значения одновременно. Так как
периметр треугольника задан, то
х+У+г — 40 = 0. (14)
Это и есть уравнение связи (1). Требуется найти наибольшее значение функции (13)
при наличии условия (14). Составим функцию (11):
Ф(*, у, z) = (4Q-x)(40—y)(4:0-z)+l(x+y+z — 40).
Напишем уравнение системы (12):
— (40—у)(4О — г)+Х = 0,
— (40-2) (40 — *)+А, = 0,
-(4О-*)(4О-0)+А, = О,
x + y + z — 40 = 0.
Найдем отсюда *, у и г:
Я, = (40 —у) (40-г) = (40-~г) (40 - *) = (40 - х) (40 —г/);
40—# = 40 — х, х = у\ 40 —r/ = 40—z, # = z,
40
то есть x = y = z. Следовательно, 3* = 40, x = y=z=-^-m Итак, искомый
треугольник равносторонний.
Геометрически ясно, что эти размеры и обеспечивают именно наибольшую
площадь треугольника. Мы не будем останавливаться на строгом обосновании
этого.
Пример 2. Указать размеры параллелепипеда наибольшего объема,
вписанного в данный эллипсоид.
Пусть уравнение эллипсоида имеет вид:
* + ?+*_!
(15)
где числа a, b и с известны. Если точка М (х, yt z) является вершиной
параллелепипеда, находящейся в первом октанте,
то, очевидно, объем параллелепипеда
будет равен (см. рис. 18):
V (л:, у, z) = 8xyz.
(16)
Итак, требуется найти наибольшее
значение функции (16) при наличии
условия (15) (вершина параллелепипеда М (ху
у, z) лежит на поверхности эллипсоида,
так как параллелепипед вписан в
эллипсоид), то есть требуется найти
относительный экстремум функции (16) при наличии
уравнения связи (15). Составим
функцию (11):
Рис. 18
77

и систему (12):
Отсюда находим:
. 4a2yz __ 4b2xz
Из последнего уравнения
8^+xg=o, '
8г*+^ = 0,
а2 Т 6г "Г с2
-
4с2## # а2г/г 62#г 1
~' * ~~ у '
X2
системы следует: 3-g =
»
у2 ^ д;2 а2у2 ^ С2ху
б2 ""о2* а: ~" г '
1 * а ь
' х уу ч Уз'
*2 __22
а2 ~" с2 •
с
г=Тз-
Таковы размеры искомого параллелепипеда. Получился один ответ, и по смыслу
задачи ясно, что это может быть только параллелепипед наибольшего объема.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Дана функция двух переменных z = f(x, у), уравнение связи ср (х, у) = 0
и точка MQ (x0, у0), координаты которой удовлетворяют уравнению связи.
а) Что значит, что функция z = f(x,y) имеет относительный экстремум
в точке М0?
б) Какое геометрическое истолкование имеет уравнение связи <р (х, */) = 0?
в) На какой линии на плоскости расположена точка М07
2. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную диагональ,
найти тот, объем которого наибольший. Отв. Куб.
3. В прямой эллиптический конус, полуоси основания которого равны а см к
Ь см, высота Н см, вписана призма с прямоугольным основанием так, что стороны
основания параллельны осям, а точка пересечения диагоналей основания лежит
в центре эллипса. Каковы должны быть стороны основания и высота этой призмы,
для того чтобы ее объем был наибольшим? Отв. —^—f —-—, —.
о о о
4. Найти параллелепипед наибольшего объема при данной сумме 12а всех его
ребер. Отв. Куб.
5. В данный круг вписать треугольник, сумма квадратов сторон которого
была бы наибольшей.
Указание. За независимые переменные удобно взять углы треугольника;
уравнение связи тогда имеет вид: а-\-$-\-у — п — 0.
Отв. Равносторонний треугольник
6. В данный круг вписать такой треугольник, чтобы произведение трех его
сторон было наибольшим. Отв. Равносторонний треугольник.
7. Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической
верхушкой, которая имеет высоту 1,5 м. При каких соотношениях между линейными
размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество
материала при заданном объеме?
Отв. R = 0,75-]^5, Я = 0,75, где Я —высота цилиндра.
8. Через точку М (1, 1, 1) провести плоскость, образующую с координатными
плоскостями тетраэдр наименьшего объема.
Отв. Уравнение плоскости x-{-y-\-z = 3
9. Найти длины полуосей эллипса 36х2-\-24ху + 29у2 = 180.
78

Указание. Длины полуосей совпадают с расстояниями от центра эллипса
до наиболее удаленной и до наиболее близкой от центра точки. Введите функцию
и = х2-}-у2 и данное уравнение эллипса рассматривайте как уравнение связи.
Отв. Малая полуось 2, большая полуось 3.
10. На эллипсе —+#2=1 даны две точки Л(1, —-] и fif —1/"3 , -^-).
Где поместить на нем точку С так, чтобы треугольник ABC имел наибольшую
возможную площадь?
У к а з ал и е. Воспользуйтесь формулой для площади треугольника через
координаты его вершин. Отв. С =—. V— ¦ .
§ 8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных f(x, у)
в прямоугольнике [а, Ь\ с, d].
Составим интеграл
ь
\f(x, y)dx = q>(y)i (l)
а
который, очевидно, является функцией от одной переменной у.
Выясним, при каких условиях, наложенных на функцию / (х, у),
существует производная функции <р(#), и дадим способ ее
вычисления.
Теорема (правило Лейбница). Если f(x, у) и fy(л:, у)
непрерывны как функции двух переменных в
прямоугольнике [а, Ь; с, d\, то для любого у из [с, d] существует
производная <р' (у), вычисляемая по следующей формуле:
ь
ф'(у) = $М*э y)dx (2)
а
(правило Лейбница, следовательно, заключается в том, что при
отыскании производной функции ф (у) можно производить
дифференцирование по у под знаком интеграла.
Доказательство. Возьмем какое-нибудь значение у = у0 из
[с, d] и придадим ему приращение Ду. Найдем соответствующее
приращение функции ф(у):
ь ь
Дф-(#) = ф(Уо + А#) — фЫ = 1/(^ yQ + ky)dx — \f{x, y0)dx =
а а
Ь
= \ U (х, у о + Ау)—/ (х, у о)] dx.
а
Применим формулу конечных приращений к разности, стоящей
под знаком последнего интеграла: f (x, yo + &y) — f(x}y0) =
79

= f'y (*. У о + ® ty) Ду» 0 < 0 < 1. Отсюда получаем:
^Ш=[ГУ(х,у0 + вАу)с1х.
(3)
Так как функция f'y (x, у) по предположению непрерывна в
прямоугольнике R = [а, 6; с, d], то она там и равномерно непрерывна
(см. теорему 5 из § 3 главы XIV). Возьмем сколь угодно малое
б>0. По определению равномерной непрерывности для функции
двух переменных подберем по числу , число 6>0, так, что
для всяких х0, хъ у0 и ух из R, таких, что \х0—х1|<6,
\Уо — Уг I < 6, имеет место неравенство
1ГЛ*1> ft)—/i(*o. Wl<r=r-
Положим ^0 = % = л: и Уг=Уо + ®ку. Если |Лу|<б, то
неравенство (4) имеет место для всякого л; из [а, Ь] и принимает
следующий вид:
! fy (x, y0 + @ ky)—fy (х, у0) | < j-5-.. (5)
Оценим разность интегралов (2) и (3), используя (5):
ь ь I
$&(*> Уо)^х — \f'v(x, y0 + ®Ay)dx\ =
\ U у (х> Уо) — !'у(х>Уо + & АУ)] dx
\ I /* (*. Уо) — f'y (х, Уо) + в А г/)! dx
<
Следовательно, для |Ay|<6 имеем:
о
J fr (*, Уо)
dx-
ЛфО/)
Аф(у)
|<в. Это
означает, что при Дг/-^0 существует предел дроби z-V^-, то есть
ъ
существует производная функции ср(г/), равная числу \fy(x, y0) dx.
а
Таким образом, равенство (2) доказано для взятого значения у=у0,
а так как это значение было взято произвольно из [с, d], то тем
самым равенство (2) доказано для любого у е [с, d\
Из теоремы, в частности, вытекает, что функция (1) является
непрерывной функцией в [с, d].

Раздел VI
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ГЛАВА XVII
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В настоящей главе мы рассмотрим весьма кратко основные
вопросы, связанные с интегрированием функций двух независимых
переменных. Все, что будет установлено нами в этом направлении,
в основном без каких-либо существенных трудностей может быть
перенесено и на функции любого числа независимых переменных.
Поэтому, переходя к изложению интегрального исчисления
функции двух переменных (теории двойных интегралов), мы обращаем
внимание студента на всю важность вдумчивого усвоения
принципиально-логических основ этой теории. Особое внимание нужно
уделить самому понятию двойного интеграла (см. § 2). Его
определение следует глубоко продумать и точно уяснить себе его сущность.
Без этого немыслимо успешное изучение последующего материала,
тесно связанного с этим понятием. Следует выделить также
основные свойства двойного интеграла (см. § 5), доказательство которых
предлагается выполнить самостоятельно. Важно также четко понять
способ вычисления двойного интеграла (как в прямоугольных, так
и в полярных координатах) с помощью двукратного простого
интегрирования (см. § 6, 7).
§ 1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Подобно тому как основные идеи и методы дифференциального
исчисления для функций одной переменной переносятся на
функции любого числа переменных, так и основные понятия
интегрального исчисления функций одной переменной могут быть перенесены
в область функций нескольких переменных.
Как известно, в случае функции одной переменной
определенный интеграл определяется как предел интегральной суммы:
Ь /1—1
$f(*)dx = lim2f&)A*/,
где Х = тах Ах/. Здесь областью интегрирования является
промежуток [а, Ь] — одномерная область. Понятие интеграла можно обобщить
и на тот случай, когда областью интегрирования^ является
двумерная область (Р), лежащая в плоскости OXY.
81

у I Переходя к изложению
интегрального исчисления для функций
нескольких переменных, мы прежде
всего условимся в том, что в
дальнейшем будем пользоваться только
такими фигурами (Р) и телами (V)
^ (то есть ограниченными замкнутыми
X областями в двумерном и
трехмерном пространствах), которые имеют
соответственно площади и объемы.
С понятиями площади плоской
фигуры и объема тела мы уже
знакомы (см. том I, гл. X, § 1, 5).
Здесь напомним лишь, что если
контур области (Р) состоит из
конечного числа непрерывных кривых,
каждая из которых выражается явным уравнением вида
y = f(x) или x = g(y), (1)
(где f (х), g (у) — непрерывные функции), то эта область квадрируема,
то есть имеет площадь.
Впредь будем предполагать, что как контур области (Р), так
и кридые, которыми мы будем разбивать ее на части, принадлежат
к указанному выше классу (1), так что существование площадей
во всех нужных нам случаях тем самым обеспечивается.
В дальнейшем, говоря о квадрируемой области (Р), мы всегда
будем предполагать ее ограниченной. Напомним, что область (Р)
называется ограниченной, если она расположена внутри некоторого
круга с центром в начале координат (рис. 19).
Что касается условий существования объема некоторого тела (V),
то есть ограниченной замкнутой области в трехмерном пространстве,
то здесь уместно напомнить, что если тело (V) ограничено
несколькими непрерывными поверхностями, каждая из которых порознь
выражается явным уравнением одного из трех типов
z = f(x, у), y = q>(x, z), х = Ц(у, г),
то это тело кубируемо, то есть имеет объем (см. том I, гл. X,
§ 5). Впредь мы будем рассматривать только такие поверхности;
этим обеспечивается существование всех нужных нам объемов.
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Введем понятие интегральной суммы для функции двух
переменных f(x, у), заданной в ограниченной области (Р). При этом
данную функцию будем иногда называть функцией точки области
(Р), отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой,
для которой эти значения служат координатами. Например, будем
иногда писать f (М) вместо f(x, у), если х, у — координаты точки М.
Для дальнейшего цам потребуется понятие диаметра области.
82

Рис. 20 Рис. 21
Диаметром замкнутой области (Р) называется наибольшее
расстояние между двумя точками контура этой области или просто
наибольшая хорда области (рйс. 20).
Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали;
диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали;
диаметром эллипса служит длина его большей оси.
Пусть в квадрируемой области (Р) определена некоторая
функция f(x, у). Разобьем область (Р) производным образом сетью
кривых на конечное число частей (Рг), (Р^)..., (Рп), площади которых
соответственно обозначим через Ръ Р2,..., Рп (рис. 21). В
каждой из (Pt) (/ = 1, 2,..., п) возьмем произвольную точку (&, т],) и
составим сумму
i =1
которую будем называть интегральной суммой дчя функции f(x, у)
в области (Р). Обозначим через К наибольший из диаметров
частичных областей (Pi). Эту величину, характеризующую, насколько
мелко разбита область (Р/), иногда называют рангом
произведенного разбиения.
Определение. Если интегральная сумма а при X->0 имеет
определенный конечный предел J:
lima = J, (2)
А,—0
не зависящий ни от способа разбиения области (Р) на части, ни
от выбора точек (lt, г],) в частичных областях, то этот предел
называется двойным интегралом функции f(x, у) по
области (Р) и обозначается символом
J = \\f (M) dP, или J = \\ f (х, у) dx dy, (3)
iP) (P)
функция же f(xy у) в этом случае называется интегрируемой в
области (Р).
83

Символ dP называют элементом площади. Иногда, говоря об
элементе площади в прямоугольных координатах, пишут: dP =
= dxdy. Такое представление dP напоминает выражение площади
частичной области, если разбиение фигуры (Р) осуществить
прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь
«маленького» прямоугольника в виде произведения Дл^Дг//.
Уточним понятие предела интегральной суммы а, то есть
предела (2). Здесь мы сталкиваемся с пределом того же типа, что и
при определении интеграла от функции одной переменной.
Будем говорить, что о стремится к пределу J:
lima = /,
если каждому е>0 отвечает такое 6>0, что для любого
разбиения области (Р) на конечное число частей лишь бы Х<с8 и при
любом выборе точек (!,-, r\i) имеет место неравенство \а — «/|<в.
Замечание. Если положить f (х, у) = \ всюду в области (Р),
то получим выражение площади области (Р) в виде двойного
интеграла:
P = \\dxdy. (4)
(Р)
Действительно, непосредственно из определения интеграла
следует, что
л
§dxdy = \im2ll-Pi = \imP = P.
(Р) Л.—»-0 ?_1 Х—+0
Вопросы для самопроверки
1. Сколько можно составить интегральных сумм для данного способа
дробления области (Я)?
2. Приведите пример функции, для которой величина интегральной суммы
не зависит ни от способа разбиения области (Р), ни от выбора точек (?/, т]/)
в частичных областях.
3. Почему в определении двойного интеграла вместо А,-—-0 нельзя писать
п—со (что означает неограниченное увеличение числа частичных областей)?
§ 3. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Прежде всего отметим, что всякая интегрируемая функция
(как и в случае функции одной переменной) необходимо должна
быть ограничена. В самом деле, если бы f(x, у) была не ограничена
в области (Р), то при любом разбиении области (Р) на части она
была бы неограниченной хотя бы в одной из ее частей. Тогда за
счет произвольного выбора точки (?,, r\i) в этой части можно сделать
значение f (^-, г|,), а с ним и интегральную сумму а по абсолютной
величине сколь угодно большой. В этом случае интегральная
сумма а, очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно,
функция / (х, у) не будет интегрируемой.
84

Таким образом, интегрируемая функция необходимо ограничена.
Отсюда, конечно, не следует, что всякая ограниченная функция
интегрируема (установленное условие не является достаточным,
существуют примеры ограниченных, но неинтегрируемых
функций).
В дальнейшем мы будем всегда считать рассматриваемую
функцию f (х, у) ограниченной в области (Р): m^f(x, y)^M, где
m, M—некоторые постоянные.
Как и в одномерном случае, при изучении, двойных интегралов
существенную роль играют так называемые нижняя и верхняя
суммы Дарбу:
s = JZmtPh S^j^MiPi,
где через mi, Mt обозначены соответственно точные нижняя и
верхняя границы функции f (х, у) в 1-й области (Pi). Легко видеть,
что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению
с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным
разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных
суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы
Дарбу при заданном способе разбиения области (Р) на части
являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных
сумм о.
Для данного способа разбиения области (Р) на части независимо
от выбора точек (?,-, r\i) будем иметь двойное неравенство
5 ^ а ^ 5,
которое сразу вытекает из очевидных неравенств
nii^f&h r\i)^Mi9
если члены обоих этих неравенств умножить на Pi и
просуммировать по /. Здесь суммы Дарбу обладают всеми свойствами
аналогичных сумм, соответствующих для одномерного случая, и
доказательства их остаются прежними; лишь в тех случаях, когда
там говорилось о точках деления, здесь нужно говорить о линиях
деления. Поэтому на этих свойствах мы не останавливаемся,
считая, что студент сам легко их сформулирует и докажет.
Наконец, используя свойства сумм Дарбу, мы с помощью
известной теоремы Кантора о равномерной непрерывности функции
от двух переменных (см. гл. XIV, § 3) путем буквального повторения
доказательства для одномерного случая* и здесь может быть
установлена следующая теорема.
Теорема. Всякая функция f(x, у), непрерывная в
замкнутой квадрируемой области, (Р), интегрируема.
Однако не следует думать, что двойной интеграл существует
только для непрерывных функций. Так, например, интеграл суще-
* См. том I, гл. IX, § 3.
35

ствует и от ограниченных функций, имеющих разрывы лишь на
конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных
функций вида y = f(x) или х = у(у).
Вопросы для самопроверки
1. Сколько можно составить сумм Дарбу для данного фиксированного
разбиения области (Р)?
2. Чем являются суммы Дарбу для множества интегральных сумм при данном
разбиении области (Р)?
3. Сформулируйте и докажите свойства сумм Дарбу.
§ 4. ЗАДАЧА ОБ ОБЪЕМЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО БРУСА
Подобно тому как задача о вычислении площади
криволинейной трапеции привела нас к геометрической иллюстрации
определенного интеграла, так и задача о вычислении объема
цилиндрического бруса приводит к геометрическому толкованию двойного
интеграла.
Рассмотрим тело (V), ограниченное сверху поверхностью г =
= f (*» #)^0, где f (х, у) — неотрицательная и непрерывная в области
(Р) функция; с боков — цилиндрической поверхностью с образующей,
параллельной оси 0Z, снизу — фигурой (Р), лежащей в плоскости
ОХ К (рис. 22). Тело указанного вида принято называть
цилиндрическим брусом. Требуется вычислить объем V данного тела.
Если бы цилиндрический брус сверху был ограничен плоскостью,
параллельной плоскости ОХ У, то мы имели бы прямой цилиндр,
о котором нам известно*, что он является кубируемым телом
и что его объем равен произведению площади основания на высоту.
В случае, когда цилиндрический брус ограничен сверху
поверхностью, такой простой способ вычисления объема применим быть
не может. Однако в этом случае естественно применить способ,
основанный на том же принципе, на котором основывается
способ вычисления площади криволинейной трапеции, именно на
принципе неограниченного приближения к
цилиндрическому брусу с помощью тел,
объемы которых вычисляются
элементарно.
Перейдем к изложению этого
способа. Разобьем область (Р) сетью
кривых на п произвольных частей: (Р1)1
(Р2), . .. (Рп), площадь каждой из
которых будем no-прежкгему обозначать
той же буквой без скобок. Через контур
каждой из частей (Pt) проведем
цилиндрическую поверхность с образующей,
параллельной оси 0Z
z=f(*>y)
Рис. 22
* См. том I, гл. X, § 5.
86

Эта поверхность вырежет из тела (V) цилиндрический столбик (У,).
Всего таких столбиков будет п, ив совокупности они составят все
тело (У). Выберем в каждой части (Pi) произвольно точку (&, v\i)
и вычислим в ней значение функции: /(*•/, rj,). Затем каждый
цилиндрический столбик (Vi) заменим приближенно прямым цилиндром
с тем же основанием (Pi) и высотой, равной /(?/, r\i). Тогда объем Vi
i-ro столбика приближенно будет равен объему соответствующего
цилиндра:
Vt**ffo9r\t)Pi9
где Pi — площадь фигуры (Pi). Просуммировав объемы всех этих
цилиндров, получим приближенное значение объема всего
цилиндрического бруса:
V^^f(h,r\i)Pi.
Это приближенное равенство будет тем точнее, чем мельче
дробление области (Р) на части. В пределе при стремлении к нулю
наибольшего из диаметров всех частичных областей (Pi), то есть после
перехода к пределу при А,->0, это приближенное равенство
становится точным; так что
K=lim2f&,Tu)/>,.
Так как справа мы имеем предел интегральной суммы для
непрерывной функции / (х, у), то указанный выше предел существует и
равен двойному интегралу от этой функции по области (Р).
Следовательно,
V = \\f{x, y)dxdy. (1)
Эта формула показывает, что двойной интеграл от
неотрицательной, непрерывной функции геометрически выражает собой
объем цилиндрического бруса.
Замечание 1. Легко понять, что в случае / (х, у) ^0
двойной интеграл от этой функции по области (Р) по абсолютной
величине также дает объем тела. Без знака абсолютной величины
двойной интеграл в этом случае дает объем тела со знаком минус.
Это вовсе не означает, что объем отрицателен,—отрицательных
объемов не бывает,—а говорит лишь о том, что перед числом,
выражающим объем, стоит знак минус и что данное тело
расположено под плоскостью OXY. Если, наконец, функция / (х, у)
принимает и положительные, и отрицательные значения в области
(Р), то интеграл (1) и по абсолютной величине не дает нам объема
данного тела; в этом случае интеграл (1) представляет собой
алгебраическую сумму объемов тех частей тела, которые
расположены над плоскостью OXY, и тех его частей, которые
расположены под плоскостью OXY, причем первые входят в сумму со зна-
87

ком плюс, а вторые — со знаком минус. Это обстоятельство следует
иметь в виду при решении практических задач на вычисление
объемов тел.
Замечание 2. Приведенный выше вывод формулы (1) для
вычисления объема цилиндрического бруса нельзя считать строгим:
в процессе вывода мы писали некоторые приближенные равенства
предполагая, что в пределе они переходят в точные. Однако
выводу этой формулы можно придать и вполне строгий вид. Это
делается точно так же, как мы поступали при выводе
аналогичной формулы для вычисления площади криволинейной трапеции;
лишь в тех случаях, когда там говорилось о входящих и
выходящих многоугольниках, площади которых выражались суммами
Дарбу, здесь следует говорить о входящих и выходящих телах,
объемы которых также выражаются суммами Дарбу для функции
f (х, у). Обе суммы Дарбу в силу непрерывности функции/ (х, у)
в области (Р) при стремлении к нулю наибольшего из
диаметров всех частичных областей (Р,-), то есть приА,->0, будут иметь
своим общим пределом двойной интеграл от этой функции по
области (Р). Отсюда (в силу известного признака кубируемости
тела*) следует, что объем цилиндрического бруса существует и
равен этому интегралу, то есть справедлива формула (1).
Аналогично устанавливается кубируемость цилиндрического
бруса, ограниченного с одной стороны непрерывной поверхностью,
заданной уравнением вида у = ср(х, г) или же х = ^(у, г).
Обобщая это замечание, отметим, что если тело (V) можно
разбить на конечное число цилиндрических тел указанных выше
видов, то это тело (V) кубируемо и объем его равен сумме объемов
этих цилиндрических тел.
Вопросы для самопроверки
1. Как из формулы (1) получить выражение площади области
интегрирования (Р) в виде двойного интеграла?
2. Как выразится объем тела, ограниченного сверху поверхностью z = f (л*, у),
а снизу —поверхностью 2 = ф(х, у) (так что / (х, у)^(р(х, у) ), если проекцией
обеих поверхностей на плоскость OXY является область (Р)?
§ 5. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Двойные интегралы обладают рядом простейших свойств, вполне
аналогичных соответствующим свойствам простых интегралов.
Большая часть этих свойств присуща интегралам от любых
интегрируемых функций, но мы будем формулировать их для непрерывных
функций; тогда рассматриваемые двойные интегралы заведомо
существуют. Доказательство основных свойств двойных интегралов
(подобно доказательству свойств простых интегралов) основано на
его определении как предела интегральной суммы. Поэтому мы
* См. том I, гл. X, § 5, теорема 2.
88

в основном ограничимся перечислением этих свойств, предоставляя
доказательство их читателю.
1°. Постоянный множитель можно вынести за знак
интеграла, то есть
\\ kf(x, y)dxdy = k § f(x9 y)dxdy,
(P) (>)
где k — любое постоянное число.
2°. Интеграл от алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме их интегралов:
\\ [f(x, y)±g(x, y)\dxdy = \\ f(x, y)dxdy±\\ g (x9 y)dxdy.
(P) (P) (P)
3°. Если область (P) разбита на конечное число
непересекающихся квадрируемых частей, то интеграл по всей
области равен сумме интегралов по всем частям.
Например, если область (Р) разбита на две части (Р') и (Р"), то
^ f(x9 y)dxdy= \\ f(x, y)dxdy+ ^ f{x9 y)dxdy. (1)
(P) (P') (P")
Действительно, рассмотрим какое-нибудь разбиение области (Р)
на части (Pi), (Р*),... ,(РЛ)» причем линию, разбивающую область
(Р) на части (Р) и (Р"), будем считать одной из линий этого
разбиения. При таком дроблении все части области (Р) можно разбить
на две группы: в одну группу отнесем все части, содержащиеся в (Р'),
в другую —все части, содержащиеся в (Я"). В соответствии с этим
интегральную сумму
разобьем на две суммы, собрав отдельно слагаемые,
соответствующие областям (Р') и (Р"):
2 / &, Л*) Pt=%f (Ь, Л,) Я| + 2 / &,Л|) Р,.
г=1 (Р) (Р")
Переходя в этом равенстве к пределу при Х->0, мы и получим
формулу (1).
4°. Если для функций f (х, у), g (x, у) в области (Р)
выполняется неравенство f (x9y)^g(x9y), то
\\ f (*, у) dx dy^\\g (х9 у) dx dy9
(?) (Р)
то есть неравенства можно почленно интегрировать.
В частности, интегрируя очевидное неравенство
-\f(*> y)\^f(x, y)^\f(x, У)\,
получим:
-$$!/(*, y)\dxdy^\\f(x9 y)dxdy^\\\f{x, y)\dxdy9
(P) (P) (P)
89

или
\\\l(x, y)dxdy\^\\\f{x, y)\dxdy.
iP) (P)
5°. Теорема о среднем значении. Если функция
f(x, у) непрерывна в связной * замкнутой области (Р), то
в этой области существует такая точка (х, у), что
\\f(x, у) dx dy=f(x, у) Р, (2)
(Р)
где Р — площадь области (Р).
Доказательство. Обозначим через т и М соответственно
наименьшее и наибольшее значения функции f(x, у) в замкнутой
области (Р). Эти значения существуют по второй теореме
Вейерштрасса. Заметим, что теоремы Вейерштрасса справедливы для
функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области.
Однако, говоря о квадрируемой области (Р), мы всегда
предполагаем ее ограниченной, а потому ссылка на теорему Вейерштрасса
законна.
Таким образом, при введенных обозначениях для всех точек
области (Р) будем иметь:
m^f(x, y)^M.
Отсюда на основании свойств 4°, 1° и формулы (4) § 2 получаем:
тР^ \\f(x, y)dxdy^MP.
(Р)
Отсюда
l\ f (x, у) dx dy
m<^ _ ^м.
Положим
У f (х, у) dx dy
n = (-S—р ; (3)
тогда т^р^М. Так как число jx находится между наименьшим
и наибольшим значениями непрерывной функции f (х, у), то это
число [а (по теореме Коши о промежуточном значении; см.
гл. XIV, § 3) должно являться одним из значений той^же функции.
Поэтому в области (Р) существует такая точка (х, у), что f(x9 у) = \*<
или (в силу (3))
У / (х, у) dx dy
/(*,*) = *> р ,
что равносильно равенству (2).
* Напомним, что область называется связной, если любые две внутренние
ее точки можно соединить ломаной, целиком лежащей внутри этой области.
90

Формула (2), выражающая собою теорему о среднем,
показывает, что двойной интеграл от функции, непрерывной в связной
замкнутой области, равен произведению значения этой функции
в некоторой «средней» точке области интегрирования на
величину площади этой области.
Теорема о среднем имеет простой геометрический смысл.
Если f (х, у)^0 в области (Р), то формула (2) геометрически
означает, что существует прямой цилиндр с основанием, равным
основанию цилиндрического бруса, и высотой, равной «среднему»
значению функции f (х, у), объем которого равен объему
цилиндрического бруса.
Вопросы для самопроверки
1. Можно ли считать в формуле (2) (см. теорему о среднем) точку (х, #)
произвольной из области (Р)?
2. Приведите пример функции, для которой формула (2) справедлива для
любой точки из области (Р).
3. Сформулируйте теорему о среднем для интегрируемой функции и докажите ее.
§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Самоопределение двойного интеграла как предела интегральной
суммы указывает и способ его вычисления, однако этот способ
по своей громоздкости и трудоемкости очень ограничен в конкретных
приложениях. Поэтому мы укажем здесь другой, более простой
и эффективный способ вычисления двойного интеграла путем его
приведения к повторному интегралу, то есть к последовательному
вычислению двух простых интегралов. Мы ограничимся не вполне
строгим, но зато простым геометрическим выводом, основанным
на том, что двойной интеграл представляет объем цилиндрического
бруса.
Ранее мы уже имели дело с задачей вычисления объема тела
(V) по его поперечным сечениям. Рассмотрим тело (V), содержащееся
между параллельными плоскостями х = а и х = Ь (рис. 23). Допустим,
что в сечении тела (V)
плоскостью, проведенной через точку
х (а ^ х ^ Ь) перпендикулярно
к оси ОХ, получается фигура,
имеющая площадь S(x), причем
5 (х) — непрерывная функция в
промежутке [а, Ь]. Тогда, как
известно, объем V данного тела
вычисляется по формуле
ъ
V= lS(x)dx. (1)
Рис. 23
91

Применим указанный способ
поперечных сечений и эту формулу
к вычислению объема
цилиндрического бруса.
Итак, пусть дано тело (V),
которое сверху ограничено поверхностью
z = f(x, r/)^=0, с боков
—цилиндрической поверхностью с образующей,
параллельной оси 0Z, снизу —
плоской фигурой (Р) на плоскости OXY
(рис. 24). Для простоты рассуждений
будем считать, что контур (L)
области (Р) пересекается не более чем в
двух точках прямыми,
параллельными осям координат ОХ и 0Y'.
Произведем сечения данного тела
плоскостями, параллельными
плоскости OYZ. Абсциссы крайних
сечений обозначим через а и Ь; эти
абсциссы одновременно будут
абсциссами крайних — слева и справа
—точек контура (L), которые деля этот
контур на две части (нижнюю и
верхнюю). На рисунках 24 и 25 эти
точки обозначены через А и В. Пусть
Уъ = у2 (х) (а ^ х ^ Ь) — уравнение
верхней части контура (L), а У\ = У\ (х)
(а^х^Ь) — уравнение нижней части
его (см. рис. 25); так что ух (х)^у* (х)
Легко видеть, что в сечении
бруса плоскостью х = х0 (где х0 —
произвольная точка промежутка [а, &]) мы получим
криволинейную трапецию, площадь которой обозначим через S(x0).
Спроектируем ортогонально эту трапецию на плоскость OYZ (см. рис. 24),
в результате в плоскости OYZ мы получим конгруэнтную (равную)
трапецию, ограниченную сверху кривой z = f(x0, у), Ух^У^Уъ
Эта кривая есть результат пересечения плоскости х = х0 с
поверхностью z = f(x, у), при этом ух и г/2 суть ординаты точки входа
прямой х = х0 в область (Р) и выхода ее из этой области.
Как известно, площадь криволинейной трапеции выражается
определенным интегралом; в данном случае
S(xQ) = \f(x0, y)dy.
Поскольку сечение х = х0 было взято произвольно,
точки х из промежутка [а, Ь] будем иметь:
У'2 (X)
S(x)= \f (x, у) dy,
то для любой
92

где уже пределы интегрирования у\ (х) и #2 (х) суть переменные
величины; они зависят от х.
Подставляя это значение S (х) в формулу (1), получим выражение
Ь /Г/2 U) \
v = \[ \ f(x9y)dy)dx9
которое обычно записывают так:
ь у 2 (х)
V = \dx \ f(x,y)dy.
a yi (х)
Выражение, стоящее в правой части этой формулы, называется
повторным интегралом. Но объем цилиндрического бруса выражается
двойным интегралом (см. § 4, формулу (1)):
V=\\f(x,y)dxdy.
(р)
Сопоставляя два последних равенства, получаем формулу
Ь у о (х)
\\f{x,y)dxdy = \dx \ f (х, у) dy, (2)
(Р) a yt(x)
приводящую двойной интеграл к повторному, в котором
интегрирование сперва выполняется по у при произвольном, но
постоянном л; — внутреннее интегрирование, а затем полученный результат
интегрируется по х— внешнее интегрирование; при этом пределы
внутреннего интеграла уг (х) и у2 (х) суть функции от х, а пределы
внешнего интеграла — постоянные а и Ь.
Производя сечение цилиндрического бруса плоскостями,
параллельными плоскости OXZ, и рассуждая аналогичным образом, мы
найдем, что
d x2 (у)
\\ f(x, y)dxdy = \dy \ f (x, у)dx. (3)
(Р) с Xl(y)
Здесь интегрирование сперва производится по переменной х при
постоянном у>, а затем полученный результат интегрируется по у;
при этом пределы внутреннего интеграла хг(у) и х2(у) суть
известные функции от у (мы их находим из уравнений контура), заданные
в промежутке [с, d], а пределы внешнего интеграла — постоянные
cud, являющиеся ординатами крайних (снизу и сверху
соответственно) точек контура (L) (точек С и D на рис. 26).
Сопоставляя формулы (2) и (3), находим:
Ь у2(х) d x2(y)
\dx \ f{x,y)dy=\dy \ f(x,y)dx.
а Ух(х) с хх(у)
93

Это равенство показывает, что при
перемене порядка интегрирования
Q пределы внутреннего и внешнего ин-
\$S* *\ теграла изменяются (в зависимости
а^У (Р) j от формы контура (L)).
—л. ~/^$ Замечание 1. Вывод формул
(I / J^ № и ^' основанный на геометри-
гч^^Х г i ческой трактовке двойного интеграла,
! С ! не является вполне строгим, однако
I [ _ справедливость этих формул можно
х, хг х установить строго (не прибегая к
геометрической иллюстрации интеграла)
Рис. 26 при довольно общих условиях
относительно функции / (х, у) и во всяком
случае для любой непрерывной функции независимо от ее знака
в области (Р) *
Замечание 2. Формулы (2) и (3) были установлены в
предположении, что контур (L) области (Р) пересекается не более чем в двух
точках прямыми, параллельными как оси ОХ, так и оси OY. Однако
легко видеть, что для вывода формулы (2) достаточно, чтобы
контур (L) пересекался не более чем в двух точках хотя бы прямыми,
параллельными оси OY, а для вывода формулы (3) достаточно,
чтобы это условие выполнялось хотя бы в направлении оси ОХ.
Следовательно, при вычислении двойных интегралов по некоторой
области (Р) достаточно, чтобы контур этой области пересекался
указанными прямыми не более чем в двух точках хотя бы в одном
каком-нибудь направлении (или оси ОХ, или 0Y).
Замечание 3. В случае более сложного контура область (Р)
обычно удается разбить на конечное число частей указанного выше
типа (рис. 27). Тогда по свойству 3 из §5 двойной интеграл
по всей области (Р) представится в виде суммы двойных интегралов
по этим частям и каждый из них вычисляется по формуле (2) или (3).
Замечание 4. Если область интегрирования представляет
собою прямоугольник (Р) = [а, Ь; с, d] со сторонами,
параллельными осям координат (рис. 28), то пределы как внешнего, так и
внутреннего интеграла постоянны. В самом деле, для любого
значения х, заключенного между а и Ъ, переменная у меняется в
пределах от с до d (пределы ее изменения не зависят от х). Обратно,
для любого у, заключенного между cud, переменная х меняется
в пределах от а до Ь (которые не зависят от у). Следовательно, в
этом случае перемена порядка интегрирования не влечет изменения
пределов интегрирования, так что
Ь d d b
\\ f{x, y)dxdy= \dx\f{x, y)dy= \dy\f{x, y)dx. (4)
(P) а с с а
* См. [2], стр. 247. Как указано в предисловии, [2] означает ссылку на
учебник Г. М. Фихтенгольца «Основы математического анализа^ т. 2,
94

о
Рис. 27
Рис. 28
Практика показывает, что при вычислении двойных интегралов
студент, как правило, испытывает трудности, связанные с
расстановкой пределов интегрирования. Поэтому полезно разобрать
следующие примеры.
Пример 1. Записать двойной интеграл от функции /(#, у) по области (Р)
в виде повторных интегралов двумя способами (по формулам (2) и (3)), если
область (Р) ограничена прямой у = х параболой у = х2.
На рисунке 29 изображена область интегрирования (Р). Для вычисления
двойного интеграла по этой области можно воспользоваться как формулой (2),
так и формулой (3), ибо контур области (Р) пересекается не более чем в двух
точках как прямыми, параллельными оси OF, так и прямыми, параллельными
оси ОХ. Применим сперва формулу (2), то есть сначала произведем
интегрирование по у, считая х постоянным, а затем по х в пределах от а = 0 до й = 1,
представляющих собой абсциссы крайних сечений или абсциссы самой левой и
самой правой точек контура области (Р); на рисунке 29 —абсциссы точек О (начало
координат) и А (точка пересечения прямой с параболой). Чтобы найти пределы
для г/, поступим так: возьмем на оси ОХ произвольную точку х между 0 и 1 и
проведем через нее прямую, параллельную
оси ОК, в направлении этой оси. Точка входа
этой прямой в область (Р) (на рисунке —точка С)
лежит на параболе у = х2, а точка выхода этой
прямой из области (Р) (на рисунке —точка В)
лежит на прямой у = х. Уравнения этих линий
дают нам соответственно нижний и верхний
пределы внутреннего интеграла.
Таким образом, согласно формуле (2)
имеем:
1 X
ЭД f {х, у) dx dy = \dx \ f{xt у) dy.
(Р) 0 х2
Применим теперь к этому двойному
интегралу формулу (3). В этом случае внутренний
интеграл берется по переменной х, считая у
постоянным, а затем по у в пределах от 0 до
1—наименьшая и наибольшая ординаты
крайних точек контура области (Р) (на рисунке 30 —
ординаты точек О и Л). Для того чтобы уста-
Рис. 29
95

Рис. 30 Рис. 31
новить, каковы будут пределы внутреннего интеграла по х, возьмем произвольно
точку у на оси OY в промежутке [0, 1] и проведем через нее прямую,
параллельную оси ОХу в направлении этой оси (см. рис. 30). Так как точка входа этой
прямой в область (Р) (точка С) лежит на прямой х = у, а точка выхода ее из
области (точка В) лежит на параболе лг = ]А/, то уравнения этих линий дадут
нам нижний и верхний пределы внутреннего интеграла. Следовательно, согласно
формуле (3) будем иметь:
1. Yy
J5 f (х, у) dx dy = J dy J / (*, У) dx.
\P) 0 у
Пример 2. Переменить порядок интегрирования в следующем интеграле:
2 х
\dx J[ /(*, y)dy.
1 Y2x — л-2
Здесь задача несколько сложнее, чем в предыдущем примере: нам не дайа
непосредственно область интегрирования (Р) и мы должны выяснить ее вид по
пределам повторного интеграла. Так как внутренний интеграл берется по у, то
пределы внутреннего интеграла показывают, какими линиями область (Р)
ограничена снизу и сверху. Уравнения этих линий должны быть соответственно у =
= ']/г2х — х2 и у = х. Первое уравнение преобразуется к виду х2 — 2х-\-у2 = 0, или
(х-^-1)2 + #2 = 1, и таким образом, определяет окружность, точнее, ее верхнюю
половину; второе — выражает биссектрису первого координатного угла. Если
решить совместно эти уравнения, то увидим, что окружность и биссектриса
пересекаются в начале координат и в точке В (1, 1). Пределы внешнего интеграла суть
х=\ и Л' = 2; они указывают промежуток изменения переменной х в области
интегрирования. Если мы начертим окружность (д:—1)2 + г/2 = 1, биссектрису у=х
и прямые *=1, х=2, то легко найдем область интегрирования (Р) (см.
заштрихованную фигуру на рис. 31). При этом мы увидели, что поскольку верхняя и
нижняя части контура встречаются в точке В, то прямая х=\ фактически не
входит в состав контура области (Р) и контур последней состоит из участков
трех линий:
y = V2x-x\ y = x, х = 2.
Теперь мы можем приступить к изменению порядка интегрирования в данном
интеграле, то есть будем внутреннее интегрирование производит по ху а внешнее —
по у. Из рисунка 31 видно, что точки входа в область (Р) одних прямых, парал-
96

лельных оси ОХ, лежат на дуге окружности (х—1)2 + */2=1, а других — на
биссектрисе # = *; точки выхода из области (Р) всех этих прямых лежат на прямой
х=2. Поэтому область интегрирования (Р) мы разбиваем на две части: (Px)t
(Р2) —см. рисунок 31; соответственно интеграл представится в виде суммы двух
интегралов по указанным областям. Тогда точки входа в область (Ях) всех прямых,
параллельных оси ОХ, будут лежать только на дуге окружности (я—1)а+#2=1,
а в область (Р2) —только на биссектрисе у = х. Решая уравнения этих линий
относительно х, находим нижние пределы двух внутренних интегралов,
соответствующих областям (Рг) и (Р2): x=l +Vl — у2', х — у. Так как точки выхода из
областей (Pi), (Р2) всех указанных прямых лежат на прямой х = 2, то это
уравнение дает нам верхний предел двух внутренних интегралов. Во внешнем же
интеграле по переменной у для области (Рх), как видно из рисунка 31, надо брать
пределы от 0 до 1 (от ординаты точки С до ординаты точки Б), а для области (Р2)
пределами внешнего интеграла будут 1 и 2 (ординаты точек В и А). Учитывая
все сказанное, получаем:
2 jc 12 2 2
$<&$/(*, y)dy=$dy^f(x, y)dx + ^dy^f(x, у) dx.
1 0 \ у
V2x — x*
l+V\-y*
X2
Пример 3. Вычислить двойной интеграл от функции / (х, у) = — по области
У*
(Р)
ограниченной прямыми у = х, х = 2 и гиперболой ху=1.
Область интегрирования изображена на рисунке 32 (заштрихованная часть).
Решая совместно уравнения прямой у = х и гиперболы у = —, получим точку их
пересечения А (1, 1).
Для вычисления интеграла по заданной области удобно воспользоваться
формулой (2), согласно которой внутренний интеграл берется по у, а внешний — по х.
В этом случае мы будем иметь дело с одним повторным интегралом (так как все
прямые, параллельные оси OY, входят в область (Р) на гиперболе у = — и
выходят из нее на прямой у = х). Легко видеть, что обратный порядок
интегрирования (то есть применение формулы (3)) был бы хуже, так как привел бы к сумме
двух повторных интегралов. Зто объясняется тем, что область (Р) ограничена
слева разнородными линиями, и поэтому часть прямых, параллельных оси ОХ,
входят в эту область на гиперболе х = —, а часть — на прямой х = у.
Итак, приступаем к вычислению.
Пределы внешнего интеграла по переменной х
определяются легко —это будут абсциссы
самых левых и самых правых точек
области (Р), то есть 1 и 2. Для того чтобы
установить пределы внутреннего интеграла по у,
возьмем произвольно точку х между 1 и 2
на оси ОХ и проведем через нее прямую,
параллельную оси OY. Точка входа этой
прямой в область (Р) лежит на гиперболе
1
у = —, а точка выхода —на прямой у = х.
Уравнения этих линий и дают нам
соответственно нижний и верхний пределы
внутреннего интеграла.
Рис. 32
Yi
О
\
/ л
в
i
г 2
С
X
Мы взяли знак плюс перед корнем, так как в области (Р) х^1.
97

Следовательно, согласно формуле (2) будем иметь:
2x2 2
(Р) l-i 1 - 1
— + X)dX:
«_*)«& = (*?) г--f.
Разумеется, этот же результат мы могли бы получить и с помощью
формулы (3), но вычисления были бы громоздкими по причине, о которой мы говорили
выше (предлагаем в этом убедиться
практически).
^^ Пример 4. Вычислить площадь фигу-
у= bx+j^^ ры, ограниченной параболой #2 = 4* + 4 и
прямой у = 2—х.
Фигура (Р) изображена на рисунке 33.
Площадь этой фигуры может быть выражена
интегралом по формуле:
Р = ЭД dxdy
(Р)
(см. формулу (4), § 2). Решая совместно
уравнения параболы */2 = 4л; + 4 и прямой
г/ = 2 — х, найдем точки их пересечения:
А (О, 2), С (8, — 6). Из рисунка 33 видно,
что вычисление двойного интеграла
целесообразнее произвести по формуле (3),
согласно которой внутренний интеграл берется
по переменной х, а внешний — по у. В этом
Рис. 33 случае мы получим один повторный интеграл
(все прямые, параллельные оси ОХ, входят
в область интегрирования на параболе и выходят из нее на прямой), при другом
порядке интегрирования мы получили бы сумму двух повторных интегралов.
Итак, приступаем к вычислению. Из рисунка 33 видно, что внешний интеграл
по переменной у надо брать в пределах от — 6 до 2, а пределы внутреннего
интеграла находятся из уравнений параболы и прямой, если их решить
относительно х:
Г/2-4
2-У-
Таким образом, для искомой площади будем иметь:
2 2-у 2 2
<Р)
-б j/g-4
2
—6
64
Прежде чем перейти к примерам на вычисление объемов, во
избежание возможных ошибок следует иметь в виду следующее
замечание.
98

Рис. 34
Замечание 5. При вычислении
объема какого-нибудь тела полезно
сделать пространственный рисунок, который
давал бы представление о форме данного
тела. Если же такого рисунка не удастся
построить, то можно ограничиться хотя бы
рисунком, изображающим только область
интегрирования (основание
цилиндрического бруса) на плоскости. Однако и в этом
случае необходимо представить себе, хотя
бы в самых общих чертах, то тело, объем
которого требуется найти.
Пример 5. Вычислить объем тела,
ограниченного параболоидом вращения z = x2-\-y2,
координатными плоскостями и плоскостью *-)-*/= 1.
Поверхность параболоида вращения z = x2 + y2
получается вращением вокруг оси OZ параболы
2-х2. Уравнение х + у=1 в пространстве
определяет плоскость, параллельную оси 01, а в
плоскости OXY оно будет уравнением прямой,
являющейся следом указанной плоскости в плоскости
OXY. На рисунке 34 изображено тело, объем
которого надо вычислить. Это тело сверху ограничено
вогнутой поверхностью параболоида z = x2-\-y2,
снизу — плоскостью OX Y, спереди — плоскостью
* + г/=1, слева — плоскостью OXZ (# = 0), сзади —
плоскостью OY1 (х = 0). Как видим, это тело
представляет собой цилиндрический брус,
расположенный над плоскостью OXY. Поэтому его
объем можно вычислить по формуле (1) § 4.
Основанием цилиндрического бруса, то есть областью
интегрирования (Р), служит прямоугольный
треугольник (рис. 35). Подынтегральной функцией
должна быть функция г = *2 + г/2, так как
геометрическим изображением ее является поверхность
параболоида вращения, покрывающая сверху данный цилиндрический брус. Стало
быть, искомый объем выразится интегралом
(Р)
У\
4
О
1
\ ]
Уу{Р)Л
щ
I
/\х + у = 1
* 1
X
Рис. 35
для вычисления которого мы применим формулу (2). В результате получим:
1 1-х
(x2 + y2)dxdy =
(Р)
V = \\{x* + y*)dxdy = \dx \ (x2 + y2)dy =
(Р) 0 0
1 1 — х 1
= \ [x2y + Yy3)\dx=\ [^2(1~^) + у(1-^3]^ = -^.
о о
На этот раз мы уже предоставляем читателю самостоятельно разобраться,
как получаются написанные здесь пределы интегрирования во внутреннем и
внешнем интегралах.
99

Рис. 36
Y\
0
I
i ^?r
)
y~x2i
x 1
ry=x
X
Рис. 37
Пример б. Вычислить
объем тела, ограниченного по-
вер хностями z = 2—х— у,у = х2,
у = х и 2 = 0.
Поверхность у = х2 — это
параболический цилиндр с
образующей, параллельной оси
0Z, и направляющей
параболой у — х2 в плоскости OXY.
Наклонная плоскость 2 = 2 —
— х — у отсекает на осях
координат равные отрезки (по две
единицы длины); плоскость у = х
проходит через ось ОЪ, и след
ее в плоскости OXY есть
биссектриса у = х, г = 0 —
уравнение плоскости OXY. Тело,
ограниченное этими поверхностями,
изображено на рисунке 36. Это
тело ограничено сверху
наклонной плоскостью z = 2 — x — y,
снизу — плоскостью OXY, с
боков—поверхностью цилиндра
у = х2 и плоскостью у = х.
Основанием этого тела, то есть
областью интегрирования,
является фигура (Р), ограниченная
биссектрисой у = х и
параболой у = х2 (рис. 37).
Подынтегральной функцией является
функция г = 2 — х—у.
Следовательно, объем данного тела
выражается интегралом
V = ^(2-x-y)dxdy.
(Р)
Вычисление этого интеграла
проведем по формуле (2):
V = \\{2 — x — y)dxdy = \dx ] (2 — x—y)dy =
(Р)
1 х
. I
0 *2
I X I
= [ (2y-xy-^y2^\dx=^ (2x-L# + jfi + ±x^dx = ±
0 *2 0
60-
В этом, как и в предыдущем, примере область интегрирования такова, что
вычисление двойного интеграла можно было бы произвести с таким же успехом
и по формуле (3), определяющей другой порядок интегрирования в повторных
интегралах.
Пример 7. Вычислить объем тела, ограниченного гиперболическим
параболоидом z = xy и плоскостями х + у = а, z = 0.
Тело, о котором идет речь, сверху ограничено гиперболическим
параболоидом г — ху, снизу — плоскостью OXY (z = 0), спереди — плоскостью х+у = а,
параллельной оси OZ. Это тело изображено на рисунке 38. Основанием данного
тела, то есть областью интегрирования является прямоугольный треугольник АОВ
100

в плоскости OXY (рис. 39). Так как
геометрическим изображением
функции z = xy является поверхность
гиперболического параболоида,
покрывающая сверху данное тело, то эта
функция и будет подынтегральной
функцией. Таким образом, искомый
объем выразится следующим двойным
интегралом:
(Р)
Здесь область интегрирования (Р)
такова, что не имеет значения, какой
порядок интегрирования в
повторных интегралах мы изберем. В
подобных случаях, как правило,
избирают более привычный порядок
интегрирования: внешний интеграл по х,
а внутренний —по у. Так, что в
данном случае будем иметь:
\ \ ху dx dy = \ dx \
(Р) о о
xydy =
а а—х и
Г С Г 1 |а— х
= \ х dx \ у dy= \ х dx • -j у* I =
0 0 0
а а
= у\ x(a-x)*dx=-2 \ [а(а —
и о
vn , чо1 , I Г а (а — х)3 ,
-x)Z-(a-x)3]dx = Y\-- з +
+
(а-*)4
о~1 У~Т
Рис. 38
24'
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Сформулируйте правило преобразования двойного интеграла к повторному
(оба случая).
2. В каких случаях при вычислении двойных интегралов удобно пользоваться
формулой (2), а в каких —формулой (3)?
В пример-ах 3 — 5 запишите двойной интеграл от функции f (х, у) по области
(Р) в виде повторных интегралов двумя способами (во всех случаях сделайте
чертежи)
3. Область (Р) ограничена линиями у-\-х — 2, х2 + у2 = 4 и расположена в
первой четверти.
2 1/4 — ^2 2 /4^2
Отв J J / (х, у) dxdy=^ dx j / (x, у) dy=\, dy \ f (x, y) dx.
(P) U 2-х 0 2 — у
101

4. Область (Р) ограничена линиями у = х3, х-\-у = 2, х=0.
1 2 — х 1 Yy 2 2—у
Отв. $$/(*, y)dxdy = ^dx $ f (х, у) dz/ = J dy J /(*, у) d* + \ dy J f{x, y)dx.
(P) 0 *з 0 0 10
5. Область (Р) ограничена линиями xy — A, у = х, * = 4.
4 x 2 4 4 4
Отв. ]\f{x,y)dxdy = \dx $/(*, y)dy=^dy J / (*, y) dx+ ]dy\f (x, y) dx.
(P) 2 4 14 2 у
x у
В примерах 6—9 перемените порядок интегрирования (сделайте чертежи).
\ YJ 1 х
6. j
у
2 2х 2 У 4 2
1 V и \ х
\ dy ) / (*, */) d*. Отв. \dx J / (*, у) dy.
0 ^ 0 х'2
2 2х 2 У 4 2
7. \dx\ f (х, у) dy. Отв. \ dy j / (х, у) dx+\dy \ f (x, у) dx.
0 * 0 1 2 1
2 V2x—*2 I 1+]Л-*/2
8. \dx ^ / (*, г/) dr/. Ome. (dy J / (*, t/) dx.
I 2—л: 0 2—1/
\ у 3 1 13/1
9. ^d# 5 /(х, y)d* + jjdy j f(xty)dx. Отв. j d* J f(x,y)dy.
6 1 i 1 2 Од:
Вычислите следующие двойные интегралы:
х
Ю. \ \ -^dxdy, где область (Р) ограничена параболой г/ = а:2 + 3, прямыми
'(Я)
12- \ \si
1 ]/лЗ
у = 4х, * = 0. 0/тгв. -j + ln -^-.
11. \ \ (х2 + у) dx dy, где область (Р) ограничена параболами у = х2, у2 = х
(Я)
Cme- до-
sin (х +у) dx dy, где область (Я) ограничена прямыми у^=х, */+* =
= у, */ = 0- Отв. у.
13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = smx, y = cosx>
x = Q.
Отв. /2-1.
14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у — 2х—х2, у — хъ
Ств. А.
15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ху=\, ху = 8, у2 = х,
у2 = 8х.
Отв. 7 In 2.
102

16. Найти объем тела, ограниченного цилиндром х2-\-у2 = 1 и плоскостями
х+У + г = 3, 2 = 0. Отв. Ззх.
X2 Z2
17. Найти объем тела, ограниченного цилиндром ^^+^г=1 и плоскостями
а2 ^ с2
У= — х, У = 0, 2 = 0.
~ abc
От. -Т.
18. Найти объем части цилиндра х2-\-у2 = 2х, стоящего на плоскости г = 0,
2
ограниченной плоскостью у = 0 и гиперболическим параболоидом z=xy. Отв. -~-.
19. Найти объем тела, ограниченного гиперболическим параболоидом г=ху,
цилиндрами у — х2, у2 = х и плоскостью 2 = 0. Отв. у~.
20. Найти объем тела, ограниченного параболоидом вращения z=x2 + y2,
3
плоскостями г/ = б — х, у = 2х, г/=1, у — О. Отв. 89^н.
21. Найти объем тела, ограниченного параболоидом z = x2-\-y2 — l и
плоскостью г = 0. Отв. -х-.
§ 7. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
Нам хорошо известны роль и значение метода замены
переменной при вычислении обыкновенного определенного интеграла.
Аналогичный метод замены переменных используется и при
вычислении двойных интегралов. Изложение этого вопроса мы
начнем не с общего случая преобразования двойного интеграла
к новым (так называемым криволинейным) координатам, а с
рассмотрения частного случая такого преобразования —преобразования
к полярным координатам г и 0, являющимся простейшим и
важнейшим примером криволинейных координат.
Итак, пусть мы имеем двойной интеграл:
1 = \\ f(*> y)dxdy, (l)
(Р)
где функция f(xy у) непрерывна в замкнутой области (Р). Будем
считать, что контур этой области пересекается каждой прямой,
проходящей через начало координат, не более чем в двух точках (рис. 40).
В случае сложного контура часто удается разбить область (Р) на
конечное число частей
указанного выше типа, и тогда
данный интеграл представится
суммой интегралов по этим
частям.
Итак, вернемся к интегралу
(1) и преобразуем его от
прямоугольных координат к
полярным координатам г и 0. При
выводе формулы
преобразования мы воспользуемся, хотя и
не вполне строгим, но простым
и наглядным, геометрическим
методом рассуждений.
Рис. 40
103

ч
0
/V
яМ(х,у)
1^
х х
Рис. 41
Рис. 42
Отнесем область (Р) к полярным координатам г, Э, приняв ось
ОХ за полярную ось, а начало координат за полюс. В этом
случае, как легко установить (рис. 41), прямоугольные координаты
связаны с полярными простыми соотношениями:
# = /-cos0, у — rsin©.
(2)
Для того чтобы получить все точки плоскости ОХУ, очевидно,
достаточно ограничиться значениями г^О и 0<:6<2я.
Напомним, что двойной интеграл (1) определен нами как предел
интегральной суммы
/=1
(3)
Поскольку этот предел не зависит от способа разбиения области (Р)
на части, то мы можем разбить эту область по своему усмотрению.
Рассмотрим такое дробление области (Р), чтобы легче было
осуществить преобразование двойного интеграла (1) к полярным
координатам, именно: разобьем область (Р) с помощью семейства
концентрических окружностей с центром в полюсе (что соответствует
г = const) и семейства лучей, исходящих из полюса О (что соответствует
0 = const). Пусть этому разбиению области (Р) отвечает
интегральная сумма (3).
Из рисунка 42 видно, что частичная область (Р/) (/=1, 2, ...,
п) представляет собою криволинейную фигуру, ограниченную двумя
дугами концентрических окружностей радиусов rki r*+1 и двумя
отрезками лучей, проведенных под углами 0Z и 0/+1. Мы ограничимся
рассмотрением «правильных» участков (Р,), лежащих внутри области
(Р). Можно показать, что доля, которую вносят в интегральную
сумму «неправильные» участки, расположенные вдоль контура
области (Р), становится сколь угодно малой по мере того, как
разбиение становится все более и более мелким. При достаточно
мелком дроблении области (Р) на части фигуру (Pi) приближенно
можно считать прямоугольником со сторонами Ark и гЛД0/*, где
* Напомним, что длина дуги окружности равна радиусу, умноженному на
радианную меру центрального угла.
104

^ = ^+1—^1 Д©/ = ®/+i — ©/, при этом угол АО/ выражен в ра«
дианах; таким образом, площадь Pt этой фигуры приближенно равна
площади указанного прямоугольника: Pi^^rkArkk®i. Точное значе*
ние площади этой фигуры равно разности площадей двух круговых
секторов:
Pi = \ (г* + Аг,)2 Дв, --J- г|Ав/ = rk Дг* Дв, + \ Д/ЦД0,.
Следовательно, отброшенная нами величина уД/^Дв/ является
бесконечно малой более высокого порядка, чем произведение Arkk®i\
так что величина rkArkA®t выражает собой главную часть
элемента площади Р[.
Далее, согласно формулам (2) для произвольно выбранной точки
(1/, r\i) из (Pi) будем иметь:
li = r'k cos Q'r, 4i = rk sin Qi,
где r'ky ®i— полярные координаты точки (?*, r\i). В частности, можно
положить r'k = rky ®i = @h то есть в качестве точки (&, i\i) мы берем
угловую точку на контуре частичной области (Pi) с полярными
координатами rk и 0/ (мы ведь знаем, что выбор точек (!¦/, г],)
в частичных областях не влияет на предел интегральной суммы),
так что ?; = /'fcCOS©/; r\i = rksin®i. Подставляя эти значения
в интегральную сумму (3), получим приближенное равенство:
<т=У; ffc, т!ОР/^2/(^СО80ь rk sin 0,) rk Дг*Д0,.
i=\ k,i
Это приближенное равенство будет тем точнее, чем мельче
разбиение области (Р) на части, и, очевидно, в пределе, когда Х-+0
(где X—по-прежнему длина наибольшего диаметра частичных
областей), мы получим точное равенство:
п
lim V / (lh ч) Pi= hm J] f (rk cos ®u rk sin 0,) гАДгЛДе,. (4)
k-+ofrx b-+0k,i
Слева здесь стоит предел интегральной суммы для непрерывной
функции f (х, у), а справа —предел интегральной суммы также
для непрерывной функции /(rcos0, r sin 0) г. Поэтому пределы
этих сумм существуют и равны соответствующим двойным
интегралам; так что окончательно находим:
§§/(*» y)dxdy = §f(rcosQ, r sin0) rdr d®. (5)
(Р) (Р)
Формула (5) выражает правило замены переменных в двойном
интеграле при переходе к полярным координатам. Его можно
сформулировать так:
Для того чтобы преобразовать двойной интеграл в
прямоугольных координатах в интеграл в полярных координатах, надлежит:
105

1) в подынтегральной функции f(x, у) заменить х и у их вы-
ражениями (2), 2) элемент площади dx dy в прямоугольных
координатах заменить произведением rdrdQ (которое
называется элементом площади в полярных координатах).
Отметим, что в самой записи формулы (5) нами допущена
некоторая неточность, которая все же не помешает нам правильно
применять эту формулу в примерах. Дело в том, что понятие
интегральной суммы было введено нами в предположении, что
аргументы х и у функции f (х, у) изображаются как прямоугольные
координаты точек из области интегрирования. Однако г и 0 — не
прямоугольные координаты. Поэтому сумма, состоящая в правой
части равенства (4), не является интегральной суммой в области (Р).
Ниже, при подробном рассмотрении общего вопроса о замене
переменных в двойных интегралах (см. § 10), будет указано, что в
правой части формулы (5) следует записывать интеграл с тем же
подынтегральным выражением f (r cos 6, rsin©) rdrdQ не по области
(Р), а по некоторой другой области (Q), в которой величины г и 0
откладываются по прямоугольным осям. Здесь же мы ограничимся
условной записью формулы (5) в том виде, как она приведена
выше. Как мы увидим немного ниже, для вычисления интеграла
из правой части формулы (5) достаточно знать вид области (Р).
Если в формуле (5) положить / (х, у) = 1, то в силу формулы (4) § 2
мы получим выражение для площади области интегрирования (Р)
в полярных координатах:
P = ^rdrd®. (6)
(Р)
Переходим к вопросу о вычислении двойного интеграла в
полярных координатах. Вычисление двойного интеграла в полярных
координатах, как и в случае прямоугольных координат,
осуществляется путем того же правила приведения его к повторному
интегралу; при этом здесь роль переменных х и у играют
переменные 0 и г. Применяя упомянутое правило, мы сперва
отмечаем крайние значения аир полярного угла 0, то есть отмечаем
наименьшее и наибольшее значения угла 0 для точек,
принадлежащих контуру области (Р). Из
рисунка 43 видно, что угол а
соответствует точке Л, а угол Р — точке В
контура. Точки А и В разбивают
контур области (Р) на две части:
АСВ и ADB, уравнения которых
соответственно обозначим через
ri = M®) и г2 = г2(0),
где /'j 0 и г20 — однозначные
непрерывные функции от переменной 0,
Рис. 43 заданные в промежутке [а, Р].
У]
~Q
8i
i 11
\l/jk
' /
/IP)
V
/y2=rs(6;
~ T
106

После того как пределы а и р внешнего интегрирования по 0
установлены, нетрудно определить пределы внутреннего
интегрирования по г. Для этого фиксируем произвольное значение угла Э
между аир, затем из полюса О под углом 0 проводим луч OD.
Точка входа этого луча в область (Р) (на рис. 43 — точка С)
лежит на кривой г1 = г1 (0), а точка выхода его из области (на рис. 43 —
точка D) лежит на кривой г2 = /*2(0). Уравнения этих линий
и дают соответственно нижний и верхний пределы внутреннего
интеграла (этот прием соответствует определению пределов для у).
Определив пределы интегрирования повторного интеграла, мы
приходим к следующей формуле:
0 г2(в)
55/(г cos 0, rsin0) rdrd@ = ^d@ 5 f(rcos0, rsin0)rdr, (7)
(P) a /4(6)
где r1(Q) и r2 (0) — известные функции от 0.
Заметим, что другой порядок интегрирования, то есть сперва
по 0, а затем по г, употребляется крайне редко, и мы на нем не
будем останавливаться.
Формула (7) соответствует тому случаю, когда полюс лежит вне
области интегрирования (Р) (см. рис. 43). Если же полюс будет
расположен внутри области (Р) и любой луч, проведенный из
полюса, пересекает контур области (Р) не более чем в одной точке
(рис. 44), то формула (7) упрощается и принимает следующий вид:
2л г(0)
JJ/(r cos в, rsmB)rdrde = $ d@ $ / (rcos©, rsin@)rdry (8)
(P) 0 0
где г = г (0) — уравнение контура области (Р) в полярных координатах.
Замечание 1. При вычислении двойных интегралов переход
от прямоугольных координат к полярным особенно полезен в том
случае, когда область интегрирования (Р) есть круг или часть
круга или когда подынтегральная функция содержит в себе
двучлен вида х2 + у2 (при переходе к полярным координатам двучлен
х2-\-у2 заменится очень простым одночленом г2). Разбирая
приведенные ниже примеры, читатель легко убедится в обоснованности
этого замечания.
Замечание 2. Часто вычисление
двойного интеграла упрощается заменой
прямоугольных координат х и у так
называемыми обобщенными полярными
координатами г и 0, переход к которым
осуществляется по формулам:
A: = arcosft0, y = br sin* 0 (r^O), (9)
где a, b и k — надлежащим образом
подобранные постоянные. В данном случае 0
Рис. 44
107

Рис. 45
Рис. 46
уже не является углом наклона
полярного радиуса г к оси ОХ,
как это было в обычной полярной
системе координат. В этом случае
элемент площади dx dy следует
заменить выражением
ab kr cos*"1 0 sin в*"10 dr d6,
что вытекает из правила,
установленного в § 10.
Пример 1. Вычислить объем тела,
вырезанного цилиндром x2 + y2 — Rx из
шара x2 + y2 + z2^R2 (рис. 45)*.
В силу симметрии тела относительно
плоскостей OXY и OXZ мы можем
ограничиться вычислением объема четвертой
части указанного тела, расположенной,
например, в первом октанте. Поскольку
эта часть тела ограничена сверху
поверхностью z = ]^R2 — х2 — у2, основанием его
является полукруг (Р), ограниченный
дугой окружности x2-\-y2 = Rx и осью ОХ
(рис. 46), то для искомого объема мы
будем иметь:
l/ = 4^ Yw — & — y*dxdy.
(Р)
Так как областью интегрирования является полукруг, а подынтегральная
функция содержит в себе выражение х2-\-у2, то для вычисления этого интеграла удобно
перейти к полярным координатам (см. замечание 1).
В соответствии с правилом преобразования (см. формулы (2) и (5)), находим:
1/ = 4 ^5 VR2-r2rdrd®.
(Р)
Прежде чем перейти к повторному интегралу, отметим, что уравнение окружности
x2-\-y2 = Rx (согласно формулам (2)) в полярной системе координат принимает вид:
л
r = RcosSt и из рисунка 46 видно, что в меняется от 0 до -^- (это и будут
пределы внешнего интеграла). Пределы внутреннего интеграла по г определяются
л
так: фиксируем произвольное значение 0 между 0 и у, затем из полюса О под
углом Э проведем луч; точка входа этого луча в область (Р) есть полюс О, а точка
выхода его из области лежит на дуге окружности r = /?cos6. Значит, пределами
интегрирования по г соответственно и будут 0 и R cos G. Поэтому
* Это так называемая задача Вивиани (1622—1703), по имени итальянского
математика, который первым занимался данной задачей.
108

2 R cos 0
l/ = 4 [ [ }/R2-r2rdrd®=4 [ d® { VR2 — r2rdr =
{P)
2
-45
(#2_Г2)2
flCOS0
5.
2
d®
=4$
(#3—#3Sin30)d0 =
-4*
71 2
+ \ (l—COS20)dCOS0
~t*3 (т"ту
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
Так как л: и у входят в уравнение только в четных степенях, то кривая
симметрична относительно осей координат. Из уравнения кривой видно, что начало
координат есть единственная ее точка пересечения с осью OY, а с осью ОХ она
часть уравнения неотрицательна,
у* е-?
4
пересекается еще и в точках х=-±а. Левая
значит, х2 — у2 :> 0. Отсюда
х2 ^ у2 и, стало быть, | х | ^ | у |.
Последнее неравенство
свидетельствует о том, что кривая
расположена в двух
вертикальных углах между биссектрисами
координатных углов (там, где
находится ось ОХ). Легко
видеть, что кривая ограничена:
из самого уравнения ясно, что
хА ^ а2х2*, то есть х2 ^ а2; так
что | х | ^ | а |, а так как
1И^|*|, то и \у\^\а\-
Таким образом, абсциссы и ор- Рис. 47
динаты точек кривой
ограничены, значит, ограничена и сама кривая. Этих соображений уже достаточно, чтобы
представить себе вид данной кривой (рис. 47).
Ввиду симметрии фигуры относительно осей координат можно вычислить
площадь части фигуры, расположенной в первой четверти, и результат умножить
на 4. Если эту часть мы обозначим через (Pi) —она же будет и областью
интегрирования,—а площадь всей фигуры обозначим через Р, то Р = 4 \\dxdy.
Здесь выгодно перейти к полярным координатам, так как в уравнение кривой
входит выражение х2-\-у2у которое сильно упрощается в полярной системе
координат. После преобразования по формулам (2) уравнение лемнискаты в полярных
координатах принимает следующий вид:
г2 = a2 cos 26, или г — а У cos 20 . Из рисунка 47 видно, что в области интегриро-
я**
вания (Рх) угол 0 изменяется в пределах от 0 до ——, а при фиксированном 0
* Запишем уравнение кривой в виде (х2-\-у2)-\-а2у2 = а2х2. Отсюда х*^а2х2.
** При построении кривой следует учесть, что г уменьшается от а до 0,
л
когда 0 возрастает от 0 до -^-.
109

между этими пределами полярный радиус г изменяется в пределах от 0 до аУ cos20.
В таком случае
4
4
a Ycos 28
^ = 4 J $ dxdy = 4$ dS $ rdr = 2^ (r2)
(Pi) 0 0 0
a V cos 29
d0 =
4 4
= 2a2 f cos 20 de = a2 sin 20 I = a2
о о
Пример З. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей кривой (х + у)3 =
= аху, а > 0.
Исследуем форму кривой. Во-первых, кривая не может быть расположена
в третьей четверти (ибо в этом случае правая часть уравнения положительна,
а левая —отрицательна). Во-вторых, кривая симметрична относительно биссектрисы
первого координатного угла (так как при перестановке местами переменных х и у
уравнение не меняет своего вида). Далее, если мы рассмотрим часть кривой,
содержащуюся в первой четверти (х^>0, у^О), то легко убедиться в том, что
она ограничена. Действительно, из самого уравнения непосредственно следует,
что Зх2у^аху и, значит, х^.-^-; аналогично у^-*-. Отсюда следует
ограниченность кривой в первой четверти. В этом также можно убедиться и с помощью
следующих соображений: из уравнения кривой видно, что при больших
положительных значениях х и у невозможно равенство левой и правой частей, ибо левая
часть его растет вместе с х и у как третья степень, а правая —как вторая, то есть
левая часть растет быстрее правой. Эта разница в порядке роста левой и правой
части уравнения говорит о том, что в первой четверти кривая не может уходить
в бесконечность.
Итак, кривая ограничена в первой четверти, а если к тому же учесть, что
кривая пересекается с осями координат только вначале, то кривая образует в
первой четверти петлю, симметрично расположенную относительно биссектрисы.
Наконец, если х и у разных знаков, то несоответствия в порядке роста между
правой и левой частями уравнения уже не будет (так как в этом случае в левой
части уравнения под знаком третьей степени производится вычитание, а не
сложение больших чисел). Значит, во второй и четвертой четвертях могут быть
уходящие в бесконечность от начала две ветви кривой, симметрично расположенные
относительно биссектрисы первого координатного угла. Кривая действительно
имеет эти ветви, и в наличии их можно
убедиться при более подробном исследовании
уравнения. Примерный вид кривой
изображен на рисунке 48.
Переходя к вычислению площади Р
петли кривой, заметим, что в данном случае
проводить выкладки в прямоугольных
координатах не представляется возможным (так
как уравнение кривой нельзя явно
разрешить ни относительно х, ни относительно у),
а переход к обычным полярным координатам
также не дает желательного упрощения
уравнения кривой.
В данном случае удобно использовать
обобщенные полярные координаты (см. з а-
мечание 2) и положить * = rcos20,
y — rsm2Q (эта подстановка сильно
упрощает сумму х-\-у). В результате такого
преобразования уравнение данной кривой при-
Рис. 48
ПО

нимает следующий вид:
г =а cos2 G sin2 в или г = -^-sin2 2 0. (10)
Найдем пределы интегрирования для повторного интеграла. Из рисунка 48 видно,
что, когда точка М (я, у), выходя из начала координат, пробегает петлю
(против часовой стрелки) и опять возвращается в начальное положение, полярный
радиус г точки М в это время начинает свое изменение от 0 и снова
возвращается к 0. Но из полярного уравнения кривой (10) видно, что г = 0 при 6=0 и
0 = —; следовательно, это и есть пределы внешнего интегрирования по 0.
Пределами внутреннего интеграла по г будут 0 и j sin2 2 0.
При переходе к новым коррдинатам согласно замечанию 2 элемент
площади dx dy следует заменить на 2r cos 0 sin 0 dr d®, то есть на г sin 20 dr d®.
Учитывая все сказанное, находим:
\ f sin* 20
P = $$d*dy = $$/'sin2edrde = $ sin 20 d® J rdr =
(P) (P) о о
Jl Я JT
T ~ sin* 20 T 2
= [ sin 0 fy\ I d® = ^ [ sin520 d® = -^[ (1 -cos2 20)2 d cos 20 = gi.
0 0 0
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Сформулируйте правило преобразования двойного интеграла к полярным
координатам.
2. В каких случаях вычисление двойных интегралов целесообразно
производить в полярных координатах?
3. В каких случаях после перехода к полярным координатам пределы
интегрирования будут постоянными?
С помощью перехода к полярным координатам вычислить следующие
интегралы:
4. I I 1/ « 2 \dxdy, где область (Р) определена неравенствами х2 +
(Р)
+ */2^1, д;^о, у^0. Отв. Я(Л~2\
о
в f С 1п(л;2 + ^/2)
\ \ —2_l 2 "*"#> гДе и) есть кольцо между окружностями радиусов
(Р)
ей 1 с центром в начале координат. Отв. 2я.
6. ^\ ex2Jry~ dx dy, где (Р) есть круг радиуса а с центром в начале коорди-
(Р)
нат. Отв. 2л (еа* — 1).
7. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (х2-\-у2)2=^2а2 ху.
Отв. а2.

8. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (дс2 + г/2)3 = a2 (jc4 + г/4).
3
Отв. — па2.
4
5
9. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (х2 + у2)2 = ах3. Отв. -^па2.
(х2 N2
10. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой 1-г- + 9у2\ = 4л:2.
Указание. Перейти к обобщенным полярным координатам: * = 2rcos0, у =
= -=р- г sin О . Отв. -^ л.
11. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей кривой (х + г/)4 = х2у.
Указание. Перейти к обобщенным полярным координатам: x = r cos2 О,
# = rsin20. Отв. 2Jq-
Переходя к полярным координатам, найти объемы тел, ограниченных данными
поверхностями:
12. *-f z + # = 3a, x2 + y2 = a2, z = 0. Ome. Зла3.
4
13. г = тл;, х2 + #2 = а2, z = 0. Отв. -jr-^3-
14. г = *2+#2, х2 + у2 = х, х2 + у2 = 2х, г = 0.
15. z = x2 + y2, z = x + y.
Отв.
8 *
§ 8. ОТОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ
Пусть даны две плоскости, на одной из которых построена
прямоугольная система координат OXY, а на другой — прямоугольная
система координат OU V.
Рассмотрим на плоскости OXY некоторую область (Р), а на
плоскости OUV—область (Q) (рис. 49). Каждая из указанных
областей может быть и неограниченной, в частности представлять
всю плоскость.
Пусть заданы функции
х = х(и, v), y-=y(u, v),
(1)
устанавливающие взаимно однозначное соответствие
между точками (и, и) области (Q) и точками (х, у) области (Р).
112

Последнее, как известно, означает, что каждой точке {и, v) из
области (Q) соответствует одна и только одна точка (х> у) из
области (Р), причем каждая точка (х, у) из области (Р)
оказывается соотнесенной одной и только одной точке (и, v) из (Q).
Из сказанного следует, что не только функции х(и, v), у {и, v)
однозначны, но и что уравнения (1) однозначно разрешимы
относительно переменных и, v и, стало быть, последние также
являются однозначными функциями от х и у в области (Р):
и = и(х, у), v = v(x, у). (2)
Таким образом, формулы (1) преобразуют (или отображают)
область (Q) на область (Р), а формулы (2) производят обратное
преобразование области (Р) на область (Q). Поэтому формулы (1)
и (2) часто называют формулами преобразования одной области
в другую. Если область (Р) охватывает всю плоскость OXY,
а область (Q) — плоскость OUV, то формулы (1) (или (2))
осуществляют взаимно однозначное преобразование одной плоскости на
другую.
Если функции х(и, v), у (и, v) непрерывны, то с помощью
формул преобразования (1) любая непрерывная линия Lx*, лежащая
в области (Q), перейдет в непрерывную же линию L в области (Р)
(эту линию называют иногда образом линии Lx), и, обратно, если
функции и (х, у) и v (х, у) непрерывны, то любая непрерывная
линия в области (Р) с помощью преобразования (2) перейдет в
соответствующую ей непрерывную линию в области (Q).
Так как по заданной паре значений переменных и и v из области
(Q) можно однозначно определить не только положение точки
№' (и, v) в самой области (Q), но и положение соответствующей
точки М(х, у) в области (Р) (см. рис. 49), то это дает основание
числа и и v рассматривать как некоторые координаты точки М
из области (Р). Эти числа и и v называются криволинейными
координатами точки М.
Рассмотрим в плоскости OUV прямую u = u0 = const. С помощью
формул преобразования (1) она перейдет в некоторую линию
плоскости OXY (рис. 50). Именно полагая в уравнениях (1) и = и0,
мы получим уравнения этой линии:
x=x(u0t v), y=y(u0t v). (3)
Эти уравнения представляют собой параметрические уравнения
указанной линии (роль параметра здесь играет v). Неявное
уравнение ее и(х, у)=и0 непосредственно находится из первого
уравнения (2), если в нем положить и = и0. Точно так же каждой
прямой y=y0 = const плоскости OUV с помощью того же
преобразования (1) будет соответствовать некоторая линия в плоскости OXY,
* То есть линия, определяемая явным или параметрическими уравнениями,
содержащими непрерывные функции.
113

M U(X,VJ=Uo
параметрическими уравнениями которой будут:
х=х(и, v0), y=y{u, vQ).
(4)
Неявное уравнение ее v (x9 y) = v0 находится из второго
уравнения (2), если в нем положить v = vQ. Таким образом, линии (3)
и (4) характеризуются тем, что вдоль каждой из них одна из
криволинейных координат и или v остается постоянной. Такие линии
принято называть координатными линиями, причем в общем случае
ати линии будут кривыми (рис. 50). Этим, в частности, и
объясняется тот факт, что числа и, а, однозначно характеризующие
положение точки в плоскости OXY, называются криволинейными
координатами точки.
Если теперь координате и придавать различные постоянные
значения, то в плоскости OXY мы получим целое семейство
координатных линий. Точно так же различным закрепленным значениям
координаты v будет соответствовать другое семейство координатных
линий в плоскости OXY.
Ввиду взаимно однозначного соответствия между точками
области (Q) и точками области (Р) различные координатные линии
одного и того же семейства не пересекаются между собой и через
каждую точку М (х, у) области (Р) пройдет по одной линии из
каждого семейства.
Таким образом, каждой сетке прямых a = const, a = const
на плоскости OUV будет отвечать сетка координатных линий
на плоскости OXY. Другими словами, каждая прямоугольная
сетка на плоскости OUV переходит в криволинейную сетку на
плоскости OXY (рис. 51).
Простейшим примером криволинейных координат могут служить
полярные координаты гиб, которые, как известно, связаны
с прямоугольными координатами х и у формулами
x = rcos®, y = rs'm®.
(5)
Здесь u = r, u = G.
Если теперь переменные г и 0 будем рассматривать не как
полярные координаты точки в плоскости OXY, а как прямоуголь-
П4

Yh
u=u0
v=v0
X
Рис. 51.
l/J
Vo
0
,
/
/
L
У
\
/'
S
•*T"
^Li ^
n
IN
fp)
J
Y
1
- U
X
V
\
\
1
f
Uo
и
ные координаты точки в другой плоскости OR®, то формулы (5)
каждой точке (г, 0) плоскости OR® сопоставляют одну
определенную точку плоскости OXY. Однако легко видеть, что это
отображение не взаимно однозначно. Это видно хотя бы из того что
различным точкам (/*, 0) и (г, 0 + 2kn) (где k — целое) плоскости OR®
отвечает одна и та же точка (х, у) плоскости OXY. Более того,
целой прямой г = 0в плоскости OR® соотношения (5) сопоставляют
всего лишь одну точку (0, 0) плоскости OXY.
Для того чтобы с помощью преобразования (5) получить все
точки плоскости OXY9 достаточно взять г^О, О^0<^2я. Эти
условия означают, что точки (г, 0) не выходят из полосы (Q),
изображенной на рисунке 52.
Указанная полоса отображается с помощью преобразования (5)
на всю плоскость OXY, и это отображение взаимно однозначно
во всей внутренней части полосы, то есть взаимная однозначность
нарушается только в точках ее контура.
В силу формул (5) прямым 0 = const, r = const плоскости OR®
отвечают соответственные лучи, исходящие из начала под углом 0
к оси ОХ, и окружности радиуса г с центром в начале (рис. 53).
Следовательно, в данном преобразовании одним семейством
координатных линий является семейство лучей, исходящих из начала,
другим —семейство концентрических окружностей с центром в начале.
115

в = const
ek
0
W/
'/
<i.
1
e=const
R
II
4
Рис. 53
Рассмотрим еще один пример. Пусть криволинейные координаты
заданы формулами
и=у, v = xy. (6)
Тогда, придавая и и v постоянные значения, получим уравнения
семейства координатных линий:
А = const, ху = const.
Первое семейство состоит из прямых, проходящих через начало
координат, а второе— из гипербол, для которых оси координат
служат асимптотами.
Рассмотрим в плоскости OUV прямоугольник (Q), ограниченный
линиями и = у,и = 2, г>==1,г> = 3. Эти линии с помощью формул (6)
отображаются в прямые # = ул:, у = 2х и гиперболы ху=1, ху = 3.
п
О
1
W,
VJn
Ш
YX/
II
^3
А
А
Л
СМ
II
3
... v-3
V=1
Ъ
Рис 54.
116

При этом формулы (6) устанавливают взаимно однозначное
соответствие между точками указанного прямоугольника на плоскости OUV
и точками криволинейного четырехугольника (Р) на плоскости OXY,
ограниченного линиями у=-^х, у = 2х, ху=\, ху = 3 (рис. 54).
§ 9. ПЛОЩАДЬ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Пусть по-прежнему соотношение (1) предыдущего параграфа
взаимно однозначно отображает ограниченную область (Q) в
плоскости OUV на область (Р) плоскости OXY. Будем предполагать
далее, что функции х(и, v), у (и, v) не только непрерывны, но
и имеют непрерывные частные производные (первого порядка)
по и и v.
Поставим задачу: найти выражение площади области (Р) с
помощью криволинейных координат и и и*.
Решение этой задачи мы проведем на основе нестрогих
геометрических соображений, сходных с теми, которыми мы пользовались
в § 7. Однако полученная ниже формула может быть доказана
и строгим путем.
Разобьем область (Q) на частичные области при помощи прямых,
параллельных осям 0U и 0V. Тогда область (Р) в силу
преобразования (1) разобьется соответствующими координатными линиями
на некоторые элементарные криволинейные четырехугольники.
Рассмотрим какой-нибудь внутренний элементарный прямоугольник
(AQ) в плоскости OUV с вершинами в точках
А'{и, v), В'(и+Аи, v), Cf (u + Au, v + Av), D' (и, v + Av)
(где Аи>0 и Ди>0) и соответствующий ему элементарный
криволинейный четырехугольник (АР) в плоскости OXY (рис. 55) с
вершинами
А(х(и, v), у (и, v)), В (х (и + Аи, v), у (и + Аи, v)),
С (х (и + Аи, v + Av), y(u + Au, v + Av)), D(x(u,v + Av), y(u, v + Av)).
Найдем его площадь АР.
У,
У
О
1
\0<
J
С
s(*P)\b
А
>
* X
V+uV\
О
Рис. 55
о' с
А'
иа)
в'
и и+ди и
Мы предполагаем, что области (Р) и (Q) квадрируемы.
117

Приступая к вычислению площади криволинейного
четырехугольника ABCD, заметим, что для достаточно малых Аи и Av дуги его
АВ, ВС, CD, DA тоже будут весьма малы, и поэтому приближенно
их можно считать прямолинейными; кроме того, приращения
функций х(и, v) и у (и, v) с большой точностью можно заменить
соответствующими дифференциалами. Таким образом, пренебрегая
бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с бесконечно
малыми Аи и Av, будем иметь:
х(и-\-Аи, v) — x(u, v)^=ixu(u, v) Au,
отсюда
х(и + Аи, v)^^x(u, v) + x'u(u, v) Au.
Аналогично этому будет:
х(и-\-Аи, v-\-Av)^x(u, v) + x'u(u, v) Au + x'v(u, v) Av,
x(u, v + Av) я^ x (и, v) + Xv (u, v) Av.
Точно так же
y(u + Au, v)^y(u, v) + y'u(u, v)Au,
y(u + Au, v + Av)p^y(u, v) + y'u(u, v)Au + y'v(u, v) Av,
y(u, v + Av)^y(u, v) + y'v{u, v)Av.
Тогда вершины четырехугольника ABCD можно записать со
следующими приближенными значениями координат: А (х, у) (это
точное значение), В(х + х'иАи, у + у'иАи), С (х + хи Аи + x'v Av,
y-\-yuAu-\-y'vAv), D (x + x'vAv, y + y^Av), где для краткости
положено х(ц, v)=x, у (и, v) = y и все производные вычислены
в точке (и, v).
Координаты этих точек показывают, что проекции отрезков АВ
и CD на обе оси координат соответственно равны; отсюда следует,
что и сами отрезки равны и параллельны. То же можно сказать
и об отрезках AD и ВС. Таким образом, с точностью до бесконечно
малых высших порядков криволинейный четырехугольник ABCD
можно рассматривать как обыкновенный параллелограмм. Поэтому
площадь четырехугольника (АР) приближенно равна удвоенной
площади треугольника ABC. Из аналитической геометрии известно,
что удвоенная площадь треугольника с вершинами А (хъ уг), В (х2, у2),
С (х3, уз) равна абсолютной величине определителя
\х2—x-i уг—У А
|-^з Х2 Уз — У2 I
В данном случае согласно этой формуле площадь криволинейного
четырехугольника ABCD (с точностью до бесконечно малых выс-
118

шего порядка) равна абсолютной величине определителя
х'иАи у'иАи
x'vAv y'vAv
%и Уи
xv yv
Аи Av.
Введем обозначение:
I (и, v) =
Хц
Ху
Уи
y'v
Такой определитель уже встречался в гл. XV, § 6. Напомним, что
он называется якобианом. Иначе его называют функциональным
определителем функции x(uf v), у (и, v).
Таким образом, из вышесказанного следует, что значение
площади АР элементарного четырехугольника выразится
приближенным равенством
AP^\I(u, v)\AuAv. (1)
Выражение в правой части обычно называется элементом площади
в криволинейных координатах.
Например, в случае преобразования полярных координат с
помощью формул (5) §8 имеем: xr = zos в, x'q= — г sin в, y'r = sin0, y'Q =
= rcos©, так что
I cos 0 sin 0 |
I—rsin© г cos©
ЦГ, в):
==r.
Значит, для элемента площади в полярных координатах получим
выражение rdr d0, с которым мы уже встречались ранее, в §7.
Так как Аи Av = AQ—~площадь прямоугольника A'B'C'D', то
из равенства (1) находим:
\I(u, v)\
АР
JAQ'
Это приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше Аи и Av.
Следовательно, в пределе при стремлении Аи и Av к нулю, то есть
при сжатии области (AQ) в точку (и, v) получим точное равенство:
/ (и, v) | =lim
АР
AQ*
Величина | / (и, v) | показывает, во сколько раз увеличивается или
уменьшается элемент площади в окрестности точки (и, v)
плоскости OUV при отображении ее (с помощью формулы
преобразования (1) §8) в окрестность соответствующей точки (л:, у) в плоскости
OXY\ таким образом, абсолютная величина функционального
определителя (якобиана) является как бы коэффициентом «растяжения»
области (Q) (в данной ее точке (и, v)) при отображении ее на
область (Р).
119

Для сравнения покажем, что
аналогичным свойством обладает и
производная от функции одной
переменной. Действительно, пусть с помощью
непрерывной, возрастающей и
дифференцируемой функции y = f(x)
отрезок [а, Ь] оси ОХ взаимно однозначно
отображается на отрезок [с, d] оси О У
(рис. 56). Возьмем точку х0 из [а, 6],
зададим Ах Ф О (А* может быть
любого знака) и рассмотрим отрезок от х0
до х0 + Ах. Этот отрезок отображается
с помощью функции у = f (х) на
отрезок от г/о До Уо + Ау, где Дг/=
=/(*о + Д*) — /(*<>)• Отношение длин этих двух отрезков равно -г|
(так как функция f (х) возрастающая, то Ау и Ах одного знака),
а /'(*0) = lim ty
К аналогичному результату мы придем и тогда, когда
функция f (х) убывающая. В этом случае отношение длин указанных
1 АУ I
Л*
Х0 Х0+АХ
Рис. 56
отрезков выразится величиной
, предел которой равен |/'(*о)1-
Таким образом, в обоих случаях значение | /' (х0) | может быть
истолковано как коэффициент «растяжения» отрезка [а, Ь] в точке х0
при его отображении на отрезок [ct d].
Рассуждая теперь так же, как при выводе формулы перехода
в двойном интеграле к полярным координатам, просуммируем
площади всех элементарных четырехугольников, получим приближенное
выражение для площади фигуры (Р):
Ря**2|/(и, v)\AuAv.
(2)
Это равенство тем точнее, чем мельче разбиение области (Q) (а
вместе с ней и области (Р)). Переходя к пределу при max Au -> О
и max До-> 0, мы получим точное равенство. Но сумма в правой
части формулы (2) представляет интегральную сумму для интеграла
ЭД |/ (и, v) | du dv,
(Q)
из которой лишь выброшены слагаемые, отвечающие «неправильным»
участкам, расположенным вдоль контура области (Q). Поскольку
доля, вносимая в интегральную сумму «неправильными» участками,
становится сколь угодно малой по мере того, как разбиение
становится все более и более мелким, переход к пределу в
приближенном равенстве (2) приводит нас к точной формуле
Р = ^|/(и, v) \du dv.
(Q)
(3)
120

§ 10. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Пусть дан двойной интеграл
I = ]\f(x, y)dxdy, (lj
где функция f (х, у) непрерывна в ограниченной области (Р). Если
функции
х = х(и, v), у = у(иу v) (2)
непрерывны вместе со своими частными производными (первого
порядка) в ограниченной области (Q) и взаимно однозначно
отображают эту область на область (Р), то имеет место следующая
формула замены переменных в двойном интеграле:
\\f(x, y)dxdy=\\f(x(u> v), у (и, v))\l (щ v)\dudv,* (3)
(Р) «?)
где I (ut и) —якобиан для функций (2).
Эта формула выводится с помощью формулы (3) из предыдущего
параграфа.
Во-первых, отметим, что ввиду предположенной непрерывности
подынтегральных функций и непрерывности частных производных
существуют оба интеграла в равенстве (3). Нужно установить лишь
самое равенство. Напомним, что двойной интеграл (1) определен
п
нами как предел интегральной суммы or = 2 f (х*> #0 Л-- При этом
разбиение области (Р) и выбор точки Mt(xi9 yf) на каждом
участке (Pi) мы можем сделать произвольно. В связи с этим разобьем
область (Q) на части (Q,-) (/=1, 2, ..., я), например, прямыми,
параллельными координатным осям OU** и OV, и примем за (Pt)
образы частей (Q() при преобразовании по формулам (2). Тогда
по формуле (3) из предыдущего параграфа имеем следующие
выражения для площадей (Pi):
р/==^|/(и> v)\dudv (/==1, 2, ..., п).
По теореме о среднем значении на каждом участке (Qt) найдется
такая точка Nt (щ, vi), что
Pt = \I(uh vt)\Qi.
Примем за Mt образ точки Nit то есть будем считать, что xt =
= x(uif v^ yi = y(uiy vt). Тогда сумма о может быть записана
* Впервые отчетливое доказательство этой формулы было дано выдающимся
русским математиком М. В. Остроградским (1801—1861).
** Если при некотором преобразовании область (Q) отображается на область
(Р), то говорят иногда, что область (Р) есть образ области (Q).
121

в виде!
а==2] flx(ui> у0> y(ui* vi)]\I(ui> vi)\Qi- (4)
Последняя же сумма представляет интегральную сумму для
интеграла в правой части формулы (3).
Заметим, что если диаметр участка (Q,-) мал, то в силу
равномерной непрерывности функций (2) * будет мал диаметр и
соответствующего участка (Pi). Точнее, если наибольший из диаметров
областей (Q,) устремить к нулю, то и наибольший из диаметров
областей (Pt) также будет стремиться к нулю. Таким образом, если
в равенстве (4) перейти к пределу при одновременном устремлении
к нулю наибольшего из диаметров областей (Pi) и областей (Qt),
то слева получится интеграл (1), а справа двойной интеграл
\[f[x(u> у)> У(и> я)Ш(и» v)\dudv.
(Q)
Этим и завершается доказательство формулы (3), позволяющей
сводить вычисление двойного интеграла по области (Р) к вычислению
двойного интеграла по области (Q), что может упростить задачу.
Ввиду большой важности установленного результата придадим ему
форму следующего правила.
Правило замены переменных в двойном
интеграле. Для того чтобы преобразовать двойной интеграл (1)
к криволинейным координатам, нужно заменить в
подынтегральной функции f(x, у) переменные х и у их
выражениями (2), а элемент площади dxdy — его выражением
в криволинейных координатах.
Можно доказать, что это правило остается справедливым и в том
случае, когда взаимно однозначное соответствие между областями
(Q) и (Р) нарушается в отдельных точках или даже вдоль
отдельных кривых.
Если преобразование состоит в переходе к полярным
координатам u = r, v = ® по известным нам формулам x = rcos@,
у = г sin 0, то, как мы видели выше, \1 (г. 0) | = г и потому
формула (3) принимает вид:
\\f(x> y)dxdy = §f (r cos©, r sin©) r drd®.
(Р) (Q)
Эта формула и была по существу установлена нами в § 7
непосредственно для полярных координат. Однако там, несколько упростив
рассуждения, мы не рассматривали новой области интегрирования (Q)
и поэтому формулу преобразования интеграла записали в условном
виде (см. формулу (5) из § 7).
* Все области (Р;) и (Q,-) рассматриваются как замкнутые. То же относится
к областям (Р) и (Q).
122

о
щ
ы
о b
U
Что касается
практического выбора
криволинейных координат при
вычислении двойного
интеграла по области,
представляющей криволинейный
четырехугольник, то, как
правило, следует
руководствоваться следующим
соображением: если обе пары
кривых, цредставляющих
противоположные стороны этого четырехугольника, входят в состав
семейства (каждая —своего) кривых, заполняющих данную область
(криволинейный четырехугольник) и зависящих от одного параметра,
то именно эти два семейства удобно взять за аетку координатных
линий, а их параметры принять за криволинейные координаты
точек указанной области. Разъясним это на примере.
Пример. Найти площадь фигуры (Р), ограниченной параболами у = ах2,
у — Ъх2 (0 < а < Ь) и гиперболами ху = р, xy = q (0 < р < 4) (рис. 57).
Как известно, отыскание указанной площади сводится к вычислению интеграла
P = \\dxdy по области (Р). Непосредственное его вычисление в координатах х и у
(Р)
приводит к значительным затруднениям (предлагаем в этом непосредственно
убедиться). Однако, как мы увидим ниже, эта задача сразу облегчается, если
данный интеграл преобразовать к новым, криволинейным координатам. Действительно,
рассмотрим два семейства кривых (парабол и гипербол)
У~-
V
у
или -?-
xy = v.
(5)
Чтобы каждое из них заполняло нашу фигуру (Р), достаточно взять те значения
параметров и и v, которые удовлетворяют неравенствам a^u^b, p^v^q.
Легко видеть, что через каждую точку фигуры (Р) проходит одна и только одна
парабола у = их2, а также одна и только одна гипербола xy = v\ так что
указанные два семейства кривых образуют сетку координатных линий. Так как задание
этих двух кривых, то есть значений параметров и и v, однозначно определяет
точку фигуры (Р), то эти параметры естественно принять за криволинейные
координаты точек фигуры (Р) Областью изменения параметров и и v в
плоскости OUV будет прямоугольник (Q): [a^u^b, p^v^q], то есть фигура
более простая, чем (Р).
Далее, выразим х и у через и и v. Из уравнений (5) имеем
Отсюда
¦ v и
х7 =
¦ v
и
3 3
у = и v
^=у"
L .1
з з
yv-
Следовательно, якобиан преобразования равен:
1 4
'(«.*) = -9
— V U
_ 2_ _
3
U
JL JL
з з
v
и
2и 3 v
"Зи
123

и, значит, \1(и, о)| = — . Тогда согласно формуле (3) из § 9 находим:
ь q ь
Р-^|/(».в)|ЛЛ-|5$1лл-151л5л-1$1(?-р,Л-
КО)
= у Й—Р) In И
5 ln ~
3 а
§ И. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Пусть поверхность (5) задана явным уравнением
(1)
rXZI^^M^r/^J
причем ее проекция на плоскость OXY есть квадрируемая область (Р)
(рис. 58) и в этой области функция f(x,y) однозначна, непрерывна
и имеет непрерывные частные производные первого порядка по х
и у. Как известно, поверхность (1) при сделанных нами
относительно функции f (x, у)
допущениях имеет в каждой
точке М (х0, у0, z0)
поверхности касательную
плоскость ,(см. гл. XVI, § 3,
формула (8)):
Z — 20 = f'x(x0iy0)(X —
— x0) + fy(x0, y0)(Y—y0),
где X, У, Z — текущие
координаты касательной
плоскости, а х0, y0l zQ—
координаты точки
касания. Требуется найти
площадь поверхности (S).
Прежде всего
установим само понятие площади
поверхности. Разобьем область (Р) сетью кусочно-гладких кривых на
п произвольных частей: (Рх), (Р2), ..., (Рп). Через Р,- по-прежнему
обозначим площадь фигуры (Р/). Цилиндрические столбики,
построенные на каждой из них, как на основании, разобьют поверхность (S)
также на п частей: (SJ, (S2), ..., (Sn). Возьмем в каждой части
(P|.)(i = l, 2, ..., п) произвольно точку Ni(li, r|,), которой на куске
поверхности (Si) будет отвечать точка М/ (?,-, т],-, ?,-), где ?,• = /(&, 'ПО-
Построим в точке М/ касательную плоскость (7^) к поверхности
(S) и нормаль /г,- к этой поверхности (см. рис. 58). Если через yt
обозначить острый угол между этой нормалью и осью 0Z, то, как
Ч(Ш
Рис. 58
124

известно (гл. XVI, § 3), косинус этого угла выразится формулой
COSV;= . г, (2)
где p = fx(li, 4i), q = fy(&, Л*)-
Каждый из указанных выше цилиндрических столбиков с
основанием (Pi) вырежет на касательной плоскости (Tt) фигуру,
которую (чтобы не осложнять обозначений) мы также обозначим через
(7\-). Площадь ее обозначим через Tt.
Если разбиение области (Р) становится все более мелким и при
этом учесть, что поверхность (S) гладкая, то плоские фигуры (Tt-)
будут все ближе примыкать к соответствующему куску поверхности
(S). Поэтому естественно считать площадь Tt приближенной мерой
площади куска (Si) данной поверхности, а сумму всех таких
площадей
приближенным значением площади всей поверхности (S).
Условимся под площадью данной поверхности (S) понимать
предел последней суммы:
S = lim J] Тг
при условии, что А, — 0, где X—длина наибольшего из диаметров
частичных областей (Pi).
Покажем, что в данном случае этот предел существует и
выражается двойным интегралом:
S = \\ Vl + f'x2(Xi у) + Г; (х, у) dx dy. (4)
(P)
При этом, конечно, предел не зависит ни от способа разбиения
области (Р) на части, ни от выбора точек Nt (?,-, r|r-) в этих частях.
Действительно, угол yif между нормалью щ и осью OZ равен
углу между касательной плоскостью к поверхности в точке Mi и
плоскостью OXY. Поэтому для площадей плоских фигур (Tt) и (Pt)
(из которых вторая является ортогональной проекцией первой на
плоскость OXY) будем иметь:
pi = Ttcosyi9 откуда Т1 = ^^.
Значит, в силу (2)
Tt = Vl+P2 + q2Pi.
Напомним, что площадь проекции плоской фигуры на некоторую
плоскость равна площади проектируемой фигуры, умноженной на
косинус угла между содержащими их плоскостями. Подставляя это
125

значение Tt в сумму (3), получим:
a = ^V\ + fxs(h, y\d + fy3(ti, 4)Pi.
i = l
Полученная сумма является интегральной суммой для функции
ф(*. У) = у \+fx{x> У) + Гу2(*> У)-
Так как эта функция непрерывна в области (Р) (частные
производные непрерывны по условию), то предел этой суммы при Я —О
существует и равен двойному интегралу (4).
Замечание. Если поверхность (S) задана уравнением,
разрешенным относительно х или у, то есть х = у(у, г) или y = ty(x, г),
то для площади S этой поверхности имеют место аналогичные
формулы:
S = \\Vl+4y'{y, z) + q'z2 (у, z)dydz,
{В)
S = S\Vl+Vx(*> *)+*;'(*. z)dxdz9
(D)
(5)
(6)
где (В) и (D) — проекции поверхности (S) соответственно на
плоскости OYZ и OXZ.
Пример 1. Вычислить площадь части параболоида 2z = x2-\-y2, вырезанной
цилиндром лс2 + г/2=1.
Из рисунка 59 видно, что указанная часть поверхности состоит из четырех
равных между собой частей. Поэтому мы можем вычислить площадь одной
четвертой части указанной поверхности (например, той, которая находится в первом
октанте) и результат умножить на 4. Следовательно, для искомой площади 5
согласно формуле (4) будем иметь:
5 = 4
WVl+*'+z'*dxdyt
где область интегрирования (Р) есть
четверть кр^га радиуса 1 в плоскости ОХУ
(см. рис. 59).
Из уравнения поверхности z =
1
2
Тогда
(х2 + у2) находим: z'x= x, z
'-У-
S = 4 $\Vl+x2 + lPdxdy-
Рис. 59
Так как областью интегрирования (Р)
является часть круга, а подынтегральная
функция содержит в себе выражение
*2 + У2» то вычисление этого интеграла
удобно проводить в полярных координатах.
Уравнение окружности х2-\-у2=\ в
полярных координатах принимает
простой вид: г=1. Из рисунка 60 видно,
что в области интегрирования (Р) угол
126

Рис. 60
9 изменяется от 0 до -^ , а полярный
радиус г —от 0 до 1. Поэтому
Рис. 61
S = 4^V\+x2 + y2dxdy = 4 \\V\+r*rdrd®=4: \ d@ С VT+72 r dr =
iP) ih о о
0 0
Пример 2. Вычислить площадь части поверхности конуса #2 = ;e2 + z2,
расположенной в первом октанте и ограниченной плоскостью x-{-z — 2.
Из рисунка 61 видно, что здесь удобно проектировать рассматриваемую
часть поверхности конуса на плоскость OXZ и считать у функцией от
независимых переменных х и z: у— У x2-\-z2. Проекцией этой поверхности на плоскость
OXZ является прямоугольный треугольник АОВ, который и будет областью
интегрирования (D). Так как
х
Ух
"]/*2 + *2
Уг=:
]/*2+Z2 '
то по формуле (6) для искомой площади S будем иметь:
(D) <?>)
X2
z2
2-х
x2+z2 ' *2+z2
dxdz =
V2^dxdy = V2$dx $ dz = ]f2 \ф — х) dx = 2V2 .
Упражнения
1. Найти площадь поверхности шара радиуса а. Отв. 4па2.
2. Найти площадь боковой поверхности конуса z2 — x2-\-y2, вырезанной
цилиндром х2+у2 = а2 и расположенной над плоскостью OXY. Отв. па2 У2 .
127

3. Найти площадь части сферы х2 + г/2 + г2 = /?2, вырезанной цилиндром
& + y* = Rx. Отв. 2/?2(я — 2).
4. Вычислить площадь поверхности цилиндра х2-\-у2 = а2, содержащуюся
между плоскостями z = 0, z = mx(m>0). Отв. 2та2.
5. Вычислить площадь части гиперболического параболоида z = xyt вырезан-
о
ной цилиндром x2 + y2 = R2. Отв. — Jt (V(l+R2)3 — l)«
6. Найти площадь части цилиндра х2 + г/2 = а2, вырезанной из него
цилиндром у2 + г2 = а2. Отв. 8а2.
§ 12. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО
ИНТЕГРАЛА
В этом параграфе мы коротко остановимся на некоторых
приложениях двойного интеграла к вопросам механики и физики.
1. Вычисление массы плоской фигуры. В качестве первого
примера рассмотрим вопрос о вычислении массы плоской фигуры (Р),
по которой непрерывным образом распределена масса с
поверхностной плотностью p(N) = p(x, у); при этом функция р(х, у)
предполагается непрерывной. Введем понятие поверхностной плотности
массы в точке.
Поверхностной плотностью массы в точке N фигуры (Р)
называется предел
р(Л0 = Пт %°1,
где (D)— произвольный участок фигуры (Р), содержащий точку N,
m(D) — его масса, D — его площадь, а условие (D)->N означает,
что участок (D) стягивается к точке TV, то есть наибольшее
расстояние от точки N до точек участка (D) стремится к нулю.
Ясно, что если масса распределена равномерно по этой фигуре,
то поверхностная плотность есть величина постоянная: р (х, у) =
= const (эта постоянная равна отношению массы всей фигуры (Р)
к ее площади).
Пусть т — масса фигуры (Р). Разобьем эту фигуру сетью
кривых на п произвольных частей: (Рх), (Р2), •••> (Л*)» площади
которых соответственно обозначим теми же буквами без скобок, а через
тъ mv ..., тп обозначим массы этих частей. В каждой части (Pt)
(i = l, 2, ..., п) произвольно возьмем точку (&, г),-) и вычислим
в ней плотность р (&, r\t). Если разбиение области (Р) достаточно
мелко, то в силу непрерывности функция р (х, у) мало изменяется
в области (Pi). Поэтому без большей погрешности можно считать,
что масса т,- фигуры (Pi) приближенно равна величине р (|,-, Ц{)Ри
а масса т всей фигуры (Р) выразится следующим приближенным
равенством:
п п
т=^ть^^р (&, x\t)Pt.
i=i /=i
Ясно, что это приближенное равенство будет тем точнее, чем
мельче дробление области (Р), то есть чем меньше X —длина наи-
128

большего из диаметров частичных областей (Pi). В пределе,
очевидно, мы получим точное равенство:
т--
Так как имеем здесь предел интегральной суммы, составленной
для непрерывной функции р (х, у) в области (Р), то предел этой
суммы существует и равен двойному
интегралу от этой функции по области (Р),
то есть
(Р)
(1)
Пример 1. Найти массу квадратной
пластинки со стороной а, если плотность пластинки в
каждой точке пропорциональна расстоянию этой
точки до одной из вершин квадрата (одной и той
же для всех точек) и равна 1 в центре квадрата.
Выберем систему координат так, как указано
на рисунке 62. Пусть плотность пластинки
пропорциональна расстоянию от вершины квадрата, лежа- Р с 69
щей в начале координат. Поскольку диагональ и '
квадрата ОВ лежит на прямой, являющейся осью
симметрии для фигуры ОАВС и для расположенных на ней масс, то достаточно
вычислить массу треугольной пластинки ОВС и результат удвоить.
По условию задачи плотность p(iV) = p(^i/) распределения масс в
произвольной точке N (*, у) выражается формулой
р(х,у)=кУх2+У2>
(2)
где к — коэффициент пропорциональности. Так как плотность р в центре квадрата
равна 1, то из (2) находим: 1=?-—г, отсюда k = -—. Следовательно,
у Z *"
V2
р (х, у) = -— У х2 + у2 и масса пластинки согласно формуле (1) выразится
следующим двойным интегралом:
т = 2 J Jp(*. y)dxdy=?^-^ J V#+!Fdxdy,
(P)
(P)
где область интегрирования (Р)— треугольник ОВС.
Поскольку подынтегральная функция содержит в себе двучлен х2-{-у2, то для
вычисления этого интеграла, казалось бы, целесообразно перейти к полярным
координатам. Однако в данном случае из-за того, что область интегрирования —
треугольник, переход к полярным координатам не приводит к желательному
упрощению. Вычисление этого интеграла (как в этом нетрудно убедиться) проще
выполнить в прямоугольных координатах.
Непосредственно из рисунка 62 видно, что пределами внешнего интеграла
по х являются числа х—0 и х = а, а пределами внутреннего интеграла по у
129

будут у —0 и у — х. Следовательно,
_ а х
OT = ^S ] V^+V^dxdy^2-^- J их J V^+y^dy-
(P)
и
0
0
0
_!^5[-^+-h,+-M.+^)-?in.]*-
0
a
= ЩГ2+1п(1+У2)~\^х°-аХ =
0
= il[K2- + ln(l+/2-)]f|oa=f[2 + lA2-ln(l+|/2-)].
Заметим, что интеграл \V x2 + y2dy может быть вычислен интегрированием
по частям путем приведения его к самому себе. Здесь мы воспользовались гото-
вым результатом \ Y~x2 + a dx = -^-Yx2 + a+-K~ In (x + Y х2 + а) + С (см том I,
гл. VIII, § 5, пример 5).
2. Отыскание статических моментов и центра тяжести плоской
фигуры. Вопросом отыскания статических моментов и центра
тяжести плоской фигуры читатель уже занимался при изучении
обыкновенного определенного интеграла и его приложений. Здесь мы
укажем коротко применение двойного интеграла к вычислению
указанных величин.
Напомним, что статический момент М материальной точки массы
т относительно некоторой оси равен произведению массы этой точки
на расстояние d ее от этой оси, то есть M = md; при этом
расстоянию d приписывается знак плюс или минус в зависимости от того,
с какой стороны от оси находится точка. Статический момент М
системы п материальных точек с массами тъ тъ ..., тп% лежащих
в одной плоскости с осью на расстояниях dly d2, ..., dn
соответственно от оси, определяется суммой
п
130

Как известно, центр тяжести системы материальных точек
на плоскости определяется как такая точка, что если в ней
сосредоточить массы всех точек системы, то ее
статический момент относительно любой оси будет равен
статическому моменту всей системы точек относительно
той же оси.
Рассмотрим плоскую фигуру (Р) и предположим, что по этой
фигуре распределена масса с поверхностной плотностью p = p(x, у)
в произвольной точке М (х, у) области (Р). Разобьем область (Р)
на п произвольных частей: (Рг), (Р2), ..., (Рп) и в каждой части
(Pi)(i=l9 2, ..., п) выберем произвольно точку (&, г|,). Если
считать, что масса всей части (Pi) приближенно равна величине
p(li, цд Pi и что она сосредоточена в точке (?,-, т]/), то статические
моменты Мх и Му всей фигуры (Р) соответственно относительно осей
ОХ и 0Y выразятся приближенными равенствами:
Мх ^ 2 ть-Р &> Ш) Pi, Му ъ 2 6<P &> Л*) Ри
i=i i=\
где Pi по-прежнему обозначает площадь (Pi). Эти приближенные
равенства будут тем точнее, чем мельче дробление области (Р), та
есть чем меньше К—наибольший из диаметров всех частей (Pi). В
пределе, когда Ji-*0, мы получим точные равенства:
п п
Мх = lim 2 Л.-Р &. Л/) Рь Му = Мт ? Ьр &, лО Р,.
Так как мы имеем здесь пределы интегральных сумм,
составленных соответственно для непрерывных функций ур(х, у) и хр(х, у),
то эти пределы существуют и равны соответствующим двойным
интегралам от этих функций, то есть
м*=\ \ ур (х> у)dx dy> му=И хр (х> у)dx dy- (3)
(Р) (Р)
По этим статическим моментам легко найти теперь и координаты
хс, ус центра тяжести фигуры (Р). Если через т обозначить массу
этой фигурьц то по основному свойству (определению) центра
тяжести найдем: хст = Му, уст = Мх\ отсюда в силу формул (3)
$ $ *р (*» у) dxdy И^р (*>у} dxdy
В случае однородной фигуры (р = const) эти формулы упрощаются:
^\xdxdy \\у dxdy
(Р)
Р
где Р —площадь фигуры (Р).
хс — р , Ус = р , (О)
131

Yi
~~0
Ш
y=s'mx
я 5г
1 4 2
^
7TN4 X
4
N
Рис. 63
Таким образом, отыскание центра тяжести фигуры, как
правило, сводится к вычислению трех интегралов.
Пример 2. Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ОГраНИЧеН-
ной синусоидой у= sin*, осью ОХ и прямой х — -j- (рис. 63).
Координаты центра тяжести данной фигуры (Р) вычислим по формулам (5)
(так как фигура однородная). Сначала найдем площадь Р этой фигуры:
4
Р = \ sin х dx = — cos х
f
т.^е-т
Затем вычислим статические моменты ее относительно осей координат (числители
формул (5):
2. ZL
4 sin* 4
My = JJ xdxdy = ^ л: ^л: ^ d# = J л: sin л; <2*=
(>) 0 0 0
It Vz
= (•—A:cosA: + sin *) = -!-—(4 —я),
[о 8
я_
4 sin*
я_
4
M
;=\\ydxdy=\dx \ ydy = Y \ d* (r/2) =y \ sin2A:dA:=
(P) о о о о
4
-j- \ (1 —cos 2x) dx=-r- Ix — -s- sin 2л;
;=±(Я-2).
Следовательно, по формулам (5) находим:
Л4У 1 . __. Мх 1 , А_ч
132

Упражнения
1. Найти массу кольца, ограниченного двумя концентрическими
окружностями радиусов R и г (/?>/-), если плотность кольца в каждой точке обратно
пропорциональна расстоянию этой точки до центра окружности и равна 1 на
окружности внутреннего круга. Отв. 2пг (R— г).
х2 Ф
2. Найти центр тяжести сегмента эллипса —^ + ~=1, ограниченного прямой
bx+ay=ab. Отв. хс = -5-7-—~г, ус =
3(я-2)' *с~3(я-2Г
3. Найти центр тяжести полусегмента параболы у2 = ах, ограниченного пря-
3 3
мыми х = а, у = 0(у^0). Отв. лгс = —-а, ус=-к а*
О о
4. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной линиями ау = х2, х + у =
1 8
= 2а(а>0). Отв. *с = -—уа, ус = - а.
5. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой г = а(1 +cos8).
5
Отв. хс = g- а, #с = 0.

ГЛАВА XVIII
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В этой главе мы ограничимся кратким изложением некоторых
вопросов теории тройных интегралов. Поскольку многие
предложения, установленные для двойных интегралов, вместе с их
доказательствами могут быть перенесены на тройные интегралы, то при
изложении последних мы ограничимся лишь приведением
формулировок и кратких пояснений. Так как тройные интегралы являются
полным аналогом двойных интегралов, то при изучении их студенту
полезно руководствоваться теми рекомендациями, которые были
высказаны в начале главы XVII (двойные интегралы).
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тройной интеграл является полным аналогом двойного интеграла
и строится для функции от трех переменных в трехмерной области.
Пусть в некоторой ограниченной трехмерной области (V) задана
функция f (M) = f (х, у, z). Разобьем область (V) сетью
поверхностей на п произвольных частей: (Vi), (V2), ..., (V„), объем
которых соответственно обозначим через Уъ V2, • • • , Vn. В каждой
части (Vt) (i=l, 2, ..., п) возьмем произвольно точку (|г-, r\iy ?,-),
вычислим значение функции в ней и затем составим сумму
o=j]f&, т|Ь b)Vu (1)
/=i
которая называется интегральной суммой для функции f(x, у, z)
по области (V).
Определение. Если существует конечный предел I
интегральной суммы (1) при стремлении к нулю наибольшего из
диаметров всех частичных областей (Vi), не зависящий ни от способа
дробления области (V) на части, ни от выбора точек (?,-, т]г-, ?,),
то этот предел и называется тройным интегралом функции
f (*> у, г) в области (V) и обозначается символом
/ = ЭД / (М) dV или I = \[\f (х, у, z) dx dy dz,
(V) (V)
134

а функция f (x, у, г) в этом случае называется
интегрируемой в области (V).
Все сказанное в § 3 и 5 главы XVII о двойных интегралах
очевидным образом переносится на тройные интегралы. В
частности, из интегрируемости функции вытекает ее ограниченность, а
из одной ограниченности функции еще не следует ее
интегрируемость, то есть ограниченность функции есть только необходимое,
но не достаточное условие интегрируемости функции. Однако если
функция непрерывна в некоторой замкнутой области, то она
интегрируема в ней.
Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного
интеграла и доказываются тем же способом. На них мы
останавливаться не будем, предлагаем это сделать читателю самостоятельно.
Наконец, если положить f(x, у, z)=l всюду в области (У), то
непосредственно из определения тройного интеграла следует, что
объем V данного тела (V) выразится формулой
V = ^dV или V = \\\dxdydz. (2)
(V) (V)
Выражение dv = dxdydz называется элементом объема в
прямоугольных координатах.
§ 2. О ВЫЧИСЛЕНИИ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Вычисление тройного интеграла также может быть осуществлено
посредством ряда последовательных однократных интегрирований,
а именно путем трех последовательных простых
интегрирований. Мы ограничимся лишь кратким описанием этого
правила.
Пусть функция f(x, r/, г)
непрерывна в некоторой области (V).
Допустим, что поверхность (S),
ограничивающая тело (У),
пересекается не более чем в двух точках
любой прямой, параллельной одной
из осей координат, например оси 0Z
(рис. 64). Более сложные области (V)
часто удается сводить к
рассматриваемому виду путем разбиения на
части.
Опишем около тела (V)
цилиндрическую поверхность с
образующей, параллельной оси 0Z. Линия
касания этой цилиндрической
поверхности с поверхностью (S)
разбивает последнюю на две части:
верхнюю и нижнюю. Пусть
нижняя часть поверхности задана
уравнением z1 = z1(x} у), а верхняя— Рис. 64
г№,У)
135

уравнением z2=z2(x9 у), где z1(x1 у), z2(x, у) —однозначные
непрерывные функции, заданные в области (Р), являющейся проекцией
тела (V) на плоскость OXY (см. рис. 64). Тогда вычисление тройного
интеграла сводится к последовательному взятию внутреннего
интеграла по переменной z (при постоянных х и у) и внешнего
двойного интеграла по области (Р):
г2 (х, у)
\]\f(x, у, z)dxdydz=\\dxdy \ f(x, у, z)dz.
(V) (Р) *t(x,y)
Предположим теперь, что область (Р) тоже имеет достаточно
простую форму, именно допустим, что каждая прямая,
параллельная оси 0Y, пересекает контур области (Р) не более чем в двух
точках. Через а и Ь обозначим соответственно абсциссы самой левой
и самой правой точек на контуре области (Р) (на рис. 64—точек А
и В). Эти точки делят указанный контур на две части, одна из
которых является местом входа в область (Р) прямых,
параллельных оси OF, а другая — местом выхода их из этой области.
Каждая из этих частей имеет свое уравнение; пусть они будут
соответственно: г/1 = г/1 (х), */2=#2 (*)> (а^х^Ь). В этом случае
вычисление тройного интеграла от непрерывной функции / (х, у, z)
по области (V) приводится к последовательному вычислению трех
простых интегралов по формуле:
Ь у2 (х) z2 (а-, у)
\\\f (x, У, z)dxdydz = \dx \ dy \ f(x,y,z)dz. (1)
(V) a yt(x) гг(х, у)
Разумеется, порядок интегрирования может быть избран другим.
Очевидно, для этого тело (V) нужно будет проектировать на
плоскость OXZ или OYZ и тогда в формуле (1) соответственно
поменяются ролями переменные х, у и г.
§ 3. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
К ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ И СФЕРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ
Как и в двумерном случае, для тройных интегралов имеют
место формулы преобразования интеграла от прямоугольных
координат к новым системам координат. Наиболее употребительные из
них — цилиндрические и сферические координаты. Для
этих координат мы приведем без вывода формулы преобразования
интеграла.
1. Цилиндрические координаты. В этой системе координат
положение точки М пространства определяется полярными
координатами виг точки М'— проекции точки М на плоскость OXY —
и аппликатой z самой точки М (рис. 65). Числа 0, г и z
называются цилиндрическими координатами точки М, причем г^О,
0^0<2я и z — любое. Из рисунка 65 видно, что числа 0, г и z
связаны с х, у, z соотношениями:
x = rcos®, r/ = rsin0, г = 2. (1)
136

В этом случае вопрос о преобразовании тройного интеграла
к цилиндрическим координатам решается таким же путем, как и
преобразование двойного интеграла к полярным координатам.
Формула перехода для тройного интеграла от прямоугольных
координат к цилиндрическим координатам имеет вид:
Ш^*» f/, z)dxdydz = \\\f (rcos0, rsin0, z)rdrd@dz.
(V) (V)
Если в этой формуле положить f (x> у, г) = 1 всюду в области (V),
то в силу формулы (2) из § 1 получим формулу для объема тела (V)
в цилиндрических координатах:
V=\\\rdrdQdz.
(V)
Выражение dv = rdrd@dz называется элементом объема в
цилиндрических координатах. Используя, например, эту формулу для
вычисления объема кругового цилиндра высоты Н с радиусом
основания R, будем иметь:
2п R Н
V=\\\rdrdBdz= \ d@ \rdr\ dz = nR2H,
(V) 0 0 0
и мы пришли к известной формуле элементарной геометрии.
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
приводится к трем однократным интегрированиям по г, г и 0 на
основании тех же принципов, что и в случае прямоугольных
координат.
2 Сферические координаты. В этом случае положение точки М
в пространстве вполне определяется ее расстоянием г от начала О,
углом 0 между осью ОХ и проекцией отрезка ОМ на плоскость
OXY, углом ф между осью OZ и отрезком ОМ (рис. 66). Числа г,
0 и ф называются сферическими координатами точки М или
полярными координатами в пространстве; при этом г^О, О^ф^я,
О<0<2я.
Из рисунка 66 видно, что сферические координаты г, 0 и ф
связаны с прямоугольными следующими соотношениями:
Х = Г БШфСОБ 0, У = Г БШф sin 0, 2 = ГС08ф.
9 M(X,y,Z)
Рис. 65
Рис. 66
Mtf,y,ZJ
137

Формула перехода в тройном интеграле от прямоугольных
координат к сферическим выражается равенством
\\\f (x, У, z)dxdydz =
~ Ш f(r sm У cos ®' r s*n Ф sm ®> r cos ф) г2 sm Ф dr d® dcp.
(V)
Вычисление последнего интеграла также приводится к трем
однократным интегрированиям по г, 0 и ср.
Заметим, что если в последней формуле положить f(x, у, г) = 1,
то (в силу (2), § 1) получим формулу для объема тела (V) в
сферических координатах:
V = Щ г2 sin ф dr rf<p d®,
(V)
при этом выражение г2 sin ф dr dy d® называется элементом объема
в сферических координатах. Используя, например, эту формулу
для вычисления объема шара радиуса R, получим
V = И [ г2 sin ф dr d<p d® = i d® i dy [ r2 sin ф dr = -i л/?3,
(V) 0 0 0
что согласуется с известной формулой из элементарной геометрии.
Пример. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х2+у2 + z2 = 4 и
параболоидом Зг = л;2 + #2 (рис. 67).
Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость OXY.
Для этого достаточно из системы уравнений г2 = 4 — (х2 + у2), г2 = -— у '
исключить переменную г. В результате получим:
(х2 + у2)2
= 4 — (х2 + у2), или
(*2 + ^2)2 + 9 (Х2 + у2) _ 36 = 0.
откуда х2 + у2 = — 12 и х2 + г/2 = 3.
Следовательно, уравнением проекции будет
окружность х2-\-у2 = 3. В силу симметрии
достаточно вычислить объем тела (Vi),
находящегося в первом октанте, и
результат умножить на 4. Тогда согласно
формуле (2) § 1 для искомого объема V
получим 1/ = 4 Ш dxdy dz. Так как проек-
(Уг)
ция данного тела (V) на плоскость ОКУ
есть круг д:2 + г/2^3, то для
вычисления последнего интеграла целесообразно
перейти к цилиндрическим координатам.
После преобразования по формулам
(1) уравнения окружности л:2 -|- г/2 = 3,
параболоида Зг = х24~У2 и сферы х2-\-у2+
+z2 = 4, соответственно, принимают вид:
1
»ут,
? = /4-
Из ри-
Рис. 67
сунка 67 видно, что в области интегриро-
138

вания (Vt) угол в изменяется от 0 до -~-, г —от 0 до У~3 , а г — от z=-^ r2 до
г = К4 — г2. Поэтому
я^ _
2 1^3 YA — г*
V = 4^ dxdydz = 4^ rdrdBdz==4 ^dS \ rdr $ dz==z
(Vi) <l'i) 0 0 1
3
я
2 /3
= 4 Id® [г fyT=7* — у /*) dr =
о о
-«|[-т<*-»*-?*]|>-?|—?¦¦
0 0
§ 4. О ВЫЧИСЛЕНИИ МАССЫ И ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТЕЛ
В этом параграфе мы коротко остановимся на приложениях
тройного интеграла в механике и физике. В качестве простейшего
примера такого приложения рассмотрим вопрос о вычислении массы
тела (V). Если это тело однородно и, следовательно, его плотность р
постоянна в области (У), то масса тела, как известно, равна
произведению плотности р на его объем V: m = pV. Если же тело
неоднородно, то его плотность р(М) = р (х, у, z) различна в разных
точках, то есть является функцией точки тела, и в этом случае для
определения массы тела поступают так же, как и при вычислении
массы плоской фигуры* а именно разбивают тело (V) на части (V^),
(V2), •••> (Vn), затем в каждой части (!/,-) выбирают произвольно
точку (!ь г]/, ?0 (/=1, 2, ..., п). Если все части (V,) достаточно
малы, то в силу непрерывности функции р (х, (/, г) (мы
предполагаем плотность непрерывной функцией точки) масса тела (V,-)
приближенно будет равна величине р (?,•, х\и ?0 У и где Vt — объем i-й части
тела. Тогда для массы т всего тела (У) будем иметь:
п
т ^ 2 р (Ь, г|?, СО Vt.
Это приближенное равенство будет тем точнее, чем мельче разбиение
тела (V) на части, и в пределе, когда длина наибольшего из
диаметров всех (Vt) стремится к нулю, получим точное равенство:
п
m=lim 2 Р&. Ль WW
Так как мы имеем здесь предел интегральной суммы, составленной
для непрерывной функции р (х, г/, z) в области (У), то указанный
предел существует и равен соответствующему тройному интегралу,
то есть
т == \\1 Р (*' У» г) ^ ^ ^2*
(V)
139

Подобно тому как задача о вычислении статических моментов
и центра тяжести плоской фигуры решалась с помощью двойного
интеграла, так и задача об отыскании статических моментов
тела (V) относительно координатных плоскостей и задача
отыскания центра тяжести решаются аналогичным способом с помощью
тройного интеграла. Здесь, подобно формулам (3) и (4) § 12
главы XVII, имеем:
MXy = \§zp(M)dv, Mxg = [§yp(M)dv, My,=\§xp(M)dv9
(V) (V) (V)
где Мху, MXZf Myz—статические моменты тела относительно
плоскостей OXY, OXZ, OYZ;
SSW^ №ур™ ШгР^
хс = ^ , Ус = -^ , гс = ^ (1)
(хС9 Ус> zc—координаты центра тяжести, а т — масса данного тела).
В том случае, когда тело однородно и, значит, плотность р
постоянна в области (V), формулы (1) естественно упрощаются, так
как в числителе и знаменателе р можно вынести за знак тройного
интеграла и сократить. В результате получим:
J5J х dx dy dz Щ у dx dy dz Щ z dx dy dz
у i Ус у i cc
где V —объем тела (V).
Пример. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного сферой
я2 + */2 + г2 = 4 и параболоидом 3z = *2+#2 (см. рис. 67).
Объем V данного тела вычислен в примере предыдущего параграфа: V =
19
= — п. Так как данное тело симметрично относительно оси OZ и тело однородно,
то центр тяжести его лежит на оси OZ\ следовательно, *с = */с = 0. Остается найти
аппликату центра тяжести тела, то есть
\\\zdxdydz
_ тху __ (V)
Zc— у — у
Переходя к цилиндрическим координатам, найдем статический момент Мху
(тройной интеграл в числителе):
2л Уз 1/4—г* 2п Уз
Мху--
Л {{ z dx dy dz= [ d& С r dr i z dz = { d% i r dr №\
(V) 0 0 1 2 0 0
3
2л УЗ 2л
У4_ Г2
1 „
о
2л
13 f лл 13
Уз
о
140

Мху 13 19 39
Следовательно, zc = —^— = — я: — я = ^~. Таким образом, центр тяжести дан-
(39
О, О,
38
Упражнения
1. Вычислить объем той части конуса г2 = ;с2 + */2, которая лежит внутри
шара x2+y2 + z2 = R2.
о _
Указание. Перейти к цилиндрическим координатам. \Отв. -х- tiR3 (2—1^2).
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (х2-\-у2 + z2)2=a3z(a;>0).
Указание. Тело расположено над плоскостью ОХ У и симметрично
относительно плоскостей OYZ и OXZ. При вычислении удобно перейти к сферическим
координатам; в результате объем выразится интегралом:
Я_ 7^ 8
2 2 al^cos ф
V = 4 \ d& \Жр \ r2sm^dr = Yna3-
3. Найти координаты центра тяжести полушара радиуса R. Отв. С [0, 0, j.R).

ГЛАВА XIX
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Интегралы, рассмотренные нами до сих пор, имели своими
областями интегрирования либо отрезки на прямой, либо некоторые
области в плоскости или пространстве. В этой главе нам предстоит
рассмотреть случай, когда областью интегрирования является
кривая, расположенная в плоскости. Все рассуждения затем можно
будет без труда распространить и на случай, когда кривая
расположена в пространстве.
Рассмотрение криволинейных интегралов значительно расширяет
возможности приложений математического анализа к решению
задач из механики, физики и техники. Особенно большее значение
криволинейные интегралы имеют в теории поля и в теории функций
комплексной переменной.
В этой главе разобраны некоторые задачи практического
характера: о массе материальной линии с переменной линейной плотностью,
о работе силового поля, о площади плоской фигуры и
цилиндрической поверхности, и др. Однако эти задачи далеко не исчерпывают
всех возможностей применения криволинейных интегралов и даны
только в качестве примеров, иллюстрирующих теорию.
При изучении данной главы нужно особое внимание обратить
на конструкцию тех интегральных сумм, которые лежат в основе
определения криволинейных интегралов, и на свойства последних.
Важное место занимают также теоремы, связанные с вопросом
о независимости криволинейного интеграла от пути
интегрирования.
Различают два типа криволинейных интегралов. Начнем с
рассмотрения криволинейного интеграла, который строится по аналогии
с обыкновенным определенным интегралом.
§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА
Пусть функция z = f(M) определена вдоль некоторой кривой
(L), лежащей в плоскости OXY. Это означает, что каждой точке М
на кривой ставится в соответствие определенное значение функции
f{M) (рис. 68).
142

Будем предполагать, что
кривая (L) спрямляема. Если
уравнением этой кривой является у =
= ф(х), то для ее спрямляемости,
как известно, достаточно
потребовать, чтобы ф(л:) была
непрерывной и имела непрерывную
производную <рг(х). При этих условиях
кривая, кроме того, будет
гладкой*.
Пусть концами кривой (L)
будут точки Ли В. Раздробим
кривую произвольным образом
на п частей точками
А=М01 Мъ М2,..., Mky
Mk+1,...,Mn = B.
На каждой из частичных дуг Mk Mk+1 выберем также
произвольным образом по одной точке М% и вычислим значения функции
f (M) в каждой из этих точек. Сумма
X f(M%) As, = f (Ml) As0 + /(АГТ) A* + ... + PU) As^, (1)
?=0
где Ask—длина дуги MkMk±i, называется интегральной суммой
для функции z = f(M), заданной на кривой (L). Обозначим
наибольшую из длин частичных дуг MkMk+i (k = Q, 1, 2,..., п—1)
через X.
Определение. Если интегральная сумма (1) при К->0 имеет
конечный предел, не зависящий ни от способа дробления кривой (L)
на части, ни от выбора точек М%, то его называют
криволинейным интегралом первого типа (или криволинейным
интегралом по длине дуги) от функции f (M) по кривой (L) и
обозначают
$ / (М) ds или ^ / (х, у) ds.
(L) (L)
Функция f (M) в этом случае называется интегрируемой вдоль
кривой (L).
В дальнейшем будет показано, что при некоторых
предположениях относительно кривой (L) к числу интегрируемых относятся
все функции, непрерывные вдоль этой кривой. Непрерывность f (M)
вдоль кривой (L) означает, что в любой точке М0 на кривой
lim f (M) = f(M0), где М — также точка этой кривой.
М->М0
* Понятие спрямляемой и гладкой кривой должно быть известно читателю
из раздела «Интегральное исчисление» функций одной переменной», где решается
задача о длине дуги (том I, гл. X, § 2).
Рис. 68
143

Прежде всего заметим, что при составлении интегральной суммы
нумерацию точек дробления дуги (L) можно было бы производить
и в обратном направлении, от В к Л. Это не изменило бы ни
интегральной суммы, ни ее предела, то есть
\ /(*, y)ds= \ f(x9 y)ds.
(АВ) (ВА)
Последнее равенство означает, что величина криволинейного
интеграла первого типа не зависит от направления интегрирования.
Если дугу АВ разбить точкой С на две — АС и СВ, то
\ f{x9 y)ds= \ f(x, y)ds+ \ f(x, y)ds.
(АВ) (АС) (СВ)
Это свойство криволинейного интеграла легко доказывается,
исходя из интегральных сумм, подобно тому как доказывается
аналогичное свойство определенных интегралов.
Остановимся на геометрическом истолковании криволинейного
интеграла первого типа. Известно, что обычный определенный ин-
ь
теграл ^f(x)dx при f(x)^0 геометрически представляет собой пло-
а
щадь криволинейной трапеции, то есть площадь фигуры,
ограниченной кривой y = f(x), осью ОХ и прямыми х = а и х = Ь. В случае,
когда /(л:)^0, имеем площадь, взятую со знаком минус.
Аналогичным образом можно подойти к геометрическому истолкованию
и криволинейного интеграла первого типа.
Пусть в плоскости ОХ У дана некоторая спрямляемая кривая (L).
На этой кривой определена непрерывная функция f(M)^0. Тогда
точки пространства (М, f(M)) в совокупности составят некоторую
кривую, лежащую на цилиндрической поверхности, для которой
кривая (L) — направляющая, а образующая перпендикулярна к
плоскости OXY. Требуется
определить площадь части
поверхности, которая ограничена
сверху кривой г = f (M),
снизу — кривой (L), а с
боков — прямыми А А' и В В'
(рис. 69).
Для решения этой задачи
поступим следующим
образом:
1) Раздробим
произвольным образом кривую (L) на п
частей точками
Рис. 69
А = М0У Мъ М2. .., Mk9
AW •••» Мп = В.
144

2) Из каждой точки дробления М*(&=1, 2, 3,..., п—\)
проведем перпендикуляры к плоскости OXY высотой /(М*). В результате
вся цилиндрическая поверхность разобьется на п полосок.
3) Каждую такую полоску заменим прямоугольником с
основанием As*, где As* —длина дуги М*Л1*+1, и высотой, равной
значению функции f(M) в какой-нибудь точке этой дуги, например
в точке Mk- Тогда площадь &-й полоски Р* приближенно будет
равна площади прямоугольника (на рис. 69 прямоугольник
заштрихован), то есть Р*^/ (Mk) As*. Допущенная при этом погрешность
объясняется тем, что мы предположили /(М)=/(М*) во всех
точках дуги MkMk+v На самом деле этого может и не быть.
Суммируя по &, получим приближенно значение площади всей
поверхности ААГВГВ\
P^2/(M*)As*.
Это приближенное равенство будет тем точнее, чем мельче будем
дробить кривую (L) на части. Обозначим через X наибольшую из
^--~. ¦"
длин As* частичных дуг MkMk+i (Я = шах As*, k = 0, 1,2,.. ., n—1).
Тогда при )i->0 в пределе получим точное значение искомой
площади:
P = limSf(M*)As*. (2)
С другой стороны, правая часть равенства (2) представляет собой
согласно определению криволинейный интеграл первого типа от
функции f (M) вдоль кривой (L). Следовательно,
P = \f(M)ds.
Таким образом, криволинейному интегралу первого типа можно
дать- следующее геометрическое истолкование: криволинейный
интеграл^ f (M) ds при f (М)^ 0 численно равен площади участка цилин-
V.)
дрической поверхности с образующей, параллельной оси 0Z. Снизу этот
участок ограничен контуром интегрирования (L), а сверху—кривой,
изображающей подынтегральную функцию f (M).
В частности, если (L) — не кривая, а отрезок прямой [я, Ь],
расположенной на оси ОХ, то f(M) = f(x, 0)=Р(л:), Ask = Axk и
криволинейный интеграл будет обычным определенным интегралом
ъ
\f{M)ds=\F(x)dx.
Следовательно, если представить себе такой процесс, при котором
кривая (L) выпрямляется и располагается на оси ОХ в виде не-
145

которого отрезка [а, Ь], то при этом участок АА'В'В цилиндрической
поверхности будет разглаживаться и примет вид криволинейной
трапеции. Соответственно криволинейный интеграл преобразуется
в обычный определенный интеграл и геометрически вместо
площади участка цилиндрической поверхности будет представлять
собой площадь криволинейной трапеции.
В случае, когда f(M)^0, поверхность будет лежать ниже
плоскости OXY и интеграл представит площадь этой поверхности,
взятую со знаком минус.
Наконец, если под знаком интеграла положить /(М) = 1, то
получим криволинейный интеграл ^ds, значение которого есть длина S
(Ц
самого контура (L). Действительно, в этом случае интегральная сумма
/2-1 /2-1
fe=0 k=0
при любом способе дробления кривой (L) и любом выборе точек М%-
Но тогда и предел такой суммы равен S (как предел постоянной
величины).
Таким образом, с помощью криволинейного интеграла первого
типа можно вычислять площади цилиндрических поверхностей и
длины дуг.
Рассмотрим еще одну задачу, решение которой также приведет нас
к криволинейному интегралу первого типа.
Пусть вдоль некоторой спрямляемой кривой (L) распределена
масса с переменной линейной плотностью р(М), где М — любая
точка кривой (L). Требуется определить массу т всей этой кривой.
Для решения задачи раздробим кривую (L) на п произвольных
частей и вычислим приближенно массу каждой части MkMk+i (k =
= 0, 1, 2,..., п—1), предполагая, что на каждой из них
плотность постоянна и равна плотности в какой-нибудь из точек этой
части, например в крайней левой точке p(M*)- Тогда сумма
п—\
]>]p(Mk) Л5Л, где AsA —длина k-й части, будет приближенным зна-
чением массы т. Допускаемая при этом погрешность будет тем
меньше, чем мельче дробление кривой (L). В пределе при X —0
(A, = maxAsfc) получим точное значение массы всей кривой (L), то есть
k
/i-i
m = limYo(Mk)bsk.
Но предел справа есть криволинейный интеграл первого типа.
Следовательно,
m= ^p(M)ds. (3)
146

Вопросы для самопроверка
1. Чем объясняется, что криволинейный интеграл первого типа не зависит
от направления интегрирования?
2. Какое геометрическое истолкование можно дать криволинейному интегралу
первого типа. Рассмотрите также возможные частные случаи.
3. Какая кривая называется спрямляемой?
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО ТИПА
Криволинейный интеграл первого типа можно преобразовать
к обыкновенному определенному интегралу. Это обстоятельство и
используется для вычисления криволинейных интегралов.
Пусть требуется вычислить интеграл ^ f (х, у) ds. Будем вести
отсчет длины дуги кривой (L) от начальной точки А по
направлению к конечной точке В. Тогда положение точки М на (L) можно
определить длиной 5 дуги AM. Этим самым координаты х и у точки М
также определятся как функции от s:x = x(s)> y = y(s). В
результате получим параметрическое представление кривой (L).
Параметр 5, очевидно, будет изменяться в пределах от 0 до некоторого
числа S, где S — длина всей кривой (L). В свою очередь
функция f (х, у) будет сложной функцией от s:f (x(s), y(s)) = F(s).
Обозначим через sk и s% значения, отвечающие соответственно точкам Mk
дробления (L) и точкам Ml, произвольно выбранным на
дугах MkMk+i' Тогда интегральная сумма
n?f (M%) Ask = 2/ (* (5»> У №)) &sk = %F(s%) &sh (1)
есть одновременно и обычная интегральная сумма для функции F(s)9
где Ask = sk+i — sk и sk^st^sk+i. Если в (1) перейти к пределу
при Х->0 (i = max Ask), то получим:
k
S S
\ f(M)ds = ] f(x(s), y(s))ds = \ F(s)ds,
(L) 0 0
где интегрирование по s означает взятие обыкновенного определенного
интеграла от функции F(s), зависящей от одной переменной 5, по
этой переменной. Существование всех написанных интегралов,
а вместе с этим и законность перехода к пределу в равенстве (1),
составленном для сумм, обеспечивается, например,
непрерывностью f(M) вдоль кривой (L) и непрерывностью функций x(s) и
у (s). Действительно, тогда и сложная функция F (s) непрерывна,
следовательно, J F (s) ds существует, то есть существует предел пра-
о
вой части равенства (1). Значит, существует предел и левой части,
то есть существует криволинейный интеграл § f (M) ds.
if-)
147

Пусть теперь кривая (L) задана параметрически уравнениями
Т/А }(*!<'< У
с произвольным параметром t. Предположим, что функции ф (t) и г|) (О
непрерывны вместе со своими производными ф' (t) и i|/ (?). Для
определенности будем считать, что меньшему значению параметра tx
соответствует точка Л. Тогда длину 5 дуги AM можно рассматривать
как функцию параметра t, s = s(?), так как М = М(ф(0, 'Ф(О)-
С возрастанием t от tx до t2 величина 5 возрастет от 0 до 5 (S—длина
кривой (L)) и дифференциал дуги ds (как известно из задачи
о длине дуги, см. том I, гл. X, § 2) представится в виде:
ds=Vdx2 + dy2 = VW (t)]2 + W Ш2 dt.
По формуле замены переменной в определенном интеграле
\f (х(s), у (s))ds={f (Ф (*), ф(*)) VW{t)? + W{t)\2 dt
о и
(мы заменили выражения х и у через 5 их выражениями через
параметр t). Тем самым мы доказали справедливость равенства
\ f (М) ds = f / (Ф (0, ф (0) 1Лф'(012 + №'(')]2 Л. (2)
Отсюда получаем следующее правило для вычисления
криволинейного интеграла: чтобы вычислить криволинейный интеграл
первого типа по кривой (L), заданной параметрически,
достаточно:
1) в подынтегральной функции заменить х и у
выражениями координат через параметр t,
2) дифференциал ds заменить дифференциалом дуги как
функции параметра t,
3) вычислить полученный таким образом определенный
интеграл в пределах изменения параметра t.
Замечание. Если меньшему значению параметра tx
соответствует точка В, то формула (2) остается без изменения,
так как интеграл в левой части формулы не зависит от
направления интегрирования по кривой (L).
Случай, когда кривая (L) задана явным уравнением г/ = ф(х)
(а^х^Ь), где ф'(х) непрерывна, легко сводится к только что
рассмотренному. Принимая х за параметр, получим
параметрическое представление кривой в виде
х = х, )
Ua^x^b).
у = у{х) )
148

Для нее
ds = Vdx* + dy* = Vl+[ip'(x)]*dx
и
$ f (M) ds = \f (х9 Ф (х)) Vl + W (*)]* dx. (3)
(L) a
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл f Yyds, где (L) —первая
d)
арка циклоиды (рис. 70).
х = а (/—sin t), у
у = а (1 —cos t)
Так. как
Yy=V а (1 -cos ()=V2a sin у,
й5 = ]Л/х2 + а>2 = а j/"(l —cos 02 + sin2 f Л = аУ"2 (1 —cos/) а7 = 2а sin ^-dt
и областью изменения / будет (0, 2зт), то по формуле (2) получим:
з 2я з 2я
С l/yds=(2a)2 ^ sin2 у Л = (2а)т i l~™st dt =
(L) 0 6
3 3
= (2e)«". i- [/- sin flf= (2a)2" я.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл \ yds, где (Ц— дуга
(?)
параболы у2 = 2рх от точки (0, 0) до точки (2, 2У~р).
В данном случае следует воспользоваться формулой (3). Имеем:
поэтому
2 2 3
§ У *= J Vfyx" УI + |- ^ = ^ /2p*+p2 d* = ^ (2px + p*)~* |* =*
(L) 0 0
¦i[^M-f[(f+f'].
Пример З. Найти массу четверти окружности
*=acos /, ^
у = a sin /, J
расположенной в первом квадранте, если плотность в каждой точке кривой равна
квадрату ординаты этой точки.
Плотность р (М) =у* = а2 sin2 /;
ds = Ydx* + dy9- = Y a2 sin2 / + a2 cos2 / dt = adt.
149

Пользуясь формулой (3), получаем:
т = \ р (М) ds = \ a2 sin2 t-adt =
а3
'' 2
л
2
(1— cos 2t) dt =
__ а3 Г sin 2/] 2
- т|/ "T-J0 -
а3я
Пример 4. Вычислить часть
боковой поверхности круглого цилиндра
л*+#* = #* (*^0, */$>0),
срезанного сверху поверхностью 2Rz = xy.
Задача может быть сведена к
вычислению криволинейного интеграла
первого типа от функции г = /(УИ) =
хи
= отг вдоль дуги кривой х2+у2 =
= R2, расположенной в первой четверти
(смотри геометрическое истолкование
криволинейного интеграла первого
типа в § 1). Из уравнения окружности
находим:
*/=Ktf2-*2; */' = -
У/?2-*2
Рис. 71
Искомая боковая поверхность равна
R
<& = )Л + (*/')2^ =
Rdx
(L) 6
xVR2 — x2Rdx _ 1 ? _ ^ f*A;2 1^
2/?|/"Я2-х2
\ xdx — V
4 Jo
У Я2-*2
Я2
: -— кв. ед. *.
4
Пример 5. С помощью криволинейного интеграла найти длину астроиды
(рис. 71):
х=a cos3 ?,
;}
i/ = a sin3 ?.
Так как криволинейный интеграл \f(M)ds при f(M) = \ определяет
(L)
длину S контура (L) (см. § 1), то задача сводится к вычислению криволинейного
интеграла \ ds, где (L) — астроида. Так как
(I)
dx — —3a cos2t sin t dt, dy = 3a sin2 / cos / dt, ds = У dx2 + dy2,
* В этом примере при x = R производная у' = со. Поэтому, строго говоря,
применение формулы (3) требует некоторого дополнительного обоснования, на
чем мы, однако, не останавливаемся.
150

то
ds = )/"9а2 cos4 * • sin2 t + 9а2 sin4 t cos3 t dt = 3a cos t sin t dt = ~ sin 2/ <#.
Учитывая симметричность кривой относительно координатных осей, можем
записать:
я
S=[ds = 43"{sm2tdt = 6a\-^f=6a.
(Й о L 2 J0
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. На чем основан способ вычисления криволинейных интегралов первого
типа?
2. Получите общую формулу для вычисления криволинейного интеграла
первого типа по пространственной кривой \ f (х, у, z) ds.
(L)
Указание. Воспользоваться выводом формулы (2) и учесть, что ds =
3. Вычислить криволинейный интеграл \ ху ds, где (L) —четверть эллипса
(L)
х2 , у2 , - ab(a2 + ab + b2)
"г' + Тг" 1 лежаш>ая в пеРВ0М квадранте. Отв. — о / i /л— •
4. Вычислить криволинейный интеграл \ (х2-{-у2)п ds, где (L) — окружность,
(L)
заданная уравнениями * = acos/, y^asmt. Отв. 2яа2П+1.
5. Вычислить криволинейный интеграл [ (х+у) ds, где (L)—контур треуголь-
d)
ника с вершинами в точках (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Отв. 1+]^2.
6. Вычислить криволинейный интеграл ^ \х3 +у3} ds, где (L)—дуга астро-
со L
иды x = acos3/, y = asin3t (см. рис. 71). Отв. 4а3.
7. С помощью криволинейного интеграла найти длину дуги параболы у = х2
51/^5 1
между точками (0, 0) и (2, 4). Отв. ц .
8. Вычислить площадь цилиндрической поверхности над плоскостью OXY,
срезанной сверху поверхностью z = x-\-y, если образующая параллельна оси OZ,
а направляющей является участок дуги у = х2 от точки (1, 1) до точки (2, 4).
Отв. -Б-.
6
9. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности, заключенной
х2
между плоскостью ОХ У и поверхностями x2-\-y2—R2 и z=R2+^-. Отв. nR2(2R+l).
х2 Ф
10. Найти массу кривой эллипса —+ ^-= 1, если линейная плотность в точке
(х, у) равна р = \у\.
^ «l/l , arcsin е\ у а2 — Ь2
Отв. 2Ь {b + а ;— L где е = эксцентриситет эллипса.

§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА
Как уже известно, криволинейный интеграл первого типа
представляет собой предел интегральной суммы вида
n%f№)Ask.
(1)
?=0
Если в этой сумме множитель Aski представляющий длину
частичной дуги MkMk+i кривой (L), заменить проекцией этой дуги на
ось ОХ, точнее, величиной Axk = xk+1—xk (рис. 72), то получается
новая интегральная сумма:
n%f№)bxk.
(2)
? = 0
Определение. Предел интегральной суммы (2), вычисленный
при Х->0, где А, — по-прежнему наибольшая из величин Ask,
называется криволинейным интегралом по координате х и
обозначается ^f(M)dx или \f{x, y)dx. Таким образом,
(L)
(L)
$/(*, y)dx=lim2f№)bXk
(L)
К-+0
? = 0
Если этот интеграл существует, то функция f(M)=f(x, у)
называется интегрируемой вдоль кривой (L) по координате х.
Аналогично определяется криволинейный интеграл по
координате у, то есть
$/(*. y)dy=\imnj]f(Mi)Ayk>
Рис. 72
152

где Ar/fe — проекция дуги МкМи^х на ось OY, а А,—наибольшая из
величин As/* (X=rr\axAsk\.
Криволинейные интегралы по координатам имеют общее
название криволинейных интегралов второго типа.
Заметим, что если в определении криволинейного интеграла
первого типа (по длине) направление интегрирования вдоль кривой
не имело значения \ f (М) ds= \ f (M) dst то в интегралах вто-
(АВ) (ВА)
рого типа дело существенно меняется. Известно, что проекции
противоположно направленных отрезков отличаются знаками.
Следовательно, интегралы второго типа, построенные для одной и той
же функции f(M) по одной и той же дуге (L), но в
противоположных направлениях, будут также отличаться знаками, то есть
$ f(M)dx=— $ f(M)dx и $ f(M)dy = - $ f(M)dy.
(АВ) (ВА) (АВ) (ВА)
Отмеченное выше обстоятельство требует, чтобы при вычислении
криволинейных интегралов второго типа учитывалось бы и
направление интегрирования.
Существует несколько способов указания направлений
интегрирования. Одним из них мы уже пользовались, записывая в одном
случае § f(M)dx (интегрирование в направлении от Л к В),
(АВ)
в другом случае $ f(M)dx (интегрирование в направлении от В
(В А)
к А).
Если кривая интегрирования замкнута и представляет собой
контур, ограничивающий некоторую область на плоскости *, то
данный способ указания направления становится непригодным. В этом
случае прибегают к обозначению направления с помощью стрелок,
например:
<Ь / (М) dx или ф f (M) dx.
Иногда направления интегрирования связываются с
направлениями движения по часовой стрелке (рис. 73, а) или против
часовой стрелки (рис. 73, б). Бывают, однако, и такие
замкнутые кривые, что ни один из указанных выше способов не может
однозначно описать направление интегрирования. Так, например,
на рисунке 73, в) направление, отмеченное стрелками, нельзя назвать
ни направлением по часовой, ни направлением против часовой
стрелки. В подобных случаях пользуются следующим определением
* Это будет в том случае, когда замкнутая кривая не имеет кратных точек
(см. том I, гл. XII, § 1).
153

•*+** Положительное направление понятия положительного и
<^ Отрицательное направление отрицательного
направления: если представить себя
движущимся по замкнутому
контуру и если при этом
область, ограниченная данным
контуром, окажется слева,
то такое направление
движения принимается за
положительное направление
контура. В соответствии с этим
направление, указанное на
рисунке 73, в), будет
положительным; на рисунке 73, б) положительное направление совпадает
с направлением против часовой стрелки. Если дан криволинейный
интеграл \ f (x, y)dx и кривая (L) замкнута, но не сообщено
никаких дополнительных сведений о направлении интегрирования,
то предполагается интегрирование в положительном направлении.
Легко показать, что обыкновенный определенный ишпеграл
является частным случаем криволинейного интеграла второго типа.
Действительно, если контур (L) является отрезком [а, Ь] на оси
ОХ, то на этом отрезке
ь
f(x, y) = f(x% Q) = F(x) и $ f(x, y)dx = \F{x)dx.
(L) a
Аналогично, если (L) есть отрезок [с, d] на оси 0Y, то
f(x, y)=/(0, у) = Ф(у) и \f(x, y)dy = \<$(y)dy.
(L) с
Рассмотрим основные свойства криволинейного интеграла второго
типа.
1. Знак криволинейного интеграла изменится на
противоположный, если изменить направление интегрирования,
то есть
$ f(M)dx= - \ f(M)dx.
(АВ) (ВА)
Это свойство уже отмечалось выше.
2. Если кривую (L), по которой производится
интегрирование, разбить на несколько частей: (Lx), (L2), (L3), .., (Ln),
то криволинейный интеграл по кривой (L) будет равен
сумме криволинейных интегралов по отдельным ее частям,
взятых в том же направлении, то есть
\f(M)dx= \ f(M)dx + $ f(M)dx+ lf(M)dx + ...+ \ f(M)dx.
(L) <LX) (L2) (L3) (Ln)
154

Yi
Рис. 74
Рис. 75
Это свойство доказывается совершенно аналогично, как такое
же свойство обыкновенного определенного интеграла (исходя из
интегральных сумм).
3. Если контур (L) замкнутый, то величина
криволинейного интеграла по этому контуру не зависит от того,
какую точку на контуре при интегрировании принять за
начальную.
Действительно, как видно из рисунка 74,
\ - \ + \ = \ + J = S •
(AmnA) (AntAi) (АгпА) (AtnA) {AmAx) (AitimAt)
4. Если область (D), ограниченную замкнутым контуром
(L), разбить на две области: (Dx) и (D2), то криволинейный
интеграл по (L) в некотором направлении будет равен сумме
криволинейных интегралов по контурам (L±) и (L2),
ограничивающим соответственно области (Dx) и (D2), взятых в
том же направлении (рис. 75), то есть
\ f(M)dx= \ f(M)dx+ $ f(M)dx.
(L) <Lt) (L2)
Это свойство следует из свойства 2, если учесть, что при
интегрировании по линии, отделяющей (Dx) от (D2),
\ f(M)dx = — $ f(M)dx.
(АВ) (ВА)
Остановимся, наконец, на одном обобщении криволинейного
интеграла второго типа. Пусть вдоль кривой (L) для двух функций
Р (х, у) и Q(x, у) существуют криволинейные интегралы по
координатам $ Р (х, у) dx и j} Q (х, у) dy. Тогда сумму этих интегралов
(L) (L)
обозначают через
$ Р (х, y)dx-\-Q(x, y)dy, или, короче, \ Pdx + Qdy
155

и называют криволинейным интегралом второго типа обирго вида.
Такие интегралы широко используются в геометрии, физике и
технике.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Напишите подробно определение криволинейного интеграла второго типа,
используя замечание в начале параграфа относительно построения интегральной
суммы.
2. Чем объясняется, что криволинейный интеграл второго типа зависит от
направления интегрирования?
3. Докажите справедливость свойства 2 криволинейных интегралов второго
типа.
4. Докажите справедливость свойства 4 криволинейных интегралов второго
типа.
§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ВТОРОГО ТИПА
Криволинейные интегралы второго типа, так же как и первого
типа, вычисляются путем сведения их к обыкновенным определенным
интегралам.
Пусть сначала кривая интегрирования (L) задана параметрически
уравнениями л:=ф(/), y = ty(t), причем начальной точке А кривой
(L) соответствует значение параметра а, а конечной В — значение
параметра р. Пусть функции <р (/) и я|> (t) непрерывны вместе со своими
производными q/ (t) и г|/ (t). Тогда dx=y' (t) dt, dy=ty' (t) dt и
криволинейные интегралы преобразуются к обыкновенным определенным
интегралам по следующим формулам:
$ f(x,y)dx = ]f[V(f),V(t)W№, $ f(x, y)dy = lf[v(t)Mt)WWt>
(L) a (L) a
$ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = \{P[^{t), гК0]ф'(0+<ЭГ<Р(0> WM(t))dt
(L)
Если предположить, что функции / (х, у), Р (х, у) и Q (х, у)
непрерывны вдоль кривой (L), то функции / [ф (t), i|) (t)] ф' (t), /[ф(0,
*(')]*'(') и Р[<р(0, W)W(t) + Q[<p(t), ^(t)W(t) будут, как
известно, также непрерывными на [a, Р] и в этом случае обеспечено
существование обыкновенных определенных интегралов, стоящих
в формулах справа. Остается доказать существование криволинейных
интегралов, стоящих слева, а также справедливость равенств,
определяемых этими формулами.
Ограничимся доказательством первой из формул, то есть
доказательством существования криволинейного интеграла $ / (х, у) dx и
справедливости связанного с ним равенства
$ f(x,y)dx = [f[<t{f),W)W(t)dt. (1)
(L) a
156

Остальные две формулы доказываются аналогичными рассуждениями.
Пусть точкам Ми дробления кривой (L) соответствуют значения
параметра tk, а точкам М%, выбираемым на частичных дугах
MkMk+i,— значения t%(tk^tk^tk+1)y то есть Mk есть точка (ф(^),
ф (**))> а ЛЦ—точка (<р(*|), Ф(#)) (? = 0, 1, 2,..., л—1). Составим
интегральную сумму для функции f(x, у) вдоль кривой (L) по
координате а::
А=0 6 = 0
Так как *А = <р(*Л), то А^ = ф (4+i) —Ф (4), и
по формуле Ньютона —Лейбница, известной из интегрального
исчисления (см. том I, гл. IX, § 7),
A*a = <P(W —ф(**)= \ q'(t)dt.
Таким образом,
<у= S f [ф («)> * («И S ф' (0 *= Ц $ / [ф (Д), Ф (4*)] ф' (0 dt
?=0 ^ ? = 0 ^
(fl/P(fiD> Ф(Ф] есть числовой множитель и его можно вносить под
знак интеграла).
С другой стороны, как уже отмечалось выше, для функции
/ [ф (0t Ф (')] ф' (0 существует обыкновенный определенный интеграл
а
Представим его в виде суммы интегралов по частичным промежуткам
Pa, tk+1] (k = 0, 1, 2 л-1):
п — 1 'й+1
Тогда
п— 1 'ft+i
*-'=1! $ {/[ф(«). *(«)]-/[ф(0, ФШф'(0^.
Из непрерывности ф' (t) на [а, р] следует ее ограниченность на этом
промежутке, то есть существует такое число К, что |ф'(01^/С
Из непрерывности f [ф (f), if (*)] на [а, Р] (см. теорему Кантора,
известную из введения в анализ; том I, гл. IV, § 12) следует ее
равномерная непрерывность. Последняя означает, что для любого
сколь угодно малого е>0 можно осуществить настолько мелкое
дробление отрезка [а, р], что на каждом частичном отрезке [tk, tk+1]
1/[ф№). *W)Wfo(9. Ф(0]|<*.
157

Используя эти оценки и учитывая, что абсолютная величина
интеграла не превышает интеграла от абсолютной величины, получим:
1°-Л<2 j l/fo(Q. Ф(Ф]-/[ф(0. Ф(0]!-:ф'(0|Л<
<вк"21 (/щ-'*) = в/((Р-а).
* = 0
Отсюда следует, что
lim ст = /. (2)
max А/--»-О
Но если A,=max Asft->0 (см. определение криволинейного интеграла
второго типа), то нетрудно показать, что также тахД*Л->0, а
тогда из (2) следует, что и lima = /, то есть криволинейный
интеграл § f (xf y)dx существует и справедливо равенство (1).
Таким образом, для вычисления криволинейных интегралов
второго типа можно сформулировать следующее правило: чтобы
вычислить криволинейный интеграл от функции f(x, у)
по какой-нибудь координате вдоль кривой (L), достаточно
в подынтегральной функции заменить х, у, а также dx
или dy их выражениями через параметр t. За пределы
интегрирования нужно взять те значения t, которым
соответствует начало и конец кривой (L). При вычислении
криволинейного интеграла второго типа общего вида
следует через параметр t выразить Р {ху y)dx + Q(x, y)dy.
В случае, когда кривая (L) задана явным уравнением х=ц(х),
где ф (л:) и ф' (х) непрерывны на промежутке задания [a, ft], можно
прийти к параметрическому заданию, приняв х за параметр.
Получим: dy = q>' (x) dx и
ь
\ f(x, y)dx=\f[x, <p(x)]dx,
(L) a
b
\ f(x, y)dy = \f [x, ф (x)] q>' (x) dx,
(L) a
где а соответствует началу кривой (L), а 6 — ее концу.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
С x*dy — y*dx
I & 2.
вдоль астроиды x=acos3t, у==а sin3 ( от точки (а, 0) до точки (0, а).
В данном случае, как видно из рисунка 71, областью изменения параметра t
будет 0, ~ . Находим дифференциалы координат х и у: dx = — 3a cos21 sin / dtt
158

dy = 3a sm21 cos t dt. Подставляя в подынтегральное выражение вместо х, у, dx и
dy соответствующие значения, получим:
"2"
х2 dy — y2dx С a2 cos61 За sin2 t cos t + a2 sin6 / 3a cos2 ? sin t ..
~ g S dt =
С x2dy — y2dx_ С
J ** +^ J
OO 0
n
0 J- f cos? / sin2 * +sin? * cos2* ., ±f . 9, ft... 3 }f . 90.^
=3ar \ r-r-i—r-T-: df =3a3 \ sin21 cos2 tdt = — a3 \ sin2 2* <#
J cos51 + sm5 / J 4 J
a3cos5/ + a8 sin5/
(1) " о
— Л_ 31
2 2 ,2"
-И<1
2"
л* м 3 1 я Зя f
cos 4f) df = -тг a» • у = fg-a
o"
Пример 2. Вычислить интеграл
\ Ax sin2 у dx-\-y cos2 2* d#,
<?>
где (L) —прямая, соединяющая точки (0, 0) и (3, 6).
Находим сначала уравнение прямой, проходящей через данные точки (0, 0) и
(3, 6). Из аналитической геометрии известен общий вид уравнений прямых,
проходящих через начало координат и отличных от оси ОY:
y = kx.
Подбираем k так, чтобы прямая y = kx прошла через точку (3, 6). Ясно, что
& = 2, то есть искомое уравнение будет: у = 2х. Путь интегрирования, таким
образом, определяется этим уравнением при 0=<:*^3. Приняв х за параметр,
найдем: dy = 2dx и подставим в интеграл значения у и dy. Получим:
з з
$ Ах sin2у dx + ycos2 2xdy = ^ (Ax sin2 2*4-2*cos2 2x • 2) dx = j Axa**= 18.
(L) 0 0
Пример З. Вычислить интеграл
5 (*2+y2)dy,
(I)
где (L) —контур прямоугольника, образованного прямыми х=1, у=1, х = 3 и
у —5 (интегрирование вести в положительном направлении).
Разбивая весь промежуток интегрирования на части (рис. 76), можем записать:
(L) (АВ) (ВС) (CD) (DA)
Легко заметить, что интегралы вдоль участков (ЛВ) и (CD) равны нулю, так как
на них у постоянна и, следовательно, dy = 0. Поэтому остается вычислить
интегралы только по участкам (ВС) и (DA). Получаем:
5
^ (x2 + y2)dy=^ (9 + ^)^ = [9у + ^]*=77-1,
(ВС) 1
5
Ц (x2 + y*)dy = - ^ (l+i/2)^ = _^ + ^==_45y.
(DA)
159

У|
5
0
.
D
А
\
ж
г
С
ш\
3
т
6
X
Рис. 76
Таким образом, окончательно имеем:
(х*+у*) dy = 77
1
45-
Рис. 77
= 32.
(L)
Пример 4. Вычислить интеграл j x У ^х,
где (L)—дуга параболы у2 — х от точки (1, —1) до точки (1, 1) (рис. 77).
В данном случае контур (L) определяется двумя уравнениями: y = Yx и
у = —Yx • Разобьем его соответственно на две части: (LJ от (1, —1) до (0, 0)
и (L2) от (0, 0) до (1, 1). Тогда
о 1 i
^ x2ydx = V x2ydx+ [ x2ydx = \ x*(—Y~x)dx + \ x*Yx~dx = 2[ x^dx=^--
(L) (Lj) (L2) 1 0 0
T-r r r> С (х + У) dx — ix — y) dy
Пример 5. Вычислить интеграл / = у -—-21—2 , 2—4J—- по окружности
(L)
*2 + г/2 = а2.
Поскольку в условии не указано направление интегрирования, то будем
интегрировать в положительном направлении. Уравнение окружности можно было бы,
как и в примере 4, преобразовать к явному виду. Получили бы два уравнения и
действовали бы аналогично, как в примере 4. Но в данном случае проще
прибегнуть к параметрическому представлению окружности, именно, # = acos/, y =
= a sin t. Тогда dx — — a sin tdt, dy = a cos tdt и
2я
<-\
- {a cos t + a sin t) a sin t — (a cos t — a sin t) a cos t
a2cos2*+a2sin2*
2л 2я
= \ (— sin2/ — cos* t)dt = — J dt = — 2я.
dt =
Заметим, наконец, что нами определены криволинейные
интегралы первого и второго типов только для плоской кривой (L).
Однако не представляет особого труда распространение данных нами
определений и на пространственные кривые.
160

Если (L) — пространственная кривая и на ней определена
функция f(M) = f(x, у, z)^ то по аналогии, как это сделано для
плоской кривой, можно определить криволинейные интегралы по
длине ^f (л:, у, z)ds и по координатам \ f(x. r/, z)dx, $ f(x,yyz)dy,
L (L) (L)
\ f (*, У у z) dz, а также криволинейный интеграл общего вида
§ Pdx + Qdy-\-Rdz. Правило вычисления таких интегралов также
принципиально ничем не отличается от правил интегрирования по
плоской кривой.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. На чем основан способ вычисления криволинейных интегралов второго типа?
2. Получите общие формулы для вычисления криволинейных интегралов
второго типа по пространственной кривой.
3. Вычислить интеграл \ xdy — ydx по кривой у = х3 от точки (0, 0) до
(L)
точки (2, 8). Отв. 8.
4. Вычислить интеграл \ 1 — по отрезку циклоиды х — а (t— sin /),
y=a(l—cos t) от точки, соответствующей ? =-— до точки, соответствующей
л an2 fl(i_)/y)_in3
* = т. Отв. -^ ^ •
f л:2 и2
5. Вычислить интеграл \ (х2 — у2) dx + (х2 + у2) dy по эллипсу — + ~ == * в
(Ъ
положительном направлении. Отв. л(а2 — Ь2).
6. Вычислить интеграл ^ sin # dv + sin x dy по прямой от точки (0, я) до
(L)
точки (я, 0). Отв. 0.
7. Вычислить интеграл \ у dx по контуру прямоугольника, образованного
(L)
прямыми * = 0, у = 0, х = 2 и t/ = 4 в положительном направлении. Отв. — 8.
8. Вычислить интеграл \ ydx+xdy по контуру треугольника, ограниченного
<*>
осями координат и прямой 14* + Юг/= 35. Отв. 0.
§х2 г/2
(jc + г/) dx+(x—у) dy, где (L) —эллипс — + -р- = 1.
Отв. 0.
10. Вычислить интеграл \ YV dx+ 1. Где точки Л (0, 0) и Б (2, 1) со-
{АВ) 2 /у '
единены кривой
Г а:2 при 0^л:*=с1, л 0
ы = < , , ft Отв. 3.
* I 1 при 1^**^2.
161

§ 5. ФОРМУЛА ГРИНА —ОСТРОГРАДСКОГО
Покажем, что между некоторым двойным интегралом по области
(D) и некоторым криволинейным интегралом по контуру (L),
ограничивающему эту область, может существовать определенная
связь.
Предварительно условимся для краткости называть плоскую
ограниченную область (D) простой областью (рис. 78, а), если
ограничивающий ее контур (L) пересекается прямыми,
параллельными координатным осям, не более чем в двух точках. На
рисунке 78, б приведен пример области, не удовлетворяющий указанному
определению, так как некоторые прямые, параллельные оси ОХ,
пересекают ограничивающий ее контур (L) даже в четырех точках.
Кроме того, здесь и дальше нам придется неоднократно пользоваться
такими понятиями, как замкнутая область, односвязная и
многосвязная области.
С определением связной и замкнутой области читатель
познакомился в дифференциальном исчислении функций нескольких
переменных (см. гл. XIV, § 3). Односвязную и многосвязную области
определяют следующим образом.
Определение. Под односвязной областью (D) будем
понимать область «без дырок», то есть область, обладающую тем
свойством, что любая проведенная в ней замкнутая кривая может
быть с помощью непрерывной деформации стянута в точку,
оставаясь при этом процессе деформации все время в области (D).
Примерами односвязных областей являются: внутренность круга,
область, ограниченная эллипсом, прямоугольник (см. также рис.
73, а и б).
Если область не односвязна (то есть имеет «дырки»), то ее
называют многосвязной. Простейшим примером многосвязной области
служит кольцо, заключенное между двумя концентрическими
окружностями (см. также рис. 73, в).
Теорема. Пусть в простой замкнутой области (D),
ограниченной контуром (L), определены непрерывные
функции Р (х, у) и Q (х, у), имеющие непрерывные частные про-
г> дР dQ
из водные -з- и ¦?.
Рис. 78
162

Тогда справедливо следующее
равенство:
\\l^-d?)dx dy =\P dx + Qdy, (l)
называемое формулой Грина *—
Остроградского. Здесь интеграл по
контуру (L) берется в положительном
направлении.
Доказательство, а) Вычислим
интегралы \ \^ dxdy и wdr/. Пусть
(Д) (1)
контур (L) задан неявным уравнением
F (х, 2/) = 0. Поскольку (L) есть
замкнутая кривая, то, решая F (х, у) = 0 относительно л:,
получим два уравнения: х1 = у1 (у) и х2 = у2(у), (c^y^d) (рис. 79).
Рис. 79
Тогда двойной интеграл \ \ -^ dx dy представится через ПОВТОр-
ный следующим образом:
Ф)
4>iiy)
Так как при фиксированном у функция Q (х, у) является первооб-
dQ
разной для g^-, то
J §dx=[Q(x, y)]?<$=Q(q>8(s0, y)-Qfa(y), У)-
Следовательно, можем записать:
d
\\§dxdy=^[Q(<p2(y),y)--Q(<{>1(y)y)}dy. (2)
CD) с
Криволинейный интеграл \Qdy по всему контуру (L) представим в
виде суммы криволинейных интегралов, взятых по его частям,
то есть
\Qdy= \ Qdy+ $ Qdy.
(L) (А тВ) (Вп А)
Преобразуем каждый из интегралов, стоящих справа, к
обыкновенному определенному интегралу. Как показано на рисунке 79,
уравнением дуги (АтВ) будет х2 = ср2(у) (c^y^d). Следовательно,
Джордж Грин (1793—1841) —английский математик и физик.
163

вдоль этой дуги криволинейный интеграл представится через
обыкновенный определенный интеграл следующим образом:
d
\ Q(xt y)dy = \Q(q>2(y), y)dy.
(АтВ) с
Аналогично, дуга (ВпА) задана уравнением х1 = у1 (у) (c^y^d) и
с d
\ Q(x, y)dy = \Q (ф1 {у), у) dy=—\Q (фх (у), у) dy.
(ВпА) d с
Окончательно получим, что криволинейный интеграл по всему
контуру (L) представится в виде:
d d
\ Q (*, y)dy = \Q (фа (у), у) dy— \ Q (фх (у), у) dy =
(L)
] [Q (Ф2 (У)> y)-Q (Ф1 (у), у)\ dy. (2')
Сравнивая (2) и (2'), видим, что
\ \dTxdxdy= $<№ (3)
Ф) (L)
б) Вычислим интегралы \ \ j-dxdy и \ Р dx.
Ф) (L)
Поступая аналогично, получим:
Ь фа (X)
Ф) и. Ф1 (х)
гДе yi=tyi(x) и //2 = 1)гМ (a^#<; Ь) — уравнения
соответствующих частей контура (L) (рис 80). Функция Р (х, у) является
первообразной для -у-. Следовательно,
Ф2/*)
S I dy=fр (*> Mt Ш=р (*• ^ W) - р (*• ^ (*»•
Ф1(*)
Учитывая последнее, можно записать:
S I %dxdy= \ tP(*' ^W)-P(^, *i(*))]**• (4)
Криволинейный интеграл
Ь а
\pdx= \ Pdx+ \ Pdx^Pix.WxVdx + lPix^iWdx.
(L) (MmN) (NnM) a b
164

то есть
\ Р (*, y)dx = - ] [Р (х, фа (*)) — Р (х, фх (*))] dx.
(L) а
Сравнивая (4) и (4'), получаем:
(4')
(5)
(D)
(«
Вычитая почленно равенство (5) из равенства (3), получим
формулу (1).
Следствие. Формула Грина —Остроградского остается
справедливой для всякой замкнутой области (D), которую можно разбить
на конечное число простых замкнутых областей проведением
дополнительных линий. В частности, это относится и к многосвязным
областям, то есть к областям, которые ограничены не одним, а
несколькими замкнутыми контурами.
Действительно, пусть область (D) имеет вид, показанный на
рисунке 78, б. Ее можно разбить прямой (АВ) на две простые
области: (Dx) и (D2). Применяя формулу (1) к каждой из частей,
получим:
(DO (Li)
(D2) <L2)
Складывая эти равенства почленно, получим снова формулу (1)
для всей области (D) (так как криволинейные интегралы, взятые
по линии (АВ) в противоположных направлениях, в сумме дают
нуль).
Если область (D) ограничена не одним, а несколькими,
например двумя, замкнутыми контурами (Ьг) и (L2) (как изображено на
рис. 81), то, разбивая эту область на четыре частичные простые
п
EJQ
b X
Рис. 80
Рис. 81
X
165

области и применяя к каждой из них формулу (1), получим:
И(Й-|Н*= I Pdx + Qdy,
(Di) (MNFEM)
$И§-!)<^= S P^ + Qdy,
(Do) (FCDEF)
(D3) (BANMB)
\W*-di)dxdy= \ P^+Qdy.
(Di) (BDCAB)
Сложим эти равенства почленно. Сумма слева двойных
интегралов по частичным областям (D^, (D2), (D3) и (D4) даст двойной
интеграл по всей области (D). Сумма справа, если ее представить
через криволинейные интегралы по отдельным частям контуров,
будет равна:
$+$+$+$+$+ $+§+$=$+§
(NF) (?М) (FC) (DE) (AN) (MB) (BD) (CA) (Lt) (L)
(так как криволинейные интегралы, взятые по линиям (АВ)У (CD),
(FE) и (MN) в противоположных направлениях, в сумме дают нуль,
то мы их опустили).
Формула (1) в этом случае примет вид:
S \^-%)dxdy=§Pdx+Qdy+§ Pdx+$dy-
(D) (Li) (L2)
То есть в случае многосвязной области двойной интеграл по области
также равен криволинейному интегралу по всем контурам,
ограничивающим эту область, и интегрирование также ведется в
положительном направлении.
Заметим, наконец, что справедливость формулы Грина —
Остроградского (1) можно доказать и для более общего случая. Она имеет
место для любой области (D), ограниченной одним или несколькими
кусочно-гладкими контурами. На этом, однако, мы не
останавливаемся.
Пример. Используя формулу Грина —Остроградского, вычислить
криволинейный интеграл ^ (#—2у) dx-\-(3x+y) dy вдоль окружности х2-\-у2 = г2 в поло-
<?>
жительном направлении.
Функции Р (х, у)=х — 2у и Q (х, у) = Ъх-\-у вместе с их частными
производными -э- = —2 и —- = 3 непрерывны в замкнутом круге х2-\-у2 = г2.
Следовательно, формула Грина — Остроградского применима и
$ (* — 2y)dx + (3x + y)dy = ^ [3 — (—2)]dxdy = 5^dxdy = 5D = 5nr2.
(L) (D) (D)
Полученный результат легко проверить непосредственным вычислением данного
криволинейного интеграла, что предлагается сделать читателю.
166

Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Почему при доказательстве формулы Грина — Остроградского область
предполагается замкнутой?
2. В каком месте доказательства формулы Грина —Остроградского исполь-
дР dQ^
зуется условие непрерывности частных производных -^- и -^?
3. Проверить формулу Грина — Остроградского на функциях Р (х, у) = х2у2у
Q (х, у) = ху2 в круге радиуса 2 с центром в начале координат.
4. Используя формулу Грина —Остроградского, вычислить криволинейный
интеграл \ (2х — 2>у) dx + (х—у) dy вдоль единичной окружности х2-{-у2=\ в по-
(L)
ложительном направлении. Отв. 4я.
5. Приложима ли формула Грина —Остроградского для функций
Р(х, У) =
х2+у<
У и Q(x, y)= X
х2+у2>
если замкнутая область (D) имеет начало координат своей внутренней точкой?
Проверить вычислением соответствующих двойного и криволинейного интегралов,
приняв за (L) окружность х2-{-у2 = а2.
х и
6. Показать на примере функций Р= 2 и Q= г 2, что, хотя они и
х -\-у х -f-y
дР dQ
их частные производные ^- и -^ не непрерывны в круге радиуса 1, тем не менее
формула Грина —Остроградского верна (то есть, что условия, при которых
доказывается формула Грина —Остроградского, не являются необходимыми).
§ 6. НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
С помощью формулы Грина — Остроградского можно исследовать
один очень важный вопрос из теории криволинейных интегралов.
Пусть в замкнутой области (D) определены функции Р (х, у) и
Q(x, у), непрерывные в этой
области вместе со своими производ-
дР dQ
ными з~ и -=г-
ду дх
Отметим в этой области любые
две точки А и В (рис. 82) и
вычислим криволинейный интеграл
Ч
\ Pdx + Qdy
(1)
(L)
Рис. 82
по различным кривым, идущим из
А к В к лежащим в области (D).
Получим, вообще говоря, различные значения интеграла (1). Если
же окажется, что значение интеграла (1) по всем возможным
кривым одно и то же, то есть ^ = $ = $ =...= ^ , то
ГОВОРЯ) (An В) (Ар В) (Ak В)
рят, что криволинейный интеграл (1) не зависит в области (D) от
пути интегрирования. Значение такого интеграла определяется
заданием лишь начальной точки А и конечной точки В.
167

v»
Выясним условия, при которых
имеет место независимость
криволинейного интеграла от пути
интегрирования.
Теорема 1. Для того
чтобы криволинейный интеграл (1)
не зависел от пути
интегрирования в области (D), необ-
^ ходимо и достаточно, чтобы он
0\ X равнялся нулю по любому замк-
Рис. 83 нутому контуру, находящемуся
в этой области.
Доказательство, а) Необходимость условия. Пусть
интеграл (1) не зависит от пути интегрирования. Возьмем в области (D)
произвольный замкнутый контур (ABCDА) (рис. 83). Пользуясь тем,
что интеграл по всему контуру равен сумме интегралов по его
частям, можем записать:
\ = \ + S = $ - J .
(ABCDA) (ABC) (CDA) (ABC) (ADC)
(2)
Так как по условию интеграл не зависит от пути интегрирования, то
$ = $ или $ — $ =0. Следовательно,
(ABC) (ADC) (ABC) (ADC)
$ Pdx + Qdy = 0.
(ABCDA)
б) Достаточность условия. Пусть интеграл (1) по любому
замкнутому контуру в области (D) равен нулю. Возьмем в этой области
любые две точки Л и С и соединим их двумя кривыми (ABC) и
(CDA) (рис. 83). Эти кривые составят замкнутый контур (ABCDA)
и по условию теоремы $ Рdx + Qdy = Q. Тогда в силу (2)
(ABCDA)
имеем:
$ — $ =0, 0ТКУДа $ = $
(ABC) (ADC) (ABC) (ADC)'
Теорема 2. Для того чтобы криволинейный интеграл
(1) в области (D) не зависел от пути интегрирования,
необходимо, а если область (D) односвязная, то и достаточно,
чтобы для всех точек из (D) выполнялось условие
d_P__dQ m
ду ~ дх ' { '
Доказательство, а) Необходимость условия. Пусть
криволинейный интеграл (1) не зависит от пути интегрирования. Тогда
по теореме 1 интеграл по любому замкнутому контуру в области
(D) равен нулю. Покажем, что в этом случае выполняется условие
(*). Будем рассуждать от противного. Пусть условие (*) не
выполняется хотя бы в одной точке (х0, у0) из области (Ь), то есть
168

—l»i_»o? ^ ^ ^ уо/. Для определенности будем считать, что
dQ (*о> Уо) ^ <?Р (*о, Уо)
дх ^ ду
Введем обозначение: ^ у' тг-^ = ?(х> У)- Частные производ-
дР dQ , ч
ные -^- и -? непрерывны в точке (xQ, y0), так как по
предположению они непрерывны во всей области (D) (см. условие в начале
параграфа). Следовательно, функция F(x9 у) также непрерывна
в точке (х0, Уо). Кроме того, F(x0, y0)'>0. Следовательно, существует
такая окрестность (D6) точки (х0) у0), для всех точек которой,
включая и контур, F (х, у)>0. Обозначим через (L<$) контур,
ограничивающий область (D6). Тогда по формуле Грина —Остроградского
для области (D6) имеем:
\\F(x, y)dxdy = J J (g - g) dx<ty = $ Pdx + Qdy. (3)
(°б) (Ч) Р-б)
По теореме о среднем значении для двойного интеграла в области
(D6) найдется такая точка (xlt yx), что
SS
У7 (*, г/) dxdy = F (xlt y±) D6,
Рв)
где D6 — площадь области (?>б) (см. гл. XVII, § 5). Так как F (хъ
Уг)>0 и D6 > 0, то из (3) следует, что интеграл по замкнутому
контуру (L6) больше нуля, то есть \ Р dx + Qdy>0. Последнее
(L6)
противоречит условию независимости криволинейного интеграла
в области (D) от пути интегрирования. Следовательно, наше
предположение неверно и условие (*) выполняется в каждой точке
области (D).
б) Достаточность условия. Пусть в области (D) выполняется
условие (*). Вычертим в этой области какой-нибудь замкнутый
контур (Li). Обозначим через (D±) область, ограниченную этим
контуром, и воспользуемся формулой Грина —Остроградского:
\ Р dx + Qdy= \ \ f gj — -5-j dxdy. По условию (*) интеграл справа
(U) (Dt)
равен нулю. Следовательно, \ Р dx-\-Qdy = 0. Отсюда на основа-
нии теоремы 1 заключаем, что криволинейный интеграл в области (D)
не зависит от пути интегрирования. Теорема доказана полностью.
Замечание. Условие односвязности области (D) является
в теореме существенным. В случае неодносвязной области теорема
в части достаточности неверна. Убедимся в этом на конкретном
примере.
169

Пример 1. Рассмотрим криволинеи-
С xdy — ydx
ныи интеграл \ *2+*у2 .
Здесь
— у ^ *
Р =
Q=
У2-Х*
Рис. 84
х2 + г/2'
д?__д<2
ду ~~ дх *- (*2 + */2)2 *
Однако как функции Р и Q, так и их
ар 3Q
производные v- и .— не определены в точке
(О, 0). Будем считать, что кривая (L)
может занимать любое положение на
плоскости с одним ограничением —она
не должна проходить через начало координат. Тогда за область (D)
следует взять всю плоскость OXY с исключенной точкой (0, 0).
Такая область не односвязна: начало координат играет роль «дырки».
Условия теоремы 2 в этой области будут выполнены.
Вычислим данный криволинейный интеграл вдоль окружности
с центром в начале координат произвольного радиуса г: х = г cos ф,
y = r sinq).
Получим: dx = — г sin <p dip, dy = r cos qxicp, x2 + y2 = r2 и
2я 2л
С xdy — у dx С r cos фг cos ф — r sin ф (— г sin ф) , С , ~
J х2 + */2 ~ J г2 ф~~ J (Р~~ Я*
(L) С 0
Таким образом, криволинейный интеграл по замкнутому контуру
оказался отличным от нуля. Это значит, что он зависит от пути
интегрирования.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл / = С (х2-\-у2) dx-\-2xy dy no
следующим путям, соединяющим точки (0, 0) и (1, 1): а) прямая у = х, б)
парабола у = х2, в) парабола z/2 = Jt, г) кубическая парабола у = х* (рис. 84).
В ел у чае a) dy = dx и /= \ [{х2+х2)+ 2хх] dx= \ 4x2dx = -
В случае б) dy = 2xdx и / = j [(х2 + х*)+2хх22х] dx =
(x2 + 5x*)dx = -^-.
В случае в) dx = 2y dy n I = i\[(iy* + y2)2y + 2y2y]dy =
6
l
(2yb+4y*)dy = -
170

i
В случае г) dy = 3x2dx и I = ^[(x2+xQ)+2xx*Zx2]dx =
о
1
= \ (x* + 7x*)dx = ^-.
о
Таким образом, данный криволинейный интеграл имеет одно и то же
значение по каждому из четырех путей, соединяющих точки (0, 0) и (1, 1). Однако в
этом можно было бы убедиться не прибегая к вычислениям Проверим условие(*). Если
обозначить х*-\-у2 = Р и 2xy = Q, то ^~ = 2у, ~ = 2у и получаем, что — = —.
Кроме того, Р, ft г- и^ непрерывны в любой точке плоскости OXY.
Следовательно, данный интеграл не зависит от пути интегрирования на всей пло-
4
скости OXY и его значение, равное -~-, будет не только по каждому из четырех
заданных путей, но и по любому другому пути, соединяющему точки (0, 0) и
(1, 1). Учитывая это свойство данного интеграла, достаточно было для
вычисления последнего выполнить интегрирование по одному какому-нибудь пути.
Естественно при этом выбирать путь, заданный наиболее простым уравнением
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл I = \2ydx—2xdy по тем
же путям интегрирования, что и в примере 2.
Проверим сначала для данного интеграла условие (*). Обозначим 2у = Р и
л „ дР ft дО п „ дР , дО
— 2x — Q. Тогда ^-=2, а -^ = —2. Следовательно, -^-ф~~ и Интеграл
зависит от пути интегрирования. Поэтому его приходится вычислять по каждому из
указанных путей.
В случае a) dy — dx и / = \ (2х—2х) dx = Q.
о
1 1
В случае б) dy = 2xdx и /= \ (2а:2 — 4x2) dx = — 2 \ x*dx = — —.
1 1
В случае в) dx=2y dy и /= \ (2у.2у — 2у*) dy = 2*{ у2 dy = ~.
о о
i 1
В случае г) dy = 3x2dx и / = $ (2л* — 2х- За:2) dx=— ^ Ax*dx = — 1.
Теорема 3. Для того чтобы в области (D)
криволинейный интеграл (1) не зависел от пути интегрирования,
необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выра-
к/тсение
Pdx+Qdy (4)
было в этой области полным дифференциалом некоторой
функции двух переменных *.
* В отличие от предыдущей эта теорема как в части необходимости, так и
достаточности верна для любой области (D).
171

Доказательство, а) Необходимость условия. Пусть
интеграл (1) не зависит от пути интегрирования. В этом случае он
однозначно определяется заданием лишь двух точек А и В,
являющихся концами пути интегрирования. Сам путь интегрирования
может быть любым, только бы не выходил из области (D). Чтобы
подчеркнуть это обстоятельство, обычно такой интеграл обозначают
В (лго, у,)
\Pdx + Qdy или \ Pdx + Qdy.
Л (ЛГЬ ?/i)
Пусть точка А фиксирована, А=А(х0, у0), а точка В
подвижная, В=В(х,у). Тогда интеграл будет некоторой функцией от
двух переменных х и у
(х,у)
$ Pdx + Qdy = F(x,y). (5)
(*о, У о)
Покажем, что т- = Р и — = Q. С этой целью составим частное
приращение по х функции F(xf у) в некоторой точке Вг(хъ уг):
(xi + Ax,yi) (xltyL) (ATi 4-Ад:, г/i)
AxF = f(x1 + Axiy1)-F(xliy1) = I _ $ = $ Pdx+Qdy.
(*o, Уо)
(x0, Уо)
(*l, Vi)
y\
Поскольку мы свободны в выборе пути интегрирования, то
возьмем путь от А до Вх произвольным, а от Вг до С(х1-\-кх, уг)
прямолинейным и параллельным оси ОХ
(рис. 85). Тогда
(xi-\-Ax, yi)
&XF= ^ Pdx +
(xi, yi)
(Xi+Ax, yi)
+Qdy= $ Pdx, (6)
(*i, yi)
так как \ Qdy = 0 (путь ВХС nep-
пендикулярен к оси OY и,
следовательно, dy = 0). Полученный
интеграл справа сведем к обыкновенному определенному интегралу.
Так как у = Уг есть уравнение прямой (BiQ, то
(ATI -f АХ, yi) Xf\-Ax
\ P{x,y)dx = j P(x,yj)dx. (7)
(*Ь У1) Xi
Но по теореме о среднем значении определенного интеграла
\ Р (х, У1) dx=P (Xl + SAx, У1) Ах (0 < 0 < 1). (8)
XI
Из (6), (7) и (8) получаем: kxF = P fa + Qbx, yx) Ax. Отсюда ^ =
Рис. 85
172

= Р (хг + @Ах, (/i). Переходя в последнем равенстве к пределу при
А* -> 0, получим: dFlx?*> = Р (хъ уг).
Аналогично устанавливается, что —у' ^ Q (*ъ #i)-
Так как точка (хь уг) выбрана в (D) произвольно, то равенства
-Q- = Р и j- = Q справедливы для всех точек области (D).
Одновременно с этим установлено, что частные производные
-^ и у также непрерывны в (D), поскольку в этой области функции
Р (х, у) и Q(x, у) предлагались непрерывными. Известно, что из
наличия непрерывных частных производных функции F (х, у)
вытекает существование у нее полного дифференциала. При этом
dF^^dx+^dy^Pdx + Qdy,
то есть F(х, у) — первообразная для выражения (4).
б) Достаточность условия. Предположим, что в области (D)
существует такая функция F (х, у), что ее полный дифференциал
есть подынтегральное выражение (4); dF —P dx-\-Qdy, то есть
Р (х> у) —первообразная для выражения Р dx + Qdy.
Покажем, что тогда в области (D) криволинейный интеграл не
зависит от пути интегрирования.
Пусть (L) —любая гладкая кривая с концами в точках А и В
и она параметрически задана уравнениями x = q>(t), y=ty(t). Так
n OF Л dF „
как по условию P = -q- и Q = ^-, то криволинейный интеграл можно
преобразовать к обыкновенному определенному интегралу следующим
образом:
*(0)[' = f(<PW. WtW-^foCi). ^{h)) = F{B)-F(A),
1*1
где t± и t2 — значения t, соответствующие концам А иВ кривой (L).
Итак, оказалось, что для любой кривой, соединяющей точки А
и В, интеграл имеет одно и то же значение F (В) — F(A). А это
значит, что он не зависит от пути интегрирования. Теорема
доказана полностью.
Предположим, что, кроме функции F (х, у), некоторая функция
Ф(х, у) есть также первообразная для выражения (4). Тогда
^-=Я, у =Q и разность Ф (х, у) — F (х, у) будет постоянной
величиной, так как частные производные от этой разности по л: и по у
будут тождественно равны нулю (см. гл. XVI, § 1). Следовательно,
Ф(*. y)=F{x, y) + C. (9)
173

Иначе говоря, все первообразные для выражения (4) находятся среди
первообразных вида F (х, у) + С, где С — произвольная постоянная.
Эту постоянную можно определить, исходя из того, что, в силу (5),
^(*о> Уо) = 0, и подстановка в (9) значений х=х0 и у = у0 дает:
С = Ф(х0, у0). Таким образом, равенство (9) можно переписать
в виде F (ху у) = Ф(х, у) — Ф(х0, у0). Тогда из (5) получаем:
(х,у)
\ Pdx + Qdy = Q>(x, y) — O(x0ty0).
(Хо, У о)
В частности, если точку В считать также фиксированной В =
= В (хъ у±), то
В (хи Ух)
\Pdx + Qdy= ] Pdx + Qdy = Ф(x1,y1)^Ф(x0Jy0) = Ф(xyy)\^l^
A (x0t уq)
(10)
Полученная формула аналогична основной формуле интегрального
исчисления (формуле Ньютона — Лейбница). Нужно иметь только
в виду, что формула (10) справедлива лишь при условии
независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Пример 4. Приведем пример, иллюстрирующий теорему 3. Пусть дана
функция F (х, у) = \п(х2-\-у2). Она непрерывна вместе со своими частными
производными на всей плоскости, исключая начало координат. Составим ее полный
dF 2x 3F 2v 2х
дифференциал. Так как -5- = ———— -%-= » | , » , то dF — —z-.—x-dx +
^^ г дх х2-{-у2 ' ду х2-\-у2 * х2+у2 '
2ц
J — dy. Рассмотрим криволинейный интеграл
1 х2+у'
\^Pdx + Qdy, где F = j-, Q = -щ , то есть интеграл ^ ^ dx + ~r+j2 аУ>
(I) (L)
где (L) —любая кривая, не проходящая через начало координат. Так как
подынтегральное выражение в этом интеграле представляет полный дифференциал от
функции F (а:, у), то по теореме 3 этот интеграл не зависит от пути
интегрирования. Вычисление его по формуле (10) дает:
(Хи Ух)
(х0, У о)
Остановимся, наконец, на решении вопроса о том, как
восстановить функцию по ее полному дифференциалу.
Пусть Pdx-\-Qdy есть полный дифференциал некоторой
функции F (х, у) в области (D). Из теории следует, что для отыскания
F (х, у) достаточно, выбрав любую точку (х0, у0) в области (D),
(х, у)
вычислить криволинейный интеграл {j Pdx + Qdy по любой ли-
(*о, У о)
174

нии, соединяющей точки (x0i y0) у,
и (*, у).
(х,у)
Формула F (х, у) = \ Р dx +
(Хо, У о)
-{-Qdx + C, где С — произвольная
постоянная, дает возможность
определить множество всех функций,
имеющих подынтегральное выражение __
своим полным дифференциалом. q
Последний криволинейный ин- Рис. 86
теграл легко вычисляется, если
в качестве пути интегрирования взять ломаную, звенья которой
параллельны координатным осям, например ломаную, соединяющую
точки (jc0i г/о), (х, у0) и (х, у) (сплошная ломаная на рис. 86).
Конечно, это можно сделать только в том случае, если такая
ломаная не выходит из области (D). Тогда
(*, У) (х, Уо) (xt у)
$ Pdx + Qdy = \ Pdx + Qdy+ $ Pdx + Qdy.
(Хо, Уо) (Хо, Уо) (X, Уо)
Каждый интеграл справа преобразуем к обыкновенному интегралу.
Получим:
F(x, y)=\p(x, y0)dx+ \q(x, y)dy + C (11)
Хо Уо
(первый интеграл справа вычисляется при постоянном у, а
второй— при постоянном, хотя и произвольном х).
Можно было бы интегрировать и по ломаной, соединяющей
точки (х0, yQ)f (х0, у) и (х, у) (пунктирная ломаная на рис. 86).
В этом случае получили бы
F(x, y)=\Q(x0, y)dy+\p(x, y)dx + C.
Уо Хо
Сопоставляя теоремы 2 и 3, мы видим, что условие (*) в одно-
связной области (D) необходимо и достаточно для того,
чтобы выражение Р dx + Qdy было в этой области полным
дифференциалом некоторой функции.
В частности, если Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны и имеют
непрерывные частные производные на всей плоскости и при этом всюду
-5- = ^, то выражение Pdx-\-Qdy будет на всей плоскости полным
дифференциалом некоторой функции.
Пример 5. Найти функцию F (х, у) по ее полному дифференциалу dF (*, у) =
= (х2+2ху—У2) dx + (х2 — 2ху — у2) dy. В данном случае Р (х, у) = х2+2ху—у2,
Q(x, у)=х2—2ху — у2 непрерывны и имеют непрерывные частные производные,
удовлетворяющие условию (*), ^- = ~ =2х — 2у. Значит, действительно, Р dx-\-
175

в
+ Qdy есть полный дифференциал. Вычислим криволинейный интеграл \Pdx+Qdy,
А
приняв за начальную точку пути интегрирования (0, 0) и за конечную точку —
(х, у). Выберем дополнительно точку (хф у0) так, чтобы звенья ломаной,
проходящей через эти точки, были параллельны координатным осям. Для этого можно
считать *о = 0 и у0 = у (или х0 — х и у0 — 0). Тогда на участке между точками
(0, 0) и (0, у) будет: х — 0 и dx=0. Следовательно,
(0, у) у у
J Pdx + Qdy= ^Q(0,y)dy= J (_^)4у = _^.
(0, 0) 6 0
На участке между точками (0, у) и (*, у) величина у не меняется и dy = 0.
Следовательно,
(х, у) х х
{ Pdx + Qdy=i P(xyy)dx=^ (x* + 2xy-tj*)dx=?j+x*y-y*x.
(0, у) 0 6
X3 Ф
Окончательно получаем: F (х, у) = -тг+х2у — ху2—^г- + С.
(2, 3)
Пример 6. Вычислить криволинейный интеграл \ xdy-\-ydx.
(-1.2)
Проверим, будет ли подынтегральное выражение полным дифференциалом.
ъ* п гл т др 1 dQ 1 дР dQ ~
Обозначим # = Р, x — Q. Тогда — = 1, ^ = 1 и получаем, что ^- = ^.
Следовательно, xdy-\-ydx есть полный дифференциал.
Вычислим интеграл по ломаной, соединяющей точки (—1, 2), (*0, у0) и (2, 3),
где за точку (x0, у0) можно взять, например, точку (2, 2). Тогда звенья ломаной
(2, 3) (2, 2) (2, 3)
будут параллельны координатным осям и \ = С + \ . Вычислим каждый
(-1,2) (-1,2) (2,2)
из интегралов справа сведением последних к обыкновенным определенным
интегралам. Первый вычисляется при постоянном у (у = 2), а второй —при
постоянном х (х = 2):
(2, 2) 2 (2, 3) 3
J xdy+ydx= 5 2dx = 6, J xdy+ydx = ^2dy=2.
(—1,2) —1 (2,2) 2
(2,3)
Следовательно, J x dy + у dx = 6-{- 2 = 8.
(-1. 2)
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Что значит, что криволинейный интеграл \ Pdx-\-Qdy не зависит от пути
(L)
интегрирования?
2. При каких условиях можно, вычисляя криволинейный интеграл, выбирать
путь интегрирования по своему усмотрению?
« i-r о dF (х, у) _ . ч
3. При доказательстве теоремы 3 доказано равенство —^—?± = Р(х, у) и не
dF (х, у) - , ч _
доказано, хотя в дальнейшем используется, равенство —^—?? = ф(*, у).
Докажите его.
4. Найти функцию F (х, у), если ее полный дифференциал равен dF = x2dx+
+ У2 dy. Отв. F (*, у) = 1 (*» +i/3) + С.
176

5. Проверить, является ли выражение 4 (х2 — у2) (х dx — у dy) полным
дифференциалом некоторой функции двух переменных, и если да, то найти эту функцию.
Отв. F (х, у) = (х2 — у2)2+С.
В задачах б и 7 данное в качестве полного дифференциала выражение можно
рассматривать внутри любого из координатных углов.
6. Восстановить функцию по ее полному дифференциалу
\ у х2) \х у2}
7. Проверить, является ли выражение
Отв. F(x, 0 = 1- + -? + С.
х у
2х
х2 + у2
Н cos —) dx + [ 0 , .
У У J \х2 + У2
X Х\ ,
?C0*T)dy
полным дифференциалом некоторой функции двух переменных, и если да, то найти
х
эту функцию. Отв. F (х, у) = In (х2+у2) + sin 1- С.
У
8. Проверить, является ли выражение (у2 + х2) dx + (у2 — х2) dy полным
дифференциалом некоторой функции двух переменных, и если да, то найти эту
функцию. Отв. Нет, не является полным дифференциалом.
0,1)
9. Вычислить криволинейный интеграл \ (х — у) (dy — dx). Отв. 2.
(1.-D
(3,0)
10. Вычислить криволинейный интеграл С (*4 + 4*#3) dx + (6х2у2—5*/4) dy.
(-2, -1)
Отв. 64.
<* т-г < (х — У) dx + (х+у) dy л
11. Подобрать число п так, чтобы выражение - ' v ' было
полным дифференциалом; найти соответствующую функцию.
Отв. /г = 1, ±-\n(x2 + y2) + arc\g-^ + C.
§ 7. ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Криволинейные интегралы имеют большие приложения в
геометрии, физике и технике. В § 1 в качестве примеров были
рассмотрены задачи на вычисление площади цилиндрической поверхности,
длины и массы кривой. Решение этих задач сводилось к
вычислению криволинейных интегралов по длине. Здесь рассмотрим
задачи, сводящиеся к
вычислению криволинейных интег- У^
ралов по координатам.
1. Работа силы. Пусть
материальная точка М под
действием силы F совершает
движение в плоскости,
описывая путь (L). Сила F
предполагается переменной
величиной, зависящей от
положения точки М на (L) (рис.87).
Требуется определить работу
силы, затраченную на
передвижение точки М из пункта А
в пункт ?.
Рис. 87
177

Для решения этой задачи поступим следующим образом:
1) Раздробим дугу АВ произвольным образом на п частей
точками: A = M0i Мъ Л12,.., Mk, Mft+1, ..., Мп = В.
2) Вычислим приближенно работу на участке пути MkMk+ъ
предполагая, что:
а) на всем этом участке действует не переменная, а постоянная
сила Fk, равная значению силы в какой-либо точке этого участка,
например в точке Mk, то есть Fk=F(Mk)>
б) путь от Ми до Мк+1 прямолинейный (то есть заменяем дугу
МкМк+1 хордой MkMk+1).
Тогда, как известно, работа силы Fk на участке MkMk+i
выразится в виде произведения силы на путь и на косинус угла между
направлением силы и направлением пути:
Wk ^ Fklk cos (/О*),
где Fk—длина вектора Fk, a lk —длина вектора lk = MkMk+v
Правая часть этого приближенного равенства представляет собой
скалярное произведение двух векторов Fk и lk- Из аналитической
геометрии известно, что оно равно сумме произведений одноименных
составляющих по координатным осям, то есть если Fk = Pki + QkJ>
lk = bxki + Aykj9 то Wkf=**Pkkxk + Qkkyk.
Суммируя по всем значениям &(? = 0, 1, 2,..., п—1), получим
величину
п—\
fc«=0
которую можно рассматривать как приближенное значение работы
силы на всем пути от А до В. Предел этой суммы при Дл^-^0 и
Ayk -> 0 принимают за тонное значение работы. Но, с другой стороны,
предел этой суммы есть криволинейный интеграл. Следовательно,
работа силы определяется по формуле
W=\ Pdx + Qdy, (l)
(L)
где Р и Q — составляющие силы F по координатным осям.
Пример 1. В каждой точке (х, у) эллипса х = a cost, y = bsint приложена
сила F, равная по величине расстоянию -от точки (х, у) до центра эллипса и
направленная к центру эллипса.
а) Вычислить работу силы F при перемещении материальной точки М массы т
вдоль дуги эллипса, лежащей в первом квадранте.
б) Найти работу, если точка М обходит весь эллипс (в положительном
направлении).
Составим сначала выражение для величины F переменной силы F, используя
условие задачи. Так как расстояние точки (л:, у) до центра эллипса (0, 0)
определяется по формуле d — 'yrx2-{-y2y то F = Yx2-\-y2. Составляющими силы F по
координатным осям будут: Р=—х, Q = —у (знак минус в обоих случаях ставится
из-за того, что сила направлена от точки (х, у) к точке (0, 0)). Следовательно,
W = \ —xdx — ydy = — \ х dx-\-y dy.
(Ц (L)
178

а) Вычислим этот интеграл по дуге эллипса, лежащей в первом квадранте.
Так как х—a cost, dx —— a sin tdt, y — bsmty dy = 6 cos t dt и в этом случае на-
чалу кривой соответствует ? = 0, а концу / =—-} то
w- ' -> - -— * — а2~Ь2
' = — \ xdx+ydy — —^— V sin 2t dt = ¦
2
(L)
б) Вычислим работу по всему эллипсу. Так как в этом случае безразлично,
какую точку брать за начало пути интегрирования, то снова удобнее считать,
что началу пути соответствует t = Q. Тогда концу будет соответствовать / = 2я.
Получим:
2я
W =— \ xdx + ydy = ^-=^- V sin 2* dt = ^=^ (— cos 2t) = 0.
(Ъ о
Заметим, что в правильности последнего результата можно убедиться и по-
дР 6Q
тому, что выполняется условие з~ = з^, так как из последнего следует, что
интеграл по замкнутому контуру равен нулю.
Рассмотренную нами задачу о вычислении работы силы можно
было бы расширить, предположив, что точка М под действием
силы F описывает не плоскую, а пространственную кривую. В этом
случае ее решение свелось бы к вычислению криволинейного
интеграла по пространственной кривой
W=\ Pdx + Qdy + Rdz, (Г)
(L)
где Р, Q и R — составляющие силы F по координатным осям.
2. Площадь плоской фигуры. Пусть область (D) в плоскости OXY
ограничена контуром (L). Требуется вычислить площадь D этой
области.
Для решения задачи проведем следующее рассуждение. Из теории
кратных интегралов известно, что двойной интеграл \\f (x, y)dxdy
при / (х, у) = 1 выражает площадь самой области интегрирования
(D). Следовательно, если в формуле Грина—Остроградского подо-
брать функции Р и Q такими, чтобы Д —^-=1, то площадь D
области (D) представится в виде
D = ^dxdy=l Pdx + Qdy. (2)
(D) (L)
В частности, можно положить Q = x и Р = 0, или Q = 0 и Р = — у.
В обоих случаях будет: ^ — ;р=1 и получим:
?)= ^ xdy или D = — $ ydx.
Складывая почленно эти равенства, будем иметь: 2D= $ xdy—ydx,
179

откуда
D=\ jj xdy — y
dx.
(2')
Пользуются для вычисления площадей плоских фигур любой из
этих трех формул, но последняя наиболее удобна.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x = acost,
y — b sin t.
В данном случае dx =— a sin tdt, dy = b costdt, и по формуле (2)
2я 2я
D = -x- \ x dy — у dx = V (a cos t b cos t-\-b sin / a sin /) dt = -~- \ dt = яа&.
(L) б 0
Пример З. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой
Поскольку в уравнении кривой следует ограничиваться теми значениями х
и у, при которых в уравнении не появляются мнимые величины, нужно считать,
что х и у не отрицательные, то есть кривая
расположена в первой четверти. Кроме того,
заменяя в уравнении кривой х на у, а у на *,
убеждаемся в том, что кривая симметрична
относительно биссектрисы первого координатного
угла (рис. 88).
Для вычисления площади по формуле (2)
удобнее перейти к параметрическому представ-
кривой. Положим -^- = t2,
лению данной
X
то есть y = xt2. Тогда (Ух + Yxt2)12=x xt2
или *4 (1 -\-t)12 — t2. Отсюда получаем: х=
УГ t2 У Г г
X = (Т+7)з; У = (Г + 0» • Составим сражение,
стоящее в формуле (2) под знаком интеграла.
Имеем:
dx =-
2Уг
= -Yt -3(1+02 (1+0—т=-3/?
(1+06
dt:
2}rt
vr-bVT
2(l+04
(1+04
dt =
dt,
(1+03
dy-
*tYt -t2Yt -3(i+o2 \{\+t)tYt
1 dt = ±-
-3t2Yt
(l+O6
uYt
(i+04
-<# =
-/2 Yt
xdy — ydx-
YT
(i+03
2(l+«7
2(l+04
2(1+0*
л,
л
/2 // Yt
ЧТт-Ш'
2(1+0
(1+03 2(1+0*
л=
(l + 0e
180

Отношение —, принятое нами за /2, можно рассматривать как tga (см. рис. 88).
Следовательно, можно считать, что t изменяется в пределах от 0 до со, и по
формуле (2) получим:
D==~2 \ xdy — ydx= \
t2dt
(L) О
Таким образом, решение задачи сводится к вычислению несобственного
интеграла по неограниченному промежутку интегрирования. Для отыскания
первообразной воспользуемся подстановкой \+t = z. Тогда t = z—l, dt = dz и
f t2dt С (z—\)*dz С 22-2г + 1 . f /1 2 , 1\.
= _J_ J l_ l.l l
Зг'^гг1 5г« 3(1+г)3 2(l+04 5(l+05'
Следовательно, D = [- 3^ + щ^ - gfrq^]" = у -у + 1 = §5-
Напоминаем, что подстановка верхнего предела со означает, что нужно вычислить
предел написанного выражения при t—> + о°> а этот предел равен нулю.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Каким условиям должна удовлетворять сила F (х, у) как функция точки
ее приложения (х, у), чтобы работа этой силы по перемещению материальной
точки по любому замкнутому контуру равнялась нулю?
2. Рассмотрите самостоятельно задачу в общем виде о работе силы,
действующей вдоль пространственной кривой.
в
3. Работа силы определяется интегралом V —р-у + , Л «
а) не прибегая к вычислению, выясните, зависит ли работа от пути
интегрирования;
б) вычислите работу вдоль параболы у — х2 и прямой у = х между точками
10 — 9 In 2
А (0, 0) и Б (1, 1). Отв. / П и 2-In 4.
о
#2 — у2
4. Проекции силы F на координатные оси равны: Р — (у — х) xt Q-- —
2 '
Показать, что работа по перемещению материальной точки под действием этой
силы не зависит от пути перемещения.
5. Сила имеет направление отрицательной полуоси ординат и равна квадрату
абсциссы точки ее приложения. Найти работу силы при перемещении массы т
о
по параболе у2==\—х от точки А (1, 0) до точки В (0, 1). Отв. -г-*.
10
2>t 3t2
6. Вычислить площадь, ограниченную петлей кривой х = у =.
3
(«декартов лист»). Отв. —.
80
7. Вычислить площадь, ограниченную кривой 9t/2 = 4*3 — х*. Отв. -х- эт.
8. Вычислить площадь, ограниченную лемнискатой (*2 + z/2)s = a2 (*2 — #2).
Указание. Положить г/ = *tg ?. Отв. а2.
181

§ 8. СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ПОНЯТИЕ
ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ПОЛЯ
Если в каждой точке М некоторой области (D) (будь то область
плоская или пространственная) определена скалярная величина F,
то говорят, что в области (D) задано скалярное поле. Заметим, что
часто для краткости область задания (D) также называют полем.
Вместо того чтобы сказать: «Такая-то точка принадлежит области
задания данного поля», часто говорят: «Точка принадлежит данному
полю».
Задание скалярного поля ничем не отличается от задания
некоторой функции точки F (М) с числовыми значениями, которая
в этом случае называется скалярной функцией.
Примером скалярного поля может служить температура воздуха
в некотором помещении, если ее рассматривать как функцию точки.
В точках, расположенных ближе к источнику тепла, температура
будет выше, а возле охлаждающихся стен — ниже. Если, в частности,
окажется, что температура в помещении везде одинаковая, то имеем
дело с постоянным скалярным полем.
Если в каждой точке М некоторой плоской или
пространственной области (D) определить вектор F, то получим так называемое
векторное поле. Функция F(M), с помощью которой задается
векторное поле, называется векторной функцией. Задание вектора F в
пространстве равносильно, как известно, заданию трех его
компонентов Fx, Fv и Fz. Следовательно, векторное поле можно задать
либо с помощью векторной функции F(M), либо с помощью трех
скалярных функций FX(M), Fy(M) и FZ(M).
Примером векторного поля может служить поле сил любой
природы. Каждой точке соответствует определенный вектор,
указывающий численную величину и направление силы в этой точке.
Далее, так как в каждой точке скалярного, поля градиент есть
определенный вектор (см. гл. XV, § 7), то можно сказать, что из
скалярного поля функции F (x, r/, z) можно образовать векторное
поле градиента gvadF(xi у, z),
^ А v dF . . dF . , dF u
grad/r = _/+__y+_ft.
Векторное поле, образованное градиентом некоторой скалярной
функции F, называется потенциальным полем.
Вектор, определяющий потенциальное поле, часто также
называют потенциальным вектором, то есть вектор а потенциальный,
если
a = grad/\ (1)
Пусть Р, Q и R — составляющие вектора а по координатным
осям OX, OY, OZ соответственно. Из определения градиента
следует, что в силу (1) потенциальный вектор а всегда можно пред-
182

dF , , dF ., dF - ^
ставить в виде а = §^^ + j-J+-^^ и» таким образом,
В предположении непрерывности функций Р, Q и R равенства (2)
равносильны одному равенству dF = P dx-\-Qdy-\-Rdz.
Следовательно, поле будет потенциальным в том и только в том
случае, когда выражение Р dx + Qdy + Rdz является полным
дифференциалом какой-то функции F. Функция F называется
в этом случае потенциальной функцией поля.
Как известно, работа силового поля определяется по формуле
W=$ Р dx-\-Qdy + Rdz, где Р, Q и R — проекции силы F на
координатные оси. Следовательно, если какое-то силовое поле
является потенциальным, то подынтегральное выражение представляет
собой полный дифференциал и в этом случае работа W не зависит
от пути, по которому происходит движение, или, что то же самое,
равна нулю при движении по всякой замкнутой кривой,
находящейся в этом поле.
Так как в этом случае
в
W = \ Pdx + Qdy + Rdz = F(B)—F(A), (3)
А
то величина работы в потенциальном поле равна приращению
потенциальной функции F (x, r/, z) при переходе по любому пути из
одной начальной точки A (xQ, y0, z0) в другую конечную точку
B(xv yv г±).
Примером потенциального поля может служить поле <:ил
притяжения. Пусть в точке 0(0, 0, 0) помещена масса т. Если в
произвольной точке М (х, у, z) поместить единичную массу, то сила
F(M)9 с которой эта единичная масса притягивается к массе т,
направлена к точке О и ее скалярная величина, как известно,
равна Fc=—, где k — коэффициент пропорциональности, а г =
= Vx*+y*+z*.
Проекции этой силы на координатные оси определятся
следующим образом:
г, П km I z\ kmz
R =F COS у = y2- {- -J = - -Гу
где cos a, cos p и cosy — направляющие косинусы вектора F(M)
(знаки минусы стоят из-за того, что вектор направлен к началу
координат). Следовательно, сила F в точке М (х, у, z) представится
183

в виде:
с, / ч kmx . kmy . kmz •
F(x, у, *) = --—* /j _*.
Нетрудно видеть, что поле, образованное вектором F(M), будет
потенциальным и его потенциальной функцией будет: и(г) = —,
В самом деле,
ди ди дг / km\ x __ kmx
дх ~~ ~д?дх ~~ \ ~г*]Т ~~ /*"'
ди kmy ди kmz т-т ^ r-
и аналогично д- = ^, ^ = ^-. Поэтому работа силы F
представляется формулой, аналогичной формуле (3), именно:
W= i Pdx + Qdy + Rdz = u(rJ — u(r1) = km(y- - ±-
А
где гх и г2 — расстояния точек Л и В от точки О.
Область, в которой определено поле силы притяжения, есть все
пространство, за исключением точки О.
Пример. Найти работу силы притяжения, действующей на единичную
массу, когда последняя перемещается из точки А (3, 4, 12) в точку 5(1, 2, — 2).
Решение. В данном случае г1 = >л32 + 42+122 = 13, г2 = ]Л2-|-22+ (—2)2=3
и, следовательно, W = kml \=kml-7?—— )=—&m.
Упражнения
1. Образовать потенциальное поле для потенциальной функции
F(x, y) = ln(x* + 4t/*).
Найти потенциальный вектор а в точке (6, 4). Отв. а = ^ (3/ + 8/).
2. Образовать потенциальное поле для потенциальной функции
F(x, У, z) = x*y4.
Найти потенциальный вектор а в точке (3,2, —1). Отв. 108(—i—j+k).
3. Найти работу, производимую силой тяжести, когда точка массы т
перемещается из положения (хъ уъ гх) в положение (х2, у2, z2) (ось OZ направлена
вертикально вверх). Отв. W = — mg(z2 — z1).

Раздел VII.
РЯДЫ
ГЛАВА XX
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть дана бесконечная последовательность чисел
#1» #2» #3> • • • j &т • • •
Бесконечным рядом (или просто рядом) называется выражение,
которое получится, если все члены этой последовательности
соединить формально знаком плюс:
оо
а1 + а2 + а3 + ... + ап + ...= 2 ап- 0)
л = 1
Числа аъ a2i a3, ... называются членами ряда; ап при
произвольном п называется общим членом ряда (иногда первый член ряда
обозначают а0, второй — ах и т. д., то есть придают п значения О,
1, 2, ...). Так как мы умеем складывать только конечное число
чисел, то надо дать определение того, что мы будем понимать под
выражением (1).
Назовем частичными суммами Sn ряда (1) следующие суммы
конечного числа его членов:
S1 = ali S2 = a1 + a2i S3 = a1 + a2 + a3, ..., Sn = a1 + a2 + ... + an.
Так как число слагаемых в (1) бесконечно, то можно составить
бесконечную последовательность частичных сумм
^1> ^2» V3» •••> Ьп, ... (2)
Определение 1. Говорят, что бесконечный ряд (1)
сходится, если последовательность его частичных сумм (2) стремится к
какому-нибудь числу S; число S = \imSn называется в этом случае
суммой ряда (1).
Если же последовательность (2) стремится к бесконечности или
вообще не имеет никакого предела, то говорят, что ряд (1)
расходится.
Таким образом, определение нового понятия суммы бесконечного
ряда чисел может быть дано с помощью двух уже известных чита.-
телю действий: сложения конечного числа чисел и нахождения
предела бесконечной последовательности чисел.
185

Пример 1. Рассмотрим ряд
Ь 2^2- 3^3- 4^"* L* п{п+\)
(3)
и для выяснения вопроса о сходимости или расходимости этого ряда
составим его частичные суммы:
1 1 о 1,1 Л 1\ , /1 1\ 1 1
Sl~TT2 — 1—Т' 52ТГ2+'27з-(1"""2") + (т"~'"3") — * ~~ Т
Ь2Т2.3Т3.4~Г 2У г\2 3/^\3 4/ * 4'
1 ' ' ¦ • ' '1-4Ы'-4.|+...+
Ь2 ¦ 2.3^,,# • л(л + 1) \ 2/ ' \ 2 3
HmS„= limfl— z-rrl = l-
/г—1 n ] ' \/i я+1/ Л+1*
В соответствии с определением 1 надо выяснить, существует ли
конечный предел последовательности чисел Sn. В нашем примере
очевидно, что
J_
/г+1,
Итак, ряд (3) сходится и сумма его равна единице.
Пример 2. Рассмотрим ряд, составленный из членов
бесконечной убывающей геометрической прогрессии:
(знаменатель прогрессии равен -о-). Используя известную из эле-
2,
ментарного курса алгебры формулу суммы членов конечной
геометрической прогрессии, получаем для частичной суммы ряда (4)
следующее выражение:
1-1
Очевидно, что при л->оо существует конечный предел limSn = 2.
Следовательно, ряд (4) сходится и сумма его равна 2.
Пример 3. Выясним вопрос о сходимости ряда
со
L п(п + 3) <5>
186

методом, аналогичным тому, который был применен в примере 1.
Представим каждый член ряда в виде 3 = (————).—,
то есть разложим дробь , 3) на простейшие дроби (см. том I,
глава VIII, § 7). Тогда частичная сумма будет иметь вид:
s -JL+JL+_L+ 1 * 1 1 -4i Mi
°Л"Ь4 ^2-5 ^3-6 ^-"^(Л—1)(Л + 2) ^п(п + 3) ~ 3 \А 4/^
+ Т\Т~т) + У\"з"~"б') + -,, + "3"1л^Т"" л+г] + Т\'|Г —л + З"]'
Раскрыв скобки, получаем:
S -±(i+± + ± ! I 1—\
°п~ 3 \1^ 2 ^~ 3 я+1 я+2 л + 3/
(взаимно уничтожились все слагаемые, кроме шести).
Итак,
Ит5-=1(1+т+т)=й-
Следовательно, ряд (5) сходится и сумма его равна -^.
Пример 4. Рассмотрим ряд
оо
/г=1
Этот ряд называется гармоническим рядом. Выясним вопрос о
сходимости гармонического ряда.
Рассмотрим частичную сумму с номером, представляющим собой
степень двойки, S2k, и объединим в ней члены в скобки
следующим образом:
+ (т+Т+7 + 1) + -+(?=^+- + ?)-
Знаменатель последнего слагаемого в каждой скобке есть степень
двойки, а число слагаемых в каждой скобке в два раза меньше
этого последнего знаменателя. Так как слагаемые убывают по
величине, то можно сказать, что сумма слагаемых в каждой скобке
больше, чем последнее слагаемое, умноженное на число слагаемых
в скобке:
± + ±>±.2=±
5^6^7~8^8 2 '
-••• + i>i-2*-1 =
' + 1 ' •" ' 2й "2* 2-
187

Поэтому
Итак,
-14.14-1+ 4- l -14- -^±1
s,*>*±*
и поэтому S2fe->oo при ?-*оо. Очевидно, что и S„->oo (л=1,
2, 3,...).
Следовательно, гармонический ряд расходится. Интересно
отметить, что суммы Sn растут очень медленно с возрастанием п\ так,
например, S1000^7,48; S10ooooo^ 14,39.
Пример 5. Выясним вопрос о сходимости ряда,
составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии. Пусть дан
ряд
оо
a + aq + aq* + aq3 + ... = 2laqn. (7)
я=0
Составим частичную сумму:
5л=а + а, + ... + й,-=^=^-^1. (8)
Очевидно, что при п->оо изменяется только второе слагаемое
последней формулы, причем характер его изменения зависит от
того, каково число q.
а) Если |^| <1 (прогрессия убывающая), то очевидно, jzz *®
при п->оо и поэтому S = limSrt = y—~ и ряд (7) сходится. Эта
формула суммы членов бесконечной убывающей прогрессии
известна читателю еще из школьного курса.
б) Если |<7|>1, то т^ *оо при п-+оо, последовательность
частичных сумм «S^ не имеет поэтому конечного предела и ряд (7)
расходится (см. определение 1).
в) Если q = — 1, то последовательность Sn не стремится ни к
какому пределу; действительно, по формуле (8)
^n~~ 2 2
а известно, что последовательность чисел (— 1)Л состоит попеременно
из чисел—1 и 1 и предела не имеет. Таким образом, и в этом
случае ряд (7) расходится.
г) Если <7=1, то формула (8) лишена смысла. Но ясно непос-
188

редственно, что в этом случае
у v >
п раз
и limSn = oo. Итак, в этом случае ряд (7) также расходится.
Суммируя все исследование, можем сказать, что ряд (7)
сходится только при | q | < 1 и расходится при всех остальных q.
Упражнения
1 г, * - 12 3 4 5 6
1. Из бесконечной последовательности чисел —, -^-, — -=-, -^-, -у, ...
составьте ряд; напишите первые пять частичных сумм этого ряда.
2. Общий член задан формулой ап = 9 (я=1, 2, 3,...); выпишите аъ
Дг» Яз> а4> аъл аъ\ вычислите S4 для данного р^да; напишите выражение an+i (для
этого замените п на я+1).
3|ЛГ
3. Общий член ряда задан формулой а±— 2 . \ выпишите аъ а2 и а3\
напишите выражение ап+1; вычислите S3-
Пользуясь методом, примененным в примерах 1 и 3, выясните вопрос о
сходимости и найдите суммы следующих рядов:
оо оо
/1=1 /1=1
ОО
/2+l От.. 5-4. 7. У ^ 1U" , „. . Отв. 5 - *
2*Н __
л2(я + 2)2" ",,и" ° 16* "^ (2/г-1)2(2/г+1)2 ' — « g
л=1 /г=1
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
В этом параграфе будут приведены простейшие свойства,
присущие всем сходящимся рядам. В частности, будет показано, что
сходящиеся числовые ряды обладают целым рядом свойств,
аналогичных свойствам конечных сумм (см. теоремы 4, 5, 6).
Теорема 1 (необходимый признак сходимости
ряда). Если ряд сходится, то его общий член стремится
к 0 при п->со.
оо
Доказательство. Пусть ряд ^]ап сходится и сумма его
/г=1
равна S. Очевидно, что an = Sn — Sn-1 и так как S„->S и Sn-i-+S
при п->со (S„_! пробегает ту же последовательность чисел, что
и S„), то ап->0.
Замечание. Из примера 4 предыдущего параграфа видно,
что этот необходимый признак сходимости ряда не является
достаточным. Действительно, общий член гармонического ряда ап =
= — -> 0 при я->оо, однако ряд расходится. Если же для
некоторого ряда видно, что его общий член не стремится к нулю, то
теорема 1 позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.
189

00
Например, ряд ^nq при всяком q>0 расходится, так как ап=пд
/г=1
не стремится к нулю при h-+oo.
Определение 1. Бесконечный ряд, который получается из^
оо
данного ряда 2 ап путем отбрасывания некоторого конечного коли-
чества членов, взятых подряд, начиная с первого, называется
остатком данного ряда.
Если отброшено п первых членов, то остаток называется п-м
оо
остатком и его можно записать в виде суммы ^ ak (здесь п
фиксировано—-это число отброшенных членов, а А—переменный
индекс суммирования). Если остаток является сходящимся рядом,
то будем обозначать его сумму через гп.
Теорема 2. а) Если сходится бесконечный ряд, то
сходится и любой его остаток; б) если сходится какой-либо
остаток ряда, то сходится и сам ряд.
оо
Доказательство, а) Пусть дан сходящийся ряд 2 а*>
имеющий сумму S. Покажем, что любой остаток этого ряда также
оо
сходится. Возьмем п-и остаток 2 ak (n любое) и т-ю частичную
fe=/i+i
п-\-т
сумму 2 ak = am этого остатка. Очевидно, что
? = /г+1
От = йп*1 + апы + ... + ап^ = (а1 + аъ + ... + апЛт) —
-(fli + fl2 + -.- + fli») = S„+JB-S„. (1)
При /п->оо первое слагаемое правой части, Sn+m, стремится к S,
так как номер частичной суммы стремится к бесконечности, а ряд
00
2 ak по условию сходится; второе же слагаемое не меняется
fc=i
с увеличением т. Итак, от при т->со стремится к конечному
оо
пределу и остаток ^ ak является сходящимся рядом.
Из формулы (1) после перехода к пределу получаем равенство
rn = S-Sn. (2)
оо
б) Пусть сходится какой-либо остаток 2 ak данного ряда
оо оо
2 ak\ проверим, что и сам ряд 2 аь в этом случае сходится.
190

Возьмем частичную сумму с номером р(р>п) данного ряда.
Так как р > я, то можно представить число р в виде р=п + т (т>0)
и по равенству (1) имеем:
Sp = Sn+m = Sn + СГ/я- (3)
Пусть р -> оо; тогда т -> оо (л фиксировано) и из (3) видим, что
правая часть стремится к конечному пределу Sn-\-rn\ следовательно,
оо
и Sp стремится к конечному пределу при р -> оо, то есть ряд 2 а*
fc=i
сходится.
Замечание. Переход к пределу в равенстве (3) дает формулу,
равносильную формуле (2):
S = Sn + rn. (4)
Формулой (4) можно пользоваться, если мы имеем дело со
сходящимися рядами. Из этой формулы следует, что сумма всякого
сходящегося ряда получается сложением какой-либо частичной суммы
ряда и суммы соответствующего остатка.
В дальнейшем, говоря о сумме остатка сходящегося ряда, будем
эту сумму для краткости называть просто остатком.
Теорема 3. Если ряд сходится, то его остаток гп
стремится к нулю при п -> оо.
оо
Доказательство. Пусть ряд У] ап сходится и имеет
п=1
сумму S. По формуле (2) rn = S — Sn и Sn-> S при п->оэ.
Следовательно, S — Sn->0, то есть гп->0, что и требовалось доказать.
Над любыми сходящимися рядами можно выполнять €ледующие
простые арифметические действия.
оо
Теорема 4. Дан сходящийся ряд ^ апс суммой S; если
все члены этого ряда умножить на одно и то owe число Ь,
то новый ряд также будет сходиться и сумма его будет
равна Sb, то есть будет равна сумме исходного ряда,
умноженной на число Ь.
00
Доказательство. Умножим все члены ряйа ^ ап на число 6,
оо
получим: 2 Ьап. Возьмем частичную сумму <зп этого ряда; оче-
/i=i
видно, Gn = ba1-\-ba2 + ... + ban = b (a1-\-a2i-\-*^ + an) = bSn. Так как
постоянный множитель можно вынести за знак предела, то при
д->оо получаем: o = b-S.
Замечание. Если утверждение теоремы переписать в виде
оо оо
2 ban = b 2 ап, то видим, что получено перенесение на бесконечные
191

сходящиеся ряды правила вынесения общего множителя за скобку
в конечных суммах.
оо
Теорема 5. Пусть даны два сходящихся ряда: 2 яя =
GO ОО
= 5 и 2 Ьп = о; если составить новый ряд 2 (^п±Ьп) пу-
тем почленного сложения (или вычитания)
соответствующих членов исходных рядов, то новый ряд также будет
сходиться и сумма его будет равна S + o (или S—o).
Доказательство. Преобразуем /г-ю частичную сумму полу-
00
ченного ряда 2 (а« —W следующим образом:
л=1
(a1±b1) + (a2±b2) + ... + (an±bn) =
= (<*! + * + ... + aJ±(b1 + b2 + ... + bn) = Sn±on.
Применяя теорему о пределе суммы, получаем, что правая
часть этого равенства при п-> оо стремится к S±o9 следовательно,
оо
и частичная сумма ряда ^ (ап — Ьп) стремится к тому же числу.
/2=1
Таким образом, проверено, что сходящиеся ряды можно почленно
складывать и вычитать так же, как это обычно делается с
конечными суммами. Что же касается перенесения правила умножения
конечных сумм на суммы с бесконечным числом слагаемых, то есть
на сходящиеся ряды, то, как будет показано ниже (см. § 3, 5),
это удается сделать только для определенного типа сходящихся
рядов; для любых сходящихся рядов нельзя определить действие
умножения ряда на ряд аналогично действию умножения конечных
сумм.
Любой сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.
оо
Теорема 6. Если в сходящемся ряде ^ ап = а1 + а2+а3 + ...
/z=i
• •• + 0Л + -" произвольно объединить члены ряда в группы,
не меняя при этом порядка следования членов, то
сходимость ряда от этого не нарушится и сумма ряда не
изменится.
Доказательство. Произведем любым способом объединение
оо
членов сходящегося ряда ^ ап в группы и будем каждую такую
/г= 1
группу считать членом нового ряда, например: (% + «2) + ^з +
+ (а^-^-аь + а7)-{-(а8-{-а9)+... . Каждая частичная сумма этого нового
ряда будет представлять собой какую-то частичную сумму
исходного ряда, как правило, с большим номером. Например, при
объединении в группы, по указанному выше правилу видим, что
192

первая частичная сумма преобразованного ряда совпадает со
второй частичной суммой исходного ряда; вторая частичная сумма
преобразованного ряда совпадает с третьей частичной суммой
исходного ряда, третья—с седьмой исходного ряда и т. д. Таким
образом, последовательность частичных сумм преобразованного ряда
является подпоследовательностью последовательности частичных сумм
исходного ряда. Как известно из теории пределов, всякая
подпоследовательность сходящейся последовательности стремится к тому
же пределу, что и вся последовательность (см. том I, гл. III, § 9,
теорему 1), и, следовательно, теорема доказана.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Напишите формулу (4) для сходящегося ряда примера 6 (см. упражнения
к § 1) при п = 5.
2. Найдите сумму ряда Ы + Jj + [^ + ^) + Ы+ ff) + • • • » восполь-
3
зовавшись теоремой 5. Отв. S= -^-.
со
3. Найдите сумму ряда У — in/ _, оч » воспользовавшись теоремами 4
п=\
7
и 5 и примерами 1 и 3 из § 1 Отв. «5=^.
4. Всегда ли можно раскрывать скобки (если они есть) в членах сходящихся
рядов, не нарушая этим сходимости ряда? Продумайте ответ на этот вопрос на
примере сходящегося ряда (1 — 1) +(1 — 1) +(1— 1) + ..., сумма которого, очевидно,
равна нулю.
§ 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ
Положительным рядом называется ряд, все члены которого
неотрицательны. Для положительных рядов можно сравнительно
просто найти признаки, с помощью которых удается, не прибегая
к вычислению предела частичных сумм, установить, сходится ли
данный положительный ряд или нет. Эти признаки, правда, не дают
ответа на вопрос о том, какова сумма данного ряда (^сли он
оказался сходящимся). Но отыскание суммы сходящегося ряда — это
трудная задача и ее удается решать только в отдельных, частных
случаях (как, например, было сделано в примерах 1 и 3 из § 1),
применяя разнообразные приемы преобразования частичных сумм
или .какие-либо другие методы.
Ниже будет приведен ряд признаков сходимости положительного
ряда.
Заметим, что последовательность частичных сумм
положительного ряда есть всегда возрастающая последовательность чисел.
Поэтому вопрос о сходимости положительного ряда сводится к вопросу
о существовании конечного предела у возрастающей
последовательности чисел. В теории пределов последовательностей доказывается
признак существования конечного предела у возрастающей после-
193

довательности (см. том I, гл. III, § 6): если возрастающая
последовательность ограничена сверху, то она стремится к конечному
пределу. Этим признаком будем пользоваться в доказательствах
следующих теорем.
Расходимость положительного ряда может означать только то,
что его частичные суммы стремятся к +оо.
оо
Тот факт, что положительный ряд 2 ап сходится, часто запи-
/1=1
ОО
сывается следующим образом: ^] Ял< + °о.
/i=i
Теорема 1. Для того чтобы положительный ряд
сходился, необходимо и достаточно, чтобы все его частичные
суммы были ограничены сверху некоторым числом.
Доказательство, а) Достаточность признака. Пусть
оо
известно, что все частичные суммы положительного ряда ^апогра-
л=1
ничены сверху: Sn^M, n=l, 2, 3, .... В таком случае по
упомянутой выше теореме о монотонной переменной существует конечный
предел последовательности частичных сумм Sn. Это и означает по
оо
определению 1 из § 1, что ряд 2 ап сходится.
м=1
б) Необходимость признака. Пусть известно, что ряд
оо
2 ап сходится, то есть существует конечный предел lim Sn = S.
Так как последовательность Sn стремится к S возрастая, то,
очевидно, S,i^S, А1=1, 2, 3, ... . Это и означает, что
последовательность частичных сумм Sn ограничена сверху.
Этот необходимый и достаточный признак сходимости
малоудобен для применения при исследовании сходимости какого-либо
конкретного ряда, так как трудно устанавливать ограниченность
сверху последовательности Sn, но он очень удобен для
использования в теоретических рассуждениях.
Докажем некоторые достаточные признаки сходимости,
основанные на методе сравнения друг с другом двух рядов.
Теорема 2. Пусть даны два положительных ряда
оо оо
2 *п и 2 f>ni (1)
/1=1 /1=1
если выполняется неравенство ап^Ьп (п = 1, 2, 3, ...), то
оо оо
из сходимости ряда 2 &п следует сходимость ряда^ ап
/i = i /i=i
(то есть из сходимости ряда с большими членами следует
сходимость ряда с меньшими членами).
194

Доказательство. Так как ап^ Ъп для всех /1=1, 2, 3, ...,
то, очевидно, и частичные суммы рядов (1) связаны неравенством
такого же смысла:
Sn^On (2)
оо
(через Sn обозначена частичная сумма ряда 2 ап> а через оп — ча-
оо \
стичная сумма ряда ^ Ьп\
/1=1
Пусть сходится ряд с большими членами, то есть ряд 2 Ъп\
тогда последовательность оп по теореме 1 (необходимость признака)
ограничена сверху: оп^М. Тем более из (2) следует, что Sn^M,
оо
откуда опять-таки по теореме 1 (достаточность признака) ряд ^ ап
п=1
сходится.
Замечание. Если неравенство ап^Ьп выполняется не для
всех /г, а только для всех номеров я, начиная с некоторого номера
N, то вместо рядов (1) надо рассматривать (N—\)-е остатки этих
оо оо
рядов, то есть ряды вида 2 ап и ^ Ьп. К этим последним рядам
n = N n=N
уже применимы все рассуждения, приведенные в доказательстве
теоремы 2, а в силу теоремы 2 из § 2 результаты, полученные для
остатков рядов (1), верны и для самих рядов (1). Поэтому
утверждение теоремы 2 справедливо и в том случае, когда ап ^ Ьп только
для n^N>L
Пример 1. Рассмотрим ряд У ^ и выясним, сходится ли он.
1
Произведем сравнение ряда /.-g со сходящимся рядом У —/ » п »
л=1 /г=1
изученным в § 1 (пример 1).
00 O0 ОО
Возьмем первый остаток ряда У -2-, то есть ряд У ^ = 2 faXm"»
/г=1 /г = 2 /г=1
оо
и сравним его с рядом ^ Л(я+1)- 0чевиДН0> что fc+iy^nfo+l) и
/г=1
по теореме 2 из данного параграфа и теореме 2 из § 2 сходимость
оо оо
ряда У , , ,v влечет за собой сходимость исследуемого ряда У -$,
Интересно отметить, что сумму этого ряда найти не так просто.
Используя специальные методы, можно установить, что сумма этого
195

ряда равна иррациональному числу-g- (см. гл. XXVIII, § 4,
пример 2).
Следствие из теоремы 2. В условиях теоремы 2 (или
оо
замечания к теореме 2) из расходимости ряда ^] ап следует
оо
расходимость ряда 2 Ъп (то есть из расходимости ряда
с меньшими членами следует расходимость ряда с
большими членами).
оо
Пример 2. Ряд / -7= расходится, так как •7г=>- при
гс= 1
оо
л>1, а ряд У 7г Расх°Дится-
00
Проводя сравнение ряда 2 #« с убывающей геометрической про-
грессией, можно получить следующих два признака сходимости:
Теорема 3 (признак сходимости Даламбера*).
00
Дан положительный ряд 2 ап> причем предположим, что
все ап>0; если существует предел отношения
последующего члена к предыдущему
Нш ^±1 = Д (3)
/г-*оо ап
то а) при D < 1 ряд сходится, б) при D > 1 ряд
расходится*
Доказательство, а) Пусть D<1. Возьмем е>0 настолько
малым, чтобы было D + e<l. Используя (3) (по определению
предела), найдем для этого 8 такой номер N, начиная с которого
будет иметь место неравенство
Д/гч-1
¦D
_ ,<?, то есть D — 8<^<D + 6 (n^zN). (4)
Положим в (4) n = N, N + l, ..., N + p и выпишем следующие р
неравенств:
5p<D + e, а^И<0 + г, ..., -^?-<D + e. (5)
"ДГ aW+i aN+p-l
Перемножив соответственно левые и правые части неравенств (5),
получим:
aN
* Даламбер (1717—1783) — французский математик.
196

откуда
aN+p<aN(D + s)p. (6)
Пусть р изменяется: /7=1, 2, ... . Тогда aN+p является общим
оо
членом ряда 2 aw+p» который является N-u остатком данного ряда
со
2 ««• Рассмотрим ряд с общим членом aN-(D-\-&)p. При
переменив
ном р—это общий член геометрической прогрессии со знаменателем
<7 = D + e, и так как знаменатель прогрессии положителен и меньше
со
единицы, то ряд 2 ^(D + e)*7 сходится. Тогда, применяя тео-
со
рему 2, получаем из неравенства (6), что ряд 2 aNjrP сходится и,
со
следовательно, по теореме 2 из § 2 сходится и данный ряд 2 ап-
б) Пусть D>1. Тогда из (3) следует, что, хотя бы начиная
с некоторого номера Л/, само отношение ^^ также будет больше
единицы (см. том I, гл. III, § 3, теорему 1). Таким образом,
^>1 для n^N.
Отсюда ап+1>аЛ(/г^Лг), члены ряда не убывают и тем более не
со
стремятся к нулю, а тогда по теореме 1 из § 2 ряд 2 ап расхо-
дится (нарушен необходимый признак сходимости ряда).
Замечание. В тех случаях, когда lim^±1 _ 19 признак Да-
л-*со ап
со
ламбера не дает ответа на вопрос о том, сходится ряд 2 ап или
л = 1
нет. Существуют сходящиеся ряды, для которых D=l, и
расходящиеся ряды, для которых также D=\. Например, для
расходящегося гармонического ряда имеем:
D = lim (—i-г-: — ) = lim—^-=- = 1
Ряда 2i
и для сходящегося ряда У ~~i также имеем:
D = lim [-.—r-jrx-: —) = lim , п. 1Ч9 *= 1.
Поэтому, когда D=l, а также в случаях, когда D не существует,
приходится исследовать вопрос о сходимости ряда с помощью
других признаков сходимости.
197

Пример 3. Выяснить, сходится ли ряд > .,.,
п* (п + 1)3 тт .
Для данного ряда ап= „^ и, следовательно, ля+1=; I о) Г Найдем
предел отношения последующего члена к предыдущему:
Так как D = 0<1, то по теореме 3 данный ряд сходится.
Пример 4. Выяснить, сходится ли ряд 2 ~Т* В данном случае ап =
= — и, следовательно, ая+1 = . :. . . Находим предел:
л-^оо дя п-оо (Л+ 1)1 Iя л-оо \ « / я-оо\ «/
Так как D=?>1, то по теореме 3 данный ряд расходится. Расходимость этого
ряда была, впрочем, видна сразу, так как нетрудно было проверить, что общий
член ряда ке стремится к нулю Случай, когда D>1, фактически к этому и
сводится.
со з"2""1
Пример 5. Выяснить, сходится ли ряд У] —-——.
Находив предел:
lim -5з± = i,m ———— r —-—r= lim r
*» и^оог^+^'./г+Т.з"1-1 я-0о2л1-2л+1.уТГ+Т.зл1-1'
i- 32"+1 l/" i i ! r /3\2«+l
^nmg^I-]/ 1+-- lun (y) =co.
Следовательно, данный ряд расходится.
Теорема 4 (признак сходимости Кош и). Дан
полоса
жительный ряд 2 я*; ес/ш существует предел
limj/ran = c9 (7)
л=1
mo а) /г/?и ? < 1 ряд сходится, б) при с > 1 ряд расходится.
Доказательство.
а) Пусть с < 1. Возьмем е > 0 настолько малым, чтобы было
с + е<[1. Используя (7), по определению предела найдем по этому
е номер /V так, что с — е<у ап<с + е для n^N. Отсюда ял<(с +
+ е)п. Так как ряд с общим членом (с + г)п сходится (0<с + е<:
< 1) как убывающая геометрическая прогрессия, то по теоремам 2
оо
из данного параграфа и 2 из § 2 сходится и ряд 2 а«-
/1 = 1
б) Пусть с>1. Тогда из (7) следует, что начиная с некоторого
номера N и сам корень также будет больше единицы: у а„>1
198

(n^N). Тогда я,г>1, и это означает, что нарушено необходимое
условие сходимости (теорема 1 из § 2). Следовательно, ряд
расходится.
Замечание. Этот признак так же, как и признак Даламбера,
не позволяет судить о сходимости ряда в том случае, когда с=1,
так как с может равняться единице для сходящихся и для
расходящихся рядов.
Пример 6. Выяснить, сходится ли ряд 2 (о _» j) •
Находим предел: lim fa^^lim 0 1 = -~-, и по теореме 4 данный ряд схо-
дится.
Можно проверить, что в тех случаях, когда признак Даламбера
дает ответ на вопрос о сходимости какого-либо ряда, обязательно
дает ответ и признак Коши. Обратное утверждение в общем
случае не может быть сделано. В этом смысле можно сказать, что
признак Коши является более сильным признаком, чем признак
Даламбера. Признак Коши дает ответ во всех тех случаях, когда
дает ответ признак Даламбера, и в некоторых случаях дает ответ
и тогда, когда признак Даламбера бессилен. Существует целый ряд
других признаков сходимости положительных рядов, с которыми
читатель может познакомиться в учебнике [1] (см. гл. XV, § 2,
п° 240). Интересно, что можно дать закон построения целой
бесконечной цепи признаков сходимости положительных рядов, каждый
из которых сильнее (в указанном выше смысле) предыдущего. Ни
один из них не является «универсальным», то есть не может дать
ответа для любого ряда. Приведенный выше признак Даламбера
является первым звеном этой цепи.
Можно использовать теорему 2, проводя сравнение исследуемого
ряда и не только с геометрической прогрессией. Для этого надо
иметь некоторое количество рядов, поведение которых известно и
которые можно использовать в качестве рядов для сравнения.
Очень удобной для этой цели оказывается группа рядов вида
?*. (8)
rt = I
где а — любое вещественное число.
Непосредственно видно, что если а^О, то такие ряды
расходятся, так как их общий член не стремится к нулю при /г-^оо и,
следовательно, нарушается необходимый признак сходимости ряда
(см. теорему 1 из § 2).
Ниже будет показана справедливость следующего утверждения
(см. пример 11): ряды вида (8) сходятся при а>1 и расходятся
при а ^ 1.
Рядами (8) и будем в основном пользоваться для сравнения
с ними других рядов при непосредственном применении признака
теоремы 2.
199

00 Зл — 2
Пример 8. Выяснить, сходится ли ряд 2 —2—• Признак Даламбера
/г = 1 п
„ ~ - .. 3/г —2 Ъп 3 , ,
опять дает случаи D = l. Можно написать неравенство —г—< —= — (я=1,
Пример 7. Выяснить, сходится ли ряд У! ^&_.
Признак Даламбера не дает ответа (D=l). Но, очевидно,
п+1 п _1_
Так как ряд с общим членом -= расходится, то по теореме 2 рас-
У я
ходится и данный ряд.
'К г»уптштг»а тги патт >^ .
3 _ _
л3 Тгз 7г2
оо ^
2, 3, ...). Ряд 2 ~2 СХ°ДИТСЯ> так как он получается почленным умножением
на 3 сходящегося ряда ^ — т а тогда по теореме 2 сходится и данный ряд.
п=1 П
Применение признака теоремы 2 представляет некоторое
неудобство тем, что трудно сразу найти такое неравенство, которое
обеспечивало бы использование признака. Можно дать несколько более
удобную для применения форму признака сходимости, основанного
на сравнении рядов.
Теорема 5. Пусть даны два положительных ряда:
00 ОО
2 ап и 2 ъп>
если существует конечный, отличный от нуля предел
отношения общих членов этих рядов
\\т? = А(АфО), (9)
А1-+00 °П
то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Пусть дано (9). Возьмем сколь угодно
малое б>0 так, что А—е>0. Тогда по определению предела
последовательности можно найти номер N такой, что, начиная
с этого номера, будет выполняться неравенство
<8 ИЛИ Л— 8<^<Л+6. (10)
а) Предположим, что ряд 2 ап сходится; тогда, используя ле-
вую часть неравенства (10), получаем: (А — е) Ьп<ап и по теореме 2
оо
сходится ряд 2 04—'е)?л- Применяя теорему 4 из § 2, видим,
n=l ?i / l
что сходится и ряд 2j Ьп (умножение на число-^
200

00
б) Предположим теперь, что ряд 2 ^ сходится; тогда сходится
00
по теореме 4 из § 2 и ряд ? (А + е)Ьп. Используя правую часть
неравенства (10), получаем, ап<.(А + е)Ьп. Отсюда по теореме 2 ряд
00
2 а>п также сходится.
п=\
Итак, проверено, что оба ряда могут оказаться сходящимися
только одновременно (тем самым, если один из них расходится,
то расходится и другой).
Замечание. В теории пределов давалось понятие двух
бесконечно малых одинакового порядка малости (см. том I, гл. III, § 13),
а именно: две бесконечно малые ап и Ъп называются бесконечно
малыми одинакового порядка малости, если существует lim ~ =
п-*со"п
= Л, где А Ф0, Афоо. При исследовании сходимости рядов
мы интересуемся только теми рядами, у которых общий член
стремится к нулю, так как если общий член ряда не
стремится к нулю, то по теореме 1 из § 2 сразу можно
сказать, что ряд расходится. Если сопоставить понятие
одинакового порядка малости бесконечно малых с формулировкой
теоремы 5, то теорему 5 можно прочитать следующим образом:
если два ряда имеют общие члены одинакового порядка малости
(при я->оо), то эти два ряда сходятся и расходятся одновременно.
Итак, при практическом использовании признака теоремы 5 надо
находить более простую бесконечно малую (при /г->оо) того же
порядка малости, что и общий член исследуемого ряда. Так как
при этом поведение ряда, с которым мы производим сравнение,
должно быть известно, то удобно опять-таки брать для сравнения
ряды типа (8), общие члены которых — являются при п-*оо
простейшими бесконечно малыми.
Пример 9. Выяснить, сходится ли ряд /
Ъ + п
2 + яЗ'
л=1
Общий член ряда 3 стремится к нулю при п—*со, и сразу видим, что
его порядок малости такой же, как у — (в числителе старшая степень п первая,
а в знаменателе —третья). Проводя сравнение, действительно, получаем:
3 + /г 3
ап .. 2 + п3 .. /г2(3 + /г) ,. Зп? + п? ,. п
+ 1
Hm -^= lim —-,— = lim nv, ' Q ' = Hm n , 0 = lim -^ =1.
-+1
n-+co un n—rco j_ n—*co 4-т-П> n—><x> *>-\-fl /г-»оо ^
/г2 rfi
oo
Так как ряд / -— сходится (здесь а> 1), сходится и данный ряд.
201

Пример 10. Выяснить, сходится ли ряд Л In f 1 -\ }.
п=\
Общий член ряда стремится к нулю при п—-со, следовательно, можно
ставить вопрос о том, сходится ли этот ряд. Известно, что если В бесконечно малая,
то In (1 -|-Р) '—- Р (см. том I, глава IV, § 10). Следовательно, 1п(1+ — )~—. то
In (1
есть lim -
п-*со
—-=1 и так как ряд f — расходится (гармонический ряд,
/г=1
почленно умноженный на 2), то расходится и данный ряд.
Существует еще один удобный для применения в целом ряде
случаев признак сходимости положительных рядов, основанный на
соображениях совершенно другого рода, чем те, которые были
развиты выше. В формулировке этого признака используется понятие
несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом,
известное читателю из интегрального исчисления (см. том I, глава XI, § 1).
оо
А именно — несобственным интегралом ^f(x)dx называется конеч-
а
ный предел (если он существует) обычного определенного интеграла:
оо b
\ f (x) dx = lim \ f (x) dx.
Теорема 6 (интегральный признак сходимости
оо
Кош и). Дан положительный ряд 2 ап1 если существует
не возрастающая непрерывная функция f(x), заданная при
х^?1, такая, что f(n) = an, то для сходимости ряда
необходимо и достаточно существование несобственного ин-
оо
теграла \f(x)dx.
Доказательство. На рисунке 89 изображен график
функции f{x)\ из чертежа видно, что площадь криволинейной
трапеции ABCD, выражающаяся опре-
п
деленным интегралом $ f(x) dx, заклю-
i
чена по величине между площадями
вписанной и описанной ступенчатых
фигур. Площадь вписанной фигуры
вычисляем как сумму площадей
прямоугольников шириной единица и высотой
ak (k= 2, 3, ..., п)\ эта сумма равна
^2 + ^з + - --Н-Яя! что> очевидно, можно
X выразить через частичную сумму ряда,
как Sn — аг.
У\
~0
1
в
Qt
А_
\ \
"пи
i i
i i
1 2 3
С
D ,
X
Рис. 202
202

Площадь описанной фигуры вычисляем так же, но высоты ak
таковы, что А=1, 2, ..., п— 1, и площадь равна аг + а2 +... +
+ an_1=Sn_1. Итак, очевидно неравенство
п
Sn-ai<[f(x)dx<Sn_1. (11)
Перейдем теперь к доказательству необходимости и достаточности
признака.
оо
Необходимость. Пусть известно, что сходится ряд ^ ап;
п = \
по теореме 1 частичные суммы Sn ограничены, и из (11) следует,
п
что ограничена последовательность интегралов ^f(x)dx. Так как»
1
эти интегралы образуют возрастающую последовательность чисел
(f(x)^0 и п возрастает), то по теореме о монотонной переменной
существует конечный предел этой последовательности интегралов
оо
и, следовательно, существует несобственный интеграл \ f (x) dx.
1
Достаточность. Пусть известно, что существует несобствен-
оо
ный интеграл ^f(x)dx. Тогда последовательность, интегралов
1
п
^f(x)dx возрастает (так как f(x)>0) и ограничена сверху, напри-
1
п оо оо
мер, своим пределом: jj / (л:) dx ^ $ f (x) dx. По (11) Sn — аг ^ \ f (x) dx,
1 1 1
со
Sn^ai + \f(x)dx, то есть ограничена сверху последовательность
1
оо
Sn частичных сумм ряда 2 ап- По теореме 1 это означает, что
00
ряд ^ ап сходится.
Пример 11. Воспользуемся интегральным признаком
сходимости для выяснения вопроса о поведении рядов (8)приа>0.
Возьмем в качестве функции f(x) функцию -^ (х^1); она
удовлетворяет условиям теоремы 6. Посмотрим, при каких а>0 существует
указанный в теореме 6 несобственный интеграл. Имеем:
ь ь
i i
203

f(x)dx — -^r и по теореме 6 ряды (8) при а>1 сходятся.
если а>1, то 1— а<0, 61_а->0 при 6->оо и, следовательно,
ь
Ita J/Wrf^Hmf^-^]-^.
Таким образом, при а>1 существует несобственный интеграл
оо
У ^"~ —сГ-1
1
Если а<1, то 1 — а>0, 61_а->сопри &->оо и lim \f(x)dx=oo.
Таким образом, в этом случае несобственный интеграл от f(x) = —
не существует и по теореме 6 ряд расходится.
Если а = 0, то ряд (8) обращается в гармонический ряд
со
У —, расходимость которого была проверена в примере 4 из § 1.
Итак, справедливость приведенного ранее утверждения о схо-
оо
V 1
димости и расходимости рядов > — доказана.
ь
Пример 12. Выяснить, сходится ли ряд У —j.—
I (In /2)2 •
/2 = 2
Положим /(*)=—j—-; функция f (x) непрерывна (так как х^2) и убывает
с возрастанием х. Очевидно, /(я)= ———. Проверим существование
несобственного интеграла от этой функции:
ъ ъ ь
\ f(x)dx=\ .?Х = [ (1п^)-2^1п^=-т^Г=--г1г + т^-;
J J a: (In л:)2 J v In x 2 In b In 2 '
22 2
b
fc-.oo J &-*oo|ln2 In Ь J ln2
2
00
Итак, несобственный интеграл \ f (x) dx существует, и, следовательно, данный
2
ряд сходится.
В § 2 были приведены некоторые свойства, аналогичные
свойствам конечных сумм, которыми обладает всякий сходящийся ряд
(см. теоремы 4, 5, 6). Положительные же сходящиеся рйды обладают
еще и некоторыми такими свойствами конечных сумм, которыми
обладают не всякие сходящиеся ряды. Возможность менять местами
слагаемые в конечной сумме без изменения от этого результата
204

сложения, являющаяся столь привычным свойством конечных сумм
(переместительное свойство), не всегда имеет место в бесконечных
рядах. Убедимся в том, что в положительных сходящихся рядах
можно менять местами члены и это не влияет ни на сходимость
ряда, ни на величину его суммы. Перестановка членов ряда может
касаться и конечного, и бесконечного количества членов ряда, но
при любой перестановке ни один член ряда не должен быть
пропущен и не должен встречаться после перестановки более одного раза.
Теорема 7. Положительные ряды обладают перемес-
тительным свойством.
Доказательство. Пусть дан сходящийся положительный
ряд с суммой S:
Za„ = S. (12)
Сделаем в нем любую перестановку членов и обозначим
получившийся после этого ряд следующим образом:
аП1 + аПя+аПл + ... (13)
(здесь у членов исходного ряда изменен порядок следования пъ
пъ п3 ... и номера расположены уже не обязательно в порядке
возрастания. Например, если в ряде (12) была произведена такая
перестановка а12 + а3 + а1 + а8 + а100 + а5 + ..., то пг=12, /г2 = 3,
п3=1, п4 = 8, я5 = 100 и т. д.). При этом следует помнить, что ни
один член ряда (12) не пропущен.
Возьмем т-ю частичную сумму от ряда (13): ат = аП1 + аП2+...
... + 0Л • Если положить N = max(nl9 пъ ..., пт), то очевидно, что
Gm^SN. (14)
Действительно, в частичной сумме SN исходного ряда (12)
содержатся все положительные слагаемые от ах до aN, а в от содержится,
как правило, только часть этих слагаемых. (Для приведенной выше
в скобках примерной перестановки членов ряда и, например, для
т = 5 имеем: N = max(12, 3, 1, 8, 100) = 100 и, конечно, о5 = а12 +
+a8 + a1 + a8 + a1QO<:S1o0 = a1 + a2 + ... + a9Q + am.) Так как
положительный ряд (12) сходится, то по теореме 1 его частичные суммы
ограничены сверху и по (14) тем более ограничены сверху
частичные суммы от ряда (13). А тогда опять-таки по теореме 1 ряд (13)
сходится.
Итак, проверено, что перестановка членов ряда (12) не
нарушает его сходимости. Убедимся теперь, что сумма ряда (13) та же,
что и у ряда (12). Обозначим сумму ряда (13) через а.
Переходя к пределу при m->oo (a тогда и Л/->оо) в
неравенстве (14), получаем:
<j<S. (15)
205

Если повторить все рассуждение, взяв ряд (13) за исходный и
считая ряд (12) полученным из него перестановкой, то придем
к неравенству
S^a. (16)
Сопоставление (14) и (16) дает требуемый результат: S = g. Теорема
доказана.
Для положительных рядов можно ввести действие умножения
ряда на ряд, похожее на действие умножения друг на друга
конечных сумм.
Пусть даны сходящиеся положительные ряды:
j>„ = S и J>„ = a. (17)
Я=1 /1 = 1
При умножении этих рядов
(а1 + а2 + а3 + ...).(Ь1 + Ь2 + Ь3 + ...) (18)
надо установить какой-то порядок выписывания получаемых
произведений; правило, по которому выписываются обычно результаты
умножения конечных сумм (выписать сначала все слагаемые,
получающиеся от умножения первого слагаемого первой суммы на все
слагаемые второй суммы и т. д.), здесь не годится, так как число
слагаемых, получаемых от умножения, например аг на все Ьпу
бесконечно. Можно указать разные способы упорядочения записи
при таком умножении (результат при любом способе упорядочения
один и тот же в силу теоремы 7); один из них заключается в
следующем: все возможные произведения, получаемые при умножении
каждого члена первого ряда на каждый член второго ряда,
записываются в виде бесконечной (направо и вниз) прямоугольной
таблицы:
а±Ьг аф2 агЬ3 агЬ4 ...
а2Ьх a2b2 аф3 аф^ ...
афх аф2 аф3 аъЬА ... (19)
афг аф2 аф3 аф± ...
Для того чтобы записать в одну последовательность все члены
этой таблицы, можно их выписывать, например, по такому правилу:
сначала напишем произведения, в которых сумма индексов равна
двум (только один член аъ Ьг), затем все те, в которых сумма
индексов равна трем {b2b1 и аф2), затем все те, в которых сумма
индексов равна четырем (афъ а2Ь2 и аф3) и т. д. Если следить
по таблице, то видно, что постепенно выписываются члены таблицы,
начиная с верхнего левого угла, по диагоналям. Видно, что при
этом не пропускается ни один член таблицы.
206

Можно выписывать члены таблицы (19), отсчитывая их по
квадратам, начиная опять-таки с левого верхнего угла, то есть в
следующем порядке:
я А + аф\ + «22 + яА + яА + агЬ2 + а>Фъ + &Фъ + я А + • • • (20)
Теорема 8. Если два сходящихся положительных ряда
перемножать по правилу умноэюения конечных сумм (то есть
каждый член одного ряда помножить на каждый член
другого ряда), то полученный в результате умножения
полоэюительный ряд также сходится и сумма его равна
произведению сумм исходных рядов.
Доказательство. Рассмотрим ряд, полученный от
перемножения рядов (17), и расположим его члены так, как указано в (20).
Обозначим через ип частичные суммы ряда (20). Рассмотрим
подпоследовательность последовательности частичных сумм, состоящую
из частичных сумм, номера которых являются квадратами целых
чисел, то есть подпоследовательность.
и19 и4, и9, и16У ..., ип; ... (21)
Очевидно, что
иП2 = Sn • ап, (22)
где Sn и ая —соответствующие суммы рядов (17). Так как ряды
(17) сходятся и имеют суммами числа S и о то, применяя теорему
о пределе произведения переменных, можно сказать, что
существует предел переменной ипг и
\\munZ = S'0. (23)
д-юо
Таким образом доказано, что подпоследовательность {иП2}
последовательности частичных сумм ряда (20) сходится к числу S-o.
Докажем теперь, что ряд (20) сходится. Для любого п найдется
число вида т2^п. Тогда ясно, что un^um2^S -о. По теореме 1
отсюда следует, что ряд (20) сходится. Таким образом, существует
конечный Мтип. Известно, что тот же предел имеет и любая ча-
стичная последовательность, выделенная из {ип} (см. том I, гл. III,
§ 9, теорему 1). Таким образом, limun = \imun2 = S-o9 то есть
п -* оо п—усо
сумма ряда (20) равна произведению сумм рядов (17). Так как
положительный ряд обладает переместительным свойством
(теорема 7), то проведенным рассуждением доказано утверждение
теоремы 8 для любого способа выписывания членов таблицы (19) в ряд.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Повторите все доказательство теоремы 7 для следующей конкретной
перестановки членов ряда: fti = l, /г2=10, /г3 = 20, п4 = 2, я-= 30, /г6 = 40, /г7 = 3,
гс8 = 50, /г9 = 60 и т. д.
2. В каком месте рассуждения в доказательстве теоремы 8 используется то,
что ряды (17) являются рядами с положительными членами?
307

Выясните, сходятся ли ряды из примеров 3—21:
Отв. Сходится
Отв. Расходится.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
V 1-М2
п = \
оо
Id /г2 + Г
оо
^ у'п(п+\У
n = l
оо
2d vw+w*
я=1
оо
У 1
4J п\пп'
/1 = 9
оо
?t пУ In я"
4 = 1
ОО
/г = 1
оо
VI | sin пх \
Zi л? *
гс = 1
оо
оо
VI л! *
L (2л—1)11 #
'1 = 1
00
Z (л!)2'
00 /1 \2
. 2 «v"-1/¦
rt=l
0/яв. Расходится.
Отв. Сходится.
Отв. Расходится.
О/яв. Расходится.
Отв. Сходится.
Отв. Сходится.
Отв. Сходится.
Отв. Сходится.
Отв. Сходится.
Отв. Сходится Указание. См. пример 4.
* Обозначение «И» употребляется для сокращенной записи произведения
целых чисел одинаковой четности, например: 511 = 1-3-5; 1211 = 2-4«6-8« 10« 12.
208

Отв. Расходится. Указание. Используйте соотношение еа—• 1 <-^ ос при а —* 0.
00
16* ^j &*-i * 0/Пв' Сходится'
а = 1
17 i /о ч| • ^/Пв- Сходится.
оо
18. ^ 2" • sin ^. Отв. Сходится.
оо
*9. 2] (У^ + З—yOia + l). О/ив. Расходится.
2о- 2(1-с"^>
п~1
а3
Отв. Расходится. Указание. Используйте соотношение 1—cosa^^-^- при
2
а — О.
21.
2 /г2 4-2
In 0 ; . . Отв. Сходится.
л2 + 1
м = 1
22. Вапишите семь первых членов ряда, полученного умножением ряда
1 , 1 , 1 , 1.1,1.
"^" + "6~+97 + --' на РЯД "о" + Х"+"я" + ,*,; сложение членов при перемножении
производите по правилу, указанному в теореме 8. Чему равна сумма
полученного ряда?
23. Напишите один сходящийся положительный ряд, для которого число С
из признака сходимости Коши (см. теорему 4) равнялось бы единице, и один
расходящийся ряд, для которого также было бы С=1.
§ 4. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ
Ряд называется знакочередующимся, если всякие два соседних
члена ряда являются числами разных знаков. Будем в дальнейшем
для удобства считать, что первый член ряда — число
положительное. В записи будем для отчетливости выписывать явно знаки
членов, считая сами буквы ап обозначениями абсолютных величин
членов ряда а1 — а2 + а3 — аА + ... + агп_1 — агл + ... .
Для знакочередующихся рядов Лейбницем был доказан очень
простой достаточный признак сходимости.
Теорема 1. (Лейбниц.) Если общий член
знакочередующегося ряда, монотонно убывая по абсолютной величине,
стремится к нулю, то ряд сходится.
Доказательство. Пусть дан ряд а1—а2 + а3—а4 + --«
... + а2п_1—а2п-\-... и пусть апП<.ап и ап->0 при п-*оо.
а) Рассмотрим сначала частичные суммы с четными номерами и
изучим их поведение. Очевидно, S2n можно записать в следующем
209

виде: Sbi = a1 — a2 + a9—at + ... + a2n_1 — a2n = (a1 — a2) + (a3 —я4) + -"
••• + («2/1-1—^2я).
По условию теоремы (монотонное убывание членов ряда) в
скобках стоят положительные числа, и так как S2n+2 = 52n + (#2/i+i—#2/1+2)»
то S2/z<S2n+2 (/i=l, 2, 3, ...), то есть последовательность частичных
сумм с четными номерами возрастает. Легко убедиться в том, что
эта возрастающая последовательность чисел ограничена сверху.
Действительно, запишем S2rt в виде S2n = ai — (#2 — ^3) — (а* — аъ)—•••
...—(а2л-2 — azn-i) — аъп- Отсюда видно, что S2n получается
вычитанием из числа аг некоторого количества положительных чисел и,
следовательно, S2rt<C«i при любом п.
Итак, последовательность S2„ (по признаку существования
предела монотонной последовательности) стремится к конечному
пределу при /i->oo. Обозначим этот предел через S: limS2^ = S.
п—*оо
б) Проверим теперь, что и частичные суммы с нечетными
номерами стремятся к тому же пределу S. Действительно, S2n+i = S2n +
+ Л2/1+1; переходя к пределу в этом равенстве при д->оо и
используя условие теоремы (общий член ряда стремится к нулю при я-*оо),
получаем S2w+1 ->S при п->оо.
Объединяя результаты а) и б), можно написать limS„ = S, то
есть ряд сходится. п^со
Замеча-ние 1. В доказательстве теоремы было показано, что
последовательность частичных сумм с четными номерами стремится
к пределу S возрастая. Можно проверить, что последовательность
частичных сумм с нечетными номерами стремится к этому же
пределу убывая. Действительно, ОЧеВИДНО, ЧТО S9^i = Sa/i_i —(Озл —Afc/i+l)
и так как S^n-i — 52л+1 = а2/г — а2/г+1 > 0, то S2^+1 < S^n-i при любом п.
Хаким образом, последовательности S2„ и S2„+1 образуют две
встречные монотонные последовательности, стремящиеся к одному
и тому же пределу.
Замечание 2. Последнее утверждение может быть
использовано при приближенном вычислении сумм сходящихся
знакочередующихся рядов. Как следует из замечания 1, всегда верно
неравенство S2/z<S<S2/4_1 (я = 0, 1» 2, ...). При /2 = 0 из него
получаем: S<al9 и ясно, что S>0, так как уже S2>0; таким
образом,
0<S<tfx. (1)
Неравенство (1) означает, что сумма всякого сходящегося
знакочередующегося ряда с первым положительным членом всегда сама
положительна и меньше этого первого положительного члена.
Допустим, что нужно узнать, хотя бы приближенно, значение
суммы сходящегося знакочередующегося ряда. Так как сумма ряда
есть предел частичной суммы, то за приближенное значение суммы
ряда можно взять какую-нибудь частичную сумму с достаточно
большим номером. При этом с помощью неравенства (1) возможно
дать простую оценку точности приближенного вычисления.
210

а) Пусть $^$2п, в этом случае сразу ясно, что вычисление
произведено с недостатком (так как S2n стремится к своему
пределу S возрастая). Ошибка вычисления равна сумме остатка г2п =
= a2n+i—Я2Я+2 + - • •'» этот остаток также является знакочередующимся
рядом с первым положительным членом, и поэтому по (1)
О < r2n < azn+i.
Таким образом, получена очень простая оценка погрешности
вычисления.
б) Пусть S^S2rt+i; в этом случае вычисление произведено
с избытком (так как S2n+i стремится к своему пределу S убывая) и
ошибка вычисления отрицательна. Она равна сумме остатка г2п+1=
== #2я+2 ~Г а2п+3 •••= (#2/г+2 #2/Ц-3 !•••)• * аК КаК I ^2я+2 I == #2/1+2—
— ^2л+з + ---, то опять-таки по (1) получаем оценку погрешности
вычисления: | r2n+1 | < а2п+2.
Объединяя результаты а) и б) можно сказать:
если за значение суммы знакочередующегося ряда взять
приближенно значение какой-нибудь частичной суммы ряда, то абсолютная
величина получаемой при этом погрешности меньше абсолютной
величины первого отброшенного при вычислении члена ряда (знак
поправки вычисления совпадает со знаком этого члена).
Исключительная простота этого правила делает
знакочередующиеся ряды очень удобными для вычислительных целей.
Пример 1. Вычислить приближенно, с точностью до Ю-5, сумму
знакочередующегося ряда
1.1 1.1 1 .
1-
1! 3^2! 5 3! 7М! 9 5! 11
Сходимость ряда очевидна по теореме 1.
Перед тем как приступать к вычислениям отдельных членов ряда, надо
сообразить, с какой точностью производить вычисление каждого слагаемого, а для
этого надо знать, сколько слагаемых придется вычислять. По приведенному выше
правилу оценки погрешности вычисления определим количество тех членов,
которые надо вычислять, исходя из неравенства
1 < 5 • 10-е.
п\ (2/2 + 1)
Это неравенство удовлетворяется уже при п = 7:
7! 15= 15 . 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 = 50 • 9 • 7 • 6 • 4 = 75600 > 7 • 105,
1 r<JL.io-5<4--io-5=2.io-6.
7! 15^ 7 ^5
Следовательно, начиная с члена тГТ?> можно отбросить все члены ряда и вы-
числить только первые семь членов. Для того чтобы гарантировать требуемую
точность, будем вычислять каждое слагаемое с шестью знаками после запятой,
делая, если это нужно, округление на шестом знаке; при такой точности
вычислений ошибка при подсчете каждого слагаемого меньше, чем 5 • 10~7, и накопление
таких ошибок от четырех членов ряда (первые два члена и пятый член точные)
211

будет меньше, чем 2-10 б. Выпишем в отдельные столбцы результаты вычислений
положительных и отрицательных членов:
1 = 1,000000 j-L = 0,333333
^ = 0,100000 217 = 0,023809
^=0,004625 -^ = 0,000757
^ = 0,000107
1,104732 0,357899
Итак, имеем результат вычислений:
5 ^ 57 ^ 1,104732-0,357899 = 0,746833 ^ 0,74683.
Окончательная погрешность вычислений (то есть сумма погрешности от
отбрасывания всех членов ряда, начиная с седьмого, и погрешности от неточного
вычисления четырех членов ряда) меньше, чем
2-10-6 + 2- 10-б = 4. 10-е < 5.10-е.
Итак, в результате вычислений получили S ^= 0,74683 и все пять цифр после
запятой верные.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Вычислите сумму знакочередующегося ряда ЖЪ^ТП^Жб ~~ Жв"^'4'
с точностью до 10~5. Отв. 0,23981.
1 2 22 23
2. Вычислите сумму знакочередующегося ряда iq —з7к)з + 2!5 • 105~317 • 107+
24
+ Q 1Q9 —... с точностью до Ю-9. Отв. 0,099337315.
3. Если отбросить в теореме Лейбница условие монотонного убывания ап,
то начиная с какого момента рассуждения в доказательстве станут неверными?
§ 5. АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
Рассмотрим теперь ряды, членами которых могут быть числа
любого знака. Будем считать, что в ряде есть бесконечное
количество как положительных, так и отрицательных членов (в
противном случае изучение сходимости такого ряда заменой ряда его
остатком сводилось бы к изучению сходимости некоторого
положительного ряда) и расположение положительных и отрицательных
членов в ряде совершенно произвольно (в § 4 был изучен случай
специального расположения положительных и отрицательных членов
в ряде).
Рассмотрим параллельно с заданным рядом указанного выше
типа
2! an (1)
л — 1
212

положительный ряд, составленный из абсолютных величин членов
ряда (1)
2>я|. (2)
Может оказаться, что ряд (1) сходится, а ряд (2) при этом
расходится; может же быть, что сходятся оба ряда: и (1), и (2).
Сходимость ряда (2) зависит от скорости стремления к нулю его
членов. Возьмем в качестве ряда (1) ряд 1—-~^ + ъ—Тё + 25— •••~
со
1—?—-. Это знакочередующийся ряд, который, очевидно,
/2 = 1
сходится по признаку Лейбница (теорема 1 из § 4).
Если составить для него ряд (2): 1 +^" + "д" + Хб + 25 + --ж=:=
со
~ 2 7г2' то он также сходится.
/1 = 1
Если же в качестве исходного ряда (1) взять ряд 1—-н-+;г —
оо Z ^
1.1 V4 (— 1)Л+1 о ТТ о^
"~ Т "^ТГ ~~ "• = 2j — —' также сходящийся по признаку Леио-
л=1
ница, то составленный для него ряд (2): 1 +у + тт + -J" + у"^
00
+ ...= /,— (гармонический ряд) будет уже расходящимся
п = \
рядом.
Таким образом, для некоторых сходящихся рядов с членами
любого знака соответствующие им положительные ряды вида (2)
сходятся, а для некоторых — расходятся. Те сходящиеся ряды, для
которых соответствующие им ряды (2) также сходятся, выделяются
в особую группу рядов. А именно — дается следующее определение.
со
Определение 1. Сходящийся ряд 2 ап называется абсо-
/г=1
со
лютно сходящимся, если сходится ряд^] \ап\9 составленный из
абсолютных величин членов первого ряда. оо
Теорема 1. Из сходимости одного лишь ряда 2 \ап\
00 n=i
уже следует сходимость ряда 2 #л-
/i=i
со
Доказательство. Пусть дан ряд 2 ап и известно, что
со
сходится ряд 2 \ап1
213

Составим два положительных ряда по следующему правилу?
первый положительный ряд получим из данного ряда, оставив на
своих местах все положительные члены и заменив все
отрицательные члены нулями, причем эти нули выписываются как слагаемые.
Обозначим этот ряд
Ь1 + Ь% + ЬЯ + ...= %ЬЯ; (3)
по построению
f an, если ап>0.
п~\ О, если а„^0.
Второй положительный ряд получим из данного ряда, заменив
все положительные члены нулями, выписывая их как слагаемые,
а отрицательные члены — абсолютными величинами отрицательных
членов.
Обозначим этот второй ряд
оо
Ci + C2 + C3 + ...= 2 С* (4)
п = \
по построению
Г 0, если ап^0,
п~~\ \ап\, если ап<0.
Очевидно, что верны неравенства Ьп^\ап\ и сп^\ап\, а тогда
по теореме 2 из § 3 положительные ряды (3) и (4) сходятся.
Обозначим их суммы соответственно через В и С.
Частичную сумму данного ряда Sn = a1-\~a2-\-..* + an можно с
помощью обозначений Ьп и сп записать в следующем виде:
Sn = (b1 + b2 + ... + bn)-(c1 + Cb + ... + cn) (5)
(в правой части последнего равенства отличны от нуля не более п
слагаемых, а другие п слагаемых являются нулями по построению).
Переходя в (5) к пределу при я->оо, видим, что правая часть
равенства в силу сходимости рядов (3) и (4) стремится к
конечному пределу В— Си, следовательно, левая часть Sn также
стремится к конечному пределу. Таким образом, данный ряд сходится
и сумма его равна В — С.
(Утверждение теоремы 1 означает, что не может быть, чтобы ряд (2)
сходился, а исходный ряд (1) при этом расходился.)
Пример 1. Пусть дан ряд у - —- —+ _~ — - — +__....
Покажем на этом ряде, как строились положительные ряды (3) и (4). Ряд (3) в
данном случае имеет вид: -^ + 0 + 0-\—^--^-0-\-0-\-^=-\-..., и сумму его можно
вычислить как сумму членов убывающей геометрической прогрессии (см. § 1, пример 5),
214

не обращая внимания на слагаемые нули:
а 3
1-<* 1-1 2
Ряд (4) имеет вид: 0 + х + Хб + ° + б4 "^256 ~^~ *'' » И сУмма его Равна
а 4 1
1-Я 1_±~3
4
Сам данный ряд сходится абсолютно. Действительно, ряд из абсолютных величин
1,1,1,1,1, 1 ,1,
его членов имеет вид: у + — + yg + -§- + ^ + gcg + 27 "*"" "'' И еГ° можно (ис"
пользуя теорему 7 из § 3) рассматривать как сумму двух убывающих
геометрических прогрессий, то есть двух сходящихся рядов. По теореме 5 из § 2 он,
следовательно, также сходится. А тогда, как было показано в доказательстве
теоремы, сумма данного абсолютно сходящегося ряда равна В — С —-9 T~fi*
Абсолютно сходящиеся ряды обладают некоторыми
специфическими свойствами, выделяющими их из остальных сходящихся
рядов. Следующие теоремы указывают свойства, присущие не всем
сходящимся рядам, а только абсолютно сходящимся рядам.
Теорема 2. Сумма абсолютно сходящегося ряда равна
разности сумм двух положительных рядов, составленных
соответственно из всех положительных членов ряда и
из абсолютных величин всех его отрицательных членов.
Доказательство было получено по ходу доказательства
теоремы 1.
Если данный ряд содержит всего конечное число членов какого-
нибудь одного знака, то формулировка теоремы 2 несколько
упрощается. Предлагаем читателю точно сформулировать теорему 2
для этого случая.
Теорема 3. Абсолютно сходящиеся ряды обладают
переместительным свойством.
Доказательство. Сделаем в абсолютно сходящемся ряде
0i + aa + a8 + --- (6)
какую-нибудь перестановку членов и получим ряд
аП1 + аП2 + аПз + ... . (7)
Произведем такую же перестановку и в ряде | аг \ +1 а2 \ +1 а31+... ,
и так как это положительный ряд, то по теореме 7 из § 3 ряд
I аП11 + i #/г21 +1 а>п31 + • • • останется сходящимся. Следовательно, в силу
определения ряд (7) сходится абсолютно. Тогда по теореме 3 сумма
ряда (7) равна разности сумм положительных рядов, на которые
215

перестановка никакого влияния не оказала, и поэтому сумма
ряда (7) та же, что и у ряда (6).
Теорема 4. Если два абсолютно сходящихся ряда
перемножать по правилу, указанному в теореме 8 из § 3, то
полученный в результате умножения ряд абсолютно
сходится и сумма его равна произведению сумм исходных
рядов.
Не останавливаясь на подробном доказательстве этой теоремы,
отметим, что она легко получается с помощью теоремы 8 из § 3 и
теоремы 3 настоящего параграфа.
Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды так же похожи по
своим свойствам на конечные суммы, как и положительные ряды.
Теорема 5. Если дан абсолютно сходящийся ряд
со оо
2 an=S, то верно неравенство \S\^ ^\ап\-
/1=1 Л=1
Доказательство. Очевидно, пользуясь свойством
абсолютной величины, можно написать:
; 21а* I* Пользуясь тем,
А=1
1>
что по определению абсолютной сходимости ряда существуют
конечные пределы у обеих частичных сумм, переходим в этом
неравенстве к пределу при /г->оо и получаем утверждение теоремы.
Эта теорема дает обобщение свойства абсолютной величины,
известного для конечных сумм, на суммы, содержащие бесконечное
множество слагаемых, но только для абсолютно сходящихся рядов.
Достаточным признаком абсолютной сходимости может служить
несколько измененный по формулировке признак Даламбера:
оо
Теорема 6. Дан ряд с членами любого знака ? ап; ес-
/г = 1
ли существует предел lim '^л+1' = в, то
п-+со \ап\
оо
а) при D < 1 ряд 2 ап абсолютно сходится,
п=\
оо
б) при D > 1 ряд 2 ап расходится.
п=1
Доказательство, а) Если применить доказанный ранее
признак Даламбера (теорема 3 из § 3, пункт а)) к положитель-
оо
ному ряду 2 \ап\> то получим пункт а) данной теоремы.
б) Если D>1, по теореме 3 из § 3, пункт б), расходится ряд
со
2 |Яя|; из расходимости этого ряда вообще не следует расходи-
/i=i
со
мость ряда ^ ап (см. примеры в начале § 5). Таким образом, про-
/г=1
216

стое применение признака Даламбера, доказанного для
положительного ряда, не дает нужного эффекта. Однако в данном случае
00 \а \
ряд V ап все же расходится, так как если lim , +1,' > 1, то
?Г\ п-+оэ \ап\
начиная с некоторого номера ' |*л+1' ;> 1 и, следовательно, члены
оо
ряда 2 ап не стремятся к нулю при п -> оо. Нарушено необхо-
оо
димое условие сходимости ряда, и ряд 2 ап расходится.
Пример 2. Выяснить, сходится ли абсолютно ряд
00
(— 1)л sm — = sm -д— sin -^- + sin -:— sin -=- + ... .
v ' п. 2 3 ' 4 5 '
n = 2
оо
Составляем ряд из абсолютных величин членов У sin — и выясняем его
п = 2
сходимость. Пользуемся признаком сравнения (так как сразу видно, что приме-
я я
нение признака Даламбера даст случай D = l). Так как sin — ~— при я —*оо,
п п
00
VI 1
то сравниваем с гармоническим рядом
2 т-
п=2
. Я
sm —
lim —:— = я.
Следовательно, ряд У sm — расходится вместе с гармоническим рядом. Таким
/1 = 2
образом, данный ряд не является абсолютно сходящимся рядом^ Обычная же
сходимость имеет место, так как данный ряд знакочередующийся и, очевидно, схог
дится по признаку Лейбница.
Пример 3. Сходится ли абсолютно ряд
00
I
ЫГ%±1 (8)
3/1 + 5 ' w
/x = i
Составляем ряд из абсолютных величин членов данного ряда
У 1±- (9)
?i Ъп + Ъ' Ч
Применение признака Даламбера для исследования сходимости
этого ряда бесполезно, так как мы получили бы D=l. Применим
признак сравнения. Если не обращать внимания на слагаемое 5
217

в знаменателе, то видно, что абсолютная величина общего члена
ряда убывает как L— = Ряд же / „ 3/--г расходится, по-
п = 1
скольку он лишь постоянным множителем отличается от ряда вида
оо
VI 1 2
> —, где а = -у<1 (см. пример 11 из § 3). Следовательно,
п=\
сравнивая ряд (9) с этим расходящимся рядом по теореме 5 из § 3,
убеждаемся в том, что ряд (9) расходится. Таким образом, данный
ряд (8) не является абсолютно сходящимся рядом. Однако этот ряд
сходится в обычном смысле, так как он является знакочередующимся
и его члены, как нетрудно доказать, монотонно убывают (легко
проверить, что |an+i|<|fl«|, то есть что 3()1 + 1) + 5<Зл+5Г СлеД°"
вательно, данный ряд сходится.
Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то часто говорят,
что ряд (1) сходится неабсолютно. Сравнивая между собой характер
сходимости абсолютно сходящихся и неабсолютно сходящихся рядов,
можно сказать, что абсолютно сходящийся ряд сходится, потому
что у него достаточно быстро убывают члены, а неабсолютно
сходящийся ряд может сходиться за счет взаимного погашения членов
ряда с разными знаками. Так обстоит дело, например, с неабсо-
лютно сходящимся рядом 1 — у + у — -J" + • • •» рассмотренным в
начале § 5.
Поэтому естественно ожидать, что перестановка бесконечного
количества членов неабсолютно сходящегося ряда может отразиться
на сходимости ряда или на величине его суммы.
Рассмотрим опять неабсолютно сходящийся ряд Лейбница и
обозначим его сумму через S:
Сделаем в этом ряде следующую перестановку членов: за первым
членом ряда поместим два отрицательных члена, взятых в порядке
их следования в данном ряде; потом поместим второй
положительный член ряда, а за ним опять два отрицательных в порядке их
следования в данном ряде и т. д. Получим следующий ряд:
1_1_1+1_1_1+1_1_1+ +
1 2 4^3 6 8^5 10 12 ^•••^
+ 2^T"~4F^2""4^"^ '•• % (**)
Покажем, что после такой перестановки ряд остался сходящимся,
но сумма его уменьшилась вдвое. Для этого рассмотрим частичную
218

сумму ряда (11) с номером, кратным трем, и сделаем следующие
преобразования:
_ = V / 1 1 J \ _ у / 1
°зт jL \2k-\ 4k-2 4k ~ Zd \lk-2
m
= T 2d \2k=\ ~ 2k) = 2" S2m> №
k=\
где через S2m обозначена частичная сумма 2т членов ряда (10).
Из (12) следует, что osm-^-jS при т->оэ. Частичные суммы
ряда (11) с номерами, не делящимися на три, можно записать в
. 1 .1.1
виде a3m_1 = a3m + 4^", <W-2 = ®-т + 4~ + |^32» 0ТКУДа следует, что
Vi^y^ и °'бт-2-^-2 S при т->со. Итак, можно сказать, что
lima/I = -n-S, то есть ряд (11) сходится и сумма его, действительно,
Л-»-00
в два раза меньше суммы исходного ряда (10).
Следовательно, неабсолютно сходящиеся ряды не обладают пере-
местительным свойством. Риманом было доказано, что если дан
неабсолютно сходящийся ряд, то для любого числа А можно найти
такую перестановку членов данного ряда, что пссле перестановки
получится сходящийся ряд, имеющий суммой число А. Можно
также указать такую перестановку членов неабсолютно сходящегося
ряда, которая превратит его в расходящийся ряд. Теорема Римана
подчеркивает, что некоторые из привычных нам свойств конечных
сумм теряют силу при переходе к бесконечным суммам.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Сформулируйте отчетливо, в чем разница между сходимостью некоторого
ряда и его абсолютной сходимостью.
2. Дайте подробное доказательство теоремы 5.
Определите характер сходимости рядов из примеров 3—6:
оо
VI /_ \)п (i_! уй)
3. / * . . Отв. Сходится неабсолютно.
л V (— 1)Я+1 • Л*
4. У /о -urn • Отв. Абсолютно сходится.
п = \
оо
VI Я
5. 7 (— 1)я sin —f=z. Отв. Сходится неабсолютно.
-ш уп
п=\
оо
\i (— 1)л+1.2л (2/2—1)
6. / * /о _i_ I u • Оте. Абсолютно сходится.
мет \<bft~T * J
219

7. Приведите три примера абсолютно сходящихся рядов (отличные от
приведенных в примерах 4 и 6).
8. Приведите три примера неабсолютно сходящихся рядов (отличные от
приведенных в примерах 3 и 5).
§ 6. НЕОБХОДИМЫЙ И ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА
Все приводимые выше признаки сходимости рядов являлись,
главным образом, достаточными признаками сходимости.
Необходимый и одновременно достаточный признак сходимости был дан
только для положительных рядов (теорема 1 из § 3). В этом
параграфе будет дан признак, необходимый и одновременно достаточный
для сходимости произвольного ряда. Следует, однако, отметить, что
практически пользоваться этим признаком неудобно, так как условия
признака трудно проверяемы. На практике обычно используются
данные ранее достаточные признаки сходимости.
Перед тем как дать необходимый и достаточный признак
сходимости ряда, надо найти необходимый и достаточный признак
сходимости числовой последовательности. Это естественно, так как
сходимость ряда равносильна сходимости некоторой числовой
последовательности, а именно последовательности частичных сумм
ряда.
Теорема 1. Для того чтобы числовая
последовательность {хп} сходилась к конечному пределу, необходимо и
достаточно, чтобы для всякого е > 0 можно было найти
номер N такой, чтобы для любых номеров n^N и m^N
выполнялось неравенство
\хп—хт\<г. (1)
Доказательство.
1) Необходимость. Flyctb известно, что хп->а. Возьмем
любое е>0 и по определению предела найдем номер N, начиная
с которого будет:
\хп-а\<-^. (2)
Возьмем теперь любые два номера пит, такие, что п, m^N;
так как и для хп и для хт выполняется неравенство (2), то можно
написать: \хп — хт\ = (хя—а) — (хт—а)\^\хп—а\ + \хт — а\<
<-|-+ ~2~== 8» Таким образом, из сходимости последовательности
необходимо следует выполнение признака.
(Проведенное рассуждение точно обосновало следующее довольно
очевидное положение: если члены последовательности по мере
увеличения номера приближаются по величине к некоторому числу,
то они сближаются по величине и между собой.)
2) Достаточность. Пусть условие (1) выполнено для всякого
е>0и для любых пит, таких, что n^N и m^N.
220

а) Проверим, что при этом предположении последовательность
{хп} обязательно ограничена. Пусть е фиксировано, например е = у;
в силу (1) найдется номер N такой, что \хп — хт\<С^ при n^N,
m^N, Закрепим номер т, положив m=N. Тогда
|л:л—лгдг! <~2 ПРИ n^N или Хлг— -g-^^/i^^ + y ПРИ n^N.
Так как N фиксировано, то последнее неравенство и означает, что
последовательность {хп} ограничена (читатель помнит из теории
пределов, что если последовательность ограничена начиная с
некоторого номера, то она просто ограничена).
б) Теперь проверим, что последовательность {хп} сходится. По
принципу Больцано—Вейерштрасса (см. том I, гл. III, § 9,
теорему 2) из ограниченной последовательности {хп} выбираем
подпоследовательность {хп А, стремящуюся к некоторому конечному
пределу а\
xnk-+a при k->oo. (3)
Возьмем произвольное е>0и по определению предела подберем
номер k0 так, чтобы начиная с этого номера было
!*«*—*! <т (*^*о)« (4)
Для этого же е, используя неравенство (1), подберем номер N так,
чтобы выполнялось неравенство
\*п — *т\<\ Для любых n^Ny т^ N. (5)
Оставим n^N и подберем nk так, чтобы было nk^N и k^zk0.
Тогда, так как nk^N, из соотношения (5) получаем:
\xn—Xnk\<Y- (6)
Теперь, используя одновременно неравенства (4) и (6) (неравенство
(4) можно использовать, так как k^k0), имеем для n^N:
I xn — а | = | (xn — Xnk) + (Xnk — a)\ ^ 1 хя — хПк \ + \ хПк —а \ <\ + у = е.
Таким образом, для произвольного е>0 найден номер Л/,
начиная с которого выполняется неравенство \хп—а|<&, то есть
показано, что последовательность {хп} имеет предел, равный а.
(Приведенное рассуждение дает точное обоснование следующего
факта: если члены последовательности по мере увеличения их номеров
сближаются между собой по величине, то они приближаются по
величине к некоторому определенному числу).
221

Замечание 1. Содержание теоремы 1 можно кратко
сформулировать так: для того чтобы последовательность {хп\ имела предел,
необходимо и достаточно, чтобы любые два члена последовательности
с достаточно большими номерами (n^N (e), m^N (г)) сколь угодно
мало (меньше, чем на е) отличались друг от друга.
Теорема 1 связывается с именами Больцано и Коши, и ее часто-
называют принципом сходимости Больцано—Коши. В «принципе
сходимости» вопрос о сходимости или расходимости
последовательности решается только рассмотрением членов самой
последовательности.
00
Пусть дан ряд ^ ап с членами любого знака. Сходимость этого
ряда означает, что последовательность Sn частичных сумм ряда
сходится к конечному пределу. Сформулируем для этой
последовательности необходимый и достаточный признак сходимости. Для
того чтобы последовательность Sn сходилась к конечному пределу,
необходимо и достаточно, чтобы для всякого 8>0 можно было
подобрать номер N так, чтобы для любых номеров пит, таких,
что n^N и m^N, имело место неравенство \Sn — Sm|<Cs. Из
двух номеров пит один больше, а другой меньше. Пусть,
например, т>п\ тогда можно т представить в виде т = п-\-р, где
/?>0 — целое. Тогда разность частичных сумм может быть записана
т п п-\-р
в виде Sm — Sn= 2 аь— 2 ak== 2 а*' Вследствие произволь-
ности тип (лишь бы только было m^N, n^N) число р может
быть любым натуральным числом.
00
Теорема 2. Для того чтобы ряд 2 ап сходился, необ-
п= 1
ходимо и достаточно, чтобы для любого г > О можно было
подобрать номер N так, чтобы для n^N и для любого
целого р>0 имело место неравенство
п + р
<е. (7)
Доказательство вытекает из рассуждений, приведенных перед
формулировкой теоремы.
Замечание 2. Итак, для сходимости ряда необходимо и
достаточно, чтобы сумма любого числа (р) членов ряда, следующих
за достаточно далеким членом (n^N)t была сколь угодно мала
(<Се) по абсолютной величине. При такой формулировке видно,
что необходимое условие сходимости ряда, приведенное в теореме 1
из § 2, не может быть достаточным для сходимости ряда. Для
гармонического ряда это необходимое и достаточное условие
сходимости, естественно, не выполняется: действительно, например,
222

разность частичных сумм с номерами 2m+1 и 2т может быть оценена
следующим образом:
o^m+i о^т = 2т \\ \ 2т-{-2 * '' ' ' 2m+1 ' 2'/m = ~2~
(последнюю оценку можно написать, потому что число слагаемых
равно 2т и наименьшее из них равно gm+r)- Таким образом, сумма
У -т-(/г = 2ш, р = 2т) всегда будет больше у, какое бы большое
п ни брать, и необходимое и достаточное условие сходимости не
выполнено.
Замечание 3. С помощью теоремы 2 можно очень просто
доказать теорему 2 из § 5.
оо
Пусть известно, что сходится ряд 2 \ап\- Следовательно, для
00
ряда 2 I ап I выполняется необходимый и достаточный признак
сходимости и неравенство типа (7) запишется в виде
П% \ак\<е, (8)
где е>0 произвольное, n^N (e) и р > 0 — любое целое число.
Но так как
п + р
п + р
: ^ |я*|» то из (8) следует неравенство
?=/г+1
(7) и по теореме 2 ряд ^] #л сходится.
л = 1

ГЛАВА XXI
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§ 1. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
Рассмотрим ряд, членами которого являются не определенные
числа, как в главе XX, а функции:
М*) + М*) + -.- + "л(*) + ...= 2 ия(Х) (1)
Такой ряд называется функциональным рядом.
Сходимость функционального ряда понимается следующим
образом: при каждом фиксированном значении х функции ип (х)
принимают числовые значения, и поэтому при каждом фиксированном
значении х ряд (1) обращается в числовой ряд. Таким образом,
при закрепленном х сходимость или расходимость ряда (1)
понимается в смысле определения 1 из главы XX.
Определение 1. Множество всех значений х, при которых
ряд (1) сходится, называется областью сходимости
функционального ряда (1).
В дальнейшем нас будет в основном интересовать тот случай,
когда областью сходимости ряда (1) является некоторый
промежуток.
Пусть все члены ряда (1) определены в некотором промежутке.
Определение 2. Говорят, что функциональный ряд
сходится в промежутке, если он сходится как числовой ряд при
каждом значении х из этого промежутка.
Частичные суммы ряда (1) являются функциями от х. При
фиксированном значении х последовательность частичных сумм
ряда (1) есть числовая последовательность, и ее сходимость к
пределу понимается в обычном смысле. Если же изменять х,
например, в некотором промежутке, то последовательность частичных
сумм ряда (1) есть последовательность функций
Si(x)9 S2(x), ..., Sn(x), (2)
определенных в этом промежутке.
Определение 3. Говорят что последовательность
функций Sn(x) сходится в промежутке, если она сходится как
числовая последовательность при каждом значении х из этого
промежутка.
224

Если при каждом значении х из некоторого промежутка
последовательность (2) сходится как числовая последовательность к
некоторому пределу, то величина этого предела зависит от взятого
значения л:, и поэтому можно сказать, что при переменном х
последовательность функций (2) имеет пределом также функцию от х:
limSn(x) = S(x). (3)
Функция S (х) называется предельной функцией
последовательности (2).
Так как суммой ряда называется предел последовательности
его частичных сумм, то из сказанного выше следует, что сумма
функционального ряда (если он сходится для некоторого множе-
оо
ства значений х) есть функция: 2 un(x) = S(x). Функция S(x) опре-
делена в области сходимости ряда (1). Свойства этой функции,
как будет показано ниже, зависят от свойств членов ряда ип(х) и
от характера сходимости ряда.
Пример 1. Найти предельную функцию последовательности функций в [0, 1]
111 1
л:+1 ' х+2 ' х + 3 » '•' ' х + п ' "
(4)
Каково бы ни было х из [0, 1], всегда верно равенство lim —г-—=0. Поэтому
п-*-сох~Гп
предельная функция последовательности (4) есть функция, тождественно равная
нулю в [0, 1]:
S(x)==0, O^x^l. (5)
Пример 2. Найти предельную функцию последовательности функций в [0, I]
х, х2, х3, ..., **, ... (6)
Если О^Ж 1, то при любом фиксированном х всегда имеем:
lim xn = 0.
п-*-оо
Если же *=1, то последовательность (6) обращается в последовательность,
состоящую из единиц, и предел ее также единица.
Итак, предельная функция определена в [0, 1] формулой
Г 0, 0^д:< 1,
sw-{i,*-i. (7)
Функция S (х) разрывна в [0, 1]. (Разрыв 1-го рода при х—\). Этот пример
показывает, что последовательность непрерывных функций может сходиться и к
разрывной функции.
Пример 3. Выяснить, сходится ли в [0, 1] функциональный ряд
_! 1 I 1 т
х+1 (*+1)(* + 2) (х + 2)(х + 3) (* + 3)(* + 4) - w
Удобно представить каждый член ряда, начиная со второго, в виде разности:
(х + п)(х+п + \) = х~+п~~ х + п+1 (П==1, 2f 3' "^
225

Тогда частичцые суммы принимают простой вид:
S* М = ^qrr ~ \V+i ~~ 7+2) ~~ \7+2 "" ?+"з) ""•'•""
-( 5 1_U_I_
\х + п — 1 х + п) х + п'
Из примера 1 следует, что \imSn(x) — 0 в [0, 1], и, следовательно, ряд (8)
сходится в [0, 1] и сумма его в [0, 1] равна нулю.
Пример 4. Выяснить, сходится ли в [0, 1] функциональный ряд
x+x(x-l)+x2(x-l) + ... + xn-i(x-\) + ... (9)
Частичные суммы ряда равны:
Sn(x) = x+x(x-l) + x*(x-l) + ... + xn-i(x-\) =
= х + х* — х-\-х3 — х2 + ... + хп — хп-1 = хп.
Из примера 2 следует, что предел частичных сумм равен функции (7).
Следовательно, данный ряд (9) сходится в [0, 1].
Рассмотрим в каком-либо промежутке сходящуюся к некоторой
предельной функции последовательность функций S1(x)i S2(x), ...
..., Sn(x), ...-+S(x).
При каждом фиксированном значении х = х0 из этого
промежутка можно сказать следующее:
для любого 8>0 найдется номер N такой, что при n^N
будет выполняться неравенство | Sn (х0) — S (х0) \ <С е.
Номер N, как всегда зависит от взятого е. Но если, сохранив
то же е, взять другое значение х = хг из этого промежутка и
подбирать опять номер так, чтобы начиная с этого номера, было
I Sn (*i) — S (хг) | <С е, то, вообще говоря, номер N будет другим. Для
разных х, хотя и для одного и того же 8, номер N будет
изменяться. Поэтому можно сказать, что при изменении х в данном
промежутке и при произвольном, но закрепленном 8 номер N,
начиная с которого выполняется неравенство
\Sn(x)-S(x)\<B, (10)
зависит и от 8, и от х (N = N(z, x)).
Если бы х принимало конечное множество значений, то из
конечного числа различных, соответствующих этим х номеров можно
было бы выбрать наибольший номер, начиная с которого
неравенство (10), очевидно, выполнялось бы сразу для всех
рассматриваемых х. Но если сказано, что х изменяется в некотором
промежутке, то это означает, что х принимает бесконечное множество
различных значений; в бесконечном же множестве различных
номеров N, соответствующих этим значениям х, может и не быть
наибольшего номера. Поэтому неравенство (10) может и не
выполняться сразу для всех х из данного промежутка, начиная с одного
и того же номера.
Однако некоторые последовательности функций, сходящиеся
в промежутке, обладают той особенностью, что для них номер N
226

изменения х, то
для любого х из
можно выбирать по е так, что N не зависит от
есть номер N один и тот же для взятого е>0 и
данного промежутка.
Определение 4. Последовательность функций Sn(x)
равномерно сходится в некотором промежутке к предельной
функции S (х), если для
всякого е>0 можно выбрать ум
N (е) так, что для n^N (e)
и для всех х из данного
промежутка выполняется
неравенство
\Sn(x)-S(x)\<*. (11)
Перепишем
(И) в виде
неравенство
S(x) — e<Sn(x)<S(x) + e.
(12)
Рис. 90
Оно означает (рис. 90), что
графики функций Sn (x)
целиком расположены в полосе ширины 2е между графиками
функций S (х)—е и 5 (х) + е (они получаются смещением на & вниз
и на е вверх графика S (л:)).
Вернемся к последовательностям функций, рассмотренным в
примерах 1 и 2.
Возьмем е>0 и попробуем найти номер N, начиная с
которого неравенство (И) выполнялось бы сразу для всех х из [0, 1]:
1
¦0
<8, то есть
1
х-\-п
< 8. Так как 0 ^ х <; 1, то 0 <
1
х+п
х-\-п
<;-—. Если потребовать, чтобы выполнялось условие — <е, то
необходимо п> — . Отсюда видно, что в качестве N можно взять,
например, целое число* N = E[—) + 1. Как видно, N зависит
\_
8
только от 8 и не зависит от значения х из [0, 1].
Таким образом, можно сказать, что последовательность (4)
равномерно сходится в [0, 1] к предельной функции.
Теперь рассмотрим последовательность (6) примера 2.
Возьмем е>0 и попытаемся найти номер N, начиная с
которого неравенство (11) выполнялось бы сразу для всех х из [0, 1].
Пусть сначала 0<х<1. Тогда неравенство (11) принимает вид:
|л:Л —0|<8, или хп<е.
мер 9)
Через Е (а) обозначается целая часть числа а (см. пхм I, гл. II, § 2, при-
227

Решаем последнее неравенство относительно п\ п In x < In e,
п> ^— (при делении на отрицательное число In x (О <х< 1) знак
неравенства меняется). Из неравенства для п видно, что при
фиксированном х в качестве N можно взять лишь целое число, не меньшее,
чем Е(т—\+ 1; при изменении х в [0,1],
а именно при приближении л: к 1, lnx->0
и Е (г-^) неограниченно возрастает.
Поэтому в данном случае нельзя найти один
номер N, начиная с которого неравенство
(11), то есть неравенство хп<г,
выполнялось бы при всех х из (0, 1), а тем
более и из [0, 1], и, таким образом,
последовательность (6) сходится к своей
предельной функции в [0, 1]
неравномерно. На рисунке 91 изображены
графики функций последовательности (6) и
предельной функции (7) и наглядно видно, что не могут BceSn(x),
начиная с некоторого номера, лежать в полосе (12) около
графика S(x).
Вернемся к рассмотрению функционального ряда.
Определение 5. Если последовательность частичных сумм
оо
ряда 2 ип (х) = S (л:) сходится к S (х) равномерно в некотором
пропах
оо
межутке, то говорят, что ряд ? ип (х) равномерно сходится
/2=1
в этом промежутке.
Этому определению можно дать несколько другую
формулировку. Разность между суммой ряда и какой-либо его частичной
суммой есть остаток ряда (см. (2) из гл. XX, § 2): S (х) — Sn(x) =
= гп(х). Поэтому неравенство (11) может быть записано в виде
I гп (*) I < s- Отсюда вытекает вторая формулировка опре-
оо
деления 5$ говорят, что сходящийся ряд ^ип(х) равномерно
/2=1
сходится в некотором промежутке, если для всякого е>0
можно найти номер N такой, что для n^N и для всех х из
данного промежутка выполняется неравенство
1М*)|<в. (13)
В главе XX, § 2 было доказано, что у сходящихся рядов
остаток стремится к нулю при п-+оо (теорема 3). У равномерно
сходящегося ряда оценка малости остатков при больших п, как
показывает неравенство (13), одинаковая для всех х из
рассматриваемого промежутка.
228

Ряд (8) примера 3 равномерно сходится в [0, 1], так как для
него Sn(x) равномерно в [0, 1] стремятся к S(x).
Ряд (9) примера 4 неравномерно сходится в [0, 1], так как Sn(x)
неравномерно в [0, 1] стремятся к S(x).
При выяснении вопроса о равномерной сходимости какого-либо
ряда в некотором промежутке бывает часто удобно пользоваться
следующим признаком Вейерштрасса, достаточным для
равномерной (и абсолютной) сходимости ряда.
оо
Теорема 1. Пусть дан функциональный ряд 2 ип(х)\
оо
если существует положительный сходящийся ряд 2 Ьп
п=\
(bn^zO), такой, что для всех х из [а, Ь] верны
неравенства
\ип(х)\^Ьп (7* = 1,2, 3, ...j, (14)
то данный функциональный ряд равномерно (и абсолютно)
сходится в [а, Ь]. (Этот признак справедлив, конечно, и для
ряда, заданного на интервале.)
Доказательство. Возьмем произвольное число е>0; по е
найдем номер N, начиная с которого имеют место неравенства (см.
теорему 3 из § 2 гл. XX):
2 bk<e, n = N,N+lt... (15)
Пользуясь (14) и (15), получаем, что при любом целом р>0
2 1М*)к 2 6*<8 (16)
/е = /г -J-1 & = /г-}-1
оо оо
и при р -* оо отсюда следует, что 2 I иь (х) I ^ 2 ^ < 8
(предел при р->оо у левой части неравенства (16) существует
в силу теоремы 1 из § 3 гл. XX). Это доказывает абсолютную
оо
сходимость ряда 2 "«(*)• Тогда по теореме 5 из § 5 гл. XX
/г=1
имеем:
\гп(х)\
2 »k(x)
2 I м*) i <«
k = n + \
для n^N и для всех х из [а Ь]9 то есть ряд 2 ип{х) равномерно
я = 1
сходится в [а, Ь].
229

Замечание.. Положительный сходящийся ряд ^ Ьп, СВЯЗаН-
оо
ный с функциональным рядом 2 ип(х) неравенствами (14), часто
называется мажорирующим рядом или мажорантным рядом для
функционального ряда.
оо
Пример 5. Доказать, что ряд У —г~ сходится равномерно
на всей оси (—оо, +оо).
Так как для всех х имеем | sin nx\^ 1, то мажорирующим рядом
оо
является ряд \. ~2« Действительно, этот положительный ряд схо-
гс=1
дится и имеют место неравенства (14):
sin nx
-2, /г= 1, 2, 3, ..., —п^х^л.
Следовательно, данный функциональный ряд равномерно
сходится на всей оси.
Заметим, что равномерно сходящийся в некотором промежутке ряд не
обязательно сходится там и абсолютно. Покажем это на следующем примере.
Пример 6. Дан ряд
(__ l)n-ixn
-— в
[±- ¦]•
Его /г-й остаток гп (х) = (— \)п —г-? + (— l)n+l ——= +... является знакочередую-
ft ~~\~ 1 tl ~\~ JL
щимся рядом для х из [1/2, 1,] и поэтому можно написать оценку (см. § 4 гл. XX):
|гя(*)
•п+1^-п+1'
Так как в правой части неравенства нет ху то по заданному е>0 можно найти
номер N, зависящий только от 8, начиная с которого будет \гп(х)\<сг сразу
для всех х из [1/2, 1], и поэтому данный ряд сходится равномерно в [1/2, 1). Но
при x=i\ он не будет абсолютно сходиться, так как ряд, составленный из
абсолютных величин членов, при х=1 является расходящимся гармоническим рядом.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Чем отличается, выражение «Последовательность функций сходится в
промежутке» от выражения «Последовательность функций равномерно сходится в
промежутке»?
2. Постройте графики функций последовательности из примера 1 и график
предельной функции. Проверьте на рисунке выполнение неравенств (12).
3. Может ли предельная функция некоторой последовательности функций
быть постоянной величиной?
4. Постройте последовательность функций в каком-либо промежутке так,
чтобы ее предельная функция равнялась числу 10 во всех точках этого
промежутка.
230

5. Постройте последовательность функций в [ — 1, 1] так, чтобы ее
предельной функцией в этом промежутке была функция х.
6. Чем отличается выражение «Ряд сходится в промежутке» от выражения
«Ряд равномерно сходится в промежутке»?
оо
„ гт \Ч COS ПХ
7. Докажите, что ряд У —-— равномерно сходится на всей оси
/2=1
8. Найдите сумму ряда *2+__?_ + (1^2)2 + ... + (1 +#)п-л + -
в[—1, 1] и покажите, что в этом промежутке ряд сходится неравномерно.
Постройте графики первой и второй частичных сумм ряда (за образец возьмите
рассуждения, проведенные при разборе примера 2).
§ 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Выше было сказано, что свойства суммы функционального ряда
зависят от свойств членов ряда и характера сходимости ряда.
Читатель уже видел на примере 4 из § 1, что сумма
функционального ряда, составленного из непрерывных функций, может б^ть и
разрывной функцией. Теперь можно доказать, что равномерная
сходимость ряда, составленного из непрерывных функций,
обеспечивает такое важрое свойство, как непрерывность суммы ряда.
Теорема 1. Если функции ип(х) непрерывны в [а, Ь\ и
оо
ряд 2 Пп(х) равномерно сходится в [#, Ь], то сумма ряда —-
п = \
непрерывная функция в [а, Ь]. (Теорема справедлива и в
промежутках любого другого типа.)
Доказательство. Обозначим сумму ряда через S (х) и будем
проверять непрерывность S (х) в любой точке [а, Ь]. Для этого
возьмем любую точку *0 из [а, Ь] и произвольное число е>0.
Пользуясь определением равномерной сходимости ряда, найдем по
числу у такой номер N, чтобы для n^N было верно:
I тп (х) \ <— для всех х из (а, Ь). (1)
По формуле (4) из § 2 гл. XX имеем:
S (х0) = Sn (х0) + гп (х0) и Sn (х) + гп (х) = S(x),
где х любое из [а, 6J, a n фиксированное и в данном случае
большее или равное ЛЛ Вычитая, находим: S (х0) — S (x) = [Sn (x0) —
— Sn (х)] + гп (х0) — гп (х). Отсюда
| S (х0) - S (х) | < | Sn (x0) -Sn (х) | + \гп {х,) \ + \гп (х) |. (2)
Так как Sn(x) непрерывна как сумма п непрерывных функций, то
по заданному е > 0 можно подобрать б > 0 так, что из
неравенства \х — х0\<.8 будег следовать неравенство
|S*MI-s»Wi<!'.
231

Из (2), (1) и последнего неравенства получаем: | S(x0) — S (х)\ <
<"з" + "з" + -т = 6- Таким образом, для произвольного е>0 найдено
б>0 такое, что при \х — х0|<6 имеем:
\S(x0) — S(x)\<e.
Это означает, что функция S (х) непрерывна в точке х0. Так как
х0 — любая точка из [а, Ь]9 то тем самым доказана непрерывность
S(x) в [а, Ь].
Замечание 1. Требование равномерной сходимости ряда фигурирует
в теореме как достаточное условие, и оно не является необходимым для
непрерывности суммы ряда, составленного из непрерывных функций. Можно привести
примеры непрерывно сходящихся в некотором промежутке рядов, составленных
из непрерывных функций, суммы которых непрерывны в этом промежутке.
Замечание 2. В процессе доказательства этой теоремы, мы, пользуясь
равномерной сходимостью ряда, то есть равномерной сходимостью
последовательности его частичных сумм Sn (х) (см. определение 5 из § 1) и непрерывностью этих
частичных сумм, доказали непрерывность предельной функции 5 (х)
последовательности { Sn(x) }. Тем самым мы доказали и следующее предложение,
относящееся к последовательностям функций: если дана последовательность функций
{5Л(^)}, непрерывных в [а, Ь], и если эта последовательность {Sn(x)\ равномерно
в [а, Ь] сходится к функции S(x), то функция S (х) непрерывна в [а, Ь].
Известно, что производная (интеграл) от суммы конечного числа
функций (при условии, что они дифференцируемы или
соответственно интегрируемы) равна сумме производных (интегралов) от
отдельных слагаемых. Возникает вопрос: можно ли перенести эти
правила дифференцирования или интегрирования на бесконечные
суммы функций, то есть на функциональные ряды? Можно
убедиться на примерах, что такой перенос этих правил не всегда
возможен. Однако свойство равномерной сходимости рядов
обеспечивает распространение этих правил на функциональные ряды.
оо
Определение 1. Дан сходящийся ряд ^ ип (х) = S (х), со-
п = \
ставленный из функций ип(х), интегрируемых в [а, Ь\\ если имеет
место равенство
оо b Ь I оо v Ь
2 $«»(*)<** = $( 2 uH(x)\dx = [S{x)dx, (3)
п = 1 а а\п=\ ; а
оо
то говорят, что ряд ^ ип (х) можно почленно интегриро-
вать в [а, Ь].
оо
Теорема 2.. Если ряд 2 ип (•*)> г&е ип С*) непрерывны
п = 1
в [я, Ь\, равномерно сходится в [а, 6], то его можно
почленно интегрировать в [а, Ь\.
Доказательство. Возьмем произвольное число е>0. По
определению равномерной сходимости найдем по числу ^— номер
232

N, начиная с которого выполняется неравенство
I fn (х) I < ^zra Для всех х из [а, Ь]. (4)
Возьмем фиксированное n^N и напишем:
Sn(x) + rn(x) = S(x). (5)
Функция S (х) непрерывна в [а, Ь] по теореме 1; функция Sn (x)
непрерывна в fa, b] как сумма конечного числа непрерывных
в [a, b] функций; тогда из равенства (5) следует, что и функция
гп(х) непрерывна в [a, b]. Следовательно, равенство (5) можно
проинтегрировать по [а, &]:
ь ь ь
\ Sn (x) dx+ \rn (x) dx = \S (x) dx. (6)
а а а
Первое слагаемое можно переписать иначе, пользуясь правилом
интегрирования суммы конечного числа слагаемых:
b bin v n b
\Sn(x) dx = U 2 u>k (x))dx= 2 \uk(x)dx.
Второе слагаемое можно оценить, используя (4):
ь \ ь ь ь
^ r„(*)dx < J \rn(x)\dx< J-±-^==--5-J dx=-?i-(b — a) = s.
2 I a a a
Итак, второе слагаемое в (6) может быть сделано сколь угодно
малым (меньше е) при достаточно большом п (n^N). Это означает,
что это второе слагаемое стремится к нулю при /г-^оо:
ь
$ rn(x) dx-+0 при я->оо. Тогда из (6) следует, что при /г->оо
а
первое слагаемое левой части (6) стремится к постоянной (не
зависящей от п) правой части равенства (6), то есть
b n b b
\ Sn (x) dx=^\uk(x)dx -> \S (x) dx. (7)
a k=\a п-+со а
п b
Но так как ^ $ uk (x) dx есть частичная сумма числового ряда
k = \ a
оо b
2 \ un (x) dx, то (7) означает, что числовой ряд сходится и сумма
п= 1 а
b
его равна ^S(x)dx, то есть что верно равенство (3).
а
Замечание 1. Следует отметить, что в этой теореме, так же как и в
теореме 1, условие равномерной сходимости ряда в [a, b] является лишь достаточ-
233

ным условием, но не необходимым. Для некоторых неравномерно сходящихся рядов
почленное интегрирование ряда все же допустимо.
Замечание 2. Сделаем замечание, аналогичное замечанию к теореме 1,
а именно, если проследить внимательно за ходом доказательства, то станет видно,
что в процессе рассуждения доказано следующее утверждение: если
последовательность функций {Sn(x)}t непрерывных в [а, Ь], равномерно сходится к
функции S (я), то числовая последовательность К Sn(x)dx\ сходится к интегралу
{а J
J S (*) dx.
а
со
Определение 2. Дан сходящийся ряд 2 un(x) = S (х), со-
/z = l
ставленный из функций ип(х), дифференцируемых в точке х\ если
имеет место равенство
СО / ОО v '
? «;(*)== ?«„(*) )=s'(x),
/1 = 1 \П = \ I
(8)
то говорят, что ряд 2 ип (х) можно почленно дифференци-
п = \
ровать в точке х.
ОО
Теорема 3. Если ряд 2 ип(*) = S(х) рассматривается
в промежутке [а, Ь]> причем
1) функции ип(х) дифференцируемы в [а, Ь\>
2) функции и'п\х) непрерывны в [а, Ь\\
ОО
3) ряд 2 и'п(х) равномерно сходится в [а, Ь],
п=\
ОО
то ряд 2 #л (х) можно почленно дифференцировать
п = 1
в любой точке промежутка [а, Ь].
Доказательство. Введем обозначение
ОО
S un(x)=g(x). (9)
/2=1
По теореме 2 ряд (9) можно почленно проинтегрировать в
промежутке [а, х], где х —любое число из [а, &]*:
х со b оо
5 ? ю *= 2 S"«(о # = 2 и- (0] С=
а /г=1 а /г=1
со со
= ^ и„(х)- 2 «я(fl) = SM-S(а).
/1 = 1 /г = 1
* Из равномерной сходимости ряда в некотором промежутке следует,
естественно, его равномерная сходимость на части этого промежутка.
234

X
Отсюда S(x) = ^g(t) dt + S (а). Дифференцируя по x, получаем:
a
S' (x) = (\ g (t) di\ = g (x) = f; u'n (x). (10)
\a I x n = 1
Таким образом, верно равенство (8). В равенстве (10)
использовано свойство определенного интеграла с переменным верхним
пределом (см. теорему из § 5, гл. IX, том I). Им можно было
пользоваться, так как по теореме 1 функция g(x) непрерывна в [а, Ь].
Замечание 1. По поводу третьего условия теоремы можно сделать такое
же замечание, как и в теоремах 1 и 2.
Замечание 2. Утверждение, аналогичное теореме 3, можно также
сформулировать в терминах последовательностей.
Вопросы для самопроверки
оо
1. Если бы ряд 2 ип(х) сходился в [а, Ь], но неравномерно, то какое
/7=1
место рассуждений при доказательстве теоремы 1 оказалось бы необоснованным?
2. В каком месте доказательства теоремы 2 используется понятие предела
последовательности чисел?
3. Дана последовательность функций Sn(x) = — > 0 в [0, 1] (см. пример 1
из § 1). Можно ли, сославшись на какую-либо из теорем этого параграфа, ска-
1
зать, что последовательность чисел \ —; > 0 при п -* оо г
J х + п
о
4. Сформулируйте в терминах последовательностей аналог теоремы 3.
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Ряды, членами которых являются целые положительные
степени независимой переменной х или двучлена (л- — а) (где
а—постоянная), умноженные на числовые коэффициенты:
оо
п = 0
или
оо
%сп.(х-аГ, (2)
п=0
называются степенными рядами.
Члены степенных рядов являются непрерывными и
дифференцируемыми функциями на всей вещественной оси.
Все последующие рассуждения будут проводиться для рядов
вида (1); ряды вида (2) приводятся к рядам (1) заменой
переменной х — а=у.
235

Исследуем вид области сходимости степенных рядов. Очевидно,
что всякий степенной ряд вида (1) сходится при л: = 0 (сумма ряда
равна с0).
оэ
Теорема 1. (Абель *.) Дан степенной ряд 2 спхП-
л = 0
1) если он сходится для некоторого значения х = х0Ф
ФО, то он сходится и притом абсолютно для всех
значений х таких, что \ х | < | х0|;
2) если он расходится для некоторого значения x=xv
то он расходится и для всех значений х таких, что х >
Доказательство. 1) Дано, что сходится числовой ряд
со
2 опх% по теореме 1 из § 2 гл. XX общий член этого рЯДа СТре-
мится к нулю: спх^->0 при /i-*oo. Тогда переменная спх%
ограничена, то есть существует число М > 0 такое, что
\спх?\<М, п = 0, 1, 2, ... (3)
Возьмем теперь значение х такое, что |*|<|х0|. Обозначим
X
1*0
= q, 0<?<1 и проведем, используя (3), следующую оценку
общего члена степенного ряда при взятом х\
спх" \ =
спх«(±Г
\cnx4\.qn<Mqn.
\*о/
оо
Ряд 2 Mqn сходится как убывающая геометрическая прогрессия,
п = 0
оо
и по теореме 2 из § 3 гл. XX сходится и ряд 2 1сл*я|- Это и
п = 0
означает, что степенной ряд при взятом значении х сходится
абсолютно.
2) Дано, что ряд расходится для x = xv Проведем рассуждение
от противного: допустим, что при значении л: таком, что | х\> \х± |,
степенной ряд сходится. Тогда по доказанной первой части
теоремы степенной ряд должен сходиться и при значении х=хъ что
противоречит данному условию.
Замечание. С геометрической точки зрения в теореме 1
утверждается:
1) Если ряд сходится в точке х0, то он сходится абсолютно во
всех точках, которые расположены ближе к началу отсчета на
числовой оси, чем х0. Такие точки заполняют интервал от —xQ
до х0 (рис. 92).
* Абель (1802—1829) —норвежский мате!матик.
236

Рис. 92 Рис. 93
2) Если ряд расходится в точке х1} то он расходится и во всех
точках, которые расположены дальше от начала отсчета на
числовой оси, чем хг. Такие точки заполняют бесконечные интервалы
на числовой оси (рис. 93).
оо
Рассмотрим степенной ряд 2 С^Л- Логически могут предста-
п = 0
виться три возможности: 1) ряд сходится на всей числовой оси,
2) ряд сходится только в точке х = 0 (в точке х = 0 сходится
всякий степенной ряд, расположенный по степеням х), 3) ряд
сходится не только в точке х = 0, но и не на всей числовой оси.
Исследуем, как расположены на числовой оси в этом последнем
случае точки сходимости степенного ряда.
оо
Теорема 2. Если степенной ряд 2 спх" сходится не
п = 0
на всей числовой оси, но и не только в точке х = 0, то
существует число /?>0 такое, что
а) ряд абсолютно сходится для \х\</?,
б) ряд расходится для \х\>R.
Доказательство. Обозначим через {х} множество тех
значений х, для которых степенной ряд сходится (по предположению
это множество состоит не только из точки х = 0, но и не
заполняет всю числовую ось). Множество {х} ограничено. Действительно,
возьмем точку хъ в которой ряд расходится (по предположению
такие точки существуют). Тогда по теореме Абеля любое х
удовлетворяет неравенству |^|<|Х!|. У ограниченного множества
существует точная верхняя граница. Положим /?=sup{|x|}.
1) Возьмем теперь любое х, такое что \x\<R. Так как R —
точная верхняя граница множества {х}, то найдется х такое, что
U|<|*|<#, и по теореме 1 при взятом х ряд будет абсолютно
сходиться.
2) Возьмем теперь любое х, такое, что|х|>/?. Такое х не
входит в множество {х}, следовательно, ряд для такого х расходится.
Определение 1. Число /?>0, определенное в теореме 2,
называется радиусом сходимости степенного ряда.
Промежуток (-—/?, R) называется промежутком сходимости
степенного ряда.
Если степенной ряд сходится во всех точках числовой оси, то
условились писать: R = -\--oo. В этом случае, какое бы х ни взять,
237

всегда найдется xQ>0 такое, что \х\<х0, ив точке х0 ряд
сходится; тогда по теореме Абеля для взятого х ряд абсолютно
сходится. Следовательно, в случае /? = -f- oo ряд абсолютно сходится
при всяком х. Промежутком сходимости в этом случае является
вся числовая ось.
Если степенной ряд сходится только при х = 0, то считают
R = 0. Промежуток сходимости вырождается в одну точку.
Таким образом, всякий степенной ряд имеет свой радиус сходи-
мости R (R может быть и «несобственным числом», то есть « + оо»).
Что же касается сходимости степенного ряда на концах
промежутка сходимости, то есть в точках x = ±R, то ответа в общем
сдучае дать нельзя. Поведение степенных рядов в этих точках
может быть разным: может быть, что степенной ряд расходится в обеих
точках x = ±R\ может быть, что степенной ряд сходится в обеих
точках x = ±R, и в этом случае промежуток сходимости обращается
в замкнутый промежуток [— R, R], и, наконец, может быть, что
степенной ряд сходится в одной из точек x — ±:R и расходится
в другой; в этом случае сходимость в одной из указанных точек
неабсолютная. В каждом конкретном примере надо проводить
отдельное исследование поведения степенного ряда на концах
промежутка сходимости.
Таким образом, область сходимости степенного ряда
(расположенного по степеням л;) представляет собой или интервал (к
которому может быть присоединен один из его концов или оба),
симметричный относительно точки 0, или самую точку 0, или всю
числовую ось.
Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда можно
использовать признак Даламбера для абсолютной сходимости (см.
гл. XX, § 5, теорему 6).
Пусть для степенного ряда, у которого ни один из
коэффициентов не равен нулю, существует конечный предел D = lim^±^=7^0,
j. \СП\
тогда lim |с";г^'| =1* \-В.
I СПХ I
Отсюда следует, что степенной ряд абсолютно сходится при таких х,
для которых D|xj<l, и расходится при таких х, для которых
D\x\>l. Из этих неравенств находим, что степенной ряд
абсолютно сходится при I^Kjj и расходится при |x|>tj. Сравнивая
это с определением радиуса сходимости, получаем, что в данном
случае
Если D = 0, то это означает, что lim ' , п, ' =0 для любого х, то
I спх I
есть что ряд сходится на всей числовой оси и R = oo. Если же
?) = оо, то есть lim ' я+1 ' =оо, то это значит, что ряд расходится
I спх I
при всяком х Ф 0, и поэтому R = 0.
238

2Xn
—.
/2=1
Находим предел: D = lim . n = 1. Следовательно, в данном примере по
(4) /?=1 и промежуток сходимости (—1, 1).
Исследуем поведение ряда на концах промежутка сходимости, то есть в
точках х=± 1.
оо
-—-—; это знакочередующийся ряд,
который сходится по теореме 1 из § 4 гл. XX.
со
При х=\ ряд принимает вид: Л —; это расходящийся гармонический ряд.
/г = 1
Итак, сходимость (и притом неабсолютная) имеет место для данного ряда
только на левом конце промежутка сходимости.
со
2Хп
—-(01 = 1).
/2=0
п\
Находим предел: D = lim ' =0. Следовательно, данный степенной ряд
/2-*оо \п~т" 1/1
абсолютно сходится на всей числовой оси: # = +оо.
Пример 3. Найти радиус сходимости степенного ряда
со
л (л-2) ~~1.3~2.4 + 3-5 4.6 + "#
п=3
Находим предел: D = lim . , tw—)-r:=li откуда и заключаем, что R — 1.
Исследуем поведение ряда на концах промежутка сходимости (—1, 1).
При х — — 1 ряд принимает вид:
(— I)*-* (—1)"
2(_ 1)2/2-1 у 1
я(л-2) - Z; я(/г-2) '
/2=3 /г = 3" /г = 3
OU ОО
Сравниваем положительный ряд У — =г- со сходящимся рядом Л -^ (и у
/2=3 П=3
того и у другого одинаковый порядок малости членов):
1
lim "(ПГ2) -1.
/l-*O0 J_
Следовательно, по теореме 5 из § 3 гл. XX при * = —1 степенной ряд сходится.
со
-±—f——туг; это знакочередующийся ряд,
/2=3
который сходится по признаку Лейбница (см. теорему 1 из § 4 гл. XX).
239

Итак, в данном примере имеет место сходимость на обоих концах промежутка
сходимости и притом абсолютная. Данный ряд сходится абсолютно в замкнутом
промежутке [— 1, 1].
оо
Пример 4. Найти радиус сходимости степенного ряда ^ п* **•
Находим предел:
D=lim ("+1)!= lim (/г+1)=оо.
/г->оо Л* /г-+со
Следовательно, R = 0 (ряд расходится везде, кроме точки * = 0).
со
2Х2П х2
П = \
+ ^ + ?1+...
М2^21^
В этом степенном ряде присутствуют только четные степени х. Поэтому, если
со
сравнивать данный ряд с обычной записью степенного ряда ^ спхпу где
ВЫПИЛИ
саны подряд все натуральные степени х, можно сказать, что данный ряд есть
степенной ряд, в котором все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю.
Поэтому, естественно, в нем и отсутствуют все члены с нечетными степенями х.
(Нетрудно проверить, что данный степенной ряд может быть записан в виде
2 2xk[l-(-\)k]
b/b)a\ ; ПРИ k нечетных коэффициенты равны нулю, так как в этом
k=\
случае 1 —(—1)^ = 0, а при k четных, k = 2n, получаются члены данного в
примере ряда.)
Вследствие этого нельзя без разъяснений пользоваться формулой R = — f
которая была доказана в предположении, что все коэффициенты отличны от нуля.
Вывод формулы для R был основан на применении признака сходимости Далам-
бера. Применим признак Даламбера к нашему ряду, полагая
Х2П х2П+2
ап= п(п + А) И a*+1==(^ + 1)(/г + 5)'
Тогда все апф0 к признак Даламбера можно использовать (так как степени
четные, то не пишем знаки абсолютной величины):
D = lim -,—, 1W , L \„ = x2 hm -—j-Vt—гтл = *2-
/i-oo (Я+ 1)(П + 5)Х*"> п^ (П+ \)(П + Ъ)
Итак, ряд абсолютно сходится при х2 < 1, то есть при | х\ < 1 и расходится при
я2> 1, то есть при | х\ > 1. Следовательно, радиус сходимости данного степенного
ряда равен 1.
Так как степенные ряды являются частным видом
функциональных рядов вообще, то можно применить к степенным рядам
теоремы, доказанные для функциональных рядов в § 2.
со
Теорема 3. Степенной ряд ^ спхп с радиусом сходимо-
п = 0
emu R сходится равномерно во всяком замкнутом
промежутке [—г, г], где О</-</?.
240

Доказательство. При х = г степенной ряд сходится
абсолютно (так как эта точка лежит внутри промежутка сходимости),
оо
то есть сходится ряд 2 I°nI/Jl- Если же \х\^г, то |сп\ \хп \ ^
/г = 0
^\сп\гп и по теореме 1 из § 1 степенной ряд равномерно
сходится в [— г, г].
Теорема 4. Сумма степенного ряда есть непрерывная
функция внутри промежутка сходимости.
Доказательство. Возьмем любое х из (—R, R). Можно
подобрать число г так, чтобы было \x\<zr<R9 а тогда по
теореме 3 и по теореме 1 из § 2 сумма ряда непрерывна в точке х,
что и требовалось доказать.
Теорема 5. Степенной ряд можно почленно
интегрировать по любому промежутку, лежащему внутри
промежутка сходимости.
Доказательство. Возьмем любой промежуток [а, 6],
лежащий в промежутке сходимости (—R, R) данного ряда. По
теореме 3 ряд равномерно сходится в [а, Ь] (если обозначить г =
= тах(|а|, |Ь|), то r<zR и по теореме 3 ряд равномерно
сходится в [— г, г], а следовательно, и в [а, Ь\\ см. сноску на стр. 205).
Тогда по теореме 2 из § 2 ряд можно почленно проинтегрировать
по отрезку [а, Ь].
Замечание. Если степенной ряд
оо
2 спхп = с0 + с1х + с2х2 + ... + спхп + ... (5)
п = 0
проинтегрировать почленно по какому-нибудь фиксированному
просо ь
межутку [а, й], то получится числовой ряд 2 \спхп dx> так как
/1 = 0 о
определенные интегралы по [а, Ь] — это числа.
Иногда же представляет интерес проинтегрировать степенной
ряд по промежутку с фиксированным началом и переменным
концом, например по промежутку [0, х], где |х\ <R и х может
изменяться. Тогда результат интегрирования каждого члена ряда будет
не число, а функция от переменного конца промежутка
интегрирования, функция от х. Читатель помнит из интегрального
исчисления, что такое интегрирование дает одну из первообразных
подынтегрального выражения. Выбор первообразной зависит от выбора
левого конца промежутка интегрирования. В данном случае
выбираем точку 0 в качестве левого конца, потому что при вычислении
интегралов от 0 до х от членов ряда подстановка нижнего предела
х = 0 дает слагаемые, равные нулю:
X
[ cntn dt = -4V tn+1 \x = -^rxn+1.
J n n+\ |o n + 1
241

Итак, наряду со степенным рядом (5) будем рассматривать ряд,
полученный из (5) почленным интегрированием по промежутку
[О, х], где |дс|<#:
^+f^2+|^3+...+-^r^1 + ...; (6)
это опять степенной ряд, и по теореме 5 сумма его равна
интегралу от суммы S (х) ряда (5):
2l^r^+1=$S(/)^. (7)
/2 = 0 0
Именно так и будем в дальнейшем почленно интегрировать
степенные ряды.
Рассмотрим теперь наряду со степенным рядом (5) ряд,
составленный из производных от членов ряда (5):
Cl + 2c2x + 3czx2 + ... + (n+l)cn+1xn + ... (8)
Теорема 6. Степенной ряд можно почленно
дифференцировать в любой точке внутри промежутка сходимости.
Доказательство. Докажем, что ряд (8) сходится в любой
точке промежутка сходимости (— Ry R) данного степенного ряда
оо
2 спхп = S (х) и что
/2 = 0
f>+l)c„+1*" = S'(*). (9)
/2 = 0
Возьмем любую точку х0 из (—R, R). Для того чтобы доказать
(9), надо иметь возможность воспользоваться теоремой 3 из § 2.
Надо проверить только выполнение третьего условия этой теоремы,
так как выполнение первых двух условий очевидно. По взятому х0
подберем два положительных числа гх и г2 так, чтобы было
\x0\<r1<r2<R, (10)
и покажем, что ряд (8) равномерно сходится в [— гъ гг].
Так как значение х = г2 входит в промежуток сходимости
данного степенного ряда, то ряд абсолютно сходится при х = гъ то
оо
есть сходится ряд 2 |ся|г?. Тогда общий член этого ряда стре-
/г = 0
мится к 0 при я->оо и, следовательно, ограничен:
|c„|rJ<Mf п=1, 2, 3, ... (11)
Сделаем преобразование и оценку общего члена ряда (8) при
\x\*^rlt используя (11):
(лг-Ь 1) 1 ^-ьх 11 ^ | ^ (/г + 1) J ^-ьх j г- = (/г + 1) 1 сл+1 ] г-^-^ (^)" - ^ <
<М-(п+1)($П-±. 2 2 (12)
242

Положим М-— = 0 и — ==t?. В силу неравенств (10) имеем: 0<
<<?<1. Тогда (12) дает;
(n + l)iW!**l<Q-(" + l)<A (13)
со
Ряд ^(n+\)qn сходится (см. гл. XX, § 3, упражнение 12), и
л = 0
в силу (13) ряд (8) равномерно сходится в [— гъ г J по теореме 1
из § 1.
Таким образом, проверено, что выполняются все условия
теоремы 3 из § 2, и, следовательно, равенство (9) доказано для х = х0.
Так как х0было взято произвольно из (-— R, /?), то тем самым доказано
утверждение теоремы.
Остается выяснить вопрос о том, каковы радиусы сходимости
степенных рядов (6) и (8).
Теорема 7. Радиусы сходимости рядов, полученных из
некоторого степенного ряда почленным интегрированием
или почленным дифференцированием, совпадают с радиусом
сходимости исходного ряда.
Доказательство. Обозначим радиусы сходимости рядов (6)
и (8) соответственно через Rx и /?2- Соотношения (7) и (9)
показывают, что ряды (6) и (8) сходятся во всякой точке промежутка
сходимости (—/?, R) исходного ряда (5), так как даже указано,
чему равны суммы рядов (6) и (8) при каждом х из (— R> R).
Поэтому ясно, что
Rt^R и R2^R, (14)
то есть ясно, что действия почленного интегрировения и
почленного дифференцирования степенного ряда не уменьшают его радиуса
сходимости.
Но сам ряд (5) можно рассматривать или как результат
почленного дифференцирования ряда (6), откуда в соответствии со ска-
ванным выше имеем:
R^zRu (15)
или как результат почленного интегрирования ряда (8) (с
добавлением члена С0), откуда также имеем:
R^R2. (16)
Сопоставление неравенств (14), (15) и (16) дает:
/\1 = Д2 = А,
что и доказывает теорему.
Эти теоремы часто применяются для нахождения суммы ряда.
Пример 6. Найти сумму степенного ряда
\+2х + М + ... + (п + 1)х»+... (17)
243

Глядя на этот ряд, мы замечаем, что его члены можно рассматривать как
производные от натуральных степеней х. Поэтому рассмотрим ряд, члены которого
являются членами геометрической прогрессии со знаменателем х и первым
членом h
!+*+** + ...+** + ...=_!_
(сумма ряда написана по формуле примера 5, гл. XX, § 1).
Геометрическая прогрессия сходится только при |х|<1, поэтому радиус
сходимости этого степенного ряда равен единице. Продифференцируем почленно
ряд:
1+2* + 3** + ... + (/г + 1) ** + ... = - ^^Ч~1) = ^т4^2-
Таким образом, найдена сумма ряда (17); радиус сходимости ряда (17) также
(по теореме 7) равен единице.
Пример 7. Найти сумму степенного ряда
1*2 г3 I!4 г5
«+-ГГ + ТТ + ТТ + ТП+-" (18)
Присутствие вторых множителей в знаменателе, совпадающих с показателем
степени *, наводит на мысль, что ряд (18) получен в результате почленного
интегрирования какого-нибудь ряда. Очевидно, этот ряд был такой
1+т+т+т+ге+- <19>
Члены этого ряда —это члены геометрической прогрессии со знаменателем -~ и
первым членом 1, поэтому ряд сходится абсолютно только при
< 1, то есть
1 2
при |*|<2. Сумма его равна =-^ . Поэтому для степенного ряда
1~~~2
(19) #=2. Почленно проинтегрировав ряд (19) в [0, х], где |*|<2, получаем:
, л? , *3 *4 , х* , _ f 2
X+2.2i'4.3"i"8.4 ' 16-5+ ••' ~ J 2-t
о
= — 2 In (2 — f) |J = 2 In 2 — 2 In (2 — x) = — 2 In (l — у] (так как х < 2, то |2 — x\ =
= 2-*).
Таким образом, радиус сходимости ряда (18) равен 2 и сумма его равна
Вопросы для самопроверка и упражнения
1. Сформулируйте теоремы 1 и 2 для рядов вида (2).
2. Может ли в отдельных случаях степенной ряд сходиться в промежутке
[—R, R], где R — радиус сходимости этого ряда?
В примерах 3 —16 найдите радиус сходи-мости степенного ряда и исследуйте
сходимость ряда на концах промежутка сходимости:
244

3.
4.
5.
6.
00
2
п = \
со
2
л=1
со
2
со
2
(_ 1)л-Ч **
Л2
Ъпхп.
(__ 1)Л1^2Я-1
(2л—1)!
(_1)»(/1+1)
2
Отв. /?=1; ряд сходится на обоих концах
Отв. /? = —; ряд расходится на обоих концах.
Отв. # = +со.
Отв. /?= 1; ряд расходится на обоих концах.
7. У ?
Li (2п—1)2* '
п= 1
Отв. # = 2; ряд сходится на левом конце и расходится на правом.
со
2 . . Отв. /? = 1; ряд расходится на обоих концах.
п=1
со
У.
(2^ГЩ. Отв. Я = + со.
2(— 1)Л^2/г+1
52Я+1(2/1— 1)(2я+1) * 0тв* ^ = 5; РЯД СХ0ДИТСЯ Н3 °б0ИХ концах*
. . Отв. /? = 1; ряд расходится на обоих концах.
7 (2П _ з) 2—' Я = -т-; ряд сходится на обоих концах.
п=1
10.
п=1
со
2
я=1
12.
л =2
со
я=1
- 2^
Отв. R = \; ряд сходится на левом конце и расходится на правом.
л=1
Отв. /?=--; ряд сходится на левом конце и расходится на правом.
,Б у (-1)"/я+Глся
?, /2л*+ 3 '
Отв. /? = 1; ряд расходится на левом конце и сходится на правом.
245

16. 7 —.— .
Отв. R^y* ряд СХ°ДИТСЯ на левом конце и расходится на правом.
со
2х2П+1
2П\\ •
л = 0
Указание. Используйте прогрессию со знаменателем х2.
Отв. SW^-g-ln-iij.
оо
2ПХп+1
—XT'
л = 1
X
Указание. Используйте пример 6. Отв. S {х) = In | 1 — х | -f i _y.
со
19. Найдите сумму ряда У ~j^ * 0/Лб' ^^а (1 — хУ'
со
20. Найдите сумму ряда У (л + 1) (—1)Л*Я- <3ws- S (*)~ л л-*)2*
п = о

ГЛАВА XXI!
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННОЙ РЯД
§ 1. РЯД ТЕЙЛОРА
Если функция является суммой степенного ряда в каком-либо
промежутке, то говорят, что функция в этом промежутке
разлагается в степенной ряд. Разложение функции в степенной ряд,
если оно вообще возможно, осуществляется единственным
способом, как показывает следующая теорема.
Теорема 1. Если функция f(x) разлагается в
некотором промежутке в степенной ряд по степеням х, то это
разложение единственно.
Доказательство. Пусть в промежутке (—R,R) имеет место
равенство
f (х) =?о + сгх + с2х2 + с3х3 + c4x4 +. •. (1)
Положим х = 0 и получим: c0 = f(0).
Продифференцируем ряд (1) почленно (по теореме 6 из- § 3
гл. XXI):
Г (*) = сг + 2с2х + Зс3х2 + Ас±х* +...; (2)
радиус сходимости этого ряда также равен R.
Положим в (2) х = 0 и получим: c1 = fr (0)=LLLu
Продифференцируем опять ряд (2):
f" (х) = 2с2 + Зс3х + 4 • Зс,х2 +...; (3)
радиус сходимости этого ряда опять равен R (по теореме 7 из того
же параграфа).
Положим в (3) х = 0 и получим:
.Г(0) f(0)
с* = -
2! 2!
С3-
Повторим этот процесс и получим:
_Г(0)
3! •
Продолжая неограниченно процесс почленного дифференцирования
ряда и последующего определения коэффициентов, увидим, что все
коэффициенты данного ряда (1) определяются формулами:
Сд = ^ (n = 0, 1, 1, 2, ...). (4)
247

Таким образом, действительно проверено, что коэффициенты
разложения (1) определяются единственным образом формулами (4).
Если дана функция f(x), имеющая в некотором промежутке
[—й, h] производные любого порядка, то можно вычислить
коэффициенты (4) для любого п = 0, 1, 2, ...
Определение. 1. Степенной ряд с коэффициентами (4),
вычисленными по некоторой функции f(x), называется рядом
Тейлора этой функции f(x).
Таким образом, для всякой бесконечно дифференцируемой*
в (—Л, К) функции f (х) можно составить ее ряд Тейлора:
/(0)+qax+nELx.+...+qp^+... (5)
Теорема 1 может быть, очевидно, сформулирована следующим
образом: всякий сходящийся степенной ряд есть ряд Тейлора своей
суммы.
Ряд (5) сходится, как всякий степенной ряд, по степеням х
в точке х = 0, но остается открытым вопрос: сходится ли ряд где-
нибудь, кроме тачки х = 0? Возникает также и второй вопрос:
если ряд (5) сходится, например, в каком-либо промежутке, то
какая функция является суммой этого ряда? Та функция f(x),
с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда (5), или
какая-либо другая функция?
Так как поведение ряда (сходимость или расходимость) зависит
от коэффициентов ряда, а коэффициенты ряда Тейлора
определяются функцией /(л:), то, очевидно, вопрос о сходимости ряда
Тейлора надо изучать с помощью свойств самой функции f(x).
В дифференциальном исчислении выводится формула Тейлора
(см. том.1, гл. VI, § 3):
f(x)4(0)+f^x + ^x* + ... + f^P-xn + Rn(x), (6)
где
*»w=9w*n+1' (7)
а с заключено между 0 их. (Взят частный случай формулы
Тейлора при а = 0.)
Коэффициенты многочлена в формуле Тейлора строятся по тому
же правилу, что и коэффициенты (4) ряда Тейлора, но в формуле
Тейлора конечное число членов (это конечная сумма, а не ряд) и
последний член (дополнительный член формулы Тейлора) резко
отличается от всех предыдущих членов: в нем два переменных
множителя /я+1(с) и хл+1 (с зависит от х), а не один, как в
остальных слагаемых. В ряде Тейлора (4) все слагаемые однотипны, но
их бесконечное множество. Формула Тейлора получена для любой
функции, имеющей п+l производную. Тем более она верна при
* Функция / (х) называется бесконечно дифференцируемой, если у нее
существуют производные любого порядка.
246

любом п для бесконечно дифференцируемых функций. С помощью
формулы Тейлора и можно ответить на поставленные выше два
вопроса.
Теорема 2. Для того чтобы ряд Тейлора,
составленный для функции f(x), сходился в [—Л, Л] и имел своей
суммой f(x)j необходимо и достаточно, чтобы
дополнительный член формулы Тейлора для/(х) стремился к нулю
в [—A, h] при л->оо.
Доказательство. Сопоставление выражений для ряда
Тейлора (5) и формулы Тейлора (6) показывает, что многочлен,
стоящий перед дополнительным членом в формуле Тейлора, является
частичной суммой ряда Тейлора. Поэтому формулу Тейлора можно
записать следующим образом:
f(x) = Sn^(x) + Rn(x)9 (8)
где Sn+1(x) есть (/г+1)-я частичная сумма ряда Тейлора.
Необходимость. Пусть известно, что в [—ft, ft] ряд (5)
сходится и сумма его равна f(x). Тогда по определению
сходимости ряда в [-—ft, ft] имеем: UmSn(x) = f (х) для всех х из [—Л, ft],
rt-ч-ОО
и так как по (8)
f(x)-Sn+1(x) = Rn(x), (9)
то Rn(x)->0 при /г->оо для всех х из [—ft, ft].
Достаточность. Пусть известно, что Rn(x)^>0 при п-+оэ
в [—ft, ft]. Тогда из (9) следует, что f (x) — Sn+1(x)-+0 при /г-^оо,
то есть что Sn+l (х) -»- f (х) при n-^оо в [—ft, ft]. Это и означает,
что ряд (5) сходится и сумма его равна f(x) в [—ft, ft].
Иногда бывает не очень удобно пользоваться этим необходимым
и достаточным признаком, так как выражение для Rn(x) может
быть громоздким и трудно установить, стремится ли оно к нулю
при /г-^оо или нет. Можно дать достаточный признак, условия
которого иногда оказываются более удобными для проверки.
Теорема 3. Если функция f(x) бесконечно
дифференцируема в [— Л, h\ и все производные в [— Л, h\ ограничены
одним числом
|/<яЧ*)|<Л4, л = 1, 2, 3, ..., (10)
то ряд Тейлора функции f(x) сходится в [—A, h] к f(x).
Доказательство. Оценим Rn{x) в [—ft, ft], используя (10):
В правой части неравенства стоит общий член сходящегося ряда
при любом ft (см. гл. XXI, § 3, пример 2). По теореме 1 из § 2
гл. XX этот общий член стремится к нулю при п->оо и,
следовательно, Rn(x)^0 при п->со и при любом х из [—ft, ft]. Таким
образом, выполнено условие теоремы 2 и утверждение данной
теоремы тем самым доказано.
249

Замечание 1. Не всякая бесконечно дифференцируемая функция
разлагается в ряд Тейлора. Например, в учебнике [1], гл. XV, § 6, п°259,
рассматриваемая функция
( --
f(x)=l e *' при хфО, (11)
( 0 при * = 0.
Проверяется, что эта функция бесконечно дифференцируема при всех х и,
следовательно, для нее можно составить соответствующий ей ряд Тейлора (5). Но
значения всех ее производных в точке х = 0 равны нулю и, следовательно, все
члены ее ряда Тейлора равны нулю. Такой ряд сходится и имеет своей суммой
функцию, тождественно равную нулю. Таким образом, бесконечно
дифференцируемая функция (11) имеет ряд Тейлора, который сходится не к ней, а к другой
функции (значения функции (11) и суммы ее ряда Тейлора совпадают только
в одной точке, а именно в точке # = 0).
Замечание 2. Вся теория § 1 переносится на ряды Тейлора,
расположенные по степеням разности х—я, где аф0> то есть^на
ряды вида
/(в)+ф(дС_а) + ф(х-а)« + ... + М-(х-а)я + ...
Упражнения
оо
1. Докажите теорему 1 для рядов вида ^ сп{х~~а)п-
2. Докажите (пользуясь учебником [1]) бесконечную дифференцируемость
функции (11).
§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
В РЯД ТЕЙЛОРА
Целая рациональная функция, то есть многочлен, сама является
разложением в свой ряд Тейлора. Действительно, если f(x) = c0 +
+ Clx + c2x* + ... + cmxm, то !?1Ш = сп, /i = 0, 1,2, ...,тир>(0)=0
для п>т. Поэтому в ряде Тейлора для [ (х) пропадают все члены,
начиная с (m-f-2)-ro, и ряд Тейлора просто совпадает с самим
многочленом f(x).
Дробно-рациональная функция может быть разложена в
бесконечный ряд Тейлора. Примеры таких разложений встречались
раньше (см. гл. XXI, § 3, примеры 6 и 7). Разложение многих
дробно-рациональных функций
><*>-?$• <¦>
где Рп(х) и Qm (х) — многочлены степеней соответственно п и т,
проще всего (без использования теорем 2 и 3 из § 1) может быть,
например, осуществлено следующим приемом:
1) дробно-рациональная функция (1) раскладывается на
простейшие дроби;
2) простейшая дробь сводится (если возможно) после
соответствующих преобразований или к сумме некоторой убывающей (при
250

определенных значениях х) геометрической прогрессии, или к
результату /е-кратного (k^l) дифференцирования суммы
геометрической прогрессии;
3) сопоставлением полученных промежутков сходимости для
прогрессий выявляется промежуток сходимости для всей суммы
простейших дробей, то есть для заданной дробно-рациональной
функции.
Пример 1. Разложить в ряд Тейлора функцию
Раскладываем дробь на простейшие: ш1^ = ^-^?__)=-^ + ^;
5—х=А (3—-х)-\-В (я+ 4). Отсюда (подставляя, например, вместо х значения 3 и
9 2
— 4) находим: Л = — ? = —. Следовательно,
5-* 9 1,21 (3)
12—* —д;2 7 * + 4^ 7 3-х'
Рассматриваем в отдельности каждую из простейших дробей:
1 -'¦ ' -|(.-4+г-...+ьФ?+..1 (4.
х + 4 4 х_ 4 V 4 ' 42 •'• ' 4*
+ 4
Это представление дроби в виде суммы геометрической прогрессии верно только,
если знаменатель прогрессии (равный —т) по абсолютной величине меньше
единицы; таким образом, степенной ряд (4) сходится при — <1, то есть при|л:|<4;
радиус сходимости ряда (4) #i = 4.
Переходим ко второй дроби:
i1+y^9" + --- + 3^ + "-j- (5)
3-х 3 *_*_ 3
3
Эта прогрессия сходится при
< 1, то есть при |*| <3; радиус сходимости
ряда (5) #2 = 3.
Для того чтобы иметь возможность пользоваться одновременно обоими рядами
(4) и (5), находим промежуток, в котором оба ряда сходятся одновременно; это,
очевидно, промежуток (—3, 3).
Теперь, рассматривая только | х | < 3, подставляем в (3) оба ряда (4) и (5)
вместо дробей и, складывая сходящиеся ряды по теореме 5 из гл. XX, § 2, полу-
g х о
чаем окончательное разложение функции (2) в ряд Тейлора: т^ ^ = -=- X
ОО СО 00
Х Zi *n+1 7 Zi Зл+1 "" Zj [ 7 4Л+1 ~*~ 7 3rt+1 J X '
п^=0 п = 0 п = 0
Радиус сходимости этого ряда /? = 3.
X
Пример 2. Разложить в ряд Тейлора функцию / (х) =
О-*)2'
х А В
Раскладываем дробь на простейшие: . _ = т^г"+ л __ \2'» ^^^ (*—*)+?|
251

откуда находим: Л=—1, 5 = 1 Итак,
х —1,1
(1—*)а 1-Х * (1—*)2*
Раскладываем в ряд каждую из простейших дробей:
^=--(1+*+** + ... + ** + ...) для |*|<1; ^ = 1.
1 =1+2л:+Зл;2 + .4. + (/1+1)а;л + ... для |*|<1; Ла=1
(6)
(1-х)
(см. гл. XXI, § 3, пример 6).
Подставляя в (6) и складывая сходящиеся ряды, получаем для |*|<1:
У хп+ У (п+\)хп= У пхп.
(1—^')2
п=0 А1==0 п=0
Радиус сходимости этого разложения R = l.
Упражнения
В задачах 1—4 разложите заданные функции в ряд Тейлора и укажите
интервал сходимости.
00
n = 0
оо
2- /We7r=5?- 0тв- /We 2 (п2+2п+2)хП> i*i<i.
/г=0
оо
3- /Ид1-3^+б^- 0me-/w= 2 (зп+2,г+1)^ и<т-
я = 0
оо
n=0
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА
1. Рассмотрим сначала показательную функцию /(л;) = е-\ Эта
функция имеет производные всех порядков при любом х: f{n) (x) =
=ех(п=1, 2, 3,...). Проверим выполнение условий теоремы 3 из
§ 1: если взять любой промежуток [—А, А], то в нем верна оценка
\f{n) (x) \ = ex^eh. Поэтому по теореме 3 показательная функция
разлагается в сходящийся к ней ряд Тейлора в любом промежутке
Г—А, А], то есть, иначе говоря, при всех х. Найдем коэффициенты
fin) /q\ е° I г~
ряда Тейлора: сп = ^ = — = — (п = 0, 1, 2,...). Таким образом,
при любых х верно разложение
e*=1 + lT + S+3T + - + nT + - (D
252

В примере 2 (гл. XXI, §3) ряд (1) изучался и было уже выяснено,
что для него R = -\-oo. Теперь установлено, что сумма этого ряда
равна 6х.
2. Рассмотрим тригонометрическую функцию f(x) = sinx. Она
имеет производные всех порядков, вычисляемые по формулам
пп
(sin;t)(/z) = sin U + -^j и условия теоремы 3, очевидно, выполняются,
так как при всех х и п
sin
/ . ПП
Следовательно, sin x разлагается в ряд Тейлора и разложение
справедливо при всех х. Найдем коэффициенты ряда Тейлора:
. пп
__7""(р) _апТ.
С/1"~ п\ "" л! '
величина сл зависит от четности или нечетности л:
. 26л . (26 — 1) я
2_ __ sm ?я __ ~ 2 _ (— 1)* з-
С2Л~" (26)! " (26)! *~~U' C2ft-i— (26-1)! — (26-1)! '
Таким образом, при любых х верно разложение
*3 I *Ъ *7 I I (~ l)*"1 2/1-1 I /о\
smx=x-u + u-7T + '-- + W=Wx 2 1 + - (2)
В ряде присутствуют только нечетные степени х\ это естественно,
так как sinx— нечетная функция.
Можно считать равенство (2) определением функции sin*, так
как радиус сходимости ряда в правой части равен бесконечности
(это можно непосредственно проверить), и, следовательно, сумма
ряда определена и непрерывна на всей числовой оси. Эту сумму
и можно по определению считать функцией sinx. Такое определение
sin л' не связано с геометрическими соображениями.
3. Для тригонометрической функции /(a:) = cosa; можно так же,
как это было сделано выше для sin x, получить разложение в ряд
Тейлора, справедливое при любых х:
Равенство (3) можно также считать определением функции cos х.
Можно получить разложение (3) дифференцированием равенства (2).
Пример 1. Разложить в ряд Тейлора функцию /(х) = sin2x.
Это разложение можно получить двумя способами.
1) Первый из них, который, естественно, сразу приходит на ум,— это
перемножение двух разложений sin x:
! х'А , хь \ [ х3 t хь
253

Умножение этих рядов можно производить по теореме 4 из гл. XX, § 5, так как
ряд (2) абсолютно сходится. Подсчитаем при умножении коэффициенты при
различных степенях х:
при х°: с0 = 0; при х: сх = 0; при х2: ^=1; при *3: с3 = 0; при д^: с4 = —«-. —
1 2 1 п 1112
-ЗГ = ~3! =~Т; ПРИ Х' Сб = °; ПРИ Л 6б = 5Т~3!3!+5Т = 45 И Т" Д*
Коэффициент при хп выглядит громоздко. Итак,
х4 2х?
sin2 х — х- ;r- -f- -^ — ... при любых *. (4)
2) Иначе можно получить это разложение, представив sin2 x через двойной
аргумент, по формуле sin2* = ^ . Разложив cos2л; в ряд по формуле (3)
(заменив там х на 2л:), получим то же разложение (4), но еще и с удобным
выражением для коэффициента при общем члене:
1 1 Л 22*2 , 2*х* 2«л* , , 1чя22*л?* , \
«4 9ув 92Я-1у2Я
= ^2-т+ж—•+<-1)л"1ж+-для всех *¦
Пример 2. Найти сумму степенного ряда
3! 5! ^ 71 '"^ ' (2п+1)! ^"• (0;
Найдем радиус сходимости этого ряда:
lim Рп-\)2п\хГ+1(2п-\)\ _ , *2(2/г-1)
л - со (2м+ 1)! (2/г-З) (2п — 2) | х |2*-1 л-.оо (2/г+1) (2/1 — 3) (2/г-2)
то есть #=+оо. Следовательно, сумма ряда (5) определена и непрерывна при
всех *; обозначим ее «S (я):
W 3! 5! ^ 7! * '"^ U (2/1+1)! ^
Надо сразу обратить внимание на то, что если ряд продифференцировать почленно,
то сократится часть числовых множителей, и можно ожидать, что после этого
упрощения ряд станет похож на какое-нибудь уже известное разложение:
•> W— 21 х 4! + 6! 2! + 4! "' +
у2Я / у 2 v4 у2П~2 \
J-/_ ПЯ-1 2 L. =у2 1____4-- . -4-Г— 1)л_1- *
(2л — 2)! ^"* \ 21 4! " (2/г —2)! п "V
(вынесение *2 за скобку в бесконечной сумме понимается в смысле теоремы 4,
гл., XX, § 2). Ряд в скобке совпадает с разложением (3) для cos л;. Поэтому
5' (я) = х2 cos х.
Интегрированием от 0 до * находим:
х
S (х) = J P cos / dt = (л:2 — 2) sin x + 2х cos x
о
(интегрировать надо два раза по частям).
Итак, сумма ряда (5) равна (л:2 — 2) sin х + 2х cos x,
254

Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Докажите основное тригонометрическое тождество sin2 *+cos2*=l, исходя
из определений (2) и (3) функций sin x и cos х.
В задачах 2—4 разложите заданные функции в ряд Тейлора и укажите
интервал сходимости.
X 00
1 1 ~"Т VI ( 1)пхп
2. fix)-—=. Указание.—,= е .Отв. /(*)= > "—гУЧ # = +оо.
3. /(*) = cos3je.
лг ч о 1 + cos 2л: _
Указание, ros3 * = cos л: • cos2 * = cos x • —L-^ , а произведение cos л: cos 2л:
разложите в сумму косинусов. Отв. f (х) — У v 7—, /? = -[-со.
4-(2л)!
л=0
4. /(je) = cos2* + e *2.
Указание. См. пример 1 в тексте.
/1=1
VI хп~
5. Найдите интервал сходимости и сумму ряда > ——
(л + 2)-
м = 0
Отв. (—со, +со); S (х) = (х—1)ех+1.
оо
VI #га
6. Найдите интервал сходимости и сумму ряда У, , / ¦ ^ .
гс = 0
Указание. Перед дифференцированием умножьте все члены ряда на х3.
л / . n с/ n (*2--2* + 2)g*--2
Отв. (—оо, +со); S (*) = —^ .
7. Сделайте подробный вывод разложения cos* в ряд Тейлора.
§ 4. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
В РЯД ТЕЙЛОРА
Так как мы хотим разложить логарифмическую функцию в ряд
Тейлора по степеням х, то надо, чтобы сама функция и все ее
производные имели смысл при а: = 0; если же взять f(x) = \nx, то
как раз / (0) и /(/г) (0) при всяком п лишены смысла. Поэтому
рассмотрим логарифмическую функцию
/(дг) = 1п(1+*). (1)
Эта функция и все ее производные определены при л;=0.
Функция (1) определена для 1+*>0, то есть для х>—-1.
Разложим функцию (1) в ряд, используя возможность почленного
интегрирования степенных рядов.
255

Возьмем производную функции (1): Г {х) = утгх\ она может быть
разложена в ряд Тейлора, так как дробь -ртт может
рассматриваться как сумма геометрической прогрессии при |?|<1
(знаменатель прогрессии равен —1)\
r(0 = rqr7=l--^ + ^--^ + ...+(-iri^1 + ... (2)
Радиус сходимости этого ряда равен единице.
Проинтегрируем этот степенной ряд почленно в промежутке
[О, х], где |х|<1:
X X
\f'{t)dt=\?-t = \n{\ + t)
= ln(l+x)
= \dx-\tdt + \t2dt—...-\-(—l)n-1\in-ldt + ...=
о
= t
,о+ 3
,.. + (_ l)»-iL + ...=
1 v ' п о '
*з
Полученный ряд имеет по теореме 7 из гл. XXI, § 3 такой же
радиус сходимости, что и ряд (1); итак,
1п(1+х) = ^-^ + |-... + (-1Г1^ + ...для |*|<1. (3)
Проверим, не сохраняется ли равенство (3) и при х = ±\.
Очевидно, что при х=—1 теряет смысл функция 1п(1+л:),
поэтому равенство (3) при х = — 1 лишено смысла.
При х=1 сохраняет смысл и функция 1п(1+*)> она обращается
в число In 2, и ряд
1-
- + -
2 « Я
¦••+(-1ГЧ+-
(4)
также имеет смысл, так как он сходится по теореме 1 из гл. XX,
§ 4. Остается проверить, имеет ли место равенство
* • * • ' *y»-i 1 1
1П2-1--5- + 3—... + (-irii + -
(5)
Для проверки равенства (5) поступим следующим образом:
производя деление единицы на 1 + / как многочлена на многочлен и
остановившись на (я+1)-м шагу, получим:
Интегрируем это неравенство (конечное число слагаемых) в проме-
256

жутке [0, l]i
1 ill
^ Т^гу = In (1 Ч-/) |^ = In2 = J Л—J *Л+$ *8Л—... + (—1)ях
0 0 0
1
/2 II /з II (* т
О
••+(-1)л5п§. (6)
Sir?*"'
=1-1+1
1 2^3
Сумма первых п слагаемых в (6) является л-й частичной суммой
Sn ряда (4). Перепишем (6) в виде
1
]n2-Sn = (-l)n^T^dt (7)
О
и оценим интеграл в правой части, пользуясь тем, что гтт^^>
так как O^t^l;
iiii 1
(— 1)" ^ T^rjdt = ? 1тй<( fd/ = i!l|l=-±T.
v ' J 1+* J 1+* J n+l lo /i + l
I о I о о
Отсюда следует, что при п-+со интеграл в правой части (7)
стремится к нулю, а, следовательно, Sn->ln2, что и означает, что
сумма ряда (4) равна In 2, то есть верно (5).
Итак, для —1<л:^1 справедливо разложение
\п(1+х) = х-х^ + х^~х-Т + .,. + (-1Г^х- +
(8)
Логарифмическая функция (1) имеет смысл и при х>1, но
ряд, стоящий в правой части (8) при х> 1, суммы не имеет; он
расходится, так как его общий член не стремится к 0.
2-\-х
Пример 1. Разложить в ряд Тейлора функцию / (х) = In 9 . Сделаем
1+-
24- х 2 / *\ / х\
следующие преобразования: In 9 = In -= In (1 + -^-) — In (1 —=-) л Те-
х
перь можно использовать разложение (8), заменив в нем х соответственно на -~-
х
. 2+х [х х* , х3 , , „п_л хп . \
1пЙ==(т-2^2+2Пз~- + (-1),г12-^ + -)-
/ х х* __
\ 2 22-2 :
%3
23-3 '•• 2п-п
Разложение справедливо только для
у2Л+1
г2з.3 • ••• "г- 2*-п(2п + 1)
< 1, то есть для I х I < 2.
+ ...
257

Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Можно ли разложить функцию In (1 +л;) в ряд Тейлора по степеням суммы
1+*?
2. Разложите в ряд Тейлора по степеням х функцию / (*) = ln (x2 — 3*+2) и
укажите интервал сходимости.
Указание. Разложите трехчлен х2 — 3*+2 на множители.
оо
Отв.Г(х) = \п2-^ {2П^пХП-> И<1-
3. Разложите в ряд Тейлора по степеням х функцию / (*) = In (х2 + 9х + 20) и
укажите интервал сходимости.
Отв. /(*) = 1п20+2 t^ •(& + &)*'¦> Н<4-
/1=1
ОО
2/ \)п-1. хп
, __9. .
л = 3
Отв. (-1, 1); S(x)=±(x*-l)\n(L+x)-±#+±-x.
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ В РЯД ТЕЙЛОРА
Разложим в ряд Тейлора степенную функцию
f(*) = (l+x)"f (1)
где а—любое ненатуральное вещественное число (рассматривается
степенная функция (1+*)я> а не #а по тем же соображениям, по
которым рассматривался ln(l+x), а не Inx в § 4. Число а
считается не равным натуральному числу /г, так как при а = п
функция /(х) есть многочлен и совпадает со своим рядом Тейлора).
Проверка условий теорем 2 или 3 из § 1 опять-таки счень
сложна; поэтому разложение функции (1) в ряд Тейлора мы
получим другим путем.
Производная степенной функции f(x) равна /' (х) = а(1 -\-xf~1 =
(l+*)a &f (х) /1 . \ ?// \ х/ \
= а^ЗГ = Т+7' то есть (*+*)/ (*) = «/(*)•
Сформулируем теперь нашу задачу иным образом. Попытаемся
найти функцию у(х), удовлетворяющую равенству
(1+х)у'(х) = ау(х), (2)
такую, что
у(0) = 1. (3)
Последнее условие позволяет выделить из множества решений
уравнения (2) то, которое при х==0 совпадает с функцией (1).
Будем искать функцию у(х) в виде степенного ряда:
l+Clx + c2x* + ... + cnxn + ... (4)
(первый член с0 берем равным единице для того, чтобы при х = 0
сумма ряда равнялась единице, то есть удовлетворяла условию (3)).
258

Подставляя (4) в равенство (2), получаем:
(1+х)(с1 + 2с2х + Зс3х2 + ...) = а(1+с1х + с2х* + ...).
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
х слева и справа, получаем коэффициенты ряда (4):
при а:0: с1 = а\ при х: с1-{-2с2 = асъ с2=а ^~ '; при х2: 2с2 +
. 0 а (а — 1) (а — 2) ^
л-3с3 = ас2, с3 = — ^р - и т. д. По индукции можно
проверить, что и сп вычисляется по тому же закону, что с2 и с3:
__g(g—1) (д —2)...(а —я+1)
Подставляем полученные коэффициенты в (4):
-1+2
g(q—l)...(g--/i+l) ^ ,^
п=1
Теперь надо проверить, сходится ли при каких-нибудь х^О ряд
с полученными коэффициентами. Определяем обычным приемом
радиус сходимости ряда (5):
lim
П-ч-00
a(a-\)...(a — n)n\xn+i
(п+1)1 а (а— !)...(« — п+1)хп
lim~ri \x\=\x\
Следовательно, ряд (5) абсолютно сходится для | х \ < 1 и
расходится для \х\> 1; радиус сходимости ряда (5) равен единице.
Обозначим сумму ряда (5) в (—1, 1) через ф(я).
Функция у(х) определена в (—1, 1), имеет там производную
(сумма степенного ряда—дифференцируемая функция; теорема 6
из § Згл. XXI) и удовлетворяет соотношениям (2) и (3). Посмотрим,
чем отличается функция ф(х) от степенной функции f(x) = (1 +#)a.
Для этого составим отношение
*<*>-¦#&• (6)
Найдем производную этого отношения
ih' fY\ - (* +*)'Ф' (*) -<*Ф (*) О +х)а~х _ С1 +*) Ф' (*) -<*ф (*) _ 0
*F W— (1+^)2а ~~ (l+x)^ —Vi
так как числитель последней дроби равен нулю в силу (2) при
всех х из (—1, 1). Тогда ot)(^) = const, и так как (см. (3)) i|>(0) =
= 21-2== —=1, то г|;(л;)=1 в (—1, 1). А в таком случае ф (х) =
= (1+я)а в (—1, 1), то есть разложение (5) в степенной ряд для
259

ф(лс) и есть разложение степенной функции (1) в ряд Тейлора:
(1+*)"~1 +2 «(а-1)(а-2)...(а-«+1)^ |jc,<L (?)
Этот ряд называется биномиальным рядом. Предполагалось с самого
начала, что а^п (п — натуральное), а при этом предположении
ряд (7) в действительности оказывается бесконечным рядом. Если
допустить, что а = л, то все коэффициенты, в которых будет
присутствовать множитель а—п, а это будут все коэффициенты
начиная с (я + 2)-го, обратятся в нуль и ряд (7) совпадает с
разложением степени двучлена (1+*)л по формуле бинома Ньютона.
Сходимость ряда (7) при х = ±1 должна изучаться отдельно
для каждого конкретного а.
Отметим некоторые частные наиболее часто встречающиеся
случаи биномиального ряда (7):
v 1
а) а=т:
VT^=l+*x-±x* + J?r *з ьз^ + ... (8)
2 ~ 2-4 ' 2-4-6 2-4-6-8
2 :
б) а = —
1 _ « 1.1-3 2 ЬЗ-5 з . 1-3-5-7 4 , /Q.
УТ+Х~ 2A:~i"2-4X 2.4.6X "["2.4-6-8А: +,,# ^
в) заменяя в формуле (8) х на —я, получаем:
г) заменяя в формуле (9) х на —л;, получаем:
1 -1+т*+У*'+йл!*+... (id
yxzzi ^ 2~^2.4Л ^2-4-6
д) а=— 1:
rj_==l_^ + ^2--A:3 + ... + (-l)V + ... (12)
Эта известная формула суммы геометрической прогрессии со
знаменателем—л; (| л; |< 1).
Пример 1. Разложить в ряд Тейлора функцию / (х) = arctg x.
Воспользуемся тем же приемом почленного интегрирования ряда
для производной f(x), которым уже пользовались при разложении
в ряд логарифмической функции.
Производную этой функции при |*|<1, /' (*) = ! , Х2> можно
рассматривать как сумму убывающей геометрической прогрессии со
= 1—х*+х* —...+ (— 1)пх*я + ... (13)
1+х*
260

Интегрируя (13) в пределах от 0 до х, где |*|< 1, получим:
X XXX X
[ Пр5 = arctgx= J dt- J t*dt+ J ^ <#-... + (— 1)" [ t*ndt + ...=
0 0 0 0 О
_* 3 + 5 -••¦+( l> 2n+l + "*
Итак, при |jc|<1 имеем;
<x>
arctg*-2(-l)"^. (H)
Л=0
Можно проверить (аналогично тому, как это было сделано для
1п(1+*) в § 4), что равенство (14) верно и при х = ±\.
Пример 2. Найти сумму степенного ряда
X3 Хь X* п Х2П+1
Л:~"Пз + ЗТ5"~5Т7 + ,"+('~ V (2л —1) (2/2 + 1) +""•• П==0' lj 2>"'
Определим радиус сходимости этого степенного ряда:
,. \x^i\(2n-3)(2n-l) __ 2
п^(2/г-1)(2/г+1)|^Г-1 ~ * •
Следовательно, ряд сходится при |х|<1, то есть /?=1.
Исследуем поведение ряда на концах промежутка сходимости.
При х = — 1 данный ряд принимает вид:
Х^ЬЗ 3-5^5.7 "-^V ^ (2я-1)(2л-1) ^
я = 0, 1, 2, ...
Умножим все члены этого ряда на (— 1), после чего он
превращается в ряд, соответствующий х=1.
00
Сравнивая его со сходящимся рядом У -^ (по теореме 5 из
§ 3 гл. XX), убеждаемся в том, что он сходится. Таким образом,
промежуток сходимости данного степенного ряда есть замкнутый
промежуток [—1, 1].
Продифференцируем почленно данный ряд в (—1, 1):
S'M-l-? + f-f + ...+ <-!>» 2-^ + ...-
X3 Xb „ „ v2rt~l
Т + Т —•+(-1)*_1Е=Т
,= !_** *+* „+(_l)-i *+...= l-*arctg*
по (14). Интегрируя от 0 до х(\х\^1)у находим:
S(x)=\dt—\tarctgtdt=YX—?^arctgx
О О
второй интеграл надо брать интегрированием по частям).
261

Пример 3. Разложить в ряд Тейлора функцию /(л:) —arcsin я.
Опять воспользуемся разложением в ряд производной функции и
последующим почленным интегрированием ряда.
Найдем производную f (х) = — , которую можно рассматри*
У 1-х2
вать как степенную функцию (1) при а = — у с заменой х на — х2
По формуле (11) имеем:
1 _ 11 1 г2 1 ЬЗу4 1 ЬЗ-5 6 . ЬЗ. 5... (2/2—1) 2„
^___— i-t- 2 л -т-2#4* -Г2.4.6^ ^"•Т" 2-4-6...2/г * ^•"
Отсюда, интегрируя от 0 до #, где |*|<1, получаем:
х
= arcsin t
¦- arcsin * =
y2/l+l
-"*+ 2 * 3 +41! * 5 +6I! ' 7 +'••+ (2/г)!! ' 2/г-1 +'
Итак, для | х | < 1 имеем разложение:
(2/г)!! 2n + l
, V (2/г—1)!! *2,m /1СЧ
arcsm* = X + 2 (2/г)!! 2/г + 1 <15)
(можно проверить, что (15) верно и при х=± 1).
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Проверьте, что разложение (14) верно и при х—± 1. За образец возьмите
рассуждение, проведенное в § 4 при проверке справедливости равенства (5).
2. Почему при определении коэффициентов ряда (4) можно приравнивать
коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного
равенства?
3. Напишите биномиальный ряд для а=—2, а=-«-, а=—^-.
о <э
4. Напишите первые четыре члена разложения в ряд Тейлора функции
г, ч \—Х
/(*) = —т= и укажите интервал сходимости.
У 1 —л;
Отв. /(*) = 1+^*+^*2+??*з+...; (-1,1).
5. Разложите в ряд Тейлора функцию f (x) = \n(x-\-]f \-\-x2) и укажите
интервал сходимости.
Указание. Разложите в биномиальный ряд производную f (х) и затем
оо
2 (2/г— 1)4 ( — \)п х2П
± ' к — ; (— 1Л 1).
и = 1
262

6. Найдите интервал сходимости и сумму ряда у + ? (2/г)11 (2/г ' 1)(2я + 3)*
л:2 х / 1
Отв. (—1, 1); S (^)=-^-arc sinA:+-j-y 1—л:2—-^-arc suia;.
л:5 х9 xls
7. Найдите интервал сходимости и сумму ряда я + ^+тг + Тч^"""*
0ms. (-1, 1); S(*)=-j-ln
1+*
, 1
+ у arctg*.
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
1. Если дана функция
f{x)=^cnxn (1)
/1 = 0
и требуется, хотя бы приближенно, вычислить значения f (х) для
каких-либо значений х, то естественно пользоваться приближенными
формулами
f(x)~Sn(x)9 (2)
где Sn (x) — частичная сумма ряда (1). При вычислении по
формулам (2) может быть достигнута любая -степень точности в силу
равенства (1), но возможно, что потребуется брать Sn(x) с очень
большим номером /г.
Например, если мы захотим вычислить приближенно сумму
числового ряда
1п2=1-1+|—1+..., (3)
то увидим, что этот ряд непригоден для вычислений. Действительно,
потребуем, чтобы сумма ряда, то есть In 2, была сосчитана с
точностью до 0,0001. Так как ряд (3) знакочередующийся, то
абсолютная погрешность, получаемая от замены суммы ряда его частичной
суммой по правилу из § 4 гл. XX, не превосходит абсолютной
величины первого отброшенного в ряде члена. Если вычислять
по формуле (2), то первый отброшенный член есть Л , и поэтому
величина абсолютной погрешности меньше, чем .. Если
потребовать, чтобы было
7rqrr< 0,0001, (4)
то получится требуемая точность. Но из (4) получаем, что при
этом должно быть п>9999. Конечно, просто неразумно в этом
случае пользоваться приближенной формулой (2), то есть вычислять
сумму из 10000 слагаемых.
263

В примере 1, приведенном в § 4 гл. XX, имело смысл
производить вычисления по формуле (2), так как там оказалось
достаточным взять S7 для получения точности порядка 0,0001.
Очевидно, чем скорее сходится ряд, то есть чем скорее стремится
его частичная сумма к своему пределу, тем точнее будут
приближенные формулы (2), так как они при сравнительно небольших п
будут давать хорошую точность. Так, ряд упомянутого выше
примера сходится довольно быстро. Ряд же (3) сходится очень медленно
и поэтому им нерационально пользоваться для приближенных
вычислений числа In 2.
Не всегда легко оценить погрешность формулы (2). Это просто
сделать для знакочередующегося ряда, но если ряд не
знакочередующийся, а, например, положительный, то приходится подыскивать
мажорантный ряд для n-го остатка данного ряда и подыскивать его
так, чтобы его сумма легко вычислялась. Часто стараются
подобрать в качестве мажорантного ряда геометрическую прогрессию.
Надо также не забывать о том, что общая погрешность
вычисления накапливается еще и за счет того, что часто приходится
приближенно вычислять члены самой частичной суммы Sn. Эти
ошибки также надо все время учитывать в процессе выкладок,
как, например, это было сделано в примере, разобранном в § 4
главы XX.
Если ряд (1) настолько медленно сходится, что непригоден для
приближенного вычисления его суммы f (х), то обычно стараются
построить другой, более быстро сходящийся ряд с той же
суммой f{x). Поясним сказанное на примерах.
Пример 1. Найти приближенные формулы для логарифмов
целых чисел.
X2 ЛГ3 X*
Заменим в логарифмическом ряде In (1 +х)=х — у + у — у+-">
где —1<сл:<:1, величину х на —х: In (1—х)=—х — у—у —
— -?¦ —... Это разложение также справедливо для —1<л:<1.
Затем вычтем один ряд из другого:
1п(Ц-х) — 1п(1—л:) = 1п j^ = 2x + ^ + -^ + ...=
В этом разложении |х|<1. Всякое положительное число t^\
можно представить в виде
где — 1 <*< 1. Полученная формула дает возможность представить
логарифм любого положительного числа как сумму сходящегося
ряда по степеням х. Так как в данном примере была поставлена
264

задача вычисления логарифма целых чисел, то положим х =
2л+1
(где п — натуральное). Тогда
1
1-
2п+\ _ п + \
1 ~" п
2/1 + 1
и потому
{пп±± = _ 2 ft , 1 . 1 , 1 . 1
" 2/1 + 1 I.1"*" 3 " (2/г + 1)2+ 5 ' (2/z+l)4 + '--J- (5)
Этот ряд уже достаточно быстро сходится для того, чтобы с его
помощью можно было вычислять приближенно \п—^-~ для
различных п. Так, при п=1 получаем ряд для In 2:
1п2 = |-(1+14 + 1-4 + |4+...) (6)
3 \ ' 3 9 l 5 92 l 7 93
Вычислим с помощью этого разложения In 2 с пятью верными знаками после
запятой. Для этого надо, чтобы погрешности, полученные и от замены суммы
ряда его частичной суммой, и от неточного вычисления каждого слагаемого
частичной суммы, вместе были меньше, чем 5-Ю-6. Проверим, что для этого
достаточно взять в ряде (6) только пять слагаемых. Действительно, абсолютная
2 2
погрешность равенства (2) в данном случае равна In2 — »S5 = о ц—qK+q И Qe "^~
о
Заменим все множители 11, 13, 15 и т. д. в знаменателях
^3-15-97П
числом 9. От этого увеличится каждое слагаемое, увеличится сумма и будет
справедливо неравенство
0< in 2-Se<^( 1+1+1 + ../
3 • 9е \ ^ 9 ^ 92
В правой части получилась убывающая геометрическая прогрессия со
знаменателем -Q-, и сумму ее можно подсчитать (см. пример 5 из § 1 гл. I):
0<1п2-5б<^.-11=т^<2.10-в.
9
Итак, можно проводить вычисления по формуле 1п2я»55. Так как нужно,
чтобы сумма погрешностей при неточном вычислении пяти слагаемых,
составляющих S5, была меньше, чем 3 • 10~6 (для того чтобы общая погрешность вычисления
была меньше, чем 5 • 10~6), то каждое слагаемое надо вычислять с шестью знаками
после запятой, округляя, если это нужно, шестой знак. Тогда ошибка при
вычислении каждого слагаемого будет меньше, чем 5 • 10~7, и, складывая ошибки
от вычисления пяти слагаемых, получим погрешность, меньшую, чем 5 • 5 • 10~7 =
= 25-10~7<3« 10~в. Находим эти пять слагаемых:
1^0,666667; —^—^о.ОООШ; -А-*** 0,024691; 3.5.92 ^ °>001646-
о
-% 0,000011. Складывая, получаем In 2 ^ 0,693146 ^0,69315, причем все
3 • 9 • 9*
написанные в последнем числе цифры верные.
265

Полагая л = 4 в (5), получаем возможность вычислить
l„5-21n2+?(l+5^r+3^p + ...).
Теперь можно вычислить In 10 = In 2 + In 5 и модуль перехода от натуральных
логарифмов к десятичным М = -.—rjr. После этого, умножив обе части (5) на М,
можно дальше, подставляя удобно выбранные значения п, находить сразу
десятичные логарифмы целых чисел.
Пример 2. Найти приближенную формулу для числа я. Следующий ряд
х3 я5 х7
(см. (14) из § 5): arctg х = х — -о- + -е—-=- +..., — 1 ^#^ 1, можно было бы
при х=\ использовать для приближенного вычисления числа я, так как arctg 1 =
= -^-, но он опять-таки очень медленно сходится. Действительно, если потребовать
точность вычисления до 10"4, то в ряде
Л_,_±
4 ~* 3^5 7
»-l~U-il+." (7)
надо брать частичную сумму Sn так, чтобы было < 0,00005, то есть при-
я
дется взять п > 10 000 и вести вычисления по формуле-j-^S10001, что явно
невыгодно.
Однако и в этом случае можно построить ряд, имеющий суммой также число
я, но сходящийся гораздо быстрее. Например, если положить х=-— в ряде для
уз
. , 1 я
arc tg х, то, так как arc tg — = -^-, получаем ряд
^__WJ_J_J_J___J__1_\
6 ~~)/3\ 3 * 3 5 ' 32 7 ' Зз + "7' (8)
Этот ряд сходится быстрее ряда (7) и уже может быть использован для
приближенного вычисления числа я.
Поставим, например, задачу: вычислить число я с четырьмя верными знаками
после запятой. Следовательно, надо добиваться того, чтобы вся погрешность
вычислений была меньше, чем 5 • 10~б. Если взять частичную сумму ряда (8) с
номером 8, то первым отброшенным в ряде (8) членом будет член ¦ и он меньше,
чем 10~5. Поэтому (см. § 4, гл. XX) можно в данном случае вести вычисления
по формуле
*~ff's" (9)
Из восьми слагаемых в S8 семь слагаемых придется представлять в виде
десятичной дроби приближенно. Если их записывать в виде десятичных дробей с
точностью до 5 • Ю-5 (то есть выписывать пять знаков после запятой с округлением,
в случае надобности пятого знака), то ошибка при вычислении суммы этих семи
слагаемых будет меньше, чем 7> 5 • 10~е < 4 • 10"5.
Итак, окончательная погрешность вычисления по формуле (9) будет меньше,
чем Ю-6 -f- 4 • 10~5 = 5 • 10~5, то есть в результате вычисления будет получена
требуемая точность.
Можно строить и еще более быстро сходящиеся ряды, имеющие суммой число я.
266

Так, например, положим arctg-=- = a. Отсюда имеем: tga=-=-. Найдем
о о
tg2a и tg4a:
Положим 4а—j- = (5 и найдем tg р:
2tga 5 , л 2tg2a 120
4tga —1 1
tgP =
Отсюда получаем:
l+tg4a 239'
1
P = arctg
239*
Используя разложение в ряд для arctgx, имеем:
R_J 1 1.1 1
Р OQQ Q
"239 3 2393 * 5 2395 ' "'
Из соотношения между аир находим:
я=16а — 4р.
Таким образом получаем следующую формулу для числа я:
JI=16 V"5" —"3" * & + ~5'~&~'''j~*\m~~~3' 239з + ,*7'
Поставим задачу: вычислить приближенно по этой формуле число я с пятью
верными знаками после запятой.
Так как оба эти ряда сходятся быстрее, чем ряд (8), то указанное
вычисление можно провести, беря немного членов в обоих рядах. Рассуждая, как и прежде,
подбираем число слагаемых и точность вычисления каждого слагаемого так, чтобы
окончательная погрешность вычисления была меньше, чем 5 • 10~6. Для этого
достаточно взять (мы снова используем правило из § 4 гл. XX для оценки величины
отбрасываемых остатков знакочередующегося ряда) четыре слагаемых в первом
ряде и одно во втором и каждое слагаемое вычислять с ошибкой, меньшей, чем
5-Ю-8, то есть с семью знаками после запятой, округляя, если надо, последний
знак. Таким образом, небольшие выкладки дадут значение зх с хорошей точностью.
(Такие вычисления проведены в [2], гл. XV, § 7, nq 231.)
Указанные способы приближенного вычисления числа я гораздо
скорее ведут к цели, чем вычисление знаков я.путем
приближенной замены длины окружности периметром правильного вписанного
многоугольника. Достаточно сказать, что даже если взять периметр
правильного вписанного 96-угольника, то из приближенной
формулы 2л;~р96(# = 1) получатся только 2 — 3 верные цифры после
запятой в приближенном значении числа я.
Биномиальный ряд (см. (7) из § 5) удобно использовать для
вычисления корней любой степени особенно в том случае, когда
требуется получить результат с большим числом верных знаков,
чем это может дать обычная таблица логарифмов.
Пример 3. Вычислить |Лэ с точностью до 10~8.
Будем исходить из уже известного приближенного значения i^oWlJ.
267

Сделаем следующее преобразование:
8« 1,7 1,7 Г /4,913 уГ1" Г 3,087-1_?
= 1,7.(1-0,0174) 3.
(Это преобразование можно сделать в общем виде для корня любой степени. Пусть
требуется найти с большой точностью -fa и известно какое-то не очень точное
приближение этого корня: j/a^sfc. Тогда о%6лИг^=1+а, где а— некоторая
небольшая величина. Следовательно,
_1_
Ya = 1fbn(l+a,) = b- (1 + а) п.
\_
Разлагая множитель (1 + а)п в биномиальный ряд, мы можем получить
приближенную формулу любой точности.)
Теперь разложим полученное выражение в ряд по формуле (7) из § 5 при
сс =—^- (разложение возможно, так как | х | = 0,0174 < 1):
о
v» - >•'• К A-i(H • i№)*+i(i--)(H *
X "от i n пг\г\ "о о~М о~2 о-3 «ТТ
3! \10-000У 3 \3 У \3 У \3 У ' 41 \10 000у
Вычислим только пять слагаемых и попробуем оценить пятый остаток:
Г1-2-6-8-11 1 / 174 \» 1
г*-1'/[ 35 5! VlOOOOi +•••]<
1,7-2-5-8-11 / 174 \Ч' 174 / 174 \2 1
[ +10 000+\10 00о] + ---J
)*+...]. (Ю)
^ 35-5! \10 000
Знак «О поставлен потому, что в ряде заменили все коэффициенты при степенях
174 ^ 2-5-8-И
дроби 10ППП первым коэффициентом —^б -—, так как ряд положительный,
а коэффициенты с увеличением номера члена убывают, то такая замена увеличила
сумму ряда. Последний ряд есть геометрическая прогрессия, которую можно
просуммировать. Итак,
1,7-2-5-8-П ' 174 \» 1 _
Гз< 36-5! \lQ0Q0y ' 174 ~
10 000
1,7-2-5-8-П/ 174 у W
~~ 35-5! \10 000y 9826^ *
Таким образом можно вычислять по приближенной формуле у^5 «» S5.
Вычислив первые пять слагаемых в ряде (10), получаем приближенное
значение y^5, в котором все написанные цифры верные:
^5^1,709 917 74
(при вычислении четвертого и пятого слагаемых в 55 делали округление с таким
расчетом, чтобы после умножения на множитель 1,7 ошибка не повлияла на
восьмую цифру после запятой, а первые три слагаемых могут быть вычислены точно).
268

Ряды применяются также в ряде случаев для у
упрощения формул.
Пример 4*. Пусть на местности требуется
разбить дугу круга радиуса, R, где радиус большой
и центр круга недоступен для работающего на
местности.
Расположим координатную систему, как указано
на рисунке 94. Точка С — центр круга. Напишем
уравнение окружности:
откуда
*2+(#-#)2=я2>
Так как ОА = х мало по сравнению с R, то -^ < 1 и
жить в ряд по формуле (10) из § 5. Тогда получим:
х2 х* х*
Y'-
X*
yjg можно разло-
у=я[
1-1
2R* 8R* 16#в
Отсюда выводим приближенные формулы:
•"•/J "" 2#2 + Я/?3+ lfiP5
*2
2R*
8R3
х*
lQRb
или, более точно,
АМ~й
AMaa2R+8i?-
(Н)
(12)
(13)
Оценку погрешности этих формул можно получить, оценив второй или
соответственно третий остаток ряда (11).
Отрезки AM, вычисленные по формулам (12) или (13), откладываются по
перпендикуляру к линии О А. Полученные таким образом точки М соединяются,
и получается приблизительно дуга окружности радиуса R.
2. Разложение подынтегральной функции в ряд и последующее
почленное интегрирование ряда могут оказаться полезными для
приближенного вычисления таких определенных интегралов,
которые или не берутся совсем в конечном виде, или представляют
значительные технические трудности в процессе интегрирования. Так,
ъ
если не берется интеграл J f(x) dx, то можно разложить f(x)
а
оо
в ряд Тейлора f(x)=^>]cnxn и почленно проинтегрировать его
л = 0
(при условии, что [а, Ь] содержится в интервале, в котором верно
разложение)
\f(x)dx=ficn\xndx.
а д = 0 а
* Примеры 4, 7 и 8 заимствованы из книги Г. М. Фихтенгольца «Математика
для инженеров», том II, ГТТИ, 1933.
269

Ряд справа—числовой ряд, и, заменяя его частичной суммой,
получаем приближенные значения определенного интеграла.
Пример 5. Найти формулу для приближенного вычисления
полных эллиптических интегралов, то есть интегралов, которые
не берутся в конечном виде (см. том I, гл. VIII, § 7):
2
dx
r dx и [ Vl-k2sin*xdx. (14)
о о
Разложим в ряд функцию -^ - по формуле (11) из § 5
у 1 — k2 sin2 x
а=—х-, х заменено на—&2 sin2*; разложение возможно, так как
&2sin2;t<l):
, ==1 + оп sin2# + 777?4sin4* + ^?6sin6# + ... (15)
l/l-A^sin2* 1 2!! ' 4!! '6!! ^ v '
Этот ряд мажорируется положительным числовым рядом
1+2lT + SA4 + 56n^ + -' <16)
так как
(2п-\)\\ п 2П (2п-1)11 , 2П
(2п)!1 Я S *^= (2п)11 Л "
Ряд (16) сходится, так как по признаку Даламбера получаем:
lim ^+1)"^+а<2л)" =lim (gH^i=^<L
л^оо(2/г + 2)11^2/г(2Аг^-1)!1 л-.со 2" + 2
Следовательно, по теореме 1 из § 1 гл. XXI ряд (16) равномерно
сходится в
О -
и' 2
и его можно почленно проинтегрировать
(теорема 2 из § 2 гл. XXI):
2
dx
S
о
2
= \ dx + Y \ sm2xdx+ 4|с} \ sin4A;d#-|—^j— \ sin6xdA:4---- (17)
оо о о
Интегралы от степеней синуса вычисляются по известным из
интегрального исчисления формулам Валлиса:
} Sm хах~ (2л)|| 2-
о
270

Подставляя эти числа в (14), получаем:
dx п , #> 1 я , #-311 311 я t б6 511 5П_ ?t, __
Y\ — k*sm*x~ 2 ' 2 2 2 ' 411 411 2 ' 611 611 2
-*[>+&+*,©,+*,($),+-]-
Заменяя ряд в правой части его частичными суммами, можем
получить приближенные значения эллиптического интеграла с любой
степенью точности. (Этот ряд быстро сходится и удобен для
вычислений при малых k.)
Аналогичным образом можно получить разложение в числовой
ряд и для второго из эллиптических интегралов (14):
С тП t.a ¦ 2 j яГ, ft» fe« /3!1\2 Jfee /51!\2 "I
О
Пример 6. Найти формулу для приближенного вычисления
интеграла
\e-**dx. (18)
о
Разложим ех в ряд (см. (1) из § 3) и заменим х на—х2:
р— *2 1 ?_Д_^ __!_
Подставляя этот ряд под знак интеграла (18) и производя
почленное интегрирование, получаем:
ill 1 1
\ е~х2dx= \ dx— \ х2dx + Y \ х*dx—^- \ х6dx + ... =
о оо о о
_i_ 1 . J L, =1-14-1-14-J
З^З^ 317 "*""• 1 ЗМО 42^216 "•
Ряд знакочередующийся, вследствие чего им очень удобно
пользоваться для приближенного вычисления его суммы.
1
Например, приближенная формула \е~х2dx^^S7 уже дает в ре-
о
зультате вычислений четыре верных знака после запятой.
3. Часто можно использовать разложение функции в ряд для
оценки погрешности каких-нибудь приближенных формул.
271

Пример 7. Известно следующее
приближенное выражение для площади
кругового сегмента:
-dh,
(19)
где d = AC — хорда, стягивающая сегмент,
и h = DB— «стрела» сегмента (рис. 95;
AD = DC). Требуется оценить погрешность
формулы (19) в зависимости от величины
центрального угла 2а.
Найдем сначала точно площадь Р.
Обозначим длину дуги АС через S. Тогда
по известной формуле из тригонометрии можно написать:
S = 2ra,
где г—радиус круга. Площадь сектора О ABC равна -^-rS = r2a.
Площадь треугольника OADC равна
Y ОА • ОС • sin 2а = i- г2 sin 2a.
Тогда для площади сегмента О А ВС получаем следующее
выражение:
Р = г2а—у /-2>sin 2а = г2 [а — у sin 2а
(20)
С другой стороны, правую часть приближенного равенства (19)
также можно выразить через а:
d = АС = 2-DC = 2r sin а9 (21)
h = r — rcosa = r(l —cos а), (22)
2 4 2
dh = -^r2 sin а (1 — cos а) = -g- r2 (2 sin а — sin 2a).
Из (20) и (19) находим абсолютную погрешность А приближенного
равенства (19):
Д = г2
a-ysin2a)-4
(2 sin a — sin 2a) =
= r*
4 . , 1 . о
a—7Г sina + -fi-sin2a
(23)
Разложим sin a и sin 2a в ряд:
1 о . 1 =
sina = a—g-a3 + Tona —••
sin 2a = 2a-
a8+ ao_.
120~ •"» "XiJ" "~ 3 ~ r 15
Подставив полученные выражения в (23), находим:
(члены с а и с а3 взаимно уничтожаются)
272

Таким образом, есть возможность оценить погрешность в зави
симости от величины угла а; при малых а можно сказать, что эта
погрешность такого же порядка малости, что и а5. Сама
приближенная формула (19) удобна тем, что ею можно пользоваться,
измерив непосредственно d и h какими-нибудь инструментами.
Пример 8. Для длины дуги окружности радиуса г
существует приближенная формула:
У*2+т
№
(24)
(обозначения см. на рис. 95). Требуется оценить абсолютную
погрешность этого приближенного равенства с помощью угла а.
Точная длина дуги АС равна 2га. Выразим через а правую
часть приближенного равенства (24). Из (21) получаем, используя
пример 1 из § 3:
d2 = 4r2sin2a = 4r2(a2-y + ^~...). (25)
Из (22) также получаем, используя правило умножения абсолютно
сходящихся рядов:
16,
-h2
16
~^0-cosa)«.-^.[l-(,-f + ?_...)f-
= -к-Г<
О*
"24"
3' \2 24^""У \2 24^* "УЗ \4 24^'"]'
Из (25) и (26) находим:
(26)
= 4r«a» 1-2L+....
90
Отсюда имеем:
Yd2+Th2=2ra-Yi-{%+-
При малых а сумма ряда, стоящего в скобках под знаком корня,
мала и можно использовать разложение корня в ряд по
формулам (10) из § 5:
тМй+-Н-И?+-)+-
Найдем теперь абсолютную погрешность приближенного
равенства (24):
А =
2га
-2га[,-Щ+...)]
¦га
+ ...
= /*а5
По этой формуле можно оценить погрешность, которая, как мы
видим, имеет при малых а тот же порядок малости, что и а5.
273

Приближенная формула (24), так же как и формула (19),
удобна тем, что приближенное значение дуги окружности можно
получить путем непосредственного измерения отрезков d и h.
Упражнения
1. Вычислите -^0,9987 с точностью до 10 8.
Указание: 0,9987=1 —0,0013.
2. Вычислите V 1,0015 с точностью до 10"8.
\_
in t 29 \ ^
3. Докажите равенство: уЛ3=-=-( i+TTw)) и вычислите исходя из него
т/*3 с точностью до 10"10.
1
(* arct? х
4. Вычислите приближенно интеграл \ — dx с точностью до 10"2.
о
Отв. 0,92.
0,1
5. Вычислите приближенно интеграл j e~~2x*dx с точностью до 10"9.
о
Отв. 0,099337315.
6. Покажите, что абсолютная погрешность приближенной формулы для
площади кругового сегмента P^j=(7d+3S) (см. обозначения рис. 95) имеет при
малых а порядок малости такой же, как а7.
7. Покажите, что абсолютная погрешность приближенной формулы для длины
дуги части окружности S %—«—» гДе д = ^Я (см. рис. 95), имеет при малых
а порядок малости такой же, как а5.
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ К РАСКРЫТИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Разложение функций в ряд можно использовать при раскрытии
неопределенностей. Покажем на примерах, как это можно делать.
Пример 1. Раскрыть неопределенность вида -^-:
л. #cos#— sin я
}То ***-» •
Разложим sin л:, cos л: и ех в ряд:
,(l *+...)_(, * +
= hm —-. г-= lim —^-= J-7+ г^ =
,. -у+*(вв+--) 1
= hm ^ r-i=-T.
*-° i+-(t+-)
274

При переходе к пределу в последнем равенстве рассуждаем
следующим образом: сумма ряда, стоящего в круглых скобках в
числителе, является непрерывной функцией от х и при х->0
стремится к числу -ft:. Поэтому lim W^+•••) =0-™==0; аналогично,
в знаменателе имеем
llmo*(i+-")=04=°-
Пример 2. Раскрыть неопределенность вида -^-:
,. х — sin 2х
lim-
х-»0'
-tg3x
Сделаем преобразование в знаменателе и разложим sin 2л:, sin3A:
и соэЗл: в ряды:
,. х — sin 2х <. (л: — sin 2x) cos Ъх
lim —г-о— = hm- «—; . 0 =
_^ о х — tg ox х_^0 *cos3* — sin Ъх
8*з
х — [ 2х
= lim -
3! ^ У
-,1ш-+-[?+-)-ш.--1-1^(т+-)]
*-*0.
= lim
-1+-2(т+-) 1
Упражнения
Используя разложения функций в ряд, вычислите следующие пределы.
,. нт J-"*2" . Отв. -i
* -* о е3* — 1 — Зх У
In (1+*)-*+-?-*»
2. lim t Отв. — 1.
х-»о arctgA: — x
3. lim ind+x + xp + lnjl-x + x^) 0ш
4. lim [J , [ ,1 Ome. 4-
5. lim f_L - -J—) . Ome. - 4".
*-,o\*2 sin2*/ 3
6. lim p + cos* _ 3\ 0me< 1
*-*o\ а:4 *4/ 60

Раздел VIII
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ГЛАВА XXIII
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Рассмотрим бесконечную последовательность комплексных чисел
Zl» ^2» • • • ? %П1 • • • \Ч
На такие последовательности можно перенести без изменения
понятие предела последовательности, изученное ранее для
последовательностей вещественных чисел.
Определение 1. Комплексное число с называется пределом
последовательности комплексных чисел (1), если для любого
положительного числа е можно указать такое натуральное число N,
что для всех членов последовательности с номерами n>N
выполняется неравенство
\zn-c\<S. (2)
Записывается этот факт так же, как и в случае вещественных
чисел: \\mzn = c. Это определение буквально повторяет
определение из § 1 гл. III тома I. Надо лишь помнить, что в левой части
неравенства (2) написан модуль разности комплексных чисел гп
и с, равный расстоянию р (zn, с) между точками zn и с на
комплексной плоскости. Если, например, zn = xn + iyn и c = a-\-ib, To\zn —
— с | = }/ (хп — а)2 + (yn — b)2 = p(zn, с). Поэтому те гП9 которые
удовлетворяют неравенству (2), расположены на плоскости на
расстоянии, меньшем е от точки с, то есть внутри круга радиуса е с
центром в точке с. Итак, перефразируя геометрически определение 1,
можно сказать: точка с является предельной точкой
последовательности точек zn, если, какой бы малый круг радиуса г и с центром
в, точке с ни взять, всегда можно указать такой номер N', что все
точки zn при n>N окажутся внутри этого круга.
Таким образом, вследствие того что комплексные числа
изображаются точками на плоскости, определение 1 геометрически
сводится к определению сходимости последовательности точек на
плоскости, рассмотренному в § 2 гл. XIV (см. там определение 1).
Понятие бесконечно большой комплексной переменной
определяется точно так же, как и для вещественного случая (сравните
с определением из § 2 гл. III тома I).
Определение 2. Комплексная переменная zn называется
бесконечно большой если, какое бы положительное число М ни
276

взять, всегда найдется такое натуральное число N, что для zn
с номерами n>N будет выполняться неравенство
\*п\>М. (3)
Геометрически неравенство (3) означает, что точки гп при п> N
расположены вне круга с центром в начале координат и
радиусом М.
Если гп бесконечно большая, то это записывается, как и раньше:
\\mzn = oo. Рассмотрим вещественную переменную \г„\,
принимающую только вещественные неотрицательные значения. Из
определения 2 следует, что выражения «комплексная переменная zn
бесконечно большая» и «вещественная переменная ] zn | бесконечно
большая» равносильны, то есть соотношение limz/z = co равносильно
соотношению lim | zn \ = оо .
Определение 3. Комплексная переменная zn называется
ограниченной, если существует такое положительное число М, что все
значения переменной zn удовлетворяют неравенству
\zn\<M. (4)
Геометрически неравенство (4) означает, что все точки zn
расположены на плоскости внутри круга радиуса М с центром в начале
координат.
В § 2 гл. XIV доказана теорема (см. теорему 1 из § 2 гл. XIV),
из которой следует, что если дана последовательность
комплексных чисел zn = xn-\-iyn (п = 1, 2,...) и комплексное число с =
= a + ib, то, для того чтобы zn->c, необходимо и достаточно,
чтобы хп-+а и уп->Ь. Это обстоятельство позволяет перенести все
основные положения и факты из теории пределов, развитой в гл. III
для последовательностей вещественных чисел, на
последовательности комплексных чисел. Поэтому в дальнейшем будем в случае
надобности пользоваться отдельными теоремами из гл. III для
комплексной переменной zn, не делая дальнейших оговорок. Читателю
предлагается продумать самостоятельно, какие именно из лемм
и теорем § 3 гл. III могут быть сформулированы для
комплексных переменных, а какие нет.
Вопросы для самопроверки
1. Можно ли формулировать для комплексной переменной гп теоремы,
аналогичные теоремам 2, 3, 4, 7 и 8 из § 3 гл. III первого тома, и если нет, то
почему?
2. Как можно доказать теорему о единственности предела комплексной
переменной (см. теорему 5 из § 3 гл. III первого тома).
§ 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
Возьмем бесконечную последовательность комплексных чисел
Сп = Яп + &п (л=1, 2, 3, ...) и составим из ее членов бесконечный
ряд
Ci + c2 + c9 + ... + cn + ... (1)
277

Определение сходимости ряда и понятие суммы ряда
сохраняются такие же, как и для рядов с вещественными членами (см.
определение 1 из § 1 гл. XX). Таким образом, сумма ряда (1),
если он сходится, есть комплексное число S = limSw, где Sn
{п=\, 2, 3, ...) —частичные суммы ряда (1).
Так же как для последовательностей комплексных чисел, легко
проверить, что для сходимости ряда с комплексными членами сп =
= an-\-ibn необходимо и достаточно, чтобы сходились оба вещест-
оо оо оо
венных ряда ^ ап и 2 Ьп. При этом, если ^ an = S' и
п = 1 п = I п = \
оо оо
2 bn=S", то 5= 2 Cn = S' + iS".
п=\ /г= 1
На ряды с комплексными членами переносятся свойства
бесконечных рядов, сформулированные в § 2 гл. XX (см. теоремы 1—6).
Эти свойства доказываются точно так же, как и для
вещественных рядов, поскольку определение сходимости ряда и
используемые в доказательствах факты из теории пределов
последовательностей сохраняются полностью в комплексной области.
Так как комплексные числа не сравнимы с нулем, то в
комплексной области нельзя рассматривать частные виды рядов, изучению
которых в вещественной области были посвящены в § 3 и 4 гл. XX.
Но для сходящихся рядов с комплексными членами сохраняется
понятие абсолютной сходимости, введенное в § 5 гл. XX для
оо
вещественных рядов, а именно: сходящийся ряд ^]сп, где сп—
п = \
комплексные числа, называется абсолютно сходящимся, если схо-
оо
дится вещественный положительный ряд 2 1с«1> составленный из
/г = 1
модулей членов первого ряда (сравните с определением 1 из § 5
гл. XX).
Так же как и для вещественных рядов, можно доказать, что
из сходимости положительного ряда 2 I сп I Уже следует сходи-
оо
мость ряда 2 сп с комплексными членами (см. теорему 1 из § 5
Л = 1
гл. XX). Однако доказательство такой теоремы, приведенное в § 5
гл. XX, не может быть перенесено на комплексный случай, так
как понятие модуля комплексного числа шире понятия модуля
вещественного числа. Мы докажем эту теорему заново.
Пусть дан ряд
2 сп (2)
/1 = 1
278

с комплексными членами сп и известно, что положительный ряд
оо
2 Ы О)
п = 1
сходится. Пусть c„ = a„-f/&„, тогда \сп]==Уа% + Ь2п. Очевидно, что
|ап|^У а2п + Ь'п и \Ьп\^Уа% + Ь%. Тогда, используя признак
сходимости положительных рядов, основанный на сравнении рядов
(см. теорему 2 из § 3 гл. XX), можно утверждать, что в силу
предположения о сходимости ряда (3) положительные ряды
со со
2 |Яя| и 2 \Ьп\ сходятся. Следовательно, вещественные ряды
72 = 1 П=\
ОО ОО
^ап и 2^* сходятся абсолютно и тем более просто сходятся.
п=\ п=\
Как было указано ранее, этого достаточно для сходимости ряда (3).
На абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами
переносятся свойства абсолютно сходящихся рядов с вещественными
членами, сформулированные в виде теорем 3, 4, 5 и 6 в § 5 гл. XX;
никаких изменений по сравнению с вещественным случаем в
доказательствах этих свойств делать не надо.
Пример. Выяснить, сходится ли абсолютно ряд
Ad U2 ' л3
п = \
Найдем модуль общего члена ряда
1 , 2Л -,/"1 . 4 Уп* + 4
ОО
и составим положительный ряд из этих модулей: > -—^—• Для
выяснения вопроса о сходимости этого ряда сравним его со сходя-
ОО
щимся рядом У ~2 (см. § 3 из гл., XX): linr n +3 ' "=1- Отсюда
/г=1
следует, что ряд (5) сходится и, следовательно, ряд (4) сходится
абсолютно.
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
Пусть г—комплексная переменная и а—фиксированное
комплексное число. Ряд с переменными членами вида
c0 + cAz-a) + c2(z--a)* + ... + cn(z-~a)n + ..., (1)
где сп — комплексные числа, так же как и в вещественном случае,
называется степенным рядом. Достаточно, как и в гл. XXI,
ограничиться изучением степенных рядов вида
c0 + cxz + c2z* + ... + cnzn + ... (2)
279

(# = 0). Для выяснения вида области сходимости степенного ряда
надо использовать теорему Абеля (см. теорему 1 из § 3 гл. XXI),
которая формулируется так же, как и в вещественном случае.
оо
Теорема 1 (Абеля). Дан степенной ряд 2 cnzn;l) если
/2 = 1
он сходится при некотором значении z=z0=^=0, то он
сходится и при том абсолютно при всех значениях z таких,
что |z|<|z0|;
2) если он расходится при некотором значении z = z0,
то он расходится и при всех значениях z таких, что
\г\>\г0\.
Доказательство теоремы ничем не отличается от доказательства
приведенного в § 3 гл. XXI, так как в ходе рассуждений
используются только те понятия и факты, которые имеют место и для
комплексных переменных.
Геометрическое истолкование утверждений теоремы Абеля,
естественно, несколько отличается от истолкования для случая
вещественных чисел. Так, утверждение 1) означает, что если ряд
сходится в точке z0, то он абсолютно сходится во всякой точке
плоскости, лежащей внутри круга радиуса |z0| и с центром в
начале координат. Если же ряд расходится в точке z0, то он
расходится во всякой точке плоскости, лежащей вне круга радиуса |z0|
и с центром в начале координат.
Выясним теперь с помощью теоремы Абеля вид области
сходимости степенного ряда (2). Он устанавливается с помощью теоремы,
аналогичной теореме 2 из § 3 гл. XXI.
00
Теорема 2. Для каждого степенного ряда 2 сп^> ко~
п=1
торый имеет точки сходимости, отличные от точки z=0,
и имеет точки расходимости, существует число R>0
такое, что
1) ряд абсолютно сходится для |z|<#,
2) ряд расходится для \z\>R.
Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством,
данным в гл. XXI. Рассматривается множество комплексных чисел' {zr},
для которых степенной ряд сходится. По условию теоремы
множество {z'} состоит не-только из точки г'= 0, но и не заполняет
всю плоскость. Далее рассматривается множество вещественных
чисел {|z'|}, и дальнейшие рассуждения ничем не отличаются от
вещественного случая.
Число R>0, определенное в теореме 2, называется радиусом
сходимости степенного ряда. Круг с центром в начале координат
и радиусом R называется кругом сходимости степенного ряда (2).
(Если рассматривать степенные ряды вида (1), то кругом
сходимости такого ряда будет, очевидно, круг с центром в точке а и
радиусом R, где R>0 такое число, что степенной ряд абсолютно
сходится при \z — a\<R и расходится при \z—a\>R.) По дока-
280

занной теореме все точки сходимости степенного ряда заполняют
внутренность этого круга. Таким образом, в комплексной области
оправдывается термин «радиус сходимости», термин, который в
применении к вещественным степенным рядам мог вызывать недоумение:
ведь там областью сходимости степенного ряда был интервал и ни
о каком круге речи не было.
Если степенной ряд (2) сходится только при г = 0, то
полагают R = 0. Если степенной ряд сходится на всей плоскости, то
полагают /? = оо. В этом случае степенной ряд сходится абсолютно
во всех точках плоскости.
Так же как и в вещественном случае, поведение степенного
ряда на границе его области сходимости может быть
разнообразным. Но если в вещественном случае граница области сходимости
состояла из двух точек (из двух концов промежутка сходимости),
то в комплексной области границей является вся окружность круга
сходимости и исследование сходимости или расходимости
степенного ряда на окружности круга сходимости вызывает большие
трудности.
Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда можно
так же, как и в гл. XXI, использовать признак абсолютной
сходимости Даламбера, который, как указывалось выше, справедлив и
в комплексной области. Тогда, если существует конечный предел
lim'-p±r = D=j?=Q, то радиус сходимости этого ряда получается по
\сп\
формуле ^ = -п. Если D = 0, то, как и в гл. XXI, это означает,
что степенной ряд сходится при любом значении z, то есть на всей
комплексной плоскости гп и #==оо.
Пример. Найти радиус Сходимости степенного ряда
п=1
Находим:
-1+SV-
откуда /?=^=1
тл ,. !Wl I' У (Л+1)2 МЛ+1)4
D = lim ,-5±if-= lim -—v Т.; v. ; =1,
l°n\ n-+oo -лГ \ 9_
У П^ П*
1
n-* oo
Упражнения
Найдите радиусы сходимости следующих степенных рядов.
ОО
-р. Отв. R = co.
/2 = 1
ОО
2. 2 (~ 1)Пг2П- Отв. /? = 1.
281

00
3. У J^z"
li п2+\
/г=1
'Л ^ '
5- 1(1-1)
п=1
1 ЗГ\ (г\п
л=1
Отв
Отв.
Отв.
. R--
R =
R--
= 1.
1
3'
= 2,
§ 4. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Пусть переменная z изменяется в некоторой области (D) на
плоскости, которую будем теперь называть комплексной плоскостью.
Введем понятие функции в комплексной области. А именно: если
существует закон, по которому каждой точке z^D ставится в
соответствие вполне определенное комплексное число w, то говорят,
что в области (D) определена функция w = f(z), значениями
которой являются комплексные числа w.
Функция комплексной переменной не имеет такого ясного
геометрического образа, как функция вещественной переменной.
График функции вещественной переменной (кривая на плоскости)
служит наглядной иллюстрацией функциональной зависимости и
часто помогает изучению свойств функции. Для функций же
комплексной переменной геометрической интерпретацией является закон
отображения точек плоскости z в новое положение w = f(z)> или,
как говорят, закон отображения области изменения комплексной
переменной z в точки комплексной плоскости w.
Пусть z = x-{-ly'i тогда функцию w=f (г), можно записать в виде
w = u-\-iv, (1)
где u = u(xt у) и v = v(x, у)—две вещественные функции двух
вещественных переменных.
Пример 1. Пусть дана функция w = z2. Положим г = *+iy, тогда г2 =
= (x-\-iy)2 = x2—y2-\-2xyi. Таким образом, получаем запись:
w=(x2 — y2) + i-2xy,
где и = х2 — у2, v~2xy.
Пример 2. Пусть дана функция ш = 23. Полагая z = x-{-iy, получаем: г3=
= (*+iy)3 = х3 + ЗхЧу — Зху2 — г/3; к» = (*3 — Зху2) + i (Зх2у — у3), где и = х* — Зху2,
v = 3x2y — y3.
Пример 3. Пусть дана функция о> =—(г^О). Делая преобразования^
находим и и vi
,„,_ 1 Х — [У х • У
x + iy х2+у2 *2 + У2 *2+У2
__ х _ у
U~~x2+y2' V х2 + у2'
282

Пример 4. Пусть дана функция w = z. Тогда w = x—iy, то есть и = л:,
*> = — У-
Пример 5. Пусть дана функция до = |г|. Тогда w = ]/rx2+y2, то есть ы =
= Ух* + у2, у = 0.
Непрерывность функции комплексной переменной определяется
так же, как и для функции вещественной переменной. А именно:
функция w = f(z) непрерывна в точке z0, если она определена
в этой точке и в некоторой ее окрестности, если существует
конечный предел функции в точке z0 и справедливо равенство
Hm/(z)=f(z0). (2)
Z-*-ZQ
Нетрудно проверить, что для непрерывности функции w = f(z)
в точке z0 = x0-{-iy0 необходима и достаточна непрерывность обеих
вещественных функций и (х, у) и v (х, у) как функций двух пере-
мейных в точке (х0, у0)- Так, приведенные выше в примерах 1, 2,
4, 5 функции являются функциями, непрерывными на всей
комплексной плоскости, так как во всех указанных случаях функции
и (х, у) я v (х, у) непрерывны на всей плоскости XOY.
Пример 6. Рассмотрим функцию
f(z) = argz, 2=^0. (3)
Будем в дальнейшем считать, что аргумент комплексного числа z
на плоскости z изменяется в пределах от — л до я, причем
аргумент вещественного отрицательного числа считается равным я:
— Ji<argz^3i. (4)
Функция (3) определена на всей плоскости кроме точки z = 0,
так как аргумент числа нуль не определен. Поскольку значения
функции вещественные, то u = argz
и v = 0. Функция непрерывна на
всей комплексной плоскости, кроме
точек, расположенных на отрица- /
тельной части вещественной оси, в /
которых она имеет разрывы. Дейс- ^о0
твительно, пусть z принимает
вещественное отрицательное значение z0 =
= х0<0. Тогда в силу написанного
выше неравенства (4) имеем: / (zQ) =
= arg z0 = я. Пусть переменная точка
z приближается к z0 из верхней р»с. 96
полуплоскости (то есть z =x-{-iyy где
x->x0i z/>0 и у->0), тогда argz-^я. Пусть теперь z
приближается к той же точке z0 из нижней полуплоскости (то есть z =
= x + iy, где х-+х0, r/<0 и у-^0), тогда argz-> — я (рис. 96).
Таким образом, разные способы приближения z к z0 влияют
существенным образом на изменение функции /(z) = argz и функция
не имеет предела в точке z& Следовательно, функция разрывна
283

в точке z0. Так как в этом рассуждении z0 было любым
вещественным отрицательным числом, то доказана разрывность функции (3)
во всех точках отрицательной вещественной оси. Очевидно, что во
всех других точках плоскости г величина argz сохраняет
непрерывность.
§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Для функции комплексной переменной понятие производной
вводится так же, как и для функции вещественной переменной.
Определение. Пусть функция w = f (г) определена в точке г
и некоторой ее окрестности; конечный предел отношения
приращения функции в точке z к вызвавшему его приращению независимой
переменной при условии, что приращение независимой переменной
стремится к нулю, называется производной функции w = f(z)
в точке г:
г/ / \ 1» /(г + Дг) — f (z) /1ч
/ (г) = hm м д' ' . (1)
Az-О Аг
Функция, имеющая производную в точке г, называется
дифференцируемой в точке z.
Подчеркнем, что в определении производной требуется
существование предела (1) при «любом способе» стремления Аг к нулю.
Иными словами, если Дг пробегает любую последовательность
комплексных значений, сходящуюся к нулю, то отношение
f(z+Az) — f(z)
д—-^ должно стремиться к одному и тому же конечному
пределу.
Так как определение производной такое же, как и для
функции одной вещественной переменной, и так как все основные
утверждения теории пределов сохраняют силу и для комплексных
переменных, то можно утверждать, что для функций комплексной
переменной остаются справедливыми правила дифференцирования
суммы, произведения, частного, обратной функции и сложной
функции, доказанные в гл. V первого тома для вещественных
функций. Так же, как и для вещественных функций, доказывается, что
из дифференцируемости функции в некоторой точке вытекает ее
непрерывность в этой точке.
Однако оказывается, что среди непрерывных функций
комплексной переменной очень легко обнаружить функции, которые не имеют
производной ни в одной точке какой-либо области, или даже такие,
которые, будучи сами определены и непрерывны на всей
комплексной плоскости, не имеют производной ни в одной точке
комплексной плоскости.
Покажем, что, например, функция w = z (см. пример 4 из § 4)
не имеет производной ни в одной точке комплексной плоскости.
Действительно, пусть z — любое комплексное число. Придадим z
приращение Az = Ax + i&y и найдем соответствующее приращение
284

функции: Aw = [(х + А*) —~Цу + Ау)] — [х — щ\ = Ал: — iAy.
Рассмотрим отношение
Aw Ах — iAy
Az Ax + iAy
(2)
Пусть Дг стремится к нулю, принимая вещественные значения,
при этом, очевидно, Ay = 0, a Ax->0. Тогда правая часть
равенства (2) обращается в единицу и можно сказать, что при
указанном способе стремления Дг к нулю отношение -г- стремится к
единице. Пусть теперь Дг-*0, принимая чисто мнимые значения; тогда
Дя=^0, а Дг/->0. Правая часть равенства (2) обращается при этом
в —1, и поэтому можно сказать, что при выбранном способе
стремления Az к нулю отношение д- стремится к —1.
Таким образом, при условии, что Az стремится к нулю любым
способом (см. определение), не существует предела отношения
д-, то есть не существует производной у функции w = z ни при
одном значении г.
Можно привести сколько угодно примеров очень простых по
форме своего задания непрерывных функций, которые ни в одной
точке области существования не имеют производной. Легкость
построения такого рода примеров объясняется тем, что для функции
комплексной переменной требование существования в данной точке
предела, не зависящего от способа приближения независимой
переменной к этой точке, является очень тяжелым требованием, и,
грубо говоря, сравнительно мало непрерывных функций этому
требованию удовлетворяют. Действительно, на плоскости можно
представить себе гораздо большее разнообразие подходов к данной
точке плоскости, чем подходов к данной точке числовой оси по
этой оси. Поэтому требование одинакового поведения отношения
-д-, рассматриваемого как функцию от комплексной переменной Аг,
при всех возможных способах подхода к данной точке г, то есть
при всех возможных способах стремления комплексной переменной
Аг к нулю, является сильным требованием, налагаемым на
функцию w = f(z).
§ 6. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Можно было бы предположить, что функция комплексной
переменной f(z) = u + lv будет иметь производную, если потребовать,
например, существования частных производных у ее составляющих
и(х, у) и v(x, у). Однако, как показывает приведенный выше
пример, это не так. Для функции w = z ее составляющие и(х, у) = х
и v (х, у) = — у являются дифференцируемыми функциями двух
переменных и тем не менее функция z = u-\-iv не имеет
производной. Таким образом, для существования производной функции
285

комплексной переменной f(z) = u-\-iv недостаточно
дифференцируемое™ функций и(х, у) и v(x, у), а требуется наложить на
функции и (х, у) и v (х, у) еще некоторые дополнительные условия.
Теорема. Пусть функция f(z) = и (х, y) + iv(Xj у)
определена в открытой области (/>); для того чтобы в точке
z = x + iy этой области существовала производная
функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы функции и (х, у)
и v (л:, у) были дифференцируемы в этой точке как
функции двух вещественных переменных и чтобы в этой точке
выполнялись равенства
дх -~ ду И ду "~ дх (i}
равенства (1) обычно называются условиями Коши—Римана или
условиями Эйлера—Даламбера, так как все четыре математика их
рассматривали).
Доказательство, а) Дано, что в точке z = x-\-iy области
(D) функции и (х, у) и v (х, у) дифференцируемы и выполняются
условия Коши—Римана. Покажем, что этого достаточно для
существования производной f (z).
Как известно (см. определение 1 из § 4 гл. XV), функция
и(х, у) называется дифференцируемой в точке М (л;, у), если ее
полное приращение в этой точке может быть записано в виде
Д« = |Дх+|д*/ + аДх + рД*/, (2)
где а и р — величины, как правило, зависящие от Дл: и Дг/и
стремящиеся к нулю вместе с Дх и Ду, а частные производные
вычислены в точке М (х, у). Запишем по такой же формуле полное
приращение функции v (х, у):
A v = | Ах +1Д г/ + о^Д* + рх Ау. (3)
Приращение функции /(г), соответствующее приращению
независимой переменной Az = Ax + iAyf имеет вид: Af (z) = Au + iAv.
Поделим его на Az и преобразуем его, используя (1), (2) и (3):
А/ (г) Аи + iAv
Дг Дг
^Дх + ^- Ay + a&x + fiAyj + i (^Ax+^Ay + ^Ax+^Ayj
Ax+iAy
J (Ax+iAy) +g (iAx-Ay) + (a + faj Ax+ ф + фх) Ay
~~ Ax + tAr/
286

Покажем, что первые множители в третьем и четвертом слагаемых
А* I I А* I ^ 1
1 и также
ограничены. Действительно,
Аг/
А* + /Аг/
/(Д*)»+(402
^ 1
Адс + iAr/ | "^
Если Az->0 любым способом, то при этом обязательно Д#->0
и А*/-* О, то есть и третье, и четвертое слагаемое правой части
равенства (4) стремятся к нулю каждое как произведение
ограниченной переменной на бесконечно малую. Первые же два слагаемых
не зависят от Az и постоянны при Az-^О. Следовательно, каким
бы способом ни стремилось к нулю Az, правая часть равенства (4)
стремится к конечному пределу, равному числу тр + '^- Таким
образом, доказано, что существует конечный предел отношения д—
при Az -> 0, то есть доказано, что у функции / (z) существует
производная в рассмотренной точке z.
б) Дано, что в точке z = x + iy области (D) существует f (z).
Покажем, что из этого необходимо следует дифференцируемость
функций и (х, у) и v (х, у) и выполнение условий Коши—Римана
в этой точке.
По определению производной можно написать:
^ = П*) + 7, (5)
где 7~^0 при Az-^О. Величина у является комплексной
переменной, и ее можно записать в виде
Y = Vi + '?2. (6)
где Yi-^О и Т2-*0> когда Да: и Ау стремятся к нулю.
Производная f (z), вычисленная в точке z, является комплексным числОхМ,
которое можно записать в виде
Г(г) = а + 1Ь9 (7)
где а и Ь — вещественные числа. Найдем из (5) приращение
функции /(z) и перепишем его, используя (6) и (7):
А/ (г) = Аи + lAv = f (г) А г + yAz =
= (а + ib) {Ах + iAy) + (уг + 1у2) (Ах + 1Ау) =
= (а Ах — Ъ Ay + угАх — у2Ау) + / (Ь Ах + аАу + y2ujc + угАу). (8)
Приравнивая в равенстве (8) вещественные и мнимые части,
получаем:
Аи = а Ах —- b А у + YiA* — УгАу,
Av = bAx + aAy + y2Ax + y1Ay. * '
Равенства (9) означают, что функции и(х, у) и v(x, у)
дифференцируемы в точке М (х, у). Так как числовые коэффициенты при А*
287

и Ау совпадают с частными производными, вычисленными в точке М,
да 1 ди 1 ди dv ^
то имеем равенства: a = ir;, —^=л"» д~* a = W' Отсюда
следует, что условия (1) в точке М также выполняются.
Замечание. Переходя к пределу в равенстве (4), получаем
формулу
Г <#-%+•& (Ю)
Из условий (1) и формулы (10) вытекает еще одна формула для
с/ / \ dv . ди /л 1Ч
Следовательно, если уже известно, что производная существует,
то для ее вычисления можно пользоваться любой из формул (10)
или (11).
Теперь становится ясно, почему функция w ==z не имеет
производной ни в одной точке плоскости z: ни при одном значении г
не выполняются условия Коши—Римана, необходимые для
существования производной, так как §^=1, а ^ = — 1 при всяком г.
Функция комплексной переменной, имеющая производную во
всех точках некоторой открытой области (D), называется регулярной в
области (D). Доказанная теорема показывает, что очень просто
строить примеры непрерывных в некоторой области, но не регулярных
там функций комплексной переменной; достаточно записать
функцию в виде w = u + iv, где и(х9 у) и v(x, у) — функции
непрерывные, но не удовлетворяющие условиям Коши—Римана. Например,
функции w = 4xy + iy, w = 2]/rx-y2 — 3x3 и т. д. не регулярны ни
в какой области на комплексной плоскости.
Вопросы для самопроверки и упражнения
Где существует производная функций из примеров 1—4?
1. w — (х + 2у) + i (у — 2х). Отв. На всей плоскости.
2. w = (3x—у) — 2yi. Отв. Нигде.
3. w — (x — 2x2 + 2y2)-\-i (у — 4ху). Отв. На всей плоскости.
4. w = {3x2y + 8) + ixy*. Отв. В точке (0, 0).
Какие функции из примеров 5—8 регулярны в некоторой области и какие
нет?
5. ад==3*]/~г/ + п/2.
6. ад = sin * • cos # + 3/ igy.
7. - w = 2x sin у + ix2 cos y.
8. w = Yxy + ixy.
9. Придумайте три примера нерегулярных функций и три примера функций,
регулярных на всей комплексной плоскости.

ГЛАВА XXIV.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИЙ
Целые рациональные функции, или, иначе говоря, многочлены,
Рп (г) = с0 + с±г +. .. + cnzn, (1)
гдеп= 1, 2, 3,..., а коэффициенты с0, cl9..., cn могут быть любыми
комплексными числами, определены на всей комплексной плоскости г,
так как действия сложения и умножения, указанные в правой части
формулы (1), всегда выполнимы. Многочлен Pn(z) является
функцией; непрерывной на всей комплексной плоскости. Действительно,
используя основные теоремы о действиях с пределами, получаем,
что для всякого комплексного значения z0 справедливо равенство
(2) из § 4 гл. XXIII. Многочлен Pn(z) регулярен на всей
комплексной плоскости, так как можно дифференцировать правую часть
формулы (1) по обычным правилам дифференцирования.
Дробно-рациональными функциями (так же как и в
вещественной области) называются функции вида
ft?\_ c0+c1z + ...+cnzn 9.
П)~\ + Ь1г + ... + Ьтг"» W
где п и т могут принимать любые натуральные значения и
коэффициенты ck и bk комплексные. Будем предполагать, что дробь (2)
несократима, то есть что числитель и знаменатель не обращаются
в нуль в одной и той же точке. Тогда можно сказать, что функция
f(z) определена на всей комплексной плоскости, кроме тех точек,
в которых знаменатель дроби обращается в нуль, и непрерывна
всюду, где она определена. Функция (2) также и регулярна всюду,
где она существует, так как дробь (2) можно дифференцировать
по обычным правилам.
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
В школьном курсе алгебры не определяется действие
возведения числа в комплексную степень. Поэтому требуется прежде всего
определить, как понимать аналог вещественной показательной
функции в комплексной области.
289

Определение 1. Сумма степенного ряда
l + z+*r+... + if + ... (1)
называется показательной функцией комплексной
переменной z и обозначается expz (exp —начало латинского слова «ехро-
пеге» — показывать; название функции читается «экспонента г».
Удобство введения такого обозначения вместо обычного обозначения &
будет объяснено в § 8).
Так как степенной ряд (1) абсолютно сходится при любом г
(это проверяется так же, как и для вещественных степенных рядов
применением признака абсолютной сходимости Даламбера), то
показательная функция комплексной переменной определена формулой
со
expz==2S (2)
/2=0
на всей комплексной плоскости.
Если комплексная переменная z будет, в частности, принимать
только вещественные значения, то ряд (2) обратится в
вещественный степенной ряд
у2 уП
1+*+гг + ...+ д- + ... (3)
В § 3 гл. XXII было доказано, что вещественная
показательная функция ех, определенная на всей вещественной оси,
разлагается на всей оси в ряд (3). Итак, равенство
**= 2 $ w
п = 0
доказывалось для любого вещественного х. Следовательно, когда
независимая переменная z принимает вещественные значения,
комплексная показательная функция expz, определенная формулой (2)
как сумма степенного ряда, совпадает в силу равенства (4) с
вещественной показательной функцией, известной из курса элементарной
алгебры: ехр* = е* при вещественных х.
Определение 2. Сумма степенного ряда
называется синусом комплексной переменной г.
Определение 3. Сумма степенного ряда
называется косинусом комплексной переменной z.
Так как ряды (5) и (6) тоже абсолютно сходятся на всей
комплексной плоскости, то функции sinz и cosz определены на всей
290

комплексной плоскости. Итак, по определению
оо оо
/1=0 /2=0
В гл. XXII, § 3 было доказано, что вещественные
тригонометрические функции sin л: и cos л; разлагаются на всей числовой оси
в степенные ряды:
(2/i + Di И С08Л:= 2 (2^' (8)
/г = 0 /г = 0
Следовательно, если комплексная переменная z будет принимать
только вещественные значения z=x, то правые части формул (7)
совпадут с правыми частями формул (8). Поэтому введенные в этом
параграфе функции комплексной переменной sin z и cos г при
вещественном z совпадают с вещественными тригонометрическими
функциями sin а: и cos а:. Обе функции sin г и cos г связаны с
показательной функцией формулами, которые называются формулами
Эйлера. Для вывода этих формул заменим в формуле (2) г на iz
и выделим в ряде отдельно все слагаемые, содержащие множитель i,
и отдельно — не содержащие множителя i, причем будем учитывать,
что ?= —1, ;3=— i, i4 = l, ib = i и т. д.:
exp/f2) = 1 . ii+(i?^+Ml+(i?li+ffi
exp^z; —1 + ^+ 21 + 3J + 41 + 5J
5! '
Сравнивая полученный результат с формулами (7), получаем
первую из формул Эйлера:
exp (iz) = cos z + i sin z. (9)
Вторая формула
exp (— fe) = cos iz — i sin z (10)
получается тем же способом, что и первая, при замене z на — iz
в формуле (2). Находя sinz и cosz из формул (9) и (10), получим
другой вид тех же формул Эйлера:
exp (iz) + exp (— iz)
cosz =
(11)
sinza=exp(te)-exp(-to)
2t
Таким образом, показательная функция и тригонометрические
функции в комплексной области тесно связаны друг с другом.
Упражнения
1. Докажите, что ряды (1), (5) и (6) абсолютно сходятся на всей комплексной
плоскости (примените признак абсолютной сходимости Даламбера).
2. Докажите, исходя из определения sinz и cos 2, что sin (—г) = — sin г и
cos (— г) = cos г.
3. Докажите то же свойство функций sin 2 и cos г, исходя из формул
Эйлера (11).
291

§ 3. СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
Показательная функция на комплексной плоскости обладает
целым рядом свойств, аналогичных тем, которыми обладает
вещественная показательная функция на числовой оси, но имеет также
и новые свойства. Рассмотрим основные свойства показательной
функции комплексной переменной.
1. Для всяких двух значений zx и z2 независимой
переменной z справедливо равенство
ехр гг • exp z2 = exp (?i + ?2). (1)
Это свойство хорошо известно, когда zx и z2 вещественные. При
доказательстве равенства (1) для комплексных zx и z2 следует
исходить из определения 1 в § 2:
expz1.expz2 = (l+Zi + §- + •••) ¦ (l+*2 + ^-+ ••¦) =
-l + (Zi + z2) + (^ + z^z2 + zf)+...=
= l+(21 + 2t) + i^j^4^^ + ... = exp(z1 + 2i).
Так как ряды абсолютно сходятся, то по известному свойству
абсолютно сходящихся рядов их можно перемножать по правилу
перемножения многочленов и группировать полученные при
перемножении члены произвольным способом (см. гл. XX, § 5, теорема 4),
в частности так, как это сделано выше.
Из (1) вытекает, что ехр (—z) = ex izy expzx: expz2 = exp (zx—
— z2). Действительно, полагая в равенстве (1) z2 =—гъ получаем:
ехр zx • ехр (—zx) = ехр [zx + (—Zi)] = ехр 0 = е° = 1, откуда ехр (—z^ =
= . , . Теперь уже можно написать: ехр zx: ехр z2 = ехр zx x
х ехр (г2) = ехР Zl' ехр (~ z*>= exP (Zl ~ ^
2. Показательная функция регулярна на всей
комплексной плоскости.
Отделим вещественную и мнимую части у expz. Для этого
положим: z = x + iy. Тогда по первому свойству имеем:
ехр z = ехр (а: + iy) = ех ехр (iy). (2)
Из формулы (9) § 2 получаем:
ехр (iy) = cos у + i sin у, (3)
где cosy и sint/ — вещественные тригонометрические функции
вещественной переменной у. Подставляя полученное выражение для
ехр (iy) в равенство (2), получаем:
ехр z = ex (cosy-\-i sin у). (4)
Таким образом, получена запись показательной функции в виде
u + iv, где и и v — вещественные функции двух вещественных пере-
292

менных:
и(х> у) = ехcosy, v(x, у) = ех smy. (5)
Теперь проверим выполнение условий Коши — Римана.
Найдем частные производные этих функций по х и по у:
ди у ди r . dv у. . dv Y
_=e4os//, ^-=—exsmy, -^ = exsmy9 ^=excosy.
Они, действительно, удовлетворяют на всей плоскости условиям
Коши — Римана (см. (1) из § 6 гл. XXIII). Следовательно, функция
ехр г регулярна на всей комплексной плоскости.
Для нахождения производной от функции w = expz можно
воспользоваться, например, формулой (10) из § 6 гл. XXIII:
(ехр г)' = -=т- + i g- = ех cos у -j- ie* sin у = е* (cos у + i sin у) = ехр z.
Итак, правило дифференцирования показательной функции
комплексной переменной совпадает с правилом дифференцирования
вещественной показательной функции: (ехр z)' = ехр z.
3. Показательная функция нигде на комплексной
плоскости не принимает значения, равного нулю.
Из (4) следует, что | ехр г \=е*\ cos y-\-i siny\=ex\rcos2 y+sm2y=
= ev, а, как известно., значения вещественной показательной
функции ех всегда строго положительны при любом х. Следовательно,
[ехр 2 1=7^=0 и ехр г Ф0.
4. Если 2 = je + /y->oo таким образом, что лг-^ + °°> то
ехр г->оо; если же z=x + iy->c& так, что х-> — оо, то
ехр г -> 0.
Это следует из приведенной выше формулы |expz| = e*.
5. Показательная функция периодическая и ее периодом
является чисто мнимое число 2ш.
Действительно, в силу первого свойства получаем, используя
формулу Эйлера (9) из § 2:
ехр (г + 2л/) = ехр г • ехр 2т = ехр z • (cos 2я +1 sin 2зх) = ехр г.
Это свойство новое по сравнению с известными свойствами
вещественной показательной функции.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Всегда ли существует предел ехр г при неограниченном удалении от начала
координат по различным лучам, исходящим из начала координат?
Указание. Проведите исследование, исходя из формулы (4).
2. Запишите комплексные числа exp(2+2i), ехр (—3 + 30, ехр (1 —i), ехр i,
ехр (—i), ехр (— 1 — i) по формуле (4), то есть в тригонометрической форме.
§ 4. СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Изучим основные свойства тригонометрических функций sin г и
cosz в комплексной области.
1. Функции sin г и cosz регулярны на всей комплексной
плоскости.
293

Действительно, существование производных от sin г и cos г
следует из формул Эйлера (11) из § 2. Найдем эти производные:
(COS z)' = [^PW + expfr-fe)]7 = i[exp(fc)-exp(—fe)] = _ gin ^
(cin z)' =[ехр ('z)"" ехр (~ гг)]/ =' [ехр (/2?)+ехр (~~ *г)] = cos с.
Таким образом, производные тригонометрических функций в
комплексной области находятся по тем же правилам, что и
производные вещественных тригонометрических функций.
2. Для функций sinz и cos 2 сохраняют силу основные
формулы тригонометрии.
Проверим справедливость основного тождества sin2 z + cos2 z=l.
Для этого возведем в квадрат правые части формул Эйлера и
сложим их:
Гехр (iz) — ехр (— гг)р Г ехр (iz) + exp (— jz)12 ехр (2гг) —2-fexp (— 2iz)
L 21 J +[ 2 J "" -4 +
. ехр(2гг) + 2 + ехр(— 2iz) _ 1 . 1 .
+ 4 — 2~т~ 2~~1'
Проверим, что справедливы формулы
sin (zx ± z2) = sin zx • cos z2 ± sin z2 • cos zlt ,<,
cos (zx db z2) = cos z± • cos г2 qp sin zx • sin z2. "'
Для этого преобразуем следующие выражения:
cos (z1 ± z2) + i sin (zx ± z2) = exp (Zj ±: z2) = exp zx • exp (± z2) =
= (cos zx + i_sin гх) (cos z2± i sin z2);
cos (zx ± z2) — i sin (zx ± z2) = exp [— (zx ±: z2)] =exp (—Zj) • exp (=pz2) =
= (со8 2д—/ sinzx) (cosz2=pr sinz2).
Складывая почленно левые части и крайние правые части этих
формул, получаем первую из формул (1), а вычитая — вторую из
формул (1).
Отсюда уже можно вывести многие другие формулы
тригонометрии.
3. Функции sin z и cos z периодические и их период
равен 2я.
Полагая в (1) z2 = 2n, действительно получаем:
sin (z + 2я) = sin z cos 2л; + sin 2n cos z = sin z,
cos (z + 2я) = cos z cos 2n — sin z sin 2л; = cos z,
так как (см. § 2) функции sinz и cosz совпадают при
вещественных z с вещественными тригонометрическими функциями и тогда
cos 2л; =1 и sin 2л = 0.
4. Функция sinz обращается в нуль только при
вещественных значениях г, равных kn, где й=0, ±1, ±2, ...;
функция cosz обращается в 0 только при вещественных
значениях z, равных —?— п, где ft = 0, ±1, ±2, ....
294

Проверим это утверждение, например, для sin z. Найдем корни
уравнения sinz = 0. Используя формулу Эйлера, перепишем
уравнение в виде
exp (iz) — ехр (— iz) = О,
откуда получаем: exp(2t"z) = l. Положим z — x-\-iy, тогда уравнение
принимает вид:
e~2Vexp (2ix) = l, или e~2V (cos2a; + * sin 2%) = 1.
Левую часть можно рассматривать как тригонометрическую форму
записи комплексного числа единица. Тогда г~^ = |1| = 1, откуда
у=0 и 2* = Arg l=2kn, где k = Q, ±1, ±2, ..., откуда x = kn.
Подставляя найденные х и у в выражение г, получаем, что корни
sin z вещественные и такие же, как у синуса вещественного
аргумента.
Корни cos z находятся аналогичным путем.
5. Функции sin г и cos z могут принимать значения, сколь
угодно большие по модулю.
Мы не только проверим это свойство, но и выясним, при каком
условии функции sin z и cos z неограниченно возрастают по модулю.
Найдем вещественную и мнимую составляющие комплексного
выражения sin г. Для этого положим z = x-\-iy и воспользуемся
одной из формул (1):
sin z = sin (x + iy) = sin x cos iy + sin iy cos x:
По формулам Эйлера можно написать:
rnQ ,, ехр [/ (iy)] + exp [—i(iy)] _е~У + еУ
сиь iy — 2 — о »
„.„ , „ _ exp [i (iy)]-exp [-i (iy)] _ 1 е-У-еУ __.еР-егУ
smiy- 2. - . • 2 —i g •
Сравнивая эти равенства с формулами из § 11 гл. IV первого
тома, получаем формулы, связывающие вещественные
гиперболические функции с тригонометрическими функциями чисто мнимого
аргумента:
cos iy = ch у f
sin iy = i shy. (2)
Используя эти соотношения, можно написать sinz в виде
sin z = sin xchy + ishy cos x,
что и дает запись sinz с выделенной вещественной и мнимой
частью. Таким образом,
u = sinxchy и a = sh#cos;t. (3)
Докажем, что модуль sinz может быть записан в следующем виде:
| sin г | = V^sin2 л: + sh2 г/. (4)
295

Действительно, используя (3) и формулу ch2r/ -sh2y= 1 (см. § 11
гл. IV первого тома), получаем:
| sin г | = yra2 + u2 = l/"sin2x-ch2f/ + sh2r/cos2A: =
= Ksin2 x (1 + sh2 у) + sh2 у cos2 х = ]/~sin2 x-\-sh2y (sin2 x + cos2 я) =
= ]/Asin2A: + sh2i/.
Для функции cos z аналогичным приемом можно получить
выражение cosz = cos.x:chу — i sinxshy, откуда
wcosxchy и v=—sinxshr/. (5)
Модуль cos z может быть записан в виде
| cos г | = Vcos2x + sh2y. (6)
Так как известно, что sh2y->*oo при у->оо (см. § 11 гл. IV
первого тома), то, действительно, из формул (4) и (6) видно, что
значения sin г и cos z могут быть по модулю сколь угодно
большими, если у достаточно велико по абсолютной величине.
Доказанное свойство sin г и cose не противоречит тождеству
sin2z + cos2z=l, справедливость которого была проверена выше.
Так как значения sine и cosz комплексные, то sin2 г и cos2 г —
тоже комплексные числа, а сумма квадратов двух комплексных
чисел может быть равна единице, даже если эти числа большие
по модулю. Например, при z = i имеем по формуле Эйлера:
. . е'1 — е 1-е2 . е'1 + е \+е2 . 9. , «.
sin, = __==__) COs* = -g—= -— sin2; + cos2; =
(1-е2)2 , (1+е2)2 . , . ., е2 —Г - ._ -
= Чг&г + \J =1; |sini| = -2r->l> cos г Ж
Функция ay = tgz определяется по следующей формуле:
*«г==?П» z^-^n(k = 0, ±1, ±2,...).
На всей комплексной плоскости, за исключением указанных точек,
в которых знаменатель дроби обращается в нуль, функция w = igz
регулярна как частное от деления двух регулярных функций. Для
tgz можно получить выражение через показательную функцию,
используя формулы Эйлера:
tg^^^PH —exP(— iz) ? = J_ exp(2/z)-l -
ё 2/ * ехр(?г)+ехр(— iz) i ' exp (2iz) +1 * ^'
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Найдите нули cosz.
2. Проверьте выполнение условий Коши—Римана для sin г и cos г2
воспользовавшись формулами (3) и (5).
296

3. Найдите действительные и мнимые части следующих комплексных чисел:
sin/, cos у, tg?, tg(l + i), sin(—l+i). cos(—1 —i), cos (— 3+2i), tg (— 1 + 0-
4. Найдите выражение для ctgz через показательную функцию.
5. Вычислите еще какие-нибудь значения sin z и cos г, по модулю большие
единицы, кроме sin i и cos i, приведенных в тексте.
6. Можно ли доказать периодичность sin ги cos z не так, как это было сделано
в тексте?
7. Найдите формулы для (tgг)' и (ctgz)'.
§ 5. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Гиперболические функции комплексной переменной определяются
как суммы степенных рядов.
Определение. Сумма степенного ряда
называется гиперболическим синусом и обозначается sh г; сумма
степенного ряда
ХТ"2! ^4! I ••' I (2л)! ^,"
называется гиперболическим косинусом и обозначается ch z.
Оба ряда абсолютно сходятся на всей комплексной плоскости,
и, следовательно, формулы
00 ОО
w+wH сЬг= 1т (1)
/г = 0 п=0
определяют гиперболические синус и косинус на всей комплексной
плоскости.
1. Функции shz и chz связаны с показательной функцией
следующими формулами:
chz = ехрг + ехр(-г)| shz = ехрг-ехр(-г)> (2)
Эти формулы получаются непосредственно сравнением ряда (2) из
§ 2 с рядами (1). Если в формулах (2) z вещественное, z = x, то
в силу формул § 11 гл. IV первого тома получаем, что
комплексные функции shz и chz, определенные равенствами (1), совпадают
при вещественных z с известными вещественными функциями shx
и chx*
2. Функции shz и chz связаны с функциями sin г и cos г
следующими формулами:
chz = cosiz, shz = — i sin iz. (3)
297

Действительно, используя формулы (2) и формулы Эйлера,
получаем:
ch г == ехр2 + ехр(— г) = ехр [— i (/г)] + ехр [— i (iz)] = cQs fe>
ь ехр г^ ехр (—.г) __ ехр [— i (iz)] - ехр [i (iz)} __
ьп z — g — § ~~
= _ iSEElLMi^EPbiM] = -/sin/г.
3. Функции shz и chz регулярны на всей комплексной
плоскости.
Это свойство вытекает из равенств (2) и регулярности
показательной функции.
Производные гиперболических функций вычисляются по
следующим формулам:
(sh z)' = ch z\ (ch z)' = sh z.
Эти формулы получаются дифференцированием равенств (2).
(Формула для дифференцирования ch z отличается знаком от формулы
для дифференцирования cosz.)
4. Для функций shz и chz можно вывести все формулы,
аналогичные основным формулам тригонометрии.
Они носят название формул гиперболической тригонометрии.
Часть из них точно совпадает с соответственными
тригонометрическими формулами, а в части есть отличие в знаках. Например,
основное тождество для гиперболических функций имеет вид:
ch2 z—sh2z=l.
Его легко получить из равенств (2). Все формуле гиперболической
тригонометрии можно вывести из равенств (2) или (3) (см. § 11
гл. IV первого тома).
Можно определить и гиперболические тангенс и котангенс
обычным способом через гиперболические синус и косинус:
th z = ^г—, cth z = %-. (4)
ch z' sh 2 v '
Используя формулы (З), получаем следующие выражения для th z
и cth z через показательную функцию:
ехрг-ехр(-г) (5
ехр z-j-exp (—г)' v '
exp^+expj-г)
ехр г — ехр (—2) v '
Ясно, что th z не определен при значениях z, совпадающих с
нулями chz, a cthz — при значениях z, совпадающих с нулями sh z.
298

Упражнения
1. Найдите нули функции w — shz. Отв. z — itni.
2. Найдите нули функции w = ch z. Отв. z = ^ + я m.
3. Найдите формулы для (th г)' и (cth z)' и сравните результат с правилом
дифференцирования tgz и ctgz.
§ 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
В области комплексных чисел логарифмическую функцию можно
определить тем же способом, что и в области вещественных чисел,
а именно как функцию, обратную показательной функции.
Пусть имеем показательную функцию комплексной переменной:
до = ехрг. (1)
Будем считать переменную до независимой переменной, то есть
будем сами произвольно придавать комплексные значения (отличные
от нуля; см. третье свойство показательной функций) переменной до
и по формуле (1) будем определять, какие значения z им
соответствуют. Эти значения z, соответствующие взятым значениям до,
будем называть логарифмами взятых комплексных чисел до, Таким
образом, z будет функцией от до, обратной функции (1).
Сформулируем следующее определение.
Определение. Логарифмом комплексного числа w-Ф О
называется каждое комплексное число г, удовлетворяющее условию
exp z = до.
Ниже мы увидим, что это равенство имеет смысл для всех до ФО.
Для обозначения логарифма комплексного числа часто используется
следующая запись:
2 = ЬПДО.
Переходя к обычным обозначениям независимой переменной и
функции, запишем логарифмическую функцию в виде
w = Lnz. (2)
Как уже было указано, функция (2) определена для всех zфO.
Выведем формулу, nt> которой можно было бы вычислить
Логарифм комплексного числа z, зная модуль и аргумент числа г.
Для этого положим
w = u + iv, (3)
z = \z\ (cosq) + /sin(p), (4)
где cp = arg? и —жСф^я. Равенство (2) по определению
логарифма равносильно равенству ехрдо = г. Подставляя сюда
выражения (3) и (4) для г и до, получаем: exp (u + iv) = \z\(cos(p + isinq)).
Переписывая левую часть по формуле (4) из § 3, находим:
еп (cos v + i sin v) = | z | (cos ф + i sin ф).
299

Из равенства двух комплексных выражений следует, что модули
этих комплексных выражений равны, а аргументы могут отличаться
разве лишь на слагаемое вида 2kn, где & = 0, ±1, ±2, —
Следовательно, получаем: eu=*\z\, откуда u = \n\z\ (здесь мы пришли
к обычному натуральному логарифму положительного числа)
и v = y-\-2kn. Подставляя найденные выражения для и и v в (3),
получаем формулу для логарифма г\
Ьпг = 1п | z | + кр + 2Аш, (5)
где — я<ф<яи^ = 0,±1, ±2, .... Из этой формулы видно, что
логарифмическая функция многозначна. Кроме того, из вывода
следует, что любое комплексное число гфО является одним из значений
показательной функции и потому Lnz определен для всех гфО.
Логарифм числа 0 не имеет смысла, что согласуется с формулой (5).
Итак, в области комплексных чисел действие нахождения
логарифма числа неоднозначно: каждое отличное от нуля комплексное
число имеет бесконечное множество логарифмов, отличающихся друг
от друга мнимым слагаемым вида 2kni, где k = ±l, ±2, ...
Если в формуле (5) положить k = 0, то получим однозначную
функцию, которая называется главным значением логарифмической
функции (2) или ее нулевой ветвью. Она обозначается обычно
знаком «In», написанным с маленькой буквы (однако не следует путать
этот логарифм с обычным натуральным логарифмом вещественного
положительного числа), или же символом (Ln z)0. Итак, формула
для главного значения логарифма имеет вид:
lnz = ln|z| + /<p. (6)
Эта функция определена и однозначна на всей комплексной
плоскости. Исследуя ее на непрерывность, убеждаемся в том, что
она имеет разрывы во всех точках вещественной оси ОХ при #<;0.
Действительно, как было выяснено ранее (см. гл. XXIII, § 4,
пример 6), величина (p = argz, рассматриваемая как функция от г, имеет
разрывы при всех вещественных отрицательных значениях г.
Если z отлично от нуля и от вещественных отрицательных
чисел, то функция (6) имеет производную, которая находится по
правилу дифференцирования вещественной логарифмической функции:
(1пг)'=|. (7)
Действительно, так как логарифмическая функция в
комплексной области определяется как функция, обратная показательной
функции (так же как и для вещественной переменной), и так как
в комплексной области справедливо правило дифференцирования
обратной функции, то, используя его и правило дифференцирования
ехрг, получаем: (lnz)' = ^^_ = _L_ = 1.
Таким образом, функция In z регулярна в области, которая
получится, если из комплексной плоскости удалить все точки, лежа-
300

щие на отрицательной части вещественной оси, включая начало
координат. Такая область часто называется плоскостью с разрезом
вдоль отрицательной части вещественной оси.
Если в формуле (5) положить А=1, то опять получим
однозначную непрерывную всюду, за исключением отрицательной части
вещественной оси, функцию, которая называется первой ветвью
многозначной функции (5):
(Ln z)x = In | z | + *Ф + 2m.
Аналогично получаем определение ветви с любым натуральным
индексом k. Если полагать в формуле (5) k = —1, — 2, —3, ... ,
то будем получать однозначные функции, которые также называются
ветвями многозначной функции (5), но имеют целые отрицательные
индексы:
(Ln z)_! = ln | z | + /<р — 2ш, (Ln z)_2 = In | z | + щ — 4ш
и т. д. Все ветви имеют разрывы в каждой точке отрицательной
части вещественной оси и непрерывны, если их рассматривать на
плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси.
Для каждой ветви имеем формулу, аналогичную формуле (7):
(Lnz)& = у, так как любая ветвь логарифма отличается от нулевой
ветви только постоянным слагаемым. Таким образом, каждая ветвь
регулярна на плоскости с разрезом.
Для нахождения логарифма комплексного числа по формуле (5)
надо знать его модуль и аргумент. Так, например,
Ln(l+/) = ln]/"2~ + /.-J+ 2Ш~ In 2 + ^(86+1),
так как |1 + ^| = У2 и arg(l + /)=-?-;
ln(l + 0=4"ln2+T'' Ьп/ = 1п1 + /-у + 2Аш=у(4А+1),
ln/=y. В последнем случае все значения логарифма чисто
мнимые.
Если z — вещественное положительное, то главное значение
логарифма совпадает с известным вещественным натуральным
логарифмом. Действительно, если z = x>>0, то Ln z = lnx + i-0 + 2kni
и \nz = \nx.
Если z—вещественное отрицательное число: z = x<.0, то Lnz =
= ln\x\ + m + 2km = \n\x\ + ni(2k+l) и lnz = ln|*| + *u-
Например, Ln(—3) = 1пЗ + ш + 2?ш' = 1пЗ + ш(2?+1), ln(—3) = 1пЗ + л/.
Ln(— \) = ni-\-2kni, ln(—1) = ш.
Таким образом, вещественные отрицательные числа имеют
комплексные логарифмы. Оставаясь в области вещественных чисел,
логарифм вещественного отрицательного числа определить нельзя.
Для многозначного логарифма комплексного числа сохраняются
известные для вещественных логарифмов правила логарифмирова-
301

ния произведения и частного. Действительно, положим argz + 2fou=
= Argz; тогда многозначная функция (5) запишется в виде Ln z=
= In | z | + iArg z. Пользуясь известными для вещественных чисел
правилами логарифмирования и свойствами аргумента
произведения и частного, получаем для любых zx и z2, отличных от нуля:
Ln fo • г2) = 1п | zx • z21+/Arg (z!-z2) = 1п|г1Ц-1п|г2|+/ (Arg Z!+Argz2)=
= Ln zx + Ln z2 (8)
Ln^=ln
^| + iArg^=ln|21|-ln|z2| + /(Arg2i-Arg21)s
= Lnz1 — Lnz2. (9)
Формулы (8) и (9) содержат многозначные функции и в левых, и
в правых частях. Поэтому равенства (8) и (9) следует понимать не
в обычном смысле, а лишь в том смысле, что множество
комплексных чисел, являющихся значениями многозначной функции,
стоящей в левой части равенства, при заданных zx и z2 совпадает
с множеством комплексных чисел, являющихся значениями
многозначной функции, стоящей в правой части равенства, при тех же
гг и z2.
Упражнения
Найдите логарифмы следующих комплексных чисел: — i, — 1 + *\ — 3 — 3?, — 5,
8, l-iY3, —3 + i]/3:
§ 7. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Действие возведения комплексного числа в комплексную
степень не было до сих пор определено. Это определение естественно
дать следующим образом. Известно, Что для всякого
положительного числа а и любого вещественного числа Ь справедливо
соотношение
Таким образом, действие возведения положительного числа а в
вещественную степень Ъ может рассматриваться как результат
действий, указанных в правой части равенства (1). Если в правой
части (1) в качестве а и b взять комплексные числа, то
показатель степени будет иметь смысл для всякого комплексного афО.
При этом логарифм надо будет понимать как логарифм
комплексного числа, и, следовательно, он будет многозначным.
Показательная функция вида exp z также уже была определена ранее.
Поэтому правая часть равенства (1) будет иметь смысл для всяких
комплексных чисел а и b с единственным условием: афО.
Естественно поэтому считать, что результат действий, указанных в
правой части (1), над комплексными числами b и афО определяет
действие возведения комплексного числа а в степень с
комплексным показателем Ь.
302

Определение. Если афО—комплексное число и Ь — любое
комплексное число, то
ab = exp(bLna). (2)
Как следует из этого определения, действие возведения
комплексного числа в комплексную степень, вообще говоря,
многозначно.
Приведем несколько примеров, в которых используется
правило (2), формула (5) из § 6 и формулы Эйлера:
1) 2/ = exp(/Ln2) = exp[/(ln2 + ^0 + 2^яO]==exp(Пn2)б-2fe,l =
= e~2k* (cos In 2 + i sin In 2);
46-fl n
2) Г = ехр (/Ln/) = exp J f Пп 1 + ^у + 2Ы \ = e 2 ;
3) (l-0243l = exp[(2 + 30Ln(l-i)3==
= exp [(2 + 30 (in 1/2 — i -J + 2fat/)l =
= exp [(2 + 3t) (in j/3 +§^zim)] =
1п2 -.— я
= e * exp
24k — Зя
[г(з1п]/2+8-Уя)] =
= 2e~ """^ [cos (З In 1/2 + ^^ я) + / sin (з In 1/2 + ^^ я)];
4) (—3)2i = exp [2i Ln (—3)] = exp [2i (In 3 + л • / + 2?ш)] = exp {2/ x
X[ln3 + (2A+l)m]} = exp(/21n3).^(4ft+2)7: = e-^^2):r(cos21n3 +
+ tsin21n3).
Определив действие возведения комплексного числа в
комплексную степень, можно рассмотреть степенную функцию комплексной
переменной, то есть функцию z*.
В силу определения, данного в начале параграфа, степенная
функция—это функция вида
z* = exp(aLnz). (3)
Она определена для всякого комплексного г#0 и любого
комплексного а. Как следует из определения (3), степенная функция,
вообще говоря, многозначная в силу многозначности Lnz.
Каждому значению независимой переменной z, как правило,
соответствует счетное множество значений степени za. Если в правой
части (3) брать определенную ветвь Ln z, то будем получать
соответствующую ветвь степенной функции
(z% = exp [a (Ln z)k] (6 = 0, ± 1, ± 2, ...). (4)
В частности, если взять главное значение логарифма (? = 0), то
получим главное значение степени za:
(za)0 = exp(alnz). (5)
303

Так, используя вычисления из приведенных выше примеров,
можно записать:
(2% = cosln2 + isinln2,
(il)0 = e 2 (вещественное число!),
я
[(1 ~ 1Г% = 2/'т [cos (З In V2 -f) + i sin (з In 1^2 - Щ =
з - - _
= 2e 4 (sin31n]/2— t cos3 ln]/~2),
[(—3)2<] = <r2" (cos 2 In 3 +1 sin 2 In 3).
Отдельные ветви степенной функции, то есть однозначные
функции (4), являются регулярными функциями на плоскости с
разрезом вдоль отрицательной части вещественной оси, так как их можно
там дифференцировать по обычному правилу. Например, при
дифференцировании однозначной функции (5) получаем, используя
правило дифференцирования сложной функции, показательной
функции и формулу (7) из § 6: (z°% = exp (a In z) • а--- = а (za~2)0.
Общее определение степенной функции указывает на то, что эта
функция бесконечнозначна. Однако некоторые частные виды
степенной функции являются функциями однозначными или же
многозначными, но не бесконечнозначными, как следовало бы из (3).
Например, известно, что функция w = zn = z-z- ... -г, где п натуральное,
п
однозначна, так как она получается из независимой переменной z
I _
с помощью однозначного действия умножения. Функция w = zn =yz
многозначна, но известно, что каждому значению z^O отвечает
ровно п различных значений корня, а не бесконечное множество
различных значений. Выясним, как эти известные факты получаются
из общего определения (3).
а) Пусть а = п. Исходя из определения (3), получаем:
z" = exp (ftLnz) = exp [n(ln z + 2fou)] = exp (nlnz)-exp (2knni) =
=exp (nlnz) (cos2knn-{-ism2knri) = exp (nlnz)(l +i -0) = exp (n\nz).
Полученное выражение не содержит k и, следовательно, функция
w = zn = exp (n Ln z) однозначна.
б) Пусть а=—. В силу определения (3) получаем:
zn= exp {—¦ Ln z\ = exp — (ln | z \ + щ + 2km) =
~m|z! /ф + 2/ея Д nr—- / ф + 2&я . . . cp + 2fcrt\ /1fi4
= en 'exP(^—l) = Y\*\ '\cos^— + tsm^—)• (16)
Из последнего выражения видно, что при изменении k от 0 до
п—\ будем получать разные числа в скобках. При дальнейшем из-
304

менении k от п до +оо числа, получающиеся в скобках, будут
повторяться в силу периодичности синуса и косинуса. Например,
при k = n получим:
cos2±^ + /sin2±^l=cos(f + 2n) + /sin(f + 2я) =
= cos — +/sin —,
п ' /г '
то есть пришли к тому же числу, которое уже было получено при
k = 0. Так же значение суммы в скобках при k = n~{-l совпадает
с тем значением, которое было бы при k=l, и т. д. Если k = — 1,
то получим:
COs?^2n + fsin?^5=:COs(i=^+2nU^mf2=^ + 2^ =
/г ' п \ п ' J ' \ п ' у
^cos(p+2("-1)JI + /sin(p+2("-1)jt,
п ' /г '
то есть то же число, которое уже было при k = n—1; при k = —2
получим то же число, которое уже было при k = n — 2, и т. д.
Итак, формула (6) дает для каждого гфО ровно п различных
значений функции, которые получаются, например, при 6 = 0, 1,
2, ..., п—1. Подробное доказательство этого факта известно
читателю из курса алгебры.
При всех а, отличных от п и —, где пят целые, формула (3)
определяет бесконечноз.начную функцию.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Выпишите все значения следующих корней: \/'3i, \/~—Ы, \^2 + 21,
?— l + /i V —3, пользуясь формулой (6).
2. Выполните следующие действия по формуле (2), доводя преобразования до
тригонометрической формы комплексного числа: (—2)21", 31+г*, (1—i)5+8i, (—3—2j)~i+3',
(—1)8-', ;4Ч
3. Приведите к тригонометрической форме два комплексных числа 9* и (—З)2'
и сравните полученные результаты.
4. Можно ли равенство (аа)? = ааР, справедливое при вещественных а, а и (5,
переносить на случай, когда а, а и р комплексные?
§ 8. ОБЩАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ОБЩАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ФУНКЦИЯ
С помощью определения (2) из § 7 можно дать понятие о так
называемой общей показательной функции и общей
логарифмической функции.
1. Функция вида
a* = exp (zLna), (l)
где а —любое комплексное число, отличное от нуля, называется
общей показательной функцией.
305

Эта функция многозначна в силу многозначности величины Lna.
Если в этом определении взять а = е, то в виду того что Lne =
= In е-}-0- i-\-2kni=\ + 2&ш, получаем из (1):
е*=exp (z + z- 2kni), e? = exp z • exp 2knzi. (2)
Если в (1) взять главное значение логарифма числа e(k = 0), то,
так видно из (2), соответствующее главное значение многозначной
функции ez совпадает с однозначной показательной функцией,
определенной в § 3:
(e*)0 = expz. (3)
Введение обозначения exp z оправдывается тем, что
обозначение ez является естественным обозначением для многозначной
функции вида (1). Использование же одинакового обозначения для
многозначной функции (1) и для ее главного значения может привести
к недоразумениям. Тем не менее очень часто однозначная
показательная функция, рассмотренная в § 3, все же обозначается ez.
2. Исходя из формулы (1), можно определить логарифм
комплексного числа по любому комплексному основанию, отличному от
нуля.
Возьмем какую-нибудь определенную ветвь многозначной
функции (1), например нулевую ветвь
w = exp (z\na), (4)
и рассмотрим функцию, обратную этой однозначной функции. Для
этого найдем z из (4). В силу определения логарифмической
функции как функции, обратной однозначной показательной функции,
рассмотренной в § 3 (см. определение из § 6), получаем:
z\r\a = Lnw, 2==-i^~- (5)
Функция (5), обратная для функции (4), и есть логарифмическая
функция по основанию а(афб). Изменяя обозначения в (5) на
обычные, можно написать: w = -.—, или
Если рассмотреть у функции (1) не нулевую ветвь, а какую-
либо другую ветвь с индексом k0i (az)ko = exp [z (Lna)*0], то получим:
Таким образом, логарифм комплексного числа по любому
основанию отличается от логарифма, определенного в § 6, только
постоянным множителем, величина которого определяется выбором
ветви многозначной функции (1). В частности, если взять а = е,
то формула (6) дает: Logez = Lnz(\ne = (Lne)Q= 1), а формула (7)
зоа

дает: Logg z = . , "—:, так как (Ln e)k0 = 1 + 2kQnL Таким образом,
видно, что только выбор нулевой ветви у многозначной функции
(1) при а = е приводит к логарифму, определенному в § 6. Выбор
другой ветви дает логарифм, отличающийся постоянным
множителем от логарифма, определенного в § 6.
§ 9. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Так же как и в вещественном случае, можно определить на
комплексной плоскости функции, обратные тригонометрическим
функциям.
1. Рассмотрим функцию, обратную для функции
w = smz. (1)
При вещественных z в этом случае для обратной функции
приходилось сразу вводить обозначение словом «арксинус», а в
комплексной области есть выражение для sin z через показательную
функцию. Поэтому, очевидно, должно быть и выражение для функции,
обратной (1), через функцию, обратную показательной, то есть
через логарифмическую функцию.
Запишем sine по формуле Эйлера ш==ехР ( z'~^ *"lz) и найдем
отсюда exp (iz): exp (2/z) — 1 = 2iw ехр (/г), exp (2iz) — 2iw exp (iz) —-
—1=0. Получаем квадратное уравнение относительно exp (iz)
и находим его корни: exp (iz) = iw + V~\—w2. Отсюда, беря
логарифм от обеих частей, получаем: z = — Ln (iw-{-Y~l— w2).
Найденная функция и является обратной для функции (1). Переходя
к обычным обозначениям независимой и зависимой переменных
и употребляя слово «арксинус» для названия функции, обратной
(1), получаем формулу:
Arcsin z = -j Ln (iz + У 1 — z2). (2)
Эта функция многозначна (бесконечнозначна), так как она
составлена из двузначной функции j^l—z2 и бесконечнозначной
логарифмической функции. Выражение, стоящее в (2) под знаком
логарифма, всегда отлично от 0, и, следовательно, Arcsin г
определен на всей комплексной плоскости z.
2. Аналогичными рассуждениями выводится формула для
функции, обратной cosz:
Arccosz=-^Ln(z + ]/'z2— l). (3)
3. Исходя из формулы (7) из § 4 для тангенса, можно вывести
формулу и для Arctgz. Для этого находим z по формуле (7)
307

из § 4 и преобразуем получившееся выражение:
exp(2/z)-l / 2fe+l
ш~~ i[exp(2fe) + l] \ ^ 2
ни ехр (2/z) + iw = exp (2/z) — 1, exp (2iz) = {_^,
1 т l + iw
2* 1—ш
Переходя к обычным обозначениям, получаем:
Arctgz=4Ln{±§. (4)
Эта функция, очевидно, не определена при z = i (так как в этой
точке l+/z = 0, а логарифм нуля не определен) и при z = —i
(так как в этой точке 1—iz = 0 и не имеет смысла дробь,
стоящая под знаком логарифма). При всех остальных значениях г
формула (4) имеет смысл, и функция (4) многозначна (бесконечно-
значна) в силу многозначности логарифма.
4. Аналогичными рассуждениями выводится формула для Arcctg z:
Arcctg z = ^Ln^., где гф±и (5)
У всех четырех обратных тригонометрических функций можно
выделять главные значения. Они будут получаться тогда, когда
в формулах (2), (3), (4) и (5) будут взяты главные значения
логарифма.
Можно также рассматривать и функции, обратные
гиперболическим функциям. Так, например, рассматривая формулы (2) из
§ 5, легко получаем выражения для обратных функций через
логарифмическую функцию:
kvshz = Ln(z + Vz^+l), Archz = Ln(z + l/"^M).
У этих функций можно также выделить главные значения, беря
главные значения логарифма в правых частях формул (6). На
вычислении производных от обратных тригонометрических и
гиперболических функций не останавливаемся.
Упражнения
1. Выведите формулы (3) и (5) (см. упражнение 6 § 4).
2. Найдите главные значения следующих значений обратных
тригонометрических функций: Arcsin 1, Arcsin/, Arccos (—1), Arctg 0, Arcctg 2i.
Отв. у,— arctg]/ 2, я, 0, -gp
3. Найдите выражения через показательную функцию для Arth z и Arcth z
и укажите, при каких z полученные формулы теряют смысл (см. формулы (5)
и (6) из § 5).

Раздел IX
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛАВА XXV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Математическое описание самых разнообразных процессов,
происходящих в природе, приводит часто к уравнениям, связывающим
независимую переменную, искомую функцию (одной переменной) и
производные этой функции. Такого рода уравнения называются
дифференциальными уравнениями. Если в дифференциальное
уравнение входит только независимая переменная, функция и ее первая
производная, то уравнение называется дифференциальным
уравнением первого порядка. В общем виде его можно записать так:
если оно решено относительно производной, то так:
У'=!{*> У)-
Если дифференциальное уравнение содержит еще и производную
второго порядка от искомой функции, то оно называется
дифференциальным уравнением второго порядка:
F{x, У, У\ У") = 0.
Аналогично, дифференциальным уравнением п-го порядка
называется уравнение, которое содержит производную порядка я, но
не выше:
F(x, У, У', ..., Уп) = 0.
Во всяком дифференциальном уравнении неизвестной величиной,
которую надо найти, является функция, входящая в уравнение
вместе с некоторыми своими производными. Решение
дифференциальных уравнений, то есть нахождение этой функции,—очень
сложная задача: чем выше порядок уравнения, тем труднее указать
способы решения уравнения; даже для дифференциальных
уравнений первого порядка можно лишь в небольшом количестве частных
случаев указать приемы нахождения искомой функции. Трудность
заключается также и в том, что искомая функция не всегда
является элементарной. Читателю известны из интегрального
исчисления некоторые неэлементарные функции. Например, первообразные
для некоторых сравнительно простых элементарных функций уже
309

не являются сами элементарными функциями. В таких случаях
приходится довольствоваться приближенным решением, применяя
методы приближенного интегрирования.
Рассмотрим несколько задач из различных областей
естествознания, приводящих в процессе своего решения к
дифференциальным уравнениям.
Задача 1. Тело температуры 0О помещается в среду
температуры 0°. Тело начинает охлаждаться. Требуется найти формулу,
по которой можно было бы определить температуру тела в любой
момент времени.
Для математического описания этого процесса нужно выбрать
независимую переменную; таковой в данном случае является время.
Будем вести отсчет времени от того момента, когда тело поместили
в среду температуры 0° и начался процесс его охлаждения. Искомой
функцией в данной задаче является меняющаяся со временем
температура тела. Обозначим ее 0(0- В начальный момент температура
тела была известна, то есть известно, что 0 = 0О при ? = 0. Это
так называемые «начальные условия задачи».
Из физики известен следующий эмпирический закон: скорость
охлаждения какого-либо тела в любой момент времени
пропорциональна разности температур тела и среды. В нашем случае
температура среды равна нулю и поэтому скорость охлаждения тела
пропорциональна температуре тела. Но скорость охлаждения —
это скорость изменения (убывания) температуры, а из
дифференциального исчисления известно, что скорость изменения какой-
либо функции по сравнению с изменением независимой переменной
есть производная от этой функции по независимой переменной.
Таким образом, сформулированный выше эмпирический закон можно
математически записать следующим образом:
f=-*e, CD
где &—-коэффициент пропорциональности. (Знак «минус» поставлен
потому, что температура убывает, а производная убывающей
функции отрицательна.)
Соотношение (1) представляет собой дифференциальное уравнение
первого порядка, из которого надо найти выражение температуры 0
через время t. В данном случае уравнение (1) настолько просто,
что нахождение функции 0 (t) не представляет труда. Действительно,
перепишем его в виде
§=-kdt; (2)
в такой записи мы имеем равенство дифференциалов двух различных
выражений, а именно: d(\n 0) = d(— kt). В этом равенстве
величина 0 зависит от t, как было указано выше. Но из интегрального
исчисления известно, что если производные или дифференциалы
двух функций равны между собой, то сами функции отличаются
310

друг от друга разве лишь постоянным слагаемым, то есть
\пв=—М + с. (3)
Отсюда потенцированием находим:
Q=e-ki+c. (4)
Формула (4) и дает выражение температуры как функции
времени. В эту формулу входит произвольная постоянная С, которой
можно придавать какие угодно числовые значения, то есть, иначе
говоря, формула (4) дает не один ответ на поставленный в задаче
вопрос, а бесконечное множество ответов. Так получилось потому,
что переход от равенства (2) к равенству (4) содержал операцию
интегрирования. С другой стороны, естественно ожидать, что при
решении определенной задачи с конкретно заданными условиями
должен получиться один определенный ответ. Так будет и в нашем
случае, если учесть «начальные условия». Подставим данные
начальных условий в формулу (4) (это можно сделать, так как формула (4)
определяет температуру тела как функцию времени в любой момент
времени, в частности и в момент времени ? = 0):
®Q = e-k,°+c, то есть 0о = ес.
Таким образом, установлено, что в условиях нашей задачи
постоянная С имеет вполне определенное числовое значение (а именно
С = 1п0о), и, подставляя это значение С в формулу (4), получим
только одну функцию, представляющую собой решение поставленной
задачи:
е(*) = е0.*-*. (5)
Задача 2. Форму какой поверхности вращения должно иметь
зеркало рефлектора для того, чтобы лучи, исходящие из источника
света, помещенного внутри рефлектора на оси вращения,
отражались от его поверхности параллельно этой оси.
Для решения этой задачи будем рассматривать плоское сечение
зеркала, проходящее через ось вращения, и выберем наиболее
удобное расположение этой плоской фигуры относительно
координатной системы. Требуется определить форму плоской кривой,
получающейся в указанном сечении. Поместим источник света в
начале координат, и пусть ось вращения совпадает с осью ОХ.
На рисунке 97 дуга АВ
представляет собой часть
дуги искомой кривой.
Ломаная OMD изображает путь
любого луча, исходящего
из источника света в
точке О и отражающегося в
точке М от поверхности
рефлектора по условию
задачи параллельно оси ОХ. Рис. 97
V,
Е^^
^ О
\
Л)>й^8 D
а/
h
••' -•••„я
i X
311

Проведем касательную к кривой АВ в точке М и продолжим ее
до пересечения с осью ОХ в точке Е. Отметим на касательной
вправо от точки М какую-нибудь точку F. Опустим перпендикуляр
МН из точки М на ось ОХ. По закону оптики имеем: ? ЕМО —
— Z FMD и по построению /, FMD= /_ МЕО. Следовательно,
треугольник МЕО равнобедренный и поэтому ЕО = ОМ. Обозначим
координаты точки М через х и у (ОН = х, НМ = у) и выразим
стороны треугольника ЕО и ОМ через х и у. Очевидно, что ОМ —
= Ух2 + у2 и ЕО = ЕН — ОН. Положим /_ МЕО = а, и из
прямоугольного треугольника МЕН получим: ЕН = т—=^. (EMF —
касательная к кривой в точке М и, следовательно, tg а = у'.)
Используя это равенство, получаем: ЕО = -у-, — х. Так как
треугольник МЕО равнобедренный, то
±-х=}Г* + ?. (6)
Равенство (6) представляет собой дифференциальное уравнение
первого порядка, из которого надо найти ординату у кривой АВ как
функцию абсциссы, что и определит форму кривой сечения
рефлектора. Уравнение (6) более сложное, чем в предыдущей задаче; оно
будет решено в § 5, где мы разберем общий прием решения
уравнений такого типа.
Задача 3. Имеется замкнутая электрическая цепь с
сопротивлением R, в которой течет ток постоянной силы /0. В некоторый
момент времени, который мы примем за начальный (t = 0)> цепь
размыкается. Требуется выяснить, прекратится ли сразу ток в цепи,
а если нет, то как он будет убывать.
Выключение постоянной электродвижущей силы,
поддерживавшей силу тока /0 в цепи, вызывает вследствие изменения магнитного
поля тока /0 возникновение электродвижущей силы индукции
(явление самоиндукции). Таким образом, в цепи индуцируется ток под
действием одной лишь электродвижущей силы самоиндукции; он
называется «экстратоком размыкания». Экстраток размыкания
направлен в ту же сторону, что и основной ток. Известно, что эта
электродвижущая сила самоиндукции пропорциональна скорости
изменения силы тока (коэффициент пропорциональности называется
коэффициентом самоиндукции), то есть имеет вид: —L-^r, где / —
переменная сила экстратока размыкания и L—коэффициент
самоиндукции.
По закону Ома имеем:
R-1+L.^O. (7)
Это равенство представляет собой дифференциальное уравнение
первого порядка, из которого надо определить силу экстратока
размыкания как функцию времени. Собираем в уравнении (7) члены,
содержащие переменную /, в левую часть и члены, содержащие
312

переменную t, в правую часть: — =—— d/. Как и в задаче 1,
переписываем последнее равенство в виде d(\nl) = d(—77 0» 0ТКУЛа
получаем: ln/=—y-^-flnC (постоянную прибавляем в виде
логарифма постоянной, так как это удобнее для дальнейших
преобразований). Потенцируя, получаем:
-*/
I = C-e L , (8)
что и дает искомое выражение силы экстратока размыкания через t.
Опять-таки в условиях данной задачи можно выяснить, что
постоянная С может иметь только одно вполне определенное значение.
Для этого положим ? = 0 в формуле (8). Тогда / обратится в /0:
I0 = C-e L' , то есть С = 10.
Подставляя полученное значение С в формулу (8), имеем:
-?*
I = Io-e L . (9)
Эта формула дает определенный ответ на вопрос, поставленный
в задаче: при размыкании тока сила тока в цепи не сразу падает
до нуля, а постепенно спадает по показательному закону.
Аналогичное исследование с помощью дифференциального
уравнения можно провести и для изучения экстратока замыкания.
Задача 4. Пусть два вещества А и В, находящиеся в растворе,
вступают в необратимую химическую реакцию (из одной грамм-
молекулы первого вещества и одной грамм-молекулы второго
получается одна грамм-молекула нового вещества). Требуется найти
формулу, по которой можно было бы подсчитать в любой момент
времени количество вещества, уже вступившего в реакцию.
Обозначим через а и Ъ количества этих веществ (в
грамм-молекулах на единицу объема) в начале реакции, то есть при ? = 0
(пусть, например, а<^Ь), и через х — одинаковое количество того
и другого вещества, уже вступившего в реакцию к моменту времени t.
В этот момент времени в единице объема находится а—х грамм-
молекул вещества А и Ь — х грамм-молекул вещества В. Известно,
что по закону химического взаимодействия масс скорость
химической реакции для некоторых типов реакций пропорциональна
произведению (а—х) (Ь—х). Так как скорость химической реакции
есть скорость увеличения х, то она является производной от х
по времени, и поэтому закон химического взаимодействия масс
может быть записан следующим образом:
*L = k.(a — x)-(b — x), (10)
где k—коэффициент пропорциональности. Уравнение (10) есть
дифференциальное уравнение первого порядка, где неизвестной является
функция x(t). Для того чтобы найти эту функцию, поступим так же,
313

как в задачах 1 и 3, а именно отделим переменные t и х друг от
друга, уединив член с х в левой части уравнения и члены с t
в правой (проделайте выкладки подробно):
7 т^т v = kdt.
(а—х) (0—-Х)
Последнее равенство можно переписать в виде d ——^ In Vrzr) =
=d(&/)> 0TKУДa-тГл^n(JE^)::=^^"^, Умножаем на (a — b): 1п(|^]==
= (a—b)kt-\-(a—b)C и, потенцируя, получаем: аГ^с =e{a~b)kt x
X е(а~Ь)С. Обозначим для простоты постоянный множитель одной
буквой С1=е(а~6)С, тогда
«=f=Cl.«,(«-»)« (ц)
Конкретное числовое значение постоянной Сх для данной задачи
можно найти опять-таки с помощью начальных условий: при / = 0,
х = 0. Подставляем начальные условия в (11), откуда находим
С1=-^-. Подставляем найденное значение С± в (11) и находим из (11)
выражение искомой функции x(t) через время t:
Упрощая, получаем:
X
У
а-Ь
1-
аЪ[\-
Ъ
Ь е
_ека-Ъ)Ы\
b — aeia~b)kt
(12)
Эта формула дает окончательное выражение для количества
вещества, вступившего в реакцию к моменту времени /. При
возрастании / величина х приближается к а.
Задача 5. Гибкая однородная нерастяжимая нить подвешена
за два конца и провисает под действием силы тяжести. Найти
уравнение кривой, по которой происходит провисание.
Выберем расположение нити в
координатной системе, указанное на
рисунке 98, а именно: направим
силу тяжести по отрицательному
направлению оси OY и расположим
нить симметрично относительно оси
OY (числовое значение длины отрезка
ВО = а будет указано ниже).
Рассмотрим участок нити от
точки В до некоторой точки М.
Этот участок находится в
равновесии, в котором его удерживают
три силы, действующие на этом
участке: 1) сила натяжения Я, при-
314

ложенная в точке В и направленная по касательной к линии АС
в точке В (натяжение, производимое участком нити АВ), 2) сила
натяжения Т, приложенная в точке М, направленная по
касательной к линии АС в точке М (натяжение, производимое
участком нити /WC), и 3) сила, равная весу участка нити ВМ и
направленная вниз (см. рис. 98). Обозначим через q линейную плотность
нити (по условию задачи g = cons/). Тогда масса участка нити ВМ
будет равна:
q\VT+JFdx (13)
О
(см. формулу для длины дуги —том I, гл. X, § 2). Обозначим
через а угол между вектором Т и положительным направлением
оси ОХ.
Условие равновесия участка ВМ означает, что сумма всех сил,
действующих на участок ВМ, равна нулю. Напишем это условие
равновесия, приравняв нулю отдельно сумму горизонтальных
составляющих всех действующих сил и сумму всех вертикальных
составляющих. Так как касательная в точке В направлена
параллельно оси ОХ (В — наинизшая точка кривой), то натяжение
в точке В состоит только из горизонтальной составляющей. Тогда
получим следующие равенства:
//-rcosa = 0, (14)
X
qg\Vl+y'2 dx — Tsina=0 (15)
о
{через g обозначено, как всегда, ускорение силы тяжести). Находя
Г из (14) и подставляя полученное для него выражение в (15),
имеем:
X
qg\V 1+у'2 dx = Htga.
о
Так как tga = y' (через а был обозначен угол между касательной
к кривой в точке М и положительным направлением оси ОХ), то
х
q§\Vl+y'2 dx = Hy'. Положим ^| = —(g, g и Н постоянные),
6
тогда
х
о
Дифференцируя последнее равенство по х, имеем (см. свойство
определенного интеграла с переменным верхним пределом —том I,
гл. IX, §5):
У''=];УТ+7~2- (16)
315

Мы снова получили дифференциальное уравнение, но на этот
раз второго порядка. Из него надо определить ординату кривой у
как функцию абсциссы х, то есть получить уравнение кривой,
по которой происходит провисание. Уравнение (16) будет решено
в гл. XXVI, § 2. Очевидно, что процесс интегрирования опять
даст произвольные постоянные. Здесь мы только выясним, какие
условия в нашей задаче позволяют определить числовые значения
этих постоянных. По выбранному расположению кривой в
координатной системе имеем: у = а при х = 0, у' = 0 при х = 0 (так как
производная равна нулю в точке минимума). Эти равенства и
служат начальными условиями нашей задачи.
Задача 6. Законом «естественного роста» называется такой
закон роста, при котором скорость роста вещества пропорциональна
наличному количеству вещества. Требуется найти формулу для
определения в любой момент времени количества вещества,
растущего по этому закону, если известно, что в начальный момент
времени (при t = 0) имелось количество вещества, равное у0.
При решении этой задачи независимой переменной является
время /, а искомой функцией — наличное количество вещества у
в любой момент времени. В этих обозначениях скорость роста
вещества есть скорость изменения функции у. Используя
механический смысл производной (см. том I, гл. V, § 1), можно записать
закон естественного роста следующим образом:
% = ау, (17)
где а>0 — коэффициент пропорциональности. Уравнение (17) имеет
такой же вид, как и уравнение (1) (разница только в том, что
в уравнении (1) коэффициент в правой части отрицателен), и
поэтому функцию у можно из него найти тем же приемом, что и
в первой задаче. Проделав выкладки, получаем:
Это и есть искомая формула.
По закону естественного роста происходит рост живых клеток,
кристаллов, населения.
Задача 7. Известно, что радиоактивный распад происходит
так, что в любой момент времени скорость распада вещества
пропорциональна наличному количеству нераспавшегося вещества. Найти
формулу, по которой можно определить количество нераспавшегося
вещества у в любой момент времени t, если известно, что в
начальный момент (t = 0) количество нераспавшегося вещества равно у0.
Используя, как и в предыдущей задаче, механический смысл
производной, можно записать закон радиоактивного распада
вещества при помощи следующего соотношения:
% = -ау, (18)
316

где коэффициент (—а) отрицателен, так как по смыслу задачи
функция у убывает и ^<0. Уравнение (18) совпадает с
уравнением (1), и поэтому можно сразу написать искомую формулу:
У=Уое~а'-
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Напомним, что дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение вида:
F(x, у, у') = 0. (1)
В ряде случаев это уравнение удобно разрешить относительно
производной:
y' = f(x> </)• (2)
Определение 1. Решением дифференциального
уравнения первого порядка называется всякая функция, которая при
подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Например, пусть дано уравнение: у-\пу — ху' = 0. Функция ех
является решением этого уравнения, так как при подстановке ех и
ее производной вместо у и у' левая часть уравнения тождественно
обращается в нуль: ех\пех—х-ех = ех-х — х-ех = 0.
Но данное уравнение имеет еще и другие решения. Например,
функция е~х также является решением, так как е~х- In e~x — x • (е~х)' =
= е~х-(—х)—х-е~х-(—1) = 0. Можно проверить, что всякая
функция вида еСх, где С — какая-либо постоянная, является решением
этого уравнения.
Таким образом, мы видим, что дифференциальное уравнение
имеет не одно решение, а много решений (см. задачи, решенные в § 1).
Этот факт, собственно говоря, известен еще из интегрального
исчисления. Действително, возьмем простейшее дифференциальное
уравнение первого порядка:
У' = !(х). (3)
(Это уравнение получается из уравнения (2), когда правая часть
не содержит у.) Решить его —значит найти функцию у по ее
заданной йроизводной. Но процесс восстановления функции по ее
производной есть процесс нахождения неопределенного интеграла.
Известно, что этот процесс приводит к многозначному решению
поставленной задачи. Для бесконечного множества функций,
отличающихся друг от друга только постоянными слагаемыми,
равенство (3) задает общую производную, то есть все эти функции
являются решениями уравнения (3). Таким образом,
дифференциальное уравнение (3) имеет бесконечное множество решений и все они
отличаются друг от друга только различными постоянными
слагаемыми. Можно поэтому сказать, что общим видом решений дифферен-
317

циального уравнения (3) будет:
у=<р(х) + С, (4)
где ф (х) — некоторое решение. Если придавать постоянной С
конкретные числовые значения, то из формулы (4) будем получать
отдельные (частные) решения уравнения (3).
В случае, когда дифференциальное уравнение имеет вид (2)
или (1), то есть когда оно более сложно, чем уравнение (3), то, как
правило, оно также имеет бесконечное множество решений; но
зависимость решений от произвольной постоянной С в формуле для
общего вида решений может быть более сложной, чем в формуле (4).
(В приведенном выше примере произвольная постоянная входила
множителем в показатель степени.) Поэтому общий вид решений
уравнения (1) или (2) можно записать формулой
у = у(х, С); (5)
в такой записи просто указано, что в выражение решения входят
независимая переменная и произвольная постоянная.
Наконец, может иногда случиться и так, что функция уу
являющаяся решением уравнения (1) или (2), получается в процессе
решения как неявная функция, то есть формула, дающая общий
вид решения уравнения, не решена относительно у. Примеры этого
будут часто встречаться в дальнейшем. В таком случае общий вид
решений уравнения (1) или (2) можно записать следующей формулой:
Ф(х, у, С) = 0 (6)
(если из нее можно определить у, то получим формулу (5)).
Если придавать постоянной С конкретные числовые значения,
то из формулы (5) или (6) так же, как и из формулы (4), будем
получать отдельные (частные) решения дифференциального
уравнения.
Общее выражение решений дифференциального уравнения
первого порядка, записанное формулой у = ф (х, С) или (в неявном
виде) Ф(а:, у, С) = 0, содержащее одну произвольную постоянную,
называют общим решением или соответственно общим интегралом
дифференциального уравнения.
Точное определение этих терминов будет дано ниже.
Вернемся к задачам, рассмотренным в § 1.
В первой задаче формула (4) дает общее решение уравнения (1);
формула (5) дает отдельное решение этого уравнения при числовом
значении произвольной постоянной, равном 0О.
В третьей задаче формула (8) дает общее решение
дифференциального уравнения (7); формула (9) дает отдельное решение этого
уравнения при числовом значении произвольной постоянной, равном/0.
В четвертой задаче формула (12) дает общее решение уравнения
(10); формула (13) дает отдельное решение при числовом значении
произвольной постоянной, равном у.
318

Во всех рассмотренных в § 1 задачах выделение из общего
решения того решения, которое давало ответ для данной задачи,
делалось с помощью начальных условий задачи. Использование начальных
условий позволяло определить то числовое значение произвольной
постоянной, входящей в общее решение, которое отвечало данной
задаче, то есть позволяло выделить одно требуемое условиями задачи
решение из общего решения дифференциального уравнения,
составленного для этой задачи. В первой задаче начальные условия
имели вид: 0 = 0О при / = 0, в третьей задаче: / = /0 при / = 0,
в четвертой задаче: х = 0 при ? = 0. Во всех трех случаях начальные
условия состояли в том, что при некотором значении независимой
переменной было известно одно соответствующее значение искомой
функции. В дальнейшем начальные условия для дифференциального
уравнения (1) или (2) в общем виде будем записывать так: при
некотором значении независимой переменной х = х0 известно
соответствующее значение искомой функции у = у0.
Можно доказать, что если правая часть уравнения (1)
удовлетворяет некоторым требованиям, то по заданным начальным условиям
можно найти определяемое ими одно-единственное решение
уравнения (1). Это является содержанием так называемой теоремы
существования и единственности решения дифференциального уравнения
первого порядка при заданных начальных условиях.
Переходим к формулировке и доказательству самой теоремы.
Теорема 1. Пусть дано дифференциальное уравнение
У'-fix, У) (7)
и заданы начальные условия
У = Уо при х = х0; (8)
если f(x, у) удовлетворяет следующим условиям:
О /(¦*» У) —непрерывная функция двух переменных в
некотором прямоугольнике R = [xQ—a, xQ + a; y0—b, у0 + Ь],
2) частная производная fy(x, у) существует и
ограничена как функция двух переменных в прямоугольнике /?,
то существует единственное решение */ = <р (х) данного
дифференциального уравнения, определенное в некотором
промежутке [х0—б, лг0 + 6] и удовлетворяющее заданным
начальным условиям (8).
Доказательство этой теоремы будет проводиться методом
последовательных приближений. Суть этого метода состоит в том, что
строится последовательность функций, равномерно сходящаяся
к искомому решению дифференциального уравнения. Каждая из
функций этой последовательности является некоторым
приближением к искомому решению.
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Пусть дано дифференциальное уравнение
*/'=/(*> У)> (Г)
319

где функция f(x, у) удовлетворяет первому условию
теоремы 1, то есть непрерывна в прямоугольнике R = [xQ—a,
х0 + а; Уо — Ь, Уо + b], и заданы начальные условия:
У = Уо при х = х0; (8)
тогда это дифференциальное уравнение вместе с
указанными начальными условиями равносильно уравнению
х
0 = Уо + $/(*. У) Л. (9)
Утверждение о равносильности нужно понимать так: всякая
функция у, являющаяся решением дифференциального уравнения (7)
и удовлетворяющая начальным условиям (8), удовлетворяет и
уравнению (9). Обратно, всякая функция г/, удовлетворяющая
уравнению (9), оказывается решением дифференциального уравнения (7)
и одновременно удовлетворяет начальным условиям (8).
В уравнение (9) неизвестная функция у входит как
непосредственно (в левую часть), так й под знаком интеграла. Поэтому
уравнение (9) называют интегральным уравнением. Уравнение (9) удобно
тем, что оно не содержит производной от искомой функции.
Доказательство. Пусть у—функция, удовлетворяющая
дифференциальному уравнению (7) и начальным условиям (8).
Рассматривая правую часть уравнения (7) как сложную функцию от х,
возьмем определенный интеграл по переменной х от х0 до
некоторого значения х^[х0 — а, х0 + а] от каждой части
дифференциального уравнения (7) (при этом переменную интегрирования
обозначим через t):
\y'dt=\f(t, y)dt
Xq Xq
(интеграл существует в силу предположения о непрерывности
/ (jc, у) и непрерывности у (х)).
х .
Так как ^ у'dt=y(t)\ =у(х) — y(xQ)=y—у0 (см. начальные ус-
ловия), то
х
У=Уо=\ f(t, У) dt,
Xq
и мы пришли к уравнению (9).
Обратно, если у удовлетворяет уравнению (9), то
непосредственно ясно, что у = Уо при х = х0. Дифференцируя обе части
уравнения (9) по л: и вспоминая правило дифференцирования
определенного интеграла по переменному верхнему пределу (см. том
первый, гл. IX, § 5), получим: y' = f(x, у). Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Разобьем весь ход
рассуждений на отдельные пункты.
320

1) Докажем, что из условий теоремы вытекает, что, каковы бы
ни были два числа у и у из промежутка [у0 — Ь, у0-\-Ь],
выполняйся неравенство
lf(*. Э-/(*. ~у)\^аГу-~у\> (Ю)
где А—некоторая постоянная.
Так как в силу второго условия fy(x, у) ограничена в R, то
\f'y(x> У)\^А* Возьмем теперь любые два числа у и у из
промежутка [уо — b, Уо+Ь] и рассмотрим приращение функции f(x9 у)
по переменной у (х фиксировано). Его можно записать по формуле
конечных приращений (для функции одной переменной) следующим
образом:
fix, ~y) — f(x, ~у) = !у(х, с) (~у — у),
где с заключено между числами у и у. Теперь оценим абсолютную
величину этой разности, использовав неравенство для f'y(x, у):
l/U ~y) = f(x> ~y)\ = \fy{x> c)\'[y — 'y\<tA'\'y—'y\.
Таким образом, доказано требуемое неравенсто (10) и оно
справедливо для любого х из [х0 — а, х0 + а].
Кроме того, отметим, что так как в силу первого условия
f (х, у) непрерывна, то она ограничена в R (см. теорему 2 из § 3
гл. XIV):
\f(x, У)\^М. (И)
2) Теперь перейдем к построению последовательности функций,
сходящейся к искомому решению данного дифференциального
уравнения (7).
В силу леммы можно строить последовательность функций,
сходящуюся к решению интегрального уравнения (9):
х
У = Уо + \ f(t, y)dt.
Положим самую первую функцию последовательности равной
постоянной
У0(Х)=У09
причем у0—это та постоянная, которая задана в начальных
условиях (8).
Дальше положим
х
УАх) = Уо + 1 f(t> yo)dt. (12)
х9
Пусть 6 = min(a, тт), и будем рассматривать только такие х, кото-
321

рые удовлетворяют неравенству \х—х0\^8. При этом условии
точки (х9 у0) будут принадлежать прямоугольнику R (так как 6<: а)
и можно пользоваться оценкой (11). Тогда получаем из (12):
101—Уо 1 =
X
\f(t, Уо)
dt
:M\x—xQ\^M'8^M'^ = b.
Это показывает, что уг принадлежит промежутку [у0— 6, у0 + Ь]>
то есть точки (t, уг) также принадлежат прямоугольнику R и для
значений функции / (х, у) в этих точках, следовательно, верно
неравенство (11). Положим
X
У*(х) = Уо+] f(t, уг) dt.
Xq
Оценим разность */2—0о тем же способом, каким была оценена
разность уг —у0:
|02—0о|<А1-|х—а;0|<А1-6<6.
Это опять-таки показывает, что у2 тоже принадлежит промежутку
[Уо—Ь9 Уо + b], то есть точки (/, у2) также принадлежат
прямоугольнику R. Продолжая построение дальше, получаем: после того
как определена функция yn-i(x), функция уп(х) определяется по
формуле:
Уп(х)~Уо + \ f(t, yn-i)dt.
(13)
Сделаем индуктивное предположение: все точки (/, yt), /=1,...,
п—1 принадлежат прямоугольнику R. Оценив разность уп—г/0,
покажем, что и точки (t, yn) также принадлежат прямоугольнику R:
\Уп—0о 1 =
х
\f(t, Уп-г)
х0
dt
\M\x-
:МЬ:
м
Таким образом, получаем бесконечную последовательность функций
0о» 0i (*). 02(*)» •••> Уп(х), ..., (Н)
определенных в [х0—б, х0 + 6]. Из определения этих функций
видно, что при всех п
0Д*о)=0о- (15)
3) Покажем теперь, что последовательность непрерывных
функций (14) равномерно в [х0 — б, jc0 + 6J сходится к некоторой
предельной функции. Для этого составим ряд
00+ (01 —00) + (02 — 0l) -Ь . •+ (Уп— Уп-l) +• ..
(16)
322

и оценим абсолютные величины его членов:
\Уг — Уо\ =
]f(t, yo)dt\
;ЛГ
1*0
\У%—У1\
] [fit, уг -f{U yo)]dt
] \f(t, Уд-fit. y0\di
(наружный знак абсолютной величины остается потому, что может
быть х<х0\ если же х>х0, то наружный знак абсолютной
величины не нужен). Продолжая оценку и используя (10) и уже
полученную оценку для \уг—у0\9 получаем:
\У2 — У1\
\ A-lyt—yoldt
1*0
А-М-
М-А
\ \t-X0\dt
Допустим, что уже получена оценка
\Уп — Уп-1\
п\
I X—Хп
X — Xq\ ,
и покажем, что оценка такого же типа верна и для разности
Уп + 1 — Уп-
\х
\Уп+1 — Уп\*
^ . М-Лга_1
л!
\\f(t> yJ-f(t.y«-J\dt
х0
[\t — x\ndt
МАп \t — x0\n^
п\ п+\
\ A.\yn—yn-i\dt
х0
* МА
х0~ (п+1)\
Таким образом, методом математической индукции установлено,
что при любом п члены ряда (16) удовлетворяют неравенству
\Уп — Уп-1\
МАп-*
п\
МА""1
6*.
Составим ряд
CI МАп"16п
п\
п = \
Каждый член ряда (16) (ряд (16) рассматриваем только начина-я
со второго члена) не превосходит соответствующего члена этого
числового ряда. По признаку Даламбера легко проверить, что этот
числовой ряд сходится. Следовательно, по признаку Вейерштрасса
равномерной сходимости функционального ряда (см. теорему 1
из § 1 гл. XXI) ряд (16) сходится равномерно в [х0—б, х0 + б].
Обозначим сумму ряда (16) через у(х)\ она непрерывна
в [#о— б, х0 + 6J как сумма равномерно сходящегося ряда непре-
323

рывных функций. (Все функции уп(х) непрерывны, так как
интегралы с переменным верхним пределом, фигурирующие в (13),
являются по известному свойству интеграла непрерывными
функциями этого верхнего предела (см. § 5 из гл. IX первого тома).
Эта же функция ф (х) есть предельная функция
последовательности (14) в силу того, что /г-я частичная сумма ряда (16)
совпадает с м-м членом последовательности (14).
4) Теперь покажем, что функция ср (х) и есть решение данного
дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным
начальным условиям. Для этого покажем, что ф(х) является решением
интегрального уравнения (9).
Возьмем произвольное число е>0.
По условию теоремы / (х, у) непрерывна в прямоугольнике R, а
следовательно, и равномерно непрерывна в R. Следовательно, по е
можно подобрать такое б > 0, что неравенство | / (х, у) — f(x9 у) | <е
будет выполнено для тех пар точек (х9 у) и [х, у)
прямоугольника R, для которых I у—#|<б (абсциссы точек взяты просто
одинаковыми). В силу неравенства (10) можно взять S = 4-. Так
как последовательность (14) равномерно сходится к ср (х), то по
числу б=-д можно подобрать номер N так, что для n^N в
промежутке (х0—б, х0-\-8) будем иметь:
\y*-i(x) — <f(x)\<-j.
Тогда при n^N по (10) имеем: | / [х, уп-г (х)] — f[x, q> (х)] | ^ А х
Х\Уп-г (*) —Ф (х) | < Л --j = e.
Используя последнюю оценку, можно написать:
Xq Xq
<е-\х—д:0.|<еб при n^N.
\]f(t, yn-ddt-\f[t, <p(t)]dt
l\ \f(t, yn-i)-f[t, v(t)]\dt
\X0
Так как 8 > 0 произвольно, то это означает, что
X X
lim lf(t, yn-i)dt = \f[t, cp(t)]dt
X'O
Перейдем к пределу при л->оо в равенстве (13); по только
что доказанному равенству получим:
<p(x)=limyn(x)=yQ+ lim \ f(t, yn-1)dt=y0 + [ f[t, <р (*)]&.
n-oo "-*«>x0 x0
324

Итак,
Ф (*)=#> + $ f[t, 4>(f)]dt>
то есть ф(л:) удовлетворяет уравнению (9). Как было указано
в лемме, ф (х) является одновременно и решением исходного
дифференциального уравнения y' = f(x, у) с начальными условиями (8).
Действительно, по (15) ф(*о)== l™ ^(^O^i/O-
tt -*• ОО
5) Остается доказать единственность полученного решения. Будем
рассуждать от противного: допустим, что в промежутке [х0 — б,
*о + &] есть два решения ф(л;) и г[>(л;) дифференциального
уравнения */' = /(#, у), удовлетворяющих заданным начальным условиям:
ф(л:0)=у0 и ty(x0) = y0. Пусть в любой близости от х0 справа есть
точки х, в которых ф (х) Ф г|? (х) (такое предположение не нарушает
общности рассуждения). Выберем положительное е так, что e<-j.
По нашему предположению в промежутке [х0, х0 + е]
Ч>(х)—У(х)фО;
следовательно, непрерывная функция |ф(х)—ty(x)\ достигает в этом
замкнутом промежутке в некоторой точке хг своего наибольшего
значения (х1фх0); обозначим его В. Тогда
|ф(*) —1|> (*)|<? в [*о> х0 + е]. (17)
Так как ср(я) и ip (x) — решения данного дифференциального
уравнения, то по лемме
<р(х) = у0 + \ f[t, <p(t)]dt9 Ъ(х)=у0 + \ f[t, q(t)]dt.
Хо Хо
Вычитаем из первого тождества второе, положив в них х = хи
и используем при оценке (10) и (17):
ДНф(*)-1>(*1)1 = [{{fit* v®)-f(t, *(0)]Л <ll/P, ф(0J —
1*0 I Хо
—f[t, ty(t)]\dt^A 5|ф(0—ty(t)\dt^A \Bdt =
Хо Хо
= A'B(x1—Xq)^ АВг.
Итак, имеем: В^ВАе, l^Ae, ?>-х- Последнее неравенство
противоречит выбору е. Следовательно, нельзя было делать предположения,
что существует два решения у равнения, в [х0 — б, *0-[-б] и
найденное решение ф (х) единственное.
Итак, теорема доказана.
Теорема 1 имеет большое значение в теории дифференциальных
уравнений, так как она позволяет по виду дифференциального
325

уравнения решить вопрос о существовании и единственности
решения этого уравнения при заданных начальных условиях. Это
особенно важно в тех случаях, когда мы не умеем указать точной
формулы, дающей решение уравнения, а должны прибегать к методам
приближенного решения дифференциального уравнения. Важно
заранее знать, что решение существует (хотя мы и не умеем его точно
найти), и тогда мсжко уже строить тем или иным способом
приближение к этому решению.
Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение
У' = 3у* (18)
с начальными условиями
у = 0 при х = 0. (19)
2_
В данном случае f (х, у) = 3у*, г/о = 0, х0 = 0. Эта функция опре-
- JL
делена и непрерывна на всей плоскости. Но fy(x, у) = 2у 3 неопре-
делена при г/=0, то есть на всей оси ОХ. При г/-> 0 величина 2у 3 ~>
-^оо. Так как в нашем случае х0 — у0 = 0, то прямоугольник R,
о котором идет речь в теореме, превращается в [—а, а; —b, b].
Он содержит внутри себя участок оси ОХ, на котором f'y(x, у) не
существует. Таким образом, в данном случае нарушается второе
условие теоремы и нельзя гарантировать существование
единственного решения данного уравнения (18) при заданных начальных
условиях (19). Непосредственной проверкой легко убедиться, что
уравнение (18) на самом деле имеет два различных решения,
удовлетворяющих начальным условиям (19): у = хв и у = 0. Позже, в § 4,
уравнение (18) будет решено полностью.
Если задать для уравнения (18) другие начальные условия,
например
у=\ при х = 0, (20)
то можно указать такой прямоугольник R, в котором условия
теоремы выполняются. Для этого надо взять прямоугольник таких
размеров, чтобы он не захватывал оси ОХ, например R = \— а, а; у,
3 1 2
у . Для fy (х, у) в R справедливо неравенство 0 < f'y (х, у) ¦¦ ^
у;
з у— 1
= 2у 2, так как у^у в /?. Можно указать размеры того
промежутка изменения х, в котором теорема 1 гарантирует
существование единственного решения уравнения. Из доказательства теоремы
имеем: 6 = тт(а, -^А. В нашем случае Ь = у; М = 3у-^, так как
2_
0</fej)<3(|)T в R. Число а может быть любым. Следова-
326

3 /-g-
тельно, можно взять 6 = 3 у -^ и по теореме 1 существование
единственного решения уравнения (18), удовлетворяющего начальным
условиям (20), гарантировано по крайней мере в промежутке
Однако на самом деле решение может ока-
3 ^9" п% /Т
4"
[-3]/т, 3|/т_
заться существующим и в более широком промежутке (это не
противоречит теореме 1). В данном примере, как мы увидим ниже (см.
пример из §4), решение, удовлетворяющее начальным условиям (20),
определено на всей оси.
Начальные условия (8) можно менять, то есть можно брать
разные пары чисел х0 и у0. Назовем допустимыми начальными
условиями, соответствующими уравнению (7), те пары чисел xQ и y0i для
которых существует единственное решение уравнения (7).
Теперь можно вернуться к определению понятия общего
решения (общего интеграла) дифференциального уравнения и уточнить
тот смысл, который мы вкладывали в этот термин в начале этого
параграфа.
Определение 2. Общим решением (или общим
интегралом) дифференциального уравнения называется общий вид всех таких
peuienuu этого уравнения, которые соответствуют каждому из
допустимых начальных условий.
Следовательно, общее решение (5), или общий интеграл (6), при
конкретном числовом значении постоянной С дает именно то
единственное решение дифференциального уравнения, определяемое
начальными условиями (8), существование которого при определенных
условиях гарантируется теоремой 1. Выбор тех или иных
допустимых начальных условий и определяет числовое значение С в
формулах (5) или (6).
Таким образом, если заданы любые допустимые начальные
условия (8), то, подставляя х0 вместо х и у0 вместо у в общее решение
(5) (или в общий интеграл (6)), получаем уравнение у0 = ц>(х0, С)
(или Ф (х0, у0, С) = 0), из которого можно определить единственным
образом числовое значение постоянной С. Обозначим его через С0.
Подставляя число С0 вместо произвольной постоянной С в общее
решение (5) (или в общий интеграл (6)), получаем вид того
единственного решения
у = Ф(*, С0) (или Ф (х, у, С0) = 0), (21)
которое удовлетворяет заданным начальным условиям и
существование которого гарантируется теоремой 1.
Решения (21), полученные из общего решения, или общего
интеграла, при конкретном числовом значении С, называются
частными решениями дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение может иметь решения и не
содержащиеся в его общем решении, так как существуют решения,
которые нельзя определить методом последовательных приближений,
использованным в теореме 1. Об этом будет рассказано в § 3.
327

Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Если в примере, рассмотренном в этом параграфе, взять прямоугольник
Г 3 5 ]
R — \ —а, а; - -р , то какое б гарантируется теоремой 1?
Уу
2. Даны дифференциальное уравнение у' = 0 и начальные условия #=1
при #=1. Найдите 6 сначала для а = 10 и # = 5~> а потом для а = 1 и # = q-.
о о
Укажите прямоугольники, в которых рассматриваются уравнения в каждом из
этих двух случаев и промежутки изменения х, в которых гарантируются
существование и единственность решения.
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ
Пусть дано дифференциальное уравнение
</' = /(*, у). (1)
Каждой паре значений х и у соответствует точка М (х, у) плоскости
и по формуле (1) для каждой точки М можно вычислить число у\
которое будем считать угловым коэффициентом некоторого
направления. Таким образом, каждой точке плоскости ставится в
соответствие с помощью уравнения (1) некоторое направление,
которое можно на чертеже изобразить стрелкой, исходящей из этой
точки. В таком случае говорят, что задано поле направлений
на плоскости. Каждое уравнение (1) задает свое поле направлений.
Каждое решение у = у(х) уравнения (1) геометрически
изображается кривой на плоскости. По определению решения производная
<р' (х) для данного х, то есть угловой коэффициент касательной
к графику решения у = <р(х) при данном х, совпадает с угловым
коэффициентом направления поля в точке плоскости с данной
абсциссой х. График всякого решения дифференциального
уравнения обычно называется интегральной кривой этого уравнения.
Таким образом, касательная к интегральной кривой в любой
ее точке совпадает с направлением поля направлений в этой точке
плоскости.
Общее решение дифференциального уравнения изображается
семейством интегральных кривых на плоскости.
Если в какой-либо задаче требуется выделить из общего
решения одно частное решение, удовлетворяющее заданным
начальным условиям;
у=у0 при х = х0, (2)
то геометрически это сводится к тому, что требуется из семейства
интегральных кривых на плоскости выделить одну интегральную
кривую, проходящую через заданную точку плоскости М (х0, у0).
Теорема 1 указывает, в каких случаях можно ручаться за то, что
через данную точку плоскости проходит только одна интегральная
кривая. Действительно, теорему 1 можно прочитать следующим
образом: если даны дифференциальное уравнение (1) и начальные
условия (2) и его правая часть непрерывна в окрестности точки
328

(х0, у0) и производная по у от правой части ограничена в окрестности
точки (х0, у0), то через точку плоскости М (х0, yQ) проходит одна
и только одна интегральная кривая уравнения (1).
Возьмем, например, дифференциальное уравнение y' = —ky,
где k — const. Правая часть этого уравнения удовлетворяет
условиям теоремы 1 при любых начальных условиях, так как
функция f (х, у)=—ky непрерывна в любой точке плоскости и f'y (x, у) =
= —k ограничена на всей плоскости. Поэтому можно утверждать,
что через каждую точку плоскости проходит одна и только одна
интегральная кривая этого дифференциального уравнения.
Если же взять уравнение j/ = yry + x, то в этом случае
функция f (х, у) = 2ргу-{-х непрерывна на всей плоскости, но ГУ{х,у) =
2
= -jj^r ограничена только в таких прямоугольниках R, которые
не захватывают оси ОХ (так как у = 0 на оси ОХ). Поэтому
теорема 1 гарантирует лишь то, что через каждую точку плоскости,
не лежащую на оси ОХ, проходит только одна интегральная
кривая этого уравнения.
Такой же вывод можно сделать и по отношению к уравнению,
рассмотренному в примере § 2.
Пользуясь приведенными выше геометрическими истолкованиями
решения дифференциального уравнения и начальных условий, можно
указать простой способ графичес- wi
кого решения дифференциального *
уравнения, то есть способ
приближенного построения интегральной
кривой, проходящей через
заданную точку М0 (считаем, что через
точку М0 проходит только одна
интегральная кривая).
Пусть точка М0 (х0, у0) (рис. 99)
является начальной точкой
построения. Возьмем абсциссу х± (близкую
кх0) и проведем прямую х==х1. Из
точки Мо проведем луч с угловым
коэффициентом, равным числу
Г (*о> Уо) (см. (1)) до пересечения с этой прямой. Обозначим Мх
(хъ У±) точку их пересечения. Ордината точки Мъ очевидно, может
быть найдена из уравнения луча М0Мх как из уравнения прямой,
проходящей через точку М0 (х0, у0) и имеющей заданный угловой
коэффициент /' (х09 у0):
У — Уо = Г(Хо, Уо)-(х — х0),
откуда У! = у0 + Г (х0, Уо)(х1 — х0). Далее, возьмем абсциссу х2
(близкую к xj и проведем прямую х=х2. Из точки М1 проведем луч
с угловым коэффициентом, равным числу f (хъ у±). Пусть точка
пересечения этого луча с прямой х = х2 будет М2(х2, У*)-
Продолжая такое построение дальше, получим ломаную МоМхМг---,
Рис. 99
329

которая приближенно изображает интегральную кривую
уравнения, так как по построению звенья этой ломаной (и по своему
расположению и по направлению) близки к соответствующим участкам
искомой интегральной кривой. Заметим, что каждое звено МпМп+г
касается в точке Мп той интегральной кривой, которая проходит
через точку Мп и располагается близко от искомой кривой.
Для построения каждого следующего звена ломаной находим
каждый раз ординату точки, из которой будем строить это звено,
используя уравнения предыдущего звена ломаной так, как это
было сделано для нахождения уг. Ясно, что, чем меньше разность
между абсциссами х0, хъ х2,..., тем лучше ломаная М0 Мi M2 • • •
воспроизводит -интегральную кривую (см. рис. 99).
Вопросы для самопроверки
1. Объясните, почему интегральная кривая касается-в каждой точке
соответствующего вектора поля направлений заданного дифференциальным уравнением.
2. Можно ли сказать, что через точку (0, 2) проходит только одна интеграль-
ная кривая уравнения у' = Ъу (см. пример из § 2).
3. Можно ли сказать, что через каждую точку плоскости проходит по одной
интегральной кривой уравнения (17) и (3) из § 1? Дайте подробное обоснование
ответа, опираясь на теорему 1.
§ 4. ПОНЯТИЕ ОБ ОСОБЫХ РЕШЕНИЯХ
Пусть дано дифференциальное уравнение
F(x9yt!n = 0. (1)
Если в точке М0(х0, у0) плоскости выполняются условия теоремы 1,
то через нее проходит только одна интегральная кривая этого
уравнения.
Если через точку M0(xQi yQ) плоскости проходит не одна
интегральная кривая уравнения (1), то могут представиться разные
возможности:
1) через точку Af0(*o» Уо) проходит несколько интегральных
кривых, и они в этой точке пересекаются (а не касаются), то есть
эти интегральные кривые имеют разные касательные в точке М (х09 у0)
(рис. 100). Это может произойти, например, в случае, когда дан-
У]
О
i
--ч
"^
j ха
^
У
у° \
w
Л
Рис. 100
Рис. 101
830

ное дифференциальное уравнение
распадается на несколько
уравнений. Тогда точке М0(х0, у0)
плоскости соответствует несколько
разных направлений, исходящих
из этой точки. При решении в этом
случае получаем такое семейство
интегральных кривых, что
несколько из них пересекаются
в точке MQ(xQf уо) и касательные
к ним совпадают с направле- Рис. 102
ниями указанного пучка.
2) Через точку М0(х0, у0) проходят по крайней мере две
интегральные кривые, касающиеся друг друга в этой точке, то есть
касательная к этим кривым в точке М0(х0, у0) общая (рис. 101).
Представим себе, что имеется кривая АВ на плоскости, такая,
что в каждой точке ее касается какая-нибудь интегральная кривая
уравнения (1) (рис. 102). В таком случае ясно, что сама кривая АВ
также является интегральной кривой уравнения (1). Действительно,
в каждой ее точке М (х, у) все три числа х, у и yf такие же, как
у некоторой интегральной кривой, и, следовательно, эти три числа
удовлетворяют уравнению (1).
Определение 1. Решение, график которого таков, что через
каждую его точку проходит по крайней мере еще одна касаюищяся
его интегральная кривая, называется особым решением
дифференциального уравнения.
Очевидно, что в каждой точке особого решения нарушаются
условия теоремы 1.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение у2 (1 + у'2) = а2
(а = const).
Это уравнение задано в виде, не разрешенном относительно if.
Разрешим его относительно у'\
yr = ±L Z_.
Таким образом, уравнение распадается на два уравнения, то есть
имеет место первый из рассмотренных выше случаев. Чтобы решить
эти уравнения, отделим в них переменные хну друг от друга,
введя обозначение уг = -~:
ydy
(при этом мы делили сбе части уравнения на ]/^ZT^F"
предполагая, что этот корень не равен нулю). Интегрируя обе части,
получаем: ±Ya2—у2 = х + С. Это и есть общий интеграл данного
уравнения (см. определение 2 из § 2). Можно несколько упростить вид
общего интеграла, возведя обе части равенства в квадрат:
а2-у2=^(х + С)2, или (х + С)2 + у2 = а2. (2)
331

Рис. 103
В такой записи видно, что общий интеграл представляет собой
семейство окружностей радиуса а с центрами в точках (С, 0),
то есть с центрами на оси ОХ. Так как постоянной С можно
придавать любые положительные и отрицательные значения, то центры
окружностей расположены сплошь по всей оси ОХ. На рис. 103
видно, что через каждую точку плоскости, лежащую в полосе
— а<^у<а ,проходят две пересекающиеся в этой точке окружности,
то есть две пересекающиеся в этой точке интегральные кривые.
Это происходит потому, что каждой точке полосы — а <у<.а
соответствуют два направления, являющиеся касательными к двум
окружностям в точке их пересечения, в силу того что данное
уравнение распадается на два уравнения. На рисунке 103 видно,
что две прямые у = а и у=—а состоят сплошь из точек касания
с окружностями (2). Следовательно, по определению 1 эти две
прямые представляют собой графики особых решений данного
уравнения. Очевидно, что они не могут быть получены из формулы (2)
общего интеграла ни при каком значении постоянной С. Эти два
особых решения были потеряны в процессе преобразования данного
уравнения, а именно в момент деления обеих частей уравнения на
|/~а2_у2# Производя деление, мы, естественно, предполагали, что
Ya2 — y2 Ф 0, то есть что у Ф ± а. Прямой же подстановкой в
уравнение убеждаемся в том, что обе функции у = а иу=—а
удовлетворяют уравнению, то есть являются его решениями.
Итак, решениями данного уравнения являются семейство
окружностей (2) и две прямые у = ±а.
Таким образом, видно, чго особое решение может иногда быть
найдено следующим путем: надо найти те решения уравнения,
которые могли быть потеряны в процессе преобразований. Для этого
надо проследить, не происходило ли в процессе преобразований
нарушения равносильности уравнений, и если таковые были, то
выявить те множители, которые могли давать решения исходного
уравнения. Полученные таким путем функции надо подставить
332

в исходное уравнение, чтобы проверить, действитетельно ли они
являются решениями. После этого надо еще проверить, не
содержатся ли полученные решения в записи общего решения, то есть
не могут ли они быть оттуда получены при каком-нибудь значении
постоянной С. Если нет, то их надо дописать отдельно к общему
решению уравнения.
Можно указать и другой способ нахождения особых решений,
для чего надо использовать понятие огибающей семейства
кривых (см. § 4 гл. XVI).
Огибающей семейства кривых называется такая кривая, которая
касается каждой кривой семейства и притом вся состоит из этих
точек касания.
Сравнивая это определение с определением 1, можем сказать,
что если семейство интегральных кривых, составляющее общий
интеграл дифференциального уравнения, имеет огибающую, то эта
огибающая является особым решением дифференциального
уравнения.
Способ нахождения огибающей семейства кривых, зависящего
от одного параметра, как известно (см. ссылку выше), состоит
в следующем: надо взять уравнение семейства кривых, то есть
в нашем случае общий интеграл дифференциального уравнения
Ф(х, у, С) = 0 (3)
и присоединить к нему равенство ^ = 0. Из системы равенств
Ф(х, у, С) = 0,
дФ
дС
= 0
надо исключить С. Результат исключения даст зависимость вида у =
= г|)(л:). Эта кривая может быть или огибающей семейства
кривых (3), то есть особым решением уравнения, или геометрическим
местом особых точек кривых (3) (точки возврата, узловые точки и
др.). В последнем случае функция y=ty(x) не является особым
решением уравнения.
Рассмотрим дифференциальные
уравнения вида У = ху' + ц>(уг)
(здесь ф {у') — какая-либо функция
от уг). Такие уравнения
называются уравнениями Клеро.
Напишем семейство функций у =
= Сх + Ф (С), где С — произвольная
постоянная. Очевидно, что
каждая из этих функций является
решением уравнения Клеро, так
как при подстановке в уравнение
обращает его в тождество.
Графиками этих решений являются Рис. 104
333

прямые линии. Они дают общее решение уравнения Клеро. Если это
семейство прямых имеет огибающую, то она будет особым решением
уравнения Клеро и его надо искать по указанному выше способу,
то есть исключением С из системы
у = Сх + ф(С), 0=х + ср'(С).
Пример 2. Дано уравнение Клеро у = ху' -\-у'2. Его общее решение имеет
вид: у = Сх+С2 (семейство прямых). Для получения особого решения исключим С
X X ( X \2
из системы у = Сх+С2, 0 = х+2С. Находим: С=—^, у= — -^ • *+( —д-) , то
х2
есть у=—~. Эта парабола и есть огибающая семейства прямых (см. рис. 104).
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Есть ли особые решения у уравнений из задач 1, 2 в § 1?
Решите следующие уравнения Клеро и сделайте чертежи семейства
интегральных кривых:
2. У = ху' + у'2. Отв. у = Сх + С2, х2 + 4г/ = 0.
3. y = xy' + -lt Отв. у = Сх+ ^, i/2 = 4*.
У *-
4. y = xt/ + Vl+y'*. Отв. у = Сх + У~\ + С2, х2 + у2=\.
§ 5. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Если дифференциальное уравнение имеет вид Р (х) dx = Q(y) dy,
то в кем переменные хну отделены друг от друга. Для решения
такого уравнения надо взять интегралы от правой и левой части
уравнения.
Действительно, данное уравнение можно записать в виде
d ^ Р (х) dx = d ^ Q (у) dy. При этом в правой части мы должны учесть,
что у есть функция от х. Однако благодаря инвариантной форме
дифференциала сложной функции (см. том I, гл. V, § 8) имеем:
d\Q{y) dy = Q(y) dy. Но если дифференциалы двух интегралов
равны, то совпадают и сами интегралы: ^Р (х) dx = ^Q(y)dy. Это
равенство дает общее решение данного уравнения. Произвольная
постоянная здесь явно не написана, так как она входит в состав
неопределенных интегралов.
Определение. Уравнением с разделяющимися
переменными называется уравнение вида
Р (х)М (у) dx + Q(x)N(y)dy = 0. (I)
Название уравнения объясняется тем, что в таком уравнении
можно «отделить» переменные х и у друг от друга, уединив все
члены с переменной х и dx в одной части уравнения, а все члены
с переменной у и dy — в другой. Для этого надо поделить левую
часть уравнения (1) на M(y)Q(x) (помня при этом указания, сде-
334

ланные в § 4 относительно возможного нарушения равносильности
уравнений):
Р(*)
Q(x)
dx--
N(y)
М(у)
dy.
Последнее равенство можно переписать в виде равенства двух
дифференциалов:
Рис. 105
откуда J^_-JJ^*,™ ^Л+Щ^о: (2)
произвольная постоянная С входит в равенство (2) в составе
неопределенных интегралов. Равенство (2) дает общий интеграл уравнения (1).
При решении уравнений с
разделяющимися переменными нужно также
находить и особые решения, если они
есть, таким же способом, как это было
проделано в примерах предыдущего
параграфа.
Уравнения с разделяющимися
переменными уже встречались при решении
задач 1, 3, 4, 6 и 7 из § 1.
Задача 1. Найти все плоские
кривые, обладающие тем свойством, что
подкасательная во всех точках кривой
сохраняет одну и ту же величину.
(Подкасательной кривой в точке М называется проекция на
ось ОХ отрезка касательной между точкой касания М и точкой
пересечения с осью ОХ.)
Из Д АВМ (рис. 105) видно, что подкасательная АВ равна ~.
у
Обозначим постоянную величину подкасательной через -, тогда по
условию задачи имеем:
ау=у'. (3)
Заменим у' на ¦— и перепишем уравнение в виде aydx — dy. Это
уравнение типа (1). Разделяя переменные, получаем:
Л = а dx.
У
Отсюда, интегрируя, находим: 1п|#| = ая + 1п|С| (С^О)*, \у\ =
= \С\еа
или
у = Сеах, где С ф 0.
(4)
* При интегрировании произвольную постоянную достаточно писать в какой-
нибудь одной из двух частей равенства.
335

В процессе разделения
переменных нам пришлось разделить обе
части уравнения на у, то есть
предположить, что у ^ь 0. Если же
рассмотреть функцию */=0, то видно,
что она удовлетворяет уравнению (3).
Она удовлетворяет и условиям
поставленной задачи, так как подкасатель-
ная во всех точках оси ОХ равна
нулю. Эта функция не может быть
получена из (4) ни при каком С Ф 0,
а так как С вводилось в процессе
решения под знаком логарифма, то
предполагалось, что С -ф 0. Поэтому,
строго говоря, к общему решению (4)
надо еще приписать решение у = 0.
Для того чтобы этого не делать,
в данном случае можно просто в
формуле (4) снять ограничение на С.
Тогда формула
Рис. 106
У = Сеа
(5)
где под С подразумевается любая постоянная, в частности и нуль,
содержит и решение у = 0 при С = 0. На рисунке 106 изображены
интегральные кривые (5). Из рисунка 106 видно, что решение у = 0
не является особым решением, так как ни одна из показательных
кривых (4) не касается оси ОХ.
По условию задачи я^0. На рисунке 106 кривые,
расположенные выше оси ОХ, отвечают положительным значениям постоянной С,
а кривые, расположенные ниже оси ОХ, отрицательным значениям С.
Таким образом, среди линий, отличных от оси ОХ, только
показательная кривая (4) обладает постоянной подкасательной. Это
геометрическое свойство полностью определяет показательную кривую.
Уравнения вида (3) также встречались при решении задач 1,
3, 6 и 7 (охлаждение тела, экстраток размыкания, естественный
рост, радиоактивный распад) в § 1. В задачах 1, 3 и 7
коэффициент а отрицательный.
Пример. Решить уравнение, рассмотренное в § 2,
_2_
у' = 3у*
и выделить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
у= 1 при х = 0.
Заменим в уравнении (6) у' на -~\
2 2
%=%У » dy = 3y dx.
336

Это уравнение с разделяющимися переменными: -^j=dx. Интегри-
JL ЗУТ
руя, получим: у =л:-}-С, откуда
у = (х + С)*. (7)
Соотношение (7) и есть общее решение уравнения (6). Надо
опять рассмотреть отдельно функцию у = 0, так как в процессе
решения при делении на у мы считали, что у Ф 0. Эта функция
удовлетворяет уравнению (6) и, очевидно, не может быть получена
из общего решения (7) ни при каком числовом значении С. Это
потерянное в процессе выкладок решение надо дописать к общему
решению (7), и окончательный итог решения уравнения запишется
следующим образом: y = (x-\-Cf и у = 0.
Определим указанное в условии частное решение, для чего
подставим начальные условия в (7): 1=0 + С, и найденное
значение С позволяет выделить из (7) искомое частное решение: у = (х+ I)3.
Интегральные кривые (7) представляют собой кубические
параболы, касающиеся оси ОХ. На рисунке 107 изображены эти
интегральные кривые. Так как через каждую точку оси ОХ
проходят две касающиеся интегральные кривые, то решение у = 0
является особым решением уравнения (6).
В частности, через точку (0, 0) проходят две интегральные
кривые: #=л:3 и у = 0, как уже было указано в примере § 2. Через
точку (0, 1), как мы сейчас выяснили, проходит только одна
интегральная кривая: r/ = (x+1)3. Это соответствует тому, что, как
было указано в примере из § 2, в окрестности этой точки
справедливо утверждение теоремы 1 из § 2.
Замечание. При интегрировании дифференциального
уравнения внешний вид записи общего решения зависит от того, где и
в каком виде была
прибавлена произвольная по- YI
стоянная. Например, при
решении уравнения xdy —
— ydx = 0 можно
написать результат или в
виде In \у\ = In \х\ + In \С\,
откуда у = Сх, или же в
виде In \у\ + In \С\ = In \x\,
откуда Су = х. При
нахождении частного
решения может оказаться, что
одна из форм записи
общего решения пригодна
для этой цели, а другая
нет. Например, пусть для Рис. 107
337

приведенного выше примера предлагается найти частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям: у = 0 при х=1. Из первой
формы записи общего решения у = Сх находим: 0 = С-1, то есть С = 0;
отсюда искомое частное решение имеет вид: у = 0. Общее решение
изображалось пучком прямых, проходящих через начало координат,
а найденное частное решение есть одна из прямых этого пучка,
ось ОХ; она единственная из всех прямых пучка проходит через
точку (1, 0). Вторая же форма записи общего решения не позволяет
определить искомое частное решение по заданным начальным
условиям; а именно при подстановке начальных условий в формулу
Су = х. Получаем: С-0=1, что не дает возможности определить С.
Поэтому, если оказывается, что найти частное решение по
начальным условиям из общего решения не удается, то надо попробовать
как-нибудь иначе, чем это было уже сделано, ввести
произвольную постоянную. Это может помочь найти нужное частное
решение.
Задача 2. Материальная точка массой в 1 грамм движется
прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени
(время отсчитывается от момента t = 0) и обратно пропорциональной
скорости движения точки.
Найти формулу для скорости движения материальной точки,
если известно, что в момент времени t=\0 сек скорость была
равна 50 смjсек, а сила равна 4 динам.
Запишем величину действующей силы, учитывая условия задачи:
F= —, где Ь — коэффициент пропорциональности, который можно
определить из начальных данных: 4=^-, 6 = 20. Известно, что
ускорение движения w есть производная от скорости по времени.
По второму закону Ньютона имеем: mw=F, то есть
Это и есть дифференциальное уравнение движения точки, в
котором неизвестной функцией является скорость движения v.
В уравнении можно разделить переменные vdv — 20t dt. Проинтег-
1 С
рируем обе части: -2-а2=10/2 + -?>- (Прибавим произвольную постоян-
ную в виде ?- лля удобства записи.) Отсюда находим:
v2 = 20t2 + C. (9)
Это и есть общий интеграл уравнения (8). Используем начальные
условия задачи для определения значения С: 2500 = 20-100 +С,
С = 500. Итак, подставляя найденное С в (9), имеем: а2 = 20/2 + 500
и искомая формула для скорости имеет вид: у = ]/20/2 + 500.
338

Упражнения
1. Решите уравнение у' sin х = у In у и выделите интегральную кривую, про-
/ JX \ *
ходящую через точку 1-~-, 1 . Отв. j/ = ectg?r; y=l.
2
2. Найдите частное решение уравнения (I + ех) уу' = ех, удовлетворяющее на-
/ II рХ
чальным условиям: г/=1 при x=l. Отв.у=у l -f-21n —-!-—•
г * ~т~?
3. Найдите общий интеграл уравнения у' = ' * •
О/пв. (l+i/2) (1+a:2) = Ca:2.
4. Решите уравнение a; ]/*1 —- у2 dx+y У 1 —х2 dy = 0.
ОтвУТ^х^ + УТ^^С и */=± 1.
5. Найдите общее решение уравнения г/ In г/—ху' = 0. Изобразите на чертеже
семейство интегральных прямых. Отв. у~еСх,
6. Найдите кривые, для которых поднормаль имеет постоянную величину а.
{Поднормалью называется проекция на ось ОХ отрезка нормали между точкой,
в которой она проведена, и ее пересечением с осью ОХ.) Отв. у2 — 2ах-\-С.
7. Найдите кривые, для которых радиус-вектор равен длине касательной
между точкой касания и осью ОХ.
Указание. При записи условий задачи получите соотношение х2 (у')2 = у2,
которое распадается на два уравнения. Отв. у = Сх и ху = С.
8. Найдите формулу для скорости движения моторной лодки после
выключения ее мотора на полном ходу, если известно, что движение с выключенным
мотором происходило со скоростью 10 км/час у а через 20 сек после выключения
мотора скорость лодки уменьшилась до 6 км)час. Считается, что сопротивление
воды движению лодки пропорционально ее скорости.
/5 \—180^
Указание. См. задачу 2 в тексте. Отв. v = 101 —
9. Пуля входит в доску толщиной 10 см со скоростью 200 м/сек, а вылетает
из доски, пробив ее, со скоростью 80 м2/сек. Считая, что сила сопротивления
доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найдите,
сколько времени продолжалось движение пули через доску.
Указание. Найдите сначала выражение переменной скорости движения пули
внутри доски и, проинтегрировав его, найдите выражение для пути, пройденного
внутри доски; приравняв полученное выражение десяти сантиметрам, найдите
оттуда искомое время t. Данные в задаче начальную скорость и скорость после
выхода из доски употребите для определения числовых значений произвольной
постоянной интегрирования и отношения коэффициента пропорциональности к
массе пули.
Отв. * = 0,00082 сек.
§ 9. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Функция двух переменных / (х, у) называется однородной
функцией степени однородности т, где т целое, если при любом k
выполняется следующее равенство:
f(kx, ky) = kmf(x, у).
Например функция f (х, у)=х2у — 4у3-\ однородная функция
3(kx)*
третьей степени, так как (Ах)2 (ky) — 4 (ky)3 + y(k ' = k3 (x2y — 4j/3 -f-
839

Н i; Функция / (х, у) = In однородная функция нулевой
степени, так как In ^- = \n- = k°\n -.
ky у у
Покажем, что всякую однородную функцию нулевой степени
можно представить в виде функции отношения -. Пусть f (х, у) —
однородная функция нулевой степени. Возьмем множитель k =
= -; по определению однородности имеем: / (х, y) = f (1, -ив
правой части действительно стоит функция только отношения-. Пусть
теперь f(y, х) — однородная функция степени т. Очевидно, что
функция т будет однородной функцией нулевой степени и
f(*> У) /У \
по указанному выше можно написать.-^^ = ф(^), откуда
f(x9 у)=хт^^~). (1)
Это общий вид однородной функции степени т.
Определение. Однородным уравнением первого порядка
называется уравнение вида
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0,
где Р (х, у) и Q(x, у) —однородные функции одной и той же
степени однородности.
Решение такого уравнения проводится путем введения новой
переменной / = -(или t = ~V с помощью которой уравнение
превращается в уравнение с разделяющимися переменными. Действительно,
пользуясь формулой (1), можно переписать однородное уравнение
в следующем виде:
xrny(y\dx + x^(y\dy==0. (2)
Мы будем предполагать, что функции Р (х, у) и Q (х, у) не
содержат общего множителя xk> ибо если бы такой множитель был,
то уравнение распалось бы на два: х =0; fe dx-\--'ky' dy = 0.
В этом случае второе уравнение уже не содержит множителя xk.
Таким образом, хт^0 и можем разделить обе части
уравнения (2) на хт:
q>(yv)dx + ^(y--)dy = 0.
\х J ' ' \х t
Полагаем - = ty откуда y = txr dy = tdx + xdt. Подставляя эти
значения в последнее уравнение, имеем:
Ф (t) dx + q (t) • (t dx + xdt) = 0,
340

или
[<p(t) + t-$(t)]dx + xty(t) dt = 0.
Получилось уравнение с разделяющимися переменными, которое и
решаем, как было указано в § 4:
— — ^ (*) dt
отсюда
1п\х\^1п\С\-\-Ш^-
(t) + ty(t)
и, потенцируя, получаем: х = С -со(/), где через со (?) обозначено
все выражение, содержащее t в правой части. Заменяя t
отношением^-, получаем окончательный вид общего интеграла:
х = С-со(|-). (3)
Как всегда, надо следить за тем, не были ли потеряны решения
при делении на ср (t)-\-tty(t).
Интегральные кривые однородного уравнения обладают
интересным геометрическим свойством: они все подобны друг другу и
центр подобия находится в начале координат.
Действительно, преобразование подобия плоскости XOY с
центром подобия в начале координат сводится к тому, что точка М (х, у)
переходит в точку Mi(kx, ky). Применим это преобразование к
какой-нибудь определенной кривой л: = С0 • со f—j из семейства (3);
положим kx = \,ky = r\, откуда
'•С0-(о[ -у ], или ? = С0-?-со
Обозначая С0-к = Съ мы видим, что после преобразования взятой
кривой получим другую кривую х = С1'(о(-\ из того же
семейства (3).
Пример 1. Решить уравнение (х2-~ у2) dx-\~2xy dy = 0.
В приведенных выше обозначениях Р (х, y)z=x2 — y2 и Q (х, у) = 2ху обе
функции являются однородными функциями второй степени, следовательно, данное
уравнение однородное. Вводим новую переменную, полагая y = tx. Тогда dy =
= ? dx + xd?t и уравнение после подстановки имеет вид:
(х2 — t2x2) dx + 2xtx (t dx + xdt) = 0, x2 [(1 — t2) dx + 2t (t dx + x dt)] = 0,
(\-t2) dx+2t (t dx + xdt) = 0t (l+t2)dx+2txdt = 0.
Разделяем переменные:
dx , 2t dt __ 0
T » T+l2
341

Рис. 108
(так как делим только на х и на
сумму квадратов 1 +12, то потери воз-
можных решений нет); интегрируем:
In | х | + In (1 +12) = In С; потенцируем:
x(\+f2) = C и заменяем t через --
л:2 -|- у2 = Сх. Делаем преобразование:
/ С\2 , й С2
после чего становится ясно, что имеем
семейство окружностей с центрами в
точках/-^-, 0) на оси ОХ и с
радиусами, равными -JT-. Все эти окружности касаются оси OY в начале координат и
подобны друг другу (см. рис. 108).
На рисунке 108 видно, что в начале координат кривые касаются друг друга
и оси OY. Таким образом, можно сказать, что точка (0, 0) является особой для
данного уравнения, так как в ней нарушается утверждение теоремы 1. Происходит
это потому, что если данное уравнение (х2 — у2) dx -f- 2xy dy =±= 0 переписать в виде
*/' = /(*, у), то получим: у' ¦
х2 — у2
. Функция / (х, у) = •
х2 -у2
2хУ ' — —/ 2ху «е опреде-
лена на координатных осях, в частности в точке (0, 0). Следовательно, первое
условие теоремы 1 не выполняется в окрестности точки (0, 0).
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение, которое было получено
при исследовании задачи 2 из § 1 (см. там (6)): —f—х = }^х2 + у2.
Заменив у' на -р, получим:
ydx-(x+yX2 + y2)dy = o.
(4)
= —; отсюда x = tyy dx = t dy-\~y dt.
В этом уравнении Р (х, у) = у и Q (х, у)——х — \гх2 + у2; обе функции
—однородные первой степени, следовательно, уравнение однородное. Введем переменную t,
положив на этот раз t ¦¦
Уравнение преобразуется следующим образом: у (t dy-\-y dt) = if у + Yt2y2-\-y2) dy,
t dy + y dt = (t -i-Vt^FO dy> ydt^VT+Pdy.
Разделяем переменные: = — и интегрируем: In | t + Yl+t2! + *п I С! =
= 1п|*/|. Потенцируем: С- {t +Y\+t2)=y\ заменяем t через —:
С(х + УхЧТ2)=у2.
Это равенство дает общий интеграл уравнения (4). Сделаем дальнейшие упрощения:
— Сх + у2 = СУх2 + у2] С2х2 — 2Сху2 + у* = С2х2 + С2у2; —2Сх + у2 = С2 и
окончательно
у* = 2с(х+?
(5)
Из аналитической геометрии известно, что это семейство софокусных парабол
(фокус в начале координат) с вершинами в точках ( ~-, 0) и с параметром 2С.
342

Таким образом, кривая, получающаяся в
сечении рефлектора, есть парабола,
расположенная так, как показано на рисунке 109.
Для решения задачи 2 нужен один ответ, то
есть из общего интеграла (5) надо выделить
одно частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям задачи. В задаче должны
быть известны размеры зеркала рефлектора,
то есть диаметр d и глубина h. Используя эти
данные, получаем из рисунка 109 и из (5):
*о + у = й, у0 ^у, уЪ = 2С[х0 + —
откуда C = g^.
Подставляя это значение С в (5), имеем
уравнение параболы, получающейся в
сечении рефлектора данного размера:
Дифференциальные уравнения вида
ах + Ьу+с
Ук ^
\ °
, *° х
ЛЧ
1
ъ
\
i
Л
1
Рис. 109
У =
aix+biy+ct
(6)
легко приводятся к однородным уравнениям введением новой
переменной. Поясним это на примерах.
Пример 3. Решить уравнение
2х-у+\
у ~~\+х,
dy
-ъу
Заменяя у' на -^ получаем:
(2x-y+\)dx+(2y-x-\)dy = Q.
Введем вместо х и у переменные s и г, связанные с х и у линейной
зависимостью
x=s + a, у = г + $, (7)
вследствие чего dx — ds и dy — dr. Постоянные аир надо
подобрать так, чтобы множители в уравнении при ds и dr были
однородными функциями первой степени. Для этого надо, чтобы в этих
множителях
2х—y+l=2s + 2a — г—р + 1,
2у—х— l=2r + 2p — s—а— 1
отсутствовали свободные члены, то есть чтобы было
2а —р + 1=0,
2р — а—1=0.
1
Из этой системы уравнений находим: а = — у и р = у и
подставляем их в формулы (7): x = s — -~- и у = г-\--~-. Заменяя х и у
343

в данном уравнении, используя эти формулы, получаем однородное
уравнение в переменных s и г:
(2s—r)ds + (2r — s)dr = 0.
Решаем это уравнение по правилам решения однородных уравнений,
вводя переменную t=—, и получаем общий интеграл (проделайте
сами все выкладки): г2— r-s + s2 = C. Возвращаясь от переменных
г и s к старым переменным х и у, получаем окончательный вид
общего решения данного уравнения: х2 + у2 — ху—у + х = С1.
Указанный прием неприменим в тех случаях, когда система
уравнений для нахождения аир несовместна (это получается
тогда, когда коэффициенты при х и у в числителе и знаменателе
уравнения (6) пропорциональны). В таком случае надо вводить
новую переменную v по формуле ax+by = v; после подстановки
в уравнение (6) получится уравнение с разделяющимися
переменными х и v, которое решается обычным приемом.
х + у+1
Пример 4. Решить уравнение у' = ¦
2х+2у— 1
В этом уравнении коэффициенты при х и у в числителе и знаменателе
пропорциональны. Принимая ео внимание указания, приведенные в конце последнего
примера, введем новую переменную по формуле x-\-y = v. Перепишем данное
уравнение в виде (х + у-\-\) dx-\-(2x-\-2y — 1) <if/ = 0 и заменим переменные (v~\-l)dx-j-
+ (2v — 1) (dv — dx) = 0, (dx + dy = dv, dy = dv — dx). Разделим переменные: (v -j-
+ l—2v+l)dx+(2v—l)dv = 0,
, , 2v — 1 , n
dx+ 2_v dv = 0.
Решаем это уравнение (проделайте сами все выкладки) и получаем общий
интеграл: 2^ + 3 In | v — 2 \=х + С. Возвращаясь к переменным х и у, находим
окончательный вид общего интеграла данного уравнения:
х+2у + 3 In | х+у—2 \ = С.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Являются ли приведенные ниже функции однородными? Если да, то укажите
степень однородности:
4ДД-Л2 + У2. ()/"х^ + 2у)\ 2х + у ш
2У + Х > х* + у* ' Ъх + Ьу'
In f- Ax\ x\n у.
X
2. Решите уравнение xdy — ydx = ydy. Отв. \n\y\-\ — С.
3. Решите уравнение (х + у) dx + (у — х) dy = 0. Отв. In )Л;2-|-?/2 = агс tg—+C.
4. Найдите общий интеграл уравнения (x2-\-2xy — y2)dx~\-(y2-\-2xy—x2)dy=0
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у=^\ при х—\.
Изобразите на чертеже семейство интегральных кривых. Отв. х-\-у — С (х2-{-у2);
х+у = 0.
344

5. Решите уравнение у2 dx + (х2 — ху) dy = О Отв. уе Х=С.
arctg У-.
6. Решите уравнение (х2-\-ху-\-у2) dx = x2dy. Отв. х = Се х
7. Решите уравнение у' = — -\ . Отв. у = х У2 In | x \ + С .
х у
8. Найдите общий интеграл уравнения xdy — ydx = y\n — dx и частное
решение, удовлетворяющее начальным условиям: # = 1 при х=\. Отв. С* = 1п
У_
х
у=х.
х-4-у 2
9. Решите уравнение у' = __ _А. Отв. х2 — у2 + 2ху — Ах-\-8у = С.
У % ^
Зд- 4г/ 2
10. Решите уравнение у' = ^ т~—q- ^/7Ze* x~У + С = \п \ Зх — 4#+1 |.
11. Найдите линию, у которой начальная ордината любой касательной равна
соответствующей поднормали. Отв. х = у In | Су |.
12. Найдите линии, у которых длина радиуса-вектора любой точки М равна
расстоянию между точкой пересечения касательной в точке М с осью OY и
началом координат. Изобразите на чертеже полученное семейство кривых.
Отв. х2 = 2Су+С2
§ 7. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение. Линейным уравнением первого порядка
называется уравнение вида
y' + P(x)-y=f(x), (1)
где Р (х) и f (x) — непрерывные функции.
Название уравнения объясняется тем, что производная
у'—линейная функция от г/, то есть если переписать уравнение (1)
в виде у' = —Р {x)y-\-f (x)t то правая часть содержит у только
в первой степени.
Если /(х)=0, то уравнение (1) обращается в уравнение с
разделяющимися переменными:
y' + P(x)-y = 0; f = -P(x)dx.
Если Р(х) = 0, то уравнение (1) принимает еще более простой вид:
y'=f(x). В общем случае переменные в уравнении (1) разделить
нельзя.
Уравнение (1) решается следующим образом: будем искать
решение в виде произведения двух функций и(х) и v (x):
y = u-v. (2)
Найдем производную:
y' = u'v + uv' (3)
и подставим эти выражения в уравнение (1): ufv-\-uvr -\-Р (х)и-х =
= f(x). Сгруппируем слагаемые в левой части:
u'v + и [v' + Р (х) • v] = f (x). (4)
345

До сих пор мы не делали никаких предположений относительно
функций и и и. Теперь наложим условие на один из множителей
(2), а именно, предположим, что функция v(x) такова, что она
обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в квадратных
скобках в (4), то есть что она является решением
дифференциального уравнения
vf+P(x)v = 0. (5)
Подберем какую-нибудь функцию v, удовлетворяющую этому
уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными; находим
из него v(x):
dv
dx
= —P{x)-v\ ^=—P(x)dx; 1пу=- [ P(x)dx;
X
- J Plx)dx (6)
v = e x°
Нам достаточно найти только одно решение уравнения (5), поэтому
в последней формуле мы пишем в правой части одну первообразную
(см. замеч. 1 к теореме из § 5 гл. IX том I; выбор числа х0
означает выбор той или иной первообразной). Мы получили, что v=?Q;
поэтому условие (5), наложенное на функцию v, не противоречит
равенству (2). Действительно, любую величину можно представить
в виде произведения двух сомножителей, из которых один отличен
от нуля.
Найдя функцию v(x), переходим к разысканию функции и(х)\
она должна быть такой, чтобы при уже найденной функции v
произведение U-V было решением уравнения (4). Для этого надо,
чтобы и(х) была решением уравнения
X
— J P(x)dx
u'e x° =f(x) (7)
(это то, во что обращается уравнение (4) при подстановке туда
вместо v(x) выражения (6)). В написанном уравнении переменные
X
J P(x)dx
также разделяются: du=f {x) • ех° , откуда
X
Xr* J P(x)dx
и= fix)*0 -dx+C. (8).
Хо
Подставляем найденные функции (6) и (8) в формулу (2) и
получаем общее решение линейного уравнения (1):
у = е *°
346
J P(x)dx\ xp J* P(X)dx
[/(*)**• dx+C
(9)

Таким образом, указанный прием (способ Бернулли) сводит
решение линейного уравнения (1) к решению двух уравнений (5) и (7)
с разделяющимися переменными.
Линейное уравнение (1) не имеет особых решений. Действительно,
из самого вывода формулы (9) видно, что в ней содержатся все
решения уравнения. Для каждых заданных начальных условий из
(9) можно определить одно-единственное соответствующее значение С,
так как С входит в формулу (9) линейно, а коэффициент при С
отличен от нуля.
При решении примеров не следует пользоваться готовой
формулой (9), а надо находить постепенно функции и(х) и v(x), так
же как это было сделано в общем случае.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
у' + Зу = е2Х.
Здесь Р(х) = 3, f(x) = e2X. Подставляем выражения (2) и (3) вместо
у и у' в уравнение: u'v + uv' + 3uv = e2X; u'v + u[v' + 3v] = e2X.
Находим v из уравнения (5): v' -\-3v=0\ сг = — ^х'9 ~3^nv== — х'
•$/~v=e~x) v = e~3X. (Так как нижний предел интеграла в (6) можно
выбирать произвольно, то это означает, что можно брать любую
первообразную. Будем выбирать ту первообразную, для которой
произвольное постоянное слагаемое равно нулю.) Находим и из
уравнения (6): и' -e~3X=e2X; du = e?x-dx\ и = -^-^х + С. Подставляем
найденные выражения ии ив формулу (2) и получаем общее решение:
у = е-**-[\#* + С\\ у=\е2Х + С-е~зх.
\5 * ^У' *— 5
Задача. Основное уравнение для силы тока I в контуре с
заданной переменной электродвижущей силой A sin cot с заданным
коэффициентом самоиндукции L и сопротивлением R имеет вид:
RI + L^r = Asm(Dt.
at
Найти формулу для силы тока в любой момент времени.
Например, в цепь включен источник периодического переменного
тока или же контур вращается в однородном магнитном поле
с угловой скоростью со, что индуцирует в контуре переменный ток.
Кроме этой внешней э. д. с, в контуре будет действовать э. д. с.
самоиндукции — L-r., так как сила тока в контуре меняется (см.
задачу 3 из § 1). Уравнение (7) задачи 3 получается из
приведенного выше уравнения при отсутствии внешней э. д. с.
Это уравнение линейное. Решим его обычным приемом. Перепи-
dl . R r A . Т
шем уравнение в виде -? + -?-/=ysin©/, положим I = uv, откуда
I' = u'v + uv'; u'v + uv' + j-uv = ~ sin at; u'v + u\v' + ~v^.==^sm(i)t.
347

Находим v:
i , R n dv R dv R j. , R ,
V+Zv = 0' 1t=--Lv> T = ~Ldt> lno = -?f,
v=e L .
Находим и
R
u'e L = у since/, du = jeL sin со/, «=\ y6L sin со/ d/.
Воспользуемся известной формулой для интеграла:
(эта формула получается интегрированием по частям). Тогда
- -у- sin со/—со cos со/ Я .
»-г—зр—;—е +с-
или
R
А*'
U = R*+IA& ^ Sm ®* — ®1 C0S <°0 + С'
Таким образом, получаем общее решение:
д
I = uv= n2 , L2tf(R sinco/—-coLcosco/) + Ce L
Второй член в правой части быстро убывает с возрастанием / и
быстро перестает оказывать заметное влияние на силу тока.
Поэтому фактически сила тока будет определяться только первым
слагаемым правой части:
1 *** R2+LW ^sin и* — ®1 cos
доделаем преобразование:
т A I R . . coL Л
I я« - г =- sm со/ cos со/ .
УЯ2+/Ао2 VK^2 + L2co2 ]/0?2 + L2co2 /
Так как сумма квадратов коэффициентов при sin со/ и cos со/ равна
единице, то можно их считать синусом и косинусом некоторого
угла ф. Тогда получим:
А А
1 ' (cos ф-sin со/ — sin ф • cos со/) = -^ sin (со/ —ф).
VR2+L2(D* "|/^2+L2C02
Отсюда видно, что сила тока, так же как и заданная
электродвижущая сила, подчиняется синусоидальному закону и имеет ту же
частоту, но сдвинута по фазе на угол ф. Сила тока и
электродвижущая сила не одновременно проходят через наибольшее и
наименьшее значения и не одновременно достигают нулевого значения.
348

Величина Leo называется индуктивным сопротивлением. При
большом со слагаемое (La))2 велико и тогда сила тока значительно
меньше той силы тока, которая была бы, если бы не было
самоиндукции.
Таким же приемом, как и линейные уравнения, можно решать
уравнения вида
y' + P(x)y = f(x)-ym (10)
(так называемые уравнения Бернулли), где т — любое
вещественное число (при т = 0 и при т=\ уравнение (10) обращается в
линейное уравнение).
Пример 2. Найти общее решение уравнения у'-\ у = — 2х2у2.
Здесь Р (х) = —, /(*) = — 2x2t /я = 2. Подставляем в уравнение выражения
(2) и (3) вместо у и у': u'v-{-uv'-{ u-v = — 2x2u2v2, или
u'v+u [V + -^ v 1 = — 2x2u2v2. (11)
Находим v из уравнения (5): v' -\ u = 0; —= dx, lnu = —In x\ v=—.
Находим и из уравнения (11), подставив туда найденную функцию v:
и'. — = -2х2и2-~; и' = — 2и2х\ i*!±- = —2xdx; — — = — х2 — С; и = - 1
х х2' 'и2 'и ' х2 + С
Подставляем найденные выражения для и и v в формулу (2) и получаем общее
решение данного уравнения:
_ 1
У~ х* + Сх '
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Проверьте, что линейное уравнение #' =—P(x)y + f(x) удовлетворяет
условиям теоремы существования и единственности решения, приведенной в § 2.
2. Объясните подробно, почему всякую функцию можно представить в виде
произведения двух сомножителей, из которых один имеет вид е—<^*).
3. Найдите общее решение уравнения (\-\-х2)уг—2ху — (\-\-х2)2.
Отв. у = (1+х2)(С + х).
4. Найдите частное решение уравнения у' —-Зх2у = хъ-{-х2, удовлетворяющее
5 з х3 2
начальным условиям: #=1 при # = 0. Отв. у = —-ех —= =-,
О О о
, 2 / X2'
5. Найдите общее решение уравнения у'-\-2ху = хе~~х~. Отв. y=e~x lC+-^
6. Найдите частное решение уравнения у'-\-у cos x= sin x cos x,
удовлетворяющее начальным условиям: у = 2 при х = 0. Отв. у — Ъе~sin* + sin x— 1.
7. Найдите частное решение уравнения у'-\-х2у = х2, удовлетворяющее
начальным условиям: у=1 при х = 2. Отв. у=\.
8. Найдите общее решение уравнения у' -\-2ху — 2х*у*.
Отв. у-
v
Се2*> + х* + ±
349

9. Найти общее решение уравнения у' + — — ——
х cos2 х'
C + lncosx\2
О те
• 0 = (tg* +
10. Найдите частное решение уравнения у' ^-у sin x—y* sin x,
удовлетворяющее начальным условиям: #=1 при * = -q- Отв. у3 —
2 ' * Aecosx-3'
11. Материальная точка массы т движется прямолинейно под действием силы,
пропорциональной времени, отсчитанному от начала движения; сопротивление
среды пропорционально скорости движения. Найдите формулу для зависимости
скорости от времени.
Отв. v = ~lt 1 е т), где р и q — коэффициенты
пропорциональности.
12. Найдите линии, у которых начальная ордината любой касательной на две
единицы масштаба меньше абсциссы точки касания. Отв. у = Сх — х\п\х\ —2.
§ 8. УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
Определение. Уравнение вида
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0,
где левая часть представляет собой полный дифференциал
некоторой функции двух переменных, называется уравнением в полных
дифференциалах.
(Напомним, что полный дифференциал функции двух
переменных F(x, у) имеет вид: dF = -^-dx + j- dy. J
Обозначим эту функцию двух переменных через F(x, у). Тогда
уравнение (1) можно переписать в виде dF (х, у) = 0, а это
уравнение имеет общее решение (см. гл. XV, § 3) F (х, у) = С. Придавая С
различные числовые значения, получаем, как обычно, отдельные
частные решения.
Пусть дано уравнение вида (1). Для того чтобы узнать, является
ли оно уравнением в полных дифференциалах, нужно проверить,
является ли выражение
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy (2)
полным дифференциалом некоторой функции двух переменных.
Известно (см. следствие из теорем 2—3, § 6, гл. XIX), что для этого
нужно проверить, выполняется ли равенство
дР __ 6Q ,ъ
Допустим, что для данного выражения (2) равенство (3) выполняется
в некоторой односвязной области (S) и, следовательно,
выражение (2) является полным дифференциалом некоторой функции F (х, у)
в (S). Применяются два способа нахождения этой первообразной.
350

Один из них основан на использовании криволинейных
интегралов (см. пример 5 из § 6 гл. XIX). Другой способ заключается
dF
в следующем. Нужно найти такую функцию F(x, у), чтобы ^ =
6F
= Р(х, у) и 0- = Q(x, у). Положим
х
F(x, y)=\P{Xi y)dx + cp(y), (4)
где функция ф (у) будет определена ниже. Из формулы (4) тогда
следует, что
% = Р(х,У) (5)
во всех точках области (2). Теперь подберем функцию <р(у) так,
чтобы имело место равенство
f=Q (*.</)• (6)
Для этого перепишем нужное нам равенство (6), подставив вместо
F (х, у) ее выражение по формуле (4):
ду
г *
\j P(x, y)dx + q>(y)
Uo
-Q(x,y). (7)
Произведем дифференцирование по у под знаком интеграла (это
дР
можно делать, когда Р (х, у) и -* непрерывные функции двух
переменных, что имеет место в нашем случае; см. гл. XVI, § 8):
X
^fxdx + <p'(y) = Q(x,y). (8)
г- /оч дР dQ дР 6Q Л Л
Так как по (3) -т- = -^, то, заменяя ^- на -^ под знаком интеграла
(8), имеем: у'{y) = Q{x% у)— jj ^dx = Q(xi y) — Q(x, у)
1*0
= Q(x, y) — Q(x, y) + Q{x0, y)=Q(x0i y).
Проинтегрировав по у, найдем самую функцию ф (у), которая
построена нами так, что выполняется равенство (6). Используя ра-
dF 6F
венства (5) и (6), видим, что dF (x, y) = -rcdx+j-dy = P (x, y)dx +
+ Q(x, y)dy в области (S), то есть функция R(x, у) является
искомой функцией.
Пример 1. Выяснить, является ли уравнение
(6х2у2 + 6ху — 1) dx + (4x*y + 3x* + 2y) dy = 0
уравнением в полных дифференциалах, и найти его общее решение.
В данном примере Р (х, у) = 6х2у2 + 6ху — 11 Q (xt y) = 4x3y + 3x2 + 2y.
351

in a A
Найдем частные производные: -~- = \2x2y + 6x, ~ = 12х2у-{-6х.
Следовательно, равенство (2) выполняется на всей плоскости и поэтому левая часть данного
уравнения является полным дифференциалом от некоторой функции двух
переменных. Для того чтобы эту функцию найти, применим указанный выше прием.
Так как нижний предел интеграла х0 в формуле (4) можно выбрать
произвольно (то есть можно писать любую первообразную для функции Р (х, у) при
постоянном у), то при решении примера будем просто писать знак
неопределенного интеграла, подразумевая под этим какую-то первообразную. Положим по
формуле (4):
F(x,y) = l(6x2y2 + 6xy-\)dx+(p(y) = 2x*y2 + Zx2y--x + q>(y). (9)
Для определения <р' (у) воспользуемся формулой (7): 4x3y-{-Zx2-\-(p'(у) = 4х3у-\-
-\-Зх2 + 2у. Отсюда ф' (у)—2у и ф (у) = у2 + С. Подставляя найденное выражение
функции ф (у) в (9), получаем искомую первообразную: F (х, у) = 2х3у2 + 3*2# —
— х+у2-\-С. Тогда данное уравнение принимает вид: dF (x, у) = 0 и его общий
интеграл можно записать в виде 2х3у2-{-Зх2у — х-\-у3-\-С = Сх. Так как нет
надобности оставлять в записи две постоянные, а можно их объединить в одну, то
окончательный вид общего интеграла следующий: 2х3у2-\-Зх2у —х-\-у2 = С2-
Пример 2. Рассмотрим уравнение
2xydx+x2dy = 0. (10)
Его можно решать как уравнение с разделяющимися переменными, но можно
рассматривать и как уравнение в полных дифференциалах, так как d(x2y) —
= 2ху dx+x2 dy. Поэтому общий интеграл уравнения (10) можно сразу написать
в виде
х2у = С. (11)
В связи с примером 2 сделаем одно замечание.
Если в уравнении {10) произвести сокращение на множитель х,
то уравнение
2ydx + xdy = 0 (12)
уже не будет уравнением в полных дифференциалах. Умножение
обеих частей уравнения (12) на множитель х превращает его в
уравнение в полных дифференциалах (10). Но для уравнения (12) можно
найти и другие множители, обращающие его в уравнение в полных
дифференциалах. Например, умножив обе части уравнения (12) на
—, получаем:
2.- + f = 0, или d\n(x*y) = 0,
откуда общий интеграл будет \п(х2у) = С, или х2у = Съ что
совпадает с формулой (11). Можно умножить обе части уравнения (12)
на —т= > тогда
2уу
V~y dx+-^=dy=0, или d(xVy) = 0,
откуда общий интеграл будет хУу =С, или х2у = Съ то есть опять
получаем формулу (11).
Таким образом, мы видим, что можно подобрать много
различных множителей, умножение на которые превращает уравнение (12)
в уравнение в полных дифференциалах. Все такие множители
называются интегрирующими множителями уравнения.
352

Вопросы для самопроверки и упражнения
1. На основании какого свойства интеграла с переменным верхним пределом
утверждается, что (5) следует из (4)?
Выясните, являются ли следующие уравнения уравнениями в полных
дифференциалах, и найдите их общие интегралы:
2. (3*2 + Ьху2) dx + (6х2у + 4#з) dy = 0. Отв. Xs + З*2у* + */4 = С.
3. (х* + 3ху*) dx+(y* + 3x*y) dy = 0. Отв. х* + 6х*у*+у* = С.
4. \\+е~У) ' * Л Л ~
+ eyjdx + \\ \eydy = 0. Отв. х+уеУ = С.
5. (Зх2у - Аху2) dx+(х3 - 4л% + 12г/3) dy = 0. О/яв. х3*/ - 2х2у2 + 3#* = С.
У1ё+72 х* х
7..—гт^-^ T^r-dy^Q. Отв. —— 4- = С.
*3^2 д-2^3 * у2 х2
8. (2**/— \ny)dx+(x3+l — —)dy = 0. Отв. х2у — х\пу + у = С.
У J
2х dx ц2 Зх2
9. Найдите частное решение уравнения—^ \--—^—dy = 0, удовлетворяю-
У У
щее начальным условиям: г/=1 при х=\. Отв. у = х
10. Найдите частное решение уравнения
(3 sin у + 2х\п у) dx+(3xcosy-\ ) dy = Q,
проходящее через точку (1, е). Отв. Зх sin у+х2 In у — 3 sine—1=0.
§ 9. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
Дано семейство кривых
Ц(х,у,а) = 0, (1)
где х и у—текущие координаты и а-—параметр, который может
принимать любые числовые значения.
Напомним, что углом между двумя кривыми в точке их
пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке
их пересечения. Поэтому выражение: «Две кривые пересекаются
под прямым углом» —означает, что касательные к этим кривым в
точке их пересечения перпендикулярны друг к другу.
Определение. Кривые, пересекающиеся с кривыми семейства
(1) под прямым углом, называются ортогональными
траекториями семейства (1).
Укажем способ нахождения ортогональных траекторий
заданного семейства.
Продифференцируем уравнение (1) по х, учитывая, что у
зависит от х:
Исключим а из уравнений (1) и (2). В результате исключения
получим зависимость между х,у и у'\
®(х,у,у') = 0. (3)
353

Уравнение (3) можно рассматривать как дифференциальное
уравнение семейства (1). По условию ортогональности угловые
коэффициенты касательных к кривой семейства (1) и к ортогональной
траектории в точке их пересечения обратны друг другу по величине
и по знаку. Поэтому если в уравнении (3) заменить у' на—г и
записать
®[х,У,-
»¦
= 0,
(4)
то получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий
семейства (1). Общий интеграл уравнения (4) и даст уравнение
семейства ортогональных
траекторий.
Пример. Найти ортогональные
траектории семейства пол у кубических
парабол ау2 = х3.
Найдем дифференциальное уравнение
этого семейства парабол, для чего
составим систему из уравнений (1) и (2):
Г ау2 = х*
\2ауу' = Ъх2.
Исключая из нее а, находим:
Рис. ПО
-Л: 2-4.
У
Последнее уравнение и есть то, которое в общем выводе названо уравнением (3).
1 2х
В этом уравнении заменяем у' на г; получаем 7 = 3, то есть уравнение
ортогональных траекторий. Для его решения переписываем его в виде
откуда
3ydy + 2xdx = Qt
х2
--у2 + х2==С1 ИЛИ
4-— = 1.
С ^ С
Это и есть уравнение ортогональных траекторий. Они образуют семейство
эллипсов (см. рис. ПО).
Таким образом, каждый эллипс на рисунке ПО пересекается с каждой из
полукубических парабол под прямым углом.
Упражнения
Найдите ортогональные траектории следующих семейств кривых, в каждой
случае сделайте чертеж:
1. у = ах. О/тгв. х2+у2 = С.
2. х2 + у2 = 2ах.
3. у = ах2.
4. х2 — #2 = а2.
Отв. х2+у2 = Су.
*2 , У2
0ш 2С+Т-1-
Отв. ху = С.
354

Итак, в главе XXV было приведено несколько наиболее часто
встречающихся типов дифференциальных уравнений первого порядка,
для которых можно указать прием отыскания решений, сводящихся
к нахождению неопределенных интегралов. Существует еще много
других типов дифференциальных уравнений первого порядка, для
которых известны различные приемы отыскания решений. Но, как
уже упоминалось во введении, все же не для всякого
дифференциального уравнения первого порядка можно указать способ
нахождения решения. В тех случаях, когда не удается точно найти
решение, прибегают к приближенному решению дифференциального
уравнения, то есть к нахождению приближенного выражения
решения с помощью какого-нибудь определенного метода. Таких
методов разработано очень много, и они широко применяются на
практике, так как дифференциальные уравнения постоянно встречаются
в физических и в технических исследованиях.

ГЛАВА XXVI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальным уравнением второго порядка называется
уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную
функцию и ее первые две производные:
F (*. У> У'> </") = 0. (1)
Определение 1. Решением дифференциального уравнения
второго порядка называется всякая функция, которая при подстановке
в уравнение обращает его в тождество.
Дифференциальное уравнение второго порядка также имеет обычно
бесконечное множество решений. Возьмем простейшее
дифференциальное уравнение второго порядка
y" = f(x). (2)
Для того чтобы найти из него функцию у, надо последовательно два
раза брать неопределенные интегралы:
yf = \f(x)dx + Cli
у = J [J / (х) dx] dx + Сгх + С2. (3)
В результате получаем функцию у, которая содержит две
произвольные постоянные С1 и С2 *. Если придавать постоянным Сг и С2
независимо друг от друга различные числовые значения, то из формулы (3)
будем получать отдельные решения уравнения (1). Сама же
формула (3) с произвольными постоянными дает общий вид решений
уравнения (1).
Если уравнение второго порядка имеет более сложный вид, чем
уравнение (2), то и произвольные постоянные могут входить в
формулу решения в более сложной зависимости, чем в (3). В общем
случае решение уравнения (1) можно записать в виде
у = <р(х, Съ С2), (4)
* Для удобства записи знак неопределенного интеграла будет в дальнейшем
часто употребляться для обозначения какой-то одной первообразной, а постоянное
слагаемое будет выписываться отдельно.
356

или
Ф(х, у, Съ С2) = 0. (5)
Общее выражение решений дифференциального уравнения
второго порядка, записанное в виде (4) или (5), куда входят две не
зависящие друг от друга произвольные постоянные, называется
общим решением или соответственно общим интегралом
дифференциального уравнения (1).
Говоря о независимости двух произвольных постоянных, мы
подразумеваем, что не только каждой из них можно приписывать
любое значение независимо от другой, но и что их нельзя заменить
(не меняя смысла формул (4) или (5)) одной постоянной. Например,
если бы Сг и С2 встречались только в виде суммы Сг-\-С^ то,
полагая С — Сх + С^, мы бы свели наши формулы к формулам,
содержащим лишь одну постоянную.
Эти определения терминов «общее решение» и «общий интеграл»
не совсем точные. Ниже будут приведены точные определения этих
терминов.
Каждое отдельное решение изображается кривой на плоскости.
Общее решение дает семейство кривых на плоскости.
При решении дифференциального уравнения, полученного для
конкретной задачи, нужно обычно получить один ответ, то есть
одно частное решение, требуемое условиями задачи. Для выделения
этого частного решения из общего решения используются, так же
как и в уравнениях первого порядка, начальные условия задачи.
Но так как при этом требуется определить числовые значения двух
постоянных Сх и С2, то начальные условия такого характера,
которые использовались для дифференциального уравнения первого
порядка, оказываются недостаточными. Действительно, подстановка
начальных условий вида у = у0 при х=х0 в общее решение (4) -или
(5) даст только одно уравнение
#о = ф(*о» съ С2), или Ф(х0, у0, Съ Са) = 0, (6)
для определения двух неизвестных Сх и С2. Следовательно, надо
добавить еще какие-то данные в начальные условия для уравнения
второго порядка. Обычно задается еще значение первой
производной искомой функции при взятом значении независимой переменной.
Таким образом, начальные условия для уравнения второго
порядка имеют вид:
У = Уо и у=у* при х = х0. (7)
(В задаче 5 из § 1 гл. XXV начальные условия для полученного
в задаче дифференциального уравнения второго порядка имели
именно такой вид: у = а и у'= 0 при х=0.)
Для нахождения одного решения из общего решения по
начальным условиям (7) нужно найти числовые значения С1 и С2 из
системы уравнений
Уо = ф(*о, Съ С2), \
Уо = ф'(*о> Cl9 C2), J
357

или, если общее решение дано в виде (5), из системы
Ф(х0, у0, Съ Са) = 0,
Ф'х(х0, Уо, Съ С2) + Фу(х0, Уо, Съ С2)-у'о = 0
(второе уравнение получается дифференцированием по х
равенства (5) по правилу дифференцирования неявных функций).
Выясним геометрический смысл начальных условий. Если
в общее решение (4) или (5) подставить начальные данные вида
«у=Уо при x = Xq», то есть попробовать определить интегральную
кривую, проходящую через точку (х0, у0), то получаем равенство (6).
Оно удовлетворяется при бесконечном множестве пар значений Сх
и С2 (как правило, для каждого взятого числового значения Сг
можно подобрать числовое значение С2 так, чтобы соблюдалось
равенство (6)), а это означает, что через точку плоскости (х0) у0)
проходит, как правило, бесконечное множество интегральных
кривых. Если же еще задан наклон искомой интегральной кривой
в точке (лг0, у о) у то есть если начальные условия имеют вид (7), то
тогда появляется возможность выделить одну нужную
интегральную кривую с заданным направлением касательной из всего
множества интегральных кривых, проходящих через точку (х0, у0).
Для дифференциальных уравнений второго порядка, так же как
и для дифференциальных уравнений первого порядка, может быть
доказана теорема существования и единственности решения при
заданных начальных условиях вида (7), то есть могут быть
сформулированы условия, достаточные для того, чтобы было обеспечено
существование одного-единственного частного решения,
удовлетворяющего заданным начальным условиям (7).
Теорема. Дано дифференциальное уравнение второго
порядка вида y"=f(x, у, у') и даны начальные условия (7).
Если правая часть уравнения такова, что
1) функция f(x, у, у'), рассматриваемая как функция
трех аргументов х, у, у', непрерывна в окрестности точки
С*о» У* У'о)>
2) функция f(xy у, у') имеет ограниченные частные
производные по аргументам у и у' в окрестности точки
(*о. Уо, Уо),
то существует единственное решение данного
дифференциального уравнения, определенное в некотором
промежутке [х0—б, лго + 6] и удовлетворяющее заданным
начальным условиям (7).
Доказательство теоремы может быть проведено аналогично
доказательству теоремы из гл. XXV методом последовательных
приближений и мы его не приводим.
Эта теорема (так же как и соответственная теорема для
дифференциальных уравнений первого порядка) имеет большое
принципиальное значение, так как дает возможность установить
существование решения по виду самого дифференциального уравнения.
(9)
358

С помощью этой теоремы можно также уточнить смысл терминов
«общее решение» и «общий интеграл» дифференциального уравнения
второго порядка.
Начальные условия (7) можно изменять, то есть можно брать
для данного дифференциального уравнения разные тройки чисел х0у
у0 и i/o- Назовем (так же как и для уравнений первого порядка)
допустимыми начальными условиями те тройки чисел х0, у0 и y'Qt
для которых верно утверждение приведенной теоремы.
Определение 2. Общим решением дифференциального у рае-
нения второго порядка называется общий вид всех таких решений
уравнения, которые соответствуют каждой допустимой совокупности
начальных условий.
Таким образом, из формулы для общего решения (4) или общего
интеграла (5) при конкретных числовых значениях постоянных
Сг и С2 получается именно то единственное решение, определяемое
некоторыми начальными условиями (7), существование которого
гарантируется теоремой. Выбор тех или иных допустимых начальных
условий (7) и определяет числовые значения постоянных С± и С2
в формулах (4) или (5). Эти значения Сг и С2 находятся из
систем (8) или (9).
§ 2. СПОСОБЫ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Для некоторых частных типов уравнений второго порядка
разработаны приемы их решений. Есть целый ряд случаев, когда
можно введением новой переменной понизить порядок уравнения,
то есть превратить уравнение второго порядка в уравнение
первого порядка. Если последнее оказывается таким, что его можно
решить каким-нибудь из приемов, указанных в гл. XXV, то км
самым будет решено и данное уравнение второго порядка.
Перейдем к рассмотрению случаев, в которых удается понизить порядок
уравнения.
1. Дифференциальное уравнение второго порядка песо-
держит искомой функции у, то есть имеет вид:
F(x, у', у") = 0. (1)
Введем новую функцию г, положив z = y'\ тогда z'=у" и
уравнение (1) превращается в уравнение первого порядка с искомой
функцией z: F (x, z, z') = 0. Решаем это уравнение первого порядка
и получаем общее решение в виде z = cp(x, Сг). Заменяя z через у\
получаем: у'=ц>(хуС1)> откуда находим искомую функцию у =
= $ Ф (я, Сх) dx + С2.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение второго порядка, которое
было получено при решении задачи 5 из § 1 гл. XXV:
у" = ±-УТ+уГ2- (2)
359

Это уравнение не содержит искомой функции у и поэтому может быть решено
указанным выше приемом. Положим z-\-y'\ тогда уравнение принимает вид
2'—\-.уТ+&-
a f '
Это уравнение с разделяющимися переменными; решаем его:
^=1/1+72;—^==^; 1п(г + /Г+3) 1(^+0;
x + CL x + CL 2(x + Ci) jf + Ci
z+У 1+22 =e a ; }/"l+z2=e a —z\ l+z* = e a -2ze a +z*
*= iqFcT-» г==У^ « I.
2e a
Подставляем у' вместо z:
?'=-§-\« * -* e i, откуда y = i- J ^ e -e a Jdx,
a
x+d x + Ct
</ = y\* a +e У+С2' (3)
Это и есть общее решение уравнения (2). В задаче 5 нужно было получить одно
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у = а и у'— 0 при *=0
(так было выбрано расположение провисающей нити в координатной системе).
Составляем систему уравнений для определения числовых значений Сх и С2 (см.
(8) из § 1):
Из второго уравнения находим еа—е а, что может быть только при Ci = 0
Подставляя это значение Сх в первое уравнение, получаем:
а = ^(1 + 1) + С2, С2 = 0.
Подставляя найденные значения Сх и С2 в общее решение (3), получаем искомое
частное решение уравнение (2):
X X \
y=Y\e +е
Это и есть уравнение той кривой, по которой происходит провисание под
действием силы тяжести всякой подвешенной за два конца однородной гибкой
нерастяжимой нити. Эта кривая носит название цепной линии.
2. Дифференциальное уравнение второго порядка не со-
держит независимой переменной, то есть имеет вид:
F(y,y',y") = 0. (4)
360

Так как в уравнение не входит х, то в качестве независимой
переменной выберем у] у' будем считать искомой функцией, а у"
пересчитаем так, чтобы получить производную по у. Положим
y' = z. В таком случае
,, dy' _ dz __ dz dy __ dz
У dx ~ dx~ dy' dx~~ dy'
(это преобразование как раз и позволило нам выразить у" через
у и г). Теперь уравнение (4) преобразуется в уравнение первого
порядка с неизвестной функцией г:
F(y,z,z%) = 0.
Решаем это уравнение и получаем общее решение в виде
z = (p(r/, d).
Подставляя у' вместо z, имеем:
Это уравнение с разделяющимися переменными; решаем егоз
Последнее равенство дает общий интеграл уравнения (4).
Пример 2. Найти частное решение уравнения у'2-{-2уу" =0 по начальным
условиям: у—\ и у'— \ при х—\.
Заменяем в данном уравнении (не содержащем х) у' и у" так, как было
указано выше, и получаем уравнение первого порядка:
2* + ^|: = 0.
Выносим z за скобку:
,(,+**)_а
и приравниваем нулю порознь каждый из множителей:
2 = 0, то есть у' = 0, откуда у = const
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
^ = _^. i„ -.1 .!Li«i..i . i«i г I. „__Ci
z 2y'
Подставляем у' вместо z:
Т = -ф ln|*!=—g-InliM + lnlCxI; — /-
(5)
dy_ ^
— ? 1.
y=\W ' (ClX + Ci)2 = (С^ + С4)3. (6)
361

где
С3 — -п- Ci, С4 — -д- Сг
(Найденное выше решение г/ = const при положительных постоянных содержится
в формуле (6). Действительно, если положить С3 = 0, то из (6) получаем: у = const.)
Выражение (6) дает общий интеграл уравнения.
Подставляем начальные условия в (5) и (6):
l = d, 1=Сз + С4.
3 1
Отсюда находим, что С3 = -^-, С4 = —=- и искомое частное решение имеет вид:
¦№-ч)
Задача
массы т
о колебании маятника. Материальная точка
подвешена на нерастяжимой нити длины I. Нить
настолько тонкая, что ее массой можно
пренебречь. В момент ( = 0 маятник
отклоняют на угол а < у от вертикального
положения равновесия и затем отпускают его, не
сообщая ему начальной скорости. Под
действием силы тяжести материальная точка М
двигается по окружности радиуса I
Положение маятника в любой момент времени t
определяется величиной угла ф= Z АОМ (рис. 111);
найти зависимость ф от t.
Для составления уравнения движения
найдем составляющую силы тяжести MB,
направленную по касательной к дуге
окружности в точке М (так как нить нерастяжима,
С т9 то составляющая силы тяжести, направлен-
111 ная по нормали, не оказывает влияния на
движение). Из треугольника СВМ находим:
MB = mg • sin ф. Путь, пройденный точкой М к моменту времени /, есть
дуга АМ. Обозначим ее длину через s. По известной формуле
тригонометрии s = lcp. Из законов механики получается следующее уравнение
движения: ml-fj!2= — mg sin ф. Длина дуги s растет в направлении от
А к М, поэтому в ту же сторону направлена и касательная к дуге
в точке М. Составляющая же силы тяжести по касательной
направлена в обратную сторону. Поэтому в правой части уравнения эта
составляющая поставлена со знаком минус.
Сокращая на т, получаем:
*-—.4---
Рис.
g
— у • 81Пф.
(7)
В этом дифференциальном уравнении второго порядка отсутствует
в явном виде независимая переменная t. Поэтому можно понизить
362

порядок уравнения (7) методом, изложенным в пункте 2. Положим
S-* (8)
и найдем -~ = ¦?- • г. Тогда уравнение (7) примет вид: ^ • z =
= — -y-sin9. Разделяя в нем^ переменные и интегрируя, находим:
zdz = — у sin ф dcp,
y = f coscp + d. (9)
Можно определить значение Сх из начальных условий. Функция г
есть угловая скорость движения (см. (8)), и, следовательно, по
условию задачи 2 = 0 при ^ = 0. При ? = 0 также по условию ф = а.
Подставляя эти данные в (9), находим: O = ycosa + Cx, Сг =
= —-^-cosa. Таким образом, из общего решения (9) находим част-
ное: у = -у(со5ф — cos a), или
22 = у(со$ф — cos a). Для определения z извлекаем квадратный
корень из обеих частей равенства. Ограничимся рассмотрением
движения маятника в пределах первого размаха. В этом случае
перед корнем в правой части будет знак минус, так как при
увеличении t угол ф убывает и 2 = -^ поэтому отрицательна:
z = — у -^(со5ф — cos a) , -2 = — l/ -j- l/"cos ф — cos a.
Получено дифференциальное уравнение первого порядка
относительно искомой функции ф. Разделяя переменные, получаем:
т z§ У cos ф — cos а * *8 J
dcp
^cos ф — cos a l^cos ф — cos a
(Ю)
Интеграл в правой части не выражается через элементарные
функции (его можно свести к одному из типов эллиптических
интегралов— см. том I, гл. IX, § 7).
Постоянную С2 можно определить из начальных условий,
исследовав более внимательно неэлементарную функцию, стоящую в
правой части (10).
Упражнения
Решите следующие уравнения:
1. ху"=у' 1п^-. Отв. y = {x—l)eCiX+l +C2.
363

2. у" = УУ.
Указание. Решите это уравнение двумя способами —первым и вторым.
Отв. y = L{x+c2Y + Cv
3. г/" = ш/'.
Указание. Решите это уравнение двумя способами — первым и вторым.
Отв. у==^еах+С2.
4. у" = а?у. Отв. y = deax + C2e-ax.
5. (1+*2)у*+у'2 + 1:=0. Отв. у—Ся —dJc + (l+Cf) In | 1+J
6. <Г-1(1+,'¦).
Указание. Решите уравнение двумя способами.
Отв. у = С2 — а In cos х .
7. у" = 1+ *?-Г%* • 0тв ^ = Y^2+^iarcsinjc + C2.
8. 1+у'* = 2уу". Отв 4С1(г/-С1) = (л; + С2)2.
9. yy" = y'V 1+у'*- Отв. Сху*—\=С2ех
10. Выделите частное решение уравнения #3#"+1=0 по начальным
условиям: у—\ и */' = 0 при х—\. Отв. у2 + х2 = 2х.
11. Выделите частное решение уравнения yyf/ -\-yf"= 1 по начальным
условиям: г/=1 и у'= — 1 при х = 0. Отв. х-\-у— 1=0.
12. Выделите частное решение уравнения Ъуу'у"= 1 +#'3 по начальным усло-
2_
виям: #=1 и г/' = 0 при х = 0. Отв. 2х = 3 (у— 1) 3 .
§ 3, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ВТОРОГО
Как упоминалось в § 1, порядком дифференциального уравнения
называется наивысший порядок входящих в него производных
искомой функции. Решением дифференциального уравнения п-го порядка
F(x9 у, у', .... уп) = 0 (1)
(как и для уравнений первого и второго порядков) называется
всякая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его
в тождество.
Общее решение уравнения (1) может быть записано формулой
у=у(х, Съ С2, ..., Сл), или Ф(х, у} Съ С2, ..., Ся) = 0, (2)
содержащей п не зависящих друг от друга произвольных
постоянных. Если всем п постоянным придать конкретные числовые
значения, то из формул (2) будут получаться отдельные решения
уравнения (1).
При определенных предположениях относительно уравнения (1)
можно утверждать, что всякое решение определяется заданием н а-
чальных условий, которые для уравнения (1) имеют
следующий вид: у = у0, y'=y'f» ..., y{n"1) = yin'l) при х=х0. Теорема
существования и единственности решения для уравнения п-го порядка
364

при заданных начальных условиях формулируется аналогично
теоремам существования, приведенным в гл. XXV и в § 1 данной
главы. Начальные условия для я>2 не имеют такого простого
геометрического смысла, как для уравнений первого и второго
порядков.
Задача решения уравнения третьего, четвертого порядков и тем
более уравнений еще более высоких порядков очень сложна. Для
частных типов уравнений п-го порядка (п > 2) можно применять те
приемы понижения порядка, которые были изложены в § 2 для
уравнений второго порядка, при тех же предположениях
относительно вида уравнения, что и в § 2. Например, если уравнение
п-го порядка не содержит функции г/, то можно первым способом
из § 2 понизить порядок уравнения на единицу, то есть
преобразовать его в уравнение (п— 1)-го порядка. Если уравнение /г-го
порядка не содержит независимой переменной х, то можно
понизить его порядок на единицу вторым способом из § 2 и т. д.
Пример 1. Решить уравнение третьего порядка г/'" = (*/")з.
Это уравнение не содержит ни функции уу ни независимой переменной;
поэтому его можно решать как первым, так и вторым способом из § 2. Будем
решать первым способом и, учитывая, что уравнение не содержит и первой
производной искомой функции, положим */" = z, y'" = z'. Тогда данное уравнение
сразу преобразуется в уравнение первого порядка с разделяющимися
переменными: z' — zz. Решаем его: — = dx, —^-^ — х + Съ z2 •¦
2з "~> 2z* ~-r~i» 2(d-*)
1
Заменяя z через у" = (у')\ получаем:
(3)
у'=[ . dx ==-V2-Vc1-x+Ci; (4)
J 1/2 (d-ж)
отсюда и = —
y=2-^V{Ci-xY + CiX+Ca. (5)
Пусть требуется найти частное решение, соответствующее начальным
условиям: у = 0, у' = — 2, у"—-к при x—Q. Подставляем эти данные в формулы (3),
(4) и (5):
О
Из этой системы находим: Сх = 2, С3 = 0, С3 — —^-, и искомое частное решение
31/^2 g
примет вид: </=-g— '"K(2 — *)3—у.
Упражнения
Ь !/У"-Зг/"2=0. Отв. y^—VCtX + Cz + Cs.
2. у'"+у"2 = 0. Отв. у = (х+С1)\п\х+С1\ + С2х + С3.
3. у'" (l+f/'2)-3i/y- = 0. Отв. */2 + x2 + C1r/ + C2Jt + C3 = 0.

ГЛАВА XXVII
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Линейные дифференциальные уравнения наиболее часто
встречаются при решении различных физических и технических задач.
Например, задача математического исследования колебательных
явлений различного происхождения (механических, электрических,
звуковых) приводит к линейным дифференциальным уравнениям
второго порядка. Часто также, когда решение задачи привело к
нелинейному дифференциальному уравнению, можно, допуская
некоторую погрешность, линеаризовать задачу, то есть свести ее к
решению линейного дифференциального уравнения. Например, если
при изучении колебаний маятника рассматривать только малые
колебания, то угол ф (см. задачу из § 2 гл. XXVI) мал. Тогда
в уравнении движения (7) можно заменить приближенно sincp на ср
и получим уравнение, содержащее ф только в первой степени:
2^г=—"7~*Ф* Таким образом, задача о малых колебаниях
маятника линеаризуется.
Определение 1. Линейным однородным
дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение
вида
У" + Р(*)У' + С1(Х)У = 0, (1)
где у(х) — искомая функция, а р (х) и q (x) — известные функции,
которые мы будем считать непрерывными в некотором промежутке
[а, Ь].
Определение 2. Линейным неоднородным
дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение
вида
y" + p(x)y' + q(x)y = f(x)9 (2)
где у (х) —искомая функция, а р(х), q(x) и f (x) (f (х)щ?0) —
известные функции, которые мы также будем считать непрерывными
в промежутке [а, &].
Левые части уравнений (1) и (2) линейны относительно
функции у(х) и ее производных, то есть у, у' иг/" входят только в
первой степени и не перемножаются, что и объясняет название
уравнения. Левая часть уравнения (1) однородна относительно функции
366

у(х) и ее производных (каждое слагаемое содержит одну из
функций у, у' или у" в первой степени). Левая же часть уравнения (2),
переписанного в виде
У" + Р(х)'У' + Ч(х)'УЧ(х) = 0,
этим свойством не обладает, так как четвертое не содержит ни
функции у(х), ни ее производных.
Перепишем уравнение (2) в виде
у"=—р(х)у'-я(х)у+!(*У>
правая часть этого уравнения непрерывна как функция трех
переменных х, у и у', так как она зависит от у и у' линейно, а
функции р (х), q(x) и f (x) непрерывны в области своего задания по
предположению. Частная производная по у от правой части этого
уравнения равна — q(x), а частная производная по у' равна — р (х),
то есть обе эти частные производные являются непрерывными
функциями трех переменных (от х зависимость непрерывная по
условию, а от у и у' функции р (х) и q (х) не зависят).
Следовательно, утверждение теоремы из § 1 гл. XXVI верно для
линейных дифференциальных уравнений.
Но для линейных уравнений может быть доказано более
сильное утверждение. Можно доказать, что если функции р(х)у q (х) и
f (х) непрерывны на [а, Ь] и заданы начальные условия;
У = Уо и у'=Уо при x = x0(x0s=[a, b\), (3)
то существует единственное решение уравнения, определенное в [a, b]
и удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Таким образом, для линейных уравнений существование
единственного решения, удовлетворяющего заданным начальным
условиям, гарантируется не только в некоторой окрестности точки х0
(как это было в теоремах гл. XXV и XXVI), а во всем интервале
непрерывности функций р(х), q (х) и f(x), то есть во всем том
интеграле, где рассматривается уравнение. Таким образом, для
линейного уравнения любые начальные условия вида (3) являются
«допустимыми» начальными условиями.
Итак, общее решение линейного уравнения должно содержать все
решения, соответствующие любым начальным условиям.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Теорема 1. Если функции у±(х) и у2(х) суть решения
уравнения
y" + p(x)y' + q(x)y = 0, (1)
то функция ауг (х) + р#2 (х), где а и Р— любые постоянные
множители, также будет решением уравнения (1).
367

Доказательство. Подставим функцию аух(х) + Р#2(х) в
левую часть уравнения (1) и убедимся в том, что эта подстановка
обращает левую часть уравнения тождественно в нуль:
[ау± (х) + Рг/2 (х)]" + р (х) [ауг(х) + Р*/2 (х)]' + q (х) [ауг (х) + $у2 (х)] =
= <*Wi + Р (*) У[ + Я (х) Уг] + $[У* + Р (х) y* + q (х) У2] = 0,
так как выражения, стоящие в каждой из квадратных скобок,
тождественно равны нулю в силу предположения, что уг(х) и у2(х)
суть решения уравнения (1).
Определение 1. Две функции уг(х)~ и у2(х) называются
линейно зависимыми в промежутке [a, Ь], если существуют
такие постоянные аг и <х2, из которых хотя бы одна отлична от
нуля, что для всех х из [а, Ь] имеет место тождество
а1у1(х) + а2у2(х) = 0. (2)
Если тождество (2) выполняется в [а, Ь] и, например, у2(х)^0,
то очевидно, что Уг ^1 = — — = const (аг Ф 0). Обратно, если известно,
что отношение функций Ух(х) и у2(х) постоянно в [а, Ь], то имеет
место тождество (2). Поэтому определение линейной зависимости
двух функций иногда формулируют так: две функции уг{х) и у2(х)
называются линейно зависимыми в [а, Ь], если их отношение
является постоянной величиной для всех х из [а, Ь], то есть если
они пропорциональны друг другу в [а, Ь].
Линейная зависимость функций у1(х) и у2(х) означает, что одна
из них получается из другой умножением на постоянную.
Если две функции не являются линейно зависимыми в [а, Ь],
то говорят, что они линейно независимы в [а, Ь]. Следовательно,
из определения 1 вытекает следующее определение.
Определение 2. Две функции уг (х) и у2 (х) называются
линейно независимыми в [а, Ь], если не существует таких
постоянных аг и а2, из которых хоть одна отлична от нуля, что для
всех х из [а, Ь] имело бы место тождество (2).
Иными словами, тождество (2) выполняется только, если ах =
= а2 = 0. Иначе: две фунции уг(х) и у2(х) называются линейно
независимыми в [а, Ь], если их отношение в [а, Ь] не является
постоянной величиной.
Пример 1. Функции у1 = 4х2 и у2 = х3 линейно независимы в любом
промежутке [а, Ь], так как
Пример 2. Функции ^^sin* и y2 = cosx также линейно независимы
в любом промежутке [а, Ь], так как
368

Пример 3. Функции #1==4л:2 и у2 — х2 линейно зависимы в любом
промежутке:
Две функции могут быть линейно зависимыми в одном
промежутке и линейно независимыми в другом, как показывает
следующий пример.
Пример 4. Функции уг — х и у2 — \х\ линейно зависимы на любом участке
х
положительной части оси ОХ, так как там 1—г=1, и линейно зависимы на любом
X
участке отрицательной части оси ОХ, так как там :—г= — 1. Но в любом
промежутке, содержащем точку О внутри, эти функции уже не будут линейно
зависимыми.
Возьмем две функции уг (х) и у2 (х) и составим для них
определитель:
А(Уь Уг) =
Ух У г
Ух У%
'-У&ъ — У&г-
(3)
или
Этот определитель называется определителем Вронского *
просто вронскианом.
Теорема 2. Если функции Уг(х) и у2(х) линейно зависимы
в [а, &], то их вронскиан тождественно равен нулю в [а, Ь].
Доказательство. Действительно, по определению
существуют постоянные ах и а2, из которых одна обязательно отлична
от нуля (например, о^), такие, что в [а, Ь] имеет место тождество
Отсюда
<*i0i (*) + ад2 (х) = 0.
йМе-§^W, у1(х) =
02
У'* (х) •
(4)
Подставляя выражения (4) для ух (х) и у[ (х) в вронскиан (3),
получаем:
Ь{УьУг)-
Ух У*
У\ Уг
а2
-?у* у»-
а2 '
= 0,
что и требовалось доказать.
Доказанная теорема дает необходимое условие линейной
зависимости двух функций.
Если функции ух (х) и у2 (х) являются решениями уравнения (1),
то для них имеет место утверждение, обратное теореме 2: если
вронскиан двух решений уравнения (1) тождественно равен нулю
в [а, Ь], то эти решения линейно зависимы в [а, Ь\. Можно
доказать более сильное утверждение, а именно: если вронскиан двух
решений уравнения (1) обращается в нуль хотя бы в одной точке
промежутка [а, Ь], то эти решения линейно зависимы в [а, Ь].
Ю. Вронский (1778—1853) — польский математик.
369

Равносильную формулировку этого предложения дает
следующая теорема.
Теорема 3. Если два решения у± и у2уравнения (1) линейно
независимы в [af b], то вронскиан А (у19 у2) не обращается
в нуль ни при каком значении х из промежутка [а, Ь\.
Доказательство. Допустим, что есть такое значение x = xQ
из [а, Ь]> что
А (УЪ У2)х=х0 = 0.
Составим систему уравнений:
ai#i(*o) + a2*/2(*o)=0, 1
в которой ах и а2 — неизвестные числа. Это однородная система
уравнений. Для того чтобы эта система имела не нулевое решение,
как известно из алгебры, нужно, чтобы определитель системы,
составленный из коэффициентов при неизвестных, равнялся нулю. Этот
определитель совпадает с А (уъ у2)х=х0, и по предположению,
сделанному выше, он действительно равен нулю. Следовательно, из
системы (5) можно найти числа аг и а2 (из которых хотя бы одно
отлично от нуля), являющиеся решениями этой системы. Составим с
помощью этих найденных чисел функцию:
и(х) = а1у1(х) + а2у2(х).
По теореме 1 эта функция есть решение уравнения (1). Из (5)
следует, что
и (х0) = агуг (х0) + а2у2 (х0) = 0,1 &)
В § 1 было указано, что для всяких начальных условий
существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее этим
начальным условиям. Очевидно, что функция, тождественно равная
нулю в [а, Ь], является решением уравнения (1) и удовлетворяет
начальным условиям (6). Следовательно, и(х)=0 в [а, Ь], то есть
а1у1(х)+а2у2(х) = 0.
По определению 1 это означает, что функции Уг(х) и у2(х) линейно
зависимы в [а, Ь]. Это противоречит условию теоремы, по которому
решения Уг(х) и у2(х) линейно независимы в [а, 6].
Таким образом доказано, что A(#i, y2) не может обращаться
в нуль ни в какой точке промежутка [а, Ь].
Замечание. Из теорем 2 и 3 следует, что вронскиан,
составленный для двух решений ух и у2 линейного уравнения, обладает
следующим свойством: или вронскиан тождественно равен нулю в
[а, Ь] (если у± и у2 линейно зависимы в [а, 6]), или он не
обращается в нуль ни в одной точке из [а, Ь] (если уг и у2 линейно
независимы в [а, &]).
370

Если же вронскиан составлен для двух произвольных функций
(не являющихся решением уравнения (1)), то он может в одних
точках обращаться в нуль, а в других нет.
Покажем, что общее решение уравнения (1) может быть написано,
как только известны два частных решения уравнения (1),
являющихся линейно независимыми функциями.
Теорема 4. Если у±(х) и у2(х)— два линейно
независимых решения линейного однородного уравнения (1), то
выражение
у = С1у1(х) + С2у2(х), (7)
где Сг и С2 — произвольные постоянные, содержит все
решения уравнения (1). Таким образом, выражение (7) не
только является общим решением уравнения (1), ноу
уравнения (1) нет ни одного решения, не содержащегося в
формуле (7).
Доказательство. (Прежде чем приступить к доказательству теоремы,
напомним, что в предыдущих главах мы рассматривали уравнения, которые, кроме
общего решения, имели еще и особые решения. Смысл этой теоремы состоит,
в частности, в том, что у линейного уравнения не может быть особых решений.)
По теореме 1 формула (7) при конкретных числовых значениях
Сх и С2 дает решение уравнения (1). Для того чтобы доказать
теорему, надо установить, что любые начальные условия определяют
решение (единственное в силу теоремы существования и
единственности), содержащееся в формуле (7), то есть получающееся из
формулы (7) при надлежащем подборе постоянных Сг и С2.
Возьмем любые начальные условия: при х = х0 (х0 принадлежит
тому промежутку, в котором непрерывны коэффициенты уравнения)
известны значения у = у0 и у'=у'0. Посмотрим, можно ли подобрать
числовые значения постоянных С± и С2 так, чтобы формула (7)
с этими значениями постоянных давала решение у(х),
определяемое взятыми начальными условиями, то есть чтобы было:
Уо = С1у1(х0) + С2у2(х0), \
У^СгуЦх^ + С&Лхо). J
Равенства (8) дают систему алгебраических уравнений первой
степени относительно неизвестных Сг и С2, все остальные величины
в системе (8) являются заданными числами. Из алгебры известно,
что для того, чтобы такая система была разрешима, достаточно,
чтобы определитель, составленный из коэффициентов при
неизвестных, не равнялся нулю. Но определитель, составленный из
коэффициентов при неизвестных, представляет собой вронскиан решений
у1(х) и у2(х), вычисленный при значении х=х0. Так как по
условию теоремы уг и у2 — линейно независимые решения уравнения (1),
-то по теореме 3 вронскиан А (уъ у2) не обращается в нуль ни при
каком значении х. Следовательно, он не обращается в нуль и при
х=х0 (какое бы х0 ни было взято в начальных условиях), и поэтому
определитель системы (8) отличен от нуля и система разрешима
371

относительно С1 и С2. Обозначим найденные из системы (8)
значения постоянных через С\ и С\. Подставляя в (7) эти значения,
получаем искомое частное решение
у(х) = С{У1(х) + С1у2(х).
Действительно, так как CJ и С? — решения системы (8), то у(х0) =
= Уо и У'(Хо)=У'о- Теорема доказана.
Таким образом, мы показали, что для получения общего
решения линейного однородного дифференциального уравнения второго
порядка достаточно найти два линейно независимых частных
решения. Всякие два линейно независимых частных решения уравнения
(1) образуют так называемую фундаментальную систему решений
уравнения (1).
Покажем, как можно найти общее решение, если известно только
одно частное решение уравнения (1).
Теорема 5. Если ух(х) — частное решение уравнения (1),
то введение новой функции z no формуле y = yxz позволяет
понизить порядок уравнения на единицу, причем
преобразованное уравнение также линейное.
Доказательство. Положим у = уг-г и вычислим
производные:
y'=yiz + yi*'\ У"=у1г + 2у[г' + у1г".
Подставим выражения для у и ее производных в левую часть урав-
тения (1)
У1г + 2у[г'+у1г"+р(х) • [у[г + ухг' ] + q (х) • ухг = 0\
группируя, получаем:
[ymi+p(x)y[ + q(x)y1]z + z'[2yl + p(x)y1]+y1z', = 0.
Выражение в первых квадратных скобках равно тождественно нулю,
так как уг по условию есть решение уравнения (1). В остальные
слагаемые функция z не входит, и поэтому можно понизить порядок
уравнения, положив г' = и. Тогда уравнение примет вид:
ul^y[ + p(x)yi)+u'y1 = 0.
Это линейное уравнение первого порядка. Решая его, возвращаясь
к переменной z и умножая найденное выражение для г на уъ
получаем общее решение уравнения (1). При этом оно обязательно
примет вид (7).
Пример 5. Дано уравнение у"+-—-^ = 0. Это уравнение можно
рассматривать на любом из промежутков (0, +оо) или (— оо, 0). Функция уг = х —
его частное решение.
Действительно, подставляя yi = xt у[ = 1 и у[=0 в данное уравнение,
получим:
о+--4=°-
1 X X2
Тогда, зная одно решение yi = x уравнения, можно использовать теорему 5.
372

Положим y — xz; найдем производные y' — xz' + z, у" = 2г' -j-xz" и подставим
в уравнение:
2г' + *г" + 1 (хг' + г) -± *г = 0.
Приводя подобные члены, получаем:
Положим г' = ы, z" = uf. Уравнение примет вид: Зи + хи' = 0, откуда находим:
Зи + х%г-0, -%-Ц, --J-In|«| = In|*| + In|C|; т^ = С*.
dx ' Зи х
Возводим в куб:
J__p3y3. J_ _
и ' г' ^ ~ > dz ^ Л ¦ с8^""1**' 2С3л;3
J_
"2Сз
„ — Сх; 2, — Сх\ — — Схг\ -гз73 — йг, 9^3y3 + Ci —г.
Обозначим — кг% = Сг и найдем у:
У = У1г = х1% + С^ = ^ + Сгх.
X
Таким образом, решение данного уравнения имеет вид:
у = Сгх + % (9)
Функция у2(х) = — является решением данного линейного
уравнения, так как она получается из формулы (9) при С1 = 0, C2=l.
В этом можно также убедиться непосредственной подстановкой функ-
ции у2 = — в уравнение. Кроме того, решения у-± = х и J/2 = — ли*
нейно независимы на каждом из промежутков (—со, 0) и (0, +оо),
У 2
ние (9) является общим решением данного уравнения.
так как — = x2 Ф const. Следовательно, в силу теоремы 4 выраже-
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Является ли уравнение у"+ хуу'— 4f/ = 0 линейным, а если нет, то почему?
2. Являются ли функции f/i = *5 и у2(х)=х5-{-1 линейно независимыми на
всей числовой оси?
3. Являются ли функции y1 = sin2* и y2 = cosx линейно независимыми
в любом промежутке?
4. Приведите пример двух линейно зависимых в [0, 1] функций.
5. Приведите пример двух функций, которые были бы линейно зависимыми
на одном участке числовой оси и линейно независимыми на другом участке.
6. Могут ли функции yi = xk и у2 = хт, где k и т натуральные, кфт%
быть линейно независимыми в каком-либо промежутке?
7. Докажите, что две функции, из которых одна равна тождественно нулю
в [а, 6], а вторая выбрана произвольно, всегда линейно зависимы в [а, Ь].
8. Проверьте, что функции yi = sinx и y2 = cosx образуют фундаментальную
систему решений уравнения у' + у = 0, и напишите (использовав теорему 4) общее
решение этого уравнения.
9. Сделайте то же самое по отношению к уравнению у" — 5г/' + 6г/ = 0 и
функциям уг = е2Х и у2 — еьх.
373

10. Проверьте, что функция Уг = х является решением уравнения
у -*Г?ту' + -#+тУ=0'
и найдите общее решение этого уравнения (используйте теорему 5).
Отв. y = C1x + Cz№--\).
11. Проверьте, что функция у± = х2 является решением уравнения
и найдите общее решение этого уравнения.
Отв. у = С1х2-{-С2Х.
12. Проверьте, что функция Ух = ех является решением уравнения
х 1
У" +~л Уг — ~л # = 0,
J ~\—х* 1-х*
и найдите общее решение этого уравнения.
Отв. у = С1ех-\-С2х.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Пусть дано неоднородное линейное уравнение
tr + P(x)yf + q(x)y=f(x); (1)
однородное линейное уравнение, которое получается из данного
неоднородного заменой / (х) нулем, называется однородным
уравнением, соответствующим данному неоднородному. Например, если
дано неоднородное уравнение у"— 5х2уг -\-8у = х6, то
соответствующим ему однородным уравнением будет у" — 5х2у' -\-8у=0.
Теорема 1. Сумма какого-нибудь одного частного ре-
тения данного неоднородного уравнения и общего решения
соответствующего ему однородного есть общее решение
данного неоднородного уравнения.
Доказательство. Обозначим какое-нибудь одно частное
решение данного неоднородного уравнения через w и общее решение
соответствующего однородного уравнения через г. Составим сумму
y = w(x) + z(x). Функция z(x) содержит две произвольные
постоянные, a w(x) не содержит произвольных постоянных.
Покажем, что сумма
y = w(x) + z(x) (2)
является решением уравнения (1). Для этого найдем производные
у' = до' -f-z, у" = w"-\-z" и подставим их в левую часть уравнения (1):
о,- + z" + р (х) (wf + t')+q (x) (w + z) = [z* + p (x) z* + q(x) z] +
+ [w" + p (x)wr -\-q (x) w].
Так как выражение в первых квадратных скобках тождественно
равно нулю в силу определения z, а выражение во вторых квад-
374

ратных скобках тождественно равно f(x) в силу определения w,
то весь результат подстановки тождественно равен f(x).
Следовательно, показано, что выражение (2) является решением
уравнения (1) и содержит, как было указано выше, две
произвольные постоянные. Покажем теперь, что y = w-\-z есть общее решение
данного неоднородного уравнения. Точнее покажем, что формула (2)
содержит все решения неоднородного уравнения. Возьмем любое
решение у неоднородного уравнения и составим разность у — w = z0.
Эта разность является решением однородного уравнения (1):
действительно, при подстановке у — w в уравнение (1) получаем:
4 + pz'o + qzQ=(y—wY+p (y—w)' + q (y—w) =
= (y" + py'+qg)-(w" + pw' + qw) = f(x)-f(x) = 0.
Таким образом, y = w-\-z0l где z0—некоторое решение однородного
уравнения (1). Иначе говоря, любое решение у неоднородного
уравнения (1) получается из формулы (2) при определенном выборе
произвольных постоянных в z. Теорема доказана.
Мы видим, что для того, чтобы найти общее решение
неоднородного уравнения, надо знать хотя бы одно его частное решение.
Ниже будет показано, что в тех случаях, когда коэффициенты
уравнения р и q постоянные и правая часть f(x) имеет определенный
вид, можно указать довольно простые приемы нахождения решений
неоднородного уравнения.
В общем случае можно также дать способ нахождения частного
решения неоднородного уравнения, однако этот способ приводит,
как правило, к довольно громоздким выкладкам. Идея этого
способа заключается в следующем: известно (теорема 4 из § 2), что
общее решение линейного однородного уравнения имеет вид: у =
= ?\У\ + C2f/2» гДе У\ и Уг— какие-нибудь два линейно независимых
решения этого уравнения, а Сг и С2 — произвольные постоянные.
Возникает вопрос: нельзя ли подобрать две функции и (х) и v (x)
так, чтобы выражение у = и(х)-y1-\-v(x) у2 было решением
линейного неоднородного уравнения (здесь по-прежнему ух и у2
обозначают два линейно независимых решения однородного уравнения,
соответствующего данному неоднородному). В следующей теореме
будет показано, что этот вопрос решается положительно, и будет
дан способ нахождения функций и(х) и v(x). Этот прием
нахождения решения линейного неоднородного уравнения называется
«способом вариации произвольных постоянных» или способом Лагранжа.
Название этого приема, как видно из сказанного выше, объясняется
тем, что произвольные постоянные, входящие в общее решение
однородного уравнения, изменяются, «варьируются», заменяются
переменными величинами и(х) и v(x) при переходе к решению
неоднородного уравнения.
Теорема 2. Общее решение линейного неоднородного
уравнения (2) может быть записано в виде
y = u{x)y1 + v(x)y2f (3)
375

где уг и у2—два линейно независимых решения
соответствующего однородного уравнения, а и(х) и v(x)— две
специальным образом подобранные функции, содержащие
каждая по одному произвольному постоянному слагаемому.
Доказательство. Составим выражение
y-=u(x)-y1 + v{x)y2f (4)
где и(х) и v (х) — искомые функции, и найдем производную
y' = U'y'1 + u''y1 + v-y^ + v'y%. (5)
Будем подбирать функции и (х) и v (x) так, чтобы
*-уг + *у2 = 0*. (6)
Тогда равенство (5) примет вид:
yf = u-y[ + vyi (7)
Найдем вторую производную:
У" = и'у[ + uy[ + v'y* + vyl. (8)
Подставим (4), (7) и (8) в уравнение (1) и сгруппируем слагаемые
в левой части, вынося и и v за скобки:
и • [У1 + РУг + ЧУг] + v [yl + ру'г + qy2] + и'у[ + v9y\ = /(*).
Выражения в обеих квадратных скобках в левой части равны
тождественно нулю, так как уг и у2 по условию суть решения
соответствующего однородного уравнения. Поэтому, для того чтобы
подстановка выражения (4) в уравнение (1) обращала его в
тождество, то есть для того чтобы выражение (4) было решением
уравнения (1), нужно, чтобы выполнялось равенство
u'y'i + v'y* = f{x). (9)
Равенство (6) и (9) можно рассматривать как условия, которым
должны удовлетворять функции и(х) и v(x), для того чтобы (4)
было решением уравнения (2). Запишем условия (7) и (9) в виде
системы уравнений:
u'y'i + v'y* = f(x) }
и посмотрим, можно ли из этой системы найти функции и (х) и
v(x). В системе (10) неизвестными являются и' и v'', а величины
Уъ Уъ Уи Уг и f (х) известны. Для того чтобы система (10) была
разрешимой относительно неизвестных, достаточно, чтобы
определитель системы был отличен от нуля. Определителем системы (10)
является вронскиан
1^| = Аа/1, у2),
У\ Уг
* Это можно сделать, так как для определения двух функций и (х) и v (х)
надо иметь два соотношения, а одним из них и будет условие (6).
376

составленный для линейно независимых решении однородного
уравнения. По теореме 3 из § 2 этот определитель не равен нулю ни
при одном значении х, и поэтому из системы (10) всегда можно
найти и' и v'. Проинтегрировав найденные выражения для и' и v\
получим:
и(х) = и1(х) + С1 и v(x) = v1(x) + C2.
Подставим найденные выражения в (4):
У=&1 (*) + Сг] ух (х) + [v (х) + С2] уг(х).
Раскроем скобки:
У = СгУг + С2У2 + [и± (х) ух + vx (x) у2].
Так как у по построению есть решение данного неоднородного
уравнения (1), а (?!#! +С2у2 является общим решением соответствующего
однородного уравнения, то выражение
w = u1(x)y1 + v1(x)y2 (11)
будет решением неоднородного уравнения. По теореме 1^,
следовательно, у является общим решением уравнения (1).
Из доказательства теоремы видно, что способ вариации
произвольных постоянных дает, собственно говоря, прием нахождения
частного решения неоднородного уравнения, приводящий к
формуле (11).
и' и
Пример 1. Найти общее решение неоднородного уравнения у" + * т^* •
Из примера 5 в § 1 видим, что #i = # и у2 = —. Составим систему (10):
Найдем из нее и' и v'. Умножим первое уравнение на— и сложим со вторым.
Получим 2«' = 1| откуда
Из второго уравнения находим:
Подставляем полученные выражения для и и v в формулу (3) для общего
решения
= (i+Cl).,+ (_| + c,).±.
Группируя слагаемые, получаем:
*-<* + ? + ?•
X2
Отсюда видно, что частное решение данного неоднородного уравнения равно -^-.
377

Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Сформулируйте достаточные условия разрешимости системы
а1х + Ь1у = Съ
а2х + Ь2у = С2
относительно х и у.
2. Разрешимы ли системы
1) 5* + 2*/ = 8, 2) Ъх+ 7у = 0,
и
За:— # = 6 6л:+14г/=1
относительно хну?
3. Сформулируйте, в чем заключается метод вариации произвольных
постоянных.
4. Воспользовавшись упражнением 11 из § 2 и теоремой 2, найдите общее
2 2
решение уравнения у" у' -\- — у = Ах. Отв. y = CiX2 + C2x-\-2x3.
5. Воспользовавшись упражнением 12 из § 2 и теоремой 2, найдите общее ре-
х 1
шение уравнения у" -\-- у'—-. у = х—1. Отв. y = Ciex-\-C2x — (x2-{-\):
6. Воспользовавшись упражнением 10 из § 2 и теоремой 2, найдите общее
решение уравнения у" —-^^ У'+-^j У === 4 (^+1).
Отв. у = Сгх + С2(^-^ + (^хЬ + 2х*у
7. Найдите общее решение уравнения (1 +*2) у"-\-ху'— у = —1, если
известно, что функция yi = x является решением соответствующего однородного
уравнения.
Указание. Воспользуйтесь сначала теоремой 5 из § 2, а затем теоремой 2
из данного параграфа. Отв. г/ = С1лг + С2]/Г1+л:2 — 1.
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение,
в котором коэффициенты р и q — постоянные величины:
У" + РУ'+qy = 0, p=const, <7 = const. (1)
Решением этого уравнения может, очевидно, быть только такая
функция, производные которой подобны ей самой, так как иначе
при подстановке функции в левую часть уравнения (1) не произойдет
взаимного уничтожения членов в левой части. Такой особенностью
обладает, например, показательная функция.
Лемма 1. Если число kQ является корнем уравнения
k2+pk + q = Q, (2)
то функция ek*x является решением уравнения (1).
Доказательство. Положим у = ekoX и найдем производные:
y' = k0ek°x, y,r = klek*x. Подставляя у, у' и у" в уравнение (1),
получаем тождество klek*x-{-pkQekox-\-qek*x = ek*x (?o + /?&0-f- <?) = 0. Следо-
378

вательно, функция y = ek°x действительно является решением линей
ного дифференциального уравнения (1).
Уравнение (2) называется характеристическим уравнением
линейною дифференциального уравнения (1).
В дальнейшем нам придется использовать понятие производной
от такой функции вещественной переменной, значениями которой
могут быть комплексные числа. Всякую такую функцию можно
записать в виде f(x) = u(x) + iv(x). Предполагая, что функции и(х)
и v(x) дифференцируемы, определяем производную следующим
образом:
f'(x) = u'(x) + iv'(x).
Лемма 2. Если комплексная функция вида u(x) + iv(x)
является решением уравнения (1), то каждая из
вещественных функций и(х) и v(x) в отдельности также
является решением уравнения (1).
Доказательство. Подставим решение и (х) + to (x) в уравне-
нение (1):
[и (х) + tv (х)]" + р[и (х) + iv (x)Y + q[u (x) + iv (x)] =
= [и" (х) + ри' (х) + qu (х)] + i [v" (x) + pv' (x) + v (х)] = 0.
Так как комплексное число равно нулю только тогда, когда его
вещественная и мнимая части равны нулю порознь, то
и" (x) + pur (x) + qu (х) = 0,
v"(x) + pv'(x) + qv(x) = Q,
то есть и(х) и v (х) — решения уравнения (1).
Теорема 1. Общее решение линейного однородного
уравнения с постоянными коэффициентами может быть
написано по одной из следующих трех формул:
1) если характеристическое уравнение имеет два
различных вещественных корня k± и k2, то общее решение
имеет вид:
y = C1eks + C2ek*x; (3)
2) если характеристическое уравнение имеет два
равных вещественных корня k± = k2, то общее решение имеет
вид:
у = Схе^х + С2хе^х; (4)
3) если характеристическое уравнение имеет два
сопряженных комплексных корня k1 = a + $i и k2 = a — $i, где
р=^0, то общее решение имеет вид:
y = eax(C1cos$x + C2s\n$x). (5)
Док азате льство:
1) Пусть характеристическое уравнение имеет два различных
корня &! и k2. Тогда функции y1 = ek^x и y2 = ek*x являются
решениями уравнения (1) в силу леммы 1. Эти два решения линейно
379

независимы, так как у = ^=e(*i-*2>*^const, в силу того что
кгфк2. Следовательно, по теореме 4 из § 2 общее решение
линейного дифференциального уравнения (1) имеет вид (3).
2) Пусть характеристическое уравнение имеет два равных
вещественных корня (то есть ^—двукратный корень). Тогда у1=е*»* по
лемме 1 является решением уравнения (1). Составим функцию
y2 = xekiX и найдем ее производные:
и
Уъ=2к1ек*х + к*1хек*х.
Подставим у2, и у% и yl в левую часть уравнения (1):
2k1et*x + k\xek*x + р (ek>x + кгхек*х) + qxet* =
=** [ffi + pk1 + q)x + 2 (кг + §¦)].
По условию k2l-\-pk1-\-q = 0. В силу того что квадратное
уравнение (2) имеет кратный корень кг и, следовательно, к1= — -тг,
имеем: ?i+y = 0. Таким образом, результат подстановки дает
тождественный нуль. Следовательно, функция у2 также является
решением уравнения (1). Решения ух и у2 линейно независимы,
так как — = — ф const, и по теореме 4 из § 2 общее решение
имеет вид (4).
3) Пусть характеристическое уравнение имеет комплексные
сопряженные корни kh2 = <x±$i. В таком случае в силу леммы 1
функции z1 = e(a+'P/)* и z2 = e(a-0')* являются решениями
уравнения (1) (см. определение показательной функции комплексной
переменной в гл. XXIV, § 2, формула (2). Для удобства записи будем
пользоваться не обозначением «ехр г», а более удобным обычным
обозначением ez).
В силу формул Эйлера имеем (см. формулу (4) из § 3 гл. XXIV):
z1=eax cos $х + ieax sin р#, z2 = e^x cos p — ie*x sin $x.
Отсюда по лемме 2 следует, что функции
ух = е7Х cos px и у2 = гах sin P*
суть также решения уравнения (1). Так как — = ctg P х ф const, то
уг и у2 линейно независимы и по теореме 4 из § 2 общее решение
уравнения (1) имеет вид (5):
у = Сге*х cos p + С2ёхх sin $x,
или
у = е*х (Сг cos px + Са sin px).
380

Пример 1. Найти общее решение уравнения у" — 5у' + \у = 0.
Составим характеристическое уравнение
?2_5/г + 4 = 0
и найдем его корни: &i=l, /е2 = 4. Общее решение данного уравнения пишем по
формуле (3):
у^С^х + Съе**.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
*/"-6z/' + 9*/ = 0.
Составим характеристическое уравнение
&2_6? + 9 = 0
и найдем его корни: ^х = /г2 = 3. Общее решение данного уравнения пишем по
формуле (4):
у = Сх<АХ-\-С2хе?х.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
*/" + &/' + 25г/=0.
Составим характеристическое уравнение
?2 + 86+25 = 0
и найдем его корни: /гх = —4 + 3/, k2 = —4 — 3/.
Общее решение данного уравнения пишем по формуле (5) (здесь а — — 4, (3 = 3):
у = е~*х • (Сх cos За: + С2 sin 3*).
Таким образом, процесс решения линейного однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами не содержит действия интегрирования,
а состоит из простых алгебраических выкладок. В этом заключается большое
преимущество линейных дифференциальных уравнений по сравнению с
нелинейными.
Пример 4. Рассмотрим уравнение
у" + г/ = 0. (6)
Решая по формуле (5), получаем общее уравнение:
у = Сг cos х + С2 sin х. (7)
Уравнение (6) имеет постоянные коэффициенты, и, применяя к нему
теорему, сформулированную в § 1, можно сказать, что для любых
начальных условий существует единственное решение уравнения (6),
определенное и непрерывное на всей числовой оси и
удовлетворяющее этим начальным условиям.
Зададим начальные условия:
у=1, у' = 0 при х = 0. (8)
Тогда из (7) получим:
l=Ci+Ca-0, 0 = —Cx-0 + Ся,
откуда найдем, что Сг=1 и С2 = 0. Подставляя эти числа в (7),
получим то решение, которое удовлетворяет начальным условиям (8):
y = cosx. (9)
38J

Если же задать начальные условия
{/ = 0, у' = \ при х = 0, (10)
то получим из (7):
0 = d + C2.0, l^-d-O + C*
откуда найдем, что С1 = 0 и Сг=1. Подставляя опять найденные
значения произвольных постоянных в (7), получаем то решение,
которое удовлетворяет начальным условиям (10):
y = sinx. (И)
Так как начальные условия однозначно определяют то из
решений уравнения (6), которое им удовлетворяет, то можно дать
следующее определение.
Определение. Решение у = <р(х) уравнения (6),
удовлетворяющее начальным условиям (8), называется косинусом, а решение
y = ty(x) уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям (10),
называется синусом.
Так определенные функции синус и косинус совпадают в силу
приведенных выше рассуждений с обычными тригонометрическими
функциями. Это уже второй способ определения функций sin* и
cos л: без геометрии (первый способ—см. § 3, гл. XXIV). Этим
способом функции синус и косинус сразу определяются как функции,
непрерывные на всей числовой оси.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Может ли функция у — \пх быть решением уравнения (1) при некоторых
постоянных коэффициентах р и q?
Найдите общие решения следующих уравнений:
2. */" + 13*/' + 42г/ = 0. 3. у" + 9у = 0. 4. у" + 4у' + 3у = 0. 5. у"+2у' + 5у = 0.
6. у" + 2у' = 0. 7. у" — 3у' — 10у = 0. 8. */"+2*/' + 37г/ = 0.
9. Найдите частное решение уравнения у" — 4г/' + 4*/ = 0, удовлетворяющее
начальным условиям: г/ = г/' == 1 при # = 0. Отв. у = е2Х(1— х).
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное
уравнение, в котором коэффициенты р и q — постоянные величины:
y" + py' + qy = f(x), p = const, q = const. (1)
Общее решение этого уравнения можно искать по теореме 2 из § 3,
но, как указывалось выше, способ вариации произвольных
постоянных мало удобен на практике, так как большей частью приводит
к громоздким выкладкам и интегрированиям. Если в правой части
уравнения (1) стоит многочлен, или показательная функция, или
тригонометрическая функция sin px или cos fix, или линейные
комбинации указанных функций, то можно дать способ нахождения
частного решения уравнения (1), который состоит в выполнении
382

некоторых алгебраических выкладок, но не содержит процесса
интегрирования. Это так называемый способ неопределенных
коэффициентов. После того как найдено частное решение уравнения (1),
общее решение пишется по теореме 1 из § 3 с использованием
формул (3), (4) и (5) теоремы 1 из § 4.
Рассмотрим различные правые части в уравнении (1).
1. Пусть в правой части уравнения (1) стоит многочлен
степени п:
f(x) = a0 + a1x + a2x2+ ... +апхп. (2)
В этом случае решение уравненя (1) можно тоже искать в виде
многочлена, подобрав соответствующим образом его степень и
коэффициенты.
а) Предположим, что q^O. В таком случае можно искать
частное решение в виде многочлена такой же степени, что и
многочлен, стоящий в правой части уравнения. Напишем этот искомый
многочлен с буквенными коэффициентами:
w = b0 + blx + b2x2 + ... + bnxn (3)
и подставим его и его производные в уравнение (1). Для того
чтобы он являлся решением уравнения, то есть обращал левую
часть тождественно в правую, нужно, чтобы коэффициенты
многочлена, получившегося после подстановки в левую часть уравнения (1),
совпадали с соответственными коэффициентами многочлена (2).
Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях х дает
систему уравнений, из которых находятся неизвестные коэффициенты
искомого многочлена, являющегося решением уравнения (2).
б) Предположим, что g = 0, p -ф 0. В таком случае в уравнении (1)
отсутствует в левой части член с г/, и поэтому нельзя искать
решение в виде многочлена той же степени, что и (2). Действительно,
в левой части уравнения (1) после подстановки многочлена степени п
отсутствовал бы член, содержащий хп, а в правой части он
присутствует, и тождество левой и правой частей уравнения (1) было бы
невозможно. В этом случае надо искать решение уравнения (1)
в виде многочлена степени на единицу выше, чем многочлен (2),
причем многочлен можно сразу писать без свободного члена, так
как в производные этот свободный член все равно не входит,
то есть в виде
w = x-(b0 + b1x + b2x2 + ... + bnxn). (4)
Определение неизвестных коэффициентов b0i Ьъ ..., Ьп осуществляется
так же, как в случае а).
в) Предположим, что q = p = 0. Тогда в левой части уравнения
отсутствуют члены с у и у\ и, проводя рассуждения, аналогичные
приведенным ранее, видим, что решение уравнения надо искать
в виде многочлена степени на две единицы выше, чем многочлен (2),
то есть в виде
w = x2.(b0 + b1x + ... + bnx").
383

Замечание. В случае б) можно понизить порядок уравнения,
используя подстановку r/' = z, а в случае в) уравнение может быть
легко решено непосредственным интегрированием, однако здесь мы
стремились обойтись только чисто алгебраическими
преобразованиями.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
у"-Ьу> + Ау = х*+\. (5)
По теореме 1 из § 3 надо найти общее решение соответствующего однородного
уравнения и какое-нибудь частное решение данного уравнения. Общее решение г
соответствующего однородного уравнения г/" — 5г/' -f- 4г/ = 0 имеет вид:
z = C1ex+C2eix (см. пример 1 из § 4).
Так как в данном уравнении я = 4=^ О, а в правой части стоит многочлен второй
степени, то частное решение у0 данного уравнения ищем по формуле (3) в виде
w = Ь0 + Ъ-iX + Ь2х2.
Подставляем w, w' и w" в данное уравнение:
2Ь2 - 5 (2Ь2х+Ьг) + 4 ф2х* + Ьгх + Ь0) == х* +1
или
4Ь2х* + (Щ — №2) х + (АЬ0 - 56х + 2Ь2) = х* + 1.
Два многочлена равны тождественно друг другу, только если их коэффициенты
при одинаковых степенях переменной равны между собой. Поэтому, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях, получаем:
4*2=1, *2=4;
4^-10*2=0, ^i = |-;
29
4*0-5^ + 2^=1; *о = з§.
Таким образом,
х* , Бх , 29
Ш==Т + 1Г+32>
и общее решение данного уравнения мы получаем по формуле y = z-\-w:
Пример 2. Найти общее решение уравнения
у" + 2у' = 24х.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
г/" + 2г/' = 0.
Составим характеристическое уравнение:
/г2 + 2/г = 0,
откуда &! = () и /г2= — 2. По формуле (3) теоремы 1 из § 4 общее решение z
имеет вид:
Так как в данном уравнении q = 0 и в правой части стоит многочлен первой
степениг то частное решение данного уравнения w надо искать по формуле (4)
384

в виде
ЯУ = *(&о + М> (б)
как было указано в пункте б). Подставляя wt w\ w" в данное уравнение,
получаем:
2b1 + 2pb1x + b0)=24x,
откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой
частях, имеем:
4^ = 24, ^ = 6, 2b1 + 2b0 = 0, &о=-6.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
г/ = С1-г-С2^~2ЛГ + бл; (л:—1).
Если бы мы пробовали искать w не в виде (6), а просто в виде Z0 = #o + ?i*i
то после подстановки в данное уравнение получили бы
2^ = 24*.
Такое равенство не может быть тождеством, то есть не может иметь места при
всех значениях дс, и, следовательно, решение не может иметь вид выбранной нами
функции ко.
Данное уравнение можно также решить соответствующим приемом понижения
порядка дифференциального уравнения (см. гл. XXVI, § 2,— случай, когда в
уравнении отсутствует у).
2. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид:
f(x) = e*x.Pn(x),
где Рп(х) обозначает многочлен степени п.
Будем искать частное решение уравнения (1) в виде
произведения
w = eax'ti,
где и — некоторый множитель, вид которого надо определить.
Найдем производные w:
wr = аеах -и + еах- и\ ю" = aV* • и + 2aea* • и' + еах • и"
и подставим w9 w' и w" в уравнение (1):
а4х • и + 2аеахи' + еахи" + р {аеахи + е*хи!) + qe*x • и = е^ • Рп (х).
Вынесем е*х за скобки и сгруппируем слагаемые в левой части:
(a*+pa + q)'U + (2a + p)u' + u' = Pn(x). (7)
Для того чтобы это равенство было тождеством, нужно, чтобы в
левой части равенства получился тот же многочлен, что и в правой
части, то есть многочлен Рп (х).
а) Если число а не является корнем характеристического
уравнения для однородного уравнения, соответствующего уравнению
(I;, то a2-\-pa + q -ф 0. Для того чтобы (7) обратилось в тождество,
нужно по предшествующему пункту а) взять в качестве и
многочлен степени п и определить его коэффициенты, как это делалось
выше. Таким образом, в этом случае
w = erx'(b0 + b1x + ... + bnt»)i (8)
385

б) если число а является корнем первой кратности
характеристического уравнения, то <x2 + pa-\-q = 0> и 2а+р^0. Для того
чтобы (7) обратилось в тождество, нужно взять в качестве и
многочлен степени п+l (можно, как и в случае б) предшествующего
пункта брать его без свободного члена):
u=x-(b0 + b1x + ... + bnxn)
и определить, как указывалось выше, его коэффициенты. Таким
образом, в этом случае
Ы)==е«х-х-(Ь0 + с1х + ... + Ьпхп); (9)
в) если число а является корнем второй кратности
характеристического уравнения, то а2 + ра + ? = 0 и 2а + Р = 0. Для того чтобы
7) обратилось в тождество, нужно взять в качестве и многочлен
степени п-\-2 (в котором не надо брать свободного члена и члена
с первой степенью х, так как эти члены не войдут в выражение
второй производной):
и = х*(Ь0 + Ь1х + ... + Ь„хп)
и определить обычным способом его коэффициенты. Таким образом,
в этом случае
w = eax-x2-(b0 + b1x + ... + bnxn). (10)
Пример 3. Найти общее решение уравнения у"— 6у'-\-8у = е2Х.
Напишем соответствующее однородное уравнение:
у"—6у' + 8у = 0
и его характеристическое уравнение:
/г2 —6/г + 8 = 0.
Оно имеет два корня: /гх = 2 и &2 = 4. В правой части данного уравнения стоит
произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию еах при
а = 2. Следовательно, а является корнем первой кратности характеристического
уравнения, и поэтому частное решение данного уравнения надо искать по
формуле (9):
w — e2X • х-
доопределив обычным способом коэффициент Ь0, получаем (проделайте выкладки
подробно):
w = — ~- х • е2Х,
и общее решение данного уравнения имеет вид:
у = Сге2Х+С2е*х — i- хе2Х.
Пример 4. Найти общее решение уравнения
0"-6*/' + 8г/=е*.
Это уравнение имеет такую же левую часть, что и уравнение примера 3. В
правой части данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на
показательную функцию е%х при а=1. Следовательно, а не является корнем
характеристического уравнения и частное решение данного уравнения надо искать
по формуле (8):
w = ех • bQ.
386

Определив коэффициент b0 (проделайте сами выкладки), получаем:
1 х
w = jr- ех,
о
и общее решение данного уравнения имеет вид:
у^С1е2Х + С2е^х+^ех.
Пример 5. Найти общее решение уравнения
*/"-2г/' +г/= (6*2-4)e*.
Напишем соответствующее однородное уравнение:
у"-2у' + у = 0
и его характеристическое уравнение:
/г2 — 2/г + 1=0.
Оно имеет корень второй кратности k\ = \. В правой части данного уравнения
стоит произведение многочлена второй степени на показательную функцию еаХ,
где а = 1. Следовательно, а является корнем второй кратности
характеристического уравнения, и поэтому частное решение данного уравнения надо искать по
формуле (10):
w = ех • х2 • (Ь0 + Ьгх + Ь2х2).
Находим производные:
w' = ех (bQx* + М3 + Ъ2х*)+ех (2bQx+ЪЬхх2 + 4?2*з)
и
w" = 2ex (2b0x + ЗМ2 + Щх*) + ех (Ь0х* + Ьгх* + Ь2х*) ех (2Ь0 + Щх + \2Ь2х*)
и подставляем w, w' и w" в данное уравнение. После вынесения ех за скобку и
группировки слагаемых по степеням х получаем:
ех [(Ь2 - 2Ь2 + Ь2) х* + (8^2 + Ьг - 2ЪХ - 8Ь2 + Ьг) х* + (6Ьг + bQ+ I2b2 - 2?0 -
-Щ + Ь0) x2 + (4b0 + 6b1-2b1- Ab0) х^-2Ь0]==ех - (6x2-A)t
откуда
Таким образом,
12Ь2х2 -f Щх + 2Ь0 = 6л;2 — 4,
1262 = 6, 62 = i-;
6х = 0; 260 = —4, 60 = —2.
ш = елг-д;2.( —л:2—2
и общее решение данного уравнения (см. формулу (4) из § 4) имеет вид:
у = С1ех + С2хех + ех-х*- (у*2— 2
Прежде чем переходить к более сложному случаю, докажем
одну общую теорему, относящуюся к уравнению, в правой части
которого стоит сумма нескольких слагаемых.
Теорема. Сумма частных решений двух уравнений
y'+py, + qy=fi{x), (11)
V'+PV'+qy=f%(x) (12)
дает частное решение уравнения
У" +py'+qy=fi (х) +/, (х). (13)
387

Доказательство. Обозначим через wx частное решение
уравнения (11) и через доа~ частное решение уравнения (12). Составим
сумму w1 + w2 и проверим, что она является решением уравнения (13),
Для этого подставим сумму wt-\-w2 и ее производные в
уравнение (13). Получим:
(w± + w2)" + p(w1 + w2)f + q (w± + w2) =
= (wl + pw[ + qwx) + (wl + pw2 + qw2) = f x (x) + f2 (x),
так как выражение в первых скобках по условию равно
тождественно /х(л:) и выражение во вторых скобках тождественно равно f2(x).
Таким образом, проверено, что w = w1 + w2 есть частное решение
уравнения (13).
3. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид:
f(x) = e«x [Pn (х) cos р x+ Qm (х) sin рдг], (14)
где Рп(х)—многочлен степени п, a Qm(x)—многочлен
степени т.
Заменяя cospx и sinp* по формулам Эйлера (см. гл. XXIV,
§ 2), получаем:
f (х) = еах \Рп (х) —=§ h Qm (x) й J,
или
/ (х)=1 *«*>* [Рп (х) -iQm (х)] + у eW>*[P« (*) + iQm (х)).
Принимая во внимание выводы, полученные в пункте 2, и на
основании доказанной теоремы частное решение надо искать в виде
w = e^i)xRp (х) + е(«-^хТр (х), (15)
если числа <х±р/ не являются корнями характеристического
уравнения (случай а)), и в виде
w=x [*<¦*№ Rp (x) + e<«H«>* тр (X)], (16)
если числа а±р/ являются корнями характеристического
уравнения (случай б)). В формулах (15) и (16) через Rp(x) и Тр(х)
обозначены многочлены степени р, где р — наибольшее из чисел пи т.
Заменяя в (15) и (16) показательные функции е{а^1)х и е{а~^1)х по
формулам Эйлера, получаем:
w = еах [Lp (x) cos р* + Sp (х) sin p*] (17)
и
w = хе** [Lp (x) cos р* + Sp (х) sin px], (18)
где Lp(x) и Sp {x)—многочлены степени р. Можно проследить, что
коэффициенты многочленов Lp (x) и Sp (x) вещественные (тогда как
коэффициенты многочленов Rp (x) и Тр (х) могут быть комплексными).
При использовании формул (17) и (18) следует помнить, что если
388

в (14) присутствуют члены только с синусами или только с
косинусами, то в ш надо все равно брать оба члена — и с синусом, и
с косинусом.
Пример 6. Найти общее решение уравнения у" + 3z/'+2# = cos2х.
Напишем соответствующее однородное уравнение:
у"+Ъу' + 2у = 0
и его характеристическое уравнение:
fc2 + 3& + 2=0.
Оно имеет корни: ^х=1 и k2 = 2. Сравнивая правую часть данного уравнения
с формулой (14), видим, что а = 0, Р = 2, Рп(х) = 1, /г==0, Qm(x) = 0.
Комплексные числа а ± jj/, составленные по правой части уравнения, обращаются в чисто
мнимые числа ± 2i, и они не совпадают с корнями характеристического
уравнения. Поэтому частное решение данного неоднородного уравнения ищем по
формуле (17) (р = 0):
w = b0 cos 2x+с0 sin 2x.
Находим w' и до":
до' = — 2b0 sin 2x-\-2cQ cos 2x, до" — — 460 cos 2x — 4с0 sin 2х,
Подставляем до, до' и до" в данное уравнение:
— 460 cos 2х — 4с0 sin 2х — 6b0 sin 2х+6с0 cos 2х+2b0 cos 2х+2с0 sin 2х=cos 2лг,
откуда
(6с0 — 260) cos 2х+(— 2с0 — 6?0) sin 2л: = cos 2x.
Приравнивая коэффициенты при sin 2x и при cos 2x в правой и левой частях
получаем:
1 3
6с0—2Ь0=1, ~2с0 — 6&о = 0; &0=—эд, c0 = 2q.
Таким образом,
ш = -1 cos 2^+1 sin 2л;.
Таким образом, получаем общее решение данного неоднородного уравнения:
Пример 7. Найти общее решение уравнения
У" + W + Qy=2хе-з* sin x.
Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет
вещественные корни: &1 = /г2==—3. Сравнивая правую часть данного уравнения
с формулой (14), видим, что а = — 3, (5 = 1, Рл(*)=0, Qm(x)=2x, m = l, p=l.
Комплексные числа а ± ($/ =—3 ± i, составленные по правой части данного
уравнения, не совпадают с корнями характеристического уравнения. Следовательно,
частное решение надо искать по формуле (17) в виде
w — e-3x . [(60_|_ ьгх) cos x+(cQ + Cix) sin х].
Обозначим
(b0 + Ьгх) cos х + (с0+с±х) sin х = 2.
389

Найдем производные:
w' = — Ъе~ьх • г+е~*х • z\
где
г' = &j cos х — (60 + &t*) sin х+сх sin х + (с0 + Ci*) cos x\
w" = 9<Г3* • г — 6е~3* • г' + <тзл:. 2",
где
г" = — 2&! sin л: — (b0 + &xx) cos x + 2сг cos л: — (с0 + сгл:) sin x.
Подставляем до, до' и до" в данное уравнение:
9e-3.v. z _ б?Гз*. г/ _|_ e-3*2" __ i gg-s* . г _|_ gg-a*. г' + 9?Г3*. z = 2л*Г3* sin *,
откуда, приведя подобные члены, получаем:
е~*х • г" = 2*е~3* • sin x.
Сокращаем на е~зх и подставляем z"\
(— 2Ьг — с0 — схл:) sin х+(2ci — 60 — b\x) cos д: = 2x sin *.
Отсюда
— 2Ьг — c0 — схл: = 2л:, 2cx — b0 — bxx = 0.
Приравниваем в этих тождествах коэффициенты при одинаковых степенях х в
правых и левых частях
— 2Ьг — с0 = 0, —Ci = 2, 2cx — &о = 0, — ^ = 0
и определяем отсюда коэффициенты b0l Ьъ с0, сг:
с1 = — 2, 6i = 0, г0 = 0, 60 = —4.
Следовательно,
до = е~3* • (— 4 cos х — 2х sin x).
Общее решение данного уравнения имеет вид:
у = Сге~эх+С2хе-*х — е~*х • (4 cos х+2х sin *) .
Пример 8. Найти общее решение уравнения у"— 6//' + \3у = 8езх• sin2*.
Напишем соответствующее однородное уравнение:
у' — 6у'+13у = 0
и его характеристическое уравнение:
# —6?+13 = 0.
Оно имеет комплексные сопряженные корни: 3 ± 2/. Сравнивая правую часть
данного неоднородного уравнения с общей формулой (14), видим, что а = 3, р = 2,
Pn(x) = 0, Qm(*) = 8, /7 = 0. Комплексные числа а ± р/, построенные по этой
правой части, совпадают с корнями характеристического уравнения, и поэтому
частное решение надо искать по формуле (18) при р = 0:
до = хе?х • fa cos 2л:+с0 sin 2x).
Найдем производные; для облегчения записи выкладок обозначим:
b0 cos 2х + с0 sin 2х = z\
до' = e*x • г + 3xe?xz + х&*г\
где
г' = — 2b0 sin 2a:+2с0 cos 2x\
w * = 3e*xz+с3*2' + Зе3*? + 9xe*xz + 3x<*xz' + e*xz' + 3*e3*z' + *езл:2" =
= бв3^ = 2e*xz' + 9xe>xz + блге^г' + xe*xz\
где
2^ = — 4&о cos 2x—4c0 sin 2*.
Подставляем до, до' и до* в данное уравнение:
е3* (6z + 2z' + 9xz + 6xz'+xz" — 62 —18*2 — 6*2' + I3xz) = 8e3x • sin 2ц
390

упрощая, получаем:
4лг + 2г' + xz" = 8 sin 2л.
Подставляем выражения г, г' и г":
4л#0 cos 2л + Ас0х sin 2л— 460 sin 2х — 4с0 cos 2х — 4Ь0л cos 2л; — Ас0х sin 2л = 8 sin 2л,
то есть
— 4Ь0 sin 2х—4с0 cos 2л == 8 sin 2л:,
откуда
— 4Ь0 = 8, 60 = —2; — 4с0 = 0, с0 = 0.
Таким образом,
ад = — 2лв8ЛГсоз2л.
Общее решение данного уравнения имеет вид:
у = е~зх (Сг cos 2л + С2 sin 2л) — 2ле3* cos 2x.
Решим еще уравнение, которое сводится к уравнениям разобранных типов
с помощью доказанной выше теоремы.
Пример 9. Найти общее решение уравнения у" — 6у'-{-8у = ех-{-е2Х В
правой части этого уравнения стоит сумма разных показательных функций, и
поэтому сразу искать частное решение так, как это было указано выше в пункте 2,
нельзя. Напишем два уравнения:
у" — 6у' + 8у = ех и #" — 6*/' + 8г/ = е2*.
В примерах 3 и 4 были найдены частные решения этих уравнений:
Wi = -х- ех и до2 = ~ у хе2Х-
Следовательно, частное решение данного уравнения имеет вид:
ш = — е?—~-хе2Х,
а общее решение можно написать в следующем виде:
у = Сге2Х + С2в4*+у ех - -i хе2Х.
Вопросы для самопроверки и упражнения
Найдите общие решения следующих уравнений (в ответах отдельно указаны
частные решения):
1. у" + 13у' + 42у=\\2ех. Отв. y = z + wt где w = 2ex.
2. у"-\-9у = 60е~х. Отв. y — z-\-w, где w — 6e~x.
3. #" + 5#' + 6г/=12. Отв. y = z-\-w, где ш = 2.
5 5
4. 0" + -g-0' + 0=y+*. Ome. г/ = г + ш, где ш = л.
5. #" + 4г/ = л2. Отв. y = z+w, где о> = —л2 ^-.
л3 4л2 26 80
6. у" — 4г/' + 3*/ = л3. Отв. г/ = г + иу, где ш = у + -у- + — х+27.
7. */" — 6*/' +9*/ = 54л+18. Отв. */ = г + ш, где оу = 6л + 6.
8. у" — 4у'-\-5у=2х2ех. Отв. y = z + w, где w = ex (x-\-1)2-
л2в2А:
9. #" —4#' + 4г/ = е2Л\ Отв. # = г+оу, где w=-
10. #" — 5#' + 6г/ = л3в2*. Отв. y=z + w, где а/ = — (^-+ л3 + Зл2 + 6л) в2*.
11. у"-2у' + у = {\+х) + {Ьх2-4)ех.
391

Указание. Используйте теорему из настоящего параграфа.
Отв y — z + w, гд& w = w1 + w2 = x-\-3-{-[-j —2x2)ex.
12. у" + 2у'+2у = Зхе-х+\0.
Отв. y = z + w, где до = дох + до2 = (Зл; — 6) е Х+Ь.
13. г/"-6г/' + 13г/ = (д:2-1)е-^
Отв. y = z + w, где до = (0,05*2 + 0,04* — 0,039) е~х.
14. у" — 4у' + 4у = 4х+х-е**.
х3
Отв. y = z + w, где w=w1 + w2 = x + l+-^e2X.
15. #" + 4f/' + 3z/ = 8cos а:—6 sin я. Отв. y = z-{-w, где до = 2 cos^+sin^.
16. r///-f-r/= 12 sin 2x. Отв. y = z + w3 где до = — 4 sin 2x.
x
17. y"+y=cosx. Отв. y = z + w, где Gy = -^sin*.
7 5
18. #" —7#'+6*/=sinA:. Отв. y = z + w, где до = =^ cos *+ y7 sin x-
19. */" + */ = sin Зл:. Отв. y=z + w, где до = —-^-sin 3x.
20. у" + у = sin л: sin 2л:.
Указание. Представьте правую часть в виде разности косинусов с
коэффициентом -^-.
Отв. y = z + w, где до = ДО1 + до2 = -х* sin A:+y~ cos 3*.
2
21. #" + 4# = Зл: sin #. Ome. */ = г + до, где до = л: sin л: —^" cos л:.
X2 X
22. #" + 4г/ = л: sin 2х. Отв. y=z + w, где до = =- cos 2х + у. л: sin 2*.
о 1о
23. у"—2у'+у = е~х sin х. Отв. y=z + w, где до = (^cos*+ ^f sin х\ е~х.
24. у" — 6у' + 13у = 8езх sin 2*. Отв. # = z + до, где до = — 2*е3* cos 2x.
25. у"-\-2у'-\-2у = 2е~х sin х. Отв. y — z-\-w% где до = —#e~*cosx.
26. у" — Ьу' + 25у = 2е*х cos 4х + 8езх (1 — 2*) sin 4*.
Отв. г/ = 2 + до, где до=?здг (л:2 — *) cos 4л:.
5л;
27. г/'' — 6у' + 25г/ = 5е3* cos 4л:. О/пв. у = г + до, где до=-3- e3* sin 4л:.
о
28. y,,+2y, + y = x2e~xcosx.
Отв. y = z-\-w, где до = [(6 — л;2) cos л; + 4л: sin x] е~х
х2 I х хъ^
29. у" + у = х2 sin х. Отв. у = г + ш, гце w=—sinx+{ — —^-Jcosx.
В задачах 30—32 правые части уравнений не подходят под случаи,
рассмотренные в этом параграфе. Поэтому предлагается решить эти уравнения методом
вариации произвольных постоянных, написав сначала общее решение
соответствующего однородного уравнения.
30. у"+2у'+у = е~х In х. Отв. у = Схе~х + С2хе~х + № In x-^-\ е~х.
31. у"-2у'+у-- е*
VA—x2'
Отв. у = Сгех + С2хех + h/T=^* + xarcsin-j\ ex.
е~2Х р-2х
32. */" + 4|/'+4*/ = —. Отв. у = С1е~2Х + С2хе-2х+е-^-.
392

Определите, в каком виде надо искать частные решения следующих
неоднородных уравнений.
33. у" — 2>у' — 10y = (x* + 8)ebxsmx.
34. у'' — Ъу' — 1 Оу=е~2Х cos Ъх + Зл:3 sin Ъх.
35. у" — 6у' + 1 3# = х sin 2* + *2?>з* cos 2x.
36. г/" - 6у' + 1 Зг/ = (*з - 2л; +1) е*х sin 2л;+е*х cos 2л:.
37. у" — 6*/' + 13г/ = л:48т2л:.
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ИЗУЧЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ЯВЛЕНИЙ
Пусть тело массы т подвешено на пружине, которая
неподвижно закреплена одним концом. В положении равновесия вес тела
mg уравновешивается упругой силой пружины, которая по закону
Гука пропорциональна длине отрезка s, на который растянулась
пружина под действием веса тела. Коэффициент
пропорциональности с называется коэффициентом жесткости пружины. Итак,
mg = c-s. (1)
Выведем тело из положения равновесия, сообщив ему
перемещение у0 в вертикальном направлении, и затем отпустим его. Тело
начнет колебаться около положения равновесия, совершать так
называемые свободные колебания. Составим уравнение движения при
различных предположениях относительно среды, в которой
происходят колебания.
1. Свободные колебания в среде без сопротивления.
Предположим, что сопротивление среды незначительно, и не будем его
учитывать при составлении уравнения движения. Тогда в любой момент
движения на тело будут действовать две силы: 1) вес тела mg,
тянущий тело вниз, и 2) упругая сила пружины, равная — с (s-\-y)
(где у обозначает отклонение тела от положения равновесия) и
тянущая тело вверх. Результирующая сила будет по (1) равна:
mg — c(s + y) = — cy. (2)
Составляем уравнение движения по закону Ньютона, помня, что
ускорение прямолинейного движения равно второй производной от
пройденного пути по времени (массу пружины считаем столь малой
по сравнению с массой тела, что ею пренебрегаем):
ту" = — су, или ту" +су=0. (3)
Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго
порядка, где смещение у (t) является искомой функцией. Поделим
все члены уравнения (3) на т и обозначим — = со2 (в обозначении
подчеркивается, что это отношение является положительным числом):
Составим характеристическое уравнение:
?2 + <02 = 0.
393

Его корнями будут &1|2=±со/, и общее решение запишется по
формуле (5) из § 4:
у = Сх cos со/ + С2 sin со*. (4)
Сделаем следующие преобразования:
у = Сх cos со* + С2 sin со* = КСЙ^
Введем обозначения:
VC\ + C\ = At ^=ft= = sina,
Vcf+ci ' Vci+ct
cos a
(последние обозначения можно ввести потому, что сумма квадратов
С С
дробей r * и —f 2 равна единице, в силу чего их можно
у с\+с\ yc'f+ci
считать синусом и косинусом одного и того же угла а). Общее
решение (4) примет вид:
у = А • (sin a cos со/ + cos a sin cot),
то есть
у = А • sin (со/ + а). (5)
Вид общего решения (5) показывает, что смещение у изменяется
с течением времени по синусоидальному закону; как говорят, тело
совершает свободные гармонические колебания около положения
равновесия. Коэффициент Л—амплитуда колебаний, со —частота
колебаний и a — начальная фаза. Величины Л и а, которые, как
мы видели выше, выражаются через Сг и С2, в условиях
конкретной задачи могут быть выражены через начальные условия. Пусть
в начальный момент движения при / = 0 известны начальное
смещение у0 и начальная скорость y'Q. Найдем у' из (5):
у' = А со cos (со* + а) (6)
и подставим начальные данные в (5) и (6):
у0 = А sin a и у'0 — А(о cos a. (7)
Отсюда можно выразить а и Л через со, у0 и y'Q.
Подставляя найденные значения Л и а в (5), получаем частное
решение дифференциального уравнения (3), отвечающее конкретным
условиям задачи. Из формул (7) видно, что начальная фаза и
амплитуда колебаний зависят от со = 1/ —, то есть от отношения
коэффициента жесткости пружины к массе тела и от начальных
условий. Частота колебаний со = 1/ — не зависит от начальных
условий, а зависит только от отношения коэффициента жесткости
пружины к массе тела (чем больше масса, тем меньше частота
колебаний).
2. Свободные колебания в среде с сопротивлением.
Предположим, что тело при движении встречает со стороны среды
сопротивление, пропорциональное скорости движения, то есть пропорци-
394

ональное у'. В этом случае результирующая сила в отличие от (2)
будет иметь вид:
— су—Сх-у' (8)
(q—коэффициент пропорциональности, и знак минус поставлен
потому, что сопротивление среды препятствует движению тела).
Следовательно, уравнение движения, составленное по тому же
принципу, что и уравнение (3), будем иметь вид:
(9)
ИЛИ
Положим
тогда уравнение примет вид:
у"+2ру' + (>>*у = 0.
Напишем характеристическое уравнение
k*+2pk + a2 = 0
и найдем его корни:
ту
ту'
т
= —
-су-
-cv
'+СгУ'+су =
-2р
и
с _
т ~
У,
= 0.
= ©!
К 2= — р ± Vp2— ю2.
В зависимости от того, каковы величины р иш, получим разные
движения:
а) р2<со2, то есть сопротивление среды сравнительно невелико
(это наиболее часто встречающийся в технике случай).
В этом случае обозначим со2 — р2 = щ (в обозначении
подчеркивается, что эта разность положительна) и получим следующие корни
характеристического уравнения:
&1, 2 = — Р ± V— (^ —Р2) = ~ р ± (Oil.
Общее решение уравнения (9) пишем по формуле (5) из § 4:
у = e~pt (Cx cos (о^ + С2 sin cdj/)
и, делая те же преобразования, что и в предыдущем случае,
получаем:
у = i4e~p'sin(©1f + a).
Эта формула показывает, что тело совершает колебательные
движения около положения равновесия, но размахи колебаний
уменьшаются с течением времени, так как с возрастанием t множитель
e~pt убывает (е~р'-*0 при ?-> + оо). Таким образом, в этом случае
тело совершает затухающие колебания. Надо отметить, что частота
этих колебаний щ меньше, чем частота со в случае свободных
гармонических колебаний, то есть сопротивление среды влияет на
колебания тела в сторону постепенного уменьшения размахов
колебаний и уменьшения частоты колебаний. Так же как в первом
395

рассмотренном случае, величины Л и а определяются начальными
условиями и другими данными задач, а частота щ зависит только
от массы тела, материала пружины (коэффициента жесткости) и
среды (коэффициента сопротивления рх).
б) р2>ю2, то есть сопротивление среды велико, среда вязкая.
В этом случае обозначим р2 — со2 = h2 и получим вещественные корни
характеристического уравнения:
klt 2 = — р ± Ур2 — со2 = — р ± К
Общее решение уравнения (9) пишем по формуле (3) из § 4:
y = C1e-(p^t + C2e-(p-^t. (10)
Численные значения постоянных Сг и С2 определяются из
начальных условий (при ^ = 0 известны начальное смещение у0 и
начальная скорость г/о)- Как показывает формула (10), тело не совершает
колебаний, движение апериодическое. С возрастанием t смещение у
уменьшается, так как й<р и показатели степени в обоих
слагаемых формулы (10) отрицательные. При ^->оо смещение у->0.
Следовательно, тело медленно возвращается после начального
смещения к положению равновесия (может быть, пройдя через него
один раз).
в) р2 = со2; в этом случае характеристическое уравнение имеет
один вещественный корень второй кратности: klt2 = — p, и общее
решение уравнения (9) пишем по формуле (4) из § 4:
у=€&-**+ С4е-". (11)
Численные значения Сг и С2 также определяются с помощью
начальных условий. В этом случае движение также апериодическое,
тело постепенно возвращается к положению равновесия (может быть,
пройдя через него один раз), так как оба слагаемых в формуле (11)
убывают с возрастанием t (при t-+oo произведение t -е~р* = -^-+0,
так как t растет медленнее, чем ept).
i
3. Вынужденные колебания в среде без сопротивления. Пусть
на тело, кроме силы тяжести и упругой силы пружины, действует
еще какая-либо внешняя сила, влияющая на характер движения
тела. Если при этом движение остается колебательным, то говорят,
что тело совершает вынужденные колебания. Рассмотрим тот
случай, когда внешняя сила, зависящая от времени, синусоидальная,
то есть может быть записана в виде D sin qt. Тогда результирующая
сила имеет вид:
— су-\-D sin qt
(сопротивление среды не принимаем во внимание) и уравнение
движения будет: ту" = —- су 4-D sin qt, или
j," + cd2# = # sin qt, (12)
396

с и
где введены обозначения — = со2, — = #. Полученное уравнение
неоднородное. Общее решение соответствующего ему однородного
уравнения было найдено выше (смотри формулу (5)). Будем искать
частное решение уравнения (12);
а) если (о=7^9» то частное решение можно искать по формуле
(14) из § 5:
w = bQ cos qt + с0 sin qt.
Найдем производные:
w' = — b0q sin qt + c0q cos qt, w"' = — b0q2 cos qt — c0q2 sin qt
и подставим w, w' и w" в уравнение (12):
(— b0q2 + со2й0) cos qt + (-— cQq2 + w2cQ) sin qt = H sin qt,
откуда найдем:
Mco2-<72) = 0, с0(со2-<72) = Я;
co=^2Z^; b0 = 0 (так как со2 — ?2=?0).
Таким образом,
и общее решение уравнения (12) имеет вид:
y = Asin{^t + a) + -^—^s\nqt. (13)
В этом случае движение складывается из двух колебаний с
разными частотами. Если со и q близки друг к другу по величине, то
амплитуда второго колебания в формуле (13) велика и,
следовательно, тело при движении совершает большие размахи. Это
явление стараются исключить при конструировании механических систем,
так как оно угрожает прочности сооружений, и его стараются
воспроизвести в радиоприемниках в процессе настройки, совмещая
собственную частоту колебаний приемника с частотой колебаний
передатчика.
б) Если со = q, то частное решение уравнения (12) следует искать
по формуле (15) из § 5:
w — t(b0 cos со/ + Со sin со/).
Найдем производные:
w' = b0 cos со/ + со sin со/ + '<*> (— b0 sin со/ + c0 cos со/),
w" = 2co (— b0 sin со/ + c0 cos со/) — /со2 (bQ cos со/ + c0 sin со/)
и подставим w, w' и w" в уравнение (12) (где ? = со). Получим:
(2сос0—tbQ(o2 -f- /Ь0со2) cosco/ + (—2&о<» — /с0со2-f/c0co2) sin со/ = Я sin со/,
или
2сос0 cos со/ — 2ft0co sin со/ = Я sin со/.
397

Отсюда
fco = -? и со = 0.
Таким образом, w — —^-/cosco/ и общим решением уравнения (12)
будет:
у = А sin(o)/ + a) — д— ^cosco^.
Здесь также движение складывается из двух колебаний, но
с одинаковыми частотами, и размахи второго колебания растут с
течением времени ввиду присутствия множителя t. Такое явление,
когда размахи колебаний при t -> со неограниченно возрастают,
называется явлением резонанса. Это явление нежелательно в
механических колебаниях, так как, естественно, всегда приведет к
поломке сооружений.
4. Вынужденные колебания в среде с сопротивлением.
Учитывая соображения, развитые при составлении уравнений движения
в случаях 2 и 3, напишем сразу уравнение движения в
рассматриваемом случае:
ту" = — су — см + D sin qt.
Сохраняя предыдущие обозначения, переписываем уравнение
в виде
у" + 2py' + tfy = H sin qt. (14)
(Будем рассматривать наиболее часто встречающийся на практике
случай р2<со2, то есть случай, когда сопротивление среды
сравнительно невелико.)
Общее решение однородного уравнения, соответствующего
уравнению (14), уже было получено выше (см. п. 2, а):
z = Ae~pt sin (©!* + a).
Частное решение неоднородного уравнения (14) ищем в виде
w = B sin (qt-\- б).
(По правилу 3 § 4 надо было бы искать решение в виде w = a sin qt -f
+ b cos qt и определять коэффициенты а и Ь\ но выкладки удобнее
провести, если выражение w преобразовать к указанному виду и
определять значения В и 6. Такие преобразования проводились
уже дважды.)
Найдем производные:
W' = Bq cos (qt + б), w" = — Bq2 sin (qt + 6)
и подставим w9 w' и w" в уравнение (14):
- Bq2 sin (qt + 6) + 2pBq cos (qt + 6) + co2B sin (qt + 8) = H sin qt,
или
В ((о2 — q2) sin (qt + 6) + 2pqB cos (qt + 6) = H sin qt.
398

Раскрываем по тригонометрическим формулам sin (qt+8) и cos (qt+8):
В (со2 — q2) (sin qt cos б + cos %t sin 6) +
+ 2Bpq (cos qt cos б — sin qt sin б) = Я sin qt.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических
функциях в левой и правой частях:
В (со2 _ ?2) cos § _ 2Bpq sin б = Я,
В (0)2 _ <j2) sin g + 2fip<? cos 6 = 0.
Из этой системы находим sin 6 и cos б (проделайте сами выкладки).
cin6- 2^ C0S6 = tffo'-g»)
Ш В [(0)2- ^)2 + 4/7^2] » ^U5U В [(0)2-^2)2+ 4р2^2]-
Возводя, в квадрат эти выражения и складывая, получаем:
sin2 б + cos2 б =
откуда находим В
Gin2 б 1 C0C2 6 = 1 - ^ [(<02-?2)* +W)] №
Mil U-r^U5 U Б2[((02_^2)2 + 4р2^2]2 — ?2 [(СО2 _ д2)2 + 4^2]
В= Н
уГ((02_^2)2_)_4р2^ *
Определяем так же tg б через известные выражения для sin б и
cos б:
-2р<?
tg6 =
О)2 ~ ^ >
откуда можно по таблицам определить б.
Таким образом, общее решение уравнения (14) имеет вид:
у = Ае-<* 8Ш(^ + а)+ , Я51п^ + б)
* V L 7 У (О)2 — <72)2 + 4р2^2 •
Следовательно, результирующее колебание складывается из
затухающих колебаний и колебаний с частотой q. Если подробно
исследовать изменение коэффициента В при изменении q, то
получится следующее: коэффициент В резко растет по мере
приближения q к со; этот рост тем более резкий, чем меньше величина
—. При некотором значении q = q* (близком к со) коэффициент
В достигает своего максимального значения. Чем меньше величина
—, тем ближе по величине q * к со и тем больше максимальное
со ^
значение В.
Таким образом, в указанных случаях происходит резкое
увеличение амплитуды вынужденных колебаний, а следовательно, и
амплитуды всего результирующего колебания (так как затухающие
колебания с течением времени мало влияют на результирующее
колебание). В этом и заключается явление резонанса в
рассматриваемом случае.
399

Приведенное выше исследование механических колебаний на
примере тела, подвешенного на пружине, сохраняется и для
других расположений упругих систем, например вагонных рессор,
буферов, и т. п. Это же исследование проводится и при изучении
самых разнообразных физических вопросов, связанных с
колебательными явлениями (электрических колебаний, звуковых
колебаний и т. д.)
§ 7. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Линейным однородным дифференциальным уравнением п-то
порядка называется уравнение вида
y{n)+Pi(x)y{n-1)+...+Pn-i(x)y' + pn(x)y=0. (1)
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением п-то
порядка называется уравнение вида
y{n)+Pi(x)y^1) + --. + Pn-i(x)y' + Pn(x)y = f(x) (где /(*)=?<>). (2)
Для уравнения типа (1) и (2) можно обобщить все результаты § 1,
2, 3, 4 и 5.
(При чтении определений и теорем этого параграфа надо все время
сравнивать текст с текстом § 2, 3 и 4. Доказательства
формулируемых в этом параграфе теорем аналогичны доказательствам
соответствующих теорем для уравнений второго порядка, хотя технически
сложнее.)
Для линейного уравнения /г-го порядка имеет место теорема,
аналогичная теореме, сформулированной в § 1. А именно: для
любых начальных условий у=у0, у' = у'о,---, y{n-1)=yQ^n-l) прих=х0
всегда существует в области непрерывности коэффициентов
уравнения единственное решение линейного уравнения, удовлетворяющее
этим начальным условиям.
Обозначим совокупность действий, производимых над у,у',..., у{п)
в левой части уравнения (1), через Ln. Будем говорить, что
к функции у применен оператор Ln, подразумевая под этим, что
с функцией у проделаны те действия, которые указаны в левой
части уравнения (1), то есть что от функции у найдены производные,
помножены на указанные в (1) коэффициенты и все сложено.
Результат всех этих действий, то есть левую часть уравнения,
запишем как Ln[y]. При рассмотрении уравнения второго
порядка (§ 1) можно также говорить об операторе L2. С помощью
этого обозначения уравнение (1) можно записать в виде Ln[y]=0
и уравнение (2) в виде Ln [y] = f(x).
Из определения оператора Ln ясно, что если а — постоянная
величина, то
Ln[ay] = aLn[y],
так как постоянный множитель выносится за знак производной при
дифференцировании. Это свойство оператора Ln называется
однородностью оператора.
400

Также очевидно, что если уг и у2 — две функции, то
U [Уг + Уг\ = Ln Ш + Ln [y2],
так как производная суммы двух функций равна сумме производных
этих функций. Это свойство оператора Ln называется аддитивностью
оператора.
В доказательстве теоремы 1 из § 2 использованы свойства
аддитивности и однородности оператора L. Обобщая теорему 1 из§ 2,
можно доказать, используя аддитивность и однородность
оператора Ln, следующую теорему.
Теорема 1. Если функции у^у^..., уп, являются
решениями уравнения (1), то функция а±уг + а2у2 + • • • + а>пУп> где
at —постоянные, также является решением уравнения (1)
(иначе: всякая линейная комбинация решений линейного
уравнения (1) опять является его решением).
Обобщим понятие линейной зависимости и линейной
независимости функций на любые конечные системы функций.
Определение 1. Функции ух ,уп называются линейно
зависимыми в [а, Ь], если существуют такие постоянные аь ..., аП9
из которых хотя бы одна отлична от нуля, что для всех х е
е [а, Ь] имеет место тождество
«101 (х) + <цуъ (х) + ... + апуп (х) = 0. (3)
Определение 2. Функции ylt..., уп называются линейно
независимыми в [а, Ь], если не существует таких постоянных
av а2,..., ап, из которых хотя бы одна отлична от нуля, что
тождество (3) выполняется для всех х^[а, Ь].
Пример 1. Функции r/1=sin2A;, y2 = cos2x и г/3=1 линейно зависимы на
( — сю, +оо), так как при всех х имеет место тождество sin2*-f-cos2*—1=0
(здесь Oi=l, а2=1 и а3= — 1).
Пример 2. Функции y1 = sinx1 y2 = cosx и г/3= 1 линейно независимы
в любом промежутке [а, Ь], так как равенство
ах sin x-\-a2cosx-\-ocs = 0 (4)
не представляет собой тождества (если только не все три коэффициента ах = а2 = а3 =
= 0), а является уравнением, которое может удовлетворяться лишь для отдельных
значений х. Эти значения х можно найти, решая уравнение (4) каким-нибудь
методом, известным из тригонометрии.
Пример 3. Функции у0= 1, уг = х, у2 = *2, . . . , уп = хп линейно независимы
в любом промежутке [а, Ь], так как опять, как бы ни подбирать числа а0, аь . . .,
аП1 равенство a0-\-aiX-]-a2x2~\- . . . -]-апхп = 0 является не тождеством, а
уравнением, справедливым не более чем для п различных значений х.
Если даны п функций у1 (х), у2 (х), ..., уп (х), то определитель
п-го порядка вида
' Ух У2 • • • Уп
У\ У г ••• Уп
Ь{уъ У*> •••> Уп) =
называется вронскианом данной системы функций
Лп-\) Лп-\) («-1)
У\ Уг • • • Уп
(б)
401

Аналогично теореме 2 из § 2 доказывается необходимое условие
линейной зависимости п функций в [а, ft].
Теорема 2. Если функции уг, у2, ..., уп линейно
зависимы в [а, Ь], то их вронскиан тождественно равен нулю
в [а, Ь].
Пример 4. Рассмотрим систему п функций:
У1 = е***9 y2 = ek*\ ..., уп = е*я?9 (6)
где все числа klt k2, ..., kn отличны друг от друга.
Покажем, что функции (6) линейно независимы в (— со, + оо).
Будем рассуждать от противного. Если допустить, что они линейно
зависимы в каком-нибудь промежутке [a, ft], то их вронскиан по
теореме 2 должен тождественно равняться нулю в [я, ft,], то есть
должно быть
Д(#ъ Уг> •••> Уп)'-
J*\X
Jl%x
J*r,X
г п
V
fit*
R<?
k2x
и nk„x
kt-xehlX %~-]ek*x
knn-xeknx
= 0.
Из каждого столбца определителя можно вынести по общему
множителю и тогда получим:
А (01» 02. •••> Уп)'~
--eklX екгХ.
^„х
1
1
/?2
1
,п—\ ,п—\
ГС\ ГСс)
Кп
=0.
Так как множители ek,x, ek*x, ..
обращаются, то получаем, что
1 1
-k„x
е п ни при каком х в нуль не
1
К
k\
п—\
ип— 1
п—\
(7)
Равенство (7) невозможно, так как в левой части его стоит
определитель, называемый определителем Вандермонда, про который
из высшей алгебры известно, что он не равен нулю. Полученное
противоречие показывает, что функции (6) не могут быть линейно
зависимыми ни в каком промежутке и, следовательно, они линейно
независимы на (—оо, + оо).
Также не изменяя по существу доказательства, можно вывести
и необходимые условия линейной независимости решений линейного
дифференциального уравнения (1).
Теорема 3. Если п решений линейного уравнения (1)
линейно независимы в [а, Ь], то их вронскиан не обращается
в нуль ни при одном значении х в [а, Ь].
402

Следовательно, вронскиан, составленный для решений линейного
уравнения (1), либо тождественно равен нулю в [а, Ь], либо не
обращается в нуль ни в одной точке из [я, Ь].
Структура общего решения линейного уравнения (1) дается
следующей теоремой.
Теорема 4. Если yv у2, . •> уп—система п линейно не-
зависимых решений линейного уравнения (1), то выражение
У = СгУг + С2у2 +... + См, (8)
где Cv С2, ..., С „ — произвольные постоянные, содержит
все решения уравнения (1). Тем самым выражение (8)
является общим решением уравнения (1).
Если уравнение (1) имеет постоянные коэффициенты, решения,
так же как и в случае уравнения второго порядка, можно искать
в виде показательной функции. Подставляя функцию у = екх в
левую часть уравнения (1), убеждаемся в том, что она может быть
решением уравнения (1), только когда k является корнем уравнения
kn + Рп-хК1-1 +... + ргк + р0 = 0. (9)
Это алгебраическое уравнение я-й степени называется
характеристическим уравнением дифференциального уравнения (1).
Если оно имеет п различных корней (вещественных или
комплексных), то общее решение линейного уравнения (1) можно в силу
теоремы 4 записать в виде
у = de*** + Сае*«* +... + Cnekn\ (10)
так как решения ektX, ek*x, ..., ekn* линейно независимы на (— оо
+ оо) (см. пример 4). Для комплексных ki можно сделать
преобразование показательной функции по формулам Эйлера и, так же как
и в случае линейного уравнения второго порядка, получить в (10)
слагаемые, содержащие вещественные показательную и
тригонометрические функции.
Если характеристическое уравнение имеет совпадающие корни,
то недостающие для построения общего решения функции берутся
по тому же принципу, что в случае уравнения второго порядка.
Например, если kx = k2, то берем функции y1 = ek^x и y2 = xek^x\ если
k1 = k2 = k3i то берем функции y1 = ek*x, y2 = xekiX, y3=x2ekiX. Так
взятые функции образуют линейно независимые решения уравнения
(1) (см. пример 3).
Пример 5. Найти общее решение уравнения у'" — Ъу" + Ъу' — у — О.
Составим характеристическое уравнение:
?з_з&2 + з/г_ 1=0,
или
(Л-1)3 = 0,
откуда fy 2, з=1- Общее решение данного уравнения пишем по аналогии с
формулой (5) из § 2:
у = Схех + С2хех+С3х*е*.
403

Пример 6. Найти общее решение уравнения у(4) — 4у"'-\-8у" — 16у'+
Составим характеристическое уравнение:
# —4#Ч-8Аа—16Jfe+16 = 0.
Разложим левую часть на множители: k2 (k2 — 46 + 4) + 4 (k2 — 4k+4) = 0, или
(k2 — 46 + 4) (?2 + 4) = 0, откуда &2 —4& + 4 = 0, ?1§ 2 и &2 + 4 = 0, k34=±2i.
Общее решение данного уравнения пишем по аналогии с формулами (4) и (5) из § 2:
у=Схе2* _(- С2хе2Х + С3 cos 2х+С4 sin 2дг.
Пример 7. Найти общее решение уравнения у<4! + 2у" -\~у = 0.
Составим характеристическое уравнение: /г4 + 2/г2+1 =0, или (/г2 +1)2 = 0,
откуда
klt2 = l, k3,4= — i.
Здесь мы столкнулись с парой кратных сопряженных комплексных корней.
Поэтому общее решение складывается из тригонометрического двучлена, составленного
по паре сопряженных корней, и еще одного двучлена того же вида, но с
дополнительным множителем *. А именно, общее решение данного уравнения будет
иметь вид:
y = Ci cos# + C2 sin x + x (C3 cos x-\-C4 sin x).
Если рассмотреть линейное неоднородное уравнение, вообще
говоря, с переменными коэффициентами, то для него можно
доказать, буквально повторяя рассуждения теоремы 1 из § 3, что его
общее решение получается сложением какого-нибудь одного
решения с общим решением соответствующего ему однородного
уравнения. Можно также обобщить метод вариации произвольных
постоянных, изложенных в § 3 для дифференциальных уравнений
второго порядка, то есть показать, что общее решение линейного
неоднородного уравнения может быть записано в виде
у=и1 (х)ух (х) + и2(х)y2(x) + ... + un {х)уп (х),
где уъ у2,.--, Уп — линейно независимые решения соответствующего
однородного уравнения, а иъ и2,..., ип — специальным образом
подобранные функции, содержащие каждая по одной произвольной
постоянной. Метод доказательства этого утверждения аналогичен
приведенному в § 3, с той лишь разницей, что для определения
и[9 U2,..., и'п составляется п уравнений:
и[У1 + Щ2 + --- + ипУп = 0,
и[у{ + иф + ... + и'пу'п= 0,
«Ы^ + ^^ + .-. + ^Г^-О,
При рассмотрении неоднородных линейных уравнений с
постоянными коэффициентами порядка выше двух можно также
давать указания относительно вида частного решения. Не
останавливаясь на всех возможных случаях, рассмотрим несколько
конкретных уравнений порядка выше второго.
404

Пример 8. Найти общее решение уравнения уш — 2у" + 2у'—у*=48хех.
Будем пользоваться при решении обобщением теоремы 1 из § 3. Для этого
напишем однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:
уш-2у"+2у'-у = 0
и составим его характеристическое уравнение:
/г4—2/г3+2/г—1=0.
Зто уравнение имеет очевидный корень &х = —-1, следовательно, левая часть
уравнения делится без остатка на двучлен k +1. Производя деление, получаем в
частном /г3 — 3/г2 + 3k — 1 и переписываем характеристическое уравнение в виде (&+1)х
Х(/г3 — 3&2 + 3/z — 1) = 0, (k + 1) • (k — 1)3 = 0. Отсюда, приравнивая нулю второй
множитель, получаем: /г2,з,4=1- Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид:
z = Сге'х + С2ех + С3хех + С4*2е*.
Ищем частное решение данного неоднородного уравнения по формуле,
аналогичной формуле (8) из § 5 (так как к = 1 — корень третьей кратности, то
умножаем на х3):
w = л* . (bo + Ьгх)ех = (?0*з + М4)е*.
Находим производные:
w' = (60*3 + blX*) ех + (з&оД^2 + 46хл:3) е*.
ю" = (Ь0*з + ^х4) е* + 2 (360*2 + 4М*) е* + (6Ь0х + т^) ех,
w'" = (Ь0хз + М4) ех + Ъ (З&о*2 + 4М3) е* + 3 {6Ь0х +12Ь^) ех + (6&0 + 24^*) е*,
ш(4> = (&0*з + 6xa;4) <?* + 4 (З^о^2 + 46^3) ех + 6 (660л: + 12&i*2) «* +
+ 4 (660 + 24^*) е* + 24Ьгех.
Подставим w и его производные в данное уравнение и определим
коэффициенты Ь0 и bii
ех [фх - 2Ьг + 2Ьг — Ьг) х* + (Ь0 +16^ — 260 — 24ЬХ + 2Ь0 + 8ЬХ — Ь0) л:3 +
+ (1260 + 726х — 18b0 — 72Ьг + 6Ь0) х* + (3660 + 96&i — 36Ь0 — 48bj) х +
+ (2460 + 2461-1260)] = 48jc^; 48^ = 48, 6Х=1; 1260 + 246i = 0 60 = — 2.
Таким образом,
ш = л:3.(— 2х+\)ех
и общее решение данного уравнения имеет вид:
г/ = de'* + С2е* + С3хех + С4х2е* + л:3 (— 2х +1) е*.
Пример 9. Найти общее решение уравнения
Г/(4>—y = COSX.
Составим характеристическое уравнение для однородного уравнения,
соответствующего уравнению (11): №—1=0. Отсюда находим корни; &i = l, /г2 = —1,
/г3 = г, &4 =—i. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:
z = Сгех + C2e~* + С3 cos *+С4 sin x.
Для того чтобы найти частное решение уравнения (И), составим сумму sin x и cos*
с буквенными коэффициентами и умножим ее еще на х, так как комплексное
число i (оно играет роль числа a + fii в пункте 3 из § 5), составленное по правой
части уравнения (11), совпадает с корнями характеристического уравнения:
w — x(acosx-{-b sin x) = x • и.
Находим производные:
w'z=u + xu'9 ьи" = 2и' + хи", w'" = 3a" + xu'", ш(4) =4«/,, + Aru(4)
405

и подставляем в (11):
4и'" + ха14) — хи = cos x.
Заменяя а'" и и(4) их выражениями, получаем:
4а sin х — 46 cos x+x (a cos x+b sin х) —х (a cos *+& sin д:) =cos x.
Отсюда находим: а = 0, 6 = —j-. Следовательно, общее решение уравнения (11)
имеет вид:
х
у = Сгех + С2е~х + С8 cos л: + С4 sin * —— sin *.
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. Приведите примеры систем, состоящих из тр,ех линейно зависимых функций.
2. Приведите примеры систем, состоящих из трех линейно независимых функций.
3. Вычислите вронскиан функций уг — ех, у2 = е2Х, уг=ё*х.
Отв. А (г/1, уъ у3) = 2?*х.
4. Вычислите вронскиан функций Ух — х, у2 = х2, Уз = х3-
Отв. Д(#ь у2, у3) = 2хК
Найдите общие решения следующих неоднородных линейных уравнений с
постоянными коэффициентами:
5. уш — у = хех.
х* — 3х
Отв. у = Сгех + С2е~х+С3 cos х+С4 sin х -] ^— ех.
6. у"' — 4у" + Ьу' — 2у = 2х + Ъ.
Отв. у=р1ех + С2хех + С3е^х—х—4.
7. у'" — у" + 4у' — 4у = Ь8ех sm2x.
Отв. у = Схех + С2 cos 2х + С3 sin 2*—2еЛ" (4 sin 2х+cos 2x).
8. */(4) — 6г/" —8*/' —Зг/ = 256 (х+\)(*х.
Отв. у = de* + С2хех + СьхЧх + С4е3* + (х+2x2) ^з*

Раздел X
РЯДЫ ФУРЬЕ. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
ГЛАВА XXVIII
РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
В гл. XXI изучались свойства функциональных рядов в общем
виде, а также свойства одного частного вида функциональных
рядов, а именно степенных рядов. В главе XXII рассматривались
разложения функций в степенные ряды. Полезно рассмотреть еще
один частный вид функциональных рядов, так называемые
тригонометрические ряды. Членами тригонометрических рядов служат
тригонометрические функции sin я* и cosnx (п=1, 2, 3,...), взятые
с числовыми коэффициентами. Тригонометрические функции, так
же как и степенные, используются для разложения по ним
функций.
Определение 1. Функциональный ряд вида
00
^+ ^(ancosnx + $nsinnx), (1)
где а0, ал и (5Л вещественные числа, называется
тригонометрическим рядом.
(Свободный член обозначается ^г Для удобства некоторых
дальнейших выкладок.)
Каждый член тригонометрического ряда является периодической
функцией с периодом 2л. Действительно, постоянную ~ можно, как
известно, считать периодической функцией с каким угодно периодом,
в частности с периодом 2я; sin л: и cosx(n=l) имеют период 2я;
sin 2л: и cos 2x (п = 2), как известно, имеют период я, следовательно,
число 2я также является их периодом; вообще sinnx и cosaza; имеют
период, равный —, и, следовательно, число 2п = п—также
является их периодом. Поэтому можно сказать, что если ряд (1)
сходится, то его сумма является периодической функцией с
периодом 2я.
Изучим одно свойство системы тригонометрических функций.
Определение 2. Система функций q>i(x), ф2(я)> ...,
заданных в некотором промежутке [а, 6], называется ортогональной
407

системой в [я, Ь], если
ь
\ фл (х) фт (х) dx = 0 при пфт (2)
а
\<p2n(x)dx>0 при любом п.
а
(Последнее неравенство означает, в частности, что ни одна из
функций системы не есть тождественный нуль.)
Теорема. Система функций
1, cos л:, sin л:, cos 2л:, sin2#, ..., cosnx, sinnx, ... (3)
является ортогональной системой в промежутке [—я, я].
Доказательство. Проверим выполнение равенства (2) для
функций системы (3). Для этого надо проверить непосредственным
вычислением равенство нулю интегралов от произведений
различных функций системы (3), то есть от произведения двух косинусов
с разными аргументами, двух синусов с разными аргументами,
произведения косинуса на синус (с любыми аргументами) и
произведения любого синуса или любого косинуса из системы (3) на единицу,
которая является первой функцией системы (3).
Итак, приводим указанные выкладки:
sin пп , sin ля ^
-я п ' п
я
ч С , j sin /г*
а) \ 1 • cos пх ах = —^—
— я
я
^ч С* , j COS ПХ |Я COS ПП . COS ПЛ
б) \ l-smnxdx = — -
= 0.
я п • п
в) Пусть пфт:
я
$ cos mx cos пх dx =
я
2
2
— я
V cos (m + n)xdx + Y \ ^os (m—n) x dx = -^- -0 + у0 = 0
в силу пункта а), так как (т + п) и (т—я)—-целые числа,
отличные от нуля.
г) Пусть пфт:
я я я
\ sinmxsinnxdx=Y \ cos(m —n)xdx — -^ \ cos(т + /г)хdx =
— я —я —я
= i--o—J-.o=o
408

опять в силу пункта а).
я я;
д) \ s'mnx cos mxdx=Y \ sin (m + n)x dx —
-л
л
у \ sm(m — ri)xdx\
в силу пункта б) первый интеграл равен нулю; второй интеграл
равен нулю в силу пункта б) при пгфп\ если же т = п, то этот
интеграл равен нулю потому, что подынтегральная функция
тождественно равна нулю: sin(m — n)x = sinO = 0.
Также проверяется легко и второе требование:
л. л л
\ dx = 2n>0\ \ cos2nxdx=Y \ (1 + cos 2nx) dx =
— я — я —я
я
= у Г +0 = я; \ sin2nxdA: = n;,
— я
Таким образом, теорема доказана.
Упражнения
1. Докажите, что система функций 1, cos*, cos2х, ..., cosnx, ...
ортогональна в ГД я].
2. Докажите, что система функций sin*, sin 2х, ..., sin nx, ... ортогональна
в [0, я].
§ 2. РЯД ФУРЬЕ
В первом параграфе гл. XXII было введено понятие ряда
Тейлора. Так был назван специальный ряд, коэффициенты которого
вычислялись по определенному правилу (см. формулу (4) из § 1
гл. XXII) с помощью некоторой заданной функции f(x). Из
формулы (4) видно, что эта функция должна быть обязательно
бесконечно дифференцируемой. Таким образом, каждой бесконечно
дифференцируемой функции ставился в соответствие ее ряд Тейлора.
Изучая тригонометрические ряды, можно пойти по такому же
пути. Возьмем некоторую функцию /(х), определенную в Г—я, я]
(а может быть, и в большем промежутке или даже на всей
числовой оси), и составим с ее помощью следующие числа:
л л
я0=^ § / (х) dx, <*п = ^ § / (*) cos nx dx
— л — я
и
л
bn = — \ f{x) sinnxdx. (1)
409

Определение. Тригонометрический ряд, коэффициентами
которого служат числа (1), называется рядом Фурье * функции
f(x), а сами числа (1) называются коэффициентами Фурье
функции f(x).
Для того чтобы можно было вычислить коэффициенты Фурье,
нужно, очевидно, предположить, что функция f(x) интегрируема
в [—я, я].
Итак, каждой функции f(x), интегрируемой в [—я, я], можно
поставить в соответствие ее ряд Фурье:
/ (х) ~ •— + У (ап cos пх + bn sin nx).
л = 1
(2)
В § 1 гл. XXII была приведена теорема 1, в которой было
доказано, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот
степенной ряд есть ее ряд Тейлора. Введение рядов Фурье можно
оправдать аналогичным утверждением.
Докажем предварительно следующее утверждение, относящееся
к любому функциональному ряду.
оо
Лемма. Если функциональный ряд 2 ип (х) сходится равномер-
но в [а, Ь\ и ф (х) — некоторая ограниченная в [а, Ь\ функция, то ряд
со
2 фМйлй также равномерно сходится в [а, Ь\.
я = 1
ОО
Доказательство. Тот факт, что данный ряд 2 ип (х) равномерно схо-
л = 1
дится в [а, Ь] означает следующее: для всякого 8 > 0 найдется номер N такой,
2 и*м|
х ?'[а, Ь] (см. гл. XXI, § 1).
Так как по условию <р (х) ограничена в [а, Ь], то существует число М>0
такое, что | q> (х) | < М для всех х ? [а, Ь].
Возьмем любое е>0. Найдем по определению равномерной сходимости ряда
00 I ОО I
У ип(х) номер N такой, что У uk(x) <-тт для всех х ? [a, b]. Известно,
м = 1 I k = n I
что во всяком сходящемся ряде множитель, общий для всех членов ряда, можно
«выносить за скобку» (см. гл XX, § 2). Поэтому справедливо следующее
равенство:
ОО I
2 ф м ч (х)
что неравенство
< е справедливо для всякого п^ N и для любого
k = п
фм 2 и*м
k = п
Теперь, используя предыдущее неравенство, получаем:
^ Ф (*)"*(*)
k = п
1фМ1
2 иь(х)
| k = n
М
Фурье (1768 — 1830) —французский математик.
410

Итак,
2 y(x)uk(x)
<е для п^ N и для всех х ? [а, Ь]. Ввиду
произвольнее/?
оо
ности е это и означает, что ряд 2 Ф М ип (х) равномерно сходится в [а, 6].
я = 1
Теорема. ?с/ш функция f(x) разлагается на [—я, я]
в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то
этот тригонометрический ряд есть ее ряд Фурье.
Доказательство. Пусть для х ? [—я, я]
оо
fM = y+ 2 (amCOSmA: + pmsin/ttA;) (3)
m = l
и ряд сходится равномерно в [—я, я]. Проинтегрируем обе части
равенства (3) в [— я, я]. При вычислении интеграла от правой
части можно по условию теоремы проинтегрировать ряд почленно
(см. теорему 2 из § 2 гл. XXI):
Я Я ОО / 31 Я v
\ f(x)dx=\ ~dx+ У [ат V cosшд:dx + Pm \ sin/яяЖп.
— я — л m = 1 \ — л —я /
По теореме из § 1 (свойство ортогональности системы
тригонометрических функций) интегралы под знаком суммы равны нулю,
и, таким образом, получаем:
я
— Я
Я
откуда Яо = — \ f(x)dxf то есть а0 = а0 (см. формулу (1)).
— я
Теперь умножим обе части равенства (3) на cos nx, где п—любое
натуральное число, и проинтегрируем опять в [—я, я]. Умножение
всех членов равномерно сходящегося ряда на ограниченный
множитель cos я* в силу леммы не нарушает равномерной сходимости
ряда, и ряд в правой части (3) можно опять интегрировать почленно:
$ f (x) cos nxdx = ^ \ cosnxdx +
— я
Я V
cosmxcosnxdx+^m \ s'mmxcosnxdx\. (4)
—я /
со i я
+ 2 M ¦
m = l \ — я
В oyiy теоремы из § 1 интеграл в первом слагаемом равен нулю,
первый из интегралов в скобках равен нулю при тфп, а
второй— всегда равен нулю. Следовательно, из всего ряда в правой
411

части (4) остается только слагаемое с номером т = п:
л
ап § cosnxcosnx dx=an- n
— л
(см. конец доказательства теоремы из § 1).
л
Таким образом, равенство (4) принимает вид: J f (x) cos nxdx =
— л
= аЛя, откуда
л
<хп = — \ f (x) cos nx dx,
— л
то есть ап = ап (см. (1)).
Таким же образом, умножая обе части равенства (3) на sinnx
и интегрируя почленно, получаем, что $п = Ьп.
Итак, коэффициенты тригонометрического ряда (3) совпадают
с коэффициентами Фурье функции f(x), то есть ряд (3),
действительно, является рядом Фурье функции f(x).
§ 3. ОСОБЕННОСТИ РЯДА ФУРЬЕ ЧЕТНОЙ И НЕЧЕТНОЙ ФУНКЦИЙ
1. Пусть функция f(x) задана на [— я, я] и четная.
Проверим, что в этом случае коэффициенты Фурье Ьп функции
f (х) равны нулю. Так как f (x) — четная функция, то произведение
f(x) sin nx—нечетная функция (см. том I, гл. II, § 3), ив силу
свойства интеграла от нечетной функции по промежутку,
симметричному относительно нуля, можно сказать, что
л
^ f(x)sinnxdx = 0, то есть Ьп = 0 (п=1, 2, 3,...)- (1)
— я
Формулам для коэффициентов <хп(п = 0, 1, 2,...) можно
придать несколько иной вид. Действительно, произведение f(x)cosnx —
четная функция и по свойству интеграла от четной функции по
промежутку, симметричному относительно нуля, можно написать
(см. предыдущую ссылку):
л л
[ f (x) cos nx dx = 2 ^ / (a:) cos nx dx.
— Я О
Итак,
л
ап=— \ f(x)cosnxdx, /z=l, 2, 3, ... (2)
412

Таким образом, ряд Фурье, соответствующий четной функции,
содержит только члены с косинусом и свободный член:
оо
/(*)~у+ ^cincosnx.
/1 = 1
2. Пусть f (х) задана на [—я, я] и нечетная.
Используя рассуждения, аналогичные приведенным выше, можно
показать, что в этом случае
ал = 0 (л = 0, 1, 2,...), (3)
it
bn = — \ f (x) sin nx dxt (4)
о
и поэтому нечетной функции соответствует ряд Фурье, содержащий
только члены с синусами:
оо
/1 = 1
§ 4. СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ
Соотношение (2) из § 2 оставляет открытым вопрос о том,
сходится ли ряд Фурье функции f (х) в [—я, я], и, если сходится,
то к какой функции он сходится: к функции f(x)9 породившей
этот ряд, или к какой-либо другой функции?
Аналогичный вопрос ставился и в гл. XXII при рассмотрении
ряда Тейлора функции f(x). Там были даны условия, необходимые
и достаточные для того, чтобы ряд Тейлора функции / (х) сходился
в [а, Ь] именно к самой этой функции (см. теорему 2 из § 1,
гл. XXII). Поскольку не всякая бесконечно-дифференцируемая
функция, то есть такая функция, которой можно поставить в
соответствие ее ряд Тейлора, удовлетворяет этим условиям, то и не
всякий ряд Тейлора сходится к той функции, для которой он
составлен (см. замечание к теореме 3 § 1, гл. XXII).
Для сходимости ряда Фурье во всех точках промежутка [— я,
я] и для того, чтобы сумма ряда Фурье во всем промежутке, за
исключением лишь' конечного числа точек, совпадала с функцией
f (x), породившей этот ряд Фурье, оказываются достаточными,
например, следующие условия, наложенные на функцию f (х):
Теорема (Дирихле). Если функция f(x) такова, что
1) f (х) имеет в (—я, я) разве лишь конечное число
точек разрыва первого рода,
2) f(x) имеет конечный правосторонний предел в точке
х=—я (/ (— я + 0)) и конечный левосторонний предел в точке
л: = я(/(я — 0)),
413

3) промежуток [—л, л] можно разбить на конечное
число частей, внутри каждой из которой f(x) изменяется
монотонно,
то ряд Фурье функции f(x) сходится в промежутке
[—л, л], причем его сумма
а) равна числу
/(*о-0) + /(*о + 0) * /П
если х0 ^ (— я, л),
б) равна числу
/(-я + 0) + /(я-0) 2
при х=—л и при л; = л.
Доказательство этой теоремы мы не приводим, так как оно
требует довольно длительных и сложных рассуждений.
Замечание 1. Из а) следует, что сумма ряда Фурье во
всякой точке х0 е (—л, л), в которой f (х) непрерывна, равна числу
/ (л;0). Действительно, если f (х) непрерывна в точке х0, то f (xQ — 0) =
= /(*о + 0) = /(х0) (см- том I» гл- IV, § 1) и значение выражения
(1) совпадает со значением f(x0). Следовательно, сумма ряда Фурье
совпадает с функцией f (х) всюду, где f (х) непрерывна.
Замечание 2. Так как члены ряда Фурье являются
периодическими функциями с периодом 2л (как было указано в § 1), то
из теоремы Дирихле следует, что ряд Фурье при указанных
условиях сходится на всей оси (—оо , +оо).
Замечание 3. Если функция f(x), для которой составляется
ряд Фурье, сама является периодической функцией с периодом 2л
(и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле), то утверждения а),
б) и в) этой теоремы справедливы не только в промежутке [—л, я],
но и в любом промежутке [(2k— 1) л, (2k+ 1) л], где k = ± 1, ± 2,...
Таким образом, в любой точке х0 числовой оси, отличной от
(2^+ 1) jx, сумма ряда Фурье равна значению выражения (1) (если
f (х) непрерывна в точке х0, то значение (1) совпадает с f (х0))\
в точках вида (2?+1)я сумма ряда Фурье равна значению
выражения (2).
Замечание 4. Если функция / (х), для которой составляется
ряд Фурье, задана на всей оси и непериодическая, то за
пределами промежутка [— л, л] утверждения теоремы Дирихле уже не
имеют места. Непериодическая функция f (х) и периодическая
функция— сумма ряда Фурье—не имеют ничего общего за пределами
промежутка [— л, л]. Это наглядно можно проследить на
рассматриваемых ниже примерах (см. рис. 112 и 113).
Пример 1. Рассмотрим функцию f(x)=x. Она нечетная и, очевидно,
удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Вычислим ее коэффициенты Фурье (см.
414

Рис. 112
формулы (3) и (4) из § 3): аЛ = 0, bn = — \ xsin nxdx = — l -
о \
X COS ПХ
+
Я у
\ 2 2
cos л* dx | = (— 1)Л = — (-— 1)Л+1 (cos «я = (— \)п). Так как функ-
п
п
ция /(*)=* непрерывна в [—я, я], то сумма ряда Фурье совпадает с х в (—я,
я), то есть можно написать, используя найденные коэффициенты Фурье:
x = 2(s
sin 2x , sin Зх sin Ax
...),
(3)
причем это равенство справедливо для х ? (—я, я). В точках *=±я сумма
ряда Фурье по теореме Дирихле определяется выражением (2):
/(— я + 0) + /(я — 0)_ —я + я_
0.
Впрочем, непосредственно видно, что все члены ряда (3) равны нулю при
х=ц;л} и потому сумма ряда равна нулю.
Таким образом, в этих двух точках значения суммы ряда Фурье не
совпадают со значениями функции /(*)=#. Вне промежутка [—я, я] сумма ряда
Фурье дает периодическое продолжение своего графика в [—я, я], что на
рисунке 112 отмечено пунктирными линиями; график же функции f(x) = x
продолжен вне [—я, я] сплошной линией, и видно, что эти два графика,
совпадающие в [—я, я], не имеют ни одной общей точки вне [—я, я].
Рис. 113
415

Пример 2. Рассмотрим функцию f(x) = x2. Она четная и удовлетворяет
условиям теоремы Дирихле. Вычислим ее коэффициенты Фурье (см. формулы (1)
и (2) из § 3):
я я
2 (* 2я2 2 f
&Л = 0; а0=— \ x2dx = — ; аЛ = — V jt2cosn#d* =
о
о п )
о
л
= —. — Г— 1)л = — Г— IV*
* sin m;d*
б
шх л v ' п2
(при вычислении второго слагаемого в квадратных скобках был использован
результат вычислений из примера 1).
Так как функция f(x) — x2 непрерывна в [—я, я], го сумма ряда Фурье
совпадает с ней во всех точках (—я, я). Вычислим значение выражения (2):
/(__ я + 0) + /(я-0) я2 + я2
— !—А —5 ===Я ^Н0 совпаДает со значениями функции х2
в точках #= ± я, и, следовательно, сумма ряда Фурье совпадает с функцией х2
для всех х ? [—я, я]:
оо
. я» . . \1 (-1)я я2 , . / , cos2* cosЗд: , \ ...
*2=-3- + 4 2j ^-7^-cos^ = y + 4(-cos^+-4 9~~+"7- ()
п= 1
Вне промежутка [— я, я] сумма ряда Фурье и функция х2 и на этот раз не
имеют ничего общего (см. рис. ИЗ, на котором график функции у = х2 помечен
сплошной линией, а график суммы ряда Фурье вне [—я, я] —пунктирной линией).
Замечание. Разложение (4) можно использовать для
нахождения сумм некоторых числовых рядов.
а) Положим в (4) х = щ тогда получим: л2== у+ 4 > *—~ (—1)я,
оо
или у л2 = 4 У -^2, откуда находим:
/г=1
оо
2 1 Я2 Л . 1 . 1 . 1 . Я2 /сч
^ = Т, то есть !+_ + _ + _+ ...=т. (5)
/г=1
(В примере 1 гл. XX § 3 было проверено, что ряд (5) сходится, и
было указано, что сумму этого ряда можно найти с помощью
специальных методов.)
оо
б) Положим теперь в (4) х = 0, тогда 0=-д-+4 > -—$—. От-
л = 1
сюда находим сумму следующего числового ряда:
2°° (—l)71-1 я2 - 1 , 1 1 , я2 /сч
J-^^—= _,то есть 1 — 22+32-42+ •-. =Т2- (6)
/z=l
ОО 00 ОО 00
в) Очевидно, что J щУф = 2 i~ 2 (2^ =Т 2 Т*-0тсюда'
/г=1 я=1 /1=1 /г=1
416

используя (5), находим:
оо
2 1 Jl2 -.1.1.1. Я2 ,~ч
^—[)1 = т, то есть 1+^ + - + -+...=-. (7)
г) Непосредственно из (5) получаем:
2d (2л)а ""24» Т0 вСТЬ 22 + 42 •" б2 ' 82 ' *' * "^ 54*
п=1
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на
промежутке [— я, я] следующим образом:
[ О для — я^я^О,
^) = ЬдляО<*<я. (8)
Эта функция непрерывна и монотонно возрастает (в широком
смысле слова) в [—я, я]. Следовательно, по теореме Дирихле она
разлагается в ряд Фурье в (— я, я). Найдем ее коэффициенты
Фурье по формулам (1) из § 2. Вследствие того что функция задана
разными формулами на [—я, 0] и [0, я], приходится для
вычисления интегралов по [— я, я] разбивать их на два интеграла — по
[—я, 0] и по [0, я]:
#0 =
ил ил
4 \ °-dx+^\xdx=h a»=i \ 0-dx+±^xcosnxdx =
х sin пх |я If. 1
\ sin пх ах
п о п л
1 cos пх
пп п
^ = l^^osnn-l^
= —g[(— l)n— 1] (отсюда видно, что ап = 0 при четных п и ап =
= —^ ПРИ нечетных п)\
о я
Ьп = — \ 0-dx+—\xsinnxdx=±—'-— (см. выкладки из
— Я О
примера 1).
Найдем значение выражения (2): — 1 ^ 'v i = —l_ = _
Это число не совпадает со значениями функции / (х) в точках х =
= ±я (см. (8)), следовательно, равенство
/М-Т+ 2 P=SP1co.«+fc^=l.in«] (9)
п=^1
417

/• /•
Y^L
v А справедливо только для х^
^(—я, л). На рисунке 114
изображен график суммы ряда Фурье
для функции (8).
0| х На этом примере видно, что
функция, которая в двух разных
Рис> л4 половинах промежутка [-—я, я]
задавалась двумя разными
аналитическими выражениями, может представляться во всем (— я, я)
единым тригонометрическим рядом (9). Аналогичные факты можно
проследить и дальше в § 5 и 6 и в упражнениях к § 4, 5.
Вопросы для самопроверки и упражнения
Проверьте, удовлетворяют ли функции примеров 1—7 условиям теоремы
Дирихле, и если да, то разложите эти функции в ряд Фурье. Сделайте в каждом
случае чертеж.
( я
— —для — я<л:<0,
1. /(#)=I О для # = 0, я, — я,
— для 0 < х < я.
оо
/~> х/ ч V si" (2/z—l) х _ ,
Отв. f(x)= ^ —2/1-1 ' *е[—я> п]-
0 для — я^л;<0,
Л'2 ДЛЯ 0 ^ X ^ Я,
оо
о™. /(*) = ? + J] р^со.« + {^Ц>П + ^[(-1)--1]}-п«],
/1= 1
*е (— я, я). (11)
« г, ч f 2# Для — я ^ л; ^ 0,
3. / (х) — 1
I Зл: для 0 < х ^ я.
со
: к т1 v cos wjc-J—^ - sin nx L х е (— я, я).
/м={ .°
t sin х
/w={
Ome. /(*)=-? + ^ ["
/i=i
0 для — я^ж 0,
для 0 ^ д:^ я.
Отв. f (х) = [- тг sin*-
' я 2
2 ХЧ cos2m:
я 2 4^ГГ.*е[-я,л].
(12)
(13)
л=1
5. f(x) = x*.
Указание. Обратите внимание на то, что функция нечетная.
Отв.
*-*1
6—я3/г2
я/г3
(—1)" sin nx, х <= (— я, я).
/2=1
6. /(*) = Н3.
418

Указание. Обратите внимание на то, что функция четная.
7- К*
Отв. f(x) =
От. |*|з=??_б2
е*х_^е-ах
1
J л*п (—1)^1 + 2 1
1
4)"—2
я/г3
cos пх, х е [— я, я].
2
a
2a
¦ СОБЛИ
a
a«+l ' a2+22
яе [—я, я].
cos 2# -f-
a2 + 32
cos
3*+...),
8. Как надо продолжить задание функций из упражнений 1—4 вне
промежутка [—я, я] для того, чтобы разложения, данные в ответах к этим
упражнениям, были справедливы на всей числовой оси?
9. Как надо видоизменить определение функций из упражнений 2 и 3 для
того, чтобы разложения, данные в ответах, были справедливы не только в
интервале (—я, я), но и в замкнутом промежутке [—я, я]?
10. Найдите, используя разложение примера 8 и формулы (5), (6) и (7),
суммы числовых рядов:
2i n4' Zi (2/г—1)4 •
л=1
О те
/г4"" 90' 2d (2лг — I)4 ~~96'
/г=1
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ В ПРОМЕЖУТКЕ [0, я),
В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
Пусть функция F (х) задана в промежутке [0, я] и на этом
промежутке удовлетворяет условиям Дирихле. Ее нельзя разложить
в ряд Фурье с помощью формул (1) из § 2, так как эти формулы
для коэффициентов Фурье предполагают, что функция задана
в [ — я, я]. Поэтому нужно доопределить функцию
каким-нибудь образом в промежутке [—я, 0).
Такое доопределение функции
желательно делать, если это возможно, так,
чтобы продолженная на весь
промежуток [— я, я] функция удовлетворяла
требованиям теоремы Дирихле.
Очевидно, что продолжить заданную
функцию таким образом на [—я, 0) можно
бесчисленным множеством способов. На
рисунке 115 показано, например, пять
разных способов продолжения функции
на [—я, 0), не противоречащих
требованиям теоремы Дирихле (график
данной функции в [0, я] нарисован
жирной сплошной линией, а ее
продолжения на [— я, 0] нарисованы
различными пунктирными линиями или
тонкими сплошными линиями). Рис. 115
419

Обозначим через f{x) функцию, которая на [0, я] совпадает
с заданной функцией F(x), а на [—я, 0) является каким-нибудь
продолжением функции F(x). Как указывалось выше, таких
функций f (х) можно построить, исходя из заданной функции F(x),
бесчисленное множество. Все они определены в [—я, я] и
удовлетворяют требованиям теоремы Дирихле. Поэтому каждую такую
функцию f(x) можно по теореме Дирихле разложить в ряд Фурье:
оэ
f(x) =y+ 2 (<*п cos nx + bn sin nx), (1)
п = \
и это разложение справедливо в (— я, я), за исключением, может
быть, конечного числа точек, являющихся точками разрыва
функции f(x).
Так как на [0, я] имеет место равенство f (x) = F(x), то
разложение (1) дает для х^(0, я) разложение исходной функции F(x)
в тригонометрический ряд:
оо
F(x)=y+ У, (Ял cos пх + Ьп sin пх). (2)
/г = 1
(Этот тригонометрический ряд нельзя называть рядом Фурье для
F(x), так как, как указывалось в начале параграфа, само понятие
ряда Фурье неприменимо к функции, заданной на [0, я]. Числа
а0, ап и Ьп являются коэффициентами Фурье функции f(x)f но
в равенстве (2) их следует рассматривать лишь как числовые
коэффициенты некоторого тригонометрического ряда.)
Коэффициенты ап и Ьп ряда Фурье (1) функции f (x) различны
для различных функций f(x), то есть, иначе говоря, при различных
способах продолжения исходной функции F (х) мы получим разные
ряды (1) и, следовательно, формула (2) дает для исходной функции
F (х) в [0, я] бесконечное множество разложений в разные
тригонометрические ряды. Среди всех возможных продолжений функции F (х)
на [— я, 0) можно выделить «четное продолжение», то есть такое,
при котором функция f(x) оказывается четной в [—я, я] (на рис. 115
оно обозначено простым пунктиром), и «нечетное продолжение»,
то есть такое, при котором функция f(x) оказывается нечетной
в [—я, я] (на рис. 115 оно обозначено пунктиром «тире —точка —
тире»). При четном продолжении получаем ряд Фурье (1)
функции f(x), содержащий только косинусы (см. § 3, пункт 1), и,
следовательно, получаем разложение F (х) в тригонометрический
ряд (2) в [0, я] только по косинусам. При нечетном продолжении
получаем ряд Фурье (1) для функции f(x)9 содержащий только
синусы (см. § 3, пункт 2), и, следовательно, получаем разложение
той же исходной функции F(x) в тригонометрический ряд (2) в [0, я]
только по синусам.
На практике при разложении функции F(x), заданной на [0, я],
в тригонометрический ряд только по косинусам или только по
420

синусам нет необходимости фактически осуществлять ее продолжение
на [—я, 0). Ведь после продолжения мы должны воспользоваться
формулами (2) или соответственно (4) из § 3, а в этих формулах
участвуют интегралы только от 0 до я, то есть по тому промежутку,
rjief(x) = F(x). Способ продолжения играет роль только при подсчете,
чему равны суммы полученного ряда в точках х=0 и х — п.
Рассмотрим несколько примеров разложения функции, заданной
в [0, я], в тригонометрический ряд.
Пример 1. Зададим функцию в промежутке [0, я] равенством
F(x)=x и поставим задачу: разложить эту функцию в [0, я] в
тригонометрический ряд по косинусам. Для этого на основании
изложенного выше надо вычислить коэффициенты такого разложения
по формулам:
я я
2 С 2 я2 2 С 2
a0=-\ixdx=--Y = n; a„=-^*cos«xd* = —J(-l)n-l] (см.
о о
выкладки из примера 3 в § 4); Ьп = 0.
Таким образом, разложение функции F (х)=х в ряд по косинусам
имеет вид:
я 4 / . cos3* . cos 5л: . \ /оч
Для того чтобы найти сумму этого ряда в точках х = 0 и л:=я,
надо вычислить числа (2) из § 4 для функции f(x), которая является
четным продолжением заданной функции на промежуток [—я, 0].
Так как при четном продолжении продолженная функция f (х)
непрерывна при х = 0, то сумма ее ряда Фурье (3) равна 0 в точке
х = 0.
При х = п имеем: -^ ^ ^ v L=_^_==,r^
Следовательно, разложение (3) справедливо для О^х^п. На
рисунке 116 пунктиром изображен график суммы ряда (3) вне
промежутка [0, я].
В примере 1 из § 4 была разложена в ряд Фурье нечетная
функция f(x)=x в [—я, я] (см. (3) из § 4). Это разложение
справедливо, в частности, и в промежутке [0, я] с: [—я, я];
поэтому его можно рассматривать как разложение в
тригонометрический ряд по синусам в промежутке [0, я] функции F{x) = x.
Yk
О
Рис. 116
421

В примере 3 из § 4 функция f(x), заданная в [—я, я]
равенствами (8), может тоже рассматриваться как одно из возможных
продолжений функции F(x)=x, заданной только в [0, я]. Тогда
равенство (9) из § 4, которое справедливо также и в [0, я) с
cz (— я, я), можно записать в виде
оо
* = Т + 2 (~rai»"~1 C0SПХ + (~~/Г" SinПХ> °<*<я (4)
и рассматривать его как одно из возможных разложений функции
F(x) = x в [0, я| в тригонометрический ряд.
Таким образом, для функции F(x) = x мы получили в [0, я] три
разных разложения в тригонометрический ряд: (3) и (4) из данного
параграфа и (3) из § 4.
Пример 2. Зададим функцию в [0, я] равенством F(x) = x2 и
поставим задачу: разложить эту функцию в промежутке [0, я]
в тригонометрический ряд по синусам.
Для этого надо вычислить коэффициенты по формулам]
ап = 0 (п = 0, 1, 2, 3, ...);
п г я -1
bn = — \ x2smnx dx = —\ — +— \ x cosnx dx\ =
я j я n о n J
о L ol
=lib2(-1)"+1+|t(-1)n-14=E^^+^[(-ir-n.
Таким образом, функция F(x) = x2 раскладывается в следующий
ряд по синусам:
= {2п——J smx—nsm2x + (^~-2fii) sin3A:—-ysin4A: + ... (5)
Так как функция F(х)—х2 непрерывная и монотонно возрастающая
в (0, я), то разложение (5) справедливо в (0, я). Найдем сумму
ряда (б) при х=0 и л: = я. Ввиду того что требовалось разложить
F(x)=x2 в ряд по синусам, мы продолжим ее на [—я, 0] нечетно,
но так как F (0) = 0, то разрыва в начале координат при нечетном
продолжении не получается, и поэтому равенство (5) справедливо
и при # = 0. Находим значение суммы ряда (5) при х = тс:
}(— я+0)+/ (л—0) __--я2+я2_Л
2 ~~~ 2 ~"и'
Следовательно, при х=тс значение суммы ряда (5) не совпадает
со значением F(x) = n2, и поэтому разложение (5) справедливо
422

Yk
"7
^/
Tn—*—7** • """^ *
Рис. 117
в промежутке [0, я]» На рисунке 117 пунктиром изображен
график суммы ряда вне промежутка [0, я].
В примере 2 из § 4 было получено разложение четной функции
f(x) = x2 в [—я, я] в ряд Фурье по косинусам (см. (4) из § 4).
Это же разложение можно рассматривать в [0, я], и там оно будет
давать разложение в тригонометрический ряд по косинусам функции
F(x) = x2, заданной в [0, я].
В упражнении 2 к § 4 функцию (10) можно рассматривать как
одно из продолжений (ни четное, ни нечетное) функции F(x) = x2
из [0, я] на весь [—я, я]. Тогда (11) дает для л;^[0, я] еще одно
разложение х2 в тригонометрический ряд.
В упражнении 4 к § 4 предлагалось дать разложение в ряд
Фурье в [—я, я] функции (12) (см. упражнение 4 к § 4), которую
можно рассматривать как продолжение функции F (x) = smx,
заданной только в [0, я], на весь промежуток [—я, я]. Способ
продолжения, указанный в (12), не является ни четным, ни нечетным,
и поэтому ряд (13) содержит и синусы, и косинусы. Разложение (13)
для хеГО, я] может быть записано в виде smx=— + -o-sinx —
оо
cos 2пх
2 VI cos 2nx
~яГ 2шА 4/г2 — V
я=1
2_ _4_ Vl cos 2nx
тх— я я Zi 4n2 —1
sm
/г=1
и может рассматриваться как тригонометрическое тождество в [0, я].
Вопросы для самопроверки и упражнения
1. В каком случае при нечетном продолжении функции F (х) из [0, я] в
[—я, 0] получается функция f(x), имеющая разрыв в точке #=0?
2. Разложите функцию F (x) = cosx в [0, зх] в тригонометрический ряд по
синусам.
00
Отв. cos#= У u. /д 2^n sin2ft*, #e(0, я].
423

3. Разложите в тригонометрический ряд по синусам в [0, я] функцию F (х) =
х зх
—о—• Постройте график суммы полученного тригонометрического ряда вне
промежутка [0, я].
Отв.
X— Я__ VI
sinnx
5(0, Я].
/г=1
4. Разложите функцию предыдущего упражнения в ряд по косинусам в [0, я]
и опять постройте график суммы полученного тригонометрического ряда вне
промежутка [0, я].
Отв.
х—п
-2
я ^j
cos(2м — 1) л: я
(2/г— I)2 T
= [0,я].
§ 6. РАЗЛОЖЕНИЕ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУНКЦИИ,
ЗАДАННОЙ В ПРОМЕЖУТКЕ [—/, /]
Пусть функция f(x) задана в промежутке [—/, /], где / —
произвольное положительное число, и удовлетворяет там условиям
теоремы Дирихле из § 4.
Введем новую переменную ? по формуле:
я
(1)
Из формулы (1) видно, что, когда переменная х, возрастая,
пробегает промежуток [—/, /], переменная ?, также возрастая,
пробегает промежуток [—я, л].
Обозначим через ф (?) ту
функцию, в которую
преобразуется f (х) при замене
переменной по формуле (1), то есть
положим
ф ©=/(#)=^W-
(2)
Функция ф (I) определена в
промежутке [— я, я] и
удовлетворяет в нем условиям
теоремы Дирихле, так как
замена переменной х новой
переменной, связанной линейно с х
рис> П8 (см. (1)), не может привести к
нарушению требований
теоремы Дирихле.
В соответствии с утверждением теоремы Дирихле разложим
функцию <р(?) в [—я, я] в ряд Фурье:
ф (I) = у + 2 (ап cos пЪ + ьп sin ng),
(3)
n = l
424

где а0, ап и Ьп определяются по обычным формулам:
я л л
а°=? \ ф® d-' anZ=4 \ 4>(l)wsnldl, bn=^ jj <p(g)sinn?dg. (4)
— Я — Л —Я
Вернемся теперь от переменной ? обратно к переменной х\ из (1)
находим 1 = — и подставляем это выражение ? в (3).
Тогда получаем, используя (2):
f(x)=ai+2{anCOS^+bnsin^), (б)
где х(=[— I, I].
Формулы (4) для коэффициентов принимают следующий вид:
i i
ап=- y(x)cos-rd[-j)j=T y(x)coslrdxf
6, = 15/Wsin22d(^)-| J/Msin^d*. (6)
— / —/
На разложение вида (5) можно перенести результаты,
изложенные в § 3, 5 и 6. Так, например, при разложении функции F (х)
в (0, /) в ряд по синусам получаем:
со
/Ч*)~2 Ь"8[ийГ> (7)
где
&Л==у \ ^(л:) sin~^d#. (8)
о
Пример. Разложим в тригонометрический ряд в промежутке
[—4, 4] функцию
1-тгХ(4 + х) для — 4<л;<0,
! (9)
-jx(4:—x) для 0^#^4.
Эта функция непрерывная и нечетная в промежутке [—4, 4];
ее график изображен на рисунке 118. Действительно, если во
второй строчке фюРмУлы (9) заменить х на — х, то получим
425

— у х (4 +*), то есть получим выражение, только знаком
отличающееся от того выражения, которым функция задана на [—4, 0].
Функция (9) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле в [—4, 4].
Следовательно, ее можно разложить в ряд, причем получим (см.
4
(7) и (8)): ап = 0 (я = 0, 1, 2, 3, ...) и Ья=^[х(4 — х)*т™<1х.
о
Вычисляя этот интеграл, находим:
Значения функции (9) при х = ±4 равны нулю, и значения суммы
ряда с коэффициентами (10) также равны нулю: '*~~ + ^ ~~
= —i- = 0. Таким образом, разложение
г / ч 128 / . лх . 1 . Зял: . 1 . Ьпх . \
/W = 3S5(SlnT + 3rSln— +5^5Ш— +•")
справедливо в промежутке [—4, 4J.

ГЛАВА XXIX
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
СТРУНЫ, ЗАКРЕПЛЕННОЙ НА КОНЦАХ
Рассмотрим однородную упругую струну, натянутую вдоль оси ОХ
и закрепленную за два конца. Пусть в какой-то момент времени
струна выводится из этого состояния покоя (например, щипком или
нажимом в какой-либо ее точке) и затем внешнее механическое
воздействие на струну прекращается. Струна начинает колебаться, и
ее колебания будем называть свободными колебаниями. Предположим,
что колебания происходят так, что каждая точка струны
отклоняется по перпендикуляру к оси ОХ, и все эти перпендикуляры лежат
в одной и той же плоскости. Будем, кроме того, изучать «малые»
колебания струны, то есть такие колебания, при которых наклон
струны к оси ОХ (то есть угол между касательной к струне и осью
ОХ) остается все время очень малым.
В учебниках по математической физике выводится уравнение
движения точек струны при сделанных выше предположениях.
Если обозначить через и(х, t) смещение (по перпендикуляру
к оси ОХ) точки струны с абсциссой х в любой момент времени
(см. рис. 119), то уравнение
свободных малых
струны имеет вид:
колебаний
д2и
= а2
дх2 '
(1)
где а* есть положительная
постоянная, величина которой
определяется материалом стру- рис# 119
ны и ее натяжением.
Уравнение (1) представляет собой дифференциальное уравнение с
частными производными второго порядка.
Для того чтобы изучить эти колебания струны, надо найти
выражение через х и t для смещения и(х, t), то есть надо найти
решения дифференциального уравнения (1). Функция и (х, t) не только
должна быть решением уравнения (1), но и должна удовлетворять
еще некоторым требованиям, вытекающим из самой постановки
задачи. Во-первых, как было указано вначале, струна закреплена
за два конца. Пусть длина струны равна / и левый ее конец
находится в начале координат. Тогда, так как закрепленные два конца
427

струны не смещаются при колебаниях струны, то
u(t, 0) = 0, «(/, 0 = 0.
(2)
Условия (2) называются краевыми условиями задачи.
Кроме того, можно считать известными начальные условия
задачи, то есть можно считать, что в начальный момент времени (при
?=0), то есть в начале движения, были известны начальные
смещения любой точки струны и начальная скорость любой точки струны.
Так как скорость движения любой точки струны равна ¦?, то
начальные условия задачи можно записать в виде
и(х, 0) = /(х)
(3)
(4)
где f(x) и F(x)—-известные функции.
Итак, решение задачи сводится к нахождению функции двух
переменных и(х, t), удовлетворяющей уравнению (1), краевым
условиям (2) и начальным условиям (3) и (4).
Опираясь на некоторые сведения из механики, можно указать путь получения
уравнения (1). Рассмотрим какой-нибудь участок струны от точки М' с абсциссой х'
до точки М" с абсциссой х"'. Натяжение струны постоянно во всех ее точках
(колебания струны малые, и поэтому можно пренебречь увеличением длины струны
в процессе колебаний); обозначим это натяжение через Т. Если рассматриваемый
участок струны выделить из струны в момент времени t, то удаленные части струны
налево от М' и направо от М' можно заменить силами натяжения. Они обе, как
было указано, равны Т и направлены в противоположные стороны по касательным
к струне в М' и М" (см. рис. 120). Найдем проекции на ось OU сил, действующих
на участок струны М'М\ то есть сил натяжения. Из рисунка 120 видно, что
алгебраическая сумма проекций сил натяжения равна Т sin a" — T sin а'. Из
механики известно, что равнодействующая сил инерции на участке М'М" равна
х"
Г д2и
9 \ ^-?" dx, где р — постоянная линейная плотность струны (струна однородная),
х'
дР
есть ускорение точки струны. Следовательно, в силу третьего закона
Рис. 120
428

Ньютона имеет место равенство
х"
f д2и
р \ 3i2" dx=T (sin а" — sin a') (5)
х'
для любого момента времени t. Выражение в правой части равенства можно также
х"
г / С д (sin a) ,
записать в виде интеграла по промежутку [*',*], так как \ —^—-dx=*
х'
\х"
= sin a = sin а' — sin а', где подразумевается, что угол а зависит от х и t и
|А''
а' = а(#', /) и а/т = а(д:,г, /). Таким образом, равенство (5) можно переписать
в виде
х"
Ид*и _ д (sin а) 1 , л /лх
лс'
_ d (sin а) _ „
Выражение —^—- можно несколько упростить. Действительно, в начале
параграфа было указано, что рассматриваются малые колебания струны, то есть, как
было сказано, а принимает только малые значения. Тогда
также принимает только малые значения, и поэтому можно приближенно положить
.+($¦-.. .»>
ди
Ъх
Из (7) находим, что sin а = — -? и. дифференцируя по х, получаем:
/ди\2
д2и
д (sin а) с№ ,0ч
(проделайте выкладки самостоятельно).
о * /лч /оч ^ (sin a) д2и
Заменяя приближенно знаменатель в (9) по (8), получаем: -^ -я&тр^
(к тому же результату можно прийти быстрее, если сразу на основании (8)
принять, что sina^s-r-] и, подставляя полученный результат в (6), имеем:
? Г д*и _д*и\ . Л
НРлг-гр]Л-0'
Так как это равенство справедливо в любой момент времени на любом участке
[*', х"], то это, очевидно, возможно, только если подынтегральное выражение
равно нулю при любом t:
Т
Отсюда, полагая а2 = —, и получаем уравнение (1) колебания струны.
г
429

§ 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЗАКРЕПЛЕННОЙ
НА КОНЦАХ СТРУНЫ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
Решениями уравнения (1) из § 1 должны быть функции двух
переменных х и t. Будем искать эти решения в виде произведения
двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая
только от h
u = F(x).<D(t). (1)
Кроме того, будем пока требовать выполнения только краевых
условий (2) из § 1. Подставив произведение (1) вместо и в
уравнение колебаний струны, получим: F(x) Ф" (t)=a2F" (х) -Ф (t), откуда
находим:
ФУ (0 _ F'(x) т
a*<D(t) F(x) ' к }
Так как левая часть в (2) не зависит от х, а правая не зависит
от t, то такое равенство означает, что ни та, ни другая часть
равенства не зависит ни от х, ни от t, то есть что
Если эта постоянная равна нулю или положительная, то легко
проверить, что решение вида (1), удовлетворяющее краевым
условиям, есть функция, тождественно равная нулю. Действительно,
пусть константа в правой части равенства (3) равна Ь2Ф0. Тогда
F" (х)
из (3) получаем: F/ \ = b2, F" (x) — b2F(x) = 0, и решением этого
уравнения служит выражение вида (см. теорему 1 из § 4 гл. XXVII)
F{x) = C^x + C^bx. (4)
Если теперь для определения постоянных Сх и С2 потребовать
выполнения краевых условий (2) из § 1, то получим:
0 = d + Ca
0 = СгеЬ1+С^
pi . г п-ы (5)
Отсюда имеем: Сг = — С2, 0=C1ebl — C1e-bl = C1(ebl — e'bl) и, так как
еЬ1фе~ы при 6=7^=0, получаем: Сх = 0, а, следовательно, по (5) и
С2 = 0. Тогда по (4) F(x) = 0, и, подставляя в (1), получаем, что
и и{х, t) = 0.
Если же 6 = 0, то из (3) находим: F' (x) = 0, F'(х) = Съ F(x) =
=4CiJC + Ca. Используя краевые условия, получаем: 0 = С2 и 0 =
= d • /, откуда С! = 0.
Таким образом, и в этом случае получаем в качестве решения
тождественный нуль.
Итак, постоянная в равенстве (3) должна быть отрицательной,
если мы хотим иметь решение, отличное от тождественного нуля.
Обозначим ее через —б2. Тогда из (3) получаем два линейных диф-
430

ференциальных уравнения:
F"(x) + b*F(x) = 0, (6)
Ф"(/) + а262Ф(0 = 0. (7)
Используя опять теорему 1 из § 4 гл. XXVII, получаем
решение уравнения (6) в виде
F {х) = Сх cos Ъх + С2 sin bx (8)
и решение уравнения (7) в виде
ф (t) = Dx cos abt + D2 sin abt. (9)
Подставляя (8) и (9) в (I), получаем решение уравнения колебания
струны:
и (х, t) = (Сг cos bx + С2 sin bx) (?>х cos abt + D2 sin abt). (10)
Итак, решение дифференциального уравнения второго порядка
в частных производных ((1) из § 1) было сведено к решению двух
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (8) и (9)
второго порядка с постоянными коэффициентами. Этот способ
решения был применен Фурье и носит название метод Фурье
разделения переменных.
Теперь надо выяснить, при каких дополнительных условиях
решение (10) будет удовлетворять краевым условиям: и(0, t) = 0f
u(l, t) = 0.
Очевидно, эти условия означают, что первый сомножитель
C1cosbx-\-C2smbx должен обращаться в нуль при х = 0 и я = /.
Таким образом,
Cx-l+CVO, (11)
C1cosW + Casin6Z = 0. (12)
Из (11) имеем:
Сх = 0. (13)
Тогда (12) принимает вид:
C2sin&/ = 0. (14)
Постоянная С2 должна быть отлична от нуля, так как иначе опять
придем к решению, тождественно равному нулю, и поэтому (14)
дает:
sinfe/ = 0. (15)
Так как / — данная величина (длина струны), то равенство (15)
может осуществляться только за счет удачного подбора
постоянной &, которая до сих пор не была еще подчинена никаким
требованиям. Очевидно, равенство (14) будет выполнено, если 6 = 0,
. л , 2л , Зл
—-р — -J, — —•
Значение 6 = 0 выбирать не следует, так как оно опять
приводит к решению и(х, t) = 0; отрицательные значения для b также
не следует рассматривать, ввиду того что cos(—bx) = cosbx,
sin(—- 6а:) = — sin 6а:, и так как С2 — произвольная постоянная, то,
431

включив множитель (—1) в обозначение С2, получим, что правая
часть в (8) для Ь и для — Ь по существу одна и та же. Поэтому
ограничимся рассмотрением только положительных значений для Ь.
Таким образом, получаем бесконечную последовательность
значений для постоянной Ь по формуле:
пп
*я = т (n=U 2, 3, ...).
(16)
Итак, для каждого Ьп получаем соответствующее решение
уравнения колебания струны:
/ л\ г> I т\ nnnat , ~ . nziat\ . ппх
un(x, t) = C2{D1cos—j— + D2sin—— J sin—p.
Внося С2 в скобки и обозначая полученные коэффициенты
буквами Ап и Вп, имеем:
ип(х, 0:
„ nnat . г> • nnat\ . ппх , 0 0
Ancos-T- + Bnsm —— )sin ——, n=l, 2, 3,
/
I 1
I
(17)
В этой формуле коэффициенты Ап и Вп остаются произвольными.
Колебания точек струны, происходящие по закону (17),
называются собственными колебаниями или стоячими волнами. Таким
образом, стоячие волны — это
колебания с
гармонические
частотой
ппа
сол=—
и с амплитудой, равной:
ппх
(18)
уЖ+Щ*ы^г (19)
Рис. 121 (,см. преобразования в пункте
1 из § 6 гл. XXVII).
Для каждой точки струны колебание имеет свою амплитуду,
^ . ппх ,,
благодаря наличию множителя sin-у-; частота колебании одна и
та же для всех точек струны. Благодаря этому все точки струны
достигают своего максимального отклонения вверх или вниз от
горизонтального положения в один и тот же момент времени. На
рисунках 121, 122 и 123 изображены стоячие волны,
соответствующие и=1, 2, 3. Действительно, при п=1 имеем:
иг(х, t) = [A1cos^}- + B1sin
nat\
'"г
sin-
пх
(20)
и она
Амплитуда этого колебания по (19) равна ]/ А* + В*- sin-
ПХ
достигает своего наибольшего значения, когда sin -у = 1, то есть когда
у =-g-i X==Y1 что С00ТВетствУет середине струны. По мере
приближения л; к 0 или к / аргумент синуса приближается к нулю или
432

^*
l X
Рис. 122 Рис. 123
к я и значения синуса соответственно приближаются к нулю. На
рисунке 121 и указано такое изменение амплитуды колебания
в различных точках струны в данный момент времени t.
На рисунке 122 амплитуда колебания обращается в нуль не
только при х = 0 и х = 1, но и при х=у, что видно из следующего
соотношения:
, ,ч ! л 2nat . D • 2nat\ . 2лх /01Ч
u2(x, t) = lA2cos——1-52sin——]sin-p. (21)
Поэтому стоячая волна для п = 2 имеет один так называемый узел
(то есть точку струны, которая не смещается при колебании (21))
в середине.
Стоячая волна для д = 3 изображена на рисунке 123. Здесь на
I l 21\
струне имеется уже два узла (они соответствуют #=-q- и х==~з)'
Приведенные три рисунка показывают характер стоячих волн
для разных п.
Так как уравнение колебания струны (1) из § 1 линейное и
однородное (см. определение этих терминов в § 1 гл. XXVII), то
сумма любого конечного числа решений (17) также является
решением уравнения (см. аналогичное утверждение в § 1 гл. XXVII).
Но в предыдущих рассуждениях была построена бесконечная
последовательность решений (17), удовлетворяющих краевым условиям.
Составим из них бесконечный ряд
00 ОЭ
2/ /\ ^ ! л ЛЛ пла* I о • nnat\ . ппх
un(x, 0 = 2j ^*cos——b^sm-y-Jsin—.
/1=1 П=\
Если этот ряд таков, что его можно два раза почленно
дифференцировать по л; и по t, то, обозначив его сумму через u(xf t), мы
получим, что u(x, t) также является решением уравнения
колебания струны опять-таки в силу линейности и однородности этого
со
уравнения. Действительно, подставляя и (х, t)= ^ ип (х, f) в урав-
/1=1
нение и дифференцируя почленно, получим:
со со со
^_„2^ _ \ ^Цп_п2 \ ^п _ \ (д*ип одЧЛ —л
а/а дх* ~" Ll дР Ld дх* ~ Ad \ dt* и дх* ) ~U'
n=i л=1 л=1
433

так как каждое слагаемое ряда равно нулю, ввиду того что
каждая функция ип(х, t) является решением уравнения колебания
струны. Итак, функция и(х, t), определенная формулой
оо оо
и(х, 0=2 «¦<*• t) = 2 {Ancos^ + Bnsinn-^)sin^, (22)
есть решение дифференциального уравнения (1) из § 1. Это решение,
удовлетворяет краевым условиям (2) из § 1, так как этим условиям
удовлетворяет каждое из слагаемых ряда:
оо оо
и(0, t)= 2 МО, 0=о, и(/, 0= 2 un(i, /)=о.
п = 1 /г = 1
В состав решения (22) входят произвольные коэффициенты
Ап и Вп. С другой стороны, при постановке задачи в § 1 было
установлено, что надо найти решение уравнения (1),
удовлетворяющее краевым условиям (2) и начальным условиям (3) и (4).
Определим теперь коэффициенты Ап и Вп так, чтобы решение (22)
удовлетворяло и начальным условиям (3) и (4) из § 1. Для этого надо,
чтобы выполнялись два равенства, полученные подстановкой / = 0
в (22) и в результат почленного дифференцирования ряда (22) по t:
со
и(х, 0) = 2 Л„sin ^? = /(*), (23)
/г=1
оо
(ди\ V4 пла п . птсх „ , ч /Л„Ч
Ы*-о = 1 — В»sin -T=F W- (24)
/г=1
Сравнивая эти равенства с равенством (7) из § 6 главы XXVIII,
видим, что формулы (23) и (24) дают разложения в
тригонометрический ряд по синусам в [0, /] функций f (х) и F (х). Следовательно,
коэффициенты Ап и -у Вп можно положить равными
коэффициентам этих разложений, и по формуле (8) из § 6 имеем:
An=?-^f(x)sm^dx, (25)
B*=^-a\FW™nJTdx- t26)
о
Равенства (25) и (26) определяют численные значения
коэффициентов Ап и Вп в (22).
Таким образом, формула (22), в которой коэффициенты Ап и Вп
определяются равенствами (25) и (26), дает решение уравнения
колебания струны, удовлетворяющее краевым и начальным условиям.
434

Способ построения этого решения называется «наложением
стоячих волн», так как решение (22) получается сложением отдельных
стоячих волн (17).
Каждая стоячая волна представляет колебание, вызывающее
определенное звучание струны. Можно доказать, что Ап-+0 и Вп-*0
при /г->со. Следовательно, максимальный размах стоячих волн
с увеличением /г, вообще говоря, уменьшается. Поэтому
наибольшую силу имеет звук, доставляемый первой волной (20), так
называемый основной тон струны. Эта же волна имеет наименьшую из
частот (18): Щ — —г. Частоты оо2, со3, ... называются частотами
обертонов струны. Чем больше частота колебания, тем выше звук.
Поэтому основной тон — наиболее низкий звук, а обертоны дают все
более и более высокие звуки. Смещение каждой точки струны
с абсциссой х в данный момент времени получается наложением
смещений (17). Следовательно, и звук, издаваемый струной,
складывается из основного тона (^(х, /)) и бесконечного количества
обертонов (ип(х, f) при п ^2).
Метод разделения переменных и наложения стоячих волн был
введен Фурье до создания теории рядов Фурье, а само решение
задачи о колебании струны послужило стимулом для введения
понятия ряда Фурье.

ОГЛАВЛЕНИЕ
РАЗДЕЛ V
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава XIV. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
§ 1. Основные понятия , 4
§ 2. Предел функции двух переменных 11
§ 3. Непрерывность функции двух переменных 16
Глава XV. Дифференцирование функций нескольких переменных
§ 1. Частные производные функции нескольких переменных 21
§ 2. Полное приращение функции нескольких переменных 28
§ 3. Производные сложных функций нескольких переменных 31
§ 4. Полный дифференциал функции нескольких переменных 35
§ 5. Дифференциалы высших порядков 41
§ 6. Неявные функции и их дифференцирование 45
§ 7. Производная по направлению. Градиент 53
Глава XVI. Приложения дифференциального исчисления функций
нескольких переменных
§ 1. Формула Тейлора для функции двух переменных 57
§ 2. Касательная к плоской кривой 60
§ 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 61
§ 4. Семейство кривых на плоскости. Огибающая и дискриминантная кривые 65
§ 5. Экстремумы функций нескольких переменных 68
§ 6. Наибольшие и наименьшие значения функции двух переменных в области 71
§ 7. Относительные экстремумы 74
§ 8. Дифференцирование под знаком интеграла 79
РАЗДЕЛ VI
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава XVII. Двойные интегралы
§ 1. Вводные замечания • 81
§ 2. Определение двойного интеграла 82
§ 3. Условия существования двойного интеграла 84
§ 4. Задача об объеме цилиндрического бруса 86
§ 5. Основные свойства двойных интегралов 88
§ 6. Вычисление двойного интеграла 91
§ 7. Двойной интеграл в полярных координатах 103
§ 8. Отображение плоских областей .,.,.» 112
436

§ 9. Площадь в криволинейных координатах 117
§ 10. Замена переменных в двойном интеграле 121
§11. Площадь поверхности 124
§ 12. Механические и физические приложения двойного интеграла 128
Глава XVIII. Тройные интегралы
§ 1. Определение 134
§ 2. О вычислении тройного интеграла 135
§ 3. О преобразовании тройного интеграла к цилиндрическим и сферическим
координатам 136
§ 4, О вычислении массы и центра тяжести тел 139
Глава XIX. Криволинейные интегралы
§ 1. Криволинейные интегралы первого типа 142
§ 2. Вычисление криволинейных интегралов первого типа 147
§ 3. Криволинейные интегралы второго типа 152
§ 4. Вычисление криволинейных интегралов второго типа 156
§ 5. Формула Грина —Остроградского 162
§ 6. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования . . 167
§ 7. Приложения криволинейных интегралов 177
§ 8. Скалярное и векторное поле. Понятие потенциального поля . . . . „ . 182
РАЗДЕЛ VII
РЯДЫ
Глава XX. Числовые ряды
§ 1. Основные понятия 185
§ 2. Основные свойства сходящихся рядов *. . . 189
§ 3. Положительные ряды 193
§ 4. Знакочередующиеся ряды 209
§ 5. Абсолютно сходящиеся ряды 212
§ 6. Необходимый и достаточный признак сходимости ряда 220
Глава XXI. Функциональные ряды
§ 1. Равномерная сходимость 224
§ 2. Некоторые свойства равномерно сходящихся рядов 231
§ 3. Степенные ряды 235
Глава XXII. Разложение функций в степенной ряд
§ 1. Ряд Тейлора 247
§ 2. Разложение дробно-рациональных функций в ряд Тейлора 250
§ 3. Разложение показательной и тригонометрических функций в ряд Тейлора 252
§ 4. Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора 255
§ 5. Разложение степенной функции в ряд Тейлора 258
§ 6. Применение рядов к приближенным вычислениям 263
§ 7. Применение рядов к раскрытию неопределенностей 274
РАЗДЕЛ VIII
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава XXIII. Основные сведения о функциях комплексной переменной
§ 1. Предел последовательности комплексных чисел 276
§ 2. Числовые ряды в комплексной области 277
437

§ 3. Степенные ряды в комплексной области . . * 2 79
§ 4. Функции комплексной переменной 282
§ 5. Производная функции комплексной переменной . * • 284
§ 6. Условия существования производной ...»,.»«.... 285
Глава XXIV. Элементарные функции комплексной переменной
§ !. Целые рациональные и дробно-рациональные функции 289
§ 2. Определение показательной функции и тригонометрических функций.
Формулы Эйлера ¦ —
§ 3. Свойства показательной функции .....,,*..,., 292
§ 4, Свойства тригонометрических функций 293
§ 5. Гиперболические функции , Р , 297
§ 6. Логарифмическая функция Р ,»•,...,».. о 299
§ 7. Степенная функция . • . » ¦ » 302
§ 8. Общая показательная функция и общая логарифмическая функция . 305
§ 9. Обратные тригонометрические функции ¦.,,,,,,,,.,..,.. 307
РАЗДЕЛ IX
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава XXV. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 309
§ 2. Основные понятия 317
§ 3. Геометрическое истолкование основных понятий . , 328
§ 4. Понятие об особых решениях с . . . . , 330
§ 5. Уравнения с разделяющимися переменными . . е , 334
§' 6. Однородные уравнения 339
§ 7. Линейные уравнения 345
§ 8. Уравнения в полных дифференциалах 350
§ 9. Ортогональные траектории 353
Глава XXVI. Дифференциальные уравнения порядка выше первого
§ 1. Основные понятия 356
§ 2. Способы понижения порядка дифференциальных уравнений 359
§ 3. Дифференциальные уравнения порядка выше второго . . . • 364
Глава XXVII. Линейные дифференциальные уравнения
§ 1. Основные понятия 366
§ 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка 367
§ 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 374
§ 4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами 378
§ 5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами 382
§ 6. Применение линейных дифференциальных уравнений в изучении
колебательных явлений 393
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков ..,..., 400
438

РАЗДЕЛ X
РЯДЫ ФУРЬЕ. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
Глава XXVIII. Ряды Фурье
§ 1. Тригонометрический ряд 407
§ 2. Ряд Фурье 409
§ 3. Особенности ряда Фурье четной и нечетной функций 412
§ 4. Сходимость ряда Фурье 413
§ 5. Разложение функции, заданной в промежутке [0, я], в
тригонометрический ряд 419
§ 6. Разложение в тригонометрический ряд функции, заданной в
промежутке [—/,/] 424
Глава XXIX. Уравнение колебания струны
§ 1. Постановка задачи о свободных колебаниях струны, закрепленной на
концах 427
§ 2. Решение задачи о свободных колебаниях закрепленной на концах
струны методом Фурье 430

Константин Алексеевич Бохан,
Ирина Александровна Егорова
Константин Васильевич Лащенов
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Том II
Редактор В. Г. Долгополое
Художник Е. М. Батырь
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор В. В. Новоселова
Корректор М. В. Голубева
Сдано в набор 25/1V 1971 г. Подписано к печати 2/III 1972 г.
60x90Vie. Типографская Jfe 2. Печ. л. 27,5. Уч.-изд.
л. 29,77. Тираж 40000 экз. (Пл. 1972 г. БЗ № 38—
1972 № 15) Зак. 1963.
Издательство «Просвещение» Комитета по печати
при Совете Министров РСФСР
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская
типография № 1 «Печатный Двор» им. А. М. Горького
Главпояитрафпрома Комитета по печати при Совете
Министра СССР, г. Ленинград, Гатчинская ул.. 26.
Цена без переплета 83 коп., переплет 10 коп.