Э. Б. ВИНБЕРГ
А. Л. ОНИЩИК
Семинар
по группам Ли
и алгебраическим
группам
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 8

ББК 22.144
В48
УДК 512.54
В и н б е р г Э. Б., О н и щ и к А. Л. Семинар по группам Ли и
алгебраическим группам.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,
1988.— 344 с— ISBN 5-02-013721-9
Изложение теории групп Ли и алгебраических групп над по-
полями действительных и комплексных чисел. Материал представ-
представлен в виде последовательности задач, снабженных указаниями или
решениями.
Для студентов старших курсов и аспирантов математических
специальностей, а также для всех математиков, использующих в
своей работе теорию групп и алгебр Ли.
Табл. 14. Библиогр. 54 назв.
Рецензенты:
академик С. П. Новиков,
академик В. П. Платонов,
доктор физико-математических наук А. Т. Фоменко
1702030000—066 g_gg /^Издательство «Наука».
053@2^-88 ^Главная редакция
v ' физико-математической
литературы, 1988
ISBN 5-02-013721-9

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Список основных обозначений 8
Глава 1. Группы Ли 9
5 1. Исходные понятия 10
1. Группы Ли A0). 2. Подгруппы Ли A1). 3. Гомоморфизмы, линейные пред-
представления и действия A2). 4. Операции над линейными представлениями
A3). 5. Орбиты и стабилизаторы A5). 6. Образ и ядро гомоморфизма A7).
7. Многообразие смежных классов и факторгруппа A7). 8. Теоремы о тран-
транзитивном действии и об эпиморфизме B0). 9. Однородные пространства B1).
10. Полный прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме B3). 11. Полупря-
Полупрямые произведения B4). Упражнения B5). Указания к задачам B6).
§ 2. Касательная алгебра 28
1. Определение касательной алгебры B8). 2. Касательный гомоморфизм
B9). 3. Касательная алгебра стабилизатора C1). 4. Присоединенное пред-
представление и тождество Якоби C1). 5. Дифференциальные уравнения путей
в группе Ли C3). 6. Теорема единственности для гомоморфизмов групп Ли
C5). 7. Экспоненциальное отображение C6). 8. Теорема существования для
гомоморфизмов групп Ли C8). 9. Виртуальные подгруппы Ли D1). 10. Авто-
Автоморфизмы и дифференцирования D2). 11. Касательная алгебра полупрямого
произведения групп Ли D4). Упражнения D5). Указания к задачам D7).
§ 3. Связность и односвязность 48
1. Связность D8). 2. Накрывающие гомоморфизмы D9). 3. Односвязная* на1 ¦
крывающая группа Ли E0). 4. Точная гомотопическая последовательность
E2). Упражнения E3). Указания к задачам E4).
§ 4. Коммутант и радикал 55
1. Коммутант E5). 2. Замыкание Мальцева E6). 3. Существование вирту-
виртуальных подгрупп Ли E7). 4. Разрешимые группы Ли E8). 5. Теорема Ли
E9). 6. Радикал. Полупростые группы Ли F0). 7. Комплексификация F1).
Упражнения F2). Указания к задачам F2).
Глава 2. Алгебраические многообразия 64
5 1. Аффинные многообразия 64
1. Вложенные аффинные многообразия F4). 2. Морфизмы F6). 3. Топология
Зарисского F8). 4. Прямое произведение G0). 5. Теоремы о продолжении
гомоморфизмов G1). 6. Образ доминантного морфизма G3). 7. Теорема Гиль-
Гильберта о нулях G3). 8. Рациональные функции G4). 9. Рациональные ото-
отображения G5). 10. Факторизация морфизма G7). Упражнения G7). Указа-
Указания к задачам G8).
| 2. Проективные и квазипроективные многообразия 81
1. Градуированные алгебры (81). 2. Вложенные проективные многооб-
многообразия (81). 3. Пучки функций (84). 4. Пучки рациональных функций (86).
5. Квазипроективные многообразия (87). 6. Прямое произведение (88).
7. Многообразие флагов (91). Упражнения (92). Указания к задачам (93).
§ 3. Размерность и аналитические свойства алгебраических многообразий 95
1. Определение размерности и ее основные свойства (95). 2. Дифференци-
Дифференцирования алгебры функций (96). 3. Простые точки (97). 4. Аналитическая
структура комплексных и вещественных алгебраических многообразий (98).
5. Овеществление комплексных алгебраических многообразий A00). 6. Фор-
Формы векторных пространств и алгебр A01). 7. Вещественные формы комп-
комплексных алгебраических многообразий A02). Упражнения A03). Указания
к задачам A04).
Глава 3. Алгебраические группы 107
§ 1. Исходные понятия 107
1. Основные определения A07). 2. Комплексные и вещественные алгебраи-
алгебраические группы A10). 3. Полупрямые произведения A11). 4. Некоторые тео-
теоремы о подгруппах и гомоморфизмах алгебраических групп A12). 5. Дей-

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
ствия алгебраических групп A13). 6. Существование точного линейного
представления A14). 7. Многообразие смешных классов и факторгруппа
A16). Упражнения A18). Указания к задачам A18).
§ 2. Коммутативные и разрешимые алгебраические группы . . . . 120
1. Разложение Жордана линейного оператора A20). 2. Коммутативные уни-
потентные алгебраические линейные группы A21). 3. Алгебраические торы
и квазиторы A23). 4. Разложение Жордана в алгебраической группе A24).
5. Строение коммутативных алгебраических групп A26). 6. Теорема Бореля
A26). 7. Расщепление разрешимой алгебраической группы A27). 8. Полу-
Полупростые элементы разрешимой алгебраической группы A28). 9. Борелев-
ские подгруппы A29). Упражнения A30). Указания к задачам A31).
§ 3. Касательная алгебра 132
1. Связность неприводимых комплексных алгебраических групп A32). 2. Ра-
Рациональная структура на касательной алгебре тора A33). 3. Алгебраические
подалгебры A34). 4. Алгебраические структуры на некоторых комплексных
группах Ли A35). 5. Теорема Энгеля A35). 6. Унипотентные алгебраиче-
алгебраические линейные группы A37). 7. Разложение Жордана в касательной алгеб-
алгебре алгебраической группы A37). 8. Касательная алгебра вещественной ал-
алгебраической группы A38). 9. Объединение борелевских подгрупп и цент-
централизаторы торов A38). Упражнения A39). Указания к задачам A40).
§ 4. Компактные линейные группы 141
1. Теорема о неподвижной точке A41). 2. Полная приводимость A42).
3. Разделение орбит инвариантами A42). 4. Алгебраичность A44). Упраж-
Упражнения A45). Указания к задачам A45).
Глава 4. Комплексные полупростые группы Ли 147
§ 1. Начальные свойства 147
1. Инвариантные скалярные умножения A47). 2. Алгебраичность A49).
3. Нормальные подгруппы A51). 4. Весовые и корневые разложения A52).
5. Корневые разложения и системы корней классических алгебр Ли A56). 6.
Трехмерные подалгебры A58). Упражнения A61). Указания к задачам A61).
§ 2. Системы корней ' 163
1. Основные определения и примеры A63). 2. Камеры Вейля и простые
корни A68). 3. Борелевские подгруппы и максимальные торы A71). 4. Груп-
Группа Вейля A73). 5. Схема Дынкина A75). 6. Матрица Картана A79). 7. Клас-
Классификация A81). 8. Решетки корней и весов A85). Упражнения A87). Ука-
Указания к задачам A89).
§ 3. Теоремы существования и единственности . . . . ч . . . 193
1. Свободные алгебры Ли, образующие и соотношения A93). 2. Теоремы
единственности A94). 3. Теоремы существования A98). 4. Линейность
связных комплексных полупростых групп Ли B02). 5. Центр и фундамен-
фундаментальная группа B03). 6. Классификация связных полупростых групп Ли
B04). 7. Классификация неприводимых представлений B05). Упражнения
B07). Указания к задачам B10).
§ 4. Автоморфизмы 213
1. Группа внешних автоморфизмов B13). 2. Полупростые автоморфизмы
B14). 3. Характеры и автоморфизмы квазиторов B17). 4. Аффинное корневое
разложение B18). 5. Аффинная группа Вейля B21). 6. Аффинные корни
простых алгебр Ли B23). 7. Классификация унитарных автоморфизмов
простых алгебр Ли B24). 8. Неподвижные точки полупростых автоморфиз-
автоморфизмов односвязной группы B27). Упражнения B28). Указания к задачам
B30).
Глава 5. Вещественные полупростые группы Ли 234
§ 1. Вещественные формы комплексных полупростых групп и алгебр Ли 234
1. Вещественные структуры и вещественные формы B34). 2. Вещественные
формы классических групп и алгебр Ли B38). 3. Компактная веществен-
вещественная форма B41). 4. Вещественные формы и инволютивные автоморфизмы
B43). 5. Инволютивные автоморфизмы комплексных простых алгебр Ли
B46). 6. Классификация вещественных простых алгебр Ли B47). Упражне-
Упражнения B48). Указания к задачам B49).
§ 2. Компактные группы Ли и редуктивные алгебраические группы . . 251
1. Полярное разложение B51). 2. Группы Ли с компактной касательной ал-
алгеброй B54). 3. Компактные вещественные формы редуктивной алгебраиче-
алгебраической группы B58). 4. Линейность компактных групп Ли B59). 5. Соответ-
Соответствие между компактными группами Ли и редуктивными алгебраическими
группами B60). 6. Полная приводимость линейных представлений B61).
7. Максимальные торы в компактных группах Ли B63). Упражнения B65).
Указания к задачам B66)

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 3. Картановское разложение 268
1. Картановское разложение полупростой алгебры Ли B68). 2. Картанов-
Картановское разложение полупростой группы Ли B70). 3. Сопряженность макси-
максимальных компактных подгрупп B72). 4. Канонически вложенные подалгеб-
подалгебры B75). 5. Классификация связных полупростых групп Ли B76). 6. Ли-
неаризатор B78). Упражнения B80). Указания к задачам B81).
§ 4. Вещественное корневое разложение 282
1. Максимальные К -диагонализуемые подалгебры B82). 2. Системы вещест-
вещественных корней B84). 3. Схемы Сатаке B87). 4. Разложимые полупростые
алгебры Ли B88). 5. Разложение Ивасавы B89). Упражнения B92). Ука-
Указания к задачам B92).
Глава 6. Разложение Леви 295
1. Теорема Леви B95). 2. Существование группы Ли с заданной касатель-
касательной алгеброй B97). 3. Теорема Мальцева B97). 4. Алгебраическое разложе-
разложение Леви B98). Упражнения C01). Указания к задачам C01).
Справочный раздел 302
§ 1. Некоторые формулы 302
1. Группа Вейля и показатели C02). 2. Линейные представления комплекс-
комплексных полупростых алгебр Ли C02). 3. Линейные представления веществен-
вещественных полупростых алгебр Ли C03).
§ 2. Таблицы 305
Таблица 1. Веса и корни C05). Таблица 2. Матрицы, обратные к матрицам
Картана C08). Таблица 3. Центры, внешние автоморфизмы и билинейные
инварианты C10). Таблица 4. Показатели C11). Таблица 5. Разложения
тензорных произведений и размерности некоторых представлений C11).
Таблица 6. Аффинные схемы Дынкина C19). Таблица 7. Инволютивные ав-
автоморфизмы комплексных простых алгебр Ли C20). Таблица 8. Матричные
реализации классических вещественных алгебр Ли C25). Таблица 9. Ве-
Вещественные простые алгебры Ли C27). Таблица 10. Центры и линеариза-
торы односвязных вещественных простых групп Ли C35).
Список литературы 339
Предметный указатель 342

ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу этой книги положены записки семинара по алгебраи-
алгебраическим группам и группам Ли, который авторы вели на механико-
математическом факультете Московского университета в 1967/68 г.
Нашей руководящей идеей было наиболее экономное изложение
теории полупростых групп Ли на базе теории алгебраических групп.
Основными источниками для нас были статья А. Бореля [2], семи-
семинар Шевалле [14], семинар «Софус Ли» [13], монографии К. Ше-
валле [22], Н. Джекобсона [7] и Ж.-П. Серра [15].
При подготовке настоящей книги мы полностью переработали
записки семинара и написали две новые главы — «Группы Ли»
и «Вещественные полупростые группы Ли». Тем не менее некото-
некоторые традиционные вопросы теории групп Ли остались совершенно
не затронутыми. К их числу относятся, например, универсальные
обертывающие алгебры, характеры линейных представлений и тео-
теория когомологий алгебр Ли.
Особенностью книги является то, что почти весь материал из-
изложен в виде последовательности задач, как и в первоначальном
варианте записок семинара. По нашему замыслу, самостоятельное
решение этих задач приблизит читателя к обстановке семинара и
будет способствовать наиболее эффективному усвоению материала.
Тем не менее все нетривиальные идеи, а иногда и полные решения,
содержатся в указаниях, которые даются в конце каждого парагра-
параграфа. Доказательства некоторых теорем, показавшиеся нам более
трудными, приводятся прямо в основном тексте. Имеются также
упражнения, многие из которых являются существенным дополне-
дополнением к основному содержанию книги.
От читателя требуется свободное владение линейной алгеброй,
элементами теории групп и колец и элементами топологии (вклю-
(включая понятие о фундаментальной группе), знание основных поня-
понятий, относящихся к дифференцируемым многообразиям.
Нумерация пунктов, теорем, предложений, лемм, задач, упраж-
упражнений и формул производится в пределах каждого параграфа, а ну-
нумерация параграфов — в пределах главы. При ссылках, вообще го-
говоря, используется тройная нумерация. Например, задача 2.3.17
означает задачу 17 § 3 главы 2. Однако при ссылке в пределах
данной главы или параграфа их номера опускаются. Последняя

ПРЕДИСЛОВИЕ 7
глава не разбивается на параграфы, но при ссылках считается
состоящей из одного параграфа с номером 1.
В составлении первоначального варианта записок семинара при-
принимали участие Е. М. Андреев, В. Г. Кац, Б. Н. Кимельфельд и
А. К. Толпыго, в составлении таблицы разложений произведений
неприводимых представлений — Б. Н. Кимельфельд, Б. О. Макаре-
вич, В. Л. Попов и А. Г. Элашвили. Кроме того, следует отметить,
что некоторые удачные доказательства были найдены в процессе
работы семинара.
Мы признательны Д. А. Лейтесу, благодаря настойчивости и
помощи которого была написана эта книга.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Z — кольцо целых чисел;
Q, IR,C— поля рациональных, вещественных и комплексных чисел со-»
ответственно;
И — тело кватернионов;
Т — группа комплексных чисел, по модулю равных 1;
^п — ^-мерное координатное аффинное пространство;
Рп — ?г-мерное координатное проективное пространство;
!P(V)—проективное пространство, ассоциированное с векторным прост-
пространством V;
@~{V) —многообразие флагов, ассоциированное с векторным пространст-
пространством У;
GrftG)—грассманово многообразие /с-мерных подпространств векторного
пространства F;
F* — векторное пространство, сопряженное пространству V;
Лт — линейное отображение сопряженных пространств, сопряженное ли-
линейному отображению А; матрица, транспонированная к матрице А;
/\V — внешняя алгебра над векторным пространством V;
L(V) — (ассоциативная) алгебра линейных преобразований простран-
пространства V;
GL(V) —группа обратимых линейных преобразований пространства F;
Ln\K) — (ассоциативная) алгебра матриц п-то порядка над полем К;
GLn (К) — группа невырожденных матриц п-то порядка над полем (или
телом) К;
det, tr — определитель и след матрицы или линейного оператора;
Е — единичная матрица или тождественный линейный оператор;
® — тензорное произведение векторных пространств или алгебр;
0 — прямая сумма векторных пространств или алгебр;
0 — полупрямая сумма алгебр (слева — идеал);
X — полупрямое произведение групп (слева — нормальная подгруппа);
<?> — линейная оболочка подмножества S векторного пространства или
подгруппа, порожденная подмножеством S группы;
id — тождественное отображение;
с: — включение, быть может, являющееся равенством;
~ — изоморфность.

ГЛАВА 1
ГРУППЫ ЛИ
Мы предполагаем известными понятия дифференцируемого мно-
многообразия, дифференцируемого отображения, прямого произведения
дифференцируемых многообразий, касательного пространства и диф-
дифференциала отображения (касательного отображения). Некоторые
другие определения и некоторые теоремы о дифференцируемых
многообразиях будут приведены в тексте.
Основное поле — поле 0? вещественных чисел или поле С комп-
комплексных чисел — обозначается через К.
Дифференцируемость функций вещественных первхменных, если
нет специальных оговорок, понимается таким образом, что в каж-
каждом случае существует столько производных, сколько требуется.
Соответственно этому понимается дифференцируемость многообра-
многообразий и отображений. Дифференцируемость функций комплексных
переменных равносильна, конечно, их аналитичности.
Якобиева матрица системы дифференцируемых функций /ь ..., /м
от переменных хи ..., хп обозначается через я; v ' , . При
о (хх, ..., хп)
т = п ее определитель (якобиан) обозначается через п ; 1? -^Ц
; -^Ц.
\zv •••' хп)
Касательное пространство многообразия X в точке х обознача-
обозначается через ТХ(Х). Дифференциал отображения /: X-* Y в точке х
обозначается через dxf. Это линейное отображение ТХ(Х)-+- ТНх) (У).
Во многих случаях, когда из контекста ясно, какая точка имеется
в виду, индекс в обозначении дифференциала опускается.
Все дифференцируемые многообразия предполагаются обладаю-
обладающими счетной базой или, что равносильно, сепарабельными. Во всех
случаях, когда многообразие появляется в результате какой-то кон-
конструкции (например, подмногообразие, фактормногообразие, накры-
накрывающее многообразие, прямое произведение многообразий), его
сепарабельность легко проверяется, и мы не будем упоминать
об этом.

10 гл. 1. группы ли
§ 1. Исходные понятия
1. Группы Ли. Группой Ли над полем К называется группа G,
снабженная структурой дифференцируемого многообразия над К
таким образом, что отображения
^G, (х, у)*+ху,
дифференцируемы. Иначе говоря, координаты произведения долж-
должны быть дифференцируемыми функциями от координат множите-
множителей, а координаты обратного элемента — дифференцируемыми функ-
функциями от координат самого элемента.
Группа Ли над С называется также комплексной группой Ли,
а группа Ли над R — вещественной группой Ли. Любая комплекс-
комплексная группа Ли может рассматриваться как вещественная группа Ли
вдвое большей размерности.
Примеры групп Ли. 1. Аддитивная группа поля К (мы
будем ее обозначать также через К).
2. Мультипликативная группа К* поля К.
3. «Окружность» Т = {z e С* 11 z | = 1} есть вещественная
группа Ли.
4. Группа GLn(K) невырожденных матриц порядка п над по-
полем К, дифференцируемая структура на которой определяется, как
на открытом подмножестве векторного пространства Ln(K) всех
матриц.
5. Группа GL(V) невырожденных линейных преобразований
^-мерного векторного пространства V над полем К может рассмат-
рассматриваться как группа Ли в силу изоморфизма GL (V)~GLn(K),
сопоставляющего каждому линейному преобразованию его матрицу
в фиксированном базисе. Из формулы, описывающей изменение
матрицы линейного преобразования при переходе к другому базису,
следует, что дифференцируемая структура на GL(V) не зависит
от выбора базиса в пространстве У.
6. Группа GA (S) (обратимых) аффинных преобразований ^-мер-
^-мерного аффинного пространства S над полем К также естественным
образом наделяется дифференцируемой структурой, при которой она
становится группой Ли. А именно: в аффинной системе координат
пространства S аффинные преобразования записываются формулами
вида X »-^ АХ + Б, где X — столбец координат точки, А — невырож-
невырожденная квадратная матрица, В — столбец. Элементы матрицы А и
столбца В и могут служить (глобальными) координатами на груп-
группе GA(S). Определяемая ими дифференцируемая структура на
GA (S) не зависит от выбора аффинной системы координат в прост-
пространстве 5, так как при переходе к другой аффинной системе коор-
координат в S они преобразуются дифференцируемым образом.

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И
7. Любая конечная или счетная группа, снабженная дискретной
топологией и структурой нульмерного дифференцируемого много-
многообразия.
Прямое произведение групп Ли есть прямое произведение абст-
абстрактных групп, наделенное дифференцируемой структурой как пря-
прямое произведение дифференцируемых многообразий.
Задача 1. Прямое произведение групп Ли является группой Ли.
Группа Ли Кп (прямое произведение п экземпляров аддитивной
группы поля К) называется /г-мерной векторной группой Ли.
2. Подгруппы Ли. Подгруппу Н группы Ли G будем называть
подгруппой Ли, если она является подмногообразием многообра-
многообразия G.
Уточним, что подмногообразием коразмерности m дифференци-
дифференцируемого многообразия X мы называем подмножество Y <= X, которое
в подходящей окрестности любой своей точки может быть задано
в локальных координатах системой уравнений
fi(xu . .., Хп) = 0 (*=1, ..., 7?l),
где /1? ..., fm — дифференцируемые функции и ранг якобиевой мат-
матрицы j-r^- —^г в данной точке равен ттг1). Подмногообразие У
a (xv ..., хп)
единственным образом наделяется структурой (п — тп) -мерного
дифференцируемого многообразия, совместимой с индуцированной
топологией, так, что тождественное вложение Y с= X является диф-
дифференцируемым отображением постоянного ранга п — тп. В преды-
дущих обозначениях, если, например, в данной точке тт-. г ф-
=7^= 0, то в качестве локальных координат на У в некоторой окрест-
окрестности этой точки могут быть взяты ограничения функций
»^m+li • • •} Хп.
Задача 2. Подгруппа Ли сама является группой Ли.
Примеры. 1. Любое подпространство векторного пространства
является подгруппой Ли векторной группы Ли.
2. Группа Т (см. пример 3 п. 1) является подгруппой Ли груп-
группы С*7 рассматриваемой как вещественная группа Ли.
3. Любая дискретная подгруппа является подгруппой Ли.
4. Группа невырожденных диагональных матриц является под-
подгруппой Ли группы Ли GLn(K).
5. Группа невырожденных (верхних) треугольных матриц яв-
является подгруппой Ли группы Ли GLn (К).
Задача 3. Пусть Н — подгруппа группы Ли G. Если суще-
существует такая окрестность О(е) единицы в группе G, что ЯПО(е)
есть подмногообразие, то Я — подгруппа Ли.
1) Иногда термины «подмногообразие» и, соответственно, «подгруппа Ли»
понимают более широко. В настоящей книге этому более широкому толко-
толкованию отвечает термин «виртуальная подгруппа Ли» (см. п. 2.9).

12 гл. 1. группы ли
Задача 4. Группа SLn (К) унимодулярных матриц порядка п
есть подгруппа Ли коразмерности 1 группы Ли GLn(K).
Задача 5. Группа Оп(К) ортогональных матриц порядка п есть
подгруппа Ли размерности ^2— группы Ли GLn (К).
Задача 6. Группа Un унитарных матриц порядка п есть ве-
вещественная подгруппа Ли размерности пг группы Ли GLn (С).
Задача 7. Всякая подгруппа Ли замкнута.
Подгруппа Ли группы Ли GL(V) (в частности, группы Ли
GLn(K) = GL(Kn)) называется линейной группой Ли.
3. Гомоморфизмы, линейные представления и действия. Пусть
G, Н — группы Ли. Отображение /: G -> Н называется гомоморфиз-
гомоморфизмом, если оно является одновременно гомоморфизмом абстрактных
групп и дифференцируемым отображением. Гомоморфизм f:G-+H
называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм
/-1: #->(?, т. е. если / является одновременно изоморфизмом абст-
абстрактных групп и диффеоморфизмом многообразий (впрочем, см. по
этому поводу следствие теоремы 5).
Примеры. 1. Экспоненциальное отображение х>-*ех является
гомоморфизмом аддитивной группы Ли К в мультипликативную
группу Ли К*.
2. Отображение А ¦-> det А является гомоморфизмом группы
Ли GLn{K) в группу Ли Я*.
3. Для любого элемента g группы Ли G внутренний автоморфизм
является ее автоморфизмом как группы Ли.
4. Отображение х •-* eix является гомоморфизмом группы Ли К в
группу Ли Т.
5. Отображение, сопоставляющее каждому аффинному преобра-
преобразованию аффинного пространства S его дифференциал (линейную
часть), есть гомоморфизм группы Ли GA(S) (см. пример 6 п. 1)
в группу Ли GL(V), где V — векторное пространство, ассоцииро-
ассоциированное с S.
6. Любой гомоморфизм конечных или счетных абстрактных
групп является их гомоморфизмом как нульмерных групп Ли.
Очевидно, что композиция гомоморфизмов групп Ли также яв-
является гомоморфизмом групп Ли.
Гомоморфизм группы Ли G в группу Ли GL(V) называется ее
линейным представлением в пространстве V.
Задача 8. Каждой матрице А^ GLn(K) сопоставим линейные
преобразования Ad Л и Sq-4 пространства Ln(K) по следующим
формулам:
(Ad A)X = AXA~\ (Sq А) X = АХАТ.
Доказать, что Ad и Sq —линейные представления группы Ли
GLn(K) в пространстве Ln(K).

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 13
Иногда рассматривают комплексные линейные представления ве-
вещественных групп Ли или вещественные линейные представления
комплексных групп Ли. В первом случае подразумевают, что группа
линейных преобразований комплексного векторного пространства
рассматривается как вещественная группа Ли, во втором — что дан-
данная комплексная группа Ли рассматривается как вещественная.
Гомоморфизм а группы Ли G в группу DiffX диффеоморфиз-
диффеоморфизмов многообразия X (не являющуюся ни в каком естественном
смысле группой Ли!) называется ее действием на X, если отобра-
отображение
GxX-^X, (g, x)y+a(g)x,
дифференцируемо.
Примеры. 1. Для любой группы Ли G можно определить
следующие три ее действия Z, г, а на самой себе:
2. Естественное действие группы GLn(K) в проективном про-
пространстве ?Р{Кп) является действием в смысле теории групп Ли.
3. Всякое линейное представление Т: G ->¦ GL(V) группы Ли G
можно рассматривать как ее действие в пространстве V.
4. Аналогично, всякий гомоморфизм /: G ->¦ GA (S) можно рас-
рассматривать как действие группы Ли G в аффинном пространстве S.
Такое действие называется аффинным.
Очевидно, что композиция действия a: G-^ DiffX и гомомор-
гомоморфизма f: Н -+ G есть действие а ° /: Н -*¦ DiffX.
В тех случаях, когда ясно, о каком действии идет речь, мы бу-
будем писать вместо a(g)x просто gx.
4. Операции над линейными представлениями. Пусть R, S —
линейные представления некоторой группы G в пространствах V, U
соответственно. Напомним, что суммой представлений R и S назы-
называется линейное представление R + S группы G в пространстве
V ® С/, определяемое по формуле
произведением представлений R и S называется линейное представ-
представление RS группы G в пространстве V ® U, определяемое на разло-
разложимых элементах по формуле
Аналогично определяются сумма и произведение любого конечного
числа представлений.
Представлением, сопряженным (контраградиентным) к представ-
представлению R, называется линейное представление i?* группы G в про-

14 гл. 1. группы ли
странстве У*, сопряженном к V, определяемое по формуле
(R*(g)f)(v)=-f(R(g)-iv).
Задача 9. Если R и S— линейные представления группы Ли
G, то представления Л + S, RS и /?* также являются ее линейными
представлениями как группы Ли (т. е. дифференцируемы).
Для любых целых к, I ^ 0 тождественное линейное представле-
представление Id группы Ли GL(V) порождает ее линейное представление
Tk>l = ldk -(Id*)z в пространстве F® . . . ®У <g> F*® ... ®F* тен-
^ ^ ^-
зоров типа (к, I) на V. Приведем удобные формулы для Thi(A)t
где A^GL(V), в двух наиболее часто встречающихся случаях:
& = 0 и /с = 1.
Тензоры типа (О, I) суть Z-линейные формы на V. Для каждой
такой формы / имеем
vu ..., А-%). A}
Тензоры типа A, I) суть Z-линейные отображения Vx .. . X V
¦ У. Для каждого такого отображения F имеем
(Titl(A)F)(Vi, ..., vi)
Задача 10. Доказать формулы A) и B).
Задача 11. Представления Ad и Sq, рассматривавшиеся в за-
задаче 8, суть естественные линейные представления группы GLn(K)
в пространствах тензоров типов A, 1) и B, 0) соответственно, за-
записанных в матричной форме.
Если R — линейное представление какой-либо группы G в прост-
пространстве 7и Е/сУ — инвариантное подпространство, то естествен-
естественным образом определены подпредставление Ru'. G ->¦ GL(U) и фак-
торпредставление Rv/ui G ->¦ GL(V/U).
Очевидно, что всякое подпредставление и всякое факторпред-
ставление линейного представления группы Ли G являются ее ли-
линейными представлениями как группы Ли.
Особую роль в теории групп играют одномерные представ-
представления, которые суть не что иное, как гомоморфизмы данной груп-
группы G в мультипликативную группу основного поля. Они называ-
называются характерами1) группы G. Характеры образуют группу относи-
относительно операции умножения представлений; инверсией в этой
группе служит переход к сопряженному представлению. Мы будем
обозначать группу характеров группы G через #(G). Группа ха-
характеров традиционно записывается аддитивно, так что, согласна
]) В теории представлений термин «характер» чаще понимается более
широко: как след любого (не обязательно одномерного) линейного представ-
представления. Однако нам не придется рассматривать характеры в этом более ши-
широком смысле, так что термин «характер» всегда будет пониматься одно-
однозначно в смысле данного здесь определения.

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 15
определению,
В контексте теории групп Ли характеры предполагаются диф-
дифференцируемыми. В этой книге мы будем рассматривать только
комплексные характеры (вещественных и комплексных) групп Ли.
Группа комплексных характеров группы Ли G будет обозначаться
через #(G).
5. Орбиты и стабилизаторы. Пусть задано действие а группы
Ли G на многообразии Х1 и пусть х — какая-либо точка этого мно-
многообразия. Рассмотрим отображение
осх: G-+-X, g^ a(g)x.
Его образ есть не что иное, как орбита a(G)x точки х, а полный
прообраз точки х есть ее стабилизатор
Полные прообразы других точек орбиты суть левые смежные клас-
классы по Gx.
Задача 12. Отображение ах дифференцируемо и имеет посто-
постоянный ранг.
Напомним, что дифференцируемое отображение /: X-+Y, имею-
имеющее постоянный ранг к, линеаризуемо в окрестности любой точки
многообразия X. Отсюда следует, что:
A) полный прообраз любой точки */ = /(#) есть подмногообра-
подмногообразие коразмерности к в X, причем Tx(f~i(y)) = KeT dxf;
B) для любой точки х^Х образ любой достаточно малой ее
окрестности О(х) есть подмногообразие размерности к в У, причем
T(f(O())) ldf
n)()))
Кроме того,
C) если f(X) — подмногообразие в У, то dimf(X) = k.
В самом деле, если бы было dim/(X)>fe, то в силу B) много-
многообразие f(X) было бы покрыто счетным числом подмногообразий
меньшей размерности, что невозможно.
Из перечисленных свойств отображений постоянного раага и
задачи 12 немедленно вытекает
Теорема 1. Пусть задано действие а группы Ли G на диф-
дифференцируемом многообразии X. Для любой точки же! отображе-
отображение ах имеет постоянный ранг и если тках = к, то:
1) стабилизатор Gx есть подгруппа Ли коразмерности к в G,
причем Те (Gx) == Кег deax;
2) для любой достаточно малой окрестности О(е) единицы в
группе G подмножество а(О(е))х есть подмногообразие размер-
размерности к в X, причем Tx(a(O(e))x)=Imdeax;
3) если орбита a(G)x является подмногообразием в X, то
G h

16 гл. 1. группы ли
Отметим, что орбита не всегда является подмногообразием»
(Контрпример будет приведен в следующем пункте.) Поэтому пред-
представляет интерес следующее утверждение.
Задача 13. Любая орбита действия компактной группы Ли
является замкнутым подмногообразием.
Важнейшие примеры компактных групп Ли (помимо конеч-
конечных)— га-мерный тор ТГП (прямое произведение п экземпляров
группы Т), ортогональная группа Оп(=Оп(Ы)) и унитарная
группа Un. Чтобы доказать компактность группы Оп, заметим, что
она выделяется в пространстве Ьп (К) всех вещественных матриц
алгебраическими уравнениями 2 ^гкЩи = бу и, следовательно, замк-
замкнута в Ln(R). Из этих же уравнений вытекают неравенства
\пц\ < 1, показывающие ограниченность группы Оп в пространстве
Ln(\R). Аналогично доказывается компактность группы Un. Обсуж-
Обсуждение свойств компактных групп Ли и их орбит мы продол-
продолжим в § 3.4.
Утверждение 1) теоремы может быть применено для доказа-
доказательства того, что данная подгруппа Н группы Ли G является под-
подгруппой Ли. Для этого достаточно реализовать Н как стабилизатор
некоторой точки для некоторого действия группы Ли G. Большин-
Большинство интересных подгрупп Ли именно так и получается. Если при
этом орбита данной точки является подмногообразием известной
размерности, то с помощью утверждения 3) теоремы можно вы-
вычислить размерность подгруппы Н.
Применяя эти соображения к представлению группы Ли GL(V)
в пространстве тензоров (см. п. 4), мы получаем, что группа невы-
невырожденных линейных преобразований, сохраняющих любой задан-
заданный тензор, является линейной группой Ли.
Примеры. 1. Рассматривая представление группы GL(V)
в пространстве B+(V) симметрических билинейных форм (симмет-
(симметрических тензоров типа @, 2)), получаем, что группа O(V, f) не-
невырожденных линейных преобразований, сохраняющих заданную
симметрическую билинейную форму /, является линейной группой
Ли. Если форма / невырождена, то ее орбита открыта в B+(V)
и, следовательно,
dim О (У, /) = dim GL (V) - dimB+ (V) =п*- nJr^l = "'(*- *\
где п = dim V.
2. Аналогично, рассматривая представление группы GL(V)
в пространстве B-(V) кососимметрических билинейных форм, по-
получаем, что группа Sp(V, /) невырожденных линейных преобразо-
преобразований, сохраняющих заданную кососимметрическую билинейную
форму /, является линейной группой Ли. Если форма / невырож-

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 17
дена, то
dimSp (F, /) = dim GL (V) - dim ?_ (V) =
3. Рассматривая представление группы GL(V) в пространства
алгебр на V (тензоров типа A, 2)), находим, что группа автомор-
автоморфизмов любой алгебры является линейной группой Ли.
6. Образ и ядро гомоморфизма. Пусть /: G ->- Н — гомоморфизм
групп Ли. Рассмотрим действие а группы Ли G на многообразии Ht
определяемое по формуле
где в правой части стоит произведение элементов в группе Н. Ина-
Иначе говоря, а — это композиция действия I группы Н на самой себе
левыми сдвигами и гомоморфизма /.
Пусть е — единица группы Н. Тогда ае = /, a(G)e = f(G) и ста-
стабилизатор точки е для действия а совпадает с ядром Кег/ гомомор-
гомоморфизма /. Применяя теорему 1 к действию а и точке е<^Н, получаем
следующую теорему.
Теорема 2. Пусть /—гомоморфизм группы Ли G в группу
Ли Н. Тогда /—отображение постоянного ранга и если rk/ = &, то:
1) Кег/ есть подгруппа Ли коразмерности k в G, причем
Г/У
()
2) для любой достаточно малой окрестности О(е) единицы в
группе G подмножество f(O(e)) является подмногообразием раз-
размерности к в Н, причем Te(f(O(e)))=Imdef;
3) если f(G)—подгруппа Ли в Н, то dim f(G) = к.
Пример. Рассмотрим гомоморфизм det: GLn(K)~* К*. Его ядро
есть группа SLn(K) унимодулярных матриц. Так как detGLn(K) =
= ./?*, то rkdet = l и, следовательно, SLn (К) — подгруппа Ли ко-
коразмерности 1 в GLn(K).
Ясно, что если f(G) — подмногообразие, то f(G) — подгруппа Ли
в Н. Следующий пример показывает, что f(G) не всегда является
подмногообразием.
Задача 14. Пусть / — гомоморфизм группы Ли К в группу
Ли Jnr определяемый по формуле
Его образ / C?) является подгруппой Ли в Т тогда и только
тогда, когда числа аи ..., ап соизмеримы (т. е. их отношения ра-
рациональны) .
При п = 2 и несоизмеримых аи а2 подгруппа / (К) представ-
представляет собой так называемую плотную обмотку (двумерного) тора.
Из задачи 13 следует, что образ компактной группы Ли при го-
гомоморфизме всегда является подгруппой Ли.
7. Многообразие смежных классов и факторгруппа. На множе-
множестве смежных классов группы Ли по подгруппе Ли можно есте-
2 Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

18 гл. 1. группы ли
ственным образом ввести дифференцируемую структуру. Для того
чтобы сформулировать соответствующую теорему, дадим некоторые
определения.
Пусть X и У — дифференцируемые многообразия и р — диффе-
дифференцируемое отображение X на У. Для любой функции /, заданной
на подмножестве ?/с=У, определим функцию p*f на р~ (U) по
формуле
Отображение р называется факторизацией, если:
1) подмножество ?/с=У открыто тогда и только тогда, когда
р~*{и) открыто в X;
2) функция /, заданная на открытом подмножестве U <= Y, диф-
дифференцируема тогда и только тогда, когда дифференцируема функ-
функция p*f.
Отображение р называется тривиальным расслоением со слоем Z
{где Z — также дифференцируемое многообразие), если существует
диффеоморфизм
v:
удовлетворяющий условию
Отображение р называется локально тривиальным расслоением со
слоем Z, если многообразие Y можно покрыть открытыми подмно-
подмножествами, над каждым из которых отображение р является три-
тривиальным расслоением со слоем Z.
Задача 15. Всякое локально тривиальное расслоение есть фак-
факторизация.
Задача 16. Если факторизация р включена в коммутативный
треугольник
где Z — дифференцируемое многообразие и q — дифференцируемое
отображение, то отображение ф дифференцируемо.
Если в предыдущем треугольнике отображение q — также фак-
факторизация и ф биективно, то ф — диффеоморфизм. Это можно ин-
интерпретировать следующим образом: если задано отображение р
дифференцируемого многообразия X на множество У, то на У су-
существует не более одной дифференцируемой структуры, при кото-
которой р является факторизацией.

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 19
Теорема 3. Пусть G — группа Ли и Н — ее подгруппа Ли*
На множестве G/H левыъ смежных классов существует единствен-
единственная дифференцируемая структура, при которой каноническое ото-
отображение
р: G-+G/H, g^gH,
является факторизацией. При этом:
1) отображение р является локально тривиальным расслоением?
2) каноническое действие группы G на G/H {левыми сдвигами}
дифференцируемо;
3) если Н — нормальная подгруппа, то факторгруппа G/H явля-
является группой Ли.
Доказательство. Введем в множество G/H топологию, счи-
считая, что подмножество U <=¦ G/H открыто тогда и только тогда, когда
р~ (U) открыто в G.
Задача 17. Отображение р непрерывно и открыто.
Задача 18. Пространство G/H хаусдорфово.
Основным моментом в доказательстве теоремы является
Задача 19. Существует такое подмногообразие S <= G, содержа-
содержащее единицу е, что отображение
v: SxH-*G, (s, h)*-*sh,
является диффеоморфизмом прямого произведения SXH на откры-
открытое подмножество группы G.
При отображении р подмногообразие S биективно отображается
на некоторую окрестность U точки р(е) = Н в пространстве G/H»
Перенесем при помощи этого отображения дифференцируемую
структуру с S на U. Тогда отображение р будет тривиальным рас-
расслоением над U.
Далее, для любого g e G перенесем дифференцируемую струк-
структуру с U на gU при помощи левого сдвига на g. Так как отобра-
отображение р перестановочно с левыми сдвигами, то при таком опреде-
определении дифференцируемой структуры на gU отображение р будет
тривиальным расслоением над gU. В частности, оно будет фактори-
факторизацией над gU (задача 15). Отсюда следует, что при любых gu g2^
е G дифференцируемые структуры, определенные на gJJ и gzUr
совпадают в giU П g2U (задача 16). Таким образом, определена диф-
дифференцируемая структура на СУЯ, при которой отображение р яв-
является локально тривиальным расслоением.
Для доказательства утверждений 2) и 3) теоремы нужна
Задача 20. Пусть р{: Xi-+Yi (? = 1, 2)—-локально тривиаль-
тривиальное расслоение со слоем Z{. Тогда отображение
ргхр2: X1xX2^Y1xY2, (а?!, х2) ~ {р1(х1I p2(x2))f
является локально тривиальным расслоением со слоем Zv X Z2.
2*

ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ
Естественное действие группы G на G/H определяется отобра-
отображением
X: GxG/H^ G/H, {gf, gH) - g'gH,
которое включается в коммутативную диаграмму
где [1 — умножение в группе G. Отображение id X p является ло-
локально тривиальным расслоением и, следовательно,— факториза-
факторизацией. Применяя задачу 16 к коммутативному треугольнику, образо-
образованному отображениями id X р, q = р ° \х и Я, получаем, что Я — диф-
дифференцируемое отображение.
Аналогично, рассматривая коммутативную диаграмму
G/HxG/H-
^G/H
доказываем дифференцируемость умножения \хн в факторгруппе
G/H в том случае, когда Н — нормальная подгруппа.
Добавим, что касательное отображение
dep: T.{G)-+TPle)(G/H)
сюръективно и имеет своим ядром Те(Н). (Это следует хотя бы
из утверждения 1) теоремы.) Поэтому пространство Tp(e)(G/H) ка-
канонически отождествляется с факторпространством Te(G)/Te{H).
Задача 21. Пусть группа Ли G действует на дифференцируе-
дифференцируемом многообразии X, и пусть N <= G — нормальная подгруппа Ли,
содержащаяся в ядре неэффективности этого действия. Тогда инду-
индуцированное действие группы Ли G/N на X дифференцируемо.
Забегая вперед, отметим, что само ядро неэффективности явля-
является (нормальной) подгруппой Ли группы G. Это следует из тео-
теоремы 4.2, так как ядро неэффективности есть пересечение всех
стабилизаторов.
Задача 22. Пусть Я — подгруппа Ли группы Ли G и N — нор-
нормальная подгруппа Ли, содержащаяся в Н. Тогда H/N — подгруппа
Ли группы Ли G/N.
8. Теоремы о транзитивном действии и об эпиморфизме. Дей-
Действие а группы G на множестве X называется транзитивным, если
для любых х, /еХ существует такой элемент g^G, что a(g)x =

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 21
= #'. В этом случае отображение ах (см. п. 5) сюръективно. Оно
включается в коммутативный треугольник
C)
в котором [}« — биекция, перестановочная с действием группы G.
Теорема 4. Пусть G — группа Ли и а — ее транзитивное дей-
действие на дифференцируемом многообразии X. Для любого х е X
отображение
является диффеоморфизмом, перестановочным с действием груп-
группы G.
Доказательство. Так как р — факторизация, то из комму-
коммутативного треугольника C) следует, что $х — дифференцируемое
отображение (задача 16). Согласно теореме 1
rk ах = dim X = dim G/Gx,
так что касательное отображение dax сюръективно (в каждой точ-
точке). Отсюда следует, что отображение d$x является изоморфизмом
касательных пространств. Значит, $х—диффеоморфизм.
Пусть теперь /: G -*¦ Н — эпиморфизм групп Ли. Тогда действие
а группы G на Я, определенное в п. 6, транзитивно. Применяя тео-
теорему 4 к этому действию, получаем следующую теорему.
Теорема 5. Пусть /: G -*• Н — эпиморфизм групп Ли. Отобра-
Отображение
является изоморфизмом групп Ли.
Следствие. Биективный гомоморфизм групп Ли является изо-
изоморфизмом.
9. Однородные пространства. Дифференцируемое многообразие
X с заданным на нем транзитивным действием группы Ли G назы-
называется однородным пространством группы G. Согласно теореме 4
всякое однородное пространство группы Ли G изоморфно многооб-
многообразию G/H, где Н <= G — некоторая подгруппа Ли, с каноническим
действием группы G. Однородные пространства представляют наи-
наиболее важный и интересный объект геометрии.
Для геометрии имеет значение не сама группа G, а ее образ
в группе DiffX. Поэтому при изучении однородных пространств
с этой точки зрения можно ограничиться эффективными действия-
действиями (см. задачу 21).
Линейная группа dxGx (x^X) называется группой изотропии
однородного пространства X (в точке х).

22 гл. 1. группы ли
Примеры. 1. Пространства постоянной кривизны — евклидово
пространство Еп, сфера Sn (n ^ 2) и пространство Лобачевского Ln
(п^ 2)—могут рассматриваться как однородные пространства своей
группы движений, которая является в естественном смысле (ве-
(вещественной) группой Ли и действует в пространстве дифференци-
дифференцируемым образом.
Группа движений евклидова пространства является подгруппой
Ли группы аффинных преобразований (см. пример п. 10). Ее строе-
строение описано в примере 2 п. 11. Сфера Sn вкладывается обычным
образом в Rn+1 так, что ее движения индуцируются ортогональ-
ортогональными преобразованиями пространства "Rw *. Этим устанавливается
изоморфизм группы движений сферы Sn с группой Ли On+i. Ана-
Аналогично, пространство Ln вкладывается в Rn+1 в виде связной ком-
компоненты двуполостного гиперболоида х\— х\— ... — х\ = 1 так, что
его движения индуцируются псевдоортогональными (сохраняющи-
(сохраняющими квадратичную форму х\ — х\ — ... — х%) преобразованиями про-
пространства Rn , отображающими на себя каждую связную компо-
компоненту этого гиперболоида. Этим устанавливается изоморфизм груп-
группы движений пространства Ln с подгруппой индекса 2 группы Ли
Oin всех псевдоортогональных преобразований (ср. задачу 3.10).
Во всех трех случаях стабилизатор точки изоморфен группе Ли
Оп. Более точно, он изоморфен (посредством дифференциала) груп-
группе изотропии, которая совпадает с полной ортогональной группой
касательного пространства.
2. Грассманово многообразие Grn>P(K) всех р-мерных подпрост-
подпространств пространства Кп является однородным пространством груп-
группы GLn(K). Стабилизатор подпространства, задаваемого уравнения-
уравнениями хР+1 ==... = хп = 0, состоит из матриц вида
1А ' где
и имеет коразмерность р{п~р) в GLn(K). Следовательно^
dim Grn, p(K) = p(n — p).
3. Многообразие положительно определенных симметричных ве-
вещественных матриц порядка п является однородным пространством
группы GLn (R) относительно действия Sq, определенного в зада-
задаче 8 (ср. пример 1 п. 5). Так как стабилизатор единичной матрицы
при этом действии совпадает с ортогональной группой Оп, то это
однородное пространство изоморфно GLn (\R)/On.
4. Групповое многообразие группы Ли G может рассматриваться
как однородное пространство группы Ли GXG относительно дей-
действия р, определяемого формулой
i, ?2)х =
Стабилизатором точки е ^ G при этом является диагональ прямого

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 23
произведения GXG (изоморфная G), а группа изотропии совпа-
совпадает с присоединенной группой Ad G (см. п. 2.4).
10. Полный прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме. Теоре-
Теорема 6. Пусть /: G ->¦ Я—гомоморфизм групп Ли и #t — подгруппа
Ли в Я. Тогда Gt = /"^(ffi) — подгруппа Ли в G и
Доказательство. Рассмотрим композицию 06 = ^°/ есте-
естественного действия $ группы Ли Я на HJH± и гомоморфизма /:
Подгруппа С1 = /(Я1) будет при этом стабилизатором точки
р(е)^ Н/Ни где /? — каноническое отображение Я на H/Hi. По тео-
теореме 1 Gj — подгруппа Ли и
Легко видеть, что аР(е) = ? ° /. Следовательно,
deaP(e) = dejp о de/.
Так как Кег dejp = Те{Н,), то
Теорема доказана.
Пример. Пусть S — евклидово аффинное пространство, V —
ассоциированное с ним евклидово векторное пространство и
d: GA (S)-^GL(V)—гомоморфизм, сопоставляющий каждому аф-
аффинному преобразованию его дифференциал (см. пример 5 п. 3).
Тогда d~1(O(F)) есть группа движений пространства S. Теорема 6
позволяет заключить, что группа движений евклидова пространства
является подгруппой Ли группы Ли всех аффинных преобразований.
Укажем несколько применений этой теоремы, которые будут
использоваться в дальнейшем.
Задача 23. Пусть Ни Я2 — подгруппы Ли в группе Ли G.
Тогда Hi П Я2 — также подгруппа Ли и
Отметим, что пересечение подмногообразий, вообще говоря, не
является подмногообразием. Например, в пространстве С3 пересе-
пересечение неособой поверхности z = х2 + у3 с плоскостью z = 0 есть осо-
особая кривая («полукубическая парабола»), не являющаяся подмно-
подмногообразием.
Утверждение задачи 23 тривиально обобщается на любое конеч-
конечное число подгрупп. Оно справедливо и для бесконечного семей-
семейства подгрупп (см. теорему 4.2).
В следующих двух задачах теорема 6 применяется к линейному
представлению. Так как GL(V) — открытое подмножество в прост-
пространстве L(V) всех линейных преобразований пространства F, то

24 гл. 1. группы ли
касательное пространство к GL(V) (в любой точке) канонически
отождествляется с L(V).
Задача 24. Пусть R: G -> GL(V) — линейное представление
группы Ли G и U <= V — подпространство. Тогда
— подгруппа Ли вби
Задача 25. Пусть, сверх того, W — подпространство, содержа-
содержащееся в U. Тогда /
G(U, W) =
— подгруппа Ли вби
T.(G(U,
11. Полупрямые произведения. Во многих случаях строение
групп Ли удобно описывается с помощью понятия полупрямого
произведения.
Напомним, что полупрямым произведением абстрактных групп
Gi и G2 называется прямое произведение множеств G{ и G2, снаб-
снабженное, (групповой) операцией по формуле
(gu gi){K h2)=?(gi'b(g2)hi, g2h2), D)
где Ъ — некоторый гомоморфизм группы G2 в группу Aut Gt авто-
автоморфизмов группы G{. Мы будем обозначать полупрямое произве-
произведение через Gi X G2 или, более точно, через Gx x G2. Элементы
ь
вида (gi, e) (соотв. (е, g2)) образуют в нем подгруппу, изоморф-
изоморфную Gi (соотв. G2). Обычно эту подгруппу отождествляют с G4
(соотв. с G2). Подгруппа GY нормальна, причем
gzglg* ==b\g2Jgl \gl ^Ь-l, g\>e6r2)- E)
Подгруппа G2 нормальна тогда и только тогда, когда гомоморфизм Ъ
тривиален; в этом случае полупрямое произведение совпадает с
прямым произведением Gt X G2.
Говорят, что группа G разлагается в полупрямое произведение
подгрупп Gi и G2, если:
1) подгруппа Gi нормальна;
О \ Г* (~* —— Г* •
В этом случае имеет место изоморфизм
GX\G2^.G, (gj, g2) ^ gxg2, F)
ь
где b: G2->- Aut Gi — гомоморфизм, определяемый формулой E)«
В этой ситуации мы будем писать G = Gi\G2 или G = G2 A Gb

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 25
Полупрямое произведение групп Ли Gt и G2 определяется как
полупрямое произведение абстрактных групп, снабженное диффе-
дифференцируемой структурой как прямое произведение дифференцируе-
дифференцируемых многообразий. При этом дополнительно требуется, чтобы гомо-
гомоморфизм Ъ задавал дифференцируемое действие группы G2 на G4,
т. е, чтобы отображение
l, G)
было дифференцируемым. (В частности, автоморфизм b(g2) группы
(?! должен быть дифференцируемым для любого gi^G2.) Это обе-
обеспечивает дифференцируемость групповых операций в полупрямом
произведении.
Говорят, что группа Ли G разлагается в полупрямое произведе-
произведение подгрупп Ли Gt и G2, если она разлагается в их полупрямое
произведение как абстрактная группа. В этом случае действие Ъ
группы б?2 на Gu определяемое формулой E), дифференцируемо и
абстрактный изоморфизм F) согласно следствию теоремы 5 явля-
является изоморфизмом групп Ли.
Примеры. 1. Пусть R: G ->- GL(V) — линейное представление
группы Ли G. Тогда можно образовать полупрямое произведение
V X G, где V рассматривается как векторная группа Ли.
R
2. Пусть Id — тождественное линейное представление группы
GL(V) в пространстве V. Тогда имеется изоморфизм
V\GL{V)^GA(V),
Id
при котором каждому вектору v^V соответствует параллельный
перенос tv: х «-> х + v (x e V).
3. Всякая подгруппа Ли G<=GA(V), содержащая все параллель-
параллельные переносы, разлагается в полупрямое произведение группы па-
параллельных переносов и некоторой линейной группы Ли Н = dG^
czGL(V). В частности, группа движений евклидова пространства
Еп разлагается в полупрямое произведение группы параллельных
переносов и ортогональной группы Оп.
4. Группа Ли невырожденных треугольных матриц разлагается
в полупрямое произведение нормальной подгруппы Ли унитреуголь-
ных (треугольных с единицами на диагонали) матриц и подгруп-
подгруппы Ли невырожденных диагональных матриц.
Упражнения
1. Если группа снабжена структурой дифференцируемого многообразия
таким образом, что умножение дифференцируемо, то и инверсия дифферен-
дифференцируема.
2. Группа GLn (IH) обратимых матриц порядка п над телом IH кватер-
кватернионов, снабженная дифференцируемой структурой как открытое подмножест-
подмножество вещественного векторного пространства всех кватернионных матриц по-
порядка п, является вещественной группой Ли размерности 4тг2.
3. Группа Spn унитарных кватернионных матриц порядка п является под-
подгруппой Ли размерности 2п2 + п группы Ли GLn (M).

26 гл. i. группы ли
4. Найти все подгруппы Ли аддитивной группы Ли К.
5. Всякий гомоморфизм / аддитивной группы Ли К в группу Ли GLn(K)
имеет вид f(t) = exp tX, где X е Ln(K).
6. Централизатор Z(g) элемента g группы Ли G является подгруппой Ли.
7. Централизатор любого элемента группы GLn(K) имеет размерность не
меньшую, чем п.
8. Группа Ли Spn (см. упражнение 3) компактна.
9. Действие группы GLn(K) на грассмановом многообразии ^-мерных под-
подпространств пространства Кп дифференцируемо.
10. Группа Ли GLn(K) может быть разложена в полупрямое произведе-
произведение подгруппы SLn(K) и некоторой одномерной подгруппы Ли.
Указания к задачам
3. Воспользоваться тем, что левый сдвиг на любой элемент из Я является
диффеоморфизмом многообразия G, сохраняющим подгруппу Я.
4—6. Воспользоваться задачей 3.
7. Как всякое_подмногообразие, подгруппа Ли Я открыта_в своем замыка-
замыкании Я. Если gsF, то смежный класс gH также открыт в Я и, значит, пере-
пересекается с Я; следовательно, g e Н.
9. Вычислить матричные элементы представлений R + S, RS и R* в удоб-
удобных базисах. Например, если (а) —базис пространства У, a (fj) —базис про-
пространства U, то (вг ® fj) — базис пространства V (g) U; матричные элементы
представления RS в этом базисе суть произведения матричных элементов пред-
представлений R и S.
10. Достаточно доказать эти формулы для разложимых тензоров / и F
соответственно.
И. Достаточно посмотреть, как действуют Ad А и Sq^ на разложимые
тензоры (соответствующие матрицам ранга I).
12. Воспользоваться коммутативной диаграммой
G-+-X
а
х
13. Достаточно доказать, что орбита a(G)x является подмногообразием в
окрестности точки х. Пусть О(е)—такая окрестность единицы в группе G,
что U = а {О (е)) х — подмногообразие в X. Орбита a(G)x есть объединение
двух непересекающихся подмножеств: U и а (С) х, где С = G\O(e)Gx. Так как
подмножество О (е) Gx= [) О (е) g открыто в G, то его дополнение С зам-
кнуто и, значит, компактно; но тогда а (С) х = ах(С) компактно и, значит, зам-
замкнуто в X. Таким образом, пересечение орбиты a(G)x с открытым подмножест-
подмножеством Х\а(С)х многообразия X, содержащим точку х, есть подмногообразие.
14. Предполагая, что ап Ф 0, рассмотрим пересечение подгруппы / (R)
с подгруппой
Это циклическая группа с образующим
о ап_г
!лг— 2лг~—
п1 пп~1
Если хотя бы одно из чисел —, ..., —-— иррационально, то t — элемент
бесконечного порядка и /(К) П Тп~1 не замкнуто в Т71; но тогда f (Щ не
замкнуто в ТГП и, значит, не является подгруппой Ли (задача 7).

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 27
Обратно, пусть числа а{, ..., ап соизмеримы. Будем считать, что не все
они равны нулю. Тогда Ker/ = &Z, где Ъ >> 0. Пусть U — такая окрестность
нуля в группе R, что f(U) —подмногообразие в Тп. Обозначим через С до-
дополнение к открытому подмножеству Z7 + 6Zb[R. Так как f(C) =
= f(C Г) [0, b]) и С П [0, Ь] компактно, то f(C) замкнуто в Тп. Дополнение
к f(C) есть открытое множество, содержащее единицу группы Тп, и пересе-
пересечение / №) с этим открытым множеством совпадает с f(U). Отсюда следует,
что / (Щ — подгруппа Ли (задача 3).
18. Пусть g\H и g2H — различные смежные классы. Тогда g^^ & ^•
В силу непрерывности групповых операций и замкнутости Я (задача 7) су-
существуют такие окрестности O(g{) и O(g2) элементов g\ и g2 соответственно,
что O(g[)-1O(g2) П Н = 0. Тогда O(gl)H (] 0{g2)H = 0, так что p(O(gl)) и
p(O(g2)) суть непересекающиеся окрестности смежных классов g\H и g2E
в пространстве G/Я.
19. Пусть ?i — произвольное подмногообразие, трансверсальное к Я в точ-
точке е, т. е. такое, что
Te(G) =Te(Si) ете(Н).
Так как
то d(e> e)V — изоморфизм касательных пространств. Следовательно, существу-
существуют такие окрестности S2 и Он(е) точки е в многообразиях Si и Н соответст-
соответственно, что v диффеоморфно отображает S2\ Он(е) на открытое подмножество
группы G. Так как v(s, /г/г') = v(s, /г)/г', то отображение v является локаль-
локальным диффеоморфизмом всюду на ^2 X Н. Пусть S — такая окрестность точки
е в ?2, что S~lS П Н с= Он(е). Тогда v локально диффеоморфно и инъективно
на S X Я, так что S удовлетворяет требованиям задачи.
21. Рассмотреть комхмутативную диаграмму
где горизонтальная стрелка — отображение, определяемое заданным действием
G на X, и воспользоваться тем, что /> X id — факторизация.
22. Применить задачу 21 к каноническому действию G на G/Я.
23. Применить теорему 6 к тождественному вложению Нх a G и подгруп-
подгруппе Я2 с: G.
24. Применить теорему б к гомоморфизму R и подгруппе
GL(V; U) = {
Легко видеть, что GL(V; U) —открытое подмножество в пространстве
L(V; U) = {Xt=L(V)\XUczU}.
Следовательно, GL(V; U) —линейная группа Ли и
TE(GL(V; U)) =L(V; U).
25. Применить теорему 6 к гомоморфизму Я и подгруппе
GL(V; С/, W) = {A
Легко видеть, что GL(V; U, РГ)—открытое подмножество в плоскости Е +

28 гл. 1. группы ли
+ L(V; U, W),me
L(V\ U, W) = {Xe=L(V)\XUczW}.
Следовательно, GL(V; U, W) —линейная группа Ли и
TE(GL(V; U,W))= L(V; U, W).
§ 2. Касательная алгебра
1. Определение касательной алгебры. Строение группы Ли G
в окрестности единицы определяется некоторой структурой алгебры
в касательном пространстве Te(G). Наиболее непосредственный
способ ее определения состоит в следующем.
Выберем систему координат в окрестности единицы е группы
G так, чтобы точка е имела нулевые координаты. Столбец коорди-
координат точки х будем обозначать через х. Рассмотрим разложение
Тейлора координат произведения ху. Так как еу = у и хе = х, то
.. , A)
где а — билинейная векторнозначная функция, а многоточие обо-
обозначает члены степени ^3.
Меняя местами х и г/, получаем
ух = у + х+а(у, х)+... B)
Мы видим, что некоммутативность умножения в группе G может
проявиться только в членах степени >2. Мерой некоммутативности
служит групповой коммутатор (х, у) = хух~*у~х. Члены второй сте-
степени в разложении Тейлора координат коммутатора (х, у) легко
находятся с помощью соотношения (х, у)ух = ху. Сравнивая A)
и B), получаем
7^Т)=7(^ Ю+--Ч C)
где
Ч(х, z/) = a(x, y)-a(y, х), D)
а многоточие обозначает члены степени
Определим теперь в касательном пространстве Te(G) билиней-
билинейную операцию «коммутирования» (?, ц) *-*- [?» Ц] по формуле
где ^ обозначает столбец координат касательного вектора 5 в си-
системе координат пространства Te{G), ассоциированной с выбранной
локальной системой координат на группе G. Докажем, что эта опе-
операция не зависит от выбора системы координат.
Возьмем любую другую систему локальных координат с нача-
началом в точке е. Столбец координат точки х в новой системе будем
обозначать через х. Тогда _ __
ж = СхЛ-...,
где С — якобиева матрица старых координат относительно новых в

§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 29
точке е, а многоточие обозначает члены степени.>2. Следовательно,
ЩТ..,. F)
где многоточие обозначает члены степени
Координаты касательного вектора \^Te{G) преобразуются па
формуле _ __
так что _ _
1лГч] = с-'Ч(С1,сЪ. G)
Здесь [|, Г[] обозначает коммутатор, определенный при помощи
старой системы координат. Формулы F) и G) показывают, что
[?, ц] совпадает с коммутатором векторов | и г|, определенным
при помощи новой системы координат.
Пространство Te(G), снабженное определенной таким образом
операцией коммутирования, называется касательной алгеброй груп-
группы Ли G и обозначается через д. Вообще, касательная алгебра
группы Ли, обозначенной какой-либо прописной латинской буквой,
обозначается соответствующей строчной готической буквой.
Ясно (см. формулу D)), что касательная алгебра антикомму-
тативна, т. е. для любых |, т] е g
[1, лН-fo, !]•
Задача 1. Касательная алгебра коммутативной группы Лет
есть алгебра с нулевым умножением.
Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем К.
Отождествим естественным образом касательное пространство к
группе Ли GL(V) в точке Е с пространством L(V) всех линейных
преобразований пространства V.
Задача 2. Касательная алгебра группы Ли GL(V) есть про-
пространство L(V) с операцией коммутирования
[X, Y] = XY-YX. (8)
Касательная алгебра группы Ли GL(V) (соотв. GLn(K)) обо-
обозначается через gl(F) (соотв. $п(К)). \
2. Касательный гомоморфизм. Пусть4^: G -> Н — гомоморфизм
групп Ли. Рассмотрим его дифференциал в Ъотке е:
def: Te(G)^ Те (Н).
Задача 3. Отображение dej есть гомоморфизм касательных
алгебр.
Мы будем иногда называть отображение def касательным гомо-
гомоморфизмом гомоморфизма /, и в тех случаях, когда это не может
привести к недоразумению, обозначать его просто через df.
Задача 4. Касательная алгебра подгруппы Ли группы Ли G
есть подалгебра алгебры g.

30 * 1лл. 1. группы ли
В частности, для любой линейной группы Ли операция комму-
коммутирования в ее касательной алгебре задается формулой (8).
В силу теоремы 1.2 касательная алгебра ядра гомоморфизма
групп Ли совпадает с ядром касательного гомоморфизма.
В качестве примера рассмотрим гомоморфизм
det: GLn(K)-+K*.
Его ядро есть подгруппа SLn(K).
Задача 5. {dE det) (X) = tr X.
Таким образом, касательная алгебра группы SLn(K) состоит из
всех матриц с нулевым следом. Она обозначается через $1п(К).
Задача 6. Пусть Н — нормальная подгруппа Ли группы Ли
??. Тогда J) — идеал алгебры g и при каноническом отождествле-
отождествлении касательного пространства Te(G/H) с факторпространством
Te(G)/Te{H) касательная алгебра факторгруппы G/H есть фактор-
алгебра дЛ).
Частным случаем касательного гомоморфизма является диффе-
дифференциал линейного представления. Дифференциал представления
G -»¦ GL(V) есть гомоморфизм Й^бИ^)-
Задача 7." Дифференциалы линейных представлений Ad и Sq
группы GLn(K), построенных в задаче 1.8, имеют вид
(d Ad) (У) X = YX - ХУ, (dSq) (У) X = YX + XYT\
Пусть R, S — линейные представления группы Ли G в про-
пространствах У и U соответственно, dR, dS — их дифференциалы.
Найдем дифференциалы сопряженного представления Л* и произ-
произведения RS.
Задача 8. {(dR*)(l)f)(v)=-f{(dR) (l)v).
Задача 9. (d(RS)) (I) (v ® u) = (dR) (l)v ® u + v ® (dS) (l)u,
С помощью этих формул можно вычислить дифференциал про-
произведения любого числа заданных линейных представлений и со-
сопряженных к ним представлений.
Например, естественное линейное представление Тк t группы
Ли GL(V) в пространстве тензоров типа (/с, I) есть произведение
к экземпляров тождественного представления и I экземпляров со-
сопряженного к нему представления (см. п. 1.4). Обозначим его диф-
дифференциал через Tfe i. Приведем удобные формулы для т0 i{X) и
тм(Х), где Х^дЦУ).
Если / — Z-линейная функция на У, то
'{rOti(X)f){vu v2, ..., pO = -/(Xi;1, v2, ..., vt)~
-/K Xv2, ..., Vl)-...-f(vu v2, .., XVl). (9)
Если F: Ух ... хУ-> У— полилинейное отображение, то
i
<Tt, z (X)F) (vu v2,..., vt) = XF(uu v2, ...,vt)-F(Xvu v2,..., vt) -
-F(vu Xv2,..., Vl)- .. .-F(vu v2,...., Xvt). A0)

§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 31
Задача 10. Доказать формулы (9) и A0).
3. Касательная алгебра стабилизатора. В тех случаях, когда
подгруппа Ли Н группы Ли G может быть определена как стаби-
стабилизатор некоторой точки для некоторого действия группы G, ее-
касательная подалгебра может быть найдена при помощи теоре-
теоремы 1.1.
Рассмотрим случай линейного действия R: G ->¦ GL(V). Диффе-
Дифференцируя по g в точке е равенство Rv(g) = R(g)v, получаем
где dR в правой части обозначает дифференциал представления /?-
Поэтому вторая часть утверждения 1) теоремы 1.1 в данном слу-
случае может быть сформулирована следующим образом.
Теорема 1. Пусть R — линейное представление группы Ли G
в пространстве V и Н — стабилизатор вектора v e V. Тогда
С помощью этой теоремы можно, в частности, найти касатель-
касательную алгебру линейной группы Ли, выделяемой условием сохране-
сохранения какого-либо тензора.
Примеры. 1. Группа G невырожденных линейных преобра-
преобразований пространства У, сохраняющих заданную билинейную фор-
форму /, есть стабилизатор формы / при естественном линейном пред-
представлении Г0,2 группы GL(V) в пространстве билинейных форм на
V (см. формулу A.1)). Из формулы (9) следует, что касательная
алгебра группы G состоит из всех линейных преобразований,- косо-
симметрических относительно /.
2. Пусть А — конечномерная алгебра над К. Группа AutA ав-
автоморфизмов алгебры А есть стабилизатор структурного тензора
алгебры А при естественном линейном представлении Tit2 группы
GL(A) в пространстве тензоров типа A, 2) на А (см. формулу
A.2)). Из формулы A0) следует, что касательная алгебра группы
Autk состоит из всех линейных преобразований D, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию
D(xy) = (Dx)y + x(Dy). (И)
Такие преобразования называются дифференцированиями алгебры
А. Они, стало быть, образуют алгебру относительно коммутирова-
коммутирования (впрочем, это легко проверить и непосредственно). Эта алгебра
обозначается через БегЛ.
4. Присоединенное представление и тождество Якоби. Каждая
группа Ли G имеет естественное линейное представление в своей
касательной алгебре д. Оно определяется следующим образом.
Для любого g ^ G рассмотрим внутренний автоморфизм
Обозначим через Adg его дифференциал в точке е. Это автомор-
автоморфизм касательной алгебры.

32 гл. 1. группы ли
Задача 11. Отображение Ad: G-^GL(g) является линейным
представлением группы Ли G.
Линейное представление Ad называется присоединенным пред-
ставлением группы Ли G. Вычислим соответствующий ему каса-
касательный гомоморфизм Q —^ 91(8).
Задача 12. В локальных координатах в окрестности единицы
gxg'1 =x + 4(g, *)+...,
где многоточие обозначает члены степени ^3.
Выделяя члены первой степени по х, получаем
где многоточие обозначает члены степени >2 по |. Отсюда следует,
что
а это означает, что
(dAd)(ri)l = [Tb SI (?, т]Ей), A2)
Записывая условие того, что dAd есть гомоморфизм алгебры g
в алгебру fil(fl), получаем
к, ль йнк, [л, tn-h, к, tn (t3)
для любых ^, I], Sе 9- Учитывая антикоммутативность операции
коммутирования, мы можем переписать это тождество в более сим-
симметричной форме:
[B,*iU] + [[rbai] + EK,U*i] = o (Ъ,чЛ^ъ). A4)
Тождество A4) называется тождеством Якоби.
Задача 13. Доказать тождество Якоби, исходя из того, что
Ad Gc: Autfl.
Антикоммутативная алгебра, в которой выполняется тождество
Якоби, называется алгеброй Ли. Нами доказана
Теорема 2. Касательная алгебра любой группы Ли является
алгеброй Ли.
В частности, алгебра gl(V) является алгеброй Ли. Впрочем, это
легко вывести непосредственно из формулы (8).
Гомоморфизм какой-либо алгебры Ли g в алгебру gt(V) назы-
называется ее линейным представлением. В силу задачи 3 дифферен-
дифференциал линейного представления группы Ли является линейным пред-
представлением ее касательной алгебры.
Тождество Якоби, записанное в форме A3), означает, что для
любой алгебры Ли g отображение ad: 8~**fll(fl)» определяемое по
формуле
(ad |)ii = [I, Л] A,Ле8).
является линейным представлением алгебры д. Это представление

§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 33
называется присоединенным представлением алгебры Ли д. Нами
доказана (формула A2)).
Теорема 3. Дифференциал присоединенного представления
группы Ли совпадает с присоединенным представлением ее каса-
касательной алгебры.
Алгебра Ли с нулевым умножением называется коммутативной.
Согласно задаче 1 касательная алгебра коммутативной группы Ли
коммутативна.
5. Дифференциальные уравнения путей в группе Ли. С помощью
левых или правых сдвигов можно установить естественные изомор-
изоморфизмы между касательными пространствами группы Ли G в раз-
различных точках. Пусть l(g) обозначает левый сдвиг на g, т. е. пре-
преобразование х у* gx, a г'(g)— правый сдвиг на g, т. е. преобразо-
преобразование х н-* xg. Для любого \ е Th(G) положим
В частности, если |^й, то #g, \g^{)
Если G с: GL(V) — линейная группа Ли и ее касательные про-
пространства естественным образом вложены в пространство L(V), то
gi и T^g суть обычные произведения линейных преобразований.
Задача 14. Пусть G — произвольная группа Ли. Тогда
для любых g, Леб, 1<=T(G).
Отметим также, что по определению присоединенного представ-
представления
Задача 15. Пусть в окрестности единицы группы Ли G вы-
выбрана система координат с началом в точке в, а в касательных про-
пространствах — ассоциированные с ней системы координат. Тогда раз-
разложения Тейлора координат «произведений» gg и gg, где §е9>
имеют вид
где a — билинейная векторнозначная функция из формулы A),
а многоточие обозначает члены, линейные по § и имеющие степень
^2 по g.
Задача 16. Пусть /: G -+ Н — гомоморфизм групп Ли. Тогда
для любых g^G,l
3 Э. Б. Випберг, А. Л. Оиищпк

34 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ
Одну из построенных параметризаций касательных пространств
группы Ли G элементами касательной алгебры g можно использо-
использовать для описания дифференцируемых путей в группе G в терми-
терминах алгебры д. Это описание будет играть основную роль в после-
последующих пунктах.
Мы будем называть путем в многообразии X непрерывное ото-
отображение связного подмножества вещественной прямой в X.
Для любого дифференцируемого пути t*-*g(t) в группе Ли G
определим путь t >-> ? (t) в алгебре g из условия
=l{t)g(t). A5)
Путь ?(?) будем называть скоростью пути g(t).
При заданной скорости %(?) равенство A5) можно рассматри-
рассматривать как дифференциальное уравнение для g(t). В координатах она
принимает вид
d8 @ __ v 7t tr
dt
A6)
где g(t) и |(?) — столбцы координат элементов g{t)^G и |(?)eg.
соответственно, a F — дифференцируемая векторнознэчная функция,
зависящая лишь от выбранной локальной системы координат на G
и системы координат в алгебре д.
Из теоремы единственности решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений следует, что скорость |(?) вместе с
начальным условием g(to)==go однозначно определяет путь g(t).
Последнее соотношение задачи 14 показывает, что множество ре-
решений уравнения A5) инвариантно относительно правых сдвигов.
Так как при помощи подходящего правого сдвига можно добиться
выполнения любого начального условия, то любые два решения
уравнения A5) получаются друг из друга правым сдвигом.
Рассмотрим теперь вопрос о существовании решения уравнения
A5).
Предложение 1. Пусть задано дифференцируемое отобра-
отображение t y-> ? (t) некоторого связного подмножества S czR в каса-
касательную алгебру группы Ли G. Тогда существует решение уравне-
уравнения A5), определенное при всех t^S.
Доказательство. Очевидно, что достаточно доказать пред-
предложение для случая, когда S — отрезок. Далее, достаточно доказать,
что существует такое г > 0, что для любого U^S существует ре-
решение уравнения A5), определенное при \t — to\<e. При этом
ввиду инвариантности множества решений относительно правых
сдвигов можно считать, что g(to) = e.
Выберем систему координат в окрестности О(е) единицы груп-
группы G так, чтобы единица имела нулевые координаты, и обозначим
через R какое-нибудь такое положительное число, что окрестность
О(е) в координатном представлении содержит шар 1X1 ^JR. СЗдесь

§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 35
и дальше |Х| обозначает евклидову норму столбца X.) Выберем
также систему координат в касательной алгебре g и положим
С ==¦¦ max \?,(t) |. Пусть уравнение A5) в выбранных системах ко-
ординат имеет вид A6) и пусть
М- max \F(X,Y)\.
\X\<C,\Y\<R
Тогда в силу известной теоремы о существовании решения системы
дифференциальных уравнений [51] уравнение A6) имеет решение,
определенное при \t — tQ\<R/M, t^S. Так как R/M не зависит
от ?0, то его можно взять в качестве искомого 8. Тем самым пред-
предложение доказано.
6. Теорема единственности для гомоморфизмов групп Ли.
Теорема 4. Гомоморфизм связной группы Ли G в группу Ли
Н однозначно определяется соответствующим касательным гомо-
гомоморфизмом алгебр Ли.
Доказательство. Пусть ф = df—касательный гомоморфизм
гомоморфизма /: G -+¦ Н. Покажем, каким образом гомоморфизм /
может быть восстановлен по ф.
Произвольный элемент g^G соединим с единицей дифферен-
дифференцируемым путем g(t), СК?<1. Пусть g(?)—скорость этого пути.
Положим h(t) = f(g(t)). Из задачи 16 следует, что
^|1 A7)
Это соотношение можно рассматривать как дифференциальное урав-
уравнение для h(t). Вместе с начальным условием /г(О) = е оно одно-
однозначно определяет путь h(t) и, тем самым, элемент f(g) = h(l).
Теорема 5. Пусть /—гомоморфизм связной группы Ли G в
группу Ли Н и #i — подгруппа Ли группы Н. Если df($)aj)u То
)
Доказательство. Если Ф(8)^1I, то уравнение A7) можно
рассматривать как уравнение в группе Я1# Его решение в HY будет
в то же время решением в Н. Следовательно, h(t)^Hi при всех
?^[0, 1] и, в частности, f(g) = h(l)^Hi.
Теоремы 4 и 5 имеют много важных следствий.
Задача 17. Ядро присоединенного представления связной
группы Ли G совпадает с ее центром Z(G).
Задача 18. Касательная алгебра центра связной группы Ли G
совпадает с центром &(й) касательной алгебры д. (Центром алгебры
Ли называется совокупность элементов, коммутатор которых со
всеми элементами алгебры равен нулю.)
Задача 19. Пусть R — линейное представление связной груп-
группы Ли G в пространстве V. Подпространство U с= У инвариантно
относительно R тогда и только тогда, когда оно инвариантно отно-
относительно касательного представления dR алгебры Ли д.
3*

36 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ
Задача 20. Пусть Gu G2 — связные подгруппы Ли группы Ли
G. Тогда
G± cz G2 ¦*=*¦ ^ с= д2
и, следовательно,
Gi = G2 ¦*=** 9i = Й2.
Задача 21. Связная подгруппа Ли Я связной группы Ли G
нормальна тогда и только тогда, когда ее касательная алгебра Ь
является идеалом алгебры g.
7. Экспоненциальное отображение. Дифференцируемый путь g(t)
в группе Ли G, определенный при всех t^R, называется однопа-
раметрической подгруппой, если
(и тогда автоматически g@) = e, g(—?) g())
Иначе говоря, однопараметрическая подгруппа — это гомомор-
гомоморфизм в G группы Ли R. Иногда однопараметрической подгруппой
называют образ такого гомоморфизма. Как показывает задача 1.14,
однопараметрическая подгруппа, понимаемая в этом смысле, может
не быть подгруппой Ли.
Задача 22. Путь g{t), определяемый дифференциальным урав-
уравнением A5), является однопараметрической подгруппой тогда и
только тогда, когда ^(^) = const и g{0) = e.
Для всякого ?'eg обозначим через gi{t) однопараметрическую
подгруппу, определяемую уравнением A5) с ?(?) = ?. Вектор ?
назовем ее направляющим вектором.
Известно (в этом состоит теория систем линейных дифферен-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами), что в слу-
случае G = GL{V)
где экспонента понимается как сумма ряда:
То же самое справедливо, конечно, и для любой линейной груп-
группы Ли.
Для произвольной группы Ли G положим по определению
Определенное таким образом отображение exp: g-*-G называется
экспоненциальным отображением. Укажем некоторые его свойства.
Задача 23. gz(t)= expfg.
Задача 24. Отображение exp дифференцируемо.
Задача 25. d E
Отсюда вытекает

§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 37
Предложение 2. При экспоненциальном отображении
exp: fl->¦ 6г некоторая окрестность нуля касательной алгебры g диф-
феоморфно отображается на окрестность единицы группы Ли G.
Однако экспоненциальное отображение в целом не обладает, во-
вообще говоря, никакими хорошими свойствами. Оно может не быть
инъективным, сюръективным, открытым и т. д. (см. упражнения
9 и 10).
Задача 26. Пусть /: G -*- Н — гомоморфизм групп Ли. Тогда
для любого ? 'е fl. В частности,
Ad exp | = exp ad |
для любого l^fi.
В качестве примера рассмотрим гомоморфизм det: GLn(K)->- К*.
Так как ddet = tv (задача 5), то
для любой матрицы X^Ln(K).
Задача 27. Если [|, г]] = 0, то
ехр (I + ц) = ехр % • ехр ц.
В частности, если G— коммутативная группа Ли, то это имеет
место для любых ?, ту^д, т. е. ехр является гомоморфизмом вектор-
векторной группы g в группу G. Из предложения 2 следует, что ядро это-
этого гомоморфизма дискретно, а образ является открытой подгруппой
группы G. Этим можно воспользоваться для классификации связ-
связных коммутативных групп Ли.
Задача 28. Если G — связная коммутативная группа Ли, то
ехр fl = G.
Следовательно, всякая тг-мерная связная коммутативная группа
Ли над полем К изоморфна факторгруппе Кп/Т, где Г — дискрет-
дискретная подгруппа группы Кп.
Задача 29. Если Gt и G2 — изоморфные коммутативные груп-
группы Ли, то существует изоморфизм их касательных алгебр, при ко-
котором ядро гомоморфизма ехр: flt ->¦ Gi отображается на ядро гомо-
гомоморфизма ехр: д2 ->¦ G2.
Следовательно, если Г\ и Г2 — две дискретные подгруппы группы
Кп, то факторгруппы Kn/Ti и Кп/Т2 изоморфны (как группы Ли)
тогда и только тогда, когда подгруппа Г4 может быть переведена
в подгруппу Г2 невырожденным линейным преобразованием про-
пространства Кп.
В случае -КГ = 0? имеется простая классификация дискретных
подгрупп группы Кп.
Задача 30. Всякая дискретная подгруппа Г векторной группы
Ли Rn невырожденным линейным преобразованием переводится в

38 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ
подгруппу вида
1\ = [(хи ..., хп) g= Rn | xv ..., xk <== Z, яь+1, ..., xn == 0].
Отсюда вытекает
Предложение 3. Всякая п-мерная связная коммутативная
вещественная группа Ли изоморфна группе Ли вида TfexRn~ •
В случае К = С классификация связных коммутативных групп
Ли значительно сложнее (см. упражнения 12 и 13).
Укажем еще одно применение экспоненциального отображения.
Задача 31. Пусть а — автоморфизм группы Ли G. Тогда
— подгруппа Ли с касательной алгеброй
8. Теорема существования для гомоморфизмов групп Ли.
Теорема 6. Пусть G, Я—группы Ли, причем группа G одно-
связна. Тогда для всякого гомоморфизма ф: fl-^ fy существует такой
гомоморфизм /: G-+H, что й/ = ф.
Доказательство. Будем пытаться построить гомоморфизм
/, следуя доказательству теоремы 4. А именно: для определения
образа элемента g ^ G соединим его с единицей дифференцируемым
путем g(t), 0=^?<1, и найдем скорость %(?) этого пути. Далее,
рассмотрим решение h(t) уравнения A7) с начальным условием
h(Q) — e. Элемент f(g) будем считать по определению равным h(l).
Ввиду того что в выборе пути g(t) имеется произвол, необходи-
необходимо доказать корректность данного определения. Это составляет наи-
наиболее трудную часть доказательства теоремы.
Мы будем пользоваться тем, что в односвязном дифференцируе-
дифференцируемом многообразии X для любых двух дифференцируемых путей
a0, cci, соединяющих точки х0 и хи существует дифференцируемая
гомотопия а0 в а4, т. е. дифференцируемое отображение квадрата
в многообразие X, при котором его нижняя сторона переходит в
а0, верхняя — в аи а боковые стороны — в точки х0 и xY соответ-
соответственно.
Лемма. Пусть (t, s) ¦-* g(t, s)— дифференцируемое отображе-
отображение квадрата 0< в группу Ли G. Пусть
где l{t, s), r)(?, s)€=g. Тогда

8 2. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 3%
Доказательство. Так как при умножении g(t> s) справа,
на любой элемент группы ?(?, s) и г)(?, s) не меняются, то при
доказательстве соотношения A9) в какой-либо точке (?0, sQ) можно
считать, что g(t0, so) = e.
Выберем систему координат в окрестности единицы группы G
и запишем в координатах равенства A8) в окрестности точки
(?о, So). Согласно задаче 15 получим
=1 (t, s) + a (f(«, s),
где многоточие обозначает члены степени ^2 по (t — t0, s — s0).
Продифференцировав в точке (?0, 50) первое из этих равенств по
5, а второе — по t, получим
dtds ~ Ts + а ^ (Г" ^' ^ »' S°^
= дП{1°^0) + а СП («о, *о), I(«о*
откуда
Это означает, что
Лемма доказана.
Продолжим доказательство теоремы. Пусть go(t) и gi(t)—два
дифференцируемых пути в группе G, соединяющих е с g. Обозна-
Обозначим через ho(t) и hx{t) соответствующие им пути в группе Я,
полученные как решения уравнения A7). Нужно доказать, что
М1) = М1).
Существует дифференцируемое отображение (t, s)^-> g(t, s) квад-
квадрата tK в группу G, обладающее следующими свойствами:
1) g(t, O) = go(t), g(t, l) = gi(t);
2) g@, s) = e, g(l, s) = g.
Найдем ^(t, s) и ^(t, s) из равенств A8). Из свойства 2) сле-
следует, что
4@, *) = т)A, *) = 0.
Определим теперь дифференцируемое отображение (?, $) >->
»-> h (tx s) квадрата К в группу Н как решение дифференциального

40 гл. i. группы ли
уравнения (по t)
Ok {t, S) /e. , ,
с начальным условием h@, s) = e.
Очевидно, что h (t, 0) = fe0 (t), h (t, 1) = ht (t).
Пусть
где t,(t, s)^I). Докажем, что ?;(?, §) = ф(т](^, s)). Отсюда будет сле-
следовать, что ?(i> s) = 0 и, значит, fe(l, s) = const. В частности, мы
получим, что /гоA) = ^i(l).
Согласно лемме
2М^ 6(*,,)), С(«,.)].
Это соотношение можно рассматривать как дифференциальное урав-
уравнение (по t) для ^ (?> 5) • Применив гомоморфизм ф к соотношению
A9), мы получим такое же дифференциальное уравнение для
ср(г|(?, s)). Так как
то ?(?, 5) = ф(г](^ 5)) при всех t.
Итак, мы определили отображение /: G -> Я. Докажем, что / —
гомоморфизм.
Пусть gi(t) и ^2@» 0<*^ 1,—дифференцируемые пути в груп-
группе G, соединяющие е с gt til g2 соответственно, ?i(?) и |2@ — их
скорости. Путь, соединяющий е с gig2i может быть определен ра-
равенствами
B*) при 0<?<1/2,
^-ljft при 1/2<*<1.
При подходящем выборе путей gt(t) и g2(t) путь g(f) будет диф-
дифференцируемым. Его скорость %(t) определяется равенствами
| при
6W """ \2gxB* — 1) при
Если /ii(^), /&2(?) и fe(i) — пути в группе Я, соответствующие
путям gx(t), g2(t) я g{t), то
2BQ при 0<^<1/2,
г Bt — 1) ft2 A) при 1/2 < * < 1.
В частности,
Из построения / следует, что /(ехр?) = ехрф(^) для любого

§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 41
Jej, т. е. имеет место коммутативная диаграмма
expi jexp
G-fH
Предложение 2 и задача 25 показывают, что отображение / диффе-
дифференцируемо в некоторой окрестности единицы группы G и что
def = ф.
Дифференцируемость отображения / в любой точке g^G выте-
вытекает из коммутативности диаграммы
G-^H
1(8I \l(h)
GrH
где h = f(g). Теорема доказана.
Следствие. Односвязпые группы Ли изоморфны тогда и
только тогда, когда изоморфны их касательные алгебры Ли.
9. Виртуальные подгруппы Ли. Как мы видели (задача 1.14) 7
образ группы Ли при гомоморфизме не всегда является подгруппой
Ли. Получаемые таким образом более общие подгруппы в некото-
некоторых случаях могут служить суррогатом подгрупп Ли.
Назовем виртуальной подгруппой Ли группы Ли G подгруппу
#, наделенную структурой группы Ли таким образом, что тожде-
тождественное вложение i: H -> G является гомоморфизмом групп Ли.
При этом будем считать, что алгебра |) вложена в алгебру g посред-
посредством гомоморфизма di.
Очевидно, что всякая подгруппа Ли (наделенная индуцирован-
индуцированной структурой группы Ли) является виртуальной подгруппой Ли,
Задача 32. Пусть /: Н -> G — произвольный гомоморфизм
групп Ли. Тогда группа /(Я), наделенная структурой группы Ли
как факторгруппа Я/Ker/, является виртуальной подгруппой Ли
группы G с касательной алгеброй df())).
Топология виртуальной подгруппы Ли может быть отлична от
топологии, индуцированной с объемлющей группы Ли. Это хорошо
видно на примере плотной обмотки тора Т2, которая несет струк-
ТУРУ (в частности, топологию) группы Ли R, но с любым непу-
непустым открытым подмножеством тора пересекается по неограничен-
неограниченному в R подмножеству.
Однако из теоремы 1.2 следует, что любая достаточно малая
окрестность Он(е) единицы в виртуальной подгруппе Ли // являет-
является подмногообразием объемлющей группы Ли (в частности, несет
индуцированную топологию), причем Те {Он (е)) = |).
Следующая задача проясняет топологию виртуальных под-
подгрупп Ли.
Задача 33. Пусть Н — виртуальная подгруппа Ли группы Ли
G. Существует такая окрестность Он (е) единицы в группе Н и та-

42 гл. 1. группы ли
кое подмногообразие S с: G, содержащее единицу, что отображение
v:
является диффеоморфизмом прямого произведения SXOH(e) на
некоторую окрестность OG(e) единицы в группе G. При этом
где Т = Н П S — не более чем счетное множество. Если окрестность
Он(е) связна, то она является связной компонентой пересечения
НПОа{е) в индуцированной топологии.
Теорема 7. Пусть Gu G2— виртуальные подгруппы Ли груп-
группы Ли G. Если Gt с: G2, то Gt — виртуальная подгруппа Ли группы
Ли G2 и Й1<=<52. Обратно, если gi<=<J2 и группа Gt связна, то GY<^G2t
Задача 34. Доказать эту теорему.
Следствие 1. Если виртуальные подгруппы Ли Gu G2 груп-
группы Ли G совпадают как подмножества, то они несут одну и ту же
Структуру группы Ли.
Следствие 2. Связная виртуальная подгруппа Ли однознач-
однозначно определяется своей касательной алгеброй {как подалгеброй ка-
касательной алгебры объемлющей группы Ли).
Рассмотрение виртуальных подгрупп Ли делает более закончен-
законченной картину соответствия между подгруппами Ли и подалгебрами
касательной алгебры. А именно: справедлива
Теорема 8. Всякая подалгебра I) касательной алгебры группы
Ли G является касательной алгеброй некоторой {однозначно опре-
определенной) связной виртуальной подгруппы Ли Н.
Доказательство этой теоремы будет дано в п. 4.3.
Существует простая топологическая характеризация подгрупп Ли и
виртуальных подгрупп Ли в вещественных группах Ли. Согласно теореме
Э. Картана всякая замкнутая подгруппа вещественной группы Ли является
подгруппой Ли. (Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [1]
или [22].) Следовательно, подгруппы Ли вещественных групп Ли — это то же,
что замкнутые подгруппы.
Всякая линейно связная подгруппа вещественной группы Ли является
виртуальной подгруппой Ли [49]. Следовательно, виртуальные подгруппы Ли
вещественных групп Ли — это то же, что подгруппы, имеющие (в индуциро-
индуцированной топологии) не более чем счетное число компонент линейной связности.
10. Автоморфизмы и дифференцирования. Пусть G — связная
группа Ли и AutG — группа ее автоморфизмов (как группы Ли).
Каждый автоморфизм группы G порождает автоморфизм ее ка-
касательной алгебры д. Если группа G односвязна, то верно и обрат-
обратное (теорема 6); в этом случае группа AutG естественно изоморф-
изоморфна группе Autg автоморфизмов алгебры Ли д. Последняя группа
является линейной группой Ли (пример 3 п. 1.5). Тем самым и
группа Aut G, в случае односвязной группы G, снабжается есте-
естественной структурой группы Ли.
Задача 35. Действие группы Ли AutG на односвязной группе
Ли G дифференцируемо.

§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 43
Как и в ситуации абстрактных групп, внутренние автоморфизмы
группы Ли G образуют нормальную подгруппу группы AutG, изо^
морфную факторгруппе G/Z (где Z — центр группы G) и обозна-
обозначаемую через IntG. Соответственно этому их дифференциалы Adg,
g&Gr называемые внутренними автоморфизмами алгебры Ли g?
образуют нормальную подгруппу группы Autg. Эта подгруппа обо-
обозначается через Intg.
Факторгруппу AutG/IntG (соотв. Autg/Intg) называют группой
внешних автоморфизмов группы Ли G (соотв. алгебры Ли д)'.
В случае односвязной группы G имеется естественный изоморфизм
Aut G/Int G ^ Aut g/Int g.
Группа Intg, будучи образом группы G при ее присоединенном
представлении, является виртуальной подгруппой Ли группы Autg,
(Однако она может не быть настоящей подгруппой Ли: см. упраж-
упражнение 19.)
Касательной алгеброй группы Autg является алгебра Derg диф-
дифференцированной алгебры g (пример 2 п. 3). Касательной алгеброй
группы Intg является образ алгебры g при гомоморфизме
ad = d Ad: g->Derg
(задача 32). Это, в частности, показывает (см. следствие 2 теоре-
теоремы 7), что группа Intg не зависит от выбора группы G среди связ-
связных групп Ли, имеющих g своей касательной алгеброй.
Дифференцирования вида ad|, ?eg, называются внутренними
дифференцированиями алгебры Ли д.
Задача 36. Внутренние дифференцирования образуют идеал
в алгебре Ли Derg. Более точно,
[Д ad?] = ad?>? B0)
для любых D e Der g, § ^ g.
Примеры. 1. Если g — коммутативная алгебра Ли, то
Aut g = GL (g), Int g = Ш.
2. Пусть g — алгебра Ли нильтреугольных (треугольник с ну-
нулями на диагонали) матриц 3-го порядка. Это касательная алгебра
группы Ли унитреугольных матриц 3-го порядка. Ее базис состав-
составляют матрицы
/О 1 0\ /0 0 0\
Х = \0 О О I Y = 0 0 1 1 Z =
\0 0 0/ \0 0 0/
удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[X, Y\ = Z, [X,Z] = [Y,Z\ = 0.
Подпространство 3 = <Z> является центром алгебры д. Любой ав-
автоморфизм должен переводить $ в себя, т. е. умножать Z на число
с Ф 0. Непосредственно проверяется, что при этом в факторпро-
странстве д/& должно индуцироваться линейное преобразование с
определителем с. Обратно, всякое линейное преобразование с этими

44 гл. 1. группы ли
свойствами является автоморфизмом алгебры g. Что касается внут-
внутренних автоморфизмов, то они имеют вид
X^X + aZ, Y^Y + bZ, Z^Z (a, be К).
Группа Intg в данном случае является подгруппой Ли группы
Autg и изоморфна двумерной векторной группе. Факторгруппа
Autg/Intg (группа внешних автоморфизмов алгебры g) изоморфна
группе GL2(K).
11. Касательная алгебра полупрямого произведения групп Ли.
Полупрямым произведениям групп Ли соответствуют полупрямые
суммы алгебр Ли.
Полупрямой суммой алгебр Ли & и g2 называется прямая сум-
сумма векторных пространств 9t и g2, снабженная операцией коммути-
коммутирования по формуле
Ши Ы, (л., лО] = (U., Tii] + P(iiLi-PD»Mi, ft.,nJ)', B1)
где |J — некоторый гомоморфизм алгебры Ли g2 в алгебру Ли Dergt.
Мы будем обозначать полупрямую сумму через gi Ф g2 или, точнее,
через 6i Ф g2-
Задача 37. Полупрямая сумма алгебр Ли является алгеб-
алгеброй Ли.
Элементы вида (§i, 0) (соотв. @, |2)) образуют в бх Ф92 ПОД~
алгебру, изоморфную gt (соотв. g2), которую обычно отождествляют
с gt (соотв. с g2). Подалгебра gt является идеалом, причем
[Ь, Е,] = рA,N« (S.efl«, l.€fl*). B2)
Подалгебра g2 является идеалом тогда и только тогда, когда р = 0;
в этом случае полупрямая сумма совпадает с прямой суммой
Пример. Пусть V — некоторое векторное пространство, рас-
рассматриваемое как коммутативная алгебра Ли. Тогда Dery = gI(V).
Для любого линейного представления р: g-^gHF) алгебры Ли g
можно образовать полупрямую сумму ^Ф8, которая также яв-
г Р
ляется алгеброй Ли. Пространство V является в ней коммутатив-
коммутативным идеалом.
Говорят, что алгебра Ли g разлагается в полупрямую сумму
подалгебр gi и g2, если:
1) подалгебра gi является идеалом;
2) алгебра g как векторное пространство является прямой сум-
суммой подпространств gi и g2.
В этом случае имеет место изоморфизм
где р: йг-."*" Dergi — гомоморфизм, определяемый формулой B2),
В этой ситуации мы будем писать g =gx 6) g2 или g = g2 ф g1#

§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 45
Теорема 9. Касательная алгебра полупрямого произведения
G± X G2 групп Ли Gt и G2 есть полупрямая сумма gx Ф 92 их па~
ь э
сателъных алгебр & и д2. При этом $ = dB, где В: G2-^Autg! —
гомоморфизм групп Ли, определяемый условием B(g2) = d(b(g2))
(g2^G2).
Задача 38. Доказать эту теорему.
Примеры. 1. Пусть R: G-+ GL(V) — линейное представление
группы Ли G. Касательной алгеброй полупрямого произведения
V \G (см. пример 1 п. 1.11) является полупрямая сумма V Ф $%
R Р
где р = dR.
2. Группа Ли GA(V) аффинных преобразований векторного
пространства V отождествляется с полупрямым произведением
V\GL(V) (см. пример 2 п. 1.11). При этом ее касательная
Id
алгебра отождествляется с полупрямой суммой V ф $1 (F), где
id
id — тождественное линейное представление алгебры Ли gl(F) в
пространстве V.
Задача 39. Пусть G4 и G2 — односвязные группы Ли. Для
любого гомоморфизма р: 82-^Derg! существует такой гомоморфизм
Ъ: G2->-AutGi, что определяемое им действие группы G2 на Gt
дифференцируемо и касательная алгебра полупрямого произведения
(?! X G2 естьдх ф fl2.
ь р
Упражнения
1. Касательная алгебра группы невырожденных треугольных матриц есть
алгебра Ли всех треугольных матриц.
2. Пусть А — конечномерная ассоциативная алгебра с единицей 1 над по-
полем К. Мультипликативная группа А* обратимых элементов алгебры Л, снаб-
снабженная дифференцируемой структурой как открытое подмножество простран-
пространства А, есть группа Ли. При каноническом отождествлении касательного про-
пространства Ti(A*) с пространством А операция коммутирования в касательной
алгебре группы А* задается формулой [?, ц] = ?т] — л!-
3. В обозначениях п. 1, определим в пространстве Te(G) билинейную опе-
операцию * по формуле
I * Л = <*(?,^П) +а(лД).
Выбирая подходящую систему координат, можно сделать так, что эта операция
будет совпадать с любой наперед заданной коммутативной билинейной опера-
операцией в пространстве Te(G).
4. Касательная алгебра централизатора Z(g) элемента g группы Ли G (см.
упражнение 1.6) совпадает с подалгеброй
b(g) = {le=Q\(Adg)l = i}.
5. Пусть | — элемент касательной алгебры g группы Ли G. Его централи-
централизатор Z(%) в группе G, определяемый равенством
является подгруппой Ли, касательная алгебра которой совпадает с подал-

46 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ
геброй
3A) = {ц е д| [|, г)] = 0}
(называемой централизатором элемента | в алгебре Ли д).
6. Пусть Н — связная подгруппа Ли группы Ли G. Ее нормализатор
N(H) = {s-eEGlgtfg-1 = #}
является подгруппой Ли, касательная алгебра которой совпадает с подал-
подалгеброй
и($)—{? ^ 8 I [?> $] <и &}
(называемой нормализатором подалгебры f) в алгебре Ли д).
7. Касательная алгебра группы Un состоит из всех косоэрмитовых матриц
порядка п.
8. Вывести тождество Якоби в касательной алгебре группы Ли G непо-
непосредственно из ассоциативности умножения в группе G, рассмотрев члены
степеней ^Зв разложении Тейлора координат произведения трех элементов,
близких к единице.
9. Для группы Ли GLn (С) экспоненциальное отображение сюръектив-
но, но не открыто и не инъективно.
10. Для группы Ли SL2(\R) экспоненциальное отображение не сюръ-
ективно.
11. Если касательная алгебра связной группы Ли G коммутативна, то и
группа G коммутативна.
12. Всякая некомпактная связная одномерная комплексная группа Ли изо-
изоморфна С или С*.
13. Всякая компактная связная одномерная комплексная группа Ли изо-
изоморфна группе Ли вида А (и) = C/(Z + 7 м), где меС, ini и > 0. Группы
Ли А (и) и A(v) изоморфны (как комплексные группы Ли!) тогда и только
аи + Ъ (а Ь\
тогда, когда v= ш+ d, где I Л е= SL2 A).
14. Всякая связная компактная комплексная группа Ли G коммутативна.
(Указание: доказать, что для любого | е g линейное преобразование ad ? диа-
гонализируемо и имеет чисто мнимые собственные значения.)
15. Если центр Z связной группы Ли G дискретен, то центр факторгруппы
G/Z тривиален.
16. Связная группа Ли нильпотентна (как абстрактная группа) тогда и
только тогда, когда ее касательная алгебра нильпотентна. (Алгебра Ли g назы-
называется нилъпотентной, если существует такая последовательность подалгебр
g = g0 id gi id ... id gm_i id gm = 0,
что [g, дг*] cz дг-+1.) (Указание: доказать, что центр связной нильпотентной груп-
группы Ли имеет положительную размерность.)
17. Связные компоненты открытых множеств индуцированной топологии
виртуальной подгруппы Ли составляют базу ее внутренней топологии.
18. Пусть g — алгебра Гейзенберга, т. е. алгебра Ли с таким базисом
(#i, ..., хп, у и • • •» Уп, ^), что [xi, у i] = Z{ (i = 1, ..., п), а все остальные ком-
коммутаторы базисных элементов равны нулю. Найти группы Aut g, Int g и
Aut g/Int g.
19. Пусть g — алгебра Ли треугольных комплексных матриц 3-го порядкаг
диагональные элементы х\, х2, хг которых удовлетворяют условию х\ : х2: х3 =
= с\ : с2: сз, где ci, c2, с3 — фиксированные вещественные числа. Группа Int g
является подгруппой Ли в Aut g тогда и только тогда, когда разности с\ — с2
и с2 — сз соизмеримы.
20. Пусть группа Ли G разлагается (как абстрактная группа) в полупря-
полупрямое произведение виртуальных подгрупп Ли G\ и G2. Тогда G\ и G2 — настоя-
настоящие погруппы Ли.

§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 47
Указания к задачам
4. Применить задачу 3 к тождественному вложению подгруппы в группу.
5. Найти коэффициент при t многочлена det (Е + tX).
6. Применить задачу 3 к каноническому гомоморфизму р: G-+G/H.
7. В определениях представлений Ad и Sq положить А = Е + tY и продиф-
продифференцировать по t при t = 0.
10. Достаточно доказать эти формулы для разложимых тензоров / и F со-
соответственно. Это делается с помощью задач 8 и 9. Другой возможный путь —
дифференцировать по А (в точке Е) формулы A.1) и A.2).
12. Проще всего исходить из соотношения (gxg~l)g = gx.
15. Разложение Тейлора координат g% (соотв. |#) получается из разло-
разложения Тейлора координат группового произведения выбором членов, линей-
линейных по второму (соотв. первому) множителю.
19. Применить теорему 5 к гомоморфизму Т: G-*GL(V) и подгруппе Ли
GL(V; U) с GL(V) (см. решение задачи 1.24).
20. Применить теорему 5 к тождественному вложению Gx a G и подгруп-
подгруппе G2 c= G.
21. Подгруппа Н нормальна тогда и только тогда, когда она инвариантна
относительно внутренних автоморфизмов группы G. В силу задачи 20 это
эквивалентно тому, что ее касательная алгебра Ь инвариантна относительно
присоединенного представления группы G. Далее применить задачу 19 и
теорему 2.
22. Если g(t) —однопараметрическая подгруппа, то
dg(t) dg(s + t)
dt dt
Обратно, если путь g(t) удовлетворяет уравнению A5) с % (t) = const, то при
любом фиксированном seK путь h(t) ~g{t-\-s) удовлетворяет тому же
уравнению с начальным условием h@) = g(s); если, кроме того, g(Q) = e,
то h(t) =g(t)g(s).
23. Сделать линейную замену переменной t в уравнении A5).
24. Диффенцируемость в окрестности нуля следует из теоремы о диффе-
дифференцируемой зависимости решения системы дифференциальных уравнений от
параметров. Дифференцируемость в целом можно доказать, воспользовавшись
/ I \m
тем, что в силу предыдущей задачи expg = f ехр — I при любом meZ.
27. Доказать, что (Adexpfg)T] = т], и затем, что
d
•?? (ехр ?§-ехр Щ) = (?'+ г]) exp ?g-exp tr\.
30. Индукцией по п доказать, что Г порождается линейно независимой си-
системой векторов. Для этого выбрать какой-нибудь неделимый вектор е^Г
и доказать, что Г/Z^— дискретная подгруппа (п — 1)-мерной векторной
группы Rn/lRer
31. Воспользоваться тем, что о (ехр ?) = ехр cZa(g) при | е д.
32. Воспользоваться задачей 1.16.
33. Окрестность Он(е) и подмногообразие S cz G строятся так же, как в
решении задачи 1.19. Счетность Т вытекает из того, что в группе Н не может
быть более чем счетного семейства попарно не пересекающихся открытых под-
подмножеств. Для доказательства последнего утверждения следует воспользовать-
воспользоваться тем, что всякое счетное подмножество пространства lRn вполне несвязно.
34. Для доказательства первого утверждения теоремы нужно доказать, что
тождественное вложение G{ в Gi дифференцируемо. С помощью задачи 33, при-
примененной к подгруппе G2, показывается, что достаточно малая связная окрест-
окрестность единицы группы G\ содержится в окрестности единицы группы G% яв-
являющейся подмногообразием в G. Это и дает требуемую дифференцируемость.

48 гл. I. группы ли
Вторая часть теоремы доказывается аналогично теореме 5.
35. Из дифференцируемости действия группы Autg на g и перестановоч-
перестановочности автоморфизмов с экспоненциальным отображением следует дифферен-
цируемость отображения
AntGxG-^G, (a, g)*-+a{g),\ B3)
на AutGy^O(e), где О(е) —некоторая окрестность единицы группы G. С дру-
другой стороны, из теоремы о дифференцируемой зависимости решения системы
дифференциальных уравнений от параметров следует, что a(g) дифференци-
дифференцируемо по а при любом g. Дифференцируемость отображения B3) в любой точ-
ке(сс0, go) вытекает после этого из равенства a(g) = a(go)a{g~1g).
39. Искомый гомоморфизм Ъ получается из р «интегрированием» — проце-
процедурой, обратной той, которая описана в формулировке теоремы 9. Дифферен-
Дифференцируемость определяемого им действия группы G2 на G\ вытекает из задачи 35.
§ 3. Связность и односвязность
Как мы видели в § 2 (теоремы 2.4 и 2.6), свойства связности и
односвязности играют важную роль уже в самых основах теории
групп Ли. Поэтому мы посвящаем им отдельный параграф.
Определение фундаментальной группы и доказательства исполь-
используемых в этом параграфе топологических теорем (существование
односвязного накрывающего пространства, точность гомотопиче-
гомотопической последовательности локально тривиального расслоения) мож-
можно найти, например, в [53]. Следует иметь в виду, что эти теоремы
справедливы и естественно доказываются для более общих тополо-
топологических пространств и их отображений, чем дифференцируемые
многообразия и дифференцируемые отображения, с которыми мы
имеем дело в этой книге.
1. Связность. Топологическое пространство называется связным,
если его нельзя представить в виде объединения двух непересекаю-
непересекающихся непустых открытых подмножеств, и линейно связным, если
любые две его точки можно соединить непрерывным путем. Для
дифференцируемого многообразия эти понятия совпадают. Более
того, любые две точки связного дифференцируемого многообразия
можно соединить дифференцируемым путем. Связные компоненты
дифференцируемого многообразия открыты и замкнуты. Из предпо-
предположения о наличии счетной базы следует, что дифференцируемое
многообразие имеет не более чем счетное число связных компонент.
Теорема 1. Связная компонента G0 группы Ли G, содержащая
единицу, является нормальной подгруппой Ли. Прочие связные
компоненты суть смежные классы по G0. Факторгруппа G/G°
дискретна.
Задача 1. Доказать эту теорему.
Задача 2. Всякая открытая подгруппа группы Ли G замкну-
замкнута и содержит G0.
Задача 3. Связная группа Ли порождается (как абстрактная
группа) любой своей окрестностью единицы.

§ 3. СВЯЗНОСТЬ И ОДНОСВЯЗНОСТЬ 49
Задача 4. Всякая замкнутая подгруппа конечного индекса
группы Ли открыта.
Теорема 2. Пусть G — группа Ли и а — ее транзитивное дей-
действие на связном дифференцируемом многообразии X.
Тогда
1) группа G0 также транзитивно действует на X;
2) G/G° ^ GJ (Gx П G0) для любой точки х е= X;
3) если для некоторой точки х^Х стабилизатор Gx связен, то
и группа G связна. .
Задача 5. Доказать эту теорему.
С помощью теоремы 2 нетрудно исследовать связность класси-
классических линейных групп Ли.
Задача 6. Группа Ли SLn(K) связна.
Задача 7. Группа Ли Оп(К) имеет две связные компоненты.
Ее связная компонента, содержащая единицу, есть подгруппа
SOn(K) унимодулярных ортогональных матриц.
Матрица четного порядка п называется симплектической, если
соответствующее линейное преобразование пространства Кп сохра-
/ О Е\
няет кососимметрическую билинейную форму с матрицей-! # qr
Группа симплектических матриц обозначается через Spn(K). Это
группа Ли размерности п(п+ 1)/2 (см. пример 2 п. 1.5).
Задача 8. Группа Ли Spn (К) связна.
Рассмотрим более сложный пример. Пусть k, Z>0, кЛ-1 = п.
Вещественная матрица порядка п называется псевдоортогоналъной
матрицей сигнатуры (к, I), если соответствующее линейное преоб-
преобразование сохраняет квадратичную форму q (#)=#i+ ••• +[xl—
— х\+1 — ... — х%. Группа псевдоортогональных матриц сигнатуры
(к, I) обозначается через OKt. Это группа Ли размерности
п(п — 1)/2 (см. пример 1 п. 1.5). Очевидно, что Okji^Oijk.
Как и в случае обычных ортогональных матриц, подгруппа SOkt t
унимодулярных псевдоортогональных матриц является открытой
подгруппой индекса 2 группа Oh г. Однако мы сейчас увидим, что
она не связна.
Задача 9. У любой псевдоортогональной матрицы А^ОК1
левый верхний минор АЛ(Л) порядка к отличен от нуля.
В группе SOK i существуют матрицы как с положительным, так
и с отрицательным угловым минором Ak. Их легко найти уже среди
диагональных матриц. Так как подмножества, выделяемые нера-
неравенствами Ak > 0 и АА < 0, открыты, то группа SOK г не связна.
Задача 10. Группа Ли SOKi имеет две связные компоненты.
Связная компонента, содержащая единицу, выделяется условием
Aft>0.
2. Накрывающие гомоморфизмы. Основной метод теории групп
Ли состоит в том, что изучение групп Ли заменяется изучением их
касательных алгебр. Границы применимости этого метода зависят
4 Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

ЪО гл. 1. группы ли
от того, в какой мере группа Ли определяется своей касательной
алгеброй. Это в полной мере справедливо для односвязных групп
Ли (следствие теоремы 2.6), а для произвольных связных групп Ли
справедливо лишь с точностью до накрытий.
Напомним, что накрытием называется локально тривиальное
расслоение с дискретным слоем.
Задача 11. Пусть /—гомоморфизм группы Ли G на группу
Ли Н. Следующие условия эквивалентны:
1) / диффеоморфно отображает некоторую окрестность единицы
группы G на некоторую окрестность единицы группы Я;
2) ядро / дискретно;
3) / является накрытием;
4) df является изоморфизмом касательных алгебр.
Гомоморфизмы, удовлетворяющие условиям этой задачи, будем
называть накрывающими гомоморфизмами.
Примеры. 1. Гомоморфизм
является накрывающим, так как его ядро 2я2 дискретно.
2. Рассмотрим присоединенное представление Ad группы Ли
SL2 (С). Преобразования Ad A: X^ AX A (A е= SL2 (С)Де &12 (С))
сохраняют функцию det, являющуюся невырожденной квадратичной
формой на *12 (С), так что Ad SL2 (Q cz 0(*Ia (С), det) ~ O3 (Q.
Ядро Ad есть центр группы SL2 (С), который состоит из матриц
Еж -Е. Так как dim SL2 (Q = dim О3 (С) = 3 и группа SL2 (Q
связна, то Ad SL2 (С) совпадает со связной компонентой группы
0(*V(C), det), т. е. с подгруппой S0(*I2(C), det)^503(C). Таким
образом, существует накрывающий гомоморфизм SL2(C)-+SO3(C)t
ядро которого состоит из матриц Е и —Е.
Задача 12. Всякая дискретная нормальная подгруппа связной
группы Ли содержится в ее центре.
Таким образом, для заданной связной группы Ли G описание
накрывающих гомоморфизмов G-+ И сводится к описанию ее дис-
дискретных центральных подгрупп.
3. Односвязная накрывающая группа Ли. Связное дифференци-
дифференцируемое многообразие называется односвязным, если всякий замкну-
замкнутый путь в нем гомотопен тривиальному. Известно, что всякое связ-
связное дифференцируемое многообразие может быть накрыто односвяз-
односвязным многообразием. Для краткости речи такое накрытие будем на-
называть односвязным.
Имеет место следующее функториальное свойство.
(F) Пусть X, Y — связные многообразия, /: Х-^Г — дифферен-
дифференцируемое отображение, р: X -+ X ш q: Y-^Y — односвязные накры-
накрытия. Для любых точек х0 еХ, г/ое ?, удовлетворяющих условию
f(p{xo)) = yo, существует единственное дифференцируемое охобра-

§ 3. СВЯЗНОСТЬ И ОДНОСВЯЗНОСТЬ 51.
жеиие /: X ->• F, такое, что диаграмма
X-^Y
XTY
коммутативна и / (х0) = у0.
В этой ситуации мы будем говорить, что / накрывает /.
Пусть р: X -+ X— односвязное накрытие. Диффеоморфизмы мно-
многообразия X, накрывающие тождественный диффеоморфизм много-
многообразия X, образуют группу Т(р), называемую группой накрытия
р. Согласно свойству (F), для любых точек хи х2^Х, удовлетворя-
удовлетворяющих условию p{Xi) = р(х2), существует единственный элемент
группы Г(р), переводящий af4 в х2.
Группа Т(р) изоморфна фундаментальной группе nl(X) много-
многообразия X, причем изоморфизм осуществляется следующим образом.
Пусть х0 — фиксированная точка многообразия X и Хо = р(х'о)~
Тогда каждому элементу ^ группы Т(р) сопоставляется класс замк-
замкнутых путей на X с началом в х0, которые являются образами при
отображении р путей на X, соединяющих х0 с ^(х0).
Теорема 3. Всякая связная группа Ли G изоморфна фактор-
факторгруппе G/N, где G— односвязная группа Ли, а N—ее дискретная
центральная подгруппа. Пара (G, N) определена этими условиями
однозначно с точностью до изоморфизма, т. е. если (Gt, Nt) и*
(G2, N2)— две такие пары, то существует изоморфизм группы Ли Gi
на группу Ли G2, переводящий N^ в N^.
Канонический гомоморфизм G -*¦ G/N является накрытием; по-
поэтому группа G называется односвязиой накрывающей группой Ли,
для группы Ли G.
Доказательство. Пусть р: J?-+G — односвязное накрытие
группового многообразия G и ё ^ G — какой-либо прообраз едини-
единицы е группы G. Отображение рХр: GXG-*¦ GXG является одно-
связным накрытием многообразия GXG. Определим умножение
\i: GXG -^G как накрывающее отображение для умножения \i в
группе G, переводящее точку (е, е) в е, и инверсию i: G-+G как
накрывающее отображение для инверсии i в группе G, переводящее
точку ё в себя.
Задача 13. Умножение и, и инверсия t на многообразии G
удовлетворяют групповым аксиомам с точкой ё в качестве единицы.
Таким образом, многообразие G превращено в группу Ли. Из
определения умножения в G следует, что р — гомоморфизм. Его
ядро Л^есть дискретная центральная подгруппа (задачи 11 и 12)
и G^G/N (теорема 1.5).
Пусть теперь Gu G2 — односвязные группы Ли, Nu N2 — их дис-
дискретные центральные подгруппы и /: Gi/Ni ->• G2/N-2 — изоморфизм
групп Ли. Канонические гомоморфизмы рх: Gi -+¦ Gi/Nt и р2: G2 ->¦
-^ G2/N2 являются накрытиями. Согласно свойству (F) существует
4*

52 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ
диффеоморфизму f: Gt ->¦ &2, накрывающий / и переводящий едини-
единицу ei группы Gi в единицу ё2 группы G2. Из коммутативной диа-
диаграммы
следует, что f{)
Задача 14. Отображение / является групповым изоморфизмом.
Тем самым теорема доказана.
Задача 15. В предположениях теоремы N — fti (G).
В частности, отсюда следует, что фундаментальная группа
jti(G) любой связной группы Ли G коммутативна.
Из теоремы 3 (и следствия теоремы 1.6) вытекает, что связные
группы Ли, касательная алгебра которых изоморфна заданной ал-
алгебре Ли, если они существуют, описываются следующим образом:
среди них имеется ровно одна, с точностью до изоморфизма, одно-
связная, а остальные получаются из нее факторизацией по всевоз-
всевозможным дискретным центральным подгруппам. В главе 6 будет по-
показано, что для всякой конечномерной алгебры Ли g существует
группа Ли, касательная алгебра которой изоморфна g.
Теорема 3 может рассматриваться как обобщение того описания
связных коммутативных групп Ли, которое было получено в п. 2.7.
4. Точная гомотопическая последовательность. Для вычисления
фундаментальных групп групп Ли используют фрагмент точной
гомотопической последовательности локально тривиального рас-
расслоения.
Пусть X, Y—связные дифференцируемые многообразия, р: Х-*-
-*¦ У— локально тривиальное расслоение со слоем Z. Пусть i: Z-+¦
->¦ X—диффеоморфизм многообразия Z на полный прообраз р{уо)
базисной точки у0 многообразия Y. Базисные точки х0 и z0 многооб-
многообразий X и Z будем считать выбранными так, что i(zo) = xo и, зна-
значит, р(хо) = уо. Тогда определены канонические гомоморфизмы
р*: ях(Х, ^-^(У, у о) г
i*: nx(Z,-ZoJ-^n^X, x0).
Пусть, далее, no(Z) — множество связных компонент многообразия
Z. Для каждого замкнутого пути A на Y с началом в у0 существует
такой путь а на X с началом в х0, что р{ос) = р. Связная компонен-
компонента многообразия Z, в образе которой лежит конец пути а, зависит
только от класса гомотопии пути р. Тем самым определено отобра-
отображение
д: Я!(У, yo)-+no(Z)
Нужный нам отрезок точной гомотопической последовательности

§ 3. СВЯЗНОСТЬ И ОДНОСВЯЗНОСТЬ 53
имеет вид
Точность означает здесь следующее:
К 1
2) слои отображения д суть смежные классы группы %i(Y) по
подгруппе 1т. р%;
3) отображение д сюръективно.
Кроме того, если tt2(Y) = 0, т. е. всякое непрерывное отображе-
отображение двумерной сферы в многообразие Y гомотопно тривиальному,
то гомоморфизм г* инъективен.
Применим сказанное к локальному тривиальному расслоению
р: G -*¦ GIH, где G — связная группа Ли, Н — ее подгруппа Ли. В ка-
качестве базисной точки на G и Н возьмем единицу е группы G, на
G/H—точку р(е) = Н; отображение i определим как тождественное
вложение.
В этом случае я0 (Z) есть группа Н/Н°. Пусть i — инверсия в
этой группе.
Задача 16. Отображение
является гомоморфизмом.
Таким образом, справедлива
Теорема 4. Пусть G — связная группа Ли, р: G-+G/H— ка-
каноническое отображение, i: Н'->¦ G — тождественное вложение.
Тогда имеется следующая точная последовательность групп и го-
гомоморфизмов:
пг (Н) ^ кх (G) -*> п± (G/H) *Л Н/Н°-* 0.
Кроме того, если я2(С/Я) = 0, то гомоморфизм i% инъективен.
Следствие 1. Если tti(G/H) = n2(G/H) = 0, то Ui(G)^ JTi(#).
Следствие 2. Если группа G односвязна, то Ui (G/H) ^ Н/Н°.
Применим следствие 1 к вычислению фундаментальных групп
классических комплексных групп Ли.
Задача 17. Группы Ли SLn (Q и Spn (С) односвязны.
Так как SOS (С) ^ SL2 (Q/{E, — Е} (см. пример 2 п.~2}~ и группа
SL9(C) односвязна, то nt (SOS (С)) ^ Z2-
Задача 18. пг (SOn (C)j ^ Z2 при п > 3.
Упражнения
1. Группа GLn (С) связна, а группа GLn (К) имеет две связные ком-
компоненты.
2. Группы Un и SUn связны.
3. При k, I > 0 группа OhX\0\^ есть прямое произведение двух цикли-
циклических групп второго порядка.
4. Построить накрывающий гомоморфизм SU2-+SO3.

54 гл. 1. группы ли
5. Пусть задано действие а односвязной группы Ли G на связном диф-
дифференцируемом многообразии X и пусть р: X->¦ X — односвязное накрытие.
Тогда существует такое действие а группы G на X, что p(a(g)x) = a(g)p(x).
6. Группы Ли SUn и Spn (см. упражнение 1.3) односвязны.
7. n1(SOn) ~12 при гс>3.
8. Всякая связная двумерная вещественная группа Ли либо коммутативна*
либо изоморфна группе аффинных преобразований прямой, сохраняющих ори-
ориентацию.
Указания к задачам
1. Воспользоваться тем, что инверсия, левые и правые сдвиги и внутрен-
внутренние автоморфизмы суть диффеоморфизмы группового многообразия и поэто-
поэтому могут лишь переставлять связные компоненты.
2. Открытая подгруппа замкнута, так как дополнение к ней есть объеди-
объединение смежных классов, каждый из которых также является открытым под-
подмножеством.
3. Доказать, что подгруппа, порожденная окрестностью единицы, откры-
открыта, и воспользоваться задачей 2.
5. Пусть жеХВ силу теоремы 1.1 rkax = dim.X. Применяя ту же теорему
к ограничению действия а на подгруппу G°, находим, что орбита a(G°)x со-
содержит окрестность точки х. Следовательно, все орбиты группы G0 открыты
в X. Так как X связно, то на самом деле имеется только одна орбита, т. е.
группа G0 действует транзитивно на X. Следовательно, в каждой связной ком-
компоненте группы G имеется элемент подгруппы Gx (для любой заданной точки
ieI). Отсюда выводятся остальные утверждения теоремы.
6. Рассмотреть естественное действие группы SLn(K) в проколотом прост-
пространстве i?n\{0}. Доказать, что стабилизатор диффеоморфен SLn-\{K) X Кп~1.
7. Очевидно, что SOn(K) —открытая подгруппа индекса 2 группы Оп(К).
Поэтому достаточно доказать, что группа SOn(K) связна. Для этого следует
рассмотреть ее естественное действие на сфере х* + ... + я* =1 и доказать,
что стабилизатор изоморфен SOn-\(K).
8. Рассмотреть естественное действие группы Spn(K) в проколотом прост-
пространстве Кп\{0}. Доказать, что это действие транзитивно и что стабилизатор
диффеоморфен Spn-2(K) X ^п~1.
9. Если Ak(A) = 0, то образ подпространства, натянутого на первые к ба-
базисных векторов, имеет ненулевое пересечение с подпространством, натяну-
натянутым на последние I базисных векторов. Это невозможно, так как на первом
из этих подпространств квадратичная форма q положительно определена,
а на втором — отрицательно определена.
10. При к ^ 2 рассмотреть действие группы SOk, i на гиперболоиде
Доказать, что это действие транзитивно и что стабилизатор изоморфен SOk-\, и
Воспользовавшись тем, что SOk, i ~ SOi,h, доказать, что число связных ком-
компонент группы SOk, i не превосходит числа связных компонент группы $О1Лу
которое равно двум.
12. Пусть N — дискретная нормальная подгруппа связной группы Лп G.
Для любого п ge N рассмотрим отображение
G-+N, g^gng.
Его образ связен и, следовательно, состоит из одной точки п. Это означает,
что п принадлежит центру группы G.
13. Ассоциативность умножения \х следует из того, что каждое из отобра-
отображений ^ ^
GXGXG-+G, (х, ^, 7) ь-> [Г (JT (х, у), ^),

§ 3. СВЯЗНОСТЬ И ОДНОСВЯЗНОСТЬ 55
является накрывающим для отображения
GXGXG-+G, (х,у, z)^
и переводит точку (е, е, 7) в е. Аналогично доказывается, что \х{х, i{x))
= \i(i(x), x) = е и \х(х, е) .= ц(е, х) = х.
14. Каждое из отображений
накрывает отображение
G1/N1 X 3^ -> G2/iV2, (л;, y)^f(x у),
и переводит точку (еь ?i) в ё2. Следовательно, f(?*/) = f(x)f(y).
15. Пусть р: G -> G — накрывающий гомоморфизм с ядром N. Доказать, что
группа Т(р) состоит из умножений на элементы подгруппы Лт.
16. Пусть Pi, P2 — замкнутые пути на G/H с началом в точке р(е) и аь
а2 —такие пути на G с началом в точке е, что p(ui) = pi, /?(a2) = Рг. Пусть
путь cti кончается в точке hi e Я, путь а2 — в точке h2 e Я. Рассмотрим путь
о:2х, получающийся из а2 умножением справа на h\. Этот путь начинается в
точке h\ и кончается в точке h2hi. Имеем: р {cc^^J = р1р2. Это означает, что
при отображении д класс гомотопии пути ргр2 переходит в класс h2h[H0 =
== (h2H°) (hiH°), т. е. 5 — антигомоморфизм. Следовательно, iod — гомоморфизм.
17. Рассмотреть действие в проколотом пространстве ?п\{0}. (См. указа-
указания к задачам 6 и 8.)
18. При п > 3 рассмотреть действие группы SOn (С) ч на комплексной
сфере в пространстве Сп (см. указание к задаче 7). Доказать, что комплекс-
комплексная сфера гомотопически эквивалентна вещественной сфере той же раз-
размерности.
§ 4. Коммутант и радикал
Настоящий параграф посвящен топ части теории групп Ли, ко-
которая связана с конструкцией коммутанта. В нем будут определены
два противоположных типа групп Ли — разрешимые и полупростые.
Любая группа Ли составлена из групп этих двух типов в том смыс-
смысле, что она обладает связной разрешимой нормальной подгруппой
Ли, факторгруппа по которой полупроста.
1. Коммутант. Напомним, что коммутантом группы G называет-
называется подгруппа (G, G) = G\ порожденная всеми коммутаторами
(х, у) = хух~1у~1 (х, y^G). Эта подгруппа нормальна и является
наименьшей нормальной подгруппой, факторгруппа по которой
коммутативна.
Коммутантом алгебры Ли g называется подпространство [g, g] =
= fi', порожденное всеми коммутаторами [?, г\] (?, T]Gg). Это наи-
наименьший идеал, факторалгебра по которому коммутативна.
Теорема 1. Коммутант G' связной группы Ли G является
связной виртуальной подгруппой Ли с касательной алгеброй §\
Если группа G односвязна, то С — настоящая подгруппа Ли.

56 гл. 1. группы ли
Доказательство. Пусть вначале G — односвязная группа
Ли. Рассмотрим факторалгебру g/g'. Она коммутативна и поэтому
может быть отождествлена с касательной алгеброй подходящей
векторной группы Ли V. По теореме 2.6 канонический гомомор-
гомоморфизм ф: g-^g/g' является дифференциалом некоторого гомоморфиз-
гомоморфизма /: G-+V. Ядро гомоморфизма / обозначим через Я. Это нор-
нормальная подгруппа Ли, касательная алгебра которой совпадает с
ядром гомоморфизма ф, т. е. с g'. Так как факторгруппа G/H ^ V
коммутативна, то #=>G'; так как она односвязна, то подгруппа Н
связна (теорема 3.4).
Покажем, что подгруппа Gr содержит окрестность единицы
группы Н\ отсюда будет следовать, что Gr = H.
Задача 1. Для любых S, r|^g существует дифференцируемый
путь g(t) класса С1 в группе G, определенный в некоторой окрест-
окрестности нуля и обладающий следующими свойствами:
1) ' [ ]
) g{) , *@) [S, т]];
2) при любом t элемент g(t) является коммутатором в группе G.
Выберем теперь базис (?1? . . ., ?т) пространства g' над К, со-
состоящий из коммутаторов. Пусть gi{t), \t\ < ег,—путь, удовлетворя-
удовлетворяющий условиям задачи 1 для [|, ц] = ?г-. Обозначим через U окрест-
окрестность нуля в пространстве Кт, выделяемую неравенствами \tt\ < е,-,
и рассмотрим отображение
Из свойств путей gi(t) вытекает, что dof есть изоморфизм касатель-
касательных пространств (над 0?). Следовательно, f(U) содержит некото-
некоторую окрестность единицы группы Я; но /(t/)c=G/ и поэтому G'
также содержит окрестность единицы группы Н.
Для произвольной ^связной группы Ли G рассмотрим ее одно-
связное накрытие р: G -+- G. Согласно уже доказанному, G' — связ-
связная подгруппа Ли группы G с касательной алгеброй g'. Однако
очевидно, что G'=p(G'). Следовательно, Gr — связная виртуальная
подгруппа Ли группы G с касательной алгеброй d/?(g/)==g/ (за-
(задача 2.32). Теорема доказана.
Если группа G не односвязна, то G' может не быть настоящей
подгруппой Ли (см. упражнение 4).
Задача 2. Если G — связная группа Ли и g/ = g, то G' = G.
Задача 3. Группа SLn(K) совпадает со своим коммутантом.
2. Замыкание Мальцева. В касательной алгебре группы Ли мо-
могут существовать подалгебры, не отвечающие никаким подгруп-
подгруппам Ли.
Следующий пример является в определенном смысле показа-
показательным.
Задача 4. Одномерная подалгебра касательной алгебры груп-
группы Ли Тп, натянутая на элемент (iau ..., шп), где аг, ..., an^\Rf

§ 4. КОММУТАНТ И РАДИКАЛ 57
является касательной алгеброй некоторой подгруппы Ли тогда и
только тогда, когда числа аи .. ., ап соизмеримы.
Тем не менее, как мы сейчас увидим, всегда существует под-
подгруппа Ли, касательная алгебра которой «ненамного больше» за-
заданной подалгебры.
Теорема 2. Пусть {Hv} — произвольное семейство подгрупп
Ли группы Ли G. Тогда Н = f] Hv — также подгруппа Ли и ее ка-
V
сательная алгебра совпадает с}) = П f)v.
V
Задача 5. Доказать эту теорему.
Пусть теперь $ — произвольная подалгебра касательной алгебры
2 группы Ли G. В силу теоремы 2 существует наименьшая подгруп-
подгруппа Ли группы G, касательная алгебра У1 которой содержит f). Под-
Подалгебру \)м будем называть замыканием Мальцева подалгебры I).
Теорема 3. Пусть f> — подалгебра касательной алгебры груп-
группы Ли G и\)м — ее замыкание Мальцева. Тогда
(Г)' = *>'.
Доказательство. Применим задачу 1.25 к присоединенному
представлению группы G, взяв в качестве U и W подпространства
Ь и У соответственно. Мы получим, что
есть подгруппа Ли в G, причем ее касательная алгебра bt описыва-
описывается следующим образом:
Очевидно, что I) <= fh. Следовательно, и $м с: f)l7 т. е. [$м, Щ <= у.
Снова применим задачу 1.25, взяв на этот раз в качестве U под-
подпространство 1)м. Мы получим, что
есть подгруппа Ли и
По доказанному выше, I) <= 1J. Следовательно, и 1)м с= |J? а это и озна-
означает, что (Ъм)' <= У.
Задача 6. Замыкание Мальцева идеала есть идеал.
3. Существование виртуальных подгрупп Ли. Докажем теорему
2.8. Пусть I) — подалгебра касательной алгебры группы Ли G. Рас-
Рассмотрим ее замыкание Мальцева %м = f. По теореме 3 подалгебра Ь
заключена между f и Г = У. Пусть F — связная подгруппа Ли груп-
группы G, имеющая касательную алгебру f, и F — ее односвязная на-
накрывающая группа Ли. Так как F/Fr есть векторная группа, то в
ней существует связная подгруппа Ли. (подпространство векторного
пространства) с касательной алгеброй fy/ft7 czf/r. (Мы отождествля-

58 гл. i. группы ли
ем касательную алгебру группы F с f.) Следовательно, в самой
группе F существует связная подгруппа Ли Я с касательной алгеб-
алгеброй I). Образ этой подгруппы в F ж будет искомой виртуальной под-
подгруппой Ли группы G.
4. Разрешимые группы Ли. Напомним, что кратные коммутан-
коммутанты Gih) (/b = 0, I, 2, ...) группы G определяются по индуктивному
правилу
Группа G называется разрешимой, если существует такое т, что
Q(m) = {е}^ Всякая подгруппа и всякая факторгруппа разрешимой
группы разрешимы. Обратно, если нормальная подгруппа N<=-G и
факторгруппа G/N разрешимы, то и группа G разрешима.
Группа Ли называется разрешимой, если она разрешима как
абстрактная группа.
Пример. Важным для нас примером разрешимой группы Ли
является группа Вп = Вп{К) невырожденных треугольных матриц
порядка п над полем К. Обозначим через Вп,к (& = 1, ..., п) ее
подгруппу, состоящую из матриц А = (ау) с ац = 8ц при у — i< к.
Легко видеть, что Вп с Вп%1 и что отображение
А*-> (altk+i, a2ik-h2i • • •? an-k,n) A)
является гомоморфизмом группы Bnk на векторную группу Кп~к.
Ядро этого гомоморфизма совпадает с ВП)к+\. Следовательно, B'n%kcz
с Bn9k+1. Так как Вп>п = {е}, то В^ = {е}.
Аналогично, кратные коммутанты g(ft) (к = 0, 1, 2, ...) алгебры
Ли g определяются по индуктивному правилу
Алгебра Ли g называется разрешимой, если существует такое т,
что g(m) == 0. Всякая подалгебра и всякая факторалгебра разреши-
разрешимой алгебры Ли разрешимы. Обратно, если идеал n<=g и фактор-
алгебра g/tl разрешимы, то и алгебра g разрешима.
Пример. Касательной алгеброй группы Вп(К) является ал-
алгебра Ли Ъп = Ьп (К) всех треугольных матриц порядка п над но-
нолем К. Докажем, что она разрешима. Пусть Ьп, ъ. (& = 1, ..., п) —
ее подалгебра, состоящая из матриц X = (хц) с х% = 0 при j — i<k.
Легко видеть, что bndbn>1n что отображение A) является гомо-
гомоморфизмом алгебры ЬП)ь на коммутативную алгебру Ли. Ядро этого
гомоморфизма совпадает с bn>k+i. Следовательно, ЬПэ& с: bn,k+i- Так
как К,п = 0, то Ъ(п} = 0.
Индуктивное рассуждение показывает, что кратный коммутант
6r(ft) связной группы Ли G является ее связной виртуальной под-
подгруппой Ли с касательной алгеброй g(ft). Отсюда вытекает

§ 4. КОММУТАНТ II РАДИКАЛ 59
Теорема 4. Связная группа Ли G разрешима тогда и только
тогда, когда ее касательная алгебра разрешима. Более точно, G{m) =
«= {е) тогда и только тогда, когда g(mJ = 0.
Задача 7. Всякая нетривиальная разрешимая алгебра Ли раз-
разлагается в полупрямую сумму идеала коразмерности единица и одно-
одномерной подалгебры.
Применяя задачу 2.39, индукцией по dim g получаем отсюда,
что для всякой разрешимой алгебры Ли g существует односвязная
группа Ли, касательная алгебра которой изоморфна д. Одновремен-
Одновременно устанавливается следующий факт.
Задача 8. Всякая нетривиальная односвязная разрешимая
группа Ли разлагается в полупрямое произведение нормальной под-
подгруппы Ли коразмерности единица и одномерной подгруппы Ли
{изоморфной К).
5. Теорема Ли. Важнейшим средством изучения разрешимых
групп Ли является
Теорема 5. (Теорема Ли.) Пусть R: G -> GL(V)—комплекс-
GL(V)—комплексное линейное представление связной разрешимой (вещественной
или комплексной) группы Ли G. Существует одномерное подпро-
подпространство [/<= F, инвариантное относительно R(G).
Перед тем, как доказывать эту теорему, дадим некоторые опре-
определения и докажем некоторые простые утверждения, касающиеся
линейных представлений абстрактных групп.
Пусть R: G ->¦ GL(V) — линейное представление (над произволь-
произвольным полем) группы G. Для любого характера % группы G (см. опре-
определение в п. 1.4) положим
V%(G)={v^V\R{g)v = %(g)v для всех g^G). B)
Если V%(G)?=0, то характер % называется весом представления Д,
подпространство VX(G) — весовым подпространством, а его ненуле-
ненулевые элементы — весовыми векторами, отвечающими весу %. Иначе
говоря, веса представления — это характеры, входящие в него в ка-
качестве одномерных подпредставлений, а весовые векторы — это век-
векторы, порождающие одномерные инвариантные подпространства.
Задача 9. Весовые подпространства, отвечающие различным
весам, линейно независимы.
Из этого следует, в частности, что линейное представление мо-
может иметь лишь конечное число весов.
Пусть теперь // — нормальная подгруппа группы G.
Задача 10. Для любого характера % группы Я и любого эле-
элемента g^ G имеем
где %8{h)^%(g~4ig) при h^H.
Таким образом, операторы, соответствующие элементам группы
G, могут лишь переставлять весовые подпространства подгруп-
подгруппы Н.

60 гл. i. группы ли
Доказательство теоремы 5 проведем индукцией по dimG. Будем
считать, что dim G > 0, и предположим, что для групп, размерность
которых меньше, чем dimG, утверждение теоремы справедливо.
Перейдя к односвязной накрывающей группе Ли, можно свести до-
доказательство к случаю, когда группа G односвязна. В этом случае,
согласно задаче 8, имеем
где Н — нормальная подгруппа Ли коразмерности единица, а Р —
одномерная подгруппа Ли.
По предположению индукции существует одномерное подпро-
подпространство пространства V, инвариантное относительно R(H). Это
означает, что Vx(H)?=0 для некоторого характера % группы Н. Так
как операторы R{g), g^G, могут лишь переставлять весовые под-
подпространства группы Я, а группа G связна, то подпространство
V%(H) инвариантно относительно R(G) и, следовательно, относи-
относительно dR(g).
Пусть теперь § — ненулевой элемент касательной алгебры под-
подгруппы Р и U — какое-либо одномерное подпространство простран-
пространства Fx(#), инвариантное относительно сШ(?). Тогда оно инвари-
инвариантно относительно R(P) и, значит, относительно R{G). Теорема
доказана.
Задача 11. (Следствие.) В условиях теоремы, существует ба-
базис пространства F, в котором все операторы R(g), g^G, записы-
записываются (верхними) треугольными матрицами.
6. Радикал. Полупростые группы Ли.
Задача 12. Сумма разрешимых идеалов алгебры Ли является
разрешимым идеалом.
Следовательно, во всякой алгебре Ли g существует наибольший
разрешимый идеал. Он называется радикалом алгебры g. Мы будем
обозначать его через radg.
Теорема 6. Во всякой группе Ли G существует наибольшая
связная разрешимая нормальная подгруппа Ли. Ее касательная ал-
алгебра совпадает с radg.
Доказательство. Рассмотрим замыкание Мальцева (radg)M
радикала алгебры g. По теореме 3 ((radg)M)' = (radg)\ Следова-
Следовательно, (radg)M — разрешимая алгебра Ли. Согласно задаче б
(radg)M — идеал. Так как radg — наибольший разрешимый идеал
алгебры g, то (radg)M = radg. Это означает, что существует связная
подгруппа Ли i?c=G, касательная алгебра которой совпадает с radg.
Радикал алгебры g, как видно из его определения, инвариантен
относительно всех ее автоморфизмов. Следовательно, подгруппа R
инвариантна относительно всех автоморфизмов группы Ли G. В ча-
частности, она нормальна. По теореме 4 она разрешима.
Всякая связная разрешимая нормальная подгруппа Ли H<^G
должна содержаться в R, так как ее касательная алгебра |), будучи

§ 4. КОММУТАНТ И РАДИКАЛ 61
разрешимым идеалом алгебры g, содержится в radg. Таким образом,
R — наибольшая связная разрешимая нормальная подгруппа Ли
группы G.
Подгруппа, удовлетворяющая условиям теоремы 6, называется
радикалом группы Ли G. Мы будем обозначать ее через Rad G.
Группа Ли G (соотв. алгебра Ли g) называется полупростойг
если RadG = {e} (соотв. radg = O). Из теоремы 6 следует, что груп-
группа Ли полупроста тогда и только тогда, когда ее касательная ал-
алгебра полупроста. Для любой группы Ли G {соотв. алгебры Ли g)
факторгруппа G/RadG (соотв. факторалгебра g/radg) полу-
проста.
Задача 13. Алгебра Ли g полупроста тогда и только тогдаг
когда она не имеет ненулевых коммутативных идеалов.
В главах 4, 5 мы покажем, что классические группы Ли SLn(K)r
SOn(K) (тг^З), Spn{K) и некоторые другие являются полупро-
полупростыми. Наиболее трудная и содержательная часть теории групп
Ли — это теория полупростых групп Ли.
7. Комплексификация. Комплексные алгебры Ли устроены про-
проще, чем вещественные. Поэтому обычным приемом изучения ве-
вещественных алгебр Ли является их комплексификация. Для того
чтобы таким способом можно было что-то доказать, нужно знать,
какие свойства алгебр Ли сохраняются при комплексификации.
В этом пункте мы докажем, что к числу таких свойств относятся
разрешимость и полупростота.
Пусть V (С) = V ® к С — комплексификация вещественного век-
векторного пространства V. Каждый вектор zgF(C) единственным
образом представляется в виде z = х + iy, где х, у ^ V. Вектор z =
= х — iy называется комплексно сопряженным к вектору z. Опера-
Операция комплексного сопряжения является антилинейным преобразо-
преобразованием пространства F(Q. Поэтому если WczV(C)— подпро-
подпространство, то W — также подпространство.
Задача 14. Подпространство WaV(O является комплекси-
фикацией некоторого подпространства ?/<=F тогда и только тогда,
когда W = W.
Пусть теперь б(С)~б®кС— комплексификация вещественной
алгебры Ли g. Очевидно, что подпространство I) <= g является подал-
подалгеброй (соотв. идеалом) тогда и только тогда, когда его комплекси-
комплексификация \) (С) является подалгеброй (соотв. идеалом) алгебры
g(C). Комплексное сопряжение является антилинейным автомор-
автоморфизмом алгебры g(O»
Задача 15. (g(C))' = 9' (С).
Отсюда следует, что алгебра g (С) разрешима тогда и только
тогда, когда алгебра g разрешима.
Задача 16. radg (С) = (radg) (С).
Следовательно, алгебра g (С) полупроста тогда и только тогдаг
когда алгебра g полупроста.

'62 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ
Упражнения
1. Коммутант группы GLn(K) есть SLn(K).
2. Коммутант группы Оп(К) есть SOn(K).
3. Коммутант группы Un есть SUn.
4. Пусть Н — группа Ли унитреугольных вещественных матриц 3-го по-
порядка и О = (Н X Т)/Лг, где N — циклическая подгруппа, порожденная эле-
элементом
//1 0 1\ N
О 1 0 , с (ееТ).
\\0 0 1//
Если с — элемент бесконечного порядка в группе Т, то коммутант группы G
не является подгруппой Ли.
5. Подпространство касательной алгебры группы Ли Тп является каса-
касательным пространством некоторой подгруппы Ли тогда и только тогда, ког-
когда оно порождается векторами вида (iau ..., ian), где av ..., яп е Q.
6. Пусть а, Ь — такие подалгебры касательной алгебры группы Ли, что
[а, Ь] с а П Ь. Пусть ам, Ьм — их замыкания Мальцева. Тогда [ам, Ьм] =
г= [а, Ь]. (Здесь [а, В] обозначает подпространство, порожденное коммутатора-
коммутаторами [|, Г]], ГДе ?<=<*, !]¦€=&.)
7. Замыкание Мальцева коммутативной подалгебры является коммутатив-
коммутативной подалгеброй.
8. Если группа Ли (соотв. алгебра Ли) не полупроста, то в ней имеется
связная коммутативная нормальная подгруппа Ли (соотв. коммутативный иде-
идеал) положительной размерности.
9. Пусть R — связная разрешимая нормальная подгруппа Ли группы Ли G.
Если факторгруппа G/R полупроста, то R = Rad G.
10. Группа Ли SLn(K) полупроста.
11. Прямое произведение полупростых групп Ли является полупростой
группой Ли.
12. Пусть U — подпространство комплексного векторного пространства V.
Радикал группы Ли
GL(V; U) = {ie GL(V) \ AU с U}
состоит из всех преобразований А е GL(V; U), которые скалярно действуют
на U и на V/U.
13. Радикал комплексной группы Ли совпадает с радикалом этой же груп-
группы, рассматриваемой как вещественная группа Ли.
14. В любой нетривиальной связной разрешимой вещественной группе Ли
имеется связная нормальная подгруппа Ли коразмерности единица.
15. Пусть G — связная разрешимая вещественная группа Ли и Н — ее связ-
-ная нормальная подгруппа Ли коразмерности единица. Тогда G = Н \ Р, где
Р — некоторая связная одномерная подгруппа Ли.
Указания к задачам
1. Пусть х (t) и y(t) @ ^ t < е) — такие дифференцируемые пути в G,
что х@) = 1/@) = е, х'@) = |, /@) = т]. Тогда можно взять
I ИУ*), y{V't)) при *>0,
} 1ИУ=1), ПУ"))-1 при *<0.
3. Пусть Eij —матрица, у которой на месте (г, у) стоит единица, а на ос-
остальных местах — нули. Непосредственно проверяется, что при i ф /
[Ец —Ejj, Ец] = 2Eij,
Отсюда следует, что з1п(#У = *1п(К) и, значит, SLn(K)' = SLn(K).

§ 4. КОММУТАНТ И РАДИКАЛ 63
4. Если искомая подгруппа Ли существует, то она является образом
группы R при гомоморфизме К -> Тп, дифференциал которого переводит 1 в
(Ш1, ..., ian). Этот гомоморфизм имеет вид
/ галх ™пх\
ху-^\е х , ..., е п ).
Далее воспользоваться задачей 1.14.
5. Для конечного числа подгрупп утверждение составляет содержание за-
задачи 1.23. В общем случае подалгебра (] f)v совпадает с пересечением ко-
v
нечного числа подалгебр J)v, скажем,Dv , ..., 5V , и согласно предыдущему яв-
1 д
ляется касательной алгеброй подгруппы Ли Я= ffv П . • • П ^v*,* Для лю^°~
го v подгруппа Ли Я П Hv имеет ту же касательную алгебру, что и Я, и, сле-
следовательно, заключена между Я и Я0. Поэтому и группа Я заключена между
Я и Я0. Следовательно, она является подгруппой Ли, а ее касательная алгебра
совпадает с П 5 ,.
v v
6. Очевидно, что если а — какой-либо автоморфизм группы Ли G, то
(da(i)))M = da(t)M) для любой подалгебры $ с: д. В частности, ((Ad g)$)M =
= (Adg)$M. Далее воспользоваться тем, что подалгебра Ь является идеалом
тогда и только тогда, когда (Ad g) f) = |) для любого g e G0.
7. В качестве идеала взять любое подпространство коразмерности едини-
единица, содержащее коммутант, в качестве подалгебры — любое дополнительное
подпространство.
9. Доказывается аналогично теореме о линейной независимости собствен-
собственных подпространств линейного оператора.
11. Взять одномерное инвариантное подпространство U а 7, существующее
согласно теореме, и рассмотреть факторпредставление группы G в пространст-
пространстве V/U. К этому представлению снова можно применить теорему и т. д.
13. Рассмотреть последний отличный от нуля кратный коммутант радика-
радикала алгебры д.
14. Если W = W, то вместе со всяким вектором z = х + iy (x, у е V)
подпространство W содержит ж = у B + z) и у = -т^- (z — z), а это и означает,
что W есть комплексификация подпространства U = W (] V.
16. Заметить, что rad g (С) — разрешимый идеал алгебры g (С) и, следо-
следовательно, содержится в rad g(c).

ГЛАВА 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Объекты, рассматриваемые в этой главе (векторные простран-
пространства, алгебры, алгебраические многообразия и пр.), привязаны к
фиксированному основному полю К. В пп. 1.5—3.3 оно предпола-
предполагается алгебраически замкнутым. Иногда мы требуем, чтобы оно
имело нулевую характеристику. Однако читатель не слишком много
лотеряет, если ограничится случаями К — С и (там, где не требу-
требуется алгебраической замкнутости) К == R. Только эти случаи нуж-
нужны для дальнейших приложений к теории групп Ли, и если мы рас-
рассматриваем более общие поля, то лишь для того, чтобы прояснить
алгебраический характер излагаемой теории.
Через Дп (соотв. Рп) обозначается тг-мерное координатное аф-
аффинное (соотв. проективное) пространство над полем К, Точка
пространства Ап с координатами Хи . . ., Хп обозначается через
(Хи .. ., Хп). Точка пространства Рп с однородными координатами
С/о? С/4, ..., Uп обозначается через (С/о: С/4:... : Un).
Слово «алгебра» всюду означает «коммутативная ассоциативная
алгебра с единицей», за исключением п. 3.6, где рассматриваются
также произвольные алгебры. Подалгебры предполагаются содер-
содержащими единицу, гомоморфизмы —переводящими единицу в
единицу.
Через QA обозначается полная алгебра отношений алгебры А,
т. е. кольцо отношений алгебры А по мультипликативной системе,
состоящей из всех неделителей нуля (см. [52]), рассматриваемое
как алгебра над основным полем. Если, в частности, А — алгебра
без делителей нуля, то QA —поле.
Если Lu L2, ...— какие-нибудь заглавные буквы, то A [Lu L2, ...]
обозначает алгебру многочленов от Lu L2, ... с коэффициентами из
алгебры А.
§ 1. Аффинные многообразия
В пп. 1—4 основное поле К—произвольное бесконечное поле.
1. Вложенные аффинные многообразия. Алгебраическим много-
многообразием в Ап, или вложенным аффинным алгебраическим много-
образием, называется подмножество в Ап, выделяемое системой
уравнений
№,..., х.) = о (/eS), A)
где S — некоторое множество многочленов (не обязательно копеч-

§ 1. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 65
ное). Алгебраическое многообразие, задаваемое системой уравнений
A), мы будем обозначать через M(S).
Совокупность / многочленов вида 2 ?$/г» где gi е К[Хи ..., Хп],
fi ^ S, является идеалом алгебры К\Хи ..., Хп]. Это наименьший
идеал, содержащий S. Мы будем говорить, что идеал / порождается
множеством S, или что S является системой образующих идеала /.
Очевидно, что M(S) = M(I).
Алгебра называется нётеровой, если выполнено одно из следую-
следующих условий:
а) любой ее идеал допускает конечную систему образующих;
б) любая неубывающая цепочка ее идеалов /4c=/2cz... стаби-
стабилизируется, т. е. для некоторого пг имеют место равенства Im *=
==: J-m + l == itn+2 == • • •
Задача 1. Эти условия эквивалентны.
Теорема 1. (Теорема Гильберта о базисе идеала.) Алгебра
К[Хи ..., Хп] нётерова.
Доказательство см., например, в [52].
Задача 2. (Следствие.) Всякое алгебраическое многообразие в
А можно задать конечной системой уравнений.
Если /—какой-нибудь идеал алгебры К[Хи ..., Хп], то можно
рассмотреть факторалгебру А = К\Хи . . ., Хп]/1. Обозначим через я
естественный гомоморфизм алгебры К[Хи ..., Хп] на А и положим
n(Xi) = Xi. Алгебра А порождается над К элементами хи .. ., хп,
т. е. всякий элемент из А представляется (вообще говоря, неодно-
неоднозначно) в виде многочлена от хи ..., хп с коэффициентами из К.
Этот факт мы будем записывать следующим образом: А=К\хи ...
..., хп]. Очевидно, что если /е/? то f(x^ ..., хп) = 0 и для всякого
гомоморфизма ф: А -+¦ К имеем /(ф(^4), ..., ср(хп)) = О. Это означа-
означает, что для всякого гомоморфизма ф: А -*¦ К точка (ф(^1),.. ., у{хп))
принадлежит многообразию МA).
Задача 3. Указанное соответствие между гомоморфизмами ал-
алгебры А в К и точками многообразия М (/) является взаимно одно-
однозначным.
Пусть теперь А = К[хи .. ., хп] — алгебра, порождаемая своими
элементами хи . . ., хп. Существует единственный гомоморфизм
я: K[Xi, . . ., Хп]-*А, для которого п(Хг) = х{. Если / — ядро этого
гомоморфизма, то 4 ^ К{Хи ..., Хп]/1. Согласно задаче 3, гомомор-
гомоморфизмы А -+ К находятся в естественном взаимно однозначном соот-
соответствии с точками многообразия МA). Таким образом, можно
говорить о вложенном аффинном алгебраическом многообразии,
определяемом алгеброй с выделенной конечной системой обра-
образующих.
Различные идеалы (соотв. алгебры) могут определять одно и то
же многообразие. Например, идеалы (X) и (X2) в К[Х] определяют
многообразие в А1, состоящее из одной точки @). Среди всех иде-
идеалов, определяющих данное многообразие М, имеется наибольший,
5 Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

66 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
а именно, идеал /(М), образованный всеми многочленами, обраща-
обращающимися в нуль на М.
Пусть МсАп—алгебраическое многообразие. Для каждого
многочлена f^K[Xu ..., Хп] обозначим через f\M его ограничение
(как функции) на множество М. Отображение f-+f\M есть гомо-
гомоморфизм алгебры К[Хи ..., Хп] в алгебру функций на М, ядром
которого является идеал 1{М). Поэтому элементы алгебры
К\М] = ЦХи...,ХпУ1(М) B)
могут интерпретироваться как функции на М. Эти функции будем
называть многочленами на М, а алгебру К[М] — алгеброй многочле-
многочленов на М.
Задача 4. Пусть алгебра А=К[хи ..., хп] определяет много-
многообразие М. Тогда существует единственный гомоморфизм р: А -*•
-+ К\М], для которого р{хг) = Хг\м.
В дальнейшем, если ясно, о каком многообразии М идет речь и
не оговорено противное, будем использовать обозначение Xi\M = Xi'r
тогда К[М] = К[хи ..., хп~\.
Элемент а алгебры А называется нилъпотентным, если ak = О
для некоторого к. Очевидно, что алгебра /?[ЛГ] не имеет нильпотент-
ных элементов *).
Пусть L — расширение поля К. Пространство Ап вкладывается
естественным образом в 72-мерное координатное аффинное простран-
пространство An {L) над полем L. Для всякого алгебраического многообра-
многообразия М cz Р\п можно рассмотреть алгебраическое многообразие
М (L) = {x^hn (L) \f(x)=O для всех /g/ (M)}
в пространстве An (L). Очевидно, что М = М (L) П Ап.
2. Морфизмы. Морфизмом алгебраического многообразия М а Ап
в алгебраическое многообразие N cz Am называется всякое полино-
полиномиальное отображение /: M-+N, т. е. отображение, которое в ко-
координатах может быть задано многочленами. Более подробно, это
означает, что существуют такие многочлены Д, ..., fm ^ К\Хи .. .
. . ., Хп], что точка х^М при отображении / переходит в точку мно-
многообразия N с координатами /i(#), ..., fm(x).
Как всякое отображение, морфизм f:M~^N индуцирует обрат-
обратный гомоморфизм алгебр функций по формуле
(f*g){x) = g(f(x)) {x^M, g — функция на N). C)
Из определения морфизма ясно, что если g — многочлен на iV, то
f*g — многочлен на М. Таким образом, мы получаем гомоморфизм
алгебр
/*: R[N]-+K[M].
!) Когда говорят об отсутствии в алгебре делителей нуля или нильпо-
тентных элементов, то имеют в виду, конечно, элементы, отличные. от нуля..

§ 1. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 67
Задача 5. Для всякого гомоморфизма алгебр
<р: K[N] -> К[М]
существует единственный морфизм /: М-+ N, такой, что /* = <р.
Итак, задание морфизма вложенных аффинных алгебраических
многообразий равносильно заданию гомоморфизма алгебр многочле-
многочленов на них.
Очевидно, что произведение gf морфизмов /: М' -*¦ N и g: N -> Р
является морфизмом и
Морфизм f: M -*- N называется изоморфизмом, если для него су-
существует обратный морфизм /-1: N->-М, т. е. если он биективен и
обратное отображение также полиномиально. Это равносильно тому,
что /* —- изоморфизм алгебр.
Класс изоморфных вложенных аффинных алгебраических мно-
многообразий называется (абстрактным) аффинным алгебраическим
многообразием (или, короче, аффинным многообразием), а отдель-
отдельные его представители — вложениями этого многообразия в аффин-
аффинное пространство, или моделями. Практически аффинное многооб-
многообразие отождествляют с его моделью, подразумевая, однако, возмож-
возможность перехода к любой другой модели.
Многочленом на аффинном многообразии называется функция,
являющаяся многочленом на какой-либо модели этого многообразия
(безразлично, на какой). Многочлены на аффинном многообразии
М образуют алгебру, обозначаемую через i?[M]. Аналогично, мор-
морфизмом, или полиномиальным отображением, аффинных многообра-
многообразий называется отображение, являющееся морфизмом моделей (без-
(безразлично, каких).
Согласно задаче 3 имеется взаимно однозначное соответствие
между точками аффинного многообразия М и гомоморфизмами ал-
алгебры 7?[Л/] в К. При этом точке х ^ М соответствует гомоморфизм
<рх, сопоставляющий каждому многочлену / ^ ^[Ж] его значение в
точке х:
Ф*:/~/(ж) (f^K[M\). D)
Из предыдущего ясно, что задание аффинного многообразия М
равносильно заданию алгебры К[М\, а задание его вложения в аф-
аффинное пространство равносильно выбору конечной системы образу-
образующих в алгебре К[М\ Задание морфизма аффинных многообразий
равносильно заданию гомоморфизма алгебр многочленов. Это делает
в принципе возможным перевод любых высказываний об аффинных
многообразиях с геометрического языка на алгебраический и, обрат-
обратно, перевод высказываний об алгебрах многочленов на геометри-
геометрический язык.
Возникает, однако, вопрос: каковы те алгебры, которые являют-
являются алгебрами многочленов на каких-либо аффинных многообразиях?

68 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Точный ответ на этот вопрос в случае алгебраически замкнутого
поля К мы дадим в п. 7. Пока мы можем сказать, что это могут
быть только конечнопорожденные алгебры без нильпотентных эле-
элементов. Правда, в алгебраической геометрии рассматривают также
более общие геометрические объекты (аффинные схемы), которые
соответствуют произвольным конечнопорожденным алгебрам. Одна-
Однако для наших целей будет достаточно аффинных многообразий в
определенном выше «наивном» смысле.
Пусть L — расширение поля К. Ясно, что всякий морфизм М -*•
->¦ N вложенных аффинных многообразий продолжается до морфиз-
ма M(L)-*N(L) (задаваемого теми же многочленами). Поэтому
можно говорить об абстрактном аффинном многообразии М(L) над
L, определяемом абстрактным аффинным многообразием М над К,
и о вложении M^M(L).
3. Топология Зарисского. Будем называть замкнутыми подмно-
подмножествами в Ап алгебраические многообразия.
Задача 6. Эта система замкнутых подмножеств определяет в
i\n топологию (т. е. пересечение замкнутых подмножеств и объеди-
объединение конечного числа замкнутых подмножеств замкнуты).
Определенная таким образом топология в А называется топо-
топологией Зарисского. Очевидно, что в топологии Зарисского точка
замкнута.
Топология Зарисского пространства Ап индуцирует топологию
на любом алгебраическом многообразии М cz A?\ которая называ-
называется топологией Зарисского на М. Согласно этому определению
замкнутые подмножества выделяются в М системами уравнений
вида f(x) = 0, где f^K[M]. В частности, отсюда следует, что топо-
топология Зарисского на М определяется алгеброй i?[M]. Поэтому мож-
можно говорить о топологии Зарисского на абстрактном аффинном мно-
многообразии. Очевидно, что морфизмы аффинных многообразий не-
непрерывны в топологии Зарисского.
Замкнутое подмножество N аффинного многообразия М наделя-
наделяется канонической структурой аффинного многообразия таким об-
образом, что
K[N] = K[M]/IM(N),
где 1М (N) — идеал алгебры /?|Ж], состоящий из всех многочленов,
обращающихся в нуль на N.
Заметим, что топология Зарисского в пространстве A™ m не сов-
совпадает с топологией прямого произведения А X Aw. Например,
замкнутое в А2 подмножество, задаваемое уравнением Xi = X2, не
является замкнутым подмножеством в А1 X А1.
В дальнейшем, если не оговорено противное, все топологические
термины, исключая связность и односвязность, относятся к т о п о-

§ 1. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 69
л о г и и 3 а р и с с к о г о. Пространство An X Ат всюду считается
наделенным топологией Зарисского пространства An+m.
Топологическое пространство X называется нётеровым, если лю-
любая невозрастающая цепочка замкнутых подмножеств X => Х\ ==>
^Z2z3i#, стабилизируется.
Задача 7. Подпространство нётерова пространства нётерово.
Задача 8. Пространство Ап, снабженное топологией Зарисско-
Зарисского, является нётеровым топологическим пространством.
Отсюда следует, что всякое аффинное многообразие является
нётеровым топологическим пространством.
Топологическое пространство. X называется неприводимым, если:
оно непусто и выполнено одно из следующих трех условий:
а) всякое непустое открытое подмножество плотно в X;
б) любые два непустых открытых подмножества пересекаются;
в) X нельзя представить в виде объединения двух собственных
замкнутых подмножеств.
Задача 9. Доказать эквивалентность этих условий.
Теорема 2. Всякое нётерово топологическое пространство X
можно представить в виде объединения конечного числа замкнутых
неприводимых подмножеств Х{ так, чтобы Xi^Xj при i?=j. Это раз-
разложение единственно с точностью до перенумерации X.
Подмножества Хг называются неприводимыми компонентами
пространства X.
Задача 10. Доказать теорему 2.
Задача 11. Аффинное многообразие М неприводимо тогда и
только тогда, когда алгебра К[М] не имеет делителей нуля. Более
точно, делители нуля в алгебре 7?[Д/] — это те многочлены, которые
равны нулю на какой-нибудь неприводимой компоненте многооб-
многообразия М.
В частности, пространство Ап неприводимо.
Замыкание подмножества М в топологическом пространстве бу-
будем обозначать через М.
Задача 12. Пусть М — подмножество нётерова топологическо-
топологического пространства. ЕслиЛ/ = \}М%— разложение М на неприводимые
компоненты, то М = (J Mi — разложение М на неприводимые ком-
компоненты. В частности, М неприводимо тогда и только тогда, когда
М неприводимо.
Пусть М—аффинное многообразие. Открытые подмножества
вида
(х) ?=0} (fee R[M])
называются главными открытыми подмножествами многообразия М.
Очевидно, что

70 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Из задачи 11 следует, что подмножество Mh плотно в М тогда и
только тогда, когда h не является делителем нуля в К{М].
Задача 13. Главные открытые подмножества аффинного мно-
многообразия составляют базу топологии Зарисского (т. е. всякое откры-
открытое подмножество является объединением главных открытых под-
подмножеств).
Если h ^ К[М] — неделитель нуля, то элементы алгебры
til
-г-1 d QK [М] можно естественным образом интерпретиро-
интерпретировать как функции на Mh, так как при x^Mh гомоморфизм D) од-
однозначно продолжается до гомоморфизма К [М] \-^- —>~ К. С другой
стороны, при x^Mh такое продолжение, очевидно, невозможно. Это
означает, что множество Mh можно рассматривать как аффинное
многообразие с алгеброй многочленов
K[Mh]=K[M\[{\.
Если h — делитель нуля и М' — объединение тех неприводимых
компонент многообразия Ж, на которых h не обращается тождест-
тождественно в нуль, то Mh=Mh', где hr =h \M, <= К [М'\. Так как W не
является делителем нуля в ЩМ'\ то множество Mh можно рассмат-
рассматривать как аффинное многообразие с алгеброй многочленов
K[Mh]=K[M'][jr].
Имея в виду сказанное выше, мы будем в дальнейшем говорить
о главных открытых подмножествах аффинных многообразий как
об аффинных многообразиях.
Пусть L — расширение поля К.
Задача 14. Топология Зарисского пространства Ап совпадает
с топологией, индуцированной топологией Зарисского пространства
i\n(L). Замыкание в }\п (L) любого алгебраического многообразия
М a f\n совпадает с М(Ь); при этом I(M(L)) = Ы(М).
4. Прямое произведение. Пусть М и N — алгебраические много-
многообразия в Ап и Ат соответственно. Тогда MXN есть алгебраиче-
ское многообразие в А X А = А
Задача 15. Если MhN неприводимы, то и МXN. неприводимо.
Для описания алгебры многочленов на MXiV необходимо поня-
понятие тензорного произведения алгебр.
Тензорное произведение А ® В алгебр А и В есть тензорное про-
произведение векторных пространств А и В, в котором определено ум-
умножение так, что
(at ® fci) (az ® Ь2) = а^аг ® bib*.
Отображения 1а: й^д® 1hib: b »-> 1 <g> Ъ являются вложениями ал-
алгебр А и В в алгебру А® В.

§ 1. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 71
Тензорное произведение алгебр характеризуется следующим
свойством универсальности: для любой алгебры С и любых гомомор-
гомоморфизмов ф:4->Си!|):5->С существует единственный гомомор-
гомоморфизм со: А ® В -> С, такой, что диаграмма
с
коммутативна. Этот гомоморфизм задается формулой
В том случае, когда со — изоморфизм, говорят, что алгебра С явля-
является тензорным произведением алгебр А и В относительно гомомор-
гомоморфизмов ф и -ф. Если ясно, какие гомоморфизмы ф и -ф имеются в
виду, то пишут С = А®В. Например,
К[Хи .. , Хп, У|, ..., Ут] = К[Хи ..., Хп]
Пусть М cz i\n и -ZV" с Ат— алгебраические многообразия. Обо-
Обозначим через пм и nN проекции М X N на Ж и на iV соответственно.
Задача 16. Алгебра E[MXN] является тензорным произведе-
произведением алгебр К[М] и K[N] относительно гомоморфизмов пм и njv.
Идеал I(MXN) алгебры К[Хи ..., Х„, Yu ..., 7m] порождается
идеалами 1(М) и 7(iV) алгебр jK[Zt, ..., Хп] и ^C[Fi, ..., Ут], вло-
вложенных естественным образом в iS[Zi, ..., Хп, Yu ..., Ут].
В дальнейшем мы будем отождествлять алгебры K[MXN] и
К[М] ® i?[iV], имея в виду их изоморфизм, построенный в задаче 16.
При таком отождествлении элемент /®^е Щ.Щ ® ^[^] представ-
представляется как функция на MXN, задаваемая формулой
Важным выводом из задачи 16 является то, что алгебра много-
многочленов на многообразии MXN определяется алгебрами многочле-
многочленов на многообразиях М и N и, значит, не зависит от их вложений
в аффинные пространства. Это позволяет определить прямое произ-
произведение абстрактных аффинных многообразий М и N как аффинное
многообразие MXN, моделью которого является прямое произве-
произведение любых моделей многообразий М и N.
Из задачи 16 следует также, что (MXN) (L) = M(L)XN(L) для
любого расширения L поля К.
5. Теоремы о продолжении гомоморфизмов. Начиная с этого мо-
момента и до конца главы (исключая п. 3.4—3.7) будем предполагать
поле К алгебраически замкнутым.

72 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Пусть А — подалгебра алгебры В. Для всякого подмножества
U^B через A[U] (или А[ии и2, ...], если U = {uu и2, ...)) обозна-
обозначается подалгебра в В, порожденная над А множеством U, т. е. со-
совокупность всех элементов алгебры В, которые могут быть предста-
вимы в виде многочленов от элементов из U с коэффициентами
из А. Если A[U]=B, то говорят, что U — система образующих ал-
алгебры В над А (не путать с образующими идеала!). Алгебра В на-
называется конечно порожденной над А, если она обладает конечной
системой образующих над А. Очевидно, что если В конечно порож-
порождена над К, то она конечно порождена и над А. Алгебры,
конечно порожденные над К, мы будем называть просто конечно
порожденными.
Пусть алгебра В не имеет делителей нуля. Элемент и^В назы-
называется алгебраическим над А, если существует такой ненулевой
многочлен /ei[Z], что /(и) = 0, и трансцендентным над А —в про-
противном случае. Если и — трансцендентный над А элемент, то
Л[м] ^Л[Х]. Алгебра В называется алгебраическим расширением
алгебры Л, если каждый ее элемент алгебраичен над А.
Если алгебра В не имеет делителей нуля, то удобно ввести в
рассмотрение ее поле отношений QB, куда изоморфно вкладывают-
вкладываются алгебра В и поле QA,
Задача 17. Элемент и^В алгебраичен над А тогда и только
тогда, когда (Mi[u] конечномерно как векторное пространство
над QA.
Задача 18. Если В = А[щ, ..., м„], где ии ..., ип — алгебраи-
алгебраические над А элементы, то В — алгебраическое расширение ал-
алгебры А.
Теорема 3. Пусть В — алгебра без делителей нуля, конечно
порожденная над своей подалгеброй А. Тогда для любого элемента
Ъ<^В, ЬФО, найдется такой элемент а<^А, а?=0, что всякий
гомоморфизм ф: А-+К, не аннулирующий а, продолжается до го-
гомоморфизма г[): В-* К, не аннулирующего Ъ.
Задача 19. Доказать теорему 3 в случае, когда В=А[и], где
и — трансцендентный над А элемент.
Задача 20. Доказать теорему 3 в случае, когда В = А\и\ где
и — алгебраический над А элемент.
Задача 21. Доказать теорему 3.
Следствие. Если В — алгебра без делителей нуля, конечно
порожденная над К, то для любого элемента Ъ^В, отличного от
нуля, найдется гомоморфизм я|): В -> К, не аннулирующий Ь.
Теорема 4. Пусть К — поле нулевой характеристики, В —
конечно порожденная алгебра без делителей нуля и А — ее конечно
порожденная подалгебра. Если существует такой отличный от нуля
элемент Ь е В, что всякий гомоморфизм А ->• К не более чем одним
способом продолжается до гомоморфизма В -*- К, не аннулирую-
аннулирующего 6, то В cz QA.
Задача 22. Доказать эту теорему.

§ 1. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 73
6. Образ доминантного морфизма, Морфизм /: М -+¦ N неприво-
неприводимых аффинных многообразий называется доминантным, если
f(M) = N.
Задача 23. Морфизм / доминантен тогда и только тогда, ког-
когда соответствующий гомоморфизм алгебр /*: K[N] ->- К\М] инъек-
тивен.
Доминантный морфизм может не быть сюръективным. Напри-
Например, пусть М = {(Хг, Х2) е= А21 Х,Х2 - 1}, N = Л1 и /: (Xl9 X2) ~
»-* (Х^; тогда /(М) = Ах\{0}. Тем не менее образ доминантного
морфизма, как показывает следующая теорема, все же достаточно
велик*
Подмножество неприводимого топологического пространства на-
называется густым, если оно содержит непустое открытое подмноже-
подмножество. Очевидно, что всякое густое подмножество плотно. Пересече-
Пересечение конечного числа густых подмножеств густо.
Теорема 5. Пусть /: М'¦->¦ N — доминантный морфизм непри-
неприводимых аффинных многообразий. Образ f(M0) любого густого
подмножества Мо с= М является густым подмножеством в N.
Доказательство. Достаточно доказать, что образ любого
непустого главного открытого подмножества многообразия М содер-
содержит некоторое непустое главное открытое подмножество многооб-
многообразия N, а это есть точный геометрический эквивалент теоремы 3,
примененной к алгебрам А = К[N] и В = К[АГ\, если условиться
отождествлять элементы алгебры ЩЩ с их образами при гомомор-
гомоморфизме /*.
В самом деле, точки многообразий М и N можно интерпрети-
интерпретировать как гомоморфизмы в поле К алгебр К[М] и K[N] соответ-
соответственно. При этом отображение / будет интерпретироваться как
ограничение на К[Щ гомоморфизмов К[М] -> К. Согласно теореме 3
для любого ненулевого элемента g ^ К[М] существует такой нену-
ненулевой элемент h e K{N\ что всякий гомоморфизм K[N] -*- К, но
аннулирующий h, продолжается до гомоморфизма ЩМ\ -*• К, не
аннулирующего g; но это и означает, что f(Mg)=>Nh.
7. Теорема Гильберта о нулях. Идеал / алгебры А, отличный
от А, называется простым, если алгебра А/1 не имеет делителей
нуля. Это значит, что если ab<^I, то а^I или fee/. Например,
в алгебре ЩХ\ идеал, порожденный многочленом /, прост тогда и
только тогда, когда / — многочлен первой степени.
Очевидно, что простой идеал содержит все нильпотеытные эле-
элементы. Совокупность всех нильпотентных элементов алгебры А
есть идеал, который называется радикалом алгебры А и обознача-
обозначается RA.
Теорема б. Радикал алгебры совпадает с пересечением всех
ее простых идеалов.
Доказательство см., например, в [52].
Задача24. Ядро гомоморфизма р, определенного в задаче 4,
равно RA.

74 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
В частности, конечно порожденная алгебра А совпадает с ал-
алгеброй многочленов на определяемом ею аффинном многообразии
тогда и только тогда, когда в ней нет нилъпотентных элементов.
Переформулировкой задачи 24 является
Теорема 7. (Теорема Гильберта о нулях.) Пусть М= M(I)cz
czhn—многообразие нулей идеала I алгебры ЩХи ..., Хп], и
пусть /е/(М). Тогда найдется такое к, что /*е/.
Применяя эту теорему к / = 1, получаем
Следствие. Если МA) = 0, то 1 = К[Хи ..., Хп].
Задача 25. Пусть М — аффинное многообразие и /^ идеал
алгебры jK![Af|. Если на М не существует точки, в которой все
многочлены из / обращаются в нуль, то / = ЩМ\.
Задача 26. Пусть аффинное многообразие М представлено
в виде объединения попарно не пересекающихся замкнутых подмно-
подмножеств Ми ..., Mq. Тогда гомоморфизм
K[M]-+K[M1]X...XK[Mq], f~(f\Ml, .-.,/.Ug)«
является изоморфизмом.
Иными словами, всякая функция на М, ограничения которой
на Ми ..., Mq суть многочлены, сама является многочленом.
8. Рациональные функции. Пусть М — аффинное многообразие.
Алгебра QK[M] называется алгеброй рациональных функций на М
и обозначается через К(М). Задача 11 показывает, что если М не-
приводимо, то К(М) — поле. В частности, K(i\n) = ^C<f i*...
..., Хп) — поле рациональных функций от Хи ..., Хп.
Элементы алгебры К(М) называются рациональными функция-
функциями на М. Функция f^K(M) определена в точке же1, если суще-
существует такое представление / в виде отношения -т-, где g, h<^ ЩМ],
что h(x)?=0. В этом случае элемент тт\ называется значением
функции / в точке х и обозначается через f(x). Он не зависит от
выбора представления / в виде отношения многочленов (при усло-
условии, что к(х)ФО).
Множество всех точек х^М, в которых рациональная функ-
функция f^K(M) определена, называется ее областью определения.
Мы будем обозначать это множество через Df.
Очевидны следующие свойства рациональных функций:
(R1) область определения Df функции f^K(M) есть плотное
открытое подмножество в М;
(R2) отображение /: Df-*~ К непрерывно (если считать, что по-
поле К снабжено топологией Зарисского как А1);
(R3) функция / как элемент алгебры К(М) однозначно опреде-
определяется своим ограничением на любое плотное открытое подмно-
подмножество;

§ 1. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 75
(R4) операции над элементами алгебры К(М) совпадают g
обычными оцерациями над функциями там, где эти функции опре-
определены.
Пусть / — рациональная функция на М. Знаменатели всевоз-
всевозможных представлений функции / в виде отношения двух много-
многочленов — это в точности неделители нуля, содержащиеся в идеале
алгебры К[М].
Задача 27. Идеал If порождается содержащимися в нем не-
делителями нуля. Область определения функции / есть дополнение
к многообразию нулей этого идеала.
Задача 28. Всякая рациональная функция, определенная во
всех точках многообразия М, есть многочлен, т. е. принадлежит
алгебре ЩМ].
Задача 29. Всякая рациональная функция, определенная во
всех точках главного открытого подмножества Mh, где h ^ ЩМ] —
неделитель нуля, представляется в виде — (g e К[М])г т. е. при^
надлежит алгебре К [М] \-г- \а К (М).
Пусть М' — объединение каких-либо неприводимых компонент
многообразия М. Так как гомоморфизм ограничения ЩМ\-* ЩМ' j
отображает неделители нуля в неделители нуля, то он продолжа-
продолжается до гомоморфизма К(М)-+ К{М'). Образ рациональной функ-
функции f^K(M) при этом гомоморфизме будем называть ее огра-
ограничением на Мг и обозначать через f\w-
Задача 30. Если функция / определена в точке х е М', то ш
функция / \м> определена в этой точке и / \мг (#) = /(#)•
Пусть М" — объединение тех неприводимых компонент много-
многообразия М, которые не вошли в М'.
Задача 31. Если функция /\м> определена в точке хеM'\M"f
то и функция / определена в этой точке.
Задача 32. Пусть М = Mi U ... U Mq — разложение многообра-
многообразия М на неприводимые компоненты. Тогда гомоморфизм
К(М1)Х ...XK(Mq), /-(Лл,,, ...,/Ц),
является изоморфизмом.
9. Рациональные отображения. Рациональным отображением
аффинного многообразия М в пространство Aw называется отобра-
отображение вида
./: х~иг(х), ...,fm(*))t E)
где /i, ..., fm^K(M). Отображение / считается определенным в
точке же1, если в этой точке определены все функции /4, ..., /т.
Задача 33. Область определения рационального отображения
есть плотное открытое подмножество в М. Рациональное отобра-
отображение непрерывно в своей области определения.

76 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Пусть теперь N — другое аффинное многообразие* Считая его
вложенным в аффинное пространство А 7 определим рациональное
отображение /: М->• N как рациональное отображение/: М->Ат,;
при котором f(M) -czN.
Задача 34. Понятие рационального отображения в многооб-
многообразие N не зависит от вложения этого многообразия в аффинное
пространство.
При обратном гомоморфизме алгебр функций, определяемом
формулой C), координатные функции переходят в функции /*,
а любые многочлены на iV — в рациональные функции на М. Та-
Таким образом, рациональное отображение f: М -+ N индуцирует го-
гомоморфизм
/*: ЦЩ-+К(М).
(Формулу C) здесь следует понимать таким образом, что если
отображение / определено в точке х, то функция f*g также опре-
определена в этой точке и имеет место равенство C).)
Задача 35. Для любого гомоморфизма ф: К{Щ -> К(М) су-
существует единственное рациональное отображение /: М ->- N, такое,
что /* = ф.
Таким образом, задание рационального отображения многообра-
многообразия М в многообразие N равносильно заданию гомоморфизма ал-
алгебры K[N] в алгебру К(М). Если при этом гомоморфизме образ
алгебры K[N] содержится в алгебре -ЩЖ], то соответствующее
рациональное отображение является морфизмом.
Пусть рациональное отображение /: M-+-N определено форму-
формулой E) и h е К\М] — такой многочлен, не являющийся делителем
нуля в i?[M], что hfi^K[M] при ?=1, ..., ш (например, можно
взять в качестве h произведение знаменателей каких-либо пред-
представлений функций /г в виде отношений многочленов). Тогда /г^
-j? , т. е. функции /< (г = 1, ..., пь) являются многочле-
многочленами на аффинном многообразии Mh (см. п. 3). Таким образом,
ограничение рационального отображения на подходящее плотное
главное открытое подмножество является морфизмом.
Рациональное отображение f:M-*-N неприводимых аффинных
многообразий называется доминантным, если f(M) = N.
Задача 36. Рациональное отображение / доминантно тогда и
Только тогда, когда гомоморфизм/* инъективен.
••¦ В этом случае гомоморфизм /* можно продолжить до гомомор-
гомоморфизма поля K(N) в К(М), который мы будем обозначать также
через /*. Формула C) остается справедливой ?ля любой рациональ-
рациональной функции g, определенной в точке f(x).
Произведение доминантного рационального отображения /: М ->•
~>W и рационального отображения g: N ->¦ Р определяется как par
циональное отображение gf: M-+P, для которого (?/)* = /*^*.
Легко видеть, что если отображение / определено в точке х е Л/,

, § 1. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 77
а отображение g определено в точке f(x)^N1 то отображение gf
определено в точке х и
Заметим, что отображение gf может быть определено не только
в точках, удовлетворяющих предыдущему условию. Например,
пусть М = N= Р = А1 и / = g: СЮ|-М"у]; тогДа #/ есть тожде-
тождественный морфизм, который определен во всех точках, в то время
как / не определено в точке @).
10. Факторизация морфизма.
Теорема 8. Пусть поле К имеет нулевую характеристику,
и пусть М, N, Р — неприводимые аффинные многообразия и /: М ->•
-^ N, h: M-+P — доминантные морфизмы. Если для любых точек
хг, хгг некоторого густого подмножества Мо^-М из f(x') = f(x")
следует h(x') — h(x"), то существует такое (доминантное) рацио-
рациональное отображение g: N-*P, что h — gf.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, ког-
когда Р = М и Л = id. В этом случае условие теоремы означает, что /
взаимно однозначно на -Мо. Пусть Мь (Ъ е 7?[М], Ъ Ф 0)—главное
открытое подмножество, содержащееся в Мо.
Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 5, мы по-
получаем следующую алгебраическую формулировку свойства взаим-
взаимной однозначности морфизма / на Мь: всякий гомоморфизм алгеб-
алгебры f*K[N] ^ K{N] в К не более чем одним способом продолжается
до гомоморфизма алгебры К[М] в К, не аннулирующего Ъ. Согласно
теореме 4 отсюда следует, что K[M]ci f*K(N). Иначе говоря, су-
существует такой гомоморфизм у: К\М]->- K(N), что /*cp = id. Рацио-
Рациональное отображение g: N-+M, определяемое этим гомоморфизмом,
и является искомым отображением, обратным к /.
В общем случае рассмотрим вспомогательное рациональное ото-
отображение
I: M-^NxP, x^(f(x),h(x)).
Замыкание его образа обозначим через L. Пусть, далее, pt и р2 —л
ограничения на L проекций произведения NXP на первый и вто-
второй множитель соответственно. Из условия теоремы следует, что
отображение /?i взаимно однозначно на густом подмножестве
l(M0)aL. Согласно предыдущему существует обратное к /?4 рацио-
рациональное отображение к: N -> L. Отображение g = p2k и будет
искомым.
Упражнения
Основное поле К предполагается алгебраически замкнутым.
1. Пусть И я N — алгебраические многообразия в Ап, причем N а М. Тог-
Тогда алгебра #|l/V] есть факторалгебра алгебры ?[М].
2. Что такое топология Зарисского в А1?
3. Топология Зарисского в Ап не хаусдорфова.

78 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
4. Из всякого покрытия нётерова топологического пространства открытыми
подмножествами можно выделить конечное покрытие.
5. Пусть / = pki ... pk* — разложение многочлена / е К[Хи ..., Хп] на не-
1 s
приводимые множители. Тогда М (/) = U М (/^) будет разложением много-
многообразия M(f) на неприводимые компоненты.
6. Привести пример двух неизоморфных алгебр, определяющих одно и то
же алгебраическое многообразие в Ап.
7. Аффинное алгебраическое многообразие, определяемое конечномерной
алгеброй, состоит из конечного числа точек.
8. Конечно порожденная алгебра, являющаяся полем, совпадает с К.
9. Пусть А— конечно порожденная алгебра, / — ее максимальный идеал.
Тогда А/1 ~ К.
10. Существует взаимно однозначное соответствие между точками аффин-
аффинного алгебраического многообразия М, определяемого конечно порожденной ал-
алгеброй А, и максимальными идеалами этой алгебры, при котором точке х е М
отвечает ядро соответствующего гомоморфизма фх: А ->- К.
11. Тензорное произведение двух конечно порожденных алгебр, не имею-
имеющих делителей нуля (соотв. нильпотентных элементов), также обладает этим
свойством. (Доказать геометрически.)
12. Радикал конечно порожденной алгебры совпадает с пересечением всех
ее максимальных идеалов.
Идеал / алгебры А называется радикальным, если из fm е / следует / е /.
13. Всякий радикальный идеал конечно порожденной алгебры есть пересе-
пересечение конечного числа простых идеалов.
14. Найти область определения рациональной функции — на алгебраиче-
хз
ском многообразии в А4, задаваемом уравнением Х1Х4 = Х2Х3.
15. Найти образ многообразия М = А1 при рациональном отображении
16. Пусть М — А1, /: (X) н-> (X2, X3). Существует обратное рациональное
отображение Z": / (М) -*- А1, однако оно не определено в точке /@).
17. Пусть /i, ..., Д, g — рациональные функции на Ап. Если функция g
постоянна на поверхностях уровня семейства {/i, ..., /й}, то она представля-
представляется в виде рациональной дроби от /ь .. .,/*.
Указания к задачам
6. M(Si) U M(S2) = M(S), где S = {/i/2|/i e= Su f2 e= S2).
8. Геометрический эквивалент теоремы 1.
10. Будем называть плохими топологические пространства, которые нель-
нельзя представить в виде объединения конечного числа замкнутых неприводи-
неприводимых подмножеств. Пусть X плохое. Тогда оно, в частности, не может быть не-
неприводимым, так что X = Х\ U Хг, где Xi, X2 — собственные замкнутые под-
подмножества. Хотя бы одно из пространств Xi, X2 плохое. Пусть это будет Х\.
Тогда Xi = Хп U Xi2, где Хп, Хп — собственные замкнутые подмножества. Хо-
Хотя бы одно из пространств Хц, Хп плохое. Пусть это будет Хц. Продолжая
этот процесс, получаем бесконечную убывающую цепочку X =э Х\ =э Хц =э ...
замкнутых подмножеств пространства X. Если X нётерово, то это невозможно.
Пусть X = U Х|, где Xi — замкнутые неприводимые подмножества, при1-
г=1
чем Хг ф Xj при i ф /. Тогда Xi, ..., Хк —• это все максимальные неприводи-
неприводимые подмножества пространства X и, тем самым, определены однозначно.

§ 1. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 79
11. Пусть существуют такие ненулевые элементы /i, f2^K[M], что /1/2 =
.= 0. Тогда М = Mi U М2, где Mh = {х е= АГ|/л(ж) = 0}, причем Яь Ж2 Ф М.
Таким образом, если i?[M] имеет делители нуля, то М приводимо, причем каж-
каждый делитель нуля обращается в нуль на какой-нибудь неприводимой компо-
компоненте многообразия М.
14. Пусть {иа} — базис поля L как векторного пространства над К. Всякий
многочлен / е L[Xi, ..., Хп] представляется в виде / = 2 мо^а' гДе /« s
а
е К[Хи ..., Хп], и для точки х е Ап условие /(ж) =0 равносильно конъюнк-
конъюнкции условий /а(#) = 0. Поэтому пересечение с Ап любого замкнутого под-
подмножества пространства An (L) замкнуто в Ап. Аналогично доказываются
остальные утверждения.
15. Предположим, что М X N = Рх (J ^2, где Pi и Р2 — замкнутые подмно-
подмножества. Для каждого х ^ М рассмотрим замкнутые множества
Pk(x) ={ye=N\(x, у) EEPk}czN (к = 1, 2).
Так как Pi(^) U^C^) = Л^, то одно из множеств Pi(x), P2(x) совпадает с N.
Теперь рассмотрим замкнутые множества
Мк = {х е М\ {х, у) е= Рл для всех у е= N} cz M (к = 1, 2).
По доказанному, Л/ = il/i U ilf2. Следовательно, Л/ совпадает с il/i илнг с М2.
Если il/ = Л/л> то М X W = Pki так что MXN = Рх или Р2.
16. Пусть {/ь /2, ...} —базис К[М]. При гомоморфизме со: К[М] (& K[N] -+•
X Щ, определяемом гомоморфизмами пм и зх^, элементу м =2 /i ® ^i
г
соответствует функция
Предполояшм, что h = 0. Тогда при фиксированном у е 7V мы получаем ли-
линейную зависимость между функциями U с коэффициентами gi(y). Следова-
Следовательно, gi(y) = 0 при любом i и любом у е iV; но тогда м = 0. Это доказывает
ииъективность гомоморфизма со. Его сюръективность очевидна. Второе утверж-
утверждение задачи следует из первого.
19. Для любого многочлена /е4 [X] обозначим через /ф многочлен из
К[Х], получающийся из / применением гомоморфизма ср ко всем коэффици-
коэффициентам. Пусть Ъ = g(u) и ае^ — любой элемент, не являющийся корнем мно-
многочлена #ф. Гомоморфизм of) можно тогда определить следующим образом:
$(f(u)) = /ф(<я)- В этом случае на ср накладывается единственное ограничение,
чтобы g(p ф 0. Это условие будет выполнено, если в качестве а взять любой
ненулевой коэффициент многочлена g.
20. Пусть р ^ А [X] — минимальный многочлен элемента и. Его старший
коэффициент обозначим аи Если q^A[X]—такой многочлен, что q(u) —
= 0, то q делится на р в (QA) [X] и существует такое к, что a\q делится на
р в i[I]. Поэтому, если cp(ai) Ф 0 и а ^К — любой корень многочлена /?ф,
то формула ty(f(u)) = /ф(а) непротиворечивым образом определяет гомор-
физм г|к В-+К, совпадающий с ср на А.
Позаботимся теперь о том, чтобы \|)(&) Ф 0. Согласно задаче 18, элемент Ъ
алгебраичен над А. Пусть h е 4 [I] —такой ненулевой многочлен, что h(b) =
= 0. Можно считать, что свободный член а2 многочлена h отличен от нуля
(иначе h можно было бы сократить на X). Если ср(&) = р, то &Ф(Р) = 0. Пусть
ср(яг) ф 0. Тогда [J является корнем многочлена с отличным от нуля свобод-
свободным членом, и поэтому р Ф 0. Таким образом, можно положить а = аха2.
21. Индукция по числу образующих алгебры В над А сводит доказатель-
доказательство к случаям, разобранным в задачах 19 и 20.

80 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
22. Индукция по числу образующих алгебры В над А позволяет свести до-
доказательство к случаю, когда В = А[и]. В этом случае мы находимся в усло-
условиях задачи 19 или 20. Пусть йе4-ненулевой элемент, построенный в ре-
решении соответствующей задачи. Согласно следствию теоремы 3, существует
гомоморфизм ф: А ->- К, не аннулирующий а. Из решений задач 19 и 20 видно,
что гомоморфизм ф продолжается до гомоморфизма ф: В-+К однозначно лишь
в том случае, когда элемент и алгебраичен над А и многочлен /?ф имеет един-
единственный корень, т. е. р® = с(Х — а)ш, где с ^ К, с ф 0.
Покажем, что если т = ст. р > 1, то ф можно выбрать так, чтобы много-
многочлен ргр не имел указанного вида. Так как многочлен р неприводим над QA,
то он, в частности, не пропорционален степени линейного двучлена. Пусть
Существует такое i ^ т — 2, чтор^рт . I ™ I » Т- е- тт~гр7^~г~1р1ф
I \ I V
[ I ииаче U+
Р — Po -\~ Р\Х + ... + РтХт (pi е А, рт Ф 0).
тРп
^[ i ) Pm-v ииаче> Р = Рт [ X Л" т' ) • Если наложить на <р дополнитель-
дополнительное условие, чтобы ф\^m~lpr^~l~1pi — \т) P™-i) ^ °' то многочлен />ф также
\ \ & / /
не будет пропорционален степени линейного двучлена.
Итак, ст. р = 1. Но это и значит, что u^QA и, следовательно, В cz QA.
24. Сначала показать, что ядро гомоморфизма р совпадает с пересечением
ядер всех гомоморфизмов А -> К. Затем применить теорему 6 и следствие
теоремы 3.
25. Рассмотреть вложение М cz An и применить теорему 7 к полному про-
прообразу идеала / при гомоморфизме ограничения К[Х\, ..., Хп] -> К[М] и к
многочлену / = 1.
26. Доказательство сводится к случаю q = 2. В этом случае из задачи 25
следует, что 1м(Mi) -\-1м(М2) = К[М]. Это означает, что рассматриваемое ото-
отображение сюръективно. Его инъективность очевидна.
27. Пусть М = Mi U ... U Mq — разложение многообразия М на неприводи-
неприводимые компоненты. Согласно задаче 11 множество делителей нуля алгебры
/?[М] —это объединение идеалов IM(MS), s = 1, ..., q. Так как идеал // со-
содержит хотя бы один неделитель нуля, то // П 1м(М8) при любом s есть собст-
собственное подпространство пространства //. Если бы все неделители нуля, со-
содержащиеся в идеале //, лежали в некотором его собственном подпространст-
подпространстве, то пространство // было бы объединением конечного числа собственных
подпространств, что невозможно.
28. Пусть / — такая функция. Из условия задачи следует, что множество
нулей идеала // пусто. Согласно задаче 25, отсюда следует, что // э 1, т. е.
g
f допускает представление в виде / = ~, где g^K[M], что п требовалось
доказать.
31. Перейдя к подходящему плотному главному открытому подмножеству,
свести доказательство к случаю, когда М' П М" = 0, и воспользоваться за-
задачей 26.
32. Перейдя к подходящему плотному главному открытому подмножеству,
свести доказательство к случаю, когда неприводимые компоненты многооб-
многообразия М не пересекаются, и воспользоваться задачей 26.

§ 2. ПРОЕКТИВНЫЕ И КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 8!
§ 2. Проективные и квазипроективные многообразия
1. Градуированные алгебры. Перед тем как переходить к опре-
определению проективных многообразий, напомним некоторые элемен-
элементарные сведения о градуированных векторных пространствах и
алгебрах.
Векторное пространство V называется градуированным, если
в нем выделены подпространства Vk (Л; g Z), называемые градуи-
градуирующими подпространствами, таким образом, что V = Q)Vk. Эле-
и
менты подпространства Vk называются при этом однородными эле-
элементами степени к. Согласно определению всякий элемент одно-
однозначно представляется в виде суммы однородных элементов,,
которые называются его однородными компонентами. Подпростран-
Подпространство U. с: V называется однородным, если вместе с каждым элемен-
элементом оно содержит и все его однородные компоненты. Это эквива-
эквивалентно тому, что ?/ = ©?/&, где .Uk<^Vh. Если U — однородное
k
подпространство, то факторпространство V/U наследует градуиров-
градуировку, при которой (V/U)k= VJUh.
Градуировка называется неотрицательной, если Vk = 0 при
к < 0. Мы будем рассматривать в этой главе только неотрицатель-
неотрицательные градуировки.
Алгебра А называется градуированной, если она градуирована
подпространствами Ak (к е Z) как векторное пространство и вы-
выполняется условие AkAtczAk+i для любых k,l^Z- Если / — од-
однородный идеал градуированной алгебры А, то факторалгебра А/1
также является градуированной алгеброй.
Алгебра многочленов имеет стандартную неотрицательную гра-
градуировку, при которой однородные элементы степени к — это фор-
формы (однородные многочлены) степени к. Отметим, что в этом слу-
случае все градуирующие подпространства конечномерны (хотя сама
алгебра бесконечномерна).
Задача 1. Радикал градуированной алгебры является однород-
однородным идеалом.
Задача 2. Если в градуированной алгебре А нет однородных
делителей нуля, т. е. из pq = O, p^Akj q^Ah следует р = 0 или
q = 0, то в А вообще нет делителей нуля.
2» Вложенные проективные многообразия. Пусть !РП — ^-мерное
проективное пространство над К, Uo, Uu ..., Un — однородные коор-
координаты в нем. Так как однородные координаты точки определены
лишь с точностью до одновременного умножения на (ненулевой)
элемент поля К, нельзя говорить о значении многочлена р е=
е= K[U0, Uu ..., Un] в точке х е Рп. Однако если р — форма (одно-
(однородный многочлен), то имеет смысл равенство р(х) = 0. Если р, q —
формы одной степени и q(x)?=0, то имеет смысл отношение ^р\-
6 Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

82 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Алгебраическим многообразием в Р , или вложенным проек-
проективным алгебраическим многообразием, называется подмножество
в Рп$ выделяемое системой уравнений
p(U0, Uu ..., Un) = 0 (psS), A)
где S — некоторое множество форм. Многообразие, определяемое
системой уравнений A), мы будем обозначать через Mpr(S).
Задача 3. Всякий однородный идеал алгебры Щио, Uu ...
„.., Un] обладает конечной системой однородных образующих.
Пусть М — алгебраическое многообразие в Рп. Рассмотрим под-
подпространство алгебры R[U0, Uu ..., f/n], порожденное всеми фор-
формами, обращающимися в нуль на М. Это будет однородный идеал.
Обозначим его через Рт (М). Если S — какая-либо система его од-
однородных образующих, то M = MPT(S). Поэтому из задачи 3 сле-
следует, что всякое алгебраическое многообразие в Рп может быть
задано конечным числом однородных уравнений.
Объявив алгебраические многообразия в Рп замкнутыми под-
подмножествами, мы введем в Рп топологию (ср. задачу 1.6), которая
называется топологией Зарисского.
Задача 4. Пространство Рп, снабженное топологией Зарис-
Зарисского, является неприводимым нётеровым топологическим простран-
пространством (см. п. 1.3).
Определим теперь рациональные функции на алгебраическом
многообразии М cz Pn.
Рассмотрим алгебру
К[МГ = К[и0, Uи ..., С/П]ЯРГ (М).
Так как Рт (М) — однородный идеал, то алгебра К[МУТ наследует
градуировку от алгебры K[UOi Uu ..., Un].
В отличие от аффинного случая, элементы алгебры К[М]рт нель-
нельзя рассматривать как функции на М. Однако если р е К[М]рт —
однородный элемент, то при х^М имеет смысл равенство р(х) = 0;
если /?, q ^ К[МУГ — однородные элементы одинаковой степени и
q (х) Ф 0, то имеет смысл отношение "~ff(«
Задача 5. Многообразие М неприводимо тогда и только тог-
тогда, когда алгебра K[M]VV не имеет делителей нуля. Более точно,
однородные делители нуля алгебры К\М]рг — это те ее однородные
элементы, которые равны нулю на какой-нибудь неприводимой
компоненте многообразия М.
В алгебре (Щ71/]рг рассмотрим подалгебру, образованную отно-
отношениями вида —, где р, q — однородные элементы одинаковой сте-
степени (и q не является делителем нуля). Она обозначается через
К(М) и называется алгеброй рациональных функций на М. Зада-
Задача 5 показывает, что если М неприводимо, то К(М) —поле.

§ 2. ПРОЕКТИВНЫЕ И КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ: 83*
Элементы алгебры К(М) называются рациональными функция-
функциями на М. Функция fe=K(M) считается определенной в точке х^Мг
если она представима в виде—, где p,ge K[MYr — однородные эле-
элементы одинаковой степени и q (х) Ф 0. В этом случае отношение
--г—- е К (не зависящее от выбора такого представления) называ-
q \х)
ется значением функции / в точке х и обозначается через f(x)»
Как и в аффинном случае, выполняются свойства (R1) — (R4) п. 1.8.
Пусть / — рациональная функция на М. Знаменатели всевоз-
всевозможных представлений функции / в виде отношения двух однород-
однородных элементов (одинаковой степени) алгебры 7й[М]рг — это в точ-
точности однородные неделители нуля, содержащиеся в однородном
идеале
I} = {h е= K[MYV | fh е= Ж[Д]рг}.
Задача 6. Область определения Df функции / есть дополне-
дополнение к множеству нулей идеала // (т. е. к множеству точек, где все
однородные элементы идеала // обращаются в нуль).
Следующая теорема показывает коренное отличие проективных
многообразий от аффинных.
Теорема 1. Пусть М cz Рп— неприводимое алгебраическое
многообразие. Всякая рациональная функция f^K(M), определен-
определенная во всех точках многообразия М, есть константа, г. е. принад-
принадлежит полю К.
Доказательство. Рассмотрим аффинное пространство Ап ~г
с координатами С/о, Uu ..., Un. Пусть / — полный прообраз идеала
// при каноническом гомоморфизме
Отсутствие нулей идеала // на многообразии М означает, что един-
единственным нулем идеала / в An+1 является начало координат. При-
Применяя теорему Гильберта о нулях к идеалу / с: K[UOi Uu ..., Un] и
координатным функциям Uo, Uu ..., Uni получаем, что идеал / со-
содержит некоторые степени всех координатных функций и, значит,
вообще все однородные многочлены достаточно высокой степени.
Следовательно, идеал // содержит все однородные элементы доста-
достаточно высокой степени алгебры 7й[Л/]рг.
Пусть V — одно из градуирующих подпространств алгебры
К[М]Р% целиком лежащих в идеале //. Отображение h>-* fh (/igF)
является его линейным преобразованием. Рассмотрим какой-нибудь
собственный вектор h0 этого преобразования. Имеем fh0 = chQ (с е К)
и, так как h0 не является делителем нуля (многообразие М непри-
водимо!) —/ = с, что и требовалось доказать.
Развивая соображения, содержавшиеся в первой части этого до-
доказательства, можно каждому алгебраическому многообразию М cz
cz Pn сопоставить алгебраическое многообразие М cz A 1 — «конус
6*

М ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 1
над М», задаваемый теми же уравнениями, что и М (но в которых
Uо, Uu ..., Un рассматриваются как координаты в Дп+1). При
этом алгебра K[M]VT отождествляется с алгеброй ЩЖ], а поле
Х(М)-^-с подполем поля К(М). Из задач 6 и 1.27 следует, что
область определения функции f^K(M) на М есть конус (быть
может, не включающий начала координат) над ее областью опре-
определения на М. Задачи 5 и 1.11 показывают, что неприводимые
компоненты многообразия М суть конусы над неприводимыми ком-
компонентами многообразия М.
Задача 7. Подполе К (М) <= К (М) состоит из всех функций,
инвариантных относительно гомотетий (т. е. постоянных на обра-
образующих конуса М).
Описанный прием дает возможность использовать аффинную
теорию при изучении проективных многообразий. В частности, он
позволяет вывести из задач 1.30—1.32 их проективные аналоги.
А именно: пусть Меи Рп—алгебраическое многообразие, М' —
объединение каких-либо его неприводимых компонент и М" —
объединение остальных неприводимых компонент. Точно так же,
как в аффинном случае, определяется гомоморфизм ограничения
?(№)¦-+К(М'):
Задача 8. Если функция / определена в точке xgF, to и
функция / \м> определена в этой точке и / |лг (#) = / (#)•
Задача 9. Если функция / \w определена в точке х^М'\М" ,
то и функция / определена в этой точке.
За дача 10. Пусть М = М^ U ... U Mq — разложение многообра-
многообразия И на неприводимые компоненты. Тогда гомоморфизм
К(М)-^К(М1)Х ... XK(Mq), /-(/Ц, ...,/Ц).
является изоморфизмом.
3. Пучки функций. Чтобы иметь возможность рассматривать аф-
аффинные и проективные алгебраические многообразия с единой точ-
точки зрения, а также определить абстрактные проективные и более
обпдие алгебраические многообразия, введем понятие топологиче-
топологического пространства с пучком функций.
Говорят, что на топологическом пространстве М задан пучок О
функций (или, точнее, пучок алгебр функций), если для каждого
открытого подмножества UczM в алгебре всех непрерывных функ-
функций на U со значениями в поле К выделена некоторая подалгебра
О(U) таким образом, что:
E1) если VaU mf^O(U), то /1^0G);
E2) если U = U I Ja и /—такая функция на V, что f\ua
() при всех а, то fe=O{U).
В случае необходимости указать пространство мы будем писать
Ом вместо О.

§ 2. ПРОЕКТИВНЫЕ И КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 85
Непрерывное отображение f: M -+ N топологических пространств
с пупками функций называется морфизмом, если f*ON(V) с:
czOM(f~i(V)) для всякого открытого подмножества УсДО. Очевид-
Очевидно, что композиция морфизмов есть морфизм.
Подпространство N топологического пространства М с пучком
функций каноническим образом наделяется пучком функций.
А именно, функция / на открытом подмножестве V пространства
N считается принадлежащей алгебре ON(V), если существуют та-
такие открытые подмножества Ua пространства М и такие функции
при всех ос.
а
Задача 11. Определенная таким образом структура на N
удовлетворяет аксиомам пучка функций.
Пучок ON называется ограничением пучка Ом на подпростран-
подпространство N. Из его определения следует, что тождественное вложение
NczM является морфизмом. Если N открыто в М, то ON(V) =
S=OM(V) для любого открытого подмножества FcJV.
Задача 12. Операция ограничения пучков функций транзитив-
на в том смысле, что если Р cz N <= М, то пучок функций на Р,
полученный последовательным ограничением пучка Ом сначала на
Лг, а потом на Р, совпадает с пучком, полученным прямым ограни-
ограничением пучка Ом на Р.
Пусть М и Лг—два топологических пространства с пучком
функций.
Задача 13. Если /: М->• Лг — морфизм и . f(M)<=NQaN,
то /: М -+ NQ — морфизм.
Задача 14. ПустьM = \JUa— открытое покрытие. Если ото-
отображение /: М -+¦ Аг таково, что его ограничение на любое подмно-
подмножество Ua есть морфизм (в N), то / — морфизм.
Предположим теперь, что пространство М неприводимо (см.
п. 1.3). Всякий морфизм непустого открытого подмножества U<^M
в пространство N назовем частичным морфизмом М в N. Два час-
частичных морфизма назовем эквивалентными, если они совпадают
в общей области определения.
Задача 15. Это отношение транзитивно.
Задача 16. В классе эквивалентных частичных морфизмов
существует (единственный) морфизм, область определения которого
содержит области определения всех частичных морфизмов из дан-
данного класса.
Частичный морфизм, удовлетворяющий условию этой задачи,
назовем рациональным отображением пространства М в простран-
пространство N. Ясно, что всюду определенное рациональное отображение —
это то же, что морфизм.
Рациональное отображение /: М -> N назовем доминантным, если
f(M)~N. (В этом случае пространство N также неприводимо.)

86 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Произведением доминантного рационального отображения /: Ж" -+•
-*¦ N и рационального отображения g: N -> Р назовем рациональное
отображение gf: M-+P, эквивалентное любому частичному мор-
физму вида gofo, где /0 и g0 — частичные морфизмы, эквивалентные
/ и g соответственно, и образ /0 содержится в области определения
g0. Легко видеть, что такие пары (/0, go) существуют и что если
отображение / определено в точке х ^ М, а отображение g — в точ-
точке f(x)^N, то отображение gf определено в точке х и (gf) (х) =
= g(f(x)); однако отображение gf может быть определено и в точ-
точках, не удовлетворяющих этим условиям.
4. Пучки рациональных функций. Пусть М — вложенное аф-
аффинное или проективное алгебраическое многообразие. В обоих слу-
случаях мы имеем понятие рациональной функции. Для любого от-
открытого подмножества U cz M обозначим через 0A7) алгебру функ-
функций на U, образованную ограничениями на U тех рациональных
функций, область определения которых содержит U. (Если U плот-
плотно в Ж, то О(U) отождествляется с подалгеброй алгебры К(М).)
Задача 17. Определенная выше структура на М удовлетво-
удовлетворяет аксиомам пучка функций.
Построенный пучок функций на М будем называть пучком ра-
рациональных функций.
Задача 18. Пучок рациональных функций на М совпадает
с ограничением пучка рациональных функций на объемлющем аф-
аффинном или проективном пространстве.
Открытое подмножество в Рп, задаваемое неравенством Uo Ф О,
может быть отождествлено с Ап. При этом функции Хг — у^-
со
(i = 1, ..., п) образуют систему координат в А77. Таким образом,
х, .. ., Хп) е Дп отождествляется с точкой A :Х1: ... : Хп) е
Задача 19. Пучок рациональных функций на Ап совпадает
с ограничением пучка рациональных функций на Рп.
Задача 20. Пусть Mh (h ^ К[М]) —главное открытое подмно-
подмножество аффинного многообразия М. Пучок рациональных функций
на Мн как на аффинном многообразии (см. п. 1.8) совпадает с ог-
ограничением пучка рациональных функций на М.
Задача 21. Морфизмы аффинных многообразий — это то же,
что их морфизмы как топологических пространств с пучками
функций.
Это означает, что аффинные многообразия можно рассматри-
рассматривать как объекты специального вида в категории топологических
пространств с пучком функций. А именно: (абстрактное) аффинное
алгебраическое многообразие — это топологическое пространству
с пучком функций, изоморфное замкнутому подмножеству аффин-
аффинного пространства.

: § 2. ПРОЕКТИВНЫЕ И КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 87
Задача 22. Рациональные отображения неприводимых аффин-
аффинных многообразий (см. п. 1.9) — это то же, что их рациональные
отображения как топологических пространств с пучками функций
(см. п. 3).
Аналогично, (абстрактное) проективное алгебраическое многооб-
многообразие определяется как топологическое пространство с пучком
функций, изоморфное замкнутому подмножеству проективного про-
пространства. Морфизмы проективных многообразий понимаются как
морфизмы топологических пространств с пучками функций.
5. Квазипроективные многообразия. Квазипроективным алгебраи-
алгебраическим многообразием (короче, квазипроективным многообразием)
называется топологическое пространство с пучком функций, изоморф-
изоморфное открытому подмножеству проективного многообразия или, что то
же, локально замкнутому подмножеству проективного пространства.
Аффинные и проективные алгебраические многообразия — част-
частные случаи квазипроективных. Эти случаи исключают друг друга.
Более точно, если неприводимое квазипроективное многообразие М
является одновременно аффинным и проективным, то оно состоит
из одной точки. Действительно, если М аффинно, то О(М) = К[М],
а если М проективно, то О(М) = К (теорема 1). Поэтому если имеет
место и то, и другое, то ЩМ] = К, а для аффинного многообразия
это и означает, что оно состоит из одной точки.
Локально замкнутое подмножество квазипроективного многооб-
многообразия М (снабженное индуцированной топологией и пучком функ-
функций, являющимся ограничением пучка Ом), называется подмногооб-
подмногообразием многообразия М. Очевидно, что это также квазипроектив-
квазипроективное многообразие. Всякое замкнутое подмногообразие аффинного
(соотв. проективного) многообразия является аффинным (соотв.
проективным) многообразием.
Согласно определению всякое квазипроективное многообразие
М можно вложить в виде открытого подмногообразия в некоторое
проективное многообразие Р. Считая, что М плотно в Р (а этого
всегда можно добиться), положим К(М) = К(Р) и каждый элемент
алгебры К(М) будем рассматривать как функцию на М, являю-
являющуюся ограничением соответствующей рациональной функции на Р.
Получаемые таким образом функции на М будем также называть
рациональными. Они характеризуются во внутренних терминах как
функции из пучка Ом, область определения которых не может быть
расширена.
С другой стороны, пучок Ом полностью определяется алгеброй
рациональных функций на М, ибо для любого открытого подмно-
подмножества C/czM функции из OM(U) суть не что иное, как ограни-
ограничения рациональных функций.
Очевидно, что если MoczM — плотное открытое подмногообразие,
то имеется естественный изоморфизм между алгебрами К(М) и
К(М0), заключающийся в том, что каждой рациональной функции
на М сопоставляется ее ограничение на Мо.

gS ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Следующие задачи показывают, что квазипроективные многооб-
многообразия могут быть в известном смысле приближены аффинными
многообразиями, а их морфизмы — морфизмами аффинных много-
многообразий.,
Задача 23. Для любого наперед заданного конечного множе-
множества точек квазипроективного многообразия существует содержащее
его плотное открытое аффинное подмногообразие.
Задача 24. Для любого морфизма /: М -*¦ N квазипроективных
многообразий существуют такие плотные открытые аффинные под-
подмногообразия MoczM и NqCzN, что f(M0)<=N0 (и тогда автомати-
автоматически отображение /: Mo-+-No является морфизмом: см. задачу 13).
При этом можно потребовать, чтобы подмногообразия Мо и No со-
содержали любые наперед заданные конечные множества точек мно-
многообразий М и N соответственно.
Благодаря этому теоремы 1.5 и 1.8 механически переносятся на
любые квазипроективные многообразия. Сформулируем получаемые
таким образом теоремы.
Теорема 2. Пусть /: М ->¦ N—доминантный морфизм непри-
неприводимых квазипроективных многообразий. Тогда f(M) —густое под-
подмножество в N.
Теорема 3. Пусть поле К имеет нулевую характеристику,,
и пусть М, N, Р — неприводимые квазипроективные многообразия
и f:M->N, h: M -> Р — доминантные морфизмы. Если для любых
точек х', /gI из f{xr) = f(x/f) следует h(x') = h(x"), то суще-
существует такое (доминантное) рациональное отображение g: N ->• Ру
что h = gf.
Очевидно, что комплексное квазипроективное многообразие про-
ективно тогда и только тогда, когда оно компактно в вещественной
топологии.
6. Прямое произведение. Прямое произведение М XN аффинных
многообразий М и N, определенное в п. 1.4, есть их теоретико-
множественное прямое произведение, снабженное некоторым обра-
образом структурой аффинного многообразия. Охарактеризуем эту струк-
структуру в терминах, имеющих смысл для любых квазипроективных
многообразий.
Задача 25. Проекции прямого произведения МXN на М и на
Л; являются морфизмами. Для любого аффинного многообразия Р и
любых морфизмов /: Р -+ М ж g: P -* N отображение
является морфизмом.
Руководствуясь этим, дадим следующее аксиоматическое опре-
определение прямого произведения квазипроективных многообразий.
Прямым произведением квазипроективных многообразий Ми ...
..., Мк называется их теоретико-множественное прямое произведе-
произведение Mi X ... X Mk, снабженное структурой квазипроективного много-
многообразия таким образом, что:

§ 2. ПРОЕКТИВНЫЕ И КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 89
(Р1) проекции р{: М±Х... ХМк-> Мг (i = l, ..., к) являются
морфизмами;
(Р2) для любого квазипроективного многообразия Р и любых
морфизмов fii Р-+Мг (i=l, ..., к) отображение
является морфизмом.
Задача 26. На Mt X ... X Mh существует не более одной струк-
структуры квазипроективного многообразия, удовлетворяющей этим ус-
условиям.
Ввиду задачи 14 и возможности покрытия любого квазипроек-
квазипроективного многообразия открытыми аффинными подмногообразиями
{задача 23) в приведенном выше определении можно ограничиться
аффинными многообразиями Р. Поэтому прямое произведение аф-
аффинных многообразий в смысле п. 1.4 является их прямым произ-
произведением и в смысле нашего нового определения.
Топология прямого произведения квазипроективных многообра-
многообразий не обязана совпадать с топологией прямого произведения топо-
топологических пространств и в нетривиальных случаях никогда с ней
не совпадает (см. п. 1.3). Однако, как показывает следующая за-
задача, она, во всяком случае, не слабее этой последней топологии.
Задача 27. Пусть МХХ.. ,ХМк—прямое произведение ква-
квазипроективных многообразий Ми ..., Мк и Л^<=Ж\ (? = 1, ..., к) —
локально замкнутые (соотв. открытые, замкнутые) подмножества.
Тогда Ni X ... X Nk — локально замкнутое (соотв. открытое, замк-
замкнутое) подмножество пространства Mt X ... X Mk. Снабженное струк-
структурой квазипроективного многообразия как подмногообразие в
Mi X ... X Мк, оно является прямым произведением многообразий
Nu ..., Nk.
Перейдем к вопросу о существовании прямого произведения.
Теорема 4. Для любых квазипроективных многообразий
Mi, ..., Mk существует прямое произведение MY X ... XMh. При этом,
если Ми ..., Mh — аффинные (соотв. проективные) многообразия,
то и Mi X ... X Mh — аффинное (соотв. проективное) многообразие.
Прямое произведение неприводимых многообразий является непри-
неприводимым многообразием.
Следующая задача позволяет свести доказательство к случаю
двух множителей.
Задача 28. Пусть Л/4 X ... Х1Ь1 = N—прямое произведение
квазипроективных многообразий Ми ..., Mh-U a NXMk — прямое
произведение многообразий iV и Mk. Тогда многообразие NXMh,
естественным образом отождествленное с М4 X ... X Mh, является
прямым произведением многообразий Ми ..., Mk.
Далее, так как любое квазипроективное многообразие согласно
определению является подмногообразием проективного пространства,
то задача 27 показывает, что нам достаточно доказать существо-

90 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
вание прямого произведения проективных пространств. Для этого
мы воспользуемся следующим критерием.
Задача 29. Пусть М= [} Ма и N = [ J N$ — открытые покры-
тия квазипроективных многообразий М и iV, и пусть на М X JV
введена структура квазипроективного многообразия таким образом,
что для любых а, ? подмногообразие Л/а'XiVpczMXN является
прямым произведением многообразий Ма и iVp. Тогда MXN — пря-
прямое произведение многообразий М ж N.
Пусть теперь Рп и Рт — проективные пространства с однород-
однородными координатами Ut (г = 0, 1, ..., п) и F;- (/= 0, 1, ..., т)
соответственно. Рассмотрим проективное пространство pnm+n+mc Од_
нородными координатами W^ (i = 0, I, ..., п\ j = 0, I, ..., т) и
отображение
и* Рп V Рт —>•
задаваемое формулами
Задача 30. Отображение г\ взаимно однозначно. Его образ
^ _ _ .
Отождествив произведение Р X Рт с его образом при отобра-
отображении г], мы введем на нем структуру проективного многообразия.
Открытые подмножества пространств Pn, Pm и р?т+п+т> выде-
выделяемые неравенствами
Uo^O, F0?=0, WQo^O BJ
соответственно, отождествим с аффинными пространствами Алд Ат
и Апт+п+те (см. п. 4). Имеем
Задача 31. Отображение ц индуцирует изоморфизм прямого
произведения Ап X Aw = Ап шна замкнутое подмногообразие мно-
гообразия А .
Это означает, что та структура проективного многообразия, ко-
которую мы ввели на Рп X Рш, индуцирует на An X Am структуру
прямого произведения. Так как вместо ?/0, Fo и TFOo в B) мы мог-
могли взять координаты Uh Vj и Wy с любыми ?, /, то выполнены
условия задачи 29 и, значит, многообразие Рп X Р действительно
является прямым произведением многообразий Рп и Рт.
Тем самым доказано первое утверждение теоремы и одновре-
одновременно тот факт, что прямое произведение проективных многообра-
многообразий является проективным многообразием. То, что прямое произве-
произведение аффинных многообразий является аффинным многообразием,

§ 2. ПРОЕКТИВНЫЕ И КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 91
фактически было доказано в § 1. Неприводимость прямого произ-
произведения неприводимых многообразий доказывается так же, как в
аффинном случае (задача 1.14).
Полезно описать топологию пространства Рп X Рш во внутрен-
внутренних терминах.
Задача 32. Подмножество F а Рп X Рт замкнуто тогда и
только тогда, когда оно может быть задано системой уравнений
вида
p(U0, Uu ..., C7n; Fo, Vu ..., Fm) = 0,
где р — многочлен, однородный в отдельности по Uo, Ut1 ...,Un и
по Fo, F4, ..., Fm.
7. Многообразие флагов. Пусть F — 72-мерное векторное про-
пространство.
Флагом в пространстве F называется такой набор (Fl7 ..., Fn)
его подпространств, что dim Vk = к и Vh с Vk+i (к = 1, ..., п — 1).
Целью этого пункта является введение в множество флагов кано-
канонической структуры проективного алгебраического многообразия.
Получаемое при этом многообразие называется многообразием фла-
флагов и играет важную роль в теории алгебраических групп.
Пусть /\V — (-у Д F— внешняя (знакопеременная) алгебра
/г=0
пространства F (см. [50] или [52]). Элементы пространства Л k V
называются к-векторами. Имеется канонический изоморфизм Э
пространства /\k V на пространство знакопеременных тензоров k-ж
степени, определяемый формулой
в (*i Л • • • Л **) = 2 (- 1ГтностьахаA) в... ® хот,
где сумма берется по всем подстановкам а.
Ненулевой /с-вектор называется разложимым, если он представ-
представляется в виде #i Л • • • /\xki где хг е F. Указанный выше изомор-
изоморфизм определяет в Д V систему координат, в которой координа-
координатами разложимого /с-вектора х\ /\ ... Д хк служат миноры /с-го по-
порядка матрицы, составленной из координат векторов хи ..., xk в
некотором фиксированном базисе пространства F. Это так называе-
называемые плюпкеровы координаты.
Задача 33. Пусть и= хг Д ... Д #& — разложимый fc-вектор.
Подпространство F(u)c=F, натянутое на векторы хи ..., xk, одно-
однозначно определяется по и следующим образом:
V(u)={xe=V\u/\x = 0}. C)
Очевидно, что разложимый /с-вектор и определяется подпрост-
подпространством V(u) с точностью до пропорциональности. Таким обра-
образом, имеется взаимно однозначное соответствие между к-мерными
подпространствами пространства V и одномерными подпростран-
подпространствами пространства Д F, составленными из разложимых
к-векторов.

92 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Задача 34. Если ненулевой /с-вектор и не является разложи-
разложимым, то размерность подпространства V(u)^\\ построенного по
формуле C), меньше к.
Условимся обозначать через ?P(U) проективное пространство,
связанное с векторным пространством U. (Его точки — это одно-
одномерные подпространства пространства U.) В соответствии с выше-
вышеизложенным, множество всех ^-мерных подпространств простран-
пространства V отождествляется с некоторым подмножеством Gr^ (F) с:
с:^(Д F), называемым грассмановым многообразием.
Задача 35. Grfe(F) замкнуто в &(/\h V).
Докажем, что грассманово многообразие неприводимо. Пусть
B(V)—множество всех базисов пространства F, Имеется сюръек-
тивное отображение
которое каждому базису сопоставляет подпространство, натянутое
на первые к его элементов. Множество B(V) наделяется структурой
неприводимого аффинного многообразия как главное открытое под-
подмножество неприводимого аффинного многообразия FX ... X F.
п
Задача 36. Отображение gk — морфизм В(V) в &*(f\kV).
Так как образ неприводимого топологического пространства при
непрерывном отображении неприводим, то из предыдущего следует,
что многообразие Grfe(F) неприводимо.
Пусть 1 < к < I < п. Рассмотрим подмножество GrA>z(F)c:
<= Grft(F)X Grz(y), образованное теми парами (W, U) подпрост-
подпространств (dim W = к, dim U = I), для которых W <= U.
Задача 37. GrM(F) замкнуто в Grft(F)X Grz(F).
Множество @~(V) всех флагов пространства F является подмно-
подмножеством в прямом произведении Grt (F) X ... X Grn (F).
Задача 38. У(У) замкнуто в Grt(y)X ... X Grn(F).
Задача 39. &~(V) неприводимо.
Таким образом, ?F(V) является неприводимым замкнутым под-
подмножеством проективного многообразия Gr^FJX ... X Grn(F) и бла-
благодаря этому наделяется структурой неприводимого проективного
многообразия. Это многообразие и называется многообразием флагов
пространства F.
Упражнения
1. Проективное многообразие #рг(?), определяемое системой уравнений A),
пусто тогда и только тогда, когда существует такое к, что идеал алгебры
K[Uo, U\, ..., Un], порожденный множеством 5, содержит все формы степени к
(и, значит, все формы больших степеней).
2. Пусть S= {/?!, /?2, ...}—множество форм степеней к\, &2, ... соответст-
соответственно. При данных kh k2, ... необходимые и достаточные условия непустоты
многообразия М$т (S) можно записать в виде системы алгебраических соотно-
шений между коэффициентами форм р\, р2, . •., каждое из которых однородна
по коэффициентам каждой формы. (Каждое соотношение содержит коэффи-
коэффициенты лишь конечного числа форм.)

§ 2. ПРОЕКТИВНЫЕ И КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 93
Пусть' М d Рп— неприводимое алгебраическое многообразие. Упорядочен-
Упорядоченный набор (ро, р\, ..., рт) однородных элементов одинаковой степени алгебры
K[M]vr назовем допустимым, если он содержит хотя бы один ненулевой эле-
элемент. Допустимые наборы (ро, Ри • • •, Рт) и (g0, qi, . •-, <7m) назовем эквивалент-
эквивалентными, если pi#j = pjqi для всех i, /.
3. Это действительно отношение эквивалентности.
Каждый класс эквивалентных допустимых наборов задает отображение-
(быть может, не всюду определенное) /: М->Рт по следующему правилу:
отображение / определено в точке х е М, если в данном классе имеется та-
такой набор (ро, pi, ..., pm), что Pi(x) ФО для некоторого г, и в этом случае-
f(x) = (ро(х) :pi(x) :... :pm(x)).
4. Это рациональное отображение (в смысле п. 3).
5. Всякое рациональное отображение /: М ->¦ Рт задается в описанном
выше смысле некоторым классом эквивалентных допустимых наборов.
6. Любое рациональное отображение /: Р1 -> Рт является морфизмом
(т. е. всюду определено).
7. Найти образ морфизма Р ->Рт, задаваемого набором (?^jj\ U™~ U^..^
8. Найти область определения и образ рационального отображения
/: р2-)-р2, задаваемого набором (UiU2l U2UQ, UQLTi). Доказать, что /2 = id.
9. Пусть МсР — коника, определяемая уравнением Z7q — U^ — U\ = 0t
и /: M->¦ Р1 — рациональное отображение (стереографическая проекция), зада-
задаваемое набором (щ — ии и2), где щ, ии ^2 — образы Uo, U\, И2 при канониче-
каноническом гомоморфизме K[Uo, U\, U2] -+К[М]рг. Доказать, что / — изоморфизм.
10. Образ любого морфизма проективного многообразия в квазипроектив-
квазипроективное многообразие замкнут. (Указание: воспользоваться упражнениями 5 и 2.)
11. Пусть М = M(S) — алгебраическое многообразие в Ап, определяемое-
системой уравнений A.1), и М — алгебраическое многообразие в Р?\ опреде-
определяемое системой уравнений
Замыкание М многообразия М в ^п совпадает с объединением тех неприво-
неприводимых компонент многообразия М, которые не лежат целиком в гиперплос-
гиперплоскости Uo = 0.
12. В обозначениях упражнения И, если S ==¦ {Х±, Х^ + Х2}, то МфМ.
13. В любом квазипроективном многообразии открытые аффинные подмно-
подмногообразия составляют базу топологии.
Указания к задачам
^ 1, 2. Рассмотреть старшие компоненты нильпотсптпых элементов и делите-
делителей нуля соответственно.
3. Выводится из теоремы Гильберта о базисе идеала.
5. Решается аналогично задаче 1.11.
6. Пусть М = Мi у ... и Mq — разложение многообразия М на неприводи-
неприводимые компоненты, и пусть /s (s = 1, ..., q) — идеал алгебры К[М]?Г, порож-
порожденный однородными элементами, равными нулю на Ms. Так как идеал // со-
содержит однородные неделители нуля, то существует однородный элемент q e
е//, не принадлежащий ни одному из идеалов /s. Пусть j;gI-точка, не*
принадлежащая множеству нулей идеала //, и re// — такой однородный эле-
элемент, что г(х) Ф 0. Заменив элементы g и г их подходящими степенями, мож-
можно добиться того, чтобы ст. q =¦ ст. г. Подходящая линейная комбинация эле-

$4 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
ментов q и г будет тогда неделителем нуля, содержащимся в идеале // и не
обращающимся в нуль в точке х. Следовательно, х е Df.
7. Если функция / е К[М] инвариантна относительно гомотетий, то идеал
// алгебры К[М] = К[М]$Т также инвариантен относительно гомотетий, т. е.
однороден. Нужно доказать, что он содержит однородные неделители нуля.
Так как он содержит какие-то неделители нуля, то, в обозначениях решения
задачи 6, // ф Is ни при каком s. Следовательно, для любого s существует та-
такой однородный элемент qs e //, что qs^Is. Можно считать (ср. решение за-
задачи 6), что степени всех этих элементов равны. Тогда их подходящая линей-
линейная комбинация и будет искомым однородным неделителем нуля.
10. Воспользоваться задачей 7.
17. Для проверки аксиомы (S2) воспользоваться в аффинном случае зада-
задачами 1.31 и 1.32, а в проективном — задачами 9 и 10.
18. Ввиду аксиомы (S2) пучка функций достаточно доказать утверждение
для неприводимого многообразия М.
23. Пусть данное квазипроективное многообразие М вложено в виде под-
подмногообразия в проективное пространство Рп. При помощи подходящего про-
проективного преобразования можно добиться того, чтобы ни одна из заданных
точек и ни одна из неприводимых компонент многообразия М не лежали в
гиперплоскости Uo = 0. Тогда М П А71 будет плотным открытым подмножест-
подмножеством многообразия М, содержащим все заданные точки. Далее, в аффинном
многообразии М П Ап можно найти главное открытое подмножество, содер-
содержащееся в М П Ап и содержащее все заданные точки. Это и будет искомое
подмногообразие многообразия М.
2А. Выбрать сначала подмногообразие No с: Ат, позаботившись о том, чтобы
оно содержало хотя бы по одной точке из образа каждой неприводимой ком-
компоненты многообразия М.
25. Это геометрическая переформулировка свойств тензорного произведе-
иия алгебр (см. п. 1.4).
27. Воспользоваться задачей 13.
29. Для любых морфизмов /: Р->М и g: P-+N рассмотреть их ограниче-
ограничения на Ркр = f~l(Ma) П g~l(N$) и воспользоваться задачей 14.
30. Если располагать однородные координаты точки пространства
в ((/г -f-1) X (тп + 1))-матрицу, то образ г\ состоит из точек, матрица коор-
координат которых имеет ранг 1, и задается условиями равенства пулю миноров
второго порядка этой матрицы.
31. Следует из того, что среди координат точки
Г] (№, ...,Хп)ЛГг, ..., Ym)) <=A™+n+m
имеются равные Х\, ..., Хп, У и • • •» Ym, а прочие суть их произведения.
32. Пусть подмножество F задается уравнениями указанного в условии за-
задачи вида. Пусть одно из этих уравнений имеет вид р = 0, где р — многочлен
степени однородности к по Uo, Uu ..., Un и I — по Fo, Vi, • •., Vm. Если, скажем,
к > Z, то, умножая уравнение р = 0 на всевозможные мономы степени к — I
от Fo, Fi, ..., Fm, мы получим систему уравнений, эквивалентную исходному
уравнению и состоящую из уравнений степени однородности к по каждой
группе координат. Поэтому можно считать, что каждое из уравнений, задаю-
задающих F, имеет по обеим группам координат одну и ту же степень однородности.
Уравнения такого вида можно представить как однородные уравнения от про-
произведений UiVj(i = 0, 1, ..., п\ / = 0, 1, ..., т), откуда и следует замкну-
замкнутость F. Обратное очевидно.
34. Пусть (хи ..., xi) —базис подпространства V(u). Дополним его до ба-
базиса пространства V векторами xi + h ..., хп. Пусть и == ^Р. и^ {/ х.^/\ ...
ii
1fe
„.. f\ х{ . Из соотношений и /\ хг = 0 {i = I, ..., I) следует, что ^ ^^ =

§ 3. РАЗМЕРНОСТЬ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 95
если среди индексов iu ..., h не встречается хотя бы одно из чисел 1, ..., I.
Отсюда следует, что I ^ к, причем если I = к, то
и=сх1/\ ... Д *г (се=К).
35. Из задач 33 и 34 следует, что й-вектор и разложим тогда и только
тогда, когда ранг линейного отображения х\-*и/\х не больше, чем п — к
(и в этом случае он автоматически равен п — к). Последнее условие равно-
равносильно обращению в нуль всех миноров порядка п — к + 1 матрицы этого ото-
отображения.
36. В плюккеровых координатах отображения gk задается минорами к-то
порядка матрицы, составленной из координат (в каком-либо фиксированном
базисе) первых к базисных векторов.
37. Пусть и — разложимый /с-вектор и v — разложимый Z-вектор. Из зада-
задачи 33 следует, что V(u) a V(v) тогда и только тогда, когда ранг линейного
отображения
v-+Ak+1v
не больше, чем п — к (ив этом случае он автоматически равен п — к).
§ 3. Размерность и аналитические свойства
алгебраических многообразий
В этом параграфе под алгебраическими многообразиями можно
понимать квазипроективные алгебраческие многообразия (но мож-
можно и любые другие, если читателю известно, что это такое).
1. Определение размерности и ее основные свойства. Пусть А —
алгебра без делителей нуля. Элементы ии ..., ит^А называются
алгебраически независимыми (над К), если они не удовлетворяют
никакому нетривиальному алгебраическому соотношению с коэф-
коэффициентами из К. В этом случае К[ии ..., ит]^ К[Хи ..:, Хт\»
Максимальная алгебраически независимая система элементов на-
называется базисом трансцендентности.
Задача 1. Алгебраически независимые элементы ии ..., ит^
ei образуют базис трансцендентности тогда и только тогда, когда
алгебра А является алгебраическим расширением подалгебры
К[ии ..., ит] (см. п. 1.5).
Задача 2. Пусть А=Щии .,., ип] и {ии ..., ит) — максималь-
максимальная алгебраически независимая подсистема в {ии ..., ип}. Тогда
{#i, ..., ит} — базис трансцендентности алгебры А.
Задача 3. Всякий базис трансцендентности алгебры А явля-
является базисом трансцендентности ее поля отношений QA.
Теорема 1. Если в алгебре А существует базис трансцендент-
трансцендентности из m элементов, то всякие п> m ее элементов алгебраически
зависимы.
Доказательство см., например, в [52]. Другое доказательство для
случая нулевой характеристики будет дано в п. 2.
Следствие. Все базисы трансцендентности алгебры А содер-
содержат одинаковое число элементов.
Это число называется степенью трансцендентности алгебры А
и обозначается через ст. тр. А. Если в алгебре А не существует

'96 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
(конечного) базиса трансцендентности, то будем считать, что
ст. тр. А = °°.
Очевидно, что степень трансцендентности подалгебры и фактор-
алгебры не превосходит степени трансцендентности алгебры. Сог-
Согласно задаче 3, ст. тр. А = ст. тр. QA. Очевидно также, что
ст. тр. К[Хи ..., Хп] = п.
Размерностью неприводимого алгебраического многообразия М
называется число dimAf = ct.tj).K(M). Размерностью произвольно-
произвольного алгебраического многообразия называется максимум размерно-
размерностей его неприводимых компонент. Очевидно, что размерность мно-
многообразия равна размерности любого его плотного открытого под-
подмногообразия и что dim Pn = dim Ап = п.
Задача 4. Пусть N — подмногообразие алгебраического много-
многообразия М. Тогда dim N < dim M.
Задача 5. В условиях задачи 4, если М неприводимо и N
замкнуто в М, из dim N ^ dim M следует, что N = M.
Теорема 2. Всякая неубывающая цепочка Nx <= N2 <= ... не-
неприводимых замкнутых подмножеств алгебраического многообразия
М стабилизируется.
Задача 6. Доказать эту теорему.
2. Дифференцирования алгебры функций. Пусть А — алгебра
^ез делителей нуля и ф — гомоморфизм алгебры А в поле L, содер-
содержащее К (и рассматриваемое как алгебра над К). Линейное ото-
отображение д: А -> L называется (^-дифференцированием А в L, если
д (аЪ) =да-ц(Ь) + ц(а)-дЬ A)
для любых а, Ъ^А. Легко видеть, что 51=0. Множество всех
ф-дифференцирований А в L является векторным пространством
над L относительно естественных операций:
2a,
(A,e=L).
Обозначим это пространство через D(A, L).
Задача 7. Пусть А=ЩХи ..., Хп]. Тогда для любых элемен-
элементов Xi, ..., Хп е L существует единственное ф-дифференцирование
д: А -> L, переводящее Х{ в Я»- (i == 1, ..., п).
В условиях задачи 7, &imD{A, L)= n.
Рассмотрим частный случай, когда A a L и ф = id. В этом слу-
случае мы будем говорить просто о дифференцированиях А в L.
Задача 8. Всякое дифференцирование д: А -»¦ L однозначно
продолжается до дифференцирования QA -+ L.
В оставшейся части этого параграфа мы будем считать, что
К — поле н у л е в о й характеристики.
Задача 9. Пусть В с= L — подалгебра, конечно порожденная
над А, Если В является алгебраическим расширением алгебры А,
ню всякое дифференцирование д: А ->¦ L однозначно продолжается
до дифференцирования В -> L.

§ 3. РАЗМЕРНОСТЬ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 97
Задача 10. Если ici — конечно порожденная алгебра, то
dimD(A, L) равна числу элементов в любом базисе трансцендент-
трансцендентности алгебры А.
Из задачи 10 легко следует теорема 1. (В качестве L можно
взять QA.)
Таким образом, если М — неприводимое алгебраическое много-
многообразие, то
C)
Теорема 3. Пусть М а Дп — неприводимое алгебраическое
многообразие и (Д, ..., /т} — система образующих идеала 1(М).
r HfV
Пусть г — ранг матрицы J = -^-тч?
матрицы с элемен-
у
\ п) м
тами из поля К(М)). Тогда dim М = п — г.
Для доказательства заметим, прежде всего, что
dim М - dim D (ЩМ], К(М)).
Далее, ЩМ]^К[Хи ..., Хп]/1(М). Пусть к — гомоморфизм алгеб-
алгебры К[Хи ..., Хп\ в поле К(М), определяемый формулой я(/)==/1м.
Каждому дифференцированию д: К[М] -> К(М) сопоставим я-диф-
ференцирование д: ЩХи ..., Хп]~^К(М) по формуле df = dn(f).
Задача 11. Отображение д»-» д является изоморфизмом прост-
пространства D(K[M], K(M)) на пространство я-дифференцирований
алгебры ЩХи ..., Хп] в К(М), обращающихся в нуль на 1{М).
Задача 12. Доказать теорему 3.
3. Простые точки. Пусть М — неприводимое алгебраическое
многообразие в Ап и / — матрица с элементами из алгебры i?[Af|,
построенная как в теореме 3. Точка х^М называется простой, ес-
если rk/(^) = rk/.
Это определение на самом деле имеет внутренний смысл. Более
того, для любой точки х^М число п — тк1(х) не зависит от вло-
вложения многообразия М в аффинное пространство. Доказательство
этого факта аналогично доказательству теоремы 3. Рассмотрим го-
гомоморфизм
и обозначим через DX(K\M\, К) пространство ерх-дифференцирова-
ерх-дифференцирований алгебры К[М] в поле К. Его элементы — это линейные отобра-
отображения д: К[М] -*¦ К, обладающие свойством
d(fg)=df.g(x)+f(z).dg.
Задача 13. dimDX(K[M], K)=n-vkJ(x).
В частности, так как rk/(#)^rk/ = r, то
dim Dx (К[М1 К) > п — г = dim M,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда х —
7 Э, Б, Винберг, А, Л. Онищик

98 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
простая точка многообразия М. Это дает внутреннюю характериза-
цию простых точек неприводимых аффинных многообразий.
Понятие простой точки можно распространить на любые алгеб-
алгебраические многообразия. Для того чтобы это сделать, дадим снача-
сначала локальное определение простой точки неприводимого аффинного
многообразия М, которое не требует знания алгебры 7?[Д/].
Для точки х^М определим ее локальную алгебру Ох как алгеб-
алгебру всех рациональных функций на М, определенных в этой точке.
Задача 14. Всякое фх-дифференцирование алгебры К[М]
в К однозначно продолжается до ср.х-дифференцирования алгебры
Ох в К.
Обозначим теперь через DX(OX, К) пространство всех фж-диффе-
фж-дифференцирований алгебры Ох в К. Из задач 13 и 14 следует, что точка
х является простой тогда и только тогда, когда
dim DX{OX, K)=*dimM. D)
В случае произвольного неприводимого алгебраического много-
многообразия М равенство D) принимается за определение простой точ-
точки. Локальная алгебра Ох при этом определяется точно так же, как
в аффинном случае, т. е. как алгебра всех рациональных функций
на М, определенных в точке х.
Множество всех простых точек многообразия М обозначается
через Мгеё.
Задача 15. Пусть N— открытое подмногообразие неприводи-
неприводимого алгебраического многообразия М. Тогда iVreg = N П Mreg.
Задача 16. Множество Mveg непусто и открыто в М.
Наконец, точка приводимого алгебраического многообразия М
называется простой, если она является простой точкой некоторой
неприводимой компоненты максимальной размерности многообра-
многообразия М и не содержится в других неприводимых компонентах.
Все точки многообразия М, не являющиеся простыми, называ-
называются особыми. Многообразие М называется неособым, если оно не
имеет особых точек. Очевидно, это имеет место тогда и только тог-
тогда, когда все неприводимые компоненты многообразия М неособы,
имеют одинаковую размерность и попарно не пересекаются.
Из задачи 16 и определения простых точек приводимых много-
многообразий следует, что мнооюество особых точек всегда является зам-
замкнутым подмногообразием, размерность которого строго меньше
размерности самого многообразия.
Задача 17. Всякое алгебраическое многообразие М является
объединением конечного числа непересекающихся неособых под-
подмногообразий.
4. Аналитическая структура комплексных и вещественных ал-
алгебраических многообразий. Назовем размерностью вещественного
аффинного многообразия М размерность его комплексификации
Л/(С); точку х*=М назовем простой, если она является простой

§ 3. РАЗМЕРНОСТЬ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 99
точкой многообразия М (С). Очевидно, что простые точки образу-
образуют непустое открытое подмножество в М; обозначим его через Mves.
Теорема 4. Пусть М — d-мерное неприводимое алгебраическое
многообразие в комплексном или вещественном аффинном прост-
пространстве Ап. Тогда Mveg — d-мерное аналитическое подмногообразие
пространства Ап.
Оба случая теоремы доказываются одинаково. Пусть К в пер-
первом случае обозначает поле С, а во втором случае — поле К?.
Пусть /4, ..., fm е= К[Хи ..., Хп] — система образующих идеала 1(М)
и / — матрица с элементами из алгебры iS[M], построенная как
в теореме 3.
Пусть х^М — простая точка. Можно считать, что минор
матрицы *' ""XT" отличен от нуля в точке х, а все окаймляю-
окаймляющие его миноры тождественно равны нулю на М.
Задача 18. Существуют такие gik<=K[Xu ..., Хп] (i = 1,..., m\
&=»!, ..., г), что
i = l, ..., m; p=l, .... n).
Рассмотрим алгебраическое многообразие Mr а Дп, задаваемое
уравнениями ft (x) = 0, ? = 1, ..., г.
Задача 19. Существует такая окрестность U точки х в веще-
вещественной топологии пространства Ап, что М' ПС/ — J-мерное ана-
аналитическое подмногообразие пространства Дп и Ш П U == М' П С/.
Тем самым теорема доказана.
Отметим, что в случае К = 0? Mreg является в то же время ве-
вещественным аналитическим подмногообразием комплексного анали-
аналитического многообразия М (C)reg, причем любое его касательное
пространство является вещественной формой касательного прост-
пространства многообразия М (Qreg в той же точке.
Задача 20. (Следствие.) Всякое d-мерное алгебраическое мно-
многообразие М в комплексном или вещественном аффинном прост-
пространстве А является объединением конечного числа непересекаю-
непересекающихся аналитических подмногообразий пространства Ап",: максимум
размерностей которых равен d.
Доказанная теорема позволяет ввести естественную аналитиче-
аналитическую структуру на произвольном неособом комплексном алгебраи-
алгебраическом многообразии.
Теорема 5. Всякое d-мерное неособое комплексное алгебраи-
алгебраическое многообразие обладает единственной структурой d-мерного
комплексного аналитического многообразия, при которой:
7*

100 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
1) все рациональные функции аналитичны в своей области оп-
определения-,
2) в подходящей окрестности любой точки система аналитиче-
аналитических координат может быть выбрана из ограничений рациональных
функций.
Задача 21. Аналитическая структура на вложенном неособом
аффинном комплексном алгебраическом многообразии, определен-
определенная как на аналитическом подмногообразии аффинного пространст-
пространства, удовлетворяет условиям этой теоремы.
Задача 22. Доказать теорему 5.
Задача 23. Всякий морфизм неособых комплексных алгебраи-
алгебраических многообразий является аналитическим отображением.
Задача 24. Аналитическая структура прямого произведения
неособых комплексных алгебраических многообразий совпадает с
аналитической структурой их прямого произведения как аналити-
аналитических многообразий.
5. Овеществление комплексных алгебраических многообразий.
Подобно тому как комплексное аналитическое многообразие можно
рассматривать как вещественное аналитическое многообразие вдвое
большей размерности, комплексное алгебраическое многообразие
можно рассматривать как вещественное алгебраическое многообра-
многообразие. Мы ограничимся построением функтора овеществления для
аффинных многообразий.
Прежде всего, ^г-мерное комплексное аффинное пространство
Дп договоримся рассматривать одновременно как 27г-мерное ве-
вещественное аффинное пространство A2n([R), отождествляя точку
(Zl4 ...,Zn)GAn с точкой (Хг, ..., Хп, Г1? ..., Yn) e= Д2П (R),
где Xk+iYk = Zk.
Пусть теперь М — алгебраическое многообразие в Ап. Перепи-
Переписав задающие его уравнения в вещественных координатах, легко
убедиться, что оно является алгебраическим многообразием и в
A2n([R). Многообразие М, рассматриваемое в таком качестве, обо-
обозначим через М и назовем овеществлением многообразия М.
Аналогично, перейдя к вещественным координатам, легко убе-
убедиться, что всякий морфизм вложенных комплексных аффинных
многообразий является в то же время морфизмом соответствующих
вещественных многообразий. Поэтому операция овеществления име-
имеет смысл, не зависящий от вложения.
Задача 25. dimMR — 2 dimAf.
Опишем алгебру многочленов на М . Пусть zu ..., zn — ограни-
ограничения на М координатных функций пространства Ап. Согласно оп-
определению алгебра К? [MR] порождается вещественными и мнимы-
мнимыми частями этих функций. Иногда бывает удобнее рассматривать
алгебру С [MR] = К [MR] ®кС «комплексных многочленов» на

§ 3. РАЗМЕРНОСТЬ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 101
MR, содержащую сами функции zu ..., zn. Из сказанного выше
следует, что
C[MR] = C[z1, ..., zn, F1? ...,!*]. E)
Таким образом, алгебра С [MR\ порождается подалгеброй С [М] =*
= С [zlf ..., zn] и подалгеброй С [М] = С [zlr ...» zn]» состоящей из
функций, комплексно сопряженных функциям из С [М].
Это показывает, в частности, что замкнутые подмножества мно-
многообразия MR — это подмножества, выделяемые алгебраическими
уравнениями относительно zu ..., zn и zu ..., zn. Рассматриваемые
как вещественные алгебраические многообразия, они называются
(замкнутыми) вещественными подмногообразиями многообразия М.
Отображение /: М -> N комплексных аффинных многообразий
называется антиголоморфным морфизмом, если /*С [N] d С [М]*
Очевидно, что антиголоморфные морфизмы, как и настоящие, яв-
являются морфизмами овеществленных многообразий.
Задача 26. Всякий антиголоморфный морфизм непрерывен в
комплексной топологии Зарисского.
Задача 27. Пусть М — вещественное аффинное многообразие.
Тогда существует единственный антиголоморфный автоморфизм
х+-*х (комплексное сопряжение) многообразия М (С)% тождествен-
тождественный на М. При этом
М=[х<=М(С)\х = х]
и х = х для любого х е М (С).
В заключение отметим, что (М X N)R = MR X NR для любых
комплексных аффинных многообразий М и N.
6. Формы векторных пространств и алгебр. Пусть V — вектор-
векторное пространство (соотв. алгебра1)) над произвольным полем К.
и пусть к — подполе поля К. Говорят, что ^-подпространство (со-
(соотв. /с-подалгебра) Vo <=: V есть к-форма пространства (соотв. алгеб-
алгебры) F, если тождественное вложение Foc7 продолжается до изо-
изоморфизма Vo ®feK^zV, т. е. если базис Vo над к является бази-
базисом V над К. Подпространство U cz V называется определенным
над к (относительно Vo), если оно порождается векторами из Уо.
В этом случае Uo = U П Vo есть /с-форма пространства С/, a Vo/Uo
есть &-форма пространства V/U.
Например, алгебра к\Хи ..., Хп] является /с-формой алгебры
К\Хи ..., Хп]. Более общо, пусть М = М0(К)—аффинное многооб-
многообразие над К, полученное расширением поля из аффинного много-
многообразия Мо над к. Считая многообразие Мо вложенным в тг-мерное
г) Здесь слово «алгебра» означает произвольную алгебру, не обязательно
коммутативную или ассоциативную.

102 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
аффинное пространство, мы получаем из задачи 1.14, что /(Af) =
= К1(Мо) и, следовательно, алгебра к[М0] = к[Хи ..., Хп]/1(М0)
является /с-формой алгебры К[М] = ^[Xi, ..., Xn]//(lf).
Линейное отображение (р: U -> F векторных пространств с вы-
выделенными /b-формами ?7о, Fo называется определенным над к, если
ф([/0)с= Fo. Легко видеть, что ядро и образ такого отображения оп-
определены над к.
Если К — расширение Галуа поля й, то &-формы удобно описы-
описывать в терминах действия группы Галуа. Именно так обстоит дело
в единственном важном для нас случае, когда К = С> к = R и
группа Галуа порождается комплексным сопряжением. Мы рас-
рассмотрим только этот случай, причем вместо термина «К-форма»
будем употреблять более благозвучное выражение «вещественная
форма».
Вещественная форма Fo комплексного векторного пространства
(соотв. алгебры) V определяет инволютивный антилинейный авто-
автоморфизм т этого пространства (соотв. алгебры)—комплексное со-
сопряжение относительно Fo — таким образом, что
Задача 28. Обратно, пусть т — инволютивный антилинейный
автоморфизм комплексного векторного пространства (соотв. алгеб-
алгебры) F. Тогда множество Fo его неподвижных точек есть вещест-
вещественная форма пространства (соотв. алгебры) F.
Задача 29. Подпространство U с V определено над К тогда и
только тогда, когда т(U)=* U.
Задача 30. Линейное отображение комплексных векторных
пространств с выделенными вещественными формами определено
над R тогда и только тогда, когда оно перестановочно с комплекс-
комплексным сопряжением.
7. Вещественные формы комплексных алгебраических многооб-
многообразий. Вещественной формой комплексного аффинного многообра-
многообразия М назвтается такое его замкнутое вещественное подмногообра-
вие Л/о, что тождественное вложение М0<^М продолжается до изо-
изоморфизма
М0(С)^М. F)
Таким образом, взятие вещественной формы алгебраического
многообразия есть операция, обратная к комплексификации. Одна-
Однако, в отличие от комплексификации и овеществления, эта операция
не однозначна и не всегда выполнима.
Комплексное сопряжение на М0(С) посредством изоморфизма
F) переносится на М. Получаемый таким образом инволютивный
антиголоморфный автоморфизм т многообразия М называется
комплексным сопряжением относительно Мо. Очевидно, что

§ 3. РАЗМЕРНОСТЬ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЮЗ
С некоторыми оговорками имеет место обратное утверждение,
аналогичное задаче 28.
Теорема 6. Пусть т — инволютивный антиголоморфный авто-
автоморфизм неприводимого комплексного аффинного многообразия М<
Если множество Мо его неподвижных точек содержит хотя бы од-
одну простую точку, то оно является вещественной формой многооб-
многообразия М.
Доказательство. Для каждого многочлена /еСШ] по-
положим
f(x) = f(x(x)) (х^М).
Отображение / »-> /х является инволютивным антилинейным авто-
автоморфизмом алгебры С[М]. Согласно задаче 28
есть вещественная форма алгебры С [М]. Пусть С [М]о = К [х1% ... •
..., хп], и пусть /х, ..., /т^К [Х1Х . ..% Хп] — образующие идеала со-
соотношений между хи ..., хп.
Будем считать, что многообразие М вложено в комплексное аф-
аффинное пространство Ап таким образом, что хи ..., хп являются
координатными функциями. Тогда т есть просто покоординатное
комплексное сопряжение, а Мо — множество вещественных точек
многообразия М. Идеал 1{М) порождается многочленами Д, ..., fm.
Согласно теореме 3 ранг матрицы ¦ /irv—? J1. равен г = п — d,
°Ч г •••» п) \м
где d = dim M.
Пусть х^Мо — простая точка многообразия М. Можно считать
без ограничения общности, что тглГ" у \ ^ О в точке х. Тог-
да согласно задаче 19 существует такая окрестность U точки х в
вещественной топологии пространства Ап? что М П U задается
уравнениями /*(#) = 0, Hi, ..., г. С другой стороны, если окрест-
окрестность U достаточно мала, то вещественные решения этих же урав-
уравнений в U образуют d-мерное вещественное аналитическое подмно-
подмногообразие. Следовательно, dimM0 = dim Mo (C)=d. Так как Мо (С) с:
с= М и М неприводимо, то М0(С) = М (задача 5), что и требова-
требовалось доказать.
Упражнения
1. Всякое (п — 1)-мерное неприводимое алгебраическое многообразие в Ап
(соотв. в Рп) может быть задано одним уравнением (соотв. одним однородным
уравнением).
2. Всякое нетривиальное уравнение (соотв. однородное уравнение) опреде-
определяет в Ап (соотв. в Рп) многообразие размерности п — 1.
3. Прямая Х\ = 1, Х2 = 0 в А не может быть выделена из поверхности
Х^ -\- -^2^3 == ^ °ДНИМ уравнением.

104 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
4. Пусть /: M-+N — доминантный морфизм неприводимых алгебраических
многообразий. Тогда dim N ^ dim M.
5. Если, в условиях упражнения 4, dim N = dim M, то существует такое не-
непустое открытое подмножество NQ с= N, что у любой точки из iVo имеется лишь
конечное число прообразов.
6. В теореме 2 нельзя избавиться от требования неприводимости мно-
множеств Nu.
7. Всякая неубывающая цепочка неприводимых подмногообразий алгебра-
алгебраического многообразия стабилизируется.
8. Если char К = 0 и неприводимое алгебраическое многообразие М cz An
задается уравнениями fi(x) = 0, i = 1, ..., т, то ранг матрицы /, построенной
как в теореме 3, не больше, чем п — dim M. Привести пример (можно уже при
п = т = 1), когда ранг / меньше, чем п — dimilf.
д
9. Дифференцирования ^у- составляют базис пространства D{K(X\,..., Хп),
к(хи...,хп)).
10. Пусть М cz А задается уравнением Х\ -j- Х\ — 1. Найти базис в
пространстве D(K(M), K(M)).
11. В обозначениях доказательства теоремы 4, многообразие М является
неприводимой компонентой многообразия М'.
12. В обозначениях теоремы 4, пусть х — простая точка многообразия М.
Для каждого касательного вектора g ^Tx(MTeg) обозначим через дь дифферен-
дифференцирование по направлению ?. Тогда отображение %,-ь-д^ является изоморфиз-
изоморфизмом пространства Тх(Мге?) на пространство DX(K[M], К) (где К = € или К).
В упражнениях 13—16 считается, что char К = 0.
13. Пусть А и В — подалгебры поля L, содержащего К, причем А а В и В
конечно порождена над А. Тогда отображение ограничения D(B1 L) -*D(A, L)
является эпиморфизмом.
14. Пусть /: x^ij^x), ...» fm(x))— морфизм неприводимого алгебраи-
алгебраического многообразия М в пространство Ат. Пусть, далее, {di, ..., dk} —базис
пространства D(K(M), K(M)). Рассмотрим матрицу (djfi) с элементами из по-
поля К(М). Пусть ее ранг равен I. Тогда dim f(M) = I,
15. Если функция /i, ..., in e K(Xu ..., Xn) таковы, что D ,x ^ ..., X Y^Of
то они алгебраически независимы.
16. Пусть М — неприводимое алгебраическое многообразие в комплексном
аффинном пространстве и М-комплексно сопряженное ему многообразие.
Имеется изоморфизм MR (С) ^ MX М, при котором каждой точке х <= MR
соответствует точка (#, х) ^МХМ.
17. Пусть М — неприводимое комплексное аффинное многообразие. Дока-
8ать,чТо (MR)ree res
Указания к задачам
4. Свести к случаю, когда М в. N неприводимы и М является аффинным
многообразием. Далее воспользоваться тем, что если М — неприводимое аф*
финное многообразие, то dimM = ст. тр. К[М].
5. Свести к случаю, когда М — аффинное многообразие. Тогда имеется го-
гомоморфизм а: К[М] ->-K[N]. Нужно доказать, что его ядро равно нулю. Пусть
if и •••» /л} — базис трансцендентности алгебры _K[N] и /* (i = 1, ..., к) —та-
—такие элементы из К[М], что а(/<) = fu Тогда {f\± ..., fk}_ будет базисом транс-
трансцендентности алгебры К[М]. Положим А = K[fu ..., /ft], и пусть /еКега,
/ ф 0. Элемент / алгебраичен над Л, т. е. существуют такие а0, а\, ..., am e Л,
а0 # 0, что а0 + ^l/ + ... + #«/w = 0. Применяя к этому равенству гомомор-

§ 3. РАЗМЕРНОСТЬ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 105
физм а, получаем о(а0) = 0, что невозможно из-за алгебраической независи-
независимости /i, ..., /А.
а\ да-Ъ — а-дЪ
8. Достаточно положить д I-^ I =
9. Свести к случаю В = А[и]. Если / — минимальный многочлен элемен-
элемента и над А, то /'(ы) =г^ 0 и ди определяется из линейного уравнения f(u)du +
j^-f^u) = 0, где f обозначает многочлен, получаемый из / применением ко
всем коэффициентам дифференцирования д.
10. Следует из задач 7 и 9. ^
12. Доказать сначала, что если д — я-дифференцирование K[Xi,...., Хп] в
К(М), переводящее Xi в Xi, то для любого многочлена /е К\Х\, ..., Хп]
1дХ.
м
13. Каждому дифференцированию д ^DX(K[M], К) сопоставим дифферен-
дифференцирование д = don ^DX(K[XU ..., Хп], К), где тс — гомоморфизм ограничения
на М. Отображение д*-* д является изоморфизмом пространства DX(K[M], К)
на пространство фх-дифференцирований алгебры К[Х\, ..., Хп] в К, обращаю-
обращающихся в нуль на 1(М). Дифференцирование д ^DX{K[X\, ..., Хп], К) опреде-
определяется числами Xi =!эХ{, и оно обращается в нуль на 1(М) тогда и только
тогда, когда
Поэтому такие дифференцирования образуют пространство размерности
n-TkJ(x).
14. Решается аналогично задаче 8.
16. Ввиду задачи 2.23 и задачи 15 доказательство сводится к аффинному
случаю. В аффинном случае утверждение следует из первого определения про-
простой точки.
17. В качестве одного из искомых подмногообразий взять MTeg.
18. Каждый минор порядка г + 1 матрицыЙ /У у~\->окаймляющий А,
°ЧЛ1' ••" лп)
разложить по последнему столбцу.
19. Из теоремы о неявных функциях следует, что в некоторой окрестно-
окрестности U точки х в вещественной топологии пространства Ап уравнения много-
многообразия М' могут быть переписаны в виде
Х, = Ф<(Хг+1, ..., Хп) (« = 1, ..., г),
где фг — аналитические функции, а точка (Хг+\, ..., Хп) пробегает некоторое
открытое в вещественной топологии множество V с: Ап~г. Можно считать,
что А ф 0 всюду на U и что V линейно связно. Докажем, что М' f| U = М П U.
Пусть х = (XJ, ..., Х%1ш Рассмотрим дифференцируемый путь Xi==Xi(t)
{i = г + 1, ..., п) в области 7, удовлетворяющий условиям Хг @) = Х\. Ему
соответствует дифференцируемый путь x(t) на многообразии М', проходящий
при t = 0 через точку х. Из задачи 18 получаем, что вдоль x(t)
где if>ifc — некоторые дифференцируемые функции. Так как fi(x@))
(i = 1, .,., m), то /,• (ж@) = 0 при всех ^, т. е. x{t) e Л/.

106 ГЛ. 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
22. Единственность очевидна. Существование достаточно доказать для аф-
аффинных многообразий (см. задачи 2.23 и 15), а в этом случае оно вытекает из
вадачи 21.
25. Сравнить комплексную и вещественную аналитические структуры на
множестве М = М , описываемые задачей 20.
28. Если рассматривать V как вещественное векторное пространство, то т
будет его инволютивным линейным преобразованием. Пространство V разла-
разлагается над К в прямую сумму собственных подпространств Vq и V\ этого пре-
преобразования, отвечающих собственным значениям 1 и —1 соответственно. Из
того, что т антилинейно над С, следует, что V\ = iVQ и, значит, Vo — вещест-
вещественная форма пространства V,
29. См. задачу 1.4.14.

ГЛАВА 3
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Определение алгебраической группы аналогично определению
группы Ли, только дифференцируемые многообразия заменяются
алгебраическими, а дифференцируемые отображения — морфизмами
алгебраических многообразий. В этой книге мы будем рассматри-
рассматривать только такие алгебраические группы, многообразие которых
является аффинным. Их называют «аффинными» или «линейными»
алгебраическими группами. Разница между произвольными алгеб-
алгебраическими группами и аффинными, весьма существенная с точки
зрения алгебраической геометрии, почти незаметна с точки зрения
теории групп, поскольку коммутант любой неприводимой алгебраи-
алгебраической группы является аффинной алгебраической группой. Кроме
того, полная линейная группа и всякая ее алгебраическая подгруп-
подгруппа являются аффинными алгебраическими группами. Поэтому для
теории групп Ли наибольший интерес представляют именно аф-
аффинные алгебраические группы. Мы будем называть их просто ал-
алгебраическими группами.
В пп. 1.4—3.7 этой главы основное поле К предполагается ал-
алгебраически замкнутым.
§ 1. Исходные понятия
1. Основные определения. В этом пункте основное поле К —
произвольное бесконечное поле.
Алгебраической группой называется группа (?, снабженная
структурой аффинного алгебраического многообразия таким обра-
образом, что отображения
|х: GXG-+G, (х9у)*-+ху,
г. G->G, х^х~г,
являются морфизмами алгебраических многообразий.
Важнейшим примером алгебраической группы является полная
линейная группа, т. е. группа GLn(K) или, в другой интерпрета-
интерпретации, группа GL(V), где V—?г-мерное векторное пространство над
полем К. Будучи главным открытым подмножеством в векторном
пространстве Ln(K), группа GLn(K) имеет каноническую структу-
структуру аффинного многообразия (см. п. 2.1.3). При этом многочленами
на GLn(K) являются рациональные функции от матричных элемен-
элементов, знаменатели которых суть степени определителя. Отсюда еле-

108 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
дует, что умножение и инверсия в группе GLn(K) являются мор-
физмами алгебраических многообразий, т. е. GLn(K)—алгебраиче-
GLn(K)—алгебраическая группа.
Аналогичным образом можно рассматривать как алгебраиче-
алгебраическую группу группу аффинных преобразований гг-мерного аффин-
аффинного пространства над полем К.
Другие важные примеры алгебраических групп — аддитивная
группа поля К, которую мы будем обозначать также через К, и
мультипликативная группа поля i?, которую мы будем обозначать
через К*. Последняя группа, впрочем, есть не что иное, как
GLi(K).
Прямым произведением алгебраических групп называется их
прямое произведение как абстрактных групп, снабженное структу-
структурой аффинного многообразия как прямое произведение аффинных
многообразий (см. п. 2.1.4). Очевидно, что прямое произведение
алгебраических групп является алгебраической группой.
Алгебраическая группа Кп (прямое произведение п экземпляров
аддитивной группы поля К) называется ?г-мерной (алгебраической)
векторной группой.
Из определения алгебраической группы G следует, что для лю-
любого элемента g е G левый и правый сдвиги
l(g): z^gx, r{g): x^xg-1,
а также внутренний автоморфизм a(g)= l(g)r(g), являются авто-
автоморфизмами алгебраического многообразия G. Так как левые сдви-
сдвиги транзитивно действуют на группе G, то все точки многообразия
G равноправны.
Теорема 1. Пусть G — алгебраическая группа. Обозначим че-
через G0 неприводимую компоненту многообразия G, содержащую
единицу. Тогда G° — нормальная подгруппа, а прочие неприводи-
неприводимые компоненты многообразия G суть смежные классы по G0.
Задача 1. Доказать эту теорему.
Алгебраической подгруппой алгебраической группы называется
вамкнутая (в топологии Зарисского) подгруппа. Очевидно, что ал-
алгебраическая подгруппа сама является алгебраической группой от-
относительно той же групповой операции и индуцированной структу-
структуры аффинного многообразия.
Задача 2. Замыкание любой подгруппы алгебраической груп-
группы является (алгебраической) подгруппой.
Задача 3. Всякая неприводимая подгруппа алгебраической
группы, густая в своем замыкании, замкнута.
Алгебраическая подгруппа полной линейной группы называется
алгебраической линейной группой. Подчеркнем, что алгебраическая
линейная группа — это не просто алгебраическая группа, но алгеб-
алгебраическая группа, заданная в линейном представлении (не путать
этот термин с термином «линейная алгебраическая группа», кото-
который у нас означает то же, что и просто «алгебраическая группа»!).

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 109
Примеры. 1. Группа SL (V) унимодулярных линейных пре-
преобразований. Многочлены на группе SL(V), так же как и на лю-
любой ее алгебраической подгруппе,— это просто многочлены от мат-
матричных элементов.
2. Группа O(V, /) (соотв. Sp(V, /)) линейных преобразова-
преобразований, сохраняющих невырожденную симметрическую (соотв. косо-
симметрическую) билинейную форму /.
3. Группа
GL(V; U)=*{
где U — подпространство пространства F, и, более общо, группа
GL(V; UtW)=*{A
где U, W — подпространства пространства F, причем W <^U.
4. Любая конечная линейная группа.
Задача 4. Линейные группы в приведенных выше примерах
являются алгебраическими.
Пусть Vu ..., Vn — векторные пространства. Алгебраическая
группа GL(Ft)X ... X GL(Vn) естественным образом отождествля-
отождествляется с алгебраической линейной группой в пространстве F =
= Vi © ... Ф Vn, состоящей из всех невырожденных линейных пре-
преобразований, сохраняющих каждое из подпространств Fd, ..., Vn.
В базисе пространства F, являющемся объединением базисов под-
подпространств Fi, ..., Vn, элементы группы GL (F4) X ... X GL(Fn)
представляются клеточно-диагональными матрицами. В частности,
группа (К*)п = GL1 (К) X ... X GLX (К) может быть представ-
п раз
лена как группа невырожденных диагональных матриц тг-го
порядка.
Гомоморфизмом алгебраических групп называется отображение,
являющееся одновременно гомоморфизмом групп и морфизмом ал-
алгебраических многообразий. Изоморфизмом алгебраических групп
называется обратимый гомоморфизм, т. е. отображение, являющее-
являющееся одновременно изоморфизмом групп и алгебраических много-
многообразий.
Пусть /: G ->¦ Н — гомоморфизм алгебраических групп и ^с
c#—алгебраическая подгруппа. Очевидно, что тогда /"^Я^ —
алгебраическая подгруппа в G. В частности, Кег/ есть алгебраиче-
алгебраическая (нормальная) подгруппа в G.
Линейным представлением алгебраической группы в простран-
пространстве F называется ее гомоморфизм в полную линейную группу
GL(V).
Задача 5. Если R и S — линейные представления алгебраиче-
алгебраической группы G, то представления R + S, RS и R* группы G (см.
п. 1.1.4) также являются ее линейными представлениями как ал-
алгебраической группы.

НО ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
В частности, отсюда следует, что естественное линейное пред-
представление ТкЛ группы GL(V) в пространстве тензоров типа (к, I)
является ее линейным представлением как алгебраической группы.
Одномерные линейные представления алгебраической группы
называются ее характерами. Они образуют группу, которую мы бу-
будем обозначать через ?(G) (ср. п. 1.1.4).
Пусть L — расширение поля К. Для всякой алгебраической
группы G над К можно рассматривать алгебраическую группу
G(L) над L, многообразие которой получается из многообразия G
расширением поля (см. п. 2.1.1 и 2.1.2), а групповые операции суть
морфизмы, продолжающие операции группы G. Группа G является
плотной подгруппой группы G(L) (задача 2.1.14).
2. Комплексные и вещественные алгебраические группы.
Задача 6. Всякая комплексная алгебраическая группа являет-
является неособым алгебраическим многообразием.
Ввиду этого всякая комплексная алгебраическая группа имеет
каноническую структуру комплексного аналитического многообра-
многообразия (см. п. 2.3.4). Аналогично, всякая вещественная алгебраическая
группа имеет каноническую структуру вещественного аналитиче-
аналитического многообразия. Так как морфизмы неособых комплексных и
вещественных аффинных многообразий аналитичны, то справедлива
Теорема 2. Всякая комплексная (соотв. вещественная) алгеб-
алгебраическая группа является комплексной (соотв. вещественной)
группой Ли той же размерности. Всякая алгебраическая подгруппа
комплексной или вещественной алгебраической группы является
подгруппой Ли.
Однако не всякая подгруппа Ли является алгебраической под-
подгруппой.
( A 0\ ) ( (I 1\
Задача 7. Подгруппы |ехрпо tj ? е Cj и jexp?l0
группы GL2 (С) являются подгруппами Ли, но не алгебраическими
подгруппами.
Всякий гомоморфизм комплексных или вещественных алгебраи-
алгебраических групп является одновременно гомоморфизмом групп Ли, но
не наоборот. В тех случаях, когда будет необходимо подчеркнуть,
что речь идет именно о гомоморфизме алгебраических групп, мы
будем говорить «полиномиальный гомоморфизм». Аналогичное со-
соглашение примем для линейных представлений.
Задача 8. Комплексная алгебраическая группа, связная в ве-
вещественной топологии, неприводима.
Верно и обратное: см. теорему 3.1. Более того, всякое неприво-
неприводимое комплексное алгебраическое многообразие связно (см., на-
например, [54]).
Операция овеществления комплексных аффинных многообразий
(см. п. 2.3.5) превращает всякую комплексную алгебраическую
группу G в вещественную алгебраическую группу G вдвое боль*
шей размерности.

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 111
В качестве примера рассмотрим группу GLn(C). Алгебра
многочленов на этой группе порождается матричными элементами
и функцией А »-> (det А). Согласно п. 2.3.5 отсюда следует, что
алгебраические подгруппы группы GLn (С) (мы будем называть
их вещественными алгебраическими подгруппами группы
GLn (С)) — это подгруппы, которые могут быть заданы алгебраи-
алгебраическими уравнениями относительно матричных элементов и комп-
комплексно сопряженных им чисел. Например, унитарная группа Un
является вещественной алгебраической подгруппой группы
GLn (С) и, тем самым — вещественной алгебраической группой.
Вещественная алгебраическая подгруппа Go называется вещест-
вещественной формой комплексной алгебраической группы G, если тож-
тождественное вложение Go ^= G продолжается до изоморфизма
G0(Q~G.
Задача 9. Всякая подгруппа GOCC, являющаяся веществен-
вещественной формой группового многообразия G, является вещественной
формой группы G. Комплексное сопряжение относительно Go явля-
является автоморфизмом группы G как абстрактной группы.
Отображение комплексных алгебраических групп, являющееся
гомоморфизмом абстрактных групп и антиголоморфным морфизмом
групповых многообразий, называется антиголоморфным гомомор-
гомоморфизмом. Согласно предыдущему, комплексное сопряжение относи-
относительно любой вещественной формы Go является инволютивным ан-
антиголоморфным автоморфизмом группы G. Для неприводимых
групп верно и обратное.
Задача 10. Множество неподвижных точек любого инволютив-
ного антиголоморфного автоморфизма неприводимой комплексной
алгебраической группы является ее вещественной формой.
Например, подгруппы GLn(\R) и Un являются вещественными
формами группы GLn(C)i так как они представляют собой мно-
множества неподвижных точек инволютивных антиголоморфных авто-
автоморфизмов 4н.Л nin-li1) соответственно.
3. Полупрямые произведения. Полупрямое произведение алгеб-
алгебраических групп Gi и G2 определяется как полупрямое произведе-
произведение Gx X G2 абстрактных групп (см. п. 1.1.11), снабженное струк-
ь
турой аффинного многообразия как прямое произведение аффин-
аффинных многообразий. При этом требуется, чтобы отображение A.1.7)
было полиномиальным, что обеспечивает полиномиальность группо-
групповых операций.
Очевидно, что полупрямое произведение комплексных или ве-
вещественных алгебраических групп является в то же время их по-
полупрямым произведением как групп Ли.
Пусть алгебраическая группа G разлагается в полупрямое про-
произведение своих алгебраических подгрупп GY и G2 как абстрактная
группа. Тогда действие Ъ группы G2 на Gx сопряжениями полино^

112 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
миально и можно образовать алгебраическую группу G1\G2. Тео-
ъ
рема 6, которая будет доказана в следующем пункте, показывает,
что если основное поле К алгебраически замкнуто и char К = 0, то
абстрактный изоморфизм Gx X G2 ~ Gr определяемый формулой
ъ
A.1.6), является изоморфизмом алгебраических групп.
Примеры (ср. п. 1.1.11). 1. Группа аффинных преобразова-
преобразований векторного пространства V как алгебраическая группа разла-
разлагается в полупрямое произведение нормальной подгруппы парал-
параллельных переносов и подгруппы GL(V).
2. Группа невырожденных треугольных матриц как алгебраиче-
алгебраическая группа разлагается в полупрямое произведение нормальной
подгруппы унитреугольных матриц и подгруппы невырожденных
диагональных матриц.
4. Некоторые теоремы о подгруппах и гомоморфизмах алгебраиче-
алгебраических групп. Начиная с этого момента и до конца § 3 (исключая
п. 3.8) будем предполагать основное поле К алгебраически
замкнутым.
Это предположение существенно, в частности, для следующих
ниже теорем, доказательство которых опирается на теоремы об об-
образе и о факторизации морфизмов алгебраических многообразий.
Теорема 3. Пусть /: G-+ Н — гомоморфизм алгебраических
групп. Тогда f(G)—алгебраическая подгруппа группы Н.
Задача 11. Доказать эту теорему.
Теорема 4. Подгруппа Н алгебраической группы G, порож-
порожденная произвольным семейством Ша\а^ А} неприводимых под-
подмножеств, содержащих единицу и густых в своем замыкании, явля-
является неприводимой алгебраической подгруппой. В частности, под-
подгруппа, порожденная произвольным семейством неприводимых ал-
алгебраических подгрупп, является неприводимой алгебраической
подгруппой.
Доказательство. Для любой конечной последовательности
(si, ..., eh), где 8i=*±l, рассмотрим морфизм
|iei-8*: GX ,Лб -* Gx (glf . .., gk) - # .... gz?.
Ьраз
Подгруппа Н является объединением подмножеств вида
М1\;Х = цв1-8* (Ма1 X ... X Mah) К, ..., ak e A).
Каждое из этих подмножеств неприводимо и густо в своем замыка-
замыкании как образ густого в своем замыкании неприводимого под-
подмножества Ма± X ... X Makci GX ... X G при морфизме fx8i"'8ft
k раз
(см. теорему 2.1.5 и задачу 2.1.14). Кроме того, так как каждое из

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ ИЗ
подмножеств Ма содержит единицу, то
М*1' I! мЧ+1'"ек+1 г- М*1'*1
Mar.,ah U Mcck+1...ak+l CZ Mai...ak+r
По теореме 2.3.2 всякая неубывающая цепочка, составленная из
замыканий подмножеств Ma\\'.ah, стабилизируется. Следовательно,
среди всех таких замыканий имеется одно, содержащее в себе все
остальные. Обозначим его через N. Очевидно, что Н = N и что Н
густо в N. Согласно задаче 3 отсюда следует, что Н = N. Теорема
доказана.
Теорема 5. Коммутант неприводимой алгебраической груп-
группы является неприводимой алгебраической подгруппой.
Задача 12. Доказать эту теорему.
Следствие. Коммутант неприводимой комплексной алгебраи-
алгебраической группы является подгруппой Ли.
Задача 13. Пусть G и Н — неприводимые алгебраические
группы и f:G-*-H — отображение, являющееся гомоморфизмом
абстрактных групп и совпадающее с некоторым рациональным ото-
отображением fo'.G-^H в области определения последнего. Тогда
/ — полиномиальный гомоморфизм.
Теорема 6. Биективный гомоморфизм алгебраических групп
над полем нулевой характеристики является изоморфизмом.
Задача 14. Доказать эту теорему.
Над полем К характеристики р > 0 аналогичная теорема невер-
неверна. Контрпримером может служить эндоморфизм Фробениуса
х i-> х? группы К (или К*).
5. Действия алгебраических групп. Действием алгебраической
группы G на квазипроективном алгебраическом многообразии М
называется такой гомоморфизм а группы G в группу автоморфиз-
автоморфизмов многообразия М, что отображение
GXM->M, (g,x)~a(g)xf A)
является морфизмом алгебраических многообразий.
Например, для каждой алгебраической группы определены три
ее действия на самой себе: действие I левыми сдвигами, действие г
правыми сдвигами и действие а внутренними автоморфизмами.
Всякое линейное представление алгебраической группы можно рас-
рассматривать как ее действие в пространстве представления.
В тех случаях, когда будет необходимо подчеркнуть, что речь
идет о действии именно алгебраической группы, а не группы Ли
или абстрактной группы, мы будем говорить «алгебраическое дей-
действие».
Задача 15. Естественное действие группы GL(V) в проектив-
проективном пространстве &*(У) является алгебраическим.
Задача 16. Если алгебраическая группа G действует на ква-
квазипроективном многообразии М, то элементы из G0 переводят каж-
каждую неприводимую компоненту многообразия М в себя.
8 Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

114 . ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Теорема 7. Пусть задано действие а алгебраической группы
G на квазипроективном алгебраическом многообразии Ж", и пусть
хе=М. Тогда:
1) стабилизатор Gx является алгебраической подгруппой груп-
группы G;
2) орбита a(G)x является неособым алгебраическим подмного-
подмногообразием многообразия М.
Задача 17. Доказать эту теорему.
Следствие. В условиях теоремы, группа G имеет на М хотя
бы одну замкнутую орбиту.
Доказательство. Граница любой орбиты инвариантна отно-
относительно группы G. Она имеет размерность, меньшую размерности
самой орбиты и, следовательно, состоит из орбит меньшей размерно-
размерности. Поэтому всякая орбита наименьшей размерности замкнута.
Очевидно, что всякое алгебраическое действие комплексной ал-
алгебраической группы на неособом квазипроективном многообразии
является также действием в смысле теории групп Ли, т. е. диффе-
дифференцируемым. При этом орбиты согласно теореме 5 являются диф-
дифференцируемыми подмногообразиями, что, вообще говоря, неверно
для произвольных дифференцируемых действий. (См. пример в
п. 1.1.6. Его комплексификация доставляет аналогичный пример
для комплексных групп Ли.)
Локальная замкнутость орбит и замкнутость образов гомомор-
гомоморфизмов выгодно отличают теорию алгебраических групп от теории
групп Ли, где приходится тратить много сил на борьбу с не заслу-
заслуживающим такого внимания феноменом плотной обмотки тора. Ог-
Ограничившись рассмотрением только алгебраических групп Ли и
только алгебраических действий, можно избавиться от многих не-
неприятностей, лишь ненамного обеднив теорию групп Ли.
6. Существование точного линейного представления. В теории
линейных представлений компактных топологических групп одним
из основных методов является изучение регулярного представле-
представления, т. е. линейного представления данной группы в пространстве
функций на этой группе, индуцированного ее действием на самой
себе, скажем, правыми сдвигами. Этот метод оказывается плодо-
плодотворным и в теории алгебраических групп. С его помощью в этом
пункте будет доказана
Теорема 8. Всякая алгебраическая группа изоморфна некото-
некоторой алгебраической линейной группе.
Рассмотрим вначале следующую общую ситуацию. Пусть зада-
задано действие а алгебраической группы G на аффинном многообра-
многообразии М. Обозначим через а* соответствующее линейное представле-
представление группы G в пространстве /?[АГ| многочленов на М, определяе-
определяемое формулой
(«•(*)/)(*) =/И*)*)- B)
Это представление бесконечномерно (если только М не состоит из

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 115
конечного числа точек). Однако мы сейчас увидим, что оно явля-
является индуктивным пределом конечномерных представлений.
Согласно определению алгебраического действия, для любого
fe=K[M] функция
(g,x)~f(a(g)-ix)=f(a(g-1)*)
является многочленом на GXM. Так как K[G XM] = K[G] ® К[
(см.п.2.1.4),то существуют такие многочлены q>iK\G\ f Щ
где i = 1, ..., /г, что
При фиксированном g ^ G получаем отсюда
п
a* (g) / = S afu
где Ci = tyi(g)^ К. Иначе говоря, орбита многочлена / при действии
а% группы G содержится в конечномерном подпространстве
</i, ..., /п^^-ЩЖЬ Ее линейная оболочка является конечномерным
инвариантным подпространством, содержащим многочлен /. Тем са-
самым доказана
Теорема 9. Для любого действия а алгебраической группы G
на аффинном алгебраическом многообразии М пространство К[М]
является объединением конечномерных подпространств, инвариант-
инвариантных относительно cc^(G).
Задача 18. Всякое конечномерное подпредставление представ-
представления а% полиномиально.
Пусть теперь г — действие алгебраической группы G на самой
себе правыми сдвигами. Соответствующее линейное представление
г# группы G в пространстве i?S[M], определяемое формулой
(r*(g)f)(x)=f(xg), C)
называется правым регулярным представлением группы G.
Пусть V cz K[G] — какое-нибудь конечномерное подпространст-
подпространство, инвариантное относительно г^ (G). Обозначим через R линей-
линейное представление группы G в пространстве У, индуцированное
представлением г%. Согласно теореме 3 образ H = R(G) группы G
при этом представлении есть алгебраическая подгруппа группы
GL(V). Мы увидим сейчас, что пространство V можно выбрать
так, чтобы отображение R: G ->¦ Н было изоморфизмом алгебраиче-
алгебраических групп.
Гомоморфизм
Л*: K[H]-+K[G]
инъективен по определению Я, а его образом служит подалгебра,
порожденная матричными элементами представления R.
8*

116 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Задача 19. Линейная оболочка матричных элементов пред-
представления R содержит подпространство V.
Если в качестве V взять подпространство, содержащее систему
образующих алгебры K[G], то гомоморфизм Д*: ЩН] ->¦ K[G] бу-
будет изоморфизмом алгебр и, следовательно, отображение R: G -*• Я
будет изоморфизмом алгебраических групп. Тем самым доказана
теорема 8.
С помощью этой теоремы легко доказывается, что присоединен-
присоединенное представление комплексной алгебраической группы G является
полиномиальным. В самом деле, если группа G реализована как
линейная, то ее присоединенное представление является подпред-
ставлением линейного представления Гм|е, полиномиальность ко-
которого вытекает из задачи 5.
7. Многообразие смежных классов и факторгруппа. Пусть G —
алгебраическая группа, Я — ее алгебраическая подгруппа. Естест-
Естественно поставить вопрос о введении структуры алгебраического мно-
многообразия на множестве смежных классов G/H. Обязательное тре-
требование здесь должно состоять в том, чтобы каноническое действие
группы G на G/H было алгебраическим. В случае, когда К — поле
нулевой характеристики, это требование уже обеспечивает единст-
единственность желаемой структуры.
Задача 20. Пусть chari? = 0. Предположим, что на G/H вве-
введена структура квазипроективного алгебраического многообразия
так, что каноническое действие G на G/H является алгебраическим.
Тогда для любого действия а группы G на квазипроективном мно-
многообразии М и любой точки х е М, удовлетворяющей условию
GX=>H, отображение
Р: G/H-+M, gH^a{g)xi
является морфизмом алгебраических многообразий. Если морфизм
Р биективен (т. е. если GX = H и действие а транзитивно), то он
является изоморфизмом.
Существование алгебраической структуры на G/H доказывается
при помощи следующей теоремы.
Теорема 10. (Теорема Шевалле.) Пусть G — алгебраическая
группа, Я — ее алгебраическая подгруппа. Существуют такое ли-
нейное представление R: G -*• GL(V) и такой вектор v0 e V, что
Если Н — нормальная подгруппа, то существует такое линейное
представление Т группы G, что Н = Кег Т.
Доказательство этой теоремы основано на рассмотрении регу-
регулярного представления г* группы G. Пусть IG(Я)— идеал алгебры
?[G], состоящий из всех многочленов, обращающихся в нуль на Н.
Задача 21. Я = {hei G\ r* (h) IG(H) c= IG(H)}.
Возьмем какое-либо конечномерное подпространство U <= .K[G],
инвариантное относительно г^ F?) и содержащее систему образую-

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 117
щих идеала 1в (Я). Обозначим через W его пересечение с Ig(H) и
через S (полиномиальное) линейное представление группы G в
пространстве U, индуцированное представлением г^ (см. за-
задачу 18).
Задача 22. Я = {h e= G\S(h) tfc w).
Пусть (/i, ..., fm)— базис пространства W. Положим
и обозначим через R линейное представление группы G в прост-
пространстве F, индуцированное представлением S (подпредставление
представления Тт 0 ° S).
Задача 23. Н = {h ^ G\R(h)vQ ez Kv0].
Тем самым доказана первая часть теоремы. Предположим те-
теперь, что Я — нормальная подгруппа. Обозначим через /о характер
группы Я, определяемый из условия
R(h)vo = Xo(h)vo (he=H).
Согласно определению (см. п. 1.4.5) %0— вес представления R\H,
a Vo — отвечающий ему весовой вектор.
Пусть %о, %и • • •> Xh — различные характеры группы Я, состав-
составляющие множество i%g\g^G}. В силу задачи 1.4.10 сумма
0 VXi (Н) = V± инвариантна относительно представления R груп-
=о
пы С?, причем операторы представления транзитивно переставляют
ее слагаемые. (В частности, если группа G неприводима, то имеет-
имеется лишь одно слагаемое, т. е. уже подпространство V%q (Я) инва^
риантно относительно R(G).)
Рассмотрим ограничение естественного линейного представления
группы Gh в пространстве L{Vi) на инвариантное подпространство
ф L (V%i (Я)) = Lo (уг). Обозначим его через Т.
Задача 24. Я = КегГ.
Теорема доказана.
Возвращаясь к проблеме определения алгебраической структу-
структуры на G/H, мы можем в обозначениях теоремы 10 отождествить
множество G/H с орбитой О точки KvQ^^{V) при действии груп-
группы G в проективном пространстве ^(F), определяемом представ-
представлением Л. Согласно теореме 7 это будет (вложенное) квазипроек-
квазипроективное многообразие. Действие группы G на G/H левыми сдвигами
будет совпадать с ограничением на О естественного действия груп-
группы G в пространстве &*(V) и, следовательно, будет алгебраическим.
Аналогично, если Я — нормальная подгруппа, то мы можем, в
обозначениях теоремы 10, отождествить факторгруппу G/H с груп-
группой T(G), которая по теореме 3 является алгебраической линейной
группой.

118 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Комбинируя эти результаты с задачей 21, мы получаем следую-
следующую теорему.
Теорема 11. Пусть charX = 0, и пусть G — алгебраическая
группа, Н — ее алгебраическая подгруппа. Тогда на G/H существу-
существует единственная структура квазипроективного алгебраического мно-
многообразия, при которой каноническое действие группы G на G/H
является алгебраическим. Если при этом Н — нормальная подгруп-
подгруппа, то многообразие G/H аффинно и факторгруппа GIB. является
алгебраической группой.
Упражнения
1. В определении алгебраической группы можно не требовать, чтобы ин-
инверсия была морфизмом. (Указание: проанализировать доказательство тео-
теоремы 8.)
2. Группа автоморфизмов произвольной конечномерной алгебры является
алгебраической линейной группой.
3. Если М и N — густые подмножества неприводимой алгебраической груп-
группы G, то MN = G.
В упражнениях 4—6 основное поле К следует считать алгебраически зам-
замкнутым.
4. В условиях теоремы 4, существуют такие cti, ..., аи и Si, ..., е^ = ±1,
ЧТО Я = <*...<*.
5. Привести пример, показывающий, что условие неприводимости подмно-
подмножеств Ма в теореме 4 существенно для алгебраичности подгруппы Я.
6. Коммутант любой (не обязательно неприводимой) алгебраической груп-
группы G является алгебраической подгруппой. (Указание: сначала с помощью
теоремы 4 доказать, что (G, G0) — алгебраическая подгруппа; затем воспользо-
воспользоваться теоремой о том, что если центр какой-либо группы имеет в ней конеч-
конечный индекс, то ее коммутант конечен.)
7. Всякая связная вещественная алгебраическая группа неприводима.
8. Привести пример неприводимой вещественной алгебраической группы,
не являющейся связной.
9. Пусть G cz GLn (С) — неприводимая комплексная алгебраическая груп-
группа, G — комплексно сопряженная ей группа. Имеется изоморфизм GK (С) ^>
~GXG, при котором каждой матрице А е GR сопоставляется пара (А, А).
10. Множество неподвижных точек для действия алгебраической груп-
группы G на квазипроективном многообразии М замкнуто в М.
11. Ядро неэффективности действия алгебраической группы G на квази-
квазипроективном многообразии М является алгебраической (нормальной) подгруп-
подгруппой группы G.
12. Для любого действия алгебраической группы G на аффинном многооб-
многообразии М существует такое вложение многообразия М в векторное пространст-
пространство У, что заданное действие индуцируется некоторым линейным представле-
представлением группы G в пространстве V. (Указание: в качестве V взять векторное
пространство, сопряженное к конечномерному G-инвариантному подпространст-
подпространству алгебры К[М], содержащему систему образующих этой алгебры.)
13. Воспроизведя доказательство теоремы 8, построить точное линейное
представление группы К.
Указания к задачам
1. Воспользоваться тем, что преобразования l(g), r(g) и a(g), где g^G,
будучи автоморфизмами группового многообразия, могут лишь переставлять его
неприводимые компоненты.
3. Решается аналогично задаче 1.1.7.
6. Следует из равноправия точек группового многообразия.

§ 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 119
7. Если А — одна из матриц I . I, I ), то отображение C->GL2(€),
является собственным (т. е. полный прообраз любого компакта
компактен). Отсюда следует, что указанные подгруппы являются подгруппами
Ли. Первая из них содержится в алгебраической подгруппе диагональных мат-
матриц, но сама не является алгебраической, потому что не существует ненуле-
ненулевого многочлена / от двух переменных (диагональных элементов матрицы),
удовлетворяющего условию /(е*, еи) = 0 при всех feC, Аналогично дока-
доказывается, что вторая подгруппа не является алгебраической.
9. Выводится из непрерывности групповых операций и комплексного со-
сопряжения и из того, что подгруппа Go плотна в G.
10. Следует из теоремы 2.3.6.
11. Для неприводимой группы G следует из теоремы 2.1.5 и задачи 7.
12. Применить теорему 4 к множеству М всех коммутаторов группы G,
13. При любом g e G диаграмма рациональных отображений
g\h
G->H
коммутативна. Отсюда следует, что отображение /0 всюду определено.
14. Для неприводимых групп следует из теоремы 2.1.8 и задачи 13. В общем
случае следует воспользоваться задачей 2.2.14.
17. Орбита a(G)x является образом группы G при морфизме
ах: G-+M, g^a(g)x.
Можно считать, что группа G неприводима. Из теоремы 2.2.2 следует тогда, что
орбита густа в своем замыкании; но так как все ее точки равноправны, то она
открыта в своем замыкании, т. е. является алгебраическим подмногообразием
многообразия М. То же соображение равноправия точек показывает, что это
подмногообразие неособо.
18. Пусть (/i, ..., fn) —базис G-инвариантного подпространства V аК[М].
Тогда из определения алгебраического действия следует, что
где ai}[]
19. Пусть (/i, ..., fn) — базис пространства V. Тогда
где ац — матричные элементы представления R. Подставляя х = е, находим,
что f. = 2 ciaijy где а = fi(e).
г
20. Для неприводимой группы G следует из теоремы 2.2.3 и соображений
однородности. Для приводимой группы G нужно воспользоваться задачей
2.2.14.
21. Условие r%(h) IG(H) a I G(H) равносильно тому, что r{h)HczH.
23. Следует из того, что подпространство однозначно определяется внеш-
внешним произведением своих базисных векторов (см. задачу 2.2.33).
24. Следует из того, что централизатор подалгебры Lo(V\) в алгебре L(Vi)
состоит из операторов, скалярно действующих на каждом из подпространств

120 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
§ 2. Коммутативные и разрешимые алгебраические группы
В этом параграфе, за исключением п. 1, мы предполагаем, что
char Z = 0.
1. Разложение Жордана линейного оператора. Пусть V — конеч-
конечномерное векторное пространство. Для любого линейного оператора
A^L(V) и любого К^К мы будем рассматривать собственное
подпространство
VK (А) = {v е= VI (А - %Е) v = 0)
и содержащее его корневое подпространство
{v^ V\(A-lE)mv = 0 для некоторого тп}.
Подпространства V%{A) и VK(A) инвариантны относительно любого
линейного оператора, коммутирующего с А. Как известно,
Линейный оператор A^L(V) называется полупростым, если он
удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
1) в некотором базисе оператор А записывается диагональной
матрицей:
2) У =
3) У*(Л)= V,(A) для любого Х^К.
Задача 1. Пусть А ^ L (V) — полупростой линейный оператор
и C/czF — подпространство, инвариантное относительно А. Тогда:
1) оператор А\и полупрост;
2) существует инвариантное подпространство, дополнительное
к U.
Задача 2. Всякое коммутативное семейство полупростых ли-
линейных операторов приводится одновременно к диагональному виду.
В частности, отсюда следует, что сумма и произведение комму-
коммутирующих полупростых операторов являются полупростыми опе-
операторами.
Линейный оператор A^L(V) называется нилъпотеитным (со-
(соотв. унипотентным), если Ат = 0 (соотв. (А — Е)т = 0) для неко-
некоторого т. Это равносильно тому, что Ап = 0 (соотв. (А— Е)п = 0),
где п = dim V.
Очевидно, что сумма коммутирующих нилъпотентных операто-
операторов является нилъпотентным оператором. Произведение коммути-
коммутирующих унипотентных операторов является унипотентным опе-
оператором.
Если оператор А одновременно полупрост и нилъпотентен {со-
{соотв. унипотентен), то А = 0 {соотв. А=Е).

§ 2. КОММУТАТИВНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 121
Пусть A^L(V) — произвольный линейный оператор. Полупро-
Полупростой оператор Аа, определенный условием
yx(i4.)= V\A) для любого %^К,
т. е. действующий на каждом корневом подпространстве Vх(А)
оператора А как умножение на Я, называется полупростой частью
оператора А. Из определения корневых подпространств следует,
что оператор Ап = А— Ав нильпотентен; он называется нилъпотент-
ной частью оператора А. Если оператор А невырожден, то опера-
оператор Аи = AAJ1 = Е + АпА унипотентен; он называется уни-
потентной частью оператора А. Операторы Аа, Ап и Аи коммути-
коммутируют между собой и с любым оператором, коммутирующим с А.
Разложение А=А9 + Ап (соотв. А=А8Аи) называется аддитив-
аддитивным (соотв. мультипликативным) разложением Жордана операто-
оператора А. Следующая задача дает его аксиоматическую характеризацию.
Задача 3. Аддитивное (соотв. мультипликативное) разложе-
разложение Жордана линейного оператора А есть его единственное раз-
разложение в сумму (соотв. произведение) коммутирующих между
собой полупростого и нильпотентного (соотв. унипотентного) ли-
линейных операторов.
2. Коммутативные унипотентные алгебраические линейные груп-
группы. Пусть X — нильпотентный оператор. Для любого формального
степенного ряда
/1=0
положим
(вумма фактически конечна). Очевидно, что
1) оператор f(X) — a0E нильпотентен;
2) f(AXA~i) = Af(X)A~l для любого невырожденного линейного
оператора А.
В частности, положим
k=0
k=l
Поскольку любой унипотентный оператор имеет вид Е + Х, где
X.— нильпотентный оператор, то тем самым определен (нильпо-
(нильпотентный)^ оператор log Л для любого унипотентного оператора 4«

122 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Пусть Ln(V) (соотв. LU(V)) — множество всех нильпотентных
(соотв. унипотентных) операторов в пространстве V. Очевидно, что
Ln(V) и LU(V)—алгебраические многообразия в L(V).
Задача 4. Отображения
ехр: Ln(V) + Lu(V), log: Lu(V)->Ln(V)
суть взаимно обратные морфизмы.
Задача 5. 1) Если нильпотентные операторы X, Y комму-*
тируют, то
ехр (X + Y) = ехр X • exp Y.
2) Если унипотентные операторы А, В коммутируют, то
Теорема 1. Наименьшая алгебраическая линейная группа
G(A), содержащая унипотентный линейный оператор А, состоит ив
всех (унипотентных) линейных операторов вида
Л< = exp(?log.4) (*€=#),
причем отображение
K-+G(A), t^A\
является изоморфизмом алгебраических групп, если только АФЕ*
Задача 6. Доказать эту теорему.
Следствие 1. Всякий невырожденный линейный оператор А
конечного порядка (т. е. такой, что Ат = Е для некоторого нату-
натурального тп) полупрост.
Доказательство. Имеем Ат = А™А™ = Е, откуда А™ = Е;
но ввиду доказанной теоремы это может быть, только если Аи=Е.
Алгебраическая линейная группа называется унипотентной, если
все принадлежащие ей операторы унипотентны.
Следствие 2. Всякая унипотентная алгебраическая линейная
группа G неприводима.
Доказательство. Для любого A^G подгруппа G(A)czG
неприводима согласно теореме. Следовательно, A^G(A)czG°.
Из задач 4 и 5 и теоремы 1 вытекает следующее описание ком-
коммутативных унипотентных групп.
Теорема 2. Пусть G^GL(V) — коммутативная унипотентная
алгебраическая линейная группа. Тогда д ==log G czL(V) есть ком-
мутатичпое подпространство, состоящее из нильпотентных линей-
линейных операторов, и отображение ехр: g ->¦ G есть изоморфизм вектор-
векторной группы д на группу G. Обратно, если QczL(V)—коммутатив-
QczL(V)—коммутативное подпространство, состоящее из нильпотентных линейных опе-
операторов, то G = ехр д cz GL (V) есть коммутативная унипотентная
алгебраическая линейная группа.
Аналогичное описание может быть получено для произвольных
унипотентных групп, с той разницей, что отображение ехр, вообще
говоря, будет изоморфизмом не алгебраических групп, а только

§ 2. КОММУТАТИВНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 123
алгебраических многообразий. В п. 3.6 мы сделаем это в случае
К = С; при этом мы увидим, что g = log G есть не что иное, как
касательная алгебра группы G.
3. Алгебраические торы и квазиторы. Алгебраическая группа,
изоморфная прямому произведению п экземпляров группы К*, на-
называется тг-мерным алгебраическим тором. Прилагательное «алгеб-
«алгебраический» здесь употребляется для различения от торов в смысле
теории групп Ли. В контексте теории алгебраических групп над
алгебраически замкнутыми полями мы обычно будем его опускать.
Наряду с торами полезно рассматривать алгебраические группы,
являющиеся прямым произведением тора и коммутативной конеч-
конечной группы; мы будем называть их (алгебраическими) квазитора-
квазиторами. Отметим, что неприводимые квазиторы — это то же, что торы.
Задача 7. В любом квазиторе элементы конечного порядка
образуют плотное подмножество.
Теорема 3. При любом линейном представлении квазитора
его элементы представляются полупростыми операторами, приво-
приводящимися одновременно к диагональному виду.
Доказательство. Если ограничиться элементами конечного
порядка, то утверждение теоремы вытекает из следствия 1 теоре^
мы 1 и задачи 2, но из задачи 7 следует, что в том же базисе,
в котором операторы, соответствующие элементам конечного поряд-
порядка, записываются диагональными матрицами, и все операторы
представления будут записываться диагональными матрицами.
Эта теорема означает, что всякое линейное представление квази-
квазитора является суммой одномерных представлений. Опишем теперь
одномерные представления, или характеры, торов.
Теорема 4. Всякий характер % тора (К*)п имеет вид
Задача 8. Доказать эту теорему.
Пусть Т — тг-мерный алгебраический тор.
Задача 9. Характеры тора Т составляют базис алгебры К[Т]
(как векторного пространства над К).
Пусть Х(Т) — группа характеров тора Т. Из теоремы 4 следует,
что это свободная коммутативная группа ранга п. Имеет место
двойственность между группами Т и Ж(Т) (см. упражнение 4).
Одним из ее проявлений является то, что представление тора Т
в виде прямого произведения гг'экземпляров группы К* равносиль-
равносильно выбору базиса группы Зс(Т). Более точно, справедливо следу-
следующее.
Задача 10. Пусть (ги ..., гп) — базис группы Х(Т). Тогда
отображение
8: T-*(K*)nr *~(8l(*), ...хгп(х))%
является изоморфизмом. Всякий изоморфизм г: Т ^ (К*) полу-
получается таким образом.

124 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Другим проявлением упомянутой двойственности является
дующее описание алгебраических подгрупп тора Т.
Теорема 5. Имеет место взаимно однозначное соответствие
между алгебраическими подгруппами п-мерного тора Т и подгруп-
подгруппами группы ?(Г), при котором подгруппе Т<^?(Т) соответствует
подгруппа
ТГ = {х<=Т\%(х)=1 для всех %*=Т}<=Т.
Если d, ..., cm (m^n)—ненулевые инвариантные множители под-
подгруппы Г [как подгруппы свободной коммутативной группы ?(Т)),
то существует такой изоморфизм г: Т ^ (К*)п, что
е(Гг) = {(^, ...,xn)^{K*f\x\i=... =*с- = 1). A)
Доказательство. Пусть SczT — алгебраическая подгруппа.
По теореме Шевалле (теорема 1.10) существует линейное представ-
представление тора Т, ядро которого есть S. Пусть %h ..., %q — веса этого
представления. Тогда
где Г<=Ж(Г)—подгруппа, порожденная характерами Хи ..., %q.
Пусть, далее, Г <= Ж (Т) — любая подгруппа и си ..., ст (т ^ д)—
ее ненулевые инвариантные множители. Существует такой базис
(8i, ..., 8П) группы X (Г), что r = <c18i, ..., cm8m>. Имеем
ТТ ={х е Т | ег (хр =...=гт {х)с™ = 1},
и если е: Т ^ (К*) — изоморфизм, соответствующий базису
(8i, ..., 8П), то подгруппа е(Гг) выделяется в (К*)п как раз ус-
условиями A).
Для завершения доказательства теоремы остается показать, что
подгруппа Г состоит из всех характеров, обращающихся в единицу
на ТГ. Пусть % = &igi + ... + knen — такой характер. Рассматривая
значения % на элементах х е Тт, у которых все координаты
Si(x), ..., еп(х), кроме одной, равны единице, из полученного вы-
выше описания Тт легко получить, что km+l = ... = kn = 0, a ku ...
..., km делятся на си ..., ст соответственно. Это и означает, что
Следствие. Всякая алгебраическая подгруппа тора является
квазитором.
Отметим еще два следствия теоремы 5.
Задача 11. Группа характеров тора порождается весами лю-
любого точного линейного представления.
Задача 12. Во всяком торе имеются элементы, не содержа-
содержащиеся ни в какой собственной алгебраической подгруппе.
4. Разложение Жордана в алгебраической группе. В этом пунк-
пункте будут доказаны следующие теоремы.

§ 2. КОММУТАТИВНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 125
Теорема 6. Алгебраическая линейная группа G<^GL(V)
вместе со всяким линейным оператором А содержит операторы As
и Аи.
Теорема 7. Пусть R: G -+¦ GL(U) — линейное представление
алгебраической линейной группы G<^GL(V). Если оператор A^G
полупрост (соотв. унипотентен) то и оператор R(A) полу прост
{соотв. унипотентен).
Причины этих явлений в общих словах могут быть объяснены
следующим образом:
1) полупростые элементы алгебраической линейной группы свя-
связаны с ее алгебраическими подгруппами, изоморфными группе /?*
или ее конечной подгруппе, а унипотентные элементы — с подгруп-
подгруппами, изоморфными группе К;
2) группы К* и К не допускают нетривиальных гомоморфизмов
друг в друга и благодаря этому «не перемешиваются».
Переходя к доказательствам, для любого линейного оператора
A^GL(V) обозначим через G(A) наименьшую алгебраическую
линейную группу, содержащую А, т. е. замыкание циклической ли-
линейной группы, порожденной этим оператором.
Если оператор А унипотентен, то группа G(A) согласно теоре-
теореме 1 состоит из унипотентных операторов и изоморфна группе К,
за исключением тривиального случая А = Е.
Задача 13. Если оператор А полупрост, то группа G(A) со-
состоит из полупростых операторов и является квазитором.
В общем случае группа G(A) содержится в наименьшей алгеб-
алгебраической линейной группе G(AS, Аи), содержащей операторы As
и Аи. Из соображений непрерывности следует, что группа G(AS,AU)
коммутативна. Так как G(AS) состоит из полупростых операторов,
a G(AU) — из унипотентных, то G(AS) П G(AU)= {E}. Следовательно,
G(A)aG(Aa, AU)=G(AS)XG(AU). B)
Задача 14. Квазитор не допускает нетривиальных гомомор-
гомоморфизмов в группу К.
Задача 15. G(A) = G(A8)X G(AU).
Отсюда немедленно вытекает теорема 6.
Доказательство теоремы 7. Заметим, прежде всего, что
для любого A^G имеем G(A)aG и R(G(A))= G(R(A)).
Если оператор A^G полупрост, то G(A) — квазитор. Применяя
теорему 3 к ограничению представления R на G(A), получаем, что
оператор R(A) полупрост.
Пусть теперь оператор A^G унипотентен. Положим В = R(A).
Будем считать, что ВФЕ, иначе доказывать нечего. Тогда G(A)
^ К и G(B) = R(G(A))^ К. Согласно задаче 15 имеем
G(B)=G(B8)XG(BU),
но так как G(B) не содержит элементов конечного порядка, отлич-

126 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
ных от нейтрального элемента, то G(B) = G(BU), т. е. оператор В
унипотентен.
Элемент g алгебраической группы G называется полупростым
(соотв. уиипотентным), если для какого-либо точного (и тогда во-
вообще для любого) линейного представления R группы G оператор
R(g) полупрост (соотв. унипотентен).
Из теоремы 6 следует, что каждый элемент g алгебраической
группы G может быть представлен в виде произведения коммути-
коммутирующих между собой полупростого элемента gs<==G и унипотент-
ного элемента gu^G. В силу задачи 3 это разложение единственно.
Элементы gs и gu называются соответственно полупростой и уни-
потентной частями элемента g, а разложение g = gsgu — его разло-
разложением Жордана.
Из теоремы 7 следует, что при любом гомоморфизме алгебраи-
алгебраических групп полупростые элементы переходят в полупростые,
а унипотентные — в унипотентные.
Задача 16. Пусть /: G -+ Н — гомоморфизм алгебраических
групп. Для любого полупростого (соотв. унипотентного) элемента
h^f(G) его полный прообраз /"*(&) содержит полупростой (соотв.
унипотентный) элемент.
Отметим, что группа К* и, вообще, любой квазитор состоит
только из полупростых элементов (теорема 3). Напротив, группа К
и, значит, любая векторная группа состоит только из унипотентных
элементов.
Алгебраическая группа, все элементы которой унипотентны, на-
называется унипотентной. В силу следствия 2 теоремы 1 всякая уни-
потентная алгебраическая группа неприводима.
5. Строение коммутативных алгебраических групп.
Задача 17. Всякая коммутативная алгебраическая группа, со-
состоящая из полупростых элементов, является квазитором.
Поскольку верно и обратное, эта задача дает удобную характе-
ризацию квазиторов (и тем самым торов).
Теорема 8. Всякая коммутативная алгебраическая группа яв-
является прямым произведением квазитора и векторной группы.
Задача 18. Доказать эту теорему.
Следствие. Всяпая неприводимая коммутативная алгебраичес-
алгебраическая группа является прямым произведением тора и векторной группы.
6. Теорема Бореля. Алгебраическая группа называется разре-
разрешимой, если она разрешима как абстрактная группа. Примером
разрешимой алгебраической группы является группа Вп(К) невы-
невырожденных треугольных матриц порядка п над полем К (см. при-
пример п. 1.4.4: рассуждение, приведенное там, годится для любого
поля).
Для разрешимых алгебраических групп имеет место теорема,
аналогичная теореме Ли (см. п. 1.4.5). Она может быть доказана
почти так же, как теорема Ли, но мы выведем ее из более общей
теоремы, доказательство которой в известном смысле даже проще.

§ 2. КОММУТАТИВНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 127
Утверждение теоремы Ли может быть сформулировано как на-
наличие неподвижной точки для действия рассматриваемой группы
в проективном пространстве, ассоциированном с пространствам
представления. Поэтому теорема Ли для алгебраических групп бу-
будет вытекать из следующей теоремы.
Теорема 9. (Теорема Бореля.) Для любого действия непри-
неприводимой разрешимой алгебраической группы G на проективном
алгебраическом многообразии М существует неподвижная точка.
Доказательство. Будем доказывать эту теорему индукцией
по dim G. Будем считать, что dim G > 0, и предположим, что для
групп, размерность которых меньше, чем dim G, утверждение тео-
теоремы справедливо. Пусть G' — коммутант группы G. Согласно пред-
предположению индукции группа G' имеет на многообразии М непо-
неподвижные точки. Пусть TV обозначает множество всех таких точек.
Легко видеть, что это замкнутое подмногообразие. Поскольку G' —
нормальная подгруппа группы G, оно инвариантно относитель-
относительно G.
Согласно следствию теоремы 1.7 для действия группы G на N
существует замкнутая орбита. Пусть О — такая орбита. Имеем О ^
z^G/Gy, где Gy — стабилизатор какой-либо точки у е О (задача
1.20). Так как Gy^ G' и факторгруппа GIG' коммутативна, то
Gy — нормальная подгруппа и G/Gy — неприводимая алгебраическая
группа и, значит, неприводимое аффинное многообразие. Но О есть
проективное многообразие. Следовательно, О состоит из одной точ-
точки (см. п. 2.2.5), которая и является неподвижной точкой для
действия группы G на М. Теорема доказана.
Следствие 1. (Теорема Ли для алгебраических групп.)
Пусть R: G ->¦ GL(V) — линейное представление неприводимой раз-
разрешимой алгебраической группы G. Существует одномерное под-
подпространство U<^V, инвариантное относительно R(G).
В свою очередь, отсюда выводится
Следствие 2. В условиях следствия 1, существует базис про-
пространства У, в котором все операторы R(g), gGG, записываются
(верхними) треугольными матрицами.
7. Расщепление разрешимой алгебраической группы. Пусть G —
неприводимая разрешимая алгебраическая группа.
Задача 19. Унипотентные элементы группы G образуют в
ней алгебраическую нормальную подгруппу ?/, содержащую G'.
Эта подгруппа называется унипотентным радикалом группы G.
Задача 20. Факторгруппа G/U является тором.
В действительности имеет место более точное утверждение.
Теорема 10. Всякая неприводимая разрешимая алгебраиче-
алгебраическая группа разлагается в полупрямое произведение своего унипо-
тентного радикала и тора.
Доказательство. В предыдущих обозначениях, рассмотрим
какой-либо элемент тора G/U, не содержащийся hf в какой его
собственной алгебраической подгруппе (см. задачу 12). В полном

128 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
прообразе этого элемента при каноническом гомоморфизме р: G-*
-> G/U найдется полупростой элемент (задача 16). Пусть это будет
элемент g. Обозначим через Т наименьшую алгебраическую под-
подгруппу группы G, содержащую g. Она является квазитором (задача
13). Следовательно, ГЛ?/ = {е}. С другой стороны, из выбора эле-
элемента g ясно, что р{Т)= G/U. Следовательно,
G = U\T, C)
причем Т ^ G/U — тор. Теорема доказана.
Пример. Для группы G = Bn(K) унипотентный радикал U
есть подгруппа унитреугольных матриц, а в качестве тора Т можно
взять подгруппу невырожденных диагональных матриц.
Сделаем еще несколько замечаний в связи с разложением C).
Очевидно, что всякая алгебраическая подгруппа группы G, содер-
содержащая тор Г, является полупрямым произведением некоторой уни-
потентной подгруппы, содержащейся в С/, и тора Г. Отсюда, в ча-
частности, следует, что Т — максимальный тор в группе G и что вся-
всякая содержащая его алгебраическая подгруппа неприводима.
Задача 21. Нормализатор тора Т в группе G совпадает с его
централизатором.
8. Полупростые элементы разрешимой алгебраической группы.
Теорема 11. Пусть G — неприводимая разрешимая алгебраи-
алгебраическая группа и Т — какой-либо тор, дополнительный к ее унипо-
тентному радикалу U. Тогда всякий полупростой элемент группы
G сопряжен некоторому элементу тора Т.
Задача 22. В условиях теоремы, если U?={e), то существует
унипотентная алгебраическая нормальная подгруппа V\ группы G,
имеющая в U коразмерность единица.
Доказательство теоремы проведем индукцией по dim U.
Если dim U = 0, то G = Т и доказывать нечего.
Пусть dimt/ = l, и пусть g = ut (u^U, t e T) — полупростой
элемент. Возможны два случая: либо и и t коммутируют, либо нет.
В первом случае разложение g = tu есть разложение Жордана эле-
элемента g\ следовательно, и = е и g^T. Во втором случае класс
сопряженности элемента g совпадает с Ug. Действительно, так как
факторгруппа G/U коммутативна, то класс сопряженности C(h)
любого элемента h^Ug содержится в Ug. Он является неприводи-
неприводимым подмногообразием как орбита группы С и не сводится к одно-
одному элементу /г, поскольку uhu^^h. Следовательно, C(h) есть Ug
минус конечное число точек; но так как это имеет место для лю-
любого h^Ug, то C(h) = C(g)=Ug. В частности, C(g)^t, что и тре-
требовалось доказать.
Пусть теперь dimC/>l, и предположим, что для групп, размер-
размерность унипотентного радикала которых меньше, чем dim С/, утверж-
утверждение теоремы справедливо. Пусть ?Л — алгебраическая нормальная
подгруппа группы G, удовлетворяющая условиям задачи 22,
и р: G-^G/Ui—канонический гомоморфизм. Очевидно, что G/Ut —

§ 2. КОММУТАТИВНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 129
неприводимая разрешимая алгебраическая группа с одномерным
унипотентным радикалом p(U)=U/Ui и дополнительным тором
р(Т)—Т. Для любого полупростого элемента g <= G элемент p(g)
согласно доказанному выше сопряжен в группе G/Ui некоторому
элементу тора р(Т). Это означает, что в самой группе G элемент g
сопряжен некоторому (полупростому) элементу gt подгруппы G{ =
= UtT. Однако согласно предположению индукции элемент gi со-
сопряжен в группе Gi некоторому элементу t тора Т. Следовательно,
элемент g сопряжен в группе G элементу t. Теорема доказана.
Задача 23. (Следствие.) Все максимальные торы в разреши-
разрешимой алгебраической группе сопряжены.
Мы теперь можем утверждать, что в качестве тора Т в разло-
разложении C) может быть взят любой максимальный тор.
9. Борелевские подгруппы. При изучении произвольных (не обя-
обязательно разрешимых) алгебраических групп оказывается полезным
рассматривать их максимальные неприводимые разрешимые алгеб-
алгебраические подгруппы. Такие подгруппы называются борелеескими.
Например, в силу теоремы Ли всякая неприводимая разрешимая
алгебраическая подгруппа группы GLn(K) сопряжена подгруппе,
содержащейся в подгруппе Вп (К). Поэтому Вп (К) есть борелевская
подгруппа группы GLn(K) и всякая другая борелевская подгруппа
ей сопряжена.
Теорема 12. Все борелевские подгруппы алгебраической груп-
группы G сопряжены друг другу. Факторпространство комплексной ал-
алгебраической группы по борелевской подгруппе является проектив-
проективным алгебраическим многообразием.
Доказательство. Можно считать, что G— алгебраическая
линейная группа, действующая в некотором векторном простран-
пространстве V. Группа G действует естественным образом на многообразии
@~(V) флагов пространства V (см. п. 2.2.7). Пусть О — какая-либо
замкнутая орбита этого действия. Так как О — проективное много-
многообразие, то по теореме Бореля всякая борелевская подгруппа груп-
группы G имеет в О неподвижную точку, т. е. содержится в стабили-
стабилизаторе некоторого флага F ^ О. С другой стороны, стабилизатор
любого флага разрешим, так как в базисе пространства F, согласо-
согласованном с этим флагом, все его элементы записываются треуголь-
треугольными матрицами. Следовательно, борелевские подгруппы суть не-
неприводимые компоненты стабилизаторов точек орбиты О и потому
сопряжены друг другу.
Докажем второе утверждение теоремы. Пусть G — комплексная
алгебраическая группа и В — ее борелевская подгруппа. Фактор-
пространство GIB является конечнолистным накрытием проектив-
проективного алгебраического многообразия О, фигурировавшего в преды-
предыдущем рассуждении, и потому компактно и также является про-
проективным алгебраическим многообразием.
В действительности второе утверждение теоремы верно над произвольным
алгебраически замкнутым полем [19]. Более того, если группа G непрнводима,
9 Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

130 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
то стабилизаторы точек орбиты О, фигурировавшей в доказательстве, суть в
точности борелевские подгруппы группы G. Для комплексных алгебраических
групп последнее утверждение будет доказано в § 4.2.
Задача 24. (Следствие.) Все максимальные торы алгебраиче-
алгебраической группы G сопряжены друг другу.
Упражнения
1. Пусть А = Е + X — унипотентный оператор. Линейный оператор А1,
помимо способа, предложенного в п. 2, может быть определен непосредственно
с помощью биномиального ряда:
А1 = У
t{t — l) ... {t — k + '
k\
2. Пусть g — элемент алгебраической группы G. Если для некоторого нату-
натурального m элемент gm полупрост, то и сам элемент g полупрост.
3. Если неприводимая компонента единицы алгебраической группы G
является тором, то все элементы группы G полупросты.
4. Для каждого элемента х тора Т обозначим через бх характер группы
), определяемый по формуле бх(%) = %(х). Отображение
б: T-+X(S(T)), x^Sx,
является изоморфизмом групп.
5. Имеется взаимно однозначное соответствие между гомоморфизмами тора
Т\ в тор Г2 и гомоморфизмами группы ?(Г2) в группу Ж{Т\), при котором го-
гомоморфизму /: ТХ~^Т2 соответствует гомоморфизм /*: ?(T2)-+?(Ti), опреде-
определяемый по формуле (/*х) (х) =%(f{x)) (% е= Х(Т2), х е Тх).
6. Обобщить на квазиторы упражнения 4 и 5 и первое утверждение тео-
теоремы 5.
7. Пересечение ядер всех характеров алгебраической группы есть нор-
нормальная алгебраическая подгруппа, факторгруппа по которой является квази-
квазитором.
8. Пусть невырожденный линейный оператор А <= GL(V) в некотором ба-
базисе пространства V записывается диагональной матрицей diag (r/i, ..., ап) +
Тогда группа G(A) состоит из всех невырожденных линейных операторов В,
которые в том же базисе записываются матрицами вида diag(&b ..., &те), где
fej, ..., Ъп удовлетворяют всем соотношениям вида хгг ... #пп= 1 (А^,...
...,^gZ), которым удовлетворяют а\, ..., ап.
9. Всякая нетривиальная неприводимая разрешимая алгебраическая груп-
группа разлагается в полупрямое произведение алгебраической нормальной под-
подгруппы коразмерности 1 и алгебраической подгруппы, изоморфной К* или К.
10. Всякая нетривиальная неприводимая алгебраическая группа имеет
нетривиальную борелевскую подгруппу. (Указание: проанализировать доказа-
доказательство теоремы 12.)
11. Во всякой нетривиальной неприводимой алгебраической группе имеет-
имеется алгебраическая подгруппа, изоморфная К* или К. В частности, всякая
одномерная неприводимая алгебраическая группа изоморфна К* или К.
12. Замыкание любой разрешимой подгруппы алгебраической группы
является разрешимой подгруппой.
13. Всякая подгруппа неприводимой разрешимой алгебраической группы,
состоящая из полупростых элементов (в частности, всякая конечная подгруп-
подгруппа), коммутативна.
14. Привести пример разрешимой конечной линейной группы, не записы-
записываемой ни в каком базисе треугольными матрицами.
15. Всякая коммутативная линейная группа в некотором базисе записы-
записывается треугольными матрицами.

§ 2. КОММУТАТИВНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 131
16. Привести пример коммутативной конечной подгруппы группы PGL2(K)
(факторгруппы группы GL2(K) по ее центру), не содержащейся ни в какой
борелевской подгруппе.
17. Коммутативная алгебраическая подгруппа алгебраической группы со-
содержится в некоторой борелевской подгруппе тогда и только тогда, когда этим
свойством обладает подгруппа ее полупростых элементов.
Указания к задачам
1. Для доказательства первого утверждения воспользоваться условием 3)
в определении полупростого оператора, для доказательства второго — усло-
условием 2).
2. Рассуждая по индукции, рассмотреть ограничения операторов данного
семейства на собственные подпространства любого из них, не являющегося
скалярным.
3. Пусть А = В + С, где В — полупростой оператор, С — нильпотентнын
оператор и ВС = СВ. Для любого Х^К подпространство V%(B) инвариантно
относительно С, и так как С — нильпотептный оператор, то \\(В) сг: Vх{А).
.Так как F = ®F^ (В), то Vk(B) = VK(A) для любого X ge К и, значит, В = Аа.
Л/
Аналогично рассматривается мультипликативное разложение.
4. Рассмотрим формальные ряды е(х)=ехтрх— 1 и l(x) —log ({-{-х).
Так как свободные члены этих рядов равны нулю, то имеет смысл подстановка
одного из них в другой. Для решения задачи достаточно показать, что
1(е(х))=х, еA(х))=х. (8)
Это можно сделать, воспользовавшись тем, что ряды е(х) и 1{х) имеют рацио-
рациональные коэффициенты и определяют функции комплексного переменного,
для которых равенства (8) выполняются в функциональном смысле при до-
достаточно малых \х\.
5. Решается с помощью аналогичных соображений, но с использованием
формальных рядов от двух символов.
6. Отображение t н-> А1 является гомоморфизмом группы К па некоторую
алгебраическую линейную группу //, содержащую оператор А. Если А ф Е,
то ядро этого гомоморфизма является конечной подгруппой группы К и, сле-
следовательно, тривиально (напомним, что chari? = 0!). Таким образом, II ^. К,
и аналогичные соображения показывают, что G(A) = Н.
8. Достаточно доказать, что всякий характер % группы К* имеет вид
%(х) = cch. где /i:gZ. Для этого проще всего воспользоваться тем, что харак-
характер % группы К* есть многочлен от х и х~\ удовлетворяющий уЛх)х(х~х) == 1
AI
(
12. Таковы элементы, на которых ни один нетривиальный характер не об-
обращается в единицу. Этим свойством обладает, например, всякий элемент,
координаты которого суть различные простые числа.
13. Рассмотреть базис, в котором оператор А записывается диагональной
матрицей, и воспользоваться следствием теоремы 5.
14. Воспользоваться задачей 7.
15. Достаточно доказать, что G(A) id G(Au). Предположим противное. Тогда
G(A) П G(AU) = {Е}, т. е. G(A) изоморфно проектируется на G(AS). Следова-
Следовательно, группа G(A) является квазитором. Но тогда согласно задаче 14 она
имеет тривиальную проекцию на G(AU), что невозможно.
16. Взять любой прообраз и рассмотреть его разложение Жор дана.
17. Вытекает из задачи 2 и следствия теоремы 5.
18. Пусть G — коммутативная алгебраическая группа. Из разложения Жор-
дана следует, что группа G как абстрактная группа разлагается в прямое
произведение подгруппы Gs, состоящей из полупростых элементов, и подгруп-
подгруппы Gu, состоящей из уиииотентных элементов. Докажем, что эти подгруппы
алгебраичны, после чего утверждение теоремы будет вытекать из задачи 17 и
теоремы 2.
9*

132 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Будем считать, что G есть алгебраическая линейная группа, действующая
в векторном пространстве V. Тогда Gu = G П LU(V) —алгебраическая подгруп-
подгруппа. Далее, возьмем базис, в котором все операторы из G записываются диаго-
диагональными матрицами. Приравняв нулю недиагональные элементы матрицы
оператора А ^ G в этом базисе, мы получим систему алгебраических уравне-
уравнений, выделяющую подгруппу Gs.
19. Применить следствие 2 теоремы 9 к какому-нибудь точному линейному
представлению группы G. В базисе, в котором операторы представления записы-
записываются треугольными матрицами, унипотентные элементы группы G выделя-
выделяются тем, что все диагональные элементы соответствующих матриц равны
единице.
20. В силу задачи 17 достаточно доказать, что факторгруппа G/U коммута-
коммутативна, состоит из полупростых элементов и неприводима. Первое вытекает из-
задачи 19, второе доказывается с помощью задачи 16, третье очевидно.
22. Перейдя к факторгруппе G/U', можно свести доказательство к случаю,
когда группа U коммутативна. В этом случае по теореме 2 она является век-
векторной группой и действие тора Т на ней линейно. По теореме 3 она может
быть разложена в прямое произведение одномерных подгрупп, нормализуемых
тором Т. В качестве U\ можно взять произведение всех этих подгрупп, кроме
какой-либо одной.
23. Воспользоваться задачей 12.
24. Вытекает из теоремы 12 и следствия теоремы 11.
§ 3. Касательная алгебра
Касательная алгебра Ли может быть определена для алгебраи-
алгебраической группы над произвольным полем (см., например, [19]), но
мы ради простоты ограничимся полями комплексных и веществен-
вещественных чисел. В этих случаях не требуется специального определения,
ибо комплексная или вещественная алгебраическая группа является
в то же время группой Ли и ее касательная алгебра может по-
пониматься в смысле теории групп Ли.
1. Связность неприводимых комплексных алгебраических групп.
Касательная алгебра может быть использована для доказательства
следующей теоремы.
Теорема 1. Всякая неприводимая комплексная алгебраиче-
алгебраическая группа связна.
Задача 1. Всякая неприводимая коммутативная комплексная
алгебраическая группа связна.
Доказательство теоремы. Пусть G — неприводимая
комплексная алгебраическая группа, g— ее касательная алгебра.
Рассмотрим какие-либо однопараметрические подгруппы Ph ..., Рп
группы G, направляющие векторы которых порождают алгебру Q.
Обозначим через Gt (i = l, ..., п) замыкание подгруппы Pt в топо-
топологии Зарисского. Это коммутативная алгебраическая подгруппа.
Так как ее неприводимые компоненты замкнуты в вещественной
топологии, то подгруппа Рг целиком содержится в одной неприво-
неприводимой компоненте; но это означает, что группа G,- неприводима.
Подгруппа G<= G, порожденная подгруппами Gu ..., Gn, замкну-
замкнута в топологии Зарисского (теорема 1.4). Ее касательная алгебра
содержит касательные алгебры подгрупп Gh ..., Gn и, в частности,

§ 3. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 133
направляющие векторы подгрупп Ри ..., Рп; следовательно, она
совпадает с д. Таким образом, dim G = dim G и, значит, G = G.
Согласно задаче 1 подгруппы Gu ..., Gn связны и, стало бытьу
содержатся в связной компоненте единицы группы G. Но по до-
доказанному выше они порождают группу G. Следовательно, группа
G связна. Теорема доказана.
Таким образом, для комплексной алгебраической группы непри-
неприводимость равносильна связности в вещественной топологии. За-
Заметим еще, что, поскольку неприводимые компоненты алгебраиче-
алгебраической группы не пересекаются, ее неприводимость равносильна ее
связности в топологии Зарисского. Учитывая все эти обстоятель-
обстоятельства, мы будем, говоря о комплексных алгебраических группах,
употреблять термин «связная» вместо «неприводимая», во избежа-
избежание путаницы ее свойством неприводимости линейных групп, кото-
которое означает отсутствие нетривиальных инвариантных подпро-
подпространств.
2. Рациональная структура на касательной алгебре тора. Так
как комплексный алгебраический тор является коммутативной груп-
группой Ли, то структура алгебры Ли на его касательном пространстве
тривиальна. Однако это пространство естественным образом наде-
наделяется структурой другого рода.
Пусть Т — тг-мерный тор и t — его касательная алгебра. Диффе-
Дифференциал d% (в единице) любого характера %^Ж(Т) есть линейная
функция на t. Легко видеть, что
X2) = dXi + dx.. A).
(Напомним, что %t + %2 есть по определению произведение функций
%i и %2 на Т. Сумма в правой части равенства есть обычная сумма
линейных функций на t.)
Задача 2. Если (ei, ..., гп)~ базис группы Ж{Т), то {dzu ...
..., dsn)— базис пространства t* линейных функций на t.
Для любой аддитивной числовой группы А положим
^A при всех х
e4 при i = l, ..., п). B}
Если к — числовое поле, то Х(к) есть /с-форма пространства t (см.
определение в п. 2.3.6).
В дальнейшем, говоря о поле определения линейных отображе-
отображений и подпространств касательных алгебр торов, мы будем иметь
в виду именно эти их формы.
Задача 3. Дифференциал любого гомоморфизма (в частности,
автоморфизма) торов определен над Q (и тем более над любым
другим числовым полем).
Задача 4. Касательные алгебры алгебраических подгрупп то-
тора — это в точности те подпространства его касательной алгебры,
которые определены над Q.

|34 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
3. Алгебраические подалгебры. Пусть G — комплексная алгеб-
алгебраическая группа.
Подалгебра !)<=<} называется алгебраической, если она является
касательной алгеброй некоторой алгебраической подгруппы Н a G
или, иначе говоря, если соответствующая ей связная виртуальная
подгруппа Ли группы G является алгебраической подгруппой. Как
показывает, например, задача 4, далеко не всякая подалгебра явля-
является алгебраической.
В этом пункте будут найдены некоторые достаточные условия
для того, чтобы данная подалгебра была алгебраической (и тем
самым была касательной алгеброй некоторой подгруппы Ли). На-
Наличие таких условий является одной из причин, по которым теория
алгебраических групп оказывается полезной в теории групп Ли.
Задача 5. Коммутант алгебраической подалгебры является
алгебраической подалгеброй.
Теорема 2. Пусть алгебраическая подгруппа Н комплексной
алгебраической группы G порождается связными алгебраическими
подгруппами На, a^i. Тогда ее касательная алгебра I) порождает-
порождается касательными алгебрами I)a подгрупп На-
Задача 6. Доказать эту теорему.
Следствие. Подалгебра, порожденная любым семейством ал-
алгебраических подалгебр, является алгебраической.
Очевидно, что пересечение любого семейства алгебраических
подгрупп является алгебраической подгруппой. Поэтому для любой
подалгебры I) с= g существует наименьшая алгебраическая подалгеб-
подалгебра, содержащая I). Она называется алгебраическим замыканием
подалгебры I). Мы будем обозначать ее через Y-
Задача 7. Подалгебра Ьа — это касательная алгебра замыка-
замыкания (в топологии Зарисского) связной виртуальной подгруппы Ли
Н с= G, соответствующей подалгебре I).
Свойства алгебраического замыкания похожи на свойства замы-
замыкания Мальцева (см. п. 1.4.2).
Теорема 3. Пусть I)— подалгебра касательной алгебры комп-
комплексной алгебраической группы G и %а — ее алгебраическое замы-
замыкание. Тогда
(Г)' = !>'.
Эта теорема доказывается точно так же, как теорема 1.4.3.
(Подгруппы Hi и Н2 оказываются алгебраическими: см. пример 3
п. 1.1.)
Следствие 1. Коммутант любой подалгебры является алгеб-
алгебраической подалгеброй. В частности, всякая подалгебра, совпадаю-
совпадающая со своим коммутантом, алгебраична.
С л е ,д с т в и е 2. Алгебраическое замыкание коммутативной
(соотв. разрешимой) подалгебры есть коммутативная {соотв. раз-
разрешимая) подалгебра.

§ 3. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 135
Максимальные разрешимые подалгебры алгебры g называются
ее борелевскими подалгебрами.
Задача 8. Всякая борелевская подалгебра алгебры $ явля-
является касательной алгеброй некоторой борелевской подгруппы
группы G.
Задача 9. Алгебраическое замыкание идеала есть идеал.
Задача 10. Радикал группы G является алгебраической под-
подгруппой.
Линейная алгебра Ли tyc=fil(V) называется алгебраической, если
она является алгебраической как подалгебра касательной алгебры
группы GL{V), т. е. если она является касательной алгеброй неко-
некоторой алгебраической линейной группы Н<= GL(V).
Все изложенное в этом пункте справедливо, конечно, для G =
= GL(V). В частности, следствие 2 теоремы 3 позволяет заклю-
заключить, что всякая линейная алгебра Ли, совпадающая со своим ком-
коммутантом, является алгебраической.
4. Алгебраические структуры на некоторых комплексных груп-
группах Ли.
Теорема 4. Пусть G — связная комплексная алгебраическая
группа, совпадающая со своим коммутантом. Тогда всякий диффе-
дифференцируемый гомоморфизм группы G в комплексную алгебраиче-
алгебраическую группу Н полиномиален.
Доказательство. Пусть /: G ->¦ Н — дифференцируемый го-
гомоморфизм. Рассмотрим его график
Очевидно, что это связная подгруппа Ли группы GXH, изоморф-
изоморфно проектирующаяся на G. Ее касательная алгебра изоморфна ка-
касательной алгебре группы G и, значит, совпадает со своим комму-
коммутантом. Поэтому Г — алгебраическая подгруппа группы GXH
(следствие 1 теоремы 3). По теореме 1.6 отображение g*-* (g, f (g))n
обратное к проектированию Г ->¦ G, полиномиально. Следовательно,
полиномиально и отображение /.
Назовем алгебраической структурой на комплексной группе Ли
G структуру алгебраической группы на G, согласованную со струк-
структурой группы Ли (т. е. порождающую ту же структуру группы
Ли). Так как всякая алгебраическая группа имеет точное линейное
представление, то для существования алгебраической структуры
на комплексной группе Ли необходимо, чтобы эта группа имела
точное линейное представление (как группа Ли).
Теорема 5. Связная комплексная группа Ли, совпадающая
со своим коммутантом и имеющая точное линейное представление,
допускает единственную алгебраическую структуру.
Задача 11. Доказать эту теорему.
5. Теорема Энгеля. В этом пункте мы будем рассматривать век-
векторные пространства и алгебры Ли над произвольным полем.

136 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Линейная алгебра Ли 9^91A^) называется унипотентной, если
псе принадлежащие ей операторы нильпотентны. (Происхождение
этого названия станет ясным в дальнейшем.)
Задача 12. Если линейная алгебра Ли й^йЦУ) унипотентна,
то линейная алгебра Ли ad 9 е1949) также унипотентна.
Теорема 6. (Теорема Энгеля.) Пусть $a$(V)—унипотент-
ная линейная алгебра Ли. В пространстве V существует ненулевой
зектор, аннулируемый всеми операторами из д.
Доказательство проведем индукцией по dimg. Будем счи-
считать, что dim g > 0, и предположим, что для. всех линейных алгебр
Ли, размерность которых меньше, чем dimg, утверждение теоремы
справедливо. Пусть I) — максимальная подалгебра алгебры д. Дока-
Докажем, что I) — идеал коразмерности единица.
Рассмотрим линейное представление р алгебры f) в простран-
пространстве g/I), индуцированное присоединенным представлением алгебры
Q. Из задачи 12 следует, что линейная алгебра Ли рA)) унипотент-
унипотентна. Согласно предположению индукции в пространстве g/t) суще-
существует ненулевой вектор, аннулируемый всеми операторами из р(|)),
т. е. существует такой элемент C^fl\I), что [I), С]с:|). Но тогда
\) + (СУ — подалгебра алгебры g и из максимальности I) следует, что
% + <С> = д. Вместе с предыдущим это и означает, что I) — идеал
коразмерности единица.
Рассмотрим подпространство
Согласно предположению индукции, Fo >Ф 0. Из того, что Т) — идеал
в д, легко вывести, что подпространство Fo инвариантно относи-
относительно д. Пусть С — любой элемент алгебры д, не принадлежащий
I). Так как С — нильпотентный оператор и подпространство Vo ин-
инвариантно относительно С, то в Fo существует ненулевой вектор,
аннулируемый оператором С. Этот же вектор, очевидно, будет ан-
аннулироваться всеми операторами из д.
Следствие 1. В условиях теоремы, существует базис про-
пространства V, в котором все операторы из g записываются нилъ-
треуголъными матрицами.
Это следствие выводится из теоремы так же, как аналогичное
следствие теоремы Ли (см. п. 1.4.6). Из него, в свою очередь,
вытекает
Следствие 2. Всякая унипотентная линейная алгебра Ли
разрешима.
Из теоремы Энгеля следует не только разрешимость, но и нильпотент-
нильпотентность всякой унипотептной линейной алгебры Ли. (Определение нильпотент-
пой алгебры Ли см. в упражнении 1.2.16.) В самом деле, легко видеть, что
алгебра Ли нильтреугольных матриц нильпотентна. Следствие 1 теоремы Энге-
Энгеля показывает, что всякая унипотентная линейная алгебра Ли изоморфна не-
некоторой ее подалгебре и потому также нильпотентпа. Однако обратное неверно:
существуют нильпотентные линейные алгебры Ли, не являющиеся упипотент-
ными, например алгебра треугольных матриц с одинаковыми элементами на
диагонали.

§ 3. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 137
6. Ушшотентные алгебраические линейные группы. Пусть V —^
комплексное векторное пространство.
Задача 13. Оператор X е gl (V) нильпотентен (соотв. полу*
прост) тогда и только тогда, когда оператор exp tX унипотентев
(соотв. полупрост) для любого t е С-
Для любого нильпотентного оператора X^gl(F) линейная груп-
группа {exiptX\t ^С} является алгебраической (см. п. 2.2). Очевидно,
что ее касательная алгебра порождается оператором X. Следова-
Следовательно, всякая одномерная унипотентная линейная алгебра Ли яв-
является алгебраической.
Задача 14. Всякая унипотентная линейная алгебра Ли яв-
является алгебраической.
Задача 15. Связная алгебраическая линейная группа унипо-
тентна (см. п. 2.2) тогда и только тогда, когда ее касательная ал-
алгебра унипотентна.
Это объясняет термин «унипотентная», применяемый к линей-
линейным алгебрам Ли.
Теорема 7. Всякая унипотентная комплексная алгебраиче-
алгебраическая линейная группа G <= GL(V) разрешима и записывается в
некотором базисе унитреуголъными матрицами. Отображение
exp: g-^-G является изоморфизмом алгебраических многообразий.
Задача 16. Доказать эту теорему.
Заметим, что последнее утверждение теоремы имеет смысл, не
зависящий от линейного представления группы G.
7. Разложение Жордана в касательной алгебре алгебраической
группы. Пусть G — комплексная алгебраическая группа.
Для любого элемента ?^g обозначим через G(|) наименьшую
алгебраическую подгруппу группы G, касательная алгебра которой
содержит |, т. е замыкание (в топологии Зарисского) подгруппы
{ехр Й-|?е С}- Это неприводимая коммутативная алгебраическая
группа* Согласно следствию теоремы 2.8 она разлагается в прямое
произведение тора и векторной группы.
Элемент %eg называется полупростым (соотв. нилъпотентным)у
если G(g)—тор (соотв. векторная группа).
Задача 17. Пусть /: G -> Н — гомоморфизм алгебраических
групп. Если элемент | ^ g полупрост (соотв. нильпотентен), то и
элемент d/(g)^I) полупрост (соотв. нильпотентен).
Задача 18. Пусть R — линейное представление группы G.
Если элемент %^g полупрост (соотв. нильпотентен), то и оператор
dR(^) полупрост (соотв. нильпотентен).
Теорема 8. Всякий элемент | касательной алгебры g комп-
комплексной алгебраической группы G единственным образом представ-
представляется е виде суммы коммутирующих между собой полупростого
элемента \s^§u нилъпотентного элемента ^neg.
Элементы gs и §п называются соответственно полупростой и
нилъпотентной частями элемента %, а разложение | = \s + |п — его
разложением Жордана.

138 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Задача 19. Доказать теорему 8.
Задача 20. Пусть R — локально точное (т. е. с конечным
ядром) линейное представление группы G, и пусть ^^g. Если
оператор di?(?) полупрост (соотв. нильпотентен), то и элемент ?
полупрост (соотв. нильпотентен).
Задачи 18 и 20 показывают, в частности, что полупростые и
нилъпотентные элементы касательной алгебры группы GL(V)—
это то же, что полупростые и нилъпотентные линейные операторы.
Задача 21. Пусть /: G ->¦ Н — гомоморфизм алгебраических
групп. Для любого полупростого (соотв. нильпотентного) элемента
r]e=d/(g) его полный прообраз (df)~l(r{) содержит полупростой
(соотв. нильпотентный) элемент.
8. Касательная алгебра вещественной алгебраической группы.
Пусть G — вещественная алгебраическая группа, g — ее касатель-
касательная алгебра (как вещественной группы Ли), G (Q— ее комплек-
сификация (см. п. 1).
Касательная алгебра группы G (С) совпадает с комплексифи-
кацией g (С) алгебры g (см. п. 2.3.4). Если т — комплексное сопря-
сопряжение на группе G(Q, то dx— комплексное сопряжение на ал-
алгебре б (С).
Задача 22. Связная алгебраическая подгруппа группы G (Q
является комплексификацией алгебраической подгруппы группы G
тогда и только тогда, когда ее касательная алгебра определена над
1R (как подпространство алгебры g (С)).
Подалгебра % <= g называется алгебраической, если она является
касательной алгеброй некоторой алгебраической подгруппы Н cr G.
Для всякой подалгебры I) <= g существует наименьшая алгебраиче-
алгебраическая подалгебра, содержащая I). Она называется алгебраическим
замыканием подалгебры |> и обозначается через |)а.
Задача 23. Подалгебра fy^g является алгебраической
тогда и только тогда, когда ее комплексификация I) (С) является
алгебраической подалгеброй алгебры д@). В любом случае $а (С) —
= нсг.
Ввиду этого большинство результатов п. 3 механически пере-
переносится в вещественную ситуацию. В частности, таким образом
получается, что следующие подалгебры алгебры д являются алгеб-
алгебраическими:
1) коммутант любой подалгебры; в частности, любая подалгебра,
совпадающая со своим коммутантом;
2) подалгебра, порожденная любым семейством алгебраических
подалгебр;
3) радикал алгебры д.
9. Объединение борелевских подгрупп и централизаторы торов.
Пусть G— связная комплексная алгебраическая группа, д — ее ка-
касательная алгебра.
Задача 24. Всякий элемент алгебры д содержится в некоторой
ее борелевской подалгебре.

§ 3. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 139
Задача 25. Объединение всех борелевских подгрупп группы G
является густым подмножеством в G.
В действительности имеет место
Теорема 9. Всякий элемент связной комплексной алгебраи-
алгебраической группы G содержится в некоторой ее борелевской подгруппе*
Доказательство. Пусть U—объединение всех борелевских
подгрупп группы G. Из задачи 25 следует, что U плотно в G в ве-
вещественной топологии. Поэтому достаточно доказать, что U замкну-
замкнуто в вещественной топологии.
Имеем U = (J gBg~x, где В — фиксированная борелевская под-
группа группы G. Пусть последовательность элементов gnbngn
(gne^G, Ъп^В) сходится к некоторому элементу g^G. Так как
факторпространство GIB компактно (теорема 2.12), то, перейдя к
подпоследовательности, можно добиться, чтобы gn = gnCn, где
g'n-+h<=G, а сп<=В; но тогда cnbnc^1-+h~1gh = b ^В и, значит,
g = hbh-1 e= U.
Комбинируя эту теорему с теоремой 2.И и следствием теоремы
2.12, получаем следующие два следствия.
Следствие 1. Всякий полу простой элемент группы G содер-
содержится в некотором торе.
Следствие 2. Всякий центральный полупростой элемент
группы G содержится в пересечении всех ее максимальных торов.
Задача 26. Пусть S<= G — какой-либо тор и g^G — комму-
коммутирующий с ним полупростой элемент. Тогда существует тор Т^
с= G, содержащий S и g.
Теорема 10. Централизатор Z(S) любого тора S в связной
комплексной алгебраической группе G связен.
Задача 27. Доказать эту теорему.
Упражнения
1. Подгруппа {(ez, e12) \ z e с} с (С*J является подгруппой Ли, но не
алгебраической подгруппой.
2. Всякое дифференцируемое линейное представление комплексного алгеб-
алгебраического тора полиномиально.
3. Привести пример неполиномиального дифференцируемого линейного
представления группы С.
4. Комплексная группа Ли C/(Z + il) не допускает алгебраической
структуры :).
5. Комплексная группа Ли С х С* допускает континуум различных
алгебраических структур.
6. Алгебраическая нормальная подгруппа связной комплексной алгебраи-
алгебраической группы G, являющаяся квазитором, содержится в центре группы Gw
1) При более широком толковании понятия алгебраической группы, не
требующем, чтобы групповое многообразие был аффинным, эта группа Лхэ
допускает алгебраическую структуру. Однако можно привести примеры та-
таких комплексных групп Ли, которые не допускают алгебраической структуры
и в этом более широком смысле.

140 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
7. Элемент | касательной алгебры комплексной алгебраической группы G
полупрост тогда и только тогда, когда элемент ехр ? группы G полупрост.
8. Алгебра Ли g (над произвольным полем) нильпотентна тогда и только
тогда, когда линейная алгебра Ли ad g унипотентна.
9. Коммутант всякой разрешимой подалгебры касательной алгебры ком-
комплексной алгебраической группы унипотентен (т. е. все его элементы ниль-
потентны).
10. Для всякого линейного оператора X е gl(V) пусть д(Х) обозначает
наименьшую алгебраическую линейную алгебру Ли, его содержащую, т. е.
алгебраическое замыкание одномерной алгебры Ли <Х>. Если X = Х8 + Хп —
аддитивное разложение Жордана оператора X, то g(X) = q(Xs) Ф <Zn>.
11. В предыдущих обозначениях, если оператор X в некотором базисе за-
записывается диагональной матрицей diag (х\, ..., хп), то $(Х) состоит из всех
операторов, которые в том же базисе записываются матрицами вида
diag (у и ... Уп), где у\, ..., уп удовлетворяют всем линейным зависимостям с
целыми коэффициентами, которым удовлетворяют xi, ..., хп>
12. В обозначениях п. 7, размерность векторного множителя группы G{\)
не превосходит единицы.
Указания к задачам
4 Использовать описание алгебраических подгрупп тора, данное в теоре-
теореме 2.5.
5. Вытекает из теорем 1.5 и 1.4.1.
^ 6. Пусть Fс: Ь — подалгебра, порожденная подалгебрами f)a, a e А, и
Н а Н — соответствующая ей связная виртуальная подгруппа Ли (см. теорему
1.2.8). При любом asi имеем Т=э $а и, значит, Н zd На. Следовательно, Н = Н
8. Доказать вначале, что всякая борелевская подалгебра является алгебраи-
алгебраической подалгеброй.
9. Решается аналогично задаче 1.4.6.
10. Доказать, что радикал алгебры д является алгебраической подалгеброй.
12. Непосредственно проверяется, что если Хт = 0, то (adXJm~1 = 0.
13. Сначала доказать утверждение «только тогда». После этого доказать,
что ехр tX = ехр tXs • ехр tXn есть (мультипликативное) разложение Жордана
оператора ехр tX.
14. Вытекает из предыдущего замечания и следствия теоремы 2.
15. Утверждение «тогда» доказывается с помощью следствия 1 теоремы
Энгеля. Утверждение «только тогда» вытекает из задачи 13.
16. Первая часть теоремы вытекает из задачи 15 и следствий теоремы Энге-
Энгеля. Сюръективпость отображения ехр: д -*¦ G вытекает из того, что вместе со
всяким оператором Л группа G содержит погруппу G (А) = {ехр tX\t e С},
где X = log.A (см. теорему 2.1). Остальные свойства отображения ехр доказы-
доказываются с помощью задачи 2.4.
17. Заметить, что элемент df(%) содержится в касательной алгебре алгеб-
алгебраической подгруппы /(?(?)) с Н.
18. Использовать указание к предыдущей задаче и задачу 13.
19. Пусть G{%) = Т X U, где Т — тор, a U — векторная группа. Если д(?) =
= t 0 it — соответствующее разложение касательной алгебры, то разложение
% = %s + In, где |e e t, a ?nett, и будет искомым. Единственность искомого
разложения ввиду задачи 18 вытекает из единственности аддитивного разло-
разложения Жордана линейного оператора.
20. Рассмотреть разложение Жордана элемента g и воспользоваться зада-
задачей 18.
21. Взять любой прообраз и рассмотреть его разложение Жордана.
; 22. Из задачи 1.10 следует, что связная алгебраическая подгруппа
Н с G (€) является комплексификацией некоторой алгебраической подгруп-
подгруппы G тогда и только тогда, когда т (Я) = Я, а это, в свою очередь, равносильно
тому, что ^т(^) = Ь- Далее воспользоваться задачей 2.4.29.

§ 4. КОМПАКТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ 141
23. Заметить, что если подалгебра 5 (С) является алгебраической, то соот-
соответствующая связная алгебраическая подгруппа группы G (С) в силу зада-
задачи 22 является комплекскфикацией некоторой алгебраической подгруппы груп-
группы G. Второе утверждение вытекает из первого.
§ 4. Компактные линейные группы
Компактные линейные группы доставляют пример, когда алгеб-
раичность вытекает из топологического предположения. А именно:
всякая компактная линейная группа, действующая в вещественном
векторном пространстве, является алгебраической (и тем более
группой Ли). Это будет одной из теорем настоящего параграфа.
1. Теорема о неподвижной точке. Доказательства всех свойств
компактных линейных групп в настоящем параграфе будут осно-
основаны на следующей теореме.
Теорема 1. Пусть G— компактная подгруппа группы GA(S)
аффинных преобразований вещественного аффинного пространства
S, и пусть М с= S — непустое выпуклое подмножество, инвариантное
относительно G. Тогда в М существует неподвижная точка груп-
группы G.
Перед тем как доказывать эту теорему, дадим определение цент-
центра масс с (М) непустого ограниченного выпуклого подмножества Ж
вещественного аффинного пространства S.
Если М имеет непустую внутренность, то положим
c(M) = [i(M)-1 f x\i{dx),
м
где jj, — обычная мера в пространстве 5, инвариантная относитель-
относительно параллельных переносов. Мера \х определена с точностью до
постоянного множителя, но из вида формулы ясно, что произвол
в выборе (i не влияет на результат. Интеграл в правой части может
определяться либо покоординатно, либо непосредственно как предел
интегральных сумм, представляющих собой (с учетом множителя,
стоящего перед интегралом) линейные комбинации точек простран-
пространства S с суммой коэффициентов, равной единице, и потому имею-
имеющих инвариантный смысл. Первое определение показывает суще-
существование интеграла, а второе — его независимость от выбора
системы координат.
В общем случае пусть Р — наименьшая плоскость пространства
S, содержащая М. Тогда М имеет непустую внутренность как под-
подмножество аффинного пространства Р, и мы определим с(М) так
же, как и выше, но заменив пространство S пространством Р.
Задача 1. c(I)ef,
Так как определение центра масс дается в терминах аффинной
геометрии, то c(gM) = gc(M) для любого аффинного преобразова-
преобразования g пространства S. В частности, если подмножество М инвари-
инвариантно относительно какого-либо аффинного преобразования, то его
центр масс является неподвижной точкой этого преобразования.

142 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Доказательство теоремы. Если подмножество М ограни-
ограниченно, то в качестве искомой точки можно взять его центр масс.
В общем случае пусть М' — выпуклая оболочка какой-либо орбиты
группы G в множестве М. Очевидно, что это инвариантное подмно-
подмножество. Так как орбита компактна, то ее выпуклая оболочка огра-
ограниченна. Точка c(I')eJf — М и будет искомой неподвижной
точкой.
Применяя теорему к подмножеству М = S, получаем
Следствие. Всякая компактная группа аффинных преобразо-
преобразований имеет неподвижную точку.
2. Полная приводимость.
Теорема 2. Пусть G — компактная группа линейных преобра-
преобразований вещественного (соотв. комплексного) векторного простран-
пространства V. Тогда в пространстве V существует положительно опреде-
определенная квадратичная (соотв. эрмитова) форма, инвариантная отно-
относительно G.
Иными словами, пространство V можно превратить в евклидово
(соотв. эрмитово) таким образом, что все преобразования из груп-
группы G будут ортогональными (соотв. унитарными).
Доказательство получается применением теоремы 1 к об-
образу группы G при естественном линейном представлении группы
GL(V) в (вещественном) пространстве S всех квадратичных или
эрмитовых форм на V. В качестве М следует взять подмножество
положительно определенных форм.
Следствие. Всякая компактная линейная группа в веществен-
вещественном или комплексном векторном пространстве вполне приводима.
Напомним, что линейная группа G — GL(V) называется непри-
неприводимой, если V Ф О и в пространстве V не существует нетривиаль-
нетривиальных G-инвариантных подпространств, и вполне приводимой, если
пространство V можно разложить в прямую сумму G-инвариант-
G-инвариантных подпространств таким образом, что ограничение группы G на
каждое из них неприводимо. (Отметим лингвистический парадокс:
всякая неприводимая линейная группа вполне приводима!)
Задача 2. Линейная группа G a GL (V) вполне приводима
тогда и только тогда, когда для всякого G-инвариантного подпрост-
подпространства пространства V существует G-инвариантное дополнительное
подпространство.
Если V—евклидово (соотв. эрмитово) пространство и все пре-
преобразования из группы G ортогональны (соотв. унитарны), то в ка-
качестве инвариантного дополнительного подпространства к любому
инвариантному подпространству можно взять ортогональное допол-
ненрте, откуда и получается сформулированное выше следствие.
3. Разделение орбит инвариантами. Пусть V — (конечномерное)
векторное пространство над произвольным бесконечным полем К.
Всякий линейный оператор А е GL(V) определяет автоморфизм А*
алгебры K[V] многочленов на F, действующий по формуле

§ 4. КОМПАКТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ 143
Отображение А*->А^ есть линейное представление группы GL(V)
в пространстве К [У]. Это представление бесконечномерно, однако
оно является индуктивным пределом конечномерных представлений:
пространство K[V] есть объединение возрастающей цепочки конеч-
конечномерных GL(V) -инвариантных подпространств K[V]{m) (m =
= О, 1, ...), где К [V]{т) — пространство многочленов степени не
выше т.
Пусть теперь G<^GL(V)—некоторая подгруппа. Многочлен /^
^ К [V] называется инвариантным относительно группы G, если
A^f = f для любого А ^ G или, что то же, если
j(Ax) = f(x) для любых ieG, «reF,
Иными словами, многочлен / инвариантен, если он постоянен на
каждой орбите группы G. Инвариантные многочлены образуют под-
подалгебру алгебры K[V], обозначаемую через K[V]G.
Говорят, что орбиты группы G разделяются инвариантами, если
для любых двух векторов х, у ^ У, принадлежащих различным ор-
орбитам, существует такой инвариантный многочлен f^-K[V]G, что
f()f(y)
Например, пусть G = Sn, где п = dim У — симметрическая груп-
группа, действующая в пространстве У путем перестановок векторов
некоторого фиксированного базиса. Тогда Х[У]° есть не что иное,
как алгебра симметрических многочленов (в системе координат,
связанной с упомянутым базисом). Как известно, она порождается
элементарными симметрическими многочленами а4, ..., ап. Дока-
Докажем, что орбиты группы G разделяются инвариантами. Каждому
вектору xeFc координатами хи ..., хп сопоставим многочлен
от переменной t с корнями хи ..., хп. Если векторы х и у принад-
принадлежат различным орбитам группы G, т. е. координаты одного из
них не могут быть получены из координат другого путем переста-
перестановки, то фх'^Фу и, следовательно, ok(x)?= ak(y) для некоторого к.
Можно показать, что орбиты любой конечной линейной группы
разделяются инвариантами. Напротив, для бесконечных групп это
бывает редко. Рассмотрим, например, следующую классическую си-
ситуацию. Пусть V = Ln(K) — пространство матриц над алгебраически
замкнутым полем К и G <= GL(V) — группа, образованная преобра-
преобразованиями X н-> АХА~г (X ^Ln(K), A^ GLn (К)). Тогда орбиты
группы G — это классы подобных матриц, а алгебра ^[У]а, как
нетрудно показать, порождается коэффициентами характеристиче-
характеристического многочлена (которые являются многочленами от элементов
матрицы). Поэтому матрицы, имеющие одинаковые характеристиче-
характеристические многочлены, но разные жордановы формы, не разделяются
инвариантами, хотя и принадлежат различным орбитам.

144 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Теорема 3. Орбиты компактной линейной группы, действую-
щей в вещественном векторном пространстве, разделяются инвари-
инвариантами.
Доказательство. Пусть Oi и О2 — различные орбиты ком-
компактной линейной группы G, действующей в вещественном вектор-
векторном пространстве V. Так как Ot и О2 суть непересекающиеся ком-
компактные подмножества, то существует непрерывная функция ср на
пространстве F, равная 1 на О^ и —1 на О2. Далее, по теореме
Вейерштрасса существует такой многочлен /eR[Fj? что
1/(я)-ф(я)| <1 при ajeOiUOa
и, значит,
f(x)>0 при х^О± и /W<0 прид;еО2. A)
Пусть ?п — степень этого многочлена.
В пространстве 5 = 0? [F](m) рассмотрим подмножество Мщ со-
состоящее из всех многочленов, удовлетворяющих условию A). Оче-
Очевидно, что оно выпукло и инвариантно относительно естественного
линейного представления группы G в пространстве S. По теореме 1
в М имеется G-инвариантный многочлен. Из свойства A) ясно,
что этот многочлен принимает различные значения в точках
орбит Oi и О2.
Пример. Пусть V — пространство симметричных вещественных
матриц порядка п. Каждой ортогональной матрице А порядка п со-
сопоставим линейное преобразование R{A) пространства V по фор-
формуле
Мы получим тогда линейное представление R: Оп-+ GL(V). Пусть
G = R(On). Это компактная линейная группа, действующая в про-
пространстве F. Как известно из линейной алгебры, в каждой орбите
этой группы имеется диагональная матрица. Следовательно, орбита,
которой принадлежит симметричная матрица X, определяется ха-
характеристическим многочленом этой матрицы. Так как коэффициен-
коэффициенты характеристического многочлена суть G-инвариантные много-
многочлены от элементов матрицы X, то орбиты группы G разделяются
инвариантами, как и должно быть согласно теореме.
4. Алгебраичность.
Теорема 4. Орбиты компактной линейной группы G, действу-
действующей в вещественном векторном пространстве V, являются алгеб-
алгебраическими многообразиями в V.
Доказательство. Пусть О — какая-либо орбита и / — идеал
алгебры В? [V] , состоящий из инвариантов, обращающихся в нуль
на О. Согласно теореме 3 для любой орбиты О' Ф О существует
инвариант, принимающий на О и О' различные значения. Добавив
к нему подходящую константу, мы можем получить многочлен
/е/? не обращающийся в нуль ни в одной точке орбиты О'. Таким

§ 4. КОМПАКТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ 145
образом, множество нулей идеала / совпадает с О, откуда и сле-
следует, что О — алгебраическое многообразие в F.
Теорема 5. Всякая компактная линейная группа, действую-
действующая в вещественном векторном пространстве, алгебраична (а, сле-
следовательно, является линейной группой Ли).
Доказательство. Пусть G<= GL(V) — компактная линейная
группа. Рассмотрим линейное представление R группы G в прост-
пространстве L(V), определяемое по формуле
R{A)X =
Группа G как подмножество пространства L(V) является орбитой
группы R(G) (а именно, G = R(G)E). Согласно теореме 4 отсюда
вытекает, что она алгебраична.
Заметим, что аналогичная теорема над полем комплексных чи-
чисел неверна. Более точно, справедливо следующее утверждение.
Задача 3. Всякая компактная комплексная алгебраическая
группа конечна.
Однако из теоремы 5 следует, что всякая компактная линейная
группа, действующая в комплексном векторном пространстве V,
является алгебраической подгруппой группы невырожденных ли-
линейных преобразований пространства F, рассматриваемого как ве-
вещественное векторное пространство, и, стало быть — вещественной
алгебраической подгруппой группы GL(V) (см. п. 1.2).
В главе 5 будет получена классификация связных компактных
линейных групп и будет доказано, что всякая компактная группа
Ли допускает точное линейное представление.
Упражнения
1. Пусть G— неприводимая компактная линейная группа, действующая в
вещественном (соотв. комплексном) векторном пространстве V. Тогда ?-инва-
риантная положительно определенная квадратичная (соотв. эрмитова) форма
в пространстве V единственна с точностью до положительного множителя.
2. Линейный оператор в векторном пространстве над алгебраически замк-
замкнутым полем полупрост тогда и только тогда, когда порожденная им цикличе-
циклическая линейная группа вполне приводима.
3. Орбиты любой конечной линейной группы (над произвольным полем)
разделяются инвариантами.
4. Пусть V = Ln (К) — пространство матриц над алгебраически замкнутым
полем К и G с: GL{V) — группа, образованная преобразованиями Х*-+ АХА~г
(IsLn(?), A<=GLn{K)y Тогда алгебра /f[F]G порождается коэффициентами
характеристического многочлена. (Указание: рассмотреть ограничения инва-
инвариантов на подпространство диагональных матриц.)
5. В ситуации предыдущего упражнения, орбита матрицы X е Ln (К) зам-
замкнута в пространстве Ln(K) тогда и только тогда, когда матрица X подобна
диагональной.
Указания к задачам
1. Можно считать, что М имеет непустую внутренность. В этой ситуации
предположим, что с (М) ^ М. Тогда существует аффинная функция I на про-
пространстве S, положительная во всех внутренних точках подмножества М и
Ю Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

146 ГЛ. 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
равная нулю в точке с(М). Однако это невозможно, так как из определения
центра масс следует, что
I {с (М)) = [I (М)-1 | I (х) \х (dx) > 0.
м
2. Пусть V = V\ 0 ... 0 Vm — разложение пространства V в прямую сум-
сумму инвариантных подпространств, на каждом из которых группа G действует
неприводимо, и пусть U cz У— какое-либо инвариантное подпространство. Тогда
в качестве инвариантного подпространства, дополнительного к С/, всегда можно
взять сумму некоторого числа подпространств Vu ..., Fm.
3. Вообще, неприводимое комплексное аффинное многообразие положитель-
положительной размерности не может быть компактным: см. п. 2.2.5.

ГЛАВА 4
КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Эта глава посвящена наиболее разработанному разделу теории
групп и алгебр Ли. Основным ее результатом является полная клас-
классификация связных комплексных полупростых групп Ли и их не-
неприводимых линейных представлений. Эта классификация основана
на теории систем корней, которая, ввиду ее многочисленных при-
приложений, развита аксиоматически в § 2. Во всей главе, кроме
п. 1.1—1.3, основное поле предполагается полем С комплексных
чисел. Все рассматриваемые векторные пространства и алгебры Ли
конечномерны.
§ 1. Начальные свойства
1. Инвариантные скалярные умножения. Пусть G — группа Ли
(вещественная или комплексная). Билинейная функция Ъ на каса-
касательной алгебре g группы G называется инвариантной, если она
инвариантна относительно Ad G, т. е. если
&((Adg)>, (Adg)y)=b(x1 у\
для всех g<=G, x, y& g.
Задача 1. Инвариантная билинейная функция & на g обладает
следующим свойством:
Ъ{[х, у], z)+b(y, [x, z]) = 0 A)
для любых х, у, z e g. Если G связна, то верно и обратное: любая
билинейная функция Ъ на 9, обладающая свойством A), инва-
инвариантна.
Пусть теперь g — алгебра Ли над произвольным полем К. Били-
Билинейная функция Ъ на g, обладающая свойством A), называется
инвариантной. Если Ъ к тому же симметрична, то мы будем назы-
называть функцию Ъ инвариантным скалярным умножением на Q.
Примеры 1. Пусть Е—трехмерное евклидово пространство
со скалярным умножением ( , ). Фиксируем в Е ориентацию и рас-
рассмотрим операцию векторного умножения. Тогда Е становится ал-
алгеброй Ли, причем скалярное умножение ( , ) инвариантно.
2. В алгебре Ли gl(F) линейных преобразований векторного
пространства V имеется каноническое инвариантное скалярное
10*

148 гл. 4. комплексные полупростые группы ли
умножение
(X, У) = 1г(Х7). B)
3. Пусть g — произвольная алгебра Ли, р: g->-gl(F)— ее линей-
линейное представление. Тогда билинейная функция
является инвариантным скалярным умножением на д. В частности,
на любой алгебре Ли д определено инвариантное скалярное умно-
умножение
) (adz/)),
которое называется картановским скалярным умножением (или би-
билинейной функцией Киллинга) на алгебре д. Нетрудно проверить,
что это скалярное умножение инвариантно относительно всех авто-
автоморфизмов а алгебры д:
(а (Я), a(y))ad = (s, У) ad-
Пусть ( , ) — инвариантное скалярное умножение в алгебре Ли д.
Для любого подпространства ct cr g определено ортогональное до-
дополнение
а1- = {#ед| (х, г/) = 0 для всех г/ е а).
Задача 2. Если а — идеал в g, то и й1 — идеал в д.
Пусть V — векторное пространство над К и Q — подалгебра в
gl(F). Вложение g-^gl(F) определяет на g инвариантное скалярное
умножение ( , ) (см. пример 3); оно задается формулой B). Мы
хотим охарактеризовать (в случае К = С) те алгебраические ли-
линейные алгебры Ли, на которых это скалярное умножение не-
невырождено.
Комплексная линейная алгебра Ли g называется диагонализуе-
мой, если g коммутативна и состоит из полупростых элементов.
Задача 3. Комплексная алгебраическая линейная алгебра Ли
диагонализуема тогда и только тогда, когда она является касатель-
касательной алгеброй некоторого тора.
Задача 4. Пусть t — диагонализуемая комплексная алгебраи-
алгебраическая линейная алгебра Ли. Тогда скалярное умножение B) не-
невырождено на t и положительно определено на вещественной форме
t(R) (см. п. 3.3.2).
Задача 5. Пусть и — комплексная линейная алгебра Ли, на
которой скалярное умножение B) тождественно равно 0. Если под-
подалгебра п алгебраична, то она унипотентна, а в общем случае
п разрешима.
Задача 6. Если П. — унипотентный идеал линейной алгебры
Ли д, то (п, д) = 0.
Задача 7. Пусть К = С или К ид — полупростая линейная
алгебра Ли. Тогда скалярное умножение B) невырождено на д.

§ 1. НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 149
Заметим, что всякая полупростая алгебра Ли имеет точное ли-
линейное представление — например, присоединенное. Поэтому ее
всегда можно считать линейной. Из задачи 7 следует
Теорема 1. Всякая полупростая алгебра Ли над полем С или
D? обладает невырожденным инвариантным скалярным умножением.
Например, картановское скалярное умножение на полупростой ал-
алгебре Ли всегда невырождено.
Задача 8. Если на алгебре Ли g задано инвариантное скаляр-
скалярное умножение, то центр $(g) содержится в g'-Ч Если это умноже-
умножение невырождено, то S(g) = g/±-
Задача 9. Полупростая алгебра Ли (над полем С или R)
совпадает со своим коммутантом. Всякая полупростая линейная
алгебра Ли fi^fllCF) содержится в подалгебре $l(V) операторов
со следом 0.
Комплексная линейная алгебра Ли g называется редуктивной,
если g = &®gi, где 3 — диагонализуемый, a gi— полупростой идеалы.
Очевидно, i совпадает с центром s(g) и с радикалом radg, а в силу
задачи 9 gt совпадает с коммутантом g' алгебры g. Из задач 4, 7
и 8 следует, что на редуктивной алгебраической линейной алгебре
Ли скалярное умножение B) невырождено.
Пусть теперь g — такая алгебраическая линейная алгебра Ли
над полем С» что скалярное умножение B) на ней невырождено.
Задача 10. Центр s(g) алгебры g алгебраичен и состоит из
полупростых элементов.
Из задач 10, 4 и 8 следует, что g = &(g)®g'.
Задача 11. Алгебра Ли g' полупроста.
Таким образом, доказана
Теорема 2. Пусть g <= gl (У) — алгебраическая линейная алгеб-
алгебра Ли над С- Следующие условия эквивалентны: g — редуктивная
алгебраическая линейная алгебра Ли; скалярное умножение B)
невырождено на g.
2. Алгебраичность. Пусть g^glCF) — полупростая линейная ал-
алгебра Ли над полем К = С или R. Согласно задаче 8 и след-
следствию 1 теоремы 3.3.3 (справедливому, как отмечено в п. 3.3.8,
и над полем R), алгебра g является алгебраической. Это значит,
что существует неприводимая алгебраическая подгруппа G cz GL(V)
с касательной алгеброй g. В случае К = С эта подгруппа связна
(см. теорему 3.3.1).
Задача 12. Всякая связная полупростая виртуальная подгруп-
подгруппа Ли Gcz GL(V) является подгруппой Ли, причем G алгебраична,
если К = d и G есть связная компонента единицы неприводимой
алгебраической линейной группы, если К — К.
Комплексная алгебраическая линейная группа G называется ре-
редуктивной, если ее касательная алгебра g редуктивна. Из зада-
задачи 3.3.18 следует, что редуктивность группы G не зависит от спо-
способа ее реализации в виде линейной группы, так что можно гово-
говорить о редуктивных комплексных алгебраических группах. Любая

150 гл. 4. комплексные полупростые группы ли
полупростая комплексная алгебраическая группа редуктивна. Ре-
дуктивная алгебраическая группа G полупроста тогда и только
тогда, когда S(g) = O. Из теоремы 2 следует, что комплексная алгеб-
алгебраическая линейная группа редуктивна тогда и только тогда, когда
скалярное умножение B) невырождено на ее касательной алгебре.
Задача 13. Классические комплексные алгебраические линей-
линейные группы SLn(Q (rc>2), SOn(Q (rc>3), Spn (С) (?г> 2) полу-
полупросты, а группа GLn(?) (n~^l) редуктивна. Все эти группы явля-
являются неприводимыми.
Пример. Рассмотрим вещественную алгебраическую группу
SOK h где /с, I > 0, к + 1 = п, состоящую из унимодулярных матриц,
которым соответствуют линейные операторы, сохраняющие невы-
невырожденную квадратичную форму q сигнатуры (к, Z). Группа
SOkj(C) есть группа унимодулярных комплексных матриц, соот-
соответствующие которым операторы сохраняют форму д. Поскольку
все невырожденные квадратичные формы в Сп эквивалентны, груп-
группа SOhti(?) изоморфна SOn(C). Поэтому SOK г — неприводимая
полупростая алгебраическая группа. В то же время она несвязна
(см. задачу 1.3.9).
Из задачи 9 и теоремы 1.4.1 следует, что связная полупростая
группа Ли совпадает со своим коммутантом. Поэтому (см. теоре-
теорему 3.3.4) всякое дифференцируемое представление связной полу-
полупростой комплексной алгебраической группы G полиномиально.
В силу теоремы 3.3.5 алгебраическая структура на G единственна.
(На самом деле эти утверждения справедливы и для произвольных
редуктивных алгебраических групп над С, см. упражне-
упражнение 10). В § 3 будет доказано, что всякая связная полупро-
полупростая комплексная группа Ли допускает структуру алгебраической
группы.
Пусть g — касательная алгебра алгебраической группы G над
С. Назовем диагонализуемой подалгеброй алгебры g любую ее ком»
мутативную подалгебру, состоящую из полупростых элементов.
Задача 14. Алгебраическая подалгебра t = g диагонализуема
тогда и только тогда, когда она является касательной алгеброй
некоторого тора Т = G. Максимальные диагоыализуемые подалгебры
алгебраичны и соответствуют максимальным торам группы G, Если
максимальная диагонализуемая подалгебра тривиальна, то G0 унп-
потентна.
Две подалгебры некоторой алгебры Ли g называются сопряжен-
сопряженными, если они переводятся друг в друга автоморфизмом из груп-
группы Intg. Из задач 14 и 3.2.24 следует, что все максимальные диа-
гонализуемые подалгебры касательной алгебры комплексной алгеб-
алгебраической группы сопряжены между собой.
Назовем рангом редуктивной алгебраической группы G (или ее
касательной алгебры д) число rkG = rkg, равное размерности мак-
максимального тора группы G (или максимальной диагонализуемой
подалгебры алгебры д).

§ 1. НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 151
3. Нормальные подгруппы. Предполагается, что основное поле К
есть С или К.
Если алгебра Ли g проста, т. е. не имеет собственных идеалов,
то либо g некоммутативна, либо g — одномерная коммутативная
алгебра Ли. Очевидно, некоммутативная простая алгебра Ли полу-
полупроста.
Пусть g — полупростая алгебра Ли; мы можем считать ее под-
подалгеброй алгебры gl(F), где V — некоторое векторное простран-
пространство над К.
Задача 15. На любом идеале а алгебры g скалярное умноже-
умножение B) невырождено, и| = аф а-1. Если Ь — идеал в а, то Ь —
идеал и в g.
Задача 16. Если а — идеал полупростой алгебры Ли g, то ct
и g/а полупросты.
Задача 17. Алгебра g разлагается в ортогональную прямую
сумму некоммутативных простых идеалов g*, причем всякий идеал
алгебры g есть сумма некоторых из g*.
Из задач 15 и 17 вытекает
Теорема 3. Полупростая алгебра Ли однозначно разлагается
в прямую сумму некоммутативных простых идеалов.
Верно и обратное утверждение:
Задача 18. Если алгебра Ли g разлагается в прямую сумму
некоммутативных простых идеалов, то g полупроста.
Установим теперь соответствующие результаты для групп Ли
и алгебраических групп.
Группа Ли (в частности, алгебраическая группа) называется
простой, если ее касательная алгебра проста. В силу задачи 1.2.21
и теоремы 1.2.8 связная группа Ли G проста тогда и только тогда,
когда в G не существует не совпадающих с {е) или G связных
нормальных виртуальных подгрупп Ли.
Задача 19. Связная простая группа Ли или неприводимая про-
простая алгебраическая группа либо некоммутативна и полупроста,
либо коммутативна и одномерна.
Задача 20. Связная комплексная алгебраическая группа G
проста тогда и только тогда, когда не содержит связных нормаль-
нормальных алгебраических подгрупп, не совпадающих с {е) или G.
Пусть G — группа Ли, G1? ..., Gs — ее нормальные подгруппы
Ли. Будем говорить, что G разлагается в локально прямое произ-
произведение подгрупп Gi, если G' = G^... Gs и все пересечения Gi П
Я (d ... Gi-iGi+i • • • Gs) (i = 1, ..., s) дискретны.
Задача 21. Связная группа Ли G разлагается в локально пря-
прямое произведение связных нормальных подгрупп Ли G{, i = 1, ..., s,
тогда и только тогда, когда ее касательная алгебра g разлагается
в прямую сумму g == gi е ... е gs, где & — идеал, касательный к G{.
Из теоремы 3 и задач 21, 18, 12 вытекает
Теорема 4. Связная полупростая группа Ли G разлагается в
локально прямое произведение связных некоммутативных простых

152 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
нормальных подгрупп Ли: G = G±.. .Gs. Если дано такое разложе-
разложение, то всякая связная нормальная подгруппа Ли в G есть произ-
произведение некоторых из подгрупп Git Всякая группа Ли, разлагаю-
разлагающаяся в локально прямое произведение некоммутативных простых
нормальных подгрупп Ли, полупроста.
Задача 22. Связная комплексная алгебраическая группа G ре-
дуктивна тогда и только тогда, когда разлагается в локально прямое
произведение G = ZGU где Z— тор, a G4 — полупростая нормальная
подгруппа. При этом Z совпадает с Z(G)° и с радикалом RadG.
a Gi—Ъ коммутантом группы G. Гомоморфный образ редуктивнон
группы есть редуктивная группа.
4. Весовые и корневые разложения. Начиная отсюда и до конца
параграфа мы будем предполагать, что основное поле — это поле
С комплексных чисел. Алгебраические торы будем называть для
краткости просто торами.
Пусть Т — некоторый нетривиальный тор, t — его касательная
алгебра. Как следует из задачи 3.3.2, соответствие А, >-* dX инъектив-
но и гомоморфно отображает группу характеров тора Т в прост-
пространство t*, причем любой базис группы Ж (Т) переходит в базис
пространства t(R)*, где t (К)— вещественная форма простран-
пространства t, определенная формулой C.3.2). Нам будет удобно отожде-
отождествить характеры %^Ж(Т) с их дифференциалами dX. Тогда Ж{Т)
отождествляется с дискретной подгруппой в пространстве t (iR)*T
порожденной некоторым базисом этого пространства.
Можно считать, что Т — линейная группа. Согласно задаче 3,
пространство t (К) является евклидовым относительно скалярного
умножения B). Рассмотрим канонический изоморфизм X-*Uh про-
пространства t* на t, заданный формулой
(иьх) = Х(х) (ж e=tj C)
и отображающий t (К)* на t(K). С помощью этого изоморфизма
мы можем перенести структуру евклидова пространства с t (R)
на t (R)*, полагая
(К \i) - {иъ О = Ь Ы = V Ы (Kv>ezt (R)*). D)
Для любого ненулевого J-Et (j?)* выберем на прямой С^.с: t (D?)
такой элемент hK, что %{hk) = 2. Очевидно, hx определен однозначно,
принадлежит t (IR) и имеет вид
^ = (яЛ)%- E)
Для любого fist* справедлива формула
Пусть теперь G — алгебраическая линейная группа, содержащая
тор Г, и пусть R: G-*¦ GL(V)—полиномиальное линейное представ-
представление. По теореме 3.2.3 все операторы из R(T) в некотором базисе

§ 1. НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 153
записываются диагональными матрицами. Это означает, что
V= е Fb G)
Ч
где Фп(Т)^Х(Т)—система весов ограничения R\T представления
R на Г, a Vx ?= О — подпространство всех векторов веса X в V. Эле-
Элементы системы Фц(Т) мы будем называть весами представления/?
относительно Т, а разложение G)—весовым разложением относи-
относительно Г. Иногда мы будем писать Фк вместо ФЕ(Т).
Задача 23. Система Фл порождает в t (R)* подпространство
{Я^ t (if?)* I K(x) = 0 для всех а: ^ t П Ker cZi?}. В частности, если
представление dR точно, то Фц порождает t(R)*.
Рассмотрим теперь в качестве R присоединенное представление
Ad группы G в своей касательной алгебре. Для любого К е фАй
имеем
Qk = {x^u\[h, x] = K(h)x для всех feet). (8)
В частности, g0 — это централизатор подалгебры t в g и, следова-
следовательно, алгебраическая подалгебра, содержащая t.
Ненулевые веса из системы Фа^Г) называются корнями, а ве-
весовые подпространства fla (ос Ф 0)—корневыми подпространствами
алгебры Q относительно тора Т. Система корней обозначается через
Л (Г), так что Фал(Т) = А(Т)[} @). Разложение
9 = Со ®
называется корневым разложением алгебры g относительно Г.
Посмотрим, как действуют на веса и корни автоморфизмы груп-
группы G. Пусть e^AutG, 9 = de^Autg. Автоморфизм в переводит
тор Т в тор Г1 = В(Г). Согласно задаче 3.3.3, изоморфизм 6: t ->¦ tt
отображает 1A?) на t1(iR) и тем самым индуцирует изоморфизм
6Т: t1(R)*-^t (IP)*. При этом 9Т (X (Тг)) = X (Г), причем при
принятом нами отождествлении характера с его дифференциалом
полученный изоморфизм групп характеров отождествляется с изо-
изоморфизмом Я н-*Х«0.
Задача 24. Если @ = a(g), где geG, то изоморфизм 6! =
= (Adg)Tотображает ФВ(Г1) на ФД(Г), причем 7((АадТ)_ч =R (g) Vh.
Для любого G ^ Aut G имеем Эт (А G\)) = А (Г), причем fl@T)-i(a) =
6 ()
()
Задача 25. Для любого представления R: G -+¦ GL(V), любых
аеФм(Г), Х^Фц{Т) и любого х^$а имеем
(сУь+а, если Я + аеФд(Г),
dR (x) VK
4 7 Л1=0 в противном случае.

154 гл. 4. комплексные полупростые группы ли
В частности, для любых ос, [} е фм
' fс йа+р, если а + ре ФАа (Г),
'J [ = 0 в противном случае.
Теперь мы выясним, как ведет себя корневое разложение (9)
относительно инвариантного скалярного умножения B).
Задача 26. Если а, р е ф^ и а+р^О, то (ga, Йэ) = 0.
Задача 27. Пусть G — редуктивная алгебраическая группа.
Скалярное умножение B) невырождено на g0. Если а^-А(Г), то и
-аеД(Г), и скалярное умножение невырождено на ga ® g_a.
Задача 28. Если G — редуктивная алгебраическая группа, то
подалгебра д0 является редуктивыой алгебраической. Если, в част-
частности, Т — максимальный тор группы G, то g0 = t.
Поскольку все максимальные торы в группе G сопряжены (см.
задачу 3.2.24), из задачи 24 следует, что система весов представ-
представления и система корней группы G относительно максимального
тора Т определены однозначно с точностью до изоморфизма соот-
соответствующих пространств t((R)*, имеющего вид (Adg)T, где g ^ G.
Корни относительно максимального тора Т называются просто кор-
корнями группы G; система корней обозначается AG или Ад, посколь-
поскольку из (8) видно, что система корней полностью определяется парой
(д, t). Корневые подпространства относительно максимального тора
называются просто корневыми подпространствами алгебры g.
Далее мы предполагаем, что G — редуктивная алгебраическая
группа и что Т — максимальный тор в G. Наибольший интерес
представляет случай, когда G полупроста.
Представим g в виде g = &(g)®g', где д'— полупростой идеал.
Из задачи 28 следует, что любая максимальная диагонализуемая
подалгебра t<=g содержит з(д) и, значит, имеет вид t = &(g)®tlr
где tj = t П g' — максимальная диагонализуемая подалгебра в g'.
Обратно, любая подалгебра t=s(g)®ti, где t1=tflg/ — максималь-
максимальная диагонализуемая подалгебра в g', является максимальной
диагонализуемой в g. Сопоставляя каждой линейной функции на t
ее ограничение на ti? мы отождествим подпространство {% ^
^t*\k(z) = O для всех #^8(fi)} с пространством t*.
Задача 29. Система корней Ад отождествляется с системой
корней Ag', причем Ад = А^ порождает пространство tx @?)*^ а
а векторы ha (ccgAJ—пространство t1(R). Алгебра д коммута-
коммутативна тогда и только тогда, когда Ад= 0; алгебра g полупроста
тогда и только тогда, когда Ад порождает it (К)*.
Задача 30. Для любых х е да, у е д_а, где а е Ад, имеем
[X, у] = (X, у) иа = -у (Х' 2/Ж а) h<*'
Подпространство [ga, g-a] одномерно и натянуто на ha.

§ 1. НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 155
Из задачи 30 видно, что прямая С/га при заданном аеДд
определяется лишь структурой алгебры Ли g и не зависит от вы-
выбранной реализации алгебры g в качестве линейной алгебры Ли.
Из определения элемента ha видно, что он также определяется
однозначно. Если g полупроста, то в силу задачи 29 пространство
t (J?) порождается элементами /га(аеДд). Поэтому простран-
пространство t (S) в случае полупростой алгебры Ли g полностью опреде-
определяется этой алгеброй.
Выясним теперь, как устроена система корней прямой суммы
б=== 9i ® Й2, где $и g2 — полупростые алгебры Ли. Из задачи 28 без
труда выводится, что любая максимальная диагонализуемая под-
подалгебра t <= g имеет вид t = ti®t2, где t*, i=l, 2,— максимальная
диагонализуемая подалгебра в д,-. Верно и обратное, поскольку под-
подалгебра t такого вида совпадает со своим централизатором в д.
Обычным образом отождествим Хг с подпространством {X ^
^ Х*\Х(х) = 0 для всех #et2}, a t2— с подпространством {X^
^г*\Цх)=0 для всех х^Х{}. Тогда t* = t* e t*, a t E)*-
= t1(iR)* е t2(R)*. Пусть Дд, Дд , Ад —системы корней алгебр д, дн
д2 относительно t, t1? t2.
Задача 31. Имеем Дд = Дд U\i причем (а, [}) = 0 для
любых а е Да , ВеД, .
1 
Задача 32. Для любого разбиения Дд = Дг U ^2 системы кор-
корней полупростой алгебры Ли g в объединение двух взаимно орто-
ортогональных подсистем существуют такие идеалы д1? д2 <= д, что
8 = 9i е 02 и Аг = \{i == 1» 2).
В заключение этого пункта мы обобщим понятия системы весов
и весового разложения на случай произвольного линейного пред-
представления р полупростой алгебры Ли д. Это обобщение нужно нам
потому, что р априори может не совпадать с дифференциалом ли-
линейного представления никакой алгебраической группы с касатель-
касательной алгеброй д. Заметим, что на самом деле это обобщение не дает
ничего нового, поскольку, как мы увидим в § 9, всегда существует
односвязная алгебраическая группа G с касательной алгеброй д,
и р является дифференциалом некоторого представления группы G
в силу теоремы 1.2.6.
Пусть g — полупростая алгебра Ли, G — алгебраическая группа,
для которой g служит касательной алгеброй. Из задач 3.3.18 и 3.3.20,
примененных к присоединенному представлению группы G, следует,
что элемент х ^ g полупрост (нильпотентен) тогда и только тогда,
когда оператор adx в пространстве g полупрост (соответственно
нильпотентен). Таким образом, можно говорить о полупростых и
нилъпотентпых элементах абстрактной полупростой алгебры Ли.
Задача 33. При любом линейном представлении р полупростой
алгебры Ли g полупростые элементы переходят в полупростые one-

156 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
раторы, а нильпотентные элементы — в нильпотентные опе-
операторы.
Пусть р: 8-+${V) — линейное представление полупростой алгеб-
алгебры Ли g, t — максимальная диагонализуемая подалгебра в 8. Из за-
задачи 33 следует, что p(t)—коммутативная подалгебра в gl(F),
состоящая из полупростых операторов. В силу задачи 3.2.2 имеем
где
V% = {и е V\p(x)u = К(х)и для всех х^Х)
и Фр cz t* — множество таких линейных функций %, что VK Ф 0.
Элементы системы Фр называются весами, а соответствующие под-
подпространства V% — весовыми подпространствами представления р.
Если р = dR, где R — линейное представление группы G, то ФР
совпадает с Фл; а разложение A0)—с весовым разложением G).
Легко проверить также, что для разложения A0) справедливо
утверждение задачи 25.
В п. 6 будет доказано, что Фр сг % (R)*.
5. Корневые разложения и системы корней классических алгебр
Ли. В этом пункте мы укажем явный вид максимальных диагона-
лизуемых подалгебр tg> корневых разложений, корней и векторов ha
для классических алгебр Ли fl = flIn(C), ^n(C)» son(C)» йрп (С)
(см. задачу 13).
Стандартное, т. е. тождественное, представление соответствую-
соответствующей классической группы будет обозначаться через Id; через его
веса удобно выражать корни.
Пусть Т—тор в GLn(C), состоящий из всех обратимых диаго-
диагональных матриц. Легко проверить, что Т совпадает со своим цент-
рализотором, откуда следует, что Т — максимальный тор в GLn(C).
Его касательная подалгебра t cz gln (С) есть алгебра всех диаго-
диагональных матриц, а вещественная форма t (К) — алгебра всех ве-
вещественных диагональных матриц. Скалярное произведение B)
задается в t формулой
(X, У) = 2 ХгУг,
где X = diag(#t, ..., хп), 7 = diag(z/i, ..., уп). Векторы е{ (i =
= 1, ..., п) стандартного базиса пространства Сп являются весо-
весовыми для представления Id. Соответствующий вес е,- (а также и
отождествленный с ним элемент det e t (R)*) имеет вид
8i(diag(^, ..., Хп)) = Хг (i=l, ..., п). (И)
В дальнейшем через ег- обозначается также ограничение линейной
функции A1) на максимальную диагонализуемую подалгебру клас-
классической алгебры Ли д.

§ 1. НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 157
П р им е р 4. Для fi = flln (С) имеем
Ад = {осц = e-i — Ej \ъф /, i, / = 1, ..., п},
6CL- • — СЕ ij,
йау = diag @, ...,1,0, ...,—1,0, ..., 0).
Пример 5. Для fl = Йп(С) (га > 2) имеем
и
AQ = {aij = гг — Ез\1ф j, j, 7 = 1, ..., тг}.
Подпространства fiajj и векторы ha{. — те же, что в примере 4 (см.
задачу 29).
В простейшем случае 72 = 2 имеем Ад = {а,—а}, где a = ai2.
Алгебра Ли sl2 (С) обладает базисом {h, e, f}, где Ь = /га =
= diag(l, —1), e = El2, i = E-2u таким, что
[h, e] = 2е, [h, f] = -2f, [e, f 1 = h.
Следующие два примера посвящены группе G — SOn(C)- Для
наших целей удобно выбрать базис в Сп таким образом, чтобы
квадратичная форма, инвариантная относительно группы G, имела
матрицу
[I, о') (к = 21) или U о' о) (п = 21 + 1).
4 / v 0 0 1 /
Пример 6. Алгебра Ли 9 = 5%г (С) A^2) состоит из мат-
матриц вида
)
Имеем
*д = {diag {хг, ...1xl,—x1,...,—xi)\xi^ С},
Фи = {&п . .., 8ь — е1? ..., — bz},
Ад = {aij = 8i — ej (г ^ ;)» Pij = ?г + е;- (i < 7), —
ftaij = diag(O, ..., 1, 0, ..., -1, 0, ..., -1, 0, ...,1,0, ...,0),
Ар,. = diag(O, ...,1,0, ...,1,0, ...,-1,0, ...,-1,0, ..,,0).

158 гл. 4. комплексные полупростые группы ли
Пример 7. Алгебра Ли g = 0O2?+i (С) состоит из матриц вида
-vT — ит о/
Имеем
tfl = {diag (^ ..., xh — жх, . .. , — хь 0) | x{ ge C},
8 8 | ? y- __ j n
2aij' fiPii' 3-flij задаются той же формулой, что и в примере 6,
7гаг, fep^. задаются той же формулой, что и в примере 6,
Aei = diag(O, ... 2,0, ...,-2,0, ...,0).
г 1 + г
В случае G = Sp*i (С) мы выбираем базис в С так, чтобы
/ 0 ЕЛ
инвариантная билинейная форма имела матрицу I g {) I
Пример 8. Алгебра Ли &$ (С) (п = 21) состоит из мат-
матриц вида
Подалгебра tg и система весов Фы— такие же, как и в примере 6.
Имеем
ij, йа.;. и /1ру (i < j) — такие же, как в примере 6,
]г$.. = diag @, .. ., 1, 0, . .., — 1,0, .. ., 0).
Заметим, что &Ч>2 (С) = з!2 (С).
6. Трехмерные подалгебры. Мы сохраняем обозначения п. 4 и
.предполагаем, что группа G редуктивна, а Т — максимальный тор

§ 1. НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 159
в G. Мы свяжем сейчас с каждым корнем аеА3 трехмерную под-
подалгебру в б, изоморфную sI2(C), но априори определенную не
совсем однозначно. Пусть еа — ненулевой вектор в g«. В силу за-
задачи 27 существует такой (ненулевой) е_а«=д_а? что (еа, е-а) —
= 2/(а, а). Тогда из E) и F) вытекают соотношения
[ба, e-a\ = ha, [К, еа] = 2еа, [К, е-а] = —2еа.
Определим отображение фа: ?12(С)"-^Й формулами (см. пример 5):
Тогда фа есть изоморфизм алгебры Ли sl2 (С) на подалгебру
Й(а) — / о р 7L \ ^
В силу задачи 1.3.17 группа SL2 (С) односвязна. Значит (см.
теорему 1.2.6), существует такой дифференцируемый гомоморфизм
Fa' SL2{?)-+G, xIT0 dFa = q)a. Поскольку группа SL2 (С) по-
полупроста, Fa — полиномиальный гомоморфизм. Его образ есть связ-
связная алгебраическая подгруппа G{a) c= G с касательной алгеброй g(a).
Задача 34. Для любого a e AQ имеем /iaGt(Z).
Задача 35. Если а и ca g Дд, где с ^ К, то с ==±1/2, ±1
или ±2.
Рассмотрим теперь элементы na = Fall__ | o))e^ (ae
Задача 36. Имеем (Adfta)ua = — ha; (Adna)x = x, если ^^t
и a(#) = 0.
Задача 37. Имеем ПаТпп1 — Т. Автоморфизм Ad ?га индуци-
индуцирует в t C?) ортогональное отражение га относительно гиперплоско-
гиперплоскости Pa = {*e=t(R)|() 0}
Преобразование 7^а пространства t @?)* есть ортогональное от-
отражение относительно гиперплоскости La =- {К е t (iR)* | (a. X) =0}.
Мы будем обозначать это отражение также через ra.
Из задач 24 и 37 следует
Теорема 5. Система весов Фп любого полиномиального линей-
линейного представления R: G -+¦ GL(V) редуктивной алгебраической
группы G инвариантна относительно отражений ra (a e AG). При
этом Уга{%) = R (па) У к для всех 1<^Фц. В частности, ra(AG) = Аа
и flra(j3) = (Ad па) 9р для любых а, р е Дс.
Следствие. Система весов Фя любого линейного представле-
представления R группы SL2(C) симметрична: если ^еФй, го и -J,gOb.
Мы используем это следствие при доказательстве следующего
важного свойства корневых разложений.
Теорема 6. Корневые подпространства редуктивной алгебраи-
алгебраической алгебры Ли g одномерны. Если a e Ag, mo ca ф AQ при с ^К

160 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Для доказательства рассмотрим подпространство
где 9a = ix e ga[ (е-а, ж) = 0), a g2a = 0, если 2a ^ Дд.
Задача 38. Подпространство го. инвариантно относительно
adg(a).
Отсюда и из следствия теоремы 5 вытекает равенство го = 0, что
вместе с задачей 38 и доказывает теорему 6.
Теорема 6 показывает, в частности, что подалгебра g(a) имеет вид
Тем самым она однозначно определяется корнем а.
Пусть К <= Фд и a s AG. Множество всех весов представления R,
имеющих вид К + ка, где к е Z, называется а-серией весов, содер-
содержащей X. Положим
где сумма берется по всем весам a-серии. Обозначим р = dR.
Задача 39. Подпространство U инвариантно относительно огра-
ограничения представления р на g(a), причем все Vi+ka — весовые под-
подпространства для pi g (а) относительно диагонализуемой подалгеб-
подалгебры <каУ.
Задача 40. a-серия весов, содержащая к ^ Фд, имеет вид
{к + ка | к<= Z, — Р^к ^q}, где р, q — неотрицательные целые
числа и р — q = %(ha). Если К(ha) < 0, то К + а е фн? а если X (fea)>
> 0, то К — a e= фд.
Задача 41. В обозначениях задачи 40 имеем p(ea)p4"qFx-pa ^ 0.
В частности, если X, 1 + ае фл? то р (ea) FA ^ 0.
Задача 42. Если а, р, а + Р ^ Afl, то [ga, flp] = fla+p.
В заключение мы докажем, что установленные выше свойства
системы весов Фп остаются в силе для системы весов Фр произ-
произвольного линейного представления р полупростой алгебры Ли д,
определенной в п. 4. Для этого заметим, что g = gi ® g2, где gi, g2 —
полупростые идеалы, причем g2 = Ker p и р изоморфно отображает
gi на p(g). Максимальная диагонализуемая подалгебра t алгебры g
имеет вид t = t4 ф t2? где t^czg.. Согласно задаче 31, Ад = Ад U Ад .
Очевидно, Я (х) = 0, если 1еФр и «г е t2 = t П Ker p, откуда Фр cz tx.
При этом Фр отождествляется с системой весов ФР1 точного пред-
представления pi = pi g г-
Задача 43. Для любых Я^Фр и аЕДд имеем Я (/га) е Z-
В частности, Фpc:tE)*. Представление р точно тогда и только
тогда, когда Фр порождает t (iR)*.
Сводя общий случай к случаю точного представления р и ис-
используя теорему 5, легко доказать также, что система Фр инвари-

§ 1. НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 161
антна относительно всех отражений га (аеАд). Отсюда выво-
выводится, что для любого представления р справедливы аналоги
утверждений задач 40 и 41.
Упражнения
В упражнениях 1—8 основное поле предполагается полем С или (R, если
не оговорено противное.
1. Если g d q\(V) —алгебраическая алгебра Ли, то ядро скалярного умно-
умножения B) в g является наибольшим унипотентным идеалом. (Этот идеал
называется унипотентным радикалом алгебры д.)
2. В простой алгебре Ли любое ненулевое инвариантное скалярное умно-
умножение невырождено и все инвариантные скалярные умножения пропорцио-
пропорциональны.
3. Простые идеалы алгебры Ли ортогональны друг другу относительно лю-
любого инвариантного скалярного умножения.
4. В диагонализуемой комплексной алгебраической линейной алгебре Ли
ортогональное дополнение к алгебраической подалгебре относительно фор-
формы B) является алгебраической подалгеброй.
5. Если а — идеал в алгебре Ли д, то ограничение картановского скалярного
умножения алгебры д на а совпадает с картановским скалярным умножением
алгебры а.
6. Если (g, g)ad = 0, то алгебра Ли д разрешима. Если д разрешима, то
(9, [8, 8])ad = 0.
7. Если картановское скалярное умножение на алгебре Ли д невырождено,
то g полупроста.
8. Если ad g — алгебраическая алгебра Ли, то ядро картановского скаляр-
скалярного умножения в g является наибольшим нильпотентным идеалом в д.
9. Всякое дифференцируемое линейное представление редуктивной ком-
комплексной алгебраической группы G полиномиально. Рассматриваемая как груп-
группа Ли, G обладает единственной алгебраической структурой.
10. Полиномиальное линейное представление R редуктивной алгебраиче-
алгебраической группы локально точно тогда и только тогда, когда система Фй порождает
t (К)* (здесь t — касательная алгебра максимального тора, относительно ко-
которого рассматриваются веса).
В упражнениях 11, 12 G обозначает связную полупростую комплексную
алгебраическую группу, g — ее касательную алгебру.
11. Пусть Т — какой-нибудь тор в G, go — ортогональное дополнение к t
в д0, а?А(Г) и lefc, х Ф 0. Для того, чтобы существовал такой элемент
у е д_а, что [х, у] = /га, необходимо и достаточно, чтобы х ф [д0, х].
12. (Теорема Морозова.) Всякий нильпотентный элемент х ^ д можно вклю-
включить в простую трехмерную подалгебру. (Указание: выбрать максимальный
тор Т в группе N(x) = {g e G\ (Ad g)x e <#>}, рассмотреть корневое разложе-
разложение алгебры g относительно Т и применить упражнение 11.)
Указания к задачам
1. Использовать пример 1 из § 1.2 и теорему 1.2.5.
4. Невырожденность следует из положительной определенности на t (J?),
а последняя очевидна.
5. Первое утверждение следует из задачи 4; для доказательства второго
рассмотреть [п, п].
6. По теореме 3.3.6 подпространство
Fo= {i;€=F|ni; = 0}
отлично от нуля. Легко видеть, что оно инвариантно относительно д. Из по-
11 Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

162 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
строения Vq следует, что при Хед, Уеп
Это дает возможность применить индукцию по dim V.
7. В случае К = С применить задачу 5 к ядру п скалярного умноже-
умножения B), которое, согласно задаче 2, есть идеал в д. В случае К = IR рассмот-
рассмотреть алгебру Ли д(С), которая полупроста в силу задачи 1.4.16.
10. Полупростота элементов центра следует из задачи 6.
11. Пусть п —разрешимый идеал в g'= [g, g]. Так как д' алгебраична, тог
переходя к разрешимому идеалу па, мы можем считать, что п — алгебраическая
линейная алгебра Ли. Из задачи 6 вытекает, что п — касательная алгебра не-
некоторого тора. Из задачи 4 следует, что g'= n 0 п-1-, причем [п, п1-] = 0. Зна-
Значит, п d S(g), откуда п = 0.
12. Использовать следствие 2 теоремы 1.2.7.
14. Заметить, что для любой диагонализуемой подалгебры teg алгебраи-
алгебраическая подалгебра Ха также диагонализуема. Последнее утверждение задачи
следует из задачи 6.
15. Применить задачу 5 к идеалу п = ct Г) ^ алгебры д. Затем воспользо-
воспользоваться тем, что [а, ах] cz а П ctx = 0.
17. Существование разложения доказывается с помощью индукции по dim g.
Пусть gi — минимальный идеал в д. Из задачи 15 выводится, что gi прост и
что 8 = q1 0 g^\ Из задачи 16 видно, что д^" — полупростой идеал, что по-
позволяет применить к нему предположение индукции. Для доказательства вто-
второго утверждения заметим, что проекция fa любого идеала Ь алгебры g в до-
доесть идеал в д^, так что bi = 0 или fa = дг-. Но ва втором случае д* = [дг*, Ь] cz Ь.
20. Пусть G удовлетворяет условию задачи и пусть I) — ненулевой идеал в
ее касательной алгебре д. Тогда 1)а — идеал в g (задача 3.3.9). Поэтому i)a = g,
откуда д' = V cz Ь в силу теоремы 3.3.3. Поскольку д' — алгебраический идеал
в д, имеем либо д' = д (и тогда |) = д), либо д' = 0. Во втором случае из описа-
описания связных коммутативных алгебраических групп (см. следствие из теоремы
3.2.8) вытекает, что dim g = 1, так что $ = д.
21. Сначала доказать, что аЪ = Ъа для любых а е Gi, Ъ е Gj, i Ф /. Затем
рассмотреть гомоморфизм т: G\ X • • • X Gs •- G, заданный формулой
^(§"ь • • -7 gs) = gi • •. ?s, и воспользоваться задачей 1.3.11.
23. Заметить, что t П Ker dR совпадает с пересечением ядер Кег % для всех
% GE Фд.
26. Следует из инвариантности скалярного произведения относительно Ad Т.
27. Следует из задач 26 и 7.
28. Редуктивность алгебраической алгебры Ли д0 следует из теоремы 1 и
задачи 27. Имеем tc&(8o). Если Т — максимальный тор, то t = 3(во)» т&к что
0o==t 0 V гДе %— полупростой идеал в д0. Если %ф0, то в д'о есть,
ненулевой полупростой элемент (см. следствие 2 из теоремы 3.3.6), что проти-
противоречит максимальности диагонализуемой подалгебры t.
29. Использовать задачу 23.
31. Для доказательства ортогональности заметить, что а(йр) == 0, если а
и Р лежат в различных Д (i = 1, 2).
32. Если a eAiJe Д2, то (а + р, а) > 0, (а + р, Р) > 0, откуда а + р ф.
ф А . Поэтому подпространства д^ = Хг ф (J) да, где U — линейная оболоч-
ка всех таких ha, что а е Дг, удовлетворяют условию [дь д2] = 0. При этом
Qi — подалгебры, g = gi Ф g2 и Aa = Аг (i = 1, 2).
33. Утверждение очевидно, если р — точное представление. Легко прове-
проверить, что проектирование алгебры g на прямое слагаемое переводит полупро-
полупростые элементы в полупростые, а нильпотентные — в нильпотеитыые. В силу
задач 15, 16 алгебра g в общем случае представляется в виде g = gi 0 дг, где

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 163
%i — полупростые идеалы, g2 = Кег р, а р1==р| —точное представление.
Имеем р = pi о jt, где л: д ->¦ gi — проектирование.
34. Заметить, что /iGt(Z) для группы SL^ (С) и что для любого гомо-
гомоморфизма торов ф: Т-+-Т имеем dq> (t> (Z)) cz t (Z).
35. Если a, ca g= A , где cgIR, to из задачи 34 следует, что 2/с, 2cgZ.
. / 0 1\ / 0 l\-i
36. Первое утверждение вытекает из равенства I 1 п)М 1 О/ ~
= —h. Для доказательства второго утверждения заметим, что если а(х) = О,
то [д{0°, х] = 0 и, следовательно, (Adg)x = x для любого g ge G(a).
40. Пусть г ^ s — такие целые числа, что X + ка ge Фл для всех целых
/.-, г ^ А; ^ s, но А, + (г — 1)а ^ Фл, Я + (s + 1)а ^ Фй. Тогда подпространство
j~- m тг инвариантно относительно р] (а). Применяя следствие из
теоремы 5, получаем, что набор чисел {k(ha) + 2к\г ^ к ^ s} симметричен
относительно нуля. Поэтому X(ha) = —(г + s) и отрезок {^- + A;a|r ^ A: ^ s}
нашей a-серии симметричен. Никаких других весов в a-серии нет, поскольку
любой ее отрезок симметричен и потому пересекается с уже рассмотренным
отрезком.
41. Пусть s^O — наименьшее из таких целых чисел к, что p{ea)V%-ha ?=0.
S
Проверить, что подпространство U == (^г) р {ea)kV^__k0C инвариантно относи-
тельно pL(a)- Если s <C p + д, то система весов представления группы G(a)
И
в U не симметрична.
42. Применить задачу 41 к присоединенному представлению.
43. Если представление р точно, то его можно заменить тождественным
представлением алгебры р(д). Утверждение следует тогда из задачи 34, приме-
примененной к тождественному представлению соответствующей алгебраической
группы. В общем случае из сказанного следует, что X (ha) ge Z для всех
X ge Фр и всех а е= А . Кроме того, X(ha) .= 0 для всех ae A .
9 И
§ 2. Системы корней
В п. 1.4 мы ввели в рассмотрение систему корней редуктивной
{в частности, полупростой) алгебраической группы. В настоящем
параграфе понятие системы корней будет аксиоматизировано и под-
подробно изучено. Изложение свойств абстрактных систем корней пере-
перемежается с интерпретациями этих свойств на языке алгебраи-
алгебраических групп и алгебр Ли. Основное поле — поле С комплексных
чисел.
1. Основные определения и примеры. Пусть Е — конечномерное
евклидово пространство со скалярным умножением (а, C). Для
произвольного ненулевого вектора а ^ Е обозначим через La гипер-
гиперплоскость в Е, ортогональную к а, и через га — отражение относи-
относительно гиперплоскости La. Для явной записи отражения га полезно
ввести обозначение
Заметим, что функция <Aj|i> линейна только по первому аргументу
11*

164 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
и не меняется, если заменить скалярное умножение (а, [}) новым
скалярным умножением с (а, [}), где с>0.
Задача 1. Отражение га действует по формуле
Подмножество А с= Е называется системой корней в Е, если оно
обладает следующими свойствами:
1) А конечно и состоит из ненулевых векторов;
2) для любого а^ А отражение га переводит А в себя;
3) <а | р> е Z для любых а, реД.
Рангом системы корней А называется, как обычно, размерность
ее линейной оболочки <А>. Ранг системы А обозначается rkA.
Согласно 2), для любого аеД имеем —а = га (а)еД. Система
корней А называется приведенной, если выполняется условие:
4) если а^А и са^А для некоторого cgK, то с = ±1.
Задача 2. Пусть А — система корней, а^А и са^Д для не-
некоторого сеК. Тогда с = ±1/2, ±1, ±2.
Пусть G — редуктивная алгебраическая группа, Т — ее макси-
максимальный тор. В п. 1.4 была определена система корней AG группы
G относительно Т (или, что то же, система корней Ад алгебры Ли
g), являющаяся системой векторов евклидова пространства Е =
= t@?)*. Согласно задаче 1.34 и теоремам 1.5, 1.6, AG является
приведенной системой корней в смысле данного выше определения.
Группа G полупроста тогда и только тогда, когда AG порождает Е;
группа G0 является тором тогда и только тогда, когда AG = & (см.
задачу 1.29). В общем случае rkAg = rkg\
Ниже будет доказано, что всякая непустая приведенная система
корней изоморфна (в естественном смысле) системе корней некото-
некоторой полупростой алгебраической группы. С неприведенными систе-
системами корней мы встретимся в главе 5.
Пусть Q и Q' — системы векторов в евклидовых пространствах
Е и Е' соответственно. Изоморфизмом систем Q и Q' называется
любой линейный изоморфизм ср: <?2> -*¦ <Q'> их линейных оболочек,,
такой, что ф(й) = ?У и что <ср(а) I ф(^)> = <а1^> (а, ^й). При
этом ф не обязан быть ортогональным отображением (например,
любая гомотетия а »-> са, с Ф 0, пространства Е определяет изомор-
изоморфизм системы Q на ей). Очевидно, изоморфизм ф: <Q> -> <Q7> пол-
полностью определяется отображением <p|Q: Q ->• Q'. В частности, мож-
можно говорить об изоморфизме систем корней и об изоморфных систе-
системах корней. Изоморфизмы некоторой системы векторов Q на себя
называются автоморфизмами этой системы; они составляют группу
АиШ.
Рассмотрим систему корней Ag = A (t) некоторой полупростой
алгебры Ли g относительно максимальной диагонализуемой подал-
подалгебры t. Как мы видели в п. 1.4, векторное пространство Е = t (К)*
однозначно определяется парой (g, t). Числа <а1кв> (а, Ре Ад)опре-

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
165
деляются лишь структурой алгебры д, т. е. не зависят от выбора
инвариантного скалярного умножения (см. п. 1.4). Далее, если за-
заменить t другой максимальной диагонализуемой подалгеброй Хи то
в силу задачи 1.24 соответствующая система корней A(ti) получа-
получается из A(t) при помощи изоморфизма ((Ad ^)т)~1: * (В?)->• tx (R)j
где g — некоторый элемент группы G0. Из инвариантности скаляр-
скалярного умножения следует, что ((Adg)T)~1 ортогонально и потому
является изоморфизмом систем корней.
Пусть теперь g — редуктивная алгебраическая алгебра Ли, t —
ее максимальная диагонализуемая подалгебра. Согласно задаче 1.23,
система корней Ад порождает подпространство {iet(R)*|А,(х) = О
для всех a;ej(e) П t(D?)} в 8@?)*. В задаче 1.29 мы отождествили
Ад с Ад'. Очевидно, это отождествление есть изоморфизм систем
корней. Ниже изображены примеры систем корней рангов 1 и 2.
-ее
а
-2а-а сб 2а
Задача 3. Все указанные на рисунке системы векторов явля-
являются системами корней, причем все они приведены, кроме систем
типов BCi и ВС2, и попарно не изоморфны. Системы корней типов
Аи А2, Ai + Ai, B2 изоморфны системам корней алгебр Ли ^(С)*
^з (С), ^о4 (С) (или *1а (С) е rf2 (С)), ^о5 (С) или эд4 (С)) соответствен-
соответственно (см. примеры 5—8 из п. 1.5).
Задача 4. Системы Ai и BCi являются, с точностью до изомор-
изоморфизма, единственными системами корней ранга 1.
Мы увидим далее, что всякая система корней ранга 2 изоморфна
одной из систем, изображенных на рисунке.
Задача 5. Пусть А^Е* (г = 1, ..., s) — некоторые системы
S
корней и пусть Е = 0 Ei — ортогональная прямая сумма евклидо-
г=1
вых пространств Е*. Тогда А = (J А| — система корней в Е,
Система А, построенная в задаче 5, называется прямой суммой
систем корней Ai (?=1, ..., s). Например, согласно задаче 1.31

ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
система корней Ад ед прямой суммы полупростых алгебр Ли gtf
g2 является прямой суммой систем корней Ад и Ад .
Система ненулевых векторов Q <= Е называется неразложимой,
если ее нельзя представить в виде объединения Q = Q4 U Q2 двух
взаимно ортогональных собственных подмножеств; в противном
случае Q называется разложимой. Очевидно, все системы корней,
изображенные на с. 165, кроме Ai~\~Ai, являются неразложимыми.
Задача 6. Для произвольной системы корней ?2<=Е существу-
S
ет такое ортогональное прямое разложение Е = 0 Е*, что А =
s
== U Аг, где Ai<=Ei (& = 1, ..., s) — неразложимые системы корней.
г=1
Подсистемы Дг- — это максимальные неразложимые подсистемы в А
и тем самым определены однозначно.
Системы Аг-, указанные в задаче 6, называются неразложимыми
компонентами системы А. Очевидно, А есть прямая сумма своих
неразложимых компонент.
Задача 7. Система корней Ад полупростой алгебры Ли g не-
S
разложима тогда и только тогда, когда g проста. Если 9 = © бг —
разложение алгебры g в прямую сумму простых идеалов, то Ац =
разложение системы корней Ад в прямую сумму не-
не= и Ад.—
разложимых компонент.
Изучим теперь простейшие геометрические свойства системы
корней. Аксиома 3) накладывает сильные ограничения на возмож-
возможные углы между корнями и отношения их длин.
3 ад а ч а 8. Пусть а, Р — ненулевые векторы евклидова про-
пространства Е, и пусть 6 — угол между а и р. Тогда <<xl[i><(Jla> =
= 4cos26. Если <alp> и <^|сс> — неположительные целые числа и
Ipl > loci, то числа 0, <аф>, <^la> и IfJlVlal2 могут принимать
лишь следующие значения:
е
п/2
2я/3
Зя/4
5я/6
я
я
(а ||3)
0
—1
—1
^
2
—1
(Pi а)
0
—1
—2
—3
—2
4
1 Р 12/| а |2
1
2
3
1
4
Задача 9. Пусть a, [J — непропорциональные векторы из Д.
Если (а, Р)>0, то а-'Р-еД, а если (а, Р)<0, то

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ . Щ
Пусть а, р — непропорциональные элементы некоторой системы
корней Д. Множество {у е А | у = Р + ка (к е Z)} называется сс-сег-
/шей корней, содержащей р. . ;
Задача 10. а-серия корней, содержащая [J, имеет вид
{[} + Zeal—/? < & < g}, где р, q^O ж р — q = <pla>. В частности, если
jJ — a^A, то р + a^A тогда и только тогда, когда ({J, a)<0.
В заключение этого пункта рассмотрим конструкцию двойствен-
двойственной системы корней. Пусть Е — конечномерное евклидово простран-
пространство и F = Е* — сопряженное ему векторное пространство. Отожде-
Отождествим F* с Е при помощи естественного изоморфизма Е->-(Е*)*=й
= F*, т. е. будем рассматривать Е как сопряженное пространство
к F. Обозначим через А, ь-* их изоморфизм векторных пространств
Е->• F, определенный скалярным умножением в Е, т. е. заданный
формулой
11ц) — ^Л, \а>) ^Л, \Х *= Ил) . ,
С помощью этого изоморфизма перенесем на F структуру евклидова
пространства, полагая
Пусть А — система корней в Е. Для любого а^Д положим
aV — 2 и
Тогда
В частности, в силу задачи 1
га(%) = Х
Легко проверить, что
для любых а, Р^А.
Задача 11. Если А — система корней в Е, то множество Av==^
= {avla^ A} — система корней в F, приведенная тогда и только
тогда, когда приведена А. Имеем гк А =гк Av, (Av)v = A.
Система корней Av называется двойственной я А. При обозначе-
обозначении объектов, связанных с этой системой, будет использоваться
знак v.
Пусть, в частности, Е = i (R)*, где t — максимальная диагонали-
зуемая подалгебра редуктивной алгебраической линейной алгебры
Ли g (см. п. 1.4). Тогда F = I (В?) и двойственная к Дд система!
корней имеет вид

168 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
2. Камеры Вейля и простые корни. Пусть А с= Е — система кор-
корней. Каждый ненулевой вектор К ^ Е определяет в F = Е* гипер-
гиперплоскость
= (Л. B)
Гиперплоскости Ра (ос^Д) разбивают F на конечное число много-
многогранных выпуклых конусов. Элементы множества Freg = F\ U Ра
называются регулярными, а элементы множества U Ра— сингу-
а=Д
лярными. Связные компоненты множества Freg называются (откры-
(открытыми) камерами Вейля, а их замыкания — замкнутыми камерами
Вейля.
Поскольку множество сингулярных элементов переходит в себя
при умножении на —1, для каждой камеры Вейля С множество
—C = ix^F\—x^C} также есть камера Вейля; она называется ка-
камерой, противоположной к С.
Подсистема П системы корней А называется системой простых
корней (или базисом системы А), если П линейно независима и
каждый корень fi ^ А представим в виде
Р = 2 каа, C)
П
где ка — одновременно неотрицательные или одновременно неполо-
неположительные целые числа.
Очевидно, число простых корней всегда равно рангу системы А
ш представление C) является единственным.
Пример 1. Для систем корней, изображенных на с. 165, си-
системы {а} или iau a2) являются системами простых корней.
Корень р ^ А называется положительным относительно данной
системы П простых корней, если /са^0 в разложении C), и отри-
отрицательным в противном случае. Если система П фиксирована, то
множество положительных (отрицательных) корней будет обозна-
обозначаться через А+ (соотв. Д~). Очевидно, Д~ = —Д+. Мы пишем а>0,
если а е Д+, и а < 0, если а ^ А". Эти обозначения согласованы со
следующим частичным порядком в пространстве Е: \ ^ т], если
g — г) = 2 ^а^т где все ка — неотрицательные целые числа.
СС^ЕП
Мы докажем теперь существование системы простых корней для
любой системы корней А. При этом будет установлено взаимно од-
однозначное соответствие между всевозможными системами простых
корней в А и камерами Вейля.
Пусть С — некоторая камера Вейля и пусть а^А. Поскольку С
связна, имеем либо а(х)>0 для всех х^С, либо а(х)<0 для всех
х е С. В первом случае мы будем говорить, что корень а С-положи-
телен, а во втором — что он С-отрицателен. Очевидно, С-положи-
тельные корни являются (—С)-отрицательными, а С-отрицательные
корни — (—С)-положительными. Обозначим через П(С) множество

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 169
всех С-положительных корней а, не представимых в виде а = р + ут
где ^ и 1 — С-положительные корни.
Теорема 1. Для любой камеры Вейля С система П(С) явля-
является системой простых корней в Д. При этом положительные отно-
относительно II (С) корни совпадают с С-положителъными, а отрица-
отрицательные — с С-отрицательными. Соответствие С *¦+• П (С) есть биек-
ция множества всех камер Вейля на множество всех систем про-
простых корней в Д.
Доказательство теоремы мы разобьем на ряд задач.
Задача 12. Каждый С-положительный корень [} ^ А предста-
представим в виде C = 2 kaai где ка — целые неотрицательные числа.
ЩС)
Задача 13. Если а, [}е=Л(С), а?=$, то а —р^Д и (а, [)
Задача 14. Пусть vu ..., i?s — система ненулевых векторов
евклидова пространства Е, образующих попарно неострые углы,
Если между ними имеется линейная зависимость
+ ... + akvik — bjy^ — ... — Ъщг = О,
где ft, ..., ih1 ju ..., j\ различны и все ар, bq положительны, то
а) a{Uix + ... + ahuik = b1uji + ... + btv^ = 0;
б) (%' %) = 0 при jp = 1, ..., ft; g = 1, •.., Z.
Если 1;1э ..., ys лежат в некотором открытом полупространстве
пространства Е, то они линейно независимы.
Отсюда следуют первые два утверждения теоремы. Инъектив-
ность отображения С »-> П (С) вытекает из следующего утвер-
утверждения.
Задача 15. С = {x^F\a(x)>0 для всех ae]I(C)}==fes
eF|a(#)>0 для всех С-положительных корней a).
Перейдем к доказательству сюръективности отображения С •-*>
П(С)
()
Задача 16. Пусть V — конечномерное вещественное векторное
пространство и fi» ..., ^г — линейно независимая система векторов
пространства F*. Тогда существует такой вектор x?=V, что ъ(хO>
>0 (« —1 г).
Задача 17. Если П — система простых корней в А, то С =*
~={xe=F\a(x)>0 {а^ П)} — камера Вейля и П = П(С).
Гиперплоскость Р <= F называется стенкой камеры Вейля Сл еслн
р ос = 0 и Р ПС содержит непустое открытое в Р множество.
Задача 18. Если С —камера Вейля, то С = {x^F\a(x)>0
(a^TL(C))}. Стенками камеры Вейля С являются гиперплоскости
Ра, где a^U(C).
Таким образом, если (АУ=Е, то любая замкнутая камера Вей-
Вейля является симплициальным конусом.
Задача 19. Любая гиперплоскость Ра, где а^А, является
стенкой некоторой камеры Вейля. Для любого аеД существует

'470 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ТЮЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
такая камера Вейля С, что а е П(С) (или, быть может,у'аеП (С),,
если система А не является приведенной).
В следующих задачах рассматривается фиксированная система
простых корней Пс Д.
Задача 20. Если а^Д+\П, то существует такой §^П, что
а.—. р &Д. При этом ос —. р > 0.
Задача 21. Любой положительный корень а.еД представим
в виде а = а4 +*.>.+ cts, где аг^П и ai+...+ а^Д для любого
-&•?=? 1У ..., 5.
, Задача .22. Система корней А неразложима тогда и только
тогда, когда система простых корней П <= Д неразложима. Если
*Д = Д-1 U.. .1! Дг — разложение системы А на неразложимые компо-
компоненты; то П ^-Iii U ... U Пг, где Пг ^ Дг — система простых корней
Последнее утверждение имеет важное приложение к теории по-
полупростых алгебр Ли. Системой простых корней полупростой алгеб-
алгебры Ли g будем называть любую систему простых корней системы
корнер Дд.; Из задач 22 и 7 вытекает
Теорема 2. Полупростая алгебра Ли g проста тогда и только
тогда, когда ее система простых корней Пд неразложима. Если
Пд = Il1 U ... U Пг — < разложение системы Л^ на неразложимые
компдненты, то g = gi Ф ... ® gr, где gt- — простой идеал с системой
простШх корней Щ
Полезно указать другую конструкцию систем простых корней,
которая исторически предшествовала описанной выше. Веществен-
Вещественное ввкторное пространство Е называется упорядоченным, если в Е
задан порядок <, обладающий следующими свойствами:
1) А,>0, ii>O p
2) Я > 0, с е= Кг с > 0 => сЯ > 0.
Легко видеть, что тогда—К< 0 для любого Я>0. Примером поряд-
порядка, удовлетворяющего условиям 1) и 2), является лексикографиче-
лексикографический порядок относительно некоторого базиса пространства Е, ко-
который; задается следующим образом: X > щ если первая ненулевая
координата вектора 51 — [i в данном базисе положительна.
, Пусть А — система корней в упорядоченном евклидовом прост-
пространстве Е. Обозначим через П множество всех таких корней а>0,
что а Ф- р + y , где % Т е А^Р > 0^ Т > 0-
Зад ач а 23. Система П является системой простых корней в А;
при этом соответствующее множество Д+ совпадает с множеством
всех #ррней, положительных относительно заданного порядка.
Пример 2. Укажем подсистемы положительных и простых
;адрдай для систем кррней Дд классических алгебр Ли g, описанных
в д. 1.5.

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 171
Q() n^2. Рассматривая лексикографический порядок в
tt(R)* относительно базиса 81, ..., 8П? получаем
Д+ = {ег — 8j | i < 7; i, j = 1, ..., n},
ng = {ai> • • • > an-i}, где ai = 8i — ei+1.
Соответствующая камера Вейля CcF=t(R) есть множество таких
диагональных матриц diag(#i, ..., хп), что #i >#2> ... > хп»
fl = ^n(C), n>2. Из задачи 1.29 следует, что Д^ и Пд имеют
тот же вид, что и для алгебры gin (С).
g = 002i (С), Z > 2. Рассматривая лексикографический порядок в
^д №)* относительно базиса е1? ..., 8/, получаем
A^ = {?i±ej|*</; h / = 1, ..., ^},
Пд == (а1» • • • 1 al), ГДе ai = ei — 8г+1 A < i < Z — 1), ап = 8Z_X + 8,,
fl =0O2^+i(C), Z> 1. Аналогичным образом получаем
A^={ei±ej (i<;% е4|г,/ = 1, ..., Z},
ng = (ai. • • • ? «J» r«e ai = ei — 8i+i A < J < Z — 1), az = 8ie
fl — $$2i (С)* Z > 1. Аналогичным образом получаем
Aj" = {eid=.ej (?</), 2е*|«, / = 1, ..., Z},
ng = {ax, ..., ai}, где аг = гл — ei+1 A^< i < Z — 1), an = 2er/
Как нетрудно убедиться, все перечисленные системы простых
корней Пд неразложимы, за единственным исключением fi = 304(C)
(в п. 5 будет указан красивый геометрический способ проверки
этой неразложимости). Из теоремы 2 следует поэтому, что все полу-
полупростые классические алгебры Ли просты, за исключением 30 4 (С).
Возвратимся теперь к обозначениям начала пункта и рассмот-
рассмотрим двойственную систему корней AV<=F. При естественном изо-^
морфизме X •-> их евклидовых пространств Е -»¦ F каждая гиперплос-
гиперплоскость Lx переходит в Р*. Очевидно, \.
Поэтому указанный изоморфизм отображает камеры Вейля системы
AV на камеры Вейля системы А.
Задача 24. Пусть А — приведенная система корней, П — ее;
система простых корней. Тогда Пу = {ау1а^Ш — система простых
корней в AV.
3. Борелевские подгруппы и максимальные торы. В этом пунй^г©
мы будем рассматривать систему корней AG редуктивной алгебраи-
алгебраической группы G относительно фиксированного максимального то-
тора Т. Мы увидим, что камеры Вейля в F =1@?) взаимно однознач-*

172 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
яо соответствуют борелевским подгруппам группы G, содержащим
Т, и установим при этом важные свойства борелевских подгрупп и
максимальных торов.
Пусть С с= F — некоторая камера Вейля. Построим по С борелев-
скую подгруппу в G. Пусть А = А+ U А~ — разбиение системы А на
^положительные и С-отрицательные корни. Из задачи 19 следует,
что подпространства
йвляются подалгебрами в д. Аналогично строятся подалгебры
они соответствуют противоположной камере Вейля —С
Задача 25. Алгебра Ли Ь+ разрешима и tt+ — ее унипотентный
идеал.
Задача 26. Подалгебра Ь+ является борелевской подалгеброй
в 9 и совпадает со своим нормализатором.
Согласно задаче 3.3.8, в G существует борелевская подгруппа
J5+ с касательной алгеброй Ь+. Очевидно, В+ => Т. Будем называть
подгруппу В+ борелевской подгруппой, соответствующей камере
Вейля С. В силу задачи 3.3.14 идеал п+ определяет унипотентную
нормальную алгебраическую подгруппу N+<=B+. Аналогично опре-
определяются связные алгебраические подгруппы N~ ^ В", причем В~
совпадает с борелевской подгруппой, соответствующей противопо-
противоположной камере Вейля —С.
Заметим, что в случае, когда G = GLn(C), а камера Вейля С
выбрана, как в примере 2 из п. 3, подгруппы В+ и В" совпадают
соответственно с подгруппами всех верхних и нижних треугольных
матриц, a N+ и N~ — с подгруппами треугольных матриц с единич-
единичной диагональю.
Задача 27. Подгруппа N+ совпадает с унипотентным радика-
радикалом группы В+ и В+ = N+ X Т.
Задача 28. Различным камерам Вейля соответствуют различ-
различные борелевские подгруппы в G.
Мы хотим теперь показать, что любая борелевская подгруппа,
Содержащая Г, соответствует некоторой камере Вейля. Для этого
мы рассмотрим нормализатор N(T) тора Т. Согласно задаче 1.24,
каждому элементу n^N(T) отвечают линейные преобразования
w = Ad п и w* пространств F = I (К) и Е = ! (R)* соответственно,
причем wT' (A) = А. Очевидно, w(Freg) = Freg и w переставляет каме-
камеры Вейля. Нетрудно понять, что если В+ — борелевская подгруппа,
соответствующая фиксированной камере Вейля С, то подгруппа
пВ+п~г будет соответствовать камере Вейля w(C)i

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 173
Задача 29. Пусть В — любая борелевская подгруппа в б?, со-
содержащая Т. Тогда существует такой a^N(T), что аВа = В+.
Из задач 28, 29 и сделанных выше замечаний вытекает
Теорема 3. Построенное выше отображение С ^ В+ является
биекцией множества всех камер Вейля в F на множество всех боре-
левских подгрупп группы G, содержащих Т.
Предположим теперь, что группа G связна. Рассмотрим, как при
доказательстве теоремы 3.2.12, какую-нибудь замкнутую орбиту D
группы G в пространстве флагов. Существует точка p*=D, стабили-
стабилизатор Gp которой содержит В+ в качестве связной компоненты еди-
единицы. Нашей ближайшей целью будет доказательство того, что
многообразие D односвязно и GP = В+.
Рассмотрим орбиту N~(p) подгруппы N~<=G в D, которая по
теореме 2.1.7 является неособым алгебраическим подмногообразием.
Действие группы G на D порождает сюръективный морфизм
аР: G-+D, заданный формулой aP(g) = gp.
Задача 30. Орбита N~(p) открыта вйи отображение аР: N~ -*¦
-*N~(p) является изоморфизмом алгебраических многообразий.
Поскольку G связна, D неприводимо. Из задачи 30 вытекает,
что D\N~ (р)—алгебраическое подмногообразие вещественной ко-
коразмерности ^2 в D. Из теоремы 3.3.7 следует, что многообразие
N~(p) изоморфно С9 и, в частности, односвязно. Поэтому и D од-
односвязно ([20], гл. 7, лемма 12.6). Отсюда следует, что GP=B+ (см.
теорему 1.3.4).
Поскольку все борелевские подгруппы в G сопряжены (теорема
3.2.12), все результаты, полученные нами для jB+, справедливы для
любой борелевской подгруппы. Отсюда следует
Теорема 4. Пусть G — связная алгебраическая группа и В —
ее борелевская подгруппа. Тогда факторпространство D = GIB яв-
является односвязным проективным алгебраическим многообразием.
Задача 31. Доказать следующую теорему:
Теорема 5. Борелевская подгруппа В связной алгебраической
группы G совпадает со своим нормализатором N(B).
Отсюда мы выведем следующее свойство максимального тора:
Теорема 6. Максимальный тор связной редуктивной алгебраи-
алгебраической группы G совпадает со своим централизатором] в частности,
он содержит центр группы G.
Следствие. Пересечение всех максимальных торов связной
редуктивной алгебраической группы совпадает с ее центром.
Задача 32. Пусть в условиях теоремы 6 Т — максимальный
тор, содержащийся в борелевской подгруппе В. Тогда нормализатор
NB{T) тора Т в В совпадает с Т.
Задача 33. Доказать теорему 6.
4. Группа Вейля. Будем пользоваться обозначениями п. 2. Пусть
Я^Е, XФ 0. Напомним, что мы обозначили через г% ортогональное
отражение в пространстве Е относительно гиперплоскости Lk. Оче-

1 74 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
видно, ортогональное отражение в пространстве Г = Е* относитель-
относительно гиперплоскости Р%, заданной формулой B), совпадает сг^', но
мы будем для простоты обозначать его также через п. Рассмотрим
группы ортогональных преобразований W и Wy пространств F и Е
соответственно, порожденные отражениями га (а^Д). Группа W
называется группой Вейля системы корней А. Из D) видно, что
Wv является группой Вейля двойственной системы корней Av. По-
Поскольку г% = е, отображение w*-* ui1 определяет изоморфизм меж-
между группами W и PFV.
Из определения системы корней следует, что 1FV(A) = A. Поэто-
Поэтому группа W переводит в себя систему сингулярных гиперплоско-
гиперплоскостей Ра (а^ А) и переставляет камеры Вейля.
Задача 34. Группа Вейля конечна.
Теорема 7. Группа Вейля W просто транзитиено действует
на множестве всех камер Вейля в F, а группа Wy—на множестве
всех систем простых корней в А. Если фиксировать систему про-
простых корней П <= Д? то группы W и Wv порождаются отражениями
га (аеЩ и для любого а^А существует такой w^WV, что
«;(а)еП (или уМ?(а)еП).
При доказательстве будет использовано следующее понятие.
Две камеры Вейля С ж С называются смежными, если существует
такая гиперплоскость P^zF, что РПС = РПС" = 0 ж РОС ОС со-
содержит непустое открытое в Р множество. В этом случае гипер-
гиперплоскость Р является общей стенкой камер С ж С, причем эти ка-
камеры лежат по разные стороны от Р. Из задачи 18 следует, что от-
отражение относительно Р переводит С я С' друг в друга.
Задача 35. Если С и С"— две камеры Вейля, то существует
такая последовательность Со, С4, ..., Ст камер Вейля, что С = Со,
С = Ст и С*, Ci+i смежны (i = 0, ..., г — 1).
Фиксируем теперь некоторую систему простых корней ПсД и
обозначим через W подгруппу в W, порожденную отражениями га
(а^П), т. е. отражениями в стенках камеры Вейля Со, соответ-
соответствующей системе П (задача 18).
Задача 36. Группа W' транзитивна на множестве всех камер
Вейля.
Задача 37. Группа W совпадает с W.
Задача 38. Пусть w = га± ... raf — представление элемента w
в виде произведения наименьшего возможного числа образующих ra
(сс^П) (? = 0, если w = e). Тогда камеры Вейля Со и w(C0) раз-
разделяются в точности следующими t различными гиперплоскостями
Д)
• • ч rat • • • r<*t-i ( at)'
Теорема 7 вытекает из задач 36, 37, 38 и 19.

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 175
Теорема 8. Любая замкнутая камера Вейля С является фун-
фундаментальным множеством для группы Вейля W, г. е. пересекает
орбиту W(y) любой точки y^F в единственной точке.
Существование точки yo^W(y)UC следует из теоремы 7,
а единственность — из следующей^ задачи:
Задача 39. Если y^U0w(C), где w^W, то w(y) = y.
Другим приложением теоремы 7 является следующая важная
теорема, показывающая, что система простых корней приведенной
системы корней определяет последнюю однозначно с точностью до
изоморфизма:
Теорема 9. Пусть ДсЕ, A'<=E'— системы корней, ПсД —
система простых корней, ср: <А> ->¦ <А'> — изоморфизм системы П
на подсистему П/ = ф(П)с=Д/. Если система Дг приведена, то ф яв-
является изоморфизмом системы А на некоторую систему корней
хр(А)с=А/. Если А' также приведена и П'— система простых кор-
корней б Д', то ф(А) = А/.
Задача 40. Доказать эту теорему. •
Рассмотрим теперь случай, когда А = Ag—система .корней ре-
дуктивной алгебраической группы G относительно максимального
тора Т. Рассмотрим отображение v: n ^ (Ad n) \Х(щ группы N(T)
в группу ортогональных преобразований пространства F = t (OR).
Очевидно, это отображение есть гомоморфизм. Обозначим его образ
через W", Из задачи 1.37 видно, что W<=W".
Задача 41. Ядро гомоморфизма v: N(T)-+W" совпадает с Т.
Задача 42. Группа W" просто транзитивно действует на мно-
множестве камер Вейля и совпадает с W.
Тем самым доказана
Теорема 10. Гомоморфизм v определяет изоморфизм группы
N(T)/T на группу Вейля W системы корней AG.
Задача 42 дает также доказательство простой транзитивности
группы Вейля на множестве камер Вейля, отличное от полученно-
полученного выше (см. теорему 7).
Группа Вейля системы корней AG называется группой Вейля
редуктивной алгебраической группы G или ее касательной алгебры g.
Пример. Пусть G = GLn(C) и Г — подгруппа всех невырож-
невырожденных диагональных матриц (см. п. 1.5). Рассмотрим в t (К) ба-
базис {Eu\i = l, ..., п}. Очевидно, отражение rai- переставляет Ец с
Ejj и оставляет на месте остальные векторы этого базиса. Таким
образом, W ^ Sn. Группа N(T) есть группа всех мономиальных мат-
матриц, т. е. матриц, в каждой строке и каждом столбце которых со-
содержится ровно один ненулевой элемент.
5. Схема Дынкина. Пусть Г = {*fi, ..., уЛ — некоторая система
ненулевых векторов евклидова пространства Е. Системе Г можно
сопоставить граф, который позволяет наглядным образом решить
вопрос о разложении этой системы на неразложимые компоненты
в смысле п. 1. А именно, сопоставим каждому вектору у* вершину
графа и соединим вершины, отвечающие векторам f* и Ъ? Ребром

176 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
в том и только том случае, когда (^, Чз)?*О. Очевидно, неразложи-
неразложимые компоненты системы Г будут в точности соответствовать связ-
связным компонентам построенного графа. Ребра графа можно снаб-
снабдить дополнительными отметками, позволяющими получить инфор-
информацию об углах между векторами у* и отношениях их длин. Мы
проделаем это для одного специального класса систем векторов.
Система ненулевых векторов Г = {уи ..., ^Л евклидова простран-
пространства Е будет называться допустимой, если ау = <^*1^> — неположи-
неположительное целое число для любых i?=j. Целочисленную квадратную
матрицу А(Г) = (ац), где a{j — (уА^У, будем называть матрицей
системы векторов Г.
Условие пц < 0 означает, что угол 0^ между векторами у* и ^
является неострым. На самом деле числа aijy тпц = афц и 6*; для до-
допустимой системы могут принимать лишь значения, указанные в
A \
1 , где
nij!
riij = 2, 3, 4, 6 или о© соответственно.
Схема Дынкина допустимой системы векторов строится следу-
следующим образом:
1) каждому вектору ^ сопоставляется вершина схемы;
2) i-я. вершина соединяется с /-и (i^j) ребром кратности Шц
(в частности, при Шц = 0 вообще не соединяется);
3) если \пц\ < Ujil, то соответствующее ребро ориентируется
стрелкой, направленной от /-и вершины к i-&.
Главной подматрицей некоторой матрицы назовем подматрицу,
находящуюся на пересечении строк и столбцов с одинаковыми но-
номерами. Главные подматрицы матрицы А (Г) соответствуют подси-
подсистемам системы Г и подсхемам ее схемы Дынкина.
Очевидно, матрица А (Г) получается из матрицы Грама системы
Г путем умножения столбцов на числа 2/(^г, *{i)>0. Поэтому
det^(T)^O, причем detA(T)>0 тогда и только тогда, когда си-
система Г линейно независима.
Задача 43. Схема Дынкина допустимой системы векторов
определяет эту систему с точностью до изоморфизма (в смысле п. 1).
Задача 44. Если Г = {fi, ..., ^s) — допустимая система векто-
векторов, то система Гу = {yY9 ...,¦ уУ I, где уг = -г—-г иу. (i = 1, ..., s)y
\ 'г «г/
также допустима. Ее схема Дынкина получается из схемы Дынки-
Дынкина системы Г изменением ориентации всех ориентированных ребер.
Примером допустимой системы векторов является система про-
простых корней П произвольной системы корней А (см. задачу 13).
В силу теоремы 7 схема Дынкина системы П не зависит от выбора
системы простых корней в системе корней А; поэтому эту схему
можно назвать схемой Дынкина системы корней А. Из теоремы 9
следует, что схема Дынкина приведенной системы корней определя-
определяет эту систему однозначно с точностью до изоморфизма. Мы будем
обозначать эту схему так же, как приведенную систему корней, ко-

I 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
177
торой она соответствует. Из задач 24 и 44 следует, что при перехо-
переходе к двойственной системе корней схема Дынкина меняет ориен-
ориентацию всех ребер.
Если А = AG = Ag — система корней редуктивной алгебраиче-
алгебраической группы G или ее касательной алгебры g, то схему Дынкина
системы А называют также схемой Дынкина группы G или алгеб-
алгебры Ли д. В § 3 будет доказано, что полупростая алгебра Ли одно-
однозначно, с точностью до изоморфизма, определяется своей схемок
Дынкина. Отметим также, что полупростая алгебра Ли проста то-
тогда и только тогда, когда ее схема Дынкина связна, а в общем слу-
случае связные компоненты схемы Дынкина взаимно однозначно соот-
соответствуют простым идеалам полупростой алгебры Ли (см. тео-
теорему 2).
Пример 1. Схемы Дынкина систем корней, изображенных на
с. 165, имеют вид
Аи ВС,
В2, ВС2
а*
а
Пример 2. Схемы Дынкина классических простых алгебр Ли
(см. пример 2 из п. 2) имеют следующий вид (здесь I обозначает
ранг алгебры Ли, равный числу вершины схемы, справа указано
стандартное обозначение схемы Дынкина):
(С), 1> 2,
a2
Аи
а2
а« а9
Все рассмотренные выше допустимые системы векторов линейно
независимы. Теперь мы построим примеры линейно зависимых до-
допустимых систем.
Задача 45. Пусть Г = {у1, ..., ^s} — неразложимая линейно
зависимая система ненулевых векторов евклидова пространства, об-
образующих попарно неострые углы. Тогда все собственные подсисте-
подсистемы в Г линейно независимы. В частности, ранг системы Г равен
5 — 1. Всякое линейное соотношение между ^4, ..., ^s пропорцио-
s
нально одному фиксированному соотношению вида 2 СъЧг = О,
г=1
где все с,- > 0.
12 Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

178 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Пусть А — некоторая система корней. Выберем в Д систему про-
простых корней П и рассмотрим соответствующий частичный порядок
в А. Очевидно, в А существуют элементы, максимальные относи-
относительно этого порядка, т. е. такие корни б ^ А, что из f е А, ч > б
вытекает *у = б.
Задача 46. Любой максимальный корень 8еД удовлетворяет
условиям :(б,а)>0 для всех а^П, причем (б, ^)>0 для некото-
некоторого § е П.
Задача 47. Неразложимая система корней А содержит един-
единственный максимальный относительно П корень б. При этом б =
= S паа> где все па — натуральные числа.
«?П
Пусть А — неразложимая система корней. Из задачи 47 видно,
что единственный максимальный корень б ^ А является наиболь-
наибольшим элементом этой системы. Корень б называется старшим кор-
корнем, а а0 = —б—младшим корнем системы А. Если П = {а1, ...
..., ап}, то II = {а0, а19 -•••, ап) называется расширенной системой
простых корней системы А. Из задачи 46 следует, что П — неразло-
неразложимая линейно зависимая допустимая система векторов. Схема
Дынкина системы П называется расширенной схемой Дынкина си-
стемй А.
В случае когда А—система корней простой некоммутативной
алгебраической группы G (или алгебры Ли й), говорят о расширен-
расширенной системе простых корней и о расширенной схеме Дынкина груп-
группы G (или алгебры Ли %).
Пример 3. Расширенные схемы Дынкина простых классиче-
классических алгебр Ли имеют следующий вид (каждая схема содержит
1+1 вершин, справа указано стандартное обозначение для каждой
схемы):
Расширенная схема Дынкина системы корней G2 имеет вид

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 17$
Пример 4. Меняя ориентацию кратных ребер в схемах
\ &2 (т. е. переходя к двойственным системам векторов, см.
задачу 44), мы получим следующие связные схемы Дынкина (пер-
(первые две схемы имеют по I + 1 вершин):
DC)
Легко проверить, что эти схемы отвечают также допустимым си-
системам векторов, полученным из систем простых корней П систем
корней А типов d, Bh G2 соответственно путем добавления корня
— (?i + e2), —81, — Bcci + a2) (в обозначениях примеров 2 и 1 из
п. 2). Добавленный корень является наименьшим из корней мини-
минимальной длины в системе А. На схеме Дынкина ему отвечает левая
крайняя вершина (в случае схемы ^2?-i — любая из двух левых
крайних вершин).
5. Добавляя к системе простых корней системы корней типа Bt
вектор — 2е4, мы также получим линейно зависимую допустимую
систему векторов. Ее схема Дынкина имеет вид
\l
2,
причем добавленный вектор отвечает левой крайней вершине схемы.
6. Матрица Картана. В этом пункте мы выясним, какие матрицы
могут быть матрицами допустимых систем векторов. Очевидно, мат-
матрица А(Т) = (ац) допустимой системы векторов Г обладает следую-
следующими свойствами:
1) аи = 2 (i=l, ..., s);
2) если i?=j, то а^^О, причем если пц = 0, то и aji = O;
3) ciij e Z> причем niij = uijuji = 0, 1, 2, 3 или 4.
Наряду с матрицей А (Г) рассмотрим также матрицу С?(Г) =
= (gij), где gij = cos ву, ®ц — угол между ^г и ^-. Это матрица Грама
1 1
нормированной системы векторов -.—.уг, . .., гтг175«
Mil I "> 5 I
Задача 48. Элементы матрицы G(T) имеют вид
Таким образом, выполнено свойство
4) симметрическая матрица (#«), элементы которой задаются
формулами E), является неотрицательно определенной (т. е. ей
соответствует неотрицательно определенная квадратичная форма).
12*

180 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Квадратную матрицу А = (atj) будем называть допустимой,
если она обладает свойствами 1) — 4). Допустимая матрица назы-
называется матрицей Картана, если соответствующая ей матрица (gij) =
= G(A) является положительно определенной (что равносильно ее
невырожденности), и аффинной матрицей Картана, если матрица
G(A) вырожденная.
Из сказанного выше ясно, что матрица А (Г) линейно независи-
независимой допустимой системы векторов Г есть матрица Картана, а мат-
матрица линейно зависимой допустимой системы векторов есть аффин-
аффинная матрица Картана. В частности, с каждой системой корней Д
связана матрица Картана А (П), где П — система простых корней
в А, а если А неразложима, то возникает аффинная матрица Кар-
Картана A(U).
Заметим, что каждой допустимой матрице А =(##) можно сопо-
сопоставить схему Дынкина, которая определяет матрицу однозначно,
с точностью до одинаковых перестановок строк и столбцов. При
этом вершины схемы соответствуют столбцам матрицы А, а ребра
строятся по правилам 2), 3), указанным в п. 5.
Ясно, что если А — допустимая матрица, то и матрица Ау до-
допустима. При этом G(A) = G(AT), а схема Дынкина матрицы Ат'
получается из схемы Дынкина матрицы А изменением ориентации
ребер. Если А=А(Т), где Г — допустимая система векторов, то
А =А(Г*) (см. задачу 44). Главная подматрица допустимой
матрицы А, очевидно, допустима; ей отвечает подсхема схемы Дын-
Дынкина матрицы А.
Будем говорить, что матрица А разлагается в прямую сумму
матриц At и А2, если после некоторой перестановки строк и такой
/А о
же перестановки столбцов матрица А приводится к виду I п А
Матрица А называется неразложимой, если А не разлагается в пря-
прямую сумму матриц меньших порядков. Аналогично определяется
разложение матрицы А в прямую сумму нескольких матриц. Оче-
Очевидно, что всякая матрица однозначно представляется в виде пря-
прямой суммы неразложимых матриц (мы считаем, что матрицы рас-
рассматриваются с точностью до одинаковых перестановок и столбцов).
В случае допустимых матриц этому разложению соответствует рас-
распадение схемы Дынкина в объединение связных компонент.
Теперь мы докажем, что любая допустимая матрица является
матрицей некоторой допустимой системы векторов.
Задача 49. Всякая неотрицательно определенная симметриче-
симметрическая матрица G порядка I является матрицей Грама некоторой си-
системы I векторов в евклидовом пространстве. Ранг этой системы
векторов равен рангу матрицы G.
Задача 50. Пусть схема Дынкина допустимой матрицы А не
содержит циклов, и пусть и{, ..., щ — система векторов евклидова
пространства Е, матрицей Грама которой служит G(A). Тогда су-

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 181
ществуют такие pi > 0, что А — матрица системы векторов fi ==
= PiUu ..., fi = /wz, причем (yi, 7j) e Q для всех i, /.
Прежде чем рассматривать случай, когда схема Дынкина содер-
содержит цикл, сделаем следующее замечание. Если В — главная подмат-
подматрица матрицы А, то матрицы G(B) есть главная подматрица мат-
матрицы G(A). Поэтому если А — матрица Картана, то и В —
матрица Картана. Далее, если А — неразложимая аффинная матри-
матрица Картана, то применяя задачу 45 к системе векторов, матрицей
Грама которой служит G(A), мы видим, что всякая собственная
главная подматрица матрицы А является матрицей Картана.
Задача 51. Если схема Дынкина неразложимой допустимой
матрицы А содержит цикл, то А=АA1), где П — расширенная си-
система простых корней алгебры Ли $li+1(Q, l>2, а схема Дынки-
Дынкина имеет тип А[г) (см. пример 3 из п. 5).
Из задач 50 и 51 непосредственно следует
Теорема 11. Любая допустимая матрица А является матрицей
некоторой допустимой системы векторов Г = {уи ..., ^} евклидова
пространства, такой, что (уи Yj) ^ Q для любых ?, /.
Следствие. Если А — допустимая матрица порядка Z, то
del А >0. При этом А —матрица Картана в том и только том слу-
случае, когда det^>0.
Отметим также следующее утверждение.
Задача 52. Если схема Дынкина неразложимой допустимой
матрицы А содержит ребро кратности 4, то А — аффинная матрица
Картана порядка 2.
7. Классификация. В этом пункте будет проведена классифика-
классификация (с точностью до изоморфизма) всех допустимых систем век-
векторов. Используя теорему 8, мы получим отсюда классификацию
систем корней.
Как следует из теоремы 11, классификация допустимых систем
векторов равносильна классификации допустимых матриц или клас-
классификации схем Дынкина, соответствующих этим матрицам. При
этом достаточно перечислить неразложимые допустимые системы,
т. е. связные схемы Дынкина. Будем для краткости называть схе-
схемой Дынкина схему Дынкина некоторой матрицы Картана и аф-
аффинной схемой Дынкина — схему Дынкина некоторой аффинной
матрицы Картана. Рангом схемы будем называть ранг соответству-
соответствующей допустимой системы векторов (или матрицы). Для схемы
Дынкина ранг равен числу вершин схемы, а для связной аффинной
схемы Дынкина — числу вершин схемы, уменьшенному на 1 (см.
задачу 45).
Каждая связная схема Дынкина имеет специальное обозначение
типа Li, где L — прописная латинская буква, а I — ранг схемы. Эти
обозначения будут вводиться по мере классификации. Нам уже из-
известны следующие связные схемы Дынкина: At (Z>1), Вг (Z^l),
Ci (Z^l), Di (Z>3), G2 (см. п. 5, примеры 1, 2). Схемы Дынкина

182 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
первых четырех серий называются классическими; они отвечают клас-
классическим комплексным группам Ли *SX;+i(C), SO2i+i (С), Sp2i(C)t
SO2i(C) соответственно. Схема G2 является первым примером
неклассической схемы Дыыкина. Заметим, что ^i=5i = Ci, 2?2 = C2,
A3=D3. Каждая из перечисленных схем Дынкина Ьг может быть
расширена путем добавления одной вершины до некоторой связной
аффинной схемы Дынкина L^ ранга I (см. п. 5, пример 3). Дру-
Другие связные аффинные схемы Дынкина указаны в примерах 4, 5,
п. 5. Заметим, что связные аффинные схемы Дынкина мы обозна-
обозначаем символами вида Lt , где к = 1, 2, 3, причем число I совпадает
с рангом схемы, если к = 1, но, как правило, не совпадает с рангом
при к> 1. Смысл этих обозначений будет прояснен в § 4.
Отметим следующие свойства схем Дынкина, вытекающие из
задач 51, 52 и замечаний, сделанных в п. 6.
(Д1) Любая подсхема схемы Дынкина есть схема Дынкина.
(Д2) Схема, получающаяся из схемы Дынкина (или аффинной
схемы Дынкина) изменением ориентации всех ребер, есть схема
Дынкина (соответственно аффинная схема Дынкина).
(ДЗ) Кратность ребра схемы Дынкина равна 1, 2 или 3,
(Д4) Схема Дынкина не содержит циклов.
(Д5) Аффинная схема Дынкина не является схемой Дынкина
и обратно.
(Д6) Всякая собственная подсхема связной аффинной схемы
Дынкина есть схема Дынкина.
(Д7) Кратность ребра связной аффинной схемы Дынкина ранга
> 1 равна 1, 2 или 3.
(Д8) Схемы Л\г) A>2)—единственные аффинные схемы Дын-
Дынкина, содержащие циклы.
Задача 53. Единственными связными схемами Дынкина ран-
рангов 1 и 2 являются А{, А2, В2, G2. Единственными связными аф-
аффинными схемами Дынкина ранга 1 являются следующие схемы:
Следующее предложение описывает все интересующие нас схе-
схемы с тремя вершинами.
Предложение 1. Всякая связная схема Дынкина ранга 3
есть одна из схем А3, В3 или С3. Всякая связная аффинная схема
Дынкина ранга 2 есть одна из схем А(?\ С(%\ DC2\ A(*\ G(^\ D^\
Доказательство. В силу задачи 49 схеме Дынкина ранга 3
(или матрице Картана А порядка 3) отвечает линейно независимая
система векторов ии и2, и3 в трехмерном евклидовом пространстве
Е3, матрица Грама которой есть G(A). Углы между этими вектора-
ми равны U|j = я , где ni2, nl3i n23 могут принимать лишь зна-
значения 2, 3, 4, 6. Плоскости, ортогональные к и*, ограничивают трех-

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 183
гранный угол, двугранные углы которого равны п/п12; nfni3, п/п23.
Заметим, что двугранные углы некоторого трехгранного угла суть
углы некоторого сферического треугольника, а для существования
сферического треугольника с заданными углами необходимо и до-
достаточно, чтобы сумма этих углов была больше я. Таким образом,
1 1 >1. Этому неравенству удовлетворяют (при условии
П12 И13 ^23
неразложимости) лишь следующие два набора чисел щ: {2, 3, 3} и
{2, 3, 4}. Соответствующие наборы чисел ?щ суть {0,1,1} и {0,1,2}.
Матрицы Картана с такими числами т^ отвечают системам корней
AS1B31C3.
Аналогично, связная аффинная схема Дынкина ранга 2 опреде-
определяет систему векторов ии и2, и3 ранга 2 в Е3. Углы 6ij— л меж-
ду ии и2, щ в сумме дают 2я, откуда 1 1 ==1. Этому
П12 nU Д23
уравнению удовлетворяют лишь следующие наборы чисел /г«:
C,-3,-3}, {2; 4, 4}, {2, 3, 6}. Соответствующие наборы чисел гщ суть
{1, 1, 1}, {0, 2, 2}, {0, 1, 3}. Все аффинные схемы Дьшкина с таки-
такими числами rriij перечислены в формулировке предложения. ;
Из предложения 1 и свойств (Д1), (ДЗ), (Д6) вытекает
Следствие. Связная (или связная аффинная) схема Дынки-
Дынкина ранга ^3 содержит лишь ребра кратностей 1 и 2.
Задача 54. Сумма кратностей ребер, выходящих из вершины
связной схемы Дынкина ранга ^3, не превосходит 3. То же верно
для связных аффинных схем Дынкина ранга ^3, если исключить
схемы 41 * 42\ ^41}.
Назовем узлом вершину схемы, соединенную более чем с двумя
вершинами, и простым узлом — узел, соединенный ровно с тремя
вершинами и притом ребрами кратности 1. Из задачи 54 следует,
что узел в схеме Дынкина всегда прост. То же верно для связных
аффинных схем Дынкина, если исключить схемы D^> 53 , А^\
Узлы и кратные ребра схемы будем называть ее особенностями.
Задача 55. Связная схема Дынкина не может иметь более од-
одной особенности. Единственными связными аффинными схема-
схемами Дынкина, содержащими две особенности, являются схемы
Щ i} P }$ 4V (l>2), AV-i
Из свойства (Д4) легко следует, что связные схемы Дынкина,
не содержащие особенностей,— это схемы серии Ah l^ 1. Аналогич-
Аналогично, из свойств (Д8) и (Д5) следует, что связные аффинные схемы
Дынкина, не содержащие особенностей,— это схемы серии А\г\
1^2. В силу задачи 55 остается перечислить схемы, содержащие
ровно одну особенность. При этом мы можем считать, что ранг схе-
схемы ^3 и что особенность является простым узлом или ребром крат-
кратности 2 (см. следствие из предложения 1).

184 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Связная схема Дынкина ранга ^3, содержащая особенность, но
отличная от Bh Cu Dh должна содержать подсхему вида
или
То же можно сказать о любой связной аффинной схеме Дынкина
ранга ^3, содержащей ровно одну особенность — простой узел или
двойное ребро. Рассмотрим следующие схемы, содержащие I вер-
вершин, которые при указанных ниже значениях I не являются клас-
классическими схемами Дынкина:
. —о-^ j?i, I ^ 6,
Условимся обозначать через 6(L) определитель допустимой матри-
матрицы со схемой Дынкина L.
Задача 56. Имеем б^О^Э-Z, 6(FZ) = б(/^У) = 5 — Z. Схема
Ei является схемой Дынкина при Z = 6, 7, 8, a Ft и Fi — при Z = 4,
причем F4 = Fi. Схемы Е9 = Е$\ Fb = F%\ F5V = ЕF2) суть связ-
связные аффинные схемы Дынкина.
Задача 57. Схемы EG и Е7 содержатся в следующих связных
аффинных схемах Дынкина:
Задача 58. Всякая неклассическая связная схема Дынкина
ранга ^3 есть одна из схем Z?e, E7i E8, Fk. Всякая связная аффин-
аффинная схема Дынкина, содержащая одну особенность — простой узел
Д, дрщ ду р
или двойное ребро, есть одна из схем Eq , Е7г , Е^ , Fl , EQ .
Подытожим полученные результаты.
Теорема 12. Связные схемы Дынкина исчерпываются схема-
схемами Аг (Z>1), Вг A>1), d (l>i), Dt (Z>3), Ег A = 6, 7, 8), F4,
G2 (см. табл. 1). Связные аффинные схемы Дынкина исчерпыва-
исчерпываются схемами Li, где Lt — связная схема Дынкина ранга I,
а также схемами ABtiti> 3), А$ A> 1), D^ (l> 2), Е{?\ Df
(см. табл. 6).
Схемы Дынкина EQ, E7i E8i Fk и G2 называются особыми. Для
первых четырех из них остается еще открытым вопрос, являются

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 185
ли они схемами Дынкина некоторых приведенных систем корней.
Этот вопрос на самом деле решается положительно, например, пу-
путем явного построения соответствующих систем корней (в § 3 дано
другое доказательство, использующее алгебры Ли).
Задача 59. Системы векторов типов j?6, Е7, Е8, F^ приведен-
приведенные в таблице 1, являются приведенными системами корней со
схемами Дынкина Е6, ?V, E8, Fk соответственно. Их расширенные
схемы Дынкина совпадают со схемами Е^\ Е?\ 2?8 , F&.
Как итог классификации приведенных систем корней, получаем
следующую теорему.
Теорема 13. Неразложимые приведенные системы корней ис-
исчерпываются с точностью до изоморфизма системами типов At (I ^
>1), Вь (l>2), d (l>3), Di (l>4), Е6, Еъ Е8, F,, G2 из таб-
таблицы 1.
Теперь мы перечислим неприведенные неразложимые системы
корней.
Задача 60. Если А — произвольная система корней, то Ао =
=ja e A
-j-a ф А1 — приведенная система корней, неразложимая
тогда и только тогда, когда неразложима А. Системы корней А и Ао
обладают одними и теми же камерами Вейля, системами простых
корней и одной и той же группой Вейля.
Задача 61. Если А — неприведенная неразложимая система
корней, то Ао имеет тип Вь.
Задача 62. Доказать следующую теорему:
Теорема 14. Единственной неприведенной неразложимой си-
системой корней ранга I является система корней типа BCt (Z^l),
полученная объединением систем типов Bt и Ch т. е. система
{±8i±8j (i?=j), ±8г, ±2ег} (см. примеры 7 и 8 из п. 1.5).
8. Решетки корней и весов. Пусть У — конечномерное векторное
пространство над полем К. Как нам известно (см. задачу 1.2.30),
любая дискретная подгруппа векторной группы У есть свободная
абелева подгруппа, базис которой является линейно независимой
системой векторов. Такие подгруппы в У мы будем называть ре-
решетками.
Пусть Г —решетка в У, такая, что У=<Г>. Тогда в У* опре-
определена подгруппа
Г* = {X €= У* | X (х) е= Z для всех х е= Г},
которая также является решеткой и порождает У*. Действительно,
пусть еи ..., еп — базис решетки Г; по определению он является
базисом пространства У. Рассмотрим в У* сопряженный базису,...
• ••х *ns заданный формулами
Тогда ясно, что ^i, ...,^п — базис подгруппы Г*. Решетка Г* есте-

186 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
ственно отождествляется с группой Нот (Г, Z); она называется
решеткой, сопряженной с решеткой Г. Если обычным образом
отождествить V с пространством (F*)*, то решетка Г отождествит-
отождествится с (Г*)*,
Пусть Гс=Г — две решетки в пространстве V. Тогда Т/Г — ко-
конечно порожденная абелева группа, которая может быть вычислена
следующим^образом. Рассмотрим базис ^1> • • •? Т* решетки Г и ба-
базис ^i, ..., Yw решетки Г. Тогда
где С = (dj) — целочисленная матрица. Известно (см. [46], гл. 7),
что
Г/Г~ е ZmfeZm"V
i=l !
где . hiJt^I ... \гпа — инвариантные множители матрицы С, отлич-
отличные от 0 и 1. В частности, если I = т, то Г/Г конечна и
1Г/Г1 = IdetCl.
Задача 63. Если Г с: Г — решетки в 7=<Г> = <Г>, то Г*с
с: Г*, причем
Пусть А — система корней в евклидовом пространстве Е. Обо-
Обозначим через Q аддитивную подгруппу в Е, порожденную систе-
системой А. Если П — произвольная система простых корней в А, то,
очевидно, П — базис абелевой группы Q. Таким образом, Q — ре-
решетка с базисом П. Она называется решеткой корней.
Далее, допустим, что Е = <А>, и положим
Р — {у е Е | < у j a> e Z для всех а е А}.
Если n = {ai, .;., аг}, то определим я{еР формулами
== 8ц.
Очевидно, Р — решетка с базисом лх±, ..., Jtz; эта решетка называ-
называется решеткой весов, а ее элементы — весами. Веса пи ..., я* на-
называются фундаментальными (относительно П). Простые корни
выражаются через фундаментальные веса с помощью формул
п
ai = 2i ацщ,- F)
3=1
где А = (а^) — матрица Картана системы корней А.
Задача 64. Решетки Q и Р инвариантны относительно груп-
группы Вейля ^'

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 187
Из определения системы корней следует, что Q <= Р, Группа
называется фундаментальной группой системы корней А.
Задача 65. Фундаментальная группа я (А) изоморфна ©j
г=1
где тпг — инвариантные множители матрицы Картана А системы А,
отличные от 1. В частности,
U(A)l=det4.
В таблице 3 приведены фундаментальные группы я (А) всех не-
неразложимых приведенных систем корней А, вычисленные при по-
помощи задачи 65. Заметим, что я (А) является циклической группой
во всех случаях, кроме случая системы А типа D2s, s ^ 2.
Рассмотрим также двойственную систему корней AVc=F = E*.
Ей соответствуют решетки корней и весов (?Vc=pVB простран-
пространстве F. В силу задачи 64 они инвариантны относительно группы
Вейля W = (WA/)V.
Задача 66. Имеем (?V = p*, pV = Q*y Я(Д\/) - Я(А).
В силу задачи 1.29 наши конструкции применимы к случаю,
когда А = AG — система корней полупростой алгебраической группы
G относительно максимального тора Т. Как мы видели в п. 1.4,
группа ?(Т) отождествляется с некоторой решеткой в пространстве
Е = t @?)*. Сопряженная с ней решетка X (Г)* cz t (j?) совпадает с
*(Z).
Задача 67. Имеем
(?с!(Г)сР.
Qy c=t(Z)czPv.
Заметим, что решетки Р, Q, PV? QVопределяются системой кор-
корней Ag = Ag, которая, как мы видели выше, не зависит от выбора
алгебраической группы G с касательной алгеброй $. В то же время
Ж(Т) и t(Z)y вообще говоря, зависят не только от алгебры Ли g,
но и от глобального строения группы G. В § 3 будет доказано, что
связная полупростая алгебраическая группа G определяется с точ-
точностью до изоморфизма системой корней AG и любой из решеток
*(Г), t(Z).
Если р — линейное представление полу простой алгебры Ли д,
то Фр <= Р (см. задачу 1.43), т. е. любой вес представления р явля-
является весом в определенном выше смысле.
Упражнения
Через Е обозначается конечномерное евклидово пространство, через 0(Е) —
группа всех его ортогональных преобразований и через /(Е) —группа всех его
движений. Если Q cz E —конечная система ненулевых векторов, то через Aut Q
обозначается группа всех автоморфизмов системы Q в смысле п. 1. В упраж-
упражнениях 3—19 предполагается, что А — система корней в Е, П — фиксированная

188
ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
система простых корней в А. Через W обозначается группа Вейля системы Л,
через W^ — группа Вейля двойственной системы корней, через Q и Р— ре-
решетки корней и весов.
1. Если система Q неразложима, то АиШ с= 0«Q».
2. Если п допустима, то группа AutQ изоморфна группе автоморфизмов
схемы Дынкина системы Q.
'6. Скалярное умножение в Е можно изменить таким образом, что в новом
евклидовом пространстве Е система А является системой корней, причем
AutAczO«A».
4. Если аеП, то га переводит А+\{а, 2а} в себя.
5. Пусть А приведена и р== — 2 а* Тогда г$(р) = р — р и <р|р> = 1
1
для всех реП, так что р совпадает с суммой jti + ... + пг всех фундамен-
фундаментальных весов.
6. Пусть А приведена, w ^W и t — число из задачи 38. Тогда t совпадает
с числом таких а е А+, что w (а) < 0.
7. Система корней А неразложима тогда и только тогда, когда группа W
действует в <А^ > неприводимо.
8. Неразложимая приведенная система корней содержит корни только
одной или двух разных длин, причем группа Вейля транзитивпо действует на
множестве всех корней данной длины.
9. Корни наибольшей и наименьшей длины неразложимой приведенной
системы корней А составляют две системы корней Дтах и Amin того же ранга,
что и А. Если А содержит корни двух разных длин, то типы систем Атах и Amin
определяются из следующей таблицы:
А
Amax
Amin
Bvl>2
Ct,l>2
At+. . .+ Ax
I
F,
Dt
Aa
A2
(считается, что D2 = A\ + A\).
10. В условиях упражнения 9 старший корень системы А лежит в Дтах.
В системе Amin существует единственный максимальный элемент (наибольший
короткий корень).
11. Неразложимые компоненты (А^)г системы корней, двойственной к А,
суть (Ai)V где А* — неразложимые компоненты системы А. Если А — неразло-
неразложимая система корней, отличная от Вп и Cnj n ^ 3, то АV ^ Д. Далее,
12. В УСЛОВИЯХ упражнения 9 (Атах)^== (A^)min и (Amin)V= (AV)max.
Если Оо — старший корень (относительно П), то а^ — наибольший короткий
корень (относительно П^) и наоборот.
13. Группа W не содержит отражений относительно гиперплоскостей, от-
отличных от Ра, аеА.
14. Если преобразование wg^ оставляет на месте ^ е Е, то w пред-
представляется в виде произведения отражений га (cigA), каждое из которых
оставляет ^ на месте.
15. Aut& = wV\ Autn.
16. Если группа Autn тривиальна, то — е е W. (Указание: воспользоваться
существованием противоположной камеры Вейля.)

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 189
17. Найти группы Вейля W алгебр Ли g = son (С) (п > 3), $Р2П(€) (тг> 1)
и сверить результаты с таблицей 4. Доказать, что — е е= W, если g — sl2 (С),
, «<>4Я(С)(Л>1) и-e^W, если g=*In(C)(rc>3) и
4+
18. Каждый автоморфизм а е Aut А переводит в себя решетки Q ж Р ж
поэтому индуцирует автоморфизм а группы к (А). Если а е= WV, то а = е.
Отсюда следует, что если — е е JF, то все элементы группы л (А) имеют поряд-
порядки ¦< 2.
19. Пусть А — неразложимая приведенная система корней. Тогда —е ф И7,
если А — типа Ап (п^ 2), D2n+i (п ^ 1), Ее, и —е <= PF в остальных случаях.
20. Пусть g — комплексная полупростая алгебра Ли. Выберем базисные
элементы еа е д« (аеА ), как в п. 1.6. Положим & = 2 ^а* Тогда /& =
ссеД+
= 2 гв^б' гДе гэ—целые положительные числа. Если
реп
+ 2 S^
реп
то подпространство <й, е+, е_> есть простая трехмерная подалгебра в g (она
называется главной трехмерной подалгеброй).
Указания к задачам
2. Решается аналогично задаче 1.35.
7. Воспользоваться задачами 1.31, 1.32.
9. Пусть (а, р) > 0. Согласно задаче 8, можно считать, что <a|p> = lr
откуда, в силу задачи 1, a— p = rp(a) e= Д.
10. Пусть /?, # — наибольшие целые неотрицательные числа, такие, что
Р — ра, р + qa ен А. То, что а-серия не имеет разрывов (т. е. E + ка е= А для
—Р ^ k ^ g), следует из задачи 9. Равенство р — q = <p|a> вытекает из того,
что a-серия инвариантна относительно ra и потому га (Р + Q&) = Р — ДО-
11. Использовать формулу A). В частности, доказать, что
() av («. MA)-
13. Рассмотреть случаи a — реА+ и a — р ен А; затем применить за-
задачу 9.
14. Положим w = a^vi -f- ... + akuik ~ ^±vj + • • • + ^ivh • Рассматривая
(ш, w), получаем из условия (v{ , v;. )^0, что w = 0 ж (иг , v. \ —0 для
всех р, q. Пусть и — такой вектор, что (и, Vi) > 0 (i = 1, ..., s). Тогда из ра-
равенства (и, w) = 0 следует, что все ар = bq = 0.
15. Пусть Ci = {# ge F|a(z) > 0 для всех аеП(С)}. Очевидно, CczCu
Но Ci с: Freg и С\ выпукло и потому связно. Поэтому С = d.
17. В силу задачи 16 С — непустое связное подмножество Freg. Поэтому
С cz Си где С\ — некоторая камера Вейля. Очевидно, множество А+ положитель-
положительных (относительно П) корней совпадает с множеством ?гположительных кор-
корней, откуда ПсиЩС]). Следовательно, n = n(Ci) и, в силу задачи 15, С —С].
18. Пусть 2gF удовлетворяет условиям а(х) ^ 0 для всех a e П(С). Если
1
фиксировать х0 е С, то из задачи 15 следует, что х + — xQ e= С для всех
п = 1, 2, ... Поэтому жеС. Применяя задачу 16 к ограничениям линейных
форм_ из П (С) \ {а} на гиперплоскость Ра, где а е П F"), получаем, что
Pa П С содержит непустое открытое множество, т. е. Ра — стенка камеры С.
Обратно, если Р — стенка, то Р содержит открытый шар U, такой, что
Uc?lc\Ccz U Pa. Отсюда видно, что Рс U Pa. Поэтому Р
аеП(О) аеП(С)
совпадает с одной из гиперплоскостей Ра.

<*|90 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
19. В открытом множестве F\ U ^р выберем такой шар С/, чтобы
<U [\Раф0. Компонента U\ = {x е= U\a{x) > 0} множества U\Pa содержится
в камере Вейля С, для которой Ра является стенкой. В силу задачи 18 а = ср,
где реП(С) и с > 0. Затем применяем задачу 2.
20. Если (ос, Р) ^ 0 для всех р ^ П, то получаем противоречие с задачей 14.
Затем применяем задачу 9. Положительность корня а — р следует из того, что
все коэффициенты в разложении корня по простым корням должны иметь
одинаковые знаки.
22. Пусть П d А — система простых корней. Если А = Ai [} А2, где Ai Ф 0,
.А2 Ф 0 и (а, Р) = 0 для всех asAi, Ре А2, то П == (П П Ai) U (П П А2), причем
llRA 0 Щ}А0 П — б <А> Об
(, Р) д i, Р , ( П ) U ( П 2), р
Ri Ф 0 и Щ}А2ф0, поскольку П — базис пространства <А>. Обратно, пусть
Л = IIi U П2, где П: ф 0, П2 ф 0 и (а, Р) = 0 для всех а ge Пь Р <ее П2. Обо-
Обозначим Аг множество корней из А, линейно выражающихся через П* (i = 1, 2),
и покажем, что А = Ai U А2. Если это не так, то, как показывает задача 21,
существуют такие а е= А\ П А+ и р е= П2 (или asA2 и р е= Щ), что ч ¦= a ¦+ р е=
е= А. Поскольку a — р ф. А, имеем (a, f) > 0 в силу задачи 10,— противоречие.
23. Для доказательства линейной независимости системы П показать сна-
сначала, что для П справедливо утверждение задачи 13, а затем применить за-
задачу 14.
24. Использовать задачу 18.
25. Согласно задаче 1.26, (ti+, n+) =0, так что п+ — разрешимая алгебра Ли.
Так как Ь+/п+ ~ t, то Ь+ также разрешима. Легко видеть, что п+ = [Ь+, Ь+].
Отсюда следует, что п+ унипотентна.
26. Так как Ь+ zd t, то всякая подалгебра 5 с= g, содержащая Ь+, имеет вид
I) = Ь+ 0 ф 9—а' г^е 8—се — подпространство в д_а. Из существования про-
сть(х трехмерных подалгебр, построенных в п. 1.6, следует, что !) не может быть
разрешимой, кроме случая |) = Ь+. Для доказательства второго утверждения
задачи достаточно заметить, что если д_а ф 0, то [9-а, t] = д_а ф Ь+.
27. Из задачи 25 следует, что TN+ = T/{N+ — алгебраическая подгруппа в
В+. Эта подгруппа совпадает с В+, поскольку ее касательная алгебра есть Ь+.
28. Если Z?i, Z?2 — борелевские подгруппы, соответствующие камерам Вей-
Вейля С\, С2, то из В\ = В2 следует, что унипотептные радикалы этих подгрупп
совпадают. Используя задачу 27, выводим отсюда, что множества Сгположи-
тельных и С2-положительных корней совпадают. Затем применяем задачу 15.
29. Согласно теореме 3.2.12, существует такой geG, что g Bg~l = В+. Тог-
Тогда g Tg~l d B+, и в силу задачи 3.2.23 существует такой Ь^.В+, что
b (g Tg~l) b~l = Т. Положим a = bg.
30. Алгебраическая группа iV~' П Gv = Н унипотентна и, следовательно, не-
приводима (следствие 2 теоремы 3.2.1). С другой стороны, ее касательная алгеб-
алгебра есть п~ П Ь+= 0. Следовательно, Н = {е}. В силу задачи 2.1.20 а-р: N~ ->¦
—>- N~(p) — изоморфизм. Поскольку д = Ь+ 0 п~', имеем dim D = dim N~ =
= dimAT~'(p), так что орбита N~(p) открыта в D.
31. Рассмотрим многообразие G/N(B), снабженное такой структурой квази-
квазипроективного алгебраического многообразия, что каноническое действие груп-
группы G на нем алгебраичио. Согласно задаче 25, N(B)°.= В. Поэтому достаточно
доказать, что GIN {В) односвязно, а это делается так же, как при доказатель-
доказательстве теоремы 4.
32. В силу задачи 3.2.21 подгруппа NB(T) неприводима и содержится в
централизаторе тора Т. Применить задачу 1.28.
33. Доказать сначала, что централизатор тора Т содержится в N(B+).
34. Элементы группы Вейля W^ записываются целочисленными матрицами
в базисе, состоящем из простых корней.
35. Использовать связность множества, получающегося, если выбросить из
F объединение всех попарных пересечений различных гиперплоскостей Ра
(AJ

§ 2. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 191
36. Пусть С и С — камеры Вейля и пусть С = Со, С\, ..., Сг = С" — после-
последовательность камер Вейля, построенная в задаче 35. Мы можем считать, что
П = П(С). Докажем индукцией по г существование такого w eW, что
C' = w(C). Пусть существует такой wo e TF', что ^о(С) = ?г_ь Пусть Ра, где
«еА иуа^А- общая стенка камер Cr-i и Сг — С'. Тогда w (i?a) =
= Paoi г^е a0GlT- Далее, ra = w^^w'1 s=W и (rawo)C = C".
37. Достаточно доказать, что ra е РР' для любого а е Л. Для этого вос-
воспользоваться задачами 19 и 36.
38. Доказать сначала, что если Рр> гДе Р ^ А,— стенка камеры Со и если
камера С! лежит по ту же сторону от Рр, что и Со, то гр переводит гиперпло-
гиперплоскости Ръ разделяющие Со и Сь в гиперплоскости, разделяющие Со и цС\
и отличные от Рр, и наоборот. Затем провести индукцию по t.
39. Достаточно доказать, что если у ^С (] Си где С, С\ — две камеры Вей-
Вейля, то существует такой w e W, что w(C) = Ci и w(y)—y. Для дока-
доказательства этого утверждения достаточно построить такую цепочку попарно
смежных камер, соединяющую С с Си чтобы все стенки, разделяющие последо-
последовательные камеры, проходили через у. Для этого нужно взять окрестность U
точки у в F, не пересекающую ни одну из гиперплоскостей Ра, не проходящих
через г/, и построить в U\ U (Ра П Р$) путь, соединяющий С с С{.
40. Можно считать, что Е = <А>, Е' = <A'>. Из задачи 1 следует, чта
гф(а) = Ф^аф для любого ае П. Применяя теорему 7, видим, что отображение
и>»-> фг^ф" есть инъективный гомоморфизм группы Вейля wV-t-WV, соот-
соответствующих системам корней А и А'. По той же теореме 7 любой asA пред-
ставимв виде a = w(i), где w e PF^*у <= П. Отсюдаф(а) =(фшф-1) (ф(у)) е А'.
Используя снова задачу 1, легко показать, что <ф(а) |<р(Р)> = <a|(i> для всех
а, реА. В случае, когда А' — приведенная система корней, а П' = ф (П) —
система ее простых корней, применить доказанное выше к отображению ф~!.
41. Использовать теорему 6.
42. Пусть n^N(T), и пусть соответствующее преобразование w переводит
в себя камеру Вейля С. Тогда п Вп~1 = В, где В — борелевская подгруппа, соот-
соответствующая С. Применяя теорему 5 и задачу 32, мы видим, что п е Т и и; = е.
Итак, W" просто транзитивно действует на камерах Вейля. Поскольку любая
транзитивная подгруппа просто транзитивной группы совпадает с последней,,
имеем W = W".
43. Если схемы Дынкина систем Г == {^ь ..., ^s} иГ' = {yv ..., ys] изо-
изоморфны, то существует такая биекция ф: Г-^Г', что ф (у^ = y'v а^ =
= а'ц (ь / = 1,...,*), где fly = <Yi | Y,->, а'г. = (у\ | vj>. Можно считать/что
fi, ..., Чг — максимальная линейно независимая подсистема в Г. Рассматривая
главные миноры матриц А (Г) и А (Г7), легко понять, что yv ..., уг — макси-
максимальная линейно независимая подсистема в V. Поэтому существует такой
линейный изоморфизм /: <Г>-^<Г/>, что /(^г) =ф(Тг) для г = 1, ..., г. Затем
доказывается, что это соотношение верно и для г=г+1, ..., s. Для этого
достаточно убедиться в том, что для любого к, где г + 1 ^ к ^ 5, коэффициен-
т
ты а в разложении yk = У] ^7гполностью определяются главной подматри-
цей матрицы Л (Г), соответствующей подсистеме °fi, ..., Tr, Y&- Но эти коэффи-
¦ г .
циенты составляют единственное решение системы уравнений
= <Vfe|Ti> (/ = !,...,'•). i
44. Использовать A).
45. Использовать задачу 14.

192 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
46. Использовать задачи 9, 10 и 20.
47. Неравенства та >> 0 следуют из задачи 45, примененной к системе век-
векторов П U {—б}. Если б' — другой максимальный корень, то из задачи 46 вид-
видно, что (б', б) > 0. В случае б Ф б' получаем противоречие с помощью задачи 9.
49. Пусть Ъ — билинейная форма в U1 с матрицей G в стандартном базисе
€i, ..., ei. Рассмотреть образы векторов е\, ..., ei в пространстве Е = К /iV,
где N — ядро формы Ь.
50. Достаточно рассмотреть случай, когда А неразложима. Для любого
i = 2, ..., I существует единственная последовательность номеров 1 = го?
|ь ..., ik = i, такая, что а^ . Ф 0 для р = 0, 1, ..., к — 1. Положить
Pi=\ 7-Чг^ T^ ^2>' pi =
и заметить, что—— = ~^~ для любых i, /. Поскольку р] g Q, имеем
для всех i, /.
51. Если схема Дынкина является циклом, то
О
О
2
причем mi2, т2з, -.., m/_i, z, ^и—натуральные числа. Поскольку сумма всех
элементов неотрицательной матрицы неотрицательна, получаем из E)
I — (Утгг!7+ • •. + ymi-h i + Ути) ^ 0. Отсюда следует, что т12 = ... =
= mi-it i = mi i = 1. В общем случае воспользоваться тем, что всякая собст-
собственная главная подматрица матрицы А есть матрица Картана.
54. Заметить, что в противном случае имелась бы подсхема одного из пе-
перечисленных в задаче видов. Затем использовать предложение 1 и свойства
(Д1), (Д5), (Д6).
55. Заметить, что всякая схема с двумя и более особенностями содержит
одну из подсхем, перечисленных в задаче.
56. Использовать следствие теоремы 11 и рекуррентную формулу 6(Li) =
«26(?i_i) — 6(?z_2), где U =EhFi или f)[.
57. Доказать вырожденность соответствующих матриц.
58. Использовать задачи 56, 57 и свойства (Д1), (Д5), (Д6).
60. Приведенность системы До следует из задачи 2.
61. Выберем в До систему простых корней П. Из теоремы 7 следует су-
существование такого аеП, что 2аеА. Если йеП, $Ф<а и (а, &) Ф 0, то
<Р|а> = 2<р|2а>= —2, так что |р|2 = 2[ос[2. Из теоремы 13 следует, что До
имеет тип В и
62. Использовать задачу 61 и доказать, что Д\Д0 есть множество всех
удвоенных коротких корней из До.
63. Заметить, что инвариантные множители целочисленной матрицы не
меняются при транспонировании.
65. Следует из F).
66. Сначала доказать, что Р = (Q^) *. Изоморфизм фундаментальных групп
следует из задачи 63.
67. Использовать задачи 1.34 и 66.

§ 3. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 193
§ 3. Теоремы существования и единственности
В этом параграфе будет доказано, что всякая матрица Картана
(см. п. 2.6) является матрицей системы простых корней единствен-
единственной (с точностью до изоморфизма) полупростой комплексной ал-
алгебры Ли. Затем мы займемся изучением связных комплексных
полупростых групп Ли в целом. В частности, будет доказано, что
все эти группы алгебраичны, и будет дана их классификация
с точностью до изоморфизма. Будут описаны также неприводимые
конечномерные линейные представления связных комплексных по-
лупростых групп Ли. Всюду, кроме п. 1, основное поле есть поле
С комплексных чисел.
1. Свободные алгебры Ли, образующие и соотношения. Пусть
а — алгебра Ли над полем /с, Хса — некоторое подмножество.
Обозначим через Ь пересечение всех подалгебр алгебры а, содер-
содержащих X. Очевидно, Ь есть наименьшая подалгебра в а, содержа-
содержащая X; она называется подалгеброй алгебры а, порожденной мно-
множеством X. В частности, если Ь = а, то говорят, что X — система
образующих алгебры а; это означает, что в а не существует соб-
собственной подалгебры, содержащей X. В дальнейшем будет рассмат-
рассматриваться случай, когда множество X = {хи ..., хп} конечно. Алгеб-
Алгебра Ли, допускающая конечную систему образующих, называется
конечно порожденной. Например, любая конечномерная алгебра Ли
конечно порождена.
Задача 1. Множество {хи ..., хп) является системой образу-
образующих алгебры Ли а тогда и только тогда, когда каждый элемент
алгебры а есть линейная комбинация элементов вида
[.. . [[xi±, Xi2], Х^], . . ., Xif] (l<i1? .. ., lft<7Z). A)
Мы построим теперь важный пример алгебры Ли с заданной
системой образующих {хи ..., хп). Определим по индукции неас-
неассоциативные слова в алфавите X следующим образом: слово дли-
длины 1 есть любой элемент х{ е X; слово длины п > 1 есть пара
(г/, z), где г/, z— некоторые слова длин р и q соответственно, р > 1,
q ^ 1, p + q = n. Иначе говоря, множество Х{ слов длины 1 сов-
совпадает с X, а множество Хп слов длины п> 1 определяется по
индукции формулой
Хп = U Хр X Xq.
p+q=n
оо •
В множестве Мх = U ^имеется бинарная алгебраическая опера-
ция, сопоставляющая словам у е Хр, z^Xq слово (г/, z) <= Xp+q.
Рассмотрим соответствующую алгебру /с[Мх] над полем к. Это век-
векторное пространство над к, состоящее из линейных комбинаций
вида 2 czz, где cz^k, причем cz = 0 для всех zelj, кроме
2ЕЕМХ
13 э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

194 гл. 4. комплексные полупростые группы ли
конечного числа, снабженное умножением, которое получается из
умножения в Мх с помощью продолжения по линейности. Алгебра
к [Мх] называется свободной алгеброй над к с системой образую-
образующих X. Множество Мх является ее базисом над к.
Задача 2. Пусть А — некоторая алгебра над к, причем фик-
фиксированы элементы аи ..., ап^А. Тогда существует единственный
гомоморфизм алгебр ср: к[Мх]-+ А, такой, что у(х{)=а{ A =
= 1, ..., 71).
Пусть / — двусторонний идеал алгебры к [Мх], порожденный
элементами вида хгхг и (xixi)xk + {x^xh)xi-\-(xhxi)x^ где 1 ^ г, /, fc < тг.
Алгебра
Цхь ..., xn) = k[Mx]/J,
очевидно, является алгеброй Ли. Она называется свободной алгеб-
алгеброй Ли над полем к с системой образующих X.
Задача 3. Пусть а— произвольная алгебра Ли над /Ь, при-
причем фиксированы элементы аи ..., а„еа. Тогда существует един-
единственный гомоморфизм алгебр ф': \{хи ..., хп) ->- а, такой, что
у(Хг) = а{ (?=1, ..., п). Любая конечно порожденная алгебра Ли
изоморфна факторалгебре некоторой свободной алгебры Ли (с ко-
конечной системой образующих).
Пусть опять а — произвольная алгебра Ли над к и X — подмно-
подмножество в а. Тогда можно рассмотреть пересечение i всех идеалов
алгебры а, содержащих X; это наименьший идеал в а, содержа-
содержащий X. Говорят, что идеал t порожден множеством X.
В частности, пусть (/;)iei — некоторое семейство элементов сво-
свободной алгебры Ли \{хи ..,, хп) и пусть i — идеал в \{хи ..., хп)г
порожденный этим семейством. Факторалгебра 1(хи ..., xn)/i назы-
называется алгеброй Ли с образующими yj = Xj-\-[ (/ = 1, . . ., п) и
определяющими соотношениями fi(y^ . • •> #n)=0 (ie./).
2. Теоремы единственности. Пусть g — комплексная полупрос-
полупростая алгебра Ли, t — ее максимальная диагонализуемая подалгебра,
П = {аи ..., ccz} — некоторая система простых корней алгебры &
относительно t. Используя обозначения п. 1.4 и 1.6, положим
Пусть А =(а15) —матрица системы П; будем называть ее матрицей
Картана алгебры $.
Задача 4. Элементы hh ег, /г (?=1, ..., V) составляют систе-
систему образующих алгебры Ли й и удовлетворяют соотношениям
aJf/j = 0, B)
[е„ fi\ - ht = 0, [еь /J = 0 при i Ф /.
Система элементов {hh et, ft I i = 1, ..., ti называется канониче-
канонической системой образующих алгебры g, ассоциированной с t и II.

§ 3. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ PI ЕДИНСТВЕННОСТИ 195
Обозначим теперь через д = д(Л) алгебру Ли с образующими hu
еи U (^ = 1, ..., I) и определяющими соотношениями, которые по-
получаются из соотношений B) при замене в них hu еи Д на h{, е{, Д
соответственно. Из задач 3 и 4 вытекает, что существует эпимор-
эпиморфизм я: g -*-fl, при котором
л (hi) = К п(ег)=е(, Jt (Л) = /*- C)
В частности, элементы hv, ..., hL линейно независимы. Порожденное
ими подпространство t является коммутативной подалгеброй^в д.
Обозначим через п+ (соответственно п~) подалгебру в д, по-
порожденную элементами еи .. .Л еь ^соответственно Д, ..., ft).
Задача 5. Имеем g = t + п+ + П".
Для всякой линейной функции а ^ t* положим
да = {#<= д | [/г, ^] = a(h)x для всех ft^t}. D)
Задача 6. Имеем g = ® %а, g0 = t.
а ^
Задача 7. Всякий идеал алгебры g есть сумма своих пересе-
пересечений с подпространствами да.
^ 3 а д а ч а 8. Среди идеалов алгебры д, не содержащих ни одного
h^ существует наибольший идеал ш. Имеем ttl = ш+ ® Ш~, где W^ =
= т П п± — идеалы в д.
Задача 9. Имеем Кег я = т.
Таким образом, g ^ g/m. Поскольку идеал т в g однозначно опре-
определен, доказана следующая
Теорема 1. (Первая теорема единственности.) Полупростая
алгебра Ли однозначно с точностью до изоморфизма определяется
своей матрицей Картана (или схемой Дынкина). Точнее, если g и
g — полупростые алгебры Ли с каноническими образующими {h{, е{,
fill^i^l) и {hi, ei, fi\ l^i^l) соответственно и одинаковыми
матрицами Картана, то существует (единственный) изоморфизм
ф: g-^g, такой, что ф(Л,-) = й1-, ф(ег-) = ег-, Ф (/*) = /<.
Пусть теперь р: g-^gl(F)—конечномерное линейное представ-
представление, Фр — система его весов. Каждый вес К ^ Р и, в частности,
каждый вес К е фр полностью определяется целыми числами %(hi)^=
= <А|а,-> (i=l, ..., I), которые служат его координатами в базисе
фундаментальных весов я4, ..., nt (см. п. 2.8). Числа X(ht) называ-
называются числовыми отметками веса К.
Пусть 1 = fB V% — весовое разложение. Весовой вектор v^VA
называется старшим вектором, если
p(ei)v=0 при i = l, ..., I. E)
13*

196 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Соответствующий вес Л^ФР называется старшим весом представ-
представления р.
Пример. Если р = ad — присоединенное представление простой
алгебры Ли д, то корневой вектор еб, отвечающий старшему корню
б (см. п. 2.5), есть старший вектор, а старший корень б — старший
вес представления.
Задача 10. Для любого веса X ^ Фр существуют такие простые
корни а^, ..., <%{к, что X + а^ + ... + ocik — старший вес. В част-
частности, старший вес всегда существует.
Фиксируем старший вес Л ^ Фр и старший вектор vA e УЛ. Обо-
Обозначим через Лг числовые отметки Л(^) старшего веса. Рассмотрим
векторы
vir..ik = P(fi1) ... P(fik)vA A<^, ..., ik<l), v0=vA." F)
Очевидно, vu лъ е V\-a- -. -а,- и имеют место соотношения
1 я г1 " k
p(fi)vir..ik = viir.Ak, G)
P (вг) V0 = 0,
P (ei) viv..ik = (Sii.P (Ai) + P (/ij P (ei)) ^a...ih.
Из них следует, что подпространство в У, натянутое на ^г^.'л^ v®->
инвариантно относительно р(й).
Элемент ^ G t (R)* называется доминантным, если (Я, аг)=^0
(i=l, ..., I). Это означает, что X лежит в замыкании камеры Вей-
ля С% отвечающей системе простых корней а/, ..., аг в Ag7.
Задача 11. Старший вес Л доминантен, т. е. Л,- ^ 0.
Теперь мы предположим, что представление р является непри-
неприводимым. Ясно, что в этом случае ^гг..гк, ^0 порождают простран-
пространство V.
Задача 12. Если р неприводимо и Л—его старший вес, то
dim FA = 1. Всякий другой вес X ^ Фр имеет вид X = Л — ос^ — ...
... — ocift, где а^. е П. Представление р обладает единственным
старшим весом.
Мы хотим теперь доказать, что неприводимое линейное пред-
представление р однозначно, с точностью до эквивалентности, определя-
определяется своим старшим весом. Для этого будет использована следую-
следующая конструкция. ^
Рассмотрим отдельно векторное пространство V над С с базисом
{ ^05 ^ir..ife| 1 ^ г-р .. ., ?fe<! Z, А^ 1}. Определим в нем линейное
представление р = рЛ построенной выше алгебры Ли g, задав его
на образующих по формулам G), с заменой в них hu e^ /*, v0J

§ 3. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ II ЕДИНСТВЕННОСТИ 197
viv..ik и р на hi, ей /*, у0, v\^..\h и р соответственно. (Последнюю
из этих формул следует рассматривать как рекуррентное определе-
определение преобразования р (#*).)
Задача 13. Доказать существование представления рЛ.
Для произвольной линейной функции X ^ t* положим
для всех Ае=?}. ' (8)
Ясно, что
V^ Ф К (9)
Задача 14. Среди подпространств пространства V, инвариант-
инвариантных относительно p(g) и не совпадающих с F, существует наиболь-
наибольшее подпространство М{А).
Задача 15. Существует единственное линейное отображение
р: V ->- F, обладающее следующими свойствами:
б) для любого # ^ g диаграмма
коммутативна. При этом i?(F)= V.
Задача 16. Имеем Кетр = М(А).
Задача 17. Идеал ш содержится в ядре представления алгеб-
алгебры Ли Q, индуцированного в пространстве V/M{A).
Таким образом, р однозначно определяет некоторое линейное
представление алгебры Ли g/m, изоморфной 9, в пространстве V/M{A).
Это представление полностью определяется весом Л, а из условия
б) задачи 15 следует, что оно эквивалентно р, если отождествить
g/m и g при помощи указанного выше изоморфизма. Поэтому спра-
справедлива
Теорема 2. (Вторая теорема единственности.) Неприводимое
конечномерное линейное представление полупростой алгебры Ли
однозначно с точностью до эквивалентности определяется своим
старшим весом.
В дальнейшем часто будет использоваться следующий способ
задания неприводимых линейных представлений полупростой алгеб-
алгебры Ли g: на схеме Дынкина алгебры g против соответствующих
вершин указываются числовые отметки старшего веса представле-
представления. Согласно теореме 2, полученная схема, называемая схемой
данного представления, определяет его однозначно.

198 гл. 4. комплексные полупростые группы ли
3. Теоремы существования. Пусть А = {аь) — произвольная квад-
квадратная матрица порядка I над С и A = (Al7 ..., Ai) —произвольный
набор I комплексных чисел. Точно так же, как в п. 2, можно по-
построить алгебру Ли g = g(^l), векторное пространство V и линей-
линейное представление р = рл: Q -^ Ql (T^) (здесь неважно, будет ли А
матрицей Картана и будут ли числа Л* целыми и неотрицатель-
неотрицательными). Легко видеть, что при этом останутся в силе утверждения
задач 5, 7, 13, 14, а также формулы E) и (9). При этом t, tt+ и
tt~ определяются jraK же, как в п. 2, но линейная независимость
элементов /г1? ..., ht нуждается в новом доказательстве.
Задача 18. Элементы hu ..., ht линейно независимы.
Отсюда следует, что если матрица А невырожденная, то сохра-
сохраняются утверждения задач 6 и 8.
Предполагая в дальнейшем, что А — невырожденная матрица,
образуем факторалгебру 8 = fiC4) = fi/nt и факторпространство V =
= F(A) = V/M(A\ где ш и М(л) определяются так же, как и в п. 2.
Обозначим через пир естественные отображения g -*• g и V -> V.
Положим
^0 = Р (»г), vir..ik = Р (ин-ч)'
Наконец, обозначим через р' линейное представление алгебры g
в пространстве F, индуцированное представлением р. По построе-
построению р' неприводимо. ^
Разложим V на весовые подпространства относительно p'(t).
А именно: для любой линейной функции XGt* положим
) для всех h^T}.
Очевидно, Vh = p(VK). Из A1) следует, что
где Q = aet*lFx^0}.
Определим на t линейные функции аь ..., а( и Л равенствами
сб,(^) = Ди, A(hi) = Au A0)
Очевидно, что v0 e VA.
Задача 19. Имеем dimFA=l. Всякий элемент X^Q пред-
представим в виде ^ = А—ai]L—. ..—а^.Если Fx содержит ненулевой
элемент, аннулируемый всеми р'(е,-), то X == А (ср. задачу 12).
Задача 20. Имеем dim \\ < <*> для всех X ^ Q.
Задача 21. Имеем p'(ttt) = O.

§ 3. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 199
Из доказанного следует, что р' определяет неприводимое ли-
линейное представление р = р (Л): g -*¦ fll (V).
Задача 22. Всякий ненулевой идеал алгебры g содержит хотя
бы один из элементов hit
Задача 23. Если х^п~ и [ег, ж] = О (&=1, ..., Z), то ж = 0-.
Аналогично, если г/ е п+ и [Д, */]= 0 (i=l, ..., Z), то г/ = 0.
Предположим теперь, что А — матрица Картана и что числа Л4
являются целыми и неотрицательными. Нашей целью будет дока-
доказательство следующих утверждений:
1) Пространство V и алгебра g конечномерны.
2) Алгебра g полупроста и ее матрица Картана совпадает с А.
3) Старший вес представления р(Л) имеет числовые от-
отметки Аи
Из этих утверждений, очевидно, вытекают следующие теоремы.
Теорема 3. (Первая теорема существования.) Всякая матри-
матрица Картана является матрицей Картана некоторой полупростой
алгебры Ли.
Теорема 4. (Вторая теорема существования.) Для любой
полупростой алгебры Ли g и любого доминантного веса А^Р су-
существует неприводимое конечномерное линейное представление ал-
алгебры Ли g со старшим весом Л.
Из теорем 3 и 1, в частности, следует, что каждая из особых
схем Дынкина Е6, Е7, Es, F4, G2 (см. п. 2.7) является схемой Дын+
кина некоторой однозначно определенной некоммутативной простой
алгебры Ли. Эти алгебры Ли называются особыми и обозначаются
так же, как их схемы Дынкина. Их размерности приведены в таб-
таблице 1. Системы корней этих алгебр Ли — это системы корней, от-
отвечающие особым схемам Дынкина, существование которых было
установлено в § 2 путем явной конструкции.
Прежде всего, докажем конечномерность пространства V. Из
задачи 20 видно, ^что достаточно доказать конечность множества Q.
Рассмотрим в t* подгруппу
L = {Ye"t*|Y(Ai)eZ (i = 1, ..., Z)}.
Очевидно, L — решетка в своей вещественной линейной оболочке
Е. Далее, элементы аи ..., аг и Л, определенные формулой A0),
содержатся в L.
Задача 24. Имеем QcL.
Поскольку матрица А невырождена, элементы cci, ..., at состав-
составляют базис пространства Е над 0?. Из теоремы 2.9 следует, что
в Е существует такое положительно определенное скалярное умно-
умножение ( , ), что Catlap =at-j для всех ?, у. Пусть гг — ортогональ-
ортогональное отражение в евклидовом пространстве Е относительно гипер-
гиперплоскости, ортогональной к аг. Из задачи 2.1 следует, что ri(L) = L.
Поэтому группа W, порожденная отражениями гг- (?=1, ..., Z),
конечна (ср. задачу 2.34). Мы хотим доказать теперь, что -Q инва-
инвариантно относительно W.

200 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Задача 25. Имеем [lk, (ad?;)""^1?,] = [?h, (ad^)"eji+1 Ъ] = 0
для любых i Ф ] и любого к.
Задача 26. Имеем (ad /,) %д /i=(ade;-) *г е% = 0 для лю-
любых 1Ф ].
Из задачи 26 следует, что
р ((ad ffi}+1fi) = ad p (fifaii+1p (ft) = 0 (гф}). (И)
Задача 27. Пусть р и g — элементы некоторой ассоциативной
алгебры, удовлетворяющие условию (adp)lq = 0. Тогда любое их
произведение, содержащее ттг множителей, равных /?, и тг множите-
множителей, равных д, представляется в виде линейной комбинации произ-
п
ведений вида р1Щр1Щ . -. р1пЯр1°, где Zj^O, 2 h=m,li<l при
г=о
г = 1, ..., п.
Линейный оператор р называется локально нилъпотентным, если
для любого вектора и существует такое т, что рти = 0. (Если р
действует в конечномерном пространстве, то это эквивалентно ниль-
нильпотентности.)
Задача 28. Имеем р (/г) г v0=O.
Задача 29. Операторы р.(./г) и p(ei) в пространстве У локаль-
локально нильпотентны.
Обозначим через д(г) подпространство в g, натянутое на йг-, ег-, /г.
Легко видеть, что это подалгебра, изоморфная sI2(C).
Задача 30. Пространство V разлагается в прямую сумму ко-
конечномерных подпространств, инвариантных относительно р (fl(i))
(при фиксированном i).
Пусть рг — линейное представление алгебры Ли з!2 (С) в про-
пространстве F, переводящее матрицы h, e, f в р{Ы), р(ег), р(/^) соот-
соответственно. Ввиду задачи 30 существует такое линейное представ-
представление Ri- SL2 (C)-+GL (F), сохраняющее конечномерные под-
подпространства из этой задачи, что dRi = рг- в каждом из этих под-
подпространств. Положим
Продолжим отражение г{ по линейности на t* и обозначим также
через гг- сопряженное преобразование пространства t. Поскольку
я: t -+¦ t (по определению идеала ttl) является изоморфизмом, мы
будем в дальнейшем отождествлять t с t при помощи я.
Задача 31. Имеем юф (h) wj1 -¦= р (г{ (h)) (feet=t).
Задача 32. Имеем Vri(x) = u>iVK для любого X^t*; в частности,
i\(Q)=fl.
Задача 33. Для любого элемента fe E существует такой
гу е IF, что (^(т)^ <х») > 0 при всех i = 1, ..., I.

§ 3. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 201
Задача 34. Для любого X е Q имеем (Л, К) < (Л, Л).
Таким образом, Q — ограниченное множество в решетке L и,
следовательно, конечно. Конечномерность пространства V доказана.
Теперь перейдем к изучению алгебры g.
Положим для а ^ t*
ga = {х е g | [й, x] = a{h)x для всех /г е t}.
Ясно, что
9
Задача 35. Если Лг Ф 0 при всех ?, то Кег р = 0.
Задача 36. Алгебра Ли g конечномерна и полупроста.
Задача 37. Подалгебра t есть максимальная диагонализуемая
подалгебра в g. ^
Задача 38. Линейные функции а4, ..., щ на t = t образуют
систему простых корней алгебры Ли g относительно t, а система
элементов {h{, eu ft\ I ^ i < 1} является канонической системой
образующих.
Задача 39. Матрица системы {аи ..., at) совпадает с А.
Задача 40. Вес Л является старшим весом линейного пред-
представления р.
Пример. Пусть 9 = з12(С)- Согласно теоремам 4 и 2, суще-
существует единственное с точностью до эквивалентности неприводимое
линейное представление рй алгебры Ли g со схемой
° A2)
для произвольного целого неотрицательного числа к. Пусть V —
пространство этого представления. Старший вес представления ph
имеет вид Л ~— ос, где a — положительный корень алгебры Ли
й!2(С). Согласно задаче 12, все веса представления рк представ-
К к— 2s _,_
ляются в виде Л —sa =—— а, где s — целое число. Так как систе-
система весов Ф9к симметрична (следствие из теоремы 1.5), то 0<s<A%
так что :
^а\р = к,к-2, ..., 2 —Л, —
Весовой базис составляют векторы вида vi1..,iki определенные фор-
формулой F). В данном случае ясно, что dimF^=l для всех весов
ЯеФр^и что в качестве весовых векторов можно взять
VA-sa = ph (f) 'VA (S = 0, 1, . . ., к) ,
где vA — старший вектор. Таким образом, dimF = &+l; при этом
pk(e)vA-sa = s(k~s+ I)va-(s-i)* (s= 1, ..., к),

202 гл. 4. комплексные полупростые группы ли
В случае /с = 0 получаем тривиальное одномерное представле-
представление, в случае к = 1 — стандартное представление в С2,, в случае
к = 2 — присоединенное представление.
4. Линейность связных комплексных полупростых групп Ли.
Пусть G — связная полупростая алгебраическая группа, Т — ее
максимальный тор, Q <= Р — решетки корней и весов системы кор-
корней AG, лежащие в пространстве t (iR)* (см. п. 2.8).
Теорема 5. Группа G односвязна тогда и только тогда, когда
Р. A3)
Сначала мы докажем достаточность условия A3), а затем при-
применим ее для доказательства теоремы 6, из которого будет следо-
следовать и необходимость этого условия.
Пусть {oci, . .., щ) — некоторая система простых корней группы
G относительно Г, G k) = G — трехмерная подгруппа в G, отве-
отвечающая корню ah (см. п. 1.6), Т{к) — максимальный тор группы G{h\
лежащий в Т.
Задача 41. При условии A3) все группы G{h) односвязны.
Задача 42. При том же условии Т = ГA) X ... X Т{1).
Задача 43. Для любой связной редуктивной алгебраической
группы G гомоморфизм i*: n1(T)-^n1(G), порожденный вложе-
вложением максимального тора i: Т -*- G, сюръективен.
Значит, достаточно доказать, что i* = 0, если выполнено A3).
Для этого рассмотрим диаграмму
T=TA)x...xru) [—^G
где i{h): Tih) -*¦' G{h) — вложение, a m(gu ..., gi) = gt... gi (см. зада-
задачу 42). Очевидно, она коммутативна, так 4toj*=.^*(^*1 ^ • • -Хи ).
Но i*fe) = 0 в силу задачи 41. Значит, i% = 0, и теорема 5 доказана.
Теорема 6. Всякая связная полупростая группа Ли допуска-
допускает точное конечномерное линейное представление.
Следствие. Всякая связная полупростая группа Ли допус-
допускает единственную структуру алгебраической группы.
Задача 44. Свести доказательство теоремы к случаю одно-
связной группы.
Задача 45. Для любой полупростой алгебры Ли fl существует
линейное представление р, веса которого порождают решетку ве-
весов Р системы корней Ад- Такое представление р всегда точно.
Теперь мы докажем теорему 6 для односвязной полупростой
группы G. Пусть g — касательная алгебра группы G. По теоре-
теореме 1.2.6 существует такое линейное представление R группы G, что

\ § 3. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 203
\
dR = р — представление алгебры g, удовлетворяющее условию зада-
задачи 45. Докажем, что /? точно. Очевидно, R(G) —связная алгебраи-
алгебраическая группа с касательной алгеброй p(g) — Й- Если отождествить
максимальную диагонализуемую подалгебру t алгебры g с p(t) при
помощи р, то веса представления р отождествятся с весами тожде-
тождественного представления группы R{G), которые являются диффе-
дифференциалами характеров максимального тора группы R(G). Поэтому
R(G) удовлетворяет условию A3) и, как мы уже доказали, одно-
связна. Следовательно, накрытие R: G-^R(G) биективно. Теоре-
Теорема 6 доказана.
Если G — односвязная полупростая алгебраическая группа, то
из задачи 45 вытекает существование представления R группы G,
веса которого порождают Р. Следовательно, выполнено A3). что
завершает доказательство теоремы 5.
5. Центр и фундаментальная группа. Пусть Т — какой-нибудь
алгебраический тор, t — его касательная алгебра. Мы сейчас уста-
установим взаимно однозначное соответствие между конечными под-
подгруппами тора Т и решетками в пространстве t(S), содержащими
t(Z). Для этого рассмотрим гомоморфизм <о: t-^T, определенный
формулой
g(x) = exvBnix). A4)
Задача 46. Имеем Кег <Г = t (Z).
Задача 47. Для любой конечной подгруппы S с= Т ее полный
прообраз <o~l(S) является решеткой в пространстве t(S). Отобра-
Отображение S »-> (g (S) определяет биективное соответствие между ко-
конечными подгруппами в Т и решетками пространства t(D?). со-
содержащими t(Z). При этом S^S(S)IX(Z)-
Теперь мы применим эти соображения для вычисления центра
и фундаментальной группы полупростой группы Ли в терминах
решетки характеров ее максимального тора. Напомним (см. теоре-
теорему 2.6), что центр Z(G) связной полупростой группы Ли G содер-
содержится в любом ее максимальном торе Т. Рассмотрим, как в п. 2.8,
решетки корней и весов Q с: Р a t (ii?)* и сопряженные им решет-
решетки <?vc=Pv (=*(?>).
Теорема 7. Пусть G — связная полупростая группа Ли, Т —
ее максимальный тор. Тогда &'~i(Z(G)) = PV и
Z (G) - Pv/t (Z) - X (T)/Q.
Задача 48. Доказать эту теорему.
Следствие. Если G — односвязная полупростая группа Ли,
то
Задача 49. Пусть G, G — связные полу простые группы Ли н
пусть гомоморфизм р: G ~+ G является накрытием. Если TczQ и

204 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ /
/
TaG — максимальные торы, то р(Т) и р~1{Т)—максимальные
торы в G и G соответственно. Если Т = р(Г), то имеем коммута-
коммутативную диаграмму
Щ \%, • A5)
где dp — изоморфизм, а^и^ определены формулой A4).
Теорема 8. Пусть р: &->¦ G — односвязное накрытие полу-
полупростой группы Ли G. Тогда &~г (Ker p) =t (Z) и
Задача 50. Доказать эту теорему.
6. Классификация связных полупростых групп Ли. В этом пунк-
пункте будут доказаны следующие две теоремы.
Теорема 9. (Глобальная теорема единственности.) Связная
полупростая группа Ли G однозначно с точностью до изоморфизма
Определяется своей схемой Дынкина и решеткой характеров ?(Т)
некоторого максимального тора Т с: G. Точнее, если Gu G2 — две
связные полупростые группы Ли, Ti^Gi^- их максимальные торы,
Пг — соответствующие системы простых корней, то для всякого
изоморфизма г|): П± -> П2, отображающего ^(Ti) на $(Г2), суще-
существует изоморфизм Ф: Gt-+G2, переводящий Т{ в Т2 и индуцирую-
индуцирующий изоморфизм г|).
Теорема 10. (Глобальная теорема существования.) Пусть
Д с= Е — приведенная система корней, Q с= Р с= Е — решетки ее кор-
корней и весов. Для любой решетки L cz E, удовлетворяющей условию
QaLczPt существуют связная полупростая группа Ли G, макси-
максимальный тор T<=G и изоморфизм систем корней Да(Г)->Д, ото-
отображающий Ж(Т) на L.
Доказательство теоремы 9 основано на следующей задаче.
Задача 5L Пусть Gv, G2 — две связные полупростые группы
Ли, Ti^i Gi — их максимальные торы. Для любого изоморфизма
ф: Й1"^Й2,' такого, что ср {tx (Z)) = t2 (Z), существует такой изо-
изоморфизм Ф: Gl -+ G2, что ^Ф = ф.
Задача 52. Доказать теорему 9.
Для доказательства теоремы 10 рассмотрим полупростую алгеб-
алгебру Ли й, матрица Картана которой совпадает с матрицей Картана
системы Д (см. теорему 3). В силу теоремы 2.8 мы можем отож-
отождествить Д с системой корней Д^ относительно некоторой макси-
максимальной диагонализуемой подалгебры^ t. Пусть G — односвязная
группа Ли с касательной алгеброй $, Т = exp t — максимальный тор
в Q и S9: X-+T — гомоморфизм, заданный формулой A4). Положим
iV = <?f (!/*)> где L*czPV — решетка, сопряженная с L. По теореме 7
/V с= Z E). Группа G ~GIN является искойой. Действительно, L* =«¦

\
\ § 3. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 205
= <g?~1(iV), поскольку ()v=Kerlf по теореме 5, aji* => (>V. Рассмат-
Рассматривая диаграмму A5), в которой Т = T/N и р: G ->¦ G — естествен-
естественный гомоморфизм, видим, что t (Z) = ?* и потому ?(!)¦= L.
Заметим, что решетка L, удовлетворяющая условиям Q <= L с= Р,
полностью определяется подгруппой L/ф конечной группы P/Q ==
= я(Д). Поэтому классификацию связных полупростых групп Jlir
можно дать в терминах подгрупп групп я (А). (Заметим, что по
теореме 7 группа L/Q изоморфна центру полупростой группы Ли
G, отвечающей решетке L.) Приведем соответствующую формули-
формулировку в терминах матриц Картана.
Пусть А — матрица Картана порядка I. Тогда ее строки порож-
порождают некоторую решетку Qa в 0?г, причем QA c= ZZ. Положим
л: (Л)—Z IQa- Изоморфизмом одной матрицы Картана Аи на
другую А2 назовем одинаковую перестановку строк и столбцов мат-
матрицы, переводящую А^ в А2. Всякий такой изоморфизм определяет
изоморфизм я (A J -> я (А2).
Задача 53. Имеется биективное соответствие между связны-
связными полупростыми группами Ли G (рассматриваемыми с точностью
до изоморфизма) и парами (A, Z), где А — матрица Картана, Z —
подгруппа группы я D), рассматриваемыми с точностью до изо-
изоморфизмов матриц Картана А, переводящих друг в друга подгруп-
подгруппы Z. Если группе G соответствует пара (A, Z), то А — матрица
Картана алгебры Ли g, aZ^Z(G).
Примеры. 1. Пусть g — простая алгебра Ли. Посмотрим, как
выглядит классификация связных групп Ли G с касательной алгеб-
алгеброй д. Если д ?= D2s, s> 2, то группа л (Ag) является циклической.
Поэтому любая ее подгруппа инвариантна при всех автоморфизмах
группы я (Ад). Следовательно, в этих случаях группа G определя-
определяется, с точностью до изоморфизма, алгеброй Ли g и центром Z(G),
который может быть изоморфен любой подгруппе группы я (Ад);
2. Пусть д - D2S = 0O4S (С), s > 2. Тогда я (Ag) ^ Z2 0 Z2,
Нетрудно проверить, что при s ^ 3 единственный нетривиальный ав-
автоморфизм схемы Дынкина (или матрицы Картана) переставляет
слагаемые этой прямой суммы. Поэтому существуют ровно две не-
неизоморфные связные группы Ли G с касательной алгеброй 304s(G)
(s>3) и центром Z[G)~Z2. Далее, в случае д = Д4 группа ав-
автоморфизмов схемы Дынкина, изоморфная SSi действует как полная
группа автоморфизмов группы Z2 © Z2- Поэтому здесь существует
единственная связная группа Ли с данным центром.
7. Классификация неприводимых представлений. Пусть G —
связная полупростая группа Ли. Каждому конечномерному линей-
линейному представлению R: G ^> GL(V) отвечает представление р =
= dR: g-^gl(F) касательной алгебры Ли д. Система весов Фп пред-
представления R относительно максимального тора Т с= G совпадает с
системой весов Фо относительно соответствующей подалгебры t c= g.

/
206 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Старшими векторами и старшими весами представления R будем
называть старшие векторы и старшие веса представления р. Если
R неприводимо, то и р неприводимо, и из задачи 12 следует, что
R обладает единственным старшим весом AeJ(T), причем в силу
задачи 11 Л доминантен. Схемой неприводимого линейного пред-
представления R называется схема представления р.
Теорема 11. Неприводимое конечномерное линейное пред-
представление связной полупростой группы Ли G однозначно, с точ-
точностью до эквивалентности, определяется своим старшим весом.
Для любого доминантного характера А^Ж(Т) существует непри-
неприводимое конечномерное линейное представление R{A) группы G со
старшим весом Л.
Задача 54. Доказать эту теорему.
Пример. Поскольку группа SL2 (Q односвязна, у нее су-
существует представление Rh со схемой A2), такое, что dRk = ph
(к— любое целое неотрицательное число). Легко видеть? что
Rh(—E) = E тогда и только тогда, когда к четно. Поэтому неприво-
неприводимые представления группы SO<S (С) ^ SL2 (C)/{=h Щ задаются
схемами A2) с произвольным четным к ^ 0.
Иногда бывает удобно вместо старших весов рассматривать
младшие веса, которые мы сейчас определим. Пусть R — конечно-
конечномерное линейное представление связной полупростой группы Ли
в пространстве F, р = dR — соответствующее касательное представ-
представление. Младшим вектором представления R (или р) называется
весовой вектор уеУ, удовлетворяющий условию p(/t)y = O (i =
= 1, ..., I). Соответствующий вес называется младшим весом. На-
Например, младший корень простой алгебры Ли (см. п. 2.5) является
младшим весом ее присоединенного представления. Установим связь
между старшими и младшими весами представления.
Пусть С — камера Вейля, соответствующая выбранной нами
системе простых корней П. Обозначим через w0 (единственный)
элемент группы W, переводящий С в противоположную камеру
Вейля —С Очевидно,w0 =e.
Задача 55. Преобразование и?0 переводит старшие веса пред-
представления R (или р) в младшие веса и наоборот. Если no^N(T) —
такой элемент, что (Ad п0) \^) = w0, то оператор R(n0) перезодит
старшие векторы в младшие и наоборот.
Из задачи 55 следует, что свойства младших весов совершенно
аналогичны известным нам свойствам старших весов. Так, любой
вес К представления R представим в виде А, = М + а^ + ... 4- а^,
где М — младший вес и а^. еП. Если R неприводимо, то имеется
единственный младший вес М ^ Фн, причем dim Ум = 1 и пред-
представление определяется весом М однозначно с точностью до эквива-
эквивалентности.

\ § 3. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 207
\
Упражнения
1. Алгебра Ли п+ из задачи 5 свободно порождается элементами^еь ..., ei
(т. е. существует изоморфизм \{х\, ..'., #*)->¦ п+, переводящий х% в е\). Анало-
Аналогично, п~ свободно порождается элементами /ь ..., fi. г < •
2. Соотношения задачи 26 вместе с соотношениями B) образуют полную
систему определяющих соотношений полупростой алгебры Ли д. (Указание: см.
[15], добавление к гл. VI
> 3, В обозначениях п. 2 вектор i?gF^ принадлежит подпространству М'А>
тогда и только тогда, когда "рл(ег)^ ^ ^(А) при всех I. (Это дает рекуррентный
способ построения подпространства М^АК)
4. В обозначениях п. 2 пусть Л — старший вес представления ри 1- до-
доминантный вес вида Л — а- — ... —ai , где а^.еП. Тогда ^еФр. (Ука-
1 h j
зание: представить Л — X в виде суммы минимального возможного числа поло-
положительных корней Л — % — Pi + ... + Pm'? затем доказать индукцией по к,
что л — Pi — ... — р* е= ФР.)
Так как всякий вес представления р преобразованием из группы Вейля
может быть переведен в доминантный вес, то тем самым получается способ
нахождения всех весов из Фр по старшим весам.
В упражнениях 5—14 через R обозначается некоторое конечномерное ли-
линейное представление связной полупростой группы Ли G в пространстве F,
через р = dR: Q~^Qi(V)—соответствующее касательное представление, через
П -т- система простых корней группы G.
5. Имеем Ф#* = — Фя, где Л* — представление, сопряженное с 7?. Если
R — неприводимое представление со старшим весом А и младшим весом М, то
Л* — неприводимое представление со старшим весом —M = — w^A и млад-
младшим весом — А = — wjM, где wq e W — элемент, определенный в п. 7.
6. Преобразование v = — w^ "есть автоморфизм системы П. Если g проста
и отлична от $\п (С) {п ^ 3), $0 (С) и Е$, то v = e. Для остальных про-
простых алгебр v определяется единственной нетривиальной симметрией схемы
Дынкина системы П. Если g не проста, го v действует на II покомпонентно.
(Указание: использовать упражнение 2.19.)
Представление R называется самосопряженным, если R* ~ R.
7. Если g — простая алгебра Ли, отличная от $\ (С) (п^З), $0 (С)
(п ^ 1), Eq, to всякое неприводимое представление самосопряжено. Для
остальных трех типов необходимое и достаточное условие самосопряженности
неприводимого представления состоит в том, чтобы числовые отметки на его
схеме были расположены симметрично.
8. Пусть // — трехмерная простая связная подгруппа в G, отвечающая глав-
главной трехмерной подалгебре } cz g (см. упражнение 2.20). Если R — неприводи-
неприводимое представление со старшим весом А и младшим весом М, то в V сущест-
существует подпространство, инвариантное и неприводимое относительно R(H) и
содержащее FA, Vm. В этом подпространстве R индуцирует неприводимое пред-
представление Rm группы //, где т = 2 га^а*
9. Линейное представление R самосопряжено тогда и только тогда, когда'
в пространстве V существует невырожденная билинейная форма, инвариант-
инвариантная относительно R(G).
10. Если для неприводимого представления R существует ненулевая били-
билинейная форма в V, инвариантная относительно R(G), то эта форма невырож-
невырождена и либо симметрична, либо кососимметрична; любые две инвариантные
билинейные формы пропорциональны друг другу.
Линейное представление R называется ортогональным, если для него су-
существует невырожденная симметрическая инвариантная билинейная форма, и

208 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
симплектическим, если существует невырожденная кососимметрическая инва-
инвариантная билинейная форма. Всякое самосопряженное неприводимое представ-
представление либо ортогонально, либо симплектично.
11. Представление Ль группы SL (€) ортогонально, если к четно, я сим-
симплектично, если к нечетно. Всякое неприводимое представление группы
SO3 (С) ортогонально.
12. Пусть R — неприводимое самосопряженное представление со старшим
весом Л, Ла — A(ha) (аеП) —числовые отметки старшего веса. Представле-
Представление Л ортогонально, если число 2 ra^a четно, и симплектично, если это чис-
а~П
ло нечетно. Здесь га — координаты вектора 2р^= 2 а » совпадающего в си-
лу упражнения 2.5 с 2 ^ яа' гДе ла е * №) —фундаментальные веса си-
сс^п
стемы корней Д^, в базисе П^ = {ha\a e П}.
13. Вывести из упражнения 12 следующее правило. Если G проста, то
самосопряженное неприводимое представление R (А) группы G ортогонально
тогда и только тогда, когда четно число, определяемое по числовым отметкам
Аг = Ла. при помощи приведенной ниже таблицы. (Нумерация простых кор-
корней — такая же, как в таблице 1. Для групп, тип которых не указан в таблице,
самосопряженное представление всегда ортогонально.) В общем случае ортого-
ортогональность или симплектичность самосопряженного представления Л (Л) опре-
определяется четностью суммы чисел, соответствующих различным связным ком-
компонентам схемы Дынкина группы G.
Bv t = *g + l, 4g + 2| С, | Diq+2 | E.
л, |л1 + л3 + л8+...|л1,+1 + л1д+2|л4+лв+л7
14. Выразить критерий из упражнения 12 в следующей форме: пусть
Z(G) — элемент, заданный формулой
неприводимое самосопряженное представление Л ортогонально, если R(z-;) — Е,
и симплектично, если R(z0) — —Е.
Пусть G — связная полупростая группа Ли, Ль .... Лт — ее линейные пред-
представления. Рассмотрим произведение R = R] ... Rm представлений Л*.
15. Веса представления Л имеют вид >и + ... + Ят, где ^ е Фй;. При
мои G,)^ ® ... ® (VVn<= (Vt ® ... ® FmL+...+,m.
16. Если Уд. —старший вектор представления Лг, то ^л= vл ® ... О уа
будет старшим вектором представления Л.
Предположим, что G = Gi X ... X Gw, где Gi — простые группы. Для лю-
любого неприводимого представления Rii Gi-^GL(Vi) можно определить непри-
неприводимое представление Лг-: G-+GL(Vi) по формуле Ri(gi, ..., gn) = Ri(gi).
17. Пусть для каждого i = 1, ..., яг задано неприводимое представление
Лг: Gi-+GL(Vi). Тогда представление Л1 ... Лш группы Ли в пространстве
Fi ® ... <8> Fm будет неприводимым. Его старший вес есть сумма старших ве-
весов представлений Лг-.
18. Обратно, всякое неприводимое представление группы G разлагается в
произведение представлений Лг, построенных указанным выше способом по
некоторым неприводимым представлениям Л г групп G%. При этом представле-
представления Лг определены однозначно.

§ 3. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 209
Пусть JPV — р-я тензорная степень векторного пространства У, /\PVя
SPV — его внешняя и симметрическая степени. Всякое представление
R: G-*~GL(V) индуцирует р-ю тензорную степень 1PR = Rp в пространстве
TPV, р-ю внешнюю степень /\PR в пространстве /\р Vи р-ю симметрическую
степень SPR в пространстве SPV.
19. Имеем Т2Л ~ /\2R -f S2R. (Для р > 2 аналогичное утверждение
неверно!)
20. Найти представления касательной алгебры д, соответствующее пред-
представлениям Л VR и SPR.
21. vXiA ...A\
22. Если vA — старший вектор представления R, то ^ будет старшим
вектором представления Sp#, причем соответствующий ему вес равен рА.
23. Пусть R — неприводимое представление со старшим весом А и пусть
{v\, ..., ур}, где i^eF^., — линейно независимая система его весовых векто-
v
ров с минимальной возможной суммой 2 Ht (Л—>i|), где Ht у (высота веса
•уеР) — сумма координат элемента ^ в базисе из простых корней. Тогда
v Л ¦•• Л^р —старший вектор представления APR-
24. Тождественные представления Id классических простых групп Лп имеют
следующие старшие веса Л:
3: Л =
25. При указанных значениях /? представления Д pId неприводимы и
имеют следующие старшие веса Л:
SLn(€), п^2: А = лр (р< п — 1),
5О2П(С), гг>3: Л = лр
26. Представление SpId группы SLn (^) неприводимо при всех р и имеет
старший вес рп\. При дг = 2 имеем Sp Id ^^ Л .
27. Доказать, пользуясь теоремой 5, что группы SLa (С) и Sp2n (С) одио-
связны и что п± (SOn (С)) ~ Z2 при п > 3.
В упражнениях 28—31 Я — локально точное линейное представление связ-
связной полупростой группы Ли G, р = dR, T — максимальный тор группы G.
28. Если отождествить пространство t (К)* с его образом при р"~\ то
решетка характеров ?(R(T)) отождествляется с подрешеткой Ьяа?(Т), по-
порожденной всеми весами представления R. Решетка Lr порождается решет-
решеткой Q и всеми старшими (или всеми младшими) весами представления /?,
li Э. Б. Винберг, А. Л. Оннщнк

210 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
а сопряженная решетка имеет вид
LR = {х е Р^ | Л (a;) gZ для всех старших (младших)
весов Л представления 7?}.
29. Имеем
Z (R (G)) с* Py/L*R ~ Lr/Q,
KevR~L*R/t(l)~>?(T)/LR.
30. Представление R точно тогда и только тогда, когда его веса порождают
решетку ?(Т) или, что равносильно, когда LR = t(Z).
31. Группа R(G) имеет тривиальный центр тогда и только тогда, когда
Lr?= Q. В случае, когда R неприводимо, это равносильно тому, что система ве-
весов Фв содержит нулевой вес.
Обозначим через Spinn (С) односвязную накрывающую группу для
32. Имеют место изоморфизмы
33. Связная полупростая группа Ли допускает точное неприводимое пред-
представление тогда и только тогда, когда ее центр цикличен.
34. Следующие представления группы Spinn (С) являются точными:
R (яп) при п нечетном,
^(^n-i) + /?(JXn) ПРП п = Ьк, fre=Z.
Указания к задачам
1. Используя индукцию по длине к слова, проверить, что элементы вида A)
составляют подалгебру в а.
4. Использовать задачи 1.44 и 2.21.
5. Используя задачу 1 и соотношения B), показать, что t + ti+ + п~ —
подалгебра в д.
6. Равенство go = t следует из невырожденности матрицы А н из линей-
линейной независимости элементов/^.
8. Доказать сначала, что идеал Шсд не содержит ни одного h * тогда и
только тогда, когда ш f| t == 0. Затем показать, что любой идеал m имеет вид
ш = 0 ш П Qa- Для доказательства того, что ш± — идеалы, заметить, что
а
[Д-,"п+] с: Г+ r?+, [el, n-] cz Г+ xr:
9. Следует из того, что всякий ненулевой идеал алгебры д содержит хотя
бы один из элементов hi.
10. Использовать задачу 1.25 (точнее, ее обобщение на любые линейные
представления алгебры д).

§ 3. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 211
11. Пусть гг—га. — отражение, связанное с корнем а*. Согласно задаче
1.40, г* (Л) =Л — ЛгСЦ будет весом представления р в подпространстве, натя-
натянутом на векторы v{ • , v0. В силу задачи 1.25 vi ...ih^- ^а-щ —,,.-щ *
Отсюда следует, что Л* ^ 0.
13. Использовать задачу 3.
17. Вытекает из коммутативной диаграммы задачи 15.
18. Использовать существование представления ^Л для любых А], ..., Л^
21. Из задачи 8 следует, что подпространство p/(m~)(F) инвариантно отно-
относительно д. Если р'(пг-) ^=0, то р'(т~) (F) = V, v0 е р'(т~) СЮ- что Дает ПР°~
тиворечие с задачей 19. Для доказательства того, что рЧ111*) =0, рассмотреть
подпространство П Кегр' (я), инвариантное относительно g и содержащее i>0.
23. Доказать, что элементы вида (ad f{ \ ... (ad /| \ (ad hj \ ... (ad h] \ {x)
(Pi Q^Q) составляют идеал в д, лежащий в п~.
27. Раскрывая соотношение (ad/?)/g = 0, получаем, что произведение plq
представляется в требуемом виде.
28. Вектор i; = p(/^ г 170, очевидно, является весовым с весом-
Л— (Лг + 1)аг-. Непосредственно проверяется, что p(eh)v = 0 при всех к. За-
Задача 19 показывает, что v = 0.
. 29. Для р(ег) это очевидно из задачи 19. Чтобы доказать локальную ниль-
нильпотентность оператора р(/г), рассмотрим подпространство Ui = U Ker (р (/?))т-
771
Задача 28 показывает, что Ui Ф 0. Непосредственно проверяется, что Ui инва-
инвариантно относительно операторов p(hk) и p(ek) при всех к. Наконец, при
помощи формулы A1) и задачи 27, примененной к р = р(/0 и q = р(/Ч), не-
нетрудно показать, что Ui инвариантно относительно р(/&) при любом к. Отсюда
следует, что Ui = V.
30. Достаточно показать, что всякий весовой вектор принадлежит некото-
некоторому конечномерному подпространству, инвариантному относительно p(g(i)K
Пусть }igQ. Рассмотрим подпространство
Легко проверить, что U инвариантно относительно р(д(г">), а из задач 20 я 29
следует, что U конечномерно.
31. Достаточно рассмотреть два случая: когда h = hi и когда ai(h) =0.
В первом случае утверждение задачи сводится к утверждению относительно
группы SL (С), которое проверяется непосредственным вычислением. Во
втором случае требуется доказать, что p(h) коммутирует с шг-, но это следует
из того, что р(/г) коммутирует с р(/ч), р(^г), p(/i).
33. Выбрать в орбите элемента f относительно группы W элемент Yi с
наименьшей суммой коэффициентов в линейном выражении через аь .. ., а/ и
рассмотреть элементы nDi)«
34. В силу задач 32 и 33 мы можем считать, что (Я, аг) ^0 для всех L
Используя задачу 19, получаем тогда, что (Л — Я, X) ^ 0.
35. В условиях задачи 1ц ф Кег р при любом L Затем применяем задачу 22.
36. Пусть а — коммутативный идеал алгебры д, причем а Ф0. Согласно за-
задаче 22, }ц е а при некотором ?, но тогда е{ = -^ [hv ег] е а, что противоречит
коммутативности идеала.
38. Использовать задачу 5 и линейную независимость форм аь ..., а?»
41. Группа G{k) является образом односвязной группы SL2 (С) при гомо-
гомоморфизме Ф^ = Фа (см. п. 1.6); она односвязна тогда и только тогда, когда
14*

212 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Фк инъективен, т. е. когда tk = Фk{—E) Ф<е. Легко видеть, что tk = exp (mhk).
Из условия A3) следует существование такого характера %е?(Г), что
(d%)'(hk) = 1. Имеем %(tk) = exp (ni(d%) (hk)) = —1, так что %кФ е.
42. Ясно, что Т'=ТМ ... Т<1К Пусть tk e Ял> — такие элементы, что
^! ... ti = е. Из условия A3) следует существование таких характеров XiG
е^(Г) (i = 1, ..., Z), что dxi=m (фундаментальные веса). Имеем
Xft(*i • • • *0 = XA(fe) == 1. Пусть tk = exp Bnickhk), где cfe e С. Тогда
= exp Bnick), так что ck<=Z и tk = е.
43. Воспользоваться теоремами 1.2.4, 2.4 и задачей 2.27.
44. Воспользоваться теоремой 3.1.10.
45. Таким будет, например, сумма неприводимых представлений с фунда-
фундаментальными старшими весами Яь ..., я?, существующих по теореме 4. Точ-
Точность представления следует из задачи 1.43.
48. Воспользоваться тем, что Z{G) = {exp x\x ^t, ea(x> = 1 для всех
49. Использовать соотношение KevpczZ(G).
50. Использовать диаграмму A5).
51. Пусть pj: Gi ->¦ G\; — односвязное накрытие группы Gi (i = 1, 2) и
пусть TicGj, 1 \ d Сгг — максимальные торы, отвечающие подалгебре 1г-. Изо-
Изоморфизм ф определяет изоморфизм Ф: G\ -> G2, причем диаграмма
f ——^____т
^i
Pi
где ^г, ^г определяются как в A4), коммутативна (см. задачу 49). Из теоре-
теоремы 8 следует, что <D(Ker/?i) =Ker/?2, так что Ф определяет искомый изомор-
изоморфизм Ф: G\ ->¦ G2.
52. Использовать теорему 1 и задачу 51.
53. Пусть А — матрица Картана алгебры Ли д. Из B.6) следует, что изо-
изоморфизм Zl-+P, переводящий набор (к\, ..., ki) в ^ ^г^г' отображает
г=1.
^>а на (J и тем самым индуцирует изоморфизм я (Л) -> я (Ад). Подгруппе
dc(T)/Q соответствует изоморфная ей подгруппа Zczn(A). Из теорем 9 и 10
следует, что соответствие G^- (A, Z) определяет искомую биекцию.
54. Единственность представления с заданным старшим весом следует из
теоремы 2 и теоремы 1.2.4. Пусть Л е ?(Т) —доминантный характер. По теоре-
теореме 4 существует неприводимое конечномерное линейное представление
Р* Q-*$-(V) алгебры Ли g со старшим весом Л. В силу теоремы 1.2.6 р = dR
для некоторого неприводимого представления R: G-*-GL(V), где G — односвяз-
ная накрывающая группа для G. В силу теоремы 8 ядро накрытия ф; G-+-G
имеет вид Кег ф = 1§ (t (Z)). С другой стороны, из задачи 10 следует, что
Ф^€1 X (Т). Отсюда выводится, что #(Кегф)=е, так что R определяет
искомое линейное представление R: G->- GL{V).
55. Пусть В+ и В~ — борелевские подгруппы в G, соответствующие каме-
камерам Вейля Со и—Со (см. п. 2.3). Из задачи 1.24 следует, что п^В^'п^1 = В~

§ 4. АВТОМОРФИЗМЫ 21.3
§ 4. Автоморфизмы
Этот параграф посвящен изучению автоморфизмов комплексных
полупростых алгебр Ли. Сначала мы доказываем, что группа внеш-
внешних автоморфизмов (см. п. 1.3.10) полупростой алгебры Ли изо-
изоморфна группе автоморфизмов ее схемы Дынкина. Далее изучаются
полупростые автоморфизмы полупростой алгебры Ли g с точностью
до сопряженности в группе Autg. Основным результатом является
описание классов полупростых автоморфизмов, собственные значе-
значения которых по модулю равны 1. Это описание, использующее аф-
аффинные схемы Дынкина, принадлежит В. Г. Кацу (в случае авто-
автоморфизмов конечного порядка). Однако его вывод, предлагаемый
в настоящей книге, существенно отличается от доказательства Каца
(изложение последнего см. в [21]) и восходит к известной работе
Ф. Р. Гантмахера [35]. В конце параграфа доказана теорема о связ-
связности множества неподвижных точек полупростого автоморфизма
односвязной полупростой группы Ли. Все рассматриваемые группы
Ли и алгебры Ли определены над полем комплексных чисел. Через
( , ) обозначается картановское скалярное умножение на полупрос-
полупростой алгебре Ли.
1. Группа внешних автоморфизмов. Пусть g—полупростая ал-
алгебра Ли. В этом пункте мы вычислим группу Autg/Intg ее внеш-
внешних автоморфизмов (см. п. 1.3.10).
Как известно, 'Autg — линейная алгебраическая группа, каса-
касательной алгеброй к которой служит алгебра дифференцирований
Derg. Идеал adgczDerg изоморфен алгебре д и потому алгебраичен.
Очевидно, соответствующая ему связная алгебраическая нормаль-
нормальная подгруппа в Autg совпадает с Intg.
Пусть |) — максимальная диагонализуемая подалгебра в д, Л0 =
= А A)) — система корней относительно I) и П d Ag — некоторая си-
система простых корней. Каждый автоморфизм 6 ^ Autg является диф-
дифференциалом d& автоморфизма в некоторой связной алгебраиче-
алгебраической группы G с касательной алгеброй g (например, автоморфиз-
автоморфизма 6(а) = 0а9~1 группы G = Intg). Применяя задачу 1.24, мы ви-
видим, что если в (&) = &, то 8$(R)) - I) (R) и 9^ (Дд) == Д?. Посколь-
Поскольку 8. сохраняет скалярное умножение, имеем 0T e Aut Ag. Рассмот-
Рассмотрим теперь подгруппу
: Aut (а, I), П) = {9е Aut д 16 (f>) - I), 6^ (П) - П}.
Сопоставляя автоморфизму 6^ Aut(g, I), П) автоморфизм (Эт | д)
системы П, получаем гомоморфизм tj: Aut(g, |), n)-^Autn.
Докажем, что гомоморфизм ц сюръективен. Для этого фиксиру-
фиксируем в д каноническую систему образующих {7га, ва, е_а1аеШ, ас-
ассоциированную с ^ и П (см. п. 3.2). По теореме 3.1 для любого
существует единственный автоморфизм ^r^Aut(g, J), П)

214 гл. 4. комплексные полупростые группы ли
такой, что
Очевидно, отображение ?: т>-*т есть гомоморфизм группы Aut Л
в Aut(g, f), П), причем rj^ = id. Отсюда видно, что г) изоморфно
отображает подгруппу Aut П = Im ? с: Aut(9, I), П) на АиЬП, Ясно,
также, что
Aut (в, I), П) = Кег т) X Aut П.
Обозначим через # = expadf) максимальный тор в Intg, отве-
отвечающий подалгебре ad f) ^ I). Очевидно, Я cz Ker ц.
Задача 1. Имеем Кег ц = Aut (g, J), П) П Intg = Я. Таким
образом,
Aut (в, |), П) = #Ч
Теперь мы продолжим г| до гомоморфизма всей группы Aut 9
в Autll (продолжение будет обозначаться той же буквой г)).
Задача 2. Имеем Autg = Aut(g, I), П) • Intg.
Из задач 1 и 2 вытекает
Теорема 1. Имеем Autg = Intg X Aut П. В частности^
Autg/Intg — Aut П. Соответствующий гомоморфизм ц: Autfl-*-
-*¦ Autll совпадает с ц: Q >-+ (9Т | пI ^^ Aut(g, I), П).
Задача 3. (Следствие.) Группа Intg совпадает со связной
компонентой единицы в Autg; различные связные компоненты
группы Autg суть множества <n~1(T) = (Intg)T для различных т^
^ Aut П. Алгебра Ли Derg совпадает с ad g.
2. Полупростые автоморфизмы. Пусть 0 — автоморфизм полу-
полупростой алгебры Ли д, являющийся полупростым линейным ареоб-
разованием, $(А,)<=д — собственное подпространство для G, отвеча-
отвечающее числу AgC*- Тогда
Задача 4. [д(Я), д(]ы)]с:д(Я^) для любых Я, (неС*. В част-
частности, g(l) = {^^g I Q(x) = x) — подалгебра в д; она будет также
обозначаться через де.
Задача 5. Для любых Я, jli, таких, что Я|х?=1, имеем
(в(Я),д(м<)) = 0. Скалярное умножение невырождено на fl(A,) + g(lA)
для любого Яе С*.
Теорема 2. Если g Ф 0 — полупростая алгебра Ли и 9 е
е Aut g — ее полупростой автоморфизм, то де ?= 0.
Доказательство теоремы непосредственно вытекает из следую-
следующих задач 6—9.
Задача 6. Любой нильпотентный элемент х ^ g представляется
в виде х = [«г, у\ где у е= д.

§ 4. АВТОМОРФИЗМЫ 215
Задача 7. Если ge=Q, то &(к) для любого А, е С* не содер-
содержит ненулевых нильпотентных элементов.
Задача 8. Если А,е"С* не является корнем из 1, то $(к) со-
состоит из нильпотентных элементов.
Если все собственные значения автоморфизма 6 являются кор-
корнями из 1, то, очевидно, 6т = е для некоторого натурального тг
так что все собственные значения имеют вид г\ где е = е2лг/т.
Задача 9. Если 6Ш = е и ${г1) = 0 для 0^1<к<т, то g(efe)
состоит из нильпотентных элементов.
Задача 10. Подалгебра д9— редуктивная алгебраическая под-
подалгебра в д.
Нашей целью является классификация полупростых автоморфиз-
автоморфизмов с точностью до сопряженности в группе Autg. Первым шагом
в этом направлении будет доказательство того, что всякий полу-
полупростой автоморфизм 6 сопряжен элементу подгруппы Aut(g, J), П),
где 1} и П определены как в п. 1. Для этого мы используем под-
подалгебру де. Пусть t — максимальная диагонализуемая подалгебра в
д° и $(t)— ее централизатор в д.
Задача 11. Подалгебра ${t) инвариантна относительно 9 и яв-
является максимальной диагонализуемой в д.
Задача 12. В t существует элемент, регулярный в tyi = $(t).
Существует система простых корней nt алгебры g относительно I)i,
такая, что 0т (Пх) =Пг.
Задача 13. Существует такой а е Int g, что ада е Н%"<=-
<=Aut(g, Ъ, П), где t = tiF).
Таким образом, достаточно рассматривать автоморфизмы из мно-
множеств Нх = хН. где т — различные элементы группы Ant П. Обоз-
Обозначим через Тх подтор в Н, являющийся связной компонентой еди-
единицы в подгруппе Z(t)= (А ^/Лт/гт = Ы. Очевидно, Тх =
= exp (ad tT), где tt = Ьх = \) П дт • Теперь мы хотим показать, что лю-
любой автоморфизм из хН сопряжен элементу подмножества хТх.
Задача 14. Подпространство Iiii(tt—е) d I) совпадает с орто-
ортогональным дополнением %t - Тор Н разлагается в локально прямое
произведение торов: Н — ТХН1} где Н{ = ix~lhxh~l\h^ Я}.
Задача 15. Для любого автоморфизма 8 ^ хН существует та-
такой h^H, что й-Вй е хТх. В частности, хН состоит из полупростых
автоморфизмов.
Из задач 13 и 15 следует
Теорема 3. Всякий полу простой автоморфизм 8^Aut$ со-
сопряжен автоморфизму из множества хТх, где т = г](9), Тх=^
()
Задача 16. Если автоморфизмы аи а2 ^ Autg сопряжены в
Autg, то T](ai), 'ц(а^) сопряжены в АиШ. Обратно, если т2 =
= 0Ticri, где т4, т2т а^ АиШ, то т2Т%2 = a(r177ti)o:-1.

216 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Из теоремы 3 и задачи 16 вытекает, что задача классификации
полупростых автоморфизмов алгебры g с точностью до сопряжен-
сопряженности сводится к следующим двум задачам.
а) Найти классы сопряженных элементов в группе Ant П.
б) Для всевозможных представителей т классов сопряженных
элементов в Autll классифицировать автоморфизмы из %ТХ с точ-
точностью до сопряженности в Autg.
Задача а) относится к теории конечных групп. Мы будем рас-
рассматривать ее только в случае простых алгебр Ли д, когда она
тривиальна. Основная часть параграфа будет посвящена решению
задачи б). ^
Пусть снова x^AutlT. Рассмотрим автоморфизм т и подпрост-
подпространство tT= f)T. Пусть г: ])* ->¦ tT—отображение ограничения. Очевид-
Очевидно, r(A(I))U{O}) = A(tT)U{O}.
Задача 17. Размерность dim tT равна числу орбит циклической
группы <т> в множестве П. Если а, [} ^ П, то г(а) = г(|3) тогда и
только тогда, когда а и р лежат в одной орбите, причем если а ^
^Ааи г(а)^г(П), то а ^ П. Различные элементы множества По —
— г(П) составляют базис в*х, причем каждый корень из множества
г(ДA))), совпадающего с A(tT), выражается через По с цеяыми
коэффициентами одного знака. Централизатор &(tT) совпадает с !к
Для любого 0е тН подалгебра U является максимальной диагона-
лизуемой в ge.
Задача 18. Пусть автоморфизмы Ви 62 е т Тх сопряжены в
Autg, т. е. Э2 —^Э^ для некоторого g^Autg. Автоморфизм g
можно выбрать так, чтобы g(tT) = tT, gxg~v ^ тТх.
Рассмотрим в Autg подгруппу Sx=(t}-Tx. Очевидно. Sx ==*
= <т> X Тх. Поэтому Sx — квазитор в Autg, причем 5? = Тт (см»
п. 3.2.3). Пусть Nx — подгруппа нормализатора Л^(^т) квазитора Sx
в Autg, состоящая из тех g^N(Sx), для которых автоморфизм a(g)
переводит смежный класс тГт в себя, т. е. индуцирует тождествен-
тождественный автоморфизм факторгруппы Sx/Tx. Пусть QT — группа автомор-
автоморфизмов со(#) группы Sx, индуцированных автоморфизмами a(g)
для g e Nx. Из задачи 18 следует
Теорема 4. Два автоморфизма 04, б2 ^ хТх сопряжены в Autg
тогда и только тогда, когда 62 = со@1) для некоторого о е Qx,
Для описания орбит группы Qx на множестве тТх удобно перей-
перейти к односвязному накрывающему пространству а многообразия
тГт, которое оказывается аффинным пространством с ассоциирован-
ассоциированным векторным пространством tT. При этом вместо группы Qx нуж-
нужно рассматривать группу преобразований пространства а, накрываю-
накрывающих преобразования из QT, которая оказывается весьма близкой к
группе аффинных преобразований, порожденной отражениями в не-
некоторых аффинных гиперплоскостях. Эти гиперплоскости соответ-

§ 4. АВТОМОРФИЗМЫ 217
ствуют аффинным функциям на а, которые будут называться аф-
аффинными корнями пары (д, т). Следующие два пункта будут по-
посвящены построению аффинных корней и соответствующего кор-
корневого разложения.
3. Характеры и автоморфизмы квазиторов. Рассмотрим алгеб-
алгебраический квазитор вида
где Т = 5° — тор, а — элемент порядка к. Пусть t — касательная
алгебра групп Т и S. Как мы видели в п. 3.3.2, любой характер %
тора Т однозначно определяется своим дифференциалом de%^t*.
Мы хотим показать, что характер квазитора S определяется неко-
некоторым семейством аффинных функций на аффинном пространстве
с ассоциированным векторным пространством t.
Пусть А = пТ, а— односвязное накрывающее пространство мно-
многообразия Л, л: а-*-А — накрытие. Заметим, что t можно рассмат-
рассматривать как односвязное накрывающее пространство тора Г, опре-
определив накрытие &\ Х-+Т формулой & (х) ~ exp Bnix). Пусть
]х: ТХА-+А — естественное просто транзитивное действие группы
Т на А, т. е. \i(t, b)=bt. Фиксируем точку а^а, такую, что п(а) =
= а. Согласно основному свойству односвязных накрывающих про-
пространств (см. п. 1.3.3), существует единственное дифференцируемое
отображение \i: t X а ->¦ а, накрывающее ji и удовлетворяющее усло-
условию ji@, a) = a.
Задача 19. Отображение \х является просто транзитивным
действием группы t на а и тем самым вводит на а структуру аф-
аффинного пространства с ассоциированным векторным пространст-
пространством t. Действие \х не зависит от выбора точки а, такой, что п(а) = а.
Обозначим через tx: a ->¦ а параллельный перенос на вектор x^t,
т. е. положим tx(y) = |х(ж, у) (х et, у <= а).
Характер 'k^X(S) полностью определяется своими значениями
на А. Действительно, если известно Я|А, то известно число Я(а)е
gQ* и для любого t^T известно X(t) = 'k(at)X(a)~i. Рассмотрим
накрытие &\ С~^С*» заданное формуло!! S(z) = е2лгг. Согласно
основному свойству односвязных накрывающих пространств, сущест-
существует дифференцируемая функция X: а-^С, накрывающая К. Эта
функция однозначно определяется своим значением Х(а), которое
выбирается с точностью до произвольного целого слагаемого.
Задача 20. Функция А,, накрывающая X^X(S), является аф-
аффинной функцией с линейной частью dk^t*, a^(a)^-r-Z- Обрат-
Обратно, всякая аффинная функция 5- сх —^ С для которой ? (а) е -у- Z,
к
а линейная часть есть дифференциал характера тора Г, накрывает
некоторый характер квазитора S.

218 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Положим
а @?) = {у €= а | Я (у) е R Дл* всех Ke=
Задача 21. Имеем a (R) = {tx (a) | x e t (К)}. Таким образом,
a (R) — вещественное аффинное пространство с ассоциированным
векторным пространством t(R). Любая функция \ где X
полностью определяется своим ограничением на ct (lR) .
Таким образом, мы сопоставили каждому характеру X
семейство вещественных аффинных функций К на а (К), отличаю-
отличающихся друг от друга на произвольное целочисленное слагаемое.
Каждая из функций X полностью определяет характер X.
Аналогичные соображения применимы к автоморфизмам квази-
квазитора S, переводящим в себя Л, т. е. тождественным на S/T. Такой
автоморфизм ф полностью определяется своим ограничением на А.
Далее, преобразование ф|А допускает накрывающее преобразование
ф: а->а, однозначно определяемое своим значением ф(а) = 2. При
этом z может быть любым элементом пространства а, удовлетворяю-
удовлетворяющим условию n(z) = (р(а).
Задача 22. Накрывающее преобразование ф: а-> а аффинно,
и его линейная часть есть с?еф. Преобразование ф переводит <х (К?)
в себя и однозначно определяется своим ограничением нас(К).
4. Аффинное корневое разложение. Применим сказанное выше
к квазитору 5т=<т>ХГт, где т—фиксированный автоморфизм си-
системы простых корней П (см. п. 2). Касательная алгебра этого
квазитора совпадает с adtt. Нам будет удобно отождествить ее с Хх
при помощи изоморфизма ad. Таким образом, в нашем случае
t = tT. Далее, А = %ТХ, а = т.
Для любого аффинного пространства В над полем к обозначим
через В^ векторное пространство всех аффинных функций В -+¦ к.
Очевидно, dim5A = dim В + 1. Если ф: B^-* B2 — аффинное отобра-
отображение аффинных пространств, то формула
определяет линейное отображение фт* В% -^В^.
Пусть W cz X(Sx) — множество всех весов тождественного пред-
представления квазитора Sx в g. Тогда
в = © вЧ
где $%?=0 — весовое подпространство, отвечающее весу Я. Аффин-
Аффинные функции Я е ct (R) , соответствующие весам Я^Ч1", мы будем
называть аффинными корнями пары (д, т); множество всех аффин-
аффинных корней обозначим через Дхс:а(?)'\ Поскольку аффинный ко-
корень Я, накрывающий вес Я, полностью определяется своей линей-

§ 4. АВТОМОРФИЗМЫ 219
ной частью a = dX и числом s — % (а), мы будем писать А, = (а, s).
Очевидно, при этом аеД (tT) U {0} — вес тождественного представ-
представления группы Intg относительно Тх, a se jZ, где /с — порядок
автоморфизма т.
Будем писать %к = g4 Если (a, s)^AT, то (а, s + /w)gAt для
любого w e Z, причем д(а> s) = д(а> e+w). Имеем
Задача 23. Система Дт порождает пространство a(tR)\
Задача 24. Если | = (сс, s)e= Дт, то
где ga — корневое подпространство, отвечающее аефаA, a g(es) —
собственное подпространство автоморфизма т, е = е2яг/к. Далее,
Задача 25. Для любых |, rj ^ Дт имеем
: д*+т\ если g + -n e Д\
[=0 в противном случае.
Корни с нулевой линейной частью называются мнимыми, а ос-
остальные корни — действительными. Множества мнимых и действи-
действительных корней обозначим через Aim и Aje соответственно. Из за-
задачи 24 следует, что
= 2
а*.
Оказывается, что действительные корни обладают рядом свойств,
аналогичных обычным свойствам корней и весов. Чтобы доказать
это, мы, как в п. 1.6, используем некоторые трехмерные подалгеб-
подалгебры алгебры д. Для любых ? —(ос, s), r|=(j5, t)^Ax будем писать
(§, T|)=i(.a, fJ), <|Ir|> = <ai^>. Если ^^А?е, то элемент ftaetT(B)r
определенный формулой A.5), будем также обозначать через кг.
Задача 26. Для любого g e Дт имеем -|еДт. Если g e Aje, то
Пусть es^fl5, е_5е^ — такие элементы, что [е^, е~г] == fes. Тогда
отображение %: ^12(С)~^Й» заданное формулами
есть изоморфизм алгебры Ли я!2 (С) на подалгебру <es, e_s,
Пусть g е Are, Ц ^ Ат. Множество {? е Дт | g = ц + Щ
называется ^-серией корней, содержащей т].

220 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Задача 27. Пусть |<= Are- Тогда |-серия корней, содержащая
/П(ЕЕЛ\ имеет вид {ц + Щ | —р ^ / ^ д>, где p,:q>0 и i? — g = <г]1^>.
Если (г), §)<0, то г) + ^ ^ Д\ а если (г|, ^)>0, то ц — § е Ат.
Задача 28. Для любого \ ^А?е имеем dimgl==l. Если ?е Аге,
сеК, то eg ^ Ат тогда и только тогда, когда с = — 1, 0, 1.
Задача 29. В обозначениях задачи 28 имеем (ade6)"p+?fl-4~-pSs^
^0. В частности, если Е^А^е, a т), ц + ? е Дт, то [g1, fl^l^O, а если
? + Л^ А^, ТО [fl6, ЙТ^Й64.
Рассмотрим в 8 редуктивную алгебраическую подалгебру ?т = Q A).
Согласно задаче 17, tT = g@0) — максимальная диагонализуемая под-
подалгебра в Зт. Из задачи 24 следует, что
9?= Ф 9^ B)
Задача 30. Подалгебра йг имеет в g нулевой централизатор и,
в частности, полупроста. Система По —г(П) есть система ее про-
простых корней относительно tT. Система корней А - совпадает с мно-
и
жеством таких aEt (К)*, что (а, 0) е Aje-
Корень g = (a, ,s)gAt называется положительным, если либо
5 = 0 и а лежит в множестве A~t. положительных (относительно
д
По) корней алгебры дт, либо s > 0. Если Ат+ — множество всех по-
положительных корней, то Ат = Ат+ U {0} U (—Ат+). Положительный
корень называется простым, если он не разлагается в сумму двух
положительных корней. Пусть Пт с= Дт+ — система простых корней.
Очевидно, (а, 0)еПт, если а ^ По. Если ?, ц е Пг и g Ф г], то
Из задачи 4, примененной к автоморфизму 8 = т, вытекает, что
для любого s = т/&, где wieZ, присоединенное представление под-
подалгебры йх в g переводит в себя собственное подпространство g(ss)
автоморфизма т. Соответствующее представление алгебры Ли Qx
в й(е5) обозначим через ads. Очевидно, (ос, s)^AT тогда и только
тогда, когда а е Фав8- Мы установим теперь связь простых корней
с младшими весами представлений ads (см. п. 3.7).
Задача 31. Младшие веса всех представлений ads отличны от 0.
Задача 32. Если (a, s) е Пт и s > 0, то а — младший вес —
представления ads. В частности, Пт а А*е- Если а — младший вес
представления ads, то (a —a', s)<^AT для всех а'еА+-. Если при
этом (р, t)<?Ax для всех $Ф0 и 0<^<5, то •у = (а, ^)^ПТ и со-
соответствующим младшим вектором служит вектор ет.
Задача 33. Любой ? ^ Ат+ представляется в виде ? = 2 ^yY»
7НПТ
где /ст — целые неотрицательные числа.

§ 4. АВТОМОРФИЗМЫ 221
5. Аффинная группа Вейля. Пусть снова а — комплексное аф-
аффинное пространство, накрывающее многообразие А = тГт, a (R) —
его вещественная форма, определенная в п. 3. Заметим, что ас-
ассоциированное векторное пространство tt (R) является евклидовым
относительно выбранного нами скалярного умножения в алгебре д.
Поэтому а C?) — аффинное евклидово пространство. Обозначим че-
через / (ct (R)) группу всех его движений.
Пусть QT — множество всевозможных аффинных преобразований
о пространства а, накрывающих преобразования colA, где G)^?2t.
В силу задачи 22 мы можем отождествить Qx с соответствующим
множеством преобразований пространства ct (lR).
Задача 34. Множество Ят является подгруппой группы
/(u(lR)). Естественный гомоморфизм Qx -*¦ &х сюръективен, и его
ядро есть группа {tx | x e fT (Z)}. _
Задача 35. Для любого iv^Qx имеем w(Ax) — Ах. Если w=*
= 7Tg), где g^Nr, то g(fl6) = в(»т>«> (Ее Ах).
Из определения группы QT легко следует, что теорема 4 может
быть переформулирована следующим образом:
Теорема 47. Автоморфизмы 61 = я(г/1), 92 = я(г/2), где уи уг^
еа, сопряжены в Autg гог^а гг только тогда, когда y1 = w{y1) для
некоторого w ^ Qt.
Каждый действительный корень ? е Are определяет в а (К) ги-
гиперплоскость Pi = {г/ е а (]?) | ^ (г/) = 0}. Связные компоненты мно-
множества ci(!R)\ U Pi назовем камерами. Очевидно, камеры—откры-
тые выпуклые множества в а(Щ. Из задачи 35 следует, что груп-
группа Qx переставляет гиперплоскости Рг и камеры. Покажем, что она
транзитивно действует на множестве всех камер. Для этого обоз-
обозначим через гг ортогональное отражение в гиперплоскости jP6, где
? е Aje» и докажем, что r6 e QT.
Рассмотрим гомоморфизм щ = (ad) ° %: sl2 (С)-*" ad 9 (см. задачу
26) и обозначим через Ф^: SL2 (C)~>- Int g такой гомоморфизм групп
Ли, что (?ФБ='ф6. Пусть 'Ч = Фм(_ 1 0/) е Intfl-
Задача 36. Имеем ^(tT) = tT. Если |=i(a, s), то /^|1т(К) сов-
совпадает с отражением га относительно гиперплоскости Кега.
Задача 37. Если §=(а, s), то
Таким образом, щ ^ Л^т. Отражение г6 накрывает преобразование
со(^) и тем самым лежит в QT.
Пусть Wx — подгруппа в Йт, порожденная отражениями гь для

222 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
всех^^Дге- Группа Wx называется аффинной группой Вейля, свя-
связанной с т ^ Aut П.
Отметим некоторые свойства аффинной группы Вейля, анало-
аналогичные свойствам обычной группы Вейля (см. п. 2.4). Так же, как
для камер Вейля, определяются стенки камеры.
Задача 38. Стенки любой камеры имеют вид Рг, где^^А^е.
Обратно, любая гиперплоскость Рг, ? е Are, является стенкой не-
некоторой камеры.
Справедливы следующие утверждения, которые доказываются
точно так же, как теоремы 2.7 и 2.8.
Теорема 5. Группа Wx просто транзитивно действует на мно-
множестве всех камер. Если Do — фиксированная камера и-Р^,..., Р^*
где ?$е Aje, — ее стенки, то отражения г^, .. ., r%s порождают
группу Wr.
Теорема 6. Замыкание любой камеры служит фундаменталь-
фундаментальным множеством для группы Wx, т. е. пересекает любую орбиту
этой группы в единственной точке.
Задача 39. Пусть D — камера, уи y2<^D, и пусть существует
такой ш^йг, что yz — wdft). Тогда w можно выбрать так, что
(D) D
Теперь мы покажем, что система простых корней IT, определен-
определенная в п. 4, задает некоторую камеру Do, аналогично тому, как v лю-
любая подсистема простых корней в обычной системе корней задает
некоторую камеру Вейля (см. п. 2.2). Положим
D0 = {y€=aQ})\y(y)>0 для всех 7еПт|. D)
Докажем, что Do Ф &. Из формулы B) видно, что соответствие
а^(а, 0) является биекцией системы корней А- алгебры Ли дт
относительно tT на систему аффинных корней вида (а, 0), а?=0.
При отображении х ь-* tx (а) пространства tx C?) на а($) гипер-
гиперплоскость Ра — Кега отображается на Р(а,0I а камера Вейля
{х^ Хх (iR) | а (х) > 0 для всех аеП0) — на некоторый открытый
жонус CQ а а (В) с вершиной а. Если "f==(a, 5)^ПТ и s?=0, то
s > 0, так что все такие корни ^ положительны на некотором шаре
U d a (iR) с центром а. Очевидно, Do=>U(\Co?*0.
Заметим, что из наших рассуждений следует также, что группа
Вейля W^(gr) алгебры Ли дх отождествляется с подгруппой группы
Wx, порожденной отражениями вида Г(а,о)* (ос, 0) е А^е-
Задача 40. Множество Do, определенное формулой D), явля-
является камерой. Имеем
0 для всех уеПт).
Камера Do однозначно определяется условиями Do с: Со, ае Д>.

§ 4. АВТОМОРФИЗМЫ 223
Камеру Do, заданную формулой D), будем называть фундамен-
фундаментальной.
Очевидно, любой элемент х е \х однозначно записывается в виде
x = u-{~iv, где u, i;ett(R). Будем писать u = Rex, v = Im#. Да-
Далее, любой элемент у ^ а однозначно записывается в виде y — tiv(z),
где vett (R),'zea(R). Будем писать z — Re г/.
Автоморфизм 6 ^ %ТХ будем называть каноническим, если 8 =
= л(у), где у^а и Rez/eiH. Из теоремы 4', теоремы 6 и задачи
39 вытекает .
Теорема 7. Всякий автоморфизм из тТх сопряжен канониче-
каноническому автоморфизму. Если канонические автоморфизмы 64 =
= я(г/1) и 62 —jt(z/2), где г/i^ct, Rez/i^ZH (i = 1, 2), сопряжены,
то существует такое движение w e Qt, переводящее в себя Do, что
(R) R
yi) Rey2.
Остановимся на случае т — id. В этом случае й (R) совпадает
с евклидовым векторным пространством I) (iR), рассматриваемым как
аффинное евклидово пространство. Система действительных корней
имеет вид
Группу W^id будем обозначать через W". Она содержит в качестве
подгруппы группу Вейля W системы корней Ад-
Задача 41. Для любых а<=Дд и s<=Z имеем г(а,8)га = ?-вла.
Задача 42. Группа Т^" разлагается в полупрямое произведение
^ = ^VX И7 (решетка Q^ отождествляется при этом с соответствую-
соответствующей группой параллельных переносов в пространстве И1^))-
3 а д а ч а_ 43. Пусть т = id и D — произвольная камера. Тогда
множество D П (JV состоит из одной точки.
6. Аффинные корни простых алгебр Ли. В этом пункте предпо-
предполагается, что й проста. Мы найдем для этого случая явный вид си-
систем простых корней Пт и фундаментальных камер для всевозмож-
всевозможных автоморфизмов T^AutlT.
Задача 44. Для любого т^ Autll алгебра 9тпроста.
Группы Autll для всех простых алгебр Ли указаны в таблице 3.
Из этого списка видно, что нетривиальный автоморфизм т^ Autll
существует лишь в случаях, когда д — алгебра Ли типа Ап (п^2)у
Dn или Е6. Для всех алгебр перечисленных типов, кроме ZL, су-
существует единственный автоморфизм т Ф id порядка 2. Если же д —
= Д4, то в группе Autn^Ss имеется, кроме {id}, два класса сопря-
сопряженных элементов, содержащих все элементы порядков 2 и 3 со-
соответственно. Итак, к может принимать лишь значения 1, 2,. 3.
Задача 45. Множество Aim — циклическая подгруппа в a (K)\
порожденная корнем @, 1//с).
Пусть Пт с= Ат — система простых корней, определенная в п. 4.
Из задачи 27 следует, что (?, rj)^O для любых |, ijeff, Ь^Ч*

224 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Поэтому линейные части корней из Пт (отличные от 0 в силу за-
задачи 32) попарно различны и образуют неострые углы. Пусть \Р с=
c=A(tt)—система линейных частей аффинных простых корней.
Задача 46. Пусть no = {ai, ..., an). Система простых корней
Их имеет вид Пт = {^0, Ть • •., Т«Ь гДе Т* — (а* 0) (/ = 1, ..., п),
Ifo ==='(iOCo, i/k), а0 — (единственный) младший вес представления
adi^. Система W = {а0, czi, ..., ап) неразложима. Система Пт ли-
линейно независима и является базисом в ct(R) • Если т —id, то ос0—
младший корень и "ЧР" = П — расширенная система простых корней
алгебры д.
Задача 47. Имеем
п
ао — — ^ п№, \Р)
где щ— натуральные числа. Если положить п0 = 1, то
2 WjYj = (O, 1/fc). F)
3=0
Задача 48. Матрица А системы W с элементами аг3-—<at!acj>
есть неразложимая аффинная матрица Картава.
Напомним, что все неразложимые аффинные матрицы Картана
были перечислены в п. 2.7. Теперь мы найдем аффинные схемы
Дынкина, соответствующие автоморфизмам т^АиШ. При этом
достаточно выбрать по представителю из каждого класса сопряжен-
сопряженных элементов группы Autn.
Задача 49. Указанным выше автоморфизмам t^Autn отве-
отвечают аффинные схемы Дынкина, обозначенные в таблице 6 через
Ln, где Ln — тип простой алгебры Ли д, а к — порядок автомор-
автоморфизма т. Тождественному автоморфизму системы простых корней
алгебры Ли типа Ln отвечает расширенная схема Дынкина Ln .
Из задачи 49 следует, что любая связная аффинная схема Дын-
Дынкина отвечает некоторому автоморфизму т для простой алгебры
Ли д. Таким образом, имеется биективное соответствие между авто-
автоморфизмами систем простых корней простых алгебр Ли, рассматри-
рассматриваемыми с точностью до сопряженности, и связными аффинными
схемами Дынкина.
Задача 50. Фундаментальная камера DQ является симплексом
й, в обозначениях задачи 46, определяется неравенствами
Ъ(У)>О G = 0, 1, ...,п).
Стенками камеры DQ являются гиперплоскости Ру. (/ = 0, 1, . .., п).
7. Классификация унитарных автоморфизмов простых алгебр Ли.
Автоморфизм G^Autg назовем унитарным, если 6 полупрост и все
его собственные значения \х удовлетворяют условию \\i\ = 1. Напри-
Например, всякий автоморфизм конечного порядка унитарен. В этом

§ 4. АВТОМОРФИЗМЫ 225
пункте мы опишем классы сопряженных унитарных автоморфизмов
простых алгебр Ли g. В силу теоремы 3 и задачи 16 достаточно
рассматривать унитарные автоморфизмы из множеств тТх, где т
пробегает множество представителей классов сопряженных элемен-
элементов группы АиШ, где П — система простых корней алгебры j, а в
силу теоремы 7 можно ограничиться каноническими автоморфиз-
автоморфизмами.
Задача 51. Автоморфизм Q = n(y), где у ^ а, является уни-
унитарным тогда и только тогда, когда y^d(\R). В частности, кано-
канонические^ унитарные автоморфизмы — это автоморфизмы вида я (г/),
где y^D0.
Пусть алгебра Ли g проста. Тогда, в силу задачи 46 система
простых корней Птс=Дт имеет вид Пт = {^0, Ть ••-, Т?Л где То —
= (а0, 1/к), ъ=*(а,5, 0) G=^1, • • •, п), {аи • •., ап} — система По
простых корней алгебры Ли gT. Элемент wGa(R) полностью опре-
определяется вещественными числами Uj = ^}{u) (/=1, ..., ft). Поло-
Положим и0 — Yo(у). Согласно F), имеем
Условие у е Do записывается в силу задачи 40 в виде
Uj>0 G = 0, 1, ..., п). (8)
Очевидно, для любых чисел Uj^\R (/— 0, 1, ..., п), удовлетворяю-
удовлетворяющих G) и (8), существует единственный wea(J?), для которого
^(гг) = ^- G = 0, 1, ..., п).
Назовем схемой Каца связную аффинную схему Дынкина, вер-
вершины которой снабжены вещественными числовыми отметками uh
удовлетворяющими условиям G) и (8), где к — число, отвечающее
данной схеме. Очевидно, схемы Каца, построенные на аффинной
схеме Дынкина, отвечающей автоморфизму т ^ Aut П для простой
алгебры Ли g, изображают различные элементы множества Do cz
с: а (К). Две схемы Каца назовем изоморфными, если между ними
существует изоморфизм, т. е. изоморфизм аффинных схем Дынкина,
такой, что соответствующие друг другу вершины схем снабжены
одинаковыми числовыми отметками.
Задача 52. Если g проста и канонические автоморфизмы 6А =
= k(z/i), 02 = я(г/2), где Re z/4, Re y2 e DQ, сопряжены в Autg, то
элементы Rez/i, Re уг изображаются изоморфными схемами Каца.
Теперь мы сформулируем основной результат этого пункта.
Теорема 8. Если g проста, то унитарные канонические авто-
автоморфизмы n(yi) и п(у2) сопряжены в Autg тогда и только тогда,
когда уи у2 е Do изображаются изоморфными схемами Каца. Таким
образом, имеется биективное соответствие между классами сопря-
сопряженных унитарных автоморфизмов простой алгебры Ли типа Ln и
15 Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

226 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
классами изоморфных схем Каца типов 1^ для всех возможных &.
При этом классам внутренних автоморфизмов соответствуют схемы
Каца типа L*n\ а классам внешних автоморфизмов — схемы Каца
типов L^ и Ln3).
Доказательство будет опираться на задачи 53—56.
Задача 53. Пусть g проста и ?— линейное преобразование
пространства а (К)*, принадлежащее группе AutY. Тогда сущест-
существует такой автоморфизм n^Nx алгебры Ли д, перестановочный с
т, что пт = ? в a (lR)*.
Для любого а^ A(tT) положим fca = dimga. Из задач 24 и 28 сле-
следует, что ка равно числу таких смежных классов I + &Z е Z/&Z»
что (а, 1/к)^Ах. С другой стороны, ка совпадает с числом таких
ре Ад, что r([*) = a. Если а ^ По, то из задачи 17 следует, что ка —
длина орбиты относительно <т> любого такого Р?П, что г($) = а.
В частности, ка\к. Если g проста, то ка = 1 или к для любого
Задача 54. Пусть г; е tT (К) — такой вектор, что а (и) е -г- Z
для всех а ^ По. Тогда существует такой х^1), ортогональный к ХХу
ЧТО V — Х(= I) (Z).
Задача 55. Пусть У?|Т(К) удовлетворяет условиям задачи
54. Тогда tv = со (/г) для некоторого h е Я П 7Vt.
Задача 56. Пусть движение w ^ I (<X AR)) обладает свойством
ы;т(ГГ)-Пт. Тогда м;е1
Доказательство теоремы 8. В силу задачи 52 остается
доказать, что если их и и2 изображаются изоморфными схемами
Каца, то n{u^) и п(и2) сопряжены. Изоморфизм схем Каца опре-
определяет аффинное преобразование w пространства й (К), такое, что
u2 = io{ui) и wl (Пт) = Пг и что соответствующее линейное пре-
преобразование JjeAut^F. В силу задачи 53 ^ — ортогональное пре-
преобразование, так что w — движение. В силу задачи 56 w ^ QT,
и наше утверждение следует из теоремы 4'.
Специальный класс унитарных автоморфизмов составляют авто-
автоморфизмы конечных порядков.
Задача 57. Пусть g — простая алгебра Ли, m — натуральное
число. Унитарный канонический автоморфизм B^Autg имеет по-
порядок тп тогда и только тогда, когда числовые отметки на соответ-
соответствующей схеме Каца имеют вид щ = Sj/m, где s, (j = 0, 1,..., п) —
неотрицательные целые числа, взаимно простые в совокупности.
При этом
п
m = к 2 njsj- (9)
Из задачи 57 следует, что схема Каца, отвечающая периодичес-
периодическому автоморфизму, полностью определяется аффинной схемЬй

§ 4. АВТОМОРФИЗМЫ 227
Дынкина и набором взаимно простых неотрицательных целых чисел
s0, Si, ..., sn. Если мы хотим классифицировать автоморфизмы по-
порядка т, то эти числа должны удовлетворять условию (9).
8. Неподвижные точки полупростых автоморфизмов односвяз-
ной группы. Пусть С — односвязная полупростая комплексная груп-
группа Ли. Напомним (см. п. 1.2.10), что группа AutG всех автомор-
автоморфизмов группы G естественно изоморфна группе Autg автоморфиз-
автоморфизмов ее касательной алгебры. Согласно следствию теоремы 3.6, G —
алгебраическая группа, а в силу теоремы 3.3.4 любой автоморфизм
группы G полиномиален. Автоморфизм в группы G называется
полу простым, если полупрост соответствующий автоморфизм 0 =
= d0e Autg.
Целью этого пункта является доказательство связности алгебраи-
алгебраической подгруппы G® cz G, состоящей из неподвижных точек полу-
полупростого автоморфизма Q^AutG. Согласно задаче 1.2.31, касатель-
касательная алгебра этой подгруппы совпадает с де. Применяя теорему 2 и
задачу 10, мы видим, что группа G® редуктивна и имеет положи-
положительную размерность (если G ?= {е}).
Теорема 9. Если в — полупростой автоморфизм односвязной
полупростой группы Ли G, то подгруппа G® связна.
Пусть g — полупростой элемент группы G. Тогда внутренний
автоморфизм a(g) является полупростым, так что подгруппа Z(g) =
= Ga{g) редуктивна. Согласно следствию 1 теоремы 3.3.9, сущест-
существует такой максимальный тор Я группы G, что g e H cz Z(g)°. Эле-
Элемент g называется регулярным, если Н — Z(g)°, и сингулярным в
противном случае. Очевидно, регулярность (или сингулярность)
элемента сохраняется при применении любого автоморфизма груп-
группы G. В частности, два сопряженных полупростых элемента груп-
группы G регулярны или сингулярны одновременно. Поэтому для опи-
описания множества сингулярных элементов достаточно описать син-
сингулярные элементы, принадлежащие некоторому фиксированному
максимальному тору Н.
Как и выше, рассмотрим накрытие <В\ |->Я, заданное форму-
формулой &(х)~ ехрBшя). Из задачи 3.46 и теоремы 3.5 следует, что
Ker<?f совпадает с решеткой Q^, порожденной двойственной систе-
системой корней А У относительно I). Для любых ос е Аа и sg^ обоз-
V) о
начим через Р{а, 8) гиперплоскость в I) (а не в |) (^)> к^к в п. 5),
заданную уравнением а(х) + s — 0. Очевидно, x^P(a>s) тогда и
только тогда, когда Rex^P((Xt8) и Im;r е Р(а 0) = Ра.
Задача 58. Элемент &(х), где х ^ I), сингулярен в том и толь-
только том случае, когда х^Р(а,8) для некоторых адАд и sg^.
Перейдем к доказательству теоремы 9. Согласно теореме 3.2.1,
каждый унипотентный элемент алгебраической группы принадле-
принадлежит ее связной компоненте единицы. В силу разложения Жордана
(теорема 3.2.6), достаточно доказать, что всякий полупростой эле-
элемент g^G& принадлежит (G0H.
15*

228 гл. 4. комплексные полупростые группы ли
Пусть сначала g — регулярный элемент группы G и пусть Н =
^^igH — содержащий его единственный максимальный тор. Тогда
в (#) — #. Рассмотрим такой а;е|, что g=:S'(x). Из задачи 58 сле-
следует, что Вех принадлежит одной из камер Z), на которые прост-
пространство 5 (К) разбивается гиперплоскостями Р(а, в). Поскольку каж-
каждая камера содержит на границе элемент решетки QV, мы можем
считать, что ОеД, Из равенств & (Q (х)) =* Q (& (х)) = & (х) сле-
следует, что y = Q(x)-x<^QV. Очевидно, 6 переводит в себя J)(R)T
переставляет гиперплоскости Р(а, 8) и камеры. Поскольку у =
= Э(Reж) — Rex, камера 8(D) = Z) + z/ содержит на границе точки
О и у решетки (?V. Из задачи 43 следует, что ]/=0. Таким образом,
^|9 И ?e#(&e)=*(#e)°c:(GeH.
Теперь рассмотрим общий случай. Положим U — Z(g). Тогда
6 (?/)=?/. Обозначим через S максимальный тор группы U®.
Задача 59. Группа H~(Z(g) П Z(S))° есть максимальный тор
группы G, содержащий g я S.
Докажем, что смежный класс gS <= Я содержит регулярный эле-
элемент. Пусть все элементы этого класса сингулярны. Выберем такой,
х^Ъ, что g=iSf{x). Тогда в силу задачи 58 плоскость х + $ содер-
содержится в одной из гиперплоскостей /%, s>.
Задача 60. Если х + $аР{а s), To G{a) с Я.
Поскольку G{a) — простая трехмерная подгруппа, это противо-
противоречит задаче 59. Таким образом, существует такой s0 ^ S, что gs0 —
регулярный элемент. Поскольку gs0 ^ G0, из доказанного выше сле-
следует, что gso<=(G@)°. Поэтому и g(=(G@)°. Теорема 9 доказана.
Другое доказательство этой теоремы (в несколько более общем
случае) см. в [16]. Изложенное выше доказательство принадлежит
Борелю.
В заключение мы покажем, как вычислить подалгебру де для
унитарного канонического автоморфизма 6 простой алгебры Ли g с
помощью схемы Каца. Пусть м0, ии ..., ип — числовые отметки схе-
схемы Каца автоморфизма 6, причем и\х = . . . = uif —0, а щ?=0 для
Задача 61. Центр подалгебры g имеет размерность п — t,
а коммутант (д6)' есть полупростая подалгебра в g, системой про-
простых корней которой является \оС|х, .. ., а^}# Схема Дынкина алгебры
Ли (g9O есть часть схемы Дынкина системы W — {а0, а4, ..., а„),
образованная вершинами с номерами iu ..., it и соединяющими их
ребрами.
Упражнения
1. Если точка у е а (К) неподвижна относительно некоторого ш е WT, то
w есть произведение отражений в гиперплоскостях Р& проходящих через у.
2. Группа Wx не содержит отражений в гиперплоскостях, отличных от
В упражнениях 3—14 предполагается, что g проста, и используются обо-
обозначения пунктов 5 и 6. Как и в п. 2.5, мы полагаем пц = 1, riij = 2, 3, 4, 6,

§ 4. АВТОМОРФИЗМЫ 229
оо (i^=/), если niij = ацац = 0, 1, 2, 3, 4 соответственно. Пусть rj ~ rv$
(г = 0, 1, ..., п). Согласно теореме 5 и задаче 46, отражения п порождают
группу Wx.
3. Образующие гг- (? = 0, 1, ..., п) группы Wx удовлетворяют соотноше-
соотношениям
для любых i, j = О, 1, ..., п, таких, что пц < оо. ^ ^
4. Вершинами симплекса Do являются точки а , t 4 (а), где
{^сЛа^п — базис решетки Х% (Z), сопряженный с По
5. Группа Qx совпадает с группой всех движений ше/(а(К)), для
которых wT(Ax) = Ат.
6. Пусть Л с Х% (К) — решетка, состоящая из таких y?tt (К), что
а (у) е ^— Z для всех а е По (см. задачу 54). Отождествим Л с группой всех
преобразований tv (уеЛ) пространства а (К). Тогда Л — нормальная под-
подгруппа в Ъх и Qx = Л X &о, где Qo — стабилизатор точки а в Qx, изоморфный
группе ортогональных преобразований пространства tt (IR), индуцирован-
индуцированных автоморфизмами алгебры д, перестановочными с т.
7. Имеем W% = AQ /^ W (дт ), где Ло cz Л — решетка с базисом | — ^(а>0) | ае
8. Элементы ^# (? = 0, 1, ..., п) порождают алгебру Ли д.
9. Пусть 0 — унитарный канонический автоморфизм алгебры д, и0, щ ...
..., ип — соответствующие числовые отметки схемы Капа. Обозначим через ads
присоединенное представление алгебры де в собственном пространстве %(e2nis)
автоморфизма 6. Любой а,- е 4я является младшим весом представления adu..
Если 50 — наименьшее из таких s > 0, что %(e2nis) =^0, то s0 совпадает с од-
одним из uj, младшие веса представления ads —это такие olj, что uj = 50,
а младшими векторами служат е .
В упражнениях 10—14 предполагается, что % = id. В этом случае а (К) сов-
совпадает с евклидовым векторным пространством Ь (К), рассматриваемым как
аффинное пространство над самим собой. Через N(W) обозначается нормали-
нормализатор группы W = W\d в группе /($№)). Решетки в If) (К) отождествляются
с соответствующими группами параллельных переносов.
Ю. W = ^X<?V» N(W) = Aut v
11. N(W) =
12. Группа Aut П совпадает с группой движений пространства |) (К), пере-
переводящих в себя симплекс Д>
13. Aut П = Aut П X L, где L — коммутативная нормальная подгруппа, изо-
изоморфная я f\\ ~ тс1 HntgV
14. Группа я ('Ад') просто транзитивно действует на множестве таких
CLi е П, что /ii = 1. В частности, число элементов щ е П, обладающих этим
свойством, равно I я (АЛ I.

230 гл. 4. комплексные полупростые группы ли
Указания к задачам
1. Достаточно доказать, что Кег ц cz Я. Если OeKerrj, то 6|fy— е, 6еа =
= саеа, 6^_а = с~1е_а (а ge П), где са ЕЕ С*. С помощью теоремы 3.1 прове-
проверить, что Э = exp (ad я), где же!)- такой элемент, что а(х) = log ca (a g=
еП).
2. Воспользоваться тем, что группа Int g транзитивно действует на множе-
множестве пар t) cz Ь, где 5 — максимальная диагонализуемая, а Ь — борелевская под-
подалгебра алгебры д.
3. Если (Aut д)° ф Int д, то алгебраическая группа (AutgH приводима, так
как является по теореме 1 объединением конечного числа попарно не пересе-
пересекающихся алгебраических многообразий — смежных классов по подгруппе
Int g. По поводу последнего утверждения см. п. 1.2.10.
5. Использовать задачу 1.6.
6. Если л; ge g нильпотентен и zgjM, то оператор (ad x) (ad z) нильпотен-
тен, откуда (х, z) = 0. Из инвариантности и невырожденности скалярного ум-
умножения следует, что ь(хI- = Im (ad х), так что х ge Im (ad x).
7. Если ig8A) нильпотентен, то в силу задачи 6 х — [х, у], где у е= д.
Учитывая задачу 4, мы можем считать, что у е g A). Если х Ф 0, то у ф 0.
9. Для заданного целого ?, 0 ^ i <C wi, подберем такое натуральное г, чтобы
А-(г — 1) < т — i ^ кг. Тогда А;г + i = т -\- t, где 0 ^ ? < &, откуда
(ada:))-|g(ei) = 0.
10. Воспользоваться теоремой 1.1 и задачей 5. Для доказательства алгеб-
раичности заметить, что ad(ge) —касательная алгебра алгебраической подгруп-
подгруппы fee Intg|gO = 0g}.
11. Поскольку j(t) редуктивна (см. задачу 1.28), достаточно доказать три-
тривиальность ее коммутанта S(tO. Заметить, что 6(8(t)') = &(*)', и воспользовать-
воспользоваться теоремой 2 и равенством s(t)e = t.
12. Если t состоит из сингулярных элементов, то tc Кег а для некоторого
корня ocgeA(I)]), что дает противоречие с задачей И. В качестве П1 взять сис-
систему простых корней, которая отвечает камере Вейля в !)ь пересекающейся с t.
13. В качестве а взять автоморфизм, переводящий f) в t)i и отображающий
друг на друга камеры Вейля, отвечающие П 'E^TTi (cm. теорему 2.7).
14. Воспользоваться тем, что q: h*-*x~lhTh~l — эндоморфизм тора Я, при-
причем deq = тт — е.
15. Пусть 0 = th, где h g= H. Применяя задачу 14 и записывая h в виде
h = ti~1h^h^1 = ^~1h1xth~1, где t ge Tx, hA ge Я, мы видим, что /г~1О/г1 е=
17. При изоморфизмах у*->иу пространств 5 (К)* -> & (К) и tT (К)* -> tT (R),
связанных со скалярным умножением (см. п. 1.4), автоморфизм т: $(№)*-»-
->¦ И^)* переходит в *т = (тт)", а оператор г —в оператор усреднения
h ~
Т17? где А; — порядок автоморфизма т. Ясно, что различные элементы
i=o
л(мр) (Р ge П) составляют базис в tt(R). Отсюда следуют утверждения о
dimtt и г(П). Поскольку каждый у е= А выражается через П с коэффициен-
коэффициентами одного знака, г (у) выражается через По с коэффициентами того же знака.
В частности, г (-у) Ф 0 для всех у g= A . Поэтому &(tT) = t и B(tT) П 9е = U_ для
о
ЛЮбоГО 0 GE ТЯ.
18. Использовать сопряженность максимальных диагонализуемых под-
алгеор в g *. ^ ^ ^
20. Доказать, что ~%(tx(a)) = (dX) (x) +1{a) (iGt).
23. Следует из того, что A(tT) порождает tT (IR)* (см. п. 1.4) и что
@, 1)gAt.

§ 4. АВТОМОРФИЗМЫ 231
26. Решается аналогично задачам 1.27 и 1.30.
27. Решается аналогично задаче 1.40.
28. Решается аналогично доказательству теоремы 1.6.
29. Решается аналогично задачам 1.41 и 1.42.
30. Данное в задаче описание системы корней А ^ следует из B). Для
9х
доказательства того, что По —система простых корней для g T, достаточно в
k-i
силу задачи 17 проверить, что П0СА^. Но если ^ g П, то х = ^У е^^фО
и ^G9(r(P)i0), откуда г (Р) ? А —. Если z лежит в централизаторе Ь \QX), то
9х
в силу задачи 17 z е (), а из равенства [z, х] = 0 следует, что $(z) =0 для
всех P?ll,T.e.z = 0,
31. Пусть х0 — младший вектор представления ads, отвечающий весу 0.
Тогда [еа, х0] = 0 для всех а е A~t. Действительно, если это не так, то систе-
9х
ма весов трехмерной подалгебры </га, еа, е_а> в инвариантном подпространст-
подпространстве, натянутом на векторы (ad еа)тх0 (см. п. 3.2), не будет симметричной. Та-
Таким образом, х0 принадлежит централизатору подалгебры дт, что противо-
противоречит задаче 30.
34. Использовать инвариантность скалярного умножения относительно
автоморфизмов.
36. Решается аналогично задаче 1.37.
37. Проверить, что т:щ(х)х-1 == щ(схс~1) для всех х?Е$12(€I где с =
= diag (enis, e~nis). Отсюда следует, что тФ|(^)т~1 = O^cgc) для всех
' 0 1 ч
g€ESLo (С). Подставляя g = , получаем C). Поскольку га—линейная
ы у 10/
часть аффинного преобразования г^, из C) с помощью задач 22 н 36 выводит-
выводится, что я (г^ (г/)) = л^я (г/) гс^1 (г/ е а (К)).
38. Решается аналогично задачам 2.18 и 2.19.
39. Использовать теоремы 5 и 6.
40. При доказательстве того, что Do — камера, использовать задачу 33. Фор-
Формула для Д) доказывается аналогично соответствующему утверждению зада-
задачи 2.18.
43. Использовать включение Q^ с^и теорему 6.
44. Отождествляя г с проекцией я: !) (К) ->- Хх (К) (см. указание к зада-
задаче 17), легко показать, что если a, fell, то (г(а), г(?)) = 0 тогда и только
тогда, когда орбиты корней аи? ортогональны друг другу. Отсюда в силу тео-
теоремы 2.2 следует утверждение задачи.
46. В силу задач 45 g(e)=7^0. Если осо — младший вес представления adi/ь,
то 7о = («о, ilk) <= Пг (задача 32). Из неразложимости системы По и того, что
а0 ф 0, видно, что система ^Р' = {ссо, аь • • •» осп} неразложима. В силу задачи
2.45 содержащая"^' неразложимая кохмпонента системы W совпадает с Ч1"', от-
откуда следует, что W = W. Линейная независимость системы Пт вытекает из
задачи 33 и из равенства dim а (К)Л = п + 1-
47. Из задачи 17 вытекает, что имеет место разложение E), где /n-EEZ.
Поскольку ^Р неразложима, из задачи 2.45 следует, что все rrij > 0.
48. Допустимость системы W следует из задачи 27.
50. Из задачи 2.18 следует, что Ру. (/' = 1, ..., тг) — стенки камеры Do.
Из формулы E) вытекает, что с Г]Р Ф 0. Поэтому Р.. — также стенка этой
Yo Yo
камеры.

232 ГЛ. 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
52. Согласно задаче 39, существует такой w e Йт, что w(Reyi) = Re y2 и
w(D0) = #0. Используя задачи 46 и 28, видим, что w определяет автоморфизм
схемы Дынкина системы "*F, являющийся изоморфизмом наших схем Каца.
53. Заметим, что ? (По) СА-.В случае т = id это очевидно, поскольку
о
= П (задача 46). Если т Ф id, то ? = е, кроме случаев, когда 4я имеет тип
2ni или ^п+1 (см* та^л- 6). В последних двух случаях единственный не-
нетривиальный автоморфизм ? — это перестановка элемента а0 с одним из кор-
корней а% е По. Как видно из примера 4 п. 2.5, имеем ао?А^, Из теоремы 2.9 еле-
о
дует, что ? е Aut А ^ 9 причем ?(П0) —система простых корней в А —. При-
8* - 9х
меняя теорему 3.1, получаем автоморфизм jxeAutfg1^ переводящий в себя
Хх и такой, что fxT=? на tx. В случае т = id \x — искомый автоморфизм.
Если же т Ф id и ? Ф е, то g* имеет тип 2?п или Сп (см. табл. 6). В силу
теоремы 1 все автоморфизмы алгебры 9х — внутренние, так что \л продол-
продолжается до автоморфизма алгебры Ли д, перестановочного с^с.
54. Имеем HZ) = (?*, где Q — решетка корней в $№)*• Если {zp|^e=
еП}- базис в 5B), сопряженный с П, то ха = 2 2в (а е ^о) состав~
г(Р)=а
ляют базис решетки tt(Z), сопряженный с По. Проверяется, что -^- ха — z^
е t^, если а = г(Р). Выберем для каждого а е По такой реП, что г([}) =
= а. Если i;Gtt (К) удовлетворяет условию задачи, то он представим в
виде ^=2 jpsa, где Jae=Z, откуда у— ^ Zazp e ^*
а-П0 a а-П0
55. Из задач 54 и 14 следует, что и = ттж — х + z, где же|, zg|(Z).
Если h = &(х) еЯ, то /иг^ = т^(у), так что h e= Л^т. Легко проверяется, что
io(h) = <„.
56. Пусть s е= О (tt (К)) — линейная часть движения w. Тогда 5Т е Aut *F,
В силу задачи 53 s продолжается до автоморфизма из группы iVT (обознача-
(обозначаемого той же буквой), перестановочного с т. Запишем w в виде w = tva, где
а (а) = а. Очевидно, а накрывает преобразование co(s), так что oeQT. Чтобы
показать, что tv g= йт, достаточно проверить, что v удовлетворяет условиям
задачи 55. Можно считать, что ифО. Тогда wT(yj) — yQ для некоторого / >
> 0. Отсюда получаем, что a,j(v)= 1/k, a,i(v)=Q для 1ф]. Если к = 1, то
нужные условия выполнены очевидным образом. Если к ;> 1, то к = 2 (см. ука-
указание к задаче 53). Поскольку sTo^ = aQ и s перестановочен с т, имеем
Таким образом, (osj , 1/2) ен Ат, откуда fca. = 2 и у удовлетворяет нужным
условиям.
57. Использовать следующее утверждение, вытекающее из задачи 24: если
п
п 2Я1.Е hjUj
I е= Ат и g = 2 fcjYj» где ^ е Z, то 9 | & = се, где с = е j==0 • Формула
(9) следует из G).

§ 4. АВТОМОРФИЗМЫ 233
58. Показать, что касательная алгебра подгруппы Z{&[x)) совпадает с
$ е © ga.
a(x)s2
59. Из задачи 1.28 и того, что Ad g — полупростой автоморфизм алгебры
Ли д, выводится, что Н редуктивна. Пусть Н = VZH, где V — связная полупро-
полупростая нормальная подгруппа, а Zh — связная компонента единицы в центре
группы Н. Тогда S cz ZH. Очевидно, B{V) = V. Если dim V > 0, то dim Vе > О
(теорема 2), что противоречит максимальности тора S в Ue. Таким образом,
Н = ZH является тором. Используя задачу 3.3.26, видим, что ^еЯи что Н —
максимальный тор. »
60. См. указание к задаче 58.
61. В силу задачи 10 д° — редуктивная алгебраическая подалгебра, а в си-
силу задачи 17 Хх — ее максимальная диагонализуемая подалгебра. Если 9 =
= <§>), где меД, то 9е = Х% 0 }] ^ = tt8 2 S6. где Ai = {§ е
2
gAt|?(w) = 0}. Из (8) видно, что Ai состоит из корней, выражающихся толь-
только через 7$ » ...» Y$ • В силу G) t ^ п, так что {о^ , ..., а{ J — линейно
независимая система. Отсюда следует, что линейные части корней из Ai обра-
образуют систему корней для де, а ja^ , ..., ai j — система простых корней.

ГЛАВА 5
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
При изучении вещественных полупростых групп и алгебр Ли
мы будем опираться на теорию комплексных полупростых групп
Ли, развитую в гл. 4. Это возможно благодаря тому, что комплек-
сификация вещественной полупростой алгебры Ли также полу-
полупроста (см. п. 1.4.7). Однако соответствие между вещественными
и комплексными полупростыми алгебрами Ли, устанавливаемое с
помощью комплексификации, не является взаимно однозначным;
у всякой комплексной полупростой группы Ли имеются по крайней
мере две неизоморфные вещественные формы. Вопрос об описании
вещественных форм данной комплексной полупростой алгебры Ли
g равносилен, как оказывается, вопросу о классификации инволю-
тивных автоморфизмов алгебры g с точностью до сопряженности в
Autg, ответ на который легко получается из результатов § 4.4.
Глобальная классификация вещественных полупростых групп Ли
использует так называемое картановское разложение этих групп,
которое играет также важную роль во многих приложениях тео-
теории групп Ли.
§ 1. Вещественные формы комплексных полупростых групп
и алгебр Ли
Основная цель этого параграфа — классификация вещественных
полупростых алгебр Ли. После рассмотрения некоторых общих
свойств вещественных форм комплексных полупростых групп и
алгебр Ли мы сводим задачу классификации к задаче перечисления
(с точностью до сопряженности) инволютивных автоморфизмов
комплексных простых алгебр Ли. Последняя задача легко решается
методами § 4.4.
1. Вещественные структуры и вещественные формы. Напомним
(см. п. 2.3.6), что вещественные формы комплексной алгебры Ли g
находятся во взаимно однозначном соответствии с инволютивными
антилинейными автоморфизмами этой алгебры. А именно, каждой
вещественной форме fy^g соответствует комплексное сопряжение
a: g ->¦ g относительно I), a каждому инволютивному антилинейному
автоморфизму a: fl-^fl отвечает вещественная форма tf^ix^Ql
о(х) = х} алгебры д. По этой причине мы будем называть инволю-
тивные антилинейные автоморфизмы комплексной алгебры Ли g
вещественными структурами в д.

§ 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФОРМЫ 235
Задача 1. Если о — вещественная структура в комплексной
алгебре Ли g и cp^Autg, то фОф— также вещественная струк-
структура, причем йфаф-1 — ф(9а). Если а'— другая вещественная струк-
структура, то вещественные формы да и fia' изоморфны тогда и только
тогда, когда &°f = ф (%°) или, что равносильно, о' — фСф для не-
некоторого ф^Атйд.
Пусть G — комплексная группа Ли, Н — ее вещественная под-
подгруппа Ли (т. е. подгруппа Ли группы G, рассматриваемой как
вещественная группа Ли). Подгруппа Я называется вещественной
формой группы G, если:
а) ее касательная алгебра % есть вещественная форма алгебры д;
б) подгруппа И имеет непустое пересечение с любой связной
компонентой группы G.
Из теоремы 1.3.1 следует, что свойство б) равносильно равен-
равенству :
G = HG°. A)
Задача 2. Если G — комплексная алгебраическая группа, то
любая ее вещественная форма Н в смысле п. 3.1.2 является ее ве«
щественной формой в смысле данного выше определения.
Задача 3. Если Н — вещественная форма комплексной группы
Ли G, то центр Z(H) группы // совпадает с Н П Z(G).
Вещественной структурой в комплексной группе Ли G назовем
такой инволютивный дифференцируемый в вещественном смысле
гомоморфизм S: G-+G, что dS — вещественная структура в каса-
касательной алгебре g группы G. Например, комплексное сопряжение
комплексной алгебраической группы G относительно ее веществен-
вещественной формы (или, что то же, инволютивный антиголоморфный авто-
автоморфизм группы G) есть вещественная структура в G. Если S —
вещественная структура в связной комплексной группе ли G, то в
силу задачи 1.2.31 подгруппа Gs — вещественная форма группы G,
а ее касательная алгебра совпадает с gds. Для алгебраических групп
аналогичный факт был доказан в гл. 3 (задача 3.1.10).
В дальнейшем инволютивный антиголоморфный автоморфизм
алгебраической группы будет называться алгебраической вещест-
вещественной структурой, а вещественная форма в смысле теории алгеб-
алгебраических групп — алгебраической вещественной формой.
Примеры. 1. Пусть Т = (С*)п — ^г-мерный алгебраический
тор. Алгебраическая вещественная структура B1? . .., zn) <-* (z1? ...
..., zn) определяет вещественную форму A\*)п группы Т. Ее касате-
льнаяалгебра — это вещественная форма t (№) = \Rn пространства | =
— Сп, которая рассматривалась в п. 3.3.2.
2. Алгебраическая вещественная структура (zlf . .., zn) »->
«-* (z^1, . .., Zn1) определяет вещественную форму Tn = {(z1% . ..
. . ., zn) 11 zx I = ... — I zn I ^= 1} с касательной алгеброй шп с: Сп-

236 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
3. Алгебраическая вещественная структура А+-> А в группе
GLn (С) определяет вещественные формы GLn (R) cz GLn (Q и
gln (R) cz gln (С) • Тот же пример можно представить в бескоординат-
бескоординатной форме. Пусть V — конечномерное векторное пространство над
R. Тогда в группе GL(V(C)) определена вещественная структура
S, действующая по формуле
S(A)(v)=J(v) (y
Соответствующая вещественная форма есть подгруппа линейных
преобразований, определенных над R, естественно отождествляемая
с GL(V). Алгебра Ли gl(F) вкладывается в бЧ^('С)) как каса-
касательная к GL(V) вещественная форма.
4. Если V — конечномерная алгебра над R, то антиавтоморфизм
S, заданный формулой B), переводит в себя группу Aut(F(C))
и определяет там алгебраическую вещественную структуру. Соответ-
Соответствующая вещественная форма есть Aut F. Переходя к касательным
алгебрам, получаем вещественную форму Der V алгебры Der(F(Q)
(см. пример 2 из п. 1.2.3).
Пример 4 позволяет перенести на вещественный случай одно из
важных свойств комплексных полупростых алгебр Ли.
Задача 4. Если g — вещественная полупростая алгебра Ли, то
Derg = adg и Intfi =(Autg)°.
Как мы видели в п. 3.1.1, всякая вещественная алгебраическая
группа G вкладывается в качестве вещественной формы в некоторую
комплексную алгебраическую группу G(C). Следующий пример
показывает, что для групп Ли (даже полупростых) аналогичное
утверждение неверно.
Пример 5. Рассматривая естественное транзитивное действие
группы SL2 (R) в К2\{0} и применяя теорему 1.3.4, легко пока-
показать, что MSL^R^M^MO})^. Пусть С = 5/^(К)-од-
носвязная накрывающая группа для SL2 (R). Тогда G не может
быть вложена в качестве вещественной формы ни в какую комп-
комплексную группу Ли G. Действительно, пусть /: G ->jG — такое вло-
вложение. Можно считать, что касательная алгебра к G есть ^$12 (С)
и что df — естественное вложение б12 (R)-^sjI2 (С). Группа G связ-
связна и ее односвязной накрывающей является^ 5Х2(С). Поэтому /
накрывается инъективным гомоморфизмом /: G-+SL2(C), таким,
что df = df. Очевидно, f (G) =-SL2($), что приводит к противоречию.
Из доказанного следует также, что группа SL2 (R) не допускает
структуры вещественной алгебраической группы и даже не может
быть изоморфна связной компоненте единицы неприводимой ве-
вещественной алгебраической группы. Поскольку всякая полупростая
линейная алгебра Ли алгебраичыа (задача 4.1.8), группа SL2 (R)
не допускает точного линейного представления. х

§ 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФОРМЫ 237
Рассмотрим теперь операцию овеществления комплексных ал-
алгебр Ли.
Пусть g— комплексная алгебра Ли и пусть g —та же алгебра,
рассматриваемая как алгебра над R..B алгебре Ли g определена
операция умножения на U
Ix = ix {x <= flR),
являющаяся линейным преобразованием над lR и удовлетворяющая
условиям:
Р = -Е, C)
I[x,y] = [z,Iy] (x,yz=qR). D)
Вообще, если задана вещественная алгебра Ли g, то комплексной
структурой в g называется линейное преобразование / простран-
пространства д, удовлетворяющее условиям C) и D).
Задача 5. Пусть в вещественной алгебре Ли g задана комп-
комплексная структура /. Если положить {а + Ы) х = ах + Ых (а, Ъ е К,
<? е g), то g превратится в алгебру Ли g над С, причем g = g.
Заметим, что если / — комплексная структура в алгебре g, то
—/ — также комплексная структура в д. Поэтому по каждой комп-
комплексной алгебре Ли g над С можно построить другую алгебру Ли
над С, которая получается из g путем изменения знака у комп-
комплексной структуры; эту алгебру Ли обозначим через д. Очевидно,
g = g . • Гомоморфизм g ~> g — это не что иное, как антилинейный
эндоморфизм алгебры д. Таким образом, д — д тогда и только тогда,
когда алгебра д допускает антилинейный автоморфизм. В част-
частности, если з обладает вещественной формой, то д ^ д.
Задача 6. Пусть д — комплексная полупростая алгебра Ли и
пусть {hu eu fi I i = 1, ..., /} — ее каноническая система образующих.
Тогда вещественная подалгебра I) <= д, порожденная элементами
hu вг, /г, является вещественной формой алгебры д. Соответствую-
Соответствующая вещественная структура в алгебре g переводит каждый из эле-
элементов hi, вг, fi в себя. Таким образом, любая полупростая комп-
комплексная алгебра Ли g изоморфна алгебре g.
Вещественная форма I) полупростой комплексной алгебры Ли д,
построенная в задаче 6, называется нормальной. В силу теоремы
4.3.1 любые две нормальные формы (построенные по различным
каноническим системам образующих) изоморфны.
Для любой комплексной алгебры Ли д назовем комплексную ал-
алгебру Ли __
8dbl=9®i
удвоением алгебры Ли д.
Задача 7. Преобразование о: gdbl-*-fidbl, заданное формулой
<з(х, #) = (*Л #)> является вещественной структурой в gdbl, причем

238 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
о
отображение (х,х)у-+х есть изоморфизм алгебры (gdbI)a на $ .
Таким образом, g (С) — 9 1- При этом изоморфизме g и 9 пере-
переходят в собственные подпространства оператора / (продолженного
по линейности в 9К@)), отвечающие собственным значениям i и
—I соответственно.
Задача 8. Если g — полупростая комплексная алгебра Ли, то
Если \ — другая полупростая комплексная алгебра
(О
Ли и g — I) , то g — f).
Задача 9. Пусть ( , )—картановское скалярное умножение в
комплексной алгебре Ли д. Тогда картановское скалярное умноже-
умножение в gu имеет вид (х, у)' = 2Re(.r, у). Если I) — вещественная
форма алгебры д, то ограничение функции ( , ) на 1) совпадает с
картановским скалярным умножением в f). Для любого антилиней-
антилинейного автоморфизма ^ алгебры д имеем ("((#), ТB/))==(л:» У)
( )
(, Уй)
Как доказано в п. 1.4.7, вещественная алгебра Ли полупроста
тогда и только тогда, когда ее комплексификация полупроста. Вы-
Выясним теперь связь между простыми некоммутативными алгебрами
Ли над К и над Q.
Задача 10. Если д — некоммутативная простая алгебра Ли над
С, то любая вещественная форма алгебры д проста и алгебра Ли
д!/ч проста.
Задача 11. Если д — простая вещественная алгебра Ли, то
либо алгебра Ли д (С) проста, либо д допускает комплексную
структуру.
Из задач 10 и 11 следует
Теорема 1. Некоммутативная вещественная алгебра Ли проста
тогда и только тогда, когда она изоморфна либо алгебре вида g ,
где д — простая комплексная алгебра Ли, либо вещественной форме
простой комплексной алгебры Ли.
Из теоремы 1 и задачи 8 следует, что классификация простых
вещественных алгебр Ли сводится к классификации простых комп-
комплексных алгебр Ли, полученной в § 4.3, и к классификации попар-
попарно не изоморфных вещественных форм каждой из них.
2. Вещественные формы классических групп и алгебр Ли.
В этом разделе мы укажем ряд вещественных форм классических
комплексных групп GLn(?), SLn(C), On(?), SOn(C), Spn{C)
и их касательных алгебр. На самом деле, как мы убедимся в § 3,
перечисленные здесь вещественные формы исчерпывают, с точ-
точностью до изоморфизма, все вещественные формы классических
комплексных алгебр Ли. Легко заметить, что все перечисленные
ниже вещественные структуры и вещественные формы в классиче-
классических группах являются алгебраическими.
Напомним (см. пример 3 в п. 1), что группа GLn(S) есть ве-
вещественная форма группы GLn(C), а алгебра Ли gIn(R) — ве-

§ 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФОРМЫ 239
щественная форма алгебры Ли 9ln{C)« Соответствующая вещест-
вещественная структура в GLn (С) — это комплексное сопряжение
S{A)
Пример 1. Комплексное сопряжение А>-*А переводит в себя
каждую из групп 5Xn(C), #n(C), SOn(Q, Spn(C) и опреде-
определяет в них вещественные структуры. Тем самым определяются сле-
следующие вещественные формы классических групп:
SLn(R)czSLn(C), OnczOn(?), SOnc=SOn(C), Spn(R)czSpn(Q
и соответствующие вещественные формы алгебр Ли:
(9ln (R) с: й1п (С), 20n с son (С), *Рп (К) с= ^рп (С).
Следующая группа примеров связана с квадратичными форма-
формами. В п. 1.3.1 были определены псевдоортогональная группа сигна-
сигнатуры (к, I) OkticzGLk+i(R), оставляющая инвариантной квад-
квадратичную форму
т2 _1_ О- -г2 т2 -г2 /^
и специальная псевдоортогональная группа SOkl.
(Еи °\
Пусть Ik,i= о — Е —матрица формы E), и пусть Lhj =
= I о и
Пример 2. Преобразование S(A) = IktIAlkti является вещест-
вещественной структурой в комплексных группах Ли G = Ok+i (С),
SOk+i(C)\ • соответствующие вещественные формы Gs совпадают
с LkjOkjL^j и LkjSOkjLb\ соответственно. Этим веществен-
вещественным формам отвечает вещественная форма Lk^0k,iL^j алгебры Ли
Псевдоунитарной группой сигнатуры (к, I) называется группа
Uk,i всех линейных преобразований пространства С , оставляю-
оставляющих инвариантной эрмитову квадратичную форму
U|2 _L -4- \т I2 \7 I2 \7 I
11 ИГ . . .нГ \Zh\ — | Zk+i I — ... — | Zh+i I
I2
В частности, группа Un = Un,o — это группа унитарных матриц
(или унитарная группа). Группы SUk,i = Uk,i П SLk+i (С) и
SUn = SUn>0 называются специальными псевдоунитарной и унитар-
унитарной группами. Соответствующие касательные алгебры обозначим
через 1IM, ttn, 0Ufe,z, ^un.
Пример 3. Преобразование S(A)~ Ikl(AT)~4Ki является веще-
вещественной структурой в комплексных группах Ли G = GLk+l(?,),
SLk+i (С), соответствующие вещественные формы Gs совпадают
с Uk>i и SUh,i соответственно. Этим вещественным формам отвечают
вещественные формы пкЛ a $Ift+z (С) и $ukj cz $lk+i (С).

240 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Наконец, последняя группа примеров связана с наличием в про-
С27П о -г»
кватернионнои структуры. Рассмотрим правое ква-
тернионное векторное пространство н над телом кватернионов п.
Его линейные преобразования отождествляются с матрицами по-
порядка т над Н. Пусть GLm(H) —. группа всех обратимых ква-
тернионных матриц. Ее касательной алгеброй служит алгебра Ли
film 0~0 всех кватернионных матриц.
Рассмотрим С как подполе в Н, порожденное элементами 1, i.
Каждый вектор q e Hm однозначно представляется в виде q =
= z + /м>, где z, w e С™- Соответствие g ^ (z, w;) есть изоморфизм
векторных пространств над С. При этом qj *-+(—w, z). Поэтому
gIm(H) отождествляется при нашем изоморфизме с подалгеброй в
Sl2m(C)? состоящей из всех преобразований, перестановочных с ан-
тилинеиным преобразованием «/: (ь —>¦ L » действующим по
формуле
J(z, и?)==(—й;, г).
Заметим, что 7 = Smr, где т — стандартное комплексное сопряже-
, а
s -1° ~Е
Пример 4. Преобразование 5(Л)== /Л/ = — SmASm является
вещественной структурой в комплексных группах Ли G = GL2m (С)»
SL2m(C), SO2m(G)- Соответствующая вещественная форма груп-
группы GL2m(C) отождествляется с GLm(H). Вещественные формы
Gs групп G = SL2m (С), SO2m (С) обозначим соответственно че-
через 5Хт(Н), С/т(Н). Последнее обозначение выбрано в связи с
тем, что группа Um(№) отождествляется с подгруппой в GLmft~\),
состоящей из всех линейных преобразований С пространства Нт,
сохраняющих косоэрмитову квадратичную форму
т. е. удовлетворяющих условию С (jE) С = jE. Касательные ал-
алгебры групп 5Хт(Н), C/m (H) обозначим через glm (M), Um(H);
это вещественные формы алгебр Ли з12т(С), 302т(С).
Рассмотрим в группе GLk+l (M) подгруппу Spk>h состоящую из
преобразований, сохраняющих эрмитову квадратичную форму
lg1l2 + ...+ lg,l2-lg,+1|2-...-lgftHi2. F)
При описанном выше изоморфизме Нь+г—>- Q2(ft+Z) форма F) пере-

§ 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФОРМЫ 241
ходит в эрмитову квадратичную форму
k k+l k k+l
2hi|2- 2 Izjp+Sl^l2- 2 KP- G)
Поэтому Sphti отождествляется с подгруппой в GL2(k+i)(C), состо-
состоящей из матриц А, которые удовлетворяют условиям
А = — Sk+iASh+u A KkjA = Kkti,
где Kk i = 1 пЛ —матрица формы G). Из этих условий следу-
V и 1htil
ет, что A(KkJSk+i)AT= kkJSk+h т. е. что Spktl содержится в
комплексной симплектической группе, соответствующей форме с
матрицей KhiSh+i. Если положить Мы = I nf T (см.пример 2),
V и bk,i'
то группа Mh,iSPk,iMk*i будет содержаться в стандартной симп-
симплектической группе Sp2(k+i) (С) и совпадать с подгруппой всех
элементов симплектической группы, сохраняющих форму G).
Пример 5. Преобразование S (А) = KkjAT~1Kh,i является
вещественной структурой в группе G = Sp2(k+D (С), причем G =
=Mk>iSpktiMh1. В дальнейшем мы будем отождествлять подгруп-
подгруппу Sphti с Gs.
В частности, группа Spm>0 совпадает с группок Spm =
= GLm(t\) p| U2m унитарных кватернионных матриц (см. упраж-
упражнение 1.1.3), а ее касательная алгебра #рт,о — с алгеброй Ли
сфт = q\m (h) pi n2m (в этом случае Mhtt — Е).
3. Компактная вещественная форма. В этом пункте будет дока-
доказано, что в каждой связной полупростой комплексной группе Ли
существует компактная вещественная форма. Это позволит нам в
дальнейшем установить взаимно однозначное соответствие между
редуктивными комплексными алгебраическими группами и ком-
компактными вещественными группами Ли.
Конечномерная алгебра Ли g над 0? называется компактной,
если в g существует положительно определенное инвариантное
скалярное умножение. Очевидно, любая подалгебра компактной ал-
алгебры Ли компактна.
Задача 12. Касательная алгебра любой компактной группы
Ли компактна.
Задача 13. Картановское скалярное умножение на компакт-
компактной алгебре Ли всегда неположительно определено. Для того что-
чтобы вещественная алгебра Ли была полупростой компактной, необ-
необходимо и достаточно, чтобы ее картановское скалярное умножение
было отрицательно определено.
Задача 14. Если g — компактная алгебра Ли, то алгебра д'
полупроста, причем g = g' ® 3(g).
16 э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

242 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Задача 15. Для любой компактной алгебры Ли g существует
связная компактная группа Ли G с касательной алгеброй д. Если g
лолупроста, то можно взять группу G=(Intg)°.
Пусть теперь g — произвольная комплексная алгебра Ли, а —
вещественная структура в д. Определим в g эрмитову форму
h.(x,y)=-(x,a(y)), (8)
где ( , ) — картановское скалярное умножение.
Задача 16. Форма ha инвариантна относительно adga, т. е.
М1>, xl y)+ho(x,\[z, y])=0 (х, у eg, zEga).
Ограничение формы —ha на да совпадает с картановским скаляр-
иым умножением алгебры да.
Задача 17. Если «у — автоморфизм алгебры д, перестановочный
с а, то
МЧ№ ЧУ) = НЛХ, У) (х, У е fl) •
Будем теперь считать, что G — связная комплексная полупро-
полупростая группа Ли, д — ее касательная алгебра, S — вещественная
структура в G, о = dS.
Задача 18. Следующие условия эквивалентны:
а) группа Gs компактна; б) алгебра Ли да компактна; в) эрми-
эрмитова форма ha положительно определена.
Фиксируем максимальный тор ГсС и систему простых корней
{<хи ..., щ) в системе корней AG относительно Т. Рассмотрим кано-
каноническую систему образующих {hu eu /»| & = 1, ..., /} алгебры д,
определенную в п. 4.3.2. Как известно, {—аи ..., — at) — также
система простых корней. Система {—hu —fu ~е{\1 = 1, ...,/} являет-
является канонической системой образующих, связанной с этой системой
простых корней. В силу теоремы 4.3.1 существует единственный
автоморфизм и. алгебры д, такой, что \x(hi)=—fef, \x(ei)=—/г,
Iх (Л) = —ег (i = 1, ..., I). Имеем и.2 = е.
Задача 19. Существует единственный антилинейный автомор-
автоморфизм а алгебры д, для которого о(/гг)= — h{, о(ег)= —/г, о(/г)= — е{
(i = 1, ..., I). Этот автоморфизм инволютивен, т. е. является веще-
вещественной структурой в д.
Задача 20. Существует такая вещественная структура S на
группе G, что dS = о.
Задача 21. Подпространства ga, g3 (a, [3 е Дс? а=^р) ортого-
ортогональны ho. Подпространство t ортогонально всем ga, а ^ Дс.
Задача 22. Эрмитова форма ho положительно определена на t
и на любом 9<Х|(? = 1, . • .» I)-
Пусть G = G — простая трехмерная (комплексная) под-
подгруппа группы G, отвечающая простому корню аг. Она является
образом группы SL2 (С) при гомоморфизме F% = Fai (см. п. 4.1.6).
Задача 23. Имеем F{ (QT)) = S (F{ (g)) (gt=SL2(Q).

§ 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФОРМЫ 243
Задача 24. Каждый элемент группы Вейля группы G относи-
относительно Т индуцируется некоторым элементом из N(T)f\ Gs.
Задача 25. Эрмитова форма ha положительно определена на д.
Из задач 18, 20 и 25 вытекает следующая
Теорема 2. У любой связной полупростой комплексной груп-
группы Ли G существует компактная вещественная форма. Касатель-
Касательная алгебра этой формы является компактной вещественной фор-
формой касательной алгебры g группы G.
Задача 26. Компактная алгебра Ли, допускающая комплекс-
комплексную структуру, коммутативна.
Задача 27. Комплексная алгебра Ли проста тогда и только
тогда, когда она обладает простой компактной вещественной
формой.
Как будет показано в п. 4°, компактная вещественная форма
полупростой комплексной алгебры Ли единственна с точностью до
внутренних автоморфизмов этой алгебры.
Пример. Следующие вещественные формы классических
групп и их касательных алгебр являются компактными:
Q, SUnaSLn{C), 0na0n(Q, SOnczSOn(С), SpnaSp2n{0)
4. Вещественные формы и инволютивные автоморфизмы. Пусть
g — комплексная алгебра Ли. Рассмотрим задачу о перечислении
всех вещественных форм алгебры g с точностью до изоморфизма.
Согласно задаче 1, классы изоморфных вещественных форм нахо-
находятся в биективном соответствии с инволютивными антилинейны-
антилинейными автоморфизмами, рассматриваемыми с точностью до сопряжен-
сопряженности при помощи элементов из Autg. В настоящем разделе будет
показано, что для полупростой алгебры g антилинейные автомор-
автоморфизмы можно заменить в этой классификации настоящими авто-
автоморфизмами.
Пусть о и т — две вещественных структуры в алгебре Ли д. Ве-
Вещественные формы да и дт называются согласованными, если
от = та.
Задача 28. Следующие условия эквивалентны:
а) да и дт согласованы;
б) т(в°) = 8т; в) а(дЧ = Г;
г) Г = Г П дт Ф Г П (ifiT); (9)
д) gT = fiTnrern(«r); A0)
е) автоморфизм 6 = or алгебры g инволютивеы.
Заметим, что если да и дт согласованы, то G переводит да и дт в
себя, причем 6]да = т|даи 01дт=а|дТ. Очевидно, разложения (9) и
A0) совпадают с разложениями пространств да и дт на собствен-
собственные подпространства автоморфизма 9, отвечающие собственным
значениям 1 и —1.
16*

244 гл. 5. вещественные полупростые группы ли
Пример. Все перечисленные в п. 2 вещественные формы
классических алгебр Ли flIn(C), ^n(C), son(C), $Уп (С) согла-
согласованы с их компактными вещественными формами Un, 3Un, ?0n, 0!pn/2
соответственно.
Задача 29. Две компактные вещественные формы комплекс-
комплексной полупростой алгебры Ли согласованы тогда и только тогда,
когда они совпадают.
В дальнейшем мы будем называть вещественную структуру т в
алгебре g компактной, если подалгебра дт компактна.
Нашей ближайшей целью является доказательство следующей
теоремы.
Теорема 3. Любые две компактные вещественные формы по-
полупростой комплексной алгебры Ли g сопряжены. Любая вещест-
вещественная форма алгебры g согласована с некоторой компактной фор-
формой. Если вещественная форма I) согласована с двумя компактны-
компактными вещественными формами ut и U2, то существует такой автомор-
автоморфизм ф е Int g, что ф (lti) = u2 и ф (I)) = f).
Фиксируем в алгебре g компактную форму it, существующую в
силу теоремы 2, и обозначим через т соответствующую веществен-
вещественную структуру в д. Пусть а — произвольная вещественная структу-
структура в д. Мы хотим показать, что вещественные формы дст и it можно
сделать согласованными, если применить к одной из этих форм не-
некоторый внутренний автоморфизм алгебры д.
Рассмотрим автоморфизм 0 = от и положительно определенную
эрмитову форму hx на д, заданную формулой (8) (с заменой
о на т).
Задача 30. Оператор G самосопряжен относительно формы hx,
т. е. hx F#, у) = К (х, ву) (х, у е= д).
Отсюда следует, что р = б2 — положительно определенный само-
самосопряженный оператор.
Задача 31. Пусть Е — конечномерное евклидово или эрмитово
пространство, S(E)—пространство всех его самосопряженных ли-
линейных операторов, а Р(Е)с= ?(Е)—открытое множество положи-
положительно определенных операторов. Тогда ехр биективно отображает
5(Е) наР(Е).
Обозначим через log отображение ехр: P(E)-+S(E). Если
р ^ Р (Е) и t gK, то положим р1 = ехр (t log p).
Задача 32. Если G a GL (Е) — вещественная алгебраическая
группа и р е G П Р(Е), то р* ^ G для всех ^gKi log/? принадле-
принадлежит касательной алгебре д группы G. Таким образом, ехр биектив-
биективно отображает д П S(E) на G П Р(Е).
Применяя задачу 32 к элементу р = 92 группы Aut д, получаем
однопараметрическую подгруппу pl (^gR) в Aut g, состоящую из
положительно определенных самосопряженных (относительно hx)
операторов и такую, что р1 = р. В силу следствия из теоремы 4.4.1
р* е Int д.
Задача 33. Имеем ср*а = хргх = р~*.

§ 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФОРМЫ 245
Задача 34. Автоморфизм ф = pi/!k удовлетворяет условию
о(фтф) = (фтф~1)а. Таким образом, вещественная форма g° согласо-
согласована с компактной вещественной формой ф (и).
Если вещественная структура if в алгебре g перестановочна
с о и т, то ij: перестановочна и с ф.
Доказательство теоремы 3 легко получается из задач 34,
30 и 28.
Из теорем 2 и 3 и задачи 27 вытекает
Следствие. Отображение g (-* 9 (С) определяет биекцию меж-
между классами изоморфных компактных полупростых алгебр Ли и
классами изоморфных комплексных полупростых алгебр Ли, при-
причем простым компактным алгебрам Ли отвечают простые комп-
комплексные и обратно.
Теорема 3 позволяет установить соответствие между веществен-
вещественными формами полупростой комплексной алгебры Ли g и ее инво-
лютивными автоморфизмами. А именно: пусть о — вещественная
структура в д. Согласно теореме 3, существует компактная вещест-
вещественная структура т, перестановочная с а. Тогда 9 = от — инволю-
тивный автоморфизм алгебры д. Если Xi — другая компактная ве-
вещественная структура, перестановочная с а, то, как легко следует
из теоремы 3, автоморфизмы 9 и 04 = ах4 сопряжены в группе
Aut g. Таким образом, определено отображение, сопоставляющее каж-
каждой вещественной структуре (или вещественной форме) в алгебре g
класс сопряженных инволютивных автоморфизмов этой алгебры.
Теорема 4. Построенное выше отображение определяет биек-
биекцию множества классов изоморфных вещественных форм алгебры
$ на множество классов сопряженных инволютивных автоморфиз-
автоморфизмов этой алгебры.
Докажем сначала сюръективность построенного отображения.
Пусть 0 — инволютивный автоморфизм алгебры д. Используя тео-
теорему 2, выберем в д некоторую компактную вещественную структу-
структуру т. Тогда q =(9хJ— автоморфизм алгебры д.
Задача 35. Автоморфизм q является положительно определен-
определенным самосопряженным оператором относительно эрмитовой
формы hx.
Задача 36. Существует компактная вещественная структура
Ti, перестановочная с 9, причем xt определена однозначно с точ-
точностью до сопряженности автоморфизмом алгебры д, перестановоч-
перестановочным с 9.
Из задачи 36 следует, что 9 = oxi, где а — вещественная струк-
структура, перестановочная с xt. Отсюда видна сюръективность отобра-
отображения.
Легко видеть, что двум сопряженным при помощи автоморфиз-
автоморфизма вещественным структурам соответствует один и тот же класс
инволютивных автоморфизмов. Докажем, что верно и обратное.
Пусть а г (?=1> 2) — вещественные структуры^ хг- — компактная ве-
вещественная структура, перестановочная с а»-, 9* = ОгТг. Пусть 92 =

246 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
= <р01ф-\ где cp^Aut$. Поскольку т{ и т2 сопряжены, мы можем
считать, что ti = т2 = т. Тогда структуры т и ф~Чф перестановоч-
перестановочны с 84. В силу задачи 36 ф~Чф = фтф, где i^eAutg и if-Bi = Э^.
Ясно, что а2 = coOiO), где со = фф. Теорема 4 доказана.
Полезно указать явную конструкцию вещественной формы I)
алгебры g по инволютивному автоморфизму 6 ^ Aut g. Для этого
удобно фиксировать в g некоторую компактную вещественную
форму U. Из задачи 36 следует, что заменяя 6 сопряженным ему
автоморфизмом, мы можем считать, что 6(u) = U. Пусть
tt = tt(l)©tt(-l)
— разложение алгебры и на собственные подпространства автомор-
автоморфизма 9, соответствующие собственным значениям 1 и —1.
Задача 37. Вещественная форма 1) алгебры Ли д, соответству-
соответствующая классу автоморфизма 6 в силу теоремы 4, имеет вид
& = tt(l)® itt(-l). A1)
В частности, тождественному автоморфизму 6 = е соответствует
класс компактных вещественных форм алгебры д.
5. Инволютивные автоморфизмы комплексных простых алгебр
Ли. Мы опишем здесь классы сопряженных инволютивных авто-
автоморфизмов комплексных простых алгебр Ли при помощи метода,
изложенного в § 4.4. Пусть g — некоммутативная комплексная про-
простая алгебра Ли типа Lt. Достаточно рассматривать нетождествен-
нетождественные инволютивные автоморфизмы G^Autg, т. е. автоморфизмы В
порядка 2. Согласно теореме 4.4.6 и задаче 4.4.54, классы сопря-
сопряженных в Aut g автоморфизмов порядка 2 находятся во взаимно
однозначном соответствии с рассматриваемыми с точностью до изо-
изоморфизма схемами Каца типов L\h\ числовые отметки щ которых
имеют вид Uj = Sj/2, где s$ (/= 0, 1, ..., /)—неотрицательные це-
целые числа, взаимно простые в совокупности и удовлетворяющие
уравнению
i
к 2 njSj = 2. A2)
3=0
Здесь п0, пи . . ., щ — взаимно простые натуральные числа, ука-
указанные в таблице 6. Из A2) следует, что к = 1 или 2.
Задача 38. Схемы Каца, удовлетворяющие условию A2), при-
принадлежат одному из следующих трех типов:
I. к = I; Ui = 0 для всех значений ?, кроме некоторого i = р-
иР = 1/2; пр = 2.
II. к = 1; и{- = 0 для всех значений г, кроме некоторых i = /?, g,
p?^q; uP = uq = 1/2; np = nq= 1.
III. к = 2, Ui = 0 для всех значений г, кроме некоторого i = р-
иР = 1/2; иР = 1.
В случае II можно считать, что q = 0, если рассматривать схе-
схему Каца с точностью до изоморфизма.

§ 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФОРМЫ 247
Пользуясь задачей 38 и таблицей 6, нетрудно перечислить,
с точностью до изоморфизма, все схемы Каца, удовлетворяющие
условию A2). Результаты приводятся в таблице 7 (в случае II
считается, что # = 0). При помощи задачи 4.4.61 легко также опре-
определить тип соответствующих подалгебр fle (заметим, что ge полу-
полупроста в случаях I и III и имеет одномерный центр в случае II).
Задача 39. Пусть 9i, 92— инволютивные автоморфизмы прос-
простой неабелевой алгебры Ли g над С. Тогда g * ~ 8 2 в том и только
том случае, когда 94 и 92 сопряжены в Autg.
В качестве приложения дадим явное описание классов сопря-
сопряженных инволютивных автоморфизмов простых классических комп-
комплексных алгебр Ли. При этом используются обозначения из п. 2.
Теорема 5. Следующие автоморфизмы 6 простых классиче-
классических комплексных алгебр Ли g составляют полную систему пред-
представителей классов сопряженных инволютивных автоморфизмов (для
0 Ф е указан тип соответствующей схемы Каца, см. задачу 38).
1) fl=*In(C), ?г>2:
а) 9(Х) = — Хт
б) Э (X) = — Ad Sm (Хт), п = 2
в) 9 = Ad Iv,n-V (p = 0, 1,
2) g=30n(C)» п = 3 или
а) 9 = Ad 1р,п-р (р = 0, 1, .
б) 9 = Ad Sm, n = 2т
3) fl = sjjn(C), n = 2m^2:
а) 9 = Ad Sm
б) 9 = Ad Кр>т„р (р = 0, 1,
3 а д а ч а 40. Доказать эту теорему.
6. Классификация вещественных простых алгебр Ли. Результа
ты п. 4 и п. 5 позволяют перечислить, с точностью до изоморфизма,
все вещественные формы некоммутативных комплексных простых
алгебр Ли. Для классических алгебр Ли это перечисление дается
следующей теоремой.
Теорема 6. Любая вещественная форма классической простой
комплексной алгебры Ли g изоморфна в точности одной из следую-
следующих вещественных форм I) с: q;
1) в=Яя(С), >г>2:
а) &=*In(R),
б) J=*I«(H), n = 2m,
в) 5 = *Ъ,п-Р (Р = 0, 1, . .., [и
= 1т
., [и/2])
¦ Ап/2})
при р =?=¦ (
¦ ¦Лт/2])
(тип
(тип
(тип
III),
Ш),
II при р
(типы I и
),2; тип II
(тип
(тип
(тип
П);
И),
I при
III
при
1 р-
>0);
р =
>0).

248 1'Л. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
2) б = $0п(С), п =-- 3 или п^Ъ:
а) Ь = s50Pjn-P (р = 0, 1, ...,
б) S = i4(H), я = 2т;
3) g = 0Pn(C), /г = 2ти>2:
б) f)=J%,m-
Задача 41. Доказать эту теорему.
Некомпактные вещественные формы особых простых комплекс-
комплексных алгебр Ли перечислены в таблицах 7 и 9.
Из теорем 1, 6 и задачи 8 вытекает следующий окончательный
результат классификации вещественных простых алгебр Ли.
Теорема 7. Некоммутативные вещественные простые алгебры
Ли исчерпываются с точностью до изоморфизма вещественными
формами I), перечисленными в теореме 6, вещественными формами
особых простых комплексных алгебр Ли и алгебрами flRr где g —
различные некоммутативные комплексные простые алгебры Ли.
Отметим, что теорема 7 полностью решает вопрос о классифи-
классификации произвольных полупростых вещественных алгебр Ли, по-
поскольку по теореме 4.1.3 любая полупростая алгебра Ли однознач-
однозначно разлагается в прямую сумму простых идеалов.
Упражнения
1. Пусть G=PSL2(Z)XSL2 (С), где PSL2 (С) = SL2 (C)/{E,—E}9 и пусть Я —
подгруппа в G, состоящая из пар (п(Х), X), где л: SL (С) -* p$L (С) —
естественный гомоморфизм. Тогда Н — вещественная форма группы G, не име-
имеющая вида Gs, где S — вещественная структура в G (и даже не открытая в
подгруппе вида Gs). В частности, Я не является алгебраической вещественной
формой.
2. Пусть S — вещественная структура в комплексном алгебраическом то-
торе Т. Тогда существует такой изоморфизм Т ~ (С*)п, что в подходящих
координатах S записывается в следующем виде:
S (ZV ••*' Zn) = (V *••' V zp+q+V Zp+V *•" Zp+W Zp + q> zp+2q+V ••" Zn )
V zp+q+V Zp+V *•" Zp+W Zp + q> zp+2q+V ••" Zn
В частности, всякая вещественная структура S в торе Т является алгеб-
алгебраической.
3. Всякая вещественная структура в связной комплексной редуктивной
алгебраической группе является алгебраической.
4. Пусть g — полупростая комплексная алгебра Ли. Вещественная форма
алгебры g 0 g, соответствующая в силу теоремы 4 автоморфизму 0: (х, у) *-*
*-* (у, х) (х, 1/е д), изоморфна алгебре дк.
5. Между классическими вещественными алгебрами Ли различных серий
(см. п. 2) имеются следующие изоморфизмы:
= W2 (К), ^olj5 - *l2 (H),

§ 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФОРМЫ 249
,^«*4(R),
tt*(IH) ~su2 esI2(R;,
u*(W)~0ulj3,
ii*(H)~3o2i6.
Пусть g — вещественная алгебра Ли, р: g-^gl(F)—ее конечномерное ве-
вещественное линейное представление. Тогда р продолжается до комплексного
представления р (С): g -+- gi (V (С)).
6. Если р неприводимо, то р (С) неприводимо в том и только в том слу-
случае, когда в V не существует комплексной структуры (т. е. оператора /, удов-
удовлетворяющего условию C)), перестановочной со всеми р(#), xsg.
7. Если р неприводимо и комплексно, т. е. V допускает комплексную струк-
туру_/, перестановочную с р, то р (С) ~ р -f p (как представления над С),
где р — представление р, рассматриваемое в пространстве V с комплексной
структурой —/.
Указания к задачам
1. Заметить, что любой изоморфизм вещественных форм комплексной ал-
алгебры Ли продолжается до автоморфизма этой алгебры.
2. Использовать равенство Я = G (в топологии Зарисского) и совпадение
связных компонент группы G с ее неприводимыми компонентами (см. теоре-
теорему 3.3.1).
3. Если z^Z(H), то Ad z = Е в пространстве & и, следовательно, в д =
= Ис)- Затем использовать теорему 1.2.4 и формулу A).
4. Использовать следствие теоремы 4.4.1.
6. Показать, что существует единственный антилинейный автоморфизм
алгебры "д (см. п. 4.3.2), тождественный на элементах hi4 а, Д-. Очевидно, этот
автоморфизм переводит m в себя и потому индуцирует антилинейный автомор-
автоморфизм о алгебры д, тождественный на всех hi, ег-, Д-. Ясно, что а2 = е и что
% d Qa. Поскольку комплексная линейная оболочка подалгебры Ь совпадает с
д, имеем Ъ = да.
8. При доказательстве второго утверждения использовать теорему 4.1.3.
10. Если а — ненулевой идеал в g , то комплексная линейная оболочка
идеала а в g совпадает с д. Поэтому дополнительный к а идеал Ь си g должен
лежать в центре алгебры Ли д, откуда Ь = 0.
11. Вывести из простоты алгебры д, что если а — собственный идеал в
g (С), то g (С) = а ф а. Определргть затем преобразование /: g-^g формулой
1х — iy — iy для х — у + у е g, #^ct, и доказать, что / — комплексная- струк-
структура в д.
12. Следует из теоремы 3.4.2.
13. Воспользоваться тем, что в ортонормированном базисе компактной ал-
алгебры Ли g все операторы ad х (х е д) записываются кососимметрическими
матрицами.
14. Из задачи 4.1.8 следует, что g = 8(g) (Big'. С помощью задачи 4.1.2 легко
вывести, что любой абелев идеал алгебры g содержится в центре 3(д). Отсюда
следует, что алгебра Ли д' не содержит ненулевых коммутативных идеалов
и потому полупроста (см. задачу 1.4.13).
15. Использовать задачу 4. Компактность группы Int g вытекает из ее зам-
замкнутости в Aut g и того, что Aut g компактна в силу задачи 13.
18. Импликация а) =ф- б) следует из задачи 12, эквивалентность б) ¦<=>¦ в) —
из задачи 13. Для доказательства импликации в) =^ а) рассмотрим конечноли-

250 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
стное накрытие Ad: G-> Ad G = G. На группе G определена вещественная струк-
структура &(Adg) = S(Adg)S~l = AdS(g), причем Ad (Gs) = G^. Поэтому под-
подгруппа Ad(Gs) замкнута в GL{a). С другой стороны, в силу задачи 17
Ad (Gs) содержится в компактной группе всех унитарных операторов относи-
относительно формы hG. Поэтому Ad(Gs) и Gs компактны.
19. Положить о = Gojx = jioo, где о*о — вещественная структура, определя-
определяющая нормальную вещественную форму (см. задачу 6).
20. По теореме 1.2.6 утверждение верно, если G односвязна. Из задачи
4.3.47 следует, что S тождественно на центре Z(G) группе G. Следовательно, на
любой группе вида G/N, где ./V — подгруппа в Z(G), определена вещественная
структура с дифференциалом а.
24. Достаточно доказать это для образующих ra. (i = 1, ...,/). Но га.
в силу задачи 4.1.37 индуцируется элементом па. = F^il , q) e TV (T).
Поскольку (__ ^ qW ^С/2, na.^Gs в силу задачи 23.
25. В силу теоремы 1.2.6, задачи 1.1.24 и задачи 24 любое корневое подпро-
подпространство да переводится в подпространство да., соответствующее некоторому
простому корню «г, при помощи подходящего автоморфизма Ad g, где g-e
GiV(f) П Gs. Поэтому из задач 22 и 17 следует, что форма ha положительно
определена на t и на каждом корневом подпространстве да. Затем используем
задачу 21.
26. Комплексная структура / переводит д' в себя и индуцирует там сим-
симметрическое линейное преобразование. Если д' Ф 0, то это противоречит тому,
что все характеристические корни оператора 1 равны ±i.
29. Пусть а, т — вещественные структуры в д, определяющие компактные
вещественные формы, и пусть 0 = от. Из задачи 18 вытекает, что (9#, х) < О
для всех х е да. Отсюда и из задачи 28 следует, что дх = х для всех х е да, от-
откуда 9 = е и дст == дт.
г
31. Пусть X^*S(E) и пусть Е = Q) Е^. — разложение пространства Е
i г
i=i г
в ортогональную сумму собственных подпространств относительно X. Тогда
Е^. — собственное подпространство для ехр X, отвечающее собственному зна-
. s ~
чению е г > 0. Поэтому ехр X е= Р(Е). Обратно, если А €= Р(Щ и Е = © Е^. —
соответствующее разложение на собственные подпространства, то определим
оператор log Л е S(E), полагая log {A) I g- = (log ji^ E. Легко проверить,
что отображение log: P(E) -^S(E) обратно к ехр.
32. Докажем, что pf e G для всех JgK, Будем записывать линейные
операторы в пространстве Е матрицами в некотором ортонормированием бази-
базисе. Мы можем считать, что log p — диагональная матрица с вещественными
диагональными элементами аи •.., «п. Если F — полиномиальная функция на
пространстве всех матриц, равная 0 на G, и F — ограничение функции F на
подпространство диагональных матриц, то F \е ,...,е ) = 0 для всех
к eZ, поскольку ph e G. Если функция Ф {t) = F \е г, ..., е пп) не равна
нулю тождественно, то она имеет вид ср (t) — 2 cie г, гДе сг ^ 0 и Ъ\ >
>• Ъ2 >• ...— вещественные числа. Ясно, что модуль члена с^е 1 при t = к
и к -> оо растет быстрее, чем модуль суммы остальных членов. Это приводит
нас к противоречию.
36. Положить Ti = q1/4i:q~1/4 (ср. задачу 34). Второе утверждение доказы-
доказывается аналогично соответствующему утверждению теоремы 3.

§ 2. КОМПАКТНЫЕ И РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ 251
39. В одну сторону утверждение очевидно, а в другую следует из получен-
полученной классификации (см. табл. 7).
40. Использовать задачу 39.
41. Использовать теорему 4, пример 2 из п. 4 и теорему 5.
§ 2. Компактные группы Ли
и редуктивные алгебраические группы
Основной целью этого параграфа является установление взаим-
взаимно однозначного соответствия между компактными группами Ли и
редуктивными комплексными алгебраическими группами, а также
между гомоморфизмами компактных и редуктивных групп. На язы-
языке теории категорий это означает, что имеется эквивалентность
между категориями компактных групп Ли и редуктивных комп-
комплексных алгебраических групп. Важным следствием является тео-
теорема о полной приводимости линейных представлений полупростых
алгебр Ли. Существенную роль в развитой здесь теории играет
теорема о полярном разложении, которую мы доказываем в веще-
вещественной ситуации, имея в виду дальнейшие применения. Одним
из них является доказательство связности множества вещественных
точек односвязной комплексной полупростой алгебраической груп-
группы, определенной над R.
1. Полярное разложение. В линейной алгебре хорошо известна
теорема о полярном разложении линейного оператора в конечно-
конечномерном евклидовом или эрмитовом пространстве Е: любой оператор
Л ^ GL(E) однозначно представляется в виде А = XY, где X —
ортогональный (или унитарный), a Y — положительно определен-
определенный самосопряженный операторы. В этом пункте мы выделим
класс линейных групп, для которых справедлива аналогичная тео-
теорема. В комплексном случае к этому классу относятся все алгебра-
алгебраические линейные группы, обладающие компактной вещественной
формой (впоследствии выяснится, что это в точность редуктивные
алгебраические группы).
Сначала мы несколько уточним сформулированную выше теоре-
теорему о полярном разложении для группы GL(E). Пусть К = О(Е)
(соответственно U(E)). Рассмотрим отображение ср: KXS(E)-+
-+- GL(E)/заданное формулой
ср(/с, у) = /сехрг/. A)
Из единственности полярного разложения и задачи 1.31 следует,
что ср биективно. На самом деле справедлива
Лемма 1. Отображение ср: К X S(E) ->¦ GL(E), заданное фор-
формулой A), является диффеоморфизмом.
Доказательство. Покажем, что отображениеd^k iV ^ср инъек-
тивно для любых ко<^К, yo^S(E). Используя левый сдвиг на /с0,
можно свести доказательство к случаю к0 = е. Касательная алгебра
* группы К состоит из всех кососимметрических (косоэрмитовых)

252 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
операторов. Легко видеть, что
d(e,y0)y (#, у) = х ехр у0 + (dyQ exp) у (же!, i/g5 (E)).
Положим /?0 = ехр г/о, 2 = (dyQ ехр) г/. Пусть ^(^ф (х, у) =
+ 2 — 0. Тогда p^1/2zpl/2= — p^1/2zp^1/2. Очевидно, правая часть
этого равенства — самосопряженный оператор, а в левой части сто-
стоит оператор, имеющий чисто мнимые характеристические корни.
Поэтому х — z = 0. Таким образом, все сводится к доказательст-
доказательству равенства у = 0, т. е. к доказательству инъективности отображе-
отображения dy ехр.
Рассматривая кривые y(t)=yo + ty и z(t) = exp y(t) и диффе-
дифференцируя при t = 0 обе части равенства y(t)z(t) = z(t)y(t), выво-
выводим из 2 = 0, что г//?0 = РоУ- Поскольку операторы у0 и р0 имеют
одни и те же собственные подпространства, имеем уу0 = г/ог/. Из за-
задачи 1.2.27 следует, что z(t) = poexp(ty). Поэтому роу = 0 и г/ = 0.
Лемма доказана.
Для произвольного линейного оператора g-^GL(E) обозначим
через g* сопряженный оператор. Линейная группа Gc=GL(E) на-
называется самосопряженной, если для любого g ^ G также g* ^ G.
Теорема 1. Пусть Е — конечномерное евклидово (эрмитово)
пространство, GczGL(E)—самосопряженная алгебраическая ли-
линейная группа (вещественная или комплексная), i? = G П О(Е)
(соответственно G 0 U(E)), Р = G 0 Р(Е). Тогда
G = KP, B)
причем представление g = /с/?, где к ^ К, р е Р, единственно для
каждого элемента g^G. Точнее, если !р = <}П5г(Е), го отображе-
отображение ф: ХХр ->¦ G, заданное формулой A), является диффеоморфиз-
диффеоморфизмом. Для любого g ^ G имеем
gPg*=P. C)
Доказательство. Равенство B) доказывается хорошо из-
известным из линейной алгебры приемом. Если g e G, то q = g*g<^P.
Из задачи 1.32 следует, что qt ^ P для всех ^еК. В частности,
^ = д1/2 е Р. Легко видеть, что k = gp~i — ортогональный (унитар-
(унитарный) оператор, так что к^ К и g = кр. То, что ф — диффеомор-
диффеоморфизм, следует из леммы 1. Равенство C) очевидно.
Разложение B) называется полярным разложением самосопря-
самосопряженной алгебраической группы G.
Следствие 1. Самосопряженная алгебраическая линейная
группа G диффеоморфна К X 0?w, где К — компактная подгруппа,
определенная в теореме 1, m = dim p. В частности, G связна тогда
и только тогда, когда К связна, и в этом случае

§ 2. КОМПАКТНЫЕ И РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ 253
Задача 1. (Следствие 2.) В предположениях теоремы 1
= (Z(G)n?)X(Z(G)fli>),
причем Z (G) П Р ^ Ks для некоторого s > 0. ?с/ш G полупроста,
то Z(G)czK.
Задача 2. (Следствие 3.) 5 те;к же предположениях любая
компактная подгруппа L c= G обладает свойством L П Р = {е}.
Б частности, подгруппа К является максимальной компактной под-
подгруппой группы G (т. е. не содержится ни в какой большей ком-
компактной подгруппе этой группы).
Теперь мы рассмотрим важный для дальнейшего частный слу-
случай, который удобно сформулировать в виде отдельной теоремы.
Теорема 2. Пусть G — комплексная алгебраическая линейная
группа, обладающая компактной вещественной формой К, и пусть
р = if. Отображение ф: К X !р -> G, задаваемое формулой A), есть
диффеоморфизм вещественных многообразий. Вещественная форма
К является алгебраической.
Для доказательства превратим пространство Е, в котором дейст-
действует группа G, в эрмитово пространство, фиксировав в нем поло-
положительно определенную эрмитову форму, инвариантную относи-
относительно К (см. теорему 3.4.2). Тогда t будет состоять из косоэрми-
товых, а !р = $ — из самосопряженных операторов, так что
5(Е)
й()
Задача 3. Группа G является самосопряженной.
Отсюда следует, что к группе G применима теорема 1, причем
роль подгруппы К играет подгруппа Ki = G П U(E).
Задача 4. Подгруппа Кх совпадает с К.
Таким образом, остается доказать только последнее утверждение
теоремы 2. Очевидно, преобразование S: g »-> g* есть алгебраиче-
алгебраическая вещественная структура в группе G, причем в силу задачи 4
K = GS.
Следствие 1. В предположениях теоремы 2 группа G диф-
феоморфна К X iKm, где m = dini(D G.
Из задач 1 и 1.3 вытекает
Следствие 2. В предположениях теоремы 2
Z(G)=Z(.?)X(Z(G)nP).
Если G полупроста, то Z(G)= Z(K).
Следствие 3. В предположениях теоремы 2
N(K)=KX(Z(G)()P).
Если G полупроста, то N(K)=K.
Доказательство. Очевидно, N(K)= K(N(K) OP). Если
g e N(K) П Р, то из единственности полярного разложения и свой-
свойства C) следует, что g лежит в централизаторе подгруппы К. По-
Поскольку fl= !(С), имеем Ad g = Е. Отсюда легко выводится, что
gpg-1 = р для всех р е Р1 так что g e Z(G).

254 гл. 5. вещественные полупростые группы ли
Применим полярное разложение к доказательству следующего
утверждения.
Теорема 3. Пусть S — вещественная структура в односвязной
комплексной полупростой группе Ли G. Тогда вещественная форма
Gs алгебраична и связна.
Доказательство. Пусть а = dS. Покажем, что в G сущест-
существует такая компактная вещественная форма К, что соответствую-
соответствующая вещественная форма * алгебры Ли g согласована с да. Согласно
теореме 1.3, в ^ существует такая вещественная структура т, пере-
перестановочная с а, что вещественная форма дт компактна. По теореме
1.2.6 т = dT, где Т — некоторый автоморфизм группы G, рассматри-
рассматриваемой как вещественная группа Ли. Легко видеть, что Т — вещест-
вещественная структура в G. Подгруппа К = G компактна в силу за-
задачи 1.18.
По теореме 3.3.4 автоморфизм в = TS группы G полиномиален.
Поэтому из алгебраичности вещественной структуры Т (теорема 2)
следует, что и S — алгебраическая вещественная структура.
Как при доказательстве теоремы 2, мы можем считать, что
GczGL(E), где Е — эрмитово пространство, скалярное произведе-
произведение в котором инвариантно относительно К. При этом Т(g) = (g*)
и G — самосопряженная алгебраическая линейная группа. По-
Поскольку вещественная структура Т перестановочна с S и в, груп-
группы Gs и G® также самосопряжены, причем компактные части
Gs П К и G@ Г) К их полярных разложений совпадают. По теореме
4.4.9 подгруппа G® связна. Из следствия 1 теоремы 1 выводим, что
связна подгруппа G0 П К = Gs П К и, значит, подгруппа Gs.
2. Группы Ли с компактной касательной алгеброй. Согласно за-
задаче 1.15, каждая компактная алгебра Ли изоморфна касательной
алгебре некоторой компактной группы Ли. Однако и некомпактная
группа Ли может иметь компактную касательную алгебру — про-
простейшим примером служит аддитивная группа R. В этом пункте
мы изучим строение групп Ли с конечным числом связных компо-
компонент, касательные алгебры которых компактны. Сначала рассмот-
рассмотрим случай связной группы. Напомним (см. задачу 1.14), что лю-
любая компактная алгебра Ли * представляется в виде * = $ ® f/,
где 3 — центр алгебры *, а коммутант f/ — полупростая компактная
алгебра Ли.
Задача 5. Любая односвязная группа Ли К с компактной по-
полупростой касательной алгеброй изоморфна компактной вещест-
вещественной форме некоторой односвязной комплексной полупростой
группы Ли.
Из задачи 5 вытекает, что односвязная (а, значит, и произволь-
произвольная связная) полупростая группа Ли с компактной касательной
алгеброй компактна и, следовательно, имеет конечный центр.
Задача 6. Любая связная компактная группа Ли К допускает
конечнолистное накрытие Z X L -+¦ К, где Z — компактный тор,
a L — односвязная полупростая компактная группа Ли.

§ 2. КОМПАКТНЫЕ И РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ 255
Задача 7. Любая связная компактная группа Ли К изоморф-
изоморфна алгебраической вещественной форме некоторой связной . комп-
комплексной редуктивной алгебраической группы. В частности, К допу-
допускает точное линейное представление.
Из задачи 7 вытекает следующая теорема, описывающая строе-
строение связных компактных групп Ли.
Теорема 4. Пусть К—связная компактная группа Ли. Тогда
коммутант К' — связная полупростая компактная подгруппа Ли в
К и К допускает локально прямое разложение К = ZK', где Z =
= Rad К — компактный тор, совпадающий со связной компонентой
единицы Z(K)° центра группы К.
Задача 8. Доказать эту теорему.
Теперь мы перейдем к произвольным связным группам Ли с
компактной касательной алгеброй. Простейшим классом таких
групп являются связные коммутативные группы. Напомним
(см. предложение 1.2.3), что всякая связная коммутативная группа
G представляется в виде G = АХВ, где А ~ \RP — векторная груп-
группа, а В ~ Jq— компактный тор.
Задача 9. Подгруппа В является наибольшей компактной
подгруппой связной коммутативной группы G, т. е. содержит все
компактные подгруппы этой группы, и тем самым определена од-
однозначно. В качестве А можно взять любую подгруппу вида ехр а,
где а — такое подпространство касательной алгебры g группы G,
что й = а ® Ь, где Ь — касательная алгебра подгруппы В.
Будем называть А и В соответственно некомпактной и компакт-
компактной частями связной коммутативной группы G.
Теорема 5. Пусть G — связная группа Ли с компактной каса-
касательной алгеброй, и пусть А и В — некомпактная и компактная
части группы Z(G)°. Тогда G=AXK, где K = BG'— компактная
группа Ли. При этом К — наибольшая компактная подгруппа
группы G.
Для доказательства потребуется
Задача 10. Пусть имеется конечное накрытие л;: G ->¦ С?о, при-
причем для группы Go справедлива теорема 5. Тогда она справедлива
и для группы G.
Пусть теперь G — связная группа Ли с компактной касательной
алгеброй. Построим конечнолистное накрытие G ->¦ Go, удовлетво-
удовлетворяющее условию задачи 10. Пусть л: G ->• G — односвязное накры-
накрытие группы G. Очевидно, G = Z X G', где Z — векторная группа,
a G' — полупростая компактная группа Ли (см. задачу 6). Положим
тУ-Кегя, N0=*NZ(G'), Go = G/No.
Задачами. Имеем N0=JS!iXZ(Gf), где iV4 — дискретная под-
подгруппа в Z, и Go = Z/NiX G'/Z(G ). Существует конечнолистное
накрытие л0: G -+ Go. ^ ^
Поскольку группа G//Z(G/) компактна, для группы Go верна
теорема 5. В силу задачи 10 она верна и для G.

256 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Теперь мы докажем основной результат этого пункта.
Теорема 6. Пусть G— группа Ли с конечным числом связ-
связных компонент и компактной касательной алгеброй и пусть Z =
= Z(G°)°. Некомпактную часть А группы Z можно выбрать так,
чтобы она была нормальной подгруппой группы G. При любом та-
таком выборе подгруппы А имеем G = А \ К, где К — некоторая ком-
компактная подгруппа, такая, что G0 = А X К0.
Пусть Ь, S — касательные алгебры компактной части В группы
Z и самой группы Z. Очевидно, автоморфизмы a(g) (g e G) пере-
переводят Z в себя. В силу задачи 9 подгруппа В также переходит в
себя при всех u(g). Поэтому % и Ь инвариантны относительно при-
присоединенного представления Ad группы G.
Задача 12. В % существует такое подпространство а, инвари-
инвариантное относительно Ad G, что & = ct ® Ь.
Из задач 9 и 12 следует существование подгруппы А с= G, о ко-
которой идет речь в теореме 6. Применяя к группе G0 теорему 5, по-
получаем, что G° = 4X Ко, где Ко — компактная подгруппа. Для за-
завершения доказательства теоремы 6 нам потребуется следующая
Лемма 2. Пусть G — группа Ли, содержащая векторную нор-
малъную подгруппу А конечного индекса. Тогда G = А X L, где
L — конечная подгруппа.
Доказательство. Пусть L0 = G/A, я: G ->¦ Lo — естествен-
естественный гомоморфизм. Достаточно построить такой гомоморфизм
ф: Z/0 -*¦ G, что лф = id; тогда G = А X L, где L = ф(?0). Выберем
некоторое отображение i|:: Lo -> G, такое, что яф = id, и будем ис-
искать гомоморфизм ф в виде
ф(я)=ВДф(ж) (ж€=?0), D)
где h: LQ ->¦ А — некоторое отображение. Заметим, что
tix)$(y)=f(x, У)^(ХУ) (х, УеА>), E)
где f(x, y)^A. Условие ф(зд)= ф(ж)ф(г/) равносильно следующе-
следующему равенству, связывающему h с отображением /: Lo X LQ -> A:
f(x,y)=y(x)h{y)-l${x)-ih(z)-ih(y) (ijet,). F)
Будем записывать операцию в группе А аддитивно. Как следует из
задачи 1.2.26, любой автоморфизм векторной группы А является
линейным преобразованием этой группы. Поэтому формула
R(g)=a(g)\A (g = G) G)
определяет линейное представление R: G-^GL(A). Поскольку
Л<=КегД, возникает линейное представление Ro: Lo-+ GL(A),
такое, что R = Ron. Формула F) переписывается в виде
f(x,y) = h(xy) — h(x) — R0(x)h{y) {x,y^L0). (8)
Итак, достаточно подобрать такое отображение h: LQ-* А, что
выполнено (8), где / определено формулой E); тогда равенство
D) определит искомый гомоморфизм ф.

§ 2. КОМПАКТНЫЕ И РЕДУКТИВНЫВ ГРУППЫ 257
Задача 13. Для любых х, у, z^ Lo имеем
f(x, yz) + R0(x)f(y1 z) = f(xy, z)+f(z, у).
Задача 14. Отображение h: Lo -+ А, заданное формулой
удовлетворяет условию (8).
Тем самым лемма 2 доказана.
Задача 15. Доказать теорему 6.
Подгруппу К некоторой группы Ли G назовем максимальной
компактной подгруппой в G, если К компактна и не содержится
ни в какой строго большей компактной подгруппе группы G. При
этом не предполагается, что К — подгруппа Ли, хотя это автомати-
автоматически выполнено, так как К замкнута в G (см. п. 1.2.9). Любой
автоморфизм группы G переставляет ее максимальные компактные
подгруппы.
Следующая теорема показывает, что подгруппа К, о которой
идет речь в теореме 6, единственна с точностью до сопряженности
и является максимальной компактной в G.
Теорема 7. Пусть G=A X К, где А — векторная группа, К —
компактная группа Ли. Тогда К — максимальная компактная под-
подгруппа в G. Для любой компактной подгруппы Ki cz G существует
такой а^А, что аКуа~1 с= К, а если Kt — максимальная компактная
подгруппа, то это включение является равенством.
. Доказательству этой теоремы мы предпошлем некоторые общие
замечания о полупрямых произведениях групп Ли. Пусть G =
= А X К, где А — векторная группа. Тогда автоморфизмы a(g)\A
(g ^ G) являются линейными преобразованиями пространства А
(см. задачу 1.2.26), так что формула G) задает линейное пред-
представление R: G ->¦ GL(A). Рассмотрим теперь векторное простран-
пространство А как аффинное пространство. Тогда можно определить есте-
естественное аффинное действие группы G в пространстве А.
Задача 16. Существует единственное аффинное действие
Я: G-+GA(A), такое, что R{a)=ta (а е= А) и R(k) = R(k)
(k e К). Это действие содержит все параллельные переносы и, в
частности, транзитивно на А. Подгруппа К является стабилизато-
стабилизатором точки 0 ^ А.
Поскольку при транзитивном действии группы стабилизаторы
любых двух точек сопряжены, из задачи 16 следует, что подгруппа
S с: G = А X К сопряжена некоторой подгруппе, лежащей в К,
тогда и только тогда, когда в А существует точка, неподвижная от-
относительно R(S). При этом элемент a*=G, такой, что aSa <= К,
можно взять из подгруппы А.
Доказательство теоремы 6. Поскольку А не содержит
нетривиальных компактных подгрупп, подгруппа К является мак-
17 э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

258 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
симальной компактной в G = А X К. Сопряженность следует из
сделанных выше замечаний и из существования неподвижной точ-
точки при любом аффинном действии компактной группы (теоре-
(теорема 3.4.1).
3. Компактные вещественные формы редуктивной алгебраиче-
алгебраической группы. В этом пункте мы обобщим теорему 1.2 о существо-
существовании компактной вещественной формы связной комплексной полу-
полупростой группы Ли на произвольные редуктивные комплексные
алгебраические группы. Кроме того, будет доказана сопряженность
компактных вещественных форм. Основные результаты формули-
формулируются следующим образом.
Теорема 8. Любая редуктивная комплексная алгебраическая
группа обладает алгебраической компактной вещественной формой.
Теорема 9. Любые две компактные вещественные формы ре-
редуктивной комплексной алгебраической группы G переводятся друг
в друга автоморфизмом вида a(g), где g e G0.
Пусть G — редуктивная комплексная алгебраическая группа,
Н =(G°)', Z = Rad G = Z(G°)°. Выберем в связной полупростой
группе Ли Н компактную вещественную форму L (см. теорему 1.2),
которая связна в силу следствия 1 из теоремы 2, и положим U =
= N(L). Применяя к Я и L следствие 3 из теоремы 2 и используя
разложение G° = ZH, получаем, что U П G° = ZL. В частности,
группа U ПС0 связна, откуда U° = U П G° = ZL и tt = 8®I. Таким
образом, касательная алгебра группы Ли U компактна.
3 а д а ч а 17. Имеем G = HU, G/G° ^ U/U0.
Таким образом, группа U имеет конечное число связных компо-
компонент. Рассмотрим в касательной алгебре % тора Z вещественную
форму & (R), определенную в п. 3.3.2, и положим Л = ехрз(?),
В = exp (i% (R)). Тогда Z = А X В, причем А — некомпактная,
а В — компактная части тора Z (см. пример 2 из п. 1.1). Посколь-
Поскольку Ь (Щ переходит в себя при всех автоморфизмах тора Z и по-
поскольку Z — нормальная подгруппа группы G, подгруппа А также
нормальна в G. Применяя к группе U теорему 5, видим, что U =
= А X К, где K^U — компактная подгруппа, такая, что К0 = BL.
Задача 18. Подгруппа К является вещественной формой
группы G.
Алгебраичность вещественной формы К следует из теоремы 2.
Тем самым доказана теорема 8.
Доказательство теоремы 9. Пусть К ~- компактная ве-
вещественная форма группы G, построенная при доказательстве тео-
теоремы 6, и пусть Ki — другая компактная вещественная форма этой
группы. Пусть а — вещественная структура в алгебре Ли д, такая,
что *i = gff. Тогда а переводит в себя центр % и коммутант 1) и ин-
индуцирует в каждой из этих подалгебр вещественную структуру.
Имеем f 1 == sa е V- Поскольку подгруппа К{ П Z компактна, она со-
содержится в 5, так что bG = f i П Ь cz Ц (К), откуда tf5 = ц (К) и
Кгп Z = В. Далее, f)a — компактная вещественная форма в 5. Ис-

§ 2. КОМПАКТНЫЕ И РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ 259
пользуя теорему 1.3, мы можем считать, что У = I. Тогда *4 = * и
потому К\ = BL. Следовательно, К, <= N(BL)=N(L)= U.
Задача 19. Существует такой «ei, что аК±а~1 = К.
Тем самым доказана теорема 9.
4. Линейность компактных групп Ли. Согласно задаче 7, любая
связная компактная группа Ли допускает точное линейное пред-
представление. Теперь мы распространим это утверждение на любые
компактные группы Ли. Таким образом, будет доказана.
Теорема 10. Любая компактная группа Ли допускает точное
линейное представление.
Пусть G — некоторая группа Ли. Дифференцируемая функция
/: G —>¦ С называется представляющей, если функции r*(g)f
(g^G), заданные формулой C.1.3), порождают конечномерное
подпространство в пространстве С°° (G) всех дифференцируемых
комплексных функций на G. Например, если G — комплексная ал-
алгебраическая группа, то все полиномиальные функции на G явля-
являются представляющими (см. теорему 3.1.9). Обозначим через AG
множество всех представляющих функций на группе G.
Задача 20. Множество AG является подалгеброй алгебры
С°° (G) и совпадает с линейной оболочкой матричных элементов
всех конечномерных комплексных линейных представлений
группы G.
Лемма 3. Если G — компактная группа Ли, то для любого
g <^ G, g ?= е, найдется такая / е= АСх, что f(g)^= /(<?).
Доказательство. Если g<?G\ то в качестве / можно взять
функцию, равную 0 на G0 и 1 на всех остальных связных компо-
компонентах группы G,— очевидно, что ее орбита при правых сдвигах
содержится в конечномерном пространстве всех функций, постоян-
постоянных на компонентах. Пусть а е G0. Поскольку G° в силу задачи 7
допускает точное представление, существует матричный элемент
этого представления /oe^4Go, такой, что /o(g)^ fo(e). Продолжим
функцию /о до функции / на G, полагая /(я)=0, если x^G\G°.
Ясно, что линейная оболочка Lf орбиты функции / при правых
сдвигах на элементы g e G0 конечномерна. Далее, если g и gf ле-
лежат в одной и той же компоненте группы G, то r%(g) Lf = r% (gf) Lf.
Поэтому орбита функции / при всех правых сдвигах содержится в
ir* (g) Lp где g пробегает множество представителей связных
компонент группы G. Итак, /е AG, и лемма 3 доказана.
Задача 21. Всякая строго убывающая цепочка подгрупп Ли в
компактной группе Ли конечна.
Доказательство теоремы 10. Пусть 7?i — некоторое ли-
линейное представление компактной группы Ли G. Если Кег jf?, ?= {е},
то выберем g ^Кет Ru g?=e. В силу леммы 3 и задачи 20 сущест-
существует такое представление S группы G, что некоторый матричный
элемент / этого представления обладает свойством f(g)=^sf(e). Тог-
Тогда g Ф Кег S. Если R2~ Ri + S, то имеем строгое включение
17*

260 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Кег Ry => Ker i?2. Если Кег/?2=^{е}, то таким же способом строим
представление R3 со строгим включением Кег R2 => Кег R3 и т. д.
В силу задачи 21 этот процесс должен оборваться, и мы получим
точное представление.
5. Соответствие между компактными группами Ли и редуктив-
ными алгебраическими группами. В этом пункте будет доказано,
что операция комплексификации вещественных алгебраических
групп приводит к взаимно однозначному соответствию между ком-
компактными группами Ли (рассматриваемым с точностью до диффе-
дифференцируемого изоморфизма) и редуктивными комплексными алгеб-
алгебраическими группами (рассматриваемыми с точностью до полино-
полиномиального изоморфизма).
Пусть К — компактная группа Ли. Согласно теореме 10 К до-
допускает точное линейное представление, которое можно считать ве-
вещественным. Поэтому из теоремы 3.4.5 следует, что на К существу-
существует структура вещественной алгебраической группы. Эта структура
априори зависит от выбора точного представления, хотя на самом
деле она единственна, как будет следовать из дальнейших рассуж-
рассуждений. Рассмотрим комплексификацию К (С) компактной алгебра-
алгебраической группы К.
3 ад ач а 22. Алгебраическая группа К (С) редуктивна.
Теперь мы хотим доказать, что алгебраическая группа К (С)
не зависит, с точностью до изоморфизма, от выбора структуры ал-
алгебраической группы на К. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 11. Пусть Ки К2— компактные вещественные алгеб-
алгебраические группы. Тогда всякий дифференцируемый гомоморфизм
ср: Ki -*¦ К2 однозначно продолжается до полиномиального гомомор-
гомоморфизма ф(С)' К1(С)-^К2{?)' Если -ф: К2-+К3— еще один диф-
дифференцируемый гомоморфизм компактных вещественных алгебраи-
алгебраических групп, то
(9)
Следствие. В предположениях теоремы 11 всякий дифферен-
дифференцируемый изоморфизм ф: Кг -* К2 продолжается до полиномиаль-
полиномиального изоморфизма ср(С): ^(С)-*" ^(С) и сам является полино-
полиномиальным изоморфизмом.
Таким образом, группа К (С) и алгебраическая структура на
компактной группе Ли К определены однозначно.
Доказательству теоремы 11 мы предпошлем следующую задачу.
Задача 23. Если в условиях теоремы 11 продолжающий гомо-
гомоморфизм ф (С) существует и гомоморфизм dxp инъективен, то
Кегф(С) =¦¦ Кет q>cz Кх.
Доказательство теоремы 11. Пусть Gt = Ki(C) (i =
= 1, 2). Тогда (?! х G2 = (Кг X К2) (С)- Обозначим через Пг про-
проектирование Gi X G2 -*¦ G{. Рассмотрим график Г=={(/с, q(k))\k<^
е Ki) гомоморфизма ф, который является компактной подгруппой
Ли в Kt X К2. По теореме 3.4.5 подгруппа Г является алгебраиче-

§ 2. КОМПАКТНЫЕ И РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ 261
ской. Очевидно, гомоморфизм зх±: Г ->• К-, полиномиален и биекти-
биективен. Рассмотрим алгебраическую подгруппу Г (С) с: G1 XG2. Проек-
Проектирование пг: T(C)-^G1 продолжает л4: Г ->¦ Kt и потому инъ-
ективно в силу задачи 23. Из теоремы 3.1.6 следует, что это поли-
полиномиальный изоморфизм группы Г (С) на G1. Гомоморфизм
Ф (С) = щп^1: G1-^G2 является искомым продолжением.
Единственность продолжения ф(С) следует из того, что Ki
плотна в Gi в топологии Зарисского, а соотношение (9)— из един-
единственности.
Сформулируем теперь окончательный результат.
Теорема 12. На любой компактной группе Ли К существует
единственная структура вещественной алгебраической группы, при-
чем комплексная алгебраическая группа К (С) редуктивна. Любая
редуктивная комплексная алгебраическая группа обладает алгебра-
алгебраической компактной вещественной формой. Две компактные груп-
группы Ли изоморфны (как группы Ли или как алгебраические группы
над ER) тогда и только тогда, когда изоморфны соответствующие
редуктивные алгебраические группы над С.
Доказательство этой теоремы без труда получается при помощи
следствия теоремы 11, задачи 22, теорем 8 и 9.
Задача 24. (Следствие.) Всякая компактная подгруппа L ком-
компактной группы Ли К является алгебраической подгруппой в К.
При этом в К (С) существует единственная алгебраическая под-
группа, содержащая L в качестве вещественной формы и естест-
естественно изоморфная ?(О); ее пересечение с К совпадает с L.
6. Полная приводимость линейных представлений. В этом пунк-
пункте будет доказано, что комплексная алгебраическая линейная груп-
группа вполне приводима тогда и только тогда, когда она редуктивна.
В основе доказательства лежит полная приводимость компактных
линейных групп, доказанная в § 3.4. Далее, вполне приводимые ве-
вещественные алгебраические линейные группы — это вещественные
формы комплексных редуктивных групп. В частности, оказывается,
что любое линейное представление вещественной полупростой ал-
алгебры Ли вполне приводимо. Этот способ доказательства полной
приводимости полупростых линейных групп, восходящий к Г. Вей-
лю [34], часто называют унитарным трюком. Все рассматриваемые
линейные группы и линейные представления действуют в конечно-
конечномерных векторных пространствах над полем С или К.
Обсудим сначала некоторые общие вопросы, связанные с опре-
определением полной приводимости (см. п. 3.4.2). Линейная группа
G cz GL(V), где V—векторное пространство над полем К или С,
называется вполне приводимой, если V разлагается в прямую сум-
сумму неприводимых G-инвариантных подпространств или, что равно-
равносильно (см. задачу 3.4.2), если для любого G-инвариантного под-
подпространства Vxcz V существует G-инвариантное прямое дополне-
дополнение. При этом, как легко видеть, достаточно проверить последнее
свойство для неприводимых подпространств Ft. Вполне приводимая
18 э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

262 ГЛ. 5, ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
линейная группа G определяет вполне приводимую линейную груп-
группу в любом G-иывариантном подпространстве пространства V.
Задача 25. Пусть G— линейная группа в векторном прост-
пространстве V над полем R. Рассмотрим ее как подгруппу в
GL(V(C)), используя естественное вложение GL(V)->-
->GL(F(C)). Группа G вполне приводима в пространстве V
тогда и только тогда, когда она вполне приводима в пространстве
У (С).
Задача 26. Линейная группа G в векторном пространстве V
над полем С вполне приводима тогда и только тогда, когда G
вполне приводима (над R) в пространстве V .
Задача 27. Линейная группа G в векторном пространстве над
полем С или R вполне приводима тогда и только тогда, когда
этим свойством обладает ее алгебраическое замыкание Ga c= GL(V).
Вещественную алгебраическую группу G будем называть редук-
тивной, если ее комплексикация G (С) является редуктивной ком-
комплексной алгебраической группой. Например, всякая компактная и
всякая полупростая вещественная алгебраическая группа редук-
тивна.
Теорема 13. Редуктивная (комплексная или вещественная)
линейная алгебраическая группа вполне приводима.
Доказательство. Редуктивная комплексная алгебраическая
группа G является алгебраическим замыканием некоторой компакт-
компактной подгруппы (см. теорему 7), которая вполне приводима по
следствию из теоремы 3.4.2. В силу задачи 27 G также вполне
приводима. Если G — вещественная редуктивная линейная алгебра-
алгебраическая группа в векторном пространстве V над R, то G (С) —
комплексная редуктивная группа в пространстве V(C). Поэтому
в силу задач 25 и 27 G вполне приводима над R. Если же веще-
вещественная редуктивная группа G действует в комплексном простран-
пространстве, то ее полная приводимость следует из задачи 26.
Укажем некоторые следствия для линейных представлений. На-
Напомним, что линейное представление группы (или алгебры Ли)
называется вполне приводимым, если его образ есть вполне приво-
приводимая линейная группа (соответственно линейная алгебр^ Ли). Это
равносильно тому, что в пространстве представления для любого
инвариантного подпространства найдется дополнительное инвари-
инвариантное подпространство.
Поскольку образ редуктивной алгебраической группы при ли-
линейном представлении редуктивен (см. задачу 4.1.22), из теоре-
теоремы 13 вытекает
Следствие 1. Линейное представление редуктивной комп-
комплексной алгебраической группы вполне приводимо.
Задача 28. (Следствие 2.) Если G — полупростая веществен-
вещественная группа Ли с конечным числом связных компонент, то любое
линейное представление группы G над полем С или R вполне
приводимо.

§ 2. КОМПАКТНЫЕ И РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ 263
Задача 29. Пусть G — связная группа Ли, R — ее линейное
представление. Представление R вполне приводимо тогда и только
тогда, когда этим свойством обладает представление dR касатель-
касательной алгебры g.
Из задачи 29 и теоремы 13 вытекает
Следствие 3. Линейное представление комплексной или ве-
вещественной полу простой алгебры Ли вполне приводимо.
Отметим некоторые приложения этого следствия.
Задача 30. Пусть g — комплексная или вещественная алгебра
Ли. Если radg = &(g), то g = g(g) ® g', причем алгебра %' полупроста.
Задача 31. Если связная комплексная алгебраическая группа
G содержит нормальную подгруппу Т, являющуюся тором, то
T<^Z(G). Комплексная алгебраическая группа редуктивна тогда и
только тогда, когда ее радикал является тором.
Пусть g — полупростая комплексная алгебра Ли. Из следствия 3
вытекает, что любое конечномерное линейное представление р алгеб-
алгебры g эквивалентно сумме pi + . . . + рв неприводимых представлений
pi, которые определены однозначно с точностью до эквивалентности
и порядка. Представления р* называются неприводимыми компонен-
компонентами представления р.
Следствие 4. Линейное представление полупростой комп-
комплексной алгебры Ли определяется с точностью до эквивалентности
набором своих старших (или младших) весов, с учетом размерно-
размерностей соответствующих весовых подпространств.
Теперь мы докажем теорему, обратную к теореме 13.
Теорема 14. Всякая вполне приводимая комплексная или ве-
вещественная алгебраическая линейная группа редуктивна.
Доказательство. При помощи задач 25 и 27 вещественный
случай сводится к комплексному. Пусть G c= GL(V)—вполне при-
приводимая комплексная алгебраическая группа. Как видно из зада-
задачи 31, достаточно показать, что ее радикал Rad G является тором.
По теореме Ли (см. п. 1.4.5) группа Rad G обладает в V весовы-
весовыми векторами. Пусть %и .. ., ЯР — полный набор различных весов
группы Rad G в V и пусть V^ — соответствующие весовые подпро-
подпространства. Тогда подпространство V = F^ Ф .. . Ф F* инвариант-
инвариантно относительно G. Поэтому V = V ® F", где V"— также инвари-
инвариантное подпространство. Если V"Ф 0, то по теореме Ли Rad G имеет
в F" весовой вектор, что невозможно. Поэтому F" = 0. Отсюда сле-
следует, что Rad G — тор (см. задачу 3.2.17).
7. Максимальные торы в компактных группах Ли. В этом пункте
мы рассматриваем связные компактные группы Ли и их обобще-
обобщение — связные группы Ли с компактной касательной алгеброй. Бу-
Будут изучены некоторые свойства максимальных связных коммута-
коммутативных подгрупп в этих группах, аналогичные свойствам максималь-
максимальных торов в комплексных алгебраических группах. Термин «тор»
будет обозначать компактный тор, т. е. группу Ли, изоморфную Тп.
18*

264 § 2, КОМПАКТНЫЕ И РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ
Напомним, что всякая связная компактная коммутативная группа
Ли является тором (см. предложение 1.2.3).
Пусть К — некоторая компактная группа Ли.
Задача 32. Всякая максимальная связная коммутативная
подгруппа А группы К является тором. Касательная алгебра а под-
подгруппы А есть максимальная коммутативная подалгебра алгебры
Ли ?, причем А = ехр а. Обратно, для всякой максимальной комму-
коммутативной подалгебры а с: I подгруппа А = ехр а <= К является мак-
максимальной связной коммутативной подгруппой с касательной алгеб-
алгеброй а.
Максимальная связная коммутативная подгруппа компактной
группы Ли К называется максимальным тором группы К.
Задача 33. Компактная подгруппа А группы К является (мак-
(максимальным) тором тогда и только тогда, когда А (С)— (макси-
(максимальный) алгебраический тор группы К (С)-
Задача 34. Максимальный тор А связной компактной группы
Ли К совпадает со своим централизатором в К. Подгруппа А содер-
содержит Z(K) и является максимальной среди коммутативных (не обя-
обязательно связных) подгрупп группы К.
Теорема 15. Любые два максимальных тора компактной груп-
группы Ли К сопряжены.
Доказательство. Пусть Аи Аг — максимальные торы груп-
группы К. В силу задачи 33 Ах (Q и А2 (С) — максимальные алгеб-
алгебраические торы в К (С)- Поэтому (см. задачу 3.2.24) существует
такой fe^(C), что gA1(Qg = Л2(С). Так как Ау и А2 —
наибольшие компактные подгруппы в ^i(C) и А2(С), то имеем
gAig*1 = А2. Поскольку группу К (С) можно считать линейной, су-
существует полярное разложение К (С) = КР, где Р = ехр(#) (см.
теорему 2). Пусть g = kp, где к <^ К, р ^ Р. Тогда для любого а ^ Л4
имеем рар~* = I е К, откуда а~*ра = а~Чр. Из C) и единственности
полярного разложения следует, что а~1ра = р. Значит, рар~1 = а для
всех а е Ai и потому А2 = kAik'1.
Рассмотрим теперь более общую ситуацию, когда К — связная
группа Ли, касательная алгебра * которой компактна. Согласно тео-
теореме 5, имеем прямое разложение К = LXC, где L => К'— наиболь-
наибольшая компактная подгруппа группы К, С ~\RP — некомпактная
часть коммутативной группы Z (К) °.
Теорема 16. Если К — связная группа Ли с компактной каса-
касательной алгеброй *, то любая максимальная связная коммутативная
подгруппа А в К имеет вид А = (А П L) X С, причем А П L — макси-
максимальный тор в L. Подгруппа А совпадает со своим централизатором
и, в частности, содержит Z (К). Все максимальные связные комму-
коммутативные подгруппы в К сопряжены. Отображение ехр: * ->- К опре-
определяет взаимно однозначное соответствие между максимальными
коммутативными подалгебрами алгебры * и максимальными связ-
связными коммутативными подгруппами группы К.
Задача 35. Доказать эту теорему.

§ 2. КОМПАКТНЫЕ И РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ
265
Упражнения
1. Вещественные алгебраические линейные группы GczGLn(k), где
k = 1R, С или (И, перечисленные в п. 1.2, примеры 1—5, все являются само-
самосопряженными относительно стандартного скалярного произведения в Rn или
стандартных эрмитовых произведений в Сп и 1НП Найти соответствующие
полярные разложения G = КР (определить подгруппу К, подалгебру f и под-
подпространство у алгебры д).
2. Группы Uhlh SUh,i, GLm(b\), SLm{M), ^(IH), Spk,i связны.
3. Фундаментальные группы классических групп (кроме изученных в
§ 1.3) имеют следующий вид:
группы GLm(bi), SLm{b\), Spk,i односвязны;
Я1 (Un) * *г (Sp2n Щ * «х (V
^1(^,z)-Z0Z (Л, Z>0);
находится из таблицы:
й, ^>2
Z2©Z2
fc=l, ^> 2
Z2
fe= 2, f> 2
zez2
fe = Z = 2
z e z
h= 1, Z = 2
z
4. Каждый элемент связной компактной группы Ли содержится в некото-
некотором максимальном торе.
5. Центр связной компактной группы Ли совпадает с пересечением всех
се максимальных торов.
0. Централизатор любого тора в связной компактной группе Ли связен.
7. Подгруппа неподвижных точек любого автоморфизма односвязной ком-
компактной группы Ли связна.
8. Пусть G — редуктивная комплексная алгебраическая группа, К — ее
компактная вещественная форма. Алгебра полиномиальных функций С [G
совпадает с алгеброй голоморфных представляющих функций на G. Отобра-
Отображение ограничения определяет изоморфизм алгебр С [G] ->» Ак.
9. Пусть р — линейное представление комплексной полупростой алгебры
ЛI it. Продставтш ого разложение на неприводимые компоненты в виде
р = р, +... + р,+р? +... + р* + ре+1 +... + рт,
где р| Ф pj для г", / >¦ s и 1Ф /. Представление р самосопряжено тогда и
только тогда, когда все рг- (i >> s) самосопряжены. При этом р ортогонально
(симплектично) тогда и только тогда, когда все р* (i > s) ортогональны (сим-
плектичны).
Алгебра Ли g (над полем € или IR) называется редуктивной, если g =
= 3®i0i, где а — коммутативный, a gi — полупростой идеалы в д. В этом слу-
случае а = Ш) = r^d g, a oi = д'.

266 * ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
10. Алгебра Ли редуктивна тогда и только тогда, когда ее присоединенное
представление вполне приводимо.
11. Если все конечномерные представления алгебры Ли g (вещественной
или комплексной) вполне приводимы, то g полупроста.
Указания к задачам
1. Доказать, что группа Z(G) является самосопряженной, и применить
к ней теорему 1. Из задачи 1.31 следует, что Z(G) (]P — подгруппа Ли в G,
изоморфная (Rs, s ^ 0.
2. Если р <= Р и р Ф е, то {ps = exp (s-log р) \s = 1, 2, ...} — бесконечная
дискретная последовательность. Поэтому р не может принадлежать никакой
компактной подгруппе группы G.
3. Проверить сначала, что ж*дд для любого я е д. Поскольку отображе-
отображение S: g*-+ (g*)" является автоморфизмом группы GL(E) (как веществен-
вещественной группы Ли), причем (dS)x = —х*, отсюда следует, что S(G°) = G°. По-
Поскольку G = KG0 и К состоит из унитарных операторов, отсюда вытекает ут-
утверждение задачи.
4. По теореме 1 G = КХР, причем К а Кх и К0 = (К{)°, так как К и Кх
имеют одну и ту же касательную алгебру. Поскольку К — вещественная фор-
форма группы G, имеем G = KG0 = К((К\)°Р) = КР, откуда легко выводится,
что Кх = К.
5. Пусть ! — компактная полупростая алгебра Ли, и пусть G — односвязная
полупростая алгебраическая группа над С с касательной алгеброй I (?), су-
существующая в силу теоремы 4.3.6. В силу следствия 1 теоремы 2 компактная
вещественная форма К группы G есть односвязная группа Ли с касательной
алгеброй !.
6. Пусть Z = Z(K)°, и пусть L — односвязная группа Ли с касательной ал-
алгеброй Г, компактная в силу задачи 5. Существует накрытие я: ъУ^Ь-*К, та-
такое, что я| з= exp: %-*-Z. Очевидно, Г = Кег ехр си Кегя. Поэтому существует
такое накрытие я: Z X Ь ->• f, что я'(ехр X id) = я. Ядро Кег я' ~ Кег я/Г
конечно ввиду конечности центра Z(L).
7. Рассмотреть накрытие я': R = Zy^L-^K из задачи 6. Из задачи 5 и
примера 2 п. 1.1 следует, что К изоморфна компактной форме некоторой связ-
связной комплексной редуктивной алгебраической группы й. Если N = Кег я', то
N <^Z(&) в силу задачи 1.3 и К изоморфна вещественной форме редуктивной
группы G/N. В силу теоремы 2 эта вещественная форма является алгебраиче-
алгебраической.
8. В силу задачи 7 можно считать, что К — линейная группа. Тогда К' —
подгруппа Ли. поскольку подалгебра V алгебраична. Разложение К = ZK' сле-
следует из задачи 4.1.21.
10. Пусть 6?о = ^оХ-йч) — разложение, удовлетворяющее условиям теоре-
теоремы 4. Доказать, что А = я-!(^о)°, К = я^H и что G = А X К.
12. Рассмотреть представление компактной группы GJZ в пространстве з,
возникающее из присоединенного представления, и воспользоваться следстви-
следствием из теоремы 3.4.2.
15. Из того, что Kq — наибольшая компактная подгруппа в G0, следует, что
Ко нормальна в G. Группа G = G/Ko содержит нормальную подгруппу Ли ко-
конечного индекса Л, изоморфную А. По лемме 2 G = А \ L, где L — конечная
подгруппа. Тогда полный прообраз К подгруппы L при естественном гомомор-
гомоморфизме G-+G является искомой подгруппой.
17. Рассмотреть действие группы G на множестве компактных веществен-
вещественных форм алгебры Ли \), определенное присоединенным представлением. Под-
Подгруппа II a G действует на этом множестве транзитивно (теорема 1.3), а под-
подгруппа U есть стабилизатор формы I. Отсюда следует, что G = HU.
18. Равенство G = KG0 следует из задачи 17.
19. Воспользоваться теоремой 7.
20. То, что матричные элементы любого представления лежат в Аа, факти-
фактически доказано в п. 3.1.6. Обратно, пусть / е Aq, f ?= 0, и пусть У —линейная

§ 2. КОМПАКТНЫЕ И РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ 267
оболочка множества {г* (g) / | g e G). Выберем в У базис Д = /, /2„ ..., U и
обозначим через ац матричные элементы представления r%: g*^r!?(g) группы
G в пространстве У относительно этого базиса. Тогда
п
/(*) = 21 «ftife)/^*),
т. е. / выражается через функции bih(g) = я/и(#~1), которые являются матрич-
матричными элементами представления (>#)*•
22. Пусть К cz GL(V) — компактная вещественная линейная группа. Из
теоремы 3.4.2 следует, что скалярное произведение D.1.2) отрицательно опре-
определено на касательной алгебре f. Поэтому аналогичное скалярное произведе-
произведение в алгебре gt (У (С)) невырождено на f (С). Редуктивность группы К (С)
следует из теоремы 4.1.2.
23. Пусть pj = itj, Pj = exp Pj (;' = 1, 2). Тогда dq> (С) (p^ с: P2 и по-
поэтому ф (С) (р \ а р . Пусть N = Кег ф (С). Из единственности полярного раз-
разложения (теорема 2) следует, что если g = кр ^ N, где к -е i?i, ]э e Pi, то /с,
р е N. Из задачи 1.31 видно, что р = еи^=^е Кег ф.
24. Алгебраичность подгруппы L следует из теоремы 3.4.5. Если ф: L->-
-*¦ К — вложение, то ф (С) инъективно в силу задачи 23. Подгруппа
Ф (С) (L (С)) является искомой.
25. Пусть G вполне приводима в пространстве У, и пусть W^ с: У (С) —
неприводимое G-инвариантиое подпространство. Тогда V\ = (Wi + Wi) П У —
такое G-инвариантное подпространство пространства У, что V1 (С) = И71+
+ Wx. При этом либо WX[\W\ — 0, либо Wx = ТУь Если У2 — ^-инвариантное
дополнение к Fi в пространстве У, то G-инвариантным дополнением к W\ в У
является либо ТУ ФУ«(С), либо У2 (С) соответственно. Обратно, пусть G
вполне приводима в пространстве У(^), У1 — неприводимое G-инвариантное
подпространство в У и РУ2 — G-инвариантное дополнение к V± (С) в прост-
пространстве У (С). Тогда У = Vi e'tУ2, где У2 = {^ + х\х s ТУ2}.
26. Вложим группу G, как в задаче 25, в GL (У (С)) и продолжим в
пространство У (С) оператор комплексной структуры / в пространстве У
(ср. п. 1.1). Тогда Ук (С) = Vi 0 У_|, где У±г — собственные подпространства
оператора 7, отвечающие собственным значениям ±i. Подпространства У+г
инвариантны относительно ? и проекции У = У -> V^ и У = У -»- У_^
перестановочны с действием группы G и являются соответственно изоморфиз-
изоморфизмом и антилинейным изоморфизмом комплексных векторных пространств. От-
Отсюда следует, что группа G вполне приводима в пространстве У, когда она
вполне приводима в пространстве VK (С). Затем применить задачу 25.
27. Доказать сначала, что группы G и Ga имеют одни и те же инвариант-
инвариантные подпространства.
28. Образ G] группы G при линейном представлении есть полупростая
группа Ли (задача 4.1.10), причем (G")° = G°r Поэтому утверждение сле-
следует из теоремы 13 и задачи 27.
29. Использовать задачу 1.2.19.
30. Рассмотреть представление полупростой алгебры Ли g/rad g в простран-
пространстве я, определяемое присоединенным представлением.
31. Пусть G — алгебраическая подгруппа в GL(V). Рассмотреть весовое
v
разложение V = Ф У^. относительно Т. Группа G переставляет подпрост-
подпространства У^., так что возникает гомоморфизм G-+Sp. Его ядро есть замкнутая
подгруппа конечного индекса в G и потому совпадает с G. Таким образом, все
У^. инвариантны относительно G, откуда

268 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
32. Заметить, что для любой связной коммутативной подгруппы А а К
замыкание А является компактной связной коммутативной подгруппой и, сле-
следовательно, тором.
33. Если А — тор, то редуктивная группа А (С) связна (например, в си-
силу следствия 1 из теоремы 2) и коммутативна, т. е. является алгебраическим
тором. Обратно, если А (С) — алгебраический тор, то компактная коммута-
коммутативная группа А связна в силу того же следствия.
34. Перейти к максимальному алгебраическому тору А (С) с К (С) и
воспользоваться теоремой 4.2.5.
35. Если А — максимальная связная коммутативная подгруппа в К, то
АС — также связная коммутативная подгруппа, так что А =АС^С. Поэтому
А = (А П L) X С, где А {] L — максимальная связная коммутативная подгруп-
подгруппа в L. Остальные утверждения теоремы следуют из задач 32, 34 и теоремы 15.
§ 3. Картановское разложение
В этом параграфе будет изучено так называемое картановское
разложение вещественных полупроетых групп Ли. Оно является
аналогом полярного разложения, рассмотренного в п. 2.1, причем
для полупростых алгебраических групп эти разложения совпадают.
Картановское разложение приводит к важной теореме о сопряжен-
сопряженности максимальных компактных подгрупп любой вещественной по-
полупростой группы Ли с конечным числом связных компонент. Оно
позволит нам также дать глобальную классификацию связных полу-
полупростых групп Ли.
1. Картановское разложение полупростой алгебры Ли. Пусть g—
вещественная полупростая алгебра Ли, (,)— картановское скалярное
умножение на д. Разложение алгебры д в прямую сумму векторных
пространств
8 = Е®» A)
называется картановским разложением, если
1) преобразование 9: х + у >-* х — у (х е f? у <= р) является авто-
автоморфизмом алгебры д;
2) билинейная форма
Ь*(х,у)=-(х,0и) B)
положительно определена на д.
Заметим, что О2 = е, откуда легко следует, что бе — симметриче-
симметрическая билинейная форма.
Задача 1. Условие 1) равносильно следующему условию:
[f?fjc:f7 l*,J>]c:l>, [jMflcf. C)
Задача 2. Если выполнено 1), то (х, у)= 0 для х е I, ^eji,
а условие 2) эквивалентно следующему условию:
(х,х)<0 для же!, хФЪ\ {у,у)>0 для г/е)),г/^О. D)
Таким образом, свойства C) и D) необходимы и достаточны для
того, чтобы разложение A) было картановским.

§ 3. KAPTAHOBGKOE РАЗЛОЖЕНИЕ 269
Пример. Если it— компактная вещественная форма полупро-
полупростой комплексной алгебры Ли g, то разложение
f = и ® In E)
го
является картановским разложением алгебры 8 . При этом 9 = т —
вещественная структура, соответствующая вещественной форме U.
а скалярное умножение Ь$ совпадает с hx (см. теорему 1.2).
Мы дадим теперь описание картановских разложений произволь-
произвольной вещественной полупростой алгебры Ли д. Для этого рассмотрим
комплексную полупростую алгебру Ли 8 (С). Пусть и — компактная
вещественная форма в 8 (С), согласованная с вещественной фор-
формой д. Имеем в силу задачи 1.2.8
g = iey, где I = д Пи, )) = gn(at). F)
Задача 3. Разложение F) является картановским, причем
6 = от, где о и т — вещественные структуры, отвечающие вещест-
вещественным формам g и п. Обратно, любое картановское разложение A)
имеет вид F) для компактной вещественной формы u = f ® (?р), со-
согласованной с 8-
Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие
между картановскими разложениями алгебры 8 и компактными ве-
вещественными формами алгебры 8 (С), согласованными с 8- Заметим
также, что любой автоморфизм алгебры 8 переводит картановское
разложение снова в картановское разложение.
Из задачи 3 и теоремы 1.3 вытекает
Теорема 1. Каждая вещественная полупростая алгебра Ли 8
обладает картановским разложением. Любые два картановских разло-
разложения алгебры 8 переводятся друг в друга некоторым внутренним
автоморфизмом.
Теперь мы установим некоторые свойства картановских разложе-
разложений. Пусть 8 = ! + ? — картановское разложение полупростой алгеб-
алгебры Ли 8 над 0?. Из C) видно, что * — подалгебра в $, а р — подпро-
подпространство, инвариантное относительно ad*, где ad — присоединенное
представление алгебры Ли g. Подпространство !р называется карта-
картановским подпространством алгебры 8-
Рассмотрим 8 как евклидово пространство со скалярным умноже-
умножением foo, заданным формулой B).
3 а д а ч а А. Для любого х ^ Q имеем ad G (х) = — (ad x) *. В част-
частности, оператор ad х симметричен тогда и только тогда, когда х е р,
и кососимметричсы тогда и только тогда, когда a;el
S
Задача 5. Пусть 8 == © 8ь где g? — простые идеалы, и пусть
8, = f< ® \\ (г=1, . . ., s) — их картановские разложения. Тогда
s s
f = ф fi и р = ф ji определяют картановское разложение алгеб-
ры 8* причем всякое картановское разложение этой алгебры может
быть получено таким способом.

270 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПО Л У ПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Задача 6. Алгебра g компактна тогда и только тогда, когда
* = в, а ? = 0.
2. Картановское разложение полупростой группы Ли. Пусть G —
вещественная полупростая группа Ли (не обязательно связная),
и пусть задано картановское разложение A) ее касательной алгеб-
алгебры. В этом разделе мы докажем существование соответствующего
глобального разложения
G = КР,
где К — некоторая подгруппа Ли в G с касательной алгеброй *,
а Р = ехр у. Это разложение, описанное в теореме 2, будет называть-
называться картановским разложением группы G.
Обозначим через 0 инволютивный автоморфизм алгебры g, отве-
отвечающий разложению A), и будем рассматривать g как евклидово
пространство со скалярным умножением Ь0, заданным формулой B).
Задача 7. Для любого а е Aut g имеем QaQ~{ = а*~\ В частно-
частности, Aut g — самосопряженная линейная группа.
Теорема 2. Пусть G — вещественная полупростая группа Ли
и пусть задано картановское разложение A) ее касательной алгеб-
алгебры. Положим K={g^G\Adg^ О(%)}, Р = ехр р. Тогда G = КР,
причем каждый элемент g e G единственным образом представляет-
представляется в виде g = kp, где к е К, р е Р. Отображение ф: К X р ->¦ G, за-
данное формулой
является диффеоморфизмом. Отображение в: кр^кр*1 есть авто-
автоморфизм группы Ли G, причем d@ = 9.
Доказательство. Из задачи 7 и теоремы 2.1 ^следует, что
группа Aut g допускает полярное разложение Aut g = ХР, где К =
= (Autg)nO(g), P= (Autg)flP(g). В силу задачи 1.4 касательной
алгеброй группы Aut g является ad g, а из задачи 4 видно, что
(adg)fl jS(fl) = adp. Поэтому Р = ехр ad у (см. теорему 2.1).
Из коммутативной диаграммы
F)
следует, что Р = Ad Р и что отображения exp:J>->JP и Ad: Р-> Р
биективны. Если g e G, то Ad g = кр, где к <^ К, ре Р. Поскольку
р = Ad р, где р е Р, имеем Ad (gp) = к *= О (g), откуда gp" = к <^ К
и g = fcp. Если есть другое разложение g = &'//, где /с' ^ К, р ^ Р,
то (Ad /с) (Ad p)==(Ad к') (Ad //), откуда в силу единственности по-
полярного разложения Ad /; == Ad p'. Значит, р = р' и потому к = к\
Из доказанного следует также, что ср биективно.

§ 3. КАРТАНОВСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 271
Из коммутативной диаграммы
ZXD- G
Adxad| _ | Ad
^ Aut g
где ф определяет полярное разложение группы Aut$, следует, что
дифференциал d(k> у)ф инъективен для любых к е К, у е р. Действи-
Действительно, ф — диффеоморфизм по теореме 2.1, а дифференциал левого
столбца иыъективен. Таким образом, ф — диффеоморфизм.
Представляя g ^ G в виде g = /с/?, где к <^ К, р ^ Р, получаем
Ad в (g) = (Ad к) (Ad p) -1 = (Ad g) *-1.
Таким образом, отображение (Ad) в является гомоморфизмом. По-
Поэтому для любых gug2e=G ямеем Ad(e(gig2)@(g2)-ie(gi)-l)= e,
так что ^{gug2)=S(gig2)S(g2)~ie(gi)-i^limAd. Подгруппа Ker Ad
дискретна, поскольку (KerAd)fl G° = Z(G°) (см. задачу 1.2.17). По-
Поэтому tyigigz) зависит только от связных компонент группы G, в ко-
которых лежат элементы gu g2. Поскольку Р <= G0, в каждой связной
компоненте группы G = КР содержится элемент подгруппы К. Но
для gug2^K имеем ^(gu g2)= е. Значит, ^(gu gi)^ e для всех
g\, g2 e G. Теорема 2 доказана.
Следствие 1. Группа G диффеоморфна i?xRm, где т =
= dim p.
Задача 8. (Следствие 2.) Подгруппа К совпадает с подгруппой
Ge = {g e E|в(^)= g}; ^^ касательной алгеброй является К
Задача 9. (Следствие 3.) Подгруппа К совпадает с нормализа-
нормализатором N(K°).
Задача 10. (Следствие 4.) Картановское разлооюение группы
6ги, соответствующее разложению A), имеет вид G0 = К°Р, причем
K°^K0G° и К/К0 ^ G/G0.
Из определения подгруппы К и следствия 4 вытекает
Следствие 5. Z(G)^Z(K), Z(G°)^Z(K°).
Задача 11. (Следствие 6.) Группа К компактна тогда и толь-
только тогда, когда G имеет конечное число связных компонент и центр
Z(G") конечен.
Из доказательства теоремы 2 (см. F)) вытекает также
С л е д с т в и е 7. Отобраоюение Ad: Р -> Р = Aut fl П Р (9) явля-
является диффеоморфизмом.
Замечания. 1. Пусть G cz GL(У) — комплексная полупростая
алгебраическая линейная группа, К — ее компактная вещественная
форма. Тогда картановское разложение группы G, соответствующее
картановскому разложению g = f Ф (if) ее касательной алгебры (см.
пример из п. 1), совпадает с полярным разложением, описанньш
в теореме 2.2. Действительно, в этих разложениях участвует одно и

272 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
то же множество P = exp(jf), а из следствия 3 теоремы 2 вытекает,
что и подгруппа К совпадает с подгруппой из картановского раз-
разложения.
2. Пусть G <=¦ GL(V), где V—векторное пространство над 0?,—
вещественная полупростая линейная группа Ли. Тогда центр Z(G°)
конечен, так как содержится в центре связной полупростой комплекс-
комплексной алгебраической группы (G°)a a GL (F(Q). Поэтому если G
имеет конечное число связных компонент, то подгруппа К из теоре-
теоремы 2 компактна (следствие 6).
3. Если подалгебра * <= g полупроста, a G имеет конечное число
связных компонент, то подгруппа К компактна в силу задачи 2.5
и следствия 4 из теоремы 2. Если же * не полупроста, то в силу
следствия 1 из теоремы 2 для односвязной группы G подгруппа К
также односвязна и, следовательно, не компактна. Простейшим при-
примером такой группы служит G — SL2(\R) (см. пример 5 из п. 1.1).
Здесь * = 202, К ~ \Rt) так что в силу следствия 1 группа G диффео-
морфна О?3.
4. Пусть G = PSL2 C?) = SL2 (D?)/{± Е) и ' пусть я: SL2 @?) ->
~^PSL2 (\R)— естественный гомоморфизм. Если SL2 (Т?) = SO2P —
картановское разложение, то PSL2 C?)=я (SO2) л (Р). Это и
есть картановское разложение группы PSL2(R). Поскольку
я (SO2) = SOJ{±E) ^ SO2, имеем щ (PSL2 (В?)) ~ Z. Отсюда сле-
следует, что (a()
Предположим, что й — простая алгебра Ли над О?, не допускаю-
допускающая комплексной структуры, т. е. вещественная форма комплексной
простой алгебры Ли $(С). Тогда автоморфизм 8, продолженный по
линейности на g (С), является как раз тем инволютивным автомор-
автоморфизмом алгебры 8 (С), который соответствует вещественной форме
g в силу теоремы 1.4 (см. задачу 1.37), а подалгебра ? (С) совпа-
совпадает с й(С)е- По классификации задачи 1.38 случай полупростой
подалгебры f соответствует типам I, II, а случай неполу простой под-
подалгебры — типу III, причем в последнем случае f имеет одномер-
одномерный центр.
3. Сопряженность максимальных компактных подгрупп. В этом
разделе мы опишем максимальные компактные подгруппы полупро-
полупростых групп Ли с конечным числом связных компонент. В частности,
будет доказано, что все максимальные компактные подгруппы со-
сопряжены между собой. Сначала мы рассмотрим общую ситуацию и
сформулируем теорему сопряженности для подгрупп, более общих,
чем компактные.
Подгруппу М полупростой группы Ли G будем называть псевдо-
псевдокомпактной, если линейная группа Ad M с GL(g) компактна, Вся-
Всякая компактная подгруппа псевдокомпактна.
Задача 12. Подгруппа К, рассматриваемая в теореме 2, явля-
является максимальной псевдокомпактной подгруппой полупростой
группы Ли G.

§ 3. КАРТАНОВСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 273
Теорема 3. Пусть G = КР — картаиовское разложение полу-
полупростой группы Ли G. Для любой псевдокомпактной подгруппы
М a G существует такой элемент g ^ Р, что gMg~l c= К.
Прежде чем доказывать эту теорему, выведем из нее несколько
следствий. Если G имеет конечное число связных компонент, то в
силу следствия 4 теоремы 2 группа К обладает тем же свойством.
Поскольку f компактна, из теорем 2.6 и 2.7 следует, что К = А A L,
где А ~ Ks, a L — максимальная компактная подгруппа группы К.
Задача 13. (Следствие 1.) Если G имеет конечное число связ-
связных компонент, то максимальная компактная подгруппа L группы К
является максимальной компактной и в G. Любая максимальная
компактная подгруппа группы G сопряжена подгруппе L при помо-
помощи автоморфизма вида a(g), где ge G°.
Следствие 2. Полупростая группа Ли G с конечным числом
связных компонент диффеоморфна LxK^, где L — любая макси-
максимальная компактная подгруппа группы G.
Задача 14. (Следствие 3.) Пусть g — вещественная полупро-
полупростая алгебра Ли и М—компактная подгруппа группы Autg. Тогда
9 допускает картановское разложение, инвариантное относительно М.
Классическое доказательство теоремы 3, принадлежащее Картану
(см. [20]), а также и его упрощенные варианты (см., например,
[32]), основаны на изучении геометрии симметрического простран-
пространства GJK. Приводимое ниже доказательство, в котором применена
одна идея из [32], совершенно не использует римановой геометрии.
Заметим, что группа GL(E) действует на многообразии Р(Е) по-
положительно определенных самосопряженных операторов в евклидо-
евклидовом пространстве Е по формуле
Как известно из линейной алгебры, это действие транзитивно и ста-
стабилизатором тождественного оператора ?еР(Е) является ортого-
ортогональная группа О(Е). Рассмотрим на Р(Щ дифференцируемую
функцию г двух переменных, заданную формулой
r(X, yj-trfXy-1). G)
Задача 15. Имеем r(SqD)(X), Sq(A) (У)) = г(Х, У) для лю-
любого A^GL(E).
Пусть Q — компакт в Р{Е). Положим
(X, У). (8)
Задача 16. Функция р непрерывна на Р (Е).
Положим 5P(E)=P(E)nSL(E). Очевидно, SP(E) замкнуто в
5L(E) и, следовательно, замкнуто в пространстве fil(E) всех линей-
линейных операторов пространства Е.

274 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Лемма 1. Для любого компакта Й<=Р(Е) функция р, задан-
заданная формулой (8), достигает минимума на любом замкнутом под-
подмножестве F a SP(E).
Доказательство. Докажем сначала, что
р(Х) >Ы\Х1\ AеР(Е)), (9)
где Ъ > О — некоторая константа и II II — норма оператора в прост-
пространстве Е. Фиксируем 1еР(Е) и выберем в Е ортонормированный
базис, в котором X записывается диагональной матрицей
diag(#i, ..., хп). Если (г/#)—матрица оператора 7еР(Е), то
Ун > 0 и
г(Х,У) = 2 xilyu. (Ю)
г=1
Поскольку Q и ортогональная группа компактны, существует такая
константа Ъ > 0, что 1/уц > Ъ (i = 1, ..., /г) для всех FeQn все-
всевозможных ортонормированных базисов в Е. Тогда для всех FeQ
имеем
r(X,y)>4-trX>i- max ^^-fl
Отсюда следует (9).
Из (9) вытекает, что для любого N>0 множество {X ^ SP(E)\
р (X) ^ N) компактно. Действительно, из р (X) < Л^ следует, что
WXW^N/b, а пересечение компактного шара {X^S(E) I WXW ^ N/b}
с замкнутым множеством SP(E) компактно.
Теперь легко доказать существование точки минимума. Пусть
Хо е F, Рассмотрим множество В = {X е F I р (X) < р (Хо)}, содер-
содержащее Хо и компактное в силу доказанного выше. Из задачи 16 сле-
следует существование такой точки Xi^B, что p(Xi)^p(X) для всех
X е В. Точка Х± есть точка минимума функции р на всем F, так как
Х)(Х(Х \
)р()р()
Докажем теперь, что функции г и р обладают некоторым свойст-
свойством выпуклости.
Задача 17. Для любых фиксированных X,
функции
h,Y(t)^r(X\ Y), <px{t)
строго выпуклы на всей действительной оси.
Вернемся к ситуации теоремы 3. Рассмотрим касательную алгеб-
РУ б группы G как евклидово пространство со скалярным умноже-
умножением B), отвечающим нашему картановскому разложению. Поло-
Положим Р = exp ad J).
Задача 18. Множество Р есть замкнутое подмногообразие
в &P(g), совпадающее с орбитой точки Е при действии (Sq) (Ad)
группы G на Р(й). Подгруппа К a G является стабилизатором точ-
точки Е относительно этого действия.

§ 3. KAPTAHOBGKOE РАЗЛОЖЕНИЕ 275
Лемма 2. Для любого компакта Q^P(q) функция р, заданная
формулой (8), имеет в Р единственную точку минимума.
Доказательство. Существование точки минимума следует
из леммы 1 и задачи 18. Пусть A, A' <= P — две различные точки
минимума функции р. Применяя к А, А' и й преобразование
Sq(^/~1/2), которое переводит Р в себя, точку А' в Е, a Q — в новое
компактное множество, и, используя задачу 15, мы сведем дело
к случаю, когда А' = Е. Очевидно, А* е Р для всех ielR. В силу
задачи 17 функция q>A(t)= р(Аг) строго выпукла на отрезке [0, 1].
Поэтому она не может достигать минимума на обоих его концах.
Доказательство теоремы 3. Пусть М—псевдокомпакт-
М—псевдокомпактная подгруппа группы G. Рассмотрим действие группы G на Р,
определенное в задаче 18. Орбита Q = Sq(Ad М) (Е) подгруппы М
компактна. В силу задачи 15 функция р на Р(б), заданная форму-
формулой (8), инвариантна относительно М. Поэтому ее единственная
точка минимума Ао е Р (см. лемму 2) неподвижна относительно М.
Поскольку действие группы G на Р транзитивно, отсюда следует, что
gMg'1 a К для некоторого g e G. Легко видеть, что можно взять
g = /?~1/2, где р — такой элемент из Р = ехр Ц), что Ао = Ad p.
4. Канонически вложенные подалгебры. Пусть задано картанов-
ское разложение A) вещественной полупростой алгебры Ли д. Под-
Подалгебра I) c= g называется канонически вложенной в g относительно
разложения A), если 6A)) = I), где 6 — автоморфизм, соответствую-
соответствующий картановскому разложению, или, что то же, если
$ = ($ni)e($ni>). (И)
Как известно, любую полупростую алгебру Ли g (над К или С)
можно отождествить с линейной алгеброй Ли ad g <= gl(g) над тем же
полем. Поэтому можно ввести понятие алгебраической подалгебры
полупростой алгебры Ли. Подалгебра I) комплексной полупростой
алгебры Ли g называется (редуктивной) алгебраической, если ad f) —
(редуктивная) алгебраическая линейная алгебра Ли в смысле
п. 4.1.1. Подалгебра !) вещественной полупростой алгебры Ли д на-
называется (редуктивной) алгебраической, если I) (С) — (редуктивная)
алгебраическая подалгебра комплексной алгебры Ли й(С)- Напри-
Например, всякая полупростая подалгебра полупростой алгебры Ли (над
С или R) является редуктивной алгебраической.
Задача 19. Пусть g — вещественная полупростая алгебра Ли.
Всякая канонически вложенная алгебраическая подалгебра f) c= g
является редуктивной алгебраической. Если I) полупроста, то разло-
разложение A1) есть ее картановское разложение.
Нашей целью является доказательство следующего утверждения,
обратного к первому утверждению задачи 19.
Теорема 4. Всякая редуктивная алгебраическая подалгебра I)
вещественной полупростой алгебры Ли g канонически вложена в g
относительно некоторого картановского разложения.

276 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Доказательство основано на следующем усилении одного из ут-
утверждений теоремы 1.3.
Лемма 3. Пусть |)— редуктивная алгебраическая подалгебра
комплексной полупростой алгебры Ли д, и пусть о — такая вещест-
вещественная структура в д, что a(f)) = 1). Тогда в д существует такая веще-
вещественная структура т, что подалгебра дх компактна, от = та
и т(Ь) = $.
Доказательство. Представим |) в виде 1) = &ф1)', где
3 —центр подалгебры f). Очевидно, а(^/)==^/, а(8) = 8. По теореме 1.3
в полупростой алгебре Ли У существует такая вещественная струк-
структура т4, что подалгебра (У)%1 компактна и что TiO = ati на У. Соот-
Соответствующая компактная вещественная форма L группы Int |)'с: Int g
обладает свойством cLg = L. Алгебраический тор Z = exp ad 3 <= Int g
определяет в 8 вещественную форму 8 @?). При этом5=ехр ad (ц (iR)) —
компактная часть тора Z, так что о5о = В. Тогда М = BL — ком-
компактная подгруппа Ли в Intg, причем ее касательная подалгебра
щ = i% (R) © (Ь'У1 есть вещественная форма подалгебры g и оМо =
— М. Теперь мы рассмотрим g как вещественную полупростую
алгебру Ли gR "и обозначим через Mi подгруппу в Autg", порож-
порожденную подгруппами М и <о>. Очевидно, Mt = (оУМ, так что if,
компактна. Согласно следствию 3 теоремы 3, в g существует кар-
тановское разложение, инвариантное относительно Mit Это означает
(см. пример из п. 1), что в g существует компактная вещественная
форма, инвариантная относительно Мх. Соответствующая веществен-
вещественная структура т, как легко проверить, удовлетворяет требованиям
леммы.
Задача 20. Доказать теорему 4.
5. Классификация связных полупростых групп Ли. Этот пункт
посвящен глобальной классификации связных вещественных полу-
полупростых групп Ли. Оказывается, что как и в комплексном случае,
эту классификацию можно провести в терминах касательных алгебр
и решеток в некоторых коммутативных подалгебрах этих алгебр.
Термин «тор» всюду означает компактный тор.
Пусть G — связная полупростая группа Ли. Связную подгруппу
А <= G будем называть псевдотором, если Ad A — тор. Фиксируем
некоторое картановское разложение G = КР.
Задача 21. Максимальные связные коммутативные подгруппы
группы К — это то же, что максимальные псевдоторы группы С?,
лежащие в К. Все максимальные псевдоторы группы G сопряжены.
Коммутативную подалгебру а полупростой алгебры Ли g назовем
псевдоторической, если подгруппа exp ad а с: Int g компактна, т. е.
является тором.
Задача 22. Пусть g — касательная алгебра полупростой груп-
группы Ли G. Подалгебра а <= g является (максимальной) псевдоториче-
псевдоторической тогда и только тогда, когда она является касательной алгеброй
(максимального) псевдотора в G. Всякая максимальная коммутатив-

" - § 3. KAPTAHOBGKOE РАЗЛОЖЕНИЕ 277
ная подалгебра алгебры f — псевдоторическая. Все максимальные
псевдоторические подалгебры полупростой алгебры Лид сопряжены.
Пусть А — максимальный псевдотор связной полупростой груп-
группы Ли С?, (X — соответствующая максимальная псевдоторическая
подалгебра алгебры д. Ядро гомоморфизма ехр = expG: a -*¦ А есть
решетка в а, которая, как мы увидим позже, вместе с алгеброй Ли g
определяет группу G с точностью до изоморфизма. Удобнее, однако,
рассматривать решетку L (G) = Кег <§ а а (С), где S'—S'g' fa ~^ g —
гомоморфизм, определенный формулой &(х) = ехрBш#). Решетка
L(G) называется характеристической решеткой группы G.
Задача 23. Пусть Gu G2 — две связные полупростые группы
Ли с одной и той же касательной алгеброй g, a <=z g — максимальная
псевдоторическая подалгебра. Характеристические решетки групп
Gi и G2 удовлетворяют условию L(Gi) с= L(G2) тогда и только тогда,
когда существует такой гомоморфизм я: Сч ->¦ G2, что dn = е. При
этом &Ъ\ (Kern) = L(G2I так что
Теорема 5. Пусть Gj (/= 1, 2)—связные полупростые груп-
группы Ли, а, с: д,- — максимальные псевдоторические подалгебры их
касательных алгебр, L{Gj)^i<Xj— характеристические решетки. Для
того чтобы Gi и G2 были изоморфны, необходимо и достаточно, что-
чтобы существовал такой изоморфизм ср: fli-^jb, что (p(<Xi) = a2 a
9@(^F!)) = ^ (С,).
Задача 24. Доказать эту теорему.
Для завершения классификации нужно выяснить, какой может
быть характеристическая решетка группы G.
Пусть снова G — связная полупростая группа Ли и a — макси-
максимальная псевдоторическая подалгебра алгебры д. Односвязной на-
накрывающей группе G группы G отвечает решетка Lo = L ((?)<= fa.
С другой стороны, группе Int g соответствует решетка L{ =
= L(Int g) <= i ad a cz i ad g. Если отождествить g с ad g при помощи
изоморфизма ad, то будем иметь Lt <= fa. Из задачи 24 следует, что
()
Задача 25. Имеем %-\Z(G)) = Lu Z(G) = g(U)^ LJL{G),
)()
Задача 26. Любая решетка L, удовлетворяющая условиям
?0 с= Z, c= Lb является характеристической решеткой некоторой связ-
связной группы Ли с касательной алгеброй д.
Теперь мы займемся описанием решеток Lo и Lx. Фиксируем
картановское разложение д = f Ф р. Обозначим через 9 инволютив-
иый автоморфизм алгебры д, связанный с этим разложением, и про-
продолжение этого автоморфизма на комплексную полупростую алгеб-
алгебру Ли д(С). Тогда I (С) = 9(С)е. В силу задачи 21 мы можем
считать, что а — максимальная коммутативная подалгебра алгебры
Ли I Имеем f«^j(f). Согласно теореме 2/10, a = au®S(f), где
а0 — максимальная коммутативная подалгебра алгебры *'.

278 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Задача 27. Подалгебры t = <х (С) и t0 — а0 (С) являются мак-
максимальными диагонализуемыми подалгебрами редуктивной алгебра-
алгебраической подалгебры f (С) с: g (С) и полупростой алгебры Ли
i' (С) = 5 (С)' соответственно.
Задача 28. Решетка Lo совпадает с Q^ (V (Q) a ia0, где
Q (*' (С)) — двойственная'решетка корней алгебры Ли V (С) = J (С)'
относительно t0.
Согласно задаче 4.4.11, централизатор I) подалгебры t в Й (С)
есть единственная максимальная диагонализуемая подалгебра алгеб-
алгебры g(C), содержащая t, причем 0A)) =1).
Задача 29. Имеем L1=Pvflt, где Ру—решетка весов двой-
двойственной системы корней Адл™ алгебры д (С) относительно I).
Для решетки Li можно найти другое выражение, использующее
автоморфизм 0. Согласно задаче 4.4.12, в Дд/^ч существует система
простых корней П, инвариантная относительно 0Т. Пусть т =
= @Т)~~1 е Aut П и пусть т — автоморфизм алгебры б (С), задан-
заданный формулами D.4.1). Согласно задачам 4.4.17 и 4.4.30, t — мак-
максимальная диагонализуемая подалгебра полупростой алгебры Ли
Задача 30. Решетка Li совпадает с решеткой весов Р (fi (С)г)
двойственной системы корней А - алгебры Ли g (C)x относительно t.
Из задач 25, 26, 28, 29, 30 вытекают следующие утверждения:
Теорема 6. Пусть <х — максимальная коммутативная подалгеб-
подалгебра алгебры К Решетка Lcja является характеристической для не-
некоторой связной группы Ли с касательной алгеброй g тогда и только
тогда, когда
где т = г|@), т]: Aut g (С) -*¦ Aut П— гомоморфизм, определенный
в п. ААА.
Теорема 7. Для любой связной ^группы Ли G с касательной
алгеброй g имеем <§~х (Z (G)) = Рv(g (C)T), откуда
Далее,
ni(G)
В частности, для односвязной группы G имеем
6. Линеаризатор. Пусть G — некоторая группа Ли. Обозначим
через А (С) пересечение ядер всех л iшейных представлений груп-
группы G, Как следует из теоремы 1.4.2, A(G)—нормальная подгруппа

§ 3. KAPTAHOBGKOE РАЗЛОЖЕНИЕ 279
Ли в G. Назовем ее линеаризатором группы G и положим
Задача 31. Пусть R: G ->¦ GL(V)—линейное представление.
Тогда существует единственное линейное представление Ro: Gun -*"
-*GL(V), такое, что R = Ron, где л: G -+¦ GUn — естественный го-
гомоморфизм.
Нашей целью является доказательство следующей теоремы, ко-
которая оправдывает термин «линеаризатор» в случае, когда G связна
и полупроста.
Теорема 8. Пусть G — связная полупростая группа Ли. Ли-
Линеаризатор A(G) дискретен и лежит в центре Z(G) группы G.
Группа Giin допускает точное линейное представление.
Доказательство. Достаточно доказать существование тако-
такого локально точного линейного представления Ro группы G, что
Л(G)— Ker i?0. Пусть п: G -*¦ G — односвязное накрытие, Г = Кег зт,
Н — односвязная комплексная группа Ли с касательной алгеброй
fl (С). По теореме 1.2.6 существует такой гомоморфизм у: G -> Я,
что dj — тождественное вложение б —^ 9 (С). Тогда j(G)— вещест-
вещественная форма группы Я с касательной алгеброй д. Из задачи 1.3
следует, что у (Г)<= Z(H). Очевидно, существует такой гомоморфизм
Ф: G ->¦ Я/у (Г), что коммутативна диаграмма
Si н
«| |«, A2)
где я — естественный гомоморфизм. По теореме 4.3.6 Я/у (Г) до-
допускает точное линейное представление. Следовательно, существует
такое представление i?0 группы G, что Кег /?0 = Кег Ф. Докажем, что
это представление является искомым, т. е. что ядро любого линей-
линейного представления группы G содержит Кег Ф.
Пусть R: G -*• GL(W)—произвольное линейное представление
группы G. Касательное представление dR: Q-^gl(VF) продолжается
до комплексного представления (dR) (С)' g (С) ~^^(W(C))- По
теореме 1.2.6 существует такое представление R: H-+GL (W (С)),
что dR = (dR) (С). Поскольку G связна, из теоремы 1.2.4 следует,
что Rn = Rj. Значит, R(j(T))= {в}, так что R = i?n, где R — неко-
некоторое представление группы Я/у (Г). Отсюда Rn = Rnj = ЯФя и
R = ДФ. Следовательно, Кег Ф с Ker R.
Заметим, что доказательство теоремы 7 дает способ нахождения
линеаризатора A(G)— он совпадает с ядром Кег Ф гомоморфизма Ф
из диаграммы A2). Следовательно, Gnn — Ф(С).
Пример. Пусть G = SL2 (R) (см. пример 5 из п. 1.1). Тогда
H = SL2(?) и Л(Сг)=Кег/. Очевидно, / является накрытием

280 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
G-+SL2 (R) czSL2 (С). Поскольку Z (SL2 (R)) ~ Z2> a Z {G) ~ 2
(см. замечание 4 из п. 2), имеем Л (G) = 2Z (<?) ~ Z- Далее, Glin ~
~SL2(\R).
Теперь мы выразим линеаризатор A(G) в терминах характери-
характеристической решетки группы G. Пусть, как в п. 5, задано картановское
разложение fl = f ® р, пусть а —- максимальная коммутативная под-
подалгебра алгебры I, t = а (С) cz f (С), Ь — максимальная диагонали-
зуемая подалгебра алгебры й(С)> содержащая f.
Теорема 9. Для любой связной группы Ли G с касательной
алгеброй g имеем
где Q^—двойственная решетка корней алгебры Ли о (С) относи-
относительно I). Поэтому
В частности, для односвязной группы G = G имеем
Задача 32. Доказать эту теорему.
Упражнения
В упражнениях 1—4 фиксировано некоторое картановское разложение
g = f ф!р вещественной полупростой алгебры Ли д.
1. Если алгебра д проста, то присоединенное линейное представление ал-
алгебры I в р ненриводимо и f — максимальная подалгебра в д.
2. Если алгебра д не содержит ненулевых компактных идеалов, то [р, р] = f
и присоединенное представление алгебры f в р точно.
3. В i не существует одномерных подпространств, инвариантных относи-
относительно ad f. В частности, dim p ^ 2, если g некомпактна.
4. Подалгебра ! совпадает со своим нормализатором в д.
В упражнениях 5, 6 фиксировано картановское разложение G = КР полу-
полупростой группы Ли G.
5. Формула Тё(х) — gx<d(g)~l (g, x^G) определяет действие группы G
на себе. Орбитой точки е при этом действии является Р, а стабилизатором точ-
точки е — подгруппа К. Таким образом, Р есть однородное пространство груп-
группы G, изоморфное G/K.
6. Множество Р является связной компонентой единицы в каждом из мно-
множеств {gz=G\S{g) = g~1}, {geG|AdgeP(g)}.
7. Полярное разложение G = КР вещественной классической полупростой
алгебраической линейной группы (см. упражнение 2.1) является картановским.
Если Н — открытая подгруппа группы G, то ее картановское разложение име-
етвид Я= (К[\Н){Р{]Н).
8. Пусть G связная группа Ли, Н — ее связная нормальная подгруппа, при-
причем dim G/H = 1. Тогда существует такая подгруппа Ли С a G, что G = Н \С.
(Указание: свести общий случай к случаям разрешимой и полупростой груп-
группы Н. В разрешимом случае см. упражнение 1.4.15. В случае, когда Н полупро-
полупроста, воспользоваться тем, что Z(H) содержится в некотором псевдоторе (см. за-
задачу 25)).

§ 3. КАРТАНОВСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 281
Указания к задачам
3. Для доказательства обратного утверждения использовать задачу 1.3.17.
8. Использовать задачу 4.
9. Если k^N(K°), то автоморфизм Ad А: сохраняет разложение A) и, зна-
значит, перестановочен с 6. Затем использовать задачу 7.
10. Из разложения G° = (G0 [} К)Р следует, что G° f] К связно и потому сов-
совпадает с К0.
11. Заметить, что группа Ad К0 = Ad (G° (] К) = (Intg) П О($) компактна,
и использовать следствия 4 и 5 теоремы 2.
12. Доказать сначала, что Ad К = (Ad G) fj #(g) —максимальная компакт-
компактная подгруппа в Ad G, используя следствие 3 теоремы 2.1 и задачу 7.
13. Из теоремы 3 и 2.7 следует, что для любой компактной подгруппы М cz
d G существует такой g е G0, что gMg~1 cz L. Если L cz Ьи где L{ — компактная
подгруппа группы G, то, применяя это утверждение к L, получаем включение
gL{g~l d L для некоторого g <= G°. Значит, gLg~lczgLig-1 cz L, откуда gLg~l = L,
поскольку L — компактная группа Ли. Следовательно, L = Lu Если М — макси-
максимальная компактная подгруппа, то, очевидно, gMg~l = L.
14. Фиксируем некоторое картановское разложение g = ! Ф р алгебры g и
рассмотрим соответствующее картановское разложение Aut g = КР группы
Aut g. Если а е Aut g — хакой элемент, что aMa~l cz К, то картановское разложе-
разложение g = а~1A) Ф а~1(У) инвариантно относительно М.
17. Если выбрать в Е ортонормированный базис, в котором log X =
= diag (Xu ..., Яп), где Кг е К, то в силу A0)
где у а >> 0. Поэтому fx, y строго выпукла. Строгая выпуклость функции срх вы-
выводится из того, что Ф^ (t) = max fx Y (t).
18. В силу задачи 4.1.8 Ad G cz SL(q), откуда Р cz SP($). Из леммы 2.1 сле-
следует, что ? — замкнутое подмногообразие в^Р(д). В силу задачи 7 и следствия 7
теоремы 2 действие (Sq) (Ad) переводит Р в себя. Поскольку любой оператор
I 1 \2 / 1 \2
Y = exp ad у, где у е Р, представим в виде У =1 exp ad —г- г/1 = 1 Ad exp — у =
(А \ —
Ad exp — у I Е, Р совпадает с орбитой точки Е.
/
19. Проверить, что картановское скалярное умножение в g (С) невырождено
на подалгебре 0 (ь), если J) канонически вложена, и использовать теорему 4.1.2.
20. Применить лемму 3 к подалгебре Ь (С) и вещественной структуре
a: z >-*¦ z в д (С). Подалгебра 5 канонически вложена в д относительно карта-
новского разложения д = (д П ^) © (g П iu), где u = g (^)T.
21. Из теоремы 2.16 следует, что если Л — максимальная связная коммута-
коммутативная подгруппа в К, то Ad A — максимальный тор в компактной группе Ли
Ad К, так что А — псевдотор в G. Отсюда видно, что максимальный псевдотор,
лежащий в К, есть максимальная связная коммутативная подгруппа группы К.
Сопряженность следует из теоремы 3 и теоремы 2.10.
23. Пусть А- = expG. (а). Если существует накрытие л: G\->G2, такое,
что йл = id, то возникает коммутативная диаграмма
A3)
19 Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

282
ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Из следствия 5 теоремы 2 и теоремы 2.10 вытекает, что Кет л а Аи Поэтому
L (G2) = S'q1 (Ker л) id L F?х). Для доказательства существования накры-
накрытия я при условии L(G\) cz L{G2) рассмотреть односвязную группу G, накрыва-
накрывающую G\ и G2, и доказать, что ядро накрытия &-+Gx содержится в ядре накры-
накрытия &-*-G2.
25. Использовать задачу 23.
26. Пусть & — односвязная группа Ли с касательной алгеброй д. Из задачи
25 следует, что N — &~ (L) — подгруппа Z(&), причем L = &Z1 (N). Про-
вернется, что L = L(G) для группы G = &/N.
28. Если G односвязна, тои^ односвязна (следствие 1 теоремы 2). Исполь-
Используя теорему 43.5, выводим отсюда, что L (G) — Q^ (f (С)').
29. Использовать теорему 4.3.7.
30. Использовать задачи 29 и 4.4.30.
32. Пусть А = expG ct, A = ехр~ а. Рассмотрим коммутативную диаграмму,,
следующую из A2) и A3):
Из нее видно, что
g1*1 (Кег Ф) = &Z1 (г11
Сг
"= SZ1 (Г Кег;) =
^~1 (Кег у) = Ker %G + Кег
= L[{G) + Кег <
Из теоремы 4.3.5 следует, чтоКег<!Гн=
§ 4. Вещественное корневое разложение
В настоящем параграфе рассматривается корневое разложение
вещественной полупростой алгебры Ли относительно максимальной
подалгебры, записываемой в присоединенном представлении диаго-
диагональными матрицами. Изучение соответствующей системы корней
позволяет сопоставить вещественной полупростой алгебре Ли так на-
называемую схему Сатаке, которую можно рассматривать как обобще-
обобщение схемы Дынкина. Схемы Сатаке можно использовать для класси-
классификации вещественных полупростых алгебр Ли, проведенной нами
в § 1 другим способом (см. [2]). Другое приложение вещественного
корневого разложения — это теорема Ивасавы, обобщающая класси-
классический метод ортогонализации Грама — Шмидта.
1. Максимальные IR-диагонализуемые подалгебры. Пусть g — ве-
вещественная алгебра Ли. Подалгебра а <= g называется IR -диагонали-
зуемой, если в g существует базис, в котором все операторы ad x
(#<=а) записываются диагональными матрицами. В этом случае

§ 4. ВЕЩЕСТВЕННОЕ КОРНЕВОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 283
имеет место разложение
9 = 9о © © Ях* (!)
где 2 — конечное множество ненулевых элементов пространства а*
п через gx (A,^2U{0}) обозначено ненулевое подпространство
begl [а, х] = Ца)^(а^а)}. Множество 2 называется системой
корней алгебры Ли g относительно а, а разложение A)— корневым
разложением. Как и в комплексном случае, для любых Я, \х е 2 U {0}
имеем
(с= $к+11, если X + ц. е= 2 U {0},
[9ь flfl1 \= 0, если X + [г ^ 2 U {0}.
В частности, д0 — подалгебра в g (централизатор подалгебры а).
Предположим теперь, что g полупроста. Очевидно, любая [R-диа-
[R-диагонализуемая подалгебра uc=g коммутативна. Если жеа и а (#) = ()
для всех а е 2, то х е з(д) и, следовательно, х = 0. Отсюда видно,
что 2 порождает пространство а*.
Задача 1. Любая R -диагонализуемая подалгебра а веществен-
вещественной полупростой алгебры Ли д содержится в некотором ее картанов-
ском подпространстве у. Обратно, если J) — картановское подпрост-
подпространство в д, то любая подалгебра алгебры д, содержащаяся в !р,
R -диагоыализуема.
Пусть а — максимальная диагонализуемая подалгебра полупро-
полупростой алгебры Ли д. Согласно задаче 1, имеется такое картановское
разложение
9 = {®», B)
что ct <= р? причем ct — максимальная среди подалгебр алгебры д, со-
содержащихся в J).
Задача 2. Всякая подалгебра а алгебры д, содержащаяся в р
и максимальная среди таких подалгебр, является максимальной
К-диагонализуемой в д. Централизатор д0 такой подалгебры имеет
вид
д0 = те а, • C)
где т = д0 П I
Пусть 2 с= а* — система корней, связанная с максимальной диа-
гонализуемой подалгеброй а. Заметим, что 2 Ф & тогда и только
тогда, когда а Ф 0. Любой а ^ 2 определяет гиперплоскость Ра =
= Кег а в а.
Элементы непустого открытого множества
areg =
U
называются регулярными.
Задача 3. Централизатор любого регулярного элемента из a
совпадает с g0.
19*

284 гл. 5. вещественные полупростые группы ли
Теорема 1. Пусть К — максимальная компактная подгруппа
в Intg, отвечающая подалгебре * из разложения B). Любые две
максимальные подалгебры в у переводятся друг в друга элементом
из К. Любые две максимальные 0? -диагонализуемые подалгебры
алгебры g сопряжены.
Второе утверждение теоремы 1 сводится к первому с помощью
задачи 1 и теоремы 3.1. Остается доказать первое утверждение.
Задача 4. Вывести первое утверждение теоремы 1 из следую-
следующей леммы.
Лемма 1. В предположениях теоремы 1 для любых х, у е р су-
существует такой к е К, что [к (х), у] = 0.
Доказательство. Рассмотрим на К гладкую функцию
Поскольку К компактна, ф обладает точкой минимума к0. Тогда для
любого ze! функция
достигает минимума при t = 0. Поэтому
о = 57 @) = (*, ^о ([^ у])) = (а^1 И, [^ у]) = - (IV1 (*). yl Ю,
откуда [^(ж), г/] — 0.
Размерность максимальной Я? -диагонализуемой подалгебры а ве-
вещественной полупростой алгебры Ли g (не зависящая в силу теоре-
теоремы 1 от выбора подалгебры а) называется вещественным рангом
алгебры Ли g и обозначается гкц?д.
Задача 5. Равенство rkK g = 0 справедливо тогда и только тог-
тогда, когда алгебра g компактна.
Задача 6. Если вещественная полупростая алгебра Ли g раз-
разлагается в прямую сумму идеалов g = g4 Ф g2, то максимальные
К -диагонализуемые подалгебры а алгебры g имеют вид а = d ® а2,
где <Xi (?=1, 2)—произвольная максимальная К-диагонализуемая
подалгебра в дг. В частности,
rkRg = rkRfl1 + rkRfl2.
* ^ *
При естественном отождествлении пространства а* с ах ф а2 систе-
система корней 2 алгебры g относительно а отождествляется с 24 U 22, где
2| с= аг* — система корней алгебры & относительно а{ (i = 1, 2).
2. Системы вещественных корней. Пусть g — вещественная полу-
полупростая алгебра Ли с фиксированным разложением B), а <= р —
максимальная К -диагонализуемая подалгебра алгебры д, 2 — соот-
соответствующая система корней. Из задачи 5 следует, что 2 Ф & тогда
и только тогда, когда g некомпактна. Согласно задаче 3.3, а является
евклидовым пространством относительно картановского скалярного
произведения в д. Перенесем естественным образом скалярное про-

§ 4. ВЕЩЕСТВЕННОЕ КОРНЕВОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 285
изведение с & на а*. Нашей ближайшей целью является доказатель-
доказательство следующей теоремы.
Теорема 2. Система корней 2 <= ct* полупростой алгебры Ли g
относительно максимальной (R -диагонализуемой подалгебры а явля-
является системой корней в смысле § 4.2 (we обязательно приведенной).
Доказательство близко к доказательству аналогичного факта для
комплексных алгебр Ли (см. п. 4.1.6). Для любого а <^ 2 обозначен
через йа элемент подалгебры а, однозначно определяемый следую-
следующим свойством:
Ч(^а)= <Y I CC> ДЛЯ ЛЮбоГО *f ^ <Х*.
Задача 7. Пусть 6 — автоморфизм алгебры g, переводящий а
в себя. Тогда 6Т B) -2,9 (Й06) = fl(eT)-i(a)(«е^ {0}), 0(М =
()()
Применим задачу 7 к инволютивному автоморфизму 8 алгебры
g, заданному формулой Q(z + у) = х — у (s ^ f, */ е Р). Поскольку
б! a = —id, мы видим, что —Б = 2 и 0 (ga) = g_a (a e S U {0}).
Задача 8. Для любого х ^ ga, где a ^ 2, имеем
причем (,г, 0 (^)) < 0, если д; ?= 0.
Фиксируем а ^ 2 и ненулевой х е ga. Из задачи 8 легко следует
существование такого сеК, с Ф 0, что элементы ха = ex e ga? z/a ==?,
= —c0(^)^g-a удовлетворяют соотношению
[Яа, У а] = ha.
Как следует из задачи 2, максимальные коммутативные подал-
подалгебры |) алгебры g, содержащие а, имеют вид |) = 1)+ Ф а, где |)+ —•
любая максимальная абелева подалгебра в Ш. Перейдем теперь
к комплексификации 9 (С) алгебры g и рассмотрим ее абелеву под-
подалгебру
t = HQ-l)+(C)©a(C). :
Продолжим автоморфизм 0 на 9 (С) по линейности. Обозначим че-
через о комплексное сопряжение в алгебре g (С) относительно g.
Задача 9. Подалгебра t является максимальной диагонализуе-
диагонализуемой в g (С) и инвариантна относительно а и 0. Подалгебры t~" = а (С)
и t+ — Ь (С) являются алгебраическими и диагонализуемыми в
g(C), причем t+ — максимальная диагонализуемая подалгебра ре-
дуктивной алгебраической подалгебры flt(C)» Имеем
t @?) = (ib+) Ф а. D)
При естественном отождествлении ct* = t~~ C?)* система KopHeii 2
отождествляется с системой корней A(t~) алгебры Ли g (С) относи-
относительно t".

286 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Рассмотрим отображения сра: #12 (С)->9(С), заданные фор-
формулами
фа(е) = #«, фаA)=Уа, фа (Ь) = fea.
Задача 10. Отображение фа есть инъективный гомоморфизм
алгебр Ли над С, причем фа (з12 (R)) cz $, (pa(so2)<= f.
Обозначим через Fa такой гомоморфизм группы Ли ??2 (С) -*¦
->Int(g(C)), что йфсс ==(аA)фа. Из задачи 10 следует, что
Fa (SL2 (lR)) cz Int g (группа Intfl естественно вложена в Intg(C),
см. пример 4 из п. 1.1). Если К—максимальная компактная под-
подгруппа в Intg, отвечающая подалгебре *, то FaEO2)c: К. В частно-
4))
СТИ, Ka = )
Задача 11. Автоморфизм па переводит а в себя и индуцирует
в а ортогональное отражение ra относительно гиперплоскости Ра.
Доказательство теоремы 2. Пусть а ^ S. Обозначим
через ra также и ортогональное отражение в а* относительно гипер-
гиперплоскости La = {4 е й*| (а, ^)== 0} (совпадающее era). Из задач 11
и 7 следует, что raB) = 2. Далее, /ia^i:~(Z), откуда <|5|а> =
= Р (/^а) е Z для всех р е 2 (ср. теорему 4.1.5 и задачу 4.1.34).
Теперь мы рассмотрим связь между системой корней 2 = A(t~)
и системой корней A (t) = А алгебры Ли й (С) относительно t. Оче-
Очевидно, отображение ограничения г: t (R)*-> t~ (R)* = a* перево-
переводит А в 2 U {0}. Положим
Ао = (a e Alr(a) =0), At = А \ Ао.
Задача 12. Отображение г: A U {0} ->¦ 2 U СО} сюръективно.
Имеем
m(C)=te 0 fl(C)«, fi^(C)= 0 fl(C)« (^eS).
a=A0 r(a)=A,
В частности, Ао — система корней полупростой алгебры Ли
т(С)' относительно t П ш(С)'-
Поскольку 9(t) = t, из задачи 4.1.10 следует, что 0т (Л) = А.
Задача 13. Имеем Ker r = {y^ t* | 0т (у) = у}. В частности, Ао =
-laeA|9T(a)-a}.
Положим
ат (у) (х) = v (от (л:)) (y El*, ^e t).
Тогда aT(y)et*. Тем самым определяется антилинейное преобра-
преобразование gt: t*-^t*.
Задача 14. Преобразования а и ат переводят в себя t @?) и
t (К)*и совпадают на этих подпространствах с —9 и — 9Т соот-
соответственно. Имеем а (й (Qa) = Й (С)от(а) = 9 (С)-ет(а) Для
а е А.

§ 4. ВЕЩЕСТВЕННОЕ КОРНЕВОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 287
3. Схемы Сатаке. Мы сохраняем обозначения п. 2. Выберем в
пространстве t (R) такой базис vu .. ., vh что vu ..., vr — базис про-
пространства а, и рассмотрим в f (К)* и а* лексикографические упоря-
упорядочения относительно этих базисов (см. п. 4.2.2). Тогда для ^S
g t (К)* из г(Я)>0 следует, что % > 0. Обозначим через Д+, 2+
(соответственно Д~, 2~) множества положительных (отрицатель-
(отрицательных) корней относительно заданных упорядочений. Положим
А? = Д,П А*. (* = 0, 1).
Задача 15. Имеем г(д?) - S*, 8Т (Д±) - А?, ат (А?) = А?.
Пусть ПсД+ и в с= S+ — системы простых корней. Положим
П, = А,ПП (* = 0, 1).
Задача 16. Система По является системой простых корней
в До. Имеем г(П!)=> 6.
На самом деле, как будет показано ниже, r(Hi)=©. Докажем
следующее важное утверждение.
Лемма 2. Существует такое инволютивное преобразование
со: Hi -»¦ ni7 что для любого aelli имеем
9Т (а) = — со (а) — 2
г9е сат — неотрицательные целые числа.
Задача 17. Пусть С — квадратная матрица с целыми неотри-
неотрицательными элементами, причем С2 = Е. Тогда С — матрица, соот-
соответствующая некоторой инволютивной перестановке элементов
базиса.
Задача 18. Доказать лемму 2.
Задача 19. Для а, р ^ Hi имеем г(а)=г(^) тогда и только
тогда, когда а = р или а = со(^). Система т^П^ линейно независима
и, следовательно, совпадает с в.
Лемма 2 позволяет сопоставить вещественной полупростой алгеб-
алгебре Ли g схему Сатаке, которая получается из схемы Дынкина комп-
комплексной алгебры Ли й(С) следующим образом: кружки, соответ-
соответствующие корням из По, зачерняются, а пары различных корней
из П1? переводимых друг в друга инволюцией со, соединяются
стрелками.
Задача 20. Имеем rk g (Q = rkK g + | По | + s, где s — число
стрелок на схеме Сатаке.
Задача 21. Пусть g1? g2 — вещественные полупростые алгебры
Ли. Тогда схема Сатаке алгебры gi ® g2 является несвязным объеди-
объединением схем Сатаке алгебр gi и g2.
Задача 22. Вещественная полупростая алгебра Ли проста тог-
тогда и только тогда, когда ее схема Сатаке связна.
Примеры. 1. Схема Сатаке полупростой компактной алгебры
Ли g получается из схемы Дынкина алгебры g (С) путем зачерне-

288 гл. 5. вещественные полупростые группы ли
ния всех кружков, изображающих вершины. Всякая полупростая
алгебра Ли над К, у которой все вершины схемы Сатаке — черные,
является компактной.
2. Пусть g — полупростая комплексная алгебра Ли. Тогда схема
Сатаке алгебры fl получается из схемы Дынкина алгебры g путем
удвоения, причем соответствующие друг другу вершины двух схем
соединяются стрелками. Например, схема Сатаке алгебры Ли
gl/j-i (С) содержит 21 вершин и имеет вид
Действительно, рассмотрим компактную вещественную форму
U <= g. Если 1)+ — максимальная коммутативная подалгебра в U, то
J) = 1)+ (С) — максимальная диагонализуемая подалгебра в g, a
& = Л)+ — максимальная \R -диагонализуемая подалгебра в g .
Далее, g (С) отождествляется с g ® g, а максимальная диагонализуе-
диагонализуемая подалгебра t = I) (С) этой алгебры — с I) ® I), причем о(х, у) =
= (у,х) (х, z/eg), где z^z (z^g)—комплексное сопряжение от-
относительно U (см. задачу 1.8). Система корней А алгебры g (С)
относительно t имеет вид А = Ад U <?Т (Дд)> гДе Ад— система кор-
корней алгебры Ли g относительно !). Аналогичным образом, П = П^ []
U ат (Пд), где Пдcz Ag, Пс А— системы простых корней, причем
.со = 0Т.
Как видно из задачи 22, примеров 1 и 2, для нахождения схем
Сатаке полупростых алгебр Ли g над 0? можно ограничиться случа-
случаем, когда g — некомпактная вещественная форма простой алгебры
й(С). Схемы Сатаке всех таких алгебр Ли g содержатся в таблице 9,
из которой без труда выводится
Теорема 3. Две полупростые алгебры Ли над К изоморфны
тогда и только тогда, когда их схемы Сатаке изоморфны * (в естест-
естественном смысле).
4. Разложимые полупростые алгебры Ли. Вещественная полу-
полупростая алгебра Ли называется разложимой, если любая ее макси-
максимальная 0? -диагонализуемая подалгебра является максимальной
коммутативной подалгеброй.
Задача 23. Следующие условия равносильны: g разложима;
<х (С)—максимальная диагонализуемая подалгебра в б (С) для лю-
любой максимальной R-диагонализуемой подалгебры ctc=g; гккй =
'= rkg (С); схема Сатаке алгебры g не содержит ни черных вершин,
ни стрелок.
Если g разложима, то в обозначениях п. 2 имеем ш. = а, А = 2,
g (С)а = 9а (С) для всех а е 2. Таким образом, dimga = 1 для
всех а ^ 2.

§ 4. ВЕЩЕСТВЕННОЕ КОРНЕВОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 289s
Задача 24. Всякий идеал разложимой полупростой алгебры
Ли разложим. Прямая сумма двух разложимых алгебр Ли раз-
разложима.
Теорема 4. Всякая полупростая алгебра Ли g над С имеет
единственную с точностью до изоморфизма разложимую веществен-
вещественную форму %. При этом 0 проста тогда и только тогда, когда g проста^
Задача 25. Пусть g— полупростая комплексная алгебра Ли.
Нормальная вещественная форма алгебры Ли g, связанная с произ-
произвольной канонической системой образующих (см. задачу 1.6), раз-
разложима. Обратно, любая разложимая вещественная форма алгебры
g является нормальной относительно некоторой канонической систе-
системы образующих.
Первое утверждение теоремы 4 следует из задачи 25 и теоре-
теоремы 4.3.1. Если 2 проста, то g проста в силу теоремы 1.1, поскольку
комплексная алгебра Ли, рассматриваемая как вещественная, не
разложима (см. пример 2 из п. 3).
Пример. Простые разложимые алгебры Ли над К — это eln (R)
(п>2), *ok>k+i (k>l), $ok)k (k>3), apn(R)(/i>2), El, EVr
EYIll, Fl, G. Это непосредственно видно из значений вещественного
ранга, приведенных в таблице 9.
5. Разложение Ивасавы. Пусть снова g = * ® р — картановское
разложение вещественной полупростой алгебры Ли, а <= р — макси-
максимальная R -диагонализуемая подалгебра, 2 — система корней от-
относительно а. Выберем в S некоторую систему простых корней &
и обозначим через 2+ <= 2 соответствующую подсистему положи-
положительных корней. Положим
n= ® fla,.
Задача 26. Подпространство 11 — унипотентная алгебраическая
подалгебра в g. Имеем [a, n] d n, так что b = а ® п — разрешимая
алгебраическая подалгебра в g.
Теорема 5. Имеются следующие разложения в прямые сум-
суммы подалгебр:
Задача 27. Доказать эту теорему.
Мы хотим построить разложения связной полупростой группы
Ли в произведения ее подгрупп Ли, соответствующие разложениям
теоремы 5. Пусть G — связная полупростая группа Ли с каса-
касательной алгеброй g. Как показано в § 3, в G существует связная
подгруппа Ли К с касательной алгеброй *. Если G имеет конечный
центр, то К — максимальная компактная подгруппа в G.
Задача 28. В G существуют односвязные подгруппы Ли Аг
N, D с касательными алгебрами a, n, b соответственно. При этом

290 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
3 а д а ча 29. В g существует базис, в котором все элементы
ad# (х^Ь) и Adg (g^D) записываются верхними треугольными
матрицами (в случае Adg, g^D,— с положительными диагональ-
диагональными элементами). Имеем D П К = {е}.
Задача 30. Доказать следующую теорему:
Теорема 6. Пусть G— связная полупростая группа Ли, К, А,
N, D — ее связные подгруппы Ли, определенные выше. Тогда ото-
отображения
KXAXN-+G, KXD-+G,
определенные формулами (к, а, п) *->кап и (к, d) ^-kd соответствен-
соответственно, являются диффеоморфизмами. В частности, G = KAN — KD.
, Разложения алгебры g и группы G, описанные в теоремах 5 и 6
называются разложениями Ивасавы.
Теперь мы дадим характеризацию подалгебры b с g и подгруппы
D <= G, не связанную с корневым разложением.
Пусть g — вещественная алгебра Ли. Подалгебру с с= g назовем
треугольной, если в некотором базисе алгебры g все операторы
ad л; (х е с) записываются верхними треугольными матрицами. Пусть
G — группа Ли с касательной алгеброй g. Подгруппа С с= G назы-
называется треугольной, если в g существует базис, в котором все опера-
операторы Adg (g<=C) записываются верхними треугольными матрицами.
Задача 31. Связная виртуальная подгруппа Ли в G треугольна
тогда и только тогда, когда ее касательная подалгебра в g тре-
треугольна. Максимальная связная треугольная подгруппа является
подгруппой Ли в G; ее касательная подалгебра в g. Всякая макси-
максимальная треугольная подалгебра в g является касательной к неко-
некоторой максимальной связной треугольной подгруппе группы G.
Задача. 32. Пусть G — связная полупростая группа Ли, g —
ее касательная алгебра. Подгруппа D <= G и подалгебра Ь <= g, оп-
определенные в задачах 26 и 28, являются, соответственно, макси-
максимальной связной треугольной подгруппой и максимальной тре-
треугольной подалгеброй.
Пример. Пусть G=SLn(\R), g=<?In(iR).npH подходящем выборе
системы положительных корней в системе 2 = А^ .^ подалгебра
Ь, определенная в задаче 26, есть подалгебра всех верхних треуголь-
треугольных матриц со следом 0, а подгруппа D — подгруппа всех верхних
треугольных матриц с определителем 1 и положительными элемен-
элементами на диагонали. Группа К совпадает с SOn. Теорема 6 в этом
случае легко следует из классической теоремы о приведении поло-
положительно определенной квадратичной формы к нормальному виду
с помощью треугольной замены базиса.
В заключение этого параграфа докажем следующую теорему,
являющуюся вещественным аналогом теоремы 3.2.12 о сопряжен-
сопряженности борелевских подгрупп.
Теорема 7. Максимальные связные треугольные подгруппы
(максимальные треугольные подалгебры) связной полупростой ее-

§ 4. ВЕЩЕСТВЕННОЕ КОРНЕВОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 291
щественной группы Ли (соответственно полупростой алгебры Ли
над О?) сопряжены между собой.
Доказательство основано на следующей лемме о существовании
неподвижной точки.
Лемма 3. Пусть V — конечномерное векторное пространство^
X — его линейное преобразование, все характеристические корни
которого вещественны. Для любой точки р проективного простран-
пространства ^(V) существует предел
t
Точка р0 неподвижна относительно группы {exp tX \ t e Щ.
Доказательство. Запишем X треугольной матрицей в не-
некотором базисе пространства V. На диагонали этой матрицы стоят
собственные значения Ki, ..., К преобразования X с некоторыми
кратностями. Элементы матрицы exp tX — это функции от t вида
SC@.
г=1
где Qi — многочлены. Такой же вид имеют координаты вектора
(exptX)v, где v^V — такой ненулевой вектор, что <i;>=p. Пусть
А — наибольшее из чисел Я*, встречающихся в записи этих коорди-
координат, и М — наибольшая из степеней соответствующих многочленов
Qi. Тогда (ex^tX)u = tMeAt (vo + s(t)), где vo?=O и s(t)-*Q при
t -> оо. Очевидно, что О0> = lim (exp tX) (р) и что точка р0 = <уо>
t-+oo
неподвижна относительно exp tX (ielR).
Используя лемму 3, мы докажем, что связная треугольная ли-
линейная группа в пространстве V над 0? имеет неподвижную точку
в любом инвариантном замкнутом подмножестве многообразия фла-
флагов &~(V). Для этого нам понадобится вложение / многообразия
#"(F) в проективное пространство, построенное в п. 2.2.7. Напом-
Напомним, что это вложение имеет вид
Р(У)-* Grx(F) X ... X GMT)-*
-+&(V)x&(A2V)x ... x&(Anv)-*-&(v® /\w® ... ®/\nv),
причем последняя стрелка описана в п. 2.2.6 (здесь п = dim V),
Задача 33. Вложение /: 3r(V)-^^(WITj^eW=V ® Д2^® •••
• •• ® Лп^ построенное в п. 2.2.7, обладает следующим свойством:
j(gf) = R(g)J{f) (g^GL(V), /еЕ<Г(У)), Где R: GL{V)-* GL{W)~
естественное представление.
Задача 34. Пусть ST — многообразие флагов конечномерного
векторного пространства V над R и пусть С a GL(V)— связная
виртуальная подгруппа Ли, имеющая в 2Г неподвижную точку.
Тогда в любом непустом замкнутом подмножестве Q cz ff~^ инвари"-»
антном относительно С, существует точка, неподвижная относитель-
относительно С.
Задача 35. Доказать теорему 7.

; 292 ГЛ. 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Упражнения
Пусть G — неприводимая полупростая вещественная алгебраическая груп-
группа над R. Алгебраический тор Tc=.G (С) называется разложимым, если в
"некотором базисе алгебры g (С), содержащемся в д, все элементы тора Ad Г
записываются диагональными (матрицами.
1. Алгебраический тор Т a G (С) разложим тогда и только тогда, когда
t = ct(€), где а — К-диагонализуемая подалгебра алгебры д.
2. Максимальные разложимые торы в G (С) сопряжены между собой с
помощью внутренних автоморфизмов, порожденных элементами группы G0.
3. Алгебра Ли g разложима тогда и только тогда, когда в группе G (С) су-
существует разложимый максимальный тор.
4. Пусть, в обозначениях п. 2, W cz GL(a)—группа Вейля системы корней 2
(см. п. 4.2.4). Положим
NK(a) ={k
ZK(a) = {к е К\к{х) = # для любого х е <t}.
Тогда ^(а) и ZK(a) —подгруппы Ли в К с касательной алгеброй т. Соответ-
Соответствие к\-*к\ a есть сюръективный гомоморфизм группы iVx(a) на W с ядром
Zk(&), так что
5. Пусть, в тех же обозначениях, dimg^ = 1 для всех X е 23 и g не содер-
содержит компактных идеалов. Тогда g разложима.
6. В комплексной полупростой алгебре Ли g с максимальной диагонализу-
емой подалгеброй \) существует единственный с точностью до сопряженности в
Autg инволютивный автоморфизм 0, такой, что Q(x) = — х для всех же(). Со-
ютветствующий автоморфизм T](9)eAutn совпадает с автоморфизмом v из
упражнения 4.3.6. Соответствие, установленное в теореме 1.4, сопоставляет ав-
автоморфизму 0 нормальную вещественную форму алгебры д.
7. Для классических алгебр д автоморфизм 9 из упражнения 6 сопряжен
следующему автоморфизму (в обозначениях п. 1.2):
6: Xv-+ — XT для g = *In(C)
9 = Ad /n;n+1 для g = 0o2n+1 (С), я> 1;'
G = Ad Inn для g = 0o2n (С), п > 2;
для g = 0l2n(C), и>1.-
8. Доказать теорему 2.15 методом, которым была доказана теорема 1 настоя-
настоящего параграфа.
9. Пусть р: g->gl(F)—конечномерное неприводимое линейное представ-
представление разложимой вещественной полупростой алгебры Ли g над полем (R.
Тогда комплексное представление р (С): g (С) -> д! (У (С)) неприводимо,
причем соответствие рн^р(С) биективно отображает классы эквивалентных
вещественных неприводимых представлений алгебры g на классы комплексных
.неприводимых представлений алгебры g (С;. Аналогичное утверждение спра-
справедливо и для произвольных конечномерных представлений.
Указания к задачам
1. Легко видеть, что алгебраическое замыкание аа cz g также является
Ш -диагонализуемой подалгеброй. Поэтому можно считать, что a — алгебраиче-
«ская подалгебра. Очевидно, а (С)— диагонализуемая подалгебра в д(С), так
•что a — редуктивная алгебраическая подалгебра. Включение аср вытекает
теперь из теоремы 3.4. Обратно, любая подалгебра a cz p коммутативна, причем
ad# диагонализуем для любого х^а (см. задачи 3.1 и 3.4), откуда следует,
что a—1R-диагонализуемая подалгебра.
2. Сначала доказать, что д0 имеет вид C).

§ 4. ВЕЩЕСТВЕННОЕ КОРНЕВОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 293
4. Применить лемму 1 к регулярным элементам двух максимальных под-
алгебр из g и воспользоваться задачами 3 и 2.
9. Подалгебра t является максимальной абелевой в g (С) и состоит из по-
полупростых элементов. Поэтому t — максимальная диагонализуемая подалгебра.
Пусть Т — соответствующий.ей максимальный тор в группе Н = Int g (С), в —
автоморфизм группы Я, заданный формулой B(g)=QgQ-1 fee H). Тогда
0(Г) = Т. Подалгебры t~ и t+ являются касательными к алгебраическим под-
подгруппам Т~ = (#.е= T|efe)= g} и Г+= {# <ее Г|в(#) = g} соответственно. Фор-
Формула D) следует из того, что Ь+ Ф (ict) лежит в компактной вещественной фор-
форме I Ф (?р) алгебры g (С) и поэтому дифференциал d% любого характера
% е Ж (Г) принимает на |)+ Ф (ia) чисто мнимые значения.
11. Аналогично задаче 4.1.37.
18. Из задачи 15 следует, что для любого aelli имеем
где сар, сат — неотрицательные целые числа. Проверить, что (ca(j)a,{S=n ~ ^'
и применить к матрице С = (сар) задачу 17.
19. Использовать лемму 2 и задачу 13.
22. Пусть схема Сатаке алгебры g несвязна и пусть А = A' U А" — соответ-
соответствующее разбиение системы корней алгебры g (С) в объединение непустых
непересекающихся подсистем. Тогда А' П Щ и А" О III инвариантны относи-
относительно со. С помощью задачи 14 отсюда выводится, что стт (А') = А', о"т (Д") =
= А". Поэтому идеалы У, \" в g (С), отвечающие подсистемам А' и А" (см. за-
задачу 4.1.32), инвариантны относительно а, откуда g = Ya Ф Уа.
25. Пусть 0 — разложимая вещественная форма алгебры g, a — максималь-
максимальная К-диагонализуемая подалгебра в з. Согласно задаче 23, t= a (С)—мак-
(С)—максимальная диагонализуемая подалгебра в д, причем a = t ((R) в силу задачи 9.
Пусть П — некоторая система простых корней в системе корней 2 = А. Тогда
элементы hai xa, у а (а ¦€= П) алгебры 5, построенные в п. 2, составляют канони-
каноническую систему образующих алгебры д. Очевидно, 5 совпадает с подалгеброй,
порожденной этими элементами над (R.
27. Использовать A), C) и включение д_я cz f + дл.
28. Пусть сначала G = Int д = (Aut g)°. Унипотентная подалгебра n cz g
определяет связную унипотентную алгебраическую подгруппу N cz G, причем
exp: n-^N — диффеоморфизм. Алгебраическая подалгебра а определяет ком-
коммутативную алгебраическую подгруппу Л cz Aut g, причем А = Ж0 = exp a cz
cz G. Поскольку a — К-диагонализуемая подалгебра, имеем Л « Kf, где /=гкку.
В произвольной связной полупростой группе G с касательной алгеброй g рас-
рассмотрим подгруппы Ли А = (Ас!^H и TV = (Ad N)°. Из односвязности под-
подгрупп А и N следует, что А и N односвязны и что А П Z(G) = N fj Z(G) = {e}-
Если g е= А П N, то Ad g е= Л f| ТУ^откуда g е= ^(^) и g = е. Ясно, что Л^нор-
мализует подгруппу N, так что AN = А /{ N — подгруппа Ли в G.
29. Рассмотрим убывающую фильтрацию алгебры g подпространствами
% (К) = 2 V (^ ^ 2 U {0}), где ^ — частичный порядок, определяемый систе-
\>
мой в. Дополняя ее подпространствами недостающих размерностей, получим
флаг в д, инвариантный относительно всех ad х (жеЬ) и Ad g {g(=D). Если
g e= D [\К, то Ad g — диагонализуемый оператор, все собственные значения ко-
которого равны 1, так что Ad g = е и g(=Z(G). Поскольку группа Ad G ==.
= (Ad A) X (AdTV) односвязна, Z(G)[\D = {е}, так что g = е.
30. Пусть jj,: К X D ->¦ G — отображение, определенное формулой |x(/fc, d) =
= Ы. Поскольку ^Г П ^ = {е}, jj, инъективно. Из теоремы 5 следует, что ото-
отображение d(efe)\i: fXb->g, переводящее (х, у) в х-\-У, инъективно. Поэтому
инъективно отображение dia> b)jx для любых а е= Я", Ь еД Действительно,

294 гл. 5. вещественные полупростые группы ли
\i{l(a)u, r(b-i)v) =l(a)r(b-*)ii(u, v) (и <= К, veeD), откуда (d{a, b)\i) (del(a) X
X der(b~1)) = (del(a)) (der(b~l))d(e> e)\i. Поэтому ji диффеоморфно отображает
KX.D на открытое множество KDczG. В частности, (Ad#) (AdZ>) открыто в
Intg = AdG. Поскольку подгруппа Ad К компактна, множество (Ad К) (Adi))
замкнуто в Int g, откуда Int д = (Ad К) (Ad D) = Ad (KD). Учитывая, что Z(G) cz
cz К (следствие 5 теоремы 3.2), выводим отсюда, что G = KD.
31. Пусть ЯГ— многообразие флагов в векторном пространстве д. Рассмот-
Рассмотрим действие группы G на ?Г определенное присоединенным представлением
Ad. Подгруппа С a G (подалгебра сед) треугольна тогда и только тогда, когда
CczGf (соответственно с cz g/) для некоторого / е #". По теореме 1.1.1 Gf —
подгруппа Ли в G с касательной алгеброй д/. Отсюда выводится первое утверж-
утверждение. Максимальная связная треугольная подгруппа совпадает с G°f для неко-
некоторого / е &~ и, значит, является подгруппой Ли; аналогично, максимальная
треугольная подалгебра совпадает с д/ для некоторого / е 5Г. Отсюда легко
выводятся остальные утверждения задачи.
32. Если с — треугольная подалгебра, содержащая Ь, то по теореме 5 с =¦
= (с П f) + Ь. Если ж g с П I, то ad ^ — полупростой (в д (С)) оператор с ну-
левыми собственными значениями, откуда ad х = 0 и х = 0. Итак, с = Ь.
34. Проведем индукцию по dim С. Из существования флага, инвариантно-
инвариантного относительно С, следует, что С разрешима. Поэтому С = CiCOi где d, Co —
связные виртуальные подгруппы Ли в GL(V), Со нормальна в С, dim С\ = 1,
dim Co = dim С — 1 (задача 1.4.7). По предположению индукции можно счи-
считать, что замкнутое множество Qo = {/ е Q | g/ = / для всех. g е Со} непусто.
Подгруппа Ci переводит Qo в себя. Из задачи 33 видно, что при
вложении /: @~(V) -+&(№) группа С1={ехр tX \ t e IR}, где Xsg/(F), отож-
отождествляется с группой проективных преобразований { ехргУ|?еК}, где
У = (dR)X. По условию все характеристические корни оператора X вещест-
вещественны. Поскольку R эквивалентно подпредставлению некоторой степени (Id)s
тождественного представления, оператор Y обладает тем же свойством. Из лем-
леммы 3 следует, что существует флаг /о е fio? инвариантный относительно С\ и,
значит, относительно С.
35. Рассмотрим действие группы G на ^~(д), определенное присоединенным
представлением. Пусть D — максимальная треугольная подгруппа в G, описан-
описанная в задаче 28, и пусть /0 ^ &" •— инвариантный относительно D флаг. Из тео-
теоремы 6 следует, что орбита Q = 6!/ос:5г(д) компактна. Пусть теперь С — лю-
любая максимальная треугольная подгруппа в G. Применяя к линейной группе-
Ad С задачу 34, получаем флаг /i e Q, инвариантный относительно С. Если
fi = g/o, где gGG,ToC = gDg-K

ГЛАВА 6
РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВИ
В этой главе, которая, ввиду своей краткости, не разбита на
параграфы, будет доказана теорема Леви о разложении произволь-
произвольной алгебры Ли в полупрямую сумму разрешимого идеала (ради-
(радикала) и полупростой подалгебры, а также теорема о единственно-
единственности этого разложения, принадлежащая А. И. Мальцеву. Из теоре-
теоремы Леви следует результат, завершающий классическую теорию
групп Ли,— теорема о существовании группы Ли с произвольной
заданной касательной алгеброй. Затем мы рассмотрим аналог раз-
разложения Леви для алгебраических групп.
1. Теорема Леви. Пусть g— конечномерная алгебра Ли над по-
полем к = С или R. Подалгебра Ic=g называется подалгеброй Леви,
если g разлагается в полупрямую сумму
g = radg6)I. (I)
Разложение A) называется разложением Леви алгебры Ли д.
Задача 1. Естественный гомоморфизм л: g-*-g/radg изоморфно
отображает любую подалгебру Леви I с: g на полупростую алгебру
Ли 2 = g/rag д. Подалгебра Леви является максимальной полупро-
полупростой подалгеброй в д.
Задача 2. Автоморфизм алгебры Ли переводит ее подалгебру
Леви снова в подалгебру Леви.
В этом пункте будет доказана следующая
Теорема 1 (Леви). В любой конечномерной алгебре Ли д над
к = С или К существует подалгебра Леви.
Сначала мы докажем теорему 1 в случае, когда алгебра д имеет
коммутативный радикал и тривиальный центр.
Задача 3. Ядро любого дифференцирования алгебры Ли явля-
является подалгеброй.
Из задачи 3 следует, что достаточно построить дифференциро-
дифференцирование б^Вегд, являющееся проектированием пространства д на
radg, т. е. такое, что 6(g)c=radg и 8(х) = х (#^radg).
Задача 4. Предположим, что существует проектирование h
алгебры Ли g на radg, принадлежащее нормализатору подалгебры
adgc=gl(g). Если S (б) ^^ 0, то в g существует подалгебра Леви.
Приступим теперь к построению проектирования h: g-^radg,
удовлетворяющего условию задачи 4. Пусть Р — множество таких
у€ЁйЧ9Ь что ^(й) = гаAв и что z^lradg — скалярный оператор,
и пусть Q^P— подмножество таких у^Р, что Ы гасЩ = 0. Поло-
Положим также R = ad (radg) = {ad#]a; }

298 гл. 6. разложение леви
Задача 5. Подмножества Р, Q, R — подпространства в gl(g)t
причем RaQczP и dim Р — dim Q = 1.
Рассмотрим линейное представление р алгебры g в пространстве
gX (g), заданное формулой
Задача 6. Подпространства Р, (), R инвариантны относительно
p(g), причем p(x)P^Q для всех х<^&. Если радикал radg комму-
коммутативен, то р (х) Р <= i? для всех х е rad g.
Предположим теперь, что radg коммутативен, a &(g) = 0. Из за-
задачи 6 следует, что р индуцирует представление р алгебры 2 = g/rad g
в P/i?, причем ^)(g) P/i? с: (?/# для всех \ е з. Согласно задаче 5Г
dim P/i? — dim <?АЙ = 1. Поскольку 2 полупроста, предстаЕление р
вполне приводимо (следствие 3 теоремы 5.2.13). Следовательно, су-
существует такой Vo<^P\Q, что р(|) (vQ + R) = 0 для всех |:^0. Это
означает, что [ad^, ^ol^^^adg для всех xeg, т. е. vQ нормали-
нормализует подалгебру adg. Далее, ^olrad9 = ^, где А,^0, и оператор
h = -г- ^0 удовлетворяет условиям задачи 4. Тем самым теорема 1
к
доказана при наших предположениях.
Заметим, что из задачи 5.2.30 следует, что теорема 1 верна в
другом частном случае — когда rad g = &(g).
Для доказательства теоремы Леви в общем случае нам понадо-
понадобятся два свойства радикала алгебры Ли.
Задача 7. Идеал Ь^й содержит радикал radg тогда и толь-
только тогда, когда g/f) полупроста.
Задача 8. Пусть г — разрешимый идеал алгебры g. Тогда
rad(g/x) = (radg)/t. Образ любой подалгебры Леви в g при естест-
естественном гомоморфизме g -*¦ g/t есть подалгебра Леви в g/t.
Теперь докажем теорему 1 индукцией по dim (radg). Предполо-
Предположим, что она верна для алгебр Ли с радикалами размерностей
<dim(radg). Разберем отдельно случай некоммутативного и слу-
случай коммутативного радикала.
Пусть (radgO =^0. Тогда 0 < dim (radg/(radg)/)< dim (radg)r
причем (radg)' — идеал в g. Согласно задаче 8, radg/(rad gO —
радикал в gi=g/(radg)\ Поэтому в g4 существует подалгебра Леви
Ii. Пусть g2 = лг1 (Ii) с: g, где я: g ->¦ gi — естественный гомоморфизм.
Тогда g2/(radg)/=Ii, так что (radgO — радикал алгебры g2 в силу
задачи 7. Применяя предположение индукции к g2, видим, что в
g2 существует подалгебра Леви I. Легко видеть, что I — подалгебра
Леви алгебры g.
Пусть radg коммутативен. В силу доказанного выше мы можем
считать, что dim&(g) > 0. Тогда dim (radg/g(g) )< dim (radg). В силу
задачи 8 radg/$(g) — радикал алгебры g/s(g). По предположению ин-
индукции в g/a(g) существует подалгебра Леви Ii. Если gi — полный
прообраз подалгебры 1Х при естественном гомоморфизме g/(

ГЛ. 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВИ 297'
то i(fi) = radgi. Согласно задаче 5.2.30, в & существует подалгебра
Леви, которая, как легко видеть, является подалгеброй Леви и
Для д.
2. Существование группы Ли с заданной касательной алгеброй*
В этом пункте мы используем теорему 1 для доказательства сле-
следующей теоремы, являющейся одним из фундаментальных фактов
теории групп Ли.
Теорема 2. Пусть д— конечномерная алгебра Ли (над полем
С или R), I — ее подалгебра Леви. Тогда существует односвязная
группа Ли G (соответственно комплексная или вещественная), ка-
касательная алгебра которой изоморфна <J, представимая в виде
G=R\L, B)
где R = Rad G, L — односвязная подгруппа Ли с касательной ал-
алгеброй I.
Доказательство. Как показано в п. 1.4.4, существует одно-
односвязная группа Ли R, касательная алгебра которой изоморфна
rad д. С другой стороны, ясно, что существует односвязная группа
Ли L с касательной алгеброй, изоморфной I (например, односвяз-
односвязная накрывающая группа для IntI, см. задачу 5.1.4). Применяя за-
задачу 1.2.39 к присоединенному представлению ad: I -*¦ Der (radg),
получим односвязную группу Ли G = R \ L с касательной алгеброй
:(fi); 8
3. Теорема Мальцева. Нашей целью является доказательство
следующего утверждения.
Теорема 3 (А. И. Мальцев). Пусть I — подалгебра Леви ал-
алгебры Ли д. Для любой полупростой подалгебры $ с: д существует
такой cp^Intg, что срB)с=1. При этом автоморфизм >ф можно взять
из подгруппы группы Intg, порожденной элементами вида exp (adz),
где z e rad д (т. е. из связной виртуальной подгруппы Ли этой груп-
группы с касательной алгеброй ad (radg)).
Для доказательства нам потребуется вложение группы аффин-
аффинных преобразований аффинного пространства в группу линейных
преобразований векторного пространства на единицу большей раз-
размерности. Пусть V — векторное пространство над полем к = С или
R. Рассмотрим векторное пространство W ==V® к. Аффинная ги-
гиперплоскость А = (У, 1) cz W есть аффинное пространство с ас-
ассоциированным векторным пространством V. Рассмотрим подгруппу
G(W; W, V)<^GL(W), состоящую из преобразований, переводящих
в себя V и индуцирующих на W/V тождественное преобразование
(см. пример 3 из п. 3.1.1).
Задача 9. Подгруппа G(W\ W, V) совпадает с подгруппой
всех невырожденных линейных преобразований пространства И7,
переводящих А в себя. Если X*=G(W; W, У), то X индуцирует
в пространстве А аффинное преобразование. Обратно, любое аф-
аффинное преобразование пространства А получается таким способом
20 э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

298 гл- 6- РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВИ
из некоторого, однозначно определенного, элемента подгруппы
G{W; W, V).
Таким образом, группа GA (Д) естественно отождествляется
с подгруппой G(W; W, V)<=GL(W).
Лемма 1. Если все конечномерные линейные представления
группы Ли Н вполне приводимы, то при любом аффинном действии
группы Н существует неподвижная точка.
Доказательство. Пусть R: Н-+-GA(Д) —аффинное дейст-
действие группы Н. В силу задачи 9 R можно рассматривать как' ли-
линейное представление группы Н в пространстве W. При этом под-
подпространство V инвариантно. Из полной приводимости следует, что
существует такой вектор уоёА, что R(h)vQ = cv0, где c^fe, для
любого h^H. Поскольку й(%оёД, имеем с = 1, так что v0 —
неподвижная точка действия R.
Доказательство теоремы 3. Предположим сначала, что
радикал radg коммутативен. Рассмотрим одыосвязную группу Ли G
с касательной алгеброй д, построенную в п. 2. Ее радикал А =
= Radg является векторной группой. Подалгебре ? отвечает, в си-
силу теоремы 1.2.8, связная полупростая виртуальная подгруппа Ля
S c= G. Рассмотрим аффинное действие Л группы G в пространстве
А, определенное в задаче 5.2.16. Поскольку все линейные представ-
представления группы S вполне приводимы (следствие 2 теоремы 5.2.13),
из леммы 1 следует, что подгруппа S имеет в А неподвижную точ-
точку. Как и в п. 5.2.2, заключаем отсюда, что aSa~i <= L для некоторо-
некоторого а е4, Значит, (Ad а) 3<=1. Остается заметить, что Ad а = ехр (adz),
где z e rad g — такой элемент, что ехр z =a.
Теперь мы рассмотрим общий случай и применим индукцию по
dim (rad g). Предположим, что теорема доказана для всех алгебр
Ли, радикал которых имеет размерность <dim(radg). Положим
9i = g/(radg)/ и обозначим через 14, 04 проекции подалгебр I, 0 в
Й1. В силу задачи 8 lt — подалгебра Леви в алгебре д4 с коммута-
коммутативным радикалом radg/(radfi)/. Поэтому существует такой z{ e
^radg, что expadBi + (radg)/) 2i<=Ii, откуда exp(adzt) 5 с= (rad 9L-
+ 1. Поскольку dim (rad g) '< dim (rad 9), к подалгебре g2 = (radg)/ +;
+1 cz 9 применимо предположение индукции. Поэтому существуют
такие z2, ..., zre(rad9)/, что
(ехр ad zr)... (ехр ad z2) (ехр ad zCj 0 cz I.
Следствие 1. Любые две подалгебры Леви алгебры Ли g пере-
переводятся друг в друга произведением автоморфизмов вида ехр (adz),
где z^radg.
Следствие 2. Любая максимальная полупростая подалгебра
алгебры Ли является ее подалгеброй Леви.
4. Алгебраическое разложение Леви. В этом пункте рассматри-
рассматриваются алгебраические группы над полем комплексных чисел.
Пусть G — алгебраическая группа. Согласно задаче 3.3.10, ради-
радикал Rad G группы Ли G является неприводимой разрешимой алгеб-

ГЛ. 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВИ 299
раической подгруппой. Рассмотрим унипотентный радикал группы
Rad G, т. е множество всех унипотентных элементов этой группы
(см. п. 3.2.7). Будем называть его унипотентным радикалом группы
G и обозначать через Radu G.
Задача 10. Унипотентный радикал Radu G есть наибольшая:
унипотентная нормальная подгруппа группы G.
Задача 11. Алгебраическая группа редуктивна тогда и только
тогда, когда ее унипотентный радикал тривиален.
Задача 12. Пусть N—алгебраическая нормальная подгруппа
алгебраической группы G. Алгебраическая группа G/N редуктивна
тогда и только тогда, когда N => RaduG.
Редуктивной подгруппой Леей алгебраической группы G назы-
называется такая алгебраическая подгруппа Яс=С, что
G = RaduG А Я. C)
Задача 13. Редуктивная подгруппа Леви Я алгебраической
группы G является максимальной редуктивной алгебраической под-
подгруппой этой группы и изоморфна G/RaduG.
Задача 14. Если редуктивная алгебраическая подгруппа Яс=С
удовлетворяет условию G=(RaduG)#, то Я—редуктивная подгруп-
подгруппа Леви группы G.
Задача 15. Пусть U — унипотентная алгебраическая нормаль-
нормальная подгруппа группы G. Тогда Radw(G/[/) = (RadMG)/?/. Образ ре-
редуктивной подгруппы Леви в G при естественном гомоморфизме
G -+ G/U есть редуктивная подгруппа Леви в G/U.
Разложение C) называется алгебраическим разложением Леви
группы G. Наша цель — доказать существование и единственность
(с точностью до внутренних автоморфизмов) алгебраического раз-
разложения Леви.
Теорема 4. В любой алгебраической группе G существует ре-
редуктивная подгруппа Леей.
Доказательство этой теоремы мы разобьем на две части. Снача-
Сначала мы рассмотрим случай, когда радикал группы G состоит из уни-
унипотентных элементов, а потом общий случай.
Предположим, что RadM G = Rad G. Доказательство теоремы в
этом случае проведем по той же схеме, по которой доказывалась
теорема 1, т. е сначала рассмотрим подслучаи a) Rad G коммута-
коммутативен и 8(fl) = 0, б) rad g = 8(8)» & потом сведем к ним общий
случай.
а) Пусть Rad G = Radw G коммутативен и %{о) = 0. Пусть I) —
подалгебра Леви касательной алгебры Q группы G, существующая
в силу теоремы 1. Положим Я = iV(I)) = {^e G\ (Adg)I) = 1)}. Очевид-
Очевидно, Я — алгебраическая подгруппа группы G. Ее касательная ал-
алгебра есть n(f)) = (tl(f))n radfi)® I). Легко видеть, что tt(f))nrad8 =
= S(S) = 0, так что n(f)) = I) и Н полупроста. В силу задачи 14 оста-
остается доказать, что G = (RadG)^. Для этого рассмотрим действие
группы G на множестве всех подалгебр Леви алгебры g с помощью
20*

300 ГЛ. 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВИ
внутренних автоморфизмов a(g) (g<^G). Стабилизатором подалгеб-
подалгебры I) является Я, а в силу теоремы 3 подгруппа Rad G действует
на множестве всех подалгебр Леви транзитивно. Отсюда и следует
нужное нам разложение.
б) Пусть radg = 3(9). Тогда g — редуктивная алгебра Ли, т. е.
G° = (RadG) (G°)/. В этом случае мы рассуждаем так же, как при
доказательстве теоремы 5.2.5. Рассмотрим алгебраическую группу
Gi= G/(G°)/. Очевидно, (Gi)°—унипотентная коммутативная группа.
По теореме 3.2.2 (G^^Cf. В силу леммы 5.2.2 имеем G1 = (G1)°X
X #!, где Hi — конечная подгруппа. Полный прообраз Я подгруппы
Hi при естественном гомоморфизме G -*¦ Gt есть редуктивная под-
подгруппа Леви группы G.
Задача 16. Доказать теорему 4 в случае, когда Radu G = Rad G.
Теперь докажем теорему 4 в общем случае. Для этого фикси-
фиксируем в радикале Rad G некоторый максимальный тор Т. Согласно
теореме 3.2.10, RadG = RadUG\T. Положим Gi = N(T).
Задача 17. Имеем G^RaduG^.
Задача. 18. Подгруппа RaduGi совпадает с (RadttG)nG1.
Проведем теперь индукцию по dim(RaduG). Предположим, что
теорема 4 доказана для всех алгебраических групп, унипотентный
радикал которых имеет размерность <dim(RadMG). Согласно зада-
задаче 18, Radu Gi <= Radu G. Если dim(RaduG1)< dim(RaduG), то по
предположению индукции Gt =(Radu G4) X Я, где Я— редуктивная
алгебраическая подгруппа. Тогда из задач 17, 18 и 15 следует, что
Я — редуктивная подгруппа Леви группы G. Если же dim Radw Gi =
= dim Radu G, то в силу задачи 17 G = Gu так что подгруппа Т
нормальна в G. Из задачи 8 следует, что радикал алгебраической
группы G = G/T совпадает с (RadG)/?1^ Radu G и поэтому состоит
из унипотентных элементов. По доказанному выше & обладает ре-
дуктивной подалгеброй Леви Н, которая на самом деле полупроста.
Пусть р: G-+G — естественный гомоморфизм и пусть H = p~i(H)\
Тогда Т = Rad Н (см. задачу 7), так что Н — редуктивная алгеб-
алгебраическая подгруппа в силу задачи 5.2.31. Легко видеть, что Я—¦
редуктивная подгруппа Леви группы G. Доказательство теоремы 4
закончено.
Теорема 5. Пусть G = RaduG \ Н — алгебраическое разложе-
разложение Леви алгебраической группы G. Тогда для любой редуктивной
алгебраической подгруппы Q <= G существует такой и е Radu G, что
uQu-1 с Я.
Доказательство проведем по той же схеме, по которой доказы-
доказывается теорема 3. Сначала докажем теорему 5 в случае, когда уни-
унипотентный радикал группы G коммутативен. По теореме 3.2.2 в этом
случае Radu G — векторная группа. Поэтому применимо рассужде-
рассуждение, использованное в п. 3 для доказательства теоремы 3 в случае
коммутативного радикала (лемма 1 применима к группе Q в силу
следствия 1 теоремы 5.2.13).

ГЛ. 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВИ 301
Задача 19. Доказать теорему 5 в общем случае.
Следствие 1. Если Ht и Н2 — две редуктивные подгруппы
Леей алгебраической группы G, то существует такой и е RacU Gr
что uHiW1 = #2.
Следствие 2. Любая максимальная редуктивная алгебраиче-
алгебраическая подгруппа алгебраической группы является ее редуктивной
подгруппой Леей.
Упражнения
1. Пусть не обязательно связная группа Ли G удовлетворяет условиям:
Rad G коммутативен; Z(G°) дискретен. Тогда в G существует подгруппа Ли L,
такая что G = Rad G \L. При этом Rad G —- векторная группа.
2. Пусть G — односвязная группа Ли, $ — идеал алгебры Ли д. Тогда в G
существует связная нормальная подгруппа Ли Н с касательной алгеброй I).
(Указание: рассмотреть связную группу Ли Q с касательной алгеброй g/f) и го-
моморфизм G~*~Q, дифференциал которого есть естественный гомоморфизм
Указания к задачам
4. Поскольку оператор ad h: gl(g)->-gI(g) индуцирует дифференцирование
алгебры ad g и поскольку ad: g -> ad g — изоморфизм, существует такой б е
е Der g, что
[h, adz] = ad 5 (я) (ж eg).
Очевидно, б — проектирование пространства д на rad д.
10. Следует из того, что любая унипотентная нормальная подгруппа связ-
связна и разрешима (теорема 3.3.7) и потому содержится в радикале Rad G.
11. Использовать задачу 5.2.31.
14. Из задачи 12 следует, что (RadM G) [\ Н = {е}.
16. Провести индукцию по dim (Rad G), как в доказательстве теоремы 1.
17. Рассмотреть действие группы G на множестве всех максимальных то-
торов труппы Rad G при помощи внутренних автоморфизмов и учесть, что под-
подгруппа Rad G с: G действует на этом множестве транзитивно (задача 3.2.23).
18. Из задачи 17 следует, что алгебраическая группа Gi/(RadM G) f] Gi ^
^ G/Radw G редуктивна, так что (RadM G) (]Gizd Radu Gt в силу задачи 12.
Обратное включение следует из задачи 10.
19. Провести индукцию по dim (Radu G), как в доказательстве теоремы 3.

СПРАВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
§ 1. Некоторые формулы
1. Группа Вейля и показатели. Пусть G — односвязиая некоммутативная
простая комплексная группа Ли, g — ее касательная алгебра, W — группа
Вейля, {ао, «i, ..., щ} — расширенная система простых корней. Обозначим через
щ, 7ii, • •., ni коэффициенты линейной зависимости между ао, cti, ..., а*, нор-
нормированной таким образом, чтобы щ = 1 (см. табл. 6)*
Расположим положительные корни алгебры g в таблицу таким образом,
чтобы в к-и строке находились корни высоты к (см. упражнение 4.3.25) и
чтобы последние элементы всех строк находились в одном столбце. Длины
строк этой таблицы будут образовывать невозрастающую последовательность,
причем первая строка будет иметь длину I. Пусть mi — число элементов в
г-м столбце. Числа гаь ..., mi называются показателями группы G (или ал-
алгебры д). (См. табл. 4.)
Наконец, определим элемент Киллинга — Кокстера с группы W: с = п
... п, где п, 7*2, ..., vi — отражения, ассоциированные с простыми корнями.
С точностью до сопряженности в группе W элемент с не зависит от нумерации
простых корней.
В этих обозначениях имеют место следующие формулы.
(Ф1) Число корней алгебры g равно I ^ п. =2 ^ пц.
(Ф2) Порядок z центра Z(G) группы G равен количеству единиц среди
чисел пi.
(ФЗ) Порядок группы W равен z-1\ JJ пг — JJ (тг ~j~ 1).
(Ф4) Если gk — число элементов группы W, размерность пространства
неподвижных векторов которых равна I — к, то 2 S^k = JJ[ A + т^)»
(Ф5) Порядок h элемента с (число Кокстера) равен 2 пг == тах'ггг ~^~ ^*
(Ф6) Собственные значения элемента с суть 8mi? #e#i гт^ где е — пер-
первообразный корень степени h из единицы.
(Ф7) Алгебра W-инвариантных многочленов на максимальной диагонали-
зуемой подалгебре свободно порождается однородными многочленами степеней
mi + 1, •.., nil + 1.
(Ф8) Полином Пуанкаре группы G равен Ц (l + t г )•
2. Линейные представления комплексных полупростых алгебр Ли. Пусть
g — комплексная полупростая алгебра Ли, G — связная группа Ли с касатель-
касательной алгеброй д. Будем использовать следующие обозначения:
Я (Л)—неприводимое линейное представление группы G со старшим ве-
весом Л;
У (Л) —пространство этого представления;
V%(A)—весовое подпространство пространства У (Л), отвечающее весу А;
mi (Л) = dim V% (Л)—кратность веса X в представлении Я (Л);
Лх = — w0A — старший вес представления /?(Л)*;
Лг- = A (hi) (i = 1, ..., I) — числовые отметки веса Л;
р — полусумма положительных корней (см. упражнение 4.2.5, а также
таблицы 1 и 2).
Имеют место следующие формулы.
(Ф9) dim R (Л) = JJ (Л + р, а)/(р, а),
а>о

§ 1. НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ 303
где а пробегает множество положительных корней (формула Г. Вейля),
= 2 2
a>o,k>o
где а пробегает множество положительных корней (формула Фрейденталя?
см. [48], а также [3], упражнение 5 § 9 гл. VIII).
(ФИ) Кратность вхождения представления R(N) в представление
R(A)R(M) равна
dim {v e 7N_A (M) | <Ш (М) (е.)Ai+1 v = 0 при i = 1, ...,
= dim {у е 7Л_М, (N)|^(N)(^)Mi+1y-0 при
= 1, ..., Z/
(см. [46], а также [3], упражнение 14 § 9 гл. VIII),
3. Линейные представления вещественных полупростых алгебр Ли. Пусть
% — вещественная полупростая алгебра Ли. Будем использовать обозначения.
Если р: Q—>-gI(F)—вещественное линейное представление, то р(С):
g -*-Ql(V (С)) — комплексное продолжение представления р. _
Если р: g->gI(F)—комплексное линейное представление, то р — пред-
представление р, рассматриваемое в пространстве F, полученном из V изменением
знака комплексной структуры, а рк — представление р, рассматриваемое в
вещественном пространстве FK.
Будем говорить, что комплексное представление р допускает веществен-
вещественную (кватернионную) структуру, если в V существует антилинейный опера-
оператор / с условием Я = Е (соответственно —Е), перестановочный с р(х)
BG8). Наличие вещественной структуры равносильно тому, что Р = РО(СЬ
где ро: Q-^-Qi(VJ)—вещественное представление, а кватернионная структу-
структура — это то тоже, что структура кватернионного векторного пространства
на 7, согласованная с р.
Неприводимые вещественные представления алгебры g распадаются на
два класса (см. [40]): а) неприводимые представления р, для- которых р (С)
неприводимо (над С); б) представления pR, где р — неприводимое ком-
комплексное представление, не допускающее вещественной структуры. В клас-
классе а) рх - р2 & рх (С) ~ р2 (С), а в классе б) р^ ~ р? о (рх - р2) V (Рх ~ Р2)
(см. упражнения 5.1.6 и 5.1.7). Поэтому описание неприводимых вещественных
представлений сводится к следующим двум вопросам о неприводимых ком-
комплексных представлениях: когда pi ~ р2 (в частности, когда р ~ р)? какие
неприводимые представления с условием р ~ р допускают вещественную
структуру? Ответ на эти вопросы дается в терминах старших весов.
Старшим весом комплексного неприводимого представления р будем на-
называть старший вес Л продолжения этого представления на 9(с); будем
писать р = р (Л), поскольку Л определяет р с точностью до эквивалентности
(см. теорему 4.3.2). Пусть 0 — канонический инволютивный автоморфизм
алгебры g (С), отвечающий вещественной форме д, и пусть т = т]F) —соот-
—соответствующий автоморфизм системы простых корней. Тогда справедлива
(Ф12)
В частности,
(Ф13) р (Л) - р (Л) ^ vt (Л) = Л.
Пусть теперь__р: g —>- gX(F) — неприводимое комплексное представление.,
для которого р ~ р. Тогда в V существует невырожденный антилинейный

304
СПРАВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
оператор /, перестановочный с р{х) (х eg), причем Р = сЕ, где сеК*.
Число е(р) = sgn с = ± 1 не зависит от выбора оператора / и называется
индексом представления р (см. [40]).
Предположим, что т = id, т. е. что Gelntg(C). Тогда условие р(Л) ~
~ р(Л) выражается равенством vA = Л, а индекс вычисляется по формуле
(Ф14)
;(p(A))=(-lJABU+pV)f
У
где ехр Bяш) =0, ар^ = _. ^S ha = ^ я У (см. [41]). В частности, для
coo i—i
компактных алгебр Ли е (р (Л)) = (— 1JЛ^Р /= + 1 в зависимости от того,
симметрична или кососимметрична невырожденная форма, инвариантная отно-
относительно р (см. упражнение 4.3.12). Если r=^<id и g (С) проста, то условие
р(Л) ~ р(Л) выражается равенством А2р-\ = А2р в случае g (С) = $р (С)
и всегда выполнено, если g (С) имеет тип Ai (I > 1), Z>2p+i, ^65 индекс вы-
вычислен в [41].
В следующей таблице указаны индексы неприводимых комплексных пред-
представлений некомпактных вещественных форм g простых комплексных алгебр
Ли (для алгебр д, не вошедших в таблицу, всегда е(р) = 1):
g
e (P (Л))
8
e(p(A))
g
e(p(A))
SUfe,2P-fe
п* (И)
(_1)л1+л>+...+л1[1/1]_х
*h,i-k
0l (Ul}
/ j v A-» ~rЛпТ • • • "t" Л2т)—-1
\~~~ ¦*•/
1, 1 1 1 (l—W — %)\/ t
Пусть g = g0, где до — простая алгебра Ли над С. Используя нормаль-
нормальную вещественную форму в д0, мы можем отождествить алгебру g (С) с±*
~ g ф д0 с до Ф до- Доминантный вес алгебры д (С) записывается в виде
Л = (Ль Л1), где Ai, Л1 — доминантные веса алгебры до. Условие р(Л) ~
~ р(Л) записывается равенством Ai = Л1, причем всегда е(р(Л)) = 1.
Укажем, наконец, как выражается индекс представления произвольной
полупростой алгебры Ли g над К. Пусть g = © ^, где %i просты, и пусть
г=1
(С). Условие
1, ..., s. При
г1
А= (Аь ..., As), где Aj — доминантный вес алгебры Ли
р(А)
р(А) равносильно условию р(А^) =
S
ЭТОМ Е(р(Л))= П8(Р(Лг))'
1
для всех

§ 2. ТАБЛИЦЫ
305
§ 2. Таблицы
Таблица 1. Веса и корни. Веса групп Вг, Сх, Db и F4 выражены в таблице
через некоторый ортонормированный базис (е1? ..., 8Z) пространства t (Q)*. Веса
групп Ар Е1, Es и G2 выражены через векторы 8 , ..., е^+1 s t (Q)*, связанные со-
соотношением 2 8i == 0. Для этих векторов
(е,, Ег) =
), (е,,в,) = -l/(Z+l) при
: /;
полезно, однако, иметь в виду, что если 2^ = 0, то B aiev 2 6Л') = 21 агЪг'
Веса группы .Eg выражены через векторы гг, ..., еб е t (Q)*, построенные как для
-4 5, и ортогональный им вектор est (Q)*, удовлетворяющий условию (8, е)= 1/2.
Индексы г, /, ... в записи любого веса считаются различными.
Во всех случаях группа Вейля содержит любые перестановки векторов 8|. Для
групп Bt, Сг и F± группа Вейля содержит также все преобразования вида гг •-*
"~* i в^, а для группы Z)^ — все такие преобразования с четным числом минусов.
Группа Вейля группы EG содержит преобразование е^ н-*> е^, еи> — г. Группы Вейля
групп^7, Е8 и G2 содержат—1.
В столбце «Схема Дынкина» указана нумерация простых корней, принятая во
всех таблицах.
В столбце «Корни и простые корни» указан также старший корень б, а в столб-
столбце «Фундаментальные веса»— также их сумма р (равная полусумме положитель-
положительных корней).
Тип G
Схема Дынкина
dim G
Корни и простые корни
1 2
Г- + 21
«г = Ч - '
6 = 8, — i
1 2 /-1 I
212+ I
б = sx+ s2 = я2
(Z>2)
1 2
-l I
2/2 + Z
б = 2в!= 2

306
СПРАВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
Продолжение табл. 1
Тип G
A>3)
Ее
Е7
Es
F*
Схема Дынкина
1 2 L-2^1
12 3 4 5
12 3 4 5 6"
12 3 4 5 6 7
1 2
dim G
21*—1
78
133
248
52
14
Корни и простые корни
rfc 8i=fc 8j
аг = Ч ~ ег+1 0 < 0,
CCZ = 8Z_X + ez,
s__g 4_F _Гя2при Z>4,
°~8^82~\я2+я3 при Z=3
84 — 8j, ±28,
ei + е^ + eft'=fc 8
tt| = 8j — 8i + 1 (l < 6),
аб = 84+ 85+ 86+ 8»
6 = 2s = я6
4 ~ tj'
4 + 8j + 4 + sz
oti = ei — ei+1 (i < 7),
«7 = 85+ S6+ S?+ S8»
6 = —87 + 88 = Яб
8i-Sj,rb(8i+8j +8^)
аг = Ч- ei+i (l < 8)»
a8 = 86+ 87 + 88»
6 = 8X— 89 = Ях
(±81±е2±83±е4)/2
«i= (si— S2— s3— 84)/2,
aa= 84.
^3= S3— e4>
664= 82 83,
6 = 8x+ 82= %
8i-8j, ±?|
«1= —82>
^2= 82~ 83
6 = 8X— S3== JT2

§ 2. ТАБЛИЦЫ
307
Тип G
Ai
(Z>1)
Bi
(Z>2)
Cl
(l>2)
(l>3)
E7
Es
Ft
G2
Фундаментальные веса
JV= e±+. . .+8j,
p =l&i+(l _ l)e2+. . . + 8Z
я~ 8X+. . .+е4 (i<l),
nl:=~2(ei+ •••+?z)'
p = y [{21 - 1) 8l + B1 - 3) 82 + ... +8Z]
Я~ 6j + . . . + 8f,
p= /8^—1)82+. . . + 8Z
Я4= 8X+. . . + 8| (i<Z-l),
1
^/_i = T (8i + • • • + 8'-i"" 8')'
яг = Т(в1+ ••' +8z-i + 80'
p=(Z-l)81+(Z-2)82+. . .+?,_!
я~ 8X+. . .+84+тш{1, 6 — *}•& (i < 6),
Jte= 28,
p = 5sx+ 4e2+. . .+ 85+ lie
Щ= 8X+. . .+8|+тт{^, 8 — г}-88 (i < 7),
Я7= 2е8,
p = 6e!+ 5s2+. . .+86+ 17e8
Я|= 8Х+. . .+ e— rnm{t, 15 — 2г}.е9 (i < 8),
Jig O&g,
p = 7e2+ 6e2+. . .+87— 22e9
Jtr= 82,
Я2 = ТC81 + 82 + 83 + 84)'
я3= 2e!+82+ 83,
я4= 8Х+ е2,
P=X(ll8l + 582+383 + 84)
Я1= 81?
Я2= 8Х— 83,
p = 28!—83
dim
й(Ях)
H-l
2Z+1
2Z
2Z
27
56
248
26
7
Веса R (яО
±8{, 0
±8;
8i=fc 8,
-8i~ Ej
±(8г+г;+8/г)'
0 (кратности 8)
± 8i,
1
-2~(±81=Ь82-±
±e3±e4),
0 (кратности 2)
±8г'°

308
СПРАВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
Таблица 2. Матрицы, обратные к матрицам Картана. Матрица (Ат) *,
обратная к транспонированной матрице Картана А, является матрицей перехода
от системы простых корней к системе фундаментальных весов, т. е. в i-ж ее столбце
стоят коэффициенты выражения веса п% через простые корни. В частности,
удвоенная сумма всех ее столбцов, указанная в последнем столбце таблицы, пред-
представляет собой столбец коэффициентов в выражении суммы 2р положительных кор-
корней через простые корни.
Матрица diag^, ..., diy(AT)~~1, где d(= (аь о^)/2 (эти числа указаны в
предпоследнем столбце таблицы), является матрицей Грама системы фундамен-
фундаментальных весов.
Тип G
Al
в
I
I
I
Ee
1
l+l
1
о
4
л
4
4
4
4
2
I 2
r z г
(
Z-l 2(
1
Z—1)
Z—2) 2(Z—2)
2
1
( 2
1
о
2
2
2
I 2
( 2 2
2 4
2 4
2 4
I * 2
4 4
8 8
8 12
8 12
4 6
4 6
Г 4
1
3
5
6
4
2
3
2-2
2
2
4
4
4
4
2
4
6
6
3
# #
• •
5
10
12
8
4
6
Z-2
2(Z—2)
3(Z-2)
3-2
3
2 . .
4 . .
6 . .
6 . .
6 . .
...
. . .
. . .
...
. . .
4
8
12
.40-
.20-
. 20-
6
12
18
12
6
9
...
. . .
. . .
2
4
6
.20-
.20-
2
4
6
0.
Z-
r
1
20-1)
I — 1
-2) 20
2)
-2) Z
4
8
12
10
5
6
2
4
6
Z
—
2
4
6
5
4
3
2 1 )
2-2 2
3-2 3
-1J Z-l
-1 Z
1 >
2
3
Z-l
) I )
2
4
6
20 - 1)
I
2 )
4
6
¦2) 20 — 2)
1 — 2
2 I )
3 \
6
9
6
3
6
d
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1/2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2p
Z
20-1)
30-2)
0 - 1J
Z
2Z- 1
2BZ — 2)
3BZ — 3)
0 - 1H + 1)
Za
2Z
2BZ — 1)
3BZ — 2)
0 - 1H + 2)
Z0 + l)/2
2Z —2
2BZ — 3)
3BZ — 4)
P - 2H + 1)
Z0— i)/2
16
30
42
30
16
22

§ 2. ТАБЛИЦЫ
309
Тип G
Ei
F
¦^8
4
2
1
2
' 2
3
4
5
6
4
2
3
3
4
5
6
4
2
I 3
3
6
8
10
12
8
4
6
4
8
10
12
8
4
6
4
8
12
15
18
12
6
9
/ 2
1 3
2
\ 1
и
5
10
15
18
12
6
9
5
10
15
20
24
16
8
12
3
• 6
4
2
r)-i.
6
12
18
24
1.6
8
12
6
12
18
24
30
20
10
15
4
8
6
3
3
2
4
8
12
16
12
6
8
4
8
12
16
20
14
7
10
2
4
3
2
2
4
6
8
6
4
4
2
4
6
8
10
7
4
5
\
]
/
Про
3
6
9
12
8
4
7
3
6
9
12
15
10
5
8
Д
]
э л ж е i
d
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1/2
1/2
1
1
1/3
1
i и е
табл. 2
2p
27
52
75
96
66
34
49
58
114
168
220
270
182
92
136
22
42
30
16
10
6

Таблица 3. Центры, внешние автоморфизмы и били-
билинейные инварианты. В таблице указаны центры и группы
внешних автоморфизмов односвязных простых комплексных
групп Ли.
В предпоследнем столбце указан порядок автоморфизма v
схемы Дынкина, переводящего числовые отметки старшего
веса неприводимого представления в числовые отметки стар-
старшего веса сопряженного представления (см. упражнение
4.3.6).
Для того чтобы в пространстве представления R (А) суще-
существовала невырожденная симметрическая или кососимметри-
ческая инвариантная билинейная форма, необходимо и доста-
достаточно, чтобы представление Л (А) было самосопряженным,
т. е. чтобы Av(i)= Аг при I = 1, ..., I (см. упражнения 4.3.9
и 4.3.7). Эта форма симметрична тогда и только тогда, когда
R(A) отображает в единицу элемент центра Z(G)= P^/0^>
соответствующий указанному в последнем столбце элементу
&еР^, т. е. когда Л (&) е Z (см. упражнения 4.3.12 в
4.3.13).
Для групп Е8, F4 и G2, не упомянутых в таблице, центры
и группы внешних автоморфизмов тривиальны и всякое ли-
линейное представление обладает невырожденной симметриче-
симметрической инвариантной билинейной формой.
Тип G
Ai
Ах
Bi
Ci
A нечетно)
D,
(l четно)
Ев
En
Z(G) -
- pV/qV
z3
z3
z2
z4
Z2XZ2
z3
z2
Образующие P^/qV
hJ2
ht/2
(h±+ h3+ hb+. . .)/2
4 (*i + hs+... + /г,_2) +\ (hi-y-hfi
(h1 + hs+... + hl_1)l2,
(hi-i + hV2
(h±- h2+K- hb)/3
(hx+ h3+ h7)/2
Aut G/Int G
z2
{e}
z2
Z 2 при I > 4
S3 при I = 4
z2
lv|
2
1
1
1
2
1
2
1
b ¦
4" (Л1 + Лз+ • • • + hi) ПРИ Z==2^+ 4>
0 в остальных случаях
/»i/2
У2при Z = 4g + l,4g + 2,
0 в остальных случаях
(М-М-Vb • 0/2
(Лг_х + ^)/2 при 1 = 4д + 3,
0 в остальных случаях
(д/-1 + й/У2 ПРИ Z = 4д + 2,
0 в остальных случаях
0
(fci+ Л3+ Л7)/2
W
о

§ 2. ТАБЛИЦЫ 311
Таблица 4. Показатели. О показателях и числе Кокстера h см. § 1.
Тип G
Al
BvCl
Eg
E7
E
p
G2
1,2,3,
1,3,5,
1,3, 5,
1,4,5,
1, 5, 7,
1,7,11
1,5,7,
1,5
. . .,
7,8,
9,11
,13,
11
Показатели
t
21 — 1
21 — 3, Z — 1
11
,13,17
17,19,23,29
h
l + l
21
2A - 1)
12
18
30
12
6
\w\
(l + l)!
2*-Z!
2l~1.l\
27-34-5
910. Q4. 5 . 7
914,35. 52. 7
27-32
22-3
Таблица 5. Разложения тензорных произведений и размерности некото-
некоторых представлений. Таблица содержит разложения на неприводимые компоненты
произведений, а также внешних и симметрических степеней некоторых неприводи-
неприводимых линейных представлений простых комплексных групп Ли. Кроме того, ука-
указаны размерности всех встречающихся в этих формулах неприводимых представ-
представлений. В таблице используются следующие обозначения:
R = ^(jXjl)— простейшее представление,
п = dim R — I + 1, 2Z + 1, 2Z, 2Z для групп Л i? B^ C^ D} соответственно,
Ad = 7?(б)— присоединенное представление,
1 = Л@) — единичное представление,
&(pi q)i P^ q^ 0 — совокупность пар (х, у) е 1_\, удовлетворяющих усло-
условиям х + у ^ р + q, х — у^р — q, х — у нее р — q (mod 2).
Если представление, стоящее в правой части формулы, обозначено символом,
не имеющим смысла (например, R(—л;х+ jt2)), то его следует считать нулевым.
1. .
2. j
2. i
il.
R (рях) Л
dim i? (ря
Av Z>2
В правых
рях).
i=0
00
1) = p + *
(/г = Z -f-1)
частях формул следует считать
, что яо =
яп = 0.

312
СПРАВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
Продолжение табл. 5
оо
3. Л (яр) Л (я,) = 2 R (np+i + «,_,),
2=0
4. R (ря1) R (яд) = R (р^х + Jtg) + R ((
5. Л (pnj Л (qn±) = ^\R((p + q-2i
г=0
оо
S2R (рлг) = 2 Л (<2^ - 40 я! + 2iT
2=0
6. Л (рях) Ad = Л ((р + 1) ях + nz) + J
7. Л (яр) Ad = Л (ях + яр + nt) +R(v
+ Л(
со
8. Л (рях) Л (дяг) = 2 R ((Р —¦1) пг +
2=0
П Л 2 А 1 D /О» 1 яч» \ 1 Е> / 1 О
у. /\ Аа = л (^ft-, т" Jic;_i) + ¦" (Л2 '
~ [Л Bях + 2я2) + Ad + 1,
л
ря -|- qTtj
рте ~\~ qK
ря +• 71 п -+ 7ii
p + i
га+Р+?-
и— 1
p + i !n
P + q + A
п(п— q
(р + q)(n-
Р*
Р-
) пх-
Ч(ря
li +
Р + ]
- \q —
f гя2)
i) +
+ Я2
Лр-1)
- г) я,)
hAd;
2.
. р>?;
+ я,) + /
+
) + л (яр;
dim Л (А)
\р
1 i
+И
1
g
-Ьр)
f P-
Р
W» +
'« + f
\ Р
Р
+Г
/п +
V
-s)(i+
-)(.+
Р + 1\ Л
р А
?((р-2)я
), 2<р5
¦q — 2\
Я )
Г)
1 + 1\
^Z-l.

i 2. ТАБЛИЦЫ 313
Продолжение табл. 5
Обозначения:
при 1
, при
— 1,
2.
3. R (яр
i=0
4. Л (pnj Л (я,) = Л (pnt + я„) + Л ((р -1) ях + Vi
5. Л (ря^ Л
Л ((* -
2
(»>г/)еД(р,р)
6. л (я ) л (я,) = 2 R (я__! + я,) р < г
2
1=0
7. Л (рях) Л (я,) = Л (ря1 + я,) + Л ((р - 1) ях + Я,).
8. Л (я,J =2 Л(яг_.);
i=0
i;
г=о
i=0, 3(mod4)
dim Л (Л)
(")
рпг
п + 2р — 2(п + Р — 2
п + р-2
ГГ)
21 Э. Б. Винберг, A. JI. Онищик

314
СПРАВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
Продолжение табл. 5
dim R (Л)
i — p — g 4-
n\ [n + 2
q
(n + 2p) g fn + p-l\fn- :
(p+ q) (n + p — q) \ p A q
i-l
(p— q)TC1+ qn^
-S)(n-i-2q — '
(p + l){n- 2) (n - 3) (n - 4)
X
2l
n-p+1
\CV
(п = 21)
В правых частях формул следует считать, что я — 0.
[оо
2. БРЛ = Л (ря,).
х—т/<?г—р—q
4. /?|
5. Л i
x=iy~p(mod2)
Ся_) = R (рл,
- 7? ((р — 1) ях + лд_1) + Л ((р -
Л ((ж — у) п± + уп2)\
dim R (Л)
ГГ)

§ 2. ТАБЛИЦЫ 315
Продолжение табл.5
dim Л (Л)
>—q + l)(n — 2p + 2) (n—p-q+3) (я —2д + 4)
(p + 1) (я - p + 2) (я - p + 3) (я - q + 4)
*("
X
(n+p-
(Р — q) п±
1)(я-1)
/л + р + 1\ /n+ 1\
i \ p I \ q I
\ — 1) (n -\- p — 2\ (n ~\- q — Ъ
V "P
Обозначения:
1яр при 1 <р< Z — 2,
я;-1 + я;г при р = Z — 1, Z + 1, я0 = пп = О
яп_р прп Z
Формулы 1 — 5 такие же, как для Вг.
ОО
За. Л Bя,) Л (я ) = 2 R Bяг +^-2i) +
i=0
36. Л Bя^) Л Bя^х) =
у
х=у=1—I(mod2)
00
Зв. Л Bя,J = Л Dя7) + 2 Я Bяг + ^_2i) + 2 R («* + яу);
i=l y<x<l
x=y=l(mod2)
S2R Bя,) = Л Dя,) + 2 Л Bяг + «i-4i) + 2 Л («* + ^)
2=1
4а. R (ря j) Л Bя,) = Я (рях + 2яг) +
+ R {(р - 1) ях + я,_!) + Я ((р - 2) ях + 2я,).
6.
1=0
6а. Л Bя,) Л (я,) = Л (Зя,).+ 2 R (л/-2г+ я/)-
21*

316
СПРАВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
Продолжение табл.5
7. R
8. Л
R (яг) - R (рк1 + я,) + Я ((р - 1) лх + я^).
i=0
9. Л (Я;J = Л Bяг) +2Л (я,_„);
л
Яр
я
Р х
1 q
(р ^) л1+дя2
2п1
2я Н
яг + яр
4яг
рях+ я.
Z
ЗЯ,
(р-<7 + 1)(и-
(р + 1)(я-
(тг + 2р) q
(р — q + 1) (п-
(Р-
2A-р+1)
A + 1) (п — р -
п-
п
- р-
- рЛ
\-2р
- 1) (
2 /
Ь2I
И
2z-i
dim Л
/»
f 2p-2^
+ р-2 ^
- ? + 1) /и
-D 1р
Гд + р-1
— 2) /'д -\- i
п — 2) (п —
С:
п-П/п
/ —1 / \
2
l)(Z + 2)
/тг— 1\
1
п — 2р +
(Л)
)
i + p
)(¦
\ /л-
;;;
¦3) (м
1)
+ 1\
р /
1п~
Ki-
Kiln +
1
L
-р —
Р
\i-
+
-1
—
(п
\
J
р
р
?
)
2\
У' 9^-Р5
\
4)
<г 1
/я+1\
1 ' i
1
--- 7
„ 4
И 1.
X
+ ?-5\

i 2. ТАБЛИЦЫ
317
Продолжение табл.5
1.
2.
3.
4.
•
2.
3.
1.
в
Л2Л = Л (я2);
RR* = Л (Ях + Я5) + Ad
R-Ad-R^ + nJ + R
Л2 Ad = Л (я3) -f- Ad;
S2 Ad = Л Bя6) + Л (п1
(Л = Л(я1), А<1 = Я(я
А
dim Л (А)
«! Я6
27 78
Э2Л = Л Bях) + Ad.
Л-Ad = Л (я1 + я6) +Л
Л2 Ad = Л (я5) + Ad;
S2 Ad = Л Bя6) + Л (я2)
Л
dim Л (Л)
56 133
Л2Л = Л (я2) + Л;
Б2Л = Л Bях) + Л (я7) -
+ 1.
(я2)*+Л.
а)-)
я, 2ях Я1 + я5
351 351 650
(я7) + Я.
+ 1.
я7 2ях я2
912 1463 1539
Я1 -f- я6 2яб яд
1728 2430 2925
Я1 ~^~ Я6 ^"^б ^5
6480 7371 8645

318
СПРАВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
Продолжение табл.5
1.
2.
3.
1.
2.
3.
4.
К
Л2л =
Б2Л =
Л-Ad
Л2 Ad
S2Ad
(Л =
А
dim Л
Ш
Л2л =
S2i? =
Л-Ad
Л2 Ad
S2Ad
ЛBях
(Я=.
Л
dim R (Л)
пг я7 2ях я2
248 3875 27 000 30 380
= Л (я2) + Ad;
-RBaJ+R + l.
^R^ + nJ + R^J + R.
= «K) + Ad;
= RBni)+RBn1) + i.
R^), Аа = Л(я4).)
(A)
ях я4 я2 2ях яг+я4 2я4 я3
26 52 273 324 1053 1053 1274
= Ad + R;
= ЛBя1) + 1.
= Л (я1 -}- яд) -j~ Л ^2я-^ -f- Л,
= R CЛ1) + Ad;
= ЛBяа)+ДBя1)+1.
) Д =Л (Зях) + Л (ях + яа) + Л Bях) + Ad + Л.
R(k1), Ad=fl(»g.)
А я^^ Я2 2я1 я^ -f- Я2 2я2 Зя^
din^ (A)| 7 14 27 64 77 77

§ 2. ТАБЛИЦЫ
319
Таблица 6. Аффинные схемы Дынкина. В таблице перечислены связные аф-
аффинные схемы Дынкина. На каждой схеме указаны коэффициенты линейной зави-
зависимости между векторами соответствующей допустимой системы, являющиеся на-
натуральными числами и нормированные условием взаимной простоты в совокупности
(см. задачу 4.4.47).
Тип
Аффинная схема
Тип
Аффинная схема
12 3 2 1
(J>3)
1 1
2 2
12 3 4 5 6 4 2
1 2 2
2 1
2 4 3 2 1
3 2 1
1 2
2 2
1 1 1
1 1
1 2
12 3 2 1
ЛB)
2 2
2 1
t 2 1

Таблица 7. Инволютивные автоморфизмы комплекс-
комплексных простых алгебр Ли. В таблице указаны схемы Каца всех
автоморфизмов 0 порядка 2 комплексных простых алгебр Ли g
(с точностью до сопряженности в группе Aut g). Поскольку
все ненулевые числовые отметки схем Каца автоморфизмов по-
порядка 2 равны 1/2, достаточно выделить вершины соответст-
соответствующей аффинной схемы Дынкина, снабженные ненулевыми
числовыми отметками. Поэтому числовые отметки опущены,
вершины с ненулевыми отметками изображены черными
кружками, а вершины с нулевыми отметками — белыми
кружками. Вершина аффинной схемы Дынкина L^ зануме-
занумерована таким образом, что если Ч = {aQ, a1?..., at) — соот-
соответствующая занумерованная допустимая система векторов,
то П1=={(а0,1Д), (ос^О),..., (av 0)} — система простых кор-
корней пары (д, т), где т = т]@) е Aut П, причем система про-
простых корней По= {ах, ...,ctj} алгебры дт занумерована как
в таблице 1. Указаны также тип алгебры д0 и вещественная
форма алгебры д, соответствующая автоморфизму 0. Автомор-
Автоморфизмы 0 разделены на следующие три типа (см. задачу 5.1.38):
тип I — внутренние автоморфизмы с полупростой Qe; тип
II — внутренние автоморфизмы с неполупростой де ; тип
III — внешние автоморфизмы.
Тип аффин-
аффинной схемы
Схема Каца автоморфизма 6
Тип п9
о
Вещественная
форма
Тип I
2)
0 1
l-lj.
so2l(C) (I > 4)

Продолжение табл. 7
Тип аффин-
аффинной схемы
Схема Каца автоморфизма 6
Тип 9е
Вещественная
форма
Тип I
ЕП
ЕУ
EVI
е е1
EV111
Е1Х

Продолжение табл. 7
Тип аффин-
аффинной схемы
Схема Каца автоморфизма 6
Тип 8е
Вещественная
форма
Тип I
F(D
xj=o • о
с3 е
FII
 ф Л1
Тип II
2)
1 2
(Z > 3)
1-1 ©
V2, 21-1

Продолжение табл. 7
Тип аффин-
аффинной схемы
Схема Каца автоморфизма 6
Тип 8е
Вещественная
форма
Тип II
(I > 2)
(Z > 4)
°2, 21-2
tt?(IH)
e с
Тип III
2)

Продолжение т а б л» 7
Тип аффин-
аффинной схемы
Схема Каца автоморфизма 8
Тип
Вещественная
форма
Тип III
013(С)
лB)
Л2
3)
0O2Z+2(C) (I > 2)
Ф «I-p
E1V

Таблица 8. Матричные реализации классических ве-
щественных алгебр Ли. В таблице указаны матричные pea ли-
зации вещественных форм g классических комплексных ал-
гебр Ли, описаны их картановские разложения g = f ф р
и максимальные К-диагонализуемые подалгебры а с: у.
При этом в случаях g = sln (К), so , spn (К) матри-
цы СЧИтаются вещественными, а в остальных случаях — комп-
лексными.
0
Тип
(я>2)
ЛВ("Н)
(я>2)
@<р<?)
Матричное описание
XegIn(R), trX = O
n n
n[-Y X)
Re tr X = 0
9\Г A2/
tr Xx + tr X2 = 0
V Q
yT v yT v
Al -~"A1' Л2 =~"A2
f
Тип
*°n
Матричн.
описан.
XT = — X
Хт = - X,
У = 0
У = 0
V
trX = O
ZT=X,
tr X = 0,
x1 = o, x2 = o
х1==о, x2 = o
a
diag(^, ...,*n),
^+...+^ = 0
diag(aJlf ...,a:n,
i=i
i=i
со
to
ел

Продолжение табл. 8
8
Тип
«Р.9
@<р<<?)
Матричное описание
п п
ntX Y,
n{Y2-X-)
У1 = Yi> Y2 - Y2
p q p q
P ( Zll Z12 Z13 Xu\
q\ xi2 f" 5 ?"|,
Pl ~"Z13 Z14 Xll ~Z12 1
Q \ ^14 ~~Z24~Z12 ^22^
A11^~"A11» A22 = ~ A22'
X13 ^ Z13» X24 = Z24
n n
nl-yl/
XT = - X, YT = ?
!
Тип
«n
«n
Матричн.
описан.
XT = -X
Y = —Y
2 X 1
X12"-'X14^°
x-x,
Y = Y
^11-^13^
^22-X24-0
У = —У
a
diag(ar1, ..., sn, -^, ...
••..-*n)
i=i
~~~ ^2p+_+j,p+_+j)
+ Еп+21П+1)фШ(Еи~
~ Ei3 ~" ^+3,71+4 +
+ ^п+4,П+з)Ф ¦••
S

Таблица 9. Вещественные простые алгебры Ли. В таб-
таблице перечислены некомпактные вещественные алгебры Ли
д, не допускающие комплексной структуры, т.е. являющие-
являющиеся вещественными формами комплексных простых алгебр Ли
д(С). В столбце «Тип 2» указан тип системы 2 веществен-
вещественных корней. В столбце «г» описано отображение ограничения
г: П]—>» в, где в — система простых корней системы 2. Про-
Простые корни из П обозначаются через а^ а из в — через %^\
нумерация в обеих этих системах такая же, как и в таблице 1.
в(С)
dim I
dim IP
rkR8
Схема Сатаке
so
l+l
3)
(p+l)Bp+3)
pBp+3)
"p.l+l-p
*V®*j+i-p"
(
-PJ- 1
(
-P)
1 2
l-l
и .
~ n
t-3
u
со
to
«si

Продолжение табл. 9
00
dim I
dim
Схема Сатаке
SOp
p, +p
A < р < О
PBp+1)+
—Р)
1 2
«p. I-p
vvv,v
(I - 2p)
р)
—2p+
2 2p
« o——«—...—oi—
*°p, 2l-p
A < p < I — 2
^-i, j+i
X
PBl~p)
1 2 />
XB/—/)—1
X
1 2
г —1

§ 2. ТАБЛИЦЫ
329
И
ей
ф
К
И
ф
а
•3
СО
см
а
-3
+
СО
со
X
р.
А II
22 э. Б. Винберг, А. Л. Онищик

330
СПРАВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
Ю
Ф
н
и
ф
о
«
о
С
таке
и
хем
и
<зэ
с»
й
»-»
.§
ся
ся
!
L
г
I
1
о
СО
CD
00
tit
I
}
г *
СО
CD
r-t
tit
г
1—•
1
СО
ю
ел
Об
ф
нч
bq
0
L
Г
¦1.
00
оо
см
о
см
ч—1
о
ьч
t-ч
о
1 •
1
см
СО
00
"ГЧ
©
(М
tit
?
1
т
00
СМ
см
со
tit
Ф
tit
СО
"^
СО
СО
tit
нч
I
СМ
00
со
со
о
tit
ф
со
о
tit

§ 2. ТАБЛИЦЫ
331
о
Рн
a
•3
a
•3
Тип 2
с»
ё
с»
О
й
гН
4-
о
Iv/
л\
II
О
^v/
1 v/
4 у/
е.
I v/
й V/
о
^. ^^ II
V/ ^
а ^
(М \ //
а
Л
о,
а ^
II
•? д
о
*
а
± V/
«й v/
i д
О ^о
о
22*

332
СПРАВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
о
и:
о
Рч
а
•5
а
•а
Тип 2
сзэ
О
1
V/
00
1 II
II 1
? 1
1
-. v/
?- «.
a V/
о
1 «:
^ с^оо ||
V/ С^
^ V/
?х
р.
ft см
# 1
о
1 -/5
^* V/
к V/
CnT
s. v/
о* О.
* V/
О
i i
V/ II
«г v/J-
к v/4,
1
+
1
О
4v/
сГ

§ 2. ТАБЛИЦЫ
333
VD
Сб
ся
а
а
•5
и
S
со
о
1 '"~N'
NF ^,^4 ||
V/ ;=>
^& V/
8
? II
g
О
о с
\
N.
-1
г!
•ГЧ^ II
II ¦+•
?.^,^
Е4 см
^ II
+ ^
# с*
о
СО4
-TV/
Х\7
8
О
^ -Г
см ^^ -г^со
II II
•* W II
<*г<<х
Xii s
?& «
II II II
о
СО тЧ
II
00 СМ
II
<<
II
II II
х- х-
о
00
^.

334
СПРАВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
«33
•3
«33
1
•3
-
Тип 2
«33
аз
О
Й
О
II 11
XX
S
о
II ^ II
!М
iH СО
X X
со
>
о
-TV/
00
>
о
CM vF
1! II
00 ^н
^| СО
XX
Г» <N
^^
О
«TV/
-
оо
8"
I—4
Ь—1
О
•

Таблица 10. Центры и линеаризаторы односвязных ве-
вещественных простых групп Ли (см. [32]). Через g обознача-
обозначается некомпактная вещественная простая алгебра Ли, не до-
допускающая комплексной структуры, через G — соответству-
соответствующая односвязная группа Ли. Через <z>m обозначается цик-
циклическая группа порядка т = 2, 3, ..., со с образующим эле-
элементом z. В столбце Образующие указаны представители об-
образующих группы Z(G) в решетке Р^ (Ag(C)) U ? (с) (см.
теорему 5.3.7). В предпоследнем столбце указана (для клас-
классических алгебр д) группа GUn = G/A(G). При этом через
SpinM обозначается связная вещественная форма группы
Spmp+q(€) (см. упражнения к § 4.3), соответствующая ве-
вей ф б
p+q
щественной форме
алгебры *50p+Q(C). В столбце
Z
р> q p+Q
«&о» указан представитель элемента b0 e Z(G), обладающего
следующим свойством: Я(&о)=е(^Я)#, где R — неприводи-
неприводимое комплексное представление группы G, такое, что dR ~ dR
(см. п. 3 § 1 этого раздела).
S
•Wi («)
(p>i)
(Р>1)
^4Р(К)
(Р>1)
(р>2)
A<Р<9)
Z(G)
t
<Z1>2
<Z2>4
<г2>2Х<21>2
<Z2>2
<Z4>~X<Z5>d
d = Н. О. Д. (р, q)
Образующие
zl = Al + Vl
Z2=T('ll + 'l3+ •••
... + *4p+l)
Z2 = T(fel + ft3+---
¦•• + *4p-l)
Z3 = ft2P
г2=Т(Л1 + Л3+--
... + V-i)
Zi = ani+bltP+Q-V
где ag + bi = d;
Z5 = T (W-
A(G)
<za>2
<2Z2>2
<Z3>2
{1}
^2P+l(R)
5i4P+2(R)
5i4p (R)
^р(И)
SUP,1
\
0
0
0
Z2

Продолжение табл. 10 go
8
0о2р,2(г-р)-1
**>4р+2 (R)
«»4р (R)
AС?<«)
0D2P,2(Z-p)
/ = 2д + 1
B<р<[//2])
«о,
<г1>-Х<22>2
<Z1>2X<Z2>2
<Z1>~
<Z1>2X<Z2>~
<Z,>2
<Z1>cOX<Z2>2
<Z1>4X<23>2
Образующие
1
zi ~Л1' Z2~ 2 hl
1
1
1
Л(в,
<2i>~
<Z1>2
<Z2>-
M
spin2-!'-!
bo
\ /
0
0
z при / = 4g-j-2,
0 в остальных
случаях
(P + Я) z2

Продолжение табл. 10
9
*°2p,2(Z-p)
B</><Z/2)
I =2q, p нечетно
*°2p,2a-p)
B<p<Z/2)
/, p четны, I = 2q
*°2Р+1,2A-р)-1
K<[V])
»J(H)
l = 2p + i
(P>1)
u*(«)
; = 4^ + 2 (p>0)
»? (")
Z = 4p (p>l)
Z(G)
<Z1>4X<Z4>2
<Z1>2X<*4>2X
x<z5>2
<Z2>2X<Z3>2
<Z6>«.
<Z7>2X<Vco
<Z9>2X<z10>cc
Образующие
zx = яУ_х,
zi^hP+Y(hi-i+hi)
zX = ^-l
z4 = fep + 2"(ft/-i+fti)
1
Z2 =  (feZ"l + hl)
Z7 = ПУ-1-Р{к1-1+к1)
*8 = n)'-Hhl-l + hl)
г10=ПУ-1-Р{к1-1+Н1)
A(G)
<2Z1>2
<Z1 + Z4 + Z5>2
<Z3>2
<4Z6>«
<2Z8>~
<2zio>»
Glin
SPin2P,2(i-p)
SPin2P,2(/-p)
sPin2p+i,2a-p)+i
Двулистное на-
накрытие группы
и*(Щ
A + я) \
0
Т(А1 + *8+-
•••+^2p-l) +
1
+  (Л2р~ fe2P+l)
Т(*1 + *8+-
•••+Vh)
¦2-(А1 + Л8+-

8
El
Ell
Elll
ElY
EY
EYl
EYll
EYUl
EIX
Fl
FU
G
Z(G)
Ol>2
*>.
<*!>.
<z>2
W
Образующие
z __ 1 /A ! h . ^ ч
\
z = h^
z — h2
Продол ж
A(G)
<Zl>2
\OZ2/о
\OZ2 / fJO
<2Zl>2
<Z>2
{«}
<Z>2
ение табл. 10
bo
0
0
2z2
0
0
-
0
0
0
0
0
0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I. Монографии и учебные пособия по теории групп Ли
и алгебраических групп
1. Адаме Дж. Лекции по группам Ли.— М.: Наука, 1979.
2. Б о р е л ь А. Линейные алгебраические группы.— М.: Мир, 1972.
3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. 1—3.— М.: Мир, 1976.
Гл. 4—6.—М.: Мир, 1972. Гл. 7, 8.—М.: Мир, 1978. Гл. 9.—М.: Мир, 1986.
4. В и н б е р г Э. Б. Компактные группы Ли: Учеб. пособие.— М.: Изд-во
МГУ, 1967.
5. Вин бе рг Э. Б., О нищ и к А. Л. Семинар по алгебраическим груп-
группам и группам Ли 1967/68 г.— М.: Изд-во МГУ, 1969.
6. Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли.— М.: Мир, 1983.
7. Джекобсон Н. Алгебры Ли.— М.: Мир, 1964.
8. Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли.— М.:
Наука, 1983.
9. Мерзляков Ю. И. Рациональные группы.— М.: Наука, 1987.
10. О н и щ и к А. Л. Введение в теорию групп и алгебр Ли: Учеб. посо-
пособие.— Ярославль, 1979.
11. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.—4-е изд.—М.: Наука,
1984.
12. П о с т н и к о в М. М. Группы и алгебры Ли.— М.: Наука, 1982.
13. Семинар «Софус Ли».— М.: ИЛ, 1962.
14. Seminaire С. Chevalley. Classification des groupes de Lie algebriques.
V. 1, 2.— Paris: Ecole Norm. Sup., 1958.
15. С e p p Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли.— М.: Мир, 1969.
16. S t e i n b e r g R. Conjugacy classes in algebraic groups / Lecture No-
Notes in Math. 366.— Berlin e. a.: Springer-Verlag, 1974.
17. T i t s J. Tabellen zu den einfachen Lie Gruppen und ihren Darstellun-
gen / Lecture Notes in Math. 40.— Berlin e. a.: Springer-Verlag, 1967.
18. H u m p h г е у s J. E. Introduction to Lie algebras and representation -
theory.— 2nd printing.— N. Y. e. a.: Springer-Verlag, 1972.
19. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы.—М.: Наука, 1980.
20. X е л г а с о н С. Дифференциальная геометрия и симметрические про-
пространства.— М.: Мир, 1965.
21. Helgason S. Differential geometry, Lie groups, and symmetric spa-
spaces.— N. Y. e. a.: Academic Press, 1978.
22. Шевалле К. Теория групп Ли.—Т. I.—М.: ИЛ, 1948.—Т. II, III.—
М.: ИЛ, 1958.
II. Обзорные статьи
23. Алексеевский Д. В. Группы Ли и однородные пространства //
Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. П.—М.: ВИНИТИ,
1974.— С. 37—123.
24. Алексеевский Д. В. Группы Ли // Итоги науки и техники. Ал-
Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 20.—М.: ВИНИТИ, 1982.—С. 153—192.
25. В и н б е р г Э. Б. Группы Ли и однородные пространства // Итоги пау-
пауки. Алгебра. Топология. 1962.—М.: ВИНИТИ, 1963.—С. 5—32.

340 список литературы
26. Дынкин Е. Б. Обзор основных понятий и фактов теории линейных
представлений полупростых алгебр Ли (Добавление к статье «Максимальные
подгруппы классических групп») // Тр. Моск. мат. о-ва.— 1952.— Т. 1.—
С. 109—151.
27. Дынкин Е. Б. Теория групп Ли / Математика в СССР за сорок лет.
1917—1957.—Т. L—М.: Физматгиз, 1959.—С. 213—227.
28. Дынкин Е. Б., О н и щ и к А. Л. Компактные группы Ли в целом /
УМН.— 1955.— Т. 10, № 4.— С. 3—74.
29. Мальцев А. И. Топологическая алгебра и группы Ли // Математика
в СССР за тридцать лет.—М.; Л.: Гостехиздат, 1948.—С. 134—159.
30. П л а т о н о в В. П. Алгебраические группы / Итоги науки и техни
ки. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. П.—М.: ВИНИТИ, 1973.—С. 5—36.
31. Платонов В. П., Рапинчук А. С. Алгебраические группы // Ито-
Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 21.—М.: ВИНИТИ,
1983.— С. 80—134.
32. С и р о т а А. И., Солодовников А. С. Некомпактные полупростые
группы Ли.— УМН.— 1963.— Т. 18, № 3.— С. 87—144.
III. Некоторые оригинальные статьи
33. Араки Ш. Корневые системы и локальная классификация неприво-
неприводимых симметрических пространств / Математика: сб. перев,—1967.—Т. И,
№ 1.—С. 90—126.
34. В о г е 1 A. Groupes lineaires algebriques // Ann. Math.— 1956.— V. 64,
№ 1.— P. 20—80.
35. В е й л ь Г. Теория представлений непрерывных полупростых групп
при помощи линейных преобразований / Вейль Г. Избранные труды. Мате-
Математика. Теоретическая физика.— М.: Наука, 1984.— С. 100—197.
36. Г а н т м а х е р Ф. P. Canonical representation of automorphisms of a
complex semi-simple Lie group / Мат. сб.—1939.—Т. 5D7).—С. 101—146.
37. Г а н т м а х е р Ф. P. On the classification of real simple Lie groups //
Мат. сб.-1939.-Т. 5 D7).-С. 217-250.
38. Дынкин Е. Б. Максимальные подгруппы классических групп // Тр.
Моск. мат. о-ва.— 1952.— Т. 1.— С. 39—166.
39. Дынкин Е. Б. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли /
Мат. сб.— 1952.—Т. 30 G2), № 2.—С. 349—462.
40. I w a h о г i N. On real irreducible representation of Lie algebra / Na-
goya Math. J.— 1959.— T. 14.— P. 59—83.
41. К а р п е л е в и ч Ф. И. Простые подалгебры вещественных алгебр
Ли / Тр. Моск. мат. о-ва.—1955.—Т. 4.—С. 3—112.
42. М а л ь ц е в А. И. О полупростых подгруппах групп Ли / Изв. АН
СССР. Математика.— 1944.— Т. 8, № 4.— С. 143—174.
43. М а л ь ц е в А. И. On the theory of the Lie groups in the large / Мат.
сб.—1945.—Т. 16 E8), № 2.—С. 163—189; 1946.—Т. 19 F1), № 3.—С. 523.
44. М а л ь ц е в А. И. О разрешимых алгебрах Ли / Изв. АН СССР. Ма-
Математика.— 1945.— Т. 9, № 5.— С. 329—352:
45. М о р о з о в В. В. К теореме о нильпотентном элементе в полупростой
алгебре Ли / УМН.— I960.— Т. 15, № 6.— С. 137—139.
46. Parthasaraty, Ranga Rao, Varadarajan. Representations
of complex semisimple Lie groups // Ann. Math.— 1967.— V. 85.—P. 383—429.
47. S t e i n b e r g R. Endomorphisms of linear algebraic groups / Mem.
Amer. Math. Soc.— 1968.— V. 80.— 108 p.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРА 341
48. Freudenthal H. Zur Berechnung der Charaktere der halbeinfachen
Lieschen Gruppen. I / Indag. Math.—1954.—V. 16, № 4.—P. 369—376.
49. Y a m a b e H. On an arcwise connected subgroup of a Lie group // Osa-
Osaka Math. J.— 1950.— V. 2.— P. 13—14.
IV. Цитированная литература по другим разделам математики
50. Бур баки Н. Алгебра. Гл. 1—3.—М.: Физматгиз, 1962; Гл. 7—9.—М.:
Наука, 1966.
51. Д ь е д о н н е Ж. Основы современного анализа.— М.: Мир, 1964.
52. Ленг С. Алгебра.—М.: Мир, 1968.
53. С п е н ь е р Э. Алгебраическая топология.— М.: Мир, 1971.
54. Ш а ф а р е в и ч И. Р. Основы алгебраической геометрии.— М.: Наука,
1972.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм алгебры Ли внутренний 43
— канонический 223
— полупростой 227
— системы векторов 164
— унитарный 224
Алгебра касательная 29
— Ли 32
— — коммутативная 33
компактная 241
линейная алгебраическая 135
диагонализуемая 148
редуктивная 149
унипотентная 136
нильпотентная 46
особая 199
полупростая 61
разложимая 288
разрешимая 58
свободная 194
¦ с образующими и соотношениями
194
— свободная 194
Алгебраическая структура на группе
Ли 135
Алгебраическое многообразие аффинное
67, 64
квазипроективное 87
неособое 98
проективное 87
Базис системы корней 168
Вектор весовой 59
— младший 206
— старший 194, 206
Вес 186
— представления 59, 153, 156
младший 206
старший 196, 206, 304
— фундаментальный 206
Гомоморфизм алгебраических групп 109
антиголоморфный 101
— групп Ли 12
накрывающий 50
— касательный 29
Группа алгебраическая 107
векторная 108
унипотентная 122, 126
— Вейля 174, 175
аффинная 222
— внешних автоморфизмов 43
— Ли 10
векторная 11
вещественная 10
комплексная 10
линейная 12
односвязная накрывающая 51
полупростая 61
простая 151
разрешимая 58
Группа линейная алгебраическая 108
редуктивная 149, 262
вполне приводимая 261
полная 108
самосопряженная 252
— псевдоунитарная 239
специальная 239
— унитарная 239
специальная 239
— фундаментальная системы корней 187
Действие алгебраической группы 113
— группы Ли 13
Дифференцирование алгебры 31, 96
Ли внутреннее 43
Замыкание алгебраическое 134, 138
— Мальцева 57
Изоморфизм матриц Картана 205
— систем векторов 164
Индекс представления 304
Камера 221
— фундаментальная 223
— Вейля 168
противоположная 168
Камеры Вейля смежные 174
Квазитор 123
Компонента неприводимая алгебраиче-
алгебраической группы 108
представления 263
топологического пространства 69
— неразложимая системы корней 166
Корень 153, 154
— аффинный 218
действительный 219
мнимый 219
положительный 220
простой 220
— младший 178
— отрицательный 168
— положительный 168
— старший 176
Линеаризатор 279
180
Матрица допустимая
— Картана 180, 194
аффинная 180
•— неразложимая 180
— системы векторов 176
Многообразие грассманово 92
— флагов 91
Многочлен на аффинном многообразии
67
Морфизм алгебраических многообразий
66, 67, 87
антиголоморфный 101
доминантный 73, 85

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
343
Овеществление алгебраического много-
многообразия 100
— алгебраической группы 110
— группы Ли 10
Оператор линейный нильпотентный 120
¦ полупростой 120
унипотентный 120
Подалгебра алгебраическая 134, 138, 275
редуктивная 275
— диагонализуемая 150
— К-диагонализуемая 282
— канонически вложенная 275
— Леви 295
— псевдоторическая 276
— треугольная 290
Подалгебры сопряженные 150
Подгруппа алгебраическая 108
— борелевская 129
— Леви редуктивная 299
— Ли 11
виртуальная 41
— однопараметрическая 36
¦— псевдокомпактная 272
— треугольная 290
Подмногообразие 11
— алгебраического многообразия 87
Подмножество главное открытое 69
— густое 73
Подпространство весовое 59, 156
— корневое 153, 154
Представление линейное алгебраиче-
алгебраической группы 109
алгебры Ли 14, 15
группы Ли 32
— присоединенное 32, 33
Произведение алгебраических групп по-
полупрямое 111
прямое 108
многообразий прямое 71, 88
— групп Ли локально прямое 151
полупрямое 25
¦ прямое 11
Псевдотор 276
Путь 34
Пучок рациональных функций 86
Радикал алгебры Ли 60
— группы Ли 61
— коммутативной ассоциативной ал-
алгебры 73
— унипотентный 127, 161, 299
Разложение весе вое 153
— Жордана аддитивное 121, 126, 137
— Ивасавы 290
— картановское 268, 270
— корневое 153, 283
— Леви 295
алгебраическое 299
— полярное 252
Размерность алгебраического многооб-
многообразия 96, 98
Ранг редуктивной алгебраической груп-
группы 150
— системы корней 164
— схемы Дынкина 181
Рациональное отображение 75, 85
Решетка весов 186
— корней 186
— сопряженная 186
— характеристическая 277
Система векторов допустимая 176
неразложимая 166
Система корней 164
вещественной алгебры Ли 283
двойственная 167
приведенная 164
— образующих алгебры Ли 193
каноническая 194
— простых корней 168, 170
расширенная 178
Скорость пути 34
Стенка камеры 222
Вейля 169
Структура алгебраическая на группе Ли
135
— вещественная 234, 235, 303
алгебраическая 235
— кватернионная 303
— комплексная 237
Сумма полупрямая алгебр Ли 44
— прямая систем корней 165
Схема Дынкина 176, 177, 181
аффинная 181
расширенная 178
— Каца 225
¦— представления 197, 206
— Сатаке 287
Теорема Бореля 127
— Гильберта о базисе идеала 65
нулях 74
— Леви 295
— Ли 59, 127
— Мальцева 297
— Шевалле 116
— Энгеля 136
Тождество Якоби 32
Топология Зарисского 68, 82
Тор 16
— алгебраический 123
разложимый 292
Точка особая 98
— простая 97, 98
Умножение скалярное инвариантное 147
картановское 148
Факторизация 18
Форма вещественная алгебраической
группы 111
комплексной группы Ли 235
нормальная 237
Формула Г. Вейля 303
— Фрейденталя 303
Функция билинейная инвариантная 147
— представляющая 259
— рациональная 74, 83
Характер 18, 110
Центр алгебры Ли 35
Число Кокстера 302
Числовые отметки веса 195
Экспоненциальное отображение 36
Элемент доминантный 196
¦— нильпотентный 137, 155
— полу простой 126, 137, 155
— регулярный 168, 227, 283
— сингулярный 168, 227
— унипотентный 126

Винберг Эрнест Борисович
Онищип Аркадий Львович
СЕМИНАР ПО ГРУППАМ ЛИ
И АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ГРУППАМ
Редактор Ф. И. Низнер
Художественный редактор Т. Я. Колъченко
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректоры Л. И. Назарова, М. Н. Дронова
ИБ № 12997
Сдано в набор 12.05.87. Подписано к печати 29.01.88. Формат
60x90/16. Бумага книжно-журнальная. Гарнитура обыкновен-
обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 21,5. Усл. кр.-отт. 21,5. Уч.-
изд. л. 24,83. Тираж 4000 экз. Заказ JVft 833. Цена 4 р. 70 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск 77, Станиславского, 25