Автор: Кловский Д.Д.   Шилкин В.А.  

Теги: электротехника   электрическая связь   учебное пособие   издательство связь   системы связи  

Год: 1978

Похожие

Системы передачи информации

Теория передачи сигналов

Синтез гармонических корректоров для высокоскоростных систем связи

Монтаж и наладка систем производственной электрической связи и сигнализации

Текст 
                    Д. Д. 1\ЛОВGКИЙ
В. А.ШИЛКИН
ТЕОРИЯ
ПЕРЕДАЧ. И
СИГНАЛОВ
В ЗАДАЧАХ
ДОПУЩЕНО МИНИСТЕРСТВОМ ВЫСШЕГО
;и СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ссет
В К:ЛЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ , -
ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ
«АВТОМАТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОСВЯЗЬ • .
« РАДИОСВЯЗЬ И РАДИОВЕЩАНИЕ •
И « МНОГОR.АНАЛЬНАЯ ЭЛЕКТРОСВЯЗЬ •
(
~~1\:).PJ\
_,,
.
У'..
.
.
"--,,,"'
•_...,,---~мoc к~i~,<;.C,W&:...J2?~_,.......,--"'- •;,
~ ~; .,, .-:,.,,. .,-:,,;;1:::1~ (',,<,.c• :.. -c .7':i.::.\
~
..1- t:J " ,., ~ :.. .,J,;
}
f,
1.,.:;c,u1U,t.l; ;;_:,,i~ ~ t!ЮЗ 1.


32.88
К50
УДК 621.391 (075.8)
~ловский Д. Д., lllилкин В. А.
](50 Теория передачи сигналов в задачах: Учеб.
пособи~ дщr вузов.- М.: Связь, 1978. - 252 с. ил.
Впер.:1р.
l(нига представляет собой руководство к расчету систем пере­
. дачи информации по каналам электрической связи. До формули ­
ров1<и задач отдельных разделов, затрагивающих разностороннюю
шроблематику, связанную с вероятностным расчето!\·I различных
звен'Dев систем связи, даются краткие теоретические сведения в
:виде расе-четной -процедуры.
Кинга предназначена студентам институтов связи и родствен-
1ных Специальностей, а та1оке может быть использована широким
:кругом: Инженерно - технических работни·ков, которые начинают
освайвать методы и приемы статистического анализа и синтеза си ­
с,тем передачи информации.
30401-095
К ----6 -78
045(01)-78
ИБ No 513
РЕЦЕН3ЕНТЫ:
Н. Т. ПЕТРQВИЧ, А. Г. ЗЮКО
Даниил Давыдови'l Кловский,
Владимир Афанасьевиtt Шилкин
ББК32.88
6Ф2
ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ В ЗАДАЧАХ
Редактор В. А. Лазарева
Художник В. Н. Журавский
Технический редактор Г. И. !(олосова
Корректор Л . Н . Л ещева
-· сдано в набер 1 6/Х! 1977. г.
Подп. в печ. 7/111 1978 г .
Т-01265 Формат 84Х108/32 Бумага тип. No 2.. Гарнитура литературная .
. Печать
высокая 18,48 усл .- печ . л. 19,24 уч.-изд. л. Тираж 18 ООО экз .
Изд. No 17165 Зак. No 299 Цена 1 руб.
Издательство «Связь». Москва 10 1000, Чистопрудный бульвар, д. 2
Типография издательства «Связь» Госкомнздата СССР
'
Москва 101000, y.h . :Кирова, д. 40
© Издательство «Связь», 1978 г.


Предисловие
:К1ни1га лре:-щста1вляет сюtб.ой учебное посо1бие по кур-+
су «Теория п~реща,чи с~и~nналов» и преlд,наз1начена i'в
1 ер.вую О1черещь с'Ilудента ,м институтов свя:з:и опециаль--
1ностей 0702, 0703, 07,08.
• · О1на 01Пираетrся ! И мет, ощ_и1че~с1ки увяза1на с кур , сом те=,
1рии пе~ре1дачи ,силна,ло~в, . читаемы1м в и1нст,ит;утах ,с.вязи'- .
[11О, 12, 18]. В1ме1сте с те1м а.вторы адре,су,ю·т с•вою .юн.юг ~/
и шир-о~ком1у кр1у1гу читатешей, КО"Iюрые на1чи~нают оiсваи.;..
1 ать методы стати~стиче1ског.о анализ-а и с1интеза ,систем
нер-едачи 'еоо~б,щений • (~дисiкiрет.ных и не1пре1ры1В1ны:Х) п01
ка налшм э.ле1кт1рической ·связи.
А1вт,01ры отдают себе о'Гlчет в том, что · м1нолие из за·­
д а1ч, свя~за1н1ных с 1вероят:н0~с'т,ны1м раючетом отделыных
1в е1нье1в си~стем :пе~ре/дач:и и1нформа1ции и воз1никаю1щ1и х
пе ред совреме1н1ными и~нж,енера1ми, зани1~ающи1мися раз ;'-
1работкой • и Э'К1сюлуа;та1цией •систе~м связи, · требуют з:на -­
пий; выходящих за пределы курса ТПС. В этом слу ­
ча е следу1вт 01братитыся ,к сiпе~циалыной литерату,ре : Од­
нако д1ля у1сюешной ра~боты с та1к,ой литеrратурой 11ре;бу....
е т1СЯ :В ДОС'Та'Т.QIЧ!НОЙ .ме~ре О'В'Лаtдеть . ОСНОВIН-ЫМИ идеЯIМЛ Иl
Ме:'ГОjДа!МИ раючета, равра~бота1Н.НЫМИ ~ - СТаТИ!СТИЧВСКОЙ те--
1р ИИ с-вя:зи. Име~Н1но с этой точки з,ре~ния к1ни~га мо:же т.
1ка:з а;тыся полезной широком1у ~кругу чи:та'телей, за1нима ;­
ощ·иХ1ся раара~бот-к,ой и эк,сшлуатацией сИiстем переда1чи~
и1нформа1ции.
,П редла,гае\Мая В1нима1нию читателей книга б.л1изка по
,о.ей на1цра,в.ле1нности вышедшей ранее книге В. Т. Гоn
J яинова, А. Т. Ж~уiра,вле~ва, В. И. Тихонова «Примеры .ш·
r адачи
по статисти:че,ской радиотех,нике» [5] . (,М., «Со, .. .. •
n тюкое ра,д,ио», 1970).
О,дна,ко, в отли)чие о·т этой к.нили пр~длагае,мая в1нw""­
м а1н ию читателей юн ига содержлт за:да,чи, ·в большей :
, ' Те: пе1ни у1вя:за1нные с инженер1ной практи~кой, и пре!дпо-
3


лагает предварителыную падго'Ю'В'ЮУ читателя лишь в
. цределах курса ТПС, изу,ча-емо~го в иНJст,итутах с,вя:з,ii.
КР'оме тогю, юн.ига содерЖtит рящ новых ра131целов, цред­
ста,вляющих безусло,вный и~нтерес для современiНоmо ИIН­
женера связи, которые не вошли в названную книгу: •
1) ра,с,чет у1стройст,в кодироваiНия и де1юдирювания
сообщений и 01ЦеН1ка их эффе1к11И1В1ности;
2) ра,счет помехо1устойчи,в1О1с11и ,0и,стем пере.дачи ана­
логооюй И1нфор1мации, в том чиюл.е при ,перещаче дис­
,кре11ными ме11ада~ми;
3) а1нализ ,арав,ните:льной эффектИ1В1но1сти много.ка­
налыных ,ои~стем ,овя,з1и;
4) расчет раэлиЧJных хара·ктери~сти1к с,и,с.тем переда­
. ч1и
ИiНфор1ма1ции (фиэичеокий объем сиnнала и каншла,
нащеЖtность с.вязи, выиnрыш и о~бю:бщенный выигрыш
пе,рехоща от одной системы к дру~гой 1и т. д.) .
,При пощ_.r1от0,в,ке кн,иги к из1да1нию а1вторы сочли воз­
моЖJным исключить т,ращи:цион1ные задаrчи lLO ра,счету
1Вер,оятно1с11ных хара·ктеристи1к с.лу1чайшых лроцеосов, по­
околык,у лощобные защаrчи в ,щО1ста"ючно большо1м количе­
~стве ,содержа:11ся в юнИ1Гах [5, 8, 15].
Улучшению соще~ржаiНия ,ЮНIИIГИ ,в зiНаrч:ителЬ1ной степе◄
ни ,е,по,собс11в,оваm.и за1мечания ее ре:цен~зентов профессора
д-,ра техн. на1у,к . А. Г. Зюко и .профеосqра д-,ра техн.
иау,к Н . Т. Петро,вича, которым а1вторы выражают глу­
бокую пр,из,нательность.
А,вторы бла['одарят также доцента Б . И. Ни1юлае'Ва
за пюм,ощь • в подборе и решении некоторых зада1ч
§5.би.гл.8.
ва,меча1ния и пожела1Ния читателей бущ~ут в1с'11речены
автора1ми .с бла1г,о.да1р.ностью .и ,в1ни1ма1н~ие1М.
tЗа'Ме1ча1ния следует на1пра1в1лять по ащресу: 101000,
Моююва, ЧИJстопрудный бульвар, 2, изщатель•с11во
<<Связь».
Авторы


Список основных обозначений
А - ансамбль переданных сообщений
А' - ансамбль принятых сообщений
а реализация переданного сообщения
а' - реализация принятого сообщения
B(t) - случайный переданный модулирующий сигнал
B'(t) - случайный принятый модулирующий сигнал
b(t) - реализация переданного модулирующего сигнала
b'(t) - реализация принятого модулирующего сигнала
Ь; - элемент переданной кодовой комбинации
Ь'; - элемент принятой кодовой комбинации
.....
-
Ь - переданная кодовая комбинация
.....
Ь' - принятая кодовая комбинация
B" (t1, t2) корреляционная функция случайного процесса X(t)
В"' (,:) - корреляционная функция стационарного случайного
*
процесса -
•
В"• (,:) - усредненная корреляционная функция нестационар-
с
➔➔
с(Ь')
d
Е
Е'
Fк
Fo
Fa
G(f)
*
G(f)
Go(f)
G(t, ,:)
ного случайного процесса
-
пропускная способность канала связи
-
синдром принятой кодовой комбинации
-
кодовое расстояние по Хеммингу
-
энергия элемента сигнала на передаче
-
энергия элемента сигнала на приеме
-
полоса частот канального сигнала
-
полоса частот модулирующего -· сигнала (сообщения)
-
ширина полосы энергетического спектра
-
энергетический спектр (спектральная плотность
мощности) случайного процесса
-
усредненный энергетический спектр нестационарно­
го случайног.о процесса
-
энергетический спектр случайного процесса на поло­
жительных частотах
-
энергетический спектр белого шума на положитель­
ных частотах
-
импульсная переходная характеристика линейного
канала со случайно меняющимися параметрами
g (t, ,:) - импульсная переходная характеристика линейного
канала с переменными , (регуляр11ыми) параметрами
g - выигрыш системы (модема) по отношению с~-
нал/шум
•
5


g'-
обобщенный Быигрыш системы (модема)
Н(А) - энтропия источника дискретных сообщений
Н' (А) - произБодительность источника дискретных сооб~
щений
Н8(А) - эпсилон-энтропия источника непрерывных сообще­
ний
Н~(А) - эпсилон-производительность источника непрерывных
сообщений
•
h(A) дифференциальная энтропия непрерывного сообще­
ния
!(а;)
I(A, А')
!'(А, А')
отнnшение средних мощностей сигнала и шум:1. (от­
ношение сигнал/шум)
-
отношение сигнал/шум в полосе 1/Т
эквиБале11тное отношение сигнал/шум, равное обрат ­
ной величине коэффициента использования мощно­
сти сигнала ~ (по Зюко)
количество информации в элементе сообщения
-
среднее количество переданной информации на один
символ
_среднее количество информации, переданной в еди­
ницу времени на один символ (скорость передач и
инфор мации)
K(f, t ), k(f, t)
комплексная передаточная функция линейного ка­
нала со случайными и регулярными параметрами
соответственно
K(f, t), k(f, t)
l
к
Ко
т
mx(t)
п
Р( ·)
Рн
Pom
Рэ
Ре, Рш
q
Rx(t1, t2)
Rx (-r)
s(t)
s'{t)
-
модуль комплексной передаточной функции линей -
ного канала со случайными и регулярными пара­
метрами соответственно
объем п ервич ного алфавита сообщений
коэффициент эффективности системы связи (коэф ­
фициент использования пропускной способности ка ­
нала)
основание кода (объем вторичного алфавита)
математическое ожидание случайного проц есса
число разрядов в кодовой комбинации
вероятность события, указанного в · скобках
вероятность ошибочного декодирования кодовой
комбинации
вероятность ошибочного приема элементарного сим­
вола
-
эквивалентная вероятность ошибочноrо приема эле­
·ментарного символа
средняя МОЩНОСТЬ СИГ\iаЛа и шума
кратность ошибки в кодовой комбинации
коэффициент корреляции случайного процесса
коэффициент корреляции стационарного случайно:~:о
процесса
реализация канального сигна_Jrа
-
принятая реализация канальногр сигнала
6


S(f)
S(-f)
S(f)
U(t)
Vи=1/Т
Wп(Х)
X (t), Y(t)
x (t), y(t)
X(t)
z(t)
z(t)
a,i/j
'У
л
Е
8
комплексная'~ спектралы:1ая плотность детерминиро­
ванного сигнала по Фурье
комплексно-сопряженная спектральная плотность по
Фурье .
модуль комплексной спектральной плотности по
Фурье
случайный процесс, описывающий аддитивный шум
в канале
скорость создания символов сообщения источником
-
п-мерная плотность вероятности случайного про­
цесса
сл у чайные процессы
-
реализации случайных процессов
-
центрированное значение случайного процес са
-
реализация смеси сигнала и шума в месте приема
сигнал, сопряженный с сигналом z(t)
выигрыш по вероятности ошибки (достоверности)
перехода от i - й системы к j-й
модуль коэффициента передачи канала
шаг квантования
случайная ошибка при приеме непрерывного сооб-­
ще ния
реализация ошибки при приеме непрерывного сооб­
щения
v - удельная скорость передачи .инiрормации (на 1 Гц
полосы)
п2
пикфактор сигнала по мощности
дисперсия случайного процесса ·
энергетический выигрыш перехода от i:й системы
к j-й
YJvi/ i - выигрыш по удельной скорости передачи информа­
ции перехода от i-й системы к j - й
YJFi/ j -::- выигрыш по полосе частот перехода от i-й системы
к j-й
t'\ 1/ j=YJPi/ j+
' /-YJFi/j
обобщенный выигрыш перехода от i-й систе мы к j - й
Р11 и зб ыточность источника сообщений
Рк
избыточность кода
Тн
ин те рвал корре л яции случайного процесса
х
(2
Ф(х)=V2 sе-2 dt - функция Крампа
' 2л0
знак усреднения по ансамблю
знак усреднения по времени
7


Глава 1
СПЕКТРАЛЬНОЕ И ВРЕМЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
СИГНАЛОВ И ПОМЕХ
1.1 . Спектральные характеристики случайных
процессов
В качестве спектральной характеристики случайных процессов
используется функция G(f), которая называется энергетическим
спектром или спектральной плотностью мощности.
Энергетический спектр G(f) и корреляционная функция • В (-r}
стационарного случайного процесса связаны друг с другом парой
преобразований Фурье:
о:,
со
G(/) = J B(т)e-iw,:di:=2 JB(т)cosc,;i:dт;
(1,1)
-о:,
о
о:,
о:,
В(т)= sG(f) e1w,: df = 2sG(/)cosютdf.
(1.2)
-со
о
Корреляционную функцию случайного процесса X(t), характе•
ризующую статистическую связь между его сечениями в момен­
ты времени t и t+., определяют так:
в. (t, t+i:)= [X(t) - X(t)I [X(t+i:)-X(t+i:)]
х
(1,3)
или же
Вх(t, t +•) =Х(t)Х(t+•).
(1.4)
Аналогично определяют взаимокорреляционную функцию слу­
чайных процессов.
Корреляционная функция стационарных случайных процессов 1
зависит только от сдвига между сечениями •·
Для нестационарных случайных процессов используется поня•
*
тие усредненного энергетического спектра G(f), связанного с ус-
*
редненной корреляционной функций Вi(i:) =B(t, t + -r) соотношения•
ми (1.1), (1 .2) .
Энергетический спектр G:(f) определен как для положительных,
так и для отрицательных частот и является четной функцией ча•
1 Для эргодических случайных процессов корреляционные функ­
ции В~(•), Вх-(т) могут быть найдены путем усреднения во в реме•
ни одной реал'изации. Аналогично могут быть введены понятия кар•
реляционной и взаимокорреляционной функций для детерминиро•
ванных процессов.
8


ст оты. Для спектральной плотности · реального процесса, определен­
но го тол ько на положительных частотах, справедливо .соотношение
(1 ,5)
Для сравнения ширины спектра различных случайных процес­
со в занимае мую ими полосу частот определяют по критерию экви­
ва лентного прямоугольника
00
1s
В(О)
Fэ= --
Go(f)df= -- .
Gомакс
Gомакс
(1 .6)
о
Здесь Go маис - наибольшее значение спектральной плотности мощ­
н ости случа йного процесса в полосе частот.
По ме тоду эквивалентного прямоугольника определяют время
.( интервал) корреляции случайного процесса
00
00
тк=
-
1- SIВ(т) 1dт=SIR(т)1dт.
В (О)
(1 .7)
о
о
1
Здесь Ri(т)·=
В (т) - коэффициент корреляции.
В(О)
,
Произведение времени корреляции Ти и шир.ины энергетическо­
го спектра Fэ случайного процесса удовлетворяет соотношению
(1 .8)
Перейдем к определению спектральных характеристик модули­
р ованных колеба_ний, полагая, что несущее колебание является гар-
м оническ им.
•
'
Разли чают следующие виды модуляции гармонического несу­
ще го коле бания.
1.Амплитудная модуляция (АМ)
[kлмо]
sлм_(t)=Ит 1+ Ит X(t) cos((.t)0t+<p0) ,
(1 .9)
о
,·де X(t) ~ центрированный стационарный случайный процесс с кор-
реляцион ной функцией В; (т); kлм - крутизна модуляционной ха­
ра ктерист ики .
2. ,Балансная амплитудная модуляция (БАМ)
о
sвлм (t) = kлм Х (t) cos ((.t)ot + <р0).
3. Однополосная
(О БП)
амплитудная
л
о
о
(1. 10)
модуляция
sовп(t)=kлмХ(t)cos((.t)0t+<р0)- kлмХ(t)sin((.t)0t+<р0). (1.11)
ло
де сь X( t) - процесс, сопряженный по Гильберту процессу X(t)
(см. § 1.2) .
Заметим, что энергетический с_пектр (а следовательно, и корре­
л пц ионная функция) сопряженного по Гильберту процесса X(t)
9


совпадает с энергетическим спектром . ~(корреляционной функцией) ,
.о
случайного процесса X,(t) [15]:
Gл (t)=Go (f); Вл (т)=В0 (i').
(1 .12)
о
х
о
х
х
•
х,'
Сигнал ОБП можно также представить в· виде
s0вп(t) = А (t) cos[w0t+q,0 -'Ф (t)],
где
л
о
'\j)(t) = arc tg Х (t)
о
х (t)
4.Угловая модуляция
(1 .13)
(1 .14)
В общем случае сигнал с угловой модуляцией можно предста­
вить так:
sум(t) =Итcos(w0t+Ф(t)+<р0).
(1 .15)
Здесь Ф (t) - случайный процесс, связанный с модулирующим про­
цессом X(t) следующими соотношениями:
о
Ф(t)=kФМХ(t)
(1 .16)
при фазовой .модуляции (ФМ):
t
Ф (t) = kчм sХ(t1)dt1
(1 .17)
о
•
при частотной модуляции (ЧМ) .
о
Если модулирующий процесс X(t) принимает ряд диск·ретных
значений, то информационные параметры несущей при модуляции
меняются скачком. В этом случае говорят о дискретной модуляции
или манипуляции.
.
.
.
При случайном модулирующем сигнале X(t) модулированный
процесс также . является . случайным, nричем нестационарным даже
о
при стационарном . про1:1,ессе _X(t). Усредненный энергетический
спектр такого процесса может быть найден как - преобразование
Фурье от усредненной во времени корреляционной функции про-
цесса.
•
3ада1ч-и
1.1 .1. Показать, Ч1'О случайный си:нхр-онный теле­
nрафный сиnнал, реализа~ции которото имеют сл~у~чай1н ь1й
~рав1номе,р~но ра,оп1ределен1н ый сд,ви:г Лt отно:с·и11елыно на­
чала юоо·рщ.инат (рис. 1.1), пр,и1ни1мающий в дИIСIКtретные
~мюменты времени К1ра11ные Т з1На1Чения ±h с вероя11но­
стью 0,5 независимо от того, какое значение он имел на
1()


r1ре1д ыдущеIм · у,ча1стке, иrмеет коIрреляrцио,нную фу,нкцию
/3"х (,:) =h2 (: 1-\1:lд) и э1нер:гетиче1скнй сшеIктр Gx(f)=
!·t2Т sin2 (п fT) .
(п fT)2
Оrщредм'Ить ИIIперваm 11юр·реля1ции э·юго цроцес1са 1:к,
щI,rlj)и1нry энер~гетического СJпект,ра Fэ .и п1рои,з1ведешие Fэ1:к,
1. 1.2 . ~Белым шуIмоIм называе11ся случаЙlный пIроце1сс,
X{t)
т
2Т
t=пТ-Лt
'l'
t
м
Рис. 1.1 . Реализация случайного синхронного те­
леграфного сигнала
имеющий ра1в,номер1н~ую апе1ктралыную п:iютно1сть G(f)...:.
= Gш/2 в ,неоr,р ан,ичен1 ной полоIсе ·ча1стот. Паказа:ть, что
фу1111юция кQ1рреляции таI1юго про1цеас11 е,сть 6-фун,кция,
~1 его дисперсия а2 = В (О) = оо.
1.1 .3. Найти 'КорреляциюIнную фуrнюцию шу1ма, име­
ю щеrго р аrвrно,м еrрiНую ,ап е1ктр алын,ую плотность, р а,в,ную
С ш/2 ,в лолюrсе (-F, F) и О ·В1не этой лалоrсы.
1.1 .4. Бс.ли на вхощ ин11егри1рующей RС-rце!По'Ч,КИ по­
,стуша ет нармалыный ,ста1щиона,р1ный белый шу1м, 110 про­
l(сс с на выхо,де ,с·та:ц,ию1на~реш, га:уюсов и и~меет фунюц,ию
кор,реля,ции [ 1,5]
В(1:) = В(О)ехр(-~ / ,: /),~ = 1/RC.
В ых·одrной процес,с M0JIШO и1меноIвать одIноIмерIным ма•р­
I1юв·ски м. Найти энергет.иrчес,кий ,опектр этого пrроцесrса,
O11,редел ить по.ласу ча,стот Fэ и проиrзrве~ешие Fэ't'к -
1.1 .5 . Найти энер,гет,и,чеюкий .апе,ктр слу~ча.й~ного про­
~(соса, иrмеющего rк·о,рреля;ц,ионную функ~ц,ию га уооового
ll'Hдa
В(1:) =В(О)ехр(- ~
2,: 2),
<шредел,ить его шири1ну Fэ и .произведение Fэ1:н.
1.1 .6 . Пока·зать, ч110 энер1гетичеюкий ,сшек11р слу~чай-
11оrо ст ациона~рIно,го процесса Y(t) с :к;ор·реля,ц-ионной
фу~шщией Ву(,:) =Вх(,:) 1cos 1Cu 01: определяе11ся на положи -
11


тельных ча,е,rотах [~при fo~Fэ, Fэ -ШИiри~на апектра
процеаса с коррелЯ1ционной ~нк,ц,ией Вх ('t-)] соо:11ноше-.
ние,м
Gyo (/) = Gx (f- fо),
,nде Gx(,f) - 1Э1нергети,чеакий сrпЕж11р 1стационар:но:го про­
цесса с КО1р1реля1цион,ной функ.ц,ией B :c (cr:) .
1.1 .7. ПО1кавать, что эшер,гет.иJЧ<еский ,с:пек-гр случай-
п
н1О1Го силнала Z(t)= ~ Aisin (1ffiif+1JJi) , у котО1рюш сла ­
i-1
гаемые •С ра~з ли,чными ин~еrксами i ,не:за1виси~м ы, ам •
пл,итущы Ai сл~1чайны, т11рещеля•ется соо11ношешие м
п
Uo(f)=
-
А7б(f-fi)
А
1E-
'
2
l=O
пр,и люб,оrм законе ра1сат1ределения фаз .
1.1 .8 . Найти у~сре1дне1нную ко,рреляцио1нную фу,нк ­
цию и у,среднен,ный э1Нерге11ический апектр а,м1п литу~дJно ­
модулирова,нно1го про1Цесса при модуляции ,сл уч айны~
о
ст аlЦ.ИОIН a,prHЫIM пр о:це!ОСОIМ х (t) .
1.1.9 . Найти у,с1редщен1ный энергетический сrпектр
'li
усредненную корреляционную функцию для сигнала
БАМ, если 1мод'Уляция осуще,с:11в.ляет,ся с·л~,чайшым .про .
о
ЦeiC'COIM X(t) С кор1реЛЯ1ЦИО1ННОЙ функцией
в:(т)=В(О)е-а1,;1.
1.1 .10 . Най-ги у,среlЩненную корреляцио1н:ную фуНlк ­
цию и у,срещ1нен1ный э,нертети~чес1кий с~пектр си1гнала од-
1нО1полоснюй а1мrпли11ущrной мощ1уляции .
_
1.1.11 . Найти 'У1срещнен1ный э'нер,гетический .спек.тр
ФМ кюлеба,ния при ,мощуля,ции ноР'ма~ьнЫ1м ,сл уч айны м
процес~сом ,с э1н ергетиче~ски1м епектрО1м Gx(f) ,при усло­
вии, что k2ФмВ х (О) ~ ,1 (-«слабый» модулирующи й сиг •
нал).
1.1 .12 . Показать, что при фа1зо,вой мадуляции га,р ­
монической несущей нормальным случайным процессом
с энергетическим спектром Ох (f) усредненный энер­
гетический спектр модулированного процесса оп_р еделя ­
ется на положительных частотах выражением
G (J):_ ит
2п
2v-
ОФМ . 2 k~м Вх(О)а2
12


-оо
если k2ФмВх (О)~ 1 («сильный» модулирующий сигнал). •
со
2 sG(f)
1.1.13. По1казать, что при kчм (2лf)2 df~ 1 («•силь ~
-оо
ный» мО;Дул~ирующий
ский опеио1р ЧIМ
G
-
т
*
u2V
очм(f) :- 2
силнал) у,ореlД!не,нный энергетиче~
2л ехр[-2л2(f- fo)2 ] .
ktм Вх (О)
kiм Вх (О)
1J14. ПО1Казать, что 011но,ше1ние ширины по1Лосы
ча,стот ФМ и ЧМ ,cиnнaJia , ,рас,омо11ре1нных в зада1чах .
1.1.12 ,и 1.1.13 при раВ1номернЮ1м в полосе ча,стот Р-1 , Fz
э нергети1чеюком спектре модулирующе1го ,си111на·ла и вы­
п олнении условия kчм=kФм2nF 1 определяется фор;м у.лой
'
.
• ~эФМ = __!__[l+ F2 +(F2~
2
J.
эЧМ 3
F1
F1}
1.1 .15. Найти усред1нешную коррелнцио.н1ную фу.нк ­
цию ·и усрещ1нен1ный эне-р,гег11и,ческий ,е~пе,к:тр .сигнала АМ
при ма1нипуляции си1Ну,со,ищально;rо ко1Леба1ния двои~чным
-
о
олучайным сиюqрон.ны,м телеграфнЫlм ,сиu-,на·ло1м X(t) е
•
.
1't 1
карреляцион;ной фун1щией ВН-т:) = h2 (,1 - т ).
1.1 .16 . Показать, что у;оредне<Нlный энерг:ети,че,окию
оп ектр п1роцеоса ФМ при фазовой м0~дуляци,и .на угол•
n -с-Иtну,соидалынюгю 1колеба~ния случайным 1двоИtЧ1ным оин ~
х р сжным телеграфным СИiгнало;м опре1деляется фор1му~
лай
т
sin2 (w-_w0) 2
[(w-- w0) ; Г
е сл и оредняя мющность cИtnнaJia ФМ такая же, как сиг ­
нала АМ из задачи 1.1.15.
1.1 .17. Найти у,средне1нную корреляцион1Ную фу,нк..­
ц ию и у,срещ1не1н1ный э1нертетиче,скнй с,пектр ,сиnнала ЧМ
п ри ,ман,иnуляц,ии гармони~ческой несущей си1нХ1ронны м
д•в оичным слу1чайны1м телеграфным ,сигнало~м.
13


Ре[llен 1ия_ и от1Веты
!Р.1 . 1.1 . Найдем с,рещ,нее Зiна1чение щюце,оса X(t)=
= --0,5 h + 0,5 h = О. Сле~довате1лыно,
BHt, t+-r) =
0=X(t)X(t+--r).
Зафик,си.р~уем про·извольный .момент в1ре,меши t (ом.
1 (р,и·с. 1.1). Интерва,л, отделяющий точку t от ближайшей
-Г,ОIЧJКИ, в которой может произойти иэ,менешие зшака пр,о­
:цеоса X(t), ра1с'Пре~делен по у,слов,ию за1да,чи ра1вном,ер,но
,,в ,пр~омежуnке (О, Т):
W1(Лt)=1/Т,о<лt<Т.
Р а~сюмотрим • сечение процеюса Х( t) в м,оменты t и
1t+,: п~ри -rci=0. Бели ,:<,Лt~Т, то X(t)X(t+rr) = h 2 . Е!сли
:же -r>.лt, то X(t)X(t+.-) = O,5 h2-0,5 h2 = 0 .
Поэ1101му
В°х(t, t+-r) = Р(т<Лt)h2+Р(т>Лt)О=
т
.
=
h2sw1(Лt)d(Лt)=h2(1-'- ;).
'
Раопространяя это выра,жение и на т<О, получаем
\1: 1
В~(,) = h 2 (1 - т) . ПоJПJста·вив найденное выраже1Ние .для
Вх(,:) ,в ф-~лу (1 .7), ,nолучим 'ti,=Т/2.
Подстаrв,ив выражение для BH-r) в ф-лу (1 .1), по -
()О
G(f) = 2Ii2 .1·(1- ; )cosОУСd't'.
о
М1нтеr~р и1р1у я, ,на хо~п;и1м ,р e1зyJI ьт ат
G(f)= h2T sin2(лfT) .
(л fT)2
ШирИiну э,нертети1Чеакого ,спектра най дем согласно
(1 .6), пр,иня'в во внимание, что Go(f)= ,2G(f):
F=В(О)
=
__!!:__ =
_I
3
Gомакс 2h2 Т
2Т•
IТ
1
Произ,ве.цение Fэ 't'к =
-
-
=
-
2Т2
4
О11метим, что на !частотах, кра11ных величине 1/Т,
энергетический спектр ,синх~ронного случайного теле­
'1' ра,фного ,сиnнала и,меет ,нулевые .з1на1чен,ия.
14


Р . 1 . 1.2. В соо11вет,с11вии ,с ф-лой ( 1.2) В(,;)=
1
оо_ -
~
= 2 GшJ,cos :2лf,:,df. Та1к как J 1cos ,2лf.dt =,б(,:) [15] ..
-8
-оо
д1ля юорреля1цисшной фу1нюц,ии ,беrлого 1Шу,ма :получим
1
В(,;) = - Gшб(1:), о2 =В(О) = оо .
2
Р.1 . 1.3. По ф -ле (1.2)
F
В(•) =Gш .\COS2лf•df.
о
Интет-рируя,· лолуrча ем
В(,;)=Gшsin2лFт: .
2срFт;
Обратим вни1ма,ние на то, ч110 у раосмат,ри,ваемого,
с лу.чайно,го ,,проrщюса, имеющего ра1Вномер,ный э1нер ,гети­
ческий сшжтр в полО1се (-F, F), ~сечения, раз1Несенные·
J-Ia интервал ,: , 1крат1ный вел,ичине l/i2F, .не ,кор~ре:ли1ро ­
в а1ны.
Р.1.1 .4 . Соглае~но О .2), и-сполнз~уя таrбл-иrч1ный интег~
00
р ал [6], п О1лу,чаем G(f) = 2В (О) J ехр .(-B-r),cos {t),;d,: _
о
= 2В(О)
~ . Шир·ина э,нерге11и~чес1Кого rс,пектра !Про-
в2+4л2/2
'
r;
В (О)
В (О)
~
-
цесса,э=- -
=--
~=-
, а 1в1реiМя ко1рреля~ци иJ
Gомакс 4В • (О)
4
-
_
00
1
1
тн -'- \ехр (-Вт) ,dт =- . Пrроиэ вещение Fэ-т:н=-.
о
р
4
Р.1.1.5. •
В (О)
( л212
G(f) === ,г-ехр -
-
).
2вr л
\в2
Обрат,и1м в1ниманиrе 1на 110, что слу~чайный проП:ес,с с кор­
рел яционной фу1н.юцией га уосово1го виtда имеет и э,нер -­
гетиrчеюкий с:пе,к11р гауосовоrгю 'ВИЩа. Ш1ирина э1Нер,ге11и,че --
01юго опеJКтра Fэ = В Vл. И1Нтер1в ал корреля1ции по (1 .7)1
тн= Vл/'2в . ПроИ1з1ведешие Fэ'tн = Л/12={Ы .
Р.1.1.6. Согла'е;но (l.l)
Gу(f) = 2JВх(т)cosffi0'tcos undт= -
1 (2 JВх(т)cos (ffi +
о
,,.
2
о
15


00
Но ооrгла,оно (11.1) 2 SВх(т) 1cos (1w±wo)тdт = Gx(f±fo) .
о
Поэтому
1
1
Gy(f)=
-
Ох (f + fo) +- Ох (f-fo)-
2
2
Поско,ль.ку энергетичеюкий ,опектр Gх (f) являе11ся чет ­
ной функцией частоты , то при выполнении условия
fo~Fэ одинаковые по фqр;ме ,сшек11ры Gx(f+fo) и
Gx(f-fo) ра,оположешы ,соотве'I'с11Вен1но в 1обла1с11и 0Т1ри­
цателыных 'И 1поло~ж:ителыных частот с'И'М1ме:11рично отно­
сителыно оси ординат (~нуля). Поат,ом1у Э1нер,гети,че,ский
спеJКтр на 1поло~ж:ителыных . частотах G0y(f) = Gx(f- fo),
f>O.
Р.1 . 1.7. Найще~м кор,р,еляционшую фующию лро;цес,са
Z(t):
п
В2(t, t+т)= Z(t)Z(t+т)=LAisin(ffiit+<рдХ
i=l
•
п
х~Aisin[wi(t+т)+<pi}•
i=l
Та1к как олаtrаемые с ра:злич'l-iым,и и,нще,КJса,ми 1неза1ви1си ­
мы, все перекрестные ч:11ены .этого произведения вида
Aisin(ffiit+<pi)Aksin[ffi11.(t+т)+<pk) = О, i=I=k.
Поэтому
п
Z(t)Z(t+т) = .LА;sin(ffiit+<pi)sin[ffii(t+т)+<pi] =
i=I
п
= +~А; {cos щr - cos [ffii (2t + т) + 2<pi]}.
i=I
У1срещ1няя mo времени, полу~чае,м для у,срвд:нен,ной кар·
реЛЯIЦИОНIНОЙ фуню~и
16


Опек11ральная плотно,сть мощности ,с,оглаоно (1.1)
*
s"'1i,
•
G (f) = 2 2 ~ А7 coSffi/tcosffiтdт =
О
i=l
а,
п
= 2S+~А7fcos(w-wi)т+ cos(w + wi)тJdт.
О
i=I
Меняя пqряtдок интеnри,рова,ния и сум1ми1ро1ва1ния, с у,че ­
·rюм ,определения б-фу,н1к~ц,ии [15] полу;чаем
п
G(f) -:-- +~А7[б(f-fi)+б(f+fi)].
i=l
П ри определении опект,ра!ЛЬ'НОЙ ПЛОТН,QiСТИ IМОЩIНОСТИ
то.ль,ко 1по полож,ительным частота• м им ,еем
п
ао(f) = +~А7б(f - ti~·
•
i=l
Р . 1 . 1 . 8 . Согла,оно ф-ле (1.4) ко~ррелядиюнная фуlН'к­
ц ия а1м1плиту~но-мОiДулирова1нного .коле,башия
•
-
[· kл~о]
ВАМ(t,t+т)= SAM(t)sAM(t+т)=Ит1~+-" Ит Х(t) Х
Х cos(w0 t+(J)0)Ит[1 +~ ~АтМХ(t . +т)] cos[w0 (t+т) +qi0]=
= k1мB'k(т)cos(w0t+ (J)0)cos[w0(t+ т)+ср0]+
+ И?пcos(w0t+ q:>0) cos[w0(t+т)+ q:>0].
Уср,едняя полу1ченное выра,жение по t, находи:м
*
~k2
•
2
,.,
АМ
Um
В •(т)= -
-
В0 (т)cosw0т+ -
cos w0т.
АМ
2х
2
В это~м ,выраж,ени,и пер,вое сла,гаемое прещ,ста1Вляет
с обой к,ор-реляционную функцию слу1чайной составляю­
щей AiM 1колеба1ния, а в·юрое - ,1юр1реляциюн1ную фу,нк­
цию 1н есуще,го ;1юле,ба1ния .
В,<jсполь'зо1ва1вши,сь P.'l.1.6 и Ф-'ЛОЙ (11.5), мо,тно у,бе­
дитыс я, что найденной кор~рел~rрюн~кой._._ фу~Ц:J:.I.И юоот-
1UС1'с11вует на положительных i ,ча;g;_а,:г~..-'ъ C\~tt:~ . Jlf;~J ~)If, еский
о7jОО8171'
",,,·и,•·•~
'
t.;
...... ,, :,-p~,~,,, .. i,< ~1100.(\ ~


и2
k2-
•
-
*·
т
АМ
Gолм (!) =
-
2- б(!-fо)+-2
-
G~ (!- fo),
В этом выражении G~ (f) - энергетический -опектр мо­
дуmирующего процес1са. Та1к1И1м 66разом, э1нертети,ческий
опе.ктр А~М сиJ1нала садер,жит ,несущее ,колеба1ние на
частоте fo и две боковые лолосы, -опе1ктр .которых алре-
k2
деляеТ~ся 1выраже1н~ие~м ~GxCf-fo)-
2
Р.1.1.9 . :Сравни~вая (1 .9) и (1 .10), леrжо заметить,
Ч'Ю цроцеас ,при ,БАМ е,сть не что и1ное, 1ка-к центрщро­
ва·нное ам1плиту~щно -,модули~рова1нное колеба,ние. Поэто,му
с у;четом -результата защачи ,1.1.8 мюжно за~пи-сать
k2
*
АМ
ВБАМ(т)= -
2- В; (т) cosw0т
и
*
Падста1вляя в выражение для Ввлм (т) значение корре-
ля,цио1Нной ф1уш1юции мощул,ирующе1го процесса, полу­
чаем
k2
-
в,(•
АМВ ( - ,xf,:f
БАМ(т)= -
2- ~О)е
cos w0т.
Уюреднен1ный ;эшерт,ети~че,с,к~ий ,с,пектр
*
CG
GОБАМ (f) = kiм в~ (О) _2_+ _(
___
)_2
CG
(J) - (J)O
Р.1.1.10 _Ис1Поль'Зуя ф-лу (1.11), о~Пре~еляем
В0вп(t, t+т)= sовп(t)sовп(t+т)= kiмВ;(т)cos(w0t+
+ер)cos[w0 (t+т)+ср0]+kiмВ:'('r)siп(w0 t+ср0)siп Х
х
хх
18


Ооуще,с1'вляя у,сре~д~нешие по ·врем 1еши, 1Iюлу~чае1м
·*
•
k~м
kiм
Вовп (т) =
-
В~(т)cosrо0т+ -
Вл (т) cos rо0т -
2
2;
-
klмв л(т)siпrо0т+ kiмВл (т)sinro0т.
2 ;.°х
2 °х~
Пр иня,в во внимаIн.ие
-Вл (т) [15], найtде\М
('1.12), а также, ,что В л (т) =-
оо
хх
оо
хх
*
В05п(т)=klмВ;(т) cosrо0т- kiмВ0t'(т) sinrо0т.
хх
Для э,нерIгетичес'КО['О сшектра при ОБП и,меем
*
<Х>
,
Gовп (/) = k'i.м SВ°х (т) cos Сi>0т e'w, d т -
-
00
00
-
k'i.м JВ0 t' (т) sin Ci> 0't e- iw,d т.
-оо 'У; х
ПО1сле IПIростых преоб!'3IЗО1Ва'НИЙ нахО:ДИIМ
*
~м
•
Gовп (f) = -2
-
[G°x (f- fо)+G°x (f+fо)+iGоод(f- fо)
-
,
хх
-
iGO t-(f+fо)].
хх
Здесь G л(f) - 1вэаи1м·ный
оо
хх
эн~р.гетич1е1с,кий с1Пектр
двух с опряжешIных ,пр,оцес,сов. Из1вестно [lБ], ,ч·ю
Gл(f)={- iG°x(f) f>О,
00
·а (f)
хх
l°х
f<О.
С учет,ом ,этого
Gовп(f) = !k;м[2G°x (f - fо) +2G; (f +fо)] при If 1> 1fо1,
О
•
приIf1<1fо1-
П р и ощрещелен.юr сп ектра процесса ОБП только по по­
ложителЬ1ным ча,стотам
с; (f) ={2kiмG~(!-fo) при f>fo,
ООБП
Q
ff
при<0•
19


Р.1 . 1.11 . Пре1Дста1ви~м процеос ФМ 1соо11ношен~ием
о
SФМ(t) = Итcos[ro0t+kФМХ(t)+<р0].
К:01рре1.rшциоН1ную фу~нюц1ию ,найщ,ем 1ка1к
ВФМ(t, t+'t') = SФМ(t)SФМ(f+т)=
о
о
+cos[rооТ-kФмх(t)+kФмх(t+т)]}.
В,ьnпо.л1няя ;у~сре1дне,ние по времени, .пол'Учаем
*
u2 •----------------- ·
ВФм(т)= ; М{cos[ro0t-е(t, т)]} =
u2
-------~ ~
u2
= _!!!_ cos ro0t М[cosе(t, т)] +_!!;_ sinrо0тМ[sinе(t, т)].
2
2
о
о
Зде,сь обоз,наче·но 8(t, т) =kФм[Х(,t+т) -Х(t)].
Бели оrднО1мерное ра1спре1деление вели,чины 8 (t, т) явля­
е11ся че11ной фу~нюцией, то
со
М[sin(Э(t, Т] = ssin(Э(t,т)W1(<Э)d(Э= О.
-со
Поэ11ому 1при 1но,рмалыном моду.лирующе1м процес,с~ ус­
рмнен,ная 1К,qрреляц,ио1Н1ная фун1юция силнала с фазо.вой
модуляцией
*
u2
ВФМ (т) = _!!! ._
М[COS (Э(f, т)] COS @0't.
2
Поско1Льку вел.и1чина 8 (t, т) ,ра•опрещелена по ·нор ­
мальному закону ка·к линейное преобразование модули-
о
рующего сигнала X(t), 1для мате,матичес.кого ожида·ния
cos 18 (.t, т) .иополызуя [6], .нахощим
00
Jcosе w1 (<Э)dе=
1
(32
00(
)
ехр---Х
v~ Joo
2ai
-оо
хcos0dе=ехр(-
~
2i).
20


1Т nй1де1м ди,апер,сию •вели,чИlны 0,(t, ,:) . Та,к ка1К при фа1Зо-
.
о
о
но/J IмО1дrулядии 0 (t, ,:) =kФм [ Х (t+-r)-X (i)], то
о
о
о
о
i=k~м[Х(t+-r) - Х(-r)l2 = kiм [Х2(t+-r)+Х2(t)-
о
о
-
2Х(t)Х(t+,:)J = 2kiмВ~(О)[1-R;(т)].
13 •том слу~чае у,ор1е!ЩнешIная IкорреляIционIная фу1н.юц~ия
IM ov.1_y JI ИР,ОIВ 3iНIH ОIГО 1СИJ'.Н aL!I а
'
·Х·
U2
вФМ(-r) = _:::_ cosffio'tехр{- k~мв~(О)[1- R~(-r)]}-
2
.
Та1кой !Юрре'ЛЯIЦ,ИОIН,НОЙ фу1н:1щи,и IСОЮ'ГВ€Т1С1'ВIУеТ эне-ргети -
1 IСЮЮIЙ ,оп е,ктр
·Х·
u2 s'°
GФМ(f) = ;
cos@0t cosro,:ехр{- k~мВ;(О)Х
-оо
_?<Jl- R ~,:]} d ,: _
Р а,с,е~моТ1р,и~м энертетиче:ск•ий ,спектр ФМ 1111роде<0са rпри
k2ФмВх (О) « 1. В эщм случае ехр [kФмВ; (,O)R~ (,:)]
м юю лре\l!!ставить ,ряtцоIм
•
[ k2 во (,)]2
ехр[k~мВ;(О)R; (,)] = 1+ ktмВ;(,)_+ Ф.М2/
+
[kiмв;(,)]з.
+----+• ··
3!
Огра,1-шчивая~сь первыми д,вуIмя чле-на1ми этого разло­
женшя , полу~ча1е~м усре~днеН1ную ,корреляIциоIн.ную фу~нк­
ц,ню
•Х·
u2
ВФМ(,:) = . 2
m [1 +ktмВ; (t)]cos @O'tехр [-ktмВх (О)].
Этой кор,реляцио•нной функции соо11ве11с11вует eнepre­
TJl 'l с1шй опе.к11.р ,на :тто.ложительных часТ1отах
и2
2
k2
2
2
G(f)-т
•-kФМ Во (0) (f ,. ) ФМ Ит -kФмВо (0)
ОФм - -2-е
хб-о+2е
хХ
Х G; (f-f0).
Полезно отметить, что этот спектр по овоей струк ­
тур сов па1д ает ,со спектром при а1мmлитудной модуля­
щш.
21


Р.1.1 . 12. Воопо~ьзуемrся общи~ми ,соо11ношениями для
уюредн·енных кор,реляlЦ'ионной ф~у1н1к1ции и •энер,ге'J\и'Че•скю­
го •спект,ра ,сиnнала с фа1зовой ,мо~уляцией, _ .по.-!lученныiми
в предыщущей задаrче:
*
u2
ВФМ(т) = ; cosщ0-сехр[- kiмВ; (О) +kiмВ;(-с)J;
*
u2
005
GФМ(f)= ;
cos ffioт cos ffi't' ехр [- kiм В; (О) +
-оо
+ kiм В; (т)] dт.
в. (i)
iБсли k2ФмВ0 (О) » rl то R0 (т) = _х_
х
'
х
в. (О)
х
,целесообраэ1Но 1ра1злож,ить в ряд Ма1клорена :
R~>(О),2
R~4>(О),4
R;(т)=1+ х
+х
+..,.
21
41
lоо
Вторая лро·из1во1д1ная R0 • (т) = -- JG0 (f) cos ffi't df
х
Во (О) •х
х
-оо
шр.и т=О опрещеляется 000111но1шени-ем
в
R(2>(О)=-
(2л)2 sGo (f) f2df =
-
а2.
~
Во (О)
х
х
-оо
П ри k2ФмВ; (,О ) »J ,иену.левые з,на'Чения
*
u2
ВФм(т)= ; cosffi0техр[-ki,мВ~(О)+kiмВ;(т)]
.лежат в о~бла,сти, nде R; (-r) = 1, т. е. т=О.
Сохраняя поэтому только первые два члена разло"
жения коэффициента ,корреляци,и, rнахо;дим
*
и~
[ kiмВ;(О)
ВФМ(т)= -2
-
cos ffi0техр -
2
00
а2 = (2л2)· sG0 (f) f2 df.
Во (О)
х
х
-оо
j_(оррешщионной ф у нкции ,гау6совюй формы
kФм В (О)
•
[
2
..В(т)=ехр -
2
22


,со о11ве11ствует энергети,че:ский опектр то~ ·же форrмы (1С'М~
Р.1.1.5)
-.
/" 2л
r
2л2/2 ]
а(f) = V kiмв (О) а2 ехрl- kiмв(О)а2
•
Умножение корреля~ционной фу~НJюц~ии на cos ш 0-с 00--
0-гв,е тс'])в;ует ,переrносу 1апе1к11ра G(f) Iвшра,во и ,вле1во (1в об ­
ла1сть - отри1ца'Телыных 1Ча1стот) на rвеurичину fo ('см ..
Р.1.1.б) .
Та1к,им образом, при фавовой модуля,ц,ии несущею
с илыным си.nналом э,нер['етический апе1ктр на лоложи-­
телыных ча,стотах
GаФм(f) = и; {
2л
[ 2л2 (f-f0)2 ]
kiмв~(О)а2 ехр - k~мв~(О)а2 •
В состшве спе,ктjра нет диск1ре1;ных ко,м,понент, а его,
фоР'ма яIвляе'])СЯ гауюсов-ой ·неза:виси1мо от фор1мы энер­
ге11 И1ч.е,ского с:пект,ра моtд;улирующето процесса.
Р . 1.1.13. Проце,сс ча,стотной модуля,ции случай1ным,
о
сигналом Х (t) эквивалентен процессу. фазовой модуля­
.t
о kчмfо
ц,и,и 1с•лучай,ным сигналом Z(t)= -- X(t1) dt1 [(см. (1.16),
kФМ•о
и ( 1.17)]. У1сре1д.нен,ный э1не1рте11ичес.кий ап~ктр си[)нала-
о
·
О
•
Z(,t) свяIза1н с энертети1ч,еским сIпе1к11ром сигнала X(t}
соо11ноIшением
*
k2
Go (f)
Go(f)= ЧМ_х_ ,
z
k2
4л212
ФМ
та1к 1как коеффиrциент передаrчи идеалыното ,иштетратора,
по мощrноrсти 1ра,вен l/4rr,2f2. Вследс11вие это,го при ,опре­
де лении у,с~р-е~д!не<нно;го э,не~р Iгет,и1ч,е,сIкого апеrктра ЧМ сиr­
l!Тал а можIно иIаполызоIвать ооотrношения, ,пю.луче.н.ные для
фаlЗОIВОЙ 'МОlдУJЛЯIU!ИИ, rIOlil:CTa'BИ,B ,в них BIM eiCTO G~ (f}
k2
Go (f)
спектр G0 (f) = чм _х_ . С у,чет~ом Р .1 J .12 полу,чим,
z
k2 4л212
ФМ
-оо
·Х·
u2 ")f
Gочм(f) = 2m V
2л ехр [- 2л2 (f- fo)2]
ktм в~ (~)
ktмВ;(О) •
23


если у,чость, ЧТ,О <ПР'И ЧМ
k2
"' Go(f) --
k2
.
а2= .чм
_
1_('_x
_
_
4:n:2 f2df = чм .
k2
Во(О) j 4п2f2
k2
ФМ
х
_
00
ФМ
Р . 1.1.14. Имея в вщду Р.1.1.5, легко за,метить, что
при гаус,с-овой фор,ме э,нер,гети1чес1юго сшектра поло,сы
ча1стот Fэ.ФМ и Fэ.чм 011но:сят,ся 1меж~ду ,со,бой кшк по.ка­
затели соответствующих экспонент . Поэтому, используя
результаты Р., 1 . 1.1 ,2 и Р.1 . 1.13, получаем
F,
sG0 f2df
4п2 k7.,м F,
-- -=-- -
ktм Fs,
G0df
F,
Еiс,ли, на1nример, F2/F1 ~ ,10 (как в стандартном теле ◄
фан,но,м ка,на'Ле), то FэФм/Fэчм~ 37 и полоса частот ФМ
сИ1rнала оказывае11ся существенно шире, чем ,при ЧМ.
Р.1 . 1.15. Можно вос~п ользоватыся Р . 1.1.8, если поло­
,жить kлм,h = Ит. При этом а~1Плитуда излу1чаем01го им­
пулыса А = 2Ит, а с,рмняя мощность излуча,емоiГо с.иг-
,нала Ре=+( ;2)=И2m. То1гща
о
u2(
11)
u2
ВАМ(,:) = __!!!:.... 1- - • - cosw 0,: + __!!!:.... COSW0't.
2
Т
2
Выполн,ив прео6ра001ва1ние Фурье, по:лучи1м с учетом
Р.1.1.1 и Р.:1., 1.6
о
и;, _
и;, т
GOAM(f)=-2-б(f- fo)+- 2
-
-
т]
sin2 l2n(f- fo) 2
[2n(f- f0) ~Г
Р.1 . 1.16 . Чтобы ,сигнал ФМ mмevI та1кую же среднюю
,мощность, ка/К и силнал АМ (1ом. Р.1:1.1 ,5), не,о,бх(jди-мо,
чтобы его а1м1плитуща А = V 2Ит.
24


,При Iман~и1пуляIции на ушл (JJ=л: ,сиr~нал ФМ эквива ~
ленте~н 1СИ1nналу БА1М:
•
•
s<l>M(t)• •У2Ит Х(t)cos(@0t+ср0), Х(t) '- ± 1.
Энер;гетиrчес1кий ·ап,ек11р та~кого проце~сса определи11ся
,опл ошной ча~стью сше.ктра А~М сиIг,нала (см . Р.11 . 1.15) ,
е~с,л.и в не~м в~1ме1н,ить Ит 1на -V2 Ит. Следовательно,
*
sin2[2л(f- f0) ; ]
GОФМ (t) = И;, T---=' - --
-
-
- '°--
[2л (f--fo) ; Г
Р.1.1 . 17. Пола1гая, что фа:зы частот «~нажатия» и
«о тжатия» меняю11ея ,не.заш,и,си1мо, мож,но ЧМ -сигнал
п ри днои1ч1ной маIниrпуля1Ции раюсматришать как -су,м1му
д1в1ух АМ ,коле~ба-н:ий на 'Частотах f 1= ,fa+0,,5 Лf, f2=fo-
-0,5 ,Лf. По0то1Му ,с у,чето1м Р.1.1.1,5 можно на[шсать длs~
.ис комо['О энеIр,rети1чеIско;г,о ~апектр а
u2
u2 Т sin2 [2л(f-f1) ; ]
Gочт(/)= ; б(f-/1)+Т-~---~ +
[2л(f- f1) ; Г
sin2[2л_(f- f2) f]
[2л(f-f2) ; Г
1.2 . Огибающая, мгновенная фаза и частота
узкополосного случайного процесса
Узкополосный случайный процесс Z(t) 1 •• или любую его реали ­
за цию можно представить в виде
z(t)=г(t)cos'1'(t).
(1.18)
Здесь Ч' (t) = root+<p(t) - мгновенная фаза;
roo =·2лf о - частота в
полосе усредненного, определенного на положительных частотах
э н е ргетического спектра процесса; r.(t) и rp(t) - огибающая и мгно­
ве нная начальная фаза, которые являются медленно меняющимися
п о срав нению с cos root функциями .
Процесс '(1.18) можно представить в виде
z \t) = х (t) cosco0t +У (t) sinco0t,
(1.19)
1 Процесс называется узкополосным, если для него выполняет­
с11 усл овие со, )р 2лF•·
25


'Где x(t) и y(t) - квадратурные компоненты, определяемые соотно-
,шениями:
х(t)= r(t)cosер(t); у(t)= r(t)sinер(t).
(1 .20)
Огибающую r(t) и фазу q:l(t) можно определить по квадратур­
,ным компонентам:
г:(t) = Ух2 (t) + у2 (t);
у (t)
ер(t)=arctg-- .
х (t)
(! .21)
Квадратурные компоненты процесса z(t) можно представить
как вещественную и мнимую составляющие комплексной функции
,r(t)= r (t) ei<P(t)= r(t)cosер(t)+ir(t)sinер(t)= х(t)-f--iу(t). (1.22)
·Функция r(t) называется комплексной огибающей процесса z(t) .
Комплексный процесс z(t) можно представить следующим образом:
z(t)= r (t) eiw.t =r(t)cos[w0t+ер(t)]+ir(t)sin[w0t+cp(t)] =
л
(1.23)
= z(t)+iz(t).
л
Здесь :z(t) - процесс, сопряженный процессу z(t) .
Мгновенная частота процесса z(t) определяется соотношением
dЧ1
dер
w(t)=dt= w0+dt.
(1 .24)
Используя пару преобразований Гильберта
00
00
л
1 sz('t)
1j'
z(t)=
-
--- d't, z(t)= -
:п
t- 't
:п
-ао
-оо
л
z (t)
--d't
't- t
'
(! .25)
·огибающую и мгновенную фазу сигнала можно определить так:
.
л
·v---лс-, -
z (t)
26)
_
r(t)=
z2(t)+z2 (t); Ч1(t)= arc tgz{t)•
(1.
.
•'
При определении огибающей и фазы по Гильберту нет необходи•
мости задавать частоту , процесс,а wo. Спектр по Ф у рье сопряжен­
ного сигнала S л (f) связан со спектром Sz(f) соотношением
•
{iSz(f) приf<О,
sл(Л=
z
-
iSz(f) приf>0.
(1.27)
Отсюда следует, что спектр комплексного сигнала z(t) суще•
ствует только на положительных частотах, причем
.
со
z (t) = 2 sS (f)ei2тcfl df.
о
Если узкополосный случайный процесс
Z(t)=Х(t)cosw0t+У(t)siпwuf=R(t)cos[wof+Ф(t)]
26
(1 .28)


является . нормальным, а его квадратурные компоненты . X(t) и Y(t)>
н ез авис:имы, то совместная плотность вероятности квадратурных.
ком понент
,
1
{ [х-тх(/)] 2 [y-my(t)]2 }
w2 (x, у)=----- ехр
-
2
-
2
•
2:nax(t) ay(t)
2ах (t)
2ау (t)
Зде сь mx(t), my(t)-: - математические ожидания квадратурных
понент; a 2 x(t), d 2 u(t) - дисперсии квадратурных компонент.
Поскольку
Х(t)=R(t)cosФ(t), У(t)=R(t)sinФ(t),
(1.29),
ком--
можно перейти от декартовых координат х и у к полярным коор ­
динатам r и <р и определить совместную плотность вероятности,
оги бающей и фазы узкополосного случайного процесса
r
{ (tcos<p-mx(t)]2
w1 (r, <р)= ----- ехр
-
2
_
2:nax (t) ay'(t) -
2ах (t)
-
[r cos <р- ту (t)]2 }
2а~ (t)
•
(1.30 )
Отсюда легко найти одномерные плотности вероятности огибающей·
w 1(r) и фазы w1(<p).
_
Конкретный вид одномерных плотностей вероятности w1(r) И,•
w1 (<р) зависит от соотношения · между параметрами квадратурных.
компонент случайного процесса.
,Задачи
1.2 .1. Найти о,nи:бающую, млно1ве>нную фазу и м,гно -­
венную ча1стоту 1дл я сИ!nнала БАМ
mU
•
mU
z(t) =~cos(ro0+Q)t+__!?1:. cos(w0- Q)t. •
2.
2-
Соста·в ить выра1же~rие для 1ко1м 1плек1с11ю,го ·сигнала.
1.2 .2 . , ]:_-Iайти огибающую, мшюв:ен,ную фазу ,и .мrшо•
ве,н,ную 1Ча 1стоту :и ,с-оста1в ить ~выражение для ком 1пле~юного •
-с иnнала, если про:цес'с z(t) ю1писы1вает,ся выражением
и
и
z(t)=Итcosro0
-
~ _!!! cos (ro0
-t- Q)t+~_!!!cos (ro0
-
Q) t.
2
2
L
1.2 .3 . Да,н силнал z(t) = ~ И1 cos (roo+Q1) t. Найтц:
1=1
1сопря,ж енн ый ,си;rшал z(t), а так,же оnибающую, м11но•
,венную фазу и ча-стоту .
1.2.4 .
. Найти
к·ва~ратные 1щм:поленты а1м:плитудно~
мадул и1рова1нноrо .ко.леба1ния
•
z(t) =Um(1+tncosQt)cos(ffi0t+<р0).
27


1.2 .5 . Да,н си,r1нал s(t) = И1 :cos ro 1t+ U2,cos•ro 2t . iН'айти
огибающую и фа'Зу 1сиnна1Ла- для слу~чаев roo=l(i) 1 и ro 0=
1
=-
(ro 1+ro2). По:каэать, 1что во вторам слу,чае огибаю-
2
щая сов:паща,ет с оги,бающей по Гилыбер~.
1 .2.б. Найти огибающую и м:гнавен,ную фазу :коле­
ба1ния ·овп п,ри мод.уля,ции га·р1м<01НИ'ЧеоКИIМ колеба~нием
sin Qt.
1.2.7 . ~Показать, что ,сигналы, ,сопря*е.нные ,по 1Г,иль­
бе,рту ,с ои,гналам.и z1 (t) = Иm 1cos -ro0t, z2 (,t) = Ит sin ro 0tX'
Х , (-1:._ ~t ~_ I_ ), ра1в1ны: z1 (t)=Иmsinwot, z2(t)=
2
2
= -Ит cos root лишь .при Т-+оо. Показать, что этот же
результат ,следу,ет из опе1ктра.п:ьных 1соотно:шений Sл(f) =
z
=-iSz(f) (1при f >,О) .
1.2 .8 . Найти огибающую и ,м,r1новешную фа:зу по
• Гилыбер-гу для цро!Цесса z(t), и,меющего с1Пе1ктралЬ'ную
плотность
Sz(f)={1приf1<f<f2,
О при f<f1, f>f2-
1.2 .9. !Пока1зать, что при сим,метр,ии iКВадратурных
КОМIПОIНе.нт : (,а2х= а2у= ,а2 ) ОДiНОIМерная ПЛО'I1НОСТЬ вероят­
lНО'СТИ оги,бающей увкополо1оного нор·,мальнQТО 1сл~у~чайно­
го лро:цеоса
W1(г) = _!_ехр(- ,2+ai )/о(арr); c:tp = Vт;+mz,
u2
2а2•
uz
•
, :;,;,, о
(обо:бщен,но-ре.леевокое ра,е,пределение).
_
•
1.2 .10. Показать, что при а2х=О'2у=О'2 и mx=my=O
од!НIQ\м·ерная шлотность в,ероя11ности олиiбающей уз1юпо­
лооногю нормального 1с•лу~чай1ного п,роцеоса
w1(г) = _!_ехр(-~), r :;,;,, О
а2
2а2
· (ра1определен:ие Рэлея).
•
1.2.11. Пока:зать, чrо при а2х=О и тх=ту=О одно­
,ме.рная .плотность ,верояТНl()IСТIИ от,и,бающей узкополооного
,нор1малЬ1ного случайно;го 11Jро,це.сса оnисывае11ся функ­
цией
2
•,2 )
W1 (г) = --..=..:::::..:::::-ехр (- 2
' ' :;,;,, О.
.
V2ли;
2их
(односторонне-нормальное распределен·ие).
28


1.2.12. Най11и одноме~рIную ·плотность вероя·тно:сти
ф аз ы уз1Ко1поло1он0tго IнО1р!мальното сJiу,чай1но:го лро;цес-са
11ри условиях:
1) а; = а~= а2 , тх, ту-:;/=О;
2) а;=а;=а2,тх=ту=О.
1.2 .13. Система фазовюй а1вто1по(ЩстроЙ1КИ ча1с·юты
(ФАJПЧ) аффект,~1вно ,следит за фазой ,вхощного ЩJ<:щес­
са , если она не превышает величины п/п • (п - целое
чи,сло) . К:а1к-ова вероя11ность -с,рыва слежения, если на
в хо:д системы Ф.АПЧ лостушает у.зкополооный нормаJiь­
ный ШУ,М, аn= 12.
1.2.14. Пока1зать, что при ар/•а~ : 1 оlбобщенное рас_.,
н ределение Рэлея можно приближенно представить в
••:~(r)~Vl • ехр(-
,2+а~)-.
/ , (1+~).
2na2
2а2 V CGp
Bapr
1.2.15. По.ка1зать, что при ар}а~0 в о:бла1сти малых
<р-1Сро -ра•с;пределение фазы у,зI1юпол,о,оно:го .нО1рмально:го
~с лу~чай.но['IО проrде.оса являет,ся НСJiр,мальнЬJJМ.
1.2 .16. ПО1ка1зать, чтю огибающая ·суIм1мы гар-мони­
~r ес ~юто 1Колеба,ния •С а-мплиту1дой Ит и у~зкополооно,:го
с тащиО1на,р1ного нор~мальноrо пр0tце'оса с дис1Пер,сией а2
11Iме ет обо~бщеш1но--р0лее1в,с-кое ра-опре~елIение. По1с11роить
11рафи1к;и w 1 (,r) ~ля Ит/.Сf = О, 1; 2; 3.
1.2.17. Найти ермIнее значение и ,д,и,оперсию наmря­
ж ен ия инч на выходе идеального ФНЧ, подключенного
к л инеЙlн0tму детектору ,с ха,ра1ктеристи,кой преобразо1Ва-
11·ия
•
{kИвх при Ивх>о,
Ивых =
о при Ивх<О,
~'с ли на вход детектора подается сумма гармонического
с нIrш ала IC а•М[IЛИТУ\l!iОЙ Ит И УВIКО[IОЛООНОГО СТаlЦИОНар-
11 го Iнор1малыного шума 1с д,испер'оией а2 •
• Решения ,и
отIв -еты
Р. 1.2. 1 . Пр,И1Веще~м зада,нный 0ИJI1нал z(t) Iк вщду
(1.1 9)
z(t)= mUm (cosro0tcosQt-sinro0tsinQt+cosro0tcosQt+
~2
'
+sinro0tsinQt)-:- тИтcosQtcosro0t.
29


В этом слу,чае 1шащра'Гурная .кО1м1пqнента
Х(t) =тИтcos(U"
а ква~ратур1ная KOIMITTOIHбHTa y(t) =,О.
В соо11не11ств1ии с ф-лой ('1 .21) имее'М для огибающей
r(t)= 1x(t) 1=mИт IcosQt1
и для м:nно:вен1ной на1чальной фа:зы
ер(t)= arctgО= О.
Мгновенная фа1за процеюса z(t)
'Ф(t)= (!)0t+ер(t) = (!)0t.
Млновенная ча,стота
d
(J)(t) = -
'Ф (t) = (J)o·
dt
Согла;с,но ф-ле (,1.22) для ком1пле1к,сной огибающей по­
лучи1м
r(t) =r(t)eiq,(tJ ~,(t) =mИт I cosQt/.
Подста1вляя это ·выражение ·в ( 1.23) ,' !Получаем для
КО'МЛЛЕЖ'ОНОТО С'И'fiНала
z(t) : =mИm I cosQt I COS(J) 0 t+imUm I cosQt I siП(J)0 f.
Р. 1.2.2 Осуще,сТ1вив л,ро1стые преобразова1ния, при­
,вещ,ем 1прюце1с1с .z(t) _ ,к -слещующему ,БИLдо/:
z(t) =Итcos(J)ot- ВИт cosQtcos(!)0t+ВИтsinQisinroof+
2
2
•
.
+ВUm cosQfCOS(J)0t+ВИтsinQ-tsiП(J)0t= ИтCOS~ot+
2
.
2
-
+~ИтsinQtsin(!)0t.
В соответов.ии с (1.19) имеем для квадратурных ком ~
ПOIHeiHT
x(i) = Ит; y(t) = ~UmsinQt.
По ф-ла1м (1.2 ·1) нахми1м оnи'6ающую
r (t) =·Vи~+~2 [./~sin2Qt = ИтVl+~2 sin2Qt
и мnновенную начальную фазу ер (t) = arctg ( В sin Qt~ _ .
• Мnновенная фаза
..
чr (t) .= (!)0 t +arctg (~.s-in Qt).. .
. .30


Мгновенная частота ··
-
ro (t) -==
.!!:_ЧГ(t)- roo+ BQcosgt .
-
dt
1+~2sin2Qt
В соответ,~гnв.ии ,с (:1"2.З) 1ко1м1плек1еный 1сиnнал
z(t) =ИтVI+~
2
sin2 Qtcos [w 0 t + arctg фsinQt)] +
+iИтV.~ + ~
2
sin
2
Qt sin [w0 t + arctg (~siп Qt)].
Р.1 .2.3. • 1O:гnноюителыно ча1сrготы w0 - си1nнал
L
L
z(t)==IИzcos(w0+Qz)t===cosw0t~UzcasQzt--
·
l=l
l=l
.L
-
sinw0tLUzsinQzt.
Z=l
К:вщдратурн:ьrе комшо1не1нты ,сигнала z(tJ. ощределя~
от1ся СООТНОШе!Н'ИЯ'М'И:
L
L
.х··(t)== ~UzcosQlt; у(t) ==I UzsinQzt.
l=l
Z=l
---
Для ог~баю.щей iПО ф-ле (1 ..21) полу1чи1м в·ыражение
r(t) •{ (~
1
Иzcos Qz t У+(t1Иz sin Qz tJ,=
-.f L
LL
•
= V}:uf+I:Iи1ипcos(Q1-Qk)t.
l=l
l=lk=l
k==/=l
М1nнове1нная нача~лыная фа!За
L
,..,
.
J И-zsinQzt
..J
\
ер(t) == arctg_z-
1
---
L
М 1ч о~вен ная :ча:с-тота
LиzcosQz t
l=1
31---


Со1Пряженный силнал ра'асrчитывается по ф-ле (1.23)
Л
/L
LL
z(t)·=
у I иf+~Lи1иkсоs(Q1-Qk)t Х
l=l
l=l k=l
8
L
х sin
~и~sinQz t
ffio t + arctg -1
=-
1---
L
Р.1.2.4 . Пред,ста·ним
1Кюлеiба1ние в в;1:ще
! и1cosQz t
1=1
а,мюлитущ~но-Iмо:Щул,ирова,нное
z(t) = Ит(1 + mcosQt)cos(ffi0t + ср0)= Ит(1+mcosQt)]Х
Хcos<р0cosuJ0t - Ит(1 + тcosQt)sinq,0siпffiot.
К!ва~рату,р!Ные комIпоненты
x(t) = Ит(l +mcosQ )cosq,0; y(t)=Иm(l +mcosQt)siшpci.
Р.1.2.5. Если положить :mo~l(t) 1, то s(,t)= И1 .cos ro 1t+:
+И2 1cos , (,uJ 1 + 1Q)t, г~де Q=w2-1m1.
В этом ,слу,ч ае
s(t) = (И1+И2cosQt)cos uJ1t - И2sinQtsiпro1t.
Огибающая
r(t)-:- V(И1+ И2cosQt)2 + (И2sinQt)2 =
= VИ~ -j-И~ + 2up2 cosQt.
М,гнавен1ная фава
(t)
tg И2sinQt
<р =arc
И1 +u2 cosQt
1
В ,слу~чае uJo= -
(1щ+ffi2)
2
s(t) =(И1+ И2)cosQtcosffi0t + (И1- И2)sinQtsinro0t,
,где Q=-1
-
(m2----3⁄4й1).
2
Ог-ибающая
r(t) =V Uf+И~+2U1U2 cos2Qt.
МгновеНiная · фава Ч'(,t) =l(J)ot+ar,ctg ( И~-И2 tgQt).
И1 +И2
32


Сиnнал, ,сошряжен,ный 1по -Гильберту, .
л
.
'
'
s(t) = И1sinro1t+И2sinro2t.
Огибающая ло ГилЬ'берту
, (t) = V82(t)+ ;2(t) = V Uf+И~+2И1И2,соs2Qt,
что СОВ'Падает с ·выра,жением для -9гk~бающей, лолу;чен-
1
•
ной в прмп оложении iwo = -
(•w1 + w2).
2
''
.Р. 1.2.6. ,:Колебание ОБЛ при модулящi~и гарiмони1че­
• к,им цроцеюсом sin 1Qt
SОБП(t) = итcos(ffio+Q)'{'~ итcosQtcosffiot-
-
ИтsinQtsinro0t.
Пос1юльк,у в дан1нО1м •случае x(,t)=Umcos ,Qt; y{t)=
= Ит sin .Qt, для · оF~и'бающей :и м1г.новен1Ной фазы полу-
r(t)=VИ;,cos2Qt+И;,sin2Qt = ит;
• t 'sinQt
ер(t)= arcg--=
Qt.:-
.
cosQt
Полу1че1шый ,р,езультат 1свиде'!'елЬ1сТ1вует о тqм, что при
м 1сщ ул яц,ии га,рмюничеоки1м 1к,олеба1ние:м п1ро~цес•с ОБП
та, кже я•вляется .гармони,ческим.
Р. 1.2.7. . ,Со,гласно (1 .25)
Л
Т/2
•.
(t)_ 1 . scos(()01:d -
Z1
-
---: -
-
,--
't.
:п:'•'t-
,;
-Т/2
В.ведя перем ,енную t-т,=х, шолу1ч·им
Л,
.,
t+T/2
..
.
t+T/2 _
(t) Ит
ts·
-
..COSCйoXd +Ит • •t sS!ПffioXd '
z1
=-
cos ro0
--
х - sшro0
-
-
-
х.
:п:
х.
:п:
х
t-T/2
t-T/2
При Т-+оо пе,рвый инте,грал от ,нечетной фу1н1кц,и и н,
i)l' Сконечных пр_JЩелах оtбращае'!'ся rв Н1уль, а второй ра ~
11 (~11 :п: [6]. ,Следователыно, 21 (t) = Ur(/, sin ro 0 t !При Т-+оо .
Лн алоги,чно мосЖ,но лока1зать, что · лр,и Т-:;+оо 22 (t) = -
Ит ,соs wot. Соотношеш,йе Sл(f) =-iSz(f) пр,и t>O [ом.
'
z
•
...
ф - лу (.1.27)] озна,чает .чtо любую ,опектраль,ную со-
1 · '1 '[IВ'ля ющую ,со1Пря*енного ,сигнала на положителыной
'
1 299
33


частоте можно получить из соответствующей компонен•­
ты самого сигнала путеJм фазО1воrо од!ви,га на -·лf2.
СvщдО1вательно, при Т-оо
~(t) = Иmcos(ffi0 t- ; ) = Иmsinffi0 t;
;2(t)=Итsin(ffi0t-
;)=
-
Итcos ffi0 t.
Р. 1 . 2.8 1Зщда1н1нО1му ,ап~е,ктру ооответ,ст,вует со.гла1сно
( 1,28) 1ком1плек,сный юи~nнал
F,
z(/)=2Jeiffitdf= sin~2 t-sinw1 t -i cosw2 t-cosw1 t
nt
nt
F,
Согл аrоно ( 1.,23)
л
z(t)=Rez(t)=
sinu\it- sinw1t
nt
; z(t)= Jmz(t)=
-
_
cos (1)2 i - cos (•J1_! _
nt
Воопользова,вшись ( 1.,26), получи1м :.для о,г11бающей
.мгновенной фазы :
lftt)= -
1-V(siПffi2 f - SiП ffi1 f)2+(COSffi2 f- COS ffi1 f)2 =
nIt1
1V4•2Wz-W1t-2
=--
S!П --=--се-~ ·- -
n\tl
2.
n
Лw
siп- t
2
() tg-(cosw2t- cosw1t)
W2+wit
(j)t =arc
..
•
=
.
,
sinw2t- sinw1t
2
и
.Р.1 . 2. 9. ~При симметричшых ква.д,рату~рных компо­
нентах, уюредняя ( 1.30) по ер, ~находим
2n
Wi(r)=
_,_ С ехр[-(rcosер-тх)2 _ (rsinер-ту)2]d
2na2 J
2а2
2а2
ер'
о
r>-О.
Осуще1стви.в простые пре()lбраз()lва1НИЯ, Jiолуч,им
V-2 -2
r•+m~ +т~ 2n r
тх +ту
--2-a-,~-s е
а•
cos ((j)-(j)g) х
о
x dcp, r>-0,
34


Ввещвм 1перемен:ную и=ср-1ср0 и Ю1б0rзначи~м V m2
~+l
--
+ 1m 2y== iap. В это\М ,случае можно записать [15]
2n га
2te-<Po га
1s
-F cos (<р-<ро) d
_
1
s
afr,JSиd_/(СХрr)
-
еа
ер---
е
U-о
--
~
2л
2л
а2,
О
-Ч>о
Зiдесь / 0 (z) - м:0:диф.ициро1ва:нная фу1нкция Беюселя
перволо рода 1нулено1Го .поряJ1,rка.
Та1ким о~бравом,
W1(r)=;
2
ехр(- '
2
:2а~ )Io(a;/), r~ О.
Р,элея
Р.1.2.10. Расю1рещеление
,2
Х (- --) является частным случаем обобщенного рас_~
2а2
пределения Рэлея при тх = ту = ар = О, так как
f o(O) =='1.
_
Р.1.2.11. Условие тх = а 2х = О означает, что процесс
Z (t) мож1но юр,е1дста1вить в ~виде Z(t)=Y(1t)sinw0 t.
;Но толда е,го а.ли, бающая сог.лаrс1но ( 1.21) R(t) ==
=IY(1t)I.
,П.ос.коль,ку ту= 1О, ,плот·ность ~не~роятности к,вадрат.у р_­
н о й ко,мmоненты Y(1t) ,имеет 1ВИJд
w1 (У) -==
1
ехр(- У
2
), -- оо<у<оо"
V2лаt
2а~
Эта фу1н~ция от.ню~сителыно у четjная, поэтому конк,ре11н о-- ·
м,у зна1чению мощу.ля r=lyf ~O м6:rут соот.ветстшоват ь
1н ачвния y=r1 .и y==-r 1, имею·щ.ие оlдина.ко:вые плот1но -
1с ти 1вероя1шоrсти. iC у1чето1м с1каза1нн0~го юо1лу,чаем -и окомое
1р а с,прещел~ение для о:nибающей.
Р.1.2.12. \Д:ву,м-ерная пло1шость вероятности огибаю~
щей и фаrзы у,з1кополооноло ~:нормаль:ного с.луча йного·
пр оцесса при . а2х == а2у = а2 и тх, ту=/=-0 определяется-
' о о"ш-rоше.нием _(11.30), 1О'ГКу1да
00
W1 (ер) = 2~0-2 Jr 'exp [- (r cos ер- mx):;(r sin ер- ту)2] dr ~
о


Пос~ле простых преобрав.ова,ний mолу~чае~м
(
/ а,2)
•(т)-ехр
-
2cr:
500
[ ,2-2~рrcos(ер-ерр)]d
w1 't'
-
--- ---
r ехр - -------- r.
_
2па2
2а2
о
Зде~сь ар= V m 2x+,m2y •И cpp==ar,ctg ту
тх
Дополняя пока:затель эк1с.поненты :в падынтеа:,ра!л:ыной
фуJНКЦИИ до ПОЛНО/ГО .квадрата И 'В!ВО\дЯ фу1нкцию Лап­
ласа
находИlм
хе
. При
тх=ту=О с.леду~еr ,равноме~рное 1рас1цреще.ление щля
фазы в интервале (О, i2л) : w 1 (ер) = 1 1}2л.
Р.1.2.13. Каiк ·следует из P.l .
1
2Ji2, фава 1ста1дионарно­
го нормального случайного процесса (ар== О) имеет рав-
1намер~ное ,раС1пре~делен~ие w 1 (ер)== 1 /,2л. Вероятность сrры­
ва сле~жения 1В СИС'Т•е1ме ФА1ПЧ
n/n
р==1- -==1--.
5d ер
1
2n-
2n
о
- Пр1и
п= ,2 р==0,7б .
.Р.1.2.14. В-01аполызо,ваншИ1сь асим1птOТ~ичес~к,им разло­
• :ж:ением ф~унюц.ии Не~с1селя [27]
ez
(l 1•
)
/о(z)~-==-
+8z+...•'
У2лz
..
.
~
ш~юохощ,шмо ограничиться первыми двумя слагаемыми
ето:rо разложения.
,Р.1.2.15. 1П1р-и ср-~ср0 ~л/60 можшо считать 1cos (ер­
-. 1сро) ~ 1, sin (ср-;ср0 ) ~ 1ср-ср 0 . Ее.ли, к,ро1ме :того, ар/,а>З,
то ехр (-.a 2p/·2cr 2 ) ~о , а ф,у,н1кция Ла.пла~са F[ ар 1cosX
а
36


Х (,ср-кр 0 )] ~ il . В этих условиях из Р.1.,2.12 следует ре­
еультат.
ар
(
а~ (!JJ ~ !рр)2 )
w1 (ср) =
-v- ехр
-
~--
,
•cr 2л
2а2
т. е. закон раапрещеления фазы является нор1мальньлм ,с
,мате1ма11шч1е,с1ким ,ож1ида1Нием (j)p ,и дИ!сше,рсией (af,ap) 2.
Р.1.2.16. Су~м,му гар1мони,qеакО1го ,ко.ле1ба1ния Иm 1cosX
Х (1w0 t+1cp 0 ) и у~з1кополосно:го шу1ма U(t) =X(1t)1cos w0 t+
+Y(t) sin ·w0t ,мож,но 1прещ1ста1В,ить слещующшм образом:
Z(t)= [Х(t)+Итcosср0]cos(J)0t+[У(t)- Итsinср0]sinw0t.
Т ак как оу~мма 1но1р~мального ШУ'Ма и детер1м,и1ниро•ванно­
го коле1ба1ния та,кже являе11ся нормальным iПроцес,сом,
р а-сшределею~е оiги;бающей можно ,о,п.р;ещм,ить по фор1му­
ле, полу~ченной ,в Р.: 1.'2.9, пола,гая ·
тх = Ит_соsср0, ту= Umsincp0 , ар= Um.
В этом слу~ча1е
•
~ ( r2 +И~) iИт')
Ш1(r) = -ехр ---- fo -
,
cr2
2а2
а2
т . е. о~nи,бающая ра,сшределена по обобщенному закону
Р1эле я. Гtрафи~ки w 1 (r) при1вещены на 1рис 1.2.
Р.1.2.17. Выхощ;ное на1пряtЖение инч с~вяза.но с оги­
баю щей вхо~ного сигнала r соо1шаше1Ние1м инч =kr, где
k - ,ре1з,у,льтирующий коефф:И'Ц'Иент передачи (;детектора
и фильтра) . Соотношение .цля w 1 (r) было найдено в
Р.1. 2., 16. IПоаколь:ку инч и r -свява1ны О'ДIНО'Значно, то
ра1ешрещеление д'ЛЯ Инч :;;=:, 10
(инч )
W1 -k- ~ инч ехр[-(kИт)2+Иifч ]Х
dинч
k2 cr2
2а2 k2
dr
1 (Итинч) .
Хоka2
Матем атиче,с~кое ожшдан1ие выхсщно:го на1пря ж ения
00
М[Инч]=.Инч= .\ ИнчW1( Инч)dинч).
о
И11 те гри~ро1вание ,с -иополь•з,сJ1ва1нием табличrных ,интегра-
37


лав [б] дает . результат
М[ИнчJ= kа -.
/ n[(1+и~)1о(и~)+
V2
2а2 4а2
u2
+и~~ 1(и~)]е- 40:'
•
2а2 1• 4а2
'
где Ii(x) -1модиф,иiциро,ван:ная фу1н1юция Бе~с,селя ле~рво ­
го рода :пер1воло U1ОрЯ1,!!Jка.
Диапеjр1сия ~вых,оlЩно,го напrря,жения
00
00
= 5Иifч W1 ( Инч) dинч - (инч )2-
0
Инте~r~р~и:р1уя [6], по,лу,чаем
о2 = 2k202+k2u2 - (и )2.
иНЧ
т
НЧ
1.3 . Основы теории дискретизации функций:
непрерывного аргумента. Теорема Котельникова
В технике связи очень часто .возникает необходимость пред­
ставления детерминированных и случайных функций непрерывного
аргумента ~ (например, времени или частоты) совокупностью их зна­
чений в дискретных точках 1(сечениях). Такое представление назы -
вают дискретизацией функций по аргументу.
•
Очень часто дискретизацию осуществляют на основе теоремы
В. А. Котельникова, согласно которой функция s(t), спектральная
плотность которой отлична от нуля только в полосе частот (-F, F) ,
полностью определя·етс я своими значениями, отсчитанными в дис­
кретных точках через интервал
Лt=1/2F.
(1.31)
Значения функции s(t) в любой точке t выражаются формулой
"'
\1
. sin2nF(t- kЛt)
s(t)= /.J 5(kЛt) 2nF(t- kЛt) '
k=-oo
(1 .32)
где s(kЛt) - отсчеты непрерывной функции s(t) в дискретные мо­
менты времени t=kЛt.
Строго говоря, функция с ограниченным спектром не ограни­
чена во времени 1 (нефинитна) и, наоборот, финитная функция вре­
мени имеет неограниченный спектр. Практический способ ограни­
чения функции по спектру сводится к пропусканию сигнала через
фильтр нижних частот · (или полосовой фильтр). Средний квадрат
38


относительной погрешности такого усечения спектра
.,
5s~ (t) df
F
00
sS2 (f) df
о
в случае детерминированной функции s(t) и
для случайного процесса.
<Х>
5G(f) df
F
бу= оо
5G(f) df
о
(l .33)
(1 .34)
Полагая, что одновременно ограничен спектр сигнала поло­
с о й F и его длительность интервалом Т, можно воспользоваться
усе ч енным рядом Котельникова для приближенного представления
с и гнала.
в
s~(t) = ~_ s(kЛt)
k=1
sin2:rtF(t- k.Лt)
2:rtF(t-kЛt)
В выражении (1.35) В = Т/М+1 = 2FТ+l-число
uлиженно описывающих финитный сигнал s(t) . При
110 считать, что
Ч исло B,=2FT называют базой сигнала.
(1 .35)
отсчетов, при-
2FТ~ 1 МОЖ·
(1 .36)
Ряды 1(1.32) и ( 1.35) могут быть использованы и для представ­
л е ния случайных процессов. В этом случае коэффициенты указан­
ных рядов являются случайными величинами. •
Если допустить, что воспроизведение процесса X(t) на приеме
осуществляется формированием ступенчатой функции Y(t) ,(рис. 1.3)
с шагом Лт
..
Y(t)=X{ti-Лt), L;<t< ti+I•
(l .37)
то , полагая, что речь идет о стациqнарном случайном процессе,
и н те рвал ощJеделения которого значительно превосходит шаг 'БОС·
про из в едения Лт, можно найти средний квадрат ошибки воспроиз­
веде ния:
(1 .38)
Осуществляя простые вычисления, получаем относительную по-
1· р е ш н ость воспроизведения
-
~
бв=Вх(О) =2[l- Rx(Лт)],
(J .39)
~-9


где ,R" (дт) - значение коэффициента к_орреляции •процесса при ар;
гументе дт.
.
•
'
,
Из ( 1.39) .можно получить выражение для допустимой величи­
ны шага воспроизведения дт, исходя из заданной погрешности
в_оспроизведения бn:
(1 .40)
где tRx- 1
-
функция, обр 'атная коэффициенту корреляции процесса
X.(t).
Рис. 1.2. Обьбщенно - рэлеевское распределение огибаю­
щей узкополосн?го нормального случайного процесса
1За д а1ч_.и
1.3 .1 . Оn,ре1делить 01щосительшую по,грешно,сть бу
,пр,и прмс'Га1вл,ении сип1ала ' s(,t) =аехр (-p2f2) (1ко-1ю­
'Колыный ИIМIП,УЛЬС) PяtZJ;OIM ' КотеJiь.никова, полагая, что
~-илнал они,мает-ся с выхода }!lд;еалыно,го фи·льтра · ,н,иж,н.их
1шстот ,с ·полосой · F. Най'!'И и1нтер1вал ди1скретшзации - Л(,
пола1гая, чт-о p=i20 ,с- 1 и бу= 1 10%.
1.3 .2. Найти . O'1\н◊1ситель·нуrо поnрешню,сть пред1ста1в­
ления слу~чайшого ,синхронно го дво,иЧJно,ло си,гнала ря~дом
J<,от-ельникова пр.и 1ri·роиз1вольной • гра,ниrчной ча,стоте. Оп­
рещелить велиrчИiну бу, •если 11ра1нич~ная ча'G'ГОТа вьvбtра,на
раВIНОЙ Fэ ц 2Fr)(Fэ.......:.: ШИ1р._ина энер,rеТIИЧес.коrо 1С1пек11ра,
найдеН1ная· по методу эк,вивалеiнтнО1rо аiрямоугольника
(ом. вада1чу l .1 1.:1) .
1.3 .3 ' Наiiти баву . CИinнavia, 1пре1дста1вляю,iцего со~бой
ком~бинаiЦию из 1,5 элем•бнтар,ных 1прямоу;голь.ных Д1воич-
ных имrпулысо:в 1дл.иrель-ностью ти= 120 м ,с .
•-
1.3 .4 . ~Случайный процеос с корреляцию,н;ной функ­
, цией В(т) = !3(0) ехр (-a/-:r/) дискретизирован с шагом
Лt. Най'Ги по1гр е1шность · пред1ста1в.iiения та1Кого прО1цеоса
-40


x(t},y(t)
t
Рис. 1.3 . К пояснению восстановления непре­
рывного процесса X(t) путем формирования
ступенчатой функции
рядом КотельниIко1ва в за1висИ1мости от паIра1метiров а
И 1Лt.
1.3.5. J<оэффициеrнт корреляции ста:циоrнарного ,слу­
ч ай1ного ,црацеоса, лощ:лежащего \дiИскре11иэаIци,и,
Rx(,:) =ехр(-0 ,1 I т 1).
IIа йти ша,г воапроиз,ведешия Лт, при котором от.носи­
тсJ11 н ая погрешность ВО!С'Про,из,вещения . бв ра1вна 1%.
Оравнить полуrченную Iвели1Ч,иIну rЛт rc иIн11еР'валом
д ис 1<1ретизации по Котелыникову Лt (,ом. заща~чу 1.3.4),
0Iбесш е,ч.ивающим та,кую же погрешн6~ть бу.
1 . 3.б. Для случайного про1Цес,са, имеющего ко:эфф,и,
цн н т ко рр еляц,ии Rx(,:) =ехIр (-~ 2т2 ), найти ша1r ~рав-
11юм р,ной щиокр е11и~з аIции Лт, ,при котором обеопеч-иrвает­
с я з ащ аrн.ная от.1-юси11ель,ная погре,шность ,восл1роизIв~е"
ния бв.
Решения и ответы
Р . 1.3.1. Найдем она,чала с,пе1ктральшую пло11ность
!;<: О Л О'КОЛЬНО ГО Иtм1Пуль,са
(2:rtf).
S (f) = 5 s(t)e-iwtdt= · J ae-f3't'e-iwtdt=a-Vn е-$2
-со
-оо ',,
~
П оюколыку полоса · Iпрапуюкания фильтра ,и,меет величи­
ну F, 01пре,доои1м по ф-ле (1:33) отнооитеrлыную погреш-
1юсть пре1д,ставления колакольного имmулыса рядом
4С


Котелын .ико1ва
У,мн-о:жая числитель и зна1ме1натель этого выражения н а
1/ V2:п:~ и ,принимая ,во 1в1ни1ма;н•ие, что
00
1
5 -·""• [ "11" (2:rtt)2ldt
1
-
--
ехр~ ---
=-
у2~
~
4:rt'
1
.нахощи,м
бу=2:п:[1- Ф(2_; F)],
где Ф (z) - фушюция К•ра1мюа .
Если бу = 10%, то из уравнения 0;: = 1-Фс;F)
определяем по таблицам аргумент функции Крам­
па 2:п:F/~ =2,4. При
~=120 F=:24/:п: Г,ц. Интервал i!LИскре ­
тиза1ции в соо11ветстви1и . с (1 :31) Лt= ,л/48=6,56• 10-2 с.
Р.1. 3.2. С учетам Р.1 . 1.1 по ф-ле (l .133) ~находим
00
S sin2 (:rt Tf)
(:rt Tt) 2 df
F
• _2 [ sin2 (:rtFT) +
бу=------
°"
:rt
:rt FT
5sin2 (:rt Tf)
(:rt тп2 df
о
+;- Si(2nFT)],
х
где Si (х) = Jsiny dy - инте,гралыный синус (27] . Пр и
.
у
о
F = Fэ, учит1:,шая, что FэТ = 0,5 (см. Р.1.1.1), получаем
б = 2/:rt +:rt/2-Si(:rt) = О 23.
у
'Л/ 2
'
'
л/2 - Si (2:rt)
g
Бели F=,2Fэ, то бу =----~
-
=0,06.
n/2
42


Р.1.3.3 . д,лите,ль·но~сть ,сигнала T = nrcи = 115-rи=000 ,мс .
Полоса частот сИ1rнала будет ацрещелять·ся поло1сой од­
ноnо эле~м-ешта . Ограничивая 1поло,су ширИ1ной ощного ле­
nест.ка ап~ктралыной фу:нюции, полу~чаем F = 1l/-rи=50 Гц.
По ф-ле (1.36} В = 2, FT=30.
,Р.1.3.4 . Энер1rе11и~ческий спе1ктр .этого слу,чайно:rо
прсщеоса
G (f} == 2В (О) __c:t__
c:t2 + (2nf)2
При 011раН1И1Ч•еJНИИ ПОU'ЮСЫ таКОIГО спект,ра
апределим погрешность усечения согла 1е~но
•
2
2:rtF
бу=1- -
arctg -
.
:rt
c:t
,ча,стотой
(1.'34)
Под,ста1в·ив сюда согласно (1.31} F = 1 l/12Лt, найдем
2
:rt
бу= 1--arctg-
.
.
n
Лt c:t
F
Р.1.3.5. 1В ,соот,вет,с11вии с (1.4 ,0) при зщданнам коэф­
фИiциенте 1коррел5щии
Лт=101п 1
1 - О,5бв
Бели 68 = 10,01, ·го Лт =,0,05 с.
При дисrкре11иза1ции по :Котельни11юву, иополызуя
Р .1.,3.4, полу,чаем
Лt= ____
n____
О ltg(~-бy_::_\
'
2
2/
Дл я :зщда,нной вел1I-Dчи,ны бу = О,01 Лt=О,523 с .
Р . 1.3.6. В ,соответсm,ии с ('1. 139) мож1но на1пи,сать
у,ра,В:не~ние
О11куща
1.4. Пространства сообщений и сиrиалов
Во многих вопросах, связанных с приемом и преобразованием
еиг налов, весьма полезными оказываются геометрические представ­
ле ния различных функ ций : (в дальнейшем будут рассматриваться
1' олько функции времени) в виде векторов некоторого пространства .
43


Любую сово·купность п вещественных чисел {х1 , .. ., Xn} • мож­
но рассматривать как координаты точки в некотором п - мерном -
-+
пространстве или координаты вектора х = {х 1, Х2, .. . , Xn} в этом
пространстве .
-+
......
Сумма двух векторов х= {х1, . Xz ; .. . ,
Xn}и{У1,yi,, ..., Yn}:
-+
дает вектор z = {z1, z2, . . ., Zn}, координаты к01:оро.го равны сумме
одноименных координат векторов-слагаемых :
Zj=X;+Yi(i=1,2, • . ., n).
(1.41)
Если элементы х ;, у;, z; принадлежат одному и тому ж е пр о­
странству, то это пространст.во относится к классу линейных .
iдлина вектора в п - мерном пространстве : (норм а вектора) оп-·
ределяется соотношением
•
!1?11 =- УfXJ.
i=l
(! .42)
-+
......
Расстояние межд у векторами х и_ у определяется как норма их
разности
.. ... .... .... ... .... ....
·,/i, ·
d(x, у) = [[х-у[[= V _LJ (х; - У;)2 •
'
.
<=! .
(! .4Зi
.... ...
... ...
Скалярное произведение векторов х и . у есть число
п·
(ху)= LX;Yt•
(! .44)
i=l
Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то такие
векторы называются ортогональными, а п-мерное пространств-о, в
котором справедливы соотношения {1.41 )-( 1.44), назыв а ется
эвклидовым пространством и обозначается R2•
Изложенные геометрические понятия используются в технике
связи для наглядного представления сигналов и помех, которые
характеризуются дискретной совокупностью координат . Такими ко~
ординатами, в частности, могут быть котельниковские отсчеты или
коэффициенты ряда Фурье.
•
Если функции (сигналы и помехи) задаются на непрерывном
интервале (О, Т), то для их геометрического представления часто
используют пространство; • которое называется гильбертовым и обо-
значается Lz.
_
В п ространстве L 2 операции сложения и умножения задаются ·
обычным образом, а скаляр но~ произведение определяется ' соотно-
шением
т
_.(x(t) у (t)) = -
1·s
· х(t);(t)dt.
Т-
о·•..
.
(1 .45)
44


Норма вектора в пространстве L2 задается следующим образом:
г
т
11 x(t) 1[ = у +Jx2(t)dt,
(1.46)
а расстояние между векторами
......
... ...
1
{
т
.
d(х, у)=11х(t)-y(t)11 =
Т J[х (t)-y (t)]2dt. (1.47)-
Любую функцию дискретного или непрерывного аргумента
м ожно пр ед ста вить совокупностью функций известного вида, •что
эк nнn а л с 11 ·п10 пр ед с т а влению вектора его компонентами по отдель­
ным координатным осям.
Ч а ще в сего совокупность функций {fя(t)}, по которым пред­
ста ош1 ется данная функциях (t), является ортогональной, т. е.
т
+5fk(t)f1(t)dt=О, k+l.
о
(1,48)
Ортогональная система функций {fя(t)} называется полной в гиль ­
бе ртовом или эвклидовом пространстве, если всякая входящая в
н ее функция fя(t) • неортогональна со всеми функциями f(t), не
с одержащимися в данной- системе .
В гильбертовом или эвклидовом пространстве всякая функция
может быть единственным образом представлена на интервале
(О, Т) в виде ряда по функциям полной ортонормированной систе­
мы, которая в этом случае называется базисом разложения:
п
х(t)= LЩ~(j)k. (t).
k=I
(1 .49)
Функции (/)k(t) при таком представлении представляют собой
т
единичные орты, а коэффициенты ая = -
1- r x(t)cpk(t)dt - проекции
тJо
ф ункции x(t) на соответствующие координатные оси. Биортоrо­
нальной системой сигналов ! (функций) {s1t(t)} является ансамбль
с игналов, все элементы которого делятся на две группы: {s;(t)} и
{-s;(t)}, т. е. каждому сигналу в первой группе соответствует
противоположный сигнал во второй труппе.
Если в с»стеме {s;(t)} число сигналов B = 2FT, то в биортоrо­
н а льной системе число с·игналов ni = 2B.
45


~Системой сигналов , ортогональной в усиленном · смысле, 1tазы­
азае1r.ся .ансамбль {sh(t)}, удовлетворяющий следующим условиям:
1ST
Т sk(t)s1(t)dt=Оприk=1=l;
о
1ST
л
Т Sk(t)s1(t)dt=Оприлюбыхkиl,
о
1
] (1.50)
Здесь s(t) - сопряженный сигнал. При заданной базе B = 2FT чис­
ло сигналов в системе, орготональной в усиленном смысле, n=B/2 .
! Геометрическими представлениями можно пользоваться и в том
,с лучае, когда сигналы дискретны по у ровням . Такие сигналы можно
-+
.uписать п - мерным вектором х = {х,, Х2, .. . ,
Xn}, особенностью кото-
Рис . 1.4. Представление трех­
разрядных двоичны х сигна­
лов в трехмерном простран-
стве
р ога является то, что все его координаты мог ут принимать лишь
.дискретные значения, которые обозначают О, ! , 2, .. ., т - 1 '(m - чис- •
~о дискретных состояний элемента сигнала). На рис . 1.4 в трех­
:м ерно м простр а нств е пока за ны восемь векторов, соответствующи х
,трехразрядным двоичным комбинациям О О О, О О 1, ..., 1 1 О, 1 1 1.
Операция сложения элементов дискретного пространства вво­
;дится таким обра з ом, чтобы в итоге получились элементы, допусти­
'М Ые в данном пространстве. Для этого вводится операция сложе -
111 ия по модулю т >(modm). Например, при m=2 правила сумми­
jрования таковы:
mod2(!±!)=О; mod2(!±О)=1;
.mod2(О±1)=1; mod2(О±О)=О. }
(1.51)
!расстояние между двоичными сигналами в п-мерных простран-
11:твах определя ется чаще всего по Хэммингу
п
d~. у)= ~mod2(xi±Yi),
i=l
(! .52)
т. е . его можно 'найти как результат сложения сумм по модулю 2
i'Jдноименных разряд ов .
46


fе\ометрические представления справедливьJ и для случайныж
процесеов с той разницей, что их координаты в соот,ветствующи~.
пространствах следует считать случайными числами, а сходимость,
сумм и ~нтегралов понимается в среднем.
Задачи
1.4 .1 . Финитный сигнал длительности Т со спект­
ром, ограниченным полосой F, представляется . усечен1-
ным рядом Фурье
L
s(t) = ~(-V2akcosk
2
; t +-V2-bksink
2
; t),
k=l
ПJ ич м L = FT. 1-Iайти норму вектора, представляюще­
,1 п л (it) в 2L-мерном пространстве Эвклида. Дать
фн ' нч 1 толкование нормы этого ве·ктора.
1.4 .2 . Два ортогональных сигнала - s 1 (1t) и s2 (t),.
им ющих одинаковые полось1 частот F и длительности
Т, дискретизированы по Котельникову. Написать выра­
)Кение для координат суммарного сигнала в пространст­
ве Эвклида. Найти норму суммарного_ сигнала и выра­
зить ее через нормы исходных сигналов в общем слу-
1ае и ·в случае равных норм исходных сигналов. Опре­
делить расстояние между сигналами.
1.4.3. Два сигнала, заданных на интервале Т, опи­
сываются выражениями:
-v
-
2л
у-·2л
•
у-
2л
s1(t)== 2а1cos- t+ 2Ь1sin- t+ 2а3cos3-t;:
т
т
.
т
s2 (t) == -V2а1cos
2
лt+-V2Ь2sin2
2
лt+-V2Ь3sin3
2
л t...
т
т
т
Определить координаты этих · сигналов в _пятимерном­
пространстве Э~клида и показать, что их скалярно~
произведение равно а2 1 . Найти расстояние между сигна-­
лами s1(it) и s2(.t) .
1.4 .4 . В некоторой системе связи для передачи ин--
.
·
2n
формации используются сигналы s1(t)=acos(kтt+
2n
л
+1ср 1 ) и s2 (t)=acos(l-
· 1t+1cp 1+ -) (k=l=l-целые чис-
т
2
ла), имеющие длительность Т. Показать, что данная1
система сиг~алов является ортогональной в усиленном
см~1сле. На_йти расстояние между сигналами s1(t) Ц{
s 2 (1t) в пространстве Гильберта.
17


1•
1.4 .5. Сигнал s(,t), имеющий длительность Т, • 1задан
, рядом Фурье
.
2л
2л
2л'
s(t)==а1cos- t+а2сos2- t+а3cos3- t+·
т
т
т
ь.2л
Ь•.
22л
Ь·.32л
+1SlП-f+2SlП - t
-t- 3SlП - t.
т
т
т
-
_Найти координаты этого сигнала и показать, что нор•·
ма сиrнала s(,t), вычисленная по этим координатам,
равна норме в пространстве Гильберта.
1.4.б. Показать, что -в системы связи с широкопо­
лосными сигналами, имеющими длительность Т=20 мс
и занимающими полосу частот F===-10 кГц, можно соз­
дат~:
а) ортогональную систему, содержащую 400 реали-
заций;
•
б) биортогональную систему- 800 реализаций; .
.
в) ортогональную в усиленном смысле систему -
200 реализаций.
1.4 .7. Показать, что скалярное произведение двух
сигналов-. s1(,t) =a1cosш 1!t и s2(t) ===-a2cosю2 t, заданных
на интервале Т,
- +-+
1
.
(s1s2) ~ --а1а2 s1n Лffi Т
2ЛwТ ·
при условии 1ю 1+1ю2 ~ ю 1-1ю2 =1Л1еu . .
Найти нормы сигналов s 1 (t) и s2 (t).
1.4 .8 . Показать, что расстояние между тр,емя произ­
вольными сигналам и -s 1 (t), s2 (t) и s 3 (t), имеющими
длительность Т, удовлетворяют условию
•
~~
➔➔
--+
--+
d(s1, s3) ~ d(s2, s3) +d(s1, s2).
1.4.9 . Показать, •что ансамбль сигналов на входе
~риемника {s'k(t)}, заданных в интервале (О, Т) в виде
л
s~(t)=1'cosерsk(t)+1'sinерsk(t)., k ==.1,2, • • •, т,
.где у, ер - соответственно производьный коэффициент
передачи и фазовый сдвиг в канале, является ортого­
нальным при условии, чrо ансамбль сигналов на пере­
даче {sk(t)} является ортогональным в усиленном смы­
сле.
1.4.10 . По каналу связи передаются четыре двух­
разрядные д:еоичные комбинации, причем символу" «О»
соответствует первичный _ сигнал h, а · символу « 1» - си-
48


\
\
гнал -h . Положим, что, когда поэлементный приемник
не может с большой надежностью (из - за помех в кана­
ле) принять решение в пользу элементарного символа
«1» или «О», он регистрирует знак «?» (стирание), кото­
рый фиксируется нулевым уровнем. Изобразить ПР(?СТ­
ранство первичных сигналов на передаче и приеме.
1.4 .11 . Даны три восьмиразрядные двоичные комби ­
нации:
-+-
~
-+
.
Ь1=О1О11ОО1;Ь2=ОIООО11О;Ь3=1О11ОО1О.
Показать, что расстояния по Хэммингу между заданны­
ми комбинациями удовлетворяют условию
Решения и ответы
Р . 1.4.1. Норму вектора s в п-мерном пространстве
Эвклида найдем по ф-ле ( 1.42). В данном случае коэф ­
фициент ы ряда Фурье, представляющего сигнал s(t),
е сть не что иное, как координаты сигн.ала s(t) в прост­
ранстве, координатный . базис которого образован 2L
V-
2:rt
v-
2:rt
функ циями вида 2cosk -- t и 2sink -t. Поэтому
т
т
11s11 =Vt(ai+ь~);11s112= ± (ak+bk),
k=I
k=I
где а211. и Ь 211. - квадраты эффективных значений k-x
члено в разложения сигнала s(t). Это есть средняя мощ­
ность соответствующих слагаемых ряда . Сумма средних
мощностей всех членов ряда дает полную среднюю
мощность сигнала s(,t). Таким образом, квадрат нормы
вект ора имеет смысл средней мощности, а норма -
смы сл эффективного значения сигнала .
Р.1.4.2. Представим сигналы s 1 (t) и s2 (t) в виде
2FT
8 (t)= '1s(kЛt) sin2:rtF(t- kЛt)
1
'1J 1
2:rtF(t- kЛt)
k=I
2FT
S2(t)='1S2(kЛt)~in2:rtF(t- kЛt)
..
'1.J
2:rtF(t- kЛt)
k=I
В координат ном базисе · {gk(t)} = { sin 2nF(t-kЛt)}
2:rtF(t-kЛt)
49


/
1<оординатilми сигналов будут отсчеты s (kЛt). В 'соот­
ветствии с ф-лой (1.41) находим SJ; (t)=s 1 (kЛt)+,
+s2(kiЛt).
Норма суммарного сигнала по ф-ле ( 1.42)
-+
-.
f 2FT
2FT
2FT
11s11 = V1": sI(kЛt)+Ls~(kЛt)+2! s1(kЛt)s2(kЛt).
k=I
k=I
k=I
2FТ
Величина ~ s, (k.Лt) s2 (kiЛt) есть скалярное произведе­
k=l
ние сигналов s1 (t) и s2 (t). Оно равно нулю, так как по
условию задачи сигналы ортогональны. Поэтому
11S:11 =V 11S:112+11S:-112-
Если нормы сигналон s,(t) и s2(t) одинаковы, то
11S:11=v2117i 11=v211 ~11 .
Расстояние между сигналами по ( 1.43)
Р.1.4.3. Выбирая в качестве координатного базиса
совокупностр функций;
(/)1 (t) = v2cos 2n t; (j)z (t) = J/2sin 2n t;
т
т
V-.
2n
у-
2n
(р3(t}= 2SШ2Тt; (j)4(t) =
.
2COS3Тt;
ср6(t) =V2sin3 2; t,
находим по ( 1.49)
811=а1;812=Ь1;813= О;S14=аз;S15=О;
821=а1;822=О;82з=Ь~;824=О;825=Ьз;
~-
5
-+
- -'>-
(S1S2)= I.Б'н82i= af; d(s1, S2)=Vbi+-ь~+а~+ь~.
i=l
50


\
\
Р.1.4.4. Проверим первое условие (1 .50)
т
+5а2cos(k2; t+ср1)cos(l 2; t -t<р1+;)dt=
о
1
sin (2ср1+~) +
1
siп[(k - l) 2л Т-
2л
•
2
2л
Т
~+п-
~-п-
т
т
-
; ]- ---2л-sin ; } = О, k=/=l.
(k- l)Т
Следовательно, сигналы s 1(t) и s2 (t) согласно (1.48)
являются ортогональными.
Теперь проверим второе условие ( 1.50):
_!_Sтs1(t)~1(t)dt= -
1 Sт а2cos(k2л t +ср1)sin(k~t +
т
т
т
-
т
о
о
+ср1)dt = О.
Аналогично
+sS1(t);2(t)dt= 0.•
о
Следовательно, сигналы s 1(t) и s 2 (t) являются ортого­
нальны ми в усиленном смысле.
Расстояние между сигналами s1(f) и s2(t) найдем
по ф-ле (1.4 7) :
rт
dt1,~ =у+J(аcos(k2; t+ср1)-ах
(2л
л \12
хcos lтt+ср1+2}dt=а.
Р.1.4.5. X1=a1/V2; X2=a2/V2; Хз = аз/V2; Х4 =
=Ь1/V2; Хs=Ь2/ V2; Х6= b3/V2; ll;jj = V+<ai +а~+
+ал+bI+-ь~+ь1•
51


/(
Р. 1.4.6. Число сигналов ортогональной системь1 ра­
вно ее базе В, следовательно, no.c=2FT=2· 10 4 •20X
Xl0-3 =400. Число возможных сигналов в биортого­
нальной системе равно удвоенному значению базы, т. е.
пб.о .с =4FТ=800. Число возможных сигналов в орто-
u
в
гональнои в усиленном смысле системе равно 2 : п?.у.с=
=FT=200.
т
Р. 1.4.7. (7i.i;) =
-
1-J a1a2cos•ffi 1tcosffi2tdt= 2 а1а2 Х
ТО
Т(W1 - W2)
х[wi- w2 sin(ffi1+ffi2)Т+sin(ffi1- ffiz}т].
W1 +w2
При •ffi1+ffi2~ 1ffi1-1ffi2=IЛ•ffi первым слагаемым можно
пренебречь. Тоrда •
-+(-+) а1а2 •ЛТ
S1S2 = --SШ (J.)
•
2ТЛw
По ф-ле (1.46)
'-+
1s
-
1
11S2ll=
-
2•
Vта
-+
а
11S111 =
то ar COS2 ffi1 tdt = у2'
у2
Р.1.4.8 . На рис. 1.5а показаны скrналы s 1 (t), s2 (t)
и sз (t) в виде точек некоторого пространства . Эти точ~
ки представляют собой вершины некоторого треуголь ­
ника АВС. Для сторон треугольника справедливо соот-
х
а)
Рис. 1.5 . К: решению задачи 1.4.8
5i
6)


ношение АС~АВ+.ВС (условие треугольника). Длина,
отрезка АС равна норме вектора разности сигналов S1, _
и s2:
-
-+
-+
- +-+
АС=11s1- s311 =d(s1, s3).
-
--+
--+
-
--+
--+
Аналогично AB = d(s1, s2) и BC = d(s2 , s 3). Следователь-
➔~
- +-+
- +-+
но, d(s1; sз) ~ d(s1, s)+d(s2, sз), причем равенство дос-
тигается только в том случае, когда все три сигнала Jie- •
жат на одной прямой (рис. 1.56).
.
т
т
--+--+
Is·
'\ '2
s
Р.1.4.9. (s'1tS'z) = т S11t(f)s'1(,t)dt= т [cos2q) Sk(,t)X
о
о
т
т
Х s1(t)dt + cos•cpsincp \. S1t(,t)sz(1t)dt + COSqJsincp J S1t(f) Х
о
.
о
т
.
Xsz(t)dt + sin2 <:p 5§k(t)sz~t)dt].
о
.
.
Если ансамбль сигналов на передаче удовлетворяет ус- ·
ловию ортогональности в усиленном смысле ( 1.50), то,
->-
--+
(s',ts'z) =0 и сигналы .{s'1t(f)} ортогональны.
у
bJ
h
Ь
r--
~- ,1
1
1
1
1х
-
!,1
_
lh
1
1
-
ь~- - --...lь
11
•
-h
l
а)
Рис. 1.6 . Пространство сигналов на передаче (а) и прие- ·
ме (6) при наличии стираний
Р.1.4 . 10. Четырем двухразрядным двоичным комби­
на циям - О О, О 1, 1 О, 1 1 - соответствуют первичные си­
гналы Ь 1 = (h, h)., b2=(h, -h), b3= :(-h,h), b4=(-h,.
-
h).
••
П ространство сигналов на передаче показано на рис~.
1 . б а . На приеме вследствие стирания могут образовать­
с я дополнительно сигналы ьrs= (О, О), Ь'5= (О, h), Ь'1=
53


_;_ (h, О) , 1Ь'8= (О, -h), Ь9= (-h, О) . Пространства сиг­
!Н алов на приеме показано на рис . 1.66 .
Р.1 . 4.11. Найдем расстояния между заданными ком-
-+
-+
-+
-+
-+
<б инациями Ь1, Ь2 и 1Ьз по ф-ле (1.52) : d(b1, Ь2)=
00
= L mod2(xli+x2i) =5;
i=,al
-+
-+
-+
-+
.Легко заметить, что d (Ь1 , 1Ьз) <d (Ь1, Ь2) +d (Ь2 , Ьз), так
--;i,-
-+
-+
-+
-+
-+
к ак 6<5+5. Аналогично d(b1, Ь2) <d(b2, Ьз) +d(b1, Ьз) ,
- +-+
- +-+
-+ -+
-так как 5<6+5, и d(b2, Ьз) <d(b1, b2)+d(b 1, Ьз), так
!К ак 5<6+5.
1.5 . Физический объем сигнала и канала связи
Фи з ическим объемом сигнала Vс называют произведение трех
,,его физических характеристик: длительности сигнала Т с, ширины
,с пектра · Ре и динамического диапазона уровней сигнала (по мощ­
qr ости) De :
(1 .53)
(1 .54)
В этом выражении· Рмак Q - максимальное (пиковое) значение
$\ Ощности сигнала; Р,шн - минимальное значение мощности сиг­
,н ала.
Величина Vе чаще всего характеризует весь ансамбль исполь­
зуемых в данной системе с.вязи сигналов. Иными словами, эта ха­
рактеристика описывает сигнал как случайный процесс . В этом
,,случае Те - это средняя длительность сигнала; F е - ширина - энер-
гетического спектра, а Рмаке и Рмин при определении De для ан ­
•самбля с неограниченным числом реализаций представляют собой
уровни мощности, которые соответственно превышаются и не пре ­
,вышаются с какой-то заданной малой вероятностью. Физический
,о бъем сигнала - весьма важная характеристика, позволяющая
- оценивать трудности, связанные с его передачей .
При наличии шумов в канале допустимый минимальный уро­
.вень мощности Р,шн обычно определяется средней мощностью шу-
1:м ов в канале. Поэтому можно записать
Dc = lOlg Рмакс .
Рш
(1.55)
МаксималыJ:ую мощность Рмаке иногда выражают через усред­
,-н еi!ную за достаточно большой интервал времени мощность сиг­
,н ала Ре. В этом случае
(1 ,56)


п2 __ Рмаис
_
где
пикф11-ктор сигнала по мощности. Эта величиню
Рмин
зависит от статистики сигнала . Отношение средних мощностей сиг­
нала и шума Рс/Рш часто называют просто отношением сигнал/шум .
Аналогично физическому объему сигнала можно ввести харак-­
теристику, называемую физическим объемом канала
Vк = ТкFкDк,
(1.57),
Здесь Т к - время использования канала; Fк
-
полоса пропускае­
М12)Х кана.лом частот; Dк - динамический диапазон уровней, про- •
пускаемых каналом с допустимыми искажениями.
Для передачи сигнала, имеющего объем Vc, с достаточно вы­
соким качеством следует выполнять неравенство
Vc3⁄4Vк,
(1 .58},
При. этом необходимо согласование сигнала и канала по всем трем
параметрам, т. е.
(! .59),
Выполнение этих условий означает, что для обеспечения удов­
л е творительного качества при передаче сигналов требуется, чтобы~
объем сигнала «вписывался» в объем канала.
Естественно, что необходимо также согласование •сигнала и,
к а нала в пределах общих интервалов времени, частот и уровней.
Задачи
1.5 .1 . Показать, что физический объем телевизион ­
ного сигнала превосходит физический объем радиове­
щательного сигнала при одинаковой их длительности в.
540 раз . Fтв=6,5 МГц, Fрв= 12 кГц . (Динамические ди­
а п азо ны телевизионного и радиовещательного сигналов,;
следует считать одинаковыми.)
1.5 . 2 . Текст из ста букв передается по телефонному·
1<аналу в течение 30 с. Тот же текст за то же время пе~
ред ается по телеграфному каналу пятизначным двоич­
н ы м кодом. Приняв динамические диапазоны телефон-
1юго и телеграфного сигналов равными, показать, что,
те леграфный сигнал экономичнее телефонного в 62 ра ­
за.
1.5.3 . К:анал связи с полосой Fк = 10 кГц предпола­
га ется использовать в течение 10 с. В канале действует
шу м с равномерной спектральной плотностью мощно-­
ст и Gш= 10-4 мВт/Гц. К:акова предельная мощность си­
гна ла, который может быть передан по данному кана-­
JJУ, если физический объем канала Vи= 1 ООО ООО.
1.5.4. Амплитудно-модулированный сигнал sлм(t) = ,
= iVm ( 1+msinQt) cos1wdt предполагается передать по ка­
н а лу с объемом Vи= 10 ООО. Найти допустимый коэффа-
55


v, иент глубины модуляции т, если полоса . частот сигна­
ла Ре= 100 Гц, а его длительность Т~= 10 с.
1.5.5 . По ~аналу связи, в котором действует шум с
:;тергетическим спектром
•
G(f)-JfnB(О)
[ л2(f- fо>2·]
о=~.ехр
-:-
~2
'
.
.
..
t
передается ЧМ сигнал SчмU)=Umcos(1rodt+ЛiCuJ b(t)dt+
•
.
о
+чJо). Полоса сигнала Ре= 100 кГц, длительность Те=
= 1О с. Определить допустимую амплитуду сигнала,
если Vн=2·107; ~= 1,13·.105, В (О)=10-2 Вт.
1.5.6. Сигнал на · выходе канала связи имеет огиба­
,ю щую, распределенную по закону Рэлея
w(А)=
-
ехр-- А
-...
О
•
•
2А •( л2)
i
л2
А2,
"""
,
;где А - мгновенное значение амплитуды сигнала ; А 2 -
-средний квадрат амплитуды.
Полоса частот сигнала Рс = 4 кГц, а его длитель­
'Н Ость Те = 10 с. Найти объем сигнала, если за макси­
мальный и минимальный у ровни мощности сигнала при -
1IЯТЫ такие . величины, которые соответственно превы­
шаются и не превышаются с вероятностью р = 10- 3
.
Решения и ответы
Р. 1 . 5. 1. Очевидно, что при одинаковых длительно­
. .стях
и динамических диапазонах двух сигналов отноше ­
н ие их объемов будет равно отношению их частотных
п олос:
_V_т_в = _F_т_в = _6
_;_5 ·_1
_
06_ ~ 540.
Vрв , Fрв
·
·
12 -10~
Р.1.5.2. Аналогично Р . 1 . 5.1
Vтлф = FтэФ
Vтлг Fтлг
Для удовлетворительной передачи телефонного сооб­
щения в спектре речевого сигнала достаточно сохра ­
нить частотные составляющие в полосе 300 - 3400 Гц . ­
Поэтому примем РтлФ = ЗIОО Гц. Найдем . полосу теле­
трафного сигнала. Эта веJJичина зависит от длительно­
•сти элементарного импульса • следующим образом:
iFтлг = п/r:и, где п ,...- целое
число порядка единицы. ~ .
•
56•


Опре,μ:елим ~ц~'ичuну ти. За время 30 с · по ·телеграф-­
ному каналу передается 100 букв, каждой из котЬры~
соответст~ует кодовая комбина_ция, содержащая пять.
элементарнь1х импульсов. Следовательно, за 30 с будет·
передано 500 импульсов и длительность каждого им-­
цульс_а
30
-
-2
'tи= --
=
6•1О С.
500
Поскольку для удовдетворительного воспроизведе­
ния обы•iно достаточно сохранить в спектре третью гар­
монику частоты повторения импульсов, примем Fтлг-.
VтлФ 3100 62
_
ф
=3/--си=50 Гц . Отсюда -- =
---
=
, т. е: телегра--
Vтлr
50
ный сигнал экономичнее телефонного в· 62 раза .
Р.1.5.3. По ф-ле (1.55)
-
р-р
•lODc/10
макс -
Ш-
•
Величину динамического диапазона
рый может быть передан по заданному
с учетом ( 1.58) по ф-ле ( 1.53)
сигнала, кото ­
каналу, найдем:
учет ом этого результата по,7Iучаем • Рманс= lОРш .
I Iайдем теперь мощность шума в - канале с полосой,
Гн= 10 кГц
Рш=GшFк = 10-4
·104 = 1 мВт.
Отс юда Рмакс~ 10 мВт.
Р.1.5.4. Предполагая, что заданньiй сигнал и ка-
11 ал согласованы по полосе и длительности (времени:
испол ьзования), на_йдем допустимый -динамический ди­
апазо н АМ сигнала, который можно передать без су­
щественных искажений по каналу с заданным объемом:-
Выраз им теперь максима·льную и минимальную мощ-
1юсти АМ _сигнала (за период мо_дулирующего процес­
с а) через величину к_о_эффициента глубины модущщии :.
Рмакс =:' l/2 (1 +т)2;: Рмйн = И2 (1 ;_ т)2.'
.
.._ 1п
.
.
т.
.57


Подстаnляя найденные значения Рманс и Pмim ,в вы­
ражение для Dc, получаем
Dc = l0)g (1 +т)2 ИЛИ (1 +m)2 = l(JDaf18.
(1-т)2
(1-т) 2
В данном случае Dc....: _1O и (l+m)/(l-m)=-VТO. о~.­
,сюда получаем m=0,52.
Р.1.5.5. Если длительность и полоса сигнала согла­
,сованы с соответствующими rt·араметрами канала, то
V
Dc=
·
F нт =20. Так как в соответствии с (1.55) Dc=
с·с
.- - ·l0 J·g Рманс
Рш , находим
Рмакс = l0Dc/10 = 100.
Рш
При ЧМ пиковая мощность сигнала Рманс=И2m.
Найдем среднюю мощность шума в канале в полосе си­
;гнала
f o+Fc/2
рш= sGo(f)df= В(О)~Ул Х
f 0-Fc/2
f o+Fc/2
Х sехр[- :п2(f-fо)2 ]
~
2
df.
'f 0-Fc/2
Вводя обозначение ,а= :п:2 , получаем
f 0+Fcf2
рш= В(О) sехр[- (f- fо)2.]df.
a-V2:n
2а2
f 0-Fc/2
После замены переменной t= (f-f0) /а имеем Рш=
Fo
=В (О)Ф( ~), где Ф(х) -функция К:рампа:
р -:- 10-2Ф(.50.1оз ~~) = 95.10-~ Вт.
Ш
1'13. 1Qб J,'
~JL
'
С учетом этого результата имеем
Ит=VРмакс =V100Рш= 0,975 В.
Р.1.5.6. Вероятность того, что уровень мощности
Pмr,m = А 2миii не ·будет превышен, равна вероятности то-
58


го, что амплитуда замирающего сигнала будет не боль­
ше Амин:
Амин
,
2
Р(А<Амин)= f2Аехр(-~)dA= I - ехр(-А~ин) •
•
•
А2
А2
-
л2
о
Отсюда находим Рмин=А 2мин=-А 2 ln1 [l-Р(А<Амив)]..
По условию Р(А < Амин) = I0- 3
.
Поэтому Рмин =
=-A2ln (0,999) =2,3 , I0-3A2• Аналогично для Рмаис=
=А 2маис находим Рмаис=-А21n10-3 =6,9F Найдем
динамический диапазон.
Dc= lOlg/мaкc =34,7 дБ.
Рмии
По ф-ле (1.53) Vc=34,7,10~4 ·103 = 1,39·106 •
Глава 2
КАНАЛЫ СВЯЗИ И ИХ 3Б_ЕНЬЯ
2.1 . Модели каналов связи
и их математическое описание
Под ка налом связи в широком смысле понимают совокупность.
с ред ст в , предназначенных для передачи сообщений и соответствую ­
щ их и м с игна л ов. Для примера на рис . 2.1 представлена структур ­
ная схема ка н ала св я з и при передаче дискретных сообщёний.
К:л асси ф и к а цию к а налов свя з и можно осуществлять по различ-
11ым к рит ериям , в частности, по характеру сигналов на их входе и,
uыходе. С этой точки зрения различают три типа -каналов .
f(oi!ep
в'
rJ
декоrJер i--. - 1 Демо улл-
ь'
тор
l
,ПepeiJam-
1./ llK
l!цнцл ctfлJu
( l({lff(lЛ d уз- '
ком смысле) •
Вхо ные
Ц8Пl1.
приемника
Р ис. 2.1 . Структурная схема канала связи при передаче дискрет ­
ных сообщений
59


\. Дискретные каналы. На входе и выходе таких кана­
.лов наблюдаются дискретные сигналы (как по уровням, так и со­
,стояниям информационного параметра во времени) или те, или
иные символы из конечномерного ансамбля. Примерами таких ка­
,налов являются каналы, заданные между точками А-А', В-В',
А-В, В'-А' на рис. 2.1 .
Следует подчеркнуть, что дискретность или непрерывность ка­
нала определяется только характером информационных парамет­
.ров сигналов на его входе и выходе.
Дискретный, канал математически описан, если заданы алфа­
вит кодовых символов на входе Ь; ;(i= 1, 2, 3, ..., m) вместе с их
-вероятностями P(b;)t, алфавит кодовых символов на выходе Ь',.
•(k=\, •2,
.. .,
m') и значения вероятностей переходов Р,(Ь\/Ь;)
(i=l, 2, ..., т; k=1, 2, . .., т'), т. е. вероятностей того, что на
выходе канала появится символ Ь' k при условии, что на вход по­
дан символ Ь; 2 .
Совместная вероятность подачи символа Ь; на вход и появле-
ния символа Ь' k на выходе
•
Вероятность того, что на вход подан символ Ь; при условии,
что на выходе появится символ Ь'h ( апостериорная вероятность)
Р(h;/b~) =
Р (Ь;) Р ( Ь~/Ь;)
т
(2 .2)
}: Р (Ь;) Р( Ь~/Ь;)
i=l
(формула iБайеса).
Дискретный канал · называется однородным (стационарным) и
· -без памяти, если вероятности переходов Р(Ь' ,.Jb;) для каждой па­
ры; i, k не меняются во времени и не зависят от того, какие сим-
1Золы пере давались ранее . ·
Если эти вероятности зависят от времени, канал называется не­
однородным (нестационарным); если же они зависят от символов,
11ереданных ранее, то канал называется каналом с памятью .
Если в однородном дискретном канале алфавиты на входе и
выходе одинаковы 1(m=m') и для любой пары i=#k вероятности
Р(Ь',.Jb;) = ро, а для пары i= k Р(Ь',.Jb;) =i(j= 1-(т- \)ро, то та­
кой канал называют симметричным каналом без стирания.
Если объем алфавита символов на выходе канала т' превы­
шает объем алфавита входных символов т, канал называют ка­
налом со стиранием . Чаще всего на практике встречаются дис1<рет­
ные каналы со стиранием, в которых. т' =т + 1.
2. Дискретно-не прерывные к ан алы. В таких кана­
.лах сигналы на входе дискретны, а на выходе - непрерывны (по
1 Если источник име е т па ~1ять, то должны быть заданы вероят­
я ости цепочек символов или априорные и условные вероятности пе­
редачи символов.
2 Если интересоваться скоростью передачи информации по ка­
налу, то следу~т также задать количество символов, подаваемых
в среднем в единицу времени на вход канала. Однако эта харак­
теристика рассматриваться не будет.
60


уровням) или наоборот. Примерами таких каналов являются кана­
JIЫ, за данные между точками B-Z; A-Z1; Z-A' рис. 2.1.
Очень часто в технике связи определяют или обрабатывают не­
пре рывные сигналы лишь в дискретных точках оси времени. В этом
случае говорят о сигнале или соответствующем канале с дискрет­
ным временем.
/Будем для определенности в дальнейш·ем считать, что дискрет­
но-непрерывный канал имеет дискретный вход и непрерывный вы­
ход.
Дискретно - непрерывный канал математически описан, если за­
даны алфавит входных символов Ь; '(i= 1, 2, 3, ..., т) вместе с их
а 11риорными вероятностями Р(Ь;) и плотности переходных вероят­
но с те й w(z/b;) того, что на выходе канала появится элемент коле­
uа нин z(t) при условии, что на вход поступил символ Ь;.
Эти плотности называют функцией правдоподобия того, что
переда н символ Ь; при условии, что фикси рована на выходе кана-
ла реализации колебания z(t).
•
Если Z(t)=s';(t)+U(t), где s';(t) - принимаемый на иитер­
па ле анализа Т-сигиал, обусловленный подачей на вход канала сим­
оола Ь;, а U(t) - аддитивный , (линейно-складывающийся с сигна­
JlОМ ) шум в канале, то в том случае, когда сигнал s';(t) полно­
· т ыо де терминирован (его параметры известны точно в месте
11ри см а),
w(z/b,) = w(и(t)=z(t)- s~(t)),
(2 .3)
т. е. функция правдоподобия определяется плотностью вероятности
шума в канале.
При дискретном времени функция правдоподобия ,(2.3) - это
м н о гомерная (п-мерная) плотность вероятности . При n-+oo можно
110 J1 уч ить функцию правдоподобия : (при непрерывном времени -
функционал правдоподобия). Так, если в канале действует гаус­
t:о uск ий аддитивный белый шум U(t) со спек,:гральной плотностью
Ош, то
т
w(z(t)/bi) = Kexp{- ~шf [z(t)-s;(t)]2 d+
(2.4)
~·де К определяется условием нормирования 1 .
Веро ятность того, что при заданном элементе принятого коле­
Qани я z(t) был передан символ Ь; 1 (апос~ериорная вероятность),
о нределяет ся формулой
т
Р (Ь·) w (z/b·)
р (bi/Z (t))=
l
l
w (z)
(2.5)
t'J \C w (z) = ~ P(b;)w(z/b;) - плотность вероятности элемента cиr­
i=I
н.1J1а z (t).
1 В даль нейшем будем интересоваться нормированными значе­
щшми функционалов правдоподобия w(z/b;)/K или их отношением .
llоэтому вопросы сходимости коэффициента К здесь рассматри­
щ1ться не будут.
61


Если плотности вероятности w(z/b;) для любого сqчетания
z(t), Ь1 остаются постоянными во времени и не зависят от того,
какие символы Ь; и . элементы z(t) фиксировались ранее, то дис­
кретно-непр~рывный канал называется однородным 1( стационарным)
и без памяти. Если плотности вероятности w(z/b;) зависят от вре•
мени, то канал неоднороден ~(нестационарен). Если они зависят от
предыдущих символов, то канал обладает памятью.
3. Непрерывные каналы. В таких каналах сигналы на
входе и выходе непрерывны 1(по уровням).
Для математического описания непрерывного канала надо задать
плотности вероятности входных сигналов w (s) и условные плотно­
сти вероятности перехода w (z/s).
Канал однороден ~(стационарен), если плотности вероятности
переходов w(z/s) не зависят от времени, и без памяти, если значе­
ния выходного сигналi;! в моме нт времени t не _ зависят от значения
входного сигнала s(t) в тот же момент времени. Если же значения
сиг нала Z,(i) в момент времени t зависят от значений входных
сигналов и в предшествующие моменты времени, то канал имеет
память.
Задачи
2.1 .1. На вход канала связи на интервале Т посту­
пает сигнал si(t) =acos (!(J)ot+ 2л i), где а, 'ffio, т - по-
т
стоянные; 1i= 1, 2, 3, ... , т . С выхода канала снимается
сигнал s'i(t)=yacos(1ffiat+ 1ffJ), где (j)-случайная фаза,
равномерно распределенная на интервале {О, 2л} . По ­
казать, что по амплитуде сигналов канал является не•
прерывным, а по параметру ffJ - дискретно-непрерыв ­
ным .
2. 1.2 . На вход к;шала поступает периодическ а я по ­
следовательность прямоугольных импульсов, промоду ­
лированных по фазе непрерывным сообщением, а · с вы ­
хода снимается аддитивная смесь этого сигнала и флу­
ктуационного шума . Показать, что по амплитудам сиг­
нала канал является дискретно-непрерывным, а по от­
ношению к фазам импульсов - непрерывным.
2.1 .3 . Показать, что вероятность того, что при пе­
редаче символов по двоичному однородному симметрич­
ному каналу без памяти и стирания будет принято оши­
бочно q~n символов, определяется формулой
Р(q)=С~pg(1- р0)п-q,
где Ро - вероятность ошибочного приема элементарного
символа; С~-'- число сочетаний из п по q.
2.1 .4. Показать, что среднее число ошибок в цепоч­
ке из п символов в стационарном двоичном симметрич-
62


ном канале без памяти и стирания
ti
q=I ,qP(q)= np0,
q=O
где Ро - вероятность одиночной ошибки. Показать так­
же , что при про<1;;:_ I справедлива следующая формула
для вероятности ошибок кратности q : Р (q) ::::::: Счnрчо, и,
ка к следствие, ве,роятность ошибки падает с ростом ее
1<ратно сти.
2"1.5 . Показать, что в дискретном однородном сим­
м ~рично м к а н а ле без памяти и стирания с вероятнdс­
'1· ямн перехода P( b' ;/b i )=I - P1 при i=i, P(b';/bi) =Ро
щш i":I=j=(=m' и Р(Ь'т,/Ьi) =Р(?/bi)=Ре(,i=1, 2, ..., т;
?» (' HMJJOJ J ·тира н ия n месте при е ма, которому прис-
11щ• 11 ном ' Р т' = т-/- 1) ап остериорные вероятности пе­
р '1(;1 1111 · 11 мо JIOB опред е ляются соотношениями:
ьь
P(b;)(l-p1 )
1(tf1')=
-
~--~~-~--- ' i = 1·=1=т',
Р(Ь;)(1- Р1)+[1- Р(bi)]Ро
Р(hj/b;) =
р (Ь;) Ро
, i =1=j =1=т,.;
Р(Ь,)(1- Р1)+[1- Р(bj)]Ро_
Р(Ь1/?)= Р(Ь;). Р1 = Ре -1-(т - 1)Ро
2. 1.б . Показать, что в дискретном однородном кa­
l!ftJi e без памяти со стиранием (m'=m-1-1):
а) средняя (безусловная) вероятность правильног_о
rrриема СИМВОЛОВ
т
'
т
Рлрав =
.I P(bJ,
j=I
;)=1:Р(bj)Р(Ь/Ь1);
j=I
б ) б езусловная вероятность ошибочного приема сим-
1ю лов
т
п
Рот =~ ~ Р(Ь;,Ь;)=~Р(Ь;) ~ Р( Ь/Ь1 );
i=I; /-4'1; j-4 'm '
i=l
j=pi; j-4'm'
в ) безусловная вероятность стиранйя символов
т
Рст = LР (bi) Р (?/Ь;).
i=l
2.1 .7 . Показать, . что характеристики дискретного од­
нородного канала без памяти со стиранием (m'=m+
-1- 1) не зависят от априорных вероятностей передачи
63


символов- и определяются только , вероятностями ; Пере­
ходов при условиях P(b'j/bj) = 1-:-Раш-Рс; P(b'j/bi) =ро ;
P(?/bi) =Ре (симметричный канал). • ·
•
2.1.8 . Двоичный 6днородщ,1й симметричный канал
~о стиранием характеризуется _' следующими вероятнос­
:,rями . переходов:
•
1- Ро
-:Р(b;fb1) -: Р(b;Jb2)= О,7; Ро = Р(Ь;;Ь2)=
=
Р(ь;1Ь1) = 0,01; Ре = Р(?/Ь1) = Р(?/Ь2),= 0_, 29:-
Найти апостериорные вероятности передачи символов,
безуслщшую вероятность ошибочного приема и безус­
ловную вероятiюсть стир·ания. Априорные вероятности
передачи символов • считать одищ1ковыми . Р(Ь 1) ~
~'Р(Ь~~ -~--
2.1.9 . Задан двоичный однородный канал без сти 7
рания и с памятью, простирающейся на два . соседних
символа. Пусть о.шибки в таком канале описршаются
простой цепью Маркова, причем вероятность того, что
данный символ. будет принят Ошибочно, равна · Р1 при
условии, что предшествующий символ принят верно,
и р2 , если рредшествующий символ . принят ошибочно.
Показать, что в таком канале безусловная (сред­
няя) вероятность ошибки
Р1
Рош =--~ -
! +Р1 -Р2
Объяснить, почему при такой модели канала имеет
место груп_пирование ошибок, ecлfl Р2>Р1, и рассредо-
точение ошибок, если Р1>Р2-
•
·,
••
2.1 .10. На вход дискретно-непрерыnного канала на
тактовом интервале Т пост'упают . двоичные: сигналы
s 1 (t) = acos (1root+cpo) или s2(t) =-acos (@,t+tq:Jo) (мани 0
пуляция фазы на n) . Колебание на выходе канала на
интервале анализа Т можно представить в виде
z(t) _:__s;(t)+и(t), s;(t)= '\'(t)s;(t~,:),
где yt(t), т (t) __:_ коэффициент передачи канала й запаз ­
дывание сигнала в канале; u(t) - реализация нормаль­
ного флуктуационного шума с равномерным энергети­
ческим спектром в полосе О, F (F4;;.roo/2n).
• Полагая, что все параметры сигнала известны точно
в месте приема (модель канала. с постоянными пара ;
метрами), а ' колебание z,(t) анализируется Ш\ интерва~
..
·-
'
,
'
'
'
6.4


ле Т в дискретных сечениях tk, кратных величине Лt=:
= l/2F, написать выражения для функций правдоподо-
бия W1 (z/s1) и W1 (z/s2).
-
2.1 .11. По условию предыдущей задачи найти вы­
ра:жение функционала правдоподобия w (z/bi), полагая.
что в канале действует белый шум (F-+oo).
2.1.12. Показать, что в дискретно-непрерывном ка­
н а ле сравнение величин апостериорных вероятностей
11 редачи символов Р (bi/z) с различным номером для
ныбора наибольшей • сводится к сравнению функций
Ilр авд оподобия w (z/bi), умноженных на Р (bi) раз.
2. 1.13. При передаче узкополосных сигналов si(t)
к лебание на выходе канала можно часто представить
н виде z(t).: _s\(t)+u(t), где s\(,t)= ycos10нsi(t)­
ysin01tS;(,t), si(t) - сопряженный сигнал, · а '\1 и ен -
к э ффициент передачи и фазовый сдвиг в канале.
Полагая, что и(t) - реализация стационарного ад­
J \11 ·1·ив ного нормального белого шума со спектральной
11 J1 тностью мощности Gш, а фаза сигнала случайна и
11м ' т равномерное распределение на интервале (-rr:,
п) (моJ1, ель канала с неопределенной фазой), найти
ф у 1t1щ11 о t1 ал правдоподобия.
-
.
2. 1 .11. По условию предыдущей задачи найти функ­
щrонал 11равдоподобия w (z/si), полагая, что амплиту­
Nl н фаза принимаемого сигнала случайны (модель од-
11О J 1 учевого канала с замираниями), •а квадратурные
к мпоненты си~нала X(t)=ycoS'0н и Y(t)=vsiн0н неза-•
он нмы н распределены нормально с параметрами тх,
(i2x , ту, а\.
Решения и ответы
Р.2.1.1. Поскольку информация заложена в измене-
11щr фазы, а амплитуда как на входе канала а, так и
11н его выходе Уа может быть произвольной, канал не-
11р рывен по амплитуде. Дискретность же канала по
фн е на входе канала и его непрерывность на выходе
t :JJ J1.ует из условия задачи.
Р.1.2.2. Здесь рассуждения аналогичны приведен-
111 ,1 м в Р.2.1.1.
Р.2.1.3 . Под ошибкой кратности q понимают собы­
·1•11 , состо ящее в том, что какие-либо q символов из п
l l l'J) да нных приняты ошибочно, а остальные n-q сим -
1 \ОJIОВ приняты ' правильно.
Веро ятность такого события в рассматриваемом кa-
11 :iJ1e pq0 (1-p0)п-q_
:1 299
6G


'Так · как q ошибок в ' цепочке из п символов могут поя­
виться в Счп взаимно несовместимых случаях, по пра­
.Билу сложения вероятностей получаем результат (2.1).
•
Р. 2.1.4. Используя ф-лу (2.1), находим 1
п
q= ~C~pg(1- p0)n-qq.
q~l
Л оско_льку Cqn = Cq-in-1 _!! __, то
q
п
С{ :___ про L с~=\ pg-1 (1 -Po)l!-l - (q-1) =
k=l
n-l
-=
пр0 ~ С~_, pr (1 _ Ро)п-1-r.
r=O
Последняя сумма, .представляющая собой сумму веро­
ятностей полной группы событий, равна единице. Сле­
довательно, ij = про .
• Как следует из (2.1), р (q) :::::: Счпрч0, если принять
О - ро) n-q:::::: 1. Покажем, что при про« 1 это имеет ме­
•СТО . Рассмотрим величину (1-ро)п. При пр 0 «1 (l-
- ~p0 )n= (1- пр~)п =е-р•п :::::: 1. Поскольку n-q ~n, то
..,
'
п
,
rи (1-: -Po)n~q:::::; 1.
Р.2. 1.5. Искомые результаты следуют из общей
формулы для апостериорной вероятности передачи сим­
волов в дискретном канале (2.2). Заметим, что если n
ра ссматриваемом симметричном канале положить · вход­
ные символы равновероятными (Р (bi) = 1/т), то
Р;(ЬjЬ'-)~ ! • Pi; i= 'f=;i=m'; Р(Ь;!Ь') __& _ _ i=;i=j=;i=m';
•
1•
1~Ре
1
1- Ре
P(bil?) =-
1.•
т
/Р .2 . 1.6. Формулы для Рправ, Рош и Рст следуют из
о пределения · искомых характеристик, если принять, что
.с имволу стирания на выходе канала «?» присвоен но­
)Мер j=m', а ошибка при передаче символов имеет мес- _
·то, если номера символов на передаче и приеме не сов­
ладают (i=;i=j=l=m').
_
1 Сумм~ровани е выполнено от q=l, • так как при q=O член
ц:уммы равен нулю .


Р.2.1.7. (Три симметрии канала с учетом Р.2.1.6 име­
ем
Рправ= 1-Рош-Рс; Рош= (т-1)ро ; Рст = l -Рпра в~Рошь
Найденные вероятности не зависят от априорных веро­
ятностей передачи символов.
Р.2.1 . 8. Согласно Р.2.1.5 и Р . 2.1 . 7 имеем :
Р(Ь1/Ь;).= 0,986, i = j = 1,2; р(Ь;!Ь;) = 0,014, i=f=j;;
Р (Ь;/?) = 0,5; Рправ = 0,7; Рош = 0,01; Рст = 0,29:,
Р.2.1.9. Если предшествующий символ принят ошИ'­
бо чно с вероятностью Рош, то возникает ошибка с веро­
ятно стью р2 . Если же предшествующий символ принят­
правильно с вероятностью 1-Рош, то возникает ошибка
с вероятностью р 1 . Таким образом, средняя вероятность.
о шибки удовлетворяет уравнению Рош=РошР2+ (1-
-Рош) Р1, откуда
Р1
Рош=-----
!+Р1-р2
Если Р2>Р1, то ошибочно принятые символы с болв­
шей вероятностью предопределяют ошибочный приеМJ
следующего символа. В этом случае Р2>Рош<О,5 ш
ош и бI(И в канале группируются.
Если же р2<р1, то после ошибочно принятого сим-­
вола с большей вероятностью следующий символ буде'Е'
нринят правильно. При этом Р2<Рош, 'Г. е. в канале про-
1 1сх одит рассредоточение ошибок.
Р.2.1.1 0. Поскольку нормальный шум в анализиру­
емых дискретных сечениях не коррелирован, _ а следова ­
т
тел ьно, и независим, то его совместная (n = ы=2FТ ),-...
ме рная плотность вероятности
где GшF = а2 -дисперсия шума. Поэтому функции пр.D&-
доп одобия
-
-
·
_
п
~ {z ( tk)-V ( tk) aco5(w0 ( tk - -i( {k))+411~1}flc
k=I
0
w (z/ S1) =Tv~Y1 е-:
' 2GШF
.,.,
3*
\


п
~ {z ( tk)+v( tk)acos(w0 ( tk--r: ( tk))+Q>o]}2
k=I
, w{z/s2)=( 1 )пе
2GшF
..
.
.
Y2n GшF
P .2 .1.il. Полагая шаг дискретизации iЛt= 1/2F-+0
{т. е. F-+oo) и переходя в выражениях для w (z/si)
{J? .2 . 1. 1O) от сумм к интегралам, получаем следующие
значения для функционала правдоподобия :
1,,
•
[
т
]
w(z/s;) =Кехр - Gш~[z(t)- s;(t)]2~dt ,
где К = (-v 1 )п . Поскольку в дальнейшем ин-
2n GшF F-""
тересуемся только отношением функций правдоподобия
(или рез ультатом их сравнения при различных i), то
:р асхождение нормирующего коэффициента К можно не
учитывать.
Р. 2.1 . 12. Используя формулу Байеса (2 .5), можно
в идеть, что система неравенств Р (xi/z) >Р (x i z), i==I= j,
равносильна другой системе неравенств Р (xi) w (z/xi) >
>Р (xj) w (z/xj), i=I= j.
Р.2.1.13 . При известном точно сигнале с учетом
(2.4) функционал правдоподобия
.
W (z/sд =Кехр[- _l r[z(t) -
'\'COS0S;(t)+
Gш.)
.
.
о
•
л]
[2
л·
+уsin0s;(t)]2dt = К1ехр Gш(cos0У;+sin0У;-
1
]
•
-2y2Et) '
т
где К1= Кехр[- -1
- J 2 2( t) dt] - константа, не завися­
Gш
о
щая от i;
т
т
' Ei= ss\(_t)dt= Js2i(t)dt- энергия элемента сигна•
о
о
'
• .68


:. ла . Здесь учтено условие ортогональности сигналов
Sj(t) и Si(t} на интервале (О, Т) ,.
••
•
.
.l
.
.
,
Усредняя w(z/si) по 8, при w(8)=- (-л~8~л)
.
2:rt .
. п олучаем
функционал правд0подобия при неопределен-
ной фазе сигнала .
.
.
•
.
w(z/si) = K1 exp(-+·y2Ei)Io(~Yt),
гдеVi .
,. r [ sz(,t)si(t)dt]2+1[ sz(t)si(,t)dt]2.
JIо
о
Р.2.1.14; Функционал правдоподобия согласно
•Р.2.1.1 3 при фиксированных
значениях x = ycos:8 и у=
=ysin.8 можно записать
w (z/sд =К1ехр{0: [ xYi +y'vi -~ (х2+У2)вi]}.
Усредн ив w (z/si) по х и у, полагая
W2 (х, у) = _I_ехр{·- (х - тх)2
-
(у- ту)2 }
2:rю2
2а2
-
2а2
00
и используя табличный интеграл [6] Jехр (-рх2-
где
-оо
Е2
E·"2 G
.
h2-
---1.!!__ .
Q.=
''Р
ш(1+2h~)- 2Е-·
i-G
'
'
•
2а2
i
'VР ,,
m
r,,2 =т2+т2
lrp
х
у·
2.2 . Изменения формы сигналов, обусловленные ·
характеристиками непрерывного канала
Верность связи (степень соответствия переданного и принятого
соо бщения) · определяется,. главным образом, искажениями сигна­
ло в в непрерывной -части канаJ)а, а также присутствующими в ка-
' нале аддитивными шумами .
•
•
,6,9


, · Под искажениями понимают нежелательные изменения · фqрм),1
передаваемых сигналов, которые могут возникнуть как в линейной,
так и нелинейной . части канала 1 .
'.-
.
'
1
1
'Сигнал s'(t) в момент времени 1t на выходе · произ-
вольной физически осуществимой линейной системы
(канала) можно связать с сигналом на его входе s (t)
интегралом Дюамеля
00
s' (t) = 5g(t, -с) s(t--т:)d-т:,
(2.6)
о
где g(,t, -с) - импульсная переходная характеристика
системы или реакция системы в момент времени t на
дельта-импульс, поданньrй на вход в момент времени
t--r:.
Протяженность переходного процесса g(t, i-) по пе­
ременной -с называют интервалом рассеяния во времени
(или памятью) линейного канала. Обозначим его через
По методу равно~еликого прямоугольника интервал
рассеяния во времени определяется соотношением
00
sIg(t, i)1d,
о
"Ср=-------
1 g (t, 't) !макс
(2.7)
Зависимость g (t, -с) от аргумента t свидетельствует
о том, что параметры канала меняются во времени, что
приводит к расширению спектра сигнала выхода s' (t)
по сравнению со спектром входного сигнала. Это расши­
рение спектра (интервал рассеяния канала по частоте
Fp) можно найти, если определить преобразование
Фурье от s' (1t) или от g (t, -с) (по переменной t, считая
-с параметром), а затем и ширину (например, методом
равновеликого прямоугольника) квадрата амплитудно-
го спектра (спектра мощности).
•
Коэффициент рассеяния
(2.8)
1 Следует заметить, чт-о ·термин «искажения» относится к изме­
нению формы сигнала в тех звеньях канала, которые по своему
назначению не должны этого делать . Вместе с тем следует иметь
в виду, что ряд устройств ~ (звеньев) канала связи выполняет целе­
вые nреобразования входных сигналов, немыслимые без изменения
их формы (например, модуляция, демодуляция, интегрирование,
дифференцирование и др . ).
•
•••
70


является •важной инженерной хара~тердс_тикой ••любого
канала связи.
Вместо системной характеристики линейной системы
g(t, -. ) часто пользуются характеристикой k(f, t) =
=-у (f, t) .exp [iep (f, t)], называемой передаточной функ­
цией системы.
Характеристики g(t, -. ) и k(f, t) связаны парой пре­
образований Фурье:
00
k(f, t) = Sg(t, -r)е-iщd-r;
(2.9)
-оо
00
g(t, 't) = Jk(f, t)еiол:df.
(2.10)
-оо
В нелинейных звеньях (или системах) канала связи
выходной сигнал в момент времени t часто можно свя­
зать с входным сигналом s(1t) в тот же момент времени
неко торой заранее известной (но не всегда взаимоодно­
з начн ой) зависимостью (амплитудной характеристикой)
s'(t)= ер[s(t)].
(2.11)
Такие нелинейные системы (звенья) называют неинер­
ционн ыми.
Задачи
2.2 .1 . Показать, что если параметры линейного ка­
нала не меняются вD времени (канал стационарен), его
с истемные характеристики удовлетворяют условиям:
g(t, -r) =g(-r); k(f, t)= k(f).
2.2.2. Если сигналы выхода и · входа канала связа·­
н ы соотношением s' ( t) =-ys (,t--rc) , где у, те-известный
коэ ффициент передачи и запаздывание в канале, то го­
во рят, что . отсутствуют искажения фор~ы сигнала. По­
казать, что в линейном канале искажения сигнала от­
с ут ствуют, если системные характеристики канала удов­
летво ряют условиям:
g(t, -r)=yб(t--rc); k(f, t)=-ye-iw,c,
т . е. импульсная переходная хар,;штеристика имеет вид
дельта-им пульса ('tp=O), амплитудно-частотная ха рак-
' те ристика -y(f) f[e зависит от частqты, .а фазо-частотная
ха рактеристика ер (t) медяется линейIIо с. частотой.
71


2.2.3 .
· Пусть . некоторый - щшейный
канал с по'сто.sJн.­
ными параметрами моделируется электрической cxeмofi
•(четырехполюсником) рис. 2.2 . , ..
Определить инrервал . временного рассеяния (па­
мять.) такого канала по методу равновели_кого прямо­
угольника, если R= 100 Ом и С= 100 мкФ .
2.2 .4 . Пусть передаточная функ-
ция некоторого линейного канала
~ не зависит от частоты k(f, t) =y(t) .
-1:,
__l
~
'
Показать, что в таком канале
s(t)
с
s(t} импульсная, переходная х арактери-
I стика g(t, т) =y(t)б{'t), а сигна л
о
~ 0 выхода s' (t) связан с сигналом вхо­
да соотношением s'(t) =y(t)s(t),
т . е. канал представляет собой
Рис. 2.2 . Модель безынерционный умножитель.
линейного канала
2.2 .5 . Для модели канала из пре-
с постоянными па-
раметрами
дыдущей .задачи найти интервал
рассеяния по частоте, полагая , что
y(t) =ехр (- at2) .
2.2.б. Пусть некоторый линейный канал описывает ­
ся импульсной переходной характеристикой
g (t, т) = e--<X,i- e--<X•t, т ::;,.. О , t ::;;,, О, а:1> О, а:2> О.
Показать, что коэффициент рассеяния такого канала
kp= ,a2/4,a:1.
2.2:7. Показать, что отклик линейного канала с пе­
ременными параметрами на • гармонический сигнал
s(t) =От cos (~t+<po) определяется формулой
'
л
s'(t) =у(f, t)cos<р(f, t)s(t)-у(f, t)sin<р(f, t)s(t) =
л
=x(f, t)s(t)-y(f, t)s(t),
где 'У (f, i), <р (rf, t) - соответственно модуль и аргумент
передаточной функции K(f, t), а x(f, t) = Y, (f, t) Х
Х cos<p (f, -t) и у (f, t) =v (.f, ,t) siп<p (f, t) - его квадратур­
ные компоненты.
2.2 .8 . По линейному каналу с передаточной функ­
цией K(f, t) =-y(,f, ,t)e11p(f,t) передается узкополосный сиг ­
нал s(t) = А (tf) cos[ro't + 0 (t)]. Показать, что огибаю ­
щая выходного сигнала A'(t)=-y(f, ,t)A (.t) , а его фаз а
0' ( t) .= 0 (,t) + <р (f, t); т. е. канал вносит дополнительную
модулящ1ю амплитуды и фазы.
·72


2.2.9.
· Пусть
некоторый линейный канал с перемен­
ными параметрами моделируется неискажающей длин­
ной линией с дискретными отводами, создающими за-
Длинная лuнuл
Рис. 2.3. Модель мнQголучевого канала
лаздывание 'tk (t) и изменение уровня '\ 'k (,t) (модель
многопутевого или многолучевого распространения, см.
рис. 2.3).
Показать, что для этой модели системные характе­
ристик и
п
п
g (t, -r:) = ~ '\'k (t) 6[t- 't'k (t)], k (f, t) = ~ '\'k (t) e-iffio'tk (t),
k=I
k=I
а вых одной сигнал при произвольном входном воздей­
ств ии s(t) определяется формулой
п
s' (f) =~ '\'k(f)S[f-'t'k(f)].
k=l
2.2 . 10 . Предположим, что коэффициент передачи
линей ного канала меняется случайно соответственно по
за кону Рэлея и односторонне-нормальному за~ону (см.
§ 1.2), а надежный прием на фоне шума обеспечивается,
есл и амплитуда сигнала в месте приема превышает по­
ро говое значение А'пор = '\"порА = kИш, где k> 1; Иш-сред"'
квад ратичное значение шума в канале.
Найти надежность связи в рэлеевском и односторон­
не -нормальном канале как вероятность выполнения не­
ра венства


2.2 .1[. •• Пусть неi<:'оторый линейный канал с постоян­
нь1ми параметрами, riредназначенньtй для передачи сиг­
н·алов в полосе частот (О, Рмакс), имеет передаточную .
функцию
k (f) = Ао e-Aw 2 е- i (a,ro+a,oo'J •
Напишите выражения для коэффициента передач и
k(f)кop линейного четырехполюсника, · обеспечивающего
полную коррекцию характеристик канала в заданной
полосе частот .
2.2.12 . Пусть на некотором нелинейном участке ка ­
нала связи сигналы выхода и входа связаны соотноше ­
нием
t/ = 0,1s- 0,3s3•
Найти максимальный уровень входного воздействия ,
при котором относительное отклонение выходного сиг ­
нала от линейной зависимости не превышает 3 %.
2.2 .13 . Амплитудная характеристика канала удов ­
летворительно аппроксимируется квадратичной зависи­
мостью
s' (t) = as2(t).
Найти амплитудную характеристику корректирующе­
го четырехполюсника.
2.2.14 . Показать, что нелинейность амплитудной ха­
рактеристики в высокочастотном тракте канала на уча­
стке выход модулятора - вход демодулятора практиче­
ски не искажает узкополосный сигнал при угловой мо ­
дуляции, однако вносит существенные искажения пр и
АМ.
Решения и ответы
Р.2.2.1 . На рис . 2.4 показано несколько реализаци й
импульсной переходной х арактеристики линейного ка­
нала с пер,еменными параметрами. Если свойства кана­
ла не меняются во времени (канал с постоянными пара ­
.метрами), то реализащш упомянутой характеристики
не должны зависеть от параметра t, т . е. g(t, т)=g(т) .
Это означает, что реакция канала с постоянными пара ­
метрами на rб-импульс зависит лишь от интервала меж­
ду момента~ наблюдения ,t и моментом подачи сигна - .
ла на вход канала t-т. Если g(t, т)"=g(т), то, как еле ~
74


дует из (2.9)-, переда ,точ·
g(t,rJ· , .
ная функция канала от
времен и не зависит.
Р.2.2.2.
Подставив
t
g(t, 't) в (2.6), с учетом
фильтрующе го свойства
о-функций ' получим
s' (t) =-vs (t--cc). Из (2.9)
для · заданной переходной
характеристики получаем
передаточную функцию
l(анала К (f) =
=-vexp(-i2л:f'tc ) .
r
тr
r
Р . 2.2.3. П е р еда точная Рис. 2.4. Реализации импульсных
<lJ УПIЩИЯ з аданной моде- переходных характеристик линей­
ного канала со случайно меняю-
ЛИ капала (см. рис. 2.2)
щимися параметрами
k(f)= 1+i;лfCR
Такой передаточной •функции соответствует переходная
1
't
ха р а ктеристика g(t)=- ехр(--}, 't-~ 0, что вытека-
.
.
RC
RC
СТ ИЗ (2.10).
По методу равновеликого прямоугольника (2.7) на­
ход и м интервал ра,ссеяния
-сР=Sехр(-R~)d-с= RC,
о
l( Оторый в данном случае определяется постоянной
в ремени цепи.
Если R=100 Ом и С=100 мкф, то 't"p=10 мс.
Р.2.2.4. Подставив s(t) в (2.10), получим
00
g (t, 't) = 'V (t) Sехр (i 2n f-c)df.
-оо
Используя известное определение 1б-функции [ 15]
00
б(х)= _1 seixwdw,
•
.
2л
-оо
п олучаем g(t, 't) ~-v(t)б(-c). Подставив эту величину в
и нтеграл Дюамеля (2.6), получим s' (t) =у (t) s (t) ,
'~~


Р.2.2.5. Заданному сигналу соответствует спектр
мощности
2n' fZ
1--,-
S2(f)=-е а
4па
Пользуясь методом равновеликого прямоугольника, оп-.
ределяем и~тервал частотного рассеяния
со 2n' f'
оо
ffi 2
FР=
_1 1е--;;-df= _а-
1 5е-2а'dro.
2n .)
у2п у2паz
р
о
Отсюда, · используя условие нормировки для г~уссовско­
го закона распределения, находим
F-
а
Р-
2 "Jl2n
Р.2. 2.6. Интервfл рассеяния во времени
со
,:Р = 5е-а,,dт = _1_
.
а1
о
Функции e-a,t соответствует квадрат модуля ампли­
тудного спектра по Фурье (спектр мощности)
s2(f)=
1
.
а~+(2nf)2
Интервал частотного рассеяния
00
F-s df
Р-
(2nf) 2 •
о1+-
.-
rx2
После интегрирования -по [6] следует результат Fp=
= а2/4. Коэффициент рассеяния канала kp=тpFp=
= а2/4а1.
•
Р. 2.2. 7. Запишем входной сигнал в комплексном ви­
де s(t) = Umeiffil, где Um= Иmei(J)o_
Выходной сигнал согласно (2.6) и (2 .9)
00
.
s' (t) = Vme1(i)t Jg(t, т)dт = Иту(f, t)cos[rot+
о
+<р0+<р(f, t)]+iИту(f, t)sin[rot+<р0+<р(f, t)J.
.
Действительный сигнал на выходе канала определяет~
76
J'


ся вещественной частью полученного выражения:
s'(t)=Ит-y(f, t) cos[1wt+1(J)o+(J)(f, t)] . После элементар ~
ных преобразований определяем
s'(t) =i'cos(J)Итcos(wt+ (J)0)-i'sin(j)Umsin(wt+(J)0)=
л
л
=
i'cos(J)s(t)- i'sin(J)s(t)= xs(t)- уs.(t),
что и требовалось доказать.
Р.2.2.8. Полученные в Р.2.2.7 соотношения для s'(t)
справедливы при прохождении через канал произволь­
ного узкополосного сигнала, для которого параметры
х (f, t), у (,f, t) можно считать не зависящими от частоты.
Заменив в соотношении для s'(t) .Ит огибающей
А (t) , а ср0-фазой 10 (t), получим А' (t) =-уА (t), •8'(,t) =
= 0(1t) +(р.
Р.2.2 . 9 . Результат для g(t, 't) следует из структуры
многолучево й модели (см. рис. 2.3).
Осуще ствив преобразование Фурье над заданной пе­
р еход ной характеристикой g (t, -r), с учетом фильтрую-
п
.
щего свойства б-функции получим k (ifot) = ~ Yk (t) Х
--
k=I
Х e - 1w-r"(tJ. Подставив выражение для g (t, 't) в (2.6), на-
п
.
ХОДИМ s'(t) = ~ "yk (t) S[i-'t"k (t)].
k=I
Р . 2.2.10. · В рэлеевском канале надежность связи
со
со
Nрэл= sw(v)di' =
s~:ехр(-f:)di' =
kU /А
•'
kU /А'У
ш
ш
= ехр(- k~U~ \
.
-у2л2 J
л2 у2
Обозначим отношение сuгнал/ш.ум через h2 = 2u2 =
ш
Тогда
.Рш
k2)
Nрэл= ехр1- -
.
2h2
Для односторонне-нормального канала
со
N0_п = V~
. sехр(-/~)di' = 1-Ф (h : 2).
2n-y kU /А
ш
Если, например, .положить k=2 и h2 = 10, то
Nрэл=е-0•2= 0,82; N = 1- Ф(.V2 )= 0,65.
о.н
,_
20
77


: /Р.2.2 .11 . Исходя из условия k(f)k(f)кop ='Во Х
~exp(-i2лfb), 00:::;;J~Fмакс, получаем
в
.
1k(t)~a!} = _о_ехр(2лfА)ехр[i(а24л2f2+(а1- Ь)2лfJ.
Ао.
Р.2.2.1_2. Очевидно, что максимальный уровень вход­
шого воздействия удовлетворяет уравнению
'
1 s'(Sмакс) - О, !Sма1<с 1
1 О, lsмакс 1
О,3/sмаксi 3 =ЗJs J2=003
О'1JSмаксI
макс
'
•
1Отсюда . lsмaнcl = 0,1 В.
Р. 2.2.13. Если амплитудная характеристика кана­
.ла s' = (J) (s) задана, то амплитудная характеристика
•корректирующего четырехполюсника должна удовлет­
шорять условию s' = ср- 1 (s), т. е. она должна быть обрат-
1ной. Квадратичную характеристику корректирует нели­
,н ейность вида s'(,t) =Ь V s(1t).
Р. 2.2.14. Представим модулированный сигнал в ви­
де s(t) = A(t)cos [wot+cp (,t)], а амплитудную харак­
т ерист ику будем аппроксимировать полиномом п-й •сте­
л ени s' ...: ..a1s+a2 s2+ ... +апsп.
Подставляя сюда выражение s(t) и используя фор­
мулы кратных дуг, получаем
s(t)=[а2А2/)+ •••] +[а1А(t) ++a3A3(t)+···]Х
:xcos[eu0 t+cp(t)] +[a/
2
;t) + • • - ]cos[2ш0 t+2cp(t)J + ....
Нелинейность амплитудной характеристики канала
ш ызывает появление гармоник несущей частоты, изме­
нение закона огибающей первой гармоники и уг лубле­
аше модуляции фазы (частоты) на высших гармониках .
Поскольку высшие гармоники могут быть эффекти13-
шо отфильтрованы, то анализировать следует сигнал
Отсюда видно, что при угловой модуляции, когда
A(t)=const (и возможно ограничение амплитуды), не­
линейность амплитудной характеристики практически
1не искащ:ает , сигнал, лри амплитудной же модуляции
.н аблюдаются искажения.
78


2.3 . Аддитивные помехи в . непрерьmном канале. связ•
Аддитивные помехи в канале связи в~1зываются весьма разны­
ми причинами и могут принимать самые различные формы. Тем,
не менее по их электрической и статистической структурам такие·
помехи чаще всего разделяют на три основных класса:
1) флуктуационные или гладкие (распределение по частоте ю
времени);
2) сосредоточенные по частоте ;(гармонические);
3) сосредоточенные во времени (импульсные) .
Флуктуационная помеха - это непрерывный во времени слу•
чайный про ц есс (чаще всего его полагают стационарным и эргоди ­
ческим) с нормальным распределением мгновенных значений и ну­
левым средним. Энергетический с п ектр Gш такой помехи в пре ­
делах анализируемой полосы частоты Fэ полагают равномерным (по ­
меха типа .«белого шума»).
Плотность вероятности отрезка флуктуационной помехи дли ­
тельности Т
(2 .1 2),
где К - постоянная, определяемая из условия нормировки (см_
с носку на стр. 6 1).
Гармоническая (сосредоточенная по спектру) помеха - этD
адд итивная помеха, энергетический спектр кото~ой сосредоточен е
с р а внительно узкой полосе частот, сопоставимои или даже суще ­
с твенно более узкой, чем полоса частот сигнала.
Сосредоточенные помехи полагают равномерно распределенны-­
м и в полосе частот, т. е. вероятность Рс.п появления сосредоточен ­
но й помехи в полосе F пропорциональна этой . полосе и зависит O'F
с редн е го числа сосредоточенных помех Vс . п, превышающих порог а- •
в ый у ро ве нь сигнала Рпор 1, в единице полосы.
J
Имп у ль с ная помеха - аддитивная помеха, представляющая со~·
бой последовательность импульсов, возбуждаемых кратковремен-·
11ыми ЭДС апериодического или колебательного характера.
Моменты появления импульсной помехи полагают равномерн о.•
р ас пределенными во времени . Это означает, что вероятность появ­
лен ия импульсной помехи Ри.п в течение интервала Т пропорцио­
наль на длительности интервала, а также среднему числу н м пульс ­
ны х помех в единицу времени V 11 .п, зависящему от допустим о го,
по рогового уровня помехи.
.
Очень часто приемное устройство (а нередко и систе му связw
в целом) строят оптимальным ·(или близким к оптимально м у ) п о­
от ношению к неизбежной в канале флуктуационной помехе, а в,
1<а честве радикального средства борьбы с сосредоточенной и им ­
пульсной помехами используют такое построение приемных уст­
ройств, при котором уменьшаются вероятности Рс . п и Ри.п попада ­
ния сосредрточенной и импульсной помех на решающую схему
1 Поровый уровень · средней мощности сигнала Рпор различен,
дл я разных . систем связи и определяется так, что при превышении,
помехой этого п орога качество связи резко ухудшается.
:19


1'1риемноrо устройства. Такая задача успешно решается при помощи
различных методов разнесенного приема, т. е. приема информации
по параллельным независимым каналам.
Задачи
2.3 .1 . Показать, что плотность вероятности реализа­
ции нормального флуктуационного шума с энергией Еш
и спектральной плотностью мощности Gm больше плот­
ности вероятности реализации шума, имеющей нулевую
энергию в ехр (-Еш/Gш) раз.
2.3 .2. Найти отношение сигнал/шум Рс/Рш в полосе
сигнала, полагая, что сигнал - узкополосный процесс
со средним квадратом огибающей А 2, а флуктуацион­
ный шум порожден тепловым движением электронов
при абсолютной температуре проводника Т.
2.3.3 . Узкополосный сигнал со средней мощностью
Ре= 100 мкВт принимается на фоне нормального стаци­
онарного шума, который в полосе сигнала (if0-Лf)-:­
- :- (fo+Лf), Лf=5 кГц имеет равномерный энергетичес­
кий спектр Gш= 10-8 Вт/Гц. Найти вероятность появле­
ния флуктуа·ционной помехи РФ.п, средняя мощность ко­
торой превышает пороговый уровень Рпор=4Рс.
2.3.4. Найти отношение сигнал/шум, полагая, что
сигнал такой же, как в предыдущей задаче, а стацио­
нарный шум · имеет энергетический спектр G(f) =
=Аехр [-В (if-fo) 2], В= ( 1' 65 ) 2с2, А= ~')о-9 Вт/Гц.
Лf
r2л
2.3 .5 . При каком соотношении между пороговым
уровнем Рпор и полосой анализа сигнала F вероятность
появления сосредоточенной помехи, превышающей по­
рог, остается неизменной.
•
2.3.6. Некоторый источник выдает двоичные инфор­
• Мационные посылки со скоростью 1' посылок/с. Посред­
ством ФМ или ЧМ по одному и тому же каналу связи
с полосой Fн эта информация может передаваться двоя­
ким путем:
а) посредством параллельного модема: информация
передается параллельно на п независимых частотных
поднесущих, причем ка~дая из них обеспечивает ско­
. рость передачи !'/п;
б) посредством последовательного модема: . инфор­
, маuия . передается короткими посылками длительностью
1Т= 1/1' на одной несущей (одноканальный в.ариант пе-
редачи).
•
80


Вероятность попадания сосредоточенной помехи со
средней мощностью Р с .п в полосу канала связи близка
к 1, в то время как вероятность попадания двух или
более таких поме х очень мала . Показать, что последо­
в ательный модем при той же средней мощности пере­
датчика (Pпep=const) и эффективности использования
полосы (v=I'/Fн=const) обеспечивает в указанном ка ­
н але большую верность, если Рпер/Р с .п< 1.
2.3.7 . Пусть равновероятные символы двоичного
источника А и Б для повышения качества передаются
с помощью 1N=2k+l независимых частотны х каналов
( частотноразнесенная система связи ЧРСС), причем
п ри передаче символа А в каждом канале передается
« 1», а при передаче символа Б в ка ж дом канале пере­
дается «О» . Вероятность попадания сосредоточенной по­
мехи в одну ветвь ра з несения Рс.п= 10-1
.
В месте приема символы А и Б регистрируются на
о снове мажоритарного декодирования: если в большин­
стве частотных каналов зарегистрированы «1», прини­
м ается решени,~ в rrользу символа А, если же в боль­
ш инстве каналов зарегистрированы «0>~ принимается ре­
шение в пользу Б. Найти вероятность правильного де­
кодирования q, если число rN=5 .
2.3 .8. Пусть прием информации в ЧРСС
· предыду ­
щ ей задачи ведется только по n~1N ветвям , свободным
н а данном интервале времени от сосредоточенной поме­
х и, причем до принятия решения в пользу символов А
или Б сигналы отдельных ветвей складываются так, что
вероятность ошибочного приема символа равна Pn- При ­
м ем , что, когда все ветви разнесения окажутся « заби­
тыми» сосредоточенной помехой, прекращается переда­
ча и нформации по команде, переданной по каналу об ­
р атной связи .
Определить : вероятность перерывов в передаче ин­
ф ормации по каналу; вероятность передачи информа ­
ц ии по линии; среднюю вероятность ошибочного приема
с имвола.
2.3 .9 . Пусть отрезок гармонического сигнала дли­
тельностью Т и с амплитудой От вместе с импульсной
п омехой после входного блока с полосой Лf подвергает­
ся двустороннему ограничению по напряжению с уров ­
нем · Ио. Примем ; что импульсная помеха не нарушает
к ачества связи, если ее энергия на входе решающего
блока в 10 раз меньше энергии полезного сигнала:
81


Еи .п<О,1 Ее. Показать, что при &0 = Ит каче_ство связи
не нарушается, если Лf> 10/Т.
2.3.10. Для борьбы с импульсной помехой_ при пере­
даче двоичных равновероятных символов источника
« l » и «О» использовано их 2k+ 1-кратное повторение
(избыточное кодирование), а в месте приема - мажори­
тарное декодирование. Полагая, что импульсные поме­
хи попадают независимо в отдельные тактовые интер­
валы с вероятностью Ри.п=О,01, вызывая при этом оши­
бочный переход, определить вероятность ошибочного
приема символа при числе ветвей разнесения N =3. Оп­
ределить, во сколько раз уменьшилась эта вероятность
по сравнению с примитивным (безызбыточным) кодиро­
ванием.
2.3.11 . Найти вероятность появления импульсной
помехи Ри .п, вызывающей ошибку в передаче сигнала
Еи.п>О,1Ес (см . 2.3.9), если нет ограничения. Амплиту­
да сигнала Ит = 1 В, ти = О,l Т, а амплитуда импульс­
ной помехи Ии имеет логарифмически-нормальное рас­
пределение
w(И)и =---- ехр [ - (lпИи - μ)2]
Ии у2па2
2а2
'
где μ, а 2 - параметры распределения, определяемые со­
отношениями:
Считать,что Ии=10В;VИ2и. 12 в.
~ Решения и ответы
Р.2.3.1. Согласно (2.12) плотность вероятности ре­
ализации отрезка флуктуационного шума с энергией Еш
Е
можно представить так: w 1 (ит) = К ехр (-
_!!! ). Если
.
Gш.
Еш=О, то w1(Ит) = К. Отношение этих величин опреде­
ляет искомый результат.
_
Р.2.3.2. Средняя мощность теплового шума Рш=
~ 4kTFc, где k= 1,37 • 10-23 Дж/г·рад- постоянная Больц-
Рс
1л2
мана. Следовательно,
так как Ре=
Рш = 2 4kTFc'
=АЧ2.


Р.2.3.3. Искомая вероятность РФ.п определяется ве­
роятностью выполнения неравенства Аш>Апор= V 4Рс.
Огибающая шума Аш имеет распределение Рэлея
1
w1 (Аш) = Аш ехр(- А~), Рш =2GшЛf.
Рш
.
2Рш
Таким образом,
00
Рф.п= S ,w1(Аш)dАш =ехр(- ~) = 0,135.
~;--
GшЛ f
r 4Рс
,
Р.2.3.4. Средняя мощность шума
f o+Лf
Лf
Рш=SG(f)df=А ,\ехр(- : х2)dx=
fo-Лf
-Лf
= V2; АФ(Лf Vв) = 20 мкВт.
Отношение сигнал/шум равно 5 (приблизительно 7 дБ) .
Р.2.3.5. Pc.п=kvc.пF, где k- коэффициент пропор­
циональности. Если среднее число сосредоточенных по­
мех Vс .п в единичной полосе пропорционально Рпор, то
вероятность по5,1вления сосредоточенной помехи Рс.п,
превышаю щей пороговый уровень, остается неизменной,
когда величина Рпор обрапiо пропорциональна полосе F.
• Р.2.3.б.
Средняя вероятность ошибки параллельно­
го модема
п
Рпар=~Pk•
k=I
где Pk - вероятность ошибки в каждом частотном ка­
нале. Средняя же вероятность ошибки последовательно­
го модема определяется вероятностью ошибки элемента
сигнала Рпосл=Ро- Вероятность ошибки Pk и Ро опреде­
ляется отношением сигнал/сосредоточенная помеха в
обоих модемах.
Для паращ:rельного модема отношение сигнал/поме­
ха в каждом частотном канале (Рс/Рс.п)пар=Рпер/nРс.п,
в то время как . (Рс/Рс.п)посл=Рпер/Рс.п- Попав в полосу
k-го индивидуаль ного канала параллельного модема
ripи . (Рс /Рс.п)пар< 1, помеха обусловливает в этом кана­
ле · величину Pk,;::::; 1/2 и, следовательно, Рпар,;::::;; 0,5, если
даже по остальным частотным каналам вероятность
83


ошибки близка к нулю. В · последовательном же модеме
помеха той же интенсивности обеспечивает величину
(Ре/Ре.п)поел=n(Ре/Ре.п)пар, которая при больших пмо­
жет оказаться явно недостаточной для существенного
понижения верности связи.
N
Р.2.3. 7. Вероятность ошибки Ро= 1-q= .~ P(i),
i=k+I
где P(i) - вероятность того, что помеха попадает в i из
,N каналов. С учетом биномиальной формулы (см. зад а­
чу 2.1.3)
N
q=1- ~Cipi(1_р )N-i
.
~Nс.п
с.п
i=k+I
Если :N=2k+1=5, то k=2 и
q=1- [СЗрЗ (1- р )2+С4р4 (1- р )+csр5 1·
5 с.п
с.п
5 с.п
с.п
5 с.п
При Ре.п=О,1 q=8,46- I0-3 •
.
Р.2.3.8. Согласно биномиальной ' формуле вероят-
•ность перерывов Рпер=Р(N) ==РN с.п- Вероятность нали­
чия связи Рев= I-pNе.п• Вероятность того, что при на­
личии связи прием ведется по n~:N ветвям,
C'J .j Р~_-;/ (1 - Рс.п)п
р(n) = ----'--N---'-- •,
1 -Рс.п
В этом выражении числитель определяет совместную
вероятность наличия связи · и осуществления приема •по
п не забитым помехой ветвям, а знаменатель определя­
ет безусловную вероятность связи. Средняя вероятность
ошибочного приема символа в рассматриваемой ЧРСС
N
Рош=LР(п)Рп·
n=I
Р.2.3.9. Длительность импульсной помехи на входе
(также и выходе) ограничителя -rи примерно обратно
пропорциональна полосе пропускания входного блока,
т. е. энергия импульсной помехи после ограничения
• u2т
Еи.п= И20/1Лf. С другой стороны, Ее= -Т . При Ит=
= Ио имеем IЛf> 10/Т.
Р.2.3.10. Воспользовавшись формулой для вероят­
ности правильtrого приема из Р.2.3.7, при Ри.п« l и :N =
=3 имеем
•
84


Рот=1- q=с2р2 +сзрЗ
= 3р2
+рЗ -~3р2
.
3 и.п
3 и.п
и.п
и.п
и.п
При примитивном кодировании Рош • Ри.п• Избыточ-­
ное кодирование уменьшит вероятность ошибки в
Рн.п /3р~.п = 1/3Ри.п ~ 33 раза.
Р.2. 3. 11. Неравенство Еи.п>0,1Ес можно записать ;
так :
И~ -си> О,05И;, Т,
или g=lnИи>ln(Um-. ~)=gnop•
V U,Ub1⁄4
Если Ии имеет логарифмически - нормальное распре­
деление, то g имеет нормальное распределение {11] . с
параметрами й= :μ; (g-g) 2= ,a2 . Вероятность выполне­
ния неравенства· g>gпop
00
Ри.п= S w(g)dg= +[1-Ф(gпорсr-μ)]·
g,юр
Легко заметить, что
Vи~ •(а2) •
,fVu2
---;=-= ехр2,илиcr= V21n~=0,603;
Ин
Ин
_
.Vи~.
μ =lnUи-lП---=- = 2, 16 .
Ии
Поэтому
1
Ри.п=2 [1-
-Ф(2,94)] = 1,64-10-3
.
2.4. Прохождение случайных воздействий
через канал связи и его звенья
Исследование преобразований случайных процессов при их про -­
хож дении через линейнь1е динамические системы (как с регул ярны ­
м и, так и случайно меняющимися параметрами) связано с реше ­
н и е м задач двух типов:
1) по данной корреляционной функции (энергетическому спект­
ру> входного воздействия X(t) найти корреляционную функцию•
(энергетический спектр) отклика Y(t) динамической системы, задан,.
н ой ее характеристиками;
2) зная многомерные распределения входного воздействия ,
X (t), · найти многомернь1е распределения отклика Y(t) заданной ди­
н амической системы.
Вторая _ задача является более общей . Однако ее решение бо ­
лее сложно . Поэтому здесь для линейных систем общего вид а,
85


,tJграничимс·я : лиiпь решением первой задачи. Что касается прохож ­
_дения случайных воздействий через нелинейные системы, то, _ рас­
"ематривая решение задач двух указанных выше типов, ограннчим­
,-ся классом безынерционных детерминированных нелинейных си­
,-стем.
1. Прохождение случайных процессов через
.л иней н ы е с ист ем ы. Исчерпывающей характеристикой линей­
· ной системы в общем виде , (со случайно меняющимися параметра­
ми) является случайная импульсная переходная характеристика
,G(t, 't). С ней связана случайная кdмплексная передаточная функ­
,ция
00
K(f, t) = s G (t, 't) e-iro-c d"t.
(2.13)
-оо
:з_ная K(f, t), обратным преобразованием Фурье получаем G(t, -r):
00
G_(t, 't) = sК(f, t) ei ro-c df.
(2.14)
-оо
,Отклик системы на воздействие X,(t) определяется интегралом
Дюамеля (с учетом физической осуществимости)
00
Y(t) = sG (t, 't) Х (t-'t) d-c.
о
(2.15)
Корреляционная функция отклика Y(t) линейной системы со
,случайной характеристикой K(f, t) на стационар ное воздействие
X(t) может быть найдена как
00
Ву(t, t +-с) = sВк(f, t, 't)Gx(f)е1ro-cdf.
(2.16)
-оо
:здесь Вн (f, t, 't) =K(-f, t) K(f, t+"t) - корреляционная функция
1Канала в общем случае со случайно меняющимися параметрами;
,Gx(f) - энергетический спектр воздействия .
Аналогично (2.16) определяется корреляционная функция от­
-,клика и при детерминированном воздействии, если под G" (f) иметь
,в виду характеристику
Gx(f)=Iim
Т-+оо
s~ (f)
т
(2.17)
'1'де Sт(f) - модуль спектральной плотности детерминированной
,функции .
2. Прохождение случайных процессов через
,н елинейные системы (с регулярными параметра­
м и) . Функции .распределения выходного процесса Y(t) той или иной
_;р азмерности при заданном распределении входного процесса X(t)
, и ' заданной характеристике преобразования систе м ы у = <р(х) могут
,б ыть получены известны м и и з теории вероятностей методами на ­
:хЬждения распределений функцион:э.льно свя з анных случайных ве­
.личин [ЗJ ;
86


Корреляционную функцию . выходного-- процесса при известноМJ
двумерном распределении входного процесса W2(x1, Х2; f1, f2) мож ­
но определюь по формуле
СХ)
СХ)
ВуU1, t2) = S S[(J) (х1) - У(t1)J [(j)(х2) -
-оо -оо
(2, 18}:
в то время как для определения математического ожидания выход­
ного проду,кта достаточно знать одномерн у ю плотность вероятно -­
сти W1(X; f)
СХ)
ту(t)= S(j) (х) w1(х; t)dx.
(2.19),
-СХ>
Задачи
2.4.1 . Пока1зать, что отклик произвольной линейнои­
си1стемы Y(t) на ,сл,учайнюе ,входJное во'зд'еЙ1ствие X(t),
м,ожно п·ред,ста,вить суммой четырех неза,вис"Имых сла ­
гае1мых
пде Y1(t) -011кли,к 1детермиш11рава'Н'НОЙ си,стемы с харак-­
теристююй g(t, т) = G(t, т) или k(f, t) =К(Гt) на дете:р ­
м•и•ниро1ванное IВОiЗдействие mx(t) = X(t); Y2 (t) -отклик:
о
системы с центр-ированной ха'ра'ктери:стикой G(t, т) ·илw
о
K(f, t) на детер1минир•о,ва,нное 1воздейс11вие mx(t); Y3 (t)-·
отклик детерминированной системы· с характеристикой ·
о
g(t, т) ил1и k(f, t) на центри,рован,ное во.здейс11вие X(t) ;
У4 - 011клик •системы с цен11риро1ванной хара,ктеристикоw
о
о
о
G(t, т) или K(f, t) на центр·ирован.нqе воздействие X(t).
, 2.4 .2.
· Покавать,
что для линейных систем, у кото­
рых перещаточная фующия не . ва1висит от частоты,
K(f, t) =K(t) (безынер ,циюНlные линейные системы), 1кор-­
:реляiционна,я фунюц1ия откли!Ка авя.зана с 1к,орреляцион ~­
н ой фу,шкщи·ей ,стационарного ,входного воздейст,вия . со ­
отношением
2.4 .3 . Показать, что, если параметры си.стемы не
мЕшяю11ся "во 1Времен,и, т. ,е. К,(f, t) =:' K(f), энер,гетичеокиЙ\
спектр выхода Gy (1) связан с энергетическим спектро Мi
87


{В)Ю'да Gx(f) фор·мулой
Gu(f) = Gx(f) К(f)К(-f) = Gx(f) /(2(/).
2.4 .4 . Последовжельный колебатель:ный .контур с
[Iаrраметрами R, L, С находи11ся [IОД ,ваз1дейс11вием ста­
ционарноrго белого шу~ма Iс 0нерIгетически.м ,апектром
-Ош. НаЙ"m энерге11ичеак:ий 1сшектр и корреляционную
фунr1щию на1пIряжения на ем1кюсти IКОНТ1Ура. _
2.4 .5 . На ,юющ ка'нала с раIссеянием во времени и
·по ча,стоте Iс фу~н1К1цией 1кор.реляции
B'k. (j,т) =аехр(-а.1_l _t _l
-
а.2 1-!.l)
/о
'to
·1111оrстушает га1р1монический си~гнал с частотой fO и случай­
lНОЙ шмшлиту,п,ой А.
Найти внергетичес'кий ,апектр и корреляционную
,функщию 1ВЫХО/дНОiГО 'П,роцеlСIСа.
2.4 .6 . На вход идеальной длинной линии с линейно
мен1Яющейся во вIреме.ни задерж'кой поступает ·стаiЦИО-
1-1а1рный .сл~учайный 1процеас ,с Э1нергетичеаким ,с1пектром
G(f). Найти корреляцион,ную фун:юцию и энер,ге11и:че­
ский апепmр 'Выходного 1Процесса .
2.4 .7 . На ~вход •синх:ронного детектора (:перемнюжи­
тель, выходной 1пIродукт котор·о,го [Юдвертае-гся низ1коча­
•стотной фильт,ра1ции) 1Пос-гушает ~случайный проiЦесс
Z(t) =kАМЬ(t)cos(ro0t+ср0)+Хп(t)cosro0t+Уп(t)sinro0t,
'К·ото,рый [!'редстапзляет ,соrбой а,щдитИ1вную ,смесь ,сигна­
ла БАМ и флуктуацион1нО1rо шума 1. Зде,сь rо 0 -неюущая
частюта; b(t) - мод,ули1рующий .сигнал с нулевым сред­
.нrим з.начением и 1полооой частот Ре; Хп(t) и Уп(t) -
незаrвиси:мые, нормально рач::шределенные 'К'ва;дратурные
:1юмIппненты шуIма, у ~которых
.
-
0
sin2nFc't
тх=ту=О,Вх('r) = Ву(т) = В(т) = шFс ---- •
2nFc't
Опорный сигнал иг(t) =Игсоs (root+cpг). Фильтр низ­
'КИХ чаIстот Iв :П1олосе F.c будем счи~тать идеальным с еди­
;ниЧ1ным ,1юэффициентом :передачи. Определить:
.
а) од!номерное раIопр·еделение выхадного про~дукта
'Y(t); его среднее значение my(t), .zщаперсию a2y(t);
6) карреля1ционную фующию и энер,гетичес'КИЙ
,апектр ·для флуктуирующей части Y(t);
1 Свойства . шума считаются одинаковыми для, всех нижеследу­
,ющих задач этого параграфа.
81!


·в) отношение сигнал/шум на вх·оде (Ре/Рш)вх и вы -
хо:де детектора (Рс/Рш)вых;
•
IГ) IВЫИгрыш модема g= (Рс/Рш)выхf (Рс/Рш)вх-
2.4.8. На вход 'СИН ХJРОIН'ного детек'I'ора постуmает
омесь .мо:дулирован.ного тю углу сигнала и флу.ктуацион­
·ното шума
Z(t) =Итcos[ro0t+0(t)+ср0]+Хп(t)cosro0t+Уп(t)sinroof,.
г;де 0(t) = ЛсрЬ(t) 1п1ри ФМ; 0 (t) =Лrojb(t)dt пrри ЧМ.
Определить те же хара1ктер:ис'I'и1ки, что и в задаче·
2.4 .7, [юла1гая, что при детектировании ЧМ ~сигнала к
син х рюнно:М'у ,детектору л-адключаетс я еще идеальна 5t
д·И'фферен;цирующая цепь .
2.4 .9 . На !Вход безынерционного нелинейного ~пст ­
рой~ст,ва .с характеристикой у=х 2 люстушает ,стациО1Нар ­
ный ~Нормал ьный шум 1с корrреляционной функцией,
Вх (-с)= a2xRx (-т:) •= <J2x е-а /'tl.
Опр-еделить: одномерную ~плотность вероятности ~вы ­
хо·дного п!роду~кта Y(t), ,матема11ическое ож:ищание my(t) ,
корреля;ционную фу.н11щию и энергетичеокий опе,ктр,
By(t, t+-c), Gy(f).
2.4 .10. На IВХОд «линейного » ам1пли11Удного детекто ­
ра с характери,стикой
' { kUвx при Ивх :;;.. о,
Ивых =
о при Ивх<О
[11Qlступает случайrный .процеос Z(t) = (Иrn(l +mb(t)) +
+Xп(t)] ·cos rooi+ Yп(t)sin root, юоторый 1пре'_щставляет со ­
бой ащдитивную смесь сигнала АrМ и •стационарного нор ­
малЬ'нюго шума •с rравном ·ерным энер1гетическим опект ­
ро.м Gш в ;поло,се частот ·канала Fк = ·2Fc .
Оiп1ределить 1п1ри b(t)=O:
а) отношение сигнал/шум (Р с /Рш)вых на выходе иде ­
алЬ'ного ФНЧ, 1под1ключеннаго :к линейному дете1к11ору;
~б) о-лноше,ние сигнал/шум ,на ,входе детекmр а,
(Рс/Рш)вх;
.
rв) IВЫИ'Лj)ЫШ м·о•д е,ма g = (Р с /Рш)вых/(Рс/Рш)вх -
Реш·е:ния и ответы
Р. 2.4 .1. Проиввольный ,с•лучайный лроцеос X(t )
мо жно за~писать 1как су~м.му центрированного процесс а
о
а
X (t) и gro матемаtичеоколо ожида,ния X(t) =X(t) +
+,mx(t). АналогИЧ!;!:9 лредста1вляются и системные ха -
'89


;раkтерИi<!'ГИ'К'И mро·изiюлын ой линейной системы·:
о
О(t, т) =G(t, т)+g(t, т), гдеg(t,т) =G(t, т);.
о
К(f, t)=К(f, t)+k(f, t),гдеk(f,t)=К(j, t).
С ,учет,ом •скаеанного отклик ,п,р·оизво.льной линейной
.системы с характеристикой G (t, т) или K(1f, t) на про-
X{t}
1
~
Цett(npu­
p!JIOЩee
!JCmpotl -
стdо
а)
6)- .
Рис. 2.5 . Прохождение случайных воздействий че­
рез линейную систему со случайно меняющимися
параметрами:
а - общая схема канала; 6 - представление кана-
ла четырьмя параллельными ветвями
:из1вольное 1во1здей1ст,вие X(t) может быть О'Пlределен •сум­
мой Y1(t) + Y2(t) + Уз(t) + Y4(t) (рис. 2.5). Неза,виси­
мость откликов Y1(t), Y2(t) - Y4(t) следует из статисти­
ческой незшвиси·мо.сти дете1р 1минИ1рованных и флуктуиру­
ющих ча·стей любого ~случайного процес,са, а та%же из
прмположения неза1ви~си·мости .между вхюдным ,воздей­
•ствием X(t) и свойс11вам~и системы, через аюторую это
1Воздействие mро.хощит.
Р.2.4.2. Иооользуя (2.16), [I'ОЛучаем
•
------
00
Ву(',,,t +т) =К(t)~K (t+ •) 5Gx(f)е100~ df.
'
-
-
''-
•
..:.;(Х:1
•
1., _.
90


Интеграл 01прещеляет 1юрреля1цион·ную функцI:Iю _входно ­
'Г1О IВ:ОЗ'дей~ствия. Следо.ват.ельно,
Ву(t, 1+т)= К(t)К(t+т)Вх(т).
Р.2 .4.3. С учетом (2 .16) имеем
-сх,
Выражение K(f)K(-f)Gx(f) = К2(f)Gx(f) по1д знако ~
ннтег,рала от времени не за,висит и определяет энерге ­
тический 1сшекТ1р 1выходно1Го продукта.
Р.2.4.4 . Эн,ергетиче,ский ап екТJр отклика л·инейног о,,
четьIJрех~полюс;ни~ка ,с ,п•о,стоянными :пара:метра ми связа н­
с внергетич,ес,ким апе,ктро:м ·воэдей~с11вия ,еле.дующим со­
отношением: Gy (t) = k2 (f) Gx(f) (Р.2.4.3) .
Модуль '!юм 1пле.ксноrо коэффициента :передачи коле­
бательного •контура
(j)2
k(f)=
0
,
V(ro 2 - rоб)2 + 4a,ro 2'
1
R
гдеwo=yLC; a=2L •
Энергети,чес1кий юп,ектр выхо,,щного 1~роцес,са
Совершая ·переход ,к
(1.2), ~получаем
•
к·орреля1цион1ной фунюции по
(j)2
-
--·
а,
В0 (т) = Gш ~ e- al,I (cos V w5- сх.2 i + --_--с------=--=- Х
V Wб -а,2
ХsinVwб___:__ ех,2 1т 1) ·
•
2
R
•
Wo
2ое
Бели Q~ ,1 (т. е. wo~a) , . ,с уче'l\ом того, 'Чrо - ·
-
·
=-
,
•
а
L.
..
2Rce -a/i/
Ву(,:~.. GшТе : •cos w0т.
91


•Р.2.4.5.
У,срещненный . энер,гетичеокий спектр вход­
ного .сигнала
*
л2
Gх(j)= 2 б(f- fо).
Учитывая, ·что By(t, t+'t) 1 = Bн{t)Bx('t), получаем
00
By(t, i+-r) =ae -a .J-tJ ~
2
j ei{i),; e-a,lflt5(f-f0)df =
-оо
= a e-a,Jf.J-cx,J,;j A2 cOSffio~-
P.2 .4 .6 . Коэффи1Циент [Iередачи идеалЬ1Ной щлинной
.линии •.с линейно меняющейся 1во _~времени задержлюй
К (f) = а e-i{i)kt,
где а, k - rюнста·нты. Функция .rюрреляции отклика
tф-ла (2 .16)]
00
Ви (t, t + 't) = а2 S ei{i)kt e-i{i)k <t+1:J Gx (f) ei{i)'t df =
-оо
Та1IЮЙ кор1реЛЯIЦИОIННОЙ фуН!КЦИИ СОО'ГВе'I'С'I'Вует энер,гети­
чесжий опектр
00
G (j) = а2 SВх ((1-k) 't) e-i{i),; d 't =_!!:._ах(-'-) .
1-k
1-k
-оо
Отсюда видно, что задержка процесса, пропорцио-
• нальная времени, приводит к сдвигу средней частоты
спектра на величину kf O (допплеровскому смещению час­
тоты), к соответствующему расширению (при 1-k<l)
или сужению (1п1р·и l-k>1l) его, а так.же к из~Менению
интен.сшв'но,сти в 1/(1-k) 1ра:з. В~прочем, в •системах ,с~вя­
зи ш:ри I k 1 ~ -1 в обла,сти до1статоч:но ~высоких ча,стот fo
[Iра:ктичеоки •во внимщше •следует брать только до:шпле­
р,ооюкое смещен,ие часmты.
Р.2.4.7. Перем1Ножи1в Z(t) и иг(t) и rвыдел.ив из пр:о­
ИЗ1Ве1дения •толь:ко низ:коча1стотный прццу~кт, получим
' Y(t) = Uгkлм b(t)co.s(q,0 -Фr) +-1 UrXп(t)cosq>r-
•
2
.
2
l·uy •
-
2 r.пSlП'Рг;
92


Y(t) имеет 'Нормальное распределение с параметрами:
ту(t) = Иг k~м ь(t) cos (<ро - <рг), о~(t) =+и~FРш•
Корреляционная функция для флуктуирующей части
ВЫХО,ДНОIГIQ продукта
В (-r) ,: _1_U2рG sin2л:Fст
,У
4гсш2л:Fст'
а энер1гетический апеК11р 1рав,номерен в полосе час11от Ре
и 1ра1вен
Guif) = +и~Gш.
Отно шение сигнал/шум 1на выходе синхронного детек­
'ГОlра
(Р JP) _ m ~(t) _ k~мЬ2Ct)cos2 (cp0 -cpr)
с швых- a;(t)-
FcGш
Отношение сигнал/шум на входе детектора в п:оло1се ка­
нала Рк:=2Fс
Выисr:ры ш мо:дема
gБАМ = 2cos2 (<ро - <рг)-
При <ро=<рг величина g БАМ максимальна и равна 2.
Р.2.4.8. Пере;мнОЖИ'В Z(t) и иг(t) и ,выдеЛИIВ из .про­
изведения ТОЛЬIКО НИЗIКОЧЖТОТНЫЙ 1IГрOд'У'КТ, имеем при
синхронном детектирова·нии ФМ ·сиnнала
У(i) = UmUг COS(<р0_:__ <рг+0(i)) +-1 ИгХп(t) COS(J)г-
2
2
-
-
1- ИгУп (t) sin <рг,
2
.
Y(t) имеет нормальное ра~сшределение с параме11рами
ту(t) = Uт:г COS(<р0- <рг+0(t)), О~(i) =+ИгРРш•
КО1рреляционная функция и энергетический спектр
флуктуи,рующей <tJ:atcти выходного ,продукта олределяют­
.ся , согJiа,с,но Р.2.4.7. Если <ро-<рг=n/2, l .0U)l~n, т. е.
модуляция неглу~бокая, синхронный 1детектор обеспечи -
.93


вает неисrка1жен1Ное детектИ'р'ОВание ФМ сwгнала при от ­
сутс11вии шума, и,б,о iВ этом ~случае
ту(t) = ИтИг sin0(t)~ИтИг ЛсрЬ(t).
2
2
Пр'и этом
При заданной форме Z(t) 1в полосе ,канального ,сигна­
ла Fн при у;гловой модуляции
u2
(Рс/Рш)вх = _ _т_ •
FкGш
Вьтлрыш [IРИ ФМ и синхронном детектировании
gФМ=Лср2ь2(t) ~к =~~мь2 (t) FFк '
с
с
может значительно превышать 2. Здесь ~ ФМ =Лер - ин­
декс фазоiВой ,мО'дул,я1ции.
Бели Y(t) пюдаJЪ на идеальную дифферендшрующую
цепь (1при дете:кт,и1р1овании ЧМ сигнала), то ,вы х оДJНоЙ
продукт при cpo_:(J)г=n/2, 0(t)~:rt
У1(f) = ИтИг Л@Ь(f)+-1
•Иг COS(j)гХ'(f) +
2
2
г
+-1
-
Иг sin срг Уп' (t).
2
.
Флу1ктуи1рующей части Y1(t) ,соответс'Гlвует энергетиче­
ский оriектр
1
G(f)=_ u2Gw2
У,
4гш'
так ,как дифференцироизание шроцесса соо11ветствует ум­
ножению э:нергетичеокого ,спектра на ui. Таким обра­
зом, шум на ,выходе ча1 стотноло детектора, в отл 1ичие дт
детектора АМ и ФМ, ,имеет 1нераш,номерный энергетиче­
ский опею1р - его интеноивность ра,стет с част0той.
С~рЕЩ'НЯЯ МОllЩЮСТЬ шума На ВЫХОДе раосматриваеМО­
l'О частотного детектора
Fc•
·ре •
2
·
и-
Р =sG (f)df = И2Gшn2Jf2df= _гF3Gw·:rt2, •
ш.вых
У,
г
.
3.с
о•
о
'
94


Отношение
зи~ лrо2 ь2 (t)
(Ре/Рш)вых =
·
•
4F~ Gш л2
Выигрыш П!ри ЧМ и синхронн()lм детектирО1вании
g = лrо2 3Ь2(t)Fк=3р2 ь2(t)~'
ЧМ 42р2
F
ЧМ
F
:п; с
с
с
R
Лrо
•
nде 1-'чм =-
-
индеюс чаС'ютнои ·модуляции .
2лFс
Р.2.4.9. При кващратичном mреобра:з·О\Ва.нии случай­
ной величины Х кажд()lму з.начению У, которое всегда
положительно, с0,ответ1с11вуют два з.начения случай~ой
величин ы Х: Х1 = VТ, X2 = -VY. Тогда в ;соответ,с11вии
с методи кой нахо~<дения распределений функционально
е1вя1за н ны х случайных !Величин получаем для одномер­
ного раопре;Деления w1(Y) при условии , что известно
р а оп рещеление w1 (х) {15]:
w1(Y)= 2
~ (w1(V Y)+w1(- ~
y)), у>О.
П ри ,нормальном 'Распределении входной ,величины
W1(Y)=
_
_
1
ехр(-~) ·
V 2ла~2уу
2ах .
Математ ич еское ожидание ,выходного прод у,кта с огла,с ­
н о (2.19)
00
У=ту=Jх2w1(х)dx= а~ .
-оо
Дв умерная плотность ~вероятности 1В хадноло процесса
{22]
х) = -----ехр f_
1
х
2
2:rю;V1- R2 • t 2а;(1- R2)
Х[xf+х~-2Rx1x2J}·
К орреля.цио;нна,я фу,н~к,ция :вы х,сщ ною процесса С О['Лас­
н о (2.18)
00
00
Ву(.:) = J J(xf-y)( х~- у) w2 (х1х2) dx 1dx 2 •
.
-со -оо


После лесложных ,пр~О'бразова·ний получим
в (т)=2В2(т)= 20'4R.2-(т)= 2cr4 е-2а;j't 1
у
.
х
хх
х
•
Та·кой корреляционной фу;н,кции соответст,вует энергети ­
ческий 1алектр
G(f)=4cr4• 2а
,У
х 4а2+4л;212
Обратим lВlнима:ние на то, iчro хотя отклик и во:здей­
с11вие имеют раз личные 1расшределения (выходной П'РО­
цеос не я1вля,ется гауссо1всКiим), форма корреляционной
фу~шюции и энер~Г.етичеаКiого -ап е!ктра флу~ктуаций на rв ы­
хме системы та~кая же, :как и на rвходе.
Р. 2.4.10. Огибающая входного про1Це,оса
R.(t) =V[Ит(l+тЬ(t)+Хп(t)]2+У~(t).
На выходе неискажающего ФНЧ с граничной частотой
Ре•= Fк продукт «линейного» детектирования Унч (t) =
2
.
=k 1R.(t), гще k 1 - коэффициент прсшо,рцио,нальности ;
примем далее k 1 = 11.
Процеос Унч(t) И1меет обобщенное раопрмеление Рэ­
лея (•см. Р.1 . 2.17) с математичеоким ожиданием
т•(t)=а-.
/ n[(1+а~(t))/(а;(t))+
Унч
V2
2а2 о 4а2
(сr2 =FкGш-средняя мощность шума на входе детектора ;
а2(t) • u2
_Р_ = _!!!_ [1 + тЬ (t)] 2 - оредняя за период ,высоIЮЙ ча -
2
2
с'I'оты мощность АМ ,сигнала) 1и дwапер1сией
а2 (t)=у2 -т2
= 2а2+а,2(t)- т2 (t),
Унч
нч
Унч
Р
Унч
1кот,орую п1римем. за ,сред·нюю (в а период 1вьюо:кой ча1сто­
ты) , ~мощность ~выходнот,о шума .
Если ,величи,ну тинч (t) уормнить !ВО времени, 'ГО по-
лу~чи 1м ,по1с'I'о,янн ую •соста ,вляющую выход1Ного продукта ,
,1юто,рая .н е несет инфор·мацию . За полезную (си1Гн а ль­
ную) со·ставляющую rвы хоiдiного продукта сле~дует 1При-
нять си,гнал Y~(t),=rm и (t)- ту (t) .
НЧ
НЧ
96


Для у~п:рощения анализа ра1осмотрим а~с·имптотичес­
кое шюведен1ие ту (t) для ДJвух крайних ,случаев: боль­
нч
шое от,но:Шение сигнал/шум на вхо,де ( (Р с! Рш) вх =
= а~ (t) ~ 11) и малое 011ношение сигнал/шум на ·вх,оде
2а2
•
•
( (Рс/Рш) вх~'I).
,В шер1Вом случае, воапользова,вшись асим1птотшюй. [6]
1
ех(1+~),л= _J__прип =о~
у2лх
х
8
3
л=
-
-
прип= 1,
8
.получим:
[27]
ту (t) ~ар(t),· р
~U2т2Ь2(t)·, р
~ и2,·
НЧ
с.вых ' т
ш.вых
g=
(Ре/Рш)вых
(Ре/ Рш)вх
2m2 fjiЩ
1 +m2b2 (t)
Но ВТО'ром случае, IIЮО'ПОЛЬЗОIВаJВШИIСЬ а1СИМ[IТОТИ.КОЙ
получим:
Vn ( а2(t)) •
i;4
_
•
ту (f)=
-
О' }+_Р_ ;ревых~~m2b2(f)л;
НЧ
2
2а2
•
2а2
и2 2т2,Ь2 (t)
Р
,,.._, О 4302• g = 3 7 ~ ----'--'--'с=
ш,вых ,,.._,
'
'
'
а2 1 +т2ь2 (t)
Обратим вни1~ание на то, что в ,рассматриваемой не-:-­
линейной схеме (линейном детекторе) •имеет место по­
д а ·вление более сильной ,компонентой ,вхоща более С'Л-а.,­
бо й ,ком 1поненты. Это 1ока.зывае11ся, в ча,стности, в том-,
"-JТiO ,пара'Ме11р g при (Рс/Рш)вх~l у~ме,нншае11оя по сiрав-
11 е нию со значением этого параметра при (Рс/Рш)вх~ 1
а1
JЗ --
~ '1 раз.
U~З,7
1- 299
97


Глава 3
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СИСТЕМ СВЯЗИ
3.1 . Количественное определение информации.
Энтропия и производительность дискретного
источника сообщений
I<оличество информации / (а;),
бираемом из ансамбля {а;} (i = 1,
содержащееся в символе а;, вы-
2, 3, ..., К, К - объем алфави­
К
та) с вероятностью Р(а;), причем ~ Р,(а;) = 1, определяется как 1
i=I
/(щ)= -
logP (ai).
(3.1)
Оспование логарифма в (3.1) может быть .произвольным, оно
определяет лишь систему единиц измерения количества ·информа­
ции. Чаще всего
(3.2)
Пр11 этом информация измеряется в двоичных единицах (би­
тах). Одна двоичная единица информации - это к0личество ин­
формации, содержащееся в одном из двух выбираемых с равной
вероятностью символов .
Среднее количество информации Н(А), приходящееся на один
с имвол, выдаваемый дискретным источником независимых сообще­
ний с объемом алфавита К, можно найти как математическое ожи­
дание дискретной случайной величины Л, определяющей количество
;и нформации, содержащееся в одном случайно выбранном символе
( знаке) а; :
к
Н(А)= Л =-,- I Р(ai),logР(ai).
••
•
i=I
(3.3)
Эта величина называется энтропией источника независимых
сообщений.
.
Одной из - информационных характеристик дискретного источ­
ника является избыточность
Ри=1- Н(А)
=1- Н(А)
.
.
•Нмакс (А)
log К
(3.4)
J"
Из~ыточность источника зависит как от протяженности стати­
стических · сщ1зей между по.следовательно выбираемыми символами
{iщм'ятыо . и·сточни_ка) , так и от степени неравновероятности отдель -
1 Эта характеристика определяет информативность выбора сим­
вола а; для « неподготовленного» получателя и совершенно ·не учи­
тывает как смыслового содержания, так и субъективную ценность
передаваемых сообщений .
•
9:8..


ных <.:имволов. Ес.~и . источник 6ез .памяти
..
(последовательно п~ре­
даваемые символы независимы), все символы равновероятны
(Ра;) = 1/К), то Н(А) = Нмаис (А) и избыточность ри=О.
Если в единицу времени источник выдает в среднем v. симво­
лов (скорость источника Vи), то среднее количество информации,
с оздаваемое источником в единицу времени ,
1
Н' (А)= VиН (А)= - Н (Ai,
(3 ..5)
Тер
где Тс Р - средняя длительность одного символа.
_
Характеристику Н'(А) называют производительностью дискрет­
ного источника. Источник называется стационарным, если описы­
вающие его вероятностные характеристики не меняются во вре­
м ени.
Задачи
3.1 .1. ИсточнИ'к сообщений •выдает симIв,олы из ан­
с а1мбля А = {ai} . (здесь i = 1, 2, 3, 4) ·с ,вероятностями
Р(а1)•=0,2; Р(а2) = 0,3; Р(а3) = 0,4; Р(а4) = 0,1 . Найт1:1
,количество инфор,мацин, содержащееся 'В каждом из
с им1Вол01в источника при их неза1висимом выбо;ре (источ­
ник без памяти) . Вычи,слить энтропию -,и ,иЗJбыточнQсть
з ад а·нноrо источн1ика.
3.1 .2 . Показат ь, 'ЧТО для источника без пам:яти с
объемом алфавита К, энтропия Н(А) имеет ,максималь ~
Iю е з1начение Нманс(А) = l og К п•ри равновероятных сим­
во лах.
3.1 .3 . Покаэать, чю -при ра,вных объемах алфавитов
К энтро:пия .диокретного источника с памятью Н(А /А')
не п:ревышает энтроп ию ди·сtкретного ·}rсточника без ,па­
мяти Н(А).
3.1 .4 . Па,м,ять д,воично:rо •ста;ционар·но,rо дискретного
источни1ка с си,мвола:мн «О» и «1» ,црост•ирается лишь на
два соседних сим1вола и, -следов ательн:о, дискретная · по ­
с лед овательность .символов, вьщаIваемых источ1н•и,ком, .
О ПИСЫ/Вается пjюстой цепью Ма;ркава с матрицей пере­
х од:н ы х вероятностей:
II
P(l/l')P(l/0') 11 •
Р (0/1 ') Р (0/0')
r'де Р(ai/afi ) - ·вероятн·ость симв,ола Р(ai) при· условии·,
ч т,о ему п·редшествует сим-вол а\.
Полагая, что P(l/1') =0,9; Р(О/1') =0,1; P(l /0') =
= 0,7; най'I'и энтролию источника ••и его избыточность.
Н а йти энтропию и избь~точносtь двоичноr0,, ~аочню~а


без , ПаМЯТ-И, ·но ,с теми же значениями вероятностей пе­
редач·и сИМiнолов .
. 3.1.5. Стационарный источник ~выдает за !Время
Т = 10 6 с ДВОИЧIНЫМИ IПОСЫЛ'Ка!МИ длительности 't'и= , 10 м,с
107 бит инфо1р,мации. За !Ка,кое ~время и ка~ким :1юличест-
11юм ДВОИЧ,НЫХ [ЮСЫЛоiК можно mередать тот же ,объем
ннформации, если соответст,вующей обработ.кой IПОЛ'Н'О­
стью устранить ивбыто,чность И1сточника? Определить
.rюэффнциент и,з6ыточrюсти и1ст,очника.
3.1.б. Показать, что ма.к1си,ма..iшное кол.ичес11во ин­
форма ,ции, коrо:рое ,сощержится 1в :к•вант&ван.ном теле,ви­
зионном .сигнале, ,соответствующем од1ному телевизион­
ному 1ка1дру :п ри 625 с11роках !разложения, ра,вно
2,083 • 106 бит ,при условии, что сигнал, соо11ветст1вую­
щий одной строке изображения, 1предста1вляет ,со:6ой по­
сJiедователъность из 833 (при отношении сторон кадра
4/3) ,статис.rически неза·ни,симых случайных ,по ам,пли­
туде :импулъrсо:в; : ка1ждый ИIЗ которых 'С равной 1вероят­
НОIСТ.Ь!О приюrмает "одно из 16 значений. Найти из6ьг~оч­
ность ТеЛ,еlВ'И!З}ЮНtiО:Г,о' :си,Гнала, если фа·ктически 'Кадр
иво.браж~н'йя с : :." 16 ,г:ра1дац•инми уро•вней содержит
9,37 - 10 5 ,бит инфо,рмации [14].
•, i:, :J:'J :7: Со,гла,с:но :~кспериментальным данным безус­
лiоiвньrе вероятности буiш --руоокого алфа;вит'а хара!Ктери­
,зуются :габл . 3.1 . .• •
ТАБЛИЦА 3.l
Вероятность
Прьбе'J:1,.
0;175·. ,•;.·
м
0,026
1
ч
0,012
'
0,090
0,025
й
0,010
р ·,.
д
.е
0,072
п
0,023
х
0,009
а
0,062
у
0,021
ж
0,007
и ··.
0,062
я
0,018
ю
0,006
..
., 1'
0,053
ы
0,016
ш
0,006
·Н
0,053
3
0,016
ц
0,004
с
0,045
ь,ъ
0,014
щ
0,003
р
0,040
б
0,014
э
0,003
Б
0,038
г
0,013
ф
0,002
л
0,035
к
0,028
-
-- -·
·найти э1нтро1пию истоt11ника, 1выдающего текст из
этих бу1:кв, ,'при отсут,ствии ·статистических связей ,между
бук;вам:и,,, ]3ычис,лит,1:, .. избьп,очносrь источника, · выдаю-
1.90


щего ,русС'КИЙ те.кст, обуславле,нную неравновероятно­
стью 1выбора букв, а таIкже и их ,статисти'Ч\О'С'КЛМИ овя.зя­
ми (шамятью источника), если • Iпо экспер1 иментальным
да•нным {5] энтрап.ия источника Н(А) = 1 би-т/бу,ква .
• 3.1.8. Наюряжение 'На ~выходе ,к,вантующего уIстрой­
с гва может п'ринимать ощIн,о из 17 д1юкрегных значений
с шаго м к,вант,ования Л. На ВХJОД юва,нтующе:го усТJрой­
ства поступают независимые временнь1е отсчеты (с ин­
тервалом Лt= 0,3 с) сигнала ,с экоr11оненциальной mлот­
ностью вероятности rvrгновенных значений
w1(х)= -
1 ехр(-И),
2а
а
где а=О,5 В, Хманс= 1l,6 В, Л=О,2 В . Определить ЭIНТро­
пию квантО/ванного ,сиIгнала, его из,быточность, ·окорость
с'6:здания информа'ЦИИ на выходе ювантующего у~строй­
с11ва (1прои:з,водительно~сть).
3.1 .9. Для у.странеН'И'Я статистических связей с,им­
воло,в источника (их «декар1реля1ции» ). с целью поIвы~ше­
н·ия эффе,кти1в'но1сти овя:зи ·иногда []ри1бегают ,к переrю;ди­
ровке, которая С'В'ОДИТIСЯ ,К ОО'П0tста1влеН]IЮ бло'Ка из п1> 1
си мволо:в !Пер!ВИЧ1НОIГО алфа'вита 'НОIВ'ОМУ IСИ'М~олу «уIкру~п­
ненно го» алфа,в'ита. По1кавать, что этот ,~,посо~б устра~е­
ния ~ов,язей символов не изменяет и.збыточность сооIбш:е­
ний.
3.1 .10 . После уст1ра,нения статистических ._
овязей
с имIволав укр)'IПненный алфа,вит х·а1ра,ктери:зуе-fся '-! во­
семью симrволами, 1вер,оя'Гности ,которых да'НЫ в тэ:бл.
3.2. Пакав ать, что И{шолызавание нер а,В'Н·омерно,г,о д;во­
И''ШОГО ,ксща, у,ка:занного Iв таlбл. 3.2 (это эко11-юм.ный коtд
Хаффмена {12], который более вер,оятным сиМ1волам со­
Iпо ста1вляет более короткие 1.кодо·вые комбинации), [ЮЗ­
в оляет почти полноrстью у;сТ1ранить иэ быточность .
Номер
символа
1
2
3
4
5
6
7
8
ТАБЛИЦА 3,2
В-ероятность 1
0,6
1
1
0,2
10"
2
о,1
100
3
0,04
1000
4
0,025
10000
5
0,015
100000
6
0,01_.,.
1000000
7
0,01
10000000
8


Решения и от1веты
Рд. 1.1 . По ф-ле (3.2) находИlм:
/(а1)= -
log2О) = 2,33 бит; /(а2)= -
log20,3 = 1,75 бит;
I(a,J = -
log20,4 = 1,33 бит; /(aJ = -
log2 0,1 = 3,33 бит.
Эн11р,опию ВЫ'ЧИСЛИМ по ф-ле (3.3)
Н(А)= -
0,2 log2 0,2 - 0,3 log2 0,3 :_ 0,4 log2 0,4 -
-
О, 1 log2 О, 1 = 1,86 бит/символ.
Оотласно ф-ле (3.4)
•
=1~~=007.
Ри
14
•
og2
Р.3.1.2. Воаполыз:уемся ,вапомогателЬ'ным нера!Венст­
вом lnx~x- 1, которое следует из того фа·кта, что ли-
Рис. З.1. К пояснению неравен­
ства ln х~х-1
ния и = ln х ,касае'Гся пр,я:мой v = х-1 .в точ1ке х = 1 (рис.
3.1) . Рассмотрим разность
.
к
к
н(А)- logк= -
Iр(ai)Jogр(а;)- Iр(а;)logк=
i=l
i~I
•
к
= '1.Р (а;) log
1
.
iJ
К.Р(аi)
i=I
Пол~гая х =--I - , можем записать H(A)-logK~
КР(щ) .
•
~; P(ai) [KPI ..: . _I]Ioge,
или H(A)-log К~
i=I
(ai)
к1
~ ~ l--P(,ai)] log е.
Легко убедиться,
что
i-1 /(.
162'


к1
'
L l--P(ai)]=O. Следовательно,
• H(A)-log К~О.
i=l К
З1на•к раIвенс_mа будет ТОЛЬJКQ тщда, ~когда х= --.
-
.
=
КР(а1)
= ,1, поскольку п:р•и этом ln х=х- 1. Поэrому Н(А) =
1
= lgК ,при Р(ai)=к·
Р. 3.1.3. Пусть P(ai/a'J) - у,словная ,вер,оятно1сть то­
го, что ИСТОЧНИ'К ~выбирает СИМ,ВОЛ ,С номером i (i= 1, 2,
3, ...; К) при услlQlвии, что ранее был ,выбран оиIмIвол с
н омером j. Если •сиМ'вол a'J фИ1К1сирова:н, то энтропия ис­
Т.О'Чника
к
Н(А;а;) = -
L Р ( aita;) Iog Р (ai/a;),
l=l
Если ~предшествующий сим,вол tП1Р'инимает прои-зволь- ·
ные З'Начения, то Э'НТрОIПИЯ ИIСТОЧНИ:Ка
к
кк
Н(А/А')= .IР(а;)Н(А;а;)= -
! ~Р(а;)Р(ai/a;)х
i=I
i=Ij=I
-
х Iog Р (a1/aJ
П рини~мая в.о Iв.ниман .ие, что P(a\)P(ai/a'j)=P(ai,a'j)-
c-oiв мec11Нaя вероятность ,выбора 1симIв·оло•в .ai и a'j; имеем
кк
.
Н (А/А') =
-
L~Р(ai, а;) Ibg Р(aj/a;)..
•
i=I i=l
•
При неза1ви,сим01м iВЫ~боре СИ'МГВОЛОВ (:при отсу11с1,вии
п амяти) вн11ропия ис11очника
к
кк
Н(А) =-:- ~P(at)IogP(ai) =-L ~P(ai, a;)JogP(fi),
i=I
i=l j=I
та~к ,как
к
Р(а1) = ~ P(ai, а;) .
. /=1
Для ра,з.н·ости Н(А/А')-Н(А) ,можн,о за~писать
кк
ЕЕ
Р(а·)
Н (А!А') - Н-(А) ===
.
Р(щ, а;)lп .
',
Jog .е.
Р (a1/i:l1-)
i=I j=I, .
103


Используя соотношение ln х~х-1 (равенство достига­
ется лишь при х= 1), получаем
кк
Н (А/А')- Н (А)~ IJ l]P(a1, а;) [ Р (а,), -1] Ioge =
i=I i=I
Р(щ/а;)
~riР(а;)iР(а1)- ~t,Р(а,, aj)] Iag е ~О
По1околь:ку Н(А/А')-Н(А) ~О, то Н(А/А') ~Н(А). За-
метим, что Н(А/А') =Н(А) толь·ко •при Р (а;) = l
Р(а,;а;) '
ил·и P(a;/a'j)=iP(a;). Вьnполнение ,этого услО'вия воз ­
мож1но лишь [Три 011су11ствии памяти у источника . Итак,
усло,вная сmтр ·апия не мо~жет ,превысить энтроmию без­
у~слО1вную.
Р.3.1.4. Преи<,де в.сего найдем безусловные вероят­
ности ,передачи сИrм,волов и1.з очеви.дно1го соотношения
Р(О) =Р (О) Р, (0/0') +[1-Р (О) ]Р (0/1'). При за1да,нных
зна~чениях 'Перехо~ных !Вероятностей Р(О) 1 =0,125; P(l) =
=0,875. Можно убедиться в справедливости соотношения
Р(1) =Р(О)Р(1/0')+[1- Р(О)]Р(1/1').
Э.нтр,Оlпи~я источника
Н (А/А') = -Р (О) [Р (0/0') Jog2 Р (0/0') + Р (1/0') х
х Iog 2 P (1/0')]-Р (1) [Р (0/1') Iog2 P (0/1') +
+ Р (1/1 ') Iog 2 Р (1/1 ')] = 0,51 бит/символ.
Н (А/А')
И:з,быточ'Ность источни1ка Pи= r l---- =0,49. Для
Нмакс (А)
иiсточника без ~памяти при тех же 6ез1услQ1В,ных вероят­
н,астях ,переi,Дачи СИ'МIВОЛОIВ
Н (А)= -Р (1) IogP (1) -Р (О) Jog Р (О)= 0,541 бит/символ,
Ри = 0,459.
Р. 3. 1.5. Защанный объем инфор,ма,ции источник пе­
редает
п_:
.I._
= 108
'С
посылками. Средняя информация на символ
1
107
Н=-=
-
· = О , 1 бит/символ. Если избыточность полно-
п
108
104


СТЬЮ устранена, 1:'0 КаЖДЫЙ •СИМВОЛ ДВОИЧ1Н'()IГ0 ИС'I'ОЧНИКа
несет <В -себе Нмакс == 11 бит · информации и за'да'Н'НЫЙ объ-
,
!
1·
7
ем передается n0 =
--=
О посыл~ка.ми, ил•и за ,время
Нмакс •
Т0 =тn0 = , 105 с. Избыточ,ность источника
-
п- по
-
1по-1То-1 Н-09
Ри·---- -- -
---
----,
·
n
n
Т
.
Нмакс
Обратим •.внимание на то, что ,сокращ_ение из:быточности
.источника 1поз•волило бы .на 90% более экономично ,и,с­
полызовать 1во времени канал овя1зи .. •
Р.3.1.6. Кюличестшо инфор·мации, .оодержащееся в
о.д:ном элементе .сиrгнала,. Нмакс(А) = log2 16=4 бит/сим-
,
ч(х)
/\
/\
/
\
/
/
/
',,
,/
..__
---
х
-t,б -f,2 -О,8 -0/{ о 0,4 d,8 1,2 !,б
Рис. 3.2. К определению вероятностей появ­
ления уровней квантованного сигнала
вол. Чи,сло элементов изоrбражен,ия •в QДн-о,м кадре N =
= 1833-,625=520 625. ~оличествю ин,фор,мшции rв од,цом
\Кадре I=NНмакс=4•520625= ,2,082- ·106 бит. Энтроrпия
р еального телеви:зионного изображения пrри 16 града­
циях яркости Р4]
Н (А)~ 9,37 -lO• = 1,8 би~/символ.
L5 ,21-10 5
Иэбыточ:н-ость реального телевизионного сигнала Ри=
= 1~Н(А)/Нманс(А) =0,55.
Р.3.1.7. По ф-ле (3.3)
32
Н (А) == - ~ Р (ci;) log 2 Р (а;) = 4,36 би;Г/символ;
i=I
•'
Н~акс (А) = 1Qg2 32 .;,-, . 5 бит/символ.
Со:гласно '(3.4) P'и= rl_:.:_4,,36/6== _0,128. •
105


Р.3.1 . 8. Вероя'Гности поя'Вления У'РОrвней кванrован­
ного сигнала определим по ·приближенной формуле
P(xi) =wi(xi)Л=0,2 ехр (-flj ) , ;которая иллюс'Rри~рует-
0,5
ся рис . 3.2 . Результаты ра1счета ,аведены rв таrбл. 3.3.
По ф-ле (3.3) находим энтропию
8
Н=-
I Р (xi) Jog Р (х,) ...: .. 3,46 бит/отсчет .
i=--8
Иэбыrочность находим по ф-ле (3.4)
Ри=1- 3
'
46 = 0,159.
•
log2 17
Gк,орость оозщания ,инфор1ма:ции на выходе к,ванrующе­
го устройства соглаюно (3.5) Н'(А) =Н(А)/Тср.
В данном случае Тер rра~вно ·интервалу между д1вумя
соседними отсчетами iВХод~ното сигнала : Н'(А) =
=3,46/0,3= 11,53 .бит/с.
Р.3.1 .9. Эн11рапия •сим1вола у.крушненното алфавита
Hy=nH(A), где Н(А) -:-энтропия 1пер1вичного алфавита
•с объемом К.
Объем у~кру.пненного алфавита Ky=Kn,
rпоэтомrу Ну.маис=lоg Kn=11iH:1.нrnc(A). Из~быточноrсть ис­
точника ,с уюру~пнен~ным алфавиrом Ри.у согласно (3.4)
Риу=1- ННу
= 1- r~Н(А:~)
= Ри•
•
У .макс
n макс
где Ри -•избыточность пер!вrичното алфавита.
Поскольку избыточность осталась неизменной , но
у,странены ,овязи _символо·в, приходится констатировать ,
. что
в укрупненном алфавите отдельные символы
более З'Начительно отличаются 1овоими априорными ве­
рюятностям,и.
Устранение ив6ыточ.ности ~сообщения у;кру~пнеННQГО
алфавита возможшо . исшоль:зова,нием нера1вномерного
кода (см. Р.3.1.1 О) .
Р.3.1.10. Обозначим источник восьмиричных •сmмво­
.лов чеrрез А, а исrочн.ик, •создающйц двоичные~ символы
нераrВJномерното .када, через В . Энтропия .источника А:
'
8
Н(А) ='- ~ р , log.2pi= 1,7В1 бит/оим1Вол. Избыточность
i=l
и,сточника В .соглае.но (3.4)
Н (В)
VвН(В)
Рк(В)= 1---= 1----
Iog22
•Vв
/
106


ТАБЛИЦА 3.3
~ --·
-
1• -8
1
-7
1
-
6
1
-5
1
-4
1
-3
1
-21
-
1
1
о
Xt
•1-I.~
1 -1,4
1
- 1,2
1
-1 ,0
1
-0,8
1
-0,61 -0,41
- 0,2
1
о
1
Q P(xt) 18-10-З 11,2, I0-2 11,8-10-2 \ 2,8-10-2
, 4,0•10-2 1 6· 10-2 1 9· 10_2
,
1,34, 10-I 12-10:-- .
1•
-..J ·
2
•1. 3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
0,2
1
0,4
1
0,6
1
0,8
1i
1,0
1
1,2
1
1,4
1
1,6
1,34-10-I
1 9,10-2
1
6· 10-2
1
4,0-10-2
• 1 2,8-10-2
/ 1.в.10-2 ] 1,2.10-2 1 8·10-3 •


!
Vв = 1l/Tcp В - 1юличество СИМ1ВОЛОВ ИСТОЧ'НИКа В !В ,еди­
ницу 1вре,мени; Тер в -Iсрещняя длительность символа
ИIСТО'ЧНИIКа.
Чтобы ;не ,было ;потерь информации при кодиро:ван ,И'и .
надо потребовать раIвенства [I1роивводительно,стей источ­
никоIв А и В, т. е. vвH(B), = vAH(A) . Тогда
Ри(8)=1-
VАН(А),•=1-Н~А) '
п
ii = vвfVA=ТcpA/Tcpв - ,среднее ·количество Д!Воичны х
1СИМ'ВОЛОВ ИС'ЮЧ'НИ<Ка В на один СiИМВОЛ ИСТОЧН'ИКа А.
8
В соот:ветс11в,ии .с та~бл . 3.2 ii = 1 '1:. Pini = 1,825 и
i=l
Ри(В)= rl-
~
= 0 024. Из1быточность состасrзляет все -
: 1,825
'
го 2,4%.
L
3.2. Количество и скорость передачи информации
по дискретному каналу. Пропускная способность
дискретного канала
Если на вход канала с шумами поступают символы bi (i= 1.
2, . . ,, т), а с выхода снимаются символы
Ь'J(j=1,2, ..., m').
то условные вероятности переходов P(b"J/bi), а также и апосте­
риорные вероятности P(bi/b' J) удовлетворяют соотношениям 1 :
(3.6)
Это означает, что при фиксированном символе Ь'J нельзя с полно й
определенностью утверждать, какой символ bi переда вался . Сле ­
довательно, часть информации, содержащейся в символе Ь; , оказа -
лать потерянной.
,
Среднее количество информации, теряемой при передач е прои з ­
вольного символа по каналу без памяти
т'т
1(BJB') =н(В/В')= - ~1рсь',)р(b;JbJlogр(Ь;/Ь~)=
i=Ii=l
"\';' i•
,
Р (Ь;, Ь~)
=-~ /,.;Р(Ь;,ь)Iog
,
.
i=li=l
р(bi)
(3. 7)
Эта величина называется ненадежностью канала и показывает
сте п ень неопределенности последовательности входных символо в
B(t) при условии, что принята . последовательность Ё'(t).
Средним количеством переданной по каналу информации н а
один символ · называется разность между кол~чеством информаци и
1 Для канала без ш_умов эти вероятности равны О, если j-= # i,
и равны 1, если j'= i.
108


\на вх~де канала / (В) и количеством информации, потерянной в ка­
нале i 1(B,'B 1 ) . Для источника и канала без памяти
1
! (В, В')=! (В)-! (В/В') = Н (В) _; Н (ЩВ') =
== _1_ fР(Ь;)logР (Ь;) +ftР(Ь;,ь;)Jog р(Ь;;ь;) =
i=l
i=l i=l
т'т
р(ь ь')
-
~~Р(Ь·ь')-!о
;,i
-
.,с,.. .,с,.. '' i g Р(Ь·)Р(Ь·)
j=I i=l
1
1
(3.8)
Это среднее количество информации на один символ, содержа­
щееся в выходной последовательности В' (t) относительно входной
последовательности B(t) . . Поскольку О~Н,(В/В')~Н(В) (условная
энтропия никогда не превосходит безусловную), то О~ ,/(В, В' )-,;Q
~!(В). Крайнее значение слева имеет место, если символы входа и
выхода независимы (очень сильные помехи или обрыв связи), а
крайнее значение справа - при отсутствии помех.
Из 1(3.8) следует, что
/(В, В ')=!(В', В)=Н(В')-Н(В'/В).
(3. 9)
Величина
Н (В') =!(В')
(3. 10)
определяет информацию ~ (энтропию) выходных с11мволов канала .
Часть этой информации является полезной (информация о входных
символах bi) . Остальная часть информации является ложной (соз­
данной помехами в канале). Величина Н(В'/В) =l(B'/B) определяет
информацщо, содержащуюся в последова,ельности выходных сим­
волов B'(t) при известной последовательности входных символов
B(t). Поскольку выходная п оследовательность отличается от вход­
ной исключительно из-за помех в канале, то Н(В'/В) характеризует,
информацию именно о помехах в канале или · энтропию шума :
т' .111,
H(B'/B)=-L LР(Ь;,ь;)1оgР(ь:.1ь;)_
(3.11),
i=I i=I
Если на вход дискретного канала поступа!';т в среднем Vн сим­
волов в единицу времени, то можно определить среднюю скорость
передачи информации по каналу с шумами: ,
!'(В, В') = vкl(В, В') = Н'(В) - Н'(В/В') = Н'(В') - Н'(В'/В).
(3 .12)
Здесь Н' (В) - производительность источника на входе канала;
Н'(В/В')- ненадежность канала в единицу времени; Н'(В') - про­
изводительность источника, образованного выходом канала;
Н'(В'/В) - количество ложной информации, создаваемой шумом в
единицу времени.
Пропускной способностью канала называется предельная ско­
рость п_ередачи информации при заданных свойствах канала (задан­
ной помехе). Для дискретного канала пропус~щш способность
С=Vкmax/ (В, В'),
109
(3 .13),


/)
причем шах ищется по всем возможным источникам · входа при за-
данном v" и объеме алфавита символов входа т 1.
·/
С понятием пропускной с.пособности канала связана одна из
важнейших теорем теории информации - основная теорема К. Шен­
нона об оптимальном кодировании. Применительно к дискчетному
источнику эта теорема гласит: если производительность ис:rочника
сообщений меньше пропускной способности канала
•Н' (А)< С,
(3.14)
то существует способ оптимального кодирования и декодирования
(преобразования сообщения в сигнал на передаче и обратного его
преобразования. в сообщение на приеме), при котором вероятность
ошибки может быть сделана как угодно малой. Если Н'(А)>С,
такого способа не существует .
Средняя вероятность ошибки при оптимальном кодиР,овании оп­
ределяется соотношением
Рот= 2-Т[С-Н'(А)],
(3 .15)
rде Т - длительность сигнала, соответствующего последовательно-·
сти символов источника достаточно большой длины п; С-Н'(А)
определяет запас пропускной способности канала.
Для дискретного канала без шумов теорема оптимального ко­
· ди рования формулируется следующим образом: если произво;ци­
тельность источника меньше про.пус~ной способности канала, то
существуют способы кодирования и декодирования, обеспечиваю­
щие сколь угодно высокую над е жность отождествления принятых
комбинаций с переданными.
За ,дачи
3.2.1 . Найти ·ненадежность Н(В/В') и энтро1пию шу­
ма 1д,воичноrо ,сим1метrричного .канала ,со ,стиранием (рис.
3.3) с вероят;ностям•и ~переходов
Р(0'/0)= Р(1'/1) = 1-р0-Ре; Р(?/0) = Р(?/1) =Ре;
Р(l'/0)= Р(О'/1) = Ро
и а1пр,иорными верrОЯТНОС1'ЯМИ •СИМIВОЛОIВ Р (О) и Р ( 1) =
=1-Р(О).
3.2 .2 . Показать, что 'В сим1метричном m-:позицион­
ном ,канале без памяти и стирания энтропия шума оп­
р~еляется ,выражением
Н(В'/В)=-рIog _P_ -
(1- р) Jog (1-р),
m-l
где р - ,суммарная ~вероятность оши:б.ки.
• 1 Строго говоря, С следует определить как наименьшую верх­
нюю границу от v,J(B, В'), так как одно единственное максималь­
ное значение скорости по всевозможным источникам входа может
и не существоватt,.
110


\ \2.3. Найти энтропию
ar-----l _ -;..:;"4"-- .;..:Pc:;..,_ . __~
.о
шума в двоичном симмет-
ричньм · канале без памя­
ти, е~ли энтропия источ­
ника 1 На входе канала
Н (В) = 1000 бит/символ,
энтропия источника, об-
,
1-=~------------.1
разованного вых9дом ка-
1-R -P.
.нала,
Н (В') = 2000
•ис
бит/символ, ненадежность
канала H(BJB')
=
200 Рис. 3.3. Fраф двоичного симмет-
· бит/символ.
ричного канала со стиранием
3.2 .4 . Показать, что
_
при в-ер·оятности ошибки, стремящейся к нулю, скорость
передачи информации по двоичному ~ сим:rviетричному· ка ~
налу со стиран1:ем ,(з ·адач_а 3.2.1) определяется соотно­
шением
1'(В, В') ==vнН(В)(1-р~),
где Vн - число 1сим1в-олов, 1пос-тJ1пающих на вход :Ка~нала
в единицу ~времени .
3.2.5. На IВХQД д'ИС:Кретного канала поступает
Н (В)= 20 бит/си~мвол, а ТIО 'Каналу 1В сре:днем (Передает~
ся 10 6ит/сим1вол ~полезной информации. Энтропия шу­
ма в канале Н (В'/В) =40 бит/символ.
Найти нена~деж;ность ~канала , и ЭНТiрОiПИЮ 1ВЫХОДНЫХ
_ сим1в:олов. Определить прои1знодительн,п~·!ь источника на
входе .канала, ненадежность ·канала 11 единицу ;врем -ени,
среднюю 1окорость передачи ишформации по 1каналу и
скорость 1с-о:зда~н.ия ложной ~информации в !канале, если
на вход ка1нала поступает ,в ,среднем Vн= 150 •сим1вол/с.
3.2 .6 . По.казать, что д.ля • т-ичного симметр1ичного
канала без памяти и стирания с 1вероятностя-ми mерехо ­
дов
('.
.
при J==i,
при j=1=i
пропускная 1ап~0собность определяется соотношением
C==vи[Iogm+(I · -p)Iog(I-p) ·+piog Р ]··
·
т-1
У!простить эту фармулу ~ля двоичного 1канала. Пост­
роить nрафи,к за1ви,си~мости прО1пускной -способности дво~
ИЧНОГО Ка'На.Па ОТ iВерОЯТНОСТ.И ОШИб.КИ.
1· 1,1


3.2 .7. По каналу ОВЯЗJ! nер0даеася ,сообщение,. iор­
МИ'руемое из ~восьми си:мволов с вероят,ностя~ми nонвле-
ния, заданными таtбл . 3.4.
/
ТАБЛИЦ А 3.4
1
· Символ
bs
Ьа
1
Ь11 Ьв
1о,201о
'
151 о'2/о
'
15 1 О,1 О,110,05J0,05
Канал имеет полосу 1пр.опуока·ния, поз1воляющую пе­
:реда,вать элементы ,сообщения со оредней длительно­
,стью 't'и = О,5 мс. Шум :в ,канале отсут,ствует. Определить
про·пуокную :отюсобно1сть ка,нала и юкюрость передачи.
3.2.8. По·ка:зать, что ·ивrбыточность оптимального по
Шенн-о·ну wода 01Пределяе11ся аоо'Гношен.ием
с
р
=1- --- +в
I{.мин •
Vкlogт
(в-С'1юль у,го,дно малая положJИтельная ·величи,на).
Найти минимально 1возможн·у~ю ,избытО'Чность оnти­
мальното кода для двоичноnо ·канала :при вероят,но'сти
ошибкир=0 и 0,5.
,
3 .2 .9 . Показать, что сшособы 1кмирования и де~ко·ди­
рования, оtбеопеч.и1вающие сколь у,годно ,малую вероят­
ность ошиб,юи, оуществуют лишь в ,случае, 1юnда сред­
нее число • сим1волов 11юда 1на один символ и,сточника
удовлетворяет условию
п= ~> Н(А)
Vн
maxl (В, В')
3.2 .10 . Ка1кой ва1Пас 1П1ропуок:ной апособностя
С-Н'(А) должен иметь канал, чтоrбы при иопюльзо,ва­
яии оrптималь.ното ,кода с дл.ительностью кодо,вой 1комби­
нац·ии Т = 200 мс вероятность ошибки не . пре1высила ве­
.личину 1О-6?
Во ,сколько раз изменится дл,ительность wодо1Вой по­
СЛЕ\довательно1сти ОIП1'ИМаЛЬНIОIГО кода, если -при неиэмен­
ной ,ве.роя·'Гн-ост,и оши,бrки запа1с прошуо:к,н,ой е1пособно,сти
ка·нала :уменьшается 1в 2 р ·а1за?
3.2 .11 . Показать, что ненадежность связи (вероят­
iюсть ошибки) в ,канале с шума ·м,и не может быть околь
утодно малой, если [Iр.апу~скная опособность канала С
меньше [Iр,ои,з~водительн•ости Н'(А).
112


\3.2.12 . СО1гла1сно закону больших чисел стацио,нар-
н ый дискретный источ·ник выдает два ти~па после,Цова­
тельно1стей •сwм1воло~в достаточно ,большой длины п :
а ) ТИJпич.ные ,последовательности (,с . 'Пlрим~рно одина1ко­
.вым·и вероятностями Pтиrr= 1 l / Nтип), оу,мма1рная :вероят­
н ость которых близка 1к 1; ·б) 1нет,ишичные последо!Ва­
тельно.сти, ·су.ммар ·ная .вероятность · к,ото~рых б' бJ1из,ка к
,нулю.
Пола,гая, что оптимальное коди.равание в канале без
шу мов l юводится ;К шермаче ТОЛЬIКО ТИIПИЧНЫХ последо­
в ательностей, 1пО1ка:1з,ать, что пр.и выполнении условия
(.3 . 14) вероятно•сть непр авиль.ного отожществления [IрИ­
нятой 1ко1до•вой лоследо1вательности ра1вiНа б, что :доказы­
вает теорему Шен'Н'она .
Решен'Ия и от,веты
Р. 3.2.1. В 1двоичн,ом сим,ме11рично,м канале ,со сти­
р анием объем алфа;в,ита на .входе m= 12, а объем алфа ­
в ита на выходе т' = Э. Эн11ропия шума согласно (3.11)
32
н (В'/В) =
-
~Lр(Ьдр(b/bi)Jogр(ь;;ьi)=
j=Ii=l
= -Р (О)(1- Ро - Ре)Jog(1- Ро - Ре)-Р(1)РоlogРо......
-Р(О)РоJogРе- Р(1)(1- Ро - Ре)Jog(1- Ро - Ре)
-
-
Р(О)РеlogРе- Р(I)РеJogРе=
= (1- Ро-Рс)Jog(1- Ро -Ре)
-
РоlogРо- РеJogРе·
О тметим, что ненадежность раосмат1риваемого канала
не за1Висит от а:приор,ных ~вероятностей входны х еим!Во­
лов . Перейдем ,к ·нахо ждению энтро1пии шума .
В соо11ветствии с фо•рмулой Байеса на ходи м а1посте­
ри орные ·вероятн·ости :
р(О/0')= Р(О)(!- Ро--.Ре)
Р(О)(!- Ро - Ре)+Р(1)Ро
P(l/l') =
P(l) (1-ро - Рс)
P(I) (1 -ро-Рс) +Р(О)Ро
р (0/l') =
Р(О)Ро
Р(1)(!- Pu- Ре)+Р(О)ро
1 В канале с шумами такой способ кодирования также обеспе-
чива ет предельную эффективность. •
113


р (1/0') =
Р(1)Ро
•
Р(О)(1- Ро
-
Ре) +Р (1) Ро
Р(О/?)=Р(О); Р(1/?)= Р(1).
С,овiмест,ные 1Верояпюсти оимiвол.ов входа и -выхода :
Р(О, О')=Р(О)(1- Ро-ре); Р(О, 1') =Р(О)Ро;
P(l, l')=P(l)(l-p0 -pc); P(l, . O')=P(l)p0;
Р(О, ?)=Р(О)ре; P(l , ?)=P(l)Pe·
Подста~вил:~ найдеНiные ,совместные и апостериорные
вероятност1и в ф-л1у (3.7), получим для ненЗJДежности
,
.
.
.
двоиrчного си,м1метриrчiНого канала оо .~тиранием •
Н(В/В')= -
р(0)(1- Ро
-
Ре) Jog р (О) (1-ро- Ре)
Р (О) (1-po-Pc)+P(l)po
-P(l)polog
•
P(l)Po
.
Р(1)(1- Ро-Ре)+Р(О)Ро
- P(O)p0 log ·
' Р(О)ро
- P(l)(l-p&-
p(1)Ро+Р(О)(1-ро-Ре)
-
Ре) Jog
р(1)(1- р~ -Ре)
-
р(О)РеJogР(О)-
Р (1) (1-ро-Ре) +Р (О) Ро
-
Р (1) Ре Jog P(l).
Бели Ро-+0, то H(В/B')=-P(O)pelogP(O)-P(I)pcX
Xlog P(l) =рсН(В).
•
Ненадежность канала за•висит как от вероят.нЬсти
,стирания, та1к и . э:нтрошии источ.ника на ~входе ;кащ1ла .
Р.3.2.2. Сум:марная ~вероятность ошибки р - ето ве­
роятность ТОlГО, что лри 'Передаче фш1~сиро11анного сим­
вола bi будет принят любой ·символ, кроме сИМ'ВЬ!!а Ь';.
Посколь:ку в,сего может 1проив,ойти т-1 оши1боч.ных пе- -
реходов [IР'И фи~сации сим1вола bi на передаче, а канал
симмет.риrчен, то ~вероятность лриема фикси1р,ованного
си~м1вола _ Ь'3 при передаче оим1вола bi будет равна _Р_ .
·
т-1
Следо:вателыю, ·в m-ичном сим1ме11ричном канале ве­
роятности шереходов удовле11воряют условия.м:
Р(ь;1ь1)= \ 1 Р Р
m-J
114
при j=i,
при i ==I= i.


Подста~вляя эти вероятности •в вь1-ра•жение (3.11 )', нахо­
дим · эн'Грапию шума
тт
Н(В'/В)= - ~ ~ Р (Ьд Р (Ь/ЬдlogP<ь;1ьд.
j=I i=I
Выделяя из эт,ой суммы слжаемые с номером i= j, по­
лу~чаем
т
Н(В'/В)= - ~ Р(bi)(1- р)Iog(1- p)-
i=1
.
р
=-
(1- р)log(1- р)
-
рJog- -
.
т-1
Р . 3. 2.3 . Согла1сно ф-ле (3.8) количес11Во передан.ной
по ;каналу информащии
/ (В, В')= Н (В)-Н (В/В')= 800 бит/символ .
В СООТВеТ,СТIВИИ С (3 .9) НаХОДИМ ЭНТрОПИЮ шума
Н (В'/В) = ll (В') -1 (В, В') = 1200 бит/символ.
Р. 3.2.4. Ооглаrсно ф-ле (3.12) нахощи,м с·корость пе­
р едачи инфорrмации
!'(В, В') = vн1(В, В') = vн[Н(В)·-Н(В/В')].
Ка!К пока·зано в Р.3.2.1, нена~деж1но.сть д'ВОИ'ЧНОГО СИ!М­
м е'Dричного ,канала со стиранием ,nри р0--+-0 Н(В/В')=
=рсН(В). Следавательно, скорость ,передачи ·инфор:ма­
ци и в таком ·ка.нале !'(В, В')=vк[Н(В)-рсН(В)] =
= VнН(В)(1-рс).
Чем болыuе ,вероятность •стйрания Ре, тем надежнее
О'I'ождест,вля:ются оимволы «1» и «О» в .месте приема, од­
на ко одновременно падает окор,ость lflередачи информа­
ц ии по каналу. Следователыно, имеет ме-сто о·бмен меж­
ду -верностью , (качеств-ом) и :1юличес11вом переданной
и нформащии.
Р.3.2.5. Нена1дежность ,канала согласно (3.8)
Н (В/В')= Н (В)-/ (В, В')= 10 бит/символ .
Энт,р ошия выходных сим1волов ,по (3 .9)
Н (В')= Н (В'/В) +/(В, В')= 50 бит/символ.
115


Произ1всщительность • ис'ючника на . :входе канала по
ф-ле (3.5)
Н' (В) = vкН(В) = 1000 бит/с.
Ненащежность •~канала 1в единицу вре:мени в соответст­
вии С (3.12)
Н' (ВJВ') = vк Н (BJB') = 500 бит/с .
Средняя сжорость ;переда~чи информаrции по 'Каналу сог­
ласно (3.И)
/'(В, В') = Н' (В) - I-!'.(ВJB')
-'- 500 бит/с .
Окюро,сть СО'З'дания ложной инфор.мации в Ка'нале
· Н' (В'JB)=Н'(В') -1'(В, В') =vкН(В') - I'(В, В') =
= 2000 бит/с~
Р.3.2.6. Со1гла1сно (3.13) 1п'ро1пуокная •сшосо,бность
,канала
С= vишах [Н (В') - Н (В'/В)].
Как показа'НО ,в Р.3.2.2, энтропия шума m-ичного сим­
метричного ка,нала •без ~памяти и без ·стирания равна
Н(В'/В)= -(1-р)Jog(1-р)-рIog_P_
_
т-1
С у~четом эт,ого имеем
С-vк[шахН(В')+(1- р)Jog(1- р)+рJogт~1].
C/ifx
1 ----- --
о
0,,5
fр
Рис. 3.4 . Зависимость
нормированной пропуск­
ной способности двоич­
ного симметричного ка­
нала без памяти от ве­
роятности ошибочного
•
приема символа
Очевидно, что шах Н (В')=
= log т . Следовательно,
С= vи [1 0g т +(1- p)Iog(l-
-
р)+рIog_P_] ·
т-1
Для двоичного симметричного
канала без памяти и стирания
(m=m'=2)
С=Vи[1+рIogр+
+(1- р)Iog(1- p)J.
График величиньr С/vк в зависи- •
мости от р показан на рис. 3.4 .
Пропускная способность канала
равна нулю, когда вероятности
перехода Р (О'/1) = Р (1'/0).;, = 0,5
Н6


(в этом случае символы на входе и выходе оказывают­
ся независимыми).
Р.3.2.7. При от,оутствии шума ненадежность ка,на ­
ла Н(В/В'),=0 и, ·следовательно, пр,о,пу,окная с.по,соб-­
ность 1 канала
С= v11 maxH(В)= v11!оgт = 3v11.
Ка'на,л ,способен Л1рошус11ить 'В единицу времени V11= ·
= , 1/ти = ~l/О,5- ' 10-3 = 2000 ,С'им1волов. Поэтому С = 12000Х
Х3=6000 ,бит/с. Скорость ,передачи инфо1рмации при за­
данном анса,мiбле
1' (В/В') = Vк Н (В) = 5700 бит/с.
Р. 3.2. 8. Из·быточность кода (,вторичного алфавита),
можно определить, ка,к обычно (3.4):
Р11= 1- Н(В)
'
-
Нмакс (В)
где Н (В) - э,нтролия а1н,сам~бля кодо:вых символов. Оче-­
вид,но, что щри о;бъеме ансамбля кодо,вых си1м,волов,
тНма11с(В) =log т . Следовательно ,
!Н (В)
Н' (В)
Р11=1---= 1- -
~
-
.
logm
Vк logm
Здесь Н' (В)= v11H (В); V11 - число кодовых сим1Волов , _
•rюсту~пающих на 1вход ~канала в един,ицу ~времени. По­
окольку при кодиро1ва,нии дол,жны 011су:rс11вовать потери
инфор:ма1ции, то Н'(В),=Н'(А)=vиН(А), I1де Vи-число ,
сим~волов, созда ,ваемых и~сточ.ник,ом ,сообщения ,в е:дини­
цу В!ремени; Н(А) - энт1рсшия 1источни,ка. С учетом это-­
го
Рн=l _ VиН(А)
.
Vкlogт
Согла~сно теореме Шеннона лишь шр,и VиН(А) <С су­
ществует оп'Ги,мальный опосо,б кодирования . След:ова-­
телЬ'но, из,быточность ,кода ,не может ,быть меньше ве -­
личины
с
Рк.мии= 1- ---,-- +е,
Vкlogт
гд е е - ,сколь угодно малая 'Положительная величина.
Для двоичного ,симме11рич,ного канала без памяти Иi
с тир 9ния ,согласно Р,3.2.6 C=v~[l+plogp+(l-: -p)X
Х log ( 1-:-Р )]. По,дравляя вту 1величи,ну 1в 11Эырю1<~ни е~
117


Р,и.мин и учитывая, что т = 2, получаем
,
=l- Vк[J +plogp+(l-p) \og(l-p)] +е · =
/)к.мин
I2
Vк og2
= - рIogр-(1- р)Iog(1- р)+е.
Если р=О (в канале нет ошибок), то рн.мин=е-:+0. Если
р=О,01, то Рн.мин~О,067, т . е . при не очень си~льных по­
. мехах
в ~канале изrбыточность оптималыюrо 1кода Не!Ве­
.лака.
-
'Р.3.2.9: Сrпособы 1КО'ди,ро:вания и декодирования, ·
юбеапечивающие околь у~годно ·малую вероятность ошиб­
·ки, согла~сно тt:.>ореме Шеннона, сущес11Вуют лишь п1ри
Н'(А)<С. Если исто<Ч'НИК информа1ции выщает в едини­
цу време;ни Vи ,сим:воло1В, а его ,энтропия Н (А), то
Н'(А) = VиН(А). Прошу,акная способность канала по оп­
ределению равна C=vI(maxl(B, В'). Следовательно,
можно заrпи~сать, что · опт,има:льное кодирован'ие lf!O Шеи­
.нону во:з,можно ЛИIШЬ 1при VиН(А) <vк max !(В, В') или
п= ~> Н(А)
Vн
max /(В, В')
Здесь ii - среднее число символов кода на один символ
ИСТОЧНИ'Ка.
Р.3.2.10. Из ф-лы (3.15) •полу,чаем за1пас ыропуск­
Н,(ЭЙ апособности
С_Н'(А)=,-
Iog~om
log2 • 10-6
200.10-3
= 90,96 бит/с.
Подчерrюнем, чrо чем больше зашас ,пропускной СIП{),СОб­
н,ости, тем легче реализуеТ<ся си·стема ,ов-я.зи, 1ю однооре­
менно падает ее эффективность. Очевидно, что
Т=_
\оg2Рош
С-Н' (А)
Поэто:му 1при ~оохранен,ии ;вероятности ошибки (1каче­
ства связи) неизменной уменьшение заmаса mропускной
,апос(5'6ности 1В 2 раза (1рост эффектиВ'ности системы)
влечет за со<бой ~у1величение длительности кодо:вой :ком­
бинации в 2 ,раза, что !Приводит к усложнению системы ·
(в частност,и, за ~чет у:сложнения устройств памяти на
передаче и п1риеме).
• Р.3.2.11.
Предположим, что можно закодировать
нек,оторый ист<УЧни•к •с J1роизводиrельностью Н' (А)=
-'-С+2е, - (е>О) так, что ненащеж,ность канала
fl'(A /A').~:e. Тоrда оказывается, что скорос1:ь передачи
118


. информации ,в системе •СJВЯIЗИ !'(А, A,.)'=H✓ (A')'­
. .. ,, _fl'(A/A') >C+e, т. е. будет больше пропуокной сrю­
собности канала, . что mротиворе'Чит ее опр·еделению.
Противореч,ия не бущет, если до[l,устить, что ·i!р,и
Н' (А) >С сообщение передает,ся с отличной от нуля не­
надежностью Н'(А/А')>в .
Р.3.2. 12. С учетом того, что Н'(А) =VиН6А), •а про'­
пускная апо.соб.ность ~канала без шrу,мов С=Vн log т, ус­
л><:mие (3.14) можно за1писать
n= ~> Н(А).
Сlн • logm
(Здесь Vи - число сим;волов, выда~ваемых и~еточником
в единицу ~в1ремени; Vн - число симвоЛ()'В, вы:д,а~ваемых
кодером в единицу времени; )i - среднее число кодо­
вых СИ:М,В'ОЛОВ на О~ИiН CИ,MIBOJJ ИСТО'ЧНИ'Ка;, т - осно,ва·-
ние кцда.)
"
Прмположим, что все ТИIП'Ичные последовательностw
источника достаrочно болЬtШой длительно•ети Т, число]
которых Nтип(А)=2тv"Н(А), ,кодируются д1воичными ,ко-
-+
довыми .комrбинациями · ь той же длительtюс11и, содержа-
щи,ми Тvн символов ; Возможное число rюдовых iка.м,би-
на~ций N(B) = 2тvн •
_
Очевидно, :чtо Vн~VиН(А) +в {,при in=2).
В этом случае
N (В)
Nтип (А)
Бели
е>---~~­
Тln2Nт11п (А)
2 т (е+vиН (A)J'•
-
------ =2Те
N(B) >ехр(- 1 )= 1 +---+
Nтип (А)
Nтнп (А)
Nтип (А)
+ (Nтнп (А)Г2 +
21
•••
или же N (В)~ Nтип (А)+ 1. Таким образ·ом, при выпол­
н ении условия (3.14) число кодовых комбинаций по,
м еньшей ,мере . на 1 больше числа ТИ!пичных последО'ва:­
тельностей истопiника.,хс.inСсоiiоставйть . ·«лишнюю» · ко­
довую к,оiм:1бщi:;щию ~всем ,неТИIПИЧНЫМ 'ПОСЛеДОВаТМЬНО-:
с,тям источника и тем самЬDм заранее · предапрещелить.
их оши,боч1;Jый п,р,ием, то вероятность непра1Вильноrо
11·9 ,


,отожщес11в.лен:ия ,кодовой 1ком~бина,ции буrдет ·ра~в'на ве­
р-оят,ности [юя1вления нетИlnичных l[Юследавательностей
-6, -.которая лри Т-+оо ,с11ремится ,к нулю, что дока!Зывает
теорем'У Шеннона.
3.3 . Энтропия и производительность
непрерывного источника сообщений
Для 'СШИ'са,ния инrформаiЦ'ионных свойств не1прерыв­
:ноr,о И1сточника широко 1исшользуется понятие ,диффе­
;ренциальной энтро1Пии h(X) . Это та часть энтро1Пии не­
:прерывного источника, ·кютоrрая за1висит от фуiН'Iщии
mлотности ,вероятности сигна,ла X(t), •выдаваемого ис­
·· точн и1k<i)'м
00
h(Х)= -
fw1 (х) Jog w1 (х) dx.
(3.16)
-СХ>
На1иiболЬ1Шее ,значение диrфференщиальной ентро[IИИ
:при леJЗ.а,виси,мых 011счетах и заданно°fr диапе1р1сии а2
'Имеет ,случайный ,nроцес,с X(t) с нормальным раопреде­
_,лением м1гновенных значений. В э.том случае
(3.17)
По аналогии с формулами для дискретного и1ст:о:чни­
ка 1количес11в-о инфо1рма1ци,и, содержащееся 1в одном не­
шре.рыв·но,м 011счете !Процесса Y(t) относитель.но 011счета
:працеоса Х ( t), о;п:рещеляется форму;лой
00
00
1(Х,У)= J.fw2(х,у)Jog w2 (х, у) dxdy~
~W1 (х) W1 (у)
-(Х) -со
(3.18)
Э1десь w2(x, у) - совместная ~плотность вероятности
:процеосов X(t) ,и Y(t).
Величину / ( Х, У) мож,но предста1вить та,к:
/ (Х, У)= h(Х)- li(Х/У) = h(У)-h(У/Х). (3.19)
.:Зд есь h(X), h(Y) - ссiо11ветс11венно дифференциаль:ная
ян11р:аnrия на оточет IПР'оцесса X(t) и Y(t);
00 00
. h:(X!Y)= ~ SSw2(х, у)Jogw1(х/у)dxdy__ (3.20)
-оо -оо
120


-
услО1в,ная дифференциальная энтрО1пия от,счета X(tj
[]РИ известном отсчете Y(t) ;
ао оо
h(Y/X)=- S 5w 2 (x , y)logw1 (y /x)dxdy (3 .21)
-
уславная диrфференц·иаль,ная энтропия о:тсчета Y(t)
•шр1и из,вестно.м 011счете X(t).
Эпсилон -<энтрО1шией Не (Х) непрерывного источ1ни1ка ,.
или ,собст,венной ,информ ,шr.щей ,в одном от,счете процесс а
X(t), будем на1зывать минимальное ,количест.во инфор ­
мации, нео,бхощи1мое для ·вое1произ'Веден'ия сигнала X( t)
по сигналу Х' (t) с допустимой дисперсией ошибки cr2u :
Не(Х/Х')= minI (Х, Х')= h(Х/Х')- JogV2леа~,
(3.22),
Не (Х/Х') - это эпсилон-энтропия на один отсчет пр и
условии, что отсчеты сигнала фиксированы ; h (Х/Х') -
дифференциальная энтропия отсчета сигнала при уело •
вии, что отсчеты сигнала фиксированы .
Есл,и ист,очнИJк выдает неза·висимые- отсчеты нешр•е ­
рыв·ного сообщения дискретно во времени, то его эпси ­
лон-1пр ,аи:зводителыность
Не (Х/Х')= VиНе(Х/Х') = Vи[h(Х/Х')- Jog v2Л€а~],
(3 .23}
гдеVu-
чи1сло оточето·в в ещиницу 1време'Н-И .
При неmрерь11вном времени
Не (Х/Х') = 2Fc[h(X/X')-Jog V2леа~] .
(3 .24),
Из1быточно'сть непрерывн01го стационарного источ ­
н ика
р=1- Не(Х!Х')
(3 .25}
и
Не (Х)макс
Заiдачи
3.3.1. ПО'ка,зать, что 1к,оличество инфор,мации, содер ­
ж ащееся в одном от,счете ·нешрерывноrо •сообщения , соз ­
данаемо,nо ,стационарным ,источ.нююм без памяти пр и
а1бсолютно т,очном его вос.про,из·ведении , ра•в,но оо.
3.3 .2. Пока,зать, • что диiффере1щиальная энтроmия
нормального ,сл учайного ~процесса с дис1Персией а2 не за -
121


В:'ИСИТ от .'еГО математического ожидания и равна h (Х) == ,
. =J,ogV 2пеа2•
3.3.3. Пока1Зать, что у,слоВiНая дифференциалЬ'ная
э.ы:тр:олия ·ста1ци.0,нарного .нор.мальнО1го олучайного rпро­
цесса h(Х/Хпр), о,тс1чет 1кото'рого за,висит только от ощно­
го 'Пре,щшест,вующего отсчета (модель ~марков~ского rпро­
цесса с дис:к:ретным ,временем), определяется формулой
·h(Х!Хпр)= JogV2пеа2(1- R2),
г~е 0i;R~ 1
__ : _ коэффиц,и'ент корреляции •соседних от­
•сч.етав .
.
3.3.4 . Нор1м.альный случайный п1роцеос ,с нулевым
математИ1чеоким ожищанием и диоперсией а2 =4 мВт
П1рохо;дит через · линейный усилитель с коэiффициенrом
уоилен,ия К = 1100. Определить приращение дифференци­
альной энтр,О1пии 1ВЫХО,д1ного сwгнала шо 1сра!Внению с
IВХQДНЫМ.
-
•3.3 ,5. Сра1Внить дифферен~циальные энтропии нор­
малыного процеоса и nрО1Цесса, :равно:мерно · рааП1реде­
ленного на интервале (-а, а), если их диспер,сии оди-
нако,вы.
,.
.
-
3.3.6 . По ,каналу свяэи передае11ся ,си,гнал X(t),
пред,ста1вляющий ~собой нормаль.ный ,случайный ,процесс
с .нулевым средним значением и дисшер1сией а2х = 4 мВт.
В канале действует неза1висимый с ,сигналом нор1маль­
ный шу;м U(t) -с ·н~улевым математичеоким ожиданием и
.iщсшер~сией а2и = 1 мВт. Найти дифференциальную энт­
ро:пию вхощ,ного и _ ,выхо:дного ситнало1в, а так-же у,сло1в­
ные дифференциальные энтропии h(X/Y) и h(Y/X) : _
3.3.7 . Лока'Зать, . чт,о эпсилон--эн"nрапия непрерЫ1вного
источника определяется соотношением Н в (Х) =h(X)-
_ _ : _log V 2:n; е a2u .при фиксиро1ванной диtDперсии шума
ВОСШ'ро:шз1ведения .
. 3 .3 .8 . По•каз ать, что м а~коимально ·во з можное зла­
чение эпсилон- энтрошии при зада•нной оредней мощно­
сти сигнала Ре
Не (Х)мане = _!_ Jog ~
,
2
Рш
где Рш - ,оредняя мощность шума воспроиз,веден,ия
('канала).
3.3 .9. Пока1зать , что лр·и фи1ксирова'Н'ных средних
мощно,стя х с И',гнала Ре и шума 1во-опроизведения Р~ ма1к­
оима,льно возмож•ная эпоилон-1произ,водительность и~ст,оч-
122 -


••.••
.
.
Vи
, ..'
ни,ка определяется Сr001'НОШением Не (Х)манс= т !оg Pm
.
.
,
Ре
при дискретном ·времени и Н 8 (Х)манс1 =Fс log Рш 111,р и
непрерывном .времени.
3.3 .10. Непрерывный сигнал •непрерывного времени
Х ( t) на :выходе и,ст<JЧника имеет равномерн:ое распреде­
ление с ди~опероией а2 = 3 Вт. Найти эпсилон-1ПроиЗ1В01ДИ­
тельность источника, если полоса ,си,rнала Fc=.Зl00 Гц~
а щюперсия шу,ма 1воапrроизведения a 2u=0,05 Вт. На
сколь·ко изменит-ся эпсило.н-.пtроизвадительность источнн-­
ка, если он начнет выдавать ,сигнал ,с та•кими же пара­
метрами, но с нормаv~ьным ра~спределением?
• 3 .3.11. Пака•зать, что пр·и заданной мощности шума~
воспроизведения ,информа111iИОНный объем си,rнал,а .не ,мо­
жет 1превысить !Величину
V~=РеТеIogРе.
Рш.
3.3 .12 . Найти иэбыточность источни~ка, выдающего,,
нЕшрерывное сообщение с ра·вномер.ным .ра,определением •
и независимыми отсчетами пр,и Ре= 10 мВт, если отно,-
шение сигнал/шум в канале равно 10.
.
3.3 .13. Определить избыточность непрерывного rау,с­
совскоrо источника с памятью при отношении сиг­
нал/шум воспроизведения, равном 10, и значения коэф­
фициента корреля!ЦИИ R = 0,01; О, 1; 0,5;· 0,8; 0,95.
Решения и ответы
Р.3.3.1. Рассмотрим сечение ,случайного щюцесса~ .
X(t), преД1пол,ожи1В, что :п1роцесс в эrом сечении имее,
плотно·сть вероятности wi(x). Раз·дел.И~м область измене­
н·ий Х на диск•рет.ные уро·вни Xi с малым интер1валом Лх­
между н,ими. ВероятнО1сть того, что з•начение Х лежит в,
интервале (xi, хi+Лх), 1При,ближен.но tра·вна Pi=
=w1(Xi)Лx. Бущем считать, что О11Дельн~,1е от,счеты слу­
чайного сигнала X(t) неза,висимы , а их раопределение·
не зависит от ,времени (ста,ционарный источник без па­
М Я1'И). Тогда согла,сно (3.3) можно записать ~выражение:
для . эн'тропи,и на один отсчет к•ва·н:·юванноtо •сигнала
flдх (Х) =
-
rW1 (хJЛх Jog [wl (х;) Л х) =
.
i
= --I w1(х;)Jog[w1(х;)ЛxJ -
~w1(х1)Лх\ogЛх. •
1
i
•
t23


Чт,абы непрерыв;ный отсчет воопро:изrвести абсолютно
, точно, необходимо, чтобы Лх-+0 . Заменив тогда суммы
соо11ве1'сТ.еlу'ющими интеI1рала1ми, найще,м энтро[тию од-
. ноiго , от, счета
непрерывного сигнала
•
СО
00
,.
'~•
.
•Н(Х)= -
Jщ1(х)Iog w1 (х)dx-1~~01ьgЛх Sw1 (х)dx =
-оо
•
•
-оо
••
00
= ·-'- Jw1 (х)!ogw1 (~~d\ -li~0IogЛх.
-оо
•
Так как lim log Лх=-оо, Н(Х') =оо. Полученный резуль-
лх-о
тат оз:наrчает, что один непrреры1вный отсчет оигнала мог
бьr rперенест,и беско;нечно много инфо1р1ма,ции, если . была
бы возможность 1ВОС1Прои0вести его абсолютно точно.
К оожалению, в :реальных юаналах этой в-озможности
нет .
Р. 3. 3.2. Подставим ,в ф-лу (3.16) ~выражение nлот­
яости .вероятности норма,ль'Ного случайн·Ьго процеоса :
00
.
s1•
[ (х-т)2]
1•
[
h(Х)= -
_
·
_
_.
ехр -
х logу-ехр-
-
у2_л а2
.
2а2
2л а2
;
-,со '
•
-
log V2it а2 - (х-;;х)2 10g е] dx.
Вводя но:вую •переменную . (х-тх) /а и интегрир уя, по­
лучаем
h(X) = IogV2лea2 •
Следовательно, величина h(X) не завИiсит от тх ,
Р . 3 . 3.3. Условная :п:иrфференциа.льная энтропия мо­
ж~т быть 01пре.дел,ена ,по формуле
00
00
-со -со
Согла,сно [5, 22]
W1(х/х •р) ~ •
1•
ехр [-
.~
.(х
-ХпрR) 2] ;
п . у2ла2(J....:..R
2
)
2а2(1- R
2
)
124


1
[
1
22
W2(х, Хлр) = 2:rtа2VI~ •R2 ехр ----'- 29'2(!- R2) (х+хпр-
-
2Rxx11 p)] _,
По.д:ста1вляя эт,и выражения ,в соот.ношение для у.с­
лавной ди,фференциалыной энтропии, mолrучаем
,
1
soo s"" [ х2+х~Р-2RхХпр]
h (Х/Хлр) =
-
2:rt а2 (1- Rz)
•
ехр--
2az(1- R2)
Х
----оо -оо
х [- IogV2лo2(1 - R2)-
1
(хR -
·
2а2 (1- R2)
-
Хлр)2 Iog.е] d~ .dxnp·
После простых ·преобраэований :и.меем
h(Х/Хпр) = Iog у2ле _а2 (1-R 2) .
Об.ра,тим внимание на то, что · с ,ростом ,коэффициента
!К орреляции условная диrффер,енциальная энтропия
уменьшается.
,
,
f?.3.3.4. Очевидно, что вхо1дной и выходной mро,цес­
с ы ,авяза.ны между ,собой соотношением Y(t) = KX(t) .
Выходной 1процеос Y(t) имеет нормальное ра·опrределе­
Н'ие ,с диопер,сией а2у = К2а2х.
Приращение дифференциальной энтропии
Лh=h(у)- h(х)=Iogау=IogК.
ах
При К = 1 100 Лh· =б,64 6ит/отючет.
Полученный результат Ш)iКlа•зывает, ч·ю численное
значение дифференциальной энтропии зав,исит от мас­
штаlба ,,i'Змерения .
Р . 3.3 . 5. Согласно Р.3 . 3.2 дифференщiальная энтро-
пия нормального процесса h(X1) = logV2:rt е о2.
Найдем дифференциальную антр,опию процесса с
р авномерным р ·аопределением
а
h(Х2)=
-
J-1- ·
Iog-1
-.
dx= Iog2а.
.
2а
2~
-а
Ди,опер •сия ра•вн·оме1рно раап1ределенног,6 [Троцеоса
раш.на о2 при а = аVЗ. Сл~дова:тельно, дифферею:JJиаль-
125


ная . энтро"Пия ра:вномерно расш,ределен.ного процесса
h1X2) = 1ogy1202 •
При заданной диюпер1с1;1и о2 дифференциальная энт­
rюпия но,р,маль.ноrо процесоа больше дифференциальной
энт.рапии ра1вномерно расшределенного процесса на
Лh = }ogV2neo2 -logy12"o2 = 10g v'Л6е ~
~ 0,3 бит/отсчет.
Этот результат не зависит от величины дисперсии о2.
Р.3.3.6. Выходной ,сигнал Y(t) =X(t) + U(t) . Так ка·к
Х (t) и И (t) независимы и имеют нормальное распределе­
н·ие, Y(t) также будет раопределен по нормальному за­
кону с диопер,сией o211 =o2x+o2u.
В соотве11стJJии с
Р.3.3.2 дифференциrальные энтропии ,вхоiП;ного и выход-
ного си.гналов будут равны: •
h(Х) = }ogV2пео~ = 3,05 бит/отсчет;
h (У) = }og У2 пе (о;+ а~)= 3,21 бит/отсчет.
У славная дифференциальная энтропия отсчета У ( t)
нри известном X(t) определится энтропией шума 1в ка­
на,ле. Следовательно"
h (У!Х) = }og У2 п еа~ = 2,05 бит/отсчет .
Будем теперь ис,кать условную дифферен.циалЬ'ную
эн11ропию отсчета X(t) при известном отсчете Y(t) ,сог-
ласно (3.20):
•
-оо -QO
Осуществив несложные лреобра,зова,ния ,и приняв во
внимание, что
00
5W1 (х) w1 (у/х) dx = w1 (у),
-оо
получим
h(XJY)=h(Х)+h(У!Х)- h(У)=
а; а~
.
2
2 = 1,89 бит/отсчет.
ou.+ ах
\,26


Р.3.3.7. По определению
Нг(Х)= min/(Х, Х')=h(Х)- maxh(Х/Х').
П()с1кольку X(t)=X'(t)-, -U(t), то у~;;ловная ди~ффе­
рен1ци1аль.ная эн11р1О:пия h(X/X') при заданном си1гнале
Х' ( t) , ;п1Олностью О1Пр·еделяwся шумом во'опроиз~ведения
(•к·анала) V(t) . Поэтому max h(X/X') = •rriax h(U). Бели
ШJ'iM воапроизведения V ( t) имеет фи1ксироiванную д,и,с­
пер·сию а2и, то max h(U) достигает,ся П1ри нормаль1Ном
~раапределении случайной вел:ичины V:
maxh(U) = JogV2:n:ea~.
'
.
Следовательно, Н г (Х) = h(X)°-logV 2:n: е a2u .
Р.3 . 3.8. МаlКсимум апсилон-внтрапии непрерьrвно·го
сигнала будет достигаться 1п:ри max h(X) . При заданной
средней м6щнО1ст1и - сигнала Ре=а 2х max h(X) =
= logV2:n: ·ePe и достигается при нормальном раашреде­
лении •сигнала X(t).
Следовательно,
Нг (Х)маие = Iog V2:n:e Pe-IogV ? :n:ePm --: -- -
-
IlgРе-
-
-
0-
2 __Рш'
Ilдe Рш = а2u - ,средняя .мощность шу,ма воапраиз.веде­
ния.
_
Р.3 .3.9. • Со.гла,сно (3.23) •при дискретном времени (с
Ш З'ГО,М кванто,в1а'НИЯ во iвремени Лt= 1/vи) эпсщ:юн-про­
н звощительнос:гь
н;(Х) _ vи[h(X)-IogV2:n:ea~] .
Очевидно, что H'i,,(X) бУ'дет ма,ксима·льна, кот-да
h (X) · ~максимально . Но при заданной диаперсии (~оред­
н ей МОЩНО•С'ГИ . Ре) это достигается пр,и нормальном рас­
,пределении п,роцесса Х(t) (•см. Р.3.3.8) .
С учетом ;(.3.17) имеем
а2
н; (Х>манс = Vи-1-1og-x = ~ Iog ~
.
2
а2
2
Рш
и
При юш1р·ерывно,м ,времени ; пола,гая ,- !ЧТО Vи=2Fe,
м ожно поль'Зо:ваться формулой
н;~(Х)манс = Ре Iog Ре ,
-
-
Рш
где F е - полоса ч~а,стот сигнала .
1.21


Р.3.3.10. Ис1IЮлызуя ,результат защач,и 3.3.5 и . ф-лу
(3.24), можно за,п,и,сать для равномерно рас~пре.целенно-
го m1р,оцесса
•
н; (Х)р = 2Ре (1ogv12a~- Io gV 2л ea ~) =
= 2·3,1 · 103 (logV36 - Iog1/o,1 ле) = 16,68-103 бит/с .
Для нормально.го ш1ро1це1оса ,с :полооой Ре=З,1-10 3 Гц
и дl!·с:ттерсией а2х=13 Вт при том же шу,ме ,во:спроизведе­
ния (a2 u = 0,05 Вт) получим
н; (Х)н = 2 -3,1-103 (1ogV6лe- JogV0,l л е) =
= 18,3 -103 бит/с.
Р.3.3.11 . На 1з•овем ,информацион,ным объемом неюре­
,рывно1.ю ,си~нала 1Велич·ину
V~ = 2Ре ТеНе (Х),
т. е. произведение эпсилон-производительности 2РеНе (Х )
на щл,ительлость оигнала Те .
При фиксированной полосе Ре и длительности Те м ак ~
симум Vси будет иметь место при максимальной вели ­
чине эпсило·н-энтро1пии (см . Р.3.3.8)
Не (Х) = +Jog :::-,
прич-ем эТ~от макси1мум ·дост,итает,ся лишь при нормаль­
ном распределении сигнала Х (t), имеющего среднюю
.МОЩНОСТЬ р С•
Следо•вательно, ,при фик,сированной величине Рш
maxV~ = Ре ТеJog~ .
Рш
O6.раrГtим вн,иман,ие на ro, что эта вел,ичи·на со~ш~а ­
дает с физлче.оким объемо:м ,сиг,нала (,см . § 1.5), е,сли
1nиюфа1ктор си1гнала 1по мощности П2;=,1 .
Р.3 . 3.12 . Избыточность источни,ка ,соглаоно (3.25)
Н8 (Х)
Ри=1------.
Н8 (Х)макс
Исшол ызуя Р.3.3.7 и Р.3.3 . 8, можно .заmиоать
h(Х)- logУ2nеРш
Ри=1- -~
-
~
~----
_! Jog Ре
2
Рш
128


Находwм мощно~сть шу,ма :воспроиз·ведения (шума в ка­
нале)
Рш= ~= 1 мВт.
10
Учитывая Р.3.3 . 5, пр,и рав-номерном ра,с,пр,еделен,ии ,сиг­
нала X(t) имеем
Jog-V~ -
log Jf2 леРш
I
Ре
-Jog-
2
Рш
= 0,155.
Р.3.3.13. Ис:пол:ыз~уя соотношения (3 .25) и (3 .24) и .
учитыrвая Р.3 . 3 . 3, Р.3.3.7 и Р.3.3.8, ~получаем
1
Ре
-
log - (l -R2)
Ри=1- 2
Рш
1
Ре
-
log--
2
Рш
Есл,и Рс/Рш= 10, то m1ри R=0,01 Ри;:::::0; при R=0, 1
,р 11 = 0,004; 1при R,=0,5 Ри=О,13; шри R=0,8 ри=О , 445 ;
11ри R = 0,95 ри;::::: 1.
3 .4 . Количество и скорость передачи информации
по непрерывному каналу. Пропускная способность
непрерывного канала
Если на вход непрерывного канала постушJ л сигнал s (t), а в
l( а н а л е действует аддитивная помеха U(t) та](, что принимаемое
1юлебани е Z(t) = s(t)+U(t), то условная дифференциальная энтро•
пня 1-L(Z/S) = h(U) - дифференциальной энтропии на один отсчет
п оме хи. Поэтому
I(S,Z)=h(Z)- h(И).
(3 .26)
Скорость передачи информации по непрерывном у каналу с д ис­
i ( р е тным временем
!' (S, И)= vк [/i (S)-h (S/Z)] = v ,{ [h (Z)-h(Z/ S)],
(3 .27)
где Vк=2F" - число отсчетов сигнала, переда!'ае м ое в одну сек унду
по к аналу с полосой F к-
,
Пропускной способностью С непрерывного J<анала с заданны м
ш у мом и Vн будем называть ,:редельное значение скорости пер е·
д ачи информации (3.27), достигаемое при вариации всевозможных
и с точников на входе.
При аддитивном шуме в канале
С=Vкшах[/1(Z)- h(И)].
(3.28)
Применительно к непрерывному источнику основную теорему
о птимального кодирования К. Шеннона можно сформулировать
т~к: если эпсилон-производительность источника меньше проп у ск•
5-299
129


ной способности канала н; (А)< С, то сур:~:ествует способ кодиро­
вания и декодирования, при котором с вероятностью, сколь угодно
близкой к единице, средняя мощность шума воспроизведения меньше
заданной величины Рш. Если Н~ (А) >С, такого способа нет.
Максим_альный объем _информации, ,который может быть пере­
дан по непрерывному каналу с пропускной способностью С
V~= ТкС,
где Т>< - время использования канала .
Задачи
(3 .29)
3.4.1 . По каналу связи без памяти передается сиг­
нал s(t), представляющий собой нормальный случайный
процесс с нулевым средним значением, дисперсией a2s=
= 8 мВт и равномерным энергетическим спектром G0 в
полосе частот канала Fн=3100 Гц. В канале действует
независимая от сигнала флуктуационная помеха типа
«белый шум» с энергетическим спектром Gш=
=3,22-10-7 Вт/Гц, нормальнь1м распределением и нуле­
вым средним значением.
Орределить среднее на один отсчет сигнала количест­
во информации, переданное по каналу.
3.4 .2 . С какой скоростью передается информация
по каналу, если на его вход поступает Vн= 100 незави­
симых отсчетов сигнала в секунду. Сигнал S(t) распре­
делен по нормальному закону с m~=0 и а28 =2,8 Вт.
В канале действует аддитивный нормальный шум с
mu=0 и a2u= 0,4 Вт.
3.4 .3 . Показать, что при заданном ансамбле вход­
ных сигналов и фиксированной дисперсии помехи ско­
рость передачи информации по непрерывному каналу
будет иметь наименьшее значение при нормальном шу­
ме в канале.
3.4 .4 . Показать, что пропускная способность гаус­
совскогЬ канала непрерывного времени не может пре­
высить величину
С=FнIog( 1+::).
где Fн - полоса _ канала; · Ре и Рш фиксированные
,средние мощности -. сигнала и шума в канале, которые
считаются независимыми. , _ . , -
.
'. J.4.5.-
Определи.ть м,щ:симально возможную величи­
ну пропускной способности гауссовс~ого канала при не­
ограниченной полосе.
130


3.4.6. Показать, что для передачи одной единицы
информации по каналу с шумами сигнал должен иметь
энергию Е~О,69 Gш.
3.4.7. Определить максимально возможный объем
информации , который может быть передан по гауссов­
ск ому каналу. Показать, что соотношение между физи ­
ческими объемами сигнала и канала Vc~ Vн следует при
равных длительностях сигналов источника и канала
( Тс = Тн) из основной теоремы кодирования Шеннона.
3.4.8. По гауссовскому каналу связи с по л осой
,fo±0,5F передается сигнал s(t), имеющий спектральную
плотность мощности G0 (f)=Aexp[-i ~2 (1f-f0 ) 2 ] (~=
=1,83-1О -3 с, А = 48-1О- 9 Вт/Гц, F=З,1-10 3 Гц). В ка­
нале действует «белый шум » со спектральной плотностью
м ощности Gш= 10-9 Вт/Гц.
Определить максимально возможный объем инфор ­
мации, который может быть передан по данному кана­
лу , если время использования канала Тн= 1 ч .
3.4.9. Чему равна пропускная способность канала,
есл и средняя мощность сигнал·а 1 мкВт, а помехой я'в­
ляетс я тепловой шум приемного устройства с полосой
10 кГц. Приемник работает при температуре 20°С.
3.4 .10 . Определить величину отношения сигнал /шум
n канале, при котором дискретный источник может вы­
давать сим волы со скоростью Vи=2Fн (так называемый
предел Найквиста), если осуществляется оптимальное
коди рование по Шеннону .
Решения и ответы
Р.3.4 . 1. Поскольку спектр равномерный, то отсчеты
вх одного сигнала и помехи, а следовательно, и сигна ­
Jrа на выходе независимы. Согласно (3.26) / (S, Z) =
=h(Z)~h(Z/S) = h(S) - h(S/Z) .
Подставив сюда выражения для h(S), h(S/Z) , h(Z)
и h(ZJS) из Р.3.3.6, получим
•
1
(
а2)
1(S, Z) =
-
Jog 1+-
5
=
1,58 бит/отсчет .
·
2
2
аи
Р3.4.2. В соответствии с (3.27) J(S,Z) = vнl(S,Z).
Подставив сюда выражение J(S, Z) из Р . 3.4.1, получ~м
1(
~)
•
!'(S,Z)=vн2Jog 1+0
~
5
= 1500 бит/с. .
5*
131


Р.3.4.3. Согласно (3.27) при аддитивном шуме в
канале
1'(S, Z)= v11[h(S)- h(U)J.
Очевидно, что минимальная скорость передачи ин-
формации будет
определяться
соотношением
minl'(S, Z) =v11 min[h(Z)-h(U)] . •
Если ансамбль входных сигналов фиксирован, то
min[h(Z) - h(U)] будет иметь место при maxh(U).
Если дисперсия шума фиксирована, то maxh(U) будет
при
нормальном
распределении
шума,
причем
maxh(U) =logV 2леа2и, Следовательно, при указанных
условиях скорость передачи информации будет наимень­
шей и равной
l'(S, Z) =Vн [h(Z)-]ogV2лea;].
Р.3.4.4. Согласно (3.28) C=maxl'(S, Z). Как по­
казано в Р.3.4.3, для гауссовского канала / 1 (S, Z) =
= Vн[h(Z)-1ogV2лePш].
Отсюда следует, что пропускная способность гауссов­
ского канала
С= vнтах [h (Z)-]ogV2лe Рш],
. Если
дисперсия шума фиксирована, то
С= vн [max h (Z) - Jog V_2_л_е~Р-ш].
Дисперсия выходного сигнала а2 2 =Рс+Рп1, так как
сигнал и шум считаются независимыми. При фиксиро­
ванной дисперсии а2 2 maxh(Z) будет иметь место при
:нормаль ном распределении процесса Z =S + И, а следо ­
ва тельно, при нормальном распределении входногп сиг­
н21ла S(t). В этом случае
С= vн (IogV2лea;- Jog V2л е Рш) =
=~Jog(l + ~).
2
Рш.
Полагая Vн=2Fк (в соответствии с теоремой Ко­
тельникова), можно написать выражение для пропуск­
ной способности гауссовского кан.ала непрерывного вре­
мени
132


Р.3.4.5. Воспользуемся формулой для пропускной
с пособности гауссовского канала, полученной в Р.3.4.4.
П олагая, что Рш = FкGш, можно записать
С= Fк10g(1+_JL)= Fкlogеln(1+_&_).
FкGш
FкGш
Н айдем предел С при Fк-+оо:
С"'= limC = logelimF" l n(l + _JL)·
l Fк-"'
Fк-"'
FкGш
Поскольку l n ( 1 + е) ~ е при е-+0, можем записать, что
С,,,= logеFк_____fo__ = ~10gе.
FкGш Gш
Легко показать, что пропускная способнqсть гаус­
с овского канала монотонно растет при расширении по­
л осы канала Fк и асимптотически стремится к величине
Соо.
Р.3.4.6. Допустим, что сообщение передавалось в
течение времени Т. Так как скорость передачи инфор­
м ации по каналу с любой полосой не больше, чем Соо ,
м ожем записать, что количество переданной по каналу
и нфор мации удовлетворяет неравенству ТI' (S, Z)- ~, _'TCoo
·
Ре
пли с учетом Р.3.4.5 Т!' (S, Z) ~logе Т -
.
(J
Отсюда следует, что для передачи TI'(S,Z)=l бит
н нформации необходимо, чтобы сигнал имел энергию
Р с Т, удовлетворяющую условию
Е=РсТ>~=Gшln2=0,69Gш.
log2 е
Р.3. 4 .7. При заданном отношении сигнал/шум в ка ­
н але пропускная способность гауссовского канала С=
р
= Fкlog ( 1 + _с:_ ) и, следовательно,
Рш
v'~ = Т1Jк1og(1+;:).
Если Рс/Рш>l> 1 и пикфактор сигнала Рмакс/Рс = П 2 = 1,
то
v~ = FKTK10g::= Ун,
т . е. информационный и физический объемы канала
( см. § 1.5) совпадают.
133


Для передачи информации без потерь должнQ вы­
полняться соотношение vис~ vик, равносильное при ого­
воренных условиях требованию Vc~ Vк между фи з иче­
ским объемом сигнала и канала. Для гауссовского ис­
точника и канала при этом выполняется неравен ст во
ТеРе]og Ре <,: ТкFк]og ~-
Pu}
Рш
Так ·как Fclog Ре =Н' e(S), то при равенстве Тс =Тк
Рш
следует, что Vс~ Vк при Н' е (S),~'С, т. е. условие со­
гласования физических объемов сигнала и кана ла сле­
дует из основной теоремы кодирования Шеннона .
Р . 3.4.8. Средняя мощность заданного сигнала
f0+0,5 F
Ре=А S ехр[-В2(f- f0)2] df= 46,5-'10-6 Вт.
f0-o.s F
. Средняя
мощность шума в канале Pш=FGm=
• =3,1-10-6 Вт . Пропускн_ая способность канала
C=F]og2 ( 1+ ::) = 1,24 -104 бит/с.
Теперь по ф-ле (3.29) находим
v: = СТк= 1,24-104 -3,6-103 = 4,46 -10 7 бит.
Р . 3.4.9. Мощность теплового шума может быть оп­
ределена по формуле Pш = 4kTF, где Т - абсолютная
температура приемного устройства; k - постоянная
Больцмана, равная 1,37. 10--:- 23 Дж/град.
В данном случае F = I0 кГц, T=273+t°C = 293°
Следовательно, . Pш = 4·1,37-I0- 23 -293~1,64-I0- 1 6 Вт.
При средней мощности сигнала 10-6 Вт
С= 104]og 1+- --- ~3,26-105бит/с.
(
10-6
)
1,64 -10-:-16
•
Р.3.4.10. Из условия основной теоремы кодирования
Шеннона Н'(А)<С следует, что в · гауссовском канале
возможно оп т имальное кодирование только тогда, когда
источник сообще~шя выдает за одну секунду
•
(
Ре)
F,< log2 1+ Рш
Vи < -----'- -- -=-'-- -
Н (А)
символов .
134


Если- источник выдает двоичные равновероятные и
независимые символы, 10
Vи<Рк}og2( 1+ ::).
Очевидно, что условие vи<2Рн может быть выполне­
но при Рс/Рш<З . Если же Рс/Рш~З, то скорость выда ­
чи символов источником можно сделать значительно
больше 2Рн, т . е. при Рс/Рш~З предел Найквиста мож­
но превысить . Следует, однако, отметить, что на прак­
тике этот результат пока не достигнут.
Глава 4
ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ
4.1. Представление :кодов.
Свойства кодов без избыточности
Кодирование (в узком смысле) - сопоставление дискретному
сообщению а; (i= 1, 2,
..., К)
определенной последовательности -
кодовых символов, выбираемых из конечного множества элементар­
ных символов {Ь;} (i= 1, 2, 3, . . ., m) . Если число разрядов во всех
кодовых комбинациях n=const, то код называется равномерным.
Число кодовых комбинаций равномерного кода
N=mn
(4.1)
(т - основание кода; п -:- число разрядов в кодовой комбинации).
Каждую букву из ансамбля {ai} с объемом К можно закоди­
р овать при
(4 .2)
При кодировании отдельным символам источника сообщений
{ai} удобно сопоставить целые числа от О до К-1 .
Любое число М может быть представлено в системе счисления
с основанием m:
м=Ьп,пп+ bn-1 тп-1+ . ..+ Ь2т2+ь1тl+ bomD. (4.3)
Коэффициенты Ь; принимают значения от О до т-1 . Их сово­
купность и есть кодовая ком§инация для символа ai с номером Mi:
а;-.. М;-.. (ЬпЬп- ! . . . Ь;Ь0).
,КJод, для котор.ого mn=K, называе'!'ся примити,вным (.код без '
избьгт-очно.сти).
Избьпочно.сть IКiода можно о,це,нить соотноше,ние,м
Vп(1- Ри)logК
Рк = 1 - --------
Vкlogт
135
(4.4)


где Ри - ,из,быrочность и.сточ,н,ика; Vи - скорость выдачи сим,воло в
источни:к,ом; Vк - с,корость rвыдачи С1IМiВОЛО!В !Кодер.о,м.
Из,быточ1но.сть раrв'Номерносrю т-поз.и,циовноrо n -раз.рядно.го код а
при ри=О
logK
Рк=l- ---,
п logm
(4 .5)
где n = v,Jvи - число символов кода на один сиМJв.ол источника_
Оообый кла,сс образ уют стат,и,стичесюие ,коды. Эти юоды я,вля­
ются не,р.ав,но,мерными . Дли.на кодов•ой ко,м:бинации таких к ода.в
зав.исит от Iв ероят.ности выбора сооl'ветс'!'вующей буквы алфавита:
н аиболее в ероятным бу;~~в,а,м сопоста,вляю'!'Ся кор.о'11Jше кода.вые ком­
би,нации , а м енее вероятным - бюлее длинные (та:кое кодировани е
о чень ч а сто называют sIко:н,Qмным , так к шк оно позволяет с ократить
с:р еднюю длину 1юд10,вой ,ком.би,нации).
Пр ед,ста,вите,лями ст,атистичеоких (эконGм,ных) кодов являютс я
ашд Шен,нона - Фана и код Хаффмена.
Ор едня я дл и н.а кощ овы.х ,1юм6ипадий эконом,ного кода не мо­
жет ,быть меньше вел,ич,иIны i'iмин, кот,орая со,гласно теореме Шен.но­
на об ,опти м альн•о м кодир ова,нии в каналах б ез ш у,мов ( ом. § 3.2)
_
.
Н (AJ
nмин= -1
-
·-
+е(е-сколь уг одн о ма л а я ,величин а).
ogт
Задачи
4.1 .1. Источник сообщения выдает символы из ан­
самбл я, и м еющего объем К = 8. Записать кодовые ко м­
бинации п р имитивного равномерного двоичного кода ,
соответствующие символам данного источника. По­
строить граф кода (кодовое дерево) _
4.1 .2 . Дискре т ный источник выдает символы из ан­
самбля {а;} с объемом К = l О. Какое минимальное чис­
ло разрядов должны иметь кодовые комбинации рав.но­
мерного двоичного кода, предназначенного для кодиро­
вания символов данного анс~мбля? Записать кодовые
комбинации.
4.1.3: Ансамбль дискретных символов {а;} с объе­
мом К = 32 имеет энтропию Н(А) = 2 бит/символ. Най­
ти минима л ьное количество кодовых символов, которы е
необ х одим о изр~сходовать на один символ источни к а
при кодировании в канале без шумов равномерным
примитивным двоичным I{Од о м и при оптимальном ко­
дировании.
Какое избыточное количество символов по сравне­
нию с о'птимальным кодом приходится тратить на один
символ источника при использовании равномерного
примитивного двоичного кода?
4.1 .4 . Первичный непрерывный сигнал путем дис ­
кретизации во времени и квантования по уровню пре-
136


вращается в импульсную _ последовательность с числом
уровней К= 128. К:аждый уровень кодируется равно­
мерным двоичным кодом 1 . Найти число разрядов в ко­
д овой комбинации при рн=О, если отдельные отсчеты
с игн а ла независимы. Чему будет равна избыточность
кода, если число ра з рядов увеличить на 3?
4.1 .5 . Показать, что при использовании п-ра з рядно ­
го примитивного кода вероятность ошибочного декоди­
р ования кодовой комбинации не может быть сколь
уго д но малой при вероятности ошибочного приема эле­
м ен та рного символа ро.
4 .1 .6 . Определить вероятность ошибочного прие1V1:.1
л юбого уровня квантованного сигнала при использова­
н ии КИЛ'\ с семира з рядным примитивным кодом (n= 7 )
в симметричном канале без памяти, если вероятность
-о шибоч_ ного пр и ема одного кодового символ а р0 = 1О-3 .
4.1 .7 . Показать, что при кодировании равномерным
кодом с основанием т букв источника, имеющего про­
изводительность Н'(А), число разрядов в кодо в ой ком­
б инации не может быть меньше, чем
-
IogK
nм~н = Iog т'
где К - объем алфавита источника; т
-
, основание
кода.
4.1 .8 . Некоторый дискретный источник выдает сим­
волы из ансамбля {а;} (i= 1, 2, .. ., ~) с вероятностями,
приведенными в табл. 4 .1.
ТАБЛИЦА 4.1
Симво-
ЛЬ!
а11G21G31G41G5
1
а6
1
G7
1
Gв
G9
Pl
0,2 10 ,151 0 , 1510 ; 1210,1
1
0,1
1 0,081 0,06 0,04
Закодировать символы данного анса!'.!бля кодом
Х аффмена. Построить граф кода и определить среднюю
дл ину кодовой комбинации . Сравнить полученный ре­
зу льтат с минимальной длиной кодовой комбинации при
1 Такой способ кодиро ,вания непрерывных сигн а лов называется
код ов о-и ..,rпульсной модуляцией (КИМ); более под-роб-но КИМ б у ­
де т ра ссмотрена в гл. 6.
137


кодировании равномерным двоичным кодом. Показать,
что код Хаффмена •близок к оптимальному по Шеннону.
4.1 .9 . Закодировать двоичным кодом Шеннона-Фа­
но ансамбль {ai} (i = l, 2, 3, ... , 8), если вероятность
символов имеет значения, приведенные в табл. 4.2 .
ТАБЛИЦА 4.2
Символ
а1
а2
а3
а4
а5
Uв 1_U7
1aQ
Pi
1
1
1~1
1
-
-
-
4
4
8
8
16
16
16
Найти среднее число знаков в кодовой комбинации,
Показать, что такой код близок к оптимальному по
Шеннону.
Решения и ответы
Р.4.1.1. В соответствии с (4.2) число кодовы х ком ­
бинаций должно удовлетворять условию 8 = 2п .
Отсюда находим число разрядов n = 1og28 = 3.
Процедура кодирования и кодовые комбинаци и при­
ведены в табл. 4.3 .
ТАБЛИЦ А 4.3
Симоол
Число
1 Разложение числа по сiснов~нию 21
.
а1
о
0-22+0-21+0.2° .
а2
1
0-22+0-21+1.2°
аз
2
0-22+1.21+0.2°
й4
3
о.22+1.21+ 1.20
а5
4
1-22+0-21 +0:2°
ав
5
1-22 +0.21 + 1.2°
U7
6
1•22+ 1.21+о.2°
Uв
f
1•22+ 1.21 +1•20
Граф кода приведен на рис. 4.1 .
Кодовая
комбинация
ооо
оо1
о1о
о11
1оо
1о1
11о
111
Р.4.1 .2. Число разрядов в кодовой комб ин ации
найдем из условия (4.2) •
п=1og210=3,32.
Так как число разрядов не может быть дробным,
эту величину 'следует округлить до 4 (округле ние до
138


3 недопустимо, так как при этом число кодовых комби­
наций кода N = 23 =8 будет недостаточно для кодирова­
ния всех 10 символов источника).
Рис. 4.1. Граф трехразрядного
дво ичного кода
Кодовые комбина ции приведены в табл. 4.4.
ТАБЛИЦА 4.4
Сим вол
Число I Разложение числа по основанию 2\ ко~б~~~~:я
-
al
о
О•23+О•22+О•21+О•20
оооо
а2
1
0-23+0-22+0-21+ 1-2°
ооо1
аз
2
О•23+О•22+1•21+О•2°
оо1о
Ь4
3
О•23+О•22+1•21+ 1•2°
оо11
а5
4
О•23+1•22+О•21+О•2°
о1оо
а6
5
О•23+1•22 +О•21 -'-j-- 1•2°
о1о1
а,
6
О•23+1•23+1•21+О•2°
о11о
as
7
О•23+ 1•22+1•21 +1•2°
о111
а9
8
1•23+О•22+О•21+О•2°
1ооо
а10
9
1•23+Q.22+О.21+1•2°
1оо1
Р.4 . 1.3. Согласно (4.1) при равномерном примитив­
ном кодировании
-
_
JogК_Iog32_5
nмин.п - --- ---
.
Iog т
Iog 2
.
При оптимальном кодировании по Шеннону в канале
без шумо13
-
Н (А)
•
2
nмино = --
=
-- =2.
.
log т
Iog 2
Следовательно, при примитивном двоичном равно­
мерном кодировании в канале без шумов на каждый
символ источника приходится тратить в данном случае
139


nмин.п-nмино=З избыточных символа по сравнению с
оптимальным кодом.
Р.4.1.4. При независимых отсtiетах сигнала ;ри = О.
Сагласно (4.5) можно записать
log К
n= ------
(!- Ри) Jog т
В данном случае при ,ри=О
logK
2
п=
-- = 1og218=7.
Jog 2
Если число разрядов в кодовой комбинации увели­
чить до 1О, то
__
l
log 128
Рк- -
10
= 0,3.
Р4.1 . 5. Кодовая комбинация п-разрядного прими­
тивного кода будет декодирована правильно в том слу­
чае, если все п элементов кодовой комбинации приняты
безошибочно. Вероятность этого события
Рправ=(1- Ро)п•
Вероятность ошибочного декодирования р = 1-( 1 -р0) п.
Воспользовавшись формулой бинома Ньютона, получим
п
'-
'"' ci
i
Р= 7 пPo-
,....J
i=l
Если Ра<< 1, то вероятность ошибочного декодироI?а­
ния кодовой комбинации р ~ про, т. е. имеет конечную
величину.
Р.4. 1 .6. Вероятность ошибочного приема любого­
уровня квантованного сигнала при КИМ равна вероят­
ности ошибочного приема кодовой комбинации, которая
согласно Р.4.1.5 р = 1-(1-ро) 7 . Воспользовавшись фор ­
мулой бинома Ньютона, можем записать
7-6 2 7.5.5 з
р= I - 1+7Ро+- Ро+--Ро+··.
2
2-3
П ри р0 « 1 можно пренебр.ечь слагаемыми высшего по­
рядка малостииприближенно считать p~7 -po=7-I0 -i ,
Р.4.1.7. • Если дискретный источник с объемом ал­
фавита К В1?щает v11 символ/с, то его производитель­
ность
!!'(А) =VиН(А) -<V11Iog/(.
140


Равенство в этом соотношении имеет место лишь
при равновероятных и независимых символах источника .
Если в канале нет шума и он позволяет передать Vк ко­
довых символов в секунду, то пропускная способность
такого канала (см.§ 3.2) C=vкlogm .
-
При использовании п-разрядного равномерного кода
условием передачи без потери информации являетс я
выполнение неравенства Vк~nvи, так как каждая «бук­
ва» источника требует п кодовых символов. Согласно
(4.2) при примитивном кодировании п log m = log К.
Следовательно,
-
Vк
log К
n=-->
--.
Vи
log т
Отсюда следует, что минимальное число кодовых
символов на «букву» при примитивном кодировании
-
logK
nмни = log т.
Р.4.1.8. При кодировании по методу Хаффмена все
символы источника располагают в порядке убывания
вероятностей. Если несколько букв имеют одинаковые
вероятности, их располагают рядом в произвольном по ·
рядке. Затем выбирают две буквы с .наименьшими в е•
роятностями и одной из них приписывают символ «О»,
а другой - символ «1» в качестве первого символ а
двоичного кода. Выбранные буквы объединяют в «пр о·
,
межуточную» букву, имеющую вероятность, равную
сумме вероятностей выбранных букв. Затем в ансамбле
оставшихся букв (вместе с промежуточной) вновь нахо­
дят две с наименьшими вероятностями и поступают так
же, как и на первом шаге . Эту процедуру осуществ­
ляют до тех пор, пока не будет исчерпан весь алфавит.
Процесс кодирования показан в табл. 4.5. Средняя
9
длина кодовой комбинации данного кода ii= ~ nipi=
i=I
= 3,08. Минимальная длина кодовой комбинации при­
митивного кода, которым можно закодировать данный
алфавит,
-
log К
п~шн.п =-- = 4.
Iogm
141
.
_J


ТАБЛИЦ А 4.5
Сим6иiт
Pr
Граrр xoila Хаффмена
Koil
а,
0,2
--1
11
02
0,15
1-
001
03
O,fS
-1
0,27
(1,4
1~ ' =1,00
Dlf
010
ач
0,12 -о
0,б О
a.f
0,1
-1~0,2
~о
101
о-
а5
O,f
-о
1DD
07
0,0(J
-- 1~,18
OOOf
llg
0,0/J
-1=;,~
_
о-
00ОО(
03
0,0lf -о
(/0000
При оптимальном двоичном кодировании в канале без
шумов
9
nмино =
--
=
Н(А) =
-
Pi Iogpi= 3,04.
-
Н(А)
Е
logm
i=l
Средняя длина кодовой комбинации кода Хаффмена . от­
личается от средней длины оптимального кода на
3,08-3,04 100% = 1 32%
3,04
'
'
что позволяет считать код Хаффмена близким к опти­
мальному коду.
Р.4.1.9. Кодирование по методу Шеннона-Фано
осуществляется следующим образом. Все буквы запи­
сываются в порядке убывания их вероятностей. Затем
вся <;:овокупность букв разбивается на две примерно
равновероятные группы. Всем буквам верхней группы
приписывается первый кодовый символ « 1», а •буквам
нижней группы - символ «О».
•
Затем каждая группа ·аналогичным образом разби­
вается на подгруппы по возможности с одинаковыми
вероятностями, причем верхним подгруппам в обеих ·
группах припи~ывается символ «1» (второй символ ко­
довой комбинации), а нижним - символ «О». Эта про­
цедура осуществляется до тех пор, пока в каждой под-
142


группе не останется по одной букве. Процесс кодирова ­
ния по Шеннону-Фано приведен в табл. 4.6 .
ТАБЛИЦА 4.6
Буква
Р а збиение
1 Кодовая комбинация
1
)
}1
-
а1
4
1
1}о
а2
-
4
1
1)1 }
1
аз
-
8
1
}о
а4
-
8
1
)
11 }1
а;
-
16
о
1
}о
а6
-
16
1
о)о}1
а1
-
16
1
}о
ав
-
16
1
}}
Средняя длина кодовой комбинации
8
11
1О
О11
О1О
ОО11
ОО1О
ООО1
-
0000
п=~n;Р;= 2(+++)+3(+++)+
i=I
•
4
2
+4- =
,75.
•
16
.
При оптимальном двоичном кодировании
8
п=Н(А)= - IPi10gPi=2,75.
i=l
Следовательно, в данном случае код Шеннона-Фано
является оптимальным .
4.2 . Корректирующие коды и их свойства
Ко1рреuп,и,рующи1ми •а<'оrдам,и называют Jюды , которые позволя­
ют обна ,р у жnвать ошиб1<1И и испра~лять ош111бки и стирания , воз­
ник ающие прn п ередаче JЦИ СU<ретны х соо,бщений.
143


Для корректирующих 1юдов сп.ра,ведлИJВо !!ераrвенство
N= mn>K
(4.6)
('в дальнейшем будем раооматр.ивать толыю ,д,в.оичные коды:
m=2). При это,м часть кодовых ком•бинаций используется :для ко ­
дир.ован,ия (эти код,овые комбинации называются разрешенными, их
члсло р.а,вно К), а другая часть при коди,ровании не иопользуе,тся.
Число неи,опользованнных при ко,ци.ровании комби,на.ций, называе­
м ых запрещенны ми, равно N - К
Если минимальное хеммингово расстояние (юм. § 1.4) между
разре шенными кодовыми комбинация,ми dмин, то код позволяет об ­
наружить ошибку, когда .в кодовой комбинации число ошибочно
принятых символов уд.овлет.воряет условию
q < dмин-
Следовательн.о, максимальная кратность обнаруж,иваемых
qо= ,dмин - 1. Блочны й ,ко,рректи,рующий код и.оправляет
если их число
dм:ин
q<-2-
(4 .7)
оши.бок
ошибки,
(4.8)
[\\ю,си,мальная 1,ратность полностью исп,равляемых ошибок
• dмин- 1·
2
при нечетно:-~ dмин,
при четном dмин.
При декодирова,нии с и,оправлен,нем ошибок и сти,ра ,ний могут
быть .иоп,ра,влены q~q " ошибак и q~qc стираний, если их чи,сло
удов-лет,воряет услов-ию
В общем случае код с расстоянием dмин испраrвляет произ.в,оль ­
ное ч,исло q~qc стир.аний, q~qи ошиlбо,к и обнаруживае т произ ­
вольное число qи~q~qo ошибок при условии, что qц + qo+qc<
<1dмин•
На прак~ике широко ра,спрост,ранены линейные коды. Линей ­
ный двоичныи ~од длины n - ЭТ,0 код, для КОТСУJЮГ.О су,мма по мо­
дулю 2 любых разрешенных к-одовых комбинацт'\: также является
разре ш ен,ной кодовой комбина,цией.
Если ф.ор1ми•ров .ан,1-1е кодовой комбина ц ии юсуществляется в два
этапа, причем на п ер,вом этапе образуются кодовые комбинации
пр.и,м ,и.ти ,вно г о кода, а затем по определенному праrвилу к ним до­
ба вляются избыточные ,(коят,рольные, проверочные) сИlмволы, то
код называется систематическим . Провер.очные си,м,волы bnp фор­
м,ируются п.о nrра , вилу
·k
}:-v1,i bz,
l=l
(4.9)
где i=•k+ I, k+2,
.. ., k+r; k-=-число %Нфо,рмационных с-им.волов,
r - число избыточных си , м,волов. Су~ммирова,н.ие в (4.9) осущес11вля-
144


ется по модулю 2 для двDичного кода 1 . Очень часто ли;1ейный код
задают не соот.ношениями (4.9), а порождающей и п.рове,рочной
ма трица.ми.
Ли,нейный код можно получ,ить линейным су,ммирован·ием по
модулю 2 любых k линейнонеза.в,исимых кодовьrх rюмби,наций, в
ка,чест,ве ' ,кот,о.рых удобно использо.вать комбиющии, кот,о.рые в ,ин­
формационных раз,рядах содержат лишь один ненулевой символ.
Ма'Грица, которая имеет k строк, о.бразова,нных Э'!'ИМИ комбина ­
ци-я;ми, н.азывается порождающей, или про·изводящей матрицей
G [20] . Раз-мерность [Юрождающей ма1'рицы линейного кода kX п
(k ст,рок и п столбцов). При учете (4.9) порождающую матрицу
;1,rож,но записать
n=k+r
-~----
~------
100
010
.О Y1,k+1
.О '\'2 , k+I
00 , , . .1 уk'k-\--1
k
= 11 lkG' 11, (4.10)
где lh - единичная матрица порядка k, а G' - матрица коэффи ­
циентов размерности k Х r.
Проверочная матрица представш1ет собой таблицу с размерами
rXn (,r=n- k столбцов, п ст,ро,к) вида
Yk,k+I • • ·Yk,ti
Н=п100, ....
О
ООО .
1'
'-----~- -- --'
r
(4.11)
->-
Дл я ,каждой. разрешенной кодо,вой ко,м,би,нации Ь матр,ичное произ -
ведение ЬН =0. Таким -образом, совокупность кодовых 1юмбина-
-+
ций -это множес1'Бо по.следовательностей Ь, для которых ЬН=О.
_1\1\,ножес'!'во код1оrвых комбинаций является также множеегвом ли­
нейных rюмбинал,ий строк п,орож,дающей матрицы G. Линей,ный код
дл ины п с k информационны ми символами и r=n-k проверочны­
ми символами обозначается (n, k). Кодовую комбинацию такого
1 Коды, у которых про,верочные символы формируются путем
сум1м.ированчя по ;1,rодулю 2, называюжя кода,ми с проверкой на
чет но.сть.
145


кода мож,но за[IИJсать
-+
Ь= ьп,прьп-1,пр • •
. bk+1.nikbk-l bk-2
•
•
• Ь1,
r=n-k
k
где {Ь ; } - информационные символы; {ЬJ,пр}
-
проверочные сим­
волы.
Из,быточ,но,сть линейн,о.го д,вощыюrо кода
1og2k
k
r
Pk= !---= 1--= -
п
п
п
(4.12)
11де r =n ~k - rч.ис-ло лро,верочных ои,м,вюлов.
•«Опт,ИJмальным» я-вляется код ( п, k), обеапечи!Вающий намIмень­
шую ве,р·оЯ1Гность ошибочного iдек,ад,и1р·авания ореди . всех КО\дО!В той
же дл'Ины п и из,быточно.оти r/n.
Сооершенные к.о:цы - это 1юды, которые всю св·ою изrбьuгочность
расходуют на и,оправлен.ие оши,бок задан,1-юй 1К.ратно,сти q. К:sаз.исо­
вершен,ным ,назыJВает~ся код, который Iислр.а,вляет некото.рую часть
О!ILИ!бОIК кра11НОСТИ q+:1.
•
Обнару.жениР. ошибок при использ·О1Вании линейных кодов осно­
вано на проверке со·от.ношений ( 4.9): по принятой ко1д.01Вой ком.би­
нации оостав,л-яю:кя контрольные суIм~мы по ~модулю 2
k
Ь}'~~;=~ '\'1 ,i ь;(i =k+1,
.•., k+ r)
(4.13)
l=l
....
(здесь Ь'1 - l- й знак принятой кодовой комбинации Ь') и сопостав ­
ляются с про.ве:рочными ои.мвола,ми цривятой кодовой 1юм,бина-ции.
Совокупность чисел CJ-k=b'J,пp+Ь?~~; (mod2) для данно й ко­
довой ком~бина~ции назьизается синдромом [20]:
........
с(Ь') =Cr,
..
. , с3,с2,с1.
Деiюдиро,вание п:р~и,чят.ой ко.ц·оsой 1юм,бин.ации может быть осуще ­
ст,в,лено с пО1мющью п роверочной м.ат,р,ицы Н. Бели принята 1юмtби-
->-
. ...
.
нация Ь, то син1дром с можно ооре.цел.и.ть раIвенсТ1ВО1М с= 1Ь ' Н. Та­
ки,м образо1м, синдроIм - это вектор-с11рока (с1, с2,
... , Ст)
с r ,ком­
понентами (по одной для 1шж1дшо ПiрО!Верочноrо си~мвол а ) . Бели
-+
.. ..
Ь - переданная кодовая комбинация, а Ь' - принятая, то с умм а их
.. ..... .
по модулю 2 mod2 (Ь+Ь') = Z называется шумовой последова тель-
ностью . При этом c=zH.
•
При п,ра,ви.льн-ом прмеме в.се элементы синд1рО1м.а равн ы н улю.
Отличие хот1Я бы OiD.HOГO элемента синдром.а от нуля означа е т, что
произош-л.а оши,бка.
Пр,и де1ю1дирювании с испра ,влен.ием оши,б01к по виду с инд,р о:ма
мож,но ОiП•ределить разряд кодовой ком,бИJнац,ии, в котор ом пр оизо­
шла оши1бка.
Линей1ный двои1ч1ный 1юд, · которому принщдлежат кодо вые ком­
бинации, полученные путем цикл.ичоо1юй [lерестанОJВки с н,м.воло.в,
назыв .ае11Ся цикли1ч001ш , м .
....
,Кодовый векто·р Ь ци,клиrчес~{оrо кюда представляют п ол,и но,м.ом
(n---, J) стmени: • Ь(х)=а0 +,а1х+,а~2+ ... +,аn- 1хп-1, где коэффици­
енты а; п,рини,мают зна,чения О или 1. Пр.и т,аком представ ,л ении ко-
146


-+
до,вый векliор, полученный из Ь цИ%ЛИческой перестаIно,вкой элемен-
ТОIВ, мож но раюсмат,ривать каu, рез ультат ум,ножения пол,и ном а
Ь(х) ,на х, если считать, что xn = ,1.
П оли ном наи,меньшей степени ср еди всех полиномов, соответ­
ствующих ко1довыIм ком-бина,ция1м цикли,чеаког,о 1юда, называется
порождающим полиномом g(x) = 1+v1x+y2x 2 + ... +v,--1xr- 1+vrx' .
Коэффициенты у; равны О или 1. Степень порождающего полинома
определяет ЧИIОЛО проверочных сиIм,волов в кощовой комбинации .
.Зная порожщающий полин ом, можно по:строить все к•о•довые
коМJбинации 1.щ%л.ичеаког.о коща, а так,же уст,ройс11Ва ко,ди роIва ,ния
и д еuюдир о1В:ания. На порождающий полююм должен делит ыс я без
о.статка щву ч•лен x n ± 11. Полученный результат оцре.деляет пр·овер.оч­
ный ПОЛИНОМ
хп-1
h(x) =
--.
g (х)
(4 .14)
П орож,дающий поли,но,м · g(x) и п,ровер:очный пол-и.но,м h(x) яв­
ляют,ся ор тоl!'оНа\llьны,м.и, та,к каu, при хп- 1 = О они удовлетворяют
у,словию
g(x)h(x)=O.
(4.15)
Н е.в ьнп олнение у,словия (4.15), т. е. h(x)g(х) =I= О, я,вляет,с;я пр;изна -
1юм оши~бки.
П оми:мо блочных , в насюящее ,вр емя расrrр.о:странены рек ур ­
рентн ые ,или цепные коды. В цепном =де инфо,р,маци·онные симв.олы
чередую тся с прове,ро,ч,ными, образуя п.о,следователыюсть
Ь1Ь 1 ,2 Ь2Ь2,з ЬзЬз,4 Ь4 • .
•
где Ь 1 - l -й инфо•рIмационный сиIм.в ол, п,рини:мающий значение О или
1 в соо11ветс11ВИИ с передава емым соо.бщение;м , а Ь1, 1+ 1 - iПр ове,роч­
ный си,маз ол, опр еделяемый ура,в.нением
Ь1,1+1=Ь1+ Ьч1,
(4.16)
црич ем су,м,м,ирование осуществ,л_яется по м одулю 2. Ц епной к од ,
содержащий на п си,мволо,в k информа~ионных, обозначают (k/n).
Ра зно видностью цепных кода.в являются та,к ,называемые авер­
точ·ны е ,к.оды, имеющие •кюдовые последова,rельно:сти В·И:Ца
. Ь(i-1),пр b;b(i+l),пp Ьu+2),пр Ь(i+з),пр 9(i+4),пр Ь(i+Б) , пр Х
Х b(i+бJ ,пр b(i+7) ,пр • • •
Прове,р оч ные сим1В .олы такого кода фор~мируюrr,ся ча,сто по пр ,а•вилу
ьi, пр = Ь;_4 +ь;_7; b(i+l),пp = bi-1 + Ь;_4 + Ь;_7 ,
Сумм.и р.ова ние ве,дется по модулю 2.
К реку,р:рент.ным неблочным кодам можно условно отнести от -
-
ноаительный код, иапользуемый в ди:ак,ретных системах связи с
о тносит е льной модуляцией фазы (ОФМ).
Задачи
4.2.1. Показать, что код с расстоянием dмин позво­
ляет о бнаружить q0 ~dми11- l ошибок и исправить
qи·~'dмин/2-1 ошибок .
147


4.2 .2 . Каждые 100 символов двоичного источника
кодируются двоичной последовательностью, содержащей
п = 125 кодовых символов. Определить избыточность
кода ·Рк- Найти вероятность ошибочного декодирования
кодовой комбинации в канале с независимыми ошибка­
ми, если dмин = 6, вероятность ошибочной регистрации,
кодового символа Ро = О,05, а декодирование осуществ­
ляется по минимуму хеммингова расстояния.
4.2.3 . Символы двоичного источника А и В коди­
руются избыточным трехразрядным двоичным кодом с
d = З. Составить таблицу возможных состояний на выхо­
де декодера при декодировании по минимуму хемминго­
ва расстояния в нестертых символах:
1) с исправлением стираний и обнаружением оши-
бок;
•
2) с исправлением ошибок и стираний;
3) с исправлением ошибок и стираний и обнаруже­
нием ошибок.
4 .2 .4 . Двоичный код [20] , предназначенный для ко­
дирования восьми сообщений, содержит кодовые ком-
• бинации:
-➔
-+
~
~
Ь1=ООООО; Ь2=1ОО11; Ь3=ОIО1О; Ь4=11ОО1;
-+
-
-+
~
Ь5=ООIО1; Ь6=IО11О; •Ь7=ОI111; Ь8=111ОО.
Является ли данный код линейным? Найти избыточ­
ность кода и dмин-
4 .2.5 . Построить систематический код (7, 4), пр_ед­
назначенный для кодирования сообщений двоичногG
ТАБЛИЦ А 4.7
Информационная
последователь­
ность
00
10
01
11
Кодовая
комбинация
10 11О
111О 1
10 101
0 1()11
источника, имеющего объем
К= 24 символов. Показать ,
что dмин такого кода рав ­
но 3.
4.2 .6. Составить таблицу
синдромов одиночных оши­
бок для кода (7, 4) и пока­
зать, каким ошибочным раз:­
рядам они соответствуют.
4.2 .7 . В табл. 4.7 приве­
дены двухразрядные двоич­
ные информационные последовательности и соответст­
вующие им кодовые комбинации .
Показать, •что полученный код является систематиче­
ским кодом с проверкой на четность, • и выразить каж­
дый разряд· кодовой комбинации в виде линейной ком-
148


бинации информационных символов. Найти для задан ­
ного кода порождающую и проверочную матрицы. ·
Составить таблицу декодирования при декодиj,:ова­
нии в двоичном симметричном канале с вероятностью·
ошибочного перехода Ро<О,5. Найти вероятность не­
правильного декодирования.
4 .2 .8. На рис. 4.2 показана
двоичного кода при передаче по
ному каналу с вероятностью
Рееистр
схема формирования
двоичному симметрич­
ошибочного перехода
Ь/15 b.f о" a3bzhr
8 канал
Рис. 4.2 . Схема формирования двоичного кода
Ро < 0,5 [4]. Первоначально регистр сдвига запо л нен
нулями; затем в регистр поступают четыре информа­
ционных символа и одновременно передаются по каналу .
После этого передаются три проверочных · с,имвола . Пе­
ред вычислением проверочного символа все четыре ин­
формационных символа сдви,гаются в регистре на одну
позицию вправо.
Найти проверочную матрицу, порождающую м а три­
цу, таблицу декодирования и вероятность ошибочного
декодирования для данного кода.
4.2 .9. Показать, что полином g(x) = 1 +х+х 3 явля­
ется порождающим для циклического -· кода (7, 4) . Со­
ставить кодовые комбинации циклического кода (7, 4) .
4.'2.10. Составить структурные схемы кодера и де­
кодера для циклического кода (7, 4), заданного порож­
дающим полиномом g(x) = 1+х+х 3 . Пояснить процесс
кодирования и декодирования с исправлением ошибок .
4.2 .11 . Какой объем алфавита должен иметь ди­
скретный источник, чтобы его символы можно было бы
закодировать семиразрядным кодом с весом п =3? Со­
ставить кодовые комбинации такого кода. Найти избь1-
точность кода .
4.2 .12 . Вероятность ошибочного приема элементар­
ного символа кодовой комбинации р 0 = 10-2
.
Чему будет
149


равна вероятность необнаруженной ошибки при исполь­
зовании кода с постоянным весом (3/4).
-
4 .2 .13 . Кодом с четным числом единиц называется
код, который образуется путем добавления к комбина­
ции п-разрядного кода одного знака, чтобы количество
всех единиц в новом (п+l)-разрядном коде было чет­
ным.
Составить кодовые комбинации такого кода, постро­
енного на основе пятиразрядного двоичного кода. Оп­
ределить избыточность кода с четным числом единиц.
Вычислить вероятность необнаруженной ошибки, если
вероятность ошибочного приема одного знака кодовой
комбинации Ро= 10-2
.
4.2 .14 . Коды, в которых путем добавления двух про­
верочных элементов сумма всех элементов, полученная
сложением по модулю 3, равна О, называются кодами с
числом единиц, кратным 3 [26]. Составить кодовые ком­
бинации такого кода, построенного на базе пятиразряд­
ного двоичного кода, и определит:-ь для него вероят­
ность необнаруженной ошибки . Найти избыточность
полученного кода .
4.2 .15 . Повышение эффективности кодов с обнару­
жением ошибок может быть достигнут,о введением оп­
ределенных зависимостей между элементами кодовых
комбинаций. Примером таких кодов является корреля­
ционный код [26], который строится по правилу: эле­
_мент первичного кода преобразуется в два элемента, а
именно 1 преобразуется в 1 О, а О в О 1. Полагая, что
первичный код является пятиразрядным, найти из· бы ­
точность корреляционного кода. Определить вероятность
необнаруженной ошибки.
4.2 .16. В технике связи часто применяется инверс­
ный код (код с повторением), в основу построения ко­
торого положен метод повторения исходной кодовоi'1
комбинации: при четном числе единиц кодовая комби­
нация просто повторяется, при нечетном - повторяется
в инвертированном виде [26]. Определить вероятность
необнаруживаемой ошибки для инверсного кода, по­
строенного на основе пятиразрядного двоичного кода.
4.2 .17 . Двоичный источник информации выдает по­
слмовательность символов 1ОО 111ООО 11О 1О 1. Най­
ти контрольные символы и записать кодовую последо­
вательность · ,рекуррентного кода (1/2) [26] . Со<;тавить
структурную схему кодирующего и декодирующего
устройства· для такого кода.
150


4.2.18 . Показать, что кодирование в системе отно­
сительной фазовой манипуляции (ОФМ) [19] является
рекуррентным [26].
Решения и ответы
Р.4.2.1. Если при передаче некоторой разрешенной
кодовой комбинации произошло q ошибок, то расстоя­
ние по Хэммингу между принятой и переданной комби­
нациями d=q. Так как между любыми двумя разре­
шенными кодовыми комбинациями расстояние по Хэм-
Ь/разр .
Ьзапр Ьzразр
1:
•
•
•
•
-1
J
dмuн- 1
dмuн
aJ
Ьzразр
f dмuн
dмuн
б)
Рис. 4 .3 . К оценке обнаруживающей и исправ­
ляющей способности корректирующего кода
мингу не м_еньше dмин, то кодовая комбинация, отличаю­
щаяся от переданной в q = dмш,-1 разрядах, является
за прещенной, и ошибки будут обнаружены. Сказанное
поясняется рис. 4.За.
Для доказательства того, что код с расстоянием
dмин может"исправить qй~'dм-/2-1 ошибок, достаточ­
но убедиться, что среди разрешенных кодовых комби­
наций имеется только одна, которая могла бы превра­
титься в принятую запрещенную комбинацию.
Допустим, что существуют две разрешенные кодо-
-+
-+
вые комбинации Ь 1 и Ь 2, которые при искажении
dмин/2-1 символов превращаются в одну и ту же за-
151


->-
,п рещенную кодовую комбинацию Ь*. Это означает, что
->-
->
d(Ь1, Ь*) = d~Iин/2 - 1< dмsн/2 И d(Ь2, Ь*) т;'
= dмин/2 - 1< dминf2.
->-
Для того чтобы из комбинации Ь 1 получить комби-
-+
->-
-+
:н а цию Ь2, необходимо изменить не более d(b 1_,
Ь*) +
➔ ->-
+ d (Ь2, Ь*) символов, так как выполняется условие
- ?-+
-+-+
-+-+
-
d(b1, b*)+d(b2, b*)<'d(b1, Ь 2) (см. § 1.5). Поскольку
->-
->
при сделанном допущении d (Ь1, Ь*) <dмин/2 Ь и
-+
-+
-+
-+
d ( b2, Ь*) <dмин/2, имеем ' d(b 1, Ь 2 ) <dют, что противо-
речит определению dм1ш- Следовательно, при числе оши­
бок qи•<"dмин/2 - 1 принятой запрещенной комбинации
может соответствовать лишь одна разрешенная комби­
нация. Но это означает, что все qи ошибок могут быть
исправлены. Правило декодирования в этом случа~
можно сформулировать так: если принята запрещенная
комбинация, то считается переданной блюкайшая к ней
ра з решенная комбинация. Сказанное поясняется
рис. 4.36.
Р.4.2.2. Объем укрупненного алфавита (число по­
с ледовательностей двоичных символов длины 100)
1( = 2100 . Для кодирования всех последовательностей
примитивным двоичным кодом необходимо в каждой
· кодовой
комбинации иметь log К = 100 разрядов. В дан­
ном случае применен код с n = 125 разрядами в каждой
кодовой комбинации. Изб ыточность кода согласно (4.12)
log 2100
Рк=1-
~--
= 0,2.
125
К одовая комбинация будет декодирована ошибочно,
ес л и в ней будет искажено более dмин/2-1 символов.
Следовательно, вероятность ошибочного декодирования
ра в на суммарной вероятности ошибки кратности 4, 5 и 6:
Рк=Ci2sР6(1- Ро)121+Cf2spg(1- р0)120+
+ Cf2sp3 (1 - р0)119•
Р.4.2.3. Допустим, что из 23 = 8 кодовых комбинаций
тр е хразрядного двоичного кода в качестве разрешенных
выбираются комбинации О О О и 1 1 1. Расстояние по
Хэ м мингу между этими комбинациями максимально и
равно 3. Из-за ошибок в канале (переход О в 1 и 1 в О)
152


-
сп
с,:,
ТАБЛИЦ Л 4.8
Способы де1<0дирова ни я
1I121314Состо:ние/6J71
8
Символ источника
IАIВIВIАIА\ВIАIВ
Переданна н кодован комби н ация
1ОООi111/111,~,
ООО / 111 1- ~;,-1
-11
1000!?11 !010/оп/ ?10 10001~~1~?
-- -- ~,-0'-
1о121 о11 ,-3\-11~-
Приннтан кодовая комбинация
Расстошше по Хеммингу по нестертым сиволам
..
'
Декодирование с исправлением стираний и обна-
руже н ием ошибок
А
в
?
А
?
А
в
?
'
(ош) (ош)
'
Декодирование с нсправлением ошибок и стираний
А
в
А
А
Аили А
в
в или
(ош)
В (ош) (ош) (ош) А (ош)
Декод ировани е с испр авле,; ие м стираний и оши-
бок н обнаружением ошибок
А
в
А
А
?
А
в
?
( ош)
(ош) (ош)
,,
..


или стираний (появление на приеме третьего симвьла:
«?») принятая кодовая комбинация отличается от пере­
данной . Из 33 = 27 всевозможных кодовых комбинаций
на приеме 25 соответствуют запрещенным и позволяют,
следовательно, обнаружить некоторые ошибки и стира­
ния , а часть из них исправить. Возможные ситуации на
вы х оде декодера для различных состояний кодера и ка­
нал а ( 1, 2, 3, . .., 8) и способов декодирования приведе­
ны в табл. 4.8.
И з данной таблицы следует, что код с dмин=3 по­
зво л яет надежно обнаружить два ошибочных элемента
ко м бинации, исправить два стертых символа и испра­
вить одну ошибку при отсутствии стираний.
При декодировании с исправлением стираний и об­
н а р ужением ошибок в месте приема регистрируется знак
стир а ния («?»), если принятая комбинация является за­
прещенной. Ошибка не обнаружена и, следовательно , не
ис п р авл ена в состоянии 6, поскольку принятая кодовая
ко м бинация вследствие трехкратной ошибки преврати­
лас ь в разрешенную комбинацию, не передававшуюся
по кан алу. Си м вол в состоянии 7 такж е з арегистриро­
в ан с ошибкой, поскольку по нестертой позиции приня ­
тая комбинация совпадает с той, которая не передава­
л ась . Декодирование с исправлением стираний и оши­
бо к по критерию минимума хемминrова расстояния по
. нест е ртым
позициям между принятой и переданной
ко мб инациями дает ошибку по состоянию 3, 6 и 7. Мо­
гут та кже появиться ошибки по состоянию 5 и 8, так
как в этих состояниях хемминrово расстояние между при­
нято й и обеими ра з решенными комбинациями одинако­
во. В ведение зоны стирания позволяет при декодирова­
нии с исправлением ошибок и стираний и с обнару­
ж е н и ем ошибок исключить ошибки в состояниях 5 и 8.
Р.4.2.4. По определению линейного кода сумма по
модулю 2 любых двух его кодовых комбинаций дает
ра з р е шенную комбинацию. В качестве примера найдем
-+
-+
'
сум му по модулю 2 комбинаций Ь3 и Ь2·:
-+
Ь2=1ОО11
-+
Ь3=О1_01О
....
Ь4=11ОО1.
Аналогичным образом можно показать, что
-
-+
\-+
~
-+
-
-+
-+
~
mod2(Ь2+Ь4)=Ь3; mod2(Ь2+Ь5)=Ь6; mod2(Ь2+Ь6)=Ь5;
154


->-
->-
->-
--+
~
-+
-+
-+
mod2(Ь2+Ь7)=Ь8; mod2(Ь2+Ь8)=Ь7; mod2(Ь3+Ь4)=Ь2;
->-
->-
... ...
mod2(bJ+Ь5)=Ь7;
-+
-+
--+
-+
--+
mod2 (Ь3 +·Ь6) = Ь8; mod2 (Ь3 +Ь7) = Ь5;
->-
......
......
--+
-+
-),
--+
mod2 (bJ+Ь8)=Ь6; mod2(Ь4+Ь5)=Ь8; mod2(Ь4+Ь6)-=Ь7;
mod2 (Ь4+Ь7) = ~;
--+
-+-
-
-+
--+
mod2(Ь4+bR)=Ь5; mod2(Ь5+Ь6)=Ь2;
--+
--+
_,..
-+
~
mod2(Ь3+Ь8)=Ь4; mod2(Ь6+Ь7)=Ь4;
--+
~
--+
-+
-►
mod2(Ь6+Ь8)=Ь3; mod2(Ь7+Ь8)=Ь2.
Следовательно, заданный код является линейным.
Найдем его избыточность. Для кодирования восьми со­
общений примитивным кодом достаточно иметь три
разряда в каждой комбинащш. Согласно (4.12) ,рн =
k
=1--=0,4.
п
Рассматривая совокупность заданных кодовых ком­
бинаций. легко заметить, что минимальное число разря­
дов, в которых комбинации отличаются друг от друга,
равно 2. Следовательно, для данного кода dмин=2.
Р.4.2.5. Образуем . сначала примит.11вный равномер­
ный четырехразрядный код . Число кодовых комбинаций
такого кода N =K=24 = 16:
->-
->-
Ь1=ОООО; Ь2=ООО1; Ь3=ОО1О; Ь4=ОО11;
-
->-
->-
->-
Ь5=О1ОО; Ь6=0101; Ь7=О11О; Ь8=О111;
->-
->-
Ь9=1ООО; Ь0=1ООI; Ь11=1О1О; Ь12=1О11;
..... .
->-
->-
Ь13=11ОО; Ь14=11ОI; Ь15=111О; Ь16=1111,
Теперь к каждой кодовой комбинации данного кода
добавим по три проверочных символа, определяемых со­
отношениями
bs, пр= Ь1+Ь2+Ь4)
• ьб, пр = Ь2+Ьз+Ь4 mod2
Ь1.пр=Ь1+Ь2+Ьз
или матрицей коэффициентов 'Vl, i [см. ф-лу (4.13)]
'Vl ,5 =1
'V2,5 -=- 1 'VЗ,5 = 0
'V4,5 = 1
'Vl,6 = Q
'V2,6°=1'VЗ,6=1 'V4,6=1
'VI,7=JУ2,7=1 '\'3,7=1Yt,7=О
155


-- >-
J(.одовые комбинации кода (7, 4) будут иметь вид
-+
Ь1=.ООО
.~ОООО;
_____, __.,
проверочные
символы
->-
·----
информзцнонные
символы
-
Ь2=1010001; Ь3= 111ОО1О; Ь4= О1ООО11;
-+
-->-
Ь5=11ОО1ОО; Ь6=о11о1о1; Ь7=ОО1О11О;
·-+
-- >-
-+
ifJ8= 1ООО111; Ь9=О111ООО; Ь10=11О1ОО1;
-+
-+
-+
Ь11=1ОО1О1О; Ь12=ОО11О11; Ь13=1О111ОО;
-+
-+
-+
.Ь14=ооо11о1; Ь15=О1О111О; Ь16=ооо1111:
Ср.авнивая получ~нные кодовые комбинации между
·собой, замечаем, что минимальное число разрядов, в ко­
торых кодовые комбинации отличаются между собой,
,rавно 3. Следовательно, dмин=З. Нетрудно видеть, что
полученная величина равна минимальному весу полу­
ченных кодовых комбинаций, кроме комбинации, содер­
жащей нули во всех разрядах [24] .
Р.4.2 . 6. Контрольные символы на приеме определя­
ются соотношениями:
ькант= Ь'+Ь'+Ь'
5пр
1
2
4
ько,.т=Ь'+Ь'+Ь' шоd2.
6пр,2
3
4
ькант= Ь'+Ь'+Ь'
7пр
1
2
3
- +-+
С индром с(Ь) = сзс2с1, где Сз =Ь 17nр+Ь~~~т с2 =
.,
,
Ь"онт
Ь' +ь конт
Вб4g
•
:t)бпр+ бnр ; С1= 5пр 5пр
Та Л. . приведены
,с индромы, соответствующие одиночным ошибкам в раз­
.личных разрядах кодовых комбинаций .
No
nп.
1
2
3
4
5
6
7
ТАБЛИЦ А 4.9
Сшщром
ОО1
О1О
О11
1ОО
1О1
11О
111
!Разряд r,одоео~ комбинации, лод­
леж а щии исправлению
156
5
6
4
7
1
3
2


При синдроме No 1 (не совпадаю т Ь\пр и Ь~~;т) наи­
более вероятно, что ошибочно принят проверочный сим-
ь'
Ь'
ьконт Ь'
ьконт
вол 5пр,таккак,если впр= бпр и 7пр = 7пр
, ра-
зумно считать, что информационные и проверочные
символы Ь'бпр и b'1np приняты без ошибок .
Синдромы No 2 и No 4 позволяют заключить, что ве­
роятнее всего ошибочно принят проверочный символ
Ьбпр ИЛИ Ь,пр-
При синдроме No 3 (одновременно не совпадают
ь'
bI<OHT
Ь'
ьконт )
б
5прсбпр ,и 6прс бпр
вероятнее всего оши ка в
символе Ь'4 , определяющем как Ь ~~;т , так и ь~;т , в
то время как Ь ~~;т = Ь'7пр не зависит от символа Ь'4.
Р.4.2.7. Обозначив символы информа ционной после­
довательности а 1 и а2, замечаем, что во всех кодовых
комбинациях
Ь1=а1; Ь2=а2; Ь3= mod2(а1+а2); Ь4=а1;
Ь5= mod2(а1+а2).
Так как Ь1=а1, Ь2=а2 и все символы.являются линей­
н ыми комбинациями а 1 и а2 , рассматриваемый код яв­
ляется систематическим кодом с проверкой на четность.
Порождающая и проверочная матрицы этого кода:
G=111О11111;
О11О1
111
1О1
Н= 100
010
001
С оставим табл. ' 4.10 - таблицу декодирования .
ТАБЛИЦ А 4.10
No
Синдром
Шумовая последовательность
пп.
1
ооо
ооооо
2
111
llООО1
г-
1Оi
ООО1О
4
ОО1
ОО1ОО
5
О1О
О1О1О
6
1ОО
1ОООО
7
11О
11ОООилиОО1О1
8
О11
ОО11Оили1ООО1
157


И,з этой таблицы видно, что рассматриваемый код
позволяет исправить все одиночные ошибки (им соот­
ветствуют синдромы 2~6) и две разновидности двой ­
ных ошибок (синдромы 7 и 8) .
Вероятность ошибочного декодирования
'
Р=1- (1- Ро)5+5Ро(1- Ро)4- 2Р6(1- Ро)3-
Р.4.2.8. При формироващrи символа Ь 5 в левой ча ­
сти регистра сдвига находятся четыре информационных
символа : Ь1, Ь2, Ьз и Ь4, так что b5 = mod2(b1+b 2+b4) .
После того как вычислено Ь 5 , все информационны е с им ­
волы сдвигаются на одну позицию вправо, а в л евый
разряд регистра подается О . Поэтому b6 = mod2(b 1 +Ь 2 +
+Ьз)·.
Точно так же находим Ь1= mod2 (Ь2+Ьз+ Ь,). По­
рождающая и проверочная матрицы данного ко д а :
С индром
()оо
О11
111
11О
G=
1000110
0100111
0010011
0001101
11О
111
О11
1О1
1ОО
О1О
001
ТАБЛИЦА ДЕКОДИРОВАНИЯ:
!Шумовая последо-11
ват е льность
Синдром 1
Шумовая последова-
тельность
ооооооо 1О1 ООО1ООО
ОООООО1 ОО1 ОО1ОООО
ООООО1О О1О
О1ООООО
ооооIо_о 1ОО 1ОООООО
Вероятность ошибочного дек9дирования
Р=1- (1- fJo)7-7(1- Ро)6Ро·
Р . 4.2.9. Проверим, является ли полином g(x) =
= 1 +х + х3 порождающим для циклического кода (7,4): .
158


Для этого поделим полином х7 + 1 на g (х):
х7 +1
/~3 +х+1
х7+х5+х4
х4+х2+1
х5 +х4+1
xs+хз+х2
х4+х3+х2+1
х4+х2+х
ооо
Поскольку деление осуществилось без остатка, мож­
но заключить, что полином g(x) = 1 +х+х3 является
порождающим для циклического кода (7, 4). Найдем
--+
теперь кодовые комбинации этого кода. Комбинации Ь 1
с опоставим порождающий полином Ь 1 (х)=1+х+х3,
--+
Ь 1 = 1 1 О 1 О О О (информационными считаем k=4 сим-
волов справа, соответствующих высшим степеням х, а
проверочными r=З первых символов слева). Осуществ-
--+
ляя циклическую · перестановку в комбинации Ь 1 (что
эквивалентно умножению полинома Ь 1( х) на х), полу­
чаем вторую кодовую комбинацию: Ь 2 (х) =х+ х2 +х4,
--+
Ь2=0 1 1 О 1 О О. Продолжая аналогичным образом, по -
лучаем
третью
и четвертую
комбинации:
--+
Ь3(х)=х2+х3+х5; Ь3=0О11О 1О;
--+
Ь4(х)=х3+х4+х6; Ь4=00011 О 1.
Эти комбинации называются базисными . Остальные
12 комбинаций могут быть получены путем суммирова ­
ния по модулю 2. Все комбинации данного кода приве­
дены в табл . 4.11.
Р.4.2.10 . Схема кодера для циклического кода
(7, 4), соответствующего порождающему полиному
g(x) = 1 +х+х3 , по~азана на рис. 4.4а [25J. Рассмот­
рим процесс кодирования . Кодирующее устройство ра­
ботает следующим образом. Вначале ключ К находит­
ся в положении «1». При этом информационные симво­
лы поступают одновременно в канал и в регистр сдви­
га, который в начальном положении содержит одни ну­
ли. Когда информационные _ символы переданы, ключ К
переключается в положение «2», оставаясь там в тече-
159


ТАБЛИЦА 4.11
No ком~
Из какой ком-1 К:омбинация,
К:одовая
бинации дан- 1 образована
бина- комбинация
По.оином
ная получается сложен ие м
ции
циклической
векторов
перестановкой
.
-+
I +x+x3
-+
Ь1 11ОIООО
Ьэ
Базисныi'~
-+
-+
вектор
Ь2 о11О1ООх+х2+х4
Ь1
-+
-+
Ьз ОО11ОIОх2+хз+хs
Ь2
»
->
-
>-
Ь4 ООО11О1хз+х4+х6
Ьз
»
-+
->
-+
--->-
Ь:, 1О111ОО 1+х2+х3+х4
Ь10
Ь1, Ь2
-+
-+
-
-+
-+
Ьв 111ОО1О1+х+х2+х5
Ь11
bl, Ь3
->-
-+
-+
-+
--+
ь, 1ООО11О I+x4+xs
ь"
Ь1, Ь2, Ьз
->-
•-+
-+
-+
ь. О1О111О x+x3+x4+xs
Ь5
Ь2, Ьз
->
-+
-+
-+
-+
Ьэ 1О1ООО11+х2+х6
Ь12
Ь1, Ь2,Ь"
--+
-+
-+
--+
Ь10 О111ОО1х+х2+х3+х6
Ье
Ь2, Ь4
--+
-+
-+
-+
Ь11 l1ОО1О1I+x+x4+x6
Ь1з
Ь1, Ь"
--+
х+х5 +х6
-+
--+
-+
-+
Ь12 О1ООО1J
Ь1
Ь2, Ьз, Ь4
--+
--+
- +-+
->-
--+
Ь1з lООIО111+хз+хs+х6
Ьн
bl ,Ь2,Ьз,ь"
-+
--+
-+
--+
Ь14 ОО1О111xz+x4+xs+x6
Ьв
Ь3, Ь_,
--+
->-
-+
-+
-+
Ь15 1 1 11 111 1+х+х2+х3+х4+х5+х6 Ь1:,
Ь1, Ь3, Ь_,
-+
->-
->-
--+
Ь1в OOlJOOOO
Ь1в ·
Ь1, Ь1
Jfнформацил
Сумматор ucпpatfлet111ii.
ИJJнал:~1-f-,-2-.~. ~-J-.--4--.-S--г-б-тc.:i-iC}-7-,,+
~~ff
вых. инф .
Анализатор
6)
Рис. 4.4 . Стру]i:турные схемы кодера (а) и деI{Одера (6) цик­
лического к ода (7,4)
160


ние трех последующих тактов регистра, который выдае11
проверочные символы. На вход регистра теперь посту•
пают нули (так как сумматор справа имеет два одина•
ковых входа), и по истечении трех тактов все ячейки
регистра снова оказываются в начальном нулевом со•
стоянии.
Формирование импульсов в регистре на каждом
тракте 1'1ри подач~ на вход информационной после дова•
тельности О 1 1 О показано в табл. 4.12.
ТАБЛИЦА 4.12
Состояние ячеек регис -
No
Вход
тра к концу такта
Вход _
Примечание
такта
регистра
~анал~
No:!
1
No2
1
No3
;
:<1",
-·
1
о
о
о
о
о
-·
2
.1
1
1
о
1
}.Ключ в положе- ;
3
1
1
1
1
1 нии «!»
...
4
о
о
1
1
о
5
о
о
о
1
1
} •Ключ в по!fоже-
6
о
о
о
о
о
7
о
о
о
о
о ·нии «2»
.
-
Схема декодирующего устройства показана на рис.
4.46 [25]. Рассмотрим ее работу. Кодовая комбинация
из кана.тiа поступает в главный регистр, запоминается в
нем и далее поступает в трехсtупенньiй регистр. После
окончания ; кодовой комбинации ключ К размыкается,
а анализатор состояния подключается к трехступеннЬ•.
му регистру. Если в кодовой комбинации нет ошибок,
то во всех ячейках вспомогательного регистра фикси•
,ТАБЛИЦА4.l3_
Состояние· ячее~< регис-
No
Вход ре-
тра к концу такта
Примечание
такта
гистра
No1
1
No2
1
No3
1
о
о
о
о Ключ К замкнут, анализатор
2
о
о
о
о отключен
3
1
1
о
о
4
о
о
1
о
5
1
1
о
1
6
1
о
о
о
7
()
о
о
о
...
6-299
161


l)уются нули, и из главного регистра импульсы лосту­
nают на выход. •Пере .мена состояний регистра 2 при
отсутствии ошибок показана в табл . 4.13.
Рассмотрим теперь работу декодера при наличии
IV'Шибки в принятой кодовой комбинации, например, в
щ:етвертом символе; на вход регистра поступает после-
-+
.довательность Ь'1= О О 1 1 1 1 О.
В т21бл. 4.14 показана смена состояний регистра _ 2
ffi, .a . приеме за 7 тактов.
ТАБЛИЦА 4.14
Состояю,е ячеек ре г ис -
No
Вход ре-
тра к концу такта
Примечание
такта
гистра
No1
1
No2
1
No3
i
о
о
о
о Ключ К замкнут, анализат о р
2
о
о
о
о отключен
з
1
1
о
о
4
1
1
1
о
5
1
1
1
1
16
1
о
о
1
;7
о
1
1
о
Подключенный к концу седьмого такта анализатор
(ключ К разомкнут) обнаружит ошибку. Для определе­
~ия ее местоположения анализатор может заставлять
регистр делать последовательные такты. Номер такта,
на котором единица появляется в 1-й ячейке и нули в
,остальных, определяет номер ошибочного символа. Про­
.двигая сочетание 1 1 О (нижняя строка табл. 4.14) по
р егистру, получаем сочетание 100 (табл. 4.15). Обна-
ТАБЛИЦА 4.15
lСостояние регистра к
No
кою,у такта
Примечание
·т акта
,No1/No21No3
1
о
1
1 Ключ К разомкнут, анали-
2
1
1
1 затор включен
3
1
о
1
4
1
о
о
'
162


ружи!\ сочетщще 1 О О на 4.--м -такте, а следовательно, и
номер ошибочного символа; анализатор посылает сиг­
нал коррекции ( «1») на сумматор исправления .
Р.4.2.11 . Очевидно, объем алфавита источника дол•·
жен быть равен числу разрешенных кодовых комбина­
ций кода . В данном случае разрешенными являются,
все кодовые комбинации, содержащие единицы в любых
трех разрядах из семи и нули в остальных разрядах..
Их число К = С31=35.
В рассматриваемом коде из общего числа комбинс!•
ций N = 27 = 128 разрешенными являются 35. Следова•
тельно, избыточность кода согласно (4. 12) .
Рн_:_ 1 - Iog2К =0,265.
.
log2 N
,
Кодовые комбинации, р-азрешенные для передачи"
следующие:
111ОООО;
1О11ООО; 1ОО11ОО;.
1ООО11О; 1ОООО11;
11О1ООО;
11ОО1ОО~:
1100010; 1100001;
1010001;
1001001;
1ООО1О1; О1ОО1О1ит.д.Этоткодназываетсякое·
дом (3/4).
-
Р.4.2.12. Рассматривая кодовые комбинации кода?
(3/4), найденные в задаче 4.2.11, легко убедиться в том ,
что ошибки любой кратности, приводящие к изменениIQ>
числа единиц, будут обнаружены. Не обнаруживаются,
лишь такие ошибки, при которых некоторое число еди-­
ниц переходит в нули, а такое же числ9 нулей - в еди­
ницы (такие ошибки называются ошибками смещения) __
Вероятность ошибочного приема одной из трех еди ~
ниц С13ро ( 1 - ро) 2 , а вероятность ошибочного приема од­
ного из четырех нулей C14pa(l - pa) 3. Аналогично нахо­
дятся вероятности ошибочного приема двух единиц w.
двух нулей: С2зР 2о(l-ра) и C24p 2o(l - pa) 2, а также трех;
единиц И трех нулей: С3зР 3о И C34p 3a(l-pa).
Теперь можем найти вероятность необнаруженно ю
ошибки
Рн.о= clРо(1- Ро)2clРо(1- Ро)3+с~Р6(1- Ро)С~р6(1:_;,
-
Ро)2+с~Plс~Pl(1- Ро)-
Если пренебречь весьма малой вероятность ю тр:rо~·
ч то будут ошибочно приняты две единицы и дв а нуля
или три единицы и т.ри нуля, получим: Рн.о ~ С 1 3ро (I-
-po) 2C\pa( 1-po) 3= 12p 2o( l-po) 5. При Po=I0-2 Рв.о • '·
= 1,14 •1О-3.
6*
163


Р.4 . 2. 13. Кодовые комбинации кода с четным числом
едониц приведены в табл. 4.16.
ТАБЛИЦ А 4. 16
Номер I
Номер разряда
комбинации!1/2/3/4/51 6
1
1
о
1
1
о
1
2
о
1
о
1
о
о
3
о
о
1
о
1
о
4
1
1
о
1
о
1
5
.•.
В рассматриваемом коде из общего числа комбина­
ций N = 26 = 64 разрешенными ю;~ляются 32. Следова­
тельно, согласно (4 . 12)
Рк= 1- Iog2K = 0,168.
1og2 N
Найд е м вероятность необнаруженной ошибки для тако­
го кода. Вероятность ,!-кратной ошибки в п-разрядной
кодов ой комбинации Р1= С1пР 1о ( 1-ро) n-l . Вероятность
пр ави льного приема комбинации рпр • (l-p0)n(l= 0) .
Веро ятность обнаруживаемой ошибки равна сумме ве­
роя тностей появления ошибок нечетной кратности (оди-
ночной, тройной и т. д.):
.
Ро.о = с:, Ро (1- Ро)п-~ +·с~ pg (1- р0)п-з +
+С~р~(1- Ро)п-s+...
Пр енебрегая малыми вероятностями ошибок высокой
кра тн ости (начиная с тройной), получим : Ро.о,;::;;; С 1 пРо (1-
-р0 ) n - I. Вероятность необна руживаемых ошибок Рн. о =
= 1- ( 1-р0)n-С1пРо(1-ро)п-1. Для случая шестираз­
ря д н ого кода с четным числом единиц
Ри.о= 1- (1- Ро)6- 6Ро(1- Ро)5•
I1ри Ро = 1О-2 Рн.о,;::;;; 3 • 10-:-3
.
Р.4.2.14 . В табл. 4.17 приведены некоторые кодо­
вые комбинации кода с числом единиц, кратным трем .
Код с числом единиц, кратным 3, позволяет обнаружить
все одиночнше и все четные ошибки одного знака (двой-
164


ные, четверные, и т. д.). Не обнаруживаются двойные
ошибки разных знаков (ошибки смещения) и ошибки
одного знака, кратные 3.
ТАБЛИЦА 4. 17
No 1:Комбинация пятиразряд-
пп.
ного кода
l(омбинация кода с числом
единиц, кратным трем
1
2
3
4
5
1ОО11
ОIО1О
ОО1ОО
1О·111
11111
1001100
О1О1О1О
0010011
1011111
1111110
Пренебрегая весьма малой вероятностью появления
тройных ошибок, найдем вероятность появления необ­
наруживаемой ошибки
Рн.о= cJРо(1- Ро)2clРо(1-.Ро)3= 12р6(1- Ро)5•
Полученный результат показывает, _ что семиразряд­
ный код с числом единиц, кратным 3, дает такую же
вероятность необнаруженной ошибки, что и семиразряд­
ный код с постоянным весом (3/4). Полезно отметить,
что рассматриваемый код обладает еще одной возмож­
н остью обнаружения ошибок: если первый проверочный
э л емент равен нулю, второй всегда равен нулю. Избы­
точность семиразрядного кода, в котором • разрешены
лишь 32 комбинации,
-
1- log2 32
0 286
Рк-
log2 12>! = '
•
Р.4.2.15. Поскольку каждому элементу первичного
кода ставится в соответствие два элемента корреля­
ционного кода, число разрядов в кодовой комбинации
корреляционного кода будет равно 2n (п - число раз­
рядов в комбинации первичного кода) . При n=5 кор­
реляционный код будет десятиразрядным.
Избыточность такого кода ;рн=О,5.
Рассмотрим пример построения кодовой комбинации:
корреляционного кода:
1О1ОО
/\/\/\/\/\
1001100101
165


Нетрудно заметить, что появление необнаруживаемой •
ошибки возможно только в том случае, когда два рядом
расположенных элемента, соответствующих одному эле­
менту первичного , кода, будут искажены так, что еди­
ница перейдет в нуль, а нуль - в единицу.
Вероятность такого события Рн. 0 =р20 . При р0 = 10-2 •
Рн.о= l0-4
•
•
Р.4.2.16. Пример построения инверсного кода:
Комбинации
первичного кода
1ОО1О
1О11О
Комбинации
инверсного кода
1оо1о1о·о1о
1011001001
дополнительные
разряды
Легко убедиться, что в самом неблагоприятном слу­
чае необнаруживаемая ошибка появится, если одновре~
менно исказятся два элемента в исходной комбинации
и соответствующих им два элемента повторяемой ком ­
бинации.
Вероятность появления такого искажения прибли­
женно равна Рн.о = С2пР4о. При п = 5, Ро = 10-1, Рн.о =
=
10 р4о = 10-3•
Очевидно, что избыточность инверсного кода такая
же, как и избыточность корреляционного кода
(Р.4.2.15).
Р.4.2.17. Контрольные символы рекуррентного кода
(1/2) найдем согласно условию (4.16):
Ь1,2=I; Ь2,з=О;Ьз,4 =I; Ь4,5=О;Ь5,6 =О;
Ьб,7=1; Ь7,в=О; Ьв,9 =О; bg,10 = 1; Ь10,11=О;
b11,12=l;· Ь12,1з=l; Ь1з,14_ =l; b14,15=l.
Кодовая последовательность кода ( 1/2) для данного
случая
11ООО11О1О11ООООО11О11О111О·11.
Структурная схема кодера для этого кода показана на
рис. 4.5а; структурная схема декодера - на рис. 4.56 .
Алгоритм декодирования кода (1/2) можно сформули­
ровать так: если условие (4.16) не выполняется для
двух соседних проверочных •символов , то необходимо
изменить находящийся между ними информационный
символ.
166


Р.4.2.18. Кодирование двоичной информации для
передачи по методу ОФМ осуществляется устройством,
схема которого представлена на рис . 4.6а [ 19].
ffH(fJOpM.
Ct1MtfOЛЬ!
-----------, Санхронныи
к
+ Проtfсроч­
ныс самdольt
хлюч
8 Хl1НОЛ
.,_____...
а)
С!lмматор .
исп аtfлвния
вых. Щfф.
о)
Рис. 4.5 . Структурные схемы кодера (а) и декодера
(6) для рекуррентного кода (1/2)
R этой схеме каждый символ с выхода сумматора
ПО Г..'Одулю 2 задерживается на ОДИН такт И затем сум­
мируется по модулю 2 со следующим символом вход-
а}
б)
Информа­
ционные
сuм!Jолы
Рис. 4.6. Структурные схемы код е ра (а) и декодера (6)
дл я относительного кода
но й последовательности. В начале работы на сумматор
не обходимо подать вспомогательный символ «О» или
« 1». Например, если на вход кодера
поступает по­
сл едовательность 01010101010101 ...,
последова-
167


тельность на его выходе имеет вид 00110011001100 .' . . [19J .
Декодирование осуществляется в схеме рис . 4.66,
Здесь входные символы задерживаются на один такт и
суммируются с последующими. В результате восстанав ­
ливается исходная комбинация
00
00
00
100
\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\!
0101010101010
4.3 . Сравнительная эффективность избыточного
:кодирования
Пара 1метром, по которому разли1Ч1ные коды, а также разли1Ч,ные
системы пе,редачи ди,скре11ных соо,бщений можно сравнтзать меж,ду
ообой, является экниsалентная вероятность ошибки приема элемен ­
тар:Ного си,м,во.тJ.а [24]
Рэ= 1- (1-Pк)llk,
(4 .17)
где Рк - ,вероятно,сть ошибочного де1юдирования кодовой ком,би,на­
ции данноfо кода; k - число и-нфор,мационных раЗ!рядо,в. э~вива ­
лен11Ная вероятность · оши,бки определяет вероятность оши бки эле ­
ментарного оим,вола в д,во·ич,ном си,мметр:и1Чном стащионарно.м ка .нале
без памяти, в котором система с примитИlвным 1юдированием обес­
печивает при передаче того · же количества инфор:мации ту же ве­
роятность ошибочного декод,ирования кодов:ой комбинации Рк, чт <>
и заданная сист ема с из,бытооным кодом.
Сравнение систем овязи, использующих различ,ные
э.~~вивалентной вероятности ошибки Рэ целесообразно
при неиз,менной ср едней скорости передачи и,нфор1м.ации
КОДЫ, П О
пров о .·щть
l'=V, ,(!~
1k
-{!к)= - -
Теп
·и фш,сиро,ва,нной средней мощности сигнала Ре.
О:чевидно, что кор,ректи,рующий код целесообразно применять
,в случае, •когда рэ<Ро, где Ро - sе.роят,аость ошИ1бки, которая и,ме ­
ла бы место при использо1ва,нии примитивного кода и неизменной
скорости передачи информации [24]. С другой стороны из двух
корре,ктирующих кодов лучше тот, Jюторый обеспечивает меньше е
значение Рэ •
Если фиксировать спектральную плотность мощности шума Gm
и /', то па ,р.а,метро.м сравнения мож,но сделать Э'l{JВИвалентное от ­
ношение сигнал/шум
(4 .18)
где ~ - коэффш:щент исп,ользован,ия 1мощно,ст:и сиnнала [9]. Выиг­
рыш по эк,вива1Лент.ной вероятности ошибк1:1 п,ри переходе от i-й к
i - й с•щстеме
Рэi
2
~
l coпsfh3-- ·
const .
~i/j=-
.
'
=
'
Рэ1
(4.19)
168


Эффек1'ив,ность си стем1;,1 к-оди,рования можно оценить и по
энер .гетическому щ.шгрышу 1Пе·рехода от i-й системы к j - й.
h;; •
'YJpi/i ==;с IO!g-2
-
; Рэ = coпst,
(4.20)
ha/
Задачи
4.3 .1 . Найти эквивалентную вероятность ошибки в
однородном симметричном канале без памяти при при­
менении «оптимального» совершенного кода (п, 1), ис- •
пользую щего двоичные кодовые комбинации
-+
.
Ь1= 111...1, Ь2=ООО ...О,
п
п
если декодирование с исправлением ошибок осуществ­
ляется по минимуму хеммингова расстояния.
4.3 .2. Показать, что эквивалентная вероятность
. ошибки
при использовании совершенного кода (3, 1) с
кодовым и комбинациями 1 1 1 и О О О в однородном сим­
метричном канале с независимыми ошибками равна
Зр 2о (р 0 - вероятность ошибочной регистрации элемен­
тарного символа).
4.3 .3. Найти эквивалентную вероятность ошибки для
линейно го кода (7, 4) . Определить выигрыш по эквива­
лентной вероятности ошибки при переходе от прими­
тивного кодирования к кодированию кодом ' (7, 4), если
Р о= J0-3
.
,
•
4.3.4. Найти энергетический выигрыш перехода от
системы с примитивным кодированием к системе с ко­
дом (7, 4) в канале со случайной фазой и ортогональ­
ными в усиленном смысле сигналами при I'=coпst и
Pэ =const (Рэ= JQ-4 ).
4.3 .5. В канале с медленными • рэлеевскими зами­
р аниями передача информации осуществляется прими­
тивным кодом и кодом (7, 4). Какой выигрыш по экви­
валентной вероятности ошибки дает использование ко­
да (7 , 4), если вероятность ошибки в регистрации одного
символа (вероятность ошибочного перехода) ро= 10-3
.
Чему будет равен в указанных условиях энергетический
в ыигрыш?
4.3 .6 . Код (7, 4) используется для передачи инфор­
ма ции в канале с . быстрыми рэлеевскими замираниями
при вероятности ошибки в приеме элементарного симво­
ла ро= 10-4
.
Какой выигрыш по эквивалентной вероят•
169


ности ошибки и энергетический выигрыш дает при~ене­
ние кода (7, 4) по сравнению с примитивным кодом?
4.3.7 . Для передачи информации в гауссовском ка­
нале с неопределенной фазой и ортогональными в уси­
ленном смысле сигналами использован код (3, 1) с ко- _
довыми комбинациями О О О и 1 1 1. Коэффициент пере­
дачи канала у. Вычислить выигрыш по эквивалентной
вероятности ошибки при переходе от поэлементного
приема к приему в целом.
4.3.8 . -
В канале с постоянными параметрами при
наличии аддитивного стационарного нормальноrо «бело ­
го шума» осуществляется оптимальный когерентный
прием двоичных сигналов ЧМ при вероятности ошибки
1
v-
Po = 2 (1 - Ф ( h2o) ]. В этих условиях предполагается
использовать корректирующий (п, k) -код, исправляю­
щий ошибки максимальной кратности qи. Определить
условия, при которых такой код целесообразно исполь-
-у2Е
зовать, полагая, что h20= 0 ~ 1.
ш
4.3 .9 . Рассмотренный в задаче 4.2 .9 циклический
код (7, 4) исправляет все одиночные ошибки . Целесооб­
разно ли применение этого кода при осуществлении оп­
тимального когерентного приема?
4.3 .10 . Целесообразно ли применение кода (3, 1) .
исправляющего все одиночные ошибки, при поэлемент­
ном оптимальном когерентном приеме? Какую макси ­
мальную избыточность должен иметь код, исправляю­
щий все одиночные ошибки, чтобы его целесообразно
было применять в указанных условиях?
Решения и ответы
Р.4.3.1 . При декодировании с исправлением ошибок
по минимуму хеммингова расстояния кодовая комбина­
ция будет принята с ошибкой, если в ней искажено бо­
лее чем [ п/2] кодовых символов ( [ п/2) - целая часть
от п/2). Следовательно, вероятность ошибочного деко­
дирования кодовой комбинации данного кода
п
"
ci i(1
)·n-i
Рн= LJ
пРо-Ро
•
i=[n/2]+1
Эквивалентная вероятность ошибки . corласно (4.17)
1
Pэ=l-(l-pн)li. Так как в данном случае число ин-
170


формационных символов k= 1
n
Рэ=Рк = ~ с~рЬ(1- Po)IJ-i .
i=[n/2]+\
Р.4.3.2. При декодировании по минимуму хэммин­
гова расстояния вероятность ошибочного декодирова­
ния кодовой комбинации кода (3, 1)
Рн=С~pi+С~pg(1- р0)= pi+3р6(1- р0)= 3р6- 2pi.
Согласно Р.4.3 . 1 для кода (3, 1) Рэ = Рн=3р 2о-2р 3о.
Если Ро« 1, то вторым слагаемым в этом выражении
можно пренебречь и считать, что Рэ ~ 3р 20 .
Р.4.3.3. Код (7, 4), содержащий четыре информа­
ционных и три проверочных символа, позволяет испра­
вить все одиночные ошибки . Поэтому комбинация кода
(7, 4) будет декодирована правильно, если все символы
приняты верно .либо один из 7 символов принят оши­
бочно. При независимых ошибках вероятность правиль­
ного декодирования
1- Рк =(1- Ро)7+7Ро(1~Ро)6•
При ро« 1, пользуясь формулой бинома Ньютона и пре­
небрегая слагаемыми вы с шего порядка малости, полу­
чаем
1- Рк~1- 7р0t 21Р6+7р0- 4_2Р6=1- 21р~.
Таким образом, Рн = 21 р2о и согласно (4.17)
Рэ= 1-j1/1- 21Р6~5,25Р6·
При примитивном кодировании кодом (п, п) вероят­
ность ошибочного декодирования равна вероятности то•
го, что хотя бы один символ в кодовой комбинации при­
нят с ошибкой: Рк= 1-(1-р 0 ) 4 ~4р0 . Следовательно,
~/ --
Рэ=1-v 1-4ро~Ро- Выигрыш по вероятности ошибки
при переходе от кода (4,4) к коду (7,4)
а(4,4)(7,4)== Ро 2 = 190.
5,25 р0
Таким образом , переход от примитивного кодирования
к кодированию кодом (7, 4) позволяет уменьшить экви­
валентную вероятность ошибки на два порядка.
Р.4.3.4. Воспользовавшись соотношениями для
Рэ (7, 4) и Рэ (n,n), найденными в решении предыдущей за•
171


дачи, определяем при Рэ= const
h2
-
7 1 (1,з1)· h2
-
21(1)
"(7_,4)-4П,;: '
э(пn) -
П2Рэ•
Отсюда согласно (4.20)
1
8Jп--
Ч, 1,,,)/t,(<( - 10 Jg (
2р,1);
7 ln2,62 + lп--
2рэ
8
При Рэ=10-3 1']Р(n,п) (7,4);::::;101g 7 ;::::;0,6 дБ.
Р.4.3.5. Коэффициент передачи канала с медленны­
ми рэлеевскими замираниями имеет плотность вероят­
ности
w1(r) = -=- ехр
-
-- =-
.
2у(у2)
у2
у2
Эквивалентную вероятность ошибки для кода (п,п)
и кода (7,4) находим, усредняя по всем значения м у
выражения, полученные в Р.4.3.3, с учетом ф-лы (4.18) :
-
"i3P
гдеh;= Gm1~
-
среднее значение h23•
Выигрыш по эквивалентной вероятности ошибки .в
данном случае
a(n,n)/(7, 4) =
При ii2э~ 1 Щл,п)1(7,4);::::; 0,4.
4-
1+-
·-
h2
7э
Из полученных для Рэ (7,4) и Рэ (n,n) соотношений нахо­
дим при Pэ=const
h2
__:_
_!__ (~- 1)· h2
--
1--2
э(7,4)- 4 Рэ
'
э(n,n) - Рэ
•
172


Согласно (4.20)
4(-
1 -2)
1/р (n,n)/(1,4) = 101g
Рэ.
( 1,31
)
7 --1
Рэ
.
При Рэ« l 1/р (n,n)/(T,4) ~ -4 дБ.
Таким образом, переход к избыточному кодированию
в канале с медленными замираниями неэффективен,
так как сопровождается энергетическим проигрышем.
Этот результат объясняется тем, что при медленных за •
мираниях коэффициент передачи канала оказывается
близким к нулю в течение времени, превышающем дли ­
тельность одной кодовой комбинации , в результате ч его
избыточности кода (7,4) недостаточно для ее правиль •
ного декодирования.
Р.4 . 3 . 6. При быстрых замираниях коэффициент пе­
редачи канала случайно меняется от одной посы л ки к
другой. В этом случае средняя вероятность ошибки эл е•
ментарного символа с учетом ф-лы (4.18)
00
Ро=
-
ехр -- w1 (y)dy =
-- ----
1)(h2)
,
2
')
-
k
о
ц
2+h;-
n
Следовательно, для кода (7,4) согласно Р.4 . 3 . 3 Рэ (7 ,4)=
5,25
4-
(2+77i;)2
Для кода (п,п)
( 2++~)2
Рз(n,n) =
a(n(n)/(7,4) = ( 2)
2 +h;
2+h3 5,25
При Рэ(п,п) = l0-4 h2э = 104 и а(п,п)i(7,4) = 600. Энергетиче•
ский выигрыш при Рэ. = 10~4 У]р (п,п)1(1,4) = 10 lg 4 /,о; =
= 14 дБ. Следовательно , переход от примитивного ко•
дирования к избыточному в канале с быстрыми за м ира •
ниями следует считать эффективным, так как тако й пе­
реход дает ощутимый энергетический выигрыш . Этот
результат вытекает из того, что при быстрых зам и ра­
ниях поражаются •лишь некоторые символы кодовой
комбинации . Их можно восстановить, используя избы ­
точность кода (7,4) .
173


Р.4.3.7. Со гласно Р.4.3.2 при поэлементном :щэ·иеме
Рэ (п_.п) ·=
: ·exp(- +
,h;); li; = З _hg.
;При приеме в целом . можно считать, что длительность
..сигналов, ортогональных в усиленном смысле, равна
;зт. В этом случае вероятность ошибочного декодирова-
шия кодовой комбинаций
•
1
·(
h
2
)
Рн.=2ехр-3 ---} ;
1
( /1~)
Рэ.п.ц,=Ри=2ехр--2
-
•-
tВыигрыш по вероятности ошибки
2 ехр(__! h2)
(2)
4
3э
/rэ
ап.п/п.ц = 1
1
= 1,5ехр -6
-
•
2 ехр(- 2 h;)
Энергетический выигрыш
•h2
[
1')Р.п.п/п.ц = 10 Jg hэ.п.п = 10 Jg 1,5
э.п.ц
ln( 1⁄4,)]
(1)•
ln\2Рэ
Лри Рэ<l:..1
1'JP
~ l0Jg 1,5 = 1,76 дБ.
п.п/п.ц
Р.4.3.8. При Po<l:..1 эквивалентная вероятность
<Ошибки кода (n,k), исправляющего все ошибки крат­
шости qд и не исправляющего ошибок кратности qи+ 1
;{24],
р = ___!!:_ рqн+1.
эkо
При когерентном прием~ ЧМ Ро = + [l -Ф(Vh2o)].
В случае использования примитивного кода при той ~е
•
•
1
-.
!п,2]
,скоростwпередачи информации р'о = 2 [1-Ф( у ,;ho) ,
так как длительность элемента сигнала, а также и энер­
~ия его увеличиваются в n/k раз. Используя асимпто~
174


1
1
тическую формулу-[1-Ф(х)] = -= -e-x'l2 • находим;
2
- ,f2:n:x
п
lim !!2_ =
_____
k_·_____ Х
ho-"' р~
}11 - Рк (}12:n:)qи h~и+l
Хехр{с 1Рк - q,, -
1)h;}•
1
Здесь рк= I-k/n - избыточность кода. Если
--- >
1-рк
>qи+l, ТО lim Р,э =оо, т.
h,- oo Ро
менять
нецелесообразно .
е. Рэ>Р'о, и код (n ,k) при ~-
1
Если -- <qи+ 1,
1-р"
lim ~ =0, и при некоторых h0 Рэ<Р'о. Следова тель ­
h•-"'
Ро
но, корректирующий код (n,k) целесообразно при мен ять
•
Рк
при условии qи?::::, - -
.
1-рк
Р.4.3.9 . Условием целесообразности примен ен и я~
корректирующего кода (n,k) является
qи> Рк
1-Рк
k
3
В данном случае qи='1 и rк= 1--=-. Оч ев и д:н о ,чт<г
п
7•
•
••
~~ 1: Следовательно, код (7,4) в указанных услови ях~
1-рк
.:•:
.
применять целесообразно.
Р.4.3.10. Код (3.1) применять нецелесообразн о, та к;
2'Ри
.
как избыточность кода (3,1) ,рк=-3 и -1
-
-
- =2>q и =1•.
-Ри
Очевидно, что избыточность кода ( n,k), который целе­
сообразно применять в канале с точно известными па ­
раметрами, удовлетворяет условию
Рк
qи>---
1-Рк
Отсюда предельная избыточность кода, исправляю ­
щего одиночные ошибки, применение которого целесо ­
образно при оптимальном когерентно~ приеме, рк=О,5 _
175


Глава 5
ПЕРЕДАЧА ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ
5.1. Критерии оптимального приема.
Алгоритмы оптимального приема
при точно известном сигнале
Здесь ра,ссматр,ивают,ся лишь синхрсн,ные сИJстемы связи (эле­
мента·рные сим,вслы име!Qт неизм~щную дл-ительшо.сть Т и начало
от.счета фиК!сировано) и поэлементные методы пр,ие.ма дИ1окре11ных
с-ообщений (.поеледовательное вынесение прием1Ни11юм решения об
отдельных элементарных кодовых символах bk,i; k= 1, 2, 3,
номер последователЬ1Но \Пере.даваемого элементарного сим,юла; i= 1,
2,3,,... -
номер позипщ,и кодового символа).
Одним из наиболее широко распространенных критериев опти­
мального приема дискре11ных сообщений явл.яет,ся критерий мини-
• м,у,м,а
средней вероятно.ст,и оши6Кiи (кр,ите,рий идеального наблю­
дателя).
Алго,ри1'м работы приемника, оптимального по ,кр.итерию идеаль- _
iНОГ,о наблюодателя, мо;,юно записать та11<:
или
Ь;
P(bk,ifz(t))~P(bk,i/z(t)), i=l =j , i=l,2, ... , т (5 . 1)
bj
Ь;
Р ( bk,l) W1 (z (t)/bk,l) ~ Р ( bk,j )w1(z (t)/bk,j ),
(5.2)
bJ
т. е. сводится к проверке системы из (m-1) .нера1венств: регист­
ря;руе'!'ся номер си,мвола, который мащжмизирует сра,в.ниваемые ве­
личины. З,десь P(b1t,;/z.(t)) - а1постериорная вероятность передаrчи
оиМJВола bki при фиК1сации 1 на интервале анализа (О, Та) реализа­
ции принимаемого колебания (сигнал+шум) z(t); w1(z(t)/Ь1,,;)­
ф,у,нкщия п,ра,вдопо;~;обия переда,чи сим,вола bk,i при фи;осации z(t).
При . непрерыв1ном времени эту фу1нwцию называют функцио.налом
правдоподобия 1 .
Пр:иемник, ра,ботающий в соот.ветс11в.~и с алг<,1ри1'мо.м
Ь1
W1 (z (t)/bk,i) ~ W1 (z (t)/bk,j),
(5.3)
-~
bJ
называют оптимальным по критерию ма11<симального п,ра,в;~;Gподобия.
Очевидно, что, если все симво,лы равновероя11ны, .(5.3) следует из
(5.2) и этот алгоритм обеспечивает мин. им,из:ацию средней вероят-
_
1 В задачах оптимальной обрабОТf!<iИ - будем ИJнтересовать.ся от­
·но_шениями фунК!ционало,в правдоподобия, кото.р_ое, в отличие от
самого · функционал,а, сходите-я во в.сех ,пр едiст.авляющих основной
11ра1ктичеокий интерес ситуациях.
•
176


!Ности ошибки. При неизвест.ных аnрио.рных • вероятностях Р(Ьп,i}
опти,малыный прием в юисте-мах связи чаще всего о.существляют по
алгоритму (5.3).
Логарифмируя левые и nра,вые части (5 .2), запишем этот ал­
горитм .в э:юв , ивалентном виде
bi
~пw1 (z(t)/bk,i)+lпР(ьk,i)~!пw1 ( z(t)/bk.i)+!пР(Ь1,,i). (5.4)
bj
Интер,вал анализа на приеме Та .не всепда совпадает с та.кто­
вы м .и,нтер1Вало-м ,на пе.р е.даче Т .
Примем, что
(5.5)
Велич-ин,у D называют фиюсированной эадерЖ1Юой в принятии ре­
шения об элеме.нтар,ном .ои,м,воле .
Если сигналы со:с едних с им-волов перек,рывают,ся в месте п,рие­
ма [канал с межсим,вольной интерферен.щrей , порожденной ли,ией­
'I-!ЫМИ иокажения:ми (пер еходным процессом) или, как го.варят,
п амя тью ка·иала], то при опт,имальиой обрабо11ке и учете в•сей энер ­
г ии принимаемого си-г нала пр.ихо.дмтся брать D>O. Конк,рет.иая ве ­
личина D связана с параметром L= тпер/Т = О, 1, 2, ... -
относитель­
ной nа~м ятью канала; Тпер -практичеакая протяжеино,сть импульс­
н ой переходной хара1ктеристики -канала. При прене.брежен,ии меж ­
симв-ольи,ой интерфере~щией чаще всего берут Та= Т. Для каналов
с межсимв,ольной интерференцией (L>O) могут- быть по,с11роены
приемные устройства, коrда D<L (неполный учет энергии при,111и­
маемых ои,гиал-ОtВ) и D~ ,L (nоJDиый учет эиероии принимаемых сиг­
н алов). При неза-в.иоимых и равных вероятНОiСтях передач:и кодо­
вых СИМUJОЛОВ
ml..
W1(Z(t)/bk,l)= ~
k(l..)=1
(5.6)
•
( (t)/B k(L)_ 1
k(D)+D
rдеW1z
k(L)_L ' bh .i, В k (D>+i - функция правдоподобия то-
го , что при фиксации z(t) на интервале Та k-й · символ имел номер i,
до него передавались символы Ьп-1, Ьп-2, ... , Ьn - L, а после него -
си мволы Ьп+1, bk+2, ... , Ьk+D-
Выражение (5 .6) можно раюсматри,ват·ь ·ка,к усредненн ую функ­
rщю правдоподобия (по символам, пер еда,нным до и после .а·нализ111-
ру емого); mD - число различных цепоч ек сим!В·оло.в, коrорые мог­
л и быть переданы на и нт ер.вале анали з а после k-го символа; тL -
чи сло различных цепочек символов, цоследействия («хвосты») ко­
т орых могут вли я ть на .интервале анализа k -.го сим-вола .
В у,слов.иях до.ста точно надеж,ной овяз,и (.кото.рые и должны
б ыть о б еопечены в с о в р еменных си,ст емах передачи дис-кретных со­
об щ ений) можно считать, что символы, зафшюи,рова,нные до ана­
л из ,ируемоло (,k-го) , действи.тельно переданы по каналу (с вероят­
ностью, б:Лизкой к ,! ) . Это означает, что на интер1Вале ан.алi!lза Та
мо жет быть (по.сред1ством «идеальной» Оiбратной связи по решен.ню)
п очти т,очно , восстановлен сигнал g о ст( t), порожщенный «хизо.ста.ми:.>
177


11ре:дшесNoующих СИiМ<воло,в, и в,место (5.6) ,мож,но ,написать
mD
~(
•
k(D) + D)
W1(z(t)/bk,i) = ~ W1 z(t) - gocт(t)/bk,i,в kD+1 .
k(D)=l
Обоз'нач,и,м через s т,;(t) (r= 1, 2, .. ., т)
(5.7)
r-ю реал.изацию принимаемого оиrнала, о:бу,сло1Вленную на ин­
тервале Та ii-й позицией k-ro сим,вола, L прЕщшес'J)Вi)'ЮЩИМИ си,мво­
ла,ми и D пас1Ледующими оим1Вола,ми. Если сигналы s'т,;(t) · известны
точно в месте приема , а на интервале Та имеется реализация и (t) .
аддитивного стационарного шума с плотностью вероятности (в об­
щем слу,чае мноюме,рной) w(u(t)), то
(
k(D)_J
k(D)+D )
•(
,
5
w z(t)/B k(L) _ L,r' bk,i• В k(D) +J,r
=w u(t)=z(t) -
,r,i(t)) . (
.8)
Инде1tс r слева означает, что бере'J)СЯ цепочка си,м,воло.в до и после
анал·из,и·руемосr,о, порождающая сигнал s',,;(t).
Задачи
5.1 .1. По каналу связи _без памяти передаются: дво­
ичные символы Ь 1 и Ь2 с вероятностями Р(Ь 1 ) =0,6;
Р (Ь2) =0,4, причем символ Ь 1 определяется в месте ,
приема на интервале Т сигналом s 1 (t) =0, а символ .
Ь2 - сигналом s2(t) =а (двоичная АИМ). В канале
действует нормальный стационарный шум с дисперсией
и2 = 10-4 Вт. Сигналы s1(t) = О и s2 (t) = 10-2 В извест­
ны точно в месте приема. Какой символ зарегистрирует
приемник, оптимальный по критерию минимума средней
вероятности ошибки, принимающий решение по одному
отсчету смеси z(t)=s'(t) +и(t) на интервале Т, если
в момент принятия решения z = О,008В? Изобразите
структурную схему этого приемника.
5.1 .2. Приемник по одному отсчету выносит решение
в пользу символа Ь 1 , если отсчет принимаемой реализа­
ции z(t) меньше некоторого порога Ио; в противном
случае выносится решение . в пользу символа Ь 2 ( см ..
Р.5.1.1). Определить пороговое значение Ио для прием­
ника, оптимального по критерию минимума средней ве­
роятности ошибки ·, если передаваемым двоичным симво­
лам Ь 1 и Ь 2 , имеющим •априорные вероятности Р(Ь1) ц
Р(Ь 2), соответствуют канальные сигналы s'1=a и
s12 = -а, а в канале без памяти имеется нормальный
стационарный шум с дисперсией u2.
5.1.3. Двоичные сигналы и канал те же, что в зада­
че 5.1 .2. Приемное устройство принимает решецие о пе­
реданном символе по трем независимым отсчетам -
178


z 1, z2 и Zз - принимаемой смеси (в • точках t1= Т/3,
2.
i2= -
Т, fз=Т) .
3
Найти алгоритм работы приемника, оптимального
по критерию минимума средней вероятности оши б ки, и
изобразить его структурную схему. Чему равен опти­
м альный порог И0 при равновероятных символах?
• 5.1.4 . Символам bi(i= 1, 2, 3, .. ., т) с вероятностя­
ми Р(Ьi) соответствуют известные точно в месте приема
с игналы s'i(t), определенные на интервале . (О, Та). В
канале имеется стационарный нормальный « белый шум»
с энергетическим спектром Gш.
Показать, что при отсутствии межсимвольной интер­
ференции и анализе принимаемого колебания (сиг­
нал+ шум) на всем интервале (О, Та) алгоритм работы
приемника, минимизирующего среднюю вероятность
ошибки (приемника Котельникова), может быть запи­
сан в виде
Т
Ь; Та
f"rz(t) - s; (t)]2dt- ОшlnР(bi);S[z(t)-=-- s1(t)]2dt-
о
~о
-
Ош Jn Р (bj),
(5 .9)
Показать возможность реализации алгоритма (5.9) с
помощью нелинейной схемы, содержащей квадратирую-
щие устройства.
.
5.1 .5. Показать, что в условиях задачи 5.1 .4 алго-
р итм оптимального приема может быть записан в виде
Та
•
Ь; Та
Jz·(t)s;(t)dt- +[Е;+ОшInР(Ь;)]~sz(t)s1(t)dt-
О
bjО
(5.1 О)
т
где E'i= Ss'2i(t)dt - энергия сигнала s'i(t), и_ реализо-
о
-
в ан с помощью корреляционной схемы. Какие возмож-
н ы упрощения в реализации оптимального приемника,
есл и реализации сигналов s'i(t) и м еют равны е э н ергии
и равные вероя тности?
5.1 .6. Пок а жите, что если в условиях задачи 5.1 .5
дл я передачи используются двоичные символы «1» и
« О» с вероятностями Р ( 1) и Р (О), то алгоритм опти-
179


мального приема может быть записан так:
1а
1
Sz(t)[ s; (t) - s~ (t)]2dt ~И0;
о
о
И=
-
1 [Е'-Е'+Glnр(О)]
о2
1
2
ш р(I)
(5.11)
и реализуется одноканальной схемой. Чему равен опти ­
мальный порог Ио, если Р (1) = Р (О) и:
а) используется двоичная система с пассивной пау-
зой (ANl);
•
•
б) используется двоичная система с активной пау ­
зой (Е11=Е12);
в) используется двоичная система с активной пау­
зой и противоположными сигнала s1 1(t)=-s'2 (t) (на•
пример, ФМ с ма~тпуляцией на 11:)?
5.1 .7 . При заданной реализации принимаемой смеси
z(t) апостериорные вероятности передаваемых симво ­
лов «1» и «О» равны P(l/z) =0,6 и P(0/z) =0,4. Какой
символ зарегистрирует приемник, оптимальный по кри•
терию идеального наблюдателя?
5.1 .8 . Символам Ь 1 и Ь 2 , имеющим априорные веро­
ятности Р(Ь 1 ) и Р(Ь 2 ), соответствуют на интервале
(О, Т) принимаемые сигналы s'1(t) и s'2 (t), заданные в
-+
-+
виде точек s'1 и s'2 функционального пространства с
метрикой Гильберта . В этом же пространстве точками
-+
.
...
z(t) определены реализации принимаемой смеси z(tJ
(сигнал + шум). Разбить пространство сигналов z(t) на
две непересекающиеся области Л 1 и Л2 , приписываемые
рещ:ениям соответственно в пользу символов Ь 1 и Ь2
(собственные области) в предположении того, что сиг­
налы в месте приема известны точно, в канале без па­
мяти имеется стационарный гауссовский белый шум с
энергетическим спектром Gш, принимаемое колебание
анализируется на интервале (О, Т) оптимальным прием­
ником Котельникова, минимизирующим · среднюю ве­
роятность ошибки. Как будет проходить граница между
собственными областями, если символы будут равнове­
роятны?
5.1 .9. Независимым и равновероятным двоичным
символам «I·» и «О» при фазовой мщшпулядии на л; со•
ответствуют в канале с памятью (L = 1) ожидаемые
180


элементарные сигналы
s;(t)=g1(t)h(t)+g2(t -
Т)h
(t-
Т); s;(t)=
-
s; (t),
(5.12)
где g 1 (t) - сигнал, определенный на интервале (О, Т);
g 2 (t) - сигнал, определенный на интервале (Т, 2Т}.
(рис. 5.1);
h(х)={1приО.,;;:х<Т,
О при х<О; х>Т.
Сигналы g 1(t) и g 2 (t) известны точно в месте прие•
ма. Определить алгоритм оптимального приема на ин --
Sz(t}
т
т
т
Рис. 5.1. Сигналы ФМ на входе и выходе канала с
п амятью
тервале Та = 2Т при флуктуационном . белом шуме с­
энергетическим спектром Gm по критерию идеального,
наблюдателя. Наметить структурную схему приемника, .
реализующего этот алгоритм.
5.1 .10. Найти алгоритм оптимального приема в ус­
ловиях задачи 5.1.9, полагая, что имеется «идеальная»,
обратная связь по решению (можно восстановить сигнал·
gocт(t) по зарегистрированным символам) . Какова,
структурная схема приемного устройства?
5.1.11 . Найти алгоритм оптимального приема в ус•
ловиях задачи 5.1.1 О, полагая, что анализ принимаемой,
смеси z(t) ведется на интервале Та = T(D=O). КакойJ
схемой можно его реализовать?
181


Решения и ответы
Р.5 . 1.1. Функции пра·вдоподобия передачи символа
-
h j и Ь 2 при заданном отсчете z(t) определяются одно­
мерными плотностями вероятности:
w1(z/b1)= ,i1 ехр(-22);
r 2na2
2а2
W1(z/b2)= ,i1 ехр(- (z- а)2).
r 2na2
2cr 2
:в условиях задачи алгоритм (5.3) можно записать так:
( 22}~
( (z-- a)2)
Р(Ь1)ехр - -
Р(Ь2)ехр - --
.
2cr2 <
2а2
/ь.
(5.13)
:Подставляя сюда значения Р(Ь 1 ), Р(Ь2 ), z, а и cr2, на­
_.ходим
.Р(Ь1)ехр(- ~) = 0,435; Р(Ь2)ехр(- (z - a)2) = 0,392.
2~
\
2~
,Следовательно, приемник примет решение в пользу
- символа Ь 1 и зарегистрирует его.
После логарифмирования соотношение (5.13) можно
_записать так:
ь,
После элементарных преобразований алгоритм прие­
~ма примет вид
тде пороговый уровень, при превышении
•t:четом z(t) регистрируется символ Ь 2 , а
-случае- Ь1,
И0=~lnР(bi)+~.
а
Р (Ь2)
2
(5.15)
которого от- -
в противном
Структурная схема •приемника, реализующего алго-
ритм (5.15), показана на рис. 5.2 . Она содержит еле­
- дующие блоки: Г - генератор очень коротких тактовых
.импульсов ~ частотой следования 1/Т, которые осущест­
·вляют выборку отсчетов входной смеси z(t); К - ключ,
-:О существляющий квантование во времени входной сме-
182


си; ССВ - схема сравнения с порогом И0 и выбора ре­
шения (если z> Ио, регистрируется символ Ь 2, в про­
тивном случае - Ь 1 ); УЛ - устройство памяти (хране --
Рис. 5.2. Стр у кту рна я с хе ма оптимального приемни­
ка по одному отсчету при точно известном сигнале
ния) регистрируемых элементарных символов; Дек
декодирующее устройство.
Р . 5.1 . 2. Аналогично (5.14) интересующий нас а л -­
горитм приема можно записать в виде
(
)2
ь,(l..J2-
-
z- а +lnР(Ь)>- z -, а +lnР(Ь)
2а2
1<
2а2
2'
ь,
или после тождественных преобразований
z~И0,И0=_О:_lnР(Ь2)."
---...
2а Р (Ь1)
ь,
Если вероятности передачи символов равны, то опт и­
м альный порог для анализируемых сигналов Ио=О.
Р.5.1.3. Функции правдоподобия передачи символо в.
Ь 1 и Ь 2 при заданных отсчетах z1, z2 и ,zз определяются
трехмерными плотностями вероятности :
•(/Ь)_( 1 )3
[
(z1- а)2 (z2- а)2 (z3- а)2]
w3z1-
--=
ехр -
-
-
;~
-
у 2па2
2а2 •
2а2
2а2
W-(z/b)=( 1 )3ех[-(z1+а)2- (z2+а)2- (z3+а)2]-
"
2
у2:n:a2
р 2а2
2а2
2а2
С огласно (5.5) и после элементарных преобразовани а,
а лгоритм приема принимает вид
ь,
о-2 р(Ь)
Z1+Z2+Z3>И0,И0= -
ln- -2
-
.
<
2а Р (Ь1)
ь,
183


При . равновероятных ,символах порог Ио=О . Схема
n-риемника •отличается от схемы рис . 5.2 наличием бло-
1ка суммирования (интегрирования) отсчетов входного
Рис . 5.3 . Структурная -схе м а оптимального приемника
по трем отсчетам при точно известном сигнале
-с игнала 1 (рис. 5.3). Генератор Г выдает короткие им•
л-rульсы с частотой следования 3/Т.
Рис. 5.4 . Реализация оптимального приемного уст·
ройства по критерию максимального правдоподобия
при точно известном ансамбле ·сигналов
Р.5.1.4. Функционал правдоподобия передачи сим•
,в ола bi при фиксации z(t) с учетом (2.4) и (5.8) можно
1 По.еле приня-гия ,решения су.мма11ор надо пр,иQ!ести к нулевым
,начальным у1сло1аия'М.
184


записать в вnде
w (z (1)/Ь;) ~ [( ехр ( - dшJ[z (1) - s; (/)]'dtJ(5.16)
Тогда согласно (5.4) следует алгоритм при е м а (5.9)' .
На рис. 5.4 показана схема, реали зующая этот алго •
р итм. Она содержит : т генераторов опорных сигналов,
s'i(t), т вычитающих устройств, т квадратирующи х
(нелинейных) устройств, на выходе которых в момент
времени t напряжение равно [z(t) -s'i(t)]2, т инте •
граторов «S », схему сравнения и выбора сев, устрой ­
ство памяти кодовых символов УП, декодер 1 . Если все
символы имеют равные вероятности, то алгоритм прие­
ма
Та
bj Та
s[z(t) - s; (t)]2 dt ~ s[z(t) - s; (t)]2dt,
(5.17)
О
biО
и нет надобности в вычитающих устройствах с опорны ­
м и сигналами Gш ln Р (bi).
Р . 5.1.5. Раскрыв в (5.9) квадратные скобки и вы ­
полнив элементарные преобразования, получим алrо •
ритм (5.10) , который реализуется с помощью схемы ,
называемой корреляционной, поскольку основные опе ­
рации над входным сигналом сводятс,я к определени ю,
т
.
интеграла { z(t)s'i(t)dt [функции корреляции между
о
z(t) и s'i(t)]. Она содержит: т генераторов сигналов
s'i(t), т перемножителей «Х», т интеграторов « J», т
вычитающих устройств ВУ с опорными сигналами -Oi=
1
'
'
= 2 [E'i-GшlnP(b;)], блок ССВ, УП и декодер (рис.
5.5) . Если символы равновероятны, а сигналы s'i(t):
имеют равные энергии, то отпадает необходимость в,
устройствах вычитания ВУ.
Р.5 . 1.б. Если число символов равно двум , то из
(m-1) неравенств, определяющих алгоритм (5.10),
остается лишь одно неравенство, которое после элемен -
1 Пооле вынесения решения исr1тегри ,р у ющие у,строikт .ва в опти­
мальной схеме должны быть приведены к нулевым на,чадьным ус ~­
ЛОВИЯ,М .
185


-тарных преобразований сводится к (5.11). Алгоритм
(5. 11) реал"изуется одно канальной схемой (рис. 5.6),
•содержащеи: генератор опорного сигнала Sou(t).:: -
=s'1(t)-s'2 (t); перемножитель «Х», интегратор «J »,
.,ССВ с пороговьiм уровнем И0=-1 [в; - в; +Gш In fP (О) ] ·
2
-
Р (1)
Рис. 5.5. Структурная схема корреляционного прием­
ника при точно известном ансамбле сигналов
Если Р (О) = Р (1), то Ио= (Е'1 -Е'2)/2. Для двоичной
системы с пассивной паузой s'2(t) = О, Е'2 = О, Ио=J__Е'1
2
т
и алгоритм приема принимает вид z(t)s't(t)dt~- E'i.
Sa
Il
.
о2
о
Для двоичной системы с активной паузой Ио=О .
Для системы с противоположными сигналами алгоритм
приема принимает вид
та
.
1
Sz(t)s;(t)dt~О.
(5.18)
о
о
Р.5.1.7. Согласно (5 .1) приемник зарегистрирует
с имвол « 1», апостериорная вероятность которого боль­
ше.
Р.5.1 . 8. Учитывая алгоритм (5.2), найдем границу
.между собственными областями Л 1 и Л2 из условия
186


Р (Ь 1 ) w(z/b 1) =Р(Ь2) w (z/b2). Подставив сюда выраже•:
ния для функционалов w (z/bi), согласно (5.16) полу •
чим
р(Ь,)Кехр(- G~ J[z (1)- s; (i)]' dt) ~
т
= Р (Ь2) Кехр{-;шJ[z(t)- s;(t)]2dt}..
Рис. 5.6 . Структурная схема корреляционного приемни ­
ка для двоичных сигналов
Логарифмируя, приводим это равенство к виду
т
или
lnР(Ь1)- - 1
-5[z(t)- s;(t)]2dt= InР(Ь2)-
Gшо
•
т
--
1- r [z(t)-s;(t)]2 dt
Gш Jо
т
т
S[z(t) - s; (t)]2dt -S[z(t) - s; (t)]2dt = GшIn Р(bi) ,
•
р (Ь2)
о
о
т
В еличина 5[z(t)__:::,s' 1(t)]2dt определяет в пространстве
о
Гильберта квадрат расстояния · между точками прост­
р анства, соответствующими принятой реализации z(t)
и сигналу s';(t) (см. § 1.5). Следовательно, уравнение
границы между собственными областями сигналов со­
гласно критерию минимума средней вероятности ошиб•
187
-
-··


;1ш можно запис 'ать
11;- -:;112 - 1/-; -
-;;112=Gшlп:;::;,
<Откуда следует, что граница между собственными обла­
.стями сигналов это есть линия, являющаяся геометри-
Х Рис. 5.7 . К оптимально­
- 0-1 -- - -+ --+ - -,,<'-------
му разбиению простран-
ства трех сигналов по
критерию
идеального
наблюдателя
,ческим местом точек, разность квадратов расстояний
которых до точек сигналов имеет постоянную величину
Vш ln Р (bi). Нетрудно убедиться в том, что это есть
р (Ь2)
перпендикуляр, проходящий через отрезок, соединяю­
щий точки ~' 1 и s'2 (рис. 5.7).
Найдем теперь расстояния от основания перпенди-
-+
куляра (точка zo) до точек s'1 и s' 2- Очевидно, llzo -
-+
-+
-+
р(Ь)
--s', ll 2- llzo-s'2 ll 2 = Gшln--1 . С другой стороны, llzo -
.
Р (Ь2)
-+
-+
-+
-+
-+
-
s',11 + llzo-s'2 II = ll s'i-s'2II . Поделив первое равенство
яа второе, получим
Теперь нетрудно получить:
188


Очевидно, что при Р(Ь 1 ) =Р(Ь 2 ) граница между соб ­
ственными областями Л 1 и Л2 будет представлять собой
перпендикуляр , проходящий через середину отрезка, со­
единяющего сигнальные точки.
Р.5 . 1.9. В данном случае D = L = 1 . (перекрываться
могут только сигналы, соответствующие соседним кодо­
вым посылкам). На интервале анализа Та = 2Т имеется
всего 2D+L+ 1 реализаций сигналов s'r, i(t), соответствую­
щих передаче « 1» или «О» до анали з ируемого, « 1» или
«О» после анализируемого. Реализация s'1(f) =s'ш (t) =
= g 2(t)h(t) + g 1(t)h(t) + g2(t-T)h(,f-T) + g1(t-
-T)h(t-T) соответствует передаче «1» анализируемым
с имволом, а также «1» до и после него;
s;(t) = s~11(t)=
-
g2(t)h(t) +g1(t)h(t)+
+g2(t- Т)h(t- Т)+g1(t- Т)h(t- Т);
s~ (t) = s~10'_(t) =
-
g2(t)h(t)+g1(t)h(t)+
+g2(t- T)h(t-T)h- g1(t- T)h(t- T);
s~(t)= s;10(t)= g2(t)h(t)+g1(t)h(t)+
+g2(t- T)h(t-T)- g1(t-Т.)h(t-Т);·
s~(t)= s~00(t)=
-
s; (t); s~~(t) = s~01 (t) =
-
s~ (t);
s;(t)= s;00(t)=
-
s;(t); s~(t) = s;01(t)=
-
s~ (t).
С огласно (5.3) с учетом (5 .6) и (5.8) получаем при бе­
л ом стационарном шуме алгоритм оптимального прие­
ма
±(ехр{-"d J[z (t) - s~ (t)]1 dt} i±ехр{-+ У[z (t) -
r=l
ШО
О Г=5
ШО
-
s; (t)]2 dt},
(5.19)
или
iехр[;шJ~(t)s~ (t)dt- Е; ]{!ехрх
189


[
2Т
,
'
]
.
2
•
Е,
х- 5z(t)s;(t)dt- -.
-
,
-
Gш,
,.. 2
о
27'
где E'r= Js'2r(t) dt.
о
(5.20)
На рис. 5.8 показана структурная схема прие мника;
реализующего алгоритм (5.19). Она содержит: блок из­
мерения характеристик канала и формирования из при-'-
Z(f/
Рис. 5,8. Структурная схема оптимального приемника для
канала с памятью
ним а ем ой смеси z (t) необходимых для функциониро­
вания приемника сигналов синхронизации и восьми
опорных сигналов s'r(t) БИФ; вычитающие устройства
ВУ, квадратирующие устройства Кв, интеграторы, не­
линейные устройства с экспоненциальной характеристи­
кой «ехр», два сумматора «+», ССВ, УП и декодер.
Сравнивая (5.17) и (5.19), отмечаем, что, в отличие от
канал·а без памяти, для реализации оптимального прие­
ма в канале с межсимвольной интерференцией требует­
ся знание энергетического спектра шума в канале. При
этом строго оптимальная · схема в таком канале непре- _
менно содержит нелинейные блоки.
Р.5.1.10. Если имеется «идеальная» обратная связь
по решению (по зарегистрированным символам можно
точно восстан6вить сигнал «х воста» g0 cт(t) от предшест-
1~0


вующих символов), то можно подвергнуть анализу ко­
лебания Za(t) = e(t) -gocт(t). При D = 1 (Та=2Т) на
интервале анализа могут быть образованы четыре реа­
лизации: реализация s'1 (i) =s'11 (t) =g1 (t)h(t) +g2 ( ,t-
-T) h(t- T) + g 1(t-T)h(t-T) соответствует передаче
« 1» анализируемым сигналом и «1» после него;
s;(t)=s;0(t)=g1(t)h(t)+g2(t- Т)h(t- Т)
-
-
g1(t- Т)h(t- Т);
s;.(t) = s~1(t) =
-
s;(t); s~ (t) = s~0(t) =
-
s; (t).
Согласно (5.3) с учетом (5.7) и (5.8) получаем при бе­
лом стац~онарном шуме алгоритм оптимального прие­
ма
t,ехр (- ;шfp;(t) - s; (t)J' dtj~,tехр(- ;Д[z, (l)-
-s; (t)J2 dt}.
(5.21)
На рис. 5.9 показана структурная схема приемника,
реализующего алгоритм (5.21). От схемы рис. 5 .8 она
отличается наличием обратной связи по решению (ОСР)
,от блока УП до блока БИФ. В последнем, помимо че-
Рис. 5.9 . Структурная схема пр,иемника с обратf!ОЙ
связью по решению
191


ть1рех опорных сигналов s'r(t), формируется также · сиг­
нал g0 cт(t)= ±g2 (t)h(t). Знак этого сигнала при ана­
лизе очередного символа · определяется тем, были ли
при анализе предыдущего символа зафиксированы в
УП «1» или «О».
Р.5.1.11. Если имеется идеальная обратная связь
по решению и D .О; то на интервале анализа Та = Т
две реализации сигнала, соответствующие передач е «1>>
и «О», определяются так :
s;(t)=g1(t); s;(t)=
-
g1 (t).
В этом случае алгоритм оптимального приема
Т
•.1
_f[2(t)+ ~2(t)]gl(t)dt~о
(5.22)
о
о
• реализуется
линейной схемой рис. .s :10. Бло к БИФ~
охваченный обратной связью по решению, фор ми рует
по результатам измер~уния характеристик канала эле-
Рис. 5.10 . Структурная схема оптимального приемника двоичных
сигналов для канала с памятью
менты g 1(t) и g2 (t). Знак при g2 (t) в (5.22} определяет­
ся тем, были ли зарегистрированы при анализе предше­
ствующего символа «1» или «О».
5.2. Реализация алгоритма оптимального приема
при точно известном сигнале
на основе согщ1сованных фильтров
Линейным фильтром, согласованным с сигналом s'; (t), назы­
вают фильтр с по:стоя-нными параме1iрами и импульсной переход ­
ной характер·ик:ти:кой
g(t)=as;(t0- t),
192
(5 .23)


т. е. форма последJней зеркальна 1 форме оипrала. Здесь а - произ­
волыная · :постоянная.
Если длительность оигнал.а ра.в,на Т, то !fз У,СЛ{)ВНЯ физичеокой
реализуемости следу~т, что
(5 .24)
На практ,ике выбирают запаздЬ!IВание to= Т.
Комплексный ~юэффициент переда"!М K(f) соrласова,ыноrо
фильтра
00
К (f) = Jg(t) e-i 211ft dt= а S;(-f) e-i2".ft,,
о
(5 .25)
где Si(-f) - ,комллеконо-соnряженный спемтр оима1iа s;(t).
Согласованный фильтр в момент t0 при флуктуащюН'iной помехе
типа «белый шум» обеспечn:вает на с.воем :выходе максимально воз­
можное отношение пиковой -мощности сигнала к epeJQieй мощности
шума
г =2h =2-
=2FТ-
2
•
2
РсТ
•(Ре)
макс
О
Gш
1<
Рш вх•
(5 .26)
Если to = Т, то в произвольный момент времени еигнальную ком­
по-ненту на выходе corлacoвall!ИQFIO фильтра можжэ найт,и как
t
Ус(t)=а\s;(х)s;(м+Т- t)dx= aBs'_(T- t),
~
,
(5.27)
где в.;(,) - корре.ля.ционная фу:IL'К.щ:ия (;Иr»ала s'1(t).
В момент окоичаil!ия свrнала на входе фильтра i=T сигнал на
выходе co.r ласовалноrо фnль'Рра :ц~·r11:1".ает макепмат.н&rе значеная
'l
Ус(Тс)= а.\ z (i) s; (1) dt,
V
{5.28)
которое со:впадает с точ,иостыо до МI1◊жителя а с си.nналом на
выходе коррелятора в момент оимчания сиr,нала ( см. алr-орит.мы
опт,имальноrо приема, полученные в задачах 5.1 :5-5.1 .6). Это поз­
воляет в схеме оптимально-го пр.ием ,1шJ<а для точного извест,ноrо
ансамбля силналов замен-ить коррелятор, со.стоящий из перемно­
жителя и ннтеграто·ра, соrласоsанным фильт,ром.
Огибающая отклика СQ.ГЛасо-ва·н,ноrо фильтра, и м еющЕ:rо им­
пульс,ную переходную хараюер,испшу g(t), на сигнал z(t) опреде-
ляется соотношением
•
•
•
/l1
12 1·
1
'
]2
г(t)=i Jz(t)g(t-х)dx_ + Jz(t)~(t-сх)d; • (5.29)
1 Относительно оси ординат, смещенной в точку to .
7-299
193


Задачи
\
5.2 .1. Сигнал s(t) задается функцией
8(t)={ktприО-<t<,_ Т,
О при t<O; t>T.
Построить график импульсной переходной характери­
стики фильтра, согласованного с сигналом s(t) при ус­
ловии t0 =T.
5.2 .2 . Двоичные равновероятные символы передают­
ся по каналу без памяти сигналами s 1(t)=A и s 2 (t)=0
на: тактовом интервале Т. В канале действует аддитив­
нь1й стационарный нормальный белый шум. Построить
структурную схему приемника на основе согласованного
фильтра.
•
5.2.3. Как может быть реализован согласованный
фильтр для периодической последовательности прямо­
угольных импульсов?
5 .2 .4 . Двоичные равновероятные символы передают­
ся посредством ЧМ в канале без памяти . В месте прие­
ма на интервале анализа Та= Т им соответствуют сиг­
налы s'1(t)=Иmcos(,ffi1t+ r<p1) и s'2(,t)=Иmcos(ffi2if+(!J2).
В канале действует стационарный нормальный белый
шум . Изобразить схему оптимального приемника на ба•
зе сог·ласованных фильтров.
5.2.5. Показать, что согласованный фильтр для сиг­
налов произвольной формы, в принципе, можно по­
строить на основе неискажающей линии задержки на
время Т (Т - длительность сигнала).
5. 2.б. Составить схему согласованного фильтра на
базе длинной линии с отводами для однополярного и
двуполярного двоичных . сигналов, соответствующих по­
следовательности символов 11001 О 1 О 1. Нарисовать
форму сигнала на выходе согласованного фильтра.
5.2 .7. Сравнить форму огибающих сигналов на вы­
ходе коррелятора и согласованного фильтра в случае
подачи на их вход одиночного прямоугольного радио­
импульса и одиночного прямоугольного видеоимпульса.
5.2.8 . Показать, что результат (5.26) справедлив
для любой линейной системы, для которой выходной
t
процесс оп~еделяется соотношением у( t) =J s ('t) z (-r) dт.
о
194


5.2 .9 . Какой выигрыш в отношении сигнал/шум мо•
жет дать фильтр, согласованный с сигналом, имеющим
длительность Т=2O мс и полосу частот F = 10 кГц?
5.2 .10 . Показать, что величина огибающей отклика
согласованного фильтра на сигнал z(t) =s'( ,t) = :
=-v [ cos ,011s (1t)-sin ,0:кs(t)] (-у, 0:к - коэффициент пере•
дачи и фазовый сдвиг канала) инвариантна к измене•
нию фазы 0:к.
Решения и ответы
Р.5.2.1. Согласно (5.23) импульсная переходная ха•
рактеристика согласованного фильтра является зеркаль•
ным отражением сигна ·ла относительно точки t0.
Следовательно, в данном случае
g(t) =-~ (T-t), O<t<T.
График этой функции показан на рис . 5.11 .
Р . 5 . 2.2. Согласно (5.28) в момент окончания вход•
наго сигнала на выходе согласованного фильтра полу-
Рис. 5.11 . Импульсная
переходная
характери­
~ тика фильтра, согласо­
ванного с линейно нара-
стающим сигналом
о
т
чается напряжение, пропорциональное сигналу на вы­
ходе интегратора корреляционного приемника. Следо­
вательно, оптимальное приемное устройство при точно
известном сигнале можно реализовать на базе согласо­
ванных фильтров.
Рассмотрим пример построения согласованного
фильтра для прямоугольного видеоимпульса, заданного
в виде
s(t)=АприО -<t~Т; s(t)=Опри t<О, t>Т.
Спектр по Фурье для такого импульса определяет_ся со•
отношением S (f) = ~ (1-еi2лtт). На основании (5.25)
i2лf
•
для коэффициента передачи согласоваююго фильтра по-
7*
195


лучим
K(f)= аА (l-ei2nfT)e-i2nfT=
- i2nt
=
~(l- e-i2nfт).
_
i2лf
•
1
Известно, что умножение на _ _
-_в
частотной области
i2лt
соответствует интегрированию в пределах от -оо до t
во временной области, а умножение на е-i2щт соответст-
Рис. _ 5 .12 . Структурная схема оптимального приемника с
согласованны~ фильтром для одиночного прямоугольного
импульса
вует задержке сигнала на время Т. Следовательно,
фильтр, согласованный с одиночным прямоугольным им-
-пульсом, состоит из интегратора « J», линии задержки
на время Т и вычитающего устройства ВУ. Структурная
схема оптимального приемника с таким фильтром по­
казана на рис. 5.12 . ЛЗ - линия задержки; ЯП
-
ячейка
памяти.
Р.5 ."2.3. Если сигнал представляет собой последова­
тельность п одинаковых импульсов с интервалом повто­
рения Тп
п-1
s(t)= \ 'А(t- kТп),
k=Q
то его спектр по Фурье
'
••S(f)=Sl{f)[1+е-i2~fТп+е-i4nfТп+
-
i (11-l) 2n f. тп]
+...+е
-
-
.
Здесь S 1(f) - спектр импульса, начинающегося в мо­
!V!ент t=O; S 1 (f)e-i2ntтп -спектр второго импульса, на­
~'инающегося в момент t= Гп, и т. д. Так как длитель­
нgс;ть ~ИГf!ала Те= Т + (n-:-::-J)Tп; то согласно (5.29) ко-
196


эффициент передачи corласованного фильтра
К(/)= а S (-f) е- i 2:rt f (т+(n-l)Тп] =
_
К(/) [l + -i2:rtffп -i4:rtfTп
-l(n-1)2:tfTп]
-
а1
е
+е
+...+е
.
Здесь K1(f) - коэффициент передачи фильтра, согла­
сова нного с одиночным имFiульсом. Выражение в квад­
ратных скобках является геометрической прогрессией
и может быть представлено при п~ 1.
•
-i2nfпТ
.
К(/)= 1-е
п = sinnnfTп e-1:rt(n-l)fTп
2
1_ е-i2nfrп
sinпfТO
•
Функция K2(f) имеет максимумы на частотах, кратных
периоду повторения импульсов Тп, и представляет собой
коэффициент передачи гребенчатого фильтра. Таким об­
разом, согласованный фильтр для периодической после­
довательности импульсов можно реализовать в виде
каскадного соединения согласованного фильтра для оди­
ночного импульса и гребенчатого qшльтра с коэффици-
ентом передачи K2 (t).
.
Р. 5.2.4 . В рассматриваемом случае корреляционные
устройства в · оптимальном приемнике должны быть за­
менены фильтрами, согласованными с радиоимпульсами,
имеющими частоты заполнения ro 1 и ro 2. В качестве при­
мера найдем импульсную переходную характеристику
фильтра, согласованног.о с сигналом
s;(t)=Итcos(ro1t+<р1),О-<·t~Т,
и рассмотрим его возможную реализацию. Выбирая
fo:_ Т, согласно (5.23) можно записать
g(t)=аИтcos(ro_t0+<р1- ro1t), О-<t-<Т.
Такая характеристика может быть реализована с по­
мощью высокодобротного ( Q ~ 1) колебательного кон­
тура при условии, что для частоты w1 он создает фазо­
вый сдвиг -
w1to-::-- ср 1 : Структурная схема оптнм с1 i, но­
го приемника показана н.а рис. 5.13. Ключ К в момент
в ремени t = t0 = Т на очень короткое время закорачивает
е мкость и разрывает цепь с индуктивностью для осво­
божде ния контура от накопленной энергии и его подго­
товк и к приему следующих элементов сигнала 1.
1 Такой вар,иа,нт соглас о.ван·ного фильтра
называется комму­
тиру€мым. В принципе, можно построить согласованный фи ль тр и
бе.з коммvтацrш па .ра:мет;ров . В этом случ ае фильтр называ ют пас­
си в,ным [12].
197


z(t}
.--..
ы""''-----,
Рис. 5.13. Реализация оптимального по крите ­
рию максимального правдоподобия приемника
сигналов ЧМ на базе согласованных фильтров
s(t}
t
'Т=п/J
11/
JaiJep!Кl(U
Рис . 5 .14. Реализация фильтра , согласованного
с произвольным непрерывным сигналом , на ос­
нове линии задержки с отводами и блоками
взвешивания:
а - сигнал; 6 - согласованный фильтр
198


Р . 5.2.5. Любую финитную функцию s(rt) можно ап ­
проксимировать последовательностью из n= Т/Л прямо­
угольных импульсов малой длительности Л и высоты
1
а1,, (k=1,2, ..., п)
(рис. 5.14а). Величина Л ,< -
и оп•
2Fc
ределяется допустимой точностью аппроксимации .
Если на вход (точка А) длинной линии с отводами
через интервалы Л подать в момент 1i=O импульс с дли­
тельностью Л единичной высоты и просуммировать с
iщ □□Пtн-
.
.
ПППt
LJuu.
/jj
Рис , 5.15, Реализация согласованных фильтров на основе линии за­
держки :
а - для однополярного двоичного сигнала; 6
-
для двухполярного
двоичного сигнала
весами а1,, значения сигналов в отводах линии (рис.
5.146), то на выходе сумматора получим сигнал s(t) .
Фильтр нижних частот подавляет спектральные · компо­
ненты, лежащие вне полосы сигнала F с-
Если единичный импульс подвестJ::I к выходу линии
(точка В), отклик будет зеркальным отражением сигна­
ла s(t), и схема рис. 5.146 будет выполнять роль согла­
сованного фильтра.
Р.5.2.6. Схема согласованного фильтра для однопо­
лярного двоичного сигнала показана на рис . 5.15а, для
двуполярного - на рис . 5.156.
Р.5.2.7. Форма огибающих колебаний на выходе
согласованного фильтра и коррелятора для одиночного
видеоимпульса и радиоимпульса показана на рис. 5.16.
Полезно отметить, что в момент окончания сигнала от•
клики имеют одинаковое значение .
199


Р.5.2.8. Пусть на вход линейной системы; осуществ­
ляющей обработку сигнала в соответствии с алгоритмом
т
,
д(t)-_ Sz ('r) s ('r) dт:, пос_тупает смесь сигнала' и нор­
о
мального стационарного шума z(t) =s(t) +и(t),
~
-
1-----J--r
1
1
1
щ1
1
а
т1 zr
1
1
1
ио
r
f!I
t
о
s(tl
1
1
Ибыхсq, 1
1
.
t:3_
-
(1
т
t
,
Рис. 5.16. Диаграммы иаrrряжений на выходе
коррелятора и соrласоваююrо фильтра при по ­
даче на вход пря-моуrолыiЫХ видеоимпульса
( а) и радиоимпульса (б)
причем
s(t)=pO при G,:,;;;t~T. В момент окончания сигнала i = T
сигнальная компонента на выходе заданной линейной
т
.
системы Yc(t) = 5s2 (т:) dт: = РсТ=Е (Е - энергия сиг­
о
нала на входе). Шумова~ компонента . на выходе за­
r
данной щiнейной системы ~п(t) = S и(т:)s(т:)d~ представ-
•
о
ляет собой нормальный r.rpoцecc с дисперсией у2п(t) .
= GшЕ/2 ( Gш - спектральная плотность мощности шу-
200


ма на входе). Отношение сигнал/шум на выходе задан­
и.ой линейной системы в момент t= Т
га= У~(Т)
=
2~=2Е =2h~= 2РсТ=
·~
(t)
GшЕ Gш
Gш
= 2FиТ (..&) .
Рш вх
Полученный результат справедлив для согласованного
фильтра и коррелятора.
Р.5.2.9. Согласно (5.26) выигрыш в отношении сиг­
fiал/шум, даваемый согласованным фильтром,
__
rl_ =
2FHТ= 2.20·10---З
.10• = 400.
(:~ )вж
Р.5.2.10. Учитывая (5.23) и полагая t0=T, :выраже­
~щ~ (5.29) можно записать так::
rЩ,_• - аV[f•(х),' (Т-1 + x) _dx]'+-
- . + [jz(x)~'(T-t+x)dxГ
В момент t=T
rЩц- V- аV[J,(х)s' (х) dx]'+ [J•(х)}(х) dxJ
Поскольку ,s'(t) = -y(cos 0иs (!) -sin 0иs (t)], то s' (t) =
=-v[cos0иs(t)+sin0иs(t)]. Подставляя значения s'(t) п
s'(,t) в выражение для V, находим, что
v- ау v1 [!,(,), (,) dxГ+ U•(x) ;(х)wJ
@т 6и не зависит.
5.3 . Помехоустойчивость (вероятность ошибки)
оптимальных схем приема
при точно известном сигнале
Будем определять riомехоустойчн.1юсть при рав•НОiвероятных сим­
волах. При зада:нн-ой оистеме оигналов, ка;иале и способе анализа
nр,и,иимаемой смеси (no отдельным отсчет.~.м или на всем времен:
201 .


нбiм и,нтервале) С1Пти,мао11,ный , ([!О критерию ма,Jюи,ма111ыюго п,ра,вдо­
подо,бия) приемниiК о:беопеч1и1вает минимальную вер·оятно,оть оши,бюf.
Вероятность ошибочного перехода Р (,b'j/b;) (вероятность реги­
СТJ>адии си1мвола b'j [JрИ условии перед•а1Чи символа Ь;) определяет ­
ся вероятно:стью невыполнения системы нер-авенстs, задаваемых
а•J]Гори'I'мом приема.
Средняя вероятность ошибки для двухпозиционной системы
2
Рош=~Р(ь;;ьt), j=I= i .
(5. 30)
i=l
Из дв·сжЧ1ных с•истем для неиокажающего кана111а с белым гауссо­
вым шумом особый интерес предста,вляет система с про'!)ИJЮПОлож­
ны,ми си,гнала1ми (например, ФМ с манипуляцией фазы на п).
О1д,нааю в.в,иду реал,изационных трудностей (1слrучайното перескока
фазы опорного колебания и появления «об ратной работы») на
практи~<е ши.роко пр·именяет.ся двоич1на,я система с относительной
манrnпуляцией фазы (ОФМ), в которой информация зак\l!.ады,вается
в разность фаз соседних посылок [! 9]. Платой за устранен,ие «об­
рат.и.ой ра,боты» является (в условиях надежной связи) у\д:воение
вер•оя,~~щсти -оши1б:к:и, обу1сл.оrвленной шумом в кан•але:
РошОФМ::::::::: 2РошФМ•
(5.31)
Вероя11но:сть оши,бки для мно•гопозицио,нных сrnстем ,в общем случа~
опрещ.еляе11ся слож,нее, чем для двоич,ных . В о:бласти на,деж,нои
овяэ.и вероятно:сть ошибочного при ема многопоэицио,нно.го символа
Рош,т при использовании системы сигналов с активной па узой и
си•м1ме11рично1м канале
(5.32)
где Рот - вероятно:сть ошибочного п.р.иема д,во1ично.го симв ол а в
том же ка,нале и опо:собе ан,ал.иза омеаи z(t).
Задачи
5.3.1 . Определить среднюю вероятность ошибк и для
сигналов, канала и приемника, рассмотренных в задаче
5.1.2 при Р(Ь 1 ) =Р(Ь2) = 11/2.
5.3.2 . Определить среднюю вероятность ошибки для
сигналов, канала и приемника, рассмотренных в задаче
5. 1.3 при равновероятных символах.
5.3.3 . Определить минимальную вероятность ошибк!с!
приемника К.отельникова при использовании т-пози­
ционной системы ортогональных на интервале Т сигна­
лов с активной паузой в канале без памяти и с адди­
тивным стационарным гауссовым белым шумом. Упро­
стить результат для области больших отношений сиг­
нал/шу.м.
5.3.4 . • Определить среднюю вероятность ошибки при
оптимальном приеме двоичных сигналов на фоне ста-
202


ционарного нормального белого шума в канале без па­
мяти и анализе на интервале (О, Т).
Какой формулой определяется минимальная вероят­
ность ошибки для системы АМ (с пассивной паузой),
ЧМ (с ортогональными сигналами) и ФМ (с противо­
положными сигналами)?
5.3 .5. Показать, что при точно известном ансамбле
двоичных сигналов с заданной энергией и белым шумом
в канале минимально возможную вероятность ошибки
обеспечивает система с противоположными сигналами.
5.3 .6. Показать, что при оптимальном приеме сиг­
налов ОФМ по методу сравнения полярностей вероят­
ность ошибки можно оценить по ф-ле (5.31). Вычис­
лить вероятность ошибки, если сигнал на передаче име­
ет среднюю мощность Рс=О,5 Вт, коэффициент переда­
чи канала v= 10-2 , длительность элементарной посыл­
ки Т= 10 мс, спектральная плотность мощности шума в
канал_е Gш = 10- 7 Вт/Гц.
5.3 .7 . Найти энергетический выигрыш по средней и
пиковой мощностям передатчика при переходе от систе­
мы АМ к системам ЧМ и ФМ и энергетический выиг­
рыш перехода от системы ЧМ к ФМ при оптимальном
приеме точно известного ансамбля сигналов, полагая
вероятность ошибки неизменной.
5.3 .8. В системе двоичной фазовой манипуляции
(ФМ) использованы сигналы
si(t)= V2: cos(ffiot+(i-l)л), i=l, 2, O<t<T,
где Е - энергия сигналов Si (,t); Т - длительность эле­
ментарной посылки. Опорное колебание Saп(,t), необхо­
димое для работы корреляционного приемника, имеет
вид
V2E
•
S0п(t) = k ТCOS(ffi0t+ ер),
где k - коэффициент пропорциональности; qJ - фазо­
вый сд виг, отличный от нуля. Определить вероятность
ошибки, полагая, что в канале действует стационарный
нормальный белый шум со ·спектральной плотностью .
мощности Gш, и оценить степень ухудшения помех
устойчивости системы по сравнению с идеальным слу­
чаем (ср =О) .
Каку ю можно допустить фазовую расстройку (f), при
которой энергетический проигрыш 'l'J не превышает вели-
203


чину 1,1 (потеря мощности передатчика составляет
10%) ;>
5.3.9 . • В системе двоичной фазовой манипуляции, ис­
пользующей сигналы si(t) из предыдущей задачи, опор~
ное колебание формируется с помощью высокодоброт ­
ного избирательного контура, на вход которого воздей­
ствует аддитивная смесь гармонического колебания
s(.t) = ks1(t) и нормального стационарного белого шума
И ( t). Опорное колебание при этом имеет вид
Sоп(t) =Аоп(t)cos(u>ot+cr)'
пр11чем плотность вероятности фазы (см. Р.1 . 2.12, [ 15])
описывается соотношением
-
-
1- а•
_..!.._а• s!п• tp
w1 (cp) =-
1- e 2 +a.~osq,F(acoscp)e 2
2л
r2л
(а=ар/а - отношение регулярной и. флуктуирующей
компонент входного колебания). Полагая, что ампли ­
туда напряжения на выходе колебательного контура .nо-
стоянна и 1ра1в:на Аоп(t) =k У 2:, определить верО1JТ­
ность ошибки.
5.3 .10 . В двоичной системе ФМ Jl.JIЯ передачи )ПI-
формации 0 ИСПОЛЬзованы сигналы s1(t)=v {~cos((J)g#+
+<ро) и s2(t)=-V ~Ecos(root+ч,e). Опорное колебаgие
и корреляционном приемнике совпадает по форме с сиг­
налом s1(t): Soп(f)=V ~Е cos(roof+<po).
Полагая, что в канале действует нормальный ста­
ционарный белый шум со спектральной плотностью
мощности Gш, определить вероятность ошибки и энер­
гетический проигрыш, если из-за неточности работы си-
• стемы синхронизации интервал интегрирования сдвинут
относительно начала посылки на величину -r(l-rl·~'Т/2) .
Найти допустимую величину -r, при которой энерге­
тический проигрыш не пр~вышает величину ч= 1,1.
5.3.11 . Полагая, что в системе ФМ использованы
сигналы s'1(t) и s'2 (t) из задачи 5.3.10, определить ве­
роятность ошибки при совместном уqете как тактовой
рассинхрониз,щии на величину -r, так и несинфазност»
опорного и принимаемого колебаний на величину <р.
204


Определить величи~у энергетического проигрыша. Пq­
лагая, что допустимая величина энергетического проиг­
рыша равна 1, 1, найти допустимые значения величин
't и (j).
5.3 .12. Полагая, что опорные колебания формиру­
ются с ошибкой по фазе на величину ЧJ, а тактовая син­
хронизация дает ошибку .- , найти вероятность
ошибк:-r
при оптимальном когерентном приеме сигналов двоич­
ной АМ и ЧМ и величину энергетического проигрыша.
5.3 .13 . Вывести выражение для вероятности ошиб­
ки и энергетического проигрыша при оптимальном коге­
рентном приеме сигналов двоичной ФМ в канале с
точно известными параметрами и нормальным стацио­
нарным белым шумом со спектральной плотностью мощ­
ности Gш, полагая, что для передачи информации ис­
пользованы сигналы
а опорное колебание имеет расстройку по частоте
1/2Е
so.(t) = Vтcos[(ffi0+Лro)t+q,).
Какова допустимая расстройка Лffi, при -которой энер1z.е­
тический проигрыш не превышает 1, I?
5.3 .14. По условию предыдущей задачи найти верФ­
ятность ошибки и е:нер~гетичес1кий прои::nрыш 1Пр,и оптя­
м&Jiьном когереН1шом п·рлеме ,оиnнзлов ,двоич,ной .1\М и
ЧМ 'В условиях частотной ра~сстройки меЖ1ду о;пор.ными
и ОЖ:Щдаемыми колеrба,н,ия:м,и.
•
5.3.15. В ка:Нале ,с точно изве,стным,и 1Пара,м-ет~ра1ми и
нормальным ста1ц,иона1р,ным ·белыrм шу~мОlм со сше-ктраль­
ной плотностью мощно,сти Gш осуще,ствляет-ся ,прием
,l!JВОИЧIНЫХ сигнало-в ФМ:
а) rкор~реля,щюнным ,цр,иемrниашм; б) и,нте,гральным
приемником.
Сравн.ить вероят,нос'Гlи ошибок ·при ,данных способах
приема и определить э,нергеТ1иrческий ,выигрыш при пе­
реходе от ·и-нтегралыного ,к .корреля,ционному приему.
5.3 .16. В системе двоичной фазОiвой ·манипуляции
дJlЯ передаrчи инфор.маци,и ,и,с,пользованы -си,nнал.ы
~ f2E
1 /2Е
s1(t)= V -Т-cos(i)ot и s2(t)= -
V Т COS(i)o ,t JI,ЛИТе./lЪ-
но,стью Т. Вследств1:1е л,инейных искаж,ений в канале на
205


,вход прием~шка поступают ,сигна,лы:
Пола1гая, что в ·ка1нал е 1дейс11в ует нормальный ,стацио­
на1р1Ный ~белый шум ,со ,опекграл ыной ,плот,но,стью ,мощно ­
ст.и Gш, определ,ить вероят,ность ошибки при корреляц,и­
онном 1пР'ием,е, если апор1ное 1колебание имеет mрямо-
у:голыную о,ги,бающую: Soп(t) = V2:cOSffiot(O~ ,t~T).
Найти энергетический про1и1грыш по срав1нению со
слу,чаем отсу'ГС'J)ВrИЯ линейных .и:ока:жений.
5.3.17. Оп1ределить ,сре,д;нюю вероятность ошшб:~и
1для ·с.и,г~нало•в, канала и прие•мника, 1ра•сомотрен,ных ,в ва-
1даче . 5.: 1.,l il. Най11и .энер ·гети,чеокий проигрыш анали~з,и­
руемого 1Пр 1ие м.ни.ка ,по о"nнашению к лрием,н.ик,у, rреа·JIИ­
вующ ему пре1де лыно ,воэ1мо•ж1ную помехоу,стой,ч,ивость в
заща ,шном :канале.
5.3.18. Равновероятные ои,м,волы «,l» .и «О» переда­
ются rюсрещс'flвом си1гна.1юв : s 1 (t)=Иmsinffi 0 t и s 2 (.t) =
= -Ит sin ffiof, O~t~T, ffio»2л,,/1T. К:а,нал ,не пска·жает
сишiалов, и ,в нем ·и1мее'J)СЯ а·дди•ти1вный :стащионар,ный
нормальный шум ,с энеР'гети:ч•еок,и,м спектром
fu
Н•
б
=------ ..
аити вероятность оши ки при . опти-
(w-rоu)2+а,2
мальном приеме по · критерию максимального правдопо ­
добия, пользуясь методом приведения небелого шума к
белому, полагая, что длительность переходного процесса
на выходе «обеляющего» фильтра 'tпер<< Т. Найти энерге­
тичеокий :прои~грыш, ,связа,нный с .нали<чием ,не,белого
шу,ма, по сра ,вне,нию 1со случаем приема в присут,с11в.ии
белого шума, имеющего 'В :полосе fo+F, fo - F такую же
срещ;нюю мощность .
Реше•Н,ия .и от1веты
Р.5.3 . 1. ,Согла,сно Р.5 . 1.2 пра1вило решения приемни -
1
ка при Р(Ь 1 )--:Р(Ь2 ) = 2 •м;оЖJно зап исать в виде
206


ь,
z ~ О. Отсчеты оме-си детер1м 1и1нИ!рованн0rго ,с.и,гнала и
ь,
шу,ма z имеют нор~мальное 1ра,апрмелен.ие, щиапер1сию и2
и ореднее з1на1чение а (1при переща~че юИlмвола Ь 1 )
или - а (при передаче символа Ь2) . Условные плотности
вероятности 011очето1в :при 1переда,че символов Ь 1 и Ь2
ра1В1ны соответственно :
Найдем вероя11но,сти оши1бач1ных переходов Р (b'i,f ,b2 ) иr
Р (Ь'2/Ь1):
о
Р(ь;tЬ1)= Р(z < 0/Ь1) . sw1(z/b1)dz =
-оо
о
_
1 . J.ехр[- Г(z-~)2 ]dz = _2._
[ 1-Ф(..!!:...)· ] ;
-V2лaz
2а
.
,2
а_
-оо
00
Р(ь;;Ь2) = Р(z > 0/Ь2)= sw1(z/b2)dz =
о
_
1
Сехр[- (z+2a)2 ]dz·=
-
1 . [ 1-Ф(..!!:...)] ·
-V2ла2 .J
2cr
2
а
о
.
С;реднюю 1в ероятность ,ашиб.ки находи1м саrглаано (,5.30) ~ •
Рош = : [P(b;Jb2) + P(b;fb1)]=+ [1-Ф(: )]·
Р.5.3.2. Сюглас·но Р.5., 1 .3 пра1вило ~р ешения [Iрием1Ни ~
ка , пр,и ра1внавероя11ных си'М 1волах мож,но за1писать
ь,
z 1+z2+zз~0 . О119четы zi имеют ,нор' м.альное 1ра,сшреде -
ь,
ление, дисперсию а2 и среднее значение а (при передаче
си,мвола Ь1) • .или - а (1п.ри пере~,ца1че с.Иlмнола Ь2). Су~мс
ма неза1в,1юимых .нормально ра,апр .ещменшых ,величин,
имеет та1~же нормальное 1ра ,с1п1Рмеление , ~иапероию ,
,ра1вную 1сум~ме 1дие1пероий исхоtп:ных вели1ч~ин, и -сред,нее
з,на1чение, ра,в-ное су1м1ме .их с~редних з1на1чений [115] . По-­
этому для усланных ,плотностей вероя11ност.и ,с~у,м,мы от-
207


сче'Г-ов мож~но .записать:
,,. (z++/Ь) 1 ех[-(z-За)2]•
'°"'1
1
Z2
Zз 1 = y2n'!az
р 2.3а2 '
W1 (z1 +Z2+zJb,1) =
-
---
---
1
ехр[- (z+За)2] .
_
у2л: 3az
2-За2
Теперь аu-1алоrи1чно Р .5.3.1 лолу,чае,м
..
-
• - р <I/Jb1) = Swl (Z1 +Zz +zj)fb1)dz = +[1-Ф(v:а)] ;
--
-
Р( ь;JbJ = sW1 (z1 + Z1 + t:i/b,.)dz =+ [1-Ф(У~а )] ;
•
Рош=-} [1-Ф(-V;11 ) ] ;
Р.5.3. 3. Условия пра1ви1ЛЬ1НQrо ,приема оим,вола Ь 1 .в
м~ющпоои,цнонной системе, иапользующей ортогональ­
ные сигналы с активной паузой, согласно Р .5 . 1.5 такие:
т
т
Jz(t)s1(t)d.t>Jz(t)si(t)dt; i=2,3,4,..., т.
о
о
r
Поскольку z(t)=s'1 (t) +и(t), .\ · s'1 (t)s'i(t)dt=O и
о
т
Js'2 i(t)dt=E', то эти у~словия ,можно эа~писать т-ак:
Q_
т
f u(:J) [s1 (t)-s,(t)]dt>-ВГ .илп 0i<01+Е', где 0;=
Q
т
=J si(,J)u(t)dt.
r
Случа,йная вел,ИJЧ<Ика 0i= f s',(f)u(t)dJ раоnре,целена
о
по нормальному за,кону, имеет нулевое среднее значение
ц .цисперсию 02 ;=GшЕ'/2. Вероят~ность 1вЫ1полнения ,Не~
ра1вен,ства 0;<'81 +Е' будет равна
е1+Е'
:Р(81> 01+Е'~ = 5
-оо


-со
гдеt=
81
h~=
_!!_ .
v(]ш/'
Ош
Ве~роятность того, , что во ,всех т -1 ве11вях 1ве;шчины
:iji .не превысят величину 01, равна (+)т--1 [ 1+ Ф (t+
+-V 2h2o)]m-t. Усредняя это · выражение по всем воз­
мржIным зIначения~м 01, [IОлучаем вероя11ность правил~.­
наго пр.нема
""
t•
1 1-2{1[
(v-
·]}m-1
Рпра•=~ ,е
-
1+Фt+ 2hi)
dt.
v2n ..
2
--
Вероятность оши>бки в т-1пrонпJионной системе
08
t•
1 r-2[1
Рош,т= 1- Рправ = 1-
,r-
'е 2+
r2n •·
.
-ао
.....
++ф (t +V2h6 )Г-1 dt.
При больших зна,чениях h20 это ,выра.ж.е,ние можно при­
вести Iк ,виду
Рош, т ~ (т- l)·+и-Ф V h~].
Р.5.3.4. Согла,сно Р.5.1.6 кожио зап-исать алгоритм
.ра,бо: ,.,,
_1 , т,н, :~J а ., u нv . о при,е,м1ни1ка двои'Чных сиг.налов
т
ь.
rz(t)[s;(t)- s;(t)]dt<> -1 [в1- Е2+GшIn Р(Ь~)].•
•
J
2
Р(Ь1).
.
1,,
т
.
(З.,11,есь Е';= Js'2i(t)cU - энер,гю1 сигнала s', (i)).
11
Есл,и действительно был п~реща~н снм1вол Ь 1 , т•
z(t) = s'1 (t)+u(t), и событию, заIключающему~ся Iв пра­
вильной регистрации [IерещаIнного СИ'МIВОла, бущет соот­
ветствоJВать ,нера·ве,нство
т
т
_\и(t)[s;(t)- s;(t))dt>-+J[s;(t)- s;(t)]2dt+
о
о
+_!_G lnр(Ь2)•
2 ш Р(Ь1)
209


В~роятность .ошибки апределит,ся в,ероятностью ,выпол•
нешия обрат,но,го не1равенс11ва, т. е.
т
т
Jи(t)[s~ (t) - s;(t)]dt< - +S[s;(t) -s;(t)]2dt+
О
9
т
т
Обовна/ЧИМ Ju(t) [ s; U)---:s;U)] dt=,e; 5rs; (t)-s ~(t)]2dt=
о
о
= Еэ и запишем полученное неравенство в виде
0 <__.:.__!_[в + G In р (Ь2) ]·
2
э ш р(Ь1)
Так как шум в канале ,нор1мальный ,и имеет ,нулевое
сред,нее з,на1чение, то ,0 Я1вляет,ся нор1ма1льной ,сл'У,чай,ной
.
Gш
величиной с 1Па1ра1метрами 0 = О и а~ = 2 Еэ. Теперь
можно записать выражение для вероятности Р (Ь'2/Ь1)
-
_1__[в+а lnР<Ь,> ·]
2
э ш Р(Ь,)
Р( ь;1ь1) =
.
J w(0)d0 =
-оо
Аналоги1ч1но находи,м
Р(Ь'/Ь) =-1 [1-Ф(Еэ-Gшlnт
12
2
f2GшЕэ
Оре,дJНЯЯ ,вероя11но,сть ошибки


Для ·с,и,стемы ,с rпасоивной
т
s2(f)=· O;
Eэ=Js'2 1 (t)bl=E'1 и
о
Рош- Р(Ь,) +[1~Ф (
паузой
При исmолызоваIн,ии ортО'гонаIлыных сигналов s'i (t) .и
s2' (rf) с одина~ковыми эrнер,гияrми Е' 1 =Е' 2 =Е' (система с
а'кт,и,в,ной ,пау:зой) и·мее~м
.
т
т
•т
Е9= J[s;
(t)
-
s; (t)]2dt= Ss;2(t) dt-2Js;
(t)s; (t) dt+
о
о
о
т
+Ss;2(t)dt= 2Е' и
о
[
(
2Е'+G lп р(bi))]
ш р(Ь2)
Рош=р(Ь1) I- Ф
2 y o,;;l'
+
[
(2Е' G 1 !р(bi))]
+ Р(Ь.)-1 1-Ф
-
ш~(Ь2) •
22
2 JfGш Е'
При lЮПiОЛЬ'З-ОIВаIни,и .црот,и\В·ОПОЛОЖНЫХ ,сигналов S 1( f) =
т
=
-s'2 (t)имеемЕэ= S4s'21 (t)dt= 4Е' и
о
-
[
(4E'+GшlriP(bi))]·
-
р(Ь)1 1 Ф
Р(Ь2) +
Рош -
12
-
2У2GшЕ'
[
(
4Е'- G lпр(bi))]
+р(Ь.)_1 1- Ф
~(Ь2) •
~2
2У2GшЕ'
Бели Р(Ь 1 )=Р(Ь2), то Рош= +[1-Ф (V2i:)}
Пр,и АМ Еэ=Е';
РошАМ = +[1 -Ф(V2~~ )] = +[1-Ф(V ~ hg)] •
211


Е'
у2рТ у2р
Велич,иша h~ =--
=__с_=__
с --- от.ношение
Gш
Gш
Рш
, саг-
налjшум на вхо1де пр.иемнrnка.
В систе;ме ЧМ с орто'!'О1наль~ными си.гчалаIм и
~
РошЧМ=+[ 1- ф(Vi~J]= +
[1 - ф (Vh1)].
В системе ФМ с про1~и;воположныIм1и си,r;нала·ми
РошФм-=+[1-Ф(V20~ ) ] = +[1- Ф (V21z3).].
P:S.3.5. СоглаJСно Р.5.3.4 вероя11ность ошибки в дво ­
ичной системе пр,и точно извест,ных сигналах и разн{)­
вероя11ных си:м1Волах апре~деляется ~выражением
Рош -+[ 1 - Ф( V2~:)1и тем меньше, чем больше Еэ.
При произвольных сигналах , s1 (t) и s2 (t)
т
Е3= S[s1(t) - s2(/)]2dt.
•
Определим: услО1вия, [!•ри которых Ef) ма~коимальна, }10-
т
Т
латая,чтоЕ;= Js;2(t)dt-<. Е'; Е; = Js;2(t)dt~Е'.
о
о
т
Записа11 Ее='2Е' 1 +2E'2-J [s' 1 (t) +s'2 (t) ]2dt, заметJiм,
о
что для полу,чения ма11юим:у:ма •э'ЮJ'о выражения нуЖiНФ
€Делать Е' 1 и Е'2 воз·мож,но б6лыши1м.и, а инте~грал в
пра,вой 11асти - ,как мож1но ,меньшиIм. Ма.кси~мально
возможные значения Е'1 и Е'2 будут, если Е' 1 = Е'2 = Е' .
т
Посколыку инте,грал r [ s'1 (t) +s'2 (t) ]2dt прИ~НИ'Мает
о
только по-11ожителыные з.начения, е~го ми~нимум рruвен
нулю и дости,гает,ся п•ри у,слови,и s'1 (t) =- s '2 (t), т. е.
при ,противоположшых сигналах . Та~ким образом, в дво­
ичнСУм ,канале с постоя,нными Iпараме11рами и адди'I'ИВ·
ным флуктуационным шу~мам ми,ннмальную ·вероят­
ность ошибк,и обеопечи,вает система с противополож­
ными сиr;нала .ми, так ,как у них ЭIJ{,ВИ1Валентная э1Нерf\ю1
,ма,ксима-111:;н'а (при фи1к•сирован1ной энерг,ии силналов).
212


Р.5.3.б. При riриеме сигналов ОФМ по ме:,году срав­
нения полярностей осуще-ствляt11ся .когерен11ное (фа~о ­
.вое) детектшро,ва,ние омеои каналыного си-г.нала и шума;
с последующей перекодиро,вкой си~мволО1в, 1кото1рая осу­
ществляется сравнеш-ие,м поляр,ностей ,каждоr:о прИiнято­
го сим,вола с пр едыду щим [ 19]. Очевщщно, что вер,оят­
ность РошОФМ оши,боч,ной ре,гис11рации си1м1воло1в в оисте ­
ие ОФМ не сО1В1пащ,ает с ,вероя11ност ью появления и-ска­
женных з,накО'в на -выходе фазово,го детектора ил,и, что­
то же самое, с вероятно,стью ошибок РошФМ в оистеме ·
«1класси,чеа1юй» фазовой ма,нипуляц,ии ФМ (см . Р .5.3.4) .
Очев,и,д,но, что оши,бочная р е,г,истра·ция с•им,воло,в л,ри­
п,риеме методом сра,в,нешия полярностей воэможна в ре ­
зультате одноло из двух несовмести,мых событий:
а) зна.к да,нного элемента принят ошибоч1Но, а знак
u 1редыдущего - 1вер-но;
..
6) знак да1нного элеме~нта ,принят веj)IНО, а предыду­
щего - оши16<Учно.
Кажщое из этих собы-гий имеет ве.роятносr~.
Рош ФМ (1-РошФW. Спедователыно, РошОФМ =2РошФМ Х
Х(t-Р-Фм). В облает-и ,малых ошибок, ко[Щз;
Рош ФМ~ l, с учето-м Р.5.3.4 получаем РоmОФМ'°"'QРошФМ =
= l-Ф(V2h20). Пр,и Рс=О,5 Вт, y= ·l,0- 2 , T=lO мс J,f,
Gщ=l()-f Вт/Г,ц имеем h20 =5 и РошОФм=l,6-IО-3 •
Р.5.3.7. ,Сра1в,н,ивая выражения для вероя11ностей:
оши·бок, полу,чен,ные ,в Р.5.3.4, замечаем, что для сохра­
нения ,в~роятности оши,б,ки .неиЗ1мен,ной п·ри переходе от
АМ к ЧМ нео~бхощи,мо -- вьnпоJшить усл-ов,ие h20 чм ,:==
= + hiлм• или Итлм=Итлм/V2. Изменение ам,пли-
туды колеба1ния в V2 ра·з пр•и•водит к .изменению пика-­
вой мощности перещатчи·ка ·в 2 ра(3а . От-сюда с\Ледует ,
что переход от АМ к ЧМ при ,неиз,менной в,ероятности:
ошибки дает выигрыш по пиковой мощности, равный 2.
Аналогично ·находим, что переход от ЧМ к ФМ дает
выигрыш по пиковой 1мощност,и, •ра·в,ный 2, а перехо~д от
AilV1 к ФМ-4.
•
При ра·вно,вероятных си-пиалах в си,сте,ме АМ (с,исте 0
ма с пассивной паузой) Рс=О,5 Рмакс- В системах ЧМ
л ФМ (-с,и,стемы с акти1В1ной паузой) Рс=Рмакс Отсюд u:
следуе-r, что переход от АМ .к ЧМ не дает выи,грыша по
средней мощности, п-ри пе,р-еходе от ЧМ к ФМ выигрыш
по средней мощности ра.вен 2, при переходе от АМ к
ФМ выигрыш по средней мошдюсти также ра•вен 2.
213


Р.5.3..8. По·лагая, что ;на юющ пр;ие1м,ника поступает
процесс z (t) = si (t) + и (t), для напряжения на выходе
инт,е,г,ратора лол,у1ча ,ем
'
-
т
0 = (- 1/-1kEcosrp + k V2: sи(t) cos (roof + <р) dt,
о
i=1,2.
Очевидно, что 0 является нормальной случайной вели­
чиной со средним тв = (-1) i-1kE cos <р и дисперсией
а2=k2GшЕ.
2
Условная плотность вероятности величины 0 при ус­
л•авии 1перещаrч1и сигнала Si(t)
(0/)_
1
[ (0+(- 1/-1kЕcos(J))2]
,,-
ЕGш
ш
W1si-
v--- ехр
-
kEG
'
r 2:rt
kz-2_
i=i,2.
Июполызуя ,метощик,у 1реше.н,ия задачи 5.13.4, лосле .не­
слооюных ,пр-еобра!Зо1ваний полу~чаем для в,ероят1но,сти
1,
1 ,г-
Е
оши,бюи Рош(~ср) = 2 [1 1-Ф( v l2h 20 c1os 1<p)] (h 20=
-
0-,
ш
хt'
Ф(х) = ,/ Jе-2 dt - функ,ция ~paiii.11шi} .
,
r 2:п:
.
о
,Сра1в-н,ивая полу,ченное выражение -с :выра_жением,
наЙiденным .в за1да1че 5. ,3.4, ле1nюо 1за1метить, что .несинфаз­
ность лри1ни,мае1мо,го си1гнала и опо1р1ного ~колебания при
фаrзовой ма1Ни1пуляд.щи ,ведет ,к э,нергетичес1каму -проиг­
рышу
' 1')=
h5 cos2 (j)
cos2ер
При 'l'/~11,;l ср~ 1 18°.
.
,Р.5.3.9. Полагая, ,что ср является слу,чайной ,величи­
ной, прини:мающей в моменты t=nT (n=•l, 2, 3, ... ) зна­
чения ,на интервале (-:п;, :rt), можно найти ·сре,днее зна•
чение вероя11ности ошиlбки Рош (1ср), найде~нной в Р .5 .3 .8,
усреднив ее по всем 1возм0Жiным :з,наrчениям ер:
1t
Рот (<р) = SРош (<р) W1 (<р) d~cp.
-it
214


По~щста:вляя сющ а выра~жения для Рош(,ср) ,и,з ,nрещыщущей
зада1ч~и ,и 1выра~кение w1(1ср), нюсОl)!Jи,м
I{ sn
[1-
.!._ а•
Рош(ср)= 2 1- -nФ(V2h5coscp) 2:п е 2 +
ra cos <р
2
_
__!__а'sin•q,] }
+ -V2:n F(аcosср)е
dср •
Полу:чеН1ный интЕщрал 1в общем виде не вы1чис,ляет.ся в
эле1ментарных фу.н1к,ц1иях. В ча,стно1м ,сл у,чае Пiри а=
= Viho имеем
Р,ш(~) ~+(1- JФ (V2hj cos~)[ ;. e--,I +
+
0_:_
05 <р F(V2h0 cos ср)е
d(j)= -
е,.
y2h
--,.h5sin' QJ] } l -h~
J12:rt
2
Полезно 01,м-етить, что при сщела1нньчс 1предположе-
1ниях :п,амех,о у,стой1чи1вость системы ФМ та:кая же, -как
и ,системы ОФIМ пр,и пр,иеме по мето:ду сра,вне1Rия фаз
(Р.Б.4.5).
Р.5.3.10. Иополь:зуя алгор,и11м работы корреля,цион­
но,го пр,ием,Н1ика си~гнало,в ФМ 1при точно ,и:з,ве~стных па ,
·раметрах •ка·на,ла (б.18) можно за1писать с учетом ,не ,.
точн,о1сти ,си,нхронИLза,ци,и
т+,:
1
fz(t) Son (t)dt~ 0, Z (t) =:St (t) +и(t).
,:
'
о
Пол11Jгая , 1что на и,нтер1вале (О, Т) пе,ре1дается сигнал
s 1 (t), а rна интервале (Т, 2Т) - оиnнал. s 2.(t), заю,ишем
т
т+,:
1
f[s1(t) +U(t)JS0п(t)dt+ J[S2(t)+'и(t)JS0n(t)dt~О.
,:
т
о
В да1нном ,сл:у~чае оши,бка б ущет ,и,меть место при ·выюол "
rнени:и у,словия
т
т+,:
J[s1(t)+U(t)JS0n(t)dt+ .\ [s2(t)+U(t)JS0п(t)dt<О.
,:
т
Подставляя сюда вы1ра~ке-ния
Son(t) и о:с1уще,с·1iвляя л1ростые
215
С,И/ГНаЛ'ОIВ S1 (t), s2(t) И
прео~6разова1н,ия, по,лу 1


чаем
т+-r
Sи(t)V2{ cos(ffi0t+q,0)dt<~l:(1- 2; )·
'\'
Ка,к и в защаче 5.3 .8, величина и,нтег.рала в леоой части
неравенства преtд·ста1вляет С'СУбой нормальную слу,чайную
велич,ину с , щ,исnерсией а2 = Е Gш/2 . Вероя11ность ошибки
ра,вна вероя1шости выполнения получен~ного нера1вешства
и определяет-ся выражением
Рош=
+ ср0) dt.
С учетом нормального раопределения вел,и,чишы е полу­
чаем
Рош=+{1- Ф[V~~(1- ~)]}=
= +{I- Ф[V2h~(I- ~)]}•
Сра,внивая полу,че-нное выражение для вероятности
,ошибки с выра,жением для слупчая точной си1Нхрониза­
.ции {'t=O) (см. Р .5.3.4), за;мечаем, что неточная син­
~'< рониза,ция при1Водит к эшер,гетическому прои ,грышу
h~•
11=-------
hi(1-~у.
При 'YJ~l,l i-~ 2,5- I0-2 T.
Р.5.3.11. Легко ~показать, что в данном случае ве­
роя-лность ошибки бущет оп,ре-деляться сооmюшевием
Poш~}{t-Ф[V2h~cos<p(l- ~ )]} ·
1
Отсюда энерге11ическ~Ий ,проигрыш 'У}
•
• За-
.
cos11<р(1- ~J
да,ваясь вел,ичиной 'У} = ·1, l (,потеря мощности переда-гчи­
ка со-ставляет 10%), наход,и,м, что лри 't=0 <р= 18° (этот
результат 111опу~чен Л. М. Ф,инком в [24]) . Если поло­
жить . (J)=O. то i-= .0,025 Т, т. е. допуст'им:э.я ра,осинхрони-
216


за,ция соста1вляет 2,5% от дли.тельности элементарной
посылк,и . Очевидно, что пр,и ср=#:0 и т4=0 допустимые
погрешности будут соответственно меньше : 18° и
0,025 Т .
В табл. 5.1 пр,ив-ещены значения ер и ·r, !При котор_ых
вел,ич,и,на энергетического пр,оигрыша не превышает ве­
личину 1,1 (11= •1,1).
ТАБЛИЦА 5.1
(J)
1
о
1
6°48'
10°30'
13°24' 115°30 '
1
18°
..
1
2,5 .10-2 т12.1~-2т/ 1.5 -10-2 т/ 10-2 Т 15.10-з т /
1
.
о
Р.5.3 . 12
РошАМ=+ {1- ф[~(ТТ-r COS(j)-+)]};
1
~АМ- 4[(1- ;)cos
0
(J)-+]: ;•
Р-ЧМ+{1- Ф[(Vhgcosq,(1- ~)]};
11чм =
•
cos2 cp(l- ~у •
Р.5.3.13. Вое111олюуемся ал,горитм,ом , ра,боты коге­
реттно.го приемни,ка, найщен~ным в Р .5.1.6. При передаче
оигнала s 1(t) о,шибка произойдет в том случае, когда
Jz(i)soп(t) <О, где z(t) =S 1(t) +u(t). ~одста1вляя сюда
о
значения s 1 (t) и Soп(t), получаем после оч евИ1дных пре­
о·браво.ваний
т
-
·sи(t) V2,f- ·cos [(00 + Лrо)f + ер]dt< -~ sinЛroT.
·
Т Лffi
u
С учетом сказанного в Р.5.3.8 для вероятности ошибк и
в данном {:Лучае можно за1писать
••
=
_!_ [l ~Ф(V. 2h2 sinЛffiT )] ·
РошФМ 2
О ЛffiT
217


Для эIнер:rе11ического прои,nрыша в это'М слу1чае и~,еем
(ЛroТ)2
fJ = ---'-----'-- ,
Зада,ваЯ'СЬ дошу,стимой 1вели1Ч1И1НIОЙ ri= ·l,l,
sin2 Лrо Т
полу1чаем для дапу,сти1мой велИtчины чаего·шой .ра,ост­
ройюи Лiю= ±О,б4}Т. ,
Р.5.3.14
= _1{l_Ф[VЩ
_ 2h2( sinЛroT __1 )]}
РошАМ 2
,__
О Л00Т
2
'
1'Jлм= 4( sinЛroТ __1_)2 ;
ЛооТ
2
_!_ [l -Ф (Vfi2 sinЛroT )] • •
_
(ЛооТ) 2
Рошчм 2
.
0 ЛrоТ
'
'l'Jчм - sin2 ЛroT •'
!При '1']=11,,1 в слуIчае ЧМ .доiПуст,и,мая велИlчина ча-с­
тотной ,ра,остройJки Лlю= ±0 ,:54/Т, а Iв -случа е АМ л,ю=
=±0,I39/iТ.
,Р.5. 3.15. Как покаIзано .в Р.5.3:4, вероятно'сть 01шиб­
ки ;п,р,и :~юрреляIц,иО1нном пр,иеме ,щвои1чной ФМ Рош=
= +[1-Ф (V2h~)]. Найдем в,ероя11ность оши1бюи при
интетральном ,приеме. На выхо!Ще интегратора имеем
V2E
,щрIи передаче :сиInнала s1 (t) = Т cos w0 t
т
т
е=sV~Еcosffio tdt+sи(t)dt.
о
о
Бели 8>0, то фи:ксиiрует,ся си~мвол, -соответс11вующнй
сиnналу s 1(t), в прот:иIвIном слу~чае фикоирует,ся симlВ'О,Л,
соо11ветс11вующ,ий оигнал:у s2 (t). Бсл,и при ЭТОIМ ,переда­
вался си,гнал s1(t), то прои1зой:дет ошибка. Та1к'И1М об­
ршз,О!М, у,сло,~~ием ошибки явлю:~f'J.'СЯ выпоЛ1нение не,ра•аен­
ства
т
т--
Jи(t)dt<-SV 2J cosw 0 tdt,
о
о
или
.ST
v2Е sin ro0 Т
.
u(t)dt ,<-
Т 000
о
218


т
Вели,ч,и,на 'А= \ и (t) dt является нормальной, имеет ну ,
6
GТ
левое математическое ожидание и дисперсию а2 = ~ .
2
Поэтому
_-v~sinu):·т _] _[ - (v~~)]=
Рош -
_I
wi ('A)d'A- 2 1 Ф V'а~т
ro2 т2
о
1[
( V2h6sinro0:T )].
=-
2 1-Ф --~--
11' =
rou Т
'
2sin2 ro0Т
Р . 5.3 . 16. Аналогич.но Р . 5.3.8 можем за;пи,сать для
т
у,сл-овыя оrши~бки пр.и ,пе'Реща,че юиг.нала s 1 (t): J z (t) Х
о
Х S0 n(t)dt<O,
+и(t),
iИЛИ
где z(t)=Jf 2;exp(- ~
2 (t-= - ;)2)cos(J) 0 t+
т
т-
:sехр[- ~
2( t- ; У]dt+sV2; cos:~0tи(t)dt<О.
о
о
После простых лр,еобразован,ий нахощ,и1м
STи(t)V 2ЕcosWot<- ~-Vл _1 ф(т~)
Т
Т~2
11 2-
•
о
т
-
У1читывая, что sи (t) V2; cos (1) 0 tdt пр·едста·вляет собой
о
,нормалыную случай1ную ,вели1Чи1ну с д,иапе,рс-ией EGшf12,
IJ:ахощм,м вероятность оши,бки
·Рош=+{1-Ф [ V ~: {{~~ :ф(;:)]}=
=-
1 {t-Ф [V2h2 • -Vп
-
1 Ф( тi_ )]}·
2
отв2,-v21
219


Энерге11ический проигрыш по сраВJне~нию со случаем, от­
•Gут,с11вия линейных иакаженлй составляет вел,и,ч,ину
•
1
'Yj=
.
.
[~; +ф( ;2~) J2
На :пр·име,р, лрч ~=0,1 Т- 1 'YJ=l,89.
Р.5 . 3 . 17. В соот1ветсши,и с Р . 5 . 3.4 сре.дн.яя вероят­
tюсть ошибки прием,ника, алгори11м ра,б,оты которо,го .
най1де,н в P ..S .1.11, О1пределяе-гся фо1р:мулой Рош=
=
-3⁄4-[1-Ф(V{Jш)] , где Еэ = 5[s; (t) - s;(t)]2dt.
.
о
Лри идеальной обратной связи по решению и D=O реа­
-~1,иза~ц;ии .сиnналов на приеме, соответствующи-е передаче
•«1» и .:0:i>, равны согласно Р.5 . 1 . 11: s'1(t) = g 1 (t}, s'2(t) =
•
т
=-g1 (t), Следовательно, Еэ = 4Е' 1 , E' 1= Sg21(t)dt--
o
-энерлия первого элемента ,реакции канала на элементар-
ный ,силнал . В этом случае Рош =
-
1- [1 - Ф(V2h~)];h2 =
2
.
Полагая, что относитель,ная энергия пер•вого
элемента реа:к,ци,и
Е;-
=
а (О .,;;: а .,;;: 1),
Е'
Т
2Т
Е'= 1·gi(t)dt~ \gi(i)dt
о
т
•(пол~ная энергия прини,маемо,го си,гшала), получаем
Рош=+[1- Ф(v2ah5)],
·-где fi2o=E'/Gш,
Очевидно, что :приемни1к, реал,изующ,ий предельно
· во з можную помехоустойчивость в ваJ1,а1н,но·м канале,
о бе-спечишает Вброятно,сть ошибк,и
Энер г ет•ический проиг р ыш при . исполь~ч,ва,ни,и анализи­
руемого при е мника 'У] = 1/а.
220


Р.5.3.18. к,вадрат модуля КО\М[IЛексного коэффи1щен­
та передачи «обеляющего» фильтра найдем как
К2 (J) = _.а_=~ [а 2 + (ffi-ffio)2], а= const.
00(f)
2а.
Спектральная пло1шость ,мощ,ности шу,ма на выходе
« обеляющего» фильтра G'ш=G 0 (f)К2(f) =а.
Ком1Пле,к-сный ·коэффиц,иент переда,чи «обеляющего»
филытр а можшо за,riисать
К(f):_ 1/ а [а+i(ffi- ffio)].
V 2а.
.
У-'Читывая, что ум,но,жен,ие на iffi в частотной области
эквиваленmю дифференц,ирова,нию .во временной облас­
ти, для сигналив на выхсще «обеляющего» фильтра по­
лучаеq.,1:
s;(f)=
-v-2: [аs1(t)+; s1(t)];
s;(t)=
-
V2:[аS1(t)+; 1>1и].
Исполызуя теперь фор1мулу · для ве-роя11ности оши.бк,и [Ip'1
О'ПТИ!мальшом коrгерентном приеме прот,иво1положных сиг-
1:i:~лов (Р.5.3.4), находим вероятность ошибки лри ис­
полыз.овани,и ,метода выбеливания ,в задшн,ных условиях:
Рош -+[! ~Ф(
~+[1~Ф{{ и~т (а+ w! J)J
' ·найдем теперь спект,ральную
плот,ность мощностч
белого шума, имеющего в полосе fo± F такую же сред­
нюю мощность, что и заданный небелый шум:
r. +P
r. +F
•
1Г
аj'
df
•
Gш = 2F J G(j)df=y
4л;2(f-foJ2+a2
f0 -F
f,-F
1
2лF
=
---
arc tg-- _
2nF
а
221


Вероя11но<сть оши,бки при оптимально1м ког,ерен111юм
прие~ме
= _1[~-Ф(✓ И~ т
4nF
Рот 2
2
2nF
arc tg---
a
J
Э~нерге1,и,ческий лрои~грьnш, связанный с наличи,ем небе •
лого шума,
(fJ2
о
а+-­
а
t2пF_(а+2nf~) tg2nF
ri= -----arc g--- -- --- arc
--
4nF
а
4nF
2aF
а
5.4. Алгоритм оптимального приема
и помехоустойчивость при неопределенной фазе ·
и амплитуде сигнала
Счиrгаем, что межсим,вольной ,интерференцией в месте приема
можно пренебречь, и:нтер.в,ал анализа Та= Т, переда1ваемые <;имво­
лы .р,а1внО1Вероятны, а канальные с,и,лна ,лы, соо11веТ1С11Вующ.ие передаче
i -,ro сим1Вол,а, узкополосные, т . е . мо11 ут быть п,рещставлены в в1Иде
,
л
S;(t)= '\'[cos0S;(t)- siп0S;(t)], О3⁄4t3⁄4Т,
(5.33)
где 0 - фазовый сд.виг 1В канале; у - коэфф-и,циент передачи ка,нала.
Бели фаза . си11нала 0 (а может быть также а:м,пли"Гуда у и
другие па:р,а1мет1ры ои11нал,а) неиз1вестна на интер1Вале анализа, то
п·рием:ное 1ус"Гройство должно быть неuюгерентным 1 (.не требов·ать
знания фазо,вых соотношений для своей реализа!JIИИ)'. По крите­
рию ма~к1еи~мального прав,допою1бия а,лгор ,ит,м О1Птимал1:1.ного пр.нем­
ного у:стр·ойст,ва в эт.их условиях с у чето.м (5.3) ,можно определить
тасrс
~~~--~--ь,
w (z (t)/bi, '\', 0,.
.) ~ w (z (t)/bj, '\', 0,
.
.
.), (5.34)
ь,
где w(z(t)/b;, -у, 0 ... )
-
фу,н.к.ц,ия пршвдооодо.бия передачи символа
Ь; при з,а,даННОIМ z(t) и ф~иК1Сиров ,анных з•начен.иях 1па,ра,мет,ров у, 0~
11ерта на1Верху - знак усреднения iю сл учайным (неизвестным точ­
но) пара.меrрам .
.Задачи
5.4.1. Ансамбль сигналов в месте приема, соответ➔
с-nвущий ле,ре,да.че т с,и1м,волов, опрещеляет,ся согла,с,но
(5 .33), причем фаза 0 случайна и равномрено распре ➔
1Анализ ,ируют,ся оптималыные приемные ус'!'ройства при неоп­
ределенной фазе, , принимающие решения на основе анализа z(t) на
11сем в11еменно,м .интервале (О, Т) .
222


делеша на инте•рвале (-:п;, :п;). В ,канале дейс11вует ста­
ционар1ный норма·льный белый шу;м с эне,р1г,е~и11шски1м
спектром Gm. Определить аЛ,горитм оп"r1имального пр,и­
ема при а!Нализе принимаемой омеои на инт,е,р1вале Т,
пака1зать во1змоDК,ность ело реали:за1ц,ии на ба,зе ,1юрре­
ля1ц,ионной тех,ни1ки и на основе ,со,гла1сован1ных фильт­
ров.
5.4.2. По.ка1зать, ~что ее.ли и,сюолызуется а1нсам1бль
сигналов с акт,и1вной паузой (E\=1const) в канале с
белым ста1Цио1нарным нор1мальным шумом, то при нео[I­
рещелеН!ной ра1вн,ом,е,р,но ра,сшределешной фа:зе ал,гор,1:!_тм
апт.имальнот.о 'Приема неJЗа1виоимо от эак•о1на раопредме­
ния а1м 1пл,иту1ды ,си;nнала ,выражается так:
ь,
Vi~V1, i =1=j,
(5.35)
bJ
[
Т
]2[ТЛ
]2
Л
J:z(t) s; (t) dt + Jz(t) s1(t) dt ; s1(t), si(t)
-i-й с:ипнал на перещаче и его со1пря:жение по Гиль­
берту.
5.4.3. Пока1зать, чт,о ,в ~каналах ,с нео1пре,д,еленной
фа1з1ой и флу~ктуа,ц,иошной п01мехой т,и1па «:белый шум»
мащсимальную пом-ехоустойчи1во,сть и1меет си,стема с ак­
ТIИВIНОЙ пау~зо,й и орто,гональными в y.cилelfI,HOiM омысле
с.иnнала1ми. ВЫIЧJИСЛИТЬ ,верОЯ'ГНОIСТЬ ошибки для Д,ВОИЧ­
ной системы Рош при Fн = 1 кГц, Gm = 10-11 Вт/Гц, у2 =
= tl,0-8 , Ре = 11О Вт. К:а1ков энер,геmичеокий лр,ои,грыш,
-связанный с незнанием фазы сигнала?
5.4.4. По данным прещы,дущей зщца1чи ~найти в-вроят·
ность ашибюи Рошт при ,оптимальном некогерештном
приеме си1г~налав т-1пю1зи1ц,ионной ,систвмы с актив1ной па­
узой, ортогональной в усиленном смысле. Показать, что
в юбла1с~и .малых ошиlбок Рошт~ 1 (1m-' 1)Рош-
5.4.5. Соста1в1ить аш1ор1итм работы апт~ИJмалыного
п'ривм1ни~ка ,си,гналов двоичной ОФ.М пр,и ,неопределен­
ной фа,зе силнала и определить ве1роя11насть оши1бки пр,и
P'c = il :м:В~, Fн = БОО ГIЦ, Gш=б· 1 1О-1 Вт/Г,ц. 1К:а1ков э,нер­
гети~ческий .проиг,ры,ш по ара1внению со случаем точно
из1в,естно1го сиг.н ал а?
5.4.6. При не1из1вестных ~законах раапре1деле1ния фа13ы
и а,мплитуды си1гнала час110 иаполызуе11ся 1К,рите1р1ий о6об•
ЩеlНН'ОIГ·О ма1к1сималыноло пра1в,до:Под!оiбия, сущнос'ть ~кото-
223


j)OI'O состоит В том, что ·И:З не:ОКОЛЬ'КИХ ГИJПОтез С н~из­
весТ!НЬ!!МИ априорным:и вероятностями выбирается та .
J.ЛЯ которой макоимуIм фу~нкц,и,и прз:вщоподо~бия w 1 (z/b;)
_больше,
чем для других гипотез, причем максимум бе-
z(t}
Рис. 5.17. Структурная схема неоптимальноrо при­
ема сигналов ЧМ методом сравнения огибаю­
щих в разделительных фильтрах
рется по .в,сем па1раметраIм, определяющим пло1шость ве­
роятнисти . Показать, что щля систем с а1кгивной пау­
зой алгоритм пр,иемшото у~стройсТ!ва, оптwмально.го по
этому крите~рлю, ,не 01'.пичает,ся от (5.35).
5.4.7. Опре,делить среднюю вероятнасть ошибки пр,и
о:n11и1ма.-'Iьном некоiГеренrnо:м пр~иеме си.гналов твоиЧJной
ЧМ в каIнале с неоmределенной фазой и медленными за­
мира,wиями в соо11ветегви,и с обобщенно-ралеевс1шм, рэ­
.пееоокшм ~ од~но-стор011ше-но,рмальныrм заrконом распре.де­
ления (см . за~а'Чи 1.2 .9 - 1 .2 .11). К.шкоrв Э'Нергет,ичеокий
ироигрыrrn (тре,буемое пре~вышение мощности передатчи­
ка) прtи эа1да,1-,1-ной верояrnос11и ошибочного приема Рош=
= 10-4, с,вязанный с за-м,ираrнияIм:и: а) по обобщенно­
рэлее,вскому за~юну; 6) по закоIну Р~элея; в) односторон­
не-1нор,малын()му заIко1Ну по отношению к каналу с неоп­
ределешной фазой, ,но без зам,ираний.
5.4 .8. При приеме сигналов двоичной Ч1М расIцрост­
ранена схема рис. 5.17, в которой ЛФн и ПФо - ,полосо­
вые фильтры, пропускающие обла,сть ча•стот_ Fэ около
частот нажатия и отжатия; Д - амюл,итудный детек­
тор. В определвн.ный момент вре·ме'НIИ на интерва­
ле Т выбирается тот или иной оимвол в за,в.исимости от
того, в ,ка,кой ветви м,гно!Венное зIначение о,гибающей
окажется больше. Пола.гая, что полоrса фидьтра Fэ=
=п/Т (п> 1; Т - длителЬ'ность элеIмента си,rнала), а · в
канале действует нормальный белый шум, найти веро-­
ятность ошибки и сравнить с вероятностью ошибки при
оптимальном 1-!екогерентном приеме.
224


Р -ешен1ия .-и отве.т ;ы
Р.5.4.1 . По1дставив (5.33) в - выра,жеiние фунюции
пршвдоподобия, найден~ное в Р.2.1.11, . после дростых .
преобра1зований получим для из,вестшых у и 0
[2у
.
А.
'f E1]
w1 (z/b1)v.e = К1ехр Ош (У1cos 0-У; sш0) -[G"
Vл
:,
ИЛIИ, обОЗ!На'ЧИВ Vi =
.
У~+У7 И<p,i = :ar.ctgYt ,
W1 (z/b,)v.e = К1ехр[~Vi cos{0 - <р1)- 11в,]:.
Gш
Gш
т
л
т
л
ЗдесьУ1=Jz(t)s1(t)dt;Уi(t) = Jz(i)st(t)dt; К1- нор~.
о
о
мирующий коэффициент, не зависящий от i . Усреднив
w (z)bi) v. е по в•сем значениям 0, при ра~внамерном рас~
прещелении фазы на интервале ( -л, л) :полу,ч:им
п
w (z/b1)v =-
1- Jw(z/b1)v.e d 0 = К1ехр(-У2в, )1е(21v, )•
~
~
~
-п
З,де.сь /0 (х) - модифи,цированная фунIк,ц-ия Бесселя пер~
вого рОiда ,нулевого п~ря'дка.
В соответствии с критер:ием максиiмалыного правдо­
П'Оlдобия (,5.4) нахощ,им алг ор,и11м сштймалыного приема
при неопределенной фазе
rnax [1n/ (2УVi\-
· У2Ei·]
(5.36)
1
оG)
G,·
Ш
Ш·•
л
Величины У; и У; можно получить на вы ходе -корреля­
торов с опор,ными ситналами s;(t) и si(t) сФответст~
ве:нно.
, ,i': .-
С11ру~кrурная схема оптимального - пр.и нооп-реit.м~и­
ной фа1зе приеiм,нИ~ка .на ба,зе ,корреЛЯtl!JИОIНIН0:Й • техн:ики
показана на · рис. 5.18. На этой схеме гi- ~ геп ераторы
опорных оигналов s;(t) с точностью до фа,зы:; q>n/2 """"
.
n-
-
,
-
фазовраща'тел1и на 2 (,генераторы соIп~яж,еJ11f!ЫХ c~r"
налов); БОМ - блок
• определения
модуля вектора
V1 = VУ~ + t~ по ортогональным ком:понентаIм, НУ..,...
нелинейные устройства с характеристикой Uвых =
= ln /о(:: Иах) •
8- 299
,225


Ка1к пока0аIно в Р.б.2.1O, вели,чины Vi не за.висят от
на;чальной фа1зы сИ!гналов s i (t )
и О1пределяют,ся огиба­
ющей (,в момент QIКО!Н!ча:ния ,оиnнала Т) на выходе филь-
Рис. 5.18 . Структурная схема оптимального по
критерию максимального правдоподобия приемни­
ка при неопределенной фазе сигнала (квадратур-
ная схема)
тра, · ;согласQlванного с сиmналом s i (t) .
Поо110,му ал,горИ"Гм
(5 ,36) . !\ЮЖНО реализовать и на базе согласованных
фильтров в СQlответстнии со схемой р:ис. 5.19. З·десь
СФi ~фильтр, со,гла,сова,нный с ои,nналом si (t ) ;
Д-~е-
тектор , огибающей .
.Р.5.4.2. При неоIпрещелешной ,равном,ерIно ра,ссrтрме­
ленной фа~зе для систем с а,кти,в:ной паузой ( Ei =
E)
с
учетQlм мо1нотонIного хараIктера заIви,сим,ости фуНК'il/ИIИ
ln Io (х) от а•р1r)'iме-нта х;;,: .о •можно ('5.35) записать в
,виtц,е
bl
maxt[Vi] или Vi ~V1,
i=1=j.
bJ
(5.37)'


З1десь, 'Ка,к и ·в Р.5.4.1,
• f(Т
)2(Т7'
)2
vi = VJz(t)si(t)dt +Jz(t)si(t)dt .
Алгор>И'ГМ (6.37) ,может быть исшолызО1ван для о,пти­
м альной обработки сигналов с ак11И'В!НОЙ паузой при лю-
z(tJ ---- -----
/
ш
· -------,т.---
Рис. 5.19. Реализация оптимального по критерию мак­
симального правдоподобия при емнш<а при неопределен­
ной фазе сигнала на базе согласованных фильтров
бом законе раслределе1ния а,м,плитущ, так как OIH не за­
висит от а,м1плит:у,ды оигнала (коэфф,ицие1нта передачи
канала у).
Р.5.4 . 3. Ка1к .пока1зано в Р.5.2.1O, •
V, ~V(JzЩs, Щdl)'+ (Jz(1) ~, Щ dl)'.
Если шум в ка~нале отсутс'Гвует и переtдается си~м,вол
bi, то z(t) =-у cos 0s;(t)-y sin 0si(t) и Vi=-yE.
В этом ,слу,чае
v, - V(Jvcos0s, (1),,(1)dl-[ Vsin е1, (1) s, (1)dl)'+➔
➔+(Jуcos 0 si-(t) ~j (t) dt -Jу sin 0 ~i (t) ;j (t) dt)'
Согласно P ..S .4.2 наибо.л,ее помехоуст.ойч,1-шюй явля-
е11ся та с,истема, для котО1рой пр,и переда,че оимвола bi
величи~на Vi О1ка,зывается наи'большей, а величи,ны
• V_i*i - •наименьши1м,и . Та,к ,как Vj~O, то мини~маль:но
возм·ожное зна,чение Vj раВ!но .нулю. Нетрудно заметить,
227


что Vj будет ра,вно нулю лишь цри ,вьшолi-Iении у с ло·вий
т
Js, (t):s1 (f) dt = О
о
,
Iл
.
при i=1=}, j si(t)si(t)dt:О
о
любыхi,j.
при
Но эrо есть. не что иное, как услов,ия ортогоналыно.сти
•
в }'IС'ИЛеНJном омысле (,см. § 1.4) . Сле;дователь,но, в ка­
налах •С неопрещелеН'I-IОЙ фазой ,ма,ксималь-ную пом-ехоу~с­
тойчи:1юсть бущет иметь си-стема с акти-в1Ной паузой и ор­
тогональными в усиленном смысле сигналами.
Оцре!делим •вероятность ошибк,и •при прием •е по ал·го ­
ьi
,р:ит му Vi~ VJ . При передаче с,имвола bi :
[Ь1
V, = у (Л1+ХЕ)2+(1;+ УЕ)2, X=ycos0, Y=ysin0;
1/л
т
лтл
V 1 = V А7+А7 ; А1= fИ(t)s1 (t)dt; Ai= JИ(t)s,(t)dt .
'
.
о
о
л
, ·. Величины - Лi,
Лi распределены нормально и имеют
нулев~е . с,реД1нее .значение. При ор·юго:нальных сигналах
л
величины Лi, Лi с 1разли ,чным,и и1нщек1с а,м и нез а в иошмы
л
'
[ 1'l], независи,мы и вели ,чины Лi, Лj в-слещствие взаим­
ной ор1'огональнос1'и. Следовательно, незав,исимы и ве­
л
лич,ИJны Vi ,и VJ,,eФ Дис1Пероии величИlн Лi, Лi рав•ны
GтЕ/2. Для плотностей в ероя11нос11и вели,чины Vi, и VJ
им.еем:
2V·
(
V~)
w1 (Vi) = __J
_
ехр---1
-
;
.
_
.
GшЕ
GшЕ
.
~
•
.
'
.
, (V) _\2Vi
.( V7+y2E2 )1 (2yV,)
w,1. i ---ехр - ----- 0
-
-
.
GшЕ
.
ЕGш
Gш
Вероя11ность ошибки для двоичной сис·темы, оди,на1ко ­
вая пр~и передаче любой ·поз,иции вс.лещ,ст,вие оимм,етри.и
,канзла~ · опре делится . вероя .11ностью невыtПолнения нера­
венс11ва Vi> VJ :
<Х)
<Х)
f~Sw1(V1) .\w(Vi)dVi·dVi,
о
vi
228


Интегр,ируя 1по V1, 1получае1м •
00
р = S_!!i_exp(- 2у'АЕ - ~)i(J( 2yV, )dv,.
om
GЕ•
G
GЕ..
G
0m
m
m
m
Этот интеграл та16,rшчный [6] и ,ра·вен:
р=
__!__ ехр(-h~)· h2 =
.
у2Е=у2Ре •
om
2
2'ОGm
Рш'
Подставляя сюда чи,словые ,да'Н1ные, лолу,чаем
·
1
•3
hg= 10, Pom= 2 ехр(-5)= 3,37•10-
.
В ка1нале с точно ИJзвес'Гными параметрами та1кая же
вероятность ошибки бу~дет обеспечена при h~o = 7,6. Сле­
доватеJiыно, нез.нание фавы оигнала · пр,иво•дит ,к энер,ге­
тичеокому ,проигрышу 'YJ = l ,!31,
Р.5.4.4. Со1глаюно Р.5.4.2 ал.гор,ит~м раrботы опти1Маль­
ного ,п'Р'иемника т 1по~зиционной •системы с активной па­
узой, ортогоналыной в усиленном смысле, при неопре­
-
ь,
деленной фазе можно за:писать в виде Vi~ Vj,
Ьj
При лереща,че симнола Ь; условием ,пра1В1ильного при­
е ма являет,ся выполнение системы т -, 1 ,нераrвешств
Vi> V1 при всех j =l= i. Вероя·шюсть выпоJiнения этих не­
равенств rрав.на ·вероятности ,пра1вильно1го приема:
Рпр,т = JW1 (V,) [Гw1 (V1) d V1 ]m-l d V,.
Вероятность ошибки, характеризующая помехоу~стой­
ч ивость си1стемы при неоl1lре1Деленной ф·а,зе· си,nнала,
Рош.т_: 1 - Рп;~;;; = 1 - ]w1 (V,) [J' ,w1,(V1) dV1]m-id V,.
Пощстави•в ею.да 1плот~ност~и :вероятно,ст,и величин Vi и
vj из Р .,5.4 :3 , и ,раЗЛ<ОЖIИIВ rпосле И'Н'I'елриро~аiНИЯ ЛQ V1
v~
величину (1 -ехр ( --
'-
))m- l по формуле ' бинома
,
EGm
Нью'!'она, .получим
т-1
Рош,т = 1- '1 (-l)пc::i-1 - 1
-
exp'(--n-h~),
I.J
n+1
п+1
n=O
•
'
229


h2=L
оGm•
От.сюда пр,и m=i2 следует результат, полученный в
Р .,5.4 ..3 для двухJПОIЗЛIЦИОIНIНОЙ системы .
При боль~ших 011ношен,иях сигнал/шум, за·меняя обоб­
щенное распределение Рэлея нормальным распределени­
ем с соответствующими параметрами (см. [15] и Р . 5.4.3),
полунаем
(V1 -vE)'
1
500 ·
-
Gm. Е
Рош,т~1 --_-_-_-_-_-_- е
Х
V2n G~E -оо
Х(i_е- G~E)m-l dVt.
Иаполызуя для (i _е- G:~ в )m-l формула бинома Нью­
тона и ограничива ясь первым членом, находим, что в об­
ласти малых ошибок
1•
Рош,т= 2 (т-1)ехр(h0/2)= (т - 1)Рош•
где Рош - вероятно,сть ошибки в дв:ух~позиционной си­
сте,ме.
Р.5.4 . 5. При ОФМ и,нформационный па,ра;мет•р _аи.гна ­
ла 0tпр,ещеляется дву,мя сосещ.ними посьшками: (п - 1) - й
на интервале (О, Т) ,и п-й на инте,рgале (Т, 2Т). Поэто­
му опт,имальный алгори'Гм, ,найщен1ный в Р.б.4.2, мож,но
.
.
в данном случае за1пиrсать
max,[ (Тz(i) ,;(~dt)'+(rz(t);;(/)dt)'J i ~l,2,
лде
z (t) = {Zn-1 (t)
Zn (t)
при•О<.t<.Т,
при Т~t<. 2Т.
Если си,лнал (п---1)-й посыл1:ки и1меет вид yИm 1cosX
Х (,w0 t + 0), где е - случайная на1чальная фаза, неиз­
вестная :на приеме, то аистему силналов при ОФМ мож­
но :Записать так:
s; (t) = 1' Ит cos (w0 t + 0) при передаче «1:,;, п-1 -й посылкой
(O~t ~T) ,
230


li' Ит cos (ffi0 t + 0)при передаче «О» п-й посылкой
(Т-:::;;)~2Т),
•
.
~Щ=
.
•
-yUтcos(ffi0 t+ 0) при передаче «1» п-й посыл­
кой (T~t~2T) .
Эти си1гналы ЯiВЛЯЮТСЯ ОiрТОiГОIНаЛЬНЫ!МИ В усиленном
омысле. Поэrому с у~чет,ом выражеш,ия для Рош из
1
Р.5.4.4 ПОЛJ'iЧаем РошОФм = -
exp(-h2o), где учтено,
2
•
что для реали~заций сиmналюв s'(t) 1и s'2 (t) отношение
энерт,ии .си1nнала к опек11раль.ной плотно,с~и шума на ин­
тер;вале 2Т ра1вно уд1военному З1на:чению ато,го же отно­
шен1ия .пр1и длитель1Ности эле.мента сиtГ1нала Т.
Полезно за1метить, что полученное выра,же.ние совiПа·
дает с выражением для оре.дней вероятнос1ш оши6ки в
системе ФМ при учет.е фа,зов~ой не,ста~билыности (см .
Р . 5.3.9).
1
Со~гла,сно чи1сло1Вым данным h20 =4, РошоФм= - е-4 =
2
=9,16•11'0- 3
.
Для оiбе;апечешия такой :же 1вероятнос11и ошиб­
ки при приеме сИ'nнала ОФМ в ,ка1нале с т,оч1Но ,n1з1вест­
ным1и ла.ра·мет,ра1ми (~см. Р.5.3 .б) ;не0Тбходи1м·о И!Меть
h20 =3,5. Таким о:бразо,м, :перехющ от когере,нтного лрие­
ма двоичной ОФ~\1 к некогерентному ссJ1П1ровожщается
01нергет,ичеаким 1про:И1r1рышем 'У] = !l i l4.
Р.5.4.6. Фушк1цию пра1вдО1подобия w 1 (z/bi) .зашrшем в
ВIИ,Де
_
W1 (z/bi) =К1ехр{;ш [xYt-уPi -
~t (х2+у2)]},
т
лт
где Yi = Sz(t)si(t)dt; Yi = Jz(i)si(t)dt; х = у cos 0, у =
о
о
=уs'in.0.
Бущем ,иокать ма-кси1му~м фу~шюции .
2[
ЛEt
]
Inw1 (z/bt) = Ош xYt-YYt - 2 (x2 +y2) +InK1.
Согласно обо:бщеН'ному ·кр,итерию .максимально,го
пра~вщопод1об~ия ·следует ре1nист.рировать си1м1вол bi, если
для всех j =1= i выпол1няют,ся ,нера:ве1нства
max In w1 (z/bt) > max ln w (z/bi),
где ма,кс,иму;м ищется ffIO пара,метрам х и у. Пара1метры,
обращающие ln w (z/ bt) в максимум, оо~ре~деляют,ся из
231


у.
х---' .
-
Е1'
Най1.денные значения х и у называют · макси,малЬ#О
прашдоподо:бными оценка-ми · этих 1вели~чин. Учитывая их , .
получаем
л
Yf +Yf
EiGш
Отсюда оптимальный алгоритм принимает вид шах i(~) -
.
Е,
Для систем с активной паузой (Ei = Е) найденный алго­
ритм сводится k алгоритму (5 .35).
Р.5.4.7. В ,соотве1'с11в,и,и ,с Р.5.4 ..З вероя:тность ошибки
при сщ11и,мальном л,риеме сиrшал.ов двоичной ЧМ в ка ­
нале с ,неопре,деленной фазой
•
1
( у2Е)
Рош=2ехр -Gш.
Для определения ве,роятности ошдбк,и в случае за,м•лра­
ний ам1пли'Гу~ды сигнала нео·бходимо данiНое выражение
усреднить по .всем эначениям v :
со·
.
•Рош=-
ехр --
.
W1. (1,)_dy .
Is
( у2Е)• •
.
.
2
Gш
'
о
.
Подставляя сюда для wi(v) о.бр'6ще1нное расп,рtщеле­
н,ие Рэлея, раюпре,п,еление Р,элея, сщно-сторсшне-·нор ­
малыное раоп:ределение и ·и,нте,грируя, r,юлучаем сле,дую -
щие · ,резуль"!"аты (11).
_
.
...
•.
При обобще·нно-рэлеевском расщрещелении ам1плитуд
{
q2~
1
ехр- 2(1+qZ)+~
2-
Gt:
Рош =
'
q,-
-az •
..
h2.
2+-
·_о_.
.
I+q2
232


Положив q 2 =б,
п·олу,чи:м ( .
·
s-;;g ).
ехр -
_
12 +h~
l'ош = .-
. --------
Lh2
2+-0 -
6
Для • _рэлеевокого раоnреv:~.еления ам,пл,иту1д Рош~
1
При односторонне-нормальном распределении
амrплитуд .
Рош = ---;::=====-
2VI+h~
На уронне Рош= , 10-4 имеет ме-сто Э'Нер,гетиче,ск,ий про­
игрыш по ораrвнению со сл-учае~1 приема rв ,канале без
за·ми,раrний, ра1вшый: •а) _ в обо,бщенно-,рэлее,вско;м каrна­
ле 10 (10 дБ); б) в рэлеевском канале 420 (26 дБ); в) в
односторонне-нормальном канале 105 (50 дБ) .
•Р.5.4.8.
Если эффек11ивная полоса прапус-каiния раз­
дел,ительноrо филь11ра F<J=n.f,T, n>:1, а ,разнос меж·ду
ча,стотам ,и нажатия и от,жатия имеет пор>Я!R.ОК величины
Fэ, то нри neipeдarчe ча,с·rоты нажа1'ия а1м1пл,итуда снпна­
ла на иыходе ПФ 0• <шределяется только помехой в ка­
нале ,и имеет раiС1пределе1Ние Рэлея
W1 ·(,o) • · -'0-
е~р (-
'~.
)•
GшFэ .
2GшFэ
З,десь GшFэ -lll:ИClriepcия ,помех,и .на выходе ф;ильтра.
А,мrплитуда же сиmнала на выходе ПФн обу,словлеН:а
с иrшалом и помехой и раопрещелена ·по обобщенно,му
.заrко·ну Релея
•
( ,2+u2)
W1 (rн) = ~ехр
-
"
т /0('"Ит )•
GшFэ. -
.
• 2GшР!>
GшFэ
nде Ит - амrплиту,да сиnнала на вхdtде п,р,ием,н.ика. В
этих услоюшх ,rт,ри с.имметрии ка1нала
Интегфируя;
а:,
со
Рош = JW1 (r'!) SW (~0) dr0 d Г8•
·о
rн .,
1
полу,чаем падобнЬ : P..S:.4.4 Рош ~ 2 х
233, ,


u2т
2
m
060:знач~ив h0 = ~и
ш
уrчтя, что
Эта •вел,и,чина ,больше ~вероятности
мальшом нещагерентн,ам !При,е~ме в
ошибки при опт,и-
Рош ехр (-i)
Рош.опт
ехр (- h;)
5.5. •Сравнительная эффективность систем передачи
дискретных сообщений
Сра1В1нитель,ную эффе,кти1вность систем пе,ре;д:а1чи дис­
крет,ной и,нфор~мации, как . и срав'Нtитель,ную . эффекти.в-.
ность корре,кт,и~рующих ,КО\дОIВ (ом. § 4. 13), ,маж,но О1првде­
лять . по э_нергетическому выигрышу 'У]Р i/i перехода от i-й
системы 'К j - й, а также по ,выиI'рышу в ЭIК'в,ивалентной
вероятн,ост,и ошибки ai/i = Рэi. Пр,и этом ущобно фик-
'Рэi
си,ровать срещнюю окорость переда~чи информац,и,и !'=
= oonst.
•
. Ра!Злич1ные
си,стемы можно с,равшивать также ло
уtдельшой скорости переда1ч,и информации на 1 Г,ц поло­
сы ча'С'IЮТ (~коэфф:ициешту ИОПОЛЬ'ЗОВа1ния 'ПОЛОСЫ [9])
Vi = l'i/Fi при Рэ = const. Выигрыш по этому показателю
IП!)И переходе от i-й он.стемы ,к j -<й
v· ••
(Fi
11vi!i =lOJg_J =lOJg- ~ - -
•
Vt
/JJ
(5.42)
П,р,и фи,к,сир,Оfва'н,ной скоро'сти передачи /' = const
-
-
IO!g~
11v·i· -1']р.1 .-
р
1J
IJ
j
(5.43)
и О1Прещеляет ·выи1Грыш по за,н,и~маем,ой системой. поло·се
частот.
234


Мож,но таюже в1Веrс11и показатель о~бобщелшого выиг­
l
рыша
h2.p .
'
+
lOig~.
' YJiJj=rJpi/1·
' r/pi/j=
2
hэ/i
(5.44)
Уни1версалыной характеристи-кой ,эффективности дис~к,рет­
ной системы с,вя,з,и я·вля-е11ся ,коеффи,ц:иент эффекти,в­
ност'1
,(5.45)
где Се - 1пропу~скшая апо'со,бность си,сте,мы (ра•сширенн•о­
го диокретного ка1Нала); С - 1про1Пус,к,ная спо~бность
иополызуемо!Го :непрерыв ·ноrо канала , :которая опрещеля­
ется при 011но1шfши.и сигнал/шум, о;бее1печивающем за­
данную эквивалентlfую вероятнО'сть ошибки Рэ•
5.5.1 . Оiпр,еделить энер.гетиче1с~кий выигрыш 'У)Р, вы­
,иrрЫlш по ,полосе ча1стот 'l'JF и обО1бщеН1ный выигрыш при
перехО1Де от двоичной системы .AIM к д1юич,ной си'стеме
ЧМ и ФМ Пiр,и одина·кО1вой вероя11ности ошибки в ,слу­
чае о;пти,малыного когерент,но,го пр,иема и фи,ксирован­
ной ,окорости 1переща1ч,и ,и.нфор:ма1ции .
. 5.5 .2 . Найти Э1ЮВ1ивале1н11ную ~вероятность о~ши:бки
для де,сятипоJЗ'Иционной сиегемы ЧМ ,и, Ф,М в ,случае оп­
тималыного ,ко1герентнаго приема !При h20 = ,12,8 .
Определ1ить выиг,рыш по эквшвалентной ·вероя11ности
ошибки ,п,р,и переходе от си,сте,мы ЧМ к ,системе ФМ.
5.5.3 . Найти ЭIК•в,ивалентную вероят,ность ошибки
для сл учая нех,01гер,ентното о~пти1малыноJ"о . приема пяти­
позш.1_1ион1ной ЧМ при h20 = 16,5
5.5 .4 . Най11и энер.гет,И!ческий выи,лрыш и обобще~н1ный
энер,гет,и~чес1Юий выи1грыш при переходе от двоичной си­
сте м ы ЧМ ,к ,пятиrпо1з1и1ционной системе ЧМ в канале с
неопрбделен,ной фа1зой и флуктуа~цио1нным шу,мом, пола­
гая , что эквивален11ная •ве,роятность о:ши~бiки Рэ= • IО-3 и
окоро·сть ,riере1дачи и.нформац,и,и остают,ся не,ивмеНiными.
5.5 .5 . Най'I'И вел,ичи:ну ,коэффи::цие1нта и~пользо~ван1ия
пропускной опо,с(jбно1сти ка•нала для четырехiПо,з·ицион­
ной оисте~мы ЧМ, обес1пе1чивающей при нео1п,реД;елеН1ной
фазе и флу~ктуа,ционном шуме экаи1вален'11ную вероят­
ноrсть оши~бк,и Рэ= 10-4, пола,гая, что скорость перещачи
235


инфор1ма1щии 1' = 300 бит/с, . а полоса частот си,стемы
Fк = G,1 1кГ1ц.
5.5 .6. Найти коэффициент иопольвова'Н'ИЯ пролус,к­
.ной опособности ка1Нала в системе с.вяз·и с h2э= '3, !' =
=!JO0 бит/с , Fк= iЗ,1 1кЛц .
5.5.7 . Одlни1м из с,по,соlбов повышения помехоустой­
чивос11и свяв,и при наличи,и за1м1ираний является разне ­
сенный · прием, сущно'сть которото за1ключае1'ся в том,
f-я demdь
----------+-1Приемник t
2-я dет6ь
-----1----t---~Приемник2
п-я оет8ь
------+---~----~Приемник п
Peшaю­
ld{url
бл11к
Рис. 5.20. Схема разнесенного приема с автовыбором
ветви с наиболее сильным сигналом
что п ередаН1ное сообщение .воопроизвощится по не,с,коль­
ЮLМ сиrнала,м, несущим од,ну и ту же информацию .
Оценить вероя11ность ошибк~и в системе п -1кратноrо раз­
несения с автовыбором наиболее сильно,го оигнала (,р,ис.
5.,20) при И'СПОЛЫЗОIВа1ни,и Д1В'ОИ'ЧНОЙ систеlМЫ с активной
паузой, ортогональшой ,в усиленном смысле (ЧМ), при
медленных р,элеевских независ,имых зам,ираниях в от­
дельных ветвях.
5.5 .8. Найт.и энергет,и1ческ,ий выилрыш при переходе
от оди1Ноч1ного ·к сдвоенн,о,му прие1му с ав:говыборо,м в
ка/Нале с медленными релеев ск и м,и .независимыми за,ми­
раниями в О11Дельrных ветвях при неизмеН1ной вероя11но-
сти ошибки Рош,1 = Рош,2 = 1О-4.
,
5.5.9. Соста1вной сш~н.ал д,ис,Кjр ,етной широкополос­
ной системы (B = i2FT>>1) строится следующем обра­
зом: информациюнная посылка длительностью Т разби­
вается на N двоичных элементов длительностью 'to =
.=T/N, а в качеегве . элементар1ного . с,игнала ис1нолызу -
·2зв


ются · 011резки с,и·нусоидальных коле6аний ВИJДа
2:п
Ит sin ('ffi1<t+cp1<) (ffi1,=k -
·
, k= 1, 2, ... , N)., дл,ительно­
т
сти 'to.
Полагая, что указанные си-гналы .исшользованы дл_я
пере1да•чи двоичной инфор1ма,ци,и в системе ЧМ, оценить
вероя11ност1, ошибки rгр,и 01птимально1м ко,герентном Щ>и­
еме и у,дельную скорость •переда1чи при N = 12000, Т=
= 20 мс, если в канале действует стационарный нор_маль~
Источник
соооще -
H/i/1
!/ереклю-
11аrпель
ЛUН/111
пр11мо го
!<OfiOЛa
' --+- ----1 Нахопи­
тсль
Прuем,шк
решающ и х
сuгналоt!
Лuнuя
ооратного
конала
Датчик
решающего
СU8НОЛО.
)
Kz
Попуvател•
cooliщe11a11
Рис. 5.21. Струиурная схема дискретной системы с управля­
ющей обратной связью
ный белый щум со опектральной ПЛОТНО{:ТЬЮ МОЩ'НОСТИ
Gш= 10-6 Вт,/, Г,ц.
•
5.5.10. Пока1за1ъ, что ,пр,и июпользовании rnи-роко­
полосных сигналов ,с базой B=2FT"2> 1 влияние сооредо­
точенных по спектру помех у,менышается пропорцио­
нально базе сигнала.
5.5 .11 . На рис. 5 .21 пр1иведена с11ру:ктур,ная - с:хема
системы с,вя:з1и с )liПравляющей обра~:ной овязью и поэле­
ментной проверкой символов на надежность (ППСН).
З~десь ключ К 1 а,нал,изато•ра за,мы:кается, е,сли вы:полня-
"2Е
ется условие --' - > R, ,и р аз,мьгкается, если это уело~
Gm
вие не выполняется. Одн,аврем-енно посылает,ся кома,нда
от да11чика решающих си-гналов на пе,редающую сторо­
ну и за1прещается за1Пись И1нфор.ма1ц111и в ~стройс1'во
па,мя11и.
Оценить эффективность этой системы в рэлеевском
канале (q 2 =0) в .случае двоичной ЧМ.
237


5.5 .12 . Определить э.нер,гети,че,ский выигрыш '11Р при
nе'реходе от параллельного метода передачи д1ис.кре11ной
,инфор1ма,ц:ии к послещ,овательном1у в однолуч,ев<Ум гаус­
соВ1ском ка,нале без замира1ний, если ч1исло по1дка1налов
па1раллелыной снсте,мы ра1в,но п и е1сли при этом перех.о­
де сохраняется: а) средняя мощность сН1nнала; б) пико­
вая мощнос1ть ,с,и,nнала.
5.5.13 . Из:в,ес11но, что в ,К'Вази~р1элеевс1Ком ,ка,нале
связи при аппроксимации коэффициента корреля -
т,
ци,и комrпонент канал а фунюl!Ией R (Т) = е 2~'
несократимая вероятность ошибок
т2 -q,
р --е
ош- 4~2
'
и ОФМ
где ~ - ,срещ,ний пер~иод .замира•ний; q2 - · превышение
регулярной части сигнала над флуктуирующей .
Опрещел1ить выиr~рыш по ве·роятн,01сти ошибки п,р,и пе­
р,ехаде от параллельной с,исте,мы с ч,исло'М каналов
n=11·2 к последователЬ'ной системе передачи ,пр,и акю1ро­
сти 1переда1ч•и /'=;Ji2,Q0 бит/с, q2=S, ~ = 0;l с.
5.5 .14 . В двухлу~чево~м рэлее1в•ском ка1нале со вза,им­
ным за1Па1ЭДЫ1Ва,ние~м лучей Лt=2 MIC ДЛНIН'НЫе П'()СЫЛКИ
(Т 1 =6 м,с) обра,батываются на 'И!пер,вале анал1иза
Та 1 =Т1 -Лt, а короткие 1посыл.ки (Т2 <2 ,м1с) - -на и1н"Гер­
вале анал,иза Ta2=T2 +iЛ.t. Пр1и этом эако·н распределе­
ния э,не'р1nии посьшки на интер 'вале анали~за ока,зыва,ет­
ся ,различным.
Оп-рещел,ить ЭНеJр,гети,чеокий выигрыш по срещ:ней
.мощност,и при переходе от па1раллелыной системы с n =
=20 к посл едовательной .при ,скорости передач1и /' •
= ·,1200 бит,f,с, е,сли по ,обо1и-м луча1м раюпро1с1'ранения
среднее превышение сигнал/шум одинаково и равно
h21 = :20.
Решен,ия и ответы
Р.5.5. 1. Со,гласно ф - ле (5.41)
li;i
'llp·; · = l0!g- _
'I
h2.
Э/
Принимая во вниман,ие р езу льтат задачи 5.3.7 полу­
ча,ем,
'llpAM/ЧM = 10!g 2.= 3,03 дБ; 'l'JpAM/ФM = 1Olg4 = 6,06 дБ;
238


\
1
1'/рчМ/ФМ = 10 Ig 2 = 3,03 дБ.
Очевидно, что полосы частот оис-гем АМ 1и ФМ ощи­
на1ко1вы, а полоса ча-стот си·стемы ЧМ вдвое превышает
полосу частот С'Исте,м АМ и ФМ. Паэтом,у 'У\FАМ/ФМ=
= О дБ; 'У\Fлмч;м=-3,03 дБ; 'У\FЧМ/ФМ = 3,03 дБ. С уче­
то,м этого в соответ~ст,ви,и с (5.44) нахо1д,и,м обо~бщешный
выиг,рыш: 'У) 1АМ/ФМ =6,06 дБ; 11'лм;чм = О, дБ; 'У) 1 ЧМ/ФМ=
= 6,06 дБ.
Р.5.5.2 . ИзвеС'гно [ 12], чтQ для m·,поз.и:цион,ной си­
стемы
р = 1- (1-р )l!log,m
э
ош,т
Пр,и Poщm«J
р ,.., Pom,m
э--- .
log2 т
Учитывая Р.5.,3.Э, нахощим
т-1
Рэ :::::: -- Рош·
log2 т
Испол:ызуя результат задаrчи 5.4 .4, мож~м записать:
Рэ lОФМ. =
-
9 --1 [1-Ф(V25)J'= 8,15-10- 5 ;
•
log2 10 2
,
9
1
-
-
··
-3
Р3 IОЧМ = -- - [1 - Ф(V12,5)] = 6,32-10 .
•
log2 10 2
•
Вынг,рыш по эк·вивале.нтной ,вероятн:ос11и ошибки nри
переходе от сис-гемы ЧМ к сис-геме ФМ в да1нно,м слу­
чае а чм/ФМ = 77,Б.
Р . 5.5.3. Аналолично Р.5.5.2 с у;четом Р.6.4.4 нахо­
дим
Рэsчм = -
4- -1 ехр(-8) .2,9-10-4
.
•
log25 2
h2
У1читывая, что h2э = --0
-
с у,четом Р.Б.4.5 и Р.5..5.2
log2 m
можем записать
т-1
(' h;log2т)
Рэ ~---ехр
-
---
,
21og2 т
2
откуда
h2=
_
2_ ln __m
_-_
l__
3
log2 т
2р3 log3 т при т = 5 h;,sчм=6,9.
239


Для двоИ1ч11юй аисте.мы ЧМ пр1и эквивалентной вероят­
иости ощибки Рэ=2,9- IО-4 имее.м
.
1
h~.2чм = h~=21n 2Рэ = 14,8.
• Р.5.5.4
Для двОIИ'ЧНОЙ ,оисте.мы ЧМ
h;,2 чм=h~.:_ 21n;P = 12,4.
Д.l!я ПЯТИ:ПОЗИIЦ'ИО'НIНОЙ оистемы пр,и р = Рэ = 1const, !' =
=const сотла1сно Р.б.5.3
h~чм =
-
2-ln
2·=
5,82.
log2 5
Рэ log2 5
Энергет,и;чеокий выи ,грыш согласно (4.20)
'r/2чмisчм = 3 ,28 дБ.
Полатая, что м,ногоповици,онная -система с ортого­
яальным1и оитналам•и (Ч!М) созща,ется пу'f!е•м иопольз•о~ва­
ния отрезков гармонических сигналов с кратными вели­
ч~и-не ·211/Т 'ЧаIстота,ми, ;можно считать, что полоt:а ча1стот,
за1нимаемая си~е!'Гем,ой, ,проIпорIциональна ч,и-сл,у по:зиций.
В этом случае вьшflрыш по полосе со,глас~но (5.39)
.
2
.
1lр2ЧМ/5ЧМ = 10 ]g S =
-
4, дБ,
а обобщенный э·нер-гетичес,кий ·выиIлрыш соглас,но (5.40)
~;ЧМ/5ЧМ =
-
о, 72 дБ.
Полезно за1меТ1ить, что переход от двух-п-оз,и,щиоiшой
к m-познционной системе ЧМ сопровождается выигры­
шем по эквивалентному отношению сигнал/шум (коэф­
фициент использования мощности передатчика повы­
шается) и процгрышем по занимаемой полосе частот.
Р.5.5.5: Сог.лас•но [ 12] коэффищиент ,иополюова,н~ия
пропускной опо-сеiбно-сти (5.41)
К_ log2m
с- ТтС
•
Вел-ич-ину с , можно предста-в~ить следующи.м образо •м:
C= F~]~g(I+ Ре)·=Fнlog(1+2h~).
Рш
,
В
Ре РсТ 2h5
та1к•ка,к_ - - --=
-
•
_
Рш GшFкТ В
Зл:есь В=&иТ - баэа канальных · сиг,налов.
240


- ' Теперь , для. коэффициента И!С!ПОЛЬЗОВа1ния про1;1ускной
опособности мо1жно .заiписать
2log1 т
•Кс= (
'2h2)
в·1оg2 ·1 + во
Пр,и заданной скорости передачи информа1ц~и;И !'
['
Кс .:_
.
(h2/')
FкJog1 1 + log2этF: .
Ветичнна h2з соrлаоно Р.Б.5.'3
h2=
m-1 In(т-1)=--= _з_ln . 3
=6,69.
3,
2Iog2 т
2р3 log2 т
2log 4 2-10-4 log 1 4
Тооерь ,нахQДим Кс
к=·
300 .
•
=1 33.10-1 .
с
( 6,69-300) '
.
3,\•108 {ogz 1+ 2 . 3 ,\.JОЗ
_
..
Р.5.5.6. СО['Ла•оно P.:5.,5 ..S
300
-1
Кс=
(.
3 _300 1= 2,52-10
з,1.1оз 1оgе I + 2.3,1.1оз;
.
Р.5.5.7. Вероя'flность того, что в (п- I) ветвях коэф­
фициент передачи канала у<уо, а в одной какой-либо
ветви у~уо, определится формулой
W1 (-vo)d-Уо= nw1 (у =Уо)[JW1 (у)d1'г-ldIо=
= п;: ехр(- ~)[1-ехр(- ~)г~1d·y0,
гдеw1(у) =~ехр(- "r
2 )- рэлеевское распределение
,
у2
у2
коэффициента передачи канала (амплитуд).
Плотность вероятнос11и для . макси1м1у1ма коэффициен­
та перма1t1И ,канала умаис =уо получ,им, поделив w(yo)dvo
иа dyo:
w·(y0) = п;о ехр(~~)[1-ехр(~-)г-1.-
241


Для двоИ1Чной ЧМ в от,сrутс11вие за,миран~ий и оптим'аль­
ном не1юr,ерент?ом приеме вероя1rность . оши~бюи при
y=vo-
1
( 1 '\'~ РсТ)
Рош(Уо) =-ехр ---- •
.
2
2Gш
Ра,осм,ат,р,иваемая схема а,в110,вы6ора экв·ивале1н11на схеме
одинарного приема, у которой коэффи~щиент передачи .
меняе'Гся в 1соот,ветств-Иtи с ·найденной статистикой
W1 (уо). Следов,ательно, аредняя вероятность оши~бки
цри п-1юратном ра1Знесении
00
00
Рош,п = sР (ro)w(ro) d '\'о = 2~ JУо ехр Х
о
о
·v2
2
2
-
~ n-1
Х[-;(1+_h;)](1-е v•) dу0,
-
'\'2рт
nде /i20 =~
-
011ношение средней энер1nи,и посылк~и
ш
си,г.нала в м·ест,е приема к опектральной плотности мощ-
ности IШУ,Ма.
Иополызуя формулу бинома Ньютона, получаем
nl
n(h2)
2п i+-0
i=I
2
Рош,п =
Р.5.5.8 . В обла,сТ~и малых ошиiбок (юри больших
/i20 ) и~з соотношения для Рош,п, получен,ноrо в Р.5.5.7,
следует
,_,1.р
,_
4.h2--- 1
.
}i2,._,
2
Рош,1---h2 · • ош,2,...., 22 • 1-----,
2--v -- •
1
( h2)
Рош, 1
Рош, 2
При неивменной вероя11ности оши6к,и Рош,1 =Рош.2=
=Рош= : 10-4 Э1Не1рirет,ический выи:11рыш ,сдвоен1Ното приема
по ора1в1нению с од,ина-р:ным
101 VРош,2 l? Б
t'Jp1/2 =
g2
=
Д•
Рош,1
Р.5.5.9. Согласно Р.5.,3.4 по:мехоустойчиво•сть двоич­
ной систе~м.ы свяв,и с ЧМ при флуктуац,ион,ной сrюмехе
242


оцределяе11ся отношен,ием h20 = E/Gш. Энергия составно­
го ,сигнала
т
где Е11. = JИ~ sin2;(ffik t + ер,.) dt - энерiГИЯ эле~мента со­
о
ставного сигнала. Поскольку энергии элементарных сиг­
налов одинаковы, можно записать
N
~Ek
h2=k=I
_
_!}____
О
Gш-Gш
Вероятность ошиrбк,и, равная в дан1Н1()1М слу,чае Рош=
· = +[I - Ф (V h5) ] , не зав,и~сит от ~базы си~rнала
2FнТ,
Кюеффи,11:и:ент исполь:зова,н,ия полосы чаrстот v = v/F=
= 1/FT=2/В.ПриТ=20мсиN=2000то=I0-Z., Fн=
=1/r0 = rl04 Гц и v-: -2. ,10-4 бит/Гrц. Из этого можно с~де-
лать вывод, что широкополосные ___системы связи с со-
стаrвнымл сигналами 1ис1Полызуют .поло 1су частот весьма
неэффе1к1жвно.
Р.5.5.10. Можrно сч,итать [24], что лри иапользова­
ни,и ,сигнало~в с большой ба1з.ой сосредотО!Ченные помехи
дейс11вуют Т?•К же, как флуктуащ,юН1ная .помеха со спек-
тральной 1плотно1стью, рав1ной Gс.п= :Z Р;.п , где F -
полоса си'r,нала, "2,Рс.п - 1сумма,рная мощность со'средо­
точен· ных u1омех ,в ,полосе си,гнала .
Бели в канале действуют флуктуа,ц,ионная и сосре­
дото-чен:ные поrмехи со спект,ральным,и плотн,о,стя,ми Gш
и G с .п, велиrчина h02 .м,ожет быть о!Пределела
'Zр
G+~
ш
F
р
Если Gш «; Gс _ п, то h5 ~ :[f>!:_ FT . Этот .результат
с.п
сни~етельствует о~б ослабле,нии вЛ~ияния со-средоточен­
ных помех с ростом базы -оиг,нала.
243


Р.5.5.11. Пр,и точ,но изве,стном коэффициенте пере­
дачи канала 1 и неопределенной фазе вероятность ошибки
при оптимальном приеме двоичной ЧМ без проверк и
символов на надежность
Рош(у)= f ехр(- ~: )·
Средняя ве,роятноrсть ошибюи при порого1вом способе
приема в си,стеме ППСН
•
•
()
ОШ,3,0
Рош=.Рз.оОШ= р(з.о) '
где Р (з .о) - бе:зусловшал вероятность по1Па;да1ния а,нали­
зируемого элемента ,си,гнала в зону определенност,и (эта
вероятность оrпределяет,ся вероятностью выполнения ус-
ловия ~Е - >R); Рз.о (ош) - вероятность оши~бки .при
ш
JЮ[IЩЦан,и,и элемента сиnнала в зону определеннос11и
(эта в~роят.но:сть определяет среднюю в-ерояТ1Ность
ошибки в ра,с•оматр1иваемой еисте1ме); Р (ош, з.о) -
совместная ,вероятность п0:па1да,ния элемента си.гнала ,в
зону сшре!Целенности 1и ошибки.
При случайном ,изменении у в ходе замираний си г­
-у2Е
нала с учетом условия
>R наход<им
00
JVRGШ
Е
Gш
00
Р(з.о) = J
w1(y)dу; р(ош, з.о) =
VRGШ
Е
00
Рош(У) w (у) d у=+ J ехр (- ~:)w1(y)d у.
VRGШ
Е
С у четом этого для вероя11но,ст,и ошибюи полу,чае~м
1
2
00
S ехр(- r;:)w1(у)dу
VRG~
Е
Рош= ______
оо__ __ __ __
·s W1(у)dy
VRGШ
Е
1 Это допущение спра,ведливо в услов,иях медленных эамм,раJJий.
244


При рэлеевских ,зами-ра'н·иях
(,у2 - ,срмний к;вад1рат коэффи:ц;иента пе'р·ещаrчи) для~,
вероя'I1НО1С'I1И ошибки получаем
1
Рош= ----=exp(-R).
2+ h2
о
.
Средняя скор,ость переща,чи в анализ,ируе1мой сИJсте-­
ме (1при пренеб~ре.же,нии ошиlбка1м,и в канале) пр,и ис ­
пользова!Нии двои~чных посыло~к длит,ельност,и Т и при ­
м:и11ив'IЮГО КO)IJ,a
!'= Р(э.о) =
-1ехр(- R)=-1ехр(- R .) .
Т
Т
h2
Т
сх.1 Т
о
где
а,2=h~ =у2Ре.·
Т
Gш
Из усло,вия dl'/dT = O находим оптимальное значение­
длительности посылки Т, при котором максимизирует ­
ся /':
R
Топт= -=-
·
а,2
Отсюда fi 2o опт = Топта2 = R. Бели Т= Топт, то
Р(з.о) = ехр(-1); 1'=1'
=
-
1-exp(-l)·
макс Топ;
'
ехр (- h1}
Рот=
2•
2+ h0
Для системы без обратной с·вяз,и (R=О)р(з . о) = •1, 1~а =
r1
1
=т; Рп.с: = 2 + h2 • Фиксируя вероятность ошибки,
~с
Оп~
Рош = Рп . с = 10-4 , находим энергетический выигрыш пере­
хода от системы ,без ,обратной с,вязи к системе ППСН:
h~п.с
'l'Jp=lO!g-= - ~ 28,9 дБ .
h6
При одина,коной • п.иковой мощности ~Передатчика,
(а2 = а2п . с) для обеспечения неизменной вероятносты
. 215


юшИ16'ки дmитель.ность элемента си.гнала должна быть в
.л = h2fш.c/h 2o = 770 раз короче (т. е . занимаемая полоса
'Частот в л раз шир •е, чем ,в системе без обратной -связи).
Следо!Ват-ельно, выиnры,ш ,в срмней СIКОР'ости перед~ачи
:информа,ции •соста1вит
"'1' = /~акс =л,р(з.о) = .!:......
/~.с -
е
При Рош = Рп.с= 1lО-4 лr, = 285.
Нетрудно видеть, что при /' = /'п.с и Рош = Рп.с исполь­
завание обратного 1канала дает энергетический выиг ­
l!)ЬШП 'r)p= ilO lg лr, дБ . При Рош = Рп.с='lО-4 'r)p = 24,5 дБ.
Бели фи,юсиро1вать длительность пrосыло:к (~полосу ча­
стот), то 1при неизменной ,верюят,ност,и ошибки 1В си1сте­
м-е с обратной связью ~можно уменьшить пи:~юную мощ­
ность передат,чика. При этом сред1няя ,скорост1;, переща­
чи информации у~меньшается ,в
).
1
-= --раз .
).,1,
• Р(з.о)
Р.5 . 5.12. Выигрыш 'r)P uюк•аiзывает, во скюль•ко раз
-может быть у:меньшена мощность лерматчика при пе­
реходе от оtдного ,метода ·пер ·едачи ,к другому лри сохра­
:нении качества mередачи (срмней 'Вероятно1сти оши•бюи
Рош) .
Средняя вероят,ность ошиб:ки ,в двоичной ,системе ма­
нишуля,ции являе11ся одно·значнюй фующией · ве1ли1чи­
мы h2o:
Рош= - 1 [1 - Ф (Vkh5 )] при когерентном приеме;
.
2
.
h6
1-k
-
2-
Рош=2е
при некогерентном приеме ;
ik= 1 при ЧМ, k=2 при ФМ (ОФМ) h20= РсТ.
Р=
'
Gш'
с
,средняя мощность сигнала •в подканале; Т - длитель­
ность элементарной ffюсылюи .
Та~им образом, для сохранения ·1<ачес11ва связи (ве­
:величины Рош) •нео1бходимо поддерживать пост,оян,ной
величину h2o, т. е . РсТ = const.
В :последовательной системе нся мощность п ередат­
•чика Р0 расходуется на один подканал: Р1 - = Ро, Рманс, 1=
·=Ро.
,
246


В параллельной ,сис'I'еме ~средняя . мощность пере1дат --
рРо
чи:ка раопределяет~я между ,подканалами
2=/'.
Рмакс,2 = Ро/пл (О~л~l).
В последовательной .системе длительно,сть элемен-
тарной посыл1:ки Т1 = +(!' -
скорость передачи ,инфор ­
ма,ции) .
В па,раллельно _й ои:стеме
п
Т2=- =
пТ1 .
т
СледО1вательно, Р1Т1•= :~ , Р2Т2= :,0
,
т. е. лри сох­
ранении средней мощности переда'I'чиrка (случай «а»)
выИ!грыш 011суrствует (rJp= il).
При. фи:юсированной же пиковой мощности передат­
чика (,сл,учай «:б»)
р Т _ Рмакс,\
11-
/''
рт Рмакс,1
'
22=
l'ri'i,,
и ВЫИiГрыш
Рмакс,1Т1 л-!
'f'/p=--- =n
рма~<с,2Т2·
Р.5.5. 13. В параллельной оистеме Т 1 =n/l' =·10 м с:
у2
~ _1 _e-q' = _1_ 10-2 е-5.
Рош,1 4 ~2
4
•
В последО1вательной системе Т2 = 1//' =0,833 мс
1
-5
Рош,2 = 4.10 -2 (1200)2 е ••
Выигрыш 1по вероятности О\ШИiбок
ct=Рош,I =Ti =п2=144.
Рош,2 Т~
Р.5. 5.14. Р:асц,р•еделен,ие коэффициента пере,,цачи ка ­
нала в одном .лу,че


Лlри когерен·0rном приеме по однО1му лучу
тде Ре - мощность п,осыл•ки; Gш_ - опект,ральная плот­
ность мощности шума,
После усреднения полученного JЭыражения по у 1 с
учетом выражения для w (у1) При .больших h21 имеем
.Jl 3]
•При пр1Иеме .по обоим лу,чам, если передача ведет,ся
-
mo п '1Iа'ралле,льным ,каналам,
•и оба лу,ча на шротяж,ении Тar ,сJшвают,ся 1В один та;кже
-с р1элее~вок;им ,раопределением коэффициента передачи,
•но ,с ·в,щвое 1б6лышим среднИlм ,квадратом:
1
I1ри этом Рош ~--' - --=-
.
8hf
Е сли ~передача ,ведется .последова т ельным методом
по одном1у каналу, T2 ,,;, 1l //'= 1/1200 = 0,833 мс, Та2=
= Т2+Лi• = 12,833 мс, оба луча не ,сливаются в один, а
.ДОПОИНЯЮТ друг дру~га.
3
При больших h2 1 пр:и этом Рош~
_
[13] : Таким
t.,16( hi)2
~
1
•Qбравом, для 1па,р·а·ллельной системы h21 ~ -, . . -
-; для по-
•
.
ВРош
,следовательной h2 1 ~ V .3
...
.
.
·
16Рощ '
.
.
•
ВыИ1грыш ' перех,ода от па:раллелыных си,стем к ,цосле­
дОiВателы~ым


Глава 6
ПЕРЕДАЧА НЕПРЕРЫВНЬiХ СООБЩЕНИИ
6.1 . Оптимальная оценка отдельных параметров
сигнала
Задача олтималыной оцен~и (измерения) пара,метра сигна,ла:,
состоит в определении некоторым наилу,чши ,м обр·азо.м з,н.а'Чения
па.раметра Ь по принятой омеси сигнала S'(b, t), зави.сящего от ·
этого параметра, и а,ддщт.и.в,ного шума U(i):
г(!)=s'(Ь; t)+и(t),О3⁄4t3⁄4Т.
Из-за наличия шу,ма в канале и конеч,ного интервала анализа .
оценка па,ра1мет,ра Ь• отличает.ся от истинного значения параме11ра
Ь, причем оши,бка е= ,Ь•-Ь имеет случаюный хара,ктер. К,ачество
оценки проверяется обыч,но на выполнение усл.овий состоятельности,..
несмещенности и эффек11Ианост,и. Если сред1нее з,начение оши,бки ­
равно нулю (это означает, что среднее зна!Чение оценки р·а,в,но ис­
тинному значению пара,метра), о,ценк.а называется несмещенной:
М[Е]=Ь*-Ь =Оилиil'= Ь,
(6.1) ,
Оценка называется эффективной, если дисперсия ошибки ми­
нималь,на в классе .всех .воз,м•ожшых оценок:
D[Е]=(Е - Е)2= min.
(6.2) •
Оцен~а Ь• называется состоятельной, если при увел,ичен~ии .ин­
тервала анализа Т она схо,дится по вероятности к о.ценИJваемому •
па,раме"Гру
lim Р([Ь*-Ь[:;,.в)=0,°
(6,3) · ,
Т➔ОО
при этом lim D[E] = О.
т-ао
Для нахож1дения оценок широко 11ри-меняется критерий ма®си­
мального цравдооодобия, в соо11Ветс11ви.и с ко11орым в ка'Честве
оценки пара.метра прtинимается та1кое его значение Ь•, которое
ма1~си.мизирует функцию отношен.ия прав1доподобия l(z/s(b)), т. е.
Ь• определяется из у,словия
дl (z/s (Ь)) = l[·w(ф(Ь)) ] == 0
.
(6 _4 ).,
дЬ
дЬ w(и)
Полученная таким спо.собом оценка называется макоимал1,1но ­
правдоподобной. Часто уравнение, определяющее ма11«:ималыно.
пр,а,вдсшо1добную <щенку (у,ра1в,нение пра1вдолощобия), записывают
в виде
д [ln l (z/s (Ь)]
дЬ
(6.5)- ·
Есл.и сущест,вует неомещенная эффею,ивная оценка макоималь­
_ного пр11в:11-оподобия.; то, как прав.ило, . ура,в,нение . правдооюnобия,
.-249
. ·,..; -


:и,м,еет едИ'НСNoенное решение, •а по.лученная оценка состоятельна и
:а:оим[]ТО:1\Иqеоки (при С11ремлении времени анализа Т ИЛiИ объема
;s ыбор11ш к беаконеч,ности ил,и же при ограниненном Т, при с11рем­
лении о'!'ноше111Ия сигнал/шум к беоконечности) эффект.иrвна и раоо-
;ределена .но.рiмально .
•
Задач,и
6.1 .1. Пр.ин.и.маемый ,сигнал можно предстаQ3,ИТЬ ,в
,виде
s'(у, t)=уs(t,0),
где v- ко1эффициент ~передачи 'Канала; 0 - фав·овый
1СД1IШIГ.
Найти ма1к,симально правдсшод:абную оцен,1~ 1коэффи­
.циента 1передач,и ~канала, шола;гая, что ,сигнал s (t, 0) точ­
;но иэвестен :в месте пр·иема, а ,в :канале действует нор­
мальный белый шум ,со сшектральной плотнюстью .мощ­
Jюсти Gш , Со,ста1вить 1структу,рную ,схему оп11ималь,ного
:измерителя . Найти 1ра1апред:еление ошибки и:змерения, ее
-среднее значение и ди,оперсию.
6.1 .2. Найти ма,каималь·но ,прю:щсшодо6ную оценку
коэффициен'Га юере1дачи ·канала ,и.з .задачи 6.1 .1 [I,ри не-
10:пределен.ной фа1зе 0 и составить ,струк'I'ур 1ную сх·ему для
апти1маль·но:rо ,из.мерителя.
• 6.1 .3. По1ка:зать, что • при ,болнших отношениях сиг­
н,ал/шум ма,ксимальн·о пра1вдоподобная оцен,ка ам[Iлиту­
ды ,си,гнала лр,и неопределенной фазе я1вляет,ся состоя­
тельной, .не1смещенной, а•си:мштотичеоки эффе:кт,И1вной, а
,е е :качес11во такое же, 1ка1к :при определе.н~ной фазе еиг­
нала .
6.1 .4. По,каэать, что ма'ксим:ально пра1вдоподо1бная
,оценка фа:зы ,сигнала ер 1В канале с флу~ктуационным бе­
.лым шумом определяется с,оот,ношен.ием
тл
sz(t)s(t)dt
о
·
--
--
т
,\z(i)s(t)dt
о
Соста•в,ить ,схему оптималь:ного . шз.мер,ителя. В о,бла,сти
больших отношений сигнал/шум найт,и раоттределение
для ер*, среднее значенме и дисперсию э·юй 1Величинъr.
•
б.1.5. На IВХОд 1приемнИtк;а ·в 1П<рещелах интер,13ала
анали1за (О, Т) ' 1посту,п.ают ,смесь нормального ,белого шу-
250


ма ,с энерп:етичеок,им опе:ктром Gш и ,сигнал 'В вище ра ­
дио,имIпульса s'(t)=a(t-т)cos(wt+<p)h(t-т) (рис . 6.1 ),
с известной ,огибающей а(t-т), ча,стотой w, щлительr:10 --
Рис . 6.1 . К определению опти­
мальной оценки времени прихо­
да сигнала
,стью ти, случайным ,временем ,прихода т и слу,чайно й:
фазой <р
h(х)={1приО,:;:;х<ти,
О при ти<х; х< О.
Найти оптимальную ·ло IК·р,итерию ма1ксиму.ма апостери ­
орной !Вероятности о,цен1ку ,времен,и :прихода силнала т* ,
I1юла~гая, что этот ,параметр ра·вно,мерно ,распределен н а
интервале (О, Т), а случайная фаза <р не_ зависит от т
и ршвномерно ра,сшределена на интер,вале (-л, л).
При большом отношении сигнал/шум iНайти ,ра,опре ­
деление а:постериор·ной ,вероятности оцен,шваемого пара ­
метра , среднее з начение и диопер,сию оценк,и . .
6.1 .6 . На ~вход ,приемника 1В юределах интервала ана ­
л,иза (О, Т) поступ,ают •смесь ·нормального ,белого шум а·
и оигнала iB ,нище :прямоугольного радиоимшуль·са (см .
задачу 6. 1.5) с 'tи = Т и известным временем прихода
1: = О со случайной равномерно распределенной фазой <р ,
и:звестной а,м,плитущой у ,и ,случайной ча,стотой w. Найтк
опт-има~льную шо ·критерию ма·ксиму,ма а1119стериорной ве­
роятности оценIку ча,стоты f = w/2л, полагая, что этот па ­
раметр ИIМеет равномерное распределение в прмелах
интервала Uмин, fмаис). Парамет,ры (J) и (!) считать нез а­
ви-оимыми. На,мет.ить структурную схему оптим:ального,
и:змер, ителя частоты. В условиях ,большого отношения
сигнал/шум f-fo< 1/Т , f0T~ -1 (fo - истинное значение;
частоты Iпри-нимаеJ\,ЮГО ,еигнала) найти ра,определеiше ·
а•постер·иорной вероятности ,оцениваемой частоты сягна­
ла, среднее значение ,и диопер,сию оценки .
Реше·ния и от!Веты
Р.6.1.1. При ,нормальном белом шуме фун11щио.на m
отношения ,пра1вдоподоб,ия опр~деляет,ся соотношение'М
251


•
•
[ •т.
]
2-
.
2в
1(z/y) = ехр _уSz(t)s(t, 0)dt-
.L;.•
Gш
Gш.
о
т
тде Е = Js2'(t, 0) dt - энер 1гия сигнала. Ура1внение прав-
о
-
.до:подо16.ия (б.5) ,в этом случае выглядит так:
т
д[lnl(z/y)] = ~1z(t) s(t/0)dt- 2УЕ =О.
ду
GmJ
~.
Gш
о
:Решением · ура1внен·ия будет ,вели1чина
т
у*~- +sz (t) s(t, 0) dt,
.
о
КО'I'Орая и !Предста:вляет ,собой маrк•оимально пра,вдопо­
добную одешюу ,к;оэфiфющента ,пер,Щ.ачи канала лри точ­
но из'в-естно,м сиnнале.
Опт,имальный ,измеритель ·реализуется ,согла,сован­
ным фильтром яли КО'рреляторQМ (р.ис. 6.2).
х
т
f
о
r* Рис. 6.2 . Структурная
схема оптимального из­
мерителя коэффициента
передачи канала при точ-
но известном сигнале
Тю< 1{а1к z(t) =vs (t, 0) +и(t), имеем
т
т
у•= Тs~:~}~~~~:. .s(t, 0)dt +-1⁄2- sи (t) s(t, 0)dt =
0;i,,,}4~.:- ·_·\".'."~!}
0
т
ir
.
= у·+ - \и(t)s(t, 0)dt.
ЕV
о
С лещ01вательно, ошибка измерен,ия
т
в=у* - у=+sи(t) s(t, 0) dt.
о
При нормалыюм шуме с нулевьnм математическим ожи­
данием и опектральной плотностью ,мощности Gш ошиб-
252


ка раапределена ,нормаль·но, имеет нулев.ое ,математ,иче­
оrюе 0Ж1идание и дисшеР'сию· [12]
D[E]= Gш .
•
2Е
Слмовательно, ~полученная оцен,ка я:Вляется несме - •
щенной (М{Е] =О), состоятельной (D,[E] = Gш -.О при
2Е
Т-+оо, Е-+оо) . Поскольку при Т-.оо D l[EJ- .0, оценка ко­
эффициента передачи · канала является асимптотически
эффективной, так как значение дисперсии ошибки, рав­
ное нулю, является минимально возможным.
Р.6.1.2. При неопределенной фазе ,си~гнала фунrкцио­
нал отношения ,праiвдошо:добия с учетом Р.2.1 . 13
l(z/y =ехр(-у2Е)/о(2уV) ,
Gш/
Gш
Соста1ви1м ураашение !Пра•вдоподобия ,по (6.4)
дl(z/y).= [-2уЕ/о(2уV)+2V 11(2уv)]exp(-у2Е)=о,
ду
Gш
G
Gш
Gш
Gш
та~к :ка1к
д\~) = 11 (х).
Отсюда
С11ру1кту,Р'ная. схема ,измерителя дана яа рис. · 6.3. Она
содержит ••согла,с,ованный фильтр, щетектор огибающей,
блоки, 1вы1полняющие • операции умножения и ,целения,
нелинейные операции y1=f1(x), у2 =10 (х), вычитания .
Опти,мальная •оц~н1ка ам:плитуды соо11ветствует тому
значению IМ.ножителя v*, лри котором на выходе ,вычи­
rающего устрой,ства достигается нулевое значение на­
пряоо:ения.
Р.6.1 . 3. Согласно Р.6.1.2 ма:ксимально правдоподоб­
ная оценка 1юэффициента шере:дачи ,канала при неоlП'Ре-
,'
253


деленной фазе сигнала
V
v*= -
E
Величина 11 (х) меняет,ся от О до 1 при из менен.ни ар­
/о (х)
гумента х от О до оо.
Рис. 6.3 . Структ у рная схема оптимального измерителя ко ­
эффиrщ е нта передачи канал а при н е опр еделенной фаз е
сигнала
2у* V
При -- >> 1, Ч'I'О соответ,ствует большим отн ,оше-
Gш
ниям сигнал/шум, :можно шринять 1 1 (х) ~1 0 (х) и
VI
v*=-
E
Оr:и6ающая V ,смеси сигнала и нормального шума рас-
пределена шо абобщен·ному за1кону Рэлея (см . .
Р.1.2 . 16)
(V)_2V
( V2+у2Е2)/ (2уV)
w
- -ехр ---- о
-
•
ЕGш
ЕGш ,
Gш
у2Е
При больших отноiпен-иях сигнал/шум ( 0 ~ 1) 0606-
.
ш
щенное ра,слределение Рэлея •удовлетв,ор.ительно ап -
проксимируется нормальным за,коном {15]
w(V) =
1_
·-
ехр [- (V-yE)2]. ·
у- VEG
ЕGш .
2n
_.!!!_
2
1 Обратим в1шмание на то, что в этом сл у чае оп11имальный из­
м е рит ель а,мплитуды соде,рж,ит только согласованный фильтр и де ­
тек'I'ор ог.иба1<;>щем.
254


Следовательно, и v* 6у:дет иметь нормальное ра,ап•ре ­
деление, та,к ка·к . ~величины · v* и V отл·ичают,ся толЬ1ко
ма•ошта,бом . ,Согла,сно Р.2.4.9 ,можем ,аа,писать
w (у*)= w (~)в=
1_
ехр [- (y*-y)2 l•
Е
у2п1/ Gш
2Gш
J' .2Е
2Е
Параметрами ,этого раапрещеления я,вляются
-
G
у*=у, D[у*]= 2: .
Эт,и ~параметры не отл,ичают,ся от аналоти~ных пара,мет­
,р,ов, mолученных IП,РИ точно из1вестной фазе ·си гнала (но
при 1произ1Вольном отношении сигнал/шум) .
Р. 6. 1.4. При .неоmрещел,енной фазе сигнала фующио­
нал ·отношения пра,В(допо·добия 1мож,но за-писать 1В виде
l (z/ЧJ) = ехр:{;~ [ cos (fJJz (t) s (t)dt- si~ (fJJz (t) ~ (t) dt]-~:) ,
поск~ольку :nр,ини,маемый сигнал s'(t) =v cos ЧJS(t)­
- v sin ЧJS(t). Составим ура1внение nравдQподобия
д{lnl(z/<p)} = О .
д<р
После диффереН1цирования полу~ча·ем
или
Г:де
2
т
2
тл
-
_у_sin ЧJ*fz(t) s(t)dt = -1cos qJ* fz(t) s(t)dt,
.
Gш
О
Gш
о
tg*=_J!i'
У2
т
л
т
У1= Sz(t) s(t) dt; У2=Sz(f) s(t)dt.
о
о
.Л
Легко видеть, что У1= - vsin rpE+Л1; У2= 'У cos rpE+Л1;
rр - истинное значение .фавы;
т
.
.
л
т
л
Л1=Sи(f)s(t)dt; Л1= Sи(f)s(f) dt;
о
о
255


•
Е'А -(i- _
. ,f:inm)
tgm* __
_.
'\' S!П ер
-
1
tgm
r
т
't'
уcosфЕ+А1 =
' t' -(-ё--~-+~-~-Л ~i- '-- 7)- ~
_ у.Есщ;ср ..,
В о,бла,сти больших отнощений сuгнал,/шум, иаклю­
чая ,псжа из раоомотрения з,начен,ия rp=k ; (k=O, 1,
2, .. .), можно написать
л
tgrp*= tgср(1-
'\'Е~~ер
где
1л
е= '\'Е(Л1cosrp+Л1sinrp);
Е
tg q;----; -;;; - можно ,считать первыми .двумя ч:лена;ми раз-
соs 't'
-
ложения в ряд Тейлора функции tg(rp*=q:,-e) по ма­
лым прл,ращениям е . Таrким образом, в области больших
отношений сигнал/шум rp * ~ q:,-e 1
.
Случайная величи­
на е имеет нор~маль.ное раопределение с нулевым _ оред-
-
а
-
ним :значением и .диаперсией •е2 = _ _ш__ Это означает, что
2у2 Е
полученная оценка нес:мещенная, состоятельна и а,сим­
птотически эффектИJвна.
Р.6. 1 . 5. При ра,вном,ерном распределении оц~н.ивае­
мого пара.метра алгоритм оценки, ма,кси~м,из,ирующий
апостериорную ,вероятность, не отличает,ся . от алгорит­
м а, ~полученного rпо rшритерию максимального праlВдО'по­
добия . Фующионал отношения правдоподобия
У средняя по фазе rp; . 1кот,орая ,считается распрещеленной
ра;вномерно, ~получаем для фун,кционал·а отношения
·пра,вдоподобия
-
l lz (t)/i-]
-:- К/0(2va:) ) ,
n,
1Этот , результат с11ра ,ведлнв .и для .углов cp = k 2
.
,
256


хcoswldlт+['Тz(1) о(1 - <) sin w ldlТ·Величина V(<!:
пропорциональна значению огибающей }IаiПряжения на
выходе фильтра, согласо:ванного с сигналом, в м,омен11
t=т + ти, т . ·е. в .мо:мент о,конча:ния им1пульса ои1гнала на·
входе филь11ра. Но к .м-о~менту О!Кончания сигнала на
входе оптимального фильтра напряжение на его выходе
(при времени задержки to = ти) достигает максим ум а .
z~J
~-~
Г'А,.
о
tмакс
Тt
Рис. 6.4. Оптимальный и з меритель вр е мени при х ода сигнал а
с н е определенной фа з ой
Поскольку !о (х) - монотонная функция от · х, то при
изменениях т максимум l{z (t) /т] совпадает с макси ­
мумом V{t) . Сл,е,довательно, о,пти.мальная оценка вре­
мени прихода ,: определяется 'Моментом времени, 1При
котором на ~выходе ~детектора, IПОV11КЛюченн-ого :к согла­
с,ованному фильтру, .наtпряжение що,стигает .максимума
(рис . 6.4) . Если этот максимум достигает в момент
врем,ен,и fмаис, то т* = iмаис-Ти. Апостериорн.ая вероят­
но,сть ,параме-гра т 1при .неопределенной фазе
Pz ('t) = К/о [2:~,:) ]
(К 1 ,определяется из условия нормирО1в'К>и).
При lболнших отнО1шен,иях сигнал/шум V (т) ~велико
и мо,ж,но ,воополызовать,с,я асимш1'оти,кой для lo(x) =
ех
= --== {27]. Посколыку при изменениях т ,показатель
-V2пх .
•
экоповенты ехр [2v0:) ] меня,ется .неора:вненно быстрее ,
9-299
257


чем - выражен.не, ,стоящее в знаменателе,- то .можно на1пи­
,сать
Pz {'t) = К2 ехр [2~~т) ]
:(К2 опрмеляется из условий нормиров:к;и). V ('t) являет­
.~я огибающей 11ю ср-фун,кции
t+tи
•
6(т,ер)=J z(t)а(t-т)cos(wt+ер)dt,
'\"
тде z(t) = a(t -тo)cos(wt+cpo)h(t-т)+u(t) (то, (J)о-И~с­
т,инные значения .параметров т и (J) сигнала на входе из­
мерителя). В области больших отношений сигнал/шум
можно при определении функции s (т, ер) пренебречь шу•
мовым слагаемым в z (t):
t+t
6(т, QJ) = j' и a(t-т)a(t-т0)cos(w t-cp)cos (ro t- q> 0)h (t - т) dt.
'\"
На практике о·бычно выполняется условие ыти~ 1. Но
тогда можно в s(т, ер) ·положить ср0 = О и привести эту
, фун кцию к виду
Следователь но, о:ги1бающая ,по ер
t+t 11
V (т) -'- +5а(t - т0)а(t- 1;) dt.
'\"
;при большом отношении сигнал/шум погрешно,сть изм е­
J>е.ния т мала, Р, (т) ·имеет существенное значен+1е лиш ь
: в област,и, г:де т ,близко ,к то, т. е. 1при малых значениях
, разности Лт=т-т0 . Поэтому можн·о ва,опользоваться
,тремя первыми членами разложения в ряд Тейлора:
1
· а(t-т) =а(t-_
,:0) +а' (t-то) Лт+ 2 а (t-то) Лт2• Подста-
вив а (t-т) под з,на1к интеграла и выполнив интегриро­
,вание ,по rчастям, получ,им [7]:
t+tи
V{т)=Е - (~т) 2 J [a'((-. т)] 2 dt;
,:
258


1
Условие нор ,мировк-и дает К2 = -v--. Бо л ее
правил ь~
2rф2
ный результат для ашостериорной ~вероятности
Pz(т) = ~ехр[-(т-;~:н)2],
где тн - н.а.иизероятнейшее значвн,ие т [соответствующее
максим у му кривой Pz (т)]. Его можно получить, если н е
пренебречь ш ум0iвой ,ко мпон е нтой u(t) в z(t) mри ~вы ­
числении ~ (т, <:р), 1как это ,сделано ,выше.
Из ,полученного результата ,следу ет, 1!то mри б ол ьши х
от,ношения х сигнал/шум оцен1ка в,ремен-и ,пр,ихода -r не­
смещенная (М(т) _=тн), а дисперсия оши-бки
D(т) =
~2=
Gш
Gш
,+-.и
оо
.
j,..
(дa(дt:,))2dt 5
•
ro2 32 (f) df;
,:
-оо
где S(f) - модуль ,комюлексного спектра огибающеw~
00
00
Энергия сигнала Е =+ Sа2 (t) dt =+ 5S2 (f) #, поэтомw
-оо
-оо
00
sro2sa(f) df
D[т]-Gшгдеv2=---
"'----
-
2Ev2 '
00
sS2 (f) df
-оо
Очевидно, lim D[т] = О и, следо:вательно, полученна к:
Т-оо (F-oo)
оцеН1ка явля,ется состоятельной и аси:мптотиче,ски эф'"'
фективной.
Р.6.1.6. А:постер,иорная :вероятность частоты сиг.н а~
ла определяется формулой (см. Р.6 . 1.5)
р (J)= К! [2V (f)]
z
1оG
,
ш
rде V (f) - уV(J Z(I) cosootdJ + (J z (1) siпoo td )'-этт
9*
259


сши:бающа-я по <р ,колебан-ия
т
's(f, IJJ) = Sz (t) 1 cos (ro t+ <p)dt.
о
Величина V(f) для кющдоiго з,начен,ия ча,стоты f проtПор ­
циона.льна эна1чению огибающей (1в момент t= Т) 1Коле-
6ан.ия на ·выходе фильтра, ·со~глаеова.нно,го с [!1рямо­
угольным радиоиматульоом s(t) = у oos (rot + <p) ,с точно­
стью до фазы <р. Т1ак 1ка1к ,стр уктура согласо1ванного
z(t)
Рис. 6.5. Структурная схема опти­
мального из м ерителя частоты при не ­
определенной фа з е сигнала
фильтра зависит от частоты f = ш/2л сигнала, то, строго
гоооря, для 01пти1маль.ной о цен,ки частоты {т . е. ;выiбора
величины f, :~юторая ,000Т1Вет,с11вует ,ма1ксиму.му V(f)] ,сле­
до:в-ало 1бы ра,апола.гать беоконеч,ным набором та,ких
филь11ров щля области ча·стот от fмин ~о fманс 1.
На mршктике IВМесто бесrюнечноло набора фильтров
можно иополы:ювать n = fм анс-fмин/Лf фильтро:в, где
Лf - величина, ;меньшая ширины основной !Части опект ­
ра сигнала. По п точ,кам фулiщии Pz(f11.) (k = 1, 2, 3, ... )
можно более или .менее точно ,построить непрерывную ·
(1по f) 1ЮрИ1вую P2 (f) . Стру~ктур,ная ,схема п-;канального
wзм,ер·ителя частоты ат,акав ана на р,ис. 6.,5.
В област,и бол:ыших отношений сигн,ал/шум а1Посте­
риорную 'Вероятность (,см. Р.6 ..1.5) можно . определить
.
[ 2V (f)]
так:Pz(f)=К2ехр - 0
~
• При ,большом отношении
1 Если реализаll!Ия z(t) может быть записана и сох,ранена на
долгое !Время, то в.место на,бор ,а фильтров .можно и,сrюльзовать од,и11
фильтр с перестра,ивае.мой средней частотой f поло.сы пропускания.
260


сигнал/шум можно !При .нахождении V(f) та,Noже сч,ита·ть
z(t)=vcosroot 1, rоа- ,истинное ,значение частоты оигна­
ла. То;rда
т
т
5(!, t:p) = у2 Scosffi 0 tcos (ro t + t:p) dt = cos t:p Sу2 cosffi tcos х
о
о
т
Хffiodt- sint:pSу2cosro0tsinro tdt и огибающая V(f) -
о
= V(Ir' cos "'' 1cos оо tdi) + (Jr' cos "'' 1sin оо tdt)'
При неf!Ы!Полнении услов.ий (f-fo) Т < :1 и f0T~il, учиты-
•вая приближения
получ,им [7] •
(Лrо t)2
cosЛffit~1-· -
-
, sinЛffit~Лffit,
2
ь
Vif)=Е- - (ffi - ffi0)2,
2
вт2
где Ь=
-
.
12
Аlпостериорная 1вероятность
Pz(f)= К3 ехр -~-
-
( (ro-roo)2 ЕТ2 ) •
Gш
12
Из 1пол~ученного р,езульта~а ,следует, что ;Пlри больших
отношениях сигнал/шум о~птимальная оцеНiка частоты
•
GG
несмещенная (MU}=fo), а ее дисперсия D[f]=--ш-. По­
ЕТ2
лученная оценка ·состоятельна (lim D{f] = O) и а,симmто-
т-rо
тически еффект,и1Бна.
6.2 . Оптимальный прием непрерывных сообщений.
Выигрыш и обобщенный выигрыш модема.
Потенциальная помехоустойчивость
при различных видах модуляции несущей
непрерывным сообщением
При передаче непрерывных сообщений принимаемое колеба ,Н1Ие
z(t) на интервале (О, Т) представляет со.бой ад:1щти,вную смесь сиг­
нала из1вестfюй фор,мы s'[b(t), t], за.висящего от одного меняюще­
го,ся во времени пара,меЧJа b(t) (сообще~ния), и аддити,вного
1 Без потери о, бщностн можно считать, что истинное значенне
фазы (J)o = O.
261


шу,ма u(t):
z(t)= s'[Ь(t),t]+и(t).
По принятоiМу колебанию z(t) необхо,д1имо наилучшим образом
решить, каа,ая реализация оилнала b(t) передавалась, т. е. в этом
случае та[, же можно ста,ви.ть воо.ро.с об ОJ11'И1мальной в опреде­
леююм смысле оценке b•(t). Оt11тИ1мальный пр·ием меняюще:гоея во
в1рвмени па.раметра (неn,рерыв,но,го соо.бщения) можно свест,и к за­
даче с0tВ,мест,ноu10 опти,мальноrо приема многих параметров.
Бели представить оигнал b(t) .на интервале Т обобщенным ря-.
до1м Фурье
вс
Ь (t)= z: Лk(f)k (t)
k=I
(6.6).
(здесь {(f)п (t)} - система ортонормированных функций; ля. - коор- .
дннаты (парамет.ры) непреры ,в,н•оrо сообщения b(.f), Вс - -баз,а со ­
общения), то при,ннма ем ое колебание
-+
z(t)=s'(л, t)+u(t),
-+
где 'Л = {л1, .л2, ..., 'лв с} - вектор параметров сообщения Ь (t).
Соазмещные ма.кси.мально пра,вдоподо6ные оценки J(Оо рдинат
со·о.бщения ооредел:яются из у1сло,вrия
д
-+
д
-+
-{l(z/л)}=O или-{Iпl(z/л)}=О,
(6.7}
дЛk
дЛk
-+
где l(z/л) - фующи.оиал отношения праrвдопо111.об.ия. Пр,и флуктуа -
->-
ЦИОtННОМ белом шуме и известной форме сигнала s'(л, t)
1 щ!) ~ ехр [а:J, (1) ,,(', 1) dt- G~ J,••iJ;,t)dt] · (6.8)
Зная оценки п:араметро.в л;, можно найти оцею~у сообщения
вс
,.., .
Ь*(t) =~ "'k(f)k (t)•
k=I
(6. 9)
Ошибка в=b•(t)-b(t) может расоматр,иваться ка.к помеха (шум }
на выходе прием,1шка (деl'ектора) .
.Спектральная плот,ность мощности шу м а на выходе детектора
при оп11имальном приеме и больших отношениях сигкал/шу,и в ка­
нале олределяет,ся фо.рмулой
Gвых(f)
(6.10)
где ля. -коорди'наты разложения b(t) в обь1чный ряд Фурье.
262 :


КачесТ\Бо непрерывных си,стем св,язи час110 оценивают выигры­
-
шем модема в отношении сигнал/шум
h;ых
g=--
h;x
(6.11)
Здесь /~2 вх = ( Ре / Рш) вх - отношение сред,них .мощ,1юстей ..оиг,нала и
шу,ма на входе при ем.нwка;
=р
Г (] (f)выxdf
о
-
от.ношен,ие сре~д.них мощностей сиnна ,ла и шума на выходе при­
' ем,ни:ка
(hетекто.ра). Веяи,чину h2 в ых удо,бно выр,азить через пик-
1 Ь(t) 1макс
фа1Ктор сообщения П =
-----
При IЬ(t) 1макс= 1 1
-Vь2'UГ ~
,2
-
--~------
1вых -
•Fc
П2 JG (f)вых df
о
(6.12)
Очень часто качество непрерывных систем связи оценивают обоб­
щенным выигрышем
li;ыx F F
g' =-----с= g-c,
h2 Fк
Fк
вх
(6.13)
где fc -полос а сообщения b(t); Fк - полоса · ка,нального си.г,нала
s [ b,(,t), t].
Обобщенный выигрыш аи.стем с д.войн.ой модуляцией (:при у,с­
ловии, что на второй ступени r1спользуется прямая модуляцип) 2
· может быть найден как пра,из,ведение о.бобщен,ных выигрышей
(6 .14)
rде ,g'п - о.бабщенный выигрыш при демодушщии несущего коле ­
б ания; g'п.н - обобщенный выигрыш при дем.одуля.щи,и по,днесуще­
. r o колебания.
.
В широ1кополосных систем.ах модуляции при некото,рам пороrо­
_в ом отношен.и,и сигнал/шум на входе прием,н,и,ка /~2пор качество
1 В дальнейшем везде сообщение
бу,дем считать нор,м,иро­
ван.ным.
2 Прямыми называются системы модуляции, в которых МGдули -
-рова,нный
сигнал' s' [b ,(t), t] в мо:мент в,ре.мени t зависит от з,наче­
ний соо·бiце.ния в тот .же ,момент ,времени. Остальные системы мо­
: дуля,ции 011НО,ОЯТ К нелря.мым. В ча!СТJЮСТИ, непркмыми ЯВЛЯЮТ,СЯ
я нтегральные системы модуляции, в которых модулированн ый сиг ­
и.ал s' [ b(t),. t] в момент !Времени t зааз,и,сит от интеграла мо,дул,и,ру­
·ющей функц,ии. К пря,мым сист ема,м модуляции можно отнести АМ,
БАМ, ФМ и т. п., к непрямым - ЧМ.
•••
•
263


связи резко падает (пороrО1Вый эффект). Пор·оrо;вый эффект ' выра­
жен тем резче, чем больше ча,стотная из,быточно,сть сигнала, опре­
деляемая о'nношением ширины полосы .канальлюrо оигнала и сооб­
щения kp=,Fиf.Fc .
3адачи
6.2 .1. За,писать ортогональные р.а,зложения для ог­
раниченного инт,ер,валом Т соо6щения b(t) на передаче,
на шр,иеме b*(t) и ,помехи в(t) ,на tВыходе приемнИJка
(.детектора).
Показать, что ,шри «слаrбом» белом гауссавом шуме
в ~канале и из1Вестной точно форме сигнала mомеха на
выхrоде ,СJ1птимально1го ,прием,н,и~ка в (t) - ,стационарный
гауе1соСJ1в .п'Р'о,цесс ·с не,к,оррелиро,ванными кюорди .натами и
Э'Нергетическим ,опектром
G.ы,(/) ~ ( !m )'
'дs ('А, t) -
дЛk
• 6.2 .2 . Поrка.зать, что для ~прямых ,систем модуляции
совместная ,п-т:ютность ,вероятност,и координ ,ат ш у ма на
выхОlде ,СJ1пт,имального ·приемни,ка !При флуктуационной
«слаrбой» iпомехе в ~канале и известной форме сигнала
описывает,ся ·выражением
(iЛл~)
w(Лл1,Лл2,•••,Ллв)= в;2 в12ехр - 1
'=~
2
'
с
(2:rt)сас
а
2
Gш
u
•
гдео=
(дs)2
-
дисперсия произвольнои коорди-
2Т-
дЬ
наты шума.
6.2 .3 . Показать, чтrо ОБП нель:зя строго отнести к
прямым .с,ис'Гемам модуляции, а :диспер,с,ия rпроиз·вольной
1Коор.,zщнаты шум -а на ·выходе о:птимального п,рие,МНИ!Ка
при «слаrбой» флуктуационной 1Помехе ,в канале опреде-
Gш
ляется для 9'ГОЙ ,системы фор,мулой oi = -
9
2
2и,как
.,Ту Ит
для произ,вольной ~прямой системы, не за~висит от ча­
стоты.
6.2.4 . Покавать, что 1ПрИ •ИЗ!Вестной форм,е сигнала и
слабом шуме предельные . значения 1вьщгрыша и обоб­
щенного выиttрыша в отношении сuг1;1,ал/шум -оп,ределя­
ются .выражениями:
264


g = ______Р_,,н,_,
--- --
F,
S"
df
П2Рс.вх -=д=========
о [длk {s' [Ь (t), t]} J2
.df
[а~k {s' [Ь (t), t]} J2
6.2 .5 . Найти общие ,выражения для ,предельных в:на­
чений !Выигрыша .и о,бобщенно:ю выигрыша прямых ,си­
стем м одуля~ции юр.и слабом шу:м,е 'В .канале .
6.2.6. Найти общие выражения для предельных зна­
чений . выигрыша ,и обобщен.нато выигрыша инте,граль­
;ных ,с хем м-ощуля~ц,ии :при сла~бом шу,м,е в ,канал·е.
6.2 . 7 . Пака1З ать, ,что 'Выигрыш ,и обобщенный выиг­
рыш для си-стемы с ам,пли"Гудной модуляцией пр.и сла­
бом шуме ,в к-анале О'Лре,деля,ет,ся формула.ми:
2т2
,
т2
gАМ= m2+П2 ;gАМ= m2+-П2
(т-,коэффи,циент гл убины моду,ля,ции) ка1к п,р,и апти­
мальн о1м, та,к и неопти.мальном приеме (линейно,м де­
тект,ировани,и аги~бающей) .
6.2. 8 . ПО'Iшзать, что ~пр.и слабом шуме пр,е.дельные
значе н ия .вьшгрыша .и -обобщенного 1выи1Грыша для си­
с1'емы балансной ам1пл,итуд,ной М·О.дуля.ции gвлм =2 ,
g' влм = 1 и ч·ю они реали:зуются ,при синхронном детек-
тировании -оигнало1в БАМ .
,
6.2 .9: Показать, чт;о юредельные з-начения \Выи~гры­
ша .и обо,бщенно,го выи,грыша д'11Я ,системы одно[юло·с-
н:ой модул яции gовп=g'овп=J.
•
•
6.2.10. Пока:зать, что ~предельный выигрыш и обоб­
щенный ,вышгрыш ~ля ,системы 1фа:з 01вой м,ощуляции при
Fк~~м , ~~м(R
сла,бо м шу,ме в .к·а,нале: gФм= -
. --;gФМ=-- t'Фм-
Fсп2•
п2
инде,кс .м одуля,ци,и, Fн/Fc -отно:шение ,поло,сы сигнал,а и
соо,бщения). Убедиться ·в том, что при сла1601м шу~ме в
канале ,иопользуемая на ~практ.и1ке схема ~етекти,рова:ния
ФtМ О1бес:печивает ~предельную ,пом1ехоустойчивость .
6.2 .1 1 . Пока1зать, что при олабом шуме в !Канале
раоп,рос траненная ,схем-а час1'отно['О детектирования
265


обеспечивает mредельное · Зl:!ачение о,бобщен,ного выиг­
рыша, ра1вного при ,больших ,индексах М•О'дуляции ~ чм
величине g~м = rЗ~tм/П 2•
6.2.12. ~ПО1ка-зать, что для •ои,стемы амллитуд,но-им­
пульсной модуляции АИМ 111редель-ное значение \Выиг-
рыша gАИМ= -
1-,
а о,б,общенного ,выигрыша - g~им = 1,
~-r:иFe
nде -rи- длительность имш,ульса; Ре - ширина -опектра
сообщен,ия. • •
6.2.13. Показать , ~что ,для системы фазо-им1пуль,сной
м,сщуля,ц,ии ФИМ rпрещельные з,начения IВЬШгрыша и
обобщенного выигрыша определяются формулами:
0,6( Fк )3·
,
_
0,6( Fк )2
gФИМ~п2 Ре 'gФИМ- П2 Fc
'
где Рк - ширина спектра ,канального ·сигнала.
6.2.14. Найти значения Оlбоlбщенного выиiГрыша для
систем двойной модуляции: ОБП - АМ, ФМ - БАМ,
ЧМ-АМ, . ОБП - ОБП, ФМ-ОБП, ЧМ-ОБП,
.
ФИМ - БАМ, ОБП-ФМ, АМ-ФМ, БАМ-ФМ,
БАМ-АМ.
6.2.15. ИсшолЬ'зуя соотношение для выиr~рыша иде­
альной 1Системы свя1зи {9, 12] и реальных ,систем, пока­
зать, :что 1пор,оговый эффект ·выrра,ж,ен тем резче, чем
б6льrше частотная избыточ.ность \Канального сиiГнала.
6.2.16. Определить 1поро.го1вое отношение сигнал/шум
для реальной оистемы с частот.ной модуляцией :в ~кана­
ле с :н-орм.альны,м ,белым шум,о:м, .полагая, что ка~ч,ество •
этой системы •резко mадает, когда ог,и,бающая шума пре-
вЬrша,ет амrплитуд,у •сиrгнала.
-
6.2.17. Найти ма1ксимально возможное значен-ие ин­
декса модуляции си,стемы ЧМ; при котором ·о·бесnечи­
вается rра~бота выше rrюр,о:га, найденного •В Р.6.2.16, если
требуется оrбеопечить отношение сигнал/шум на 1Выход-е
детектор а h2вых = 4600. Пикфа,ктор сообщения П = 3.
Решения й от:веты
Р.6.2.1. Полагая, что ·полоса сообщения b(t) о,гра­
,ни~ч1ена частотой Ре, и ~выбирая в 1качес11ве базиса ~ра•з­
ложения
си·ст,е:1⁄2у
орто·нор:м.иrронанных функций
v2cosk2; t и.V2-sink2; t, k=1, 2,
·, Вс,
в соот-
266


· ветствии с (6.6) имеем
,
в
ь(t) =~л,2k-1v2sin(2k- 1)2n; t+Л2kv2cos2k2n t.
.
~.
т
т
k=1
(6.15)
Для прин11rмаемотю ,аиr-нала в соответ-ствии с (6.9) по­
лучим
вс
Ь*(t) = .'"' л;k-1 '}/2sin (2k- 1) 2n; t +Л2kV2cos 2k 2n t.
......
т
т
k=I
Помеху на ~выходе 1Пр,Иемника в(t) =b *(t) -b(t) можно
• прмста .вить следующим рядом:
вс
V-
2n
v-
2n
е(t)=~Лл2k-1 2sin(2k-1)тt+Лл2k 2cos2kтt,
k=I
где Лл,, = л;-лk,
Оценаш ма1ксимальнот-о правдоподобия :Координат '). 1k,
.
-+
полу,ченные 1при анализе ,смеси z(t) = s'"('A, t) +u(t), ми-
•
т
~ нимизирrуют функ,ц,ионал d = _\' [z (t) - s' (л, t)] 2 d , т. е.
о
• оr пр, ед еляются из соот,ношений
(уравнений правдоuюд:о­
бия)
т
~= -2s[z (t) - s' ~. t)] ~{s' (л, t)} dt=O, k=1,2,... ,Вс.
дЛk
о
'
дЛk
(6.16)
Ес,л,и по~ действием слабой юомехи u(t) принимае­
м ое ,кол ебание z(t) получит лриращение Лz(t) =и(t), то
коор щ инаты •соо1бщен,ия на ·выходе приемника (детехто­
р а) ,получат ,приращения Ллz. Этим ~приращениям коор­
динат сооТ'вет1 с·11вует 1приращеи.ие ,канального сигнала
вс➔
Л s'(Л!, t) = '\"1 дs'д(~, t) Лл1.
(6.17)
LJ1
,
•
1=1
Средний к:вадрат отклонен,ия ~колебания z(t) +Лz(t) от
-+
-+
с игнала s'(л, t)+Л$'(Л1s, t) 1в простра,нстве Гильберта
т
•
•-+
-+
d= J[z(t)+Лz(~)-s'(л, t)~Лs'(Лл, t)] 2 dt. (6.18)
о
267


Если 01птимальные о:ценки 1коО1рдинат уд:О1влетво·ряют
дd
ураrвнен,ию пра1вдо[Iодо6,ия -
= О, то и·з (6.18) ,с уче­
д'Аk
том (6.16) и (6.17) iПолучаем
т
вс
т
-
1 Sи(t) _i_{s' (Л, t)}dt • \1Лл,-1 S-д-{s' (Л, t)}Х
Т
д 'Ak
kJ Т д'Ai
О
l=!
О
х ~{s' (л, t)}dt.
д 'Ak
(6.1 9)
Если ~ {s' {t, t)} ,с неодина11ювыми .ищдексами ортото-
д 'Az
.
нальны (что имеет мес-го для вс-ех анализируемых си­
стем модуляц,ии), то и1з (6.19) следует
т
1sд -+
1
Ллk.= -
-- {s' (л, t)}и(t)dt [ а ....,.
]2•
ТодЛk
д 'Ak {s' (л, t)}
Тюшм ю:бразо.м, ;велич.ины Ллk. на .выходе 01птималь­
ного л1рием,ника раапре~елены норм.ально ~при нормаль­
ном распредел,ен,ии помехи u(t)], ·не коррелированы при
равли~ч.ных k (в-следствие -взаимной о·рт,огоналыюст.и сит-
налав _а_ {s' (t_ t)}), имеют нулевые математичес1кие
д 'Ai
ожидания ,и 1Jщсперсии
-+
Х [s' (л, t1)] и (t) и (t1) dtdt1.
Та1к•ка•ки(t)и(t1) = Вш(t, t1) = Gш б(t1- t), то с учетом
-
2
фильтрующего 1свой.ст.ва б -функщии наход:и.м
т
~ Gm _lJ[_Ё_s, (Л, t)]2dt=
(дs'('А,t))2•2Т ТOд'Ak
.
д 'Ak
Gm
-
---== ===========-
2Т (а ~k {s' ('А', t))Z)
268


Та1К 1ка,к rпри лЮlбых IВидах модуляции
[ дл:_1 {s'i"t, t)}J2 = [d:2k {s' ~ . t)}]2,
ro ·ко1эффи1Циенты юр,и синусах и косинусах одинаковоr()
аргум 1ента имеют одина1ковые :дисперсии a 22k-1 =<Y22k,
вс
1В этих условwях в (t) = ~ Ллk<:рk (t) nредста1вляет co-
k=I
бой стационарный .нормальный шум •с ,нуu~е,вым средним
и оред'ней мощностью на ча,стоте f=k/T, равной a 2 (f) =
= 2a22k-1 1= •20' 22k,
ПоС'колыку ,спект1ральные 1комшоненты ряда Фурье
сдв,и·нуты то ча,стоте на Лf = 1 1/Т, получаем
G (f)-а2(f)-
Gш
вых-Лf
-
[д
]2•
-
{s'[b(t) ,t]}
ддk
Р.6.2.2. Для прямых ,систем мо1дуля,ции с учетом о,р-
толонального раэложения b(t) (см. Р.6.2.1) находим
[д~ {s' [Ь (t), t]}] 2
= [_i_ {s (Ь (t), t]} аЬ (t)]2
=
дk
'дЬ
.
ддk
'
д
= -д{s' [Ь(t), t]p(J)k(t).
Ь,
д
Частотный Сiш,штр фующи,и {-s'·(tJ]2 обычно лежит
дЬ
значи'Гельно •выше удвоенной ~верхней ча-стоты юпе,ктра
сообщения b(t) 1~фун1кщии crlc (t)}. Поакольку функции с
неперекрывающи,м,ися опектраrми ортогональны, ,среднее
з·на1чение их произ-веден,ия ра.вно 1Произв,ещению их сред­
них значений. С .учетом ортоно1рм,ир-аванности фу.н,кций
(pk (t) имеем
'
[a:k {s' [Ь (t), t]}J2 = [fь-{s' [Ь (t), t]} J2 cpi (t) =
= [:ь{s'[Ь(t), t]}J2
(эта величина не вав.и-оит от ча,стоты). С учетом эт,огС>
результата можем записать:
а2=Лл2= Gш =а2
k
k
[дs' ]2
2Т-
дЬ
269


ехр [ - (Лл1<)~]
_
w1 (Лл") = ---
а у2п
2а2
tПосколыку .величины ЛЛ" неза,висимы,
вс
Wв (Лл1, Лл2, ..., Ллв) = п W1 (Ллk) =
с.
с
k=l
( ~Лл~)
1
k=l
=
в12вIехр----•
(2n)сас2
2а2
Р.б.2.3. Сиrгнал ОБЛ IB месте 'П!риема молшо ЗаtПИ­
(•tать в 'Виде
л
s' (t) = у ИтЬ(t) cos (roof+ср0)-у ИтЬ (t) sin (ro 0t + ср0),
А
1 5<» Ь(t)
~.це Ь (t) =-
- - d.: - сигнал, сопряжен.ный сообще-
п
t-т
-
-оо
н ию b(t). От,сюда следует, что ОБП модуляцию .нельзя
~тр,ого считать прямой.
Если заIпи,сать
вс
,
b(t)= ~ л2k-I-V2sin(2k- 1)2n t +л2kУ2cos2k2n -t,
k=l
Т
Т
- o o<t<oo,
:ro
,
вс
'д
\.'
-v --
2n
-v- .
2n
tb(t)=
-
~л2k_1 2cos(2k-1)тt-
,,2k
2sш2kтt1,
k=l
- o o<t<oo.
Тогда
s'(t)=уИт {~л2k-V2cos(uJ0t+<р0- 2k2n t)+
k=l
Т'
'
+ i;/,н )!2sin [(2k- 1) '; 1-ro,t-q,,] \ •
1 Фа1Кт.нчесюи сообщен.ие финитно и определено лишь на •ин­
· тер.вале одного пер;иода, а его преоб,разо.ва,н.ие Гильберта, строго
\IОв.ор,я, отлично от написа.н.ноло.
270


Д,иап~ерс.ия координаты шума на выходе оптимальнопr:1
1Пр.иемника
а2 = Л"л,2 = __§i__ =
Ош
k
k
( дs')2 2Тy2U~
2Т-
д').,k
Р.6.2.4. Согла-сно ф-ле (6.10)
Gвых(/) = д Ош
.
lдЛk {s' [Ь (t) ' t]}]2
Поэтому с учетом ,(6.12)
h2 = --~ --- -----
вых
Fc
п2 Ош s===:=::df===::::::
о f_д_ {s'[b (t), t]} ] 2
Laлk
При равно.мерньй ,с;пект ральной плотности шума в ка-­
на;ле можно за:п.и,сать
h2=Рс.вх.
вх
FкGm
Подставляя найденные выражения для h'2вх и h2вых в
ф-лу (6.11), [JОлучаем выигрыш
Fк
g= ---~F~--"
.'---
.
----
sc
df
п2 Рс.вх
д
2
о [- {s' [Ь (t), t]}]
дЛk
Обобщенный 1выигрьшп нах,одим [10 ф-ле (6.13 )
g' = ----= ---F--'c______
Fc
п2 рс.вх s===========d=f==~
о [-д- {s' [Ь (t), _t]}] 2
д'J.k
Р.б. 2.5. Как следует из Р . 6.2 . 2, для прямых аисте ~
мощуляции
[_а {s'[b (t), tJ}J 2
= [~{s'[b (t), tJ}i 2
•
дЛk
дЬ
j
По ф-ле (6.10) получаем
Gвых(/) = ===::::Ош====::::::
[:ь {s' [b(t), t]} ]2
271


Подставляя величину Gвых(f) .в выражение ~для IВЫИГ·
рыша, ,получа·ем для ,прямых систем модул:Я,11JИИ с уче-
д
'
rом .нез·а•ви~симости {-·
1[s' (Ь (t)t]} 2 от частоты (Р.6 . 2.2)
дЬ
g=
Fк [fь{s' [b(t), t]}]2
По ф-ле (6.13)
[_д {s'[b(t), t]}1j2
'
дЬ
g = =--------=- -
п2 Рс.вх
Р . 6.2.6. Вв~дем
вс
== k~/-11. s(f)11.(t)dt. с
обозначение v(t) = 5 b(t)dt=
1учетО'м э-юго им, еем ,при интелраль-
ной мо:ду,ляци:и
[a~k {s' (v(t), t)}г = [/v {s'[v(t), t]}2]( ::J2
=
•
1[д
]2
=
roi а'; {s'[v (t), t]} ,
lai;{v (t)}J2 = [JCfJ11. (t) dtг = ~~
•
Величина { :v {s'{v (t), t]} ]2 не эа1ви,сит от частоты.
!Подставляя
найденное
~выражение
для
.i .. {s'[v (t), t]} ]2 1в ф-лу (6.10), находим энер,гетwческий
дл11. '
опектр на выходе оштимальнаго ,приемника [IрИ инте-
11ральной мюдуляци.и
Gвых(f) =
Gш 4л2/2
[/v {s' [v (t), t]}Г •
По ф-лам (6.11) и (6.13) с у~четом Р.6.2.4 н· аходим:
[д'
)2
ЗFк ~ {s'[v(t), t]}
4л2F~ п2 рс.вх
272


з[~{s'[v(t), t]}]2
,
дv
g = --=---~---='--
4п2 F~ п2 рс.вх
Р.6.2.7. Запишем •С•Иlгнал 1в месте приема [IРИ а,м 111ли­
тудной ,МО;П.)'iЛЯ1ци,и в ,следующем ,виде : s'[b (t), t] =
=-yUm{l+mb(t)}cos((J)ot + <po) (~полагаем, что -уИт, (J)o и
<ро из1в-е,стны в месте а1риема).
Находи:-.1 :
-fь-{s' [Ь (t), t]} = у Итт cos ((J)0f + <р0);
l:ь {s' [Ь (t), t]}J2 = y2U;,m 2 cos 2 ((J)oi + <JJo) =
r1
1
]
1
= у2И;,т2tT+2 cos(2(й0t+2<р0) = 2-у2И;,т2•
Определ яем среднюю мощность входного ,си,гнала, по­
лагая , что модулирующая функция Ь (t) меняется мед­
ленно по сравнению с cos (J)at и не содержит постоянной
составляющей:
Иоnольз1уя теперь ооотношения для 1выиnрыша и
обобщенного ·выиrгрыша ,прямых ,систем м-одуля.циrи, най­
денные в Р.6 . 2.5, и учитывая, что 1J11ри А:М Fн=2Fc , на­
ходи м:
2m2
( m2) '\'2 .u~
п2 I+ri2 - 2-
m2+ п2
Fc
т2
FкgAM= т2+п2
Иапользуя результаты Р . 2.4.10, можно видеть, что
такие же значения g и g' обеспечивает при слабом шу­
ме обычное 1Лин,ейное детектирован.ие АМ сигнала . Сле­
довательно, nри слаtбом шуме широко ра,сш1ро,странен­
ный прием АМ ситнало1в ,nр•а1кти1чески реал.изует опти­
мальную обработку.
273


Р.б:2.8. ПринИJмаемый ,си гнал при БАМ s'(t) =
= уИтЬ(t) cos (ffiof + (J)o). Тотда ,с у,четом Р.6.2.5
-
Fк- 2·
,
Fc
1
gБАМ-F
-
' gБАМ=FgБАМ= •
с
к
Если на вход ·си н х р онного детеК'ГОра с опорным сиг­
налом Soп(t) = ,2 co s (ffiof+c:po) !По ступает сме,сь
Z(t) = уЬ(t) cos(ffi0i+с:р0)+Хп(t) cos(ffi0i +(fJ0):+
+ Yn (t) sin (ffi0t + с:ро)
[Хп(t), Уп(t) - IКIВадра·турsые 1компо,ненты канального
шума с нулевыми ,ор,едним,и ,значениями и дисп ер-еией (,в
[ЮJюсе ~и.гнала Fн) Х2п: = У2 = FнGш] , то на выходе ,син­
хронного ·детектора (после умножителя и низкочастот­
н·ой фильтра,ции) ,си.гналь н ая ,соста,вляющая Yc(t) =
= уЬ (t), а шумовая соста1вляющая Уп(t) = Хп(t). С,ред­
няя мощность шума · на вы ходе Рш. вых = i{?.п(t)=
= 2GшFc (та·к как энер,гетический ,опектр шума il-la вы­
ходе ФНЧ ,больше, чем ,на вх,аде, 1в 2 раза).
у2.
у2.
F,.
2
h~ых П22fсGш' h~x = п22Gшfк' gБАМ = F~' =
' g~AM=1.
Сл,едо,ват,ельно, синхронное дет ектирование с и гнала
БАМ обесш.ечи"Вает опт,и:мальную обра1бо11ку.
Р.6. 2.9. Средняя мощность ~ш у ма (диоперсия шу ма)
на •вы ходе шр,иемника с учетом Р.6 . 2..З
Та1ким о·б1разом ,
· y2U~
П2 Gшfс
Средняя мощно,сть ,си1гнала
-v2 u2
=~,2u2ь2(t)=
_
_
т_
ОБП (см. Р.6 . 2.3.l_! с .вх =
--
л
r
т
п2'
поскольку
ь2(t) =ь2(t),
а
т
л
JЬ (t) Ь (t) sin (2ffi 0 t + q:>) dt ,пренебрежимо мал mo ера.вне -.
о
.нию ,с b2(t) . Поэтому
у2 u2
h2=
т , та,к ка,к п,ри ОБП
вх П2Gшfс
274


:fк = Fc. СледО1ват,ельно,
h;ых
gОБП =
-2- =
l; ,g~вп= 1.
hвх
Р.6.2.10. За,пиш€м при,ни.маемый ,сигнал лри ФМ в
виде
s' [Ь(t), t] = уИтcos[ffiof+ЛqJb(t)+(!)0].
Отсюда
и
:ь {s' [Ь (t), t]}=-y Ит ЛqJ sin {ruaf + ЛqJb (t) + ip0]
[д
]2
дЬ {s' [Ь (t), t]} = у2И;, Лср2 sin2 [ffi0f + Л~р Ь (t)+IPo] =
'\ '2 и;;, Л!JJ2
2
Средняя мощность принимаемого сигнала Рс.вх =
1
= 2у2 И2m . . Под:ста1вляя найденные выражения , Рс.вх и
[:Ь {s' [b(t), t]}J2 в формулы щля вьшгрыша и обобщен­
ного ,выигрыша ,иэ· Р.6.2.4, mолучаем:
~ "2·u2Лm22
Гк'
m '1'
gФМ =
-
Fc 2П2у2 И~
(~Фм =Л(!) - индек·с фазовой модуляции),
,
Fc
~~м
gФМ=FgФN\.=П2•
к
Считая, что полоса частот канальною сигнала при
угловой модуляции Fк;:::::;2(~+ l)Fc 1, имеем~= (Fк -!),
2Fc
и можно ·на!Писать:
1 При ~~ 1 имеем F,,,,,,2~fc.
275


Смесь ФМ с:mr,нала и канального шума заmишем в
ниде
Z(t) =уИтcos[ro0t +<Vo+ Л<рЬ(t)]+ Xn(t)cos(ro0 + <Vo) +
+Yn (t)sin(ro0t+<:р0)=
= V[yUmcos(Лcp b(t))+Xп(t)]2 +[yUmsin(Лcp b(t)) +Уп(t)] 2Х
Х cos (rooi + {/Jo + 0), tg 0 = Уп-УИтs1n (Л(J)Ь (t)) .
Хп + у Ит cos (Л(J) b(t))
Бу:дем считать, что силнал на ~выходе фазового де­
тектора Увых(t) пропорционален величине 0 и содержит
ча,стотные составляющие .в п·оло,се ,сообщения b(t) 1:
У~ (t)-y Иmsin (Л(j) Ь (t)) .
Увых(i) = arctg ,
,
Хп(t)+уИтcosIЛ(JJЬ(t))
где Х'п, У'п-с-оста·вляющие ~помехи •в полосе сооiбщения.
При болыuюм отношен.ии сигнал/шум, иопользуя ме­
тодику Р .6 .1 .4, ;по:лучае1м
Х~(t) cos (Л(J)Ь(t)) - У~(t) siп(Л(J)Ь(t))
Увых(i) = ЛсрЬ (f)- --- - -------
уИт
Ор,едняя мощность сигнала на выходе Рс.зых = Лср 2 Ь 2 (t) =
= ~71,м /П2 . Ср,едняя мощность шум,а на !Выходе
7
рш.вых • • --~п2 = 2Gш;с .
y2um
y2um
Этот результат объясня-ется тем, что если энергетичес­
~ий опектр шу,ма Xп(t),cos (roat+cpo) [или Yп(t)sin (ro 0t+;
+ера)] ,со оре:д,ней частотой w0 ра,вен Gш , то энер,гети~е­
ский спектр Хп (t) (Уп (:f)), т. е . модулирующего процесса,
следует принять равным 2Gш. Учтено также , что про­
цессы Х'п(t) л У'п(t) неза1висимы и определены в поло­
се сообщения. Таким обра,зом,
h2
вых
ПосколЬ1Ку
Р~м у2 и~
П22GшFс
"2 u2
Р.2 F
h2__ _1_т_
1-'ФМ к
тоg
=---
вх 2GшFк '
ФМ
п2рс
1 Для ,удовлетворительного детектиров .ания ФМ сиг.нала с боль­
щим индексом модуляции на пра1Ктике используется частотный де­
тек-nор с последующим и,нтегр,и,рО;Ван.ием вых.од1ного продукта.
276


Следовательно, исшолызуемый на практике способ
детектирования ФМ сигнала реализует при большом
отн,ашении сигнал/шум ,предельную rпомехоустойчивость~
Р. 6.2. 11. Пре~с~авим ЧМ ,колебание в месте прие­
ма •в виде
s' [v(t), t] = уИтcos[ffi0f + Лffiv(t)+ср0].
Здесь Лffi= ,2лЛf - девиация частоты; v(t)= sь(t)dt.
Мощность сигнала на входе ,прием,ника
1
Рс.вх = y2U'fn COS2[ffi0f + Лffiv(t) + cp0J= 2 у2 И':п,
Найдем [/v {s' [v (t), t]}] 2
:
.!_{s'[v(t), t}= -
1' Ит Лffi sin [ffi0t + Лffiv(t) + ср0],
дv
[.!_ {s'[v (t), t]}] 2 = у2И2 Лffi sin2 [ffi0t+ Лffiv (t) +ср0] =
дv
т
-
=
_1 ~,2 u2 л(\)2.
2Jт
. .Воаполызо.в-авшись
формулами для ,выигрыша_ и обоб­
щенно.го выи~рыша, riюлученными в Р.6.~.5, найдем
зF-1
-
"2 u2 4л2л1•2
к2,
т
gчм =
1
• 4 л2рз п2-у2 u2
с
2
т
С уч,етом того, что Рчм =Лf/Fc и Fк=2Лf=,2РчмF0
(rпр,и Рчм» 1), gчм =бР 3чм/П2 . Обобщенный выигрьmп
,
зл 12 ,з~~м
gчм=п2р2 = -~
.,
с
Омесь ЧМ сигнала ,И канального шума з-апишем с уче­
том Р.6.2.10 в виде
z(t)= V[~v-Иm_C_Os~(Л-ffi~sb-(t-)dt_)_+_xп-(t)~J-+___
--++ [уИтsin (ЛffiJЬ(t)dt+Yп(t)]2 cos {ffi0t + ср0+ 0);
tge =
Yп-'\'Иmsin (лсо Jb(t) dt)
Хп+'\'ИтСОS (лсо sb(t)dt)
277


Будем ,оч.итать, что сигнал на ·выходе частотного де­
-гектора Увых(t) 1проюорционален мгновен:ной ча,стоте
.d0 /dt и · содержит частотные с-оставляющие ,в п-оло,се со­
общения b(t):
Ynыx(t)
{
У~ -YИmsin(Лw f Ь (t) dt) }
d arc tg ------------
Х~ +YИmcos(Лw f Ь (t) dt)
dt
При больших отношениях сигнал/шум с учетом Р.6.2.10
dе(t)
Увых(t)= ЛffiЬ(t)- -- ,
dt
,e(t) = у ~m [х~ (t) cos ( Лffi Jb(t) dt )-У~ (t) sin ( Лffi Jb(t) dt)].
Если Х'п(t) и У'п(t) - неза1вИ1симые случайные про­
цессы с нулевыми средними и одинаковыми дисперсия-
---;у
~
·ми Х л (t) = У п (t), то в (t) прещставляет собой ,ста,циона.р-
ный процеос с нулевым сред;ним з-начением, огра,ничен-
Х~2 (tJ
. ной дисп,ерсией -- и ,ра1в·номерным энергетичеоким
"r2u~
-~1пек"Dром 20ш . Случайный 1пр-оцесс d 8 (t) та1кже стацио-
12u~
dt
.
20 w2
нарен .и имеет энер ,гет.ический опектр __l!!____ _
Следова 0
y2u~
. тель но,
ср~дняя м,ощность шума 'В полосе ,сообщения на
вых,оде ча -стотното детектора
2G42SFс
2G 4п2 рЗ
р=шпf2dt=шс
ш.вых
2и2
32uz ·
'Vт
'Vт
о
·.Для отношения сигнал/шум на выходе частют,ного .де ­
тектоRа имеем
h~ых =
П2 2Gщ4п2 F~
•
у2 u2
·Отношеш-1е сигнq,л/шум на входе h2 -
__
т,идля
вх- 2GшFк
,gчм и g~м • получаем тот же результат, что и при опт,и­
мальном приеме.•
278


Р.6.2.12. Система АИМ относит,ся 1к п,рямым систе- .
мам модуля,ции. В качестве шереносч.ика сообщения в- ,
этой си~ст,еме иопользrуется и.м1пуль-сная ,последо,ватель-
6LЬппппп t.
oJ
Рис. 6.6 . Импульсный переносчик ( а) и реализа­
ция . сигнала АИМ (6)
ность (рис. 6.6а), 11ю'Горую mри ют,сутс11вии модуляции н~
интер1вале длительности сообщения можно за[Iисать
Т/2 Ти
f(t) = ~ F(f-kTи), пде F(t) определяет форму и:м:пуль-­
k=~т12 Ти
1
1
са,аТи=- ~
-
-
период ,следования .импульсо'В.-
2Fи
2Fc
Сигнал АИМ ,в месте приема (,рис. 6.96) можно за -­
писать
s' [Ь(t), t]=уЬ(t)f(t).
С,ред1н·яя ~мощность этого сигнала
Рс.~х = {s' [Ь (f), f]}2 = у2Ь2 (t) / 2_(f) ~~2 f~~)
,
l
а [ ~{s'[b(t), t]}] 2 =y2f2 (t) .
дЬ.
.
Согла-сно Р.б.2 . 5
= Fк •,?2f2(t) _!2:_ =
Fк ~-1-> 1·
,
I
gАИМ Fc. п2
·y2f2 (t)
Fc -- ТиFc
' gлим=
•
Р.6.2.13. Система ФИМ относи'flся ,к ПР'ямым аисте ­
мам модуля1ции, а ,сигнал ~ри ФИМ (р,ис . 6.7) можно,
з аписать в ~виде
Т/2Ти
s'(t) = у ~ F(tк),
k=-Т/2Ти
279


ме А = t-kТи+МмаксЬ(kТи) определяет временное по­
ложение модулируем,аго им1пульс.а; ЛtмаксЬ(kТи) - м,гно­
венное значение временного сдвига импульса от сред-
Ти
1
1
.!
1"'
..,
1
Лt'
-
,
hii7:~h
__.. __._______._.
:П
__.____..._,Ш_.___,__,_U-' -
·-~
□~: - -1Lt
Рис. 6.7 . Реализация сигнала ФИМ
него пол,о;жения; Лtмакс - ма1~симальлое 011клонение им­
пульса, соо11ветствующее Ьмакс(t) = 11. Неличина
,;и/2
Рс.вх= [s' (f)]2 = у2-1 SF2(f)dt.
.
Ти
-rм12
д
Определим фун1wцию - {s' (t)}:
дЬ
Т/2Ти
_!___{s'(t)}= д{s'(t)}dtк = Лt
~ дF(tk) •
дЬ
дt db
макс'\' I.J дtk
•
к
k-T/ 2Tи
Та,к как при ФИМ [дF(tk)]2 = r aF(t)]2 , число ИМIПуль-
дtk
Lдt
сов на интервале Т равно Т/Ти и они не перекрываются,
то 1можно з·аю.исать
,:,,12
[_!___ {s'(t)}]2
= Лt2
2 .I__
-
1 f [дF2 (t)]2 dt.
дЬ
макс'УТнТ• дt
- -r,,12
С учетом !Этого ,результата находим:
_
_
I_(Л fмакс)2 Fк .
,
__
1_ (Л fмакс) 2
gФИМ- П2kф Ти Ре 'gФИМ - П2kф Тн
•
,;И/2
Т:Н/2
~
Здесь kФ = • S F2(t)dt/т~ J [а~?) ]2 dt-
--rи12
-'tи/2
сrюэф:фицие;нт, определяемый формой им1Пуль,с-а.
Для о'6ычно и1споль:зуемых импульс,о:в пла·вной фор,мы
kф~О,1, Fк~ 1/tи. , Поекольку
280


Прмельные значения выигрыша и обобщеююто ~выиг­
рыша при ФИМ:
Р. 6.2 . 14. Посколык~у ,во 1нсех в ащанных системах на
второй -сту1пени осущес11вляе11ся прямая модуляция, мо·ж ­
но оценить обо~бщен н ый !Выигрыш по ф-ле (6.14).
Пр-и эт-ом следует иметь в виду, ltlтo на второй сту ­
пени следу ет брать ,пиiкфактор прометутачн,ого ои,гнала .
Этот пип~факюр· равен V2 при ЧМ и ФМ и у2(1 + m>
при АМ . При ОБП 1пиыфа,ктор 1Промежуточного си.гнал,а
пример,но ,равен 1пикфа·ктор у первичного сигнала П, а
при БАМ - V2П . Найдем величину g~м-лм :
( -т2)
2П2 1+т
Ре:зультаты ра-счетов для др уги х си,стем двойной моду­
лящии п риведены ,в та,бл. 6.1 .
Система
м оду.,яции
ОБП-АМ
ЧМ-АМ
ОБП-ОБП
ФМ-ОБП
ЧМ-ОБП
ФМ-АМ
ТАБЛИ Ц А 6.1
1Обобщенный выигрыш
т2
п2+m2
3т2 Вtм
п2(m2 + 2)
1
В~м
п2
3Вtм
п2
В~м
п2
1
Система
модуляции
ФИМ-БАМ
АМ- ФМ
БАМ-ФМ
БАМ-АМ
ОБП-ФМ
281
Обобщенный выигрыш
0,6(Fк)2
п2 Ре
т2 В~м (2 +m2)
2(П2+m2)(!+ т)~
В~м
2п2
т2
т2+ 2П2
В~м
п2


Р.6 . 2 . 15. Для идеальной системы связи при гауссо­
вом источнике и канале согласно [9, 12] выигрыш
(1+h;x)Kp- 1
g-
.
-
li;x
Зависимость g (h2вх) при некоторых значениях коэф­
,фициента КР дана на рис . 6.8 . Для всех рассмотренных
!J,дб
/ff</fc:fO
/5
/
/2
#
Рис. 6.8 . Зависимость выиг-
рыша системы модуляции
от отношения сигнал/шум в
канале:
Рс/Ра, - - - - - для идеальной
системы;
для ре-
о1020JO4050аОilБ
альной системы
,нами реальных систем модуляции при слабом шуме
_g = go не зависит от h2вх (сплошные линии на рис . 6.8).
Предельные минимально возможные значения порога
· -h \1op при заданном КР можно определить как точки пе­
ресечения сплошных и пунктирных кривых рис. 6.8 или . .
,яз уравнения
(6.20)
Для системы ОБП (б е з частоп-ю й и з быточ ности
.Кр= 1) (6.20) удовлетворяется при любом значении
h2пор (в том числе при h 2пор=0), т. е. для этой системы
п ороговый эффект отс утствует . Для систе м ы БАМ Кр=
= 2,go=2,h2пор=О.
При КР» 1 (системы с большой частотной избыточ­
ностью) :[9] следует величина порога
2 ,.. ._,
1/Кр
hпор ,,..._ , go
•
(6.21)
Из (6.21) видно, что с ростом частотной избыточности
. системы падает · порог, стремясь к 1 при kr+oo.
282


Р.6.2.16. Огибающая помехи типа белого шума
распределена по закону Рэлея
w1(r)= -
ехр--
.
Г(
,2)
а2
2а2
Пороговое значение амплитуды сигнала Ипор найдем из:
условия
т. е. из условия, что огибающая шума r с малой веро­
ят~-юстью (в течение 0,1 % интервала связи) превышает
иJор
и~ор
значение Ипор- Отсюда - ~ ~ 7. Поскольку
--=
2~
2
h2 - (!_.s _)
=7
пор
Рш пор .вх
•
Обратим внимание на то, что полученное значение
порога для реальной системы ЧМ существенно превы­
шает минимально возможное его значение, близкое со­
гласно (6.21) к 1. Следовательно, имеется возможность
совершенствования приемников при ЧМ для снижения
порога помехоустойчивости и тем самым увеличения
дальности связи при той же мощности передатчика.
Р.6.2.17. Используя Р.6.2.10, получаем для средней
мощности сигнала на входе приемника при работе
выше порога:
П2 h;ых Рш.вх
6~tм
р
=h2р.
вх.пор
пор ш .вх
(6.22)'
(6.23)
Чтобы (6.22) превысило (6.23), требуется, чтобы ин-
3rh2п2
деке модуляции Рчм -< .v
вы~ • При h2вых=4600,.
6hпор
П=З, h2пор=7 максимально возможное значение ~чм=.
=10.
283


6.3 . Передача непрерывных сообщений
дискретными методами
В технике связи все больший интерес вызывают дис­
кретные методы передачи непрерывных сообщений или
цифровые системы связи.
В настоящее время используются, главным образом,
цифровые системы связи с кодово-импульсной модуля­
цией (КИМ) и дельта - модуляцией (ДМ). В обеих сис­
темах осуществляется квантование во времени непре­
рывного сообщения b(t), т. е. преобразование его в пос­
ледовательность отсчетов b(ii)- Чаще всего это кванто­
вание осуществляется с равномерным шагом Тн. Кван­
тование отсчетов по уровням в сист~ме КИМ заключа­
ется в том, что значение отсчета Ь (1ti) сравнивается с
постоянными порогами квантования hz 1.
Если hz-1 <b(ti) <hz, то вырабатывается дискретный
сигнал bk(ti) (k= 1, 2, 3, ... ,
L - число уровней кванто­
вания), который по каналу перед'ается обычно п-знач­
ным равномерным двоичным кодом. На приемной сторо­
не в результате декодирования принятого сигнала выра­
батывается определенный уровень оценки b*k(t), кото­
торый иногда поддерживается постоянным до момента
декодирования следующего сигнала .
Однако чаще всего на приемной стороне производит­
ся дополнительное сглаживание квантованного процес­
са линейным фильтром с переходной характеристикой,
определяемой коэффициентом корреляции сообщения
Rь (-r).
В системе ДМ по каналу в дискретном виде (пос­
редством квантования по уровням) передается сигнал
разности соседних отсчетов. Эту систему можно рас­
сматривать как систему, в которой уровни квантования
очередного отсчета hk (ti) меняются во времени, опреде­
ляясь оценками предшествующих отсчетов. Система ДМ
на практикt реализуется как двухуровневая ·, (в канале
передается « 1», если разность соседних отсчетов поло­
жительная, и «О», если эта разность о·трицательная).
Оценка отсчета в месте приема Ь* (ti) осуществляется
путем накопления сигналов, tоответствующих передаче
двоичных импульсов по каналу связи.
При квантовании сообщений по уровню во31:шкает
ошибка (даже если дискретный канал без шумов), обу-
1 Чаще в,сего -квантование по уровня,м раmомерное, т. е.
h1-h1 - 1 =д - шаг 11ЩJантования.
284


словленная заменой истинного значения отсчета сигна ­
ла ближайшим разрешенным на передаче и характером
устройств сглаживания на приеме. Средний квадрат
этой ошибки (ошибки квантования) мож ет быть опреде­
лен при стационарном сообщении по формулам [2] :
•J~а/[1-(1-;/)+JR:(,)d,]
(6.24)
для системы КИМ;
е; = а~ [1- (1 ~:6)02 +5R~ (1:) dт]
1--Rь(Т)е0 0
(6.25)
для системы ДМ.
Здесь ,а2 ь - дисперсия (средняя мощность) сообще -
о
е2
ния; в20=- 2
-
нормированное значение среднего квад-
аь
р ата ошибки при передаче одного отсчета ~ообщения и
заданном числе уровней квантования L; Rь (т) - коэф­
ф ициент корреляции сообщения по времени.
Наличие шумов в дискретном канале порождает до­
полнительную ошибку как в системе КИМ, так и в сис­
теме ДМ. Средний квадрат этой ошибки (ошибки деко­
дирования) в стационарном канале без памяти пропор­
ционален вероятности ошибочного приема элемента
дискретного сигнала
(6.26)
где коэффициент пропорциональности k зависит от ти­
па кода и коэффициента корреляции сообщения.
Ошибки декодирования и ошибки квантования мож­
н о считать независимыми, и, следовательно, средний
квадрат суммарной ошибки
(6.27)
о
Нормир·ованный средний квадрат ошиrбки в2 (вели1Чи­
н а, обратная отношению сигнал/шум на выходе цифро­
вой системы связи, h2вых)
о 1 е7+е71
в2= --=
-
--
-
h;ых
285
а2ь
(6.28)


Ошибка декодирования е2 п зависит от отношения сиг­
н(lл/шум в канале h2вх= (Ре ) . Пороговое отношение
Рш вх
сигнал/шум в канале можно определить из уравнения
(6.29)
о
где е2макс - максимально допустимая величина нормиро­
ванной ошибки.
Соотношение (6 .29) определяет нижнюю границу
параметра h2вх - Разумная верхняя граница этого пара­
метра h2вх.верх для цифровых систем . связи может быть
определена из соотношения (23]
(6.30}
поскольку дальнейшее увеличение отношени я сиг­
нал/шум в канале не ведет к существенному увеличе­
нию точности оценки сообщения, так как ошибка кван ­
тования становится больше ошибки декодирования,
обусловленной помехами в канале.
Задачи
6.3.1. Согласно экспериментальным данным усред­
ненный коэффициент корреляции речи [2] Rь (т) =
=ехр (-plтl)cos 2лfот, где р~103 Гц, fo=400 Гц.
Определить интервал квантования во времени сигнала
речи Ти, требуя, чтобы Тн= 1О-2тн, причем интервал кор­
реляции •н определяется из условия Rь (тн) =0,3 .
6.3.2. Определить нормированное значение средне-
о
го квадрата ошибки квантования е21=е 2 1 /,а2ь при пере­
даче непрерывной случайной величины (Rь(т) =1) по
системе К:ИМ, предполагая, что шаг квантования по
уровням ,Л намного меньше среднеквадратичного значе­
ния сообщения сrь.
6.3.3. Непрерывное стационарное сообщение с ко­
эффициентом корреляции Rь(т) =е- pf"tl передается дис ­
кретными методами с интервалом квантования во вре-
10-2
10-з
мени Тн = --, Т"=--.
р.
р
Показать, что
а) двухуровне~ая система с ДМ обеспечивает нор-
о
мированный средний квадрат ошибки квантования е2 =
286


~ 0,016 (0,002), в то время как для системы с КИМ
о
при числе уровней квантования L-;:p l в2 =0,Оl (0,005);
_
б) при использовании безызбыточного кода система
с КИМ занимает в канале в log2L раз большую полосу
частот, чем система с ДМ при том же способе манипуля•
ции и интервале квантования.
6.3 .4. Показать, что в симметричном двоичном ка­
нале без памяти средний квадрат ошибки декодирова­
ния в системе КИМ при использовании п-разрядного
примитивного кода для передачи равновероятных уров­
ней двоичными сигналами равной энергии определяет­
ся формулой
т
в71 = 4aip0+5яi(т)d-i:, .
о
rде р0 - вероятность ошибочного приема элементарного
символа.
6.3.5. Показать, что при передаче непр_ерывного со­
общени я с коэффициентом корреляции Rь(-т;) =е-Р 1,1
~ редний квадрат ошибки декодирования в системе с ДМ
в симметричном двоичном канале без памяти определя­
ется формулой
е сли считать, что при ДМ сигнал, который подвергает­
сr2
,ея квантованию, имеет дисперсию [2]
0
ь•
1- в5 Ri(т,J
Убедиться в том, что для одного и того же сообще­
н ия и канала средний квадрат ошибки декодирования
в системе с ДМ больше, чем для системы с КИМ, в
о
l/[l-в2аR 2ь (Ти)] раз, есл и •в обеих систе м ах интервал
квантов а н и я во времени одинаков.
6.3 .6 . В предположении передачи сообщений с ко­
э ффициентом корреляции R ь {'t) = е- Р \"t!посредств о м КИМ
·с прим и тивным двоnчным кодо м по каналу с фазовой
манипуляцией (на +п/2) и белым шумом выявить су­
ществование для каждого заданного отношения сиг­
нал/шум в канале (заданного параметра Pc/Grnp) опти­
мальных значений скорости передачи двоичных симво­
лов . по каналу Vи (пар а метра vи/,р) и числа уровней
287


квантования L, при которых обеспечивается максимум
отношения сигнал/шум на выходе приемника h2 вых=
= 1сr2ь/е2•
Задачу решить путем анаJiиза графиков h2вых=
= f [!:..Е_, L, ~и-] .
GmP
Р
6.3 .7. В предпоJiожении передачи сообщений с ко­
эффициентом корреJiяции Rь (.:) = е-Р \t\ посредством
двухуровневой ДМ и испоJiьзовании таких же сигнаJiов,
как в предыдущей задаче, показать существование ДJIЯ
каждого значения сигнал/шум в канаJiе (параметра
Рс/Gшр) оптимаJiьного значения параметра Vи/р (макси­
мизирующего h2вых).
Задачу решить путем анаJiиза графиков h2вых=
=t(~'~).
GшР Р
6.3 .8 . ОпредеJiить выигрыш (проигрыш) по отноше­
нию сигнал/шум на выходе приемника h2 вых системы с
ДМ по сравнению с системой КИМ (см. задачи 6.3 .6 и
6.3 .7), предпоJiагая в обеих системах фазовую манипу­
Jiяцию в канаJiе, неизменное отношение сигнал/шум в
канаJiе и выбор оптимаJiьных значений скорости мани­
пуJiяции Vи.
6.3 .9 . Считая допустимой веJiичину нормированной
ошибки ~2макс = 0,01, а интерваJI квантования во време­
ни Тк= 1О-2/,р, опредеJiить пороговое отношение сиг­
нал/шум в канаJiе h2пор ДJIЯ системы с ДМ и фазовой
манипуJiяцией при сообщении, сигнаJiе и канаJiе, огово­
ренных в задаче 6.3.7.
6.3.10. Исходя из усJiовия (6 .30), . найти
разумную
верхнюю границу отношения сигнал/шум в канале h2верх
для системы с ДМ и фазовой манипуляцией, рассмот­
ренной в задаче 6.3.9 .
.
6.3 .11 . Найти зависимость выигрыша g и обобщен­
ного выигрыша g' системы ДМ с фазовой манипуляци-
ей от отношения сигнал/шум в канале h\ = ~ , по-
в
GшFк
лагая, что сообщение характеризуется коэффициентом
корреляции iR (.:) = е-Р \1:\, интервал квантования во вре•
мени Тк = I0-2/,p.
Решения и ответы
Р.6.3.1. Исхо:дя из условия е- 1 О'1:к eos (2л400.:к) :
= 0,3, получаем .:к;::::::1 /р = IО-3 с, Тк=IО-2.:к = IО- 5 с.
288


о
е2о
Р. б.3.2. Согласно (6.24) е~ = -f = ~2
.
Если шаг
аь
квантования достаточно мал · (по сравнению с <У), то
при любом распределении сообщения в пределах интер­
вала v его можно считать равномерно распределенным.
Тогда разность между истинным и ближайщим дискрет­
ным значениями сообщения (ошибка квантования е)
распределена равномерно с плотностью w (е) = !JЛ,
-Л/2<е< ,Л/2. Математическое ожищшие ошибки е=
Л/2
=
S EW1 (e)de=O~ Дисперсия (средний квадрат) ошиб ­
-л/2
л12
,
л2
кие;= .\ s2w1(е)dЕ==--т2.
-Л/2
Т ак ая же дисперсия ошибки будет при равномерном
квантовании случайной величины, равномерно распреде­
лен ной на интервале [-а, а] на L = 2а/Л уровней, т. е .
r,2 1 =a 2/З,L2: Дисперсnя равномерно распределенной на ,
интервале [-,-а, а] случайной величины о2ь = а2/З или
е21 = СJ2ь/L2. Таким образом,
. -нормированный
средний
о
о
•
квадрат ошибки е21 = е2 = 1/L 2 . Этот результат при Л«
« <J примерно справедлив и при произвольном распреде- .
л ении сообщения.
•
•
Р.б.3.3. Согласно (6.24) и с учетом Р ..б.з:2 для сис­
темы КИМ при L4> 1 имеем
о2
) - е-2рТ
EJ=1- -----
2рТ
Согласно (6.25) для системы с ДМ
3
02
4
[! - е-2РТ]
В/=}- - ------- - --'--
[ \ -+ е-2рТ]
2рТ .
Положи~ Т = Тн = 1О-2/р, и Тн = 1О- 3/р , получим нужный
р ез ульта т. Этот результат говорит о том, что с уменьше ­
нием интервала квантования во времени качество систе­
мы с ДМ растет быстрее; чем при КИМ .
Сигнал в системе с ДМ з .анимает полосу частот
Fс = а/Ти. Коэффициент а> 1 определяется видом мани ­
пуляции . В системе. с КИМ на интервале Ти надо пере-
10-299
289 '


дать k = log2L информационных посылок. Их длитель-
т
'
ность ти = _к_ .Следова тельно , сигнал КИМ занимает
Jog2 L
1
полосу частот Ре = -
а Iog2 L.
Тк
Р.б.3.4. Средний квадрат ошибки декодирования
при передаче непрерывного отсчета [2]
LL
в;1= I 1:(ь;- bt)2р(bt) р(ь;;ьi),
j=I i=I
где Р (b'j/bi) - вероятность передачи i-го уровня и при­
нятия решения о передаче j-ro.
При равномерном квантовании
•
2i- 1
.
Ьt=hмии+ -- Л, t=l,2, ..., L.
2
Следовательно, (b'j- bi) 2 = : (j'-,i) 2,Л2 и 82н=IЛ2~~ (j'-
- i) 2P (i) Р (j'/i), где P(j'/,i) - вероятность передачи чис­
ла ii и принятия решения о передаче числа j.
Запишем переданное и принятое числа ,i и j' в дво­
ТТЧНОМ коде
п
п
i=I ar 2r-1; j' =}:а;2r-1,
Г=\
Г=l
где а,-, a'r равно О или 1. Ошибка в оценке числа i Лi =
п
= j'~ 1i • ~ · 2r-1 (a'r-ar) состоит из п независимых сла-
г=l
гаемых (элементарных ошибок) ~r =2r-l (a'r_:_ar). Ста-
тистически усредняя ошибку 1Лr и ее квадрат по всевоз­
можным комбинациям ,i и j', находим математическое
ожида ние 1Лr и средний квадрат Л\:
Лr=2r- \(1'-
О) Pr(0) Pr (I '/0) + 2r-l (О'- l)Pr(l) Pr(0' /1) =
= 2r-\ [Pr(0) Pr (1 '/0) - Pr(l) Pr (О' /1)];
Л; = 22 <r- 1> [(1 - 0) 2Рr(О)Рт(1 '/0)+(0 -1)2Pr(l)Pr(0'/l)].
Средний квадрат результирующей ошибки (~,i) 2 равен
сумме дисперсий элементарных ошибок и квадрата ма­
тематического ожидания результирующей ошибки:
(Лt)' ~ t, [дJ~Л)]+(t, л,)'
290


При равной вероятности всех передаваемых чисел
P(ii) = 1/L (уровней квантования) и примитивном коде
априорные вероятности чисел О и 1 в различных разря -
1
дах независимы и равны P(l)=P(O) = -
.
При этом с
2
у четом симметрии канала (Pr(0/1) = Pr(l/0) =ро) име-
ем л,.=0 и
п
БJ1 = Л2(Л i)2= л2Ро ~ 2(r-l) = Л~о (411--1) = л:о (L2- 1).
Г=I
При передаче непрерывного сообщения с коэффици­
ентом корреляции Rь (. -) и сглаживания пол ученных .
оценок сообщения с учетом этой корреляции (после не­
зависимого декодирования отдельных квантованны х у ров­
ней сигнала) средний квадрат ошибки декодирования
т
е2=л2Ро(L2- 1)_I
_
1R2 (-т;)d.- .
11
3
т.Jь
При L2~ 1 находим,
L2Л2
(см. Р.6.3 . 2).
12
о
-
т
чтое2 = 4a2Eo...JR2(.-) d't при а
//
ьт
ь
о
Р.6.3.5. Нужный резу,пьтат следует из Р.6 . 3.4, где
а2
а2ь следует заменить на O ь
1- е6Rt(Т)
о
- Поскольку
е2оR2ь (.-) < 1, то отсюда же следует вы-
вод о том, что система с КИМ обеспечивает при неиз ­
менном интервале квантования Тк выигрыш по средне­
му квадрату ошибки декодирования по сравнению с
1
системой с ДМ в 1 °2 R2 ()· раз. Если однако циф-
-
еоь,:
ровая система связи работает в условиях e2 н«s 2 r (оп­
ределяющей является ошибка квантования), то лучшее
качество при соответствующем интервале квантования
во времени, Тк обеспечивает система с ДМ (см . Р . 6.3.3} .
Р.6.3.6. Имея в виду, что . Vи = 1/'tи= log2L/Tк и что,
для двоичной системы с противоположными сигналами
10*
291


при оптимальном приеме в канале с белым шумом
_ Po=+ [1-Ф(v· 2PJ;")]=+[1-Ф(J/f~ ~ )].
н учитывая Р.6.3.2, Р . 6.3.3 и Р . 6.3.4, можно написать
а2
h2 = _.!!__ =
_2р log2L
1-е
vи
log2 !~
2--р
Vн
вых•g2
1
Анализ этого выражения показывает, что для задан­
ного параметра Ре/ Gшр величина h2вых достигает макси ­
мума при определенном (оптимальном) значении Vи/р,
причем максимум максиморум достигается при некото­
ром (оптимальном) значении L. На рис . 6.9 построена
2
liбых
J2 16
Рис . 6.9 . Зависимость от­
ношения сигнал/utум на
выходе системы КИМ от
величины Vи/р при раз­
личном числе уровней
квантования
fL--~'-- --' -,,- ----':-a- - - ~ z
I
10
102
fOJ f>c/GшJ
\..
Рис. 6. -
10. Зависимость
максимальн ой величины
h2nыx и оптимальных
значений ,vи/р и L от
Рс/Gш.р для системы
ким
инт,ересующая нас зависимость при Рс/Gшр=500 [2].
иллюстрирующая сказанное . На рис. 6.10 построена за­
висимость максимального значения /~2 вых, оптимальных
зн ачений Vи/р и L от отношен·ия сигнал/шум в канале
Рс/Gшр, взятая из [2]. Из рисунка видно, например, что
при Рс/Gшр = 103 оптимальное значение L = 32, v11/p =
с._200 И h2вых=2Q.
292


Р. 6.3.7: Для системы с ДМ Vи= 1/Т. Пользуясь тем
~е подходом, как и · при решении предыдущей задачи,
и учитывая Р.6.3.3 и Р.6.3.5, получаем
1
h~ых = -----_~2-р ____ ____ _____ __
1-1_еVи{
[
(V2Рср)]V11 }
_
3!_О,75-21-Ф
Gwрv'; 2р
1-О,25е Vи
На рис. 6.11 построена зависимость h2вых от vи/р при
ра зличных значениях параметра Рс/Gшр, откуда следу-
Рис. 6.11 . Зависимость
отношения • сигнал/шул1
на выходе системы ДМ.
от величины Vи/р
Рис. 6.12 . Зависимость
ма ксимальной величины
h2 в ы х и оптимальной ве-
11ичины •Vи /lp_ ОТ Рс / Gшр
для системы ДМ
е т существование оптимальных соотношений между па­
ра метрами.
На рис. 6.12 дана зависимость максимального значе ­
н ия /~2 вых и оптимальных значений v11/p от Рс/Gш:р, взя-
т ая из (2). Из рисунка видно, например, что при
.! .s:_ =
GшР
=103 оптимальное значение v11/p~200, а h 2 вых=100.
Р.6.3.8. Из сопоставления кривых рис. 6.9 и 6.11
-сл едует, что для сравниваемых с.и.стем оптимальные
з начения v11 (скорости манипуляции в двоичном канале)
при заданном значении h2вх примерно равны .
Следовательно, при работе в той же полосе частот
ка нала интервал квантования соорщения во времени
ттри КИМ в log2L раз бо.льше , чем при ДМ. Зависимость
101g(h 2выхдм/h 2 выхким) от Рс/Gшр по данным рис . 6.10
rг 6.12 дана на рис. 6.13.
293


Система с ДМ обеспечивает в канале с малым ш'у-­
мом (Рс / Gшр> 102 ) выигрыш по параметру h2вых на
4,2 дБ . При сильном шуме в канале (Рс/Gшр-+1) систе­
ма КИМ и система ДМ эквивалентны.
ilБ
ч JOtg-\5ыXJ],l-1
liОых.ким
J 1-----1- - - - - .,F----I-- -
----,
z.____._____,Е.__1-----1-------<
Рис. 6.13. Зависимость энерге-
1 '---. .,,_,___ _,___ _.__ ~- - < тического выигрыша перехода
0
Pc/Gшf от системы КИМ к системе
f
10
102
tоЗ to*
ДМ от величины Pc / Gшip
Р.6.3.9. Пользуясь (6 .29), Р.6.3.7 и считая Fк =
=2/Тк, определяем h; 0 P= ( ~)
из уравнения
Gшfк пор
0,75(1 -е-ZрТ)-(1-~мш) ( 1 -0,25е- 2рТ)
ф(V4h2 )= 1 --'---
----'-----===-'---
-
2рт.
. пор
2 (l _ е-2рТ)
10-2
--
При Т = -- имеем Ф (V4h2 ) = 0,9985. Откуда, поль-
к
р
пор
зуясь таблицами функции Крампа, находим h2пор =2,51 ,
Р.6.3.10. Пользуясь (6.30), Р.6.3.3 и Р . 6.3 .5, опреде-
ляем h;epx = (~) из уравнения
Gшfк верх
.
Ф(V~)=l --1 [2рТ( 1 -О,2,5е-2РТ) -0,75] ~
верх
2
1 _ е-2рТ
При Тн = 10-2/р имеем Ф (V 4h2верх) = 0,9998. Откуда
следует h2верх = 3,46 . Обратим внимание на то, что для
системы с ДМ h2верх/h2пор = 1,4.
Р . 6.3..11. Расчетная формула следует из Р.6 . 3 . 7 и
имеет вид
1
hвх 1- ---- (0,75-2( 1 -Ф(~))J-. -
2{
1 - е-2рт,,
1}.
1- 0,25е-2рТк
2Р Т,,
В табл. 6.2 дана зависимость g и g' от h2вх при Тк=
= 10-2/р. Парам~тр h2вх определен в границах h2пор,
h2верх (см. Р.6.3.9 и Р.6.3.10).
294


6.4. Оптимальная и субоптимальная фильтрация
непрерьшных сигналов
Одной из задач приема непрерьшных оиI1налО1В являет,ся вы1де­
ление полез1юrо сигна•ла s'( .t) с по1мощью неко11ор.ого фильт,р а
из сме,с,и z(t)=s'(,t)+ц(,t), п.ричем силн,ал и а1ддит.ив111ый шум
очитаются неза~в·иои,мым,и стационарными СJJ)"!айными процесса,ми
с известными энергетичеокими спектрами ,Gs, (f) и Gu (f).
ТАБЛИ Ц А 6.2
2,51
2,75
2,99
3,23
3,46
g
37,6
40,4
42,О
41,7
40,4
g'
0,620 0,667 0,693 0,688 0,667
,Выделение сигна\1!а s'( .t) в неИ:скаж,енном ви1де !Нев·оз.можно.
Можно, одна,ко, найти таiКое прео.бр,азо:вани,е L дл-я сигнала, при
1юторо;м преоб,раз,01Ванный оигнал y(,t) =L [z(,t)] оlка,жеttя в опре­
деленном омысле бл,и1зiКи,м к реализации оилнала s'(,t - :to), г1де to -
некютора,я известная задерж,ка сигнала во ,в.реме.ни. В к.ачестве юри­
терия близ,ости сигналов s'(J - t0) и y(,t) ча;ето [I,ри,н:и,ма~от критерий
м,ини-му,ма среднеква1дратичной ошибки
minЁ2 =шiп[L[z(t)]- s' (t-t0)]2•
(6. 31)
Фильтр, обоопечrnв,ающий ми.н:и,му,м среднеквщдра'nичной оши~бки
при \IJИ:нейш ом прео~браз·овании L [,z (,t) ] , назыв.ается оптимальным
фильт,ро,м К:олм.о,гор·ов,а - В .инера . К:омплек,сный юоэффип,иент пере­
дачи такого фильт,ра определяе11ся соотношением
G8, (f)
К (f) ------- e-i2:л:ft,.
о = Gs' (f)+Gu(f)
(6 .32)
Если ,из.вестна форма пр:инимаемого фи,нитно!'о (о.гр.аниченного
во в,ремени) си.гнала s'(,t), то может ~быть по:стр:аен линейный оп­
тима,льный ф11льтр, макои.м-изи,рующий отношение ПИiКОIВОЙ мощно­
сти ои!'нала к средней мощно.сти шу,м,а. Такой фи·льтр называют
согласованным ,с tИ:Гнало1м s'(t).
На пра1к1ш1Ке ча1стr0 при приеме 01дино,ч,ных и,мпуль,сов на фоне
бел.о.го шума в1место опт,имальных согла,оованных фильтро1В исrюль­
зуют,ся ювазиолти,м.альные л·инейные филь-~,ры, форма частотных ха­
ра~{тери,стшс . которых з,а ,ранее задана, а ,м1а1КСи,му,м о-~,ношения
сигнал/шум дости гается лишь соотве-тс11в,ующим nrодборо,м полосы
пропуска:нибI.
Задачи
6.4.1 . Показать, что ком плексный коэффи циент п е­
редачи лин ейного фильтра, о птимального по критерию
295


минимума среднеквадратичной ошибки, определяетс я
соотношением (6.32).
6.4 .2 . Показать, что энергетические спектры сигна­
ла ошибки, полезного сигнала и шума на вы х оде филь­
тра Колмогорова - Винера определяются выражениями :
,.
3
Gs' (f) Gu (f)
•
Gs, (f)
.
Gв(f)= Gs, (f)+G" (f) ; GYs' (f)=[Gs,(f)+G,,(f)J2'
G~, (f)Gu(f)
. Gyu(f) = [G5 ,(f)+Gu(f)J 2 •
6.4 .3 . Энергети ч еские спектры напряжени й сигнал а
и аддит и вного шума оп ределен ы на полож ител ьных ча­
стотах соотношен и ями:
f~fприО<f<F,
Gs,(f)={F
\О приf>F;
!А
.
A--f при O<f<F,
Gu(/)=
F
О
при f >F.
Определить . коэффициент передачи (модуль) оп­
тимального фильтра Колмогорова - Вин ера и найти
энергетические спектры сигнала ошибки, полезного сиг­
нала и шума на выходе фильтра, средние мощност и
трех этих компонент, а также параметр h2вых (отноше-
ние сигнал/шум-).
.
6.4.4 . Сигнал и шум, энергетические спектры кото- •
рых даны в предыдущей задаче, поступают на идеаль­
ный фильтр нижних частот с амплитудно-частотной ха­
рактеристикой
К(f)= {о<Ко<1приО<f<Р,
•
О . приf>F.
Найти средний квадрат ошибки и отношение ср едни х
мощностей сигнала и шума /~2вых = 'i?s,(iJи на выходе
этого фильтра. Сопоставить эти параметры с соотв етст ­
вую~д\'IМИ параметрами оптимального фильтра.
6.4 .5 . Показать, что м аксимальное отношение пико ­
вой мощности сигнала к средней мощности шума r2 н а
выходе линейного фильтра: с постоянными параметрами
определяется соотношением r2манс = h2вх 2FнТ с при во з ­
liействии ·. на _его в.ход сигнала s' (t) известной формы :~
'
•
296 .


длительностью Те и полосой Fк и аддитивного · белого
шума и обеспечивается согласованным фильтром. Здесь
h2 вх - отношение средних мощностей сигнала и шума на
в х оде фильтра в полосе сигнала.
6.4 .6 . Прямоугольный видеоимпульс s'(t) длитель­
ности 't'и имеет случайную амплитуду у и случайное по­
ложение во времени ~Л в тактовом интервале (О, Т с)
,,_rtlл
~....--- --..
-r!чJт t
....
лз--......
а)
•_;~"\•- г·
Рис. 6.14 . Прямоугольный имп ульс (а) и согласован -
ный с ним фильтр (6)
( рис . 6.14а), т. е . соответствует сигналу АИМ или ФИМ .
С игнал s'(t) принимается на фоне бело~:о шума U(t) с
интенсивностью Gш так, что анализируемое колебание
z(t)= s'(t)+и(t).
•
Показать, что а) согласованный с сигналом s'(t)
·ф ильтр СФ может быть реализован посредством линей ­
н ой схемы, содержащей три блока: интеграто'р, линию
з адержки на время 't'и и . вычитающее · устройство (рис.
6.146); б) оптимальная по критерию максимального
правдоподобия оценка амплитуды сигнала у* может
быть получена по максимуму сигнала на выходе СФ
независимо от значения О~ 1Л~Тс --rи; в) оптимальная
оценка положения фронта импульса может быть получе­
на по моменту времени достижения максимума сигнала
на выходе СФ независимо от значения амплитуды у; г)
о тношение пикового значения сигнала к средней мощ-
1юсти шума на выходе СФ r 2 = 2у2't'и/, Gш.
6.4 .7 . Показать, что фильтр, согласованный с ра­
диоимпульсом, имеющим прямоугольную огибающую,
ч астоту заполнения {0 = ;rо 0/2л и длительность 't'и, при
fo = 't'и и Wo't'и • п (п - целое число) имеет комплексный
2л
.
1<оэффициент переда'lи
•
К(f)= .
а (1- e -iw-r,).
1 (w-w0)
Как можно реализовать такой фильтр?
297


6.4.8. Найти отношение пиковой мощности сигнала
к средней мощности шума на выходе идеального поло­
сового фильтра с полосой Л,f = ,f2-1f1 [f 1, f2- граничные
частоты полосы (рис . 6.15а)], на вход которого поступа­
ют прямоугольный радиоимпульс с амплитудой Ит,
длительностью ти и частотой заполнения fа= (if2+,f 1) /2
(рис. 6.156) и нормальный белый шум с равномерной
s'(tJ
f
t
а}
Рис. 6.15. Частотные характеристики идеального по­
лосового фильтра ( а) для прямоугольного радиои м ­
пульса (6)
спектральной плотностью, и показать, что оно меньше ,
чем на выходе согласованного фильтра, если Л~fти> 1.
6.4.9. Определить полосу пропускания идеального
полосового фильтра (см. задачу 6.4 .8), при которой дос­
тигается максимум отношения пиковой мощности сигна­
ла к средней мощности шума. Показать, что выигрыш в
отношении сигнал/шум, который обеспечивает фильтр ,
согласованный ' с прямоугольным радиоимпульсом, по
сравнению с квазиоптимальным идеальным полосовым
фильтром равен при приеме одиночных импульсов все­
го лишь 0,86 дБ.
, Решения и ответы
Р.6.4.1. Комцлексный н;оэффициент передачи п роиз­
вольного линейного фильтра с _постоянными параметра­
ми можно представить в виде
К(f) = К(f)eiq,(f> ,
где K(f) - амплитудно -частотная характеристика филь­
тра; ер (,f) - его фазо-частотная характеристика.
298


Составим выражение для среднеквадратичной ошиб-
ки
Е2 = {L [Z(t)] -s' (t-t0)}2•
При стационарности и независимости принимаемого
сигнала s'(t) и шума в канале u(t) можно записать
E2={L [s'(t)] - s' (t - t 0)}2+{L [И (t)]}2=E~, + Е~ .
Первое слагаемое представляет собой средний квад­
рат ошибки, обусловленной прохождением сигнала че­
рез фи л ьтр, второе - средний квадрат ошибки, обуслов­
ленной прохождение~ шума.
Чтобы величина E 2s, была минимальной, фаза-час­
то т ная характеристика фильтра должна быть линейной:
qJ(,f) = -2лft 0 , что ·является необходимым условием от­
сутствия искажений формы сигнала. Сигнал ошибки,
обусловленный прохождением шума через фильтр, не
зависит от фазовых соотношений и имеет энергетичес­
кий спектр
Сигнал ошибки 8s, = L {s' (t)] - s' (t - to) имеет преоб­
разование Фурье S88 , (1f) = K(lf)Ss(f) - Ss(,f)e-ш, 10 , где
Ss(f) = Ss(,f)e1q,s(n - кoмплeкcный спектР. сигнала s'(t).
Если фаза - частотная характеристика фильтра линейна
qJ (f) = -2лf.to, то
Se8, (f) = Ss, (f} e-i 2:rcflo [К(f)- l],
Следовательно, энергетический ·спектр сигнала ошиб­
ки, об у словленной прохожде н ием сигнала, Gв8 , (f) =
= Gs, (f) (К (f) - 1] 2, а энергетический спектр резуль­
тирующей ошибки
GE (/) = Gв 8 , (f)+Gви (f)=Gs,(f) [l-K(f)]2+ Gu(f)K2(/) .
Величина K(f) должна быть такой, чтобы спектраль­
ная плотность ошибки была минимальной на произ­
вольной частоте, что предполагает выполнение условия 1
д{G }
,
_Е_ =
-
2Gs' (f) [1 - K0 (f}]+ 2Ko(f) Gu(f) = О.
дК
1 Ле r,ко пров1ерить, что ко ,рень этого ;у,равнен,ия олределяет м.и­
нимум GE (f).
299


Отсюда находим амплитудно-частотную характерис­
тику оптимального фильтра Колмогорова - Винера
Gs' (f)
Ко(/)= Gs, (f)+Gu(f)
Поскольку фазовая характеристика фильтра должн а·
быть динейной, получаем для комплексного коэффици­
ента передачи фильтра Колмогорова - Винера требуе ­
м ый результат.
Р.6.4.2. Воспользуемся полученным в Р .6 .4 . l соот­
ношением для энергетического спектра сигнала ошибк и
на выходе фильтра Колмогорова - Винера
GE(/)= G5, (f)[l- Ко(f)]2+Gu(f)К5(f).
Подставляя сюда выражение для амплитудно-частотно й
характеристики
находим
•
•[
Gs, (/)
]2
G~, (f)
GE(f)= Gs' (f) l- Gu(f)+Gs, (f) +Gu(f)[Gu(f)+Gs,(f)J2=
G,5, (t)Gu(f)
Gu(f)+G5, (f) •
Энергетический спектр полезного сигнала и шума н а .
выходе филыра:
G
-
.
2
-
G~, (f)
..
Ys' (f)- Gs, (!)Ко(f)- [Gu(f)+G5,(t)J2 '
G_
2.
_
G;, (f) Gu (f)
Уи(f) - Gu (!) Ко(/) - [G5 ,(f)+Gu(/)]2 '
Р.6.4 . 3. Согласно (6.32) коэффициент передачи оп­
тимального фильтра
(
_1_ при O<f<F,
Ко(!) = F
-
.О при f>F.
Согласно Р.6.4 . 2 эыергетические спектры в полосе ( О,
(t fZ).
Fравны:для сигнала ошибки GE(f)=АF-F2 •.
300


для полезного сигнала
G (f)=А---- .
(12 ,f3)
Уи
р2 _рз
Средняя мощность сигнала ошибки
F
Е2= sGЕ(f)df = AF6 •
о
Средняя мощность полезного сигнала
-
F
AF
У;,= SGYs' (f)df = 4
·
о
,
Средняя мощность шума
F•
-
2- JG (f)df- AF.
Yu-
Уи1
-
12'
о
для шума ,
-
Р.6.4.4. Согласно Р.6.4.1 в полосе (О, F) энергети -
ческий спектр сигнала ошибки
Gв (f)=Gs•(f)[l-K(f)]2 +Guif)K2(f)= (1- Ко) 2 : f +
+ KJA(l-+) ·
Дисперсия сигнала ошибки
Е2= А: [(1- К.0)2+KJ].
--
AF
При Ко = О,5 Е2 = ~ (это минимальное значение),
что в 1,5 раза боль ше, чем для оптимального фильтра .
Ле гко показать, что /~2вых = !}2s,/[J2и = 1. Эта величина в
3 раза меньше, чем для оптимального фильтра .
Р.6.4.5. Пусть линейный фильтр имеет комплексный
1шэффициент передачи К (f) = К (f) ехр (icp (,f)).
Пр и подаче на вход такого фильтра сигнала s'(t)
изве ст ной формы с комплексным спектром S(f) = S (f) Х
X ei 8UJ для отклика фильтра пол у чим
о:,
SвыхU)= J S(f)K(f)exp{i[ffit+0(f)+cp(f)J}df.
301


Если спектральная плотность белого шума на входе
фильтра Gш, то средняя мощность шума на выходе
00
Рш.вых= 0; S K 2 (f)df.
Предполагая, что пик полезного сигнала на выходе
наблюдается в некоторый момент t 0, запишем
СХ>
S Uо)вых ---: JS(f)К(/)ехр{i[rot0-l-0(/)-1-ер(f)]}df.
-сх,
Отношение пиковой мощности сигнала и средней
мощности шума
, 2 = 1s(to)l;ыx
Рш.вх
1]
00
S(f}K(f)exp{i [wt 0 + 0 т +ер (f)]} df 1
2
Gоо
_ш. r K2(f) df
2.)
-оо
Найдем ма·ксимум этой величины. Для этого вос­
п ольз уемся неравенством Буняковского - Шварца [ 15]:
\] 00 f1 (х) f2(X) dx 1 < { J00l/1(x)l2 dx V1,l/2(x);2 dx,
причем равенство достигается при f2(x)=af1(x), а-по­
·стоянная.
Примем f1(x)=S(f)exp{i[1roto+.0(f)+cp(f)]}, f2(x)=
=l((f).
С учетом неравенства Буняковского - Шварца имеем
СХ>
00
sS2 (f) df sK2(f) df
00
,2<-ооGоо-оо
= а:s52(!)df,
;sк2(f)df
-оо
-со
со
где S S 2(f)df =Ec=PcT -энергия сигнала. Поэтому
-со
,2
,;::2Ес =2РсТ = ,2
,2
.
=2h2=2РсТFк =h22FТ.
"" Gш
Gш•макс'макс
О GшFк
вх• ll
302


Величина r2 достигает максимума при .f2(x)=a f 1(x)
или при
К(/)= aS(/)ехр{i [w t0 + 0(f)+ер(/)]}.
Но это возможно лишь при Ko(f)=aS(f) и (i) t 0 +0(f)+
+'(J)(,f) =0, т . е. при cpo(f) =-1B(f)-,w0 t. Это о з начает ,
что комплексный коэффициент передачи оптима л ьного,
фильтра
К0(f) = aS(f) ехр[i срO(/)] = aS(/) ехр{-i[0 (t)+(!) fO]}=
_
=aS (-/) e-iшt.'
где S(-,f) - комплексно-сопряженный спектр сигнал ~
s(t) . Фильтр с таким комплексным коэффициентом пе­
редачи называют согласованным с сигналом s(t) ( см .
§ 5.2).
Р . 6.4.6. Комплексный спектр заданного сигнал а
л+-rи
-iшЛ
S(f) = у _r e-iшtdt = уе [1-е-iш-rи].
\
iw
л
Коэффициент передачи согласованного фильтра
к(/)с.ф = аS(-{) e-iшt0 = ~У [ еiш(-rи+Л) _ еiшЛ] e-iшt0•
•
\(J)
Потребуем fо = ти +,Л или получения пикового . значени11
сигнала на выходе фильтра в момент .окончания входl
нога сигнала [ если rЛ меняется в пределах (О, Тс-1:11 ) .
то t0 меняется в пределах (ти, Те)]. Тогда
К(/) = ~ [1- е- iш-rи].
с.Ф iw
Фильтр с такой передаточной функцией реали зу етс я
схемой рис. 6.146.
Согласно Р .6.1 .1 максимально правдоподобная оцен ­
ка амплитуды видеоимпульса на фоне белого шу м а про ­
порциональна величине
л+-rи
k =у S z(t)dt.
Л,
Эта величина определяется напряжением на выход е со ­
гласованного фильтра в момент ta окончания сигнала на:
входе . Согласно свойству согласованного фил?тра в
этот момент его вы х одное напряжение макси м ально .
Следовательно, по максимуму этого напряжения можн о
303


получить оптимальную оценку амплитуды •независимо
от значения задержки Л.
Оптимальная оценка положения фронта видеоим­
пульса Л должна максимизировать величину
л+ти
k1= 21:. sz(t)dt- L
.
Gш
Gш
л
Для любого значения у величина k 1 максимизирует ­
л+ти
ся, если максимально k = S z(t)dt. По моменту наб-
л
людения максимума этой величины t~raкc можно найти
оптимальную оценку 1Л * = iмai,c - fи. Параме"iр r2 на вы-
Рт 2у2т
ходе согласованного фильтра равен r 2 =2h5 = 2_2 . _!:!_ =
--".
Gш Gш
Р.6.4.7. Радиоимпульс, для которого будем искат ь
коэффициент передачи согласованного филь'Гра, изобра­
жен на рис. 6.16а.
sftl
t
а}
о)
Рис. 6.16 . Прямоугольный радиоимпульс (а} и согласов анн ый с
ним фильтр (6)
Найдем спектральную плотность этого сигнала
00
"•
S(f) = Js'(t)e-iwtdt= .\cosw0 te-iwtdt .
-оо
о
e-iw01+еiы01
Воспользовавшись соотношением cos w0 t=
,
2
,
при определении спектра только по положительным ча­
стотам получим
So(f)= •.
1 . [1 - e-i(w-wo>'•].
1 (w-w0 )
304


Комплексный коэффициент передачи согласованного
,фильтра
Ко(t)с.ф= аSo(-f)e-iшt.=
.
( а ) [ eiш(-i:.-t.) Х
1W-W0
Х e-iш0-~:0 _ е-iш/0]
•
;Если<qoTo = п, то e-i(J) 0-i:0 = e-i2пn=1. Выбирая То=to,
2л
получаем
Ka(t) =
.
. а [1- e-iш-i:•].
с.ф 1 (w-w0 )
1•
а
Кdмплексный коэффициент передачи .
можно
.
!(W-Wu)
получить, ис п ользуя высокодобротный колебательный
контур, а множитель e-iш-i:" - с помощью линии задерж­
ки н а время то. Структурная схема фильтра, согласо ­
ванного с радиоимпульсом, показана на рис . 6.166.
Р.6.4 . 8 . Для решения задачи воспользуемся теоре­
м ой Ьб огибающей [21], в соответствии с которой оги -
~х
х{f}, f/ {f}
i/jf
2
11 (f}
;:§
r
f
f
а)
{/)
Рис. 6. 17. Огибающая прямоуголь н о г о радиоим­
пульса (а) и частотная характеристика идеаль н о­
го ФНЧ (6)
б ающая выходного сигнала системы с симметричной
о тносительно частоты .fо частотной характеристикой сов­
падает с откликом эквивалентного фильтра нижних ча­
стот, если на его вход пода!ь огибающую заданного
с игнала.
Рассмотрим прохождение огибающей радиоимпульса
( рис . 6.17а) через идеальный ФНЧ с частотными харак­
т еристиками К' (f) и ер (f) (рис. 6.176).
Заменим импульс, показанный на рис. 6.17а разно­
стью двух ст у пенчатых функций: Иml (t) и Итl (t- 'tи) .
305


Отклик фильтра на эти функции можно записать так:
Лf/2
s' (t) = И \ _I-Кe-iffi(t-t,J df =
вых
ni
•
'
1 (!)
о
=-
1 КИт[1 + ~Si Лw (t-to)];
2
л
2
Лf/2
s" (t) = - и r _Iк-iffi(l-t,+,и)df=-
BЫX
111, '
•••
О I_W
= --КИт 1 + -S1-(t-т11 -to) .
1
[
2·
•Лw
]
2
л
2
z
3
S. ('sinхd
"
t
ер (f)
десь 1 z = j -х х - интегральныи синус·,
-
---
о- 2лf
о
время запаздывания.
Отклик фильтра на прямоугольный имп ульс
8вых(t)= s:ых(t)t s:ых(t) = 2К~т [Siл; (t - t0) -
-
Si л; (t -'tи -t0)] •
Лw
Лw
Вводя обозна•1ения Z= -
(:f-to) и х= -Ти, можно за-
2•
2
писать
Sвых(t)= КИт [Si Z - Si (z - х)].
л
Найдем величину z, при которой Sвых(i) достигает
максимума из условия __Е_ [Siz-S'i (z-x)] =0. Это урав­
дz
нение можно привести к виду
sinz _ sin(z-x)= О
•
'
z
z-x
решением которого является z = x/2, что соответствует
моменту i=tо+-т:и/2. Пиковое значение отклика
s'
(t)= КИт[Si~_:Si(- ~-)]= 2КИтSi~.
МЭl{С
Л••
2
2
Л
2
Пиковая мощность
•
4К2И2 [ ]2
[s'
(t)]2 = --"' Si__:.:.
.
МЗl{С
л2
2-
306


) Средняя мощность шума на выходе фильтра
р-K2GЛw-К2G1
ш вых-
ш--
ш-Х.
•
2n
•
:rtти
Для отношения пиковой мощности сигнала к сред­
ней мощности шума на выходе фильтра получим
,
2=
4u~-(si~)
2
= 211 2 __.±_fsi ~)
2
-
х
2
°:пх\ 2
G:п-
шти
Здесь h2 = и;,Ти .
о 2Gш
Поскольку~Sif < ; , причем равенство достигается
х
лишь при --+оо, то для конечных значений х =
2
1
= лЛfт:и r2 <2h2o-- .
Если ,Л.fт:и> 1, то r 2 <2h20 . Величи-
л fти
на же 2h20 определяет отношение пиковой мощности си-­
гнала к средней мощности шума на выходе согласован-
ного фильтра (см. Р.6.4 . 5) .
.
Р.6.4.9. Воспользуемся выражением для отношения
пиковой мощности сигнал'а к средней мощности I_.Uyмa
на выходе идерльного полосового фильтра при подач~
на вход радиоимпульса, полученным в Р.6.4.8:
r2 = 2h2_±_(si~)
2
о:rtх
2
Найдем максимум этой величины по х из уравнения
(х)
Si-
0!...=оили~
-~
.
дх
дх -vх
Дифференцир уя, получаем
.
х
sш-
4 --2
-
-
Si_х_----= О.
Ух
2 2х-Vx
Решая это уравнение, находим Хопт=4,3. Отсюда для
полосы идеального полосового фильтра, максимизирую­
щей отношение пиковой мощности сигнала к средней
мо щности шума, получаем
1,371
(Лf)опт = -
•
Ти
1 Этот результат получен впервые В. И. С и фор о вы м .
307


При этом
,2
макс
причем 2h20 - отношение пиковой мощности сигнала к
средней мощности шума на выходе согласованного
фильтра (см. Р.6.4.5).
Энергетический выигрыш при переходе от квазиоп- _
тимального фильтра к оптимальному (согласованному)
составляет
1
11= lOig-
= 0,86 дБ,
0,82
т. ~-
он очень незначителен. Необходимо, однако, пом­
нить, что полученный результат справедлив лишь при
приеме одиночных импульсов. При приеме же последо­
вательности импульсов переходной процесс на выходе
полосового фильтра (который теоретически длится бес­
конечно долго) обусловит их взаимное перекрытие
(межсимвольную интерференцию), вследствие чего
уменьшится величина r2 .
Параметр же r2 в точке отсчета на выходе согласо ­
ванного фильтра не изменится при пр,иеме последова ­
тельности импульсов длительности -rи, поскольку пере­
ходный процесс на выходе такого фильтра ограничен
интервалом 2-rи.
6.5. Сравнительна.я эффективность систем передачи
непрерывных сообщений
Сра•в,нение эффекти1В.но.сти различ;ных систем связи, пред.наз.на-·
ченных для передачи непре.рыв.ных сообщений, может быть осуще­
ствлено .разны,мм способами.
При фиа<сированнам отношенил сигнал/шум н,а выходе прие.м­
ника (верности) м,ож,но определить энергетлческий выигрыш (про-
игрыш) перехода от i-й системы к j-й:
•
2
,
hвxi Jj
2
1lpi/j =IO !g - 2
-
_-,
при hвых = const.
hвxj Ji
(6.33)
Зде_сь 1' ; - сжорость IВВОда информации в ед1шицу ,времени в
канал -i-й си.стем~~; li 2 nxi = (::) вх - отношение сигнал/шум на
входе приемника (в ка нале) для i - й си.стемы .
• При
фиксированной скорости IВВОда ,информации J' (фшюиро­
ванном сообщении) величина 11Pit ; - 1 -может ,быть ,вы ражена чере з
308


вьШГJJЫШ системы ,мо.дулядии g;
gj
Y\pi/i = !Olg
g;-
(6.34)·
Бели в IК•ачост.ве " i-й системы ,выбрана юистема, .непосредствен,но,
передающая nер.внчный сиr нал ,(без ,модуляции), то для ,нее g;= I ..
,В етом :случае
Y\pi/i = IO!g gj.
(6.35)
Различные аи,стемы ·можно сравнивать по ,уде льной ск~рости,
переда ,чи .инфор,ма,u:ии , (на 1 Гц nолосы часrот)
v; = 1;/Pi при h;ых= const.
Выиг,рыш ,по этому показателю при ,переходе от i-й системы к j-й,
'Vj
1; pi
' rlvi/i = 10/g -
_
= IO !g-,-
(6.36)
v,
1; Pj
При ф1И1К,СИ:ров.а1нной 01юро:сти в,вода ,инфор,мадии (ф.и,ксщюва,кном.
сообщени,и)
р.
'rlvi/i = У\р;;i = IO!g У. .
.
1
(6 .37)-
В этих условиях можно ·также ввести показатель обобщенного вы- ·
нrрыша
(
2)
,
,
,
hвxiFi
gj
Y\;/j = Y\pi/j + 'rlFi/i = IO !g ~
-
= IOJg- :
п·ри h;ыx=coпst .
BXJ J
g,
(6.38),
Если в i-й системе передается сигнал без модуляции, то
ri;li = !Olg g; .
(6.39)
В усло.виях, !Когда h2 вых (а следовательно, ,и ,верность СIВЯ,ЗИ)
меняется случаи.но во ,в.ремен,и, iВажной ха ракте,ристикой ,качества ·
сист ем ы авяз,и ,является ее надежность N, определяемая iВероятно ~
стью • (,проценто.м iВремени для эргодJичного процесса) того, что
h2 вых превышает ,минимально допустимую (по.роговую) h 2 вых.по р.
величину, определяемую видом сообщения и особенностями его
получателя:
00
N=S
·Ш (h8"1x) dhвых,
(6.40)
l~вых.пор
где W 1 (hвых) - одномерное распределение вел,ичины hвых- Эффек-
11ивное ,средство поs ышения ,надежности связи - прием сигналоs п о ­
независимым а{а. налам.
Универсальной характеристикой .эффективности систем переда-­
ч и непрерывны х сообщений является- ,коэффициент ·использова.ния .
сист~мой пропускной способности непрерывного ка нала К с= С c/r,; ,_ .
309


В то,м к::л.учае, если 1кан,ал а1 уз.ком ,омысле и расширенный канал
гауссовы, то
(6.41)
Задачи
6.5 .1 . Найти энергетический и обобщенный выигрыш
перехода от системы АМ, предназначенной для переда­
чиречевогосообщениясП=3,т =0,3иFс=3,1кГц,к
системе ФМ при ~Фм = 10 .
6.5.2. Показать, что энергетический выигрыш и обоб­
.
щенный выигрыш при переходе от системы ФМ к сис ­
теме ЧМ с той же полосой равен 4,7 дБ.
6.5.3. · Найти значения энергетического выигрыша,
выигрыша по удельной (на 1 Гц полосы частот) скоро­
сти передачи информации и обобщенного выигрыша
при переходе от системы передачи сообщения без моду ­
ляции к системам АМ, БАМ, ОБП, ФМ, ФИМ - ОБП,
ДМ-ФМ, АИМ-ОБП, полагая, что во всех системах
передается речевое сообщеюrе с пикфактором П = 3 и
коэффициентом корреляции Rь = е-р/т/, ,р = 103 Гц. Счи­
тать, что при амплитудной модуляции несущей m = 0,4 ;
индекс модуляции при ФМ ~ ФМ = 7; длительность им ­
пульса при ФИМ 'tи = 2,5• 10-5 с; интервал квантования
во времени при ДМ Тн = 10-2/,р.
6.5.4. Определить энергетический выигрыш и выиг­
рыш по эффективности использования полосы частот
перехода от системы БАМ к системе ДМ-ФМ, исполь­
зуемых для передачи речевого сообщения с коэффици­
ентом корреляции R (т) = е-р /т/ при отношении сиг­
нал/шум на выходе приемника, равном 103 и 102 . Ин­
тервал квантования во времени . в системе ДМ считать
равным Тн = 10-2/,р (,р = 1000 Гц), а полосу частот со­
общения Рс = 3100 Гц.
6.5.5. Определить надежность связи в процентах
при передаче речевых сообщений, если w 1 (hвх) имеет
рэлеевское распределение, а h2пor/Vii 2выx = 0,01; 1; 10.
6.5.6. Во сколько раз увеличится надежность N2
связи, если при~м речевых сообщений вести по двум не­
зависимым каналам с одинаковой статистикой при ус­
ловии, что надежность одноканального приема N 1 =
=0, 1; 0,5; 0,8; 0,9; 0,99 соответственно.
310


Во сколько раз изменится величина надежности
трехканальной системы разнесения N 3 по сравнению с
двухканальной N2, если N 1=0,5.
6.5 .7. Найти предельный коэффициент использова ­
ния пропускной способности канала в системах АМ,
БАМ, ОБП, ФМ, ФИМ-ОБП, ДМ-ФМ при h2вых=
= 1ООО; 5000, если во всех системах передается рече ­
вое сообщение, а параметры систем те же, что в задаче
6.5.3.
Решения и ответы
Р . 6.5 . 1 . В соответствии с Р.6.2.7 имеем :
2т2
2-0,09
О02,О1
g = --- =---=
'
; gлм= ,О·
АМ m2+п;2
0,09+9
Согласно Р.6.2.10:
= F" ~~м =20100=222·
gФмFп2
9
'
с
По ф - лам (6 .34) и (6.38) получаем:
1lрлм1Фм = 101g 222 ~ 40 дБ; r~~лм1Фм= 101g .! ...!_J _ ~зо дБ .
0,02
0,01
Р.6.5.2 . По ф - лам (6.34) и (6.38) имеем:
Воспользовавшись результатами задач 6.2.11 и 6.2 .1 О,
найдем:
ЗF~чм ,
101 ЗР~чм
'r/рфМ/ЧМ = 10lg -3
--
;rJрфМ/ЧМ= g-2-
-
.
р1<ФМ
р1<ФМ
Если полосы канальных сигналов одинаковы, то
'r/рФМ/ЧМ = 'rf;ФМ/ЧМ = lQlgЗ= 4, 7 дБ.
Р.6.5.3. В данном случае энергетический выигрыш
перехода к некоторой системе связи с модуляцией оце­
нивается по ф - ле (6.35) .
Воспользовавшись результатами решения задач
6.2 .7 - 6 .2 .14, найдем результаты, сведенные в табл. 6.3.
Из этой таблицы видно, что из с-равниваемых систем
наибольший энергетический и обобщенный выигрыш
311


ТАБЛИЦА 6.3
Вид модуляции
1'Jp,дБ ., 1'JF,дБ./11·, дв 1
Примечание
АМ
-7
-3
-10
m=l
Fк-=2
Fc
БАМ
3
-3
о
Fк
-
=2
Fc
ОБП
о
о
о
Fк
-
=1
Fc
.ФМ
19
-11,6
7,36
Fк
-
=14
Fc
rF
ФИМ-ОБП
22,7
-11,5 11,2
~ =14
Fс
ДМ-ФМ
23
-11,5 11,5
~
=14
Fc
F
АИМ-ОБП
11 ,5
-11,5
о
~=14•
Fc
.обеспечивают системы с ДМ. Выигрыш по эффективно -
• сти использования полосы частот у этих систем меньше,
чем у систем АМ.
Р.б.5.4. Для системы БАМ
/12
h;хБАМ = в;,х ; FкБАМ = 2Рс=6200 Гц .
.3,начения h2вх дм при заданных значениях h2вых и Тк =
•= I0-2/,p берем из Р.6.3.7 . . Полоса частот ДМ- ФМ
Fндм = 2/ Ti; = 200 ООО Гц . Ин т ересующие значения 1\Р и
·-
1\F сведены в табл. 6.4.
ТАБЛИЦА 6.4
h2вых
102
103
'l'Jp ' дБ
6
24,8
ЧF • дБ 1-: -15.1
-
15.1
Из таблицы видно, что по эффективности использо­
вания полосы частот система ДМ-ФМ проигрывает
312


БАМ на 15,1 дБ (в 32,4 раза), но обеспечивает сущест­
венный энергетический в ыигрыш.
Soo
-
h2 //12
-
1,2 /h2
N=100
2~ых е вых лых dhвых = 1ООе пор вых
h2
huop вых
Р.6.5.5.
При h2пор/h2вых = 0,0 1 ; 1; 10 N = 99%; 36%; 0,0045%.
Р.6.5.6. Ненадежность в отдельном параллельном
канале 1-Ni, где N1 - надежность канала .
При приеме сигналов по п независимым каналам
ненадежность связи 1-rNп будет определяться вероят­
ностыо того, что одновременно во всех каналах hвых<
<!~пор, т. е. с учетом однородности статистики в отдель-
1-1ых каналах 1--,N,,= (l-N1) 11 или надежность связи
при п - канальном приеме Nn = 1-(1-rN1) 11 • В табл. 6.5
сведены интересующие нас значения .
ТАБЛИЦ А 6.5
N1
о,1
0,5
0,8
0,9
1 0,99
N2
0 ,20
0 ,75
0 ,96
0,99 10,9999
Л'з ·. 0,27
0,875 1 0,992 1 о'999 1о,999999
!!2_
2
1,5
1
1, 92
1
1,1
1,0100
N1
Nз
2,7
1,75
1
1,98
1
1, 11
1,0101
N1
Из таблицы видн о, что эффект и вность п а р аллельной
передачи п адает по мере улучшения качества (надеж ­
ности) работы одноканаль н ой системы. Видно также,
что эффективность р азнесенного приема падает по ме ­
ре увеличения числа ветвей разнесения.
Р.6 . 5.7. Ис п ользуя (6.40) и положив
имеем расчетную фо р мулу
io!:( [ 1 + /1;ыхJ
Jogl 1+ ir;;,x J
313.
!12
h2_
RЫХ
вх---'
.
g


В табл. 6.6 сведены значения Кс.
Систем;1
АМ
БАМ
ОБП
ФМ
ФИМ-ОБП
ДМ-ФМ
ТАБЛИЦ А 6.6
Значения Кс при различных h2
вых
h2 =1000
вых
0,34
0,56
1,0
0,41
0,29
0,63
h 2 =5000
вых
0,34
0,54
1,0
0,21
о, 18
0,6
Из табл. 6.6 видно, что из сравниваемых наибольшей
эффективностью (коэффициентом использования про­
пускной способности канала) характеризуются системы
ОБП и ДМ-ФМ.
Глава 7
МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
7.1 . Раздельньiе и комбинационные системы
уплотнения при многоканальной связи
В 1мно,го1Канальных системах связи обеопечи1Вае"Г1ся 1Вза,иiМонеза­
висимая ,переда111а несколышсХ .сообще,1щй []О о,д.ной юбщей ЛИJН'И,И
ов,язи путем ее ,уrпло11не.ния к: []Iри,ме-нением общего []еред.атчика 1И
п,рием .нисr,а.
На rпра1К11ике [],рименяю11ся п,р еимущоот1Венно .системы ,,раздель­
ного ,и ко;мiби,нацию;ннюто 1у1плотнения.
В •р1аз1дель)iых оистем,ах .у,плютнения, иопольз.уемых для переда­
чи !Как дискретных, та!К .и непрерывных юоо.бщений, rрущпо.вой сиг­
нал s:E (,t) образуется путем л,инейною к:Jюжения индивидуальных
сигналов.
п
s:E (t)=:sakSk (t)l,
k=l .
(7. 1)
.
1-Здесь коэффициенты а1,, полаrаю'!'ся неизменным.и 1на интерва-
ле о,црещеления кана·льных сигналов Т, 111то обеюпеч111Jв ,ае11ся пр.и пере­
да'Че_ непрерьшзных юоо'6 щений их щисК1ретизацией ,во ~времени с ша­
гом дt=1Т.
314


При ,отс,утстви,и иска.жени.й и аддит,ив,ных шу,моs ,в канале од­
нозна,ч,ное выделение индив;идуальных сиrn•алов -из су,м,м арного
гру[J1ПО1воrо сигнала (7.1) воз,можно л-ишить при линейной независи ­
мости фу,нпщий авса,м,бля {sk(t)} .. Неабходи,мым 'И даст,аrочным ус­
ловием этого является отличие от нуля Ю[l:ределител.я Гра1ма
т
Р11Р12 • • •Р1п
Р21Р22 • • •Р2п
где Рнz= {-Ss1i (t) s1 (t) dt.
о
=1= О,
(7 .2)
Следует заметить, 1t1то 111ри ,вы111ол.не.нии условия (7.2) i!1ру,тт,по­
вой си~,нал (7. ,1) ,может обратиться в ,нуль толыко 111.ри ,н,уле,вых зна­
чен ,ия ·х всех ak.
,Про~цедура выделения ,инди,видуальных си,гна·лов из гру,тт,~во-го
в ,месте приема сводится П{ юлределению проекций ,веп{тора sL на
соот,ветс,т,вующие J{ОQIJ)iдИНатные оси . Эту о,пера1щ,ю .можно ,осущест­
вить ,ко,р,реляционной 06ра,бот1< ой
т
L ( SL) = (--;;~) = +sSL (t):сп (t) dt =Gп,
о
Здесь {ck(t)} - ,система ,базисных фушщий (опорных
удо влеl'воряющая условию
т
_1
_
ss1i(t)cz(t)dt={О при l=1=k'
Т
=1=Оприl=k.
о
'
(7 .3)
сиг.палов),
(7 .4)
Для ортогона,лыного анса,м,бля сиг,f!,алов {sk(t)} ,бази,сные ф1ун,к­
ц~;,и c1(.t) =A1s1(.t), ,т . е. оп,ределяются те,М: же ан,са,м6лем, С у четом
воз .можного взаимног.о запаз1дыва ,ния си,гналов в канале ,у слов·ие
разд еле,ншr (7.4) можно з-аписать для этих сиr,нал.ов ,в виде
т
вh,z (т) = j' s1i (t) sz (t + т) dt = о, о,:;;;т,:;;;т, k=l=l, k,
о
l=l,2, ... ,n.
(7 .5)
Выполнение у,словия (7 .5) пюзволяет строить неоинх•ро.н.ную си­
стему уллотне-ния (-с1истему со свобо.ЦНЬ]IМ до.ступам каж,дого або­
н ента в к,анал). Еоли 'Же система ,является ~синхронной . (инди,ви.цу­
аль.ные с игналы ,имеют одинаковую .цл·ительн ~,с ть и ,на1t1ало от, сче­
та) , условие разделения (7.5) ,должно вьшол.н,яться при т=О.
Существ у ют .раз,л,ичные ,способы ,раздельного уплотнения линий
связи.
1. К:лассичес-кое частотное уплотнение. J;1ри та­
ком способе у,ттло,тнения ,силн;алы ,индивидуалыных .каналов .можно
записать в виде
Sk (t) = Ak (t) cos [w1it +0k (t)],
315
(7 .6)


лри,че,м инфо_р,ма.ц:ия закладывается rв ,из ,менен,и,я огибающей Ah(t),
фазы !01<(i) или аднс:временно iВ ,измененщr обоих ~этих п,а!J)а,метров.
Зд,е,сь W1< - средняя 11Jастота s oпea<JJ)e индиrвидуальноrо сигнала .
.Эти ча•сrоты rвыбираются та ,к, чтобы инди,видуаль:ные оиrналы прак­
r:ичоо1ш ,не 1Перек,рьnвались /ПО мектру.
,2. В•ре,мен,н6е уплотнени€. При rгаком отюсо,бе .у11ыют­
не1шя элементы инд,ивидуаш,ных ,сиrналоs передаются ,и [],рини.м ,а­
ются ,по,след:овательно во ,времени в общей полосе 11./1а.стот, что осу­
.щест,вляется []о ,средст,вом 1им1П.ульсного , мо.цулятора •И синхро.нно
_ра,ботающих ,на передаll./е ,и при еме уст,рюйств 1Комм,утации. Интервал
следов,а,нля элеме нтов индивидуал1,ного ,сигнщла Т к чаще iВ,се.го •вы­
бирае11ся равным 1/Q F с, а частота ,Им[]ущь.оног-о генер ,атора, осуще ­
с11вляющего диск,ретизацию ,во времени ,си11Налов индиsидуальных ис­
ТО11./1ни,к,оs, Fг= ·2F сп, п - число каналов уп.1ют,нен ия. ,В систем•ах - вре­
менно.го •уплотнения ,индивидуальные · 1(а1нальные ,сигналы, ка1К пра­
в·ило, предст,а.вл-яют собой от.резки -си,нусоиды, 11юследов,атеш,но пе­
_реда,ваемые no каналу. Та1Кие си.стемы ин,огда назьшают по,следо·ва­
тельным·и [13] .
З. У[] л ·от не ни е по фазе. При это,м ,опооо;бе упло.тне­
. ния в качестве ,и,нди;видуальных сигналов ,на ижгер,вале Т выбира­
ют сигналы с ,неизменной мт.новен,ной ча,стотой
(7 .7)
Перед,а,в,аемая информация за1Клад ывается в 11юэффициенты Ап(t) а
по ра злИII./ИJО фаз (J)h осуществляет,ся •разделение. Систему уплотне­
ния 1гю фазе чаще •в.сего делают д-вуХ1Каналь-ной, так как только при
.n=2 сигналы (7.7) остаю:гся ли,нейнонез ·ав.иси,мыми n:ри любой раз­
ности фаз Лcp=,p2-l(j)1=Fk:rt.
4. Уплотне,ние по форме. При у,плотнении по форме в
ка11Jестве ,индивид.у.а·льных ,с ипналов использую:г,ся ,сигналы· ,р,азл,ич­
ной формы, удовлет,во•ряющие услювия.м .разделения и ,иопользую щие
общие полосы ,ча,стот и ,инт ервалы в-реме.ни. Как правило, это ан ­
сам-бль орто,гональных сигналов на ,и,нтервале ,анализа Т. Ча ,сто
лри ,перед,аче диок,р ет,ных соо.бще.ний и.оцользую11ся ,инди,виду,аль ,ные
сигналы в ,виде отрезко,в г,ар,мон-ически.х 1Колеба,ний rкра:гных частот,
_удо,влет,во,ршощие услоs,иям ортогональности в уоrленном с,мысле :
2л
Sk(t)=Akcos(wkt-f-(J)k); WJi=k -
.
(7 .8)
т
Разделение осуществляется по ,различию час:гот 'Wk , а инфор­
мация закладывается в из,меяения а,м[]литуд Ah или фаз •Ч!п- Груп ­
повой ,сигнал s~ (.t) при этом являет.ся многочас:го:гным, ,а с-и.стему,
:работающую с :гакими сигналами, на зываю т параллельной. i[IЗ]. В ка­
честве и.ндивидуалыных сигналов [lр ,и уплотнении [l,O форме часто
используют ,последо,ва:гельные сост,а,вные еилналы. В ,э:го,м случае
индивидуальный с-и гнал длительности Т ф.орми,руется из 1п о·следо­
вател1,ности N = Т /-r:" отрезкоs синусо идальных коле.баний 1дл ,итель­
~'юсти 'tи (эл емен:гар,ные ,сигналы), кото,рые мог.у:г от,лич а :гыся час:го­
тами, ,фаз.а,ми и ампли:гуда,ми. Когда элемен:га,р,ные_ сигналы разл·и­
чаютс.я :по час'!'оте, то говорят, 1ч:го" последо,ва:гель,ный оо,ст,ав.ной сиг­
нал ,кодируется в виде частот.но--временнбй матр ,и,цы (ЧВМ). В ка­
чест.ве индивидуаль,ных -сиrналов, упло :гняемых по форме, можно
использоsать и ,реали за ции ,шу.м.оsоrо дроцесса .
В комбина.циою~ых сис:гемах -у плот,нен,ия, ис,пользуемых для пе­
JJеда.чи ди,скре:гных сообщений, од.но значение модулируемого па-
316


р а,мет.ра каналь,ного сигнала ставится в соответст,в:ие груп п е си.мво­
ло,в, выдаваемых ин:див.идуаль,ными источнцка,м,и. Широко ра,апрост ­
ранены . системы ко,мбинационноm уплот,нен.ия двух ;~;,во.ич,ных ис­
точников: система ДЧМ - двукратная частотная манипуляция, си ­
с тема ДФМ . (ДОФМ) - дву1кратная ,фазо,вая (-отншжтельна,я фазо­
ва я) ма нипуляция. Эти системы являют,ся rчетыре:хпозиционными .
Задачи
7.1 .1 . Показать, что ансамбль 2n биортогональных
с игналов {s1<(t), -s,, (t)} не удовлетворяет условию ли-·
нейной независимости .
7.1 .2. Показать, что система ортогональных на ин­
тервале (О, Т) функций {s1<(f)} удовлетворяет условию
.rшнейной независимости только тогда, когда в ее соста­
ве отсутствуют реализации с нулевой энергией.
7.1.3. В двухканальной системе связи предполагает­
с я использовать индивидуальные сигналы s 1 (t) =
= a 1cos (wot+cpo) и s2(t) = a2cos (,wot + ~o + 1&p), имеющие
длительность Т ~ 2л/1w 0 .
•
•
Найти величину ,Лер, при которой можно при отсутст­
вии аддитивных шумов в канале осуществить однознач­
н ое выделение выбранных индивидуальных сигналов из
группового сигнала s',:, (t) = -ys,:, (t) = y[a 1s 1 (,t) + a2s2(t)1
и · найти опорные сигналы (базисные функции) на прие 0
ме с 1 (,t) и с2 ( t) , позволяющие осуществить такое раз­
деление.
7.1 .4. Выяснить, возможно ли однозначное ра зделе ­
ние каналов в трехканальной системе связи ·при отсутст- .
вии в канале искажений и аддитивных шумов, если в
к ачестве индивидуальных переносчиков использованы
с игналы
S1 (t) = а1cos(w0t+ср0); S2(t) = а2cos(w0t+(j)0+Лср1);
s3 (t) = а3 cos-(w0t + (J)0 + Лср2),
имеющие одинаковую длител-ьность Т>>2л/w 0 .
7.1 .5. Показать, что при нормальном аддитивном
с тационарном флуктуационном шуме в канале U(t) и
о ртогональном ансамбле индивидуальных сигналов
{s,,(t)}, известных точно в месте приема и используе­
мых для передачи равновероятных дискретных сообще ­
ний, алгоритм ра зделения (7 .3) можно назвать опти­
мальным п о критерию минимума средней вероятности
ошибки. Найти отношение сигнал/шум в отдельном ка­
нале, полагая, что все реализации канальных сигналов
имеют одинаковые энергии.
317


7.1 .6 . Усредненный энергетический спектр индиви­
дуального .сигндла при классическом частотном уплот ­
нении определяется выражением
G11.(f)=Аехр[-
~
2 (ro - ro11.)2].
(гармоническая несущая, модулированная по частоте
или фазе нормальным стационарным процессом).
Найти необходимый минимальный разнос между
средними частотами двух соседних каналов Лf = 2F1,
полагая, что в полосе {11.+Р, сосредоточено 95% мощно­
сти индивидуального сигнала. Найти отношение сиг­
нал/переходная помеха на выходе разделительного по­
лосового фильтра, считая, что его частотная характе­
ристика (коэффициент передачи мощности) имеет фор -
K2(f)
C(f)
f
Рис. 7.1 . К опр е делению переходной пом е хи и разноса между ка­
нальными частотами многоJ<а н альной системы при тра п ецеидаль­
ных характеристиJ<ах разделительных ф11льтров
му трапеции (рис . 7.1), причем в полосе f1<+F2 сосредо­
точено 90% мощности индивидуального сигнала . К:оэф­
фициент передачи фильтра по мощности в пределах по­
лосы 1fн+,F2 считать равным 1, а на частотах fн + F,-
0,1. Принять В= 1,23-10-4 с, А = 5-1О- 4 Вт/Гц.
7.1 .7 . Показать, что система с классическим частот­
ным уплотнением использует сигналы, удовлетворяющие
условию (7.5), и, следовательно, может работать в
асинхронном режиме.
7.1 .8 . Определить необходимую полосу частот Лfс
для передачи десяти независимых речевых сообщений
(полоса каждого 0,3-3,4 кГц) посредством однополос­
ной модуляции на поднесущих и амплитудной модуля­
ции общей несущей (система ОМ-АМ) по линии свя­
зи с классическим частотным уплотнением. Считать,
что для уменьшения переходных помех между канала-
318


ми разнос между средними частотами каналов ,Лfк уве­
личивается (по сравнению с минимально необходимой
величиной) на защитный интервал IЛ:fзащ, составляющий
30% от Мк-
7.1.9. В системе с временнь1м уплотнением переда­
ются независимые речевые сообщения (полоса каждого
{),3 - 3,4 кГц) с первичной фазо-импульсной модуляцией
,Ммакс
Ммакс ;.. i
i-, --- ------- --;MJaJ..., . ,
.......______~
r
~пi
ЬNoРис. 7.2 . Реализация с и гнала миогокаиальиой систе­
мы связи с фаза - импульсной модуляцией
и вторичной амплитудной модуляцией на общей несу­
щей (система ФИМ -АМ). Полагая, что- канальный
-сигнал занимает полосу 21,5 МГц, определить число ка­
налов уплотнения п. Считать, что для уменьшения пе­
реходных помех оставляются защитные интервалы
Лtзащ между тактовыми интервалами отдельных . кана­
лов, составляющие 2 % от интервала дискр.етизации пер­
вичного сигнала во времени (рис. 7.2), а максимальное
время отклонения фронта импульса в тактовом интер­
вале Лtмакс = 128,:и (,:и - длительность элементарной
посылки). Во сколько раз увеличится число каналов уп­
лотнения п ри том же отношении Лfмакс/'tи, если вследст­
вие принятых мер по компенсации переходного процес­
са в канале [ 13] можно будет отказаться от защитных
промежутков между тактовыми интервалами?
7.1 .10 . Для передачи речевых сигналов от независи­
мых источников использована система временного уп­
лотнения с • интервально-импульсной модуляцией
(ИИМ), которая отличается от системы ФИМ тем, что
за отдельным каналом не закреплен больше ин тервал
1Лtмакс (рис. 7.3). Информация об отсчете передаваемо­
го сообщения bk содержится в длительности интервала
~tk между импульсом, соответствующим данному сооб­
щению, и предыдущим импульсом, который соответ­
ствует предыдущему по порядку сообщению (каналу).
Отклонение ,Лtk (которое всегда должно быть положи-
319


тельным) определяется соотношением
Лfн=Лf0+ а[b1i+ 1b1i1(1+ Л)J,
где Лt9 - минимальный интервал , соответствующий мол ­
чащему каналу1; а- коэффициент пропорциональност и;
Л - произвольная положительная величина.
Полагая, что отсчеты сообщения Ь1~ распределены :
нормально с нулевым средни м значение м и дисперсие й
Рис. 7.3. Реализация cиг-
D=il
tk ."' tJtA+f -
~
нала многоканальной си- •
1!
1 1 сте м ы связи с интерваль-
__
L_JL _ __L __L ____, __. ,_ __
__,е,__.,_ _, ,_ ,,_
1-IO · И?II П У ЛЬСНОЙ
МОдуля -
f
цией
а2, определить, во сколько раз можно ув еличить ч исл о ·
каналов при использ ов ании ИИМ по сравне нию с ФИМ.
Считать, что в обеих система х з ащитные промежутки
отс у тствуют.
7.1 .11. Групповой сигнал двухка нальной системы
о
фазового уплотнения имеет вид s,, (t) =X1(t)cos (,wat+
о
о
о
+<po)+X2 (i)sin(,wot+<po), где X1(t) и Х2(t)-независи­
мые стационарные модулирующие процессы с одинако-
Рис. 7.4. Структурная
схема приемного уст рой­
ства двухканальной си­
стемы связи с фазовым
уплотнением
вы ми дисперсиями. Прие м ос у ществляется двухканаль­
ной схемой (рис . 7.4), где опорные сигналы c1(t)=
= 2cos (wot+Ф), c2(t) =2siп (wot+Ф), а фильтры нижни х
частот
предполагаются
идентичны м и
и
неиска-
о
О
жающими для модули р ующих процессов Х 1 (t) и X2 (t).
Найти отношение средней • мощности переходной по­
мехи (обусловленной фазовой расстройкой .Л = >ф-<ро)
к среЩ:1ей мощности сигнала в отдельном канале и оп-
.
1 Молчащий канал, Q<а,к и задействоsанный, фик,сарует.ся в .мес-
те приема имп ульс ом длительности 'tи,;:;; Лlо.
320 ·:


ределить расстройку, при которой это отношение не
превышает О, 1.
7.1 .12 . Система МС-5 [ 1], использующая сигналы
вида (7.8) с фазовой манипуляцией, может быть ис­
пользована для уплотнения канала с полосой 3,1 кГц
сообщениями от 20 дискретных источников, работаю­
щих синхронно со скоростью 120 Бод (Тс =8 ,333 мс).
Разнос между канальными частотами Л,f= 142 Гц. На­
рисовать амплитудные спектры индивидуальных сигн·а­
лов, убедиться в том, что они существенно перекрыва­
ются, и определить интервал анализа по алгоритму
(7 .3), на - котором обеспечивается ортогональность ка­
нальных сигналов .
7.1 .13 . Индивиду альные сигналы длительности Т
асинхронно-адресной системы связи обра з ованы одно­
частотными · последовательными сигналами S1t(f) =
= X1t(f)cos (,wat+cpo), где Х1t(f)-двоичная двухполяр­
ная синхронная последовательность, содержащая N =
= Т /т:> 1 посылок длительностью т:.
Показать, что условия разделения этих сигналов
(7.5) при T»2n/,w0 и fo» 1/т:о сводятся к ~:.ребованию
т
вk,1(т:)= .\Xlt(t)Х1и+т:)dt=о, О<т:<т.
о
т. е. взаимоортогональности двоичных последова'телыiо­
стей, образующих «адреса» отдельных ·каналов, при
произвольном взаимном сдвиге.
7.1 .14 . Индивидуальные сигналы S1t(t) длительно­
сти Т = 1Nт: (N = 17) асинхронно-адресной системы свя­
зи образованы на основе частотно - временной матрицы,
показанной на рис. 7.5.
Нарисуйте форму сигнала, полагая, что радиоим­
пульсы имеют неизменную амплитуду h, и объясните,
почему для его выделения из группового сигнала может
быть использована схема, показанная на рис. 7.6 и со­
держ:ащая: четыре полосGвых фильтра, настроенных на
соответствующие рабочие частоты: f1, ,f2, fз, f4; четыре
амплитудных детектора, четыре линии задержки с 17
отводами [в каждой линии задействован лишь один от­
вод, соответствующий «адресу» данного канала (або­
нента)]; нелинейную схему совпадений СС, на выходе
которой появляется импульс сигнала, несущий сообще­
ние, только при том условии, что задержанные входные
импульсы во всех ветвях совпадают во времени.
11-299
321


Определите возможные число одновременно работа­
ющих каналов (число кодовых адресных комбинаций),
которое можно образовать на основе ЧВМ, реализация
которой показана на рис. 7.5 1•
-F
"
J
2
~~
t%-' /
'i
1/,
11/
~
{2J4Jб78В10lf12fJfi/ljfб17f, Рис. 7.5. Частотно­
временная матрица
7.1 .15. В отдельных каналах асинхронно-адресной
системы с сигналами предыдущей задачи передаются
речевые сообщения (полоса 0,3 - 3,4 кГц). Первичная
модуляuия осуществляется по системе ФИМ, причем
Рис. 7.6 . Структурная схема приемного устройства асинхрон­
но-адресной системы связи
девиация фронта импульса ,Лiманс = 128-rи . Определить
максимально возможную длительность посылки -rи и по­
лосу канального сигнала, имея в виду, что вторичная
модуляция -АМ.
7.1 .16 . В синхронной ч·е:п,rре хпозиционной системе
ком?инационного уплотнеНI;IЯ: : , FРУl:IП()Щ,rе_ символы пере-
•
'.-
••,
'
·~-
:
•j.
,
1 Нез , аш11])ихованные элеме~нты . ЧВМ , ,соответ,ст.вуют элеме~нтар-
ным 'оиrшал-ам, не :и,6пользуемь1,м в · дан~tой •щц,ресной !lюм:бинации
{эти ,сигналы и,меют ' н.улевуi6'· а:Мпли>гуду) : . •
,
'
Мо


даются посредством частотной манипуляции синусои ­
,цальной несущей (система ДЧМ). Четырьмя мгновенны ­
ми частотами ,f1, ,f2, fз и f4 передаются значения двоич­
ных символов двух источников согласно табл. 7. 1.
ТАБЛИЦА 7.1
Символ 1 - го источника
о
1
о
Символ 2 - го источника
о
1
о
Рабочая частота
!1
!2
fз
1
f4
Полагая, что параметры сигналов в месте приема
/известны с точностью до фазы, а в непрерывном канале
деirствует нормальный белый шум, определить вероят­
ность ошибки в каждом двоичном канале при опти­
мальном приеме (символы «О» и « 1» передаются от ис ­
точников с равными вероятностями).
7.1.17 . В синхронной четырехпозиционной системе
комбинационного уплотнения групповые символы пере­
даются посредством фазовой манипуляции синусоидаль­
ной несущей (ДФМ) . Кодовая таблица и~еет вид
ТАБЛИЦ А 7.2
Символ 1-го канала
о
о'
Символ 2-го канала
1
°1
о
Фаза с!-W'нала ДФМ
Полагая, что параметры сигнала известны точно в
месте приема, а: в канале действует нормальный белый
шум, определить вероятность ошибки в каждом двоич­
ном канале при оптимальном приеме и равной вероят­
ности передачи символов «О» и « 1».
Как изменится вероятность ошибки, если от а·бсо - ;
лютной перейти к относительной фазовой манипуляци и
(система ДОФМ)?
11*
323 :


Решения и ответы
Р.7.1.1. Представим групповой сигнал согласно
(7.1)
п
~
п
_
s}:. (t) = ~ a11.s11, (t) - L a11,s11.(t) = L S11, (t) (а11, - аk+п) •
k=I
k=n+I
k=I
Легко ~аметить, что при а11, = анп=f=О S}:. (t) =0 .
Это означает, что при использовании сигналов биор­
тогональной системы с активной паузой в качестве ин­
дивидуальных переносчиков информации в многока­
нальной системе связи нельзя осуществить однозначное
разделение каналов. Этот вывод подтверждается и при
проверке условия (7.2).
В самом деле, для биортогональной системы опреде­
литель Грама
Р11Р12
• Р1п - Р1п+1
-
Р1п+2
.-
Р12п
Р21
• P2n - Р2п+1
· -Р22п
D-
Рп1
• Рпп -Pnn+I
- Рп2п
-Рп1
• Рп2п
Легко показать, что путем линейного сложения элемен­
тов отдельных строк или столбцов (что не изменяет ве­
личину определителя) можно получить матрицу с нуле­
выми элементами по какой-л ибо строке или столбцу,
что приводит к · результату D = O.
Р.7.1.2. Для системы ортогональных функций
{s11,(t)} определитель Грама принимает вид
р11ОО•.•О
D=·ОР22О
О =Р11Р22 • • ·Рпп
ООО
Рпп
т
'S
Величина р11,11. = Т s11, (f) s11, (f) dt ,- Е11,
-
энергия сиrна-
о
ла s11,(t).
324


Если энергия хотя бы одной реализации s1,,(t) будет
ра вна нулю, то определитель Грама D = ,p11P22 ... •Pnn=O
и условие линейной независимости не выполняется.
Р . 7.1.3. Составим определитель Грама. В данном
случае
D-
-
а21
2
а1а2 cos Лер
2
а1а
-
2 соsЛер
2
а2а2
=-1
-
2 (1 -cos2 Лер).
4
•
За мечаем, что D=O только при условии соs 2Лер= 1 или
приЛ1ер=kл(k=O,1,2, ... ) .
Следовательно, мнозначное •разщеление сигналов
s 1(t) и s2(t) ,возможно !При любых значениях Лер, :кроме
Лер=kл.
Найдем · теперь· опорные е,и:гналы {c1,,(t)}. Согласно
(7.4) д;ОЛЖНЫ ВЫIПОЛ'НЯТЬСЯ следующие у,славия :
т
т
+JS1(t) C1{t) dt =/= О; +.\ S2 (t) С1 (t) dt = О;
'
о
о
т
т
+sS1(t)С2(t)dt= О; +sS2(t)С2(t)di=/= О.
о
о
Эт им условиям удовлетв-о,ряют оло•рные сигналы
с2(t) =~ cos(ffiof+ер0+~),
S!П Лер
2
где А 1, А2 - постоя-иные ;коэфф.иu,,иенты.
n
При Лер=2
c1(t)=A1 cos (ffi0t+ep0); c2-(t) = A2 cos(ffi0t + ср0 + ; ) .
В этом случае опорные сигналы совпадают по фазе
с сигналами и.ндивидуальных !Каналов.
325


Р.7. 1.4. Для данного слу~чая определитель Грама
a1G2 COS Л <р
2
1
а~
2
а1аа
,
-
cosЛrn
2
' t'2
-
_
cos2 Л<р1 - cos 2 Л<р2 - cos 2 (Л<р2 - Л<р1)].
1
Вел,ичина -а2 1а 22а 2з=f=О ,при J-Iенуле.вых ая..
.
8
Найдем, чему равна 1величи·на сонокупно,сти слагае­
мых 1в ,окобках:
1+ 2cosЛ<р1cosЛ<р2cos(Л<р2- Л<р1)- cos2 Л<р1- cos 2 Лср2-
,-
cos2 (Лср2- Лср1) = sin2 Л<р2cos2 Л<р1-
-
cos2 Лср1 sin2 Л<р2 = О.
ПоС"колыку ,при любых Лср 1 и Лср2 о:шределитель Г,ра ­
ма для выбранной . ,системы 0111г,на•лов р,а,вен н ул ю, эти
си,гналы я1вляются линейноэ ави,оимыми, и, следователь­
но, их однозначное разделение нев,аз,можно.
Р.7.1.5. При ортогональном ансамбле соJ:'ла,сно (7.4):
о~порные 1си1гналы ck(t),=Aksk(t), г,де Ak - коэффициент
пропор.rщональности . ПО1дста·в•ляя в (7.3) вместо s2(t)
принимаемое колебание z(t) = s2(t) +и(t) ,и языражение
Дiля ck(t), ~пол учаем ал,горитм о,брабо'ГКИ в k-,м ашнале
•т
L [z (t)]1t = -} SAkz (t) sk(t) r),t .
о
Бели все реали за ции отдельных канальных сигнало:в
ak,isя.(t) (i-номер реализации) известны в месте прие­
ма (а это ·возможно при - диок,ретном ан,самбле {ak, i} , •
то можно ,выбрать Ak, i=ak, iT и .в ,каждом канале 1р•еа­
л,изО1вать алгор.ит,м
L[z(t)]k=max[Jz(t)ak,is,.(t)dt-+ J ai,is~(t)dt],
326


что обеспечивает минимум вероятности ошибки при нор­
мальном ста,цио,нарном бело.м шуме в канале (•см. гл . 5).
Бели ~все реали:за~ции /Канального сигнал.а имеют оди­
т
на~ко1вую энер[)ИЮ Sa2k, iS 2k (t) dt = Ek, то отношение сиг­
о
нал/шум в k-м •канале [учитЬ!lвая, что z(t) =ak, isk(t) +1
+U(f)+~ajSj('t)]
i#
(
Т
)2
Ja~,i s% (t) dt
(Ре) о
= _E_J_ =
_2F_k,
Рш k = -(-J-'-и-(-t)_a_k_,i_s_k_(t-)-dt_)_2 Ek ;
Gm
где Gm - энер1гет,ический сшек11р шума в канале .
Р.7.1.6. .Величину F1 найдем из условия, что в пю­
лосе fk ;±F1 содержит,ся 95% ~ощн-ости ин,ди1ви:,цуального
с игнала:
fk+F,
00
S А e-13•<ц1-:-wk)• df = О,95А Je~i3•(w-wk> 1 df.
fk-F•
-оо
После очевидных пре~6ра1з-01ваний пол~учим ур.авне­
н ие Ф (2л:.F 1 V2~) -=0,95, где Ф (х) - фу.нк,ция Кра,М:па.
По та,блицам Ф (х) находим 2лF1 V2~= 11,96, откуда [IРИ
!3=11,23-10-4 с получаем F1 = '1,8 II{;Гrц.
Ра1знос между несущими 1ча,стотами инщивищу.альных
1каналов 2F11= 13,6 1к1Гц. Аналогичным образом н,аходим
величину F2, считая, что В [IОЛОСе fk .±F2 сосредоточено
90% мощности индиlВидуального ,сигнала:
fk+F•
оо
S А e-l3 '(w-wk)1 d/ = 0,9 J А e-i3'(w-wk)' df.
fk-F•
-оо
Отсю:да получим Ф (2лF2 V2~) =0,9 и F 2 = ·1,5 кГ:ц. Из
условия ра~венст,ва коэффициента шередачи филь11ра 0,1
н а частотах fk±F1 нахюдд,м ,полос:у F3 , на границе ко­
торой 1к•оэффициент :передачи фильтра обращается в
нуль: F3 = Fi-F2 +F2, Fз= 1,83 :кГ!Ц.
0,9
Определим мощность ci-iп-i·aлa ·на ,выходе раэдели­
т,ельното филь11ра k- ,ro •ка:нала, ihола•гая, что в . поло,tе
q,а,tтот от fk +F. 2 до fk + Fз ко,эфф':ициент •передачи - фильт-
327


ра ло :мощности и1Зменяет,ся ,по закону
K2(J)=1- f
-
(fk+F2) ;
Fз-F2
.Пос ле о,чевидных преоtбраз-ова·ний лолучае-м
х
Ре= :- {Ф(2V2л~F3) +~[Ф(2V2:тфF3) -
2~п
F3 -F2
-
Ф(2V2л~F2)J+ -V 1
[ехр (-~24л2Fj) -
2~ пз(Fз - F2)
-ехр (- ~
2 4л2 F~)]} .
Вычи,сляя, нах-одим Рс- = · 10,9- 10-3 Вт .
Мощность .перехмной 1Поме:х,и (заштрихованная об­
ласть на рис . 7.1) определим с некот-о,рым п~ревыше­
нием, rюла,гая, что • в ~полосе fkl± F 3 характеристип«:t
фильтра ра1вномерн-а, а ,переходная помеха создае11с я
только двумя соседними ,каналам.и
fk+2F,+F2
Рп.п= 2 S Аe- f:l'(ro- rok)'df=
fk+2F,- Fa
-
у~ {Ф[2V2л~(2F1 +F3)]- Ф[2V2л~(2f1-F3)]} . -
2 2п~
•
После 1вычислений получаем Рп.п=б,55- IО- 4 Вт. Отно-­
шени-е сигнал/переходная помеха на выходе раздели­
тельного фильтра k - го канала РаРп.п= - 16,6 .
Р.7. 1.7. Используя равен,ство Парсеваля [15], усло-­
вие (7.5) можн о записать в виде
c,J
ssk (f) S1(-f} e-irot df = о,
-с,,
где Sk(f) - 1юм1плексный ,сшектр сиг,нала sk(t); S1(-f)-
комплексно - сопряженный спектр сигнала s1 (t).
Поакольку при 1класси1чеаком частотном ушлот.нении
амплитудные 'слекгры .индивщдуальных сиnналов не дол­
жны существенно перекрываться, то сформулир01ванное
328.


условие действительно выполн яется (на практике при­
бл иженно). Следовательно, при классическом частотном
у, плотнении и-сшолызуются ,к.анальные сигналы, сохраня­
ю щие взаимную ортогональность шри произ~Вольных
!ВЗа lfм :ных .сдви1лах . Правда, это достигает,ся лутем суще­
ственног,о раоширения .за,нимаемой оистемой полосы ча­
ст от по -сравнению ,с . мюшмально .во.з.можной величиной
Р.7. 1 . 8. МинИlмально необходимый ра.знос Лfмин=
=2-3400 = 6800 Гц. Разнос Лfk ,с учетом защитного ин­
тервала определяется из соотношения Лfk = Лfмин+
+ О,ЗЛfk. Откуда Лfk = Лfмин ~9700 Гц (Мзащ = О,ЗЛl{k =
0,7
= 2900 Гц). Занимаемая многоканальной системой поло­
са частот Лfс = 2 •1OЛfk = 192 ООО Гц.
1
Р . 7.1 . 9. Интерва'7! д1юкретизации • Т11 = -- ~
2F.шкс
~ -1 47 ·м1кс. Очевидно, что для п - канальной системы с
Ф ИМ должно вьnполняться условие
n [Л fмакс+ Л fзащ]=Тк ИЛИ n Il28tи+0,02TR]=Tн.
За нимаемая системой • полоса частот Лfс~2/tи =с 21,SX
Х 106 ~Г,ц. Отсюда
12=
2
О,02Тн + 128-
Лfс
147-10-6
~10
256
"'°:
•
0,02-147-10-6 + - 10-б
21 ,б
Если 011казаться от з ащитных интер,валов , приняв
ме ры по комшенса 1ции переходного :процесса , то число
ка нало1в можно увеличить до п =
Тк ~12.
2'
128-
Лfс
Р.7.1.10. Обоз-начим. Ч€рез Х случайное отклонение
р абочего импулыса [юследнего п-го ,канала. от начала
интервала
п
- Х =~Лto+а[Xk+(1+Л)\xk\].
k=l
Потребуем, чтобы с ~вероятностью, 6лиз·кой ·к (sа1при­
ме р, 0,999), случайная величина Х не вы ходила за п·ре­
делы та,ктового интер1вала Тн:
Tk
Sw1(x) dx = 0,999.
,пл 1.
329


Ев.едем но'вую
у= Х-пЛt0
положительную сл,учай.ную лерем,енную
п
~Уk,где Y1t=X1t+(l+Л) JX1tJ . Допус ­
k=I
а
1
а ( т,гЛtоn)
тимое число каналов п найдем из . условия S
о
wi(y)dy=0,999. Найдем ,ра,сrпрещеление положител ьной
случайной величины Y1t = Xk + (1 + Л ) IX1t/:
у _{ЛIxkIприxk<О,
k-
(2+Л)1xkIприXk>О.
Пос1колыку Xk имеет нор-мальное расшр,еделение с ;нуле­
вым средним
w1 (xk)= -V 1 ехр (- x'f, ), -oo<xk< оо ,
2:гю2
2<J 2
то для ,раапределенимя Yk шолучаем
1
(y'f,)
W1 (yk) = -V2:пЛ2<J2 ехр 2<J2Л2 +
•1
(
y'f, )'
+ -;:::с==~===::- ехр - - - -- Ун.> О .
у2:п(2 + Л)2 <J2
2(2+Л)2<J2 '
Точное ,зыражение для распределения сум мы п нез ави ­
си,мых слагаемы х Yk получить затруднительно.
• В об:Ла , сти a2« 1I ра,апред,еление суммы п неза'В и-си ­
мых односторонне - нор ,мально распределенных случай.­
п
ных вел,ичин ~ Y k ,можно а1ппрО1к,симиро,вать ,pa oop eдe­
k=J
лением
w (у) = -V2м:л2пехр(- 2<J;~2п)' у>О.
fl
а [ тк-п Лfо]
Из условия •S
w(у)dy=0,999
следует
о
Ф( Тк-1_!0 )=0,999 или . (T1t- nЛto) =~3,5ааЛ Vп. В ыби -
а<JЛ п
рая: Л,tо = 'tи (длительность элементарной посылки ), п ола­
гая n1'tи« Тн (п1 - число каналов в системе ИИ М) и Л
=5, имеем 17,s'Vп1 = Тн. Для оистемы ФИМ: 6п =т" .
аа
аа
330


Откуда Уп1 = бn/17,5 = 0,3n или n1 = n20,l. Если, как
обычно, в системе ФИМ n;::::;20, то n1~400-0,1 = 40, n1/n =
= 2.Еслип=30,тоn1=90,n1/n=3.Прип=40n1=
= 160,0, n1/n = 4.
Р.7.1.11. Сигнал на выходе неис'!йжающего ФНЧ
(1при единичном '!юэффи,ц.иенте rпереда,чи всего m,риемно­
.го устройс11ва) м-ожно ~получить фильтрацией проду,кта
о
о
S};(t)c1 (t). Имеем У1 (t) = X 1(t),cos Л -X2 (t)sin Л. Пер вое
слагае м ое в это:м выражении я:Вляется п-олезным сигна­
лом, а ,второе - переходной ,по.м,ехой .
Отношение переходная помеха/сигнал на выходе 1- го
кан ,ала
рп.п х~ sin2 Л
----
= tg2л.
Ре
_х2 cos2 Л
1
Та1кой же результат следует и ~для_ 1Второ.г.о ,канала . Из
услония tg2 Л~О,1 •:получаем допустимую расст,ройк,у
фа1зы Л = 1.l 7,5°.
Р.7.1.12. Амюлитудный С'п ектр гру,ппо1во,r,о сигнала
си,сте~1ы МС - 5 показан на рис . 7.7. В данной системе
Рис . 7.7 . А l\ шлитудный спектр
группового сигнала много ­
канальной системы связи с
о.ртогона .1ьныtvш сигн алами
•
МС-5
оrт·ектры и,ндиви~уальных сигналов ,существенно пере­
к,ры,ваются.
Для надежного разделения ,ка.на.ла,в на · инте,р•вале
анализ а должно ;вьшолняться у;словие орто,гонально с тл
ин~дивидуальных ,сигналов
•
!а
J cos(2лU + cp;)cos (2лf11.+ ({)11.)dt=0, i =l= k,
о
.
или
ft=2~а(2i+N),i=1,2, •••
Поскол ь•к,у paЗI:I·oc меЖ/ду · соседними •ка н альными ча,сто­
там:и
Лf= fi+1-ft= -
1[2(i+1)+N- 2i-NJ= ...!_,
•
2Та
Та
331


получа,ем Та = 1 1/Лf = 7,O4 мс. Интер1вал ЛТ = Т- Та=
= 11,393 • мс исшолызуется для гашения ,колебаний ,сосед­
них посылок .
Р. 7.1 . 13. Согла,саю условию разделения (7.5)
т
JХh.(t)cos(ffi0t+(JJ0) Xz(t+ т) cos [ffi0 (t + т) + (JJ0Jdt =
о
1
т
1т
= -COSffioT sXk(t) Xz(t+ т) dТ + - Jxk (t) X1(t + т}Х
2
2
о
о
Хcos(2ffi0t + ffi0T+2(JJ0) dt= О.
При T~2л/ffio ,и узкополосных ~канальных ,сигнала х
(1/т~fо) вторЫlм интеграло~м можно пренебречь. В это :v1
случ ,ае и.щдивидуальные ,си.гналы могут быть разделены
т
при Вh.1(т). == JX11.(t)X1(t+т)dt=0, т. е. если 111:воичные
о
последовательности, образующие «адреса» отдельных к а ­
налов, ортогональны при 1Проиэвольном взаимно :v1
сд1виге.
Если в ~качестве инди•видуальных оиrнаЛ{)В использ о -,_
вать .nоследо:в,ательню1сти Хаффмена с большим число м
элементов ва 1периощ [1овт9рения Nk и N1, то
Bkz(т) =
-
1 - ~ О (этот результат получен в [16]).
NkN!
Р. 7.1.14. Заданной реаливац.ии ч:а,стотно-в1ременн6 й
,,
матрицы соответ,с11вует сигнал, пока:занный на рис. 7.8а.
На выходе IL\.етыр ,ех а,м1плитудных детекторов выделяю т­
ся видеоим1Пуль-сы, ,взаимное рас:положение ~которых тто~
казано на р,ис. 7.86. Четыре линии задерЖ'ки обеапечи­
вают совмещение lВО ~времени O1щельных ,вщд.,еоим 1пуль­
сов, а су~ммарный сигнал с ам1плиту:дой 4h, превыша я
П•орог схемы совпадения СС, выдает на выходе рабочий
И'Мiпульс, по ·которому ·считьnвает,ся ·инфо.рма.1щя (·пр и
передаче анало,го:вой информации 1посредс11во,м ФИ М
она заложена 1в 1Положение импуль•са отно,сительно то ч ­
ки ,отсчета) .
Полагая, что в ,каждой а:дресной коМlбинации .иапо л ь­
зуют,ся четыре и,м1Пуль,са (:занимающих определенны е
положения из 17 возмож,ных) с разли1чными .мгновенны -::
ми частотами, ·нетрудно налиса·ть ,выражение для чис 11 а
возможных ~кодовых •ко:мrбин.а~ций (числа каналов уплот-
332


нения):
4!Сfб=24 -560= 13440,
ме С3 16 - это число сочетаний, которое мож,но 1Вьrпол­
нить при фиксации первого импульса (остается 16 сво­
бодных ,мест для раз1мещения т,рех импульсов); 4! - это
чи-сло возможных ,перестановок из четырех, определяю-
~F,
~
fJ
f
о
fJl't!51517
rтr
'(
а)
1$□□
t..
б}
Рис. 7.8. К:анальн~1й сигнал асинхронно - адресной
системы связи ( а) тт сигналы на выходе ампли­
тудных детекторов (6)
щее . р·азнообразие ·взаимного размещения четырех им­
пульсов с ,различными -мгновенными •ча,стотами.
Р.7.1.15. Кажщый им1Пуль~с, несущий информацию
об отсчете пермается 1в аоинхрон.но-адресной систе'Ме
посредством /-разрядной ~кодовой комбинации. Для мно­
го,канальной оистемы с ФИМ должно 1выполнять,ся ус­
ловие
n [Л fманс + (l- 1) -r]= Т.,,_= _1 _.
2Fмакс
/
Полагая
получаем
n = l3440, Fманс=3400 Гц,, !=17, Лtманс=128-r,
't = --------
2Fмаксn [l - 1 + 128)
7,4. 10-11 с.
'
2
Полоса ·канального •сигнала Fн,:::;, -=2,7-1010 Гц.
't
Р.7. 1.16. Согла,сно (5.32) вероятность ошибки в че­
тырехпозиционной системе ДЧМ в гау,ссо,вом канале с
неопределен.ной фазой ,при больших отношениях сиг-
333


н,ал/шум и оптимальном ,некогерентном приеме
з(hб)
Р1~ 2ехр -2 •
Из таrбли.цы состоян,ий (см. т,аrбл. 7.1) для ДЧМ следует,
что лишь в двух из трех случаев ошибочного решен,ия о
;передан.ной ча,стоте ,гру~ппаво,го ,сигнала сим 1в,олы в ин­
ди1ющуальных каналах будут за·регист,ри1рованы оши,боч­
но. Поэтому вероятн,о,сть ошибки в инди:видуальном ~во­
ично: м ~ канале
2
( h2\
р "=-р ~ехр -~ \.
ош.34
2/
Р.7. 1.17.
что сиг.налы
Расоматр,И1вая рис. 7.9, ·м ожно заме тить,
отдельных позиций ДФМ можно предста­
у
2
-...f./Гl а 1J/Гz
'
/
_з=--__а_ _, -' -+"'-/
__
а___, .,:_
/'
a/ff/ , , a/.fz
JIа'
4
вить как рез_ультат сум­
мирования двух независи­
мых двоичных сигналов
ФМ с амплитудой q/V2,
Рис. 7.9 . Векторная диаграмма
СI:Iгнала ДФМ
сдвинутых друг относительно друга на л/2. Средняя мощ­
ность этих сигналов в 2 раза меньше, чем у суммарного
сигн ала ДФМ. Следовательно, при оптимальном приеме
в случае точно известных параметров сигнала вероят-
.
1
ность ошибки в каждом двоичном канале р = -[1 -
.
2
-Ф (V h2o)]. Очевидно, что для системы ДОФМ р~ 1 -
-Ф (Vh2o).
•
7.2. Характеристики эффективности
и информационные характеристики
многоканальных систем
Имея в !Виду, что в ка1нале действует флуктуацио.нный шум с
энергетическим спектром Gш, будем сравнивать •две п-канальные
оистемы, обеспечивающI:Iе одинаковую верно.сть ,и одинаковую сум-
334


марную акоро.сть mере,п,а,чи инфо,р,мации !' n =const по параметру
эквивалентного отношения сuгнал/u1у.м
2•Реп
hэп=--
,
(7 ,9)
йшfп
Здесь Рсп - средняя мощность канального сигнала в п-канальной
си.стеме .
Энер ,гетичеокий выигрыш перехода от i-й п-сrшнальной системы
к j-й в децибелах при фикси,ро.~анной !Верности ,и 1ско,рост,и пере­
даl'!и инфор.маци.и
hz
•
•
.
· эпi
Рспi
'l'J;;j=lOig~ = 101gp.·
эпj
cnJ
Энерrетиче<жая ,цена уплотнения
Р~п
Gp(п)= -
Pci
(7.1О)
(7.Щ
показывает, во околь•ко раз необходимо увеличить с•ре1днюю мощ­
ность сигнала в п-rка.наль.ной системе по сра;внению с од1ноканаль­
ной, что,бы при той же с,rшк1iраль-ной плотности мощност,и по.мех
обеопе~чить неизменную верность приема rв каждоrм канале. Оче-
видно,
.
[Sp(п); h;;,]
•
Gp (n);
'l'Ji/i = lOig t
-
.-
= 'l'Ji/i + lOig t
.
<:,р (n)j h;i,
,
<:,р (n)j
,
(7 .12)
где '1 '] i/i,, -
энергетичес1шй 1выиг,рыш пере.хода - от i-й ,с'истемы к
j-й в 01дноканалы1юм реж,и,ме п,ри неизменных вернос,ти и .ско,ро,сти
передачи инфор,маци,и /'1 = cons t.
Если i-я и j-я системы отличаю'!'ся толь,ко способом 1упло11не-
ния ,канаЛ,а, то
•
Gp (п);
'l'Ji/i = lO]g ' _S_p_(-n)_j _
(7.13}
Эффесrпивность иопользова,ния п-ка,нальной ·оистемой полосы часто т
Fп определяет,ся 1юэф:фициентом
!~
μпf; μnvi
Vn=Fn=Fn=SF(п)
(7. 14)
В этом выражении μп - коэффицттент ~увеличения око,рости переда­
чи информации в п-1tанальной системе по сравнению с однока,
нальной;
(7 .15)
-
это спектралыная цена уплотнения, которая поа{азыв .ает, В()
сколько раз нео,бходИiмо увеличить занимаем,ую п-ка,на111ьной оисте­
мой полосу ~частот по ,сравнению ,с -одноrющалыной системой ; .v 1 -
эффективно,сть ,1юпользования полосы ч.астот од,ню-канальн·ой систе-
335


мой. Если для многоа,ан,альной системы ,μn=GF(n)=n, то Vn = v 1.
Выиг,рыш f)F по эффективно.сти .использ.ооа,ния ,полосы частот при
пе,реходе от i-й системы j-й опрмел,им 011ношение,м rпара,ме11ров vn
в сравниваемых системах. Коэффициент эффективности многоканаль ­
ной системы при передаче сообщений по независимым каналам
п
~ Cch
Кс= Се
=
_k _= _I--
Cr,
п
Ich
(7.16)
k=I
Здесь С,, - пропускная способность k-го канала при заданном спо­
собе уплотнения; Cch - пропускная способность расширенного k-го
канала.
Уплотнение сущесmующих каналов связи с заданной пропуск-
ной спооо,бl!юстью С независимыми источ,никами приводит -к су -
ще,ст,веннQму повышению эффективности связи.
Пр.и фиксирован,ных средней или пиковой мощно.сти передат­
чика мноrоканальной системы, типе Кiанала и суммарной окорости
пе,реда<ш ,инфо,рмации можно п.ри передаче дис\Кiретных сообщений
для . отдельного ка,нала определ,ить ,выигрыш по эюви,валентной ве­
роя'!'ности ошибки перехода от i-й сист емы к j - й: ai/ ;=Рэi!Р э j
(ом . § 4.3).
•
При тех же условиях ,в случае передачи непрерывных сообще ­
ний можно -определить выи!'рыш по от,ношению • сигнал/~иу1,1 на
выходе детектора в отдельном канале при переходе от . i-й си,стемы
к j-й.
За ,дачи
_
7.2 .1. В полосе станд,а,ртног-о телефонного канала
шириной F=3100 Гц необходимо передавать инфор,ма-.
цию от н,езависимых ,двоичных источников 6ез избыточ­
ности с производительнос~ыо Н' = 1/Тг. = 50 бит/с. Пока­
зать, что при иополызО1вании ушлотнения по фор.ме, ча­
стотной манипуляции в отдельных ,каналах и ,согласо­
ванной ф,ильтра.ции ,в месте приема .в у,ка.занной полосе
при неопределенной фа,зе сиr,нала м-ожно передать ин- ·
формацию от n=Зl и-сточников. Пока,зать, что rпри ис­
пользО1ВаJfИИ :кла,с,сичеокого частотною уплотнения (,по­
лосо,вых фил:ьтров ,в месте ,приема) и частотной мани:пу­
ляции в отдельных :каналах число 'Каналов у,плотнения
n= 10. Найти коэффициент иополь:зования 111олосы час­
тот д~воичной ЧМ в одно,ка,н.аль'н,с>м реж,име v-1 лри шрие­
ме mос.редством соr:ласО1ванного и полосового фильтра,
а та·кже для обеих систем ушлот,нения ,спектральную це­
ну у,плот,нения ~F.( п), коэффищиент увелич,ения ,скорости
передачи ин:фор,мации μп и ,коэффициент ,ис:пользо~ания
полосы частот Vn.
336


,))
7.2.2. Пусть многака·нальные ,системы частотного
ушлот,нения ,с согласова·нньnми фильтрами и полосовыми
фильтрам,и, рассмютренные ,в заща,ч.е 7.2 .1, обесшечквают
одина1ковую окорость переда,чи ,и.н:формации (ценой оп­
ределенного ,раоширения .полосы ча,стот, эанимаемой
второй си,стемой) и ~верность. Паказать, что энер1rетиче­
ский выигрыш .перехода 1к систе:ме ,с согласованными
фильтрами ра~вен 3 (4,8 .дiБ) и не за:в,исит от числа ка­
налов ушлотнения .
7.2.3. Система с частотным уплот;нением образует­
ся 1путем однОIП•олосной модуляции \Под.несущих и ча,стот­
н ой ,модуляции ,общей несущей (система ОМ-ЧМ). Бу­
де1м считать .с,истемой «А» м,ного,канальную сист.ему
ОМ-ЧМ, у которой девиация частоты Лf не меняется
с И1зменен,ием числа каналов п, а системой «Б» - много­
канальную систему ОМ-ЧМ, у ·1ю110рой Лf растет про­
пор,ционально чиолу каналов п.
По1казать, что энер.гетичеокий ,выигрыш t11ерехода от
системы «А» 1к системе «Б» ,равен 'У]А/Б = 110 lg п2 , что
достИ1гается ценой ра~ширения занимаемой полосы ча­
стот в п ра.з.
7.2.4. Для передачи и:нфор,маци:и от п неза1висимых
двоичных источ,ни1ков. ~без и,збыточности с 1произ:водитель­
н остью Н' ,могут ,быть ,ислюль:зованы щ~е •системы,: «А» -
синх·ронная м·ногочастотная ,систем .а с согла •еава:нны1ми
фильтрами и оmо,ситель·ной д1воич.ной манипуляцией на
каждой t1101дн·есущей; «Б» - оинхронная одноча~стотная
систем,а с :вр.еменнь1м уtплотнением (,многократная систе ­
ма) и относительной двоичной ман,ипуляцией несущей.
Пико:вая ,мощность перматчи,ка счит.ае11ся эаданной,
канал беэ искажений, с неошредел,енной фа1зой и белым
гауосо1вским шумом. Показать, что при юдинаковой эф­
фективности 1иопользо:ва·ния ,полосы частот ~канала си­
стема «Б» обеспечивает выи1грыш 1по э1шив.алентной ве­
роятности ошибки по сравнению G ·системой «А»: ал;в =
=exp i[h2в(l - ~- I )], где 1~х~2-коэффи,циент, ха-
.
п
рактериз1ующий н•елинейн·ость передатчика, а h 2л - от­
ношение сигнал/~иум в отдельrнО'м канале ,системы «А».
7.2.5. Определить э.нер,гетический ,про,иг,рыш [IO от­
ношению сигнал/~иум на .выходе детектора индивидуаль­
ного канала и опектральный проигрыш перехода от
двухканальной системы фазО1вого уплотнения, раосмот­
ренной :в заtдаче 7.1 .11 ('при Л=О), 1к iдВуХJканальной си-
337


стеме частотного у~плот,нения с гру~rnповым ,еигнало м
о
о
s.E(t)=Х1(t)cos(ro1t+ср1)+X2(t)cos(ro2t+ср2)
при одина1ко:вой пико'вой мощности перещ атчи,ка. Раrз,нос
между ,ср .е:дним ;и частотами ,ка 'налО1в считать рав.ным
/ удвоен:ной ширине сшектра модулирующего сигнала
о
Xi(t). Пикфактор 1модул,и~рующего сигнала П = Э.
7.2 .6 . Найти опе'ктральный ~выигрыш lГ!ерехода от
ас.инхро:нной -системы частотного уплот,н,ения ЧМ-ЧМ,
предна з наченной д~ля передачи n= '13 440 независимых
речевы х сюо·бщений к асин х ронно - адресной системе на
такое же ч,исло каналов 1, рассмотренной ·в задаче
7.lJ .5. Считая , что обе ,систе,мы раtботают при больших
отношениях сигнал/шум (:выше пороговых) и о;беапечи­
вают о:дина1ко.вую ~верность при одина1ювом отношении
сигнал/шум в пщнале, О1шрещ елить Э,Нергетичеакий ,ц,р оиг­
рыш перехода от системы «АА» к ЧМ - ЧМ .
7.2 .7 . Оn1ределить энер ,гетич•еакий .выигрыш и выиг­
рыш по эффекти1вности ис,пользова'Ния ~полосы ч а стот
при пер,ехОlде от ,д1вух,каналыной -системы частотно.гю уп­
лотнения •С частотной ма,ниmуляцией, предна з наченной
для передачи нез ависимы х сообщений от д'Воич,ны х ис­
тоrчников без избыточ,ноrсти, к систем-е ДЧМ. Считать ,
что 1пи:~ювая мощность ,пер-ед атчи:ка фиксирована , в ка­
нале действует нор·мал ыный белый шум , сИ1r.нал из в-ес­
тен с точностью до фазы и щ:уще с11вляется опт,и1м ал ьный
не~когерентный ~прием .
•
•
7.2 .8 . Оtпредел,ить энертет,ичеокий ,выигрыш и в ыиг- -
рыш \ПО эффе~КТИIВНОСТИ И С'ПОЛЬЗ·ОВа,ния полосы ч а,стот .
при ле,реходе от .д:gухJКа нальной системы частоТiног о и ли
временного у,плотнения 1к си~стеме ДОФМ. Сч,итать , что
во всех сравниваемых системах передается инфор ма ция
от ДIВIУХ незави1симых ДIВОИЧНЫХ ИСТОЧНИ'К ОIВ без и,з,б ыточ-•
ноет.и, пи ковая ,мощн -ость mере:дат,чика ф и ксиро ва,н а, в
кwж~ой -системе осуществляе11ся ОФМ, в ·кана1Ле д ейст ­
вует нор 1маль.ный белый шум, ,сигнал известен точ но JВ
месте ,приема и осуществляется оптимальный когер ент­
ный прлем.
1 Чтобы снизить вероят,ность образо,в,ания · ложной адре он ой к,ом- ,
бинации, о.бычно уменьшают число одно,временно используе м ых ка­
налов. Однако за сч ет фа1Кто,ра неодноврем енной работы в,се х ис­
ТОЧ\НИ11юв кратность уллотн ения ,можно увеличи ,ть. Б уsд ем сч ита ть ее
ра,ш1ой 13 400 .
338


7.2 .9 . Определить 1пропу;окную ,опособность 20-ка­
.налнной систбмы частотного "у'iплотнения с ,н,езави,оимым
нормаль.ны:м белым шумом ,с интенсив,ностью, при1веден­
ной ,к вхо~у лередатчи1ка Ga=4,6- 10-4 Вт/Г,ц ~В отдель­
ных .каналах, ,пол•а1гая, что 1каждый канал 'За~Нимает по­
л01су частот Fli =8000 Гщ, переходная помеха в каждом
канале имеет ха,ра,ктер нор1мального белого шума со
ср,едней мощн·остью, •про1Пор,ци01наль,н,ой суммарной оред­
ней мощно~сти остальных канало.в, в ,передатчике фи1кси­
рована ·пи1к,овая мощность Рманс = 100 кВт, и ра'бо,тает
он в ,строго линейнам режиме. ·
7.2.10 . Определить пропускную способность 20-ка­
нальной системьr временного уплотнения с теми же ха­
рактеристиками канала (в том числе по суммарной по-·
лосе частот F-z =20Fн) и передатчика, что в задаче
7.2 .9 . Сравнить значения пропускных способностей, полу­
ченных в этих двух случаях.
7.2.11 . Определить коэффициент эффективности 20-
канащ,ной системы передачи независимых непрерывных
гауссовских сообщений, каждое из которJ:,rх занимает
полосу Fc = 4000 Гц и превышает по средней мощности
эквивалентный равномерный по полосе нормальный шум
на выходе канала в 7 раз. Сообщения передаются: а) по
каналу с частотным уплотнением (задача 7.2 .9), когда
можно пренебречь переходным шумом; 6) по к'аналу с
временнь1м уплотнением (задача 7.2 .1 О), ' когда можно
пренебречь переходным шумом.
7.2.12 . Определить коэффициент эффективности 20-
канальной системы передачи независимых сообщений от
дискретньrх источников без избыточности с производи­
тельностью Н' =4000 бит/с. Сообщения передаются по
двум разновидностям каналов, рассмотренных в преды­
дущей задаче (ошибками в расширенном дискретном
канале пренебречь).
•
7.2 .13 . Канал связи, имеющий большую протяжен­
ность, с общей пропускной способностью 1О ООО бит/с
используется при передаче информации от 100 незави­
симых источников с производительностью 50 бит/с каж­
дый.
Показать, что стоимость передачи 1 бита информа­
ции в уплотненном канале в 25 раз меньше, чем при ис­
пользовании для каждого источника индивидуального
канала с пропускной способностью 100 бит/с, если сто­
имость такого канала в 4 раза меньше стоимости одно­
го уплотненного канала.
339


Решения и ответы
Р.7.2.1. В системе с согласованными фильтрами при
использовании ортогональных в усиленном смысле ре­
ализаций отдельных сигналов (для возможности прие ­
ма в условиях неопределенной фазы сигнала) можн о
выбрать минимальный разнос между частотами ,Лf •
= l/T1: = 50 Гц. Поэтому в полосе F1: = 3100 Гц можно
разместить до 3100/50=62 реализаций, или до 31 дво­
ичного канала.
В системе с полосовыми фильтрами, врrбрав умерен­
ное значение разноса между частотами реализации Лf =
- = 3/Т 1: (для отстройки от переходных помех), получа-
2-3
ем требуемую полосу частот одного канала Лfи=,у- =
:Е
= 300 Гц (для частоты «нажатия» и «отжатия»). Поэ­
тому в полосе F1: = 3100 Гц можно разместить до
3100
- - = 10 каналов.
300
Для системы с согласованными фильтрами
50.
~ 100
V1 = 100 =0,5бит/Гц; ~F(n)= 100 =31; μп=Зl;
Vn = v1 = 0,5 бит/Гц.
Для системы с полосовыми фильтрами
50
v1= -
= 0,17бит/Гц;~F(п)=10;μп=10;
300
Vn =-~ V1 = о, 17 бит/Гц.
Переход от системы частотного уплотнения с поло­
совыми фильтрами к системе с согласованными фильт­
рами дает выигрыш по эффективности использования _
полосы частот в Т)F~ 3 раза.
Р.7.2.2. Если системы обеспечивают одинаковую
суммарную скорость передачи, то i них равны показа­
тели ~Р (п). Тогда согласно (7.12) искомый выигрыш 11
определится энергетическим выигрышем одноканально­
го режима . Отношение сигнал/шум на выходе согласо­
ванного фильтра больше, чем на выходе полосового
фильтра в 3 раза, так как при той же средней мощно­
сти сигнала и энергетическом спектре шума средняя
мощность шума на выходе полосового фильтра возрас­
тает в 3 раза (в это число раз шире полоса для шума
в полосовом фильтре по сравнению с с0гласопанным) .
Таким образом, ТJ = 4,8 дБ.
340


Р.7.2. 3. Найдем сначала энергетическую цену упло­
тнения для системы «А». Индекс частотной модуляци~,г
Лf-z Лf1
Вчм =--=
--
,
где Лf1-девиация частоты при oд -
F-z
nF1
ноканальном режиме, F1 - занимаемая одним каналом
полоса частот. Если мощность сигнала на входе приемни ­
ка остается неизменной, то отношение мощности груп­
пового сигнала на выходе частотного детектора Р1:чы х,
к спектральной плотности мощности шума Gовых про ­
порционально f3 2 чм (см. Р . 2.4 . 8) и обратно пропорцио ­
нально п2. Если среднюю мощность передатчика увели ­
чить в п2 раз, то отношение (P-z /Gо)вых останется неиз­
менным. Но rio определению энергетической цены упло­
тнения должно оставаться неизменным отношение·
(P1/Go) вых средней мощности индивидуального сигнала
на выходе приемника к спектральной плотности мощно ­
сти шума. При статистической независимости сигналов
отдельных каналов Р 1 = P-z /п . Поэтому энергетическая
цена уплотнения системы «А» ;p=n3. Поскольку в сис­
теме «А» рост числа каналов не сопровождается расши ­
рением полосы частот (так как девиация не меняется) ,
то спектральная цена уплотнения ;F(A) = l .
В системе «Б» будем считать, что девиация частоты
меняется пропорционально числу каналов п~ но тогда
(Р :т./Go) вых, и вместе с тем и f3 чм не зависит от п. Сле­
довательно, для того чтобы сохранить неизменным:
(Р1/Gо)вых (качество связи), достаточно увеличить
среднюю мощность передатчика в многоканальном ва ­
рианте в п раз: •;p=n. Спектральная цена системы «Б»
SF(Б) =n.
Согласно (7.13) энергетический выигрыш перехода
пз
от системы «А» к системе «Б» 11 А/Б = lOlg - = l0lgn2"
.
п
что достигается проигрышем в эффективности использо ­
~F (Б)
вания полосы частот в 11F =
~F(А) =праз.
Р.7.2.4. Системы «А» и «Б», передавая одинаковое
количество информации в единицу времени, занимают
и одинаковую полосу частот : ,Лf=vип, поскольку систе­
ма «А» использует п частот, а система «Б» одну часто ­
ту, но рабочие посылки в п раз короче, чем в системе
«А».
Следовательно, сравниваемые системы одина ков()
эффективно используют полосу частот .
341:


• Эквивалентная вероятность ошибки при
оптималь­
ном некогерентном приеме двоичных сигналов с ОФМ
1
Рэi=-ехр (-h2i), где h2i = P'Ji/Gш - отношение энер-
2'
гии посылки сигнала в отдельном канале в ,i-й системе
к спектральной плотности мощности шума. Для систе-
•
РмаксТА
мы«Б»h~=
2 , так как длительность посылки
GшП1 п
Тв _:_ Тл/п, а средняя мощность в каждом канале вре­
менного уплотнения Рв равна средней мощности пере--
датчика Рмакс = Рмакс поскольку для одночастотной си-
п~ Пi'
стемы пикфактор по мощности группового сигнала П2n
равен пикфактору индивидуального сигнала.
Для системы «А»
поскольку средняя мощность индивидуального сигнала
в . системе «А»
гщ~ Рп - средняя мощность группового сигнала; П2n =
= П 2iпх- 1 - пикфактор для многочастотной системы, а
х - коэффициент, характеризующий нелинейность пере-
. , датчика и лежащий в пределах от 1 до 2. Действитель­
но, если бы амплитудная характеристика • группового
тракта была строго линейной (высокая линейность
здесь важна для снижения переходных помех · между
каналами, которые могут возникнуть при нелинейности
из-за появления комбинационных частот) и если допус­
тить, что индивидуальные сигналы, являясь отрезками
синусоиды, могут складываться в фазе, - то Рманс =
=n2Рманс ~ - Средняя мощность группового сигнала при
\
р
независимости каналов Рп = Р 1 п, откуда П2п = ~-=-
Рп
=nПf и х = 2. Если допустить· некоторую нелинейность
группового тракта и считать, что сложение всех индиви­
дуальных сигналов в фазе маловероятно (или прини­
мать специальные меры по их расфазиров анию), то х
будет меньше 2, но больше 1. Выигрыш по эквивалент­
ной вероятности .ошибки при переходе от системы «А» к
342


системе «Б»
а,А/Б= , РэА =exp[h~(1-~)]·
Рэв
п'Х 1
-- Р.7,2,5.
При использовании синхронного детектора
в системе фазового уплотнения отношение сигнал/шум
на выходе
( Ре)
Рмаке
Рш вых - -2-- -2G_ш_F_e_П_i
Для системы частотного уплотнения (при синхронно м
детектировании)
( Ре\
-1
Рт/вых
Отсюда пол учаем
•
2х+1
-х,-1
'УJА/Б=-4-=2
•
В системе фазового уплотнения полоса группового
сигнала равна 2Fc. В системе частотног е уплотнения по­
лоса группового сигнала при разносе между канальны­
ми частота м и 2Fc равна 4Fc .
Спектральный проигрыш при переходе от системы
фазового уплотнения к системе частотного У,Плотнения
равен 2.
F.7,2,б. Очевидно, что для системьr частотного уп­
лотнения ЧМ- ЧМ Fн = 3400•2Bn _2~1 = 1,82•108~~1 Гц,
где ~' • ~~ - индексы модуляции
поднесущих и несущей
соответственно, Для асинхронно-адресной системы
FF.AA = 2,7-10 10 Гц (см. Р.7,1.15).
_
Спектральная цена перехода от системы частотного
уплотнения к асинхронно - адресной системе при В = ·В1 =
=10
FЧМ-ЧМ
РАА
1,82~~1 -108
-1
= ---=6,75-10 .
2 '7. 1010
Найдем теперь энергетический проигрыш перехода от
асинхронно - адресной системы к системе частотного уп­
лотнения типа ЧМ-ЧМ. Отношение сигнал/шум в кана-
"
РмакеАА Д
ле для асинхронно-адреснои системы - -- .
ля сие-
.
GшFAA
темы частотного уплотнения ЧМ-ЧМ отношение сиг-
нал/шум рмакс ЧМ-ЧМ
пGшFчм-чм
.343


Полагая, что в обеих системах отношение сиг­
яал/шум одинаково, находим, что при найденном проиг­
_рыше по полосе переход от системы ЧМ -ЧМ к асин­
.хронно-адресной системе дает энергетический прогрыш в
Р
nF
максАА - ЧМ-ЧМ = 9,1-103 раз (39,6 дБ).
рмаксЧМ-ЧМ
FАА
Р.7.2.7. Очевидно, что пиковая мощность сигнала в
•системе ДЧМ равна пиковой мощности передатчика
р
h2
Рмакс Т В
"
ЧМ
маис и
дчм= -
--.
двухканальнои системе
Gш
пиковая мощность индивидуального сигнала Рманс 1 =
!_ма~ При строго линейном режиме передатчика
2х
(х=2)
р
1р
2
htчм
макс,=- . Ма({С И h2чм =
--
'
.
4
4
Следовательно, в этом случае 'У)2чм;дчм 6 дБ . Если до­
пусти ть нелинейность в передатчике (х = 1), то
'У)2 чм;дчм =3 дБ . Поскольку двухканальная система ЧМ
занимает примерно ту же полосу частот, что и система
ДЧМ, коэффициент эффективности использования поло­
сы при одинаковых объемах передаваемой информации
будет одинаков для этих систем .
.
Р.7.2.8. Согласно (7.13) для систем, отличающихся
только способом уплотнения, энергетический выигры ш
-перехода от одной системы к другой
.. = lO!g sp (п)i
'YJ,11
Sp ln)j •
тде :SP( n)i - энергетическая цена уплотнения ~-и сист е ­
.мы. Для системы ДОФМ SP(2) = 2. Легко убедиться,
что для двухканальной системы временного уплотнения
SP (2) = 2, так как сокращение длительности посылки в
2 раза требует увеличения мощности передатчика в 2
раза для сохранения неизменной верности. При часто т ­
JЮМ уплотнении средняя мощность сигнала одного ка -
нала уменьшается ·· в 2 раза (для двухканальной систе­
мы) и SP(2) = 2. Следовательно, 'YJ i/i = 0 дБ. Выигрыш
по эффективности использования полосы частот при пе­
-реходе от двухкащ1льной системы частотного или вре­
менного уплотнения к системе ДОФМ равен 2, так как
JJoлoca ДОФМ такая же, как и у одноканальной систе-
344


мы ФМ, а у систем частотного и временного уплотнения;
она в 2 раза больше.
'
Р.7.2.9. Пропускную способность п-канальной сис­
темы в рассматриваемом канале определим по формуле
п
п
СЕ=~Ck= ~pk\og[1+ GшFk+:~: - l)Pck]•
k-1
k=I
Средняя мощность в отдельном канале п-канальной си·
стемы
Рма1<С Рмакс
р - --=--
ck- П2(п)п п'ХПi •
С учето м этого для пр апу,сю-юй оп,о'собност,и п-1ка­
нальной системы ча1с11но,го упло11нения получаем
СЕ=nFkJog[1+ [ Р•.,'"
Р.,,,,] ] •
_
п'ХПi F1iGш+л(п- !) п'Хпf
Если л.,(п~!) Pc1,«GшF1< (переходной помехой можно,
пренебречь), ·ю при стро,го л,инейном рыкиме перещат­
ч,ика (х=:2)
оаЕ=п_k\og 1+
2
= 4,8 •10 5 бит/с.
f'
f;'
[
Рмакс ]
_
n2 П1 GшFн
.
Если ?,,,(п-1) Рс1,» G~Fk, то в у,ка:зан,ных услов,иях
СЕ=nF1i\og [1+ 1 ]
лln-1)
(это соотве11ствует зна1чению коэффи,ц,иента
')., ~ _!!__шFk
~10-з) .
Рсн(п- 1)
На1пр1имер, при Л=JО- 1 GE=9,4-1!03 бит/с.
Р.7.2.10. Прошуск1ная спо·собность 20 - канальной си­
стемы 1в•ременн6nо ушло11неiНия
с}:.=20Fk Jog[I + l Р""" р ]]·
2
макс
111 Gш20Fk+л(п- !)пr ,
Бели лрен-ебрвчь п~рех·ощной ,помехой, то
Е=0k\og+2
=1,6 ·1 06
с2F
[1
Рмакс ]
П 1 20F1,.Gш
бит/с ,
345


что я 30 ра!З больше, чем при часто11нО1м у,плот,нен,ии .
При перехощной пОlм-ехе, суще1с11вен,но П'ре:вышающеи
флуктуа,ционный шум в ·канале, прапу,акная спо,собность
этих двух оистем одина11юва .
.Р.7.2.11. Найдем пропускную апоообiность аи,стемы
пе:р,е~д ачи 20 · не:за1ви1оимых сообщений, ка1ж1дое и0 кото­
рых занимает полосу Fc = 4000 Г,ц, при отн1ошен~ии сиг­
нал/шум на ,выходе .ка,нала, равном 7:
•Се =20Felog[1+(Ре) ]=2,4•105бит/с.
Рш вы:х:
~00ффи1ци,е,нт эффе1К1шВ1но1сти си1стемы при исшолызова­
н,ии •канала с ча,стот,ным уплотнением (э аща,ча 7.2 .9)
К=Се =2,4.JОБ =О5
е С2: 4,8. J05
'•
При ис1поль:зо1ван,ии канала с времеrнньr,м упло11нешием
(эаща,ча 7.2.10)
к=~= 2,4-105 =о15.
е С2:
1,6,J0G
'
Р.7.2 . 12. В данном случае пrро1пуюкная опосо!бность
аи,ст емы
Се= пН' = 8, 104 бит/с.
Коэффицrиеrнт эффе:ктивно1сти системы, иополызующей
кана1л с чжто11ным ушлотнеш,ием (эадача 7.2.9), Кс=
=0,16 7. Коэффициент эффективн:01ст1и ои1стемы, ис1полыз1у­
ющей канал с време'Нlньrм уплотнением (1зада,ча 7.r2 .1О),
Кс=О,05 .
•
,Р . 7.2.13. :Пу,сть стоимость ·канала с пр0tпуокной опо­
собноствю С= 10 -000 бит ~раrвна А, а стои,м,ость .ка!нала с
,цр оrп у,с,кной опооо,бнастыо С= 100 бит -А/4 . Если для
к а ждого истоiчниrка иапюлызовать ,свой ка1Нал, 110 сум1мар­
ные зат,раты соста,вят А/4 · ЮО=25А. По.с1кольку по уп·
лот,н енному каналу и по 100 инщи1вщдуальным ка1Налам
первдаю11ся ,одИ1наковые объемы инфор1маiIJJИИ, можем за­
ключить, что стоимость :передачи одной ед.ини,цы .инфор •
ма,ции ,в ушло~ненном канале обх,оди11ся в 25 ра,з дешев­
ле, чем при_ ис1польэо'вании 011делыных •ка,налов для каж­
доло и,сточника.


Глава 8
ЗАДАЧИ НА ВЫБОР НАИЛУЧШЕГО ВАРИАНТА
СИСТЕМЫ СВЯЗИ
8.1 . Для ш~рещачи ДНОИ'ЧНЫХ сообще'НIИЙ И1СIПОЛЬ'Зует­
ся избыточный код (3, 1) - с разрешенными кодовыми
комбинациями Б1= 111и Б2= ООО. В канале связи дей•
ствует мощная импульсная помеха, причем вероятность
пора,же•ния такой помехой одного элем:,ентарнgго симIво•
ла р0=10-2
.
Какой с1п-осо,б пр:иема (по-элементный или в
целом) следует прещIпоrче,сть в да,НIНОМ слу,чае, есл,и при
пошадаНIИИ И1мпулысной помехи в 11ра•кт 06ра6011к,и с,И['На•
ла вер,оя1шоrсть ошибочного пр,иема ра.в,на 1/2 (1см. § 9.4
(112] ) 1?
8,2, Для перещаIч,и двоичной ,и,нформа,ции в гау,ссов •
скю:vr ка,1-гале с не,сщределе1нной фа1зой и ортоr.ональными
в усилен-ном смЫ1сл-е сю,нала,ми и,ополызован ко,д (3, 1) с
кодо:выми камIб.ина1щиям1и Б 1 = ООО и Б2 = 1:11. Пр,е~д1полага­
ется ,осуще,с11влять прием Л1ибо ,в цело,м, лиtбо поэлемент "
ный. Какой способ приема следует предпочесть, если
требу,е'I'ся обеапечить на,им,еньшую эюзивалентную веро•
я11ность ошибки при от,ношени.и с,игнал/:шум h20 = ,10
(·см. § 4:3 в данной юните; § 9.4 [.12])?
8-3 . В си~сте-м-е свя1Зи лредна1З1наченной для работы а
канале с рэлеев,ским.и за:м,и,раниям,и, м,ожно иапользо •
вать код (7.4) или п,рИМiИТНRНЫЙ IIOlд (п, п).
Ка1К!ой к·од следует п,рименить при а) быстрых и
б) медленных заIмиран,иях, е~сли в,ероятноIсть ошибки в
элементарном си~м,воле p 0 = ,1Q,---- 4 и тре1бу,е'I'ся получить
на,иболыший э1Нер1rе11ический ,выИir,рыш П1ри одина1к·о1Вой
эквивалентной вероя1:носТ1и ошибки (см. § 4.3 в даяной
книге; § 6 .13 [ 1'2])?
8.4 . В гау,ссоIвс,ком ,ка1нале с пос:тоянными параIмет•
рамп ,переща,чу д,воиrч.ной информации можно о,сущееr•
вить по1с•ред,ством ам1плитудной или фа•зовой мощуляц,ии .
Ка1кую из . ЭТIИХ д:вух ,систем целесо0:бра1з.нее применить с
точк,и зреН1ия экономии мощности перматИ1ка, есл.и ве•
роятно1сть оши·бки в элеме,нтарнам с,имIволе р0 = !l 0-4, а
-
1 Здесь и далее ук,аза ,ны па ,раnрафы ,источников, которые сле­
дует изу,чить пр,и решении з,а,дач.
347


~кор ость передачи информации /' = 200 бит/с (§ 5.5
[12])?
8.5 . Де,оятипоз•ицио1нная с,истема переща1чи дискрет­
.ной инфо1р1мации исполызуе'ГСЯ в гаус1с0:в-оком канале с
лостоя1н,ными параметрами пр.и h20 = 12,5. Ка!Кой оп особ
.м:одуля.ции (ЧМ ил,и ФМ) следует лри1менить для 06е~с­
.пе:чен1ия наименьшей экви1валентной верояТ~ност,и ошиб­
к~и (1см. § 5..5 да1нной ,книли; § 6.9 [112])?
8.6 . ~В канале с неопр,еделенной фа1зой и флуктуа!ЦИ­
юнным шу~мом пре,щпола,га,ет,ся иополызовать л.и:бо .двоич­
ную, л1ибо пяти1гюз,иц,ион,н,ую систему ЧМ. Ка1кую си­
пему -следует выбрать при Рэ=, 10-3 и /'=1const, ру~ко­
вмствуясь м1И1нимальными зат1ратам1и Э1нер,лии (ом. § 5.5
.данной юн,иги; § 6.9 [ 12])?
8.7 . ,В двоичной ,си1стеме овяз,и с акги,вной пау,зо й,
ортогоналыной в у,силенном смысле (ЧМ) при медлен­
.ных рвлее-вск.их замираниях, н-еобхощ,имо о,беспечить
ве~р·оя1ш0rсть ошибки р0 = ,2-1О-4 при h2 = 1IO. Какой опо­
,соб П~р~иема (одиночный ил,и ра:з1несеш ный с ав:товыбо­
ром :наиболее сrилыно,го си,гнала) следует ,в этам случае
:лр.именить и ка1кое 1кол ичест.во ве'Гвей раrзнес-ения ну,ж­
.но ис1пюльз,овать при раз1не~се,нном п•риеrме (,ом. § 9.3
Jl2])?
8.8. ,В раLдиоканале с селе1кт,и:в•ным1и зами~ра•ниям.н
·требуе'Гся в полосе О,.З-3,4 •кЛц осуще,с11вить переда1чу
. дискретной информации от 24 независимых источников,
каждый и:з которых ,и,меет произво.дrит-елыюсть 50 бит/с.
•Какую ,и:з двух си,стем овязи следует 1пр1име,нить в этом
-слу~чае (МС или СИИП), если тр-е~буе11ся обес1печить
мак,симальную во:з1м-ож1ную помехоу1стойчи-вость по 011н,о­
шеншо к флуктуа1ционной помехе лр~и фиксrир:ованной п~и­
·ко1вой мощности пере1да11ч,и~ка и м,ин~им·уrме помех между
:канала,ми ('см.§ 7.2 данн,ой %н,иги; [1]; [1.З]; § 8.2
Jl2])?
8.9 . ,В ка~нале связи с рэлее:в,скими замирания1м1и
.обеопечивается среднее отношение сигнал/шум h2 = 103 .
При окорости пере1дач1и /' = ,2400 бит/1с предщола,гае1'ся
:И,ОПОЛЬ:З·О'Вание У,ЗIК•ОIПОЛОСIНОЙ с:~кте:мы типа сиип (F1 =
=3кЛц)
и ши,рокошолосной системы 11ипа «Рейк»
(F2 = 1l00 кГ,ц) . Какую систему следует пре(IIJпочесть в
хаждом из следующих случев: а) однолучевой канал;
б) ,щвухлучево_й канал с независимым1и зами,ра1н·ия,м,и и
време,нем запаздыва1н1ия между лу,чами -r= 0,02 мс;
т) д,вухлучевой ·канал с независимым.и за1миранаями и
348


временем за,паз;дывания между луча,ми 't=О,б ,м,с;
г) д1Вухлуrчевой •ка·нал с леза:в,и,симым1и зам,ира,ниями,
't=0,5 м1с, в канале дейс11вует мощная сос1редоточенная
помеха, пр,ичем сре~днее чи:с.ло с.ос1редотачен,ных помех в
полосе 106 Гц N = 1О (,считать, что попащание с.оорещ,ото­
чен1ной 1Iюмех1и в ка,нал пр,и.вощит к с-бою свя1зи) (см.
[13]; § 9.6 ,[12])?
'
8.10. В си1стеме к·оом,иrчеюкой свя,зи л1р,ещлола1гается
передавать нешрерышное телеметрическое ,соОlбще,ние,
имеющее полосу Fc= ,3 к.Г,ц, пикфакт,ор П= .3 и ед,ин,ич ­
ную IМ'ОЩ,НОСТЬ.
На входе прием1ника дейс11вует флу~ктуа1ционный шум
с о ,опек:-гралыной • плот,ностью мощнос11и Gш= 1,2 •,10-5
,Nr,юВт/1Г,ц. КО1эффи,цие.нт пе,ре1дач•и 1кана.ла по мощности
у= 10-6
.
Ка•кой способ модулящи,и ,следует иаполызовать
(ЧМ ,или КИМ ~ЧМ), если имее11ся во1зм,ожность осу­
ще1с11в1ить опт,имальный 1не1ко,гере.н11ный црием сигналов
КИМ-1ЧМ ил.и оптимальный прием ,ои,гналов ЧМ, пола­
гая, что мощность !Передатчика 1На борту спутника не
долж1на пр евышать 10 Вт, а сообщен ие тр.е,буе11ся .нос -
.
о
пр·о·из·вести со с.ре~дне'К!ващра11и~ч1ной оши~бк·ой е2 :::;; , 1O- 4
( очитать, что при КИМ ис1по.лызуетоя двоичный код, а
число уровней квантования К= 128; полосы канала
пр,и !\iИМ-ЧМ и ЧМ о•д,и,нако:вы) (•с1м. [,2]; § 6.2 1 6.3 в
даН1ной к,ниге; [:2;3])?
8 .11 . Непрерывное ,со~общение мож1но п ере.дать по­
сре1.д~с11во1м КИМ-ФМ или ДМ-ФМ по каналу, в ,к,о­
тором 011ношение мощности силнала к мощ1но,ст,и шума в
полосе ,сообщения равно 500.
Пред1пола1гая, что в обеих си,стемах о~беопеч,ивается
апти1малы1ая ·ско,р.ос:ть маниюуля1ции Vи, выб1рать си1сте ­
му, обес1печ,и,вающую наилучшее отно1Ше1н,ие h2 вых :на
выходе при,е,м1ника (,см. [2]; [23]; § 6.3 ,в данной книге)?
8.12. Пере,даrча информации осуществ.ляе11ся по
дJвои1чному ои·мметр,ичному ка.налу без па1мят,и с вероят­
ностью ошибки в символе р 0 = 10-3
.
В да,н1Ном .канале
riредпола,гает,ся иополь:зовать си,стему без обратной свя­
зи ,с квази,со1вершенным кодом Боуза - Чоудхур,и (31,
32), имеющим d = 5 и qи = 2, или систему с управляю­
щей обратной связью с кодом Абрамсона (31, 35), имею­
щим d = 4 и qo = 3. Полагая, что в канале обратной связи
ош1ибк1и пра1ктичесю1 отсут,ствуют, дать рекомендации
по И,СIПОЛЬ:Зова1нию указаНIНЫХ с,и•сте•м, приняв •во ·ВIНИ1Ма­
ние остаточную вероятность ошиiбки и из1быто.чность
кода (см. 9.6; 7.2 f,18])?
349


Список литературы
1. Аппаратура передачи дискретной информации IМС-5. М.,
«Связь», 1970. 152 с.
2. Величкин А. И. Теория дискретной передачи непрерывных сооб­
щений . М., «Сов. радио», 1970. 296 с .
3. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1964. 576 с.
4. Галлаrер Р. Теория информации и надежная связь. М., «Сов.
,радио», 197 4. 720 с.
5. - Горяинов В. Т ., Журавлев А. -Г., Тихонов ,В. И. Примеры и за­
дачи по статис11Ической радиотехнике. М., «Сов. радио», 1970.
598 с.
6: Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, ря•
дов и произведений . М., Физматг.из, 1962. 1100 · с.
7. Гуткин Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема при
флуктуационных помехах. М., Госэнергоиздат, 1961. 488 с.
8. Задачник [Ю тео-р .ии веро·ятно,ст-ей. Под ред. А. А. Gвешнююва ..
М., «На-у.ка», 1965, 632 ,с,
9. Зюко А. Г. Помехоустойчивость и эффективность систем свя­
зи. IМ., «Связь», 1972 . 360 с.
10. Зюко А. r., Коробов Ю. Ф. Теория передачи сигналов. М.,
«Связь», 1972. 282 с .
11 . Кловский Д. Д. Передача дискретных сообщений по радиока ­
налам. IМ ., «Связь», 1969 . 376 с.
12. Кловский Д. Д. Теория передачи сигналов. М., «Связь», 1973 .
376 с.
13. Кловский Д. Д., _ Николаев Б. И. Инженерная · реализация ра­
дцотехнических схем. М., «Связь», 1975 . 200 с.
14 . Лебедев Д. С., Цуккерман И. И. Телыш дение и теория инфор•
мации. М.-Л., «Энергия», 1965. 220 с.
15. Левин Б .. Р. Теоретические основы статистической радиотехни­
ки. Ч. 1. М., «Сов. радио», 1966. 728 с.
16. Лезин Ю. С. Оптимальные ф1-1льтры и накопители импу льсных
сигналов. М., «Сов. радио», 1969. 448 с.
17. Милн- Томсон Л . М., Комри Л. Дж. Четырехзначные математ.и•
ческие таблицы. М . , Физматrиз, 1961 . 246 с.
18. Назаров М. В., Кувшинов Б. И., Попов О. В. Теория передачи
,сигналов. М., «Связь», 1970 . . 368 с.
19. Петрович Н. Т. -П ередача дискретной информации в каналах с
фа зовой и относительной фазовой манипуляцией. М., «Сов. ра•
дио», 1965. 264 с.
•
20. Питерсон У. Коды, исрравляющие ошибки. М., «Мир», 1964.
338 с.
21. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника . М., «Сов. радио~,
1966. 678 с.
22. Теоретические основы связи и правления. Под ред. А. А. Фельд•
баума. М . , Фнзматrиз, 1963. 932 с .
23 . Финк Л. М. Теория пер едачи дискретных сообщений. М., «Со в .
р адио» , 1970. 728 с.
24. Фалькович С. Е. Оценка .параметров сигнала. М., «Сов. радио»,
1970. 336 с.
25. Харкевич А. А. Борьба с .помехами . М., «Наука», 1965 . 275 с.
26. Янке Н., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М., «Наука»,
1968. 344 с. '
27. Шляпоберский В. И. Основы техники передачи дискретных со­
общений. М.; «Связь», 1973. 480 с.


Предисловие
Список основных обозначений
Глава 1
Стр.
3
5
Спектральное и временное представление сигналов и помех
8
1.1 . Спектральные характеристики случайных процессов
8
1.2. Огибающая, мгновенная фаза и частота узкополосного
случайного процесса
25
1.3 . Основы теории дискретизации функций непр.ерывного ар-
гумента. Теорема Котельникова
38
1.4. Пространства сообщений и сигналов
43
1.5 . Физический объем сигнала и кадала связи
54
Глава 2
Каналы связи и их звенья
59
2.1 . Модели каналов связи и их математическое описание ,
59
2 .2. Изменения формы сигналов, обусловленные характеристи -
ками · непрерывного канала . . .
.
•
69
2.3 . Аддитивные помехи в непрерывном канале связи
79
2.4 . Прохождение случайных воздействий через канал связи
и его звенья
85
Глава 3
Информационные хара1перистики систем связи
98
3.1 . Количественное определение информации
.
.
.
.
.
98
Энтропия и производительность дискретного источника ·
сообщений
.
.
.
.
.
.
.
98
3.2. Количество и скорость передачи информации по дискрет-
ному каналу. Пропускная спос·обность дискретного канала 108
3.3. Энтропия и производительность непрерывного источника
сообщений
.
.
.
.
.
120
3.4. Количество и скорость передачи информации по непрерыв-
ному каналу. Пропускная способность непрерывного ка-
нала
129
Глава 4
Основы теории кодирования
135
4. 1 . Представление кодов. Свойства кодов без избыточности 135
4.2. Корректирующие коды и их свойства
.
143
4.3 . Сравнительна.я эффективность избыточного кодирования 168
351


Стр.
Глава 5
Передача дискретных сообщений
176
5.1. Критерии оптимального приема. Алгоритмы оптимального
приема при точно известном сигнале
176
5.2, Реализация алгqритма оптимального прием а при точно
известном сигнале на основе согласованных фильтров
192
5.3 . Помехоустойчивост ь (вероятность ошибки) оптимальных
схем приема при точно известном сигнале
201
5.4. Алгоритм оптимального приема и помехоустойчивость при
н еопределенной фазе и амплитуде сигна ла
222
5.5 . Сравнительная эффективность систем передачи дискрет-
ных сообщений
234
Глава 6
Передача непрерывных сообщений
249
• 6. 1. Оптимальная оценка отдельных параметров сигнала
249
6.2 . Оптимальный прием непрерывных сообщений. Выи грыш и
обобщенный выигрыш модема . Потенциальная помехоус­
тойчивость при различных видах моду ляции несущей не-
прерывным сообщением
261
6.3 . Пере_дача непрерывных сообщений дискретными методами 284
6.4 . Оптимальная и субоптимальная фильтрация непрерывных
сигналов
295
6.5 . Сравнительная эффективность систем передачи непрерыв-
ных сообщений
308
Г,11ава 7
Мноrоканальн.ые системы связи
314
7.1. Раздельные и комбинационные системы уплотнения при
многоканальнойсвязи . . . . . . . .
314
7.2 . Характеристики эффективности и информационные харак-
теристики многоканальных систем .
334
Глава 8
Задачи на выбор наилучшего варианта системы свя зи
Список литературы
347
350