/
Автор: Ярославский Л.П.
Теги: электротехника радиотехника цифровая обработка сигналов телекоммуникации сборник статей системы связи
Год: 1981
Текст
АКАДЕМИЯ HAYR СССР
Институт проблем передач.и информации
UИФРОВАЯ
-ОБРАБОТКА
СИГНАЛОВ
• и ее применения
о 84 12·3
o:V/, !-~ {
ИЗДАТЕЛЬСТJЗО <<НАУКА>>
Москва 1981
,-'
УД:К 621.391
Сборник посвящен вопросам теории и практического применения
цифровой обработки сигналов. Описаны диснретные ортогональны~
пр еобразовани;я и их свойства, алгоритмы цифровой обработки изобра
жений, интерферограмм, данных автоматического антропометрирова
ния, синтеза голограмм, методы и результаты цифрового моделиро
вания голографических процессов, систем связи ·. Обсуждены вопросы
аппаратурного обеспечения.
Рассчитан на научных и инженерно-технических работнинов.
Ответственный редантор
нандида т техничесних наун
Л. П. ЯРОСЛАВСКИЙ
30501-036
Ц 055(02)-81 789-81, нн. 2.1502000000
© Издательство «Н~уна>>, 198"1 г.
..
L
1. ТЕОРИЯ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТНИ
СИГНАЛОВ
У дн: 621,391.2
СВЕРТКА МНОГОВАЛЕНТНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
В ПРОИ3ВОЛЫIОМ БАЗИСЕ
Н. 1-I . АЙЗЮ--IБЕРГ, М . С . СЕМИРОТ
Одной из' составляющих информационно-измерительной си
стемы являете.я вторичная подсистема обработки данных, на
выходе которой потребитель получает измерительную информа
цию в ·виде некоторых сигналов, являющихся характеристиками
или параметрами объен.та анализа. Сигналы могут иметь различ
ное математическое описание. В частности, сигналы могут опи
сываться функциями одного или нескольких аргументов, как не
прерывных, так и дискретных .
Число аргументов s функции, описывающей сигнал, назовем
валентностью сигнала.
В качестве примера сигнала валентности 1 можно привести
сигнал, соответствующий функции освещенности по горизонтали
или вертикали телевизионного изображения. Сигнал, описыва
ющий функцию освещенности фотоснимка в точке с координатами
{х, у), является сигналом валентности 2.
В системах связи на дециметровых и более коротких волнах,
а также в коротковолновой радиосвязи при применении широко
разнесенных антенн сигнал представляет собой функцию не только
времени, но и пространственных координат, т. е. является сиг
налом валентности 4. Проблемам совместной пространственно
временной обработки сигналов, обеспечивающей получение до
стоверной информации при передаче дискретных сообщений по
каналам со случайной структурой, посвящена монография [2].
В настоящей работе рассматриваются дискретные сигналы
валентности s, которые могут иметь различную природу: созда
ваться непосредственно источником информации или образовы
ваться в результате дискретизации непрерывных сигналов. Од
нако для дальнейших рассмотрений физическая сущность сигна
лов не имеет принципиального значения .
Пусть К - коммутативное кольцо ·с единицей. Объект F, оп
·ределяющийся совокупностью No элементов щ,, ... , is кольца К
{i,...,i8=0,...,N.
-
1); будем называть N-мерным дискрет
яым К-сигналом вале1-iтности s и обозначать F = {a;,••·is}·
Два N-мерных дискретных К-сигнала валентности s{ai,, .. . ,i)
•и {ci,, .. . , i 8} называются равными, если
ai, ...i8= Ci,...i8ДЛЯ всех i1, ... , i8,
з
Обозначим через Q(N, s) множество всех N-мерных дискретных
К-сигналов валентности s.
Дискретный N-мерный К-сигнал валентности 1 можно пред
ставить себе в виде N-мерного вектор-столбца F = (а0 • .•
...
aN-i)т (Т - символ матричного транспонирования ) с координа
тами ai Е К (i = О, ... , N - 1). Дискретный N-мерный К-сигнал
N-I
валентности 2 - это квадратная матрица F = (aij)i,j=o с эле-
ментами aij Е К.
'"fеперь дадим несRолько определений, все значение ноторых
станет ясным из дальнейшего.
Аддитивно записанная абелева группа М называется унитар
ным левым К-модулем [3], если для любых элементОlЗ а Е К и
т Е Л,f определено произведение ат Е М и при этом
(а1+а2)т=а1т+а2т
(а1а2) т = а1 (а2т)
(аЕК; m1, m2ЕМ),
(а1,а2ЕК;тЕМ),
(а1, а2ЕК; тЕМ),
1-т = т (1 - единица кольца К, тп ЕМ).
Понят:ие К-модуля охватывает векторные пространства над
полями и телами.
Подгруппа М1 СМ называется подмодулем К -модуля М,
еслиrm1ЕМ1длявсехrЕК, m1ЕМ1.
Подмножество {mCG) К-модуля М называется К-базисом
модуля М тогда и только тогда, когда каждый элемент из М од
нозначно записывается в виде конечной К-линейной комбинации
2.rCG.mCG.,
где r(;G . Е К, m(;G. Е {mCG}•
1,
1,
1,
1,
Не все модули об.тrадают К-базисом; К-модуль, обладающий
К-базисом, называется свободным К-модулем.
Если М - свободный К-модуль с базисом {т1 , ... , тп},
то можно показать, что число п является инвариантом К-модуля М.
Назовем п размерностью модуля М над К и обозначим п = d_imкM.
Фактор-модулем М/М1 называется К-модуль, аддитивная
группа которого состоит из всех смежных классов модуля М П(}
подмодулю М1 .
Алгеброй А над кольцом К называется кольцо А, являющееся
одновременно К-модулем. При этом аксиома а(аЬ) = (аа) Ь =
=
а(аЬ), а Е К, а, Ь Е А связывает умножение на элементы из
кольца К с умножением в кольце А.
Пусть В = (bij)f,1~0 - обрат:имая квадратная матрица поряд
ка N над кольцом К и Е - унита_льный левый К-модуль с ба-
зисом Лв = {b1r}f-1
,
где Ь1r = (b01r ... bN-1 1r).
Обозначим через Р свободный модуль, порожденный мно
жеством всех s-мерных наборов (х1 , ... , Xs) (xi Е Е), т. е. по
рожденный s-й декартовой степенью множества Е. Подмодуль
4
модуля Р, порожденный всеми эJ1ементами вида
►
(х1,,.,,Xi+Xi, . •
. , Х8)-(х1,..., xi, .. •, Х8)- (х1, .. .,Xi,, , ., Х8),
(х1,.,., axi, . . ., Х8)-а(х1,..., Xi, .. ., Х8),
где х1 , Xt ЕЕ, а Е К, обозначим Р1 . Фактор-модуль Р/Р1 назовем
s-й тензорной степенью модуля Е и обозначим E®s, при этом:
элемент (х1, . .. , х5) + Р1 будем обозначатьх1(8) ... (8) х8• Тогда
для всех i имеем
Х1(8)...(8)axi(8)...(8)Х8=а(х1(8)...(8)Х8),
(1)
Х1Q9,,,Q9(xi+х~)Q9Xs= Х1Q9••, Q9XiQ9,, •Q9Xs+
+Х1(8)...(8)х~(8)...(8)х5;
(2)
гдеХ;,XiЕЕиаЕк.
Таким образом, всякий элемент из E®s может быть записав:
как линейная комбинация элементов вида а:1 (8) ... (8) Х8 • Так
как Лв - базис К-модуля Е, то в силу (1) и (2) каждый элемент из
E®s можно однозначно представить в виде линейной комбинации:
элементов Ь1, (8) ... (8) -Ь1 , где Ь1,, ... , bi Е Лв. Итак, E®s -
s
s
свободный модуль с базисом Ь 1 , (8) ..• (8) Ь. 8 , при этом
•
dimкE®s = (dimкE) 8 = No.
Пусть
N-1
Х= ~ SkЬk•
(3)
k=O
:Как это принято в тензорной алгебре, примем следующее соr
лашение о суммировании: _ отбрасывая знак суммы, равенство (3)
будем записывать в виде
х = sкЬk,~
полагая, что по индексу k, повторяющемуся дважды, пр·оизводится
суммирование от О до N - 1. Индекс k называется индексом:
суммирования. Он может быть заменен любой другой буквой~
так что
skЬк = siьi == sJЬj
• .••
Превратим множество Q (N, s) всех N-мерных дискретных
К-сигналов валентности s в левый К-модуль, определив, естест
венно, операции сложения и умножения на скаляр из кольца К;
{ai,... i8}+{ci,... i8}= {ai,... i8+ Ci,...i8},
а{ai,... i8}= {aa-i,... i8} (аЕК).
Очевидно, отображение
<р:F={ai,...i)-тF= ai,...i8(bi,® •••®bi8)
(4)
1
задает изоморфизм К-модулей Q (N, S) и E®s. При этом элементы
tli1, ..., i8(i1, •.. , i8 = О, ..., N - 1) будем называть координа
тами сигнала F в базисе Лв.
Пусть ai, , . . . ,i8 - координаты К-сигнала F в базисе Л (В).
Сигнал В (F), имеющий в базисе Лв координаты
(5)
называется спектром сигнала F в базисе Лв.
~
При s = 1 и s = 2 равенство (5) можно записать в матричном
виде, а именно:
приs = 1 спектр В(F) сигнала F=(а0... aN-i)T- это
матричное произведение В (F) = BF;
при s = 2 спектр В (F) сигнала F = (aii)f5;,,0 - это матрично е
произведение
в (F) = BFBT.
(6)
Из определения спектра следует, что для любых q, 1 , а2 Е К и
F r , F 2 Е Q (N, s) справедлй:во равенство (свойство линейности
сn еюра)
В (a1F1 + a2F2) = а1В(F1) + а2В(F2).
(7)
Обозначим
Лr = {ek}f-1
,
:rде ek - N-мерный вектор -столбец, k -я компонента которого равна
единице, а все остальные компоненты равны нулю. Тогда
(8)
ивсилу(1)и(2)
F= ai,...is(bi,® . ..®bi)= ai, ..i8Ьм,...bj8i8(ej,® ...® ej)=
= a;, ...js(ej,® ...® ei)·
Следовательно, в силу изоморфизма (4) равенство
(9)
связывает координаты ai,, ... , is К-сигнала F Е Q (N, s) в базисе
Лв с координатами этого сигнала в базисе Лr. Из (5) и (9) следует,
что при переходе от базиса Лr к базису Лв К-модуля Е сигнал F
заменяется спектром В (F).
Превратим К-модуль Е в алгебру над кольцом К, определив
адамаровское умножение <<о>> следующим образом:
biobj= (bOi ~Oj ) •
bN-libN-Ij
◄
Обозначим -эту алгебру А (Лв, о). Разложив b;obj по базису Лв
(10}
определим структурные конста;нты "r'i~ (i, j, k = О, ... , N - 1)
алгебры А (Лв, о), ассоциированные с базисом Лв.
•
Определив в К-модуле Q (N, s) операцию умножения о следую
щим образом: адамаровским; произведением с:игналов F 1 с коор-
динатами ai~: .. ., is в базисе Лв и F2 с координатами ai;,> ... , is в базисе
Лв называется сигнал F 1 F
2
с координатами
С··
-
al1J · а!2)
1.1 .•• 1.8
-
1.1 ...1.s 1.1 ...is
(11)
в базисе Лв, получим алгебру Q (N, s) над кольцом К.
Сверткой сигналов F 1 , F 2 Е Q (N, s) в базисе Лв называется
сигнал F1 * F 2 Е Q (N, s) с координатами
(12)
где ai:)... i
-
координаты сигнала F 1 (t = 1, 2) в базисе Лв, y{f'
s
(i, j, k = О, ... , N - 1) - структурные константы алгебры
А (Лв, о).
Очевидно, что при изоморфизме (4)
(F F) (1)
(2)
(lr,)
(k8)
)
ер 1* 2 =ai,... i 8 -aj, ... j _, •'i'i,j, • ... • "ri 5j 5 (b1r, ®•··®b1rs =
(1) (2) (
= ai, ... i8aj,... j5 (bi,obj,)(8) ..• (8) (bi8obj))=
= (ai~?..i . (bi, ® ... ® bi8))*(a~;_) _ _j 5 (Ьj, ® ... ® bj8) =F1*F2,
т. е. * в К-модуле Q (N, s) индуцирует операцию * в К-моду-
ле E@s. При этом если
•
то
F- \IJ·(Ь·=
=Ь)
1- ai,...i5
i, 161•••161 i8
(13)
Свертке сигналов из Q (N, s) присущи следующие свойства:
1) дистрибутивность
F1*(F2+F3) = F1*F2+F1*Fз(F1, F2, F3ЕQ(N,s)),
2) коммутативность
F1*F2 = F2*F1(F1, F2ЕQ(N, s)),
3) ассоциативность
(F1*F2
)
*F3=F1 *(F2-»F3) (F1, F2
,
F3'= Q(N, s)).
Теорема. Спектр свертки двух сигналов из алгебры Q (N, s)
в базисе Лв равен адамаровскому произведению спектров этих
сигналов в базисе Лв.
7
Доказательство. ПустьF1, F2ЕQJN,s)иa~2"i.
координаты сигнала Ft (t =1, 2) в базисе Лв, а ci;! ··is - коорди
наты этого сигнала в базисе Лz. Так как структурные константы
алгебры А(Лв, о), ассоциированные с базисом Л 1 ,
(к) {1, еел:и _i=j= k,
У ii = О в противном случае,
,:о для координат _di, .. .is свертки F1 * F2 в базисе Л1 справедливо
равенство •
Иэ ('11} и (14) получаем, что в базисе Л1
F1*F2 = F1•F2•
(14)
(15)
Пос~ольку при переходе от базиса Л1 алгебры А (Лв, 0) к базису
Лв этой алгебры сигнал F Е Q (N, s) заменяется спектром B(F),
то равенству (15) в базисе Лв соответствует равенство
что и требовалось доказать .
Оказывается, что свертками с операцией умножения (12) в
41.лгебре сигналов Q (N, s), индуцированной матрицей В (В про
бегает множество всех обратимых матриц над кольцом К), ис
черпывается множество всех сверток сигналов · из Q (N, s), для
:которых справедливо утверждение о том, что спектр свертки
двух сигналов равен произведению спектров этих сигналов.
Действительно, пусть s = 2. Тогда для того, чтобы имело место
утверждение о спеl:(тре свертки, свертка должна быть определе
ша сл едующим образом:
(16)
т . е. задавать операцию умножения в алгебре с-Игналов Q (N, s).
Проиллюстрируем утверждение о спектре свертки двух сигналов инте
ресным с точки зрения выполнения быстрых преобразований примером си
~темы базисных функций.
(1 о)
Пусть В= вfп - кронекеровская п-я степень матрицы В1 = 1 1
•
]Нетрудно убедиться, что элементами столбцов матрицы В являются значения
конъюнкций всех рангов булевых переменных у1, . . . , Уп на множестве z;
всех булевых наборов длины п, упорядоченных в лексикографическом по
ряд:ке возрастания двоичных кодов. В силу теоремы Гуда [4] матрица В может
быть факторизована, т. е. может быть представлена в виде п-й степени
8
некоторой матрицы L порядка 2n. Матрица L имеет вид
1000
оо
ОО1О
ОО
оооо
1о
L=11оо
оо
оо11
оо
оооо
11
Итак, В= Ln и спектр сигнала F Е Q (2n, 2) равен
В (F) = LnF (Lп)т.
• (17)
Вычисление спектра сигнала F по формуле (17) будем называть быстрым
конъюнктивным преобразованием сигнала F. Из вида матрицы L следует,
что умножение сигнала F = (aii) (i, j = О, ... , 2п - 1) с_лева на матрицу L
эквивалентно записыванию в первые 2п- 1 строки матрицы строк матрицы F.
начиная с нулевой строки, через одну строку, а в последующие 2n-l
строки матрицы записываются последовательные попарные суммы всех
строк матрицы F.
Так как
то обработку сигналов с помощью быстрого конъюнктивного преобразования
можно производить следующим образом. Сначала по указанному выше алго
ритму преобразуем строки матрицы F, получим матрицу LF, применяя про
цедуру к строкам LF, получим L 2F и т. д . На п-м шаге процедуры получим
LnF . Применяя далее на (п + 1)-м шаге процедуру к столбцам матрицы
LnF, получим L(LnF)T и т. д. На 2п-м шаге процедуры получим матрицу
Ln (Lnp)T, транспонируя которую получим спектр сигнала F.
Для вычисления конъюнктивного:спектраj изображения F непосредствен
но по формуле (6) требуется выполнить 22n+1 (2n+1 - 1) элементарных опе-
раций.
,
Вычисление конъюНRтивного спектра сигнала. F по формуле В (F) =
= (Ln (LnF)T) т требует выполнения 22n+ 1 n элементарных операций.
Пусть теперь К - кольцо целых чисел и п = 2 . Тогда
оо
1О
О1
11
-
~J
о,
1
К-модуль Е имеет базис
оо
О1
1О
О1
:Укножение ~ в Лв мы представим с поиощьrо таблицы Rэли, в tro'l'Opoй на
пересечеви:и строки Ь, и столбца bj иы помещаеи произведеюа-е ()i, 0 Ь;.
9
о
Ьо
Ь1
Ь2
Ьз
Ьо
Ьо
Ь1
Ь2
Ьз
Ь1
Ь1
Ь1
Ьз
Ьз
Ь2
Ь2
Ьз
Ь2
Ьз
Ьз
Ьз
Ьз
Ьз
Ьз
Таккак(biоЬj)оbk=ьiо(Ь;оbk)длялюбыхьi,Ьj,ьkЕЛвиbiоЬ;еЛв
(последнее следует И3 таблицы), то Л 8 является полугруппой относительно
операции о. Сигналам
F1=[i ~ ~ -!JeQ(4,2),
ОО-1О
[
-3ОО2]
О-1ОО
F2=
О о4ОeQ(4,2)
ООО1
при и3оморфи3ме соответствуют элементы
-
l\= 1(Ь0®Ь0)+О(Ь0®Ь1)+О(Ьо®Ь2)+О(fJo®bs)+О(Ь1®Ьо)+
+О(Ь1®Ь1)+О(Ь1®Ь2)-1(Ь1®Ь3)+О(h2®Ьо)+2(Ь2®Ь1)+
+О(Ь2®Ь2)+О(Ь2®Ь3)+О(Ь3®Ь0)+О(Ьз®Ь1)-1(Ьз®Ь2)+
+О(fJз®Ьз)= (Ь0®Ь0)- (Ь1®Ьз)+2(Ь2®Ь1)-(Ьз®Ь2)
и
7\=
-
3(Ь0®Ь0)+О(Ь0®Ь1)+О(Ь0®Ь2)+2(Ь0®Ьз)+О(Ь1®Ьо)-
-
1(Ь10Ь1)+О(Ь1®Ь2)-+О(Ь1®Ь3)+О(Ь2®Ь0)+О(Ь2®Ь1)+
+4(Ь2®Ь2)+О(Ь2®Ь3)+О(Ь3®Ь0)+О(Ь3®Ь1)+О(Ьз®h2)+
+1(Ьз®f1з)=
-
3(l10®Ьо)+2(7:10®Ьз)- (fJ1®Ь1)+
+4(Ь2®bi)+(Ьз®Ь~)
иоп;улл Е®2•
Применив к F1 и F2 оперецию *, опрёдёл:я:ёмуiб формулой Щi), и вбё •
ПОЛЬ3овавшись таблицей, получим
F1*F2= - 3(Ьо®Ьо)+2(Ьо®Ьз)-(Ь0®Ь1)+4(Ь2®Ь2)+(Ь3®Ь3)+
+3(Ь1®Ьз)- 2(Ь1®Ьз)+(Ь1®Ьз)- 4(fJ3®Ь3)- (Ь3®Ь3)-
-
6(Ь2®Ь1)+4(Ь2®Ьз)- 2(Ь3®Ь1)+8(Ь2®Ь3)+2(Ь3®Ь3)+
+3(hз®Ь2)- 2(Ьз®Ьз)+(Ьз®Ь3)- 4(Ь3®Ь2)-(fJ3 ®Ь3)=
= - 3(Ьо®Ьо)+2(Ьо0Ьз)- (Ь1®Ь1)+2(711®Ь3)- 6(Ь2®Ь1)+
+4(Ь2®Ь2)+12(Ь2®Ь3)- 2('1з®Ь1)-1(113®Ь2)- 4(Ь3®Ь3).
•О 2]
О2
4__];12 •
-1
-
4
В ычисл:им спектры В (Fi * F 2), В (F1), В (F2) с помощью быстрого конъюнк•
тивного преобразования:
:s 11 1,,,,(,,~Е1*;2),,= [~~ . =~ ; 1!],
,,_,--
,_, .,
.., ,... .
-
:• о· -'-8··· з·
·8
О2]
О4
414'
312
'~
r
~
т-3О-44
[
-3О-32]
L (L2 (F1*F2)) =
-34-918'
о
(12о
-3
3-12 15
-3О
-3
-1]
19'
О3
-3]
-12
о'
3
о
оО-1
-
[1О
LF1=1о о
-!J Ш:~[12 о (]
о
о,
О2-1
2-1
-1
[
1о1_с]
L'(Ш,)т -[1 1 1
2
т1(11-1
11
L(L1i)=1,О3О,
31
1-13-2
3о
В(1,) ~ (L' (L'F,)т )т ~[1 1 1 1]
133
11О'
О31
[
-3
ос
п[
-3ОО2]
LF2 =
-
!о4
-3
-1О2
-1о
L2P2=
-3О42'
о4
-3
-1
43
[
-3 ('
-3
!Jr
-3
-3
,т
-3(1-4
-3
--4
L(L2l2) =
_
34--3
L2 (L2J 2)т =
-3
-3
-3 4.
-lt
-3
-4
•
[-3
-3
--3
-3]
тт -3
-4
-3
-4
B(I2) = (L2 (L2F2) ) =
-3
-311,
-1
-'-233
[
-3
-3
-3
-~~]
'-3
-4
-9
В(}1)•ВU2) =
_3
-31
о•
-1с9
3
iJ.
-3
-1] .
-3
-2
13•
13
Из приведенных вычислений следует, что раF:сnство }!) (IF'i * ,F2'J -= 13 {F1)•
,., n ( F 2) вьшолвяется. -
(1
ЛИТЕРАТУРА
i. А йзепберг Н. Н. Спектр свертки дис1,рет:Ных сигналов в произвольном ба
зисе. - Докл. АН СССР, 1978, т. 241, No 3, с. 551-554.
2. Rловский Д . Д ., Сойфер В. А. Обработка пространственно-временных
сигналов. М.: Связь, 1976.
3. ДжекобсоН, Н . Строение колец. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.
4. ТрахтмаН, А. М., Трахт.1~аН, В. А. Основы теории дискретных сигналов
на Rонечных интервалах. М . : Сов. радио, 1975.
5. Яросмвс1:ий Л . П . , Мераляков Н . С . Методы цифровой голографии. М.:
Наука, 1977.
-УДК 621.391.14t
ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ - ХААРА
НА RОНЕЧНОЙ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЕ
Л.Л. БОЙКО
Спектральный анализ нашел широкое применение в ряде об
ластей, например в спектроскопии, в обработке _ изображений и
речевых сигналов, в голографии, в обнаружении сигналов и из
мерении их параметров и т. д. Для анализа спектра часто исполь
:зуются цифровые методы, реализуемые на ЦВМ и имеющие ряд
преимуществ перед аналоговыми. Эти преимущества стали еще
большими после создания алгоритма быстрого преобразоваitйй
Фурье (БПФ), позволяющего в ряде случаев производить обра
ботку в реальном времени. Различные приложения стимулиро
вали интерес к иным, отличным от традиционных экспоненциаль
ных ортогональным системам, наиболее подходящим для
.решаемых задач, и к связанным с . ними быстрым алгоритмам.
Появляется множество работ, посвященных функциям Уолша и их
приложениям (1- 7]. Создаются быстрые алгоритмы преобразо
вания Хаара, гибридного преобразования Адамара -:- Хаара,
обобщенного преобразования Уолта [8-10].
' . В 1971 r. Поллард [11] предложил новые преобразования,
<Dбл:адающие свойством циклической свертки в конечных полях,
преобразования, названные впоследствии тео_ретико-числовыми
преобразованиями (ТЧП). Шенхаге и Штрассен [12] определили
ТЧП nQ модулю чисел Ферма и рассмотрели применение этого
преобразования к быстрому - умножению • больших чисел. Рей
дер [13] предложил ТЧП в кольце вычетов по модулю чисел Мер
сенна и Ферма, показал, что для осуществления этих преобразо
ваний. необходимо выполнение только сложений и сдвигов раз
IJЯДОВ', оIDИсал ограничения, связанные с длиной кодового слова.
В последне-е· время наряду с созданием новых ортогональных
<те.тем появляются попытки объединить существующие системы,
создать единый · подход к выбору систем ортогональных функций
с желаемыми свойствами [6, 14-20]. В 1971 г. Николсон [14] пред-
tZ
f
ложил алгебраический подход к БПФ, описав класс преобразо
ваний, которые в принципе можно выполнять быстро, указал
:алгоритмы БПФ в случае конечной циклической группьr. Однако
в своей статье Николсон исходит из существован:ия известных
:алгоритмов быстрого вычисления - алгоритма Гуда [18] и ал
горитма Кули - Тьюки [21] и уже из них приходит к алгебраи
ческой структуре гр_уппы (см. [14], с. 542, следствие 4]), хотя
естественнее поступать наоборот - исходя из структуры группы
получать быстрые алгоритмы преобразования . Это, кроме того,
позволит получить быстрые алгоритмы для всего рассматривае
мого класса преобразований.
В статье описан иной, чем у Николсона, алгебраический под
ход к быстрым преобразованиям Фурье на конечной абелевой груп
пе. Смысл его в сведении преобразования Фурье на всей группе
R преобразованиям Фурье на подгруппе и фактор-группе. На
,основе этого подхода далее строится класс ортогональных преоб
разований на конечной абелевой группе, включающий, в част
ности, преобразования Фурье и Хаара. Каждое из преобразо-
1Jаний данного класса обладает быстрым алгоритмом вычисления.
Основная причина существования быстрых алгоритмов для рас
сматриваемых преобразований состоит в наличии длинного ком
позиционного ряда группы.
Пусть R - коммутативное кольцо, G - конечная абелева
группа. Через GV будем обозначать двойственную к G группу.
Элеме,нтами группы GV являются R-значные характерыG, т.е. такие
функции х, из G в группу обратимых элементов кольца R*, что
Х (g1 + g2) = х, (g1) Х (g2), где g1, g2 Е G. Операция умножения
в GV определяется с помощью обычного перемножения характе
ров как функций .
Между G и GV может существовать изоморфизм. Необходимым
и достаточным условием этого является наличие в R примитивного
корня из 1 степени ехр G, где ехр G - наименьшее натуральное
число, такое, что (ехр G)g = О для всех g Е G. Задани"'
изоморфизма G и GV эквивалентно заданию невырожденного cпri ·
ривания <,): G х G-+ R*. Это такое отображение, что для каж
дого фиксированного х функция у -+ <х, у) является гомомор
физмом; аналогично функция х -+ <х, у) - гомоморфизм
-
при
каждом фиксированном у. Невырожденность спаривания озна
чает, что выполнены условия { y/Vx Е G, <х, у)= 1} = е,
{хIVyЕG, <х,у) = 1}= е, где е - единица группы.
Например, пусть G = Z/n - группа вычетов mod п, R = С -
поле комплексных чисел. Спаривание <,): Z/n Х Z!n-+ С* за
дадим формулой <х, у) = -e< 2n f n)ixy_ Легко видеть, что это сш1ри
вание- является невырожденным. Если R - любое кольцо, со
держащее примитивный корень s из 1 степени п, то невырож
денное спаривание можно задать аналогичной формулой <х, у) =
=
Sxy. В ДаЛЬНеЙШеМ МЫ ЗафИКСИруеМ НеКОТОрОе НеВЫрОЖДеН
НОе спаривание, с помощью которого будем отождествлять
GиGV.
Пусть j : G -+ R - произвольная функция, тогда ее преобра
зованием •Фурье называется функция J: GV -+ R, заданная форму~
лой/(х) ·. ~f(g)x(g). ·
. ge,G
Преобразования ffa:f-+ J-это и есть общий класс преобразо
ваний Фурье, допускающий быстрые алгоритмы. Частные случаи
ffа хорошо известны:
1) Дискретное преобразование Фурье. Здесь G = Z/n (вы
четы mod п по сложению), R = С (комплексные числа), GV= Z/n
и вычету k mod п отвечает характер 'Xk : х-+ e<2n f n)i kx. Можно отож- •
дествить характер Xk с k и вместо i (X k) писать i (k). Имеем
п-1
f(k) = ~ f (j) e(2л/n)ikj.
j=O
2) Преобразование Уолта - Адамара . G = (Z/2n), R = С,
элементу (k 1 ,
.
.
.
, kп ), k ; Е Z/2 группы G можно однозначно
п-1
сопоставить целое число k= ~ ki2i и обратно, каждому целому
i=O
О< k < 2n отвечает элемент группы G; GV = (Z/2)n, причем k =
•
•
Е~
'
= (k1, . .. , !сп) Е (Z/2)n отвечаетхарактер х = (i1, . .. , Хп)-+ (-1) i
n-1
Отождествляя такой характер с числом k= ~ ki2i, получим
i=O
2n-1
ik.j•
n-1
f(k)=~/(j)(-1) i 1
',
где j=~ji2i,
j=O
i= .O
3) Теоретико-числовые преобразования . Пусть, например ,
G=Z!n,В =Zlp-полеизрэлементов,апделит(р
-
1).
Тогда в R имеется первообразный корень из 1 степени п, т. е .
такой вычетsmodр,чтоsn=1(modр) иsm=/=1при т<п.
GV = Z/n и вычету k Е Z/n отвечает характер х-+ 1?Х, где х Е
Е Z/n, skx Е Zlp (k x - вычет mod п , и skx определено однозначно).
Легко видеть, что прямое выполнение преобразования Фурье
на группе порядка n([G] = п) требует п2 арифметических опера
ций (для каждого фиксированного х - п сложений и умножений,
а всего характеров п) . Рассмотрим простейший случай, когда
это число можно существенно уменьшить.
Пусть G = Н Е1Э Н1 - прямая сумма. Тогда GV = нvЕ1Э Н1v,
причем паре характеров х EHV, Х1 Е Н1V отвечает характер
(j)ЕGV,такой,что(j)(h+h1)=У.,(h)X1(h1),гдеh.Ен,h'ЕН1.
Функцию j на G можно записать как функцию от двух переменных:
f(h, h1) и
•
(ffaf)(ер)= ~ f(h,h')х(h)х'(h') = ~х(h)(~х'(h')f(h, h')) =
hE.H
h
h'
h'E.H '
= ~ Х(h) fFH'f(h, ·)(Х, ·) = (f"н (;Гн,/) (х')) (х).
(1)
h
14
1
1
1
1,
i~
Таким образом, ;fG распалось в последовательность двух преоб
разований Фурье (сначала на группе Н1, затем на Н). Если [Н] =
= т, [Н1] = т1, то [G] = тт1 и вместо т2т'2 операций для вычис
ления :fc требуется т2т1 + тт'2 = тт1(т + т1).
Применим эти соображения к преобразованию Фурье на
группе Gn = ('l/k?. Gn можно представить в виде Gn = Gn-i ffi G1 ,
где Gi = (Z!k)t. Пусть k;- число операций, достаточных для
вычисления преобразования Фурье на G;, Тогда из предыдущего
следует, что
kп < kп-1k + k1kn-i =Ф kп < kn-1nk1.
(2)
Заметим, что · [Gn] = kn = N и число операций пропорционально
N logк N вместо No.
В несколько усложненном виде то же справедливо и д.ля слу
чая, когда G не разлагается в прямую сумму, но имеет факто -
ризацию О-+ Нс, G-+ G!H-+ О.
Тогда двойственная группа факторизуется так: О-+ (G/H)V с,
с,. GV -+ НV-+ О, где (GIH)V - характеры на G/H, т. е . такие ха
рактеры Хна G, что Х (Н) = 1, НV - ограничение характеров
группы G на Н.
Выберем некоторое сечение cr: G/Н -+ G отображения G -+ G/Н
и аналогичное сечение crV: НV-+ GV для Gv-+ нv. Разумеется, что
отображения не будут гомоморфизмами групп (мы рассматрива
ем случай, когда G не разлагается в прямую сумму). После выбора
cr и aVмы можем однозначно записать gЕGввидеg= (h,h') =
= h +а(h'),гдеhЕН,h'ЕG!H;ХЕGVввидеХ=(Х1Х2)=
=
crv (х1) Х2, где Х1 Е НV, Х,2(Н) = 1. Тогда любую функцию f на
G можно рассматривать как функцию двух переменных f (h, h1),
где hЕН, h1ЕG!Н. Тогда
(:fа!)(Х)= ~ f(h+ah')(av(Х1)Х2)(h+ah') =
hEH
h'EG/H
= ~ f(h+ah')GVX1(h)avx1(ah1)Х2(h)Х2(ah') =
h, h'
= ~ Х2(h')аVХ1(ah')(~f(h,h')Х1(h))=
h'
h
-
~ Х2(h') avx1 (ah') 1Fнf(·, h') (Х1) =
h'EG/ H
-: -- :fG/ H (Л (;fнf (.' h,') (х1))) (х2),
(3)
где Л - операция умножения функций, заданных на НV x G!H,
на функцию (Х1, h1) -+ crvx1 (crh1) . (Напомним, что Х1 Е НV, h' Е
Е G/H.)
·_
.
.
Множество НV Х G/Н состоит не более чем из п элементов,
' где п _ [G'] - порядок группы G, поэтому · ощэр_ация Л требует
• не более п умножений. Следовательно, если k (G) .-
число опе
раций, достаточных для вычисления преобразования Фурье на
. (}, тf> имеем
, k(G)<[G]+ [G/Н]k (Н)+ [HJk-(GIH).
15
Пр именим это R диснретному прео б раз ова нию Фурье . Gn = z12п,
Gn допуснает фанторизацию О -+ Gn-l С: Gn -+ G1 -+ О, и мы по
лучаем, полагая kп = k (Gп), что
kп<2п+2kп-1+2n-lk1==Фkп<2n(2n- 1).
(4)
Произвольная нонечная абелева группа непростого порядна
содержит нетривиальную и несобственную подгруппу, и, следо
вательно, преобразование Фурье на группе можно свести R преоб
разованию Фурье на подгруппе ~ пользуясь либо формулой (1 ), либо
(3). Это сонращает ноличество операций, требуемых для вычис
ления, и чем более полная факторизация группы берется, тем
больше сокращение.
Замечание 1. Для того чтобы записать разложение 1F af по
формуле (3) . в матричном виде в случае произвольной группы G,
необходимо ввести <<систему координат>>, т . е. 1) сопоставить
элементам групп G, Н, G/H целые индексы i, j, k; 2) задать конк
ретное невырожденное спаривание (,) на G, индуцирующее
изоморфизм G и GV; 3) задать сечения а для G-+ G/H и av для
GV -+ нv; 4) выбрать способ отождествления Тп, Х Тп,-+ Тп,п" где
Тn- -
множество целых чисел от 1 до ni . Выбирая различные <<СИ-
,_______ _
стемы координат>>, можно получать соответствующие модифика
цииБПФ. ДляслучаяG=ZIN,N =п1п2, Н=Zln1, G!H=
= Z/n2 все возможности подробно рассмотрены в [14] .
Замечание 2. В случае разложения группы G в прямую s,умму
G ~ Н Е9 G/H (случай (1)) диагональная матрица Л = 1; если
G = z12п, а Н = z12п- 1 , то вид Л известен из основополагающей
работы [21].
На основе этих представлений можно ввести более широкий
нласс ортогональных преобразований на нонечной абелевой груп
ле - обобщенное преобразование Фурье
-
Хаара.
Пусть заданы нонечная абелева группа G и ее композиционный
ряд . Для коммутативной группы это возрастающая последова
тельность подгрупп О = G0 С: G1 с; ... С: Gn = G. Для данного
композиционного ряда группы G фиксируем сечения а i: GiiGi-1
-+
-+ Gi Rаноничесних отображений n,: G;-+ G,/G,_ 1 , т. е. (n;oai) (х) = х,
где х Е G;JGн,
Примеры. 1) Для G = Z/2n стандартным композиционным рядом являет
ся ряд OС Z/2 С ... 4 Z/2n, где Z/2i - это подгруппа 2n-i Z/2n 4 Z/2n.
Будем отождествлять группу Z/2i как множество с отрезком [О, 2i - 1)
натурального ряда с помощью приведения mod 2t . Тогда сечения а; : Z/2 -
~ Z/2i иожно задать с помощью включения [О, 1] с; [О, 2i - 1]. ~
2) Если группа G разла~;ается в прямую сумму G = G1 ffi ... ffi (;",
то стандартный композиционный ряд имеет вид О с; G1 с; G1 ffi G~ с; .. .
. . . с ; G1 ffi ... ffi сп = G и естественные сечения ai определяются из разло
женийG;=G1ffi, .. ffici=Gi-1ffici,
После выбора d; мы однозначно представляем нзждый э11е
:мент gЕG;(G; - подгруппы G) в видеg = (g1,g2) =g1+ dig2,
16
где g1 F Gi-i, g2 Е Gi/Gi-1; аналогично Х - характер на Gi предста-
•
V
V
V
вимввидех= (Х1,Х2) = о\ (x1)Xz, Х1ЕGi-1, Xz (Gi-1) = 1,гдео\
-
фиксированное сечение канонического отображения G'( --+ Gl1
(i=2, ...,п).
Обобщение функции Хаара (Фурье - Хаара) определим с
помощью индукции по длине композиционного ряда п.
1. Для п = 1, т. е. для тривиального композиционного ряда
О с; G, положим Н-х (g) = х (g), где ·х - характеры группы G.
2. Пусть для всех композиционных рядов длины k, где k < п,
функции Н-х заданы. Тогда~для композиционного ряда длины (k + 1)
О С G1 с; ... С Gk с; Gn функции Н-х задаются _следующей фор-
ее.ли Х1=0,
если Х2 = g2},
если Х2 =I== g2
если Xi =I== О,
гдеg1Е Gk, gz Е Gn!G//, Х1 Е G{, Х2 (Gk) = 1. По; функциям Вх
определяем преобразование Хаара - Жа следующим образом.
Пусть /:G__ . R
-
функция на G. Тогда
(Жаf)(х)= ~ f(g)нg(Х), хЕGV' gЕG.
gE.G
Вместо Жа! будем иногда писать f.
Подчеркнем, что преобразование Хаара на группе G зависи
от выбора композиционного ряда в G. В случае тривиального ком
позиционного ряда О 4 G функции Хаара Н-х являются характе
рами и преобразование Хаара Жа сводится к преобразованию
Фурье 1F а. С увеличением длины композиционного ряда возра-
стает и число различных систем функций Н-х, Рассмотрев все воз
можные для данной группы G композиционные ряды, получим
широкий класс ортогональных преобразований.
Рассмо·трим примеры построения - преобразований :Yt0 в случаях, :когда
G разлагается в прямую сумму своих подгрупп .
Пример1,ПустьGn,n,= Gn,ffiGn,,гдеGni=Z/ni,i=1,2,(п1,п2)=1
(т. е .. ni и п2 взаимно просты), :кольцо R содержит Е, ffi - примитивные норни
соответственно:
fftG=$G=§'п,Х§'п,
(!)
8n::~ ~
п,
с: Еп,
Здесь .'!!' G,
.'!!'п,, .'!!'п, - преобразования Фурье на группах Спт"
Сп,, Сп, соответственно, Ещ - единичная матрица ni Х щ. Легко вычисляет-
-ел матрица перехода от базиса {Нх} к базису характеров . Матрицы :lta и
§ а связаны соотношением .'!!' G = Лa:lta.
Замечание . Для краткости в данных примерах, как и во всех послецую
щих, не рассматриваются преобразованил,~получающиесл из указанных всеми
возможными перестановками. Естественно , что они существуют и что их дос
:гаточно много - в случае 1 примера 1 их п!, где п = п1 п2 , и все 'семейство
преобразованийзапишетслнак :Уt а= У\ .'!l'щX.'!l'n,ff' 2 , где f/' 1 , f/' 2 - матрицы
перестановок; в случае 2 можно рассматривать преобразования, отвечающие
рядуОС,Сп,С.С711п,ит. д.
Пример2.Сппп =СпЕВСпЕВСп ,Сп = Z/n;, n; - взаимно просты,
123
1
2
З
i
1-ольцо R содержит необходимые примитивные норни - Е, w, ~-
1)Ос;С,
:}ftG =
[
.'!l'n ,n,
-
!8
•
►
-[g:n
3
Еп, ] [.fi:n,XEn
3
llta -
•.
•
.
Еп,
Пример 3. Рассмотрим группу G = (Z/2)n+t:
1)llta=g:n+1= .fi:'1Х···><
.fi:'1;
2) zn-t преобразований,
llta
=[g:1Е1.]
.lftnxE2,,
п+1
.
ч.1"'1= .[11 -11l
о·
.fi:'i = .fi:'1 Х • • • Х .fi:'1;
...- ...... .
преобразований,
Е J·-""n -4,xE,1;
п+1)
Е
Для группы G = (Z /2) n+l получаем zn различных преобразований Хаара.
В случае тривиэльного компо зиционного рядаJ (см. пример 3 случай 1)
функции Хаара совпадают с функциями Уолта (упорядочение Адамара),
в случае полного композиционного ряда группы (случай п + 1) полученная
система функций лишь перестановками отличается от традиционных функций
Хаара . Рассматривая группу G = (Z!k)n+t, мы также получим zn различ
ных преобразований (не учитывая возможность перес-:гановок), в том числе
одно из преобразований, определенное по k-системе функций Хаара [8].
В случае, когда группа G является прямой суммой различных слагаемых ,
число обобщенных преобразований Хаара; являющихся аналогом обычного
t9
:преобразования Хаара, возрастает с числом слагаемых; так, для С = Сп, Е!Э
Е!Э Gn,' где (п1 , п2) = 1, мы имеем два различных преобразования: одно для
рядаОGСп,GGивтороедляОС.Сп,С.G_;дляС=;=Сп,Е!ЭСп,Е!ЭСп,
· таких преобразований уже 6.
Докажем соотношения ортогональности для функции Нх,
Пусть нам задана группа G, композиционный ряд О С G1 С ...
-
• .. с; G и ассоциированные с ним функции Хаара Нх, Пусть
-:в кольце R задана инволюция (аналог комплексного сопряжения)
s-+1, такая,что х(g) =х(g)-1(= x(g-1)),дляхЕGV, gЕG.
Определим скалярное произведение функций f и g, заданных
яаG, формулой [ (/, g)0 = [;] ~ f (х) g(x)] . Тогда верны следую-
хЕG
:щие соотношения ортогональности для функций Хаара :
{ О, X=i=(J),
( Нх,Нср)=бхср Х l(Х), где <'>хер = 1,
Х=<:р,
l (х) = [G/Gi] -1,
<G; - первая группа в композиционном ряде, такая, что Х /ci ф 1,
или G;= G, когда х =1.
Доказательство проводится индукцией по длине композицион
шого ряда .
Для п = 1 формула сводится к соотношению ортогональности
для характеров (X,(J))c = <\ер• При увеличении п на 1 имеем
(Нх, Нср)=[GГ1 2J H x,x, (g,h)H~1'cp, (g,h).
,
g,h
Возможны различные случаи:
1) Х1 =i= О, (J)1=i=0;
2а) Х1 -=1= О, ср1 =0;
3) Х1=0, ср1=0.
26) Xi= О, ср1=i= О;
В случае 1 из определения функций Хаара получаем
1~
-
(Нх, Нср)сп = [С] _ LJ Нх, (g) Н'-Р• (g) бy,,,h6cp,h =
g,h
Но (Нх" Нср,) = бх,ср1 l(х1) по предположению индукции и
1 (xi)Gn-1 = l (x) c[G!Gn-11 .
В сл:учае 2а
(Нх: Н~> -: [~]
. LJHx,(g)(P2 -(X2)=const :Енх1 (g)=
g
.g.
-•-
-
= const (Нх,, Но>сп:_1 =0
-20
•
no предположению инду1щии (индекс О в Н O у:казывает на три
_виальный характер).
Случай 2б рассматривается аналогично.
В случае 3
·{,Дх,Нq,) = [GГ1•[Gп-1]~Х2(h)СР2(h) =
h
= <х2, cp2)G/Gn - 1 = б)(,(('2 = б)((/)>
Rак для п = 1. Кроме того, легко видеть, что в этом случае l(x) -
=1.
Установленные свойства функций Хаара сразу приводят к
:аналогичным свойствам преобразований Хаара. Пусть И - мат
,рица преобразования Хаара, тогда из соотношений ортQГональ-
1ности для функций Хаара получаем И И*= [G] •D, где D - диа
:rональная матрица с элементами l (х), х, Е GV на диагонали,
V*-
сопряженная и транспонированная к И матрица.
Пусть теперь [GJ- 1 Е R, тогда имеем формулу обращения
л-1= [GГ1п-10* или t(g)= [ ~J ~ нх(g)z-1 (х)1(х).
XE:Gv
Наконец, докажем существование быстрых • алгоритмов для
выполнения пр е образования Хаара. Пусть длина композицион
ного ряда увеличивается на единицу, тогда преобразование Хаара
на группе G записывается в виде
_{Jtaf)(х)= f(Х1,Х2)= ~Н,;,, g,(Х1, Х2)f(g1,g2)=
g,·, g,
•·=
~ Нg, (Х1)f(g1, Х2)+SХ2(g2)f(О,g2) =
g,,i, O
g,
== (Jfaп_rf (·, Х2)) (Х1 ) + ('Л:-а1ап_1f (О, •)) (Х2) - бoxif (О, Х2):
iИными словами, преобразование Хаара на группе G разложилось
:в сумму преобразования Хаара на rрупп_е Gn-i, выполненного
rмногократно ([G!Gn _1] раз), и преобразования Фурьеj на фактор
группе G!Gn-1•
Количество операций, достаточных для выполнения преоб-
1разования Хаара на фиксированной группе G, существенно за
;висит от композиционного ряда. Например·, •для группы G =
~ (Z/k)n в случ~е тривиального композ:J,щионного ряда достаточное
яоличество операций - k ~> допускает оценку k~> ,< kn- 1nk1 (см. (2)),
здесь k1 - число операций для выполнения преобразования Фурье
на Zlk; в случае полного композиционного ряда получаем иную
оценку k~) < k:~/ k1. При •k • • 2 для .группы. (Z/2)n оценки
соответственно равны k~l) ,< znn, k;;> ,< 2 (2n - 1) ·, k~) >k~'i.) для
п;;>2;k~> =k~> при п=1.
Таким образом, на конечной абелевой группе непростого
. nорядка
опр еделена целая система преобразо в аний, тесно св я-
21
занн ая со стру1< турой . группы - обобщенное преобраз ование
Фурье - Х аар а. К аждое из преобраз ований системы является,
несимметричным ортогональным преобразованием, обладающИNo
быстрым алгоритмом вычисления . Частными случаями данной
системы являются ДПФ, преобразования Уолша, Уолша - Ада
мара, Уолша - Пэли, ТЧП, традиционное преобразование Ха
ара, преобразование по k-фующиям Хаара .
ЛИТЕРАТУР А
1. Логимов В . П. ФунRции Уолша и области их применения. (Обзор) .-·
Зарубежная радиоэлеRтрониRа, 1973, No 4.
2 . TpaxmJ.iaм В. А. Ф аRторизация матриц фунRций Уолша, упорядоченных
по Пэли и по частотам следования.- Радиотехника и элеRтрониRа"
1973, No 12 .
3. Влечм ем Н. М. Сопоставление преобразований Фурье и Уолmа.
ТИИЭР, 1974, т. 62, No 3 .
4. Фремкс Л. Теория сигналов/Пер , с англ. под ред. Д. В. ВаRмана . М.:
Сов . радио, 1974 .
5. Despain А . М. Digital fourier transforms and digital filters without multi-
plications. -
IEEE REG , Six Ibest, USA Corf. Proc. , Appl. Commun..
Technol. , 1975, N 4.
6. TpaxmJ.iaм А . М., Трахт.11~ам В. А. Основы теории дисRретных сигналов,
на Rонечных интервалах. М. : Сов . радио , 1975.
7 . Marskall Н. Group properties of Hadamard matrices. -
Inst. Austral .
Math. Soc., 1976, vol. 21, N 2.
8 . Ай аемберг Н . Н., Рудько В. П . , Сысуев Е. В. ФунRции и дисRретное пре
образование Хаара.- Изв. АН СССР. TR, 1975, No 6 .
9. Ах.11~ед, Рао. R омплеRсное двоичное преобразование Адамара . - Зару
бежная радиоэлеRтроНИI{а , 1973, No 3 .
10. Ninan R edly. Bifor phase spectrum and the modified Hadamard transform.- .
IEEE Trans . Acoust. Speech Signal Process ., 1975 , vol. 23, N 6.
11. Pollard J . М . The fast fourier t1·ansforms in а finite field.-
Math . Com-
put, 1971 , vol . 25, р. 365-374.
•
12 . Шемха г е А., Штрассем В. Быстрое умножение больших чис ел.- В Rн. ;,
RибернетичесRий сборниR . М.: Мир, 1973 , вып . 10 .
13 . Radeг С. М. Discr ete convolution via Mersene transforms . -
IEEE Trans. .
Comput. , 1972 , vol. С21 , р. 1269-1273.
14 . N icholson Р . Т . Algebraic theory of finite Fourier transforms.- J . Com--
put . Syst . Sci. , 1971, vol. 5, р . 524-547..
15 . Кремкель Т. 9. СпеRтральный анализ на Rонечных Rоммутативных груп
пах.- РадиотехниRа , 1975, No 6.
16. Влюмим С . Л ., Ш.мырип А . М . О неRоторых математичесRих аспеRта х::
цифровой обработки сигналов.- РадиотехниRа, 1975, No 8.
17 . Ahmed N., Rao 1(. Р. Orthogonal transforms for digital signal processing.c .
Berlin , Springer Verlag, 1975.
.
18 . Good I. J . The interaction algorithm and practical fourier analysis. - 1 .
Roy. Stat . Soc., 1958, Ser . В 20, р. 361-372.
19. Agarwal R. С., Burus С . S . Number theoretic transforms to implement
fast digital convolution.-
Proc . IEEE, 1975, vol. 63, р. 550-560 .
20. Ярославский Л. П. НеRоторые вопросы теории дисRретных ортогональ
ных преобразований сигналов.- Наст. сб .
21. Cooley J . М . , Тиkеу J. W . An algorithm for the machine calculation ofi.
complex fourier series . -
Math Comput, 1965, vol. 19, р. 297 - 301 .
22
•
УДR 621.391,141.
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФFЕНЕЛЯ
.И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ
МНОГОМЕРНЫХ МАССИВОВ ДАННЫХ
А. Б. ГИВЕНТАЛЬ, Т. Э. RРЕНКЕЛЬ
Радиоинженерам хорошо известно, что спектральный анализ
временного сигнала можно осуществлять, сворачивая сигнал с
гармоническим колебанием с линейной частотной модуляцией
-(ЛЧМ). Именно на этом принципе построена схема Бикеля -
Бомана [1, 2] спектрального анализа сигналов в реальном масшта
,бе времени. В оптической обработке сигналов подобное преоб
разование по пространствен.ным частотам было введено в начале
'1960 -х гг. [3, 4] и получило название преобразования Френеля.
Собственно, цифровые функции Френеля появились в 1968 г.
после опубликования алгоритма Блюстейна [5] для вычисления
:дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с помощью цифровой
,свертки в случае, когда объем выборки N п-редставляет собой про
,стое число или содержит мало сомножителей. При этом алгоритм
быстрого преобразования Фурье (БПФ) не дает существенного
,снижения числа операций, а алгоритм Блюстейна обеспечивает
.вычисление ДПФ за О (N log 2N) операций.
В ходе развития цифровой голографии были получены син
-тетические голограммы Френеля, которые образуются в резуль
тате дискретизации интеграла Кирхгофа в промежуточной зоне
.и представляют собой результат свертки исходного изображения
с дространственными зонными фующиями Френеля (пространст-
13енными аналогами сигнала с ЛЧМ) [6].
В настоящее время преобразование Френеля по пространст
венным переменным широко используется в несканирующих не
.когерентных оптических корреляторах для получения спектра
Фурье исходного изображения и дальнейшего использования
@ro для распознавания образов [7].
После появления цикла работ по ДПФ на конечных комму
.тативных группах [8 - 13] стала очевидной необходимость вве
дения теоретико-числовых функций Френеля, которые позволил·и
;бы не оптическими, а цифровыми методами осуществлять преоб
-_ разование Френеля как по пространственным, так и по временной
переменной и, в частности, осуществлять пространственно-вре
; менной анализ Фурье с помощью свертки закодированных соот
;_ветствующим образом многомерных массив_ов данных с теоретико-
, лисловыми функциями Френеля.
_
•
Работа посвящена многомерному обобщению алгоритма Блю,
стейна, что связано е построением теоретико-числовых функ
ций Френеля на конечной коммутативной группе над конечным
коммутатив~ым кольцом с единицей, и описанию возмо~:Е-IЫХ
применени;й подобных функций в цифровой обработке много-
~ерных мас.сивов данных.
•
•
23
1
Теореtико-числовое преобразование Френеля
на конечной коммутативной группе
Пусть G - конечная коммутативная группа с мультиплика'
тивной записью групповой операции [14), q - ее показатель ,.
а R - коммутативное кольцо с единицей, содержащее первооб
разный корень р степени q из единицы. Пусть G* - группа ха
рактеров G, т . е. группа гомоморфизмов и·з G в циклическую груп-
пу Gq порядка q, которую мы отождествляем с циклической груп-
пой элемента р в R.
Как известно [14], G* изоморфна G. Фиксируем изоморфизм·
<р : G-+ G* и введем скалярное произведение на группе G [15 !;
следующим образом:
<-r, cr), = [ер (,:)) (О') для всех ,:, О' из G.
Определим ДПФ на группе G функции f: G-+ R •формулоw
F1(-r) = S f (cr) <-r, и)-1.
(1):
aEG
Определим также свертку f * g двух функций f, g: G-+ R формулой:
(f*g)(-r)= S f(u)g (1:и-1 ).
(2 };
aEG
Определение. Назовем функцию Т : G -+ R* теоретико-чис
ловой функцией Френеля, если для каждой функции f: G-+ R
имеет место равенство
Т[(jТ)*т-1] =F1,
(3)
где R* - мультипликативная группа обратимых элементов коль.
ца R, т- 1 функция из G в R*, определенная равенством ,
т-1 (О') = 1/Т (О').
Теорема 1. Для того чтобы Т: G-+R* являлась теоретико-.
числовой функцией Френеля при заданном изоморфизме ер : G-+ G* , .
необходимо и достаточно, чтобы для любых ,:, О' из G имело место,
равенство
Т (,:) Т (О'- 1) [Т (1:О'))-1 = <-r, О')
(определяющее соотношение функции Френеля).
Доказательство. Запишем (3).подробнее::
Т(т) S f(cr)T(cr)[T(т'<J- 1)Г1 = S f(cr)<т,u)-1 •
UEG
UEG
Возьмем
f=б(cro)={~
Получаем
при и= cro,
при cr =1=- <Jo,
Т (,:)Т (о' 0)[Т {'t<1ii°1)]- 1 = <-r, <1 0)-1
.
·так как ер (.- )
-
гомоморфизм G -+ Gq, то<•, cr;1) = <•, cr0)-1
.
Следовательно, обозначив О' = cr; 1, получим (4).
Обратно, если (4) выполняется для всех 't,O' Е G, то, умножая
&(4) на f(cr) и суммируя по всем cr Е G, получим (3). Теорема до-
1н азана.
Следствие 1. Т (е) = 1, где е - единичный элемент группы.
Доказательство . Положим в (4) 't = cr = е.
Следствие 2.
·Т(.-) =Т('t-1).
Доказательство.Положимв(4),: = еи,используято,
'ЧТО ср: G-+ G* - изоморфизм, получим [ер (е)] (а)
_
1.
Следствие 3. [ер ('r)] (а) = [ ер (а)] ('t).
До"казательство. Заменив в (4) Т(а-1) на Т(а),
л олучим слева симметричное по . -
и а выражение. Из этого выте
Rает, что для существования теоретико-числовой функции Френеля
необходимо, чтобы ер был симметричен.
Следствие 4. [Т(а)] 2 = (r, а)- 1 .
Доказательство. Положимв (4) а= .--
1.
Теорема 2. Пусть G - циклическая группа порядка q, R - ком
:мутативное кольцо с единицей . Тогда необходимым и достаточным
·условием существования теоретико-числовой функции Френеля
·является наличие в R первообразного корня из единицы степени
- -q при нечетном q и степени 2q при четном q.
Доказательство.Пустьqнечетно.То,чтоналичиев
R первообразного корня степени q из единицы необходимо, еле
.дует из самого определения преобразования Фурье . Докажем до
-~таточность. Пусть ер : G-+ G* - изоморфизм, обладающий свой
· Ством симметрии. Такие изоморфизмы существуют: -достаточно
отобразить образующую группы G в такой характер G-+ Cq,
:который приним.ает на этой образующей значение , равное образую
.щей в Cq.
Заметим теперь, что возведение в квадрат в Cq -является гомо
-морфизмом h : Cq-+ Cq, ядро которого состоит из элементов по
р ядка 2 и в силу нечетности . q тривиально . Следовательно , h
·является вложением, а так как Cq - конечное множество , то
·h
-
изоморфизм. Тогда определено h-1, т. е . однозначное извле
·чение квадратного корня. Положим Т (а) = <а, а)-'1 2 • Тогда по
лучаем
Т ('t) Т (q-1) [Т (1:а)]-1 = (r, ,:)-1/2 <а-1, а-1)-1⁄4 <'ta, ,:а)-1⁄4 =
= (.- , 't)-1⁄4<a, а)-1/2 (r,~'t)1⁄4 <1:, :а)' /, <а, ,:)1/ 2 (а, а)1/2 =
= (.-, а)'/, (а, 't)'/, = <'t, а).
Пусть теперь q четно, Т - теоретин:о -числовая фунн:ция Фре
-неля, а - образующая циклической группы G. Тогда ер (а)
-
об
р азующая· цин:личесн:ой группы G* , так н:ан: ер - изоморфизм .
-Н о тогда [ер (а)] (а) должно иметь порядон: q в Cq , т. е . быть перво
•о бразным корнем степени q из единицы : иначе ер (а) б удет иметь
л ор ядов:, меньший q в G*. Положим [ер (а)] (а) _:_ В- По следствию 4
:IT(а)]2 = в-1. Пусть Т (а) = s. Докажем, что s - первооб-
25
разный норень степени 2q из единицы . Предположим противное ::
ek =1,О<k<2q, e2k = ~-k = 1. Следовательно,k=q. Ho-
qчетно. Пустьq=2l.Тогда ek=е21= ~-!=1,О<l<q.
Противоречие . Необходимость доназана.
Пусть теперь е - первообразный норень степени 2q из единицы
в R, а - образующая G. Положим [q:> (ak)] (а1) = e21r 1, Т (а") =
=
e-k', где О< l , k < q. Заметим, что e-(k+q)' =
e-k '-2kq-q ' =
=
е- 1•', тан нан q2 и 2kq делятся на порядон е, причем q2 делится на
2q в силу четности q. Следовательно, при определении Т не обя
зательно брать О < k < q. Воспользуемся теперь теоремой 1 ~
Т (ak) Т (a-l) [Т (akal)J-1 = e-k'e,-l'e,(/Hl)' = f,2kl = (ak, az> .
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть G - Rонечная 1шммутативная группа поRа
зателя q, R - коммутативное кольцо с единицей. Для существо
вания теоретиRо-числовой функции Френеля достаточно наличие·
в R первообразного Rорня степени · q при нечетном q и степени 2q
при четном q.
.
Д о R аз ат ель ст в о. RaR известно [14], Rонечны1 RОМ
мутативная группа G представима в виде прямой суммы
G1 ffi ... ЕВ G1, нонечных циRличесRих групп. Пусть порядок
G; есть r; и q = HOR * (r1, ... , r1r) нечетно. Тогда все r; нечетны.
Пусть ~ - первообразный Rорень степени q из единицы в R .
Тогда ~q/ri - первообразный корень степени ri из единицы.
Пусть q четно и е - первообразный корень степени 2q из еди
ницы. Возьмем eq/ 2ri в качестве первообразного корня степени,
r; при нечетном r; и eq/ri в качестве первообразного корня степени:
2r; при четном ri.
И при четном, и при нечетном q наличие в R перечисленных Rор
ней достаточно (по теореме 2) для построения изоморфизма~
q:>; : G; - Gf вместе с соответствующими теоретико-числовыми
функциями Френеля
Т;: G;-R*.
Определим q:> : G1 ffi ... ЕВ Gk - G* формулой
[q:, (т1 , ... , T7r)] (cr1, ... , cr1r) = [ср1 (т1)] (cr1) ... [q:>1r (т,,)] (cr1rJ, -
т;, О'; Е G;.
То, что это гомоморфизм, проверяется непосредственными вычис
лениями. Пусть q:> (т1 , ... , т1r) = 1, тогда, полагая все cr2, ..., <J7r
равными единице, получаем, что q:> 1 (т1 ) 1 и, следовательно,
т 1 = е. Аналогично Т; = е при каждом i. Следовательно, q:> имеет
тривиальное ядро и является изоморфизмом~
Определим, наконец, Т : G1 ЕВ .. . ffi Gk - R*:
Т (cr1, ... ,cr1r) =Т1 (cr1) ... Tk (a1r), cr; Е G;
и проверим, что Т ~ теоретико-числовая функция Френелю
* HOR - наименьшее общее кратное.
26
.Qтносительно q;:
Т (-r1, •.. , -r1,) Т (а1\ .• .. , ai/) [Т ('t1a1, ... , -r 1,cr 1,)]-1 =
= Т1('t1) ... Т k (-rк) Т1(а11) •.. Т 1с (а1/) [Т1('t1а1)Г1 ...
lr
... [ Т1с
(-r1ca1r)Г1 = П {Ti (-ri)Ti (ai1) [Ti (-riai)J-1 } =
i=l
k
= П {[cpi (-ri)J (ai)} = [ер (-r1, .•• , 't1r)J (а1, ... , a1r)•
i=l
'Теорема 3 доказана.
Замечания.
1. Rак и для случая циклической группы, наличие в R перво
-образного корня из единицы степени q при нечетном q является не
()бходимым условием существования теоретико-числовой функции
Френеля. Наоборот, при четном q наличие в R первообразного
яорня из единицы степени 2q не является необходимым для всех G.
Приведем пример. Пусть G = Z2 ffi Z2 , где Z2 - группа вычет9в . mod 2,
ai, а2 - образующие цикл:ических компонент, ~
-
первообразный корень
:2-й степени из единицы в R. Пусть
ai,а2:G->С2={1, ~}
()Пределены следующим образом:
а1(а1)=1,Щ(а2)= ~' о:2.(а1)= ~.
о:2 (а2) = 1,
()пределим {jJ : G-> G* : {jJ (а1) = o:i, {jJ (а2) =
~-
Легко проверить, что {JJ - изоморфизм, и мы получаем
<а:•а~•, a"f.'a"l'> = ~x,v,+x:Y1.
Положим Т (al' а~")= ~х,х,. Тогда
Т (al'a:") Т (a;:-'''a;v') [Т (a:•+'Y1a~2+V,)J-l = вx,x,~v,v,~-x,x,-v,v,-x,v,-v,x, =
_
P.X1V2+x,'Y, ::: (аоо,ах' av,av'>
-1 -'
- 12'12 •
Итак, мы построили теоретико-числовую функцию Френеля, используя
-только корень второй степени из единицы при четном q = 2.
Рассмотрим важный случай диадичесдой группы G = z~ ffi ...
• ... Е!Э Z2 , где Z2 повторяется п раз. Если п четно и равно 2l, то запи-
шем G в виде l двойных слагаемых (Z2 Е!Э Z2) Е!Э ... Е!Э (Z2 Е!Э Z2).
·Определивдлякаждогоизнихcpi и Ti, i = 1, . .., l, каки выше,
:зададим ер и Т для всей группы, как в доказательстве теоремы 3.
В результате получим
Следствие 5. Если G- конечная коммутативная группа показа
-теля 2 и порядка, кратного 4, а R - коммутативное кольцо, со
держащее корень 2-й степени из единицы, то теоретико-числовая
фующия Френеля существует .
Наоборот, если п нечетно, то можно показать необходимость ,
~уще~;,твования корня 4-й степени из единицы в R .
27
2. Обычно желательно иметь возможность производить с функ
циями G - . R обратные преобразования Фурье и сохранять свой
ство цикличности свертки (теорему о свертке), которое ' заключа-
ется в том, что преобразование Фурье переводит свертку функций:
на конечной коммутативной группе в произведение их спектров.
Для выполнения первого нужно потребовать, чтобы порядок N
группы G был обратим как элемент кольца R.
Для выполнения второго условия достаточно, чтобы (Bk - 1}'
не были бы дели:rелями нуля в R для всех k, где В - используемый:
корень степени q из единицы.
Обычно в качестве R берется I{ольцо классов вычетов Zn .
Если п - простое число р, то такое R оказывается полем, а R* -
циклической группой порядка р - 1. То, что в R есть корень сте
пени q (или 2q) из единицы, равносильно в этом случае делимости~
р - 1 на q (или соответственно на 2q). Если это условие выполнено,_
то N автоматически обратимо в R, а делителей нуля в поле нет во-
обще. Теперь можно легко составить таблицу, где на пересечени:и·
строки q и столбца р (р - простое) стоит знак<<+», если для груп-
пы показателя q теорема 3 или замечание 1 позволяют определить
теоретико -числовую функцию Френеля над полем Zp; при этом;
преобразование Фурье будет автоматически обладать нужнымm
свойствами.
Группа G
1q1315171111131р17119I23129!31137
zr
2
2*+
*
*
++**+
*
+
zr3
3--+
·-
+-+
-
-
++
z: ЕJЭ zr2
4---
-
-
+-
-
-
-
-
-
zrб
5---+
-
-
-
-
-
+-
z: ЕJЭ zr2
6--
*
-
+-
*
-
-
*
+
zr
7
7-
-
-
-
-
-
-
-
+--
z;ЕJЭzkЕ!Эzr
4
2
8-----+
-
-
-
-
-
zk ЕJЭ
9
z;
9---
-
-
-
+--
-
+
Прuме1iание. Знак м0~ означает плюс, если r - четное; <i-1> означает, что для данных G·,,
q и р функции Френеля не существует.
Применение теоретико-числового преобразования Френеля:
в цифровой обработке •многомерных массивов данных
Теоретико -числовая функция _Френеля Т, определенная на
конечной коммутативной группе G над коммутативным кольцом
R с единицей (полем Галуа GF (р ) = ZlpZ, полем Галуа GF (рт)
или кольцом классов вычетов по модулю числа Ферма Fп =
28
= 22n + 1), представляет автоматный аналог оптичесRой зонной
пластинRи и позволяет строить на единой элементной базе процес
соры (Rонечные автоматы) для пространственной и пространствен-
но -временной обработRи многомерных массивов данных, в Rоторых
Т играет роль цифровой линзы. ·
Прежде чем перейти R RратRому описанию возможных областей
применения цифровой линзы Т, выпишем явную формулу для RОН
струирования Т согласно теореме 3 и приведем примеры вычисле-
ния двумерных преобразований -Уолша :и Фурье по формуле (3) ..
Пусть G=Z,,ЕВZ,,ЕВ . ..ЕВz,,r, q=НОК (r1, . .. ,
rк)
четно, ai - образующая циRличесRой группы Z,. ,- е
-
первооб--
~
разный корень степени 2q из единицы в R . Тогда
lr
_
~
2q
х2
т(х,
xk) -
i.=l ,.i (2, r;) i
а, ...ak -е
,
а таблица ха·рактеров Rонечной коммутативной группы G над:
кольцом R записывается в виде
О<;;Х;,V;< r;,i =1,2, ..., k.
Если q нечетно, а ~ - первообразный корень степени q из единицы
вR,то
k
-
~ ..!l_ x2
т(Х1
xk
А·-1rii
а1•••ak)=,., i-
'
а таблица характеров конечной коммутативной группы записы
вается в виде
Пример. Двумерное преобразование Уолша массива размерности 4 Х4
над полем GF (7). Рассмотрим·двумерное преобразование Уолша простейшего
изображения (<<черного Rвадрата на белом фоне>>), умножал его СПI,Jава. :а еле.
в а на матрицы Адамара с упорядочением по Пэли
(~~ -~
-~)(i~~~)(~ ~ -~
-~)-
1-1 1
-
1О11О1-11
-
1-
1-1
-1
1 ОООО 1-1
-
11
-(! JJD(i =i =1 =}(J
-----
* НОД - наибольший общий делитель.
о
о
о
о
О -4)
оо
оо.
О4
29
Сконструируем цифровую линзу Т для группы С = (Z 2 ffi Z2) ffi
ffi (Z 2 EJЭ:z2) над полем GF (7), :которая позволит вычислить двумерное преобра
зование -Уолта с помощью операторов диадической свертки над полем GF (7).
ВполеGF(7)R*= С6=С2ХС3={1,6}Х{1,2,4}. Примерде
монстрирует утверждение, приведенное в замечании 1, что можно пост
роить Т для диадической группы порядка, кратного 4, используя толыю
:корень 2-й степени из единицы (см . следствие 5), а также по:казывает, как
можно осуществить двумерное преобразование -Уолта, используя алгоритм
Блюстейна сначала для столбцов, а затем для строк двумерного массива.
В данном примере корень 2-й степени из единицы ~ = 6. Функция Т =
= т-1 = (~х,х,) = (1116). Оператор диадической свертки, соответствующий
.[Т (a;,+v, a: 2+v,)]-1 = ~ -x,x,-v,v,-x,v,-x,v,, записывается в виде матрицы
'\11'\12 =
со, 01, 10, 11
Х1Х2=CQ1116
01i161
101611
116111.
Н:аждый столбец исходного массива предварительно умножается поэлемент
но на Т, а затем полученный массив 4 Х 4 умножается слева над иадическую
матрицу, столбцы полученного промежуточного массива снова умножаются
на Т. В результате получаем массив
О22О
оооо
оооо
О55(),
Наждую строчку полученного массива;умножаем на функцию Т, а затем по
лученный таким образом массив умножается справа на диадичес:кую матрицу.
Получаем массив1
4ОО4
()ооо
оооо
3ОО3,
каждая строка которого снова умнощается на Т. Окончательно получаем
4ОО3
оооо
оооо
3ОО4,
чтовполеCF(7) 4ОО-4
эквивалентно
ООО О
ооо о
-4ОО 4.
Пример. Двумерное преобразование фурье-массива размерности 3 Х 3
над полем G F' (7). В данном случае первообразный корень 3-й степени из еди-
-ницы
j) = -Vё = V4 = 2. Пусть задан исходный массив
123
f=5О6
162.
30
Таблица характеров имеет вид
(е0 е0 ё.0
111
vV= е0е1е2)=142
еое2е1
124.
Двумерное преобразование Фурье записывается в виде
554
Ff=WfW=с51О
145.
Двумерная теоретико-числовая функция Френеля_ Т имеет вид
122
244
244,
а функция т-1 записывается нак
144
422
422.
Запишем поэтапно вычисления
141
562
fT=3О3(/Т)*Т-1=62О,
231
413
по формуле (3):
554
Т [(tT)*T-1] = 5 1 О.
145
На первом и третьем этапах осуществляется поточечное умножение массивов
на функцию Т, а на втором этапе производится двумерная циклическая·
свертка массива с т- 1 .
Теоретико -числовая функция Френеля Т может использовать
ся в системах обработки многомерных массивов данных (радиоло
кационных, акустических . и сейсмических) в качестве цифровой:
линзы.
В частности, формула (3) описывает работу теоретико-числового
коррелятора (<<сандвича>> Френеля [1, 2)), осуществляющего анализ
Фурье многомерного сигнала.
Теоретико -числовое преобразование Френеля многомерного·
массива данных может быть записано в состояниях конечного ав
томата, заданного на конечной коммутативной группе G над ком
мутативным кольцом с единицей R в виде
Г=f*Т=TFr.т,
а восстановление исходного массива может быть проведено в со
ответствии с формулой
f= t[/*Т] *т-1
с учетом того, что теоретико-числовая функция Френеля обладает
свойством
31
Предложенно·е в [16] обобщение алгоритма Блюстейна для вы
числения ДПФ последовательности иа N элементов GF (рт)
поаволяет осуществлять ДПФ аа О (Nm log (Nm) Р (t)) двоичных
операций, где Р (t) - число двоичных операций, необходимое
для умножения двух • t-раарядных двоичных чисел, причем t ~
~ log2 (Noт4р4).
•
В случае двумерного обобщения алгоритма Блюстейна для вы
числения ДПФ двумерного массива, состоящего иа N = r 1r 2
э лементов GF (рт), потребуется
О (r1r2m log2 (r2m) Р (t2
)
+r1r2тlog2 (r1m)Р(t1
))
двоичных операций, где t; ~ log2 (r~m 4p4), i = 1, 2.
Дальнейшее уменьшение числа двоичных операций может быть
достигнуто аа счет совместного . использования алгоритмов Блю
стейна и Шенхаге - Штрассена [17].
ЛИТЕРАТУРА
1. Мерц Л. Интегральные преобразования в оптике. М.: Мир, 1969.
2. Сорока Л . М. Основы голографии и когерентной оптики. М.: Наука,
1971.
.
3. М ertz L. Fresnel coding for photographic devices.-
J. Opt. Soc. America,
1960, vol. 50, N 5.
4. Girard А. Spectrometre а grilles. -
Appl. Opt., 1963, N 2.
5 . Blue$tein L. I . А linear filtering approach to the computation of discrete
Fourier transform.- Trans. IEEE, 1970, vol. AU-18, N 4.
u. Ярославский Л . П., Мерзляков Н . С. Методы цифровой голографии. М.:
·
Наука, 1977.
1. Мопахэп, Вромли, Вокер . Некогерентные оптические корреляторы.
ТИИЭР, 1977, No 1.
8. N icholson Р. J. Algebraic theory of finite Fourier transforms. -
J. Comput.
Syst. Sci., 1971, vol. 5, р. 524-М7.
9. Pollard J . М. The Fast Fourier Transform in а finite field. - Math. Com -
put., 1971; vol. 25 , N 114 .
•
10. Шёпхаге А . , Штрассеп В . Быстрое умножение больших чисел.- I{и
бернет. сб., 1973, No 10.
11. Лабупец В . Г., Ситпиков О. П. Гармонический анализ булевых функций
и функций k-значной логики над конечными полями . - Изв. АН СССР.
ТI{, 1975, No 1.
'12. Агарвал, Баррас. Теоретико-числовые преобразования для быстрого
вычисления цифровой св е ртки.- ТИИЭР, 1975, No 4.
13. Крепкелъ Т. Э. Спектральный анализ на конечных коммутативных груп-'
пах.- Радиотехника, 1975, No 6.
14. Леп г С. Алгебра. М.: Мир, 1968.
15. Дельсарт Ф. Алгебраический подход 1, схемам отношений теории коди
рования. М.: Мир, 1976.
16. Preparata F . Р . , Sarwate D. V. Computational complexity of Fourier
transforms over finite fields.-
:Мath. Comput . , 1977, vol. 31, N 139 .
17. Афапасъев В . В. Быстро е вычисление преобразования Матсона
-
Соло
мона над произвольным полем Галуа . - IV Всесоюз. школа по вычис
лительным сетям. Часть IV. Москва; Ташкент, 1979 .
32
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДИСКРЕТНЫХ
ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СИГНАДОВ
Л. П. ЯРОСЛАВСКИЙ
УДR 535.317
В цифровой обработке сигналов в настоящее время широкое
применение находят дискретные ортогональные преобразования.
Некоторые из них, например дискретные преобразования Фурье и
Френеля, используются потому, что являются дискретными пред
ставлениями таких важнейших в радиоэлектронике и оптике не
прерывных преобразований, как интегральные преобразования
Фурье и Френеля. Другие используются как средство преобразо
вания пространства сигналов, облегчающее дальнейшие их пре
образования, например квантование, фильтрацию, классификацию.
Изучению свойств этих преобразований и их использованию по
священо достаточно много работ, в том числе несколько моногра
фий (см .., например, [1-8]). Тем не менее некоторые принципиаль
ные вопросы теории этих преобразований разработаны недоста
точно. В частности, недостаточно исследова_н вопрос о соответствии
дискретного преобразования Фурье интегралу Фурье, о дискретном
представлении интеграла Френеля, о природе и общей структуре
ортогональных матриц, допус:кающих факторизацию в про.изве
дение слаббзаполненных матриц, благодаря которой существуют
быстрые алгоритмы умножения таких матриц на вектор.
В работе делается попытка восполнить эти пробелы.
1. Дискретные преобразования Фурье (дПФ)
Непрерывные прямое и обратное преобразования Фурье, опре
деляемые формулами
а(!) = Sа (t) ехр (i2nft) dt,
..::...оо
(1а)
а(t)= Sа(f)ехр(-i2лft)df,
(16)
-оо
являются линейными преобразованиями е импульсными реакция
ми соответственно вида
Н1 (t, t) = ехр (i2лft),
Н2 (t, !) .'= ехр (-i2лft).
Их дискретные представления
счетных функций
ср1с (t) = sinc 2лF (t - k/2F),
Xr(t)= sinc2лТ(t- r/2T)
2 Цифроnая обработна сигналов
(2а)
(26)
по базиеilм и:з тщен.лыrых от-
(За)
(36)
33
имеют следующий вид l1J:
где
.
N-1
ат= у\ LJакехр(i2nkr/N),
k=~
N-1 .
a7r = /N ~ ат ехр (- i2nkr/N),
1· =0
N=4FT,
{a1r} - последовательность отсчетов сигнала:
00
ak = 21:? j а(t) sinc2л:F(t - k/2F)dt,
-оо
{ат} - последовательность отсчетов спектра сигнала:
"'
а1•= 2Т Sа(f)sinc2лТ(f- r/2F)df,
-оо
(4а)
(46 )'
(5}
(6)'
(7)'
2Т и 2F - интервалы ограничения протяженности сигнала и его
спектра.
Соотношения (4а) и (46) назьrваются прямым и обратным дис-,
кретным преобразованием Фурье (дПФ), Свойства ДПФ, суще
ственные в цифровой обработке сигналов, подробно рассмотрены
в[1,8).•
Аналогично получаются двумерные ДПФ
N-1 М-1
ars=
11 '\"' '\"' a1r 1ехр [i2л:(kr/N + ls/M)],
'
NM LJ L.J
'
k=O l=O
N-1М-1
ак,z= -v:м ~ ~ ar:s exp[- i2n(kr/N + ls/M)]
r=O
s=O
(8а)
(86)
как дискретные представления двумерных непрерывных преобра
зований Фурье:
00
00
-оо -оо
по базисам из двумерных отсчетных функций:
34
cp k,;
(t1
,
t2
)
= 4F1F
2
sinc 2л:F1 (t 1
-
k/2F1
)
sinc 2лF2 U2
-
l/ 2F2
)
.
(10а)
х,..sU1, /2)=
= 4Т1 Т2 sinc 2!1Т1 (/
1
-
r/2T1
)
sinc 2:rtT 2
(/
2
-s/2Т2), (106 )
спомощыо которых определяются отсчеты {ak, z} и {ar, s} сигналов
и их спектров, расположенные на прямоугольном растре. Свой
ства двумерного ДПФ рассмотрены в [8].
Базисные функции (За), (Зб) и (10а), (106), используемые обыч
но при построении дискретного , представления непрерывного
преобразования Фурье, та~{овы, . что их начало координат совпа
дает с началами координат _ сигналов и их спектров соответственно,
т. е. отсчеты сигналов и их спектров располагаются так, что ну
левой отсчет попадает в начало координат. Между тем базисные
функции могут быть произвольно сдвинуты относительно коорди
нат сигнала.
Если в одномерном случае сдвиг нулевого отсчета сигнала от
носительно начала его координат равен u/2F, а сдвиг нулевого от
счета спектра сигнала . относительно начала координат спектра
равен v/2T, то дискретное представление непрерывных прямого и
оnратного преобразований Фурье получается в виде
N-1
au,v= 1 '\'1 а exp[i2:rt(k+u)(r+v)l
r
VNLJk
N
-''
k=O
(11а)
N-1
иv-
1 '\'1
[·2
ak,
-
VNLJа"ехр - i :rt
[r=O
(k+и)(r+v)]
N
•
(116)
Индексы ииv надаkв (116) поставлены для того, чтобы подчеркнуть,
что в отличие от исходной последовательности отсчетов сигнала
{ак}, определенной для k = О, 1, ... , N - 1, {af' v} определенР
длялюбыхk.ПриkЕ[О,N- 1]ar·v совпадает с ak.
Преобразования (На), (116) введены в [9, 10], где они названы
сдвинутыми дискретными преобразованиями Фурье (СДПФ).
В эти выражения входят несущественные постоянные множители
ехр [+(i2nuv/N)], не влияющие н~ свойства преобразований,
но требующие дополнительных затрат на их вычисление. Исклю
чив их, получим следующую пару преобразований:
(12а)
N-1
r1 [ '\'1
,
.[
.
2 (k+и)1·]] ( •2 lcv)
ak,v=
-VN L.J а~•v~exp •- i :rt
N
ехр-iпN.
[r=O
(126)
Будем называть их модифицированными сдвинутыми дискретными
преобразованиями Фурье (МСДПФ) (и, v)). МСДПФ (и, v), опре
деленные р:о (12), выражаются через стандартное ДПФ (4) •с по
мощью <<Поворота по спиралю> векторов последовательности {ak}
2*
35
(
ги)
Х ехр i2:n:7:г ,
(13а)
N-1
a~ • v= /N [.LJ (a~'•"exp(-i2:n: ';))exp(--i2:n: ~)] Х
r=O
Хехр:(- i2:n: -~J )·
(136)
Поэтому :МСДПФ (и, v )
могут вычисляться через ДПФ с помощью
известных алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Этим же
определяются отличия свойств :МСДПФ (и, v) от соответствующих
свойств ДПФ. Сводка основных свойств :МСДПФ (и, v )
приве
дена в табл. 1. Некоторые важные соотношения приведены в
табл. 2.
Из таблиц видно, что :МСДПФ (и, v )
обладают многими инте-
ресными особенностями по сравнению· со стандартными ДПФ:
иной, более общий способ продолжения последовательностей сигна-
ла и его спектра на номера k и r вне диапазона (О, N - 1) (перис:
дичес·кое продолжение с <шоворотом>>, см. п. 2 табл. 1); связь комп
лексной сопряженности с зеркальным отражением от конца, от
ражение <<С поворотом>> и комплексная сопряженность со <<скручива
нием по винтовой линию> (строки 5- 8, табл. 1); более общее по
нятие симметрии сигнала и спектра (п. 9, 10, табл. 1); более общая
формула восстановления сигнала по его спектру, из которой вы
текает возможность интерполяции (нахождения промежуточных
отсчетов) сигнала с помощью пары преобразований :МСДПФ
(и, v),
:МСДПФ (р, q)
с соответственно подобранными (и, v ) ,
(р, q)
(см. п. 1-3, табл. 2); более общая теорема о свертке (п. 4_
,5,
табл. 2) , из которой вытекает возможность получения интерполи
рованных (расположенных в промежуточных точках растра от
счетов сигналов) значений их свертки. Благодаря этим особенно
стям некоторые разновидности :МСДПФ (и, v )
оказываются удоб
нее при цифровой обработке сигналов и лучше соответствуют не-
прерывному преобрq.зованию Фурье, чем ДПФ.
.
Некоторые разновидности СДПФ и :МСДПФ предлагались в
литературе в качестве альтернативы ДПФ, но рассматривались
до сих пор независимо друг от друга. Так, в (11] предложено. так
называемое <<Нечетное>> ДПФ, являющееся :МСДПФ (О, 1/2) , как
более удобное, чем ДПФ, для вычисления спектров и свертки дей
ствительных последовательностей.
В [4] в качес.тве аппроксимации разложения сигнала по соб
ственным функциям интегрального уравнения с экспоненциально
спадающим корреляционным ядром предложено косинусное
36
Таблиц а 1. Свойства МСДПФ (и, v)
Сигнал
1
и1)
1 (EN~l
а' =-=-
~ au,v
k.VN
,
т
•
Т=О
[
(k+и)гl)
ехр - i2:rt --л--- .1 Х
Хехр(-i2л ~)
2
3
4
5
Если 2v - целое число
6 (а~• 1')* ехр (i2:rt ~v) _
7 (а~:_;:)* ехр (- i2:rtv)
Если 2и - целое число
8 (a'Jv-~ u -k)* ехр (-- i2nv)
9
10
иv
[.(
2kv)]
aN-k ехр i2rc v - 1.'Г
Если 2и, 2v - целые числа
( -i)2vau, v
N-2u-k
Если · ;?,v - целое число
12 at•v=+(ar•v) * exp(i2:rt 2;v)
МСДПФ (и, v)
(
l"U)
ехр i2:rt7v
a:+gN = а:• v ехр (i2:rtug)
[
1k0(r+v)]
а:·vехр - i2n
N.
_
au,v
т+rо
)• ( 2ru)
(а~• v ехр i2n 1.'Г
(.)*(
2uv) •
а~•v ехр - i2n7iГ
аи,v=+(auN,v
)*ехр (i2:rtu)
т
-
-2v-r
37
Таблиц а 1 (окончание)
Сигнал
15
16 li,L•·1 +k2 = a·1r/'Jk, '
k1= О, ..., N -1;
k2=О,...,L-1;
бk,= Ok,
Приq=v
17 aLk,+k, = ak,бk,;
k1= О,1, ...,•N - 1;
k2=О;1,...,L-1
преобразование
N-1
МСДПФ (и, 11)
аи,"=+ (-1)2иа•и," Х
r
-
N-2v-r
(•2uv)
Х ехр - i2n ---zy- =с
= + (-1)2и алт'-~v-r
N-1
1Е
и,Р,q = -=--
•аи,"Х
Nr,+1·,
·vL'S
S=O
[ _ (s+ v)(и-~-Ч]
х~р-i~
N
.
sin:rt(r1+q- v
-
s)
Nsinл(г1+q-v
-s)/NX
[ . (г1 + q) (p+L(N-1)/ 2)]
хехр i2:rt
LN
Х
хехр [i2:rt (; -I1t)] ехр(i2п rf);
r1=О,1,...,N-1;
r2=0,1, . .., L-1
2~
(k+1⁄2)г
ат=~i-
ат, cos n
N
у2N
r=1,2, ... , N-1,
(14а)
1:=О
N-1
ао= 1/~N L,i ak,
k=O
N-1
ak= V~N~атcosn(k-+;/12)r, k=1,2, ... , N --1,
r=O
.
,
(14б)
являющееся, Rак нетрудно видеть, СДПФН1/2, О) четной последо
вательности
{а'/,,о- а N k
k-
2-1-,
а'/,, о - а'/,, о
k+2Nh -
k"
(15)
Отсюда вытекает простое объяснение причины, по Rоторой для RО
дирования сигналов требуется меньше коэффициентов Rосщ1усно
го преобразования, чем Rоэффициентов ДПФ. Действительно, ко
синусное преобразование соответствует четному продолжению по
следовательности на Rраях, а ДПФ - простому периодичесRому
продолжению. При четном продолжении сигнал не имеет разрывов
на Rонцах, Rоторые неизбежны при периодичесRом продолжении.
Поэтому результат косинусного преобразованин сходится быст
рее, чем резулиат ДПФ. По этой причине СДПФ (1/2, О) удобно
таRже использовать для вычисления свертRи сигналов при их
четном для борьбы с Rраевыми эффеRтами продошнении. Замеча
тельным свойством МСДПФ (1/2, О) является то, что при чети.ой
симметрии сигнала его спеRтр обладает нечетной симметрией:
(а1⁄4,о= - а'/,, о
r
2N- r,
ai/,,o - o
N-
'
'/,, о
( 1)g1/,,о
CJ.r+2gN = -
ar
•
(16)
Благодаря этому существует простой совмещенный алгоритм вы
числения СДПФ (1/2, О) от действительных последовательностей.
В работе [12] для кодирования изображений в Rачестве аппроR- •
симации к п реобразованию Карунена - Лоэва предложено пре
образование .
N---, 1
f2 \'
•
(k+1)(г+1)
ат= V2N .L.J akSllln
N+1
k=O
(17а)
N-1
2~
.
(k+1)(1·+1)
ak_:__ ,/-
а1' Slll :п:
LV+1
r 2N.
Г=О
(176)
названное <<синусным>> преобразованием. Нетрудно видеть, что
это преобразование есть СДПФ '(1, 1) нечетным образом продол
женной до длины (2N + 2) последовательности длиной N членов:
{ai,1 =
-
a~N -1r•
а}/=а~Nн= О.
(18)
Вследствие таRого нечетного доопределения и введения нулевЫ][
отсчетов · в центрах нечетной симметрии последовательности это
преобразование таRже лучше сходится, чем ДПФ.
В работе [13] для преобразования действительных симметрич
НЬJХ последовательностей предлагается использовать СДПФ (1/2,
--~
39
Таблиц а 2. Основные соотношения для расчета МСДПФ (и, v)
1
2
3
4
5
М-1
т,аР,q/u, v = ~[';1 аи,"ехр[-i2n (k + р) r]]ехр (-i2n .!!!!....) =
k
уN L,:;. тtт,
N
"
N
r=O
м
~1
[ · (n+и)(ro+v+(M-1)i2)] sinлN(n+и-k-p)
=~anехр i2n
N
_
п
Х
t n=O
• Nsi nN(n +и-k- p)
[ . (k+p)(q+(M-1)/2)] (· pq -Nuv)
хехр -- 1211:
N
ехр i2n
Прии=- N~1б; р=~(1+ N2~1)о;
v=
--
r0- (N- 1)/2;М=N
N-1
r,aP,q/и,v=';1а sinn(п- k+О)
k
~п
n
n=o
NsinN(п- k+б)
N-2
При и=--2-- о;
ro
N-2
v=-ro
--
2-;
(N-2)
р=- 1+z,:;;- о;
N-1
ТоаР,q/u,V = ~ а
M=N-1
N-1
sin 'n -N-- (п
-
k+о)
k
L,:;. п
n=O
11
NsinN (п- k+о)
[
иа(va - vc) ]
хьr~~ ехр - i2n
N
;
q = -(N -1)/2;
N-2
q=- - 2--;
N-1
·
•
~ и v [ (т+иь)(rь+vь+(М-1)/2)]
ьfнт = l.::.J ьть' ь ехр i2n
N
;
т~
•
sinnM[т-(l+ис- иа
-
иь)]/N .
Nsinn[m-(l+иc-ua-uь)]/N Х
Хехр [- i2n (l+ис - иа) (vc+(M -1)/2)/N] ехр [i2n [(uc-ua)vc-ui,vь]IN]
При та =0;
1/2) , . дающее также чисто косинусное преобразов ание
N-o
а'/,,'/,= 2 ~ а cos:n:(k+1⁄2)(г+1⁄4)
r
V2N L..J k
N
,
k=O
,
(!с+ 1⁄2)(r+ 1⁄2)
N
для последовательностей вида
{ak= a2N-1-k,
ak+2Nh = (-1 )ha10
(19а)
(196)
(20)
·четных относительно условной точки (-1/2) и нечетных относи
тельно условной точки (N-1/2) . Нетрудно показать, что для сигна
лов с , противоположной симметрией СДПФ (1/2 , 1/2) является
синусным .
Аналогично одномерным определяются двумерные МСДПФ :
N-1 М-1
au,v;w,z =
1 {~ V ak 1ехр [i2:n:(k(r+v) +
г,s
VNм LJ L.J
'
N
k=O l=O
+ l(sJz) )]}ехр [i2:n:(; + :)] ,
(21а)
N- 1М-1
au,v;w,z =
1 {~ ~ au,v ; w , zexp[-i2:n:(r(k+и) +
k,l
VNM LJLJ r,s
N
r=8 S=O
+s(ltw))]}exp[-i2:n:(~ + ~)]·
(216)
Вследствие разделимости двумерных МСДПФ их свойства легко
вытекают из свойств одномерных МСДПФ.
В двумерном случае особый интерес представляют СДПФ,
построенные для дискретизации сигналов и/или спектров по ше
стиугольному (гексагональному) растру. При гексагональном раст
ре сетка отсчетов по одной координате сдвигается на половину рас
стояния между отсчетами для каждого нечетного номера отсчета по
. другой
координате . Поэтому двумерное СДПФ для расположения
о тсчетов сигнала и спектра по гексагональному растру опреде
ляется как
N-1 М-1
аг,г= 1
'\--.
~а1;lХ
r,s
VNMLJL.J
'
k=O l=O
l
s
{.2 [(1с+(1 + (-1))/4)(г +1 + (-1) /4 ) + 1s}
Хехрi :rt
N
м•(22)
а при гексагоналыrом растре тол ь ко сигн ала и л и только спе ктра
41
соответственно каr<
'N-1 М-1
г,П1~~
{··2 [(k + (1+(-1)l)/4) г + ls ]}
ar,s = VNM l..J L.J ak,lexp i л:
N
м'
lr=O l=O
(23)
N-1 М-1
а~;;·=1/~ L L ak, zе-хр{i2n[k(r+(1t(-1)")/4)+ ~J}·
k=O l=O
(24)
Из этих формул видно, что от стандартного двумерного . ДПФ
СДПФ на гексагональном растре отличаются тем'," что для каждой
четной строки одним из одномерных преобразований, на которые
распадаются ДПФ и СДПФ, является СДПФ (1/2, 1/2), СДПФ
(1/2, О) или СДПФ (О, 1/2), соответственно для гексагонального
растра сигнала и спектра (22), гексагонального растра сигнала и
прямоугольного растра спектра (23) и прямоугольного pacrpa сиг
нала и гексагонального растра спектра (24).
<<Гексагональные>> дискретные спектры и сигналы связаны ,с ,
<<nрямоугольнымш> интерполяционными соотношениями, подобны
ми приведенным в табл. · 2, строки 1- 3. Так, например, отсчеты
<<гексагонального>> спектра сигнала, заданного на прямоугольном
растре, связаны с отсчетами его <<Прямоугольного спектра» соот
ношением
N-1
L si.n.п:(r-p+ (1+(- 1)")/4)
ап, г=
ап,п -------------'-'-- -- х
r,s
..,
Р,s
-
:rt
р=о
N,?,in ,N ((r-,- р) + (1 + (-1)")/4)
Хехр[iл:N; 1 (т-,р+(1+(-1)8)/4)].
(25)
2. Дискретное преобразование Френеля (дПФР)
('
Преобразование . Френеля, · играющее большую роль в обра
qотке . волновых полей как приближение к дифракционному инте
гралу Кирхгофа [14], определяется , в одномерном случае кат<
00
az(f) = ~ a(t)exp [ ~ i; (t-})2 Jat, ,
(26а)
rде z - некоторый параметр. При трактовке (26а) как соотношения,
связывающего комплексную амплитуду волнового поля на объек
те и амплитуду волнового поля в зоне Френеля объекта, z2 равно
про~зведению длины волны поля л на расстояние d между объек
том и местом наблюдения поля в зоне Френеля: z2 = 'Ad. Обратное
преобразование Френеля определяется выражением
со
a(t) = ~ az(f)exp[i; (t-f)2]dt .'
(266)
42
Преобразование; Френеля тесно связано с преобр а з о ванием;
Фурье
00
a z (f)_=exp(- i л;22 ) ~ [a(t)exp(- i~:
2)] ехр (i ::)tf)dt,
(27)
в силу чего при построении дискретного представления преобра
зования Френеля можно воспользоваться диснретным представле
нием преобразования Фурье . При этом особенно важно учитывать
возможный сдвиг растра отсчетов сигнала а (t) ехр (-iлt2/z2) и
его фурье-спектра az (f) ехр (iлj2/z2) относительно начал а коорди
нат сигнала и спектра, так как экспоненциальные множители
• ехр (-i:rtt2/z2) и ехр (iл,f2/z 2) являются си:мметричными фуннциями .
. Таким
образом , для бази:сов из отсчетных фуннций
{cpk(t) . sinc2лF(t- \tи)} ,
(28а)
{xт(f)=sinc2nT(f- 1· tv)},
(286)
где и, v, нак и в предыдущем разделе,- сдвиг растр а отсчетов
относительно начала ноординат по t и f, получим следующее дис
кретное представление прямого и обратного преобразьваний
Френеля :
N-1
а~= /N ~akexp{-i; [(k + и)x-(r4:v)J2} ,
k=O
·
(29а)
N-1
1~
{л[
•
(r+хv)]_2},
a1r= VN .L.Ja;exp iN (k+u)x-
r=o
(296 )
r-де
N = 4TF/z2,
(30)
{a1r } - последовательно_сть отсчетов сигнала :
00
ak= 2Fехр[i:rt(k+;:/х2] ~ а(t)ехр(-in :: )Х
Хsinc2лF(t- kJи)dt,
(31 )
{а;} - последовательность отсчетов спентра Френеля:
00
а~=2Техр[-in(r~v)2] ~ az(f)exp(in ~:)Х
х sinc2nT(f - 1
· ;.v)df~
(32 )
2Т; 2F - интервалы ограничения протяженности сигнала и его
43
спектра,! х - безразмерный параметр:
x=VT/F.
(33)
Это представление предполагает аппроксимацию непрерывного
сигнала и его спектра Френеля по формулам
N-1
а(t) z ехр(i:rtt2/z2) Е akехр [-i:rt (k +;/х2 ] х
k~
••
( k+и)
Хsinc2л:F t- ----zг ,
. • (34а)
N-1
az (f)zexp (-i:rtf2/z2) Е а~ ехр(i:;2) sinc2л:Т(t - r;1;,v);(346)
r=O
Преобразов~ние (29) - зависит от трех параметров: и, ' v и з,.
Однако, поскольку параметры сдвига входят аддитивно, их можно
заменить одним параметром, переписав (29) в виде
N-1
a;,w= /N Е akexp r- i i (kx .-r/x + w)2]'
k=O
;
·
(35а)
(356)
где
w=и/х-v!x
(36)
-
общий сдвиг.
• Будем называть пару преобразований (Щi) соответственно прямым
и обратным дискретными преобразованиями Френеля (ДПФР).
Очевидно, ДПФР вычисляется через СДПФ (шх, О):
N-1
a:,w:= ;N {Еa7rexp[-ii(kx+w)2] Х
k=O
.
хехр[i 2; (k+wx)r]}ехр[- i;;:J.
. (37)
Некоторые свойства ДПФР приведены в табл. 3 и 4. Для анали
за этих свойств удобно . ввести периодическую (с периодом N)
функцию (см. табл. 3)
N-1
frinc·t,q(r) = t Liexp(i ~ qk2)exp[- i'2): k(r-p)]. (38)
k=O
Некоторые свойства этой функции приведены в табл. 5. На рис. 1
показано поведение функции frinct, q (r) в координатах (1·, q) для
N=64,р =32(а- амплитуда,6- фаза,в
-
действительная,
44
Та блиц а 3. Свойства ДПФР
Сигнал
ДПФР
N-1
N-1
а =~Е- ax,wX
хw
1Е
k
VN-
r
ar'
=VN
'.
akХ
r=O
lr=O
Хехр[i ~ (kx - + +ш)2]' Хехр[~i ; (kx----;-+шУ]
<'
ak+k, Х
хw
(•тkо)
ar' ехр
-
12л 7v
[ 2л(
k0x) ]
хехр - iN kx--j-w+-2
-
k0x
( kт0)
ak ехр i2n 7v
хw
[2n(т
Го)т0]
а-·'ехрi--+w--
-
r+r,
.
Nх
2-r
х
..
ak+Nh =
а;+~=
=
akехр[i2Jt(kx+ш+N:x)hx]
=a;•.wехр[
(т
Ng) g]
-
i2Jt х +w+2x х
о _ ok-k,
k-k, -·
jN ехр [ ~ i ~ (k0х-++ш)2]
1
[.Jt(
То )2]
VNехр iN kx- 7 +ш
о
=
or-r,
r- ro
•
{2л[( N-1)
,
akехрiN.k--2
--
х+
•
[
2л( N-1)2]
aN-1-rехр -iNx2т-
-2-
_
+(w - wo)]2};
..
Wo=-
N;-f (х~+)
aN-1 -k Х
a,N-1-r Х
[Lлх( N-1)
]
Хехр i7v k---2
-
(ш~w0)
[ 4л( N-1)
.]
хехр -iiVx т--2 -(ш-w0) _
N-1
N-1
frincf;, q (k)с.с= } Еexp(i~qг2)Х J'rincj?,,·ч(т) = 1~ Е ехр(i~ qk2) х
r=O
k=O
Хехр[-- i
~; т(k- р)].
Хехр[- i :;k(г-р)]
1
-V N frincx;-w+(~- l)x] (г) Х
I\' (-х-)
Хехр{-i ~- [~ -
(w +(N-- 1) х-12}
-
N.~
.
45
Таблиц а 3 (окончание)
Сигнал
:n:
2
cosN (ky+z)
'. :n:
cos 7.v(kx + z)
ДПФР
xexp{-i ~ [ш~+(: -шх)2]};
Wx=x(N-1 ) +w,
wy=у(N-1)+z
1 _ sinл [r-x(w-z)]
2_. YN Nsinл[r-:.is(ш- z)]/NХ
xexp{- i ~ [r - x(w-z)] Х
Х[(N- 1)+r- х;:+z)]}+
+ _!_ ~гzv frinc2x'(N-1)+x(w+z) (r) Х
2У
N, (-2х')
Хехр{-i ; [(х(N-1)+z)Z+
+(7-х(N-1)_-ш)2]}
Таблиц а 4. Основные соотношения длл расчета ДПФР
N-1
={Е a~•wexp [-i; (пx+w)2 JJ'гincК,,q(k-п)}exv[i; (ky+z) 2 ]
n=O
q=1/у2- 1/х2; р=ш/х- z/y
N-1
sinл(k- п
-
_
w_:;--. _z)
х,wat• z = {.Е а~• wехр [- i ; (п.х + w)2]---л-'---_(____ш
___z)Х
n=O
Nsin7v !с- п
--
_х_._
46
Таблиц а 5. Свойства функции f1·incPN (r)
'q
N-1
frincК,,q(r) = J~ехр(i ; k2g)ехр[- i ~ k(r _ р)]
ll'incК,, q (r + Nli) = fгincК,, q (r).
'frincК,, q (r + r 0) = frincК,~r; (r)
fi,incP+P, (r) = frincP (r ·-
р)
N,q
N,q
о
{lrincК,, q {r))''' = frjnc'if, (--q) (N- т)
fr·incК,, q (N -r) = fгincrJ.<:--l)q+p] (r) ехр {i; (N-1)[(N-1) ч+2 (r+ p)J}
1(f1·incК,, q (т))" = f1'i nc1⁄4~(-~и+pJ (r) ехр {i; (N -1) [(N -1) g ---j- 2 (1' -
p)J}
,
(N-l)q
.
*
(rгinc;,-q-2-(r) exp{-i; (N-1) [(N-1)g +rJ})
• (N-l)q
= frincN,{--q) (r) exj){i; (N-1)[(N- 1)g+т]}
.
Р
sin-n (r - р)
[ .(N-1)
]
frшcN, 0 (r) =
л:
,- ехр
-
in
N
(т-: р)
N sin 7v (r.-
р)
Q
lim 2~ ~ frjncК,, q(r)dg=1/N
Q_.oo
-Q
-
С<'
~ frincfv, q (r) ехр (i2ngx) dg =
-оо
N-1
= 1~ Еехр [-i ~ k(т-р)] б[(k;+х)/N];
k=O
-
1'min = - (N - 1)2/2N; Xmax = (N - 1)2/2/V
2 - мнимая части функции frincК,, q (r) , значения которой переданы
на рисунке степенью почернения). Нетрудно усмотреть связь
между функцией frinciv, q (r) и специальными функциями, получив•
.шими название интегралов Френеля [15]:
•
v:z
F~(z) = C(z)+S(z) = v ~ ~ exp(+it2 )dt.
о
(39)
47
Рис. 1
Действительно, пр и N - оо
1
.
lim frincК, (r )= \exp [- iл(r-p)2/q] exp [inq(x - (r-p)Jq)2 ]dx=
N-+oo
'q
Jо
--Vn/q/(1- (r-p)/q)
=v 1- exp[- iл (r- p)2/q]
~ exp [i (s;gnq) t2Jdt=
п/q/
~1-
-
·
у n/ /q/(r-p)
= --V2
1
1
q I ехр [- iл (r- p)2/q] {Frsigп'q [л J q 1(1-(r -p)/q)2]-
-
Frsigпq[ ,; , (r - p)J} ,
_
•
(40)
где х = lim (k/N) ; q = l im qN - безразмерная величина, меняю-
N-оо
N-+oo
,
щаяся от -оо до оо.
Во многих случаях применения ДПФР 1iеобходимо определять
только модуль коэффициентов преобразования. В этих случаях
вместо (35а) удобнее пользоваться усеченной формулой
N-1
&,~, w = /N ~ akexp[-i ~ (kx+w)2]ехр(i2;;kr). (40а)
k=O
48
Т а б лиц а 6. Свойства частичного ДПФР
Сигнал
ЧДПФР
1
.
[. :rt
)2]
N-1
·
ak=VNехрi7v(lcx+w
Х
ax,w=~E. -
а
r
VN,k
N-1
li=O
хЕа;,wexp (-i2:rt ~ ')
ехр [-i ~ (kx+w)2 ] ехр (i 2;J kr}
r=O
ak ехр (i о/: kr0)
ax,w
r+ro
ak+Nli = ak ехр [i2nx (kx + w + Nx/2)] а.;+]!/h = а;, w
О(lc - k0) = ok-k,
(2n)[n
]'
ехр i7vk0r ехр -i7v(!c0 x+w)2 ,
ехр (- i2n lc~) ехр [i ~ (kx+w)2 ]
о(r- r0)
•*
[2n
]
aliexp i N (/сх + w)2
(;. ~_ ';:) *
-
aN_kexp [i ~ (2w+Nx)(2kx - Nx)] ax.w
N-r
-v
-
wх
N frincN~ (-х') (r)
1
ехр{i~[2r(N- 1)- w~]};
wx=w+(N-1)х
cos[; (ky+z)2];
VN.. xw-yw
-2 -frшcN,( u'-l) (r) х
wx=х(N-1)+ w,
хехр {i; [w1-w; + 2т (N -1)]} +
w11=у(N-1)+ z
+ VNf. xwx+yw11 ()
-
2 - rшcN, (-х'-у') т Х
хехр {-i; [w~+w;-2т (N-1)]}
VN sinn[r~x(w-z)]
cos[; (kx+z)2]
-
2-
:rt
х
Nsin7v[r-x(w-z)]
[ 2nx
.
]
Хехр i---W-(w - z) (N-1) +
+ VN frincx[(w+z)+2(N-1)x] (r) Х
2
N, 2Х2
xexp{-' -i; [x(N-1)+w]2 +
+ [х(N-1)+ z]2- 2r(N- 1)]}
49
Будем называть это преобразование частичным дискретным преоб
разованием Френеля (ЧДПФР). Ему, очевидно, соответствует об
ратное преобразование
N-1
ak = /лт ехр[i ~- (kx+w)2]~а~,wехр(-i2:.rt ·~). (406)
• r=O
Связь ЧДПФР с ДПФ очевидна. Некоторые сво'йства ЧДПФР
приведены в табл . 6. Для спектра ЧДПФР справедливо интерпо
ляционное соотношение
N-1
w/z&,x/y= ~ za,Y frincxш-yz (r - s) ехр [i .!!.... (z2- w2)]
т
LJ
N, (v'-x')
•
N
•
S=O
3. Другие дискретные ортоrовальные nреобразоnания сигналов
и их матричное предстаuление
В последнее время в цифровой обработке 'изображений при реше
нии задач сжатия данных и выделения признаков при распознава
нии образов, кроме ДПФ, находят широкое применение также и
другие дискретные ортогональные преобразования, такие, как
преобразования Хаара, Уолта - Адамара
-
Пэли, слэнт-пре
образование, или преобразование по пилообразному базису,
преобразования по функциям Виленкина - Крестенсона (ВКФ),
различные гибридные преобразования [4 - 6]. В принципе они мо
гут рассматриваться как дискретные аналоги непрерывных пре
()бразований, но в непрерывном представлении они никогда не ис
nользуются. Поэтому в теории цифровой обработки сигналов эти
.ортогональные преобразования определяются сразу в дискрет
ном представлении и проще всего описываются на матричном языке.
!Каждому преобразованию соответствует унитарная матрица пре
·образования, умножение которой на вектор сигнала даст резуль·
тат преобразования, :или спектр дискретного с:иrнала в соответ
ствующем дискретном базисе.
Общим свойством этих преобразований является простота их
цифровой реализации. Для всех таких преобразований, ка~{ и для
ДПФ, существуют так называемые быстрые алгоритмы (быстрое
преобразование Фурье, быстрое преобразование Уолта - Ада
мара, быстрое преобразование Хаара и т. д.), что свидетельствует
о глубоком родстве этих преобразований. Представляет интерес вы
яснить, в чем корни родства. Это позволит строить другие преоб
разования с заданными свойствами, имеющие быстрые алгоритмы.
Как известно, существование быстрых алгоритмов преобразо
вания Уолша - Адамара и по ВКФ основано на том факте, что со
ответствующие им матрицы являются кронекеровскими, т. е. пред
~тавляют собой прямое (кронекеровское) произведение некоторых
элементарных матриц малой размерности [7, 16]. :Матрицы же
всех других ортогональных преобразований, имеющих быстрые ал
горитмы, не являются кронешэровски_ми. Оказывается, однако
.50
[17 , 18] , что все их можно представитькактакназываемые поэтаж
но -кронекеровские матрицы или в виде произведения поэтаж
но -кронекеровских матриц и матриц перестановки.
По э тажно-кронекеровской матрицей называется матрица ,
которую можно разделить по горизонтали на подматрицы-этажи,
каждая из которых является кронекеровской, т . е . может быть
представлена в виде прямого (кронекеровского) произведения мат
риц меньшей размерности .
Введем обозначения и элементарные матрицы.
Обозначения:
(8) - знак кронекеровского произведения двух матриц;
п-1
(8) - зпак кронекеровского произведения п
_матриц,
нуме-
r=O
руемы_х по r;
мrrJ - матрица М в r-й кронекеровской степени ;
• ffi - знак прямой суммы двух матриц;
п-1
ffi - знак прямой суммы п матриц;
r=O
минв
u
2п
2n
-
матрица двоичнои инверсии размерностью ;
M~Rfп[) - матрица перестановки и~ кода Грея в ~рямой двоичный-
код;
мпр/гр
,.
2n
-с- матриц_а~перестановки из прямого двоичного кода в код
Грея .
• Элементарные матрицы :
V~= [~]; v~=[~];
G~= [1О];
G~ = [O1]; с:=[11];
h-
--
••••• • -
V0Гх"G2+V1Гх"G3•
[1 1] [с;]
2-
1-1
--
с:-
2'61 2
2'61 2,
_
{О, r= О,
б(r)=б(О")= 1, r =l= O;
dн= [~ ехр(ii~и i')] •
(41)
Ниже дано основанное на этих· определениях и обозначениях
представление для ряда известных по литературе матриц ортого
налыrых преобразований размерностью N = 2п, п - целое число,
5t
а также некоторых матриц преобразований перехода между раз
личными преобразованиями и упомянутых наиболее известных пе
рестановочных матриц.
Преобразование Хаара [4]
НАR2п = 2:12 [ z<~~~-~jf~~i-;;ё{] =
(42)
п
= Li (Vg)ln-rJ (8) [ V~ ® 2<r- 1J i21~r-1J (8) G~]ь<rJ (8) (G;)Tп--rJ.
r=O
,
Н.омплексное преобразование Хаара [19]
CHAR п =_[·--~~-~-~~::~.
1--~--~· ; ·] =
2
• (h2d~~~п-2J ® С~
= (V~) lnJ (8) (G:)lnJ + ( V~)lп-1J (8) V~ (8) G: (8) (G;)lп-1J + (43)
п
' + L(V~) [n-r] Q9 v~ Q9 (h2d2) ® IIr-2] Q9 G: Q9 (G;)[n-r(
r=2
Обобщенное преобразование Хаара [20]
HAR(О) = HAR n
2n
2
п
(44)
= _ 1_ ~ (VO) [n-r] 'Х' [Vl 'Х' J h d 'Х' (2(r-2) /2J[r-2]) 'Х' Gз]b(r) 'Х'
2п;2 L..J 2
'<У 2'<У 2 2 2'<У
2
'<У 2
16J
r=O
(8) (G~)[n-r],
HARi~ -
2;,, [1h~;\~jd; 0 ;;~~~;~~;z;:;~,;;.:;,;Ji;c;;j @ё\ ] -
=
2~12 { (V~)lnJ (8) (G;)lnJ + (V~)lп-1J (8) V~ ® G: ® (G;)lп-1J +
+ (V~)ln-2J (8) V~ (8) (I 2h 2d 2) (8) G~ (8) (G;)rп-21 -t -
(45)
п
+ L(V~)[n--r] ® V1⁄2 ® [(har;i)) (dв ® d4) м;r1прм;:в1 ®
r=З
(8) (2(r- 3)/2/~r-3]) (8) G~ (8) (G;)[n-r] },
где
52
п
=
-
.1 _ ~ rvo)[n~r] 'Х' (G2)[n-r] /v\ [Vl 'Х' Gз 'Х' h [r-l]]~(r)
2n/2 .L.J\
2
.
,
'<У 2
'<У 2 '<У
2
'6J 2
•
•
r=O
•
Преобразование Уолша - Пэли [4, 5]
PAL,. ~ 211, [:~;:;;;~:l~~=~ : ::]
п
•• • 2!12 Li (V~)[n-r] ® [V1⁄2 ® (iH)/2 РАL2н) ® c:J6(r) ® (49)
r=O
® (G;)[n-r] •
Преобразование Уолша {4, 5]
WАL2п = 2! 12 [с2<п~::~;~:.~~:~1:~)··~·;·ёз] =
2
2n-1
2
п
=
2!12 Li (V~)[п-rJ ® [V~ ® (2C r-1) / 2]Jн J vVAL21·- 1) ® c:Jб°<r) ®
r=O
(g) (G;)[n-r] .
Преобразование Адамара - Хаара [21]
HDHR;~) = HAD2m Q9 HAR2n -m =
1
с;0 2Cm-I)/2 HAD m-1 0 [ ······~~.~ ~~-~:~:-:~ .~.~~... . .. ]
2
2(п-т-1)/21~п-т-1] 0 с~
(50)
сз 2(1n- 1)t2 HAD
2n - 1n-1
2
[
HAR
0С2]-
2
0
•
2m-1 0 ""(z<n.:.m:.:i\ i2jtп.:.;;,:.:ii°)"0·ё:
11- -m
=
2';/ 2 ), h~m] ® (1/~) [n-m-r] (8) [V1⁄2 @ (2(r 1) / 2/~Н]) (8) G:Jб(r) ®
Т=О
(51)
53
где
S-преобразования [22]
[n/2]-1 1
S2n = 2:/ 2 L L (V~)[n-2r,-r,-1] (8)
r,=O r,=O
® V1 ® .....:.'.. ....... ...... -2.... ® G3
ГХ' (G2)[п-2r,J (52•
[
[
Л[2(r1-l)] @ G2 ]
]6(r1)6(r,)
•
2
(2r, - 1J~2(r1-l)]) Q9 С~
2
'СУ 2
'
/
Лr=[or, о]={I2,
r2=О,
2
о or,
•{)'r2=1.
(53)
Дискретное преобразование Фурье [1]
2
2n-1
2n-l
FOUR
1 минв •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
[
с2 0 2<п-1) / 2 минв ·FOUR
]
n=-
n
n-2
=
2
2п/2 2 сз0 2Сп-1)/2минв FOURn-i(0 d . )
2
211-1
2
j=o· , 2п-1-2
п
=
2;/2 м:::в СЕ ( V~) [n-r ] (8) (G;)[n-r] (8)
r=O
(8) [V~ -® а:® (ir-щ2м:f!1 FOUR 2r-1)(:i d2п-j-2)]~Cr>).
Преобразование по ВКФ [5, 7)
vcp<~ln = FOUR[~J.
2
2
(54.)
(55),
где
r-1
Diag2r = 2r/ 2 (1 ffi ffi 2-lф J~kJ).
k=O
(57 )
Преобразование перехода MHAD-+ HAD
м~н-н- [·с:0 м~:j;~=r:::нлn;~~; ]
п
= ~ (V~)[n-r] (8) (G~)[n-r] (8)
(58 )
r=O
(8) [V ~ (8) G~ ® ]V[~~I;-F Diag2,· -1 MHAD2r-1].
54
Преобразование перехода MHAD-+ FOUR
м~н~F • .[··;:;~~~~i~;;~ : ::E::_;;~;~::_;~~J =
.
2
2
2j=O2
n
•= .Е, (Vg)[n-r] (8) (Gg)[n-r] (8)
(59)
r=O
r-2
® [V~ ® G; ® M~:f1F Diag2r-1 MHAD2r-1 ( .® d2n-; -2)].
J=O
Слэнт-преобразование (преобразование по пилообразному ба
зису) [23]
SLANT2n--: - 2:/2 м:~в [ёз·0•.:I:-[-:-;:~/-~:~-]~~i::~~~.~~м11рiГР]'
.
..
22n1n
2" 1_2
2n1
n
• м:J / Гр = 2!12 м;::в (L (Vg)[n-r] ® (G;)[n-r] ®
(60)
r=O
Q9 [G; Q9 м:~ [slr Е9 I2r-1_~ ] SLANT2r-1M~f}1ПP]б(r)) м:J /Гр,
rде sln - порождающая матрица, введенная в [24):
sl~
••
[. sin cpn cos cpn]
.
n-
-cosq>n sincpn '
COS (j)n • 2п-iJ~, sin cpn ~ -v- 2:::
2
_=-/ .
Обобщен.ное преобразование Фурье - Хаара [25]
(61)
(62)
.GFH<:t = (V~)[n-rJ ® (G:)(n-rJ ® HAD2 r + (P<W-r GFH2n) ® l 2r,
'
2
J
(6 3)
rде P~; ~r - высекающая диагональная матрица с ну.левым первым
элементом и единичными остальными:
• p<~-r= rXЕfЭJn-r
•
f
\U
2-1
(64)
Преобразование перестановки по двоичной инверсии
(65)
Преобразование перестановки из кода Грея в прямой ! двоич
ный КОД
[
со 0 мГр/пр ]
n
Гр/пр
2
2n-i
~о_
о_
М2" = ' ёi';;:y ....мгiДu.jj·
=
LJ (V2)[n rJ ® (G2)[n rJ ®
.
2 '<У 2n-1 2n-1
r=O
® [V~ ® G~ ® l2r-1M?J1nP]б<rJ.
(66)
55
Приведенное представление матриц ортогональных преобразо
ваний создает удобную основу для систематизации ортогональных
преобразований, имеющих быстрые алгоритмы и, как будет пока
зано в разд. 5, позволяет легко стро:ить сам:и быстрые алгоритмы в их
наиболее удобном матричном представлении, пользуясь аппара
том матричной алгебры. Кроме того, оно наряду с теоремами факто
ризации, приведенными в разд. 4, позволяет глубже понять, как
вообще должны строиться ортогональные преобразования, если
желательно, чтобы для них существовали быстрые алгоритмы.
4. Элементы матричного аппарата теории быстрых алгорит1110в
ортогональных преоб,разований
Все описанные в разд. 3 ортогональные преобразования имеют
так называемые быстрые алгоритмы .. Это значит, что в процессоре
с элементарными операциями сложения (вычитания) и умножения
чисел •на выполнение преобразования сигнала, содержащего
N отсчетов, требуется не No действий, как при умножении на ~а
трицу общего типа, а порядка N Iog 2N или меньше благодаря тому, -
что матрицы преобразований факторизуются в произведение слабо
заполненных матриц. Оказывается [17, 18], что возможность
факторизации связана со структурой этих матриц, являющихся,
как показано в разд. 3, поэтажно-кронекеровскими, и вытекает
из свойств кронекеровского произведения и прямой суммы матриц
и следующих теорем *.
•
Теорема 1. Есди матрица М может (?ыть . разделена горизонталь
ными чертами на подматрицы, наждая из которых является про
изведением некоторых двух матри~
М=
то
.
n
(k)
М= (ЕВМг,s)
k=l
kk
Доказательство очевидно из рис. 2, а .
• В боле е частном виде эти теоремы даны в [17 1 :1
56
(bl)
а
@] 80.
3
--- - ---------
в ·ШмV,f/,
б
в
2
мr,J о
r,s
=
о М(З)
11, V
---- fS --
1~
---г-- ~---i
1
1•••1
1
NI
1 __NI
---
1
1
1
•••
1
1
!Jjr 1 • 1---+-~- :
1•1•••1
•
1
1•1
1.
1
---+-- -
-----1
1
1
1
1
~--· _JS]
м r,;
r,s
M(Z }
м
а,м (tJ
J, r,s
1
1
1
1
,,1
11111
ЕЕЕ еiИЕ
пьм(2} !},ь м!2)
JO /l,J
f fl,S
Рис. 2
[3[] .
- ----- -
rnq,
-
57
м<п) -N
м<п)
Ns, q
rn, s
s,q
rn,s
п (k)
N')
=
(ЕЕ)Мтk,s)(Vп(8) s, q ,
h'=l
(69)
где V п - вектор - столбец, состоящий из п единиц.
Теорема 2*. Кронекеровская матрица
М=Mr,s(8)Nv,q
(70)
факторизуется в произведение двух слабозаполненных матриц
М=(М,.,s(8)Iv)(Is(8)Nv,q),
(71)
гдеIq,/8-
единичные матрицы размерности q Х q и s Х s со
ответственно.
Доказательство иллюстрируется рис. 2, 6.
Из теорем 1 и 2 неп осредственно вытекают
Следствие 2.
_м(l) ® N (l)
_.
. .. _r_1_,_~~
___.. __ r1_._9
_
1_ ..
м<2) @ N(2)
..... !:!.~: .....J!::.9!...
М=
Следствие 3. Поэтажно - кронекеровская матрица
G(l) ® M(l)
а1
r1, s1
··························-·
с<2> ® м<2>
а2
r2, s2
М=
'
.. .. ....... .... ..... ....... .
c<n) ® м<n)
ап
rn, sn
(73 )
где G~:)(k = 1, 2,... ,п)
матрицы-строки . размерности щ,,
1kf;;;:sk - произвольные матрицы размерности (rк Х sк), факто
ризуется в произведение двух слабозаполненных матриц:
1 ®M(l)
а1
r1, s1
· · · ·········· ·· ··-
la, ® м;:\,
,..................
(74)
* Эта теорема длл :квадратных матриц сформулирована и до :ка3а на в [16] .
58
Следствие 4. (Вытекает из следствий 1 и 2.)
-cм,1 0 cN,1-
s
q
cM,I
s
СМ2
s
..~~•.1 @__С:• 2.
cN,I
...'!.... .
M,, s @ Np,q=
cN,2
q
® ..... ....
-
-
сМ, r
s
cN, Р
q
cM,r® cN,p
-
s
q
-
J Q9cN,1
... s.......q .....
r
.
• ( ffi (lp ,@ G:1·k))
h·= 1
1®cN,2
s
q
l®cN,Р
s
q
10см,1 т0cN,1
.. .'l!... .... ~. ... ..
...s ·--·----q--···· --
I®CM,2
l®GN,2
р
s
s
q
I ®сМ,2
1®cN'р
р
s
s
q
(75)
Для квадратных матриц эта теорема впервые была сформули
рована и доказана в (16].
Следствие 5.
M(l) 0 с<1)
r1, s1
а1
1®с<1>
S1
а1
··· ···-- ----- ··· ········ ··
-
------- ------- --------
М=
м~;! s, ® ci:>
------ ------ -
········· ·· ··
! ®с<2>
S2
а2
(76)
Теорема 3.
G(l) ® м(I)
а1
r1, s1
с<1>01 •
а1
S1
... ....... ... .. ...
... ..... .... .. .. .. .
ci: >® м~;! s,
---- ---- ·-········
с<2>®I
ai
S2
(77 )
59
Теорема 4 (теорема перестановок).
м<1J ® c<1J
T1S1
а1
1 ®с<о)
S1
а1.
·---········· · ····
.............
м<2J ® с<2>
r~s2
а2
1®с<0)
s1
а2
(7Н)
где Gi~
-
матрица-строка размерностью ak с единичным первым
элементом и нулевыми остальными:
Gi~ = [1ОО...О].
(79)
Доказательства теорем 3 и 4 очевидны из рис. 2, в, г.
Теоремы 2,3 являются теоремами факторизации матриц в про
изведение слабозаполненных матриц. Так, например, нетрудно
найти, что количество действий сложения (вычитания). и умноже
ния при умножении вектора на нефакторизованную матрицу в
.
п
левой части (77) равно ~ sk (akrk), тогда как при последователь-
k=l
•
ном умножении вектора на матрицы в правой части (77) требует-
w
ся вьш?лнить ~ sk (ak + rk) операций, т. е. при ak, rk > 2 требу
h· =1
емое число операций уменьшается.
5. Алгоритмы быстрых преобразований
Покажем на нескольких примерах, как, используя введенный в
разд. 4 матричный аппарат, можно строить быстрые алгоритмы
преобразований.
Быстрое преобразование Хаара. Согласно разд. 3 матрица пре
образования Хаара может быть . представлена в виде
1 [ HAR2n-i®с;]
HARп=--
>
.
2
2n/2
2(n-1 /2]
,<:л сЗ
2n-1 '61 2
(80)
Воспользовавшись теоремой 2 для кронекеровс1шх подматриц в
(1:S0), получим
HAR2n = 2Т:1 2 [·2с::.~j~}7:-~~(?7:.~;;~з-)·] ·
2п-1 2п-1 '61 2
(81)
Далее по теореме 1 разд. 4
•
[1 0с2]
HARп=
-
1- (HARn-1 ffi in~i)/21п-1) ---~~-~~---- - --~--
2
2n/ 2
2
•
2
J клсз
2n-1 '61 2
(82)
или по свойству прямой суммы матриц [8], согласно которому
60
АВЕ9CD)=(АЕ9С)(ВffiD);
HAR2n = 2112 (l2n - 1 Е9 2<n-l)/ 2l2n-1) (HAR2n-1 Е9 !21н) х
х [\~~.~.~. -~.~] .
I2n-1 ® G2
Выразив, воспользовавшись (83), HAR 2 n-1 через НАН 2п 2 ~ •
подставив это выражение в (83), получим
HAR -
_1 _ ([ fТ\ 2<n-1)/2J n-1) [(/ !Т\ 2<п-2)/2J ' ) '-'
2n - 2п;z 2n-1 ';:r:7
2
2n-2 w
2n•-2
,•"-
•
[In-2®с;] ]
Х (2-(n-2)/ZHAR n-2 Е9 J n-2) ••• ?, .· -· ·· ···········
ffifn-1 Х
2
2
J2п-2 ® G~
2-
По свойству прямой суммы (84) можно снова преобразовать 11
HARп= _1
_
(1 ..? (Т\ in-2)/21 - П\ 2<п-1)/21·
-
).
2
2п;2 2n-w
2n2w
2n1
[[
1n-z®G2]
.
(2-<n-2)12HAR n-2 Е9 I п 11- 2)
.-2. .... ...:...._
.
2 Е9,
2
2-2
]
Q9 сз
2п --2
2
-
][
1 п-1 'Xi с;]
Е9 I2п-1 /--~-i;-ё/i .
2n1
2
(85)
· поступая и далее таким же образом, получим окончательно
п-1[[JмG'2 ]
]
1.
п-1
,.«У2
НАRп= - [1 Е9 Е9 2r12fr)· П
.
.. ~------ --··--
~fn r+1 .
2
211/2
-
2
1,<>,сз w2-2
r-0
r=O
2r«У 2
.
(86 )
Таким образом, матрица Хаара порядка 2п представлена в
виде произведения диагональной матрицы и п сш1бозаполненных
матриц с числом ненулевых элементов в каждой строке не более
двух. Представление (86) соответствует известному алгоритму бы
строго преобразования Хаара [7] .
Быстрое преобразование Фурье. В соответствии с разд. 3 мат
рица . ДПФ FOUR 2n может быть предста влен а в виде
FOORп= -1
-.
Л,fи,~в [----- с: Q9 ~=:==~~
~~-;,~1
••~.~~-~ .~~~~-~)·---·-·•·-·-]
.
2
2nf2 2
n-2
сз®(2(n-1)/2минв I<'O[JН )(® d . )
2
2П-.l •
2n l /=О 211·-J -2
(87)
61
Для упрощения записи дальнейших выкладок введем обозна
чение
FOUR2n = 2n /2м:;(в FOUR 2п .
(88)
Тогда
FOUR n = [··- --- ··· ·~;._~ __~~~-~-~~~~-~~---·· ·· ···].
2
п-2
G~0 (FOUR n-1)(0 dп-Н)
2
j=O 2
(89)
Применив к этому выражению, например, теорему 3 разд . 4, полу
чим
•
[2
]
___
__
_
_
___
п-2
.
С2 0 12n-1
FOUR2n = [FOUR2n-1 EJЭ ·FOUI\n-1 ·® d2n-j -2] з_
J=O
G2 ®12п-1
(90)
t1ли благодаря свойству прямой суммы матриц
___
___
___
п-2
FOUR2n = [FOUR2п-J ffi FOUR2n-·1] [[211-1 ffi Q9 d2n-j -2] Х
J=O
[с:01n-1]
n-2
х ----3
-··---~---·· ·
= (12 ® FOUR2п-1) [l2n-1 ffi ® d2п-j-2] х
с2 0 I2n-1
.
}=О
(91)
По определению прямого произведения матриц подматрицу в по
следнем сомножителе можно вынести за знак матрицы:
n-2
FOUR2n = (l2 ® FOUR2n-1) [[2,н $ d2n-j -2] (h2 ® I2n-1). (92)
J=O
Подставив в (92) -вместо FOUR2,н аналогичную формулу с за
меной п на п - 1, получим
п-з ·
FOUR2n = {l2 Q9 (/2 Q9 FOUR2n-2) [/211-2 ffi Q9 d2n-j-2](h2 ® l2,н)} Х
}=0
п-1
х [[211 -1ffi ® d2n-i"2] (h2 ·® 12,н)
J=O
(93)
или, представив первую слева матрицу / 2 в кронекеровском про
изведении в фигурных скобках в (93) в виде I 2 = I 2[ 2[ 2 и вос-
пользовавшись тем, что (А 1А 2 ••• AN) ® (В1 В2 ••• BN) = (А1 ®
Q9В1)(А2Q9В2)...ИNQ9BN),
п-з
FOUR2n= (/2 Q9 I2 Q9 FOUR2n- 2) (12 ® [[211-2 ffi j~ o d2 n-i-2 ]) Х
п-2
х (/2 ® h,2 ® I2n-2) [/2,н ffi ® d2n-H] (h2 ® I2n-1).
(94)
J=O
62
Продолжая подобные преобразования с матрицами рекурсивно, по
лучим окончательно следующие факторизованньiе представления
матриц FOUR2п и FOUR2п:
п-1
r-1
FOUR2п = п (1211-1 -1· ® [l2r ЕЕ)® d2n-i-2]) (I2n-1- -1· ® h2 ® 1/), (95}
r=O
J=O
-
п-1
-
1
r-1
FOUR2,. = щ2 м::!в П (12п-н ® [I2r ЕЕ) _® d2п-i-2]) х
-
2
=
]~
Х (/211-1 -r Q:9 h2 Q9 f 2r).
(96)'
Формула (96) является матричной записью одного из алгоритмов
БПФ с двоичной инверсией результата преобразования. Выполняя
над ней тождественные матричные преобразования , мо;-ю-ю по.лу
чить любые другие алгоритмы БПФ. Например, транспониров;ш
(96) и воспольз,овавшись симметричностью матрицы FOUR211.
получим алгоритм БПФ с двоичной инверсией последов ательности:
отсчетов исходного сигнала:
11-2
FOUR2п _2: 12 ( ll (12,· ® h2 ® 1211-1'-l) х
r=O
•
п-2-r
Х _(I2 r ® [12п-1-r ЕЕ) i~ d2п-i-2])) (12,н ® h2 ) 1и::.ш.
(97)'
Другие примеры таких преобразований даны в [8] .
• Алгоритмы (96) и (97) взаимно дополняют друг друга. В част
ности, их можно использовать для выполнения прямого и обрат
ного ДПФ в задачах фильтрации сигналов в частотной области.
Если при этом отсчеты частотной характеристики фильтра хранить
в двоично-инвертированном порядке, то выполнения двоичной ин
версии в этих аш:оритма.х не требуется.
Следует отметить, что операции , требуемые для ДПФ сигналов.
являются операциями над комплексными числами. Между тем эле
ментарными операциями используемых цифровых процессоров
являются операции над действительными числами. Поэтому для по
лучения алгоритма БПФ в терминах элементарных операций над
действительными числами формулы (96) и (97) нужно преобразовать
так , чтобы элементами матриц были действительные числа. Способ
преобразования зависит от формы представления комплексных чи
сел в цифровом процессоре. Покажем его для распространенного
случая, когда действительные и мнимые ча·сти отсчетов сигнала
располагаются в последовательных ячейках памяти процессора
друг за другом. Этому соответствует такое представление вектора
отсчетов в матричной форме:
(98)
Размерность этого вектора вдвое больше числа отсчетов сигнала .
Поэтому вдвое увеличиваются и размерно сти матриц, составля-
63
ющих факторизованное представление матрицы FOUR2n, так
что формула (96) переходит в
n-1
FOUR2n =+. (М~~в ® 12) п (I2n-1 -r ®
2
r=o
2"-1
® [1 2r+1 ffi four;J)(l2n-1-r ® h2 ® l 2r+1),
J=O
(99)
где
r
[cos ер'; - sin ер;]
fourj =
,
sin ср1 cos ср1
(100)
cos ср1 + i sin ср1 = ехр (i2nj/2r+1),
(101)
r-1
т. е. диагональные матрицы вида (I2n-i -r ® [l2r ffi ® d2n-j -2})
J=O
~тановятся блочно-диагональными.
Нетрудно показать, что такой записи алгоритма БПФ соответ
~твует следующее представление .матрицы FOUR2n, аналогичное
(87):
FOUR2n = 2~/2 (М~~в Q9 f 2) Х
(
•
с;®2nf2 (М~~в ® 12) FOUR2n-l
]
Х ······ ····· ···· . ···· · · ··: ·····································2п-1_1······ ·· · · ··· ·· •
С3 ® zп;z (Минв ® /.) FOUR
( ЕJЭ four':'-1)
2
2"
-
2n-l j =O
J
(102)
Аналогично можно получить факторизованное представление
матриц и других ортогональных преобразований, описанных в
разд. 3. Ниже без вывода дано такое представление для матриц
МНАD2п, НАD2п, PAL2"• WAL2"·
Модифицированное преобразование Адамара
(103)
где
ln-1
= П [(h2 ®l2r)ffil2n_2 r+1 J-
(104)
т=o
Преобразование Уолша - Адамара
n-1
HAD2n= 2
~
2 П (12п-r-·1®h2® 12,·) .
r=O
(105)
64
Преобразование -У олша - Пэли
•
n-1 (
[ 1 t<елс2])
инвНАD - _ 1_
2r'<У 2
РALп=Мп
2n-
2п;2 IJ f n-l-r®
····•······· ·····
•
2
2
r=O
2
l2r ®G~
Преобразование Уолша
-
-
(106)
vV АL2п = М~R/пр м:~вНАD2,, =
1 п-2(
([J®с2]
2п12 !! lzn-2 -r (8) • 1~~- б-~;·@~ё~)- ffi
вэ 1,"' [!)(:;~;\:;] 1,,н))[1,~:·;~::1Ф]. с101)
Усеченные алгоритмы преобразований Фурье. Усеченные ал
горитмы используют в тех случаях, когда значительная част:q от
счетов сигналов равна нулю и/или значительная часть отсчетов
спектра не нужна. Структура этих алгоритмов может быть полу
чена из факторизованного представления матриц преобразований,
если умножить матрицу преобразования справа и слева на диа
гональные <<СеI{ущие>> матрицы, содержащие нули на тех местах
диагонали, номера которых соответствуют номерам нулевых или
ненулевых элементов [8] .
Если количество ненулевых отсчетов сигнала или требуемых от
счетов спектра равно целой степени двух, секущие матрицы ,=шля
ются кронекеровскими матрицами, построенными из матриц вида
Р2=[~~j
(108)
п единичных матриц второго порядка.
В случае, когда отсекаются последни.е элементы исходной по
следователь ности и ее преобразования, секущая матрица размер
ности 2п, содержащая i единиц в начале главной диагонали, за
писывается следующим . образом:
Pi
p[11-IJ (v\ I[l] р
(v\ I
(109)
2п=
2
1612=
2n-l 161 21.
Вид усеченной с двух сторон фю,торизованпой матрицы преобра
зования Фурье определим на примере матрицы FOUR 2n, записан-
нойввиде(97).Для k+l>пполучим[8]
n-1 -k
Р~пFОUR2пР12п = 2п\ { П (I2 r (8) S~ (8) P;п-i-r) Х
r=O
k
pk
n-1 -r
Х(J r(8)[Р2n-1-rffi 2n-1-r
(8) d2n-j -2])} Х
2
j=O
1-1
Х { П (f2r (8) h2 (8) f2п-1-r)(f2r (8) [l2n-1-rffin-@rd 2n-j~2!)} x
r=n-1,
J=O
Х (121 ® (S;in-l]) J\l[~~в .
(110)
З Цифрован обработка сигналов
65
При k + l <;: п преобразование нырождается: выпадают матри
цы неусеченного преобразования, построенные на h2 :
l-1
h· FOU •1
1{п
оР/')
р2" '.
R2n р2,·' = 2п/2
.
(I2r ® S2 ® 2п-1-1· Х
r=J
.
.-.
k
k
n-1-r
1
Х (I2r ~ [Р 2n-1 -r ЕЕ,) Р 2n-1 -r ® d2n-j-2])f Х
J=O
Х (!21 Q9 P:n- ' -lr Q9 s:,,-) м~~в .
(111)·
Усеченные алгоритмы преобразований У олшг. - Адамара• 'Учи
тывая, что фа:кторизо в анное представление матрицы ДПФ отличает
ся от фа:кторизованного представления матрицы Уолша - Адамара
только наличием диагоналыjых матриц в :каждом насюще, уби
рая эти матрицы из формул (110) и (111), можно получить усеченные,
алгоритмы для матриц I НАD 2"м;1J'в ~ РАI,2п, а именно:
а)при1с+l>п
n-1 -k
Р'~п PAJ_, 2" Р~п = 2
: ,2 ( П (\r®S~@Р1;,,_1_,.))х
r=J
l-1
>< ( IJ (f2r ® h2 ® I2п-1-r))(f21 ® s:п-• );
(11 2}
r = n-lJ'
б)приk+Z~п
l-1
PkPAL pl
1 (·П
ор•·)
2n
•
2n 2n= 2n/2 - (12r®S2® 2п-1-1·)Х
r=O
Х (!21 Q9 P2n--l-k Q9 s:к).
Пре обрааование Адамара -- Хаара
lrOIП\m,. = _!_ _;
-
(Iт ® [1 Е9п-ffi121'/2J r)Jх
2
2n2
2
l'=O
2
m-1
Х П(f2m-r-1®li2®l2n~m+r)Х
(114)
1'=0
Матрицы перехода между различными преобра:иnаниями .
При цифровой обработне сигналов иногда требуется, зная спеюр,
сигнала по одному базису , найти его представление по другому
базису. Для этого достаточно матрицу-столбец :коэффициентов
умноw.ить на соответствующую матрицу перехода:
(115}
С помощью представления матриц ортогональных · преобразовr~
66
ний в виде сумм кронекеровских матриц можно достаточно просто
найти матрицы перехода между этими преобразованиями. Пока
жем это на при·мере связи матрицы ДПФ FOUR 2п с матрицей
MHAD 2n модифицированного преобразования Адамара (см. разд. 3).
Согласно (89)
FOUR ,, = [·····•·· •··· ·••·~~ ..~..~~~.~.~.~~~~........ .. ....l
2
3
__
п-2
'
G2 ® (FOUR2п-1)()~0 d2n-J-2! -
(116)
откуда по теореме 3 разд . 4
FOUR2п = [FOUR2n-1 ЕJЭ (FOUR2n-1)(i: d2n-i-2)] Х
х (h2 ® I2п-1).
(117)
Используя это выражение как рекуррентную формулу для FOUI\11 1
можно получить
___
n-1
___
r-1
FOUR2n = (/2 ЕJЭ ЕJЭ (FOUR2r)( Q9 d2r-j-2)) Х
Т=1
]=О
п-1
Х П [(h2 ®f2r)EJЭf2n_2r+1J•
(118)
r=O
n-1
Но произведение матриц П [(h2 ® I2r) Е9 I 211_ 2r+11 в правой
r=O
части (117) является с точностью до диагональной матрицы
n-1
•
·
I1 ЕJЭ ЕJЭ 2r1.2l 2r]/2n12 матрицей модифицированного преобразования
r=O
Адамара. Следовательно, первая матрица в правой части (117) явля-
ется матрицей перехода от MHAD 2n к FOUR2 n, Обозначим ее
jj?l~H -F:
-MH-F
п-1 __ --
,-
r-1
м2"
= [l2 Е9 Е9 (FOUR2r)( ® d2r - j -2)].
(1'19)
r=l
J=O
Для того чтобы факторизовать эту матрицу, воспользуемся тем,
что из (104) вытекает, что
-MH --F
-MH-F
~~~
п-2
М2п-
= М2n-1 ЕJЭ FOURп~1((g) d2n-i-R)=
2
i=O
-М:Н-1<' -MH -F =-= -c =~= -
п-2
= М 2п Е9 М·2п МНАD2п ( ·® d2n-i-з) =
J=O
,
п-2
= (/2 (Х) Й~1п~1F)(/2п-1 ЕJЭ МНАD2п-1)(/2п-1 ЕJЭ ® d2n-j-з).
J=O
('120)
3*
67
Использу» эту формулу рекуррентно, получим
п-1
м:;,Н-F = п (l2n-1 -r Q9 [/2r ЕJЭ MHAD2r]) Х
Т=1
r-1
Х (l2п-1-r ® [/2r ЕJЭ ® d2r-j - -2J) .
(121 )
J=O
Наконец, подставив выражение (104) для MHAD2 ,-, по сл е
очевид
ных преобразований придем окончательно к выр-;жению
n-1 r-1
м~,Н-F = .iи 1;~в п (п (I2п-1-r Q9 [I2r ЕJЭ (h2 ® /2s) Ef)
Т=1 S=O
r-1
ЕJЭ f 2r_2s-1-I l ))(l2n-1 -r (8) [[2,· ЕJЭ
_® d2r-j-2]).
J=O
(122)
Обратная матрица герехода будет равна гроизведению - этих же
матриц, взятых в обратном порядке, если заменить в них dj на d_j:
п--1
F-MH
п
n- r-1
М2п = (l2r-1 ® [12n-r ЕJЭ ® d_2r-j-2]) Х
r=l
J=O
п_;-.r-1
Х ( П f 2r-1 ® [f2п-r ЕJЭ (h2® f2п-r-1-s) ЕJЭ
s=O
(123)
Ввиду аналогии между . факторизованными представлениями
матриц FOUR2n И НАD2п матрицы мi'н-F, м:,-:;-мн можно превра-
ММН-Н МН-МН
ф
тить в матрицы 2,,
и
2n
перехода от моди ицированного
преобразования Адамара к преобразованию Уолта-Адамара и
б
M MH-F
MF- MH
нао орот, изъяв из
2n
и ..2n
диагональные матрицы:
п--1 r-1
м:;tI-H= п п (l2п-1-r®[l2r ffi (h2®I2s) E1Э l2r-2s+ 1 l), (124}
r=l S=O
n-1r-1
М~п-МН= П П(/2r-1®[l2n- r ЕJЭ(h2®f2п-r-1-s)ЕВ
Т=1 S=O
ЕВ l 2n---r _ 2n-r -s]).
(125 у
Наконец, действуя так же, как для матрицы FOUR 2" , н е тр у д н о
получить матрицу перехода от преобразования Хаара к преобра
зованию Пэли:
п-1 r-1 (
[
[/®с2]
_
1
HR-P
28
2
.
Мп =IJПf -1 tx'· I rffi ··········•-•- ·-•
ffi / _,.
-1)
2
2n
-r\OJ
2W
J, сз W 2---2-'·
·1
•
r=l s=O
2·®
-'2
(1 Z(,)
68
Матрицы переетаково:к. Если при выводе факторизованного пред
ставления матриц преобразований Уолша-Пэли и Уолша восполь
зоваться теоремой перестановок (см. разд. 4), то можно получить
факторизованные представления матриц перестановок по двоичной
инверсии*
п-1 '
[J0с0·1)
м;t:в = п (12п-1-1· ® 2 r
,:
Т=О
12rQ9С2_
(127)
и перестановки из кода Грея в прямой двоичный код
n-1
М~f.., ПР = П (f- 2r (8) [l2n-1- r Ф l2п-1-,·J).
(128)
r=O
Обратив последнюю, получим матрицу перестановки из прямого
двоичного кода в код Грея:
п-1
М~R/гр = П (f2п-1-r (8) [l2r E9 l 2r]).
(129)
1'=0
Фа~{торизованными представлениями матриц перестановок це
лесообразно пользоваться в том случае, если в составе I{О·мапд
цифрового процессора нет rщмапд-операций над отдельными двоич
ными разрядами, а также при построении специализированных
процфсоров для обобщенного спентрального анализа.
Поучительно сопоставить матрицы различных преобразований:
в их поэтажно-кро,некеровсном (см. ра зд . 3) и фах,торизованн ом
представлении. Из этото сопоставления можно сделать следующие
выводы о структуре ортогональных :матриц преобра зований:, до·
пусr{а~ощих фанторизацию в произведение слабо заполпенпых мат
риц и вследствие этого обладающих быстрыми алгоритмами:
1. Все известные •о,ртогональные матрицы преобразов аний: яв
ляют\:я поэтажно-кроненеровскими или приводятся I{ ним с по
мощью перестановоr{.
2. Все эти матрицы строятся из элементарных матриц, опшсаш-rых
в разд. 3, или им подобных (формулы (41), (46) , (61)), являющихся
либо :матрицами :минимальной: ра з мерности , либо поэтажно -нроне
I{еровскими, а танже диагональных матриц. Эти :элементарные :мат
рицы мо•жно назвать про.изводящими матрицами. Таним образом,
все ортогональные матрицы, допускающие фантори зацию, могут
быть систематизированы по виду производящих :ма'Гриц и/или их
порядну расположения в кронекеровски х произведениях . Новые
виды преобразований: можно строить, внодя новые виды произво
дящих матриц.
3. Возможно построение процессоров с универсальной струr{ту
рой, осуществляющих произвольное ортогональное преобразо
вание простым изменением блонов, генерирующих производящие
матрицы.
* Отметим сходство струюуры. формул (127) и (106) для :матрицы двоичной
инверсии и матрицы преобра'зо'в'анил Уолша -'- Пэли.
69
4. Матрицы-сомножители, составляющие факторизованное пред-
ставлепие матриц ортогональных преобразований, тюш{е являются
орто гон альными матрицами. Комбинируя эти матрицы в произволь
ном порядке, а также в сочетании с матрицами перестановки,
можно получать новые виды преобразований. Это еще один путь по
строения матриц новых преобразований, допускающих фактори
зацию.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гоулд В., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов . радио, 1973.
2. Хармут Х. Передача информации ортогональными фунrщиями . М.:
Связь, 1975 ..
3; Рабипер Л . , Гоулд В. Теория и применение цифровой обработки сигна
лов. М.: Мир, 1978.
4. Ahmed N ., Rao К . R. Orthogona l Tr ansforms fш Digital Signal Proces-
sing . Berlin: Springer Verlag, 1975.
5. Трахтлап А. М., Tpaxm ,lian В . А . Основы теории дискретных сигпа
лов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975.
6, Полоппиков Р . И., Кост101. В. И., Красп • вич, В. Е. Матричные методы
обработки сигналов. I{иев : Техника, 1977.
.
7. Эпдрюс Г. Прим е нение вычислительных машин для обработки изо
бражений. М.: Эн е ргия, 1977.
8. Ярославский Л. П. , Мерзляков Н. С. Методы цифровой голографии. М.:
Наука , 1977.
•
9. Ярославский Л. П. Сдвинутые дискретные преобразования Фурье.-
В кн . : Донлады 7 -й Всесоюз. конф. по теории кодирования и передачи
информац ии . Ч. 7. Методы - сонращения и з быточности, обработка изоб
ражений. Москва; Вильнюс , 1978.
10. J aroslavs/ci L. Р. Shifted discrete Fouriei· transforms . -
Proc. of Internat.
Conf. on digi tal sigнal process. Florence (I taly), 1978 .
11 . Верпе. Быстрое преобра з ование Фурье для дейст вительных сигналов.
Уменьшение необходимой емности памяти и числа шагов за счет при
менения нечетного дискретного преобразов ания Фурье.- ТИИЭР, 1971,
т. 59, No 10, с. 184.
12. J ain А. К., А ngel Е . Image Restoration, Modelling and Rec1uction of Di-
шensionality. - IEEE Tгans. on Comput . , 1974, vol. С-23, N 5.
13. Вош,ро, Вела пж е . Нечетно-временные нечетно-<1астотные ДПФ симмет
ричных действительных последоват ел ьносте й.- ТИИЭР, 1976 , т . 64,
No 3.
14. Гуд ;,,~ап Дж. Введение в фурье-оптину . М.: Мир, 1970.
15. Япке Е., Э ,1tде Ф., Леш Ф. Специальные функции . М.: Науна , 1968 .
16. Good 1. J . The interaction aJgorithш and practical l<'ourier a n a lysis. -
J. Roy. Statist. Sac., Ser. В, 1958, vol. 20, р. 361-372.
17. Ярославский Л. П. Единое представление используемых в цифровой об
работне сигналов ортогональных матри ц и быстрые алгоритмы.- В кн.:
Доклады 7-й Всесоюз . конф. по теории кодирования и передачи инфор
мации. Ч. 7. Методы сот,ращения из быточности , обработна изображений.
Москва; Вильнюс, 1978 .
18. Ярославский Л. П . Единое представление. исполь:зу1ем wх в цифрсвоii
обработr,е сигналов ортогональных матриц и быстрые алгор ,; тмы.-
Радиотсхника и электрони1,а, 1979, No 1 .
19 .. Rao К. R . , Revuluri _K., Naгasimlian 1\1[. А., A!imed N. Сошрlех Haar·
transfoгm. - IEEE Trans. on Acoust . , Speech, S igna1 Ргосеs., HJ76, vol .
ASSP-24, N 1.
20. Rao К. R., Narasimlian М. А . , Revul uri К. А fam il y of discrete Haar
transforms. -
Comput. and E lect. Eng., 1975, vol . 2, N 4, р. 367-388.
70
21. Rao К. R . , Narasimlian М. А., Revuluri К. Image data proces. Ьу Hada-
mard - Haar transform.-
IEEE Trans . on Compt1t., 1975, vol. С--24;
N 9, р. 888-897 .
.
.
22. Lux Р. А пovel set of c]osed orthogoпal functioпs for picture coding.- Are-
hif fiir E]ektrische Obertraguпg, 1977, В. 31, N 78, S. 267--274.
23. Pratt W. К., Weleli L . R ., Clien vV. S laпt transforms for image codiпg.
IEEE Traпs . Cornm., 1974, vo]. СОМ- 22, N 8, р. 1075-1093.
24. Fino В . J., Algazi i '. R . Slant Haar traпsforrn.- Proc. IEEE, 1974,
vol. 62, р. 653-654.
25. Бойко Л. Л. Об одном нлассе ортогональных матриц.- В кн.: Доклады
7-й Всссоюз. ноriф. по теории иодирования и передачи информации.
Ч. VII. Методы сонращения избыточности, обработна изображений.
Моснва; Вильнюс, 1978.
26. Корп Г., Корп Т. Справочнин по математине для научных работнинов
и инже;:еров. М.: Науна, 1970.
'УДК 517 .512 .2:519 .65
R ВЫБОРУ ПАРАМЕТРИЧЕСRОГО ПРЕДСТАВЛЕНИJI
RРИВЫХ ПРИ ЦИФРОВОМ ОПИСАНИИ
и ОБРАБОТRЕ плос~их ФИГУР
В. С. НА ГОРНОВ, В. Г. ПОЛЯRОВ
1. Пусть плоская замкнутая нривая G длиной S задана в па
раметрической форме уравнениями
х(t)=х[s(t)], iJ(t)=у[s(t)],
(1)
где параметризация определяется фунiщйональной зависимостью
длины дуги s от времени t. Частотно -параметрическим представле
нием (или просто спентром) кривой G будем называть последо
в ателыюсть коэффициентов {ат, Ьт, Ат, Вт}, определяющих раз
.ложение функций х (t), iJ (t) в ряды Фурье:
х(t)= ао+ :S (атcosт.rut+Ьтsinm.wt),
m=l
iJ(t) = Ао+ :S (АтCOSm.rJJt+Втsinm,(J)t).
(2)
.
m,=1
Здесь ш есть угловая частота обхода нривой со СI{Оростыо v (s) •=
s
= v (t) = ds/dt, имеющей период Т = 2'Jf/ш = j v-1 as. •СпеJ{тр па-
•
.
.
о
ходится, нонечно, в зависимости от r,ыбрапной параметризации. За-
дача оптимизап;ии часто тно-параметрич ес1юго представления со
стоит в отыснании параметризации I{ривой G (т. е. фунrщии s ·=
= s (t) или обратной ей фу~шции), минимизирующей ширину
спентра нриnой.
71
Кинематическая интерпретация подчер1-ивает здесь следую
щее обстоятельство. С точки зрения обработки сигналов оптими
зация такого рода находится в связи с экспериментами по сокраще
нию полосы частот путем модуляции скорости телевизионной
развертки [1, 2]. В дальнейшем более удобным объектом регули
рования скорости стала выглядеть развертка вдоль линий: ее сиг
налы, воспроизводя линию развертки в параметрической форме,
освобождают от проблем восстановления закона скорости на
приемной стороне [3, 4].
Подходящим образом усеченный спектр кривой, в соответствии
с (2) определяющий, например, плоскую фигуру, часто исполь
зуется и для цифровой обработки изображений, и не только в
связи с их передачей. Удобства работы с таким спектром: обсуж
даются, в частности, в [5, 6]. Но целенаправленный отход от нату
ральной параметризации мог бы и здесь дать ряд дополнительных
преимуществ. Само по себе ускорение сходимости рядов (2) путем
надлежащей параметризации оборачивается сокращением размер
ности векторов, представлнющих исходные фигуры. Важна и дру
гая сторона этого процесса . Настоящее сообщение иллюстрирует
возможность применения в некоторых случаях специальной па
раметризации н:а к эфф ектив ного инс трум ента приближения сигна
лов (функций) - в данном случае тр игопомет ричес1,ими много
членами и, в частности, как средства интерполяции (аппрокси
мации) кривых по точкам.
2. Выберем в качестве показателя ширины спектра величину,
ха рактеризующую степень концентрации энергии спектра вблизи
начала оси частот. Энергия т-й компоненты спектра пропорцио-
нальна а;. + Ь~, + А~ + В;.; подходящей характеристикой будет,
например, осевой момент 4-го порядка этой суммы как функции
цел очис ленного аргумента т:
М4= w4 LJт4(а;.+Ь~+А;.+В;.)
m=l
в предположении, что он существует .
В силу равенств а Парсеваля
т
(' [( а25; )2 (a2g )2]
М4=J ~ +a'i2 dt.
о
Эта величина для дальнейшего использования нуждается в норми
ровке. Нормируем ее тюшм образом:
т
т
л={~[(а;:)2+(а;~)2]dt}/~[(а;/+(~~)2J2dt,
(3)
о
о
•
принимая значение л в качестве показателя ширины спектра. По
мимо очевидных соображений инвариантности относительно сдви
га и поворота, выбор нормирующего функционала определяется
требованием независимости показателя лот периода Т.
72
Фактически отношение (3) представляет собой достаточно тре
бовательный <<острый>> критерий гладкости функций х (t) , у (t).
Пусть а (t) есть угол между касательной к G в точке х (t), fj (t)
и положительным направлением оси х, а k (t) = k [s (t)] - кри
визна кривой в этой точке . Последовательно находим:
и
dx
~
dt=V COS а,
о
dfj
~
.
-
dt = VSJlla,
(4)
о
Функционал в знаменателе этого отношения зависит только
от параметризации кривой G. .Зависимость от формы кривой пред-
ставлена функцией k (t), которая, однако, зависит также и от
параметризации . В этом состоит некоторое неудобство пр и рас
смотрении (4) как вариационного критерия, устраняемое вь~бором
в качестве переменной интегрирования длины дуги s. Имеем:
dt= -1
-
·
ds,
V
так что
dv
dv
dt=Vcls'
(5)
Задача состоит, таким образом, в отыскании функции v (s), ми
нимизирующей отношение (5) при заданной k2 (s) и при естест
венных для данной задачи периодических 1,раевых условиях.
Еще пе выписывая уравнение Эйлера , можно заметить, что зада
ча оказывается нелинейной. Однако подстановка v = и' ! з сводит
(5) к частному Рэлея
μ·=
%), = (и, Lu)/(u, и)
для оператора (типа Штурма-Лиувилля)
L=-
::2 + 9/ 4k2 (s).
Мы приходим в результате к задаче отыскания наименьшего соб
ственного значения 9 / 4'А0 = р 0 и отвечающей ему собственной функ-
ции и0 (s) = v? (s) для уравнения
d2u
(9,.2 )
0
-
ds2+/41>-
μи=
(6)
73
с периодическим :коэффициентом 9 / 4 k2 (s) и периодическими кра•
евыми условиями
u,/_s=o = и ls=S, du/ds /s=O = du/ds ls=S·
(7)
Известно, что наименьшее собственное значение задачи типа
(6), (7) не вырождено, а соответствующая собственная функция
не имеет нулей [7]. Таким образом, решение задачи (с точностью
до масштабного множителя) :вее-гда единственно и всегда сохраняет
смысл, об еспечивая монотонность функции
s
s
2
t0(s) = Sv01ds = Sи:-3 ds,
(8)
о
о
определяющей оптимальную па раметризацию.
IIIирина спектра при натуральной параметризац ии (v = coлst)
определяется согласно (5) средним квадратом 1,ривизны кривой.
Коэффициент с;катия спектра при оптимальной параметризации
составляет величину
s
У]= л~S ~k2ds.
о
3. Рис . 1 иллюстрирует результаты численного решения з_ада
чи оптимальной параметризации на примере двух фигур. Обе кри
вые при воспроизведении графопостроителем совмещены на одном
чертеже. Рис . 1, а представляет результат их оптимального в смысле
(3) частотно-параметрического синтеза с удержанием перв ы х девяти
членов (не считая постоянной составляющей) в рядах (2). Ук
лонения от оригинала при этом неуловимы в масштабе чертежа.
Коэффициент сжатия спектра принимает значения 1Q, 1 и 65,0.
На рис. 1, 6 показано приближение, получаемое с тем же числом
членов при натуральной параметризации.
Рис. 2 характеризует приб-rrижюшя, получаемые в задачах
о проведении кривых по точкам. Последовательность узлов отобра
жает в этих примерах ню,оторую выпуклую фигуру в передаче из
мерительного автомата специальной конструкции (цели и способ
измерений описаны в [8]). Ситуация имеет здесь типичные для об
работки экспериментальных данных черты - существенно не
равномерная (по дуге кривой) расстановка узлов в сочетании с
их чувст вител ьностью к шумам измерений.
Степень сглаживания регулируется числом используемых
для синтеза гармоничес1,их помпонент (3 и 5 помпонент соответ
·ственно на рис. 2, а и 6).
Кривые, показанные на рис. 1, а и 2, получены с помощью
следующей вычислительной процедуры. Полигональная интер
поляция используется на первом этапе для приближенного опреде
ления нривизны в исходных узлах и расстояний между последова
тельными узлами по дуге нривой. На соответствующей сетн·е узлов
по переменнпй s составляется 1,онечно-разностный аналог задачи
(7/i
l'иr. 1. Сравнение оптимальной и натур;-~ю,ной . параые:rриsац1111 . по точности
приближенного представления
,
Рис. 2. Филь трация шума с помощью оптимального частотно-параыетриче
ского предста вл ения
(6), (7). Если сетка неравпомерна, то получаемая в результате мат
рица подвергается симметризации н соответствии с [9], пос л е чего
определяется ее наименьшее собственное значение методом би
секций, модифицированным для периодических краевых условий
согласно (10]. Соответствующий собственной вектор вычисляется
методом обратных итераций . После приближенного определения
значений функции оптимальной параметризации (8) в исходных уз
лах процедура завершается преобразованием Фурье на соответству
ющей сетке узлов по переменной t0. Получаемый р езультат можно,
конечно, рассматривать как объект дальнейших итерационных
уточнений.
4. Могут быть построены и другие критерии глаr~;кости типа
(3). В этом смысле рассмотренная параметризация принадлежит мно
жеству сг лаживающих пара.метризаций, определяемому условием
т
)° [(d2i/dt2)2 + (d2y /dt2)2 ] [(dx/dt)2 + (dy /dt)2 ]Р-'/2 dt
Лр • 0----~т--------------- --+ miн;
S [(dx/dt)2 + (dy/dt)2]P+1i 2 dt
о
р =1=- о.
С кинематической точки зрения показатель гладкости лр харюпери
зуется как квадрат модуля ус1{орения, нормированный и сред
невзвешенный относительно степеней модуля скорости. Эквивалент
ное этому условию линейное уравнение - d2u/ds2 + р2 (k2 - 'Ар) и =
О будет результатом подстановки v = u1f P.
76
Отме'1им, в частности, два случая: <<Линейную>> параметризаuию.
непосредетuенным образом, без подстановоR приводящую R уравне
нию- v"+(k2- л)v= О(р =1),ипараметризациюсиорми
l)овкой по периоду обхода Т кривой (р = - 1/ 2).
Заметим, что описанные процедуры непосредственно примени
мы к крив ы м , имеющим точки самопересечения, и леrко распро
,странюотсн на случай кривых, заданных в пространстве трех · и
. большего
числа :измерений. Задача о сглаживающей параметри
зации при этом сохраняет одномерный характер .
Наконец, вопрос о параметризации, усноряющей сходимость
рядов Фурье, можно ставить не только для тригонометричесной
,с истемы базисных функций . Существуют эффективные методы кон
,струирования базисных систем по представительной выборке объ
-ектов разложения; возможность пройти часть пути во встречном
направлении, адаптируя каждый из таких объектов к базису, со
здает здесь перспективу более глубокого взаимного согласования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bedford L. JI., Puclcle О. S. А velocity-modulation TV system. -
J. IEE.
1935, vol. 75, N 63.
2. Clien·y Е . G., Gouriet G. С. Some possibllities for the compression of te!e-
vision signals Ьу recoding.-
Proc. IEE , 1953, vol. 100, N 9.
;:\ . Вайпштейн Г. Г . Об оптимальном упра~шении следящей ра зверт кой.
В кн . : Докл. науч.-техн. конф . по итогам научно-исследовательских работ
з а 1966-1967 гг. (Подсе1щия автоматики и телемеханики). М.: МЭИ,
1967, ч. 1.
-
4. Поляков В. Г., Переверзев - Орлов В. С. Эле1,тронные системы следящей
развертки. М.: Энергия, 1968 .
5. Cгanluncl С. JI. Foшier preprocessing for hand print character recogniti-
on. -
IEEE Trans. Comput., 1972, vol. С-21, N 2, р . 195 - 201.
43. Hicliard С. W., Н emami Н. Identification of thгee-dimensional objects
using Fourier de ,criptoi:s of the bounclary curve . -I EE
Trans. Syst., Man.,
• СуЬеш., 1974, vol. SMC-4, N 4, р. 371-378.
7. Левитан В. М., Саргсяn И. С. Введение в спектральную теорию. М.:
Науна, 1970.
8. Айду Э. А., Нагорпов В. С ., Поляков В. Г. Автоматическое антропомет
рирование для машинной нроi"ши одежды - принципы получения и об
рабопш данных . - Наст. сб.
·9. У илкипсоп Д. Х. Алгебраичесная проблема собственных значений. М.:
Наука, 1970.
10. Evans D . J . Numerical solution of the Sturm-Liouvi ll e ргоЫеm ,vith pe-
r·iodic bounrlary conditions.-
Conf. on app ]i cations of numerical analy-
si s. JЗe1·Jin; Heidelberg; N. У., Springer Verlag , 1971, р. 277 - 289.
11. АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТНИ
УДК 621.391.172:621.397
СРАВНЕНИЕ ЛИНЕИПЫХ МЕТОДОВ
ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИС:RАЖЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИИ
Д. С. ЛЕБЕДЕВ , О. П . МИЛЮКОБА
В процессе формирования, передачи или регистрации изобра
жение часто подвергается линейным искажениям. К таким ис
ка жениям можно отнести фотографический смаз вследствие движе
ния оптического изображения по фотослою в течение экспозиции;
нерезкость изображения, обусловленную рассеиванием света в
атмосфере; искажения, вызванные аберрациями (или дефокуси
ровкой) объектива и т. п.
Очевидна актуаль ность коррекции линейных искажений.
В работе рассматривается задача <<чистого восстановлению>, когда
искаженное изображение известно точно, т. е. отсутствуют слу
чайные помехи, вызванные, например, зернистостью фотоматери-
•ала. Изучение чистого восстановления дает основу для решения за
дачи коррекции искажений при наличии помех . Предполагается
также, что искажения точно известны. При этих предположениях
сравниваются несколько алгоритмов цифровой линейной коррек
ции, оптимальных для различных критериев.
-
1~ При дискретном представлении изображений и линейных
операторов процесс, приводящий к линейным искажениям, можш)
описать с помощью системы линейных уравнений
п
Иi •21 ai}'j или и=Аи,
(1)
j=l
где и = (и1 , ... , ur rJ - т-вектор представляющий собой наблю
даемое искаженное изображение, и = (и1 , ... , ип) - п-nектор исход
ного неискаженного изображения, А = (Щj), i = 1, ... , т, j = 1, ...
... , п - матрица, описывающая искажения. Компоненты векто
ров и и и есть элем1н1ты соответствующих изобрюн:ений.
Во многих случаях преобразование (1) есть линейное отображе
ние п-мерного пространства в т-мерное пространство меньшей раз
мерности, т . е. искаженное изображение образуется из исходно
го, имеющего большее число элементов. В этих случаях основная
проблема при чистом восстановлении связана с недоопределенностью
системы (1), число уравнений т которой меньше числа неизвестных
п. Если решение такой системы существует, то оно не единственно.
Чтобы выбрать единственное ·решение, естественно использо
вать дополни тельную априорную информацию о свойствах ИСХ()Д -
78
ш>го изображения и ввести критерий оптимальности решения.
Для этого можно использовать функционал Q (и), . измеряющий
<шаqество» изображения, и выбрать <<Наилучшее>> изображение
и, на котором функционал принимает наибольшее (наименьшее)
:значение, при условии, что это изображение есть решение системы
уравнений (1) *.
Если исходное изображение действительно обладает наивысшим
1-шчеством среди других решений системы, то мы восстановим ис
тинное исходное изображение. Понятно, что вряд ли можно найти
функционал, оббспечим.ющий идеальное восстановление во всех
-случаях. Перспектинный путь - использование вероятностного
описания структурных свойств изображl:!ний и введение функци
-о н ала типа <<средний рисю>, измеряющего среднее по анс~мблю
исходных изображений отклонение восстановленного изобра~-т,ения
от исходного [2] . Нельзя гарантировать идеальное восстановление
всех изображений, по <<В среднем>> мы должны получить хороший
результат.
Реализат~ия вероятностных методов восстановления требует
зш1ния статистичесJ{ИХ свойств ансамбля исходных изображений,
которые в настоящее время известны далеко не полностью. По
э тому при решении пран:тических задач фующионал Q (и) выбирают
обычно из эвристических соображений так, чтобы он измеряд ка
ю1е -либо <<разумные>> характеристики изображений (например, их
гладкость). Как прRвило, ограничиваются квадратическим функцио
налом (квадратическо:й формой)
Q(и)=(и - Ь)ТВ(и
-
Ь),
(2)
где Ь = (Ь17 ... , Ъп) - заданный п-вектор, В
-
заданная п Х п по
ложителы-ю-определенная матрица, а Т - знак матричного транс
nонирования. В этом случае форма (2) есть квадрат обобщенного
евклидова расстояния изображения и от изображения Ь:
Q(и)~11и_:Ь111-
(3)
Требуется минимизировать Q (и), т. е. найти изображение, на-
ходящееся на минимальном расстоянии (3) от изображения Ь
при условии Аи = и. Такое изображение есть
ив = ь -+- в-1Ат (Ав-1АT(l (и - АЬ).
(4)
В частном случае Ь •= О функционал (2) представляет собой
квадрат обобщенной евклидовой нормы изображения:
итВи= 11и11~-
Решение
ив = в-1АТ (Ав-1АT)-1v
будет, очевидно, обладать минимальной нормой (5) .
(5)
(6)
* В работах А. Н. Тихонова (см ., например, [1]) :этот фующиона11 назыrаст~
с я стабилизирующим.
•
•
79
- ---------- - - --
Очевидно, что для любой матрицы В вырю-нение (4), если оно
существует, определяет иаображение, н:оторое в результате иска
жений (1) порождает наблюдаемое , изображение v. Таким обра
зом, разным матрицам соответствуют различные оптимальные (в
смысле минимума (3)) восстановленные изображения. Представляет
интерес сравнить такие изображения для некоторых <<разумн0>>
выбранных матриц.
Вгеометрических терминах задача выбора решения может быть
сформулирована следующим образом . Обозначим через kег А
ядро матрицы А, т. е . множество решений системы однородных
уравнений
Аи-,- О.
Любое решение системы (7) можно записать в виде
t
u<0)= ~ аjеШ,
j=l
(7)
(8)
где{e<jJ}, j = 1, .. ., t - произвольный базисвkегА, т.е. набор t
н·езависимых решений системы (7), а {aj} j = f, ... , t - произволь
ные числа. Таким образом, множество kег А представляет собой
линейное подпространство размерности t (в нашем случае t =
=п-т).
Если к некоторому частному решению и* системы уравнений
(1) добавить любой вектор и<0) Е kег А, то снова получим решение,
и, наоборот, любые два решения отличаются на вектор из ядра.
Следовательно, общее решение системы (1) мо1-1-шо представить в
виде
и=и0+и*.
(9)
Другими словами, множество {и}v решений системы (1) образуют
t-мернпе линейное подпространство, параллельное kег А. Решение
ив Е {и}v, минимальное в норме (3), есть, очевидно, точка каса
ния п-мерного эллипсоида с центром в точке Ь, определяемого
уравнением
(и- Ь)ТВ(и
-
Ь) = const,
и t-мерного подпространства {и}v• Вибирая различные матрицы
В, будем иметь эллипсоиды различной формы и, следовательно,
получим решения и, которые, вообще говоря, могут как угодно
сильно отличаться друг от друга.
11. Исходя из интуитивных представлений о свойствах изо
бражений, а также используя их простейшие статистические ха
рактеристики, рассмотрим несколько простых матриц, определя
ющих расстояние (3). Для простоты проведения эксперимента ог
раничимся <<0д1-юмернымш> искажениями, т. е. преобразованием
строки исходного изображения (которую теперь будет представ
лять вектор и) в строку наблюдаемого искажения (вектор v) . Итак,
введем следующие матрицы:
80
1. Пусть В = Еп, где Еп - (п Х п)-единичная матрица .
В этом случае будем иметь об ычное евклидово расстояние, квад
рат которого
п
llи-ЬJl2 = ~ (иi- Ьi)2•
i=l
Решение, минимизирующее (10), есть в силу (4)
UE= ь+АТ(ААТ)-1(v- АЬ).
При Ь = О получим восстановленное изображение
UE=АТ(ААТРv,
которое обладает наименьшей евклидовой нормой:
п
'/•
11иIIE=(elи~)-
(10)
(11 )
(12)
Используя норму (12) . как меру <<Качества>> изображений , мы
полагаем, что чем лучше изображение , тем меньше его <<интенспв
носты . меньше средний квадратический диапазон изменения яр
костей его элементов .
2. Введем меру гладкости изображения в виде квадрата нормы
п-1
11и11i= 11и11~+q~(и;- И;н)2,
(13)
i=l
где коэффициент q > О.
В правой части этого выражения первый член есть квадрат обыч
ной евклидовой нормы изображения, а второй пропорционален
<<интенсивностю> попарных разностей значений соседних элементов.
Очевидно, что из двух изображений с одинаковой нормой II и JIE
большее значение (13) будет иметь менее гладкое изображени е с
большими изменениями яркости от элемента R. элементу.
Приведением подобных членов можно найти матрицу W, оп
ределяющую норму (13):
.1+q
-
q
о
-
q1+2q-q
(14)
о
-
q 1+2q -q
-
q 1+q
3. :Качество восстановления можно та юк е измерять средним
значением отклонения восстановленного изображения и от исход
ного Uисх· Введем квадратическое отклонение
Q (и) = ((иисх - и)2),
(15)
где снобки ( ...) обозначают усреднение по ансамблю . Л егко по
лучить [2] решение, которое минимизирует (1 5):
Uc= й+САт(АСАТ)-1(v- Ай).
(16)
81
где й = (й1 , ... , йп ) = (и) - вектор математических ожиданий эле
ментов исходного изображения, С = (со), C;j = <(и; - йi)т х
Х (uj - йj) ), i, j = 1, ... , п - ковариационная мат·рица ансамбля
исходных изображений.
Сравнивая (16) и (4), убеждаемся, что изображение (16) нахо
дится на минимальном расстоянии
11 и- иllc-,
(17)
от изображения и. Обобщенная евклидова норма 11 и ll c- 1 назы
вается нормой Махаланобиса.
В случае стационарной случайной последовательности и (k)
(k= ...,
-1, О, 1, ... ) с экспоненциальной функцией ковариации
S(т)= ((и(k)-й)(v(k+t)-й)) = u2л1,1,
где R - коэффициент корреляции (1R J < 1), 1,овариаr~ионная
матрица будет иметь вид
1
R
R2 fl'!
Rn-J
С=и2 R
1
н
в2
вn--2
пn-1 нп-2 нn-3 вn-4
1
, Jб р1:1.тная относительно С матрица
1
-R
о
с-1
1
--
R (1+Л2) -Л
e52(1-R2 )
о
-Н.
Используя подстановку q =0 R/(1 - R)2 при П > О,
можно преобразовать:
с-1_ 1-R
-
G2(1+R)
1+q+R/(1- R)
-q
1+2q-q
(18)
:пу матрицу
о
-
q
r
-q
1-tq-i-R/(1- R)
Следовательно, матрица (18) порождает _ норму
п-1
11 v llt-1 = 11 v- l/~+q~(i'i - иi+1)2+(1-R)q(v.i+v~).
(19)
i=l
·Ногда R близко к единице, последним членом в (19) можно прене6-
речь по сравнению со вторым и норма (19) окажется близкой к норме
(13). Следовательно, есл_и бы реальные изображения лмели экс
поненциальную функцию ковариации, то изображение (16), ми0
нимизирующее среднюю квадратическую ошибку восстановления,
было бы и наиболее глади.им в смысле (13). Этот результат интере
сен тем, что :измерения [3] фушщий ковариапии реальных изо
бражщшй показывают возможность их грубой ап ·- ро1-сс имации
экспонентой при R > О.
82
4. Если коэффициент корреляции R < О (имеет место
корреляцию>), то матрицу (18) можно записать в виде
1
1RI
О
IRI 1+R2 iRI
о
1л11
Очевидно, что эта матрица соответствует норме
п-1
(<аНТИ··
11и111=11и111+q~(ui+'иiн)2+(1- 1R/)q(ui+и;,), (~О)
i=l
гдеq= 1Rj/(1- 1R/)2.
III. Для сравнения двух произвольных _решений и' и и" мож
но применить среднеквадратическое _отклонение одного решения
от другого:
р1 (и', и") = <(и' - и")Т (и,'
-
и"))=Sp<(и'- и")(и'
--
u")T).
(21)
Для некоторых решений значения р 1 даны в работе [2].
Рассмотрим теперь расстояние между решениями
Р2(и',и")== 11 и' --и"111=(и' - и")Т(и'
-
и").
(22)
Для получения оценки (22) бу,r~;ем :использовать тот факт, что Jrю
бые два решения отшrчаются друг от друга на вектор из ядра (8) .
Следовательно ,
t
t
t
Р2 (и', и")= c~/ie(i)'
~1 aie(i)) = i , ~l aiaj (e(i), eU )).
(23)
Решение уравнения (1) определяется параметрами а1 , а2 , ..• ,
а1, •
ноторые, как уже говорилось, выбираются из условия минимума
некоторой эллиптической нормы 11 и 11 в- Минимум достигается
[2], если
l
а;= - h dl;0 (и', !JeU)),
.i =l
Г)JР d\11) - эщменты матрицы D- 1
,
обратной к матрице D:
l t <1),в,/1)) .
(/1),н/'))
D=
(/О,пе<1)) .
(e<O,n/t))
Подставив (23) в (24) , получим:
t
(24)
(25)
р2 (и', и")= 2, dl:;-1) dl,; 1 ) (и', BeU)) (и', JЗe(k)) (ет, е("· ))
(2Н)
i, .i,k=l
для двух произвольных решений и' и и" ,
Пусть е<;) (i = 1, ... , t) - ортонормированный базис в
kc1· А -- (eCi), еИ) = l\·, а решение и" - нормальное (11), т. е. В= Е.п.
Тогда
1
Рz(и', иЕ)= S d1J 0 d;i; 1)(u', eU))(u', e(k))=
i, j, k=I
1
S (\/\1с (и', е(')) (и', e(k)) =
i , .i, li:=1
tп
п
t
= _S S (e(i))1;·
~' (и;у;) (e<i))1 =
_ S (e(i), Ue< 1:),
i=l h·= 1
1=1
i=l
где
Рис. 1
84
Точно . так же можно получить значение оценки
l
Р1(и' , иЕ) = :S (e(i), Ce(iJ),
i=l
(28)
тде С - ковариационная матрица решения и'. В частности, если
-в качестве второго решения выбрать исходное, неискаженное изо
,бражение , то оценки (27) и (28) характеризуют близость нормаль
ного решения к оригиналу.
Для того чтобы суть соотношений (27) и (28) стала более нагляд-
1IОЙ , разложим базис e<i) (i = 1, ... , t) по собственным векторам (/Jh·
.матрицы С (или U), тогда
(
п
п
)
п
'(e(i), Ce(i)) = ~ C;h•fPk , :S CipЛp(j)1, = :S C;kt 1, ,
·
h'= l
P=l
h=l
где л 1r - собственные числа .
Пусть Р - оператор проектирования из п-мерного прострап
-ства изображений на ядро kerA, тогда
п
()1(и', иЕ) = Liлk11 P{f)1, 112•
h·= 1
(29)
Сл едовательно, 1{ачество восстановления зависит не только от
-с войств самого изображения , описываемых матрицей ковариации
С (или матрицей U) , но и от взаимного расположения С , ( U) и пло
-СI{ ости kerA в п-мерном пространстве.
IV . .Для визуального сравнения восстановленных изобра ж ений
с помощью вычислительного н.омплекса обработни изобра жений
И ППИ АН СССР было осуществлено цифровое восстановление
изобра жений для :иатриц, описанных в разд. II.
На рис. 1 и 2 представлены результаты таного восстановления.
Исходное изображ ение состояло из 512 строк по 512 элементов
в строне (п = 512). Оптичес1{ая
плотность элементов равномерно
1{вю-повалась на 256 уровней (8
бит).
Искаженное изображение , по
казанное на рис . 1, а, получено
и з исходного равномерным смазом
вдо л ь строи:
'
1+1
V= t-f-ii~Uh-·
(30)
k=O
Иснаженное изображение имеет в
строке 1n элементов , на t элемен
тов меньше, чем :исходное . В ели --
Рис. 2
85
чина смаза была t + 1 = 32. Для того чтобы искаженное изо
бражение можно было считать свободным от шума, результ ат·
преобразования (30), выполненного на ЦВМ, хранился в виде
массива чисел с плавающей запятой.
На рис. 1, 6 показан·о восстановленное изображение при
В = Еп согласно выражению (11). Представленные результаты
показывают, что восстановленное изображение хорошо воспроиз:..
водит все детали, содержащиеся в оригинале. Они отличаются
от него периодичесr{ими исr{ажениями, которые сильнее в тех
строках, где есть rщнтрастные перепады яркостей.
Были также получены решения ив, оптимальные в смысJiе
среднеrшадратическоrо отrшонения для матриц ковариации С
при эr,споненциальном приближении для различных R . Для
восстановленных изображений получены средние значения ев-
п
юrидовой нормы-1⁄2-~ (ui)2, евклидовой нормы разности сосед
i=1
п-1
них элементов +Е (ui - uio1) 2 и среднеквадратичесrтго откло
i=I
п
пения от оригинала+~ (и; - (иисх);)2 . -Усреднение проводилось,
i=l
•
1, роме того, по всем строкам изображения. Полученные результа-
ты приведены в таблице.
Евклидова Евнлидова норма Среднеипадрати-
Изображение
норма
разности сосед-
ческое отклоне-
них элементов
f!ИС от оригинала
Оригинал изображения 1
1(2 ,3 17
HJ,198
о
R=0
1(2,146
18,632
5,866
R=0,95
1(2,163
18 ,еС9
5,4.94
R = -0,95
1(2,225
2С,!99
7,347
На рис. 2 приведены фрагменты искаженного (а) и восстанов
;~енных для R = 0,95 (6) и R = - 0,95 (в) изображений.
Отметим, что для выбранного <<С маза>> визуальное отличие
ыежду восстановленными изображениями незначительно, хотя
соответствующие им метри1ш существенно отличаются друг
от друга.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А. Н., Арсе1-1,ш-1, В. Я. Методы решения венорректных задач
М.: Науна, 1974.
2. Лебедев Д . С., Милюкова О. П . Линейное восстановление изображений,
искаженных линейным преобразованием. - Вопросы нибернетики: Ино
ниш1. Цифров а я обработка и фильтрацин изображений. М.: ВИНИТИ.
1978 .
86
УДК 621.391.172:621.397:681.518.2
IIEROTOPЫE МЕТОДЫ
ЦИФРОВОГО ПРЕПАРИРОВАНИЯ И30БРАЖЕНИй
Т. П. БЕЛИRОВА
Содержанием работы яв л яется дальнейшее развити е и обоб
щение следующих методов препарирования изображений:
адаптивные амплитудные преобразования [1 -- -5 ],
оптимальная линейная фильтрация и ЛОI{ализация объектов
:на изображении [2 , 4].
Для иллюстрации результатов препарир ования изображений,
получаемых указанными методами, были отобраны два снимка:
,фотография земной поверхности [6] и маммограмма мо лоч ной же
.лезы. На обрабатыва емых фотоrрафиях геологов интересовало
выделение следующи~ информативных особенностей: разр ывы
·тектонических пород, протяженность и складчатость осадочных
пород, замннутость геологичесюп структур.
При анализе сни11ша молочной железы стояла задача обнаруже
яия минрообызвествлений в ткани желез ы ( мю{роr{альцинатов ) ,
лот орые являются важным призiiаном при ранней: диаг1-юсти1,е
одной из форм злоначественной опухоли.
МинроI{альцинаты имеют вид меш{их песчинок нруглой, оваль
-ной или произвольной формы. В случае злоначественного об
разования они группируются на ограниченной площади и по
-сливаются в более I{рупные конгломераты. Размеры МИI{рокаль
цинатов при ранней диаг'ностине нолеблются в пределах десятых
долей миллиметра [7].
Работа по препарированию изображений проводилась на цифро -
1юм вычислительном комплексе, установленном в ИППИ АН СССР.
Номплекс состоит из центрального процессора - мини ЭВМ,
:устройства ввода-вывода изображений «PHOTOMATION-1700>>,
диспле:й:ного процессора, способного воспроизводить полутоновые
и цветные изображения, и ср едс тв организации диалога: программ
но-опрашиваемых I{нопон и клавиш ручного управления дисплей
ным процессором. Данный компле1{с и его программное обеспечение
позволяют проводить обработну изображений под наблюдением
пользователя и оценивать результаты по изображениям на дис
плеях непосредственно в процессе обработни.
Для проведения ЭI{спериментальных исследований по препари
рованию изображений был составлен панет соответствующих
программ.
1. Адаптивные амплитудные преобразования
1. Степенная 'интенсифиrация изображений. Степенная интен
сификация изображений [2] является одним из методов адаптив
ных амплитудных преобра зований [1, 2] и представ ляет собой
8'7
обобщение методов выравнивания гистограммы распределения
элементов изображения по величине видеосигнала (метод эква
лизации гистограммы [3]).
В случае эквализации требовалось преобразовать исходно е
изображе~iие к изображению, гистограмма распределения которого
была бы равномерной. Смысл такой операции заключался в том ,
.
что она приводит к увеличению контраста на участках изобра
жения с наиболее часто встречающимися значениями видеосигна
ла . При этом I{рутизна фушщии преоб р азования пропорциональ
на значениям гистограммы исходного изобра:жения [3] . В случае·
степенной интенсифинации I{рутизна связана степенной зависи
мостью со значениями исходной гистограммы [1] , что приводит
I{ следующей формуле преобразования сигнала:
А !Атах
В(А)=(Вшах- Bmi ,) ~ pf ~ Pf+Bmi,1,
Ami11
Amill
здесь р; ~ частота, с которой на изображении встречается зна
чение видеосигн а ла, равное i; В (А) - новое значение видеосигна
ла на преобразованном изображении, если на исходном :изобра
жении имелось значение видеосигнала, равное А; А Е [Amin,
Атах1 - диапазон значений видеосигнала на исходном изобра
жении; В (А) Е [Bmin , Вт ах 1 - диапазон значений видеосигнал а
на преобразованном изображении; k - показатель степени.
Анализ этого преобразования показывает [1], что :
1) при k > О будет происходить увеличение контраста на
часто встречающихся уровнях значений видеосигнала, причем
тем больше, чем больше k;
2) случай k = О соответствует линейному растяжению шкалы
значений видеосигнала;
3) при k = 1 получается формула эквализации гистограммы ;
4) при k < О будет происходить сжатие мод гистограммы .
При этом на изображении выделяются связные области, аналогич
ные тем , I{оторые выделяются при квантовании изображений по
модам гистограммы распределения эле:менТов изображения п<>
значениям видеосигнала [1, 4 ].
Таr{им образом, плавно 'меняя k в диапазоне его значений,
можно получать изображения-препараты , на которых будут
усилены р азл ичные особенности видеосигнала и варьируетсн
степень усиления.
Метод степенной интенсифинации может применяться в соче
тании с другими методами препарирования. Особенно удобно
его использовать после линейных методов препарирования, но
торые будут описаны ниже . В этом случае степенную иитенсифи
нацию исходного изображения можно сделать нонтенстно-за
висимой QT результатов предыдущей обработки [2] .
Интересные возможности обещает управляемая препаратом
степенная интенсифинация, ногда занон преобразования строится
88
по гистограмме изображения-препарата, а преобразуется ис
ходное изображение.
Дополнительные возможности дает амплитудно-зависимая сте
ленная интенсифиl{ация, при I{оторой преобразование осущест
вл яется в неl{отором задаваемом диапазоне значений видеосигнала.
Для ЭI{Спериментальных исследований описанного метода пре
парирования был создан паl{ет программ «Степенная интенсифиl{а
цию>.
Алгоритм работы программы состоит в следующем:
1. Подсчитывается гистограмма распределения элементов изо
бражения по значениям видеосигнала.
2. Графи!{ вычисленной гистограммы вместе с двумя верт_и
нальны:ми линиями, передвигаемыми с помощью I{HOПOI{ дисплей
ного процессора [8], высвечивается на ЭI{ране дисплея. Двигая
эти линии, пользователь может задавать и менять диапазон (Amin ,
Amax) исходных значений видеосигнала, где будет проводиться
преобразование. Видеосигналам вне этого диапазона присваивают
ся значения Bmin и Bmax соответственно.
3. Величина k задается пользователем с пульта.
4. По гистограм11,rе с учетом названного диапазона значении
:видеосигнала и величины k строится таблица преобразования:
в I{аждой ячейl{е с адресом ТABLO + А лежит новое значение
видеосигнала В (А) , вычисленное по формуле (1). Здесь TABLO -
начальный адрес таблицы, А - исходный видеосигнал.
Графю{ таблицы . преобразования высвечивается на ЭI{ране
дисплейно го процессора , туда же выдается изображение -препарат,
полученный из исходного изображения с помощью данного ал
горитма.
Меняя величину k и диапазон (Amin, Amax), пользователь
.может выбрать таl{ие параметры обработl{и, I{Оторые наилучшим
образом соответствуют данной I{Оiшретной •задаче визуального
,шализа. На рис. 1 по1,азан исходный фрагмент фотографии по
:ве рхности Земли и изображения-препараты, полученные для
разных диапазонов:
_:иВ+D(153+ 193)
Bmax = 255.
О+ А (141 + 180), В r-:- А (153 ---ё- 180)
и разных значений k (см. рис . ~); Bmiп = О,
Рис. 2 представляет результат I{Онтеl{с тно-зависимой <<сте
ленной интенсифиl{ацию>, I{оторая была использована после ра
боты описанной ниже программы «гиперболизация гистограммы>>.
Для фрагмента с мищю1{альцинатами использованы сл едующие
параметры обрабоп{и: 1) гиперболизация (с = -270; Amin =
= О; Amax = 255; Bmiп = О; Bmax = 255); 2) степенная ин
тенсифИI{ация (Amiп = О; Amax = 255; · k = -0,2; Bmiп = О;
bmax = 255).
На обработанных фрагментах
RЫШI{И, представляющие собой
тов.
хорошо различимы белые пят
изображения микро1{альцина-
2. Метод гиперболизации гистограммы. Пос1{ольку челове
чесное зрение обладает свойством нелинейности по отношению
89
к различныи видеосигналам, то воспринимаемое· изображ ени е'
буд ет иметь распределение , отличное от исн:омого.
В рабJте [5] решена задача о нахождении тю-юго преобраз о-
вания , чт J бы полученное с его п омощью изображение-пр епарат·
воспр и нималось как изображение с равномерной гистограммой•.
Была получена следующая формул а преобразования, названного,
ii-A
.В-А
Ji-JJ
Рис. 1
90
<<гипербо л изацией гистограммы>>:
А
LP
13 (А)= с [ (1-+)i=O '-1] .
Здесь с - экспериментально подбираемая неформализуемая
I< онстанта, зависящая от условий наблюдения: размеров объеr(та,
о траш:ения фона и т. д . Диапазоны значений исходного и преоб
разоваш-юго видеосигн алов: Amin + Атах (О~- 1); Вшiп ----, -- ·
Втах
(О+ 1).
В бплее общем с л учае формула преобразования будет следую
щей:
А
~р
(с + Bm1x)i=O i
В(А)=(с+Bmi:,) с+Bmin.
-
С.
Интересной с точки зрения препариро в ания является возмож
ность использования н: онстанты с в 1,ачестве некоторого пара
:метра, позволяюще го менять <<условия наблюдени ю> ис 1, омых
. i>бъы,тов. Тю,, например, при с ~ -Bш in и с ~ -Вшах п ол учается
результат, близюrй к эквализации гистограммы. При с <; -Втах
получается усиление 1,онтраста на малых значениях ви д еосигнала ,
.а при с ;,а -Вшiп увеличение контраста на больших з начениях
:видеосигнала, что существенно важно для выделения особепно
етей, лежащих на 1,01-щах диапазона значений видеосигнала (см., .
" 1нпример, [9]).
На рис. 3 приведены эr,спериментальные резулы аты по пре
-п арированию изображения с помощью программы «гиперболи
:з ация гистограммы>> для различных значений с (см. рис. 3) : Aш in +
-: Ашах
О+255; Bшin-;-Втах =О+ 255.
Рис. '2
91
Рис. 3
3. Возможные обобщения. Метод адаптивных амплитудных
преобразований можно рассматривать нак один из нласса преоб
разований, выбираемых на основании анализа иеноторой I{оли
чественной харантеристиr-ш: (или харантеристин ), измеренной
по изображению (гр адиент, среднее значение, эмпиричесная ве
роятность распределения элементов изображения по :неr{оторому
признану, эмпиричесная фушщия I{орреляции и т. д.).
В результате преобразования изображение доJrжно име·1ъ
неr{оторый заданный · вид •выбранной I{оличественной х араr{те
ристиrш (или харантеристин).
В случаях, рассмотренных выше (энвализация, степенная
интеисифиr,ация, гиперболизация гистограммы), преобразование·
выбиралось на осriовании эмпиричесной фуннции распределения:
элементов изображения по величине видеосигнала.
При энвализации требовалось найти преобразование Z ис
ходного изобран,ения И, имеющего гистограмму распределения:
Е ( U) элементов изображения по величине видеосигнала I{ изоб
ражению V, гистограмма ноторого S (V) ~;смеет равновероятны е
значения видеосигнала:
V=Z[U ]
l
1
S (V) Н _(И).
В этом случае, нан уже говорилось , r,рутиюш фуннции преоб
разования оназывается пропорциональной значениям гистограм
мы Pi· Можно потребовать, чтобы нрутизна была связана нено-
92
торой функциональной зависимостью с р;. Такое преобразовани е,
эквивалентно двум последовательным преобразованиям: преоб
разованию 'Ф , в результате н.оторого получается изображение
с новыми вероятностями q; значений видеосигнала, связанными
фушщиоиалыюй зависимостью q; = f (р;) с вероятностями зна
чений видеосигнала р; исходного изображения. Затем осущест
вляется преобразование Z этого :изображения к изображению с
равновероятными значениями видеосигнала (в общем случае·
это преобразование к заданному виду гистограммы распределения:
элементов изображения по величине видеосигнала):
V=Z['\jJ[U]].
Таное преобра зование дает возмоr1-шость изменять соотношение
между I{рутизной нелинейного преобразов ания сигнала и ег(}
гистограммой выбором функциональной зависимости f (функцио •
нальная интенсификация).
•
В случае степенной интенсификации [1, 2] q; связаны степен
ной 2ависимостью с вероятностшviи значений видеосигнала р;
исходного изображения: q; = р~, где k - показатель степени.
Преобразование будет производиться в соответствии с формулой·
(1). Изображения-препараты, полученные в результате адаптив
ных амплитудных преобразований, должны быть предъявлены
•человеку для · дальнейшего визуального анализа . При этом ока
зывается, что из-за нелинейности устройств и средств визуализа
ции и регистрации изображений, а танже нелинейности занопа
восприятия изображение, воспринимаемое человечесним зрением,.
. будет
иметь распределение, отличное от искомого.
Это аналогично действию еще одного дополнительного преоб
разования ер, вид ноторого в общем случае известен. Поэтому ес
тественно потребовать, чтобы изобрюнение-препарат имело за
данный вид количественной хара~перистиюr на выходе преобра
зования ер.
В самом общем случае задача препарирования на ос1iове адап
тивных амплитудных преобразований формулируется следующим_
образом: найти преобразование Z, позволяющее из исходного
изображения И, имеющего I{оличествю-шую хара-ктеристину
Е ( И), получить изображение с количественной харантеристю{ой,
функционально связанной с Е (И) (преобразование 'Ф) , ноторое
бы после дополнительного преобразования ер имело заданную но
личественную харантеристику 0 (W) , где W - изображение пос
ле преобразования ер:
vV= (р[Z(ЧJ[И]]]
l
l
0 (W)
Е(И).
Иллюстрацией такого подхода может служить работа [5],
где учитываются нелинейные свойства зрения, позволяющие
усиливать малые значения видеосигнала и подавлять большие
((р - логари фмичесн ая функция, 'Ф
-
тождественная функция:
93
,μ ( И) = И). -Учет этой нелинейности приводит 1, формуле ги
перболизации гистограммы распределения элементов изображения
по величине видеосигнала ( см. формулу (2)).
II. Оптимальная линейная фильтрация
Этот метод является развитием методов коррекции линейных
искажений изображающих систем. Его можно траI<товать 1,ак
оптимальную линейную фильтрацию сигнала в шуме, если под
шумом понимать несущественные для решения данной задачи
детали изображения [2]. Если сигнал, представ;r-енный на изо
бражении, занимает весь отведенный динамический диа п а
зон, а мелкие детали имеют низ1,ий I<01-1траст, то хороший эффе 1,т
Рис. 4
114
.)
./
дает п ода в J.1 ение низних и усиление высоних пространственных
частот. Таное преобразован ие позволяет значительно усилить
1,оптраст и раз Jrич:имость мелних деталей .
Эта операция может производиться . нан в спен:тральной, та 1,
и в пространственной области с по:мощыо одн о - или многонратной
парашrелыю- или последоnательно-насн:адной фильтрации сигна
ла двумерным раэделимым ре ну рсивным фильтром (2, 10]:
А
[
1
•
щ,l= g1ah',l+g2 а••,1- (Nн+N12+1)(N,i+N1~+1) х
ту"
N-,,
х I' r а1.+т,l+n] --(1- g1)ii.
m=-Na 11=--N 1
Здесь а.-, 1 - исходный видеосигнал; g1 - константа, опредtJ
ляющая степень подавления низкочастотных (медленно меняю
щихся) составляющих сигнала; g2 - константа, определяющая
степень усиления высокочастотных составляющих, отвечающих
за передачу меш{их деталей. Параметры N 11 , N 12 , N 21 , N 22 опре
деJшют размеры прямоугольной окрестности, по которой про
водится усреднение сигнала. Параметр ii задает среднее (фоновое)
значение сигнала после обработ1{и. Он выбирается так, чтобы зна
чения обработанного сигнала не выходили за пределы отведен
ного диапазона. Параметры g1 , g 2 и размеры ОI{рестности, по
которой проводится усреднение, выбираются из условия аппро
исимации требуемой частотной харю{теристики иорректируюЩЕ)Г()
фильтра, обеспечивающего максимальное отношение сигнал/шум.
В данной работе такой рекурсивный цифровой фильтр был
использован для выделения 11пшрокальцинатов на снимке молочной
железы. На рис. 4 , а дан оригинал, а на рис. 4, 6 изображение,
обработанное цифровым рекурсивным фильтром (3). Параметры
обработии:g1=О,g·2=2,N11=N12=N21=N22=16,общее
число элементов на снимке 300 Х 750. На снимке хорошо разли
чимы белые пятныш1{и, представляющие собой изображения ми
нрокальцинатов.
III. Препарирование с использованием оптимnлънбй
линейной фильтрации
и локализации объектов на изображ€нии
Часто при анализе:i изображений вознииает задача обнару
жения и лоI{ализации (вычисления н:оординат) искомого объеита
па изображении. Задача обнаружения может быть решена несю:?ль
ними способами, например методом оптимальной линейной
фильтрации, иоторая в случае аддитивной модели искомого объек
та (полезный сигнал) и наблюдаемого фонового изображения (шум)
для различных I{ритериев качества обнаружения сигнала на
фоне шума позволяет получить выражение для передаточной
харантеристини оптимального фильтра-обнаружителя (11, 12).
Таной фильтр должен быть дополнен безынерционным по
роговым решающим устройством, I{оторое по значению сигнала
па выходе оптимального фильтра-обнаружителя принимает ре
шение о наличии сигнала в данной точ1{е (13 ] .
Недоста_тном метода оптимальной линейной фильтрации являет
ся тот факт, что для многих задач обнаружения объе1{тов па
изображении взаимодействие искомого сигнала и фонового изо
бражения не может быть описано в рамиах аддит,ивной модели [2].
Известен еще один подход I{ решению задачи обнаружения
-объе1{тов на изображении, основанный на использовании
неравенства БунЯI{ОВСI{ого - Шварца [4]. Он приводит к схеме :
норрелятор (11 ] и пороговое решающее устройство . Однако этот
-метод даже на простых изображениях типа буI{В, цифр, символов
дает большую вероятность ложного обнаружения (14 ] .
96
Для решения задачи обнаружения и локализации объекта
на изображении был использован метод [2], обеспечивающий
наилучшее качество измерения по отношению к ошибкам ложного
обнаружения .
В случае обнаружения точно известного объекта на простран
ственно-однородном изображении получено следующее выраже
ние для переходной характеристики оптимального линейного
фильтра- обнаружителя координат объекта Hopt [2]:
HoptU1, /2) = at U1, /2)/jСХпU1, /2)/2.
(4)
Здесь al - величина, комплексно -сопряженная спектру искомого
объекта, ап (/1, /2) - спектр наблюдаемого изображения.
Если объект задан неточно, изображение неоднородно или
требуется Jrокализовать объект на смазанном снимн.е, выраже
ния для переходной характеристики оптимального линейного
фильтра-обнаружителя будут несколько другими [2] из- за необ
ходимости учета этих факторов. Безынерционное пороговое решаю
щее устройство, поставленное на выходе такого фильтра-обнару
жителя:, позволяет измерить координаты наиболее вероятного
местонахождения искомого объекта.
Оптимальный линейный фильтр (4) был использован для обна
ружения и ЛОК!J.ЛИзации микр<;>кальп;инатов на снимке грудной
железы.
Алгоритм работы программы оптимального обнаружения со
стоит в следующем: частотная - характеристика оптимального
фильтра обнаружителя (4) может быть записана в виде [2]
.
1
а;;' (/1, /2)
Hopt(f1,f2)= (f f) *
= Н1Hz.
ап.1, 2 ап(!1, fo)
В таком представлении действие оптимального фильтра сво
дится к преобразованию, делающему энергетичесiшй спектр сиг
нала близким к равномерному (Н1 ), и последующей корреляции
этого изображения с точно · так же преобразованным искомым
объектом (Н2). Для этого:
1. Частотная характеристика фильтра Н1 была аппроксими
рована цифровым рекурсивным фильтром (3). Параметры обра
боткибылиследующими:g1= О; g2 = 2; N11 = N12 = N21 =N22=
=2.
2. Изображение микрокальцинатов (искомый объект) задава
лось кружком 1,онтрастной яркости на постоянном фоне, диаметр
хоторого (D = 2) выбирался в соответствии со средним диаметром
микрокальцинатов, встречающихся на снимках молочной железы.
~то изображение бьщо обработано фильтром Н2 (рекурсивный
цифровойфильтр (3) спараметрами:g1 = О; g2 = 2; N11 = N12 =
=N21=N22=2).
Б ре3ультате обработки было получено изображение-маска.
3. Далее осуществлялась свертка изображения, обработан
но го фильтром Н1 , с изображением-маской. На изображении,
4 Uифровая обработка сигналов
97
получившемся после таной обработни исходного снимкн линейным
обнаружителем Hopt, в точнах, соответствующих ноординатам
исномого объента, будут находиться энстремумы значений видео
сигнала.
4. Далее работала программа поисна лональных энстремумов у
осуществляющая поисн заданного числа лональных энстремумо .в
на изображении. :Координаты и значения энстремумов при необ
ходимости могут быть выведены на печатающее устройство .
Для визуализации найденных минрональцинатов были исполь
зованы методы построения графичесних препаратов [2].
1. Использована программа, ноторая рисует нружни задан
ного диаметра в ноординатах, соответствующих найденным эн
стремумам .
2. Для проверни правильности нахождения минрональцинатоlf
эти нружни были нанесены на снимон молочной железы, предвари
тельно обработанный оптимальным линейным фильтром (3) с пара
метрами:g1=О;g2=2;N11=N12=N21=N22=16(см.рис~
4, в, г). На рис. 4, в обработна проводилась по левой половине
снимна. На рис. 4, г поназан результат лонализации минрональ•
цинатов по всему изображению. На рис. 4, д найденные минро
Rальциi:Iа'IIj{ нанесены на исходный снимон. Рис. 4, е поназывае1•
изображение · с нанесенными линиями равных · зцачений плотно
сти минрональцинатов. Линии очерчивают области, где вероят
ность нахождения минрональцинатов наиболее высоR J.
Предложенный метод обнаружения был апробирован и доло
жен на межотраслевой медино-техничесной нонференции <<Новая
технина в медицинсной прантине>> [15), где получил положитель
ную оценну.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ве.ликова Т. П., Ярос.лавский Л . Л. Использование адаптивных а~шли
тудных преобразований для препарирования изображений.- Вопросы
радиоэлектроники. Сер. общетехническая, 1974, вып. 14, с. 88.
2. Ярос.лавский Л. П. Введение в цифровую обработку изображений. м. ~
Сов . радио, 1979.
3. Hall Е. Н. Almost uniform distribution for computer image enhancement.-
IEEE Trans . on Comput., 1974, vol. С-23, N 2, р. 207-208.
4. Рове1-1,фе.лъд А. Распознавание и обработка изображений. М .: Мир, 1972.
5. Werner F. Image enhancement Ьу histogram hiperbolization.-
Comput .
graph. and image proces., 1977, vol. 6, N 3, р. 286-294.
6. Ве.ликова Т . П. , Ярос.лавский Л. Л . Препарирование изображений в диа
логовом режиме в задачах медицинской диагностики и исследования
природных ресурсов.- Автометрия, 1980, No 4.
7. Сергеев С. И., В.ласов Л . В., Островская И. М. Комплексная диагР.ост и
ка рака молочной железы.- М.: Медицина, 1978, с. 126-132.
8. Вокштей1-1, И. М. Дисплейный процессор для диалоговой обработни по
лутоновых изображений.- Наст. сб.
9. К inime С., Sklansky J. Meclically significant features for image display. -
Ргос. of the Symposium on computeraided diagnosis of medical images .
Coronado (California), 1976.
10. Кро1-1,род А. Неснольно задач обработки изображений . - Вопросы кибер
нетики, 1978, вып. 38, с. 49 - 59.
98
11. Л еви,ь В. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.:
Сов. радио, 1978. Ч. 2.
•
'12. Возеикрафт Д., Джекобс И. Теоретические основы техниI<и связи. М.:
Мир, 1968.
13. Френкс Л. Теория сигналов. М.: Сов. радио, 1968.
14. Ярославский Л. П. Точность и достоверность измерения положения
двумерного ·объекта на плос1{ости.- Радиотехника и эле1{тропика, 1972,
•No4.
'15. Беликова Т. П., Ярославский Л. П., Джапчаров Д. И. и др. Использо
вание ЭВМ для выделения некоторых патологических изменений па мам
мограммах: Материалы межотраслевой I{онферепции <<Новая техюша
в медицинсиой праитиие>>. М.: 1-й Московский: медицинс1шй: институт
им. И. М. Сеченова, 1978.
УДН: 681.325:621.379
АВТОМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ИНТЕРФЕРОГРАММ
НА ЦВМ
А.Н. УШАНОВ
Интерференция света широRо используется для измерения,
.анализа и RОIIтроля различных физичесRих параметров: степени
.деформации тел [1, 21, сRорости [3), Rачества обработRи поверх
ности [4-6], в диагностиRе плазмы [7-9] и т. д. Расширение
-объема исследований и повышение точности измерений ставят задачу
автоматичесRой обработRи интерферограмм [10-15]. Задача мо
жет решаться RaR созданием RомплеRса интерферометр-ЦВМ,
так и специализированных RомплеRсов по обработке интерферо
грамм, записанных на промежуточном носителе. Назначением
-первого является быстрая обработка интерферограмм, а второго -
-обработRа интерферограмм, полученных на различных типах
интерферометров, и обработRа интерферограмм быстропротеRаю
щих процессов.
Анализу интерферограмм, записанных на промежуточном
носителе, посвящены работы [7 , 8, 10-14]. В [10, 12-14] обработ
ка ведется по сечению интерферограммы вдоль заранее выбран-
1юго направления. Результатом является выделение эRстремаль
ных точеR вдоль этого сечения и восстановление фазы в этих
точках. В промежутRе между экстремальными точRами проводит
·СЯ линейная интерполяция. В [7, 8] рассмотрено выделение эRстре
мальных линий с помощью согласованного фильтра. Параметры
фильтра выбираются эмпиричесRи и остаются неизменными при
обработRе всей интерферограммы. Этим методом можно обраба
·тывать тольRо те интерферограммы, где расстояние между линия
ми праRтичесюr неизменно. В [11] предложено математичесRое
-описание интерферограммы, зарегистрированной на фотопленRе.
Там же рассматривается построение по_лосового и эмпиричесRого
:винеровсRого фильтров для подавления шума регистратора, а
4*
99
также коррекция низкочастотных. искажен ий . Автоматическа m
двумерн а я фил ьтр а ция узкопо л осных интерферограмм (интер-·
феро гр амм , <шолоса>> частот которых много меньше << п олосы >>,
ча стот ш ума) рассмотрена в [16, 17]. В [181 приведен ал горитм,
двумерной инт ерпо л яции фазы , з аданной на экстремальных ли
ниях.
В работ е р а ссматривается вопрос измерения фазы интерферо-
грамм.
1. Описание зарегистрированной интерферограм111ы
Задача восстановления фазы по интерферограмме, зарегистри
рованной на фотопленке, определяется характером априорных
сведений об интерферограмме и о шуме. Опишем кратко модель1
зарегистрированной интерферограммы, предложенной в [11].
Интерферограмма, образованная в результате взаимодействия
двух плоских волн (именно такие интерфе р ограммы и будут рас
сматриваться в дальнейшем) на выходе идеального интерферометра •.
представляет собой волновое поле, интенсивность которого в каж-
дой точке
•
lид(х,у)= Di+D:+2D1D2cos (2:rt/л)cp (х, у) =Dсм+
+ Dам cos (2:rt/л)cp(x, у),
(1 ),
где D 1 и D 2 - амплитуды опорной и предметной волны, л ~ длин а
волны источника света, ер (.-r, у) :--- фаза , подлежащая измерению ,
Dсм = D~ + D: и Dам = 2D1D2• Из-за пространственной и вре
менной нестабильности источника излучения, дрейфа интерфе
рометра, турбулентности атмосферы, искажений, вносимых по
сторонними волновыми фронтами, разл ичия оптических свойстR
измеряемого объекта (показателя преломл ения, показателя отра
жения) [11, 15, 19 - 21 ] интенсивность наблюдаемого сигнал а
lн (х, у) на выходе интерферометра отлична от lид (х, у) . В перво:м;
приближении она равна
lид= А(х,у)cos(2:rt/л)cp(х,у)+В(х,у),
(2 )·
где А (х, у) и В (х, у) - шумы, более низкочастотные, чем функциЯs
cos (2:rt / л)cp (х, у). Интерферограмму, зарегистрированную на фо
топленке в виде плотности почернения, можно описать в виде,
IР(х,у)= F{А(х,y)cos(2:rt/л)cp(х,у)+В(х,у)}+N(х,у),(3))
где F{ •} - функция , описывающая нелинейные свойства шrенюгr
N (х, у) ~ шум зернистости пленки. В первом ЛJ?Иближепии шум.
пленки является аддитивным по отношению к сигналу и не за-
висит от него. На рис. 1, 2 представлены интерферограмма ш
график ее сечения. На графике хорошо заметны низкочастотные,
шумы, шум регистратора, а также нелинейные искажения фо
топленки (см. также [11 ]).
100
Рис. 1
·--
-
,,--
~- -- ~-~ ·--•·-· ·-----.•
-
--~
___
____
1( ___11
11
1'1
1
1~1\
11
1
1
\
i,
\ /1:
~
-
.
11 ___
.
-
..
-
Рис. 2
'2. Восстановление интерферограмм
Исходя из описания зарегистрированной интерферограммы,
было принято проводить ее восстановление, т. е. оценку фазы
· <р (х, у) в каждой точке поля по этапам [11]. Общая блок-схема про
цесса восстановления интерферограммы приведена на рис. 3.
·Фильтрация низкочастотных шумов и шума регистратора про
,водится для увеличения точности оценки фазы, и при низком
уровне шумов ее можно не проводить.
1-\орреrtция нелиней1rых искажений .
Фильтрация шумов регистратора
Фильтрация низночастотного шума
l
Восстановление относи·гельного значе
ни11 фазы
Восстановление абсолютного значения 1
фазы
Рис. 3
Rоррек ция нелинейных искажений~ В большинстве случаев
при правильном подборе режима съемки и обработки пленки ре
гистрация интерферограммы происходит на линейном участке
характеристической кривой пленки, тогда F {z} = ylnz, где
'\' -
коэффициент контрастности пленки. Для коррекции не
линейных искажений предлагается взять обратную функцию
F-1 {z} = ехр (-z/y ). В этом случае откорректированную ин
терферограмму можно записать в виде
I,юр (х, у) = [А (х, y)~os (2:л /л)ср (х, у) + В (х, у)] cosN (х, у),
(4)
у)+В(х,у)]+
(5)
априN(х,у)<у
Iнор (х, у) = N (х, у)у-1[А(х, y)cos (2:л/л)ср (х,
+ А (х, y)cos (2:л/л)ср (х, у) + В (х, у).
Для интерферограммы на рис. 1 измеренное значение у .со
ставило 0,95. На графике сечения интерферограммы это соответ
ствует 10,5 клеткам. Из графика видно, что N (х, у) < у, что
говорит о справедливости представления I нор (х, у) в виде (5)
для 'рассматриваемой интерферограммы.
Фильтра ция шумов регистратора. Способы построения филь
тров определяются, как и решение всей задачи восстановления,
Iарактером априорных сведений об интерферограмме (сигнале)
и шуме. В частности, один из первых вопросов, который возникает
при построении фильтров,- можно ли считать данную интерфе
рограмму реализацией некоторого ста ционарного процесса или
102
нет. Есл и интерферограмма является реализацией стационарного
процесса, то можно строить фильтр для всей интерферограммы,
если нет- необходимо использовать фильтр с перестраивающимися
параметрами. Следующий вопрос - это выбор фильтра и оцен~tа
его параметров. Если ограничить KJia cc фильтров линейными,
то для оптимальной · оценки сигнала, набл юдаемого на фоне ад
дитивного шума, требуется знать корреляционные функции сигна
ла и смеси сигнала и шума [22 ]. И;з этих параметров по имеющейся
интерферограмме можно оценить только эмпирическую корре
ляционную функцию смеси сигнала и шума. Оценка корреляцион
ной функции сигнала по единственной имеющейся интерферо
грамме представляет сложную задачу. Rроме того, только в слу
чае бесконечной области наблюдения передаточная функция
фильтра Н (ffix, ffiy) определяется непосредственно через фурье
образы корреляционных функций (энергетические спектры) сиг
нала и смеси сигнала и шума
Н (ffix, ffiy) = Sc (ffix, ffiy) / Scш (ffix, ffiy),
(6)
где Sc ( ffix, ffiy) - энергетический спектр сигнала, Sсш ( ffix,
ffiy) - энергетический спектр смеси сигнала и шума. В случае
полубесконечной области наблюдения этого уже недостаточно.
Так, в одномерном случае в передаточную функцию оптималь
ного линейного фильтра, помимо энергетических спектров сигна
ла и смеси сигнала и шума, входит результат разложения энерге
тического спектра · смеси на сомножители Sсш (ffi) = [G + (jffi)]1 X
х [G+ (tffi) ] 2 • Первый из сомножителей имеет все полюса и нули в
левой части s-плоскости., а второй является зеркальным отобра
жением первого относительно оси jffi. Практические способы та
кого разложения существуют только в некоторых частных слу
чаях, например в случае рационального энергетического спектра
[23]. Таким образом, для полубесконечного случая наблюдения,
кроме трудностей в оценке энергетических спектров сигнала и
смеси сигнала и шума, возникает еще слмкность разложения
оценки спектра смеси сигнала и шума на множители. Из сказан
ного сл~ дует, что теоретически вид оптимального линейного .
фильтра известен, но оценка его параметров в кю-r-щом конкрет
ном случае может представлять сложную зада чу.
Рассмотрим два под хо да к оценке пара метров квазиоптималь
ных фильтров. В первом имеет место узкополосная интерферограм
ма , т. е. интерферограмма, <шолоса>> частот которой много меньше
<<полосы>> частот шума. Второй подход предлагается использовать
для широкополосных интерферограмм.
Фильтрация узкополосных интерферограмм. Фильтрация при
построчной обработке интерферограмм рассмотрена в [11, 14].
Для оценки сигнала используются эмпирический квазивинеров
ский и режекторный фильтры. В [11] описан также двумерный
ре ,-н екторный фильтр. Параметры передаточной фуннции фильтра
в этих работах выбирались эмпирически на основе визуального
анализа графика нвадрата модуля фурье-преобразования (:КМФП )
1Q3
смеси сигнала и шума. Рассмотрим вопрос автоматического по
строения фильтра для случая некоррелированного шума (таков
в первом приближении шум фотопленки). Предлагается следую
щий алгоритм построения передаточной функции фильтра *.
Рассматривается смесь сигнала и шума в области КМФП. Под
сигналом здесь понимается интерферограмма, зарегистрирован
ная на фотопленке Ip (х, у). По некоторому критерию КМФП
разбивается на две подобласти~ подобласть Ve, где присутствуют
сигнал и шум, и подобласть Vш, где сигнала нет (точнее, его зна
чение много меньше значения шума). Тогда на подобласти Ve
передаточная функция должна быть близкой к единице, а на ·
Vш - к нулю. В ряде случаев удобнее разбивать на подобласти
не КМФП, а модуль фурье-преобразования (МФП) или логарифм
КМФП. Это связано с сокращением динамического диапазона
сигнала. В экспериментах по фильтрации разбиению подвергался
МФП. Разбиение на Ve и V ш проводится сравнением в каждой
точке МФП смеси сигнала и шума Rеш (u:J:0 wy) с порогом Ru,
Порог предлагается выбирать на основе критерия идеального
наблюдателя. Для его определения требуется знать плотность
вероятности МФП смеси сигнала и шума, плотность вероятности
МФП шума и априорную вероятность наблюдения шума в обла
сти МФП. Плотность вероятности шума в пространственной об
ласти часто бывает известна, и тогда можно рассчитать ее плот
ность вероятности для МФП. В случае фотоплеюш при достаточ
нои усреднении по зернаи пленки плотность вероятности шума
в пространственной области. имеет гауссово распределение. Тогда
в области МФП плотность вероятности шума описывается рэлеев
ским распределением [24]
(7)
где cr 2 - дисперсия шума. Плотность вероятности МФП , смеси
сигнала и шуиа неизвестна, и ее необходимо задавать априори.
Неизвестные параметры плотности вероятности МФП смеси,
плотности вероятности шума и априорной вероятности наблю
дения шума предлагается определять автоматически по наимень
шему среднеквадратическому отклонению между экспериментально
вычисленной нориированной гистограммой МФП смеси сигнала
и шума и теоретической нормированной гистограммой, под ко
торой здесь понимается сумма плотности вероятности смеси
сигнала и шума Реш (г), умноженной на априорную плотность
смеси сигнала и шума Реш, и плотности вероятности шума, ум
ноженной на априорную вероятность наблюдения шума Рт, т. е.
hт (г) = РшРm (г) + РешРеш (1·),
где Реш = 1 -:Рш, В эксперименте плотность вероятности МФП
смеси сигнала и шума была аппроксимирована равномерным рас
пределением на отрезке [О, rм l , Неизвестные параметры cr, rм,
* :Краткое описание алгоритма приведено в [16, 17].
104
Рш определялись описанным выше способом. Порог Rп определяет
ся из уравнения
ршr(r2).1-рш
--2-ехр --2
z=
.
cr
cr
rм
(8)
В качестве фильтров использовался
передаточной функцией
режекторный фильтр (Ф1 ) с
{о при
•Н1(CDx, CDv) = 1 при
(CDx, CDy) Е V ш,
(ffix, ffiy)EVc,
и эмпирический квазивинеровский фильтр (Ф2) с передаточно й
функцией
Н2 (CD;,;, ffiy) = (в~ш ;w" ro~) -Ri
Rсш ((!)х, Ct'11)
где R'fv - спектральная плотность мощности шума, значение ко
торой определяется по величине а2 ; R~ш (ffix, CDy) - КМФП смеси
сигнала и шума. Для уменьшения эффективной площади, занимае
мой сигналом в области МФП, в пространственной области смесь
сигнала и шума умножалась на маску [25]. В пространственной
области маскирование приводит к сглаживанию смеси сигнала
и шума на границе области определения до среднего значения .
Для · количественного анализа результатов фильтр1!-ции экспери
мент был проведен на модельной интерферограмме , генерируемой
в ЦВМ в виде суммы идеальной интерферограммы (рис . 4) и б елог о
гауссовского шума [26], составляющего 5 % по мощности от си
гнала (рис. 5). На рис. 6 представлен результат фильтр а ции шум а
регистратора фильтром Ф2. В таблице приведен измеренный выиг
рыш отношения сигнал /шум на выходе фильтра k (по мощности) .
Для сравнения результатов построен эмпирический в инеровс к ий
фильтр (ФЗ). Для оценки нижнего пр едела ошибки построен
теоретический винеровский фильтр (Ф4). В качестве е го переда
точной функции было взято отношение КМФП идеальн ой интер
ферограммы (интерферограммы бе з щума) к сумме КМФП идеа;тr ь
ной интерферограммы и энергетического спектра шум а .
k
Тип преобразования
1
lf.
Фl
Ф2
ФЗ
Ф4
Фурье
35
38
11
54
Уолша
-
3,3
2,4
-
В случае, когда фил ьтрация проводится ш1 реальной интер фе
рограмме , в качестве оценки коэффициента k предлагается бр ать
105
Сигнал
-
'
'
/\
'
/1,
/
/1
/\/'
I
\/
'
\
)
)
1/
-
'-
Рис. 4
Рис. 5
Оfнаружение
-
'
\ 11\
j
/\//\
/\/\/
i\1\-
,
.
'
'
)
J
/
..,
V
106
Fис. 7
отношение площади области, где было принято решение о наличии
сигнала, ко всей площади МФП. Измерение k по отношению пло
щадей для рассматриваемой интерферограммы дало k = 68
(фильтр Ф1). Завышение оценки вызвано сцедующим обстоятель
ством: на обнуленной части МФП присутствует сигнал , хотя
• и более слабый, чем шум . На рис. 7 приведены: логарифм НМФП
идеальной интерферограммы, его перспективная проекция, пер
спективные проекции логарифма НМФП идеальной маскирован
ной и зашумленной интерферограмм.
Наряду с представлением сигнала в фурье-области рассмо
трим его представление в области преобразования -У олша . Раз
ложение в ряд Фурье является оптимал ь ным для бесконечного
гармонического сигнала и ближе к оптимальному для гармони
ческого сигнала , заданного на понечной области наблюдения,
чем разложение по · функциям -Уолша . Одна.1-0 преимущество
преобразования -Уолша в его быстродействии . Резу.тrьтаты эк
спериментов по фильтрации также приведены в таблице .
.,,
Эксперимент по фильтрации был проведен также на реальной
интерферограмме. На рис. 8 представлены графю< и ее сече~ия до
(а) и после (6) фильтрации. Фильтрация проводилась и - области
{07:
Рис. 8
МФП фильтром Ф2. На основе отношения площадей была оценена
величина k (k = 31). На рис. 9 и 10 приведены перспективные про
екции логарифма КМФП реальной интерферограммы до и после
фильтрации.
• Фильтрация широкополосных интерферограмм. Назовем ма
тематической интерферограммой функцию I м (х, у) = cos (2n/л) ер•
•(х, у) [11]. Будем считать, что в каждой точке волнового поля
в пределах окрестности I (х, у), размер которой зависит от коор
динат точки, математическая интерферограмма является гармо
ническим сигналом вдоль направления а (х, у). В направлении
«1.. (х, у), перпендикулярном а (х, у), будем считать интерферо
грамму постоянной функцией. Вектор а (х, у) также зависит от
координат точки. В дальнейшем без большой потери общности
ограничимся квадратной · окрестностью L (х, у) со стороной 2Л.
Построим подвижную систему координат О' Х'У' с осью О' Х',
направленной вдоль вектора а (х, у). Тогда на основе выбранной
модели интерферограмму в новой системе Rоординат в точке
(х,_ у) в пределах окрестности L (х, у) можно запис~ть как
:fн (х', у') = А (х', у') cos wx' + В (.i', у');-
(9)
108-
Рис. 9
Рис, 10
где w (х, у) - частота гармоничес1{ого сигнала в данной точке.
Для выделения сигнала из имеющейся смеси сигнала и шума по
строю,,~ ан;изотропный сглаживающий фильтр, ориентация и им.
пульсная реакция которого изменяются от точ1{и к точке.
Анизотропные фильтры, перестраивающие свою ориентацию
в соответствии с ориентацией данно го участка изображения.
применяются для улучшения качества изображений [27-31],
выделения контуров [32, 33], при анализе линий на штриховых
изображениях (фотографии тре1{ов) [34] . Их реализация возмо ж
на средствами электронной оптики [34,. 35], аналоговой тех нию1
[27, 29, 31] и на ЦВМ [30, 31, 33].
Выберем в качестве апертуры сглаживающего фильтра прямо
угольную апертуру со стороной 2Л 1 , параллельной а (х, у), и
2Л 2 , параллельной а_1. (х, у) . Выбор прямоугольной апертуры сгла
живания связан с удобством ее реализации на ЦВМ. Линейные
размерь1 апертур Л 1 и Л2 предлагается определять из условия
максимума выигрыша ·отношения сигнал/шум на выходе фильтра
k (Л 1 , Л2 ). Вдоль направления а-1_ (х, у) сигнал постоянен, и мак
симальное значение k ( Л2) достигается при максимальном значенииr
Л2 , т. е. при Л2 = Л [24]. Зависимость k (Л-1_) при постоянных
значениях А (х, у) и В (х, у) выражается следующей фующи
ей:
k(Л)=
8Л sin2 wЛ1 (В+А cos 0)2
(1Оу.
J.
w [А2sin2wЛ1cos20+4АВ sinwЛ1cos0+wlJ1(2В2+А2)]'
где 0 - фаза гармонического сигнала в данной точке поля. Счи
тая 0 с равной вероятностью принадлежащей отрезку [-л /2 "
л/2], kcp (Л1) = 4Л2 (Л1w2)-1 sin2wЛ1. Максимум kcp (Л1) дости
гается при Л 1 = 1,166w-
1
и равен 4,552w-
2
.
Для того чтобы ам,
плитуда гармонического сигнала не изменялась от точки :к:
точке, следует взять импульсную реакцию фильтра равной:
0,25w (Л 2 sin wЛ 1) -1 . В этом случае гармонический сигнал на.
выходе фильтра равен его значению на входе, а дисперсия шум а
меньше в 2,19-10-1 w2 раз.
Для построения фильтра необходимо знать ло1шльную частоту
математической интерферограммы и ее Jiокальную ориентацию _
Для их оценки рассмотрим сигнал Ic (х, у) = lн (х, у) - Ь (х, у) _
В качестве Ь (х, у) либо возьмем среднее значение наблюдаемой:
интерферограммы при малом уровне низкочастотного аддитив
ного шума, либо построим поверхность, описывающую низко
qастотную аддитивную компоненту шума. За оценку периода:
Т (х, у) математической интерферограммы предлагается принять.
удвоенное кратчайшее расстояние между двумя соседними ли
ниямμ перехода через -ноль сигнала Ic (х, у). Для определеник
ориентации фильтра рассмотрим квадратную окрестность с цен
тром в данной точке и стороной О,5Т (х, у). Вычислим коэффици
ент корреляции между наблюдаемым сигналом, заданным на выб
ранной окрестности, и поверхностью / (х, у) = cos (2лх/ Т (х, у)) ,
ориент1iрованной вдоль одного из возможных направлений ориен-
110
,1
"'1
'\
f'
!
/\/\/\
/
1
1
1
'
/
1
\
1
\/\_
'
/\~
"
/
1
\
\/
/
\1 \/
J
JЧ/
j
..
• 1Рис. 11
Рис. 12
тации фильтра. За направление ориентации фильтра предла
гается принять направление, вдоль которого корреляция макси
мальна. Следует отметить, что измеренное значение периода может
Qтличаться от истинного периода математической интерферо
граммы, ориентация фильтра мо,-1-{ет не совпадать с локальной ори
ентацией математической интерферограммы и сама математиче
ская интерферограмма может отличаться от ее гармоничес1"'ой
модели. Эти отличия приводят к флуктуации амплитуды на вы
ходе фильтра и в конечном счете к погрешности в оценке фазы
интерферограммы. Влияние указанных и некоторых других фак
торов на точность восстановления будет рассмотрено после во
nроса фильтрации низкочастотного шума.
Эксперимент по фильтрации проводился как на интерферо
грамме, генерируемой в ЦВМ, так и на реальной интерферограм
ме. Результат фильтрации инт ерферограммы, генерируемой в
ЦВМ (см. рис. 5), представлен на рис. 11. Измерение показа
ло, что отношение сигнал/шум на выходе фильтра возросло
в 23 раза. На рис. 12 представлен результат фильтрации реальной
интерферограммы, изображенной на рис. 1.
Фильтрация низкочастотных шумов интерферограммы. Для
фильтрации низкочастотного шума воспользуемся априорной ин
формацией, со гласно которой значения локальных максимумов
(минимумов) математической интерферограммы равны между со
бой [11]. Определим координаты этих экстремумов и построим
пове рхность огибающей максимумов W+ (х, у), которая на ли
ниях интерференционных максимумов равна максимумам от
фильтрованной интерферограммы. Между линиями предлагается
про вести либо ступенчатую аппроксимацию огибающей (кванто
вание огибающей), либо ее интерполяцию. В качестве ступенчатой
аппроксимации предлагается в промежутке между соседними
интерференционными минимумами приравнять значения W + (х, у)
3начению лежащего между этими линиями интерференционного
максимума. Аналогично построим поверхность огибающей ми-
111
нимумов W _ (х , у) . За оценну аддитивного низночастотного шум"'
(смещения интерферограммы) в наждой точне мо жно принят ь сред
нее значение между поверхностями огибающих мю{симу мов и ми
нимумов
JJ(х,у)= 112(W+(х,у)+W_(х,у)),
(11 )
а за оценну мультиплинативного шума (ампл итуды инт ерферо
граммы) - их разность
А(х, у)= 1/2(W+(x, у) - W_ (х, у)).
(12)
Исходя из · таной оценни низночастотных шумов , в начеств·е оцен
Rи фазы интерферограммы предлагается взять
Ф(х,у) = arccos [(lн(х,у) - lJ (х, у))/А(х, у)],
(13 )
где через l н (х , у) обозначена интерферограмма после фильтра
ции _на ней шумов регистратора.
3. Точность восстановления интерферограммы
В соответствии со схемой восстановления ошибна в оценне
фазы в наждой точне поля ЛФ (х, у) определяется отличием интер
ферограммы на выходе сглаживающего фильтра от ее действи
тельного значения Л/н(х,у) • Iн(х,у)- lн(х,у) и ошибкой
в оценне низночастотных шумов ЛА (х , у) и ЛВ (х , у). Исходя и:з:
• (13) ошибка фазы
ЛФ(х,у)=Ф(х,у) - arccos {cosФ(х,у}+[lн-(х,у)-
-- I(х,у)- ЛВ(х,у)
-
ЛА (х, у) cos Ф (х, у)]/А(х, у)}. (14)
Ошибка в оценке низкочастотных шумов связана е ошибкой в
оценке значения lн (х, у) на линиях интерференционных макси
мумов (миниl\1умов), ошибкой интерполяции огибающих и флук
туацией амплитуды интерферограммы на выходе сглаживающего
фильтра , вызванной ошибкой в измерении параметров сгла жи
вающего фильтра в каждой точr{е поля и отличием математиче'
ской интерферограммы от ее модели. Ниже будут подробно рас
смотрены эти ошибr{и для случая фил ьтрации шума регистратор а
анизотропным фильтром. При фильтрации шума регистратора·
в частотной области оценить флуктуации а:мплитуды интерферо
граммы трудно. Анализ интерферограмм на вьrхо де такого фильтра
позволяет предположить, что они малы , и в первом приближе
нии их можно не учитьщать.
Влияние смещения интерферограммы на точность оцен ки фазы.
Одним из параметров используемого адаптивного сглаживающего,
фильтра является период (частота) математической интерферо
граммы. Период измеряется в каждой точке поля по кр атчайшему
расстоянию между соседними линиями перехода через нуль сиг
нала Ic (х; у). На точность оценки результата измерения влияет
остаточное смещение сигнала ЛЬ (х, у) = В (х, у) - Ь (х, у). Рас-
112
смотрим, как связано остаточное смещение с точностью оценки
фазы.
Можно показать, что амплитуда гармонического сигнала на
выходе сглаживающего фильтра при ЛЬ (х, у) < А (х, у) равна
Асм = А0 sin [(1 + вт) @Л1]/[(1 + Вт) sin ffiЛ1],
(15)
где А 0 - амплитуда гармонического сигнала на входе фильтра,
вт · - относительная ошибка в оценке периода математической
интерферограммы,
Вт= 1 - (1/п) [arccos ль (xi, Yi) + arccos ЛЬ (х2, У2)] •
(161)
А (х1, У1)
А (:z:2 , У2)
Здесь через (х1 , у1) , (х2 , у2) обозначены координаты соседних ли
ний перехода через нуль сигнала / 0 (х, у), находящихся на крат
чайшем расстоянии друг от друга. При постоянном остаточном
смещении относительная ошибка в определении периода постоянна
на области, ограниченной соседними нулевыми линиями, поэтому
Асм также постоянна на этой области. На соседних областях ве
личины вт имеют разные знаки, поэтому изменения амплитуд
ЛАсм- = Асм- - А 0 на соседних областях ЛАсм, и ЛАсм, в co-
i
i
ответствии с (15) тоже имеют разные знаки. При Вт< 1 j ЛАсм, j:::::::;
::::::: j ЛАсм, j. Будем считать, что изменение смещения между со
седними линиями максимумов (минимумов) много меньше самого
смещения. В этом случае независимо от характера интерполяции
огибающих :цоверхности W + (х, у) и W _ (х, у) равны соответствен
но
w+ (х, у)
W_ (х, у)
ЛЬ(х,у)+А0+ЛАсм(х,у),
ЛЬ(х,у)+А0- ЛАсм(х,у).
(17)
(18)
Тогда,следуя(11)и(12),А(х,у) =АOиВ(х,у) - ЛЬ(х,у)+
+ ЛАсм• В то же время действительное значение амплитуды
гармонического сигнала на выходе фильтра равно либо А 0 +
+ ЛАсм, либо А 0 - ЛАсм • Следовательно, в каждой точке ошибка
в оценке смещения и амплитуды одинакова и равна ЛАсм• Для
оценки средней ошибки смещения и амплитуды п_о всему полю ин-
ф
u
2
2
тер ерограммы ВсмА и Всмв и их дисперсии О"смА и О"смв предположю,~ ,
что 4._Ь (х, у) /А (х, у) - медленно меняющаяся функция, с равной
вероятностью принадлежащая интервалу [- (ЛЬ/А)м, (ЛЬ/А)м].
Тогда при
ет<1
2
2
2
41А21
2
О"смА=О"смв = О'см = 3 n2 о( - ffiЛ1ctgffiЛ1) •
(19)
Влияние дискретизации линий на измерение периода. Ошибка
в оценке периода интерферограммы связана не только со смеще
нием интерферограммы, но и с дискретизацией линий перехода
через нуль, что в свою очередь связано с дискретизацией интер
ферограммы в ЦВМ. Аналогично (15) при наличии ошибки в из-
113
мерении периода Т (х, у) амплитуда гармонического сигнала на
выходе сглаживающего фильтра
Ад = А0Т (х, у) sin [wЛ1 (1 + ЛТ/Т)]/[(Т + ЛТ) sin wЛ1],
(20)
где ЛТ - ошибка измерения. Величина ЛАд = Ад - А 0 так же,
как и ЛАсм, постоянна на области, ограниченной соседними нуле
выми линиями, но в отличие от ЛАсм ее значение носит случай
ный характер . Записав соответствующие вырюнения для W + (х, у)
иW_(х,у), можно получить, что А(х,у) =А0+1/2(ЛАд,+
+ЛАд,) и lJ(х,у)= 1/2 (ЛАд, - ЛАд,), где через ЛАд,иЛАд,
обозначены значения ЛАд на соседних областях. Предположим,
что шаг дискретизации~равен единице, нулевая линия с равной
:вероятностью лежит внутри интервала дискретизации, ЛТ ~ Т,
'Гоrда средние ошибки в оценке А (х, у) и lJ (х, у) равны нулю, а их
дисперсия одинакова и равна
а~= 1/12А~(1+wЛ1ctgwЛ1)2/Т2(х,у). ,
(21)
Если предположить, что значение периода данной интерферограм
мы с равной вероятностью лежит между ТмrN и ТМАХ, то дисперсия
отклонения А (х, у) и lJ (х, у) по всей интерферограмме из-за ди
скретизации нулевых линий
Ь~А = а~в = А~ (1 - wЛ1 ctg wЛ1)2/(12ТмАхТмш),
(22)
Ориентация фильтра. Параметром сглаживающего фильтра,
помимо периода математической интерферограммы, является его
ориентация . Точность ориентации фильтра определяется · точ
ностью ориентации математической интерферограммы в каждой
'Гочке поля и числом направлений ориентации цифрового фильт
ра. Последнее связано с заданием сигнала на дискретном растре .
Если интерферограмма после ввода ее в ЦВМ задана на прямо
угольном растре, то наиболее простым с точки зрения реализации
на ЦВМ является фильтр с двумя направлениями ориентации,
а если интерферограмма задана на гексагональном растре - то
с шестью направлениями ориентации. При большой апертуре
фильтра число направлений ориентации фильтра может быть уве
личено. Рассмотрим ошибки, I{ которым приводит неточная ори
ентация фильтра.
, Пусть угол между вектором aj_ (х, у), вдоль которого матема
тическая интерферограмма предполагается неизменной в преде
лах некоторой окрестности, и соответствующей стороной прямо-
угольной апертуры сглаживающего фильтра равен f. Можно по
казать, что в этом случае амплитуда математической интерферо
граммы на выходе фильтра
А = 2А0sin(wЛ1sin~) sin(wЛ2cos ~)
Ор
Л•2i:•
Л
(J) 1Slll '?Slll(J) 2
(23) .
При измен:ении [ от точки к точке происходит изменение ампли
туды сигнала. Если изменение угла Л[ много меньше значения 1,
114
r>
то изменение амплитуды близко к линейному и при линейной:
интерполяции огибающих максимумов и минимумов ошибка
в. оценке А (х, у) и В (х, у) мала. Максимальная оmиб1-ш в их оцен-
ке при фиксированном Л1 возникает при максимальном значении
I Для фильтра с двумя направлениями ориентации. максимальная
ошибка в оценке фазы из-за неправильной ориентации f = л/4.
Численный расчет ЛА 0р и ЛВар при f = л/4, Лl = f/4 для сгла
живающего фильтра с параметрами rоЛ1 = О,31л и rоЛ 2 = О,5л
дает ЛАар = ЛВ0р = 2,9,1О- 4А 0 • Эту ошибку можно сравнит~.
с ошибками в оценке А (х, у) и В (х, у), вызванными смещением
интерферограммы на входе фильтра . Измерение показало, что
для интерферограммы на рис . 1 величина ЛЬ (х, у)мАх после пред
варительной фильтрации низкочастотного аддитивного шума со
ставила 7,З,10- 2Аср, где Аср - среднее значение амплитуды
интерферограммы. Величина ЛАсм и ЛВсм при ЛЬ!Аср = 7,3·
-10- 2 и тех же параметрах фильтра равна 2,з.10- 2 А (х , у) , что,
в 79 раз больше, чем ЛАар•
При квантовании огибающих расчет ошибок предлагается про
вести для случая, когда ошибка в оценке направления ориента
ции фильтра линейно изменяется между соседними линиями ин
терференционных максимумов (минимумов) и изменение I много
меньше самой величины f. Тогда величину Аар ([ + Л'Ю можно
представить в виде Аар (~) + СА 0 Лf, где С - коэффициент.
Для сглаживающего фильтра с параметрами rоЛ 1 = О,31л и
rоЛ2 = О,5л I{оэффициент С изменяется от О при [ = О до 1,88 -
• 10-1 при f = л/4. Исходя из_ такого представления Аар (~) .
ошибку в оценке В (х, у) можно считать постоянной между со-
седними нулевыми линиями и равной А 0 СЛ[;'2, а ошибку в оценке
А (х, у) - линейно изменяющейся от -1/2А0СЛf до 1/2А 0СЛ1
между нулевыми линиями. Расчет ошибки в оценке А (х, у) и
В (х , у) по всей интерферограмме предлагается провести в пред-
поло жении, что Лl с равной вероятностью принимает как •поло
жительные значения, так и отрицательные. В этом случае среднял
ошибка в оценке В (х, у) равна нулю. Средняя ошибка в оценке
А (х, у) равна нулю независимо от наложенного . ограничения ·на
Л[ Оценка дисперсии ошибки в общем случае является , слож
ной задачей в связи с нелинейной зависимостью С (f) . Численный: .
расчет дисперсии ошибки для сглаживающего фильтра с пара-
метрами rоЛ 1 = О,31л и rоЛ 2 = О,5л в случае, когда [ с равной:
вероятностью принадлежит интервалу [-л/4, л/4] и I лr 1 =
=Const , дал О'~РА = 1,42-10-зл~ (LЧ)2, О'~РВ = 4,26-10-зл~ (Л1) 2 .
Отличие математической интерферограммы от ее модели. При
построении сглаживающего фильтра предполагалось, что в пре
делах не~{оторой ОI{рестности математическая интерферограмма
описывается гармоничес1{им сигналом. Размер . этой окрестности
115
,с учетом процедуры .оценки параметров фильтра не должен быть .
меньше расстояния между соседними нулевыми линиями. Отли
чие реальной интерферограммы от е·е модели приводит к флук
туации амплитуды на выходе фильтра. Оценим влияние этой
,флуктуации на точност~ оценки амплитуды и смещения интерферо
граммы .
Предположим, что среднее значение периода интерферограммы
в пределах данной окрестности совпадает с измеренным Тс и из
меняется от Те - ЛТ до Те + ЛТ между соседними нулевыми ли
ниями. Амплитуда интерферограммы на выходе фильтра при
Т (х, у) =/= Те описывается выражением (15), где Т (х, у) - зна
чение периода интерферограммы в данной точке. Отклонения
амплитуды от А O имеют разный знак на соседних нулевых линиях
и достигают на них максимального _ значения по абсолютной ве
личине. Считая, что линии интерференционных максимумов (мини
мумов) расположены посередине между соседними нулевыми ли
ниями, отклонение амплитуды на них можно считать равным нулю.
Оценку отклонения амплитуды и смещения интерферограммы от
их истинного значения предлагается провести для случая, когда
ЛТ ~ Те, изменение периода реальной интерферограммы между
соседними нулевыми линиями происходит по линейному закону,
а изменение амплитуды равно нулю на линиях интерференционных
экстремумов. Можно показать, что при этих условиях независимо
от характера интерполяции огибающих ошибка в оценке В (х, у)
равна нулю, а средняя ошибка и дисперсия оценки А (х, у) равны
•
( т~т+лт)
Вмл= А0(1 - wд1 ctgwд1) 1-zл~ /n Т:-ЛТ
,
(24)
2
•
2
.
2( т~
т~ 2те+лт)
О'мл= Ао(1-wдctgwд) т~- лт2+(~ЛT)2ln те- лт
• ·(25)
Расчет ошибки между действительным значением А (х, у) и ее
оценкой по всему полю интерферограммы предполагается провести
в предположении, что величина ЛТ!Те постоянна по всей интер
ферограмме. В этом случае средняя ошибка в оценке А (х, у)
и ее дисперсия описываются выражениями (24) и (25). Следует от
метить, что при ЛТ < О,ЗТе средняя ошибка почти на щ1рядок
меньше стандартного отклонения.
Влияние шума регистратора на точность оценки ампли'Iуды
и смещения интерферограммы. Шум изменяет значение интерфе
ренционных экстремумов. Можно показать, что при рассмотре
нии сечения интерферограммы в случае ступенчатой аппроRсима
ции огибающих оценRи амплитуды и смещения равны соответ
ственно
А(х)=Ао + 1⁄2(N1-Nз) и Е (х)=1⁄2 (N1 + _11/з),
а при линейной интерполяции огибающих
А(х)= Ао+1⁄2(N.1 - N.з)+(N2-N1-N4+Nз)x/2L1, (26)
11 (х) =1⁄2 (N1 + N.з)+ (N2-N1+ N4 -N3) x/2L2 ,
(27)
116
где L1
,
N1
,
N2(L2,N3
,
Jv4) - расстояние между соседними ли
ниями интерференционных максимумов (минимумов) и значения
шума на них. Предположим, что шум регистратора на входе филь
тра является независимым и апертура сглаживающего фильтра
меньше половины периода интерферограммы, тогда значения
шума N1, N2, N3, N4 на соседних экстремальных линиях на вы
ходе фильтра также независимы. Можно показать , что если сред
нее значение шума на выходе сглаживающего фильтра равно нулю,
.а его дисперсия - ан, то средние ошибки в оценке амплитуды и сме-
щения интерферограммы равны нулю, а их дисперсия - 1!2ан
при ступенчатой аппроксимации огибающих и 1/ 3 ан при линейной
интерполяции. Ошибку в оценке А и В можно уменьшить, если
использовать расфокусирование в качестве двумерной интерпо
ляции огибающих [36] или проводить предварительное сглажи
вание интерферограммы на линиях интерференционных экстрему
мов вдоль этих линий. Уменьшение ошибок при расфокусировании
связано с тем, что оно эквивалентно усреднению интерферо
граммы вдоль экстремальных линий с некоторой весовой функ
цией и последующей линейной одномерной интерполяцией оги
бающих.
Ошибка квантования и линейной интерполяции огибающих.
Эти ошибки зависят от закона, описывающего поведение низкоча
стотного мультипликативного и аддитивного шумов. Предлагается
исходя из графика сечения интерферограммы на рис. 12 описать
мультипликативный и аддитив'ный шумы функциями А (х) =
= 1+тcosQ1x и В(х)=пcosQ2х,гдет,п,Q1, Q2- по
стоянные величины. Расчет ошибок квантования и интерполяции
предлагается провести в предположении, что математическая ин
терферограмма является ' гармоническим сигналом с амплитудой
А 0 и частотой@ вдоль направления ОХ. Можно показать, что из-за
квантования огибающих ошибка в оценке А (х) и В (х) между
двумя соседними экстремальными линиями равна
ЛАн(х)=А0т(cosср1cosр1- cosQ1x)+пsinср2sinр2,
(28)
ЛВн(х)=А0тsinср1sinр1+п(cosср2cosр2- cosQ2x),
(29)
где ср1 и ср2 - значения Q1x и Q2x посередине между экстремаль
ными линиями, р 1 = :rcQ/(2(J)) и р2 = :rcQ 2/(2(J)). Расчет ошибки
квантования огибающих по всему полю интерферограммы пред
лагается провести в предположении, что фазы ср1 и ср2 с равной
вероятностью принадлежат интервалу [О, 2:rc]. Можно показать,
что в этом случае средние ошибки в оценке А (х) и В (х) по всей
интерферограмме равны нулю, а их дисперсии
оlн = 1/2 (А0m)2(1 + cos2p1 - (sin 2р1)/р1) + 1/2п2sin2 Р2, (30)
о1н= 1/2(A0m)2 sin2p1+ 1/2n2(1+cos2р2- (sinЦ2)/Р2).(31)
117
В случае линейной интерполяции огибающих при тех же усло
виях средние ошибни в оценне /4 (х) и В (х) таюне равны нулю,
а их дисперсии
а;,А= 1/2 (A0m)2[cos2В1(cos4В1+ 1/12 sin22В1)-
(32}
-
(2sin2 В1)/В1+ 1]+ 1/2n2sin6 В2,
а;,в= 1/2n2 [cos2В2(cos4В2+ 1/12sin22В2)-
-
(2sin2 В2)/В2+ 1]+ 1/2 (A0m)2sin6B1.
(33)
Точноетъ оценки фазы интерферограn,1:мы. Ошибну в оценне
фазы можно записать, раснрыв выражения ЛА (х, у) и ЛВ (х, у),
в формуле (14). Принимая во внимание, что ошибни в оценке·
А (х, у) и В (х, у), обусловленные одним и тем же фактором, яв
ляются зависимыми и ЛАсм = ЛВсм, ЛАд = ЛВд, ЛАN = ЛВN •
выражение для ЛФ (х, у) в случае линейной интерполяции оги
бающих можно записать в виде _
ЛФ(х,у)=Ф(х,у) - arccos[cosФ(х,у)r- ЛcosФ(х,у)],
ЛcosФ(х,у)=М1(1+ cosФ)+ М2cosФ+ М3,
М1=[ЛАсм(х,у)+ЛАд(х,у)+ЛАN(х,у)]!А(х,у), (34)
М2=[ЛАм(х,у)+ЛАл(х,у)]/А(х,у),
М3=!Лlн(х,у)+ЛВл(х,у)]/А(х,у).
В случае квантования огибающих выражение для · м1 остается без,
изменений, а
М2=[ЛАм(х,у)+ЛА0р(х,у)+ЛАи(х,у)]/А,
М3 _[Лlн(х,у)+ЛВ0р(х,у)+ЛВи(х,у)]/А.
(35}
(36) -
Исн:лючая области, где / cos Ф (х, у) / близон к единице, и пред
полаFая, что Л cos Ф (х, у) много меньше единицы, можно записать.
прибли:женное выражение для ЛФ:
ЛФ (х, у):;::::; Л cos Ф (х, y)/sin Ф (х, у).
(37),
В связи с тем что средние ошибни ЛАсм, ., ЛВл либо равны
нулю, либо много меньше их стандартного отклонения и М1 , М2 ,
М 3 являются независимыми, среднее значение ошибки фазы на
области, где / cos Ф / < 1, равно нулю, а ее дисперсия в случае·
линейной интерполяции огибающих равна
а~=[а~,(1+ cosФ)2+ 0-;1, cos2Ф + а~.]/sin2Ф,.
2
2+2+11 2
О"м, = О"см О"д
з O"N'
(38)
В случае квантования огибающих
118
4. Эксперимент по восстановлению интерферограмм
Эксперимент проводился на интерферограмме, изображен
ной на рис. 1, в соответствии с бло1<-схемой рис . 13 . Исходная ин
терферогра~ма была зерегистрирована на фотопленке, после чего
была введена в ЦВМ с помощью устройства фотощюда. Предвари
тельная фильтрация аддитивного низкочастотного шума заклю
чалась в аппроксимации интерферограммы поверхностью второго
порядка В (х, у). После определения параметров по методу наи
меньших квадратов аппроксимирующая поверхность вычиталась
из наблюдаемой интерферограммы. Фильтрация шумов реги
стратора проводилась с помощью адаптивного анизотропного
фильтра с параметрами ffiЛ 1 = 0,31:rt и ffiЛ 2 = 0,5:rt . Измерение
парю,,rетров фильтра в каждой точке поля проводилось по выде
ленным линиям перехода сигнала Ic (х, у)= lн - Ь (х, у) через
нуль. Для выделения нулевых линий использовался следующий
алгоритм: два соседних элемента интерферограммы считались
принадлежащими линии, если один из них был больше нуля,
а второй меньше. Соседние элементы рассматривались по гори
зонтали, вертикали и диагонали. Этот алгоритм позволяет умень-
j Ннтерферограмма 1
l
·11. Т{оррею\ия нелинейных ис1<ашений
1 2. Предварительная фильтрация нп~1ючастотного аддитивного ш ,vма
l
3, Намерение параметров анизотропного фильтра
А. Выделение люшй перехода черев нуль
. Б. Намерение расстояния мешду линю1ми
в , ~цределение ориентации фильтра
4. Фил1, трация шумов регистратора
5. Фильтрация нианочастотного шума
А. Выделение линий интерференционных э1<стремумов
Б. По строение огибающей •~аr<симумов и минимумов
В. По строение поверхности {iаi,"I плитУды~> и <~смещения•>
Г. О цеiша математиче с1<оii ин т ерферогр аммы
l)i. Восстановление относительного зна•~ения фазы с помощью фую~
ции arccos
7. Вохтаноnление абсолютного значения фазы
Рис. 13
119
__J
шить влияние шумов регистратора и квантования на точность
выделения линий. Период математической интерферограммы из
мерялся по расстоянию между соседними линиями перехода че
рез нуль . Измерение расстояний включало перенумерацию линий
[18] и собственно измерение расстояний. Целью перенумерации
было исключить случаи , когда измерение расстояния проводилось.
между элементами, принадлежащими одной и той же линии. Для
измерения расстояний между линиями использовалисъ две под:
программы. Первая измеряет расстояние по горизонтали и вер
тикали и выбирает наименьшее из них. Ее преимущество в бы
стродействии. Вторая позволяет непосредственно измерять рас
стояние между линиями [18] . Для оценки ориентации фильтра
в каждой точ1{е поля рассматривалась квадратная окрестность ,
линейный размер которой равен половине измеренного значенияr
периода математической интерферограммы Т (х, у). На этой об,
ласти вычислялся коэффициент I{орреляции интерферограммы и по-·
верхности / (х, у) = cos (2лх/Т), ориентированной вдоль одного
из возможных направлений ориентации фильтра . За направление
ориентации принималось направление, вдоль которого корреля
ция максима-льна. В эксперименте использовался фильтр с двумя.
и четырьмя направлениями ориентации.
Этап фильтрации низ1{очастотного шума включал выделение
линий интерференционных экстремумов и построение поверхно
стей огибающих. При выделении линий экстремумов в каждой.
точr{е поля рассматривался отрезок, ориентированный по направ
лению , вдоль I{оторого интерферограмма считалась гармониче
ским сигналом, и равный по длине половине периода математиче
ской интерферограммы. Отрезок разбивался нулевыми линиями
на один или несколы{о интервалов. Поиск экстремума осуще
ствлялся внутри каждого интервала. Поверхности огибающих
максимумов и минимумов строились с •помощью двумерной ин
терполяции огибающих, заданных на экстремальных пиниях.
Интерполяция была -реализована с помощью расфокусирования .
На основе поверхностей огибающих были построены оценки низ
кочастотного аддитивного и мультипшшативнсiго шума. Низко
частотный аддитивный шум вычитался из интерферограммы, и ре-
• зультат
поделен на _ низкочастотный мультипликативный :in:yм .
Для оценки относительного значения фазы была взята фую{ция:
arccos. Восстановление абсолютного значения фазы происходило
на основе априорной информации об абсолютном значении фазы
на линиях интерфере_нционных экстремумов. Априорная информа
ция представляла собой задание значения фазы на одной линии
и сведений об изменении градиента фазы на экстремальных ли
ниях [18]. Оценка ошибки восстановления фазы была проведена ·
на основе формул (14) - (38). Расчет ошибки был проведен дшr
случая ЛА (х, у) = <J'.~.,
ЛВ(х,у)=авиN(х,у)= ak Вели
чина с'rандартного отклонения шума регистратора, присутствую
щего на наблюдаемой интерферограмме, была оценена визуально
по графику сечения O'N = 2,6-10- 1 Аср, где Аср - среднее зна- •
120
Рис. 14
чение амплитуды. Интерферограмма после ее ввода в ЦВМ была
проквантована на 40 уровней, в связи с чем стандартное отклоне
ние шума квантования составляет 7,2-10-3 , что соответствует
З,6-1О-4 Аср· В связи с тем чrо 0'1,в~crN, шум квантования мож
но не учитывать. Измеренное среднее значение периода интерфе
рограммы составило 42 элемента дисн:ретизации. На выходе сгла
живающего фильтра стандартное отклонение шума составило
1,86 - 1О-2 Аср• Дисперсия флуктуации амплитуды из-за неточной
ориентации фильтра была оценена, считая i Е [-л/8, л/8], тогда
•О'ор = 1, 1-10-3 Аср. Для расчета О'см требуется знать величину
1Максимального смещения интерферограммы на входе фильтра
~к амплитуде интерферограммы. Оценить ее по зашумленной ин
терферограмме трудно . Предлагается для ее оценки измерить
значение (ЛЬ/ А)м на выходе фильтра·, которое, как мо ,-r-шо
в=
.
доказать, равно (ЛЬ/А)м(t)Л 1/siв wЛ1 . Исходя из графика с ече
jНИЯ интерферограммы (см:. рис. 12) было оценено значение
,(ЛЬ/А)мвых = 2,1.10-1 ,
откуда (ЛЬ/А)м = 9,З-10- 2 и сrсм =
= 1, 7 -10-2 Аср. Для оценки О'д были измерены максимальное и ми
J!Имальное значения периода интерферограммы. Они составили
121
,// ---~- ~
1
.
//
J;i
:/
Рис. 15
36 и 52 элемента дискретизации, откуда О'ц = 4,1.10-з Аср• Оцен
ка отличия математической интерферограммы от реальной прово
дилась визуально исх:одя из графика ее сечения. Величина ЛТ
была оценена равной 0,05 Те, откуда ам!А = 1,72-10-2 • Стан
дартное отклонение ошибки интерполяции было рассчитано по.
формулам (34) и (35). Параметры Q1/ffi, Q/ffi, т, п были оценены
по графику сечения интерферограммы: Q1/ffi = Q2/ffi = 0,1, т = 1,
п = 2,3 . 10- 1 А, откуда О'лА = 2,3,10- 2 А и О'лв = 5,3-10-зл. Зна-
чение а; было подсчитано по формуле (38) . Оно равно '
[3,55 (1 + cos Ф (х, у))2 + 8,24 cos2 Ф (х, у)+ 3,741•10-:4; •
/sin2 Ф (х, у).
На основе этой формулы было подсчитано отношение стандарт
ного отклонения фазы a(j) к величине 2л, что харю{теризует отно
сительную ошибку в оценке фазы. При Ф (х, у) = л/8, л/4, -3л/8,
л/2 теоретическая относительная ошибка равна 2,03 -10- 2 ; 9,6 -10 -з ;
5,9-10-3 ; 4,2.10-з соответственно. Так же была подсчитана
относительная ошибка в оценке фазы при Ф (х, у) = О и
ЛcosФ(х,у) = -
ал, где ал - стандартное отклонение слу
чайной величины Л cos Ф (х, у) при постоянном значении Ф (х, у).
Относительная ошибка в этом случае равна 5, 1 · 10- 2
• Следует от-
122
метить, что ошибки подсчитаны в предположении, что линии ин
терференционных экстремумов являются прямыми линиями, что
не всегда выполняется на практике.
Для сравнения была подсчитана величина (Jrp/2л в случае, ког
.да не проводится фильтрация шума регистратора. При Ф (х, у) =
= л/4, Зл/8, л/2 * она соответственно равна 7,02, 10-2 ; 5,06 ·
- 10- 2 ; 4,13·10- 2 , т. е. ошибка возросла в 7-10 раз.
Эксперимент по восстановлению фазы был проведен также
.для интерферограммы, изображенной на рис. 14. На интерферо
грамме фаза характеризует разность напряжений нагруженного
диска. Интерферограмма была предоставлена автору С. А. Лит
виным. На рис. 15 представлена перспективная проющия вос
становленного значения фазы.
ЛИТЕРАТУРА
t. Метод фотоупругости. Т. 2. Методы поляризационно-оптических изме
рений. Динамическая фотоупругость. М.: Стройиздат, 1975.
2. O'Neil. Holografic inspection of the deformation patterns of Carbon-
Carbon cylinders under load.- Star, 1970, vol . 8, N 21.
З. Farmer W. М. Determination of а third ortogonal velocity component
using two rotationally displased laser doppler velocitometer system.-
Appl. opt., 1972, vol. 11, N 4.
4 . Н ammerschlag R. Н. Interfei·ometric recording of the deflections of tower
and telescopes.- Ap pl. opt., 1975, vol. 14, N 4.
:5. \terbunt J. Р. М. Simple optical interference method for inspection of
solid surfaces. - Ap pl. opt., 1973, vol. 12, N 8 .
6 . Flou)rnoy Р . А., МсСlиге R. W., Wyntjes G. White light interferometric
thickness gauge. -
Appl. opt., 1972 , vol. 11, N 9.
7. Гришиn · М. П. , Курбаnов Ш. М., Маркелов В. П. Автоматический ввод
и обработка фотографических изображений на ЭВМ. М .: Энергия, 1976.
8. Гришиn М. П. Автоматическая обработ1,а фотографических изображений
с применением ЭВМ. Минск: Наука и техника, 1976.
9. Гераси:,,~ова В. И., Души11, Л. А., Привезеnцев В. И., Tapan В. С. Шли
рен и интерферометрические исследования газового разряда с автома
тической обработкой шлирен-фотографий и интерферограмм. - Оптико
физические измерения, 1974, No 1 .
10. Васильев А. М., Гик Л. Д., Казачок А. Г. и др. Исследование деформаций
и вибраций методом голографической интерферометрии . - Автометрия,
1974, No 1.
11. Ярославский Л. П . , Фаяпс А. 111. Исследование возможностей обработки
и анализа интерферограмм на ЦВМ.- В кн.: Ияоника . Цифровая голо
графия. Обработка изображений . М.: Наука, 1975.
12. Душиn Л. А., Привеаеnцев В. И., Таран, В. С., Я:,,~nицкий В. А. Много
градационная автоматичесr,ая обработка оптических интерферограмм
плазмы на ЭВМ.- Автометрия, 1974, No 3.
13. Де С. Т., Казачок А. Г., Логин,ов А. В., Солодкитi Ю . Н. Измерение па
раметров рельефа поверхностей методом двухдлинноволновой гологра
фической интерферометрии. - В кн.: Голографические измерительные
системы. НовосибирСiс НЭТИ, 1976.
14. Де С . Т., К оаачок А . Г., Лог иnов А . В . и др. О погрешностях определения
рельефа поверхности методом двухдлинноволновой интерферомет-
рии.- Там же.
* Вычислять crrp по формуле (38) при Ф (х, у) = n/8 в данном случае нельзя,
так как не выполняется условие Л cos Ф (х, у) ~ 1.
123
15. Brunning J . Н., Heгriott D. R ., Gallaglier J. Е. et al. Digital wavefront
measшing interferometer f01· testing optical surfaces. - Ap pl. opt., 1974,
vol. 13, N 11.
16. Ушаков А. Н. Не:которые вопросы обработ:ки интерферограмм на ЦВМ .
В :кн.: Всесоюзл . научно-техничес:кая :конф. по автоматизации э:кспери
ментальных исследований: Тез. до:кл. Нуйбышев, 1978.
17. Ушаков А. Н. Вопросы автоматичес:кого анализа интерферограмм на
ЦВМ.- В :кн.: Всесоюзн. :конф. по голографии: Тезисы до:кладов . Улья
новс:к, 1978.
18. Ушаков А. Н. Алгоритм восстановления поверхности на ЦВМ по линиям
равных значений.- В :кн.: Вопросы :кибернети:ки: И:кони:ка. Цифровал
обработ:ка и фильтрация изображений. 1\~ . : Науч. совет по :комплексной
проблеме <<Нибернети:ка» АН СССР, 1978, вып . 38.
19. Roberts F . F., Langenbeck Р. Homog eneity evalution of very large discs. -
Appl. opt., 1969, vol. 8, N 12.
20. Вгиппiпg J . Н., Hen·i~tt D. R .. А versatil laser interferometer.-
Appl .
opt., 1970, vol . 9, N 10.
21. Де С . Т. , Логинов А. В. , Малеев Н . М., Памиков А. И. Ионовые газо
вые лазеры для голографии.- В :кн.: Голографи,;еские измерительные
системы . Новосибирс:к: НЭТИ, 1976.
22. Wiener N. The interpolation, ext1·apo lation and smooting of stationary time
series. N . У.: John Wiley, 1949.
23. Ва~~-Трис Г. Теория обнаружения, оцено:к и модуляции. М.: Сов. радио.
1972. т. 1.
24, Харкевич А. А. Ворtба с помехами. М.: Физматгиз, 1963.
25. Bingliam С., Godfrey М. D.,
Тиkеу J. W . Modern techniques of power
spectrum estimation. -
IEEE Trans. Audio- and electroacoustics , 1967,
vol. AU-15.
26 . Миркип Л. И., Рабинович М. Л., Ярославский Л. П. Метод генерирова
ния :коррелированных гауссовых псевдослучайных чисел на ЦВМ.
ЖВМиМФ, 1972, No 5.
27. Вайнштейп Г. Г. Преобразование изображений анизотропными фильтра
ми.- В :кн.: И:кони:ка. Цифровая голография. Обработ:ка изображений.
М.: Нау:ка, 1975.
28. Лебедев Д. С. Об одном алгоритме нел:iше:йно:й фильтрации флу:ктуаци
онных помех на изображении.- В :кн .: И:кони:ка. Пространственная
фильтрация изображений . Фотографичес:кие системы . М.: Нау:ка, 1970.
29. Вайнштейп Г. Г. Пространственная фильтрация изображений средства
ми аналоговой вычислительной техни:ки.- Там же.
30. Лебедев Д. С., М иркип Л. И. Двумерное сглаживание изображений с
использованием <<составной>> модели фрагмента.- В :кн.: И:кони:ка.
Цифровая голография. Обработ:ка изображений. М.: Нау:ка, 1975.
31. Fukushima К. Visual feature extraction Ьу multilayered network of analog
threshold elements. - IE E E
Trans. on Syst. _Scy. and Cybernet., 1969,
vol.SSC-5,N4.
32. Ро;,,~апов В . П. Система распознавания, основанная на анализе ло:кальных
участ:ков изображения . - Изв . АН СССР. Сер. ТН, 1966, No 6 .
33. Graliam R. Е. Sno,v removal - а noise stripping process for picture sig-
nals.-
IRE Trans. on Inform . Theory, 1962, vol . IT -8, N 2.
34. Маркович М. Г., Олъховицкий Л. А., Цуккер;,,~ап И. И. Эле:ктронно
оптичес:кая фильтрация :контуров.- Техни:ка :кино и телевидения , 1965,
No 7.
35 . Горелик С. Л., Кац В. М., Палатпик Л. Н. Эле:ктронно-оптичес:кий
синтез пространственно-временных фильтров.- Техни:ка :кино и телеви
дения, 1972, No 11.
36. Лебедев Д. Г., Лебедев Д. С. Дис:кретизация изображений посредством
выделения и :квантования :контуров.- Изв. АН СССР. ТН, 1965, No 1.
124
УДR 681.3 .01:687.051.21>
•АВТОМАТИЧЕСКОЕ АНТРОПОМЕТРИРОВАНИЕ
ДЛЯ МАШИННОЙ _ КРОЙRИ ОДЕЖДЫ
ПРИНЦИПЫ ПОЛУЧЕНИЯ И ОБРАБОТRИ ДАННЫХ
Э. А. АйДУ, В. С. НАГОРНОЕ, В. Г. ПОЛЯКОВ
Одна из наиболее актуальных проблем, стоящих перед швей
ной промышленностькГэкономически развитых стран, заключается:
в совмещении поточных методо13 производства одежды с возмож
ностью индивидуального предназначения каждого экземпляра
готовой .продукции. Научно -техническое содержание пробле
мы включает:
методы и аппаратуру для объективного, автоматического
обмера фигуры человека;
математические методы и вычислительные процедуры дляr
построения по данным обмера конструкции (кроя) швейного из
делия;
программно-управляемую аппаратуру для раскропных оrе
раций.
Третий из этих вопросов принципиальных затруднений н е
вызывает - раскройные автоматы с программным управлением·
находятся на стадии промышленного освоения в производстве,
готового платья. Что же касается первых двух вопросов, то их
эффективное решение на уровне комплексной автоматизации всегО:
процесса откладывалось на будущее. Представлялось затрудни
тельным удовлетворить в ближайшее время сложному сочетанию
технико-экономических, эргономических и эстетических требо
ваний, препятствующих такой автоматизации.
Однако эти препятствия преодолимы. В ходе исследований,
проводимых совместно Институтом проблем передачи информа
ции АН СССР, Центральной опытно-технической швейной лабо
раторией и Всесоюзным научно- исследовательским институтом
легкого и текстильного машиifостроения , выработаны методы
машинного конструирования одежды и автоматического ант
ропометрирования, позволяющие удовлетворить указанным тре
бованиям, и построена экспериментальная установка для авто
матического · обмера фигуры человека.
Настоящая статья посвящена главным образом автоматиза
ции обмера. Изложению результатов, полученных в этом напра в
лении , предпосылается общий очерк с остояния проблемы .. •
1. Чем обмерять
На протяжении столетий велась упорная работа пu алгоритми
зации кройки . Своды эвристических пр авил инструктировал и,.
к ак обмерять чело в ека и как строить п о данным обмер а дет али
125
кроя. · Конкурировали между собой различные методики и таб
лицы кройки. Изобретались и строились специальные антро
пометрические приспособления. Велики успехи, достигнутые
на этом пути, но фигура портного по призванию по-прежнему
возвышается над исполнителем инструкций, даже если этот
исполнитель - вычислительная машина.
Трудно судить, насколько отдалено то время, когда машина
,сможет оказать существенную помощь в постижении сложного со
циально-психологического феномена моды и научится прогно
:зировать ее изменчивые, но мощные течения, когда искусствен
ный разум, в питав эстетические установки ведущих модельеров,
в состоянии будет вступить в тактичный и деловой контакт с
человеком, чтобы через посредство экранного пульта показать
,своему клиенту, как тот со всеми особенностями своего телосло
жения будет ' выглядеть в одежде совместно выработанной модели,
и, наконец, когда машина сможет составить и пустить в . ход про
грамму автоматического изготовления этой одежды.
Но нарисованная перспектива предполагает полное решение
той проблемы, какая встает уже сейчас. :Мобилизовать вычисли
·тельную машину на сокращение качественного разрыва, отде
ляющего ее попытки кроить по индивидуальному заказу от порт
новского искусства, вывести индустриальные методы производства
QДежды из -под власти размерной унификации - это эконо
мическая и социальная потребность сегодняшнего дня. Измери
тельная лента была, есть и, вполне возможно, будет под рукой у
. портного
всегда. Но известно, что практически одинаковые мерки
могут относиться к людям, не сходным по осанке, и что сами мерки
изменчивы и реагируют на то, в чьих руках сантиметр. Более
-однозначного и объективного •выражения формы человеческого
'Тела требовали многие нужды - одеть человека, изобразить,
излечить, классифицировать, идентифицировать... Возможно,
первыми соотнесли человеческую фигуру с независимой, юнест
:кой>> системой координат художники. Изобразительн ые каноны,
выработанные в Древнем Египте, уже определяли ряд эталонных
поз с помощью прдмоугольной координатной сет1ш, <шо клеткам>>.
Ручной отсчет пространственных координат как метод обмера
был выдвинут известным архитектором эпохи Возрождения Лео
ном Баттистой Альберти . Устройство, которое он настойчиво
пропагандиро в ал в своем сочинении «О скульптуре>> (рис. 1), по
зволяет, как мы видим, уr"азывать с помощью угломера и отвеса
местоположение различных точек поверхности статуи в цилинд
рической системе координат. Основываясь на таких данных,
можно, как говорил Альберти, сделать одну половину фигуры
на острове Парос, а другую - в Каррарских горах, и тем не
менее обе части подойдут друг 1" другу [1]. Инструмент Альберти
во многом предвосхитил - на столетия вперед
-
самое живу
чее направление в технике антропометрирования.
От истоков патентной литературы и до сегодняшнего дня про
тянулась длинная череда приспособлений для ручного от счета
126
к о ординат. Раздвижные градуированные каркасы обрастали
п олзунками, шарнирами, упорами и угломерами со свисающими:
измерительными лентами и поясами. Такой обмер держал обоих
его участников в немалом напряжении - в процессе сложных ма-
нипуляций требовалось еще аккуратно считывать и записывать.
показания шкал и лимбов. Но на это толкала потребность в раз
делении труда.
Однако параллельно с развитием контактных устройств все
больпiее внимание стал привлекать к себе их многообещающий
конкурент - фотограмметрия.
Фотоателье как часть пошивочного ателье уже в тридцатые,
годы не выглядело чем- то экстравагантным для патентных эк
спертов различных стран. Разнообразные проекты окружали:
клиента тремя, шестью и даже дюжиной фотоаппаратов с синхрон
но действующими затворами. Предметом специальных забот
было освещение. Предполагалось, хотя бы и молчаливо, что есть
где оставить одежду, за исключением пляжного минимума,
либо натянуть на легкое платье облегающий комбинезон.
Многоракурсный набор плоских изображений содержит раз
личные возможности для пространственной реконструкции фи
гуры. Имеет ся много сообщений об остроумных, хотя и не всегда,
простых в осуществлении п риемах, позволяющих проделать эту
операцию с достаточной полнотой. Один из интенсивных источ
ников таких публикаций - раз- •
работка зрительных анализато
ров для роботов. Однако на
антропометрические роли осо
бенно настойчиво претендует
метод, за которым собственно и
закрепилось понятие стереофо
тограмметрии.
Ст ереосъемка производится
спаренной камерой с относи
тельно небольшим расстоянием
между оптическими осями объ
ективов (базисом съемки). Точно
так же она требует демонсrра
ции фигуры в различных поворо
тах, по крайней мере в трех. Но
к съемочной аппаратуре предъ
являются здесь высокие требо
вания. Она дорога, что застав
ляет обходиться съемкой с одной
точки. Фигуру делают видимой
для стереокамеры одновременно
в трех поворотах с помощью
тщательно
ориентированных
зеркал особо точной шлифовки
размером в рост человека. ;
Рис. 1. Измерительный инструмент
Альберти (рисуно1, из сочинения·
<<0 скульптуре>>, XV в.)
f27"
2. Антропометрирование для :машинной кройки
Уже выполняют индивидуальные sar{asы технологические
цепочки, служащие прообразом будущих машинных комплексов.
Они производят кройку по формальным правилам, обходятся
без примерочных процедур и , централизуя раскройное и поши
вочное производства, рассредоточивают территориально прием
заказов с одновременны:м обмером sакаsчик1;1, [2]. О качественном
,сравнении с образцами ручной работы пока нет речи. Но, адап-
1'ируя хотя бы частично ту или иную модель одежды к индиви
дуальному телосложению, эти системы уже жизнеспособны в
Rонкуренции с производством готового платья.
Что же именно отбирали эти системы на практике в качестве
,свое го антропометрического вооружения?
Во Франции - своеобразный измерительный жилет или ком-
1бинеsон с затягиваемыми поверх легкого платья застежками.
В комплект с этой усовершенствованной комбинацией измери
тельных лент входит фотоаппарат нэ переносном штативе, до
Rументально свидетельствующий рядом крупноплановых сним
ков о показаниях замRов-sастежек относительно градуировочной
раsметRи лент.
В Японии - обычную сантиметровую ленту и традиционный
набор мерок Rак результат ее применения. Однако инструмента
рий и здесь не Rарманный. :Клиент оказывается увешанным спе
циальными отсчетными шаблонами, помогающими уменьшить субъ
ективные ошибки измерений. Одновременно облегчается выяв
ление операторов, грешащих неточностями при измерениях и
записи их результатов.
:В ФРГ - плоскостную фотосъемку общим планом в четырех
проекциях на фоне измерительной сетки. Легкое верхнее платье не
снимается. Облегающий комбинезон заменяется, · когда это воз
можно, поясами с пружинными зажимами. После надевания по
ясов одежда обтягивается и расправляется оператором, чтобы
лучше выявить очертания фигуры. Измерения на снимках про
изводятся вручную, в условиях строгой регламентации, с при
.менением специальных приспособлений и таблиц.
В США - сравнительно простой, но уже полуавтоматический
прибор для Rонтактной регистрации изгиба спины в профильной
проекции [3], запатентованный, кстати говоря, в различных стра-
1нах. (Самовыдвигающиеся до упора штоки прижимают верхнее
;платье к спине. - Степень выдвижения регистрируется автомати
'чески. От оператора предварительно требуется <<Наводка>> на ха
·рактерные участки тела. Этот механизированный вариант ме~
;дици:нского кифометра (прибора, контролирующего искривление
·позвоночника) дополняет обычные мерки хотя и частичными, но
"Взаимокоординированными данными об осанке.
Наконец, в Великобритании - полуавтомат контактного дей
,ствия «Джекню> (патент 1977 г. [4]) . Это пря:мой наследник порт
,н:овских инструментов с ручным отсчетом координат, но более
'128
совершенный с эргономической точки зрения (рис. 2). Он имеет
развитую систему контактных элементов, снабженных датчи
ками, освобождающими оператора от считывания цифровых ре
зультатов, но не от манипуляций с ручками, рычагами и поясами.
Достаточно стеснительные объятия аппарата длятся довольно
долго - квалифицированный оператор справляется с делом за
4 мин.
На этих примерах можно наблюдать стремление всеми доступ
ными средствами повысить воспроизводимость результатов об
мера и надежность их документирования. Ограничить риск опе
раторского промаха важнее, чем увеличить количество измерений.
Это и понятно - конфуз в интригующий момент облачения заказ
чика (примерки нет) наносит катастрофический ущерб репута
ции дела. Показательна в этой связи и судьба инструментов с
ручным отсчетом координат. В руках их конструкторов, как пра
вило, профессиональных портных, такие приборы давали хорошие
результаты, но лишь <<Джекню>, автоматизировав считывание
данных, сделал этот способ обмера приемлемым для машинной
кройки.
Но при всем этом, н.ак мы замечаем далее, предпочтительнее
допустить манипуляции оператора в !Iепосредственном контакте
с клиентом, чем сделать лег
кую верхнюю одежду препят
ствием · для обмера. Здесь
дает себя зriать еще одна ваа,
ная сторона вопроса - эти
ческие и психологические
обстоятельства процедуры
обмера.
Это процедура, вообще
говоря, деликатного свойст
ва. Здесь действия мастера
по отношению к клиенту не
выставляются на всеобщее
обозрение. Не случайно наи
более популярные мастера
портновского дела всегда
отличались умением устанав
ливать доверительный кон
такт.
Специализированный и
монотонный труд оператора
в системе машинной кройки
неизбежно становится более
безличным по форме, по
прежнему требуя определен
ного такта по своему суще
ству. Поэтому характер пси~
хологической реакции на
5 Пифровая обработиа сигналов
Рис. 2. Полуавтомат <<Джекню>, Вели
Rобритания, 1977 г .
129
действия оператора становится предметом допо л нительных забот
при подборе и обучении персонала. :К тому же приемный пункт
системы должен специализироваться только на мужском или
только на женском платье либо должен иметь в персонале на
ходящихся наготове лиц обоего пола.
Но фотосъемка при отсутствии верхнего платья не облегчает
пол ож ения . Для многих людей такая необходилiость была бы
связана со значительным волевым усилием и преодолен и ем отри
цательных эмоций . Немалый же круг лиц с неноторыми (причем
вовсе не патологическими) особенностями в нервно-психической
сфере оназался бы при этом вообще потерянным в качестве по
тенциальной клиентуры подобной системы .
3. Автоматичес:кий тангенциально-ленточный анlrропометр
Попробуем теперь перечислить те требования , которые сле
довало бы предъявить к антропометричес1{ому звену системы для
того , чтобы его можно было без скидок возвести в р анг апп ар ат
ного обеспечения современного машинного номплекса. Э то :
автоматизм и безопасность обмера; не более чем п р ост ое кно
почное управление с вынощ-1ого пульта, не требующ ее специальной
нвалифинации;
точность и подробный харантер данных обмера; возможность
пространственной ренонструнции формы фигуры с п огрешнос тью,
не :~шияющей на качество <шосадкн>> одежды;
быстродействие;
возможность обмера при наличии на фигуре легного верхнего
платья;
отсутствие воздействий , искажающих естественную поста
новку фигуры, вызывающих психологическую нап ряженн о сть
или рефлекторную оборонительную . реакцию;
непритязательность аппаратуры и достаточная , простота ее
обслуживания.
С учетом этих требований и разрабатывался Автоматический
тангенциально- ленточный антропометр (сокращенно АТЛАНТ)
[5-7]. В своем действии он несколько напоминает обруч для игры
<<хула-хуп» .
.
Но вернемся к обычной ленте. Охватывая в го.ризонтальной
плоскости 'фигуру человека, лента воспроизводит контур ее го
ризонтального сечения - точно, если сечение выпукло , или с
некоторым упрощением его формы, когда контур имеет вогнутые
участки. По отношению к сечению как к плоской фигуре такая
линия представляет собой выпуклую оболочку . Такую же линию
обрисовала бы резиновая лента, замкнутая в кольцо и надетая
с некоторым растяжением. Пусть это в самом деле эластичная
кольцевая лента, но продетая в роликовый блок, как показано на
рис. 3. :Когда такой лентоведущий блок обращается по ок р уж
ности, лент а обкатывает обме р яемую фигуру в плос1{ости сече
ния. Если из:мерить в некоторый момент угол ~, то тем самым
130
будет указано направление касательной к выпуклой оболочке
{',ечения. Значения этого угла в функции от угла у, указываю
щего положение роликового блока, задают семейство прямых,
,определяющее на плоскости саму оболочку как свою огибающую.
Придавая движению лентоведущего блока дополнительную
вертикальную компоненту и заставляя его тем самым описывать
винтовую линию (с относительно небольшим шагом), мы пере
ходим к обкатыванию фигуры по спиралевидной траектории.
Надлежащая вычислительная обработка той _же последователь
ности данных позволяет реконструировать фигуру в виде ее про
странственной модели . При этом всякое горизонтальное сечение
фигуры заменяется его выпуклой оболочкой. Заметим, что по сво
ему силуэту модель в любом своем повороте совпадает с ориги
налом.
_
В своем движении лента до некоторо~ степени вовлеr{ает лег
кую верхнюю одежду в процесс обкатывания, а на участке обле
rания прижимает ее за счет своего натяжения к поверхности
фигуры. В результате описание фигуры освобождается от дефор
:иирующего влияния одежды.
/
/
1
1
_..- -
--........
/
'-
/
'-
/
"
/
\
/
\
1
\
.\
J
/
/
/
/
\
~ --✓2
4
1
1
/
/
Рис. 3. Тангенц1iально-ленточный метод
-обмера
1 - (эластичная) нольцевая лента;
2 - лентоведущий ролиновый блон;
3 - объент обмера
-
выпунлая оболочка сече
ния плосностыо перемещения ленты;
4 - насательная;
Jj - центр нруговой траектории лентоведущего
блока
Рис. 4. J\Iанипуляционное у<;тройство
-
с хема операции охватывания фигуры лен
той
а - момент переключения первого О!'раничите
ля;
6 - момент перек лючения второго ограничителя;
в - нонфигурация после перенлючения 4 огра
ничителей
5*
131
Такова в схематической форме принципиальная основа тан
генциально-ленточного метода обмера . Его практическое оформ
ление допускает различные варианты. Важно только не утерять
регулярность и кинематическую простоту процесса обмера, а
также сохранить в чистоте принцип неприкосновенности обме
ряемого (по отношению к оператору).
Для реализации этих преимуществ требуется автоматизиро
вать операции охвата фигуры лентой и ее освобождения от ленты.
Простое автоматическое устройство производит эти и некоторые
другие манипуляции с лентой в ходе обмера без вмешательства
в движение лентоведущего блока (рис. 4). Н'аждый палец (огра
ничитель) может, меняя скачком свое положение вдоль верти
кальной оси, выдвинуться до пересечения с плоскостью к р уговой
траектории. В таком положении все ограничители вместе <<ого-:
раживают>> фигуру. Они задают вершины многоугольника, пре
доставляемого лепте для обкатывания па холостом ходу. Н'омапду
(j пульта управления об охватывании фигуры лентой получают
все ог-раничители одновременно. Но каждьiй из них ожидает с
обратным переключением до того момента, когда с ним поравняется
лентоведущий блок и освободит его от соприкосновения с лентой.
Вся операция занимает один оборот лентоведущего блока. За .
это время происходит плавный переход от обкатывания :много
угольника к обкатыванию объеr{Та обмера. Аналогично протекает
обратная операция.
На практике от эластичной ленты приходится по ряду причин
отказаться. В частности, растягиваясь перед обрывом в случае
заклинивания или иной неисправности (сколь бы ни была она
маловероятна), такая лента может нанести чувствительный щел
чок. АТЛАНТ работает с нерастяжимой кольцевой лентой, име
ющей достаточный запас по длине и малое сопротивление на раз
рыв. Н'омпенсация избытка ленты и поддержание ее натяжения -
это функция дополнительных роликов лентоведущего механизма,
находящихся в радиальных направляющих под воздействием цент
робежных сил.
Основной конструктивный блок экспериментальной установки
(рис. 5) - полое кольцо с узким разрезом для ленты. Лентоведущий
механизм, обращающийся в полости кольца, снабжен датчю{ом
углового отклонения ленты и миниатюрным миr{ромощным пере
датчиком. Сигнал, принимаемый здесь же в полости кольца
неподвижной антенной, передается после усиления на внешнее
декодирующее устройст-во, управляющее перфоратором. Ленто
ведущий механизм совершает 100 оборотов в минуту. Шесть паль
цев,. манипулирующих лентой, также спрятаны внутри кольца.
Лента - из бумаги; ее натяжение в процессе обмера
-
около
180 . гс. П:r;юдолжительность обмера составляет около 1,5 мин,
за это время кольцо успевает вернуться в свое исходное положе
ние на уровне пола, а п ерфоратор - зарегистрировать до 2 тыс.
чисел. Четы р е клавиши выносного пульта служат для управле
ния процессом · обме р а, остальные предназначены заведовать ос--
132
I>ис. 5. Автоматичесний тангенциально-ленточный антропометр
-
энспе
риментальная установна
вещением и работой перфоратора . Заметим, что по своему быст
родействию это первое экспериментальное устройство не исчер
пывает возможностей метода; то же относится к габаритам и внеш
нему облику установки - ее не касалась рука дизайнера .
В орбиту своего действия АТЛАНТ непосредственно захва
тывает и воспроизводит в цифровых данных подавляющую часть
всей поверхности фигуры - около 85 % по площади. Одна часть
пятнадцатипроцентного остатка , сглаженного выпуклыми обо
лочками сечений, на качество посадки одежды не влияет . << Пов е рх
ность тела имеет ряд призна!{ОВ , не влияющих н а кон с трукцию
швейного изделия, - !{ривизна в горизонтальных сечениях м ежду
выступами ягодиц и между лопаткамю>, - так комментирует
это обстоятельство специальная литература [2]. Другую же часть
игнорировать нельзя. Однако это не поведет к дополнительному
вмешательству в процесс обмера и его усложнению. Имеются
133
указания на то, что эта малая доля общей поверхности находится
в тесной анатомической связи с основной, воспроизводимой без
изменений ее частью, взятой как целое. Выявление и фор~1али
зация такой связи не составляют невозможного для современны х
вычислительных методов, и первые эксперименты в этом напра в
лении дали положительные результаты.
Деликатная по своему характеру, динамичная и вместе с тем
регулярная работа автомата в контакте с человеком сразу же
ок азывается в согласии с инстинктивным прогнозированием ее
хода во времени и неизменно вознаграждается положительным
эмоциональным откликом.
Возвращаясь на полтысячелетия назад, мы обнаружим, что
основные элементы АТЛАНТА - угломер и лента
-
фигури
ровали еще в приборе Альберти. Как часто случается, чем
больше изменений, тем ближе к тому, что было с самого начала.
4.. Основные формулы . обмера
Характерная особенность описанного принципа антропомет
рирования состоит· в замене фигуры человека цифровым описа
нием ее модели, контур · каждого сечения которой горизонтальной
плоскостью, взятой на данном
уровне по вертикали , есть выпук
лая оболочка соответствующего се
чения оригинала. Важным для
дальнейшего является то о~стоя
тельство, что_ указанная замена
приводит к пространственному
описанию модели в виде функции
двух переменных.
В _ самом деле, непосредствен
ный метрологический результат
обмера есть заданная на цилинд
рической поверхности радиуса
R (рис. 6) функция В (у, Н), оп
ределяющая в калщой точке этой
!/
поверхности с полярным углом у
Рис. 6. I{ выводу основной фор- и высотой Н ориентацию прохо
мулы обмера -
дящей через данную точку (<шра-
вой>>) касательной к горизонталь
ному сечению фигуры на высоте Н. Имея в виду восстанов
ление модели фигуры в традиционной для прикладной антропо
логии форме, т. е. в виде координированного относ:ителI:,но вер
тикальной оси набора горизонтальных сечений, следует , прида
вая _ переменной Н последовательно некоторые фиксированные
значения, построить огибающую каждого семейства прямых,
определяемого уравнением В = В (у,Н = const), у Е (О, 2л).
Общий путь отыскания огибающей семейства кривых F (х, у, t)
е параметром t состоит, как известно, в исключении параметра
134
из системы уравнений F = О, дF/д t = О. Однако в данной ситуа
ции можно указать для этой цели ряд параметрических соотно
шений, удобных для практического применения.
Будем исходить из уравнения касательной к (выпуклой) дву
мерной фигуре с параметрическим описанием х (у), у(у):
(У- y)/sinа = (Х - x)/cosа,
где х, у - координаты точки касания; Х, У
-
координаты точки
пересечения касательной с окружностью Сн радиуса R; а - угол
наклона касательной к положительному направлению оси х
(рис. 6). :Касательная определяется, таким образом, уравнением
(Rsinу- у)cosа(у) =(Rcos"? - х)sinа("?),
дифференцирование которого по параметру "? после несложных
преобразований дает
а'(Rcos"? - x)/cosа=Rcos(а-
"?)+х'sinа- у'cosа
(штрихом обозначено дифференцирование по "?)- За:мечая, что
х=Х~рcosа=Rcos"?~рcosа,
где р обозначает длину отрезка наеательной между точками ка
сания и пересечения с окружностью Сн, а танже, что
х'sinа =у'cosа,
имеем
а'р=Rcos(а-
"?)-
Но, как можно видеть из чертежа,
а="?+В*,
так что
р=R cosВ/(1+В').
(1)
(2)
Это основная формула обмера. Она непосредственно опреде
ляет, если учесть, что
р=(Rcosу- x)/cosа=(Rsinу.:.._
y)/sin а,
в параметрической форме выпуклую оболочку (ВО) сечения фи
гуры
{х(у)=R [cosу- cos(у+В) cosВ/(1+В,)1,
у(у)=R [sin у- sin (у+ В) cosВ/(1 +В')].
(З)
Найдем теперь представление ВО сечения в естественной си-
стеме координат, вводя в рассмотрение кривизну k и длину дуги s
* В дальнейшим, обозначая ~ .
~(у),имеемввиду ~=~(у,Н =const)
при некотором фиксированном значении Н. Если же важна зависимость от
обеих переменных, то будем писать ~ (у, Н).
135
ВО, а также относительную линейную скорость · v = ds/d-y движе
ния точки касания вдоль ВО. Поскольку
kv= ~!:.!._=а'
ds dy
'
форыула (2) может быть модифицирована таким образом:
pkv=RcosВ-
(4)
(5)
Пусть началом отсчета длины дуги s служит некоторая точках (-у 1),
у (-у1 ). Имеем:
х'
1
d
v= --= ---d-(Rcosy-pcosa),
cos а
cos а
у
что дает с учетом (2)
v= - р'+RsinВ-
(6)
Стало быть ,
~
~
s(У2)=~~dy= R[- 1с~i,i::+~siпВdy].
~
-
~
(7)
С другой стороны, кривизна ВО в точке х (у), у (-у) составляет со
гласно (4), (6), (1)
а'
1+В'
1
(1+В') 3
k(у)=и=- р' +RsinB =7r (1+В')(1+2В')sinВ+ В" cosB '
или окончательно
_J _1
В" cLo:R)]-1 .
(1+В')' ~ 1J
(8)
Соотношения (7) и (8) определяют совместно естественное описание
ВО сечения в <шараметрической>> форме. Исключение параметра у
даст естественное уравнение k = k (s).
Периметр L . ВО горизонтального сечения играет весьма важ
ную роль в процессах конструирования одежды. Это так называе
мый обхват фигуры человека, который легr{о вычисляется, минуя
восстановление всей модели. Действительно, положив в (7) у1 = О,
У2 = 2л, найдем, что
2Л
L=R ~ sinBdy.
(9)
о
Площадь, ограниченную ВО сече,ния, вычислим как криволиней-
ный интеграл
2Л
•
1~
1~·
P= 2 jxdy-ydx= 2 J v(xsina-ycos_a)dy=
о
2Л
2Л
.
2Л
_ _: _ ~ ~ vsiпBdy=R2 ~ sin2 Bdy-1 ~ p'sinBdy.
о
о
о
136
Второй из двух получившихся интегралов возьмем по частям :
2Л
2Л
RС
R2 \.
-
2 Jр'sinBdy= - 2
-
J
о
•
о
имея в р езультате
2Л.
~, cos2~
1+В' dy,
Р=+R2~ (siп2~+1~ ,В' cos2~)dy
о
й:ли ◊н:ончательно
2Л
1
\.
р= nR2- 2 R2J cos2В
1+В' dy.
о
(10)
Второе слагаемое в правой части этой формулы есть, · очевидно ,
площадь, заметаемая отрезком I{асательной :между точка:ии каса
ния и пересечения с окружностью Сн за один полный оборот.
Объем (антропометрической иодели) фигуры человека в пре
делах от уровня пола (Н = О) до уровня на высоте Н = Но
подсчитывается, следовательно , как
Но2Л
V=лR2H0-+R2~~ cos2~(у,Н) dHd
1+д~(у,Н)/ду
у.
оо
В заключение этого раздела перечислим некоторые свойств а
тангенциально г о описания фигуры человека.
.
1. Функция В (у) обладает очевидными свойствами периодич
ности и непрерывнос т и. •
2. Производная фушщии В (у) непрерывна , если кривизна ВО
сечения отлич н а от нуля п очти всюду.
3. Функция В (у) претерпевает изломы , а ее производная
-
разрывы пе р вого рода, _ если ВО сечения: содержит пряыолиней- .
ные отрезки.
Действител ь но, длина р (у) отрезка I{ ас_ательной при движении
его границы п о окружно сти Сн с (непрерывной) угловой скоростью
испытывает р аз ры в первого рода , I{огда то чка касания совершает
при некот о ром у = у0 скачо1{ между границами прямолинейного
отрезка ВО . О бращаясь к основной формуле обмера
р(у)[1+В'(у)]=Rcosр(у),
сохраняющей силу при у = у0 - О, у = у0 + О, замечаем, что,
поскольку Р (у) непрерывна, В' (у) также претерпевает в точке у0
разрыв первого рода .
Коль скоро не всякое горизонт ал ьное сечение фигуры выпук
ло , ВО сечения может с одержать прямолин ейные отрезк и . Эт о о б
стоятельство сл едует учитыва т ь при ограничении ширины сп ект р а
и дискретизации функции ~ (у, Н) .
137
4. Необходимое условие экстремума фу.шщии В ('у) состоит
в прохождении нормали :к, ВО сечения в точке касания х (у), у (у)
через центр О окружности Сн.
Положив в приведенной формул е В ' = О, получаем условие
,шстремума
р=R cosВ-
Координаты точки касания при этом удовлетворяют условию
х.:_Rsii1('\'+В)sinр, у=Rcos(у+В)sinВ-
5. Предварительная обработка данных
Задача ре;конструкции фигуры человека рассматривалась до
с.их пор в предположении, что функция В ('\', Н) задана всюду на
цилиндрической поверхности С. На практике же эта функция
представлена двумерной системой своих квантованных отсчетов
Рт,п(т=О, 1,. ..,
М-1,п =О,1,...,N -1). :Кюндый
оборот лентоведущего блока по горизонтальной н.ольцевой на
правляющей сопровождается появлением М отсчетов функции
В (у, Н), взятых с равным интервалом 8 = 2п!М по переменной '\' ·
Одновременное вертикальное перемещеяие направляющей рас
полагает последовательность отсчетов вдоль винтовой линии (с ра
диусом R, ша·гом h и числом витков N) на поверхности С. Разверт
ка поверхности С на плоскость (рис. 7) дает косоугольную сетку
отсчетов в прямоугольнике Nh Х RM8, образованную вертикаль
ными равноотстоящими столбцами и строками, нанлоненными к го
ризонтальной оси под углом 0 = ai·ctg (h/2nR).
Уже в силу самого характера дискретизации получаемый мас-
сив данных /3m , п нуждается в предварительной вычислительной об
работке . Для реконструкции фигуры в виде набора горизонталь
ных сечений (BQ сечений) в соответствии с (3) требуется переза
пись функции В ('\', Н) в виде прямоугольной системы отсчетов,
т. е . операция двумерной интерполяции (аппроксимации). Не ме
нее важно с практической точки зрения произвести фильтрацию
(сглаживание) шумов измерения , в особенности шума квантова
ния. Форма выпуклой оболочки сечения (з_ависящая как от самой
функции ~ (r), так и от ее производной) обнаруживает острую чув
ствительность к искажениям отсчетов угла р. В частности, ошиб
к и квантования могут лишить получаемую кривую не только
характерной для нее выпуклой формы, но даже односвязности .
В то же время соображения простоты и надежности аппаратуры
(в особенности цифрового датчика углового отклонения ленты)
не позволяют заходить далеко в увеличении точности шкалы кван
тования.
В качестве инструмента для предварительной обработки дан
ных обмера удобно воспользоваться двумерным преобразованием
Фурье. Начиная с преобразования по столбцам и считая функцию
р ('\', Н) периодически продолженной по переменной Н с периодом
138
н
~
~ 2.flR
м
/r-
rr--..
/ - Г\---..г~
-- ~-
-
..:::~
-
-~
J
V"
~-
-
-~-
-
-
-
-
-
-
-
·-
-
·-
-
-
-
-
--
-
-
-
-
-
·->--
-
-
-
-
-
-
-
-
...
""-
--
-
---
-
-
-
-
-
>--
-
-
-
--
-
-
t
л
/Зм-1,1
/
,--- ~- -
>--
--
->-
-
-
-
-
-
-
-
-
·-
---
-
·- lr-----. . 1.
л
~,fi,,
лl /Эо
J3M-i0
-
-
-
-
---
-
-
-
-
-
-
---
--
~-
i
,-.-
л
\л
1301
3oo/3JOi
-
-
YR
Рис. 7. Массив выходных данных {~mп} - :косоугольная двумерная система
:квантованных отсчетов фующни В (у, Н); направление обмера - снизу вверх
Nh, следует ввести в преобразование зависюций от номера столб
ца экспоненциальный множитель, учитывающий сдвиг отсчетов
в данном столбце относительно начала периода. Преобразовани'I
в целом принимает вид
pE(O,N-1), qE(O,M-1),
и дает частный пример сдвинутого ДПФ [8]. Обратное двумерное
ДПФ стандартного вида (без дополнительных множителей) бу
дет иметь своим результатом: прямоугольную систему отсчетов
функции ~ (у, Н). Проводимая таким образом интерполяция усту
пит место сглаживающей и корректирующей аппроксимации, ес
ли спектр / (р, q) перед обратным преобразованием умножить на
частотную характеристику подходящего двумерного фильтра *.
Рис. 8, 9 и 10 дают визуальное представление о результатах
первого этапа рекон:стру1щии фигурь1 человека. На этой стадии
* Заметим, что точный ЭI{юшалент преобразования (11) представляет собой,
кан легно проверить, следующая операция: ленсиноrрафичесное упорядочение
исходного массива im п (что означает в нашем случае возвращение н одно
мерной последовательн~ости отсчетов в естественной их очередностп во вре
мени), одноыерное ДПФ этой последовательности и надлежащая расстанов
ка полученных ноэффициентов в виде прямоугольной матрицы (переинденса
дия ноэффиднентов). Отсюда вытенает, в частности, возможность произво
дить предварительную обработну данных во временной области, в реальном
.масштабе времени по отношению н процессу обмера.
139
ц
Рис. 8. Программnая визуализация даnnых обмера на начальном этапе
реконстру1щии фигуры человена. _ Женсiшя фигура - первичная двух1шм
понеитная :модель
а - равномерная цилиндричесиая иоордина·гная сетиа на поверхности модеJ 1 и с ин·1·ер
валами 2h = 30 мм по переменной Н и 10° по переменной у; отмечены участии моде
ли, обязанные своим вознииновением выступающим лоитевым суставам (А) и нист ям
рун (В); б - профильные прямоугольные проенпии ; а
-
совмещенные фронтальные
проеиции
(i
/
/
/
/
\
'\
о
J
\
\
~
.
\
1
/
/
\
J
/
-
·
/'
/
"
-
/
I
\
1
1
\
\
1
1
1
\\
\
\
\
\
\
Рис. 9. Полигональная аппронсимация горизонтального сечения женсной
фигуры рис. 8 на уровне талии, полученная с помощью нонечно-разност
ного аналога формулы (3)
а - ренонструнция по стране исходного массива данных без предварительной обработни;
6 - реионструнция после двумерной обработни
обработки модель фигуры состоит из двух компонент. Первая из
них соответствует массиву данных, получаемому при перемещении
кольцевой направляющей снизу вверх примерно до уровня поя1.;а
человека; его руки при этом сложены на груди и остаются за прu
делами зоны обмера. Кольцевая направляющая продолжает
зате_м свое движение вверх, однако манипуляционное устройство
убирает измерительную ленту в полость кольца, переводя антро
пометр в режим холостого хода. По достижении необходимой вы
соты над уровнем пола обмер возобновляется в направлении свер
ху вниз; получаемый массив данных порождает вторую компо
ненту модели, отображающую фигуру в позе со свободно опущен
ными руками.
Исходный цифровой материал характеризуется следующими
конструктивными параметрами экспериментальной установки.
Базовый измерительный радиус R = 962 мм, винтовой шаг об
катывания h = 15 мм, ширина измерительной ленты 3,5 мм, чис
ло отсчетов угла В в пределах одного оборота лентоведущего бло
:ка •М = 22, интервал квантования Л = 36'; значения отсчетов
в рабочем диапазоне от - 5 до 25° передаются шестиразрядным
двоичным кодом.
Основу первого этапа реконстру:кции составляют интерполя
ция и фильтрация в частотной области в соответствии с описанной
схемой. Частотная хара:ктеристика фильтра, подобранная э:кс
периментально, показана на рис. 11. Единственное дополнитель
ное отличие состояло в том, что представленная своими отсчетами
функция В ('\',
Н) предварительно подвергалась во избежание
краевых искажений четному nродолжению по переменной Н, т. е.
по направлению, вдоль :которого эта фу1-шция не имеет периодич
ности. В дальнейшем вторая компонента модели пополнится об
ластью плечевого пояса, для чего предусматривается специальный
режим обмера в этой области в сочетании с некоторыми :модифи
кациями в процедуре обработки данных. Последующие этапы ре-
141
1 PmodN
18
---
--
--
_, _.
--
--
·--
--
_,_.
---
--
-8
--
--
8
f'mod.
----
-- --
-- --
--
---
---
---
,- .-
---
->-
18
Рис. 10. Программная ви3уалй3ация данных обмера. Мужская фигура
-
пер
вичная двухкомпонентная модель
Рис. 11. Область пропускания фильтра, примененного для предварительной
обрабопш данн ых при построении моделей рис. 8 и 10
констру1<ции будут состоять в восстановлении недостающих час
тей поверхности фигуры, существенных с точки · зрения кройки,
и в построении системы численных характеристик формы фигуры.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ар11,хей ,1t. Р. ИсRусство и юшуальное восприятие. М.: Прогресс, 1974.
2. Проектирование одежды с использованием ЭВМ.- В Rн.: Швейная
пnомышленность. М.: ЦНИИТЭИ легRой промышленности, 1976, вып .
No 7.
3. P:1t,. 3753293 (USA). Apparatus for use in making or alteration of garments.
4. Pat. 1463804 (England). Measurement of а person and articles produced froш
such measuremen t J ack Nea th.
5. А.с . 341465 (СССР). Устройство для обмера фигуры человека/ В. Г. Поля
Rов, Е. Л. Андреев, И. А. НарбеRов, С. М. Смирнов; Опубл. в Б. И.,
1972, No 19.
142
м
6. А.с. 508247 (СССР). Устройство для обмера фигуры человека/ В. Г. По
ляков, Е. Л. Андреев, П. Г. Вайнштейн, А. Д. Зятиков, Н. В. Насатюш,
В. И. На:ймарк, В. Я. Поспелов; Опубл. в Б. И., 1976, No 12.
•
7. Дивикский Л. А., Иваков М. Н., Сепекик М. В. и др. Устройство для
об~шра фигуры человека. Заявл. 22.11 .78, решение о выдаче а.с. от
26.9.79.
8. Ярославский Л. II. •Некоторые вопросы теории дискретных ортогональ
ных преобраsований сигналов.- Наст. сб.
У дк 535.317.1+681.141+772.99
:НИНОФОРМНЫЙ ЦИФРОВОЙ ГОЛОГРАФИЧЕСНИй ФИЛЬМ
В. Н. I{APHAYXOB, Н. С. МЕРЗЛЯКОВ
Быстрое развитие цифровой голографии в последние годы по
_.зволяет рассматривать синтез голограмм как универсальный спо
·СОб визуализации информации, имеющейся на выходе ЦВМ. Под
визуализацией понимается воссоздание зрительной иллюзии
объектов, заданных своим аналитическим описанием или сигна
лом. У спех и опытов по синтезу голограмм и стереоголограмм на
ЦВМ [1], а также подобные работьJ в области оптической голо
графии [2] стимулирова.ли работу по созданию композиционных
цифровых макроголограмм для задач визуализации. Удачные по
пытки в области синтеза композиционных голограмм привели
к созданию первого цифрового голографического фильма, демон
стрирующего ,вращение объемного тела [3). Объект визуализа
ции - два шара, скрепленные цилиндром, моделировался на
ЦВМ. Для каждого ракурса наблюдения была синтезирована диф
фузная голограмма Фурье, содержащая 1024 Х 1024 отсчета.
В силу симметрии объекта для моделирования поворота на 360°
потребовалось рассчитать только 18 проекций объекта ·на плос
кость, соответствующих 18 ракурсам рассматривания, следующим
через 10° и охватывающим угол 180° -
остальные 18 ракурсов
совпадали .~ уже
рассчитанными. :Каждая голограмма была пов
торена 20 раз и зарегистрирована на фотопленке. Полученные
360 голограмм, уложенные в соответствующем порядке по зам
кнутому кольцу, образовали кольцевую композиционную макро
голограмму высотой 37 мм и длиной 160 см. Голограмма закреп
лялась в кольцевом держателе, устано·вленном на валу мотора.
При освещении голограммы лазерным источником со сферическим
волновым фронтом наблюдатель, перед глазами которого всегда
находились голограммы, соответствующие двум соседним ракур
сам наблюдения, за счет стереоэффекта видел объемную сцену.
Один; шар находился ближе к нему, другой - дальше. При вра
щении голограммы отчет,ливо наблюдался плавный поворот шаров
n горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси. В следую
щем фильме [4] изучалась возможность визуализации объектов,
движущихся с разными скоростями. На ЦВМ моделировался
143
1{1
•
••
6
., /j
объект, напоминающий простей
шую кристаллическую структу
ру - 6 шаров разного диаметра ,
соединенных цилиндрами и за
крепленных на вертикальном ци
линдре. В этом случае для моде
лирования поворота объе1{та на
360° потребовалось рассчитать 36
проекций объекта, охватывающих
для одной пары шаров угол в 360°,
а для двух других пар - угол в
180°. Для каждой проекции , как
и ранее , рассчитывалась диффуз
ная голограмма Фурье. Общее
число голограмы в фильме 720 , а
длина такой композицио1шой макрогологра:мыы 172 см. При
тех же условиях наблюдения и скорости вращения мотора , равной
12 об/мин , шары плавно вращались со скоростью 7,2. и 3,6 об/с.
Основным недостатком описанных фильмов является ограниче
ние, налагаемое на выбор объекта, а именно: объект предпола
гается центрально-симметричным. Данное ограничение связано
с синтезом голограмм Фурье., которые, как известно, · восстанав
ливают в одной плоскости одновременно два изображения - пря
мое и сопряженное. В голограммах Френеля они соответствуют
действительному и мнимому изображениям. Одно из восстановлен
ных изображений является помехой для наблюдателя, которую
желательно удалить.
'Указанное ограничение на выбор объекта можно снять , если
синтезировать не голограмму, а киноформ [5]. С этой целью мето
дика синтеза киноформа, описанная в [6], была исполь·зована при
синтезе объемного киноформного фильма для объеr{та, не обла
дающего круговой симметрией [7]. Объектом служила модель ато
ма Не: ядро и два электрона, вращающиеся вокруг него; их
проекции на плоскость, перпендикулярную напраВJшнию наблю
дения , показаны на рисунке для 4 положений <<электронов>>, соот
ветствующих 1(а), 4(6), 12(в), 28(г) ракурсам наблюдения. Для ви
зуализации полного оборота электронов вокруг ядра были синте
зированы 48 киноформов, соответствующие 48 последовательным
статическим положениям_ <<электронов>>. Наждый киноформ при
регистрации повторялся дважды в горизонтальном направлении
и 6 раз в вертикальном и регистрировался на фотопленку. Пос
ле соответствующей фотохимической обработки все киноф'ормы по
следовательно укладывались в виде мозаики, образуя ко11шози
ционный киноформ, содержащий 1152 элементарных киноформа
размером 12 ,5 Х 12,5 мм. Общая длина композиционного кино
форма составила 240 см. Нак и в [3, 4], киноформ, представляю
щий собой тонкую, почти прозрачную фотопленку, закреплялся
на кольцевом металлическом ка р касе, освещался лазерным источ
ником света со сферическим волновым фронтом . При неподвиж-
144
пом · наблюдателе и вращающемся киноформе возникает иллюзия
вращен~я двух шаров в различных плоскостях вокруг третьего,
неподвижного, при этом отчетливо прослеживается и направле
ние вращения шаров.
Rак уже отмечалось, использование юшоформа для визуали
зации объектов позволяет задавать объект практически произ
вольной формы. Rроме того, достигается максимальное использо
вание, во-первых, разрешающей способности регистрирующего
устройства, так как нет необходимости передавать пространствен
ную несущую, и, во-вторых, энергии освещения, поскольку прак
тически весь свет, падающий на юп-rоформ, используется на фор
мирование одного изображения , расположенного в нулевом · по
рядке дифракции . Следует отметить, что наличие вертикального
параллакса на проекциях объекта, а также неравномерный интер
вал выборок ракурсов (:iз описываемом фильме частота следования
ракурсов переменна, а соответствующая величина угла поворота
объекта изменяется от 5 до 10° от ракурса к ракурсу) и, след ова
тельно, неравномерная скорость вращения шаров требуют для
передачи плавного вращения более частой выборки фаз движения ,
чем в первых цифровых фильмах [3, 4]. Так, для описываемого
киноформного фильма, нак показали предварительные энспери
менты, 36 ракурсов объента , соответствующих одному круговому
обороту шаров, явно недостаточно. При таной диснретизации
наблюдатель видит сначr<ообразное перемещение шаров при пере
ходе от одной голограммы н другой. Более плавное вращение ша
ров- <<электронов>> наблюдается при демонстрации фильма, содер
~нащего 48 ракурсов объента, взятых в среднем через 7,5 угл. град.
В заключение унажем, что использование r<омпозиционных го
лограмм Фурье и киноформа позволяет в наиболее простой и есте
ственной форме визуализировать нан гипостереоснопичесное , так
и гиперстереоскопическое изображение [8]. Необходимое для этого
перераспределение составляющих пространственных частот, на
пример в горизонтальном направлении, выполняется непосред
ственно при регистрации синтезированной голограммы путем ее
многонратного повторения или регистрации отдельных участнов
этой голограммы. В первом случае мы уменьшаем величину эф
фективной базы стереоснопичесr<ого зрения, а вQ втором - уве
личиваем ее. Явление гипостереоскопичности используется
и в объемных синтезированных фильмах, описанных ранее, так как
голограмма, соответствующая только одному ранурсу, нак пра
вило, при регистрации повторяется в горизонтальном направлении
(при наличии горизонтального параллакса) неснольно раз (в описы
ваемом фильме 4 раза). Уменьшение же базы стереоскопическог,о
зрения соответствует уменьшению нормального угла между зри
тельными осями глаз наблюдателя, что усиливает иллюзию объем
ности, особенно для объектов, расположенных вблизи наблюда
теля.
Вычислительные процедуры включали следующие этапы: син
тез объекта для заданного ракурса наблюдения, расчет диффузной
145
голограммы Фурье этого объекта, а затем синтез киноформа.
При синтезе голограммы Фурье использовался алгоритм совме
щенного преобразования Фурье [4], позволяющий ~ократить вре
мя расчетов вдвое. Регистрация осуществлялась на фотопленку
Kodak 2474 с растром 12,5 мкм . На одну фотопл:еику регистри
ровалось до 72 киноформов, соответствующих четырем положе
ниям объекта в пространстве.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ярославский Л. П.,
.1 1 1 ерзляков Н. С . Наблюдение стереоэффекта на циф
ровых голограммах Фурье.- Вопросы радиоэлектроники, 1975, вып. 3,
с. 100-103.
2. Кар1-~аухов В. Н., Nfерзляков Н. С., Ярославский Л. П. Объемный голо
графичесr,ий фильм, синтезированный на ЦВМ.- Письма в ЖТФ, 1976,
т . 2, вып. 4, с. 169-172.
3. Benton S. А. Holographic displays: А revie,v. -
Optical _Engineer, 1975,
vol. 14, N 5, р. 402-407.
4. Ярославс1Zий Л. П., Мерзляков Н. С. Методы цифровой голографии. М.:
Наука, 1977.
5. Лезм~ Л. В., Хирш Р. М., Джордап Дж. А. Кинофо рм.- Зарубежная
радиоэлектроника, 1969, No 12, с. 41-50.
•
6. Карнаухов В. Н., Мерзляков Н. С. Синтез киноформа на ЭВМ.- В кн.:
Вопросы кибернетики. М.: Наука, 1978, вып. 38, с. 154-159 .
7 . Карнаухов В. Н., Мерзляков Н. С., Ярославский Л. П. Голографический:
объемный: киноформный: фщльм, синтезированный на ЦВМ.- В Rн.: Тез.
докл. 3-й: Всесоюз. конф. по голографии. Ульяновск, 1978, с. 282-283.
S. Lin L. Н. Hiperstereoscopic and hiposter·eoscopic holographic iшages.
J . Opt. Soc. of Ariier., 1968, vol. 58, р. 1539.
СИНТЕЗ ЦВЕТНЫХ ГОЛОГРАММ НА ЦВМ
Н . С. МЕРЗJIЯКОВ
УДК 535.3:317.1
Первое сообщение о синтезе цветных голограмм на ЦВМ по
я.вилось в 1972 г. [1]. В этой работе предлагалось синтезировать
на ЦВМ отдельно три черно- белые фурье- голограммы, соответ
ствующие красному, зеленому и синему цветам объекта. Каж
дая голограмма записывалась с помощью графопостроителя
методом бинарного кодирования на бумагу. Частота пространствен
ной несущей для каждой голограммы была различной. Голограм
ма, соответствующая зеленому цвету, записывал.ась на горизои
т·альной несущей на всей площади голограммы, а голограммы,
соответствующие красному и синему цветам, регистрировались
на несущих, изменяющихся в вертикальном направлении. Сле
дующий этап -предполагал фотографическое уменьшение всей
картины. Для восстановления цветного изображения использо
вался трехцветный лазер. При _освещении голограммы с нее вос-
146
станавливается цветное изображение, причем нрасное и синее,
изображения совмещаются благодаря пространственной инвариант
ности фурье-преобразования . .Позднее в работах [2 , 3] было пред
ложено еще неснольно способов синтеза цветных голограмм. Один
из методов . отличался от описанного в [1] тем, что наждая из,
3 цветоделенных голограмм записывалась отдельно по методу
бинарного нодирования. При восстановлении наждая голограм
ма освещалась только светом своей длины волны: нрасньiм, зеле-•
ным и синим сqответствеино, поэтому ложных цветовых изобра
жений не возникало, а масштаб восстанавливаемых изображений
учитывался непосредственно на стадии синтеза голограмм. Еще·
•один метод синтеза цветных голограмм, танже устраняющий воз
нинновение ложных цветовых изображений на стадии восстанов
ления, зю{лючается в изготовлении трех одноцветных бинарных
голограмм и регистрации их в трех слоях цветной обращаемой
фотопленки. В ЭTOJ\I методе синтезированные одноцветные голо
граммы отображаются на энране черно-белого дисплея и последо
вательно регистрируются на один и тот же участок цветной фото
пленки через нрасный, зеленый и синий светофильтры соответ
ственно. При восстановлении каждая голограмма пропускает
лишь свой цвет, поглощая два остальных, поэто:му ложных цве
товых изображений , не возникает. Пространственное разделение
трех голограмм требует увеличения максимального разрешения
устройства регистрации в три раза в сравнении с синтезом одно
цветных голограмм. Для того чтобы голограммы , соответствую
щие различным цветам, не перекрывались , а устройство регист
рации использовалось оптимальным образом , предлагается на
стадии кодирования воспользоваться обобщенным :методом бинар
ного нодирования голограмм [4].
Наиболее же перспективным является синтез цветных осевых
голограмм. Основное достоинство осевой голограммы [5] заклю
чается в том, что для кодирования одного номпленсного знаqения
гологра:м~1ы требуется только один элемент разрешения регистра
тора. В соответствии с этим 1\1етодом в разных участках ц:еетной
фотопленки (в оригинале, обращаемой) синтезируются три осе
вые голограJ11мы, соответствующие, нак и ранее, нрасному, зеле
ному и синему цветам объекта. При этом голограмма отображает
ся на э.кране черно-белого дисплея, но последовательно на один
и тот же участон фотопленки через различные светофильтры экс
понируется сначала амплитудное, а затеJ\I фазовое распределение- ·
в плоскости голограммы. Так, у голограммы , имеющей наиJ11ень
шую пространственную частоту и соответствующей нрасному
цвету, амплитуда регистрируется на нрасный слой фотопленни ,
а фаза на синий и зеленый (как в случае обьгqной осевой голограм
мы). Голограмма, имеющая чуть большую частоту и соответствую
щая зеленому цвету, регистрируется соответственно на зеленый
и синий слои другого участка фотопленни. И наконец , голограмма ,
имеющая наибольшую пространственную частоту , регистрируется
на синем слое фотопленки (амплитуда) и кра:сно-зеленом (фаза).
147
Та,кие голограммы во сстанавл ив ают т ольк о одно изоб ражение
в нулевом порядке дифракции •И поэтому обладают весьма высокой
дифракционной эффективностью . .Для устранения фантомных
цветных изображений можно л:цбо воспользоваться соответствую
щими цветными фи.цьтрами, либо использовать метод фазовой
компенсации, который позволяет полностью погасить одно из
фантомных изображений, а второе сместить в сторону от нулевого
дифракционного порядка. Не останавливаясь подробно на до
стоинствах и недостатках описанных методов синтеза цветных го
лограмм, заметим, что все они обладают существенным ограниче
н:ием с точки зрения использования их в задачах визуализации
информации, когда требуется синтезировать макроголограммы,
содержащие до 16-106 и более элементов . Устройства же регист
рации, используемые для синтеза цветных голограмм в [1 - 3],
не позволяют получить голограммы большой площади. Указан
ного ограничения можно избежать, если воспользоваться методами
синтеза макроголограмм, развитыми в [7] . Ниже описаны опыты
по синтезу цветных макроголограмм по методике, предложенной
в [8, 9]. В основе этой методики лежит синтез трех черно- белых
макроголограмм Фурье отдельно для красного, синего, зеленого
цветов и регистрация их в разных слоях цветной фо:гопленки.
В наших экспериментах регистрация голограмм осуществляется
в два этапа. Сначала на черно - белую фотопленку регист рируются
три голограммы Фурье, соответствующие красному, зеленому
и синему цветам объекта *, причем каждая голограмма регист
рируется на отдельной фотопленке. Далее голограммы через соот
ветствующие светофильтры последовательно копируются на один
и тот же участок цветной фотопленки, но в разные ее слои. Для
этого стандартный сенситометрический клин, содержащий 256 гра
даций плотности, синтезируется на ЭВМ и регистрируется на такой
же черно-белой фотопленке, что и голограммы, и обрабатывается
одновременно с ними.
Для определения экспозиционных характеристик и типов мо
нохроматических фильтров на разные участки фотопленки и в раз
личные ее слои контактно копируется сенситометрический клин.
:Копирование выполняется с разными экспозициями и через раз
ные типы цветных фильтров. После того как тип фильтра и время
экспозиции выбраны для каждого цвета, выполняется контроль
ное копирование клина за тремя выбранными светофильтрами на .
один и тот же участок цветной фотопленки. Оптимальным выбором
величины экспозиции добиваются, если это необходимо, чтобы
при контрольном копировании получаемый клин был только чер
но-белым, после чего приступают непосредственно к копированию
голограмм.
После предварительного сенситометрического контроля и вы
бора фотоматериала копирование голограмм выполняется доста-
* В основу воспроизведения цвета на этапе восстановления голограммы по
ложена теория трехкомпонентности цветового зрения.
148
·точно просто, причем и на этом этапе имеется возможность конт-
1>0ля за плотностью почернения по впечатанному рядом с каждой
толограммой сенситометрическому клину.
В описываемых экспериментах использовалась цветная обра
щаемая фотопленка ORWOCHROM UT-18. Первичные голограм
мы регистрировались на черно-белой фотопленке Kodak 2474
,с шагом растра и квадратной апертурой 25 мкм . В качестве источ
ника освещения применялась стабилизированная осветительная
-система цветово,й головrш CLS-450 с лампой галогенного типа.
Было опробовано несколько вариантов светофильтров. Наилуч
шими с точки зрения передачи цветных полутонов для данного
типа цветной фотопленки оказались дихроичные фильтры пере
менной плотности, встроенные в цветовую головку CLS-450 фото
увеличителя Durst Laboratoe-1000 *. Для всех слуqаев копирова
ния плотности фильтров были максимальными, а время экспози
ции изменялось от 1 до 8 с. Копируюшя голограмма и цветная
- фотопленка помещались в специальную кассету эмульсионными
слоями друг к другу и зажи~шлись посредством пружинных за
жимов между двумя плосюrми стеклянными пластинками. Взаим
ное расположение фотопленки и голограммы при копировании
-контролировалось посредством калибровочных отверстий, рас
положенных в одном и то,-1 же месте как на фотопленке, так и на
голограммах. Кассета имела направляющие микроштифты, на
Rоторых закреплялись фотопленка и голограмма в момент I{опи
рования. Кассета с пленками устанавливалась в кадрирующую
-рамку фотоувелиqителя и освещалась через объектив монохрома
тическим светом. Используя диафрагму объектива, можно было
дополнительно изменять велиqину светового потока.
Последовательность копирования был .а следующей: сначала .
в красный свет фотопленки копировалась первая голограмма,
,соответствующая красному цвету в объекте, затем в зеленый слой
копировалась вторая голограмма и, наконец, в синий слой на то
же самое место копировалась последняя голограмма, соответст
вующая синему цвету в объекте. Таким образом, в каждом слое
,фотопленки на одном и том же ее уqастке синтезировалась голо
грамма соответствующего цвета. Обработка фотопленки осуще
•ствлялась в соответствии с паспортными ре~{омендациями фото
материала. Размер I{опируемых голограмм достигал 10 Х 10 см,
причем каждая монохроматическая голограмма содержала до
16 Х 106 элементов. При I{одировании голограмм использовался
модифицированный метод Ли введения пространственной несу
щей [7].
Схема восстановления цветных голограмм включала трех
цветный ионный лазер, дающий одновременно три линии излуче-
*-При копировании голограммы в соответствующий слой цветной фотопленки
всегда использовались два . цихроичных светофильтра, являющихся дополни
тельными к цвету используемого слоя. Например, при копировании голограм
мы в красный слой фотопленки использовались пурпурный и желтый свето
фильтры наибольшей плотности.
149
ния: красную с длиной волны л = 0,63 мкм , зеленую с л = 0,51 мкм
и синюю с л = 0,49 мкм, оптичесн:и смешанные на выходе, колли
матор, линзу с фокусным расстоянием f = 50 см, выполняющую
преобразование Фурье, и зеркальный фотоаппарат без объекти
ва. Регистрация восстановленного изображения осуществлялась
на цветные фотопленки OK\i\·o
-
негативную NC-19 и обращае
мую UT-18. При восстановлении голограмма помещалась между
коллиматором и линзой и освещалась пл оским пучком лазер-'
ного света, содержащего три различных цвета, при этом цветные
слои фотопленки действуют на световой поток как селективные
светофильтры с мансиыу11Iами пропускания в нрасном , зеленом
и синем участках спектра , а в фокальной плоскости линзы форми
руется цветное изображение объента . В описываемых экспери
ментах были синтезированы голограммы следующих трех равно
мерно окрашенных геометрических фигур: круга, треуголы-1ию1
и двух прямоуголы-ш:нов, разнесенных друг от друга таким обра
зом, чтобы большая часть фигуры была расположена на свободной
части предметной плоскости. На восстановленном изображении
отчетливо видны три цветные фигуры, а также комбинация цветов
в тех местах, где фигуры накладываются друг па друга. Экспе
рименты пока_зали, что такие голограммы можно использовать так
же и для непосредственного визуального наблюдения цветного,
объекта, при этом в- качестве источника освещения можно восполь
зоваться обычным осветителем с мощной лампой и точечной диа
фрагмой вблизи нее. В затемненном помещении цветовое различие ·
на объекте ощущается весьма отчетливо, это ощущение возра
стает с увеличением геометрических размеров объекта.
Более просто в технологи.ч_е·сном отношении реп~страцию •
цветных голограмм по описанному выше методу :можно осущест
вить с помощью цветного устройства регистрации COLORMATION
С-4300 производства фирмы <<Оптронинс>> , аналогично описан
ному в [7] устройству Photomation Р-'1700. Данное устройство
представляет собой электромеханичесний цветной фоторегистра
тор барабанного типа, управляемый ЭВМ. Запись осуществляется
последовательно на фотопленку с помощью оптичесной системы,
содержащей встроенные ыинрообъентив, набор апертурных диа
фрагм, три цветных фильтра и осветитель. В начестве осветителя:
используется мощная галогенная лампа, модулируемая элент
рическим сигналом от ЭВ:М, свет от ноторой по световодам попа
дает в микрообъентив, ноторый фокусирует падающий пучок на
эмульсию фотопленки. При этом регистрация голограммы ТЮ{Же
осуществлялась на фотопленну UT-18, но уже без промежуточной
регистрации на черно - белую фотопленну. Для согласования чув
ствительности фотопленни с энергетичесними харантеристиками
регистратора, рассчитанного на использование цветной фотоплен
ки чувствительностью оноло 200 ASA, каждая голограмма реги
стрировалась на фотопленну за соответствующими светофильтрами
устройства С-4300 три раза. Качество восстановленного изображе
ния с такой голограммы с точки зрения цветовой насыщенности ·
150
выше, чем для голограмм, полученных методом копирования.
Преимущество описанных способов записи цветных голограмм
по сравнению, например, со съемкой с экрана электронно- лучевой
трубки [2, 3] в том, что они позволяrот получать цветные макро
голограммы, т. е. голограммы с большим числом элементов, при
годные для непосредственного визуального наблюдения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dallas W. J.,
Iclii:oka У., Lolimann А. W. Computer· Generated color
holograms.- JOSA, 1972, vol. 62, N 5, р. 739 В.
2. Fienup J. R ., Goodman J. W. Three ne,v ,vays to make· computer-generated
color holograms. -
JOSA, 1973, vol. 63, N 10, р. 1325.
3. Fienup J. R ., Goodman J. W. Ne,v " ' ays to make computer-generated color
holograms . -
Nouv. Re,v. Optique, '1974, vol. 5, N 5, р . 269 - 275.
4. Haskell R. Е. Computer-generated , holog1·ams ,vith minimum quantizati-
on. -
J. Opt. Soc. Amer., 1973, vol. 63, р. 304.
5. Chu D. С., Fienup J. R . , Gooclman J. и1 . Multiemulsion on-axis computer-
generated hologram . -
Appl. Opt., '1973, vol. 12, N 7, р. 1386-1388.
6. Мерзляко в Н . С., Ярославский Л. П . Визуализация: информации посред
ством синтезированных голограмм.- Докл. АН СССР, 1977 , т. 237, No 2,
с. 318-321.
7. Ярославский Л. П ., Мерзляков Н. С. i\Iетоды цифровой голографии. М.:
Наука, 1977.
8. Мерзляков Н. С., Ярославский Л. П. Спитез цветных и многослойных
голограмм на ЦВМ.- В кн . : Те з. докл. 3-i'I Всесоюз . конф. по голографии.
Ульяновск, 1978 . Л.: ЛИЯФ, 1978, с. 278-279 .
9. Ярославский Л. П . Синтез макро- и ц~етных голограмм.- В дн.: Автома
тизация экспериментальных исследований: Труды Всесоюз. науч . -техи .
конф. (5-7 июля 1978 г.). I{уйбышев: Авиационный ин-т, 1978, с. 140.
111. ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
~· ДR 535.317
ЦИФРОВАЯ МОДЕЛЬ ЗАПИСИ
И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ГОЛОГРАММ
Н. Р. ПОПОВА
.На
I{ачество восстановления голограмм объектов в эначите.rr:ь~
ной степени влияют погрешности процессов записи и восстановле~
ния, такие, как неизбежная ограниченность размеров голограм
мы или апертуры, нелинейные и·скажения в процессе записи голо
граммы, ограниченность динамического диапазона регистрации,
величина расфокусироюнr при восстановлении голограмм Фре
неля и т. п. Теоретически рассчитывать влияние большинства из
указанных факторов пе всегда удается [1, 2], поэтому большое
значение приобретает цифровое моделирование на ЭВМ [3].
К настоящему моменту предложено большое число способов
записи и восстановления голограмм, отличающихся характером::
объектов (например , объемные или плоские), областью записи:
(голограммы Фурье или Фрецеля), методами использования опор
ных пучков и т. п. В длинноволновой голографии, в частности
акустической и радиоголографии, существует ряд способов, позво
ляющих обходиться вообще без опорной волны. В этом многообра
зии объектов и способов записи необходимо выделить наиболее
простые и в то же время такие; которые позволили бы дать ответы
на вопросы о влиянии искажений в процессе записи и восстановле
·ния и найти достаточно общие критерии сравнения качества вос
становленных изображений.
Одним из наиболее общих свойств голограмм является так назы
ваемый шум пятнистости (спекл), возникающий при диффузном
освещении или при использовании диффузно рассеивающих объек
тов. Этот шум представляет собой нерегулярные флуктуации
интенсивности восстановленного поля, вызванные интерференцией
отдельных диффузных источников, и является помехой при наблю
дении _регулярных объектов. Его возникновение является прекрас
ным индикатором различных исr{ажений, возникающих при записи
или восстановлении голограмм. Как будет видно из дальнейшего,
всякое отклонение от идеальности системы - ограничен ие размера
голограммы, нелинейные искажения или расфокусировка при
восстановлении - приводят к возникновению спекл-шума, кото
рый монотонно растет при увеличении отклонений от идеальности.
За количественную меру величины шума удобно принять значение
спекл-контраста, определяемого как отношение дисперсии флук
туаций интенсивности поля к его среднему значению. По мере роста
отклонения системы от идеальной спекл-кон'Граст возрастает от 0,
152
до 1, и, таким образом, он может быть использован в качестве
критерия при анализе воздействия искажающих факторов самого
различного рода.
При моделировании мы будем пренебрегать особенностями,
связанными -с опорными пучками, и голограммой будем считать
поле, полученное в результате преобразования Фурье или Френеля
поля на исходном объекте. В оптике такой подход дает описание
только действительного восстановленного изображения, без учета
искажений и шумов, возникающих за счет пучков нулевого поряд
Rа и мнимого изображения. Необходимость использования опор
ных _волн, присущая оптической голографии, отсутствует в
акустике, где возможна непосредственная запись поля без опорной
волны.
Наконец, вместо двумерных голограмм будем моделировать од- _
номерные . Это ограничение не является принципиальным и связано
только с ограничением времени на ЭВМ .
Голограммы Фурье и Френеля
На фурье-голограмме записывается комплексное поле, являю
щееся фурье - образом поля исходного объекта [3] . Одна из схем
формирования такой голограммы, используемая в оптике, состоит
.т
ZoZ
6
а
Рис. 1
в том, что объект-транспарант помещен в передней, а голограмма
:в задней фокальных плоскостях линзы (рис. 1, а) . Фурье-голограм
мой является также голограмма, записываемая в дальней зоне
объекта (рис. 1, 6). Такие голограммы наиболее употребительны в
радио- и акустической голографии.
-
Пусть V (х, О) - распределение поля исходного объекта в
ПЛОСКОСТИ Z = 0, ТОГДа ПОЛе И (s) В ПЛОСКОСТИ Zo фурье-ГОЛОГраММЫ
описывается формулой [4]
-
'
+оо
И(s) = const·~ V(х,О)ехр[-i2nxs]dx,
(1)
1х
где s=, -
-
пространственная частота в плоскости голограммы,
/\, Zo
х - координата голограммы, z0 - фокусное расстояние линзы или
расстояние от объекта до голограммы (рис. 1, 6), л - длина во,rшы.
153
Заметим, что на голограмме не содержится информации о - про
странственных частотах выше 1 /л, соответствующих неоднородным
волнам, :которые затухают на расстоянии нескольких длин волн от
объекта. Таким образом, максимальная пространственная частота
на голограмме есть
sшах < 1/л.
(2)
Перейдем к дискретному представлению процессов записи и
восстановления голограмм. Если Л - расстояние между соседни
ми отсчетами на объекте, а 8 - на голограмме, то по теореме
л ,i/!:
t
1 'Xmax
отсчетов должно выполняться усло,вие ~ <:,шах, где <:,max = ,
--,
"-
Zo
Xmax = 8N и N - максимальное количество отсчетов на голограм
ме и исходном объекте. В случае Л = 1/smax получим усл ови е
соответствия для расстояний между отсчетами Л и 8:
(3)
Тогда поле И (s) в дискретном представлении запишется через
дискретное преобразование Фурье:
N-1
Ит= constLJVnехр[- _
i;;т(n-1
~) ].
(4)
n=O
Соответственно обратное дискретное преобразование Фурье от
Ит дает поле восстановленного изображения
N-1
Vn= co11st Е U,nexp [i ~ п(т- 1~ )] •
(5)
m=O
Рассмотрим голограмму Френеiш, поле которой можно описать
с помощью приблюнения Френеля [4]
-
+оо
И(-х,zo) = constехр(zл:ох2)~ V(х,О)х
-ос
Хехрi[,л х2-;~хх]dx,
лzо
,.. ~о
(6}
где z 0 - расстояние до голограммы, л
-
длина волны, х - коор
дината на голограмме. Такое приближение справедливо, если набег
ф
u
[ n(х-х)4·1
азы, вызванныи опущенным множителем· ехр i 4л • z~
J,
меньше л/2, т. е.
л(х-х)4<n
4Л, zз
2•
о
(7)
Это условие обычно выполняется, если z 0 > 400 л и размер голо
граммы и объекта Lг, L0 ~ z0.
154
Перейдем к дискретному представлению так же, как и в случае
лреобразования Фурье:
N/2-1
Ит=coпstехр [i ~~о 02т2] L_i Vпх
n=-N/2
Хехр[i л:о Л2п2- i 2;тп].
Введем параметр преобразования Френеля как
а = Л/о = L5/(лz0N).
(8)
(9)
- подставив выражение (9) в (8), получим следующую формулу для
дискретного преобразования Френеля:
N /2-1
Иm= co11stехр[i~+m2]_ Е VnХ
n=-N/2
[• :n:
2
•
2:n: ]
Хехр 1.7vап- i---Я-тп .
Соот ветственно обратное преобразование Френеля есть
N/2-1
Vп-:-coпstехр[- i 1~ ап2] LiVтХ
m=-N/ 2
[•:n: 1 2+.2:n: ]
Хехр -i -
-m
i--mn
Nа
N
'
(10)
(11)
Приведенные формулы являются частным случаем дискретных
преобразований Френ еля, описанных на основе сдвинутых преобра
зований Фурье в [5] .
Найдем теперь численные значения а, которые удовлетворяют
усло виям: приблиш:ения Френеля. Для этого подставим в (7)
max {(х - х) 4 } = Л 4N4 и формулу (9), а также воспользу,емся
условием максимального значения пространственной частоты ,
тогда!
2/N <а< 20 Y2IN.
(12)
-
При восстановлении голограмм: Френеля необходимо наблюдать
изображение на строго заданном расстоянии z0 . Введем параметр
расфокусировки р, определяющий отклонение ~ от заданного фо
. кусн ого
расстояния z0 как •
р=
~lz0 = (а0 - а1)/а0.
(13)
Пусть теперь голограмма записана с параметром а 0 , а восстанов
лена с параметром а1 . Тогда восстановленное изображение запи-•
шется в виде
155
Искажение на восстановленном изображении будет заметно ,.
•
u
ф
u
б.
ф
n:(1 1)
если максимальныи азовыи на ег рас окусировки N - - - Х
•
~
~
х т2 <; .Положив m=N/2, получим следующее у_словие для р,.
при котором изображение можно считать сфокусированным:
р=2/N.
~фровая модель
Одномерная цифровая модель записи и восстановления гоJiо
граммы позволяет изучать влияние . различных видов искажений·
поля голограммы на характер шума пятнистости, возникающего
при восстановлении диффузных объектов.
Цифровая модель построена на основании представления, со
гласно которому исходный объект может быть задан в виде после
довательности отсчетов амплитуды и фазы сигнала, а дискретные
преобразования Фурье и Френеля согласно формулам (4) и (10)
могут служить дискретным представлением преобразований волно
вого фронта объекта в дальней зоне или в зоне Френеля. При этом
искажения, возникающие на стадии регистрации голограмм, можно
моделировать соответствующими преобразованиями массивов чи •
сел , полученных после БПФ (или соответственно БПФр). Обратно~
дискретное преобразование Фурье или Френеля по формулам (5}
и (11) моr~-шо использовать как аналог восстановления записанной
голограммы соответственно в зоне Фурье или Френеля. Квадрат
модуля полученного массива дает отсчеты интенсивности поля на
изображении, восстановленном с голограммы.
Программы модели работают в диалоговом режиме, благодаря,
чему' модель в с9вокушrости обладает большой гибкостью, позво
ляющей в процессе работы менять параметры расчетов. В зависи
мости от требований пользователя могут задаваться различные·
характеристики исходного объекта, степень его диффузности, зону
записи годограммы (Фурье или Френеля), тип и степень искажений
голограммы, вид статистических характеристик шума пятнистости "
которые должны быть получены в результате работы.
Модель имеет блочную структуру, что облегчает ее пополнение·
новыми программами описания объекта, искюн:ений и статистиче
ских характеристик шума пятнистости.
Блок-схема цифровой :модели показана на рис. 2. Массивы чи
сел, описывающие поле голограммы, хранятся на магнитных дис
ках или генерируются в процессе работы . В общем случае рас
пределение объекта и поля, освещающего объект, могут содержать
как действительную, так и мнимую часть . В модели предусмотрены
следующие последователыrости:, описывающие освещение:
реальная И МНИМаЯ ЧаСТИ ПОСЛеДОВаТеЛЬНОСТИ раВНЫ 1/V2, ЧТО·
означает отсутствие фазовых флуктуаций, квадрат модуля элемен
та такой последовательности равен 1;
156
lloiJoлoк.
фазы 1
ЛоtМлок
Фазы2
ЛоtJолок
tjJ_a.Jы J
Рис. 2
llotloлoк
заiJан11я
ос8ещен11я
liem
!fа11ало раооть,
:
1 5лок· 11crotJнoгo
•
: поля отражеююго
оооехта
Jat7aн11e
l(OЛU<1ecmtla
реализацuи
flotJtfлoк
JtZiJOHIIЯ
о!iьехта.
flem
Jrzilaн11e
параметро8
преоtfразоtlан11я
Фоенеля
ОЛО/( ,JIIПllCU
и t!осстаноf/ления •
uзо t5д аженид
flem
!lакоплен11е
.масси8о8
голограмм
flem
JaiJaн11e типа
искажения
ОЛОК J[lПI/CU lL
§осстано8лен11я
голограмм
5ло!( cmamucm11,;ec -
l(Oi2 оt5раооткц
Bы8oiJ
г,оаrрико!l
Jailaнue
лараметр_о8
п!!.еоt5разtf8ания
Фиенеля
Paloma
ПО l<ЛIOll!J f
последовательность имеет постоянную амплитуду, фаза задает
(е,я с помощью последовательности независимых псевдослучайных
,чисел, рявномерно распределенных в интервале - Kn. + Kn.
Для получения высококачественного равномерного распределения
фазы коэффициент К = 100;
, последовательность имеет постоянную амплитуду, фаза задается
в виде последовательности псевдослучайных чисел с распределе
iНием, близким к нормальному, и с заранее наданным энергетиче
,ским спектром [6];
действительная . и мнимая части состоят из независимых после
.довательностей псевдослучайных чисел с распределением, близким
к нормальному.
Вид распределения объекта можно задавать следующим обра
.зом:
реальная часть массива равна 1/ V2, мнимая - О;
случайная плавная кривая с заданным энергетическим спект
ром;
детерминированная функция, например четверть круга и
ступенчатый клин (см. далее рис. 4, а);
псевдослучайная последовательность чисел, на которую на
.кладываются один или несколько детерминированных пиков;
:количество пиков, их координаты и амплитуда задаются с пульта.
Исходное поле, отраженное от объекта, есть комплексное произ
.ведение массивов объекта и освещения.
Полученный массив подвергается преобразованию Фурье или
Френеля, в последнем случае запрашивается параметр а (см. фор-
мулы (4) и (10)).
•
-
Для наблюдения картины изображения, восстановленного с
искаженной голограммы, используется блок записи и восстановле
ния голограммы (см. рис. 2). Подробная схема этого блока показа
на на рис. 3. С помощью подблока задания искажения выбирается
тип искажения на голограмме. Могут задаваться следующие
блоки искажений:
ограничение размеров (моделируется занулением заданного
:количества отсчетов с краев массива; количество отсчетов задается
.е, пульта);
случайное заполнение заданного количества отсчетов случай
ными числами, равновероятно распределенными в заданном
интервале;
ограничение динамического диапазона голограммы: все значе
ния реальной и мнимой части комплексного массива, превышающие
по модулю заданный порог, заменяются значением порога с сохра
нением знака. Порог задается с пульта в долях корня квадратного
из дисперсии поля голограммы;
равномерное квантоЕание значений реальной и мнимой части
массива на заданное число уровней или на уровни с заданным
шагом квантования; нулевые значения исходного поля голограммы
,с равной вероятностью заменяются на положительное или отрица
·тельное значение первой ступен.ьки .
·158
lloлe исхо!Jного оОое/(та
llo!Jtfлox
за!Jония
uс!(ажения
flpeoopaзo/Jaнue
Ф!Jрье или Френеля
5л·оl( •
UC!(OЖBHUtl,
на голограмме
tltfpamнoe
преоорозо8ание
Фурье или Френеля
5ЛО!(
интенси/Jности
/(лю,;!
~ --------- .
блок :;;,оанения
UC.Ioilнoгo ПОЛЯ
/(лю,; z
otfoet(ma
Рис. 3
___
о_~ llem UС!(ОЖении
1
2
J
4
Potfoma
ПО ХЛЮ'I
Ограни,;ение
размеро/J
СЛ!J'ШUНОе
заполнение
Ограничение
оина миvес!(ого
оиапазона
1<8анто8ание
Вы8о!J
изоtf,оажения
Последовательность квадратов модулей чисел, полученньа
после обратного преобразования Фурье или Френеля, рассматри·
вается как интенсивность восстановленного поля. В результате
работы блока записи и восстановления голограммы на экране
дисплея вычерчивается график интенсивности восстановленного
поля в зависимости от координаты.
В блоке накопления комплексных массивов голограмм
(см. рис. 2) генерируются последовательности голограмм от объек
тов с одним и тем же амплитудным распределением и с разными
реализациями последовательностей фазы для вы9ранного типа
фазовых распределений. Блок используется для определения
статистических характеристик шума пятнистости на восстановлен
ном изображении.
· В блоке статистичес:кой обработки определяются среднее значе
ние, дисперсия, спекл-контраст интенсивности восстановленного
изображения, полученные значения усредняются по множеству
восстановленных изображений.
Предусмотрена возможность измерения флуктуаций распреде
ления поля объекта и голограммы.
t59
Экспериментальные ре3ультаты
искажений Фурье-голограм"'1ы
В работе модели поле, падающее на поверхность объекта, во
всех случаях задается последовательностью с постоянной амплиту
дой, фазы независимы для всех точек и равномерно распределены в
.заданном интервале .
Ограничение ра3меров голограммы. Изучение статистических
харrктеристик флуктуаций распределения интенсивности восста
новленного изображения при ограничении размеров голограммы
представляет особый интерес, так как практически· голограммы
.любых видов - оптические, радио, акустические или сейсмиче
•ские - не могут зарегистрировать _поле, отраженное от объекта,
не ограничиваясь заранее заданными размерами.
Введем безразмерный параметр W ограничения размеров
голограммы как отношение размеров ограниченной голограммы к ее
максимально требуемому размеру, при котором поле по простран
ству записывается полностью. Через пространственные частоты
параметр w МО~НО представить в виде w = slsmax, где Smax , - ·
:максимальная пространственная частота поля голограммы. При
160
1
1
.о
/
а
(J
j
tf
1
512/./
·
О
j
1
[l
,51zN Рис. 4
м
а
6
/
1,5
ll,5
Рис. 5
17
ll,5
JW 17
17,5
w
W = 1' поле будем считать зарегистрированным полностью и без
искажений. При W - О величина~
-
О и, сл_едовательно, искаже
ния на восстановленном изображении, вызванные ограничением
размеров голограммы, максимальны.
На рис. 4, а показана интенсивность исходного поля, а на
рис . 4, 6 - интенсивность восстановленного поля при коэффици
енте ограничения W = 12_7/128. Даже при столь малом ограниче
нии голограммы на изображении наблюдаются флуктуации шума
пятнистости . Известно, что при ограничении размеров голограм
мы шум пятнистости пропорционален интенсивности [1, 4, 7)
(рис. 4, •6 - г). С увеличением коэффициента ограничения размеров
голограммы на восстановленном изображении растет шум пятни
стости(рис.4,всW=125/128и4,гсW=120/128).
Зависимость среднего значения М интенсивности и спекл
контраста Q от параметра W показана на рис. 5. Для среднего
значения (рис. 5, а) выполняется соотношение М = WM0 , где
М0 - среднее значение исходного объекта. Зависимость Q (W)
(рис. 5, 6) с точностью до флуктуаций за счет конечного числа
выборок случайных последовательностей совпадает с теоретиче
ской кривой, полученной для объекта, поверхность которого f (х)
описывается соотношением [7]
n=+oo
.
.
\1
.
sin [~max (х - Лп)]
f(х)= L.J ехр(~срп) ~max (х - Лп)
'
n=-oo
где {срп} - последовательность случайных независимых фаз.
Спекл-контраст как функция параметра ограничения есть
![1_ 2_иr _
~-1(w__
1 )з]'/,
.
з
зw2
2
'
Q(W)= r 2 ]'/,
~1-3 W
,
.
1
W<т ,
1
W>т·
(15)
Формула (15) получена для голограммы в зоне Фурье. Описанные
далее эксперименты показывают, что она справедлива и для голо-
6 Пифровал обработна сигналов
161
м
а
3 г-------------'-,
2
1
!
[l,,5
о
0,5
!W0
o,s
Рис. 6
граммы в зоне Френеля, а также для случая случайного зануления:
поля голограммы.
Случайное заполнение _голограммы. Важным фактором, опреде
ляющим искажение на голограмме, является присутствие случай
ных помех и шума, накладывающихся при записи поля гоJ1ограм
мы. Будем моделировать наложение шума заполнением реальной и
мнимой частей массива случайными числами. Места заполнения.
как было описано, определяются случайным образом. Параметр слу
чайного заполнения W есть отношение размера неискаженной
чuсти голограммы к ее полному размеру. На рис. 6 показаны
зависимости среднего значения и спекл-контраста от параметра
случайного заполнения W. Кривые 1-4 соответствуют случаям
заполнения голограммы шумом, флуктуирующим в разных интер
валах+V, -
V. При V = О происходит случайное зануление
поля го Jrог раммы, зависимости среднего значения и спекл-контра
ста (кривые 1) с точностью до флуктуаций совпадают с зависимостя
ми М (W) и Q (W) при ограничении размеров голограммы. Это
указывает на то, что все отсчеты голограммы диффузного объекта
статистически равноправны в отношении их влияния на результат
восстановления . Это в свою очередь означает, что ограничение
голограммы с краев и случайное зануление приводят к возникнове
нию одинакового шума на восстановленном изображении .
При малых значениях V (кривые 2) зависимость Q (W) близка к
случаю зануления. С ростом V кривая Q (W) круче спадает к (}
при W - 1, т. е. при заданном коэффициенте заполнения чем
больше величина помех, тем сильнее шум на восстановленном
изображении.
Ограничение динамического диапазона голограммы. Влияние
ограничения динамического диапазона голограммы на качество•
восстановленного изображения - задача нелинейная. Цифровая
модель дает возможность полу;ить эмпирические харак'Геристик1r
162
Рис. 7
.1
/
[/
1
!
о
а
8
1
!
,512# О
1
7
512# 17
г
шума пятнистости, возникающего на восстановленном изображе
нии, пользуясь которыми можно сформулировать необходимые
требования, накладываемые на системьr регистрации голограммы.
Величина порога ограничения реальной и мнимой составляю
щих массива голограммы UL задается в долях среднего значения
поля голограммы а 0 , сов п адающего со стандартным отклонением
дл я действительной и мнимой частей голограммы (L = UL/a 0).
На рис . 7, а п оказана интенсивность исходного изображения как
-фующия координаты, на рис. 7, 6 - г
-
изображения, восстанов
ленные с голограмм п ри параметрах ограничения динамического
диапазона L, рав:аых соответственно 3а 0 , 2а0 , 1а0 .
Зависимость среднего значения интенсивности восстановлен-
1иго поля как функции JVI (L) можно найти аналитически. По
скольку поле на голограмме есть фурье-uреобразование исходного
.поля, по центральной предельной теореме при достаточно больших
размерах гологра~мы распределение ее действительной и мнимой
частей стремится к нормальному, т. е. плотность вероятности
действите.11ьной и мнимой частей поля описываются формулой
р(х)= ~ ехр(-х\),
а0 2л
2cr 0
где х = Re (И) или х = Im (И) и И - комплексная амплитуда
лоля в плоскости голограммы.
6*
163
Пусть теперь поле гuлограммы регистрируется в заданном диа
пазоне - UL, + UL, Среднее значение интенсивностщ_ поля голо
граммы при заданном ограничении равно
+оо
ML= 5X2PL(х)dx,
-оо
м
а
6
!
!}
! г'-----------~
[J,5
о
2
1/L О
z
lfL
а
tf
/7
р
)\
~=======================:::::~::::::::::========'="======~
:::::=:::==
1
============~х 1~
1
I
р
(}
р
l
х
х
(16),
Рис. 8
Рис. 9
I
1
tf
1
1
о
J/2/v ll
лzN
I
{f
I
z
1
f
1
1~'
1
r
Рис. 1U
о
51zN о
где PL (х) - плотность распределения поля голограммы при огра
ничении динамичес:кого диапазона, описываемая соотношением
PL(X)= б(x-l~)~p(x)dx, И=VL,
L
О, 1и1>1иL1.
(17)
Пользуясь формулами _(16) и (17), получим следующее среднее
значение интенсивности поля на восстановленном изображении,
которое по правилу Парсеваля равно среднему значению интенсив
ности поля на голограмме:
МL= 1- (1- U)[1- Ф(: 2)]+V~Lехр(-1;2),
(18)
-оо
Зависимость ML на рис. 8, а совпадает с :кривой, полученной с
помощью модели. - зависимость спенл-контраста от ограничения .
динамичес:кого диапазона дана на рис. 8, 6 .
165
м
(Z,
!)
б
1/ ,----
-
-
-
-
- , 7 ,-----------,
l
1
Рис. 11
о
бf/
128N /1
128N
б
1
Рис. .12
о
2
1/L ll
2
1/L
Эмпирическая гистограмма распределения интенсивности поля
на восстановленном изображении показана на рис. 9.'
Для
рис. 9, а L = 4а 0 , т . е. голограмма почти не искажена и распреде
ление близко к б-функции (флуктуации интенсивности малы). При
усилении ограничения динамического диапазона гистограмма рас
ширяется и сдвигается к нулевым · значениям: для рис. 9, 6 L =
= 2а 0 , для рис. 9, в L = а 0/2; при очень сильном ограничении,
когда на голограмме остаются значения, близкие к нулю, распреде
ление вероятности интенсивности на восстановленном изображении
стремится к б-функции в нуле (рис. 9, г).
Квантование· поля голограммы.- Рассмотрим равномерное
квантование реальной и мнимой частей голограммЬJ. Уровень h
ступеньки квантования задается, как и в случае ограничения дина
мичес:кого диапазона, в до-лях а 0 , L = h!a0 . Уровни квантования
расположены симметрично относительно нуля, значение первой
по·ложительной ступень:ки равно + h/2, отрицательной
-
h/2.
Значения нуля равновероятно заменяются на значения + h/2.
Минимальное количество ступенек может быть равно 2.-
Интенсивность восстановленнрго поля (рис. 10, 6) при 128 уров
нях квантования прс1ктически не отличается от исходного
(рис. 10, а), флуктуации шума па изображении почти не наблюда
ются . С уменьшением количества уровней квантования голограммы
шум растет (ер. рис. 10, в, где показано изобра,нение, :восстанов
ленное с голограм11,.rы, содержащей 64 уровня, и рис. 10, г с изобра
жением, восстановленным с голограммы, содержащей 32 уровня).
f66
;.'-;
r
l
а
1
б
2
2
17
о
1
(1
1
2
2
рщ:. 13
Среднее значение интепсиюrости поля сохраняется, если Rоли
чество уровней достаточно велино. I-:la рис. 11, а дана зависимость
среднего значения Мот ноличества уровней нвантования на голо
грамме N, зависимость спекл -контраста Q от N поназана на
рис. 11, 6. Интересно поназать зависимость среднего значения
и сп01ш -нонтраста нан функций уровня шага квантования
(рис. 12, а и 6); шаг h меняется в пределах от нуля (голограмма не
искажается) до , 4а 0 (2 уровня квантования). Из рис. 12, 6 видно ,
что nри малых значениях шага спекл-контраст почти линейно
зависит от размера шага квантования голограммы.
Восстановление голограмм Френеля
При восстановлении голограмм Френеля необходимо регистри
ровать поле на заданном расстоянии от голограммы. Восстановле
ние на расстоянии, отличном от заданного, приводит к расфокуси
рованию и:юбражения и возникновению шума цятнистости, если
поле, отраженное от исходного объекта, было диффузным. Манси
мальная ошибка фокусировки р (фактор расфокусировки), при
которой изображение можно считать сфокусированным, зависит от
условий поставленной задачи, размеров объекта, размеров голо-
167
Рис. 14
граммы, расстояния между ними и длины волны 'А, на которой
происходит запись голограммы.
Ранее было получено значение фактора расфокусировки для:
случая дискретного преобразования Френеля, при котором изобра
жение можно считать сфокусированным (см. формулу (11)), обозна
чим его через р 0 . В приведенных ниже результатах количество
отсчетов на голограмме и соответственно на изображении равно
512, коэффициент а выбирался так, чтобы выполнялось условие
(12). Для того чтобы коэффициент расфокусирования не зависел
от указанных параметров, будем задавать его в долях значения р 0 ,
F = р /р 0 . На рис. 13 даны примеры восстановления изображений с
различными значениями I{Оэффициента F. При F = О (рис . 13, а)
изображение сфокусировано и восстанавливается без искажений
(считается, что поле на голограмме з·арегистрировано полностью),
при малых значениях F = 1,3 (рис. 13, 6) на изображении возни
кают слабые флуктуации шума пятнистости. Чем больше значения
F', тем сильнее заметны флуктуации на изображении. На рис. 13, в
показано изображение, восстановленное при коэффициенте расфо
кусировки, равном 2,6; на рис. 13, г - равном 7,86. С увеличением
168
модуля коэффициента расфокусировки увеличиваются флук
туации на восстанов л енном из о бражении, как и в случае ис
кажений на голограмме, описанных выше .
На рис. 14 показана двумер-
,
ная картина зависимости интен
сивности восстановленного поля
от коэффициента расфокусиров
ки. В к ачестве исходного объ
екта задавалось р ас пределение
с постоянной амплитудой и слу
чайной фазой. Интенсивность в
:этом случае равна постоянной
величине . Голограмма последо
вательно восс т анавливалась со
значениями коэффициента рас
фокусировки от -20 до + 20.
Ве;rrичина F пропорциональна
отклонению ~ от заданного рас
стояния z0 , поэтому картину
можно рассматривать к а к прост
ранственную запись изображе
ний, восстановленных на раз
ных расстояниях z. Централь
ное горизонтальное сечение со
ответствует сфокусированному
изображению. На рис. 15 дана
зависимость спекл - контраста от
коэффициента F дл я изображе
ний на рис. 14. При сфокусиро
ванном изображении F = О,
Q = О, при увеличении коэффи
циента F величина Q линейно
'1
· ·-20
-10
Гие. 15
о +10 +20/:
J
ll,5
Q
[j
(!
[j
ll
IJ,5
D
Рис. 16
а
11,5
1W
,1
1/
J
z
128N
(J
2
4l
169
растет и достигает максимальных значений в области F;;:;::; 10. С уве-
личением F величина Q флуктуирует относительно своего макси
мального значения, равного 1. Заметим, что если па голограмму
наложены дополнительные искажения и на восстановленном
изображении возни:кает шум пятнистости, зависящий _от этих
искажений , то при F = О минимальное значение Q будет з~висеть
от степени искажений голограммы.
При машинном восстановлении голограмм Френеля, например
в сейсмической голографии, в случае, если точные значения пара
метров восста н овления неизвестны, зависимость Q (F) может
быть испо л ьзована для поис:ка значений фо:кусировки, если сфоку
сированное изображение имеет значение спекл-контраста < 1.
На рис. 16 даны зависимости спекл-контраста соответственно
от одраничения размеров W, динамического диапазона L и квапто
вания N гоJrограммы для четырех значений коэффициента расфо
:кусировки . Для изображения, восстановленного в фокусе (кри
вые 1), зависимости Q (W), Q СЧ, Q (N) совпадают с соответствую
щими зависимостями для голограмм Фурье . Это означает, что
описанные выше искажения голограмм оказывают одинаковое
влияние на статистические свойства шума пятнистости для голо
грамм Фурье и Френеля. В частности, кривая Q (W) описывается
формулой (15), полученной для фурье-голограммы. С ростом коэф
фициента расфокусировки характер кривых не меняется, а мини
мальное значение Q .определяется величиной F. Кривые 2 соответ
ствуют значениюF = 1,3,кривые 3 - F ~ 2,6икривые 4--,-- F =
= 7,86.
Полученные результаты работы цифровой модели записи и вос
становления голограммы могут быть использованы для разработки
дриближенных аналитических методов расчетс1. характеристик
шума пятнистости, а таюке для выбора оптимальных параметров
систем регис'Грации акустических, еейсмичесних и радиоголограмм.
ЛИТЕРАТУРА
1. Goodman /. W. Sоше Fundamental Properties of Speckle .- J OSA, 1976,
vol. 66, N11.
2. Хуа11,г Т . Цифровал rолоrрафил. - В 1ш.: Применения голографии. М.:
Мир, 1973.
3. Ярославский Л. П., Мерзляков Н. С. Цифровал голография. М.: Мир,
1976.
4. Папулис А. Теория систем. и преобразований в оптике. М.: Мир, 1971 .
5. Ярославский Л. П. Несколь:ко результатов из теории дискретных ортого -
нальных преобразований сигналов. - Наст. сб. '
.
6. Ярославский Л. П . , Рабиг~ович М. А., Миркип Л. И. Метод генерирова
ния гауссовских коррелированных псевдослучайных чисел на ЭВМ .
ЖВМиМФ, 1972, No 5.
7. Rухаръ Н . Р . Шум пятнистости избыточных фурье-голограмм длл одного
класса диффузоров.- Оптика и спектроскопия, 1977, т. 43.
170
V Дl{ 621.395;44
ЦИФРОВАЯ МОДЕЛЬ :КАНА:IА СВЯЗИ
ПО ЛИНИИ ЭЛЕ:КТРОПЕРЕДАЧИ
А. А. АНДРОНОВ
Основuым фактором, определяющим работу канала свяsи ,
являются вид и харантер помех. Высоночастотные (ВЧ) каналы
сuяsи, органиsованные по линии элентропередачи (ЛЭП), обладают
в этом смысле рядом особенностей, отличающих их от ·проводной
связи и радион:аналов . Прежде всего это связано с тем, что увели
чение класса напряжения ЛЭП приводит к росту основного и по
стоянно присутствующего вида помех - помех от коронирования
проводов, сопровождающего нормальный режим работы линии.
Кроме того, этот вид помех имеет специфический нестационарный
характер. Для определения параметров этих помех необходим
большой объем натурных измерений или исследования аналого
вых моделей. Однако э1<спериментальные измерения на линии, свя
занные, как правило, с ее отключением, приводят к большим
материальным sатратам. Кроме того, при современном проектирова
нии ВЧ канала выбор величины полезного сигнала и длины уси
лительного участка определяются уровнем помех и затуханием,
а статистические характеристики:, совместно с ними определяю
щие качество связи, совершенно не учитываютея. Очевидно и то ,
что полное аналитическое описание ВЧ канала из-за его сложно
сти не представляется возможным .
В последнее время получили широное распространение циф
ровые методы моделирования обработки сигналов при анализе
работы навалов связи [1]. Быстродействие ЦВМ, точноеть и вос
производимость результатов, простота реализации большого раз
нообразия возможньiх элементов канала делают эти методы более
выгодными и перспективными, чем аналоговое манетирование.
В данной работе решалась задача создания цифровой модели
ВЧ навала · сuязи по ЛЭП и исследования на ее основе различных
статистических характеристин помех.
Построение . любой модели неизбежно связано с вопросом об
адекватности модели и моделируемого процесса. При построении
цифровой модели ВЧ канала основой будут служить энсперимен
тальные данные и теоретичесюrе соображения о физическом меха-·
пизме образования помехи от нороны, а результаты работы модели
будут сравниваться с данными натурных экспериментов (в тех
случаях, когда такие данные есть) .
.1. Физические основы цифровой · модели канала связи
по ЛЭП
Физический механизм образования и характер помех от коро
. nы.
l{оронирование проводов ЛЭП представляет разновидность
электрического разряда в газе, а физические процессы, о_тветст
.
венные за него, описываются лавинно-стримерной моделью [2-4].
171
Она :исходит из того, что увлекаемые I{ положительно заряжен
ному проводу элеRтроны · образуют Jrав:ину, из головной части ко
торой :испускаются фотоны. Последние :ионизируют газ. Вторич
ные фотоэлектроны при большом положительном объемном заряде
первичной лавины движутся к ней, создавая на пути дополни
тельные лавины, которые, соединяясь с первичной, создают плаз
менный канал-стример. Именно наличие стримеров приводит к пре
рывистому режиму короны. То1{ помехи единичных стримеров
имеет импульсный характер. Число импульсов от одного источни
ка при постоянном напряжении достигает от десятка до сотен
в секунду, а при переменном напряжении от единиц до десятка
в период. Форма и амплитуда импульсов зависят от полярности
напряжения на проводе. В положительный полупе,риод они значи
тельно мощнее, чем импульсы отрицательного полупериода. Им
пульсы имеют очень разные амплитуды, но ширина и форма их
приблизительно одинаковы. Время стримерного импульса поряд
ка сотен 1шнос01{унд и ток порядка десятков миллиампер. В [4]
поназано, что форма импульсов хорошо аппроксимируется:
кривой
f (t)
axte1-xt'
(1)
где а - амплитуда импульса, х = (1,0-1,4), 10 7 1/с; а для спек•
тральной плотности приведена формула
1s(ш)1= ахе!(х2+ ш2),
в целом отражающая: ход эксnеримен1·алы-1ых кривых за исключе
нием неноторых уча·стков. В [5] получено выражение, лучше со
гласующ е еся с д~нными эксперимента, в нотором учтена корреля
ция импульсов норонирования. В области частот 30-500 нГц,
используемых для связи в настоящее вр е мя, / S (ш) 1 практичесн:и
не зависит о т__ частоты. В действительности с увеличением частоты
уровепь помех падает из-за роста затухания с частотой --: --1/w 1/ 4 .
Таним образом, ясно, что процесс коронирования носит ярко вы
раж:енный случайный характер и для его полного описания необ
ходимо исследование статистичесних характеристин.
Стати стичес1ше характеристики процесса . J{оро нирования. В,ид
n характер помех в ВЧ канале описан в [4, 6]. В соответствии
с . описанным выше физическим механизмом образования помехи
nм:еют ма1,с:ималып,rе всплесни вблизи максимумов положитель
ной полярности переменного напряжения на проводе. При отри
цательной полярности напряжение помех значительно ниже.
Превышение основных мю{симумов помех над помехами в проме
жутках между ними ~ 2 нп. От наличия двух других фаз ЛЭП на
первой наводятся помехи, имеющие nсплrски с мю{симумами мень
ше псновного, сдвинутые на углы ~ 120 и 240r. относительно него. •
В [7] былп экспериментально показано, что плотность распре
деления эффективных значений напряжения высокочас1отных по
мех на выходе фильтра присоединения имеет логарифмически-
нормальный вид:
W (11=
i e-(lne-lnв)2/2cr2 ,
V2лcrs
(2)
где е - · среднее
значение помех, и - среднеквадратичное откло
нение, s - эффен:тивН:ое значение напряжения ВЧ помех в микро
вольтах на · сопротивлении 100 Ом.
:Эффективные значения ВЧ помех определялись следующим
образом:
\'де Т - интервал измерения.
Из (2), цспользуя замену переменных у = ln s, легко получить,
ч.то плотность распределения уровня помех, измеряемого в лога
рифмической · шкале, подчиняется гауссовскому закону, что пол:
ностью соответствует [6].
В соответствии с физическим механизмом образования помех
можно ожидать, что в диапазоне частот, используемых длJI связи , ·
помехи носят характер белого шума, «промодулированног0>> гар
моническим колебанием с частотой 50 Гц. В [6, -7] показано также,
что среднее и среднеквадратичное значения· огибающей помех из
меняются во времени. В этих же работах былипроведены осцилло
графические исследования огибающей помех и было показано,
что распр~деление вероятностей выхода огибающей помех над за
данным уровнем подчиняется .:рэлеевскому закону только в очень
уЗiюм (~О,002 с) интервале времени вокруг точки максимума
напряжения. Для большего промежутка времени рэлеевский
закон не выполнялся. Аналогичные результаты получены для рас
пределения максимумов и длительности выбросов огибающей по
мех. Таким образом, из экспериментальных данных сл едует , что
помехи кор о ны являются нестационарным случайным пр о цес.сом.
Высокочастотный ка нал связи по ЛЭП. Известно, что системы
передачи информации, существующие на лин и ях э л ектропередачи,
имеют приемные устройства, полоса пропусr{ания Л/ которых со
ставляет единiщы ки.ло герц (например , для релейной защиты -
от 1,4 до 2 кГц, для телефонной связи - 3,4 кГц), а несущая ча
стота / 0 канала составляет сотни килогерц. Следовательно , в силу
ЛflfO <_ 1 помехи в ВЧ I{анале можно рассматривать к ак узкопо
лосный процесс, который можно представить в виде
п(t)=и(t)cos(w0t -1-ер(t))=х(t)cosw0t+у(t)sinwot,
где и (t) - медленно меняющаяся по сра в нению с cosw 0 t о гибаю
щая случайного процесса, ер (t) - медл енно меняющаяся фаза
процесса, х (t), у (t) - квадратурные компоненты п омех и I{оро
нирования;
и(t) = Vх2(t)+у2(t) , (р(t) = arctg[у(t)/x(t)].
173
В ВЧ каналах по ЛЭП в зависимости от их назначения испоJ1ь
зуются различные виды модуляции. Для того чтобы не ограничи
вать общности рассмотрения, мы будем рассматривать модулируе
мый сигнал в виде
s(t)=Q(t)cos(ffi0t+Ф(t)),
где Q (t) и Ф (t) - амплитуда и фаза сигнала, однозначно связан
ные с передаваемым сообщением.
При дальнейшем рассмотрении ВЧ канала по ЛЭП будем рас
сматривать помеху от коронирования как аддитивный шум .. Тогда
для суммы сигнала и помехи можно написать:
v(t)=s(t)+п(t)'= R(t)cos(ro0t+Ф(t)+ер(t)),
(3)
1
где R (t) и ер (t) - медленно меняющиеся огибающая суммы сиг
нала и помехи и фаза этой суммы, пс, n8 , х, у
-
квадратурные
компоненты помехи, связанные друг с другом формулами
х(t)=пс(t)cosФ(t)+n8(t)sinФ(t),
у(t)= n8(t)cosФ(t)- пс(t)sinФ(t),
R (t) = Y(Q+х(t))2+у2(t), ер(t) = arctg [y'(t)/(Q +х (t))]. (4)
Таким образом, задача изучения характеристик канала заклю-
чается в исследовании поведения огибающей R (t) и фазовой ош.иб-
1ш ер (t), анализ ноторых в свою очередь сводится к свойствам 1шад
ратурных компонент х (t) и у (t), п,, (t) и n 8 (t).
11. Цифровая 1\юдель высокочастотного :канала с.вязи
по ЛЭП
Цифровое моделирование помехи короны в ВЧ канале. Осно
вываясь на изложенном выше :физическом механизме образования
шумов в ВЧ канале, рассмотрим три способа описания такого шумя
в цифровой модели ВЧ канала.
Первый вариапт цифровой модели. В качестве первого прибп:и
жения предполагалось, что пс и n 8 представляют стационарный
гауссовский шум.
В работе [8] предложен простой и эффективный алгоритм полу
чения последовательности псевдослучайных чисел с гауссовским
распределением и заданной норреляционной функцией (или энер
гетическим спектром). Последовательносrь комплексных чисел
п (k) = (пс, ns) формируется в частотной области своими коэффи
циентами Фурье:
п(k)=пс(k)+ins(k)-
·
N
. : N~q(j)т(j)e-i2nkj/N (k= 1,2, .. ., N),
J=l
где m(j) - последовательность комплексных неноррелированных
171
чисел с равномерным распределением, q (j) - отсчеты частотной
характеристики формирующего фильтра.
При использовании для получения таких чисел алгоритма быст
рого преобразования Фурье данный метод становится экономич
ным и для достаточно больших N. Последовательности чисел
пс и n 8 получаются с заданным энергетическим спектром (опреде
ляемым q (j)) и распределением, достаточно хорошо аппроксими
рующим нормальный ?акон. ,
Второй вариапт цифровой .модели. Помеха рассматривается
Rак сумма импульсов. Реализация шума формируется в виде
F(t)=~f(ak, t-tk),
k
где f - функция, описывающая форму отдельного k-го импульса
(1) со , случайной амплитудой ak, tk - - время появления k импульса.
Времена появления импульсов выбираются (при задаваемом
пороге вероятности) из равномерно распределенных некоррели
рованных , случайных чисел так, что распределение длительности
между ними подчиняется закону Пуассона. Алгоритм предусмат
ривает возможность изменения порога вероятности, т. е. вариации
числа импульсов в реализации. Длина реализации составляла
~103 отсчетов. Число реализаций достигало ~102 . Отношение дли
тельности импульса к длине реализации~ 0,02. Отметим, что эти
величины в цифровой модели могут быть легко изменены.
Исходя из физического механизма образования шума, необхо
димо учесть в модели то, что интенсивность и величина импульсов
возрастают в районе максимума положительного периода промыш
ленного напряжения. Это достигается умножением как самой ре
ализации (амплитуд импульсов), так и задаваемого порога вероят
ности (частоты появления импульсов) на модулирующую функцию:
{
.
2л:
sшyt,
(J)(t) =
О,
Т/2 <, t<, Т.
Подчеркнем, что при необходимости можно легко изменить форму
используемых импульсов.
Третий варuаН,т цифровой .модели. Отличается от первого тем,
.
что в нем учитывается нестационарность процесса образования
шума. В его основе лежит аналитическое решение [5], которое
показало, что аппроксимация зависимоети а (t) даже в виде
()
.
211:
а t = а0 sш т t приводит к плотности распределения вероятно-
сти огибающей процесса, достаточно хорошо описывающей экспе
риментальные данные. В таком варию-rте учет нестационарности
процесса достигается умножением реализации каждой квадра
sгурной компоненты с гауссовским распределением на модулирую
щую функцию а (t).
Цифровая модель ВЧ канала С13ЯЗИ по ЛЭП (рис.1). Ограничим
ся описанием тех элементо!3 канала, которые не зависят от присут-
175
ствия цомехи. Это прежде всего цифровые модели модулятора,"де
модулятора и фильтра . Численный алгоритм модулирования про
цесса легко получить, основываясь на формулах (3), (4), в которых
теперь вместо времени t должна стоять дискретная переменная,
пропорциональная шагу дискретизации ЛТ. Отметим, что этот
метод (метод комплексной огибающей [1]) позволяет существенно
1 Блоr( подготовки 1----.r~~~~- EJЭ -, j Демодулятор 1-1 Блок обработrш /
i
Генератор mума
Рис. 1. _Блок-схема цифровой модели
ВЧ канала свяви по линии электропе
редачи
сократить объем вычислений, так как использует вместо высоко
частотных составляющих сигнала его огибающую и фазу, медлен
но меняющиеся по сравнению с cosw 0 t. Демодуляция •как опера
ция, обратная модуляции, может осуществляться различными
способами. Так, например, для частотного детектирования она мо
жет состоять из последовательно соединенного фазового дискри
минатора и дифференцирующего фильтра. Отметим, что фазу про
цесса (особенно при ЧМ) необходимо вычислять с учетом ее скач -
ков на + 2:rt, т. е. по формуле ·
уЩ
\'
ер(k)= arctgQ+х(k)+nL.J nj,
•
j
где nj - целое число, положительное, если совершается полный
оборот вокруг начала координат против движения часовой стреJI
ки, и отрицательное, если по ходу ее движения.
Цифровая модель фильтра основана на дискретизации соотно
шения
+оо
b(t)= ~ а(т:)h(t-т:)dт:,
(5)
-оо
описывающего преобразование линейной системой с импульсным
откликом h (t) входного сигнала а (t) в выходной сигнал Ь (t).
Известно, что переход для а (t), Ь (t), h (t) с помощью интеграла
Фурье в частотную область для (5) дает
B(w) =Н(w)А(w),
(о)
где В (w), Н (w), А (w) - соответственно фурье-образы Ь (t),
h (t), а (t).
Для дискретного преобразования Фурье и после замены (5)
интегральной суммой соотношение (6) примет вид
N
В(k)= / N ЕА(j)Н(j)ei2n/fj/N.
J=l
176
Таким образом, организация цифровой модели фильтра за
ключается в ·переходе с помощью дист,ретного . преобразования
Фурье в частотную область умножением на частотную характери
стику фильтра и последующего обратного лреобразования Фурье .
Использование алгоритма быстрого преобразования Фурье
для тан:их вычислений делает цифровую модель достаточно быстро
действующей.
Алгоритмы, используемые в цифровой модели ВЧ :«.анала. Во
всех случаях, когда при создании цифровой ~одели возникала
необходимость в дискретном преобразовании Фурье, использовал
ся усеченный алгоритм быстрого преобразования Фурье, позво
ляющий получить дополнительную экономию машинного времени
благодаря равенству нулю значительного количества чисел исход
ной последовательности [9, 10].
По р·еализациям суммы сигнала и шума на выходе системы
(а при необходимости и в любой точке схемы рис . 1) в блоке об
работки производились оценки стат~стических характеристик раз
личных величин:
а) · плотности распределения вероятностей и ее моментов;
б) корреляционной функции и энергетического спектра;
в) числа и длительности выбросов над произвольным уравне
нием с разным знаком производных в точках пересечения процес
са и уровня;
г) те же характеристики, но для случая одного знака произ
водных
ит.д.
Отметим, что в п. в) и г) нахождение точки пересечения про
цесса и уровня производилось с помощью квадратичной интерпо
ляции отсчетов процесса в целях повышения точности вычис
лений.
Rроме того, для удобства и ускорения работы и обработки ре
зультатов использовались сервисные программы, например про
грамма, позволяющая получать вместо наборов чисел функцио
нальные кривые.
Вся программа цифровой модели ВЧ канала связи по линии
электропередачи написана .на языке ФОРТРАН IV и отлажена
для машин третьего поколения (серия ЕС) в системе ДОС.
Структура программы в целях удобства работы носит блочный
характер: блок основной программы и блоки вспомогательных
процедур. Такая структура соответствует схеме канала, описан
ного на рис. 1, и, кроме того, позволяет при необходимости вво
дить дополнительные блоки, не затрагивая остальную часть про
граммы. Блочная структура цифровой модели, кроме удобств при
работе, придает ей определенную универсальность .
177
III. Некоторые результаты модельного исследования
ВЧ канала связи по ЛЭП
На первом варианте цифровой модели были изучены плотно
сти распределений длительностей выбросов процесса над произ
вольным уровнем между нулями как с одинаковым, так и с раз
ным направлением производной в точках пересечения уровня про
цессом. Такие зависимости представляют не только теоретический,
но и практический интерес, так как позволяют прогнозировать
промежуток времени, в ноторый процесс выходит за заданный у ро
вень. Такие характеристики часто встречаются и необходимы не
тольно в ВЧ связи, а и в других областях (например, в энергетике).
:Кроме того, указанные закономерности были изучены и для раз
ного сдвига "А энергетического спектра. Особенно интересным ока
зался случай нулевого уровня, для которого удалось, изучив ука
занные характеристики на цифровой модели, доказать их тесную
связь с плотностью распределения длительности аномальных выб
росов частоты для случая ча.стотной модуляции [11]. Результаты
исследования таких распределений длительностей выбросов над
произвольными уровнями б для 'Л = О для гауссовского процесса
приведены на рис. 2, 3 (рис. 2 - для выбросов с разным направле
нием производных; рис. 3 - с одинаковым направлением).
Второй вариант цифровой модели позволил изучить представ
ляющий самостоятельный интерес случай плотности распределе
ния шума, когда число импульсов недостат.очно велико, чтобы
имела мэсто нормализация плотности распределения. Этот слу
чай характерен как раз для ВЧ канала по ЛЭП.
Третий вариант цифровой модели ВЧ канала позволил иссле
довать целый номплекс вопросов, представляющих нак теорети
ческий, так и прантический интерес при работе ВЧ связи, органи
зованной по ЛЭП: вопрос о функции плотности распределения
вероятностей огибающей; процесса и его фазы, о функции плотно
сти распределения вероятности длительности выбросов процесса
над произвольным уровнем б нак с одинаковым, так и с различ
ным направлением производных в точках пересе;qения и др. Ре
зультаты исследований показаны на рис. 4, где представле:~щ
плотность распределения длительности выбросов с разным на
правлением производных для огибающей процесса. Сравнение с
экспериментальными кривыми работы [7] свидетельствует об их
удовлетворительном совпадении.
Интересно сравнить результаты, полученные на цифровой мо
дели, с результатами аналитического рассмотрения, выполненного
в [5]. Отметим, что при аналитическом анализе из-за сложности
математических выкладок были сделаны определенные допуще
ния, которые привели к приближенной функции плотности рас
пределения вероятностей огибающей процесса. В цифровой же
. модели (ее третий вариант) часть сделанных допущений не потре
бовалась, т. е. результаты цифровой модели оказались более
точными. Сопоставление полуечнных кривых плотности распре-
178
w
f,2
Г\0 =1,56
1.
.
1
1,0
! },-J= (,
I:\\м~
i/1\
•1\
11 •\
•1\\
0,111:,.\
i, \\
•'
\\
1,
\
•'
"\\
1/
1
О,4 ./
.
1
1' \1
./
.
1
/1
\\
./
1
1
0,2 ./
\\• \
\\
.
\
\_'-, _ __
!,О
2,0
J,O
4,0 lf,5T
w
1,0
2,0
J,O
f/,0 t
w
IJ,'/11
rf"=IJ,51,
/J,i/0
17,Jll
IJ= G
0,JZ
1,56'
·\
17,28
1· \1
,1 ·1\
0,2!;
1/.
1.1
0,20
1i \1
1.i
11·
О,!о
'11.
11 /.
r-
ll,72
1 ilj/
r\lf·
1i
\ (\.
0,08
•
/
l
1\.п .
1/
\ ,·J·"\
О,04
/•
1/'/·
!,ll
J,O
5,0
1,0 t
Рис. 2. Плотность распределения
длительности выбросов процесса
с разным направлением производ
ных
Рис. 3. Плотность распределения
длительности выбросов процесса
с одинаковым направлением про
изводных
Рис . 4. Плотность распределения
дли.тельности выбросов огибаю
щей процесса с разным );!:а пра в
Jrепием проиsнодных
179
w
.
0,8------------------ ·~ --- -
0,8
0,1/
--
-----
-----
------
0,2
0,2 -О,'! о,8 0,8 1,0 1,2 1,4 1,б !,8 2,0 2,2 2/1 2,fl Х
Рис. 5. Плотность р(lспределения огибающей процесса
Сплошная линия - нривая (2); штрихпуннтирная - анали тич есная модель; нрес~ы
-
цифровая модель; пуннтир - занон Рэлея
деления огибающей процесса (сплоrпная линия - кривая (2)
по данным [7]; штрихпунктирная линия - кривая для анали
тической модели; крестики - данные цифровой модели; пун:к
тирная кривая - закон распределения Рэлея ) _ приведено на
рис . 5. Анализ этих кривых показывает, что результаты цифровой
модели согласуются как с теоретическими соо т ношениями, так и
с данными эксперимента.
ЛИТЕРАТУРА
1. Быков В. В. Цифровое моделирование в ста тистической радиотехнике .
М:.: Сов. радио, 1971.
2. Леб. Основные процессы элентричесюrх разрядов в г азах. М. : Издсво
иностр. лит., 1950.
3 . Алексапдров Г. Н . 1-1:оронный разряд на линиях элентропередачи. М:.:
Энергия, 1964.
_
4. Костепко М . В., Перель:мап Л. С., Шкарш;, Ю. П. Волновые процессы
и электрические помехи в многопроводных линиях высокого напряжения.
М:.: Энергия, 1973.
5. Апдvопов А. А.- Труды ЭСП, 1980, вып. 21.
6. Бv'охес В. М., Микуцкий Г. В.- Труды ВНИИЭ, 1974, вып . 45, с. 39 -
46, 47-53, 1974.
7. Журавлев Э. Н. Радиопомехи от коронирующих линий электропередачи.
М:.: Энергия, 1971.
•
8 . Миркип Л. И., РабиповиJ М. А., Ярославский Л . П. Метод генерирова
ния норрелированных гауссовых псевдослучайных чисел на ЦБМ.
rIШ:МиМФ, 1972, т. 12, No 5.
9 . РабиповuЧ, М. А. О некоторых модпфикациях алгоритма БПФ.- Радио
техника, 1975, т. 30, No 10.
10 . Ярославский Л. П. Усеченные алгоритмы быстрых преобразований
Фурье - Уолша.- Радиотехrпша, 1977, т . 32, No 7, с. 15.
11 . Апдропов А. А., РабиповuЧ, М. А. Распределение длительности аномаль
ных выбросов частоты и нули гауссовского случайного процесса.- Ра
диотехника, 1978 , т. 33, No 8 .
180
-УДК 528,9 :681.3:62-506
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОЗАВИСИМОСТИ
МАКРОПАР АМЕТРОВ РЕЛЬЕФА
.МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
в.н.лотов
Сло:ншость и многообразие форм рельефа привели R необходи
мости создания единого статистичесRого подхода R изучению
струRтуры земной поверхности. R настоящему времени разработа
на и получила всеобщее признание теЬрия статистичесRого ана
лиза случайных поверхностей [1, 2], созданы методиRи оцеr-ши
различных геоморфологичес1шх показателей рельефа по топогра
,фической Rарте [3-5] , позволяющие получить необходимую для
решения приRладных задач информацию о свойствах земной по
верхности.
Однако в связи с развитием дискретной вычислительной тех
ниRи все более актуальной становится задача перехода от обычных
топографических карт к специализированным цифровым моделям
рельефа, обеспечивающим минимальные затраты на решение при
Rладных задач, связанных с обработкой топографичесRих Rарт.
С другой стороны, существующий архив Rарт может быть од
Rой из основ для создания банка цифровых моделей рельефа мест
ности. Неиоторые предпосылRи таRого подхода имеются, напри
мер, в [6].
В этой связи возниRает задача определения шага дискретиза
ции топографической карты для адеиватного представления релье
фа его цифровой моделью. В статье предлагается выбирать шаг
дискретизации из условия его малости по сравнению с интервалом
корреляции в'ь1сот поверхности. ПосRольRу нахождение интервала
Rорреляции непосредственно по карте является трудоемRой про
цедурой, для решения этой задачи был использован метод статисти
ческого моделирования и анализа на ЦВМ ансамбля псевдослу
·чайных поверхностей. Полученные результаты позволили опреде
.лить связь интервала корреляции с другими макропараметрами
рельефа: средним лоRальным числом горизонталей на единицу
площади и среднеквадратичесRой ·высотой, ОЦ!3НRУ иоторых доста
точно просто осуществить по карте.
1. Математическая модель рельефа м~стности
Пусть имеется трехмерная случайная поверхность
z=1;(r)=1;(х,у).
Полное статистическое описание такой поверхности задается
п-мерной (п -+ оо) интегральной фующией распределения
(1)
181
имеющей смысл вероятности того, что значения высот в ·~очках
1'; , i = 1, n не превышают ВеЛИЧИН Z;.
Дифференцируя (1) п раз по ·z, получим п-мерную плотrюсть
вероятности
В общем .9лучае такое полное описание, как правило, неизвест
но, поэтому используют <<грубое>> описание, состоящее из среднего
значения высот
дисперсии
c--
cri = S@1 (s1, r1)ds1
и корреляционной функции
Существует важный класс случайных поверхностей, называе
мых нормальными, для статистически полного описания которых
достаточно именно этих характеристик [7].
Для нормальных поверхностей
1
{(~1-
~)2 }
f1(s1, r1)= v- ехр
-
-2
,
2na!
2,Е
f2(s1, r1; s2, r2) =
ехр {- (~~
-
2R~ (r1, r2) ~1~2+ф/2аt[1 - R!(r1, r2)]} .
2яа!У1--R{(г1,г2)•
где Rs (r1, r 2) = cr~ 2K 5 (r 1 , r 2). Плотности вероятности любого по
рядка определяются в этом случае выражением
fп (s1, 1·1; s2, r2; ...; sni rп) =
п
п
= [ехр(- ,
2; 152 ~ ~ DikSiSt,)] /-V (2ncr!)n D,
•
S i=l k=l
.
где D = det II Rik 11; 11 Rik 11 - ковариационная матрица высот по
верхности; D ;1r -
алгебраическое дополнение R ik·
Будем рассматривать в дальнейшем нормальные статистиче
ски однородные поверхности, полагая К5 (r1 , 'r2 ) = К5 (х, у), где
х=1Х1-Х2!,у=1У1-У2l-
t82
Обычно в геоморфологии испольауют гауссовскую корреляци
,онную функцию [5] , которую для трехмерной поверхности можно
:з аписать в виде
(2)
где Рх, Ру - интервалы корреляции высот по координатам х. и у.
Пусть теперь случайная трехмерная поверхность будет пред
~1:авлена , как это имеет место на топографической карте, семейст
lВ ОМ линий равных высот, или горизонталей
{L;(х,у)}=z;,i=1,N,
:где z; - уровень горизонтали;
N=(Zmax - Zmin)/б+1;
[', -
шаг квантования по z.
(3)
(4)
В теории статистического анализа случайных поверхностей
р ассматривается связь различных характеристик семейства кон
-турных линий (3) . Нас будет интересова~ зависимость среднего
~исла горизонталей на единицу площади N от р и а5 . Это обстоя
·тельство обусловлено простотой подсчета N непосредственно по
:Rарте. Зная эту аависимость и найдя N по карте, можно будет оп
ределить р и as для поверхности, соответствующей этой карте.
Очевидно, что среднее число горизонталей на единицу площади
случайной поверхности можно определить как
(5)
-тде Nii) - число горизонталей, замкнутых на рассматриваемом
участке поверхности, на единицу площади.; N~i) - число -горизон
·талей, начинающихся и заканчивающихся на границе, на единицу
площади.
,
Для статистически однородной и изотропной случайной поверх
ности в [2] на осно~е результатов, полученных в [1], удалось найти
выражение, позволяющее оценить величины слагаемых , входя
щих в соотношение (5) :
·,г де
Vi<лЧiJ<{2Ф(Zi)-1 +у~ ;i ехр [-+z~]} Vi,
1 -32
-
Vi=--,
-
1аоа1\zi- ~1С;
(2:тt) 2
11
-
t•
Ф(11)= }:тt ~е-2 dt;
(6)
(7)
(8)
(9)
183
Zi=
aiIzi- ~1
(10 )
2у14()2
а0а3
-
а1 а0аз
а~= Кs(О, О)= а{;
(11)
'
д2J{
ai= -
дх2s (О, О);
(12)
2
д•Кs
а3 = а;:г (О, О);
(13;
{ (z.- t)2}
с~ехр-
i
2
;
2а0 .
(14)
-Х,
У - стороны прямоугольной области.
Подставляя (6) - (14) в (5) и полагая Х = У = А, получим
для поверхности с корреляционной функцией (2)
( 2V2
1zi- t1)ех{-(zi- [)2}
:n:pA + 1/2~ 2
р ·22
°3⁄4
f nрcrs
~s
<Jv<iJ<{ 2 -V:2""+ /zi-[/ [2Ф(В·)-1+
"""
"""
:rtpA
,12з2
'
•
1' пр crs
+ в~:it ехр (-
~~ )]} ехр {- (zi;;[[)
2},
(15)
где В; = 1/2 jz; - ~ 1/2crs; р = Рх = Ру· Число всех горизонталей
на единицу площади можно найти, просуммировав (15) по всем i.
Полученное выражение справедливо в предположении р < А.
Это значит, что при определении параметров рельефа по карте
необходимо вычислять общее число линий, что является весьма
утомительной процедурой. Гораздо проще определять среднее ло
кальное число линий путем подсчета их числа в элементарных
квадратах со стороной
А~ р,
(16}
как это делается при нахождении геоморфологических показате-
лей расчлененности [3]. Однако в этом случае выражением (15) ,
пользоваться нельзя.
Поэтому для получения искомой зависимости была создана
статистическая цифровая модель рельефа, для ноторой использо
валось приближение (16).
2. Формирование и анализ цифровой МОД(>ЛИ
Цифровая статистическая модель рельефа представляет со
бой матрицу II Z 11, элементами которой являются нормально
распределенные :коррелированные псевдослучайные числа,.
184
получаемые по алгоритму двумерного скользящего суммирования
k
.
L.J
~i-m, j-nехр{-- :: (m2+п2)1
m,n=- k
Zij = -"-''-'-'- -;::-:::::::============--
✓ Ё ехр{- 2р~2 (m2+ n2)}
т, n=-k
• где . Sp, q - псевдослучайные числа, распределенные нормально
с параметрами О, 1; р - интервал корреляции; k определяется из
условия е > ехр {- 2S2k2/p2 }; f'.
-
положительная малая вел Jr
чина; S - расстояние между отсчетами. Каждое нормально рас
пределенное число Sp, q получено суммированием двенадцати рав -
номерно распределенных чисел, генерирование которых · произво
дилось мультипликативным конгруэнтным методом [8].
Определение среднего числа горизонталей на единицу площади
производилось усреднением выражения (4) по всем элементарным
квадратам, имеющим стороны , равные расстоянию между сосед- .
ними отсчетами. При моделировании полагалось б = 20 м, что
соответствовало топографической I{арте масштаба 1 : 100000 , и
S=500м.
Изучение зависимости N от ·дисперсии и интервала I{Орреля
ции было проведено на ансамбле из 40 поверхностей, ка ждая из
1щторых имела площадь 22 Х 22 км.
Результаты моделирования представлены в виде графиков
на рисунке. Поведение кривых позволяет дать физически понят
ную интерпретацию исследованному
явлению: число линий на единицу
площади растет •с увеличением дис
персии высот поверхности и умень
шается с ростом интервала норреля
ции.
Энспериментальный материал был
подвергнут многофанторному регрес
с ионному анализу, в результате чего
удалось найти фуннциональную связь
рассматриваемых переменных, кото
рая имеет вид
IV (р, а5) = 1,04-О,67р- 1 +
+ 0,01CJ 5 + 0,5р- 2 + 0,04a5p-l +
+ О,0003а{,
(17)
где IV - среднее локальное число
горизонталей на 1 км 2 ; р - интервал
к орреляции высот, км; а5 - средне
квадратическая высота, м. -Уравне
ние регрессии (17) обеспечивает при-
N,1/км 2
5
1;
J
z
1
О
20
40 ~,м
Зависимоиь числ а тори 3 он1 а
лей на квадратный километр
от средненвадратич е ско й вы
соты и интервала норрешщии
185
вмлемую точность интерпретации, поскольку "дисперсия не аде
кватности существенно меньше дисперсии экспериментальног()
материала.
Использование уравнения (17) существенно упрощает процеду
ру оценки параметров рельефа . Так, определив число линий на_
единицу площади и оценив по величине размаха среднеквадрати
ческую высоту поверхности, из (17) можно получить оценку ин
тервала корреляции р. В частности, зная р, можно сформулиро
вать критерий для вь1бора шага дискретизации Л при построении
цифровой модели поверхности, представленной первоначально
линиями равных высот топографической карты, пользуясь ре
зультатами теории дискретизации случайных процессов и подей .
Например, простейшей оценкой может служить неравенство
Л<р.
(18)
ЛИТЕРАТУРА
1. Longuett-Нiggins М. S. The statistical analysis of а random moving sur-
face. -
Phil. Trans. Roy. Soc. (London), 1957, s. А, vo l ._ 249, р. 321 - 387.
2. Swerling Р. Statistical properties of the contours of random surface.-
IRE
Inf. Theory, 1962, vol. IT-8, р. 315-321 .
3. Чепцов В. Н. Морфометрические показатели на геоморфологической карте
мелкого масштаба.- В кн.: Труды ИГ АН СССР, 1948, вып. 39, с. 291-
306.
4. Бочаров М. К., Николаев С. А. Математико-статистические методы в,
картографии. М.: Геодезиздат, 1957, с. 158.
-
5. Носков В. Ф. Связь парамет1;1ов математической модели рельефа с показа
телями расчлененности.- Вестник МГ-У. Сер. геогр., 1969, No 1, с. 105-
110.
'
6. Ширяев Е.· Е. Новые методы картографического отображения и анализа
геоинформации с применением ЭВМ. М.: Недра, 1977.
1. · васс Ф. Г., Фукс И . М. Рассеяние волн на статистичес1ш неровной
поверхности. М.: Наука, 1972.
8. Соуч,ек В. Мини-ЭВМ в системах обработки информации. М.: Мир, '1976 .
IV. АППАРАТУРНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСПЛЕЙНЫЙ ПРОЦЕССОР
ДЛЯ ДИАЛОГОВОЙ ОБРАБОТRИ
ПОЛУТОНОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
И. М. БОRШТЕЙН
-У дк 681.142 .6:621.397.2
В настоящее время все большая доля информации о внешнем
мире представляется человеном в виде различных полутоновых
изображений. Несовершенство систем получения изображений
и желание извлечь из изображения I<IO{ можно больше существен
ной информации приводят н необходимости построения систем,
обеспечивающих улучшение визуального начества изображений
и их препарирование с целью выделения харантерных особеннос
тей и нлассификации. В связи с тем что соответствующую обработ-·
ку изображений :наиболее удобно осуществлять с помощью циф
ровых методов, большинство существующих систем обработки
являются цифровыми системами, содержащими центральную ЭВМ
и ряд устройств ввода-вывода и хранения изображений [1-3].
Конечной целью обработки полутоновых изображений явля
ется их представление в виде, наиболее удобном для рассматри
вания человеком. В связи с этим в состав любой системы обработки
изображений должно входить устройство, обеспечиваюiдее высо
кокачественное _и оперативное воспроизведение результатов :не
посредственно в процессе обработки - так 1:rазываемый полуто
новый дисплей.
Для создания полутоr-ювого дисплея :необходимо обеспечить
-запоминание изображения с целью его воспроизведения. · Запоми
нание можно осуществить на аналоговом уровне (с помощью
запоминающих ЭЛТ) или на цифровом уровне (используя спе
циальные цифровые магнитные диски, БИС цифровой памяти с
произвольным доступом или БИС-сдвиговые регистры). Хранение
изображений в цифровом запоминающем устройстве позволяет
-обеспечить значительно лучшее качество (меньшую аашумленность
,и большее число градаций ярrщсти) воспроизводимого изображе
_н-ия, чем в устройствах с запом:;шающей ЭЛТ. Кроме того, при
·правильной организации цифрового ЗУ можно обеспечить считы
·ва:ние изображения со скоростью телевизионной развертки и фор
мирование с помощью преобразователя I{ОД - аналог (ПКА) те
левизионного видеосигнала. В этом случае для визуализации
изображения можно использовать стандартный телевизионный
монитор. Поэтому подавляющее большинство устройств оператив
ного воспроизведения изображений представляют- устройства
с цифровым ЗУ, сканируемым со скоростью телевизионной раз-
187
вертки - тю{ называемые растровые дисплеи. В связи .с невысо
кой надежностью и сложностью цифровых ЗУ на магнитных дис
ках ЗУ растровых дисплеев обычно строятся на основе БИС.
• Необходимость
визуальной оценки результатов обработки
полутоновых изображений приводит к тому, -что процесс обработ
ки является ;в принципе диалоговым процессом; вид и параметры
обработки должны определяться оператором непосредственно
в процессе работы - по мере воспроизведения на экране дисплея
резу.,rrьтатов очередного этапа обработни (изображений или их
характеристик). В связи с этим в состав системы цифровой обра
ботки изображений должен входить ряд средств обеспечения диа
лога, ориентированных на непосредственную работу с воспроиз
водимым изображением.
При <<серийной>> однородной обрабоп{е однотипных изображе
ний (например, аэрофотоснимков) часто используются различные
стандартные алгоритмы обработки; выбор коннретных алгоритмов,
последовательности их использования и параметров их работы
определяется оператором. В цифровых системах обработки изо
бражений, построенных на основе универсальной ЭВМ, · не ори
ентированной на реализацию таких алгоритмов, время их работы
оназывается значительным (десятки минут). Поэтому желательно
создание специализированного устройства, ориентированного на
диалоговую обработ1ч полутоновых изображений . Это устройст
во - так называемый дисплейный процессор
-
должно содер
жать в качестве основного элемента цифровое запоминающее уст
ройство; ,хранящиеся в ЗУ изображения должны воспроизводить
ся на энране телевизионного монитора. Необходимо обеспечить
широкие возможности диалога' оператора с дисплейным процес
сором с помощью кан обычных, так и специализир-ованных средств
обеспечения диалога, а также высокую скорость работы стандарт
ных алгоритмов обработки изображений (от долей се~{унды до
нескольких десятнов секунд). Сохранение присущей цифровым
системам обработки изображений с центральной ЭВМ гибкости
может быть достигнуто путем реализации двустороннего навала
связи дисплейного процессора с мощной центральной ЭВМ. Ка
нал связи с ЭВМ не.обходи,м таю:I{е для ввода в ЗУ дисплейного,
процессора исходных изображений и вывода результатов обработ-
ки с целью их долговременного хранения.
.
Настоящая работа посвящена описанию струнтуры дисплейно
го процессора , использующе·го ЗУ на сдвиговых регистрах, и его
отдельных блоков.
1. Структура дисплейного процессора
Структурная схема дисплейного процессора (рис . 1) соответ
ствует приведенным выше требованиям к выполняемым им фу1ш
циям.
При разработне дисплейного процессора в качестве его запо
минающего устройства было выбрано ЗУ полутонового дисплея
188
J'co/riotlcmllo
Cl/HX OffUJUЦlll/,
!k~oiicm8o
упр '/Jления
.,
о
~с..,~
~Е::
53!!
,J!fнizложения
:::,с..,
ТDмонито
!:':'""
., с::,
о
11
~~
Осно!/ние ~~~ ic.,
J!J ~~"'~ ~
fA'/Jemнoii
~~>~"'!
l/монито
-
Q,j~~
!/cm/JoilcmDo ооес-
лe11eнl!fl i!Dgxcmo-
/JOHHeZL сl/11.1ц с qен-
mprzльнoil, JIJM
Рис. 1. Структурная схема дисплейного процессора
'--
на сдвиговых регистрах, обеспечивающее непосредственное хра
нение и воспроизведение на экране телевизионного монитора 256
строк по 512 6-разрядных отсчетов яркости изобрю-н:ения. Было
использовано также двухразрядное 3-У наложения дисплея; по
ступающий из этого 3-У код логически складывается с кодом яр
кости, что позволяет отображать на экране служебную информа
цию в виде ярких белых точен: и линий.
Запись информации в 3-У осуществлялась построчно. Для со
гласования низкого быстродействия центр_альной ЭВМ, управляю
щей вводом исходных данных, с высоким быстродействием 3-У
исполыюРалось буферное запоминающее устройство ( Б3-У). Располо
жение строки изображения в 3-У определялось по ступающими от
ЭВМ координатами ее начального элемента.
В связи с :недостаточно высоким быстродействием существую
щих БИС-сдвиговых регистров, выполненных на основе МОП
технологи.и (до 106 циклов записи /считывания в секунду), исполь
зованное 3-У рассчитано на параллельную работу большого числа
БИС. Оно состоит из шести независимых плат, на каждой из кото
рых хранится один разряд н:ода яркости изображения . Каждая
плата имеет структуру, показанную на - рис. 2. Она содержит
восемь параллельно работающих групп регистров - так назы
ваемых секторов, I{юндый из ноторых рассчитан на хранение 32
строк изображения. 16 цинличесних сдвиговых регистров, обра
зующих секторы, соединены параллельно для снижения частоты
записи и считывания. Разбиение 3-У на секторы позволяет осу
ществлять- запись строни изображения сразу в нужный сентор
и уменьшить в восемь раз (в средщэм до 1/800 с) время о:шидация
сдвига нуж:аой ячейни регистра в то место, в котором возмож:аа
запись. Для того чтобы запись производилась только в нужные
189
Сектор О
Сектор f
8
•
•
О•
8
8
8
8
8
8
8
Сектор 8
Сектор 7
• foquклuчecl(l/.z:
ct78uгo/Jы.z: регuстро§
Рис. 2. Структура платы запоминающего устройства
Донные
UJ J!J
ячейки ЗУ, на его входы вместе с данными подаются так называе
мые разрешения записи. После накопления шестнадцати последо
вательных значений данных и разрешений записи они параллель
но подаются на 16 сдвиговых регистров всех секторов ЗУ; выбор
сектора осуществляется с помощью специальной схемы.
В процессе считывания данных с · целью воспроизведения изо
бражений на экране сектора ЗУ выбираются последовательно и со
сдвиговых регистров считываются значения яркости 16 элементов
изображения, которые затем поочередно воспроизводятся на эк
ране.
Имеющийся объем запоминающего устройства оказывается
недостаточным для обеспечения эффективной работы дисплейного
процессора при непосредственном хранении отсчетов яркости.
В связи с этим создана система [4, 5], состоящая из кодирующего
устройства, осуществляющего построчное кодирование данных
перед записью в ЗУ, и декодирующего устройства, восстанавли
вающего значения видеосигнала в процессе считывания результа
тов кодирования. При построении н:одирующего и декодиру~ощего
устройств использовац метод так называемой дифференциальной
импульсно-нодовой модуляции (ДИКМ); в ЗУ записываются зна
чения кодов квантованной на семь уровней ошибки предсказания
значения видеосигнала по предыдущему элементу строни. Это поз
воляет с-низить объем ЗУ, необходимого дл;я хранения _одного
изображения, с 8 до трех бит на отсчет при сохранении качества
воспроизведения, соответствующего 256 градациям - яркости.
В имеющемся шестиразрядном ЗУ при этом может храниться ин
формация сразу о двух изображениях, что позволяет выполнять
их совместную обраб01;ну. Аналогичная система кодирования
[6] использована для воспроизведения в дисплейном процессоре
190
(с шестиразрядным 3-У) цветного изображения, соответствующего
изо(?ражению с 224 цветами (24 бит на отсчет).
Устройство обеспечения двусторонней связи с центральной
ЭВМ, как уже отмечалось, необходимо для ввода в дисплейный
процессор исходного изображения и вывода результатов .его об
работки. Реализация этого устройства, эффективно использующая
особенности структуры 3-У, описана в разд. 2.
Арифметичесное устройство (АУ) дисплейного процессора
предназначено для реализации в реальном времени основных
операций обработки изображений. Его возможная структура приве-
дена в разд. 3.
.
Устройство управления (разд. 4), построенное на основе микро
процессора, должно служить для н:оординации работы всех бло
ков дисплейного процессора, а также для управления многочис-
ленными средствами обеспечения диалога.
•
2. Реализация взаимодействия дисплейного процессора
с центральной ЭВМ
При разработке дисшrейного процессора необходимо обеспе
чить его двустороннюю связь с центральной ЭВМ . В свя з и с тем
что быстродействие дисплейного процессора очень велиr<о , время
обмена данными с ЭВМ может составить заметную часть общего
времени обработки. Поэтому ,нелательно сделать скорость об~ена
по возможности большей.
•Разумная организация используемого 3-У и наличие буферно
го 3-У (см . разд. 1) привеJш к тому, что время ввода строки изобра
жения в дисплейный процессор определяется только быстродейст-
вием ЭВМ, а время ожидания момента начала ввода строки не пре·
вышает времени полного сдвига одного сектора , т . е. 1/400 с.
К сожалению, считывание данных из 3-У при воспроизведении
осуществляется поочередно из всех секторов . В связи с этим при
непосредственном использовании для вывода результатов обра
ботки из дисплейного процессора имеющейся схемы считывания
максимальное время ожидания момента начала вывода составляет
1/50 с, т. е. равно времени сканирования всех се1<торов 3-У. По
пыт1<а построения специальной схемы считывания, ориентирован
ной на вывод данных, приводит к значительному увеличению объ
ема и усложнению структуры устройства обеспечения связи с ЭВМ. '
Существенно упростить схему этого устрой~;тва позволяет ис
пользование для вывода данных из 3-У дисплейного процессора
имитации записи при считывании. В самом деле, если при необхо
димости считывания данных в ЭВМ имитировать режим записи
(конечно, блокировав собственно процесс запис и данных), то не
более чем через 1/400 с на выходах схемы записи появятся сиг
налы разрешений записи, соответствующие моментам возмо жнос
тей записи данных в нужные места нужного сектора 3-У, и сигнал
выбора нужного сектора записи . Если: при этом использоват ь
сигнал выбора сектора записи I<ак сигнал выбора се1<тора считы-
191
Донные к J!J
х J8M
Схема
упро/JлеlfиЯ
C'IUШЬ!lftllflll!M
x/ll(A
А!!
Рис . з: Упрощенная струr,турная схема устройства вывода данных в ЭВМ
с имитацией записи при {;ЧI~тьrвании
вания и задержать разрешения записи на нуж'ное число та,ктов,
то моменты поступления последних будут соответствовать момен
там появления нужных данных на выходе арифметического уст
ройства, и можно будет осуществить стробирование этих данных.
Упрощенная стру1{турная схема устройства вывода данных
в ЭВМ с имитацией записи при считывании показана на рис. 3.
Считывание данных осуществляется в два прохода с помощью
БЗУ. В момент начала процесса вывода данных срабатывает схе
ма управления считыванием, имитирующая режим записи части
строки, длина I{оторой соответствует длине считываемой части
стро1{и. Эта схема блокирует поступление разрешений записи на
вход ЗУ (т. е. собственно запись) и подключает схему выбора сен
тора записи вместо схемы выбора сектора считывания. Через оп
· ределенное время, не превышающее 1/400 с, схема записи генери
рует сигналы разрешения записи. После задержки на определен
ное число тю{тов эти сигналы используются для записи поступаю
щих с выхода арифметического устройства на преобразователь
нод - аналог данных через промежуточный регистр в БЗУ.
Процесс записи продолжается до тех пор, пона не будет считана
нужная часть стрОI{И, так как число импульсов разрешений запи
си соответствует длине этой qасти строки.
По окончании считывания данных в БЗУ его выход под1шюча
ется но входу центральной ЭВМ, и в течение второго прохода
БЗУ осуществляется асинхронная передача его содержимого
в ЭВМ. Время этой передачи - определяется только быстродействи-
192
ем ЭВМ. По окончании вывода нужного объема данных режим
,считывания сбрасывается и восстанавливается нормальная струк
тура схемы записи.
Реализация описанной схемы в дисплейном процессоре дала
возможность обеспечить быстрый (0,5 с на изображение) вывод
в ЭВМ изображения, полученного в результате обработки, или
его произвольного участка при весьма незначительном (около
20 микросхем) увеличении объема имеющихся схем записи и счи
тывания.
3. Арифметическое устройство дисплейного процессора
Операции обработки изображений, реализация ноторых в дис
плейном процессоре представляется разумной, можно разбить
на две группы:
1) операции, не требующие сложных и громоздI{ИХ вычислений
и использования 3-У (поточечные и не1{оторые локальные преобра
зования одного или нескольних изображений). Для получения
возможности много1{р,атного выполнения этих операций в диало
говом режиме с целью подбора параметров преобразований и
для мю{симального повышения быстродействия дисплейного про
цессора в целом тание операции естественно выполнять непосред
ственно в процессе визуализации изображения (т. е. со сноростью
телевизионной развертни), записывая в основное запоминающее
устройство тольно окончательный результат обработни;
2) операции, связанные со значительным объемом вычислений,
с одновременным использованием информации о ярности многих
элементов изображения или с многочисленными перемещениями
данных (геометрические преобразования, преобразования типа
свертки, операции подсчета статистических параметров изобра
жения и т. п.). Результат выполнения таних операций обязатель
но должен быть записан в основное 3-У, 3-У наложения или буфер
ное 3-У. Снорость работы процессора в этом случае оназывается
менее высоной (обработка изображения может занимать от долей
секунды до нескольких десятнов сенунд в зависимости от сложно
сти алгоритма), но все же достаточной для обеспечения удобства
работы.
В связи с разбиением операций на уназанные группы обработ
ка изображений в дисплейном процессоре должна осуществляться
с помощью двух арифметичес1{их устройств (рис. 4) - <<быстрого»
арифметичес1{ого устройства (БА-У), внлюченного между вых9дом
декодирующего устройства ДИRМ 3-У и преобразователем над -
аналог, и <<медленного>> арифметичесного устройства (МА-У), вход
которого соединен через буферное 3-У с выходом БА-У, а выходы -
с кодирующим устройством ДИRМ 3-У, с буферным 3-У и с ЗУ
наложения. -Управление обоими устройствами может производить
ся частично по командам устройства управления, а частично -
с помощью специальных переключателей , кнопок и нлавиш на
пульте управления:.
7 Цифровал обработка сигналов
193
МА!/
3!! наложения
53!!
к /1/(/!,
б_А!I
Рис. 4. Структура арифметического устройства и его взаимосвязь с запоми
нающими устройствами дисплейного процессора
<<Быстрое>> арифметическое устройство БАУ дисплейного про
цессора предназначено для выполнения в режиме диалога следую
щих поточечных и локальных операций обработки одного или двух:
полутоновых изображений:
1) операции обработки отдельного изображения:
а) тождественное преобразование;
б) кусочно-линейное преобразование амплитуды видеосигнала,.
служащоо для повышения контраста в различных диапазо-
нах яркости;
в) получение негативного изображения;
r) выделение уровней и зон заданной яркости;
д) квантование изображения;
е) поточечное преобразование произвольного вида;
ж) одномерное выделение контуров на изображении (определе
ние оценки градиента ярк'ости);
з) оценка модуля градиента яркости;
и) повышение резкости изображения путем наложения выде
ленных - контуров;
2) операции совместной обработки двух изображений:
а) сложение и вычитание изображений;
б) логические операции с изображениями;
3) операции обработки изображения, полученного в результате
совместной обработки двух изображений:
194
а) изменение яркости (добавление константы к значениям яр-
кости);
б) маскирование изображения;
в) наложение графической и символьной информации;
г) обнуление разрядов кода яркости;
д) псевдораскраmивание изображения;
!( ЛКА
1Рис . 5. Структура <<быстрого>> арифметического устройства
Данные от З!/
Номер стро,ш (atlpвc 17/lД)
ТожiJвст8енное
преоt5разо8онив
17,оои.зtfольная
:гарахтеристика от бЗ!/
·/(!JCOVIIO- линейное
првооразо8ание
xa,шrmeflucmuкo преоОfllIЭо8ания
х З!/ наложения
ппд
;рис. 6. Блок обработки отдельного изображения
1<ЛКА
ц8ет11ого
T!JMOIIU О 0:
<1Э) увеличение участRа изображения с целью облегчения его
рассматривания.
СтруRтурная схема БАУ приведена на рис. 5. Основой блоRа
,обработRи одного изображения, струRтурная схема Rоторого при
ведена на рис. 6, является память с произвольным доступом ППД,
•осуществляющая поточечное преобразование исходного сигнала.
Число ячеек ППД равно числу возможных кодовых Rомбинаций
(256), а размер ячейRи - длине Rодовой Rомбинации (8 разрядов) .
Поступающий от де1{одирующего устройства Rод видеосигнала ис
пользуется в Rачестве адреса ППД, и содержимое соответствую:
щей ячейRи ППД поступает на выход . При этом вид хараRтерис
тики преобразования (зависимости выходного Rода от входного)
7*
195
__J
определяется только содержимым ячеек ППД, и выполнение нуж
ной операции сводится I{ заполнению ППД определенными чис
лами .
В существующих в настоящее время системах цифровой обра-
ботки изображений [7] заполнение ППД дисплейного процессор а_
обычно сводится к записи информации поочередно в каждую ячей
ку с помощью программы управления; это приводит к необходи
мости построения для каждой операции обработки специальной:
программы заполнения ППД и к значительным вычислительным:
трудностям. Гораздо более удобно использовать для записи <<стан
дартных>> характеристик преобразования, соответствующих опе-
рациям 1а - 1д , специальные генераторы характернстик.
При записи данных в ППД в качестве адресов удобно исполь.:..
зовать последовательно меняющиеся от О до 255 номера текущих:
строк развертки. В этом случае генераторы характеристик долж
ны быть синхронизированы с генератором развертки. Время за
полнения ППД при этом составляет 1/50 с. Построение характе
ристики тождественного преобразования сводится к использова
нию номеров строк как в качестве адресов ППД, так и в качестве,
запоминаемых кодов.
Наиболее сложную структуру имеет генератор кусочно-линей-
ного преобразования, обеспечивающий построение характеристикИ'
преобразования по координатам точек ее излома. Для созда
ния такого генератора удобно использовать так или иначе необ
ходимый для воспроизведения графической информации генера
тор векторов, последовательно определяющий по заданным коор
див:атам начала и конца вектора значения координат точек его ·
пересечения с каждой из промежуточных строк. При задании ко
ординат двух соседних точек излома и использовании номеров ,
строк в качестве адресов ППД выдаваемые генератором векторов
числа являют ся координатами точек соответствующего участка
характеристики преобразования. Одновременно с записью харак
теристики в ППД она может воспроизводиться на экране, что об
легчает визуальный контроль за ходом обработки.
Получение негативного изображения, выделение уровней и:;
зон заданной яркости и квантование . изображения в принцип е
можно обеспечить с помощью генератора кусочно-линейных харак
теристик ; но разумнее использовать в двух последних случаях
входящий в состав дисплейного процессора генератор графиков .
Для об еспечения гибкости работы БАУ необходимо предусмот
реть возм ожность з а писи в ППД произвольной характеристики:
преобразования из буферного ЗУ . Такая возмо ж ность необходи
ма , например , для осуществления гамма-коррекции или эквализа-
ции [8] изображения (в посл еднем случае в буферном ЗУ должньr
находиться величины, пропорциональные значениям накоплен
ной гистограммы распределения яркости).
Выбор типа поточечного преобразования производится с по
мощью подключения ко входу ППД соответствующего генерато
ра характеристик преобразования или буферного ЗУ.
196
Рис. 7. Бло1, совместной обработRи
изображений
Рис. 8. Блон обработни изображес
ний, полученных в результате сов
местной обработни
!lе;;_епол!fение
Л/JII со§меСm!iОЦ OOflOOOmкe
L
!(онстанта
с пульта
упра8лен11я ~!,;
~
Сигlfал omJ!J ~
наложения - ::;,
~
Переполнение
АЛ!J
Схема
. ____ __ _ ,"-1 Jtlilepжкu
ИзоБра:ж-ен/Lе
1
!lepeпoлlfe!fue
Afl!J
/leJymmam
otfpшfoml(u, Z
Сигналы оонJленuя
роз,ояilо8 с пульта
,!,Ш/Jtl8ления
В связи с те:м что в ЗУ дисплейного процессора хранятся кван
тованные з·начения ошибок предсказания по предыдущему элемен
ту, т. е. разностей соседних: элементов восстановленного изобра
жения, :можно легко осуществить построчные локальные преобра
зовюrия изображений. Тю{, для одномерного выделения контуров
достаточно подать на вход БАУ не сигнал с выхода устройства
де1{одирования, а восстанавливаемые в процессе декодирования
значения ошибо1{ предсказания. Использование ППД дает воз
можность определять (а при необходимости - и квантовать)
значение модуля ошибки предсказания (оценки модуля градиента
яркости). Наложение градиентного изображения на исходное
:можно осуществить, подавая сигнал с выхода ЗУ одновременно
на входы обоих декодирующих устройств , определяя значения
градиента, умножая его на желаемый коэффициент в блоке обра
ботки соответствующего изображения БАУ и складывая резуль
тат с исходным изображением с помощью блока совместной обра
ботки изображений.
Основой блока совместной обработки изображений является
арифметически-логическое устройство (АЛУ), обеспечивающее вы-
197
nолнение ряда арифметических и логических операций, таких,
как сложение, вычитание, логическое сложение и умножение изоб
ражений (рис. 7). Выбор операции определяется четырехразряд
ным кодом, поступающим с пульта упр·авления дисплейным про
цессором. Сигналы с выхода блока поступают на вход блока обра
ботки результата совместной обработки; туда же передается ин
формация о возникновении переполнения при сложении или вы
читюши очередных элементов изображений в АЛУ.
Блон: обработки изображений, полученных в результате сов
местной обработки, должен обеспечивать изменение яркости изо
бражения, т. е. добавление константы к ее значениям, маскиро
вание изображения, наложение на него алфавитно - символьной
и графической информации и обнуление разрядов кода изображе
ния. Структурная схема блока приведена на рис. 8. Его основным
элементом является АЛУ, аналогичное АЛУ блока совместной об
работки изображений. На одну группу входов АЛУ поступает
сигнал с выхода блока совместной обработки, а на другую груп
пу - код константы, изменяемый с пульта управления, или один
из сигналов ЗУ наложения. В результате работы АЛУ на его вы
ходе возникает алгебраическая или логическая сумма изображе
ния и константы или логическая функция изображения и сигнала
ЗУ наложения, т. е. осуществляется изменение яркости или мас
кирование изображения. Результат работы АЛУ поступает на схе
му <<срезн:и)>, _необходимую для устранения переполнений. Эта схе
ма при отсутствии переполнения оставляет код видеосигнала
неизменны~1, а при переполнении вверх или вниз заменяет этот
код кодом 255 (соответствующим максимальной яркости) или ко
дом О. Управление схемой срезки осуществляется с помощью по
ступающих от обоих АЛУ сигналов переполнения" Если в АЛУ
выполняются логические операции, то схема срезки блоки
руется.
Сигнал с выхода схемы срезки логически складывается с сиг
налом от ЗУ наложанил, задержанным на несколько тактов для
компенсации задержки в БАУ. Это обеспечивает наложение на изо
бражение графической или символьной информации. Результат .
логического сложения подается на схему обнуления разрядов
и логически умножается на код маски, определяемый состоянием
клавиш на пульте управления. Это дает возможность осуществ
лять так называемый: слайсинг - преобразование изображения,
заключаю'Цееся в обнулении разрядов кода видеосигнала, и, кро
ме того, позволяет при необходимости блокировать воспроизведе
ние содержимого ЗУ наложения.
Со схемы обнуления разрядов код видеосигнала, отвечающего
обработанному изображению, поступает через блок увеличения
участка изображения на преобразователь код - аналог и далее
через интегральный эмиттерный повторитель на вход телевизион
ного монитора для воспроизведения изображения на экране. Пять
старших разрядов кода видеосигнала подаются также на вход
блока формирования псевдоцветного изображения.
198
Блок формирования псевдоцветного изображения преде1-авля
ет собой преобразователь кодов, сопоставляющий каждому из~ 32
возможных значений яркости три 8-раsрядных кода, определяю
щих соответствующий псевдоцвет. Во всех существующих в нас
тоящее время системах воспроизведение псевдоцветов осуществля
ется или путем непосредственного формиро"вания двухуровневых
сигналов цветов в зависимости от состояния трех старших раз
рядов кода яркости, или с помощью памяти с произвольным дос
тупом большого объема, запись кодов псевдоцветов в которую пре
доставляется пользователю [7]. Первый способ позволяет полу
чить лишь восемь фиксированных псевдоцветов, что чаето недос
таточно; применение второго способа связано с неопределенностью
выбора псевдоцветов . Поэтому желательно оптимизировать ис
пользуемый набор псевдоцветов по их взаимному расположению
в простратrстве цветов (максимизировать расстояния между псев
доцветами) и использовать для формирования соответствующих
кодов диодную логическую матрицу.
Реализация блока увеличения участка изображения, работаю
щего в реальном времени, требует применения дополнительного
3-У довольно значительного объема, поскольку к данным, посту
пающим из основного 3-У, выполненного на сдвиговых регистрах,
возможен 1:олько последовательный доступ (невозможность про
извольного доступа к 3-У определяется еще и тем, что в нем хра- .
нятся не коды ,яркости, а коды ошибок предсказания). Обычно для
рассматривания деталей изображения желательно использовать
значительное увеличение его участков, а увеличения фрагмента
изображения в 9, 17 и 33 раза можно добиться с помощью допол
нительного 3-У об_ъемом 256 8-разрядных ячеек. При увеличении
в 33 раза первая строка фрагмента (15 элементов) вначале считы
вается в дополнительное 3-У, а затем каждый из ее элементов вос
производится по 33 раза в течение развертки одной строки, и та
кой процесс повторяется для 33 строк. За это время становится
возможным доступ ко второй строке фрагмента (см. разд . 1); она
считывается в допоЛiщтельное 3-У и воспроизводится так же, как
и предьщущая. Аналогично воспроизводятся элементы третьей
и последующих · строк фрагмента. При увеличении в 17 раз в до
полнительном 3-У необходимо хранить и поочередно воспроизво
дить две строки фрагмента по 31 элементу, а при увеличении в
9 раз - четыре строки по 63 элемента (что требует использования
252 ячеек 3-У) .
(<Медленное>► арифметическое устройство. Набор операций, вы
полняемых МА-У; может быть весьма широким в соответствии с мно
гообразием конкретных требований к задачам обработки изобра
жений. Наличие связи дисплейного процессора с мощной цент
ралыrой ЭВМ позволяет ограничить этот набор наиболее часто
используемыми операциями, перечисл енными ниже:
1) операции обработки строк (сводящиеся к считыванию строки
изображения, ее обработке и записи результата);
2) операции обр_аботки фрагментов (при их выполнении произво- _
199
дится считывание фрагмента изображения, его обработка и за-
пись полученных результатов);
-
3) операции перемещения изображения или его части из одного
места ЗУ в другое;
4) геометрические преобразования и:зображений:
а) сдвиг изображения вверх, вниз, влево или вправо;
б) компенсация <<Перекоса>> изображения в направлении строк;
:в) транспонирование изображения;
т) поворот изображения на заданный угол;
д) произвольное изменение масштаба изображения;
5) подсчет статистических параметров изображения:
а) определение средней я р кости участка изображения;
б) построение гистограммы распределения яркости;
в) построение накопленной гистограммы;
г) подсчет локальных средних значений и локальной диспер
сии яркости для каждого из фрагментов изображения;
6) построение профиля яркости изображения:
а) вдоль строки;
б) вдоль произвольной линии;
7) подсчет числа элементов произвольного участка изображения;
8) определение и визуализация локальных значений яркости;
9) формирование стандартных изображений;
10) синтез графиков, векторов и символов.
Структурная схема МАУ приведена на рис. 9. Основным его
элементом является микропроцессор с высоким быстродействием
для обеспечения приемлемого времени обработки изобрюкений,
например микропроцессор типа INTEL-3000, время цикла ко
торого равно 100 нс . МАУ должно· быть связано с ' буферным ЗУ
боJiьшого объема; в состав МАУ дошнен также входить ряд
устройств, предназначенных для выполнения конкретных опера
ций обработки.
Двумя основными режимами работы МАУ являются режимы
обработки строк и фрагментов; с помощью этих видов обработки
можно легко осуществить достаточно сложные нелокальные пре
образования изображений, ряд пофрагментных преобразований,
подсчет локальных параметров изображений, а также некоторые
геометрические преобразования. В режиме обработки строк оче
редная строка изобра}кения по команде устройства управления
считывается в буферное ЗУ и с помощью микропроцессора про
изводится ее обработка. При необходимости результат обработки
записывается в основное ЗУ через кодирующее устройство
ДИRМ. Если результатом обработки является · набор характе
ристик изображения, то они по мере надобности за п исываются
в ЗУ наложения с помощью генераторов графиков, векторов или
символов и воспроизводятся на экране.
.
Обработка фрагментов пров.одится аналогичным образом; в бу
ферное ЗУ последовательно считыв аются нескол_ько участков
строк, образующих фрагмент. Последовательность процесса счи
тывания участков строк приводит лишь к незначительному сни-
200
!( ко!Jцрующему
!JСтройст8!Jдикм
Микропроцессор
/( J,f
ноложен11я
OmJ!J
н11ло:женця
От бА !J'
Ком11н(Jа cil8t1г11 от!!!!
K5cmpoiicm8y сtJю:рон11з11ццll;
------~блок реал,,131141111, cil8t1гo8i---::......:......-"-----''--<~
Рис. 9. Структура <<медленного» арифметичес:кого устройства
жению быстроде йствия по сравнению с режимом обработки строк,
поскольку в обо.их случаях ожидать возможности считывания
приходится не более одного раза на обработку очередной строки
или фрагмента .
•
Поскольку в основном З'У содержатся не значения яркости,
а коды ошибок предсказания для изображения, обработка и пе•
резапись всего фрагмента с измененными значениями яркости
его точек может привести к резким искажениям соседних справа
фрагментов, так как коды ошибок предсказания для них остаются
неизменными, а декодирование осуществляется последовательно
по всем точкам строки изображения. Поэтому следует обрабаты
вать изображения по фрагментам, имеющим общую область, что
несколько увеличивает время обработки.
Считывание строк и фрагментов из основного 3-У осуществля
ется блоками считывания строки и фрагмента, а запись результа
тов - соответствующими блоками записи. Для считывания строк
используется та же схема, которая реализует первый этап про
цесса вывода данных в центральную ЭВМ (см . paз.r:r. 2). В связи
с необходимостью кодирования находящихся в БЗ'У результатов
обработки их запись в основное З'У выполняется в два прохода
БЗ'У. Прежде всего выход БЗ'У подключается ко входу коди
рующего устройства ДИ:КМ, а выход этого устройства - ко входу
БЗ'У и имитируется запись данных. Работа кодирующего устрой-
201
ства приводит к перезаписи в БЗУ кодов ошибки предсказания,
соответствующих находившимся в нем ранее значениям яркости
элементов строки. Во время второго прохода БЗУ находящиеся
в нем коды переписываются в нужное место основного ЗУ.
Считывание и запись фрагментов производятся с помощью
аналогичных схем, выполняющих последовательное считывание
или запись нужного · числа участков строк. Необходимость двух
проходов БЗУ при записи каждой строки фрагмента не сказы
вается на времени записи, так как всегда имеется достаточный
промежуток времени менщу окончанием записи в ЗУ очередного
участка строки и получением возможности записи участка следую
щей строки .
С помощью операций обработки строк и фрагментов легко реа
лизовать перемещение изображения из одной части основного ЗУ
в другую или перемещение какого -либо фрагмента изображения.
Доступ к любому из двух хранящихся в ЗУ изображений обеспе
чивает.ел введением специальной команды переключения бло
ков ЗУ.
Операции обработки можно использовать при геометрических
преобразованиях изображений, Так, с помощью обработки строк
можно осуществить компенсацию <шерекоса>> изображения, а с по
мощью обработки фрагментов - транспонирование изображе
ния, т. е. поворот его вокруг диагонали. Применял компенсацию
<<Перекоса>> в сочетании с транспонированием, можно добиться
поворота изображения на произвольный угол [9].
Использование операций обработки позволяет добиться уве
личения произвольного участка изображения в нужное число
раз, а также сдвига изображения в любом направ,лении. Однако
в дисплей_ном процессоре с ЗУ на сдвиговых регистрах гораздо
более естественно выполнять сдвиги с помощью специального
блока. Так, для сдвига изображения вправо достаточно пропустить
нес1,олько импульсов, запускающих сдвиговые регистры, а дш1
сдвига влево - сформировать несколько дополнительных импуль
сов. Аналогичным образом можно осуществлять и сдвиг изобра
жения вверх или вниз. Некоторые трудности при реализации
сдвигов возникают в связи с тем, что основное ЗУ представляет
собой не один, а восемь независимых сдвиговых регистров; эти
трудности можно преодолеть с помощью схемы, определяющей,
какому из регистров соответствует очередной элемент после
выполнения сдвига. R связи с тем что данные из регистров счи
тываются группами по 16 чисел, сдвиг вдоль строки в пределах
группы необходимо осуществлять с помощью задержки синхро
импульсов, управляющих считыванием из вспомогательного ре
гистра ЗУ элементов группы.
Блок реализации сдвигов оказывает воздействие только на
устройство синхронизации дисплейного процессора; поэтому он
. предст авляет
собой отдельный блок, никак не связанный с другими
-блоками МАУ. Управление работой блока осуществляется с по
мощью команд устройства управления. Сдвиг каждого из двух
202
изображений может происходить независимо от сдвига другого
изображения.
МАУ должно обеспечивать выполнение ряда операций стати
стического анализа изображений. Поскольку некоторые из этих
операций (например , построение гистограммы распределения яр
кости и определение ереднего значения яркости для зал;анного
участка изображения) весьма часто используются при обработке
изображений, имеет смысл выполнять эти операции с помощью
специального блока, работающего с мансимальной возмо:ншой
сноростью.
Участон изображения, используемый при подсчете статисти
чесних параметров, может иметь достаточно произвольную форму.
В связи с этим единственным реальным способом задания таного
участна является непосредственное построение его нонтура в ЗУ
наложения с помощью светового пера, нурсора или других средств
обеспечения диалога. Поснольну ЗУ дисплейного процессора имеет
достаточно высоную надежность, пересечение построенного нон
тура в процессе снанирования ЗУ наложения можно использовать
в начестве признана принадлежноети последующих элементов
изображения (до момента повторного пересечения нонтура)
н исследуемому участну.
Струнтурные схемы субблонов вычисления среднего значения
ярности и подсчета гистограммы ее распределения приведены на •
рис . 10. При вычислении среднего значения ярности в течение
времени между пересечениями левой и правой границ участна
изображения на наждой . стране одновременно осуществляются
сложение ярностей и подсчет числа элемен тов изображения.
По окончании снанирования участка с помощью минропроцессора
МАУ вычисляется отношение полученных величин, т. е. среднее
значение ярности. При необходимости можнь использовать най
денное · число элементов участна в начестве меры его площади.
Для построения гистограммы распределения яркости 512 ячеек
БЗУ объединяются попарно и обнуляются; данные с выхода
БЗУ .подаются на его вход через сумматор, добавляющий единицу
н хранящимся величинам. В процессе сканирования участна
значение ярности очередного элемента служит адресом пары
ячее1, БЗУ и их содержимое увеличивается на единицу. По онон
чании снанирования в ячейнах 2i и 2i + 1 БЗУ оназывается
число, равное числу элементов с ярностью i. Дальнейше~ :исполь
зование полученных величин осуществляется с помощью м:инро
процессора МАУ.
Подсчет лональных средних значений и дисперсий, а также ло
нальных значений яркости для нвадратных фрагментов изобра
жения можно осуществлять в режиме обработни фрагментов
нужного размера .
С помощью МАУ желательно определять _ и ярностные ха
рантеристики изображения, прежде всего - распределение яр
кости вдоль строки или про,извольиой нривой. В первом · случае
можно использовать режим обработни строк, во втором - задать
203
а
Tolfmollыe импульсы
б
ОтбА!J
Ризрешения
3/lЛl/CU
PeгucmjJ
Рrыреше
ния cvema
Cy1>1М!ITOjJ
Донные
P°,j!%ff/!f11Я 53!/
От 5A!J
'(иело Jлементоll!lqacmlfa
С11мморноя ярмсть злементо8
PeгucmjJ
l(oiJ !
Рис. 10. Блок определения статистических характеристик ' из ображения
а - вычисление среднего з·начения ярности; б
-
подсчет гистограммы распределения
ярности
соответствующую кривую в ЗУ наложения спомощыо, например,
светового пера и считывать в БЗУ значения яркости элементов
изображения при появлении единицы на выходе ЗУ нало,дения.
Для того чтобы обеспечить эффективность отображения ре
зультатов работы МАУ, в его состав должны входить устройства
визуализации графической' и символьной информации - гене
раторы векторов, графиков · и символов. Дополнительные возмож
ности работы с изображениями в дисплейном процессоре можно
получить, если предусмотреть возможность создания с помощью
МАУ тестовых изображений - равномерного фона, оптического
клипа и т. п.
4. Устройство управления дисплейным процессором
и средства обеспечения диалога
Так как дисплейный процессор является автономным устрой•
,с,твом; в его состав должно входить устройство управления, обеспе
чивающее координацию и выбор режима работы арифметических
204
-устройств, управление обменом данными с центральной ЭВМ,
~ также эффективную работу имеющихся средств обеспечения
диалога.
Поскольку АУ дисплейного процессора включает два блока,
_имеющих существенные функциональные различия - БАУ и
МАУ, устройство управления также должно состоять из двух
•блоков. Первый, управляющий работой большей части элементов
БАУ, представляет собой панель управления с клавишами и кноп
л.ами, оказывающими непосредственное воздействие на схему
БАУ (например, нажатие клавиши обнуления разряда вызывает
-{;рабатывание соответствующего элемента схемы обнуления раз
рядов). Характер выполняемой операции отобра:жается на свето
диодном табло и изменяется в момент очередного нажатия на
накую -либо кнопку или клавишу. Наличие панели управления
дает возможность быстрой смены операций, снижает требования
я специальной подготовке оператора и повышает скорость диа
лога .
Второй блок устройства управления служит для управления
J}аботой некоторых элементов БАУ (например, заполнением ЛПД)
и работой МАУ, а также для организации взаимодействия_ с цен
тральной ЭВМ. Основой этого блока является микропроцессор
(используемый и при работе :МАУ). :Ко входу микропроцессора
должен быть μодключен ряд устройств, предназначенных для
управления и обеспечения диалог-а. Выбор операции обработки
изображения может определяться кратким названием соответ
•Ст вующей операции, набираемым на алфавитно -цифровой кла
виатуре. Выполнение наиболее часто используемых программ
()бря.ботки можно вызывать путем нажатия определенной кнопки
функциональной клавиатуры.
Для обеспечения диалогового режима ,работы :МАУ в состав
дисплейного процессора должен входить ряд специя.лизирован
ных устройств, а именно набор опрашиваемых микропроцессором
кнопок, рукоятки (JOYSTICK) и световое перо. Набор кнопок,
состояние которых в каждый момент времени известно микропро~
цессору, рукоятки можно использовать для перемещения по экра
ну различных специализированных меток - курсора, горизон
тальной линии, фигуры определенной формы и т. п. Световое
.перо, генерирующее при поднесении его к экрану координаты
находящейся за ним точки изображения, мо,нет быть применено
для выделения обрабатываемого участка изображения и для по
строения графиков, необходимых для дальнейшей обработки.
При построении дисплейного процессора следует стремиться
я максимальному использованию специализированных средств
обеспечения диалога, так как это повышает удобство работы
и уменьшает затраты времени на диалог, которые в связи с высо
ким быстродействием процессора составляют значительную часть
общих затрат времени на обработку изображения.
205
ЛИТЕРАТУРА
1. Беликова Т. П., Кро11,род М. А., Чочиа П. А., Ярославский Л. П. Циф
ровая обработка фотоснимков поверхности Марса, переданных АМС.
<<Марс-4» и <<Марс-5>>.- Космические исследования, 1975, т. 13, вып . 6.
2. Computer, 1974, vol. 7, N 5.
3. Persoon Е., Fu К. S. А Minicomputer facility for picture processing ашt
pattern recognition research. -
Computer, 1976, vol. 9, N 5.
4. А.с. 633043 (СССР). Устройство для отображения информации На!
экране телевизионного приемника/Л. П. Ярославский, И. М. Бокштейн ;
Опубл. в Б. И., 1978, .No 42.
5. Бокштей11, И. М . Использование дифференциальной импульсно-кодовой'
модуляции для сокращения объема памяти дисплейного процессора.
В кн.: Вопросы кибернетики: Иконика. Цифровая обработка и фильтра
ция изображений. М.: ВИНИТИ, 1978, вып. 38.
6. Бокштейп И. М. : Использование дифференциального кодирования дшr
воспроизведения цветных изображений в дисплейном процессоре.
В кн.: Всесоюз. науч.-техн. конф . Автоматизация экспериментальных:
исследований: Тез . докл. I-'i.уйбышев, 1978 .
7. Digital Design, 1977, N 7.
8. Беликова Т. П., Ярославский Л. П. Использование адаптивных ампли
тудных преобразований для препа рирования изображений. - Вопросы
радиоэлектроники. Сер . общетехническая, 1974, вып . 14.
9. Кропрод М. А. Несколько задач обработки изображений.- В кн. :·
Вопросы кибернетики: Иконика. Цифровая обработка и фильтрациw
изображений . М.: ВИНИТИ, 1978, вы_п. 38 .
У ДК 621.391.24 :681.325.650 .2 1:621.391.2 ~
СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ МИRРОПРОЦЕССОРЫ,
РЕАЛИЗУЮЩИЕ БЫСТРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В. С. РАКОШИЦ, А . В, КОЗЛОВ, И. А. МШ-НАЕJЗ, А . А. БЕЛЯ ЕВ
Возможный круг приложений ортогональных систем дискрет
ных функций непрерьпшо расширяется [1 - 6] . Особую роль средm
них играют функции У олша [7, 8], нашедшие в настоящее времЯ'
наибольшее применение. Функции У олща выделяются среди
других ортогональных дискретных •систем функций простотой;
генерации [9 , 10 ] и простотой практической реализации в них
спектрального анализа. Очень важно, что преобразования в ба
зисе У олша могут быть выполнены на основе быстрых алгорит
мов [1, 5, 6, 8, 10], позволяющих существенно уменьшить число,
операций, необходимых для вычисления коэффициентов разло
жения.
Существует большое число возможных графов быстрых пре
образований и, следовательно, бoJiьmoe число возможных вари
антов построения специализированных микропроцессоров, реа
лизующих эти преобразования в базисе У олша. _В работе проведен,
анаJiиз последовательных, параллельных и последовательно -па
ралле льных вариантов построения таких микропроцессоров, по
зволяющий в рамках имеющихся ограничений на сложность и-.
206
быстродействие аппаратных средств выбирать необходимую
<Структуру построения микропроцессоров. Поскольку в приложе
ниях (помехоустойчивое кодирование, цифровая фильтрация, син
хронизация и др.) довольно часто необходимо по окончании спек
-трального анализа в выбранном базисе производить поиск одного
.или нескольких максимальных коэффициентов, в работе анали
.:зируются также и устройства поиска максимума. Аппаратурная
реализация такого устройства, :как правило, оказывается зави
асящей от выбранного графа преобразования и структуры реали
зующего этот граф микропроцессора.
Сущность быстрых алгоритмов заключается в- факторизации
матрицы 'ФN, задающей базис, '1/Jkr, i Е (1, N), с большим числом
.нулевых элементов:
(1)
Если обозначить через Q; число операций при умножении
i-1
11штрицы ~Jk, на вектор-столбец П 'ФNXN, то для функций Уолта
r=l
п
~Qi=log2N
(2)
i=l
и общее число операций, необходимых для вычисления коэффи
циентов S1r преобразования, равно N log2N. Таким образом,
общий выигрыш в объеме вычислений за счет перехода от прямого
алгоритма к быстрому составляет N/ log2 N.
Рассмотрим несколько примеров факторизации матрицы.
А. Пусть для элементааii матрицы '\j)k,- выполняется соотно
шение
(3)
где б (z) - дельта-символ Кронекера, f I и k1 - l-й коэффициент
двоичного разложения чисел j и k соответственно, п = log2 N , а
{- 1 при k=j,
X1;j =
•
1 npи _ k-=/=j.
(4)
Элементы (3) соответствуют элементам составных диагональных
i
матриц 'ФN вида
i=1,2,...,log2N,
где
(5)
(6)
207
Здесь в свою очередь Н1 - матрица Адамара:
Н1=[~ ~ 1],
(7)
знаR ® обозначает RpoнeRepoвcRoe произведение [1], а Iz - еди
ничная матрица порядRа z.
ФаRторизацию матриц вида (5) можно представить и в более
1,омпаRтном виде:
(8)
На рис. 1, а приведен пример графа быстрого преобразования
для случая N = 8 и фаRторизации на парциальные матрицы вида:
(5), (8).
а
б
(1
Б. Сравнивая парциальные матрицы в предьrдiУщем примере,
легRо убедиться, что они различны для различных i. ОднаRо су
ществуют способы фаRтрризации, при Rоторых граф преобразова-
ния для всех этапов одинаRов, т. е. Rогда 'Фfv = 'Фfv = ... =
= 'tj)R, = 1рRт . TaR, если ввести :матрицу
С=fпQ9 In,®
• • • Q9Iп_Q9H1=l2n-1Q9Н1,
п-1
а таRже · блочную матрицу вида
DN/4+1=DN/4+2=•••= DN/2= D"= [;::],
208
(9) '
(10}
(11)'
(12),
а Eq,·
-
квадратная матрица с единственным ненулевым qr-эле
ментом, равным единице, то матрицу 'Ф?v мо2-нно дредставить в виде
'Ф?v = CPN,
(13}
с учетом чего
\j)N = (CPN)n,
(14).
что свидетельствует о неизменности графа на всех шагах. На рис._
1, 6 приведен граф одного этапа быстрого преобразования с с·
и Р, задаваемыми соотношениями (9), (10) для N = 8.
В. Изложенный в примере Б способ факторизации матрицы 'ФN
• на п = log2 N одинаковых матриц ,p?v не является единственным.
Можно привести еще один способ такой факторизации, представ
ляющий, нак и предыдущий способ, практический интерес. Пусть.
матрица С имеет вид, задаваемый соотношением (9), а блочная
перестановочная матрица соответствует транспонированной ма
трице (10), тогда
lА1 Ql
т
Ап/2+1 ••
1р~ _ (PNC) =
·..
AN/2 ,
0
AN
(15))
= AN/2 =А'= [1 1),
AN/2+1 = AN/2+2 =
...
=
AN =А"= [1 -1).
(16)-
В этом случае также остаются в силе формулы 'PN - ('Ф?v )п, но,
граф преобразования на каждом шаге имеет иной вид, чем в при-
мере Б (рис. 1, в).
Существует много и других способов факторизации матрицы;
'PN• Выше отмечалось, что, используя различные наборы переста~
новочных матриц, можно переходить от одного способа фактори
зации к друго~у. Выбранные нами для иллюстрации примеры
являются интересными с той точки зрения, что они отражают три;
возможных подхода к построению специализированных микропро
пессоров, реализующих быстрое преобразование. Первый позво~
ляет обрабатывать информацию в реальном масштабе времени,
второй удобен при параллельной обработке блоков информации,
третий - при последовательной обработке этих блоков.
Быстрая обработка в реальном масштабе времени. Согласно
рис. 1, а информация может обрабатываться последовательно ПС)
мере ее поступления. Причем в данном случае структура графа
быстрого преобразования такова, что на последующих шагах:
граф преобразования над результатами сумм совпадает с гpaфol'lf
на первом шаге. Это позволяет выделить парциальный граф
(на рис. 1 он выделен пунктиром) и с помощью такого парциаль
ного преобразования производить обработку на каждом Н-м шаге,
На рис. 2 приведена структура специализированного микропро-
209
г-----т------~------~
оi
1
1
пм
1
1 г---, 1
1
1
1
1
1
1
1,------, 1
пм
1L---- '
1
1
пм
1
1
ПМ
:
i
:пм
LШаг1_J_ __Шаг2 _J
_
ШtZгJ _J
Рис. 2
б
г- - ------- --
цессора, реализующего такой граф. Парциальный микропроцес
сор (ПМ), на основе которого строится специализированный
микропроцессор рис. 2, а, состоит (рис. 2, 6) из оперативного за
поминающего устройства (ОЗУ) регистрового типа (Рг) длиной
q = k + Н - 1, двух одноразрядных сумматоров и ключа (Rл).
Число k соответствует числу разрядов для каждого значения
вектора на входе. С целью унификации ПМ целесообразно выпол
нять однотипными, тогда
q=qmax=k+log2N-1.
(17)
Общее количес:гво ПМ зависит от длины входного вектора и равно
N - 1. Логическая сложность W одного ПМ равна •
Wпм = Wmахпм = (k + log2N .:._
1)v1 + 2v2+1v3,
(18)
где ·v1 , v2 , v 3 - логические сложности разряда регистра, сумма
тора и ключа. С учетом (18) логическая сложность микропроцес
сора составит
W=(N- 1)Wпм =(N- 1)[(k+log2N -1)v1+2v2+v3].
(19)
Если обозначить скорость поступления информации в виде
k-ичных значений через R, то максимальное требование к быстро
действию f для отдельных элементов микропроцессора опреде
лится соотношением *
f<;Rk.
(20)
Существенным является то, что на каждом шаге обработки требо
вания к быстродействию падают. Поэтому при обработке информа
ции с высокими R достаточно на первом (или нескольких первых)
шагах выполнить ПМ на быстродействующих элементах.
* Использование одноразрядных сумматоров при параллельном коде
длиной k разрядов на входе мrшроироцессора требует на первом шаге в k
раз более быстрой обр_аботки , чем при q-разрядном сумматоре на входе.
210
Параллельная обработна блоков информации. Аналиs графаl
быстрого преобраsо:Еiания, приведенного на рис. 1, 6, покаsывает"
что с помощью такого преобраsования обработку входной инфор
мации можно проиsводить лишь блоками. Таким обраsом, в отли
чие от предыдущего случая необходимо иметь ОЗУ для хранения,
входного вектора длиной N, имеющего k-раsрядные sначения.
Поскольку граф быстрого преобраsования в данном случае·
имеет регулярную структуру, целесообраsно это же ОЗУ исполь
sовать для хранения промежуточных результатов. При этом не
обходимо раsрядно·сть каждого слова ОЗУ довести до величины q, .
sадаваемой соотношением (17). Как и в предыдущем случае,.
сумматоры можно испольsовать однораsрядные.
Следует отметить, что, поскольку обработка проиsводится,
блоками, необходимо иметь буферное ОЗУ .
С учетом сложности коммутаторов, ОЗУ и сумматоров логи
ческая сложность этого варианта микропроцессора (рис. 3) соста
вит
(21}
Для ОЗУ регистрового типа требования к быстродействию
sада;ются с помощью соотношения (20).
Если sапись в ОЗУ проиsводить параллельным кодом, то
f = R. При этом, естественно, несколько увеличится v1 для ре
гистров ОЗУ, но уменьшится число коммутирующих ключей .
Последовательная обработка блоков информации. Как и
в предыдущем примере, обработку информации с помощью быст
рого п реобраsования, sадаваемого соотношениями (9), (14), (15),
необходимо проиsводить блоками. При этом не удается прямо •
испольsовать входное ОЗУ для хранения промежуточных реsуль
татов. Требуется введение еще одного ОЗУ промежуточных ре
sультатов и буферного ОЗУ для подготовки к обработке следую
щего векторh. в ТО же время для обработки в принципе достаточно ,
всего двух сумматоров. На,тшч.ие второго ОЗУ поsволяет иsбе
жать сложных коммутаций sa счет введения еще двух сумматоров,
и полученный таним обраsом специализированный минропроцес
сор будет иметь кольцевую структуру (рис. 4)'. На рисунке при
веден кольцевой микропроцессор для случая N = 8.
Общее число циклов, совершаемых , в микропроцессоре, опре-·
деляется длиной вектора N (число полуциклов равно log2 N).
С учетом буферного ОЗУ регистрового типа с k-раsрядными,
словами логическую сложность микропроцессора можно sадать.
соотношением
W=[Nk+N(k+log2N - 1)+N(k+log2N)]v1 +
+4(k+log2N - 1)v2+Nv3= [N(k- 1)+
+2N(k+log2N)]v1 +4(k+log2N - 1)v2+Nv3• (22),
Как п для других примеров, в микропроце сс оре необходимо·
совершить всего п = log2 N шагов преобраsов а ний , считы вак
посл едовательно все ОЗУ (N слов). Кроме то г о, N слов необхо-
21 11
димо переписать из буферного ОЗУ. Таким образом, общее
число операций, которые необходимо здесь произвести, составит
N +Nlog2N =N(1+log2N). Если имеется два буферных
ОЗУ, то указанное число операций выполняется за время заполне-
11ия буферного ОЗУ, что соответствует максимальному требуе
мому быстродействию
f=R(1+log2N).
(23)
В кольцевом микропроцессоре информация последовательно
перед поступлением на сумматор перемещается в регистровое
212
,--
1
1
t;
1
1r0
1
1t;
1
:1⁄4
1
1
-'J
1
1fг
1
1f,
1
1 1,;
8.xoiJ
1
1
1
РгА
1
L_ ________J
/(ом.м_утатор
li!Jr/Je/lнoe OJ!/
Bы.xoiJ
--,
1
1
1
s,
1
1
Sz1
1
,5 'J
1
1
S'*
1
1
J' .,
1
1
S'в 1
1
J'7
1
1
Рис. 3
1
Ргб IРис.4
L________ _ J
ОЗУ . :Как только ОЗУ наполнилось, начинается перекачка ин
формации через сумматор во второй освободившийся к этому мо
менту в р е мени регистр .
Поиск максимального значения спектра л ьного коэффициента
на выходе •микропроцес сора. Пусть посл е окончания о бр а ботки
информации необходимо определить, к а кой и з спектральных ко
эффициентов имеет наибольшее значе ние . Поск ольку построение
такого устройства зависит от стр уктуры вычи слителя коэффици
ентов, то мы рассмотрим решение
г------
--- -
-,
поставленной задачи применительно
R тем трем вариантам построения
специализированного микропроцес
сора , которые были обсуждены ра
нее .
1 ~ ..,___~~--,
1
1
При обработке информации в ре-
'
1
1
1
т1
альном масштабе времени коэффици- \
ентI,I на выходе микропроцессора
1
{см. рис. 2) появляются параллель- sк \
но, поэтому их необходимо либо срав- 1
Cv
сек
ониЗ~~ть все одновременно, либо иметь {j L - - -- ----- ----- --'
,у для их промежуточного хране-
ния . Сложность первого варианта Рис. 5
очевидна, поэтому рассмотрим вто-
. рой
вариант с ОЗУ .
Схема поиска максимума в данном сл учае состоит из ОЗУ
на регистрах последовательно-параллельного типа и непосред
-ственно схемы определения максимального коэффициента (рис . 5) ,
. Rоторая
состоит из логической схемы сравнения и счетчика раз
рядностью log2 N, состояние которого определяет максимальный
ноэффициент в конце цикла сравнения и схемы управления тактом .
Результаты, хранящиеся в Рг Sk и Рг S j, подаются на схему
сравнения коэффициентов (ССН). Больший из коэффициентов
переписывается в Рг Sk, а из текущего счетчика в Сч переписы
вается номер максимального коэффициента в регистре Рг . В се зна
чения коэффициентов продвигаются из регистр а в регистр в на
правлении Рг 1 на один шаг~ Далее процесс повторяется .
Логи ческая сложность устройства поиска ма к симальног о ко
эффициента з ада ется соотношением
V=N(k+log2N)v1+2v2log2N+(k+log2N)v4,
(24)
где v4 - л о гическая сложн о сть разряда схемы сравнени я ,
V4 ;:::::; V2f2.
Общее число операций, выполняемых при поиске максималь
ного коэффициента, равно ~ЗN. Таким образом, требования
R быст родействию узлов устройства поиска максимального ко
.эффициента меньше, чем к узлам самого микропроцессора.
В отличие от предыдущего случая при параллельной обработке
блоков информации для хранения резу.льтатов вычислений можно
использовать ОЗУ микропроцессора. Наличие N сумматоров по-
213
г ---- ---- ---- ,
1
Рг91
1
Сос:rемы 1
!JЛ. а!Jления 1
._ ______ ____
_
г- ------ - - - ----,
1
1
1
L
lfa С,!IМ.мато,оы
Рис. 6' ,
зволяет поиск максимального коэффициента производить па рал
лельно. При этом можно воспользоваться следующим быстрым~
алгоритмом поиска.
На первом шаге поиска схема формирования п орога вырабаты~
вает уровень П 0 , равный половине максимально возможного,
значения спектрального коэффициента, т. е. П 0 = N/2 = 2п- 1 .
С этим порогом на сумматорах микропроцессора происходит·
сравнение всех спектральных коэффициентов. Дальнейшее фор
мирование порога · (i-й шаг) зависит от результатов сравнения н.а1
предыдущем шаге:
Пi-1 + 2n-i-l, если sk > Пi-1 хотя бы для ОДН()ГО ИЗ;
kE(0,N-1 ),
П;= Пн- 2п-н,еслиSk<ПндлявсехkE (О,N- 1),
Пн, если sk = Пi-1 хотя бы для ОДНОГО из k Е (О, N -1),,_
а для остальных k = k' S1r· < П;_1.
Легко видеть, что максимальное число шагоn i, необходимых:
для поиска максимума, в данном сдучае составит
imax = log2 N.
(25)
На рис. 6 приведена схема формирования порога по алгоритму ~
Работа ее осуществляется следующим образом.
В регистр Рг10 записывается число, равное П. Затем в зави
симости от результата сравне :шш значение порога увеличивается
или уменьшается. Порог хранится в регистре Рг10. Формирование
величины приращения осущестnляется с помощью регистра Рг9,
в нотором происходит циркуляция нода, соответствующего П 0 •
Длина Рг9 на один разряд короче регистра Рг10.
214
l,
Логическая сложность устройства поиска максимума для слу
чая параллельной поблочной обработки задается соотношением
(26)
В дс1нном случае поиск максимального коэффициента осуще
ствляется на том же микропроцессоре, что и вычисление коэффици
ентов. Это требует дополнительного проведения (k + log 2 N) log2 N
одноразрядных операций за время заполнения ОЗУ длиной N
отсчетов по k разрядов. Всего такой микропроцессор с учетом
поиска максимума производит (2k + 2 log2 N - 1) log2 N однораз
рядных операций.
При последовательной обработке блоков информации струк
тура специализированного микропроцессора такова, что поиск
максимального коэффициента удобно производить последователь
но. Схема поиска максимального коэффициента в этом случае
довольно проста и совпадает со схемой, приведенной на рис. 5,
поскольку вычисленные коэффициенты можно хранить в ОЗУ
микропроцессора и считывать их в темпе поступления информа
ции на вход микропроцессора. Отличие заключается в необхо
димости ввести дополнительный регистр на k + log2 N разрядов
для хранения промежуточного результата сравнения. При этом,
естественно, кольцевая структура переходит в линейную.
Коэффициенты с выхода микропроцессора по порядку посту
пают на вход регистра Рг Smax, предназначенного для хранения
значения максимального коэффициента, и на вход схемы сравне
ния, где производится сравнение этого коэффициента с содержи
мым Рг Smax• Если коэффициент оказывается больше значения
текущего максимального коэффициента, то его значение записы
вается в Рг Smax, а его номер в Сч. После сравнения в PгSmax
оказывается записанным значение максимального из всех N ко
эффициентов, а в Сч - его номер.
Логическая сложность поиска максимума в этом случае за
дается соотношением
(27)
Такой принцип поиска максимального коэффициента не ока
зывает влияния на общее число N log2 N вычислений, проводи
мых в кольцевом микропроцессоре.
Сравнительный анализ алгоритмов микропроцессоров и уст
ройств поиска l\ШRсимума. Rак видно из проведенного анализа,
выбор вида графа быстрого преобразования существенно влияет
на структуру и принцип построения специализированного микро
процессора. Вообще говоря, и для универсального микропроцес
сора с адресным ОЗУ удобства применения того или иного графа
. различны.
Здесь, очевидно, предпочтительнее будут графы, со
ответствующие факторизации вида (5), (8). Этот вывод вытекает
из того, что результаты обработки на каждом шаге (выходы сум
маторов) могут быть записаны по тем же адресам ОЗУ, откуда
215
поступили данные на сумматоры, и в данном случа~ удается со
:кратить ОЗУ вдвое.
На рис. 7 для случаев v1 = 10 вентилей, v2 = 16 вентилей,.
v3 = 2 вентиля тон:кими линиями показаны зависимости V (N)·
(пунктир - k = 3, сплошные - k = 4) логической сложности
устройства поис:ка максимального коэффициента на выходе·
микропроцессора от длины обрабатываемого вектора N. Ка:к видно,
из графи:ков, для поблочной обработки информации (зависимости 2
и 3) устройство поиска максимального :коэффициента существенно
проще, чем для случая поис:ка максимума при обработке в реаль
ном масштабе времени (зависимости 1). Но затраты на поблоч
ную обработку информации (вычисление спе:ктральных коэффи
циентов) в данном случае больше.
На рис. 7 приведены зависимости W (N) + V (N) логической:
сложности микропроцессоров вместе с устройствами поиска ма:к
симальных коэффициентов. Как видно из графиков, при N;;), 8
наименьшее число вентилей содержит микропроцессор, осущест
вляющий параллельную обработку блоков информации (зависи
мости 2). Однако этот вариант не позволяет путем соединения
идентичных микропроцессоров наращивать мощность устройства
для обработки больших N. Для этих целей более удобен вариант·
последовательной обработки. Особенно заметно это удобство про-.
W+V _
а
6
702 ""-'J"'----'----"--j__-
_ j__
__J
Рис. Т,
2
1;
8
!6' J2
6'4 'i
4
8
75
J2 ,V
216
J1
является при разработке базовой БИС для микропроцессоров
•с широким диапазоном N и k. Такая БИС должна содержать ре
:гистровое ОЗУ и два суммRтора. При этом построение специали
:зированного микропроцессора -любой мощности, реализующего
;,быстрое преобразование Уолта, возможно в виде набора одно-
1родных базовых БИС при довольно простом управлении .
.ЛИТЕРАТУРА
· t . Логипов В. П. Функции Уолша и области их применения. (Обзор).
Зарубежная электроника, 1973, No 4.
• :2. Ракошиц В. С., Козлов А. В., Картюшов И. Т. Микропроцессоры на
основе быстрых алгоритмов и их применение в каналах связи . - Элект
ронная техника. Сер. II , 1975, вып. 4.
·з . Ракошиц В. С . , Картюшов И. Т. Уплотнение информации от асинхрон
ных источников.- Электронная техника. Сер. II, 1977, вып. 5.
4 . Ракошиц В. С. Блочные ноды на основе функций Виленкина
-
:Крестен
спна . - Элентронная техника. Сер. II , 1977, вып. 4 .
. 5 . Большаков И. А., Ракошиц В. С. Приложение ортогональных систем
дискретных функций к задачам минропроцессорной обработки информа
ции. I. - Изв.
АН СССР . ТI{, 1977, No 5.
,6. Большаков И. А . , Ракошиц В. С . Приложение ортогональных систем
дискретных функций к задачам минропроцессорной обработки информа
ции. II. -
Изв. АН СССР. ТК , 1978, No 2.
7. Xap;iiym Х . Ф . Передача информации ортогональными функциюш: Пер.
с англ. М.: Связь, 1975.
·в. Трахт:мап А. М., Трахпм~ап В. А . Основы теории диснретных сигналов
на нонечных интервалах. М . : Сов. ра):\ио, 1975.
·9, Вёст в етт е р. Генерирование функций Уолша.- Зарубежная радиоэлек
тронина, 1972, No 11 .
·10. Ен.. Функции Уолша I~ код Гр е я.- Зарубежная радаоэле1прошша,
1972, No 7.
СОДЕРЖАНИЕ
I. ТЕОРИЯ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
Н. Н. Айзе11,берг, М. С. Се:мирот. Свертка многовалентных дис-
кретныхсиг.наловвпрои3вольномба3исе.............
3
Л. Л. Бойко. Обобщенное преобра3ование Фурье - Хаара на конечной
абелевойгруппе.......................... 12.
А. Б. Гивеnталь, Т. Э. Кре11,кель. Теоретико-числовое преобра3ование
Френеля и его применение в цифровой обработr,е многомерных мас-
сивовданных..........:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
Л. П. Ярославский . Некоторые вопросы теории дискретных ортогональ-
ныхпреобра3ованийсигналов................... 33-
В. С. Нагор11,ов, В. Г. Поляков. н: выбору параметрического представле-
ния кривых при цифровом описании и обработке плоских фигур
71:
П. АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ
Д. С. Лебедев, О. П. Милюкова. Сравнение линейных методов вос-
становленияискаженныхИ3ображений...............
78,
Т. П. Беликова. Некоторые методы цифрового препарирования И30-
бражений............................. 87
А. Н. Ушаков. Автоматическая обработка интерферограмм на ЦВМ 99·
Э. А. Айду, В . С. Нагор11,ов, В. Г . Поляков. Автоматическое антропоме
трирование для машинной кройки одежды - принципы получения
иобработкиданных.........................125-
В . Н. К ар11,аухов, Н. С. Мерзляков. I{иноформный цифровой голографиче-
скийфильм...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
143
Н . С. Мерзляко1J, Синте3 цветных голограмм: на ЦВМ . . . •
.
.
.
.
146-
III. ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Н. Р . Попова. Цифровая модель 3аписи и восстановления голограмм 152:
А. А . А 11,дроnов. Цифровая модель канала свя3и по линии электропере-
дачи................................ 171
В. Н. Лотов. Исследование в3аим:03ависимости макропараметров релье-
фа методом статистического моделирования . . . . . . . . . . . . 181:.
IV. АППАРАТУРНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
И. М . Бокштей 11, . Дисплейный процессор для диалоговой обработки
полутоновыхИ3ображений..................... 187
В. С. Ракошиц, А. В. Козлов, И . А. Можаев, А. А. Беляев. Спе
ци:али3и:рованные микропроцессоры, реали3ующие быстрые преоб-
ра3ования.............................20&
УДК 62 1. 391.2
Ай з ·е н б ер г Н. Н., Сем. и рот М. С. Сверт1.а многовалентных дискретных
сигналt>в в произвольном базисе.- В кн . : Цифрован обработка сигналов и ее
применения. М . : Наука, 1981 ,
Рассматриваются многомерные сигналы и спектральные преобразования
многомерных дискретных сигналов. Доказываетсн теорема о свертке многомерных
сигналов. Показывается, что приведенными в работе свертками исчерпываются
все свертки мнпговалентных дискретных сигналов, для каждой из которых спектр
· свертки равен произведению спектров.
Библ. 5 назв.
УДК 621.391.141
Бой к о Л. Л. Обобщенное преобразование Фурье - хаара на 1<0нечной абе
левойгрупnе . - . В кн.: Цифрова11 обработка сигналов и ее примененин. М.: Наука,
'1981.
Рассмотрены алгоритмы быстрых ортогональных преобразований типа БПФ
и Хаара с теорети_ко-групповой точки зрения. Показано, что основой существо
вания быстрых алгоритмов нвлнется наличие длинного композиционного ряда
в конечной абелевой группе непростого порядка. Определен широкий класс орто
,гональных несимметричных преобразований - обобщенное преобразование Фу
ръе - Х11арэ.. Каждое из преобразований данного класса обладает быстрым алго
ритмом вычисления, количество необходимых операций существенно зависит от
длины композиционного ряда группы длн данного преобразования. Частными
случаями данного нласса являются обычное диснретное преобразование Фурье,
преобразования Уолша, ,'олша - Адамара, Уолша
-
пэли, теоретико -числовые
преобразования, традиционное преобразование Хаара, пр,юбразование · по /i:-фунн
циям Хаара .
Библ. 20 назв.
УДК 621.391.141
Г и вен таль А . Б., Крен не ль Т. Э. Теоретюю-числовое преобразование
Фрr,1· с-'ПI и его применение в цифровой обработке многомерных массивов данных.
В ,,н.: . Цифровая! обработна сигналов и ее применения. М . : Науна, 1981 ,
Работа посвящена многомерному обобщению алгоритма Блюстейн11, построе
нию теоретино -числовых фуннций Френеля на нонечной номмутативной ~руппе
над коммутативным нольцом с единицей и описанию возможных применений по
добных фуr-шций в - цифровой обработке многомерных массивов данных.
Библ. 18 назв .
УДК 535.317
Пр о слав с к и й Л. П. Некоторые вопросы теории дискретных ортогональных
преобразований сигналов.-В нн.: Цифровая обработна сигналов и ее применения.
М.: Науна, 1981.
Рассмотрены вопросы диснретного представления интегральных преобразо
ваний;Фурье и Френеля, а танже теории быстрых алгоритмов ортогональных преоб
рrшований. Введены сдвинутые диснретные преобразования Фурье, диснретные
преобразования Френе;,rя, проанализированы их свойства . На основе понятия
поэтажно-нроненеровсних матриц поназано, нан может быть построено единое
представление ортогональных матриц, допуснающих фанторизацию в произведе
ние слабозаnолненных матриц . Сформулированы теоремы фанторизации, на при
мерах поназаны возможности их применения, приведены фанторизованные пред
ставления известных по литературе м&триц ортоrонат,нь1х преобразований.
Табл. 4. Библ. 26 назв.
УДК 519.240
НагорновВ,С., IIоляRо_вВ.Г. R выбору параметрического предста
в.ления кривых при цифровом описании п обработ1{е плос1шх фигур.- В ин.: Циф
ровая обработка сигналов и ее примеJiе ния. М . : Наука, 1981 ,
Относительно заданной на плосности замннутой нривой ставится вопрос об
отыснании в определенном смысле наиболее . гладного параметрического описания
(спентр ноторого имеет минимальную ширину). Поназано, что нритерии ширины
спентра,rсвязанные:сiего моментом 4-го порядна, приводят к задачам на отыснание
наименьшего собственного значения (минимальная ширина спентра) и соответ
ствующей собственной функции (оптимальная снорость движения вдоль нривой)
оператора Штурма - Лиувилшr с периодичесним ноэффициентом, в начестве но
торого вь1ступает нвадрат нривизны нан фуннция длины дуги. Приводятся приме
ры оптимизации параметрического предстапления и нратно обсуждаются возмож
ные применения этойlпроцедурь1.
Ил. 3. Библ. 4 наз:е,
219
-УДН 621.391.172:621.397
Лебеде в Д. С., Милю R о в а О. П. Сравнение линейных методов восстано
вления искаженных изображений.- В нн.: Цифровая обработна сигналов и ее
применения . М.: Нау1<а, 1981.
Рассматривается задача пинейного восстановления ис1<аженных изображений
в отсутствие случайных помех, 1<огда алгоритмы восстановления определяются
различными критериями оптимальности типа обобщенного ев1<лидова расстояния .
Сравниваются восстановленные изображения для не1<оторых расстоf!ний: изобра
жение минимальной нормы, наиболее глад1<ое, наименее у1<лоюпощееся \з среднем
от оригинала.
Ил. 3. Библ. 3 назв .
УДН 621.391.172:621.397.681.518.2
Бел и R о в а Т. П. Не1юторые ъ~етоды цифрового препарирования изобра-
жений.- В 1<н . : Цифровая обработRа сигналов и ее применения. М.: Нау1<а,
,к
1981.
• Приводятся данные э1<спериментальной провер1<и с помощью ЦВМ методов
препарирования изобра;1<ений:
а) метода адаптивных амплитудных преобразований (степенная интенсифи-
1<ация и гиперболизация гистограммы);
б) метода оптимальной линейной фильтрации и ло1<ализации объе1<тов на изо
бражениях.
В 1<ачестве объе1<тов исследования использовались маммограмма грудной же
ле2ы и аэрофотоснимо1< участ1<а поверхности Земли. Описана работа соответствую
щих алгоритмов препарирования изображений. Рассмотрены возможности обоб
щения и дальнейшего развития методов адаптивных · амплитудных преобразова
ний.
Ил, 6. Табл. 2. Библ. 13 назв,
УДН 681.325+621.379
У ша R о в А. Н . Автоматическая обработка интерферограмм на ЦВМ, - В кн.:
Цифровая обработка сигналов и ее применения. М.: Наука, 1981.
В статье рассмотрен вопрос восстановления фазы интерферограммы, зареги
стрированной на фотоплен1<е. Решение задачи проводилось по этапам: 1) 1<орре1<
ция нелинейных искажений фотоплеНI<и, 2) фильтрация шума регистратора,
3) фильтрация низ1<очастотного шума, 4) восстановление относительного значе
ния фазы, 5) восстановление абсолютного значения фазы. В статье рассмотрены
вопросы автоматической фильтрации шума рРгистратора для узкополосных и ши
ро1<ополосных интерферограмм и автоматичес1<ой фильтрации низ1<очастотного
шума. Приведены результаты э1<спериментов по постановлению интерферограмм ,
Проведена оцен1<а точности восстановления.
Ил. 15. Библ. 36 назв.
УДН 681.3.01:687.051.21
АйдуЭ.А.,НагорновВ.с.,ПоляRовВ.Г.Автоматичес1шеантропо
А1етрирование для машинной i1poiiни одежды - принципы получения и обработки
данных.- В RH .: Цифровая обработ1<а сигналов и ее применения. М.: Нау1<а,
1981 .
Дается схематичес1<ое описание тангенциально-ленточного метода антропоме•
трирования, позволившего разрешить техни1<0-э1<ономичес1<ие, эстетичес1<ие и
психологичес1<ие проблемы, препятствовавшие широной автоматизации процесса
обмера фигуры челове1<а для нужд машинного 1<онструирования одежды и антро
пометричес1<их обс.rrедований. Реализующая этот метод э1<сnериментальная уста
новна рассматривается дцлее наR специфичесний диснретный источниR двумерных
сигналов, вычислительная обработRа Rоторых с целью пространственной ренон
струнции фигуры челове1<а с необходимостью в1<лючает двумерные процедуры филь·
трации и интерполяции, а таю1<е ряд дальнейших операций специального хара1<те
ра.
Ил. 12. Библ. 2 назн.
УДН 535.317.1 + 681.141+772.99
Нар на ух о в В. Н., Мерз ля но в Н. С. Киноформный цифровой голо
'!'р'lфичесю1й фильм.- В ю1.: Цифровап обработна сигналов и ее применения.
М . : Науна, 1981.
Приведены энспериментальные результаты по синтезу на ЭВМ 1<иноформного
'!'ОJIСграфичесного фильма, Объент - два равномерно онрашенных шара, вра-
220
1,'
щающихся с переме.нной скоростью вокруг неподвижного 3-ro. шара, моделиро
вался на ЭВИ. Для визуализации полного оборота шаров было синтезирован<>
48 кино(j:ормов про екций объекта на плоскость, соответствующих 48 последова
тельным положениям объекта в пространстве. При передаче объема учитывался
как горизонтальный, так и вертикальный- параллакс. Частота следования ракур
сов переменна. Фильм, представляющий композиционный макрокиноформ,
содержащий 1152 элементарных киноформа, закреплялся на кольцевом метал
лическом карнасе и освещался лазерным светом со сферичесним волновым фронто м,
При непорвижном наблюдателе и вращающемся фильме возникает иллюзия плав
ного вра щения шаров, при этом отчетливо прослежива ется и направление враще-
ния .
•
Ил. 2. Библ. 8 назв.
УДН 535.2:317. t
Мерзляк о в Н. С. Синтез цветных голограмм на ЦВМ.- В 1ш.: Цифровая
обработна си!'налов и ее применения. М.: Науна, 1981.
Предлагается ме~·од синтеза цветных манроголограмм на ЦВМ:. ПосредстЕО]\Ъ
контактного копирования три цветоделенные синтезированные голограммы Фурье,.
записанные на чегно- белой фотопленне , послецовательно за красным, заленым·
и синим св~тофильтрами переносятся в соответствующие слои цветной обращаемой
пленни. Для восстановления изобра;кения используется 3-цв~тный лазер. Пред
лагаемая методика позволяет получать цветные макроголограммы, содержащие
до 16-10 6 эл ементов, пригодные и для непосредственно го визуального наблюде-
ния.
•
Библ. 8 назв.
УДН 535.317
Поп о в а Н. Р , Цифровал модель записи и восстановления голограм~r.- В кн.~
Цифровая обработка сигналов и ее применения. М.: Наука, 1981.
В работе описьmается цифровая модель записи и восстановления голограмм
Фурье и Френеля. Рассмотрены влияния искажений на голограмме на качество·•
восстановления диффузных объектов. Получены характеристики спекл-контраста
в зависимости от ограничения размеров , наложения случайного шума, ограниче- ·
ния динамического диапазона и квантоваюпr голограммы, а также для случая:
несфокусированного изображения.
Полученные результаты могут быть использованы в радио-, акустической и,
сейсмической голографии.
Ил. 16. Библ. 7 назв.
УДН 621.395.44
Ан пр он о в А. А . Цифровая модель канала связи по лииии электропередачи_
В нн.: Цифровая обработка сигнал_ов и ее применения. М.: Науна, 1981,
В работе рассматривается номплекс·вопросов, связанных с работой высокоча
стотного канала связи линии элентропередачи, особенно основной вид помех в ка-
пале - помехи от коронирования проводов. На основе физического механизма
образования п омехи от норовы и энспериментальных данных по ее статистичесним
харак теристикам построена цифровая модель высоночастотного канала связи по•
линии электропередачи. Рассматриваются три варианта описания памехи корони
рования. Анализируется во прос об аденватiюсти цифровой модели и ВЧ напала.
Показано, что результаты , полученные на цифровой модели, соответствуют дан
ным энсперимента. Цифровая модель используется для получения и анализа·
различных статистических харантеристик канала. Приводятся результаты таних
исследований, которые позволяют глубже изучить процессы, происходящие в ВЧ
канале свяэи.
Ил. 5. Библ. 10 назв.
УДН 528.9:681.3:62-506
Лот о в В , н. Исследование взаиъ,озависиъюсти макропара~1етров рельефа,
11етодом статистического моделирования.- В кн.: Цифровая обработка сигналов,
и ее применения ,. И. : Наука , 1981.
Рассматривается задача определения путем статистического моделирования
взаимной связи манропараметров повер х ности: среднего лонального числа гори
зонталей на единицу площади, интервала корреляции и среднеквадратической
высоты.
В начестве математичесной модели выбрана нормальная статистически одно
родная изотропная случайная поверхность с гауссовской норрел iщионной функ
цией высот , Статистичесная цифровая модель получена на ЦВМ_двумерным сколь
зящим суммированием на множестве нормально распределенных псевдослучайных
221
-чисел , С помощью многофакторного регрессионного анализа найдена функциональ
ная свлзь между исследованными параметрами рельефа.
Получ енные результаты могут быть использованы при формировании цифро
~ ых моделей реальных поверхностей по топографическим картам.
Ил. 1. Библ . 8 назв.
•
УДR 681.142 .6:621.397.2
Б о R ш т е й н И. М. Диспле цный процессор для диалогов о ii об работ1ш полутона -
вых изображениц.- В ин.: Цифровал обработиа сигналов и ее примепенил , М.:
Науиа, 1981 ,
Приведен анализ возможностей построе ния дисплейного процессора, а таиже
{)бщие требования и его струитуре. Подробно рассмотрен основной блок дисплей
ного процессора - арифметическое устройство. Перечислены основные операции,
иоторые должны вьшолнлтьсл «быстрой» и «медленной,, частями этого устройства,
и обсуждены возможности реализации его блоков . Описан удобный и обеспечиваю- •
щий высоиое быстродействие способ реализации устройства, обеспечивающего
-свлзь дисплейного процессора с центральной ЭВМ. Рассмотрено устройство, пред
назначенное длл управления работой дисплейного процессор а, и приведены не ко
торые возмон;ности организации диалога оператора с процессором.
Ил. 10. Библ. 9 назв.
УДН 621,391.24:681. 325 .650 .21 :621. 391.25
Раи·ошицВ.С., НоэловА.В.,МожаевИ.А,,БеллевА,А.Спе
циализированные ~шкропроцессоры, реализующие быстрые преобразования.
В ·ин.: Цифровал обработка сигналов и ее применения , М,: Наука, 1981,
В работе проведен анализ графов быстрых преобразований и архитеитуры по
строения специализированных миироirроцессоров, реализующих быстрые преоб
разования. Поиазано, что при реализации быстрого преобразования на универсаль
ном мииропр(щессоре существует граф быстрого преобра зо панил, позволяющий
вдвое соиратить необходимый объем оперативной памяти. При разработие спе
циализированного мииропроцессора выбор е го архитектуры существенно зависит
()Т решаемой мииропроцессором задачи, особенно в случае необходимости поисиа
одного или нескольиих максимальных значений спектральных коэффициентов.
При разработке микропроцессоров в виде больших интеграль ных схем предпоч
тш11ельной лвллется иольцеnал струитура м икропроцессора,
Ил.. 7. Библ , 10 назв.
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
и ее применения
-Утверждено к печати
Институтом · проблем передачи информации
Редактор издательства Ю. А. Юдина
Художник Л . С. Нассис
Художественный 1Jедактор Н. А . Фильчагина
Технический редантор Н. Н . Нузнецова
Норректоры Н. И . Назаряна, И . А. Талалай
ИБ No 17453
Сдано в набор 07.08 .8 0.
Подписано к печати 28.01 .81 .
Т-04121 . Формат 6Ох901/, ,
Бумага типографская .М 2
Гарнитура обьшновенщщ
Печать высокая
Усл. печ . л. 14. -Уч.-изд . л. 15,5 .
Тираш 3850 экз. Тип . зан. 3527
Цена1р.55к.
Издательство « Науна»
117864 ГСП-7, Москва, В - 485 , Профсоюзная ул., 9<,
2-я типогр афия издательства ,, Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер. , 10
1 В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «НАУКА»
готовится
к выпуску в свет
книга:
ЯРОСЛАВСRИЙ Л. П.,
МЕРЗЛНRОВ Н . С .
ЦИФРОВАЯ ГОЛОГРАФИЯ
I{нига посвящена основам теории цифрового представления
волновых полей, их преобразованиям, алгоритмам вычисления
этих преобразований, синтезу и записи голограмм, пространсг
·венным фильтрам для оптичеСI{ИХ систем обрабоппr данных,
-визуализации информации, методам цифрового восстановления
голограмм и интерферограмм, цифровому моделированию rоло
трафичесI{ИХ процессов. ПоI{азано применение методов в опти-
1,е, аI{устю,е, измерительной · _техшше, при неразрушающем
I{Онтроле .
.Для специалистов по моделированию полей различной физиче
СI{ОЙ природы .
.Адреса магазинов <<Академкнига>>
480091 Алма-Ата, 91, у,1. Фурма
нова, 91/97;
:370005 Ба~<у, 5, ул. Джапаридзе,
13;
:320005 Днепропетровс1,, проспе1<т
Ю. Гагарина, 24;
734001 Душанбе, нроспеRт Лени -
11а, 95;
·252 030 Киев, ул. Пирогова, 4;
277001 Н:ишииев, ул. Пирогова,
28;
443002 Куйбышев, проспе1<т Лени
на, 2;
197110 Ленинград, П-110, Петро
заводс1шя ул., 7;
220012 Мине~,, Ленинский про
спе1~т, 72;
117192 Москва, В-192, Мичурин
с1шй проспе1,т, 12;
630090 Новосибирс1<, Ашщемгоро
до1<, Морс1шй проспе1,т, 22;
620151 CвepдJIOJJCit, ул. Мами11а
Спбиря1<а, 137;
700187 Таш1ш11т, ул. Дружбы на
родов, 6;
450059 Уфа, 59, ул. Р. Зорге, 10;
720001 Фрунзе, бульвар Дзержин
с1\.ого, 42;
3/0078 Харыюв, yJI. Чер11ышев
с1шго, 87,