ДЖ. ХАМФРИ
ЛИНЕЙНЫЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ГРУППЫ
Перевод с английского
A. Е. ЗАЛЕССКОГО
Под редакцией
B. П. ПЛАТОНОВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1980

22.144
X 18
УДК 512.8
James E.. Humphreys
Linear Algebraic
Groups
Springer-Verlag
New York Heidelberg Berlin
1975
Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы: Пер с англ./Под ред
В. П. Платонова. — М : Наука, 1980. —400 с.
Книга посвящена систематическому изложению основ теории линейных ал-
алгебраических групп. Она представляет несомненный интерес для специалистов
в различных областях* алгебры, геометрии, функционального анализа, теории
представлений и др. Отточенное, тщательно продуманное изложение делает
книгу особенно удобной для первоначального знакомства с предметом.
Для научных работников, аспирантов, студентов старших курсов универри-
тетов.
© 1975 by Springer-Verlag New York
Inc. ЛИ Rights Reserved. Authb-
rized translation from Engliih
language edition published by
Springer-Verlag Berlin - Heidel-
Heidelberg—New York.
© Перевод на русский язык.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-
математичекой литературы. 1980

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 7
Предисловие автора 9
Соглашения 12
Глава I. Алгебраическая геометрия 1 . . 13
§ 0. Некоторые сведения из коммутативной алгебры 13
§ 1. Аффинные и проективные многообразия 18
1.1. Идеалы и аффинные многообразия A8). 1.2. Топология Зарис-
ского на аффинном пространстве B2). 1.3. Неприводимые компонен-
компоненты B3). 1.4. Произведения аффинных многообразий B6). 1.5. Аффин-
Аффинные алгебры и морфизмы B8). 1.6. Проективные многообразия C0).
1.7. Произведения проективных многообразий C3). 1.8. -Многообра-
-Многообразия флагов C5). Упражнения C8).
§ 2. Многообразия 39
2.1. Локальные кольца C9). 2.2. Предмногообразия D0). 2.3. Мор-
Морфизмы D3). 2.4. Произведения D6). 2.5. Аксиома Хаусдорфа E0).
Упражнения E1).
§ 3. Размерность 52
3.1. Размерность многообразия E2). 3.2. Размерность подмногообра-
подмногообразия E4). 3.3. Теорема о размерности E5). 3.4. Следствия E7). Упраж-
Упражнения E9).
§ 4. Морфизмы 69
4.1. Слои морфизма F0). 4.2. Конечные морфизмы F2). 4.3. Об-
Образ морфизма F3). 4.4. Конструктивные множества F5). 4.5. От-
Открытые морфизмы F7). 4.6. Биективные морфизмы F8). 4.7. Би-
рациональные морфизмы G1). Упражнения G1).
§ 5. Касательные пространства 72
5.1. Касательное пространство Зарисского G2). 5.2. Существование
простых точек G5). 5.3. Локальное кольцо простой точки G7).
5.4. Дифференциал морфизма (80). 5.5. Дифференциальный крите-
критерий сепарабельности (81). Упражнения (84).
§ 6. Полные многообразия 84
6.1. Основные свойства (84). 6.2. Полнота проективных многообра-
многообразий (86). 6.3. Многообразия, изоморфные Р1 (87). 6.4. Автомор-
Автоморфизмы многообразия Р1 C9). Упражнения (92).
Глава II. Аффинные алгебраические группы 93
§ 7. Основные понятия и примеры 93
7.1. Понятие алгебраической группы (93). 7.2. Некоторые класси-
классические группы (95). 7.3. Компонента единицы (96^. 7.4. Подгруппы
и гомоморфизмы (97). 7.5. Порождаемость неприводимыми под-
подмножествами (99). 7.6. Алгебры Хопфа A01). Упражнения A03).

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8. Действие алгебраических групп на многообразиях .... 103
8.1. Действия групп на множествах A04). 8.2. Действия алгебраи-
алгебраических групп A05). 8.3. Замкнутые орбиты A08). 8.4. Полупрямые
произведения A08). 8.5. Сдвиг функций A10). 8.6. Линеаризация
аффинных групп (ПО). Упражнения A13).
Глава III. Алгебры Ли 114
§ 9. Алгебра Ли алгебраической группы 114
9.1. Алгебра Ли и касательные пространства A14). 9.2. Конволю-
ции A16). 9.3. Примеры A18). 9.4. Подгруппы и подалгебры Ли A19).
9.5. Двойные числа A21). Упражнения A22).
§ 10. Дифференцирования 123
10.1. Некоторые элементарные формулы A23). 10.2. Дифференциал пра-
правого сдвига A24). 10.3. Присоединенное представление A26). 10.4. Диф-
Дифференциал морфизма Ad A27). 10.5. Коммутаторы A29). 10.6. Цен-
Централизаторы A30). 10.7. Автоморфизмы и дифференцирования A31).
Упражнения A83).
Глава IV. Однородные пространства 135
§11. Построение некоторых представлений 135
11.1. Действие на внешних степенях A35). 11.2. Теорема Шевал-
ле A36). 11.3. Переход к проективному пространству A37). 11.4. Ха-
Характеры и полуинварианты A38). 11.5. Нормальные подгруппы A39).
Упражнения A41).
§ 12. Факторы 142
12.1. Свойство универсального отображения A42). 12.2. Топология
на множестве У A44). 12.3. Функции на множестве У A44). 12.4. До-
Дополнения A45). 12.5. Характеристика 0 A46). Упражнения A46).
Глава V. Теория в случае характеристики 0 147
§ 13. Соответствие между группами и алгебрами Ли 147
13.1. Структурное соответствие A47). 13.2. Инварианты и инвари-
инвариантные подпространства A48). 13.3. Нормальные подгруппы и идеа-
идеалы A49). 13.4. Центры и централизаторы A50). 13.5. Полупростые
группы и алгебры Ли A50). Упражнения A51).
§ 14. Полупростые группы 152
14.1. Присоединенное представление A52). 14.2. Подгруппы полупро-
полупростых групп A53). 14.3. Полная приводимость представлений A54).
Упражнения A57).
Глава VI. Полупростые и унипотентные элементы .... 158
§ 15. Разложение Жордана—Шевалле 158
15.1. Разложение эндоморфизма A58). 15.2. GL (п, К) и gl {п, К) A61).
15.3. Разложение Жордана в алгебраических группах A64). 15.4. Пе-
Перестановочные множества эндоморфизмов A66). 15.5. Строение ком-
коммутативных алгебраических групп A67). Упражнения A67).
§ 16. Диагонализируемые группы 168
16.1. Характеры и ^-группы A68). 16.2. Торы A71). 16.3. Жесткость
диагонализируемых групп A74) 16.4. Веса и корни A76). Упраж-
Упражнения A78).
Глава VII. Разрешимые группы 179
§ 17. Нильпотентные и разрешимые группы 179
17.1. Лемма из теории групп A79). 17.2. Взаимный коммутант A81).
17.3. Разрешимые группы A82). 17.4. Нильпотентные группы A83).
17.6. Унипотентные группы A84). 17.6. Теорема Ли —Колчина A86).
Упражнения A88).

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 18. Полупростые элементы 189
18.Ь Глобальные и инфинитезимальные централизаторы A89).
18.2. Замкнутые классы сопряженных элементов A91). 18.3. Дей-
Действие полупростого элемента на унипотентной группе A92). 18.4. Дей-
Действие диагонализируемой группы A95). Упражнения AР7).
§ 19. Связные разрешимые группы 198
19.1. Точная последовательность A98). 19.2. Нильпотентный слу-
случай A99). 19.3. Общий случай B00). 19.4. Нормализатор и централи-
централизатор B02). 19.5. Разрешимый и унипотентный радикалы B03).
Упражнения B05).
§ 20. Одномерные группы 206
20.1. Коммутативность группы G B05). 20.2. Векторные группы и
в-группы B06). 20.3. Свойства р-полиномов B09). 20.4. Автоморфизмы
векторных групп B11). 20.5. Основная теорема B13). Упражнения B13).
Глава VIII. Подгруппы Бореля 215
§ 21. Теорема о неподвижной точке и теоремы сопряженности 215
21.1. Сведения о полных многообразиях B15). 21.2. Теорема о непод-
неподвижной точке B16). 21.3. Сопряженность подгрупп Бореля и макси-
максимальных торов B17). 21.4. Дальнейшие следствия B20). Упражне-
Упражнения B22).
§ 22. Теоремы плотности и связности . 223
22.1. Основная лемма B23). 22.2. Теорема плотности B24). 22.3. Тео-
Теорема связности B25). 22.4. Подгруппы Бореля группы Cq (S) B26).
22.5. Подгруппы Картана: резюме B27). Упражнения B28).
§ 23. Теорема о нормализаторе 229
23.1. Формулировка теоремы B29). 23.2. Доказательство теоремы B30).
23.3. Многообразие О/В B32). 23.4. Резюме B32). Упражнения B33).
Глава IX. Централизаторы торов 235
§ 24. Регулярные и сингулярные торы 235
24.1. Группы Вейля B35). 24.2. Регулярные торы B38). 24.3. Сингу-
Сингулярные торы и корни B39). 24.4. Регулярные однопараметрические
подгруппы B40). Упражнения B41).
§ 25. Действие максимального тора на G/B 241
25.1. Действие однопараметрической подгруппы B42). 25.2. Суще-
Существование достаточного числа неподвижных точек B43). 25.3. Груп-
Группы полупростого ранга 1 B46). 25.4. Камеры Вейля B48). Упраж-
Упражнения B51).
§ 26. Унипотентный радикал 251
26.1. Характеризация Ru (G) B51). 26.2. Некоторые следствия B54).
26.3. Группы Ua B56). Упражнения B57).
Глава X. Строение редуктивных групп 259
§ 27. Системы корней 259
27.1. Абстрактные системы корней B59) 27.2. Аксиома целочислен-
ности B61). 27.3. Простые корни B63). 27.4. Группа автоморфизмов
полупростой группы B64). 27.5. Простые компоненты B66). Упраж-
Упражнения B68).
§ 28. Разложение Брюа 269
28.1. Г-инвариантные подгруппы группы Вц B69). 28.2. Группы полу-
полупростого ранга 1 B72). 28.3. Разложение Брюа B73). 28.4. Нормаль-
Нормальная форма для элементов группы Q B75). 28.5. Дополнения B70).
Упражнения B76).

б ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 29. Системы^Титса 279
29.1. Аксиомы B79). 29.2. Разложение Брюа B81). 29.3. Параболиче-
Параболические подгруппы B81). 29.4. Образующие и соотношения для W B84).
29.5. Нормальные подгруппы группы Q B87). Упражнения B89).
§ 30. Параболические подгруппы 290
ЗОЛ. Стандартные параболические подгруппы B90). 30.2. Разложе-
Разложение Леви B91). 30.3. Параболические подгруппы, ассоциированные
с некоторыми унипотентными подгруппами B93). 30.4. Максималь-
Максимальные подгруппы и максимальные унипотентные подгруппы B96).
Упражнения B97).
Глава XI. Представления и классификация полупростых
групп 298.
§ 31. Представления 298
31.1. Веса B98). 31.2. Максимальные векторы C00). 31.3. Неприводи-
Неприводимые представления C01). 31.4. Построение неприводимых представ-
представлений C03). 31.5. Кратности и минимальные старшие веса C06).
31.6. Контрагредиентыые представления и инвариантные билиней-
билинейные формы C07). Упражнения C08).
§ 32. Теорема об изоморфизме 309
32.1. Проблема классификации C10). 32.2. Продолжение срг на
N (Т) C13). 32.3. Продолжение фг на Za C15). 32.4. Продолжение фт на
TUa C18). 32.5. Продолжение фг на В C21). 32.6. Мультипликатив-
Мультипликативность ф C23). Упражнения C27).
§ 33. Системы корней ранга 2 328
33.1. Другая формулировка условий (А), (Б), (В) C28). 33.2. Предвари-
Предварительные соображения C30). 33.3. Тип А2 C32). 33.4. Тип В2 C33).
33.5. Тип Q? C35). 33.6. Проблема существования C40). Упражне-
Упражнения C42).
Глава XII. Обзор свойств рациональности 343
§ 34. Поля определения 343
34.1. Основные понятия C43). 34.2. Обзор предыдущих глав C45).
34.3. Торы C46). 34.4. Некоторые основные теоремы C47). 34.6. Струк-
Структурная теория Бореля—Титса C48). 34.6. Пример: ортогональные
группы C50).
§ 35. Частные случаи 352
35.1. Разложимые и квазиразложимые группы C52). 35.2. Конечные
поля C53). 35.3. Вещественное поле C54). 35.4. Локальные поля C55).
35.5. Классификация C57).
Добавление. Системы корней 360
Библиография 366
Предметный указатель 394
Указатель обозначений . , 397

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Изданная в серии «Graduate Texts in Mathematics»
книга американского математика Дж. Хамфри «Ли-
«Линейные алгебраические группы» занимает промежуточ-
промежуточное положение между учебником и монографией. Тео-
Теория линейных алгебраических групп играет важную
роль в современной математике. Ее чрезвычайно интен-
интенсивное развитие в последние 15 лет характеризуется
глубокими связями почти со всеми основными раздела-
разделами математики, в частности, с алгеброй, алгебраической
геометрией, теорией чисел, функциональным анализом
и топологией. Книга Дж. Хамфри представляет собой
введение в теорию линейных алгебраических групп и не
затрагивает ее многочисленных приложений. Автор стре-
стремился к тому, чтобы дать четкое, последовательное и
замкнутое в себе изложение основ теории, доступное
студентам старших курсов университетов. И это ему
удалось. Более того, можно утверждать, что книга
Хамфри является пока лучшим изложением основ
теории линейных алгебраических групп. Как отмечает
сам автор, многие разделы теории остались за рамками
книги. Их включение потребовало бы увеличить объем
книги в несколько раз. В то же время последняя, две-
двенадцатая, глава книги представляет собой обзор основ-
основных фактов о строении алгебраических групп над не-
незамкнутыми полями, имеющих существенное значение
для приложений. Материал этой главы, как упоминает
автор, составит главную часть второго тома, подготав-
подготавливаемого к печати.

10 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Изложение в книге местами намеренно сделано упро-
упрощенным и совсем не ориентируется на схемную технику.
В действительности все делается для алгебраически
замкнутого поля К (произвольной характеристики), не-
несмотря на то, что в большей части рассуждений нетруд-
нетрудно было бы принимать во внимание детали, связанные с
полем определения k. Я считаю, что это можно оправ-
оправдать следующим образом. Чтобы с самого начала рабо-
работать с полем &, необходимо было бы затратить значи-
значительное время на усовершенствование изложения соот-
соответствующего материала из алгебраической геометрии,
причем результаты о рациональности, которые мы могли
бы получить на первом этапе, довольно таки незначи-
незначительны (см. C4.2)). Более глубокие факты можно было
бы установить не ранее главы X. Обзор вопросов ра-
рациональности (без доказательств) читатель найдет в
главе XII.
Я приложил особые усилия для обеспечения ясности
изложения. Если не считать уклонения в характеристи-
характеристику 0 в главе V, от главы II до главы XI изложение до-
довольно последовательно восходит от общих основопола-
основополагающих фактов к изучению строения связных алгебраи-
алгебраических групп и затем далее к описанию строения,
представлений и, наконец, классификации редуктивных
групп. В главах II—IV, IX—X мы ориентировались в
основном на лекции Бореля [4], которые представляют
собой усовершенствование подхода Шевалле в [8],тогда
как глава XI — гибрид изложения Шевалле [8] и СГ.
Начиная с § 27, мы постоянно используем основные фак-
факты о системах корней; все эти факты (с соответствую-
соответствующими ссылками) перечислены в Добавлении. Мы не
используем, помимо фактов из § 0, добавления и ссылки
на теорему Бернсайда, никаких других посторонних ре-
результатов. Однако некоторые несложные факты пред-
предложены читателю в качестве упражнений.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА \\
Хотя доказательства теорем следуют главным обра-
образом Борелю [4], имеется ряд усовершенствований, среди
которых — новое доказательство теоремы о нормализа-
нормализаторе, любезно предоставленное мне Борелем.
Часть изложенного здесь материала входила в кур-
курсы лекций, прочитанные мною в Queen Mary College
в 1969 г. и в Нью-Йоркском университете в 1971—
1972 гг. Коллеги сделали мне ряд ценных замечаний
после ознакомления с предварительным текстом руко-
рукописи данной книги; я в особенности хочу выразить мою
признательность Герхарду Хохшильду, Джорджу Се-
лигману и Фердинанду Фельдкампу. Я хочу также по-
поблагодарить за помощь Мишеля Дж. Дериза. Наконец,
я хочу выразить благодарность за поддержку Нацио-
Национальной научной ассоциации*), а также Элен Саморай
и ее помощницам за напечатание рукописи.
Джеймс Е. Хамфри
*) National Science Foundation. — Прим. перев.

СОГЛАШЕНИЯ
К* — мультипликативная группа поля К,
char К — характеристика поля К,
char ехр К — характеристическая экспонента поля К, т.е. max {1,
char /(},
det — определитель,
Тг — след,
card — мощность,
X — прямая сумма.

ГЛАВА I
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 0. Некоторые сведения из коммутативной алгебры
Алгебраическая геометрия в значительной степени
опирается на аппарат коммутативной алгебры, изучаю-
изучающей коммутативные кольца и поля (в особенности коль-
кольца и поля, получающиеся из колец полиномов от мно-
многих переменных); в действительности невозможно про-
провести четкую грань между геометрией и алгеброй.
В этом разделе мы собираем для последующих ссылок
некоторые основные понятия и результаты (без доказа-
доказательства), имеющие алгебраическую природу. Приве-
Приведенные здесь теоремы в большинстве случаев «стандарт-
«стандартны» и имеются в легко доступной литературе, хотя их
не всегда включают в университетские курсы алгебры.
Мы даем точные ссылки, е указанием глав и пара-
параграфов, на следующие книги:
Л = Л е н г С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
ЗС = Зарисский О., Самюэль П. Коммута-
Коммутативная алгебра. 2 тома. — М.: ИЛ, 1963.
AM = А т ь я М., Макдональд И. Введение в
коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
Дж — Jacob son N. Lectures in abstract algebra.
Vol. III. — Princeton: Van Nostrand, 1964*).
Имеются, конечно, и другие хорошие источники по
этому материалу, например Бурбаки или ван дер Вар-
ден **). Отметим, что AM — особенно подходящая
книжка для наших целей, несмотря на то, что некоторые
теоремы вынесены там в упражнения.
*) Ввиду отсутствия русского перевода этой книги ссылки на
нее заменены соответствующими ссылками на книгу ван дер Варде-
на, см. сноску ниже. — Прим. перев.
**) Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М.: Мир, 1971,
ВВ = ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.—
Прим. перев.

14 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Все кольца предполагаются коммутативными и со-
содержащими единицу.
0.1. Кольцо R нётерово ФФ каждый идеал кольца R
конечно порожден <ФФ R удовлетворяет условию обрыва
возрастающих цепей идеалов Ф=> каждая непустая си-
система идеалов имеет максимальный элемент относитель-
относительно включения. Любой гомоморфный образ нётерова
кольца — нётерово кольцо [Л, VI, § 1], [AM, гл. 6, 7].
Теорема Гильберта о базисе: если R — нётерово коль-
цо, то и R[T], кольцо полиномов от одной переменной,
является нётеровым кольцом. В частности, для любого
поля К кольцо К[Т.\, ..., Тп] является нётеровым [Л, VI,
§2], [ЗС, IV, § 1 ], [AM, 7.5].
0.2. Если К — поле,то К[Т\, ..., Тп] — кольцо с одно-
однозначным разложением на множители [Л, V, § 6].
0.3. Слабая теорема о нулях: Пусть К — поле, L =
= К[х\, ..., хп] — конечно порожденное кольцо над /С.
Если L — поле, то все элементы xi алгебраичны над К
[Л, X, § 2], [ЗС, VII, § 3], [AM, 5.24; гл. 5, упр. 18; 7.9].
0.4. Пусть L/К — расширение поля К. Элементы
Х\, ..., ха е L называются алгебраически независимыми
над /С, если ни для какого полинома f(Tu ..., Та)ф0
с коэффициентами в поле К не выполняется соотноше-
соотношение f(xu ..., ха) = 0. Максимальное множество алгеб-
алгебраически независимых элементов поля L над К назы-
называется базисом трансцендентности поля L над К. Мощ-
Мощность базиса трансцендентности поля L над К не зави-
зависит от выбора базиса трансцендентности и называется
степенью трансцендентности поля L над К. Степень
трансцендентности обозначается через tr. degy^. Если
L = K(x\, ... Хп), то базис трансцендентности можно
выбрать среди элементов xt, скажем, Х\, ..., xd. Тогда
поле К(х\, ..., Ха) чисто трансцендентно над К и поле L
есть конечное алгебраическое расширение поля К(х\,...
..,*<*) [Л, X, § 1], [ЗС, II, § 12].
Теорема Люрота. Пусть L — К(Т) — простое чисто
трансцендентное расширение поля К. Тогда любое под-
подполе поля L, содержащее К и не совпадающее с К,
является простым чисто трансцендентным расширением
поля К [ВВ, 10, § 73].
0.5. Пусть Е — конечное расширение поля F. Суще-
Существует отображение Ne/f: E ->■ F, называемое нормой,

§ о. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КОММУТАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ 15
которое индуцирует гомоморфизм мультипликативных
групп Е*-+F* и такое, что Ne/f(cl) есть степень постоян-
постоянного члена минимального полинома элемента а над F
и, в частности, NE/F(a)= at£:Fl при a&F. Чтобы опре-
определить норму, рассмотрим Е как векторное простран-
пространство над F. Для каждого а&Е отображение х>—>ах
является линейным преобразованием Е-+Е. По опре-
определению норма есть определитель этого линейного пре-
преобразования.
0.6. Пусть Rzd S — расширение колец. Элемент х е
е R является целым над S Ф=^ х есть корень полинома
над S со старшим коэффициентом 1 <=> подкольцо
S [х] кольца R — конечно порожденный S-модуль ФФ
<=Ф кольцо S [х] действует точно на некотором конечно
порожденном S-модуле V (т.е. yV = 0 влечет у = 0).
Кольцо R называется целым над S, если каждый его
элемент цел над S. Целое замыкание подкольца S в R
есть множество (в действительности подкольцо) коль-
кольца /?, состоящее из всех элементов кольца /?, целых
над S. Если R — область целостности с полем частных
F, то кольцо R называется целозамкнутым, если оно
совпадает со своим целым замыканием в F. Если коль-
кольцо R целозамкнуто, то и кольцо полиномов R[T] цело-
замкнуто [Л, IX, § 1], [ЗС, V, § 1], [AM, гл. 5].
0.7. Лемма Нётер о нормализации. Пусть К — поле,
R = К[х\, ..., хп] —конечно порожденная область це-
целостности над К с полем частных F и d = tr. deg/cf.
Тогда существуют элементы уи ..., ya^R такие, что
кольцо R цело над К[уи ...,#*] (и элементы yi алге-
алгебраически независимы над К) [Л, X, § 4], [ЗС, V, § 4],
[AM, гл. 5, упр. 16].
0.8. Пусть R — расширение кольца S, причем коль-
кольцо R является целым над S.
Теорема о подъеме. Если Р — простой (соответст-
(соответственно максимальный) идеал кольца S, то существует
простой (соответственно максимальный) идеал Q коль-
кольца R, для которого Q{]S = Р [Л, IX, § 1], [ЗС, V, § 2],
[AM, 5.10, 5.11].
Теорема о спуске. Пусть кольцо S целозамкнуто;
если Ру1эР2—простые идеалы кольца S и Q\ — про-
простой идеал кольца R, для которого Qi П 5 = Pi, ro

16 ГЛ I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
существует простой идеал Q2 a Q\ кольца R, для кото-
которого Q2[]S = P2 [ЗС, V, § 3], [AM, 5.16].
Теорема о продолжении гомоморфизмов. Пусть
R/S — целое расширение колец, К — алгебраически
замкнутое поле. Тогда любой гомоморфизм ср: S ->■ К
продолжается до гомоморфизма ф':/?->/(. Если x^Ry
а е К, то ф можно продолжить сначала до гомомор-
гомоморфизма S[x]-*K, отображающего х в а (а затем дальше
продолжить на R, так как кольцо R цело над S [х]) при
условии, что f(#) = 0 влечет /ф(а) = 0 при f(T)^S[T]
(здесь fq>(T) — полином над К, полученный примене-
применением ф к каждому коэффициенту полинома f(T)) [Л,
IX, §3], [AM, гл. 5].
0.9. Пусть Р\, ..., Рп — простые идеалы кольца R.
Если некоторый идеал содержится в объединении идеа-
идеалов Pi, i = 1, ..., я, то он уже содержится в одном из
этих идеалов [ЗС, IV, § 6, замечание на стр. 247].
0.10. Пусть S — мультипликативное множество в
кольце (т. е. 0^5, leS, a, fteS^afteS). Обоб-
Обобщенное кольцо частных S~lR строится при помощи
классов эквивалентности пар (г, s)^R X 5, где (г, 5) ~
~(r',s') означает, что s"(rs' — r's) = 0 для некоторого
s" ^ S. (Простые) идеалы кольца S~lR соответствуют
взаимно однозначно (простым) идеалам кольца /?, ко-
которые не пересекаются с S. В случае, если R — область
целостности с полем частных F, кольцо S~lR можно
отождествить с множеством частных r/s в F. В общем
случае каноническое отображение R-*S~lR (переводя-
(переводящее г в класс эквивалентности элемента (г, 1)) являет-
является инъективным, только если S не содержит делителей
нуля. Например, возьмем S = {хп\п е Z+}, где эле-
элемент х не нильпотентен, и обозначим в этом случае
кольцо S~lR через Rx; кольцо R является подкольцом
кольца Rx при условии, что х не является делителем
нуля. Другой пример: пусть S = R — Р, где Р — про-
простой идеал. Тогда кольцо S~lR, обозначаемое обычно
через Rp, является локальным кольцом (т. е. обладает
единственным максимальным идеалом PRp, состоящим
из необратимых элементов кольца Rp).Простые идеалы
кольца Rp естественным образом сопоставляются про-
простым идеалам кольца R, содержащимся в Р. Если R —
целозамкнутая область, то Rp — целозамкнутая об-

§ 0. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КОММУТАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ 17
ластъ. Если кольцо R нётерово, то таково же и RP. Если
М — максимальный идеал в R, то поля R/M и Rm/MRm
естественным образом изоморфны, и каноническое ото-
отображение R-*Rm индуцирует изоморфизм векторных
пространств M/M2-*MRm/(MRmJ [Л, II, § 3], [AM,
гл. 3].
0.11. Лемма Накаямы. Пусть R — кольцо, М — его
максимальный идеал, и V — конечно порожденный
R-модуль, для которого V = MV. Тогда существует эле-
элемент хфМ такой, что xV = 0. В частности, если коль-
кольцо R локально (с единственным максимальным идеа-
идеалом М), то элемент х должен быть обратимым и, сле-
следовательно, V = 0 [AM, 2.5, 2.6], [Л, IX, § 1].
0.12. Размерность Крулля (нётерова) локального
кольца R есть максимальная длина цепи простых идеа-
идеалов 0<Z=P\Z;P2CZL • •• 5=^5^* Е°ли размерность Крул-
ля равна минимальному числу образующих максималь-
максимального идеала М кольца R, то кольцо R называется регу-
регулярным.
Теорема. Регулярное локальное кольцо есть об-
область целостности, целозамкнутая в своем поле част-
частных [AM, гл. И], [ЗС, VIII,. § 11; ср. с добавлением 6].
0.13. Пусть I — идеал в нётеровом кольце R, и пусть
Р\, ..., Pt — минимальные простые идеалы, содержа-
содержащие I. Образ пересечения Р\(] ... П Pt в факторкольце
R/I есть нильрадикал кольца R/I и является нилъпо-
тентным идеалом. В частности, для достаточно боль-
большого п имеет место соотношение PiP" ... Р? cz (Pi f|
n...n^)*c=/[AM, 7.15], [Л, VI, §4].
0.14. Расширение Е поля F называется сепарабель-
ным, если либо char F = 0, либо char F = р > 0 и р-е
степени элементов хи ..., хп& Е, линейно независимых
над F, снова являются линейно независимыми над F.
Это обобщает обычное понятие сепарабельного расши-
расширения, если степень [Е: F] конечна. Поле E = F(x\, ...
..., хп) называется сепарабельно порожденным над F,
если Е — конечное сепарабельное расширение чисто
трансцендентного расширения поля F. Для конечно по-
порожденного расширения E/F «сепарабельная порож-
денностьъ эквивалентна «сепарабельности», и расши-
расширение E/F автоматически сепарабельно, если поле Рл

18 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
совершенно. Если F a L а Е и расширение E/F сепара-
сепарабельно, то и расширение L/F сепарабельно. Если F а
cLc£ и расширения E/L и L/F сепарабельны, то
E/F сепарабельно [ЗС, II, § 13], [Л, X, § 6] *).
0.15. Дифференцирование б: £->L, где Е — поле,
L — расширение поля £, есть отображение, которое
обладает свойствами Ь{х + У) = $(х) +Ь(у) и 8(я#) =
===== л:б (£/) + 6(#)#. Если F — подполе поля Еу то б назы-
называется ^-дифференцированием, если дополнительно вы-
выполняется условие 6(л:)=0 для всех ^gF {так что
отображение б является F-линейным). Пространство
Der>(£, L) всех F-дифференцирований Е-*Ь есть век-
векторное пространство над L, размерность которого равна
tr. degF£, если расширение E/F является сепарабельно
порожденным. Расширение E/F сепарабельно тогда и
только тогда, когда все дифференцирования F ->■ L
продолжаются до дифференцирований E-^L (здесь
L — расширение поля Е). Если char Е = р > 0, то все
дифференцирования обращаются в нуль на подполе Ер
р-х степеней элементов поля Е [ЗС, II, § 17], [Л,Х, §7].
§ 1. Аффинные и проективные многообразия
В этом разделе мы рассматриваем подмножества
аффинного или проективного пространства, определен-
определенные полиномиальными уравнениями, уделяя особое вни-
внимание способу, при помощи которого геометрические
свойства этих множеств трансформируются в алгебраи-
алгебраические свойства полиномиальных колец. К всегда обо-
обозначает алгебраически замкнутое поле произвольной
характеристики.
1.1. Идеалы и аффинные многообразия. Множество
/(л =/СХ ■ • • Х^С мы будем называть аффинным
^-пространством и обозначать через А". Под аффинным
многообразием мы будем подразумевать (предвари-
(предварительно) множество общих нулей в А" конечной системы
полиномов. Мы имеем в виду кривые, поверхности
и т. п. Но систему полиномов, определяющих геометри-
*) На стр. 68 использовано еще понятие чисто несепарабель-
ного расширения полей (см. Л, VII, § 7) и на стр. 70 — понятие
сепарабельного полинома (см. Л, VII, § 4). — Прим. перев.

§ I. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 19
ческое множество, можно в некоторой степени варьиро-
варьировать, не оказывая влияния на геометрию; поэтому мы
хотим установить более тесное соответствие между гео-
геометрией и алгеброй. В качестве первого шага заметим,
что идеал в кольце К[Т] = К[Ти ..., Тп]9 порожден-
порожденный множеством полиномов {fa(T)}, имеет в точности
те же нули, что {fa(T)}. Кроме того, теорема Гильберта
о базисе @.1) утверждает, что каждый идеал в кольце
К[Т] имеет конечное множество образующих, так что
каждому идеалу соответствует аффинное многообра-
многообразие. К сожалению, это соответствие не является взаим-
взаимно однозначным: например, идеалы, порожденные по-
полиномами Т и Г2, различны, но имеют одно и то же
множество нулей {0} в А1. Мы сейчас попытаемся разо-
разобраться в этом явлении.
Формально мы можем сопоставить каждому идеалу
/ в К[Т] множество ТA) его общих нулей в А", и каж-
каждому подмножеству X а Ап совокупность всех У(Х)
полиномов, обращающихся в 0 на X. Ясно, что У(Х) —
идеал и что имеют место включения
Разумеется, ни одно из них не обязано быть равенст-
равенством (примеры?). Рассмотрим более тщательно второе
включение. По определению радикал л/7 идеала /
есть множество {f(T) e K[T] \f(T)r e / для некоторого
г^О}. Легко видеть, что л/Т есть идеал, содержа-
содержащий /. Если полином f(T) не обращается в 0 в точке
х=(х\, ..., Хп)у то и полином f(T)r не обращается
в нуль в точке х для любого г ^ 0. Отсюда следует, что
л]I d & (Т (/)). На самом деле имеет место равенство —
факт, который является ключевым, хотя интуитивно от-
отнюдь не очевидным.
Теорема (теорема Гильберта о нулях). Если I — лю-
любой идеал кольца К[Ти ..., Тп], то уТ = &(ГA)).
Доказательство. Ввиду конечной порожденности
идеала / теорема эквивалентна следующему утвержде-
утверждению: для любых полиномов /(Г), ЫГ), ..., fs(T) из
К[Т] таких, что полином f(T) обращается в нуль в
каждой точке дсеА", в которой обращаются в нуль

20 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
все полиномы f\(T)t ..., fs(T)t существует г>0и по-
полиномы g\(T)y ..., gs(T), удовлетворяющие соотноше-
соотношению: f(T)r=igi(T)h(T).
Мы покажем сначала, что это утверждение вытекает
из следующего:
(•) Если Г {1)=0, то 1 = К[Т].
(Отметим, что это — частный случай доказываемой тео-
теоремы, поскольку лишь идеал К[Т] может иметь К[Т]
в качестве радикала!) Введем новую переменную Го и
рассмотрим совокупность полиномов от (я + 1)-й пере-
переменной f\(T), ..., fs(T)9 1 — Tof(T). Они не имеют об-
общих нулей в Ал+1 ввиду условия, наложенного на f(T),
поэтому из (*) вытекает, что они порождают кольцо
К[Т, То]. Найдем полиномы Ы(Т0, ..., Тп) и h(T0, ...
..., Тп), для которых 1 =hi(T0, T)fi(T) + ...
... +hs(To,T)fs(T)+h(To, T)(l — Tof(T)). Теперь под-
подставим везде вместо Го выражение l/f{T) и затем умно-
умножим на достаточно высокую степень /(Г)г, чтобы устра-
устранить знаменатели. В результате получим желаемое со-
соотношение.
Остается доказать утверждение (*) или равносиль-
равносильное утверждение, что каждый собственный идеал коль-
кольца К[Т] имеет в Ал по крайней мере один общий нуль.
(В частном случае п = 1 это следует непосредственно
из того факта, что поле К алгебраически замкнуто.) По-
пыгаемся теперь наивно сконструировать общий нуль
для полиномов идеала /. По лемме Цорна / лежит в
максимальном идеале кольца К[Т], и общий нуль это-
этого последнего идеала будет служить общим нулем и
для идеала /. Поэтому мы можем предполагать, что
идеал / максимален. Тогда кольцо классов вычетов
L = К[Т]/1 является полем; элементы поля К можно
отождествить с классами вычетов скалярных полино-
полиномов. Если мы обозначим через ti класс вычетов поли-
полинома Ти то, очевидно, L = K[t\, •••» U\ (правая часть
равенства обозначает наименьшее подкольцо в L, со-
содержащее К и U). Кроме того, набор (t\, ..., tn) есть,
по построению, общий нуль полиномов идеала /. Если
бы мы могли отождествить поле L с К, то элементы U

§ I. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 21
принадлежали бы полю К. Но поле К алгебраически
замкнуто; поэтому нам достаточно было бы показать,
что элементы U алгебраичны над /С, а именно это и со-
содержится в утверждении @.3). □
Теорема о нулях влечет, что операторы Т, & уста-
устанавливают взаимно однозначное соответствие между
совокупностью всех радикальных идеалов в К[Т] (т.е.
идеалов, совпадающих со своими радикалами) и сово-
совокупностью всех аффинных многообразий в А*. В^ самом
деле, если Х = ГA), то & (Х) = & {Г (/)) = Y/, так
что X совпадает с У*(У(Х)) (идеалы / и л/l имеют
одно и то же множество общих нулей). С другой сто-
стороны, если 1 = л/1у то / совпадает с 3((ТA)). Отме-
Отметим, что соответствия Х\—>3((Х) и /ь-»У(/) изменяют
отношение включения на обратное. Таким образом,
свойство нётеровости кольца К [Т] влечет условие об-
обрыва убывающих цепей аффинных многообразий в А*.
Примеры радикальных идеалов доставляют про-
простые (в частности, максимальные) идеалы. Мы рас-
рассмотрим многообразия, соответствующие простым идеа-
идеалам, в A.3). Сейчас мы обсудим только случай Х =
=ТA), где / — максимальный идеал. Теорема о нулях
гарантирует нам, что X не пусто; пусть jcgI Ясно,
что I cz3f({x}) ^К[Т]У поэтому ввиду максимальности
идеала / мы имеем 1 = У({х}) и Х = ТA) =
= У(&({*}) = {*}. С другой стороны, если- х е Ал,
то отображение f(T)-+f(x) определяет гомоморфизм
кольца К[Т] в К, ядро которого &{{%}) является мак-
максимальным идеалом, ибо К — поле. Таким образом,
точки пространства № взаимно однозначно соответст-
соответствуют максимальным идеалам кольца К[Т].
Линейным многообразием, проходящим через точку
х е Ал, называется множество нулей полиномов вида
2CLi(Ti — xt). Это — в точности векторное подпростран-
подпространство пространства Ал, если рассматривать Ал как вектор-
векторное пространство с началом координат в точке х. Из тео-
теоремы о нулях (или линейной алгебры!) следует, что лю-
любой линейный полином, обращающийся в нуль на таком
многообразии, является /(-линейной комбинацией поли-
полиномов, указанных выше,

22 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1.2. Топология Зарисского на аффинном пространстве.
Если бы К было полем комплексных чисел, то в Art
можно было бы задать топологию комплексного вектор-
векторного пространства. Тогда множество нулей полинома
f(T) было бы замкнутым, как прообраз замкнутого мно-
множества {0} в .С- относительно непрерывного отображе-
отображения xv->f(x). Множество общих нулей системы пол и
номов также было бы замкнутым как пересечение
замкнутых множеств. Разумеется, в комплексном п-мер-
ном пространстве в изобилии имеются и другие замкну-
замкнутые множества, как это видно уже при п = 1.
Идея топологизировать аффинное ^-пространство,
приняв в качестве замкнутых множеств систему всех
аффинных многообразий, оказывается весьма плодо-
плодотворной. Она приводит к топологии, называемой топо-
топологией Зарисского. Естественно, при этом нужно про-
проверить, что выполнены аксиомы топологии: A) \п и
0 — замкнутые множества, как множества нулей идеа-
идеалов @) и К[Т]. B) Если /, / — два идеала, то, оче-
очевидно, T{I)\}T{J)czT{I{\]). Чтобы установить об-
обратное включение, предположим, что х есть нуль идеа-
идеала / П J, но не является нулем идеала / или идеала /.
Пусть f(T)eI, g(T)z=J и Г(х)Ф0, в(х)Ф0. Так
как f(T)g(T) e/f|/, то мы должны иметь f(x)g(x) =
= 0, что невозможно. Из этого рассуждения также сле-
следует, что конечное объединение замкнутых множеств
является замкнутым множеством. C) Пусть 1а — про-
произвольный набор идеалов, и пусть 2] /а — идеал, по-
а
рожденный всеми идеалами 1а- Ясно, что П^(Ах) =
а
в У° E]аО> т. е. пересечение любого набора замкну-
замкнутых множеств замкнуто.
Какого рода топология получается таким образом?
Точки являются замкнутыми множествами, так как #=
= (х\у ..., хп) — единственный общий нуль системы по-
полиномов Т\ — Х\у ..., Тп — хп. Однако аксиома отдели-
отделимости Хаусдорфа не имеет места. Это ясно уже в слу-
случае пространства А1 — замкнутыми множествами здесь
являются исключительно конечные множества (так что
любые два непустых открытых множества- имеют не-
непустое пересечение). Читатель, привыкший к простран-

§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 23
ствам с хорошими свойствами отделимости, должен,
следовательно, поупражняться в рассуждениях с топо-
топологией Зарисского. Например, условие минимальности
для замкнутых множеств (вытекающее из теоремы
Гильберта о базисе) влечет условие максимальности
для открытых множеств. Это показывает, что Ап есть
компактное пространство. Но ввиду отсутствия усло-
условия отделимости Хаусдорфа мы не можем использовать
рассуждения со сходимостью последовательностей или
им подобные; по этой причине в этой ситуации иногда
употребляют термин «квазикомпактное пространство»,
оставляя термин «компактное пространство» для ком-
компактных хаусдорфовых пространств.
В качественном смысле все непустые открытые мно-
множества в кп являются «большими» (как это можно ду-
думать о дополнении кривых в А2 или поверхностей в А3).
Поскольку замкнутое множество ТA) есть пересечение
множеств нулей различных полиномов /(Г)е/, то ти-
типичное непустое открытое множество может быть описа-
описано как объединение главных открытых множеств — мно-
множеств всех ненулей отдельных полиномов. Следователь-
Следовательно, главные открытые множества образуют базис тополо-
топологии Зарисского, но и они, однако, не являются очень
«малыми». Например, GL(n,K) есть главное открытое
множество в Ап\ определяемое условием det (Тх/) =^= 0;
здесь GL{n,K)—группа всех обратимых (п X п)-мат-
п)-матриц над полем /С.
1.3. Неприводимые компоненты. В топологии часто
изучаются свойства связности. Но объединение двух
пересекающихся кривых в А" — связное множество, и
в то же самое время его структуру можно анализиро-
анализировать «по компонентам». Это наводит на мысль исполь-
использовать другой подход, основанный на несколько иных
топологических свойствах. Имея в виду дальнейшие
применения, мы опишем его в самых общих терминах.
Пусть X — топологическое пространство. Говорят,
что X неприводимо, если оно не может быть представ-
представлено как объединение двух собственных непустых замк-
замкнутых множеств. Подпространство Y пространства X
называется неприводимым, если оно неприводимо как
топологическое пространство (с индуцированной топо-
топологией). Отметим, что пространство X неприводимо тог-

24 ГЛ, Is АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
да и только тогда, когда любые два непустых открытых
множества в X имеют непустое пересечение, или, что
равносильно, когда любое непустое открытое множест-
множество плотно в X. Очевидно, неприводимое пространство
является связным, тогда как оОратное не всегда верно.
Предложение А. Пусть X — топологическое прост-
пространство.
(а) Подпространство У пространства X неприводи-
мо тогда и только тогда, когда его замыкание У непри-
неприводимо. ■
(б) Если ф: Х-+Х' — непрерывное отображение и
пространство X неприводимо, то и пространство у(Х)
неприводимо.
Доказательство, (а) Ввиду предыдущих замечаний
пространство У неприводимо тогда и только тогда, ког-
когда пересечение двух открытых подмножеств простран-
пространства А, каждое из которых имеет общие точки с У, са-
само имеет общие_точки с У\ подобное утверждение спра-
справедливо и для Y. Но открытое множество имеет общие
точки с У тогда и только тогда, когда оно имеет общие
точки с У.
(б) Если [/, V — открытые множества в Х\ кото-
которые имеют общие точки с <р(А), то мы должны пока-
показать, что пересечение U [\ V имеет общие точки с ф(А).
Но 4>~l(U), q>~l(V) — (непустые) открытые множества
в X, так что они имеют непустое пересечение (ибо X
неприводимо), образ которого при отображении ф ле-
лежит в (/fl упфШ. □
Теперь *мы хотим разложить аффинное многообра-
многообразие на неприводимые «компоненты». В действительно-
действительности соображения, использующие лемму Цорна, показы-
показывают, что любое топологическое пространство можно
представить в виде объединения его максимальных не-
неприводимых подпространств (которые непременно замк-
замкнуты ввиду части (а) предыдущего предложения).
Чтобы обеспечить конечное разложение такого рода,
мы используем тот факт, что аффинное многообразие
обладает условием максимальности для открытых под-
подмножеств. Этому также можно придать общую форму.
Назовем топологическое пространство нётеровым, если
любая совокупность содержащихся друг в друге откры-
открытых множеств имеет максимальный элемент (или если

§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 26
выполняется любое из следующих равносильных этому
условий: открытые множества удовлетворяют условию
обрыва возрастающих цепей; замкнутые множества
удовлетворяют условию минимальности; замкнутые
множества удовлетворяют условию обрыва убывающих
цепей).
Предложение Б. Пусть X — нётерово топологиче-
топологическое пространство. Тогда X обладает лишь конечным
числом максимальных неприводимых подпространств
(обязательно замкнутых, причем их объединение сов-
совпадает с X).
Доказательство. Рассмотрим совокупность зФ всех
конечных объединений замкнутых неприводимых под-
подмножеств пространства X (например, 0erf), Если
пространство X само не принадлежит $Ф, то, используя
свойство нётеровости, найдем замкнутое подмножество
У пространства X, которое является минимальным сре-
среди замкнутых подмножеств (таких, как X), не принад-
принадлежащих s£. Очевидно, множество У не является ни
пустым, ни неприводимым множеством; поэтому У =
= У\ U Уг, где Yi — собственные замкнутые подмноже-
подмножества множества У. Ввиду минимальности У оба подмно-
подмножества Y\ и У2 лежат в $&. Но тогда множество У долж-
должно лежать в $Ф, что невозможно. Это доказывает, что X
принадлежит зФ.
Запишем X = Х\ U ... [] ХПу где Xt— неприводимые
замкнутые множества. Если У — произвольное макси-
максимальное неприводимое подмножество пространства X,
п
то У П Xi = У для некоторого и так как У = М (У П Xf).
Поэтому ввиду максимальности У мы имеем У == Х{. О
Это предложение позволяет нам представить нёте-
нётерово пространство в виде объединения конечного числа
максимальных неприводимых подпространств; эти под-
подпространства называются неприводимыми компонента-
компонентами пространства X.
Возвратимся теперь к аффинному ^-пространству.
Какие из его замкнутых подмножеств У(/) являются
неприводимыми?
Предложение В. Замкнутое множество X в простран-
пространстве А" неприводимо тогда и только тогда, когда его

26 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
идеал У(Х) является простым. В частности, само про-
пространство кп неприводимо.
Доказательство. Запишем I = 3f{X). Предположим,
что множество X неприводимо. Чтобы доказать, что / —
простой идеал, предположим, что f\(T) /2(Г)е/. Тогда
каждая точка хе! является нулем либо полинома
/i(T), либо полинома h{T), т.е. X покрывается множе-
множеством ТA\) \]УA2), где It — идеал, порожденный по-
полиномом ft(T) (/=1,2). Так как множество X непри-
неприводимо, то оно должно целиком лежать в одном из
этих множеств, т.е. либо f\(T)^I либо 12(Т)^1У так
что идеал / является простым.
Предположим теперь, что / — простой идеал, но
X = X1 U Х2у где Xi — замкнутые подмножества в X
(i= 1,2), Если ни одно из Xi не покрывает X, то мы
можем найти полиномы fi(T)^3f(Xi) такие, что fi(T)&
ф1. Но полином f\(T)f2(T) обращается в нуль на X,
так что f\(T)f2(T) e/, что противоречит простоте идеа-
идеала /. □
Как отмечено в A.1), простой идеал всегда совпа-
совпадает со своим радикалом; таким образом, только что
доказанный результат уточняет установленное в A.1)
взаимно однозначное соответствие между замкнутыми
подмножествами аффинного пространства А* и ради-
радикальными идеалами кольца К[Т\, ..., Тп].
1.4. Произведения аффинных многообразий. Декар-
Декартово произведение двух (или более) топологических
пространств можно топологизировать довольно непо-
непосредственным образом так, чтобы получалось «произве-
«произведение» в категории топологических пространств (где
морфизмами являются непрерывные отображения).Так
как мы еще не ввели морфизмов аффинных многообра-
многообразий, то было бы преждевременно искать здесь аналогич-
аналогичное категорное произведение. Однако естественно же-
желать, чтобы произведение двух аффинных многообразий
X cz А", УсАт в теоретико-множественном отношении
выглядело как декартово произведение XX Y а Ат+Л.
В частности, мы должны определить^ произведе-
произведение A*XAm равным \т+п и снабдить ХУ^У индуциро-
индуцированной топологией подпространства пространства Am+/l.
Остается выяснить, является ли 1Х^ аффинным мно-

§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 27
гообразием, т. е. является ли X X У замкнутым множе-
множеством в Ат+п. Ответ оказывается утвердительным: если
X есть множество нулей системы полиномов fi(T\, ...
..., Тп) и У — множество нулей системы полиномов
gt(Uu -.., Urn), то XX У определяется как множество
нулей системы из всех полиномов fi(T) и всех полино-
полиномов gjiU), рассматриваемых как полиномы от n + m
переменных. (Однако не так уж ясно, как описать
идеал У (XX У) через Э(X) и У (У). Очевидное пред-
предположение оказывается неверным.)
Следует подчеркнуть, что индуцированная тополо-
топология на X X У не совпадает с топологией, которую мы по-
получили бы, приняв обычную топологию произведения.
Например, в топологии произведения А1 X А1 очень не-
немногие множества замкнуты, в отличие от топологии,
индуцированной с А2. Топология на \п X Ат, которая
отождествляет это множество с Am+/l, может быть на-
названа топологией Зарисского произведения.
Предложение. Пусть IcA", Y cz Am — замкнутые
неприводимые множества. Тогда множество XX, У
замкнуто и неприводимо в Am+/l.
Доказательство. Нам остается проверить только не-
неприводимость. Предположим, что X X У есть объеди-
объединение двух замкнутых множеств Zi, Z2. Мы должны
показать, что XX У совпадает с одним из этих мно-
множеств. Если х е X, то множество {х} X У замкнуто (так
как множество {х} замкнуто). Оно также неприводимо:
любое разложение в объединение замкнутых множеств
вело бы к подобному разложению множества У, так
как замкнутое подмножество множества {х} X У долж-
должно иметь вид {х} X Z для некоторого замкнутого под-
подмножества Z множества У. Следовательно, пересечения
множества {х} X У с Z\ и Z2 не могут быть собствен-
собственными подмножествами в {х} X У. Таким образом, X =
= *iU*2, где Xt={xe=X\{x}XYcZt} (/=1,2).
Заметим теперь, что каждое множество Xi замкнуто
в X: множество X X {у} замкнуто для каждого j/еУ,
так что и множество (XX {у}) [\Zt замкнуто; это
в свою очередь приводит к тому, что множество Х$
первых координат замкнуто в Х} и остается заметить, что

28 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Из неприводимости множества X теперь следует, что
X = Хи либо X = X2t т. е. либо X X Y = Zx либо X X
XY = Z2. □
1.5. Аффинные алгебры и морфизмы. Каждой катего-
категории нужны морфизмы. Так как аффинные многообразия
определяются полиномиальными уравнениями, то впол-
вполне естественно обратиться к полиномиальным функ-
функциям. Если множество X замкнуто в Ал, то каждый
полином f(T) е/С[Г] определяет функцию на X со зна-
значениями в К по правилу %*-->/(#). Однако различные
полиномы могут определять одну и ту же функцию; на
самом деле простым рассуждением читатель может убе-
убедиться, что различные полиномиальные функции на X
находятся во взаимно однозначном соответствии с эле-
элементами кольца классов вычетов К\Т]/У{Х)Ш Мы обо-
обозначим это кольцо через К[Х] и будем называть его
аффинной алгеброй множества X (или алгеброй поли-
полиномиальных функций на X). Это конечно порожденная
алгебра над полем /С, которая является приведенной
(т. е. не имеет ненулевых нильпотентных элементов) по
той причине, что идеал 9 (X) совпадает со своим ради-
радикалом. Если множество X неприводимо, т. е. если
2/{Х)—простой идеал (предложение 1.3.В), то кольцо
К[Х] есть область целостности. Поэтому мы можем
рассматривать его поле частных; оно обозначается че-
через К(Х) и называется полем рациональных функций
на X. Это поле является конечно порожденным расши-
расширением поля /С. Хотя иногда мы вынуждены будем ра-
работать с приводимыми многообразиями, наши рассуж-
рассуждения, как правило, будут основаны на редукции к не-
неприводимому случаю, когда поле функций оказывается
незаменимым инструментом.
Аффинная алгебра К[Х] находится в таком же от-
отношении к X, как К[Т] — к А". С ее помощью мы мо-
можем внутренним образом сформулировать понятие
«аффинцого многообразия», не прибегая к простран-
пространству А*. Начнем с того, что X — нётерово топологиче-
топологическое пространство (в топологии Зарисского) с базисом
окрестностей, состоящим из главных открытых множеств
Xf = {x^X\f(x)=£Q}, где f&K[X]. Легко видеть, что
замкнутые подмножества пространства X находятся во
взаимно однозначном соответствии с радикальными

§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 29
идеалами кольца К[Х] (следует переформулировать
теорему о нулях для кольца К[Т]/&(X)), неприводи-
неприводимые множества взаимно однозначно соответствуют про-
простым идеалам кольца К[Х]. В частности, точки прост-
пространства . X соответствуют взаимно однозначно макси-
максимальным идеалам кольца /С[-Х], или гомоморфизмам
/(-алгебр К[Х]-*К. Таким образом, пространство X
в известном смысле восстанавливается по /([-X].
Пусть теперь R — произвольная конечно порожден-
порожденная приведенная коммутативная алгебра над полем /(,
скажем R = K[t\> • • •, tn] (число п и выбор образующих
не единственны). Тогда R— гомоморфный образ алгеб-
алгебры К[Ти ••-, Тп], которая является «универсальной»
среди ассоциативных коммутативных /(-алгебр с п об-
образующими. Кроме того, тот факт, что алгебра R яв-
является приведенной, в точности означает, что ядро эпи-
эпиморфизма, отображающего Ti в tt> есть радикальный
идеал /. Таким образом, алгебра R изоморфна аффин-
аффинной алгебре многообразия X а Ал, определенного идеа-
идеалом /. Это указывает путь к установлению эквивалент-
эквивалентности категорий, к чему мы вскоре обратимся. Одно из
преимуществ этого подхода заключается в том, что он
позволяет нам наделить любое главное открытое под-
подмножество Xf неприводимого аффинного многообразия
X своей собственной структурой аффинного многообра-
многообразия (в аффинном пространстве более высокой размер-
размерности): определим R как подкольцо поля К(Х), порож-
порожденное К[Х] и 1//, и заметим, что R автоматически
оказывается (приведенной) конечно порожденной /(-ал-
/(-алгеброй. Кроме того, максимальные идеалы кольца R
находятся во взаимно однозначном соответствии с их
пересечениями с К[Х], которые в точности являются
максимальными идеалами, не содержащими /. В свою
очередь точки аффинного многообразия, определенного
/(-алгеброй /?, естественным образом соответствуют
точкам множества Xf. To, что мы проделали, является
в действительности отождествлением точек множества
Xf а X а А" с точками (х\, • •, хп, 1//(*)) в А*4.
Пусть теперь X а Ал, У с Ат — произвольные аффин-
аффинные многообразия. Под морфизмом <р: Х-^Y мы пони-
понимаем отображение вида <p(xb ..., хп) = (%(#)> •••
.•., 'фт(х)), где г|э,е/([Х]. Отметим, что морфизм Х->

30 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
->-У всегда индуцирован морфизмом кп-*-кт (исполь-
(использовать любые' прообразы полиномиальных функций г|э;
в алгебре К[Ап] = К[Т]) и что морфизм Х-+А1 — не
что иное, как полиномиальная функция на X. Морфизм
ф: X-*Y непрерывен относительно топологий Зарисско-
го на X и У. В самом деле, если Z а У — множество
нулей полиномиальных функций ft на У, то qH (Z) —
множество нулей полиномиальных функций //°ф на X.
С морфизмом ф: X-+Y ассоциируется его коморфизм
Ф*: K[Y]-+-K[X], определяемый соотношением ф*(/) =
= ^ф. Очевидно, что образ отображения ф* лежит в
К[Х]У что ф* — гомоморфизм К-алгебр и что имеют ме-
место обычные функториальные свойства: 1* есть тожде-
тождественное отображение, (-ф о ф) * = ф* о <ф*. Кроме того,
коморфизм ф* определяет ф: алгебра K[Y] порождает-
порождается над К ограничениями на У координатных функций
Т\, ..., Тщ на пространстве Ат; обозначим эти ограни-
ограничения через U\ тогда (p*(ti) оказываются в точности
функциями, использованными при определении ф выше.
Это показывает, что каждый гомоморфизм /(-алгебр
возникает как коморфизм K[Y]-> K[X] некоторого мор-
физма X-+Y.
Проведенное рассуждение устанавливает в действи-
действительности (контравариантную) эквивалентность между
категориями аффинных /(-алгебр (с гомоморфизмами
в качестве морфизмов) и аффинных многообразий (с
морфизмами, введенными выше). Этот способ рассмот-
рассмотрения аффинных многообразий, независимый от специ-
специфического вложения в аффинное пространство, будет
еще обсуждаться в § 2. Будет показано, что произведение,
определенное в A.4), является категорным произведе-
произведением и соответствует тензорному произведению /С-алгебр
(которое, как известно, является «копроизведением» в
категории коммутативных колец).
Предположим, что q>: X-+-Y—морфизм, для кото-
которого множество ф(^) плотно в У. Тогда коморфизм ф*
инъективен (см. упражнение 11 или B,5) ниже). В ча-
частности, если X и У — неприводимые многообразия, то*
Ф* индуцирует вложение поля К (У) в К(Х).
1.6. Проективные многообразия. Геометры давно при-
признали преимущества работы в «проективном простран-

§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 31
стве», где поведение точек в бесконечности можно изу-
изучать таким же образом, как и в любом другом месте.
С алгебраической точки зрения теория проективных
многообразий строится параллельно теории аффинных
многообразий с использованием однородных полино-
полиномов вместо произвольных полиномов в аффинном слу-
случае. Здесь мы дадим только краткое введение, приспо-
приспособленное для дальнейших применений. В § 2 аффинная
и проективная теории будут излагаться в рамках общей
теории «многообразий», а в § 6 мы систематически ис-
исследуем вопрос о «полноте» проективных многообразий
(аналог компактности).
Проективное л-пространство Рп можно определить
как совокупность классов эквивалентности точек мно-
множества Кп+Х— {@, 0, ..., 0)} относительно следующего
отношения эквивалентности:
(х0, хь ..., хп) ~ (уо, уи • •., уп)
тогда и только тогда, когда существует элемент яе/(*
такой, что yi==axi для всех L Интуитивно, Рп — это в точ-
точности совокупность всех прямых, проходящих через на-
начало координат в Кп+Х. Иногда бывает удобно, работая
с векторным пространством V размерности п+ 1, отож-
отождествлять множество всех одномерных подпространств
пространства V с Рп; в этом случае вместо Рп мы ис-
используем запись P(V).
Каждая точка в пространстве Р" описывается одно-
однородными координатами (*0, хи ..., хп), которые опреде-
определены не однозначно, а с точностью до ненулевого мно-
множителя из поля К. Если мы хотим рассматривать в Р"
множества, являющиеся совокупностью решений поли-
полиномиальных уравнений (от переменных Хо, Хи ..., Хп),
то такая неоднозначность вынуждает нас требовать,
чтобы эти полиномы были однородными. Напомним, что
полином f(XOi ..., Хп) является однородным степени d,
если он есть линейная комбинация одночленов Х*0°Х[1...
п
... Хпп, у которых Zj ij= d. Такой полином удовлет-
удовлетворяет уравнению /(ал:0, .. ., ахп) = adf(x0, ..., хп);
в частности, если он обращается в нуль при одном вы-

32 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
боре однородных координат некоторой точки в Рл, то
он обращается в нуль и при любом другом выборе ко-
координат этой точки.
Теперь мы можем топологизировать пространство
Р", выбирая в качестве замкнутых множеств общие ну-
нули системы однородных полиномов или, если угодно,
идеала, который они порождают. Отметим, что идеал,
порожденный множеством однородных полиномов, есть
однородный идеал (т.е. он содержит однородные части
всех своих элементов). Как и в аффинном случае, мы
можем определить операторы Т, &, устанавливая со-
сохраняющее включение соответствие между проектив-
проективными многообразиями (замкнутыми множествами про-
пространства Рп) и однородными идеалами. Как в аффин-
аффинном случае, идеалы вида 3 (X) являются радикальными
идеалами. Здесь также имеется свой вариант теоремы
о нулях, который требует только незначительных пояс-
пояснений. Имецно, идеал /0, порожденный полиномами
Хо, ..., Хп, является собственным, но, конечно, не имеет
нулей в Рп (поскольку начало координат из Кп+Х было
удалено). Таким образом, мы приходим к следующей
формулировке, которую читатель легко может прове-
проверить, 'используя аффинную теорему о нулях A.1).
Предложение. Операторы Т, 3 устанавливают вза-
взаимно однозначное соответствие (с изменением включе-
включения) между замкнутыми подмножествами пространства
Рп и однородными радикальными идеалами кольца
К[Х0, ..., Хп], отличными от /0. □
Рассуждения о неприводимых компонентах в A.3)
с успехом проходят и здесь. В частности, неприводимые
проективные многообразия соответствуют однородным
простым идеалам (отличным от /0).
Как и в аффинном случае, главные открытые под-
подмножества образуют базис топологии Зарисского в Ря.
Некоторые из них особенно полезны ввиду того, что они
естественным образом изоморфны аффинному л-прост-
ранству. (Это указывает на связи с аффинным случаем,
которые будут использованы при общем обсуждении
«многообразий» в § 2). Пусть £Л— множество точек
пространства Рп с ненулевой /-й однородной координа-
координатой. Тогда точки множества Ui взаимно однозначно со-
соответствуют точкам аффинного n-пространства А" при.

f T. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 33
\ ш Х0 Xi I Xi 4-1
отображении (х0, хи .. .,*я)ь-И —, ..., -f—>—г-. ...
\ xi xi xt
х \
..., -& I. Эти частные однородных координат называют-
xt /
ся аффинными координатами на Ui @^.i^n). Заме-
Заметим, что множества Ui покрывают пространство Рл.
Соответствием между Ui и Ап не только теоретико-
множественное: согласуются также и топологии Зарис-
ского. Чтобы убедиться в этом, введем переменные
Ти ..., Тп. Каждому полиному f(Tu ..., Тп) мы можем
сопоставить однородный полином
X?sff(Xo/Xu ..., Xt-xlXu Xi+t/Xt, ..., XjXt),
где deg f — наибольшая степень одночленов, входящих
в f(T). Тогда, если ХсАл — множество нулей некото-
некоторых полиномов /(Г), то образ множества X в Ui есть
пересечение множества Ui с множеством нулей в Рп
соответствующих однородных полиномов. В обратную
сторону, пусть XczPn — множество нулей некоторой со-
совокупности однородных полиномов f(Xo, ..., Хп). Для
каждого / рассмотрим полином
f(X0/Xh ..., Xi_i/Xif I, Xi+jXh..., Xn/Xi) = g(T\, •.., Tn),
где Tk = Xk/Xi. Ясно, что множество X f| Ut соответст-
соответствует множеству нулей в Ал этих полиномов g(T).
Основной момент приведенного рассуждения заклю-
заключается в том, что подмножество пространства Рл замк-
замкнуто тогда и только тогда, когда его пересечения с
аффинными открытыми множествами Ut все замкнуты
в Ut (здесь Ui канонически отождествляется с Ап). В бо-
более общей форме, если X — замкнутое подмножество
пространства Рл, то подмножество У с: X замкнуто в X
(или в Рп) тогда и только тогда, когда все пересечения
Y П Ui замкнуты. Этот «аффинный критерий» в самое
ближайшее время найдет эффективное применение.
1.7. Произведения проективных многообразий. Пусть
XczPn, Y cz Pm — два проективных многообразия. Если
существует некоторое «произведение» многообразий X
и У, то множество его элементов должно быть декарто-
декартовым произведением X и У. Но это множество не может
быть непосредственно отождествлено с подмножеством

34 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
множества Рп X Рш ввиду особых свойств однородных
координат. Вместо этого мы должны прибегнуть к более
изощренному способу вложения. С этой целью мы рас-
рассмотрим отображение прямого произведения Рп X Рш
в Pq, где q ={п+ 1) (т + 1) — 1» задаваемое соотноше-
соотношением
ф((*<ь ..., хп)9 (у0, ..., ут)) =
• • •, хоут, х\уо, ..., Ххут, ..., хпуОу ..., хпут).
Заметим, что это отображение определено корректно.
Мы хотим показать, что образ отображения ф замк-
замкнут в Р*, используя аффинный критерий, полученный
в A.6). Обозначим однородные координаты в Рп через
Xi, в Рт —через У/ и в Р* —через 1ц (О < / < л, 0<
^/^т). Пусть Р?, Р/1, Р?/—соответствующие аф-
аффинные открытые подмножества с аффинными коорди-
координатами Si, Г/, Uif. Очевидно, ф отображает Р? X РГ в
Р?/. Для упрощения обозначений мы разберем только
(типичный) случай / = / = 0. В аффинных координатах
Ф отображает ((su ..., sn), (tu ..., /m)) в (..., иЛ/,...),
где иЛ/ = SkU (Л, / ^ 1), и^о = 5л, «о/ == ^. Следователь-
Следовательно, образ отображения <р в Роо является в точности мно-
множеством решений уравнений Ukt^UkoUoi (kyl^l) и,
значит, является замкнутым множеством, что и требо-
требовалось.
Кроме того, легко построить обратное отображение
на каждом аффинном открытом множестве Р//*, напри-
например, на Роо отобразим (..., иы, ...) в ((«ю, ..., ил0),
(«оь ^02, ..., иОт)). Таким образом, ф в действительности
индуцирует изоморфизмы аффинных произведений
Р? X РГ на их образы. Это позволяет нам, наконец, пе-
перейти к произвольным замкнутым множествам X а Рл,
У с Рт. Множество X является объединением своих пе-
пересечений Xi с Рь и каждое множество X, замкнуто в
аффинном пространстве Р?; то же самое справедливо и
для У. Ввиду A.4) множество Xi X У/ замкнуто в Р? X
X Р/2 и, следовательно, отображается изоморфно на
замкнутое подмножество аффинного открытого множе-
множества ф(Р?ХР/0 в ф(Р*ХРт)- Из аффинного крите-

§ I. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ -35
рия A.6) следует, что множество ф(ХХУ) замкнуто в
ф(Р/1ХРт), которое в свою очередь замкнуто в Р?. Ре-
Резюмируя, получаем
Предложение. Отображение ф: РЛХРт-> pnm+n+m
является биекцией на замкнутое подмножество. Если
множество X замкнуто в РЛ, a Y замкнуто в Рт, то мно-
множество ф (X X У) ЗаМКНуТО в pnm+n+m. Q
Таким образом, декартово произведение двух проек-
проективных многообразий можно отождествить с некоторым
проективным многообразием. К счастью, способ, при
помощи которого это делается, оказывается хорошо при-
приспособленным к категорному понятию «произведения»
B.4).
1.8. Многообразия флагов. Некоторые из наиболее
интересных (с нашей точки зрения) примеров проектив-
проективных многообразий получаются в результате следующей
конструкции, восходящей к Грассману.
Пусть V — векторное пространство размерности п
над К, и пусть AV— его внешняя алгебра (факторал-
гебра тензорной алгебры на V по идеалу, порожденно-
порожденному всеми элементами v(g)v (v^V)). Напомним, что
AV— конечномерная градуированная алгебра над /(,
причем Л°У = /(, AlV=V. Если vu...,vn —
упорядоченный базис пространства У, то I I внешних
произведений t>. Л ... Л^ (i{ < i2 < ... < id) обра-
образуют базис пространства AdV. Отметим, что простран-
пространство /\nV является одномерным, т. е. внешнее произве-
произведение элементов произвольного базиса пространства V
отличается от V\A ... Avn ненулевым скалярным мно-
множителем. Если W — подпространство пространства У,
то пространство /\dW канонически отождествляется
с подпространством пространства ,AdV.
Все эти замечания показывают, что существует ото-
отображение Ир множества ©d{V) всех d-мерных подпрост-
подпространств пространства V в Р(Л^У), задаваемое сопо-
сопоставлением подпространству D точки проективного про-
пространства, которая соответствует прямой AdD (d^l).
Оказывается, отображение if инъективно. В самом деле,
пусть D, D' — два d-мерных подпространства. Выберем
базис пространства V так, чтобы векторы v\9 ..., va

36. ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
порождали D, а векторы vr, ..., vr+d-\ порождали D\
Тогда элемент v\ A ... Л va не может быть пропорцио-
пропорционален элементу vr Л ... Л ar+d-i, за исключением слу-
случая г = 1, т. е. D = D'.
Чтобы снабдить @d(V) структурой проективного
многообразия, достаточно теперь проверить, что образ
отображения -ф замкнут. Ввиду аффинного критерия
A.6) достаточно проверить это на аффинных открытых
множествах, которые покрывают пространство Р(Л*К).
(Разумеется, крайние случаи d = l, d = n не требуют
никакой проверки, так как тогда пространство ®d(V)
есть соответственно P(V) или точка.)
Зафиксируем упорядоченный базис (v\9 .. •, vn) про-
пространства V и соответствующий базис пространства
AdV, состоящий из элементовvt Л ••• Л vt . Типичное
аффинное открытое множество U в P(ArfF) состоит
тогда из точек, однородная координата которых относи-
относительно базисного вектора (скажем) ^Л ... Л Vd явля-
является ненулевой. Мы хотим показать, что пересечение
множества Im if» с U является замкнутым подмножест-
подмножеством. Обозначим через Do пространство, натянутое на
векторы Vu ..., Vd. Ясно, что ty(D) принадлежит U
тогда и только тогда, когда естественная проекция про-
пространства V на Do отображает D изоморфно на Do.
В этом случае прообразы элементов v\, ..., Vd относи-
относительно этой проекции образуют базис пространства D
вида vi + Xi(D), где xi{D) = Yji>daiivJ. (И это един-
единственный базис пространства D такого вида.) Внешнее
произведение элементов этого базиса выглядит следую-
следующим образом:
v{A...Avd+ Z
где (*) — это сумма тех базисных векторов, которые со-
содержат d — 2 или менее элементов v\t ..., Vd. Здесь
f>d
с элементами i>/, вставленными вместо vt. Таким обра-
образом, ±ац (l^i^d, d+l^j^n) можно рассмат-
рассматривать как коэффициент базисного элемента v\ Д ...
,,. Л $i Л ... fAvdAvj (элемент vi опущен) во внешнем

§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 37
произведении элементов выписанного выше базиса про-
пространства D. Кроме того, коэффициенты в (*) являются,
очевидно, полиномиальными функциями от ац, не зави-
зависящими от D.
Обратно, если мы возьмем d(n — d) произвольных
элементов ац из /С, то векторы vi + xi(D) порождают
d-мерное подпространство пространства V, образ кото-
которого при отображении г|э лежит в U. Пересечение
lm(ty)[)U состоит из всех точек с (аффинными) коор-
координатами (... ац ..., fk(aij) ...), где ац произвольны и
fk — полиномиальные функции на Arf(n~rf). Это множе-
множество можно рассматривать как график морфизма из
аффинного пространства Arf(/l~rf) в другое аффинное про-
пространство. Такой график замкнут в топологии Зарис-
ского произведения (см. упражнение 8); в свою очередь
пересечение 1т(г|))П U замкнуто в U (см. A.4)).
Из грассманова многообразия ®a(V) можно полу-
получить другие проективные многообразия следующим
приемом. Флаг в пространстве V — это, по определению,
цепочка 0 с V\ cz ... с: Vk = V подпространств прост-
пространства V, каждое из которых собственным образом со-
содержится в следующем. Полный флаг— это флаг, для
которого k = dim V (т. е. dim Vi+i/Vt = 1). Обозначим
через S(V) совокупность всех полных флагов простран-
пространства V. Мы хотим наделить S(V) структурой проектив-
проективного многообразия (которое будет называться много-
многообразием флагов пространства V).
Ввиду A.7) на декартовом произведении ®\(V) X
X@2(V)X ••• X®n{V) можно задать структуру проек-
проективного многообразия. Множество &(У) очевидным обра-
образом отождествляется с подмножеством этого декартова
произведения, и нам нужно только доказать, что оно
замкнуто. Чтобы избежать громоздких обозначений, мы
ограничимся рассмотрением произведения ®d(V) X
X@d+i(V). Как только будет доказано, что множество
S пар (D, D'), для которых DczD', является замкну-
замкнутым множеством, читатель без всякого труда сможет
дополнить наше рассуждение.
Как и выше, мы зафиксируем базис v\9 •.., vn прост-
пространства V и рассмотрим различные аффинные открытые
подмножества пространств Р(Л^У), P(Ad+1K), произве-
произведения которых покрывают многообразие ®a{V) X

38 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
. Мы можем ограничиться парами вида Uy U\
где множество U определено, как и выше по отношению
к вектору V\A ... Ava, a £/' состоит из всех точек про-
пространства P(Arf+1V) с ненулевой координатой при ба-
базисном векторе t>iA ... Ava+\. (Множество S всегда
покрывается произведениями вида UXU'.) Если образ
множества D (соответственно D') лежит в U (соответ-
(соответственно в 1)'), то мы получаем (как и ранее) канониче-
канонические базисы: vt-\-Xi(D), l^i^d; vi + У*Ф')> 1 ^
Здесь xi(D)=:1Zi>dai}v}i {/*(£>') =
/. Простоевычислениесэтимибазисами пока-
показывает, что D с D' тогда и только тогда, когда Xi(D) —
= yi{D')+aitd+i(vd+\ + yd+i(D')) при 1 < i < d. Это
в свою очередь может быть описано некоторыми поли-
полиномиальными соотношениями между ац, Ъц, откуда сле-
следует, что пересечение S с U X U' есть замкнутое мно-
множество.
Упражнения
1. Если /, / — идеалы в кольце К[Ти ...,Тп], то напомним,
что // — идеал, состоящий из сумм всевозможных произведений
f(T)8(T) (fns/, 8(T)e*J). Доказать, что T(U) = Г (I fl /).
Показать на примере, что идеал // может собственным образом со-
содержаться в / П /.
2. Каждый радикальный идеал в К[Ти ..., Тп] есть пересече-
пересечение простых идеалов.
3. Любое подпространство нётерова топологического простран-
пространства также нётерово.
4. Пусть X — нётерово топологическое пространство, Y — под-
подпространство с неприводимыми компонентами Y\ Yn. Доказать,
что У/ — неприводимые компоненты пространства У.
5. Найти открытое подмножество в А2, которое (с заданной
на нем топологией Зарисского) не изоморфно никакому аффинному
многообразию. [Выбросить точку @, 0).]
6. Показать, что отображение между аффинными многообра-
многообразиями, непрерывное относительно топологий Зарисского, не обязано
быть морфизмом. [Рассмотреть А1 ->■ А1.]
7. Доказать, что проекция на одну из координат определяет
морфизм Ая-»-А1, котрый не всегда переводит замкнутое множе-
множество в замкнутое.
8. График морфизма X ->• У (X, У — аффинные многообразия)
замкнут в X X У- Как обстоит дело, если X, У — проективные много-
многообразия?
9. Закончить доказательство в A.8) того факта, что множество
) замкнуто в произведении

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ 39
10. Показать, что каждый автоморфизм пространства А1 (= би-
биективный морфизм, обратный которому — снова морфизм) имеет вид
х г—> ах + Ь (а е /(*, 6 е= /С).
11. Если (p:X-+Y — морфизм аффинных многообразий, для ко-
которого множество ф(^) плотно в У, то коморфизм ф*: K[Y] -+К[Х]
инъективен.
12. Пусть X — неприводимое аффинное многообразие, f^K(X).
Множество точек х е л, в которых функция f определена (т. е. функ-
функция / может быть записана в виде g/h, где g,h&K[X] и Н(х)фО)
открыто.
Замечания. Хорошее изложение разделов алгебраической геомет-
геометрии, необходимых для наших целей, имеется в книгах Мамфорда
[3, гл. 1] и Шафаревича [1], [2].
§ 2. Многообразия
Понятие «предмногообразия» вводится здесь как об-
обобщение понятий аффинного и проективного многообра-
многообразий. После определений морфизмов и произведений мы
обсудим в B.5) дополнительное условие («аксиома
Хаусдорфа»), которое характеризует «многообразия».
2.1. Локальные кольца. Точка в проективном много-
многообразии обладает окрестностью, которая устроена в точ-
точности как аффинное многообразие. Такое «локальное»
поведение проективных многообразий наводит на мысль
пойти по этому пути далее. Имеется аналогия с теорией
аналитических многообразий, где каждая точка имеет
окрестность, неразличимую с открытым подмножеством
евклидова пространства. Однако топология Зарисского
не разделяет точки обычным образом; поэтому наша
конструкция приведет (в неприводимом случае) к по-
покрытию аффинными открытыми множествами, которые
в большой степени перекрываются друг с другом.
Чтобы выяснить локальное строение аффинного мно-
многообразия X, предположим сначала, что X неприводимо
и К(Х) — его поле функций. Рассмотрим рациональные
функции, которые определены в точке jcgJ, т. е. функ-
функции, представимые в виде f = g/h (g,h&K[X]), где
h (х) Ф0. Легко видеть, что эти функции образуют
кольцо Ох, которое мы. назовем локальным кольцом
точки х на X. На самом деле 0Х получается при помощи
конструкции, описанной в @.10), и является «локаль-
«локальным кольцом» в обычном смысле: если R = К[Х], Р =
= {f\f(x)= 0}, то Rp=Ox. Единственный максималь-

40 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ный идеал Шх кольца Ох состоит из всех рациональных
функций, представимых в виде g/h (g, h®K[X])t где
Локальные кольца неприводимого аффинного много-
многообразия X в действительности определяют кольцо
К[Х] и, следовательно, определяют многообразие X,
как показывает следующее предложение.
Предложение, пусть X — неприводимое аффинное
многообразие. Тогда К[Х]= f] &*-
х «з X
Доказательство. Очевидно, кольцо К[Х] содержится
во всех локальных кольцах 0Х. Обратно, пусть функция
f&K(X) принадлежит всем кольцам Ох. Это означает,
что для каждого х&Х функция / представима в виде
fz=sg/h дЛЯ некоторых функций g, hmK[X]y причем
h(x)^=0. Конечно, такое представление не единственно.
Рассмотрим идеал /, порожденный всеми возможными
знаменателями А, когда х пробегает X. Если бы идеал /
был собственным идеалом в кольце /([А], то существо-
существовал бы общий нуль этого идеала на X, что невозможно.
Таким образом, 1*=К[Х], что позволяет нам записать*)
2.2. Предмногообразия. Пусть X — неприводимое
аффинное многообразие. Каждому (непустому) откры-
открытому подмножеству U а X мы сопоставим подкольцо
поля К(Х), состоящее из регулярных (т. е. всюду опре-
определенных) функций на U:
ох(и)^ П ох.
Например, предложение 2.1 показывает, что Ох(Х) =
=К[Х] или, в большей общности, что 0x(Xf)=K[Xf] =
= K[X]f (так как локальные кольца точек аффинного
многообразия Xf совпадают с их локальными кольцами
на X).
Ох служит примером пучка функций на X. Для на-
наших целей пучок функций на топологическом простран-
*) Здесь необходимо добавить следующее рассуждение. Так как
/ = А[X], то существуют такие hi, gi, ti&K[X], что f = gt/hi,
Умножая последнее равенство на /, получим f =
- A' W- "~ Прим. ред.

I 2. МНОГООБРАЗИЯ 41
сгве можно определить как функцию У, которая сопо-
сопоставляет каждому открытому подмножеству U а X не-
некоторую /(-алгебру #*(£/), состоящую из функций на V
со значениями в /С, причем выполняются следующие два
требования:
E1) Если U а V — два открытых множества и /е
е= У(V), то f\U<=:9>(U).
E2) Пусть открытые подмножества Ui покрывают
открытое множество U (I пробегает некоторое множе-
ство индексов /). При ft^SP{Ui) предположим, что
функции // и ff совпадают на пересечении Ui f| Uj для
всех пар индексов /, / е U. Тогда существует функция
f^(f/), ограничение которой на Ui совпадает с
ftil).
Ясно, что Ох удовлетворяет условиям (S1) и (S2).
Кроме того, если X ш Х\\) ... \]Xt — произвольное
аффинное многообразие с неприводимыми компонента-
компонентами Х(, то имеется единственный разумный способ опре-
определить пучок на X, который был бы расширением пуч-
пучков ОХг Именно, запишем открытое множество UaX
в виде объединения открытых множеств Ui ■= U f| Xt и
определимся*(U) как множество функций на U со зна-
значениями в /С, ограничение которых на каждом множе-
множестве Ui принадлежит Oxt{Ui). В частности, 0Х{Х) =
=*К[Х]9 как и в неприводимом случае.
Если X — неприводимое аффинное многообразие, мы
можем восстановить локальные кольца Ох как слои
пучка Ох: открытые множества, содержащие данную
точку, образуют обратную систему по отношению к
включению, и Ох= lim 0X (U) (прямой предел по си-
стеме этих открытых множеств), так как в этом случае
прямой предел есть в точности объединение (в К(Х)).
(Это наталкивает на мысль определить Ох как такой
прямой предел и в том случае, когда многообразие X
не является неприводимым.)
Имея в виду пример многообразия РЛ, мы теперь
определим неприводимое предмногоооразие X как не-
неприводимое нётерово топологическое пространство,
снабженное пучком Ох функций со значениями в К и
такое, что X — объединение конечного числа открытых
подмножеств Ui9 каждое из которых изоморфно аффин-

42 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ному многообразию относительно ограничения пучка
функций Ox\Vi. (Ясно, как Ох индуцирует пучок функ-
функций на любом открытом подмножестве множества X.)
Под предмногообразием мы будем понимать нётерово
топологическое пространство X, неприводимые компо-
компоненты которого Xi — неприводимые предмногообразия,
причем OXi и OXj индуцируют один и тот же пучок
функций на Xi П Xj для всех /, /. Тогда имеется единст-
единственный пучок 0х, являющийся расширением пучков
ОХр как и в аффинном случае выше. Элементы пучка
Ox{U) называются регулярными функциями на U. От-
Открытые множества £/,• называются аффинными откры-
открытыми подмножествами предмногообразия X. Мы также
называем так любое открытое подмножество предмно-
предмногообразия X, которое с индуцированным на нем пучком
функций изоморфно аффинному многообразию.
Мы можем показать теперь, что X = Рп представ-
представляет собой неприводимое предмногообразие относитель-
относительно топологии Зарисского и покрытия открытыми мно-
множествами Ui (каждое из которых соответствует Ап) так,
как это сделано в A.6). Пучок Ох должен быть опре-
определен так, чтобы на Ui он индуцировал пучок, канони-
канонически определенный на Ап. Это довольно легко сделать.
Сначала сопоставим каждому элементу x&Ui его ло-
локальное кольцо Ох в К(Ап); заметим, что оно не зависит
от выбора множества /У*, содержащего х. Затем опреде-
определим OX(U) — П Ох, чтобы получить желаемый пучок
х е U
на!
На произвольном проективном многообразии X аР"
может быть задана индуцированная структура пред-
предмногообразия. Это справедливо также для открытых
или замкнутых подмножеств любого предмногообразия
ввиду следующего. Пусть, скажем, (X, Ох) — неприво-
неприводимое Цредмногообразие, UczX—(непустое) открытое
множество. Сузим Ох до пучка функций на £/, как мы
это делали выше; тогда U становится также неприводи-
неприводимым предмногообразием. С другой стороны, если Z с
cz X — замкнутое (и неприводимое) множество, то мы
можем покрыть Z конечным числом замкнутых подмно-
подмножеств Zt аффинных многообразий Ut, покрывающих X.

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ 43
Каждое множество Z, имеет канонический пучок ОZv и
эти пучки согласуются на пересечениях Z* П Z/i таким
образом, они могут быть склеены, как и раньше, чтобы
получился пучок Qz, который не зависит от сделанного
выбора многообразий £Л.
Назовем подмножество топологического пространст-
пространства локально замкнутым, если оно является пересече-
пересечением открытого и замкнутого множеств. Мы будем на-
называть локально замкнутые подмножества предмногооб-
разия X с индуцированными на них, как описано выше,
пучками функций, подпредмногообразиями предмного-
образия X. В действительности во всех интересующих
нас случаях достаточно открытых подмножеств проек-
проективных многообразий: такие подпредмногообразия будут
называться квазипроективными многообразиями. В то
же время естественно работать с несколько более об-
общими понятиями.
Заметим, что если X — неприводимое предмногооб-
разие, покрытое аффинными открытыми множествами
Ui, то пересечения Ut П Uj должны быть непусты ввиду
неприводимости X. Отсюда следует, что Ut, Uj должны
иметь одно и то же поле функций, которое мы называем
полем функций К(Х) многообразия X.
2.3. Морфизмы. Отображение ср: X-+Y (X, Y— пред-
многообразия) называется морфизмом, если оно согла-
согласовано с естественными структурами на X и У, а имен-
именно, топологией и пучками функций. Таким образом, мы
должны потребовать выполнения двух следующих ус-
условий:
(Ml) отображение ф непрерывно;
(М2) если множество VczY открыто и
то /°фе^([/) всякий раз, когда / е 0V (V
Легко проверить, что это определение эквивалентно
определению, данному в A.5), если X, Y—аффинные
многообразия. Очевидно, что ограничение морфизма на
подпредмногообразие есть снова морфизм. Отметим, что
мы получаем очевидным образом понятие изоморфизма
предмногообразий.
Посмотрим повнимательнее на условие (М2). Соот-
Соответствие /->/°Ф есть гомоморфизм /(-алгебр 0y{V)-*-
-►•^(ф-1^)), который мы обозначим через ф* и назо-
назовем коморфизмом морфизма ф. (Строго говоря, ф* еле-

44 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
довало бы здесь обозначать через ф^#) В случае, если
предмногообразия X, У неприводимы и множество ф(Х)
плотно в У, коморфизм ф* морфизма ф можно понимать
глобально как кольцевой гомоморфизм K(Y) -+К(Х),
ограничение которого на 0y(V) имеет образ, лежащий
в Ox(q>~l{V))'. Здесь коморфизм ф* инъективен, что поз-
позволяет нам трактовать К{Х) как расширение поля
K(Y) (ср. с аффинным случаем A.5)).
Каково влияние морфизма ф: X-+Y на локальные
кольца? Пусть, скажем, предмногообразия X, Y непри-
неприводимы и множество ф(^) плотно в У, и пусть ф*:
K(Y) ~>/C(X). Так как 0% (xsl) есть в точности объ-
объединение (совпадающее в этом случае с прямым преде-
пределом) всех 0x(U) (где U — открытая окрестность точки
х) и то же самое имеет место для Оу, у е У, то ясно,
что ф* отображает ОщХ) в Ох (переводя тф(*) в тх).
Обратно, это условие (по крайней мере в неприводимом
случае) можно использовать вместо (М2), так как
ох{щ- П о*
U
*-
U
Важно уметь распознавать, когда отображение пред-
многообразий является морфизмом. Для этой цели мы
установим аффинный критерий.
Предложение. Пусть ф: X-*Y — отображение (X,Y —
предмногообразия). Предположим, что имеется по-
покрытие У аффинными открытыми множествами Vi (i e
е /, / — конечное множество индексов) и покрытие X
открытыми множествами Vi такие, что:
(а) v(Ui)czVt (is/);
(б) foq>&0x(Ui) всякий раз, когда f^0Y(Vt).
Тогда <р — морфизм.
Доказательство. Сведем дело вначале к случаю, ког-
когда множества Ui все также аффинны: если U — аффин-
аффинное открытое подмножество множества [У/, то условие
(б) показывает, что композиция с <р определяет отобра-
отображение 0y(Vi) = K[Vi] B0x(U)=K[U]. Следовательно,
без всякого ущерба мы можем заменить Ui на аффин-
аффинное открытое покрытие (расширяя множество индек-
индексов /).
Предположения обеспечивают нам теперь, что огра-
ограничение ф на Ui есть морфизм аффинных многообразий

§ 24 МНОГООБРАЗИЯ 45
ф/: Ui-*Vi, так как op/ полностью определяется гомо-
гомоморфизмом /(-алгебр ер,-*: K[Vt]->- K[Ui] (ср. A.5)).
В частности, отображение ф* непрерывно. Теперь оче-
очевидно, что и отображение ф непрерывно.
Остается проверить (М2). Возьмем открытое мно-
множество 1/с У и положим £/ = ф-1A/). Если / е 0y(V)9
то ввиду (б) мы имеем /<>ф е 0x(q>~~l(V П Vt)). Но
<p-l(VnVi)z>UnUt, так что /о ф ge <?*([/П £Л) для
всех /g/. В свою очередь, так как U — объединение
множеств U П Ut и так как Ох — пучок, то / о ф е
&0x(U). П
В оставшейся части этого пункта мы сконцентри-
сконцентрируем внимание на неприводимых предмногообразиях.
Ясно, что регулярная функция f^Ox(X) определяет
морфизм Х->А!, но, разумеется, рациональная функ-
функция не обязана быть регулярной (ср. проективные мно-
многообразия!). Тем не менее, задав f^K(X) и аффинное
покрытие {Ut} предмногообразия Ху мы видим, что под-
подмножество множества £Л, на котором функция f опре-
определена, является открытым (упражнение 1.12), так что
и подмножество U тех точек х е Ху в которых функция
f определена, также является открытым. Поэтому /
индуцирует морфизм С/-*- А1. В свою очередь подмноже-
подмножество множества f/, на котором / Ф 0, является откры-
открытым; мы обозначим его через Xf. Подобным образом, мы
можем определить, как и в аффинном случае, множе-
множество T(f) = {x €= X\f(x) = 0} w*fe=0x(X).
Два неприводимых предмногообразия X, Y могут
иметь поля функций, связанные мономорфизмом а:
K(Y)-*-K(X). Мы утверждаем, что а индуцирует «ча-
«частичный морфизм», т. е. морфизм некоторого непустого
открытого подмножества множества X в У, коморфизм
которого по существу совпадает с а. В самом деле, мы
сначала можем заменить Ху Y на аффинные открытые
подмножества; это не повлияет на поля функций. Таким
образом, поле K(Y) имеет вид K(fu •••> fn), где
/С[У]=»/С[/ь ..., /„]. Положим gi = a(fi) <=K(X). Пе-
Перейдем, как и выше, к открытому подмножеству множе-
множества X, на котором все функции gt определены, а затем
к аффинному открытому множеству U, на котором все
gi принадлежат K[U]. Теперь а переводит К[Y] в K[U]t

46 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
так что имеется единственный морфизм U ->- У, для ко-
которого а является коморфизмом.
Введем, наконец понятие бирационального морфиз-
ма: морфизм ср: X->Y назовем бирациональным, если
Ф* есть изоморфизм поля K(Y) на поле К(Х). Неприво-
Неприводимые предмногообразия с изоморфными полями функ-
функций называются бирационально эквивалентными; одна-
однако они не всегда изоморфны (ср. Ал и Рп).
2.4. Произведения. Для пар аффинных или проектив-
проективных многообразий мы смогли наделить структурой того
же типа их декартово произведение (как множеств)
(см. A.4), A.7)). Для произвольных предмногообразий
наиболее надежным путеводителем будет для нас кате-
горное понятие «произведения». Произведение объектов
X и У состоит из объекта Z вместе с морфизмами щ:
Z-+X, п2: Z->Y (проекции), удовлетворяющими свой-
свойству универсального отображения: для любого объекта
W и любых морфизмов ф1: W-*~X, ф2: W-+Y сущест-
существует единственный морфизм -ф: W-> Z такой, что ялр =
= Фг (/=1,2). Это определение приспособлено к тому,
чтобы обеспечить единственность произведения, если оно
существует, но существование должно устанавливаться
специальным построением.
Для предмногообразий Ху Y их произведение Z как
множество должно быть декартовым произведением:
применим свойство универсальности к морфизмам W-*
->{х}, W-+{y}y где W — предмногообразие, состоящее
из одной точки, чтобы заключить, что точки множества
Z взаимно однозначно соответствуют парам (х,у). Кон-
Конструкция в A.7) наводит на мысль о том, что произве-
произведение X X Y следует наделить структурой предмного-
предмногообразия путем покрытия его произведениями различных
открытых аффинных подмножеств предмногообразий X
и У. Поэтому мы вначале более подробно рассмотрим
аффинную ситуацию.
Предложение. Пусть X cz А", У с \т — аффинные
многообразия, и пусть R=K[X], S=K[Y]. Снабдим
декартово произведение X X У топологией Зарисского
произведения A.4). Тогда:
(а) XX У вместе с проекциями рп: Xy^Y-^X и
рг2: Xy^Y ~^Y есть произведение (в категорном смыс-
смысле) предмногообразий X, У и К[ХХ Y]£*R<g)KS.

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ 47
(б) Если (х, у) е X X У, то <?(*, у) есть локализация
кольца 0х®кОу по {максимальному) идеалу тх®
®ОУ + Ох® ту.
Доказательство, (а) Опишем сначала аффинную ал-
алгебру множества X X У, которое по построению есть
замкнутое подмножество пространства Ал+т. При помо-
помощи проекций полиномиальные функции на X, У индуци-
индуцируют полиномиальные функции на XX У. Сопоставим
каждой паре функций (^A)Gi?XS полиномиальную
функцию f(x,y) = g(x)h(y) на XX У. Это отображение
билинейно по каждой из переменных g, ht так что оно
индуцирует гомоморфизм /(-алгебр a: R (g)/t S ->■
-*~К[ХУ(У]- Ясно, что каждый полином от m + я пе-
переменных Гь ..., 7\г, Uи • • •, f/m выражается в виде
конечной суммы произведений g(T)h(U). Это показы-
показывает, что гомоморфизм а сюръективен (полиномиальные
функции на XX У являются ограничениями полиноми-
полиномиальных функций на Ат+Л).
Чтобы показать, что гомоморфизм а инъективен,
г
предположим, что он отображает элемент f = 2 Si ® Ы
в нуль. Мы можем считать, что в записи f число г вы-
выбрано минимально возможным. Мы утверждаем, что
если f ф 0, то г = 1. В самом деле, в этом случае не все
функции hi равны нулю, так что мы можем зафиксиро-
зафиксировать некоторую точку у е У, для которой не все значе-
значения Ы (у) являются нулевыми. Так как X gt М Ы (у) = О
для всех х^Ху то мы получаем Y^ht{y)gi = 0 в R,
т.е. функции gi линейно зависимы над К. Если г> 1,
то мы можем уменьшить на 1 число функций gi и по-
получить противоречие с минимальностью г. Следователь-
Следовательно, г = 1. Но тогда g\ = 0, так что и / = 0.
Остается проверить свойство универсальности ото-
отображения для XX У. Зададим предмногообразие W и
морфизмы фь W-*-X, ф2: W-+Y; мы должны построить
соответствующий морфизм if: №->ХХУ. Имеется един-
единственное отображение множеств, для которого ф/ =
= рг* о <ф. Чтобы проверить, что это отображение есть
морфизм, мы используем аффинный критерий B.3). По-
Поскольку множество XX У аффинно, то нам нужно лишь
убедиться, что if превращает полиномиальные функции

48 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
на XX У в регулярные функции на W. Кольцо
X У] порождается функциями, получающимися из
К[Х], К [У] с помощью коморфизмов рп, а ф/ являются
морфизмами по предположению, откуда все следует.
(б) Если многообразия X, У неприводимы, то и
XX У неприводимо A.4); часть (а) показывает, что
кольцо R&KS есть область целостности с полем част-
частных, изоморфным К(ХХУ)- Теперь мы имеем включе-
включения R<&S<z.0x®0yCi O(x, у)- Так как кольцо 0{Xt у) есть
локализация кольца /?®S относительно идеала гп(Х,у),
то оно также совпадает с локализацией кольца 0Х%ОУ
по его идеалу т функций, обращающихся в 0 в (я, у).
Очевидно, тх®Оу-\-Ох®туС1 т. Обратно, пусть / =
= Z gi ® hi e= m, где gt s (Ух, h{ е= <Уу. Если gt (x) = at
hi (у) = bt, то /—Z a/ft/^S (gi—ад ® ^+Ц а; ® (Л/—й/)е
^mx®Oy-\-0x®my. Это влечет ^a/^/"^0, что и за-
завершает доказательство. □
Это предложение показывает, что произведение XX
X У имеет внутренний смысл в категории предмногооб-
разий, если многообразия X и У аффинны, независимо
от любых их конкретных вложений в аффинное прост-
пространство.
Прежде, чем разбирать общий случай произвольных
предмногообразий X, У, мы рассмотрим неприводимые
предмногообразия. Чтобы снабдить декартово произве-
произведение X X У структурой предмногообразия, необходимо
задать топологию и покрытие аффинными открытыми
множествами. Для всех аффинных открытых множеств
V а У, U а X и всех конечных множеств полиномиаль-
полиномиальных функций ft на U и gi на V главные открытые мно-
множества (U X V)% следует принять в качестве базис-
базисных открытых множеств в X X У. Заметим, что эти мно-
множества действительно образуют базис для некоторой
топологии, так как пересечение двух таких множеств
есть некоторое другое множество такого же типа. Кро-
Кроме того, описаний аффинной алгебры О XV в части (а)
предложения показывает, что топология, индуцирован-
индуцированная на U X V, совпадает с топологией Зарисского про-
произведения на U X V.

$ 2. МНОГООБРАЗИЯ 49
Поле функций на XX Y должно будет совпадать спо-
сполем функций на UX V, где UaX, V а У—аффинные
открытые множества. Так как K[U X V] «=■ K[U](g)
(g) д[У], то, очевидно, поле /C(f/ X V) может быть опи-
описано как поле частных (области целостности!) K(U) (g)
&K(V). Обозначим это поле через F. Часть (б) пред-
предложения обязывает нас определить локальное кольцо
точки (x,j/)gIX^ как локализацию кольца Ох®(Уу
относительно идеала тх(&Оу-\-0х® ту. В свою оче-
очередь мы получаем пучок функций на X X У путем со-
сопоставления каждому открытому множеству U пересе-
пересечения всех колец 0(Х, У), (ху у) es U. (Это согласуется на
каждом произведении аффинных открытых множеств
с уже определенным аффинным произведением.) Ясно,
что XX Y приобретает таким образом структуру пред-
многообразия. Кроме того, теоретико-множественные
проекции на X, У являются морфизмами: использовать
аффинный критерий B.3).
Чтобы проверить свойство универсального отобра-
отображения, рассмотрим некоторое предмногообразие W с
морфизмами фг. W-+X, ф2: W->Y. Как и раньше, име-
имеется единственное отображение множеств if: W-*■ XXY,
для которого ф/ = рг/о\|). Мы привлечем аффинный кри-
критерий B.3), чтобы показать, что г|) — морфизм. По по-
построению произведения U X V аффинных открытых
множеств в X, Y являются аффинными открытыми мно-
множествами, покрывающими X X Y- Открытые множества
вида W =a qpj-1 (U) f] Ф^Г1 (V) покрывают W, и свойство
универсальности произведения U X V показывает, что
ограничение ф на W' есть морфизм.
Это решает дело в неприводимом случае. Для про-
произвольных предмногообразий X, У с неприводимыми
компонентами Xit У/ мы образуем предмногообразия
Xi X У/, как и выше. Затем мы топологизируем произве-
произведение X X У, определяя открытое множество как множе-
множество, каждое из пересечений которого с Xi X Yf откры-
открыто. Наконец, мы снабдим X X Y пучком функций, как
в B.2). Стандартным образом проверяется, что XX Y
есть категорное произведение. Следовательно, нами до-
доказана
Теорема. Произведения в категории првдмногообра-
й существуют. □

60 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Читателю следует проверить, что предыдущая про-
процедура является абстрактным вариантом конструкции
произведения проективных многообразий A.7). Однако
вложение в проективное пространство в A.7) необходи-
необходимо для того, чтобы убедиться, что полученное произве-
произведение — снова проективное многообразие.
2.5. Аксиома Хаусдорфа. Можно привести примеры
предмногообразий, патологические с геометрической
точки зрения. Например, пусть X покрывается двумя
копиями f/, V многообразия А1, причем точка x^U
совпадает с точкой ^£У, за исключением случая, ког-
когда # = 0 («аффинная прямая с удвоенной точкой»).
Предмногообразие X называется многообразием,
если оно удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа: диагональ
Д(Х) = {(х, х) \х& X) замкнута в ХуХ. (В категории
топологических пространств с заданной на X X X обыч-
обычной топологией произведения это условие эквивалентно
обычной аксиоме отделимости Хаусдорфа.) Эквивалент-
Эквивалентное условие заключается в следующем: (*) для любых
двух морфизмов ф, г|): У->Х (У — любое предмногооб-
предмногообразие) множество {у е У|ф(у) = 'Ф(#)} замкнуто в У.
pr
В самом деле, применяя (*) к ситуации XXX^t X
мы получаем, что А(Х) замкнуто в ХУХ; наоборот, в
Ф X "Ф Рг'
ситуации У >- XX X =t X прообраз множества А (X)
2
есть {ye=
Условие (*) не выполнено в примере, приведенном
выше: если мы возьмем два отображения А1 -> U а Ху
А1 -^ V cz X, то множество А1 — {0} не замкнуто в А1.
С другой стороны, многообразия имеются в изобилии.
Примеры. A) Аффинное многообразие есть многооб-
многообразие. (Ясно, что диагональ задается полиномиальны-
полиномиальными условиями.)
B) Подпредмногообразия в многообразии являются
снова многообразиями. Они называются подмногообра-
подмногообразиями.
C) Если X, У—многообразия, то и XX У—много-
У—многообразие.
D) Проективное многообразие есть многообразие.
(Это вытекает из следующего удобного критерия.)

I 2. МНОГООБРАЗИЯ 61
Лемма. Пусть X — предмногооб разив, и предполо-
предположим, что каждая пара я, j/gX лежит в некотором
аффинном открытом подмножестве пред многообразия X.
Тогда X — многообразие.
Доказательство. Пусть задано предмногообразие У
и морфизмы ф, г|э: Y-+X, и пусть Z = {у е У|ср({/) =
==i|)(#)}. Мы должны показать, что множество Z замк-
замкнуто. Если ге2, то пусть л; = ф(г), у = ^(z). По пред-
предположению, точки х и у лежат в некотором аффинном
открытом множестве V. Тогда U — ф-1 (V) П я|Н (V) —
открытая окрестность точки z, которая должна иметь
пересечение с Z. Но Z П U = {у е U \ ф7 (у) = ф7 (у)},
где фг, яр7: U-+-V — ограничения. Так как V—многооб-
V—многообразие, то множество Z П U замкнуто в U. Это означает,
что U — (Z П U) — открытое множество, не пересекаю-
пересекающееся с Z, в частности не содержащее г. Следовательно,
ze=Z. □
Следующее предложение показывает, почему лучше
иметь дело с многообразиями, чем с предмногообра-
зиями.
Предложение. Пусть Y — многообразие, и X — пред-
многообразие.
(а) Если ф: X-+Y — морфизм, то график Гф =
= {(х, ф(я)) |х е X} замкнут в XX У.
(б) Если ф, -ф: Z-^У — морфизмы, которые совпа-
совпадают на некотором плотном подмножестве предмного-
образыя X, то ф = if).
Доказательство, (а) График Гф есть прообраз мно-
множества А (У) относительно морфизма ^ХУ -*УУ(УУ
который переводит (х> у) в (у(х)уу).
(б) Множество {х ^ Х\ц>(х) =ty(x)} замкнуто в X,
так как У—многообразие. По предположению, оно
плотно в X, так что оно должно совпадать cl D
На практике мы будем в дальнейшем иметь дело
лишь с аффинными и проективными многообразиями,
их подмногообразиями и произведениями.
Упражнения
1. Показать, что определение «морфизма» B.3) согласуется с
определением, данным для аффинных многообразий в A.5).
2. Если ф: А1 -> А1 — бирациональный морфизм, то ф обяза-
обязательно является изоморфизмом.

62 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
3. Пусть char К *=* Р > 0. Показать, что отображение Ti-ь-Т?
определяет мономорфизм /(-алгебр К[Т] -> К[Т], который является
коморфизмом морфизма ср: А"->А" (называемого отображением
Фробениуса). Описать морфизм (р в явном виде.
4. Пусть X, Y — предмногообразия. Доказать, что проекции
ХХУ-+Х, XXY-+Y являются открытыми отображениями
(т. е. переводят открытые множества в открытые). Должны ли эти
проекции переводить замкнутые множества в замкнутые?
5. Если X, У — предмногообразия, и W — открытое (соответ-
(соответственно замкнутое) множество в X, то W X Y — открытое (соответ-
(соответственно замкнутое) множество в X X Y.
6. Доказать, что топологическое пространство X есть Г2-про-
странство тогда и только тогда, когда множество {(х, х)\х^Х] за-
замкнуто в 1Х^ (в обычной топологии произведения).
7. Пусть <р, \|з: У-»-X — морфизмы (X, У — предмногообразия).
Доказать, что множество {у ^ Y | ф (у) = \j? (у)} локально замкну-
замкнуто в У.
8. Если У — предмногообразие, для которого утверждение пред-
предложения 2.5 (а) (соответственно (б)) имеет место для всех пред-
многообразий X то У — многообразие.
9. Пусть ф: X-+Y — морфизм многообразий.-Доказать, что рп
индуцирует изоморфизм графика Гф с= X X Y на X.
Замечания. Мы следовали здесь Мамфорду [3, I, § 6]. В совре-
современной терминологии слово «многообразие» (соответственно «от-
«отделимое многообразие») употребляется вместо нашего «предмного-
«предмногообразие» (соответственно «многообразие»); но мы предпочитаем при-
придерживаться старого обычая, поскольку все предмногообразия, ко-
которые нам встретятся, являются в действительности многообразиями.
§ 3. Размерность
Интуитивно точка нульмерна, кривая одномерна,по-
одномерна,поверхность двумерна. Цель этого параграфа — придать
точный алгебраический смысл геометрическому понятию
размерности. Это в свою очередь позволит нам в сле-
следующем параграфе описать поведение многообразий при
действии морфизмов.
3.1. Размерность многообразия. С неприводимым
многообразием X ассоциируется его поле К(Х) рацио-
рациональных функций. Будучи конечно порожденным рас-
расширением поля /С, поле К(Х) имеет конечную степень
трансцендентности над К @.4), сокращенно tr. degKK(X).
Это число называется размерностью многообразия X и
обозначается dim X. Например, dim An = dim Р" = п.
Таким образом, размерность измеряется максимальным
числом алгебраически независимых функций на X (или

§ 3. РАЗМЕРНОСТЬ 63
числом «параметров», требующихся для описания X).
В случае, если X имеет более одной неприводимой ком-
компоненты, скажем X — Х\ U ... [)ХГ, разумно определить
как max (dim Xt).
Пусть X — неприводимое многообразие. Так как
((J)/((f/) для любого аффинного открытого под-
подмножества U, то dim X — dim U. Аналогично dimX —
= dimXf для любой функции f^K(X). Например,
GL(n,K) есть главное открытое подмножество прост-
пространства А", состоящее из точек, в которых, определи-
определитель не обращается в нуль, так что размерность
GL{nyK) равна п2.
Предложение. Пусть Ху У — неприводимые многооб-
многообразия размерности m, n соответственно. Тогда dim XX
XY = m + n.
Доказательство. В силу предыдущих замечаний мы
можем предполагать, что многообразия Ху У аффинны
и X с Ар, У с А?. (Читатель, который желает избежать
вложения X и У в аффинные пространства, может рас-
рассуждать, используя отождествление К[Х] ®/([У] =
= К[ХУ(У] B.4.).) Если Si, ..., Sp (соответственно
Ти ..., Tq)—координаты в А? (соответственно в Aq),
то их ограничения s,- (соответственно ti) порождают
поле К(Х) (соответственно K(Y)). Из этих порождаю-
порождающих множеств мы можем выбрать базисы трансцендент-
трансцендентности @.4), скажем si, ..., sm и t\t ..., tn. Ясно, что
K(XXY) = K(su ...9sPttu...,tq) и что поле K(XXY)
алгебраично над подполем K(s\9 •••, smt t\, ..., tn).
Таким образом, достаточно показать, что это последнее
поле чисто трансцендентно над /С. Предположим, что
имеется полиномиальное соотношение f(su ..., sm,
*ь ..., tn) = 0. Тогда для каждого фиксированного х =
= (^ь •••» Xp)^=(s\(x)y ..., sp(x))^X полиномиальная
функция f(x\, •••, Xm> t\t ..., tn) обращается в нуль
на У. Алегабраическая независимость функций /,
ведет к тому, что все коэффициенты g(x\, ..., xm) поли-
полипома f(x\, ..., Xmy Т\9 ..., Тп) равны нулю. В свою оче-
очередь мы имеем g{s\, ..., 5m) =0 (так как точка х^Х
была произвольной), так что алгебраическая независи-
независимость функций Si влечет g(S\, •-•> Sm)==0. Следова-
Следовательно, f (Si, ..., Sm, Tu ..., Tn) = 0. □

64 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
3.2. Размерность подмногообразия. Следующее пред-
предложение есть первый шаг к пониманию того, как изме-
изменяется размерность при переходе к подмногообразиям.
Предложение. Пусть X — неприводимое многообра-
многообразие, У — собственное замкнутое неприводимое подмно-
подмножество. Тогда dim У < dimX.
Доказательство. Мы можем предположить, что мно-
многообразие X аффинно, скажем, размерности d. Пусть
R = K[X], R = K[Y]^R/P (где Р — ненулевой про-
простой идеал кольца R). Ясно, что базисы трансцендент-
трансцендентности для полей К(Х), К (У) можно найти в R, R. Пред-
Предположим, что dim Y^d, и выберем алгебраически не-
независимые элементы х\, ..., I^gS (образы элементов
Х\у ..., xa^Ry которые, разумеется, тоже алгебраически
независимы). Пусть /е Р — ненулевой элемент. Так как
dimX = d, то должно существовать нетривиальное по-
полиномиальное соотношение g(f, Х\, ..., Ха)=0, где
g(To, Гь ..., Td) ^K[T]. Поскольку f ф О, мы можем
предположить, что То не делит все одночлены в поли-
полиноме g{T0, Ти ..., Td)y т.е. полином h(Tu ..., Та) =
= g@i ^i, ..., Та) отличен от нуля. Тогда А(#ь ...
..., %d) = 0, что противоречит независимости Хи □
Определим коразмерность codim^ У подмногообразия
У многообразия X как число dimX — dim У.
Следствие. Пусть X — неприводимое аффинное мно-
многообразие, У — замкнутое неприводимое подмножество
коразмерности 1. Тогда У есть компонента многообра-
многообразия T(f) для некоторого элемента f^K[X].
Доказательство. По предположению, У ф X, так что
имеется ненулевая функция f&K[X], обращающаяся
в нуль на У. Тогда Y aT(f) ^ X. Пусть Z — неприво-
неприводимая компонента многообразия T(f), содержащая У.
Согласно предложению dim Z < dim X, тогда как
dim У ^ dim Z с равенством лишь при Y = Z. Так как
codim* У = 1, должно иметь место равенство. □
В ситуации, рассмотренной в следствии, равенство
Y = T(f) не всегда возможно. Однако оно имеет место,
если У имеет коразмерность 1 в некотором аффинном
пространстве А", или, более общо,- когда К[Х] — об-
область с однозначным разложением на множители
(упражнение 6).

§ 3. РАЗМЕРНОСТЬ 55
Если подмногообразия коразмерности 1 существуют
(и тогда, по индукции, существуют подмногообразия
всех возможных размерностей), то следствие указывает,
какого они будут вида. Наша следующая цель — уста-
установить обращение этого следствия.
3.3. Теорема о размерности. Множество нулей в Ал
одного нескалярного полинома f (Т\,..., Тп) называется
гиперповерхностью; ее неприводимые компоненты —
это в точности гиперповерхности, определенные непри-
неприводимыми множителями полинома f(T). Более общо,
если X—аффинное многообразие, то ненулевой необ-
необратимый элемент f^K[X] определяет гиперповерхность
в X (компоненты которой не так легко охарактеризо-
охарактеризовать, если К[Х] не является областью с однозначным
разложением на множители). Например, SL(n,K) есть
гиперповерхность в GL(n,K) или в Ап\ определенная
соотношением detG\/) = 1.
Предложение. Все неприводимые компоненты гипер-
гиперповерхности в Ап имеют коразмерность 1.
Доказательство. Достаточно рассмотреть множество
нулей X неприводимого полинома р(Т). Мы можем
предполагать, что (скажем) Тп реально имеется в поли-
полиноме р(Т) (который, по предположению, не скалярен).
Пусть U— ограничение функции Tt на X, так что К(Х) =
= K(tu • • • > tn). Мы утверждаем, что t\, • •., tn-\ алгеб-
алгебраически независимы над К. Иначе существует нетриви-
нетривиальное полиномиальное соотношение g(t\, ..., tn-.\) = 0
и, значит, полином g(T\, •♦•> Тп-\) обращается в нуль
на Х\ но У(X) = (р(Т))у следовательно, полином g(T)
кратен р(Т). Это невозможно, так как Тп имеется в
р{Т), но отсутствует в g(T). Мы заключаем, что
й'ппХ^п—1, и здесь должно быть на самом деле ра*
венство ввиду предложения 3.2. □
Мы хотим обобщить этот результат на произвольные
аффинные многообразия. Для этого необходимы два
технических средства: лемма Нётер о нормализации
@.7) и норменное отображение Ne/f: E ->■ F для конеч-
конечного расширения Е поля F @.5).
Теорема. Пусть X — неприводимое аффинное много-
многообразие, O^fe К[Х] — необратимый элемент, и Y —
неприводимая компонента многообразия T(f). Тогда Y
имеет коразмерность 1 в X.

66 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Доказательство. Пусть Р =У(У)а К[Х] и Уь ...
..., Yt — компоненты многообразия T(f), отличные от
Y, a Pi = $(Yi). Из теоремы о нулях A.1) вытекает ра-
равенство У(Г) = .РПЛП ••• C\Pt- Выберем элемент g e
^ Р\ П ... П ^ — Р (g существует, так как У не содер-
содержится в Y\ U • • • U Yt). Тогда Х8 — неприводимое аффин-
аффинное многообразие той же размерности, что и X, и Y (]Xg
есть в точности множество нулей полинома f в Хё. Так
как Yf\Xg — главное открытое множество в У, то до-
достаточно доказать, что его коразмерность в Xg равна 1.
Таким образом, мы могли бы предполагать с самого на-
начала, что Y = r(f), P = V(/)-
Теперь мы применим лемму о нормализации @.7)
к области R = К[Х]: кольцо R является целым над не-
некоторым подкольцом S, изоморфным K[Th ..., Td],
d == dimX Пусть E = K(X)y F — поле частных кольца
S, так что расширение E/F конечно. Заметим, что нор-
норма Ne/f на элементах'из R принимает значения в S.
В самом деле, если h s /?, то h удовлетворяет полино-
полиномиальному уравнению над 5 с коэффициентом 1 при
старшем члене и, по определению «нормы», Ne/f(K) есть
степень свободного члена.
Пусть /0 == Neif(f) s S. Мы утверждаем, что f0 e
sP= д/(П- Запишем: fk + a{fk~l + ... +ak — 0(ai^S)J
где • fo = (uk)m (см. предыдущий абзац). Тогда
так что элемент /0 является /?-кратным элементу /.
Если обозначить через VTfoT радикал идеала (fo)
в § то из результата предыдущего абзаца следует, что
д/(/о) ci P П S. Обратное включение также имеет место:
пусть g s Р П 5, так что, в частности, g e д/(/) и gl=fh
для некоторых / s Z+, h ^ R. Вычисляя нормы, полу-
получаем gl [E : F] = Neif (gl) *== Neif if) Neif (h), где первое ра-
равенство имеет место ввиду того, что ^е5, и в'горое —
ввиду мультипликативности нормы Ne/f. Как отмечалось
ранее, Ne/f(H) gS, поэтому некоторая степень элемен-
элемента g является S-кратной f0, что и утверждалось.
Теперь мы заменим простой идеал Р = д/(/) в R на

§ 3 РАЗМЕРНОСТЬ 57
простой идеал Р П S « У (/о) в S. Преимущество этого
заключается в том, что S — область с однозначным раз-
разложением на множители. В частности, так как радикал
идеала (/о) является простым идеалом, то, как легко
видеть, /о (с точностью до обратимого множителя) есть
степень неприводимого полинома р, откуда следует, что
Р П S — в точности главный идеал (р). Ясно, что эле-
элемент р не скалярен.
Если рассматривать 5 как аффинную алгебру мно-
многообразия Ad, то РП S определяет гиперповерхность
в Arf, размерность которой равна 1 (ввиду предыдущего
предложения). Это означает, что поле частных кольца
S/(Pf\S) имеет степень трансцендентности d—1 над/С.
С другой стороны, тот факт, что кольцо R цело над S,
очевидно, влечет, что кольцо R/P цело над S/(P(\S)9
так что эти два поля частных имеют одинаковую сте-
степень трансцендентности. Но поле частных кольца R/P
есть К (У), следовательно, dim У = d— 1. П
Эта теорема может быть легко переформулирована
как утверждение о произвольном неприводимом много-
многообразии X: если U — открытое множество в Ху и О Ф
Ф f e Ox{V) —необратимый элемент, то каждая непри-
неприводимая компонента множества нулей функции f в U
имеет коразмерность 1 в X. (Выведите это из теоремы
путем ограничения на аффинное открытое подмножество
множества /У, которое пересекается с рассматриваемой
неприводимой компонентой).
3.4. Следствия. Теорема 3.3 гарантирует нам, что
/г-мерное многообразие X обладает неприводимыми
замкнутыми подмножествами всех размерностей, мень-
меньших п. Более точно:
Следствие А, Пусть X — неприводимое многообразие,
Y — замкнутое неприводимое подмножество коразмерно-
коразмерности г^1. Тогда существуют замкнутые неприводимые
подмножества У, коразмерности 1 ^ i ^ r такие, что
Y{ =) У2 => ... =э Yr = У.
Доказательство. Достаточно доказать это для аффин-
аффинного открытого подмножества многообразия X, которое
пересекается с У, так что мы можем предполагать так-
также, что многообразие X аффинно. При г = 1 доказывать
нечего. Используем индуктивное рассуждение. Так как
Y Ф X, то существует функция (ФО в Sf{Y), и У ле-

68 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
жит в некоторой неприводимой компоненте Y\ множе-
множества T{f). Согласно теореме 3.3 codim* Y\ = l. По пред-
предположению индукции, Y\ обладает замкнутым неприво-
неприводимым подмножеством требуемого типа. П
Очевидной индукцией устанавливается также
Следствие Б. Пусть X — неприводимое многообразие,
/ь ..., fr e Ох{Х). Тогда каждая неприводимая компо-
компонента множества T(fu •••» fr) имеет коразмерность не
более чем г. □
Это неравенство не может быть улучшено (напри-
(например, пусть f\ = /2 = • • • = fr). Но мы можем высказать
нечто полезное в другом направлении, соответствующем
той геометрической идее, что поверхность (соответст-
(соответственно кривая, точка) в трехмерном пространстве долж-
должна определяться одним (соответственно двумя, тремя)
полиномиальными уравнениями.
Следствие В. Пусть X — неприводимое аффинное
многообразие, Y — замкнутое неприводимое подмноже-
подмножество коразмерности г ^ 1. Тогда Y есть компонента мно-
множества T{fu ..., fr) для некоторого набора функций
fK[X]
f[]
Доказательство. Легче доказать более общее утверж-
утверждение: для замкнутых неприводимых подмножеств Y\ zd
=э У2 => ... => Yn удовлетворяющих условию codim* Yi =
= i, существуют функции ft^K[X] такие, что все ком-
компоненты множества У(/ь ..., fq) имеют коразмерность
q в X, причем Yq—одна из этих компонент A ^ а ^ г).
(Это действительно более общее утверждение ввиду
следствия А.)
Доказательство проведем индукцией по q (r фикси-
фиксировано). При q=\ мы обратимся сначала к следст-
следствию 3.2, чтобы получить существование fi, а затем к
теореме 3.3, чтобы заключить, что все компоненты мно-
множества T(f\) имеют коразмерность 1.
Предположим, что функции fb ..., fq-\ уже найдены.
Пусть ,Z\ — Yq-u Z.2, . • •, Zm — компоненты множества
У°(/ь • • •, fq~\)- Так как каждая из них имеет коразмер-
коразмерность q—1, то ни одна из них не лежит в Yq; следова-
следовательно, идеал Sf{Zi) не содержит Sf{Yq) A^/^m).
Идеалы &{Zi) просты, и поэтому из @.9) следует, что
их объединение также не содержит Sf(Yq). Выберем
функцию fq, обращающуюся в нуль на Yq, но не обра-

§ 4. МОРФИЗМЫ 69
щающуюся в нуль тождественно на Zu Если Z — любая
компонента множества T(fu ..., Ы, то Z, разумеется,
лежит в одной из компонент Zi множества T(f\y ..., /V-i),
а также в T(fq). Теорема 3.3 показывает, что множество
f(fq)[]Zi имеет коразмерность 1 в Zi (так как fq не
обращается в нуль на Z,-), и, следовательно, имеет ко-
коразмерность q в X. С другой стороны, следствие В по-
показывает, что codimxZ ^ q. Следовательно, Z должно
иметь в точности коразмерность q. Так как функция fq
обращается в нуль на Yq, и Yq имеет коразмерность q>
то Yq — одна из компонент множества T(fu ..., М- ^
Упражнения
1. Многообразие имеет размерность 0 тогда и только тогда,
когда оно состоит из конечного множества точек.
2. Показать, что размерность грассманова многообразия ®d(V)
d-мерных подпространств я-мерного векторного пространства V A.8)
равна d(n — d). Попытайтесь определить размерность многообразия
флагов 8(V).
3. Пусть X — произвольное многообразие, У — замкнутое под-
подмножество. Доказать, что dim У ^ dimX
4. Размерность неприводимого многообразия X есть наибольшее
число d, для которого существует цепь (непустых) замкнутых не-
неприводимых подмножеств Хо с Х\ а Х2 cz ... aXd = X (все вклю-
включения собственные).
5. В многообразии X замкнутые неприводимые подмножества
удовлетворяют условию обрыва возрастающих цепей.
6. Пусть X — неприводимое аффинное многообразие, для кото-
которого К[Х]—область с однозначным разложением на множители,
например X = Ап. Доказать, что каждое замкнутое подмножество
У коразмерности 1 имеет вид^^) для некоторой функции /s/C[X].
(Рассмотреть сначала случай, когда множество У неприводимо.
Показать, что минимальные простые идеалы кольца К[Х] являются
главными.)
Замечания. В изложении этого параграфа мы следовали Мам-
форду [3, I, § 7].
§ 4. Морфизмы
В изучении линейных алгебраических групп два типа
морфизмов играют особо важную роль: гомоморфизмы
групп, которые одновременно должны быть морфизмами
многообразий, и канонические отображения G ~> G/H
(где на пространстве смежных классов должна быть за-
задана соответствующая структура многообразия, не обя-

60 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
зательно аффинного). В настоящем параграфе разви-
развивается аппарат для изучения этих и других морфизмов.
Доказательства существенным образом опираются на
рассмотрение размерности. Как и в § 3, обычно доста-
достаточно рассматривать неприводимые многообразия, ко-
которые часто (хотя и не всегда) можно предполагать
аффинными.
4.1. Слои морфизма. По определению слои морфизма
ф: X-+Y—это замкнутые множества вида ф-1(у) (У^
£У), (Если ф — гомоморфизм групп, то слои оказы-
оказываются смежными классами по подгруппе Кегф). Мы
хотим определить размерности слоев и, в частности, до-
доказать, что эти размерности «не слишком малы». Ко-
Конечно, множество ф (у) пусто, если у ф Im ф, что сле-
следует принимать во внимание в дальнейшем. Мы будем
изучать более общий случай множеств вида ф-1(^)» гДе
W — замкнутое неприводимое множество.
Обычно мы без колебаний заменяем У на замыкание
множества ф(^); это упрощает соотношения между раз-
размерностями. Если многообразие X неприводимо и мно-
множество у(Х) плотно в Y, то мы говорим, что ф — доми-
доминантный морфизм. Мы могли бы использовать этот тер-
термин и в случае, если многообразие X не является не-
неприводимым; однако мы предпочитаем сохранить тер-
термин «доминантный» для следующей более специфиче-
специфической ситуации: морфизм ф отображает каждую компо-
компоненту многообразия X на плотное подмножество некото-
некоторой компоненты многообразия У, и образ ф(^) плотен
в У. Даже если морфизм ф является доминантным, его
ограничение на неприводимую компоненту множества
Ф (W) (W— замкнутое неприводимое подмножество
многообразия У) не обязано, разумеется, быть доми-
доминантным, если его рассматривать как морфизм этой
компоненты в W. Но если это так, то мы говорим, что
рассматриваемая компонента доминирует W. Одно заме-
замечание: если ф: X-+Y— доминантный морфизм, X, У —
неприводимые многообразия, то коморфизм ф* индуци-
индуцирует вложение поля K(Y) в К(Х); в частности, dimX^
^ dim У.
Теорема. Пусть ф: X-*Y — доминантный морфизм
неприводимых многообразий, и пусть г = dim X—- dim У.
Пусть W — замкнутое неприводимое подмножество мно-

§ 4. МОРФИЗМЫ 61
гообразия У. Если Z — неприводимая компонента мно-
множества ф^), которая доминирует W, то dim Z ^
^ dim W -f г. В частности, если уефA), то размер-
размерность каждой компоненты множества <р~1(у) не менее г.
Доказательство. Если U — аффинное открытое под-
подмножество многообразия У, которое имеет общие точки
с W, то пересечение U (]W плотно в W. Для сравнения
размерностей мы могли бы, следовательно, заменить У
на U и X на открытое подмногообразие q>~l(U). Таким
образом, мы можем с самого начала предполагать, что
многообразие У аффинно.
Пусть 5 = codimy W. В соответствии со следствием
В из C.4) W есть компонента множества T(f\, ..., fs)
для подходящих функций // е K[Y]. Полагая gi =
= ф* (ft) е Ох (X), мы заключаем, что Z лежит в
^5(gb •••, gs). Так как множество Z неприводимо, то
оно лежит в некоторой компоненте Zo множества
•._1J_Jgs). Но, по предположению, W = ф(Z) и
cp(Z) с:ф(г0) aT(fu .-., М- Из того, что W —компо-
—компонента множества У°(/ь ..., /«), следует, что ф(Z) =
= ф(Zo) = W, откуда Zocz(p-l(W). Но Z — компонента
множества y~l(W), так что Z = Zo, т.е. Z — компонен-
компонента множества T{g\, ..., gs). Теперь в силу следствия Б
из C.4) мы имеем codim* Z ^.s. Отсюда вытекает
утверждение теоремы. □
Мы видим теперь, что (непустые) слои морфизма ф
в ситуации, описанной в теореме, не слишком малы.
Естественно далее спросить, могут ли они быть «слиш-
«слишком велики». Простой геометрический пример позволяет
проиллюстрировать возникающие здесь возможности:
определим морфизм ф: А2->А2 соотношением ф(х, {/) =
= (ху, у). Образ этого морфизма состоит из дополне-
дополнения к «я-оси» и из точки @,0). Это множество, как
легко видеть, плотно, так что морфизм ф является до-
доминантным (хотя и не сюръективным). Если U — глав-
главное открытое множество в А2, определенное условием
уф 0, то ф индуцирует биекцию из /У = ф-1(£/) на U,
которая оказывается даже изоморфизмом многообра-
многообразий. Но слой ф-1 @,0) является одномерным, так как
он состоит из всех точек вида (х, 0),

62 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Этот пример наводит на мысль о том, что нам сле-
следует искать открытое множество в У, все слои которого
имеют «правильную» размерность dimX — dim У. Но
если такое открытое множество существует, оно долж-
должно лежать в у(Х). Таким образом, изучение слоев мор-
физма ф приводит также к изучению его образа. В ка-
качестве подготовки к основной теореме D.3) мы кратко
рассмотрим один специальный тип морфизмов, которые
оказываются сюръективными.
4.2. Конечные морфизмы. Пусть y:X-*Y—морфизм
аффинных многообразий. Если кольцо К[Х\ является
целым над подкольцом ф*/С[У], то мы говорим, что
морфизм ф конечен. Заметим, что если X, У —неприво-
—неприводимые многообразия и если ф — доминантный морфизм,
то поле К(Х)—конечное алгебраическое расширение
поля ф*/С(У), так что dim X = dim У.
Пример морфизма, который не является конечным,
доставляет рассмотренный в конце D.1) морфизм
ф(х, у) = (ху, у). Здесь коморфизм ф*: /C[Si, S2] —>-
-+К[ТиТ2] инъективен и переводит Si в Т{Т2 и S2 в Г2.
Легко видеть, что, например, элемент Т{ не является це-
целым над К[Т\Т2, Т2]. Это также вытекает из следующего
результата: »
Предложение. Пусть ф: Х-*~ У — конечный доминант-
доминантный морфизм аффинных многообразий.
(а) Если множество Z замкнуто в Ху то множество
<p(Z) замкнуто в У и ограничение ф на Z является ко-
конечным морфизмом. В частности, морфизм ф сюръек-
тивен.
(б) Предположим, что X, У — неприводимые много-
многообразия и кольцо K[Y] целозамкнуто. Если W — замк-
замкнутое неприводимое подмножество многообразия У и
Z — любая компонента множества ф~!(^)» то q>(Z)=W.
Доказательство. Пусть R = K[X], S = K[Y]. По-
Поскольку морфизм ф является доминантным, коморфизм
Ф* инъективен. Допуская вольность в обозначениях, мы
рассматриваем S как подкольцо кольца R (которое, по
предположению, является целым расширением кольца
S). Если / — идеал кольца /?, то кольцо R/I можно есте-
естественным образом рассматривать как расширение коль-
кольца S/(S(]I). Ясно, что это'расширение также является
целым.

- § 4. МОРФИЗМЫ 63
(а) Пусть теперь Z = TA)—замкнутое множество
в X где 1 = &(Z). Тогда ф отображает Z в множество
нулей Z' идеала /' = / f| S, который является радикаль-
радикальным идеалом в S (и, следовательно, совпадает с &{!')).
Соответствующие аффинные алгебры есть R/I и
S/(S|V)> так что предыдущее замечание показывает,
что ф: Z-+Z' — снова конечный (и доминантный) мор-
морфизм. Достаточно теперь доказать, что любой конечный
доминантный морфизм сюръективен. Если j/ e F, то со-
соотношение ф(х) = у равносильно тому, что коморфизм
Ф* отображает локальное кольцо точки у в локальное
кольцо точки х, или что ф* отображает максимальный
идеал М' кольца S, состоящий из всех функций, равных
0 в точке у, в максимальный идеал М кольца R, состоя-
состоящий из всех функций, равных 0 в точке х. Чтобы убе-
убедиться в том, что морфизм ф сюръективен, мы должны,
следовательно, показать, что М' лежит в некотором мак-
максимальном идеале М кольца R (S все еще рассматри-
рассматривается как подкольцо кольца R). Но это следует из
теоремы о подъеме @.8), так как кольцо R цело над S.
(б) В соответствии с утверждением (а) ограничение
морфизма ф на Z снова является конечным морфизмом,
так что <p(Z)—замкнутое неприводимое множество.
Теперь достаточно показать, что dim Z = dim W. Если
1 = 3f(Z), I' = 3f(W), то /—минимальный простой
идеал кольца /?, для которого I(]SzdI\ В свою оче-
очередь из теоремы о спуске @.8) следует, что / П S = /'.
Но, как и раньше, кольцо R/I цело над S//', так что
соответствующее расширение полей частных является
алгебраическим и размерности совпадают. □
4.3. Образ морфизма. Лемма Нётер о нормализации
@7) означает, что конечно порожденная область над К
может быть построена в два шага: сначала чисто транс-
трансцендентное расширение, а затем целое расширение.
Чтобы иметь дело с парой неприводимых аффинных мно-
многообразий, связанных доминантным морфизмом ф: Х-+-
-+■ К, нам необходимо рассмотреть вариант этой леммы
Для пары колец.
Пусть S cz R — две конечно порожденные области
над /( с соответствующими полями частных Е a F. Обо-
Обозначим через R' локализацию кольца R относительно
мультипликативной системы 5* ненулевых элементов

64 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
кольца 5 @.10). Конечно, F— по-прежнему поле части
ных кольца R'. С другой стороны, кольцо /?' содержит
Бу и, следовательно, его можно рассматривать как ко-
конечно порожденную £-алгебру. Согласно лемме о нор-
нормализации кольцо /?' цело над подкольцом Е[хи ...;
•.., хг], для некоторых элементов xt e R', которые алге-«
браически независимы над Е. Ясно, что Xi можно вы-i
брать из R (так как все возникающие здесь знаменате-
знаменатели принадлежат Е). Ясно также, что г —- tr. deg£ F.
Сравним теперь целое расширение Е[х\, ..., xr]c^R'
с расширением S[x\, ..., xr]czR. Последнее не обяза-
обязательно является целым. Но кольцо R конечно порожде-
порождено над S, и каждая образующая кольца R удовлетво-
удовлетворяет полиномиальному уравнению над Е[хи ..., хг] Щ
старшим коэффициентом 1. Выбирая подходящий общий
знаменатель fsS, мы можем, следовательно, гаранти-
гарантировать, что кольцо Rf цело над подкольцом Sf[xu ..л
..., хг] (Rf и Sf — кольца частных, полученные в pe-i
зультате допущения в знаменателях степеней элемента]
/). Это будет использовано в доказательстве следующей!
ключевой теоремы.
Теорема. Пусть ср: X-+Y — доминантный морфизм
неприводимых многообразий, r=dimX — dim У. Тогдал
(а) Y содержит непустое открытое подмножество U
такое, что U с ц>(Х);
(б) если все локальные кольца точек многообразия
Y целозамкнуты, то мы можем выбрать множество U
в утверждении (а) обладающим следующим свойством:.
если W cz Y — неприводимое замкнутое множество, ко-\
торое имеет нетривиальное пересечение с U, и если Z —
компонента множества ф-1(^)» которая пересекается
cq>~l(U), то dimZ = dim № + г.
Доказательство. Как в доказательстве теоремы 4.1,
мы можем заменить У аффинным открытым подмноже-
подмножеством. Мы можем также предполагать, что многообра-
многообразие X аффинно: если бы мы нашли открытые подмно-
подмножества Ui cz У, обладающие указанными в теореме
свойствами, для каждого из ограничений морфизма ($
на конечное число аффинных открытых множеств Хц
покрывающих X, то множество U= П ^ь очевидно^
удовлетворяло бы условиям (а) и (б). 1

§ 4. МОРФТ-ПМЫ 65
Пусть R — К[Х], S — K[Y]; рассмотрим 5 как под-
кольцо кольца R (вложение осуществляется при помощи
коморфизма ф*) и описанным выше способом найдем
элементы х\, •..» xr e R, feS такие, что кольцо Rf
цело над подкольцом Sf[x\, ..., хг]; последнее изоморф-
изоморфно кольцу полиномов над Sf. Кольца Rfy Sf — аффинные
алгебры главных открытых множеств Xf, Yf соответст-
соответственно A.5); таким образом, кольцо Sf[x\, ..., хг] моле-
молено рассматривать как аффинную алгебру многообразия
Yf X Аг. Ограничение морфизма ср на Xf представимо
в виде произведения морфизмов Xf—
где if — конечный (и доминантный) морфизм. Положим
U = Yf и заметим, что q>-l(U) = Xf.
Согласно предложению 4.2 морфизм if сюръективен;
ясно также, что и морфизм рт\ сюръективен. Следова-
Следовательно, множество U лежит в ф(Х), что доказывает (а).
Для доказательства (б) положим также X = Xfy U =
= Y =Yf и, как и выше, рассмотрим разложение ср =
= рПог|з, где if — конечный морфизм. Из предположе-
предположения о локальных кольцах следует, что кольцо K[Y] =
= Sf целозамкнуто B.1); поэтому кольцо Sf[xu ..., хг]
также целозамкнуто @.6). Если W — замкнутое непри-
неприводимое подмножество многообразия У и Z — любая
компонента множества ф-1 (W), то Z — компонента множе-
множества ifH(WXAr) и, следовательно, отображается на
W X Аг, причем dim Z = dim if (Z) = dim W + r D.2)
F). □
В (б) было бы достаточно предполагать, что локаль-
локальные кольца целозамкнуты лишь для точек из некото-
некоторого непустого открытого подмножества; на самом деле
это условие выполняется автоматически, см. E.2), E.3).
В B1.1) будет использовано утверждение, содержа-
содержащееся в предыдущем рассуждении при г = 0:
Следствие (доказательства). Пусть <р: Х-> Y — биек-
биективный морфизм неприводимых многообразий. Тогда
dim X = dim У и существуют аффинные открытые под-
подмножества U а X, V czY такие, что ф (£/)<= V и ограни-
ограничение ф| U есть конечный морфизм. П
4.4. Конструктивные множества. Чтобы охарактери-
охарактеризовать образ произвольного морфизма, можно воспользо-
воспользоваться утверждением (а) теоремы 4.3. Напомним, что

66 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
подмножество топологического пространства X назы-
называется локально замкнутым, если оно — пересечение от-
открытого и замкнутого множеств. Конечное объединение
локально замкнутых множеств назовем конструктивным
множеством. (Конструктивные множества образуют наи-
наименьшую совокупность подмножеств пространства X, со-
содержащую все открытые и все замкнутые множества и
полную относительно булевых операций, см. упражне-
упражнение 3.) Заметим, что конструктивное подмножество мно-
многообразия содержит плотное открытое подмножество
своего замыкания. Следующий весьма полезный резуль-
результат принадлежит Шевалле.
Теорема. Пдсть ср: X -> У—морфизм многообразий.
Тогда ср отображает конструктивные множества в кон-
конструктивные; в частности множество ср(Х) конструк-
конструктивно.
Доказательство. Локально замкнутое подмножество
многообразия само является многообразием; очевидно
поэтому, что достаточно доказать конструктивность мно-
множества ф(^). В свою очередь мы можем предполагать,
что многообразия X, У неприводимы. Воспользуемся ин-
индукцией по dim У; если dim У = О, то доказывать нече-
нечего. Ввиду предположения индукции нам достаточно рас-
рассмотреть только случай доминантного морфизма ср.
Выберем открытое подмножество U многообразия У,
содержащееся в ц>(Х) в соответствии с теоремой 4.3 (а).
Тогда неприводимые компоненты W\, .. ., Wt многооб-
многообразия У — U имеют меньшую размерность, чем размер-
размерность У (предложение 3.2). Ограничения морфизма ср
на различные компоненты 1ц множества q)~l(Wi) имеют
образы, конструктивные в Wi (по предположению ин-
индукции) и, следовательно, также конструктивные в У.
Значит, множество ц>(Х) конструктивно, как объедине-
объединение множества U и конечного числа множеств <p(Zi/). □
Эта теорема будет многократно использоваться. Дру-
Другой факт, основанный на подобной индукции, понадо-
понадобится в одном из последующих рассуждений E.2). Он
называется «полунепрерывностью размерности сверху».
Предложение. Пусть ср: X—*У— доминантный мор-
морфизм неприводимых многообразий. При х ge X пусть
в!{(х) обозначает максимальную размерность любой ком-
компоненты множества Ф~ЧфМ)> содержащей точку х.

§ 4. МОРФИЗМЬТ 67
Тогда для всех /igZ+ множество {х^Х\г^(х) ^ п)
замкнуто в X.
Доказательство. Используем индукцию по dim У. Вы-
Выберем множество иац)(Х), как в теореме 4.3, и пусть
r = dimX — dim У, Еп(ц)) = {х (= Х\е(9(х) ^ п). Из тео-
теоремы 4.1 следует, что еф(л;)^ г, так что множество
Еп(ц)) = Х замкнуто, если п^г. С другой стороны, тео-
теорема 4.3 показывает, что Еп(<р)аХ— qH^) всякий
раз, когда я > г. Пусть W\, ..., Wt — неприводимые
компоненты множества У—U и Zij— различные ком-
компоненты множества <p~l(Wi), и Ц)ц: Zij-*Wi — ограни-
ограничение морфизма ф. Так как dim Wi <C dim У, то, соглас-
согласно предположению индукции, множество £я(ф'/) замк-
замкнуто в Zij (и, следовательно, в X). Но при п> г мы
имеем £п(ф)== U/,/£я(фг/)—конечное объединение замк-
замкнутых множеств. П
4.5. Открытые морфизмы. Пример в конце п. D.1)
показывает, что образ открытого множества относитель-
относительно морфизма ф: X-+Y не всегда является открытым
множеством. В этом прослеживается тот факт, что не
все компоненты множества q>~l(W), где W—неприводи-
W—неприводимое замкнутое множество, обязаны иметь одну и ту же
размерность. Такое явление по существу может возник-
возникнуть лишь на дополнении к некоторому открытому мно-
множеству в У ввиду теоремы 4.3 (б); таким образом, в
достаточно «однородной» ситуации будут выполнены
предположения следующей теоремы.
Теорема. Пусть ср: X-+Y—доминантный морфизм
неприводимых многообразий, r = d\mX — dim У. Пред-
Предположим, что для каждого замкнутого неприводимого
подмножества W a Y все неприводимые компоненты
множеств (p~l(W) имеют размерность г + dim W. Тогда
морфизм ф отображает открытые множества в откры-
открытые.
Доказательство. Из предположений теоремы следует,
в частности, что морфизм ф сюръективен и что все не-
неприводимые компоненты множества ф-1(\^) домини-
доминируют W.
Пусть xgI, и пусть U — любая открытая окрест-
окрестность точки х. Мы должны показать, что точка q>(x) = y
лежит во внутренней части множества q>(U)= V. Пред-
Предположим противное. Тогда у лежит в замыкании мно*

68 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
жества У— V. Поскольку множество V конструктивно
(теорема 4.4), то и множество У — V конструктивно. Та-
Таким образом, точка у лежит в замыкании С некоторого
локально замкнутого множества О П С, содержащегося
в У— V (здесь О открыто в У, и мы можем предпола-
предполагать, что С неприводимо, так что множество Of\C плот-
плотно в С). По предположению, неприводимые компоненты
множества С'=ф~1(С) имеют одинаковые размерности,
и каждая из них доминирует С. Таким образом, множе-
множество О' = ф-1(О) имеет общие точки с каждой такой
компонентой; следовательно, множество О' П С' плотно
в С'. Но множество О' П С" = <р-1(О[) С) лежит в замк-
замкнутом множестве X—U, откуда следует, что С'а X —
— U. Это противоречит тому, что х^С'. □
Эта теорема применяется в § 12 к каноническому ото-
отображению G -> G/Я, где G — линейная алгебраическая
группа и Я — замкнутая подгруппа (однородное прост-
пространство наделено соответствующей структурой многооб-
многообразия).
4.6. Биективные морфизмы. Если морфизм биективен,
то в поведении его слоев или образа нет ничего загадоч-
загадочного. Но его топологическое поведение и действие соот-
соответствующего коморфизма на функции может быть весь-
весьма прихотливо. Здесь мы коснемся главным образом
последнего. Отображение Фробениуса А1->А1, х-*хр
(где charK = p>0) иллюстрирует, насколько несепа-
несепарабельность может усложнить вопрос. (Но даже в ха-
характеристике 0 мы не можем утверждать, что биектив-
биективный морфизм является изоморфизмом, см. упражнение 5.)
Следующая теорема имеет важное техническое значе-
значение при изучении однородных пространств в главе 5.
Теорема. Пусть ср: X-*Y — доминантный инъектив-
ный морфизм неприводимых многообразий. Тогда К(Х) —
конечное чисто несепарабельное расширение поля
<p*K(Y).
Доказательство. Так как ф — доминантный морфизм,
то коморфизм ф* инъективен, и мы можем отождествить
поле K(Y) с ф*/С(У). Согласно теореме 4.3 dim^f —
= dim У. Следовательно, К(Х) — конечно порожденное
алгебраическое расширение поля К (У), т.е. конечное
расширение.

§ 4. МОРФИЗМЫ 69
Поля функций не изменятся, если мы заменим мно-
многообразия X, У на непустые открытые подмножества.
Для начала рассмотрим сепарабельное замыкание F по-
поля K(Y) в К(Х) (т.е. множество всех элементов поля
К(Х), которые сепарабельны над К (У)). Будучи конеч-
конечно порожденным расширением поля /С, поле F может
быть рассматриваемо как поле функций некоторого
многообразия Z. Тогда замечания в п. B.3) позволяют
нам разложить ф в композицию двух (инъективных)
морфизмов X-+Z, Z-+Y после замены Ху Z, У подходя-
подходящими открытыми множествами. Теперь достаточно до-
доказать, что морфизм Z-^Y бирационален, т.е. теорему
достаточно доказать в случае, когда расширение
K(X)/K(Y) сепарабельно.
Пусть п= [К(Х): K(Y)]. Чтобы показать, что п= 1,
мы будем искать некоторую точку j/еУ, слой ф-1 (у)
над которой имеет мощность не менее п.
Теорема о примитивном элементе позволяет нам вы-
выбрать одну образующую f поля К(Х) над K(Y), мини-
п — 1
мальный полином которой имеет вид р (Т) = Тп + £ ё{Гь
gt^K(Y)). Ввиду сепарабельности этого расширения
(функция / не является корнем полинома р'{Т). Теперь
многообразия X, Y можно заменить на такие открытые
подмножества, чтобы рациональные функции f, gi (т. е.
y*gi) были всюду определены на X. Мы можем также
предполагать, что многообразие У аффинно, и gi e S =
= /С[У]. Тогда элемент f является целым над кольцом
S, так что кольцо R = S [/] цело над S. Если U — аф-
аффинное открытое множество в X, то ф* индуцирует вклю-
включения S cz R d K[U]. Кольцо R само по себе является
аффинной алгеброй, так что оно соответствует некото-
некоторому аффинному многообразию Х\ и факторизация ко-
морфизма ф* соответствует факторизации U -»- X' -> У.
Но K(U) = K(X), в то время как поле частных кольца
R есть K(Y) (/) = /((X). Таким образом, достаточно до-
доказать, что конечный морфизм if: X'-+Y бирациона-
бирационален. В отличие от ф, этот морфизм может не быть инъек-
тивным. Но его ограничение на некоторое непустое от-
открытое множество будет таковым: образ множества U
в X' содержит плотное открытое подмножество V D.3),

70 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
и после удаления из него его пересечения с собственным
замкнутым подмножеством i|H (if (Xf — Uf)) останутся
лишь слои, состоящие из отдельных точек. В свою оче-
очередь образ этого открытого множества в У содержит
некоторое плотное открытое подмножество У.
Рассмотрим теперь слой ty~~l(y), у^ Y. Точка у со-
соответствует гомоморфизму /(-алгебр гу: S —>■ К, тогда
как различные точки хе i|H (у) соответствуют гомомор-
гомоморфизмам гх: R-+K, которые продолжают гу. Целость
кольца R над S уже обеспечивает по меньшей мере одно
продолжение гомоморфизма гу (см. D.2)); однако нам
необходим более точный результат — получение п раз-
различных продолжений.
Так как f — корень полинома р{Т), то f(x) —корень
полинома ре(Т), полученного применением гомоморфиз-
гомоморфизма 8 = гу к каждому коэффициенту. Мы утверждаем,
что при подходящем выборе точки у полином /?е(Г)
имеет п различных корней (т. е. он является сепарабель-
ным полиномом над К). Для этого мы рассмотрим его
производную. Из сепарабельности р(Т) над полем К (У)
следует, что р' (f) ф 0. Так как элемент f является це-
целым над S, то и элемент /?'(/) цел над S; таким обра-
образом, имеется . полином q (Г) = Tm + H htTl (At-eS), кор-
корнем которого является р'(Т) (и мы можем предпола-
предполагать, что h0 ф 0, ибо р'(ПФО). Выберем точку y^V,
для которой Ио(у)ФО. Если гр(х) = £/, то, ввиду выбора
точки у, р/(()(х)Ф0; значит, f(x) не может быть кор-
корнем полинома pi(T). Это доказывает наше утверждение
о том, что полином Ре(Т) сепарабелен над К при е=гу.
Для каждого из п корней а полинома рг(Т) мы те-
теперь найдем точку x^ty~l(y) такую, что f(x)=a> что
и завершит доказательство. Задача состоит в том, что-
чтобы продолжить 8 до гомоморфизма е': i?->/(, для кото-
которого e"(f) = a. По теореме о стандартном продолжении
@.8) это можно сделать при условии, что для каждого
полинома h(T)^S[T] условие h(f) — O влечет he(a) =
= 0. Но р(Т) —минимальный полином элемента f над
/((У), так что условие А@=0 влечет h(T)=p(T)k(T)
\(k(T) — некоторый полином над К (У) и, следовательно,
над S, так как старший коэффициент полинома р(Т)
равен 1 и оба полинома h(Г), р(Т) лежат в S[T]). Из

§ 4. МОРФИЗМЫ 71
соотношения ре(а)=0 мы получаем /iB(a) = O, что и
требовалось. □
4.7. Бирациональные морфизмы. Бирациональный мор-
физм не обязан быть изоморфизмом (см. А1 -*• Р1 или
пример в конце D.1)); но все же он не слишком далек
от изоморфизма.
Предложение. Пусть qr. X-+Y— бирациональный
морфизм неприводимых многообразий. Тогда существует
непустое открытое множество U a Y такое, что ф инду-
индуцирует изоморфизм множества q)~l(U) на U.
Доказательство. Не теряя общности, мы можем пред-
предполагать, что многообразие У аффинно; положим S =
= K[Y]. Пусть V а X — любое аффинное открытое
множество и R = K\V]. Рассмотрим множество W =
= ц)(Х—У), все неприводимые компоненты которого
имеют размерность меньшую, чем У (так как компонен-
компоненты множества X — V имеют меньшую размерность, чем
X, и dim X — dim У). Так как- W — собственное замкну-
замкнутое подмножество многообразия У, то можем найти
функцию 0 ф f e S такую, что f обращается в нуль на
W, откулг q>~l(Yf)~ Xq>*faV. Заменяя У на Yf и X на
Xq>*f, мы, следовательно, можем предположить, что оба
многообразия X и У аффинны, и R, S — соответствую-
соответствующие им аффинные алгебры. По предположению, комор-
физм ср* отображает поле частных кольца 5 изоморфно
на поле частных кольца R. Пусть fi, ..., fn порождают
кольцо R над /С, где fi = cp*g//<p*ft (gi, h e 5). Ясно, что
Ф* отображает кольцо частных 5^ на /?ф*/г изоморфно.
Поэтому мы можем выбрать U = У/г. G
Упражнения
1. Все слои конечного морфизма ср: Х->У, где X, Y — аффинные
многообразия, конечны.
2. Указать подмножество пространства А2, которое конструк-
конструктивно, но не локально замкнуто.
3. Конструктивные подмножества топологического пространства
X образуют булеву алгебру, порожденную открытыми (или замк-
замкнутыми) подмножествами пространства X, т. е. наименьшую сово-
совокупность множеств, содержащую все открытые множества, и замкну-
замкнутую относительно взятия конечных объединений и дополнений.
4. Для примера в D.1) проверить непосредственно предложе-
предложение 4.4 путем нахождения множеств Еп{ц>).
5. Определим морфизм ф: А1 ->- А2 соотношением ср(х) = (х2, х3).
Проверить, что множество л = Im ср замкнуто в А2 и что морфизм

72 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ф: А1 -»- X биективен, бинепрерывен и бирациояален, но не является
изоморфизмом.
Замечания. Пункты D.1) — D.4) основаны на изложении Мам-
форда [3, I, § 8] Доказательство теоремы 4.5, по существу, заимст-
заимствовано у' Шевалле [10, V, Prop. 3]; несколько более специальный
критерий открытости, который соответствует тому, что будет нам
необходимо в § 12, имеется у Стейнберга [13, дополнение к 2.11].
Доказательство теоремы 4.6 заимствовано у Шевалле [10, II, V,
Prop. 1 и Corollary].
§ 5. Касательные пространства
Касательная к кривой в данной точке представляет
собой хорошую локальную аппроксимацию, коль скоро
она однозначно определена, т. е. когда рассматриваемая
точка не является двойной точкой, точкой возврата или
другой особенностью. В этом разделе мы развиваем
чисто алгебраическое понятие касательного простран-
пространства к многообразию в данной точке, которое в случае
алгебраической группы, как мы увидим в § 9, снабжено
дополнительно структурой алгебры Ли. Идея заключа-
заключается в том, чтобы линеаризовывать задачи и тем самым
упрощать их. Для наших целей будет достаточно рас-
рассматривать те точки, которые лежат только на одной
неприводимой компоненте многообразия. Поэтому мы
предполагаем, если не оговорено противное, что все мно-
многообразия неприводимы.
5.1. Касательное пространство Зарисского. Прежде
всего мы попытаемся сформулировать геометрически
идею «касательного пространства к многообразию X
в точке х». Если бы X было кривой в А2, определенной
одним уравнением f{TuT2) = 0, то мы могли бы описать
касательное пространство в точке х = (х\, х2) как мно-
множество решений линейного уравнения -^ (х) G\ — х\) +
j_ _^L (х) (^ — лг2)=0. Это множество представляет собой
прямую, проходящую через точку х, если только обе
частные производные не обращаются в 0 в точке х.
Рассуждая аналогично, предположим, что X а Ап —
многообразие, определенное полиномами f{Tu ..., Тп).
п
Положим dxf = Yjir ^ (Г' ~Xi)- Обозначим тепеРьче"

§ 5. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 73
рез Тап(Х)* линейное многообразие в А", образованное
всеми точками, в которых обращаются в 0 все функции
dxf, когда f(T) пробегает идеал 3(Х). Легко видеть, что
для любого конечного множества образующих идеала
3'(X) соответствующие функции dxf порождают идеал
функций многообразия Tan(X)* (упражнение 1); таким
образом, это геометрическое касательное пространство
в некоторых случаях может быть точно вычислено. За-
Заметим, что касательное пространство к линейному мно-
многообразию (такому, как само А") есть в точности это
же самое многообразие.
Если X — произвольное многообразие (не обязатель-
обязательно аффинное), то мы могли бы выбрать некоторое вло-
вложение в Ап для открытой аффинной окрестности точки
хеЬ затем определить Tan(J)x, как и выше. Однако
эта процедура зависит от сделанного выбора. Вместо
нее мы рассмотрим алгебраическое описание касатель-
касательного пространства при помощи локального кольца 0Х,
Предположим сначала, что многообразие X cz \n
аффинно, и пусть М = £У(Х)—максимальный идеал
кольца R = К[Х], обращающийся в 0 в точке х. Так
как факторкольцо R/M отождествляется с /С, то R/M-
модуль М/М2 есть векторное пространство над К (ко-
(конечномерное, так как М — конечно порожденный /?-мо-
дуль). Заметим, что dxf для произвольной функции
f(T) e К[Т] может рассматриваться как линейная функ-
функция на А" (с «началом координат» в точке х) и, следо-
следовательно, как линейная функция на векторном подпро-
подпространстве Tan(X)* пространства Ап. Так как все функ-
функции dxf (f(T)&&(X))9 по определению, обращаются в О
на Tan(X)*, то dxf однозначно зависит от образа функ-
функции f(T) в кольце R = К[Т]/3(Х). Следовательно, мы
можем писать dxf при / е R. Очевидно, что таким обра-
образом dx становится /(-линейным отображением из R в ду-
дуальное пространство (Тап(Х)х)*. Оно сюръективно, ибо
линейная функция g на Тгп(Х)х есть ограничение ли-
линейной функции на Ап (начало координат — в точке х),
задаваемой линейным полиномом f{T), для которого
функция dxf есть данная функция g.
Так как R = К + М (прямая сумма векторных про-
пространств), и так как dx от константы есть 0, то мы мо-
можем также рассматривать dx как отображение из М на

74 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
двойственное пространство пространства Тап(Х)х. Мы
утверждаем, что Ker dx = М2. Предположим, что функ-
функция dxf (f^M) обращается в 0 на Тап(Х)л; и / — образ
некоторой непостоянной функции f(T) ^К[Т]. По по-
построению dxf = Yuaidxfi Для некоторых щ е /С, fi(T)s
<=3f(X). Полагая g(T) = f(T) — Z^/ЛП, мы видим, что
функция d*g обращается в нуль на всем многообразии
АЛ, т.е. есть тождественный нуль. Так как f(T) непо-
непостоянна, мы можем предполагать, что и g{T) непостоян-
непостоянна. Тогда g(T) не должна содержать линейных членов,
т-е- ё(Т) принадлежит квадрату идеала (Ти ..., Тп)-
Образ этого идеала в R есть М, и g(T) имеет тот же
образ / в /?, что и /(Г); отсюда мы заключаем, что /е
^ М2, что и утверждалось.
Этого отождествления касательного пространства
Тап^)* с двойственным пространством (М/М2)* еще
недостаточно для введения понятия касательного прост-
пространства внутренним образом. Но легко перейти к ло-
локальному кольцу (Ох, Шх): так как Ох = Rm, tnx =
= MRm, то имеется канонический изоморфизм R/M-mo-
дуля М/М2 на (Ух/тх-молуль тх/т2х> индуцированный
включением R-^Rm @.10). Следовательно, мы можем
избежать вложения многообразия X в Ап и определить
касательное пространство 0Г(Х)Х многообразия X в точ-
точке х как дуальное векторное пространство (тх/т2ху над
полем К — Ox/nix. Это определение имеет смысл, если
X — произвольное неприводимое многообразие (и даже
если X приводимо, при условии, что мы позаботимся об
определении кольца Ох для этого случая). Мы будем
использовать буквы х, у, z ... для обозначения элемен-
элементов пространства Т (Х)х.
В некоторых случаях полезен несколько другой
взгляд на касательное пространство. Определим диффе-
дифференцирование в точке х как отображение б: О х-* К,
которое ведет себя подобно /(-дифференцированию
кольца Ох с последующим вычислением значения в точ-
точке х; иначе говоря, б есть /(-линейное отображение, удов-
удовлетворяющее условию

§ 5. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 75
Ясно, что дифференцирования в точке х кольца Ох об-
образуют векторное пространство над К, которое мы обо-
обозначим через 3)х. Мы утверждаем, что 2DX естественным
образом изоморфно £Г(Х)Х. В самом деле, если f<=Ox—
константа или элемент из ml, то соотношение (*) пока-
показывает, что 6(/) = 0 при 8^2)х. Следовательно, б пол-
полностью определяется своим действием на тх или инду-
индуцированным действием на тх/т\. .Это доставляет вло-
вложение 3)х в 2Г(Х)Х. С другой стороны, /(-линейное
отображение тх/тх->К B композиции с mx->mxjmx
определяет /(-линейное отображение тх-+К, которое
можно расширить на кольцо 0Х = К + тх, отображая
константы в 0. Для него легко проверить соотноше-
соотношение (*).
Таким образом, имеется несколько возможностей
представлять себе касательное пространство. Например,
касательное пространство многообразия Ап (или Рп) в
точке х геометрически есть в точности А", рассматривае-
рассматриваемое как векторное пространство с началом координат
в точке х; алгебраически касательное пространство есть
множество дифференцирований 2J а{ -~r- {x) в точке х
локального кольца точки х в К{Т\, ..., Тп).
Если X — объединение непересекающихся неприво-
неприводимых компонент, или если х лежит только на одной
компоненте К, то мы можем определить 2Г(Х)Х как
&~(Y)x. (Или же мы можем использовать дуальное про-
пространство (tnx/mxy для соответствующим образом опре-
определенного локального кольца Ох в общем случае.)
При образовании произведения касательное прост-
пространство ведет себя так, как этого следует ожидать.
Предложение. Пусть X, Y—(неприводимые) много-
многообразия, x<=X,.y<==Y. Тогда 0~{ХХ Y){x, У) ^ 2Г(Х)Х ф
()
(
Доказательство. Это очевидно, если мы используем
геометрическое описание касательного пространства.
В алгебраических терминах это утверждение следует из
того факта, что О(Х, у) — локализация кольца Ох ® Оу
относительно максимального идеала пгх ® Оу + Ох (§)
<2)гпу (см. предложение 2.4). □
5.2. Существование простых точек. В случае кривой
в аффинном пространстве касательное пространство в

76 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
«несингулярной» точке имеет размерность 1, в то время
как в «сингулярной» точке эта размерность может воз-
возрасти. Мы вскоре увидим, что dim 2Г(Х)Х^ dim X для
любого многообразия. Если имеет место равенство, то х
называется простой точкой многообразия X. Если же
все точки являются простыми, то многообразие X назы-
называется гладким (или неособым).
Из этого определения ясно, что \п и Рп — гладкие
многообразия. Из предложения 5.1 следует, что произ-
произведение гладких многообразий — снова гладкое много-
многообразие (см. предложение 3.1). Не вполне очевидно,
однако, что произвольное многообразие вообще обла-
обладает простыми точками. Рассмотрим частный случай не-
неприводимой гиперповерхности X в А", где У(Х) —
идеал, порожденный одним неприводимым полиномом
f(Ti, ..., Тп). Если х = (#i, ..., ^)gI, to вычисление
в E.1) показывает, что Tan(X)*— множество нулей ли-
п
нейного полинома ^ -^г (х) (Tt — xt). Так как dimX =
= п— 1, то х не будет простой точкой, если этот поли-
полином обращается в 0 на А", т. е. если все частные произ-
производные -jpjr обращаются в 0 в точке х (ив этом случае
dim Tan (Х)х =п). Если char К = 0, то это последнее
условие не может иметь места для каждой точки x£l,
так как в противном случае полином f(T) был бы кон-
константой. То же самое справедливо, если char К = р > 0:
если все -^г- обращаются в 0 на X, то все степени пе-
переменных Ti в /(Г) должны быть кратны /?, так что
f(T)=g(T)p для некоторого полинома g(T)y вопреки
неприводимости /. Следовательно, и в этом случае мно-
многообразие X имеет простые точки. В действительности
проведенное рассуждение показывает, что они образуют
(плотное) открытое множество. Используя это, мы до-
докажем следующий общий результат.
Теорема. Пусть X — любое (неприводимое) многооб-
многообразие. Тогда dimiTXJ)* ^ dimZ для всех х<=Х,
причем равенство имеет место для всех точек х из неко-
некоторого плотного открытого подмножества.

§ 5. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 77
Доказательство. К{Х) есть сепарабельно порожденное
расширение поля К @.14), т.е. К(Х)—сепарабельное
алгебраическое расширение подполя L=K{t\> ..., td),
которое в свою очередь есть чисто трансцендентное рас-
расширение поля К (d = d\mX). Теорема о примитивном
элементе позволяет нам найти одну образующую t0 рас-
расширения K(X)/L. Пусть f(To)^L(To)—ее минималь-
минимальный полином. Он задает рациональную функцию
f(T0; Tu ..., Td) ^K(TOy Ти ..., Td), определенную на
аффинном открытом подмножестве пространства Ad+\
причем множество ее нулей У представляет собой ги-
гиперповерхность с полем функций K(Y), изоморфным
К(Х). Из замечаний в B.3) и предложения 4.7 следует,
что некоторые непустые открытые множества в X и У
изоморфны. Точки #е У, для которых dimT{Y)y =
= dim У = d, образуют плотное открытое подмножест-
подмножество в У, так что, в частности, 3~{Х)Х = dim X = d для
всех х из некоторого плотного открытого подмножества
многообразия X.
Теперь мы применим свойство «непрерывности раз-
размерности сверху» (предложение 4.4), чтобы получить ин-
информацию о ?Г(Х)х для произвольной точки ^gI
1десь достаточно предполагать, что X — аффинная от-
открытая окрестность точки х. Таким образом, рассмот-
рассмотрим X как замкнутое подмножество некоторого прост-
пространства Ап и рассмотрим все касательные пространства
как линейные подмногообразия в Ап. Пары (x,j/)gXX
X А", для которых у е Tan (X)x, как легко видеть, об-
образуют замкнутое подмножество Т этого произведения.
Проекция на первый множитель определяет морфизм ср:
Т-+Ху слой которого ф^) имеет ту же размерность,
что и 0~{Х)Х. Для каждого m множество Хт = {х е
е X\d[mST(X)x ^ т} замкнуто в X D.4). Но, как мы
видели выше, множество Xd плотно в X, так что Xd =
= Х. □
5.3. Локальное кольцо простой точки. Неравенство
dim Т(Х)Х ^ dimX E.2) можно интерпретировать как
утверждение, что для определения точки х требуется не
менее чем dimX «локальных параметров». Чтобы при-
придать этой идее точный смысл, нам необходима следую-
следующая лемма.

78 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Лемма. Пусть R — нётерово локальное кольцо с един-
единственным максимальным идеалом М. Тогда М порож-
порождается как R-модуль элементами f\, ..., fn в том и толь-
только в том случае, когда М/М2 порождается как R/M-mo-
дуль образами элементов /ь ..., /я.
Доказательство. В одну сторону это очевидно. По-
Поэтому пусть образы элементов ft порождают М/М2, и
пусть N есть /?-подмодуль модуля М, порожденный
/ь • • •» /я. Тогда конечно порожденный /?-модуль M/N
удовлетворяет соотношению M(M/N) = M/N. Согласно
лемме Накаямы @.11) M/N = 0, т. е. М = N. □
В частности, минимальное число образующих п идеа-
идеала гпх совпадает с размерностью векторного простран-
пространства tnxjm2x или его двойственного пространства °Г{Х)Х.
Каково значение этого факта, если х — простая точка,
так что п = dim X?
Для (нётерова) локального кольца (R, М) размер-
размерность Крулля кольца R определяется как наибольшая
длина k цепи 0 фР\ фРч ф • • • ф М = Pk простых
идеалов. В случае кольца Ох мы видим, что размерность
Крулля в точности равна dim X. В самом деле, мы мо-
можем предполагать, что многообразие X аффинно,такчто
&х = К[Х]9{х), где 2((х)—максимальный идеал кольца
/С[Х]; из теоремы о размерности (см. упражнение 3.4)
следует, что dim X есть длина максимальной цепи раз-
различных простых идеалов между 0 и J(x). Но простые
идеалы кольца ^[^], содержащиеся в Sf(x), взаимно
однозначно соответствуют простым идеалам кольца Ох.
Локальное кольцо (/?, М) называется регулярным,
если его размерность Крулля совпадает с минимальным
числом образующих идеала М (которая, согласно лем-
лемме, равна также dimR/M М/М2). Регулярное локальное
кольцо является областью целостности и целозамкнуто
(в своем поле частных); см. @.12). Следовательно, про-
проведенным рассуждением установлена
Теорема А. Пусть х^Х—простая точка на (непри-
(неприводимом) многообразии X. Тогда Ох — регулярное ло-
локальное кольцо, и, следовательно, оно целозамкнуто (в
своем поле частных К(Х)). □
Затратив несколько больше труда, можно показать,
что регулярное локальное кольцо является даже

§ 5. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 79
областью с однозначным разложением на множители.
Нам это потребуется только при условии, что dimX=l,
а в этом случае легко дать непосредственное доказа-
доказательство (упражнение 2).
Тот факт, что локальное кольцо простой точки цело-
замкнуто, позволит нам применить следующий резуль-
результат к изучению однородных пространств A2.3).
Теорема Б. Пусть X — неприводимое многообразие,
хеХ — точка, локальное кольцо которой 0Х целозамк-
нутоу f<=K(X)—функция, не принадлежащая Ох. Тогда
существует подмногообразие Y многообразия Ху содер-
жащее точку ху такое, что /' = 1/f ^0y для некоторой
точки у е У, причем /' принимает значение 0 на У всю-
всюду, где она определена.
Доказательство. Пусть R = Ох. Тогда / = {g e R \ gf e
е /?} — собственный идеал кольца R (так как, по пред-
предположению, f9=/?), и, следовательно, / содержится в пгх.
Пусть Р = Р{, Р2, ..., Pt — различные минимальные со-
содержащие / простые идеалы кольца R (они содержатся
в тх), см. @.13). Для достаточно большого п мы имеем
РпР\ ... Р? с /. При i > 1 ясно, что Pi порождает в
локальном кольце RpCiK(X) идеал, совпадающий с /?р,
так что PnRp a IRp. В частности, так как // с: /?, то
Pnf с: (If)Rp a Rp. Выберем k ^ 0 насколько возможно
малым, чтобы выполнялось соотношение PkfczRP (тогда
/г>0), и пусть g€=Pk~lf, g^Rp (тогда PgczRP).
По предположению кольцо R целозамкнуто; поэтому
кольцо Rp целозамкнуто @.10). Так как g ф Rp, to эле-
элемент g не может быть целым над Rp. Из @.6) следует,
что умножение на g не может оставлять инвариант-
инвариантным конечно порожденный Rp-модуль PRpy т. е.
PRpg qt PRp (хотя PgcZiRp). Другими словами, Pg по-
порождает идеал, совпадающий с Rp, и, следовательно,
содержит обратимый элемент из Rp. Поэтому \/g&
е PRP и в действительности PRP = (l/g)RP.
Теперь h = f/gk e fPkRp cz Rp (ввиду выбора k). За-
Заметим, что h — обратимый элемент кольца Rp; в про-
противном случае h <= PRp =s:(l/g)Rp, или f/gk~l e /?p, что
противоречит выбору А. Таким образом, l/f =
= h~l(l/gk) e Pi?p. Если У — множество пулей идеала
Р (т. е. прообряза Р в аффинной алгебре некоторого
аффинного открытого подмножества в Х} содержащего

80 ГЛ I АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
х), то это означает, что 1// определяет рациональную
функцию на У и обращается в 0 во всех точках, где она
определена. Кроме того, хеУ. П
5.4. Дифференциал морфизма. Пусть ф: X -у У —-
морфизм (неприводимых) многообразий. Если хе^Х,
у — у(х)у то ф* отображает (Оу,ту) в (Ох,тх). При
помощи композиции с ф* линейная функция t на тх/т2х
индуцирует, следовательно, линейную функцию d(px(t)
на myjm2y. Полученное отображение dq>x: £Г{Х)Х-+
-+&~(Y)yy очевидно, /(-линейно. Мы называем его диф-
дифференциалом морфизма ф в точке х.
Дифференцирование обладает ожидаемыми функто-
риальными свойствами: если ф: Х-*~Х — тождественное
отображение, то и d<px— тождественное отображение.
Если ф: X-+Y и if: Y-+Z — морфизмы, причем для xg
е X мы имеем ф(х)=//б У, if (у) = z e Z, то d (i|) о ф) х =
d d Т{Х)Т(Z)
y )г.
Для вычислительных целей иногда полезно точное
правило. Скажем, пусть Ха\п, У с Ат, так что ф за-
задается m координатными функциями цн(Т\, ..., Г„).
Пусть xgX, у = у(х); отождествим соответствующие
касательные пространства с подпространствами прост-
пространств Кп и Кт. Это в точности отождествляет точку
а=(а\, ..., ал) (= /С'1 с дифференцированием 0Х-*К
в точке х, индуцированным отображением
последующим вычислением значения в точке х). Тогда
Zdap,
i ~dfj^ui (УпРажне"
ние 3).
Важный пример доставляет определитель: отображе-
отображение GL(n, /C)->- GLA, K)cz А1 задается одним полино-
полиномом от п2 переменных Тц (l^r, j^n). Так как
GL(/г,/С)—аффинное открытое множество в А, то
его касательное пространство в каждой точке есть в
точности Кп * Удобно рассматривать это векторное про-
пространство как множество М(п9К) всех п Х^ матриц.
Тогда простое вычисление с вышеуказанной формулой
для dq>e приводит к такому результату: d(det)e(a) =
= 011 + 022+ ... +аял£МAД)=/(. Другими сло-
словами, дифференциал определителя есть след.

§ 5. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 81
Вычисления, связанные со следующими примерами,
будут проведены позднее:
A) Если ф: Ап-*~Ап — линейное отображение, то
rfcpx можно отождествить с ср, если &~(Ап)х отождест-
отождествить с А".
B) Пусть V — n-мерное векторное пространство над
К, и пусть ф: V—{0}-^Р(У)—каноническое отобра-
отображение, где V— {0} рассматривается как открытое мно-
множество в V = Ап. Пусть O^tiG V; рассмотрим dq>v,
отождествив 2Г(V— {0})t, с V. Если принять v за пер-
первый базисный вектор, то отображение ф можно описать
в соответствующих аффинных координатах следующим
образом: cp(*i, ..., хп) = (х2/х\, хг/хи ..., хп/х\). Отсю-
Отсюда легко вытекает, что ядро линейного отображения dq>v
есть в точности подпространство Kv (и, значит, отобра-
отображение йфи сюръективно, как следует из сравнения раз-
размерностей) .
C) Если У— подмногообразие многообразия X и
у @Е У, то отображение включения /: У->Х индуцирует
мономорфизм diy\ Т(У)У-*2Г(Х)у. Таким образом, мы
можем рассматривать первое касательное пространство
как подпространство последнего.
5.5. Дифференциальный критерий сепарабельности.
Расширение полей E/F называется сепарабельным, если
либо char.F = 0, либо char F = р и р-е степени элемен-
элементов #i, ..., Хг^Е, линейно независимых над F, снова
линейно независимы над F. Нам необходимо иметь вви-
ввиду некоторые факты @.14): A) это определение эквива-
эквивалентно обычному определению сепарабельности, если
расширение E/F конечно; B) если F cz L а Е — рас-
расширения полей и E/F сепарабельно, то L/F сепарабель-
сепарабельно (однако E/L не всегда сепарабельно); C) если поле
F совершенно, то расширение E/F всегда сепарабельно;
D) для конечно порожденных расширений поля F сепа-
сепарабельность эквивалентна сепарабельной порожденности.
В наших рассмотрениях вопрос о сепарабельности
возникает в связи с доминантными морфизмами ф: Х-*-
-> У неприводимых многообразий (см. теорему 4.6).
Здесь ф* отождествляет К (У) с подполем поля К(Х),
над которым К(Х) конечно порождено, но не всегда се-
сепарабельно. Например, отображение Фробениуса х->
->■ хр — биективный морфизм А1 -> А1, коморфизм кото-*

82 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
рого отображает поле /((А1) *=К(Т) на подполе К(Тр).
Если расширение /С(Х)/ф*/((У) сепарабельно, то мы на-
называем морфизм ф сепарабельным. В характеристике О
все морфизмы сепарабельны. Предположим на время,
что char К = р > 0.
Вопрос о сепарабельности конечных расширений по-
полей может быть решен проверкой минимальных полино-
полиномов определенных элементов поля на наличие кратных
корней; для этого удобен признак, использующий произ-
производную. Здесь мы постараемся развить аналогичный
«дифференциальный критерий» для сепарабельности.
Нам потребуется еще несколько общих фактов @.15):
E) Пусть E/F — сепарабельно порожденное расши-
расширение, и пусть к) — векторное пространство над L всех
/♦'-дифференцирований E-+L, где L — некоторое рас-
расширение поля Е; тогда сНпи 2) = tr. degfE;
F) расширение полей E/F сепарабельно, если (и
только если) все дифференцирования F —> L продол-
продолжаются до дифференцирований E-+L (Lid E — любое
вспомогательное поле);
G) все дифференцирования E-*L являются ^-диф-
^-дифференцированиями; в частности, если поле Е совершен-
совершенно, то все дифференцирования поля £ нулевые. Это при-
применимо, в частности, к алгебраически замкнутому полю К.
Так как поле К совершенно, то любое поле функций
К{Х) автоматически сепарабельно порождено (и сепара-
сепарабельно) над К ввиду утверждений C) и D), сформули-
сформулированных выше. Поэтому E) влечет соотношение
dimX = dimL Der(/((X), L) для любого расширения L
поля /0 (Все дифференцирования являются /(-диффе-
/(-дифференцированиями, так что индекс К мы опускаем.) В ча-
частности, рассмотрим доминантный морфизм <р: X-+Y.
Тогда dimX=dimK{X)Dev(K{X), K{X)) и сНтУ =
= (Пт/с(х)Оег(ф*/((У), К(Х)). С другой стороны, ф ин-
индуцирует К(X) -линейное отображение, которое мы обо-
обозначим через бф*.
бФ: Dev(K(X), /C(X))-*Der(<pV((y), K(X)).
Если нам известно, что отображение бф сюръективно, то
из F) следует, что расширение K(X)/q>*K(Y) сепара-
сепарабельно (т.е. морфизм ф сепарабелен), и обратно,

§ б. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 83
Чтобы проверить сюръективность отображения бф,
мы сравним его с dcp*: ёГ (Х)Х-+2Г (Y)q(X), где обе точки
х и ф(#) предполагаются простыми. При этом предпо-
предположении dyx является /(-линейным отображением век-
векторного пространства размерности dimX в векторное
пространство размерности dim Y. Путем формального
расширения основного поля К до К(Х) мы получаем
следующую диаграмму:
Der(K(X), K(X))^Dev(q>*K(Y\ K(X))
А А
V
Помеченное точками отображение слева может быть по-
получено с помощью отождествления элементов касатель-
касательного пространства ЭГ(Х)Х (дифференцирований в точке.
х кольца 0Х) с дифференцированиями 0Х-+ОХ и, сле-
следовательно, с дифференцированиями поля частных
К(Х). (Правило дифференцирования частного показы-
показывает, что имеется один и только один способ продолжить
дифференцирование кольца Ох до дифференцирования
поля К(Х).) Аналогичным образом получается помечен-
помеченное точками отображение справа. Заметим, что К(Х)
играет здесь роль вспомогательного поля (достаточно
большого, чтобы содержать все возникающие здесь
поля).
Очевидно, эта диаграмма коммутативна. Поскольку
размерности (над К(Х)) как в левой, так и в правой ча-
части согласуются, мы заключаем, что отображение бф
сюръективно тогда и только тогда, когда dq>x сюръек-
тивно. Это устанавливает искомый критерий сепарабель-
сепарабельности, если char К = р > 0. С другой стороны, в харак-
характеристике 0 расширения полей всегда сепарабельны.
Теорема. Пусть ф: X -* У — доминантный морфизм
неприводимых многообразий. Предположим, что х и
( простые точки и что отображение dyx: 9r(X)x->
)х) сюръективно. Тогда морфизм ф сепарабе-
лен. □

84 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
На этом критерии будут основаны некоторые точные
вычисления в F.4). Отметим, что эта теорема может быть
частично обращена (что, впрочем, нам здесь не потре-
потребуется): если морфизм ф сепарабелен, то отображение
dtpx сюръективно для всех элементов х из некоторого
непустого открытого подмножества (см. Борель [4,
АГ 17.3]).
Упражнения
1. Пусть X — аффинное многообразие, X с Ап. Докажите, что
если функции h(T), ..., fr(T) порождают идеал / (X), то dxfu ...
..., dxfr порождают идеал, ассоциированный с многообразием
Тап(Х), (хе=Х).
2. Пусть dimX==l, и хеХ — простая точка. Доказать, что
кольцо Ох — область с однозначным разложением на множители.
(Показать, что, с точностью до обратимых элементов, образующая
идеала тх — единственный неприводимый элемент кольца Ох и,
следовательно, что С х — область главных идеалов с единственным
ненулевым простым идеалом тх.)
3. Проверить формулу для dyx в E.4).
4. Доказать, что канонический морфизм V — {0}-^Р(К) сепа-
сепарабелен.
Замечания. По поводу теоремы Б E.3) см. Шевалле [8,
expose 8, lemme 1].
§ 6. Полные многообразия
Сведения о полноте многообразий из F.1) и F.2)
будут играть важную роль, начиная с § 21, при изуче-
изучении тех однородных пространств G/H, которые являют-
являются проективными многообразиями. Некоторые дополни-
дополнительные замечания о Р1 будут даны в F.3) и F.4) и в
надлежащий момент найдут применение в структурной
теории редуктивных групп B5.3).
6.1. Основные свойства. Многообразие X называется
полным, если для любого многообразия У проекция
рг2: XX Y->- Y— замкнутое отображение (т.е. перево-
переводит замкнутые множества в замкнутые). Геометриче-
Геометрический смысл полноты в этом определении интуитивно не
ясен, но подразумевается некоторого рода «компакт-
«компактность». Для достаточно хороших хаусдорфовых прост-
пространств сформулированный критерий с заданной на ХУ(У
обычной топологией произведения эквивалентен ком-
компактности.

§ в. ПОЛНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 85
Одна точка, рассматриваемая как многообразие, оче-
очевидно, представляет собой полное многообразие. Ясно
также, что многообразие X является полным тогда и
только тогда, когда полными многообразиями являются
его неприводимые компоненты, и что вспомогательные
многообразия У в определении можно выбирать непри-
неприводимыми (и даже аффинными), если данное многооб-
многообразие X проверяется на полноту. Не столь ясно, что су-
существуют «интересные» полные многообразия. В F.2)
будет показано, что проективные многообразия являют-
являются полными. С другой стороны, не все многообразия пол-
полны: множество нулей уравнения TiT2 = 1 в А1 X А1 про-
проектируется на незамкнутое подмножество в А1, так что
А1 не может быть полным.
Мы соберем здесь элементарные факты о полноте,
некоторые из которых должны напомнить читателю
свойства компактных хаусдорфовых пространств.
Предложение. Пусть X, Y — многообразия.
(а) Если многообразие X является полным и У замк-
замкнуто в X, то Y полно.
(б) Если X и Y полны, то X X У полно.
(в) Если ф: X-+Y — морфизм и X — полное много-
многообразие, то многообразие ц>(Х) замкнуто и полно.
(г) Если Y—полное подмногообразие многообразия
Ху то Y замкнуто.
(д) Если X — полное аффинное многообразие, то
dim X = Q.
(е) Полное квазипроективное многообразие проек-
тивно.
Доказательство, (а), (б) Это следует непосредствен-
непосредственно из определений.
(в) Так как X, Y — многообразия, то график морфиз-
ма ф замкнут в XX Y B.5). Его образ относительно рг2
совпадает с ф(Х), и это множество замкнуто, так как
многообразие X полно. Чтобы проверить полноту ф(Х),
мы можем принять Y=<p(X). Для любого многообразия
Z рассмотрим проекции pr2: IX^-^2, pr^: YX^Z-^Z.
Если множество W замкнуто в У X Z, то множество
pr^(W) = рг2(ф X I) (W) замкнуто в Z, ибо X — полное
многообразие.
(г) Применить (в) к морфизму включения Y-+X.

86 ГЛ I. ЛЛГЕБР\ИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
(д) Как отмечено выше, многообразие А1 не являет^
ся полным. Ввиду (в) единственными морфизмами Х->-
->> А1 неприводимого полного многообразия X являются
постоянные отображения. Таким образом, полное непри-
неприводимое аффинное многообразие X удовлетворяет усло-
условию К[Х] = /С, откуда следует, что X — точка.
(е) Это следует из (г). □
6.2. Полнота проективных многообразий. Теорема.
Любое проективное многообразие полно.
Доказательство. Ввиду предложения F.1) (а) доста-
достаточно показать, что проекция рг2: РЛХУ-^У для лю-
любого многообразия У замкнута. Мы можем даже пред-
предполагать, что У— неприводимое аффинное многообра-
многообразие с аффинной алгеброй R. Произведение Р"ХУ
покрывается аффинными открытыми множествами Ui=
= Р? X Y. Если Хо, ... у Хп — однородные координаты
на Ря, то аффинная алгебра множества Ui может быть
записана в виде Ri = R [Xo/Xiy ..., Хп/Х{\, где Xo/Xi, ...
...,Xn/Xi — аффинные координаты на Р?, как в A.6).
Выберем любое замкнутое множество Z в Р*ХУ и
любую точку уеУ— pr2(Z). Мы хотим найти окрест-
окрестность точки у в У вида Yf, которая не пересекается
с pr2(Z). Это равносильно нахождению функции / е R,
\фМ = 3((у), которая обращается в 0 на pr2(Z), т.е.
такой, что соответствующая / функция в Ri принадле-
принадлежит &{Zi) для всех /, где Zt = Z f| Ui. Существование
такой функции / следует из некоторого варианта леммы
Накаямы, примененной к подходящему /^-модулю, к по-
построению которого мы сейчас и переходим.
Прежде всего рассмотрим полиномиальное кольцо
S — R [Хо, ..., Хп] с естественной градуировкой S =
X Sm, и зададим однородный идеал I cz S условием,
что /от состоит из всех функций f(X0, ..., Ifi)eSm та-
таких, что f(Xo/Xt, ..., Xn/Xi)&3f(Zi) для каждого /.
Затем зафиксируем i и возьмем fe«!7(Z<). Мы
утверждаем, что после умножения на достаточно высо-
высокую степень переменной Xi функция / попадает в /.
В самом деле, если рассматривать f как полином от
Xo/Xt, ..., Хп/Х{, то XTf становится однородным поли-
полиномом (степени ш) от Хо, .... Хп для достаточно боль-
большого т. В свою очередь функция (XT/Xf) f e^/ обра-

§ 6. ПОЛНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 87
щается в 0 на множестве Zt f| Hi — Z/ f| Uit тогда как
функция (X?+ iXf х) / обращается в 0 во всех точках
множества Z/, не лежащих в Ни Так как номер / произ-
произволен, то мы заключаем, что ХТ+ f лежит в /m+i.
Теперь Zi и Р?Х{*/}— непересекающиеся замкну-
замкнутые подмножества аффинного многообразия [/,-, так что
их идеалы функций if [Zi) и MRt порождают /?,-. В част-
частности, существует уравнение 1 =/* + Х/т//£//> гДе [iS
e«7(Z;), rriij^M, gij ^ Ri. Ввиду предыдущего абзаца
умножением на достаточно высокую степень перемен-
переменной Xi функция ft переводится в /. Мы можем выбрать
указанную степень достаточно большой, чтобы это было
так (для соответствующих уравнений) при всех /, а так-
также выбрать все gu в 5. Таким образом, мы получаем
X? e/m + MSm (для всех /). Увеличивая m еще более,
мы можем добиться того, чтобы все одночлены степени m
от ХОу ..., Хп лежали в /m + MSm. Это ведет к соотно-
соотношению 5т = 1щ + MSm-
Применим теперь @.11) к конечно порожденному
/?-модулю Sm/Im, который удовлетворяет условию
M(Sm/Im) = Sm/Im- В результате мол^ем сделать вывод,
что существует функция / е R> f ф М, которая аннули-
аннулирует Sm/Im. Таким образом, /5т с: /т; в частности,
jXf e /m, так что / обращается в 0 на pr2(Z). D
6.3. Многообразия, изоморфные Р1. Локальное кольцо
Ох простой точки неприводимого многообразия X есть
целозамкнутая область (теорема 5.ЗА). Легко получить
усиление этого утверждения: кольцо Ох есть область с
однозначным разложением на множители, если dim X =
= 1 (упражнение 5.2). В этом случае максимальный
идеал Шх является главным и, следовательно, порож-
порождается неприводимым элементом q. Поскольку множе-
множество Ох — Шх состоит только из обратимых элементов,
ясно, что q, с точностью до обратимого множителя, —
единственный неприводимый элемент кольца Ох. Отсюда
следует, что Ох — кольцо нормирования, т.е. для каж-
каждого элемента f^K(X) либо f^Ox либо l/f^Ox.
В самом Деле, если / = g/h (g, h^Ox), то мы можем
предполагать, что один из элементов g, h не делится на
Я1 тогда либо gt лщбо h — обратимый элемент в 0Х.

8g ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Перейдем теперь к случаю, когда К(Х) ^К(Т)—по-
^К(Т)—поле функций на А1 или Р1, и предположим, что все точки
многообразия X просты. Предыдущее рассуждение по-
показывает, что либо Т либо \/Т принадлежит каждому
локальному кольцу Ох. Простое упражнение — опреде-
определить все кольца нормирования поля К(Т), которые со-
содержат либо К[Т] либо К[\/Т]: они являются (кроме
самого К{Т)) в точности локальными кольцами точек
многообразия Р1 (упражнение 2). Заметим также, что
различные указанные кольца нормирования не могут со-
содержаться друг в друге.
Теорема. Пусть X—гладкое многообразие размерно-
размерности 1, и пусть ф: Р1-> X — доминантный морфизм. Тогда
X изоморфно Р1 (хотя ф — не обязательно изоморфизм).
Доказательство. Ввиду предложения 6.1 (в) морфизм
Ф сюръективен, и многообразие X полно (и неприводи-
мо). Коморфизм ф* отождествляет К(Х) с подполем по-
поля К(Р1) =К(Т), имеющим степень трансцендентности 1
над К. В силу теоремы Люрота @.4) каждое такое под-
подполе изоморфно К(Т). Таким образом, мы можем отож-
отождествить К(Х) с К(Т); покажем, что это вместе с полно-
полнотой X ведет к тому, что X изоморфно Р1.
Пусть функции /, g^K(X) соответствуют элемен-
элементам Т и 1/7\ Как отмечалось выше, тот факт, что Ох
(jcgI)—кольцо нормирования, позволяет заключить,
что либо / е Ох, либо g е Ох; если /, g е Ох, то мы
имеем f(x)g(x)= 1. Открытые подмножества U, V мно-
многообразия X, состоящие из всех точек, в которых опре-
определены функции /, g, покрывают X. Мы можем опреде-
определить морфизм U-+P1 (соответственно V->P!), отобра-
отображая точку х в точку, однородные координаты которой
есть (f(x)t 1) (соответственно A, g(x)). Так как
/()()= 1 f/ni/ ф
) ( ( g())
1 Для XGf/ni/, то эти морфизмы вместе
доставляют морфизм if: X-+P1 B.3).
Так как многообразие X полно, то морфизм я|) сюръ-
сюръективен (предложение 6.1 (в)). По построению if*—
изоморфизм полей функций. Для того чтобы утверж-
утверждать, что if — изоморфизм, остается показать, что if*
отображает локальные кольца многообразия Р1 изо-
изоморфно на локальные кольца многообразия X. Но, как
упоминалось выше, не существует собственных включе-

I 6. ПОЛНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 89
ний между кольцами нормирований поля К{1)у которые
мы рассматриваем. □
6.4. Автоморфизмы многообразия Р1. Для использо-
использования в B5.3) нам необходимо определить группу
Aut P1 автоморфизмов проективной прямой. Вначале мы
укажем некоторые специальные автоморфизмы, индуци-
индуцированные естественным действием группы GLB, К) на
ненулевых векторах в /С2. Мы можем рассматривать это
действие как перестановку прямых (проходящих через
начало координат) в К2, причем индуцируемая группа
перестановок множества прямых дважды транзитивна:
любая пара различных прямых может быть переведена
в любую другую пару различных прямых, поскольку
GLB, К) действует транзитивно на базисах простран-
пространства К2. Скалярные матрицы (^ а) (aei(*), остав-
оставляют прямые инвариантными, так что мы получаем
действие группы PGLB, К) = GLB, К)/К*. Обозначим
эту группу через G, а образ элемента ( а d J из группы
GLB, К) в G-через [* J].
Проективную прямую Р1 мы можем представлять как
множество всех прямых, проходящих в К2 через начало
координат, а точки множества Р1 записывать в виде
[ * ] (х, У е /С, (х9 у) ф @,0)), причем [ * ] = [ ^ ] для всех
а^К*. Группа G будет действовать на Р1 как группа
[ ][] [^]
перестановок [£ ^][£] = [^+^]' ЯсН°' Кр0Ме Т0Г0>
что каждый элемент группы G определяет автоморфизм
Р1 как многообразия.
Теорема. PGLB,K) ^Aut(P1).
Доказательство, Идея доказательства заключается
в том, чтобы охарактеризовать автоморфизмы простран-
пространства Р1 их действием на тройку @, 1, оо), где 0= . L
1=[[], ~ = [J]- (Здесь Р1^ A1 U {оо} и точки [*]
соответствуют точкам аффинной прямой.)
Определим G-эквивариантное отображение ср: G ->
-^Р^Р^Р1 формулой <f(g) = (g@),g(l), g(oo)), т.е.

90 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[а 01 Г 1 01
i 10 1 ' 0ТКУда вытекает инъективность
отображения ф. С другой стороны, если (х, у, z) —
тройка различных точек множества Р1, то мы можем
следующим образом найти элемент группы G, преобра-
преобразующий @, 1, оо) в (х, у} z). Сначала используем двой-
двойную транзитивность группы G, чтобы преобразовать
тройку (*, у, z) в (о, ["], ooj, где ["j^O, оо (и, та-
таким образом, uv фО). В свою очередь ( "Q г ) пре-
преобразует тройку Го, I "I, ooj в @, 1, оо).
Пусть теперь а — произвольный автоморфизм про-
пространства Р1. Тогда (а@), аA), а(оо))—тройка раз-
различных точек, которая ввиду предыдущего рассуждения
имеет вид (g@), g(l), g"(°o)) для некоторого элемента
g <= G. Следовательно, автоморфизм т = o~lg оставляет
неподвижными точки 0, 1, оо. В частности, т может быть
ограничен до автоморфизма пространства А1 с= Р1. Та-
Такой автоморфизм, как легко видеть, имеет вид а\—>га-\-
-\-s (ге/(*, se/C), см. упражнение 1.10. Так как точки
0, 1 неподвижны, тот = 1 и о = g ^ G. П
Отображение <р, введенное в процессе доказательства
теоремы, оказывается при более тщательном рассмотре-
рассмотрении морфизмом (и даже изоморфизмом) аффинных мно-
многообразий. Группу GLB,K) можно, разумеется, рас-
рассматривать как главное открытое подмножество в А4,
и отображение г|э: GLB, /()-> У с Р1 X Р1 X Р1, опреде-
определенное соотношением ^(g)==(g@),g(l),g(oo)), являет-
является, очевидно, морфизмом (У=1т(ср)). В главе IV мы
увидим, как можно превратить PGLB,K) в 3-мерное
аффинное многообразие, так что каноническое отобра-
отображение я: GLB, /C)->PGLB, К) (а также отображение ср)
станет морфизмом. Из разложения if = фя будет сле-
следовать тогда, что ф — сепарабельный морфизм, если
if) сепарабелен. (В свою очередь, как мы увидим в A2.4),
это ведет к тому, что ф: PGLB, К) -> У — изоморфизм
многообразий.)

^ 6. ПОЛНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 91
Используем теперь дифференциальный -критерий
E.5), чтобы установить, что морфизм if сепарабелен.
Очевидно, многообразие GLB, К) является гладким (ли-
(либо как главное открытое множество в А4, либо как
«алгебраическая группа» G.1)). Так как У имеет тран-
транзитивную группу автоморфизмов, то из того факта, что
некоторые точки на У являются простыми E.2), сле-
следует, что все точки просты. Поэтому нам требуется лишь
проверить сюръективность dife, где £=(о i)* Для
этого мы отождествим касательное пространство в
точке е с МB, К) (т.е. с А4) и применим фор-
формулу E.4).
Напомним A.7), как многообразие Р1 X Р1 X Р1
вкладывается в Р7. Отображение if преобразует Га , J
в точку ([^]>[с + Л'[с]) с °ДНОР°ДНЬ1МИ К00Р
динатами (ab(a-\-b), ab(c + d), bc(a-\-b)y bc(c-\-d)f
ad(a-\-b), ad(c-\-d), cd(a-\-b)y cd\c-\-d)). Заметим,
что if(e) принадлежит аффинному открытому множест-
множеству в Р7, выделяемому условием неравенства нулю 6-й
координаты.
Таким образом, в аффинных координатах if задается
в окрестности точки е семью координатными функциями,
например Ь{Ти Т2, Г3, ТА) = Т2(Т1 + T2)/TA(TZ + ТА).
Теперь следует вычислить их частные производные в
точке е. Положим х = @ 0],у=^0 QJ, z = (Q J.
Стандартное вычисление (упражнение 3) показывает,
что d^e отображает х в точку @, 0, 0, 0, 1, 0, 0), у —
в точку A, 1, 0, 0, 1, 0, 0) и z —в точку @, 0, 0, 0, —1,
1,1). Следовательно, образ отображения dtye есть 3-мер-
3-мерное подпространство 3-мерного пространства ZT^Y)^^).
Вывод: морфизм if сепарабелен.
Как только в A2.4) будет установлено, что ф — изо-
изоморфизм, мы сможем сделать вывод, что для любой
алгебраической группы Н G.1), действующей на Р1,
имеется морфизм H-+PGLB, /С), реализующий это дей-
действие. В самом деле, действие автоморфизма простран-
пространства Р1 на тройку @, 1, оо) полностью определяет авто-
автоморфизм, как показано выше; таким образом, нам оста-

92 ГЛ. I. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ется только взять композицию орбитного отображения
#-> У с обратным морфизмом ф-1.
Упражнения
1. Всякий ли доминантный морфизм Р1 -*■ Р1 обязан быть изомор-
изоморфизмом?
2. Доказать, что кольцо нормирования RczK(T), которое со-
содержит К [Т] и отлично от К(Т), должно состоять из всех функций
t(*)lg{T), где f(T), g(T) е/(G) взаимно просты, и некоторый
фиксированный линейный полином Т — а не делит g(T). Описать
подобным образом кольца нормирования, которые содержат /С[1/Г].
Показать, что не существует никаких собственных включений между
парами таких колец нормирований.
3. Провести подробное вычисление дифференциала в конце
F.4).
Замечания. Доказательство теоремы 6.2 (принадлежащее Гро-
тендику) воспроизводится по Мамфорду [3, I, § 9]. Относительно
некоторых фактов о кривых, содержащих и теорему 6.3, см. Мам-
форд [3, III, § 8, теорема 5]. Рассуждение в F.4) взято у Бореля
[4, 10.8]. Теорема 6.4 представляет собой частный случай основной
теоремы проективной геометрии.

ГЛАВА II
АФФИННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
§ 7. Основные понятия и примеры
7.1. Понятие алгебраической группы. Пусть G— мно-
многообразие (не обязательно неприводимое), обладающее
структурой группы. Если оба отображения \х: G X G ->
->G и i: G->G, где \i(xy у) =ху, i(x) =дН, являются
морфизмами многообразий, то мы называем G алгебраи-
алгебраической группой. Читатель, знакомый с понятием «ана-
«аналитической группы», заметит здесь очевидную анало-
аналогию. Однако имеется и существенное различие: задан-
заданная на G X G топология Зарисского является более тон-
тонкой, чем топология произведения, так что алгебраиче-
алгебраическая группа не является топологической группой (за
исключением случая группы размерности 0). В самом
деле, группа G обладает свойством Гь но не обладает
свойством Г2 (за исключением случая группы размерно-
размерности 0), в то время как топологическая группа со свой-
свойством Т\ автоматически обладает свойством Т%.
Сдвиг на элемент jgG (x\—>ху) является, очевид-
очевидно, изоморфизмом многообразий G-+G, и, следователь-
следовательно, все геометрические свойства многообразия G в не-
некоторой одной точке автоматически переносятся в лю-
любую другую точку при подходящем выборе элемента у.
Например, исходя из того факта, что группа G обладает
простыми точками, мы заключаем, что все точки груп-
группы G должны быть простыми: многообразие G является
гладким.
Очевидным образом вводится понятие изоморфизма:
алгебраические группы G и G' называются изоморфны-
изоморфными, если существует изоморфизм многообразий q>: G->-
->- G', который одновременно является изоморфизмом
групп. Изоморфизм, отображающий G на G, называется
автоморфизмом группы G. Алгебраическая группа, мно-
многообразие которой полно F.1), называется абелевым
многообразием. Мы не будем пытаться изучать их здесь

94 ГЛ. II. АФФИННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
(см. замечания ниже). Вместо этого мы всегда исполь-
используем термин «алгебраическая группа» для тех групп,
многообразие которых аффинно, если только противное
специально не оговорено. Имея в виду это соглашение,
мы перейдем к некоторым примерам.
Аддитивная группа Ga есть аффинная прямая А1
с групповым умножением \л(х,у)=х-\-у (так что i(#)==
= —ху е=0). Мультипликативная группа Gm есть
аффинное открытое подмножество К* cz А1 с групповым
умножением \х(х,у)=ху (так что i(x)=x~\ е = 1).
Каждая из этих групп неприводима (как многообразие)
и 1-мерна; после определенной подготовки мы сможем
доказать, что (с точностью до изоморфизма) эти груп-
группы — единственные алгебраические группы, обладаю-
обладающие этими двумя свойствами (§ 20). В качестве обоб-
обобщения аддитивной группы можно рассмотреть аффин-
аффинное д-мерное пространство А", наделенное естественной
(аддитивной) структурой алгебраической группы. Во
всех этих примерах алгебраическая группа оказывалась
коммутативной.
Обозначим через GL{n,K) множество всех обрати-
обратимых пУ^п матриц с коэффициентами в К; это множе-
множество образует группу относительно умножения матриц,
которая называется полной линейной группой. Множе-
Множество М(п, К) всех пУ^п матриц над полем К можно
отождествить с Ап\ a GL{nyK) —с главным открытым
подмножеством, задаваемым тем условием, что полином
det не обращается в 0. Алгебра полиномиальных функ-
функций на группе GL(n, /С), рассматриваемой теперь как
алгебраическое многообразие, порождается ограниче-
ограничениями на GL(nyK) п2 координатных функций 7\у- вместе
с функцией l/detG\/). Формулы умножения и обраще-
обращения матриц показывают, что GL(n,K) —алгебраическая
группа. Заметим, что Gm — это в точности GLA,/C).
Лег^ко построить новые примеры, пользуясь тем оче-
очевидным фактом, что замкнутая подгруппа алгебраиче-
алгебраической группы есть снова алгебраическая группа. Напри-
Например, группа Т(п,К) всех верхних треугольных матриц
есть множество нулей в GL(n,K) полиномов Тц (/>/);
подгруппа D(n,K) (соответственно U(n,K)), состоящая
из диагональных матриц (соответственно из верхних
треугольных матриц с 1 по диагонали), является замк-

§ 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИМЕРЫ 95
нутой по аналогичным причинам. Заметим, что алгеб-
алгебраическая группа £/B, К) естественным образом изо-
изоморфна Од.
Задав (не обязательно ассоциативную) конечномер-
конечномерную алгебру Я, мы можем рассматривать ее группу
автоморфизмов Aut (Я) как подгруппу полной линейной
группы GL(nyK)y выбрав базис в Я (я = dim Я); легко
видеть, что это — замкнутая подгруппа (упражнение 3).
Упомянем наконец, что прямое произведение двух
(или более) алгебраических групп, т. е. обычное прямое
произведение групп, снабженное топологией Зарисского
произведения, снова является алгебраической группой.
Например, группу D(n,K) можно рассматривать как
прямое произведение п экземпляров группы Gm, а аф-
аффинное я-пространство—как прямое произведение п
экземпляров группы Ga.
7.2. Некоторые классические группы. Мы введем сей-
сейчас некоторые семейства линейных групп, которые
играют центральную роль в теории, развиваемой в этой
книге. В каждом случае параметр / есть размерность
замкнутой подгруппы диагональных матриц рассматри-
рассматриваемой группы.
Ас специальная линейная группа SL(/-)-l, /С), со-
состоящая из всех матриц с определителем 1 в группе
GL{l-\- \,К). Ясно, что это группа (ввиду правила про-
произведения для определителя) и что эта группа замкнута
(как множество нулей полинома detG\/) — 1). Так как
она определяется одним полиномом, то 5L(/ + 1, /С) —
гиперповерхность в МA-\- 1,/С) C.3); следовательно, ее
размерность равна (/ + IJ — 1 = /2 + 2/.
d: симплектическая группа SpB/, /С), состоящая из
всех х е GL B/, К), удовлетворяющих соотношению
t ( 0 j\ ( О /\
транспонированная матрица х. Непосредственно прове-
проверяется, что SpBl,K)—группа. Ее замкнутость следует
из того факта, что определяющее уравнение налагает
определенные (довольно сложные)- полиномиальные ус-
условия на х. В этом случае размерность трудно вычис-
вычислить непосредственно.

96 ГЛ. II АФФНТШЫГ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Bi\ специальная ортогональная группа 50B/+ UK).
Если char К Ф 2, то она состоит из всех матриц х^
е SLB/-f 1, /С), удовлетворяющих уравнению *xsx = s,
/1 0 0\
5 = 1 0 0/ .
\о / о/
где 5 = 1 О О -М. Опять легко проверить, что это усло-
40 / О/
вие определяет замкнутую подгруппу полной линейной
группы.
Dr. специальная ортогональная группа 50B/,/С),
определяемая аналогично Bi условием *xsx = s, где
s=(J J) (если char /С =?*= 2).
Симплектические и специальные ортогональные груп-
группы возникают гзометрически как группы линейных пре-
преобразований, сохраняющих некоторую кососимметриче-
скую (соответственно симметрическую) билинейную
форму. Если char К ==■ 2, то определение ортогональных
групп более сложное (см. Дьедонне [13], Картер [1,
гл. 1]).
7.3. Компонента единицы. Пусть G — алгебраическая
группа. Мы утверждаем, что е содержится только в
одной неприводимой компоненте многообразия группы G.
В самом деле, пусть Х\, ..., Хт — различные компо-
компоненты, содержащие е. Образ неприводимого многообра-
многообразия Х\ X ... Х^т A.4) при морфизме произведения
есть неприводимое подмножество Х\ ... Хт группы G,
которое снова содержит е. Поэтому Х\ ... Хт лежит
в некотором Х(. С другой стороны, каждая из компонент
Х\у ..., Хт, очевидно, лежит в Хх ... Хт. Это влечет
т = 1. Эту единственную неприводимую компоненту
группы G, содержащую е, мы будем обозначать через
G0 и называть компонентой единицы группы G.
Предложение. Пусть G — алгебраическая группа.
(а) G0 — нормальная подгруппа конечного индекса
в группе G, смежные классы по которой являются одно-
одновременно связными и неприводимыми компонентами
группы G.
(б) Каждая замкнутая подгруппа конечного индекса
группы G содержит G0.
Доказательство, (а) Для каждого элемента xeG°
множество x~]G° есть неприводимая компонента груп-
группы G, содержащая е, так что x~lG® = G°. Следователь-

§ 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИМЕРЫ 97
„о, G°={G°)-\ и, далее, G°G° = G°, т.е. G° — (замк-
(замкнутая) подгруппа группы G. Для любого x^G множе-
множество xG°x~] — неприводимая компонента группы G, со-
содержащая е; поэтому xG°x~l = G° и G° — нормальная
подгруппа группы G. Левые или правые смежные клас-
классы по этой группе — это просто сдвиги множества G0, и,
следовательно, они также должны быть неприводимы-
неприводимыми компонентами группы G. Число их должно быть ко-
конечно (ибо G — нётерово пространство). Поскольку они
не пересекаются, то они являются также связными ком-
компонентами группы G.
(б) Если Я— замкнутая подгруппа конечного индек-
индекса группы G, то каждый из (конечного множества) ле-
левых смежных классов G по Я является замкнутым мно-
множеством, и, следовательно, замкнутым множеством яв-
является объединение всех классов, отличных от Я. Как
дополнение этого замкнутого множества множество Я
должно быть открыто. Поэтому пересечения G0 с ле-
левыми смежными классами по Я разбивают G0 в конеч-
конечное объединение открытых подмножеств. Поскольку
множество G0 связно и пересекается с Я, мы получаем
G°aH. □
В дальнейшем мы будем называть алгебраическую
группу связной, если G = G0, в связи с тем, что термин
«неприводимая группа» имеет совершенно иной смысл
в теории линейных групп или теории представлений.
Группы, введенные выше, большей частью связны,
как, например, Ga.H Gm. Группа GL{nyK) связна, по-
поскольку ее многообразие является главным открытым
множеством в аффинном пространстве. Однако связ-
связность группы SL(n,K) и других классических групп не
усматривается сразу из определения, так что для дока-
доказательства нам потребуется развить дополнительную
технику G.5). Хотя мы будем интересоваться главным
образом связными группами, нам иногда придется рас-
рассматривать и несвязные группы (например, группу «мо-
номиальных» матриц в GL(n, /(), см. упражнение 7).
7.4. Подгруппы и гомоморфизмы. Следующая три-
тривиальная лемма будет часто использоваться.
Лемма». Пусть U, V — два плотных открытых подмно-
подмножества алгебраической группы G. Тогда G = U-V.

98 ГЛ. II. АФФИННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Доказательство. Так как инверсия (т. е. взятие об-
обратного элемента) есть гомеоморфизм, то V~l — также
плотное открытое множество. Таким же является и его
сдвиг xV~l (для любого xeG). Следовательно, U пе-
пересекается с xV~\ откуда х е U- V. О
Мы уже указывали, что замкнутая подгруппа ал-
алгебраической группы есть снова алгебраическая
группа. Что мы можем сказать о произвольной под-
подгруппе?
Предложение А. Пусть Н — подгруппа алгебраиче-
алгебраической группы G, Я — ее замыкание.
(а) Я— подгруппа группы G.
(б) Если множество Н конструктивно, то Н = Я.
Доказательство, (а) Поскольку инверсия является
гомеоморфизмом, то, очевидно, Я-1 = Я-1 = Я. Анало-
Аналогично сдвиг_на элемент хеЯ есть гомеоморфизм, по-
поэтому хН = хН = Я, т. е. НЕ d Я. В свою очередь, если
х е Я, то Их d Я, и мы имеем Нх = Нх а Я. Это пока-
показывает, что Я — группа.
(б) Поскольку Н — конструктивное множество, то
оно содержит плотное открытое подмножество V своего
замыкания Я. Так как Я — группа, то из предыдущей
леммы следует, что H = U*UczH'H = H. □
Следствие. Пусть Л, В—замкнутые подгруппы алгеб-
алгебраической группы G. Если В нормализует Л, то АВ —
замкнутая подгруппа группы G.
Доказательство. Так как В a Ng(A), то АВ — под-
подгруппа. Далее, АВ — конструктивное множество как об-
образ многообразия Л X В относительно морфизма произ-
произведения G У( G-*~G (см. D.4)); ввиду части (б) пред-
предложения А множество АВ замкнуто. □
По определению морфизм алгебраических групп
есть гомоморфизм групп, являющийся одновременно
морфизмом многообразий.
Предложение Б. Пусть qr. G -+G' — морфизм алгеб-
алгебраических групп. Тогда:
(а) Кег ф — замкнутая подгруппа группы G.
(б) Im ф — замкнутая подгруппа группы G'.
(в) q>(G°)=<p(G)°.
(г) dim G = dim Кег ф + dim Im ф.

§ 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИМЕРЫ 99
Доказательство, (а) Отображение ф непрерывно и
Кег ф — прообраз замкнутого множества {е}.
(б) ф(б)—подгруппа группы G' и одновременно
конструктивное множество ввиду D.4); оно замкнуто
ввиду утверждения (б) предложения А.
(в) группа ф(б°) замкнута (утверждение (б)) и
связна (= неприводима) и, следовательно, лежит в
ф(б)°. Так как ф(С°) имеет в ф(б) конечный индекс, то
в силу предложения 7.3 (б) ф(б°) совпадает с ф(б)°.
(г) Из теоремы 4.3 следует, что dim G — d\mq)(G) —
= dim ф-1 (х) для некоторого (на самом деле для «поч-
«почти каждого») элемента x^cp(G). Но все слои ф-1(^)
имеют размерность, равную размерности Кег ф, откуда
все следует. □
Хороший пример, который стоит иметь в виду, до-
доставляет определитель: det: GL(n, K)-> GL(\, К) = Gm,
являющийся, очевидно, морфизмом алгебраических
групп. Его образ есть Gm, а ядро — SL(n,K). Из ут-
утверждения (г) предложения Б мы вновь получаем соот-
соотношение dim SL (п, К) =п2 — 1.
Если мы рассматриваем морфизм ф: G-*GL(n, К),
то ф называется рациональным представлением. В этой
связи иногда желательно рассматривать GL(V) как
алгебраическую группу (V—векторное пространство
над К размерности п). Так как замена базиса в Кп со-
соответствует внутреннему автоморфизму х-+уху~1 груп-
группы GL(n,K)> то топология Зарисского на GL(V) опре-
определяется однозначно произвольным выбором базиса в У,
отождествляющего V с Кп.
7.5. Порождаемость неприводимыми подмножествами.
Доказать, что группа SL(n,K) порождается подгруп-
подгруппами Uij (/#/), где Uц состоит из всех матриц с еди-
единицами по диагонали, произвольными элементами на
позиции (i, /) и нулями на остальных позициях, — в
сущности, простое упражнение по линейной алгебре.
(Подобным образом группа U(n,K) порождается груп-
группами Uu при / < /.) Очевидно, что группа [/,•/ изоморф-
изоморфна, как алгебраическая группа, группе Ga, поскольку
умножение матриц этой группы сводится просто к сло-
сложению элементов на позиции (/, /). Наше следующее

100 ГЛ. II. АФФИННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
предложение, основанное на использовании конструк-
конструктивных множеств в G.4), позволит из связности группы
Ga вывести связность SL(n,K). Подобная техника мо-
может, разумеется, использоваться и для других групп.
Сначала определение. Задав произвольное подмно-
подмножество М алгебраической группы G, обозначим через
s/>(M) пересечение всех замкнутых подгрупп группы G,
содержащих М. Это — наименьшая замкнутая подгруп-
подгруппа группы G, содержащая М; мы называем ее группо-
групповым замыканием множества М.
Предложение. Пусть G — алгебраическая группа, I —
множество индексов, fr. Xt-^G (i^I) —семейство мор-
физмов неприводимых многообразий X-L таких, что ее
е Yt = fi(Xi) для каждого /<=/. Положим М = [} Yt.
ie=I
Тогда:
(а) s4>{M) —связная подгруппа группы G.
(б) Для некоторой конечной последовательности а =
=(аA),..., а(п))индексов из I мы имеемя£(М)=Уеа1{1)...
Доказательство. Мы можем без ущерба расширить /
таким образом, чтобы морфизмы x-+ft(x)~l многообра-
многообразий Xi в G также были в числе ft. Для каждой конечной
последовательности а= (аA), ..., а(п)) индексов из /
мы положим Ya = Ya(\) ... Ya(n). Как образ неприводи-
неприводимого многообразия Ха(оХ ••• У\%а(п) относительно мор-
физма fa(\) X ... X fa(n) с последующим умножением в G,
множество Ya конструктивно D.4), и поэтому 7а — не-
неприводимое многообразие A.3), содержащее точку е.
Используя условие максимальности для неприводимых
замкнутых подмножеств многообразия G0, мы можем,
следовательно, найти такую последовательность а, для
которой множество Уа максимально.
Пусть Ъ, с — две произвольные последовательности
индексов из /; мы утверждаем, что (*) YbYcCz У(ь,с), где
(&, с) — более длинная последовательность, полученная
приписыванием с к Ь. Доказательство утверждения (*)
проводится в два шага. При шУс (непрерывное) ото-
отображение yv->yx переводит Yb в Y(b, с) и, следовательно,
переводит Yb в ?{ь,с), т. е. YbYc cz У(ъ,су В свою очередь

§ 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИМЕРЫ 101
элемент х^?ь переводит множество Ус в ?(&|С) и, сле-
следовательно, также переводит Ус в ?(&, С).
Поскольку множество Уа максимально и элемент б
лежит в каждом У&, из (*) следует, что
для любого Ъ. Полагая Ъ = а, мы видим, что Уа замк-
замкнуто относительно умножения. Выбирая Ь с таким
расчетом, чтобы Yb—Y~x (см. первую фразу доказа-
доказательства), мы заключаем, что множество Уа не меняется
при инверсии. Вывод: Уа — замкнутая подгруппа груп-
группы G, содержащая все У,- (/е/), так что Уа=«5^(М),
что доказывает утверждение (а). Сверх того, так как
множество Ya конструктивно, то лемма 7.4 показывает,
что Ya — Ya-Ya = У(а, а), так что последовательность
(а, а) удовлетворяет утверждению (б). □
Следствие. Пусть G — алгебраическая группа, У/
(i g/) — семейство замкнутых связных подгрупп груп-
группы G, которые порождают G как абстрактную группу.
Тогда группа G связна. □
Предложение, а также его следствие будут исполь-
использованы в A7.2), когда мы рассмотрим замыкание и
свойства связности коммутанта.
7.6. Алгебры Хопфа. Аффинное многообразие пол^
ностью определяется своей аффинной алгеброй A.5).
Поэтому интересно переформулировать аксиомы (аф-
(аффинной) алгебраической группы G как систему условий,
налагаемых на алгебру A=K[G]. Если е рассматри-
рассматривать как морфизм группы из одного элемента в G
(аффинная алгебра группы из одного элемента есть К),
то коморфизм в*: А-+К переводит f в f(e). Из морфиз-
ма |х: GY^G-^G мы получаем коморфизм jla*: A ->
->Л0яЛ, преобразующий / B^g*®/i/, если f(xy) —
= Yi gi W hi (у). Морфизму инверсии i: G ~> G соответст-
соответствует коморфизм I*: A-+A, где (i*f) (x) =f(x-{). Полез-
Полезно также обозначить через р\ G-+G постоянный мор-
морфизм р(х)=е. Тогда коморфизм р*: А-+А удовлетво-
удовлетворяет условию (p*f) (x) =/(е).
Теперь групповые аксиомы для G (закон ассоциа-
ассоциативности, единица, наличие обратного элемента), опре-

102
ГЛ. II. АФФИННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
деленные коммутативностью диаграмм слева, преобра-
преобразуются в соответствующие условия для (Л, е*, \i*, С, р*):
Отметим, что р* есть композиция коморфизма е*: Л -> /С
и естественного включения К-*А. Таким образом, что-
бы задать структуру алгебраической группы на много-
образии, соответствующем алгебре Л, необходимо толь-
только ввести отображения в*, pi*, i* та/с, ^тоб^ три диаграм-
диаграммы, указанные выше, были коммутативны. (И тогда А
станет примером алгебры Хопфа с единицей.)
Полезно найти в*, pi*, i* для некоторых групп из на-
наших ранее рассмотренных примеров. Группа Оа имеет
К[Т] в качестве аффинной алгебры, так что достаточно
указать, как различные отображения действуют на Т\
мы имеем е*(Г) = 0, [i*(T) = (T <g) 1) + A ® Т), 1*(Г) =
= —Т. Группа Gm в качестве аффинной алгебры имеет
К[ТУ Г-1], и е*(Г) = 1, н*(П=Г<8>7\ 1*(Г) = Г-1.
Аффинная алгебра для группы GL(n,K) имеет вид А=
= K[fUy Г12, ..., Тпп, d-1], d = det(Tij). В этом случае
det (ТГ8)гф}.
s¥* i
мулы.)
(Читателю следует проверить эти фор-

§ 8. ДЕЙСТВИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП НА МНОГООБРАЗИЯХ ЮЗ
Упражнения
1. Доказать, что группы Ga и Gm неизоморфны.
2. Показать, что размерности групп Т(п,К), D(n,/С), U(n,K)
равны соответственно п(п+ 1)/2, п, п(п— 1)/2.
3. Пусть % — конечномерная /(-алгебра. Доказать, что Aut 51 —
замкнутая подгруппа группы GL(St).
4. Доказать, что единственными автоморфизмами группы Gm
(как алгебраической группы) являются отображения х \—> х,
х 1—> х~\ в то время как Aut Ga ^ К*.
5. Замкнутое подмножество алгебраической группы, содержа-
содержащее е и замкнутое относительно произведения, есть подгруппа.
6. Доказать, что G0 — характеристическая подгруппа группы G,
т. е. подгруппа G0 инвариантна относительно всех автоморфизмов
группы G.
7. Пусть N d GL (n, К) — группа мономиальных матриц, т. е.
матриц, имеющих в точности один ненулевой элемент в каждой
строке и в каждом столбце. Доказать, что W — замкнутая подгруппа
группы GL(n,K), причем № = D(n,K) и [N : №] = п\ (Заметить,
что группа* Af/W° изоморфна симметрической группе Sn.)
8. Доказать, что Т{п,К), D(n,K), U(n,K)—связные группы.
9. В предложении 7.5. (б) показать, что в качестве п можно
взять число, меньшее или равное 2 dim G.
10. Показать на примере, что подгруппа алгебраической группы,
порожденная двумя замкнутыми множествами, которые не явля-
являются неприводимыми, не обязательно замкнута. (Использовать цик-
циклические подгруппы группы GL B, С), порожденные матрицами
11. Пусть G — связная алгебраическая группа. Доказать, что
любая конечная нормальная подгруппа Н группы G лежит в центре
Z(G) = {х е G\xy = ух для всех i/gG). (Рассмотреть морфизм
G-+H, определенный соотношением х i—*хух~1 (у^Н).)
12. Рассмотрим морфизм (xXfx: GXGXGXG-+GXG; пусть
X — прообраз диагонали {(х,х) \х ^ G}. Если группа G связна, до-
доказать, что X — замкнутое неприводимое подмножество в GXGX
X.GXG- (Заметить, что отображение (до, х, у, г)н~>(ш, х, у)
индуцирует изоморфизм X на G X GX G.)
Замечания. Идея предложения G.5) восходит к Шевалле
[4, § 7]. По поводу теории абелевых многообразий см. Ленг [2],
Мамфорд [2], Вейль [1].
§ 8. Действие алгебраических групп
на многообразиях
При изучении алгебраических групп мы часто будем
использовать их действие на себе и других естествен-
естественным образом возникающих многообразиях. В настоя-
настоящем параграфе вводится большая часть необходимой

104 ГЛ. И. АФФИННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
техники, а затем с ее помощью доказывается, что каж-
каждая (аффинная) алгебраическая группа изоморфна
замкнутой подгруппе некоторой полной линейной груп-
группы GL(n,K).
8.1. Действия групп на множествах. Если G — абст-
абстрактная группа, X — множество, то мы говорим о дей-^
ствии группы G на X, если задано отображение ср: G X
Х,Х-*~ХУ обозначаемое для краткости через ср(х, у) =
= Х'У, такое, что:
(А1) хх • (х2 • у) = (xix2) • у при хг gG, j/gI;
(А2) е • у = у для всех t/Gl
Эти два условия можно истолковать как требование, что
Ф индуцирует гомоморфизм группы G в симметрическую
группу множества X. Тройку (G, Ху ср) мы иногда назы-
называем пространством преобразований.
Пусть группа G действует на X. Мы говорим, что G
действует транзитивно, если G-y = X для любого j/gI
В любом случае множество G-y называется орбитой
элемента у\ очевидно, различные орбиты дают разбие-
разбиение множества X на непересекающиеся подмножества,
причем G действует транзитивно на каждой такой орби-
орбите. Через Х° мы обозначаем множество точек, непод-
неподвижных относительно G (т. е. множество тех j/gX,
орбиты которых состоят только из у). Если j/eI, то
мы определяем стабилизатор точки у е X в G как мно-
множество Gy = {х е G\x-y = {/}. Ясно, что Gy — группа.
Кроме того, орбитное отображение G -+ G-y, задаваемое
формулой хь—>х-у, индуцирует биекцию G/Gy-+ G.-y.
Если z = x-y для некоторого элемента x^G, то, как
легко видеть, стабилизаторы Gy и Gz сопряжены:
xGyx~l = Gz. Если Н — произвольная подгруппа группы
G, то имеется естественное транзитивное действие груп-
группы G на множестве левых смежных классов по Я, т. е.
на пространстве G/H (yHv->xyH)y причем Н — стаби-
стабилизатор класса Н. Ввиду предыдущих замечаний каж-
каждое транзитивное действие группы G, в сущности, имеет
такой вид.
Рассмотрим теперь некоторые естественные действия
группы G на себе. При x^G отображение у\—>хух~1 =
=lntx(y) задает действие внутренними автоморфизмами

§ 8. ДЕЙСТВИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП НА МНОГООБРАЗИЯХ 105
и определяет гомоморфизм G-^AutG (Ядро этого го-
гомоморфизма есть Z(G), центр группы G, а образ Int G,—
очевидно, нормальная подгруппа группы AutG). Орбита
элемента у есть класс сопряженности элемента у, а ста-
стабилизатор в данном случае представляет собой центра-
централизатор Cg (у) этого элемента. Множество неподвижных
точек совпадает с Z(G).
Группа G действует также на себе и как группа ле-
левых (соответственно правых) сдвигов: у*—>ху (соответ-
(соответственно уь->ух~х). Эти действия, очевидно, транзитив-
ны и их стабилизаторы все тривиальны.
8.2. Действия алгебраических групп. Пусть G — алге-
алгебраическая группа, X — многообразие. Если для мор-
физма ф: GXI->I выполняются аксиомы (Al), (A2)
(8.1), то мы говорим, что G действует на X регулярно *)
(или просто «действует», если не возникает путаницы).
Например, действия группы G на себе, описанные выше,
являются, очевидно, действиями такого сорта. Как и в
(8.1), мы имеем понятия орбиты, стабилизатора, ...
Другим полезным понятием является понятие транспор-
транспортера: TranG(y;Z) = {x<= G\x-YczZ}, где У и Z — под-
подмножества множества X. Наконец, положим CG (У) =
= П Gy\ это — централизатор множества У в G.
Предложение. Пусть алгебраическая группа G ре-
гулярно действует на многообразии X. Пусть У, Z —
подмножества множества X, причем Z замкнуто.
Тогда:
(а) Тгапо(У, Z)—замкнутое подмножество в G;
(б) Для каждого элемента у е X группа Gy замкну-
замкнута в G\ в частности, группа CG(Y) замкнута.
(в) Множество неподвижных точек любого элемента
xgG замкнуто в X; следовательно, множество XG замк-
замкнуто.
(г) Если группа G связна, то G оставляет инвариант-
инвариантной каждую неприводимую компоненту множества X, и,
в частности, действует на X тривиально, если множество
X конечно.
Доказательство. Для каждого элемента j/gX орбит-
ное отображение q>y: G-+X (х\—>х*у) есть композиция
*) В оригинале «morp hie ally». — Прим. перев.

106 ГЛ. II. АФФИННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
отображения хь—>(х, у) и ср; следовательно, это мор-
физм. Если у пробегает множество К, то прообразы
q>~l(Z) все замкнуты в G (ибо множество Z замкнуто
в Х)\ поэтому пересечение ТгаПо(У, Z) этих прообразов
замкнуто в G, откуда следует (а). Поскольку Gy =
= TranG({y}, {у}), то Gy — замкнутая подгруппа груп-
группы G ввиду (а). В свою очередь CG (Y) = f| G», откуда
y&Y
следует (б).
Для доказательства утверждения (в) выберем эле-
элемент jcgG и рассмотрим морфизм г|э: Х-*ХУ(Х, опре-
определенный соотношением У*—>(у,Х'у). Множество не-
неподвижных точек Xх — это в точности прообраз диаго-
диагонали относительно отображения \|); диагональ замкнута
B.5). Отсюда следует (в).
Наконец, пусть G — связная группа. Стабилизатор Н
в группе G неприводимой компоненты множества X
замкнут ввиду (а) и является подгруппой. Так как груп-
группа G перемещает между собой конечное число компо-
компонент множества X, то группа Н имеет в G конечный
индекс. Следовательно, H=G (Предложение7.3 (б)). □
Следствие. Пусть G — алгебраическая группа, Н —
ее замкнутая подгруппа. Тогда Ng(H) и CG(H) —замк-
—замкнутые подгруппы, так же как и подгруппа CG(x) для
любого элемента х е G. (Здесь Ng(H) = {x^ G\xHx~l =
= Н} —нормализатор подгруппы Н в G.)
Доказательство. Для групп Cg(H) и Cg(x) эти ре-
результаты вытекают из части (б) предыдущего предло-
предложения, если мы рассмотрим действие группы G на себе
посредством внутренних автоморфизмов. Для группы
Ng(H) результат вытекает из части (а) предложения и
того факта, что Ng(H) =TranG(Hy H). В самом деле,
автоморфизм Inty (y^G) отображает Н в замкнутую
подгруппу группы G той же размерности, что и размер-
размерность Я, причем компонента единицы этой подгруппы
имеет в ней индекс [Н:Н°]. Поэтому Int* отображает
группу Н в Н тогда и только тогда, когда Int* отобра-
отображает Н на Н. □
Мы будем часто пользоваться тем фактом, что нор-
нормализаторы, централизаторы и множества неподвижных
точек есть замкнутые множества. Однако орбиты часто
оказываются не замкнутыми (например, классы

§8. ДЕЙСТВИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП НА МНОГООБРАЗИЯХ 107
женных элементов) (см. ниже (8.3)). Возможно, стоит
обратить внимание и на тот факт, что связность норма-
нормализаторов и централизаторов не всегда имеет место. Не-
Некоторые более тонкие рассуждения в последующих гла-
главах будут относиться именно к этому вопросу.
Предположим, далее, что ср: G-^GL(V)— (рацио-
(рациональное) представление алгебраической группы G. Если
отождествить V с аффинным ^-пространством (п =
= dim V), то, очевидно, правило x-v = у(х) (v)y где х е
g G, у g 1/, определяет действие группы G на V. В этом
случае мы называем V (рациональным) G-модулем. Для
последующих ссылок мы опишем здесь некоторые необ-
необходимые понятия и конструкции.
С представлением ф ассоциировано дуальное, или
контрагредиентное представление G-»GL(V*), где V* —
дуальное векторное пространство. Это представление за-
задается правилом: (x-f) (v) = f(x~l-v) (feV*, ogV,
хеО). Мы должны писать x~\ чтобы обеспечить вы-
выполнение условия у- (x-f) = (ух) -f. Если в V, V* вы-
выбраны двойственные базисы, то сразу становится ясным,
что двойственное представление действительно является
рациональным представлением группы G.
Рассмотрим теперь пару представлений ср: G->-
-+GL(V), яр: G ->■ GL(W). Тензорное произведение V(g)
(g) W пространств V, W в качестве базиса имеет векторы
Vi (g) Wf, если Vi (соответственно w}-) пробегает базис
пространства V (соответственно W). Зададим линейное
действие элемента xeG на V(g)W соотношением
x-(Vi® Wj) = (X'ui) (g) (x-Wj). (Конечно, нам не было
бы необходимости выбирать базис, если бы мы исполь-
использовали непосредственно универсальное свойство тензор-
тензорного произведения.) Ясно, что мы получаем таким об-
образом (рациональное) представление G -> GL(V £g) W),
которое называется тензорным произведением представ-
представлений ф, г|э и обозначается ф <g) ip.
Хорошо известно, что векторное пространство V*® V
естественным образом отождествляется с векторным про-
пространством End Vy — элементу f (g) v ставится в соответ-
соответствие эндоморфизм w \—>f(w)v. Следовательно, (рацио-
(рациональное) представление G -> GL(V) индуцирует дейст-
действие группы G на End (У), которое фактически преобра-
преобразует элемент t^EndV в xtx~l (xgC). Читатель мо-

108 ГЛ. II. АФФИННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
жет проверить, что неподвижная точка действия группы
G на End V — в точности некоторый гомоморфизм G-mo-
дулей V-+V.
Если группа G действует на двух многообразиях X,
У, то морфизм ф: X-+-Y называется G-эквивариантным,
если y(z-x)—z-q>(x) для любых элементов zgG,jce!
Например, рассмотрим действие подгруппы G cz GL(V)
на V и на самой себе при помощи левых сдвигов. При
dgV орбитное отображение G -> V, преобразующее z
в z*vy является G-эквивариантным морфизмом. (См.
также упражнение 6.)
8.3. Замкнутые орбиты. Предложение. Пусть алгеб-
алгебраическая группа G регулярно действует на (непустом)
многообразии X. Тогда каждая орбита есть гладкое ло-
локально замкнутое подмножество многообразия X, гра-
граница которого — объединение орбит строго меньшей
размерности. В частности, орбиты минимальной размер-
размерности замкнуты (и, таким образом, замкнутые орбиты
всегда существуют).
Доказательство. Пусть Y = G • у — орбита элемента
у^Х. Как образ группы G относительно орбитного ото-
отображения, множество Y конструктивно D.4) и, следова-
следовательно, содержит открытое плотное подмножество мно-
множества F. Но группа G действует на Y транзитивно
(оставляя множество F инвариантным), так что множе-
множество Y является гладким и содержит окрестность в Р
каждой из своих точек, т. е. У открыто в F. Поэтому;
множество F—У замкнуто и его размерность строго!
меньше размерности множества F. Поскольку это мно-;
жество инвариантно относительно G, оно является объ-
объединением G-орбит. □
Это предложение будет весьма полезным в дальней-;
шем. К нему приходится обращаться, если заранее не-
неизвестно, имеет ли многообразие X неподвижные точки
относительно группы G.
8.4. Полупрямые произведения. Действие одной груп-
группы на другой (как группы автоморфизмов) позволяет
построить новую, большую группу. Напомним сначала
(абстрактную) теоретико-групповую конструкцию: если
группа G действует (как группа автоморфизмов) на
группе N, то декартово произведение iVXG становится
группой, если мы определим на нем умножение при по*

§ 8. ДЕЙСТВИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП НА МНОГООБРАЗИЯХ 109
мощи формулы (хиУ1)(х2,У2) = (х\(угх2)9 у\У2). Эта
группа называется полупрямым произведением групп N
и G и обозначается через N X]G. Прямое произведение
возникает как частный случай этой конструкции (когда
группа G действует на N тривиально). Группа N вкла-
вкладывается в Ny<lG как нормальная подгруппа: х\—>
h—>(#, е), a G — как подгруппа у*->{е,у), так что каж-
каждый элемент группы N Х\ G можно однозначно записать
в виде ху (хеЛ/, j/eG). В результате действие группы
G на N реализуется внутренними автоморфизмами. Эта
конструкция может быть описана также при помощи
точной последовательности (где а — только что описан-
описанное каноническое вложение, а я — проекция на второй
множитель):
е-> N -^ N X G ^
а
Как узнать, является ли данная группа полупрямым
произведением? Если G' — некоторая группа с подгруп-
подгруппами N и G, причем подгруппа N нормальна в G', то О
действует на N внутренними автоморфизмами, что поз-
позволяет нам построить полупрямое произведение N XG.
Легко проверить, что гомоморфизм N X G -у G', опре-
определенный соотношением (x,y)t—>xy, является изомор-
изоморфизмом тогда и только тогда, когда G'=NG и N f] G=e.
Это рассуждение почти дословно переносится на слу-
случай алгебраических групп. Если G, N ~ алгебраические
группы и G регулярно действует на 7V автоморфизмами,
то многообразие 7VXG становится алгебраической груп-
группой Ny<lG и отображения /, я, а оказываются морфиз-
мами алгебраических групп.
С другой стороны, заданная алгебраическая группа
G' с замкнутыми подгруппами G, N (причем группа N
нормальна в G') отождествляется описанным выше спо-
способом с полупрямым произведением N y<\G при условии,
что естественный морфизм N>lG-+G' есть изоморфизм
алгебраических групп. (Вообще говоря, не достаточно,
чтобы этот морфизм был изоморфизмом абстрактных
групп). Пример: группа Т(пуК)—полупрямое произве-
произведение (как алгебраическая группа) своих подгрупп
D(n,K) и £/(п, К), причем группа 0(пУК) нормальна
в Т(п, К) (упражнение 2).

ПО ГЛ. II. АФФИННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
8,6, Сдвиг функций. Если алгебраическая группа G
действует на аффинном многообразии X (например, на
себе самой), то мы получаем также еще и интересное
линейное действие группы G на аффинной алгебре К [X]
и некоторых ее конечномерных подпространствах. Имен-
Именно, обозначим через хх коморфизм, ассоциированный
с морфизмом yt->x~l-y (#eG, j/gI). Таким образом,
если f^K[X], j/gI, to (xxf) (у) =f(x~l-y). Мы берем
здесь х~\ чтобы отображение х: G -> GL(K[X]), где
х{х)=хХу было гомоморфизмом групп. Назовем этот
коморфизм %х сдвигом функций на х. Отметим, что хх на
самом деле является автоморфизмом /(-алгебры /([X].
Например, если X = G и G действует на себе при
помощи левых (соответственно правых) сдвигов (8.1):
у\->ху (соответственно у^>ух~1), то введенный выше
ассоциированный морфизм имеет вид у*—>х~ху (соот-
(соответственно у*—>ух), а его коморфизм %х (соответствен-
(соответственно рх) называется левым (соответственно правым) сдви-
сдвигом функций на х:
Как и выше, отображения %: G-*GL(K[G]) и р: G->
-*GL(K[G]), где К (х) =%х и р(х) =рх — гомоморфиз-
гомоморфизмы групп. Кроме того, очевидно, сдвиги %х и ру комму-
коммутируют (для каждой пары элементов х, y^G). Эти опе-
операторы окажутся в высшей степени полезными в даль-
дальнейшем. Для примера мы используем правые сдвиги,
чтобы охарактеризовать замкнутые подгруппы.
Лемма. Пусть Н — замкнутая подгруппа алгебраиче-
алгебраической группы G, и пусть I — идеал кольца K[G]y множе-
множество нулей которого совпадает с Н. Тогда Н =
{\II}
{\p()}
Доказательство. Пусть сначала хеЯ, Если fe/, то
(р4) {y) — f(yx) = O для всех {/<=# (ибо ух^Н); по-
поэтому pxf=I. Наоборот, пусть рхA)а1; в частности,
если f е /, то функция pxf обращается в 0 в точке есЯ,
т. е. f(x) = 0. Поэтому х<= Н. П
8.6. Линеаризация аффинных групп. Как было отме-
отмечено в G.1), любая замкнутая подгруппа группы
QL(n, К) является (аффинной) алгебраической группой.

§ 8. ДЕЙСТВИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП НА МНОГООБРАЗИЯХ Щ
Мы покажем, что обратное тоже верно, построив конеч-
конечномерное подпространство алгебры K[G]9 на котором
группа G действует сдвигами. Однако вначале необхо-
необходимо выполнить некоторую подготовительную работу.
Предложение. Пусть алгебраическая группа G регу-
регулярно действует на аффинном многообразии X, и пусть
F — конечномерное подпространство алгебры К [X].
(а) Существует конечномерное подпространство Е
алгебры К[Х\, содержащее Fy которое инвариантно от-
носительно всех сдвигов %х (х <= G).
(б) Подпространство F само инвариантно относи-
относительно всех сдвигов тх (х е G) тогда и только тогда,
когда у* Fez /C[G](g) KF, где морфизм <р: GY,X->X за-
задает действие группы G на X.
Доказательство, (а) Мы можем считать, что прост-
пространство F натянуто на один элемент f ei([I] (а потом
сложить все полученные пространства Е). Запишем (не-
(неоднозначно) ф*/ = X // ® gt: е К [G] ® К [X]. Для каж-
каждого элемента #eG, j/el имеем (т*/) (у) =f(x~ly) =
= ЕМ*~1)Ы{/)> откуда xxf^=Tift(x"l)gi. Следова-
Следовательно, функции gi порождают над К конечномерное
подпространство в К[Х], которое содержит все сдвиги
функции /. Таким образом, в качестве Е можно взять
/С-пространство, натянутое на все %xf.
(б) Если ф^с: K[G](g>Fy то доказательство утверж-
утверждения (а) показывает, что функции gi можно выбрать
в /% т. е. пространство F инвариантно относительно всех
сдвигов тх (x^G). Обратно, пусть пространство F ин-
инвариантно относительно сдвигов: дополним базис {/,}
пространства F до базиса {//} U {gt} пространства /С[Х].
Если ф7 = 1]>** ® ft + Z$/ ® gh то мы имеем %xf =
== Л т{ (х~х) fi + YjSf (x~l) gi- Левая часть лежит в F; по-
поэтому функции 5/ должны обращаться в 0 на всей груп-
группе G, т. е. все sj = 0, откуда ф*/7 cz K[G] (g) F. □
Теорема. Пусть G — (аффинная) алгебраическая
группа. Тогда G изоморфна замкнутой подгруппе груп-
группы GL (п, К) для подходящего п.
Доказательство. Выберем в аффинной алгебре K[G]
образующие fi, ..., fn- Применяя часть (а) предыдуще-
предыдущего предложения к линейной оболочке F элементов fiy
мы можем найти большее конечномерное подпростран-

112 ГЛ. II. АФФИННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
ство Е a K[G], инвариантное относительно всех правых
сдвигов рх (xeG). Изменяя обозначения, мы можем
считать, что /ь ..., fn—базис векторного пространства
Е (и K[G] порождается, как алгебра над /С, этими эле-
элементами). Обозначим через ф действие группы G на Е\
в силу утверждения (б) предложения, можно записать
ф7* = Z шц ® //, где тц е= К [G]. Тогда (pxft) (у) = ft {ух)
= TiinuWfjiy), откуда pxft = Z тц (х) //.Другими сло-
словами, матрица оператора Рх\Е (в базисе f\, ..., fn) есть
(rriij(x)). Это показывает, что г|): G -> GL(n, /С), где
гр (а:) = (т/;- (х)), — морфизм алгебраических групп.
Заметим, что fi(x) = fi(ex)=yZjtnij(x)fj(e)i или f{ =
==lL fj(e)fnij- Это показывает, что функции тц также
порождают алгебру K[G]\ в частности, морфизм \|з wwb-
ективен. Кроме того, образ G/ = ty(G)—замкнутая
подгруппа группы GL(n,K) (утверждение (б) предло-
предложения 7.4 Б). Чтобы закончить доказательство, нам
остается только убедиться, что г|) — изоморфизм много-
многообразий. Но ограничения на G/ координатных функций
Тц отображаются коморфизмом г|э* в соответствующие
тц, которые, как только что показано, порождают
алгебру K[G]. Таким образом, коморфизм \|э* сюръек1
тивен, следовательно, он отождествляет алгебры K[G'\
и K[G]. □
Подобно тому как теорема Кэли в теории групп сво-
сводит изучение абстрактных групп к группам подстано-
подстановок, эта теорема сводит изучение аффинных алгебраиче-
алгебраических групп к линейным группам. Однако «произволь-
«произвольность» конкретно выбранного представления вынуждает
нас большей частью предпочитать оставаться в общей
ситуации. Для наших целей эта теорема служит глав-
главным образом техническим средством в некоторых до-
доказательствах: мы вкладываем данную группу в полную
линейную группу (в качестве замкнутой подгруппы), а
затем используем конкретные свойства матриц (напри-
(например, поведение собственных значений). Эта процедура
не слишком элегантна, и часто ее можно избежать, но
она делает порой некоторые доказательства более по-
понятными.

§8. ДЕЙСТВИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП НА МНОГООБРАЗИЯХ ИЗ
В известном смысле действие группы G на K[G]
правыми сдвигами содержит всю информацию о линей-
линейных представлениях группы G. Переход от х к р* мы
будем существенным образом использовать в следую-
следующей главе.
Упражнения
Через G всюду обозначается произвольная алгебраическая
группа.
1. Пусть группа GL(n,K) обычным образом действует в про-
пространстве Кп, которое мы отождествляем с аффинным п-простран-
ством. Доказать, что имеется ровно две орбиты, одна из которых
замкнута, а другая — нет.
2. Проверить утверждение из (8.4) о том, что группа Т(п,К) —
полупрямое произведение групп D(n,K) и U(n,K).
3. Доказать, что К [G] — объединение конечномерных подпро-
подпространств, инвариантных относительно правых сдвигов на элемен-
элементы из G.
4. Показать, что каждое конечномерное подпространство K[G]
содержится в конечномерном подпространстве, инвариантном отно-
относительно всех Хх и рх (xgG).
5. Показать, что следующие соотношения задают на А2 струк-
структуру (связной) алгебраической группы. Пусть char К — р > 0, и
пусть q, г — некоторые степени числа р. Положим (а, Ь) • (с, d) =
= (а + с, b + d + aqcr). При q ф г проверьте, что эта группа не-
некоммутативна. Попытайтесь найти замкнутую подгруппу группы
UE, К), изоморфную этой группе.
6. Группа GL(V) действует на многообразии V — {0}, (рассмат-
(рассматриваемом как открытое множество в аффинном пространстве) и на
P(V) как алгебраическая группа преобразований. Показать, что ка-
каноническое отображение V — {0}-^P(V) есть G-эквивариантный
морфизм для любой замкнутой подгруппы Gc GL(V).
7. Предположим, что G-модуль V изоморфен G-модулю V* (8.2).
Доказать, что существует невырожденная билинейная форма
Р: VX V->-К, которая инвариантна относительно G в том смысле,
что $(x-v, x-w) = р(у, w) для всех х е G, у, w e V.
8. Доказать, что нормализатор группы D(n,K) в GL(n,K) есть
группа Xf мономиальных матриц (см. упражнение 7.7).
Замечания. Относительно внутреннего подхода к аффинным ал-
алгебраическим группам, основанного в гораздо большей мере на их
алгебрах Хопфа, нежели на реализациях в виде линейных групп,
см. Хохшильд [8].

ГЛАВА III
АЛГЕБРЫ ЛИ
§ 9. Алгебра Ли алгебраической группы
9.1. Алгебры Ли и касательные пространства. Цель
этого параграфа — сопоставить алгебраической группе
алгебру Ли. Для наших целей достаточно определить
алгебру Ли над полем К как подпространство ассоциа-
ассоциативной /(-алгебры, которое замкнуто относительно ско-
скобочного умножения [х, у] = ху — ух. Важный пример
доставляет полная линейная алгебра gl(/z, /С), которая
представляет собой ассоциативную алгебру М(п, /С), рас-
рассматриваемую как алгебра Ли. (Мы увидим в дальней-
дальнейшем, что (I(я, К) есть, в сущности, алгебра Ли полной
линейной группы GL(n,K).)
Пусть G — алгебраическая группа и A—K[G]. На-
Напомним (8.5), что G действует на А при помощи левых
(соответственно правых) сдвигов: (Kxf) (у) =f(x~ly)
(соответственно (pxf) (у) =f(yx)). Легко проверить, что
скобочное произведение двух дифференцирований (под
которыми мы всегда понимаем /С-дифференцирования)
алгебры А снова будет дифференцированием; следова-
следовательно, Der A — алгебра Ли. Алгеброй Ли будет так-
также подпространство 2?{G) = {6e Der А\8%х = кх8 для
всех xeG}, — пространство левоинвариантных диффе-
дифференцирований алгебры Л, ибо скобка двух дифферен-
дифференцирований, перестановочных с %х, есть, очевидно, диф-
дифференцирование, перестановочное с Я*.' Мы называем
3?(G) алгеброй Ли группы G.
В эхом месте возникают некоторые естественные во-
вопросы. A) Является ли алгебра Ли S(G) конечномер-
конечномерной, и если да, то какова ее размерность? B) Если ср:
G-+G' — морфизм алгебраических групп, то как связа-
связаны алгебры Ли 3?(G), S{Gr)l C) Как отражает строе-
строение алгебры Ли 3?{G) строение группы G? D) Если"
Н — замкнутая подгруппа группы G} то как алгебра Ли
$[П\ связана с ^(G)?

§9. АЛГЕБРА ЛИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ Ц5
Решению этих вопросов в значительной мере способ-
способствует сравнение алгебры Ли 2 (G) с касательным про-
пространством T(G)e E.1). Напомним, что T(G)e отожде-
отождествляется с &~(G°)e] оно имеет структуру векторного
пространства над К, размерность которого равна dim G
(ибо е — простая точка G.1)). Как правило, мы вместо
9r(G)e будем писать д. Задав морфизм ср: G-+G', кото-
который переводит е в е (например, морфизм алгебраиче-
алгебраических групп), мы получаем линейное отображение dq>e:
g->g\ Дифференцирование обладает функториальными
свойствами E.4): d(lG)e = \> d(\Sp оф)е = d^e °dye. Мы
знаем также, что &~(G)e можно описать алгебраически
как пространство дифференцирований (в точке) локаль-
локального кольца элемента е в /С. Но такие дифференцирова-
дифференцирования однозначно определяются своим действием на под-
кольцо A =K[G). Это заставляет думать, что мы могли
бы перейти от 3?(G) к g вычислением значений функций
в точке е. Формально мы определим /(-линейное отобра-
отображение 9: «2?(G)->9 соотношением (96)/ = (б/) (е) (б е=
&(GfA
(),f)
Теорема. Пусть G — алгебраическая группа, g =
==T{G)e, 3?{G) —как и выше. Тогда 9: 3?{G)-+§ —
изоморфизм векторных пространств. Если ф: G -+ G' —
морфизм алгебраических групп, то dye: 8-^8' — гомо-
гомоморфизм алгебр Ли (на g, g' мы переносим скобочное
умножение алгебр J?(G),i?(G')).
Доказательство этой теоремы будет дано в (9.2). По-
Поскольку это доказательство довольно формально, мы
поясним здесь неформальным образом его основную
идею. Если мы рассмотрим композицию произвольного
дифференцирования б: А-+А с последующим вычисле-
вычислением значения в точке xgG, to получим касательный
вектор в точке х. (Таким образом, б определяет «каса-
«касательное векторное поле» на G, сопоставляя каждой точ-
точке группы G касательный вектор.) Левая инвариант-
инвариантность дифференцирования б попросту означает, что ка-
касательный вектор в точке е, определяемый б, «преобра-
«преобразуется» (при помощи левых сдвигов) в касательный
вектор в каждой другой точке х, определяемый б. Сле-
Следовательно, дифференцирование б должно однозначно
определяться касательным вектором /1—> (б/) (е) (и лк>

116 ГЛ. III. АЛГЕБРЫ ЛИ
бой касательный вектор в точке е должен приводить
к некоторому такому дифференцированию б).
Теорема дает ответ на вопросы A) и B), поставлен-
поставленные выше. (Вскоре мы обсудим и вопросы C) и D)).
Если ф: G-+ G'— морфизм алгебраических групп, то мы
будем писать dq> вместо dcpe. Рассмотрим, например,
внутренний автоморфизм lntx(y) = xyx~l (x, y^G).
Его дифференциал d(lntx) будет играть важную роль
в дальнейшем; мы обозначим его через Ad я. В соответ-
соответствии с теоремой Ad я есть автоморфизм алгебры Ли д:
обратимость следует из того факта, что (Ad x) (Ad x~l) =
= d(lntx) od(lntx~l) = d(lnte) = lg. В действительно^
сти iAdx) (Ady) =Adxyy так что Ad: G->Autgc:
d Gl(q)—гомоморфизм (абстрактных групп), называе-
называемый присоединенным представлением группы G.
Интересно точно вычислить действие автоморфизма
Adx на Я? (G) (при помощи отождествления 9). Мы
утверждаем, что Ad*F) = pJt6pj1. (Поскольку правые
и левые сдвиги коммутируют, то правая часть принад-
принадлежит 2?{G)). Если Ad х (б) = б', то, по определению,
F7)(£>) = 6(ф7)(£>) для всех fs=K[G], где <p = Int*. Это
применимо, в частности, к функциям вида pxf. Но
4r(9j)(y)=(9j)^yx'l)=f^y)=(K^f)(y^ т.е. Ф*(Р*/)=
= %х- ,f. Теперь (б'рх) (/) (е) = б (Хх.,/) (е) = ХХ.{ (б/) (е)
(дифференцирование б левоинвариантно!) = Ff) (x) =
= 9xb(f)(e). Это показывает, что б/ = Рхбр~1, как и ут-
утверждалось.
9.2. Конволюции. Чтобы доказать теорему 9.1, мы по-
построим обратное отображение ц: g->i?(G), отображаю-
отображающее касательный вектор х в дифференцирование *х, на-
называемое правой конволюцией *) вектора х:
Прежде всего необходимо проверить, что *х — действи-
действительно,левоинвариантное дифференцирование алгебры Л.
При х, у <= G, f, g e А мы имеем
(fg * х) (х) = х (Яя_, (fg)) = х ((Я.,.,/) (Ья-18)) =
•) Или сверткой. — Прим. перев.

§9. АЛГЕБРА ЛИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ Ц7
(так что *х — дифференцирование, ибо линейность этого
отображения по К очевидна) и
(так что дифференцирование *х левоинвариантно).
Ясно теперь, что г) есть /С-линейное отображение. Что-
Чтобы убедиться, что оно является обратным к 0, мы долж-
должны вычислить т) о 0 и 8 о т):
(таким образом, (rio9N = 6 при б
(так что при xgj мы имеем F о г\) (х) = х).
Остается показать, что если qp: G->Gf — морфизм
алгебраических групп, то отображение d(p: g-^g' сохра-
сохраняет скобочное умножение. При х, уед положим х' =
= dcp(x), y/ = d<p(y). Пусть f ^K[G']; положим f=q>*//.
По определению [х7, y/](f/)==(f/*y/*x/)(e)—(f/*x/*y/)(e) =
= х7 (Г * /) - У7 (/7 * хО = х (Ф* (Г * у')) - у (Ф* (Г * х')).
С другой стороны, б?ф([х, у]) отображает f в (f *y*x)(e) —
— (f *x *y)(e) = x(f *y) — y(f *х). Мы утверждаем, что
каждый член здесь равен соответствующему члену пре-
предыдущего уравнения; для этого достаточно показать,
что f * х = ф* (f' * х7), т. е. что (ф*П * х = ф* (f * dy (x)).
Обе части этого равенства есть функции на G, так
что мы сравним значения в точке х е G; мы имеем
(Ф*Г*х)(а:)==х(Я;с-1ф7/), тогда как (Г * dq> (д:)) (<р [х)) =
= ^ф (х) (Яф(хГif) = х (ф* (Лф ^-i/7)). Остается дока-

118 ГЛ. III. АЛГЕБРЫ ЛИ
зать, что ^-1ф7/ = Ф*(\(х)-1Г)- Это непосред-
непосредственно следует из вычисления значений обеих частей
этого соотношения в точке у е G. □
9.3. Примеры. Пусть G = Ga, так что K[G] = K[T].
Алгебра Ли SB(G) является одномерной, так что ее ско-
скобочная операция есть 0, т. е. [а, р] =0 для любых а, |3 е
2(G) Мы утверждаем, что дифференцирование
6=-Tsr является левоинвариантным (и, следовательно,
порождает 2(G) над К). Это достаточно проверить для
полинома Т при произвольном x^G; мы имеем:
%_х8Т = к-Л = 1 и 8%-хТ = 8(Т + х) =6Г=1.
Пусть теперь G = Gm, /C[G] = /С[Г, Г-1] (кольцо по-
полиномов Лорана). Алгебра Ли 2(G) снова одномерна.
Если мы положим 8Т = Г, то б продолжается единствен-
единственным образом до некоторого дифференцирования кольца
К [Г, Г], которое оказывается левоинвариантным (ибо
8(аТ) =а8Т при ае=К*).
Эти два примера достаточно легко разобрать непо-
непосредственно. Но для групп больших размерностей необ-
необходимо развить более систематическую процедуру для
вычисления 2(G). Поскольку касательное пространство
часто более доступно, чем абстрактно определенное про-
пространство левоинвариантных дифференцирований, то
предпочтительно ввести скобочную операцию непосред-
непосредственно на 3r{G)e> Мы сделаем это при помощи ассо-
ассоциативного произведения х-у на касательных векторах
в точке е, которое, конечно, должно включать некоторым
образом групповую операцию. При A==K[G] запишем
\x*f = Zfi®gi (/, h g/еЛ), где \i: GXG-^G-умно-
жение в группе G. Если х, yG^(G)e рассматривать
как дифференцирования Л —^ /С, то можно определить
/(-линейное отображение х®у: А®А-*К с помощью
соотношения (х (g) у) (/(g)g) = (x/) (y^). (Проверьте кор-
корректность, рассмотрев билинейное отображение АХА-*-
-+К.) Теперь мы положим х-у = (х ® у) °|^*: А-+К.
Вместо того, чтобы непосредственно проверять, что
операция х-у ассоциативна и что операция [х, у]=х-у —
— у-х соответствует лиевой скобке в 3?(G), мы покажем
что при отображении 9: i?(G) 2£й обычное ассоциатив-

§9. АЛГЕБРА ЛИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ Ц9
ное произведение (*х) (*у) переходит в х-у. Заметим
сначала, что если \x*f = £ fi ® gu T0
(Вычислите обе части этого равенства в точке ш(? и
используйте тот факт, что hx-if = Yjft (*)£/)• Теперь, по
определению, мы имеем (х • у)(/) = Zx(f,)y(g,). С дру-
другой стороны, используя только что сделанное замечание,
получаем
= (Z (ft * х) у (gi) (е)) = Z х (/,) у (gi).
Теперь мы можем вычислить алгебру Ли группы G=
= GL(n,K). Так как G — открытое множество в аффин-
аффинном ^-пространстве, то его касательное пространство
в точке е имеет в качестве канонического базиса различ-
различные операторы частного дифференцирования д/дТц
с последующим вычислением значения на единичной
матрице. Удобно определить касательный вектор х при
помощи п2 чисел *// = х(Г//), расположенных в виде
квадратной матрицы. При таком соглашении мы имеем
(х • у){Тц) = (x®y)^Z^® Thi} = Z xihyhj (обычное
матричное произведение). Другими словами, /(-линей-
/(-линейное отображение х ■—>(*//) алгебры g в М(п, К) отож-
отождествляет алгебру Ли g с Ql(n,K). (Это отображение
инъективно, так как только нулевой касательный вектор
обращает в 0 все Тц, и сюръективно, так как размерно-
размерности этих пространств равны п2.) Таким образом, g
можно рассматривать как «геометрическое» касатель-
касательное пространство к G в точке е (именно, аффинное
^-пространство) с перенесением точки е в 0.
9.4. Подгруппы и подалгебры Ли. Пусть Н — замк-
замкнутая подгруппа алгебраической группы G. Включение
tj: H-+G есть изоморфизм на замкнутую подгруппу: ко-
морфизм ту* отображает K[G] на К[Щ ^ K[G]/I, где
/ — идеал функций, обращающихся в 0 на Я. Следова-
Следовательно, дифференциал dr\e отождествляет пространство
°Г{Н)е с подпространством пространства T(G)e, состоя-
состоящим из эсед тех х, для которых х(/) = 0. Н° х\~

120 ГЛ. III. АЛГЕБРЫ ЛИ
физм алгебраических групп, так что dr\\ $->& — гомо-
гомоморфизм алгебр Ли, который позволяет нам рассматри-
рассматривать I) как подалгебру Ли алгебры g (9.1). Напомним,
что группу Н можно охарактеризовать как множество
всех элементов jcgG, для которых р*(/)с:/ (лемма
8.5). Имеется подобная характеризация подалгебры I),
использующая правую конволюцию.
Лемма. Пусть Н—замкнутая подгруппа группы G,
и пусть I — идеал алгебры K[G]y состоящий из функций,
обращающихся в 0 на Н. Тогда Ъ= {х е g | /*х с /}.
Доказательство. Пусть xef). Если /е/, хеЯ, то
(/*x)(jc) = x(Ax-if) = O, так как %x-\f снова принадле-
принадлежит идеалу /. Таким образом, /*х е /. Наоборот, пусть
элемент хед удовлетворяет условию /*хс/. Если
/е/, то(/*x)(e)==x(A£?_i/) = x(/) = 0 (так как *€=#),
откуда следует, что xej>. D
Эта лемма не находит больших применений в прак-
практике вычисления алгебры I) (но позднее найдет некото-
некоторые теоретические приложения). Вместо этого часто
оказывается возможным описать алгебраическую груп-
группу как замкнутую подгруппу некоторой полной линей-
линейной группы GL(n,K), а затем вычислить в явном виде
ее алгебру Ли как подалгебру алгебры gl(fz, /С).
Рассмотрим, например, группу Т(п,К). Ее можно
рассматривать как главное открытое множество в аф-
аффинном пространстве Ал(я+1)/2 (вложенном очевидным
образом в А), определенное условием, что определи-
определитель не равен 0, так что касательное пространство в точ-
точке е есть это аффинное пространство. Другими словами,
после переноса касательного пространства из точки е
в 0 алгебра Ли группы Т(п,К) есть множество t(n, К)
всех верхних треугольных матриц. Аналогично алгебра
Ли группы D(n,K) есть множество Ь(п, К) всех диаго-
диагональных матриц. Группа U(n,K) есть замкнутое под-
множестЁо в М(п,К), определенное обращением в 0 ли-
линейных полиномов Тц—1, Тц {i>j)\ поэтому в соот-
соответствии с E.1) ее касательное пространство в точке е
(снова передвинутое в точку 0) состоит из всех матриц
с нулями на диагонали и под ней. Эта алгебра Ли обо-
обозначается через п(п,К) (что не вполне удачно). Заме-
Заметим, что в каждом из этих случаев размерность группы

§ 9. АЛГЕБРА ЛИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 121
(или ее алгебры Ли) легко вычислить; но это не всегда
так просто в общем случае.
Рассмотрим еще группу SL{nyK), множество нулей
полинома f(T) = det G\/) — 1. Как отмечено в E.4),
^j~dT (*)^'/ = ]С Тн'> ПОЭТОМУ> в соответствии с E.1),
алгебра Ли группы SL(n,K) лежит в множестве $\{п, К)
матриц со следом 0. Но в обоих случаях размерность
равна п2— 1, см. G.2), так что должно иметь место ра-
равенство, т.е. &(пу К) есть алгебра Ли группы SL(n,K).
9.5. Двойные числа. Существует иной путь рассмотрев
ния алгебры Ли, на основе теоретико-схемного подхода.
Мы кратко наметим его, отсылая читателя к Борелю
[4], Демазюру и Габриэлю [1] за строгим изложением.
Этот пункт нигде в дальнейшем не используется.
Пусть G — алгебраическая группа, A=K[G]. Точки
группы G взаимно однозначно соответствуют максималь-
максимальным идеалам кольца Л A.5) или гомоморфизмам /(-ал-
/(-алгебр А-+К. Множество таких гомоморфизмов мы обо-
обозначим через Нот (А, К). Точке x^G соответствует го-
гомоморфизм е*, где &x(f) =f(x). Как переносится в
Нот (Л, К) умножение \х в группе G? Пусть х, y^G;
рассмотрим композицию отображений А —> А ® А
* К ® К -> К, где последняя стрелка есть умноже-
умножение в /С.
Если мы заменим К на произвольную (коммутатив-
(коммутативную) /(-алгебру В, то множество гомоморфизмов /(-ал-
/(-алгебр Нот (Л, В) аналогичным образом наделяется груп-
групповой структурой. Элементы множества Нот (Л, В)
можно понимать как «точки группы G над В». Таким
образом, можно теперь понимать G как функтор, сопо-
сопоставляющий каждой /(-алгебре В группу G(B) =
=Hom (Л, В). Например, вместо одной группы GL(n,K)
мы могли бы изучать функтор GLn, который сопостав-
сопоставляет алгебре В группу GL(n, В). Аналогично можно рас-
рассматривать как функторы и Ga, Gm.
По определению алгебра двойных чисел есть
К[Т]/(Г2), или /С[б], где 62 = 0. Общий элемент этой
алгебры имеет, следовательно, вид а + 6б (а, Ъ е К).
Если G — функтор только что описанного типа, то

122 ГЛ. III. АЛГЕБРЫ ЛИ
мы называем ЗГ {G) = G(K[8]) касательным расслое-
расслоением группы G. По существу, это — совокупность
всех касательных пространств в точках группы G(K).
Включение /(->/([6] и проекция К[8]-+К ( рб)
индуцируют групповые гомоморфизмы G{)(),
&~{G) ->■ G(K), которые в свою очередь приводят к рас-
расщепляющейся точной последовательности, ядро которой
интерпретируется как касательное пространство в точ-
точке е:
0-> %-> 2Г (Q)-> G (К)-> е.
В самом деле, общий элемент касательного расслоения
Э~(G) можно записать в виде гх + бх, где x^G и хе
&&~(G)X; этот гомоморфизм Л —^/С[б] отображает /
в МЛ +Sx(/). Произведение (ех + 6х) (гу + бу) равно
( )
у + (у + у)
Эти наши рассмотрения позволят сделать некоторые
вычисления в § 10 совершенно прозрачными и естествен-
естественными. Например Ad* — это в точности ограничение
на g автоморфизма Int е*. Вообще морфизм алгебраиче-
алгебраических групп ф: G-+G' индуцирует гомоморфизм £F(G)->
->^"(G'), ограничение которого на g есть в точности dq>.
Это позволяет весьма просто вычислить некоторые диф-
дифференциалы.
Упражнения
1. Пусть G — замкнутая подгруппа группы GL(n,K) и / —
идеал всех полиномов в К[Тц], обращающихся в 0 на G. Доказать,
что G = {х е= GL(n, К) \рхГ = /}, б = {х е gl(n, К) |/.хс/}. Сравнить
/ с идеалом / кольца К[Тц, 1/det], состоящим из функций, обра-
обращающихся в 0 на G, и использовать леммы 8.5 и 9.4).
2. Пусть G s= SL B, К) и Q = 51B, К). Вычислить матрицу ото-
отображения Ad я (^eG) в базисе
-l)' X==U о)' y==ll о)
алгебры g:
3. Пусть char К = р > 0. Алгебра Ли, замкнутая по отноше-
отношению к возведению в ассоциативную *) р-ю степень, называется
р-алгеброй Ли (или ограниченной алгеброй Ли); примеры: gl(n, К)
или $1(п,К).
*) То есть относительно ассоциативного умножения, — Прим,
перевг

§ 10. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 123
(а) Если % — произвольная /(-алгебра, то DerSt есть р-алгеб-
ра Ли.
(б) Если G — алгебраическая группа, то L(G) есть р-алгеб-
ра Ли.
(в) Пусть G = Ga (соответственно G = Gm), 0 — как и в (9.3).
Тогда 6Р = 0 (соответственно бр = б).
(г) Если ф: G -> G' — морфизм алгебраических групп, то dtp —
гомоморфизм р-алгебр Ли, т. е. d<p(x)p = с?ф(хр).
Замечания. Рассуждения этой главы основаны на книге Бореля
[4, § 3], однако он делает большее ударение на двойных числах.
§ 10. Дифференцирования
Переход от группы G к алгебре Ли g позволяет «ли-
«линеаризовать» ряд задач. Эта техника особенно по-
полезна, когда мы имеем дело с морфизмами. В этом па-
параграфе мы вычислим дифференциалы некоторых мор-
физмов и выведем ряд непосредственных следствий, на-
например покажем, что алгебра Ли замкнутой нормаль-
нормальной подгруппы есть идеал.
10.1. Некоторые элементарные формулы. Пусть G—
алгебраическая группа с произведением jm: GX G -> G и
взятием обратного элемента i: G-+G. Чтобы вычислить
d\x(e,e), напомним сначала, что пространство T(G, G)(e, e)
канонически изоморфно T{G)e © 9r{G)e = 8 © 8 E.1).
Если / е К[G], то пусть jli*/ = 2 ft ® ёь так что / (ху) =
= Z ft (x) gi (у)- В частности,
Если теперь (х, у)еУ(СХ0)(е,е) (х, уед), то мы
имеем, по определению, z = djm(e, в) (х, у), где z (/) = (х, у)
(£ // ® gi) = Z х (/,) gt (e) + Ё ft (e) у (gi). Но ввиду фор-
формулы (*) этот же результат получается, если при-
применить х + у к f, так что d\i(e, е) (х, у) = х + у. (Это ука-
указывает на то, что сложение в 8 есть инфинитезимальный
аналог умножения в G).
Вычислим теперь die: 8-^8- Рассмотрим отображения
G-^+Gy^G—► G. Так как композиция этих отображе-
отображений преобразует каждый элемент х в еу то дифферен-
дифференциал отображает каждый элемент х g j в 0. Используя
тот факт, что d(\) = 1 и что d(l, i) = (d(l),d(i)), полу-
получаем 0 = d(li о A, i)),(x)= d[iiete)(d(lt l)e(x))=dlHete)(xf

124 ГЛ. III. АЛГЕБРЫ ЛИ
die(x)) =x + die(x) ввиду формулы для d[i(e, e), указан-
ной выше. Следовательно, dte(x) =—х (т.е. отображе-
отображение хь—>—х в g есть аналог отображения хь—>х~1 в G).
Другой интересный морфизм — сопряжение фиксиро-
фиксированного элемента x^Gy т.е. ух(у) = уху~1 (y^G).
Этот морфизм не отображает е в е (если х отличен от
е), поэтому мы сначала рассмотрим морфизм г|э (у) =
= ху-1х-]. Очевидно, i|) = Int#ol) так что di|)e(x) =
= d(lntx) (die(x)) = AdA:(—x) =—Adx(x), где Ad x
есть, по определению, d(Intx) (9.1). Рассмотрим ком-
коммутаторный морфизм относительно х, т.е. ух(у) =
= уху-1х~1; он реализуется как композиция морфизмов
G-^GXG—> G. При xgj мы имеем (dyx)e(x) =
= йц(в, e) (x, di|)e (х)) = х — Ad х (х) = A — Ad x) (х). На-
конец, морфизм ф* можно записать в виде G >• G X
X G —> G> где е(у) = х для всех у е G. Позднее мы ис-
используем описание морфизма ср* через ух при изучении
сепарабельности морфизма <р*.
Наши рассуждения можно подытожить следующим
образом.
Предложение. Пусть G — алгебраическая группа.
Тогда для любых xjgj мы имеем:
(а) d\i(ete)(x,y) =x + y;
(б) die(x) =—х;
(в) (dyx)e(x) = (l—kdx) (x), где ух(у) = уху-*х~1
'(*,£<= G). П
Сделаем еще замечание, которое будет полезно при
получении из информации о группе GL{n,K) соответст-
соответствующих результатов о ее замкнутых подгруппах. Если
Я —замкнутая подгруппа алгебраической группы G, то
дифференциал ограничения на Н некоторого морфизма
Ф группы G (отображающего е в е) есть ограничение
на i) дифференциала dye (т. е. операция ограничения
коммутирует с дифференцированием). Это .очевидным
образом вытекает из определений.
10.2. Дифференциал правого сдвига. Напомним (8.5),
что группа G действует на K[G] при помощи левых и
правых сдвигов (kxf) (у) =f(x-ly), (pxf) (у) =f(yx). По-
Получающиеся при этом гомоморфизмы Я, р: G -*- GL (К [G])
нельзя рассматривать как морфизмы алгебраических

§ 10. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 125
групп, так как пространство K[G] бесконечномерно.
Однако K[G] есть объединение конечномерных подпро-
подпространств, инвариантных относительно всех сдвигов рх
(или всех %х). Если Е — такое подпространство (инва-
(инвариантное относительно всех р*) с базисом (fu ..., fn)9
то px// = Z/^//W//, причем коморфизм ср* действия
Ф*. Gy^E-^E отображает fi в J]/^/ ®//. (См. предло-
предложение 8.6 и доказательство теоремы 8.6.) Отсюда сле-
следует, что формула г|э(л;) = (тц(х)) определяет морфизм
if»: G -> GL(n, К) — матричное представление, ассоции-
ассоциированное с данным базисом пространства Е. Заметим
также, что подпространство пространства K[G], натяну-
натянутое на тцу содержит Е и все свои левые сдвиги; это
следует из такого вычисления: (^-i/*) ({/) = /* (#{/) =
= Yij^ij(y)ff(x) (напомним, что здесь действие группы
G на Е определено через правое умножение в G).
Интересно вычислить дифференциал dif>: g->gl(ft,К).
Если xgj, то, по определению, матрица dty(x) имеет на
позиции (i, /) элемент, который получается в результате
применения х к г|г*G\7). Но, как отмечалось выше,
yjp*Tij = тц, так что Л|э(х) = (x(m//)). С другой сторо-
стороны, рассмотрим действие х на базис (fu ..., fn) при по-
помощи правой конволюции: (/. * х) (х) = х(Хх-^^ =
= х(Х/ // (х) тц) = ZI/ /у (а:) х (mif) (мы использовали
выражение для kx-ifp полученное выше). Другими
словами, х оставляет пространство Е инвариантным и
имеет в базисе (fu ..., fn) матрицу (x(m,/)). Резюми-
Резюмируем:
Предложение. Действуя на K[G] правыми конволю-
циями, алгебра g оставляет инвариантным каждое под-
подпространство пространства K[G]y инвариантное относи-
относительно действия группы G. На любом конечномерном
G-инвариантном подпространстве дифференциал право-
правого сдвига есть правая конволюция. □
Мы могли бы, разумеется, заменить прилагательное
«правый» на «левый». Отметим, что это предложение
проливает некоторый свет на аналогию между лемма-
леммами 8.5 и 9.4,

126 Гл. III. АЛГЕБРЫ ЛИ
10.3. Присоединенное представление. Действие груп-
группы G на K[G] правыми сдвигами особенно полезно при
построении (конечномерных) линейных представлений
группы G с хорошими свойствами; это станет вполне
очевидно в главе IV. Однако присоединенное действие
группы G на g легче вычисляется и в случае char К = 0
дает значительную информацию о группе G. Оно оказы-
оказывается ценным инструментом и в общем случае. Чтобы
вычислить присоединенное действие, мы начнем с груп-
группы GL(nyK)> а затем приспособим наши вычисления
к ее замкнутым подгруппам.
Напомним (9.1), что Ad a: (x^G) определяется как
дифференциал автоморфизма Int л: группы G; следова-
следовательно, Ad л: есть автоморфизм алгебры Ли д. Если реа-
реализовать д как алгебру 5?(G) левоинвариантных диффе-
дифференцирований /C[G], то Ad л: действует по формуле б«—>
V—>рхЪр~1 (9.1), что наводит на мысль рассмотреть кон-
конкретный случай группы G = GL(n, К).
Итак, рассмотрим частный случай G = GL(n, К)
с g = дХ(м, /С). Мы начнем с явного описания действия
группы G (соответственно алгебры Ли д) на K[G] сдви-
сдвигами (соответственно конволюциями). Для этого доста-
достаточно проследить за действием на координатные функ-
функции Тцу так как оно определяет действие на l/det7\/.
Обозначим через Т матрицу, в которой на позиции (iy /)
стоит Тц.
Лемма А. Пусть x^GL(n,K), xegl(/z, К). Тогда
рхТц (соответственно %хТц, соответственно Тц * х) — это
(ij)'u матричный элемент матрицы Тх (соответственно
х~1Ту соответственно Тх).
Доказательство. При у ^GL (ny К) мы имеем
(РхТц) (У) = Тц (ух) = Ел yihxhi = ZhTih (у) xh} = (Tx)i} (у) и
аналогично для левых сдвигов. Используя это, мы по-
получаем
(Ti} * х) (у) = х (V хТц) = х (Z* yihTh) =
= Ел Уш* (Ты) = Ел yih4j = Ел Tih (у) хл/ = (Тх)ц (у). □
Располагая этим описанием, легко вычислить Ad x.
Лемма Б. Пусть х е GL(ny /С), х е gl (nt К). Тогда
Adx(x) сзххд;-1 {произведение матриц).

§ 10. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 127
Доказательство. Достаточно проверить, что действие
обеих частей этого равенства на Тц одинаково:
= 2а 2j1/ V imXmlXlhX
imXmlXlhXhi ) ==s
Здесь мы вторично использовали лемму А. П
Следствие. Ad: GL(ny К) ->GL(n2y К) —морфием
алгебраических групп {при любом выборе базиса в
Доказательство. Это вытекает из явной формулы, по-
полученной в лемме Б. □
Рассмотрим теперь общий случай. Ввиду теоремы 8.6
любая алгебраическая группа G может рассматривать-
рассматриваться как замкнутая подгруппа некоторой GL(n, К);в этом
случае g отождествляется с подалгеброй Ли алгебры
йИ«, К). Кроме того, если xgG, to Into* есть ограни-
ограничение на G автоморфизма 1гАацп,к)Х. Поскольку огра-
ограничение коммутирует с дифференцированием A0.1),
Ado х — ограничение на g автоморфизма Айвцп, ю %- Сле-
Следовательно, лемма Б и ее следствие переносятся без из-
изменения на общий случай.
Предложение. Пусть G — алгебраическая группа.
Тогда Ad: G-+GL(q)—морфизм алгебраических групп.
Если G — замкнутая подгруппа группы GL(n,K)9 то
Ad* — в точности сопряжение при помощи элемента х
(*€=G). □
10.4. Дифференциал морфизма Ad. Пусть G — алге-
алгебраическая группа. Для каждого элемента х е G ото-
отображение Ad л: является дифференциалом морфизма
Int* (в точке е). В свою очередь Ad: G-+GL(q) оказы-
оказывается морфизмом алгебраических групп A0.3); его

128 ГЛ. III. АЛГЕБРЫ ЛИ
дифференциал, следовательно, есть гомоморфизм алгебр
Ли й-^вНй) (также называемый представлением, по-
поскольку его образ лежит в некоторой алгебре gl(m, К)).
Теорема. Дифференциал морфизма Ad есть ad, где
adx(y) = [x,y] при х, у eg.
Доказательство. Как и в A0.3), мы рассмотрим сна-%
чала частный случай G = GL(n, К), g = gl(ft, К). Если%
jcgG, to Ad л: есть образ элемента х при композиции
отображений G^ GXG^ GL(Q)XGL(q)-^> GL (g),
где i(x)=x~\ \i — морфизм произведения и о(х) (со-
(соответственно т(#))—операция левого (соответственно
правого) умножения на х в д. Следует отметить, что а,
т — морфизмы (многообразий), которые отображают е
в единичную матрицу. Мы сделаем это очевидным и
одновременно сможем вычислить дифференциалы, если,
будем работать со стандартным базисом алгебры д, со-
состоящим из матриц е<7 (имеющих 1 на позиции (j, /) и 0
на остальных местах). Тогда (i, /)-й элемент матрицы
хеш есть в точности хц (если m = /) и 0 в остальных
случаях. Поэтому матричные элементы матрицы а(х)
(или т(х)) являются линейными полиномами простей-
простейшего вида от коэффициентов матрицы х\ это показы-
показывает, что а (или т) — морфизм. Отсюда следует, напри-
например, что doe(x) есть левое умножение на х в g (xgj).
Мы уже вычислили в A0.1) дифференциалы морфиз-
мов t и ^.Следовательно, d(Ad) задается правилом xi—>
н->(х,—х)ь-> {левое умножение на х минус правое умно-
умножение на х}, т. е. d(Ad)x(y) =ху — ух= [х, у].
В общем случае мы используем теорему 8.6, чтобы
отождествить G с замкнутой подгруппой некоторой
группы GL(n,K), а затем воспользуемся тем фактом
A0.1), что операция ограничения коммутирует с диффе-
дифференцированием, и перенесем предыдущие результаты на
подгруппу G. П
Стоит заметить, что подобно тому как Ad x есть авто-
автоморфизм алгебры Ли (а не только обратимое линейное
преобразование), также и ad* имеет некоторое допол-
дополнительное свойство сверх того, что adx — линейное пре-
преобразование пространства д. Из тождества Якоби сле-
следует, что adx — дифференцирование алгебры Ли g (в
действительности это эквивалентно тождеству Якоби).

§ 10 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 129
Отметим еще, что Kerad есть в точности центр (д)
алгебры Ли g (центр состоит из всех элементов, «ком-
«коммутирующих» со всеми элементами алгебры д). С дру-
другой стороны, если x^Z(G), то Int#=l, и, следова-
следовательно, Ad#=l, т.е. Z(G) czKerAd. Оказывается, что
в характеристике 0 всегда имеет место равенство A3.4);
в положительной характеристике имеются исключения
(см. упражнение 3).
Теорема, доказанная выше, позволяет нам лучше
уяснить природу соответствия (Зь—>д из категории алге-
алгебраических групп в категорию алгебр Ли.
Следствие А. Пусть Н — замкнутая нормальная под-
подгруппа алгебраической группы G. Тогда I) — идеал в g
(т. е. [х,у) е I) для любых элементов хед, у е %).
Доказательство. Утверждение, что группа Н нор-
нормальна, означает, что все автоморфизмы Int* (xgC)
оставляют группу Н инвариантной; следовательно, все
автоморфизмы Ad л: (x^G) оставляют инвариантной
подалгебру I). Если мы дополним базис алгебры $ до ба-
базиса алгебры д, то матрица автоморфизма Ad л: примет
т.
\0 */
вид I —г— I, и ясно, что матрица эндоморфизма d(Ad)x
Vo|*/
(xej) наследует этот вид. Но d(Ad) = ad, откуда сле-
следует, что [x,l)]c:f> (xe=g). D
Следствие Б. Пусть Н — замкнутая подгруппа алге-
алгебраической группы G, и пусть N — NG(H)—ее норма-
нормализатор. Тогда пспй(|) = {х е g| [х, $] cz \j\.
Доказательство. Мы знаем, что группа N замкнута,
(следствие 8.2), так что алгебра Ли п определена. При-
Применяя следствие А к нормальной подгруппе Н группы
N, мы видим, что I) —идеал алгебры Ли п, и, следова-
следовательно, п нормализует I). □
Если char К = 0, то включение в этом следствии в
действительности является равенством (упражнение
13.1). Но это свойство (как и многие другие свойства
алгебр Ли) не сохраняется в простой характеристике
(см. упражнение 4).
10.5. Коммутаторы. Как мы знаем из предложения
10.1 (в), коммутаторный морфизм ух: G-+G, задавае-
задаваемый формулой ух(у) = уху-1х~{ имеет дифференциал
(в точке е) вида 1 — Ad x : g -^ g.

130 ГЛ III. АЛГЕБРЫ ЛИ
Предложение. Пусть Л, В — замкнутые подгруппы
алгебраической группы G, и пусть С — замыкание под-
подгруппы (А, В), порожденной всеми коммутаторами
abarxb~x (аеЛ, b^B). Тогда с содержит все элементы
вида у-—Adx(y), x — Ad#(x), [x, у] (*еЛ '
В5)
Доказательство. Если xg/1, to ух отображает В в С,
так что дифференциал 1—Adx отображает Ь в с. Это
дает все элементы первого типа; аналогичным образом
получаем элементы второго типа. Далее, при хеапусть
ф: В->с — морфизм (с рассматривается как аффинное
пространство), определенный соотношением ф(у) =
= х — Ad#(x). (Мы только что показали, что его образ
лежит в с). Так как ф отображает е в 0, мы можем вы-
вычислить образ отображения dye: Ь->С (рассматривая с
как свое собственное касательное пространство в точке
0). Но d(Ad)=ad (теорема 10.4), так что dye(y) =
= — [у, х] = [х, у] лежит в с. □
Подобно тому, как сумма и умножение на —1 в g—
инфинитезимальные аналоги произведения и взятия об-
обратного элемента в группе G A0.1), скобка [х, у], как
мы теперь видим, есть аналог коммутатора в G (кото-
(который характеризует отклонение от коммутативности).
Следствие. Пусть G — алгебраическая группа, Н —
замыкание подгруппы {GyG). Тогда $ содержит [g, д]
(= множество всех линейных комбинаций элементов
[х,у],Х, у€=8). □
Как мы увидим позднее A7.2), группа (G,G) всегда
замкнута. Включение I) id [g, g] в действительности всег-
всегда является равенством в случае, если char К = 0, и
может быть строгим включением в положительной ха-
характеристике (упражнение 3).
10.6. Централизаторы. Рассмотрим коммутаторное
отображение ух: G->G при фиксированном ^gC. Слой
этого отображения у~1(е) есть в точности Со(х). Из
того факта A0.1), что (dyx)e= 1 —Ad x, мы заключаем,
что 9?(CQ(x)) содержится в ся (х) = {х eg|Ad x(x) = х}
(инфинитезимальный централизатор элемента л:). Как
обычно, это включение может не быть равенством в по-
положительной характеристике (см. упражнение 3). Но в
случае, если G = GL{ny /С), ситуация всегда благоприят-
благоприятна. В самом деле, неподвижные точки автоморфизма

§ 10 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 131
Adx в g— это в точности матрицы, коммутирующие с х
(лемма Б в A0.3)),так что централизатор Cg(x) состоит
из обратимых матриц в сд(#); иными словами, CG(x) —
главное открытое множество аффинного пространства
сд (х); поэтому размерности равны. Вместе с только что
установленным включением мы получаем
Предложение. Пусть G — алгебраическая группа и
xe=G. Тогда S(CQ(x)) czc9 (х). Если G = GL(n,K), то
имеет место равенство. □
10.7. Автоморфизмы и дифференцирования. Цель дан-
данного раздела — придать точный смысл следующему
утверждению: если алгебраическая группа G действует
как группа автоморфизмов, то g действует как алгебра
Ли дифференцирований. Это уже было нами отмечено
в связи с присоединенным представлением A0.4).
Мы начнем с более тщательного рассмотрения дей-
действия группы G на двойственном пространстве и на про-
пространстве тензорного произведения (8.2). Для краткости
мы будем обозначать через x-v вектор q>(x)(v)y где ср:
G-^GL(V)—рациональное представление. Аналогично
мы положим х• V- = d(p(х) (v) при xgj.
Предложение. Пусть G — алгебраическая группа, и
пусть ф: G-+GL(V), г|э: G-^GL(W)—рациональные
представления. Тогда:
(а) Группа G действует на V* по правилу (x-f) (v) —
— f(x-l-v), а алгебра Ли g— по правилу (x-f)(v) =
= —f(x-v)9 где хе= G, xeg, /e= V*, t;<= V.
(б) Группа G действует на пространстве V ®W по
правилу x-(v(&w)=x-v(£)X'W, а алгебра д — по пра-
правилу х- (v (g) w) = x-v ® w + v (g) x-oj, где jjgG, xgj
йу®ш (v e V, w e W)— элемент пространства V<g) W.
Доказательство, (а) Действие группы G задано в со-
соответствии с определением в (8.2). Если мы зафикси-
зафиксируем базис пространства V и запишем ф(#) в виде мат-
матрицы, то, очевидно, матрица действия элемента х на У*
(относительно двойственного базиса) есть в точности
транспонированная обратная матрица. Ввиду A0.1) диф-
дифференциал морфизма хь—>х~1 есть Xh—>—х, а отображе-
отображение транспонирования GL(n, К) -> GL(n, К), очевидно,
имеет своим дифференциалом отображение транспони-
транспонирования gl (лг, К)->■ 01 (лг, К) (морфизм здесь задается ли-

132 ГЛ. III. АЛГЕБРЫ ЛИ
нейными полиномами). Таким образом, х действует на
V*, как указано в (а).
(б) Как отмечено в (8.2), соотношения в (б) опреде-
определяют (либо при помощи явного выбора базиса, либо
ввиду универсального свойства тензорного произведе-
произведения) действие группы G на V(g)W. Зафиксируем базис
v\, ..., vn пространства V и базис W\, ..., wm простран-
пространства W. В этих базисах действия типичного элемента #е
gG задаются п'Хп матрицей (ац) и т'Хт матрицей
(bif). В пространстве V(g)W выберем в качестве базисных
элементов vr ® ws (в некотором порядке), так что груп-
группа G действует на V(g) W при помощи матричного пред-
представления т: G -> GL(mn, /(), матричный элемент кото-
которого, лежащий в (i, /)-й строке и в (г, s)-m столбце, ра-
равен, очевидно,' uirbjs. Представление т раскладывается
в произведение двух морфизмов G—*GL(ra, /QX
X>GL(m, /C)-> GL(mpy К), последний из которых задается
правилом Zijrs = XirYjs. Здесь мы имеем дело с морфиз-
мом аффинного (п2 + т2) -мерного пространства в аф-
аффинное (дтJ-мерное пространство, и его дифференциал
легко вычислить, используя метод E.4). Если (с,-/) и
(da)—типичные элементы алгебр д!(лг, /С) и gl(m, /(),
та дифференциал отображает эту пару в матрицу,
у которой на позиции ((^,/),(г>5)) находится элемент
bjsCtr + б/rrf/s. Но это именно то правило, которое мы
хотим доказать. □
Часть (б) предложения распространяется на произ-
произведение трех или более сомножителей. В частности, дей-
действие группы GL(V) на тензорной алгебре %(V) как
группы автоморфизмов (алгебры) имеет в качестве ин-
финитезимального аналога действие алгебры Ли Ql(V)
на £(У) как алгебры Ли дифференцирований. Посколь-
Поскольку GL(V) оставляет инвариантным идеал алгебры£(У),
по которому надо профакторизовать, чтобы получить
внешнюю алгебру AV A.8), то мы получаем аналогич-
аналогичные действия группы GL(V) и алгебры Ли Ql(V) на
внешней алгебре. (Этим ны воспользуемся ниже
в A1.1).)
Чтобы прийти к общему утверждению, сформулиро-
сформулированному в начале этого параграфа, мы заметим, что
ненулевой вектор dgV, неподвижный относительно

§ 10. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 133
замкнутой подгруппы группы GL(V), аннулируется
алгеброй Ли этой подгруппы. Это достаточно легко про-
проверить (упражнение 2). Такой вектор мы называем
инвариантом.
Следствие. Пусть % — конечномерная К-алгебра (не
обязательно ассоциативная), и пусть G — замкнутая
подгруппа группы GL(9t), состоящая из автоморфизмов
алгебры 91. Тогда g состоит из дифференцирований
алгебры 91.
Доказательство. Ввести на 91 структуру /(-алгебры —
это то же самое, что задать билинейное отображение
91X^-^91 или, что равносильно, определить /(-линейное
отображение 91 (g)9t->9t. Но имеется стандартное отож-
отождествление (см. (8.2)) пространства Нот (V, W) с V* ®
0 W, так что структура /(-алгебры на 91 задается эле-
элементом /е= (9l(g) 9t)*®9t^9t*(g) 91* (g)9t. Для того чтобы
элемент x^GL (91) был автоморфизмом алгебры 91, не-
необходимо и достаточно, чтобы вектор t был инвариантом
относительно х (как легко проверить). Следовательно,
предыдущее замечание показывает, что вектор t должен
быть инвариантом относительно д. Отсюда мы выведем
требуемое утверждение.
Из предложения и только что сделанных отож-
отождествлений вытекает, что действие элемента х е
egl(9t) на Нот (91® 91,91) задается следующим образом
(x-f)(v®w) = х- (f(v ®w)) — f(x-y® w + v(g>x-w),
где [еНот (91® 91, 91), v, oieSI. В частности, соотноше-
соотношение х-/=0 равносильно соотношению х- (vw) = (x-v)w +
-\-v(x-w), где умножение в алгебре показано последо-
последовательной записью перемножаемых элементов. □
Упражнения
1. Пусть G — замкнутая подгруппа группы GL(nyK). Пусть G
оставляет инвариантным подпространство W с: Кп. Доказать, что
алгебра Ли дсдЦя, К) также оставляет инвариантным W. Верно
ли обратное?
2. Если все элементы замкнутой подгруппы G группы GL(n,K)
оставляют неподвижным некоторый вектор в Кп, то доказать, что
все элементы алгебры Ли g отображают этот вектор в 0.
3. Пусть char К = р >• 0. Следующий пример показывает, что
Кег Ad может быть больше, чем Z(u). Пусть группа Gc=GLC, К)
(а 0 0\
0 аР Ь \
0 0 1/
состоит из матриц вида I 0 аР b \t а Ф Q. Тогда С? — замкнутая

134 ГЛ TIT АЛГЕБРЫ ЛИ
подгруппа, размерность которой равна 2. Ее алгебра Ли б состоит
/а 0 0\
из всех матриц вида 10 0 5 (a J g /С), так что алгебра б
является коммутативной. Кроме того, е = Z(G) ^L Ker Ad J 6-
4. Пусть char /С = 2, G = SLB, /С), Б = ГB, /С) П G. Проверить,
что NG(B) = Б, тогда как П0(Ь) = б(ш. следствие Б теоремы 10.4).
5. Пусть Я —замкнутая подгруппа алгебраической группы G,
С = CG(Я). Доказать, что с с cfl (J) = {х eg| [х, $] = 0}.
6. Пусть Я — замкнутая подгруппа алгебраической группы G,
xe=G. Доказать, что Ad*(J) == ^(Intх(Я)).
7. Описать в явном виде матрицы в GL(n,K) (соответственно
в gl(n,/С)), которые коммутируют с данной диагональной матрицей
(см. предложение 10.6).
Замечания. Пример в упражнении 3 взят из книги Шевалле Г41

ГЛАВА IV
ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§11. Построение некоторых представлений
Пусть Н — замкнутая подгруппа алгебраической
группы G. Можно ли снабдить однородное пространство
G/H (или H\G) «разумной» структурой многообразия?
Это тонкий вопрос, отчасти потому, что мы должны бу-
будем с необходимостью прийти к неаффинным многооб-
многообразиям (при некоторых Н). В этом разделе мы пока-
покажем, как построить G-орбиту в проективном простран-
пространстве, имеющую группу Н в качестве стабилизатора не-
некоторой точки, а затем уточним это построение в случае,
если Н — нормальная подгруппа. В следующем параг-
параграфе мы покажем, что построенное таким образом мно-
многообразие обладает естественными свойствами «фактор-
многообразия».
11.1. Действие на внешних степенях. Нам потребуют-
потребуются некоторые простые факты из линейной алгебры.
Напомним A0.7), как группа GL(n,K) и алгебра Ли
дХ(лг, /С) действуют на внешних степенях векторного про-
пространства W — Kn. Если М есть d-мерное подпростран-
подпространство пространства W> то особенно полезным оказывает-
оказывается рассмотрение действия на L — ЛаМ; ясно, что L —
одномерное подпространство пространства V — /\dW.
Лемма. При только что введенных обозначениях пусть
x(=GL(W), xegl(№). Тогда
(а) (Arf#)L —L, если (и только если) х(М) =М;
(б) (dAd) (x)Lcz L, если (и только если) х(М)с:Л1.
Доказательство. В каждом случае часть «если» оче-
очевидна. Для доказательства (а) выберем базис (wu ...
..., wn) пространства W такой, что М порождается эле-
элементами w\t •••> wd и х(М) порождается элементами
wi+u • • •» wi+d для некоторого 1^0. Требуется доказать,
что / — 0. Далее, элемент w\ Л ... /\wd порождает L
и умножается под действием /\dx на (ненулевой) мно-
множитель (по предположению), Но ясно, что оператор

136 ГЛ IV ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Лах преобразует этот элемент в элемент, кратный
wi+i ... wi+a, откуда и следует, что / = 0.
Для доказательства (б) выберем базис в М таким
образом, чтобы при отображении х образы векторов из
линейной /С-оболочки первой часта этого базиса лежали
в М, а образы остальных векторов пространства М не
лежали в М. Затем построим некоторый элемент yG
egl(W), действующий так же, как х, на первую часть
базиса и отображающий в 0 остальные базисные векто-
векторы из М. Очевидно, оператор у оставляет пространство
М инвариантным, так что оператор (d/\d) (у) оставляет
инвариантным L. Следовательно, элемент х — у удов-
удовлетворяет условиям в (б). Если мы покажем, что опе-
оператор х — у оставляет инвариантным М, то мы сможем
заключить, что и х оставляет инвариантным простран-
пространство М. Таким образом, мы можем заменить х на х — у.
Это позволяет нам считать, что пространство М имеет
тривиальное пересечение с х(М). Пусть теперь w\9 ...
..., Wd — базис пространства М, выбранный таким об-
образом, что элементы x(w\), ..., x(wc) образуют базис
пространства x(M)t a x(wc+i) = ... =x(wa) = 0. По оп-
определению (d Ad)(x)(wi Л ... Л wd)=TitWi Л... Лх(^)Л
Л ... Л Wd. По предположению, этот элемент кратен
w\ Л ... Л Wd. Но векторы w\ Л ... Ax(wi) Л ... Лоу<*
линейно независимы или равны 0, и ни один из них не
равен w{ А ... Awd. Вывод: x(wi) =0 A < i < d), так
что х оставляет пространство М инвариантным (и ото-
отображает М в 0). П
11.2. Теорема Шевалле.
Теорема. Пусть G — алгебраическая группа, Н — ее
замкнутая подгруппа. Тогда существует рациональное
представление ср: G-^GL(V) и одномерное подпрост-
подпространство L пространства V такие, что
f) = {x €= g | dq> (x) L cz L}.
Доказательство. Пусть / — идеал кольца /С[G], со-
состоящий из всех функций, обращающихся в 0 на Я. То-
Тогда идеал / конечно порожден, и пространство, натяну-
натянутое на некоторое конечное множество образующих, ле-
лежит в конечномерном подпространстве W алгебры K[G]f

§ 11 ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 137
инвариантном относительно всех правых сдвигов рх
(x^G) (предложение 8.6). Положим M=W()I (так
что пространство М порождает /). Заметим, что прост-
пространство М инвариантно относительно всех сдвигов р*
(^£Й), поскольку Н — {х^ G\pxl — 1} (лемма 8.5).
В свою очередь пространством инвариантно относитель-
относительно всех операторов *х (xg|) (предложение 10.2). Мы
утверждаем, что Н— {x^G\pxM=M}, &= {xeg|M*xc:
czM}. Пусть, скажем, рхМ = М (x^G). Так как / —
идеал кольца Л = /C[G], порожденный М, то мы имеем
рх1 = Рх{МА) = рх(М)рх(А) =МА ==/, откуда следует,
что х^Н (лемма 8.5). Пусть М*хсиМ (xgj). Тогда
правило дифференцирования произведения дает: /*х =
= (МА )*хс(М*х)Л + М(Л*х)с MA = /; следова-
следовательно, xgI) (лемма 9.4).
Мы получили хорошее первое приближение к теоре-
теореме. Остается только превратить М в прямую, что дости-
достигается переходом к V = AdW, L=AdM (d—dimM).
Пусть ф: G-^GL(V) есть d-я внешняя степень представ-
представления, построенного выше. Желаемая характеризация
группы Н и алгебры Ли I) следует тогда непосредственно
из леммы 11.1. □
Эта теорема Шевалле полезна не только для целей
этой главы, но и при изучении представлений группы G,
где она помогает доказать существование некоторых важ-
важнейших представлений; она находит применения также
и в ряде других ситуаций.
11.3. Переход к проективному пространству. Как и
в A1.2), пусть Н — замкнутая подгруппа алгебраиче-
алгебраической группы G. Выбор рационального представления ф:
G-* GL(V) и прямой L в V служит для отождествления
группы Н со стабилизатором в G точки [L] проектив-
проективного пространства P(V), которая соответствует прямой
L. В результате однородное пространство G/H соответ-
соответствует (теоретико-множественно) орбите точки [L] в
P(V). Согласно (8.3) такая орбита сама является мно-
многообразием (квазипроективным, так как она является
открытым подмножеством своего замыкания).
Нам необходимо в более точной форме описать ин-
финитезимальное поведение морфизма я: G-vP(V), за-
заданного правилом ху—>ц>(х) [L] = [ф(х)L]. Каноническое
отображение а: V—@}->Р(К) имеет своим дифферен-

138 ГЛ IV. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
циалом в точке и (= любой вектор, порождающий L)
линейное отображение, ядро которого есть в точности/.
E.4). Зафиксируем v и рассмотрим орбитное отображе-
отображение со: GL(V) ->■ V, задаваемое формулой co(#) =x(v).
В базисе v = v\, i>2, ..., vn пространства V отображе-
отображение со сопоставляет матрице ее первый столбец. В част-
частности, отображение со задается линейными полиномами,
так что и дифференциал dco задается тем же способом:
dcoe(x) =x(v) (x€=eI(V)).
Комбинируя эти замечания, мы заключаем, что диф-
дифференциал dne отображает xgjb образ dcp(x) (v) в ка-
касательном пространстве к многообразию P(V) в точке
[L]. В частности, ввиду теоремы 11.2 алгебра Ли $ сов-
совпадает с Кег dne. Из соображений размерности выте-
вытекает, что отображение dne сюръективно, и, следователь-
следовательно E.5), морфизм л сепарабелен. Отметим также, что
морфизм я является G-эквивариантным (при действии
группы G на себе при помощи левых умножений), см.
(8.2) и упражнение 8.6.
11.4. Характеры и полуинварианты. Чтобы уточнить
построение в A1.3) в случае, если Н — нормальная под-
подгруппа, нам нужно ввести понятие характера алгебраи-
алгебраической группы. Это, по определению, произвольный мор-
морфизм алгебраических групп %: G ->- Gm, например det:
GL(n,K) ->Gm- Если хь № — два характера группы G,
то их «произведение» %i%2 определяется формулой
(XiJto) (*) =%i(*)%2(*). Это наделяет множество X(G)
всех характеров структурой коммутативной группы. Сле-
Следует отметить, что некоторые группы не имеют нетри-
нетривиальных характеров, например Ga и SL(n,K) (упраж-
(упражнение 2), тогда как другие группы могут иметь много
характеров, например группа D(n, К). Это мы обсудим
подробнее в § 16.
Характеры следующим образом возникают в связи
с линейными представлениями. Пусть G — замкнутая
подгруппа группы GL(V). Для каждого характера ^е
eX(G) положим Vx = {v s V\ x-v = %(x)v для всех
x^G}. Очевидно, Vx — подпространство пространства
V, инвариантное относительно G (возможно, нулевое).
Любой ненулевой элемент пространства Vx называется
полуинвариантом группы G веса %. Обратно, если v —
любой ненулевой вектор, который порождает G-инвари-

§ П. ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 139
антную прямую в У, то ясно, что соотношение x*v =
= %(x)v определяет характер х группы G.
Более общо, если ф: G-*GL(V)—рациональное
представление, то полуинварианты группы G в V есть,
по определению, полуинварианты группы cp(G). Заме-
Заметим, что композиция с ф индуцирует инъективный гомо-
гомоморфизм групп Х(ф(б)) ->X(G), так что пространство
Vx можно очевидным образом определить для любого
5(eX(G), являющегося характером ф(б).
Лемма. Пусть ф: G->GL(V)—рациональное пред-
представление. Тогда подпространства Vx (%eX(G)) ли-
линейно независимы; в частности, только конечное число
таких пространств отлично от нулевого.
Доказательство. В противном случае мы можем вы-
выбрать минимальное число п ^ 2 и ненулевые векторы
Vi е Vx (для различных %*, 1 ^ i ^ п) такие, что v\-\-...
... +У/г = 0. Так как характеры х/ различны, то %\{х)Ф
^Ул{х) для некоторого элемента xeG. Но 0 =
= ф j» (E v^ = Yj1i (x) vu так что Ц Xi {x)~\i (x) vt = 0.
Коэффициент при V2 отличен от 1; если мы вычтем это
уравнение из уравнения 2^/ = 0» то получим нетриви-
нетривиальную зависимость, связанную с п— 1 характерами, что
противоречит выбору п. □
Теперь мы слегка изменим ситуацию, предполагая,
что N — замкнутая нормальная подгруппа группы G, и
сосредоточим внимание на подпространствах Vx при
X^X(N). Мы утверждаем, что каждый элемент группы
ф(О) отображает пространство Vx в некоторое другое
пространство Vx*. Для доказательства мы можем пред-
предполагать, что G cz GL(V). При jugG, y^N мы имеем
yx-v=x{x~xyx) -v—x-%(x-{yx)v—%(x-lyx)x-v (v^Vx) и
функция уь—>%{х-уух) есть, очевидно, характер х' ГРУП"
пы N. Таким образом, х отображает Vx в Vx. В дейст-
действительности это вычисление показывает, что группа G
действует естественным образом на Х(Л^), так что мы
можем записать х' = #•%•
11.5. Нормальные подгруппы.
Теорема. Пусть G — алгебраическая группа, N —
замкнутая нормальная подгруппа группы G. Тогда су-

140 ГЛ. IV. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ществует рациональное представление if: G-*GL(W)
такое, что N = Кег if и п = Кег city.
Доказательство. Используем теорему 11.2, чтобы по-
построить морфизм ф: G->■ GL(V) и прямую L в простран-
пространстве V, стабилизатор которой в G (соответственно в д)
есть N (соответственно п). Так как N действует на L
скалярными умножениями, то мы имеем xl = %0(x)l
(%о^ X(N)). Рассмотрим в V сумму всех ненулевых
подпространств Vx (%eX(N)); ввиду леммы 11.4 эта
сумма прямая (так что лишь конечное число характе-
характеров х может здесь появиться) и, конечно, содержит L.
Кроме того, мы видели в A1.4), что ф(б) переставляет
различные пространства Vx, ибо группа N нормальна
в G. Заменяя представление ф на его ограничение, мы
можем считать, что само пространство V есть прямая
сумма подпространств Vx и группа N действует на каж-
каждом из них скалярными умножениями *).
Пусть теперь W — подпространство пространства
End V, состоящее из всех тех эндоморфизмов, которые
оставляют инвариантным каждое пространство Vx (% e
^X(N)). Имеется естественный изоморфизм W £ё
= iiEnd(Vx). (Пространство W можно представить
себе состоящим из всех блочно диагональных матриц
с блоками размеров dim Vx.) Если мы рассмотрим End V
как f£l(V), то группа GL(V) действует на End V при по-
помощи присоединенного представления: Ad# есть сопря-
сопряжение при помощи х (предложение 10.3). Заметим, что
подгруппа ф(б) при таком действии оставляет инвари-
инвариантным пространство W, поскольку ф(б) переставляет
пространства Vx> a W оставляет их инвариантными. Сле-
Следовательно, мы получаем гомоморфизм групп if: G ->
->■ GL(W), где if есть результат последовательного вы-
выполнения сначала морфизма ф, затем Ad, а потом огра-
ограничения на подпространство W пространства gl(V);
ясно, что i|) — рациональное представление.
Остается вычислить Кег if и Кег dty. Если xeJV, to
ф(#) действует на каждом пространстве Vx как умноже-
*) Более того, можно считать, что пространства Vx транзитивно
перемещаются группой G. Отсюда следует, что группа С? неприво-
дима (использовать лемму 11.4). — Прим. перев.

§ П. ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 141
ние на скаляр; поэтому сопряжение при помощи ф(л:)
не влияет на W, т.е. #еКегг|э. Обратно, пусть xgG,
г|э(х) =е. Это означает, что ф(#) оставляет инвариант-
инвариантным каждое пространство Vx и коммутирует с End Vx.
Но центр кольца End Vx состоит из скаляров *), так что
ф(л:) действует на каждом пространстве Vx как скаляр.
В частности, ф(#) оставляет инвариантным пространство
Lc VXo, откуда следует, что x^N (теорема 11.2). Зна-
Значит, N = Ker г|э.
Рассуждение для dip аналогично (с использованием
того факта, что d(Ad)=ad (теорема 10.4)).|При xgh
оператор dcp(x) действует (посредством d%) на каждом
пространстве Vx как скаляр, так что отображение
ad(dcp(x)) равно 0 на W> и x^Kerd\|). Обратно, при
xeKerdif оператор ad(dcp(x)) равен 0 на W, так что
dcp(x) оставляет каждое пространство Vx инвариант-
инвариантным и коммутирует с End V%; следовательно, он дейст-
действует на Vx как скаляр. В частности, dy(x)L a L, откуда
XGll. D
При помощи этой теоремы мы можем наделить абст-
абстрактную группу G/N структурой (аффинной) алгебраи-
алгебраической группы, отождествляя ее с гр(G). Однако необхо-
необходима некоторая дополнительная работа для того, чтобы
убедиться, что эта процедура не зависит от выбора ис-
исходного представления и прямой L и приводит к хоро-
хорошим универсальным свойствам. Во всяком случае, из
приведенной конструкции следует, что алгебра Ли груп-
группы \|)(G) есть факторалгебра Ли g/n.
Упражнения
1. Доказать, что X(Gm)—бесконечная циклическая группа.
Что представляет собой группа характеров группы D(n,K)}
2. Доказать, что группы Go и SL(n,K) не имеют нетривиаль-
нетривиальных характеров. ,
Замечания. Материал этого и следующего параграфа заимст-
заимствован у Бореля [4, гл. II].
*) Ввиду леммы Шура, см. стр. 187. — Прим. перев.

142 ГЛ. IV. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 12. Факторы
12.1. Свойство универсального отображения. Если за-
задана замкнутая подгруппа Н алгебраической группы G,
то существует сепарабельный G-эквивариантный мор-
физм я: G-+Y (где У есть G-орбита в некотором проек-
проективном пространстве P(V)), слои которого есть в точно-
точности смежные классы хН A1.3). Если группа Н нормаль-
нормальна в G, то в качестве У можно выбрать аффинную
алгебраическую группу и в качестве я— гомоморфизм
групп A1.5). Задача заключается теперь в том, чтобы
показать, что пара (я, У) удовлетворяет очевидному
требованию: (*) Для любого многообразия X и любого
морфизма ф: G->X, непустые слои которого — объеди-
объединения смежных классов хН, существует единственный
морфизм \|э: У -> X такой, что г|) о я = ф.
Это условие, примененное к любому другому мор-
физму я': G-+Y', который мы могли бы построить ме-
методом § 11, сразу показывает, что многообразие У'
должно быть изоморфно многообразию У, причем изо-
изоморфизм осуществляется единственным морфизмом \|э,
для которого г|)°я = я'. Это в свою очередь дает нам
право назвать У однородным пространством G/Я, ая-
каноническим морфизмом. (Аналогичное рассуждение,
разумеется, ведет к пространству H\G смежных клас-
классов Нх). Таким образом, остается доказать следующее
утверждение.
Теорема. Пара (я, У) удовлетворяет условию (*).
Для доказательства мы используем некоторые факты
о морфизмах, установленные в D.5) и D.6), а также ре-
результат из E.3). Детали будут приведены в A2.2),
A2.3), а сейчас мы переформулируем условие (*). Един-
Единственность искомого морфизма \|э: У->Х, если он суще-
существует, очевидна, так как элемент л(х) должен отобра-
отображаться в ф(#) для всех #е G (и так как морфизм я
сюръективен). Для того чтобы построить морфизм if>,
мы должны рассмотреть вопрос с трех точек зрения на У.
A). У как множество. По построений) У соответствует
множеству смежных классов хН, а я — отображению
х*-->хН. Ввиду условий, наложенных на ф, это обеспе-
обеспечивает существование теоретико-множественного ото-
отображения г|): У->Х такого, что ф «я = ф.

§ 12. ФАКТОРЫ 143
B) У как топологическое пространство. Требуется
доказать, что отображение \|э: Y-+-X в A) непрерывно.
Для этого достаточно показать, что У обладает тополо-
топологией факторпространства, т. е. что множество U открыто
в У, если (и только если) множество k~1(U) открытое G.
Поскольку мы имеем дело с группой, это эквивалентно
на первый взгляд более сильному утверждению, что
отображение я открыто. Действительно, пусть множе-
множество U открыто в G. Тогда множество лг1 (я (/У)) есть
объединение тех смежных классов, которые пересекают-
пересекаются с [/; но это совпадает с объединением всех Я-сдвигов
множества /У, что является объединением открытых мно-
множеств, и, следовательно, есть открытое множество. Та-
Таким образом, множество я(£/) должно быть открыто
(если У обладает топологией факторпространства).
В A2.2) будет показано, что отображение я в действи-
действительности открыто.
C) У как пространство с пучком функций. Отобра-
Отображение \|э должно индуцировать гомоморфизмы 0x(U)-*
-^Oy(^~1U) для всех открытых множеств U cz X. Из
предположений относительно ф следует, что для каж-
каждого такого множества U коморфизм ф* отображает
Gx{U) в алгебру тех регулярных функций на ф—Af/, ко-
которые принимают постоянные значения на каждом
смежном классе хН. Поэтому достаточно убедиться, что
п*(Уу(^~1и) состоит из всех таких функций: тогда
ty*@x(U)) автоматически содержится в Oy{^~xU) вви-
ввиду определения \|э. Это будет сделано в A2.3).
Эти замечания сводят доказательство теоремы к про-
проверке двух свойств пары (я, У). Мы утверждаем, что это
достаточно сделать при дополнительном предположении
о том, что группа G связна. В самом деле, предположим,
что в случае связной группы теорема доказана. Пусть
Я' = G° П Н, У — орбита относительно G0 некоторой
точки у е У, и и': G0-^ У — орбитное отображение. Так
как группа Я' имеет в Я конечный индекс, то ее алгебра
Ли совпадает с I). По построению У группа Н' совпа*
дает со стабилизатором точки у в G0, а ее алгебра Ли Ь
есть подалгебра в g == «^(G0), состоящая из всех элемен-
элементов, аннулирующих у. Из теоремы для связного случая
тогда следует, что пара (я', У') обладает желаемыми
двумя свойствами. Благодаря G-эквивариантвости ото

144 ГЛ. IV. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
бражения я мы можем распространить эти свойства на
пару (я, У).
12.2. Топология на множестве У. Теорема 4.5 дает
критерий того, когда доминантный морфизм неприводи-
неприводимых многообразий открыт. Мы хотим проверить спра-
справедливость предположений этой теоремы для морфизма
я: G-*Y. Поскольку группа G действует на У транзи-
тивно и У обладает простой точкой E.2), то все точки
являются простыми; поэтому их локальные кольца це-
лозамкнуты (теорема 5.3А). Следовательно, мы можем,
выбрать открытое множество UaY, как в теореме4.3(б).
Согласно этой теореме для каждого замкнутого непри-
неприводимого подмножества W <z:Yy которое имеет непустое
пересечение с £/, компоненты множества n~l(W)y пере-
пересечение которых с я^) не пусто, все имеют «правиль-
«правильную» размерность. Так как группа G действует на У
транзитивно, то G-сдвиги множества U покрывают У (а
G-сдвиги множества n~](U) покрывают G). Отсюда сле-
следует, что все компоненты всех множеств n~](W) имеют
правильную размерность и, таким образом, мы можем
воспользоваться теоремой 4.5.
12.3. Функции на множестве У. Вначале мы хотим
показать, что полиномиальная функция fe/C[G], по-
постоянная на смежных классах хНу есть образ относи-
относительно я* некоторой рациональной функции на У. (На-
(Напомним, что группа G предполагается связной, так что
существует поле рациональных функций K(Y).) Пусть
G-^У X А1-^-> У, где ф(я) = (я(я),/(*)). Композиция
этих отображений совпадает с я. Если X — замыкание
в УХ А1 множества cp(G)> то множество X неприводимо
и prj индуцирует сюръективный морфизм if: Х->У. По
построению морфизм я сепарабелен; поэтому if— также
сепарабельный морфизм.
Далее, cp(G) содержит (плотное) открытое подмно-
подмножество множества X D.3). Так как функция f постоянна
на слоях морфизма я, то ограничение морфизма if» на
это открытое множество является, очевидно, инъектив-
ным морфизмом, а также доминантным и сепарабель-
ным. Поэтому мы можем применить теорему 4.6. В ре-
результате мы заключаем, что i|r* отображает поле K(Y)
изоморфно на поле К(Х). Но проекция рг2: УХ А1-> А1

$ 12. ФАКТОРЫ 145
индуцирует на X морфизм g: X -> А1 (т. е. регулярную
функцию). Поскольку g^K(X), существует рациональ-
рациональная функция Ае/((У), для которой g = \|)*ft. Заметим,
наконец, что q)*g = cp*\|)*/z = n*h совпадает с f во всех
точках G. Следовательно, / = я*Л, что и требовалось.
Теперь мы хотим показать, что рациональная функ-
функция h^K(Y), которую мы только что построили, яв-
является регулярной функцией на У. Так как все точки
в У просты, то теорема 5.3Б показывает, что если функ-
функция ft определена не везде, то I/ft принимает значение О
в некоторой точке множества У. Но тогда функция
я*(I/ft) = 1/f также должна принимать в некоторой точ-
точке значение 0, что невозможно (ибо / е К[G]).
Отметим, что проведенное рассуждение проходит по-
почти дословно, если мы заменим У открытым подмноже-
подмножеством U (все точки которого снова просты!) и группу
G — на n~l(U). Таким образом, мы в действительности
показали, что каждая функция fG^G^ff/)), постоян-
постоянная на смежных классах по подгруппе Н является об-
образом n*h для некоторой функции h^0Y(U). Это за-
завершает доказательство теоремы 12.1. □
12.4. Дополнения. A) Доказательство теоремы 12.1
содержит доказательство следующего утверждения:
Если G — алгебраическая группа, У — многообразие,
на котором группа G регулярно действует, я: G -> У —
сюръективный сепарабельный G-эквивариантный мор-
морфизм, слоями которого являются смежные классы хН
по некоторой замкнутой подгруппе Н группы G, то мно-
многообразие У определяется однозначно с точностью до
изоморфизма.
Это можно применить, в частности, в случае Н = е,
чтобы завершить обсуждение группы G = PGLB, К) в
F.4). Напомним, что орбитное отображение qp: G-+Ycz
с Р1 X Р1 X Р1 является, как было показано, биектив-
биективным и сепарабельным. Теперь мы можем сделать вывод,
что ф — изоморфизм.
B) Пусть Н — замкнутая подгруппа группы G. Есте-
Естественно поставить вопрос, когда многообразие G/H аф-
финно или проективно. Если группа Н нормальна в G,
то, как мы видели, многообразие G/H аффинно. С другой
стороны, в главе VIII будут приведены важные приме-
примеры, когда это многообразие проективцо (см. ниже

146 ГЛ. IV ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
упражнение 3). Однако в общем случае о природе мно-
многообразия G/H известно очень мало (см. замечания).
12.5. Характеристика 0. Вопрос о сепарабельности не
возникает, если char К = 0. Это обстоятельство весьма
удобно при рассмотрении соответствия между алгебраи-
алгебраическими группами и их алгебрами Ли, которое будет об-
обсуждаться в следующей главе.
Теорема. Пусть char /С == 0.
(а) Если ф: G->- G'— морфизм алгебраических групп,
то Кегб/ф = «2?(Кегф).
(б) Если Л, В— замкнутые подгруппы алгебраиче-
алгебраической группы G, то а П Ь = 2 (A f| В).
Доказательство, (а) Мы можем предполагать, что
морфизм ф сюръективен. Так как морфизм ф сепарабе-
лен, то замечание A) в A2.4) позволяет нам отождест-
отождествить ф с каноническим морфизмом G-^G/Кегф; тогда
утверждение (а) следует из конструкции в A1.5).
(б) Пусть я: G ->- G/B — канонический морфизм.
Тогда KerAte=b. Рассмотрим ограничение я': Л->я(Л).
Слои морфизма я' есть смежные классы х(А(]В) и
морфизм я' автоматически сепарабелен (ибо char/(=()).
Замечание A) в A2.4) позволяет отождествить я' с ка-
каноническим морфизмом А-^А/(А(]В). Следовательно,
Кегdn'e = &(А[\В). Но, очевидно, Кегdn'e = аП Кегdne =
= аПЬ. П
Упражнения
1. Пусть G — алгебраическая группа, А,В — ее замкнутые под-
подгруппы. Доказать, что а (]Ь = 3?(А Г) В) тогда и только тогда,
когда ограничение на Л канонического морфизма я: G -*- G/B —
снова сепарабельный морфизм.
2. Пусть G — связная алгебраическая группа, Н — замкнутая
подгруппа. Тогда Н действует на K(G) естественным образом как
группа автоморфизмов, и поле K(G/H) изоморфно подполю K(G)H
функций, неподвижных относительно Н.
3. Доказать, что многообразие GL(n,K)IT(nyK) изоморфно
многообразию флагов Ъ{Кп) A.8). Использовать этот факт для вы-
вычисления размерности многообразия флагов (ср. упражнение 3.2).
4. Пусть X, У — многообразия, на которых транзитивно дейст-
действует алгебраическая группа G, и пусть ср: X-+• У — сюръективный
G-эквивариантный морфизм. Доказать, что ср — открытое ото-
отображение.
Замечания. Относительно природы многообразия G/H см. Бя-
лыницки-Бируля [1], Борель [3], стр. 45—49, Мацусима [1], Ро-
зенлихт [4], а также список литературы к 14-й проблеме Гиль-
Гильберта, приведенный ниже в замечаниях к § 14,

ГЛАВА V
ТЕОРИЯ В СЛУЧАЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ О
Эта глава посвящена краткому обсуждению случая,
когда char К = 0. Ни один из доказываемых здесь ре-
результатов не будет существенно использоваться в даль-
дальнейшем изложении.
В § 13 от читателя требуется лишь небольшое зна-
знакомство с алгебрами Ли, однако в § 14 необходимо
знать некоторые из основных теорем о полупростых ал-
алгебрах Ли. Здесь встретятся также некоторые понятия,
которые предваряют их формальное появление несколь-
несколько далее в тексте.
§ 13. Соответствие между группами и алгебрами Ли
13.1. Структурное соответствие. На некоторых при-
примерах в предыдущих главах (см., например, упражнения
10.3, 10.4) мы убедились, что алгебраические группы и
их алгебры Ли могут вести себя по-разному в случае
простой характеристики основного поля. Еще с большей
ясностью это выявится в главе VI. Причина этого за-
заключается в несепарабельности некоторых расширений
полей; это явление отсутствует в нулевой характеристи-
характеристике, и алгебра Ли весьма точно отражает то, что проис-
происходит в группе.
Из сепарабельности морфизмов следует, во-первых,
что для любого морфизма алгебраических групп ср: G-*
-+-G' имеет место равенство Кег (dqp) = «^(Кегф), а
во-вторых, что алгебра Ли пересечения замкнутых под-
подгрупп совпадает с пересечением их алгебр Ли A2.5).
Эти факты являются ключевыми для доказательства
всех результатов настоящего пункта.
Теорема. Пусть G—связная алгебраическая группа.
Тогда соответствие #->!) взаимно однозначно и сохра-
сохраняет включение между замкнутыми связными подгруп-

148 ГЛ. V. ТЕОРИЯ В СЛУЧАЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ О
пами Н группы G и их алгебрами Ли, рассматриваемы-
рассматриваемыми как подалгебры алебры д.
Доказательство. Использовать теорему 12.5. □
Подалгебра 2?(Н) = ft алгебры g называется алге-
алгебраической. Нелегко точно определить, какие подалгеб-
подалгебры алгебры g являются алгебраическими (в терминах
алгебр Ли), например, уже в случае, когда G =
= GL(n,/(), д = д1(я, а). Об этом известно сравнитель-
сравнительно немного*) (см. замечания ниже).
Эта теорема имеет и другой недостаток: она не опи-
описывает поведение нормальных подгрупп. В любой харак-
характеристике верно, что алгебра Ли замкнутой нормальной
подгруппы группы G является идеалом алгебры Ли g
(следствие 10.4А). Мы вскоре докажем, что в характе-
характеристике 0 справедливо обратное, если мы ограничимся
связными группами. (Почему это необходимо?)
13.2. Инварианты и инвариантные подпространства.
Предположим, что Н — замкнутая подгруппа некоторой
полной линейной группы GL(V). В любой характери-
характеристике имеет место тот факт, что алгебра Ли f> оставляет
инвариантным каждое подпространство пространства V,
инвариантное относительно Я, и аннулирует векторы,
неподвижные относительно Н. Оба эти утверждения
можно усилить следующим образом. Рассмотрим под-
подпространство W пространства V, и пусть Gw =
= {л- е= GL(V) \x(W) = И7}, iw= {х <ee9|x(W) = W).
Аналогично при v ^ V положим Gv= {х е GL (V) \ х(v) =
= и} и д^ = {х egl(V) |х(у)==0}. Группы Gw и Gv замк-
замкнуты в GL(V) (8.2), а д^, qv — подалгебры Ли алгебры
gl(V). Мы утверждаем, что (в любой характеристике)
&(Gw) = Qw и 2(Gv) =Qv. Доказательства основаны
на сравнении размерностей. Выберем базис v\9 - • -, vn
пространства V такой, что ui, ..., vm порождают прост-
пространство W (соответственно такой, что V\ ==v). Тогда g^
(соответственно qv) можно отождествить с линейным
многообразием размерности п(п — m) + m2 (соответст-
(соответственно п2 — п) в Ап у и Gw (соответственно Gv) —с аф-
аффинным открытым подмножеством этого линейного
многообразия. (Строго говоря, в случае группы Gv сле-
*) В характеристике 0 существует критерий алгебраичности
иодгалгебры, см. Шевалле [4, II, § 14]. — Прим. ред,

§ 13. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ГРУППАМИ И AJlrFBPAMH ЛИ 149
дует еще сделать сдвиг на единичную матрицу.) Так как
2?(Gw) a Qw, 3?(Gv) czqv (согласно упражнениям 10.1,
10.2), то должно иметь место равенство.
Теорема. Пусть Н — замкнутая подгруппа полной ли-
линейной группы GL(V). Если W — подпространство про-
пространства V (соответственно иеУ), то определим замк-
замкнутые подгруппы Gw, Gv группы GL(V), как и выше, и
пусть Hw = H()Gw, HV = H[\GV. Тогда 2{H) $
2{H)
Доказательство. Применить предыдущие замечания
вместе с теоремой 12.5. □
Заметим, что если ср: Н —► GL(V)—рациональное
представление, то ввиду dcp(f))= ,2?(ф(Я)), мы можем
применить эту теорему в следующей форме: Н и I)
оставляют инвариантными одни и те же подпространства
пространства V (соответственно имеют одни и те же
инварианты в V).
Мы использовали инварианты в A0.7), чтобы пока-
показать, что алгебра Ли группы автоморфизмов конечно-
конечномерной /(-алгебры состоит из дифференцирований этой
алгебры. В характеристике 0 это утверждение можно
усилить.
Следствие. Пусть 21— конечномерная К-алгебра, Н=
= Aut 21. Тогда f) = Der 21 — алгебра всех дифференци-
дифференцирований.
Доказательство. Доказательство следствия 10.7 по-
показывает, что xg GLB1) —автоморфизм тогда и только
тогда, когда х оставляет неподвижным некоторый тен-
тензор t e 21* 021* ® 21, а элемент xeglBl) является диф-
дифференцированием тогда и только тогда, когда он анну-
аннулирует t. Теперь применяем предыдущую теорему (и
следующие за ней комментарии). □
Например, если 21 — алгебра Кэли (некоторая 8-мер-
8-мерная неассоциативная алгебра над /С), то Aut21 имеет
Der 21 в качестве своей алгебры Ли. Последняя, как из-
известно, есть простая алгебра Ли типа G2, откуда следует,
что группа Aut 21 «почти проста»; дальнейшие примене-
применения см. в § 14.
13.3. Нормальные подгруппы и идеалы.
Теорема. Пусть G — связная алгебраическая группа,
Н — замкнутая связная подгруппа. Алгебра Ли I) — идеал
в g тогда и только тогда, когда группа Н нормальна в G.

150 ГЛ. V. ТЕОРИЯ В СЛУЧАЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 0
Доказательство. Часть «тогда» уже известна. Пред-
Предположим, что J) — идеал алгебры Ли д, и рассмотрим
группу N — (xg G\Adx$ = 1)}. В соответствии с теоре-
теоремой 13.2 (и следующими за ней замечаниями) мы имеем
п = {х €= e|d(Ad)x(&)c&} = <xee|adx(J)c:W = g
(так как ad есть дифференциал морфизма Ad A0.4)).
Поскольку группа G связна, N = G. Если теперь j^gG,
то 2>(Intx(H)) = Ad*(J>) = f). Две связные группы Н и
хНх~1 имеют одну и ту же алгебру Ли, следовательно,
они совпадают (теорема 13.1). □
Подобным образом доказывается, что алгебра Ли
группы Ng(H) совпадает с нормализатором алгебры
Ли \) в g (упражнение 1).
13.4. Центры и централизаторы.
Теорема. Пусть G — связная алгебраическая группа.
(а) Если x<=G, то &(CG(x)) =ce(*) (={x€=g|
|Ad*(x) =x}).
(б) КегAd = Z(G) и алгебра Ли группы Z(G) сов-
совпадает с Кег ad = 8(д).
Доказательство, (а) Предложение 10.6 показывает,
что это утверждение справедливо для группы G =
= GL(n,K) и ее алгебры Ли g = д1(^г, /С). В общем слу-
случае вложим группу G в некоторую полную линейную
группу GL(n,K) в качестве замкнутой подгруппы (тео-
(теорема 8.6). Тогда Cq(x) = G(\Conn,K)(x), в то время
как с9 (х) = д П cgi (я. К) (х). Таким образом, применима
теорема 12.5.
(б) Из сепарабельности морфизмов вытекает, что
группа N = Кег Ad имеет в качестве своей алгебры Ли
Кег d(Ad) = Кег ad A0.4), что, по определению, совпа-
совпадает с &((})• Остается показать, что N = Z(G). Мы уже
знаем, что AdA:=l при jceZ(G) (так как Ad а: есть
дифференциал морфизма Int#). Обратно, если Ad*=l,
то с9(л:) = 8; но ввиду (а) это совпадает с &(Со(х))9
откуда CG(x) = G, или x^Z(G). □
13.5. Полупростые группы и алгебры Ли. Теорема
13.4F) показывает, что связная алгебраическая группа
коммутативна тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли
коммутативна, т. е. [х, у] = 0 для всех х, у е д. По опре-
определению алгебра Ли положительной размерности полу-
полупроста, если она не содержит ненулевых коммутативных
идеалов. Это дает нам основание назвать связную алгеб-

§ ТЗ. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ГРУППАМИ И АЛГЕБРАМИ ЛИ 151
раическую группу полупростой, если она не содержит
замкнутых связных коммутативных нормальных под-
подгрупп, отличных от единичной подгруппы. Другое, экви-
эквивалентное определение будет дано в A9.5). Теперь мы
можем доказать следующий результат.
Теорема. Связная алгебраическая группа G полупро-
ста тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли g полу-
полупроста.
Доказательство. Пусть алгебра Ли g полупроста.
Если N— замкнутая связная коммутативная нормаль-
нормальная подгруппа группы G, то п — коммутативный идеал
алгебры Ли g (используйте теорему 13.3 и предыдущие
замечания). Таким образом, tt = 0, откуда N = е.
Обратно, пусть G — полупростая группа, и пусть п —
коммутативный идеал ее алгебры Ли д. Положим # =
= CG(n)°. Тогда $ = Cg(tt) (это следует из теоремы 13.2,
см. упражнение 2). Так как п — идеал, то тождество
Якоби показывает, что I)— также идеал (содержащий п
как часть своего центра, ибо алгебра Ли п коммутатив-
коммутативна). Согласно теореме 13.3 группа Н нормальна в G,
откуда вытекает, что группа Z = Z(H)° нормальна в G.
По теореме 13.4F) $ есть центр алгебры Ли I) и, следо-
следовательно, содержит п. Поскольку группа G полупроста,
Z = е, ъ = 0. Это дает п = 0. □
О полупростых алгебрах Ли известно очень много,
так что эта теорема, как мы увидим в следующем пара-
параграфе, имеет особое значение.
Упражнения
1. Пусть G — связная алгебраическая группа, Н — замкнутая
связная подгруппа. Доказать, что 2 (NG (#)) = Пд (§) (см. следст-
следствие 10.4Б) и что & (CG (Я)) = ctt E) (см. упражнение 10.5).
2. Пусть G — связная алгебраическая группа, и п — подалгебра
алгебры Ли б- Доказать, что 2 (CG (tt)) = С0 (tt) (= {х е g | [x, y] =
= 0 для всех yen}).
3. Доказать, что группа SL B, К) полупроста.
Замечания. Соответствие между линейными алгебраическими
группами и алгебрами Ли впервые глубоко изучено Шевалле [4],
[5] при помощи формальных экспоненциальных степенных рядов;
другой подход предложил Хохшильд [8]. Дальнейшие результаты
можно найти у Бореля [4, II, § 7"} и Демазюра и Габриэля [1, II,
§ 6]. Некоторые вопросы об алгебраических алгебрах Ли обсу-
обсуждаются Хохшильдом [2], [7], Хамфри [1], [2], [3], Селигманом
[1]. [2], [3].

15? ГЛ. V ТЕОРИЯ В СЛУЧАЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ О
§ 14. Полупростые группы
Как и в § 13, мы предполагаем, что char К = 0. Мы
также предполагаем, что читатель знаком с теорией по-
полупростых алгебр Ли.
14.1. Присоединенное представление. В общем случае
Ker Ad =Z(G) и алгебра Ли группы Z(G) есть Kerad=
= 8(8) A3.4). Если группа G полупроста, то алгебра Ли
g также полупроста A3.5), так что 8{д)=0 и группа
Z(G) конечна. В этом случае более интересны образы
отображений Ad и ad.
Теорема. Пусть группа G полупроста. Тогда Ad G =
= (Aut g) ° и ad g = Der g.
Доказательство. Известно, что все дифференцирова-
дифференцирования полупростых алгебр Ли являются «внутренними»
(т.е. имеют вид adx), так как форма Киллинга не вы-
вырождена. Таким образом, ad g = Der g. В свою очередь,
согласно следствию 13.2, Derg есть алгебра Ли группы
Aut д. Так как Ker Ad =Z(G)—конечная группа и
Ker ad = 0, то размерности групп G, Ad G, Aut g и алгебр
Ли д, Derg все совпадают. В частности, из Ad G с=
с: (AutgH следует, что имеет место равенство. □
Эта теорема — начало долгого пути к классификации
полупростых алгебраических групп (в характеристике 0).
Из нее уже следует, что если G, G' — полупростые груп-
группы, алгебры Ли которых изоморфны, то группа G/Z(G)
изоморфна GrIZ{Gf). (Таким образом, группы G и G'
«локально изоморфны», если воспользоваться термино-
терминологией теории групп Ли.) Благодаря классическим ра-
работам Киллинга и Картана классификация полупростых
алгебр Ли полностью известна: алгебра Ли определяет-
определяется (с точностью до изоморфизма) своей «системой кор-
корней» (см. Добавление), которая представляет собой объе-
объединение (непересекающихся) неприводимых систем кор-
корней, принадлежащих однозначно определенным простым
идеалам, й прямую сумму которых распадается исход-
исходная алгебра Ли. Неприводимые системы корней состоят.
из четырех бесконечных семейств А/, В/, С/, D/ и пяти
исключительных типов Ее, Е7, Es, F4, G2.
Для полноты картины мы должны, конечно, описать
группу Z(G). Оказывается, что группа Z(G) должна
быть изоморфна подгруппе «фундаментальной группы»

§ 14. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ 153
системы корней (см. Добавление), являющейся, по опре-
определению, фактором решетки весов по подрешетке кор-
корней. Например, в случае группы типа А\ эта группа
имеет порядок 2; таким образом,SLB, К) nPGLB,K) —
единственные полупростые группы типа Аь
Замечательно, что классификация полупростых групп
в простой характеристике (глава XI) приводит, по суще-
существу, к тем же самым результатам. Алгебра Ли не играет
более столь важной роли, но система корней неожидан-
неожиданно появляется как основной инвариант группы. Все это,
однако, требует значительной подготовительной работы.
Эта подготовительная работа дает гораздо более деталь-
детальную информацию о группе, чем можно получить из
алгебры Ли даже в характеристике 0, так что дополни-
дополнительные усилия оправданы даже для читателя, который
интересуется только случаем нулевой характеристики.
14.2. Подгруппы полупростых групп. Пусть снова О —
полупростая группа. Интересно выяснить, что дает нам
знание строения алгебры Ли g для получения сведений
о замкнутых подгруппах группы G. Как упоминалось
в A3.1), в общем случае трудно решить вопрос*), яв-
является ли данная подалгебра I) алгебры Ли g алгеброй
Ли какой-либо подгруппы Н группы G. Однако до неко-
некоторой степени можно использовать хорошее соответст-
соответствие между нормализаторами (или централизаторами).
Рассмотрим, например, каноническое разложение
алгебры Ли g в прямую сумму простых идеалов дь ...
..., $t, о котором мы упоминали в A4.1). (Ненулевая
алгебра Ли называется простой, если она некоммутатив-
некоммутативна и не имеет собственных ненулевых идеалов.) Здесь
с9(82® ••• ФбО = 01 и это —алгебра Ли группы
Со(й2® ... ФбО (см- упражнение 13.2). Пусть G\ ком-
компонента единицы этой последней группы. Тогда G{ нор-
нормальна в G A3.3). Если G\ имеет собственную замкну-
замкнутую связную нормальную подгруппу Я, то ее алгебра
Ли \) будет собственным идеалом в дь вопреки простоте.
Таким образом, G\ почти проста, т. е. некоммутативна и
не имеет собственных замкнутых связных нормальных
подгрупп. Построим подобным же способом группы
G2, ..., Gt. Так как [g/, &] = 0 при I ф /, то группа Gi
*) См. примечание на стр. 148. — Прим. перев.

154 ГЛ. V. ТЕОРИЯ В СЛУЧАЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ О
централизует G/. Кроме того, G = G\ ... Gt (так как
правая часть есть замкнутая подгруппа, алгебра Ли
которой содержит д) и каждая группа G; пересекается
с произведением остальных подгрупп по центральной
(и, следовательно, конечной) подгруппе. Таким обра-
образом, группа G разлагается в «почти прямое» произве-
произведение.
С другой стороны, читатель, знакомый с картанов-
скими и борелевскими подалгебрами алгебры Ли д, каж-
каждая из которых совпадает со своим нормализатором, без
труда построит соответствующие подгруппы в группе G.
Такие подгруппы будут введены позднее в случае про-
произвольной характеристики основного поля как (соответ-
(соответственно) «максимальные торы» и «борелевские подгруп-
подгруппы». Будет показано с использованием алгебро-геомет-
рических методов, что все подгруппы каждого из типов
сопряжены в G. Следовательно, в случае характеристи-
характеристики 0 картановские (соответственно борелевские) подал-
подалгебры алгебры g все сопряжены при помощи элементов
группы Ad G. Этот последний результат, разумеется,
хорошо известен (хотя доказывается отнюдь не просто!),
если Ad G определить непосредственно как подгруппу
группы Autg, порожденную «внутренними» автоморфиз-
автоморфизмами вида exp ad n, где п пробегает элементы алгебры
Ли д, для которых эндоморфизм ad n нильпотентен.
14.3. Полная приводимость представлений. Фунда*
ментальная теорема Вейля утверждает, что каждое (ко-
(конечномерное) представление р: g->gI(V) полупростой
алгебры Ли вполне приводимо. Это означает, что каж-
каждое подпространство пространства V, инвариантное от-
относительно р(д), обладает дополнением с тем же свой-
свойством. Таким образом, пространство V можно записать
в виде прямой суммы подпространств, инвариантных от-
относительно р(д). Ввиду теоремы 13.2 рациональное пред-
представление полупростой алгебраической группы также
вполне приводимо. Этот факт имеет важное приложение
к четырнадцатой проблеме Гильберта, которое мы бегло
изложим.
Группа GL{n,K) действует естественным образом на
Кп и, следовательно, на симметрической алгебре этого
векторного пространства, которую можно отождествить
с алгеброй полиномов /? = /С[Гь ..., Тп]- Это — «рацио-

$ T4. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ 155
нальное» действие в том смысле, что R — объединение
конечномерных подпространств, инвариантных относи-
относительно GL(n,K), на каждом из которых группа GL(n,K)
действует рационально. Чтобы убедиться в этом, заме-
заметим, что R обладает естественной градуировкой (по сте-
степеням), которая согласуется с действием группы. Если
G — произвольная.подгруппа группы GL(n,K), то через
R0 обозначим множество неподвижных элементов в R
относительно G. Очевидно, RG есть /С-алгебра. Проблема
Гильберта заключается в следующем: является ли ал-
алгебра RG конечно порожденной (как /(-алгебра)? Ответ,
как мы увидим, утвердителен во многих интересных слу-
случаях; но в 1958 г. Нагата построил пример, в котором
ответ оказался отрицательным (для произвольной ха-
характеристики поля /С). Так как группа G и ее замыка-
замыкание в топологии Зарисского имеют одно и то же множе-
множество неподвижных точек RG, то мы можем предполагать,
что группа G замкнута в GL(n, К).
Теорема. Пусть G — замкнутая подгруппа группы
GL(nyK), действующая естественным образом на кольце
R = I([Ti1 ..., Тп]. Предположим, что все рациональные
представления группы G вполне приводимы. Тогда RG —
конечно порожденная К-алгебра.
Доказательство. Заметим сначала, что если группа G
оставляет некоторый полином неподвижным, то она
оставляет неподвижными также однородные части этого
полинома, так что кольцо RG наследует градуировку
кольца R. Полная приводимость представлений группы
G на отдельных градуирующих подпространствах коль-
кольца R позволяет нам записать R = RG © S, где S — сумма
всех подпространств, на которых G действует неприво-
димо, но нетривиально. Очевидно, RG f\RGS = 0. Так как
пространство RGS инвариантно относительно G, то ввиду
полной приводимости RGS cz S.
Мы покажем теперь, что кольцо RG нётерово. Если
/ — идеал кольца R°, то IR = IRG © IS c:RG 0S (так
как кольцо RG оставляет инвариантным RG и S), откуда
IR(]RG =/. Таким образом, расширение и затем огра-
ограничение идеала кольца RG возвращает нас снова к ис-
исходному идеалу. Отсюда следует, что кольцо R0 удов-
удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей идеа-
поскольку кольцо R обладает этим свойством.

156 ГЛ. V. ТЕОРИЯ В СЛУЧАЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ О
В частности, однородный идеал кольца R0, состоя-
состоящий из полиномов положительной степени, имеет конеч-
конечное множество образующих, которые мы можем считать
однородными. Обозначим их через /ь ...., ft. Мы утверж-
утверждаем, что каждый однородный полином / е RG положи-
положительной степени является полиномом от элементов /;,
откуда будет следовать, что RG = К [/ь ...,/*]. Запишем
/ = J] difi, где a,i Ei?° — однородный полином степени
deg f — deg fi ^ 0 (либо щ = 0, если deg/<deg/*).
Тогда либо cii&K, либо 0 < deg a,- < deg/, и в этом
случае можно воспользоваться индукцией. П
Одна из причин интереса к вопросу о конечной по-
рожденности колец инвариантов заключается в следую-
следующем. Если алгебраическая группа G действует на аф-
аффинном многообразии Ху то множество У ее орбит в А"
часто можно наделить структурой многообразия таким
образом, чтобы канонический морфизм X-+-Y имел хо-
хорошие универсальные свойства. Например, X может
быть алгебраической группой, содержащей G, а действие
группы G на X — действием при помощи левых или пра-
правых сдвигов; тогда У есть множество правых или левых
смежных классов (см. главу IV). Коль скоро такой
«фактор» построен, естественно спросить, будет ли его
многообразие аффинным или нет. Если оно аффинно,то
единственным кандидатом быть его аффинной алгеброй
является кольцо инвариантов K[X]G (кольцо полино-
полиномиальных функций на Ху принимающих постоянные зна-
значения на каждой G-орбите). Таким образом, мы прихо-
приходим к вопросу, является ли это кольцо конечно порож-
порожденным. Обратно, если группа G действует на X и если
известна конечная порожденность кольца K[X]G, то мож-
можно попытаться наделить множество G-орбит соответст-
соответствующей структурой аффинного многообразия так, чтобы
орбитное отображение обладало нужным универсальным
свойством. Для этого приходится накладывать допол-
дополнительные условия, например, что все орбиты замкну-
замкнуты в X.
В теореме, доказанной выше, рассматривается слу-
случай, когда многообразие X имеет в качестве своего коль-
кольца полиномиальных функций кольцо К[Т\, ..., Тп]. Но
общий случай можно свести к этому (упражнение 2),
так как К[Х\—гомоморфный образ такого кольца.

§ И ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ 157
В итоге мы получаем конечную порожденность кольца
K[X]G при условии, что все рациональные представле-
представления группы G вполне приводимы.
Упражнения
1. Пусть G — алгебраическая группа, R — конечно порожден-
порожденная коммутативная /(-алгебра, на которой группа G действует как
группа автоморфизмов. Мы говорим, что группа G действует «ра-
«рационально» на R, если каждый элемент кольца R лежит в конечно-
конечномерном G-инвариантном подпространстве, на котором индуцируется
рациональное действие группы G. Пусть группа G действует ра-
рационально на двух таких алгебрах R, R\ и пусть ф: R-+- R' — неко-
некоторый G-эквивариантный эпиморфизм. В предположении, что все ра-
рациональные представления группы G вполне приводимы, доказать,
что ф отображает RG на R'G.
2. Пусть алгебраическая группа G действует на аффинном
многообразии X. В предположении, что все рациональные пред-
представления группы G вполне приводимы, доказать, что K[X]G —
конечно порожденная /(-алгебра. (Использовать упражнение 1, что-
чтобы свести дело к теореме 14.3.)
Замечания. По поводу теории полупростых алгебр Ли можно
обратиться к Джекобсону [1], Серру [2], Хамфри [6]. Литера-
Литература по теории инвариантов и 14-й проблеме Гильберта весьма об-
обширна, см.: Дьедонне и Керрол [1], Фогарти [1], Гроссханс [4],
Хохшильд и Мостов [4], Мамфорд [1], Нагата [1], [2], [3], Се-
шадри [1], [2], [3], Такеучи [1].

ГЛАВА VI
ПОЛУПРОСТЫЕ И УНИПОТЕНТНЫЕ
ЭЛЕМЕНТЫ
§ 15. Разложение Жордана — Шевалле
Жорданова нормальная форма (сумма диагонально-
диагонального и нильпотентного элементов) для одного линейного
преобразования имеет в GL(n,K) мультипликативный
аналог (произведение диагонального и унипотентного
элементов). Основной результат этого параграфа (тео-
(теорема 15.3) утверждает, что замкнутая подгруппа группы
GL(n,K) содержит эти компоненты для каждого своего
элемента. Отсюда мы выведем затем некоторые след-
следствия о строении коммутативных алгебраических групп
A5.5).
15.1. Разложение эндоморфизма. Пусть х е End V.
где V — конечномерное векторное пространство над по-
полем К. Элемент х называется нильпотентным, если хп=
= О для некоторого натурального числа п (или, что рав-
равносильно, если 0 — единственное собственное значение
эндоморфизма х). Элемент х называется полупростым,
если минимальный полином элемента х имеет различ-
различные корни (что имеет место тогда и только тогда, когда
элемент х диагонализируем над К). Очевидно, 0 — един-
единственный эндоморфизм, одновременно нильпотентный и
полупростой. Хорошо известно следующее (аддитивное)
разложение Жордана.
Лемма А. Пусть х е End V. Тогда:
(а) Существуют единственные элементы xs, xn e
е End V, удовлетворяющие следующим условиям: х =
= xs-\- Хпу элемент xs полупрост, элемент хп нильпотен-
тен и xsXn = xnXs.
(б) Существуют полиномы р(Т), q(T) от одной пере-
переменной без постоянного члена такие, что xs = p (x), хп =
= q(x). В частности, xs и хп перестановочны с любым
эндоморфизмом пространства V, который перестаново-
перестановочен с х.

§ 15. РАЗЛОЖЕНИЕ ЖОРДАНА - ШЕВАЛЛЕ 159
(в) Если А а В а V — подпространства и х отобра-
отображает В в А, то каждый из элементов xs, xu отображает
В в А.
(г) Если ху = ух (z/eEndV), то (х + уK = х8 + у*
и {х + У)п = хп + у п. □
Если x^GL(V), то все его собственные значения
отличны от 0; следовательно, xs^ GL(V). Поэтому мы
можем записать #w = 1 +хГ1*п, получая, таким образом,
(мультипликативное) разложение Жордана x = xsxu. За-
Заметим, что элемент х^1хп нильпотентен(так как хп ниль-
потентен и xjl коммутирует с хп). Мы называем обра-
обратимый эндоморфизм унипотентным, если он представим
в виде суммы тождественного и нильпотентного эндо-
эндоморфизмов, или, что равносильно, если все его собствен-
собственные значения равны 1. Мы только что показали, как за-
записать х в виде произведения перестановочных полу-
полупростого и унипотентного эндоморфизмов. Если x=su —
произвольное такое разложение, то x = sA + ai), где
эндоморфизм п нильпотентен и ns = sn или х = s + sn
(где эндоморфизм 5 полупрост, sn нильпотентен и 5 пе-
перестановочен с sn). Ввиду утверждения (а) леммы А
мы имеем s = xs и sn = хп, откуда следует, что и =
= 1 + п = хи. Тем самым (с учетом леммы А) доказана
Лемма Б. Пусть xe=GL(V). Тогда:
(а) Существуют единственные элементы xSy xu^
е GL(V)y удовлетворяющие следующим условиям: х =
= xsxu, элемент xs полупрост, элемент хи унипотентен и
XsXu — XuXs*
(б) Элементы xs, xu перестановочны с любым эндо-
эндоморфизмом пространства V, который перестановочен с х.
(в) Если А — подпространство пространства V, инва-
инвариантное относительно х, то А инвариантно относительно
Xs U Хи.
(г) Если ху = ух (y<=GL(V)), то {xy)s = xsySy
(ху)и = ХиУи. □
Мы называем xs полупростой частью и хи — унипо-
тентной частью элемента х. Отметим, что если эндомор*
физм х одновременно полупрост и унипотентен, то х=1.
Иногда полезно предполагать пространство V беско-
бесконечномерным, хотя понятия «полупростой» и «унипотент-
ный» непосредственно не переносятся на бесконечномео-

160 ГЛ VI. ПОЛУПРОСТЫЕ И УНМПОТЕПТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
ный случай. Если x^GL(V), и если пространство V —
объединение конечномерных подпространств, инвариант-
инвариантных относительно ху то разложениях\ W==(x\ W)s(x\ W)u
существуют для всех таких подпространств W. Более
того, ограничение полупростого (соответственно унипо-
тентного) эндоморфизма на пересечение Wf\W будет
эндоморфизмом того же типа; ясно поэтому, что мы мо-
можем склеить различные эндоморфизмы (#|№Mи (х\ W)u,
чтобы получить обратимые эндоморфизмы пространст-
пространства Vy произведением которых является эндоморфизм
х. Их можно снова обозначить через xSt xu и назвать
жордановыми компонентами эндоморфизма х. Следует
отметить, что ввиду утверждения (в) леммы Б элементы
xs и хи оставляют инвариантным каждое подпростран-
подпространство пространства V> конечномерное или нет, которое
инвариантно относительно х. Подобные замечания отно-
относятся, конечно, и к аддитивному разложению Жордана.
Поведение полупростых эндоморфизмов более или
менее одинаково как в нулевой, так и в простой харак-
характеристиках. Однако это отнюдь не так для унипотентных
эндоморфизмов. Если 0 < р = char /(, то элемент х е
е GL(V) унипотентен тогда и только тогда, когда xpt =
= 1 для некоторого t ^ 0. В самом деле, пусть х=\ + /г,
где п — нильпотентный элемент; тогда npt = 0 для до-
достаточно большого номера t> откуда следует, что хр =
= A + п)р =\ + пр =1. (Это рассуждение обратимо.)
Совершенно иная картина получается, если char К = 0,
поскольку отличный от 1 унипотентный элемент группы'
GL(V) должен быть бесконечного порядка (упражне-
(упражнение 5). В этом случае природу унипотентных элементов
можно лучше уяснить, если ввести экспоненциальные и
логарифмические степенные ряды. Если элемент /is
(= End V нильпотентен, то ряд ехря=Х^7Л является
полиномом и, следовательно, определяет некоторый эле-
элемент группы GL(V), который оказывается унипотентным
(как сумма 1 и нильпотентного эндоморфизма). Если
элемент xg GL(V) унипотентен, то х— 1 — нильпотент-
оо
ный элемент, и ряд log х — X (--l)l+1 (jc— 1O*' оказы-

§ 15. РАЗЛОЖЕНИЕ ЖОР ДАН А - ШЕВАЛЛЕ 161
вается полиномом, который определяет нильпотентный
эндоморфизм пространства V. Ввиду обычных формаль-
формальных тождеств для этих рядов мы имеем exp (log#) =x
и log (exp n) = п.
Лемма В. Пусть char К = 0. Если x^GL(V) —уни-
потентный элемент, хф\, то отображение ф(а) =
= exp {an) (n = log х) определяет изоморфизм группы
Ga на замкнутую подгруппу группы GL(V), которая яв-
является единственной наименьшей замкнутой подгруппой
группы GL(V)> содержащей х. В частности, каждая
связная замкнутая одномерная подгруппа группы GL(V),
которая содержит отличный от 1 унипотентный элемент,
изоморфна группе Ga.
Доказательство. Соотношение ср(а) = exp (an) опре-
определяет морфизм многообразий Ga-* GL(V), который
одновременно является гомоморфизмом групп ввиду
формального тождества ехр((Г + Т')п) = (ехр Тп) X
X (ехрГ'я). (Это имеет место для кольца формальных
степенных рядов от двух переменных Г, Т' над комму-
коммутативным подкольцом К[п] кольца End (V).) Кроме
того, фA) =х. Чтобы убедиться в том, что отображение
Ф—изоморфизм, мы заметим, что an = log exp (an) ==
оо
= logq>(a) = X (— 1)ж(ф(я) — 1O* — полином от ф(а).
Наконец, так как х — элемент бесконечного порядка,
то размерность замыкания подгруппы, которую он по-
порождает, не менее чем 1, и, следовательно, эта замкну-
замкнутая подгруппа должна совпадать с замкнутой подгруп-
подгруппой (p(Ga), ибо размерность последней равна 1. □
15.2. GL(n, К) и д!(я, К). Если G — произвольная под-
подгруппа группы GL(n, /С), то нет никакой причины ожи-
ожидать, что она содержит полупростую и унипотентную ча-
части каждого своего элемента. Однако если группа G
замкнута, то это так. (Оказывается, что и алгебра Ли д
содержит полупростую и нильпотентную части в д!(п, К)
каждого из своих элементов.) Причина этого станет
ясной, если мы напомним критерий принадлежности эле-
элемента группе G (соответственно алгебре д) (лемма 8.5
(соответственно лемма 9.4)). Например, задав элемент
xgG, мы хотим узнать, оставляет ли элемент рх инва-
инвариантным идеал la K[GL(n, К)], состоящий из функ-

162 ГЛ. VI. ПОЛУПРОСТЫЕ И УНИПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
ций, равных 0 на группе G. Учитывая рассуждение
в A5.1), нам достаточно выяснить, является ли рх
«полупростой частью» элемента рх. Поэтому мы сначала
рассмотрим этот вопрос (который относится уже не
к группе G).
Предложение. Пусть G = GL(n, /С), g = Ql(n,К).Если
xgG (соответственно xgj), to рхрх (соответственно
*х4 + *Хп) есть жорданово разложение элемента рх (со-
(соответственно *х).
Доказательство. Так как K[G] —объединение конеч-
конечномерных подпространств, инвариантных относительно
всех операторов рх (и, следовательно, относительно всех
*х, см. предложение 10.2), то разложения Жордана су-
существуют. Более того, рх = рх рх (соответственно *х =
?==*Xs + *xn) и эти операторы перестановочны; таким
образам, нам достаточно показать, что элементы рх и
*че5 полупросты, что элемент рх унипотентен и что эле-
элемент *х„ нильпотентен.
Кольцо K[G] есть кольцо частных кольца полиномов
К[Т] от п2 переменных Тц, которое получится, если до-
допустить появление в знаменателях степеней полинома
d = det(Tij). Из леммы 10.3А следует, что кольцо К[Т]
инвариантно относительно правых сдвигов и правых кон-
волюций. Кроме того, легко описать, как группа G и
алгебра Ли g действуют на d. Прежде всего, мы имеем
(Pxd) (у) = det(yx) = detу• detя, так что pxd = detx-d.
Это показывает, что пространство, натянутое на d, инва-
инвариантно относительно группы G, и, следовательно (пред-
(предложение 10.2), инвариантно относительно д, причем
d*x = Tr(x)d ввиду того факта E.4), что дифферен-
дифференциал морфизма det есть след. Отсюда видно, как опи-
описать действие оператора р* или *х на K[G], коль скоро
его действие на К[Т] известно.
В частности, если элемент Ра;|/([Г] полупрост, то
элемент рх полупрост (ибо d — собственный вектор опе-
оператора р* в любом случае). Если оператор р^/СЦГ] уни-
унипотентен, то его собственное значение det* на простран-
пространстве, натянутом на rf, должно быть равно 1; таким обра-
образом, элемент рх унипотентен. Аналогично, если оператор
*х|/С[Г] полупрост (соответственно нильпотентен), то и

§ 15. РАЗЛОЖЕНИЕ ЖОРДАНА - ШЕВАЛЛЕ 163
оператор *х полупрост (соответственно нильпотентен).
(Напомним, что *х действует на 1(Т)/с1* по правилу
дифференцирования дробей.) Следовательно, достаточно
рассмотреть действия операторов р*, *х на пространстве
К [Т] вместо К [О].
Пусть £=End V, где V=Kn\ рассмотрим G как под-
подмножество GL(V) пространства Е, так что q = q\(V)=E.
Алгебру К [Т] можно отождествить с симметрической
алгеброй ©(£*) на двойственном пространстве прост-
пространства Е. При х^Е определим эндоморфизм гх\ Е->>
-+Е соотношением гх(у) = ух, и пусть г*х: £*->£*—
дуальный эндоморфизм. Тогда мы видим, что р* (соот-
(соответственно *х) есть в точности каноническое расшире-
расширение г*х (соответственно г*) до автоморфизма (соответ-
(соответственно дифференцирования) алгебры ©(£*), см. лем-
лемму 10.ЗА. Таким образом, достаточно убедиться, что
свойство быть полупростым или унипотентным (соответ-
(соответственно полупростым или нильпотентным) элементом
сохраняется на каждом шаге, когда мы переходим от х
к гх, затем к г*х и, далее, к р* (соответственно от х к гх,
затем к г*х и потом к *х). Переход от гх к гх не состав-
составляет проблемы. Чтобы перейти от действия на Е* к дей-
действию на ©(£*), мы сначала рассмотрим действие на
тензорных степенях пространства Е* (см. упражнение 1),
а затем профакторизуем тензорную алгебру по соответ-
соответствующему идеалу, инвариантному относительно данного
действия, чтобы получить ©(£*); таким образом, этот
переход также не составляет труда. Остается рассмот-
рассмотреть переход от х к гх (х е Е).
Разберем отдельно полупростой, нильпотентный и
унипотентный случаи. Если элемент х е Е полупрост, то
выберем базис (v\, ..., vn) пространства V из собствен-
собственных векторов эндоморфизма х9 так что x-Vi — ctiVi для
подходящих элементов щ е /С. Выберем затем соответ-
соответствующий базис вц в £, для которого eij(Vk) = 8jkVi; тог-
тогда гхец = щвц. Это показывает, что элемент гх полу-
полупрост. Если элемент xg£ нильпотентен, скажем, х* = 0,
то (rx)f(y) = ух1 = 0 для всех у^Е и, таким образом,
элемент гх нильпотентен. Если х = 1 + п — унипотент-
ный элемент, скажем, п* = 0, то гх = 1 + гп, так что
(гх—\)* = 0 и элемент гх унипотентен. (Эти случаи

164 ГЛ. VI. ПОЛУПРОСТЫЕ И УНИПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
можно разобрать другим способом: заметим, что если
канонически отождествить Ее V* (g) V, то гх будет соот-
соответствовать эндоморфизму х* g) 1.) □
15.3. Разложение Жордана в алгебраических группах.
Для того чтобы изложить общий случай, рассмотрим бо-
более детально правые сдвиги и конволюции для произ-
произвольных алгебраических групп. Прежде всего, они яв-
являются точными представлениями группы G и алгебры
Ли д. Кроме того, сдвиги и конволюции хорошо ведут
себя при переходе от G к ее замкнутой подгруппе Н.
В самом деле, при х^Н следующая диаграмма будет
коммутативной:
K[G]^K[G]
(здесь р* вверху — правый сдвиг на х, рассматриваемый
как элемент группы G, а вертикальные отображения яв-
являются каноническими). Подобную диаграмму мы имеем
и для правых конволюции. Аналогично, если ф: G-*~G' —
эпиморфизм алгебраических групп, то ф* отождествляет
K[G'] с подкольцом кольца /С[О]. Если xeG, то, оче-
очевидно, оператор рф(л) можно рассматривать как ограни-
ограничение оператора р* на это подкольцо (и *rfcp(x) —как
ограничение оператора *х).
Теорема. Пусть G — алгебраическая группа.
(а) При ^gC существуют единственные элементы
s, ие G такие, что х = su, su = us, причем элемент р5
полупрост, а элемент ри унипотентен. (Мы называем s
полупростой частью элемента х и обозначаем через xs>
а « — унипотентной частью и обозначаем через хи.)
(б) При xgj существуют единственные элементы s,
neg такие, что x = s + n, [s, n]=0, причем элемент *s
полупрост, а элемент *п нильпотентен (Мы называем
их полупростой частью и нильпотентной частью элемен-
элемента х и обозначаем через xs, xn соответственно.)
(в) Если ф: G -+ G' — морфизм алгебраических групп,
то y(x)s = q>(Xs), у(х)а = Ц)(хи), dy(x)s = dy(xs) и
dq)(x)n = d(p(xn) для всех элементов x^G, xgj.
Доказательство. Мы можем вложить 6 в GL(n,K)
в качестве замкнутой подгруппы (теорема 8.6). Если

§ 15. РАЗЛОЖЕНИЕ ЖОРДАНА — ШЕВАЛЛЕ 165
/ — идеал кольца K[GL(ny К)], определяющий G, то
критерий для того, чтобы элемент х^ GL(n, К) (соот-
(соответственно хедЦя, К)) лежал в G (соответственно в д)
состоит в том, что р* (соответственно *х) оставляет
идеал / инвариантным (леммы 8.5, 9.4). Пусть теперь
j^gG, и пусть х = su — его разложение Жордана
в GL{n, К). Согласно предложению 15.2 мы имеем
(px)s = ps и (рх)и = ри. Замечания в A5.1) показывают
тогда, что оба эти оператора оставляют инвариантным
идеал /, так что s,«gG. С учетом предыдущих замеча-
замечаний это ведет к желаемому разложению элемента х в
группе G (единственность есть следствие точности пред-
представления р). Параллельное рассуждение проходит для
jcgj. Таким образом, утверждения (а) и (б) доказаны.
Рассмотрим теперь морфизм ф*. G -> G'; он предста-
представим в виде произведения двух морфизмов: эпиморфизма
G-xp(G) и последующего включения (p(G)->G'. До-
Достаточно разобрать каждый из этих случаев в отдель-
отдельности. В случае, если ф — эпиморфизм, правые сдвиги
на ф(#), как мы видели выше, — это, в сущности, огра-
ограничения оператора р* на кольцо /C[G'], рассматривае-
рассматриваемое как подкольцо кольца K[G] (и аналогично для пра-
правых конволюций). Но ограничение полупростого (соот-
(соответственно унипотентного) оператора на подпространст-
подпространство снова является оператором того же типа. Отсюда
следует, что рф {х) = рф (^}рф {х^ — разложение Жордана
оператора р^х)у так что y(xs) = y(x)Si cp(*w) = ф(*)ц
(и аналогично для dcp(x)). В случае, если ф — включе-
включение, ситуация вполне аналогична рассмотренной выше
(когда мы рассматривали группу G как подгруппу груп-
группы GL{nyK)). □
Эта теорема показывает, что в любой алгебраической
группе G подмножества Gs ={x e G\x = xs) и Gu =
= {л: е G\x = Хи) определяются внутренним образом и
пересекаются по е. (Аналогично мы можем определить
подмножества gs и д„; они пересекаются по 0.) Утверж-
Утверждение (в) теоремы гарантирует нам, что морфизмы алге-
алгебраических групп (и их дифференциалы) сохраняют эти
множества: <p(Gs) =q>(G)s и т.д. Кроме того, множества
Gu и $п замкнуты (на g задана топология аффинного
я-пространства). Чтобы в этом убедиться, заметим, что

166 ГЛ. VI. ПОЛУПРОСТЫЕ И УНИПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
множество всех унипотентных (соответственно нильпо-
тентных) элементов в GL(n,K) (соответственно в
М(п, К)) замкнуто, как множество нулей полиномов, ко-1
торые получаются из уравнения (х—1)* = 0 (соответ-
(соответственно хп = 0). Напротив, множество Gs редко бывает
замкнутым в G.
15.4. Перестановочные множества эндоморфизмов;
Подмножество М множества М(пу К) называется диаго^
нализируемым (соответственно триангулируемым), если
существует такой элемент х ^ GL(n, К), что хМхг1 cz
a bin, К) (соответственно с t(лг, К)).
Предложение. Если М а М (п, К) — некоторое мно-
множество перестановочных матриц, то множество М три-
триангулируемо. Если М состоит из полу простых матриц,
то оно даже диагонализируемо.
Доказательство. Положим V = Kn и воспользуемся
индукцией по п. Если х е М, а^К> то подпространство
W = Ker(x— #-1), очевидно, инвариантно относительно
эндоморфизмов пространства V, перестановочных с х и,
следовательно, инвариантно относительно М. Если мно
жество М содержит нескалярные матрицы (в противном
случае доказывать нечего), можно выбрать элементы х
и а так, что 0 ф W Ф V. По предположению индукции
существует вектор v\ e W такой, что прямая Kv\ инва-
инвариантна относительно М. Применяя затем предположе-
предположение индукции к индуцированному действию множествам
на факторпространстве V/Kv\, мы получим векторы
i>2i • • •, vn e V, дополняющие v\ до базиса пространства
V и такие, что М оставляет инвариантным каждое под-
подпространство Kv\ + ... + Kvi (I ^ i ^ n). Следователь-
Следовательно, переход от канонического базиса пространства V
к базису (иь ..., Vn) триангулирует множество М.
В случае, если множество М состоит из полупростых
матриц, для каждого элемента х ^ М мы можем запи-
записать V=Ki© ... ©Vr, Vi = Ker(x — arl), где аи ...
..., аг — различные собственные значения элемента х.
Как и выше, каждое пространство Vt инвариантно отно-
относительно М. Если М состоит не только из скалярных
матриц (тогда оно диагонально), то мы можем выбрать
элемент х таким, что »1. Тогда предположение индук-
индукции позволяет нам диагонализировать действие множе-
множества М на каждом Vi. D

§ 15. РАЗЛОЖЕНИЕ ЖОРДАНА - ШЕВАЛЛЕ 167
15.5. Строение коммутативных алгебраических групп.
Теорема. Пусть G — коммутативная алгебраическая
группа. Тогда Gs> Gu — замкнутые подгруппы, связные,
если группа G связна, и отображение произведения ср:
GsXGu-* G — изоморфизм алгебраических групп. Кро-
Кроме того, 2?{GS) =gs, S?(GU) =%n-
Доказательство. Тот факт, что Gs, Gu — подгруппы
группы G, следует из леммы Б (г) в A5.1). Мы уже
видели A5.3), что множество Gu замкнуто. Далее, тео-
теорема 15.3 показывает, что ф — изоморфизм групп. Вло-
Вложим теперь группу G в GL(n,K) для некоторого п. Пред-
Предложение 15.4 позволяет нам без ущерба для общно-
общности предполагать, что GczT(n,K) и, сверх того, что
Gs a D (п, К). Отсюда следует, что Gs = G fl D (я, К), так
что множество Gs также замкнуто. Кроме того, ф —
.морфизм алгебраических групп.
Требуется доказать, что обратное отображение есть
морфизм. Для этого достаточно показать, что x-*xs и
х-^Хи — морфизмы. Но второе отображение будет мор-
физмом, коль скоро первое отображение — морфизм, ибо
■хи = х~1х. Если х е G, то собственные значения элемен-
элемента х (с учетом кратностей) есть собственные значения
его диагональной части. Но элемент xs диагоналей и
имеет в точности те же самые собственные значения;
кроме того, xs есть полином от х A5.1). Поэтому xs дол-
должен быть просто диагональной частью элемента х. От-
Отсюда следует, что отображение x-+xs — морфизм. Да-
Далее, если G связна, то и группы Gs, Gu связны (как обра-
образы группы G относительно морфизмов jc■—>xs, x\—>xu).
Указанное выше вложение группы G в Т(п,К) пока-
показывает также, что 9?(Gs)ab(n,K), S{GU) czn(n, К).
Следовательно, S"(Gs)czqs и 3?{GU) n>qn. Но ф — изо-
изоморфизм, так что S?(GS) +3?{Gu) =8. Так как также и
"9 = 9s + 9я (и это разложение единственно), то мы за-
заключаем, что каждое включение должно быть равен-
равенством. □
Упражнения
1. Пусть xe=GL(V), y<=GL(W). Доказать, что (х®*/)8 =
= Xs ® Уз И ЧТО (*® у) и = *и® Уи.
2. Пусть & —конечномерная /(-алгебра. Если х е /4ut& (соот-
(соответственно х е Der Щ, то xSi хи е Aut & (соответственно xSi xn <=
e=Der Щ.

168 ГЛ. VI. ПОЛУПРОСТЫЕ И УНИПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
3. Найти подгруппу группы GL B, /С), которая не содержит
полупростых и унипотентных частей всех своих элементов.
4. Показать, что полупростые (соответственно унипотентные)
элементы группы SL (я, К) (п ^ 2) не образуют подгруппы.
В остальных упражнениях char К = 0.
5. Элемент группы GL(n,K), порядок которого конечен, яв-
является полупростым.
6. Доказать, что любая замкнутая подгруппа группы GL(ntK)y
состоящая из унипотентных элементов, связна.
7. Доказать, что каждое нетривиальное рациональное пред-
представление Ga-+ GL(V) имеет вид, указанный в лемме 15.1 В.
8. Доказать, что отображения ехр и log устанавливают взаим-
взаимно однозначное соответствие между множеством нильпотентных
матриц в М(п, К) и множеством унипотентных матриц в GL(n, /С).
9. Элемент xeGL(V) является унипотентным тогда и только
тогда, когда существует рациональное представление Ga-+- GL(V),
образ которого содержит х.
10. Если U — замкнутая подгруппа группы GL (V), состоящая
из унипотентных элементов, то lg х принадлежит и.
11. Доказать, что одномерная алгебраическая группа, состоя-
состоящая из унипотентных элементов, изоморфна Gfl.
Замечания. Наше изложение здесь следует Борелю [4, § 4];
см. также работу Бореля и Спрингера [1], которой предшествовала
их статья в АГДП. Доказательство теоремы 15.3 у Шевалле [8,
4—10] сложнее и менее наглядно. Относительно происхождения
этой теоремы см. Колчин [1], Шевалле [4], Борель [1].
§ 16. Диагонализируемые группы
16.1. Характеры и d-группы. Алгебраическую группу
G естественно называть диагонализируемой, если она
изоморфна замкнутой подгруппе диагональной группы
D(n,K) для некоторого п. В этом случае группа G, оче-
очевидно, коммутативна и состоит из полупростых элемен-
элементов. Обратно, если группа G обладает этими свойствами
и если мы вложим G в некоторую группу GL(n,K), то
из A5.4) следует, что группа G сопряжена в GL(n,K)
с некоторой подгруппой группы D{n,K). Заметим, что
замкнутые подгруппы и гомоморфные образы диагона-
лизируемых групп являются снова диагонализируемыми
группами' (ибо такие группы коммутативны и состоят
из полупростых элементов).
Точное строение диагонализируемой группы G не
усматривается непосредственно из определения. На-
Например, возникает естественный вопрос: если G — связ-
связная д-мерная группа, то изоморфна ли она группе
D(n,K)? Хотелось бы также (в принципе) описать все

§ 16. ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ГРУППЫ 169
замкнутые подгруппы группы D(n,K) для заданного п.
Напомним A1.4) понятие (рационального) характера
алгебраической группы G. По определению характер —
это любой морфизм алгебраических групп %: G ->- Gm.
Если %, г|э — два характера группы G, то мы можем по-
получить новый характер путем перемножения значений:
EСФ) (*) = х(*)'Ф(*)- Таким образом, мы получаем абе-
леву группу X(G), группу характеров группы G. Заме-
Заметим, что X(G) можно рассматривать как подмножество
алгебры K[G].
Группа D(n,K) в изобилии обладает характерами,
например характерами являются координатные функ-
функции %г. diag (п\, ..., ап) *—> щ. (В действительности
X(D(n, К)) —свободная абелева группа ранга п с ба-
базисом хь •••> In). Напротив, группа SL(n,K) (которая
совпадает со своим коммутантом) не имеет нетривиаль-
нетривиальных характеров (упражнение 3). Это наводит на мысль
охарактеризовать диагонализируемые группы как алге-
алгебраические группы, которые обладают достаточным чис-
числом характеров, чтобы разделять точки. Нам потребует-
потребуется следующая хорошо известная лемма.
Лемма. Пусть G— (абстрактная) группа, X — мно-
множество всех гомоморфизмов G -^ /С*. Тогда X — линейно
независимое подмножество пространства всех функций
на G со значениями в /С.
Доказательство. Предположим противное: пусть %ь ...
..., %п ^X — линейно зависимые функции, причем п >
> 1 выбрано наименьшим возможным. Запишем
Z а>Ш + In = ° (fl/s/(). Так как xi Ф in, то мы можем
i
найти такую точку j/eG, что %\{у) ¥=%п(у). Для произ-
произвольного элемента x^G мы получаем два уравнения:
(х) %i (у) + %п (х) %п (у) = О,
Z
Е ОДС« (х) Хп (У) + In (х) %п (у) = 0.
Вычитая второе из первого, мы получаем

170 ГЛ. VI. ПОЛУПРОСТЫЕ И УНИПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТ!,
причем не все коэффициенты, равны 0, что противоречит
минимальности п. □
Будем говорить, что алгебраическая группа G есть*
d-группа, если пространство K[G] имеет базис, состоя-
состоящий из характеров. (Ввиду предыдущей леммы это
эквивалентно утверждению, что X(G)—базис прост-
пространства K[G]). Например, D{n,K) есть d-группа, по«
скольку любая полиномиальная функция есть линейная
комбинация одночленов, полученных из координатных
функций и их обратных. Если G, G' есть d-группы, то
морфизм ф: G -> G' алгебраических групп индуцирует
групповой гомоморфизм ф°: X(G')—X(G), — ограниче-
ограничение коморфизма ф*: K[G']-+ K[G]. Обратно, гомомор-
гомоморфизм групп X(G')->X(G) продолжается до гомомор-
гомоморфизма /(-алгебр /([G7] ->- K[G] ив свою очередь опреде^
ляет морфизм G ->- G'.
Предложение, (а) Если Я— замкнутая подгруппа
d-группы G, то Я— также d-группа, совпадающая с пе-
пересечением ядер некоторых характеров группы G. В ча-
частности, диагонализируемые группы являются d-груп-
пами. (б) Любая d-группа диагонализируема.
Доказательство, (а) Канонический гомоморфизм
ф: K[G] ->/([#], индуцированный ограничением функ-
функций, сюръективен. Очевидно, ограничение на Я харак-
характера группы G есть характер группы Я, так что прост-
пространство К [Я] натянуто на характеры и Я есть d-rpynna.
Пусть, далее, ft=J(H), скажем, / = £яйС* (xe=X(G)).
Ввиду предыдущей леммы (примененной к Я) сумма
коэффициентов при характерах с одинаковыми ограни-
ограничениями на Я равна 0, так что пространство & (Я) на-
натянуто на различные элементы вида£ = 5]б/%ь где
Yjbi = 0 и все %i имеют одинаковые ограничения на Я.
В свою очередь g = ixh, где h = 2 bt (%Г% — 1). От-
Отсюда следует, что «У (Я) порождается как идеал всевоз-
всевозможными элементами 9 — 1, где 9 = %Г% е X(G). Так
как D(n,K) есть d-группа, то мы приходим к выводу,
что диагонализируемые группы являются ^-группами.
(б) Пусть G есть d-группа. Так как K[G] —конечно
порожденная /(-алгебра, натянутая над К на X(G), то
она порождается как /(-алгебра некоторым конечным
множеством характеров %ь ..., %п. Определим отобра-

§ 16. ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ГРУППЫ 171
жение ф: G -> Gm X • • • X Gm ^ D (/г, /С), полагая ср (л:) =
л экземпляров
^(XiM» •••* /"(*))• Очевидно, ф — морфизм алгебраи-
алгебраических групп с тривиальным ядром (ибо характеры
%ь ..., %п порождают K[G]). В частности, группа G
должна быть коммутативной и состоять из полупростых
элементов, т. е. G диагонализируема. (Мы не утверждаем
однако, что ф — изоморфизм группы G на подгруппу
группы D(n,K), если char К ф 0, см. упражнение 8.) □
Имеется понятие, двойственное понятию характера,
с которым мы будем иметь дело несколько позже. Если
G есть d-группа, то любой морфизм алгебраических
групп X: Gm-+G называется однопараметрической муль-
мультипликативной подгруппой группы G. Множество этих
подгрупп обозначается через T(G). Оно становится абе-
левой группой, если мы определим произведение форму-
формулой (Х\х) (а) =1к(а)\х(а). Заметим, что композиция одно-
параметрической мультипликативной подгруппы X с ха-
характером % группы G приводит к морфизму алгебраиче-
алгебраических групп Gm-^Gm, т. е. к элементу группы X(Gm)^ Z.
Это позволяет определить естественное спаривание
X(D) XY(D) -^Z, обозначаемое через <%Д>, относи-
относительно которого X(D) и T(D) становятся двойственны-
двойственными Z-модулями, если группа D связна (упражнение 4).
Что касается обозначений, то отныне группы X(D) и
X(D) мы будем записывать аддитивно.
16.2. Торы. Характеры d-групп (= диагонализируе-
мых групп) играют в теории алгебраических групп важ-
важную роль.
Лемма А. Пусть G — й-группа. Тогда X(G) — конеч-
конечно порожденная абелева группа.
Доказательство. Если G<zzD(nyK)y то X(G) есть го-
гомоморфный образ группы X(D(ny К)) = Zn. (Лемма
в действительности верна для произвольной группы G,
см. упражнение 12.) □
Строение конечно порожденной абелевой группы А
хорошо известно: А = Zr X В, где В — периодическая *)
подгруппа группы А (= множество всех элементов ко-
конечного порядка) и г = rank A — однозначно определен-
определенное неотрицательное число. Заметим, что если char К =
*) В действительности, конечная. — Прим. перев.

172 ГЛ. VI. ПОЛУПРОСТЫЕ И УНИПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
= рФ0, то группа характеров A=X(G) алгебраиче-
алгебраической группы не имеет элементов порядка р (так как по-
поле К не содержит нетривиальных р-х корней из 1). Это
показывает, что не каждая группа А может появиться
как группа характеров X(G); но мы увидим ниже, что
исключения связаны только с отсутствием элементов
порядка р.
Лемма Б. Если G — связная алгебраическая группа,
то группа X(G) не имеет элементов конечного порядка.
Доказательство. При %eX(G) образ %(^) группы G
в Gm является связной группой. Единственные связные
подгруппы группы Gm — это она сама и 1; отсюда сле-
следует, что хя Ф 1 (п > 0), если х отличен от 1. □
Возможно, читатель знаком с теорией двойственно-
двойственности локально компактных абелевых групп, где компакт-
компактные торы находятся в соответствии с дискретными сво-
свободными абелевыми группами. Эта аналогия и некото-
некоторые другие соображения приводят нас к тому, чтобы
назвать тором алгебраическую группу, изоморфную не-
некоторой группе D(n,K). Следующая лемма будет ис-
использована в B7.4).
Лемма В. Пусть Т — тор. Если характеры %и • • •
..., %, еХ(Г) линейно независимы, и С\, ..., сг g G^,
то существует элемент t^T, для которого %i(t)—d
A </<л).
Доказательство. Имеет смысл говорить о линейной
независимости характеров, поскольку Х(Т)—свободная
абелева группа. Определим морфизм ср: r->GmX ...
... X От (г экземпляров) формулой ф(/) = (%!(/), ...
• «.» %r(t)). Характеры Yj^ili (mteZ) все различны,
так что функции Г1хт' (в мультипликативных обозна-
обозначениях) линейно независимы над К в К[Т] (лемма 16.1).
Отсюда следует, что характеры %ь ..., %г алгебраиче-
алгебраически независимы в К(Т)У так что коморфизм ф* инъекти-
вен и морфизм ф является доминантным. Следователь-
Следовательно, ф сюръективен, как морфизм алгебраических групп. □
Настало время выяснить строение произвольных
d-rpynn.
Теорема. Пусть G — произвольная d-группа. Тогда
G = G0 X Н (прямое произведение алгебраических
групп), где G0 — тор и Н — конечная группа (как под-

§ 16. ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ГРУППЫ 173
группа в G, вообще говоря, определенная не однознач-
однозначно), порядок которой взаимно прост с р (=char ехр/().
В частности, связная d-группа есть тор.
Доказательство. Требуется найти дополнение Н к то-
тору*) G0. Мы можем предположить, что G— замкнутая
подгруппа некоторой группы D = D{n, /С). Пусть ранг
группы X(G) равен г (= dim(G)) **). Если г = О, то
доказывать нечего. В общем случае, вложение G°<=+D
индуцирует сюръективный гомоморфизм ограничения
Zn = X(D)—► X(G°) = Zr. Это позволяет нам восполь-
воспользоваться характеристическим свойством свободных
(=проективных) Z-модулей, чтобы получить расщепле-
расщепление X(D) = Кегф ф Zr. Будучи подгруппой свободной
абелевой группы X(D), ядро Кегф имеет базис хь • ••
..., %п-г, который можно дополнить базисом Хл-м-ь • • •
..., Хл модуля Zr (отображение ф переводит этот базис
в базис модуля X(G0)). Ясно, что отображение хь~->
h-^diag(xi(^), ..., %п(х)) определяет автоморфизм
группы D, преобразующий группу G0 в подгруппу диаго-
диагональных матриц, у которых первые п — г координат рав-
равны 1. Если D'={diag(ab ...tan)\an-r+\= ... = ап = 1},
то D = D' X G° (прямое произведение алгебраических
групп). Следовательно, G = #XG°, где H = Dff\G^
^ G/G0. Наконец, порядок группы Н взаимно прост с /?,
поскольку 1 есть единственный корень степени р из 1
в/С. П
По-видимому, полезно в этом месте сформулировать
на категорном языке связь между d-группами и конечно
порожденными абелевыми группами без элементов по-
порядка р. Обозначим через ® и ^ категории с этими
группами в качестве объектов и с очевидными морфиз-
мами. С d-группой D мы можем, конечно, ассоциировать
группу характеров X(D), причем морфизму d-rpynn
ф: D-+D* мы сопоставим гомоморфизм групп характе-
характеров ф°: X(D') ->X(D), полученный в результате компо-
композиции ф с характерами группы D'. Тем самым мы полу-
получаем (контравариантный) функтор F: S)-*-si>.
*) Эта фраза неудачна, так как еще не доказано, что G0 —
тор. — Прим. ред.
**) Это содержится в доказательстве леммы В.—Прим. ред.-

174 ГЛ. VI. ПОЛУПРОСТЫЕ И УНИПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
. Каким путем идти в обратном направлении? Пусть
А — конечно порожденная абелева группа; образуем
групповую алгебру К[Л], которая неформально может
быть описана как множество конечных формальных ли-
линейных комбинаций элементов группы Л с коэффициен-
коэффициентами из К и умножение в которой определяется при
помощи дистрибутивности на основе умножения в Л.
Строго говоря, К [А] есть векторное пространство /(-знач-
ных функций на Л с конечными носителями и конволю-
цией в качестве произведения. Так как группа Л конечно
порождена, то К [А] является, очевидно, конечно порож-
порожденной коммутативной /(-алгеброй. Легко видеть, что
отсутствие элементов порядка р в Л эквивалентно от-
отсутствию нильпотентных элементов в К [Л]. В частности,
мы получаем аффинную алгебру для каждого объекта Л
категории ^, определяющую, следовательно, аффинное
многообразие. Но алгебра К [А] несет также структуру
алгебры Хопфа (возникающую из группового умноже-
умножения в Л), которая и дает нам аффинную алгебраическую
группу (см. G.6)); обозначим эту группу через D(A).
Что представляют собой ее характеры? Характеру %:
Д(Л)->(Зт соответствует коморфизм %*: /C[Gm]->
-+K[D(A)] =/([Л], который в свою очередь индуци-
индуцирует гомоморфизм групп характеров Z-^Л. Но
НотG,Л) ^Л, откуда следует, что X(D(A)) ^Л. Это
показывает, что D(A) есть d-группа, и что A^—>D(A)
(вместе с индуцированным действием на морфизмы)
есть контравариантный функтор s&-*~3), композиция ко-
которого с F (в любом порядке) эквивалентна тождествен-
тождественному функтору. Следовательно, s& и 2) канонически
эквивалентны относительно F.
16.3. Жесткость диагонализируемых групп. Мы пока-
показали, что d-группа изоморфна прямому произведению
алгебраических групп GmX ••• XGmX#, где Н — ко-
конечная группа (порядок которой взаимно прост с харак-
характеристической экспонентой р поля /С). Это описание
вполне удовлетворительно, если d-группа рассматривает-
рассматривается изолированно. Но чаще возникают d-группы, лежа-
лежащие в более сложных алгебраических группах, например
гпуппа D(n,K) в GL{n,K). Основной результат, который
мы установим в этом пункте, заключается в том, что
d-группа обладает «жесткостью», т. е. допускает «мало»

§ 16. ДИЛГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ГРУППЫ 175
нетривиальных автоморфизмов; в частности, нормализа-
нормализатор d-группы в объемлющей алгебраической группе не-
ненамного больше, чем централизатор.
Жесткость вытекает из двух основных фактов об эле-
элементах конечного порядка в d-группе: (а) элементы ко-
конечного порядка образуют плотное подмножество;
(б) имеется лишь конечное число элементов данного ко-
конечного порядка. Чтобы доказать эти факты, з-аметим,
что достаточно рассматривать случай G = Gm. Элемен-
Элементы группы /С*, имеющие конечный порядок, — это в точ-
точности т-е корни из 1 (//igZ+), число которых не
превосходит га для каждого фиксированного т. Так как
поле К алгебраически замкнуто, то поле К содержит
бесконечное множество различных корней из 1; посколь-
поскольку группа Gm связна и одномерна, замыкание периоди-
периодической подгруппы, образованной всеми элементами ко-
конечного порядка, совпадает с Gm. (Можно высказаться
и более точно относительно числа корней из 1: если
(р, т) = 1, то имеется ровно ф(т) элементов порядка т
в /С*, где ф — функция Эйлера).
Предложение. Пусть ф : УХ G-*- Н — морфизм мно-
многообразий, причем выполнены следующие условия:
(а) G — алгебраическая группа, элементы конечного
порядка которой образуют плотное подмножество;
(б) Н — алгебраическая группа, содержащая лишь
конечное число элементов данного порядка m {для каж-
каждого m > 0);
(в) V — связное многообразие;
(г) для каждого элемента xgF морфизм <рх: G-+H
({/>—■> ф(#,у) (y^G)) есть гомоморфизм групп.
Тогда xv—>ф(#) (^6 V) —постоянное отображение.
Доказательство. При j/g G положим tyy(x) —q>(x,y)y
так что i|v V-+H — морфизм. Если порядок элемента у
конечен, то образ морфизма г^ также конечен ввиду (б)
и (г). Но многообразие V связно ввиду (в); поэтому его
образ должен быть точкой. Другими словами, для каж-
каждого элемента у конечного порядка в группе G мы имеем
4>(х,у) =ч>(х',у) для всех х, геУ, т. е.фх(г/) == фх,(у).
Следовательно, ф^^ф^1 отображает плотное подмно-
подмножество группы G (ввиду (а)) в е. Вывод: ф* = ф*' для
всех х, /еУ, □

176 ГЛ. VT. ПОЛУПРОСТЫЕ И УНИПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Следствие. Пусть G — диагонализируемая подгруппа
алгебраической группы G'. Тогда NG' (G)° = CG'(G)°.
Доказательство. Пусть G = Н из предложения, так
что предположения (а) и (б) выполняются ввиду пре-
предыдущих замечаний. Тогда положим V = NG'{G)° и за-
зададим морфизм ф: VXG->G соотношением ф(#, у) =
= хух~К Очевидно, предположения (в) и (г) выполняют-
выполняются. Из того, что отображение ф* постоянно, следует, что
фд: = фе> т.е. что все элементы из группы NG'(G)° на са-
самом деле централизуют G. Разумеется, имеет место и
обратное включение CG' (G)° с NG> (G)°. □
Например, нормализатор группы D{n,K) в GL(n,K)
есть группа мономиальных матриц; централизатор груп-
группы D(n,K) совпадает с самой этой группой, и фактор-
факторгруппа нормализатора по централизатору — конечная
группа, изоморфная симметрической группе Sn- С дру-
другой стороны, D(n,K) совпадает со своим нормализато-
нормализатором в группе Т(п, К).
16.4. Веса и корни. Пусть D—диагонализируемая
подгруппа алгебраической группы G. Мы уже видели
выше, что группа D является довольно «жесткой» при
действии группы G внутренними автоморфизмами. Важ-
Важное значение имеет рассмотрение действия группы D
на G. Например, если D — диагональная подгруппа
группы G = SL(n, /С), то, очевидно, группа D оставляет
инвариантными некоторые одномерные унипотентные
подгруппы группы G, соответствующие системе корней
алгебры Ли (char К = 0).
В общем случае Intx (x^D)—автоморфизм груп-
группы G, так что его дифференциал Ad а: есть автоморфизм
алгебры Ли д. Так как Ad — морфизм алгебраических
групп A0.3), то AdD — диагонализируемая подгруппа
группы AutgczGL(g). Для любой заданной диагонали-
зируемой подгруппы d-группы Ha:GL(V) удобно запи-
записывать V в виде прямой суммы подпространств Va (a e
е=Х(#)),где
Va — {v^V\x-v — a(x)v для всех х^Н].
Те функции а, для которых Va¥=0y называются весами
группы Н в пространстве V A1.4). В частности, возвра-
возвращаясь к ситуации D cz G, AdDczGL(g), мы получаем
реса группы D (точнее, группы Ad D) в д. Ненулевые

§ 16. ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ГРУППЫ 177
веса *) в этой ситуации называются корнями группы G
относительно D. Множество корней группы G относи-
относительно D обозначается через Ф(б, D) или просто Ф,
если не возникает путаницы. Весу 0 соответствует прост-
пространство неподвижных точек gD, которое, конечно, содер-
содержит Ь (но может быть и большим). В этих обозначениях
мы имеем разложениеg = gD® 11 ga, где Ф=Ф(б,D).
u e Ф
Если группа G «полупроста» и в качестве D выбран тор
максимальной размерности, то мы в соответствующем
месте покажем, что Ф — абстрактная система корней
в смысле Добавления и что группа G (почти) характе-
характеризуется системой корней Ф. В действительности полу-
полученное только что разложение алгебры Ли g в случае
характеристики 0 оказывается в точности классическим
разложением Картана. Но доказательство этих фактов
требует большой подготовительной работы.
В заключение этого параграфа мы докажем скром-
скромное, но полезное утверждение.
Предложение. Пусть D — связная d-подгруппа груп-
группы G (т.е. D — тор), Н — замкнутая подгруппа группы
G, инвариантная относительно IntD. Тогда существует
элемент xgD такой, что Сн(х) = Сн(D) и ц(х) = с$(D).
В частности, Cq (D) совпадает с централизатором неко-
некоторого элемента группы D.
Доказательство. Мы можем предположить, что G =
— GL(V) для некоторого V. Запишем V=V\ ф ... © W,
где подпространство Vi принадлежит весу a/GX(D).
Так как группа D связна, то подгруппа Ker(a,a/~1)
(ЬФ}) имеет коразмерность 1 в D; следовательно, най-
найдется элемент х е D, не принадлежащий ни одной из
этих подгрупп (число которых конечно). Рассмотрим
группу M = GL(Vi)X ... X^GL(Vr) как замкнутую под-
подгруппу группы GL(V). Тогда легко видеть, что Сн(х) =
===M(]H = CH(D), с*(*)=тП* = с*(Я). □
Если D — некоторая d-группа, действующая на G
как группа автоморфизмов (не обязательно внутрен-
внутренних), то D действует как группа автоморфизмов также
и на д. Это приводит снова к множеству Ф(б, D), кото-
которое состоит из ненулевых весов группы D в д.
*) То есть ненулевые элементы X(D) при использовании ад-
аддитивной терминологии. — Прим. перев,

178 ГЛ. VI. ПОЛУПРОСТЫЕ И УНИПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Упражнения
1. Привести пример алгебраической группы, которая не диа-
гонализируема, но все ее элементы полупросты.
2. Если G есть ^-группа, то алгебра Ли g состоит из полу-
полупростых элементов.
3. Если G = (G, G), то X(G) = 0.
4. Пусть Г —тор. Показать, что Х(Г) и Т(Г) — двойствен-
двойственные Z -модули относительно естественного спаривания (%, X) е
е Z. Как обстоит дело, если заменить Т на несвязную d-
группу?
5. Пусть Т — тор, m — положительное целое число. Доказать,
что морфизм х\—> хт отображает Т на Г, что он биективен, если
m — степень числа р и сепарабелен, если (р, пг) = 1 (р = char
ехр К).
6. Доказать, что связная подгруппа d-группы выделяется пря-
прямым сомножителем (ср. с доказательством теоремы 16.2).
7. Предположим, что поле К не является алгебраическим за-
замыканием конечного поля. Если Т — тор, то доказать, что Т —
замыкание циклической подгруппы, порожденной одним из его эле-
элементов. (Заметить, что К* содержит свободную абелеву группу
сколь угодно большого ранга.)
8. Дифференциал характера х^ G-+Gm есть линейная функция
d%: б -* К Если G — тор и %\ ..., %п — базис группы характеров
Х((/), то доказать, что d% = 0 тогда и только тогда, когда
г = Р 2) O'iti (at s Z) (p = char K).
9. Пусть T = SL(n, К) П D(n, /C), x* T-*Gm — характер, ото-
отображающий diag (ai, ..., an) в ataj^ для фиксированного Кп.
Построить однопараметрическую подгруппу Я: Gm ->■ Г такую, что
(X, *> = 2.
10. Для каждого ли элемента x^D(n,K) имеет место соотно-
соотношение CGL(n,K)(x) =CGL{n,K) (D(fl,K))?
11. Проверить в деталях эквивалентность между категориями
^)и^, бегло описанную в A6.2).
12. Пусть G — алгебраическая группа, И = f] Кег %. До-
г е х (G»
казать, что: (а) Я — замкнутая нормальная подгруппа, (б) группа
G/H диагонализируема, (в) X(G) ^X(G/H). В частности, группа
X(G) конечно порождена. Описать группу X(GL(n, К)).
13. Доказать, что элементы jcgD, описанные в предложении
16.4, образуют плотное подмножество в D.
Замечания. Категорная техника, бегло описанная в 16.2, далеко
развита в СГ и у Демазюра и Габриэля [1].

ГЛАВА VII
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
§ 17. Нильпотентные и разрешимые группы
Обычные понятия «нильпотентной» и «разрешимой»
групп хорошо приспосабливаются к алгебраическим
группам, так как разного рода коммутаторные группы
оказываются замкнутыми A7.2). Для доказательства
этого факта необходимо некоторое чисто теоретико-
групповое утверждение, которое мы установим в A7.1),
чтобы не прерывать изложение в дальнейшем. В A7.5)
и A7.6) мы рассмотрим вопрос, при каких условиях раз-
разрешимая линейная группа приводится к треугольному
виду. Результат из A7.5) является существенным для
дальнейшего, тогда как теорема из A7.6) будет вновь
доказана в § 21 на основе более совершенной техники
(приведенное здесь доказательство, напротив, вполне
элементарно).
17.1. Лемма из теории групп. Напомним, что через
(х,у) обозначается коммутатор хух~1у-\ где х9 у — эле-
элементы группы G. Если Л, В— две подгруппы группы G,
то подгруппа группы G, порожденная всевозможными
элементами вида (х, у), XGi4, У^В, обозначается че-
через (А, В). Тождество
(*) г (xyx~ly-1) z~l = (zxz~l) (zyz~l) (
показывает, что группа (Л, В) нормальна в G, если обе
подгруппы Л, В нормальны.
Лемма А, доказанная ниже, является следствием ос-
основной леммы Б, но первая необходима для доказатель-
доказательства второй.
Лемма А. Пусть [G: Z(G)]= n < оо. Тогда группа
(G, G) конечна.
Доказательство. Пусть S — множество коммутаторов
группы G, так что S порождает группу (G, G). Ясно, что
(ху у) зависит только от смежного класса элементов jc, у
по модулю Z(G); в частности, cardS ^ д2. Если мы

180 ГЛ. VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
имеем произведение коммутаторов, то любые два из них
можно сделать соседними, если использовать подходя-
подходящее сопряжение, например (хиу{) (х2, yj) (#з,#з) =
= (xuyi)(xz,ys)(z-lX2Z,z-ly2z), где z=(x3,y3). Следо-
Следовательно, если показать, что (п + 1)-я степень элемента
из S есть произведение п элементов из 5, то мы сможем
заключить, что каждый элемент группы (G, G) предста-
представим в виде произведения не более пъ множителей из S.
Отсюда, очевидно, будет следовать, что группа (G, G)
конечна.
Теперь заметим, что (х, у)п е Z(G), и поэтому
(x,y)n+l можно переписать в виде у~1(х,у)пу(х,у) =
= У~1({х,у)п~] (х, у2)) у, т.е. в виде произведения п ком-
коммутаторов. □
В доказательстве этой леммы мы пользовались толь-
только конечностью множества S и не пытались получить
оценку для порядка группы G/Z(G) в терминах п; по-
последнее требовало бы более сложного рассуждения. Ни-
Нижеследующая лемма, принадлежащая Бэру, остается
справедливой при более слабых предположениях (см.
замечания), но нам она требуется лишь в том виде,
в котором она сформулирована.
Лемма Б. Пусть Л, В — нормальные подгруппы груп-
группы G; предположим, что множество S = {(х,у)\х^А,
у^В} конечно. Тогда группа (А, В) конечна.
Доказательство. Без ущерба для общности мы можем
предполагать, что G = AB. При помощи внутренних
автоморфизмов (см. выше (*)) группа G действует на S
как группа перестановок. Если Н — ядро получающегося
при этом, гомоморфизма G -> {симметрическая группа
множества S}, то, очевидно, Н — нормальная подгруппа
конечного индекса группы G. Кроме того, группа Н цент-
централизует группу С = (Л, В). Отсюда следует, что группа
ЯП С центральна в С и имеет в С конечный индекс.
Ввиду леммы А группа (С, С) конечна (а также нор-
нормальна в G, так как С О G). Таким образом, мы можем
заменить группу G на G/(C,C), т.е. мы можем считать
группу С абелевой.
Далее, коммутаторы (х, у), яеЛ, у^С лежат в 5
и перестановочны друг с другом. Так как группа С абе-
лева, то (х, уJ = (хух~]Jу~2 = (х, у2) — другой такой
коммутатор. Отсюда, очевидно, следует, что группа

§ 17. НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 181
(А, С) конечна (а также нормальна в G). Заменяя груп-
группу G на G/(A, С), мы можем предполагать, что группа Л
централизует С. Отсюда следует, что квадрат произволь-
произвольного коммутатора есть снова коммутатор. Следователь-
Следовательно, группа (Л, В) конечна. □
17.2. Взаимный коммутант. Если А и В— произволь-
произвольные замкнутые (например, конечные) подгруппы алгеб-
алгебраической группы G, то группа (Л, В), порожденная
коммутаторами хух~ху~х (яеЛ, у^В), к сожалению,
не всегда оказывается замкнутой (упражнение 1). Дело
обстоит лучше, если группа А или В связна, или когда
обе группы А и В нормальны в G. (В действительности
утверждение (б) следующего предложения остается
справедливым, если ограничиться требованием, что груп-
группа А нормализует В; однако для доказательства этого
факта нам необходим был бы более точный вариант
леммы 17.1Б.)
Предложение. Пусть Л, В — замкнутые подгруппы
алгебраической группы G.
(а) Если группа А связна, то группа (Л, В) замкнута
и связна.
(б) Если группы А и В нормальны в G, то группа
(Л, В) замкнута (и нормальна в G). В частности, группа
(G, G) всегда замкнута.
Доказательство, (а) Сопоставим каждому элементу
у&В морфизм ф^: A-^G, определенный соотношением
сру(х) = хух~1у~1. Так как группа Л связна и ц>у(е) =е,
то предложение 7.5 показывает, что группа, порожден-
порожденная всеми фг/(Л) (у^В), замкнута и связна; но, по
определению (Л, В), она совпадает с (Л, В).
(б) Из утверждения (а) следует, что (Л°, В) и (Л,
В0)—замкнутые, связные (а также нормальные) под-
подгруппы группы G, так что и их произведение С обладает
теми же свойствами (см. следствие 7.4). Чтобы убедиться,
что группа (Л, В) замкнута, достаточно, следовательно,
показать, что группа С имеет конечный индекс в (Л,В),
что представляет собой чисто теоретико-групповой во-
вопрос. В абстрактной группе G/C образ группы Л° (соот-
(соответственно В0) централизует образ группы В (соответ-
(соответственно Л). Так как индексы [Л : Л°] и \В : В0] конеч-
конечны, то, очевидно, имеется только конечное число комму-
коммутаторов в G/Ct которые можно построить из образов

182 ГЛ. VII, РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
групп А и В. Лемма 17.1 Б тогда гарантирует конечность
группы (Л, В)/С. □
17.3. Разрешимые группы. Напомним, что абстракт-
абстрактная группа G разрешима, если ее ряд коммутантов до-
доходит до е; этот ряд определяется индуктивно следую-
следую2° S>^lG (>G 3>
р р у
щим образом: 2>°G = G, S>^lG = (S>'G, 3>lG) (i ^ 0).
Если G — алгебраическая группа, то S)XG = (G,G) —
замкнутая нормальная подгруппа группы G, связная,
если группа G связна (предложение 17.2). По индукции,
это же справедливо для всех групп 3){G. Следовательно,
абстрактное понятие разрешимости годится для исполь-
использования в контексте алгебраических групп. Например,
если G — связная разрешимая алгебраическая группа
положительной размерности, то dim(G, G) < dim G. Этот
Факт удобен в индуктивных рассуждениях. Легко ви-
видеть, что алгебраическая группа G разрешима тогда и
только тогда, когда существует ряд замкнутых подгрупп
G = Go =э Gi :э ... id Gn = ey для которых (G/, Gi) a
d Gi+i @ ^ i < /i), см. упражнение 4.
Следующие факты из теории групп хорошо известны.
Лемма, (а) Подгруппы и гомоморфные образы раз-
рецшмой группы разрешимы.
(б) Если N — нормальная разрешимая подгруппа
группы G, для которой факторгруппа G/N разрешима,
то и сама группа G разрешима.
(в) Если А, В — нормальные разрешимые подгруппы
группы G, то и АВ — нормальная разрешимая подгруп-
подгруппа группы G.
Поскольку теория конечных разрешимых групп сама
по себе достаточно сложна, было бы нереальным ожи-
ожидать детального описания всех разрешимых алгебраиче-
алгебраических групп. Оказывается, однако, что связные разреши-
разрешимые алгебраические группы допускают удовлетворитель-
удовлетворительное описание. Хорошим примером является группа
верхних треугольных матриц Т(п,К). Так как диаго-
диагональные элементы в произведении двух верхних тре-
треугольных матриц получаются в результате перемноже-
перемножения соответствующих диагональных элементов перемно-
перемножаемых матриц, то, очевидно, коммутант группы Т =
= Т(п,К) содержится в группе U= U(n, К). (Это.мож-
(Это.можно уточнить. Как мы знаем, группа U порождается под-
подгруппами С/// ===== {1 + авц\а ^К}, К U каждая из ко-

§ 17. НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 183
торых изоморфна Ga. Согласно предложению 17.2 (а)
группа (D, Uij) а 1)ц замкнута и связна (где D =
= D(n,К)); очевидно также, что эта группа нетривиаль-
нетривиальна. Отсюда следует, что £Л/= (Д £А/) cz (Г, Г), откуда
(T,T)=U.
Рассмотрим теперь коммутирование в U. Удобно вос-
воспользоваться следующим приемом. Обозначим через X
полное множество верхних треугольных матриц, рас-
рассматриваемое как ассоциативная подалгебра алгебры
М(п, К) (и совпадающее с \(п,К), если рассматривать
это множество как алгебру Ли). Очевидно, что подмно-
подмножество 91 матриц с нулевой диагональю — двусторонний
идеал алгебры X (как алгебра Ли,91 совпадает сп(п,X)).
Каждая степень 9lh (h ^ 1) идеала 91, состоящая из все-
всевозможных сумм /i-кратных произведений элементов из
91, есть опять двусторонний идеал. Легко видеть, что 9lh
есть линейная оболочка всех вц (/ — i^h). Теперь U =
= 1+91, так что Uh = 1 + 91Л — замкнутая нормальная
подгруппа группы £/, причем (Uh, Hi) с: Uh+i. В частно-
частности, группа U разрешима. Отсюда следует, что и груп-
группа Т разрешима.
Мы увидим в A7.6), что каждая связная разреши-
разрешимая алгебраическая группа изоморфна замкнутой под-
подгруппе некоторой группы Т(п, К).
17.4. Нильпотентные группы. Убывающий централь-
центральный ряд группы G определяется индуктивно следующим
образом: <&°G = G, ^G == (G,^'G). Каждая группа
ffiG нормальна в G. В силу предложения 17.2 эти под-
подгруппы замкнуты, если G — алгебраическая группа (и
связны, если группа G связна). Группа G называется
нильпотентной, если <S>nG = е для некоторого п. Очевид-
Очевидно, что коммутативная группа нильпотентна; с другой
стороны, нильпотентная группа разрешима ввиду вклю-
включения &G aff'G. Вычисления, проделанные в A7.3),
в действительности показывают, что группа U(n,K)
нильпотентна, в то время как группа Т(пУК) (п^2) не
нильпотентна. Для использования в дальнейшем опре-
определим G°° = [}(&iG.
Напомним несколько известных фактов из теории
групп.
Лемма, (а) Подгруппы и гомоморфны? образы пиль-
патентной группы являются нильпотентными группами,

184 ГЛ. VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
(б) Если группа G/Z(G) нильпотентна, то и группа
G нильпотентна.
(в) Пусть G — нильпотентная группа. Если п — наи-
наибольший индекс, для которого WnG ф е, то <8nG c:Z(G);
в частности, Z(G) Фе (если вфе).
(г) Пусть G — нильпотентная группа и Н — собст-
собственная подгруппа группы G. Тогда группа Н собствен-
собственным образом содержится в Ng{H). □
Для алгебраических групп имеются два важных
уточнения:
Предложение. Пусть G — связная нильпотентная
алгебраическая группа положительной размерности.
Тогда:
(а) центр Z(G) имеет положительную размерность;
(б) если Н — собственная замкнутая связная под-
подгруппа группы G, то dim Я < dim Ng(H). В частности,
если coding = 1, то группа Н нормальна в G.
Доказательство, (а) Так как все группы ^'G связны,
то утверждение (в) леммы показывает, что Z(G)° Ф е.
(б) Воспользуемся индукцией по dim G. Если группа
Z — Z(G)° содержится в Я, то переходим к связной
нильпотентной группе G/Z (размерность которой в силу
утверждения (а) меньше размерности группы G). Ввиду
предположения индукции образ группы Н имеет мень-
меньшую размерность, чем его нормализатор, поскольку он
является собственной подгруппой группы G/Z; следова-
следовательно, это справедливо и для группы Н. Если группа Z
не содержится в Я, то ZH — подгруппа группы Ng (Я),
имеющая большую размерность, чем Я. □
17.5. Унипотентные группы. Подгруппа алгебраиче-
алгебраической группы называется унипотентной, если все ее эле-
элементы унипотентны A5.1). Пример: U(n,K). Мы хотим
доказать, что унипотентная линейная группа (замкну-
(замкнутая или нет) сопряжена с подгруппой группы U{n,K)
и, следовательно, нильпотентна. Это можно рассматри-
рассматривать как обобщение того факта, что конечная р-группа
нильпотентна, поскольку в случае char К = р > 0 эндо-
эндоморфизм унипотентен тогда и только тогда, когда его по-
порядок в группе GL(V) есть степень числа р.
Теорема. Пусть G — унипотентная подгруппа группы
GL(V) и ОФУ — конечномерное пространство. Тогда

§ 17, НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 185
группа G имеет общий собственный вектор в V, т. е. не-
ненулевой вектор, неподвижный относительно всех эле-
элементов группы G.
Доказательство. Предположим, что V обладает соб-
собственным ненулевым подпространством W, инвариант-
инвариантным относительно группы G. Тогда образ группы G в
GL(W) есть унипотентная группа, и вектор из W, непод-
неподвижный относительно этой группы, является одновре-
одновременно вектором пространства V, неподвижным относи-
относительно группы G. Следовательно, мы можем предпола-
предполагать, что V — неприводимый G-модуль. Это позволяет
нам обратиться к стандартной (хотя и нетривиальной)
теореме Бернсайда: если R— некоторая подалгебра
алгебры End V и если R действует на пространстве V
неприводимо, то R = End V. (Доказательство см. Ленг,
Алгебра, гл. XVII, § 3.)
Предположение, что группа G унипотентна, показы-
показывает теперь, что Тт(х) =Tr(l) = (dim V)-l для всех
jcgG. Записывая произвольный элемент х группы G
в виде 1+п (где п — нильпотентный эндоморфизм), мы
заключаем, что для произвольного элемента у е G имеет
место равенство Тт(у) —Тг(ху) =Тг(A +п)у) =
= Тг(#) + Тт(пу), или Тг(пу) —0. Следовательно, и
/(-линейные комбинации у элементов группы G удовлет-
удовлетворяют этому уравнению. Но они образуют подалгебру
R алгебры End У, которая действует на V неприводимо
(ибо G действует неприводимо). Согласно теореме Берн-
сайда для каждого элемента x=l + n^ G и любого
эндоморфизма у (= End V мы имеем Тт(пу) =0. Записы-
Записывая п в матричном виде и принимая в качестве у всевоз-
всевозможные матричные единицы ец, мы видим, что все мат-
матричные элементы матрицы п равны 0, т. е. группа G со-
состоит только из единичной матрицы (и dim V = 1). □
Если группа GczGL(V) унипотентна, то, согласно
теореме, существует общий собственный вектор v\. Пусть
V\ = Kv\\ тогда группа G действует на факторпростран-
стве V/V\ и образ группы G в GL(V/V\) есть опять уни-
унипотентная группа. Следовательно, индукция по dim V
позволяет заключить, что V обладает полным флагом
подпространств, инвариантных относительно группы О.
На матричном языке это дает

186 ГЛ, VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
Следствие. Если О — унипотентная подгруппа группы
-GL (п, К), го группа G сопряжена с подгруппой группы
U(n, К). В частности, группа G нильпотентна.
Ничего подобного этой теореме нет для подгрупп, со-
состоящих из полупростых элементов; примеры таких
групп весьма разнообразны (см. упражнение 6). (По
этой причине мы не хотим использовать термин «полу-
«полупростая группа» для обозначения таких групп! См. A9.5)
ниже.) После дальнейшего изучения разрешимых групп
мы сможем, в порядке частичной компенсации, доказать,
что связная замкнутая подгруппа группы GL(V), состоя-
состоящая из полупростых элементов, есть тор (упражнение
21.2).
17.6. Теорема Ли— Колчина. Теорема 17.5 и ее след-
следствие могут рассматриваться как точный аналог теоре-
теоремы Энгеля для алгебр Ли. Мы можем также доказать
хороший аналог теоремы Ли (если наложим предполо-
предположение о связности); это удается сделать в произвольной
характеристике, хотя соответствующая теорема для
алгебр Ли в положительной характеристике не имеет
места.
Теорема. Пусть G — связная разрешимая подгруппа
группы GL(V), и пусть ОфУ — конечномерное прост-
пространство. Тогда группа G имеет общий собственный век-
вектор в пространстве V.
Доказательство. Мы можем предполагать, что группа
G замкнута (см. упражнение 2). В случае, если группа
G коммутативна, теорема следует непосредственно из
предложения 15.4. Чтобы перейти к общему случаю, вос-
воспользуемся индукцией по n= dim V и по длине d ряда
коммутантов группы G (т.е. d — наименьшее число, для
которого 2)dG = e). Случаи n=l, d=\ уже рассмот-
рассмотрены.
Предположим, что V обладает ненулевым собствен-
собственным подпространством W> инвариантным относительно
G. Если базис пространства W дополнить до базиса про-
пространства V, то матрицы, соответствующие элементам
группы G, имеют вид
(ф(*) | * \
О |i>(*)/

§ 17. НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 187
Очевидно, что группа всех таких матриц замкнута в
GL{nyK) и гомоморфизм х\—хр(х) есть морфизм алгеб-
алгебраических групп. Так как группа G связна, то и группа
ф(б) a GL(W) связна, а также разрешима A7.3). По-
Поскольку п > dim W, то мы можем найти общий собст-
собственный вектор для группы cp(G) в W и, следовательно,
для группы G и V.
Остается рассмотреть случай, когда группа G дейст-
действует на пространстве V неприводимо. Как и в доказа-
доказательстве теоремы 17.5, мы должны показать, что п=1.
Положим G' = (G,G), так что Gr— связная A7.2) нор-
нормальная подгруппа, длина ряда коммутантов которой
равна 4—1. По предположению индукции группа G'
имеет общий собственный вектор в V, т. е. полуинва-
полуинвариант A1.4). Пусть W — линейная оболочка всех таких
векторов в V. Тогда лемма 11.4 показывает, что группа
Gr действует диагонально на W. Рассуждение из A1.4)
показывает, что пространство W инвариантно относи-
относительно G, так что W = V ввиду неприводимости груп-
группы G. Так как группа G' действует на V диагонально,
то группа Gr коммутативна (т. е. d ^ 2).
Возьмем теперь элемент y^G'. Ввиду сказанного
выше для каждого элемента х е G матрица хух~1 (в ба-
базисе пространства У, относительно которого действие
группы Gr диагонально) снова является диагональной.
Будучи сопряженной с матрицей у, она имеет те же са-
самые собственные значения, что и у, откуда следует, что
матрица хух~1 лежит в конечном фиксированном мно-'
жестве диагональных матриц. Таким образом, образ
группы G относительно морфизма хь—>хух~1 одновре-.
менно конечен и связен, и, следовательно, состоит толь-
только из у. Другими словами, Gr с: Z(G).
Воспользуемся хорошо известной леммой Шура (ко-
(которую также очень легко доказать): см. Ленг, Алгебра,
гл. XVII, § 1. Поскольку поле К алгебраически замкнуто
и группа G действует неприводимо, то лемма Шура по-
показывает, что группа Gr состоит из скалярных матриц.
Но коммутатор двух матриц имеет определитель 1; по-
поэтому скалярные матрицы группы Gr есть корни я-й4
степени из 1 (которых в поле К не более чем п). Отсю-„
да следует, что группа G' конечна, а также связна; по-
поэтому Gr = е и d = 1, п = 1. □

138 ГЛ. VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
Эта теорема, обычно называемая теоремой Ли — Кол-
чина, вновь будет доказана в § 21 способом, который не
зависит от применения этой теоремы в § 19. Таким обра-
образом, настоящее доказательство, хотя и являющееся эле-
элементарным, может быть опущено.
Упражнения
1. Найти алгебраическую группу G, которая содержит замкну-
замкнутые подгруппы Л, В такие, что взаимный коммутант (AtB) не
замкнут (ср. с упражнением 7.10).
2. Пусть G — алгебраическая группа, Н — (не обязательно
замкнутая) подгруппа. Пусть группа Н коммутативна (соответ-
(соответственно нильпотентна, разрешима, унипотентна); доказать, что груп-
группа Я обладает тем же самым свойством.
3. Пусть G — алгебраическая группа. Использовать лемму
17.1 А для непосредственного доказательства того факта, что группа
(G, G) замкнута (т.е. не использовать лемму 17.1Б).
4. Алгебраическая группа G разрешима тогда и только тогда,
когда существует ряд G — Go id G{ id ... id Gn = e замкнутых под-
подгрупп таких, что (Gi, Gt) с Gi+] @^i<n). Дать аналогичный
критерий для случая, когда группа G нильпотентна.
5. Пусть G — нильпотентная алгебраическая группа (не обяза-
обязательно связная). Доказать, что центр Z(G) имеет положительную
размерность, если группа G имеет положительную размерность.
6. Доказать, что 50C, R) (= группа 3X3 вещественных орто-
ортогональных матриц с определителем 1) является некоммутативной
связной подгруппой группы SLC, R) и состоит из полупростых эле-
элементов.
7. Воспользоваться следующим подходом, чтобы показать, что
группа U=U(n,K) обладает рядом замкнутых связных подгрупп,
каждая из которых нормальна в U и имеет коразмерность 1 в
предыдущей группе. Упорядочим пары (i, /) с i < / при помощи
правила: (i, /)<(&, /), если /</ или если / = / и i > k. Таким
образом, записывая их в возрастающем порядке, получаем: A, 2);
B, 3), A, 3); C, 4), B, 4), A, 4); ... ; B, п), A, п). Поло-
Положим Uц = (xg U\Xki = 0 при (fc,/)<(i\ /)}• Проверить, что ряд
U :э Ui2 ^ ^23 ^ • • • ^ ^щ => е обладает желаемыми свойствами.
Убедиться, что каждая группа 1)ц нормализуется группой D(n,K).
8. Пусть G — унипотентная алгебраическая группа, действую-
действующая на аффинном алгебраическом многообразии X. Доказать, что
все G-орбиты замкнуты в Л". В частности, все классы сопряженных
элементов группы G замкнуты. (Рассмотреть действие группы G на
К[Х] при помощи сдвигов (8.6). Если У—незамкнутая орбита, то
найти функцию f^.K[X]y обращающуюся в 0 и У—У и ненуле-
ненулевую на У. Тогда G-сдвиги функции / порождают над К конечно-
конечномерное G-инвариантное пространство, состоящее из функций, кото-
которые обращаются в 0 на Y—Y. Применить теорему 17.5 к этому
представлению группы G.)

§ 18. ПОЛУПРОСТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 189
Замечания. Лемма 17.1 А восходит к Шуру, лемма 17.1 Б в бо-
более сильном варианте принадлежит Бэру (см. Розенлихт [5] или
Борель [4, стр. 111—114]). Теорема 17.5 была доказана Колчиным
[2, стр. 775—7761 (по поводу другого подхода см. Демазюр, Габ-
Габриэль [1, IV, § 2]. Теорема 17.6 появилась у Колчина [1,
стр. 19—20].
§ 18. Полупростые элементы
В § 16 мы изучали строение коммутативных алгеб-
алгебраических групп, состоящих из полупростых элементов и
рассматривали, как такие группы действуют на объем-
объемлющей группе (или как объемлющая группа действует
на них). Это действие в известной мере можно описать
в терминах одного полупростого элемента 5. Мы должны
проанализировать теперь некоторые более тонкие аспек-
аспекты этой ситуации, имея в виду доказательство структур-
структурной теоремы для разрешимых групп в § 19.
Для мотивировки дальнейших рассуждений поучи-
поучительно обратить внимание на разложение алгебры Лид
относительно автоморфизма Ad s, который также полу-
полупрост: <J = Cg(s)(Bit, где п — сумма собственных прост-
пространств, отвечающих собственным значениям оператора
Ads, отличным от 1. Имеется ли подобное разложение
для группы G? С одной стороны, группа Cg(s) должна
соответствовать са (s), т. е. последняя должна быть алгеб-
алгеброй Ли первой. Это справедливо для полупростого эле-
элемента s A8.1) (но не всегда верно для других элементов
группы G, если char К ¥=0). Менее очевидно, что должно
соответствовать п. Класс сопряженности C1g(s) имеет
правильную размерность. Оказывается, что он замкнут
(а не только локально замкнут), если элемент 5 полу-
полупрост A8.2) и его сдвиг Af = Cl0 (s)s"\ как оказывается,
имеет п в качестве касательного пространства в точке е.
Если мы обобщим эту ситуацию на случай, когда эле-
элемент s действует (при помощи сопряжения) на связной
унипотентной подгруппе U группы G, то получим в итоге
разложение в U желаемого типа A8.3).
18.1. Глобальные и инфинитезимальные централиза-
централизаторы. Пусть G=GL{n,K), g = gI(tt,/C). В A0.6) было
показано, что для произвольного элемента xeG алгеб-
алгебра Ли группы Сс(х) есть в точности ся (х). Если char К =
= 0, то это верно для любой алгебраической группы

190 ГЛ. VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
A3.4), но, к сожалению, это не так в характеристике р.
Трудности здесь возникают в связи с плохим поведением
унипотентных элементов; они не появляются, если огра-
ограничиться рассмотрением полупростых элементов.
Пусть Н — замкнутая подгруппа группы G=GL (пу К),
которая нормализуется некоторым полупростым элемен-
элементом 5 е G. Очевидно, Ch(s)= H f| CG{s), откуда следует,
что % (Си (s)) а $ П 3S (Со (s)) = $ П с9 (s) = Ц (s). Чтобы до-
доказать обратное включение, необходимо показать, что
алгебра Ли c$(s) «не слишком велика». Но так как эле-
элемент Ad 5 полупрост, то мы имеем разложение I) =
= с$ (sHn' (см. начало этого параграфа), где ъ' — сум-
сумма нетривиальных собственных пространств, и следова-
следовательно, достаточно показать, что алебра п' «не слишком
мала».
Класс сопряженности ClG(s)—локально замкнутое
множество (8.3) размерности, дополнительной к размер-
размерности централизатора Cg(s) (cm. теорему 4.3). Его сдвиг
Af = ClGEM-1 содержит е, так что мы можем рассмат-
рассматривать его касательное пространство 2Г(М)е = т как
подпространство в T(G)e = ^ Мы увидим ниже, что ш
совпадает с пространством и, которое было определено
ранее: g = cg (s) © я. Далее, M[\H id M' — аналогичное
подмногообразие в Я (размерности, дополнительной к
dim CH(s)) и его касательное пространство пг лежит в
шЩ) = иГИ) = я'- На этот раз это включение работает
нам на пользу: соотношение dim щ'^ dim и' влечет, что
codimC//(s) в Я = dimTW'^ dimn' = codim c$(s) в f), от-
откуда dim C\)(s)^ dimCH(s), что и требовалось.
Остается показать, что ш = п. (Это относится только
к G, но не к Я). Напомним, что морфизм ys: G-+G,
определенный правилом ys(x) = xsx~ls~ly имеет своим
дифференциалом линейное отображение 1—Ads: 8~>й
A0.1). Очевидно, M = ys(GI так что A—Adsjgczm.
С другой стороны, ясно, что Ker(dYs) =Cg(s) и lm(dys) =
= пу так что, в частности, га id u. Но мы уже знаем раз-
размерности левой и правой частей этого включения, так
как с9 (s) = 5? (Cg (s)), а именно: dimtn = dimM =
= codimCG(s) = codim cs(s) = dim п. Следовательно,
nt = n. В итоге получаем
Предложение. Пусть Н — замкнутая подгруппа груп-
группы GL(n,K), которая нормализуется полупростым эле-

§ 18. ПОЛУПРОСТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 191
ментом s<=GL(n, К). Тогда ц(s) = 3?(Сн(s)) и сумма
всех нетривиальных собственных пространств оператора
Ad (s) в \) есть касательное пространство многообразия
ClH(s)s-K □
(Заметим, что это предложение остается в силе, если
заменить GL(n,K) на алгебраическую группу, содержа-
содержащую Я и s.)
Полезно дать интерпретацию этого результата в гео-
геометрических терминах. Пусть G, Я, s, как и выше; рас-
рассмотрим морфизм класса сопряженности
ф: H-+C\H(s)aHy
где ф(#) = xsx~K Это — композиция морфизма ys и
сдвига на s; последний является изоморфизмом, так что
Ker (dq>)e = Кег (dys)e = ^ (s) = 2 (Ся (s)). Так как слои
морфизма ф есть смежные классы по подгруппе C//(s),
то морфизм ф сепарабелен E.5). Из замечания 1 в A2.4)
мы теперь выводим
Следствие А. Пусть G, Я, s, как и выше. Морфизм
класса сопряженности ф: Я ->Cl/*(s) можно отождест-
отождествить с каноническим морфизмом Н -+H/CH(s). □
Выше мы обсуждали вопрос об имитации разложе-
разложения ^ = с^E)фп/ в группе Я. Поскольку ъ' — в точности
касательное пространство многообразия М' = C\h(s)s~1,
согласно выше приведенному доказательству, и так как
Ci)(s)— алгебра Ли группы CH(s), то мы получаем сле-
следующее частичное решение нашего вопроса:
Следствие Б. Пусть G, Я, 5, как и выше. Пусть
Gx: CH (s) X М' -> Я — морфизм произведения. Тогда
dx(e\ е)—изоморфизм с^ (s) фш'^!). Кроме того, d (ys \M')=
= A — Ad s)j m,: m' -> m/ — изоморфизм. П
18.2. Замкнутые классы сопряженных элементов.
Предложение. Пусть Я — замкнутая подгруппа груп-
группы G = GL{n,K), нормализуемая полупростым элемен-
элементом se G. Тогда класс сопряженности C\h(s) замкнут.
Доказательство. Если х — эндоморфизм конечномер-
конечномерного векторного пространства, и Т — переменная, то обо-
обозначим через гп(х, Т) (соответственно через с(х, Т)) ми-
минимальный (соответственно характеристический) поли-
полином элемента х. Напомним, что элемент х полупрост тог-
тогда и только тогда, когда полином т(х, Г) не имеет крат-
кратных корней.

192 ГЛ. VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
Положим теперь W = {х <= NG{H) |m(s, x) = 0 и
с (Ad л: |$, Г) = с (Ad 5 |f), Г)}. Очевидно, что № — замкну-
замкнутое подмножество в Ng(H) (и, следовательно, в G), ин-
инвариантное относительно сопряжения элементами из Я.
Первое условие в определении W требует, чтобы каж-
каждый элемент х^ W аннулировал минимальный полином
элемента s, который, по предположению, не имеет крат-
кратных корней; следовательно, полином m(x, T) не имеет
кратных корней, и элемент х также полупрост. Приме-
Применим теперь к действию элемента х на Я предложе-
предложение 18.1; получим dimCltf(#)==codimC#(A;)==codim с§(х) =
=dim § —rti[{x), где т\{х)—кратность собственного зна-
значения 1 оператора Ad#|l). Но второе условие в опреде-
определении W дает гп\(х) = rrt\(s)y откуда следует, что все
Я-орбиты в W имеют равные размерности. Ввиду пред-
предложения 8.3 все орбиты С\н(х) замкнуты в W и, следо-
следовательно, в G. В частности, орбита C\h(s) замкнута. □
Имеется аналогичный результат для Я-орбит полу-
полупростого элемента в д: см. упражнение 6. Как и в A8.1),
отметим, что группу GL{n,K) можно заменить на лю-
любую замкнутую подгруппу G, содержащую Я и s.
Возможно, читателя заинтересует вопрос, какие клас-
классы сопряженности неполупростых элементов не замкну-
замкнуты. Эта информация нигде в этой книге не потребуется,
так что мы ограничимся лишь краткими указаниями по
этому вопросу. Если Н — коммутативная алгебраическая
группа, то каждый класс состоит из одного элемента и,
следовательно, замкнут. Классы сопряженности в уни-
потентных группах также замкнуты (упражнение 17.8).
Но если группа Я редуктивна A9.5), то замкнутыми
классами являются только классы сопряженности полу-
полупростых элементов. В некоторых случаях легко понять,
почему это так. Например, в группе GL(n,K) матрицы
1 + яе*/ ПРИ ФиксиРованных i ¥= j образуют одномерную
унипотентную группу, нормализуемую группой D(nyK),
и, как дегко видеть, все такие матрицы с аФО сопря-
сопряжены. Но тогда замыкание класса сопряженности эле-
элемента 1 + ец в GL(n,K) должно содержать 1 (упражне-
(упражнение 5), которая, конечно, не может лежать в классе со-
сопряженности указанного элемента.
18.3. Действие полупростого элемента на унипотент-
ной группе. Если Я — замкнутая подгруппа алгебраиче-

§ T8. ПОЛУПРОСТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ л 193
ской группы G и если Я нормализуется некоторым по-
полупростым элементом s & G, то предложение 18.2 пока-
показывает, что множество M = CIh(s)s~1 замкнуто в Я (и
неприводимо, если группа Я связна, — как образ группы
Я относительно морфизма ys). С другой стороны, С =
= Ch(s)—замкнутая подгруппа группы Я. Если мы
знаем, что группа Я связна и что морфизм произведе-
произведения т: СХМ-+Н биективен, то мы можем заключить,
что группа С также связна: образ группы С0ХМ (обо-
(обозначим ее через D) —конструктивное множество D.4) и
конечное число его левых сдвигов не пересекается и_по-
крывает Я. Так как множество D неприводимо, то D =
= Я. Но тогда левые сдвиги множества D содержат не-
непересекающиеся открытые подмножества в Я, что воз-
возможно только при D = Я. К сожалению, морфизм т не
всегда биективен, и множество С не всегда связно, если
только мы не подберем специальным образом группу Я.
Мы хотим теперь рассмотреть случай, когда группа Я
унипотентна. Это позволит нам в полной мере использо-
использовать разложение Жордана, а также воспользоваться ин-
индукцией по dim Я благодаря тому факту, что Я — ниль-
потентная группа (следствие 17.5).
Теорема. Пусть U — связная унипотентная подгруппа
алгебраической группы G, и пусть s e G — полупростой
элемент, нормализующий U. Положим ys(x) =xsx-~ls~l
(x&G),M = ys(U), C = Cu(s). Тогда:
(а) С — замкнутая подгруппа и М — замкнутое связ-
связное подмногообразие многообразия U;
(б) морфизм произведения т: С ХМ ->-[/ биективен
и (следовательно) группа С связна;
(в) y = ys\M — биекция многообразия М на себя.
Доказательство. Утверждение (а) следует из замеча-
замечаний, сделанных выше. Для доказательства (б) достаточ-
достаточно проверить, что морфизм т биективен, а для доказа-
доказательства утверждения (в) мы должны показать, что
морфизм у биективен. Разобьем рассуждение на несколь-
несколько шагов, из которых первый тривиален:
A) Еслихе= Uy уе±С, то ys(xy) = ys(x) = ys(x)ys(y).
B) Если x<=Z(U), ye= U,Toys(xy) = ys(x)ys(у),от-
ys(x)ys(у),откуда ys(x-l) = ys(x)-1.
Запишем ys(xy) = xysy-lx-ls-l=x(ysy-ls~l)x~l(xsx~]s~l).
Если элемент х централен, то это равно ys(y)ys(x). Но

194 ГЛ. Vtl. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
мы имеем равенство ys(xy) = ys(yx), откуда следует
утверждение B).
C) Если группа U абелева, то морфизм т биективен.
Так как U = Z{U), то шаг B) показывает, что ys: U-+
->■ U — гомоморфизм групп. Его образ, по определению,
совпадает с М, а ядро, очевидно, совпадает с С. Так как
теперь М — группа, то т — гомоморфизм групп и, сле-
следовательно, сюръективен (ибо dim U = dim С + dim M).
Если jteC, у е М и т (х, у) = ху = е, то, записывая у =
= ys(u) для некоторогоие /У, мы имеем s~lx = us-xu~x\
но элементы s и х коммутируют, так что левая часть есть
разложение Жордана полупростого элемента us-lu~l,
откуда х = е = у. Это показывает, что морфизм т также
инъективен.
D) Морфизм % всегда биективен. Воспользуемся
здесь индукцией по dim U. Поскольку группа U нильпо-
тентна, то найдется нетривиальная связная подгруппа V
группы Z(/7), нормализуемая 5 (например, компонента
единицы группы Z(U), см. A7.4) (а)). Если V = Z(U) =
= /7, то мы можем использовать C). В противном слу-
случае рассмотрим связную унипотентную группу U'=U/V
размерности меньшей, чем размерность группы U. Заме-
Заметим, что как s, так и U принадлежат группе Ng(V),
в которой группа V нормальна; поэтому мы можем по-
положить 5' = n(s), где я: NG(V) -+NG(V)/V — канониче-
канонический морфизм. Тройка (G7, /У', s7), где G' = NG(V)/V,
удовлетворяет исходным предположениям относительно
(G,U,s), так что, по предположению индукции, мор-
морфизм произведения x':CU'(s')XM' ->U' биективен, где
М' = ys'(U') = n(M). Предположение индукции равным
образом применимо и к (G,V,s), так что т0: Cv(s)X
X ys(V) ->■ V — биективный морфизм.
Теперь мы можем доказать, что морфизм т инъекти-
инъективен. Пусть z\x = z2y (zt е=С,ху уе= М) или zx = у (z =
=-2-12 щ С). Применим к этому равенству морфизм я;
так как n(z)e=Cu> (s') и я(#), я (у) gM', to инъектив-
ность морфизма т' дает n(z) = e, или zgV. Запишем
x — ys(u), y^ys(v), так что z(usu~l) = vsv~l. Левая
часть есть разложение Жордана полупростого элемента
vsv~l (ибо VcnZ(U)); следовательно, z = e и л: = #,
что и требовалось.

§ T8. ПОЛУПРОСТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 195
Остается показать, что морфизм т сюръективен. За-
Заметим сначала, что ys(V)cz M{\ V. Обратно, любой эле-
элемент tisK имеет вид zy (y^ys(V), zg Cv(s)), так как
морфизм то сюръективен; кроме того, если i/gM, to
v = у^ys(V), так как морфизм т инъективен. Это ра-
равенство ys(V) =МП V можно в свою очередь использо-
использовать для того, чтобы показать, что Cw (s') = я (С).
Именно, пусть элемент п{х) = xf (x^U) перестаново-
перестановочен с элементом n(s) = s'. Тогда у5' (*') = еу или ys(x)e
еКег(я)ПМ= VnM = Ys(K), или т«(^)=Т*И (уе
Gl/). Но Vc:Z(£/), так чю из B) следует, что сНяе
е С, ji(iH*) = ji(#), как и утверждалось.
Теперь легко показать, что морфизм т сюръективен:
U = CMV (морфизм т' сюръективен, я(М) = Л1/,
л (C) = (V(s'))
(морфизм т0 сюръективен)
= CAf (так как ys(V)M = M ввиду B)).
E) Морфизм у биективен. Ввиду шага A) и сюръек-
тивности морфизма т в D) мы имеем М —ys(U) =
= ys(CM) =ys(M)y так что морфизм у сюръективен.
Если ys(x) =ys(y) при ^jgM, то ху-х^С и т(е, л:) =
= т:(ху-\у)у откуда ху~1=е (ибо морфизм т инъекти-
инъективен), х = у. П
Связность группы Cu(s) будет использована позднее.
Вместо того чтобы доказывать это непосредственно, мы
прибегли к некоторому окольному пути; этим иллюст-
иллюстрируется тот факт, что свойство связности централиза-
централизаторов (и т. п.) часто весьма трудно уловимо. Следует
указать, однако, что если char/C=X), то унипотентная
группа (в частности, Cu(s)) всегда связна (упражне-
(упражнение 15.6). Биективность морфизмов % и у (необходимую
для дальнейшего) в любом случае пришлось бы доказы-
доказывать примерно так же, как и выше.
18.4. Действие диагонализируемой группы. Пусть G —
произвольная алгебраическая группа. Помимо изучения
неподвижных точек одного полупростого элемента груп-
группы G на замкнутой подгруппе Я, нам необходимо будет
иэучить действие d-группы D. Например, желательно

196 ГЛ. VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
выяснить, имеется ли подобное A8.1) соответствие меж-
между глобальными и локальными централизаторами.
Предложение А. Пусть Н —замкнутая подгруппа
группы G, нормализуемая d-группой D. Тогда
&(C(D)){D)
Доказательство. Если Н° czCH(D)9 то доказывать не-
нечего. В противном случае воспользуемся индукцией по
dim Я, начиная с размерности 0. Пусть ssb — такой
элемент, для которого размерность группы H' = Ch{s)
меньше, чем размерность Я. Конечно, Ch{D)ciH\ Со-
Согласно предложению 18.1 мы имеем с$ ($) = $'; следова-
следовательно, с$ (D) cz У. Используя эти факты и индукцию,
получаем 2 (Сн (£>)) = 2 (Сн> (£>)) = Ц> (D) = с* (£>) Л V =
= с*Ш). □
Если d-группа D действует на алгебраической группе
Я, предложение А показывает, что алгебра Ли замкну-
замкнутой подгруппы HD состоит из неподвижных точек груп-
группы D на |). Для доказательства следует лишь принять
в качестве G полупрямое произведение группы D и Я.
Следствие. Пусть d-группа D действует на алгебраиче-
алгебраических группах Я, Я', и пусть ср: Н-+Н' — эпиморфизм,
эквивариантный относительно этого действия группы D.
Тогда ф отображает компоненту единицы группы HD на
компоненту единицы группы H'D.
Доказательство. Морфизм ф можно представить в ви-
виде композиции D-эквивариантных морфизмов Я ->■ Н/К ->■
->Я', где К = Кегф. Так как вторая стрелка — биектив-
биективный морфизм, то мы можем предполагать, что морфизм
Ф сепарабелен, Н/ = Н/К. Это означает, что Ker dtp = t.
Так как D действует на f) диагонально, то мы можем
найти D-инвариантное подпространство п, дополнитель-
дополнительное к t; тогда п отображается dy изоморфно на !)', так
что неподвижные точки группы D на п соответствуют не-
неподвижным точкам группы D на l)'. Предложение пока-
показывает, что dim KD = dim ID, в то время как dim H'D =
= dim YD = dim f)D. Комбинируя эти соотношения, полу-
получаем dim H'D = dim \D — dim tD = dim HD — dim KD =
= dirr^^D). Так как ф отображает компоненту еди-
единицы группы HD в компоненту единицы группы Н'°у то
это обеспечивает сюръективность. □
Наконец, мы рассмотрим аналог A8.3),

§ T8. ПОЛУПРОСТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 197
Предложение Б. Пусть U — связная замкнутая уни-
потентная подгруппа группы G, нормализуемая d-груп-
пой D. Тогда группа Cu(D) связна.
Доказательство. Если группа D централизует £/, то
доказывать нечего. В противном случае воспользуемся
индукцией по dim (У. Пусть s^D — элемент, не центра-
централизующий группу U. Тогда группа U' = Cu(s) связна
(теорема 18.3) и содержит группу Cu(D), так что мы
можем заменить U на £/' и воспользоваться индук-
индукцией. □
Не лишне заметить, что в предложении Б и следст-
следствии предложения А ничего не говорится об алгебрах Ли;
однако доказать эти утверждения без помощи инфините-
зимальной техники не так то легко.
Упражнения
1. Пусть G = PGLB,C), s = diag (t, — t), где i2 = — 1. По-
Показать, что группа Cg(s) состоит из двух связных компонент.
2. Пусть G = GL(V), Я— замкнутая подгруппа группы G.
Предположим, что (*) алгебра Ли % обладает инвариантным отно-
относительно Ad Я дополнительным подпространством to в g. Доказать,
что если хеЯ, то С1о(#)ПЯ есть объединение конечного числа
классов Я-сопряженности. Доказать аналогичное утверждение для
С1о (х) Г) 6, хе|. (Сравнить размерности, как в A8.1).)
3. Воспользоваться упражнением 2 для доказательства того
факта, что группа SL(n,K) имеет лишь конечное число классов
сопряженных унипотентных элементов при условии, что char К не
делит п (или использовать жорданову нормальную форму для про-
произвольного п). Что вы можете сказать о других классических груп-
группах?
4. В предположении (*) из упражнения 2 доказать, что гло-
глобальные и инфинитезимальные централизаторы в Я и в 1) соответ-
соответствуют друг другу при произвольном jjsG.
5. Доказать утверждение (сформулированное в A8.2)) о том,
что класс сопряженности элемента 1 + ец в GL(n, К) (или в
SL(n,K)) не замкнут. Указать незамкнутые унипотентные классы
в других классических группах.
6. Пусть Н — замкнутая подгруппа алгебраической группы
G. Мы говорим, что элемент хед нормализует Я, если kdy(x) —
—хе| для всех у&Н (ив этом случае [х, Щ с|). Доказать, что
если элемент х полупрост и нормализует Я, то множество {Ady(x)\
\у г Я} замкнуто в g. (Имитировать доказательство предложения
18.2.)
7. Пусть G = 5LB, К) s = diag (а, а-1), а Ф ±1. Тогда
C0(s) = DB, К) Г) G. Показать, что пересечение CG(s) Г) C1G (s)s-1
совпадает с {1, diag(a~2,а2)} Является ли отображение т из тео-
теоремы 18.3 в этом случае сюръективным?

198 СЛ. VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
8. Доказать аналог теоремы 18.3, заменив s на унипотентный
элемент а, группу U — на тор Г, в предположении, что 2? (Ст (и)) =
= ct(u).
9. Доказать, что т и у в теореме 18.3 — изоморфизмы много-
многообразий (относительно сепарабельности см. следствие Б предложе-
предложения 18.1).
10. Пусть G — связная одномерная алгебраическая группа. До-
Доказать, что каждый полупростой элемент группы G принадлежит
центру Z(G), а затем вывести отсюда, что G = Z(G).
Замечания. Теорема 18.3 появилась у Бореля [1], хотя в пол-
полной мере соответствие между глобальными и инфинитезимальными
централизаторами A8.1) было рассмотрено позднее, см. Борель
[4, § 9], Борель, Тите [1, § 10], Борель, Спрингер [1] и, в пред-
предварительном виде, — в АГДП. Дальнейшее изучение замкнутых клас-
классов сопряженности проводилось Борелем, Хариш — Чандрой [1].
Техника A8.1) (см. упражнения 2, 3, 4) применялась для изучения
унипотентных классов сопряженности Ричардсоном [1]; см. также,
Спрингер, Стейнберг [1, 1.5.2].
§ 19. Связные разрешимые группы
В этом параграфе мы дадим описание произвольной
связной разрешимой алгебраической группы: она пред-
ставима в виде полупрямого произведения некоторого
тора и (нормальной) унипотентной подгруппы. Мы бу-
будем при этом существенно использовать результаты
§§ 16 и 18, а также фундаментальную теорему Ли —
Колчина A7.6).
19.1. Точная последовательность. Если G— связная
разрешимая алгебраическая группа, то теорема Ли —
Колчина позволяет нам рассматривать группу G как
подгруппу некоторой верхней треугольной группы
Т(п,К). Для этой последней мы имеем следующую рас-
расщепляющуюся точную последовательность:
l-+U(ny К)->Т(п, Ю-^Din, К)->1.
Ограничение ее на группу G дает
Здесь Gu = Gf\ U(n, К) — замкнутая нормальная под-
подгруппа группы G, состоящая из всех унипотентных эле-
элементов, a T' = n(G)—замкнутая связная подгруппа
группы D(n,/С), являющаяся, следовательно, тором

§ 19. СВЯЗНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 199
(предложение 16.2). Группа G/Gu абелева, Gu содержит
коммутант (G, G).
Мы утверждаем, что группа Gu связна. Это верно
в коммутативном случае A5.5), в частности для группы
G/(G, G) = G' = G's X Gu. Пусть ср: G-+G' — канониче-
канонический морфизм. Очевидно, GU<^<V~[ (G'u). Обратно, из со-
соотношения (GyG) = Кег фсбм следует, что ф (Gu) с:
cz Gu. Наше утверждение следует теперь из того факта,
что обе группы (GtG) и Gu связны (см. A7.2)).
Рассматривая связные компоненты пересечений груп-
группы Gu с последовательными членами соответствующего
нормального ряда группы U(n,K) (упражнение 17.7) и
исключая повторения, мы получим убывающий ряд связ-
связных подгрупп группы Gu, каждая из которых нормальна
в G и имеет коразмерность 1 в предыдущей.
Требуется доказать, что точная последовательность
(*) расщепляется. Для этого достаточно будет убедить-
убедиться, что группа G содержит тор Т той же размерности,
что и Т\ ибо в этом случае соотношение Т f\ Gu = e оче-
очевидно, а соотношение 9?{Т) [\9?{GU) = 0 почти очевид-
очевидно A5.3); равенство п(Т) =Т' следует из соображений
размерности. Мы также докажем, что любые два макси-
максимальных тора группы G сопряжены. (Этот результат
играет здесь ту же роль, которую в теории алгебр Ли
играет теорема о сопряженности подалгебр Картана.)
Случай, когда группа G абелева, уже рассмотрен A5.5),
так что мы рассмотрим сейчас случай, когда группа G
нильпотентна.
19.2. Нильпотентный случай. Если группа G разре-
разрешима, то множество Gs всех полупростых элементов не
обязательно замкнуто и не вегда является подгруппой
(например, в случае G = Т (п, К), п > 1).
Предложение. Пусть G — связная разрешимая алге-
алгебраическая группа. Тогда G нильпотентна в том и толь-
только в том случае, когда Gs — подгруппа; если это имеет
место, то группа Gs замкнута и G = Gs X Gu-
Доказательство. Пусть Gs — подгруппа группы G.
В точной последовательности (*) из A9.1) отображение
я вкладывает Gs в Т'у так что Gs — абелева группа и,
следовательно, Gs есть d-группа; отсюда следует, что
Gs = Gs. Ясно, что я отображает Gs на Г', так что после-
последовательность (*) расщепляется и группа G есть полу-

£00 ГЛ. Vtl. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
прямое произведение Gst<Gu. Но, очевидно, группа Gs
нормальна в G, так что в действительности это произве-
произведение прямое. В частности, группы Gs и Gu поэлементно
перестановочны, так что GsczZ(G) (это следует также
из жесткости d-групп, следствие 16.3). Группа G/Z(G)
изоморфна подгруппе нильпотентной группы Gu A7.5),
так что группа G нильпотентна (лемма 17.4F)).
Обратно, предположим, что группа G нильпотентна.
Требуется доказать, что Gs — подгруппа; для этого до-
достаточно, очевидно, показать, что любая пара полупро-
полупростых элементов х, у коммутирует (произведение пере-
перестановочных полупростых элементов — снова полупро-
полупростой элемент). Но хух~ху~х = гe (G, G) с= Gu, хух-х =
= zy. Если мы сможем показать, что элемент у переста-
перестановочен со всеми унипотентными элементами, то мы
сможем сделать вывод о том, что правая часть есть раз-
разложение Жордана полупростого элемента хух~\ откуда
z = е и ху = ух, что и требуется. Чтобы убедиться в том,
что элемент у е Gs централизует группу Gu, мы напом-
напомним ситуацию теоремы 18.3: элемент у действует на
связной унипотентной группе Gu, M = yy(Gu) и уу: М->
-> М — биективный морфизм (утверждение (в)). Но
тогда М cz G°°. Так как группа G нильпотентна, то М =
= {е} и у централизует группу Gtl. □
Стоит особо отметить, что связная нильпотентная
группа обладает единственным максимальным тором
(именно, Gs), так что вопрос о сопряженности не возни-
возникает.
19.3. Общий случай.
Теорема. Пусть G — связная разрешимая алгебраи-
алгебраическая группа. Тогда:
(а) Gu — замкнутая связная нормальная подгруппа
группы G, содержащая коммутант (G, G), и обладающая
рядом связных замкнутых подгрупп, каждая из которых
нормальна в G и имеет коразмерность 1 в последующей;
(б) максимальные торы группы G сопряжены отно-
относительно группы G°°, и если Т — один из этих торов, то
G G
Доказательство. Утверждение (а) было доказано в
A9.1). Для доказательства (б) воспользуемся индук-
индукцией по dim G (начиная с размерности 0). Прежде всего
нам нужно найти тор в группе G, который проектируется

§ 19. СВЯЗНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 201
на Т' в точной последовательности (*) из A9.1), откуда
будет следовать, что G = Т [X Ои. Если группа G ниль-
потентна, то это установлено в предложении 19.2. Если
G — ненильпотентная группа, то, очевидно, мы можем
найти нецентральный полупростой элемент s & G; тогда
размерность группы Н = Cg(s)° будет меньше размерно-
размерности G. Если D — замыкание в G подгруппы, порожден-
порожденной S, то морфизм я: G-*G/GU = T' эквивариантен от-
относительно D, и действие группы n(D) на Г' тривиально,
так как группа Г' коммутативна. Применяя следствие
предложения 18.4А, мы видим, что я(#) ==7'. Это по-
показывает, что коразмерность группы Ни равна dim T\
По предположению индукции, группа Н содержит тор
размерности dim 71', который, очевидно, будет макси-
максимальным тором в группе G.
Зафиксируем такой максимальный тор Т в G. При-
Приступая к доказательству того факта, что все остальные
максимальные торы сопряжены с Г, мы сначала пока-
покажем, что любой полупростой элемент 5 e G сопряжен
(относительно группы G°°) с некоторым элементом из Г.
Если группа G нильпотентна, то Г= Gs A9.2) и доказы-
доказывать нечего. Если группа G ненильпотентна, то группа
G°° cz Gu нетривиальна, а также связна и унипотентна (и,
следовательно, нильпотентна согласно следствию 17.5).
Поэтому размерность компоненты единицы N группы
Z{G°°) положительна; группа N, очевидно, нормальна
в G. При каноническом отображении ф: G ->■ G/N = G'
группа G°° отображается на G'°°. Запишем G' = SlX Gfu,
S = ф(Г). По индукции ф(х)фE)ф(а:)'-1 е 5 для некото-
некоторого элемента (р(х) ^ G'°° (причем мы можем считать,
что #eG°°). Это означает, что элемент 5 О°°-сопряжен
с xsx~] e TN. Поэтому (с изменением обозначений) до-
достаточно доказать, что любой полупростой элемент 5 е
е TN сопряжен при помощи некоторого элемента из N
с элементом группы Т. Запишем s = tn (t^T, n^N)
и применим теорему 18.3F) к действию элемента Н на
N; мы имеем n = zyt~\ (и) для некоторых z^CN(t),
u^N, откуда s = tzt~lutu~l =z(utu~l). Но элемент г
унипотентен и (так как группа N абелева) перестаново-
перестановочен с и и с t; поэтому правая часть есть разложение
Жордана элемента s, откуда z = е. Таким образам,
u~lsu = tt=T.

202 ГЛ. VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
Наконец, пусть 5 — произвольный максимальный тор
группы G. Согласно предложению 16.4 существует s e S,
централизатор которого в G совпадает с централизато-
централизатором тора S. Ввиду предыдущего абзаца мы можем пред-
предположить после замены тора S на сопряженный, что
s е Т. Но тогда Т а Со (s) = Cg (S). Следовательно,
(ST)° — тор (= связная ^-группа), содержащий макси-
максимальные торы S, Т. Поэтому S = Т. □
При доказательстве сопряженности максимальных то-
торов группы G мы в действительности установили
Следствие (доказательства). Пусть G — связная раз-
разрешимая группа. Тогда каждый полупростой (соответст-
(соответственно унипотентный) элемент группы G лежит в неко-
некотором максимальном торе (соответственно в максималь-
максимальной связной унипотентной подгруппе). □
Позднее мы сможем исключить слово «разрешимая»
из этого утверждения: связная алгебраическая группа
есть объединение связных разрешимых подгрупп B2.2).
Структурная теорема, которую мы только что дока-
доказали, дает удовлетворительную картину строения произ-
произвольных связных разрешимых групп, но она не описы-
описывает строения одномерных групп. В действительности Оа
и Gm — единственные одномерные группы (см. § 20); од-
однако доказательство этого факта в унипотентном случае
(если char К > 0) требует изобретательности.
19.4. Нормализатор и централизатор. Завершая наше
изучение разрешимых групп, мы выведем некоторые по-
полезные результаты, имеющие место только в разреши-
разрешимом случае (см. упражнение 1).
Предложение. Пусть Н — подгруппа (не обязательно
замкнутая) связной разрешимой группы G, причем Н со-
состоит только из полупростых элементов. Тогда:
(а) группа Н содержится в некотором торе;
(б) группа Cg(H) =Ng(H) связна.
Доказательство. Каноническое отображение я: G->
-> G/Gu, будучи ограничено на Я, становится инъектив-
ным. Следовательно, группа Н коммутативна и ее замы-
замыкание Я есть d-группа. Так как нормализаторы*) (соот-
(соответственно централизаторы) групп Н и Я в G совпадают,
*) В действительности, совпадение нормализаторов является
следствием рассуждения настоящего абзаца, которое, в сущности,
н.$ опирается на этот факт. — Прим. перев.

$ 19. СВЯЗНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 203
то мы можем* предполагать, что группа Н замкнута. Из
жесткости d-групп (следствие 16.3) уже следует, что
д^0(Я)° = Со(Я)°, но мы можем получить более точную
информацию (используя я): если x^NG(H)y то, так как
элемент п(х) централизует я (Я), мы имеем хух~х = уг
при у^Н (z^ Кегя = Gw), в то время как хух~х^Н.
Таким образом, z е Н П Gu = {е}, x^CG(H).
Зафиксируем теперь максимальный тор Т группы G.
Если Н aZ(G), то, как показывает следствие 19.3, каж-
каждый элемент группы Н принадлежит Т (и, разумеется,
группа Cg(H) = G связна). В противном случае пусть
хеЯ, s^Z(G). Следствие 19.3 позволяет нам заме-
заменить Т сопряженным тором, содержащим элемент s, и
считать, что Т a Cg(s). В этом случае ясно, что Cg(s) =
— T\XCgu(s). Но группа Cgu(s) связна (теорема 18.3),
так что и группа Cg(s) связна, содержит Н и имеет раз-
размерность меньшую, чем размерность группы G. Согласно
предположению индукции Н сопряжена в Со (s) подгруп-
подгруппе тора Т и, сверх того, CG(H) = CcG(S) (H) связна. □
19.5. Разрешимый и унипотентный радикалы. По мо-
модулю § 20 мы готовы теперь приступить к изложению
общей структурной теории алгебраических групп. Это
удобный момент для введения таких ключевых понятий,
как «полупростая» группа и «редуктивная» группа. Мы
могли бы сделать это несколько раньше, но в этом не
было никакого практического смысла. Вместе со след-
следствием 7.4 лемма 17.3 (в) показывает, что произвольная
алгебраическая группа G обладает единственной наи-
наибольшей нормальной разрешимой подгруппой, которая
автоматически замкнута. Ее компонента единицы являет-
является тогда наибольшей связной нормальной разрешимой
подгруппой группы G; мы называем ее радикалом груп-
группы G и обозначаем через R(G). Подгруппа радикала
R(G)y состоящая из всех унипотентных элементов, нор-
нормальна в G; мы называем ее унипотентным радикалом
группы G и обозначаем через RU(G). Унипотентный ра-
радикал можно охарактеризовать как наибольшую связ-
связную нормальную унипотентную подгруппу группы G.
Если радикал R(G) тривиален и группа (лфе связ-
связна, то мы говорим, что G — полупростая группа (при-
(пример: SL(nfK)). Если унипотентный радикал RU{G)

204 ГЛ. VTT. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
тривиален и группа пфе связна, то мы называем груп-
группу G редуктивной (примеры: GL(n, /С), произвольный
тор, любая полупростая группа). Исходя из произволь-
произвольной связной алгебраической группы G, мы, очевидно, по-
получаем полупростую группу G/R(G) и редуктивную
группу G//?U(G), за исключением случаев G=R(G) или
G = Ru(G). Следовательно, изучение произвольной груп-
группы G в известной степени сводится к изучению конечной
группы G/G°y полупростой (или редуктивной) группы и
связной разрешимой (или унипотентной) группы. Разу-
Разумеется, необходимо также рассматривать вопрос о том,
как эти куски соединяются вместе, образуя группу G
(проблема расширения); практически это может ока-
оказаться довольно трудно сделать. Оставшаяся часть этой
книги посвящена главным образом редуктивным груп-
группам. Весьма трудно, как мы увидим, непосредственно
воспользоваться предположением, что группа G не со-
содержит связных нормальных унипотентных подгрупп.
Мы сделаем пока некоторые предварительные замечания.
Лемма. Пусть группа G редуктивна. Тогда R(G) =
= Z(G)° — тор и R(G) П (G, G) —конечная группа.
Доказательство. Тот факт, что R(G) —тор, следует
из A9.1). Из жесткости торов (следствие 16.3) следует,
что G = NG(R(G))o = CG(R{G))oi так что тор R(G)
централен; разумеется, и наоборот, группа Z = Z(G)°
всегда содержится в R(G). Для доказательства остав-
оставшегося утверждения вложим G в некоторую группу
GL(V) и запишем F = JX Va (где а пробегает веса груп-
группы Z в V см. A6.4)). Очевидно, централизатор группы Z
в GL(V) состоит из соответствующих блочно диагональ-
диагональных матриц; мы запишем его в виде П GL (Va). Этот
централизатор содержит G. Следовательно, (G, G) со-
содержится в iiSL(Fa), тогда как каждый блок матрицы
из Z есть скалярная матрица. Поскольку имеется только
конечное число скалярных матриц данного размера с
определителем 1, то наше утверждение доказано. П
Позднее B7.5) мы докажем, что редуктивная группа
G есть произведение своего центра и коммутанта (пере-
(пересечение которых конечно согласно лемме). Читатель мо-
может попытаться сделать это сейчас, чтобы оценить труд-
трудность использования предположения RU(G) = e.

20. ОДНОМЕРНЫЕ ГРУППЫ £05
Упражнения
1. Показать на примерах, что предложение 19.4 неверно без
предположения о разрешимости группы G: группа Н может не
быть коммутативной, может не содержаться в торе, даже если она
коммутативна, и т. д.
2. Пусть G — связная разрешимая алгебраическая группа. До-
Доказать, что 3?(GU)—множество всех нильпотентных элементов ал-
алгебры Ли д. Если группа G нильпотентна, то 2?(GS)—множество
всех полупростых элементов алгебры Ли д.
3. Пусть G — связная разрешимая алгебраическая группа. Если
Т — максимальный тор группы G, то группа Cg(T) нильпотентна.
4. Пусть G — связная разрешимая алгебраическая группа. До-
Доказать, что Z(G)S совпадает с пересечением всех максимальных то-
торов группы G.
5. Пусть G — произвольная связная алгебраическая группа, и
Г —тор, содержащийся в Z(G). Доказать, что группа (G, G) Г) Т
конечна (ср. с леммой 19.5).
6. Доказать, что замкнутая связная нормальная подгруппа по-
положительной размерности в полупростой (соответственно, редук-
тивной) группе является полупростой (соответственно редуктивной)
группой.
7. Пусть G — связная алгебраическая группа положительной
размерности. Доказать, что группа G полупроста тогда и только
тогда, когда G не имеет никаких связных замкнутых коммутатив-
коммутативных нормальных подгрупп, кроме е.
Замечания. Теорема 19.3 принадлежит Борелю [1], см. Бо-
рель [4, 10.6].
§ 20. Одномерные группы
Цель этого параграфа — доказать, что Gm и Ga —
единственные связные одномерные алгебраические груп-
группы. Сначала мы покажем, что такая группа коммутатив-
коммутативна и, следовательно, состоит только из полупростых или
только из унипотентных элементов. Единственный труд-
трудный случай — случай унипотентных групп в характери-
характеристике р — излагается в более общей ситуации «е-групп»
(которые нигде более в тексте не используются), мы
используем этот термин по аналогии с термином «d-rpyn-
пы». О других трактовках вопроса о строении одномер-
одномерных групп сказано в замечаниях.
20.1. Коммутативность группы G. Пусть G — связная
одномерная алгебраическая группа. Так как коммутант
(G,G) связен, то группа G либо коммутативна, либо
jG=(G, G). Используя мощную структурную теорию,
развитую в следующей главе, мы могли бы легко исклю-

206 ГЛ. VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
чить вторую возможность; можно, однако, использовать
следующее элементарное рассуждение. Предположение
G=(GyG) показывает, что Ad G = (Ad G, Ad G) при-
принадлежит группе SL(g) (которая равна 1, ибо алгебра
Ли g одномерна). В частности, если элемент s e G полу-
полупрост, то из соотношения cg(s} = $ следует, что Cg(s) =
= G, так как группа G связна (предложение 18.1). Это
означает, что все полупростые элементы группы G при-
принадлежат группе Z(G), которая, разумеется, должна
быть конечной. Группа G/Z(G) = G' также связна и
одномерна и не содержит полупростых элементов, от-
отличных от е. Следовательно, группа G' унипотентна, и,
значит, нильпотентна (следствие 17.5). Тогда и группа G
нильпотентна (лемма 17.4F)), что противоречит пред-
предположению о том, что G = (G,G).
Итак, группа G коммутативна. Согласно теореме 15.5
либо G = Gs, либо G = Gu. В первом случае G — связ-
связная d-группа и, следовательно, тор (теорема 16.2) и,
значит, изоморфна Gm. Во втором случае, если char К =
= 0, лемма 15.1В и упражнение 15.11 показывают, что
группа G изоморфна Ga. Если char К = р > 0, то мы за-
заметим, что лл—>хр — морфизм алгебраических групп
G-+G, причем образ Gp связен и не совпадает
с G. Следовательно, Gp = e. (В этом случае мы говорим,
что группа G имеет экспоненту р.) Однако вовсе не оче-
очевидно, что группа G изоморфна Ga. В оставшейся части
этого параграфа мы детально изучим строение коммута-
коммутативных групп экспоненты р и получим требуемую тео-
теорему об одномерных группах в качестве побочного про-
продукта.
20.2. Векторные группы и е-группы. В дальнейшем
мы будем предполагать, что char/( =/? > 0. Назовем
е-группой любую коммутативную алгебраическую груп-
группу G экспоненты р (группа G тогда унипотентна). В ка-
качестве одного из примеров укажем конечную элементар-
элементарную абелеву rpynnyZ//?Z X ... X Z/pZ. Другим полез-
полезным примером может служить аффинное я-пространство
Кп, рассматриваемое как произведение GaX ... X Ga;
любую е-группу, изоморфную некоторой такси группе,
мы будем называть векторной группой. Групповая опе-
операция часто будет записываться аддитивно.

§ 20. ОДНОМЕРНЫЕ ГРУППЫ 207
Имеется определенная аналогия между торами и век-
векторными группами или, в более общей форме, между
^-группами и е-группами. Напомним некоторые основ-
основные свойства d-групп из § 16: (а) любая d-группа изо-
изоморфна замкнутой подгруппе некоторого тора; (б) лю-
любая замкнутая подгруппа тора есть пересечение ядер
характеров; (в) замкнутая связная d-группа есть тор и
выделяется прямым сомножителем из любого объемлю-
объемлющего тора. В настоящем пункте мы докажем аналог
первого из этих свойств с уточнением, которое не имеет
места для d-групп (см. упражнение 3).
Предложение. Любая е-группа G изоморфна замкну-
замкнутой подгруппе некоторой векторной группы, размерность
которой можно считать на 1 большей размерности груп-
группы G.
Доказательство. Мы попытаемся имитировать ото-
отображения log, ехр в характеристике 0 A5.1). Пусть Ga
a GL(ny К) для некоторого п. Пусть 91— подпростран-
подпространство в М(п, К)у натянутое на матрицы х—1 (xgG),
так что 91 = /С + Э1 => G. Равенство (х—1) (у—1) =
= (ху—1) — (х—1) — (у—1) показывает, что прост-
пространство 91 замкнуто относительно умножения; следова-
следовательно, 31 — коммутативное кольцо и 91— его идеал. По-
Поскольку группа G имеет экспоненту р, то (х—1)^ = 0
(х е G) и, следовательно, ур = 0 для всех у е 91. Мно-
Множество 91 попарно перестановочных нильпотентных мат-
матриц можно одновременно привести к треугольному виду
(предложение 15.4). Отсюда следует, что ^-кратные про-
произведения элементов из 31 все обращаются в 0, если k
выбрано достаточно большим, т.е. 91 — нильпотентный
идеал кольца 31 (см. A7.3)).
Поскольку хр = 0 для всех xg 31, то мы можем опре-
р-\
делить ограниченный экспоненциал ехр'(х)= 2 xk/kl,
который, очевидно, содержится в 1 + ^ ^ Я. Легко про-
проверить (упражнение 4), что ехр'(ах) ехр'(&x) =
= ехр'((а + Ь)х) при а, Ь е К. Следовательно, мы мо-
можем определить относительно некоторого упорядоченно-
упорядоченного базиса (хи ..., xt) пространства 91, который мы опи-
опишем ниже, морфизм ф: Э1 —>- 9t, полагая lX)

208 ГЛ. VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
== Пехр'(#Л)- Это морфизм алгебраических групп, если
на 91 задана естественная аддитивная структура вектор-
векторного пространства и Im ф рассматривается как подгруп-
подгруппа мультипликативной группы кольца 9} в GL(n, /().
Разумеется, группа G сама содержится в этой послед-
последней, но не очевидно, что содержится в Im ср.
Мы хотим показать, что ф имеет обратный морфизм
(определенный на обратимых элементах кольца 91).Для
этого воспользуемся нильпотентностью идеала 91: опре-
определим ф относительно такого упорядоченного базиса
(х\9 ..., xt) пространства 9i, что пространство 91* натя-
натягивается на некоторый правый отрезок этого базиса.
Пусть Г/, Ui (i' = l, ..., t)—два множества независи-
независимых переменных; запишем П expr GVO =1 + 2 UiXi-
Раскрытие выражения в левой части сразу показывает,
что Ui = Ti + fi(Tu ..., 7\_i), где /* — некоторые поли-
полиномы от /— 1 переменных. Обратимость отображения ф
вытекает тогда из возможности выразить Г, через £/,-.
Но Tl = Uu T2 = U2 — f2(Ti)=U2 — f2(Ui)9 ... Таким
образом, мы можем действовать рекуррентно.
Из этой конструкции следует, что группа G действи-
действительно лежит в Im ф и что ф-1 отображает G изоморфно
на замкнутую подгруппу векторной группы 9L
Пусть теперь V — любая векторная группа (записан-
(записанная аддитивно), G — замкнутая подгруппа коразмерно-
коразмерности ^ 2 в V. Мы постараемся заменить V на векторную
группу на 1 меньшей размерности, содержащую изо-
изоморфную копию группы G; рассуждение завершается
тогда индукцией.
Объединение всех прямых, проходящих через 0 и че-
через все другие точки группы G, не совпадает с V, так как
codim G ^ 2 (это элементарный геометрический факт:
упражнение 5). Отождествим (канонически) V с S'(V).
Тогда линейное подпространство 3?(G) пространства
3?{V)=V, очевидно, не может содержать того, что
осталось от V, так как оно также имеет коразмерность,
не меньшую 2. Следовательно, мы можем найти такую
точку xgV, что никакой ненулевой скалярный кратный
вектора х не лежит в G или в g(G). Пусть Х = Кх, и
пусть я: V-+W —V/X—канонический морфизм. Ввиду
отождествления V =» 2£(у\ ясно, что Ker dn = 3? {X) =

§ 20 ОДНОМЕРНЫЕ ГРУППЫ 209
= Х, где X рассматривается как векторная подгруппа
в V. Ввиду выбора х мы имеем Кег п (] G = 0 = Кег dn П
[\9?(G), так что морфизм n\G биективен и сепарабелен
и, следовательно, является изоморфизмом группы G на
n(G) (см. замечание A) в A2.4)). □
20.3. Свойства р-полиномов. Характер алгебраиче-
алгебраической группы G — это просто морфизм алгебраических
групп G-^Gm. Очевидным унипотентным аналогом это-
этого понятия был бы морфизм ф: G-+Ga. Какой вид дол-
должен иметь такой морфизм ф, если К— поле простой ха-
характеристики? Так как группа Ga изоморфна (как мно-
многообразие) аффинной прямой /С, то морфизм ф задается
одним полиномом. Рассмотрим сначала случай, когда
G — векторная группа Кп (записанная аддитивно).
Лемма А. Пусть f(Tu ..., Тп) —аддитивный поли-
полином, т.е. f(ai + bu ..., пп + bn) =/(fli, •••> я*) +
+ f(bu ..., bn) для всех (a), (b) e Кп. Тогда f(T) есть
р-полином, т.е. f(T)—линейная комбинация одночле-
одночленов вида Г?Г(/->0).
Доказательство. Воспользуемся индукцией по сте-
степени полинома /(Г) и обозначим через (А/) (Т) «част-
«частную производную» полинома /(Г) по 7Y Из тождества
f(Ti + au ..., Tn + an)=f(T)+f(a), (a)€=Kn, мы по-
получаем (Dif) (T + а) = (Dtf) (T). Следовательно, поли-
полином (Dif) (T) принимает на Кп постоянное значение с,- и
все частные производные полинома f(T) — (С1Г1+ ...
... + cnTn) равны 0. Легко проверить, что любой поли-
полином с этим свойством имеет вид g(rf, ..., г£), g(T) e
^К[Т]. Так как поле К алгебраически замкнуто, для
произвольных элементов (a), (b) e Кп можно найти та-
такие элементы dt, ei e /С, что at = dpv bl — ерг Поэтому
g(a + b) = g((d, + ex)\ ..., (dn + enf) = f(d + e) -
— TiCl(dl + e^) = g(a) + g(b).noлиlюм g(T) аддитивен
и имеет меньшую степень чем /(Г), так что, по предпо-
предположению индукции, g(T) и, следовательно, f(T) есть
р-полином. □
Конечно, и наоборот, любой р-полином определяет
морфизм алгебраических групп Kn-+Ga. Злоупотребляя
терминологией, мы будем отождествлять полиномы и
морфизмы, которые им соответствуют. Очевидно, ядро

210 ГЛ. VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
ненулевого р-полинома (т. е. множество нулей полинома
f(T)) есть замкнутая подгруппа группы Кп (коразмерно-
(коразмерности 1). Это свойство характеризует р-полиномы:
Лемма Б. Пусть f(Tu ..., Тп) —полином, свободный
от квадратов*), рассматриваемый как морфизм Кп-*К.
Если множество нулей полинома /(Г) есть подгруппа
в Кп, то f(T) есть р-полином.
Доказательство. Мы можем считать, что {(Т)Ф0.
Для доказательства того факта, что f(T) есть р-поли-
р-полином, достаточно (ввиду леммы А) доказать его аддитив-
аддитивность. Пусть G — множество его нулей. При (а) е G
полином f(T-\-a) имеет то же множество нулей, что и
/(Г), так как G — группа. Но полином f(T) свободен от
квадратов; поэтому первый полином скалярно кратен
второму, скажем y(a)f(T) (напомним, что К[Т] — об-
область с однозначным разложением на множители @.2)).
При (a), D)eG мы имеем у(а + b)f(T)=f(T + а + Ь) =
= y(b)f(T + a) =y(a)y(b)f(T). Следовательно, функ-
функция у: G-^Gm — гомоморфизм групп; поскольку G есть
р-группа, a Gm не имеет элементов порядка р, то Im у =
= 1. Это показывает, что f (T-{-а) = f (T) для всех
(а) 6= G.
Далее, для всех (а) е Кп полином /(Г+я)—/(я) =5^
=7^=0 обращается в 0 на G и, очевидно, свободен от квад-
квадратов. Отсюда следует, что функция б: /Сл—>- Gm удовле-
удовлетворяет условию f(T + a)—f(a) =8(a)f(T). Для лю-
любого (b) e Kn непосредственное вычисление показывает,
что f(T + a + b) =f(a)+8(a)f(b)+8(a)8(b)f(T)y в то
время как мы также имеем f(T + я + b) = f(a + b) +
+ 8(а + b)f(T). Сравнивая старшие члены, мы заклю-
заключаем, что б —гомоморфизм, который, следовательно, три-
тривиален, т.е. f(T+a) =f(a) +f(T) для всех (a) ge Kn.
Это доказывает, что полином / аддитивен на Кп- □
В B0.2) мы доказали, что всякая е-группа реализу-
реализуется как замкнутая подгруппа векторной группы кораз-
коразмерности 1. Теперь мы можем сделать следующий шаг.
Предложение. Пусть V — векторная группа (скажем,
V = Кп) и G—замкнутая подгруппа коразмерности 1,
*) То есть полином / не кратен квадрату непостоянного поли-
н,о?ла. — Прим. перев.

§20 ОДНОМЕРНЫЙ ГРУППЫ 211
Тогда существует р-полином {от п переменных), для
которого G есть множество его нулей.
Доказательство. Ввиду результатов § 3 (см. упраж-
упражнение 3.6) G есть множество нулей некоторого полинома
f(T) е/С[Г], и мы можем считать, что f(T) свободен от
квадратов. Тогда лемма Б показывает, что f(T) должен
быть р-полиномом. □
20.4. Автоморфизмы векторных групп. Для доказа-
доказательства того факта, что связная d-группа есть тор, мы
сначала вкладывали ее в тор, а затем находили авто-
автоморфизм тора, который преобразовывал эту подгруппу
в канонический подтор. Аналогичный подход эффекти-
эффективен и в случае е-групп. Мы будем строить автоморфиз-
автоморфизмы при помощи индукции по степеням; поэтому удобно
ввести следующее определение. Пусть /(Гь ..., Тп) =
= Yi Yi cirTpt — некоторый р-полином. Если r(i) —наи-
i r
больший показатель, для которого С{Гф0у то главная
часть полинома f(T) есть полином с\Г(\)Т% + ...
_l n трг {п)
• • • Т~ Спг (п)* п
Предложение. Пусть V = Кп> я';>1, и пусть f(T) —
некоторый р-полином, рассматриваемый как морфизм
алгебраических групп V-+Ga. Тогда существует авто-
автоморфизм ф группы V (т.е. замена координат Г,-ь—>£А)
такой, что ядро полинома f(U) =f(T) ©ф содержит все
элементы вида (а, 0, ..., 0) е V.
Доказательство. Запишем для краткости главную
часть полинома /(Г) в виде 2 c*7t . Очевидно, пере-
i
становка переменных Гь ..., Тп индуцирует автомор-
автоморфизм группы У, так что мы можем предполагать, что
все d ф 0 (в противном случае доказывать нечего) и что
r(l) ^rB) ^ ... ^г(п). Воспользуемся индукцией по
2г(/). Если это число равно 0, то f(T) —линейный по-
полином, и линейная замена переменных Ti\—>Ui приво-
приводит к цели. В общем случае найдем нуль (а) е V для
главной части полинома f(T). Скажем,
п[ = a2=z . . . = пт-\ = 0 ф ппк*

212 гл vn разрешимый группы
Следующие уравнения определяют автоморфизм группы
V (упражнение 6):
Urn = ^m^m»
^ я = Tn + anTm
После подстановки Ut вместо Tt в f(T) мы получаем но-
вый />-полином£ (Г) = Е с{Г{Н) + ( t ctcif U))t£(m)+
+ (члены меньших степеней). Ввиду выбора (а) сумма
степеней в главной части полинома g(T) меньше £ г@-
Таким образом, применимо предположение индукции. П
При V = Кп пусть Vi — множество векторов, все ко-
координаты которых, кроме /-й, равны 0.
п
Следствие. Пусть V = Кп = Ц Vh как и выше, и
i=l
пусть G — замкнутая связная подгруппа группы V. Тог-
Тогда существует автоморфизм ф группы V такой, что
q>(G)—прямое произведение некоторого числа канони-
канонических подгрупп Vi группы V. В частности, G — вектор-
векторная группа.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по п (при
п=1 доказывать нечего). Рассмотрим сначала случай
dim G = п—1. Согласно предложению 20.3 G — ядро
некоторого р-полинома f(T) (рассматриваемого какмор-
физм I7->Ga). Тогда предыдущее предложение позво-
позволяет найтк автоморфизм ф группы V такой, что cp{G)
содержит V\. Если Н — проекция группы ф(б) на Vе =
п
= У* Vti то, очевидно, w(G) =У\У^Н. Так как кораз-
/-2
мерность группы Яв У' равна 1 (и группа Н связна),
то индукция позволяет найти автоморфизм группы V,
который продолжается до автоморфизма группы V,
оставляющего неподвижной подгруппу V\> и отображает
// на произведение некоторых групп Vi.

§ 20. ОДНОМЕРНЫЕ ГРУППЫ 213
Если размерность группы G меньше чем п— 1, то по-
п
ложим, как и выше, V = £ Vt и спроектируем G в
замкнутую связную подгруппу G' группы V. По пред-
предположению индукции имеется автоморфизм <р' группы
V, преобразующий G' в произведение некоторых групп
Vi. Расширим q/ до автоморфизма ср: V-+V (qp|Fi =
= lFl), как и выше. Тогда cp(G) лежит в произведении
менее чем п групп Vi и мы можем отбросить остальные
и снова воспользоваться индукцией. □
20.5. Основная теорема. Из полученного выше опи-
описания £-групп мы выводим в качестве частного случая
тот факт, что связная одномерная е-группа G изоморф-
изоморфна Ga. Читатель, которого интересует только этот резуль-
результат, может несколько (но весьма немного) сократить
доказательство. Существенная часть рассуждения за-
заключается в следующем: группа G изоморфна замкну-
замкнутой подгруппе векторной группы К2 B0.2) и, следова-
следовательно, является множеством нулей р-полинома от двух
переменных B0.3). Используя этот р-полином, можно
построить автоморфизм группы К2 такой, что образ
группы G содержит каноническую копию группы Ga
B0.4) (и, следовательно, совпадает с ней).
Так как связная одномерная унипотентная группа
коммутативна B0.1) и, следовательно, имеет экспоненту
р, и является ^-группой, то этим завершается доказа-
доказательство основной теоремы:
Теорема. Пусть К — поле произвольной характери-
характеристики. С точностью до изоморфизма единственными
связными одномерными алгебраическими группами яв-
являются группы Ga и Gm. □
Упражнения
1. Доказать, что группа G в B0.1) коммутативна, используя
A8.2) вместо A8.1): полупростые классы сопряженности замкну-
замкнуты (и связны); следовательно, они тривиальны.
2. Доказать, что группа G в B0Л) коммутативна, не исполь-
используя результатов § 18, следующим образом. Пусть xqkZ(G). Класс
сопряженности элемента х бесконечен и, следовательно, плотен
(а также локально замкнут); вывести, что его дополнение конечно.
Предположим, что GczGL(n,K), и пусть ci(y)—t'-й коэффициент
характеристического полинома элемента у е G. Тогда формула

214 ГЛ. VII. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
ф() = (со(у), ..., сп(у)) определяет морфизм G-+Kn+l с конеч-
конечным образом. Вывести отсюда, что группа G унипотентна и, сле-
следовательно, нильпотентна.
3. Показать, что d-группа не всегда может быть вложена в тор
в качестве замкнутой подгруппы коразмерности 1.
4. Пусть char К = р > 0. Если хеМ(«Д), хр = 0, то пока-
показать, что ехр'(ах)ехр'(Ьх) = ехр'((а + Ь)х) (а,6е/С), где ехр'—
ограниченный экспоненциал B0.2). С другой стороны, если элемен-
элементы х,у е М(п,К) перестановочны и если хр = 0 = ур, то не всегда
имеет место соотношение ехр'(л: + у) = ехр'(х)ехр'(#); пример:
пусть char /С = 2, и
0 0
0
0
5. Пусть V — аффинное многообразие в Ал коразмерности ^ 2.
Доказать, что множество {ах\а е /С, хеУ) собственным образом
содержится в А" (рассмотреть /С X V).
6. Пусть char К = р > 0. Проверить, что замена переменных
Т(\—> £//, описанная в доказательстве предложения 20.4, индуцирует
автоморфизм пространства V. Попытайтесь сформулировать необ-
необходимые и достаточные условия для того, чтобы множество из п
р-полиномов определяло автоморфизм пространства V.
7. Пусть char К = Р > 0. Доказать, что каждая замкнутая
подгруппа векторной группы есть пересечение ядер р-полиномов.
Замечания. Материал этого параграфа заимствован у Титса [9,
III.3.3]. Более раннее доказательство теоремы 20.5, принадлежа-
принадлежащее Гротендику, см. Шевалле [8, expose 7], кратко изложено Бо-
релем [4, 11.6]; [4, 10.7—10.9]. Изучение коммутативных унипо-
тентных групп и групповых схем можно продолжить по работам
Демазюра и Габриэля [1], Оорта [1], Селигмаиа [4,5], Серра [1»
VII, § 2], Титса [9], Шеллера [1], Симона [1], Накамура [1, 2].
Пример в упражнении 4 предложен Джорджем Селигманом.

ГЛАВА VIII
ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
§ 21. Теорема о неподвижной точке
и теоремы сопряженности
Строение связных разрешимых групп довольно под-
подробно изучено в предыдущей главе. Необходимо еще
изучить связь между произвольной алгебраической груп-
группой и ее подгруппами этого типа. Эта связь описывается
теоремой Бореля о неподвижной точке B1.2). Здесь мы
впервые существенно используем свойства однородных
пространств, которые являются проективными (или пол-
полными) многообразиями. Через G обозначается произ-
произвольная алгебраическая группа, которая, начиная с
B1.3), предполагается связной.
21.1. Сведения о полных многообразиях. Для удоб-
удобства читателя мы перечислим здесь свойства полных
многообразий, которые нам потребуются в дальнейшем.
По определению многообразие X является полным, если
для любого многообразия У проекция XX Y-> У являет-
является замкнутым отображением. В главе I были установ-
установлены следующие факты о полных многообразиях:
(а) Замкнутое подмногообразие полного (соответст-
(соответственно проективного) многообразия само является пол-
полным (соответственно проективным) многообразием (см.
F.1) и A.6)).
(б) Если ф: X-+Y — морфизм многообразий и мно-
многообразие X полно, то образ ср(Х) замкнут в У и являет-
является полным многообразием F.1).
(в) Полное аффинное многообразие имеет размер-
размерность 0 F.1).
(г) Проективное многообразие полно F.2); полное
квазипроективное многообразие проективно F.1).
(д) Многообразие флагов S(V) конечномерного век-
горного пространства V является проективным A.8) и,
следовательно, полным многообразием.
Помимо этих фактов, нам необходима следующая
лемма;

216 ГЛ. VIII. ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
Лемма. Пусть алгебраическая группа G действует
транзитивно на каждом из двух неприводимых многооб-
многообразий X, У, и пусть ф: X-^ Y — биективный G-эквива-
риантный морфизм. Если многообразие У полноу то и X
полно.
Доказательство. Заметим, что это утверждение не
очевидно (в отличие от обратного утверждения, которое
следовало бы из (б)). Ввиду F.1) нам требуется пока-
показать, что проекция pr2: Xy^Z-^Z замкнута для любого
аффинного многообразия Z. Так как многообразие У
полно, то достаточно доказать, что фХ1: XXZ-+YXZ
является замкнутым отображением.
В соответствии со следствием 4.3 существуют откры-
открытые аффинные подмножества U аХу V cz У такие, что
(p(U)czV и ограничение cp\U есть конечный морфизм.
Пусть /?, 5, Т — аффинные алгебры многообразий (У, У,
Z. Так как кольцо R цело над 5, то, как легко проверить,
кольцо R(g)T является целым над 5®Г. Следователь-
Следовательно, отображение фХ1: UXZ-^VyiZ также является
конечным морфизмом (см. B.4)); в частности, это —
замкнутое отображение D.2). Ввиду того, что группа G
действует на многообразиях X, У транзитивно и морфизм
Ф является G-эквивариантным, многообразие X (соот-
(соответственно У) покрывается конечным числом множеств
XrU (соответственно Xi-V) для некоторых элементов
Xi^G. Отсюда следует, что отображение фХ1: ^Х
X Z-+- УХ Z замкнуто. □
21.2. Теорема о неподвижной точке.
Теорема. Пусть G — связная разрешимая алгебраи-
алгебраическая группа, и пусть X— (непустое) полное многооб-
многообразие, на котором действует группа G. Тогда группа G
имеет на X неподвижную точку.
Доказательство. Если dim G = 0, то G = е и доказы-
доказывать нечего. Воспользуемся индукцией по dim G. Группа
H=(G, G) является связной A7.2), разрешимой и имеет
меньшую размерность, чем G (ибо группа G разреши-
разрешима), так что, по предположению индукции, множество У
неподвижных точек относительно группы Н в X непусто.
Множество У замкнуто (предложение 8.2) и, следова-
следовательно, полно B1.1 (а)). Поскольку группа Н нормальна
в G, группа G оставляет множество У инвариантным,
так что мы можем заменить X на У.

§ 21. ТЕОРЕМА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ 217
Мы приходим к следующей ситуации: группа Н со-
содержится в Gx для всех точек х^Х (=У). В частно-
частности, стабилизатор точки х в G является нормальной под-
подгруппой группы G, и, следовательно, G/Gx — аффинное
многообразие. Выберем точку xgX, орбита G-x кото-
которой замкнута и, значит, является полным многообразием
(это возможно ввиду предложения 8.3). Далее, канони-
канонический морфизм G/Gx-+ G-x биективен, причем левая
часть есть аффинное, а правая часть — полное многооб-
многообразия. Согласно лемме 21.1 многообразие G/Gx полно.
В силу B1.1) (в) мы имеем G = GXi т.е. х — искомая
неподвижная точка. □
Мы используем эту теорему сначала для нового вы-
вывода теоремы Ли — Кол чина A7.6). Пусть G — замкну-
замкнутая связная разрешимая подгруппа группы GL(V). Тог-
Тогда группа G действует на многообразии флагов S(K),
которое является полным многообразием B1.1 (д)); со-
согласно теореме о неподвижной точке группа G оставляет
неподвижным некоторый флаг 0 = Vo a V\ а ... cz Vn=
= V. Иными словами, группа G триангулируема при
подходящем выборе базиса в пространстве V.
Теперь мы применим теорему о неподвижной точке
более существенным образом.
21.3. Сопряженность подгруппы Бореля и максималь-
максимальных торов.
Подгруппа Бореля группы G есть связная замкнутая
разрешимая подгруппа, не содержащаяся ни в какой
другой такой подгруппе (фактически слово «замкнутая»
излишне). Поскольку подгруппы Бореля групп G и G0
совпадают, то мы в дальнейшем будем предполагать,
что группа G связна. Связная разрешимая подгруппа
наибольшей возможной размерности является, очевидно,
подгруппой Бореля; однако не очевидно, что размерно-
размерности всех подгрупп Бореля совпадают. Это вытекает из
более сильного результата:
Теорема. Пусть В — подгруппа Бореля группы G.
Тогда G/B — проективное многообразие, и все подгруп-
подгруппы Бореля группы G сопряжены В.
Доказательство. Начнем с подгруппы Бореля 5 наи-
наибольшей возможной размерности. Рассмотрим представ-
представление группы G в некоторой полной линейной группе

218 ГЛ. VIII. ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
GL(V) такое, что группа 5 есть стабилизатор в G неко-
некоторого одномерного подпространства V\ (теорема 11.2).
По теореме Ли — Колчина A7.6) индуцированное дей-
действие группы 5 на фактор-пространстве V/V\ триангу-
триангулируемо, откуда следует, что существует инвариантный
относительно 5 полный флаг OaV\ a ... cz V в прост-
пространстве V; обозначим его через f. В действительности
ввиду выбора подпространства V\ группа 5 есть стаби-
стабилизатор флага / в G. По этой причине индуцированный
морфизм многообразия G/S на орбиту флага / в 8A/)
является биекцией. С другой стороны, стабилизатор лю-
любого флага разрешим, и, следовательно, его размерность
не превышает размерности группы 5. Отсюда следует,
что орбита флага / имеет наименьшую возможную раз-
размерность и, следовательно, замкнута (8.3). Поэтому эта
орбита является полным многообразием B1.1 (а), (д)).
Это влечет полноту многообразия G/S (лемма 21.1) и,
следовательно, его проективность B1.1 (г)).
Любая заданная подгруппа Бореля В действует пу-
путем левых умножений на полном многообразии G/S. По
теореме B1.2) она имеет неподвижную точку xS, т.е.
BxS = xS или xrxBx a S. Каждая из этих подгрупп яв-
является подгруппой Бореля, и мы заключаем, что х~1Вх=
= S. Отсюда вытекает утверждение теоремы. □
Следствие А. Максимальные торы (соответственно
максимальные связные унипотентные подгруппы) груп-
группы G есть максимальные торы (соответственно макси-
максимальные связные унипотентные подгруппы) подгрупп
Бореля группы G и все они сопряжены.
Доказательство. Пусть Г —максимальный тор груп-
группы G и U — максимальная связная унипотентная под-
подгруппа. Очевидно, что Т содержится в некоторой под-
подгруппе Бореля В, и, следовательно, Т — максимальный
тор группы В, с которым все остальные максимальные
торы группы В сопряжены (теорема 19.3). Аналогично
U лежит в некоторой подгруппе Бореля В\ причем
U = Bu ввиду максимальности. Так как все подгруппы
Бореля группы G сопряжены, то следствие доказано. □
Назовем общую размерность максимальных торов
группы G рангом группы G. Например, ранг группы
SL(ntK) равен п— 1.

§ 2T. ТЕОРЕМА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ 219
Тот факт, что G/B — проективное многообразие, мо-
может показаться в данный момент чисто случайным об-
обстоятельством; однако в действительности геометрия
этого многообразия играет исключительно важную роль
в дальнейшем. Уже сейчас мы увидим, что G/В —наи-
—наибольшее однородное пространство группы G, обладаю-
обладающее структурой проективного многообразия. В самом
деле, если Н — произвольная замкнутая подгруппа та-
такая, что многообразие G/H проективно, то группа В
имеет неподвижную точку на многообразии G/Ht откуда
следует, что группа В сопряжена с подгруппой группы Я
и что dim G/H ^ dim G/B. Обратно, если Н — замкну-
замкнутая подгруппа группы G, содержащая В, то G/B->-
-+G/H — сюръективный морфизм полного многообразия,
так что и многообразие G/H полно B1.1F)). Но тогда
многообразие G/H проективно B1.1 (г)), так как все
однородные пространства квазипроективны по построе-
построению A1.3). Это рассуждение дает нам повод ввести спе-
специальный класс замкнутых подгрупп Р группы G: назо-
назовем подгруппу Р параболической, если многообразие
G/P проективно (равносильно, полно). Мы доказали
Следствие Б. Замкнутая подгруппа группы G явля-
является параболической тогда и только тогда, когда она со-
содержит подгруппу Бореля. В частности, связная под-
подгруппа Н группы G является подгруппой Бореля тогда
и только тогда, когда группа Н разрешима и многообра-
многообразие G/H полно. □
Пусть, например, G = GL(nyK), В = Т(пу К). По тео-
теореме Ли — Колчина В — подгруппа Бореля группы G.
Разумеется, G/B—это в точности орбита в $(Кп) стан-
стандартного флага (и потому совпадает с $(/(*)). Какие
параболические подгруппы группы G содержит В? Если
(е\9 . • •, еп) — стандартный базис пространства КпУ то
для каждого частичного флага (ей ...» е«(п) с: (ей ••-
..., ем)) с ... стабилизатор в G есть, очевидно, замк-
замкнутая подгруппа, содержащая группу В. В группе
GLC, К) мы имеем две параболические подгруппы, от-
отличные от В и G, которые возникают таким образом;
они состоят из матриц одного из видов
( . . . ), (о .* Д
40 0 ./ 40 . ♦/

220 ГЛ. VIII. ПОДГРУППЫ ВОРЕЛЯ
Ха£актеризацию борелевских подгрупп в следствии Б
можно с успехом использовать для описания их поведе-
поведения при гомоморфизмах.
Следствие В. Пусть ср: G -+- G' — эпиморфизм {связ-
{связных) алгебраических групп. Пусть И — поОгруппа фо-
форели [соответственно параболическая подгруппа, мак-
максимальный тор, максимальная связная унипотентная под-
подгруппа) группы G. Тогда ф (Я) — подгруппа того же
типа в Gf и все такие подгруппы группы G' получаются
указанным способом.
Доказательство. Ввиду следствий А, Б достаточно
доказать это в случае, когда Н = В — борелевская под-
подгруппа. Очевидно, группа В' = ф(В) связна и разреши-
разрешима. Но естественное отображение G ->- G' ->- G'/В' инду-
индуцирует сюръективный морфизм G/B ->- G'/B'; поэтому
многообразие G'/B' является полным B1.1 (б)),т.е.В7 —
параболическая подгруппа группы G'. Согласно след-
следствию Б, В' — подгруппа Бореля. Но если одна из боре-
борелевских подгрупп группы G' имеет вид ф(£), то, как
следует из теоремы сопряженности (для G'), всякая
подгруппа Бореля имеет такой вид.
21.4. Дальнейшие следствия. В этот момент легко пе-
перенести на произвольные связные группы G некоторые
факты, доказанные в предшествующей главе для раз-
разрешимых групп. Результаты, которые мы здесь получим,
являются сравнительно грубыми, но они будут уточнены
в последующих параграфах.
Предложение А. Автоморфизм о группы G, который
оставляет неподвижными все элементы некоторой боре-
левской подгруппы группы В, должен быть тождествен-
тождественным.
Доказательство. Морфизм ф: G-+G, у(х) =о(х)х~1
отображает группу В в е и, следовательно, пропускается
через морфизм G-+G/B. По теореме 21.3 (с учетом
B1.1F))) многообразие q(G) замкнуто (следовательно,
аффиннО) и полно. Ввиду B1.1 (в)) мы имеем q>{G) =e. П
Следствие. Z(G)°aZ(B) aCG(B) =Z(G).
Доказательство. Группа Z(G)° связна и разрешима
и, следовательно, лежит в некоторой борелевской под-
подгруппе группы G. При сопряжении последней с В (тео-
(теорема 21.3) группа Z(G)° остается неподвижной, откуда
следует первое включение, Второе включение очевидно,

§ 21. ТЕОРЕМА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ 221
так же как и включение Z(G) aCG(B). Наконец, если
х& CG (В) у то а = Int# удовлетворяет условиям предло-
предложения А, и мы получаем Int х = 1, х е Z(G). □
Позднее (следствие 22.2Б) мы увидим, что Z(B) =
= Z(G)t но пока это не очевидно.
Предложение Б. (а) Если некоторая подгруппа Бо-
реля В нильпотентна (в частности, если В = Bs или В =
= Ви), то G = B.
(б) Группа G нильпотентна тогда и только тогда,
когда G имеет в точности один максимальный тор.
Доказательство, (а) Заметим сначала, что если В =
= Bs или В = BUi то В — тор или унипотентная группа
(теорема 19.3), и, следовательно, в любом случае ниль-
нильпотентна. Но центр нильпотентной группы положитель-
положительной размерности сам имеет положительную размерность
(предложение 17.4(а)). Ввиду предыдущего следствия
мы имеем Z(G)°czZ(B) czZ(G). Таким образом, мы мо-
можем перейти к группе G/Z(G)° меньшей размерности,
для которой факторгруппа B/Z(G)° есть нильпотентная
борелевская подгруппа (это очевидно даже без следст-
следствия В п. B1.3)). По предположению индукции, эти груп-
группы совпадают, откуда следует равенство G = В. (Ин-
(Индукция начинается с dim G = 0.)
(б) Из A9.2) мы знаем, что нильпотентная группа
обладает только одним максимальным тором. Обратно,
если Т — единственный максимальный тор группы G и
В — некоторая содержащая его подгруппа Бореля, то
группа В должна быть нильпотентной A9.2), A9.3), от-
откуда В = G ввиду части (а). □
Следствие. Пусть Т — максимальный тор группы G,
C = Cq(T)°. Тогда группа С нильпотентна и C = NG(C)°.
Доказательство. Ввиду теоремы сопряженности (след-
(следствие 21.ЗА) Т — единственный максимальный тор груп-
группы С; следовательно, ввиду только что доказанного
предложения группа С нильпотентна. Очевидно, группа
Т нормальна в А^о(СH, а, следовательно, также и цент-
центральна ввиду жесткости торов (следствие 16.3).
Связный централизатор С максимального тора Ген
с: G часто называют подгруппой Картана группы G по
аналогии с подалгебрами Картана (нильпотентными
подалгебрами, совпадающими со своими нормализато-

222 ГЛ. VIII. ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
рами) в теории алгебр Ли. В § 22 будет показано, что
в действительности уже сама группа CG(T) связна (если
группа G связна), тогда как группа Ng(C), вообще го-
говоря, связной не является.
Упражнения
Через G обозначается связная алгебраическая группа.
1. Доказать, что rank G = 0 тогда и только тогда, когда груп-
группа G унипотентна.
2. Доказать, что тор можно охарактеризовать как связную ал-
алгебраическую группу, состоящую из полупростых элементов.
3. Пусть Г—-тор, нормальный в G\ предположим, что G/T —
также тор. Доказать, что группа G есть тор.
4. Если dim G ^ 2, то группа G разрешима.
5. Пусть Н — замкнутая подгруппа группы G. Обозначим через
L борелевскую подгруппу (соответственно максимальный тор, ма-
максимальную связную унипотентную подгруппу) группы Н. Доказать,
что L = (Н П М)° для подходящей подгруппы М группы G того же
типа. Показать, что если группа Н нормальна в G, то для любой
такой группы М группа (ЯПЛ1H есть борелевская подгруппа (со-
(соответственно, ...) группы Н. Что вы можете сказать о параболиче-
параболических подгруппах группы Я?
6. Радикал (соответственно унипотентный радикал) группы G
есть компонента единицы в пересечении всех борелевских подгрупп
(соответственно их унипотентных частей).
7. Проверить, что каждая подгруппа группы GLCt /С), содер-
содержащая ГC,/(), есть стабилизатор некоторого частичного флага (и,
следовательно, автоматически- замкнута), а также, что она сама
связна и совпадает со своим нормализатором.
8. Описать подгруппы Бореля различных классических групп, а
также параболические подгруппы.
9. Пусть Р — параболическая подгруппа группы G. Тогда боре-
левские подгруппы группы Р являются борелевскими подгруппами
группы G.
10. Если В — борелевская подгруппа группы G, то В = NG(B)°
(и аналогично для параболических подгрупп).
11. Пусть ф: G -> G' — эпиморфизм связных алгебраических
групп. Если Т — максимальный тор группы G, и Г = ф(^), то об-
образ подгруппы Картана Cg(T)° при отображении ф есть подгруппа
Картана CQ, (Г)°.
12. Пусть Г —максимальный тор группы G и С = CG(T)°. По-
Показать, что любая борелевская подгруппа группы G, содержащая 7,
содержит также С.
Замечания. Теоремы этого параграфа принадлежат Борелю [1]
см. также Борель [4, §§ 10, И]. Доказательство леммы 21.1 заим-
заимствовано у Стейнберга [13, дополнение к § 2.11]. У Свидлера [1]
можно найти другое доказательство сопряженности борелевских
подгрупп, которое не использует построения однородных про-
пространств.

§ 22. ТЕОРЕМЫ ПЛОТНОСТИ И СВЯЗНОСТИ 223
§ 22. Теоремы плотности и связности
Если G — связная разрешимая группа, то каждый
полупростой (соответственно унипотентный) элемент
группы G лежит в максимальном торе (соответственно
в максимальной связной унипотентной подгруппе) и
централизатор любого тора в группе О связен (см. пред-
предложение 19.4). В этом параграфе мы распространим эти
результаты на произвольные связные алгебраические
группы, используя борелевские подгруппы. Если против-
противное не оговорено, G всегда предполагается связной груп-
группой.
22.1. Основная лемма. Что можно сказать об объеди-
объединении всех подгрупп, сопряженных с данной замкнутой
подгруппой Н группы G? Предположения о группе Н в
утверждениях (а) и (б) нижеследующей леммы ока-
окажутся справедливыми, если Н—борелевская или кар-
тановская подгруппа соответственно.
Лемма. Пусть Н — замкнутая связная подгруппа
группы G, и пусть Х= [] хНх~1. Тогда:
(а) Если многообразие G/H полно, то множество X
замкнуто.
(б) Если некоторый элемент группы Н оставляет не-
неподвижными лишь конечное число точек многообразия
G/H, то X содержит открытое подмножество группы G
(в частности, множество X плотно).
Доказательство. Поскольку множество X довольно
трудно изучать непосредственно, мы рассмотрим некото-
некоторые вспомогательные морфизмы:
рг2
Здесь ф(х, у) = (ху хух~х), так что, очевидно, ф — изо-
изоморфизм многообразий, а -ф (#, у) = (хНу у). Заметим,
что $ можно рассматривать как канонический морфизм
GXG-*- (GXG)/(HXe), так что Ц —открытое ото-
отображение A2.2). Пусть Л4 = т|)оф((ЗХ#); очевидно,
* (М)
* = рг21(М).
Чтобы доказать (а), достаточно (ввиду определения
полного многообразия) доказать, что множество М
замкнуто. Для этого в свою очередь достаточно дока-

224 ГЛ. VIII. ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
зать (ибо г|) — открытое отображение), что множество
г|Н(М) замкнуто. Но cp(GX#) czty-l(M) и первое мно-
множество замкнуто, ибо ф — изоморфизм многообразий, и
нам достаточно лишь показать, что здесь имеет место
равенство. Пусть х, y^Gy причем (хН, у) gM, т.е.
у = xzx~x для некоторого элемента гей. Тогда (хуу) =
= ф(#,г) еф(бХ^), что и требовалось.
Рассмотрим теперь (б). Так как множество X кон-
конструктивно (как образ морфизма pr2°t|)o(p D.4)), то
достаточно показать, что множество X плотно в G или
что dim Х = dim G. Мы показали уже, что множество М
замкнуто, и мы легко можем вычислить его размерность:
pri отображает М на G/H и слой этого морфизма над
хНу очевидно, изоморфен хНх~1у откуда мы получаем
dim М = dim G/H -f dim H = dim G. С другой стороны,
условие (б) означает, что слой морфизма рг2: M-^Xcz
cG по меньшей мере над одним элементом группы Н
имеет размерность 0 (и, конечно, не пуст). Кроме того,
множество М связно, ибо группа Н связна. Отсюда сле-
следует, что слои морфизма рг2 в М «в общем положении»
конечны (теоремы 4.1, 4.3). Так как dimAf = dim G, мы
заключаем, что рг2 — доминантный морфизм и X = G. □
22.2. Теорема плотности. Пусть Т — максимальный
тор группы G и С = CG(T)°. Мы знаем, что группа С
нильпотентна (следствие предложения 21.4Б), и, следо-
следовательно, С = ТУ^Си (предложение 19.2). Далее, суще-
существует полупростой элемент t^ T такой, что C = CG{t)°
(предложение 16.4). Мы утверждаем, что группа Н = С
и элемент t удовлетворяют условию леммы 22.1 (б). Дей-
Действительно, t оставляет неподвижной точку хС е G/C
тогда и только тогда, когда х~Чх^С. Далее, x~ltx^
еС5 = Г, так что Т а Со(х-ЧхH = x-lCG{t°)x = х~1Сх,
или хТх~х с: С. Отсюда следует, что хТх~х = Г, хСх~1 =
= С. Но C=NG(C)° (следствие предложения 21.4Б),так
что для хС есть лишь конечное число возможностей.
Ввиду B1.3) выбор Н = В (любая борелевская под-
подгруппа) удовлетворяет условию леммы 22.1 (а), так что
мы можем установить следующий результат:
Теорема. Пусть В — подгруппа Бореля группы G, Г —
максимальный тор группы G и С = CG(T)° — подгруппа
Картана. Тогда объединение всех подгрупп, сопряжен-

§ 21 ТЕОРЕМЫ ПЛОТНОСТИ И СВЯЗНОСТИ 225
ных с В (соответственно с Г, соответственно с Вп) совпа-
совпадает с G (соответственно с GSi соответственно с Gu). Кро-
Кроме того, объединение всех подгрупп, сопряженных с С,
содержит (плотное) открытое подмножество группы О.
Доказательство. Утверждение относительно группы С
следует из леммы 22.1F) и предыдущих замечаний.
Группа С содержится в некоторой подгруппе, сопряжен-
сопряженной с В, откуда следует, что объединение всех подгрупп,
сопряженных с В, также плотно в G; по лемме 22.1 (а)
оно замкнуто и, следовательно, совпадает с G. Утверж-
Утверждение относительно Т вытекает теперь из предложения
19.4, а утверждение о группе Ви очевидно. □
Следствие А. Каждый полупростой (соответственно
унипотентный) элемент группы G лежит в связной ниль-
потентной подгруппе группы G. □
Следствие Б. Если В — произвольная подгруппа Бо-
реля группы G, то Z(G) = Z(B).
Доказательство. Из теоремы сопряженности борелев-
ских подгрупп мы уже вывели (следствие предложения
21.4А), что Z(G)°aZ(B) czZ(G). При x<=Z(G) тео-
теорема, доказанная выше, показывает, что х принадлежит
некоторой борелевской подгруппе и, следовательно, по
теореме сопряженности — всем группам В. □
Имеется аналог этой теоремы для алгебр Ли: g есть
объединение подалгебр Бореля. Доказательство осно-
основано на аналоге леммы 22.1, но последний шаг требует
более точной информации, чем та, которая нами полу-
получена, см. Борель [4, § 14.16].
22.3. Теорема связности. Следующий результат весь-
весьма полезен (и отчасти удивителен).
Теорема. Пусть S — тор группы G. Тогда группа
CG(S) связна.
Доказательство. Это уже известно, если группа G
разрешима (предложение 19.4). Чтобы свести общий слу-
случай к этому, достаточно показать, что существует боре-
левская подгруппа, содержащая как 5, так и заданный
элемент х^ CG(S): тогда х должен лежать в Cg(S)°,
что и требуется. В соответствии с теоремой 22.2 х при-
принадлежит некоторой подгруппе, сопряженной с борелев-
борелевской подгруппой В, т. е. множество X неподвижных отно-
относительно х точек в G/B непусто. Множество X замкнуто
в G/B и, следовательно, полно. Так как 5 коммутирует

226 ГЛ. VIII. ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
с х, то S оставляет множество X инвариантным и, следо-
следовательно, имеет на X неподвижную точку B1.2). Это
приводит к искомой борелевской подгруппе. П
Следствие А. Подгруппы Картана группы G есть в
точности централизаторы максимальных торов. □
Следствие Б. Если элемент x^G полупрост и цент-
рализует некоторый тор S группы G, то {х} (J 5 принад-
принадлежит некоторому тору группы G.
Доказательство. Доказательство теоремы позволяет
нам включить х, S в подгруппу Бореля, так что мы мо-
можем предполагать, что группа G разрешима. Но тогда
группа Со E) связна и разрешима; 5 принадлежит не-
некоторому (и, следовательно, каждому) максимальному
тору группы Со E), и один из них содержит х (следст-
(следствие 19.3). □
22.4. Подгруппы Бореля группы Cg(S). Если В —
подгруппа Бореля и Н — произвольная замкнутая под-
подгруппа группы G, то трудно ожидать, чтобы пересечение
В (]Н было борелевской подгруппой группы Н или даже
связной подгруппой. Однако это имеет место, если Н —
централизатор тора, содержащегося в В. (Поскольку
подгруппы Бореля группы Н сопряжены, то все они по-
получаются таким способом).
Пусть В — фиксированная подгруппа Бореля группы
G, содержащая тор 5, и пусть C = CG{S). Рассмотрим
действие группы 5 на многообразии G/B. Множество X
неподвижных точек замкнуто (предложение 8.2(в)) и,
следовательно, является полным многообразием
B1.1 (а)); очевидно, множество X инвариантно относи-
относительно С. Так как группа С связна B2.3), то она долж-
должна оставлять инвариантной каждую неприводимую ком-
компоненту множества X (предложение 8.2(г)). Эти компо-
компоненты также полны, как замкнутые множества в X.
Теорема. Пусть S — тор в группе G и C — CG(S).
Пусть В — борелевская подгруппа группы G, содержа-
содержащая S, X — множество неподвижных точек в G/B отно-
относительно S и Y — неприводимая компонента множества
X. Тогда группа С действует на Y транзитивно.
Доказательство. Мы уже отмечали, что группа С
оставляет множество У инвариантным. Предположим
(не теряя общности), что В — стабилизатор некоторого
элемента ^еУ. Требуется доказать, что C-y—Y. Мы

§ 22. ТЕОРЕМЫ ПЛОТНОСТИ И СВЯЗНОСТИ 227
будем доказывать равносильное утверждение: если Z —
прообраз множества У при каноническом отображении
G-+G/B, то CB=Z.
Заметим, что Z— неприводимое многообразие, ибо
многообразие У неприводимо, и слои канонического ото-
отображения неприводимы. Кроме того, z~lSz cz В при z e
eZno построению. Поэтому морфизм ZX5->S, опре-
определяемый соотношением (г, s) i—> z^sz, имеет смысл.
Пусть ф — композиция этого гомоморфизма и канониче-
канонического отображения В-+В/Ви. При фиксированном zeZ
полученный морфизм S-+B/Bu является, очевидно, гомо-
гомоморфизмом торов. Ввиду связности Z из жесткости то-
торов A6.3) вытекает, что это отображение не зависит
от z. Но е е Z, так что мы имеем z~{sz =з 5 (mod Bu) для
всех 2gZ,sgS.B частности, z~lSz содержится в связ-
связной разрешимой группе SBU, в которой группы z~lSz и
S являются максимальными торами. Ввиду A9.3) суще-
существует элемент и^ Ви такой, что u~lz~lSzu=Sy или zu e
<= N = NG{S). Это доказывает, что С В czZ cz M3. Но
индекс [N:C] конечен A6.3); следовательно, dim CB =
= dim Z = dim NB. Наконец, CB — Z, так как обе эти
группы связны. □
Следствие. CB(S) = С [) В — борелевская подгруппа
группы С (и все борелевские подгруппы группы С по-
получаются таким способом).
Доказательство. Пусть X и У те же, что и выше, и
В— стабилизатор некоторой точки j/еУ. Многообра-
Многообразие У полно, и, в соответствии с теоремой, является
орбитой точки у относительно С. Стабилизатор точки у
в С есть С(]В = CB{S). Следовательно, многообразие
С/С О В полно (лемма 21.1). Теперь мы можем приме-
применить критерий из следствия 21.ЗБ: группа С[\В разре-
разрешима и связна A9.4) и, таким образом, должна быть
подгруппой Бореля группы С. □
22.5. Подгруппы Картана: резюме. Если 5— произ-
произвольный тор группы G, то, как мы видели, группа CG{S)
связна B2.3). В частности, подгруппа Картана может
быть определена просто как централизатор максималь-
максимального тора (следствие 22.3А). Поскольку все максималь-
максимальные торы сопряжены B1.3), то и все подгруппы Кар-
Картана сопряжены. Пусть C = CG(T)—одна из них. Мы
показали в B1.4), что группа С нильпотентна и что С =

228 ГЛ. VIII. ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
= Л/о(С)°. Поэтому С = Ту^Си{Т)у где Т — максималь-
максимальный тор в С. Кроме того, объединение всех сопряжен-
сопряженных с С подгрупп содержит некоторое открытое подмно-
подмножество группы G (и, следовательно, это объединение
плотно в G) ввиду B2.2).
Если группа G редуктивна, то, как мы увидим позд-
позднее (§ 26), Си = е, С = Т. (Для полупростых или редук-
тивных алгебр Ли над полем характеристики 0 анало-
аналогичный результат доказывается довольно быстро при
помощи формы Киллинга. Однако здесь это не так лег-
легко.) Таким образом, в роли картановских подгрупп вы-
выступают максимальные торы; это сильно облегчает дело,
так как полупростые элементы (и торы) ведут себя еди-
единообразно в характеристике 0 и р, чего нельзя сказать
об унипотентных элементах.
Упражнения
Через G обозначается связная алгебраическая группа.
1. Доказать, что Z(G)S совпадает с пересечением всех макси-
максимальных торов группы G.
2. Если xs — полупростая часть элемента xeG, то х е C0(xs)°.
Должен ли элемент х принадлежать Cg(xu)°?
3. Пусть В — подгруппа Бореля группы G и U = Ви. Дока-
Доказать, что B = NG(U)°. (Показать, что U = Ни, где Н = NG(U)°\
вывести отсюда, что H/U — тор.)
4. Опираясь на упражнение 3, показать, что если Р — любая
параболическая подгруппа группы G (например, Р = В), то
р = NG(P)° (сравните с упражнением 21.10). Если char К = р > 0,
то U можно представлять себе как «силовскую р-подгруппу груп-
группы G»; этот результат имеет сходство с хорошо известной теоремой
о конечных группах.
5. Если ф: G -* G' — эпиморфизм алгебраических групп, то под-
подгруппы Картана группы Gr есть в точности» образы подгрупп Кар-
тана группы G (ср. упражнение 21.11).
6. Подгруппа Картана группы G максимальна среди (не обяза-
обязательно замкнутых) нильпотентных подгрупп группы G, но не каждая
максимальная нильпотентная подгруппа обязана быть подгруппой
Картана.
7. Предположим, что некоторый (и, следовательно, каждый)
максимальный тор Т группы G совпадает с Со{Т). Тогда множество
полупростых элементов s ^ G, для которых Cg(s)—тор, содержит
непустое открытое множество. (Такие элементы называются регу-
регулярными полупростыми элементами группы G.)
8. Для SL(n,K) и других классических групп доказать непо-
непосредственно, что каждый элемент группы G лежит в некоторой бо-
релевской подгруппе и что всякий максимальный тор совпадает со
своим централизатором.

§ 23. ТЕОРЕМА О НОРМАЛИЗАТОРЕ 229
9. Пусть С — замкнутая связная, нильпотентная подгруппа
группы G и С = NG{C)°. Доказать, что С — подгруппа Картана
группы G.
10. Всегда ли централизатор CG(x) полупростого элемента
х е G связен?
Замечания. Этот материал основывается на изложении Бореля
[4, §§ 10, 11], которое в свою очередь использует статью Бореля [1].
§ 23. Теорема о нормализаторе
Как и в предыдущем параграфе, через G обозначает-
обозначается связная алгебраическая группа. Чтобы успешно ис-
использовать подгруппы Бореля группы G, необходимо
доказать один весьма тонкий факт, а именно, что В =
= Ng(B). Нетрудно видеть, что группа В имеет конеч-
конечный индекс в своем нормализаторе (см. упражнения
21.10, 22.4), так что теорему о нормализаторе можно рас-
рассматривать как теорему о связности нормализатора.
23.1. Формулировка теоремы. Докажем вначале
факт, о котором мы только что упомянули.
Лемма. Пусть В — борелевская подгруппа группы G,
uN = NG(B). Тогда В = №.
Доказательство. Очевидно, что В — подгруппа Боре-
Бореля группы G. Ввиду теоремы сопряженности B1.3) и
того факта, что группа В нормальна в №, она является
единственной подгруппой Бореля в №. Из теоремы плот-
плотности B2.2) тогда следует, что В = №. □
Теперь мы сформулируем основную теорему, которая
будет доказана в B3.2), и выведем из нее некоторые
следствия.
Теорема. Пусть В — подгруппа Бореля группы G.
Тогда B = NG(B).
Следствие А. Группа В максимальна в множестве
разрешимых (не обязательно связных или замкнутых)
подгрупп группы G.
Доказательство. Если S — максимальная разрешимая
подгруппа группы G, то, очевидно, группа S замкнута.
Если S^dB, го S° = B (по определению подгруппы Бо-
Бореля), откуда SczNg(B) = В. О
В общем случае существуют, однако, максимальные
разрешимые подгруппы группы G, которые не являются
борелевскими подгруппами (см. замечания). Они всегда

230 ГЛ. VIII. ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
несвязны и имеют меньшую размерность, чем В (упраж-
(упражнение 1). Заметим, что следствие А в действительности
эквивалентно теореме (упражнение 2).
Следствие Б. Пусть Р — параболическая подгруппа
группы G. Тогда P = Ng(P)- В частности, группа Р
связна.
Доказательство. По определению Р содержит неко-
некоторую борелевскую подгруппу В группы G. Пусть х е
^Ng(P)- Тогда В и %Вх~х — борелевские подгруппы
группы Р°; поэтому они сопряжены при помощи некото-
некоторого элемента #еР° B1.3). В свою очередь ху е
^Ng(B) —В (ввиду теоремы). Но тогда из того, что
ху, yz=P° следует, что х е Р°, т. е. Р° = Р = NG (P). □
Следствие В. Пусть Р, Q — параболические подгруп-
подгруппы группы G, содержащие борелевскую подгруппу В.
Если группы Р, Q сопряжены в G, то Р = Q.
Доказательство. Пусть x~lPx = Q. Тогда В и х~хВх —
две борелевские подгруппы связной группы Q, так что
существует элемент у е Q такой, что В = у~хх~хВху. Сле-
Следовательно, xy^No(B) =В, откуда ^eQ и P = Q. D
Это показывает, что число классов сопряженных па-
параболических подгрупп группы G равно числу парабо-
параболических подгрупп, содержащих данную группу В.
Следствие Г. Пусть В — борелевская подгруппа
группы G и и = Ви. Тогда B = NG(U).
Доказательство. Положим N = Nq(U). Так как U —
максимальная связная унипотентная подгруппа группы
№, то каждый унипотентный элемент группы № сопря-
сопряжен с некоторым элементом из U (теорема 22.2). Но
группа U нормальна в №, откуда следует, что №/U со-
состоит из полупростых элементов и, следовательно, яв-
является тором (см. упражнение 21.2). В частности, груп-
группа № разрешима. Так как В cz №у то В = №. Но В =
= NG(B), откуда следует, что № = N. □
23.2. Доказательство теоремы. Пусть В — подгруппа
Бореля группы G, и пусть N — ее нормализатор (причем
ввиду леммы 23.1 В = №). Для доказательства равен-
равенства N = В воспользуемся индукцией по dim G. Ясно,
что R(G) содержится в каждой борелевской подгруппе
группы G (см. упражнение 21.6), так что без ущерба
для общности мы можем предполагать, что группа G
полупроста и имеет положительную размерность: в про-

§ 23. ТЕОРЕМА О НОРМАЛИЗАТОРЕ 231
тивиом случае мы могли бы применить предположение
индукции к группе G/R(G).
Пусть XGiV, и пусть Т — произвольный максималь-
максимальный тор группы G, содержащийся в В. Тогда хТх~1 —
также такой тор; поэтому существует элемент //gB та-
такой, что ухТх~1у-] ==Т (следствие 21.ЗА). Очевидно,
элемент х принадлежит группе В тогда и только тогда,
когда ух^В, так что мы могли предполагать с самого
начала, что x^NG(T). Пусть S = Ст(х)° — подтор то-
тора Т. Возможны два случая.
Случай 1. S фе.
Тогда группа C = CG(S) обладает нетривиальным
радикалом и, таким образом, С —собственная подгруп-
подгруппа группы G. Согласно B2.4), В' = В[\С — подгруппа
Бореля группы С. Сверх того, группа С связна B2.3).
Согласно предположению индукции В' = Nc{Bf). Но х
содержится в С и нормализует В, так что х е Nc{B') =
= B'czB.
Случай 2. S = е.
Так как элемент х нормализует Г, а Г — коммутатив-
коммутативная группа, то простое вычисление показывает, что ком-
коммутаторный морфизм ух: Г->Г (преобразующий t в
txt~lx~x) в действительности является гомоморфизмом
групп с ядром Ст(х). Оно конечно, ибо S = е, так что
морфизм ух должен быть сюръективен по соображениям
размерности (предложение 7.4Б). Следовательно, Т со-
содержится в (M,M), где М — подгруппа группы N, по-
порожденная х и В. В результате мы получаем, что группа
В = ТВи содержится в подгруппе группы М, порожден-
порожденной Ви и (М, М).
Выберем теперь некоторое рациональное представле-
представление р: G-+GL(V), где V содержит прямую D, стабили-
стабилизатор которой в G совпадает с М (теорема 11.2). Пусть
X: Ajf-^Gm — соответствующий характер. Тогда х три-
тривиален на (M,M), а также на унипотентной подгруппе
Ви\ поэтому х тривиален на В, Если O^deD, то р
индуцирует морфизм G/B-+- Y = орбита вектора v отно-
относительно p(G). Так как G/B — полное многообразие, то
его образ У замкнут в V (и, следовательно, является
аффинным многообразием); с другой стороны, У —пол-
—полное многообразие ввиду B1.1F)). Но тогда У — точка
B1.1 (в)). Следовательно, G — M. Так как группа G

232 ГЛ VIII. ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
связна и [М : В] < оо (лемма 23.1), то G = В, — проти-
противоречие. П
23.3. Многообразие G/B. Пусть В — произвольная под-
подгруппа Бореля группы G (в силу теоремы сопряженно-
сопряженности выбор группы В не имеет никакого существенного
значения). Теорема о нормализаторе позволяет нам
отождествить множество Э всех борелевских подгрупп
группы G с проективным многообразием G/B. В самом
деле, если В' е Э, то В' имеет неподвижную точку хВ
на G/B (т.е. х~1В'х = В). Если у В — любая неподвижная
точка группы В', то хВх~1 = В' = уВу-\ или у-]х^.
е Ng (В) = В, откуда #В = уВ. Это доказывает, что
формула В'\—>хВ корректно определяет отображение.
Оно сюръективно, так как хВх~1у—>хВ для произволь-
произвольного элемента x^G. Наконец, оно инъективно ввиду
теоремы о нормализаторе*). При только что описанном
взаимно однозначном соответствии естественное дейст-
действие группы G на 9 (В' v—>xB'x-x) переходит, очевидно,
в естественное действие группы G на G/B (уВь—>хуВ).
В частности, для любой подгруппы Н группы G множе-
множество всех борелевских подгрупп, содержащих Н (если
они существуют), соответствует множеству неподвиж-
неподвижных точек группы Н на G/B. Мы будем обозначать эти
множества соответственно через Ън и (G/B)H. Первое
из них определяется, конечно, внутренним образом, тог-
тогда как второе зависит от выбора В.
23.4. Резюме. Результаты этой главы образуют есте-
естественную основу для изучения редуктивных групп в по-
последующих главах. Чтобы упростить ссылки и закрепить
в уме читателя эти результаты, мы суммируем кратко
основные факты (G — связная группа):
(а) Все борелевские подгруппы (соответственно мак-
максимальные торы) группы G сопряжены B1.3).
(б) Если В — борелевская подгруппа, то G/B — про-
проективное многообразие B1.3).
(в) Замкнутая подгруппа Р группы G содержит боре-
левскую подгруппу тогда и только тогда, когда G/P —
полное многообразие (и тогда группа Р называется па-
параболической) B1.3).
*) На самом деле инъективность отображения хВх~* -> хВ —
очевидное следствие его конструкции. — Прим. ред.

§ 23. ТЕОРЕМА О НОРМАЛИЗАТОРЕ 233
(г) Объединение всех подгрупп Бореля группы G
совпадает с G.
(д) Если S — произвольный тор группы G, то цент-
централизатор CG(S) связен; если тор 5 максимален, то
группа CG(S) нильпотентна и имеет конечный индекс
в своем нормализаторе; она также содержится в каж-
каждой подгруппе Бореля, содержащей S B2.3). Для лю-
любого тора 5 и любой содержащей S подгруппы Бореля В
группы G группа B(]CG(S) —подгруппа Бореля группы
Co(S) B2А).
(е) Если Р — параболическая подгруппа группы G,
то P = NG(P) B3.1). В частности, если В — борелевская
подгруппа, то G/B можно отождествить с совокупностью
8 всех борелевских подгрупп группы G B3.3).
Все эти результаты опираются на теорему Бореля
о неподвижной точке B1.2): если X — непустое полное
многообразие, на котором действует связная разреши-
разрешимая алгебраическая группа G, то существует точка на
X, неподвижная относительно группы G.
Упражнения
Через G обозначается связная алгебраическая группа.
1. Пусть S—максимальная разрешимая подгруппа группы G,
причем S не является подгруппой Бореля. Доказать, что группа S
замкнута, несвязна и имеет меньшую размерность, чем любая под-
подгруппа Бореля группы G.
2. Доказать, что теорема 23.1 эквивалентна своему следствию А.
3. Пусть В — подгруппа Бореля группы G. Если Р, Q — пара-
параболические подгруппы группы й, содержащие В, то доказать, что
соотношение Р cz Q влечет RU(P) =э Ru(Q).
4. При G = SL(n,K) описать параболические подгруппы, содер-
содержащие группу В = G(]T(nt К) и вывести отсюда, что число клас-
классов сопряженных параболических подгрупп в этом случае равно
2«-i (д—1 = ранг G). Рассмотреть аналогичным образом другие
классические группы.
5. Если Т — максимальный тор группы G, то число различных
борелевских подгрупп, содержащих Г, конечно и равно [Nq(T):
Со(Т)].
6. Если char К = 0 и если В — борелевская подгруппа группы G,
то Ъ — максимальная разрешимая подалгебра алгебры д, Пд(Ь) = Ь и
NQ (Б) = В
7. Почему в случае char К == 0 очевидно, что каждый унипо-
тентный элемент, нормализующий подгруппу Бореля В группы G,
должен принадлежать группе £?

234 ГЛ VIIT. ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
8. Доказать, что замкнутая подгруппа И группы О есть под-
подгруппа Бореля тогда и только тогда, когда группа И разрешима и
многообразие G/H полно.
Замечания. Теорема 23.1 была доказана Шевалле [8, expose 9]
и подготовила почву для дальнейшего развития структурной теории
и классификации алгебраических групп. Приведенное здесь элегант-
элегантное доказательство принадлежит Борелю (лекции 1973 г. в Буэнос-
Айресе). Максимальные разрешимые подгруппы алгебраических
групп исследовались Платоновым [4], который доказал» что они
распадаются в конечное число классов сопряженных подгрупп.

ГЛАВА IX
ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОВ
Всюду в этой главе G — связная алгебраическая
группа.
Совокупность 8 всех борелевских подгрупп группы G
можно отождествить с многообразием G/B при фикси-
фиксированной подгруппе В из 33 B3.3). Действие группы G
на 8, индуцированное сопряжением, соответствует лево-
левому умножению на G/B. Мы намереваемся изучить здесь
вопрос, как различные торы 5 и их централизаторы дей-
действуют на Э. Так как группа Со E) связна B2.3) и
имеет обычно меньшую размерность, чем группа G, то
многие вопросы часто можно свести к случаю групп
«полупростого ранга 1», когда действие на 8 дает ре-
решающую информацию о строении группы G.
§ 24. Регулярные и сингулярные торы
Полезно различать торы в группе G по числу непод-
неподвижных точек на 8 (т. е. по числу борелевских подгрупп,
в которых тор содержится). Если множество Bs конечно,
то мы называем тор 5 регулярным, а в противном слу-
случае— сингулярным. (У Шевалле [8] и Бореля [4] вме-
вместо термина «регулярный» используется термин «полу-
«полурегулярный».) Например, вскоре мы увидим, что
максимальные торы регулярны, а в случаях, подобных
SL(n,K), компонента единицы ядра корня оказывается
сингулярным тором.
24.1. Группы Вейля. Пусть 5 — произвольный тор
группы G. В силу жесткости торов A6.3) группа
NG(S)/CG{S) конечна; она называется группой Вейля
группы G относительно 5 и обозначается через W(GyS).
Так как все максимальные торы сопряжены, то их груп-
группы Вейля изоморфны; поэтому группа Вейля макси-
максимального тора называется просто группой Вейля
группы G.

236 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОВ
Лемма. Пусть Т — максимальный тор группы G и
С = CG(T). Тогда С содержится в каждой борелевской
подгруппе, содержащей Т.
Доказательство. Так как группа С связна B2.3) и
нильпотентна B1.4), то по меньшей мере одна борелев-
ская подгруппа В содержит С. Если группа В' =хВх~1
также содержится в S3r, то Г и хТх~1 — максимальные
торы группы В' и, следовательно, сопряжены посред-
посредством некоторого элемента у^В'. Поэтому у(хСх~1)у~{ =
= С а В\ что и требуется. □
Из этой леммы вытекает, что группа С действует три-
тривиально на множестве Эг. С другой стороны, очевидно,
N = Ng{T) переставляет элементы ЗЭ7", в результате чего
мы получаем действие группы W = N /С на Эг.
Предложение А. Пусть Т — максимальный тор груп-
группы G, и W= W{GyT). Тогда W действует на множестве
§ЭГ однотранзитивно *). В частности, Card Ът = \ W| —
конечное число, так что тор Т регулярен.
Доказательство. Покажем сначала, что группа W
действует транзитивно. Пусть Вь В2^ЪТ. Теорема со-
сопряженности показывает, что хВ2х~1 = В\ для некото-
некоторого элемента хе G. Так как хТх~х и Т — максималь-
максимальные торы группы Вь то существует такой элемент j/e
еВь что ухТх~ху-1 = Г, откуда z = yx^NG{T). Но
zB2z~l = В\9 так что смежный класс элемента z в W
переводит В2 в В\. Утверждение, что группа W действует
однотранзитивно, означает, что стабилизатор в W эле-
элемента В е S37" тривиален; иначе говоря, если хВх~1 = В
при* <ее No (Г), то x<==Cg(T). Но Ng(B) =B B3.1), в то
время как Nb{T) = СВ{Т) A9.4), откуда и следует одно-
транзитивность. □
Имея в виду обратиться к рассмотрению полупро-
полупростого (или редуктивного) случая, мы займемся вопросом
о том, как влияет на W переход к группе G/R(G).
В общем случае, если Т — максимальный тор группы G
и ф: G ->■ G' — эпиморфизм, то мы знаем, что Г'=<р(Т) —
максимальный тор группы G' (следствие 21.3В).
Предложение Б. Пусть ф: G-+G' — эпиморфизм
алгебраических групп и Т, Т' =ф(Г) —соответствующие
*) В теории групп подстановок употребляется также термин
«регулярно». — Прим. перев.

§ 24. РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ ТОРЫ 237
максимальные торы. Тогда ф индуцирует сюръективные
отображения 23Г->23'Г и W(G,T)-+W(G\T'), которые
оказываются и инъективными, если Кег ф содержится
в каждой борелевской подгруппе группы G.
Доказательство. Если В — борелевская подгруппа
группы G, содержащая Г, то В' = (р(В)—борелевская
подгруппа группы Gr содержащая V (следствие 21.3В);
поэтому отображение 23г-> 23'г определено. Поскольку
Ф (NG (T)) c= NG> (Г), Ф (СG (Г)) (= CQ> (Г), то, очевидно,
отображение W = W(G, Т) -+ W(G'y Г) = W также оп-
определено.
Эпиморфизм ф индуцирует сюръективное отображе-
отображение 8->»' (следствие 21.3В). Если S' е 23/Г, то каж-
каждая борелевская подгруппа группы # = ф-1(В')° есть
борелевская подгруппа группы G, которую ф отображает
на В'; но Т — максимальный тор группы Н и, следова-
следовательно, лежит в одной из этих подгрупп. Это показывает,
что отображение 23Г->23'Г сюръективно. Если Кег ф
содержится в каждой борелевской подгруппе группы G,
то отображение §3->§Э' становится также и инъективным.
Переходя к группам Вейля, мы воспользуемся их
однотранзитивностью (предложение А). Выберем fie
еЭг и положим В/ = ср(В); построим коммутативную
диаграмму с вертикальными (биективными) орбитными
отображениями:
W->W
93r->23'r
Сюръективность верхнего отображения вытекает из
только что доказанной сюръективности нижнего отобра-
отображения; аналогично устанавливается инъективность, если
отображение 8->8Э' инъективно. □
Напомним, что R(G)—компонента единицы пересе-
пересечения всех борелевских подгрупп группы G (упражнение
21.6); таким образом, предложение позволяет устано-
установить биекцию в двух важных частных случаях: Gr =
= G/R(G), G' = G/RU{G).
Прежде чем перейти к обсуждению произвольных
подторов тора Г, мы заметим, что группа Вейля W есте-
естественным образом действует на системе корней Ф =

238 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОЙ
= O(G, T) как конечная группа перестановок. В самом
деле, для любого тора Т естественное действие его нор-
нормализатора на Х(Г), Т(Г) индуцирует и действие груп-
группы W = NG(T)/CG(T) (упражнение 8). Соответственно
группа N — NG(T) (и, следовательно, W) переставляет
собственные пространства тора Г в § согласно переста-
перестановке корней. Точнее, (оа) (t) =а{п~Чп)у если элемент
n^N является представителем элемента а е W. В свою
очередь W переставляет корневые пространства да (по-
(посредством AdN): Ad(n(8a)) =Йа(а) (см. A6.4)).
24.2. Регулярные торы. Пусть S — произвольный
тор и C=CG(S). В B2.4) мы изучали множество 33s
борелевских подгрупп, содержащих S, которое можно
отождествить с замкнутым подмножеством X некоторо-
некоторого фактормногообразия G/B, где Bid S. Связная группа
С оставляет инвариантной каждую неприводимую ком-
компоненту У множества X, и действует на У транзитивно.
Следовательно, полное многообразие У выглядит как
C/Cb(S). Отсюда мы выводили, в частности, что CB(S) —
борелевская подгруппа группы С.
Напомним, что тор S называется регулярным, если
множество Ss конечно. Например, максимальные торы
регулярны (предложение 24.1 А).
Предложение. Пусть S — тор в группе G и C = CG(S).
Тогда тор S регулярен в том и только в том случае,
если группа С разрешима. В этом случае группа С со-
держится в каждой борелевской подгруппе группы G,
содержащей 5, и для каждого максимального тора Г,
содержащего S, мы имеем W = 8s.
Доказательство. Как и выше, отождествим S3S с замк-
замкнутым подмножеством X некоторого многообразия G/B,
где Bid S. Размерности всех неприводимых компонент У
множества X равны коразмерности в С борелевской под-
подгруппы группы С. Поэтому тор S регулярен <=У множе-
множество 33s конечно <£=У группа С есть борелевская под-
подгруппа в себе самой (т.е. группа С разрешима). Это
рассуждение показывает также, что для регулярного
тора S группа С содержится в каждой борелевской под-
подгруппе группы G, содержащей 5 (т. е. С оставляет не-
неподвижной каждую точку множества 8s). В частности,
так как любой максимальный тор Г, содержащий S,
принадлежит С, то W = S3S. □

§ 24. РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ ТОРЫ 239
24.3. Сингулярные торы и корни. Top SczG является
сингулярным, если 99s бесконечно или, что равносильно,
если (ввиду предложения 24.2) группа С = CG (S) не-
неразрешима. Наибольшие торы такого сорта возникают
следующим образом в связи с корнями. Напомним, что
если Т — максимальный тор группы G, то корни группы
G относительно Т есть нетривиальные веса тора Ad T в д:
9 = с9(ГH И да,
где ва= {хе=д|А(Н(х) =а(*)х, /еГ} ае=Х(Г) (см.
A6.4)).
Так как группа Ad T диагонализируема, то для лю-
любой замкнутой подгруппы Н группы G, нормализуемой
тором Г, мы можем отщепить дополнение к 3? (Н) в д,
инвариантное относительно Ad Т. В частности, пусть
Я = /(Г), где /(Г)—компонента единицы в пересече-
пересечении всех борелевских подгрупп группы G, содержащих
Г, и запишем:
д=<?(/(Г))е 11 9а.
Заметим, что Со (Г) cz I (Г) (лемма 24.1), так что Wcz
с: Ф. Ясно, что W не зависит от выбора дополнения.
(В своем месте мы покажем, что I(T) =T>RU(G).)
Определим Га= (КегаHс: Т для всех аеФ. Оче-
Очевидно, что Га — тор коразмерности 1 в Т. Мы хотим по-
показать, что тор Та сингулярен.
Предложение. Пусть S — тор группы G и Т— макси-
максимальный тор, содержащий S. Top S сингулярен тогда и
только тогда, когда S аТа для некоторого корня а е 4я.
Доказательство. Пусть S — сингулярный тор. Тогда
C = CQ(S)—неразрешимая группа B4.2); в частности,
группа С имеет большую размерность, чем разрешимая
группа CflЦТ), так что пространство неподвижных то-
точек тора S в g не содержится целиком в 9?A(Т)). Если
тор S оставляет неподвижным элемент xgj, to он так-
также оставляет неподвижными различные g^-компоненты х,
откуда мы заключаем, что S с: Кег а по крайней мере
для одного корня а£?. Но тогда S cz Ta.
Обратно, пусть S аТа для некоторого корня аЕ^.
Если тор S не сингулярен, то группа С должна быть раз-

240 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОВ
решимой и содержаться в каждой борелевской подгруп-
подгруппе группы G, содержащей 5; в частности Са1(Т). Так
как глобальный и инфинитезимальный централизаторы
тора 5 согласованы (предложение 18.4А), то все непод-
неподвижные точки тора S в g должны принадлежать 3? (I(T)),
что противоречит определению W. □
Следствие. При а е Ч1" положим Za = Св(Та). Тогда
Ga — Za/R{Za) ~ ПОЛупроСТаЯ груППп рпНвп 1.
Доказательство. Так как тор Та сингулярен, то связ-
связная группа Za неразрешима B4.2). Следовательно, груп-
группа Ga полупроста. Но Та cz Z(Za)°cz R{Za), так что
ранг группы Ga равен 1. □
В § 25 мы докажем, что группа Ga «локально изо-
изоморфна» группе PGLB, К); в частности, ее размерность
равна 3. (Это будет первым шагом при установлении
того факта, что W — абстрактная система корней в смы-
смысле дополнения). Доказательство тесно связано с тем,
что группа Вейля группы G «не слишком мала». Отме-
Отметим, если читатель сам еще не обратил на это внимания,
что требуется еще доказать, что существует более чем
одна борелевская подгруппа, содержащая данный мак-
максимальный тор (если группа G неразрешима).
24.4. Регулярные однопараметрические подгруппы.
Зафиксируем максимальный тор Т группы G. Противо-
Противоположностью сингулярных торов Га, йеТ B4.3), ко-
коразмерность которых в Т равна 1, являются регулярные
торы размерности 1. Назовем однопараметрическую под-
подгруппу 1еТ(Г) регулярной, если тор %(Gm) cz T регу-
регулярен. Обозначим через Y(T)veg множество всех регуляр-
регулярных однопараметрических мультипликативных подгрупп.
При условии dim T > 0 мы можем доказать, что таких
однопараметрических подгрупп очень много. Они играют
решающую роль в § 25.
Предложение. Однопараметрическая мультиплика-
мультипликативная подгруппа Х^Т(Т) регулярна тогда и только
тогда, когда <а, %} ф 0 для всех kg?.
Доказательство. В силу предложения 24.3 подгруппа
S = 'k(Gm) сингулярна тогда и только тогда, когда 5 cz
cz Та для некоторого корня а е Ч**. Но это имеет место
тогда и только тогда, когда <аД>=0 для некоторого
aGT ввиду определения спаривания групп Х(Л и
т(Т). a

§ 25. ДЕЙСТВИЕ МАКСИМАЛЬНОГО ТОРА НА GIB 241
Упражнения
1. Если 5 —тор в группе G и X = 23s, то все неприводимые
компоненты множества X имеют размерности, равные размерности
многообразия борелевских подгрупп группы CG(S). Показать на
примере, что эти компоненты не всегда транзитивно переставляются
группой W(G,S).
2. Пусть Т — максимальный тор группы G и S — подтор тора Т.
Доказать, что Т оставляет неподвижной некоторую точку на каж-
каждой неприводимой компоненте множества 23s и вывести отсюда, что
число таких компонент не превосходит \W(G,T)\.
3. Для группы G = SL(ny К) (или для других классических
групп) доказать, что группа 1(Т) в B4.3) совпадает с Г, так что
¥ = <D(G,T).
4. Доказать, что группа Вейля группы Za в B4.3) имеет поря-
порядок 2. (Использовать предложение 24.1 Б.) Описать группы Za, по-
появляющиеся в SL(n,K).
5. Доказать, что подтор диагонального тора в SL(ntK) регуля-
регулярен тогда и только тогда, когда он содержит регулярный полупро-
полупростой элемент (упражнение 22.7).
6. Пусть Т — максимальный тор группы G и S — подтор тора Т.
Тогда 5 регулярен ^ CQ (S) cz / (Т) <=> %>s = Ът.
7. Если S — сингулярный тор группы G, то dim CG(S) ^
> rank G + 2.
8. Пусть Т — тор группы G, W=W(GJ)t X = Х(Г), Г = Г(Т).
Если n^No(T)—представитель смежного класса, соответствующе-
соответствующего элементу сг е W, то показать, что следующие формулы опреде-
определяют действие группы W на X, Т независимо от выбора п:
(а) = пК (а) п-1 (a GGm)lG Г).
Проверить, что (ах, сгХ) = (х, X) при а е ИР, х^ХДеТ.
Замечания. В этой главе мы следуем с незначительными изме-
изменениями в изложении Борелю [4, гл. IV].
§ 25. Действие максимального тора на G/B
Любой максимальный тор Т группы G оставляет не-
неподвижной по меньшей мере одну и не более чем конеч-
конечное число точек на G/B B4.1). В частности, действие
тора Т на G/B весьма нетривиально, если вфВ. Мы
хотим показать, что тор Т оставляет неподвижными в
точности две точки на G/S, если dim G/B = 1, и не ме-
менее чем три точки, если dim G/B > I B5.2). Одновре-
Одновременно мы получим хорошее описание группы G/R(G)
в случае, если эта группа имеет ранг 1 (и позднее при-

242 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОВ
меним это к случаю, когда G — централизатор Za сингу-
сингулярного тора Та в некоторой большей связной группе).
Для всего этого мы рассмотрим однопараметриче-
ские подгруппы X: Gm-+T n распространим получающее-
получающееся действие группы Gm на G/B до действия на Р1 =
= G/nU {0}U{°°}. Чтобы изучить многообразие G/B кон-
конкретно, мы можем отобразить G в некоторую GL(V) и
найти точку в P(V), стабилизатор которой в G совпа-
совпадает с В, тем самым отождествляя G/B с G-орбитой этой
точки в РA/) A1.3). Эта орбита, конечно, замкнута, ибо
многообразие G/B полно. Мы можем даже сделать так,
чтобы образ многообразия G/B в P(V) не лежал ни в
какой гиперплоскости, — просто заменяя V на подпрост-
подпространство, натянутое на прообраз многообразия G/B отно-
относительно морфизма я: V—{0}-^P(V). (Подобным об-
образом мы могли бы указать конкретную реализацию
многообразия G/P, где Р — любая параболическая под-
подгруппа группы G.)
25.1. Действие однопараметрической подгруппы. (В
этом пункте G не фигурирует.) Пусть Г —тор в GL(V)
(максимальный или нет) и X: Gm-^T— однопараметри-
ческая подгруппа. Тогда группа Gm действует (посред-
(посредством X) на P(V). Чтобы описать это действие в явном
виде, выберем базис (v\t • • • » vn) пространства 1/, состоя-
состоящий из собственных векторов для Т. Веса тора Т в V
являются ограничениями уи ..., уп соответствующих
координатных функций; они порождают Х(Г). Положим
пц = (у1У%у. Если v = Y<aivi^V> ^Gm, то мы имеем
по определению: X (t) - v = X #^W/ vt- Действие группы
Gm на P(V) получается путем перехода от v¥=0 Kn(v) =
= [v].
Зафиксируем произвольный ненулевой вектор v e V,
v = ^ciiVl. По причинам, которые вскоре станут ясными,
ф
мы хотим расширить орбитное отображение t*—>X(t)[v]
до морфизма P!-^P(V). Здесь мы рассматриваем Р1
как пространство, покрытое двумя аффинными открыты-
открытыми подмножествами /C*U{0}, К*и{°°}, так что доста-
достаточно расширить ф на каждое из них. (В действительно-
действительности существование расширения морфизма ф на Р1 мож-
можно доказать при весьма общих предположениях, если
многообразие, р которое осуществляется отображение,

$ 25. ДЕЙСТВИЕ МАКСИМАЛЬНОГО ТОРА НА GIB 243
является полным; нам, однако, не требуется точное опи-
описание этой ситуации.)
Пусть, как и выше, mi = {у и ^>, и пусть /п0 (соответ-
(соответственно т°) — минимальное (соответственно максималь-
максимальное) значение mi при fe/= {i\at Ф 0}. Положим /0 =
= {/е/|/и/ = /ло}, /°= {i'e/|m/ = /n0}. Заметим, что
[у] = [/~т1у] = [/~т°у] при /е /С*. В соответствии с этим
мы можем выразить ф двумя способами: <ро(О =
== Е а^т* °ViJ имеет смысл даже при t = 0, a <p°(f) =
= L2-i*M yJnpH r = oo. (В каждом случае вектор
в скобках является ненулевым вектором пространства
У.) Очевидно, ф0, ф° определяют морфизмы соответст-
соответствующих аффинных прямых /С* U {0}, /C*U{°°} B Р(Ю»
которые согласуются с <р на К*; поэтому они приводят
к искомому морфизму P1->P(F) B.3). Образы точек
0, оо мы обозначим через Х@) [v], Л(оо) [v]:
Я @) [v] = [^ Е а,»,], Я (оо) [v] = [^ а,»,].
Эти точные формулы показывают, что группа ^(Gm)
оставляет неподвижной каждую из двух точек Х@) [v]
и Л(оо) [v] в Р(У). (Именно для этой цели мы и строили
эти точки). Необходимо еще выяснить, когда эти точки
различны. Но это легко: Я@) [v] = Я(оо) [v] <=Ф/о ==
= /о <фф /770 = пг° 4=Ф ^ есть собственный вектор тора
k(Gm) <=> точка [у] неподвижна относительно A(Gm).
В противном случае, как легко видеть, точка X(t) [v]
неподвижна только при / = 0, оо (упражнение 1).
Наше следующее наблюдение: если подгруппа X вы-
выбрана таким образом, что числа т/ = <у;Д> при раз-
различных yt все различны, то собственные векторы тора Т
и X(Gm) совпадают. В этом случае мы имеем Х@) [v] —
= Я(оо) [и]<=ф7" оставляет неподвижной точку [v]. Та-
Такой выбор К всегда возможен, так как Х(Г)ХТ(Г)->
-> Z — спаривание, осуществляющее двойственность и
так как Y, порождают Х(Г).
25.2. Существование достаточного числа неподвиж-
неподвижных точек. Мы докажем сначала следующую вспомога-*
тельную геометрическую лемму.
Лемма. Пусть W — подпространство коразмерности 1
в векторном пространстве 1/, и пусть X — неприводимое

244 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОВ
замкнутое подмногообразие многообразия Р(У), которое
не содержится целиком в P(W). Если dimX>0, то X
пересекается с P(W) и каждая неприводимая компонен-
компонента их пересечения имеет коразмерность 1 в X.
Доказательство. Если пересечение X[)P(W) пусто,
то X — полное замкнутое подмногообразие аффинного
многообразия P(V) — P(W)y откуда следует, что dimZ=
= 0 B1.1 (в)). Остальные утверждения следуют из тео-
теоремы 3.3 и следствия 3.2. □
Теорема. Пусть TczGL(V)—тор, естественным обра-
образом действующий на P(V). Пусть X — неприводимое
замкнутое множество в P(V), инвариантное относитель-
относительно Т. Тогда:
(а) Если dimX^l, то Т оставляет неподвижными
по меньшей мере две точки множества X.
(б) Если dimX^2, то Т оставляет неподвижными
по меньшей мере три точки множества X.
Доказательство. Пусть (v\, •••> Vn)—базис простран-
пространства V, состоящий из собственных векторов относитель-
относительно Т с соответствующими весами yi ^Х(Т). Выберем
),gTG) так, чтобы числа пц = <7*Д> были различны,
если у( различны. Как отмечалось в конце B5.1), торы
Т и k(Gm) имеют одинаковое число неподвижных точек
на P(V). Поэтому мы можем также предположить, что
T = K(Gm).
(а) Так как dim^^ 1, то множество X бесконечно.
Если Т оставляет неподвижными все точки множества
X, то доказывать нечего. В противном случае пусть
[v] gX — точка, не являющаяся неподвижной относи-
относительно Т. Ввиду сказанного в B5.1) для такой точки v
мы получаем две различные неподвижные точки Ц0) [v]
и Я(оо)[р] в P(V). Но образ ассоциированного мор-
физма Р1->-РA/) замкнут B1.1F)) и множество X
замкнуто; поэтому эти две точки должны лежать в X.
(б) -Как в доказательстве утверждения (а), мы мо-
можем предположить, что некоторая точка [v] в X не яв-
является неподвижной относительно Т. Используя обозна-
обозначения B5.1) (при этом выборе точки и), упорядочим
базис пространства V так, чтобы число m\ = m° было
максимальным среди /щ для базисных векторов и,, вхо-
входящих в разложение вектора v. Пусть W — подпростран-

§ 25. ДЕЙСТВИЕ МАКСИМАЛЬНОГО ТОРА НА G/B 245
ство пространства V, натянутое на и2, • • •, vn, так что
[и]^РA^) и X(£P(W). Тогда лемма показывает, что
неприводимые компоненты множества XflP(W) имеют
коразмерность 1 в X. Очевидно, что они инвариантны
относительно Т (так как X и W инвариантны) и имеют
размерности, не меньше 1 (так как dimAr:^2). Пусть
Y — одна из этих компонент. Тогда утверждение (а) по-
показывает, что тор Т оставляет неподвижными самое
меньшее две точки множества У. Остается найти третью
точку. Ввиду выбора точки v точка Я (оо) Ы = Г £ а^Л
Us/» J
не лежит в P(W) и является неподвижной относительно
Ту что и завершает доказательство. □
Мы выведем теперь из теоремы тот факт, что группа
G имеет достаточно много борелевских подгрупп, содер-
содержащих данный тор Т.
Следствие А. Пусть Р — собственная параболическая
подгруппа группы G, Т — любой тор в G. Тогда Т остав-
оставляет неподвижными по меньшей мере две точки много-
многообразия G/P (соответственно по меньшей мере три, если
dimG/P>l). В частности, максимальный тор содер-
содержится по меньшей мере в двух борелевских подгруппах
(соответственно по меньшей мере в трех, если dim G/B>
Доказательство. Как было отмечено в начале этого
пункта, группу G можно отобразить в некоторую группу
GL(V) таким образом, чтобы многообразие G/P было
изоморфно орбите X некоторой точки в P(V); мы можем
даже обеспечить, чтобы множество X не содержалось
ни в какой гиперплоскости. Так как многообразие G/P
полно и неприводимо, то X замкнуто и неприводимо
B1.1) (а); тор Т оставляет X инвариантным, и мы мо-
можем применить теорему. □
Это следствие можно сформулировать также как
утверждение о том, что группа Вейля группы G «не
слишком мала» ввиду предложения 24.1А:
Следствие Б. Пусть В — подгруппа Бореля группы G
и Т — максимальный тор. Пусть W = Ng(T)/Cg{T) —
группа Вейля группы G относительно Т. Если dim G/B^
^1 (соответственно ^2), то \W\^2 (соответственно
>3). □

246 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОВ
Следствие В. Пусть Т — максимальный тор группы G.
Тогда G порождается множеством S37" подгрупп Бореля,
содержащих 7\
Доказательство. Воспользуемся индукцией по размер-
размерности группы G. Подгруппа Р группы G, порожденная
множеством 5ЭГ, очевидно, является параболической.
Предположим, что Р Ф G. Ввиду" следствия А существует
по меньшей мере одна содержащая Т подгруппа Р', со-
сопряженная с Р, причем Р'ФР. Но Т — максимальный
тор группы Р' и борелевские подгруппы группы Р', со-
содержащие Г, являются также борелевскими подгруппа-
подгруппами группы G (упражнение 21.9). Последние, по предпо-
предположению индукции, порождают Р', откуда Р' cz Р, что
невозможно. □
Позднее мы покажем, что уже две соответствующим
образом выбранные подгруппы из W порождают G. На-
Например, если G = SL(n,K)y то мы можем выбрать для
этой цели верхнюю и нижнюю треугольные группы
(упражнение 2).
25.3 Группы полупростого ранга 1. Воспользовав-
Воспользовавшись результатами B5.2) и F.3), F.4), мы можем по-
получить описание полупростых групп ранга 1. Полупростой
ранг ranks* G (соответственно редуктивный ранг
ranked G) есть ранг группы G/R(G) (соответственно
группы G/Ru (G)). Например, группы SL B, К), GL B, К),
PGLB, К) и группы Za B4.3) все имеют полупростой
ранг 1, тогда как группа GLB, К) имеет редуктивный
ранг 2.
Теорема. Пусть Т — максимальный тор группы G и
W = W(GyT). Следующие утверждения эквивалентны:
(а) rankss G = 1.
(б) \W\=2.
(в) card S37" = 2.
(г) dimG/B = 1.
(д) G/B ^ Р1.
(е) Существует эпиморфизм ср: G-+PGLB, К) такой,
(H R(G)
Доказательство. (а)=ф(б). Так как каждая подгруп-
подгруппа Бореля содержит R(G), то борелевские подгруппы
группы G, содержащие Г, находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с борелевскими подгруппами груп-
группы G' = G/R(G), содержащими образ r=T/(rn/?(G)),

§ 25 ДЕЙСТВИЕ МАКСИМАЛЬНОГО ТОРА НА GIB 247
и число этил подгрупп в каждом случае равно порядку
соответствующей группы Вейля W, W' (предложение
24 1Б). Но dim Т' = 1, по предположению, и Aut Gm =
= Z/2Z (упражнение 7.4), так что |И7| = |№'|< 2.
С другой стороны, группа G, по предположению, нераз-
неразрешима, так что \W\^2 согласно следствию 25.2Б.
(б)гф(в) Эквивалентность утверждений (б) и (в)
отмечена в предложении 24.1 А.
(в)гф(г) Так как тор Т содержится в двух различ-
различных борелевских подгруппах, то размерность многооб-
многообразия G/B не меньше 1. Если dim G/B ^ 2, то след-
следствие 25.2А показывает, что cardSr^3, что противоре-
противоречит (в).
(г)гф(д). Пусть dimG/B = l. Как и в B5.1), мы мо-
можем построить непостоянный морфизм P1->G/Bci P{V)
для любой регулярной однопараметрической подгруппы
^еТ(Г), где Т — максимальный тор группы G. Его об-
образ замкнут, ибо многообразие Р1 полно B1.1F)) и,
следовательно, совпадает с G/By так как G/B — непри-
неприводимое многообразие размерности 1. Это показывает,
что многообразие G/B изоморфно Р1 F.3).
(д)=ф(е) G действует как группа автоморфизмов на
G/B ^ Р1. Но мы знаем, что Aut Р1 = PGL B, К), так что
мы имеем морфизм алгебраических групп ср: G->
-> PGL B, К) F.4). Очевидно, Кегф — пересечение всех
борелевских подгрупп группы G, так что (Кегф)°=#(О)
(упражнение 21.6). Так как G' = G/R(G) —неразреши-
—неразрешимая группа, ее размерность самое меньшее равна 3
(упражнение 21.4), откуда следует, что ф — эпиморфизм.
(е):ф(а) Это очевидно. □
Эта теорема дает нам существенную информацию
о строении полупростых групп ранга 1; в особенности
важно, что размерность такой группы равна 3. Сверх
того, мы получаем информацию о редуктивных группах
полупростого ранга 1, которая в дальнейшем будет ис-
использована для описания групп Za в случае, когда груп-
группа G редуктивна:
Следствие. Пусть G — редуктивная группа, rankss G=
= 1, Т — максимальный тор группы G и Z = Z(G)°.
Тогда:
(а) Группа (G, G) полупрорта и имеет размерность 3,

248 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОВ
(б) G = (G, G) -Z, причем пересечение группы (G, G)
с Z есть конечная группа.
(в) CG{T) =T и, в частности, Z{G) c= Т.
(г) Если ср: G-+PGLB, К) —эпиморфизм, то Кегф=
= Z(G).
Доказательство. Из утверждения (е) теоремы мы по-
получаем эпиморфизм ф: G-+PGLB, /С), причем (Кегф)°=
= R{G). Так как группа G редуктивна, то R(G) =Z и
R{G)—тор (лемма 19.5). С другой стороны, группа
PGLB,K) совпадает со своим коммутантом: в против-
противном случае, например, коммутант был бы разрешимой
группой (упражнение 21.4), что противоречит полупро-
полупростоте группы PGLB, К). Отсюда следует, что ф отобра-
отображает группу (G, G) на PGLByK). С учетом того факта,
что группа (G, G) связна A7.2) и что пересечение
(GyG) [\Z конечно A9.5), это доказывает как (а), так и
(б). Используя простые вычисления в SLB, К), легко
убедиться, что максимальный тор группы PGLByK)
совпадает со своим централизатором; поэтому группы
CG(T) и Т при отображении ф имеют один и тот же об-
образ, откуда следует, что Та CG(T) cz Г-Кегф. Но Т —
подгруппа конечного индекса в группе, стоящей в пра-
правой части, в то время как группа Со (Г) связна B2.3).
Это доказывает справедливость утверждений (в) и
(г). □
25.4. Камеры Вейля. Рассмотрим более внимательно
борелевские подгруппы централизаторов сингулярных
торов.
Зафиксируем максимальный тор Т группы G. Для
каждого корня as? B4.3) группа Га=(Кега)° — син-
сингулярный подтор тора Г, централизатор которого Za
имеет полупростой ранг 1. Из теоремы 25.3 (в действи-
действительности уже из упражнения 24.4) следует, что порядок
группы Wa=W{Za>T) равен 2, так что максимальный
тор Т группы Za лежит точно в двух борелевских под-
подгруппах, (скажем, Ва и В'а) группы Za. Так как Za со-
содержит Со (Г), то группу Wa можно канонически отож-
отождествить с подгруппой группы W = W(Gy Г); обозначим
образующую группы W через aa и выберем представи-
представитель па элемента aa в Nza(T). Тогда паВап-{ = В'а. Для
каждой группы В е Э7 пересечение Bf]Za — борелев-
ская подгруппа группы Za B2.4) и, следовательно, сов-

§ 25. Действие максимального тора на gib 249
падает либо с Ва либо с £«. Пусть, скажем, Bf]Za = Ba,
так что паВп~1 (}Za = B'a. Ясно, что ровно половина эле-
элементов группы W (порядок которой четен!) отображает
В в другие борелевские подгруппы с тем же свойством;
таким образом, а индуцирует естественное разбиение
множества 8Г. Мы можем сделать это разбиение более
ясным, если опишем его в терминах однопараметриче-
ских подгрупп.
Идея заключается в том, чтобы сопоставить каждой
подгруппе ^eT(f)reg борелевскую подгруппу В(Х)У со-
содержащую Ту таким образом, чтобы соотношение В(к)[)
(]Za = Ba имело место в точности тогда, когда <аД>>
> 0. Поскольку подгруппа X регулярна тогда и только
тогда, когда <аД>=#=0 для всех as? B4.4), то эта
идея вполне естественна. Разумеется, соответствие %h->
ь->В(Я) не будет взаимно однозначным, ибо cardSr =
= \W\<oo.
Выберем представление G->- GL(V), так что многооб-
многообразие G/B отождествляется с орбитой X некоторой точ-
точки в пространстве P(V) (причем X не содержится ни
в какой гиперплоскости P(W)). Как и в B5.1), положим
т/ = <7/Д> при ^eY(T)reg. Упорядочим базис (v\, •••
..., vn) пространства V таким образом, что т° =
= ш\ = ... = trir > m,r+\ ^ ... ^ пгп = т0. Пусть W —
подпространство, натянутое на (v2y ..., vn). По построе-
построению орбита X не содержится целиком в Р(№), так что
мы можем выбрать точку [и] = [£ a,t>f] е X с условием
ах Ф0. Рассуждение из B5.1) показывает, что группа
h(Gm) оставляет неподвижной точку %(oo)[v] =
= [a\V{ + ••• + 0-rVr]. Поскольку группа % регулярна,
мы можем утверждать, что /-=1; в противном случае
мы могли бы найти бесконечное множество различных
точек в X вида [v'] = [v\ + bv2+ ...] с различными 6,
так как X не может лежать в объединении гиперплоско-
гиперплоскости Р(И?) и конечного числа других гиперплоскостей,
определенных условиями «Ь — частное второй и первой
координат». Таким образом, мы получили бы бес-
бесконечное множество различных неподвижных точек
А,(оо) [v'] относительно действия группы %(Gm) на X,
что противоречит регулярности X. Следовательно, г = 1,
X()[] []

250 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОВ
Рассмотрим окрестность U = Х— (X f| P(W)) точки
'[v\]. Предыдущее рассуждение показывает, что
Я(оо) [u']==[fi] для всех [^е(/. Это означает, что
неподвижная относительно группы X(Gm) точка [v\] за-
заслуживает особого внимания: мы обозначим соответст-
соответствующую борелевскую подгруппу через В (К). Заметим,
что тор Т оставляет неподвижной точку [v\] (ибо под-
подгруппа X регулярна), так что ВA)еЭг, что и требова-
требовалось.
Группа Вейля W действует на Э7" однотранзитивно
B4.1). С другой стороны, группа W естественным обра-
образом действует на Т(Т) по формуле (оХ) (а) = пХ(а)п~1
(здесь п — любой представитель элемента о в Ng(T))'
это действие обладает свойством <а%, оХ} = <%, X} при
ХеХ(Г), X<=Y(T) (упражнение 24.8). Так как под-
подгруппа X регулярна тогда и только тогда, когда <а, ХУФ
ФО для всех aG?, то W действует на Т(Г)ге8 как
группа подстановок. Мы утверждаем, что эти два дей-
действия группы W согласованы с отображением Х\—>В(Х).
Пусть aGlf представлен элементом u^Ng(T). Эле-
Элемент п переставляет собственные подпространства тора Т
в V и, следовательно, переставляет веса у,- и целые числа
пи = <уг-, X}. Но тогда, согласно указанному выше пра-
правилу, мы находим, что [/г*см] —неподвижная точка от-
относительно группы aX(Gm), так что соответствующая
борелевская подгруппа пВ(Х)п~1 есть в точности В(оХ).
Это доказывает наше утверждение. В частности, со-
соответствие Х*—>В(Х) является эпиморфизмом на S37".
Обозначим @(8Э) = {X<=r(T)veg\B = B(X)} для каждой
группы Ве9г и назовем это множество камерой Вейля
группы В (относительно Г). Следовательно, (непустые)
множества ©(S3) образуют непересекающееся разбиение
множества YG)reg.
Возвратимся теперь к обсуждению групп Za (aG?),
начатому в начале этого пункта с обозначениями aa, na
и т. д. Выберем Xq^ T(T)res таким образом, что <а, А,о>>
> 0; положив В = В(Хо)у определим Ва = В f\Za, B'a =
= яаВал-1. Тогда Ва, в^ — две борелевские подгруппы
группы Za, содержащие тор Т. Кроме того, так как
оаа = —а (в аддитивных обозначениях!), то из И^-экви-
вариантности отображения Хь—>В(Х) следует, что соот-

$ 26. УНИПОТЕНТНЫЙ РАДИКАЛ 251
ношение <а, %} > О имеет место в точности тогда, когда
В(Я)П2а = Ва. Таким образом, мы доказали
Предложение. Зафиксируем максимальный тор Т
группы G и сопоставим каждому элементу X^T(T)Teg
борелевскую подгруппу В (К), содержащую Г, как указа-
указано выше. Пусть а е Т, Za = CG(Ta). Тогда две борелев-
ские подгруппы Ва, В'а группы Za, содержащие Г, могут
быть охарактеризованы свойством: <а,Я>> О для всех
ЛУG')^]В(МП2а = Ва. □
Упражнения
1. В обозначениях B5.1) предположим, что ЦО) [v] Ф X(oo)[v].
Доказать, что никакая другая точка X(t) [v] не может быть непо-
неподвижной относительно группы X(Gm).
2. Пусть G — SL(n,K) (или другая классическая группа). По-
Показать, что G порождается двумя подходящим образом выбран-
выбранными борелевскими подгруппами.
3. Зафиксируем максимальный тор Т группы G. Тогда G поро«
ждается всеми подгруппами Cb(S), где В пробегает 2ЭГ, а 5 —пробе-
—пробегает подторы коразмерности 1 в Т.
4. Пусть G — редуктивная группа полупростого ранга 1, Т — ма-
максимальный тор, Ф = Ф(G, Г), W = W(G, T). Доказать, что
(а) KerAd = Z(G).
(б) ф = {а, —а} для некоторого аЕХ(Г) и ста = —а, если а
порождает группу W.
(в) Если В, В' — две борелевские подгруппы, содержащие Г, то
В П В1 == Г, а группы Ви и В'и изоморфны Ga.
(г) 9 = t0ga0g_a, где 9a-J?(Be), д_а = ^(^) (при под-
подходящем выборе а, — а).
5. Указать три редуктивные группы размерности 4 и полупро-
полупростого ранга 1, которые попарно неизоморфны (как алгебраические
группы).
§ 26. Унипотентный радикал
Пусть Т — фиксированный максимальный тор группы
G. Мы намереваемся доказать, что RU{G) совпадает с
унипотентной частью пересечения всех борелевских под-
подгрупп, содержащих Т. Вместе с данным выше описанием
групп Za это позволит нам дать довольно ясную картину
системы корней редуктивной группы.
26.1. Характеризация RU(G). Вначале мы докажем
лемму, которая обеспечит существование достаточного
числа регулярных однопараметрических подгрупп. На-
Напомним, что Ф — множество корней «вне» 1{Т)и.

252 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОВ
Лемма. Пусть а, ре Ч? — непропорциональные корни.
Тогда существует однопараметрическая подгруппа X е
^ Т(Г)геё, для которой <а, 1} > 0 и <Р, А,> < 0.
Доказательство. Критерий регулярности однопара-
метрической подгруппы ЯеТ(Г) состоит в том, что
(уЛУФО для всех yG^F B4.4). Свободные абелевы
группы Х(Г) и Т(Г) ранга п= dim T становятся двойст-
двойственными векторными пространствами над Q, если мы
образуем их тензорное произведение с Q над Z и про-
продолжим спаривание <^у, X). В этой ситуации а, р стано-
становятся линейно независимыми векторами, а условие регу-
регулярности заключается в том, что X не лежит на конечном
множестве гиперплоскостей (в том числе на гиперпло-
гиперплоскостях, «ортогональных» к а, Р). Таким образом, гео-
геометрически ясно, что условие леммы можно выразить
в терминах некоторой Q-линейной комбинации однопа-
раметрических подгрупп: попросту аир должны ле-
лежать по разные стороны гиперплоскости, ортогональной
к вектору X. (Читателю следует провести алгебраиче-
алгебраическое доказательство.) Путем умножения на общий зна-
знаменатель коэффициентов мы можем вернуться в Т(Г),
получив подгруппу Ху удовлетворяющую нужным усло-
условиям. □
Как и в B4.3), через /(Г) обозначим компоненту
единицы пересечения (конечного числа) борелевских
подгрупп, содержащих Т.
Теорема. RU(G) = I(T)U.
Доказательство. Обозначим для краткости 1{Т)и че-
через U. Так как RU{G) содержится в Ви для всех боре-
борелевских подгрупп В, то, очевидно, RU(G) a U. Чтобы
получить обратное включение, достаточно показать, что
U <\ G. Но группа G порождается борелевскими под-
подгруппами, содержащими Т (следствие 25.2В). Мы
утверждаем, что группа Ве8г порождается в свою оче-
очередь подгруппами СвE), где 5 пробегает подторы ко-
коразмерности 1 в Т. Пусть А — порожденная таким обра-
образом подгруппа группы В. Так как Св(Т) cz CB(S)> то
всякий элемент веса 0 в Ь содержится в а (глобальные
и инфинитезимальные централизаторы торов соответст-
соответствуют друг другу: предложение 18.4А). Если а — нетри-
нетривиальный вес, то группа S=(Kera)° имеет коразмер-
коразмерность 1 в Г, так что все элементы веса а в Ь уже содер-

§ 26 УНИПОТЕНТНЫП РАДИКАЛ 253
жатся в а (по той же причине). Вывод: а = Ь, следова-
следовательно, А = В (так как А а В и группа В связна).
Таким образом, дело сводится к доказательству того
факта, что группа U нормализуется всеми CB(S), где
5 — те же, что и выше. Если тор регулярен, то группа
Cb(S) =Cg{S) содержится во всех подгруппах Бореля,
содержащих Т B4.2), а следовательно, в /(Г), так что
в этом случае доказывать нечего. Пусть теперь тор S
сингулярен, так что 5=(Кега)° = Га для некоторого
аеТ B4.3). Здесь Св(Та) = Za П В — одна из двух
подгрупп Бореля Ва, Ва группы Za B5.4). Мы можем
даже сказать, какая именно, если запишем В = ВСк)
для некоторой (не единственной) 1еТ(Г)Ге§: мы имеем
Za П В=Ва тогда и только тогда, когда <а, А,>> 0 B5.4).
Заметим также, что группа Ru(Za) содержится во всех
подгруппах Бореля группы Za и, следовательно, во всех
группах В е S37"; поэтому Za обладает корнями ±а (с
кратностью 1) вместе с разнообразными другими неиз-
неизвестными нам корнями группы U.
Затруднительно доказать непосредственно, что груп-
группа Ва (или Ва) нормализует U. Вместо этого мы попы-
попытаемся извлечь некоторую руководящую идею из рас-
рассмотрения структуры корней в целом. Это схематически
показано на следующей диаграмме:
Диаграмма 1
b
9/6 t bjn
-а, -Р, ... О, 0, ..., а, В, ... у, 6,
Здесь Чг = {±а, ±р, ...}, в то время как различные у,
б, ..., за которыми мы не можем следить (некоторые из
них могут быть равны 0) появляются в п. Варьирование
выбора группы беЭг позволяет заменить некоторые
корни из W на противоположные (т. е. с противополож-
противоположным знаком). Группе Ва соответствует (помимо веса 0,
соответствующего t) корень а вместе с некоторыми не-
неизвестными весами, которые появляются в и.
Наш план заключается в том, чтобы найти замкну-
замкнутую подгруппу Н группы Ви, содержащую как [/, так и
LBa)u с тем свойством, что коразмерность U в Н равна 1.

254 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОВ
Тогда из предложения 17.4F) будет следовать, что груп-
группа U нормальна в Н.
Пусть Н — унипотентный радикал пересечения всех
В е Эг, для которых В П Za = Ba. Это совпадает B5.4)
с пересечением тех B(X)Ui lk^T(T)regi для которых
<а, %} > 0. Ясно, что группы U и (Ва)и содержатся в Я,
так что нам остается лишь сравнить размерности. Для
этого достаточно показать, что размерность алгебры Ли
и на 1 меньше размерности I). Так как группа Н инва-
инвариантна относительно сопряжения при помощи элементов
из Г, то I) — сумма и и некоторых пространств g^ при
Pg¥ (в обозначениях B4.3)), включая а. Среди этих
последних корней ни один не может появиться вместе со
своим противоположным по знаку (см. диаграмму 1), так
что при р=#=а из B5.3) вытекает, что р и а непропор-
непропорциональны. Ввиду предыдущей леммы существует регу-
регулярная однопараметрическая подгруппа X такая, что
<аД>>0, <РД><О. Таким образом, В(Я)П^ = ££,
тогда как На В (к). Если считать, что р (но не —Р)
появляется в I), мы получаем Сн(Т$) =е. Но глобальные
и инфинитезимальные централизаторы торов соответст-
соответствуют друг другу A8.4А), так что р не может появиться
в $. Следовательно, только а появляется в I) вне и. Так
как dim g« = 1 B5.3), то доказательство окончено. □
26.2. Некоторые следствия. Располагая теоремой
26.1, мы можем (для начала) полностью использовать
•предположение о редуктивности группы G.
Следствие А. Пусть G — редуктивная группа, S —
любой подтор тора Т. Тогда:
(а) группа Cg(S) редуктивна;
(б) если тор S регулярен, то CG(S) =T. В частно-
сти, картановские подгруппы группы G — это в точности
максимальные торы, и Z(G) czT.
Доказательство. Пусть С = CG(S). Согласно теореме
26.1, примененной к С, унипотентный радикал RU(C)
есть унипотентная часть пересечения всех борелевских
подгрупп группы С, содержащих максимальный тор Т
группы С. Она в свою очередь содержится в 1(Т)и = е,
что доказывает (а). В случае, если тор 5 регулярен,
группа С разрешима B4.2), а также редуктивна, т.е.
С — тор. Отсюда следует (б). □

§ 26 УНИПОТЕНТНЫЙ РАДИКАЛ £65
Тот факт, что централизаторы торов в редуктивной
группе являются редуктивными группами, позволяет ча-
часто использовать индукцию (именно по этой причине цы
предпочитаем рассматривать редуктивные, а не полупро-
полупростые группы).
Следствие Б. Пусть G — редуктивная группа и ф =
= <D(G,T). Тогда:
(б) д = 1ф 11 да, причем dimga=l;
(в) сингулярные торы коразмерности 1 в Т имеют вид
Та= (КегаH, ае=Ф;
(г) если Za = CG(Та) (йеФ), то Za — редуктивная
группа полупростого ранга 1 и &а = t ф да ф 8-а- Кроме
того, группы Za порождают G;
(д) Z(G)°=( П TaYl
(е) ранг подгруппы R группы Х(Г), порожденной Ф,
равен ranks* G.
Доказательство. Утверждения (а), (б), (в) и первая
часть (г) непосредственно вытекает из следствия А и
B5.3). Тот факт, что группы Za порождают G, вытекает
из того, что они порождают замкнутую подгруппу груп-
группы G с алгеброй Ли g (см. (б)). Рассмотрим (д). В со-
соответствии со следствием A, Z(G) а Г, откуда Z(G)°a
си Та для всех а. Обратно, если t бГа для всех а, то t
централизует каждую группу Za; они порождают G
(ввиду (г)), так что t^Z(G). Что касается (е), то нам
нужно лишь доказать это для случая полупростой груп-
группы G. Пусть R/ — аннулятор группы R в Т(Т) относи-
относительно спаривания Х(Г) XT(f)->Z. Требуется дока-
доказать, что R' = 0. Условие <а, X} = 0 для всех аеФ
означает, что X(Gm)c=Kera и, следовательно, что
X(Gm)czTa для всех а. Ввиду (д), X(Gm) a Z(G)° и
группа Z(G)° тривиальна, ибо группа G полупроста. Сле-
Следовательно, X = 0. □
Следствие В. Пусть G — редуктивная группа. Для
каждой борелевской подгруппы В, содержащей Г, суще-
существует группа В- е Эг такая, что В(]В~ = Т. Тогда g =
Доказательство. Мы знаем, что В = В(Я) для некото-
некоторой регулярной однопараметрической подгруппы X и

256 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОВ
что каждый элемент а£ф удовлетворяет соотношению
(А,, а>=#=0 (см. следствие Б). Положим В~ = В(—%).
Для каждого кеФ группы Za(]B и Zaf]B- являются,
следовательно, двумя борелевскими подгруппами груп-
группы Za, содержащими Т B5.4). Согласно части (б) след-
следствия Б, В[\В- = Т, и алгебра Ли g разлагается, как
указано. □
Группа В~ в действительности единственна (упражне-
(упражнение 6); она называется борелевской подгруппой, проти-
противоположной В (относительно Г).
26.3. Группы Ua. Пусть G — редуктивная группа,
O = O(G, Г), W= W{Gy T). До сих пор мы изучали
корни как характеры группы Г, переставляемые W (или
N). Разложение g = t0 ]_[ ga дает более содержатель-
аеФ
ную информацию о Ф; оно позволяет (например) сде-
сделать вывод о том, что dim G = rank G + card Ф.
Систему корней можно рассматривать как сущест-
существующую внутри самой группы G в следующем смысле.
Для каждого корня аеФ пространство да есть алгебра
Ли унипотентной части Ua одной из двух борелевских
подгрупп группы Za, содержащих Т (утверждение (г)
следствия 26.2Б). В действительности Ua — единственная
связная инвариантная относительно Т подгруппа группы
G с алгеброй Ли ga. (В характеристике 0 это ясно, см.
A3.1).) Действительно, предположим, что группа Va
удовлетворяет этим условиям. Так как ее алгебра Ли
состоит из нильпотентных элементов, то Va должна быть
унипотентной группой B0.5). Кроме того, H = TVa —
связная разрешимая подгруппа группы G и, следова-
следовательно, содержится в некоторой группе В е Эг. Так как
Та централизует Ь = X + ga, то Та должен централизо-
централизовать Н: глобальные и инфинитезимальные централизато-
централизаторы соответствуют друг другу (предложение 18.4А). Сле-
Следовательно, Va.cz В nZa (одна из двух борелевских под-
подгрупп группы Za, содержащих Т), откуда Va = Ua-
Теорема. Пусть G — редуктивная группа мкеФ.
(а) Существует единственная связная инвариантная
относительно Т подгруппа Ua группы G с алгеброй Ли
ga (U UaClZa).
(б) Если элемент «е N является представителем
a gIF.to nUan-{ = Uaw-

§ 26. УНИПОТЕНТНЫЙ РАДИКАЛ 257
(в) Существует изоморфизм га: Ga-*Ua такой, что
для всех /gT, xeGa, мы имеем tea(x)t~l*=ea(a(t)x).
(г) Группа G порождается подгруппами Ua (a e Ф)
и Т.
Доказательство. Справедливость утверждения (а)
уже установлена выше. Так как S'{nU}nU!an~],
=AdnB'(l/a))=Ad/i(ja)=fla(a)B4.1),a группа nUanrl,
очевидно, связна и инвариантна относительно Г, то (б)
следует из (а). Утверждение (г) вытекает из следствия
26.2Б.
Остается доказать (в). Тот факт, что Ua — связная
одномерная унипотентная группа, гарантирует существо-
существование некоторого изоморфизма е: Ga-+Ua B0.5). Следо-
Следовательно, действие тора Т на Ua внутренними автомор-
автоморфизмами задает действие тора Т на Gui и мы имеем мор-
физм алгебраических групп T-+AutGa = Gm (упражне-
(упражнение 7.4), т.е. характер у тора Т. Таким образом,
te(x)t~l =e(y(t)x). Для каждого элемента /еТ имеет-
имеется соответствующая коммутативная диаграмма, в кото-
которой вертикальная стрелка слева есть умножение на y(t):
Если мы отождествим алгебру Ли группы Ga с /С, то
дифференциалом умножения на y(t) будет снова умно-
умножение на y(t)y тогда как d(Int/)=Ad^. Отсюда сле-
следует, что АсИ(х) =y(/)x при xEja, что дает у = а.
Таким образом, мы можем положить еа = е. П
Доказательство утверждения (в) показывает, что
любой изоморфизм Ga-+Ua совместим с действием то-
тора Т; но для выделения мы будем называть такой изо-
изоморфизм допустимым. Он является единственным с точ-
точностью до скалярного множителя (т. е. автоморфизма
группы Ga), который определяется выбором базиса в ga.
Упражнения
Через G обозначается редуктивная группа.
1. Пусть 5 — произвольный тор в связной группе Н. Доказать,
что CR m(S)-Ru(C{S))

258 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ ТОРОВ
2. Z(G) есть пересечение всех максимальных торов группы G.
3. Подтор группы G регулярен тогда и только тогда, когда
он содержит регулярный полупростой элемент (упражнение 22.7).
4. Z (G) = р Кег а
оеФ
5. Если элемент xsg полупрост, то группа Со(х)° редуктивна.
6. Доказать, что борелевская подгруппа В- в следствии 26.2В
единственна.
7. Все элементы группы Ua (отличные от в} сопряжены в G.
8. Группа характеров максимального тора в группе Ad G по-
порождается корнями.
9. Найти индекс в Х(Г) подгруппы /?, порожденной Ф, если
G — SL(n, К) (или если G — другая классическая группа). Каково
строение группы X(T)/R1
10. Группы Ua порождают (G, G).
11. Если В — борелевская подгруппа группы G, содержащая
максимальный тор Т, то NG(T) Г) В = Т.
12. Группа G порождается своими полупростыми элементами.

ГЛАВА X
СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
Изучая действие торов и их централизаторов на мно-
многообразии G/B, мы показали в главе IX, что редуктивная
группа порождается централизаторами сингулярных то-
торов (причем эти последние являются в точности связ-
связными ядрами корней). Кроме того, мы показали, что
факторгруппа такого централизатора по его центру по
существу является группой PGLByK). Цель этой главы
состоит в том, чтобы дать более подробное описание
группы G: мы рассмотрим свойства системы корней,
строение нормальных подгрупп группы G, «нормальную
форму» элементов группы G, строение параболических
подгрупп.
За исключением § 29 мы принимаем следующие обо-
обозначения: G — редуктивная группа, Т — фиксированный
максимальный тор, Ф = O(G, Г), W = W(G, Г), X =
= Х(Г), Г = Г(Т).
§ 27. Система корней
Прежде всего мы хотим доказать, что Ф — абстракт-
абстрактная система корней в смысле Добавления. Это в свою
очередь позволит нам определить замкнутые нормальные
подгруппы группы G.
27.1. Абстрактные системы корней. Пусть Е — конеч-
конечномерное векторное пространство над R. Абстрактная
система корней в Е состоит из подмножества "Ф* прост-
пространства Е> удовлетворяющего следующим аксиомам:
(R1) Множество Ч? конечно, порождает £ и не со-
содержит 0.
(R2) При aG? единственными кратными а векто-
векторами в W являются векторы zha.
(R3) При asT существует отражение та относи-
относительно вектора а, которое оставляет множество *F инва-
инвариантным.

260 ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
(R4) Если а, р е 4я, то вектор та(Р)— р целочислен-
но кратен а.
Напомним (Д.1), что отражение та в (R3) однознач-
однозначно определяется вектором а, так что аксиома (R4) кор-
корректна. Кроме того, та = т~а и в любом случае вектор
та(Р) —Р кратен а. Ранг системы \Р есть dim (£). Абст-
Абстрактная группа Вейля ^(Ч1") есть (конечная) подгруппа
группы GL(E)y порожденная всеми та (aef).
Располагая этими обозначениями, мы можем сформу-
сформулировать основной результат этого параграфа.
Теорема. Пусть G — полупростая группа и E=R <g)zX.
Тогда Ф — абстрактная система корней в Еу ранг кото-
которой совпадает с рангом группы G и абстрактная группа
Вейля которой совпадает с W.
Доказательство выполнения аксиомы (R4) будет да-
дано в B7.2), а выполнение остальных можно доказать
без промедления. Аксиома (R1) следует из части (е)
следствия 26.2Б, a (R2) есть следствие того факта
B5.3), что dza — единственные корни группы Za отно-
относительно Т. Изучение группы Za также приводит к един-
единственному нетривиальному элементу aae W(Za, T) czW
(см. предложение 24.1Б), который отображает а в —a
(и имеет порядок 2). Это — наш кандидат в отражение
относительно а. Для того чтобы элемент аа был отраже-
отражением, он должен оставлять неподвижными элементы не-
некоторой подгруппы коранга 1 группы X. Выберем одно-
параметрическую подгруппу А,, для которой аД = —%.
Тогда искомой подгруппой является подгруппа группы
X, состоящая из характеров %, для которых <^Д> = 0.
Аксиома (R3) требует, чтобы множество Ф было инва-
инвариантным относительно aa, но это было отмечено ранее
для произвольных элементов группы W B4.1), B6.3).
Как только будет проверена аксиома (R4), абстракт-
абстрактную группу Вейля W(Q)) можно будет отождествить с
подгруппой группы W, порожденной всеми aa (аеф),
Мы сможем тогда заключить, что ЩФ) = W, замечая,
что каждая из этих групп действует однотранзитивно на
множестве одной и той же мощности: группа №(Ф)
действует, таким образом, на множестве абстрактных
камер Вейля в Е (Д.4), в то время как W действует так
на 23Г B4.1) или, что равносильно, на множестве камер
Вейля в Т. Чтобы убедиться, что оба эти множества

§ 27. СИСТЕМА КОРНЕЙ 261
имеют одинаковое число элементов, достаточно заме-
заметить, что после расширения скаляров до R и отождеств-
отождествления Е с E* = R<8)zY эти два понятия камер Вейля сов-
совпадут. Действительно, в каждом случае рассматривают-
рассматриваются связные компоненты дополнения к объединению ги-
гиперплоскостей, «ортогональных» к корням.
Хотя теорема непосредственно применима только к
полупростым группам, не представляет труда использо-
использовать ее и для редуктивных групп. Корни группы G и
группы (G,G) (или G/Z(G)°) находятся в естественном
взаимно однозначном соответствии, что позволяет отож-
отождествить группы Вейля B4.1).
В случае, если G = SL(n, К), легко видеть, что Ф —
абстрактная система корней, диаграмма Дынкина кото-
которой (Д.7) имеет тип Ая_1 (упражнение 1); другие клас-
классические группы приводят к типам В, С, D.
27.2. Аксиома целочисленности. Для того чтобы про-
проверить выполнение аксиомы (R4), нам необходимо более
тщательно изучить, как группа W действует на Ф. Если
п е No (Г) —представитель элемента o^W, то Adn ото-
отображает <jp на даф) B4.1). Теорема 26.3 показывает, что
это инфинитезимальное действие в действительности вы-
выводится из действия автоморфизма Int n на множестве
подгрупп {Ua> а£ф}, а именно, nU$n~l = £/<j(p). Напом-
Напомним еще, что для каждого корня C <ее Ф существует (не-
(неединственный) изоморфизм ер: Ga-b-Uft такой, что
te$(x)t~] = e$($(t)x) для всех t^T. Мы должны рас-
рассмотреть случай о = аа (а е Ф) при произвольном р.
Наш план состоит в том, чтобы показать, что группа
AdZa оставляет инвариантным подпространство
m = Z9p+fca (fteZ); отсюда будет следовать (R4), так
как aa обладает представителем в Nza{T). Далее, группа
Za порождается Г, £/a, U-a (теорема 26.3) и, разумеется,
Ad T оставляет инвариантной т. Следовательно, доста-
достаточно показать (ввиду симметрии), что Ad Ua оставляет
инвариантным ш.
Заметим, что наша задача сводится к задаче, отно-
относящейся к редуктивной группе Za, действующей на g че-
через присоединенное представление группы G. На самом
же деле здесь нет ничего, относящегося специально к
представлению Ad. По существу ситуация такова: ре-

262 ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
дуктивная группа G вложена в некоторую группу GL(V)
и выделен вес % относительно Т A6.4) (например, возь-
возьмем Ad: Za-^GL(g) и вес Р). Нам следует показать, что
группа Ua оставляет инвариантным пространство
2 V%+ka> или просто что Ua отображает 1^хв J Vx+ka
(где мы можем считать, что AeZ+). Эта более общая
формулировка будет использована в § 31 при изучении
представлений группы G.
В техническом отношении удобно рассматривать
только те представления р: G-^GL(V), для которых
KerpciZ(G). В действительности в конце этого пункта
станет ясно, что Ker Ad = Z(G) для любой редуктивной
группы G. В случае ограничения Ad: Za-> GL{o) срав-
сравнение с гомоморфным образом PGLByK) группы Za
непосредственно показывает, что ядро здесь централь-
центрально. В самом деле, группа PGLB,K) неразрешима и,
следовательно, не может иметь собственной замкнутой
нормальной подгруппы положительной размерности (см.
упражнение 21.4). В свою очередь, так как T^KerAd,
то ограничение морфизма Ad на Za не может быть три-
тривиальным, так что его ядро должно лежать в центре
группы Za-
Предложение. Пусть р: G->- GL(V)—рациональное
представление и Ker p cz Z(G). Пусть Vx — весовое про-
пространство относительно р(Г). Если аЕФ, то p{Ua) ото-
отображает Vt в 2 Vx+ka(k e Z+).
Доказательство. Так как Ker p cz Z(G) с: Г, то без
ущерба для общности мы можем заменить G на линей-
линейную группу p(G), которую мы можем рассматривать как
матричную группу, если выберем базис в пространстве
У, состоящий, скажем, из весовых векторов относитель-
относительно Г. Так как группа TUa содержится в некоторой под-
подгруппе Бореля, то теорема Ли — Колчина позволяет нам
даже считать группу 0а состоящей из верхнетреугольных
(унипотентных) матриц, а группу Т — состоящей из диа-
диагональных матриц / = diag(/i, ..., tn)- Заметим, что
если и е £/, t е Г, то матричный элемент на позиции (/, /)
в матрице tut-1 равен tttjxuiit
Привлечем теперь к делу изоморфизм еа: Ga-^Ua-
Конкретно, элемент ea{x)ij должен быть полиномом от

§ 27. СИСТЕМА КОРНЕЙ 263
х, скажем со + С\х+ ... + стхт (где коэффициенты
ck^K не зависят от х). Следовательно, га(а(г)х)ц =
= со + C\(a(t)x) + ... + cm(a{t)mxm). Но это также
равно /^"^aW//» так как fea(x)H = еа(а(^)л:). Сравни-
Сравнивая эти два результата, мы получаем полиномиальное
уравнение, справедливое при всех х&К\
Так как поле К бесконечно, то все коэффициенты долж-
должны обратиться в 0. Следовательно, мы должны иметь
ak = у всякий раз, когда ck Ф 0, где у — характер
ty-^titj . Так как а нетривиален, то ясно, что не более
одного коэффициента ск отлично от 0, и поэтому &а(х)ц=
= ckxk.
Посмотрим, что это означает в терминах весов. Ска-
Скажем, пусть /-й базисный вектор имеет вес %, т.е. %{t) =
= tj. Тогда группа Ua отображает этот вектор в сумму
векторов с весами т) (/)=*/. Наше вычисление показы-
показывает, что те т), которые действительно появляются, долж-
должны удовлетворять условию: ц%-1 — неотрицательная сте-
степень а. В аддитивных обозначениях это значит, что ц =
= % + £а (для некоторого JgZ+).
Как указывалось выше, это предложение завершает
доказательство теоремы 27.1.
27.3. Простые корни. Теперь известно, что Ф — абст-
абстрактная система корней, так что все результаты, сумми-
суммированные в Добавлении, имеют место. Напомним (Д.4),
что база системы корней Ф есть подмножество Д =
= {аь *.. а/}, / = гапк(Ф), которое порождает £ (и,
следовательно, является базисом пространства Е) и от-
относительно которого каждый корень а имеет (единствен-
(единственное) представление a = £ ctah где d — целые числа
одного и того же знака. Элементы множества Д назы-
называются простыми корнями. Базы действительно сущест-
существуют; в действительности группа Ц7=ЩФ) перестав-
переставляет их однотранзитивно, и каждый корень принадлежит
по меньшей мере одной базе. Кроме того, группа W по-
порождается отражениями aa (абД) при любой базе Д
(Д.5).

264 ГЛ X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
Ввиду сказанного в B7.1) следующие объекты нахо-
находятся в естественном взаимно однозначном соответствии
и переставляются однотранзитивно группой W: базы,
камеры Вейля в £, камеры Вейля в Т, борелевские под-
подгруппы, содержащие Т. В частности, каждый выбор
группы Вб9г приводит к выбору Д или к выбору си-
системы положительных корней Ф+ (т. е. тех корней, для
которых все коэффициенты d неотрицательны). Если
В = В(%), A,eYreg, то корень а положителен тогда и
только тогда, когда <а, %} > 0.
Факт, что группа W порождается отражениями {аа,
аеА}, ведет к соответствующему результату для груп-
группы G.
Теорема. Пусть А — база системы корней Ф. Тогда
группа G порождается подгруппами Za (a e А) или,
что равносильно, тором Т и всеми группами Ua (dba e
еД).
Доказательство. Подгруппа Н группы G, порожден-
порожденная Za (aGA), содержит Г, а также представителей
всех элементов a e W (так как отражения aa, «еД,
порождают IF). Таким образом, алгебра Ли \) содержит t
и все корневые подпространства ga(a> (a e A, aa ^ W).
Как мы упоминали выше, множество a (a) исчерпывает
Ф, откуда следует, что |) = д и, следовательно, Н = G.
Теорема 26.3(г) завершает доказательство. □
27.4. Группа автоморфизмов полупростой группы.
В B7.5) мы покажем, что полупростая группа есть про-
произведение своих «простых» подгрупп, которые соответ-
соответствуют неприводимым компонентам системы корней. Но
сначала нам необходимо получить некоторую информа-
информацию об автоморфизмах. Предположим, что группа G по-
полупроста, и обозначим через Aut G (абстрактную) груп-
группу, состоящую из всех автоморфизмов группы G как
алгебраической группы. Ясно, что Int G — ее нормальная
подгруппа. Другая подгруппа группы Aut G, обозначае-
обозначаемая через D, состоит из тех автоморфизмов, которые
оставляют инвариантным некоторый фиксированный
максимальный тор Т и содержащую его фиксированную
борелевскую подгруппу В.
Фиксируя выбор группы В, мы получаем некоторую
фиксированную базу А системы корней ф B7.3). Каж-
Каждый автоморфизм g^D индуцирует очевидным образом

§ 27. СИСТЕМА КОРНЕЙ 265
некоторый автоморфизм а системы корней Ф, ибо а(Г) =
= Т. Кроме того, так как о(В) = В, то д оставляет инва-
инвариантным множество А. Следовательно, а принадлежит
группе автоморфизмов Г диаграммы (или графа) си-
системы Ф (Д.8). Соответствие о^->д является, очевидно,
гомоморфизмом групп D-+T.
Теорема. Пусть G — полупростая группа.
(а) AutG = (lntG)D.
(б) Естественное отображение D-+F индуцирует мо-
мономорфизм Aut G/Int G ->- Г; в частности, группа Int G
имеет конечный индекс в Aut G.
Доказательство, (а) Пусть aeAutG; ввиду сопря-
сопряженности борелевских подгрупп существует такой эле-
элемент хе G, что Intx(a(B)) =B. В свою очередь макси-
максимальные торы Т и хо(Т)х~1 группы В сопряжены при
помощи некоторого элемента у^Ву так что Int у о
о Int х о о = Int ух о о принадлежит D.
(б) Ввиду части (а) достаточно показать, что группа
(Int G), (]V совпадает с ядром гомоморфизма D-+T.
В одну сторону это ясно: если Int л: принадлежит D, то
х нормализует В (и, следовательно, лежит в В по теоре-
теореме 23.1) их нормализует Т (т.е. x&N = Nq(T)). Но
N(]B = T (см. предложение 19.4, следствие 26.2А). Сле-
Следовательно, Int л: индуцирует тождественный автомор-
автоморфизм на Ф.
Наоборот, пусть автоморфизм aeD индуцирует наф
тождественное отображение. Мы должны показать, что
автоморфизм а внутренний. Для каждого аеА выберем
как в B6.3) изоморфизм ea: Ge->f)a. По предположе-
предположению, o(Ua) = Ua, так что существует элемент са^К*
такой, что о(еа(х)) =еа(сах) для всех х^К. (Напом-
(Напомним, что Aut Ga = /С*, см. упражнение 7.4.) В свою оче-
очередь линейная независимость множества А позволяет
нам выбрать элемент t^ Г, для которого a(t) =ca (ae
еД) (лемма 16.2Б). Заменяя а на (IntH)a, мы можем
предполагать, что каждый элемент са равен 1. Этот но-
новый элемент а действует на Ua (a e А) тождественно.
В свою очередь, если элемент / е Т произволен, то
a(a(t)) =a(t) (asA). Так как группа G полупроста,
то А порождает подгруппу конечного индекса в Х(Г)
(утверждение (е) следствия 26.3Б). Поэтому гомомор*
физм tt->o(J)t-1 имеет конечный и одновременно связ-

266 . ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
ный образ, откуда следует, что o(t) = t для всех /gT,
Таким образом, элемент о оставляет неподвижными эле-
элементы тора Та и, следовательно, оставляет инвариантной
группу Za (a e A), действуя на ее борелевской подгруп-
подгруппе TUa тождественно; поэтому а действует тождественно
на Za (предложение 21.4А). Но подгруппы Za (aGA)
порождают G (теорема 27.3), откуда о=1. Это озна-
означает, что автоморфизм a — внутренний. □
27.5. Простые компоненты. Как и в B7.4), мы пред-
предположим, что группа G полупроста. Любая замкнутая
связная нормальная подгруппа Фе также полупроста:
ее радикал — характеристическая и, следовательно, нор-
нормальная подгруппа в G. Теперь мы в состоянии описать
такие подгруппы.
Теорема. Пусть G — полупростая группа, и пусть
{Gi\i^I}—минимальные замкнутые связные нормаль-
нормальные подгруппы положительной размерности.
(а) Если i Ф /, то (Giy Gj) = e.
(б) Множество I конечно (скажем, I = {1, ..., п}) и
морфизм произведения G\ X ... X Gn-+ G сюръективен и
имеет конечное ядро.
(в) Произвольная замкнутая связная нормальная
подгруппа группы G является произведением содержа-
содержащихся в ней подгрупп Gi и централизует остальные груп-
группы d.
(г) G={G,G).
(д) G порождается подгруппами Ua (dhae A).
Доказательство, (а) (Gi>Gj)—замкнутая связная
нормальная подгруппа группы G, содержащаяся как в
G^ так и в G/; поэтому ввиду минимальности групп d
она должна совпадать с е.
(б) Пусть /={/A), ..., i(r)} czl. Из (а) следует,
что отображение произведения п: G/(i> X • • • X Ф(Г> -* G
есть морфизм алгебраических групп. В частности, (?*(о...
... Gi(r) — замкнутая связная нормальная подгруппа
группы G; она также полупроста. Из (а) следует также,
что любая другая группа G/ Aф1) централизует эту
группу, так что пересечение Gi П G*(o ... Gi(r) — конечная
группа. Следовательно, Ker n должно быть конечно и при
достаточно большом / множество / будет исчерпано, т. е.
/ конечно. Пусть, скажем, / = {1, ..., п}у Н = Gx ... Gn.
Остается показать, что Н = G.

§ 27. СИСТЕМА КОРНЕЙ 267
Действие группы G на Я внутренними автоморфиз-
автоморфизмами задает гомоморфизм групп -ф: G-+AutHy причем
г|? (Я) =Int#. Так как группа Я полупроста, то группа
Int# имеет конечный индекс в Aut# (теорема 27.4).
С другой стороны, Ker if> = CG (Я); обозначим компонен-
компоненту единицы этой группы через Я'. Тогда группа НН'
имеет конечный индекс в G и, следовательно, совпадает
с G ввиду связности последней. Так как Я' < G, то груп-
группа Я' также полупроста. Ее минимальные замкнутые
связные нормальные подгруппы Фе централизуют Я и,
следовательно, также нормальны в G; но тогда они
должны содержаться среди групп Gi и лежат в Я. Это —
противоречие, если только не имеет место случай Я' =
= е, H = G.
(в) Пусть Я— произвольная замкнутая связная нор-
нормальная подгруппа группы G и Я Ф е. Рассуждение в
(б) показывает, что каждая группа Gi (/е/) либо
содержится в Я, либо централизует Я. Отсюда вытекает,
что минимальные замкнутые связные нормальные под-
подгруппы группы Я совпадают с некоторыми из групп G*,
и тогда (как в (б)) мы заключаем, что группа Я — их
произведение.
(г) Коммутант группы Gi — характеристическая под-
подгруппа и, следовательно, нормальна в G; так как группа
Gi некоммутативна, то из минимальности d следует, что
(Gi,Gi)=Gi. В силу (а) и (б) мы имеем (G,G) =
= (Gi, Gi) ... (Gn, Gn) = G\ ... Gn = G.
(д) Так как группа G порождается группами Т и Ua
(±аеА) (теорема 27.3), то группа Я, порожденная
только группами (/а, замкнута, связна и нормальна в G,
причем ясно, что факторгруппа G/H есть тор. Но тогда
Hid (GyG)y так что (г) влечет Я= G. П
Из утверждения (г) теоремы непосредственно выте-
вытекает, что редуктивная группа G есть произведение своего
центра и коммутанта, и пересечение этих групп конечно
(см. лемму 19.5). Для редуктивных групп Za это уже
было отмечено в следствии 25.3.
Напомним (Д.7), что система корней Ф называется
неприводимой, если она (или, эквивалентно, А) не может
быть разбита на два непересекающихся «ортогональных»
подмножества, и что Ф однозначно разлагается в объе-
объединение непересекающихся неприводимых систем корней

268 ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
Фь ..., Ф> (в подпространствах пространства Е). По-
Посмотрим, что происходит, если корни аир лежат в не-
непересекающихся компонентах. Прежде всего, никакой
вектор р -f ka DeZ) не может быть корнем, если k Ф
фО, Поэтому предложение 27.2 позволяет заключить,
что группа AdZa оставляет инвариантным одномерное
подпространство flp; в частности, группа Ad Ua действует
на нем тривиально (ибо она унипотентна). Если х^ £/а,
то $£(xU$x-x) =Абл:(йз) — 8е, так что из предложения
26.3(а) следует, что xU$x~l = £/р,т. е. .группа Ua норма-
нормализует и$. По симметрии группа £/р нормализует Ua.
Отсюда следует, что (f)a, £/3) =e. Это рассуждение по-
показывает, что подгруппы Hi группы G, порожденные
группами Ua с аеФ/, централизуют друг друга и вме-
вместе порождают группу G (утверждение (д) теоремы).
Следовательно, группы Hi являются замкнутыми связ-
связными нормальными подгруппами, произведение которых
совпадает с G. Согласно теореме каждая подгруппа Hi
является произведением некоторых групп G/. Но она не
может быть произведением нескольких групп, так как
корни, появляющиеся в различных группах G/, «ортого-
«ортогональны». Таким образом, мы получаем
Следствие. Разложение G = G\ ... Gn в точности со-
соответствует разложению системы корней ф на неприво-
неприводимые компоненты. □
Из предыдущих рассуждений мы получаем, что каж-
каждая группа Gi некоммутативна и не имеет замкнутых
связных нормальных подгрупп, отличных от самой себя
и е. Такая алгебраическая группа называется простой
(или почти простой, если мы хотим подчеркнуть тот
факт, что эта группа не обязана быть простой как абст-
абстрактная группа). Пример: SL(n,K). В § 29 будет пока-
показано, что если G — простая алгебраическая группа, то
абстрактная группа G/Z(G) проста в обычном смысле
отсутствия собственных нормальных подгрупп, отличных
от е.
Упражнения
1. Проверить, что группа SL(n,К) имеет систему корней типа
Art-i.
2. Пусть а, ре А (база системы корней Ф). Доказать, что
группы Za, Zp порождают редуктивную подгруппу полупростого
ранга 2 в группе G (если а^Р).

§ 28. РАЗЛОЖЕНИЕ БРЮА 269
3. Что вы можете сказать о группе Aut G (группа G редук-
тивна)?
4. Пусть G — полупростая группа. Если Ф имеет / неприводи-
неприводимых компонент, то G имеет в точности 2* замкнутых связных нор-
нормальных подгрупп.
5. Доказать, что Кег Ad = Z(G).
6. Собственная замкнутая нормальная подгруппа почти простой
группы G лежит в Z(G).
7. Если Н — замкнутая нормальная подгруппа группы G, Т —
максимальный тор группы G, то Т Г) Н — максимальный тор груп-
группы Н.
Замечания. Наше изложение здесь несколько отличается от из-
изложения Бореля [4, § 14]; предложение 27.2 в подобном контексте
впервые использовал Стейнберг, см. Стейнберг [1U, лемма 72] или
[13, 3.3], Хамфри [1, лемма 2.1].
§ 28. Разложение Брюа
Как и в § 27, через G обозначается редуктивная груп-
группа, через Т — ее максимальный тор. Мы фиксируем бо-
релевскую подгруппу В группы G, содержащую Т (т. е.
фиксируем базу Д системы корней Ф), и полагаем U =
= BUiN = NG(T).
Наша цель сейчас — развить технику для построения
некоторой нормальной формы элементов группы G, па-
параметризуемой группой В и группой Вейля W. В случае
G = GL{n, К) читатель уже должен быть знаком с ле-
лежащей в основе этого подхода идеей. Заданная матрица
умножается слева и справа на диагональные или верх-
верхние треугольные унипотентные матрицы (соответствую-
(соответствующие элементарным преобразованиям строк и столбцов)
с таким расчетом, чтобы получилась матрица-переста-
матрица-перестановка (представитель элемента группы W в N). Это раз-
разложение G = BNB нетрудно сделать единственным (если
фиксировать представители группы W в N).
28.1. 7-инвариантные подгруппы группы Ва. Алгебра
Ли группы U = BU есть прямая сумма одномерных кор-
корневых пространств да (а>0), причем [ga, (Ы ^ 9а+3-
(Дать точное описание структурных констант в этом ме-
месте было бы, конечно, затруднительно.) Нам необходима
подобная информация о самой группе U или, точнее, о
ее Г-инвариантных подгруппах, например, (f/a, £/3) или
U[\nUnrx (n^N). Если Н — инвариантная относитель-
относительно Т замкнутая подгруппа группы [/, то алгебра Ли {)

370 ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
инвариантна относительно Ad T и, следовательно, яв-
является суммой некоторых подпространств да. Мы хотим
показать, что Я— произведение соответствующих групп
Ua. Точнее, мы будем говорить, что алгебраическая
группа Я прямо порождена своими замкнутыми подгруп-
подгруппами Ни • • •, Нп (в данном порядке), если морфизм про-
произведения #i X ••• ХНп-+Н биективен. (Если мы
знаем, что |) = ^ © ... © |)л, то этот морфизм также се-
парабелен; так как рассматриваемые многообразия яв-
являются гладкими, то, используя частный случай основ-
основной теоремы Зарисского, можно показать тогда, что
это — изоморфизм многообразий. Мы установим этот
изоморфизм более прямым способом в интересующих нас
случаях в B8.5) ниже.)
Важно заметить, что действие тора Т на U не имеет
неподвижных элементов, отличных от е B6.2).
Предложение. Пусть Я— замкнутая инвариантная от-
относительно Т подгруппа группы U. Тогда группа Я связ-
связна и прямо порождена теми подгруппами иа, для кото-
которых па = ga содержится в $ (группы Ua можно взять
в любом порядке).
Доказательство. Пусть W = Ф (Я, Т), так что I) =
= 11 fla- Упорядочим Ч* произвольным образом; пусть
a eXP
цг — (аь ..., ал) и я: ип1 X ... X Ua.n ->H — морфизм
произведения. Это определение имеет смысл, поскольку
при aef группа Ua = Си(Та) содержится в Я (приме-
(применить предложение 18.4А к действию группы Та на Я).
Нам требуется доказать, что морфизм я биективен (от-
(откуда будет следовать, что группа Я связна). Восполь-
Воспользуемся индукцией по dim Я; для этой цели мы предполо-
предположим, что U — связная унипотентная группа, на которой
Т действует без нетривиальных неподвижных точек, а
и — прямая сумма одномерных собственных пространств
относительно Г, соответствующих характерам а с раз-
различными связными ядрами Та-
Сначала мы рассмотрим случай, когда группа Я связ-
связна. Если группа Я коммутативна, то я — гомоморфизм
групп, причем ядро Кегя конечно и инвариантно отно-
относительно Т. Связная группа Т на конечном множестве
Кегя должна действовать тривиально (предложение
8.2(г)), откуда следует, что Кегя содержится в множе-

§ 28. РАЗЛОЖЕНИЕ БРЮА 271
стве неподвижных относительно Т точек группы Я, так
что Н = е. С другой стороны, образ 1тя — замкнутая
подгруппа той же размерности, что и Я, так что она сов-
совпадает с Я (так как группа Я связна).
Если группа Я некоммутативна, то она нильпотентна
и, следовательно, обладает центром положительной раз-
размерности (предложение 17.4(а)), который, очевидно,
инвариантен относительно Т. Рассматривая коммутатив-
коммутативный случай, мы убедились, что группа Z = Z(H)° прямо
порождена содержащимися в ней группами Ua (взяты-
(взятыми в любом порядке!). Заметим, что достаточно доказать
биективность морфизма я, если центральные группы Ua
отодвинуты в конец избранного порядка; пусть, скажем,
эти группы занумерованы следующим образом: Uak+V ...
..., Uan. Если ф: Я-+H/Z — каноническое отображе-
отображение, то группа Т действует естественным образом на
H/Z. Используя индукцию по размерности, мы заклю-
заключаем, что группа ф(Я) прямо порождена группами
Ф^с^), ..., ф(£ЛхА) в заданном порядке. Отсюда сле-
следует, что группа Я прямо порождена группами Uai, ...
.... и...
Наконец, снимем предположение о связности группы
Я. Проведенное только что рассуждение описывает строе-
строение групп U и Я, что позволяет нам, в частности, запи-
записать U = H°V> где V — произведение тех групп £/а, ко-
которые не содержатся в Я0. Таким образом, Я — теорети-
теоретико-множественное произведение групп Я0 и Я П V. Но
группа Hf]V конечна и инвариантна относительно Т;
следовательно, она тривиальна (как и в рассуждении
выше). □
Заметим-, что предложение оставляет нерешенным во-
вопрос, какие подмножества W из Ф+ действительно при-
принадлежат Г-инвариантным подгруппам группы U. Одна-
Однако мы можем указать некоторые интересные примеры.
Пусть /iG N — представитель элемента a e W. Тогда
группа nUn не зависит от выбора представителя смеж-
смежного класса, так как Т нормализует U; поэтому мы мо-
можем позволить себе записать alter1. Аналогично мы за-
запишем a£/acH = f/(j(a). Если B~ = TU~—борелевская
подгруппа, содержащая Т и противоположная к группе
В B6.2), то мы получаем инвариантные относительно Т

272 ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
подгруппы группы U: U0=U ft oUo-\ U0 = U(] aU~lo~l.
Им соответствует разбиение множества корней Ф+:
Фа = {а > 0 |а(а) > 0}, Ф" = {а > 0 |а(а) < 0}.
Предложение показывает, что U = UaUo = UoUo (og
е W), но, вообще говоря, U не является полупрямым
произведением Uo и U'o.
Рассмотрим, что произойдет, если «еД, а = оа. Так
как а — простой корень, то отражение оа переставляет
положительные корни, отличные от а (Д.5). Таким об-
образом, группа Uaa имеет коразмерность 1 в С/(и U =
= UaUo ). Из предложения 17.4 следует, что группа
ila нормальна в U. Мы можем утверждать больше: так
как о2а = ег то группа Uo также нормализуется отра-
отражением оа (т. е. группой Nz У)). Отсюда следует, что
группа Uaa нормализуется группой Za Этот факт вскоре
будет использован.
28.2. Группы полупростого ранга 1. Сделаем прежде
всего несколько общих замечаний. Так как тор Т содер-
содержится в В, то двойные классы ВпВ не зависят от выбора
представителя п данного элемента gg1^ = N/T. В этом
случае удобно писать ВаВ (подобно тому, как мы пи-
писали oUo-{ в B8.1)). Чередования латинских и греческих
букв здесь должно быть достаточно, чтобы читатель не
воспринимал эти обозначения слишком буквально. За-
Заметим далее, что если мы хотим проверить равенство
G = BNB, то это достаточно сделать для образа группы
G относительно морфизма алгебраических групп с яд-
ядром, содержащимся в Z(G). Более точно, если ф: G->
-**G'—морфизм алгебраических групп и KercpciZ(G)c:
с: Г, то группа G'=cp(G) снова редуктивна (или три-
тривиальна) с борелевской подгруппой В' = ф(В), макси-
максимальным тором Г'=ф(Г) и его нормализатором N' =
= (p(N). Т£ким образом, соотношение G' = B'N'B' вле-
влечет G = BNB (и обратно).
Предложение. Предположим, что rank5S(G)=l. Тог-
Тогда G = В U ВоВ (причем множества В и ВоВ не пересе-
пересекаются), где о — нетривиальный элемент группы W.
Кроме того, ВоВ — UoTU, и если п ^ N —фиксирован-
—фиксированный представитель элемента а, то каждый элемент двои-

§ 28. РАЗЛОЖЕНИЕ БРЮА 273
ного смежного класса ВоВ имеет единственное пред-
представление в виде untw (uy w e U, t gT).
Доказательство. Напомним (следствие 25.3), что су-
существует эпиморфизм G-*PGLB,K) с группой Z{G)
в качестве ядра. Ввиду предыдущих замечаний доста-
достаточно доказать все утверждения, если G = SLB,/С).
Ясно, что двойные смежные классы В и ВоВ не пересе-
пересекаются, ибо двойные смежные классы всегда либо сов-
совпадают, либо не пересекаются, и N(]B = T. Очевидно
также, что ВоВ = UoTJJ. Требуется доказать, что каж-
каждый элемент группы G, не лежащий в В, имеет единст-
единственное выражение указанного вида. Непосредственное
вычисление дает (если с Ф 0)
\с d)~\0 1 )\с 0 До 1 )-
Если представитель элемента о фиксирован, например
то, очевидно, диагональная часть определяется по с.
Читатель легко сможет проверить выполнение других
утверждений о единственности. □
Этому результату можно дать геометрическую интер-
интерпретацию. Если G — группа полупростого ранга 1, мы
рассмотрим, как группа U действует на (одномерном)
многообразии G/B, которое, по существу, есть Р1. Груп-
Группа U оставляет, конечно, неподвижной точку, соответ-
соответствующую В (и только ее). Вторая борелевская пбд-
группа, содержащая Г, соответствует точке оВ (т. е.
пВп~1у где п — представитель элемента о) и, согласно
предложению, ее /7-орбита содержит все остальные
точки многообразия G/B.
28.3. Разложение Брюа. Теперь мы можем получить
разложение Брюа для группы G; с его помощью мы по-
получим некоторую нормальную форму для элементов
группы G B8.4).
Теорема. G = U ВоВ (объединение непересекаю-
щихся двойных смежных классов), причем ВоВ =
тогда и только тогда% когда о = т,

274 ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
Доказательство. Согласно теореме 27.3 группа G по-
порождается подгруппами Za, где а пробегает простые кор-
корни. Предложение 28.2 показывает, что ZaczBWB. Чтобы
убедиться, что G = BWB, достаточно, следовательно,по-
следовательно,показать, что множество BWB замкнуто относительно
умножения (слева) на группы Za (aGA). Мы упомя-
упомянули в конце B8.1), что U = UGaUa и что группа Za
нормализует U0(l. Таким образом, любой элемент груп-
группы Za (в частности, представитель aa) можно передви-
передвинуть через Ua .
Пусть оВ=х0 (ogIF)—точка многообразия G/B,
соответствующая одной из \W\ борелевских подгрупп,
содержащих Т. Стабилизатор точки Хо в Za есть одна
из ее двух борелевских подгрупп (обозначим ее через
Ва), содержащих тор Т B5.4). Следовательно, многооб-
многообразие Za/Ba отображается взаимно однозначно на орби-
орбиту точки х0 относительно Za, причем это отображение
эквивариантно относительно Za. Геометрическая интер-
интерпретация предложения 28.2 показывает, что эту орбиту
можно записать в виде Ua * #o U £Лх<?а * #о (независимо от
того, лежит ли Ua в Ва или в противоположной борелев-
ской подгруппе).
Комбинируя выводы этих абзацев, имеем:
= ВаВ[)ВааоВ. В частности, ZaBWB cz BWВ.что и тре-
требовалось.
Два двойных смежных класса ВоВ, ВхВ либо не пе-
пересекаются либо совпадают, так что остается доказать,
что равенство имеет место только при a = т. Для этого
мы воспользуемся тем фактом, что N(]В = Т и преды-
предыдущим вычислением: оаВо аВоВ{]ВоаоВ (a e W, ae
дД), Так как элементы aa (аеД) порождают W, то
естественно привлечь функцию длины (Д.5) на W: 1(о)
есть минимальное число t такое, что a = ааA) ... аа(/>,
а(/)е А. Ясно, что /(а) = 1 в точности тогда, когда a =
= aa (as А), и 1(е) = 0.
Предположим, что ВоВ = ВхВ и (скажем) 1{о) ^
^.1(х). Воспользуемся индукцией по /(о). Если /(а) =
= 0, то а = е, так что из соотношения В = ВхВ следует,
что т нормализует В; но B(]N = Г, откуда х = е. В об-
общем случае запишем о = оао* (ореА), где /(а*) =?

§ 28. РАЗЛОЖЕНИЕ БРЮА 276
= /(о) — 1. Из соотношения ВаВ = ВхВ мы получаем
сгаа*Вт с: ВхВ; следовательно, о*В <= ааВхВаВ%В U ВаахВ
(ибо оа2 = £). Возможны два случая:
(а) о*ВаВ%В. Тогда Ва*В = ВтВ, и, по предполо-
предположению индукции, а* = т, что противоречит неравенству
/(о*) </(о)^/(т).
(б) о*В d ВоатВ. Тогда Во*В = ВаатВ. Очевидно,
/(о*) ^ /(оат), так что по индукции мы имеем о*=оат,
откуда а = ааа* = о^т = т, что и требовалось. П
Аксиоматическая версия разложения Брюа (предло-
(предложенная Ж. Титсом) будет приведена в § 29. Ключевая
аксиома, содержащаяся в только что приведенном дока-
доказательстве равенства G = BWB, состоит в следующем.
Следствие (доказательства). Если аеД, oeW, то
оаВоаВоВ{)ВоаоВ. □
Стоит отметить простое следствие теоремы, которое
отнюдь не очевидно на более ранней стадии изложения.
Следствие. Пусть В' — произвольная подгруппа Бо-
реля группы G. Тогда группа В[\В' связна и содержит
максимальный тор группы G.
Доказательство. Как мы знаем, группы В и В7 сопря-
сопряжены B1.3). Согласно теореме сопрягающий элемент
можно записать в виде uob (wet/, ogIP, b e В), так
что В' = иаВа-1и-К Но аГсН = Т и uTu~l cz В, так что
максимальный тор Т' = иоТо-1и~1 группы В' содержит-
содержится также в В. Если мы запишем В/ = Г/[/, то В П В' ■=
= Т'Н, где группа Я = В П В' П U замкнута и инвариант-
инвариантна относительно Т\ Ввиду предложения B8.1) группа Я
связна; поэтому и группа В П В7 связна. П
28.4. Нормальная форма для элементов группы G.
Двойные смежные классы ВаВ можно также записывать
в виде UoB или в виде UoTU, но здесь [/-компоненты
заданного элемента определены неоднозначно (исклю-
(исключением являются группы ранга 1, см. B8.2)). В общем
же случае некоторая часть группы U может быть пере-
■ ставлена с о (и Г) и соединена со второй копией группы
U. После этого уточнения разложение оказывается одно-
однозначным.
Напомним рассуждение, приведенное в конце B8.1),
где для каждого элемента ogI^ мы устраивали разбие-
разбиение положительных корней и записывали U = UaUo' =

276 ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
U'aU<j (прямое порождение). Отсюда следует, что
B UoB = UaUaoB = UfCGB, так как a~lUooczU.
Теорема. Для каждого элемента а е W зафиксируем
представитель п(о) е N. Тогда каждый элемент ^еб
можно записать в виде x = wn(o)tuy где все элементы
о е Wy t еГ, wet/, и'^U'o определены однозначно
элементом х.
Доказательство. Существование такого разложения
вместе с тем фактом, что х однозначно определяет вы-
выбор о, следует из теоремы 28.3 и предыдущих замечаний.
Предположим, что мы также имеем x = v'n(o)tov [v^U,
v'<z=Uo, toe=T). Тогда tu= {n{o)-l(w-lv'Jn(o))tov.
Но выражение в скобках принадлежит o~ll)ao czU~ и
Ц-[)В = e; поэтому это выражение равно е и u' = v.
Кроме того, tu = fav, откуда t = U и и = v (так как
Tf]U = e). □
28.5. Дополнения. До сих пор мы не обращали внима-
внимания на топологический аспект разложения Брюа. Пусть
В~= TU-, как и выше, и пусть о0 — (единственный) эле-
элемент группы W, преобразующий В в В~.
Предложение. Отображение произведения п: £/~Х
X В -> G определяет биекцию множества U- X В на от-
открытое подмножество Q группы G (называемое большой
клеткой).
Доказательство. Так как U~ П В = е, то отображение
я, конечно, инъективно. Кроме того, dim Q = dim vr +
-|L dim Ь = dim g = dim G, так что конструктивное мно-
множество Q содержит плотное открытое подмножество
группы G. Но Q есть сдвиг при помощи о0 двойного смеж-
смежного класса BgqB. Таким образом, достаточно показать,
что множество BgqB открыт* или что множество Bgo'Xq
открыто в G/B (здесь х0 — точка, соответствующая В).
Множество Bgo'Xq конструктивно и является В-орбитой;
поэтому оно открыто в своем замыкании (8.3); но мы
отмечали, что это последнее совпадает с G/B. П
Мы можем уточнить тот факт, что множество Q от-
открыто в G. Выберем базис алгебры Ли д, содержащий
элементы ха ^ д« для каждого корня а е Ф, а также
некоторый базис алгебры t и образуем m-ю внешнюю
степень пространства д, на котором группа G действует
посредством присоединенного представления (пг =

§ 28. РАЗЛОЖЕНИЕ БРЮА 277
= card<D+). Пусть / — координатная функция на G, со-
соответствующая внешнему произведению тех ха, для ко-
которых а > 0. Ясно, что / — полиномиальная функция" на
G, и можно показать, что Q — в точности главное от-
открытое множество, состоящее из всех тех точек груп-
группы G, в которых / не обращается в 0 (см. замечания
ниже).
Для целей следующей главы важно знать, что я:
G"ХВ->Й — в действительности изоморфизм многооб-
многообразий. В самом деле, морфизм я биективен и сепарабе-
лен, последнее — благодаря тому, что его дифференциал
отображает пространство и~фЬ изоморфно на g (= ка-
касательное пространство к Q в точке е, см. E.5)). Отсюда
следует, что морфизм я бирационален D.6) и, следова-
следовательно, что его ограничение на некоторое плотное откры-
открытое подмножество множества Lf-уСВ есть изоморфизм
D.7). Множество всех таких открытых множеств имеет
максимальный элемент (ввиду условия обрыва возрас-
возрастающих цепей открытых множеств); обозначим его через
О. Но морфизм я (слева) £/~-эквивариантен и (справа)
В-эквивариантен; поэтому множество О инвариантно от-
относительно левых умножений на U~ и правых умноже-
умножений на В (ввиду максимальности). Отсюда следует, что
о = и~хв.
Это рассуждение использует (как и в § 12) однород-
однородность, вытекающую из наличия группового действия.
В действительности, опираясь на некоторый вариант ос-
основной теоремы Зарисского, мы могли бы показать, что
сепарабельный биективный морфизм многообразий яв-
является изоморфизмом при условии, что многообразие,
в которое осуществляется отображение, гладко (или
хотя бы «нормально»).
Отображение произведения UoXUo-~+U в B8.1),как
можно показать при помощи аналогичного рассуждения,
является изоморфизмом многообразий. В главе XI нам
потребуется подобный результат для более чем двух
множителей, например нам будет необходим факт, что
отображение произведения Ua{ X • • • X Uam~>U есть
изоморфизм многообразий, если аь ..., ат — положи-
положительные корни, взятые в любом порядке. Этот факт
можно доказать индуктивно, если использовать суще-

278 ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
ствование ряда Г-инвариантных связных нормальных
подгрупп группы £/, каждая из которых — коразмерно-
коразмерности 1 в последующей (теорема 19.3), и привлечь предло-
предложение 28.1.
Упражнения
1. Соответствие Н-+Ъ — инъективное отображение множества
всех Т — инвариантных подгрупп группы U во множество всех Г-ин-
Г-инвариантных подалгебр алгебры и.
2. Пусть #, хНх~* (х е U) — замкнутые инвариантные относи-
относительно Т подгруппы группы U. Доказать, что Н = xHx~i. (Восполь-
(Воспользоваться предложением 28.1 и индукцией по dim U при переходе к
U/Ufi для некоторой подгруппы U^a Z (£/).)
3. Пусть а, реФ+. Доказать, что группа (£/а, U$) содер-
содержится в произведении (в любом порядке) тех групп £/*а+/з> для
которых i, j > 0 и ia + /Р s Ф.
4. Выписать точные формулы для коммутаторов в группе U,
использующие Ua> Up если G = SLC, К) S/?D, К).
5. Закончить доказательство единственности в B8.2).
6. Назовем две борелевские подгруппы далекими, если их пере-
пересечение есть тор (всегда максимальный согласно следствию 28.3).
Если группы В\ В" обе далеки от В, то доказать, что группа В'
сопряжена с В" при помощи некоторого элемента из В.
7. Доказать, что dim Uo = t (cr), a e W. (Использовать Д.5.)
8. Пусть G = SLB, К), и Q — как и в B8.5). Доказать, что
матрица I , I принадлежит Q тогда и только тогда, когда
а ф о. (Если G = SL(ntK)t то критерий принадлежности элемента
х е G множеству Q состоит в том, что все главные миноры матри-
матрицы х отличны от 0).
9. Пусть Н — алгебраическая группа, ср: G -*■ Н — гомоморфизм
абстрактных групп. Если ограничение ф|В — морфизм, то доказать,
что и ф — морфизм. (Использовать изоморфизИ Q ^ U~ X В.)
10. Из предположения о справедливости следствия 28.3 вывести
существование разложения G = BNB в теореме 28.3.
11. Дать другое доказательство утверждения о единственности
в теореме 28.3, основываясь на следующих соображениях. Если
ВаВ = ВхВ, то для представителей п(о), п(т) еЛ/ существуют эле-
элементы Ь, Ъг е В такие, что Ьп(а) = п(ч)Ъ', Для произвольного / е Т
тогда bn{G)tn(o)-ib-i = n{x)b'tb'-xn(x)-x gB. Переписать левую
часть в виде n(o)tn(a)~iv и правую часть в виде (^(т)/п(т)-4)Х
Х(^(т)у/^(т)~1) для некоторых элементов u,u'eB« и заключить
что сг = т.
Замечания. Разложение Брюа было первоначально найдено для
классических линейных групп Ли; затем оно было использовано при
изучении конечных простых групп и алгебраических групп Шевалле
[7], [8] и позднее аксиоматизировано Титсом [3]. У Стейнберга

§ 29. СИСТЕМЫ ТИТСА 279
[13, 2.14] разложение Брюа для некоторых классических групп вы-
выводится непосредственно. По поводу более точного описания боль-
большой клетки B8.5) и роли, которую она играет, см. Шевалле [11],
Борель [6, 4.5].
§ 29. Системы Титса
Под влиянием статьи Шевалле [7] Тите выделил не-
некоторое множество аксиом для описания строения про-
простых групп Шевалле (и их модификаций, построенных
позже), получив в результате единое доказательство про-
простоты для всех типов групп. Возникающие на этом пути
«системы Титса» имеются во всех редуктивных алгебраи-
алгебраических группах, а также в их подгруппах (быть может,
конечных), состоящих из всех их матриц с коэффициен-
коэффициентами в некотором подполе поля 7^. Они также появляют-
появляются, хотя и несколько иным путем, в простых алгебраиче-
алгебраических группах над локальными полями (см. C5.4)). Вви-
Ввиду того, что этот аксиоматический подход чрезвычайно
полезен и ясен, мы изложим его здесь, несмотря на то,
что наши применения будут относиться исключительно
к редуктивным группам над К. Помимо более точного
описания параболических подгрупп, мы выведем из этих
аксиом полезное представление образующими и соотно-
соотношениями группы Вейля, что найдет существенное приме-,
нение в § 32, а также критерий полупростоты, из которо-
которого будет следовать, что простая алгебраическая группа
не имеет собственных нормальных подгрупп, не содер-
содержащихся в ее центре. (Этот последний результат нигде
в дальнейшем использоваться не будет.)
Чтобы избежать перегрузки обозначений и сделать
рассуждения более интуитивными, мы сохраняем в аксио-
аксиомах большинство уже введенных обозначений: G, В, Г,
N, W, ... Однако корни группы G относительно Т обо-
обозначаются несколько иначе. Именно, выбор группы В
определяет множество простых корней и, следовательно,
множество 5 простых отражений (которые порождают
W)\ для обозначения этих отражений мы используем
букву р, а через а будем обозначать произвольный эле-
элемент группы W.
29.1. Аксиомы. Пусть G — группа, порожденная дву-
двумя подгруппами В и N, где группа T = B[\N нормальна

280 ГЛ. X СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
в N. Обозначим фактор-группу N/T через W и предпо-
предположим, что 'W порождается подмножеством 5, состоя-
состоящим из инволюций (т.е. элементов порядка 2). Такие
обозначения, как ВаВ или оВ или Во (о е W) допусти-
допустимы, поскольку любые два представителя элемента а
в N отличаются только на элемент из Г и Г с Б. Чет-
Четверку (G, В, N, S) мы называем системой Титса, если
выполняются следующие аксиомы:
(Т1) если peS,as^, то рВа с ВаВ [} ВраВ;
(Т2) если peS,TO pBp Ф В.
Группа W называется группой Вейля системы Титса,
а card5 — ее рангом. В большинстве применений ранг
конечен, тогда как группа Вейля может быть конечной
или бесконечной. (В любом случае никакие ограничения
на мощность пока не налагаются.) Мы называем В или
любую сопряженную с 1ней подгруппу группы G борелев-
ской подгруппой группы G.
Аксиома (Т1) является выражением того факта, что
произведение двух двойных смежных классов ВрВ и
ВоВ (при pGS) содержится в объединении указанных
там двух двойных смежных классов. Несимметричность
этой аксиомы относительно аир может быть устранена,
если мы перейдем к обратным элементам и воспользуем-
воспользуемся предположением о том, что р2 = е:
(Т1') если pGS.'oGf, то оВр cz BgB [} ВорВ.
Пример системы Титса, который должен сразу же
прийти в голову: G — редуктивная алгебраическая груп-
группа, В — борелевская подгруппа, содержащая максималь-
максимальный тор Г, N = NG (Т), W = N/T — группа Вейля, и 5 —
множество простых отражений, соответствующих базе
системы корней, определенной группой В. Мы зтаем,что
группа G порождается борелевскими подгруппами, со-
содержащими Т (следствие 25.2В) и, следовательно, груп-
группами В и Nf причем 5 состоит из инволюций и порож-
порождает W B7.3). Аксиома (Т1)—это в точности след-
следствие 28.3, а аксиома (Т2) следует из того факта, что W
действует на Эг однотранзитивно B4.1). Предостереже-
Предостережение: в этом примере cards есть ранг системы корней,
т. е. полупростой ранг группы G. Таким образом, ранг
системы Титса не обязательно является полным рангом
группы G. (Дело в том, что центр группы G не играет
здесь никакой роли.)

§ 29. СИСТЕМЫ ТИТСА 281
29.2. Разложение Брюа. В дальнейшем через (G, В,
N, S) обозначается система Титса, с группой Вейля W.
Назовем выражение a = pi ... ри (pt ^ S) приведенным,
если k — наименьшее возможное число, и запишем 1(о) =
= k (это длина элемента о относительно S). По опреде-
определению 1(о) =0 тогда и только тогда, когда о = е. Оче-
Очевидно, что 1(о) =1 тогда и только тогда, когда a e 5.
Для каждого подмножества I aS обозначим через
Wi подгруппу группы Wy порожденную множеством /.
Положим Pi = BWiB (множество произведений), так что
РФ = В.
Теорема, (а) Если I с: 5, то Pi — подгруппа группы
G (в частности, группа Ps = BWB совпадает с G, так
как группы В и N порождают G).
(б) При о, о' еУ соотношение ВоВ = Во'В имеет
место тогда и только тогда, когда о = о'.
Доказательство, (а) Множество Р/_замкнуто относи-
относительно взятия обратных элементов и относительно левых
умножений на элементы группы В, так что достаточно
проверить замкнутость относительно левого умножения
на элемент ре/. Но (Т1) влечет pBWiB czBWiB\]
\}BpWiBaPi.
(б) В доказательстве нуждается лишь часть «только
тогда». Для этого мы повторим рассуждение в B8.3).
Воспользуемся индукцией по Z(a), причем мы можем
предполагать, что /(a) ^Z(a'). Если 1(о) =0, то а = е
и предположение принимает вид В = Во'В. Отсюда сле-
следует, что представитель элемента о' в N принадлежит
группе В. Но Bf\N = Г, так что о' — е. Таким образом,
ВоВ = Во'В, и мы можем считать, что l(o) ^ I. Запи-
Запишем о = ро* (pGS), где 1{о*) = 1(о) — 1. Следователь-
Следовательно, оВ = ра*В с: Во'В, или o*BczpBo'B (ибо р2 = е).
Используя (Т1), получаем о*В а Во'В [} Вро'В. В част-
частности, Во*В совпадает с одним из этих двойных классов.
Предположим, что Во*В = BofB. По предположению
индукции a* = a', а это противоречит тому факту, что
/(а*) < 1(о) < l(o'). Следовательно, Во*В = Вро(В.
Очевидно, /(а*) =^/(ра')> так чт0 из предположения ин-
индукции следует, что о*=ро', или pa*=a', или о = о'. □
Отметим, что мы пока не обращались к аксиоме (Т2).
29.3. Параболические подгруппы. Мы собираемся
уточнить аксиому (Т1), связав включение, указанное в

282 ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
формулировке этой аксиомы, с длинами элементов груп-
группы W. Эта информация будет затем использована для
доказательства того факта, что единственными подгруп-
подгруппами группы G, содержащими В, являются группы Pi
из B9.2). Заметим, что аксиома (Т1) вместе с утверж-
утверждением (б) теоремы 29.2 позволяют нам заключить (при
ре S), что
(*) рВа cz Врав <=> рВа П ВоВ = 0.
Лемма А. Пусть peS, aEf.
(а) Соотношение /(pa) ^ 1(о) влечет pBaczBpaB.
(б) Соотношение /(pa)^/(a) влечет рВо[\ВоВФ0.
(в) /(ро)=/(о)±1.
Доказательство. Заключения утверждений (а) и (б)
несовместимы, ввиду (#), так что /(pa) Ф1(о). С другой
стороны, /(pa) не может, очевидно, отличаться более
чем на 1, от /(а). Поэтому (в) будет следовать из (а)
и (б).
(а). Воспользуемся индукцией по /(а); случай /(а) =
= 0 очевиден. Запишем a = a'p', где p'GS и l(o') =
= /(a) — 1. От противного предположим, что рВа имеет
пересечение с ВоВ. Умножение справа на р' дает рВа'П
П ВаВр' Ф 0. Но /(ра') ^ /(ра'р) — 1 = /(ра) — 1 ^
^ /(а)— 1 = /(а')- По предположению индукции pBa'cz
cz Вра'В, откуда ВаВр' П Вра'В Ф 0. В свою очередь
аксиома (Т1) показывает, что ВаВр' с: ВоВ [} Вор'В =
= ВоВ U Во'В. Следовательно, класс Вра'В пересекается
(и, следовательно, совпадает) с одним из этих двойных
смежных классов. По теореме 29.2F) либо pa' = а (что
невозможно, так как Z(a') </(o) ^l(po) по предположе-
предположению), либо pa' = a', p = e (что также невозможно, ибо
р имеет порядок 2). Это противоречие доказывает спра-
справедливость утверждения (а).
(б) Здесь мы используем обе аксиомы. Из (Т1) вы-
вытекает, что pBpczBpBUB; следовательно, аксиома (Т2)
в действительности означает, что рВр[\ВрВ Ф 0. Умно-
Умножая это справа на pa, получим рВа П ВрВра Ф 0. Но, по
предположению, /(р2а) =/(а) ^/(ра), так что из (а)
следует, что ВрВро cz ВоВ, откуда pBa fl ВоВ ф 0. П
Из (в) следует, что число появлений р' в любом вы-
выражении (приведенном или нет) для элемента o^W
имеет ту же четность, что /(а).

§ 29. СИСТЕМЫ ТИТСА 283
Лемма Б. Пусть о = pi ... р* (приведенная форма)
и пусть I = {pi, ..., р*}. Тогда группа Pi порождается В
и оВо~1 или В и о.
Доказательство. Положим а'= pio, так что Z(a')<
<; /(а). Утверждение (б) леммы А показывает, чтор\Ва
имеет пересечение с ВоВ; в частности, р! е ВоВо~1В,
что содержится в группе, порожденной В и оВо~1. Ис-
Используя индукцию по /(а), мы можем предположить уже,
что элементы р2, ..., р* лежат в группе, порожденной В
и 0'Ba'-1 = pioflcHpi. Комбинируя эти два шага, мы
заключаем, что группа Р/= BWiB порождается В и
аВсН. Но (В, o5o>cz<B, a>c: Р/, так что везде имеет
место равенство. □
Из леммы Б следует, что множество элементов psS,
которые появляются в приведенном выражении для о,
однозначно определяется элементом о (упражнение 4).
Отметим некоторые другие следствия этой леммы, пред-
представляющие непосредственный интерес.
Лемма В. S совпадает с множеством тех элементов
aslF, для которых В [} ВоВ — группа (таким образом,
G, В, N определяют S однозначно), и S — минимальное
множество образующих для W.
Доказательство. Если / = {р}, pGS, то Wi = {е, р}
и Pi = В U ВрВ — группа в силу теоремы 29.2(а). Обрат-
Обратно, если В U ВоВ — группа и a = р! ... pk — приведенное
выражение, то {рь ..., р&} cz <B, о> = В [} ВоВ по лем-
лемме Б. Так как порядки элементов р/ равны 2, то из
теоремы 29.2F) следует, что р* = о, откуда aeS
(и*=1).
Предположим наконец, что подмножество S' cz S по-
порождает W. Очевидно, что (G, В, N, S') —снова система
Титса с группой Вейля W> так что сделанный только что
вывод показывает, что множество S' можно охарактери-
охарактеризовать как множество тех элементов qgI^, для кото-
которых В U ВоВ — группа. В частности, S czS'. D
Лемма Г. Пусть ое Wy и пусть /, J czS. Если
oPiO~l cz Р/, то о е Р/ (т. е. все представители смежного
класса, отвечающего о, принадлежат Pj).
Доказательство. По предположению обе группы В и
аВо~1 принадлежат Pj, так что и представители смеж-
смежного класса, отвечающего а, принадлежат Pj согласно
лемме Б. □

284 ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
Подгруппу группы G назовем параболической, если
она содержит борелевскую подгруппу (т. е. подгруппу,
сопряженную с В). Теперь мы можем доказать, что каж-
каждая параболическая подгруппа сопряжена с некоторой
группой Р/.
Теорема, (а) Единственными подгруппами группы G,
содержащими В, являются подгруппы вида Pfy где I czS.
(б) Если группа Pi сопряжена с Ру, то Pi = Pj.
(в) Ng(Pi) =P/ (в частности, NG(B) =B).
(г) Если Wi a WJy то / с /.
(д) Если Р/ cz P/, то I cz J.
Доказательство, (а) По теореме 29.2(а) любая под-
подгруппа Н группы G, содержащая В, представима в виде
объединения двойных смежных классов ВоВ. Пусть / —
множество всех peS, которые появляются в приведен-
приведенных выражениях для таких gg W. Тогда, очевидно, Н cz
а Р/. С другой стороны, из леммы Б следует, что Р/с: Н.
(б) Так как группы В и N (или W) порождают G,
то две подгруппы, содержащие В, сопряжены в G, только
если они сопряжены при помощи некоторого элемента
ogIF.Ho тогда применима лемма Г.
(в) Применяем снова лемму Г.
(г) Каждый элемент ре/ есть произведение некото-
некоторых элементов множества /, так что лемма В влечет
IczJ.
(д) Если Р/ cz Р/, то Wi cz Р/, и тогда Wi cz Wj (тео-
(теорема 29.2F)), откуда I cz J ввиду утверждения (г). □
Эта теорема показывает, что решетка подгрупп rpfn-
пы G, содержащих В, изоморфна решетке подмножеств
множества S (упорядоченных по включению) или ре-
решетке подгрупп Wi группы W.
29.4. Образующие и соотношения для W. Если ранг
системы Титса равен 1, то ее группа Вейля порождается
одним элементом р с одним определяющим соотноше-
соотношением р2 = е. В случае, если система Титса имеет ранг 2,
группа W имеет две образующие рь р2, которые удовлет-
удовлетворяют по крайней мере соотношениям р/ =е (i= 1,2).
Если элемент pip2 имеет конечный порядок (скажем, т),
то W — гомоморфный образ абстрактной группы с обра-
образующими и соотношениями (рь р21 р? == в = (pip2) ). Хо-
Хорошо известно (и легко доказать), что эта последняя
группа изоморфна диэдральной группе Dm порядка 2т.

§ 29. СИСТЕМЫ ТИТСА 285
Но W также имеет порядок 2т; в противном случае она
совпадала бы со своей циклической подгруппой <pip2>
порядка т и, следовательно, содержала бы единствен-
единственную подгруппу <pi> = <р2> порядка 2, что невозможно.
Это показывает, что группа W диэдральна. Если элемент
р{р2 имеет бесконечный порядок, то группа Wy очевидно,
изоморфна бесконечной диэдральной группе Doo, абст-
абстрактное представление которой таково (рь p2lp^ = g).
Для упрощения обозначений мы будем предполагать,
что множество 5 конечно и состоит из / элементов (хотя
последующие рассуждения проходят для произвольного
множества образующих). По определению группа Кок-
стера ранга / есть группа с образующими р, (I ^ i ^ Z)
и определяющими соотношениями (p;P/)m(/f ^) = в, где
m{iy i) = 1 и 2 ^ m(i9 j) = m(j, i) ^ oo при / ф j. (Если
m{iyj) = oo, то мы просто опускаем соответствующее со-
соотношение.) Мы уже видели, что группа Вейля системы
Титса ранга ^2 есть группа Кокстера. Наша цель —
доказать это в общем случае. В качестве первого шага
мы заметим, что группа W удовлетворяет условию за-
замены.
Лемма». Пусть р.A) ... pi(t) — приведенное выражение
для элемента asf Предположим, что l(pii0)o)^l(o)'
Тогда существует такое число s, I ^ s ^ ^, что
)A) ()() (s)
Доказательство. По лемме А в B9.3) pt {0)B cz BoBe~lB,
что (ввиду повторного применения аксиомы Т1) содер-
содержится в объединении всех двойных смежных классов
Sapi(rtl) ... рцпг)В, где r^t и t^ni>n2> ... >nr^z
^ 1. В частности, согласно теореме 29.2, элемент р*@)
равен одному (и только одному!) из указанных элемен-
элементов группы W. Но /(а) — / и /(Р/(о))=1; ясно поэтому,
что r = t—1, так что только один элемент pi{s) был
опущен. Этот выбор числа s удовлетворяет лемме. □
Теорема. Пусть m(i,j) (^ oo)—порядок элемента
РФ/ в W A ^ i, j < /). Пусть я: Ф -> W — канонический
эпиморфизм, где w — группа Кокстера (ph 1^/^
^ 11 (?i9f)mitt!) = е)- Тогда я — изоморфизм.
Доказательство. A) Первый шаг состоит в том, что-
чтобы показать, что если р/A) ... pi{t) и р/A) ... рт — два

286 ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
приведенных выражения некоторого элемента о из W, то
р/A> -.. рг@ ===== р/A). • • р/(Ов#. Для этого мы воспользуем-
воспользуемся индукцией по t; случай t = 1 тривиален. Предполо-
Предположим, что результат доказан для длин < t. Для крат-
краткости мы пишем (/A), ..., i(s)) ~ (/A), ..., /(s)), если
P/d) ••• Рм5) = Р/A) ••• Р/E)м эти выражения приведены.
Таким образом, наше предположение состоит в том, что
(Ш),...,i(/))~(/(i),...,/(*))■
Так как левое умножение на /A) сокращает длину
элемента а, то условие замены позволяет нам найти та-
такое число 5, 1^5^/, для которого (/A), ..., i(s)) ~
~(/A), /A), ..., /E—1)). Следовательно, (/A), ...
/())(Ф) ())(( Ф) (l)
ф+1),...,/(/)), откуда (/B), ..., /(*))-(Ш), ...
( ()
M( )))
По предположению индукции р/B) ... p/w) == pf a) ...
••• Pms-1)Pms+D ••• Рм«' ИЛИ P/d) *•• Р/Ш = РУA)РМ1) ••'
• • • Р/ (s-i)P/ (s+i) • •• Р* («• В слУчае 5 < t индукция также
дает р, A)... р^ E)... р, {t) = ру A)pt. A)... pt. (s_X)pt E+1)... р,- ю,
что завершает доказательство.
Остается случай 5 = t, когдар/A). ..р/@==р/A)р/A)...
... р/(^1} (и /A) т==/A)). Первоначальная задача была
заменена задачей, относящейся к соотношению (i(l),
*B), ..., /@) — (/A), *'(!), .... *(<-!)). Повторим
рассуждение выше, на этот раз используя левое умно-
умножение на j(l) для сокращения длины; тогда либо A)
доказано, либо мы приходим к соотношению (t(l), /A),
i(l), ..., i(f-2))~(/(l), f(l), ..., i(t-l)). Это при-
приводит в конце концов к последовательности длины t,
содержащей только /A), /A) (попеременно). Утвержде-
Утверждение, что соответствующие элементы группы W равны (и
приведены), равносильно утверждению, что / равно т=
= т(/A),/A)), так как подгруппа группы W, порожден-
порожденная р/A) и р/{1), является, как мы видели выше, диэд-
ральной. В частности, так как (p.(I)p/(l))"*==e и (р2) = е,
то мы завершаем доказательство шага A).
B) Ввиду шага A) мы имеем возможность опреде-
определить функцию ф: И?->1^ посредством соотношения
ф(Р/A) •♦• Рщ)) = Рц\) ••• Pi(ty коль СК0Р° первое выра-

§ 29. СИСТЕМЫ ТИТСА 287
жение является приведенным. Очевидно, n(p = \w, так
что отображение ф инъективно. Достаточно доказать, что
оно сюръективно или что образ 1тф (который содержит
все образующие pi) есть подгруппа группы W. Так как
множество 1тф, очевидно, замкнуто относительно взя-
взятия обратного элемента (ибо р* и р*— инволюции), то
достаточно показать, что множество 1тф замкнуто от-
относительно левого умножения на все элементы р^@).
Пусть, скажем, выражение р. {0)pt A) ... р^ {t) приведено.
Тогда р. @)Ф (р. A) ... р< (t)) = Ф (р, @) ... рш) и дока-
доказывать нечего. В противном случае условие замены поз-
позволяет нам записать Р,(О)Р,A) ... pMs_1}PMs+1) ... 9i{t) =
=Рц{) ... 9i{tr Ввиду шага A) соответствующее уравне-
уравнение справедливо в W. Умножая обе части этого уравне-
уравнения на р/@) (заметим, что р?@) = б)) заканчиваем дока-
доказательство теоремы. □
Особенностью группы Кокстера (такой, как W) яв-
является то, что ее определяющие соотношения возникают
из подгрупп (Кокстера) ранга ^ 2. В § 32 мы увидим,
что подобное явление имеет место для редуктивных алге-
алгебраических групп, что позволит нам свести проблему
классификации к случаю ранга 2.
29.5. Нормальные подгруппы группы G.
Лемма. Пусть Я— нормальная подгруппа группы G.
Тогда* существует разложение S = / U / такое, что эле-
элементы множеств I и J попарно перестановочны и НВ —
р
Доказательство. Так как группа Я нормальна, то
НВ — параболическая подгруппа, и, следовательно, НВ
совпадает с некоторой группой Р/ (теорема 29.3(а)).
Пусть / = S — /. Мы должны показать, что / и / поэле-
поэлементно перестановочны. Пусть /' = {р е S | ВрВ П Н Ф
Ф0}. Мы утверждаем, что 1 = 1'. Так как HB = PIf то
включение 1а Г очевидно. Обратно, если ВрВ имеет
пересечение с Я, то ВрВ а НВ, так что по теореме 29.2
ре/.
Возьмем теперь ре/, р'е/. Ясно, что I(pp/)^
^ 1 =; (р)} так что лемма А в B9.3) показывает, что
рБр'сийрр'Б, или р'ВрВр'сгр'Врр^ВсгВрр'ВиВр'рр'ВСП).
Ввиду предыдущего абзаца группа Я имеет нетривиаль-
нетривиальное пересечение с ВрВ; так как группа Я нормальна,

28В ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
то она также имеет пересечение с сопряженным мно-
множеством р'ВрВр'(р'2 = е), которое содержится в указан-
указанном объединении двойных смежных классов. Следова-
Следовательно, группа Я имеет пересечение с одним из этих
классов и либо рр', либо р'рр' принадлежит Wj. Первое
невозможно, так как р'рр' е W1П Й^{Р, р'} ~ W/n {о, р'} =
=zW{Q)={e9p} (здесь мы воспользовались теоремой
29.3 (г), см. упражнение 5). Ясно, что р'рр' ф е, так что
р'рр' = р, откуда следует, что элементы р и р' пере-
перестановочны. П
Любое разбиение множества 5 на два подмножества
/, /, элементы которых попарно перестановочны, приво-
приводит к разложению группы W в прямое произведение
WiY^Wj. Если никакое разложение такого рода невоз-
невозможно, то мы говорим, что группа неприводима. В этом
случае нормальная подгруппа группы G должна быть
(в соответствии с леммой) довольно «большой» или со-
содержаться в В и, следовательно, во всех подгруппах, со-
сопряженных с В. Запишем Z = Г\х*=ахВх~1. (Если G—
редуктивная группа, то Z — центр группы G). Для того
чтобы получить полезный критерий простоты, необхо-
необходимо наложить дальнейшие ограничения.
Теорема. Пусть группа W неприводима и предполо-
предположим, что группа G порождается группами, сопря-
сопряженными с некоторой нормальной подгруппой U груп-
группы В. Если G = (G, G), то группа G/Z проста, или три-
тривиальна.
Доказательство. Требуется доказать, что нормальная
подгруппа Н группы G, не содержащаяся в Z, совпадает
с G. Используя лемму и неприводимость группы W, мы
получаем, что G = ИВ. Нормальность группы U в В ве-
цет к тому, что подгруппа HU содержит все ЯВ-сопря-
женные с U подгруппы (т.е. все G-сопряженные); эти
последние порождают G, так что в действительности
G = //£/.
Стандартная теорема об изоморфизмах показывает,
что U/(U П Я) ^ HU/H £ё G/H. В левой части стоит раз-
разрешимая группа (так как группа U разрешима), тогда
как в правой части — ее коммутант (так как группа G
совпадает со своим коммутантом), следовательно, G =*=
= Я. □

§ 29. СИСТЕМЫ ТИТСА 289
Следствие. Пусть G — простая алгебраическая груп-
группа, Z — ее (конечный) цент р. Тогда группа Q/Z проста
как абстрактная группа.
Доказательство. Примем в теореме 27.5 в качестве U
группу Ви (или даже саму В!). □
Заметим, что для конечных (или других) подгрупп
алгебраической группы, не совпадающих со своими ком-
коммутантами, необходима менее ограничительная форму-
формулировка теоремы, доказанной выше. (Пример: группа
PGLB, k), где k — подполе поля К; коммутант, как пра-
правило, совпадающий с PSLB> &), может быть ее собствен-
собственной подгруппой). Пусть, как и ранее, группа W неприво-
дима. Потребуем, чтобы U была нормальной разреши-
разрешимой подгруппой группы В, для которой В = TU, и что-
чтобы G'=(G',G')y где G'—(нормальная) подгруппа
группы G, порожденная всеми подгруппами, сопряжен-
сопряженными с U. Тогда можно показать, что каждая подгруппа
группы G, нормализуемая G', содержится в Z либо со-
содержит G'; в частности, группа G'/(G' f)Z) проста (или
тривиальна).
Упражнения
З/Ьесь (G, В, Nt S) — система Титса с группой Вейля W.
1. Доказать, что для каждого подмножества / с= 5 четверка
(Р#, В, Nr, /) есть система Титса с группой Вейля Wr, здесь через
Ni обозначается прообраз группы Wi в N.
2. Если аксиому (Т2) заменить условием рЯр" ф В(р е 5),
то факт, что множество 5 состоит из инволюций, можно вывести из
других предположений. (Заметить, что двойные смежные классы
Вр~1В и ВрВ имеют общие элементы, так что В а ВрВрВ.)
3. Пусть а = pi... рл, причем /(а) — k. Доказать, что ВоВ =
= (£pi£) (Вр2В) . ,.(BpkB). (Воспользоваться леммой 29.3А.)
4. Вывести из леммы 29.3Б, что множество элементов peS,
которые появляются в приведенном выражении для элемента oelF,
однозначно определяется элементом ст.
5. Доказать, что №7n/= Wi(] W/ при /, / с= 5.
6. Пусть / — множество индексов, и пусть G' — группа, дей-
действующая на / дважды т^ранзитивно. Зафиксируем различные ин-
индексы /, /s/ и положим В' = {я е Gr | jt(i') = /}, N' =»
= {я е (?' | Ji{t, у} = {£, /}}. Показать, что группа V = В' П N1 нор-
нормальна в N' и что порядок группы W = N'lT' равен 2. Если
5' = {р}, где р порождает W, то доказать, что ((?', В', N', S') —
система Титса ранга 1.
7. Пусть (G, В, N, S) —система Титса ранга 1 и S = {р}, так
что G — В U ВрВ. Группа G действует на G/B (при помощи левых
умножений), причем В = {х е G \ хВ = В]. Пусть Л^ — подгруппа
группы G, оставляющая инвариантным множество {Вг рВ). До-

290 r^. х- СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
казать, что G действует дважды транзитивно на G/B (см. упражне-
упражнение 6).
8. Система Титса называется насыщенной, если П хВх~1 = Т
(в общем случае это пересечение содержит Т). Обозначим это пере-
пересечение через Г', и пусть N' = {N, ТО. Доказать, что группа
W = N'lT канонически изоморфна группе W = N/T. Если мно-
множество 5' соответствует S (при этом изоморфизме), то доказать, что
(G, В, N', S')—насыщенная система Титса (с группой Вейля W).
9. Доказать, что множество S можно единственным образом
разбить на множества /i, ..., Iu элементы которых попарно комму-
коммутируют, так что W = Wj X • • • X Wj и никакое дальнейшее такое
разбиение невозможно.
10. В доказательстве теоремы 29.5 показать, что предположение
о том, что группа U разрешима, можно ослабить, требуя только,
чтобы каждый нетривиальный гомоморфный образ группы U был
отличен от своего коммутанта (например, этому требованию удовле-
удовлетворяет симметрическая группа Sn).
Замечания. По поводу систем Титса и их применений к конеч-
л группам лиевского типа см. Тите [3],
Бурбаки [1, гл. 4], Картер [1], Кэртис [3].
§ 30. Параболические подгруппы
Мы вернемся к ситуации § 28: пусть G — редуктив-
ная группа, Т — ее максимальный тор, В — борелевская
подгруппа, содержащая Г, и Д — соответствующая база
системы корней Ф.
Исходя из общего описания параболических подгрупп
в системах Титса B9.3), мы исследуем более подробно
внутреннее строение таких подгрупп группы G. В част-
частности, мы покажем, что параболическая подгруппа есть
полупрямое произведение своего унипотентного радикала
и редуктивной подгруппы, причем последняя определена
однозначно с точностью до сопряженности C0.2). За-
Затем мы используем параболические подгруппы для того,
чтобы получить дальнейшую информацию об унипотент-
ных подгруппах группы G. Значительная часть мате-
материала этого параграфа существенна в применениях
алгебраических групп, но только C0.1) потребуется для
классификационной теории в главе XI.
30.1. Стандартные параболические подгруппы. Для
систем Титса теорема 29.3 утверждает, что классы со-
сопряженных параболических подрупп группы G взаимно
однозначно соответствуют группам, содержащим В. Мы

§ 30. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ 291
будем называть эти последние стандартными параболи-
параболическими подгруппами группы G (относительно В). Они
взаимно однозначно соответствуют 21 подмножествам
базы корней A (Z = rankSs(G)),— множеству /сД соот-
соответствует группа Pi = BWiB. Здесь Wi — подгруппа
группы W, порожденная {оа|ае/}. Конечно, все они
могут быть получены непосредственно из разложения
Брюа группы G, без формализма, развитого в § 29. (От-
(Отметим, что мы используем здесь / для обозначения под-
подмножества множества А, тогда как в § 29 мы обозначали
через / подмножество множества {оа|а gA}.)
Ясно, что SB (Pi) =t0 118а, где а пробегает некото-
некоторое множество корней 0, содержащее Ф+. Наша первая
задача состоит в описании множества 0. Так как гло-
глобальные и инфинитезимальные централизаторы торов
согласованы (-18:4), то мы видим, что отрицательный ко-
корень ' а принадлежит 0 тогда и только тогда, когда
Za cz Pi. По построению, если оа е Wi, то Za =
= Ba(JBaeaBaczP1 (где Ba = Bf\Za). Далее, Wi —
группа Вейля системы корней, состоящей из всех Z-ли-
нейЬых комбинаций множества / в Ф (Д.6). Отсюда сле-
следует, что все такие корни принадлежат 0. Обратно, пред-
предположим, что пара {а,—а} содержится в 0. Тогда аае
еУ/ в силу единственности разложения Брюа. Это
в свою очередь показывает, что корень а ортогонален
ортогональному дополнению подпространства, натяну-
натянутого на / (в евклидовом пространстве £, содержащем
Ф); таким образом, а есть линейная комбинация над R
элементов множества /, и, следовательно, Z-линейная
комбинация (ибо а — корень).
В итоге получаем следующий результат.
Теорема, (а) Каждая параболическая подгруппа
группы G сопряжена с одной и только одной подгруппой
P1 = BWjB, где /с Л.
(б) Корнями группы Pi относительно Т являются все
элементы множества Ф+, а также те элементы из ф-,
которые представимы в виде Z-линейной комбинации
элементов множества I. П
30.2. Разложение Леви. Рассмотрим унипотентный
радикал V = Ru(Pi) стандартной параболической под-
подгруппы. В двух крайних случаях / = А, / = 0 нет нужды
описывать V. В общем случае группа V является инва-

292 гл- х- строение редуктивных групп
риантной относительно Т подгруппой группы U = Ви и,
следовательно, представима в виде произведения (в лю-
любом порядке) тех групп Ua> которые она содержит B8.1).
Мы утверждаем, что эти корни а в точности совпадают
с множеством положительных корней, не лежащих в1?, —
подсистеме системы корней Ф, порожденной множеством
/. В самом деле, Т изоморфно отображается в макси-
максимальный тор редуктивной группы P\/V (так как tf|B =
= 0), корни которого можно, следовательно, отождест-
отождествить с некоторыми парами корней ±а группы Pi относи-
относительно Т. В силу теоремы 30.1F) все такие пары долж-
должны лежать в 4F. С другой стороны, никакая пара ±а
не может появиться в i), откуда следует наше утверж-
утверждение.
Алгебра Ли группы Pi представима в виде 1 + в (пря-
(прямая сумма), где ( = t®jlga (as?). Так-как [ga, дэ] cz
cz 9a+3> то *— даже подалгебра, тогда как »— идеал
(ибо V<]Pi). Имеется ли соответствующее разложение
группы Pi в виде полупрямого произведения LVf Если
да, то мы будем называть его разложением Леви, а L
будем называть фактором Леви. Заметим, что группа L
должна быть редуктивна. (В общем случае такое раз-
разложение "{редуктивное расширение унипотентного ради-
радикала) сущесхвует в произвольной связной алгебраиче-
алгебраической группе, если char К = 0, но не всегда существует,
если характеристика поля К проста.)
Для группы Pi имеется несколько подходов для того,
чтобы построить группу L. Мы могли бы, например, взять
подгруппу, порожденную Т и всеми группами Ua (ae
G?). Но тогда нам пришлось бы доказывать, что эта
группа не слишком велика, т. е. не содержит групп Ua
са^?. Другой вариант: мы могли бы построить L как
множество, ибо мы знаем, как должно выглядеть его
разложение Брюа, а затем проверить, что это множество
является группой. Для этой цели мы могли бы взять
в качестве кандидата на борелевскую подгруппу груп-
группы L группу B' = B~{\Pi (где В~ — борелевская под-
подгруппа группы G, противоположная В относительно Г),
так что L = B'WiB'.
Более удовлетворителен третий подход. Мы начнем
с тора Z=( П Кега\° и положим L — CG(Z). Тогда
Чае/ /

§ 30. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ 293
группа L автоматически редуктивна ввиду следствия
26.2А. Те корни, которые тривиальны на Z, являются в
точности корнями, лежащими в 4я, (так как характеры
тора Г, тривиальные на Z, являются R-линейными ком-
комбинациями элементов множества /). В частности, 1 =
==t®liga(ae4;)c=<2?(P/). Так как глобальные и инфи-
нитезимальные централизаторы торов согласованы, то
La Pi и, далее, Pl = LV (так как алгебра Ли этой под-
подгруппы есть 9?(Pi)). Так как If]i) = 0, то группа Lf\V
конечна, а также инвариантна относительно Г; поэтому
Lf]V = e B8.1). Полупрямое произведение Pi = L\KV
является не только теоретико-групповым: так как диф-
дифференциал отображения произведения п: LXV->P/
есть изоморфизм векторных пространств I ©i)-**.27(P;),
то можно показать, что я — изоморфизм многообразий.
(Но мы не будем преследовать здесь этой цели.)
Заметим, что Z— не что иное, как связный центр
группы L, так что ZV — R(Pi). Если Z/— другой фактор
Леви группы Р/, то, очевидно, его связный центр Z'
также является максимальным тором в группе R(Pi) и
I/ = Cq(Z') . Но тогда xZ'x~l=Z для некоторого эле-
элемента xgV (теорема 19.3), так что мы имеем хЬ'х~х =
= L. Тем самым установлена
Теорема. Любая параболическая подгруппа Р группы
G обладает разложением Леви Р = LV (V = Ru(P)) и
любые два фактора Леви сопряжены при помощи неко-
некоторого элемента из группы V. □
Если Рфв, то мы имеем Уфе. Таким образом, ре-
дуктивная группа L имеет меньший полупростой ранг,
чем G. Это дает весьма полезный индуктивный метод
для изучения различных свойств редуктивных групп (на-
(например, представлений).
30.3. Параболические подгруппы, ассоциированные с
некоторыми унипотентными подгруппами. Пусть U —
замкнутая, но не обязательно связная унипотентная под-
подгруппа группы G. Положим N\ = NQ(U)y U\ = U-RU(N\)
и затем (индуктивно) Nt = No(Ui-i), JJt = Ui-rRu(Ni).
Так как унипотентные радикалы связны, то, очевидно,
либо dim Ui+\ > dim Ui, либо £A+i = Ui. В частности,
эти две последовательности замкнутых подгрупп группы
G должны стабилизироваться, скажем, Uk = Uk+i = ...,
Nk = Nk+i = ... Положим &(U) = Nkr V= Uk. Преж-

294 ГЛ. X. СТРОЕНИЕ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
де всего мы заметим, что любой автоморфизм группы L
вида Int* (х^ G) оставляет группу N\ инвариантной и,
следовательно, группа Ru(N\)y группа [Д, .. ., и, далее,
группа &(U) инвариантны относительно Intx. Следова-
Следовательно, группа Ng(U) нормализует ^(U).
Предположим далее, что группа U содержится в не-
некоторой борелевской подгруппе группы G (этого нельзя
гарантировать, если группа U не связна!). В силу сле-
следующей леммы каждая группа [/; содержится тогда
в борелевской подгруппе.
Лемма. Пусть Н — алгебраическая группа, В — боре-
левская подгруппа и А — подмножество группы В. Если
S — связная разрешимая подгруппа группы Н, нормали-
зующая А, то S-A содержится в некоторой борелевской
подгруппе группы Н.
Доказательство. По предположению (замкнутое) мно-
множество X неподвижных относительно А точек на много-
многообразии Н/В непусто, и множество X инвариантно отно-
относительно S. Так как группа 5 связна и разрешима, то
она имеет на X неподвижную точку B1.2), т.е. содер-
содержится в борелевской подгруппе, содержащей А. □
Возвратимся к нашей конструкции. Группа V = Uk
содержит унипотентный радикал группы Ng(V), а также
группу U. Предполагая, что U (и, следовательно,) V
содержится в некоторой борелевской подгруппе, мы бу-
будем доказывать, что группа <P(U) является параболиче-
параболической и что группа V связна. Отсюда будет следовать, что
Ng(U) ci^(£/), так как параболические подгруппы сов-
совпадают со своими нормализаторами (следствие 23.1Б),
а также что £/с= RU(&(U)) = V.
Предложение. Пусть V — замкнутая унипотентная
подгруппа группы G и N = NG(V). Предположим, что V
содержится в некоторой борелевской подгруппе группы
G и что VzdRu(N) (это равносильно тому, что V0 =
= Ru(N)). Тогда N — параболическая подгруппа группы
Gu V^Ru(N).
Доказательство. Пусть В — борелевская подгруппа
группы G, содержащая V; положим 5=-= (В (]N)°. Тогда
5 содержится в борелевской подгруппе Si группы N, и
мы можем выбрать «противоположную» группу пВ\П~1
(n^N), так что Ru(BiflnBin-1) — RU(N) (применить
следствие 26.2В к группе №/Ru(N)). Благодаря такому

§ 30. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ 296
выбору мы имеем /?Ц(#ПВПВ') <=Ru{N) =V°y где В'=
= пВпг1. С другой стороны, элемент п нормализует F,
так что V лежит в унипотентном радикале разрешимой
группы ЫПВ()В'У откуда V° = RU(N(] В f| В). Далее,
группа В{\В' связна (следствие 28.3), так что Ус:
cRu(B{\B'). Если dim (V) < dim (Ru(B(]Bf))t то нор-
нормализатор группы V в этой группе должен был бы иметь
большую размерность, чем размерность группы V (пред-
(предложение 17.4F)), что противоречит равенству RU(N П
f]Bf]Bf) =V°. Следовательно, V = RU(B(]B'), откуда
B[)B'czN (и группа V связна). Но Bf\B' содержит
максимальный тор Т группы G (следствие 28.3), так что
группа N — максимального ранга в G.
Покажем теперь, что группа N является параболи-
параболической. Пусть А — база системы корней Ф, определенная
группой В, и пусть W — множество корней группы N
относительно Т: это в точности те корни а£Ф, для ко-
которых Uа с: У, а также пары ±р, соответствующие кор-
корням редуктивной группы №/V относительно канониче-
канонического образа тора Т. Пусть а£А. Если С/а с У, то а G
е?, В противном случае UaczB; но Ua<£Vy откуда
НафВ и в свою очередь t/_ac:B'. Пусть B"==aaBaa
корни группы В" совпадают с корнями группы В с той
лишь разницей, что корень —а заменяется на а: про-
простое отражение aa переставляет положительные корни,
отличные от а (Д.5). Теперь группа U-a нормализует
обе группы В' и RU(B()B"); следовательно, Ru(BC\Br(]
П В") = RU(B П В') = V. Таким образом, —а е= ¥. По-
Поскольку U-a ф V, то корни ±а должны принадле-
принадлежать W. Отсюда следует, что A cz W и, далее, что
BaN.
Теперь мы можем сделать вывод, что группа N — па-
параболическая; в самом деле, N — стандартная параболи-
параболическая подгруппа (относительно В, Г), определенная
подмножеством {a e A | Ua ф V}. □
Из рассуждения, предшествующего предложению, мы
непосредственно получаем
Следствие А. Пусть U — замкнутая унипотентная под-
подгруппа группы G, содержащаяся в некоторой борелевской
подгруппе. Тогда группа P = <p(U), построенная выше,
является параболической, причем Nq(U)czP и U C2
czRu(P). □

296 гл. х. строение редуктивных групп
Поскольку каждая связная унипотентная группа
всегда лежит в некоторой борелевской подгруппе, то мы
также имеем
Следствие Б. Пусть U — связная унипотентная под-
подгруппа группы G. Если U = Ru(Na(U))t то группа
Nq{U)—параболическая. □
30.4. Максимальные подгруппы и максимальные уни-
потентные подгруппы. Результаты C0.3) приводят к сле-
следующей довольно удивительной теореме.
Теорема, (а) Пусть Я— максимальная (собственная)
замкнутая подгруппа группы G. Тогда либо группа Н°
редуктивна, либо группа Н параболическая.
(б) Каждая унипотентная подгруппа группы G содер-
содержится в некоторой борелевской подгруппе; в частности,
максимальные унипотентные подгруппы группы G есть
унипотентные радикалы борелевских подгрупп.
Доказательство, (а) Если группа Я0 не является ре-
дуктивной, то группа О = RU(H) нетривиальна. Так как
группа G редуктивна, то Ng(U)—собственная замкну-
замкнутая подгруппа группы G, содержащая Н. Из максималь-
максимальности Я следует, что Я = No (U). Из следствия Б в C0.3)
вытекает тогда, что Я — параболическая группа.
(б) Воспользуемся индукцией по dim G. Пусть U —
унипотентная подгруппа группы G (не обязательно замк-
замкнутая или связная), причем U ф е. Так как группа U
нильпотентна A7.6), то ее центр нетривиален. Выберем
элемент е ф we Z(U). Замыкание U\ подгруппы, по-
порожденной иу содержится в унипотентной части некото-
некоторой борелевской подгруппы группы G, поскольку эле-
элемент и обладает этим свойством (по теореме плотности
B2.2)). Поэтому из следствия А в C0.3) мы получаем
параболическую подгруппу P — <?(U\) такую, что Uа
czNg{Ui) аР и ефи{аНи(Р). В частности, Р Ф G.
Перейдем к редуктивной группе P/Ru{P)y размерность
которой меньше, чем размерность группы G. Образ груп-
группы О является унипотентной группой A5.3) и, следова-
следовательно, содержится (по индукции) в некоторой борелев-
борелевской подгруппе группы P/RU(P). Отсюда следует, что
группа U содержится в некоторой борелевской подгруп-
подгруппе группы Р, которая в свою очередь лежит в борелев-
борелевской подгруппе группы G (на самом деле, совпадает
с ней). □

§ 30. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ 297
Отметим, что утверждение (б) можно распростра-
распространить на произвольную связную группу G (не обязатель-
обязательно редуктивную). В характеристике 0 все унипотентные
группы, как известно, связны (упражнение 15.6), так
что мы ничего нового не доказали. В характеристике р
утверждение (б) в действительности означает, что мак-
максимальные «р-подгруппы» группы G существуют и со-
сопряжены (ср. с теоремой Силова для конечных групп).
Упражнения
1. Найти стандартные параболические подгруппы группы
GL(n,K) (относительно группы Т(п,К)) и определить их размер-
размерности. Описать их факторы Леви.
2. Описать параболические подгруппы группы 5рD, К) и их
факторы Леви.
3. Пусть Н — замкнутая подгруппа группы G, содержащая Т
и по меньшей мере одну из групп Оа, U-a (для каждого корня
аеФ), Доказать, что группа Н параболическая. (Пример:
Н = (Р Г) P')Ru(P), где Р и Р' — параболические подгруппы.)
4. Верно ли, что всякий элемент группы G принадлежит неко-
некоторой (собственной) максимальной замкнутой подгруппе?
Замечания. Рассуждения в C0.1), C0.2) основаны на статье
Бореля и Титса [1]; однако они рассматривают также поля опреде-
определения. Точно так же материал п.п. C0.3) и C0.4) заимствован
у Бореля и Титса [2] *). Утверждение (б) теоремы 30.4 в суще-
существенных чертах принадлежит Платонову [2].
*) Как отмечают Борель и Тите [2], предложение 30.3 факти-
фактически принадлежит В. П. Платонову [4]. — Прим. перев.

ГЛАВА XI
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП
Для того чтобы классифицировать (с точностью до
изоморфизма) иолу простые алгебраические группы, не-
необходимо получить некоторую информацию об их пред-
представлениях. Для этой цели существенны пп. C1.1) —
C1.3) и начало п. C1.4). Читателю, конечно, стоит про-
прочитать оставшуюся часть § 31, несмотря на то, что это
несущественно для дальнейшего изложения.
§ 31. Представления
В этом параграфе мы изучаем рациональные пред-
представления полупростой группы G. Подобно теории Кар-
тана — Вейля для полупростых алгебр Ли над полем
комплексных чисел, неприводимые представления оказы-
оказывается возможным параметризовать «старшими весами».
Пусть Т — максимальный тор группы G, В = TU — под-
подгруппа Бореля, содержащая Г, и B~=TU~ — противопо-
противоположная борелевская подгруппа, содержащая Г, и Д —
база системы корней Ф, определенной В.
31.1. Веса. Если р: G-*GL(V)—рациональное пред-
представление, то весами представления р называются об-
образы в Х(Г) весов тора р(Г) в V A6.4) при канониче-
каноническом гомоморфизме Х(р(Т))-^Х(Г). Разумеется, пред-
представление р имеет только конечное число ненулевых
весов, поскольку пространство V конечномерно. Часто
удобно рассматривать пространство V как G-модуль, так
что весовое пространство Vx описывается в виде {ueV|
\t-v = X(t)v для всех /еГ}. Мы называем dim Vi
кратностью веса X. Заметим, что W переставляет веса
представления р. Более точно, если элемент n^NG{T)
является представителем элемента ое^, то п-Ук =
= Vow; таким образом, кратности весов в одной W-op-
бите равны.

§ 31. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 299
Всегда существует изоморфизм группы G на некото-
некоторую замкнутую подгруппу группы GL(V) для подходя-
подходящего V (8.6). Веса этого представления порождают груп-
группу Х(Г). В общем случае Ker p — замкнутая нормальная
подгруппа группы G, для которой имеется ограниченное
число возможностей B7.5). Например, если группа G
почти проста, Кег р либо совпадает с группой G, либо
является конечной нормальной (и, следовательно, цент-
центральной) подгруппой. В этом последнем случае веса
представления р порождают подгруппу конечного индек-
индекса в Х(Г). Если p=Ad, то это справедливо для любой
полупростой группы (следствие 26.2Б(е)). Веса присое-
присоединенного представления — это в точности корни (каж-
(каждый с кратностью 1) с добавлением тривиального веса О
(с кратностью / = rank G).
Посмотрим, что мы можем сказать о весах произ-
произвольного рационального представления р: G-*GL(V).
Применяя предложение 27.2 к группе p(G), которая либо
полупроста, либо тривиальна, и возвращаясь обратно
к G, мы видим, что для любого аеф группа p(Ua)
отображает весовое пространство Уь,в ]►] VK+ka (&^Z+).
Отсюда следует, что p(Za) оставляет инвариантным про-
пространство £ VK+ka (&eZ); в частности, оа{Х) имеет
вид %-\-ka. Но с точки зрения теории абстрактных си-
систем корней B7.1) элемент aa действует в пространстве
£ = К<8>Х(Г) как отражение; оа(Х) = Х / \ а (гДе
скалярное произведение W-инвариантно). Отсюда сле-
следует, что число ( ) является целым. Следовательно,
по определению X—абстрактный вес (Д.9).
Абстрактные веса в пространстве Е образуют решет-
решетку Л (свободную абелеву группу ранга /), которая со-
содержит решетку корней Лл в качестве подгруппы конеч-
конечного индекса. Если A={ai, ..., а/}, то Л обладает ба-
базисом {Х\у ..., hi}, состоящим из фундаментальных до-
доминантных весов, определенных условиями 2(U, а,)/
/(а«,а/) = 6//. Напомним далее, что каждый абстракт-
абстрактный вес сопряжен относительно группы W в точности
с одним доминантным весом (вес 2! с A* (c/eZ) назы-
называется доминантным, если ci ^0 (Д. 10)).

300 • гл- х*« полупростые группы
Комбинируя эти замечания,, мы приходим к выводу,.
что все веса рациональных представлений являются аб-
абстрактными весами; отсюда можно вывести, что группа
Х(Г) состоит из абстрактных весов и индекс решетки
корней в Х(Г) ограничен константой, зависящей только
от Ф. Например, пусть rank G = 1. Тогда К\ =ai/2, так
что [Л: Лг] = 2. Поэтому имеется только две возможно-
возможности для расположения группы Х(Г). В общем случае мы
называем факторгруппу Л/Х(Г) фундаментальной груп-
группой группы G (ввиду аналогии с топологией компакт-
компактных групп Ли) и обозначаем ее через n(G). Если группа
n(G) тривиальна, то мы называем группу G односвязной
(или группой универсального типа). В противоположном
крайнем случае, когда Х(Г) =ЛГ, мы называем D груп-
группой присоединенного типа (такова, например, группа
Ad G для любой полупростой группы G). В этой терми-
терминологии группа SL^/C) односвязна, а группа PGL{2,K)
присоединенного типа. Очевидно, что фундаментальная
группа группы G — важный инвариант, который следует
принимать во внимание, если мы желаем прийти к клас-
классификации полупростых групп.
31.2. Максимальные векторы. Если p:G->GL(V),
V¥=0 — рациональное представление, то в силу теоремы
Ли — Колчина существует одномерное подпространство
пространства V, инвариантное относительно р(В). По
определению максимальный вектор v&V — это вектор,
порождающий такое подпространство; это эквивалентно
тому, что вектор v Ф 0 принадлежит некоторому весово-
весовому подпространству V% и неподвижен относительно всех
групп p(t/a), a > 0. Понятие максимального вектора за-
зависит, разумеется, от выбора группы В. В дальнейшем
мы без специальных оговорок исключаем случай V = 0
(но не случай dim V — 1); поэтому максимальные векто-
векторы всегда существуют.
Предложение. Пусть V—(рациональный) G-модуль,
v+ — максимальный вектор с весом % и V — G-подмо-
дуль, порожденный и+. Тогда веса пространства V
имеют вид Я— Yj саа(а^Ф+, ca^Z+) и вес % имеет
кратность 1. Кроме того, V обладает единственным мак-
максимальным подмодулем.
Доказательство. Как отмечалось в C1.1), из предло-
предложения 27.2 следует, что для любого а группа Ua ото-

§ 31, ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 801
бражает Vx в пространство ][] Vx+ла (* e ^+). Точнее,
если х^. Uay то x-yf = и+ + (сумма векторов с весами
л + £а, £>0). Б результате последовательного приме-
применения операторов из U~ получаются, следовательно, сум-
суммы векторов с весами X — X саа (аеФ+, caeZ+),
причем единственный вектор веса X, который может та-
таким образом появиться, есть у+. Далее, подпространство,
натянутое на векторы (/"•irf, совпадает с подпростран-
подпространством, натянутым на векторы IJ--B-V+ = Йи+, причем,
как известно, множество й плотно в G B8.5). Следова-
Следовательно, рассматриваемое подпространство совпадает с
подпространством V, натянутым на векторы G-V+. Нако-
Наконец, каждый собственный подмодуль в V есть сумма ве-
весовых пространств весов, отличных от X, так что сумма
всех этих подмодулей — собственный подмодуль. П
Решетка Л абстрактных весов частично упорядочена
следующим образом: X > [я, если X— [л — сумма (воз-
(возможно, 0) положительных корней (Д. 10). Таким обра-
образом, предложение показывает, что X— старший вес про-
пространства V, т. е. все другие веса < к. Соображение,
которое показывает, что каждый абстрактный вес W-co-
пряжен в точности с одним доминантным весом, позво-
позволяет также сделать вывод, что доминантный вес X удов-
удовлетворяет условию: Х>о(Х) для всех aelf (Д.Ю).
Так как W действует как группа перестановок весов
пространства V, то мы получаем
Следствие. В обозначениях предложения X — доми-
доминантный вес. □
31.3. Неприводимые представления. Напомним, что
О-модуль V ф 0 называется неприводимым, если он не
содержит G-инвариантных подпространств, отличных от
0 и от У. Примером такого модуля может служить про-
пространство V = Knt на котором естественным образом дей-
действует группа G = SL(n, К), так как G транзитивно пе-
перемещает все одномерные подпространства пространст-
пространства V. Произвольный G-модуль У, будучи конечномерным,
обладает композиционным рядом с неприводимыми ком-
композиционными факторами, что естественно приводит к
вопросу о том, как выглядят неприводимые модули.
Отметим, что в характеристике 0 можно воспользо-
воспользоваться теоремой Вейля о полной приводимости, чтобы

302 ГЛ- XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
показать, что каждый G-модуль представим в виде пря-
прямой суммы неприводимых подмодулей, см. A4.3); но
в простой характеристике этот факт не имеет места.
Имеется, однако, более слабое условие, называемое
полуредуктивностью, которому удовлетворяют все редук-
тивные группы: если задан G-модуль V с максимальным
подмодулем W коразмерности 1, такой, что G действует
тривиально на V/W, скажем, V = Kv + W, то имеется
симметрическая степень модуля V, содержащая G-инва-
риантный полином, в который входит v. Это свойство
было высказано в виде предположения Мамфордом [1]
и недавно доказано Хабоушем *), см. Сешадри [3]. Оно
эквивалентно свойству конечной порожденности колец
инвариантов, как в A4.3); см. Нагата [2].
Предложение 31.2 показывает, что в случае, если
пространство V неприводимо, оно должно совпадать
с подмодулем V', порожденным максимальным векто-
вектором. В свою очере^ X заслуживает особого внимания.
Теорема. Пусть V — неприводимый (рациональный)
G-модуль.
(а) Имеется единственное одномерное подпростран-
подпространство, инвариантное относительно В, натянутое на макси-
максимальный вектор некоторого доминантного веса X, крат-
кратность которого равна 1 (X называется старшим весом
G-модуля V).
(б) Все другие веса G-модуля V имеют вид X —
— Yi caa (аеФ+, caGZ+). Они переставляются груп-
группой Wy причем веса, сопряженные относительно Wy имеют
одинаковую кратность.
(в) Если V — другой неприводимый G-модуль со
старшим весом Х\ то G-модули Vy V' изоморфны тогда
и только тогда, когда X = X'.
Доказательство, (а) (б) Мы уже отмечали, что в силу
предложения 31.2 G-модуль V порождается некоторым
максимальным вектором v+ с (доминантным) весом Я,
что вес X имеет кратность 1 и что все другие веса меньше
X относительно частичного упорядочения. Если прост-
пространство V имеет максимальный вектор, непропорцио-
непропорциональный и+, то его вес [л должен быть отличен от А, и
[х < X. Но это же соображение, примененное к [л, дает
*) См. Хабоуш [2] (дополнительная библиография). — Прим.
ред.

§ 31. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 303
X < [i, что невозможно. Это доказывает все утверждения
в (а) и (б), кроме последнего утверждения в (б), кото-
которое уже было установлено в C1.1).
(в) Если G-модули V, V' изоморфны, то из (а) сразу
следует, что Х = Х\ Для доказательства обратного рас-
рассмотрим G-модуль V© V' и его проекции на V, V' (ко-
(которые являются гомоморфизмами G-модулей). Пусть
dgF, o'eV' — соответствующие максимальные век-
векторы веса Х = Х\ Тогда {v,v')—максимальный вектор
веса А, в V@V'y так что подмодуль V", порожденный
вектором (и, v')> содержит вес X только с кратностью 1
C1.2). Рассматривая V и V как подмодули модуля V0
© V', мы, в частности, заключаем, что v ф V", V ф V"
(ни один из этих векторов не пропорционален вектору
(и, v')). Таким образом, Vf)V", V'()V" — собственные
подмодули модулей V, V\ следовательно, нулевые (вви-
(ввиду неприводимости). Это показывает, что обе проекции
отображают V" изоморфно на (ненулевые) подмодули
модулей Vy V\ которые совпадают (ввиду неприводимо-
неприводимости) с V, V. Следовательно, V изоморфен V. П
31.4. Построение неприводимых представлений. Рас-
Рассуждения в C1.3) параллельны рассуждениям для по-
полупростых алгебр Ли над С. Остается проблема пост-
построения неприводимого G-модуля старшего веса X для
каждого доминантного веса ЛеХ(Г). Однако решение
этого вопроса здесь менее непосредственно, чем для
алгебр Ли.
Заметим прежде всего, что достаточно построить
G-модуль, содержащий максимальный вектор веса X.
В самом деле, предложение 31.2 показывает, что подмо-
подмодуль, порожденный этим вектором, обладает максималь-
максимальным подмодулем, не содержащим веса А,, так что нам
требуется только перейти к (неприводимому) фактор-
модулю. Это наблюдение полезно, когда мы имеем дело
с тензорными произведениями. Пусть, скажем, v — мак-
максимальный вектор с весом X в V и v' — максимальный
вектор веса X' в V. При fsT мы имеем t-(v®v') =
= t*v (8) t-v' = X{t)X'(t)v (g)u', а при u^U мы имеем
и- (v®v')=vB) v'\ таким образом, и® v' — максималь-
максимальный вектор в V ® V' веса X + X' (аддитивные обозначе-
обозначения). Это показывает, что существование неприводимого
Модуля старшего веса X + А/ следует из существование

304 ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
неприводимых модулей старших весов X, А/. (Аналогич-
(Аналогично для произвольных конечных сумм.)
Нам требуется еще одна важная конструкция, чтобы
получить необходимые исходные факты. Для этого на-
напомним теорему Шевалле 11.2. Каждый простой корень
аеД определяет максимальную параболическую под-
подгруппу Рд-м, см. C0.1). Пусть, скажем, А ={аь ..., а/},
Р, = Рд-{а^}. Для каждого номера i выберем рациональ-
рациональное представление G-+GL(Vi) с прямой Kvicz Vi> ста-
стабилизатор которой в G совпадает с Р,-. Каждый элемент
eak (k Ф i) имеет представитель в Pi, который оставляет
неподвижным вектор vt. По построению vi — максималь-
максимальный вектор некоторого (доминантного) веса ц* = £ d/V
Поэтому при kjfi i мы имеем <Уак{1*ч) = \*ч, откуда
dk = 0. С другой стороны, группа G действует на вектор
Vi нетривиально, так что \ii = d{Ku где di > 0.
Скомбинируем два предыдущих абзаца: если вес
X—YjCib>i (с,- g Z+) принадлежит Х(Г), то dX— поло-
положительная Z -линейная комбинация элементов щ = dtXi
(где d = Hdi) и, следовательно, является старшим весом
некоторого неприводимого G-модуля. Это — первое при-
приближение к тому, что мы хотим доказать.
Чтобы выбрать правильную стратегию, предположим
на момент, что мы уже нашли неприводимый G-модуль
V старшего веса X с максимальным вектором v+. Пусть
V — подпространство, натянутое на все весовые векторы
с весами, отличными от Я, так что V = Kv+Q)V' (пря-
(прямая сумма векторных пространств). Пусть г+eV* —
линейная функция, принимающая значение 0 на V' и
значение 1 на о+. Определим тогда функцию с<к на G
следующим образом: с%{х) = г+(я-и+). Ясно, что сь е
e/C[G] и что x-v+ = Cb(x)v+(mod V) для всех хе G.
(Представляйте себе Ск как «координатную функцию».)
Отсюда следует, что для всех хеВ~, y^G, z^B:
где X рассматривается как функция на В~~ или на В,
определенная дополнительным условием X{U-)=X(U) =
= 1. Нужно использовать написанное выше сравнение
вместе с тем фактом, что пространство V инвариантно
относительно В~ (см. предложение 27.2). В качестве ча-

§ 31. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 305
стного случая соотношения (*) мы получаем Ск(ху) =
= Х(у) при х е £/-, у & В. Так как множество Q = £/~В
плотно в G B8.5), то а, полностью определяется X. Сверх
того, соотношение (*) показывает, что с^ — максималь-
максимальный вектор веса X в K[G], где группа G действует пра-
правыми сдвигами: (pxf) (у) = f{yx). Напомним (8.6), что
K[G] —объединение конечномерных G-инвариантных
подпространств. Отсюда следует, что K[G] содержит
подмодуль типа, описанного в предложении 31.2, так что
переход к неприводимому фактору приводит к копии
модуля V (ср. C1.3)).
Отбросим теперь предположение, что модуль V су-
существует. Предыдущее рассуждение указывает нам, где
в K[G] искать максимальный вектор веса X. Но сущест-
существует ли ск? Заметим, что мы можем определить полино-
полиномиальную функцию на Q правилом с(ху) =Х(у) (xg
е U~y у^В). Так как множество Q открыто в G, то
/C(Q).= /((G) и с — по крайней мере рациональная функ-
функция на G. Поэтому нам достаточно было бы доказать,
что функция с всюду определена (см. предложение 2.1).
В силу теоремы 5.3Б мы можем даже ограничиться до-
доказательством того факта, что некоторая (положитель-
(положительная) степень функции с всюду определена. Выберем d,
как и выше, так что старший вес dX обязательно появ-
появляется в качестве старшего веса некоторого неприводи-
неприводимого G-модуля и функция cdk в K[G] существует. Она
совпадает на Q с cd. Так как множество Q плотно в G,
то функция cd всюду определена, что и требовалось.
Итак, нами доказана
Теорема. Пусть Х^Х(Т)—доминантный вес. Тогда
существует неприводимый Q-модуль со старшим весом
X. □
Роль полиномиальной функции с*,, которая была вве-
введена выше, можно несколько уточнить. Если ЯеХ(Г) —
доминантный вес, рассматриваемый как функция на В
или на В", то определим F^={/e/([G] \f(xy)=X(x)f(y)
при х е В", у е G}. Очевидно, что Fk — подпространство
в /C[G], инвариантное относительно правых сдвигов. Кро-
Кроме того, уравнение (*) показывает, что с% е /\. Предпо-
Предположим, что F — неприводимый G-подмодуль в F-к (обя-
(обязательно конечномерный) с максимальным вектором /+
эеса (х. Мы утверждаем, что ц = ^ и что вектор /+ про-

Зов гл- XI- полупростые группы
порционален cj,. Так как /+ — максимальный вектор, то
f+(xy) =[i(y)f+(x) при xeG, i/gB. В частности, для
всех /gT мы имеем f+{e) =f+(tet-{) = fi(H)f+(fe) =
= [i(t"l)X(t)f+(e) (в последнем равенстве следует при-
принять во внимание, что /+е/\). Чтобы заключить, что
Х = \х, мы должны убедиться, что /+ (е) Ф 0. Так кадг
Я((/-) = е, то f+(xy) =f+(y) при xg[/-, y^G; выби-i
рая //gB, мы получаем (**) f+(xy) =f+(e)ix(y). Если
/+(#) =0, то, следовательно, функция f+ обращается в 0
на й = £/~В и, следовательно, на G, что противоречит
соотношению /+ Ф 0. Отсюда следует, что Х = \х. Сравне-
Сравнение с (**) показывает, что f+= ^\е)с\ на Q; ввиду плот-
плотности множества Q функ^я /+ пропорциональна Ot, что
и утверждалось.
Это рассуждение показывает, что неприводимые
G-модули со старшим весом X можно канонически по-
построить в K[G] как подмодули, порожденные с\. Если
char К = 0, то из полной приводимости следует, что
этот подмодуль есть в точности F%. Если К имеет про-
простую характеристику, то это обычно не имеет места (но
можно доказать, что F\ имеет конечную размерность).
31.5. Кратности и минимальные старшие веса. Пусть
Х^Х(Т) —доминантный вес. Теоремы 31.3 и 31.4 пока-
показывают, что существует один и (с точностью до изомор-
изоморфизма) только один неприводимый G-модуль со старшим
весом Я; обозначим его через V(X). Веса модуля V(к)
имеют вид a((i), где а пробегает Wy а \х пробегает набор
доминантных характеров, удовлетворяющих условию
[л < Я, причем все веса o(\i) (ae W) имеют одинаковую
кратность. Кроме того, вес X и его 1^-сопряженные появ-
появляются с кратностью 1. Удовлетворительное описание
модуля V(X) (например, определение его размерности)
потребовало бы, конечно, точной информации о кратно-
стях его весов. В случае, если char К = 0, теория алгебр
Ли дает об этом довольно много сведений (формулы
Вейля, Фрейденталя, Костанта). К сожалению, в слу-
случае простой характеристики известно гораздо меньше.
Один случай, когда строение модуля V{%) довольно
ясно, возникает, если X — минимальный вес, т.е. если
никакой вес \i < Ху отличный от Я, не является доми-
доминантным. В этом случае веса модуля V(X) все W-сопря-
с Я, и dim V(X) совпадает с числом элемецтор

§ 31, ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 307
UZ-орбиты веса X. Для каждой системы корней Ф не-
нетрудно определить, какой именно вес 1еА минимален.
Конечно, вес 0 всегда минимален (и приводит к триви-
тривиальному одномерному представлению группы G). Для
группы SL(l+ 1,/() остальные минимальные веса — это
в точности фундаментальные доминантные веса Х\, ... Д/
(например, Х\— старший вес естественного A+1) -мер-
-мерного представления). Для систем корней, отличных от А/,
ненулевых минимальных весов меньше, и все они снова
находятся среди фундаментальных весов *).
31.6. Контрагредиентные представления и инвариант-
инвариантные билинейные формы. Пусть V=V{X), где А,еХ(Г) —
доминантный вес. Напомним, что в двойственном про-
пространстве V* имеется естественное рациональное пред-
представление группы G. А именно, действие группы G в V*
задается правилом: (x-f) (v) = f(x-l-v) (#eG, feV,
v e V) (см. (8.2)). Ясно, что G-подмодули в V* нахо-
находятся в естественном взаимно однозначном соответствии
с G-подмодулями в V с обращением знаков включения.
Следовательно, V* также неприводим, так что он должен
быть изоморфен некоторому модулю V(\i) (|леХ(Г)).
Нетрудно найти максимальный вектор в V* и, следо-
следовательно, определить вес \i. Как и в C1.4), запишем V =
= /(а+0 V' (где v+ — максимальный вектор) и выберем
г+е= V* так, что г+(У+)= 1, r+{V') = 0. Тогда при *еВ-
мы имеем (x-r+)v+ — r+(x~l-v+) = Цл;-1), а при уеУ'
мы имеем (#•/*+) (и) =0, так как группа В" оставляет
пространство V инвариантным. Другими словами,х•/*+=
= А,(г-1)/*4". Это означает, что /*+—максимальный век-
вектор веса —X относительно противоположной борелевской
подгруппы В". Поскольку в W имеется единственный эле-
элемент ао, преобразующий В в В-, то V* имеет старший
вес — ао(Я) по отношению к В.
Известно, что ао = —1 в точности для следующих си-
систем корней: Аь В/, С/, D/ (/ четно), Е7, Е8, F4, G2. Сле-
Следовательно, в этих случаях модуль V* всегда изоморфен
V. Даже при ОоФ—1 может, конечно, случиться, что
—ооСк) = Х для некоторого X.
Предположим, что G-модуль V и в самом деле изо-
изоморфен V*. Это позволяет следующим образом задать
♦) См. Бурбаки, [1], гл. VIII, § 7, п. З. — Прим. перевч

308 ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
G-инвариантную билинейную форму на V. Поскольку
модуль V неприводим, легко видеть, что Ното(|/, V) —
одномерное пространство (по лемме Шура). Но при
стандартном отождествлении (8.2) пространства
Нот (У, V) с V* ® V подпространство HomG(l/, V) пе-
переходит в пространство G-неподвижных точек. В свою
очередь V* ® V = V* & V* £* (V <g) V) * можно рассматри-
рассматривать как пространство билинейных форм на V. Таким
образом, мы получаем G-инвариантную билинейную
форму (единственную с точностью до скалярного мно-
множителя) .
Предположим в качестве примера, что G — односвяз-
ная группа типа С2. Из C1.5) мы получаем неприводи-
неприводимое представление р: G-^GLD, /С), старший вес кото-
которого является минимальным. Можно показать, что G-ин-
вариантная билинейная форма на пространстве V = /С4
является «знакопеременной», откуда следует, что образ
группы G содержится в 5рD,/С). Сравнение размерно-
размерностей показывает, что этот образ должен совпасть с
SpD, К), тогда как Ker р = е. Небольшого дополнитель-
дополнительного рассуждения достаточно, чтобы убедиться, что
группа G изоморфна SpD, К) как алгебраическая груп-
группа. В этом рассуждении требуется, чтобы группа G была
односвязна: в противном случае соответствующий стар-
старший вес не принадлежал бы Х(Г). Однако если бы мы
ввели «проективные» представления, как это сделано
Шевалле [8], то смогли бы воспользоваться этим мето-
методом для классификации всех групп типа Сг.
Упражнения
1. Пусть char К = 2. Доказать, что SLB,/C) и PGLB,K) —
изоморфные абстрактные группы, обладающие различными фунда-
фундаментальными группами.
2. Показать, что Ad — неприводимое представление группы
5LC, К), если характеристика поля К отлична от 3.
3. Пусть V — неприводимый G-модуль старшего веса А,; опреде-
определим а+, г+, с^ как в C1.4). При oeV, геГ положим сг, *(*) =
= r(x-v) для всех jcgG. Заметим, что pxcr, v = cr, x-v и что
с^ = с _|_ _|_. Показать, что отображение v\—>c ^. определяет
изоморфизм G-модуля V с G-подмодулем в K[G], порожденным c^t
4. Сохраняя обозначения упражнения 3, положим / =
= {aEA|0fl(l) = Х}\ пусть W[ — соответствующая подгруппа
группы W и Pi = BWiB, Проверить, что Pi — стабилизатор прямой

§ 32, ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ. 309
Kv+ в G. Используя разложение Брюа, показать, что с^ (хп(а)у) =
= Х(у) при х е LJ-, у е В, а е №/, а на других двойных смежных
классах значение с^ равно 0.
б. Пусть G — простая односвязная алгебраическая группа
типа Аг. Доказать, что G изоморфна (по крайней мере как аб-
абстрактная группа) группе SLC, К). (Показать, что G обладает не-
неприводимым трехмерным представлением.)
Замечания. Мы следовали Борелю [6], [8], Стейнбергу ПО,
§ 12], [13, 3.3—3.4]. Проективные представления изучаются у Ше-
валле [8, exposes 15, 16]. В простой характеристике имеется не-
сколько нерешенных вопросов, см. Картер и Лустиг [1], Хамфри
[б], Янтцен [1], [2], Верма [1].
§ 32. Теорема об изоморфизме
В этом и следующем параграфах мы докажем, что
простая алгебраическая группа G определяется с точ-
точностью до изоморфизма своей системой корней и своей
фундаментальной группой (за исключением случая груп-
группы типа D/ при четном /^6с фундаментальной группой
порядка 2, когда имеется две такие группы). Мы рас-
рассмотрим даже более общий случай, когда группа G по-
полупроста. Пусть Т — максимальный тор группы G, В —
содержащая Т борелевская подгруппа, А — соответст-
соответствующая база системы корней Ф, N = N(T)f W = N/T.
Напомним, что Za = CG(Ta)y где Та = (Кег(а)H, для
каждого корня а является редуктивной группой полу-
полупростого ранга 1 с содержащими Т борелевскими под-
подгруппами TUa и TU-a и группой Вейля Wa cz Wy порож-
порожденной «отражением» аа.
Помимо групп Za, нам необходимо будет рассматри-
рассматривать некоторые другие редуктивные подгруппы в G по-
полупростого ранга 2. Для каждой пары различных про-
простых корней а, р мы положим Zap = Со((ГаП ^зH)-
Будучи централизатором тора, группа Zap редуктив-
на (следствие 26.2А). Нетрудно видеть, что «27(Zctg) =
= t0 118Y» гДе суммирование ведется по всем у из под-
подсистемы корней Фаз ранга 2 с базой {а, р}. (Используй-
(Используйте, например, тот факт> что глобальные и инфинитези-
мальные централизаторы торов соответствуют друг дру-
другу). Читатель, изучивший C0.2), узнает в Zap фактор
Леви стандартной параболической подгруппы Р{а,рь Мы
положим еще Zap = Za при а = р.

310 ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
32.1. Проблема классификации. Предположим, что
группа G проста, т. е. система корней Ф группы G не-
приводима B7.5). Согласно теореме 27.1 Ф — абстракт-
абстрактная система корней в смысле Добавления; классифика-
классификация абстрактных систем корней известна, так что Ф —
удобный инвариант, который м<?жет быть нам полезен
при классификации простых групп. Другим инвариантом
группы G является фундаментальная группа n(G) =
= Л/Х(Г), где Л — полная решетка абстрактных весов
C1.1). Наши усилия в §§ 32 и 33 направлены на доказа-
доказательство следующего результата.
Теорема. Если G, G' — простые алгебраические груп-
группы с изоморфными системами корней и изоморфными
фундаментальными группами, то группы G и Gf изо-
изоморфны {как алгебраические группы), за исключением
случая, когда система корней имеет тип Di с четным
/ ^ 6, а фундаментальная группа имеет порядок 2. (В
этом случае существуют две различные неизоморфные
группы.)
Читатель, знакомый с теоремой об изоморфизме для
полупростых алгебр Ли над полем комплексных чисел,
поймет, что эта теорема — наилучший возможный тео-
теоретико-групповой аналог результата об алгебрах Ли.
В действительности наше доказательство здесь пред-
представляется некоторым усовершенствованием доказатель-
доказательства теоремы об алгебрах Ли; однако построение изо-
изоморфизма соответствующих групп — дело гораздо более
трудное, чем построение изоморфизма алгебр Ли. В на-
настоящем пункте мы постараемся изложить в общих чер-
чертах метод доказательства этой теоремы, а затем пе-
перейдем к его реализации в деталях с последующей ре-
редукцией к группам ранга 2, которые будут отдельно
рассмотрены в § 33.
Эта теорема была впервые доказана Шевалле [8]
с более полным обсуждением вопроса об изогениях. По
определению изогения qr. G -> G' есть эпиморфизм алге-
алгебраических групп с конечным ядром (например, присое-
присоединенное представление Ad: G->AdG в случае, если
группа G полупроста). Шевалле классифицировал все
возможные изогении, в том числе и изоморфизмы, кото-
которые существуют между полупростыми группами. Почти
все они такие, как и следовало ожидать, например пере-

§32. ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ 311
ход от SL(n, К) к факторгруппе по ее центральной под-
подгруппе. Однако имеются и некоторые неожиданные изо-
гении между группами типов В/ и С/ в характеристике 2
или изогении группы F4 (соответственно G2) с нею же
самой в характеристике 2 (соответственно 3). Здесь мы
не будем входить в рассмотрение этих конструкций.
Каким образом использовать предположения теоре-
теоремы, чтобы надеяться прийти к изоморфизму ф: G-+G'}
Пусть Т\ В\ Ф' (и т. д.) имеют очевидное значение в от-
отношении группы Q'. Положим f: = R ®Х(Г), £'=R(g)
®Х(Г'). По предположению существует изоморфизм
векторных пространств f: £->£', отображающий ФвФ'
и сохраняющий числа Картана <а, р> (а, реА). Если
Л и Л'— соответствующие решетки абстрактных весов,
то / автоматически отображает Л на Л'.
Далее, Л id X(Т) и> Лг ( = подгруппа, порожденная
Ф) ввиду C1.1). Аналогично Л' и> X(T') zd А'г. Вторая
часть предположения теоремы показывает, что группа
Л/Х(Г) изоморфна Л'/Х(Г'). Во всех случаях, кроме
D/ (/ четно), группа Л/Лг является циклической (Д.9)
и, следовательно, обладает единственной подгруппой
каждого возможного порядка; поэтому / должно отобра-
отображать Х(Г) на Х(Г'). Если Ф — система корней типа D/
(/ четно) и группа n(G) —порядка 2, то это не всегда
автоматически имеет место. Если / = 4, легко видеть,
что группа автоморфизмов графа оставляет Л и Ф инва-
инвариантными и переставляет между собой любые две под-
подгруппы индекса 2 в Л; поэтому выбор / можно изменить
таким образом, чтобы отобразить Х(Г) на Х(Г'). При
/ ^ 6 автоморфизм графа переставляет между собой
только две из трех промежуточных подгрупп (упражне-
(упражнение 2); поэтому мы вынуждены дополнительно предпо-
предполагать, что f отображает Х(Г) в Х(Г7). (В противном
случае группы G и G' могут и не быть изоморфными.)
Изучение торов и характеров A6.2) показывает, что
изоморфизм групп Х(Г) и Х(Г7) однозначно определяет
изоморфизм торов Г и Г7 (как алгебраических групп).
Строго говоря, это соответствие контравариантно: ото-
отображению /-1: Х(Г') -+Х(Т) соответствует морфизм
фГ: Т-+Т'. Остается расширить срт до изоморфизма алге-
алгебраических групп ср: G-> G'. В этой формулировке проб-
проблему можно ставить для полупростой (не обязательно

312 ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
простой) группы G. Требуется доказать следующую тео-
теорему. f
Теорема'. Пусть G, G' — полупростые группы с мак-
максимальными торами Г, Т' и системами корней Ф, Ф' со-
соответственно. Если фг*. Т-*~Т' — изоморфизм, для кото-
которого ассоциированное отображение Х(Г')->Х(Г) инду-
индуцирует изоморфизм Ф' и Ф, то фг расширяется до изо-
изоморфизма групп G и G'.
Теоретико-множественное определение ф будет осно-
основано на нормальной форме Брюа B8.4). Чтобы избе-
избежать трудностей с обозначениями, мы будем писать Я
вместо G' и откажемся от символов Г', Ф' и т. д. Вместо
явного указания подгрупп группы Я, мы будем ссы-
ссылаться на них как на подгруппы, «соответствующие» Г,
В, U> £/~, Uay Za и т.д. Это соответствие основано, ко-
конечно, на заданном изоморфизме фг и индуцированном
им изоморфизме систем корней. Заметим, что все суще-
существенные манипуляции будут происходить внутри груп-
группы G.
В C2.2) мы покажем, как расширить фГ до изомор-
изоморфизма ф^: N-+H при условии, что аналогичное расши-
расширение существует для некоторых из подгрупп Zap в G
полупростого ранга 1 или 2. В C2.3) мы покажем, как
расширить фг до изоморфизма q>z (алгебраических
групп) Za (a e А) на соответствующую подгруппу груп-
группы Я. Затем в C2.4), C2.5) мы покажем, как расши-
расширить фг до изоморфизма фв группы В на соответствую-
соответствующую подгруппу группы Я с таким расчетом, чтобы он
был согласован с изоморфизмами ф2 \Ua опять при
условии, что аналогичное расширение можно сделать
для подгрупп полупростого ранга 2. Проверка выполне-
выполнения упомянутых условий для групп ранга 2 будет отло-
отложена до § 33, поскольку она требует довольно скрупу-
скрупулезных вычислений с системами корней ранга 2.
Предположим на момент, что отображения ф# и фв
уже определены. В соответствии с B8.4) каждый эле-
элемент х е G имеет единственное представление вида х =
= и'п (a) tu (aGf, t^Tyue=Uy и' е U'a). Оно зависит
от априорного выбора представителя n(o)^N смежного
класса элемента a e W; но независимо от того, какой
выбор сделан, N-компонента n = n(o)t определяется

§ 32. ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ 313
элементом х однозначно. Следовательно, мы можем опре-
определить отображение ср: G -> Н по правилу ф(х) =
= фв (и')(рм(п)срв(и). Никоим образом не очевидно, что
Ф — гомоморфизм групп или что ф — морфизм многооб-
многообразий. Решение первого из этих вопросов более сложно.
Используя условия о группах ранга 2, проверку которых
мы отложили до § 33, мы установим в C2.6) мультипли-
мультипликативность отображения ф. Коль скоро это будет сде-
сделано, мы сможем применить следующий общий крите-
критерий, чтобы заключить, что ф — морфизм.
Лемма. Пусть G — полупростая группа, В — ее боре-
левская подгруппа и Н — другая алгебраическая группа.
Если ф: G-+H— гомоморфизм абстрактных групп, огра-
ограничение которого на В— морфизм, то и ф — морфизм.
Доказательство. Напомним B8.5), что имеет место
изоморфизм (многообразий) £/~Х B-+-Q = U~B. Здесь
U~= Go(U), где Go e W заменяет положительные корни
на отрицательные и наоборот. Поскольку ф — гомомор-
гомоморфизм групп и группа 1)~ сопряжена в G с U, то из пред-
предположений леммы следует, что <p\U- — морфизм. Но
следующая диаграмма коммутативна (смысл стрелок
очевиден):
Q -> ф (Q)
Отсюда следует, что ф|Я — морфизм (это верно и для
сдвигов множества Q). Так как Q открыто в G B8.5),
то ф задается рациональными функциями на G, которые
всюду определены, т.е. принадлежат K[G] (предложе-
(предложение 2.1). Следовательно, ф — морфизм. П
32.2. Продолжение q>T на N(T). В соответствии с тео-
теоремой 29.4 W порождается элементами оа(а gA)c опре-
определяющими соотношениями (оаар)т(а'Р)= ^, где через
т(а, Р) обозначается порядок элемента оао$ в W (в ча-
частности, т(а, а)=1). Наша задача здесь — превратить
это абстрактное задание группы W образующими и опре-
определяющими соотношениями в соответствующее задание
группы N, в котором определяющие соотношения полу-
получаются из соотношений для группы Т и соотношений,
возникающих из пар простых корней.

314 f л. xi. поЛуп^осТыё группы
Рассмотрим точную последовательность
Если бы эта последовательность расщеплялась (что
обычно не имеет места), то наша задача была бы про-
проста. В общем случае мы можем выбрать произвольные
представители па& N элементов аа (а е А) и утверж-
утверждать, что эти элементы вместе с группой Т порождают
N. Положим, далее, /ар = (пап^)т (а'Р) е 7\ Мы утверж-
утверждаем, что эти соотношения вместе с определяющими со-
соотношениями для группы Т однозначно определяют
группу N. Иными словами:
Предложение. Пусть г|): Т-+Н — гомоморфизм абст-
абстрактных групп, и пусть ha^H (йеА). Тогда if> можно
расширить до гомоморфизма N-+H, отображающего па
в ha (аеД) в том и только в том случае, когда
* Э) д А
Доказательство. Часть «только тогда» очевидна.
Предположим, что условие предложения выполнено, и
введем свободную группу W* от / образующих ла(ае А).
Сопоставим элементу п*а автоморфизм 1ь->па(п~1
группы Г, получая таким образом канонический гомо-
гомоморфизм l^*-^Autr. Обозначим через N* возникающее
таким образом полупрямое произведение W*tXT (где Т
отождествляется с подгруппой группы N*). Профактори-
зуем теперь группу N* по наименьшей нормальной под-
подгруппе, содержащей элементы ta$ (nanl)m{a" P) (a, p e А),
и обозначим полученную в результате этой факториза-
факторизации группу через N. Очевидно, что N — гомоморфный
образ группы ft, причем подгруппа Т (в N*) изоморфно
отображается на подгруппу группы А? (которую мы так-
также обозначим через Г), а затем на группу Т (в N). Ясно
также, что гомоморфизм \|у. Г->Я продолжается (одно-
(однозначно) до гомоморфизма А?->Я, отображающего Яа
в ha (asi), где па — образ элемента л*.
Остается показать, что каноническое отображение
N-+N — изоморфизм. Для этого достаточно показать,
что эпиморфизм N/T ->■ N/T = W является изоморфиз-
изоморфизмом; для этого достаточно убедиться, что обе рассмат-
рассматриваемые группы имеют равное (конечное) число эле-

§ 32. ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ 315
ментов. Но группа N/T порождается элементами (обра-
(образами Яа, а£Д), которые удовлетворяют определяющим
соотношениям группы W (теорема 29.4), так что эта
группа — некоторый гомоморфный образ группы IF. Сле-
Следовательно, она не может быть больше W. □
Возвратимся теперь к ситуации C2.1), где нам дано
отображение фг: Т-+Н. Для того чтобы продолжить его
до изоморфизма ф#: Л/->•//, выберем элементы na^N
(kgA), определим по ним элементы ta$^T (a, pe A),
а затем выберем образы /ia в Я, для которых (hah^) m(a> P>=
= фг(^ар). Все они зависят только от того, что происхо-
происходит в группах Zap полупростого ранга 1 или 2. Случай
ранга 1 будет рассмотрен в C2.3), а случай групп ран-
ранга 2 — в § 33. Заметим, что так как группы G и Н обла-
обладают изоморфными группами Вейля, то срм— автомати-
автоматически изоморфизм групп. Он также будет морфизмом
многообразий, ибо фг — изоморфизм многообразий и
[N.T] <оо.
32.3. Продолжение (prHaZa, Напомним, что нам из-
известно о редуктивных группах полупростого ранга 1.
Чтобы не вводить новых обозначений, мы будем обозна-
обозначать рассматриваемую группу через Za, где ±а — корни
относительно некоторого максимального тора Т (и ко-
корень а положителен по отношению к борелевской под-
подгруппе Ва1эТ). Пусть иау V-a — соответствующие кор-
корневые подгруппы в группе Ва и ее противоположной
группе В_а, и пусть аа — нетривиальный элемент группы
Вейля.
Согласно B5.3) фактормногообразие Za/Ba изоморф-
изоморфно Р1, и естественное действие группы Za на этом одно-
однородном пространстве индуцирует эпиморфизм алгебраи-
алгебраических групп я: Za-^PGL{2, К). Его связное ядро имеет
вид R{Za) = Z(Za)°. Более точно, Кег п = Z(Za) с: Т
(следствие 25.3).
Действие группы Ua на Za/Ba можно описать явно
B8.2), если выбрать представители смежных классов
иаоа в виде копии многообразия А1 в Р1 (остающаяся
точка в Pi соответствует смежному классу Ва). В самом
деле, группа Ga действует на Ga при помощи сдвигов,
оставляя неподвижной точку на бесконечности. Отсюда
следует, что ограничение морфизма я на Ua cenapa-
бельно, а также биективно и Ga-эквивариантно (группа

ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
Ga действует очевидным образом). Таким образом,
n\Ua — изоморфизм алгебраических групп A2.4). По
симметрии n\U-a — также изоморфизм. Для большей
конкретности мы даже можем выбрать допустимые изо-
изоморфизмы еа: Ga-+Uay е-а: Ga->[/_a таким образом,
что я (еа (*)) = [* *], эт(е_а(х)) = [^ °] (в обозначе-
обозначениях F.4)). При таком выборе п(Т)—«диагональная»
подгруппа группы PGLBy К). Мы можем сделать сле-
следующий шаг, зафиксировав представитель па элемента
<та в Nza(T): положим па — еаA)е_а(— 1)еаA), так что
п(па) = (_. 0J. Тогда элемент ta — nl отображается
г-1 от Г1 0]
Выбрав таким образом элементы в группе Za, мы
будем обозначать при помощи штрихов соответствующие
объекты в Z£'—другой редуктивной группе полупро-
полупростого ранга 1.
Предложение. Используем введенные выше обозначе-
обозначения. Пусть фг: Т-+-Т' — изоморфизм торов, для которого
ассоциированный изоморфизм групп характеров Х(Г')->
-*-Х(Т) отображает а' в а. Тогда ут можно продолжить
одним и только одним способом до изоморфизма алгеб-
алгебраических групп ф: Za -> Za' таким образом, что ф (еа {х)) =
= г'а>(х) (XGGJ И ф(/1а) = /?^.
Доказательство. Ясно, что достаточно рассматривать
группы, совпадающие со своими коммутантами. Поэтому
мы можем предполагать, что Za, Za'— 'полупростые груп-
группы (ранга 1). Единственность изоморфизма ф (если
он существует) очевидна, так как Г, na, Ua порождают
Za- Ясно также, как задать изоморфизм многообразий
соответствующих больших клеток Qa, £2^:ф(е_а(a:)tea(y))=
= e'-a>(x)q>TA)z'a'(y)- • Затем при помощи эпиморфиз-
эпиморфизмов я, ,я' на PGL{2,K) мы построим общее «накрытие»
S, как показано на следующей диаграмме:

§ 32. ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ 317
Начнем с замкнутой подгруппы R — {(г, z') е Za X
X^a' I я (г) = я'B')} (почему она замкнута?) ;затем поло-
положим 5 = /?°, и пусть р, р' — соответствующие проекции.
Очевидно, яр = я'р'. Так как эпиморфизмы я, я' сюръек-
тивны, то сюръективны и проекции группы R на оба со-
сомножителя произведения. Но группа S имеет конечный
индекс в R; сравнение размерностей показывает теперь,
что проекции р, р' сюръективны. Каждая из них имеет
конечное ядро, ибо ядра эпиморфизмов я, я' конечны.
В частности, S — полупростая группа ранга 1. Морфизм
t\-> (t, ф@) s R (t^T) отображает изоморфно Т на
максимальный тор группы S, откуда следует, что огра-
ограничения р, р' на соответствующую большую клетку
группы S являются изоморфизмами на йа, Qa', причем
отображение фр = р' всюду определено.
На этой стадии ф задается рациональными функция-
функциями на Za (ибо Qa — открытое множество). Мы утверж-
утверждаем, что ф всюду определено и является гомоморфиз-
гомоморфизмом групп. Пусть jteS, z = p(x), 2' = p'(#). Обозна-
Обозначим через Ло, К ^' соответствующие левые сдвиги
в S, Za, Za', индуцированные этими элементами. Сле-
Следующие равенства имеют место всякий раз, когда их
обе части определены. Прежде всего, равенство фр = р'
влечет Я'фр = Я'р', что в свою очередь равно р% (ибо
р' — гомоморфизм). Но р'Я0 = фрЯ0 = фЯ,р (ибо р — го-
гомоморфизм). Поскольку он сюръективен, то (*) Я'ф ==
= фЯ. Таким образом, если отображение ф определено
в точке i/GZa, то оно также определено в точке %(у) =
= zy по правилу y(zy) =Л'ф(у) =г'ф(у). Так как эле-
элемент z произволен, то отображение ф всюду определено.
Из (*) и соотношения фр = р' тогда следует, что ф —
гомоморфизм.
Из построения ф следует, что ф (па) = п'а\ Чтобы убе-
убедиться в том, что ф — изоморфизм, следует только по-
повторить это рассуждение в обратном направлении (это
даст обратный морфизм). □
Из предложения сразу вытекает полная классифика-
классификация полупростых групп ранга 1.
Следствие. Полупростая группа ранга 1 изоморфна
SL{2yK) или PGLByK).
Доказательство. Как было отмечено в C1.1), группа
с системой корней типа Ai должна быть либо односвяз-

318 ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
ной, либо присоединенного типа. В этих случаях группа
характеров максимального тора в SLB, К) или
PGLB,K) естественным образом изоморфна группе
X(r)^X(Gm)=Z с положительным корнем а, соот-
соответствующим 2 или 1 (соответственно). Таким образом,
применимо предложение. □
32.4. Продолжение срг на TUa. В C2.3) мы видели,
как расширить срт до изоморфизма группы Za на соот-
соответствующую подгруппу группы Н для любого корня a
(скажем а£ф+). Выбор вложения еа: Ga->f/a был там
в некоторой степени произволен, так что у нас нет при-
причины ожидать, что все отображения ф7 будут согласо-
a
ваны, т. е. допускают какое-либо общее продолжение на
группу G. Поэтому мы начнем с построения расширений
Ф- только для простых корней а; выборы здесь «неза-
a
висимые». Обозначим через фа ограничение отображения
Ф7 на Ua и через па — различные представители эле-
элементов aa, определенных в C2.3):fta = ea(l)e_a(— l)ea(l)
и 'a = /£(='aa)- Положим ha = q>Za(na).
Согласно C2.2) морфизм фг продолжается до гомо-
гомоморфизма ф#: N-+H, отображающего па в ha (aeA),
если выполняются следующие условия:
(А) Фг(Ц) = (МрГ(а'Р) для всех a, Be А, где /ар =
= (nanp)m(a' Р) и т(а, $) — порядок элемента ааар в W.
Это условие будет проверено в § 33, но пока что мы
будем считать его выполненным и использовать суще-
существование ф#. По построению ф# и ф2 согласованы на
Как расширить срт на В? Разумеется, такое расшире-
расширение должно быть согласовано с фа (аеА) и должно
отображать каждую группу Ua (a > 0) в соответствую-
соответствующую подгруппу группы Н. В частности, если пересече-
пересечение U[\Za& обозначить через £/afl (a, ре А), то мы
должны требовать выполнения следующего условия:
(Б) Для каждой пары а, ре А существует изомор-
изоморфизм фар {алгебраических групп), отображающий [/ар
на соответствующую подгруппу группы Я, такой, что фар
является расширением как фа, так и ф$.

§ 32, ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ 319
Как и условие (А), это условие относится к группам
ранга 2 и будет проверено в § 33. В оставшейся части
§ 32 мы будем предполагать его выполненным.
Если желать продолжить срт не только на В, но и
на G, то необходимо потребовать еще больше. Пусть,
скажем, р— положительный корень, который отобра-
отображается элементом aef в простой корень а, и пусть
n^N — представитель элемента а. (Для краткости мы
будем писать п = о). Тогда nU^ti-1 = £/а, или U& =
= n-lUan. Если существует гомоморфизм ф: G-+H,
являющийся продолжением как ф#, так и фа, то это ра-
равенство показывает, как гомоморфизм ф должен быть
определен на [/р. Обратим внимание на то, что р можно
отобразить в а при помощи некоторого другого элемен-
элемента группы W и Р можно отобразить в некоторый другой
простой корень. Мы должны быть уверены, что сделан-
сделанные нами выборы не влияют на определение отображе-
отображения фр: £/р->#. Эта проблема возникает уже для групп
ранга 2, где ключевое условие, которое нам нужно про-
проверить, состоит в следующем (фар обозначает то же, что
в (Б)):
(В) Пусть a, PgA. Если у е Ф+р и у Ф а, то
1п1;Лаофар согласуется на Uy с (pa^olntna.
Так же как (А) и (Б), это условие будет установлено
в § 33; пока мы примем его и перейдем к доказательству
того, что отображение фа можно определить последова-
последовательно для всех корней (положительных или отрицатель-
отрицательных).
Предложение. Предположим, что имеют место усло-
условия (А), (Б), (В), сформулированные выше, так что
определены отображения ф# и фа, фар (а, реД). Тогда
для каждого корня аеФ существует изоморфизм фа
группы Ua на соответствующую подгруппу группы Я,
удовлетворяющий условиям:
(а) если ogA, то отображение фа согласовано с дан-
данным МОрфизМОМ U ф-а^Ф^^-а'»
(б) если а, реД и уеФ«р, то Фу = Фар1^»
(в) если n&N и /г(а) = р (а, Р е Ф), то 1^ф^(п)офа
согласуется на Ua с фр<>1п1:д.
Доказательство разобьем на несколько шагов. По-
Положим Nap = NZ(xp(T).

320 гл. xi. полупростые группы
A) Пусть а, р G Д, а -ф р. Если n^Na$ и й(а)=а
{соответственно п{а)= Р), то отображение Int ($м{п) офа
согласовано на UaC(pao Int я {соответственно с фр о Int я).
Запишем п = пУк...пУ1! для некоторого /еГ и
Y* е {а, р}. Если п = t (так что /г(а) = а), то утвержде-
утверждение следует из построения ф7 . Поэтому мы можем пред-
пред7
полагать, что п = п ...п и использовать индукцию
по k. При k = 1 п равно па или яр. В самом деле, так
как аа переставляет элементы множества Ф$$ — {а} (Д.5),
ясно, что п=т^па (и в этом случае /г(а) = а). Тогда мож-
можно применить условие (В) (ввиду условия (Б)).
Для шага индукции рассмотрим последовательность
корнейа, = ау ... ау (а) е Фа^ Если все а, принадле-
принадлежат Ф+р, повторное применение условия (В) завершает
доказательство так же, как и в случае k=l. В противном
случае найдется номер / < k такой, что корень а* поло-
положителен, а корень aj+i отрицателен. Единственным по-
положительным корнем, который отображается элементом
а в отрицательный корень, является yty и мы получаем
at = а или at = р. Запишем теперь п = п"п\ где // =
=== °v • • • av » я'/ = °v •••<*«• Заметим, что каждый
из элементов п\ п" удовлетворяет первоначальным пред-
предположениям относительно п (причем для п" роли аир
могут поменяться). Остается воспользоваться индукцией.
B) Пусть а, р е А, и предположим, что п (а) = р,
n&N. Тогда отображение Int ф^ {п) о фа согласовано на
Ua С фр оInt tt.
Заметим, что это сразу следовало бы из шага (I),
если бы мы имели a^=M ns Na$ или даже если a =
= р и п е NaY Для некоторого другого простого корня у.
Чтобы редуцировать дело к одной из этих ситуаций, мы
обратимся к лемме Титса (Д.12), которая дает последо-
последовательность простых корней у0 = а, уь • • •, У/г — Р, и по-
последовательность со, ..., tffe-i элементов группы W та-
такие, что n = Ok-\ ... 0о, My/) = Y'+i @ ^ *'^ * — !)•
Лемма Титса также утверждает, что для каждого / суще-
существует корень 8i е А, для которого а( ^Wy 6 и у = Y{

§ 32. ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ 321
или б/. Таким образом, мы можем опять воспользоваться
шагом A).
C) Пусть аеФ, д, nr e N. Предположим, что
п(а) = реА и Я/(а) = р/ЕД. Тогда отображение
Int q)N(n)~[ о фр о Intn согласуется на Ua с Int yN(n')~l °
о ф-, о Int и'.
Нужно доказать, что отображение \r\.iq>N(n'n~l) оф.
согласуется на U^ с ф6, о \nt п'п~х. Но это следует из
шага B).
D) Теперь мы в состоянии определить фа для всех
аеФ. Существует простой корень р и элемент n&N,
для которых п(а) = р (Д.4). При х£[/а мы определим
фа(х) равным lntyN(ri)~{ q>plntn(x). Согласно шагу C)
это правило не зависит от того, какие выбраны элемен-
элементы р и п. В частности, отсюда следуют утверждения (а)
и (б) предложения. Кроме того, ясно, что фа — изомор-
изоморфизм группы [/а на соответствующую подгруппу группы
Н (так как фр— изоморфизм). Наконец, построение с
учетом шага C) дает (в). □
32.5. Продолжение фг на В. Предполагаем по преж-
прежнему справедливость предположений (А), (Б), (В)
в C2.4). Построенные в предложении 32.4 морфизмы фа
(а е Ф+) можно теперь скомбинировать с фг, чтобы
получить изоморфизм (многообразий) из В на соответ-
соответствующую борелевскую подгруппу группы Я. В самом
деле, группа В изоморфна (как многообразие) произве-
произведению Т X Uax X • • • X £Лхт, где положительные корни
cti, ..., am упорядочены любым способом B8.5). Поэто-
Поэтому Фг X <Ptti X • • • X фа индуцирует искомый изомор-
изоморфизм фя. Конечно, это могло бы быть достигнуто в ре-
результате произвольного определения фа (каждая одно-
одномерная унипотентная группа изоморфна Ga). Но мы
хотим, чтобы фя был групповым изоморфизмом. Здесь
основной момент заключается в рассмотрении коммути-
коммутирования в группе U. Согласно предложению 28.1 каждая
инвариантная относительно Т замкнутая подгруппа
(fAx, £/p) (где а, реф+) есть произведение содержа-
содержащихся в ней подгрупп Uy. Используя технику предложе-
предложения 27.2, мы можем определить, какие у могут появить-

322 гл- XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
ся и в то же время получить довольно точную коммута-
коммутаторную формулу.
Лемма. Пусть а, реф+, и пусть Ч — множество
всех корней вида га + $р (/-, s — целые положительные
числа). Зафиксируем любой допустимый изоморфизм еб:
Ga->U6. Тогда (еа(*), e$(y)) = Iley(caf£tyxrys)9 где про-
произведение взято по всем у = га-\- sfi^W (в некотором
фиксированном порядке) и где элемент са, ^ty^K не
зависит от х, у. В частности, (£/а, £/р) = еу если W = 0
(например, если а + Р ф. Ф (Д.4)).
Доказательство. Упорядочим положительные корни
g&i, ..., ат некоторым способом, согласованным с из-
избранным порядком в W; как и выше, отображение произ-
произведения f/ttl X • • • X Ua ->иестъ изоморфизм многооб-
многообразий. Определим, далее, морфизм-ф: Ga X Ga->U пра-
правилом г|) (х, у) = (га (х), ер (у)) = га (х) ер (у) еа (— х) &^ (— у).
Его образ имеет «нормальную форму» eaj (px (х, у)) ...
... Zam(pm(Xy у))> гДе Pi — полиномы от двух перемен-
ных:
Pt(X, Y)=
r,
По определению -ф мы имеем ф (ху 0)== е = ф @, у)у так
что в действительности XY делит полиномы pi(Xy У)
(т. е. /*, 5 > 0 всякий раз, когда a/, r, s =И= 0).
Чтобы определить образ морфизма -ф, мы сопрягаем
г|? (#, у) некоторым элементом (gT и запишем резуль-
результат двумя различными способами. С одной стороны,
{ea{a(t)x)9e^(t)y)) = l[iEai{pt(a{t)x9 P(/)y)). Но пра-
правая часть здесь равна П/еаД«/ (/) Pi (x, у)). Сравнение
показывает, что а/, г, s = 0, если а/ =^ га + $Р (^ 5 > 0);
если же а, = га + ^>Р, то г и 5 однозначно определяются
по i (можно считать, что аир линейно независимы).
Отсюда следует утверждение леммы. □
Как доказывает лемма, групповое умножение в V
определяется групповым умножением в некоторых под-
подгруппах «ранга 2». Если а, р — простые корни, то рас-
рассматриваемая подгруппа совпадает с Gар и фаз =
= Фв|£Лх0 — изоморфизм групп ввиду условия (Б)
в C2.4). В общем случае, пусть а, р — положитель-

§ 32. ГЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ 323
ные корни, которые мы можем предполагать различны-
различными (поскольку фа —уже изоморфизм групп). Согласно
(Д.4), существуют элементы о g ff и у, 5еД такие, что
о (а) = 7 и а(Р)еФ|б- Пусть, скажем, о = п (n^N).
Тогда предложение 32.4 (в) с учетом того факта, что
фуб — групповой изоморфизм, позволяет нам заключить,
что фв сохраняет формулу для коммутаторов элементов
а, р, найденную в лемме. Отсюда легко следует, что
срв\и — изоморфизм алгебраических групп. В свою оче-
очередь, фв сохраняет действие тора Т (при помощи сопря-
сопряжения) на каждой группе Ua, опять ввиду предложе-
предложения 32.4(в). Таким образом, фВ — изоморфизм групп.
Заметим, что доказательство предположения (Б),
которое будет дано в § 33, даст нам весьма точное опи-
описание констант, появляющихся в найденной выше фор-
формуле коммутатора для пар положительных корней.
32.6. Мультипликативность ф. Мы все еще предпола-
предполагаем, что условия (А), (Б), (В) в C2.4) имеют место.
Как в C2.1) мы можем определить теоретико-множест-
теоретико-множественную биекцию ф: G-+H, продолжающую оба отобра-
отображения фл^ и фВ, ограничение которой на большую клетку
Q есть изоморфизм многообразий. Доказательство тео-
теоремы 32.1 будет закончено (по модулю (А), (Б), (В)),
если мы сможем показать, что ф — гомоморфизм групп,
поскольку отсюда будет в свою очередь следовать, что
Ф — изоморфизм многообразий. Ограничения отображе-
отображения ф на Л/, U, LJ-, Za> как мы уже знаем, являются мор-
физмами алгебраических групп.
Для упрощения дела покажем, что достаточно уста-
установить мультипликативность отображения ф «в общем
случае», т.е. что у (ху) = ср (х) ср (у), когда элементы ху
у, ху принадлежат Q. В самом деле, из следующей лем-
леммы вытекает, что если отображение cp|Q обладает этим
свойством, то оно допускает продолжение (единственное
ввиду предложения 2.5F)) до морфизма ф': G-+Hy ко-
который является мультипликативным. Поскольку множе-
множество Q[)Za плотно в Za (a e A), то морфизм ф' согла-
суется с ф на Za. Но группы Za порождают G, так что ф'
должен совпадать с ф.
Лемма. Пусть Gu G2 — связные алгебраические груп-
группы, U — открытое {непустое) подмножество группы G\,
\р; U -v О2 — морфизм такой, что ty{xy) = гр (лг)гр (у) вся-

324 г^. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
кий раз, когда ху у, ху е U. Тогда морфизм if продол-
продолжается (однозначно) до морфизма алгебраических групп
if': Gi->G2.
Доказательство. В силу леммы 7.4 G\ = U-U. Это
подсказывает (в действительности диктует) • нам пра-
правило для определения if'. Если элемент a:eGi записан
в виде x=yz (у, гЕ[/),то мы должны положить if'(х) =
= if (у) if (г). Для того чтобы это определяло функцию,
необходимо выполнение соотношения (*) xf(#)if(z) =
= Ф(#'Ж2/). К0ГДа </'> г'е(/ и yz=y'z\ Коль скоро
это будет установлено, if' автоматически будет морфиз-
мом, поскольку его ограничение на каждый сдвиг xU
(jce(/) — морфизм. В свою очередь морфизм if' будет
автоматически мультипликативным. Чтобы убедиться в
этом, заметим сначала, что подмножество V множества
UXU, состоящее из тех пар (х, у), для которых х//е
е £/, является плотным в G\ X G\\ дело в том, что V —
пересечение открытых множеств UXU и ix~l(U)y где
\х: G^XGi-^Gi — морфизм произведения. Далее, мор-
морфизм G\ X G\ -> G2, определенный правилом (#, у) »—>
»—>ty' (xy)ty' (y)-lty' (х)~~] согласуется с постоянным мор-
физмом (х, у) \—> е на V и, следовательно, всюду (пред-
(предложение 2.5F)).
Остается доказать соотношение (*). Обозначим через
D\ (соответственно через D2) диагональ в G\ X G\ (со-
(соответственно в G2X G2); таким образом, Dx и D2 — замк-
замкнутые множества B.5). Пусть X — прообраз Dx относи-
относительно морфизма (UXU)X(UXU) ^> GXXGU и
пусть У — прообраз множества D2 относительно компо-
композиции морфизмов (U X U) X {UXU) *x*x*x% (G2XG2)X
X (G2XG2) —> G2XG2. Тогда оба множества X и У
замкнуты в UX UXUXU. Легко видеть, что множе-
множество X неприводимо (упражнение 7.12), так как ото-
отображение (w, х, у, г) ь-> (w, xy у) индуцирует изомор-
изоморфизм многообразий из прообраза множества D\ в (G\ X
XG!)X(G!XGi) на GiXdXGi, и ^ — открытое под-
подмножество первого из них.
Если V — определенное выше открытое подмноже-
подмножество множества U X U, то из исходных предположений
относительно if следует, что множество X' = {VX ^

§ 32 ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ 325
содержится в У. Но множество X' открыто (и, следова-
следовательно, плотно) в неприводимом замкнутом множестве X,
и из замкнутости У следует, что X а У. □
Остается доказать, что отображение q>|Q «обобщен-
«обобщенно» *) мультипликативно.
Предложение. Предположим, что выполнены условия
(А), (Б), (В) в C2.4) и определен морфизм ф: G->#,
как указано выше. Если ху у, ху^пу то ф (ху) =ф (х) ф (у).
Доказательство. Необходимо установить несколько
предварительных утверждений, относящихся к ф, а не
только к ф | Q. Мы будем существенно использовать тот
факт, что ограничения ф на Z&, Л/, £/, £/-, как уже уста-
установлено, — гомоморфизмы групп.
A) Пусть n^N — представитель того элемента груп-
группы W, который переставляет положительные и отрица-
отрицательные корни, так что nUn~l = U~, nU~n-1 = U. Тогда
для всех u^l U {соответственно и е U~) мы имеем
Ф (пип~1) = ф (п) ф (и) ф (гт1).
Поскольку ф j L/ и ф|£/~ — гомоморфизмы групп, то
это сразу следует из предложения 32.4(в).
B) Пусть и е В, hg В", xgQ. Тогда ф (vxu) =
= Ф (v) ф (х) Ф {и).
Запишем v = V\tu x = v2t2U2y и = t3u3 {vt e f/~, /t- e Г,
u{^U). Тогда, по определению, ф (и) ф (х) ф (и) =
== ф (vi) ф (/О ф (и2) Ф ih) ф (^2) Ф (^з) Ф (^з)- Подобным обра-
образом q){vxu)=q)(vit\V2t\'ltit2t3t3lU2t3U3)=q)(vitiV2trl)q)(tit2t3) •
• ф(/з"{и21зиз), причем последнее равенство имеет место
ввиду того, что t\v2t\l e U" и /3~ u2t3^U. Так как ф I С/
и ф \U~ — гомоморфизмы, то левые и правые части до-
допускают дальнейшее разложение. Сравнение с первым
равенством показывает, что мы должны проверить сле-
следующие равенства:
Ф {t\v2t\l) = ф (t\) ф (v2) Ф (/Г1)»
Ф (/з~ W3) = Ф (/Г1) Ф Ы Ф (/з).
Но они легко следуют из предложения 32.4(в), если при-
принять во внимание, как ф определено на U и на £/~.
В оригинале «generically». — Прим. перев.

3^6 ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
C) Пусть абА, х s= й. Если элемент lntna(x) при-
принадлежит Q, то 4>(пахп-1) = у(па)у(х)ч)(п-1).
Запишем х = vx-atxau, где ^gT, #_a e f/_a, #a ^ Ua,
v принадлежит произведению всех £/_р и и принадлежит
произведению всех U$ (РеФ+—{а}). Эти последние
произведения нормализуются автоморфизмом Int/га, так
как aa переставляет элементы множества Ф+ — {а} (Д.5).
Если х = и или x = v9 то искомая формула следует из
предложения 32.4(в). Ввиду шага B) достаточно прове-
проверить эту формулу при х = x-atxa ^ Za. Но мы уже знаем
C2.3), ЧТО <p|Za— ГОМОМОрфиЗМ И % G Za.
D) Пусть n<=Ny х<ёеп. Если lntn(x) e Q, то
<р(дшН) = (р(п)у(х)(р(п)-1.
Это верно при п^Т ввиду предложения 32.4(в) и
определения ф. Это верно также при п = па (аеА)
ввиду шага C). Произвольный элемент п можно пост-
построить из элементов тора Т и последовательности таких
элементов na, но мы не можем гарантировать, что после-
последовательные образы элемента х принадлежат Q, так что
общий случай не является тривиальным следствием этих
частных случаев. Заметим, что обе части желаемой фор-
формулы определяют морфизмы множества Qfllntn-^Q)
в Н. Для того чтобы убедиться, что эти морфизмы сов-
совпадают, достаточно проверить, что (*) существует от-
открытое подмножество Vn множества Q (зависящее от п)
такое, что lntn(Vn) cfi и такое, что морфизм (point(я)
согласуется с Int<p(/z) °ф на Vn. В свою очередь доста-
достаточно доказать, что если утверждение (*) имеет место
при n'ety, то оно имеет место при п = п'па (кеД).
Пусть множество Vnf задано; мы положим Vn =
= Qr\lnt{narlVn>, так что lntn{Vn) cz Int n'(V'n) с Q.
Если хеУл, то Int п(х) = Int п' о Int na{x). Так как
Ыпа(х) е Vn'f TO ч\\г&П(х))=у(\п\п'\п\Па(х)) =
= Int (р(п')(р (Int па(х)) по предположению. Ввиду шага
C) мы имеем <p(Intrta(*))= Int ф(ла) (<р(*)), откуда
следует (*).
E) Теперь мы в состоянии закончить доказательство
предложения. При x,/gQ запишем x = vtuy х' — v't'u'
(и, v e U-; t, V е Г; и, m'g(/), так что **' = vtuv't'u'.
Ввиду шага B) и того факта, что U~Q U — Q, доста-
достаточно показать, что из uu/eQ следует .9(wu'X =

§ 32. ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ 327
(и'). Как и в шаге A), пусть n^N отображает
U в U~, так что
Ф (и) = Ф {п)~1 ф (nun) ф (п),
Ф (о7) = Ф (л) Ф {nv'n'1) ф (л).
Тогда ф(и)фA>')=ф(п)-1ф(/шл-1)ф(п1>'/1-1)ф(/1). Таккак
пип~1 е £/-, nv'n~x e £/, то два внутренних члена можно
скомбинировать (по определению ф). Предположение
о том, что uv' e Q позволяет нам теперь закончить до-
доказательство ссылкой на шаг D). □
Упражнения
1. Предположим, что все полупростые алгебраические группы
известны (с точностью до изоморфизма). В какой мере вы могли бы
классифицировать все редуктивные группы?
2. Для системы корней Ф типа D/ (/ четно) существует авто-
автоморфизм графа этой системы, оставляющий Л и Ф инвариантными
и переставляющий две из трех подгрупп индекса 2 в Л; однако
если / ф 4, то никакой автоморфизм группы Л, оставляющий си-
систему Ф инвариантной, не переставляет какую-нибудь из этих двух
подгрупп с третьей.
3. Вывести из теоремы 32.1, что если G— группа односвязного
или присоединенного типа, то каждый автоморфизм графа системы
корней Ф индуцирует автоморфизм группы G (ср. с теоремой 27.4).
В какой мере это верно для произвольной полупростой группы G?
4. Вывести из теоремы 32.1, что все полупростые группы
типа Eg (соответственно F4, соответственно G2) изоморфны.
5. Доказать, что с точностью до изоморфизма существует ровно
три различные редуктивные группы над К размерности 4 и полу-
полупростого ранга 1 (ср. с упражнением 25.5).
6. Согласно C2.3) группа (Za, Za) изоморфна либо SLB, К),
либо PGLB, /С). Доказать, что первый случай имеет место, если
группа G односвязна, тогда как последний может не иметь места,
если группа G — присоединенного типа. (Пусть Ха — фундаменталь-
фундаментальный доминантный вес относительно корня аеА. Его ограниче-
ограничение на максимальный тор группы (Za, Za) есть вес А,, для которого
одновременно оак = Я — аи оак = —М
Замечания. Теорема 32.1 (или ее более общий вариант, рассма-
рассматривающий вопрос об изогениях, а не только об изоморфизмах)
принадлежит Шевалле [8, expose 23, 24]. Однако метод доказатель-
доказательства этой теоремы, которому мы следуем здесь, близок к методу
в СГ, expose XXIII, за исключением предложения 32.3, которое
основано на идее Шевалле [8, expose 18]. Лемма 32.6 заимствова-
заимствована из СГ, expose XVIII.

328 ^л. xi. ПоЛупростые группы
§ 33. Системы корней ранга 2
Мы сохраняем обозначения § 32.
33.1. Другая формулировка условий (А), (Б), (В).
Расширение морфизма срт: Т-+Н до изоморфизма
ф: G-+H было выполнено при некоторых предположе-
предположениях, относящихся к каноническим подсистемам Фар
(а, Ре А) ранга 1 или 2 системы корней Ф. В C2.4)
они были сформулированы следующим образом:
(A) Ф7(Ц) = (Мэ)т(а>Р) для всех а, (JgA, где Ц =
= (пап$)т (а> Р) и т(а, р) — порядок элемента ааа^ в W.
(Б) Для каждой пары а, р е А существует изомор-
изоморфизм фаз (алгебраических групп) группы £/ар яа соог-
ветствующую подгруппу группы Н такой, что фар явля-
является расширением как фа, га/с м фр.
(B) Пусть а, р е А. £слн y e= Фар и у ф а, то мор-
физм Int Аа о фар согласуется на JJy с морфизмом фар о Int na.
Заметим, что если а = р, то предположения (Б) и
(В) пропадают, тогда как выполнение (А) следует из
классификации групп ранга 1 в C2.3).
На первый взгляд эти три утверждения относятся
к паре групп G и Н. Но их проверка в действительности
требует работы только внутри группы G. Дело в том, что
нам требуется лишь показать, что сделанный выбор (вло-
(вложений еа, е_а, и, следовательно, па при а е А) пол-
полностью определяет элементы ta$, коммутирование в (/ар
и действие морфизма Int na на соответствующие корне-
корневые подгруппы. Тогда соответствующий выбор в группе
Н обязан привести к нужным результатам. (Этот подход
ведет к нахождению системы образующих и соотноше-
соотношений для группы G.) Имея все это в виду, мы дадим но-
новую формулировку утверждений (А), (Б), (В).
Для доказательства утверждения (А) достаточно вы-
выразить tafi через ta и t$ способом, зависящим только от
содержащей эти элементы системы корней ранга 2, по-
поскольку мы уже знаем, что ta и t$ полностью опреде-
определяются этим набором данных.
Для доказательства утверждения (Б) для каждого
корня y ^ Фор мы зададим морфизм eY: Ga -> Uy спосо-
способом, зависящим только от системы корней, а затем по-
покажем, что константы, которые появляются в формуле

§ 33. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ РАНГА 2 329
для коммутатора (лемма 32.5) для всех пар корней
в Ф(£р, полностью определены. Таким образом, теорети-
теоретико-групповое строение группы Gар будет зависеть толь-
только от системы корней. С другой стороны, легко построить
изоморфизм многообразия £/ар на соответствующую под-
подгруппу группы Н (см. 32.5); использование вложения eY
и соответствующего вложения eY' гарантирует нам, что
этот изоморфизм многообразий будет гомоморфизмом
групп. В качестве примера того, как следует ввести ото-
отображение eY, рассмотрим тип А2; в этом случае положи-
положительные корни — это а, р, а + р. Нам уже даны еа и п$у
так что мы положим еа+$(х) =lntn^(^a(x)). (Конечно,
возникает еще вопрос, как это связано с другим естест-
естественным выбором, когда аир переставлены местами.)
В этом случае групповое умножение в Ua$ будет опи-
описано, если мы покажем, что (ер(у), га(х)) =еа+$(ху) и
что элемент ea+$(z) перестановочен со всеми осталь-
остальными.
Рассмотрим теперь (В). Требование уф а влечет по-
положительность корня б = оаG), так что eY и е6 заданы
(ср. с предыдущим рассуждением для (Б)). Композиция
автоморфизма \nina с eY приводит к другому допусти-
допустимому изоморфизму Ga->£/6, который мы сопоставим еб
способом, зависящим только от системы корней. Это
обеспечит выполнение того же соотношения для группы
Я, откуда будет следовать (В). Например, в рассужде-
рассуждении выше для групп типа А2 мы оставили открытым во-
вопрос, как Intfta°ep связан с еа+р; будет показано, что
паВр (х) п~1 = еа+0 (— я) (х е Ga). Этот вывод можно
получить несколько более эффективно, если воспользо-
воспользоваться алгеброй Ли. Выбор допустимого изоморфизма
eY: Oa-^Uy приводит к выбору базисного вектора xY =
= deY(l) в gY см. B6.3). Этот выбор можно изменить
только на скалярный множитель, т. е. на автоморфизм
группы Ga. Равенство, указанное выше, эквивалентно
соотношению Adna(xp)=—xa+p, где выбор ха+з =
= Ad др(ха) был уже сделан ранее.
Коль скоро мы определяем xY для непростого поло-
положительного корня y ПРИ помощи правила xY = Ad^(xa)
(a, P е Д), мы тем самым предписываем элементу x_Y
быть равным Ad(n^)(x_a). После того,, как. мы опреде-

330 Г'Л- XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
лилиеуие_у, мы можем положить ftY = eY(l)e__Y(—l)eY(l).
Тогда Int(ftp) преобразует канонический выбор, сделан-
сделанный в группе Za, в соответствующий выбор в Zy. В ре-
результате мы можем вычислить п^пап^1 = (Пл&аA)п>а{) •
• (npe_a(-l)«p-i)(«pea(l)np') = ev(l)e_Y(-l)eY(l)=rtY.
Имеется только четыре системы корней ранга 2 (Д.7):
AiXAi, A2, B2 (=C2), G2. Только в случае G2 вычисле-
вычисления оказываются длинными. Быть может, стоит указать,
что G2 не может играть роль Фар в неприводимой систе-
системе корней, отличной от себя самой; таким образом, тео-
теорема об изоморфлзме для типов А — F не зависит от
этих вычислений.
Заметим еще, что фундаментальная группа группы G
влияет только на природу элементов ta (т. е. ta = e или
нет). Другие соотношения, входящие в (А) (Б) (В), опре-
определяются только системой корней.
33.2. Предварительные соображения. Прежде чем за-
заняться непосредственно системами корней А2, В2, G2,
сделаем несколько предварительных замечаний.
Коммутаторная формула (лемма 32.5) установлена
для пар положительных корней, но она, разумеется, при-
применима всякий раз, когда два корня можно сделать по-
положительными подходящим выбором базы. Мы будем
очень часто пользоваться тем фактом, что (f/a, U$) = e,
если a + р ф. Ф, для того, чтобы преобразовывать фор-
формулы. В частности, если ни a + Р, ни a — р не являются
корнями, то определение па показывает, что Ad na{x&) =
= Х|з, а также, что пап$ = п&па. Эти рассуждения уже
решают вопрос в случае Ai X Аь
Предложение. Пусть Фар — система корней типа А{ X
X Ai с положительными корнями а, р. Тогда:
(а) Ц = (папрJ = Щ = (ttpftaJ = V'
(б) (f/a, £/э) = *;
(в) Adna(xp) = Xp, Adttp(xa) = xa. □
Нам необходима дополнительная информация об эле-
элементах ta: что можно сказать о Р(^а) или о п^аП71> если
Ре А?
Напомним (Д.11) понятие дуальной системы корней
Ф*. Это — множество векторов а* = 2а/(а, а) в евкли-
евклидовом пространстве Е, в котором задана система ф?

§ 33. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ РАНГА 2 331
В случаях А2, В2, G2 Ф* — система корней того же са-
самого типа; но длинный корень а переходит в короткий
корень а*, если имеется два значения длин корней. Груп-
Группа Вейля системы Ф* канонически изоморфна Wy причем
МР*) = Р*-(Р*, а>* = р*-<а, р>а*, где (а, р> =
= 2(ofp)/(pfp).
Наша цель — построить экземпляр системы корней
Ф* непосредственно в Т{Т) таким образом, чтобы при
естественном спаривании Х(Т)У(Т(Т)-+Z число <Р,а*>
было равно числу Картана <Р,а>. Для каждого корня
ссеД группа (Z<z,Za) изоморфна SL{2yK) или PGLByK)
C2.3). В любом случае соответствие хн» (* х_Л при-
приводит к однопараметрической подгруппе у: Gm-+Tfl
П Ba, Za), для которой ta = y(—l) и <а, у} = 2 (т.е.
а (у (х)) = х2). Это — наш кандидат на роль а*.
Группа (Za, Za) содержится в каждой максимальной
параболической подгруппе Рд-де} (Р=#=а) и, следова-
следовательно, оставляет неподвижным некоторый вектор (в не-
некотором рациональном представлении группы G), вес
которого равен умноженному на положительное число
фундаментальному доминантному весу Яр, соответствую-
соответствующему корню р (см. первые три абзаца в C1.4)). Отсюда
следует, что для некоторого положительного числа с мы
имеем Я|з (y (#)) = 1 для всех xGGm или <сЯр, у> = 0.
Векторные пространства К®Т(Г) и Е = R(g)X(T) двой-
двойственны относительно спаривания, и, следовательно, ко-
корень у соответствует единственной линейной функции на
£, значение которой на а равно 2, и равно 0 на всех Яр
ффа). Но при естественном спаривании пространст-
пространства £ с самим собой при помощи ( , ) эту роль играет
в точности а* (Д.11). В результате мы получаем базу
{a*|a e А} для системы корней в R<g>Y(T), изоморфной
Ф*, причем <р, a*>=<p, a> (a, p е= А) см. (Д.11). Дейст-
Действие группы W описано в упражнении 24.8.
Следующие основные формулы теперь вполне оче-
очевидны:
(а) р(У = р(а*(-1)) = (-1)<е'а>;
(б) np/artp-1 = (a3a*)(-l) = (a*-<p, a)p*)(-l) =
= а* (-1) р*(-1) -<р> а) = Ut^' а)(а, Р е А).

332 ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
33.3. Тип А2. Предложение. Пусть Фаз — система кор-
корней типа А2 с положительными корнями а, р, а + р. По-
Положим Ха+р = Ad др(ха). Тогда:
(а) Ц = (nan^f = e = (n^naf = tpa
(б) ер (у) еа (х) = еа (х) ер (г/) еа+р (хг/)
<3ля всех ху у е Ga.
(в) Ad да (х3) = — ха+р, Ad па (ха+р) = хр> Ad n^ (ха+р) =
= — ха.
Доказательство. Так как <а, р>=<р,а>=—1 (Д.7),
то мы имеем а(/р) = Р(/а) = —1 C3.2(а)). Из опреде-
определения Ха+0 следует, что Ad п$(ха+$) = а(/р)ха = —ха,
как и утверждается в (б). С другой стороны, Ad па(хр) =
= Ьха+з Для некоторого b ^ К, откуда Adfta(xa+p) =
a=5SP('o)^"lxp== "■ ^~1хр- Таким образом, второе утвер-
утверждение в (б) требует, чтобы b равнялось —1.
Лемма 32.5 показывает, что для некоторого элемента
aei(, не зависящего от л: и у, имеет место равенство
A) е3 (у) га (х) = га (х) е3 (у) еа+р (аху).
Чтобы доказать (б), требуется проверить, что а=\.
Применяя IntAZg к обеим частям равенства A), получим
B) е_р (— у) 8а+р (х) = еа+р (х) г^ (— у) еа (—
По определению п^еа{х)п~1 =еа+^(х)у или
C) еэA)е.э(-1)езA)еа(х)ер(-1)е.эA)еэ(-1)==еа+з(х).
Так как a + 2р ф Ф, то это можно переписать в виде
D) еэA)ва(^)вр(—1) = е.эA)еа+э(^)е.р(—1).
После применения A) к левой части (при у= 1) и при-
применения B) к правой части этого равенства (при у =
= —1), мы получаем
E) еа (х) ер A) еа+р (ах) ер (— 1) =
Поскольку а + 2р, а — р, 2а + р ф. Ф, то E) можно пе-
переписать в виде
F) еа (*) еа+^ (ах) = еа (а^) еа+р (л:).

§ 33. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ РАНГА 2 333
Отсюда следует, что а== 1, что доказывает (б). Приме-
Применим теперь Int ла к обеим частям равенства A):
G) 8а+р {Ьу) 8_а (— X) = 8_а (— Х) 8а + р {by) 8p (— Ь
Из соотношения паг^{у)п~{ =га+^{Ьу) мы выводим (при
помощи рассуждения такого же сорта, которое привело
нас к D)):
(8) еа A) ер (^/) еа (—1) = е_а A) еа+э Ff/) е_а (— 1).
Применим теперь A) к левой части и G) — к правой
части (8):
(9) е3 {у) 8а+р (— у) = 8р (— Ь~{у) &а+р {by).
Отсюда следует, что Ь = —1, что доказывает (в). Оста-
Остается доказать (а). Начнем с равенства
A0) VV*a = W*a Ч = W«>
где natipn-{ вычислено с использованием равенства
/ip = ер A) е_р (—1) ер A), как указано в C3.1). Из A0) и
C3.2) (формула (б)) мы получаем
Отсюда следует (а). □
33.4. Тип В2. Предложение. Пусть Ф^ —система
корней типа В2 с положительными корнями а, р, а + Р,
2а + р. Положим ха+» = Ad п^ (ха), х2а+р = Ad na (хр).
Тогда:
(а) /ар = {пап^У = ta = {п^ПаУ = t^
(б) При X, У S Ga ЛШ «Ж^Ж 8р (f/) 8а {х) = 8а (х) 8^ {у) .
= 8а (X) 8а+р {у) 82а + р Bxf/).
(в) Ad/za(xa+p) = — xa+j5, AdAia(x2a+p) = xp,
Ad Aip(xa+p) = — xa, Ad /ip(x2a+j5) = x2a+p.
Доказательство. Так как (a, P)= — 1, ф, a) == — 2, то
a(*p) = —l> P(^o)=l C3.2). Из определения xa+p и
х2а+л мы выводим, что AdAi3(xa+3) = a(/p)xa = —ха и

334 ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
что АA/га(х2а+з) = Р(^а)Хр = Хр, как и утверждалось в (в).
Кроме того, AdAip(x2a+p) = X2a+p, ибо 2а + 2р, 2а фФ
C3.2). Чтобы завершить доказательство утверждения (в),
мы должны доказать, что d = —1, где Adfta(xa+p) =
Согласно лемме 32.5 для подходящих элементов а,
Ьу с^К (не зависящих от х, //е Ga) имеют место соот-
соотношения:
A) ер (у) еа (х) = еа {х) ер (у) еа+р (ах у) е2а+р (Ьх2у),
B) еа+з (#) еа (л:) = еа (л:) еа+р (у) е2а+ р (с^).
Для доказательства (б) необходимо убедиться в том,
что a = 6 = 1, с = 2. Применяя Int Aia к обеим частям
A) (соответственно B)), получаем
C) 82a+3(f/)e_a(— x) =
= г_а (— х) е2а+р (у)
D) 8а + р (rf^) 8^а (— *) = 8^а (— X) 8а+р p
Подобным образом, применяя Intn^ к обеим частям A),
получим
E) e.p(-s)8a+pW =
= ea+3 (х) 8_3 (— у) ea (— алгу) e2a+ft (bx2y).
Из соотношения ^дСа:)^^1 = 8а+р(л:) и того факта, что
a + 2р ф. Ф следует
F) врA)ев(х)8в(-1) = в_зA)ев+а(дс)в_в(-1).
Применяя A) к левой части (при у= 1) и E) к правой
части (при г/ = —1), получим:
G) еа (х) 8р A) еа+р р
) е.р A) еа (ах) 82а+р (—
Поскольку а + 2р, 2а + 2р, а — р, 2а ^ Ф, то это можно
переписать в виде
(8) еа (х) еа+р {ах) е2а+р (Ьх1) = еа+р (х) еа (ах) е2а+р (— их2).

§ 33. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ РАНГА 2 335
В свою очередь мы можем применить B) к правой ча-
части (8):
(9) еа (х) еа+р (ах) е2а+р (Ьх2) =
=* еа (ах) еа+р (л:) е2а+р ((ас — Ь) х2),
откуда а=\ и с = 26. Из соотношения пае*(у)п~1 =
= г2а+^(у) и того, что За +13 ф ф, мы, далее, получаем:
A0) еаA)ер(г/)еа(-1) = 8_
После применения A) к левой части и C) к правой
части, A0) примет вид:
A1) ер (у) 8а+р (- ау) 82а+р (by) = 82а+р (у) еа+р (а dy)
Так как группы £/а+р, ^2а+р, U$ все поэлементно пере-
перестановочны, то мы заключаем, что 6 = 1, —a = ady от-
откуда а = 6 = 1, с = 2, d = —1. Это завершает доказа-
доказательство утверждений (б) и (в). Остается доказать (ah
Начнем с соотношения
В свою очередь
A3) П$ПаП$ПаП$ == %М2а+З^Э WpT< '
ибо ф, а) = -2 и /2р = е. Тогда
(V^K ^a = (V
Наконец, из A4) следует, что (n^naL = ta = (nan^)\ □
33.5. Тип G2. Предложение. Пусть Фар — система
корней типа G2 с положительными корнями а, р, а + р,
2а + Р, За + Р, За + 2р. Положим ха+р = AdAip(xa),
х2а+р = Ad па (хо+р), х3а+р = — Ad /ia (xp),
= е =

336 ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
(б) для всех х, (/EGa мы имеем:
ер (у) еа (х) = еа (х) 8р {у) еа+р {ху) е2а+3
' 83а+23 (*3У2)>
() 8а (*) = 8а (*) 8а+ () B) C
82а+з (У) 8а (X) = 8а (А:) 82а +
W = 6р (*) 83а + р {У) 83а+2р (—
(в) AdA
Ad па (х3а+2р) = х3а+2р, Ad п^ (ха+р) = — ха,
Ad tip (х2а+р) = x2a+j5, Ad tip (x3a+2p) = — x3a+jr
Доказательство. Так как (а, р)= — 1, (р, а) = — 3, то
Р(^а) = а(/п) = —1. Из определений следует, что:
A) Ad гср (ха+р) = а (*р) ха = — Ха,
B) Ad Ага (х2а+р) = а (/а) р (^а) ха+р = — ха+р,
C) Ad па (х3а+р) = - Р (/а) хр = хр,
D) Ad лгэ (х3а+2р) = а (/рKр (/р) х3а+р = - х3а+р.
Так как Ca + 2p)zba, Bа + Р)±Р^Ф, то мы также
получаем:
E) Ad na (x3a+2p) = х3а+2|з>
F) Ас1лэ(х2а+Э) = х2а+Э.
Соотношения A) — F) доказывают (в).
Обратимся к (б); воспользуемся леммой 32.5, чтобы
найти элементы а, Ьу с, d, e, f, g, hy i из поля К (незави-
(независимые от х, у) такие, что имеют место следующие фор-
формулы:
G) 8р {у) 8а (X) = 8а (х) 8р {у) 8а+р (пху) •
• 82а+3 {Ьх2у) 83а+3 (сх3у) 83а+2р {dx3y2)>
(8) 8а+р {у) 8а {X) = 8а {х) 8а+р {у) 82а + р {вху) •
(9) 82а+р (i/) 8а {х) = 8а (х) 82а+3 (у) 83а+р (ЛХГ/),
A0) е3а+C {у) 8^ (х) = е^ {х) 83а+|3 (у) 83а+2в {ixy),

§ 33. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ РАНГА 2 337
Применяя Intftp к обеим частям равенств G), (9), A0)>
мы получим соответственно:
A1) в_р (— у) еаП (х) = еа+|3 (х) е_р (— у) еа (— аху) •
A2) 82а+р (у) 8а+р (х) = еа+|3 (х) 82а+р (у) 83а+2р {hxy),
A3) 83а+2р Ы 8_р (— Х) = г^ (— *) 83а+2р {у) 83а+р (— /Xi/).
Аналогично, действуя Int na на обе части G), мы имеем:
A4) 83а+р(— #)8_а(— х) =
= е.в (- *) 83а+р (- у) 82а+р {аху) 8а+р (-
Поскольку а + 2|3 ^ Ф, то равенство яреа (х) «^1 = еа+р (х)
упрощается до соотношения
A5) еэA)еа(х)еэ(-1) = е.эA)еа+р(д:)е.э(-1).
Используя сначала G), а затем A0), перепишем левую
часть равенства A5) в виде
A6) еэA)ва(х)еэ(-1) =
(- 1) 83а+р {СХ3) еза+2Э ((d - С/) X3) =
{СХ3) 83а+2р ((d — с/) X3).
Используя сначала A1), а затем A3), правую часть A5)
перепишем в виде:
A7) е_эA)еа+р(*)е_э(-1) =
= ea+|3 {х) 8_р A) еа (ах) 82а+р (— Ьх2) 83а+2р (— сх3)-
— 8а+р W 8а

338 ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
В свою очередь, при помощи (8) правую часть A7)
можно привести к виду
A8) еа {ах) еап {х) е2а+р {аех2) е3а+|3 (a2fx3) e3a^ (agx3) •
• 82а+р (— ЬХ2) 83а + 2р (— СХ3) 83а+р {{Ct — d) X2) =
= еа (ад:) еа+э (х) е2а+р {{ае - Ь) х2) е3а+р ({a2f + ci - d) x3) •
Сравнение A6) и A8) дает
A9) а=1, ^ = 26, c + d = / + d, / = г.
Поскольку 4а + р ^ Ф, равенство пае^ {у) п~1 == е3а+^ (—- у)
можно упростить следующим образом:
B0) 6аA)брA/)8а(-1) = 8.
Применяя G) к левой части B0), получим
B1) еаA)ер@)еа(-1) =
= ер (у) еа+р (— ау) е2а+рFг/) е3а+|3 (- су) е3а+2^ (— dy2).
Применяя A4), A2), A0) последовательно к правой
части B0), получим
B2) е_
= 83а+р (— у) 82а+р {ау) еа+р (— by) 8p (су) 83а+2р (dy2) =
= е3си_р(— i/)ea+p (— Ьу)е2а+р(ау) •
(— abhy2)
— с/ — abh) у2) =
Сравнение равенств B1) и B2) дает
B3) c=ly a = by d — ci —
Вместе с A9) это влечет
B4) 0 = * = с=1, е = 2, f =

§ 33. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ РАНГА 2 339
Воспользуемся теперь равенством п$рга+р (х) п^{ =
= 83a+2ftW, которое принимает вид
B5)
Преобразуем здесь левую часть при помощи A0) и пра-
правую часть — при помощи A3); получим
B6) 83а+р (х) 83а+2р (— ix) = е3а+2E (х) е3а+|3 (— tx)f
откуда / = — 1. Наконец, воспользуемся равенством
в виде
B7) e
= e_a(l)ea(— I)e2a+p(*/)ea(l)e_a(-l).
Преобразуя левую часть при помощи (8) и правую часть
при помощи (9), получим
B8) 8а+р (у) е2а+р (— еу) е3а+р (fy) е3а+2р (— gy2) =
в_а (~ О-
Передвижение е_а(—1) влево сначала через 83а+з(%)
и затем через 82a+p(f/) не вводит никаких новых е3а+р
членов в правую часть B8). В соответствии с этим пра-
правая часть B8) имеет вид
B9) 8а+р( )е2а+|3( )ер( )83а+р(Лг/)е3а+2р( );
здесь отсутствующие параметры ни на что не влияют.
Сравнение с левой частью B8) показывает, что f = h.
Комбинируя это с B4) и тем фактом, что i = —1, мы
заключаем, что
C0) a = b = c = d=l, e = 2, f = g = h = S9 i= - 1,
что доказывает первые четыре формулы из (б). Пятая
формула в (б) следует из A2), так как А==3.

340 ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
Остается доказать (а). Мы будем действовать, как
и раньше:
C1) п п п =п п п~Ч ==n~l t
C2) п (п п J = п п~1 п~Чп t n~l)t =
Y*~\ ill ti~l
О\Х~Т £
(ОО) tln I flatly I == i
\ / (X \ p (X/
f^^ n (fi fi ^^ fi fi fi~"^(fi t ti~^\t Yi t t i n~^
Наконец, (nan^N = (n^naN = e. □
33.6. Проблема существования. Вместе с рассужде-
рассуждением в C3.1) предложения 33.2—33.5 устанавливают
справедливость предположений (А), (Б), (В), тем са-
самым завершая доказательство теоремы 32.1.
Естественно спросить, существуют ли полупростые
группы всех возможных типов. Ответ оказывается утвер-
утвердительным; мы, однако, не будем делать попытки дать
полное доказательство, ограничившись кратким изложе-
изложением метода. Рассмотрим сначала простые типы А — G.
Некоторые группы типов А/, В/, G, D/ уже известны
(см. упражнение 27.1). Нетрудно проверить, что группы
SL(l + I, К) и Sp{2lyK) односвязны и имеют, соответ-
соответственно тип А/, С/. Образ группы SL(l-\- 1,/С) (соответ-
(соответственно 5рB/, /С)) в PGL{1 + 1, К) (соответственно в
PGLB/, К)) есть присоединенная группа того же само-
самого типа, обозначаемая через PSL(l -\- \> К) (соответст-
(соответственно PSpBl, К)). (Так как поле К алгебраически
замкнуто, группа PSL(l + 1, К) совпадает с PGL(l+ly
К) у но над произвольным полем эти группы могут быть
различны.) Для системы корней типа С/ мы имеем
[Д: Лг] = 2; поэтому никаких других групп этого типа
не существует. Для системы корней типа А/ мы имеем
[Л : Лг] = / + 1 и каждому делителю числа / + 1 соот-
соответствует некоторая промежуточная группа Х(Г). Если
поле К имеет (/+1) различных корней из единицы сте-
степени /+ 1, т. е. в случае, если р не делит /+ 1, где р ==
= char /(, то соответствующие скалярные матрицы об-
образуют центр группы SL(l-\- 1,К), и мы получим раз-
различные группы всех желаемых типов путем факториза-

§ 33. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ РАНГА 2 341
ции по различным подгруппам этого центра. Этот
подход не вполне удовлетворителен, если р делит 1+1,
поскольку в этом случае мы получим несколько меньше
различных групп. Дело в том, что изоморфные абстракт-
абстрактные группы не обязаны быть изоморфными как алгеб-
алгебраические группы. Чтобы дать систематическое изложе-
изложение построения групп типа А/, лучше, вероятно, исполь-
использовать внешние степени естественного (/+ 1) -мерного
представления группы SL(l + 1>К)> см. Шевалле [8],
expose 20.
Обратимся к типам В/, D/; можно показать, что
50B1 + UK)= PSOBl+ UK) — присоединенная груп-
группа типа В/, а 50B/, К)—группа типа D/ с фундамен-
фундаментальной группой порядка 2, — соответствующая присое-
присоединенная группа есть Р5ОB/, К). Единственными недо-
недостающими группами являются односвязные группы, ко-
которые оказываются «спинорными» группами, ассоции-
ассоциированными с алгебрами Клиффорда, и «полуспинорные»
группы при четном / ^ 6.
Группа тица G2 (соответственно F4) может быть по-
построена в явной форме как группа автоморфизмов 8-мер-
8-мерной алгебры Кэли (соответственно, 27-мерчой йордано-
вой алгебры). В этих случаях существует только одна
группа каждого типа, поскольку корни порождают пол-
полную решетку абстрактных весов. Группы типа Е6, Е7, Е8
можно описать подобным (хотя и более трудоемким)
способом.
Шевалле [7] дал единообразную конструкцию групп
присоединенного типа (которая также ведет к соответ-
соответствующим группам над произвольным полем). Сначала
он показал, как выбрать специальный базис в полупро-
полупростой алгебре Ли над полем С комплексных чисел, имею-
имеющей систему корней Ф; в частности, все структурные
константы в этом базисе являются целыми числами.
(Это, конечно, использует теорему существования для
таких алгебр Ли.) Затем он рассмотрел группу автомор-
автоморфизмов алгебры Ли, порождённую автоморфизмами вида
«expadxa», которые оставляют инвариантной Z-оболоч-
ку базиса Шевалле. Эту группу можно рассматривать
как матричную группу «над Z», матричные элементы
которой можно затем определить над произвольным
полем.

342 ГЛ. XI. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ
Построение групп Шевалле описано также у Карте-
Картера [1], Хамфри [6], Стейнберга [10]. Чтобы показать,
что построенные таким образом группы над К являются
простыми алгебраическими группами типов А — G, не-
необходимо развить технику, ведущую к разложению Брюа.
В действительности требуется только доказать, что эти
группы просты как абстрактные группы (см. теорему 29.5).
Задача эта главным образом теоретико-групповая, по-
поскольку группы Шевалле над К являются, по построе-
построению, связными алгебраическими группами, ибо они по-
порождены одномерными унипотентными подгруппами.
Остается теперь перейти от существования присое-
присоединенных групп к общей теореме существования. У Ше-
Шевалле [8, expose 23] имеется построение односвязных
групп любого данного типа при условии, что какие-либо
группы этого типа уже существуют. Это построение осно-
основано на существовании «проективных представлений»,
которые мы здесь не обсуждаем. После этого существо-
существование полупростых групп со всеми возможными фунда-
фундаментальными группами можно доказать рассуждением,
подобным уже проводившемуся выше.
Существует и другой метод, основанный на использо-
использовании линейных представлений, который также приво-
приводит к построению всех возможных типов. Имитируя пер-
первоначальное построение Шевалле с заменой присоеди-
присоединенного представления алгебры Ли другими представле-
представлениями, мы можем построить матричную группу над К,
для которой Х(Г) занимает любое место между Л и Лг.
Этот метод описан у Хамфри [6] и Стейнберга [10].
Он опирается на Z-формы Костанта универсальных
обертывающих алгебр.
Упражнения
1. В предположении, что простые алгебраические группы всех
возможных типов существуют, разобрать вопрос о том, как дока-
доказать, что полупростые группы всех типов существуют.
2. Выписать в явной форме образующие и соотношения для по-
полупростой группы G (рассматриваемой как абстрактная группа).
Замечания. Вычисления в C3.3) —C3.5) воспроизведены по С Г,
expose XXIII. Метод Шевалле [8] принципиально иной: он дает
явную классификацию групп ранга 2 при помощи их проективных
и линейных представлений.

ГЛАВА XII
ОБЗОР СВОЙСТВ РАЦИОНАЛЬНОСТИ
В этой главе приведены с примерами, но без доказа-
доказательств многие из известных свойств алгебраических
групп, связанных с полями определения. Как и ранее,
через К обозначается алгебраически замкнутое поле.
Если k — произвольное подполе поля /С, то нас будут
интересовать замкнутые подгруппы группы GL(n,K)y
которые определены полиномами с коэффициентами в к.
В § 34 будет развита некоторая общая теория, а в § 35
будут рассмотрены специальные поля (конечные, веще-
вещественные, р-адические).
§ 34. Поля определения
34.1. Основные понятия. Замкнутое множество X в Ап
называется ^-замкнутым, если X—множество нулей си-
системы полиномов с коэффициентами из k.
Легко проверить, что все ^-замкнутые множества
образуют систему замкнутых множеств некоторой топо-
топологии на А", называемой ^-топологией Зарисского. С этим
понятием связано одно затруднение. Сказать, что X =
= ^(/) для некоторого идеала /, порожденного своим
пересечением с k(T\y ..., Тп)> не то же самое, что ска-
сказать, что идеал 3?(Х) обладает этим свойством. (Напом-
(Напомним из A.1), что У(Х) —радикал идеала /, который
может быть больше, чем /.) В том случае, если &{Х)
все же порождается ^-полиномами, мы говорим, что мно-
множество X определено над k.
Свойство быть определенным над k является более
важным, чем свойство быть ^-замкнутым. Его также (как
правило) труднее проверить. Например, матрицы в
М(пу К) у перестановочные с данной матрицей из М(п, k)y
образуют, очевидно, ^-замкнутое множество, но полный
идеал функций, обращающихся в нуль на этом множе-
стве? описать нелегко, и вопрос о порождении этого

344 ГЛ. XII. ОБЗОР СВОЙСТВ РАЦИОНАЛЬНОСТИ
ла ^-полиномами остается неясным. Следующая лемма
проясняет, в чем сосредоточена трудность.
Лемма. Если X есть k-замкнутое множество в А", то
X определено над конечным чисто несепарабельным рас-
расширением поля k.
Если поле k совершенно (например, имеет характе-
характеристику 0), то два указанных понятия совпадают. Мно-
Многие факты теории, изложенной ниже, заметно упрощают-
упрощаются в случае совершенного поля, когда часто можно убе-
убедиться в том, что группа или другое многообразие опре-
определено над ky проверив, что оно инвариантно относитель-
относительно группы Галуа расширения K/k. Однако большая
часть интересных результатов остается справедливой для
произвольного поля ky так что было бы неразумно огра-
ограничиваться совершенным полем, тем более, что несовер-
несовершенные поля естественным образом возникают в арифме-
арифметических применениях алгебраических групп.
Данные выше определения имеют смысл, пока мы
рассматриваем замкнутые подмножества аффинных про-
пространств. Чтобы придать смысл понятию «быть опреде-
определенным над &»для произвольного многообразия, необхо-
необходимо сначала ввести это понятие внутренним образом
в аффинном случае, т. е. его следует определить непо-
непосредственно в самой аффинной алгебре /С[Х]. Если мно-
многообразие X определено над &, то идеал 3({Х) порож-
порождается Jk(X) =3f{X) [\k[Tu ..., Тп], так что мы полу-
получаем /г-алгебру k\X]=k\T]/3fk(X)> для которой К[Х] =
= К® k[X]. При помощи этой ^-структуры на К[Х]
k
можно перейти к общей идее «многообразия, определен-
определенного над k» через аффинные открытые покрытия. Мы не
будем входить здесь в детали, но будем предполагать,
что это понятие обосновано.
Если X — замкнутое подмножество в А", определен-
определенное над k, то мы обозначим через X(k) — X[)kn его мно-
множество fe-рациональных точек (оно может оказаться
пустым). Это подмножество множества X в действитель-
действительности можно определить внутренним образом и можно
ввести его для любого многообразия, определенного
над k. В аффинном случае, если множества X а Ап и
Y cz Am определены над k, мы называем морфизм
ср: X->Y определенным над k (или /г-морфизмом), еслц

§ 34. ПОЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 345
все координатные функции лежат в k[Tu ..., Тп]. Это
понятие также молено ввести внутренним образом и за-
затем распространить на произвольные многообразия.
Коль скоро эти основополагающие факты установ-
установлены, довольно легко проследить «относительные» аспек-
аспекты в предыдущих главах (т. е. аспекты, относящиеся
к полям определения). Было бы, однако, неразумно из-
излагать их в основном тексте, поскольку доказательства
рациональности обычно никак не связаны с теоретико-
групповыми рассуждениями.
34.2. Обзор предыдущих глав. Здесь мы укажем не-
некоторые из утверждений о рациональности, которые мог-
могли бы быть установлены в главах II—IV, VI.
G.1) Пусть G— алгебраическая группа. Если груп-
группа G и морфизмы |х: G X G->- G и i: G-+G определены
над ky то мы говорим, что группа G определена над k
или что G является /г-группой. Примеры: Ga, Gm,
GL(п, К), SL{n, К), Т(я, К) — группы, определенные над
простым подполем поля К. Прямое произведение &-групп
есть /г-группа. Если G есть /г-группа, то множество G(k)
ее /г-рациональных точек образует подгруппу. Например,
GL{n,K)(k)=GL(n,k).
G.3) Если G есть /г-группа, то и G0 есть /г-группа.
G.4) Пусть ф: G -> G' — определенный над k мор-
физм /г-групп. Тогда его образ есть /г-подгруппа группы
G' (однако его ядро не всегда определено над k).
G.5) В предложении G.5) пусть G есть ^-группа, и
пусть fi есть /г-морфизмы многообразий Xi, определен-
определенных над k. Тогда группа s4<(M) определена над k.
В следствии G.5), группа G определена над ky если все
подгруппы Yt определены над k.
(8.2) Пусть ф: GXX-+X; будем говорить, что G
действует на X регулярно над #*), если ф, G, X все опре-
определены над k. В предложении (8.2) пусть G действует
на X регулярно над k. Если множества YaX(k) и Z
являются /г-замкнутыми, то и множество Тгапо(У, Z)
является /г-замкнутым, и это верно и для Cg(Y). Кроме
того, множество XG является /г-замкнутым.
(8.3) Если /г-группа G действует на X регулярно над
ky то ее орбиты являются многообразиями, определен-
*) В оригинале «&-morphically». — Прим. перев.

346 ГЛ. XII. ОБЗОР СВОЙСТВ РАЦИОНАЛЬНОСТИ
ными над k, и орбитные отображения являются &-мор-
физмами.
(8.6) В предложении (8.6) пусть G — ^-группа, дей-
действующая на X регулярно над k. Для любого простран-
пространства F пространство Е в утверждении (а) можно вы-
выбрать определенным над к (относительно ^-структуры,
определенной на /([X]). В теореме (8.6), если G есть
/г-группа, то существует /г-изоморфизм группы G на
^-подгруппу группы GL(n,K).
(9.1) Если G есть ^-группа, то ее алгебра Ли обла-
обладает естественной ^-структурой с $^/(®<5(&).
к
A0.3) Если G есть /г-группа, то Ad есть /г-морфизм.
A1.2) В теореме A1.2) пусть G и Н определены
над к. Тогда пространство V можно выбрать обладаю-
обладающим ^-структурой, такой, что пространство L определено
над k и ср есть /г-морфизм.
A1.5) В теореме A1.5) пусть группы G и N опреде-
определены над к. Тогда на GL(W) можно так определить
структуру /г-группы, что г|) есть /г-морфизм.
A2.1) Если группы G и Н определены над ky то мно-
многообразие У и морфизм п: G-+Y можно выбрать опре-
определенными над к.
A5.1) В лемме Б пусть GL(V) есть /г-группа, так что
на V и, следовательно, на End V задана ^-структура. Если
л;е GL(V) (k) (или GL{n, k) в матричной форме) и поле
к совершенно, то xs% xu — также fe-рациональные точки
группы G; в общем случае, они рациональны над неко-
некоторым чисто несепарабельным расширением поля к.
A5.3) Если G есть fe-группа и x^G(k), то xs, xu^
gG(J) при условии, что поле к совершенно. Подобное
же утверждение имеет место и для элементов алгебры
Ли %{k). Множество Gu является fe-замкнутым, если G
есть fe-rpynna.
34.3. Торы. Если тор Т определен над &, то мы назы-
называем его коротко fe-тором. Пусть X(T)k — подгруппа
группы Х(Г), состоящая из характеров Г-^Gm, являю-
являющихся fe-морфизмами. Мы называем тор Т й-разложимым,
если пространство k[T] натянуто на X(T)k. Это равно-
равносильно тому, что тор Т fe-изоморфен группе Gm X ...
,,. X Gm (d экземпляров, где d = dimT); в этом слу-
случае Г(&)^£*Х ... Х^*. В противоположном край-

§ 34. ПОЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 347
нем случае тор Т называется ^-анизотропным, если
Х(Г) 0
)
Теорема. Пусть Т — некоторый k-тор.
(а) Существует конечное расширение Галуа поля k,
над которым тор Т становится разложимым.
(б) Существуют единственные подгоры Г', Г" тора Г,
определенные над k такие, что Т — Т'Т", тор Т' k-раз-
ложим и тор Т" k-анизотропен. Здесь Т' — наибольший
k-разложимый подтор тора Г, а Т" — наибольший k-anu-
зотропный подтор. Подтор Т" есть компонента единицы
пересечения ядер всех характеров тора Т, определенных
над k.
Что представляют собой ^-анизотропные торы? В слу-
случае k = R ответ будет получен в C5.3).
34.4. Некоторые основные теоремы. Основная тема
этой книги — строение редуктивных групп. Для того
чтобы связать с полями определения результаты о си-
системах корней, разложении Брюа и т.д., мы должны
выяснить, какие из подгрупп ^-определенной группы G
сами определены над k. Назовем группу G ^-разложимой,
если G обладает максимальным тором Г, разложимым
над k C4.3), и если, кроме того, ассоциированные до-
допустимые изоморфизмы еа: Ga-+Ua можно выбрать
fe-изоморфизмами (требуется, чтобы группа Ua была
определена над k). В этом случае теория внутреннего
строения группы G вполне удовлетворительно приспо-
приспосабливается для изучения группы G(k). Например,
GL(n,K) разложима над любым подполем поля /С, так что
группа GL(n>K) обладает своим «разложением Брюа».
Группу G назовем fe-анизотропной, если она не содержит
fe-разложимых торов положительной размерности.
Первые глубокие результаты о полях определения
суммированы в следующей теореме.
Теорема. Пусть G — связная k-группа.
(а) Группа G обладает максимальным тором, опре-
определенным над k.
(б) Редуктивная группа G k-разложима тогда и толь^
ко тогда, когда k-разложим некоторый максимальный
тор группы G. В частности (см. C4.3)), группа G раз-
разложима над конечным расширением Галуа поля k.
(в) Если G — редуктивная группа и S — k-тор груп-
группы G, то группа Cg(S) редуктивна и определена над

348 1Л. XII. ОБЗОР СВОЙСТВ РАЦИОНАЛЬНОСТИ
k. Кроме того, S содержится в некотором максимальном
торе, определенном над k.
(г) Если группа G редуктивна и поле k бесконечно,
то группа G(k) плотна в G относительно топологии За-
рисского. (Это верно для произвольной группы G, если
поле k совершенно; в случае несовершенного поля это
не всегда верно.)
Эти результаты, доказательство которых получается
без особого труда, уже наводят на мысль, что торы и
их централизаторы должны играть важную роль в струк-
структурной теории редуктивных групп над k. Однако группа
G не обязана иметь борелевские подгруппы, определен-
определенные над k (см. C5.1)).
34.5. Структурная теория Бореля — Титса. Через G
мы обозначаем редуктивную группу, определенную над k.
Выберем в G максимальный fe-разложимый тор 5. Его
размерность — инвариант группы G (ввиду нижеследую-
нижеследующей теоремы), называемый ^-рангом этой группы. Ясно,
что &-ранг равен 0 тогда и только тогда, когда группа G
анизотропна над k. Определим &-корни кФ группы G как
ненулевые веса представления AdS. (Если S —макси-
—максимальный тор, то это обычные корни.) Пусть Z = CG(S),
N = No(S); конечная группа kW — N/Z называется
fe-группой Вейля.
Теорема А. (а) Максимальные k-разложимые торы
группы G все сопряжены относительно гриппы G(k).
(б) Z — редуктивная k-группа и ее коммутант есть
k-анизотропная группа.
(в) ^Ф—(быть может, неприведенная) абстрактная
система корней в подходящем евклидовом пространстве,
группа Вейля которой изоморфна kW.
Поясним, что, опуская аксиому (R2) в (Д.1), мы по-
получим несколько более общее понятие абстрактной си-
системы корней, в которой оба вектора а, 2а могут быть
корнями. Если это имеет место, то такая система корней
называется неприведенной. Оказывается, что единствен-
единственной неприводимой системой корней такого типа являет-
является система, полученная в результате объединения систем
типов В/ и С/, причем длинные корни в В/ отождеств-
отождествляются с короткими корнями в С/. (Эта система назы-
называется системой корней типа ВС/.) Таким образом, ни-
никаких «новых» групп Вейля не возникает.

§ 34. ПОЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 349
Доказательство теоремы А тесно связано с изучением
параболических подгрупп группы G, определенных над
ky среди которых борелевских подгрупп может и не быть.
Теорема Б. Пусть Р — минимальная среди параболи-
параболических k-nodгрупп группы G.
(а) Все остальные минимальные k-параболические
подгруппы сопряжены с Р относительно группы G (k).
(б) Группа Р содержит максимальный k-разложимый
тор S и Z = CG(S) есть фактор Левы группы Р C0.2).
Кроме того, группа RU(P) определена над k и k-корни,
появляющиеся в RU(P), образуют положительную под-
подсистему в /гФ.
Эта теорема показывает, что минимальные й-парабо-
лические подгруппы играют роль борелевских подгрупп
в структурной теории над k, тогда как максимальные
й-разложимые торы играют роль максимальных торов.
Теорема В. Пусть Р — минимальная k-параболиче-
ская подгруппа группы G, и пусть S cz P — максималь-
максимальный k-разложимый тор группы G, U=RU(P)> /V=Ng(S),
Z = CG(S). Тогда:
(а) N = N(k) -Z, так что G(k) содержит полное мно-
множество представителей группы kW.
(б) Группа G(k) —объединение попарно непересе-
непересекающихся двойных смежных классов U(k)N(k)U(k)>
параметризованное элементами группы kW (разложение
Брюа над k). Группа G(k) обладает системой Титса B9.1),
определенной группами P(k) и N(k) вместе с канониче-
каноническими образующими группы kW.
Имеется также нормальная форма элементов группы
G(£), аналогичная описанной в B8.4). Следует, однако,
указать, что «корневые группы» более не обязаны быть
одномерными (или даже коммутативными), так что внут-
внутреннее строение группы U(k) уже не столь ясно. Следует
также отметить, что эта теорема ничего не говорит о
строении группы G(k)y если группа G является ^-анизо-
^-анизотропной. Как показывают примеры, строение группы
G(k) в этом случае может быть весьма разнообразно
в зависимости от природы поля k. Однако если поле k
совершенно, то группа G(k) состоит только из полупро-
полупростых элементов.
Если группа G не является ^-анизотропной, то обо-
обозначим через G+ подгруппу группы G(k)y порожденную

350
ГЛ. XII. ОБЗОР СВОЙСТВ РАЦИОНАЛЬНОСТИ
всеми подгруппами U(k), когда U пробегает унипотент-*
ные радикалы минимальных /^-параболических подгрупп1
группы G. Если группа G полупроста и односвязна, и
поле k произвольно, Кнезер и Тите высказали гипотезу,
что G{k)=G+. Это предположение во многих случаях
справедливо*), например, если группа G разложима
над к.
34.6. Пример: ортогональные группы. Некоторые из
сформулированных выше теорем можно эффективно про-
проиллюстрировать на примере. Пусть char К ¥=2> и пусть
G — SO(q)—специальная ортогональная группа, опре-
определенная невырожденной квадратичной формой q над k.
Если форма q определена на я-мерном векторном прост-
пространстве и если ее «индекс Витта» (= размерность мак-
максимального вполне изотропного подпространства) ра-
равен г, то матрица ассоциированной с q билинейной фор-
формы в подходящем базисе приводится к виду
ГО 0 /1
0 Qo 0 I / =
L/ о о J
Здесь Qo — матрица «анизотропной» квадратичной фор*
мы q0 на пространстве размерности п — 2г (т.е. формы,
принимающей ненулевые значения на всех ненулевых
векторах).
Максимальный й-разложимый тор S группы G со-
состоит из блочно диагональных матриц diag(A,S, С), где
A =diag(ab ..., ar), C = diag(a~
y-l
) и В — еди-
единичная матрица. В свою очередь группа Z = CG(S) есть
прямое произведение 5 и SO{qo)y причем последняя
группа /^-анизотропна. В качестве минимальной fe-napa-
болической подгруппы Р, содержащей 5, мы можем
*) Уже после выхода в свет настоящей книги В. П. Платонов
[13] показал, что в общем случае гипотеза Кнезера — Титса имеет
отрицательный ответ, — Прим. автора к русскому изданию.

§ 34. ПОЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 3Sl
взять следующую группу матриц:
Г Л Рг Рз1
О Р4 Р5 ,
Loo рб J
где Pi, Р6— верхние треугольные матрицы размера
P4<==SO(q0) и detPrdetP6=l. (Здесь Р6 зависит от Рх
и Р3, в то время как Р5 зависит от Pi, Р2, Ра.) Унипо-
тентный радикал U группы Р состоит тогда из матриц
вида
Г£Л U2 £Уз-|
L о о и6 J
где £/ь £/б — унипотентные матрицы, причем выполнены
аналогичные требования взаимозависимости матриц Ui
(/ = 1,...,6).
Более подробное изучение позволяет получить точное
описание соответствующих положительных й-корней; на-
например, рассмотрим отображение типичной матрицы
группы S (описанной выше) в aflf+i (I ^ /</*). Если
п — 2/* = 0 или 1, группа G является fe-разложимой (со-
(соответственно типа Dr или Вг). Если же п — 2г = 2, то
группа Z является в действительности максимальным
тором (определенным над k, но не й-разложимым), а Р —
борелевской подгруппой. Это — так называемый «ква-
«квазиразложимый» случай, который будет обсуждаться
в C5.1).
Замечания. Основы общей теории аффинных алгебраических
групп над произвольными полями заложены Розенлихтом [1], [2],
[4], [6], Вейлем [2], [3] (см. также Борель [1]) с использованием
старого языка алгебраической геометрии. Схемный подход исполь-
использован в СГ и у Демазюра, Габриэля [1]. Борель [4, АГ] делает
попытку изложить аппарат, необходимый для построения теории,
намеченной в этом параграфе, не развивая в полной общности тех-
технику схем. По поводу алгебраических групп над совершенными по-
полями см. Годеман [1], Сатаке [1], [5]. Теоремы из C4.4) и C4.5)
можно найти у Бореля [4, гл. V], Бореля и Титса [1]; см. также
Борель, Тите [2], [3], [4], Борель, Спрингер [1] и предшествовав-
предшествовавшую этой статье статью в АГДП. Пример в C4.6) более подробно
рассматривается Борелем [3].

352 ГЛ. XII. ОБЗОР СВОЙСТВ РАЦИОНАЛЬНОСТИ
§ 35. Частные случаи
В этом параграфе G — полупростая группа, опреде-
определенная над k. Мы хотим дать некоторое представление
о том, как меняется строение группы G(k) в зависимо-
зависимости от конкретного выбора по'ля k, а затем обсудить
проблему классификации.
35.1. Разложимые и квазиразложимые группы. В со-
соответствии с C4.4) группа G называется ^-разложимой,
если некоторый максимальный тор Т группы G разложим
над k. Для й-разложимых групп структурная теория
в C4.5) не отличается от структурной теории из главы X
с кФ = Ф, kW = W и т. д. В главе XI дана классифика-
классификация всех таких групп (по модулю теоремы существова-
существования). Конструкцию Шевалле [7] для произвольного
поля k можно рассматривать как способ получить мо-
модель группы G(fe), если G есть /г-разложимая группа
присоединенного типа. Однако в построении Шевалле
рассматривается не G(k)y а ее собственная подгруппа,
порожденная унипотентными элементами, поскольку эта
последняя группа почти всегда проста. Например, для
группы типа А/ мы имеем G{k) = PGL(l + 1, k)y тогда
как «группа Шевалле» этого типа есть PSL(l + I, k).
В настоящее время под группой Шевалле обычно пони-
понимают любую из групп, канонически ассоциированных
с й-разложимой группой G (не обязательно присоеди-
присоединенного типа): группу G(k), ее коммутант, ее фактор-
факторгруппу по центру и т. д.
Группу G назовем /г-квазиразложимой, если G обла-
обладает определенной над k борелевской подгруппой. При-
Пример в C4.6) показывает, что это может случиться, даже,
если группа G не является ^-разложимой. Мы в состоя-]
нии дать более точное описание строения таких групп.'
Пусть G — й-квазиразложимая, но не й-разложимая
группа простого типа. Тогда максимальный fe-разложи-
мый тор S имеет своим централизатором некоторый
больший й-тор Г, который максимален в G и принадле-
принадлежит некоторой борелевской fe-подгруппе В. Некоторые
из корней относительно Т становятся «зависимыми», если
их ограничить на S, так как fe-ранг меньше абсолютного
ранга. Известно, что это может произойти, только если Ф
обладает нетривиальным автоморфизмом графа (Д.8)

§ 35. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 353
и, следовательно, только если Ф — типа А/ (/^2),
D/, Еб.
Рассмотрим, например, группу G типа Аз с простыми
корнями аь а2, а3 и остальными положительными кор-
корнями ai + a2, a2 + аз, ai + a2 + a3. При ограничении на
S корни ai и аз оказываются идентичными (обозначим
их общее значение через Pi), тогда как аа становится
характером р2. Оказывается, что Pi и р2 образуют базу
для кФу а остальные положительные корни имеют вид
Pi + P2 (этот корень появляется с кратностью 2) и 2Pi +
+ Р2. Таким образом, кФ— типа С2. В этом случае груп-
группа G(k) есть некоторая специальная унитарная группа.
Если задано поле k и система корней типа А/ (/ ^ 2),
D/ или Е6, то существует fe-квазиразложимая (но не
fe-разложимая) группа этого типа. Относительная си-
система корней k® имеет тип Сг (соответственно ВСг),
если Ф — типа A2r_i (соответственно А2г), тип F4, если
Ф — типа Еб, тип Вг, если Ф — типа Dr+i (с еще одной
дополнительной возможностью в случае, если Ф —типа
D4, а именно, G2). Например, шесть простых корней Ее
приводят к четырем простым корням группы типа F4,
как это указано на следующей диаграмме Дынкина:
Над конечным полем k эти квазиразложимые группы
дают новые семейства конечных простых групп (часто
называемых «скрученными», чтобы отличить их от пер-
первоначальных групп Шевалле). Это было впервые заме-
замечено Херцигом, Стейнбергом и Титсом, которые незави-
независимо с разных сторон подошли к таким группам. В слу-
случае характеристик 2, 3 некоторые новые скрученные
группы были найдены Ри и Судзуки с использованием
систем корней типов В2, G2, F4, где автоморфизмы гра-
графов могли бы существовать, если бы мы игнорировали
длины корней. Весьма полное изложение всех этих кон-
конструкций можно найти у Картера [1] и Стейнберга [10].
35.2. Конечные поля. Мы уже указывали на важность
^-разложимых и fe-квазиразложимых групп в теории ко

354 ГЛ. XII. ОБЗОР СВОЙСТВ РАЦИОНАЛЬНОСТИ
нечных простых групп. В действительности конечные
простые группы «типа Ли» вместе со знакопеременными
группами дают, за исключением небольшого числа, все
известные простые группы. Естественно спросить, можно
ли использовать подобным образом другие группы G(k)y
отличные от уже рассмотренных. Ответ оказывается от-
отрицательным.
Теорема. Если поле k конечно, то группа G автома-
автоматически квазиразложима над k.
Доказательство опирается на теорему Ленга [1], ко-
которая утверждает, что морфизм G-+G, определенный
формулой х ь-> x~{x[q\ является сюръективным. Здесь
<7 = cardfe, и [q] обозначает в случае, если мы рассмат-
рассматриваем G как матричную группу, операцию возведения
в q-ю степень всех матричных элементов. (Эту операцию
можно описать внутренним образом, не привлекая мат-
матричных представлений. Заметим, что она отображает
группу G(k) в G(fe), если G определена над k). Кри-
Критерий того, что подгруппа Н группы G определена надй,
состоит в том, что Н*= Н^\ Используя этот факт, мы
можем доказать теорему о квазиразложимости группы G
над k следующим образом. Пусть В— произвольная бо-
релевская подгруппа группы G. Тогда В[(*] —также боре-
левская подгруппа; поэтому существует элемент xgG
такой, что xB[qix~] = В. Используя результат Ленга, мы
заключаем, что x = y~ly[q] для некоторого y^Gy или
yBtr1 = ухВ^х-1у-1 = yWBW(yW)~l= (уВу-1УА Следо-
Следовательно, группа уВу~] определена над k.
Это же рассуждение доказывает утверждение (а)
теоремы 34.4, если поле k конечно, и ведет также к не-
некоторым результатам о сопряженности.
35.3. Вещественное поле. В случае k = R теория по-
полупростых fe-групп тесно связана с теорией полупростых
групп Ли. Действительно, G(R)—группа Ли того же
типа, хотя она не обязательно связна в вещественной
топологии (или в «обычной топологии»), под которой
мы понимаем евклидову топологию на R, индуцирован-
индуцированную на G(R) cz GL(n, R). Однако не каждая лолу-
пpocfaя группа Ли реализуется в виде линейной группы
(например, универсальная накрывающая группы
SL(n, R) не имеет такой реализации).

§ 35. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ . 355
Мы суммируем некоторые из основных фактов в сле-
следующей теореме.
Теорема, (а) Если G — замкнутая подгруппа некото-
некоторой группы GL(nyK)> то G(R) — замкнутая подгруппа
группы GL(n,R) в обычной топологии иу следовательно,
является группой Ли. Если Н —замкнутая подгруппа
группы G, то #(R) — также группа Ли.
(б) Связная компонента единицы группы G(R) в
обычной топологии имеет конечный индекс в G(R).
(в) Если G —группа односвязного типа, то группа
G{R) связна в обычной топологии (но не всегда одно-
связна в топологическом смысле).
(г) Если G' — редуктивная группа, R-анизотропная
в смысле C4.4), то группа G'(R) связна и компактна
в обычной топологии.
(д) Если Н — компактная подгруппа группы GL(nyR),
то H=G'(R) для некоторой редуктивной R-подгруппы
G' группы GL(ny /С), т. е. все компактные линейные груп-
группы Ли «алгебраичны».
Стоит упомянуть также о поведении торов, опреде-
определенных над R. В одном крайнем случае, когда Т есть
R-разложимый тор размерности dy имеет место изомор-
изоморфизм T(R)^R*X •• X R* (в частности, компонента
единицы группы T(R) в обычной топологии имеет индекс
2d). В другом крайнем случае, когда тор Т является
R-анизотропным, группа T(R) компактна и связна со-
согласно утверждению (г) теоремы. Если сНтГ = 1, то
можно показать, что тор Т R-изоморфен группе 50 B, К)
и, следовательно, что T(R) = S0{2, R), т.е. топологи-
топологически T(R) —в точности 1-тор. В высших размерностях
группа T(R) является тогда d-тором. Это в известной
мере объясняет терминологию, введенную в A6.2).
35.4. Локальные поля. Под локальным полем мы по-
понимаем пополнение некоторого поля относительно дис-
дискретного неархимедова нормирования. (Случается, что
этот термин используется в несколько ином смысле; на-
например, к локальным полям иногда относят поля веще-
вещественных R и комплексных С чисел). В последние годы
разработана далеко идущая теория простых алгебраиче-
алгебраических групп над локальными полями, начало которой по-
положено работой Ивахори и Мацумото [1] и достигшая
своей высшей точки в работах Брюа и Титса [1] — [6].

356 гл- хи- ОБЗОР СВОЙСТВ РАЦИОНАЛЬНОСТИ
Поскольку эта теория отличается значительной слож-
сложностью, мы попытаемся ознакомить с ней читателя на
простейшем примере группы SL2.
Пусть v — заданное нормирование поля k, R— соот-
соответствующее кольцо целых элементов, Р = nR — его
единственный максимальный идеал, k = R/P— поле
классов вычетов. Например, в качестве k может высту-
выступать поле Qp — /?-адическое пополнение поля Q (где
р— некоторое простое натуральное число); тогда R сов-
совпадает с Zp, кольцом целых /?-адических чисел; в каче-
качестве я можно принять р и k — поле из р элементов.
Пусть $? = SLBy k). Это — простая алгебраическая
группа, разложимая над простым подполем поля /(; по-
поэтому группа SLB,K) обладает системой Титса (§ 29),
связанной с любым подполем поля К. В частности, груп-
группа %? уже обладает системой Титса ранга 1, с группой
Вейля порядка 2 и т. д. Но группа $ обладает также и
другой системой Титса (с бесконечной группой Вейля),
которая лучше отражает особые свойства поля к. Вве-
Введем различные составляющие ^, JF, 9>, Ж этой системы.
В качестве Jf мы возьмем «обычную» группу, т. е.
группу всех мономиальных матриц в 9. Однако в ка-
качестве $ мы примем группу всех матриц вида Г а Л%
где a, d^R — Р, b^R> с^Р. Заметим, что <k — про-
прообраз верхней треугольной группы в SL{2,k) относи-
относительно естественного гомоморфизма SLB,R) ->SLB,R).
Далее, группа д~ = $[\JF состоит из матриц вида
diag(a, a-1), a^R — Р и, как легко видеть, является
нормальной подгруппой группы Jf. Факторгруппа Ж по-
порождается множеством 9* из двух элементов s0, $ь каж-
каждый — порядка 2, где So отвечает смежному классу
( j о) и 5i — смежному классу ( 0 I. Нетруд-
Нетрудно проверить, что sl = e = s^ есть полное множество
определяющих соотношений для группы W, так что
Ж—бесконечная диэдральная группа.
Теорема. (9, ЗВ, JF, 9) — система Титса в 9.
Некоторых усилий требует проверка только аксиомы
(Т1). Идея доказательства заключается в том, чтобы ис-
использовать обычное разложение Брюа в группе SLB, &)>

§ 35. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 357
«подняв» его в SLB, /?). Следует использовать также
индукцию по длине элементов в W.
Так как множество 9* состоит из двух элементов, то
из B9.3) следует, что существует четыре «параболиче-
«параболических» подгруппы, содержащих $. Очевидным кандида-
кандидатом, помимо $ и &, является группа &*q = SLByR).
Четвертая подгруппа менее очевидна. В качестве &\
возьмем группу всех матриц вида ( а Л, где a, rfE /?,
b е= я-1/?, cg^ = Р. Заметим, что ^о П 5*1 = #.
Если k — локально компактное поле, то группа $
через свое вложение в kA наследует структуру локально
компактной топологической группы. Тогда ^0, &\ пред-
представляют два типа максимальных компактных подгрупп
группы *3\ исходя из этого, можно прийти к некоторому
гармоническому анализу. Можно также привлечь «бил-
динг» (здесь — дерево), сопоставляемый системе Титса,
для доказательства того факта, что любая дискретная
подгруппа группы *§, не имеющая элементов конечного
порядка (отличных от е), должна быть свободной.
35.5. Классификация. Если задано произвольное поле
k, то каким образом можно надеяться классифицировать
всевозможные полупростые й-группы? Над К группа G
является «известной» (и даже ввиду C4.4) она известна
над конечным расширением Галуа поля k). Чтобы срав-
сравнить поведение над k и над /С, полезно «упорядочить»
системы корней. Как и в C4.5) выберем максимальный
й-разложимый тор S, содержащийся в минимальной
fe-параболической подгруппе Р. Затем найдем макси-
максимальный тор Г, содержащий S, содержащийся в Р и
определенный над k (см. 34.4). Если .все это сделать
должным образом, то определенная группой Р база *Д
системы корней ^Ф будет состоять из всех нетривиаль-
нетривиальных ограничений на S корней некоторой базы Д системы
корней Ф относительно Т.
Если группа G анизотропна над ky то на этом пути
мы не можем надеяться получить содержательную ин-
информацию (если поле k произвольно), так что класси-
классификация возможна только по модулю описания всех
анизотропных групп. (Как упоминалось ранее, это по-
последнее решающим образом зависит от свойств поля k.)
В общем случае структурная теория C4.5) позволяет

358 гл. xii. обзор свойств рациональности
найти максимальную редуктивную fe-анизотропную под-
подгруппу М группы G: в качестве М следует взять произ-
произведение коммутанта группы Z = CG{S) и максимального
анизотропного fe-тора центра группы Z (последний явля-
является дополнением к S). Мы называем М анизотропным
ядром группы G; оно однозначно (с точностью до й-изо-
морфизма) определяется группой G.
Классификационная теорема Титса утверждает (гру-
(грубо говоря), что группа G определяется (с точностью до
й-изоморфизма) своим анизотропным ядром (или только
его коммутантом), своим классом /^-изоморфизма и
своим «индексом». Не пытаясь дать более точные фор-
формулировки, поясним, что такое индекс. Некоторые из
корней аеД имеют тривиальные ограничения на 5.
Если До — множество таких корней, то Ао образует базу
системы корней коммутанта группы Z. Задание А и Ао
(на диаграмме Дынкина системы Ф) составляет неко-
некоторую часть понятия индекса. Остальная информация
относится к действию на А (или на диаграмме Дынкина)
некоторой группы Галуа, орбиты которой выделяются
заключением соответствующих точек диаграммы в кру-
кружок. Простые корни одной и той же орбиты имеют оди-
одинаковые ограничения на S, и, следовательно, определяют
единственный элемент базы аА
Полезно рассмотреть несколько примеров. Если G
квазиразложима над k C5.1), то Ао = 0 и все точки
заключены в кружки; в этом случае группа G разложима
над k тогда и только тогда, когда каждая орбита Галуа
в А состоит из одной точки. (См. рисунок системы типа
Е6 в C5.1).) Для системы корней типа Е7 диаграмма,
указанная ниже, показывает, что Ао состоит из трех эле-
элементов (не заключенных в кружки), тогда как ^А со-
состоит из четырех элементов; при этом оказывается, что
система корней кФ — простого типа F4.
4
Тите определил все «допустимые» диаграммы такого
рода, т. е. диаграммы, которым действительно соответ-
соответствует некоторая группа G над некоторым полем k. На-
Например, только что рассмотренная диаграмма появляет-

§ 35. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 359
ся при k = R или если k — р-адическое поле, но, разу-
разумеется, не появляется в случае конечного поля k
C5.2).
Замечания. Квазиразложимые группы над конечными полями
рассматривались Хертцигом [2], Стейнбергом [22], [6], Титсом [2],
[6]. Теорема 35.2, принадлежащая Ленгу, была обобщена Стейн-
Стейнбергом [11]. Относительно конечных групп лиева типа см. Картер
[1J, Кэртис [3], Стейнберг [10]. Результаты, суммированные в
C5.3), разбросаны по литературе, см. например, Борель [3], Борель
и Тите [1, § 14], [3, § 4], Шевалле [2,], [4], [5, VI § 5, п. 2],
Мацумото [1], а также статьи Хохшильда и Мостова. Относи-
Относительно простых групп над локальными полями см. Ивахори и Мацу-
Мацумото [1], Брюа и Тите [1] —[6]. Пример SL2 более подробно рас-
рассмотрен Хамфри [4, § 15]; см. также Ихара [1]. Проблема
классификации над совершенным полем рассматривалась Сатаке [1],
[5] и в большей общности Титсом в его статье в АГДП (см. также
Тите [1]).

ДОБАВЛЕНИЕ
СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
Здесь мы перечислим без доказательств некоторые
основные свойства систем корней. Более полную инфор-
информацию можно получить например у Бурбаки [1, гл. VI],
Хамфриза [6, гл. III], Серра [2, гл. V], Стейнберга [10,
добавление], СГ, expose XXI.
(Д.1) Пусть Е — конечномерное векторное простран-
пространство над R. Определим отражение относительно ненуле-
ненулевого вектора ае£ как линейное преобразование, ко-
которое отображает а в —а и оставляет неподвижным по-
поэлементно некоторое подпространство коразмерности 1.
Такое преобразование (которое точнее было бы назвать
«предотражением»), очевидно, совпадает со своим об-
обратным, но не определяется однозначно вектором а. Тем
не менее, если 4я — конечное множество ненулевых век-
векторов, порождающих £, и если отражение т относитель-
относительно вектора аеЧ** отображает \Р в себя, то отражение т
однозначно определено вектором а.
(Д.2) (Абстрактной) системой корней в веществен-
вещественном пространстве Е называется подмножество WczE,
которое удовлетворяет следующим условиям:
(R1) Множество Ч** конечно, порождает £ и не со-
содержит нулевого вектора. (Элементы множества Ч** назы-
называются корнями.)
(R2) Если aG?, то единственными векторами, из
\Р, кратными а, являются векторы ±а.
(R3) Если аЕ?, то существует отражение та отно-
относительно а, которое оставляет множество \Р инвариант-
инвариантным.
(R4) Если а, реЧ**, то вектор та(Р)— Р целочислен-
но кратен а.
Если W — абстрактная система корней в простран-
пространстве £', то система W' называется изоморфной Чг, если
существует изоморфизм векторных пространств Е'->Е,

ДОБАВЛЕНИЕ. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 361
который отображает ^' на f и сохраняет целые числа,
возникающие в (R4).
В силу (Д.1) отражение та в (R3) однозначно опре-
определяется вектором а, так что условие (R4) имеет точ-
точный смысл. Назовем число /=dim£ рангом системы
корней W.
(Д.З) Пусть *F — система корней в Е. Так как мно-
множество W конечно и порождает £, то группа Wi^cz
cz GL(E)y порожденная отражениями та, также конечна;
она называется группой Вейля системы корней 4я и
обозначается через W. На Е имеется скалярное произ-
произведение (а, Р),относительно которого преобразования из
группы W ортогональны. Формула для та может быть
записана в виде та(Р)=Р — <Р, а>а, где <р,а> =
= 2(р,а)/(а,а).
(Д.4) Подмножество А системы корней W называется
базой, если Д = {o&i, ..., а/} — базис пространства £,
относительно которого каждый вектор ае? обладает
(единственным) представлением а = 2 ctai9 где С/ — це-
целые числа одного и того же знака. Базы существуют;
группа W перемещает множество баз однотранзитивно,
и каждый корень принадлежит по крайней мере одной
базе. Базы взаимно однозначно соответствуют камерам
Вейля в £, которые определяются как связные компо-
компоненты дополнения к объединению гиперплоскостей, орто-
ортогональных к корням. Элементы базы А называются
простыми корнями. Корни, которые представимы в виде
линейных комбинаций простых корней с неотрицатель-
неотрицательными (соответственно неположительными) коэффици-
коэффициентами образуют множество Ч*4" (соответственно Ч1"")
положительных (соответственно отрицательных) корней.
Если корни а, р линейно независимы, то существуют
простые корни у, 5 и элемент а е W такие, что а(а) = уу
а(Р) есть 7+-линейная комбинация корней у, б. Если
а,р€Е¥+ и а+p^Y, то ra + s$<£W (r,s> 1).
(Д.5) Пусть А —база системы корней W. Тогда W
порождается отражениями {та|аеА}. Длина /(т) эле-
элемента xef (относительно А) определяется как наимень-
наименьшее число *, для которого т = Т1 ... %t (где т/ — отраже-
отражение относительно некоторого простого корня). Длина /(т)
равна числу положительных корней а, для которых ко-

362 ДОБАВЛЕНИЕ. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
рень т(а) неотрицателен. В частности, отражение та
(аЕА) перемещает между собой элементы *F+— {a}.
(Д.6) Пусть А — база системы корней W и Д' — под-
подмножество в А. Корни, содержащиеся в подпространстве
Е' пространства £, порожденном А', образуют абстракт-
абстрактную систему корней в £', для которой А7 является базой;
ее группу Вейля можно отождествить с подгруппой
группы W> порожденной всеми отражениями та (аеА'),
(Д.7) Система корней Ч*" называется неприводимой,
если она (или, эквивалентно, А) не может быть пред-
представлена в виде объединения двух взаимно ортогональ-
ортогональных собственных подмножеств. Каждая система корней
представима в виде объединения попарно непересекаю-
непересекающихся (однозначно определенных) неприводимых систем
корней в подходящих подпространствах пространства Е.
С точностью до изоморфизма неприводимые системы
корней соответствуют взаимно однозначно следующим
диаграммам Дынкина:
A, ((,>/):-
В этих диаграммах точки соответствуют простым кор-
корням. Точки, отвечающие простым корням аир, соеди-
соединяются <а, Р> <р, а> связями, причем стрелка направ-

ДОБАВЛЕНИЕ. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 363
лена к более короткому из двух корней, если они имеют
неравную длину. Порядок m(a, P) элемента татр в W
равен 2, 3, 4 или 6 в зависимости от того, имеют ли
точки а и р 0, 1, 2 или 3 связи (а ф р). Задание диаграм-
диаграммы Дынкина эквивалентно заданию матрицы чисел Кар-
тана <а, р> (а, реА).
Имеется только четыре различные системы корней
ранга 2 с указанными ниже числами Картана:
2-2\/a- длинный,
А ( 2~~1>\ г ( 2 ~1Л f a — короткий,\
А2: \-\ 2) U24-3 2) U-Длинный )'
(Д.8) Группа автоморфизмов системы корней W есть
полупрямое произведение группы W (которая является
нормальной подгруппой) и группы Г автоморфизмов
графа (или диаграммы). Если система Ч* неприводима,
то группа Г тривиальна во всех случаях, за исключе-
исключением А/ (/^2), D/, Е6.
(Д.9) Вектор X е Е называется абстрактным весом,
если все числа <Я, а> — целые (aGT). Такие векторы
образуют решетку Л, в которой решетка Лг, натянутая
на Т, является подгруппой конечного индекса. Если Д=
= {ai, ..., a/} — база системы \Р, то Л обладает соот-
соответствующим базисом, состоящим из фундаментальных
доминантных весов %\, ..., А,/, для которых <Я/, а/>=6,/
(дельта Кронекера). Фундаментальная группа Л/Лг
имеет следующее строение для неприводимых типов:
A/: Z/(/+l)Z,
В/, Сь Е7: Z/2Z,
D/ (/ четно): Z/2Z X Z/2Z,
D/ (/ нечетно): Z/4Z,
Е6: Z/3Z,
Е8, F4, G2: 0.
(Д.10) Если A={ai, ..., ai) и Хи ..., %i — как и
в (Д.9), то назовем вес Л = Х1с^ доминантным, если
Ct e Z+ для всех L Каждый вес ^еЛ сопряжен при
помощи некоторого элемента из IF с одним и только

364 ДОБАВЛЕНИЕ. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
одним доминантным весом. Пространство Е допускает
частичное упорядочение: К > \i, если Я — \i — сумма по-
положительных корней (или 0). (Это упорядочение зави-
зависит от Д.) Если X е Л — доминантный вес, то % ^ о(%)
для всех aelf.
(Д.11) Векторы а* = 2а/(a, a) (aGT) образуют си-
систему корней в £, называемую дуальной к ф. Число
Картана <а*, р*> равно <р, а>. Группа Вейля системы
¥* канонически изоморфна группе W (относительно изо-
изоморфизма att*l~->aa)- Если пространство Е отождествить
с его двойственным пространством при помощи скаляр-
скалярного произведения, то a* (a e А) отождествляется с
(единственной) линейной функцией на £, принимающей
значение 2 в точке а и значение 0 на всех фундаменталь-
фундаментальных доминантных весах к$ (Д.9), соответствующих про-
простым корням $фа. (Единственность этой линейной функ-
функции следует из того факта, что вектор а вместе с этими
векторами Ар образует базис пространства Е.)
(Д. 12) Следующая лемма, принадлежащая Титсу,
необходима в C2.4). Поскольку она не так хорошо из-
известна, как предыдущие результаты, мы воспроизведем
здесь доказательство, данное в СГ, expose XXI, 5.6.
Лемма. Пусть а, (ЗеД и предположим, что а(а) = р
(а£ W). Тогда существуют корни vo = a, Yi> • • • > Уь— Р
в А и элементы ао, <Ji, - • •» °k-\ e W, удовлетворяющие
следующим условиям:
(а) o = ok-i ... a0.
(б) Oi{yt) =v<+i @<i<fe—1).
(в) Яусгб 0^i^fe~l. £"сла yi=£yi+u то Ot e
s IFY , a есл^ у/ = y/+i, го существует корень bi e A,
для которого Gi ^Wy 6 .
Доказательство. Пусть я (a) = card (¥+ П — сг~! (Ч*4")).
Согласно (Д.5) п (а) равно числу положительных кор-
корней y, для которых корень cH(y) отрицателен, и равно
/(а-1) = /(а). В частности, я(а) = 0 влечет а==б, и
в этом случае доказывать нечего. Воспользуемся индук-
индукцией по я(а).
Если я (а) > 0, то существует корень у^Д с а(у)<0
(в противном случае о = е). Положим Yo = a и рассмот
рим подсистему Wyy, одно из возможных множеств по
ложительных корней которой есть a (xP+)flxIrYoY*> °боз-

ДОБАВЛЕНИЕ. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 365
начнм его через в. В силу (Д. 4), (Д. 6) существует
элемент o0<^Wyoyi такой, что ао(в) = Чг+у. Положим
т = аа-1. Каждый элемент оуо, оу оставляет инвариант-
инвариантным множество @' = Ч+ — х¥уоУ (Д. 5), так что и эле-
элемент о0 ^ W оставляет инвариантным это множество.
Отсюда следует, что в'П — о (чг+) = в/П -т^4").
С другой стороны ^П~т-1(г1;+)=^П~ао(в) =
= <oY П - ^Jv = 0 • в то время как уеТ^П- a" 0f+).
Это показывает, что п(х) <п(о).
Положим Yi = ao(Yo) (=ao(a)). По предположению,
Уоео-1(Д), так что Yo принадлежит базе о" (Д)Г)Ч%оу
системы Wyyi которая содержится в ® = ao~1Dr^"oY). Сле-
Следовательно, Yo е ^о (^ П ^у.у)^0^1 (А)* Поэтому корень у{
является простым и содержится в Ч*"* . Если Yi Ф Yo» to
это влечет Yi = Y, т^к что P = t(yi). Доказательство
леммы можно теперь завершить по индукции, a

БИБЛИОГРАФИЯ
Нижеследующий список статей и книг содержит как основные
работы по линейным алгебраическим группам, так и значительное
число публикаций по близким вопросам. Эти последние отобраны
в известной мере произвольно; мы оставляли в стороне те статьи,
главное содержание которых относится к группам Ли, арифметиче-
арифметическим группам, конечным группам и т. д. Несмотря на это ограни-
ограничение, наша библиография может быть полезна тем, что поможет
читателю ориентироваться в довольно обширной литературе за два
последних десятилетия.
Статьи в книге «Алгебраические группы и дискретные подгруп-
подгруппы», сокращенно АГДП, под редакцией А. Бореля и Дж. Д. Мосто-
ва, не приводятся здесь индивидуально. Они дают хорошее предста-
представление о состоянии предмета к 1965 г., хотя по многим освещенным
там аспектам имеются более новые обзоры.
Абе, Канно (Abe Е., Каппо Т.)
1. Some remarks on algebraic groups. — Tohoku Math. J., 1959, 11,
p. 376—384.
АГДП-Borel A., Mostow G. D. [1]
Бала, Картер (Bala P., Carter R. W.)
1. The classification of unipotent and nilpotent elements. — Indag.
Math., 1974, 36, p. 94—97.
Б е р (Behr H.)
1. Zur starken Approximation in algebraischen Gruppen tiber glo-
balen Korpern. — J. reine angew. Math., 1968, 229, S. 107—116.
2. Endliche Erzeugbarkeit arithmetischer Gruppen tiber Funktionen-
korpern. — Invent. Math., 1969, 7, S. 1—32.
3. Explizite Presentation von Chevalleygruppen uber Z. — Math.
Z., 1975, 141, S. 235—241.
Бирке (Birkes D.)
1. Orbits of linear algebraic groups. — Ann. Math., 1971, 93,
p. 459—475.
Борель (Borel A.)
1. Groupes lineaires algebriques. — Ann. Math., 1956, 64, p. 20—80.
2. Some finiteness properties of adele groups over number fields.—
Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 1963, 16, p. 101—126.
3. Introduction aux groupes arithmetiques. — Paris: Hermann, 1969.
4. Linear Algebraic Groups, notes by H. Bass. — N. Y.: Benja-
Benjamin W. A., 1969. Русский перевод: Борель А. Линейные
алгебраические группы. — М.: Мир, 1972.
5. On the automorphism of certain subgroups of semi-simple Lie
groups. — В кн.: Algebraic Geometry, ed. S. Abhyankar. — Lon-
London: Oxford Univ. Press, 1969, p. 43—74.

БИБЛИОГРАФИЯ 367
6. Properties and linear representations of Chevalley groups. —
В кн.: Seminar on Algebraic Groups and Related Finite
Groups. — Lect. Notes in Math., Berlin; Heidelberg; N. Y.:
Springer, 1970, 131, p. 1—55. Русский перевод: Б op ель А.
Свойства и линейные представления групп Шевалле. —
В кн.: Семинар по алгебраическим группам. М.: Мир, 1973,
с. 9—59.
7. Cohomologie reelle stable de groupes S-arithmetiques classi-
ques. —С R. Acad. Sci. Paris, 1972, 274, p. 1700—1702.
8. Linear representations of semi-simple algebraic groups. — Proc.
A. M. S. Summer Inst. (Arcata). —В кн.: Proc. Symp. Pure
Math. Providence, R. I.: Amer. Math. Soc, 1975, 29, p. 421—440.
Борель, Мостов (Borel A., Mostow G. D.)
1. Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups. — Proc. Symp.'
Pure Math. IX. Providence, R. I.: Amer. Math. Soc, 1966.
Борель, Cepp (Borel A., Serre J. P.)
1. Theoremes de finitude en cohomologie galoisienne. — Comm.
Math. Helv., 1964, 39, p. 111—164.
2. Adjonction de coins aux espaces symetriques. Applications a la
cohomologie des groupes arithmetiques. — C. R. Acad. Sci. Paris,
1970, 271, p. 1156—1158.
3. Cohomologie a supports compacts des immeubles de Bruhat —
Tits. Applications a la cohomologie des groupes S-arithmeti-
S-arithmetiques.—С R. Acad. Sci. Paris, 1971, 272, p. 110—113.
4. Corners and arithmetic groups. — Comm. Math. Helv., 1973, 48,
p. 436—491.
Борель, Спрингер (Borel A., Springer T. A.)
1. Rationality properties of linear algebraic groups II. — Tohoku
Math. J, 1968, 20, p. 443—497.
Борель, Тите (Borel A., Tits J.)
1. Groupes reductifs.— Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 1965,
27, p. 55—150. Русский перевод: Борель А., Тите Ж. Ре-
дуктивные группы.— Сб. Математика, 1967, 11, № 1, с. 43—
111; 11, № 2, с. 3—31.
2. Elements unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes
reductifs I. —Invent. Math., 1971, 12, p. 95—104. Русский пере-
перевод: Борель А., Тите Ж. Унипотентные элементы и пара-
параболические подгруппы редуктивных групп, I. — Сб. Матема-
Математика, 1972, 16, № 3, с. 3—12.
3. Complements a l'article «Groupes reductifs». — Inst. Hautes
Etudes Sci. Publ. Math., 1972, 41, p. 253—276.
4. Homomorphismes «abstraits» de groupes algebriques simples. —
Ann. Math., 1973, 97, p. 499—571.
Борель, Хариш-Чандра (Borel A., Harish-Chandra)
1. Arithmetic subgroups of algebraic groups.— Ann. Math., 1962,
75, p. 485—535. Русский перевод: Борель А., Хариш-
Чандра. Арифметические подгруппы алгебраических групп.—
Сб. Математика, 1964, 8, № 2, с. 19—71
Брискорн (Brieskorn E.)
1. Singular elements of semi simple algebraic groups. — В кн.:
Actes Congres Intern. Math., 1970, t. 2, p. 279—284, Paris
Gauthier-Villars, 1971.

368 БИБЛИОГРАФИЯ
2. Die Fundamentalgruppe des Raumes der regularen Orbits einer
endlichen komplexen Spiegelungsgruppe.— Invent. Math., 1971,
12, S. 57—61.
Брюа, Тите (Bruhat F., Tits J.)
1. Groupes algebriques simples sur un corps local. — В кн.: Pro-
Proceedings of a Conference on local Fields, Berlin; Heidelberg,
N. Y.; Springer, 1967, p. 23—36.
2. BN-paires de type affine ot donnees radicielles.—C. R. Acad.
Sci. Paris, 1966, 263, p. 598—601.
3. Groupes simples residuellement deployes sur un corps local.—
C. R. Acad. Sci. Paris, 1966, 263, p. 766—768.
4. Groupes algebriques simples sur un corps local. — C. R. Acad.
Sci. Paris, 1966, 263, p. 822—825.
5. Groupes algebriques simples sur un corps local; cohomologie
galoisienne, decompositions d'lwasawa et de Cartan. —
C. R. Acad. Sci. Paris, 1966, 263, p. 867—869. Русский перевод
статей 2—5: Брюа Ф., Тите Ж. Строение полупростых ал-
алгебраических групп над локальными полями. — Сб. Матема-
Математика, 1968, 12, № 5, с. 19—33.
6. Groupes reductifs sur un corps local. — Inst. Hautes Etudes Sci.
Publ. Math., 1972, 41, p. 5—252.
Б у р б а к и (Bourbaki N.)
1. Groupes et algebres de Lie. — Paris: Hermann, 1971, Ch. 1
Bnd ed.); 1972, Ch. 2—3; 1975, Ch. 7—8. Русский перевод:
Бур баки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. I—III.—М.: Мир,
1976. Гл. VII—VIII. —М.: Мир, 1978.
Бялыницки-Бируля (Bialynicki-Birula A.)
1. On homogeneous affine spaces of linear algebraic groups. —
Amer. J. Math., 1963, 85, p. 577—582.
2. Some theorems on actions of algebraic groups. — Ann. Math.
1973, 98, p. 480—497.
ВейльА. (Weil A.)
1. Varietes abeliennes et courbes algebriques. — Paris: Hermann
1948.
2. On algebraic groups of transformations. — Amer. J. Math. 1955
77, p. 355—391.
3. On algebraic groups and homogeneous spaces. — Amer. J. Math,
1955, 77, p. 493—512.
4. Algebras with involutions and the classical groups. — J. Indian
Math. Soc, 1961, 24, p. 589—623. Русский перевод: В ей ль А.
Алгебры с инволюцией и классические группы. — Сб Матема-
Математика, 1963, 7, № 4, 31—56.
5. Adeles and algebraic groups. — Princeton: Inst. Advanced Study,
1961. Русский перевод: В ей ль А. Адели и алгебраические
группы. — Сб. Математика, 1964, 8, № 4, с 3—74.
В е й л ь Г. (Weyl H.)
1. The Classical Groups. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1946.
Русский перевод: В е й л ь Г. Классические группы, их инва-
инварианты и представления. — М.: ИЛ, 1947.
Вейсфейлер Б. Ю.
1. Об одном свойстве полупростых алгебраических групп. —
Функциональный анализ и его прилож., 1968, 2, № 3, с. 84—85.

БИБЛИОГРАФИЯ 369
2. Некоторые свойства особых полупростых алгебраических групп
над незамкнутыми полями. — Труды Московского матем. об-
общества, 1969, 20, с. 111—136.
3. Замечание о некоторых алгебраических группах. — Функцио-
Функциональный анализ и его приложения, 1970, 4, № 1, с. 91.
4. Полупростые алгебраические группы, разложимые над квадра-
квадратичным расширением. — ИАН СССР, сер. матем., 1971, 35,
с. 56—71.
б. Принцип Хассе для алгебраических групп, разложимых над
квадратичным расширением. — Функциональный анализ и его
приложения, 1972, 6, № 2, с. 21—23.
ВейсфейлерБ. Ю., КацВ. Г.
1. Экспоненциалы в алгебрах Ли характеристики р. — ИАН
СССР, сер. матем., 1971, 35, с. 762—788.
В е р м a (Verma D.-N.)
1. Role of affine Weyl groups in the representation theory of al-
algebraic Chevalley groups and their Lie algebras. — В кн.: Lie
Groups and their Representations, ed. I. M. Gelfand. — N. Y.:
Halsted, 1975.
В е р ф р и ц (Wehrfritz B. A. F.)
1. Infinite Linear Groups. — Berlin,Heidelberg; N. Y.: Springer, 1973.
Винтер (Winter D. J.)
1. On automorphisms of algebraic groups. — Bull. Amer. Math.
Soc, 1966, 72, p. 706—708.
2. Algebraic group automorphisms having finite fixed point sets.—
Proc. Amer. Math. Soc, 1967, 18, p. 371—377.
3. Fixed points and stable subgroups of algebraic group auto-
automorphisms. — Proc. Amer. Math. Soc, 1967, 18, p. 1107—1113.
4. On groups of automorphisms of Lie algebras. — J. Algebra,
1968, 8, p. 131—142.
Воскресенский В. Е.
1. О двумерных алгебраических торах. — ИАН СССР, сер. матем.,
1965, 29, с. 239—244.
2. О двумерных алгебраических торах И. — ИАН СССР, сер. ма-
матем., 1967, 31, с. 711—716.
3. Группа Пикара линейных алгебраических групп. — В кн.: Ис-
след. по теории чисел. Саратов: Изд. Саратовского ун-та, 1969,
3, с. 7-16.
4. О бирациональной эквивалентности линейных алгебраических
групп.—ДАН СССР, 1969, 188, с. 978—981.
5. Бирациональные свойства линейных алгебраических групп. —
ИАН СССР, сер. матем., 1970, 34, с. 3—19.
6. Рациональность некоторых алгебраических торов. — ИАН
СССР, сер. матем., 1971, 35, с. 762—768.
Г а р л а н д (Garland H.)
1. p-adic curvature and a conjecture of Serre. — Bull. Amer Math
Soc, 1972, 78, p. 259—261.
2. p-adic curvature and the cohomology of discrete subgroups
of p-adic groups. —Ann. Math., 1973, 97, p. 375—423.
Г о д е м а н (Godement R.)
1. Groupes lineaires algebriques sur un corps parfait. — Sem.
Bourbaki A960—61), Exp. 206. N. Y.: W. A. Benjamin, 1966.

370 БИБЛИОГРАФИЯ
Гроссханс (Grosshans F.)
1. Orthogonal representations of algebraic groups. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1969, 137, p. 519—531.
2. Representations of algebraic groups preserving quaternion skew-
hermitian forms. — Proc. Amer. Math. Soc, 1970, 24, p. 497—501.
3. Semi-simple algebraic groups defined over a real closed field. —
Amer. J. Math., 1972, 94, p. 473—485.
4. Observable groups and Hilbert's fourteenth problem. — Amer. J.
Math., J 973, 95, p. 229—253..
5. Open sets of points with good stabilizers. — Bull. Amer. Math.
Soc, 1974, 80, p. 518—521.
Д е м а з ю р (Demazure M.)
1. Schemes en groupes reductifs. — Bull. Soc. Math. France, 1965,
93, p. 369—413.
2. Sous-groupes algebriques de rang maximum du groupe de Cre-
Cremona.—Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 1971, D) 3, p. 507—588.
3. Desingularisation des varietes de Schubert generalisees. — Ann.
Sci. Ecole Norm. Sup., 1974 D) 7, p. 53—88.
Демазюр, Габриэль (Demazure M., Gabriel P.)
1. Groupes Algebriques. — Tome I: Geometrie algebrique, genera-
Htes, groupes commutatifs. — Paris: Masson; Amsterdam: North-
Holland, 1970.
Демазюр, Гротендик (Demazure M., Grothendieck A.)
1. Schemas en Groupes. — Lect. Notes in Math., 151, 152, 153. —
Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1970.
Д е о д x a p (Deodhar V. V.)
1. On central extensions of rational points of algebraic groups.—
Bull. Amer. Math. Soc, 1975, 81, p. 573—575; Amer. J. Math.,
1978, 100, p. 303—386.
Джекобсон (Jacobson N.)
1. Lie Algebras. — N. Y.: Interscience, 1962. Русский перевод:
Джекобсон Н. Алгебры Ли. — М.: Мир, 1964.
Д ь е до н н е (Dieudonne J.)
1. Sur les groupes de Lie algebriques sur un corps de caracteristi-
que p>0. —Rend. Circ. Mat. Palermo, 1952, I, p. 380—402.
2. our quelques groupes de Lie abeliens sur un corps de caracteri-
stique p>0.— Arch. Math., 1954, 5, p. 274—281; correction,
ibid., 1955, 6, p. 88.
3. Groupes de Lie et hyperalgebres de Lie sur un corps de caracte-
ristique p > 0. — Comm. Math. Helv., 1954, 28, p. 87—118.
4. Lie groups and Lie hyperalgebras over a field of characteristic
p > o, II. —Amer. J. Math., 1955, 77, p. 218—244.
5. Groupes de Lie et hyperalgebras de Lie sur un corps de ca-
racteristique p > 0, HI. —Math. Z., 1955, 63, p. 53—75.
6. Lie groups and Lie hyperalgebras over a field of characteristic
p > o, IV. —Amer. J. Math., 1955, 77, p. 429—452.
7. Groupes de Lie et hyperalgebres de Lie sur un corps de carac-
teristique p > 0, V — Bull. Soc. Math. France, 1956, 84,
p. 207—239.
. 8. Lie groups and Lie hyperalgebras over a field of characteristic
р>0, VI. —Amer. J. Math., 1957, 79, p. 331—388.

БИБЛИОГРАФИЯ 371
9. Groupes de Lie et hyperalgebres de Lie sur un corps de caracte-
ristique p>0, VII. —Math. Ann., 1957, 134, p. 114—133.
10. Les algebres de Lie simples associees aux groupes simples al-
gebriques sur un corps de caracteristique p > 0. — Rend. Circ.
Mat. Palermo, 1957, 6, p. 198—204.
11. Lie groups and Lie hyperalgebras over a field of characteristic
p>0, VIII. —Amer. J. Math., 1958, 80, p. 740—772.
12. Remarques sur la reduction mod. p des groupes lineaires alge-
briques. — Osaka J. Math., 1958, 10, p. 75—82.
13. La geometrie des groupes classiques. — 3rd ed. — Berlin; Heidel-
Heidelberg; N. Y.: Springer, 1971. Русский перевод: Дьедонне Ж.
Геометрия классических групп. — М.: Мир, 1974.
Дьедонне, Керрол (Dieudonne J., Carrel J. В.)
1. Invariant theory, old and new. — Advances in Math., 1970, 4,
p. 1—80. — Русский перевод в кн.: Дьедонне Ж., Кер-
Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариан-
инвариантов. — М.: Мир, 1974, с. 9—124.
Залесский А. Е.
1. Замечание о треугольной группе. — Весщ АН БССР, сер. <}из.-
матэм. навук, 1968, № 2, с. 139—141.
И в а х о р и (Iwahori N.)
1. On the structure of a Hecke ring of a Chevalley group over a
finite field. —J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 1964, 10, p. 215—235.
Ивахори, Мацумото (Iwahori N., Matsumoto H.)
1. On some Bruhat decomposition and the structure of the Hecke
rings of p-adic Chevalley groups. — Inst. Hautes Etudes Sci.
Publ. Math., 1965, 25, p. 5—48.
Ивер сен (Iversen В.)
1. A fixed point formula for action of tori on algebraic varieties.—
Invent. Math., 1972, 16, p. 229—236.
Игу с a (Igusa J.)
1. On certain representations of semi-simple algebraic groups and
the arithmetic of the corresponding invariants, I. — Invent. Math.,
1971, 12, p. 62—94.
И x a p a (Ihara Y.)
1. On discrete subgroups of the two by two projective linear group
over p-adic fields.— J. Math. Soc. Japan, 1966, 18, p. 219—235.
И я н а г a (Iyanaga К.)
1. On certain double coset spaces of algebraic groups. — J. Math.
Soc. Japan, 1971, 23, p. 103—122.
К а л л е н (van der Kallen W. L. J.)
1. Infinitesimally Central Extensions of Chevalley Groups. — Lect.
Notes in Math, 356. —Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1977.
Камбаяши (Kambayashi T.)
1. Projective representations of algebraic linear groups of trans-
transformations. — Amer. J. Math., 1966, 88, p. 199—205.
Капланский (Kaplansky I.)
1. An Introduction to Differential Algebra. — Paris: Hermann, 1957.
Русский перевод: Капланский И. Введение в дифференци-
дифференциальную алгебру. — М.: ИЛ, 1959.
Картер (Carter R. W.)
1. Simple Groups of Lie Type, — London; N. Y.; Wiley, 1972.

872 библиография
Картер, Лустиг (Carter R. W., Lusztig G.)
1. On the modular representations of the general linear and sym-
symmetric groups. — Math. Z., 1974, 136, p. 193—242.
Картер, Элкингтон (Carter R. W., Elkington G. B.)
1. A note on the parametrization of conjugacy classes. — J. Al-
Algebra, 1972, 20, p. 350—354.
Картье (Cartier P.)
1. Groupes algebriques et groupes formels. — В кн.: Colloq. Theorie
des Groupes Algebriques (Bruxelles, 1962). Paris: Gauthier-
Villars, 1962, p. 87—111.
К а с с и д и (Cassidy P. J.)
1. Differential algebraic groups. — Amer. J. Math., 1972, 94,
p. 891—954.
Кимур a (Kimura H.)
1. Relative cohomology of algebraic linear groups, II. — Nagoya
Math., J., 1966, 26, p. 89—99.
К н е з е р (Kneser M.)
1. Starke Approximation in algebraischen Gruppen, I.—J. Reine
Angew. Math., 1965, 218, S. 190—203.
2. Galois-Kohomologie halbeinfacher algebraischer Gruppen uber
/7-adischen Korpern, I. —Math. Z., 1965, 88, S. 40—47; II. ibid.,
1965, 89, S. 250—272.
3. Semi-simple algebraic groups. — В кн.: Algebraic Number
Theory, ed. J. W. S. Cassels, A. Frohlich. London; N. Y.: Aca-
Academic Press, 1967, p. 250—265. Русский перевод: Кнезер М.
Полупростые алгебраические группы. — В кн.: Алгебраическая
Math., 108. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1969.
4. Normal subgroups of integral orthogonal groups. — В кн.: Al-
Algebraic K-Theory and its Geometric Applications, Lect. Notes in
Math., 108. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1969.
5. Lectures on Galois Cohomology of Classical Groups. — Bombay:
Tata Inst. of Fundamental Research, 1969.
К о в а ч и ч (Kovacic J.)
1. Pro-algebraic groups and the Galois theory of differential
fields. —Amer. J. Math., 1973, 95, p. 507—536.
К о л ч и н (Kolchin E. R.)
1. Algebraic matric groups and the Picard-Vessiot theory of homo-
homogeneous linear ordinary differential equations.—Ann. Math.,
1948, 49, p. 1—42.
2. On certain concepts in the theory of algebraic matric groups.—
Ann. Math., 1948, 49, p. 774—789.
3. Differential Algebra and Algebraic Groups. — N. Y.: London:
Academic Press, 1973.
Кэртис (Curtis С W.)
1. Representations of Lie algebras of classical type with applica-
applications to linear groups.— J. Math. Mech., 1960, 9, p. 307—326.
2. The classical groups as a source of algebraic problems.—Amer.
Math. Monthly, 1967, 4 Part II of No. 1, p. 80—91.
3. Chevalley groups and Related topics. — В кн.: Finite Simple
Groups, ed. Powell M., В., Higman G., London; N. Y.: Academic
Press, 1971, p. 135—18a

БИБЛИОГРАФИЯ 373
Л аз ар (Lazard M.)
1. Sur le nilpotence de certains groupes algebriques.— С. R. Acad.
Sci. Paris, 1955, 241, p. 1687—1689.
2. Groupes analytiques p-adiques.— Inst. Hautes Etudes ScL Publ.
Math., 1965, 26, p. 1—219.
Лакшми Баи, Музили, Сешадри (Lakshmi Bai, Musili С,
Seshadri С. S.)
1. Cohomology of line bundles on G/B.— Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup., 1974, D) 7, p. 89—138.
Лен г (Lang S.)
1. Algebraic groups over finite fields. — Amer. J. Math., 1956, 78,
p. 555—563.
% Abelian Varieties. — N. Y.: Interscience, 1959.
Л у (Lou В.)
1. The centralizer of a regular unipotent element in a semi-simple
algebraic group. —Bull. Amer. Math. Soc, 1968, 74, p. 1144—
1147.
Луна (Luna D.)
1. Sur les orbites fermees des groupes algebriques reductifs.—
Invent. Math., 1972, 16, p. 1—5.
Луна, Вуст (Luna D., Vust T.)
1. Un theoreme sur les orbities affines des groupes algebriques
semi-simples.— Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1973, C) 27,
p. 527—535.
Л ен г л е н д с (Langlands R Р.)
1. Euler Products. — Yale Math. Monographs, New Haven; London:
Yale Univ. Press, 1971. Русский перевод: Ленглендс Р. П.
Эйлеровы произведения. — Сб. Математика, 1971, 15, № 1,
с. 14—43.
Макдональд (Macdonald I. G.)
1. Spherical functions on /7-adic Chevalley group. — Bull. Amer.
Math. Soc., 1968, 74, p. 520—525.
2. Spherical Functions on a Group of p-adic Type. — Madras: Ra-
manujan Inst., 1971.
M а м ф о р д (Mumford D.)
1. Geometric Invariant Theory. — Berlin; Heidelberg; N. Y.: Sprin-
Springer, 1965. Русский перевод в кн.: Дьедонне Ж., Кер-
р о л Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариан-
инвариантов. — М.: Мир, 1974, с. 126—258.
2. Abelian Varieties. — London: Oxford Univ. Press, 1970.
3. Introduction to Algebraic Geometry, preliminary version of
Chapters I—III. — Cambridge: Harvard Univ. Math. Dept, 1970.
Маркус (Marcus L.)
1. Exponentials in algebraic matrix groups. — Advances in Math.,
1973, 11, p. 351—367.
M a p л ин (Marlin R.)
1. Anneaux de Chow des groupes algebriques SU(n), Sp(n),
SO(n), Spin(n), G2, F4. —С R. Acad. Sci., Paris, 1974, 279,
p. 119—122.
M a p с (Mars J. G. M.)
1. Les nombres de Tamawaga de certains groupes exceptionnels.—
Bull. Soc. Math. France, 1966, 94, p. 97—140.

374 библиография
2. Solution (Tun probleme pose par A. Weil — C. R. Acad. Sci.
Paris, 1968, 266, p. 484—486.
3. The Tamagawa number of M«. — Ann. Math., 1969, 89, p. 557—
574.
4. Les nombres de Tamagawa de groupes semi-simples. — Sem.
Bourbaki A968—69). Exp. 351, Lect. Notes in Math., Berlin;
Heidelberg; N. Y.: Springer, 1971, 179.
Мацумото (Matsumoto H.)
1. Quelques remarques sur les groupes de Lie algebriques reels.—
J. Math. Soc. Japan, 1964, 16, p. 419—446.
2. Generateurs et relations des groupes de Weyl generalises.—
С R. Acad. Sci. Paris, 1964, 258, p. 3419—3422.
3. Un theoreme de Sylow pour les groupes semi-simples p-adi-
ques. — С R. Acad. Sci. Paris, 1966, 262, p. 425—427.
4. Sur les groupes semi-simples deployes sur un anneau princi-
principal.—С R. Acad. Sci. Paris, 1966, 262, p. 1040—1042.
5. Sur les sous-groupes arithmetiques des groupes semi-simples
deployes. — Ann Sci. Ecole Norm. Sup., 1969, DJ, p. 1—62.
6. Fonctions spheriques sur un groupe semi-simple p-adique. —
С R. Acad. Sci. Paris, 1969, 269, p. 829—832.
Мацусима (Matsushima Y.)
1. Espaces homogenes de Stein des groupes de Lie complexes.—
Nagoya Math. J., 1960, 16, p. 205—218.
Минбашьян (Minbashian F.)
1. Pro-affine algebraic groups.—Amer. J. Math., 1973,95, p. 174—192.
M и я н и ш и (Miyanishi M.)
1. On the algebraic fundamental group of an algebraic group.—
J. Math. Kyoto Univ., 1972, 12, p. 351—367.
Мостов (Mostow G. D.)
1. Self-adjoint groups.— Ann. Math., 1955, 62, p. 44—55.
2. Fully reducible subgroups of algebraic groups. — Amer. J. Math.,
1956, 78, p. 200—221.
M у p (Moore C.)
1. Group extensions of p-adic and adelic linear groups. — Inst.
Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 1968, 35, p. 5—70.
H а г а т a (Nagata M.)
1. Complete reducibility of rational representations of a matric
group. —J. Math. Kyoto Univ., 1961, 1, p. 87—99.
2. Invariants of a group in an affine ring. — J. Math. Kyoto Univ.,
1964, 3, p. 369—377.
3. Lectures on the Fourteenth Problem of Hilbert. — Bombay: Tata
Inst. of Fundamental Research, 1965.
Накамура (Nakamura T.)
1. A remark on unipotent groups of characteristic p > 0. — Kodai
Math. Sem. Rep. Japan, 1972, 23, p. 377—383.
2. On commutative unipotent groups defined by Seligman. — J.
Math. Soc. Japan, 1972, 23, p. 377—383.
Оно (Опо Т.)
1. Arithmetic of orthogonal groups. — J. Math. Soc. Japan, 1955
7, p. 79—91.
2. Sur les groupes de Chevalley. — Js Math. Soc. Japan, 1958,
10, p. 307-313.

БИБЛИОГРАФИЯ 87В
3. Sur la reduction modulo У des groupes lineaires algebriques. —
Osaka J. Math., 1958, 10, p. 57—73.
4. Arithmetic of algebraic tori. —Ann. Math., 1961, 74, p. 101—
139.
5. On the field of definition of Borel subgroups of semi-simple
algebraic groups.— J. Math. Soc. Japan, 1963, 15, p. 392—395.
6. On the Tamagawa number of algebraic tori.— Ann. Math., 1963,
78, p. 47—73.
7. On the relative theory of Tamagawa numbers. — Ann. Math.,
1965, 82, p. 88—111.
8. On algebraic groups and discontinuous groups.— NagoyaMath. J.
1966, 27, p. 279—322.
9. A remarks on Gaussian sums and algebraic groups. — J. Math.
Kyoto Univ., 1973, 13, p. 139—142.
О о р т (Oort F.)
1. Commutative Group Schemes. — Lect. Notes in Math. — Berlin;
Heidelberg: N. Y., Springer, 1966, 15.
2. Algebraic group schemes in characteristic zero are reduced.—
Invent. Math., 1966, 2, p. 79—80.
П а р ш а л (Parshall B.)
1. Regular elements in algebraic groups of prime characteristic.—
Proc. Amer. Math. Soc, 1973, 39, p. 57—62.
Платонов В. П.
1. Автоморфизмы алгебраических групп. — ДАН СССР, 1966, 168,
с. 1257—1260.
2. Теория алгебраических линейных групп и периодические груп-
группы.—ИАН СССР, сер. матем., 1966, 30, с. 573—620.
3. Алгебраические группы с почти-регулярным автоморфизмом и
теоремы инвариантности. — ИАН СССР, сер. матем., 1967, 31,
Х« 3, с. 687—696.
4. Доказательство гипотезы конечности для разрешимых под-
подгрупп алгебраических групп. — Сибирск. матем. ж., 1969, 10,
№ 5, с. 1084-1090.
6. Проблема сильной аппроксимации и гипотеза Кнезера — Титса
для алгебраических групп. — ИАН СССР, сер. матем., 1969,
33, № 6, с. 1211—1219.
6. Дополнение к работе «Проблема сильной аппроксимации и ги-
гипотеза Кнезера — Титса для алгебраических групп». — ИАН
СССР, сер. матем., 1970, 34, № 4, с. 775—777.
7. О конгруэнц-проблеме для разрешимых целочисленных
групп. —ДАН БССР, 1971, 15, с. 869—872.
Платонов В. П., Милованов М. В.
1. Определяемость алгебраических* групп арифметическими под-
подгруппами. — ДАН СССР, 1973, 209, № 1, с. 43—46.
Платонов В. П., Янчевский В. И.
1. Структура унитарных групп и коммутант простой алгебры над
глобальными полями. —ДАН СССР, 1973, 208, № 3, с. 541—
644.
Попов В. Л.
1. Критерий стабильности действия полупростой группы на фак-
ториальном многообразии. — ИАН СССР, сер. матем., 1970, 34.
№ 3, с. 523-531.

Ш БИБЛИОГРАФИЯ
2. О стабильности действия алгебраической группы на алгебраи-
алгебраическом многообразии. — ИАН СССР, сер. матем., 1972, 86, № 2,
с. 371—385.
Прасад, Рагунатан (Prasad G., Raghunathan M. S.)
1. Cartan subgroups and lattices in semi-simple groups. — Ann.
Math., 1972, 96, p. 296—317.
Рагунатан (Raghunathan M. S.)
1. Cohomology of arithmetic subgroups of algebraic groups, I. —
Ann. Math., 1967, 86, p. 409—424. II. ibid., 1968, 87, p. 279—
304.
2. A note on quotients of real algebraic groups by arithmetic sub-
subgroups. — Invent. Math., 1968, 4, p. 318—335.
3. Discrete Subgroups of Lie Groups. — Berlin; Heidelberg; N. Y.:
Springer, 1972. Русский перевод: Рагунатан М. — Дискрет-
Дискретные подгруппы групп Ли. — М.: Мир, 1977.
4. On the congruence subgroup problem. — Inst. Hautes Etudes
Sci. Publ. Math., 1976, 46, p. 107—161.
Ри (Ree R.)
1. On some simple groups defined by C. Chevalley. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1957, 84, p. 392—400.
2. Construction of certain semi-simple groups. — Canad. J. Math.,
1964, 16, p. 490—508.
3. Commutators in semi-simple algebraic groups. — Proc. Amer.
Math. Soc, 1964, 15, p. 457—460.
Рим JRiehm C.)
1. The congruence subgroup problem over local fields. — Amer. J.
Math., 1970, 92, p. 771—778.
Ричардсон (Richardson R. W.)
1. Conjugacy classes in Lie algebras and algebraic groups.— Ann.
Math., 1967, 86, p. 1—15.
2. Principal orbit types for algebraic transformation spaces in cha-
characteristic zero. — Invent. Math., 1972, 16, p. 6—14..
3. Conjugacy classes in parabolic subgroups of semi-simple al-
algebraic groups. — Bull. London Math. Soc, 1974, 6, p. 21—24.
Розенлихт (Rosenlicht M.)
1. Some basic theorems on algebraic groups. — Amer. J. Math.,
1956, 78, p. 401—443.
2. Some rationality questions on algebraic groups.— Ann. Mat.
Ptira Appl., 1957, 43, p. 25—50.
3. Toroidal algebraic groups. —Proc Amer. Math. Soc, 1961, 12,
p. 984—988.
4. On quotient varieties and, the affine embedding of certain ho-
homogeneous spaces. — Trans. Amer. Math. Soc, 1961, 101,
p. 211—223.
5. On a - result of Baer. — Proc. Amer. Math. Soc, 1962, 13,
p. 99—101.
6. Questions of rationality for solvable algebraic groups over non-
perfect fields. — Annali di Mat., 1963 (IVN1, p. 97—120.
С а т а к е (Satake I.)
1. On the theory of reductive algebraic groups over a perfect
field.— J. Math. Soc Japan, 1963, 15, p. 210—235. Русский
перевод! С а т а к е И. Теория полупростых алгебраических

БИБЛИОГРАФИЯ 877
групп над совершенным полем. — Сб. Математика, 19&5, 9,
№ 2, с. 19—44.
2. Theory of spherical functions on reductive algebraic groups
over p-adic fields. — Inst. Hautes Etudes Sei. Publ. Math., 1963,
18, p. 5—69.
3. Symplectic representations of algebraic groups satisfying a cer-
certain analyticity condition. — Acta. Math., 1967, 117, p. 215—279.
4. On a certain invariant of the groups of type Eq and E7. —
J. Math. Soc — Japan, 1968, 20, p. 322—335.
5. Classification Theory of Semi-Simple Algebraic Groups.— N, Y.:
Marcel Dekker, 1971.
Свидлер ( Sweedler M. E.)
1. Conjugacy of Borel subgroups, an easy proof. — Advances in
Math., 1976, 20, p. 86—100.
С Г = Demazure M., Grothendieck A. [1]
Селигман (Seligman G. B.)
1. Algebraic Groups, mimeographed lecture notes. — New Haven:
Yale Univ. Math., Dept., 1964.
2. Modular Lie Algebras. — Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer
1967.
3. Algebraic Lie algebras. — Bull. Amer. Math., Soc, 1968, 74,
p. 1051—1065.
4. On some commutative unipotent groups. — Invent. Math., 1968,
5, p. 129—137.
5. On two-dimesional algebraic groups. — Scripta Math., 1973, 29,
p, 453—465.
Cepp (Serre J. —P.)
1. Groupes algebriques et corps de classes. — Paris: Hermann,
1959. Русский перевод: Серр Ж. Алгебраические группы и
поля классов. — М.: Мир, 1968.
2. Algebres de Lie semi-simples complexes. — N. Y.: W. A. Benja-
Benjamin, 1966. Русский перевод в кн.: Серр Ж.-П. Алгебры Ли
и группы Ли. — М.: Мир, с. 273—368.
3. Groupes de congruence.—Sem. Bourbaki A966—67), Exp. 330.—
N. Y.: W. A. Benjamin, 1968.
4. Groupes de Grothendieck des schemas en groupes reductifs
deployes. — Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 1968, 34,
p. 37—52.
5. Le probleme des groupes de congruence pour SL2. — Ann. Math.,
1970, 92, p. 489—527.
6. Cohomologie des groupes discrets. — В кн.: Prospects in Mathe-
Mathematics, Ann. of Math. Studies. — Princeton: Princeton Univ.
Press, 1971, 7, p. 77—169. Русский перевод: Серр Ж.-П. Ко-
гомологии дискретных групп. — Сб. Математика,- 1974, 18, № 3,
с. 123—144, № 4, с. 3—33.
С е ш а д р и (Seshadri С. S.)
1. Mumford's conjecture for GLB) and applications. — В кн.: Al-
Algebraic Geometry, ed. Abhyankar S. — London: Oxford Univ.
Press, 1969, p. 347—371.
2. Quotient spaces modulo reductive algebraic groups,— Ann,
Math., 1972, 95, p. 511—556.

378 библиография
3. Theory о! moduli. — Proc, A. M. S. Summer Inst. (Arcata),
В кн.: Proc. Symp. Pure Math. — Providence, R. I.: Amer. Math.
Soc, 1975, 29, p. 263—304.
Симон (Simon A,-M.)
1. Structure des groupes unipotents commutatifs. — С R. Acad.
Sci. Paris, 1973, 276, p. 347—349.
Спрингер (Springer T. A.)
1. Some arithmetical results on semi-simple Lie algebras. — Inst.
Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 1966, 30, p. 115—141.
2. A note on centralizers in semi-simple groups. — Indag. Math.,
1966, 28, p. 75—77.
3. Weyl s character formula for algebraic groups. Invent. Math.,
1968, 5, p. 85—105.
4. The unipotent variety of a semisimple group. — В кн.: Algebraic
Geometry, ed. Abhyankar S. — London: Oxford Univ. Press,
1969, p. 373—391.
5. Jordan Algebras and Algebraic Groups. — Berlin; Heidelberg;
N. Y.: Springer, 1973.
Спрингер, Стейнберг (Springer T, A., Steinberg R.)
1. Conjugacy classes. — В кн.: Seminar on Algebraic Groups and
Related Finite Groups. Lect. Notes in Math. Berlin; Heidelberg;
N. Y.: Springer, 1970, 131, p. 167—266. Русский перевод:
Спрингер Т. А., Штейнберг Р. Классы сопряженных
элементов. — В кн.: Семинар по алгебраическим группам. М.:
Мир, 1973, с. 162—262.
Стейнберг (Steinberg R.)
1. Prime power representations of finite linear groups. — I. Canad.
J. Math., 1956, 8, p. 580—591. II. ibid., 1957, 9, p. 347—351.
2. Variations on a theme of Chevalley. — Pacific J. Math., 1959, 9,
p. 875—891.
3. The simplicity of certain groups. — Pacific J. Math., 1960, 10,
p. 1039—1041.
4. Automorphisms of finite linear groups. — Canad. J. Math., 1960,
12, p. 606—615.
5. Automorphisms of classical Lie algebras. — Pacific J. Math.,
1961, 11, p. 1119—1129.
6. Generateurs, relations et revetements de groupes algebriques.—
В кн.: Colloq. Theorie des Groupes Algebriques (Bruxelles,
1962). Paris: Gauthier-Villars, 1962, p. 113—127.
7. Representations of algebraic groups. — Nagoya Math. J., 1963,
22, p. 33—56.
8. Regular elements of semisimple algebraic groups. — Inst. Hautes
Etudes Sci. Publ. Math., 1965, 25, p. 49—80.
9. Classes' of elements of semisimple algebraic groups. — В кн.
Труды Международного конгресса математиков, Москва, 1966.
М.: Мир, 1968, с. 277—284.
10. Lectures on Chevalley Groups, mimeographed lecture notes,—
New Haven: Yale Univ. Math. Dept., 1968. Русский перевод:
Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. — М.: Мир, 1975.
11. Endomorphisms of linear algebraic groups. — Mem. Amer. Math.
§oc, 1968, 8Q.

БИБЛИОГРАФИЯ 379
12. Algebraic groups and finite groups. — Illinois J. Math., 1969, 13,
p. 81—86.
13. Conjugacy Classes in Algebraic Groups. — Lect. Notes in
Math. —Berlin, Heidelberg; N. Y.: Springer, 1974, 366.
14. Abstract homomorphisms of simple algebraic groups. — Sem.
Bourbaki A972—73), Exp. 435, Lect. Notes in Math. — Berlin;
Heidelberg; N. Y.: Springer, 1974, 38a.
Сулливан (Sullivan J. B.)
1. Automorphisms of affine unipotent groups in positive characte-
characteristic. — J. Algebra, 1973, 26, p. 140—151.
2. A decomposition theorem for pro-affine solvable algebraic
groups over algebraically closed fields. — Amer. J. Math., 1973,
94, p. 221—228.
T а к е у ч и (Takeuchf M.)
1. A note on geometrically reductive groups. — J. Fac. Sci Univ.
Tokyo, 1973, 20, p. 387—396.
T а с а к a (Tasaka T.)
1. On the quasi-split simple algebraic groups defined over an al-
algebraic number field. — J. Fac. Sci Univ. Tokyo, 1968, 15,
p. 147—168.
2. On the second cohomology groups of the fundamental groups
of simple algebraic groups over perfect fields. — J. Math. Soc.
Japan, 1969, 21, p. 244—258.
Тите (Tits J.)
1. Sur la classification des groupes algebriques semisimple.—
С R. Acad. S<?i. Paris, 1959, 249, p. 1438—1440.
2. Sur la trialite et certains groupes qui s'en deduisent. — Inst.
Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 1959, 2, p. 13—60.
3. Theoreme de Bruhat et sous-groupes paraboliques. — C. R. Acad.
Sci. Paris, 1962, 254, p. 2910—2912.
4. Groupes semi-simple isotropes. — В кн.: Colloq. Theorie des
Groupes Algebriques (Bruxelles, 1962). —Paris: Gauthier-Villars,
1962, p. 137—147.
5. Groupes simples et geometries associees. — В кн.: Proc. Int.
Congress of Mathematicians. Stockholm, 1962, p. 197—221.
6. Algebraic and abstract simple groups. — Ann. Math., 1964, 80,
p. 313—329.
7. Structures et groupes de Weyl. — Sem. Bourbaki A964—65),
Exp. 288. —N. Y.: W. A. Benjamin, 1966.
8. Normalisateurs de tores, I. Groupes de Coxeter etendues.—
J. Algebra, 1966, 4, p. 96—116.
9. Lectures on Algebraic Groups, mimeographed lecture notes. —
New Haven: Yale Univ. Math. Dept., 1967.
10. Representations lineaires irreductibles d'un groupe reductif sur
un corps guelconque. — J. reine angew. Math., 1971, 247,
p. 196—220.
11. Free subgroups in linear groups. — J. Algebra, 1972, 20, p. 250—
270. Русский перевод: Тите Ж. Свободные подгруппы линей-
линейных групп. — Математика, 1972, 16, № 3, с. 47—66.
12. Buildings of Spherical Type and Finite BN-pairs. — Lect. Notes
in Math. — Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1974, 386.

380 БИБЛИОГРАФИЯ
Фельдкамп (Veldkamp F. D.)
1. Representations of algebraic groups of type /4 in characteris-
characteristic 2. —J. Algebra, 1970, 16, p. 326—339.
2. The center of the universal enveloping algebra of a Lie algebra
in characteristic p. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 1972, DM,
p. 217—240.
3. Roots and maximal iori in finite forms of semisimple algebraic
groups. — Math. Ann., 1974, 207, p. 301—314.
Ф о г а р т и (Fogarty J.)
1. Invariant Theory. — N. Y.: W. A. Benjamin, 1969.
Фрейденталь, Де Фриз (Freudenthal H., de Vries H.)
1. Linear Lie Groups. — N. Y.; London: Academic Press, 1969.
X а б о у ш (Haboush W. J.)
1. Deformation theoretic methods in the theory of algebraic trans-
transformation spaces.— J. Math. Kyoto Univ., 1974, 14, p. 341—370.
Хамфри (Humphreys J. E.)
1. Algebraic groups and modular Lie algebras. — Mem Amer. Math.
Soc, 1967, 71.
2. Existence of Levi factors in certain algebraic groups. — Paci-
Pacific J. Math., 1967, 23, p. 543—546.
3. On the automorphisms of infinite Chevalley groups. — Canad. J.
Math., 1969, 21, p. 908—911.
4. Arithmetic Groups, mimeographed lecture notes. — N. Y.: Cou-
rant Institute of Mathematical Sciences, 1971.
5. Modular representations of classical Lie algebras and semi-
simple groups.— J. Algebra, 1971, 19, p. 51—79.
6. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. — Ber-
Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1972.
Хамфри, Верма (Humphreys J. E., Verma D.-N.)
1. Projective modules for finite Chevalley groups. — Bull. Amer.
Math. Soc, 1973, 79, p. 467—468.
X a p д ep (Harder G.)
1. Uber einen Satz von E. Cartan. — Abh. Math. Sem. Univ.—
Hamburg, 1965, 28, S. 208—214.
2. Uber die Galoiskohomologie halbeinfacher Matrizengruppen. —
I. Math. Z., 1965, 90, S. 404—428. II. ibid., 1966, 92, S. 396—415.
3. Halbeinfache Gruppenschemata uber Dedekindringen. — Invent.
Math., 1967, 4, S. 165—191.
4. Halbeinfache Gruppenschemata uber vollstandigen Kurven. —
Invent. Math., 1968, 6, S. 107—149.
5. Bericht uber neuere Resultate der Galoiskohomologie halbein-
halbeinfacher Gruppen. — Jahresber. Deutsch. Math. — Verein, 1968, 70,
S. 182—216.
6. Eine Bemerkung zum schwachen Approximationssatz. — Arch.
Math., 1968, 19, S. 465—471.
7. Minkowskiche Reduktionstheorie uber Functionenkorpern. — In-
Invent. Math., 1969, 7, S. 33—54.
8. A Gauss-Bonnet formula for discrete arithmetically defined
groups.— Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 1971, DL, p. 409—455.
9. Chevalley groups over function fields and automorphic forms.—
Ann. Math., Г974, 100, p. 249—306.

БИБЛИОГРАФИЯ 381
X а р и с (Haris S. J.)
1. Some irreducible representations of exceptional algebraic
groups. — Amer. J. Math., 1971, 93, p. 75—106.
Хер тциг (Hertzig D.)
1. The structure of Frobenius algebraic groups. — Amer. J. Math.,
1961, 83, p. 421—431.
2. Forms of algebraic groups. — Proc. Amer. Math. Soc, 1961, 12,
p. 657—660.
3. Cohomology of algebraic groups.— J. Algebra, 1967, 6, p. 317—
334.
4. Fixed-point-free automorphisms of algebraic tori.— Amer. J.
Math., 1968, 90, p. 1041—1047.
5. Cohomology of certain Steinberg groups. — Bull. Amer. Math.
Soc, 1969, 75, p. 35—36.
X и и к а т a (Hijikata H.)
1. A note on the groups of type G2 and F4 — J. Math. Soc.
Japan, 1963, 15, p. 159—164.
Хохшильд (Hochschild G.)
1. Algebraic Lie algebras and representative functions. — Illinois J.
Math., 1959, 3, p. 499—523; supplement, ibid., 1960, 4, p. 609—
618.
2. On the algebraic hull of a Lie algebra. — Proc. Amer. Math.
Soc, 1960, 11, p. 195—199.
3. Cohomology of algebraic linear groups. — Illinois J. Math., 1961,
5, p> 492—519.
4. Cohomology of affine algebraic homogeneous spaces. — Illi-
Illinois J. Math., 1967, 11, p. 635—643.
5. Coverings of pro-affine algebraic groups. — Pacific J. Math.,
1970, 35, p. 399—415.
6. Algebraic groups and Hopf algebras. *»- Illinois J. Math., 1970,
14, p. 52—65.
7. Note on algebraic Lie algebras. — Proc. Amer. Math. Soc, 1971,
29, p. 10—16.
8. Introduction to Affine Algebraic Groups. — San Francisco: Hol-
den-Day, 1971.
9. Automorphism towers of affine algebraic groups. — J. Algebra,
1972, 22, p. 365—373.
10. Lie algebra cohomology and affine algebraic groups. — Illi-
Illinois J. Math., 1974, 18, p. 170—176.
Хохшильд, Мостов (Hochschild G., Mostow G. D.)
1. Pro-affine algebraic groups. — Amer. J. Math., 1969, 91,
p. 1127—1140.
2. Automorphisms of affine algebraic groups. —J. Algebra, 1969,
13, p. 535—543.
3. Analytic and rational automorphisms of complex algebraic
grroups. — J. Algebra, 1973, 25, p. 146—151.
4. Onipotent groups in invariant theory. — Proc Nat. Acad. Sci.
USA, 1973, 70, p. 646—648.
Хук (Hooke R.)
1. Linear У-adic groups and their Lie algebras. — Ann. Math.,
1942, 43, p. 641—655.

382 БИБЛИОГРАФИЯ
Шаттшнайдер (Schattschneider D.)
1. On restricted roots of semi-simple algebraic groups.— J. Math.
Soc. Japan, 1969, 21, p. 94—115.
Шафаревич И. Р.
1. Основы алгебраической геометрии. — УМН, 1969, 24, № 6,
р. 1—184.
2. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.
Ш е в а л л е (Chevalley С.)
1. A new relationship between matrices. — Amer. J. Math., 1943,
65, p. 521—531.
2. Theory of Lie Groups. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1946.
Русский перевод: Шевалле К. Теория групп Ли, т. 1. —М.:
Мир, 1946.
3. Algebraic Lie algebras. —Ann. of Math., 1947, 48, p. 91—100.
4. Theorie des groupes de Lie. — Groupes algebriques. — Paris:
Hermann, 1951, 2. Русский перевод: Шевалле К. Теория
групп Ли, т. 2. Алгебраические группы. — М.: ИЛ, 1958.
5. Theorie des groupes de Lie. — Theoremes generaux sur les al-
gebres de Lie. — Paris: Hermann, 1955, 3. Русский перевод:
Щевалле К. Теория групп Ли, т. 3. Общие теоремы об ал-
алгебрах Ли. — М.: ИЛ, 1958.
6. On algebraic group varieties. — J. Math. Soc. Japan, 1954, 6,
p. 303—324.
7. Sur certains groupes simples. — Tohoku Math. J., 1955, 7,
p. 14—66. Русский перевод: Шевалле К. О некоторых про-
простых группах. — Сб. Математика, 1958, 2, № 1, с. 3—58.
8. Seminaire sur la classification des groupes de Lie algebriques.—
Paris: Ecole Norm. Sup., 1956—1958.
9. La theorie des groupes algebriques. В кн.: Proc. Int. Congress
Mathematicians (Edinburgh 1958), Cambridge Univ. Press,
19.60, p. 53—68. Русский перевод: Шевалле К. Теория алге-
алгебраических групп. В кн.: Международный математический кон-
конгресс в Эдинбурге, 1958. — М.: Физматгиз, 1962, с. 74—92.
10. Fondements de la geometrie algebrique. — Paris: Secretariat
Mathematique, 1958.
11. Certains sch6mas de groupes semisimples. — Sem. Bourbaki
A960—61), Exp. 219. —N. Y.: W. A. Benjamin, 1966.
Шеллер (Schoeller C.)
1. Groupes affines, commutatifs, unipotents sur un corps non par-
fait. — Bull. Soc. Math. France, 1972, 100, p. 241—300.
Штулер (Stuhler U.)
1. Unipotente und nilpotente Kjassen in einfachen Gruppen und
Lieaigebren vom Тур G2. — Indag. Math., 1971, 33, S. 365—378.
Элкингтон (Elkington G. B.)
1. Centralizers of unipotent elements in semisimple algebraic
groups. —J. Algebra, 1972, 23, p. 137—163.
Я н т ц е н (Jantzen J. C.)
1. Darstellungen halbeinfacher algebraischer Gruppen und zu-
geordnete kontravariante Formen. — Bonner Math. Schriften.
Bonn: Math. Inst. der Universitat, 1973, 67.
2. Zur Charakterformel gewisser Darstellungen halbeinfacher Grup-
Gruppen und Lie-Algebren. —Math. Z., 1974, 140, S. 127—149.

БИБЛИОГРАФИЯ 383
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ*)
(март 1979 г.)
Андерсен (Andersen Н. Н.)
1. Cohomology of line bundles on G/B. — Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup., 1979, 12, № 1, p. 85—100.
2. The strong linkage principle. — Preprint.
3. The first cohomology group of a line bundle on G/B Invent.
Math., 1979, 51, № 3, p. 287—296.
Андре (Andre P. P.)
1. 6-regular elements in semisimple algebraic groups.— Trans.
Amer. Math. Soc, 1975, 201, p. 105—124.
Бала, Картер (Bala P., Carter R. W.)
2. Classes of unipotent elements in simple algebraic groups. —
Math. Proc. Camb. Phil. Soc, I. 1976, 79, p. 401—425; II. 1976,
80, p. 1—18.
Баллард (Ballard J. W.)
1. Injective modules for restricted enveloping algebras. — Math. Z.,
1978, 163, p. 57—63.
2. Projective modules for finite Chevalley groups. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1978, 245, p. 221—249.
Берман, Муди (Berman S., Moody R. V.)
1. Exetensions of Chevalley groups. — Israel J. Math., 1975, 22,
p. 42—51.
Борель (Borel A.)
9. Admissible representations of a semi-simple group over a local
field with vectors fixed under an Iwahori subgroup. — Invent.
Math., 1976, 35, p. 233—259.
10. Stable real cohomology of arithmetic groups. — Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup., 1974, DO, p. 235—272.
Борель, Cepp (Borel A., Serre J. — P.)
5. Cohomologie d'immeubles et de groupes S-arithmetiques. — To-
Topology, 1976, 15, p. 211—232.
Борель, Тите (Borel A., Tits J.)
5. Theoremes de structure et de conjugaison pour les groupes al-
gebriques lineaires. — С R. Acad. Sci. Paris, 1978, 287, p. 55.
Борель, Хардер (Borel A., Harder G.)
1. Existence of discrete cocompact subgroups of reductive groups
over local fields.— J. Reine Angew. Math., 1978, 298, p. 53—64.
Боро, Крафт (Borho W., Kraft H.)
1. Ober Bahnen und deren Deformationen bei linearen Aktionen
reduktiver Gruppen. — Comment. Math. Helv., 1979, 54, s. 61 —
104.
Бургонь, Вильямсон (Burgoyne N., Williamson C.)
1. On a theorem of Borel and Tits for finite Chevalley groups. —
Arch. Math. (Basel), 1976, 27, p. 489—491.
*) Дополнительная библиография прислана автором для рус-
русского издания и содержит в основном работы, опубликованные по-
после 1974 г. (см. также библиографический указатель: Алгебраиче-
Алгебраические группы.— Минск: Институт математики АН БССР, 198Q.) —
Прим. ред,

384 БИБЛИОГРАФИЯ
Бялыницки-Бируля (Bialynicki-Birula A.)
3. Remarks on the action of an algebraic torus on kn. — Bull. Acad.
Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astron. Phys., I. 1966, 14, p. 177—
181; II. 1967, 15, p. 123—125.
4. On fixed points of torus actions on projective varieties. — Bull.
Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astron. Phys., 1974, 22,
p. 1097—1101.
5. Some properties of the decompositions of algebraic varieties de-
determined by actions of a torus. — Bull. Acad. Polon. Sci. Ser.
Sci. Math. Astron. Phys, 1976, 24, p. 667—674.
6. On algebraic actions of SLB). — Bull. Acad. Polon. Sci. Ser.
Sci. Math. Astron. Phys., 1978, 26, p. 293—294.
Бялыницки-Бируля, Хохшильд, Мостов (Bialynicki-Bi-
(Bialynicki-Birula A., Hochshild G., Mostow G. D.)
1. Extensions of representations of algebraic linear groups.— Amer.
J. Math., 1963, 85, p. 131—144.
Вейсфейлер Б. Ю.
6. Об одном классе унипотентных подгрупп полупростых алгеб-
алгебраических групп. — УМН, 1966, 21, № 2, с. 222—223.
Вейсфейлер Б. Ю., Долгачев И. В.
1. Унипотентные схемы групп над целостными кольцами. — ИАН
СССР, сер. матем, 1974, 38, № 4, с. 757—799.
Вильсон (Wilson E. N.)
1. Extensions of homomorphisms of parabolic subgroups. — Canad.
J. Math., 1972, 24, p. 947—956.
Винберг Э. Б.
1. Кольца определения плотных подгрупп полупростых линейных
групп. —ИАН СССР, 1971, 35, с. 45—55.
2. О линейных группах, связанных с периодическими автоморфиз-
автоморфизмами полупростых алгебраических групп.— ДАН СССР, 1975,
221, № 4, с. 767—770.
Винтер (Winter D. J.)
5. Solvable supgroups and their Lie algebras in characteristic p. —
Canad. J. Math., 1979, 31, p. 308—311.
Винтер (Winter P. W.)
1. On the modular representation theory of the two-dimensional
special linear group over an algebraically closed field. — J. Lon-
London Math. Soc, 1977, B) 16, p. 237—252.
Воскресенский В. Е.
7. Стабильная эквивалентность алгебраических торов. — ИАН
СССР, сер. матем., 1974, 38, № 1, с. 3—10.
8. О бирациональных инвариантах алгебраических торов. — УМН,
1975, 30, № 2, с. 207—208.
В у с т (Vust Т.)
1. Sur le type principal d'orbites d'un module rationnel. — Com-
Comment. Math. Helv., 1974, 49, p. 408—416.
Гатти, Виниберги (Gatti V., Viniberghi E.)
1. Spinors of 13-dimensional space. — Advances in Math., 1978, 30,
p. 137—155.
Го тли б (Gottlib S. J.)
1. Algebraic automorphisms of algebraic groups with stable ma-
maximal tori. — Pacific. J. Math., 1972, 72, p. 461—470.

БИБЛИОГРАФИЯ 385
Гото (Goto M.)
1. Products of two semi-algebraic groups. — J. Math. Soc. Japan,
1973, 25, p. 71—74.
2. On an integer associa-ted with an algebraic group. — J. Math.
Soc. Japan, 1977, 29, p. 161—163.
3. Index of exponential map of a semi-algebraic group. — Amer. J.
Math., 1978, 100, p. 837—849.
Грин (Green J. A.)
1. Locally finite representations. —J. Algebra, 1976, 41, p. 137—171.
Делинь, Лустиг (Deligne P., Lusztig G.)
1. Representations of reductive groups over finite fields. — Ann. of
Math., 1976, 103, p. 103—161.
Д е м а з ю р (Demazure M.)
4. Une demonstration algebrique d'un theoreme de Bott. — Invent.
Math., 1968, 5, p. 349—356.
5. A very simple proof of Bott's theorem. — Invent. Math., 1976,
33, p. 271—272.
6. Automorphismes et deformations des varietees de Borel. — In-
Invent. Math., 1977, 39, p. 179—186.
Д о н к и н (Donkin S.)
1. Hopf complements and injective comodules. — Proc. London
Math. Soc, 1980, 40, № 2, p. 298—319.
Дуаи (Douai J.-C.)
1. Sur la 2-cohomologie galoisienne des groupes algebriques.—
С R. Acad. Sci. Paris, 1973, 276, p. 989—991.
2. 2-cohomologie galoisienne des groupes semi-simples definis sur
les corps locaus. —С R. Acad. Sci. Paris, 1975, 280, p. 321—
323.
3. Cohomologie galoisienne des groupes semi-simples definis sur
les corps globaux. —С R. Acad. Sci. Paris, 1975, 281, p. 1077—
1080.
Ивер сен (Iversen В.)
2. The geometry of algebraic groups. — Advances in Math., 1976,
20, p. 57—85.
3. Brauer group of a linear algebraic group. — J. Algebra, 1976,
42, p. 295—301.
Камбаяши, Маргрейв (Kambayashi Т., Margrave G.)
1. On homomorphisms from algebraic groups to GLn(Z). — Proc.
Amer. Math. Soc, 1979, 74, p. 223—226.
Кантор И. Л.
1. Инварианты однородных пространств с параболической ста-
стационарной подгруппой.— ДАН СССР, 1974, 215, с. 249—252.
Карайоль (Carayol H.)
1. Le degre de symetrie d'une variete algebrique.—Bull. Sci. Math.,
1975, B) 99, p. 135—143.
Картер (Carter R. W.)
2. Centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie
type. —Proc. London Math. Soc, 1978, 37, p. 491—507.
Картер, Клайн (Carter Я W., Cline E.)
1. The submodule structure of Weyl modules for groups of type
Al —В кн.: Proc. Conf. on Finite Groups, N. Y.: Academic
Press, 1976, p. 303—ЗЦ.

386 БИБЛИОГРАФИЯ
К а с с и д и (Cassidy P. J.)
2. Unipotent differential algebraic groups. — В кн.: Contributions
to Algebra, N. Y.; San Francisco; London: Academic Press,
1977, p. 83—115.
Кегель (Kegel О. Н.)
1. Uber algebraische Gruppen mit nicht-trivialer Partition,—
J. Reine Angew. Math., 1965, 220, S. 68—73,
Кемпф (Kempf G. R.)
1. Linear systems on homogeneous spaces. — Ann. of Math., 1976,
103, p. 557—591.
2. Instability in invariant theory. —Ann. of Math., 1978, 108,
p. 299—316.
3. The Grothendieck — Cousin complex of an induced representa-
representation. — Advances in Math., 1978, 29, p. 310—396.
Клайн (Cline E.)
1. Ext1 for SL2,— Comm. Algebra, 1979, 7, p. 107—111.
Клайн, Паршалл, Скотт (Cline E., Parshall В., Scott L.)
1. Induced modules and affine quotients. —- Math. Ann., 1977, 230,
p. 1—14.
2. Induced modules and extensions of representations. — Invent.
Math., 1978, 47, p. 41—51.
3. Cohomology, hyperalgebras, and representations. — Preprint.
Клайн, Паршалл, Скотт, ван дер Каллен (Cline E.,
Parshall В., Scott L, van der Kallen W.)
1. Rational and generic cohomology. — Invent. Math., 1977, 39,
p. 143—163.
К р а ф т (Kraft H.)
1. Kommutative Algebraische Gruppen und Ringe. — Lect. Notes in
Math. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1975, 455.
2. Parametrisierung von Konjugationsklassen in $!„. — Math. Ann.,
1978, 234, S. 209—220.
К у т ц (Kutz R. E.)
1. Cohen-Macaulay rings and ideal theory in rings of invariants
of algebraic groups. — Trans. Amer. Math. Soc, 1974, 194,
p. 115—129.
Лай (Lai K. F.)
1. On the Tamagawa number of quisi-split groups. — Bull. Amer.
Math. Soc, 1976, 82, p. 300—302.
Л и (Lee D. H.)
1. On the group of automorphisms of affine algebraic groups.—
Trans. Amer. Math. Soc, 1978, 237, p. 145—152.
Луна (Luna D.)
2. Slices etales. — Bull. Soc. Math. France. Memoire, 1973, 33,
p. 81—105.
3. Adherences d'orbite et invariants. — Invent. Math., 1975, 29,
p. 231—238.
Л у с т и г (Lusztig G.)
1. A note on counting nilpotent matrices of fixed rank. — Bull.
London Math. Soc, 1976, 8, p. 77—80.
2. On the finiteness of the number of unipotent classes, — Invent.
A\ath, 1976, 34t p. 201-213.

БИБЛИОГРАФИЯ 387
3. Representations of Finite Chevalley Groups. — С. В. М. S. Re-
Regional Conf. Series in Math. Providence F. I.: Amer. Math. Soc,
1978, No. 39.
Лустиг, Спалтенстейн (Lusztig G., Spaltenstein N.)
1. Induced unipotent classes. — J. London Math. Soc, 1979, 19,
p. 41—52.
M а г и д (Magid A. R.)
1. Left algebraic groups. —J. Algebra, 1975, 35, p. 253—272.
2. Covering spaces of algebraic groups. — Amer. Math. Monthly,
1976, 83, p. 614—621.
3. Analytic subgroups of affine algebraic groups. — Duke Math. J.,
1977, 44, p. 875—882.
4. Analytic left algebraic groups. — Amer. J. Math., 1977, 99,
p. 1045—1059.
5. Analytic left algebraic groups II. — Trans. Amer. Math. Soc,
1978, 238, p. 165—177.
6. Brauer groups of linear algebraic groups with characters. *~
Proc Amer. Math. Soc, 1978, 71, p. 164—168.
Маргулис Г. А.
1. Арифметические свойства дискретных подгрупп. — УМН, 1974,
29, № 1, с. 49—98.
2. Коограниченные подгруппы в алгебраических группах над ло-
локальными полями. — Функциональный анализ и его приложе-
приложения, 1977, И, № 2, с. 45—57.
Мейер, Оберет (Meyer H.-M., Oberst U.)
1. Fixpunkt- und Struktursatze fur affine, algebaische Gruppensche-
mata in Charakteristik p.— Math. Ann., 1977, 227, S. 67—96.
Милованов М. B.
1. Определяемое^ разрешимых алгебраических групп плотными
целочисленными подгруппами.—Матем. заметки, 1975, 18, №5
с 719—730.
Минбашьян (Minbashian F.)
2. The automorphism groups of algebraic groups.— J. Algebra,
1976, 43, p. 122—128.
M и я н и ш и (Miyanishi M.)
2. Une caracterisation d'un groupe algebrique simplement conne-
xe. —Illinois J. Math., 1972, 16, p. 639—650.
3. Some remarks on algebraic homogeneous vector bundles, —
В кн.: Number Theory, Algebraic Geometry and Commutative
Algebra, in honor of Akizuki Y. Tokyo: Kinokuniya, 1973,
p. 71—93.
Нисневич Е. A.
1. Аффинные однородные пространства и конечные подгруппы
арифметических групп над функциональными полями. — Функ-
Функциональный анализ и его приложения, 1977, II, № 1, с. 73—74.
Норман (Norman P.)
1. A fixed point criterion for linear reductivity. — Proc. Amer.
Math. Soc, 1975, 50, p. 95—96.
Оберет (Oberst U.)
1. Affine Quotientenschemata nach affinen algebraiscbe Gruppen
und induzierte Darstellungen. — J. Algebra, 1977, 44, S. 503—
538,

388 БИБЛИОГРАФИЯ
Оберет, Шнайдер (Oberst U., Schneider H.-J.)
1. Ober Untergruppen endlicher algebraischer Gruppen, Manuscrip-
ta Math., 1973, 8, S- 217—241.
П а р ш а л л (Parshall В.)
2. A class of unipotent elements in a simple algebraic group.—
J. Algebra, 1975, 36, p. 26—37.
Паршалл, Скотт (Parshall В., Scott L.)
1. An imprimitivity theorem for algebraic groups. — Indag. math.,
1980, 42, № 1, p. 39—47.
Платонов В. П.
8. О проблеме рода в арифметических группах. — ДАН СССР,
1971, 200, с. 793—796.
9. К проблеме максимальности арифметических групп. — ДАН
СССР, 1971, 200, с. 530—533.
10. Арифметическая теория линейных алгебраических групп и тео-
теория чисел. — Труды Матем. ин-та им. Стеклова АН СССР,
1973, 132, с. 162—168.
И. Арифметические и структурные проблемы в линейных алгеб-
алгебраических группах. — Proc. Int. Congress Math., Vancouver,
1974, vol. 1, s. 1, 1975, p. 471—476.
12. Гипотеза Дьедонне и несюръективность накрытий алгебраиче-
алгебраических групп на 6-точках. — ДАН СССР, 1974, 216, № 5, с. 986—
989.
13. Проблема Таннака — Артина и приведенная /(-теория. — Изве-
Известия АН СССР, сер. матем., 1976, 40, № 2, с. 227—261.
14. Приведенная /(-теория и аппроксимация в алгебраических
группах. — Труды Матем. ин-та им. Стеклова АН СССР, 1976,
142, с. 198—207.
15. Algebraic groups and reduced /(-theory. — Proc. Internat. Con-
Congress Math. (Helsinki, 1978), 1980, 1, p. 311—317.
16. Бирациональные свойства приведенной группы Уайтхеда.—•
ДАН БССР, 1977, 21, № 3, с. 197—198.
Платонов В. П., Янчевский В. И.
1. О гипотезе Хардера. — ДАН СССР, 1975, 221, № 4, с. 784—
787.
Поммеренинг (Pommerening К.)
1. Ober die unipotenten Klassen reductiver Gruppen.— J. Algebra,
1977, 49, S. 525—536.
Попов В. Л.
3. Группы Пикара однородных пространств линейных алгебраи-
алгебраических групп и одномерные однородные векторные расслое-
расслоения.—ИАН СССР, сер. матем., 1974, 38, № 2, с. 294—322.
4. Классификация трехмерных аффинных алгебраических многооб-
многообразий,- квазиоднородных относительно алгебраической груп-
группы.—ИАН СССР, сер. матем., 1975, 39, № 3, с. 566—
609.
5. Представления со свободным модулем ковариантов. — Функ-
Функциональный анализ и его приложения, 1976, 10, № 3, с. 91—92.
П р а с а д (Prasad G.)
1. Triviality of certain automorphisms of semi-simple groups over
local fields. — Math. Ann, 1975, 218, p. 219—227.

БИБЛИОГРАФИЯ 389
2. Strong approximation for semi-simple groups over function
fields. —Ann. of Math., 1977, 105, p. 553—572.
Рагунатан (Raghunathan M. S.)
5. A note on orbits of reductive groups. — J. Indian Math. Soc,
1974, 38, p. 65—70.
Ричардсон (Richardson R. W.)
4. The conjugating representation of a semisimple algebraic
group. —Bull. Amer. Math. Soc, 1976, 82, p. 933—935.
5. Affine coset spaces of reductive algebraic groups. — Bull. Lon-
London Math. Soc, 1977, 9, p. 38—41.
6. Commuting varieties of semisimple Lie algebras and algebraic
groups. — Compositio Math., 1979, 38, p. 311—327.
Руссо (Rousseau G.)
1. Immeubles spheriques et theorie des invariants. — С R. Acad.
Sci. Paris, 1978, 286, p. 247—250.
Сато, Кимура (Sato M., Kimura T.)
1. A classification of irreducible prehomogeneous vector spaces
and their relative invariants. — Nagoya Math. J., 1977, 65,
p. 1—155.
Сел бах (Selbach M.)
1. Klassifikationstheorie halbeinfacher algebraischer Gruppen.—
Bonner Math. Schriften. Bonn: Math. Inst. der Universitat, 1976,
83.
Серведио (Servedio F. J.)
1. Prehomogeneous vector spaces and varieties. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1973, 176, p. 421—444.
Cepp (Serre J.-P.)
7. Arbres, amalgames, SL2, Asterisque. — Soc. Math. France, 1977,
No 46.
Сит (Sit K.-Y. C.)
1. On bounded elements of linear algebraic groups. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1975, 209, p. 185—198.
С л о д о в ы (Slodowy P.)
1. Einfache Singularitaten und einfache algebraische Gruppen.—
Regensburgen Math. Schriften. Regensburg: Fachbereich Math,
der Universitat, 1978, 2.
Спалтенстейн (Spaltenstein N.)
1. The fixed point set of an unipotent transformation on the flag
manifold. —Indag. Math., 1976, 38, p. 452—456.
2. On the fixed point set of an unipotent element on the variety of
Borel subgroups. — Topology, 1977, 16, p. 203—204.
Спрингер (Springer T.-A.)
6. Trigonometric sums, Green functions of finite groups and repre-
representations of Weyl groups. — Invent. Math., 1976, 36, p. 173—
207.
7. Invariant Theory. — Lect. Notes in Math. Berlin; Heidelberg;
N. Y.: Springer, 1977, 585.
Стейн (Stein M. R.)
1. Generators, relations and covering of Chevalley groups over
commutative rings. — Amer. J. Math., 1971, 93, p. 965—1004.
2. The Schur multiplier of Sp6(Z), Spin8(Z), Spin7(Z), and
F4(Z).-Math. Ann., 1975, 215, p. 165-172,

390 БИБЛИОГРАФИЯ
3. Stability theorems for Ki, K2 and related functions modeled on
Chevalley groups.— Japan. J. Math., 1978, 4, p. 77—108.
Стейнберг (Steinberg R.)
15. Torsion in reductive groups. — Advances in Math., 1975, 15,
p. 63—92.
16. On a theorem of Pittie. — Topology, 1975, 14, p. 173—177.
17. On the desingularization of the unipotent variety. — Invent.
Math., 1976, 36, p. 209—224.
18. On theorems of Lie — Kolchin, Borel and Lang. — В кн.: Contri-
Contributions to Algebra, N. Y.; San Francisco; London: Academic
Press, 1977, p. 349—354.
Стерлинг (Sterling D. J.)
1. Coverings of algebraic groups and Lie algebras of classical
type.— Pacific J. Math., 1964, 14, p. 1449—1462.
С у л e (Soule С.)
1. The cohomologie of SL3(Z). — Topology, 1978, 17, p. 1—22.
Судзуки (Suzuki K.)
1. On parabolic subgroups of Chevalley groups over local rings.—
Tohoku Math. J., 1976, 28, p. 57—66.
Сулливан (Sullivan J. B.)
3. A proof of the finite generation of invariants of a normal
subgroup. — Pacific J. Math., 1974, 51, p. 571—572.
4. Completely reducible actions of connected algebraic groups on
finite-dimensional associative algebras. — Illinois J. Math., 1976,
20, p. 425—433.
5. Some representation theory for the modular general linear
groups. —J. Algebra, 1977, 45, p. 516—535.
6. Representations of the hyperalgebra of an algebraic group.—
Amer. J. Math., 1978, 100, p. 643—652.
7. Relations between the cohomology of an algebraic group and its
infinitesimal subgroups. — Amer. J. Math., 1978, 100, p. 995—
1014.
8. Simply connected groups, the hyperalgebra and Verma's con-
conjecture. — Amer. J. Math., 1978, 100, p. 1015—1019.
T а к е у ч и (Takeuchi M.)
2. Tangent coalgebras and hyperalgebras I. — Japan. J. Math., 1974,
42, p. 1—143.
3. On coverings and hyperalgebras of affine algebraic groups.—
Trans. Amer. Math. Soc, 1975, 211, p. 249—275.
• 4. On coverings and hyperalgebras of affine algebraic groups
II. —J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 1976, 23, no. 2, p 419—
434.
T а с а к a (Tasaka T.)
3. Stir les groupes algebriques semi-simples deployes. — J. Math.
Soc. Japan, 1968, 20, p. 390—399.
T а ф т (Taft E. J.)
1. Cohomology of algebraic groups and invariant splitting of al-
algebras. — Bull. Amer. Math. Soc, 1967, 73, p. 106—108.
Тите (Tits J.)
13. Homomorphismes «abstraits» de groupes de Lie. — Symposia
Math. (INDAM) London; N. Y.: Academic Press, 1974, 13,
p. 479—499,

БИБЛИОГРАФИЯ 391
14. On buildings and their applications. — В кн.: Proc. Internat.
Congress Math. (Vancouver, 1974), Montreal: Canad. Math.
Congress, 1975, 1, p. 209—220.
15. Systemes generateurs de groupes de congruence. — С R. Acad.
Sci. Paris, 1976, 283, p. 693—695.
16. Non-existence de certains polygones generalises I. —Invent.
Math., 1976, 36, p. 275—284.
17. Endliche Spiegelungsgruppen, die als Weylgruppen auftreten. —
Invent. Math., 1977, 43, S. 283—295.
18. A «theorem of Lie —Kolchin» for trees. — В кн.: Contributions
to Algebra, N. Y.; San Francisco; London: Academic Press, 1977,
p. 377—388.
19. Groupes de Whitehead de groupes algebriques simples (d'apres
Platonov V. P. et al.).—(Seminaire Bourbaki, June, 1977).
В кн.: «Lecture notes in Mathematics», 1978, v. 677, p. 218—
236.
Фельдкамп (Veldkamp F. D.)
4. Regular elements in anisotropic tori. — В кн.: Contributions to
Algebra, N. Y.: San Francisco; London: Academic Press, 1977,
p. 389—424.
5. Regular characters and regular elements. — Comm. Algebra,
1977, 5, p. 1259—1273.
Фонтлерой (Fauntleroy A.)
1. Rational points of commutator subgroups of solvable algebraic
groups. — Trans. Amer. Math. Soc, 1974, 194, p. 249—275.
2. Defining normal subgroups of unipotent algebraic groups. —
Proc. Amer. Math. Soc, 1975, 50, p. 14—19.
3. Automorphism groups of unipotent groups of Chevalley type. —
Pacific J. Math., 1976, 66, p. 373—390.
Формане к, Прочези (Formanek E., Procesi C.)
1. Mumford's conjecture for the general linear group. — Advances
in Math., 1976, 19, p. 292—305.
Фриндландер (Friendlander E. M.)
1. Exceptional isogenies and the classifying spaces of simple Lie
groups. —Ann. of Math., 1975, 101, p. 510—520.
X а б о у ш (Haboush W. J.)
2. Reductive groups are geometrically reductive. — Ann. of Math.,
1975, 102, p. 67—84.
Хамфри (Humphreys J. E.)
7. Projective modules for SLB, q). —J. Algebra/ 1973, 25, p. 513—
518.
8. Ordinary and Modular Represetations of Chevalley ^Groups.—
Lect. Notes in Math. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1976,
528. •
9. On the hyperalgebra of a semisimple algebraic group. — В кн.:
Contributions to Algebra, N. Y.; San Francisco; London: Acade-
Academic Press, 1977, p. 203—210.
10. Hilbert's fourteenth problem. — Amer. Math. Monthly, 1978 85,
p. 341—353.
11. Weyl modules and Bott's theorem in characteristic p. — В кн.:
Lie Theories and their Applications. — Queen's Papers in Pure
and Appl, Math. Kingston, Ont., 1978, No. 48, p, 474—483,

392 БИБЛИОГРАФИЯ
Хамфри, Янтцен (Hymphreys J. E., Jantzen J. С.)
1. Blocks and indecomposable modules for semisimple algebraic
groups. —J. Algebra, 1978, 54, p. 494—503.
2. Endlich prasentierte arithmetische Gruppen im Funktionenkor-
per-Fall. — Preprint.
X a p д e p (Harder G.)
10. Ober die Galoiskohomologie halbeinfacher algebraischer Grup-
Gruppen, III. —J. Reine Angew. Math., 1975, 274/275, S. 125—
138.
11. Die Kohomologie S-arithmetischer Gruppen Ober Funktionen-
korpern. —Invent. Math., 1977, 42, S. 135—175.
X a p и с (Hans S. J.)
2. Admissible representations for split reductive groups defined
over a function field. —Osaka J. Math., 1978, 15, p. 101—116.
Харрельбринк (Hurrelbrink J.)
1. Endlich prasentierte arithmetische Gruppen und Кг uber Lau-
Laurent — Polynomringen. — Math. Ann., 1977, 225, S. 123—129.
X e p б, О'Б р а й е н (Herb R. A., O'Brian N. R.)
1. A characterization of unipotent, semisimple and regular elements
in a reductive algebraic group. — Bull. London Math. Soc, 1976,
8, p. 233—238.
Хесселинк (Hesselink W. H.)
1. Singularities in the nilpotent scheme of a classical group.—
Trans. Amer. Math. Soc, 1976, 222, p. 1—32.
2. Cohomology and the resolution of the nilpotent variety. — Math.
Ann., 1976, 223, p. 249—252.
3. Polarizations in the classical groups. — Math. Z., 1978, 160,
p. 217—234.
4. Uniform instability in reductive groups.—J. Reine Angew.
Math., 1978, 303/304, p. 74—96.
5. The normality of closures of orbits in a Lie algebra. — Com-
Comment. Math. Helv., 1979, 54, p. 105—110.
X и и к а т a (Hijikata H.)
2. On the structure of semi-simple algebraic groups over valuation
fields I. —Japan. J. Math., 1975, 1, p. 225—300.
Хохстер, Роберте (Hochster M., Roberts J. L.)
1. Rings of invariants of reductive groups acting on regular rings
are Cohen—Macaulay.—Advances in Math., 1974, 13, p. 115—175.
Хохшильд (Hochschild G.)
11. Rational injective modules of algebraic groups. — Proc. Amer.
Math. Soc, 1963, 14, p. 880—883.
12. Algebraic automorphism groups. — Illinois J. Math 1975, 19,
p. iff—144.
X у б л e p (HooBler R. T.)
1. Etale homotopy theory of algebraic groups. — J. Pure Appl. Aler..
1976, 6, p. 119-128.
ШарометА. A.
1. Абстрактные изоморфизмы разрешимых алгебраических
групп. —ДАН СССР, 1975, 223, № 1, с 53—55.
Шварц (Schwarz G. W.)
1. Representations of simple Lie groups with regular rings of in*
variants. — Invent. Math,, 1978, 49, p. 167—191.

БИБЛИОГРАФИЯ 893
2. Representations of simple Lie groups with a free module of
covariants.— Invent. Math., 1978, 50, p. 1—12.
Штулер (Stuhler U.)
2. Ober die endliche Prasentierbarkeit gewisser arithmetischer
Gruppen im Funktionenkorperf all. —Math. Ann. 1976, 224,
S. 217—232.
Э к о н г (Ekong S. D.)
1. Sur les automorphismes de certains groupes algebriques affines
semi-simples. — Publ. Dep. Math. (Lyon)., 1974, 11, fasc. 3,
. 29—38.
roupes a
Publ. Dep. Math. (Lyon)\ 1975, 12, fasc. 2, p. 71—81.
2. Sur les groupes algebriques affines algebriquement complets. —
3. Some results on automorphisms of affine algebraic groups. —
J. Mathem. Phys., 1978, 19, p. 2546—2554.
Эндо, Мията (Endo S., Miyata T.)
1. On a classification of the function fields of algebraic tori.—
Nagoya Math. J., 1975, 56, p. 85—104.
Янчевский В. И.
1. Простые алгебры с инволюциями и унитарные группы. — Ма-
тем. сб., 1974, 93, с. 368—380.
Я н т ц е н (Jantzen J. С.)
3. Darstellungen halbeinfacher Gruppen und kontravariante For-
men. —J. Reine Angew. Math., 1977, 290, S. 117—141.
4. Ober das Dekompositionsverhalten gewisser modularer Darstel-
Darstellungen halbeinfacher Gruppen und ihrer Lie-Algebren. — J. Al-
деЬга, 1977, 49, S. 441—469.
5. Ober Darstellungen hoherer Frobenius — Kerne halbeinfacher
algebraischer Gruppen. — Math. Z., 1979, 164, S. 271—292.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
tr. deg^L — степень трансцендентности 14
— норма 15
А"
Г (I)
3f(X)
V/
GL (n,K)
КIX]
К(Х)
Ox(U)
ГЦ)
AW
Гф
dim/
codfm^ Y
Tan (A),
m
T(n,K)
D (n, /C)
f/(«, a:)
SL (n, K)
Sp (n, K)
SO (n, K)
G°
()
2@)
- обобщенное кольцо частных 16
• аффинное «-пространство 18
- множество нулей идеала / 19
• идеал функций, обращающихся в 0 на X 19
■ радикал идеала / 19
• полная линейная группа 23, 94
• аффинная алгебра многообразия X 28
• поле функций на X 28
■ главное открытое множество 28, 45
. коморфизм 30, 43
. проективное «-пространство 31
. проективное пространство, ассоциированное с линей-
линейным пространством V 31
многообразие Грассмана 36
многообразие флагов 37
локальное кольцо точки х 40
■ регулярные функции на V 40
множество нулей функции / 45
диагональ множества X 50
график отображения ф 51
• размерность многообразия X 52
коразмерность У в X 54
геометрическое касательное пространство многообра-
многообразия X в точке х 73
■ касательное пространство многообразия X в точке х
74
• дифференциал морфизма ф в точке х 80
■ аддитивная группа 94
• мультипликативная группа 94
группа верхних треугольных матриц 94
• группа диагональных матриц 94
• группа верхних треугольных матриц с единичной диа-
диагональю 94
■ специальная линейная группа 95
симплектическая группа 95
• специальная ортогональная группа 96
• компонента единицы группы О 96
групповое замыкание 100
• центр группы О 103, 105

рх
3?(G)
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ 395
Inn* — внутренний автоморфизм 104
Х° — множество неподвижных точек группы G на множе-
множестве X 104
CQ (Y) — централизатор множества У в G 105
N Q (Я) — нормализатор подгруппы //в G 106
TranQ (К, Z) — транспортер 105
JVXG — полупрямое произведение 109
%х — левый сдвиг ПО
—правый сдвиг 110
—алгебра Ли алгебраической группы G 114
g — касательное пространство группы G в точке е 115
cjt(n, К) — полная линейная алгебра Ли 114
Ad —присоединенное представление группы 116
♦х —правая конволюция 116
t(n, К) — алгебра Ли группы Т(пУК) 120
Ь (п, К) — алгебра Ли группы D(n,K) 120
Xl(nt К) — алгебра Ли группы U(n,K) 120
£t(n, /С) — алгебра Ли группы SL(n,K) 121
ad — присоединенное представление алгебры Ли 128
8(д) —центр алгебры Ли б 129 х
tte E) — нормализатор подалгебры Ь в g 129
Crt (jc) —множество неподвижных точек автоморфизма Ad(jc)
в g 130
Сб ($) — централизатор подалгебры 5 в б 134
CQ (n) — централизатор подалгебры Ли п в 6 151
X(G) — группа характеров группы G 138
xs — полупростая часть элемента х 159, 164
хи — унипотентная часть элемента х 159, 164
ехр (п) —экспоненциал 160
log(*) —логарифм 160
Gu — множество унипотентных элементов группы G 165
Gs — множество полупростых элементов группы G 165
Г (G) — множество однопараметрических мультипликативных
подгрупп группы G 171
<Х» ^> — спаривание X(D) и Гф) 171
Ф(G, D) — корни группы G относительно D 177
£>1 (G) —/-й член ряда коммутантов 182
(G, G) — коммутант группы G 181
Ч?1 (G) — j-й член нижнего центрального ряда 183
^°° (G) — пересечение всех ^l(G) 183
Cl^ (s) — класс сопряженности элемента s в группе G 189
R (G) — радикал группы G 203
#м (б) — унипотентный радикал группы G 203
33 — многообразие подгрупп Бореля 232
W (С?, S) — группа Вейля группы G относительно S 235
I(T) —компонента единицы пересечения подгрупп Бореля,
содержащих Т 239
Т - (Кег(а))°239
ClT) 240

896 УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Г (Т)[е„ — множество регулярных однопараметрических мульти-
мультипликативных подгрупп 240
rankss (б) — полупростой ранг группы G 246
rankred (G) — редуктивный ранг группы G 246
$ (К) — подгруппа Бореля, ассоциированная с X 249
Q (В) — камера Вейля подгруппы Бореля В 250
5"" противоположная подгруппа Бореля 256
ца корневая подгруппа 256
еа допустимый изоморфизм 257
д —база системы корней Ф 361, 263
Q — большая клетка 276
1(о) — длина элемента группы Вейля 281
я (G) — фундаментальная группа группы G 300
Л, Лг — решетка весов и корней 299
у щ — неприводимый модуль старшего веса % 306
fe(D — &-корни 348
ь¥ — ^-группа Вейля 348
(J, Р) — число Картана ЗбЗ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм алгебраической
группы 93
— внутренний 104
— графа (диаграммы) 363
Аксиома Хаусдорфа 50
Алгебра аффинная 28
— внешняя 35
— групповая 174
— Ли 114
алгебраическая 148
алгебрачиеской группы 114
коммутативная 89
полная линейная 114
полупростая 89
полная линейная 114
простая 91
— полиномиальных функций 28
— приведенная 28
— Хопфа 102
Аффинное п-пространство 18
База абстрактной системы кор-
корней 263, 361
Базис трансцендентности 14
Бирациональная эквивалентность
46
Большая клетка 276
Вектор максимальный 300
— старший 301
Вес 298
— абстрактный 363
— доминантный 299, 363
минимальный 306
фундаментальный 299, 363
— старший 302
Весовое пространство 298
Гиперповерхность 55
График морфизма 61
Группа алгебраическая 93
квазиразложимая над к
352
односвязная 300
полупростая 89, 203
полуредуктивная 302
почти простая 153, 268
простая 268
присоединенного типа
300
универсального типа
300
— — редуктивная 203
связная 97
— Вейля 235, 361
абстрактная 260
неприводимая 288
— векторная 206
— диагонализируемая 168
— Кокстера 285
— мономиальных матриц 103
— мультипликативная 94
— нильпотентная 183
— полная линейная 94
— разрешимая 182
— симплектическая 95
— специальная линейная 95
ортогональная 96
— унипотентная 184
— фундаментальная 300, 363
— характеров 169
— Шевалле 352
Групповое замыкание 100
Двойные числа 104
Действие группы 104
регулярное 105
над k 345
транзитивное 104
Диагональ 50
Диаграмма Дынкина 362

398
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дифференциал морфизма 54
Дифференцирование в точке мно-
многообразия 74
— кольца 18
— левоинвариантное 114
Длина в группе Вейля 361
^-группа 170
е-группа 206
Идеал алгебры Ли 129
— однородный 32
— радикальный 21
Изогения 310
Изоморфизм алгебраических
групп 93
— систем корней 361
Инвариант 133
Камера Вейля 361
Касательное пространство 74
— расслоение 122
Класс сопряженности 105
Кольцо локальное 16
точки многообразия 39
— нетерово 14
— нормирования 87
— регулярное 17
— целозамкнутое 15
— частных обобщенное 16
Коммутатор 179
Коморфизм 30, 43
Компонента единицы 96
Конволюция 116
— правая 116
Координаты аффинные 33
— однородные 31
Корень 360
— отрицательный 361
— положительный 361
— простой 263, 361
Корни алгебраической группы
177
Кратность веса 298
Лемма Накаяма 17
Лемма Нетера о нормализации 15
— Шура 187
Многообразие 50
— абелево 93
Многообразие аффинное 18
— гладкое (неособое) 76
— Грассмана 37
— квазипроективное 43
— полное 84
— проективное 32
— флагов 37
Множество главное открытое 23,
28
— конструктивное 66
— локально замкнутое 43
— определенное над k 343
Морфизм алгебраических групп
98
— аффинных многообразий 29
— бирациональный 46
— доминантный 60
— канонический 142
— коммутаторный 124
— конечный 62
— предмногообразий 43
— сепарабельный 82
— G-эквивариантный 108
Неприводимая компонента 25
Норма 14
Нормализатор 106
Однопараметрическая подгруппа
Орбита 104
Отображение орбитное 104
— Фробениуса 52
Отражение 360
Подгруппа Бореля 217
противоположная 256
— Картана 221
— параболическая 219, 283
— — стандартная 291
Подгруппы Бореля далекие 278
Подмногообразие 50
Подпредмногообразие 43
Поле рациональных функций 28
— функций многообразия 43
Полином однородный 31
Полная приводимость 154
Полуинвариант 138
Предмногообразие 42

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
399
Представление дуальное контра-
гредиентное 107
— присоединенное 116
— рациональное 99
Проективное я-пространство 31
Произведение алгебраических
групп полупрямое 109
прямое 95
— многообразий 46
— представлений тензорное 107
Пространство квазикомпактное
23
— однородное 142
— топологическое неприводимое
23
— — нетерово 24
р-алгебра Ли 122
Пучок функций 40
Радикал алгебраической группы
203
— идеала 19
— унипотентный 203
Разложение Брюа 273
над k 349
— Жордана аддитивное 158
в алгебраической группе
164
мультипликативное 159
— Леви 292
Размерность Крулля 17
— многообразия 52
Ранг абстрактной системы кор-
корней 260, 361
— алгебраической группы 218
полупростой 246
редуктивный 246
— системы Титса 280
Рациональный G-модуль 107
Регулярная однопараметрическая
подгруппа 240
Сдвиг левый 105
— функции ПО
Система корней абстрактная 259,
360
двойственная 364
неприведенная 348
неприводимая 267, 362
— Титса 280
насыщенная 290
Слой морфизма 60
— пучка 41
Стабилизатор 104
Теорема Бореля о неподвижной
точке 216
— Гильберта о базисе 14
— Ли — Колчина 188
— Люрота 14
Топология Зарисского 22
— произведения Зарисского 27
Тор 172
— регулярный 235
— сингулярный 235
Точка простая 76
Транспортер 105
Умножение скобочное 114
Условие замены 285
Фактор Леви 292
Флаг 37
— полный 37
Функция полиномиальная 28
— рациональная 28
— регулярная 42
Характер алгебраической группы
138, 169
Центр алгебры Ли 129
— группы 103
Централизатор 105
— инфинитезимальный 130
Четырнадцатая проблема Гиль-
Гильберта 154
Элемент полупростой регулярный
228
Эндоморфизм нильпотентный 158
— полупростой 158
— унипотентный 159
Ядро анизотропное 358

Джеймс Хамфри
ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ГРУППЫ
М., 1980 г., 400 стр.
Редактор В. Л. Попов
Техн. редактор Е. В. Морозова
Корректор Л. Л. Ипатова
ИВ № 11381
Сдано в набор 31.01.80. Подписано к печати 18.09.80.
Бумага84Х1087з1» тип. № 1. Литературная гарнитура.
Высокая печать. Условн. печ. л. 21. Уч.-изд. л. 22,94.
Тираж 8300 экз. Заказ № 536. Цена книги 1 р. 90 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической
литературы
117071» Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприя-
предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евге-
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государ-
Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленин-
Ленинград, Л 52, Измайловский проспект, 29