LINEAR ALGEBRAIC GROUPS
ARMAND BOREL
Institute for Advanced Study
Princeton, New Jersey
Notes taken by Hyman Bass, Columbia University
W. A. BENJAMIN
New York Amsterdam
1969

А. БОРЕЛЬ
ЛИНЕЙНЫЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ГРУППЫ
Перевод с английского
A. Е. ЗАЛЕССКОГО
Под редакцией
B. П. ПЛАТОНОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1972

УДК 519.4
Монография известного американского математика А. Бореля
содержит изложение основ теории линейных алгебраических групп,
занимающей одно из центральных мест в современной математике
благодаря глубоким связям с различными ее разделами (например,
с алгебраической геометрией и теорией чисел, функциональным ана-
анализом и топологией).
Книга будет интересна широкому кругу математиков различ-
различных специальностей. Ясное и четкое изложение, столь характерное
для стиля автора, делает ее вполне доступной для студентов уни-
университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд.

ПРЕДИСЛОВИЕ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Теория линейных алгебраических групп в настоящее время
занимает одно из важных мест в современной математике. Ее
чрезвычайно интенсивное развитие в последние 10—15 лет харак-
характеризуется глубокими связями с различными разделами матема-
математики, в частности с алгебраической геометрией, теорией чисел,
функциональным анализом и топологией. Уже давно назрела
необходимость в обстоятельном изложении основ теории линейных
алгебраических групп. Однако такого изложения на русском
языке до сих пор не существовало. Известные книги Шевалле [1],
сыгравшие существенную роль, не соответствуют современному
развитию теории.
Этот пробел в определенной степени восполняет книга А. Бо-
реля, перевод которой предлагается вниманию советского чита-
читателя. Написанная выдающимся математиком, одним из созда-
создателей теории, книга представляет собой введение в современную
теорию линейных алгебраических групп. Она содержит, как отме-
отмечает автор, изложение только первой части теории, которую
составляет исследование общей структуры линейных алгебраи-
алгебраических групп, главным образом над алгебраически замкнутыми
полями и полями нулевой характеристики. Такие важные разделы
теории линейных алгебраических групп, как представления, клас-
классификация полупростых групп и т. д., не вошли в книгу (см.
послесловие автора). Их включение потребовало бы увеличить
объем книги в несколько раз. В книге совсем не затрагивается
арифметическая теория алгебраических групп, в которой в послед-
последние годы было получено много глубоких и красивых результатов.
Здесь также ощущается потребность в соответствующей книге,
В целом книга А. Бореля написана четко и ясно. Для ее
чтения требуется сравнительно небольшая математическая подго-
подготовка. Правда, внимательный читатель заметит некоторое несо-
несоответствие в стиле написания основной части и вводной главы АГ,
содержащей изложение необходимого материала из алгебраи-
алгебраической геометрии. По-видимому, здесь сказалось то обстоя-
обстоятельство, что в этой главе, написанной Бассом, язык аффинных
схем используется в несколько большем объеме, нежели он

Предисловие редактора перевода
фактически применяется в дальнейшем (хотя, вероятно, Н. Бур-
баки сказал бы: «Разве это схемы?!»).
Указатель литературы в оригинале содержал только те источ-
источники, ссылки на которые имеются непосредственно в тексте. Для
русского издания автор прислал расширенный список литературы
вместе с кратким комментарием, который помещен в качестве
послесловия к книге. При переводе исправлены мелкие неточности
и опечатки, часть которых была любезно сообщена нам автором.
Пользуясь случаем, выражаем профессору А. Борелю искреннюю
благодарность.
Мы надеемся, что книга А. Бореля будет интересной и полез-
полезной широкому кругу советских математиков.
В. Я. Платонов

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Эти заметки представляют собой введение в теорию линей-
линейных алгебраических групп. В первую очередь излагается основной
материал об алгебраических группах над произвольным полем
(гл. I, II), а затем обсуждается строение разрешимых и редуктив-
ных групп над алгебраически замкнутым полем (гл. III, IV). Для
полноты картины включены некоторые факты о группах рацио-
рациональных точек алгебраических групп (§ 15, 16) и ряд резуль-
результатов об алгебраических группах над конечными полями (§ 16)
и над полями характеристики нуль (§ 7).
Для чтения книги необходимо знакомство с некоторыми
фактами из теории алгебр Ли и, кроме того, — в сравнительно
небольшом объеме —с алгебраической геометрией. Подавляющее
большинство используемых понятий и результатов алгебраической
геометрии собрано, иногда с доказательствами, в предваритель-
предварительной главе АГ. В качестве основного источника приняты лекции
Мамфорда [1]1), однако мы старались, чтобы наше изложение по
возможности не зависело от них. Отдельные результаты из алге-
алгебраической геометрии, которые оказываются необходимыми при
каких-либо специфических обстоятельствах, сформулированы с
соответствующими ссылками там, где они используются. Мы
придерживаемся здесь, в сущности, теоретико-множественной точки
зрения, отождествляя многообразие с множеством его точек над
алгебраическим замыканием основного поля (наделенным топо-
топологией Зарисского), хотя и с признаками схемной точки зрения.
Эти заметки основываются на курсе лекций, прочитанном
автором в Колумбийском университете весной 1968 года по ини-
инициативе Басса. За исключением главы V, которая была доба-
добавлена позднее, записи лекций выполнены Бассом при некотором
1) См. сноску на стр. П.— Прим. ред.

Из предисловия автора
содействии Стейна и воспроизводятся здесь с небольшими изме-
изменениями и дополнениями. Басе проделал это весьма квалифици-
квалифицированно, часто расширяя или улучшая устное изложение. В част-
частности, ему принадлежит удачное использование двойных чисел
в § 3; Бассом написана также глава АГ — в лекциях был дан
лишь беглый обзор этого предмета. С большим удовольствием
я выражаю ему признательность за содействие, без которого
эти заметки едва ли появились бы так скоро.
Л. Борель
Принстон, февраль 1969 г.

ОБОЗНАЧЕНИЯ
1. Везде в этих заметках k — поле, К — алгебраически замк-
замкнутое расширение поля k, ks (соответственно k) — сепарабельное
(соответственно алгебраическое) замыкание поля k в поле К и
р — характеристика поля k. Иногда через р обозначается харак-
характеристическая экспонента поля k, равная 1, если char(&) = 0, и
совпадающая с характеристикой в остальных случаях.
Все кольца предполагаются коммутативными и с единицей,
если не оговорено противное, а все гомоморфизмы колец и все
модули — унитарными.
Через А* обозначается группа обратимых элементов кольца Л.
Через Z обозначается кольцо целых чисел, через Q (соответ-
(соответственно R или С) — поле рациональных (соответственно вещест-
вещественных или комплексных) чисел.
2. Ссылки. Ссылка на пункт х. у главы АГ обозначается через
АГ. х. у. Для остальных глав х. у означает ссылку на пункт
х.у соответствующей главы. Имеется две библиографии, одна—
для главы АГ — на стр. 65, другая — для глав I — V — на стр. 261.
Ссылки на оригинальные источники даны, как правило, в библио-
библиографических замечаниях в конце некоторых параграфов. Они,
однако, не претендуют на полноту, и результат, который в них
не упомянут, не обязан быть новым.
3. Пусть G — некоторая группа. Если (Xt) (I ^.i^m) — семей-
семейство множеств и ft: Xt-> G — отображения, то отображение
/: Хх X • • • X Хт-* G, заданное формулой
часто называется произведением отображений ft (или отображе:
нием-произведением).
Пусть Nt A^/^n) — нормальные делители группы G. Группа О
называется почти прямым произведением нормальных делителей
Nu если произведение вложений Nt-+G является гомоморфизмом
прямого произведения Nx X • • • X Nm на всю группу G и ядро
его конечно.
Пусть М, Af — подгруппы группы G. Через (М, N) обозначается
подгруппа группы G, порожденная всеми коммутаторами (х, у) =
~х • у . х~1 • у1 (х е Mf ye N).
4. Пусть V — некоторое ^-многообразие и ^ — расширение
Поля k в /(. Через V {k') обозначается множество ^'-рациональных

10 Обозначения
точек многообразия V. Через k'[V] мы обозначаем б'-алгебру
определенных над к' регулярных функций на многообразии V,
а через k' {V) обозначаем fe'-алгебру определенных над к' рацио-
рациональных функций на многообразии V. Если W — некоторое ^-мно-
^-многообразие и f: V -*• W — некоторый ?-морфизм, то отображение
?[И7]-*&[У], заданное правилом ф-*-<р<>/, называется коморфиз-
мом морфизма f и обозначается через f0-
5. Ниже мы даем список обозначений, часто употребляемых
в тексте без пояснений, после того как они введены в одной из
глав I — V.
Ad 3.5
s4- {М) (М — подмножество алгебраической
группы) 2.1
?Ф (М) (М — подмножество алгебраической
алгебры Ли характеристики 0) 7.1
а (М) (М — подмножество алгебраической
алгебры Ли характеристики 0) 7.1
ФG\ G) 8.17
Ф(Г, G/H) 8.17
G0 1.2
Go • 1.6
G/H 6.8
GLn . , 1.6
G/m 17.2
9 3.3
gt(?) (E — векторное пространство). ... 3.1
L(G), Lie(G) 3.3
le 1.9
nilZ 18.1
Na(M) 1.7
n(%) 18.1
PGL2 10.8
P,1) 1-9
Sp2n 1.6
7то(М, N), Trano(M, N) 1.7
•X, Г 3.4
X(G) 5.2
X.(G) 8.6
W{T, G) 11.19
Z0(M) 1.7
l) Символ pg употребляется автором в двух смыслах (см., например, п. 3.9,
7,5 и др.). — Прим. перев.

Глава АГ
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Материал этой главы нужен нам исключительно для ссылок
в последующих главах. Здесь приведены результаты и обозначе-
обозначения из алгебраической геометрии, которые используются в этой
книге. Практически мы принимаем здесь точку зрения, сформу-
сформулированную в гл. 1 лекций Мамфорда1) [1]. Таким образом,
наши многообразия отождествляются с множествами их точек над
фиксированным алгебраически замкнутым полем (произвольной
характеристики). Однако по техническим соображениям нам важно
не требовать (как это делает Мамфорд), чтобы многообразия были
неприводимыми.
Как правило, по поводу определений и теорем мы ограничи-
ограничиваемся ссылкой на литературу, лишь изредка снабжая теоремы
кратким указанием о доказательстве. Однако имеется два суще-
существенных исключения. Мы даем почти полное изложение содер-
содержащихся в § 11 — 14 результатов по вопросам рациональности (т. е.
о полях определения) и фактов о касательных пространствах
в§ 15—16. Это представляется желательным как ввиду отсутст-
отсутствия в литературе изложения этого материала в нужной нам форме,
так и из-за той важной роли, которую эти две темы играют в на-
настоящих заметках.
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
(См. Семинар Шевалле [1], сообщение 1, п. I.J)
1.1. Неприводимые компоненты. Топологическое простран-
пространство X называется неприводимым, если оно непусто и не является
объединением двух собственных замкнутых подмножеств. Послед-
Последнее условие эквивалентно требованию, чтобы каждое непустое
открытое подмножество было плотным в X или чтобы каждое
непустое открытое подмножество было связным.
1) В русском переводе почти все ссылки на лекции Мамфорда [1] заменены
ссылками на источники, имеющиеся на русском языке. — Прим. ред.
2) См. также Шафаревич [1], гл. I, или Капланский [1], гл. IV. — Прим. ред.

12 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
Если Y — подпространство топологического пространства X, то Y
неприводимо тогда и только тогда, когда его замыкание Y непри-
водимо. По лемме Цорна каждое неприводимое подпространство
пространства Х% содержится в максимальном, так что максималь-
максимальные неприводимые подпространства замкнуты. Они называются
неприводимыми компонентами пространства X. Так как замыка-
замыкание точки — неприводимое подпространство и, следовательно, со-
содержится в некоторой неприводимой компоненте, то X — объеди-
объединение своих неприводимых компонент.
Если подпространство Y пространства X имеет лишь конечное
число неприводимых компонент Yu ..., Y^, то Yu ..., Yn— не-
неприводимые компоненты подпространства Y (без повторений).
1.2. Нётеровы пространства. Топологическое пространство X
называется квазикомпактным („квази" — ибо пространство не пред-
предполагается хаусдорфовым), если из каждого покрытия простран-
пространства X открытыми множествами можно выбрать конечное покры-
покрытие. Если каждое открытое подмножество пространства X квази-
компактно или, эквивалентным образом, открытые подмножества
удовлетворяют условию максимальности, то X называется нёте-
рэвым* Легко видеть, что каждое подпространство нётерова про-
пространства само нётерово.
Предложение. Пусть X — нётерово пространство. Тогда
(a) X имеет лишь конечное число неприводимых компонент,
скажем, Хи ..., Хп;
(b) открытое подмножество U пространства X тогда и только
тогда плотно в X, когда U (]Х{Ф0 A</^я);
(c) для каждого i множество Х\ = Хь — (J (Xi f| X?) открыто
в Х\ кроме того, UQ = (J Х\ — открытое плотное подмножество про-
i
странства X и Х'и ..., Х'п — неприводимые и связные компоненты
подмножества UQ.
Доказательство. Утверждение (а) следует из стандартного
рассуждения, использующего нётерову индукцию.
Так как множество Х{ неприводимо, то множество Х\=*
*=Х — (и ХЛ открыто в X и плотно в Xt. Следовательно, каж-
дое открытое множество U, плотное в X, должно иметь непустое
пересечение с Х\. Обратно, если множество U открыто и пере-
пересечение U (]Х( A <л<;п) непусто, то множество UJ]Xi плотно
в Xit так что U zd Xi A^/^n) и, следовательно, U совпадает
с X. Отсюда вытекает, в частности, что С/о = (J^ — открытое
i

§ 1. Некоторые топологические понятия 13
плотное подмножество пространства X. Так как множества Х\
открыты, неприводимы и попарно не пересекаются, то они
являются неприводимыми связными компонентами подмноже-
подмножества Uo.
1.3. Конструктивные множества. Подмножество Y топологи-
топологического пространства X называется локально замкнутым в Х> если
Y открыто в Y, или, эквивалентным образом, если У —пересече-
—пересечение открытого и замкнутого множеств. Ясно, что пересечение двух
локально замкнутых множеств снова является локально замкну-
замкнутым множеством. Конструктивное множество — это конечное объ-
объединение локально замкнутых множеств. Дополнение локально
замкнутого множества есть объединение открытого и замкнутого
множеств и, следовательно, является конструктивным множеством.
Отсюда следует, что дополнение конструктивного множества
является конструктивным множеством. Таким образом, конструк-
конструктивные множества образуют булеву алгебру (т. е. операции ко-
конечных объединений, пересечений и взятия дополнения не выво-
выводят за пределы совокупности конструктивных множеств). Другими
словами, конструктивные множества можно определить как эле-
элементы булевой алгебры, порожденной открытыми и (или) замк-
замкнутыми подмножествами.
Если f: X -> X' — непрерывное отображение, то f —гомомор-
—гомоморфизм булевых алгебр, переводящий открытые и замкнутые под-
подмножества пространства X' в открытые и замкнутые подмноже-
подмножества пространства X соответственно. Следовательно, Г переводит
локально замкнутые и конструктивные множества пространства Хг
в локально замкнутые и конструктивные множества пространства
X соответственно.
Предложение. Пусть X — нётерово пространство и Y — его
конструктивное подмножество. Тогда Y содержит открытое плотное
подмножество своего замыкания Y.
Замечание. Используя нётерову индукцию, можно доказать
обратное: если Y — подмножество, пересечение которого с каждым
неприводимым замкнутым подмножеством пространства X обла-
обладает указанным свойством, то Y конструктивно.
Доказательство. Представим У в виде конечного объединения
локально замкнутых подмножеств Li9 Y = \jLt. Тогда Y— \J Li
i i
и, если множество F неприводимо, то Y = Lt для некоторого /.
Кроме того, подмножество Lt открыто в Lt (и содержится в Y).

14 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
Предположим теперь, что множество Y приводимо, и пусть
y=(jK/, где Yj — неприводимые компоненты множества Y. Каж-
Каждое множество Yj замкнуто в Y и, следовательно, является кон-
конструктивным подмножеством пространства X. Как мы видели
выше, Yf содержит плотное открытое подмножество своего замьь
кания К/. Так как Yj — неприводимые компоненты множества Y
(п. АГ. 1.1), то из предложения п. АГ. 1.2 вытекает, что Y = \jYj
содержит плотное открытое подмножество множества У.
1.4. (Комбинаторная) размерность. Размерностью топологиче-
топологического пространства X мы называем наибольшую длину п цепей
FqcFiCz ... czFn различных неприводимых замкнутых подмно-
подмножеств и обозначаем ее через
* dimX.
Через
обозначается наименьшая размерность открытых окрестностей
точки j^gI
Из определения и свойств неприводимых замкнутых множеств
легко следует, что
dimZ= sup dim» X
и что формула jc->dimxZ задает полунепрерывную сверху функ-
функцию. Кроме того, если X имеет конечное число неприводимых
компонент (например, если X — нётерово пространство), то dim X
равна максимуму размерностей этих компонент.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
2.1. Расширение основного поля. (См. Картан и Шевалле [1],
сообщения 13, И1).) Пусть F — некоторое поле, содержащее
поле k. Для любого поля kr, содержащего поле k, положим
Тогда Fk' есть ^'-алгебра, которая уже может не быть ни полем,
ни даже областью целостности. Тем не менее каждый ее простой
идеал минимален (т. е. между простыми идеалами нет отношения
включения) и их пересечение — идеал, состоящий из нильпотентных
1) См. также Зарисский и Самюэль [1], гл. II, § 15, Ленг [1], гл. X.—
Прим. ред.

§ 2. Некоторые факты из теории полей 15
элементов алгебры Fk* (см. п. АГ. 3.3 ниже). Кольцо, не содержа-
содержащее нильпотентных элементов, называется приведенным.
Здесь могут представиться следующие основные возможности:
(a) W — сепарабельное алгебраическое расширение поля k.
Тогда Fk> — приведенное кольцо, которое может, однако, иметь
более одного простого идеала.
(b) Расширение k! алгебраическое и чисто несепарабельное
над k.
Тогда Fk> обладает единственным простым идеалом (состоящим
из нильпотентных элементов), но кольцо /V не обязано быть при-
приведенным.
(c) k' — чисто трансцендентное расширение поля k.
Тогда, очевидно, Fk> — область целостности.
2.2. Сепарабельные расширения. Поле F называется сепа-
рабельным над k, если выполняется любое из следующих экви-
эквивалентных друг другу условий (здесь р — характеристическая
экспонента поля k, т. е. р=1, если char (&) = (), и /? = char(&)
в остальных случаях):
A) Поля Fp и k линейно разделены над kp.
B) F(k\ip) — приведенное кольцо.
C) Fk' — приведенное кольцо для всякого расширения Ы
поля k.
Предположим, что для некоторого расширения L поля k
алгебра FL есть область целостности и (FL) — ее поле частных.
Тогда
поле F сепарабельно над k4=} поле (FL) сепарабельно над L.
Импликация =Ф следует, по существу, из ассоциативности тен-
тензорного произведения, с учетом условия C). Чтобы доказать
обратное, включим данное расширение kr поля k в большее рас-
расширение kn% содержащее также и L. Так как /V cz Fk»t то доста-
достаточно показать, что /V — приведенное кольцо. Но по предполо-
предположению {FL)k» — приведенное кольцо. Следовательно, кольцо Fk» —
== FL ® Lk" с: (FL)k« также является приведенным.
2.3. Дифференцирования. (См. Бурбаки [1], § 9, Зарисский и
Самюэль [1], т. 1, гл. II, § 17, или Картан — Шевалле [1], сооб-
сообщение 13.) Мы называем ^-дифференцированием поля F всякое
fc-линейное отображение D: F-+F, такое, что D (ab) = D (а) Ь +
+ aD (b) для всех а, Ь е F. Совокупность
Derk{F,F)
всех ^-дифференцирований образует векторное пространство над F.
Теорема. Предположим, что F — конечно порожденное рас-
расширение поля k, и пусть п — степень трансцендентности поля F

16 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
над k. Положим
m — &\mP Der* {F, F).
Тогда пг^п, и равенство имеет место тогда и только тогда,
когда поле F сепарабельно над k.
Пусть Dx Dm--базис пространства Derk(F, F) и аи ...
..., am^F. Поле F является сепарабельным алгебраическим рас-
расширением поля k(au ..., am) тогда и только тогда, когда
d(Z())
Если т = п и det(Dt(aj)) Ф О, то множество {аи ..., ат} на-
называется сепарабельным базисом трансцендентности.
2.4. Предложение. Пусть G — группа автоморфизмов
поля F. Тогда F — сепарабельное расширение поля k = F° тех
элементов поля F, которые остаются неподвижными при действии
группы G.
Докажем, что поля F и klfp линейно разделены над k, т. е.
что если элементы аи ..., an^klfp линейно независимы над k,
то они линейно независимы над F. Действие группы G един-
единственным образом продолжается на FllP, причем G действует
тривиально на kllp. Предположим, что аи ..., ап линейно зави-
зависимы над F, но независимы над k\ мы можем предполагать,
что п минимально. Пусть ах + Ь2а2 + ... + Ьпап = 0 — соответ-
соответствующее соотношение. Если некоторое bif скажем Ьп, не при-
принадлежит полю F° = k, то Ьп изменяется под действием некото-
некоторого элемента g^G. Вычитая ^, + ?(^2)^2+ ... +?(&л)аЛ = 0
из соотношения, написанного выше, получаем более короткое
соотношение; это противоречит минимальности п.
§ 3. НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ КОММУТАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
3.1. Локализация. (См. Бурбаки [2].) Подмножество 5 кольца А
называют мультипликативным, если S не содержит нуля и соот-
соотношение s, t^ S влечет за собой st ^ S. Пусть S — мультиплика-
мультипликативное подмножество кольца А. Тогда существует единственное
кольцо ^[S"] (состоящее из дробей a/s (а е Л, 5 e 5)), такое,
что естественное отображение Л-^Л^] универсально среди
гомоморфизмов кольца Л, при которых образы элементов множе-
множества S становятся обратимыми. Кольцо Л^] называется лока-
локализацией кольца А относительно S.
Всякому Л-модулю М можно сопоставить локализованный
Л [S~^-модуль Af[S~1] = Л [S"] ® АМ. Если модуль М конечно
порожден, то M[S~l] = 0 тогда и только тогда} когда Ш — 0 для
некоторого /e^t

§ 3. Некоторые факты из коммутативной алгебры 17
Функтор Af-^AffS*1] из категории Л-модулей в категорию
А [Я^-модулей является точным и обладает следующими свой-
свойствами: для любых Л-модулей М и N естественное отображение
(М ® лЛ0 [S-1] -> М [S-1] ® А [rl]N [S-1]
является изоморфизмом, а естественное отображение
Нотл(М,
является изоморфизмом при условии, что модуль М конечно
представим 1).
Примеры. A) Пусть S — множество всех элементов кольца Л,
не являющихся делителями нуля. Тогда гомоморфизм Л->Л[5"]
инъективен и Л^"] называется полным кольцом частных
кольца Л. Если Л — область целостности, то Л [S"] — поле
частных.
B) Если S = {/rt|n>0} для некоторого /еЛ, то мы будем
писать Af (или Л[1//]) или Mf для обозначения соответствующих
локализаций.
C) Идеал Р кольца Л является простым, если SP = A — P —
мультипликативное множество. Соо?ветствующие локализации
обозначаются через АР и Мр. В этом случае АР имеет един-
единственный максимальный идеал PAPi т. е. АР — локальное кольцо.
3.2. Локальные кольца. Пусть Л — локальное кольцо с макси-
максимальным идеалом тп и полем вычетов & = Л/т. Пусть М — ко-
конечно порожденный Л-модуль.
(а) Если тМ = М, то М = 0.
В самом деле, пусть хь ..., хп — минимальное множество
образующих модуля ЛГ, и предположим, что п>0. Запишем
2 (а(^т). Тогда A — аЛх{ = 2 utXt. Но элемент 1— а{
обратим, так что уже х2, ..., хп порождают М; противоречие.
(b) Элементы хи ..., хп^М порождают М тогда и только
тогда у когда они порождают М по модулю шЛГ. Следовательно,
минимальное число образующих модуля М равно dim^ (M/mM).
Для доказательства применяем утверждение (а) к модулю M/N,
где Af — подмодуль, порожденный элементами хх хп.
(c) Если модуль М проективен, то М свободен. Мы можем
записать ЛЛ = ЛГ0#, так что kn = (M/mM)($)(N/mN). Поднимем
!) Для нётерова кольца Л понятия конечно порожденного и конечно,
представимого модулей эквивалентны. — Прим. перевч

18 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
базис kn в Ап так, чтобы он лежал в M\JN. Согласно утвер-
утверждению (Ь), мы получим тогда множество образующих модуля Ап.
Ясно, что эти образующие будут базисом модуля ЛЛ. Следова-
Следовательно, модуль М свободен, так как он натянут на часть базиса
модуля Ап.
3.3. Ниль-радикал; приведенные кольца. Нильпотентные эле-
элементы кольца А образуют идеал, который мы будем называть
ниль-радикалом и обозначать через nil Л. Мы будем называть А
приведенным кольцом, если пПЛ = {0}.
Для любого идеала / мы следующим образом определим
идеал 1/7: V7/J = nil (Л//). Тогда nil А = |/0". Кроме того, VI
совпадает с пересечением всех простых идеалов, содержащих /,
а если кольцо А нётерово, то VJ представим в виде пересечения
конечного числа простых идеалов, содержащих /.
Если S — мультипликативное множество, то y[]
= У/-Л[5"]. В частности, отсюда следует, что Л — приведен-
приведенное кольцо тогда и только тогда, когда его полное кольцо част-
частных является приведенным.
3.4. spec (Л). (См. Мамфорд [I]1)-) Спектром X = spec(A)
кольца Л называется множество всех простых идеалов кольца Л,
снабженное топологией Зарисского, в которой замкнутыми являются
множества вида
для произвольного идеала / кольца Л. Для подмножества Y
пространства X положим /(У)= |~| Р. Как легко видеть, Y =
). Кроме того, если / — идеал кольца А, то из п.АГ. 3.3
следует, что
Таким образом, замкнутые множества находятся во взаимно
однозначном соответствии ,(при котором включения меняются на
обратные) с теми идеалами /, для которых / = |//- Отсюда
вытекает, что если кольцо Л нётерово, то spec (Л) — нётерово
пространство.
Отображение Р->{Р}—- биекция множества X в множество
неприводимых замкнутых подмножеств множества X. Таким
образом, неприводимые компоненты пространства X соответствуют
минимальным простым идеалам кольца Л. (Комбинаторная) раз-
размерность пространства X (определяемая длиной цепей непризо-
1) См. также Шафарезич [1], гл. 5. — Прим. ред.

§ 3. Некоторые факты из коммутативной алгебры 19
димых замкнутых множеств) называется размерностью Крулля
кольца Л и обозначается через dim Л. Таким образом,
dim A = dim X.
Если f Gi4 и Р g I, то мы будем использовать запись f(P)
для обозначения образа элемента / в поле вычетов кольца АР
(которое, очевидно, является полем частных кольца А/Р). В этих
обозначениях дополнением множества V (/) !) является множе-
множество
Оно называется главным открытым множеством. Для любого
идеала / кольца А имеем V (/) = |~) V (/), так что главные от-
крытые множества образуют базис открытых множеств рассмат-
рассматриваемой топологии.
Предположим, что а0: А -> В — гомоморфизм колец. Тогда а0
индуцирует непрерывное отображение a: Y = spec (В) -* X, где
а{Р) = ъг(Р). В действительности а (V (/)) = К(ао(/)) 2).
Примеры. A) Если / — идеал кольца Л, то гомоморфизм
A-+A/J индуцирует гомеоморфизм spec (A/J) -> У (/) cz X.
B) Пусть S —- мультипликативное множество кольца Л. Тогда
отображение spec (Л [S~*]) -> spec (Л) является гомеоморфизмом
на подмножество Х5 = {Р е X \Р(] S= 0}.
(i) При [еЛ мы имеем гомеоморфизм spec (Af)->Xf.
(ii) Если Pel, to dimp X = dim spec (Ля) = dim AP (размер-
(размерность Крулля).
3.5. Носитель модуля. Пусть. X = spec (Л), где Л — нётерово
кольцо, и пусть М — конечно порожденный Л-модуль. Тогда из
п. АГ. 3.1 следует, что носитель модуля М
совпадает с замкнутым множеством V (arm MK). В частности,
М = 0 тогда и только тогда, когда supp(jW) = 0.
Пусть /: L->M —гомоморфизм Л-модулей. Для простого
идеала Р кольца Л обозначим через fP: LP^>MP соответствующий
гомоморфизм локализованных модулей. Так как функтор локали-
локализации является точным (см. п. АГ. 3.1), то множество тех про-
простых идеалов, для которых гомоморфизм fP сюръективен, есть
(открытое) дополнение в!к множеству supp (M/im (/)). Применяя
1) Здесь V (/) = V (fA). — Прим. перев.
2) Точнее, а"*1 (V (/)) = V (а0 (/) ВУ - Прим. ред.
3) Если М — некоторый Л-модуль, то ann М = {а е Л \ аМ = 0}. — Прим.
перев.

20 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
это к гомоморфизму Нотл {М, V) -* Нотл (М, М) и используя тот
факт, что локализация сохраняет Нот'ы (п. АГ. 3.1), мы можем
заключить, что множество U тех PgI, для которых fP — рас-
расщепляемый эпиморфизм *), открыто, и / — расщепляемый эпимор-
эпиморфизм тогда и только тогда, когда U=X.
Предположим, что гомоморфизм f сюръективен и модуль L
свободен. Тогда из последнего замечания и утверждения (с)
п. АГ. 3.2 вытекает, что множество
U = {Р <= X | Мр — свободный Лр-модуль}
открыто и М — проективный Л-модуль тогда и только тогда
когда U = X.
3.6. Целые расширения. (См. Бурбаки [2], гл. II, Зарисский
и Самюэль [1], т. 1, гл. V.)
Пусть Л — подкольцо кольца В. При Ь е В обозначим через Л [Ь]
наименьшее подкольцо кольца В, содержащее кольцо Л и эле-
элемент Ь. Элемент JgB называется целым над Л, если Л [Ь] — ко-
конечно порожденный Л-модуль, или, другими словами, если
Ь — корень полинома с коэффициентами из Л и старшим коэф-
коэффициентом, равным 1. Целые над Л элементы кольца В образуют
подкольцо В', называемое целым замыканием кольца Л в кольце В.
Мы называем кольцо В целым над Л, если В' = В. Будем гово-
говорить, что Л целозамкнуто в В, если Вг = Л, и что кольцо Л
нормально, если А — приведенное кольцо, целозамкнутое в своем
поле частных.
Предположим, что Л и В — подкольца кольца С и Л с В с С.
Тогда С цело над Л в том и только том случае, когда С цело
над В я В цело над Л.
Предположим, что кольцо В цело над Л. Тогда отображение
spec (В) -> spec (Л) сюръективно и замкнуто. Если В — конечно
порожденная Л-алгебра, то В — конечно порожденный Л~модуль.
Если В — область целостности, то каждый ненулевой идеал
кольца В имеет ненулевое пересечение с Л.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим для некоторого 0 Ф Ъ е В
уравнение минимальной степени над Л, которому удовлетворяет 6,
Ьп+ ... +а,6 + ао = О. Тогда ао = — b(an^{bn'2+ ... + аг) е=
е= ЪВ П Л, причем aQ Ф 0, ибо в противном случае мы могли бы
понизить степень уравнения.
3.7. Нётерова нормализация. (См. Зарисский и Самюэль [1],
Ленг [1].) Будем называть fe-алгебру Л аффинной^ если она конечно
!) Эпиморфизм /: L-+M называется расщепляемым, если ker (f) — прямое
слагаемое модуля L Эпиморфизм f расщепляем тогда и только тогда, когда
отображение Hom^(M, L) ->nomA(M, М\ индуцированное эпиморфизмом /,
является сюръективным. — Прим. перев.

§ 3. Некоторые факты из коммутативной алгебры 21
порождена как fe-алгебра. Такая алгебра является нётеровым
кольцом.
Теорема. Пусть R~k[yx, ..., ym]—аффинная область целост-
целостности над k, поле частных k(yly ..., ym) которой имеет степень
трансцендентности п над k. Тогда существуют алгебраически неза-
независимые над k элементы хь ..., хп е= i?, такие, что кольцо R
является целым над кольцом полиномов k[xu ..., хп]. Если поле
Ь{У\у---уУт) сепарабельно над k> to эти элементы хи..., хп
можно выбрать так, чтобы они образовывали сепарабельный базис
трансцендентности поля k{yu ..., ym) над k.
Доказательство1). Предположим, что имеется нетривиаль-
нетривиальное соотношение между уи ..., ут
с отличными от нуля коэффициентами из поля k. Пусть
целое число. Положим x2 — y2 — yfy ..., хт = ут — У*т~1- После
подстановки в предыдущее уравнение yi = xi + yf~l (/ = 2 п)
получим Sfl/l....i/yi1+/2d+'''+/|Ild<II + f(y1, x2, ..., хт) = 0, где
/ — многочлен, не содержащий чистых степеней ух. Выберем
теперь d достаточно большим (скажем, d больше любого показа-
показателя /, входящего в указанное выше уравнение). Тогда коэффи-
коэффициент при старшем относительно ух члене предыдущего уравнения
отличен от нуля и принадлежит полю k, так что мы получаем
целое уравнение для ух над k[xx xm]. Так как каждый из
yt {i>\) содержится в k[yu хи ..., хт\у то кольцо k[yu ..., ут]
целое над кольцом k[x2, ..., хт]. Учитывая транзитивность целых
расширений, мы можем уменьшать число у'ов до тех пор, пока
не дойдем до алгебраически независимого множества у'ов.
Переходя ко второму утверждению, напомним, что сепарабель-
сепарабельный базис трансцендентности поля k{yx ym) над k можно
выбрать уже среди элементов уъ ..., ут (см. Зарисский и
Самюэль [1], гл. II, § 13, теорема 30). Можно считать без огра-
ограничения общности, что уь ..., уп — упомянутый базис. Будем
считать, что число d в предыдущем доказательстве является сте-
степенью числа р —- характеристической экспоненты поля k (если
р= 1, то доказывать нечего). Тогда образ элемента хь относительно
любого ^-дифференцирования совпадает с образом у{. Следова-
Следовательно, элементы у{9 x2i ..., хп образуют сепарабельный базис
трансцендентности (см. п. АГ.2.3), так что и элементы, полученные
!) При переводе добавлено доказательство первой части теоремы, которое
было опущено в оригинале. — Прим. перев.

22 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
при доказательстве первой части теоремы образуют сепарабель-
ный базис трансцендентности.
3.8. Теорема о нулях. (См. Мамфорд [1], гл. 1 ')•) Пусть
Л —аффинная /С-алгебра и X = max Л — подпространство макси-
максимальных идеалов в spec (Л).
Если е: А->К—-гомоморфизм /С-алгебр, то ker(e)&X, так что
мы имеем естественное отображение2) <р: Мог/с-алг (А,К)-+Х.
Теорема о нулях (Nullstellensatz).
A) ф — биективное отображение.
B) Подпространство X плотно в spec (Л). Кроме того,
F-+F [\Х — биективное отображение множества замкнутых под-
подмножеств пространства spec (Л) на множество замкнутых подмно-
подмножеств пространства X. Аналогичное утверждение справедливо так-
также и для открытых множеств.
Если х^Ху то через ех мы будем обозначать такой гомомор-
гомоморфизм А-+К, что x — ker(ex). Мы будем использовать также и
функциональное обозначение: при f е Л положим / (л:) = ех (/).
Таким образом, каждый элемент f е Л определяет функцию Х-+К.
Если элементу f&A отвечает нулевая функция, то f e/(J)= f4) х.
Х
Из части B) теоремы вытекает, что 7(л:) = /(8рес(Л)) = ш1 Л. Это
означает, что функция на множестве X, соответствующая /, опре-
определяет f по модулю nil Л. Если Л — приведенное кольцо, то мы
можем, следовательно, рассматривать Л как кольцо функций на X
со значениями в К>
Мы будем использовать для X те же обозначения, что и для
spec (Л). Например, если /еЛ, то Xf = {x ^X\f(x) Ф 0}. Эти
главные открытые множества составляют базис топологии про-
пространства X.
Если М—некоторый Л-модуль, то мы будем также использо-
использовать запись suppx(M) = {x^Х\Мхф0} или просто suppAf. Ввиду
части B) теоремы о нулях все замечания из п. АГ. 3.5 остаются
справедливыми, если вместо spec (Л) взять X.
Соответствие, установленное в части B) теоремы о нулях,
сопоставляет неприводимым замкнутым множествам неприводимые
замкнутые множества и, следовательно, неприводимым компонен-
компонентам—неприводимые компоненты. Если х^Х, то dimxX =
= dim^(spec^)) = dim Ах. Кроме того, dim J = dim spec (Л).
') В другой форме теорема о нулях имеется у Ленга [I], гл. X, § 2, у Зарис-
ского н Самюэля [I], т. 2, гл. VII. — Прим. ред.
2) Здесь через Мог^_алг (Л, К) автор обозначает множество /С-гомоморфиз-
мов алгебры А в /С (иначе, Нот^.алг (Л, /С)). — Прим. перев.

§ 4. Пучки 23
3.9. Регулярные локальные кольца. (См. Зарисский и Са-
Самюэль [1], т. 1, гл. VIII, § 11.) Пусть А — нётерово локальное
кольцо с максимальным идеалом m и полем вычетов k = Л/m. Тогда
минимальное число образующих идеала m равно (см. п. АГ. 3.2)
размерности факторкольца тп/тп2 над k. Имеет место следующее
важное соотношение:
где dim А определяется как в п. АГ. 3.4. Если же в этом соотно-
соотношении имеет место равенство, то локальное кольцо называется
регулярным.
Из регулярности вытекают довольно сильные следствия, напри-
например в регулярном кольце разложение на множители однозначно.
Мы увидим в § АГ. 17, что если А — локальное кольцо точки х
на многообразии V, то регулярность кольца А означает, что
х — простая точка; это показывает важность понятия регулярности.
Минимальное число образующих идеала m оказывается равным
числу локальных параметров многообразия V в точке х, а тп/т2 —
это кокасательное пространство (см. ниже § АГ. 16) многообра-
многообразия V в точке х.
§ 4. ПУЧКИ
(См. Мамфорд [1], гл. I, § 41).)
4.1. Предпучки2). Пусть X — топологическое пространство.
Образуем категорию top (X), принимая в качестве объектов откры-
открытые множества пространства X, а в качестве морфизмов — есте-
естественные вложения одного множества в другое. Пусть, кроме
того, С —некоторая категория. Предпучком F на X со значениями
в С мы называем любой контравариантный функтор U-*F(U),
определенный на top(X) и принимающий значения в С. Иначе
говоря, каждой паре открытых множеств V cz U сопоставляется
С-морфизм
res?: F(U)-*F(V),
называемый „ограничением", причем выполняются следующие
условия: res^ является тождественным отображением для каждого
открытого множества U cz X, и если W czV czU — открытые мно-
множества, то
res^ = res^ о res^.
1) См. также Годеман [1], гл. I, § 19, и гл. II. — Прим. ред.
2) При переводе в изложение этого пункта внесены небольшие измене-
изменения. — Прим. ред,

24 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
Морфизм предпучков ср: F-+F' определяется как морфизм
соответствующих функторов. Другими словами, ф есть совокуп-
совокупность всех морфизмов ср^: F(U)->F' (?/), для которых коммута-
коммутативна следующая диаграмма:
F{U)-%UF'(U)
4
F(V)—*F'(V)
Предположим теперь, что С — категория множеств, наделенных
некоторой структурой, например структурой группы, кольца,
модуля и т. п. Если отображения res^ для любых открытых мно-
множеств V cz U являются гомоморфизмами группы, кольца, мо-
модуля ... F(U) в группу, кольцо, модуль ... F(V) соответственно,
то мы будем говорить, чта F — предпучок групп, колец, модулей
и т. п. В этом случае для каждого элемента s e F(U) имеет смысл
выражение res^(s) ci F(V), и res^(s) называется ограничением
элемента s^F(U) на V. Соответствующим образом определяется
морфизм ф: F-+F' предпучков групп, колец, модулей и т. п., так
что имеет смысл выражение qv(s) при s^F{U).
Условие транзитивности, наложенное на морфизмы ограниче-
ограничения, позволяет для всякого лее X определить индуктивный предел
Fx = indlimF(U)9
U — окрестности
точки х
называемый слоем предпучка F над точкой х.
Если U — открытое множество в пространстве Х> то top (U) —
подкатегория категории top(Jf), что позволяет рассмотреть огра-
ограничение предпучка F на множество U. Полученный предпучок
на U обозначается через (С/, F\U).
4.2. Пучки. Пусть F — предпучок на X со значениями в неко-
некоторой категории С „множеств со структурой". Тогда F называется
пучком, если выполняется следующая „аксиома пучка": для любого
покрытия открытого множества U cz X открытыми множествами
последовательность множеств
является точной !).
1) Здесь и в дальнейшем произведение JJ понимается в смысле теории
категорий (см. Ленг [1], гл. I, § 7). — Прим, nepeq.

$ 4. Пучки 25
Разъяснение. „Точность" означает, что а индуцирует биек-
цию множества F(U) на множество элементов, на которых ото-
отображения Р и y согласованы. Таким образом, если, например,
F—¦ предпучок абелевых групп, то a{F(U)) есть ядро отображе-
отображения р — Y-
Здесь отображение а индуцируется ограничениями F (?/)->
-+F{Ui) (is/). Подобным же образом ограничения F(?/*)->
-^F{Ut{\Ui) (/<=/) индуцируют отображение F(Ut)->Tl F(Ut{\ ?/,).
Произведение этих отображений по всем /g/ дает отображение р.
Аналогично, исходя из отображений F(Uj)->F(Uь[\иj), получаем
отображения F (?//) -> Ц F (Ut f| С//), произведение которых по
всем /е/ дает отображение y-
В явном виде аксиома пучков гласит, что для любых элемен-
элементов st^F (?//), таких, что st \ Ut f| ?// = st \ Ut f| f// при всех /, / е /,
существует один и только один элемент seF(С/), для которого
5|[// = 5/ при всех /е/.
Пример. Пусть Т7(U) — кольцо всех непрерывных функций
на U с вещественными значениями. Тогда, очевидно, F является
пучком (коммутативных колец) относительно ограничения функций.
4.3. Ассоциированный пучок. Пусть F — предпучок на X со
значениями в некоторой категории С „множеств со структурой".
Тогда имеется пучок F', называемый пучком, ассоциированным
с F, и морфизм f: F-+F', такой, что всякий морфизм предпучка F
в произвольный пучок единственным образом пропускается через
морфизм f.
Иначе говоря, индуцированное морфизмом / отображение
Mor(F', б)->Мог(Л G)
биективно, каков бы ни был пучок G.
Грубо говоря, пучок F' можно построить в два шага. Сначала
строим предпучок Fl(U)t профакторизовав предпучок F(U) по
модулю отношения эквивалентности, в котором элементы s,t^F(U)
считаются эквивалентными, если их ограничения согласованы на
каком-либо покрытии множества U открытыми множествами.
Затем образуем пучок F', добавляя к каждому множеству Fx (U)
все элементы, полученные из элементов Si^Ui при некотором
покрытии множества U открытыми подмножествами Uh согласо-
согласованными в том смысле, что 5/1Ut f| ?7/ = Sj \ Ut f] С//. Эта процедура
имеет смысл благодаря шагу 1.
Если х^Х, то морфизм слоев FX->F'X биективен.
Предпучки абелевых групп или модулей образуют абелеву
категорию — с очевидным образом определенными понятиями
ядра, коядра, точной . последовательности и т. п. Так, если

26 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
/: F-+G — морфизм предпучков, то (ker(f)){U) = ker{F(U)->G(U))
и {cokerf)(U) = coker(F(U)->G(U)). Если F и G - пучки, то
ker (f) — также пучок. Однако coker(f) уже не обязан быть пуч-
пучком. Коядро морфизма f в категории пучков есть по определению
пучок, ассоциированный с предпучком коядра.
Можно показать, что категория пучков абелевых групп абе-
лева. Последовательность пучков F—>G-># точна, тогда и только
тогда, когда последовательность слоев FX->GX-+HX точна для
всех х е X.
§ 5. АФФИННЫЕ JC-СХЕМЫ И ПРЕДМНОГООБРАЗИЯ *)
5.1. Топологическое пространство X вместе с пучком Ох
/С-алгебр на X, слои которого — локальные кольца, называется
К-пространством. При х ^ X слой над х мы обозначаем через OXt x
или просто Ох, когда из контекста ясно, о каком пространстве X
идет речь. Максимальный идеал слоя &х обозначается через mXf
а его поле вычетов — через К (х). Часто вместо (X, Ох) мы будем
писать просто X, коль скоро это не приводит к путанице.
Морфизм /С-пространств (F, Or)->(Z, Ox) состоит из непре-
непрерывных функций a: Y->X вместе с гомоморфизмами /С-алгебр
для всех открытых множеств UaX и Fez Г, таких, что a(V)czU.
При этом требуется, чтобы эти отображения были совместимы
с соответствующими гомоморфизмами ограничений в Ох и Ог.
При j/gF можно перейти к пределу по окрестностям V точки у
и окрестностям U точки x = f(y) и получить гомоморфизм слоев
ау: О^~>ОГ Кроме того, требуется, чтобы это был всегда „локаль-
„локальный гомоморфизм", т. е. чтобы ay(mx) czmy.
5.2. Аффинная /С-схема specK(A). Напомним, что /С-алгебра
называется аффинной, если она конечно порождена как алгебра.
Подпространство максимальных идеалов Х = тах(Л) ее спектра
spec (Л) обозначается через specAr(^). Из теоремы о нулях (п. АГ. 3.8)
вытекает, что имеет место каноническая биекция x-+ker(ex)
X = spec^ (А) на Нот^^ (Л, /С).
Мы используем также функциональное обозначение
/(*) = **(/) (xe=X,f<BA).
') См. Шафаревич [1], гл. V. $ Ъ. — Прим. р*д.

§ 5. Аффинные К-схемы и пред многообразия 27
Полученная функция /: J->/( (при f e Л) определяет/ по модулю
ниль-радикала алгебры А (см. п. АГ. 3.8), так что если А — при-
приведенное кольцо, то его можно отождествить с кольцом функций
на X со значениями в К-
Рассмотрим теперь /(-пространство {Х> Л), где А — пучок, ассо-
ассоциированный с предпучком U-> A [S(U)~l]. Здесь множество U
открыто в X и S(U) — множесто всех функций /еЛ, отличных
от нуля в каждой точке множества U. Легко видеть, что слой
пучка А в точке х е X совпадает с локальным кольцом АХ9 так
что (X, А) — действительно /(-пространство. Символом spec*- (A)
будет обозначаться как Х> так и /(-пространство (X, А); /(-про-
/(-пространство, изоморфное пространству такого типа, будем называть
аффинной К-схемой.
В случае когда А — область целостности с полем частных L,
локальные кольца Ах содержатся в L и пучок А можно описать
следующим образом: A(U)= (] Ах
х.
Гомоморфизм а: А->В аффинных /(-алгебр индуцирует непре-
непрерывную функцию a': Y-+X, где Y = specK(B). Если UczX и
V cz Y — открытые множества, причем ^(FJczf/, то a{S(U))cz
с: S (У), так что имеет место естественный гомоморфизм A [S (f/)"!]->
->B[S(F)"" ]. Такие гомоморфизмы индуцируют морфизм соответ-
соответствующих /(-пространств (Y, В)->(Х, А); таким образом, отобра-
отображение A-*specK(A) оказывается контравариантным функтором из
категории аффинных /(-алгебр в категорию /(-пространств.
5.3. #С-схемы и предмногообразия. Под К-схемой мы пони-
понимаем /(-пространство (X, Ох), такое, что X имеет конечное по-
покрытие открытыми множествами С/, причем (С/, О?| U) — аффинная
/(-схема. Отметим, что при этих условиях X — нётерово простран-
пространство. Если (Z, Ох)~ приведеннное iC/пространство, т.е. если для
каждого х е X локальное кольцо Ох,л не имеет отличных от нуля
нильпотентных элементов, то мы называем (Z, Ох) пред многообра-
многообразием. Аффинное /(-пространство X — spec^ (А) тогда и только тогда
является предмногообразием, когда А — приведенное кольцо;
в этом случае мы называем /(-пространство spec^(^) аффинным
многообразием
Предостережения. A) /(-схема не является схемой в обыч-
обычном сйыслёг Она была бы схемой, если бы (в аффинном случае)
вместо Брес/г(Л) = тах(Л) мы использовали весь spec (Л). После
этого изменения определение /(-схемы соответствовало бы понятию
„•схемы конечного типа над /(" (или над spec(/()},

28 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
B) Наше понятие предмногообразия, в сущности, то же самое,
что и у Мамфорда [1], гл. I; однако мы не требуем, чтобы про-
пространство X было неприводимым.
Рассмотрим теперь аффинную /(-схему specK(K)f состоящую
из одной точки со структурным пучком К- Морфизм spe^ (/() -* X
выделяет в X точку х и согласованные гомоморфизмы /(-алгебр
&x(U)~->% Для всех окрестностей U точки х. Последнее соответ-
соответствует гомоморфизму /(-алгебры О* в /(, причем такой гомомор-
гомоморфизм имеется только один, а именно f->f(x). Таким образом,
точка х полностью определяет этот морфизм, т. е. мы можем
отождествить Мог/с-схем^рес^/О, X) с X (как множества).
5.4. Теорема. Пусть X = specK(Л) — аффинная К-схема и
Y — произвольная К-схема. Тогда естественное отображение А -> А (X)
является изоморфизмом, и отображение
гК Oy(Y))
биективно. В частности, А -> spec^ (A) — контравариантная экви-
эквивалентность из категории аффинных К-алгебр в категорию аф-
аффинных К-схем.
По поводу этой эквивалентности см. Мамфорд [1], гл. И,
§ 1-2.
5.5, Квазикогерентные модули. (См. Мамфорд [1], гл. III,
§ 1—21).) Пусть Л— аффинная /(-алгебра. Если М — произволь-
произвольный Л-модуль, то пучок М на spec^^), ассоциированный с пред-
пучком С/-> Л[5(С/)"~!] ® ЛМ,^ есть пучок Л-модулей, или просто
А-модуль. Более того, М->М—точный функтор из категори Л-мо-
Л-модулей в категорию Л-модулей.
Пусть Y — некоторая /(-схема. Мы говорим, что О^-модуль
(или пучок Ок-модулей) F квазикогерентен, если схема Y может
быть покрыта аффинными /(-схемами U = specK(A), на которых
ограничение F\ U изоморфно некоторому пучку Af. Если /(-схемы U
можно выбрать так, что каждый Л-модуль М конечно порожден
(соответственно свободен), то мы говорим, что F — когерентный
(соответственно локально свободный) Ojr-модуль. Если О^-модуль F
когерентен, то из п. АГ. 3.5 легко следует, что множество
замкнуто и, кроме того, множество {у е Y \ Fy — свободный Оу-ио-
дуль} открыто.
]) См. также Шафаревич [1], гл. VI, § З. — Прим. ред.

§ б. Произведения; многообразия 29
Теорема. Пусть X — specк(Л) — аффинная К-схема и f <= А.
Тогда для любого А-модуля М естественное отображение Mf->
->M{Xf) — изоморфизм. В частности,
(specif), Af)->(Xf,A\Xf)
является изоморфизмом К-схем. Более того, М->М — эквивалент-
эквивалентность из категории А-модулей в категорию квазикогерентных
А-модулей. Далее, А-модуль М когерентен тогда и только тогда,
когда А-модуль М конечно порожден. В этом случае М локально
свободен тогда и только тогда, когда М-*-проективный А-модуль.
5.6. Замкнутые вложения *)• (См. Мамфорд [1], гл. И, § 5.)
Морфизм /(-схем a: Y->X называется замкнутым вложением,
если а отображает Y гомеоморфно в замкнутое подпространство
пространства X и если локальные гомоморфизмы Ох, а (У) -> ОК| у
сюръективны для каждого у gF.
Если 3—квазикогерентный пучок идеалов в Ох и Y = supp (Ox/3),
то множество Y замкнуто, и пучок Ох/% получается путем „при-
„присоединения нулей" к пучку Оу на Y, для которого имеется есте-
естественное замкнутое вложение (К, OK)->(J, Ox). Мы называем Y
замкнутой подсхемой схемы X, определенной пучком 3-
В случае когда схема X = specK(A) аффинна, каждый такой
пучок 3 имеет вид 7 для подходящего идеала / кольца А, и Y
оказывается в точности аффинной подсхемой:
Теорема. Отображение I->specк(Л/Y) — биекция множества
идеалов кольца А в множество замкнутых подсхем схемы зреся-(Л).
В частности, каждая замкнутая подсхема аффинной схемы аффинна.
Открытое вложение есть морфизм, изоморфный морфизму
вида (?/, OxI U)->(X9 Ох), где X — некоторая ЛЧхема и С/ —от-
—открытое множество. Мы называем (?/, Ох| U) открытой подсхемой
схемы (X, Ох). Замкнутая подсхема открытой подсхемы называется
локально замкнутой подсхемой.
§ 6. ПРОИЗВЕДЕНИЯ; МНОГООБРАЗИЯ
6.1. Произведения существуют. (См. Мамфорд [1], гл. I, § б2).)
Пусть X и Y — произвольные! /С-схемы. Произведение XXY
характеризуется как /(-схема с парой морфизмов ртх- XXY-+X
и piy. X X У—> У, таких, что, каковы бы ни были /(-схема z и мор-
1) В оригинале „immersion", что иногда переводят термином „погруже-
„погружение", — Прим. перев.
2) См. также Шафаревич [1], гл. V, § 4, гл. VI, § \. — Прим. ред.

30 Гл. ЛГ. Алгебраическая геометрия
физмы ф: Z->X и tp: Z->K, найдется единственный морфизм
ft: Z~>IX^ удовлетворяющий условиям <p = prxoft, г|)=^р1>°Л-
Если взять Z = spec*- (/(), то легко увидеть, что произведение X X У
как множество является обычным декартовым произведением
множеств X и F. Из теоремы п. АГ. 5.4 вытекает, что произве-
произведение аффинных /С-схем существует и равно
spec*- (А ® ^?)
— следует использовать тот факт, что ®д- является копроизведе-
нием 1) в категории аффинных /С-алгебр.
Имеет место более общее утверждение:
Теорема. Произведение ХХУ существует и обе проекции
являются открытыми отображениями. Если U czX и V cz Y — от-
открытые подсхемы, то U XV -+ХХУ — открытое вложение.
Используя эту теорему и описание произведения в аффинном
случае, легко показать, что локальное кольцо произведения X X У
в точке (х, у) является локализацией кольца О^ ® кОу относи-
относительно идеала тх®& + О®
6.2. Многообразия. Пусть X — некоторая /С-схема. Пара AХ, 1Х)
определяет диагональный морфизм d: X-+XXX, и мы называем
схему X отделимой, если d — замкнутое вложение. Отделимое
предмногообразие называется {алгебраическим) многообразием.
Например,
(a) аффинное многообразие является многообразием;
(b) локально замкнутое подпредмногообразие многообразия
является многообразием;
(c) произведение двух многообразий является многообразием.
Пусть а, Р: Y ~>Х — два морфизма /С-схем X и У, и пусть
Пара (а, Р) определяет морфизм y: Y-+XXX, и ясно, что
Г^ р = у (d (X)). Следовательно, если схема X отделима, то мно-
множество Г», р замкнуто. В частности, если морфизмы аир совпа-
совпадают на плотном подмножестве, то они совпадают во всех точках.
Применив эти замечания к морфизмам а©ргк, ргх схемы
У X X, придем к выводу, что если X — отделимая /С-схема, то
график морфизма а
(У, а (У)) = Ш/> х) е= У X X \ а о ргк (у) = ргх (*}} = Г^, рг х
замкнут. ; , , .
6.3. Регулярные функции и подмногообразий. Пусть (J, Ох) т-
алгебраическое многообразие. Если U — открытое подмножество
*) См. Ленг [1], гл. I, § 7. — Прим. перее.

§ б. Произведения; многообразия 31
в X, то вместо OX(U) мы будем писать K[U]. Элементы /кольца
К[Щ можно отождествить с функциями на U со значениями в /С,
которые мы будем называть регулярными функциями. Тогда мор-
морфизм res^: K[U]->K[V] соответствует ограничению функций. При
x^U отображение f->f{x) = ex(f) является композицией гомо-
гомоморфизма K[U]->OX с гомоморфизмом кольца Ох в его поле
вычетов К(х) — К-
Если множество U открыто в X, то (?/, ?5Х[ U) является много-
многообразием, которое называется открытым подмногообразием много-
многообразия X. В том случае, когда U аффинно, U = specK(K[U]).
Каждому подпространству Y пространства X однозначно соот-
соответствует приведенная подсхема (Y, Оу) схемы X. Именно, Ок
есть пучок, ассоциированный с предпучком (С/ П У)->К[и]11ц{У)9
где 1ц (Y) — идеал всех тех функций на С/, которые обращаются
в нуль на Y ПС/. (Таким образом, если подмногообразие U аф-
аффинно, YOU — это в точности specA-(/C[t/]//i/(y)).) Это позволяет
нам рассматривать замкнутое подпространство Y многообразия X
как замкнутое подмногообразие.
Тогда локально замкнутым многообразием естественно назы-
называть замкнутое подмногообразие открытого многообразия.
Пусть а: У->Х — морфизм многообразий. Тогда а— непрерыв-
непрерывная функциями всякий раз, когда U и F —открытые подмноже-
подмножества многообразий X и Y соответственно и a(V)cz U, существует
коморфизм
а?: K[U]-+K[V]9
такой, что
ИЛИ
для любых fe K[U] и j/sF. Так как мы здесь имеем дело
с кольцами функций, то морфизм а (рассматриваемый как
отображение пространств) определяет гомоморфизмы пучков <х^.
Мы будем обозначать их просто через <х0 (для всех U и V) и
называть <х0 коморфизмом (коморфизмами) морфизма а.
Отметим, что подобным образом коморфизмы <х0 на кольцах
всех функций со значениями в К могут быть определены для
любого отображения а множества Y в множество X. Условие,
что a — морфизм многообразий, можно сформулировать в сле-
следующем виде: (i) отображение а непрерывно и (И) для открытых
подмножеств U аХ и V czY> таких, что a{V) cz U9 имеет место
включение OqK[U] czf([V].
6.4. Локальные кольца на многообразии. Рассмотрим локаль-
локальное кольцо Ох точки х на многообразии V. Оно отражает

32 Гл. ЛГ. Алгебраическая геометрия
„локальные свойства" многообразия V вблизи точки х. Например,
если взять в качестве окрестности точки х аффинное многообра-
многообразие V = $реск(А), то Ох — локальное кольцо кольца А относи-
относительно максимального идеала m = ker(^), и из свойств локализа-
локализации вытекает, что простые идеалы кольца Ох взаимно однозначно
соответствуют простым идеалам кольца Л, содержащимся в тп,
т. е. неприводимым подмногообразиям многообразия V, содер-
содержащим точку х. Отсюда следует, что dim^V (в смысле п. АГ. 1.4)
равна размерности Крулля кольца Ох.
Заметим еще, что неприводимые компоненты многообразия V',
содержащие точку х, соответствуют минимальным простым идеа-
идеалам кольца Ох. Таким образом, точка х принадлежит лишь одной
неприводимой компоненте многообразия V тогда и только тогда,
когда Ох — область целостности.
§ 7. ПРОЕКТИВНЫЕ И ПОЛНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
7.1. Аффинные пространства V и Кп. Пусть V — конечномер-
конечномерное векторное пространство (над К)* Тогда симметрическая алгебра
А = SK (V*) двойственного пространства V* пространства V является
градуированной алгеброй „полиномиальных функций" на V, по-
порожденной линейными функциями первой степени. Из универ-
универсального свойства симметрической алгебры вытекает, что
г (SK (V*), К) = НоШ/с-мод (Г, К) = (FT = V.
Это позволяет отождествить V с точками аффинного многообра-
многообразия specAr(i4).
Если V = Kn, то алгебра А изоморфна кольцу полиномов
# [Ти ..., Тп] от п переменных, где Tt (t) = *, при t=(tu ..., tn) c= Kn.
7.2. Проективные пространства ^(V) и Ря. (См. Мамфорд
[1], гл. I, § 51).) На множестве прямых в пространстве V можно
задать структуру многообразия, которое мы будем называть про-
проективным пространством на V и обозначать через &*(V). Часто
вместо &{Кп+1) мы будем писать Р„.
Удобно описывать множество 3P{V) как множество классов
эквивалентности [я] ненулевых векторов jcgF, если принять
[x] = [jf], когда y = tx для некоторого t&K*. Пусть я: V — {0}~>
->#* (V) — соответствующая проекция, т. е. я(л;) = [л:]. Топологи-
зируем проективное пространство !P(V) так, чтобы отображение я
было непрерывно и открыто, когда V — {0} рассматривается как
открытое подмногообразие многообразия V; именно, будем счи-
считать множество Uczfr(V) открытым тогда и только тогда, когда
множество n-{(U) открыто.
1) См. также Шафаревич [1], гл. I, § 4, б. — Прим. ред.

§ ?. Проективные и полные многообразий 33
Пусть, как и выше, А = SK (V*) — симметрическая алгебра на
пространстве V*, и S — мультипликативное множество отличных
от нуля однородных элементов в алгебре А. Тогда A [S~l] — также
градуированное кольцо, в котором члены нулевой степени можно
описать следующим образом:
."{fig
f и g — однородные элементы кольца А
одинаковой степени и g ф 0.
При [x]^&(V) положим
Заметим сначала, что условие g (x) ф 0 зависит только от [х]9
Ибо если d — степень элемента g, то g (tx) = tdg {x) для всех t e К*.
Отсюда следует, что f{x)/g(x) зависит только от [х], так как f
также имеет степень d. Таким образом, элементы f/g Кольца L
можно считать функциями на множестве тех [jc]s^(V), для ко*
торых g (х) Ф 0. При этом О[Х] — локальное Кольцо всех таких
функций, определенных в точке [х].
Пусть {/ — открытое множество пространства ^(У)* Положим
Л
и определим отображения ограничения как вложений, если U'a ?/•
Мы получаем пучок на пространстве &*{V)> и (^(V), О^(у)) —
проективное многообразие, которое мы хотели построить»
Пусть V = Kn+\ так что А = /С[Г0> Т{9 ..м Тй]> где Tt(t) = tt
при /*=(<о» •*•> 'n)e^Cn+1- Хотя Г? и не являются функциями на
пространстве Рп = & {Кп+1)> выражение Ря> Г/ =*{[/] ^ Рй | Г/ (f) Ф 0}
имеет смысл.
Более того, имеет место биекция РтГ?->/С\ сопоставляющая
элементу [/0, ..., tn]& Pm ti элемент
(Jo. 1l Ьа
Легко показать, что это изоморфизм открытого йодмиогообразий
JP*,tj многообразия Рл на аффинное пространство /(*. Из тога
факта, что множества PntT( @</^/г) покрывают Рл, вытекут,
что Рл — по меньшей мере предмногообразие.
7.3. Проективные многообразия. Многообразие, изоморф-
щре замкнутому подмногообразию проективного пространства,
*} tt означай исключение i-й координаты, — Прим. перев,

34 Гл. At. Алгебраическая геометрия
называется проективным. Многообразие, изоморфное открытому
подмногообразию проективного многообразия, называется квазипро-
квазипроективным. Так как аффинные пространства являются открытыми
подмногообразиями проективных пространств, то все аффинные
многообразия Квазипроективны.
Произведения проективных многообразий являются проектив-
проективными многообразиями. Чтобы убедиться в этом, достаточно по-
показать, что каждое произведение Рп X Рт является проективным
многообразием. Это в свою очередь вытекает из того очевидного
факта, что имеется замкнутое вложение
*я X Р/п""* Мп+1) (m+l)-l ^ *пт+п+т>
задаваемое формулой
7*4. Полные многообразия. (См. Мамфорд [1], гл. I, § 91).)
Многообразие V называется полным, если для любого многообра-
многообразия X проекция ртх: XXV-+X является замкнутым отображе-
отображением. (В категории хаусдорфовых топологических пространств
аналогичное свойство характеризует компактные пространства.
Таким образом, „полнота" является для многообразий аналогом
„компактности" для топологических пространств.)
Непосредственно из определения следует, что замкнутое под-
подмногообразие полного многообразия является полным многообра-
многообразием и что произведение полных многообразий является полным
многообразием.
Пусть V —полное многообразие и a; V->X — морфизм мно-
многообразий. Тогда график Га cz V X X морфизма а есть замкнутое
множество, так что его проекция в X, которая совпадает с a{V), —
замкнутое подмножество многообразия X. Если а — сюръективный
морфизм, то, как следует из определения, X — также полное
многообразие. Применяя этот факт к a(V), заключаем, что образ
морфизма полного многообразия замкнут и является полным мно-
многообразием.
Аффинная прямая К есть открытое, но не замкнутое подмно-
подмножество проективной прямой Plf так что К не является полным
многообразием. Так как остальные замкнутые подмножества в К
конечны, то всякое связное полное подмногообразие многообра-
многообразия К состоит из одной точки.
Если V — связное полное многообразие, то K[V] = K, т. е*
каждая регулярная функция f на F постоянна. Это следует из
того факта, что f{V) — связное полное подмногообразие много-
многообразия. К-
1) См. также Шафаревич [1], гл. I, § 5. — Прим. ред.

§ 8. Рациональные функции 35
Из сделанных замечаний легко вытекает, что морфизм связ-
связного полного многообразия в аффинное многообразие обязан быть
константой. В самом деле, его образ, будучи замкнутым мно-
множеством, является одновременно и полным и аффинным много-
многообразием, а аффинное многообразие, регулярные функции на
котором постоянны, состоит из одной точки.
Полные многообразия существуют; более того, справедлива
Теорема. Всякое проективное многообразие является полным.
§ 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
8.1. Рациональные функции. Пусть V — алгебраическое мно-
многообразие. Открытые плотные подмножества U aV образуют от-
относительно включения обратный спектр1), так что их кольца
функций K[U] образуют прямой спектр. Предел прямого спектра1)
() [
U открыто и
плотно в V
называется кольцом рациональных функций на V. Легко устано
вить следующие свойства:
(a) Если U — открытое плотное подмножество в V, то отобра-
отображение K[U]->K{V) инъективно; мы будем рассматривать его как
вложение. Кроме того, K(U) = K(V).
(b) Функция f^K{V) называется регулярной в точке х, если
f е К [U] для подходящей окрестности U точки х (окрестность U
открыта и плотна в V). Множество Uo всех точек х, в которых
определена функция /, называется областью определения функ-
функции /. Ясно, что Uo — открытое плотное подмножество в V', для
которого f е/С[[/0], и что С/о содержит всякое открытое плотное
подмножество с этим свойством.
(c) Предположим, что многообразие V неприводимо. Тогда
каждое его открытое плотное подмножество U само неприводимо.
Если функция/еК[Щ отлична от нуля, то Uf = {x^ U lf(^) =й= 0> —
непустое открытое множество, плотное в V (ввиду неприводи-
неприводимости), и l/f ^K[Uf]. Отсюда следует, что К (V) — поле; оно на*
зывается полем функций на V.
(d) В общем случае пусть Vu ..., Vn — неприводимые компо-
компоненты многообразия V. Из п. АГ. 1.2 вытекает существование
1) Употребляются также термины «индуктивный» и «проективный» спектры,
«индуктивный» и «проективный» пределы. Определение индуктивного предела
можно найти, например, у Годемана [I], § 1, ц. 6. Сад. тадрке КаРтап> Эй
берг [1], стр. 130. -^Прим. перев.
2*

36 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
открытого плотного подмножества U cz V, такого, что Ui = U (]V{
A ^ / ^ п) — попарно непересекающиеся открытые в V подмно-
подмножества. Используя утверждения (а) и (с), получаем, что
т. е. К (V) — произведение полей функций неприводимых компо-
компонент многообразия V.
(е) Если V^spectf(Л)— аффинное многообразие, A = K[V], то
К (V) — полное кольцо частных кольца А,
8.2. Доминантные морфизмы. Кольцо K(V) рациональных
функций на V зависит от V нефункториально. Дело в том, что
если a: V->W—- морфизм многообразий и множество U открыто
и плотно в W, то a" (U) не обязано быть плотным в V. Если же
это всегда справедливо и если a(V) = W, то мы называем мор-
морфизм а доминантным. Такой морфизм а индуцирует инъективный
коморфизм а0: К {W) -* К {V).
Если многообразие V неприводимо, то W также неприводимо,
и тогда поле K(V) можно рассматривать как расширение поля
К (W). Мы будем называть морфизм а сепарабельным, если это
расширение сепарабельно, и чисто несепарабельным, если /C(V) —
алгебраическое чисто несепарабельное расширение поля K{W)\
если же К (V) = ао/С (W), то будем говорить, что а — бирациональ-
ный морфизм.
Локальные кольца многообразий К и IF можно рассматривать
как подкольца колец К (V) и K{W) соответственно, и коморфизм а0
индуцирует инъективное отображение а0: ?>*->©а(х) для каждого
л;еК. Отождествляя K{W) с a0K(W), мы видим, что соответ-
соответствующий морфизму а морфизм пучков индуцируется вложениями
локальных колец в кольцо K(V).
В том случае, когда многообразие V не является неприводи-
неприводимым, но a(F) = WP, легко показать, что морфизм a: V-+W
является доминантным тогда и только тогда, когда для каждой
неприводимой компоненты V' многообразия V множество W'*=
= a(V)-" неприводимая компонента многообразия W. Мы будем
говорить, что морфизм а сепарабелен (чисто несепарабелен, бира-
ционален), если соответствующие доминантные морфизмы V-+W
обладают таким свойством.
Если F'—неприводимая компонента многообразия V, то u(V') =
= W — неприводимое подмногообразие многообразия W, и если
W содержит непустое открытое в W подмножество, то W — не-
неприводимая компонента многообразия W. Так как V содержит
упомянутое множество, то это замечание показывает, что если
a — сюръективный и открытый морфизм, то а доминантен*

§ JO. Образ и слои морфизма 37
§ 9. РАЗМЕРНОСТЬ
(См. Мамфорд [1], гл. I, § 71).)
9.1. Размерность многообразия V. В п. АГ. 1.4 мы ввели
комбинаторную размерность dimF многообразия V. Она равна
максимуму размерностей неприводимых компонент многообра-
многообразия V. Если V неприводимо и K(V) — поле функций на V, то
основной результат состоит в том, что в этом случае dimF равна
степени трансцендентности поля K(V) над /С.
9.2. Гиперповерхности. Пусть V — неприводимое многообразие
и / €= К [V] — непостоянная функция, множество нулей которой
не пусто, т. е. Z (/) = {х ^ V \ f (х) = 0} Ф 0. Тогда размерность
каждой неприводимой компоненты подмногообразия Z(f) равна
dimF-1.
9.3. Произведения, Размерность многообразия V X W равна
dim V + dim W.
§ 10. ОБРАЗ И СЛОЙ МОРФИЗМА
(См. Мамфорд [1], гл. I, § 8.)
10.1. Основная теорема. Пусть а: Х->У — морфизм многооб-
многообразий. Слоем морфизма а над точкой j/еУ называют подмного-
подмногообразие а" ({у}) многообразия X. При изучении непустых слоев
без ограничения общности можно предполагать, что а(Х) плотно
в У. В случае когда I (и F)- неприводимые многообразия, это
означает, что а — доминантный морфизм.
Теорема. Пусть a: X->Y— доминантный морфизм неприво-
неприводимых многообразий и r = dimZ — dim 7. Пусть W — неприводи-
неприводимое замкнутое подмногообразие многообразия Y и Z — неприво-
неприводимая компонента многообразия a {W).
A) Если а | Z — доминантный морфизм, то dim Z ^ dim W + г.
В частности, если W = {y}t то dimZ^r.
B) Существует открытое плотное подмножество U czY (зави-
(зависящее лишь от а), такое, что
(i) Uaa(X),
(ii) если ZПа-1 (?/)?= 0, то
В частности, если W = {y}aUt то dimZ = r,
10.2. Следствие (Шевалле). Пусть a: X-+Y — морфизм
многообразий. Тогда образ конструктивного множества, —
См, Шафаревич [1], гл, I, § 6. - Прим.

Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
конструктивное множество. В частности, а(Х) содержит открытое
плотное подмножество множества а(Х).
Последнее утверждение вытекает из первого, если учесть пред-
предложение п. АГ. 1.3. Доказательство первого утверждения легко
сводится к случаю доминантных морфизмов неприводимых мно-
многообразий.
10.3. Следствие. Пусть a: X->Y — морфизм многообразий.
При х^Х обозначим через е(х) максимум размерности содержа-
содержащих х неприводимых компонент слоя морфизма а, определенного
точкой х, т. е. слоя {а-{(а(х)). Тогда функция х->е{х) полуне-
полунепрерывна сверху, т. е. множества {х е X | е {х) ^ п) замкнуты для
каждого целого п.
§ 11. fc-СТРУКТУРЫ НА tf-CXEMAX
Этот и два следующих параграфа содержат основные понятия,
необходимые для изложения вопросов рациональности. Напомним,
что через k обозначается подполе алгебраически замкнутого поля К-
11.1. й-структуры на векторных пространствах. Задать
k-структуру на (не обязательно конечномерном) векторном про-
пространстве V над полем /С — значит выделить в V /^-подмодуль Vkt
такой, что индуцированный естественным вложением Vk с V го-
гомоморфизм К ®kVk~*V является изоморфизмом. Сюръективность
означает, что Vk порождает V над /С, а инъективность требует,
чтобы элементы пространства Vkt линейно независимые над k,
оставались линейно независимыми также над /С. Элементы про-
пространства Vk называются рациональными над k.
Пусть U — подпространство пространства V. Положим Uk —
= U П Vk; будем говорить, что подпространство U определено (или
рационально) над k, если Uk является /^-структурой на U. Это
равносильно тому, что Uk порождает U.
Пусть W = V/U. Обозначим через Wk проекцию /^-пространства
Vk на W\ если Wk есть /^-структура пространства W, то мы будем
говорить, что W определено над k. Это имеет место тогда и только
тогда, когда U определено над k, или тогда и только тогда,
когда элементы /^-пространства Wk, линейно независимые над k,
линейно независимы над К-
Пусть f: V->W есть /(Члинейное отображение векторных про-
пространств с ^-структурой. Мы говорим, что отображение f опре-
определено над k, или что f есть k-морфизм, если f{Vk)aWk.
Очевидно, что Аморфизмы пространства V в пространство W
образуют ^-подмодуль Нот^(У, W)k модуля Нот^(У, W), и пер-
§ьш является ^-структурой второго при условии? что прострацдтю W

$ Л. k-структуры на R-схемах 39
конечномерно. В частности, если W — K, то мы получаем ^-струк-
^-структуру на двойственном пространстве V* пространства V.
Аналогично, ^-пространство Vk®kWk является ^-структурой
на V ®KW\ имеются также естественные ^-структуры на внешней
и симметрической алгебрах пространства V.
11.2. ft-структуры на К-алгебрах. Под /г-структурой /С-алгебры А
понимают /^-структуру Ak ее основного пространства, которая
является одновременно ^-алгеброй.
Идеал / алгебры А определен над k тогда и только тогда,
Когда Jk(=J ()Ak) порождает / как идеал.
Пусть 5 — мультипликативное множество в Ak. Тогда, как
легко видеть, ^[S^1] будет ^-структурой на i4[S~!].
Пусть В — другая /(-алгебра с ^-структурой Bk. Обозначим
через
Мотк_алг{А, B)k
множество определенных над k гомоморфизмов соответствующих
/С-алгебр. Тогда f-> \K ® f — биективное отображение множества
Мог*-алг(л*> Bk) на множество Мог^алг(Л, B)k.
11.3. ft-структуры на К-схемах. ^-структуру /С-схемы (X, Ох)
составляют:
A) /г-топология Мор {X) a top {X);
B) ^-структуры /С^алгебр OX(U) для каждого ^-открытого мйо*
жества ?/, такого, что гомоморфизм ограничения определен над k.
(Условие B) означает, что ограничение пучка ?>х на Ыор (X)
является пучком /С-алгебр с ^-структурами») При этом требуется,
чтобы индуцированные ^-структуры на /^-открытых аффинных
подсхемах были следующего типа: ^-структура на аффинной
/С-схеме X = specK(A) определяется посредством /г-структуры Ak
на А таким образом: множество называется k-замкнутым, если
оно имеет вид supp(i4//) для подходящего идеала /, определен*
ного над k. Например, если f e Ak, то множество Xf является
^-открытым, и любое /г-открытое множество покрывается конеч-
конечным числом таких множеств. Кроме того, /("-алгебра Af = A (Xf)
обладает /^-структурой (Ak)f (см. п. АГ. П.2). Пусть ^ — некото-
некоторое ^-открытое множество и {Х^} (ft e Ak) — его конечное покры*
тие. Учитывая, что Xft{\Xf —Xftf , получаем, согласно аксиоме
пучков, точную последовательность

40 Гл. At. Алгебраическая геометрий
Следовательно, алгебра A(U) наделяется естественным образом
^'структурой, которая получается как ядро отображения
являющегося &-морфизмом векторных пространств с ^-структурой.
Нетрудно проверить, что эта /^-структура на A(U) определена
корректно и что предложенная выше конструкция удовлетво-
удовлетворяет требованиям A) и B).
Отметим, что полученная таким образом /^-структура на А (X)
Совпадает с Ak.
Пусть a: X->Y — морфизм К-схем с й-структурой. Будем го-
говорить, что морфизм а определен над k, или что а есть k-мор-
физм, если (i) а непрерывен относительно fe-топологий, (и) для
любых ^-открытых множеств U cz Y и V cz X, таких, что a{V)cz U,
гомоморфизм ограничения а^: OY{U)-+OX(V) определен над k.
Множество всех определенных над k морфизмов &-схемы X
в А*схему Y обозначим через
Мог(Х, Y)k.
Гомоморфизм а0: В->А /С^алгебр с ^-структурой индуцирует
Морфизм a: spec^ (A) -> spec^ (В), и ясно, что морфизм а опреде-
определен над k тогда и только тогда, когда гомоморфизм а0 опреде-
определен над k, Таким образом, категория аффинных /(-схем с fe-струк*
турой и Аморфизмами контравариантно эквивалентна категории
аффинных /С-алгебр с ^-структурой и Аморфизмами, а послед-
последняя, очевидно» эквивалентна категории аффинных Аалгебр.
11.4. Подсхемы» определенные над ?¦ Пусть (X, Ох) — /(-схема
С Л-етруктурой. Если ?/. является ^-открытым множеством, то
подсхема {U, &x\V) обладает индуцированной ^структурой.
Предположим, что (Z, Oz) — замкнутая подсхема схемы X.
Будем говорить, что она определена над k, если (i) множество Z
является Л-замкнутым, (ii) пучок 3 идеалов, такой, что ©х/3 "*
расширение с помощью нулей пучка Oz, определен над ?, т. е.
идеал %(U)cz?)x(U) определен над k для любого 6-открытого
множества /7. Условие (ii) эквивалентно тому, что для любого
^-открытого аффинного множества U ядро (Ъ(Щ) эпиморфизма
аффинных колец Ox(J7)~>Oz(t/fl2) определено над k. Таким
образом, мы видим, что подсхема (Z, Oz) обладает единственной
й-структурой, такой, что замкнутое вложение Z-+X определено
над k.
Отсюда легко следует, что замкнутая подсхема (Z, Oz) опре-
определена над k тогда и 'только тогда, когда для подходящего по-

§ 12. k-структуры на многообразиях 41
крытия многообразия X ^-открытыми аффинными множествами U
подсхемы (ZftU, Oz|Zf|t/) схемы ((/, OK\U) определены над Н
для каждого (У.
§ 12. ^-СТРУКТУРЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
12.1. Аффинные fe-многообразия. Многообразие V с й-струк-
турой называется й*многообразием. Пусть V = specAr (A) — аффин-
аффинное /^-многообразие с ^-структурой, определенной /г-подалгеброй
Ah = k[V] алгебры A = k[V].
Пусть Z = spec# (A/J) — замкнутое подмногообразие многообра-
многообразия V\ где / — идеал всех функций, равных нулю над Z. Тогда
имеет место точная последовательность
0-+Jk-»k[V]-*k[Z]-*0,
где /fc = /n&iy] и где k[Z] — ограничение алгебры функций k[V]
на Z. Таким образом, /г [Z] —¦ приведенная аффинная А-алгебра;
обозначим через k (Z) ее полное кольцо частных. Так как
K®kk[Z] = K[V]/Jh-K[V]9 то ///*•/: [К]-ядро эпиморфизма
Подмногообразие Z будем называть ^-замкнутым, если
Z — множество нулей некоторого идеала, определенного над k.
Из сказанного выше следует, что
многообразие Z ^-замкнуто 4Ф / = Vh ' К [V].
В этом случае ядро эпиморфизма К ®л &[Z]->/C[Z] будет
ниль-радикалом алгебры /С ® ^ k [Z].
Теперь мы можем сделать вывод, что для ^-замкнутого мно-
многообразия Z эквивалентны следующие условия:
(a) Z определено (как подмногообразие) над k> т. е.
J JK[V]
k[]
(b) k[Z] u К линейно разделены над k в K[Z]\
(c) К ®fc?[Z] — приведенное кольцо;
(d) /С ® л /^ (Z) — приведенное кольцо.
Эквивалентность (с) и (d) вытекает из п. АГ. 3.3, ибо
К ® k Ь (Z) — кольцо частных кольца К ® k k [Z] относительно муль-
мультипликативного множества всех неделителей нуля.
Мы можем рассматривать эти условия также и с другой точки
зрения. Предположим, что Bk — аффинная /г-алгебра. Тогда Bk
является ^-структурой на алгебре B==/C®feB^ и, следовательно,
Bk определяет /г-структуру на аффинной ДЧхеме Z = spee^ (В).
Схема Z тогда и только тогда является многообразием, когда
В — приведенная алгебра. Таким образом, /е-замкнутые подмно-
подмножества многообразия V можно считать замкнутыми и определен-
определенными над k подсхемами многообразия У; при выполнении упо-
упомянутых условий эти подсхемы етандвятся подмногообразиями»

42 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
Предположим, что char (k) = р>0. Тогда нули функций / е А
и fp еЛ совпадают. Если / s &1/р [У], то fp^k [V], так что вся-
всякое &1/р-замкнутое множество является /^-замкнутым. Отсюда сле-
следует, что k-топология совпадает с kp~°°-топологией.
12.2, Подмногообразия, определенные над k. Пусть V — произ-
произвольное (не обязательно аффинное) ^-многообразие и Z — ^-замк-
^-замкнутое подмногообразие. Если множество U А-открыто в V, то
ограничение алгебры k[U] на Z(]U мы будем обозначать через
k[Z(]U]. Переходя к индуктивному пределу по ^-открытым мно-
множествам Uу для которых пересечение Z(]U плотно в Z, получаем
кольцо k(Z) „рациональных функций на Z, определенных над k".
В том случае, когда многообразие V аффинно, это понятие согла-
согласуется с понятием, введенным ранее в п. АГ.12.1 (ср. п. АГ.8.1).
Из п. АГ.11.4 и п. АГ.12.1 вытекает, что многообразие Z опре-
определено над k тогда и только тогда, когда К ®kk(Z) — приведен-
приведенное кольцо.
Кольцо k(Z) является произведением конечного числа полей,
конечно порожденных над полем k. Используя результаты
п. АГ.2.2, мы можем сделать вывод об эквивалентности следую-
следующих условий:
(a) многообразие Z определено над k\
(b) К ®k k (Z) —¦ приведенное кольцо;
(c) kp~°° ®kk{Z) — приведенное кольцо;
(d) каждый множитель кольца k (Z) — сепарабельное расшире-
расширение поля k.
В частности, мы видим, что
k-замкнутые подмногообразия определены над kp~°°, uf следо-
следовательно , над k, если поле k совершенно.
12.3. Неприводимые компоненты определены над ks. Рассмо-
Рассмотрим неприводимые компоненты ^-многообразия V. При доказа-
доказательстве того факта, что каждая из них определена над kSi можно
предполагать, не теряя общности, что k — ks. Кроме того, так
как V покрывается аффинными /г-открытыми подмногообразиями,
можно считать аффинным само многообразие V. Итак, требуется
доказать, что если Ри ..., Рп — минимальные простые идеалы
алгебры k [V], то Pt- К [V] — простой идеал для каждого i
(! </<; л). Так как поле k сепарабельно замкнуто, то из п. АГ. 2.1
следует, что кольцо К [V]/(Pi • К [V]) = К ® k (k WVPi) имеет только
один минимальный простой идеал; поэтому достаточно показать,
что К ® * (k \VyPi) — приведенное кольцо.
Так как k [V] ¦— приведенное кольцо, то k [V] с Ц (k \У]1Рд> и
оба эти кольца имеют одно и ТР же полное

§ 13. Сепарабедьные точки 43
а именно k{V). Но К ®& k(V) = К (V) — приведенное кольцо. Сле-
Следовательно, кольца К ®&(& [V]/Pt) также приведенные, что и
требовалось.
§ 13. СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
13.1. Функтор точек. Пусть V — некоторое ^-многообразие,
В — аффинная /С-алгебра. Положим
ПВ) = Могл.схемCреСк(В), V).
Если В имеет ^-структуру Bky то через V (Bk) = V (B)k мы
будем обозначать множество морфизмов из V (В), определенных
над k.
Если V = spec# (Л) — аффинное многообразие, то
лгD, В)
y Bk).
Это позволяет придать смысл выражениям V(B) и V(Bk) для
любой /(-алгебры В, не обязательно аффинной. (Можно было бы,
например, взять в качестве В расширение поля /С.) На этом пути
мы получаем функтор Bk->V(Bk) из категории /г-алгебр в кате-
категорию множеств. Он называется функтором точек ^-многообра-
^-многообразия V.
Множество V (Bk) также функториально зависит от V: если
а: V->W есть &-морфизм /^-многообразий, то а индуцирует ото-
отображение V(Bk)->W(Bk).
В частном случае В = К имеем
множество V (К) мы можем и будем отождествлять с множе-
множеством точек многообразия V, Кроме того, для любого подполя
k'lDk поля К имеем V(k')czV. Точки множества V(k')czV на-
называются k'-рациональными точками многообразия V. В частности,
V (k) cz V (ks) cz V (k) d V. Точки множества V (ks) называются
сепарабельными точками многообразия V.
Если W — локально замкнутое подмногообразие многообра-
многообразия Vу не обязательно определенное над k, то мы позволяем
себе писать W(k') для обозначения множества W[\V{k').
Примеры. Если V— Kn = specK(K[t\, ..., tn]) со стандарт-
стандартной ^-структурой, задаваемой кольцом k[tu ..., tn]9 то V(k) = kn.
Если V — векторное пространство с /^-структурой Vk9 то проек-
проективное пространство 8P(V) можно снабдить /г-структурой, прини-

44 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
мая за &{V){k) образ множества Vk — {0} при каноническом ото-
отображении V — {0}-P(V)
Отметим, наконец, что введенные выше определения без вся-
всяких изменений применимы к любой /(-схеме (соответственно
/(-схеме с ^-структурой) V.
13.2. Теорема. Пусть а: V -> W — доминантный сепарабель-
ный k-морфизм k-многообразий. Тогда W содержит открытое
плотное подмножество Wo, такое, что Wocza (У), и для каждого
w^WQ{ks) слой a~l(w) содержит плотное подмножество сепара-
бельных точек.
Мы проведем доказательство в несколько шагов.
(a) Без ограничения общности можем считать, что k = ks.
(b) Тогда, согласно п. АГ.12.3, неприводимые компоненты вся-
всякого /^-многообразия определены над k.
(c) Очевидно, что без ограничения общности можно заме-
заменить W на плотное /^-открытое множество W, а У — на a" (W).
Таким образом, дело сводится к случаю, когда многообразие W
неприводимо и аффинно. Теперь покроем многообразие V непри-
неприводимыми /^-открытыми аффинными подмногообразиями Vи что
можно сделать на основании шага (Ь). Если множество Woi отве-
отвечает требованию теоремы для морфизма at: Vi~>W, то множе-
множество WQ= f\Woi удовлетворяет требованиям теоремы для мор-
морфизма а. Следовательно, мы можем предполагать, что многооб-
многообразия V и W неприводимы и аффинны. Более того, используя
теорему п. АГ. 10.1, мы можем заменить W на некоторое откры-
открытое подмножество и предполагать, что морфизм а сюръективен
и что все неприводимые компоненты всех слоев имеют одинако-
одинаковую размерность.
(d) Морфизм а индуцируется коморфизмом k [W]-+k[V],
который мы будем рассматривать как вложение. Так как поле
K(V) сепарабельно над полем K{W) — по предположению — и так
как поле К линейно разделено над k с полем k(W) и с полем
k (V), то поле k (V) сепарабельно над полем k {W). Следовательно,
мы можем применить леКшу о (сепарабельной) нормализации
п. АГ. 3.7 к аффинной k (№)-алгебре k(W) <8>k[w\k[V]. Это позво-
позволяет нам рассматривать последнюю как конечное целое расши-
расширение некоторого кольца полиномов k{W)[tu ..., tn], над полем
частных которого поле k{V) сепарабельно (и конечно). Так как
алгебра k[V] имеет конечное число образующих, то в кольце
k[W] имеется „общий знаменатель" / Ф 0 для коэффициентов
уравнений целой зависимости для образующих кольца k [V] над
кольцом полиномов. Если теперь заменим, используя шаг (с),
кольцо k[W] на k[W]f = k[Wf] и многообразие V на Vf = a~l(Wf),
то мы сможем считать кольцо k[V] конечным целым расшире-

§ 13. Сепарабельные точки 45
нием кольца полиномов k[W][tu ..., tn] — k[WX Кп]. Таким обра-
образом, наша задача свелась к случаю, когда морфизм а допускает
разложение
Здесь я — координатная проекция, а E — конечный целый мор-
морфизм1), такой, что поле k{V) сепарабельно надполем k(WXK )•
(e) Покажем, что существует открытое плотное подмножество
UQczWXKn, такое, что морфизм р0: VQ = $-l(U0)-+ ^о обладает
следующим свойством: каждый слой морфизма р0 над сепарабель-
ной точкой состоит целиком из сепарабельных точек.
Положим A = k[WXKnl и пусть k[V] = A[bu ..., bj. Пусть
p^bi) = О — минимальное полиномиальное уравнение элемента bt
над полем частных k(WXKn) кольца Л. Так как полином Pt
сепарабелен, то его производная Pi отлична от нуля в точке bt.
Все коэффициенты полиномов Pt принадлежат кольцу Ag для
подходящего 0 ф g е Л. Положим b = IJ Pi (bi)- Так как кольцо
e[V]g является целым над кольцом Agy то из п. АГ. 3.6 вытекает,
что существует отличное от нуля кратное h элемента b в кольце Ag.
Тогда кольцо k[V]gh является целым над кольцом А^э и каждое
поле вычетов поля k [V]^ тюрожт^тсящ^тшн $олино*шв, аеша-
рабельных над соответствующими иоляил-^щщяоъ кольца Agh.
Таким образом, множество U0 = {W XKn)gh обладает описанным
выше свойством.
(f) Для завершения доказательства покажем, что множество
W0 = n(U0) удовлетворяет требованиям теоремы. Так как я;— от-
открытое отображение, то множество WQ открыто в W. Требуется
показать, что для любого w^W{k) (напомним, что k — ks) мно-
множество а""^) обладает плотным множеством сепарабельных точек.
Так как неприводимые компоненты многообразия a* (w) имеют
одинаковую размерность и так как р —замкнутое сюръективное
отображение, то 0: cr! (w) -> p (a" (w)) = я"*1 (w) — доминантный
морфизм. Ясно, что я"*1 (до) — подмногообразие, определенное
над k и 6-изоморфное многообразию Кп\ следовательно, Р ото-
отображает каждую неприводимую компоненту X многообразия а" (до)
на я" (до). Пусть X'— замыкание множества сепарабельных точек
в X. Из (d) следует, что множество Р(ХГ) содержит все сепара-
сепарабельные точки множества UQQn~l{w)y которое плотно и открыто
в (неприводимом) многообразии я" (до). Так как отображение р
замкнуто, то р(Л'') = я~1(до). Следовательно, так ка^р — конечный
морфлзм, то dimZ/==dimtt~1(a;) = diniX. Но множество X непри*
водимо, так что Х' — Х, что и требовалось, доказать.
*) Морфизм многообразий (аффинных) а: V! -> V2 называется конечным
(или конечным целым), если а^) плотно в V2 и К [Vi] — конечное целое
расширение тмя К [Уг]. — Прим. ред.

46 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
13.3. Следствие. Пусть V — произвольное k-многообразие.
Тогда множество V (ks) плотно в V.
Применяем теорему к проекции многообразия V в точку.
§ 14. КРИТЕРИИ ГАЛУА ДЛЯ РАЦИОНАЛЬНОСТИ
Мы будем обозначать через Г группу Галуа поля ks над k.
14.1. Действие группы Галуа на векторном пространстве.
Пусть V — векторное пространство с /^-структурой Vk. Распростра-
Распространим действие группы Галуа Г на поле ks на векторное простран-
пространство Vks = ks ®ftVV, ясно, что Vk совпадает с множеством Vls
неподвижных относительно Г точек. Если W — другое векторное
пространство с ^-структурой, то Г действует на пространстве
s s{ss)
по формуле
(of)(v) = o(f(o-*v)).
Здесь аеГ, отображение /: V-> W определено над ks и v e Vks.
Легко видеть, что следующие условия равносильны:
(i) отображение / определено над k\
(ii) отображение f: Vks~>Wks является Г-эквивариантным 1)\
(iii) feHom(F, Wfk/
14.2. fe-структура, задаваемая действием группы Галуа. Рас-
Рассмотрим векторное пространство V с ^-структурой Vks, на кото-
которой Г действует как группа полулинейных преобразований, т. е.
а (ах) = а{а)а {х) (а е= kSJ x e Vks).
Предположим далее, что стабилизатор каждого х ^Vk — от-
открытая подгруппа (конечного индекса) группы Г. Оказывается,
что тогда ^-пространство
является k-структурой на V.
Ясно, что естественное отображение ks ®kVk->Vks является
Г-эквивариантным. Следовательно, его ядро — Г-инвариантное
^-подпространство, имеющее нулевое пересечение с множеством
1 ® Vk. Используя импликацию (ii)#(i) п. АГ.14.1, заключаем,
что это отображение является мономорфизмом.
!) Напомним, что если на множествах М и N действует группа Г автомор-
автоморфизмов, то отображение f множества М в множество N называется Т-эквива-
риантныМщ если / (Ym) = Y (/ (m)) для любых m е М, у е Г. — Прим. перев.

§ 14. Критерии Галуа для рациональности 47
Остается показать, что Vk порождает Vks. Пусть x^Vk и
Г^ — стабилизатор точки х. Тогда Г^ содержит открытый нормаль-
нормальный делитель Г' группы Г. Множество к' фиксированных точек
поля ks относительно Г' является конечным расширением Галуа
поля k. Пусть
= {alf ..., <т„}~ Gal
и пусть аи ..., ап — базис поля k' над k. Ясно, что элементы
yi = ^jOj(aiX) принадлежат Vk. Так как элементы Г' линейно
независимы над &'1), то матрица (а/(а*)) обратима; обозначим
обратную матрицу через (brs). Тогда
2 bihyi = S 6,А 2 ory (a,) or/ (л;) =
== 2 B <У/ («*) &/л) or/ (*) = 2 б/Аог/ (х) = аЛ (л:).
Так как для некоторого h элемент oh действует на k' три-
тривиально, то л: — линейная комбинация над W элементов yi s Vk,
и отсюда следует наше утверждение.
Предложение. Пусть W — подпространство векторного про-
пространства V с k-структурой. Тогда W определено над k тогда и
только тогда, когда (i) W определено над ks и (ii) Wks инва-
инвариантно относительно группы Г.
Доказательство. Часть „только тогда" очевидна, а часть
„тогда" будет установлена, коль скоро мы докажем, что подпро-
подпространство W, натянутое на Wk, совпадает с W. Переходя
к факторпространствам V/W и W/W, сводим рассмотрение к случаю
Wk = 0. Покажем, что W = Q. Выберем в пространстве V /г-ба-
зис (#/), и если W ^0, выберем в Wks элемент w Ф 0, такой, что
w — линейная комбинация наименьшего возможного числа базисных
элементов et. Можно считать, что w имеет вид w = ех + а2е2 + ...,
а2фк, аг^ ks. Тогда существует элемент аЕГ, такой, что
а(а2)фа2у так что w — aw e Wks — отличный от нуля элемент,
выражающийся в виде линейной комбинации меньшего числа ба-
базисных элементов eh чем элемент w. Это противоречит выбору
элемента w.
14.3. Действие группы Галуа на ^-многообразиях. Пусть
V — некоторое /^-многообразие. Согласно п. АГ. 13.3, множество
V (ks) плотно в V. Мы хотим определить действие группы Г на
V{ks). Группа Г будет оставлять инвариантным каждое множество
U(ks), когда множество U является fe-открытым, так что доста-
!) См., например, Ленг [1], гл. VIII, § 4.— Прим. пере®.

48 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
точно описать действие группы Г в случае, когда многообразие V
аффинно. Мы можем установить взаимно однозначное соответ-
соответствие множества V{ks) и множества Мог^алг (&ЛУ], ^)> сопоставляя
каждому x^V{ks) гомоморфизм алгебр ех: ks[V]-+ks. При а е Г
определим операцию а (я) по формуле
Здесь элемент аЕГ в левой части действует на поле kSJ а пра-
правая часть — на алгебре ks[V\ = ks®kk\y]. Если обозначить это
последнее действие через f-+°f при f e ks[V], то написанное выше
уравнение можно переписать в виде
или
Обозначим через V {f) многообразие нулей функции /. Тогда
отображение а сопоставляет сепарабельные точки многообразия
V{f) сепарабельным точкам многообразия V(af). Это справедливо
и для многообразия V (/) при любом идеале / кольца ks[V]. Таким
образом мы можем определить сопряженное многообразие aW для
любого определенного над ks подмногообразия W многообразия V.
Такое определение корректно ввиду плотности множества сепа-
рабельных точек. В аффинном случае aW совпадает с многообра-
многообразием, полученным в результате применения оператора а к коэф-
коэффициентам уравнений, определяющих многообразие W над ks.
Пусть а: V-+ W — морфизм ^-многообразий; предположим,
что а определен над ks. Тогда для любого aGl1 можно опреде-
определить &5-морфизм аа: V-+W следующим образом:
(ап\(г\ — п(п(ссг\\ (у ^ V (k W
\ а) \х) — а \а \а х)) \х fc= v \Ks))*
Плотность множества сепарабельных точек обеспечивает един-
единственность 65-морфизма с этим свойством. Чтобы удостовериться
в его существовании, достаточно для каждой пары /^-открытых
множеств V czV, W cz W, таких, что a{V) cz W, указать комор-
физм {ааH: ks[W']-+ ks[V]. Он определен в силу коммутативности
диаграммы
т. е. (ааH = а" о п0 о а. Таким образом, (ааH (f) == а"*1 (а0 (а/))
при f^ks[W]. Тем самым указано действие группы Г на множе-
множестве Мог (IMF)

jj 14. Критерии Галуа для рациональности 49
Легко видеть, что следующие условия эквивалентны:
(i) морфизм а определен над k;
(ii) морфизм а: V {ks) -> W {ks) эквивариантен относительно
группы Г;
(Ш) asf
14.4. Теорема. Пусть V — некоторое k-многообразие и
Z —• замкнутое подмногообразие. Тогда следующие условия экви-
эквивалентны:
A) подмногообразие Z определено над k\
B) подмногообразие Z определено над kS9 и множество Z(ks)
инварийнтно относительно Г;
C) имеется инвариантное относительно группы Г плотное в Z
подмнШество EczZ(]V(ks).
Доказательство. Импликация A)=^B) очевидна; импли-
импликация B)=ФC) вытекает из плотности множества Z(ks) в Z
(п. АГ.Ш).
C)=ФA). Покрывая многообразие V /^-открытыми аффинными
многообразиями, мы можем свести доказательство к случаю,
когда V аффинно. Тогда / = f) mx = I (Е) = I (Z) — идеал функций,
обращающихся в нуль на Z. Так как Е cz V (ks), то идеал / (как
йЬдпрострайство алгебры /C[V]) определен над ks. При огеГ
имеем
здесь последнее равенство следует из того факта, что множество Е
инвариантно относительно Г. Следовательно, ввиду п. АГ. 14.1
идеал / определен над k, что и требовалось.
14.5. Следствие. Пусть a: V->W есть k-морфизм k-много-
образий. Тогда подмногообразие a{V) определено над k.
Доказательство. Так как V(ks) плотно в V (п. АГ.13.3),
то a{V{ks)) плотно в а (К), так что мы можем применить крите-
критерий C).
14.6. Следствие. Пусть {Zi) — семейство определенных над k
подмногообразий многообразия V и Z = \JZt. Тогда многообра-
i
зие Z определено над k.
Доказательство. Применяем критерий C) к множеству
U

60 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
14.7. Следствие. Пусть а: V-> W — доминантный и сепа-
рабельный k-морфизм k-многообразий. Тогда существует плотное
открытое множество WQ в W, такое, что каждый слой морфизма а
над k-рациональной точкой множества Wo определен над k.
Доказательство. Пусть WQ имеет тот же смысл, что и
в п. АГ. 13.2. Если w^W0(k), то множество Е сепарабельных
точек в слое а"^) инвариантно относительно Г. Кроме того, из
п. АГ. 13.2 вытекает, что Е плотно в слое oTx{w)y так что след-
следствие вытекает из критерия C) п. АГ. 14.4.
§ 15. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
(См. Гротендик и Дьедонне [1].)
Этот параграф содержит сведения из алгебры, которые потре-
потребуются при изложении раздела о касательных пространствах
(§ АГ.16).
15.1. Йд/А. Мы будем иметь дело с алгебрами над полем k,
хотя большая часть рассуждений проходит в предположении, что
k — коммутативное кольцо.
Так как ^-алгебра Л коммутативна, то мы можем рассматри-
рассматривать Л-модуль М как бимодуль, полагая ах = ха при х е М, а е Л.
При этом соглашении k-дифференцирование из модуля А в мо-
модуль М — это ^-линейное отображение X: Л->ЛГ, такое, что
X (ab) = (Ха) Ь + а (ХЬ) (а, Ъ е= А).
Так как X(ab) = aX{b) при aefc, то, полагая Ь=19 получаем
Ха = 0 при aeJ.
Множество
Derk(A,M)
всех таких ^-дифференцирований образует Л-модуль, зависящий
от М функториально.
Существует универсальное ^-дифференцирование
d(=dAlk): Л->О(
которое получается, если принять в качестве Q Л-модуль, зада-
задаваемый образующими da (а^ А)и соотношениями d {ab) = (da) b +
+ a (db) (a, b ^ Л), dc = 0 (с е k). Его универсальность выражается
естественным изоморфизмом
Нотл-мод (Q, М) -> Der* (Л, М\
переводящим / в f °dl).
В дальнейшем (п. АГ. 16.3) Q называется модулем k-дифференциалое
я 4- ~~ Прим. пере§.

§ 15. Дифференцирования и дифференциалы 51
(Хорошо известна конструкция модуля Й, которая, впрочем,
нам не потребуется: пусть / — ядро гомоморфизма A®kA-+A>
a®b->ab. Тогда а®1 — 1®а->йа индуцирует изоморфизм
ЦР->п.)
Пусть /: Л -> В — гомоморфизм /г-алгебр. Тогда / индуцирует
полулинейное отображение df: QA->QB, которое переводит dA(a)
в dB/(a). '(В обозначениях мы опустили букву &, ибо в нашем
рассуждении поле k остается фиксированным.) Тогда можно опре-
определить отображение
Derk(B,M)-+Derk(A,M)
по формуле
X-+Xof
для любого В-модуля (и, следовательно, Л-модуля) М. Отсюда
следует, что модуль QA зависит от А функториально.
15.2. Кольца полиномов. Если А = k [Ть ..., Тп] — кольцо поли-
полиномов, то Q —свободный модуль с базисом dTu ..., dTn. Диффе-
Дифференцирование d: A->Q задается формулой
при f е= Л. Эти утверждения отражают тот факт, что дифферен-
дифференцирование X: Л->М определяется значениями X(Ti), которые
можно задавать произвольно.
15.3. Кольца вычетов. Пусть Лг = Л//для некоторого идеала /,
и пусть М—произвольный Лг-модуль (или Л-модуль, аннулируе-
аннулируемый идеалом /). Тогда, так как /Л! = 0, то
De^ (Л, М) = Нопи-мод (йл, М) = Нотл'-мод (Йд//Йл, М).
Мы можем отождествить ОегА;(Л/, М) с множеством тех &-диф-
ференцирований Л~>М, которые переводят / в 0, т. е.
Derfe (Л', М) = Ношл'-мод. (Qa/A • dAJ? M)
Таким образом, Q^' — фактормодуль модуля QA по Л-подмодулю,
порожденному всеми df {f e /). Достаточно даже, чтобы элемент f
пробегал множество образующих идеала /.
Пусть, например, Л = & [Ти ..., Тп] — кольцо полиномов,
tt — образ Т{ в Л', Ar = k [t{, ..., tn]. Тогда если элементы fu ..., fm
порождают /, то ввиду сказанного выше мы можем заключить,
что модуль Ол' определяется образующими dtt (l^i^/z) и соот-
соотношениями
Здесь g {t) — образ в Л' полинома g{T) = g (Ти ..., Тп) из кольца Л,

52 Га. АГ. Алгебраическая геометрия
15.4. Предложение. Предположим,, что Л==&0/, г. е. k
отображается на A' — A/J. Тогда dA индуцирует изоморфизм
А'-модулей
Доказательство. Достаточно показать, что у этих моду-
модулей совпадают гомоморфизмы в любой Л'-модуль М, т. е. что
T)erk(A, М)^ Ногпл'-мод(//Л М). Если X: А-+М есть &-диффе-
ренцирование, то X{k) = 0\ так как А = &0/, то дифференциро-
дифференцирование X полностью определяется своим ограничением X\J. Но
/Af = O; следовательно, Х(Р) — 0 и X определяется гомоморфи-
гомоморфизмом A: ///2->Af. Обратно, такой гомоморфизм h индуцирует ото-
отображение /->///2->ЛГ, и, следовательно, дифференцирование
X: А-+М, такое, что X(k) = 0. Стандартное вычислен* доказы-
доказывает, что X есть /^-дифференцирование.
15.5. Локализация. Пусть 5 — мультипликативное мнояаксжво
в А. Тогда Q^[5-i]=Q^[S"] и
В частности, отсюда следует, что если М есть Л[5]-модуль, то
Например, если Af — модуль над одним из локальных колец Ар
кольца Ау то Derk(A, M) — Derk(APt M).
Другое важное следствие формулы йл[5-1] =J?Q^[S"] состоит
в следующем. Предположим, что V есть /С-схема. Тогда суще-
существует когерентный пучок Qvik CV-модулей, такой, что для любой
открытой аффинной подсхемы U ~specK(A) пучок Quik ~ &vik I U
совпадает с пучком Qa/k, соответствующим модулю Qaik (cm.
п. АГ.5.5). При хе(/ слой Q^ пучка Qy/к совпадает с локализа-
локализацией модуля Qaik относительно локального кольца &х кольца Л,
т. е. с модулем &&х/к-
15.6. Сепарабельные расширения полей (см. п. АГ.2.3). Пред-
Предположим, что Л —конечно порожденное расширение поля kt сте-
степень трансцендентности которого равна /г. Тогда
и равенство имеет место тогда и только тогда, когда поле А се-
парабельно над &. В этом случае элементы аи .,., ап^А тогда
]) Здесь через — обозначается элемент f (a) f (s)~\ где f: A->A [S**1] — ка»
s
ионическое отображение. Выражение справа следует понимать аналогичным обра*
зом. — Прим. перев.

$ 15. Дифференцирования и дифференциалы 53
и только тогда образуют сепарабельный базис трансцендентности
поля Л над к, когда элементы dau ..., dan образуют Л-базис
модуля QA.
Если В —конечно порожденное расширение поля Л, сепара*
бельное над k, то из точности последовательности
(B, B)-+Derk(B, B)-+Derk{A, В)
в результате подсчета В-размерностей следует, что поле В сепа;
рабельно над Л тогда и только тогда, когда отображение
Derk{B, B)-*Devk(A, В) сюръективно; последнее эквивалентно
условию, что отображение В ®AQA->QB инъективно.
15.7. Тензорные произведения. Предположим, что А = Ах ®^Л2,
и положим Qi = QAr Тогда
Эквивалентным образом, если М — произвольный Л-модуль, то
Devk(A9 M)9*Derk(Al9 M)®Derk(A2, M).
Отображение слева направо индуцируется гомоморфизмами At-^A.
Чтобы получить обратное отображение, необходимо построить
/^-дифференцирование X: А->М по заданной паре /г-дифференци-
рований Хг: At->M. Его можно определить следующим образом:
X (а{ ® а2) = {Х{а{ ® а2) + (а! ® Х2а2).
15.8. Расширение поля. Для любого поля k'zDk имеет место
естественный изоморфизм
15.9. Лемма о касательном расслоении. Пусть Л и D — ^-алгебры,
причем D имеет вид D = ВфМ, где В — подалгебра, а М — идеал,
квадрат которого равен нулю. Если /: Л -> В — гомоморфизм
алгебр, то через Mf мы обозначим Л-модуль М, когда алгебра Л
действует при помощи гомоморфизма /.
Проекция D->B = D/M индуцирует отображение
Н0П1*-алг(Л, Я)~?>НО1Ти-алг(Л, В).
Мы утверждаем, что имеет место каноническая биекция
В самом деле, любой элемент множества p~l{f) можно одно-
значно представить в виде / + X для подходящего ^-линейного
отображения X: А-+М, причем

54 Гл. ЛГ. Алгебраическая геометрия
Наше утверждение можно переформулировать следующим
образом: отображение f + X мультипликативно тогда и только
тогда, когда X — дифференцирование. Этот факт получается
в результате простого вычисления. Действительно, пусть а, ЬА
Тогда
ибо / — мультипликативное отображение и М2 = 0.
§ 16. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
16.1. Касательное пространство Зарисского. Пусть л:— точка
на многообразии (или даже на /С-схеме) V. Напомним, что через
К{х) = Ох/шх обозначается поле вычетов локального кольца
точки х. Разумеется, оно совпадает с К, но нам необходимо рас-
рассматривать его как О^-модуль.
Касательное пространство многообразия V в точке х опреде-
определяется формулой
Из предложения п. АГ.15.4 вытекает, что касательное про-
пространство канонически изоморфно пространству
Hom^mjm^ К).
При f^?)x MbI будем использовать запись (df)x для обозначения
элемента / — f(x) по модулю идеала тп^. Тогда соответствующий
гомоморфизму h: wx/w2x-*K(x) „касательный вектор" X^T(V)X
определяется формулой Xf = h((df)x).
Предположим, что многообразие V обладает /^-структурой V (k).
При х ^ V {k) кольцо Ох обладает естественной ^-структурой OXt k
и поле вычетов кольца OXt k является /^-структурой на К (х). Тогда
Derfe(O^, k, k(x)) является ^-структурой на касательном простран-
пространстве T(V)X. Она изоморфна fe-структуре
Пусть a: V-> W — морфизм многообразий (или /(-схем); тогда
имеет место комоморфизм
причем О^-модуль К{х), рассматриваемый как Оа (А.)-модуль, изо-
изоморфен модулю /С(а(л;)). Следовательно, мы получаем естествен-
естественное отображение

§ 16. Касательные пространства 55
которое обозначим через
(da)x: T(V)x-»T{W)aix).
В явном виде оно задается правилом
(da),(X)(f)
Если а является Аморфизмом относительно /^-структур на V
и №, так что a(x)^W (k) при *e=F(?), to, как легко видеть,
дифференциал {da)x определен над k относительно описанных
выше fe-структур на касательных пространствах.
Дифференциал {da)x ведет себя функториально в том смысле, что
и что если p.* W->Z — морфизм многообразий, то
d (Р ° о)х = №)а (х) ° (dd)x (цепное правило).
Предположим, что V = Vx X V2 — произведение многообразий и
что х = (хихь). Определим морфизмы a*: Vt-+V (/=1,2) фор-
формулами а{ (и) = (и, х2) и «2 (i/) = (^i> У)- Мы утверждаем, что ото-
отображение
(da{)xi + (da2)x;. Т (V^ © Т (V2)X2 -> Т (V)x
является изоморфизмом. Так как это утверждение является ло-
локальным, то мы можем считать многообразия Vt аффинными,
скажем, Vt = spec^(i4t). Тогда F == spec^ (Л), где Л = Л1®ЛГЛ2.
Из п. АГ.15.5 вытекает, что касательные пространства можно пред-
представить в виде T(V)x = DerK(A, K{x)) и Г^^Оег^Л,, K{xt)).
Имеет место равенство Л-модулей K(x) = K(Xi) <8>KK(x2) (обе
части изоморфны полю К)- Следовательно, согласно п. АГ.15.7,
T(V)x = T(Vl)Xi®T(V2)X2, и, как легко проверить, это отождеств-
отождествление дает нужный изоморфизм.
16.2. Касательное расслоение. Мы сопоставили карательное
пространство каждой точке /С-схемы V; построим теперь каса-
касательное расслоение T(V), которое объединяет все эти векторные
пространства в когерентное семейство, параметризованное много-
многообразием F.
Пусть К [б] = К@КЬ — алгебра двойных чисел с одной обра-
образующей бис одним соотношением 62 = 0. Обозначим через i и р
соответственно вложение поля К в алгебру К (б) и проекцию р
алгебры /С (б) на цоле /С, которая определяется соотношениевд
F) Q

56 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
Пусть V (К [б]) — множество точек многообразия V в К [б] (см.
п. АГ.13.1). Положим Т {V) = V {К [б]) и будем рассматривать
множество T{V) вместе с отображениями pv и iv:
= V(K[6])
ЧК I!
V V(K)
индуцированными отображениями р и /. Соответствие V-+T(V)
функториально: если а: V-> W — морфизм многообразий, то
pv\
V -±~>W
— коммутативная диаграмма. Она остается коммутативной при
замене отображения р на /.
Напомним, что
V (К [б]) = Могшем (specK (К [б]), V).
Ясно, что схема spec^ (К [б]) состоит из одной точки с локальным
кольцом К [б]. Следовательно, точка множества F(/C[6]) соответ-
соответствует точке- хgF и коморфизму О^-^/Пб]. Последний можно
записать в виде ех + 6Х для подходящего /С-линейного отобра-
отображения X: О^-^/С. Элементу f^Ox оно ставит в соответствие
элемент f(x) + 6X(f) алгебры К [в]. Согласно п. АГ.15.9, полу-
полученные таким образом отображения X пробегают множество
DerK(Ox, K(x)) = T{V)x. Мы будем обозначать элемент ех + 6Х
также через
и рассматривать его одновременно и как гомоморфизм 0^-[],
и как точку множества T(V). Исходя из последней точки зрения,
мы видим, что проекция pv задается формулой
/у. е**-+х.
(Кроме того, отображение iv переводит точку х в точку ex — ty
Таким образом, сказанное выше можно сформулировать следую-
следующим образом: имеет место естественная биекция
задаваемая соотношением

§ 16. Касательные пространства 67
Предположим, что a: F-> W — морфизм многообразий. Тогда
т (а)(е6хх)= 4*° ао> где ао: ^ou)"*^' РаскРывая правую часть,
получаем (еж + 6Х) о а0 == ^ ° а0 + 6Л" ° а0 == га (jc) + 6 {da)x X. Таким
образом,
Другими словами, отображение, индуцированное отображением
Г (а) на слое над точкой х, соответствует дифференциалу {da)x.
16.3. Т (V) „является" К-схемой. Чтобы наделить касательное
расслоение T(V) структурой /(-схемы, достаточно сделать это
в случае, когда многообразие V аффинно, и убедиться, что ука-
указанная конструкция обладает надлежащими функториальными
свойствами. Однако прежде мы напомним некоторые свойства
симметрических алгебр.
Пусть М — модуль над (коммутативным) кольцом Л. Симме-
Симметрическая алгебра SA(M) определяется как наибольшая комму-
коммутативная факторалгебра тензорной алгебры модуля М. Обе эти
Л-алгебры градуированы, причем А имеет степень О, М —сте-
—степень 1. Универсальное свойство симметрической алгебры выра*
жается отождествлением
Honu-алг (SA (Af), В) = Нотл-мод (М, В)
для всякой (коммутативной) Л-алгебры В. Иначе говоря, гомог
морфизм Л-модулей М->В единственным образом продолжается
до гомоморфизма Л-алгебр SA(M)->B.
Легко установить следующие факты:
(a) Если М — свободный модуль с базисом tu ..., tnt то
SA (Af) = Л [tu ..., /J —кольцо полиномов.
(b) SA(M®N) = SA(M)®ASA(N).
(c) При замене кольца А->А' имеем SA'(A' <8)АМ)~ A'®ASA(M).
Пусть теперь V s^spec^ (Л) — аффинная Я-схема, и пусть
?2 = Яд/я есть Л-модуль /(-дифференциалов (см. п. АГ.15.1). Наша
цель — построить биективное отображение
Ф: r(F)->spec^(S^(Q)),
которое было бы функториально по Л, так чтобы отображения pv
и lv, примененные к левой части, соответствовали в правой части
вложению A->SA(Q) и проекции 5л@)->Л, преобразующей Q
в нуль. Кроме того, если многообразие V обладает ^-структурой,
определенной ^-алгеброй Л^сгЛ, то отображение ср должно быть
совместимо с /^-структурой на spec^ {SA (Q)), определенной k-глгеб*
рой SAk(Qk), где Qk**QAk/k (см. п. АГЛб.8 и утверждение (с)
выше).
Пусть

68 Гл. ЛГ. Алгебраическая геометрия
— гомоморфизм /С-алгебр, определяемый следующим образом:
гомоморфизм ех: А->К(х), рассматриваемый как гомоморфизм
замены колец, индуцирует гомоморфизм
ех: SA(Q)-+SK(Q(x)),
где Q(x) = K(x) ®^Q; гомоморфизм <р(е?*) определим теперь как
композицию гомоморфизма ех с некоторым гомоморфизмом
h: SK(Q{x))->K,
который будет введен ниже. Имеет место равенство
HomK-aJir(SK(Q(x))t /С) = НоПЦс-ыод(ОМ, *)•
Если Q* — локализация модуля Q относительно подкольца ОХ9 то
Q(x) — K(x)®AQ = K(x)<8>oxQx — Qx/mxQx. Кроме того, на осно-
основании п. АГ. 15.5 и п. АГ. 15*3 имеем
од (Q (*), К) - Der* (О„ К (х)) - Т (V)x.
Комбинируя эти отождествления, мы можем теперь выбрать эле-
элемент h е Нош/с-алг (Sk (Q (х)), К) так, чтобы он соответствовал эле-
элементу XszT{V)x.
Легко проверить все упомянутые выше свойства отображе-
отображения ф, в частности, тот факт, что отображение <р биективно.
Предположим теперь, что V является многообразием. Из на-
нашей конструкции не вытекает, что T(V) — многообразие, ибо
алгебра SA(Q) может и не быть приведенной. Однако если мо-
модуль Q свободен, то (см. утверждение (а) выше) S^Q) является
кольцом. полиномов над А, так что T(V) — многообразие вида
Vy,Kn для подходящего п. Имеет место следующий более общий
факт:
Если V — многообразие и если модуль Q локально свободен,
то T(V) есть многообразие, локально изоморфное произведению
многообразия V и аффинного пространства.
§ 17. ПРОСТЫЕ ТОЧКИ
17.1* Точка х многообразия V называется простой на V, если
Оя есть регулярное локальное кольцо (см. п. АГ.З*9). Если все
точки многообразия V являются простыми, то мы называем мно-
многообразие V гладким.
В следующей теореме через Qx обозначается модуль диффе-
дифференциалов Q&x/k (см. п. АГ.15.5).
Теорема. Следующие условия эквивалентны*
A) х —простая тонка многообразия V\

§ 17. Простые точки 59
B) &\mK()x x
C) точка х принадлежит только одной неприводимой компо-
компоненте многообразия V и Q* -— свободный Ох-модуль.
Из предложения п. АГ.15.4 вытекает, что
oAajnx&x> К)
Кроме того (см. п. АГ. 3.9),
и равенство имеет место тогда и только тогда, когда кольцо Ох
регулярно. Эти замечания показывают эквивалентность условий
A) и B).
Точка х принадлежит только одной неприводимой компоненте
тогда и только тогда, когда Ох — область целостности. Так как
регулярные локальные кольца являются областями целостности,
то в оставшейся части доказательства можно считать V непри-
неприводимым многообразием, ибо в противном случае в качестве V
можно было бы взять неприводимую открытую окрестность
точки х.
Пусть S — минимальное множество образующих О^-модуля Q*.
Из п. АГ. 3.2 вытекает, что card S = dim^ {QxfmxQx), и модуль Qx
свободен тогда и только тогда, когда S — базис. Последнее экви-
эквивалентно тому, что 1 ® S — базис К (VO-модуля K{V) ®ьх0>х, где
К (V) — поле частных кольца Ох. Так как множество 1 ® S по-
порождает модуль /C(^)®jd Qx, то модуль Qx тогда и только тогда
свободен над кольцом ОХ9 когда card S = dim^(V){K{V) ®<d Q*).
Поскольку uxjmxux & mjm*, то
card S = dim T {V)x > dim* V.
С другой стороны, из п. АГ. 15.5 и п. АГ. 15.6, если использовать
сепарабельность поля K(V) над /С, вытекает, что
К {V) ®dx&x = Q/c(у)//с и
= (степень трансцендентности над К поля K{V)) ==dimxV,
Комбинируя эти замечания, получаем:
модуль Qx свободен над кольцом ОХФ^
4Ф card S = dim, V #ф dim^ T {V)x = dim* V.
Это показывает, что B)^ФC), а это завершает доказательство
теоремы,

60 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
17.2. Следствие. Пусть V — многообразие. Тогда множе-
множество U простых точек многообразия V есть открытое плотное
подмногообразие, неприводимые компоненты которого совпадают со
связными компонентами.
Из п. АГ.1.2 следует, что множество UQ точек многообразия V,
принадлежащих только одной неприводимой компоненте, открыто
и что неприводимые компоненты множества ?/0 совпадают с его
связными компонентами. Так как U cz Uo, то дело сводится к слу-
случаю, когда многообразие V неприводимо. Если Q — когерентный
пучок дифференциалов на многообразии V (см. п. АГ. 15.5), то
из условия C) теоремы вытекает, что U = {х е V \ Qx — свободный
О^-модуль}.
Доказывая, что множество U открыто и плотно, мы можем
предполагать, что многообразие V аффинно, скажем V = specK(A),
a Q является Л-модулем Qaik- В этом случае, как следует из
п. АГ.3.5, множество [/' = {^g spec (Л) | Qx — свободный Л^-мо-
дуль} открыто в spec (Л). Принимая в качестве х нулевой простой
идеал и учитывая, что в этом случае кольцо Ах является полем,
заключаем, что множество U' непусто. Так как множество
spec (Л) неприводимо, то множество V плотно в spec (Л), и, сле-
следовательно, множество U = Uf (]specK(A) плотно в specK(A) = V.
17.3. Теорема. Пусть a: V->W — морфизм многообразий.
Тогда следующие условия эквивалентны:
A) морфием а является (доминантным и) сепарабельным;
B) существует плотное открытое подмногообразие Vo много-
многообразия V, такое, что отображение {da)x сюръективно для всех
x<=V0;
C) каждая неприводимая компонента многообразия V содер-
содержит простую точку х (многообразия V), такую, что а(х) — про-
простая точка многообразия W, и отображение (da)x сюръективно.
Пусть V'aV и WczW — открытые плотные подмногообразия,
такие, что а индуцирует сюръективный морфизм а': V'->W. Ясно
ввиду плотности множества простых точек, что теорему достаточно
доказать для морфизма а'. Это позволяет свести дело к случаю,
когда V и W — гладкие неприводимые аффинные многообразия.
Тогда модули Qv^&kw/k и &w = &k[w)(k локально свободны.
После дальнейшего уменьшения многообразий V и W мы можем
предполагать, что эти модули глобально свободны.
Коморфизм Oq: /C[^]->/C[V] индуцирует гомоморфизм моду-
модулей Qw->uVt и дифференциал (da)x соответствует тогда индуци-
индуцированному гомоморфизму кольца
HomK[vvuoA^Vt K(x))
в кольцо
ад (К [V] ® Km Qw, К (X) ),

§ 18. Нормальные многообразия 61
Пусть d: M-+N — гомоморфизм модулей [] ki]v
Модули М и N — свободные модули ранга dimW и dimF со-
соответственно; пусть (fu) — матрица гомоморфизма d над кольцом
K[V]. Ввиду изложенного выше дифференциалу {da)x соответст-
соответствует матрица (//*(#)) над полем К» Следовательно, гомоморфизм
(da)* сюръективен тогда и только тогда, когда ранг матрицы
(fn(x)) равен dimW. Отсюда вытекает, что множество таких то-
точек х открыто, и это множество непусто в том и только том
случае, когда ранг матрицы (//*) над полем K(V) равен dim IF.
Последнее в свою очередь эквивалентно инъективности гомо-
гомоморфизма Q^r-^Qy. Это, далее, эквивалентно условиям: (i) гомо-
гомоморфизм Oq инъективен (т. е. а — доминантный морфизм) и (и)
отображениеDei>{К(V), K(V))->Dei>(К(W),К{V)) сюръективно.
Последнее условие означает, что /С-дифференцирования подполя
K(W) в поле K{V) продолжаются до дифференцирований K{V),
а это условие (см. п. АГ.15.6) характеризует сепарабельность
поля K(V) над полем К (W).
ПА. Следствие. Если at: Vi->Wt (/=1,2) — два сепара-
бельных морфизмпу то морфизм ах Xи2.' V\ X V2-* Wx X W2 также
сепарабелен.
Это вытекает из условия B).
| 18. НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
В этом разделе содержатся основные результаты, которые
потребуются нам в § 6 гл. II для конструкции однородных про-
пространств.
18.1. Определение. Пусть х-—точка многообразия V. Го-
Говорят, что х нормальна на V, если нормально локальное кольцо OXi
т. е. если О* — область целостности, целозамкнутая в своем поле
частных. В частности, такая точка х принадлежит только одной
из неприводимых компонент многообразия V, т. е. точка х об-
обладает неприводимой открытой окрестностью. Поэтому вопросы,
связанные с нормальностью, обычно легко сводятся к случаю
неприводимых многообразий.
Многообразие V называется нормальным, если каждая его
точка нормальна на V.
Так, например, каждая простая точка х^У нормальна на V
(ибо регулярное локальное кольцо нормально). Из следствия
АГ.17.2 вытекает, что множество нормальных точек на V содер-
содержит плотное открытое подмножество; на самом деле оно само
открыто.
Произведение двух нормальных многообразий само нормально
(Щевалле [1J, гл. V, I, предложение 3).

62 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
18.2. Нормализация. Пусть V — неприводимое алгебраическое
многообразие, и пусть L — конечное (алгебраическое) расширение
поля K(V). Тогда существуют нормальное неприводимое много-
многообразие V'y сюръективный морфизм а: V-+V с конечными слоями
и изоморфизм К (К)-алгебр К (V) -> L. Многообразие V и морфизм а,
по существу, единственны. Обычно мы отождествляем К (V') с L
и называем морфизм а: V-+V нормализацией многообразия V
в поле L. Морфизм а определяется следующим свойством: если
U — открытое аффинное подмногообразие многообразия V, то
W — a~l(U) совпадает с spec^ (/([?/]'), где К [U]' — целое замы-
замыкание K[U] в L, и морфизм а индуцируется вложением K[U]cz
czKWY = K[U']. Если L = K{V)y то мы просто говорим, что
а: V —> V — нормализация многообразия V.
Отметим, что нормализация аффинного многообразия будет снова
аффинным многообразием; нормализация проективного (соответ-
(соответственно полного) многообразия будет проективным (соответственно
полным) многообразием. По поводу проективности см. Мамфорд [1],
гл. III, § 8, теорема 4. Чтобы установить это утверждение для
полного многообразия, необходимо показать, что морфизм V X
Х^-*-^ замкнут для любого X, коль скоро этот факт верен
для многообразия V. Достаточно убедиться, что морфизм V X
X X->V У(Х замкнут. Но это локальное свойство, которое нуж-
нуждается в проверке лишь для аффинных многообразий V и X,
а в этом случае оно вытекает из того факта (см. п. АГ. 3.6), что
морфизм specK(B)->specK(A) сюръективен и замкнут, если В —
конечное целое расширение кольца Л.
Следующая теорема заимствована нами из Семинара Ше
валле [1], сообщение 5, п. 2, раздел об основной теореме За-
рисского.
Теорема. Пусть а: V -> W — доминантный морфизм непри-
неприводимых нормальных многообразий. Предположим, что слои мор-
физма а имеют одинаковую конечную размерность п. Тогда мор-
морфизм а есть нормализация многообразия W в поле K(V), и п —
сепарабельная степень поля K(V) над полем K(W)- В частности,
если а — бирациональный морфизм, то а — изоморфизм, а если
морфизм а биективен, то поле K(V) чисто несепарабельно над
полем K{W).
Из этой теоремы можно получить следующий результат (Се-
(Семинар Шевалле [1], сообщение 8, предложение 1):
Предложение. Пусть а: V->W — доминантный морфизм
неприводимых многообразий, и предположим, что функция f e
еДУ] постоянна на слоях морфизма а. Тогда элемент f чисто
несепарабелен над полем K(W).
18.3. Предложение. Пусть а: V -*> W— биективный морфизм
многообразий, и предположим, что многообразие W нормально.

§ 18. Нормальные многообразия 63
Тогда
A) если многообразие W полно, то многообразие V также
полно;
B) если многообразие V аффинно, то W также аффинно.
Достаточно, очевидно, рассмотреть случай, когда многообра-
многообразие W неприводимо. Тогда многообразие V также должно быть
неприводимым, ибо морфизм а является биективным и доминант-
доминантным на каждой неприводимой компоненте многообразия V.
Предположим, что множество W открыто в У, и положим
V = a~l{W). Мы утверждаем, что включение ао/С [W'jcK [V] П
Пао/С(^) является равенством. Так как морфизм a': V'->W'
удовлетворяет всем условиям теоремы, то достаточно рассмотреть
случай W' = W. Итак предположим, что f&K[V] и что f = aQh
для некоторого h^K(W). Требуется доказать, что йе/([ИР], т. е.
что функция h всюду определена на W. Воспользуемся следую-
следующей леммой (Семинар Шевалле [1], сообщение 8, лемма 1):
Лемма. Пусть х — нормальная точка неприводимого много-
многообразия Wt и предположим, что функция h^K (W) не определена
в точке х. Тогда существует точка y^W, в которой функция l/h
определена и принимает значение нуль.
Обратимся к нашему рассуждению: если функция h не опре-
определена в точке х е W, выберем точку у согласно лемме. Поло-
Положив y = a(z), мы видим, что функция l/f = ao(l/h) определена и
обращается в нуль в точке z ^ V, что противоречит предположению
о том, что f^K[V]. Таким образом, мы показали, что
для всех открытых множеств W в W, и V = a~l(W). Предло-
Предложение п. АГ.18.2 показывает, что поле K(V) чисто несепара-
бельно над полем a0K(W). Отсюда и из только что доказанного
результата следует, что кольцо К [V] является целым над коль-
кольцом (Хо/С!1^']. Поэтому, если Р: W—>W — нормализация многооб-
многообразия W в поле K{V), то р представляется в виде W—+V-+W,
и отображение у сюръективно.
Если теперь W — полное многообразие, то, согласно п. АГ.18.2>
многообразие W также полно, откуда следует, что полно много-
многообразие V.
Предположим теперь, что V — аффинное Многообразие. Так
как кольцо uqK [Щ содержит кольцо К [V]pn для некоторого
п (р = char (/()), то, как легко видеть, K[W] является аффинной
/(-алгеброй. Следовательно, имеется морфизм б: W -> spec^ (К [W])>
и мы утверждаем, что б —изоморфизм. Так как многообразие W
нормально, то нормально и многообразие spec^(/C[H7]). Следова-
Следовательно, согласно теореме п. АГЛ8.2, достаточно доказать, что

64 Гл. АГ. Алгебраическая геометрия
морфизм б бирационален. Но это легко следует из доказанного
выше факта, что кольцо ао/С[И^] содержит кольцо K[V](\OoK{W),
и того факта, что К (V) — поле частных кольца R{V] (ибо мно*
гообразие V аффинно).
18.4. Предложение (Шевалле [1], гл. V, V» предложение 3).
Пусть а: V-> W — доминантный морфизм непрыъоёимых
образий, и пусть г = dim V — dim W. Пусть, дшж$ф х*
многообразия V, такая, что точка у = а{х) нормальна ни
гообразии W. Предположим, что каждая содержащая точЩ х
неприводимая компонента слоя морфизма а над тонгШИ у имеет
размерность г. Тогда если U — окрестность точки х eVfTO a (?/)—•
окрестность точки у в W
Следствие. Пусть а: V->W — доминантный морфизм jtwd**
еообразий, причем многообразие W нормально. Предположим^
что размерности неприводимых компонент слоев морфизма а
равны между собой. Тогда а — открытое отображение.
18.5. Алгебраические кривые. (См* Мамфорд [1], гл. Ш, § 8 !).)
Алгебраической кривой называется алгебраическое многообрИзйё
размерности 1. В этом пункте мы будем предполагать, что вв?
алгебраические многообразия неприводимы»
(a) Алгебраическая кривая является гладкой тогда и только
тогда, когда она нормальна.
(b) Пусть L — конечно порожденное расширение поля К отёл
пени трансцендентности 1. Тогда имеется, в сущности, одна поЛл
ная гладкая кривая С, поле функций которой изоморфно {как
К-алгебра) полю L. Кроме того, С — проективное многообразие.
(c) Если V — гладкая алгебраическая кривая, то доминантные
морфизмы взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам
К-алгебр а0: К (С) -> К (V)» Если а0 — изоморфизм, то а —открытое
вложение.
Применяя утверждение (Ь) к K{V) и (с) к тождественному
отображению К {V) -> К (V), получаем:
(d) Гладкая кривая V есть^ открытое подмножество единствен*
ной полной гладкой кривой V.
Из (с) вытекает также:
(e) Если С — полная гладкая кривая^ то антиизоморфизм
биективен.
J) ДоказательсТЁо большинства утверждений этого пункта можно найТй
Также у Шафаревича [1], гл. II, § 5, п. &~Прим. редь

Литература 65
(f) Пусть а: V -> W — морфизм гладкой кривой V в полное
многообразие W. Тогда а продолжается до морфизма a: V->W.
Для доказательства мы сначала заменим многообразие W на
а (V) и будем предполагать, что а — доминантный морфизм. Оста-
Оставляя в стороне тривиальный случай, когда W состоит из одной
точки, мы можем считать, что W — (полная) кривая. Пусть
п: W->W — ее нормализация (в поле К{W)). Тогда (см. п. АГ.18.2
и утверждение (а) выше) # — полная гладкая кривая. Так как V —
гладкое (и, следовательно, нормальное) многообразие, то а == я о р,
где Р: V-+W. Согласно утверждению (с), коморфизм ро:/С(^)->
-> К (V) = К (V) индуцируется морфизмом р: К-> W. Тогда яор =
= а есть искомое продолжение морфизма а.
ЛИТЕРАТУРА О
Бурбаки (Bourbaki N.)
1. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. «Наука», М., 1965.
2. Коммутативная алгебра, «Мир», М., 1971.
Годеман (Godeman R.)
1*. Алгебраическая геометрия и теория пучков. ИЛ, М., 1961.
Гротендик, Дье донне (GrothendickA., DieudonneJ.)
1. Elements de geometrie algebrique, Publ. Math. IHES.
Зарисский, Самюэль (Zariski О., Samuel P.)
1. Коммутативная алгебра, т. 1, 2, ИЛ, М., 1963.
Капланский (Kaplansky I.)
1*. Введение в дифференциальную алгебру, ИЛ, М., 1959.
Лен г (Lang S.)
1*. Алгебра, «Мир», М., 1968.
Мамфорд (MamfordD.)
1. Introduction to algebraic geometry, Harvard notes.
Семинар Картана — Шевалле (Seminaire Cartan Chevalley)
1. Geometrie algebrique, Paris, 1955/1956.
Семинар Шевалле (Slminaire С. Chevalley)
1. Classifications des groupes de Lie algebriques, Paris, 1956/1958.
Шафаревич И. Р.
1*. Основы алгебраической геометрии, «Наука», М., 1972.
Шевалле (Chevalley С.)
1. Fondaments de la geometrie algebrique, Paris, 1958.
x) Звездочкой отмечена литература, добавленная при переводе.

Глава 1
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ
С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ГРУППАМИ
§ 1. ПОНЯТИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ
1.1. Алгебраические группы. Под алгебраической группой
понимают множество G, снабженное согласованными структурами
группы и алгебраического многообразия. Иначе говоря, отобра-
отображения
(mult) . \i: GXG-+G, \i (*, у) = ху.
(inv) /: G-+G, i(x) = x-1
обязаны быть морфизмами соответствующих многообразий. Если G
есть ^-многообразие и морфизмы \х и i определены над k !), то G
называется k-группой или группой, определенной над k (см. § АГ. 12).
Из п. АГ.13.1 вытекает, что множество G{k) является группой
и e^G(k), где е — единица группы G.
Морфизм алгебраических групп — это гомоморфизм групп,
который одновременно является морфизмом алгебраических много-
многообразий. Утверждение „a: G-+G' есть fe-морфизм &-групп" озна-
означает, что G и G' являются й-труппами, и а — морфизм, определен-
определенный над k.
1.2. Через G0 мы будем обозначать связную компоненту еди-
единицы е алгебраической группы G.
Предложение. Пусть G — алгебраическая группа. Тогда:
(a) G — гладкое многообразие.
(b) G0— нормальный делитель конечного индекса группы G;
смежные классы группы G относительно G0 — это одновременно
связные и неприводимые компоненты групп G. Если группа G
определена над k, то и группа G0 определена над k.
(c) Каждая замкнутая подгруппа конечного индекса группы G
содержит G0.
Доказательство, (а) Многообразие группы G „однородно",
т. е. обладает транзитивной группой автоморфизмов (а именно
группой движений х->ху). Из того факта, что G обладает про-
простой точкой (п. АГ.17.2), вытекает, что все точки группы G
являются простыми. Кроме того, из п. АГ.17.2 следует также, что
х) Имеется в виду, что многообразие G X G снабжено /г-структурой, кото-
которая естественным образом индуцирована ^-структурой многообразия G
(см. п. АГ. 6.1).-Ярил, перев.

§ 1. Понятие алгебраической группы 67
неприводимые компоненты группы G совпадают с ее связными
компонентами.
(b) Если #eG°, то лг 1G° — связная компонента многообра-
многообразия G, содержащая е, и потому x~lG0=G°. Отсюда следует, что
G° = (G0)" и G°G°=G°y так что G0 —подгруппа. Ясно, что левые
смежные классы относительно G0 являются связными компонен-
компонентами многообразия G, и число их конечно, ибо пространство G
нётерово. Наконец, если //eG, to yG°y~l —- связная компонента
группы G, содержащая е> и, значит, совпадающая с G0. Следова-
Следовательно, G0—нормальный делитель группы G. Предположим, что
группа G определена над k. Тогда группа G0 и ее смежные классы
определены над ks (п. АГ.12.3). Они перемещаются между собой
группой Галуа Г поля ks над полем k, действующей на группе G
так, как описано в п. АГ.14.3. Ввиду того что е е G (k) (см. п. 1.1),
группа G°{ks) инвариантна относительно Г, и, следовательно,
группа G0 определена над k (п. АГ.14.4).
(c) Если Я — замкнутая подгруппа конечного индекса группы G,
то дополнение группы Я, будучи конечным объединением отлич-
отличных от Я смежных классов, также замкнуто. Это означает, что
группа Я одновременно открыта и замкнута; следовательно,
группа Я обязана содержать G0.
Таким образом, понятия связности и неприводимости для
алгебраических групп равносильны. Мы предпочитаем использо-
использовать термин „связная группа", ибо слово „неприводимая" упо-
употребляется в совершенно ином смысле в теории представлений
групп (в том числе и алгебраических).
1.3. Предложение. Пусть G есть k-группа и Н — ее под-
группа, не обязательно замкнутая. Пусть С/, V — плотные откры-
открытые подмножества в G.
(a) t/.y = G.
(b) H — подгруппа группы G. Если Н лежит в G(ks) и инва-
ршнтна относительно группы Gal(ks/k)y то Н определена над k.
(c) Если множество Н конструктивно, то Н = Н.
Доказательство, (а) При любом x^G плотные открытые
множества U и xV~l должны иметь общую точку, скажем, u = xv~l.
Тогда х = uv g= U • V.
(Ь) Так как х -» х~1 — гомеоморфизм, то Н~1 = Н^ = Н. При[
х^Н имеем хН=ИсН= Я,так что_ЯЯ=Я. Если #еЯ, то НуаН
ц Ну = Ну аН. Таким образом, НН = Н, откуда следует, что
7}— подгруппа.
Утверждения, касающиеся рациональности над kt вытекают
из п. АГ.14.4.

68 Гл. 1. Общие понятая
(с) Если множество Я конструктивно, то из п. АГ.10.2 выте-
вытекает, что Я содержит открытое плотное подмножество множе-
множества Я. Согласно (Ь), Я — замкнутая подгруппа; применяя (а),
получаем, что Н = Н - Н = Н.
1.4. Следствие. Пусть a: G->G'— морфизм k-групп. Тогда
(a)a(G) — замкнутая подгруппа группы G'; если морфизм а
определен над k, то группа a(G) определена над k.
(b) a(G°) = (a(G))°.
(c) dim G = dim ker (a) + dim a (G).
Доказательство, (а) Согласно п. АГ.10.2, множество a(G)
конструктивно и, следовательно, замкнуто ввиду утверждения (с)
предложения 1.3. Второе утверждение вытекает теперь из п. АГ.14.5.
(Ь) В силу утверждения (а) a (G°) — замкнутая подгруппа. Кроме
того, она связна и имеет конечный индекс-в группе a(G). При-
Применив утверждение (с) предложения п. 1.2, получим, что a(G°) =
(())°
(())
(с) Из п. АГ.10.1 следует, что для каждого х из плотного
открытого подмножества множества a(G) имеет место равен-
равенство dimG — dim a (G) = dim a (#). Однако, как легко видеть,
dim a""l (x) = dim ker (a).
1.5. Аффинные группы. Пусть G =spec/c (A) — аффинная алге-
алгебраическая группа, A = K[G]. Мы хотим выразить структуру
алгебраической группы G с помощью алгебры А.
ee=G : е: Л->/С, e(f) = f(e).
(Этот гомоморфизм ранее обозначался через ее.)
ц: GXG-+G : \i0: A->A®KA.
Если цо/ = 2 gi ® hi, то / (ху) = 2 gi W ht {у),
i: G->G : i0: A->A,
где (iof){x) = f{i(x)) = f(x~l). Чтобы выразить аксиомы группы,
рассмотрим отображения
р: G->G ! р0: А->А>
задаваемые формулами

§ 1. Понятие алгебраической группы
69
Групповые аксиомы выражаются тем фактом, что следующие
диаграммы коммутативны:
г -^> GXG Л ® Л ® Л <-^®±- А ® А
(О
(И)
(Ш)
GXG
Отметим, что р0 есть композиция отображения е: А-+К и
вложения К си А. Таким образом, группа G определяется алге-
алгеброй А и гомоморфизмами е, \х0, /0> удовлетворяющими выписан-
выписанным трем аксиомам.
Если задана алгебра А и гомоморфизмы е и ц0, удовлетворяю-
удовлетворяющие аксиомам (I) и (II), то говорят об ассоциативной алгебре
Хопфа с единицей и ц0 называют диагональным отображением.
Пусть С — произвольная /С-алгебра; на множестве
T(A9 С)
можно задать структуру группы, сопоставляя каждой паре эле-
элементов х> y^G{C) их произведение ху, равное композиции ото-
отображений
где гомоморфизм пгс соответствует умножению в С. Здесь еди-
единицей группы G (С) оказывается отображение Л—>/(->С, где
К->С — естественное вложение, а обратным к элементу x^G{C)
является сквозное отображение А —> А — > С. Если С->С — гомо-
гомоморфизм алгебр, то G (С)-*G (СО— гомоморфизм групп. Вообще
для любой (не обязательно аффинной) алгебраической группы ее
функтор точек C->G{C) является функтором из категории колец
в категорию групп *).
1) Этот функтор называется групповой схемой над К* Аналогичным обра-
образом он может быть определен для любого подкольца R а К, в частности для
кольца целых чисел Z. В последнем случае иногда говорят просто о групповой
сдеце. — Прим. ред<

70 Гл. I. Общие понятия
1.6. Примеры1). A) Аддитивная группа Ga. Ее аффинное
кольцо &[GJ является кольцом полиномов от одной переменной
k[] k[T]
) + {l®T); io(T) = -T,e(T) = O.
B) Полная линейная группа GLrt. Ее аффинное кольцо имеет
вид
n] = k[Tu,Tl2, .... Г„„, Г»],
где D = det(r,/). Таким образом, GLrt —главное открытое подмно-
подмножество {Кп)о в аффинном п2-мерном пространстве. Имеем
C) Мультипликативная группа GLq в литературе иногда обо-
обозначается через Gm. В качестве частного случая выписанных фор-
формул получаем
D) Специальная линейная группа SLrt является ядром мор-
физма
det: GLrt->GL!,
так что k [SLJ = k [Г„, Г12, ..., Tnn]/{det {Tit) - 1). Отображения \х0
и /0 индуцируются отображениями \х0 и iQ для fe[GLrt]. Подобное
замечание справедливо для любых замкнутых подгрупп группы GLn,
в частности подгрупп, перечисленных в следующих примерах.
E) Группа верхних треугольных матриц
LJg,, = O при /</}
и группа верхних унипотентных треугольных матриц
Т„ — полупрямое произведение группы 11„ и диагональной группы
*>„ = {? eGLJ ?,/ = () при /?=/)}•
F) Симплектическая группа
!) В этих примерах все группы определены над простым подполем; автор
везде указывает 6-структуру аффинного кольца группы (?. — Прим. ред.

<$ /. Понятие алгебраической группы 71
где lg обозначает матрицу, транспонированную к g, и
G) Если S — невырожденная симметричная (яХ ^-матрица, то
группа
называется ортогональной группой матрицы S.
(8) Пусть V — конечномерное векторное пространство и SK (V*) —
симметрическая алгебра его двойственного пространства V*. Тогда мы
можем отождествить V с аффинным многообразием spec^ {SK {V*)).
В самом деле, для любой /(-алгебры В имеем
В том случае, когда В = К, это приводит к биективному отобра-
отображению V -> spec/r (SK {V*))> в результате чего V становится много-
многообразием, причем точки многообразия V в алгебре В — это в точ-
точности элементы S-модуля
полученного заменой кольца К->В. Можно превратить много*
образие V в алгебраическую группу, если использовать естествен-
естественное сложение VXV-+V.
Пусть Vk — некоторая ^-структура векторного пространства V;
тогда ^-структура пространства V как многообразия задается
/^-подалгеброй Sk(V*k) алгебры SK(V*). В том случае, когда В
есть 6-алгебра, мы точно так же, как и выше, получаем, что
V() V
Векторное пространство Е = End^-мод {V) также можно пре-
превратить в многообразие, и тогда
Е{В) = В®КЕ = В®К End* МОд (V) =
= EndB-мод (В ® V) = EndB-мод (V (В)) 1).
Тем самым действие алгебры Е на V продолжается естественным
образом до функтора точек.
По отношению к любому базису пространства V определи-
определитель det есть полином с целыми коэффициентами от матричных
координат кольца эндоморфизмов Е. Таким образом, если про-
пространство V имеет ^-структуру Vk, то Ek = Endfe-мод (Vk) является
^-структурой на алгебре Е, и, очевидно, определитель dete SK(E*)
определен над k. Главное й-открытое множество
^ Edet = {g е Е | d et (g) ф 0}
]) См., например, Кэртис и Райнер [1], лемма B6.5). — Прим. перев.

72 Гл. I. Общие понятия
обозначается через GL(V) или GLV. Оно является группой отно-
относительно умножения в алгебре Е. Так как коэффициенты обратной
матрицы выражаются в виде полиномов от коэффициентов исход-
исходной матрицы . и det, то, очевидно, GL(V) — алгебраическая
группа. Кроме того, если В — произвольная /(-алгебра, то
GLV {В) = {g e= Е{В) | определитель det(g) обратим},
где мы отождествили Е(В) с кольцом эндоморфизмов свобод-
свободного В-модуля V (В). Таким образом,
Замкнутая подгруппа группы GLV называется линейной
алгебраической группой*). Морфизм а: G —> GLV алгебраических
групп называется рациональным (линейным) представлением
группы G. Если G является 6-группой, то мы говорим, что пред-
представление а определено над k или k-рационально, если это пред-
представление является 6-морфизмом относительно 6-структуры на
GLV, индуцированной указанным выше способом какой-либо
/е-структурой пространства V. Это означает, что относительно какого-
либо 6-рационального базиса пространства V матричные элементы
a(g)// являются 6-рациональными функциями G->K- Так как
все эти функции имеют вид g —> h (a (g) (v)) для подходящих v e Vk
и h^V*k, то отсюда следует, что представление a:G->GLv будет
k-рациональным тогда и только тогда, когда соответствующее
отображение Gy^V->V является k-морфизмом многообразий.
Представление a:G-*GL(F) называется точным, если оно
является изоморфизмом группы G с замкнутой подгруппой a(G)
группы GLV, или, другими словами, если a — замкнутое вложение.
(9) Мультипликативная группа алгебры. Пусть Л — конечно-
конечномерная (не обязательно коммутативная) /(-алгебра, и пусть Af —
норма Naik: Л->/( алгебры Л (т. е. Af — определитель регулярного
представления). Рассматривая Л как аффинное пространство, мы
видим, что группа GLj (Л) обратимых элементов алгебры Л
является главным открытым множеством, определенным нормой N.
Следовательно, GLj (Л) — аффинная алгебраическая группа, являю-
являющаяся „рациональным многообразием". Последнее означает, что
многообразие GLj (Л) неприводимо и что его поле функций
K{GLi(A)) является полем рациональных функций (от diA
переменных).
1) Начиная с этого момента автор переходит полностью на теоретико-
множественную точку зрения, и в дальнейшем схемная техника почти не исполь-
используется. Это в особенности относится к последующим главам. С учетом харак-
характера предыдущего изложения этот переход представляется слишком резким,
хотя для этого имеется определенное объяснение (см. предисловие редактора).—
Прим. ред.

§ 1. Понятие алгебраической группы 73
Если Л обладает 6-структурой, заданной 6-подалгеброй Ak9
то норма N определена над k и GLj (Л) становится 6-группой
(см. п. АГ. 12.1). В этом случае поле ^(GL^A)) является чисто
трансцендентным расширением поля fe, т. е. группа GL, (Л) „fe-
рациональна". Для любой /г-алгебры kf точки GL1(A)(fe/) образуют
мультипликативную группу GL1(A(fe/)) алгебры А(б') == Ak ® kk'.
1.7. Действия групп на многообразиях. Пространство алгеб-
алгебраических преобразований есть тройка (G, V, а), где G — алгеб-
алгебраическая группа, V — многообразие и а : G X V -> V, (g, x) -> gx =
= ct(g, x), — морфизм, удовлетворяющий условиям
ех = х и g(hx) = {gh)x
для всех л: е V и всех g,h^G. Имея в виду эту ситуацию, мы
иногда будем говорить, что „G действует рационально на мно-
многообразии F". Если группа G и многообразие V определены
над ky то мы говорим, что G действует „к-рационально", если
морфизм а определен над k. Обычно мы будем использовать
обозначение gx, g • х или g{x)f опуская символ а.
Пусть М и N -— подмножества многообразия V. Введем обо-
обозначение
Tran0 (M, N) = {ge=
Подгруппа группы G
называется нормализатором множества М в группе G. Если М
состоит из одной точки х, то
называется стабилизатором или стационарной подгруппой точки
igF в группе G, а множество
называется орбитой точки х (относительно G). Множество
называется централизатором множества М в группе G.
Предложение. Пусть k-группа G действует k-рационально
на krмногообразии V, и пусть М и N —подмножества много-
многообразия V. Тогда __
(a) Тгап0 (Му N) cz Tran0 (M, N), и если множество N замкнуто,
то имеет место равенство;
(b) если множество N является k-замкнутым и М cz V (fe), то
множество Trana (M, N) является ^замкнутым]

74 Гл. I. Общие понятия
(с) если М cz V (k), то ZQ (М) = Zo (Л1) а группа NQ {M) является
k-замкнутой.
Доказательство, (а) Если g(M)aN, то gM = gMczN.
Если N — N, то gMczN влечет за собой gMaN.
(b) Определим морфизм ax:G->V, полагая ax(g) = gx при
^gF. Тогда если х g I/ (fe), то морфизм ах определен над k, так
что a-l{N) = TranQ({x}, N) есть /^-замкнутое множество. Так как
М cz V {k), то Тгап0 (М, Л^) = Q aj1 (Л^) — также /^-замкнутое мно-
жество.
(с) Для любого g e G множество точек многообразия F, непо-
неподвижных относительно g, замкнуто [ибо многообразия отделимы
(см. п. АГ. 6.2)]. Следовательно, ZO(M) = ZQ(M). Согласно утвер-
утверждению (Ь), при x^V(k) множество Gx является /^-замкнутым;
тогда и множество ZQ (М) = Q Gx также /г-замкнуто.
Наконец, NQ(M) = TranQ(Mt M) = Trano(M, M) (см. (а)), а мно-
множество Тгапо(М, М) является /^-замкнутым ввиду утверждения (Ь).
Замечания. A) Множество Тгапо(М, Л^) в утверждении (Ь)
не всегда определено над k, даже если множество N определено
над k и М czV (k).
B) Предложение применяют обычно к действию группы G на
себе посредством внутренних автоморфизмов.
1.8. Лемма о замкнутых орбитах. Следующий простой резуль-
результат является важным техническим инструментом в теории алгеб-
алгебраических групп.
Предложение. Пусть G — алгебраическая группа, дейст-
действующая рационально на непустом многообразии V. Тогда каждая
орбита является гладким многообразием, открытым в своем замы-
замыкании в V. Ее граница есть объединение орбит строго меньшей
размерности. В частности, орбиты минимальной размерности
замкнуты.
Доказательство. Пусть M = G(x) — орбита элемента
x^V. Так как М —образ морфизма g->gx, то из п. АГ.10.2
следует, что М содержит плотное открытое подмножество своего
замыкания М. Из транзитивности действия группы G вытекает
теперь^ что сама орбита М открыта в М. Следовательно, гра-
граница М — М замкнута, меньшей размерности и инвариантна относи-
относительно G, ибо множество М инвариантно относительно G. Глад-
Гладкость М вытекает из однородности множества относительно действия
группы G.
Следствие. Существуют замкнутые орбиты.

§ 1. Понятие алгебраической группы 76
1.9. Сдвиги. Пусть (G, F, а) — пространство, алгебраических
преобразований, причем группа G действует ^-рационально на
многообразии V. Тогда морфизму а: G X V ->V соответствует
коморфизм а0 аффинных колец
ao:K[V]-+K[G]®KK[V]9
причем ao^[F] cz k [G] ® ^fe[F], и коморфизм a0 полностью опре-
определяется своим ограничением на k[V].
Обозначим через %g коморфизм морфизма 'G
Тогда
fy f)
является линейным автоморфизмом алгебры /С [VI, который мы
будем называть левым сдигом функций на элемент g. Показа-
Показатель — 1 требуется для того, чтобы отображение g->kg было
гомоморфизмом, т. е. чтобы ^•ЯЛ = Я^Л1).
Предложение. Пусть F — конечномерное векторное под-
подпространство алгебры K[V]. Тогда существует конечномерное
подпространство Е, которое (i) содержит F, (И) определено над k
и (iii) инвариантно относительно левых сдвигов на элементы g e G.
Кроме того, для того чтобы F было инвариантным относительно
левых сдвигов, необходимо и достаточно, чтобы
Доказательство. Расширив F, мы можем считать его
определенным над k. Кроме того, можно считать, что F поро-
порождается одной функцией f^k [V], так как для перехода к общему
случаю следует просто взять сумму пространств Е, построенных
для каждого элемента /г-базиса пространства F.
п
Пусть aj = 2 ft ® ht s k[G] <8>kk[V], и предположим, что чи-
число п слагаемых в этой сумме минимально. Тогда при g e G
(У) (*) = f (g~lx) = 2 ft (g~l) ht (x), у = S n (g-4 hit
т. е. функция lgf является линейной комбинацией функций ht
с коэффициентами fi(g~l) ^K. Следовательно, существует конеч-
конечномерное подпространство алгебры K[V]X определенное над k
и содержащее все элементы Kgf (g s G); оно, очевидно, удовлет-
удовлетворяет всем трем условиям.
Остается доказать последнее утверждение. Пусть F — подпро-
подпространство алгебры K[V], и пусть {fj U {Л/}— базис алгебры K[V],
такой, что {/J — базис F. При f e F и g s G имеем
]) См. также Шевалле [1], т. 2, гл. II, § 1. — Прим. ред.

76 Гл. I. Общие понятия
где
Следовательно, Я^е ^4Ф 5/(gf") = 0 для всех /. Варьируя g^G
и/eF, видим, что XgFc:F для всех g e= G 4фа0Р cz /C[G] ®^f.
Предложение доказано.
Рассмотрим частный случай, когда V = G и группа G дей-
действует на себе посредством левых и правых сдигов. Более точно,
элемент (gt h) e G X G действует на элемент jcgG по формуле
x->gxh~l. Таким образом, мы получаем два действия группы G
на функциях f<=K(G):
левые сдвиги: (kgf)(x) = f(g~lx)y
правые сдвиги: (pgf)(x) = f{xg).
Отображения g->kg, g->pg — гомоморфизмы группы G: kgh =
===^/г» Pgh==PgPh* и> кроме того, kgph = phXg для всех g,h<=G,
т. е. операторы Xg и рд перестановочны.
Из доказанного предложения вытекает
Следствие. Каждое конечномерное подпространство F алгебры
K[G] содержится в конечномерном подпространстве Е, опреде-
определенном над ky которое инвариантно относительно левых и правых
сдвигов на элементы группы G.
1.10. Предложение. Пусть G — аффинная k-группа. Тогда
она k-изоморфна определенной над k замкнутой подгруппе группы
QLn {для подходящего п).
Доказательство. Из п. 1.9 следует, что мы можем выбрать
инвариантное относительно правых сдвигов подпространство
EaK[G] и базис /ь . ..,/„ в нем так, что k [G] = &[/I, ...,frt].
Тогда, согласно п. 1.9, \i0E cz E ®KK[G]. Таким образом, для
каждого i
vofi = 2 ft ® mn
i
при подходящих mji^k[G]. При g^G
iPgfi) {x) = ft {xg) =2ift (x) mti(g)M
т. e.
Отсюда вытекает, что
a:

§ 1. Понятие алгебраической группы 77
— морфизм алгебраических групп, очевидно, определенный над k,
ибо triji^k[G]. В самом деле, коморфизм
определяется соотношениями (r)
Далее, так как ft (x) = ft {ex) = 2 fi {e) mn (д), то ft =
= 2i fj{e) Шц ^im{a0) для каждого /. Следовательно, коморфизм
a0 сюръективен, так что a — замкнутое вложение. Известно (см.
п. 1.4), что группа G' = a(G) определена над fe, так «что мор-
морфизм а является /^-изоморфизмом G -> G\ что доказывает пред-
предложение.
Замечание. Из аналогичных соображений легко следует,
что если Е — любое конечномерное правоинвариантное подпро-
подпространство алгебры K[G], то гомоморфизм a: G->GL{E), инду-
индуцированный правыми сдвигами, является рациональным предста-
представлением группы G.
1.11. Действия групп на группах; полупрямые произведения.
Пусть G и Н — произвольные 6-группы, и пусть а: &У^Н-> Н —
действие группы G на Н. (Это означает, что элементы группы G
действуют как автоморфизмы группы Н.) Характерный пример
такой ситуации возникает, когда G и Я являются подгруппами
некоторой большей группы, причем G нормализует Я, и действие
индуцируется сопряжением: a(g, h) = ghg~l. Более частный при-
пример доставляет конструкция полу прямого произведения
Я- G,
которое получается следующим образом: на мпогообразии ЯХО
зададим умножение по формуле
{К gi)(h2, ft) = (M(ffi, Аа), g{g2).
Легко проверить, что при этом Я • G становится группой. На-
Например,
(ft.ri'^ialrUrU-1).
Кроме того, мы имеем точную последовательность морфизмов
1->Я~>Я- G-?>G->1
и сечение 5: G->H • G морфизма р, задаваемые формулами:
i W = (Л, е\ р (Л, g) = ?, s (ff) = (e, g).
Если морфизм а определен над k, то группа Я • G обладает
естественной 6-структурой, такой, что i9 p и s оказываются
fe-морфизмами. Морфизм I является изоморфизмом группы Я

78 Гл. I. Общие понятия
с нормальным делителем /Я группы Я • G, а морфизм а индуци-
индуцируется сопряжением группы Ш с помощью группы sG:
(e,g)(h,e)(e, g)-l = (a(gt h), e).
Предположим, что G' —- алгебраическая группа, и пусть G и
Я — ее замкнутые подгруппы, причем G нормализует Я. Будем
говорить, что группа G' — полупрямое произведение подгрупп G
и Я, если отображение умножения
HXG-^G', (hyg)-*hg
является изоморфизмом многообразий {). Тогда отображение
a{g, h) = ghg~l задает действие группы G на группе Я, так что
группа G' изоморфна построенной выше группе Я • G.
§ 2. ГРУППОВОЕ ЗАМЫКАНИЕ.
РАЗРЕШИМЫЕ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
2.1. Групповое замыкание. Пусть М—подмножество ^-группы G.
Обозначим через $Ф(М) пересечение всех замкнутых подгрупп
группы G, содержащих М\ следовательно, s& Щ) — замкнутая
подгруппа группы G, содержащаяся во всякой замкнутой под-
подгруппе, содержащей М. Из п. 1.3 получаем
(а) Если М — подгруппа группы G, то s?(M) = M.
Положим N = М\}е\)М~~х и обозначим через Nm образ произ-
произведения вложений am: iVX ••• XN->G. Тогда Я = (JNm — под-
т
группа, порожденная множеством М, и из (а) следует, что
(
Если М — определенное над k подмногообразие многообразия G,
то и N — подмногообразие, определенное над k. Так как мор-
физм_ ат определен над k, то, согласно п. АГ.14.5, многообра-
многообразие Nm определено над к. Из п. АГ.14.6 вытекает теперь, что
многообразие «5^(М) = Я также определено над kt ибо является
замыканием объединения (jNm. Таким образом, мы доказали
т
утверждение
1) Если GH = G' и G(]H = (e)y то, вообще говоря, G' не является полу-
полупрямым произведением G и Н в смысле теории алгебраических групп. Необхо-
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы алгебраическая группа G' была
полупрямым произведением подгрупп G и Я, состоит в трансверсальности
алгебр Ли L(G) и L (Я), т. е. L(G)(]L(H) = @). Это легко следует из опре-
определения алгебры Ли алгебраической группы п. 3.3 и АГ.16.1. В случае полей
нулевой характеристики G П Я == (е) 4=ф L (G) П L (Я) = @) (см. ниже п. 6.12),
следовательно, в этом случае требование изоморфности многообразий G X^G'
всегда выполнено. — Прим. ред.

§ 2- Групповое замыкание 79
(b) Если М — подмногообразие, определенное над k, то группа
() определена над k.
(c) Если Mi — подмножество алгебраической группы Gt (i= I, 2),
то а (Л^ X М2) = а (М{) X si> (М2).
Действительно, s4> (Мх) X $& (М2) — замкнутая подгруппа группы
G{XG2, содержащая М{ХМ2, и, следовательно, ^(МХХМ2).
С другой стороны, s?(M{ ХМ2) содержит М, ХМ и, следовательно,
содержит $Ф (Мх X {е}) = «s^ (А^) X М- Аналогичным образом,
st> (Mi X Af2) ^ {e} X «^ (М2). Отсюда вытекает, что ^ (Aft X М2) =>
(,)
(d) Пусть М и N — такие подмножества группы G, что N нор-
нормализует (соответственно централизует) М. Тогда группа st>(N)
нормализует (соответственно централизует) группу s& (M).
Обозначим через С(Х) нормализатор (соответственно центра-
централизатор) подмножества XaG в группе G. По предположению
NaC(M) и, очевидно, C(M)czC{s?{M)). Из п. 1.7 вытекает, что
С (^ (М)) — замкнутая подгруппа; следовательно, s?(N)c:C(s&(M)).
(e) Если М и N — подгруппы группы G, то замыкания групп
(М, N) и (М, Л^) совпадают.
Пусть с: GyXQ->G, c(xt y)==xyx~ly~l. Так как группа_МХ_М
плотна в группе MX^N, то множество с(МХЛ/) плотно в c(MX^V),
так что з?(с(МХЩ = <&(с(МХЩ- Однако, из (а) вытекает,
что эти группы являются замыканиями групп (М, N) и (М, Л^)
соответственно.
(f) Если a: G -> G' — морфизм алгебраических групп, то
Имеем a(s?(M))zDa(M), и, согласно п. 1.4, группа a(s4>(M))
замкнута. Следовательно, a (s& (M)) id s? (а (М)). С другой стороны,
множество a~ls&(a(M)) замкнуто (ибо а непрерывен), содержит М
и, следовательно, ^(М). Применяя морфизм а, получаем
а (а (М)) =) а (а-1^ (а (М))) =) а (а (М))9
что доказывает утверждение.
2.2. Предложение. Пусть ft: Vt->G (i^I)-— семейство
k-морфизмов неприводимых k-многообразий Vt в k-группу G, и
предположим, что e^fiVi — Wi для каждого is/. Положим
M = \JWi, i e /. Тогда s& (M) — связная подгруппа группы G,
определенная над k. Кроме того, существует такое конечное
подмножество (аA), ..., а (п)) множества /, что si (M) =
Доказательство. Расширив, если необходимо, множе-
множество /? мы можем считать, что среди fi имеются морфизмы

80 Гл. I. Общие понятия
x-+fi(x) l. Если а = (аA), ..., а(п)) — конечное подмножество
в /, то положим Wa=Wa(l) ... Wa(n). Множество Wa является
образом fe-морфизма
VaU)X ..: ХУ,(И)
Отсюда следует, что Wa — конструктивные множества и что
Wa — неприводимое /^-многообразие (см. п. АГ.10.2). Поэтому
для подходящего а многообразие Wa максимально (ибо тополо-
топологическое пространство группы G нётерово).
Если а и р — две конечные последовательности, то
A) W^WyaW^y).
В самом деле, при x^Wy отображение у-*у • х переводит W^
в №(р, Y) и, следовательно, W^ в W^ty). Поэтому X'WydW^y) для
каждого x^Wft, откуда и вытекает соотношение A). Так как
многообразие Wa максимально, то, в частности, это приводит при
любом Р к соотношению
Таким образом, Wa инвариантно относительно умножения, и под-
подбирая р так, чтобы W$=Wa\ мы видим также, что Wa = Wal.
Следовательно, Wa — замкнутая подгруппа, содержащая W^ для
каждого р. Теперь ясно, что Wa = s&(M).
Замечание. Из доказательства следует, что в предложе-
предложении 2.2 в качестве п можно принять 2dimG.
2.3. Групповое замыкание коммутанта
Следствие 1. Пусть G' — некоторая k-группа, G и Не-
Неопределенные над k замкнутые подгруппы группы G'. Предполо-
Предположим, что G связна. Тогда коммутант (G, Я) является связной
замкнутой подгруппой^ определенной над k.
Доказательство. При h^Н определим морфизм fh: G-> G',
полагая fu(g) = (g, h) — ghg~]h~l. Так как группа G связна и
множества fh(G) (h^H) содержат единицу е группы G, то, со-
согласно предложению 2.2, порожденная ими группа, а именно
группа (G, Я), замкнута.
Отсюда следует, что (G, Я) = s?(M)t где М —образ коммута-
коммутаторного отображения GY.H ->G'. Последнее является 6-морфиз-
мом, так что множество М определено над k, и утверждение (Ь)
п. 2.1 показывает, что группа s4>(M), которая совпадает с
определена над kf

§ 2. Групповое замыкание 81
Если ни одна из групп G и Я не является связной, то ком-
коммутант (G, Я) не обязательно замкнут. Можно, например, рас-
рассмотреть бесконечную группу, порожденную двумя конечными
подгруппами G и Я, скажем модулярную группу SL2(Z)/{=i= 1}
в PGL2. Этого, однако, не может случиться, если группа G либо
группа Я является нормальным делителем в G'.
Предложение. Пусть G — некоторая k-группа и Я и N —
замкнутые подгруппы, определенные над k и такие, что N нор-
нормализуется подгруппой Я. Тогда (Я, N) — замкнутая подгруппа
группы G, определенная над k и являющаяся нормальным дели-
делителем в HN.
Следствие 2. Наименьший нормальный делитель группы G,
содержащий подгруппу Я, замкнут и определен над k.
В самом деле, так как (Я, G) — нормальный делитель группы G,
то группа Н{Н, G) является наименьшим нормальным делителем,
содержащим группу Я. Очевидно, группа Н{НУ G) замкнута.
Доказательство предложения. Не теряя общности,
мы можем считать, что G = HN. Коль скоро мы покажем, что
коммутант (Я, N) замкнут, тот факт, что он определен над k,
будет получаться в результате рассуждения, которое мы уже
использовали выше при доказательстве следствия 1. Кроме того,
из следствия 1 вытекает, что группы (Я0, N) и (Я, №) замкнуты
и связны. Этими же свойствами, следовательно, обладает группа L,
порожденная этими группами и всеми их сопряжениями в G.
Теперь мы воспользуемся теоремой Бэра из добавления
в конце § 2. Прежде всего, группа (Я, N)— нормальный делитель
группы G, так что L как наименьший нормальный делитель,
содержащий (Я0, N) и (Я, №), содержится в (Я, Af). Так как L —
замкнутая подгруппа, то достаточно показать, что L имеет ко-
конечный индекс в (Я, N); последняя группа будет тогда объеди-
объединением конечного числа смежных классов по L.
Переходя к группе G' = G/L, обозначим через Ш образ в G'
подгруппы MczG. Тогда Я0' централизует Л^ и №' централи-
централизует Я' (по определению L). Следовательно, число различных
коммутаторов, составленных из элементов группы Я' и группы W,
не превосходит числа элементов конечного множества (Я7Я0/)Х
Х(ЛГ/№')- Теперь конечность группы (Я', N') вытекает из тео-
теоремы Бэра (см. добавление).
2.4. Разрешимые и нильпотентные группы. Пусть G — абстракт-
абстрактная группа. Ряд коммутантов {DnG} (п^О) и нижний централь-
центральный ряд {CnG} (п^О) следующим образом определяются по
индукции:
D°G = G, DnJrXG=(DnG, DnG)
G°G = G, Cn+lG = (G, CnG)

82 Гл. I. Общие понятия
Иногда мы используем обозначения D°°G —f)DnG и C°°G = f\CnG.
Все эти подгруппы характеристичны (т. е. инвариантны относи-
относительно внешних автоморфизмов группы G). Говорят, что группа G
разрешима (соответственно нильпотентна), если для некоторого п
DnG = {е} (соответственно CnG = {е}).
Предположим теперь, что G — алгебраическая группа. Было бы
естественно ввести понятия „алгебраической разрешимости" и
„алгебраической нильпотентности" для G, используя ряды s?(DnG)
и s?(CnG) соответственно. Однако из результатов п. 2.3 выте-
вытекает, что группы DnG и CnG замкнуты, так что эти понятия со-
совпадают с „абстрактными" понятиями разрешимости и нильпо-
нильпотентности.
Предложение. Пусть G — алгебраическая группа, аМ и
N — не обязательно замкнутые подгруппы группы G, причем М
нормализует N. Тогда М нормализует N и (М, N) = (М, N).
Доказательство. Ясно, что М нормализует N (см. п. 1.7)
Сославшись_на_ утверждение (е) п. 2.1, заключаем, что группы
(М, N) и_(М, N) имеют одинаковое замыкание, а ввиду п. 2.3
группа (М, N) замкнута (ибо N—нормальный делитель группы MN).
Пользуясь индукцией по п, получаем отсюда
Следствие 1. Для любого
В частности, если группа М замкнута, то все группы ее ряда
коммутантов и нижнего центрального ряда также замкнуты.
Следствие 2. Если N — нормальный делитель группы М и
факторгруппа M/N абелева (соответственно нильпотентна, разре-
разрешима), то группа M/N также абелева (соответственно нильпо-
тентна, разрешима).
Следствие 3. Для k-группы G следующие условия равно-
равносильны'
A) группа G разрешима]
B) существует убывающая цепочка определенных над k зам-
замкнутых подгрупп группы G, таких, что (Giy Gi)czGi+i (О^л^/г).
Доказательство. Из условия B) следует, что DlG cz Gty
так что группа G разрешима. Полагая Gi^D^ и применяя
следствие 1, получаем импликацию A) =Ф>B); тот факт, что Gt
определены над k, вытекает из п. 2.3.
Следствие 4. Для k-группы G следующие условия эквива-
эквивалентны:
A) группа G нильпотентна\

§ 2. Групповое замыкание 83
B) существует убывающая цепочка G = Go => G{zd ... id Gn =
= {e} определенных над k замкнутых подгрупп группы G, такая,
что (G, Gi)ciGi+l @<f</i).
Доказательство. Из B) вытекает, что C*G czGh так что
группа G нильпотентна. Обратно, если группа G нильпотентна,
то следствие 1 и результаты п. 2.3 позволяют заключить, что
группы ClG удовлетворяют условию B).
Добавление
Мы приведем здесь принадлежащее Розенлихту доказательство
следующего результата Бэра (см. Розенлихт [6]).
Предложение. Пусть Я и N — подгруппы группы G, при-
причем Н нормализует N. Тогда коммутант (Я, N) является нормаль-
нормальным делителем в группе HN. Если множество коммутаторов
конечно, то группа (Я, N) также конечна.
Начнем с частного случая.
Если центр Z(G) имеет конечный индекс в G, то группа (G, G)
конечна.
Достаточно показать, что любое произведение коммутаторов
элементов группы G может быть представлено в виде произве-
произведения не более чем пъ множителей (здесь п — индекс центра
группы G). Учитывая, что имеется не более п2 различных ком-
коммутаторов и что в любом произведении коммутаторов любые
два множителя можно поставить рядом путем замены промежу-
промежуточных множителей сопряженными (также являющихся коммута-
коммутаторами), мы видим, что нам достаточно представить {п-\-1)-ю
степень коммутатора в виде произведения п коммутаторов. Но
при a, b e G элемент (aba~lb"])n принадлежит центру, так что
(aba~lb-l)n+l = Ь-1 (aba-lb~l)n b {aba~lb-l)y
что можно переписать в виде произведения п коммутаторов:
Ь-1 {(aba-lb-l)n~l {ab2a~lb-2)) Ъ.
Вернемся теперь к рассмотрению общего случая. Стоит заме-
заметить, что если обе группы Я и N являются нормальными дели-
делителями в G, то все сложные места в этом доказательстве ста-
становятся тривиальными.
Мы можем считать, что G = HN\ рассмотрим множество 5
всех коммутаторов, образованных элементами, которые сопряжены
с элементами группы Я при помощи элементов группы N. Любой

84 Гл. I. Общие понятия
такой сопряженный имеет вид nhnr1, n^Ny Л<=/У, так что
элементы множества S имеют вид
(nhn~l) пг (nhn-1)-1 "Г1 = {hnh-ln-l)-x (h (п{п) /г1 {п{п)-1)
при tii^N, откуда ясно, что S — конечное подмножество группы
(Я, N). Но S порождает группу (Я, N), а внутренние автомор-
автоморфизмы группы G переставляют между собой элементы множе-
множества 5. Отсюда вытекает, что (Н, N)—нормальный делитель
группы G, а также что существует нормальный делитель Go
конечного индекса группы G, централизующий S, и, следовательно,
(H9N). Поэтому Go П (Ну N) — центральная подгруппа конечного
индекса группы (Я, N), так что группа ((Я, N), (Я, N)) конечна.
Так как эта последняя — нормальный делитель группы G, то
профакторизовав по ней, мы можем предполагать, что группа
(Ну N) коммутативна.
Покажем теперь, что подгруппа (Я, (Я, N)) группы (Я, N)
является нормальным делителем в G. Ясно, что она инвариантна
относительно сопряжения элементами группы Я, так что остается
проверить, что п (hmh~xmrx) п~х е (Я, (Я, N)) при й?Я,/пе (Я, N),
ttGJV. Но
п (hmh"xm~l) п~~х = hn(n~xh~xnh) mhrlmrlrrl.
Последнее выражение в силу коммутативности группы (Я, N)
можно переписать в виде
hnm (n"xh-xnh) h^xm-ln"x = h (nmn"x) /Г1 (nmn-xYx e= (Я, (Я, N)).
Заметим, что всякий коммутатор, образованный элементом груп-
группы Я и элементом группы (Я, N), принадлежит группе (Я, N),
так что имеется лишь конечное число таких коммутаторов и все
они попарно перестановочны. Кроме того, возведя в квадрат любой
такой коммутатор, скажем hmh~~xm~~x, получим
(hmh-xm-xf = (hmh'1J m~2 = hm2h-xm-2y
а это снова коммутатор. Таким образом, группа (Я, (Я, N)) конечна.
Профакторизовав группу G по этой подгруппе, мы можем считатЬу
что группа Н централизует группу (Я, N).
Напомним, что группа (Я, N) коммутативна и порождается
конечным числом коммутаторов hnh"mXn~Xy причем квадрат такого
коммутатора — снова коммутатор:
(hnh~xn-lf — (hnh-ln-x)(nh~ln-xh) =
Таким образом, группа (Я, N) конечна.

§ 3. Алгебра Ли алгебраической группы 85
§ 3. АЛГЕБРА ЛИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГРУППЫ ')
3.1. Ограниченные алгебры Ли. Пусть р— характеристиче-
характеристическая экспонента поля k (p = char(fe), если char(fe)>0 и р=1,
если char {k) = 0). Ограниченной алгеброй Ли над полем k называют
алгебру Ли cj, снабженную „р-операцией" Х->Х[р\ которая при
р=\ тривиальна, Х[р] — Х, а при р>1 удовлетворяет следующим
условиям:
(i) ad {XW) = ad (X)p (X e= g),
(ii)
(iii) (X + У)М = X™ + Уw + 2 i** (*, K),
где s^(Z, У) есть коэффициент при f в разложении полинома
ad (tX + У)р~! по степеням t. Как обычно, здесь
Нам не понадобится сама формула (iii), мы используем лишь
ее частный случай:
(iii7) Если [X9Y] = 0, то
По поводу общих фактов об ограниченных алгебрах Ли и, в
частности, по поводу приводимых ниже примеров мы отсылаем
читателя к книге Джекобсона [1], стр. 185.
Примеры. A) Всякая ассоциативная fe-алгебра А становится
ограниченной алгеброй Ли, если ввести на ней операции
[X9Y]*=XY — YX, XW = XP.
B) Пусть Е — векторное пространство над полем k и А = End^ (E).
Соответствующая ограниченная алгебра Ли обозначается через
C) Предположим, что Е — произвольная, необязательно ассо-
ассоциативная fe-алгебра. Тогда
= {X е %l{E)\X(f • g) = (Xf) .g + f. (Xg)
для всех /, g e E)
— ограниченная подалгебра Ли алгебры g()
Пусть F — множество ^-автоморфизмов алгебры Е. Тогда
L = {X е Derk {E, Е) \ Xs = sX (sg F)}
— ограниченная подалгебра Ли алгебры Der& (Я, Е).
*) См. также Шевалле [1], т. II, гл. 2, § 8, 9. Прим. ред.

Гл. I. Общие понятия
D) Пусть g — ограниченная алгебра Ли, и пусть I) и S — под-
подалгебра и подмножество алгебры g соответственно. Тогда
|5 = {Ig||[I,F] = 0 для всех FgS}
— ограниченная подалгебра Ли алгебры $, называемая центра-
централизатором множества S в I).
3.2. Дифференцирование произведений. Пусть G — алгебраи-
алгебраическая группа и a*: F*-> G — морфизм многообразий; пусть vt —
точка многообразия Vi, такая, что at(vi) = e (I ^i^n). Положим
и морфизм a: F—>G определим следующим образом:
Определим морфизм р^: F/->F, полагая
Так как ai(vi) = ey то а/ = а°Р/ (l^f^/г). Согласно п. АГ.16.1,
имеет место канонический изоморфизм
T{V)ve*T{Vl)Ol®...®T{Vn)Vnt
так что
(da)v(Xh ...,Xn)=%{da°d^)VjX, = 2 (da,)», JT
Применяя это к морфизму \i: G X О ->G, получаем
(Оба морфизма а^ (/=1, 2) в этом случае являются тождест-
тождественными морфизмами G —> G.) Рассмотрим теперь сквозное ото-
отображение
G -^-^GXG-^G,
переводящее х в jar1 = e. Его дифференциал, очевидно, равен
нулю, так что мы получаем
Таким образом,
{di)eX = -X.

§ 3. Алгебра Ли алгебраической группы 87
3.3. Алгебра Ли алгебраической группы. Пусть отображение
a: G —> G' является fe-морфизмом аффинных fe-групп, и пусть
а0: Л'->Л—-его коморфизм. Вместо
(da)e:T(G)e-+T(G')e
мы будем писать
L(a):L(G)->L(G').
Рассмотрим множество
Lie (G) = {D е= Dei> (A, A) \ Dkg = XgD для всех g e= G}
всех левоинвариантных дифференцирований алгебры А. Согласно
примерам C) и D) п. 3.1, Lie(G) является ограниченной алгеброй
Ли с операциями
[Du D2] = D{oD2 — D2 о Du DW = DoDo,,,ofl (p множителей).
Мы покажем ниже, что
Lie (G)k = Der, (Ak, Ak) Л Lie (G) ={Dg Lie (G) | DAk cz Ak)
является ^-структурой на алгебре Ли Lie(G). Если D^Lie(G),
то eoDt=DevK(A,K(e)) = L(G) и
ео: Lie(G)-^L(G)
— линейное отображение, переводящее, очевидно, Lie(G)^ в
Предложение. Lie(G)^ является k-структурой на Lie(G),
и ео: Lie (G) -> L{G) — определенный над k линейный изоморфизм.
Отображение L (a): L (G) -> L (G') является гомоморфизмом ограни-
ограниченных алгебр Ли.
В двух последних утверждениях имеется в виду, что на L(G)
посредством отображения е° задается структура ограниченной
алгебры Ли, которая называется алгеброй Ли группы G.
Следствие. Lie(G) = Lie(G°) и dimA-Lie(G) = dim G.
Предложение будет доказано в п. 3.4 ниже. Оно отражает
тот факт, что „левоинвариантное векторное поле на G однозначно
определяется (с помощью левых сдвигов) своим значением в
точке в".
В дальнейшем мы будем рассматривать отображение G -> L(G)=^
= T(G)e как функтор из категории (аффинных) алгебраических
групп в категорию ограниченных алгебр Ли. Алгебры Ли групп G,
Я, Му N, ... часто обозначаются соответствующими готическими
J) Не следует забывать, что здесь ео —гомоморфизм Л-модулей (а не
алгебр!). — Прим. перед,

88 Гл. 1. Общие понятия
буквами g, $, га, п, ... . Так, например, вместо L(a): L(G)->L(G')
мы будем писать L(a): 8->fl/, употребляя иногда вместо L(a)
символ {da)e или просто da.
Примеры: A) Пусть G = Ga — аддитивная группа, так что
/([G] = /( [71] — кольцо полиномов. Если DeLie(G), то D пол-
полностью определяется полиномом f(T) = DT. Левая инвариантность
требует, чтобы для всех х е G (= /С) выражение А,_я D71 = / (Г + *)
было равно D(k-X(T)) = D(T + x) = DT + Dx = f(T). Но равен-
равенство f(T-\-x) — f(T) для всех л: означает, что функция/ постоянна,
следовательно, алгебра Ли Lie(G) состоит из всех /(-кратных
дифференцирования D = d/dT. Так как D[p]Tn = n{n—I) ...
... (п—(р— 1)) Тп~~р (или нулю, если п<р), то, как легко видеть,
р-операция на Lie(G) является нулевой при p = char(fe)>0 (ибо
произведение р подряд стоящих натуральных чисел делится на р).
B) Пусть G = GLl9 так что K[G]=K[Tf Г]. Если D е= Lie(G),
то D определяется полиномом Лорана DT = f(T). На этот раз тре-
требование левой инвариантности означает, что для всех xgC (=/(*)
имеет место равенство f(xT) = xf(T). Отсюда, как легко видеть,
вытекает, что f(T) = aT для некоторого ае/(, так что Dlp]T —
= арТ. Таким образом, алгебра Ли Lie(G) изоморфна одномер-
одномерной алгебре Ли К с р-операцией а-+ар. Следовательно, р-опер.а-
ции на алгебрах Ли аддитивной и мультипликативной групп при
р = char (k) > 0 различны.
3.4. Конволюции. В ходе доказательства предложения из п. 3.3
мы введем структуру алгебры Ли непосредственно на касатель-
касательном пространстве L{G). Мы сохраним здесь обозначения
a: G->G'y а0: А'-> А
п. 3.3. Для векторного подпространства V над полем К положим
А (V) = Нотк-мод (Л, V); А' (V) = Нот^мод (А', V).
Пусть W — другое векторное пространство. Определим /(-били-
/(-билинейное отображение
A(V)XA(W)-^A(V®KW)
{X,Y)-+X-Y
формулой
Пример. Если gt h^G, то
eg-eh=segh (в А(/()).
Более того, если учесть, что для любой /(-алгебры В группа G {В)
точек многообразия G з алгебре В совпадает (как множество)

§ 3. Алгебра Ли алгебраической группы 89
с Нот^-алг {Л, В) cz А (В), и если при g, h e G {В) обозначить через
eg, eh соответствующие элементы множества А (В)у то получим
формулу (см. п. 1.5)
egh = mo(eg'eh),
где т: В <8>к В-> В ®в В = В — каноническое отображение. Без
специальных оговорок мы будем отождествлять К®к^ и V®KK с V.
Лемма 1. Пусть U, V и W — векторные пространства, и
пусть Xs=A{U), Y<=A(V) и Z*=A{W). Тогда
(a) е-Х = Х = Х-е.
(b) (X-Y)-Z = X-(Y-Z).
(c) А (К) — ассоциативная К-плгебра с единицей еу и А (V)
является А {К)-бимодулем. Отображение g->eg является мономор-
мономорфизмом группы G в группу обратимых элементов алгебры А{К).
(d) Имеет место соотношение
где произведение справа определяется согласно формуле у^\ Аг —>
-*А' %цА'. В частности, отображение ©а0: А (К)—> А'{К) — гомо-
гомоморфизм алгебр, индуцирующий морфизм а: G-+G' при помощи
вложения, определенного в (с).
(е) Если пространства U и V имеют так^ю k-структуру, что
отображения X и Y определены над k, то произведение X • Y также
определено над k.
Доказательство. При [g^ представим \xof в виде
M-of = 3
f(x) = f (ex) = S ft (e) ht (x) = f (xe) = S ft (x) ht (e).
i i
Следовательно,
i i
(a) Так как отображение X является /С-линейным, то
(е • X) (/) = (е ® X) ц</ « S f* (е) X (А,) = 42 f, (в) Л,) = X (/).
Таким образом, е-Х = Х и, аналогично, Х-е = Х.
(b) Обозначая через /: А->А тождественное отображение, мы
можем выразить ассоциативность умножения \х: GXG-^G в тер-
терминах алгебры А соотношением
(/ ® \10) ° ^о = (^о ® /) ° ^о
(или I * [хо = \хо-1 в обозначениях этого пункта). Тогда

90 Гл. I. Общие понятия
и, аналогично,
{X ® Y ® Z)o (щ, ® /) 0[1о = (Х . У). Z.
Утверждение (с) является непосредственным следствием утвер-
утверждений (а) и (Ь), если принять во внимание приведенный выше
пример.
(d) Тот факт, что о а0 — гомоморфизм, выражается равенством
Но ° ао = (ао ® <*о) ° Но-
Тогда
(J.r)oao==(J®r)o[i0oao = (X®r)o(a0®ao)o^==(Zoa0)-(r.ao).
Остальные утверждения из (d) очевидны.
Утверждение (е) вытекает из формулы X • Y = {X ® Y) о \х0 и
того факта, что гомоморфизм \i0 определен над k. Лемма пол-
полностью доказана.
Пусть, как и выше, / е А {А) — тождественное отображение.
При Х^А(К) определим правую конволюцию
*X = I-X: A-+A
и левую конволюцию #
X* = X-I: A-+A.
Пусть / е Л и но/ == 2 f? ® А«; тогДа
Так как
(/ * X) (g) = 2 /, (g) X (А,) = X B U (g) h) = X (A,g-,f),
то
Аналогично,
(
Мы установим теперь некоторые формулы для этих операций.
Пусть ge=G, X, Ye=A(K) и Hof = 2/*® А,. Тогда
A) *eg = Pg и
В самом деле, f*eg=^fihi(g) = pgf; аналогичное вычисление
приводит к формуле ^*===^-1-
B) Xo(*Y) = X-Y и Zo(r*) = F.Z.
Имеем X о (I <g> Y) о \io = (X <8> Y) о \iQ и, аналогично, J о (Y ® /) о ц0 =
= (K®Z)o^0. Используя утверждение (а) леммы 1, получаем
C) ео(*Х) = Х = ео(Х*).

§ 3. Алгебра Ли алгебраической группы 91
Комбинируя B) и C), находим, что
D) во((**)о(*у)) = х.у.
Простая проверка показывает, что
(/ ® X) о^о (/ ® Y) = ((/ ® X) о ^) ® Г,
поэтому (* X) о (* F) ==(* X) о Y. Последнее выражение можно за-
записать в виде (I-X)-Y, и, согласно утверждению (Ь) леммы 1,
оно равно / • (X • Y). Таким образом, получаем
E) {*X)o(*Y) = *{X-Y).
Если исходить из формул
(/ ® X) о ii0 о (Y ® I) = Y ® ((/ ® J) о ц0),
(Г ® /) о ^Q о (/ ® X) = ((Г ® /) о ц0) ® X,
то в результате подобных вычислений получим (* X) о (Y *) =
— У.(**) = У.(/. J) и (Г*)о(*Х)==(Г ./)-Х, откуда
F) (*J)o(r*) = (F*)o(*J).
Лемма 2. Композиция X -> в о (/ . X) = в • (* X) К-линейных
отображений
есть тождественное отображение. Кроме того, I • является моно-
мономорфизмом К-алгебры А (К) на К-подалгебру тех элементов ал-
алгебры А {А), которые коммутируют со всеми левыми сдвигами Xgy
g^G. В частности, I- отображает изоморфно L(G) на Lie(G).
Наконец, как е<>9 так и /• сохраняют свойство элемента быть
определенным над k.
Доказательство. Первое утверждение равносильно фор-
формуле C) и позволяет утверждать, что / • является изоморфизмом
пространства А {К) на его образ, а его обратное отображение
индуцируется отображением ео. Из формулы D), кроме того,
вытекает, что в о — гомоморфизм алгебр. Формула F) выражает
тот факт, что левые и правые конволюции коммутируют. Следо-
Следовательно, все *Х коммутируют со всеми Я _i = e * (см. фор-
формулу A)). Чтобы показать, что /• отображает алгебру А (К) на
все множество левоинвариантных элементов алгебры А (А), доста-
достаточно убедиться, что отображение е° инъективно на левоинва-
левоинвариантных элементах. Итак, пусть ОеЛ(Л)- левоинвариантный
элемент, и предположим, что ео?) = 0. Тогда (Df)(g)
{\(Df))() (D(gf))()(D)(Xe-lf) = 0 для всех
так что Df = O для всех

92 Гл. /. Общие понятия
Мы знаем, что ео преобразует дифференцирования в диффе-
дифференцирования, так что остается проверить, что / • также пре-
преобразует дифференцирования в дифференцирования. Пусть
lGi4(i()- дифференцирование А -> К (х). Тогда / ® X: А ® к А ~*
-*А®кК(х) является дифференцированием, полученным из X
заменой кольца K->At так что *Х = {1 ® j)ojj,0 — также диффе-
дифференцирование, ибо |а0 — гомоморфизм алгебр.
Ясно, что свойство элемента быть определенным над k сохра-
сохраняется при гомоморфизме ео (ибо элемент е определен над k).
Тот факт, что этим свойством обладает также отображение /•,
вытекает из утверждения (е) леммы 1. Это завершает доказа-
доказательство леммы 2.
Лемма 3. L (G) — ограниченная подалгебра Ли алгебры А (/С),
т. е. при X, Y e L (G) имеем
[Xt Y] = X-Y-Y-X9 X[P] = X-X .., X (р множителей).
Как мы видели в части (d) леммы 1, коморфизм а0: А' -> А
индуцирует гомоморфизм алгебр °а0: А (К) -> А' (К). Поэтому его
ограничение L(a): L(G)->L{G') есть гомоморфизм ограниченных
алгебр Ли.
Тем самым доказаны все утверждения предложения п. 3.3.
3.5. Присоединенное представление. Пусть G — аффинная
^-группа с алгеброй Ли д. Каждому элементу g e G сопоставим
внутренний автоморфизм
Int(gr): G->G, х->*х
дифференциал L(Int(g)) которого мы обозначим через
Ad(g): g->g.
Это гомоморфизм ограниченных алгебр Ли; из функториальности
дифференцирования вытекает, что
Ad: G->GL{$)
— гомоморфизм групп. Мы будем называть его присоединенным
представлением группы G. Кроме того, мы утверждаем, что пред-
представление Ad является ?-морфизмом й-групп.
Чтобы убедиться в этом, вычислим Ad в касательном рас-
расслоении (п. АГ.16.2):
Pl }s Pi
Q = G{K)

§ 3. Алгебра Ли алгебраической группы 93
Напомним, что К[?>] — алгебра двойных чисел F2 = 0) и что гомо-
гомоморфизмы pus индуцируются отображениями К[д]->К (б->0)
и К-*К[?>] соответственно.
Общий элемент группы Т (G) записывается в виде (см. п. АГ. 16.2)
ef = eg + bX (geG9 XeT(G)g).
Это гомоморфизм алгебр K[G]->K [б], преобразующий f в f{g) +
+ 6X(f). Согласно п. 3.4, групповое умножение в T(G) задается
формулой
(eg + 6Х) (eh + 67) = m о ((eg + 6Х) ® (eh + 67)) о ^
где т: К Щ ® К [6] -> К [6] — умножение в /(-алгебре К [б].
Таким образом, используя введенное в п. 3.4 обозначение
X • Y = (X ® F) о jx0» получаем
или
A) 4Му=^
Отображение р преобразует e6gx в g, и отображение 5 преобра-
преобразует g в ^ (=в*°). Так как композиция pos этих отображений
является тождественным отображением на G, то группа T(G)
является полупрямым произведением групп sG и кег(р) = р~ (е).
Вместо ^х будем писать просто еьх. Из п. АГ.16.2 следует, что
X -> ^х __ биекция касательного пространства r(G)^ = g на ker(p).
Кроме того, из формулы A) и леммы 1 п. 3.4 вытекает, что
это гомоморфизм групп:
Таким образом, мы имеем расщепляемое расширение
в котором все отображения определены над k.
Если Int: Gy^G -+G — действие группы G на себе с помощью
внутренних автоморфизмов, то коммутативная диаграмма
GXG Int > G
i i
T{G)XT{G) r(Int)> T{G)
показывает, что Т (Int (g)) = Int (eg). Ограничение отображения
T(lni(g)): T{G)-+T{G) на g = ker(p) в точности совпадает (см.

94 Гл. I. Общие понятия
п. АГ. 16.2) с отображением d(Int(g)) = Ad {g). Точнее, Ad (g) опре-
определяется формулой
B)
Рассматривая G и g как подгруппы группы T(G), обе опре-
определенные над k, мы видим, что отображение r(Int): GX9->8
индуцирует действие группы G на д, совпадающее с присоединен-
присоединенным представлением Ad. В частности, последнее является &-мор-
физмом. Так как действие группы G на g линейно, то отсюда,
кроме того, следует (см. пример (8) п. 1.6), что Ad: G->GL(g) —
морфизм, определенный над k.
Наконец, предположим, что a: G -+G' — морфизм алгебраи-
алгебраических групп. Тогда отображение Г (a): T{G)-*T(G') индуцирует
морфизм а на подгруппах GczT(G) и G' czT(G'), так что
lt(())(T()()) T()(t) T()lt()())t т. е.
При ограничении на алгебры Ли эта формула принимает вид
C) AdG' (a {g)) о da = (da) o Ad0 (g).
3.6. Алгебра Ли группы GL (V) совпадает с (jl (V). Рассмотрим
конечномерное векторное пространство V как многообразие
spec^{SK{V*)). Его точки в /(-алгебре В задаются формулой:
Таким образом, V (В) — модуль, полученный из V заменой
кольца К->В.
Применяя это к ?==Егк1я-модОО, получаем
Е(В) = В ®КЕ = EndB.M0A (V (В)).
Кроме того, легко видеть, что структура этого кольца естественна
в следующем смысле: есличумножение \х в кольце Е рассматривать
как морфизм многообразий \х: ?*Х Е-+Е, то \х можно продолжить
на образ функтора точек: \х (В): Е(В)Х>Е{В)-+Е(В), и это умно-
умножение совпадает с естественным умножением в Е(В), кольце
эндоморфизмов В-модуля V (В).
Такое же замечание можно сделать и по отношению к откры-
открытому подмногообразию GLV cz E. Можно отождествить GLV (В)
с группой обратимых элементов алгебры Е(В), т. е. с группой
AutB.M0A(V (В)).
Беря в качестве В алгебру К [6] двойных чисел, мы получаем
изоморфизм алгебры Ли L(GLV) с ядром гомоморфизма, „уничто-
„уничтожающего" б, GLV (К [6]) -> GLV (К)- Очевидно, что это ядро совпа-
совпадает с множеством всех элементов вида 1 + 6Х, X е gtF. Тем
самым устанавливается естественный изоморфизм $v ??L(GLV).

§ 3. Алгебра Ли алгебраической группы 95
При таком отождествлении по определению Ad мы имеем
для любых g-e GLV и X^qlv.
Оказывается, что эта идентификация алгебры Ли L(GLV)
с $lv согласована с соответствующими структурами ограниченных
алгебр Ли. Чтобы удостовериться в этом, уточним эту иденти-
идентификацию в случае группы GLrt.
Пусть K[GLn] = K[Tn, Г12, ..., Тпп9 D], где Z) = det (Г)-
определитель матрицы Т = (Тц). Тогда элемент geGLrt отожде-
отождествляется с матрицей (gij) = eg(T) = (rij(g))f а элемент X ^L(GLn)
отождествляется с матрицей (Х//)== X(T) = (X(Ti})) ^ glrt.
Структура алгебры Ли в L(GLn) вводится с помощью ассо-
ассоциативного умножения X • Y = (Х ® У)°М-о (см. п. 3.4), а структура
алгебры Ли в gt^ — с помощью ассоциативного матричного умно-
умножения. Тот факт, что эти структуры согласованы, вытекает из
следующего соотношения:
(X ¦ Y) (Г,/) = (X ® Y) (| Tih ® Гл;) = 2 XthYhl.
Отметим, кстати, следующие формулы для правых сдвигов
и конволюций:
где в правых частях стоят произведения матриц. Здесь имеется
в виду, что
pg(T) = (Pg(Tif)) и Т*Х = (Ти*Х).
Эти две формулы устанавливаются простым вычислением.
3.7. Дифференциал присоединенного представления Ad есть ad.
Пусть a: G-> G' — морфизм алгебраических групп. Тогда
где а в левой части мы отождествляем с отображением
Г (а): Т (G)->T (G'), допуская некоторую вольность в обозна-
обозначениях.
Предположим теперь, что G'==GLV, так что 9' = gV Тогда
группа T(GLV) действует на группе Т (V) и
а (е6х) {v) = e6 da W {v) (v € V).
Применяя это к случаю, когда a = Ad=Ad0, получаем
Ad (e6x) (Y) = еы Ad«) (Y) {Xt Y e= g).
Напомним определение присоединенного представления Ad (мы
используем другой экземпляр К [6'] алгебры двойных чисел,

96 Гл. 1. Общие понятия
чтобы избежать путаницы в обозначениях). А именно Ad опре-
определяется формулой
при g^G и-Fgjj. Подставляя в эту формулу е6х вместо
получаем
_ eb'e*>d Ad (X) {Y) _ ?' (Y+6d Ad (X) (Y))
Преобразуем первый член этой формулы:
еьхеь>Уе-ьх = (е + ьх + 6Т + Ы>'Х • Y) (е~*х) = -
= e + 6X + 6'Y + 66ГХ • Y - 6Х - 6Г6Г . Z ==
Сравнивая это с последним членом формулы, написанной выше,
мы убеждаемся в том, что
т. е. что dAd{X) = ad{X).
3.8. ker(Ad) может не совпадать с Z(G). Ясно, что Z(G)cz
czker(Ad). В случае когда char(fe) = 0 или когда группа G полу-
полупроста, имеет место равенство. Следующий пример, принадлежа-
принадлежащий Шевалле, показывает, что это бывает не всегда.
Предположим, что char (?)=/?> О, и положим G={g{a, b)\
b e= К}, где
(а О (Г
О ар
О 0 1
Тогда g(a, b)g(a', b') = g{aa', apbr + ft), так что G — замкнутая
подгруппа группы GL3. Она является полупрямым произведе-
произведением нормального делителя Я ={g(l, b)\ b ^K} = Ga и группы
{g{a, 0) |а е/С*} = GLb действующей на Н как гомоморфизм Фро-
бениуса. В частности, группа G не коммутативна; более того,
Z{G) = {e). Элементы группы T(G) можно записать в виде
g{u-\-6v, г + 6s), где и е К* и v, г, 5 e/f. В частности, элементы
алгебры g соответствуют элементам вида g(l + 6^, 6s) и Ad (g(a, b))
действует на них путем сопряжения:
g{a, b)g{l+6v, 6s)g(a, brl =
6u, - (a + dav)pa~Pb + daPs + b) =
Следовательно, это действие тривиально тогда и только тогда,
когда а=1, так что ker(Ad) = #.

§ 3. Алгебра Ли алгебраической группы 97
Скобку1) в g можно вычислить, используя коммутатор элемен-
элементов g(l + 6/*, 65) и g{\+buy би), а именно
+6r + 6u + Ши, A + Ьг)р 6v + 6s) *
+6/*+ 6//, 6u + 6s).
Ясно теперь, что эти элементы коммутируют, так что их скобка
равна нулю. Следовательно, алгебра Ли g абелева, в то время
как Z(G) = {e) и (G, G) = H (ср. п. 3.12 ниже).
3.9. Некоторые формулы дифференцирования. Пусть G — алге-
алгебраическая группа с алгеброй Ли д.
A) При qgG отображение g->ag~la~l является композицией
отображений Int(a) и i, так что его дифференциал равен —Ad (а).
Умножая его на отображение g -> g (см. обозначения, п. 3), мы полу-
получим коммутаторное отображение са: g->{g, a) = gag~la~l9 так
что dca = Id — Ad (а). Отображение g-*gag~l группы G на класс
сопряженности элемента а есть композиция коммутаторного ото-
отображения са и правого умножения на элемент а. Следовательно,
дифференциал отображения g~>gag~l есть композиция отобра-
отображения Id — Ad (а) и дифференциала d {ра)в: 9 -> Т (G)a, где pe {g)=ga.
B) При Лед определим морфизм <хл: G~*g формулой: ад(^) =
= Ad(g)(i4) —Л. Тогда морфизм аА является композицией отобра-
отображений G -^bi4> gt (g)^)> g, так что (daA)e=d (-(Л))о о (rf (Ad-Id),) —
= •(Л)oаd. Мы использовали тот факт, что отображение -(Л)
линейно и, следовательно, совпадает со своим дифференциалом,
что d(Ad)e = ad и что (d(Id))^ = O, ибо Id — постоянная функ-
функция. Таким образом, при Хед мы имеем {daA)e {X) = ad {X) (Л) =
= [Z, Л], так что
C) Обозначим через Т категорию конечномерных /(-модулей;
пусть F: f X ... ХУ-^У — функтор от п переменных, /С-муль-
тилинейный относительно Нот'ов. Пусть о^: G -> GL (V/) — рацио-
рациональное представление алгебраической группы G A ^/^/г). Тогда
а = /7(<х1, ..., а„): G->GL(F) — рациональное представление на
пространстве V = F(V{, ..., Vn). Кроме того,
*) Здесь скобкой автор называет операцию умножения в алгебре д. — Прим»
перее.
4 Зак. П54

98 Гл. I. Общие понятия
Это выводится из формулы а (е6х) = е6 da да с помощью следую-
следующего вычисления:
D) Если а/i G-^GL(Vi) (/=1, 2) — рациональные представле-
представления и р: VX->V2 — гомоморфизм G-представлений, т. е. р линейно
и Р(«1 (g)^) = «2(ёГ)Р(^) ПРИ g^G и tiel/, то р —также гомо-
гомоморфизм g-представлений, т. е.
при leg и tieF.' В самом деле, первая формула, примененная
к касательным расслоениям, дает
Но левая часть ее есть $(e6daix (и)) = р(и) -\-6(da{X(v))t в то время
как правая часть равна р (v) + б da2X (p (v)). Отсюда следует
нужная формула.
E) Пусть a/: G -+GL (Vt) (/=1,2) — рациональное представ-
представление. Применяя формулу C) к представлению a = a! ® a2: G ->
-* GL (Vi ® K V2)> получаем
d (a, ® a2) (X) = (da{X ® lv) + (lKj ® tfa2*).
F) Пусть a: G -> GL(V) — рациональное представление. Тогда
Tn{a) = G->GL{Tn{V))> где Г (V) = V ®к ... 0^7 (az , множите-
множителей) и Тп (а) = а ® ... ® а. Используя формулу C), получаем
" /-е место
d(a® ... ® а)= 2 h ® • • • ® ^а ®...®1К.
Таким образом, мы видим, что дифференциал действия группы G
как группы автоморфизмов тензорной алгебры Ц Тп (V) совпадает
п
с действием g как алгебры дифференцирований.
От тензорной алгебры к, симметрической алгебре 5 (V) и внеш-
внешней алгебре A(V) можно перейти, если рассмотреть эпиморфизмы
G-представлений в каждой из степеней. Таким образом, из фор-
формулы D) вытекает, что дифференциалы действия группы G как
группы автоморфизмов алгебр S{V) и Л (К) совпадают с дей-
действиями алгебры я как алгебры дифференцирований, полученными
продолжением действия дифференциала da на степени 1. Точнее,
если е{9 ..., en^V, то соответствующие формулы имеют вид
dSn(a)(X)(e{, ..., ея)=?е, ••• daX{et) ... еп
/1

§ 3. Алгебра Ли алгебраической группы 99
и
п
dA(a){X){e{A ... ЛО=2^Л ... AdaX{et)A ... Л еп.
G) Если dim V = п, то Aft(a) = det о а, и из сделанных замеча-
замечаний вытекает, что
Прямое доказательство этого факта в группе GLn можно про-
провести следующим образом: пусть X = {Хц) е fllft. Тогда det(?6*) =
s===e6d(detx)9 T< e< det(/ + 6Z)=l + 6d(det)(Z). Вычисляя опре-
определитель
det
V 6Ха1 6Хп2..Л+ЬХп
и используя тот факт, что 62 = О, легко находим, что det (I +6X) =
= 1+6 (Хц + ... + Хпп). Таким образом,
d(dei)(X) = Tr(X) (Леву.
(8) Пусть a: G->GL(V) — рациональное представление, и пред-
предположим, что V — не обязательно ассоциативная алгебра. Тогда,
если G действует как группа автоморфизмов алгебры V (при
помощи гомоморфизма а), то g действует при помощи дифферен-
дифференциала da как алгебра дифференцирований алгебры V. В этом можно
убедиться, раскрывая формулу а (е6х) (uv) = а (е6х) {и) а(е6х) (v) при
X е g и и, tieK.
3.10. Предложение. Пусть G — аффинная алгебраическая
группа, и пусть V с: А = К [G] — конечномерное векторное про-
пространство, инвариантное относительно правых сдвигов pg для
всех g eG. Пусть р: G-+GL (V) — рациональное представление
g->Pg\V. Тогда при X *=% и f ezV
(dp)(X)(f)=*f*X.
Доказательство. Напомним, что по формуле A) из п. 3.4
имеем pg = * eg9 где * eg = / • eg = (/ ® ^) о |а0 и /: Л -> Л — тожде-
тождественное отображение. Мы видим теперь, что I + 6{dp)(X)
является ограничением на /С [6] ®/<• К с:/([6] 0^-Л отображения
/¦^а=/-(в + вХ) = /-в + б(/.ДГ) = / + *(*^О- Таким образом,
(dp) (Я) = * Xt что и требовалось.
Следствие 1. Всякое подпространство алгебры K[G], инва-
инвариантное относительно правых сдвигов р^., остается инвариантным
относительно д, когда g действует на K[G] правыми конволю-
циями.

100 Гл. I. Общие понятия
Пусть D е= К [GLJ — детерминант. При g, AgGL имеем
)(h) = D(hg)^D(h)D(g)y так что
Таким образом, одномерное пространство, натянутое на D,
является правоинвариантным. Применяя предложение из п. 3.10 и
формулу G) из п. 3.9, получим
Следствие 2. Если Z) = det e=/C[GLJ ^ Zegl^, го D*X =
T(Z)D
3.11. Предложение. Пусть G—аффинная алгебраическая
группа, и пусть Н — замкнутая подгруппа с аффинной алгеброй
K[H]=K[G]/J. Если/: H-+G —вложение, то дифференциал dj ото-
отождествляет алгебру Ли §=L(H) с подалгеброй Ли {Xeg| X(J)=0}.
При этом отождествлении мы можем охарактеризовать % следую-
следующим образом*. % = {X е <j | / * X cz /}.
Доказательство. Ясно, что DerK{К[G]//, К{е)) отождест-
отождествляется (при помощи отображения dj) с множеством тех
X&DerK(K[G], K(e))i которые „уничтожают" /. Отсюда сле-
следует первое утверждение.
Пусть ^ = {Z eg|/ *Ic /}. Предположим, что Ig|, f^J и
йеЯ. Тогда (/*Z)(A) = Z(^-i/) = 0, ибо \-Jcz:/, и Z(/) = 0.
Таким образом, f*X&J9 так что Х^^г.
Обратно, мы должны проверить, что X(f) = O при X ^ У и
/€=/. Но Z(/) = Z(^,f) = (/*J)(^) = 0, ибо /g/, J*XczJ, и
ее Я.
Следствие. Пусть G a GLn — замкнутая подгруппа и I —
идеал всех полиномов из А = К[Тп, Г12, ..., Тпп]> обращающихся
в 0 на G. Г5
Доказательство. Положим Л/ = /([ОЬЛ] = Л(D), где
?)==det(r//), и пусть У' —идеал функций из А', обращающихся
в нуль на G. Предложение утверждает, что j = {Ig fltj/' ^Л'с:/7};
тот факт, что G ={ge GL^Ip^./'^/'}, очевиден.
Теперь легко видеть, что J' = A'J и J'[\A = J. Предположим,
что / е= / и /' е Л'. Тогда р^ (f/0 = p^ (f) p^ (f) и (f/0 * X - (/ * X) /' +
+ / (Г * ^0- Следовательно,
= J' и J*X

§ 4. Разложение Жордана 101
Для доказательства обратного утверждения достаточно убе-
убедиться в том, что подалгебра Acz А' инвариантна относительно
всех сдвигов р^. и всех конволюций * X.
Так как * X = (/ ® X) о ц0, то (Ти * X) = (/ ® X) B Г/л ® Гл/) =
= 2 ?\/Д (^л/) е Л. Аналогично, если gy h ^. GLrt, то (pgTt7) (Л) =
-Ы^) = 2^т(/0^/(?)> так что p/^S^-^teleA
m m
Таким образом, Л*1сЛ и pgAczAy что и требовалось.
Замечание. Это следствие составляет основу одного из
классических подходов к алгебрам Ли матричных групп, исполь-
использующего только полиномиальные функции от элементов матриц.
3.12. Предложение. Пусть М и N —замкнутые подгруппы
аффинной алгебраической группы G, и пусть Н — замыкание ком-
мутанта (М, N). Тогда $ = L(H) содержит все элементы вида
[X, Y] (X €= m, Y €= и),
F (me=Af), Ad(n)(X) — X {ns=N).
Доказательство. При пг^ М определим морфизм am: N-+H
формулой ат{п) = тпт-хп~\ Тогда (см. формулу A) из п. 3.9)
(dam)* = (Ad (m) — Id): п->^. Это дает все элементы второго типа,
а элементы третьего типа могут быть получены подобным же
образом.
При Леи определим морфизм аА: М->$ формулой ал(т) =
= Ad(m)(i4) — Л. В соответствии со сказанным выше элементы
аА(т) принадлежат fj. Согласно формуле B) из п. 3.9 {daA)e =
= — ad (Л), так что все элементы вида [Л, X], X е тп, принадле-
принадлежат 1).
Замечание. Элементы, указанные в предложении 3.12,
вообще говоря, не порождают 1) как пространство; однако они
порождают 1), если char(fe) = 0.
§ 4. РАЗЛОЖЕНИЕ ЖОРДАНА
4.1. Нильпотентные, унипотентные и полупростые эндомор-
эндоморфизмы. Пусть V — конечномерное векторное пространство над К
с ^-структурой V (k). Тогда алгебра E = EndK(V) также обладает
^-структурой, задаваемой fe-алгеброй Е (k) == Endfe (V (k)). Эндо-
Эндоморфизм а^Е называется нильпотентным, если аг = 0 для под-
подходящего целого г>0, и унипотентным, если а— 1 —нильпотент-
ный элемент, где 1 —тождественный эндоморфизм пространства V.
Иначе говоря, эндоморфизм а нильпотентен (соответственно уни-
потентен), если все его собственные значения равны 40 (соответ-
(соответственно 1).

102 Гл. I. Общие понятия
(a) Если char(/0~p>0, то эндоморфизм а тогда и только
тогда унипотентен, когда ар = 1 для подходящего целого г ^ 0.
В самом деле, если а = 1 + яи/гнильпотентен,тоарГ = l-\-n°r=l
при достаточно большем г. Обратно, из равенства арГ=1 выте-
вытекает, что минимальный полином эндоморфизма а делит полином
ТрГ —- 1 = {Т —- \)р\ так что все собственные значения эндомор-
эндоморфизма а равны 1.
(b) Эндоморфизм a^E(k) называется полупростым, если вы-
выполняются следующие эквивалентные друг другу условия:
(i) Собственные векторы эндоморфизма а в V (k) порождают
V (k)\ другими словами, эндоморфизм а диагонализируем над k.
(И) Алгебра k [a] a E (k) полупроста, т. е. k [a] — произведение
конечного числа экземпляров полей k l).
Импликация (i)=^(ii) становится очевидной, как только мы
приведем а к диагональному виду. Обратно, если k [a] — произве-
произведение конечного числа экземпляров поля k, то любой модуль над
k [а], например V(k), будет прямой суммой одномерных подмо-
подмодулей.
(c) Если эндоморфизм asE(k) полупрост, то его собственные
значения сепарабельны над k. Следовательно, а диагонализируем
над ks.
В самом деле, k[a]e*k[T][(P{T)), где Р —- минимальный поли-
полином эндоморфизма а. Так как a^E{k), то алгебра k[a] =
= fe ®A k[a] не имеет нильпотентных элементов, так что полином Р
не имеет кратных корней, т. е. Р — сепарабельный полином.
(d) Предположим, что эндоморфизмы а, Ь ^Е коммутируют.
Тогда
(i) а, Ъ — нильпотентные эндоморфизмы =Ф а + b — нильпотент-
ный эндоморфизм9,
(И) а, Ъ — унипотентные эндоморфизмы =Фа6 — унипотентный
эндоморфизм-,
(Hi) a, b — полупростые эндоморфизмы =#а6 и а + ft — полу-
полупростые эндоморфизмы.
Если an = bm = 0, то (а + b)n+m = 0, откуда следует утвержде-
утверждение (i). Так как ab — 1 —{а-* 1)b + (b — 1), то утверждение (п)
вытекает из утверждения (i). Доказательство утверждения (iii)
предоставляется читателю в качестве упражнения (ср. п. 4.6).
Отметим еще следующее очевидное утверждение:
(e) Если эндоморфизм а одновременно полупрост и нильпотен-
тен (соответственно унипотентен), то а = 0 {соответственно а = 1),
1) См. сноску иа стр. 24. — Прим. перев.

§ 4. Разложение Жордана 103
4.2. Предложение. Мы сохраняем принятые выше обозна-
обозначения. Пусть а^Е.
A) Существуют единственные эндоморфизмы as, ап^Е, такиеf
что эндоморфизм as полупрост, эндоморфизм ап нильпотентен,
asan = anas и a = as + an. Мы называем эту формулу (аддитивным)
разложением Жордана эндоморфизма а.
B) Существуют полиномы Р(Т) и Q{T) из К[Т] с нулевыми
постоянными членами, такие, что as = P(a) и an — Q(a).
C) Централизатор эндоморфизма а в Е централизует as и ап.
Если подпространства Аа В czV таковы, что аВ а А, то asB с: А
и апВ с: Л.
D) Если А а V — инвариантное относительно эндоморфизма а
подпространство пространства V, то разложение Жордана эндо-*
морфизма а индуцирует разложения Жордана эндоморфизмов а\ А
и aviA\ здесь av/A — эндоморфизм, индуцированный эндоморфиз-
эндоморфизмом а на пространстве V/A.
E) Если a ^E(k), то as, ап <= E(kp~°°). Кроме того, полиномы Р
и Q можно выбрать из кольца kp~ [Г].
Доказательство. A) Пусть det(Г — а) = П(Т — а,)т', где
а{ различны; положим V-i = ker (a — at • 1). Легко видеть тогда, что
V = II Vt. Предположим, что а = Ъ + с, где Ь — полупростой,
а с — нильпотентный эндоморфизмы, be = cb. Тогда b коммути-
коммутирует с эндоморфизмом а и, следовательно, с эндоморфизмом
(а — а<1 • 1)т', так что каждое подпространство V{ инвариантно
относительно 6. Так как эндоморфизм а — Ь = с нильпотентен,
то а и b имеют одни и те же собственные значения на Vt. Так
как а имеет только одно собственное значение, скажем а/, и так
как b — полупростой эндоморфизм, то 6|К/ = а/ • l\Vt. Следова-
Следовательно, эндоморфизм Ь, а вместе с ним и эндоморфизм с = а — Ъ,
определяется однозначно. С другой стороны, если определить
эндоморфизм as формулой as\Vt = ail\Vi и положить an = a — as,
то, очевидно, эндоморфизмы а$ и ап удовлетворяют нашим тре-
требованиям.
B) Подберем полином Р(Т) таким образом, чтобы имели место
сравнения:
P(r) — a<(mod(r-al)m0 и Р (Т) = 0 (mod (T)).
Сравнение слева в случае, когда а/ = 0, согласуется со срав-
сравнением справа. Следовательно, эта система сравнений имеет
решение („китайская теорема об остатках"I)* В качестве Q(T)
возьмем полином Т — Р{Т).
C) Непосредственно вытекает из B).
D) Обозначим через а' и а" эндоморфизмы, индуцированные
эндоморфизмом а на пространствах Л и V\A соответственно.
1) См. Ленг [1], стр. 82.- Прим. ред.

104 Гл. I. Общие понятия
Согласно утверждению C), пространство А инвариантно относи-
относительно as и ап, так что можно определить аналогичным образом
эндоморфизмы a's> а" и а'п, а„. Вполне очевидно теперь, что фор-
формулы а' = ars \ а'п, а" — а" + а" дают разложения Жордана эндо-
эндоморфизмов аг и а" соответственно.
E) Если a^E(k), то c^efe, и по построению эндоморфизмов
as и ап в доказательстве утверждения A) имеем as, an^E(k).
Группа Галуа Gal(fe/6) естественным образом действует как группа
автоморфизмов алгебры E(k). Тогда при seGal(fe/&) выпол-
выполняются равенства а = s (a) = s (as) + s {an)> причем эндоморфизм
s{an) нильпотентен и коммутирует с s(as). Кроме того^ так как
k [as] •— полупростая алгебра (см. п. 4.1), то s (k [as]) = k [s (as)] —
также полупростая алгебра, откуда следует, что эндоморфизм
s(as) также полупрост. Из единственности разложения Жордана
вытекает теперь, что s{as) = as и s(an) = an. Но множество эле-
элементов алгебры E(k), неподвижных относительно группы Gal(fe/?),
совпадает с Е (kp'°°). В частности, а89 ап е k [а] П Е (kp'°°) = kp-°° [a],
так что полиномы Р и Q в утверждении B) можно выбрать так,
чтобы их коэффициенты принадлежали полю kp~°°.
Следствие!. При g^GL{V) положим gM=l + gjlgn-
A) g = gsgu = gugs, причем автоморфизм gs полупрост, a gu
унипотентен. Такое разложение автоморфизма g единственно. (Его
называют мультипликативным разложением Жордана эндомор-
эндоморфизма g.)
B) Если А — инвариантное относительно g подпространство
пространства V, то А инвариантно относительно gs и gu; мульти-
мультипликативное разложение Жордана автоморфизма g индуцирует
соответствующие разложения автоморфизмов, инду цированных
автоморфизмом g на А и V/A.
C) Если автоморфизм g рационален над k, то автоморфизмы
gs u gu также рациональны над kp~°°.
Доказательство. A) Так как gs и gn коммутируют, то
автоморфизм gu = 1 + gjxgn унипотентен и g = gsgu = gug8. Пред-
Предположим, что g = bc = cb, где эндоморфизм Ь полупрост, а
п = с—1 нильпотентен. Тогда эндоморфизм Ьп нильпотентен и
коммутируете 6, так что g — Ь + Ьп — аддитивное разложение
Жордана эндоморфизма g. Следовательно, b = gs и bn — gn,
откуда вытекает утверждение A).
С учетом формулы gu = 1 + g7lgn утверждения B) и C) не-
непосредственно следуют из утверждений D) и E) предложения.

§ 4. Разложение Жордана 105
Следствие 2. Предположим, что эндоморфизмы а, Ь еЕ
перестановочны. Тогда a -f Ь = (as + bs) + (яЛ + bn) — аддитивное
разложение Жордана эндоморфизма а-\- Ь. Если а и Ь, кроме
того, обратимы, то аЬ = (asbs) {aubu) — мультипликативное разложе-
разложение Жордана автоморфизма аЪ. Все возникающие здесь элементы
коммутируют между собой.
Доказательство вытекает из утверждения (с) п. 4.1 и части C)
предложения.
Следствие 3. Если g<=GL(V) и h = GL{W), Tog®h =
^(gs ® hs) (gu ® hit) — разложение Жордана автоморфизма g ® h.
Доказательство. Достаточно применить следствие B)
к автоморфизмам g ® 1^ и \v ® h.
Соглашения. Предположим, что пространство V не обяза-
обязательно конечномерно. Будем говорить, что эндоморфизм a^E(V)
локально конечен, если V порождается конечномерными инвари-
инвариантными относительно а подпространствами. Мы будем называть
локально конечный эндоморфизм а локально нильпотентным {ло-
{локально унипотентным, локально полупростым), если ограничения
его на каждое конечномерное инвариантное относительно а под-
подпространство нильпотентно (унипотентно, полупросто). Единствен-
Единственность аддитивного и мультипликативного" разложений Жордана
в конечномерных пространствах позволяет определить для ло-
локально конечного эндоморфизма а аддитивное a = as-{- ап и,
если а обратим, мультипликативное a = asau разложения Жордана,
которые индуцируют на конечномерных инвариантных относи-
относительно а подпространствах обычные разложения Жордана. В
этих разложениях эндоморфизм as локально полупрост, ап ло-
локально нильпотентен, аи локально унипотентен и asan — anas1
asau = auas. Эти свойства определяют as, an и аи однозначно.
Иногда, допуская вольность речи, мы опускаем в подобной
ситуации слово „локально".
Пусть G — аффинная алгебраическая группа. При g e G и
X ^ g эндоморфизмы р^ и * X пространства A=^K[G] локально
конечны (см. п. 1.9 и п. 3.10). Поэтому можно говорить об их раз-
разложениях Жордана
Основной результат этого раздела состоит в том, что эти разло-
разложения можно реализовать уже в G и g соответственно.
4.3. Сохраним обозначения и терминологию п. 4.2.
Предложение. Пусть gt=GL{V), X e=${V) и A=K[GL{V)].

106 Гл. I. Общие понятия
A) Автоморфизм g полупрост (соответственно унипотентен)
тогда и только тогда, когда pg полу прост (соответственно у ни-
потентен).
B) Эндоморфизм X полу прост (соответственно нильпотентен)
тогда и только тогда, когда * X полупрост (соответственно ниль-
нильпотентен).
Доказательство. Имеем A = B\D~\ где В =/С [End (V)],
и D: End (V) ¦-*- К — определитель. Очевидно, что подпространство
(End (V))* с А инвариантно относительно правых сдвигов рг Со-
Согласно п. 3.10, это подпространство инвариантно также относи-
относительно дифференциала * X правого сдвига рг Следовательно,
подалгебра В алгебры А инвариантна относительно р^ и *Х\
их продолжения на алгебру А определяются при /ей формулами
) = р, (/) 9g (D)~n = D (g)-n Pg (f) D~\
Здесь был использован тот факт, что pg(D) = D(g)D и (D*X) =
= (XD) D = Тг (X) D (см. п. ЗЛО). Эти формулы показывают, что
если / — собственный вектор для р^. (соответственно для * X),
то fD~n — также собственный вектор при любом /г^О. Отсюда
следует, что эндоморфизм р^ (соответственно * X) полупрост тогда
и только тогда, когда его ограничение на В полупросто.
Предположим, что автоморфизм р^ на В унипотентен. Тогда,
так как pgD = D (g) D, то D (g) = 1. Следовательно, (р^ — 1) (fD~n)=
= ((p^ — 1) (/)) D~n> откуда следует, что р^. унипотентен на А.
Обратное очевидно.
Аналогично, если эндоморфизм *1 на В нильпотентен, то
равенство (D * X) = Тг (X) D влечет за собой Тг (X) = 0, так что
(fD~n) * X = (f * X) D~n. Это показывает, что * X нильпотентен на Л.
Обратное очевидно.
Из этих замечаний вытекает, что достаточно доказать аналог
предложения для алгебры В = ^C[End (V)]. Положим E = End(V).
Алгебра В является симметрической алгеброй S(E*) двойствен-
двойственного пространства Е* — Нотк(Е, К) пространства Е. Кроме того,
pg и * X являются соответственно автоморфизмом и дифферен-
дифференцированием алгебры S(E*), индуцированными правым умножением
в Я на элемент g^GL(V) и коммутированием с помощью эле-
элемента X е gl (V) a E соответственно.
Если мы отождествим Е с V* ® V (f ® v: x-*f(x)v), то правое
умнржецие ца $^Е соответствует примецецик? эндоморфизм §

§ 4. Разложение Жордана 107
а*® 1. Достаточно проверить это в случае, когда а имеет вид
g ® w. Именно,
(/®v)(g®w): x-*f(w)g(x)v = (f(w)g®v)(x)
и
Так как а нильпотентен (соответственно унипотентен, полупрост)
тогда и только тогда, когда а* ® 1 нильпотентен (соответственно
унипотентен, полупрост), то для завершения доказательства доста-
достаточно сослаться на следующую лемму, в которой роль Е* играет V.
Лемма. Пусть g<=GL(V) и JTg()
A) Элемент g полупрост (соответственно унипотентен) тогда
и только тогда, когда автоморфизм S (g) алгебры S (V), инду-
индуцированный автоморфизмом g пространства V, полупрост (соот-
(соответственно унипотентен).
B) Эндоморфизм X полупрост (соответственно нильпотентен)
тогда и только тогда, когда дифференцирование s (X) алгебры S (V),
индуцированное эндоморфизмом X пространства V, полупросто
(соответственно нильпотентно).
Доказательство. Ограничения автоморфизма S (g) и диф-
дифференцирования s(X) на подпространство V = Sl(V) совпадают
с g и X соответственно, откуда следует утверждение „только
тогда".
Так как автоморфизм Sn(g) индуцируется автоморфизмом
Тп (g) пространства Тп (V) = V ® •. • ® V путем перехода к соот-
соответствующему факторпространству, то утверждение „тогда" в ча-
части A) вытекает из следствия 2 п. 4.2.
Аналогично, дифференцирование sn(X) индуцируется при пере-»
ходе к факторпространству Sn(V) пространства Tn(V) эндомор-
эндоморфизмами вида
?-е место
2i ® ... ® х ® ... ® к
i
Эти слагаемые перестановочны и полупросты (соответственно
нильпотентны), если эндоморфизм X полупрост (соответственно
нильпотентен), так что их сумма — полупростой (соответственно
нильпотентный) эндоморфизм. Отсюда следует B).
4.4. Разложение Жордана в аффинных группах. Пусть
G — аффинная fe-группа с координатным кольцом Л = /С[О]. При
g e G, ifEjj правый сдвиг р^ и правая конволюция *Х обладают
разложениями Жордана в смысле соглашения из п. 4.2.
Теорема. Пусть g^Q и Xefl.
A) Существует единственное разложение на сомножители
8 = gsgu (gs> gu ^ G), такое, что pg = pgspgu является (мульТипли-

108 Гл. /. Общие понятия
кативным) разложением Жордана автоморфизма pg. Если g e G (k),
то gs, foc=G (*'—).
B) Существует единственное разложение X = Xs-\- Хп, Xs,
Хп е д, такое, что * X = (* Xs) + (* Хп) — аддитивное разложение
Жордана дифференцирования *Х. Если Jeg(fe), то Xsy Xn^§(kp~°°).
(Эти разложения мы будем называть разложениями Жордана
элемента g в группе G и элемента X в алгебре g соответственно.)
C) Если G = GL{V) {так что д = $ЦУ))> то введенные выше
понятия совпадают с понятиями, введенными в п. 4.2.
D) Пусть a: G —> С — морфизм аффинных групп. Тогда а и da
сохраняют разложения Жордана в группах и алгебрах Ли соот-
соответственно.
Доказательство. Случай 1. G = GL(V), g = gl(l/). Пусть
§ = gsgu и X — Xs + Xn — разложения Жордана в смысле п. 4.2.
Тогда из утверждения A) предложения из п. 4.3 следует, что
Pgs — полупростой, a pga — унипотентный автоморфизмы. Так как
отображение ?->р^ — гомоморфизм, то pgs и pgu перестановочны,
так что Pg = PgsPga — разложение Жордана. Подобным же образом,
согласно утверждению B) предложения п. 4.3, * Xs — полупростой,
а * Хп — нильпотентный эндоморфизмы. Так как отображение
Х-> * X — гомоморфизм алгебр Ли, то *XS и *Хп коммутируют,
так что * X = (* Xs) + (* Хп) — разложение Жордана эндомор-
эндоморфизма *Х. Оба гомоморфизма g-*pg и Х->*Х совместимы
с fe-структурой; поэтому утверждения о рациональности вытекают
из соответствующих утверждений п. 4.2.
Единственность в этом, а также в общем случае, вытекает
из инъективности отображений g-*pg (см. п. 1.10) и Х-**Х
(см. п. 3.4).
Общий случай. Рассмотрим какое-либо ^-рациональное вложе-
вложение G с: GL{V) для подходящего V (см. п. 1.10), так что g c= gt(l/).
Тогда операторы р? и *Х индуцируются при переходе к фактор-
алгебре А алгебры В = K[GL(V)] соответствующими операторами
на В, следовательно, имеют место, согласно случаю 1, разложе-
разложения g = gsgu (в GL(V)) и X=XS + Xn (в #00). Чтобы доказать
желаемый результат, достаточно убедиться, что gs, jttGG и Xs,
Ineg. Единственность и свойства рациональности этих разложе-
разложений могут быть установлены точно так же, как в случае 1.
Пусть / — идеал алгебры В, определяющий группу G. Со-
Согласно п. 3.11,

§ 4. Разложение Жордана 109
Из предложения п. 4.2 вытекает, что при g^G и!ед идеал /
инвариантен относительно (рД, (pg)a, (* X)s и (*Х)Л. Но, согласно
случаю 1, эти операторы совпадают с pgs, р^и, * Xs и *ХЫ соот-
соответственно. Это завершает доказательство утверждений A) —C).
Доказательство утве ржде ни я D). Представляя мор-
физм а в виде G->a(G)->G', мы видим, что достаточно рас-
рассмотреть два случая:
A) морфизм a — вложение замкнутой подгруппы,
(п) морфизм a сюръективен.
В случае (i) G cz G' и совместимость разложений Жордана выте-
вытекает из утверждения C), если использовать вложение группы G'
в линейную группу.
В случае (И) коморфизм а0: А'-+А инъективен, так что Аг
можно считать подалгеброй алгебры Л. Тогда при g^G hIgj
получаем pa {g) = pg | Ar и * da (X) = * X \ Af. Следовательно, со-
согласно п. 4.2, имеют место соответствующие соотношения между
разложениями Жордана.
Следствие. A) Если элементы g, h^G перестановочны,
то gh = {gshs) {guhu) — разложение Жордана элемента gh\ все возни-
возникающие здесь элементы перестановочны друг с другом.
B) Если элементы X, Y ^ g перестановочны {т. е. [X, Y] = 0),
то X + Y = (Xs + Ys) + (Xn + Yn) —- разложение Жордана элемента
X + Y\ все возникающие элементы перестановочны друг с другом.
Доказательство вытекает из следствия 2 п. 4.2, если
использовать вложение G ~> GL (V).
4.5. Полупростые и унипотентные элементы в аффинных
группах. В аффинной fe-группе G множества полупростых и уни-
потентных элементов задаются формулами
соответственно. Соответствующие множества полупростых и ниль-
потентных элементов в алгебре Ли g задаются формулами
gs = {Xe=g|X = Xs} и 9л = {Х е g \Х = Хп]. *
Из утверждения D) теоремы п. 4.4 вытекает, что если a: G-> Gr —
морфизм аффинных &-групп, то
a(Gs)c=Gs, a(Gu)aG'u,
В действительности a(Gs)^=a(G)s и a{Ga) =?=a(G)tf, ()(gs)
()()) (da) (9я) = ((<fa) (fl))«- Кроме того, следствие теоремы

110 Гл. I. Общие понятия
s
из п. 4.4 показывает, что произведение двух перестановочных
элементов множества Gs (соответственно Gu) принадлежит Gs
(соответственно Gu). Аналогичный факт имеет место для сумм
перестановочных элементов множества gs (соответственно дЛ).
В частности, есЛи группа G коммутативна, то Gs и Gu являются
подгруппами, a gs и %п — подпространствами, причем, как следует
из утверждения (е) п. 4.1,
Gs(]Gu = {e} и
Если вложить группу G в GL{V), то элементы множества Gu
(соответственно grt) можно определить уравнением (g —е)п — 0
(соответственно Хп = 0) в End (V) (для достаточно большого п).
Коэффициенты этих уравнений в ^-рациональном базисе про-
пространства V принадлежат Z; таким образом,
Gu является k-замкнутым подмножеством группы G
и
%а является k-замкнутым подмножеством алгебры д.
4.6. Приведение к треугольному и диагональному видам.
Пусть М — подмножество алгебры gtrt. Будем говорить, что мно-
множество М триангулируемо (над k) (или что М приводится (над k)
к треугольному виду), если для подходящего ge=GLn (соответ-
(соответственно g^GLn(k)) множество gMg~l состоит из верхних тре-
треугольных матриц (т. е. содержится в L(Tn)). Множество М будем
называть диагонализируемым (над k) (или приводящимся (над k)
к диагональному виду), если для подходящего geGLfl (соответ-
(соответственно g^GLn(k)) множество gMg~l имеет диагональный вид
(т. е. содержится в L(Dn)).
Вообще, если V — конечномерное векторное пространство
с ^-структурой V {k), то можно говорить о триангуляции или
диагонализации над k семейства эндоморфизмов пространства V.
Это означает, что все эндоморфизмы семейства имеют треуголь-
треугольный или диагональный вид соответственно в подходящем /г-рацио-
нальном базисе пространства V.
Предложение. Пусть Ма д1л(k) — семейство попарно пере-
перестановочных эндоморфизмов и L — расширение поля k, полученное
присоединением к k собственных значений элементов множества М.
Тогда
(a) множество М триангулируемо над L;
(b) если М состоит из полупростых эндоморфизмов, то Laks
и множество М диагонализируемо над L.
Доказательство. Тот факт, что Laks, вытекает из утвер-
утверждения (с) п. 4.1. В остальной части доказательства мы можем,
следовательно, заменить k на L и считать, что все собственные
значения элементов множества М принадлежат k.

§ 4. Разложение Жордана 111
При X ^М и а^ k пространство W г= кег {X — а • 1), очевидно,
определено над k и инвариантно относительно всех эндоморфиз-
эндоморфизмов Y, перестановочных с X, в частности, относительно всех Y е М.
Если множество М состоит не только из скалярных матриц
(иначе нечего было бы доказывать), то мы можем выбрать эндо-
эндоморфизм X так, что 0 ф W ф V.
Пользуясь индукцией по размерности, находим вектор e{^W (k),
который порождает одномерное инвариантное относительно М под-
подпространство. Применяя индуктивное предположение к V/Ke{f
мы можем дополнить множество, состоящее из одного вектора еХ9
до /г-рационального базиса еи ..., еп, такого, что подпростран-
подпространства Кех + ... + Ket (l^i^n) инвариантны относительно мно-
множества М. Отсюда следует утверждение (а).
При доказательстве утверждения (Ь) мы опять можем пред-
предполагать, что множество М содержит нескалярный эндоморфизм X.
Пусть а{, ..., аг -— различные собственные значения эндомор-
эндоморфизма X и K/ = ker(X — ar 1). Тогда V = V{@ ... @Vr\ каждое
подпространство Vt определено над k и инвариантно относи-
относительно My так что, используя индукцию по dimV, мы можем
диагонализировать над k действие М на каждом Vt, Это приводит
к искомой диагонализации множества М на всем пространстве V.
4.7. Теорема. Пусть G — коммутативная k-группа. Тогда Gs
и Gu — замкнутые подгруппы, и морфизм-произведение
a: GSXGU->G
является изоморфизмом алгебраических групп.
Доказательство. Как мы уже видели в п. 4.5, Gu — замк-
замкнутая подгруппа группы G и Gs[\Gu = {e). Следовательно,
а является изоморфизмом абстрактных групп.
Вкладывая G в подходящую группу GLrt и используя пред-
предложение п. 4.6, мы можем считать, что GS~G f\Dn. Отсюда,
в частности, следует, что Gs — замкнутая подгруппа, так что а
является, очевидно, морфизмом алгебраических групп1).
Пусть /СА1 = У1ф ... 0УГ, где Vt — различные однородные
относительно группы Gs подпространства. Тогда каждое подпро-
подпространство Vi инвариантно относительно группы Gu, так что ввиду
утверждения (а) предложения п. 4.6 мы мо^ем привести Gu
на каждом Vt к треугольному виду. Таким образом, мы можем
предполагать, что G сг 1п и что Gs = G f| Drt.
Если g^G, то gsG(JscDn, откуда легко следует (из того
факта, например, что g имеет треугольный вид и что gs — полином
от g)t что gs — проекция матрицы g на свдю диагональную
1) См. примечание на стр. 78. — Прим. р$д,

112
Гл. I. Общие понятия
компоненту g ~> diag (gu, ..., gnn). Ясно, что это морфизм; следова-
следовательно, отображение g~* gu = gjlg— также морфизм, так что
g-^ies* gu)-~ нужный нам обратный к а морфизм.
Замечание. В п, 4.5 мы видели, что множество Gu является
/^-замкнутым. Позднее в § 10 мы покажем, что множество Gs
определено над k. Впрочем, в случае когда char(&) = 0, это
вытекает из очевидной инвариантности множества Gs{k) относи-
относительно группы Галуа Gal(&/&)• Если же char(k) = p>0, то при
G cz GLrt для всех g€= G имеет место равенство gf = e. Следова-
Следовательно, отображение р: G-+G, задаваемое формулой $(g)=r=gpn,
является й-морфизмом й-групп, образ которого содержится в Gs.
Более того, как мы увидим в § 8, отображение g->gp является
сюръективным уже на множестве Gs. Отсюда следует, что мно-
множество GS = $(G) определено над k.
4.8. Треугольные унипотентные группы. Пусть Л— алгебра
верхних треугольных матриц
0
и пусть N—идеал алгебры Л, образованный матрицами с нуле-
1
вой диагональю. Тогда Nn — Q, так что Un= I +N =
0
1
является унипотентной группой, т. е. группой, состоящей из уни-
потентных элементов. Нетрудно проверить, что группы 1 + N1
(/=1, 2, ..., п) являются нормальными делителями группы Un,
причем справедлива следующая коммутаторная формула:
В частности, фиксируя /= 1 и варьируя /, находим, что группа \}п
нильпотентна. Ее алгебра Ли и совпадает с множеством всех
верхних треугольных матриц с нулевой диагональю; таким обра-
образом, элементы алгебры и являются нильпотентными матрицами.
Теорема. Пусть G —не обязательно замкнутая унипотентная
подгруппа группы GLrt (k). Тогда G сопряжена над k с подгруп-
подгруппой группы Un. В частности, G — нильпотентная группа, а ее
алгебра Ли состоит w нильпотентных

Гл. I, Общие понятия 113
Доказательство. С учетом сделанных выше замечаний
ясно, что требует доказательства лишь первое утверждение.
Очевидно, достаточно показать, что существует одномерное под-
подпространство L пространства V, точки которого неподвижны
относительно G. В этом случае множество W неподвижных отно-
относительно G точек будет ненулевым определенным над k подпро-
подпространством пространства V, так что для завершения доказательства
останется применить индукцию по dim V к действию G на фактор-
пространстве V/W.
Таким образом, мы можем считать, что поле k алгебраически
замкнуто. Кроме того, индуктивное предположение позволяет
ограничиться случаем, когда V — неприводимый G-модуль. Тогда
векторное пространство, натянутое на элементы группы G, по
теореме Веддербёрна обязано совпадать с End (V).
С другой стороны, при l=?geG и любом g' e G имеем
Tr {(g — 1) g' = Tr igg') — Tr (g') = 0, ибо все следы элементов
группы G равны dim V. Следовательно, Tr {{g — 1) jc) = 0 для любого
х е End (V), откуда вытекает, что g— 1=0, ибо G порождает
End (У). Это означает, что G = {1} и, значит, dimV=l, что и
требовалось доказать.
Следствие. Пусть G — унипотентная алгебраическая группа
(т. е. G = Gu). Тогда группа G изоморфна замкнутой подгруппе
группы \}п си GLrt для подходящего п. Следовательно, L(G) состоит
из нильпотентных элементов.
Доказательство. Применяя теорему к какому-либо точ-
точному представлению n:G->GLrt (см. п. 1.10), получаем вложе-
вложение группы G в ил. При этом L{G) вкладывается в L(\in); послед-
последняя состоит из верхних треугольных матриц с нулевой диагональю.
4.9. Замечание. Мы покажем позднее, что элемент X е g
нильпотентен (соответственно полупрост) тогда и только тогда,
когда он является касательным вектором к некоторой замкнутой
унипотентной подгруппе (соответственно к тору, см. § 8).
Библиографические замечания. Разложение Жордана в алге-
алгебраических группах обсуждалось в статье Бореля [1]. Однако
существование его эквивалентно теореме 4.7 о коммутативных
алгебраических группах, доказанной ранее Колчиным [1]. При-
Приведенное здесь доказательство следует рассуждению Шпрингера
для случая алгебр Ли. Разложение Жордана в алгебрах Ли было
введено Борелем и Шпрингером [1]. Однако принятое там (а также
в статье Бореля и Шпрингера [2]) определение является более
тонким, а*доказательство существования — менее элементарным.
У нас оно превращается в теорему, упомянутую в п. 4^9 ц
данную в пп. П.8 и 14.7,

Глава II
ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 5. ПОЛУИНВАРИАНТЫ
В этом параграфе все алгебраические группы являются аффин-
аффинными. Полученные здесь результаты подготавливают средства
для построения факторов в § 6.
5.1. Теорема. Пусть G — произвольная k-группа и Я— замк-
замкнутая подгруппа, определенная над k. Тогда существуют опреде-
определенное над k точное представление a:G-> GL(E) и определенное
над k одномерное подпространство D аЕ, такие, что
H = {g&G\a(g)D = D} и 1) = {Xe=§\da(X)Dc:D}.
Доказательство. Пусть / — идеал алгебры A — K[G],
состоящий из функций, обращающихся в нуль на Я; он поро-
порождается подалгеброй /^ = /f|^[G] и, более того, даже конечным
подмножеством алгебры Ik. Следовательно, согласно п. 1.9, суще-
существует конечномерное определенное над k инвариантное относи-
относительно правых сдвигов подпространство V алгебры Л, такое, что
если W = V()I, то идеал Ik порождается ^-подпространством Wk.
Подпространство W определено над k и инвариантно относи-
относительно правых Я-сдвигов, поскольку этими свойствами обладают
пространства V и /. Мы утверждаем теперь, что
H = {g^G\pgW = W} и $ = {X^%\W*XczW}.
Из результатов п. 3.11 следует, что эти соотношения имеют место,
если заменить W на /,
Как мы уже отмечали, пространство W инвариантно относи-
относительно правых Я-сдвигов и, следовательно, ^-инвариантно, ибо
конволюция является дифференциалом правого сдвига (см. п. 3.10).
Обратно, предположим, что gEG и pgW = W. Так как р^ —
автоморфизм алгебры Л, то pgl = pg(WA) = pg{W)A = WA = /,
так что g e Я. Аналогично, если leg и IF* X с: W, то
UX = {WA)*X с (W*X) A + W {A*X) WA == /,
так что Хе$.
Положим теперь E = AdV, где d — dimW, и пусть Z) =
«= AdW с Е. Представление р: G -> GL (V) индуцирует представле-
представление а = Л^р: G-> GL(E), определенное над k. В случае, когда a
точцым, заменим Е чз ?ФЛ цсцользуя 0

§ 5. Полуинварианты 115
точное определенное над k представление G -> GL{F). Тогда все
условия теоремы будут выполнены благодаря следующей лемме
из линейной алгебры:
Лемма. Пусть W — подпространство размерности d вектор-
векторного пространства V, и пусть D *= AdW czE = AdV. Если g^GL (V)
и X е= el GO, то
A) {Adg)D = D&gW=W9
B) {dAd) (X)DczD^XWczW.
Доказательство. В обоих случаях импликация ф^ триви-
тривиальна. Пусть (et) A^/^m) — базис пространства V, выбранный
так, что еи ..., ей — базис пространства W. В случае A) можно
перенумеровать et так, что для подходящего п^\ элементы
еп, ..., en+d^x образуют базис пространства gW. Тогда вектор
(л^)(^1 Л ... Aed) кратен вектору еп Л ... Л еп+*-ь так что Усл0"
вие (Adg)D = D влечет за собой /i=l, т. е. gW—W.
В случае B) мы можем заменить X на X — У для подходя-
подходящего У, оставляющего W инвариантным, с тем, чтобы добиться
выполнения условия W[]XW — 0. Тогда можно выбрать базис
(ei) так, чтобы вектор Xet был кратен вектору ed+i (l^i^d).
В этом случае
(dAd)e(X)(e{...ed) =
= S ^i Л ... Л ?t-i Л Xet Л ei+{ Л ... Л ed.
Так как векторы е{ Л ... Л e*-i Л ?</+* Л e*+i Л ... Л ^ состав-
составляют часть базиса пространства Л*И, который содержит вектор
е{ Л ... Л edy то выписанная сумма может быть кратна ех/\.. /\ed
только тогда, когда каждое Xei равно 0, т. е. когда Х = 0.
5.2. Характеры и полуинварианты. Пусть G и С-группы,
определенные над k. Обозначим через Мог (G, G') множество мор-
физмов алгебраической группы G в алгебраическую группу G'
и через Мог (G, G')k — множество морфизмов, определенных над k.
В п. АГ. 14.3 мы определили действие группы Галуа Г =
—= Gal {kjk) на Мог (G, G%sy а именно при s е Г и а е Мог (G, G')^
элемент *а характеризуется следующим образом:
Кроме того,
Мог (G, G% = Мог (G.GOv
т. е. морфизм а определен на k тогда и только тогда, когда а
определен над ks и является Г-эквивариантным гомоморфизмом
группы G(ks) в G'(ks).

116 Гл. //. Однородные пространства
Заметим, что если группа G' коммутативна, то Mor(G, G')—
абелева группа, и подгруппа Мог {G, G')ks является Г-модулем.
Произведение в группе Mor(G, G') определяется формулой
()(g)(g)g)
В том случае, когда G'~GL[9 мы будем пользоваться обо-
обозначением
X(G) = Mor(G, GU)
и называть элементы группы X(G) характерами группы G. Таким
образом, запись XeX(G) означает, что %e/([G], %(g)?=0 и
%(ggf)=:X(g)%(gf) Для любых g,g'<=G. Условие xeX(G)^ озна-
означает, кроме того, что %e?[G].
Пусть a: G-+GL (V) — некоторое ^-рациональное представление.
Полуинвариантом группы G в пространстве V называется нену-
ненулевой вектор, порождающий одномерное G-инвариантное подпро-
подпространство. Таким образом, если t/еУ — полуинвариант, то
для некоторой функции %: G->/C*, являющейся, очевидно, характе-
характером группы G, определенным над й, если v^V(k). Этот харак-
характер называется весом полуинварианта v.
Термин „полуинвариант" будет использоваться и в том случае,
когда V — пространство функций на многообразии, на котором
действует группа G, причем действие G на V индуцировано
действием G на многообразии.
При х е X (G) положим
Vx = {v e V | a (g) v = % (g) v для всех g e G}.
Здесь можно ограничиться требованием, чтобы элемент g
принадлежал G (fes), ибо G(ks) плотно в G (см. п. АГ. 13.3).
Далее, если характер % определен над kSi то уравнение a{g)v =
= %(g)t; является линейным уравнением относительно v, опреде-
определенным над ks\ отсюда следует, что если %^X(G)ks, то подпро-
подпространство V% определено над ks.
Предположим, что xeX(G)^, g^G{ks), v^V%{ks) hsgT.
Тогда
s(% (s~x g) (v)) (группа Г действует полулинейно)
a(g)(sv) (представление a определено над k).

§ 5. Полуинварианты 117
Это показывает, что sVx(ks) a V/s \ (ks); обратное включение полу-
получается в результате применения к этому соотношению автомор-
автоморфизма s". Таким образом,
при любом %eX(G)fcs и sgF, В частности (см. п. АГ. 14.1).
Если характер х определен над k, го подпространство Vx
определено над k.
Весом группы G в пространстве V называется всякий такой
характер %<=X(G), что V% ф 0.
Лемма. Подпространства 1/х(хеХ (G)) пространства V
линейно независимы. В частности, в конечномерном пространстве
группа G может иметь лишь конечное число весов.
Доказательство. Рассуждая от противного, выберем наи-
наименьшее такое п, что существуют различные характеры XiO^S
<л^п) и ненулевые векторы vt s Ущ, Для которых v{ + • - • +
+ vn = 0. Ясно, что я>1, так что существует элемент g^G,
такой, что %\{g)?:%2(g)- Так как S Хг(^)^? = О» то, вычитая из
этого уравнения умноженное на Xi {g)~l уравнение vx + -. • + vn=*
= 0, получим нетривиальное соотношение, связывающее менее
чем п векторов из подпространств Vxt. Это противоречие доказы-
доказывает лемму.
5.3. Следствие. В обозначениях теоремы п. 5.1 существует
характер % s X (H)k и функции fu ..., fn e k [G], которые являются
полуинвариантами одинакового веса % для группы Я, действующей
на k[G] правыми сдвигами, такие, что
A) H = {gs=G\9gfie=Kfi, Ki<n},
B) t = {Xeu\ffXeKfh 1</<д}.
Доказательство. Пусть Е и D означают то же, что и в
теореме п. 5.1, еи ..., еп — такой fe-рациональный базис прост-
пространства Е, что Z) = /C^i, и пусть Тц — координатная функция
алгебры Ли gl(?)^$trt, соответствующая позиции (//) (матричный
элемент с номером (//)); имеется в виду, что изоморфизм %\{Е)^
?ё g(rt определен относительно базиса еи ..., еп.
В этой системе координат можно переформулировать теорему
5.1 следующим образом:
(¦) H = {g<=G\Tn (a {g)) = 0 для всех / > 1},
(**) ^ = {X е в I Tn ((da) Х) = 0 для всех / > 1}.
Из формулы (*) следует, что %= Гпоа — характер группы Я,
определенный над k. Положим ft == Г^ j о а A < i ^ п). Тогда

118 Гл. И. Однородные пространства
и при g^G и h^H получаем
- 2 Ти (a (g)) Тп (а (Л)) - Тп (а (g)) Ти (а (Л)) = Х (Л) /, (*).
Таким образом, каждая функция ft является полуинвариантом
веса % группы Н. Если jgGh pgft s /С/г, то число р^./^ (е) кратно
^ (е) = гп (а (^)) = 0 для каждого />1. Из соотношения (*) следует
тогда, что g^H. Это доказывает формулу A).
Остается показать, что если Igj и ^*IeKfi для всех
/>1, то Ig|. Отождествление алгебры Ли группы GLrt с алгеб-
алгеброй Ли (*{„ сопоставляет касательному вектору Y матрицу (Y {Тц))
(см. п. 3.6). Рассматривая Тц как координатную функцию на
алгебре Ли, получаем, что Тц (Y) = Y (Тц). Применяя это к эле-
элементу Х^й, приходим к соотношению Тц [da) (X) = (da) (X) (Ttl)=
*=Х (Ti{ о a) = Xft = (fi+X) (е)=(кратное числа ft (^))=(кратное числа
Тц(а(е))) = 0 для всех />1. Следовательно, формула (**) дает
IG|.
5.4. Следствие. Пусть G cz GLrt — алгебраическая матричная
группа, определенная над k. Тогда существует характер % е X (G)k
и полиномы f{, ..., fm^k[Tu, ..., Тпп], которые являются полу-
полуинвариантами веса % группы G по отношению к правым сдвигам,
такие9 что
Доказательство. Имеет место равенство &[GLJ=
= 6 [Гп, Г12, ..., Trtrt, D], где D = det(Т„). Согласно п.5.3, су-
существуют функции /,' е k [GLrt] (I < / < m), которые являются
полуинвариантами некоторого веса %F^X(G)k и удовлетворяют
условиям pJ'.EEKf'i и f't*X&Kf'r При достаточно большом г
имеем f'i = D~rfi9 где /*— полином A<*<т). Очевидно, что
D — полуинвариант веса D группы GLrt. Следовательно, функ-
функции fi являются полуинвариантами веса % = (D\G)r%' группы G.
Ясно, что функции х и /i> •••» /m удовлетворяют нужным усло-
условиям.
5.5. Инварианты. Не следует думать, что в общем случае
теорему 5.1 и ее следствия можно усилить таким образом, чтобы
вместо полуинвариантов появлялись инварианты (т. е. %—1)-
Однако это оказывается возможным в двух важных частных слу-
случаях. Первый случай, — когда X (#)* = {!}. Второй получается еле-

§ 5. Полуинварианты 119
дующим образом: пусть a: G-* GL(E) — такое же, как в тео-
теореме 5.1, и % — характер, соответствующий действию группы Я
на D. Предположим, что мы нашли другое представление
a': G-+GL{E') и D' с: Ег с аналогичными свойствами, но с той
разницей, что характер, соответствующий действию группы Я
на D', равен %~~1. Тогда представление а®а' группы G в прост-
пространстве Е®КЕ' таково, что группа Я действует тривиально на
пространстве D®KD'. Более того, если D = Kv и D' — Kv', то
легко видеть, что группа Я в точности совпадает со стабилиза-
стабилизатором вектора v ® v' в группе G и J) — стабилизатор вектора
v ® v' в алгебре Ли д.
Как найти такие Ег и D'? Попытаемся использовать контра-
гредиентное представление a*: G -> GL(E*). Тогда одномерному
Я-инвариантному подпространству D веса х соответствует одномер-
одномерное факторпространство D* пространства ?*, на котором Я дей-
действует с характером х- Чтобы получить в Е* нужное одномерное
подпространство, достаточно, чтобы группа Я была вполне при-
приводима на Е. В случае ненулевой характеристики это имеет
место, когда Я — редуктивная группа.
5.6. Пусть G — определенная над k группа и N — нормальный
делитель, определенный над k. Тогда существует определенное
над k линейное представление a: G-> GL(V)y такое, что N = кег(а)
и n = ker(da).
Доказательство. Согласно теореме 5.1, существует пред-
представление a: G->GL{E) и одномерное подпространство DczE,
определенные над k, такие, что N — стабилизатор D в группе G,
а п — стабилизатор D в алгебре Ли д. Пусть группа N действует
на D с характером хеХ(% Обозначим через F сумму всех
подпространств ?ф, когда ср пробегает X(N)ks. Согласно лемме
п. 5.2, F — прямая сумма этих подпространств. Если лге?ф,
g e= G (ks), n<=N, то
a (n) a(g)x = a {g) a (g'lng) x = q> {g~lng) a (g) x.
Таким образом, если мы определим характер gqpeX(A/) формулой
){) (l) то gq>zX(N)
a(g)?ф = Еш (ge=G (ft,), ФеХ(N)ks).
Отсюда следует, что пространство F инвариантно относительно G.
Кроме того, F определено над ks и инвариантно относительно
группы Галуа Gal(?s/&) (см. п. 5.2), так что F определено над k.
Наконец, так как D a F, то можно считать, что Е = F или же
принять в качестве а ограничение представления а на F.
Итак, пусть E = F и V cz gl (E) —• множество всех эндомор-
физмсж пространнее Ц = Д?<р (ф ^ х (^Ц)» отндсцтельдо

120 Гл. //. Однородные пространства
инвариантно каждое Ег Очевидно, что V — Цй1(?ф). Тогда при
G{k) dgF для каждого феХ(^в имеем
a (g) va (ёГ1 ?ф = а (g) ^?(^,ф) - а (g) E(tf-Iq)) = ?ф.
Таким образом, группа a(G) нормализует множество V, так что
мы можем определить отображение р: G ->GL (V)y полагая
$(g)v = a(g)va(g)~~\ Так как р — ограничение на К морфизма
AdGL(?)°a, то р —морфизм. Чтобы убедиться, что множество V,
а следовательно, и морфизм р определены над &, при s Gl(fe/fe)
и ugF (&s) вычислим
(sv) ?ф (ft,) = (s • v • s) ?ф (ft,) = svE{a-ij (ks) = 5?E-1ф) (ft,) = ?ф(ft,).
Таким образом, подпространство V определено над ksy и V (ks)
инвариантно относительно группы Галуа Gal (ks/k); следователь-
следовательно, V определено над k (см. п. АГ. 14.1).
При «gJV на каждом подпространстве ?ф автоморфизм а(п)
кратен единичному, так что а(п) централизует V, и, следова-
следовательно, р(я) = е. Обратно, если Р (?) = ?> то автоморфизм a(g)
обязан оставлять каждое подпространство ?ф инвариантным и
индуцировать скалярное умножение на каждом из них (в этом
легко убедиться, если проделать простое вычисление в д( (?)).
Так как DczEv то подпространство D инвариантно относительно
a (g"), так что g е N. Отсюда следует, что N = ker (P) ипс ker (dp).
Так как р —ограничение на V морфизма AdGL(?)°a, то dp-
ограничение на V дифференцирования ad о da. Следовательно,
X €= ker (dp) =ф ad ((da) (X)) V = 0 =ф (da) (X) централизует V =ф ка-
каждое подпространство ?ф инвариантно относительно (da)(X) и
(da)(Z) индуцирует умножение на скаляр в каждом из них
(такое же вычисление, как и выше) гф D с: Е% инвариантно отно-
относительно (da) (X) =ф X е п.
§ 6. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть G — алгебраическая группа и Я — ее замкнутая под-
группд. Мы собираемся ввэсти естественным образом на прост-
пространстве смежных классов G/H структуру многообразия, например,
так, чтобы проекция л: G->G/H была морфизмом, обладающим
надлежащими свойствами универсального отображения. Мы про^
делаем это для аффинной группы G. Наш метод использует ре-
результаты § 5 для реализации многообразия G/H в качестве
орбиты точки, стабилизатор которой совпадает с Я, при подхо-
подходящем действии группы G в проективном пространстве. Чтобы
Ц Т°М? чтя эта конструкция многообразия G(H б

§ 6. Однородные пространства 121
дает нужными свойствами, мы воспользуемся некоторыми резуль-
результатами из алгебраической геометрии, приведенными в гл. АГ.
Поспешим отметить, что термин „фактор" используется здесь
отнюдь не в категорном смысле, так что его следует рассматри-
рассматривать как „местный".
6.1. Факторный морфизм. Пусть я: V—> W -— определенный
над k морфизм /^-многообразий. Будем говорить, что я — фактор-
факторный морфизм (над k)y если
A) я сюръективен и открыт;
B) если U -— открытое подмножество многообразия V, то ко-
морфизм я0 индуцирует изоморфизм алгебры /С [я (С/)] на мно-
множество тех функций f^K[U], которые постоянны на слоях ото-
отображения я| U.
Напомним (см. п.АГ. 8.2), что из условия A) следует, что
я —доминантный морфизм.
Свойство универсальности отображения. Пусть
я: К -> №' — факторный морфизм над k. Если а: V -> Z — произ-
произвольный морфизм, постоянный на слоях морфизма я, то сущест-
существует один и только один морфизм р: W->Z, такой, что а = р<>я.
Если а есть k-морфизм k-многообразий, то $ — также k-морфизм
k-многообразий.
Доказательство. Ясно, что существует единственное не-
непрерывное отображение р, поскольку морфизм я открыт. Остается
показать, что если множество U открыто в Z, то отображение
/~>/ор преобразует K[U] в /([fT1 (U)]. Но коморфизм я0 ото-
отождествляет алгебру /([fT1 (?/)] = /( [я(сТ1 (?/))] с множеством тех
функций Л е/С [а ([/)], которые постоянны на слоях морфизма
n\a~l(U). Так как коморфизм а0 отображает алгебру К [U]
в кольцо таких функций в K[a~l{U)] (ибо морфизм а постоянен
на слоях морфизма я), то ро/С[С/] cz/cfp" (f/)]. Таким образом,
Р~ морфизм многообразий.
В этом рассуждении, как мы видели, р0 — единственное ото-
отображение, при котором диаграмма
«[«-¦((/)!
о
оказывается коммутативной. Если множество U fe-открыто, то
a~~l{U) и р~1({/)=я(а"(^))"~^ТКРытые множества (см. АГ. 14.5).

122 Гл. II. Однородные пространства
Кроме того, а0 и я0 определены над k, откуда следует, что р0
также определено над k.
Следствие. Биективный факторный морфизм является изо-
изоморфизмом.
В самом деле, если факторный морфизм я биективен, то мы
получим я~!, применив свойство универсальности отображения
к морфизму а= lv.
6.2. Лемма. Пусть я: V -> W — сюръективный открытый се-
парабельный морфизм неприводимых многообразий, и предполо-
предположим, что многообразие W нормально.Тогда я — факторный мор-
морфизм.
Доказательство. Нам необходимо проверить условие B)
определения факторного морфизма для каждого открытого мно-
множества U а V. Так как отображение n\U: U-+n(U) наследует
все свойства морфизма я, то достаточно рассмотреть случай
U = V. Требуется доказать, что каждая функция / е К [V], по-
постоянная на слоях морфизма я, принадлежит алгебре nQK[W].
Согласно предложению п.АГ. 18.2, элемент f^K[V] чисто не-
сепарабелен над k0K(W), значит, из сепарабельности морфизма я
вытекает, что /г = я0// для подходящего f'^K(W). Остается по-
показать, что функция f всюду определена. Предположим, что f
не определена в некоторой точке я(*). Тогда ввиду нормальности
многообразия W из леммы п. АГ. 18.3 следует, что существует
точка п(у), в которой функция l/f определена и обращается
в нуль. Но функция l/f = яоA/И определена и обращается в нуль
в точке у у что противоречит тому факту, что f /C[l/]
6.3. Фактор многообразия V относительно группы 6. Зафик-
Зафиксируем на несколько ближайших пунктов (до п. 6.7) ^-группу G,
действующую fe-рационально на ^-многообразии V. Орбитным
отображением будем называть сюръективный морфизм я: V -> W,
такой, что слои морфизма я являются орбитами группы G в V.
Фактором многообразия V относительно G над k называется
орбитное отображение я: V-+W, являющееся факторным мор-
физмом над k в смысле п. 6.11)- В частности, такое отображение я
обладает следующим свойством:
Свойство универсальности отображения. Если
а: V -* Z — произвольный морфизм, постоянный на орбитах
группы G, то существует единственный морфизм p.- W -*Z, такой,
что а = р о я. Если а — k-морфизм k-многообразий, то и р — также
k-морфизм k-многообразий.
1) В этом параграфе автор использует тормин „фактор" как для отобра-
отображения я, так и для многообразия W и для пары (W, п). — Прим. ред.

§ 6. Однородные пространства 123
Отсюда следует, что фактор, если только он существует,
является единственным с точностью до k-изоморфизма. Это об-
обстоятельство дает возможность обозначить фактор символом
G\V. Если действие группы G на V определено таким образом,
что G действует на V посредством правых сдвигов в большей
группе, содержащей группу G, то будет использоваться символ V/G.
Факторы, вообще говоря, не всегда существуют. Как показы-
показывает следующее предложение, из существования фактора выте-
вытекает, что размерности всех орбит одинаковы. Кроме того, если
орбитное отображение я: V -> W существует, то орбиты группы G
в многообразии V замкнуты по той причине, что они являются
прообразами точек относительно морфизма я.
6.4. Предложение. Пусть я: V->W — доминантное орбит-
ное отображение] предположим, что многообразие W неприводимо.
(a) Группа G транзитивно действует на множестве неприводимых
компонент многообразия V. В частности, если группа G связна,
то многообразие V неприводимо.
Предположим, кроме того, что неприводимые компоненты мно-
многообразия V открыты. Тогда
(b) Орбиты группы G в V имеют одну и ту же размерность
d = dim V — dim W.
(c) Если многообразие W нормально, то отображение открыто.
Доказательство, (а) Пусть F и Ff — неприводимые ком-
компоненты многообразия V. Из того, что я —доминантный морфизм
и многообразие ЙРнеприводимо, следует, что множества я/7 и я/7'
содержат плотные открытые в W подмножества. Следовательно,
множество n~l(nF') = G • F' содержит непустое и, значит, плотное
открытое в F подмножество. Но G • F' — объединение тех непри-
неприводимых компонент многообразия V, в которые F' преобразуется
группой G. В частности, множество G • F' замкнуто, так что
G • F' zd F, и, следовательно, F = gF' для подходящего jeG, ибо
F — неприводимая компонента. Стабилизатор Н множества F
в группе G —замкнутая подгруппа конечного индекса, так что Н
содержит G0 (см. п. 1.2). Это доказывает (а).
Чтобы доказать (Ь) и (с), заменим V на F и G на Н\ тем са-
самым дело сведется к случаю, когда многообразие V неприводимо.
Эта редукция возможна ввиду утверждения (а) и условия, что
неприводимые компоненты многообразия V попарно не пересе-
пересекаются.
Однако в случае когда многообразие V неприводимо, утвер-
утверждение (с) в силу п. АГ. 18.4 является следствием утверждения (Ь),
так что остается доказать (Ь). Мы будем использовать теорему
п.АГ. 10.1 о размерности слоев морфизма. Орбиты однородны,
так что неприводимые компоненты одной орбиты имеют одина-
одинаковую размерность. Кроме того, &\mG{x)^d и если n(x)^U,

124 Гл. II. Однородные пространства
где U — некоторое плотное открытое в W подмножество, то имеет
место равенство.
Введем в рассмотрение график действия группы G на много-
многообразии V: Г = {(g, х, gx)^GXV X V]. Пусть D — диагональ
многообразия V X V. Положим Z==T f\(G X D)\ пусть р: Z->D—
проекция многообразия Z на Z). При xgI/ имеем p~l{xf л:)=
={(?> *i *) I g e G» ?* = 4 = G* X {{х> *)}• Следовательно, все
неприводимые компоненты слоя отображения р над точкой (х, х)
имеют одинаковую размерность. Пусть Zo —неприводимая ком-
компонента многообразия Z, содержащая множество \е) X D, и пусть
Pi] Z0->D — ограничение проекции р на Zo. Тогда отображение /7Х
сюръективно, и р~х (х, х) — непустое объединение неприводимых
компонент многообразия р~1 (х, х). Применив теперь к морфизму р{
теорему о слоях морфизмов (п.АГ. 10.1), получим
dim Gx^d' = dimZo — dim Z),
где равенство имеет место всякий раз, когда х е U'y U' — неко-
некоторое открытое плотное подмножество многообразия V. Комби-
Комбинируя это с неравенством dimG(x)^d, для всех х е V получаем
d < dim G {x) = dim G — dim G* < dim G - *f.
Множество UrOn (if) открыто и плотно в V; пусть
х е U'[\ я (f/). Тогда неравенства превращаются в равенства,
так что d = dim G — d'. Следовательно, dim G (x)=d для всех К
6.5. Поле функций на факторе многообразия V относительно
группы С Пусть U — плотное открытое подмножество многооб-
многообразия V и gGG. Тогда множество g~l(U) также открыто и
плотно, и имеет место коморфизм Xg: K[g~lU] ->K[U] (где
(kgf)(x) = f(g~lx)). Перебирая всевозможные множества U, мы
получаем автоморфизм прямых спектров алгебр K[U] и, следо-
следовательно, их прямого предела К (V). Если U — область определения
функции /е/С[К], то gif — область определения функции lgf.
Таким образом, G действует посредством левых сдвигов как
группа автоморфизмов алгебры функций К (V) над К- Обозначим
через K(V)° подалгебру неподвижных точек алгебры К (V) отно-
относительно G.
Предложение. Предположим, что фактор п: V->W много-
многообразия V относительно группы G существует. Тогда л — сепара-
бельный морфизм и коморфизм я0 индуцирует изоморфизм
алгебры K(W) на алгебру K(V)°. Если многообразие V неприво-
димОу то для каждого jcgF отображение щ является изоморфиз-
изоморфизмом локального кольца OWt я м на локальное кольцо OVt х(]% (VH.
Доказательство. Так как я — доминантный морфизм, то
коморфизм щ индуцирует мономорфизм алгебры K{W) в .ал-

§ 6. Однородные пространства 125
гебру К {V), образ которого лежит, очевидно, в K{V)G. С другой
стороны, при f^K(V)° область определения U функции / инва-
инвариантна относительно G, и функция / постоянна на слоях мор-
физма я|?/. Из определения фактора следует тогда, что функция /
принадлежит образу морфизма я0: K[tc{U)]~> K[U].
Для доказательства того факта, что морфизм я сепарабелен,
достаточно показать, что если F — конечная прямая сумма полей
и Я —группа автоморфизмов кольца F, то кольцо F сепарабельно
над E = FH. Разложению кольца Е в прямую сумму полей соот-
соответствует разложение кольца F, которое, очевидно, является
О-инвариантным, так что дело сводится к случаю, когда ? —поле.
Тогда G действует транзитивно на прямых слагаемых кольца F;
в противном случае разложение кольца F на G-эрбиты приво-
приводило бы к соответствующему разложению поля E = F°.
Пусть поле L ¦— одно из прямых слагаемых кольца F. Мы хотим
показать, что поле L сепарабельно над Е. Из сказанного выше
следует, что Е ^ LH\ где Н' — стабилизатор поля L в Н. Наше
утверждение вытекает теперь из предложения п. АГ. 2.4.
Если многообразие V неприводимо, то поле К (V) содержит
все локальные кольца ?)Vt x (х e V). Отождествляя поле К (W)
с подполем К {V)°, получаем &Wt я (х) с= (ОУъ Х(]К {V)°)f так что
отображение щ: QWt я (X)~-*®v* x является вложением. Остается
показать, что каждая функция / е Ои§х 0K(V)° = OVt х ПK{W)
принадлежит кольцу 0Wi лМ. Если [/ — открытая окрестность
точки х, в которой определена функция /, то из определения
фактора вытекает, что функция f как элемент алгебры К [U]
содержится в алгебре щК[п(и)]. В частности, как рациональная
функция на многообразии W функция / определена в точке п{х),
т. е. /еО^,,,^
6.6. Предложение. Предположим, что я: V —> W -— сепара-
бельный орбитный морфизм, что многообразие W нормально и
что неприводимые компоненты многообразия V открыты. Тогда
LWу п) —фактор многообразия V относительно G.
Доказательство легко сводится к случаю, когда много-
многообразие W связно и, следовательно, неприводимо (ибо W нор-
нормально). Из утверждения (с) предложения п. 6.4 следует тогда,
что морфизм я открыт, а из утверждения (а) предложения
п. 6.4 — что G действует транзитивно на компонентах многообра-
многообразия V. Так как эти компоненты не пересекаются, то мы можем
заменить V одной из них, a G заменить стабилизатором этой
компоненты, сохраняя при этом все наши предположения. Таким
образом, достаточно доказать предложение в случае, когда много-
многообразие V также неприводимо. Но тогда тот факт, что я — фак-
факторный морфизм, вытекает из леммы 6.2.

126 Гл. //. Однородные пространства
Следствие. Пусть Gu G2 — группы, V{, К2 — многообразия,
все определенные над k. Предположим, что Gt действует k-рацио-
нально на Vi и что фактор Vi/Gi существует и является нормаль-
нормальным многообразием (/= 1, 2). Тогда фактор (V{ X V2)/{Gi X G2)
существует и канонически изоморфен (Vi/Gi)y,(V2fG2)>
Произведение V{IGX X>V2/G2 нормально (см. п. АГ. 18.1). Проек-
Проекции Vi->VilGi являются сепарабельными морфизмами (п. 6.5),
так что их произведение является сепарабельным морфизмом
(см. п. АГ. 17.3, следствие). Слои этого последнего — орбиты
группы G{ X G2) теперь мы можем применить предложение.
6.7. Предложение. Предположим, что x^V{k). Пусть
я: G -> G (х)—к~морфизм g-*g • х. Тогда G (х)—гладкое определен-
определенное над k многообразие, локально замкнутое в V. Кроме того,
п — орбитное отображение относительно действия группы Gx на G
посредством правых сдвигов. Следующие условия эквивалентны',
(a) я— фактор группы G относительно Gx,
(b) морфизм я сепарабелен, т. е. {dn)€: L{G)->T(G (х))х —
сюръективное отображение-,
(c) ядро отображения {dn)e содержится в L(GX).
Если эти условия имеют место, то группа Gx определена над k
и, следовательно, л — фактор группы G относительно GX9 опре-
определенный над k.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из п. 1.8,
а второе является очевидным.
Ввиду однородности пространств G и G (х) данная в утвержде-
утверждении (Ь) интерпретация сепарабельности корректна в силу п. АГ. 17.3.
Импликация (а)=Ф(Ь) следует из п. 6.5, а (Ь)#(а) —из п. 6.6.
Так как dim G = dim Gx-r dimG (x) и так как касательные про-
пространства к гладкому многообразию имеют ту же размерность,
что и многообразие, то эквивалентность утверждений (Ь) и (с)
следует из очевидного включения L (Gx) cz кэг (dri)e.
Если морфизм я сепарабелен, то из п. АГ. 13.2 следует, что
существует плотное открытое множество W cz G (х), такое, что
если w e W{ks), то слой n~l(w) обладает плотным подмножеством,
состоящим из сепарабельных точек. Так как W содержит некоторую
сепарабельную точку w (см. п. АГ. 13.3), то мы можем сдвигать
точку w> чтобы получить соответствующее свойство для каждой
сепарабельной точки многообразия G (х). Так как точка х рацио-
рациональна над k, то группа Gx = jt~l(x) обладает плотным множе-
множеством сепарабельных точек, инвариантным относительно действия
группы Галуа. Из п. АГ. 14.4 следует теперь, что группа Gх
определена над k.
Замечание. Это рассуждение показывает, что ядро сепара-
бельного &-морфизма А-групп определено над k*

§ в. Однородные пространства 127
6.8. Теорема. Пусть G —- аффинная k-группа и Н — ее зам-
замкнутая определенная над k подгруппа. Тогда фактор я: G -> G/H
существует и определен над k, и G/H — гладкое квазипроективное
многообразие. Если Я— нормальный делитель группы G, то
G/H — аффинная k-группа и я — Аморфизм k-групп.
Доказательство. Согласно теореме п. 5.1, существует
^-рациональное представление a: G->GL{E) и одномерное опре-
определенное над k подпространство D а Е9 такие, что
Пусть q: E — {0} -> Р — проекция на проективное пространство
Р = $?(Е) прямых пространства Е, и пусть x = q(D— {0})^ P(k).
Группа G действует ^-рационально на Р при помощи отображе-
отображения q°a. Мы построим фактор G/H, исходя из орбитного отобра-
отображения я: G -> G (#), я {g) = gx. Так как Я — стабилизатор точки ху
то, очевидно, остается лишь проверить ввиду предложения 6.7,
что ker(dji)^ = ^.
Выберем вектор v e D, v Ф 0, и определим отображение
р: G->? —{0}, полагая $(g) = a,(g)v. Тогда я = ?ор и (df)e(X) =
= (da)(X)v, где, как обычно, мы отождествляем Т(Е — {0})у =
= Г(?H с Е. Ясно, что ^ = (dp)J1 (/)). Из того факта, что ядро
отображения (dq)v: Т(Е — {0})о -> Г(Р) ^ (о) совпадает с D, выте-
вытекает теперь, что ker(dn)^ = $.
Пусть, наконец, Я —нормальный делитель из G. Тогда по
теореме 5.6 можно выбрать представление a: G->GL(E) так, что
Я = кег(а) и fj = ker(da). Из следствия 1.4 вытекает, что G' = a(G)~
замкнутая определенная над k подгруппа группы GL{E). Пусть
группа G действует на группе GL(E) по правилу x->a(g)x,
x^GL(E); тогда отображение я: G->G'9 n(g) = a{g){=a{g)e),
можно рассматривать как орбитное отображение на орбиту точки е.
Так как ker{dn)e = $ и так как Н — стабилизатор точки е относи-
относительно указанного действия группы G, то из предложения 6.7
снова следует, что я — фактор группы G относительно Я. Этим
заканчивается доказательство теоремы.
Предостережение. Даже если G->G/H — сюръективный
&-морфизм, отображение G (k) -> {G/H) (k) не обязано быть сюръек-
тивным. Оно сюръективно при k = ks; общее изучение проблемы,
приводит к вопросам, связанным с когомологиями Галуа, которые
мы здесь обсуждать не будем (см., например, Серр [1]).
6.9, Следствие. Пусть a: G-> G'— морфизм алгебраических
групп. Если группа G аффинная, то группа a (G) также аффинная.
Доказательство. Пусть N==ker(a). Тогда а индуцирует
биективный морфизм f$: G/N-»a(G), а мы знаем, что GIN—

128 Гл II. Однородные пространства
аффинная группа. Из п. АГ. 18.3 следует теперь, что a (G) —аф-
—аффинная группа.
6.10. Следствие. Пусть G—аффинная k-группа, действую-
действующая k-рационально на k-многообразии V, и пусть N — замкнутый
нормальный делитель группы G, определенный над k.
A) Если фактор V/N существует, определен над k и является
нормальным многообразием, то группа GIN действует k-рацио-
k-рационально на V/N (естественным образом). В частности, если N дей-
действует на V тривиально, то G/N действует на V k-рационально.
B) Если, кроме того, фактор V/G существует и является нор-
нормальным многообразием, то фактор многообразия V/N относи-
относительно группы G/N существует и канонически изоморфен V/G.
Доказательство. Пусть a: GY^V->V — действие группы G
на V, а тс: V -> V/N и р: G -~> G/N — факторные морфизмы. Согласно
следствию в п. 6.6, вертикальные стрелки в коммутативной диа-
диаграмме
GXV —+V
(GXN)X(V/N)
являются факторными морфизмами.
Используя свойство универсальности отображения п. 6.1 для
факторов, мы можем дополнить диаграмму стрелкой а' и затем
стрелкой р. Тогда k-действие группы G/N на многообразии V/N
задается отображением р. В случае когда группа N действует
на V тривиально, то VfN = V, что доказывает утверждение A).
Чтобы доказать утверждение B), предположим, что nQ\ V ~>
->V/G — фактор. Согласно свойству универсальности отображе-
отображения, для я существует отображение я', такое, что треугольник
V
\nG
V/N ...?> V/G
коммутативен. Ясно, что я' — орбитное отображение относительно
действия группы G/N на V/N. Так как морфизм яо = л;'°л; сепа-
рабелен, то морфизм п' также сепарабелен. Тогда из предложе-
предложения 6.6 вытекает, что я' — фактор, ибо многообразие V/G нор-
нормально.

§ 7. Алгебраические группы характеристики нуль 129
6.11. Следствие. Пусть G — аффинная k-группа и NaM —
замкнутые определенные над k подгруппы группы G, такие, что
N — нормальный делитель группы М. Тогда группа M/N действует
k-рационально на G/N и фактор существует и совпадает с G/M.
Если М и N — нормальные делители группы G, то эти многообра-
многообразия совпадают, как k-группы.
Доказательство. Первое утверждение получим, если
в следствии 6.10 возьмем в качестве (К, G, N) тройку (G, М, N).
Второе утверждение очевидно.
6.12. Предложение. Пусть G — аффинная k-группа и М,
N —- замкнутые определенные над k подгруппы. Пусть я: G —> G/N —
факторный морфизм. Тогда L (M) (]L(N) = L(M(]N) в том и только
том случае, когда л индуцирует сепарабельный морфизм
п'\ М->п(М). При этом группа AfflN определена над k.
Отсюда непосредственно получаем
Следствие. Если char(?) = 0, то L{M)()L{N) = L(M(]N) и
группа M(]N определена над k.
Доказательство. Отображение я' преобразует М на
М-орбиту точки я(е)е G/N, и стабилизатор точки п(е) в М есть
группа М П N. Кроме того, ker {dzi')e = ЦМ)(] кег {dn)e=L (M) f] L {N),
так что утверждение следует из предло,кения 6.7.
6.13. Замечания. Следствие 6.10 справедливо, даже если
факторы V/N и V/G не являются нормальными многообразиями
(см. Розенлихт [3], предложение 2). Подобным же образом, из
леммы 3 и предложения 2 статьи Розенлихта [3] вытекает, что
следствие п. 6.6 справедливо и в том случае, когда многообра-
многообразия VJGi не являются нормальными (i= 1, 2). Эти факты, однако,
не понадобятся нам в дальнейшем.
Теорема 6.8 доказана здесь для аффинных групп. Однако она
сохраняет силу, если аффинную fe-группу заменить алгебраической
fe-группой: существование fe-структуры на факторе G/H было
доказано Розенлихтом [1] для алгебраически замкнутого поля k
и Вейлем [1] в общем случае. Тот факт, что G/H — квазипроек-
квазипроективное многообразие, принадлежит Шоу [1].
§ 7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ НУЛЬ
В этом параграфе предполагается, что G — аффинная k-группа
и char(&) = 0. Наша цель — получить некоторые основные резуль-
результаты Шевалле [1] об алгебраических алгебрах Ли \ в алгебре
§ = L(G), т. е. алгебрах Ли вида § = L{H) для подходящей зам-
замкнутой подгруппы Я группы G.

130 Гл. 11. Однородные пространства
7.1, Операторы $4> и it. Напомним (см. п. 6.12), что если Н и
N —замкнутые подгруппы группы G, то
A) L{H(\N) = L{H)(\L{N).
Отсюда следует, что если группа Н связна, то
B) HczN&L(H)c:L(N).
По аналогии с понятием группового замыкания, введенным в § 2,
мы сопоставляем каждому подмножеству М алгебры Ли L(G)
пересечение всех замкнутых подгрупп Я группы G, таких, что
MczL{H), и обозначаем его через s?(M). Группа <s&(M) связна
и, согласно определению, является наименьшей замкнутой под-
подгруппой группы G, алгебра Ли которой содержит Af; ее алгебра Ли
является, следовательно, наименьшей алгебраической подалгеб-
подалгеброй Ли алгебры д, содержащей М.
Разумеется, группу $Ф (Af) можно определить и для ненулевой
характеристики, однако алгебра L{s?(M)) не обязана тогда содер-
содержать М и может быть нулевой, даже если множество М непусто,
так что в этом случае, по-видимому, группа зФ (М) не предста-
представляет интереса.
7.2. Предложение. Пусть л: G->G' — сюръективный мор-
физм алгебраических групп, и пусть McL(G). Тогда
Доказательство. Если Н — замкнутая подгруппа группы G,
то морфизм я: Н->п{Н) сепарабелен, ибо char(/0 = 0. Следова-
Следовательно, dn(L(H)) = L{n{H)).
Из предложения 6*7 вытекает, что как образ, так и прообраз
относительно отображения dn алгебраической алгебры Ли снова
является алгебраической алгеброй Ли. В частности, dn (a (M)) —
алгебраическая алгебра Ли, содержащая dn(M)f и, следовательно,
a(dn{M)). Обратно включение вытекает из того факта, что
dn~x (a (djx (Af))) — алгебраическая алгебра Ли, содержащая М и,
следовательно, а(М).
Ясно теперь, что n{s4>(M)) и sf>{dn(Af)) — связные подгруппы
группы G' с одинаковой алгеброй Ли; следовательно, они совпа-
совпадают (см. п. 7.1).
7.3. Строение группы s?(X) при X g()
A) Эндоморфизм X нильпотентену X ф 0. Определим отображе-
отображение a: Ga->G = GL{V), полагая
а@ —ехр(«Г)= 2 (nl)-l{tX)\

§ 7. Алгебраические группы характеристики нуль 131
Так как эндоморфизм. X нильпотентен, то а — полиномиальное
отображение, которое, очевидно, является гомоморфизмом. Мини-
Минимальный полином эндоморфизма X мономиален, откуда следует,
что ненулевые степени эндоморфизма X линейно независимы.
Поэтому при X Ф О отображение а инъективно. Следовательно, а
индуцирует изоморфизм Ga ^ а (Ga) = Н алгебраических групп,
ибо характеристика поля равна 0. Так как da: L(Ga)->$(V) имеет
вид t->t-Xy то из соображений размерности H = s&(X). Следова-
Следовательно,
B) Z = diag(x1, ..., xn)^L{Dn). Этот случай мы излагаем
для полноты —он не понадобится нам в дальнейшем. Нам потре-
потребуются некоторые элементарные результаты о торах, которые
будут доказаны далее в § 8. В частности, мы увидим в п. 8.2,
что группа H = s?(X) совпадает с пересечением ядер ker% всех
тех характеров %^X(Dn), для которых %(#)=1; последнее усло-
условие эквивалентно условию d%(L{H)) = 0. Если %(diag(tlf ..., /„))==
= t™1 ... t™n, то d%(diag (slf ..., sn)) = 2 "V-, гДе м^ отожде-
отождествляем алгебру Ли L(Dn) с алгеброй Ли диагональных матриц
из %1п. Таким образом, если
то
для всех )
C) Если X = Xs + Хп — разложение Жордана эндоморфизма X,
то st(X) = s*{Xa).st(XJ и а(Х) = а(Х3) + а(Хп).
Это утверждение очевидно; более того, эти произведение и
сумма являются прямыми. Тем самым строение группы $&> (X)
для произвольного X полностью определено.
Замечание. В качестве группового аналога утверждения A)
можно сформулировать следующее утверждение: если и е GL (V),
иф\, и — унипотентный элемент, то ^(M) = Ga. В самом деле,
пусть х=\— и. Это нильпотентное преобразование; следова-
следовательно, X = \ogu= 2 i~X (— хI — полином от х с нулевым по-
>0
st(X)={diag(tl9 ..., д|П^=1 для всех (/п.)е[)
= [diag(s{, ..., sn)\2^-^ =
стоянным членом; значит, X — также нильпотентное преобразо-
преобразование. Согласно утверждению A), группа s?(X) изоморфна Ga и
содержит элемент и = ехрХ; следовательно, si {и) s s4> (X). Но
элемент u^GL{V) имеет бесконечный порядок, так что U
и ^(w) ^(Z)

132 Гл. II. Однородные пространства
7.4. Лемма. Пусть п: G -> GL(E) — рациональное представ-
представление, и пусть N cz М —- векторные подпространства пространства Е.
Положим
п
Nt n(g)M = M, n(g)MlN = e}.
Тогда
ЦН) = tratt (Af, N) = {X €= 9 | dn (X) M cz N}.
В частности, tran (M, N) — алгебраическая алгебра Ли.
Доказательство. Ясно, что Ь = tran(M> N) — алгебра Ли,
содержащая L{H). Обратно, предположим, что Zeb. Достаточно
показать, что s?(X)czH. Так как п(s&(X)) = si<{dn(X)) (согласно
предложению 7.2), то можно заменить G на n(G). Так как Xs
и Хп — полиномы от X без постоянного члена, то Xs, Xn принад-
принадлежат b вместе с X, так что дело сводится к случаяхМ X = XS и
X =¦ X
Если X = Xnt то (см. п. 7.3 A)) а {X) = {exp (tX)}9 и
ясно, что группа s?(X) содержится в Н. Если же X = Xst то
пусть еи ..., ет — базис пространства М, такой, что е1э ..., еп
порождает Л^, а е„+1, ..., ет порождает подпространство М/с=
ciker(X). Ясно тогда, что s&(X) содержится в группе диагональ-
диагональных матриц diag(rf,, ..., dm, ...), удовлетворяющих условию
dn+l= ... =dm=l. Эти матрицы, очевидно, принадлежат
группе Я, что и требовалось.
7.5. Предложение. Пусть {Hi)te*7 — семейство замкнутых
гладких неприводимых подмногообразий группы G, таких, что
для каждого i е /, ЯГ1 = Я/ 5ля подходящего /. Пусть Я ~ под-
группа, порожденная множествами Ht. Тогда группа Я замкнута
и алгебра Ли $ = L (Я) порождается как пространство вектор-
векторными подпространствами.
Ad (h)T {х-1 Ht)e (ЛеЯ, *€=//,, /е/).
Доказательство. Согласно предложению п. 2.2, группа Я
замкнута, и существует конечная последовательность il9...,i8
элементов множества /, такая, что отображение-произведение
р: ^ = я^Х ••• ХЯ^-*// сюръективно. Для упрощения обо-
обозначений будем писать вместо Я* просто Я/A^/^$). Так как
морфизм р сепарабелен (ибо char(&) = 0), то для подходящего
w = (wlf ..., ws)*=W отображение {df)w: T(W)W->T(H)v, где
v = p(w) = Wi ... ws, сюръективно.
Положим теперь vf = w{ ... wJf Hr^wjxH^ и H" = vfifty1
(l</<5). Определим морфизм а: 1^/ = Я{Х • • • X Я^-> IF
формулой a(ATlf ..., л:5) == {w{xl9 ..., ш5л:5) и положим

§ 7. Алгебраические группы характеристики нуль 133
Покажем, что прямоугольник
ц?' —-> W р> Я
W" р- >Н
коммутативен (здесь р" — отображение-произведение). В самом
деле,
. . WsXsV~l
(ибо vy^Vj^Wj A^/^s) и vs = v)'t следовательно,
p"P (*i> ..., xs) = (pa (*lf ..., *s)) o-1.
Обозначая элемент (e, ..., ^)eF через е, получаем a(e) = ш.
Так как a и py-i — изоморфизмы многообразий и так как ото-
отображение (dp)w сюръективно, то дифференциал
отображения p'/op=py_1opoa в точке е также сюръективен. Если
X = (Хи ..., X.) е Г AF0,, то d (р- о р)# (X) = 2 d (Int (*у))# (Ху) =
= 2 Ad {vj) (Xf). Таким образом, ^ = S Ad (у/) Т(#/)*. Так как
Vf^H и так как Я^ == ш^1 • Я/э где ш^ е Я^, то предложение
доказано.
7.6. Теорема. В обозначениях предложения 7.5 предположим,
что Hi — замкнутая подгруппа группы G с алгеброй Ли f)t. Тогда $
порождается как векторное пространство подпространствами
Ad (A)($j) (Л е Я, /s/) и как алгебра Ли — подалгебрами ${
Доказательство. Так как Я* — группа, то при лгеЯ*
имеем x-lHi = Hi. Значит, Т(х-1Н()е = 1I. Теперь первое утвер-
утверждение содержится в предложении 7.5.
Пусть М — подалгебра Ли, порожденная подалгебрами ^ (i&I).
Требуется доказать, что включение Мс| является на самом
деле, равенством. С учетом первого утверждения теоремы доста-
достаточно показать, что подалгебра М инвариантна относительно
Ad (Я), т. е. что Я с NQ (М) = Тг (М, М). Так как Тг (М, М) —
группа, то достаточно показать, что она содержит каждую группу Н{
(/ е /). Но группа Ht связна, поэтому наше последнее утвержде-
утверждение будет доказано, если убедиться, что ^ cz L (Тг (М, М)). Со-
гдасно деадме ТА (примененной к Ad при M = N), L (Тг (М, М)) =•

134 Гл. II, Однородные пространства
= t.cm(M, М). Так как М —алгебра Ли, содержащая ^, то
[fjf-, M]czMy что и требовалось.
7.7. Следствие. Пусть § —подалгебра Ли алгебры Ли д.
Тогда следующие условия эквивалентны:
A) ^ — алгебраическая алгебра Ли;
B) а (X) е ^ для любого Zg|;
C) f? порождается алгебраическими алгебрами Ли как вектор-
векторное пространство;
D) {? порождается алгебраическими алгебрами Ли как алгебра
Ли.
Импликация A)=фB)=ФC)=ФD) очевидна, а импликация
является непосредственным следствием теоремы 7.6.
7.8. Предложение. Пусть Н = {М, N), где М и N —замк-
—замкнутые связные нормальные делители группы G. Тогда ^ = [тп, п],
где I), тп, п — алгебры Ли групп H9M,N соответственно.
Доказательство. При х, у е G положим
сх (У)= су W = (^» ») = хух~хУ~х-
Тогда группа Я порождается множествами Ha = ca(N) к Н'а=*
===?/(jV) = #JI, где а пробегает группу М. Эти множества удо-
удовлетворяют условиям теоремы 7.5, ибо Af — связная замкнутая
подгруппа. Следовательно, алгебра ^ порождается подпростран-
подпространствами вида
Ad(h)T(ca(b)-lHa)e и Ad (А) Г (^ (ft) Я^
где АеЯ, aGM, b&N.
Включение [m, n] cz ^ вытекает из предложения п. 3.12, а инва-
инвариантность алгебры [т, п] относительно действия группы Ad (G)
следует из того факта, что М, N — нормальные делители группы G.
Таким образом, остается показать, что при аеМ и b^N
Т {са (ЬГ1 НХ Т {с'а (ЬГ1 На)е d [тп, п].
Рассмотрим отображение /: N-+G, определенное формулой
Пх) = сп{ЬГ1са(Ьх). Тогда f(e) = e и (d/)#(n) = Т{са(ЬГ1 ca{N))e.
Так как
f (*) = bab'la"labxa (bx)~l = ^^^1
то (d/)* = Ad (ba) — Ad F) = Ad (b) (Ad (a) — 1). Поскольку относи-
относительно оператора Ad(u) алгебра [m, n] инвариантна, то доста-
достаточно показать, что
(Ad (a) — 1) (п) с: [тп, п] при а&М.

§ 7. Алгебраические группы характеристики нуль 135
(Мы опускаем аналогичное рассуждение в случае ca{b)~~x ca{N))
Пусть я: g-> g' = <j/[m, n] — естественная проекция. Зафиксируем
элемент Х^п и определим морфизм а: М—>§', полагая а(а)==
=*tt((Ad (а) — 1)(-У))- Требуется доказать, что а = 0.
Так как идеал [т, п] инвариантен относительно Ad G, то фак-
торалгебра д' также является G-модулем. При а,а'^М имеем
Ad (аа') — 1 = Ad (a) (Ad (а') — 1) + (Ad (а) — 1), откуда следует, что
а (аа') = Ad (а) а (а') + а (#)• Поэтому множество Р = {а е М | а (а)=0}
является замкнутой подгруппой группы М и а(аР) = а(а) при
аеМ. Следовательно, морфизм а разлагается следующим обра-
образом:
М/Р
где Р~ факторный морфизм. Так как морфизм y инъективен, то
Y — изоморфизм фактора М/Р на его образ (ибо char(fe) = 0).
Так как многообразие а{М) = М/Р связно, то мы сможем дока-
доказать, что оно состоит из одной точки, если покажем, что (da)e = 0.
Имеем а = я о б, где б (а) = (Ad (а) — 1) (X), так что (da)e =*
= (dft)o ° (dd)e — я о {d6)e. (Так как отображение я линейно, то
(йяH = я.) Используя теперь формулу B) п. 3.9, получаем {dd)e(Y)=*
= ad(F)(Z) = [r, X], так что {d6)e(m) = [m, X] с= [тп, п]. Таким
образом, я о (d6)<, (in) = 0, а это и требовалось доказать.
7.9. Следствие. Пусть $ —подалгебра Ли алгебры Ли д.
Тогда [lj, I?] = [ct(lj), ct(l))] и [§, Щ —алгебраическая алгебра Ли.
Доказательство. Ясно, что § с= tran(§, ^); последняя
алгебра является алгебраической, согласно лемме 7.4. Следова-
Следовательно, a ($) d tran E, [$, lj]), т. e. [a ft), Щ a [$, §]. Следова-
Следовательно, Ij cz tran (a (j)), [^,^]), так что мы снова видим, что aft)cr
cztran(a(^), [I), ^]), т. е. [a(^), aft)]c:[Ij, Щ. Обратное включение
очевидно.
Из предложения 7.8 следует, что [a ft), a ft)] совпадает с алгеб-
алгеброй Ли группы (^ft), ^ft)), и это показывает, что алгебра [fO Щ
алгебр аична.
Библиографические замечания. Линейные алгебраические
группы над полем комплексных чисел С изучались в конце
XIX века Маурером в серии статей (особенно Маурер [1]). Один
из основных его результатов состоит в том, что такая группа
является рациональным многообразием. Позднее Э. Картан [1]
анонсировал несколько дальнейших результатов об алгебраиче-
алгебраических группах, в частности следствие п. 7,9, однако нигде не
опубликовал доказательства. Затем алгебраические группы были

136 Гл. tl. Однородные пространства
преданы забвению. Они обрели новую жизнь в работе Шевалле
и Туана а затем Шевалле [1]. Основные результаты этого
параграфа, в частности результаты пп. 7.6—7.9, были доказаны
Шевалле [1].
Основной инструмент Шевалле — формальные экспоненциалы,
которые он использует для установления аналога известного
соответствия между алгебрами Ли и группами Ли. в теории
групп Ли. По этой причине он вынужден был ограничиться
основным полем характеристики 0. Здесь нам удалось избежать
использования экспоненциалов за счет введения структуры много-
многообразия на пространстве смежных классов G/H алгебраической
группы G по ее замкнутой подгруппе Н и понятия сепарабельности
морфизма в случае нулевой характеристики. Разумеется, это по-
последнее также использовалось в книге Шевалле, так что основная
особенность нашего подхода состоит, по существу, в возможности
рассматривать G/H как алгебраическое многообразие. Различие
между этими подходами к теории алгебраических групп можно
уяснить конкретнее, если сравнить доказательство утверждения B)
в п. 7.1 с доказательством Шевалле [1], т. 2, стр. 175.

Глава 111
РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
В этой главе все алгебраические группы {если противное особо
не оговорено) предполагаются аффинными, a G обозначает
k-ipynny.
§ 8. ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ГРУППЫ И ТОРЫ
8.1. Лемма. Пусть Н — абстрактная группа, а X — множе-
множество гомоморфизмов Н->К*- Тогда X линейно независимо как
множество функций из Н в К-
Доказательство. Если это не так, то пусть п>О — наи-
наименьшее число, такое, что существуют линейно зависимые %i> ...
..., %пе X, скажем, / = ( 2 0/хА + 1п = °- Выберем А0еЯ так,
\i<n )
чтобы %п (Ао) ф xi (Ao) (ясно, что п>1). Тогда для всех h^H
О = / (А0А) - хп (hQ) / (А) = S fli (Xi (ho) - X. (ho)) %i (h).
i
Это нетривиальное соотношение между %t (А), содержащее менее п
членов, что противоречит минимальности п.
8.2. Диагонализируемые группы. Пусть A—K[G]. Тогда
группа характеров X(G) содержится в алгебре А. Группа G
называется диагонализируемой, если X(G) порождает Л (как
/(-модуль). Кроме того, если X(G)fc порождает Л, то мы будем
говорить, что группа G разложима над fe. Так как Л = /(®?^>
то последнее условие эквивалентно тому, что X(G)^ порождает
Ak = k[G] как fe-модуль.
Предложение. Предположим, что множество Y czX(G)k
порождает Ak.
(a) F==X(G). В частности, все характеры группы G рацио-
рациональны над k.
(b) /lfe = fe[X(G)], г. е. Ak — групповая алгебра конечно порож-
порожденной абелевой группы X(G). Кроме того, диагональное отобра-
отображение X (G) -> X (G) X X (G) и инверсное отображение X (G) -> X (G)
индуцируют на Ац структуру алгебры Хопфа,

138 Гл. IIL Разрешимые группы
(c) Пусть Н — замкнутая подгруппа группы G; тогда Н — диа-
гонализируемая группа, которая определена и разложима над k
и может быть задана уравнениями характеров (т. е. представима
в виде пересечения ядер некоторых характеров) в G. Кроме того,
каждый характер группы Н продолжается до характера группы G.
(d) Если представление я: G->GLtt является k-рациональным,
то группа я(C) сопряжена над k с подгруппой группы Dn. В част-
частности, группа G k-изоморфна замкнутой подгруппе группы Dn.
Доказательство. Утверждение (а) следует непосредственно
из леммы 8.1, примененной к X(G)cz А. Кроме того, лемма 8.1
показывает, что множество X(G) линейно независимо над fe, так
что Ak является групповой алгеброй группы X(G). Наличие
структуры алгебры Хопфа непосредственно следует из определе-
определений, т. е. мы рассматриваем X(G) как подалгебру алгебры Хопфа
A = K[G] (см. п. 1.5).
Из того факта, что Ak — конечно порожденная fe-алгебра, легко
следует, что X(G) обязана быть конечно порожденной абелевой
группой. Это доказывает (Ь).
Для доказательства утверждения (с) заметим сначала, что
В = /( [Н] есть кольцо вычетов алгебры А и, следовательно, В поро-
порождается образом группы X(G). Элементы этого образа — ограни-
ограничения на Н характеров группы G; отсюда вытекает, что группа Н
диагонализируема, так что В = /С[Х(Я)]. Так как отображение
р: А->В сюръективно и переводит X(G) в Х(#), то р оказы-
оказывается в точности гомоморфизмом групповой алгебры, индуци-
индуцированным сюръективным отображением X (G) -> X (Я). Соотношение
X(G)==X(G)fc показывает, что группа Н определяется уравне-
уравнениями характеров над k и что Х(Я) = Х(Я)Л. Это доказывает (с).
(d) Если характеры {xJ, /=1, ..., d, порождают группу G,
то отображение (%и ..., %d): G—>(GLiy/ — инъективный морфизм.
Следовательно, G — коммутативная группа, состоящая из полу-
полупростых элементов. Поэтому из предложения п. 4.6 вытекает, что
для любого рационального линейного представления я: G->GL(V)
группа я(С) диагонализируема. Тогда элементы на диагонали
являются характерами группы G. Предположим теперь, что пред-
представление я определено над k. Тогда, так как каждый характер
5(gX(G) определен над fe, собственное подпространство Vx =
= {* е V | n{g)x = %(g)x Vg"^ G} также определено над k
(см. п. 5.2). Таким образом, группа я(С) диагонализируема над k
в GL(V). В случае если представление я точно, группа G изо-
изоморфна над k замкнутой подгруппе группы Dn; существование
^-рационального точного представления обеспечивает предложе-
предложение 1.10.
Следствие. Пусть группа G диагонализируема. Тогда G раз-
разложима над k в том и только том случае, коеда X(G) X(

.. . § 8. Диагонализируемые группы и торы . — 139
Для любого g^G
s&{g) = {fiz=G\x{g)=l=$>x{h)=l для каждого x<=X{G)}.
Алгебра Ли группы G состоит только^ из полупростых элементов.
Пример. Предположим, что k = Q> и пусть т>2 — целое
число. Обозначим через \хт ядро морфизма х —>хт в GLf, таким
образом, \im{k') — группа т-х корней из единицы в kr для любой
fe-алгебры k'. Из определения легко следует, что \хт —• разложи-
разложимая над k диагонализируемая fe-группа. Точнее, k[iim] = k[t] =
= k[T]l(Tm-l). Кроме того, X(|xm) = {l, U ..., tm'1}.
Пусть я: \хт-> GLn — точное рациональное представление,
определенное над k. Тогда, согласно доказанному выше предло-
предложению, группа п(\хт) сопряжена над k с диагональной группой.
На первый взгляд это кажется невероятным, ибо k не содержит
собственных значений образующей х группы n{\im). Все дело
в том, что ^GGLn не принадлежит GLrt(?), даже если п опре-
определено над k\ тем не менее матрица х сопряжена с некоторой
диагональной матрицей при помощи элемента из GLn(fe).
8.3. Следствие. Контравариантный функтор G->X(G)
является вполне точным функтором (определение дано в доказа-
доказательстве) из категории разложимых над k диагонализируемых
групп и их морфизмов как алгебраических групп в категорию
конечно порожденных Z-модулей. В частности, все морфизмы
между такими группами определены над k.
Доказательство. Пусть G, G' — две fe-разложимые диаго-
диагонализируемые группы с аффинными кольцами А, А' соответ-
соответственно. Рассмотрим коммутативный треугольник
М0Галг. групп (G, G')k
а/ \Х
/ \
М0Галг. Хопфа(Д?, Ak) <j- МоГ2-
j 2-мод
Непосредственно из определения (см. п. 1.5) вытекает, что ото-
отображение а биективно. Существование и инъективность отобра-
отображения р следуют из утверждения (Ь) предложения из п. 8.2.
Поэтому все три стрелки обозначают биективные отображения.
Первое утверждение следствия заключается в том, что отобра-
отображение X биективно. Последнее вытекает из того факта, что
образ, а следовательно и прообраз, отображения X не зависит
от k.
Замечание. Если X — конечно порожденная абелева группа,
то А = К [X] —- алгебра Хопфа, и, следовательно, А определяет
диагонализируемую группу с группой характеров X, если А не
содержит нильпотентных элементов. Алгебра А содержит нильпо-

140 Гл. ///. Разрешимые группы
тентные элементы тогда и только тогда, когда char(fe) =
и группа X обладает элементами порядка р.
8.4. Предложение. Следующие условия эквивалентны:
A) группа G диагонализируема;
B) группа G изоморфна подгруппе группы Dn для некоторого
п>0;
C) для любого рационального представления я: G->GLn
группа nG сопряжена с подгруппой группы Drt;
D) группа G содержит плотную коммутативную подгруппу,
состоящую из полупростых элементов.
В разложимом случае имеет место такое утверждение:
Предложение*. Следующие условия эквивалентны:
(Г) группа G диагонализируема и разложима над k;
B*) группа G k-изоморфна подгруппе группы Drt для некото-
некоторого п>6;
C*) если я: G-> GLn —рациональное представление, определен-
определенное над k, то группа nG сопряжена над k с подгруппой группы Dn.
Доказательство предложения*. Импликация (Р)=ФB*)
вытекает из утверждения (d) предложения из п. 8.2, B*)=Ф(Г) —
из утверждения (с) предложения из п. 8.2, (Г)=ФC*) — из утвер-
утверждения (d) предложения из п. 8.2 и C*) =Ф B*) — из существования
точного fe-рационального представления я: G->GLrt (см. п. 1.10).
Доказательство предложения. Эквивалентность утвер-
утверждений A), B) и C) мы получим, положив k = K в предложении*.
Импликация B)=ФD) очевидна, а D)=ФC) вытекает из п. 4.6.
Следствие. Предположим, что группа G диагонализируема
{и разложима над к). Тогда то же самое справедливо для каждой
подгруппы группы G и каждого образа группы G при любом
морфизме {определенном над k).
Доказательство. Для подгрупп сошлемся на утвержде-
утверждение (с) предложения из п. 8.2. Если я: G ->G' — морфизм (опре-
(определенный над k)9 то, влож,ив G/ в GLrt (над k) и применив усло-
условие C) (соответственно C*)), получим, что группа n(G) сопряжена
(над k) с подгруппой группы Drt. Затем применим B) (соответ-
(соответственно B*)).
8.5. Торы. Диагональная группа Drt является замкнутой под-
подгруппой группы GLrt, очевидно, изоморфной над простым под-
полем группе (GL!)rt. Алгебраическая группа, изоморфная
группе Dn, называется п-мерным тором.
Происхождение этого термина обусловлено техМ фактом, что
эти группы играют роль, аналогичную той, которую играют топо-
топологические торы (т. е. произведения групп вращений окружности)

$ 8. Диагонализируемые группы и торы 141
в теории компактных групп Ли. Заметим, однако, что при /С==С
рассматриваемые здесь торы некомпактны. Если они определены
над R, то их группы вещественных точек могут быть как ком-
компактными, так и некомпактными (см. п. 8.15).
Предложение. Пусть Т — алгебраическая группа. Тогда
следующие условия эквивалентны:
A) Т есть п-мерный тор;
B) Т — связная диагонализируемая группа размерности п\
C) Т — диагонализируемая группа и X (Т) = Zn.
Доказательство. Импликация A)=ФB) вытекает из утвер-
утверждения B) предложения 8.4. Покажем, что B)=ФC). Так как
группа GLj связна и размерности 1, то ее связные замкнутые
подгруппы исчерпываются группами {е} и GLP Применяя это
замечание к образам характеров, мы видим, что группа характе-
характеров связной группы Т не имеет элементов конечного порядка.
Кроме того, поскольку группа Т диагонализируема, то К[Т] =
= /С[Х(Г)], так что dim Г (т. е. степень трансцендентности поля
К (Т) над К) равняется рангу свободной абелевой группы Х(Г).
C)=фA). Пусть аи ..., ап —базис группы Х(Г). Тогда /([Г]==
= К[а{, aj, ..., an, a], так что отображение a: ^->diag(aj (/), ...
,.„ая(/)) дает нужный изоморфизм T~>Drt (ибо, очевидно,
коморфизм а0: /С [DJ->/([Г] сюръективен, и обе группы связны
и имеют размерность п).
Следствие. Замкнутая связная подгруппа S тора Т является
тором и выделяется в Т прямым множителем.
Согласно предложению, S — тор, и группа X(S) свободна.
Гомоморфизм ограничения X(r)->X(S) сюръективен (см. утвер-
кдение (с) предложения п. 8.2) и, следовательно, расщепляем.
Согласно следствию п. 8.3, S — прямой множитель группы Г.
8.6. Мультипликативными однопараметрическими подгруппами
k-группы G называются элементы множества
X#(G)==Mor(GL1, G).
Так как X(G) = Mor(G, GLj), то мы имеем отображение
задаваемое формулой
{% о I) (х) = хт.
Если группа G коммутативна, то это отображение является
билинейным отображением абелевых групп. Из следствия п. 8.3
и предложения п. 8.4 (или даже непосредственно) получаем

142 Гл. 111. Разрешимые грумы
Предложение. Если Т — гор, то отображение
является двойственностью над Z.
8.7. Предложение. Пусть группа G диагонализируема
и разложима над k. Тогда G является прямым произведением
G=FXG° конечной группы F и тора G0, определенного и раз-
разложимого над k.
Доказательство. Ввиду утверждения (d) предложения
в п. 8.2 мы можем предполагать, что G — замкнутая подгруппа
некоторой группы Drt. Кроме того, из предложения п. 8.4 и утвер-
утверждения (с) предложения в п. 8.2 следует, что все замкнутые
подгруппы группы Dn определены и разложимы над k, так что,
согласно предложению из п. 8.5, G0 — тор.
Согласно утверждению (с) предложения из п. 8.2, гомоморфизм
ограничения 5t(Drt) ^ Zrt->X(G°) сюръективен. Так как группа G0
связна, то, как отмечалось в п. 8.5, группа X(G°) свободна, так
что этот эпиморфизм расщепляем. Иными словами, имеется базис
3d» •••> Хп группы X(Dft), такой, что %г, ..., %d порождает группу
характеров, которая аннулирует группу G0. Тогда ^-автоморфизм
лг-xiiag (%{(х), ..., Хп(х)) группы Dn отображает G0 на группу
{diag(*!,..., xn)\xt=l, l<f<0}. Таким образом, Dn = DrfXG°.
Отсюда следует, что G—прямое произведение абстрактных
групп F и G0, где F = G (]Dd. Ясно теперь, что F о* G/G0, так что
F — конечная группа, и отображение-произведение a: F X G°-> G —
изоморфизм групп. Тот факт, что а — изоморфизм многообразий,
следует из того, что а является таковым на парах соответствую-
соответствующих связных компонент.
8.8. Предложение. Если k не является алгебраическим
расширением конечного поляу то группа T = (GL{)n содержит эле-
элемент t, рациональный над k и порождающий плотную подгруппу
группы Г.
Доказательство. Пусть t = (tu ..., tn). Тогда t порож-
порождает плотную подгруппу в том и только том случае, когда %(t)
отлично от нуля для каждого нетривиального характера %^Х(Г).
Так как все характеры группы Т имеют вид t-+t™1 ... t™n, то это
требование в точности эквивалентно мультипликативной незави-
независимости элементов t{. ..., tn. Следовательно, нам необходимо,
чтобы группа k* содержала свободную абелеву группу сколь
угодно большого ранга. Если char(&) = 0, то этот факт вытекает
из бесконечности множества простых чисел. Если char(&) =
«=/?>Q и если элемент х е k трансцендентен над простым под-

§ 8. Диагонализируемые группы и торы 143
полем Fp, то это следует из бесконечности множества простых
идеалов в кольце полиномов Fp[x].
Замечание. Предложение 8.8 справедливо без предположе-
предположения о том, что тор Т разложим над k\ однако в этом общем
случае доказательство оказывается гораздо более тонким
(см. Тите [1]).
8.9. Элементы конечного порядка в торах. Пусть р — характе-
характеристическая экспонента поля k и Т — определенный над k тор
размерности d. При /neZ определим морфизмы
ат: Т->Т, ат(х) = хт.
Предложение. Предположим, что т>0.
(a) Морфизм ат сюръектвен.
(b) Если m — степень числа р, то морфизм ат биективен.
(c) Если (т, р)= 1, то ат — сепарабельный морфизм, ker(am)^
^ (Z/mZ)d {как группы) и ker (am) cz T{ks).
(d) Если т не является степенью числа р, то объединение
групп ker(amn) (п>0) — плотная подгруппа группы Г.
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) следуют из того
факта, что в группе К* уравнение xn = t (t^K*) всегда разрешимо
и что отображение х->хр взаимно однозначно.
(с) Так как {dam): X->mX, то сепарабельность морфизма ат
вытекает из того, что (т, р)=1. Отсюда следует, что многообра-
многообразие ker(am) определено над k (см. п. 6.7, замечание) и множество
его /^-рациональных точек плотно в нем. Тот факт, что все точки
многообразия ker(am) рациональны над ks9 будет следовать из
конечности множества ker(am). Последнее утверждение, а также
изоморфизм ker (am) ^(Z/mZ)d становится очевидным, если учесть,
что множество корней из 1 степени т в группе К* образует ци-
циклическую группу порядка т.
Утверждение (d), как легко видеть, достаточно доказать для
случая d=l, когда Т = GLj — неприводимое многообразие раз-
размерности 1, так что множество (J ^ет(атп) плотно в 7\ коль
п>0
скоро оно бесконечно, а, согласно (с), это имеет место всякий
раз, когда т не является степенью числа р.
Следствие. Пусть G —- диагонализируемая группа. Тогда
для каждого т>0 элементы группы G, порядок которых делит т,
образуют конечную подгруппу. Подгруппа, образованная элемен-
элементами конечного порядка, плотна в G.
Это вытекает из предложения 8.7 и предложения, доказанного
выше, ' '

144 Гл. III. Разрешимые группы
8.10. Жесткость диагонализируемых групп. Жесткость озна-
означает отсутствие нетривиальных связных семейств автоморфизмов.
Это свойство имеет место и для абелевых многообразий; по этой
причине мы не требуем, чтобы в следующем предложении алгебраи-
алгебраические группы были аффинными.
Предложение. Пусть а: VХЯ-> Н' — морфизм многооб-
многообразий, такой, что
(i) Н' — алгебрлическая группа, содержащая для каждого т>0
лишь конечное число элементов порядка т;
(и) Я — алгебраическая группа и множество элементов конеч-
конечного порядка в ней плотно;
(iii) V — связное многообразие, и для каждого х ^ V отобра-
отображение ах: h->a(x, h) является гомоморфизмом групп.
Тогда отображение х->ах постоянно.
Доказательство. При h^H положим рл(х) = а(х, ti).
Тогда рл: V -»Я' — морфизм из связного многообразия V; если
элемент h — конечного порядка, то ввиду предположений (i) и (iii)
его образ конечен, так что рл — постоянный морфизм. Следова-
Следовательно, при х, у е V морфизм y: H->Hf, заданный формулой
y{h)~ax(h)ay(h~l), преобразует каждый элемент конечного по-
порядка в е. Условие (п) влечет за собой равенство y(h) = e для
каждого h.
Следствие 1. Пусть Н czH'—замкнутые подгруппы группы G,
и пусть V — связная компонента единицы е в многообразии
Тгап (Я, Н') = {g e= G \ gHg~l а Я'}. Предположим, что Пг и Н
удовлетворяют условиям (i) и (и) предложения. Тогда V =Z0(H)°.
Доказательство. Применяя предложение к морфизму а,
а(х, h) = xhx~x> заключаем, что а(х, h) = a(e, h) для всех х е V.
Это показывает, что V cz Z0(H°). Обратное включение очевидно.
В случае когда группа Н = Н/ диагонализируема, из п. 8.9
выводим
Следствие 2. Пусть, Н — диагонализируемая подгруппа
алгебраической группы G. Тогда NQ(HH = ZQ(HH.
8.11. Предложение. Пусть G — диагонализируемая группа.
Тогда группа G разложима над конечным сепарабельным расши-
расширением поля k.
Доказательство. Рассмотрим какое-либо fe-вложение
G с GLrt. Тогда достаточно привести группу G (ks) к диагональ-
диагональному виду с помощью элемента из группы GLrt(fe5), ибо группа
G (ks) плотна в G. Возможность этого непосредственно вытекает
ИЗ Пг 4.&

§ 8. Диагонализируемые группы и торы 145
Замечание. Предложение 8.11 можно доказать, используя
элементы конечного порядка группы G. Из п. 8.9 следует, что
последние образуют плотное подмножество в группе G и принад-
принадлежат группе G(ks).
Следствие 1. Пусть Т — определенный над k тор, и пусть
(а)
Следовательно, ХG\ = Х(Г)Г и Х# (T)k = Х# (Г)г.
(Ь) Естественное отображение
превращает Х(Г) и Х#(Г) в Агару двойственных Т-модулей.
Доказательство. Так как тор Т разложим над ks, то
Х(Г) = X (T)ks. Отсюда следует (см. следствие 8.3), что Мог (G, Г)==
= Mor(G, T)ks для любой диагонализируемой группы G, разло-
разложимой над ks. При G = GL{ это дает Х# (Г) = Х# (Г)^, что дока-
доказывает утверждение (а).
Очевидно, что отображение в утверждении (Ь) является двой-
двойственностью над Z (см. п. 8.6), так что необходимо проверить
лишь его совместимость с действием каждого элемента 5^ Г.
Требуется доказать, что (sa, sX) = (a, X) при аеХ(Г) и Я^Х#(Г).
Для любого х е k*s имеем
s
() ( ()) ( ())
= 5 (а о X) (s~lx) = s (s-lxf'K) = х<а' к\
Следствие 2. Пусть Т — тор, определенный над k. Тогда
тор Т разложим над k тогда и только тогда, когда Х#(Г) = X^(T)k.
Доказательство. Группа Г = Ga\(ks/k) тривиально дей-
действует на свободной абелевой группе Х(Г) тогда и только тогда,
когда она действует тривиально на двойственной группе Х#(Г).
8.12. Категория диагонализируемых fe-групп. Как мы видели
в п. 8.11, диагонализируемая fe-группа G разложима над ks. По-
Поэтому, если А=К [GJ—кольцо регулярных функций на G, то из п. 8.2
следует, что Aks = ks[X(G)] — групповая алгебра группы X(G).
При sgF = Gal {kjk) действие элемента 5 на этой групповой
алгебре зададим формулой:
Тогда Ak = A\ , так что G как fe-группа полностью определяется
Rs
Группой X(G) со структурой Г-модуля на ней. В самрм ^еле? щщ

146 Гл. III. Разрешимые группы
последнюю, мы можем построить алгебру Ak и действие группы Г
на Aks, и, следовательно, алгебру Ак. Группу X(G) можно рас-
рассматривать как конечно порожденный Z-модуль, и действие
группы Г на X(G) непрерывно, т. е. некоторая открытая под-
подгруппа конечного индекса группы Г действует на X(G) тривиально
(ибо G разложима над конечным расширением поля &). Кроме
того, если p = char(&)>0, то группа X(G) не имеет элементов
порядка р, ибо /C[X(G)] — приведенная алгебра.
Пусть a: G -> G' — морфизм диагонализируемых fe-групп. Из
следствия 8.3 вытекает, что морфизм а определен над ks. Кроме
того, следующие условия эквивалентны:.
A) морфизм а определен над k;
B) гомоморфизм алгебр а0: Л^->Л^.(где A' = K[G']) Г-экви-
вариантен;
C) гомоморфизм групп Х{а): X(G')->X(G) Г-эквивариантен.
Эквивалентность условий A) и B) следует из п. АГ. 14.3, а экви-
эквивалентность условий B) и C) вытекает из описанного выше действия
группы Г на аффинных алгебрах, получаемого из ее действия на
группе характеров.
Мы можем теперь рассматривать X как (контравариантный)
функтор
X: &->?,
где категории s& и $ определяются следующим образом:
объекты категории s4>\ диагонализируемые fe-группы;
морфизмы категории s4>: й-морфизмы;
объекты категории $\ конечно порожденные Z-модули без
р-кручения, если char(&) = /?>О, на которых группа Г действует
непрерывно;
морфизмы категории $: Г-эквивариантные гомоморфизмы.
Из следствия 8.3 и сделанных выше замечаний вытекает, что
функтор X вполне точен. Более того,
Предложение. Функтор X: $&->$ — эквивалентность ка-
категорий.
Остается показать, что каждый объект М категории $ является
модулем характеров некоторой группы G из категории А. Груп-
Групповая алгебра Л = /С[Л1] является алгеброй Хопфа и, кроме того,
приведенной аффинной /(-алгеброй, ибо модуль М конечно поро-
порожден и без р-кручения. Следовательно, G =-~specK(A) — аффинная
группа. При этом М естественным образом оказывается группой
характеров группы G, так что G—диагонализируемая группа
с группой характеров М (см. п. 8.2). Теперь нам нужно снабдить
группу G fe-структурой, индуцирующей данное действие группы Г
на М. Прежде всего мы наделяем алгебру А /^-структурой 6[АЛ

§ S. Диагонализируемые группы и торы ' 147
Пусть, далее, элемент sgT действует на ks[M] по формуле
s(aa) = Va (a efts,aG M).
Тем самым определяется непрерывное действие группы Г на алгебре
fes[M], т. е. действие, относительно которого стабилизатор каждого
элемента алгебры &ДМ] является открытой подгрупой в Г. Из
п. АГ. 14.2 вытекает теперь, что Ak = ks [M]T является fe-структу-
рой на алгебре А. Ясно, что эта fe-структура удовлетворяет
нашим условиям.
8.13. При меры. A) Предположим, что M = Z[T/U]l)f где
U — открытая подгруппа группы Г. Тогда для любого Г-модуля N
имеем
Homr-мод (М, N) = Нот2-мод (М, W)r = Nu.
Пусть kr — произвольная fe-алгебра, и пусть действие группы Г
на алгебре ks (&hkr индуцируется ее действием на ks. Ясно тогда,
что (ks ®k Wf = L ®w k\ где L = ku8, так что (ks ®k k')*u={L®kk')\
где символ * означает переход к группе обратимых элементов
соответствующей алгебры.
Положим теперь Л = /С[М]2), и пусть Ak = ks [M]T — fe-струк-
тура на А. Тогда G = specK{A) — диагонализируемая fe-группа
с модулем характеров М. Функтор точек группы G описывается
следующим образом:
G (к*) = НоШ^-алг (Ак9 W) = НоШ^.алг (Л^, (ks ® k k')f =
= Homz-мод (М, (ks ® * ?')*)Г = (fte ® fc feO*'7 = (L ® fc ?')*>
где ^ — переменная fe-алгебра.
Мы видим, таким образом, что G — мультипликативная группа
GL{(L) й-алгебры L (см. п. 1.6, пример (9)). Отсюда следует,
в частности, что группа G рациональна над k, т. е. что поле
функций k(G) является чисто трансцендентным расширением поля k
(см. там же).
B) Для fe-тора Т положим N = X(T). Так как некоторый от-
открытый нормальный делитель U группы Г действует тривиально
на N, то N является Z-свободным3) представлением конечного
ранга конечной группы Г' = Г/и. Следовательно, имеется моно-
мономорфизм а0: N->My где М — свободный Z [Г7]-модуль. (Мы можем
принять, например, M = N" — здесь мы используем обозначение
Я7 = Нот2-мод(Я, Z[P]), где Я есть Г'-модуль.)
2) Z [T/U] —групповая алгебра группы T/U над кольцом Z. — Прим. перев.
2) К [Щ — групповая алгебра группы М над /С, так что аддитивная группа М
получает мультипликативную запись. — Прим. перев.
3) То есть N — свободный Z-модуль конечного типа. — Прим. ред.

148 Гл. 111. Разрешимые группы
Мономорфизм а0 соответствует эпиморфизму а: S->T, где
S — тор с модулем характеров М. Таким образом, имеет место
вложение полей функций а0: k(T)-> k(S). Из примера A) следует,
что поле k(S) чисто трансцендентно над k. Это показывает, что
k-тор Т унирационален над k, т. е. поле k(T) содержится в чисто
трансцендентном расширении поля k. В частности, если поле k
бесконечно, то множество T{k) плотно в Т.
8.14. Анизотропные торы. Обозначим через $q категорию ко-
конечномерных Q-модулей, на которых группа Г действует непре-
непрерывно, т. е. посредством конечных факторгрупп. Тогда (см., на-
например, Кэртис и Райнер [1])$q — полупростая категория, т. е.
категория, в которой всякая короткая точная последовательность
расщепляется. Рассмотрим точный функтор $->$Q (см. п. 8.12
относительно обозначений), который переводит М в Mq = Q<S)zM.
Если М без кручения, то его можно рассматривать как решетку
в Mq. Таким образом,
Будем называть fe-тор Т анизотропным над 6, если ()^ {}
т. е. если Х(Г)Г = {1}. Эго эквивалентно отсутствию нетривиаль-
нетривиальных неподвижных относительно группы Г точек в Q-модуле
Q®zX(r) ввиду сделанного выше замечания. Из полупростоты
категории ^Q следует, что функтор „неподвижные точки" точен
на $q. Таким образом, получаем
Следствие. Пусть е-+Т->Т->Т"->е — точная последова-
последовательность над k определенных над k торов. Тор Т разложим {соот-
{соответственно анизотропен) над k тогда и только тогда, когда торы V
и Т" разложимы {соответственно анизотропны) над k.
8.15. Подторы Та и Td. Пусть Г —тор, определенный над k.
Подторы тора Т соответствуют ввиду пп. 8.5, 8.12 фактормодулям
без кручения Г-модуля Х(Г).
Таким, очевидно, является фактормодуль
X {Та) = X (Г)/Х {T)k - X (Г)/Х (Г)г,
где (см. п. 8.2 (с))
(а) Та= Г) ker(a).
По построению X (Гй)г = {1}, т. е. Та — анизотропный тор и даже
максимальный анизотропный подтор тора Т.

§ 8. Диагонализируемыё группы и торы 149
Существует также максимальный разложимый подтор Td тора Г.
Чтобы получить Tdy следовало бы, как и выше, рассмотреть наи-
наибольший фактормодуль Г-модуля Х(Г), на котором группа Г дей-
действует тривиально, а затем профакторизовать его по периодиче-
периодическому подмодулю. Однако нам представляется более естественным
работать с двойственным модулем Х#(Г) (см. п. 8.11, следствие П
В этом случае Т d можно описать следующим образом:
(d) Td является подгруппой, порожденной элементами
Отсюда следует, что тор Td разложим над k и что он содержит
все ^-разложимые подторы тора Г.
Всякий подтор группы Taf\Td одновременно разложим и ани-
анизотропен (см. п. 8.14) и, следовательно, тривиален. Таким.образом,
подтор (ТаП Td)° тривиален, так что Та(]Та — конечная группа.
Пусть г — ранг группы Х(Г)Г, аг,- ранг группы Х# (Г)г. Тогда
dimTa = n — г (где п = dimT) и dimTd = r^. Эти ранги равны раз-
размерностям Q-модулей X(r)r®zQ и Х#(Г)Г ®ZQ соответственно.
Кроме того, Х(Г)а и Х#(Г)а образуют пару двойственных
Q-Г-модулей. Отсюда следует, что Х(Г)? и Х#(Г)^ образуют пару
двойственных Q-модулей (по той причине, что они являются полу-
полупростыми Г-модулями). Следовательно, г = гш, так что dimTa +
+ dim Td — dimT. Отсюда следует, с учетом результата § 7, что
морфизм-произведение ТаУ(Та-+Т сюръективен.
Суммируя все сказанное, получаем
Предложение. Пусть Т—тор, определенный над k, и пусть Та
и Td — подторы, определенные приведенными выше условиями (а)
и {d).
A) (а) Та — наибольший анизотропный подтор тора Г, опреде-
определенный над k\ (b) Td — наибольший разложимый подтор тора Т9
определенный над k.
B) Та П Td — конечное множество и Т = Та- Td.
C) Если а: Т ->Т' — некоторый k-морфизм k-торов, то аТа cz Та
и aTd<^.T'd. Другими словами, Т-+Таи Т-+Td — функторные ото-
отображения*
Последнее утверждение следует непосредственно из определе-
определений, а все остальные уже доказаны выше.
8.16. Примеры для случая k = R. Порядок группы Г = Gal (C/R)
равен двум.
A) Если dimr=l, то представляются две возможности: (а) Тор Г
разложим. Тогда r(R) = R* и X(r) = Z с тривиальным действием

150 Гл. 111. Разрешимые группы
группы Г. (Ь) Тор Т анизотропен. Тогда X(r) = Z и образующая
группы Г преобразует % в —%. Группа Г оказывается специаль-
специальной ортогональной группой SO B) над R от двух переменных, и
T(R) — компактная группа вращений плоскости.
B) В общем случае тор Т анизотропен тогда и только тогда,
когда группа T(R) компактна (в евклидовой топологии). Этот факт
легко извлечь из примера A), если учесть п. 8.15 и использовать
то обстоятельство, что существует только два неприводимых
Q-Г-модуля.
8.17. Веса и корни диагонализируемых групп. Пусть Г —диа-
гонализируемая группа. Мы будем записывать группу характеров
Х(Г) и группу Х#(Г) однопараметрических подгрупп .аддитивно и
использовать экспоненциальные обозначения, а именно
х% = Х{х) (*€=GL,, A,e=X
(*Я)а = х<а.*> (См. п. 8.5).
Пусть Т-> GL (V) — рациональное представление группы Г. При
a e Х(Г) положим
Va = {v e V \t • v = a (t) v для всех t s Г}.
Так как группа Т диагонализируема, то V — прямая сумма под-
подпространств Va. Те характеры а, для которых Va Ф 0, называются
весами группы Т в пространстве V.
Предположим, что Т действует на группе G. Тогда группа Т
действует естественным образом на алгебре Ли g = L(G) и мно-
множество ФG\ G) ненулевых весов группы Т на алгебре Ли g на-
называется множеством корней группы G относительно группы Г.
Таким об'разом1),
9 = 9ГФ II 9а-
ае=ФG\ G)
В том случае, когда Т и G являются подгруппами некоторой
большей группы, причем Т нормализует группу G, в записи Ф(Г, G)
всегда имеется в виду, что Т действует на G с помощью сопря-
сопряжения. Разумеется, дело сводится к случаю, когда большая группа
совпадает с G либо является полупрямым произведением Т * G.
Предположим, что группа Н действует на группе G и что
Н — замкнутая подгруппа группы G, инвариантная относительно Г.
Тогда подалгебра Ли § = L(H) алгебры g также инвариантна от-
относительно Г. Для каждого аеФ(Г, G) можно записать #а =
— lja©g^ для подходящего дополнения д^ подпространства ^а =
= ^Пба в пространстве ga.
1) Напомним, что через сгг обозначается множество неподвижных относи-
относительно Т точек алгебры g — Прим. ред.

§ 9. Классы сопряженных элементов 151
Положим
Ф
Тогда
II С
ае=ФG\ G/Я)
Если HaGT, то $с=дги, следовательно, Ф (Г, б///) = Ф (Г, G).
Иногда множество Ф(Г, G/f/) мы будем называть множеством
корней группы G вне группы Н (относительно Г), или корнями
группы G, дополнительными по отношению к Н.
8.18. Предложение. Сохраняем обозначения п. 8.17. Пред-
положим, что группа Т связна и поле k бесконечно. Тогда суще-
существует элемент t^T(k), такой, что
ZH(t)~ZH(T)f Zt{t)
Доказательство. Можно считать, что G = GL(V) для не-
некоторого векторного пространства V, определенного над k. Пусть
V = V{@ ... ©Vn, где Vt — собственные подпространства, отве-
отвечающие различным весам %и ..., %п группы Т на пространстве V.
Так как группа Т унирациональна над k (см. п. 8.13, пример B))
и поле k бесконечно, то множество T(k) плотно в Г и можно
выбрать элемент t^T(k) так, что %t(t) ф %j(t) при гф\. Не-
Несложное вычисление показывает, что
где M = GL(V{)X ... XGL(Vn).
Библиографические замечания. Торы были введены в статье
Бореля [1], группы характеров и однопараметрические подгруппы—
в книге Семинар Шевалле [1]. Разложимость fe-тора Т над ко-
конечным сепарабельным расширением поля k была доказана Розен-
лихтом [1] с использованием того факта, что тор Т унирационален
над k. Другое доказательство, принадлежащее Тейту, можно найти
в статье Бореля и Титса [1]. Эквивалентность категорий (см.
п. 8.12), по крайней мере для торов, обнаружена Оно [1]. Резуль-
Результаты этого параграфа в основном содержатся в упомянутых
источниках.
ф
§ 9. КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ
ПОЛУПРОСТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В этом параграфе мы покажем, что классы сопряженных эле-
элементов замкнуты (п. 9.2) и что их глобальные и инфинитезималь-
ньш централизаторы соответствуют друг другу (п. 9.1). Затем цц

152 Гл. III. Разрешимые группы
изучим действие полупростого элемента 5 на связной унипотент-
ной группе U и покажем (п. 9.3), что Zu(s) — связная подгруппа.
9.1. Морфизмы классов сопряженных элементов. Пусть Я —
(фиксированная), замкнутая подгруппа группы G, определенная
над k\ обозначим через CH{s) орбиту элемента s^G, когда Я
действует на G по формуле g->hgh~\ g^G, h^H. Орбита
CH(s) называется Н-классом (сопряженности) элемента 5. Тогда
a: H->CH(s), a(h) = hsh~\
— орбитное отображение, и стабилизатор точки 5 в группе Я
совпадает с централизатором ZH(s) элемента 5 в группе Я. Ис-
Используем предложение 6.7, чтобы выяснить, когда а — факторный
морфизм. Определим сначала (da)e. Так как a (h)s~~l — (h, s) —
коммутатор, то формула A) п. 3.9 показывает, что дифференциал
d(a(h)s~{) равен (Id — Ad E)) |§ и отображает 1} в Т (CH(s)s~l)e.
Таким образом, его ядро равно 1} П fa (s), где fa (s) = ker (Id — Ad E)).
Так как сдвиг является изоморфизмом, то ядро дифференциала
(dae): $->T(CH(s))s совпадает с подалгеброй i()fa(s). Обозначая
эту последнюю через jb E), получаем
хотя мы и не предполагали, что алгебра 1} инвариантна относи-
относительно Ad E). В любом случае, конечно,
так что, применяя предложение 6.7 приходим к утверждению
(*) Предположим, что s e G (k). Тогда Сн (s) — гладкое много-
многообразие, определенное над ky и а является k-морфизмом, инду-
индуцирующим биективный k-морфизм
a': H/ZH{s)->CH(s).
Следующие условия эквивалентны: (а) а' — изоморфизм; (Ь) мор-
морфизм а сепарабелен; (с) L (Zn (s)) = 55 (s). Если эти условия имеют
место, то подгруппа ZH(s) определена над k.
Рассмотрим теперь инфинитезимальный аналог этой ситуации.
Именно, предположим, что группа Я действует на g посредством
оператора Ad0, и обозначим Я-орбиту элемента 1е§ через ся(Х).
Пусть *
— орбитное отображение. Стабилизатор элемента X обозначается
через ZH{X)\ мы называем группу ZH(X) централизатором эле-
элемента X в Я. Используя формулу B) п. 3.9, убеждаемся, что
дифференциал отображения р в точке е равен — d(Z)

§ 9. Классы Сопряженных элементов 153
Таким образом,
ker (dp), = h (X) = {Y <= $ | [X, У] = 0}
й, очевидно, содержит L(ZH(X)). Используя теперь предложе-
предложение 6.7, получаем:
(**) Предположим, что Zeg(fe). Тогда сн(Х) — гладкое много-
многообразие, определенное над k, и $ есть k-морфизм, индуцирующий
биективный k-морфизм
Р': H/ZH(X)->cn(X).
Кроме того, следующие условия эквивалентны', (а) р' — изомор-
изоморфизм; (Ь) морфизм р сепарабелен; (с) L{ZH{X)) = fa(X). Если эти
условия выполняются, то группа Zn(X) определена над k.
Отметим, что если char (k) = 0, то условия (Ь) утверждений (*)
и (**) выполняются автоматически. Кроме того, они имеют место
в том случае, когда элементы s и X полупросты и нормализуют #.
Предложение. (Г) Условия (а), (Ь) и (с) в утверждении (*)
выполняются, если элемент s полупрост и нормализует группу Н.
(Г*) Условия (а), (Ь) и (с) в утверждении (**) выполняются,
если элемент X полу прост и нормализует группу Н.
Выражение „X нормализует группу Нн означает, что
Ad (h)X— X g= $ для всех АеЯ. Отсюда следует, что X норма-
нормализует алгебру Ли f), т. е. [X, Ща$ (см. формулу B) п. 3.9).
Доказательство. Выбрав fe-рациональное точное предста-
представление группы G, мы можем предполагать, что G = GL(V) для
некоторого векторнбго пространства V с ^-структурой.
Случай 1. tf = G.
(Г) Представим пространство V в виде V = Vl® ... @Vt, где
Vi — собственные подпространства, отвечающие различным соб-
собственным значениям эндоморфизма 5 (s полупрост). Непосредст-
Непосредственное вычисление показывает, что ZQ(s) = GL(Vl)XK...XGL(Vt).
Если Y ед = д!(У), то Ad(sO = 5У5; аналогично предыдущему
имеем h{s) = ${V{)(B ... ©8НУ*)> что совпадает с L{ZQ{s)); от-
отсюда следует условие (с).
(Г*) Доказывается совершенно аналогично — с использованием
разложения пространства V относительно полупростого эндо-
эндоморфизма lt(K)
Общий случай* Пусть с: G->M, где M = C0(s) - s~l и c(g)=*
— gsg"^'1, и пусть с': Н->М', где с' — с/Н и М' = CH(s)s~~K
Тогда с' — композиция отображения а и правого сдвига на s"lf
так что остается доказать, что (dcf)e\ §->Т(М')е — сюръективное
отображение (условие (Ь) утверждения (*)). Рассматривая случай 1,
мы показали, что отображение {dc)e: g —> Г (М)е сюръективно. Так

154 Гл. III. Разрешимые группы
как (dc)e = Id — Ad E), то Т (М)е = тп, где g = ge (s) 0 m и m — сумма
собственных подпространств преобразования Ad(s), соответствую-
соответствующих отличным от 1 собственным значениям. Так как s нормали-
нормализует Я, то $ = ^(s)©m', где m' = mfl$. Так как [dc')e = {dc)e\1),
то (dc')e{§) — mr/ Следовательно, для завершения доказательства
сюръективности отображения (dc')e достаточно показать, что
Т (М')е а т' = т П $. Очевидно, что Т {М')е czm = T {M)e. С другой
стороны, так как 5 нормализует группу Я, то M' = CH(s)s~l a Я,
так что и Т (М')е а $.
Доказательство утверждения A**) аналогично дока-
доказательству утверждения (Г). Рассмотрим морфизм a: G->c, где
c = cQ(X) — X и a{g) = Ad{g)X — X, и морфизм а': Я->с' =
= ся№—"^> гДе а' = а\Н. Мы намерены показать, что (da/)* —
сюръективное отображение, исходя из того факта (случай 1), что
отображение (da)e = — ad (X): §-+Т(сH сюръективно; отсюда сле-
следует, что g = 59 (X) ф tn, где m = Т (сH — сумма собственных под-
подпространств оператора ad {X), отвечающих отличным от 0 собст-
собственным значениям. Так как элемент X нормализует алгебру Ли $,
то аналогично предыдущему можно записать Ъ = ^{Х)@т'9 где
т/ = тП5- Так как {da')e = {da)e \Ъ, то {da')e§) = ad(Z)(^) = ni/.
Следовательно, сюръективность отображения (da')e будет доказана»
если мы покажем, что Т{с'H a m/ = m[) $. Очевидно, Г(с/)ос^^е==
= Г(сH. С другой стороны, так как элемент X нормализует
группу Я, то с' — сн (X) —- X а $, так что Г (с'H с: ^.
Замечание. Пусть р: М' Y,ZH(s)-> Я — морфизм-произве-
дение с дифференциалом (dp)^e): tn/9L(Zw(s))->|. Приведенное
доказательство показывает, что L (ZH (s)) = J5 E), откуда следует,
что (dp)(ete) — изоморфизм. Кроме того, дифференциал отобра-
отображения с |iW': M/->M/ в точке е совпадает с отображением
Id — AdE)|m/: m/~>m/, которое, очевидно, также является изо-
изоморфизмом.
9.2. Теорема. Сохраняем обозначения п. 9.1.
A*) Если элемент s^G полу прост и нормализует Я, то
Сн (s) — замкнутая орбита.
(Г*) Если элемент Zeg полупрост и нормализует Я, то
сн (X) — замкнутая орбита.
Напомним, что X нормализует Я, если Ad(A)J — Ie| для
всех АеЯ.
Доказательство. Выбрав какое-либо точное представле*
ние группы G, мы можем считать, не теряя • общности, что
G*=GL{V). Пусть i4eEnd(V); через С (Л, Г) мы будем обозна-

§ 9. Классы сопряженных элементов 155
чать характеристический полином эндоморфизма А и через
М(А, Т) — его минимальный полином. Положим
W = {xe=No(H)\M{s,x) = 0 и C(Ad(*)|$, Т) = С(Ad (s) |$, Г)}.
Ясно, что 5 ^ W и множество W инвариантно относительно Я,
когда Я действует на G по формуле g->hgh~~l. При х е № поли-
полином М(х, Г) делит полином M{s, T); так как элемент 5 полупрост,
то полином M(s, T) разлагается в произведение различных линей-
линейных множителей; следовательно, элемент х также полупрост.
Из п. 9.1 следует, что
dim Сн (х) = dim Я — dim ZH (x) =
= dim Я — dim j^ (x) = dim H — mx (x),
где mx (x) — кратность 1 как собственного значения эндоморфизма
Ad(je)|{j. Но второе условие в определении W приводит к равен-
равенству ml(x) = ml{s). Поэтому все орбиты Сн{х) имеют одну и
ту же размерность. Из леммы о замкнутых орбитах (п. 1.8) сле-
следует, что эти орбиты замкнуты в W. В свою очередь множе-
множество W замкнуто в NQ(H), a NQ (H) — замкнутая подгруппа
группы G (см. п. 1.7). Это доказывает, что орбита Сн (s) замкнута.
Аналогично доказывается, что СН(Х) — замкнутая орбита. Сле-
Следует рассмотреть множество
W = {Ys=nQ(H)\M(X, Y) = 0 и С (ad (Г) 15, Т) = С (ad(X)\^ Г)}.
Здесь п9(Н) — подмножество тех Кед, которые „нормализуют Я"
в смысле п. 9.1. Множество W замкнуто в д, содержит X и ин-
инвариантно относительно группы Я, действующей при помощи
оператора Ad. Используя результаты п. 9.1, мы можем рассу-
рассуждать так же, как и выше; в результате оказывается, что все
Я-орбиты в W имеют одинаковую размерность и, следовательно,
замкнуты.
Следствие. Пусть L — (не обязательно замкнутая) комму-
коммутативная подгруппа группы G, состоящая из полу простых эле-
элементов и нормализующая группу Я. Тогда
Если группа L либо содержится в G {k)y либо замкнута и опре-
определена над k, то группа ZH(L) определена над k.
Доказательство. Можно считать, что G = H. Ясно, что
правая часть содержит левую; в том случае, когда G°czZQ(L),
левая часть совпадает с g и равенство становится очевидным.
Мы будем вести доказательство индукцией по dim G. Выберем
s^L так, чтобы группа G' = ZQ(s) не содержала G0 и чтобы,
следовательно, dirndl dim G. Из утверждения A) предложения

156 " Гл. III. Разрешимые группы
п. 9.1 вытекает, что 9/===L(Zo (s)) = $g(s), откуда получаем равен-
равенство U(L) = y(L). Кроме того, ясно, что ZG(L) = ZG'(L) и LczG',
ибо группа L коммутативна. По предположению индукции
L(ZG'{L)) = y{L), что доказывает первое утверждение. Если
LczG(k), то, используя подобное индуктивное рассуждение и
результаты п. 9.1, получаем, что группа ZH(L) определена над k.
Пусть теперь группа L замкнута и определена над k. Тогда, как
и выше, получаем, что группа ZH(L{ks)) определена над ks. Но
множество L{ks) плотно в L в топологии Зарисского (п. АГ.13.3),
следовательно, Zn(L(ks))=ZH(L). С другой стороны, группа ZH(L),
очевидно, fe-замкнута. Значит, она определена над к.
9.3. Предложение. Пусть группа G определена над k и
U — связная унипотентная определенная над k подгруппа группы G.
Пусть s e G(k) — полупростой элемент, нормализующий группу U.
Положим M = Cu(s)s и cs(g) = gsg~ls~l при g^G, так что
M = c8(U).
A) Zu(s) и М — замкнутые подмногообразия группы U, опре-
определенные над k.
B) Морфизм-произведение a: Niy^Zy (s) -> U является изомор-
изоморфизмом многообразий; следовательно, группа Zu(s) связна.
C) Отображение cs индуцирует изоморфизм многообразия М
на себя.
Доказательство. Из утверждения A) предложения п. 9.1
следует, что Z^(s) и М — гладкие многообразия, определенные
над k\ ясно, что группа Zu{s) замкнута. Тот факт, что много-
многообразие М замкнуто, вытекает из утверждения (Г) теоремы п. 9.2.
Это доказывает утверждение A).
Далее, из замечания после доказательства предложения п. 9.1
вытекает, что а и cs: M->M — сепарабельные морфизмы при
условии, что эти морфизмы доминантные. Следовательно, для
завершения доказательства достаточно показать, что морфизмы а
и cs: M-+M биективны. Разобьем рассуждение на несколько эта-
этапов. Будем писать Z вместо Zv{s).
(a) Cs{u) = cs{v)t=}uZ = vZ при и, v<==U.
В этом легко убедиться непосредственно,* если учесть, что
Z — стабилизатор элемента s при действии группы G по формуле
l
gg
(b) При и, v^U имеем cs{uv) — ucs(v)u-1 cs{u). Следователь-
Следовательно, при u&Z(U) получаемcs(uv) — cs(v)cs{и) = cs(vu) и cs(u~l) =
В самом деле, cs (uv) = uvs (uv) s = и (vsv~ls~l) u~l (usu-ls~l).
Если u^Z(U), to ucs(v)u~l — cs(v) и uv = vu, так что второе
утверждение следует из первого. Третье утверждение следует,
очевидно, из второго»

§ 9..Классы сопряженных элементов 157
(c) M(]Z = {e].
Предположим, что z = cs (и) е Z, где и& U. Тогда zs = usw1 —
разложение Жордана полупростого элемента usu~~l, так что уни-
потентная часть z равна е.
(d) Если группа U абелева, то морфизм a: My^Z-^U биекти-
биективен.
Из (Ь) вытекает, что морфизм cs: U -+U является в этом слу-
случае гомоморфизмом. Согласно (а), ядро гомоморфизма cs совпа-
совпадает с Z, а его образ — с группой М. Поэтому dim U =dimM +
+ dimZ. Кроме того, утверждение (с) влечет за собой инъектив-
ность морфизма а. (Заметим, что ввиду (b) a — групповой мор-
морфизм.) Так как группа U связна, то выписанная выше формула
для размерностей показывает, что морфизм а сюръективен.
(e) Морфизм а биективен.
Так как группа U нильпотентна, то она содержит связную
центральную подгруппу N ф {е}у инвариантную относительно 5
(например, последний нетривиальный член нижнего центрального
ряда группы U). Если N = U> то можно применить (d). В про-
противном случае, используя индукцию по размерности, мы можем
считать, что аналог нашего утверждения справедлив для пар
E, N) и (s'y ?/')> где U' = U/N и s'— образ элемента 5 в фактор-
факторгруппе по N нормализатора группы N. Обозначим через я соот-
соответствующий факторный морфизм.
Положим Z' = Zu'(s') и М' = cs>{U') = n(M). Согласно предпо-
предположению индукции, морфизм-произведение a': M/y<sZ/-> U' би-
биективен. Аналогично, морфизм cs {N) X ZN (s) -> Af также биективен.
Покажем, что морфизм а инъективен. Предположим, что
xa = yb при а, 6eZ и a:, j/eM. Заменяя а на aft", мы можем
считать, что Ь = е. Из инъективности морфизма а' вытекает, что
зх(а) = ?, значит, a^N. Если x = cs(u) и у = cs(v), то usu~~ls~la =
= vsv~ls~l и a(^N(]Z) централизует U и s. Поэтому (usu~]) а =
= vsv~l, и это является разложением Жордана полупростого
элемента vsv~l, так что унипотентная часть а этого разложения
совпадает с е. Отсюда следует, что морфизм а инъективен.
Заметим теперь, что включение cs(N)czM(]N является ра-
равенством. По предположению индукции любой элемент я е N
можно представить в виде ma, m^=cs{N) и a^ZN(s). Если,
кроме того, п е М, то инъективность морфизма а влечет за собой
равенство а — е.
Покажем теперь, что морфизм п: Z-+Z' сюръективен. Пусть
х е U и п (х) = Z'. Тогда cs> (я (х)) = е, так что
согласно замечанию в предыдущем абзаце. Пусть, скажем, cs(x)
^= с9 {п), n&N. Так как N с Z (?/), то из (Ь) следует, что cg {nrlx) «

158 Гл. 111. Разрешимые группы
= с8(х)с3(пгх) = с3 (x)cs(n)~l =e. Таким образом, n~lx^Z и
п(п~~1х) = эт(лг), так что п(х) оказывается образом некоторого эле-
элемента группы Z, что и требовалось доказать.
Мы можем теперь показать, что морфизм а сюръективен:
U—MZN (ибо Ur — M'Z', яМ = М' и jtZ^Z'):^
= MNZ (ибо W с Z (?/)) =
= Mcs(N)ZN(s)Z (по индукции) =
= MZ (ибо ZN (s)czZ и Mcs (Z ([/)) = М согласно (b)).
(f) Отображение cs: M->M биективно.
Используя утверждение (а) и сюръективность морфизма а,
получаем M = cs(U) = cs(MZ) = cs(M). Если и, v^M и cs(u) =
— cs(v), то, согласно утверждению (а), для подходящего элемента
z^Z имеем u = vz. Таким образом, а{и, e) = a{v, z), и так как
морфизм а инъективен, то z = e, что и требовалось.
9.4. Групповые действия диагонализируемых групп. Зафикси-
Зафиксируем диагонализируемую группу Г и ее рациональное действие
на группе G. Пусть Н — замкнутая инвариантная относительно Т
подгруппа группы G, содержащая группу GT = ZQ{T). По отно-
отношению к действию группы Т на алгебрах Ли § = L{G) и § =
= L(#) имеют место разложения (по поводу обозначений
см. п. 8.17):
аеФ(Г, G)
(Г, GIH)
где аа — дополнение к подпространству §а в пространстве %а-
Наконец, положим Та = ker (а) (а е X (Г)).
Предложение. A) L(GT) — $T и, следовательно, grcz ?. Если
G — связная унипотентная группа, то группа GT связна.
B) Для подгруппы S группы Т следующие условия эквива-
эквивалентны: (a) (Gs)°czH; (b) $5 си lj; (с) группа S не содержится ни
в какой группе Та при а е Ф (Г, G/#).
C) ?сл^ группа Gs связна, то Gs == GT тогда и только тогда,
когда группа S не содержится ни в какой группе Та (аеФ(Г, G)).
D) Если группа G связна и если G ф GT, то группа G поро-
порождается подгруппами ZQ(Ta) (а^ФG\ G)).
Доказательство. A) Первое утверждение есть частный
случай следствия в п. 9.2 (которое следует применить к полупря-
полупрямому произведению групп Т и G).
Второе утверждение в A) доказывается индукцией по dimG.
Если G^=GT% то по предположению группа GT связна. Если

§ 9. Классы сопряженных элементов 159
то выберем элемент 5 таким образом, чтобы группа G
не содержалась в ZQ(s). Согласно утверждению B) предложе-
предложения 9.3, группа Gs связна. Далее рассуждаем, как при доказа-
доказательстве следствия в п. 9.2.
B) (а)=#(Ь). Если (Gs)°aH, то L(Gs)cz^ и, согласно A), по-
получаем LiG^^if.
(b)=#(a). Так как §cig, то, очевидно, f)s a g5 и включение
Й5с:| влечет за собой равенство ^5 = д5. С учетом A) ввиду
совпадения размерностей получаем {HS)° = (GS)° ci H.
(bL#(c). Запишем
G=$©II<ta (Ф = Ф(Т,О/Н)).
Тогда
fls=5sella2=5se II <v
оеФ оеФ, a (S)={1)
Таким образом, fl5 с: Jj4=#a(S) ф {1} для всех а^Ф, что и требо-
требовалось.
C) Так как GTaGs, то, применяя A) и утверждение ((а) 44 (с))
из B) в ситуации Н =•• Gr, получаем C).
D) Обозначим через G' подгруппу, порожденную всеми груп-
группами GTa (аеФ(Г, G)). Из условия GT Ф G следует, что мно-
множество Ф(Г, G) непусто. Так как, согласно A), алгебра L(GT(J)
совпадает с алгеброй дГ(Х и, следовательно, содержит алгебру
8г+8а> т0 алгебра L(G') содержит алгебру дг+ 2 9а = 9«
аеФ(Г, Q)
Поэтому G/idG0=G. Это завершает доказательство.
9.5. Следствие. Сохраняем обозначения п. 9.4.
A) Если X €= Х# (Г) и если S=im (X), то {Gs)° a H тогда и только
тогда, когда (а, %) ф 0 для всех аеФ(Г, G/H). В частности,
(GS)° = (GT)° тогда и только тогда, когда (а, X) ф 0 для всех
а<=ФG\ G).
B) Предположим, что Т — тор и что G ф GT. Тогда группа G0
( т°\°
порождается подгруппами [G а). Кроме того, если поле k беско-
бесконечно, то существует элемент t^T (k), такой, что f ф 1 для всех
аеФ(Г, G), и для всякого такого t имеет место равенство
Утверждение A) вытекает непосредственно из утверждения B)
предложения 9.4. Так как централизатор тора Г? содержит центра-
централизатор группы Та, то первая часть утверждения B) вытекает из
утверждения D) предложения 9.4. Существование t следует из
того факта, что множество Т (k) плотно в Т (см. пример B)
п. 8.13). Последнее равенство утверждения B) вытекает из

ШО Гл. 111. Разрешимые группы
утверждения B) предложения 9.4, где следует взять в каче-
качестве Н группу GT и в качестве S — группу, порожденную элемен-
элементом t.
9.6. Предложение. Пусть я: G -> G' — сюръективный и
Т-эквивариантный морфизм k-групп, на которых действует диаго-
нализируемая группа Г. Тогда индуцированный гомоморфизм
(GT)° -> (g/T)° сюръективен.
Доказательство. Так как группа Af = ker(ji) является
Г-инвариантной, то можно рассматривать действие группы Т на
G/N, и морфизм я пропускается через Г-эквивариантный и биек-
биективный морфизм G/N->G'. Следовательно, мы можем считать,
что G' = G/N. В этом случае отображение {dn)e\ g->g/ сюръек-
тивно. Так как группа Т диагонализируема, то отображение
дг->9/Г также сюръективно. Однако, согласно утверждению A)
предложения 9.4, последнее является дифференциалом морфизма
GT->G' , откуда и следует предложение.
Замечание. Доказательство показывает даже, что если я —
факторный морфизм, то отображение (Gt)°->(G't)° — также фак-
факторный морфизм.
Библиографические замечания. Предложение п. 9.1 и теорема
п. 9.2 доказаны Борелем и Титсом [1] (см. § 10) для групп и Бо-
релем и Шпрингером [1], [2] для алгебр Ли. Предложение 9.3
доказано в статье Бореля [1] (лемма 9.6), когда группа комму-
коммутативна, и в общем виде —в статье Бореля и Титса [1] (см. § 11).
В статье Бореля [1] обсуждается случай, когда s — унипотентный
элемент, а группа U является тором, что, однако, нам не.пона-
не.понадобится. Следствие 9.5 обобщает результат о действии торов на
унипотентных группах, имеющийся в книге Семинар Шевалле
[1], сообщение 9, п. 1.
§ 10. СВЯЗНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
Исследование произвольных аффинных групп основывается на
изучении их связных разрешимых подгрупп. Последние обладают
рядом замечательных свойств, которые значительно облегчают
работу с ними. Основные результаты о связных разрешимых
группах сформулированы в теореме о неподвижной точке (п. 10.4)
и структурной теореме (п. 10.6).
10.1. Полные многообразия. Мы соберем здесь некоторые
факты о полных многообразиях, которые потребуются нам в даль-
дальнейшем. Напомним, что (см. п. АГ.7.4) многообразие V называется
полным, если для любого многообразия X проекция VXX-+X

§ 10. Связные разрешимые группы
161
является замкнутым отображением. Приведенные здесь свойства
взяты из п. АГ.7.4.
A) Замкнутое подмногообразие полного многообразия является
полным многообразием.
B) Морфизм связного полного многообразия в аффинное мно*
вообразив есть константа.
C) Проективное многообразие полно.
D) Пусть а: V -> W — биективный морфизм. Если W — нормаль-
нормальное полное многообразие, то V — также полное многообразие
(см. п. АГ.18.3).
Наконец, из утверждения (d) п. АГ.18.5 получаем
, E) Пусть а: V -> W — морфизм неприводимой гладкой кривой V
в полное многообразие W. Тогда а мооюно продолжить до мор-
физма а: V -> W полной гладкой кривой V, содержащей кривую V.
10.2. Композиционные ряды группы Тд. Напомним определе-
определение некоторых подгрупп группы GL
= 0
Тя = fe =
при
о *
1 *
О 1
= 0 при
Легко проверить, что
Группа 1п является группой обратимых элементов алгебры А всех
нижних треугольных матриц. Множество N матриц с нулевой
диагональю образует идеал (точнее, радикал) алгебры А. Дву-
Двусторонний идеал Nh порождается как подпространство теми ма-
матрицами ецУ для которых /^* + А. Кроме того, образ матрицы
еи i+h в NhlNh+l порождает одномерный двусторонний идеал
в алгебре A/Nh+l, ибо Nei% i+h a Nh+l и eiii+h является собствен-
собственным вектором для множества диагональных матриц. Таким обра-
образом, векторное пространство Ahh натянутое на векторы {ец\}>
>/ + А или / = / + А^/}, является двусторонним идеалом в А
при 0^h<n и 1 ^/<!я — А. Если пары (Л, /) упорядочить

162 Гл. ///. Разрешимые группы
лексикографически, то мы получаем убывающий ряд двусторон-
двусторонних идеалов, начинающийся с A = AOtO и заканчивающийся
^п-ы^^м» причем факторы соседних членов этого ряда имеют
размерность 1. Полагая ТЛ/ = {§ е Tn\g= I (mod Ah%/)}, мы полу-
получаем убывающий ряд нормальных делителей группы Тп. Заметим,
что N = AUn-.x и, следовательно, Tbn_l = Un. Мы видим, таким
образом, что первые п факторов изоморфны группе GL^ а осталь-
остальные факторы изоморфны группе Ga. Суммируем:
Группа Тп фильтруется рядом нормальных делителей, причем
последовательные факторы ряда изоморфны группам GLj или Ga.
10.3, Грассманианы и многообразия флагов. Пусть V — вектор-
векторное пространство размерности п. Мы хотим ввести на множестве
Gd{V) подпространств размерности d пространства V структуру
проективного многообразия. Положим
f: Gd<y)-+P(AdV),
сопоставляя d-мерному подпространству W точку проективного
пространства &{AdV)9 соответствующую прямой AdW a AdV.
Легко проверить (и хорошо известно), что отображение / инъек-
тивно (см. лемму в п. 5.1), так что нужно лишь показать, что
образ отображения f замкнут.
Пространство &*(AdV) покрывается (аффинными) открытыми
множествами U следующего вида: каждому базису е{> ...9еп
пространства V сопоставим множество U всех точек, однородные
координаты которых в базисе пространства AdV9 определенном
базисом еи ..., еп, таковы, что коэффициент при е = ехА ... Aed
отличен от нуля. Таким образом, множество U является дополне-
дополнением линейного многообразия.
Пусть V — WoQWo, где пространства Wq и И^о натянуты на
векторы еи ..., ed и ed+v ..., еп соответственно, и р — проекти-
проектирование пространства V на Wo» такое, что p(Wo) = O и р{х)==х
при x^W0. При W^Gd{V) включение f(W)aU имеет место
тогда и только тогда, когда p\W — изоморфизм. В этом случае
пространство W имеет единственный базис вида е{+хх (W), ..., еа+
Л-xdiW\ такой, что xi (W) c= Wo. Пусть, например, 2
Тогда f{W) совпадает с проекцией в ^(AaV) вектора
S
где на месте (*) стоят базисные векторы, в записи которых от-
отсутствуют два или более множителей е{, ..., ed. Но
ех А ... Л xt{W) А ... A ed= 2 ctMex A ... Л */ Л ... Л еЛ%
\>& i-* место

§ 10. Связные разрешимые группы 163
так что при разложении вектора {ех + хх (W)) Л ... A(ed + xd (W))
по базису ац оказывается коэффициентом при базисном векторе
ех Л • • • Ле/ Л ... Л ed (I </<d; j>dt на i-u месте стоит ef) и
эти определяющие пространство W коэффициенты можно задавать
произвольно. Коэффициенты остальных векторов пространства AdV
являются полиномиальными функциями от ац. Таким образом,
f(Gd(V)) — это, в сущности, график морфизма из пространства
коэффициентов (ац) в другое линейное пространство. В частности,
он замкнут. Предположим, что WaGd(V) и W &Gd'{V), причем
d^d'. Тогда тот факт, что W a W, можно выразить в виде
алгебраических уравнений с координатами в fP (Adv) X fP (Ad V)*
Следовательно, {(W, W) e= Gd (V) X в* (V) \ W cz W'} — замкнутое
подмногообразие. Многообразие флагов ST(V) определяется сле-
следующим образом:
{<у19 ..., Vn)<==Gx(V)X... XQ
Как показывает наше рассуждение, ЗГ (V) — проективное много-
многообразие. В соответствии с утверждением C) п. 10.1 многообразие
!F{V) полно.
Последующие замечания иллюстрируют на примере группы
GL(V) некоторые теоремы, которые позднее будут доказаны для
произвольных связных групп.
Для произвольного базиса еи ..., еп пространства V рассмот-
рассмотрим отображение
задаваемое формулой (p(g) = (Vu ..., Vn), где Vf— пространство,
натянутое на векторы geif ..., get A^/^/г). Ясно, что группа
GL{V) действует на флагах пространства V транзитивно, причем
отображение ф эквивариантно. Следовательно, ф индуцирует биек-
биективный морфизм a: GL(V)/B->!F{V), где В — стабилизатор
флага ф(е). Легко усматривается, что при изоморфизме GL(V)->
-> GLft, определенном базисом еи ..., еп, группа В сопоставляется
группе Тд. Обозначим через U~ группу унипотентных нижних
треугольных матриц. Нетрудно убедиться, что множество ?/"* • В
открыто. В самом деле, оно состоит из всех тех g = ^11I^1 /<п
в группе GLft, для которых detCg//),^ j<d=? 0 для каждого
пу а это множество, очевидно, открыто.
Элемент ф(§) в проективных координатах, введенных на ка-
каждом пространстве Gd(V)t записывается в виде {geu geiAge2> •••
• • •» ge{ Л ... Agen). Если g s ?/"", то get = et+ S. аце}, так что
[ 2^i

164 Гл. III. Разрешимые группы
Таким образом, с помощью индукции по / мы убеждаемся, что
get при g^U~ можно выразить алгебраически через проективные
координаты элемента ф(#). Отсюда следует, что морфизм ф
индуцирует изоморфизм группы U~ на ее образ. Из сказанного
выше вытекает, что ф (?/"") содержит множество, открытое в ф (GL{V))\
следовательно, дифференциал морфизма ф сюръективен, т. е. мор-
морфизм ф сепарабелен. Мы доказали следующее утверждение:
Морфизм ф: GL {V) -> Т (V) индуцирует изоморфизм многооб-
многообразий a: GL{V)IB->&~(V). В частности, GL{V)/В — проективное
многообразие.
Наше доказательство не слишком подробно; независимое до-
доказательство гораздо более общего утверждения будет дано
в п. 11.1.
10.4. Теорема. Пусть G — связная разрешимая группа, дей-
действующая рационально на непустом полном многообразии V.
Тогда на V имеется точка, неподвижная относительно группы G.
Доказательство. Используем индукцию по d = dimG.
При d==0 доказывать нечего. Итак, предположим, что d > 0.
Тогда группа N = {Gt G) связна, и ее размерность меньше раз-
размерности группы G, так что множество F неподвижных относи-
относительно группы N точек многообразия V непусто и замкнуто. Сле-
Следовательно, F — полное многообразие. Так как группа N — нор-
нормальный делитель группы G, то многообразие F инвариантно
относительно G. Согласно лемме о замкнутых орбитах (п. 1.8),
существует точка x^F, такая, что множество G{x) замкнуто.
Так как NaGx, то Gx — нормальный делитель группы G.. Сле-
Следовательно,
G/Gx->G(x)
— биективный морфизм связного аффинного многообразия в пол-
полное многообразие. Так как G (х) гладкое и, следовательно, нор-
нормальное, многообразие» то, согласно утверждению D) п. 10.1,
многообразие G/Gx явМется полным. Из утверждения B) п. 10.1
следует теперь, что G/Gx состоит иа одной точки, что и требо-
требовалось доказать.
10.5. Следствие 1. (Теорема Ли —Колчина.) Если я: G-»
-> GL {V) — линейное представление связной разрешимой группы,
то существует некоторый флаг в пространстве V, инвариантный
относительно группы n(G), т. е. группа n{G) приводится к тре-
треугольному виду.
Доказательство. На многообразии ^{V) имеется точка,
неподвижная относительно группы G, ибо, согласно п. 10.3, мно-

§ 10. Связные разрешимые группы 165
гообразие #~(F) полно, а действие группы G индуцируется ото-
отображением п.
Следствие 2. Пусть М — разрешимая (не обязательно замк-
замкнутая) подгруппа группы GL(V). Тогда некоторая подгруппа ко-
конечного индекса группы М приводится к треугольному виду.
Доказательство. Пусть H = s?(M). Известно (см. п. 2.4,
следствие 2), что группа Н разрешима. Применим предыдущее
следствие к группе Я0. Тогда группа Н°(]М имеет конечный
индекс в группе М и приводится к треугольному виду.
10.6. Теорема. Пусть G — связная разрешимая группа.
A) Gu — связный k-замкнутый нормальный делитель группы G,
содержащий группу DG = (G, G).
B) Группа G\GU является тором, а группа Gu обладает рядом
замкнутых связных нормальных делителей, последовательные
факторы которого одномерны.
C) Группа G нильпотентна тогда и только тогда, когда мно-
множество Gs является подгруппой. В этом случае Gs — определенная
над k замкнутая подгруппа группы G и группа G является пря-
прямым произведением Gs X Gu J).
D) Максимальные торы группы G сопряжены. Если Т — макси-
максимальный тор, то G = T • Gu — полупрямое произведение2). Алгебра
L(GU) совпадает с объединением нильпотентных элементов
алгебры L{G).
E) Пусть S — не обязательно замкнутая подгруппа группы GJ
состоящая из полупростых элементов. Тогда:
(i) группа S содержится в некотором торе;
(и) группа Gs = Z0(S) связна и совпадает с группой N0(S).
Доказательство. A) Используя теорему Ли — Колчина,
вложим группу G в Тп. Тогда Urt = {Тп)и = DTn — замкнутый нор-
нормальный делитель группы Тп, так что Gu — замкнутый связный
нормальный делитель группы G, содержащий DG. Из п. 4.5 сле-
следует, что группа Gu является замкнутой. Пусть п: G -> G'=G/DG —
каноническая проекция. Согласно п. 4.7, G'=GsXG«, так что
группа Gu связна. Мы утверждаем, что Gu = лГ1 (Gj. Если х е Gu,
то n{x)=--Gu ввиду п. 4.4. Пусть теперь x^n~l(Gu) и x = xs-xu
—его разложение Жордана. Тогда, согласно п. 4.4, х89 хи е лГ* (Gu)
и xs e DG. Но DG d Gu, так что xs = e и x^Gu, откуда
!) На самом деле в этом утверждении связность группы G несущественна;
достаточно также требовать только расщепляемости группы G (g^G =^> gs> gu^G)
(см. Платонов [I]). — Прим. ред.
2) Относительно обобщения утверждения D) на несвязный случай см.
тонов [2]. — Прим. перев.

166 Гл. III. Разрешимые группы
следует, что Gw = Jt~1 (G^)- Так как группы DG и Gu связны, то
группа Gu также связна.
B) Группа G/Gu вкладывается в группу Tn/Urt ?=¦; Dn, так что
G/Gu — коммутативная связная подгруппа, состоящая из полу-
полупростых элементов; согласно пп. 8.4 и 8.5, группа G/Gu — тор.
Исходя из ряда связных нормальных делителей Nt группы Тд,
содержащихся в \}п (последовательные факторы такого ряда изо-
изоморфны группе Ga (см. п. 10.2)), получаем ряд (Ni(]G)° связных
нормальных делителей группы G, содержащихся в GM, последо-
последовательные факторы которого имеют размерность ^1. После
исключения повторяющихся членов ряда все факторы будут
иметь размерность 1.
C) Предположим сначала, что Gs — подгруппа группы G.
Группа Gs коммутативна, ибо ее проектирование в группу G/Gu
является инъективным отображением. Следовательно, выбрав
точное рациональное представление группы G в GL{V), мы можем
на основании п. 4.6 привести группу Gs к диагональному виду.
Ясно тогда, что замыкание группы Gs есть диагонализируемая
подгруппа группы G, очевидно, совпадающая с Gs. Учитывая
свойство жесткости диагонализируемых групп (см. п. 8.10), имеем
^o(^s)=:^'ro(GsH. Но так как, очевидно, Gs — нормальный дели-
делитель группы G и так как группа G связна, то группа Gs цент-
центральна в G. Факторгруппа G/Gs унипотентна и, следовательно,
нильпотентна (см. п. 4.8), откуда вытекает, что группа G ниль-
нильпотентна, что и требовалось.
Обратно, предположим, что группа G нильпотентна. Покажем,
что Gs лежит в центре группы G.
Положим aGGs, и пусть U = GU. Пусть са(х) = хах~1а~19 где
jcgG, и положим M = ca(U). Согласно утверждению C) предло-
предложения 9.3, отображение са индуцирует биекцию М->М, так что
МаС°°С. Так как группа G нильпотентна, то C°°G={e} и М — {е},
т. е. элемент а централизует группу С/. Следовательно, группа Ga
содержит группу DG, так что Ga — нормальный делитель. Для
доказательства того факта, что Ga = G, достаточно ввиду пп. 4.4
и 4.7 показать, что GaZDGs.
Предположим, что t^Gs. Тогда ca(t)^U, так что а комму-
коммутирует с ca{t). Следовательно, са(t)a = tafxa"xa = tat" — разло-
разложение Жордана полупростого элемента tat~\ так что его унипо-
тентная часть ca(t) равна е. Центральность группы Gs следует
теперь из рассуждения, которое уже применялось для доказа-
доказательства того факта, что Gs — замкнутая диагонализируемая под-
подгруппа группы G. Разложения Жордана в G и в L{G) показы-
показывают, что G — Gsy<Gu (прямое произведение абстрактных групп)
И что L (G^) П L {Gu) = 0. Таким образом, G — прямое произведение

§ 10. Связные разрешимые группы 16?
групп Gs и Gu как алгебраических групп, ибо морфизм (
биективен и сепарабелен.
Остается показать, что группа Gs определена над k.
(a) р —char(&) = 0. Факторы разложения Жордана элемента
g^G{k) лежат в G5(&)XGW(&), и действие группы Г = Gal{k/k)
сохраняет, очевидно, разложение Жордана. Следовательно,
группы Gs и Gu содержат плотные инвариантные относительно
группы Г подмножества й-точек, так что они определены над k.
(b) p > 0. Для подходящего q = pr{r>0) имеем uq = e для
всех u^Gu. (Если G cz GLrt, то можно принять г = п—1.) Тогда
разложение Жордана показывает, что отображение g->gq опре-
определяет морфизм G -> G5, очевидно, определенный над fe. Из утвер-
утверждения (Ь) предложения п. 8.9 вытекает, что ограничение этого
морфизма на Gs биективно. Следовательно, группа Gs, будучи
образом й-морфизма, определена над fe.
D) Покажем сначала индукцией по dimG, что существует
тор Т группы G, который проектируется на G/Gu. Отсюда будет
следовать, что G = Т • Gu — полупрямое произведение алгебраиче-
алгебраических групп, ибо, как показывают разложения Жордана, Г Л Gu={e}
и L(T)(]L{Ga) = 0.
Если группа G нильпотентна, то положим Т — Gs, как в C).
В противном случае существует нецентральный элемент 5 е GS9
такой, что dim Gs < dimG, где Gs — Z0(s). Кроме того, из п. 9.6
следует, что отображение (Gs)° -> (G/Ga)s = G/Ga сюръективно.
Поэтому нужный нам тор Т можно найти по предположению
индукции уже в группе {Gs)°.
Далее,
(*) Пусть, как и выше, G = T • Gu. Тогда каждый элемент
s^Gs сопряжен с помощью элемента из G°°G с некоторым эле-
элементом тора Т.
Мы будем доказывать это утверждение индукцией по dim G.
Если группа G нильпотентна, то из утверждения C) теоремы вы-
вытекает, что Gs — единственный максимальный тор; итак, мы можем
предполагать, что группа G не нильпотентна, т. е. что C°°G ф {е}.
Пусть N — компонента единицы центра группы C°°G. Тогда ЫФ{е}9
ибо группа C°°G связна и унипотентна, и # содержит последний
нетривиальный член нижнего центрального ряда группы C°°Gt
который также является связной группой (см. п. 2.3).
Пусть п: G ->G' = G/N — естественная проекция. Тогда G' =
==Т/ * Gu — полупрямое произведение, где Т' = тс{Т). По предпо-
предположению индукции имеется элемент g' e C°°G', такой, что
g/Tc(s)gf е Т'. Выбирая g^C°°G так, чтобы n(g) = g', и за-
заменяя s на gsg~l, мы можем, следовательно, предполагать, что
s^T • N. Мы хотим подобрать элемент и^ U таким образом,
чтобы usu~l € Г.

168 Г л 111. Разрешимые группы
Положим s = nt, где n^N, t^T. Согласно п. 9.3, можно за-
записать n = ct(u)zy где u^N, ct(u) = utu~~ Г и z^ZN(t). Таким
образом, 5 = utu~lt~lzt =^utu~1z. Так как элемент z унипотентен
и коммутирует с t и и, то равенство s = (utu~l)z есть разложение
Жордана полупростого элемента s и, следовательно, z = e. Таким
образом, u~lsu = t^T, что доказывает утверждение (*).
Для завершения доказательства первой части утверждения D)
предположим, что Г' —другой максимальный тор в группе G.
Выберем sgT так, чтобы sa ф 1 для всех аеФ(Г, G). Из п.9.4
тогда следует, что связные компоненты централизаторов в группе G
элемента s и тора Г' совпадают. На основании утверждения (*)
с помощью некоторого элемента группы C°°G мы можем сопрячь s
с элементом тора Г. Сопрягая этим элементом группы C°°G тор Г',
мы сведем дело к случаю, когда Tcz(Gs)° = (Gr)°- Из утверждения (*)
получаем, что каждый элемент тора Тг сопряжен в {GT)° с не-
некоторым элементом тора Г. Но тор Тг централен в (Gr)°, так что
Т' аТ и, следовательно, ввиду максимальности тора Тг имеем
Т = Тг
Пусть я: G -> G/Gu — каноническая проекция. Ее ограничение
на Т есть изоморфизм тора Т на G/Gu. В частности, алгебра Ли
L{G/Ga) состоит из полупростых элементов, и п. 4.4 показывает,
что если элемент X ^ g нильпотентен, то Xgker{dn) = L(Gu).
Но алгебра Ли L(Gtt) состоит из нильпотентных элементов
(см. п. 4.8), что завершает доказательство утверждения D).
E) Пусть 5 —подгруппа группы G, состоящая из полупростых
элементов, и пусть тс: G —> G/Ga — каноническая проекция. Тогда
ограничение отображения л; на S инъективно, так что группа S
коммутативна, ибо коммутативна группа G/Gu. Кроме того, если
элемент nGG нормализует группу 5, то элемент л(п) централи-
централизует группу л;E) и, следовательно (так как отображение л8
инъективно), элемент п централизует группу 5. Это доказывает
равенство ZQ(S) = N0(S). Группа S = s?{E) есть _замкнутая диа-
гонализируемая подгруппа группы G, причем Z0(S) = ZQ(S), что
сводит доказательство оставшихся утверждений к случаю, когда
группа S замкнута. Пусть Г—максимальный тор группы G.
Случай 1. Группа S центральна. Согласно утверждению D),
при seS некоторый сопряженный с s элемент принадлежит
тору Г; следовательно, s^T. Таким образом, 5 cz T и группа
Gs = G связна.
Случай 2. Группа S нецентральна. Выберем нецентральный
элемент sgS, Заменяя тор Т сопряженным, мы можем считать,
что ss=T. Тогда Т a GS = T • Gsu и ввиду п. 9.3 группа Gsu связна.
Следовательно, группа Gs связна, имеет меньшую размерность»

§ 10. Связные разрешимые группы 169
чем группа G, и содержит группу 5. По предположению индукции
группа 5 сопряжена в Gs с подгруппой тора Г, и группа (GS)S=GS
связна.
Это завершает доказательство утверждения E).
Теорема полностью доказана.
10.7. Кривые, обладающие связной группой автоморфизмов 1).
Структурной теореме п. 10.6 явно недостает классификации групп
размерности 1, которые появляются там в качестве „композици-
„композиционных факторов" группы GM.
Как мы увидим в п. 10.9, единственными одномерными связными
группами являются группы GLj и Gfl. Мы установим это, основы-
основываясь на следующем предложении, которое в свою очередь выте-
вытекает из классификации одномерных групп.
В доказательстве предложения мы будем использовать неко-
некоторые факты о якобианах кривых, доказательства которых выхо-
выходят за рамки этой книги.
Предложение. Пусть X — гладкая полная неприводимая
алгебраическая кривая. Предположим, что связная группа G
размерности ^ 1 действует на X нетривиально и на X существует
неподвижная относительно нее точка. Тогда кривая X изоморфна
проективной прямой Р{.
Доказательство. Нам нужно доказать, что род genZ
кривой X равен нулю. Пусть f: X->] — канонический морфизм
кривой X в ее якобиан / (см. Ленг [2], гл. II, § 2). Якобиан /
есть абелево многообразие (=полная связная алгебраическая
группа), размерность которого равна gen X, причем образ f(X)
порождает группу /. Кроме того (там же, теорема 9), любое
рациональное отображение ft: X->A, где А — абелево многооб-
многообразие, индуцирует единственный гомоморфизм а: /—> А, такой,
что ft(x) = a{f(x)) + о, для некоторого элемента аеД не завися-
зависящего от xgI (Здесь мы используем знак + для обозначения
групповой операции на абелевых многообразиях.) Очевидно, это
„свойство универсальности отображения" определяет морфизм f
однозначно с точностью до сдвига на элемент из /. Мы хотим
нормализовать морфизм f так, чтобы /(р) = 0, где ре! — одна
из неподвижных относительно G точек (которая, как предпола-
предполагалось, существует). При g^G свойство универсальности отобра-
отображения показывает, что морфизм f ° g: X->J имеет вид agof-\-ag
для подходящего морфизма групп а^.: /->/ и некоторого as^J.
1) Этот и следующий пункты содержат подготовительный материал для до-
доказательства теоремы 10.9. Более простое доказательство теоремы 10.9 можно
найти в лекциях Титса [1]. — Прим. ред.

170 Гл. 111. Разрешимые группы
Условие p = g{p) влечет за собой 0^ = 0, так что f°g = ag°f-
Можно было бы показать, что морфизм GXJ-+J дает связное
семейство автоморфизмов абелева многообразия /, а затем ис-
использовать жесткость абелевых многообразий (см. п. 8.10).
Предпочтительнее, однако, рассуждать непосредственно: при
а ее/ определим морфизм Pfl: G->/ формулой Pa(g) = (v(a)- Если
a = f(x) для некоторого xgI, to pfl есть сквозное отображение
G—*->Х-*->19 где рх (g) = g (х); очевидно, отображение ра — мор-
морфизм. В общем случае элемент а ^ J представим в виде а = 2 / (хд
для подходящих элементов xt^X, так что отображение Pa = 2PwJC\
также является морфизмом.
Пусть т] — кег (а -> та) в /, где т — целое положительное
число. Тогда группа mJ конечна (Ленг [2]) и, очевидно, инва-
инвариантна относительно каждого морфизма ar Следовательно,
множество pa(G) конечно для каждого aem/, Так как группа G
связна и pfl(e) = a, то отсюда следует, что Pa(G) = {a}.
Итак, при g^G морфизм а^.: /->/ оставляет неподвижными
все элементы конечного порядка. Но последние образуют плотное
подмножество многообразия / (Ленг [2]), так что ag=lj.
Таким образом, /: Х->1 является G-эквивариантным отобра-
отображением, причем группа G действует на / тривиально. Следова-
Следовательно, / сжимает каждую G-орбиту на кривой X в точку. Так
как группа G действует на неприводимой кривой X нетривиально,
то одна из G-орбит должна содержать открытое плотное подмно-
подмножество. Дополнение последнего конечно, так что множество G-орбит
на X конечно. Отсюда следует, что якобиан / порождается ко-
конечным множеством f(X). Это возможно лишь в том случае,
когда /=={0}, т. е. когда dim/(=genX) = 0.
10.8. Группа автоморфизмов многообразия Pt есть PGL2.
Пусть
G = PGL2 = GL2/S,
•группа скалярных B X 2)-матриц. Обозначим через
'а Ъ\ [а ЬЛ
,с d) [с d\
проекцию GL2->G. Чтобы избежать путаницы, проекцию
будем обозначать
fa Ъ
о d
\а 61

§ 10. Связные разрешимые группы 171
Рассмотрим тор r = D2/5 группы G. Имеет место изоморфизм
Пусть элемент абХ(Г) таков, что (а, Я)=1, т. е. (al)a = a при
aeGLj. Рассмотрим морфизмы
и<х> и-а: Gfl->G,
задаваемые формулами
1 ЬЛ Г1 0
0 jj и и-в(<0 = [с j
и обозначим через С/а и ?/_а образы группы Ga при морфизмах иа
и w_a соответственно. В результате непосредственного вычисления
получаем
tua(b)rl = ua{tabl
A)
Ы-а(с)Г1 = и-а{Гас)
при /еГ и M^Ga. Коммутаторные формулы
показывают, что коммутант DG содержит группы Ua и ?/_а. Ясно,
что подгруппа, порожденная группами Ua и ?/_а, имеет размер-
размерность >2. Учитывая, что dimG = 3 и группа G связна, получаем
B) G==DG и группа G порождается подгруппами Ua и U-a.
Алгебры Ли L{T), L(Ua) и L(?/_a) порождаются элементами
Г
C) ^~1п п I ' "а — In nl ' 'к-а — I j
соответственно. Кроме того, из формул A) следует, что векторы Ха
и Х_а являются полуинвариантами весов аи —а соответственно
для тора Т в представлении Ad0. Следовательно, выражение
является разложением алгебры g на корневые подпространства
относительно тора Г, и
Ф(Г, G) = {a, -a}.
Записывая элементы пространства К2 как вектор-столбцы, рас-
рассмотрим проекцию
/С2-0-*Рь

172 Гл. Ш. Разрешимые группы
заданную соответствием
Естественное действие группы GL2 на К2 индуцирует действие
группы GL2 на Р1э относительно которого упомянутая проекция
эквивариантна. Учитывая, что группа S действует на Р{ три-
тривиально, мы можем записать действие группы G на Pj в виде
формулы
Га ь\\х\ \ах
U
dlly
Вложим К в Р1э полагая
-[?]•
[
и запишем оо == . Тогда
Pi=tfU{°o}.
Рассмотрим, далее, открытое множество
V = {{x, у, z)^(P{f\x, у и z различны}
и определим морфизм qp: G—>V формулой
Таким образом, y{G) есть орбита точки @, 1, oo)eF при дей-
действии группы G.
Утверждение. Морфизм ф есть изоморфизм многообразий.
В частности, группа G действует однотранзитив но 1) на тройках
различных точек в Р{.
\а 61
Если g = y rfj, то
Таким образом,
D)
J) Действие группы G на множестве М- называется однотранзитивным,
если стабилизатор точки является единицей группы G. Употребителен также
термин „регулярное действие". — Прим. перев.

§ 10. Связные разрешимые группы 173
Следовательно, равенство ф(§) = @, 1, оо) влечет за собой
а 01
g — п = в, так что отображение ф инъективно.
Покажем, что отображение ф сюръективно. Пусть {х, у, z) e V.
Легко видеть, что группа GL2 действует на множестве прямых
пространства К2 дважды транзитивно. Поэтому мы можем сна-
сначала привести элемент (х, у, z) к виду (о, , , ooj. Тот факт,
что элемент , отличен от 0 и оо, означает, что а ф 0 Ф d.
Следовательно, используя элемент , мы можем привести
[0 d\
элемент (о, , оо) к виду @, 1, оо).
\ L ^ J /
Для завершения доказательства достаточно убедиться, что
отображение {dy)e: <j->r(F)@ { ^ сюръективно. Имеем
И-а(с)@, 1, оо) = (с, 1+с, оо).
Отсюда, принимая во внимание, что du-a(l) = X-a, получаем
(<&p),,(j-_a) = (l, 1, 0). Аналогично, dua(l) = Xaf так что {dq>)e(Xa) =
-=@,1, 1).
ax@, I, oo) = @, a, oo).
Поскольку dl{l) = H, то {dy)e(H) = {09 —1,0), что и требова-
требовалось.
Замечание. В том случае, когда вместо группы GL2 мы
рассматриваем группу SL2, отображение SL2-*PGL2 все еще
сюръективно. Однако в характеристике 2 оно уже не будет сепа-
рабельным. Дело в том, что группу Т мы должны заменить
образом группы V матриц вида diag(a, a) из SL2. При этом
Г1 01
алгебра L{T') порождается элементом вида п _i » однако
г 1 о!
0 — 1 в хаРактеРИстике 2 обращается в нуль.
Предложение. Пусть Я — некоторая k-группа, действую-
действующая k-рационально на проективной прямой РР Тогда это действие
индуцируется единственным k-морфизмом a: tf-*PGL2.
Доказательство. Определим морфизм Р: Я->7 правилом
p(ft)==(A(O), АA), А(оо)), и пусть а = фор. Тогда a{h){i) = h(i)
(/=^0, 1, оо), и ясно, что морфизм а определен над k. Чтобы
убедиться, что морфизмы а (Л) и Л действуют на Pi одинаково,

174 Гл. III. Разрешимые группы
достаточно проверить, что всякий автоморфизм g проективной
прямой Рь оставляющий неподвижными точки 0, 1 и оо, является
тождественным.
Но К{Р[) = К{х)> где х — единственная рациональная функция
на Р1г имеющая нуль порядка один в точке 0, полюс порядка
один в точке оо и не имеющая других особых точек и такая,
что л:A) = 1. Функция x°g должна обладать теми же самыми
свойствами; поэтому g индуцирует тождественный автоморфизм
поля /((Pi). Следовательно, автоморфизм g — тождественный.
10.9. Теорема. Пусть G — связная аффинная группа раз-
размерности один. Тогда G изоморфна либо группе GL^, либо
группе Ga.
Доказательство. Группа G является плотным открытым
подмножеством в единственной полной гладкой кривой G (см.
АГ. 18.5, утверждение (d)). Из утверждения (f) п. АГ. 18.5 следует,
что действие группы G на самой себе посредством правого умно-
умножения однозначно_продолжается до действия группы G на кри-
кривой G. Так как G — G—конечное множество, инвариантное от-
относительно связной группы G, то группа G действует на нем
тривиально. Это множество непусто, ибо группа G аффинна.
Из предложения, п. 10.7 тогда следует, что G ^ Р{. Отождествим
кривую G с Pi так, что оо ф. G. Согласно предложению п. 10.8,
существует вложение группы G в группу PGL2, такое, что группа G
(Га 011
содержится в стабилизаторе \\ \) точки оо (п. 10.8, фор-
формула D)). Кроме того, из п. 10.8 следует, что группа G остав-
оставляет неподвижными не более двух точек многообразия Ph Обо-
Обозначим число таких точек через т.
Случай 1. /п = 2. Выберем проективные координаты таким
образом, чтобы неподвижной точкой, отличной от точки оо, была
\\а 011
точка 0. Тогда группа G содержится в торе Т = \ ^ , ? ?ё GLj.
По соображениям размерности G =Т.
Случай 2. т = 1. Тогда G действует на аффинной прямой
/С == Pi — {°°} как группа преобразований вида х->ах + с. По-
Последняя разрешима, значит, разрешима и группа G. Так как
группа DG связна и dimDG <dim G = 1, то группа G абелева.
Согласно п. 4.7, G = 03^ Gu. Снова из размерностных сообра-
соображений вытекает, что либо G = Gs, либо G = G«. Если G = Gs,
то группа G — одномерный тор (см. пп. 8.4 и 8.5), т. е. G ^ GLj.
Пусть теперь G = Gu. Если g {x) = agx + cg, то отображение g-*ag
есть морфизм G-^GL,!. Он обязан быть тривиальным, ибо

§ 10. Связные разрешимые группы 175
группа G унипотентна. Следовательно, отображение g-+cg
является вложением G->Ga, и подсчет размерностей вновь по-
показывает, что оно должно быть изоморфизмом.
Замечание. Если группа G изоморфна группе GL,, то из
п. 8.11 следует, что существует изоморфизм этих групп над
полем ks. Предположим, с другой стороны, что G 2* Ga. Пусть
G — содержащая группу G полная гладкая кривая, опре-
определенная над полем k. Проведенное рассуждение показывает,
что множество G — G состоит из одной точки Р, так что точка Р
должна быть рациональной над полем L = kp . Известно (см.
Серр [3], гл. X, § 6, упр. 1), что кривая G изоморфна над по-
полем L проективной прямой Р^ и мы можем выбрать этот изо-
изоморфизм так, чтобы точка Р преобразовывалась в точку оо на Р{.
Коль скоро это сделано, полученный выше изоморфизм группы G
с группой Ga, как легко видеть, рационален над L.
10.10. Действия групп на Ga. Точки группы Qa и ее алгебры
Ли да можно отождествить с точками поля К- Эндоморфизм
группы Qa как кривой определяется эндоморфизмом ее аффинной
алгебры К [Т], который в свою очередь определяется полиномом
/(Г). Этот эндоморфизм будет морфизмом групп тогда и только
тогда, когда полином / аддитивен, /(Г + H)=f(T) + /(#). Пусть
h(tf)
()
(i) Если р = 0, то f(T) = cT для подходящего се/С.
(ii) Если р>0, то f (Г) = 2Л
i
Применяя производную -^г к формуле сложения, заключаем,
что f' (Г) — постоянная функция. Удаляя из f(T) линейный член,
получаем в случае (ii) полином g(Tp), который является адди-
аддитивным полиномом меньшей степени, так что формула (ii) вытекает
из индуктивного предположения.
В обоих случаях легко видеть, что автоморфизм алгебраиче-
алгебраической группы Оа определяется полиномом вида f(T) = cT (с <=/(*)>
так что мы получаем изоморфизм группы GLj с группой авто-
автоморфизмов группы Ga.
Если рассматривать группу Оа как подмножество Р} — {оо}
в Р{ и принять во внимание, что группа автоморфизмов группы G
оставляет неподвижной точку 0 е Gfl, то мы можем получить
группу автоморфизмов группы Qa как пересечение в группе PGL2
[Га 011
стабилизаторов точек 0 и оо. Это пересечение есть тор Г = | »
введенный в ц. 1Q-8*
а

176 Гл. III. Разрешимые группы
Пусть G — произвольная группа, действующая на Оа как группа
автоморфизмов. Из сделанных выще замечаний вытекает, что су-
существует характер a: G -> GLj, при помощи которого группа G
действует на 0^:
(ge=G, xe=Ga).
Ясно, что индуцированное действие группы G на алгебре Ли
задается тем же самым характером:
Библиографические замечания. Теоремы пп. 10.4 и 10.6 были
доказаны Борелем [1]. Классическая теорема Ли гласит: связная
разрешимая линейная группа Ли над полем комплексных чисел
приводится к треугольному виду. Ее обобщение на алгебраиче-
алгебраические группы принадлежит Колчину [1]. Приведенное здесь дока-
доказательство взято из статьи Бореля [1].
Может показаться удивительным, что мы приводим не слиш-
слишком элементарное и даже не замкнутое в себе доказательство
того факта, что G изоморфна GLq или Ga, если G — связная
одномерная группа1). Разумеется, этот результат давно известен.
Было бы, однако, затруднительно привести здесь ссылку на пол-
полное доказательство, более раннее, чем доказательство Гротен-
дика (см. Демазюр и Гротендик [1], сообщение 7). Последнее го-
гораздо алгебраичнее приведенного здесь, но оно опирается на
некоторые результаты § 10, 11, и его эскиз будет дан в п. 11.6.
*) См. примечание на стр. 169. — Прим. ред.

Глава IV
ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ;
РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ
На протяжении этой главы все алгебраические группы предпо-
предполагаются аффинными; G — связная аффинная группа.
§ 11. ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ
11.1. Подгруппой Бореля группы G мы называем максимальную
среди связных разрешимых подгрупп. Простые соображения о раз-
размерности связных подгрупп позволяют сделать вывод, что под-
подгруппы Бореля существуют.
Теорема. Пусть В — подгруппа Бореля группы G. Тогда
каждая подгруппа Бореля сопряжена в G с группой В и G/B —
проективное многообразие.
Доказательство. Пусть R — подгруппа Бореля макси-
максимальной размерности. По теореме 5.1 существует точное предста-
представление я: G-+GL(V), такое, что группа R является стабилизато-
стабилизатором некоторого одномерного подпространства V{ a V в группе G,
а алгебра Ли L (/?) — стабилизатором подпространства V{ в ал-
алгебре Ли L (G).
Применяя следствие 1 п. 10.5 к индуцированному предста-
представлению группы R на факторпространстве V/V{, получаем флаг
F—-(V{9 F2» • • •» Vn)B пространстве У, инвариантный относительно /?.
Пусть &~(V) — многообразие флагов на V, на котором действует
группа ji(G). Тогда каноническое отображение многообразия G/R
на орбиту G (F) флага F в многообразии iT(V) является изомор-
изоморфизмом многообразий. Это следствие того факта, что отображение
многообразия G/R на орбиту точки V{ в проективном простран-
пространстве 9 (V) — всегда изоморфизм многообразий (см. теорему 6.8 и
ее доказательство).
Предположим, что R'— стабилизатор флага Fef (У) в G.
Так как флаг инвариантен относительно /?', то R' — разрешимая
группа. Так как размерность группы R максимальна, то
dim/?'^dim/? и, следовательно, dim G/R ^.dim GjR'. Таким
образом, G (F) — орбита минимальной размерности в многообра-
многообразии У(У)\ по лемме о замкнутой орбите (п. 1.8) множество G (F)
замкнуто. Следовательно, G/R — проективное многообразие,

178 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктиёные группы
Группа В естественным образом действует на многообразии G/R;
в соответствии с теоремой 10.4 G/R обладает неподвижной точкой
относительно В, т.е. BxR cz xR для некоторого х е G. Это озна-
означает, что x~~lBxR en R и x~lBx<z:R. Так как В —максимальная
связная разрешимая подгруппа, то x~lBx = R.
11.2. Замкнутая подгруппа Р группы G называется параболи-
параболической, если фактор G/P является полным многообразием. Так
как многообразие G/P всегда квазипроективно (см. п. 6.8), то
G/R полно тогда и только тогда, когда G/R — проективное много-
многообразие.
Следствие. Замкнутая подгруппа Р группы G тогда и
только тогда является параболической, когда она содержит под-
подгруппу Бореля,
Доказательство. Если группа Р содержит подгруппу
Бореля В, то G/B -> G/P — сюръективный морфизм полного много-
многообразия, так что G/P — также полное многообразие. Обратно, по
теореме 10.4 подгруппа Бореля В в полном многообразии G/P
имеет неподвижную точку, откуда следует, что Р содержит неко-
некоторую сопряженную с В подгруппу.
11.3. Следствие. A) Каждый максимальный тор группы G
содержится в некоторой подгруппе Бореля. Максимальные торы
группы G сопряжены.
B) Каждая максимальная связная унипотентная подгруппа
группы G является унипотентной частью некоторой подгруппы
Бореля. Все максимальные связные унипотентные подгруппы
группы G сопряжены.
Доказательство. A) Максимальный тор Т является связ-
связной разрешимой группой и, следовательно, содержится в неко-
некоторой группе Бореля В. Очевидно, ТА является максимальным
тором в группе В. По теореме 10.6 В = Т • Ви (полупрямое произ-
произведение), и все максимальные торы группы В сопряжены. Утвер-
Утверждение A) вытекает теперь из сопряженности подгрупп Бореля.
B) Так как связная унипотентная группа U нильпотентна (см.
п. 4.8), то U содержится, в некоторой подгруппе Бореля В. Со-
Согласно теореме п. 10.6, Ви — связная подгруппа группы В, содер-
содержащая, очевидно, группу ?/; если группа U максимальна, то
U = Ви. Сопряженность групп Ва — прямое следствие сопряжен-
сопряженности подгрупп Бореля.
11.4. Следствие. A) Если автоморфизм а группы G остав-
оставляет неподвижными все элементы некоторой подгруппы Бореля В,
то а — тождественный автоморфизм.
B) Если элемент x^G централизует группу В, то x^Z(G)
Доказательство. Второе утверждение следует из первого,
принять а = Jnt (х). Рассмотрим морфизм /: Q -> Q,

§ П. Подгруппы Бореля 179
f(g) = a(g)g~x. Тогда / представляется в виде G -> G/B-+G, так
что /(G) —полное аффинное многообразие; следовательно, /(G)—
точка (см. п. 10.1).
11.5. Следствие 1. Пусть В — подгруппа Бореля группы G.
A) Если B = BS, то G — тор.
B) Если группа В не содержит отличных от {е} торов, то
группа G унипотентна. В обоих случаях G = B.
C) Следующие условия равносильны:
(a) группа G обладает только одним максимальным тором;
(b) некоторый максимальный тор содержится в Z{G)\
(c) группа G нильпотентна\
(d) группа В нильпотентна.
Доказательство. A) На основании теоремы 10.6 имеем
В = Т • Ви, где Т — максимальный тор группы В. Если В = Bs9
то группа В = Т коммутативна и ввиду следствия 11.4 содер-
содержится в центре группы G. Но тогда G/B — аффинная связная
группа, многообразие которой является полным. Следовательно,
GjB {}
{}
B) Условие Т = {е) влечет за собой нильпотентность группы
В = Ви. Тогда связная компонента Н центра группы В отлична
от {е} и, согласно следствию 11.4, Н содержится в центре группы G.
Так как В/Н — унипотентная подгруппа Бореля группы G/tf, то,
используя индукцию по dimG, заключаем, что G/H = В/Я, т.е.
что B = G.
C) (а)=Ф(Ь). Если Т — единственный максимальный тор, то
он —нормальный делитель группы G, и жесткость торов (п. 8.10)
позволяет сделать вывод, что Т содержится в центре группы G.
(Ь)=ф(с). Пусть Т — центральный максимальный тор, и пусть
V — прообраз в G некоторого тора в группе G/Г. Так как торы Т
и Т'/Т состоят из полупростых элементов, то V также состоит из
полупростых элементов. Из утверждения A) вытекает, что Т
является тором. (Мы использовали здесь связность группы Т',
которая является следствием связности групп Т и Т'/Т.) Макси-
Максимальность тора Т влечет за собой равенство Г/ = Г. Поэтому
группа G/T не содержит* нетривиальных торов и, согласно B),
является унипотентной группой. Следовательно, группа G/T ниль-
нильпотентна, и так как Т содержится в центре группы G, то
группа G также нильпотентна.
(c)=#(d) очевидно.
(d)=^>(a). Если группа В нильпотентна, то по теореме 10.6
В = ГХВИ, где T — Bs—максимальный тор группы G. Тогда
Т czZ(B) и, согласно следствию 11.4, Z(B)czZ(G). Единственность
тора Т вытекает теперь из утверждения A) следствия 11.3.

180 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
Следствие 2. Предположим, что тор Т является нормальным
делителем в группе G и группа G/T также является тором. Тогда
группа G является тором.
. Доказательство. Очевидно, что G = Gs, так что следствие
вытекает из утверждения A) следствия 1 п. 11.5.
11.6. Следствие. Если dimG<^2, то группа G разрешима.
Доказательство. Если В Ф G, то dim б<11. Записывая В
в виде В = Т'Ва, получаем, что В = Т, либо В = Ви. Но тогда
следствие 1 п. 11.5 влечет за собой равенство G = B.
Замечание. Мы дадим теперь набросок доказательства
теоремы 10.9, упомянутого в конце § 10 (Демазюр и Гротендик [1],
сообщение 7). Пусть G — группа размерности 1. Согласно след-
следствию п. 11.6, группа G разрешима. Тогда dim(G,G) < dim G,
откуда следует, что группа G коммутативна. По теореме 10.6,
G = Г • Ga, где Т — максимальный тор группы G. Так как
dim G — dim Г + dim Gui то либо G = T и тогда G^OLU либо
G = Gu. Из доказательства утверждения B) теоремы 10.6 (исполь-
(использующего вложение группы Gu в унипотентную часть группы TJ
вытекает, что G обладает нетривиальным морфизмом я: G->Ga.
Так как Ga — связная группа размерности 1, то п — изогения,
т.е. морфизм я сюръективен и его ядро N == ker(я) конечно.
Пусть р — характеристическая экспонента поля К» Тогда поря-
порядок каждого элемента унипотентной группы G есть степень
чисЛа р. Отсюда следует, что при р=1, т.е. когда char {К) = 0,
изогения я является изоморфизмом. При р > 1 группа N является
конечной группой порядка рп для подходящего л^0. Чтобы
доказать, что G^Gfl, воспользуемся индукцией по п.
Если лг = 0, т.е. если отображение я взаимно однозначно, то,
согласно п. АГ. 18.2, поле функций K(G) является чисто несе-
парабельным расширением поля K{Ga)=K{x). Отображение
х->хр при достаточно большом г дает изоморфизм поля K(G)
на подполе поля К(х). По теореме Люрота (см., например,
Ван-дер-Варден [1], т. 1) поле К (G)-— чисто трансцендентное
расширение поля К» Таким образом, многообразие группы G изо-
изоморфно открытому подмножеству проективной прямой, и доказа-
доказательство завершается вложением G в PGL2, как в доказательстве
теоремы 10.9.
При п > 0 можно профакторизовать группу G по подгруппе
индекса р в группе N и применением индукции свести дело к
случаю п=\. Принимая во внимание случай п = 0, получаем
G/N^Ga, так что можно считать морфизм я сепарабельным.
В этом случае поле K(G) есть расширение Галуа степени р
поля /С (*)t K которому можно применить теорию Артина —

§ 11. Подгруппы Бореля 181
Шрейера (подробнее см. Демазюр и Гротендик [1], сообщение 7,
лемма 3).
11.7. Следствие. Т — максимальный тор группы G. Тогда
группа C = ZQ(T)° нильпотентна, и С = NQ(G)°.
Теорема сопряженности (п. 11.3) показывает, что Т — един-
единственный максимальный тор группы С; тогда, согласно след-
следствию 1 п. 11.5, группа С нильпотентна. Кроме того, Г — нормаль-
нормальный делитель группы N0(C)\ согласно следствию 2 п. 8.10,
Т содержится в центре группы NQ{C)°.
11.8. Предложение. Элемент X^L{G) полупрост тогда и
только тогда, когда X — касательный вектор к некоторому тору
группы G.
Так как тор изоморфен некоторой диагональной группе, то
его алгебра Ли состоит из полупростых элементов, что доказы-
доказывает часть „тогда".
Предположим теперь, что X — полупростой элемент. Согласно
п. 9.1, алгебра Ли $ группы Н = ZQ(X) совпадает с $д(Х); в ча-
частности, ^ содержит X. Пусть Т — максимальный тор группы Н
и c = ZH{T)°. Тогда L(C) = i(T) (см. следствие в п. 9.2), поэтому
X^L(C). Ввиду следствия п. 11.7 группа С нильпотентна, откуда
следует, что С = ГХС« (теорема 10.6). Так как алгебра Ли L{CU)
состоит из нильпотентных элементов, то X ^ L (Г).
11.9. Лемма. Пусть Н — замкнутая подгруппа группы G.
Положим
ge Q
A) Если многообразие G/H полно, то множество X замкнуто.
B) Предположим, что некоторый элемент Ag H обладает лишь
конечным числом неподвижных точек на G/H, т. е. что множе-
множество {х е G\h <= xHx~{} состоит из конечного числа смежных клас-
классов по Н. Тогда X содержит плотное открытое в G множество.
Доказательство. Рассмотрим морфизмы
где а(х, у) = {х, хух~х) и р = яХ1о и»^: G -> G/H — факторный
морфизм. Положим M = p(a(GX^))= {(я (х), z) \ х <= G, x" {zx <= Я},
(i) Множество М замкнуто. Если x~lzx е Н, то (xh)~l z(xh) e H
для всех h^H, откуда следует, что р" (М) = a(G X Н). Так как
а—изоморфизм многообразий и так как |3: GXG —>(GXG)/(#Xf?}) —
факторный и, следовательно, открытый морфизм, то М- замкну-
замкнутое множество, ибо Р" (М) — замкнутое множество.

182 Гл. IV. Подгруппы Вореля; редуктивные группы
(и) X = pra(Af), так что множество X замкнуто, если много-
многообразие G/H полно. В самом деле, рто(М) = {у\х~1ух е Я для
некоторого х ^ G} = X.
(ill) dimiVf = dimG в каждой точке множества М.
Слой над точкой п(х) сюръективного морфизма рго/я: M-+G/H
изоморфен хНх~\ так что размерность каждого слоя равна dim Я.
Следовательно, dim М = dim G/H + dim Я = dim G в каждой точке
(см. п. 10.3). Слой морфизма pr0: M—>G над точкой у равен
(В последней скобке точкой обозначается естественное действие
группы G на G/H.) Поэтому предположение утверждения B) по-
попросту означает, что слой морфизма pr0: M->G над некоторой
точкой ЛеЯ конечен (и непуст). Следовательно, если N — непри-
неприводимая компонента множествам, такая, что h^pvo(N), то слои
морфизма рг0 конечны над каждой точкой некоторого плотного
открытого множества в pro(AQ (см. п. АГ. 10.1). Согласно теореме
п. АГ. 10.1, dimAf = dim G = pvo(N). Следовательно, G = prG(N),
ибо группа G связна. Множество X содержит рг0 (ЛА) и, следова-
следовательно, содержит плотное и открытое в G подмножество.
11.10. Теорема. Пусть В — подгруппа Бореля, а Т — макси-
максимальный тор группы G и С = ZG (T)°. Тогда объединение подгрупп,
сопряженных с группой В (соответственно с группой Ви, группой Т,
группой С), совпадает с G (соответственно совпадает с Gu, совпа-
совпадает с Gs, содержит плотное и открытое в G подмножество).
Согласно следствию 11.7, группа С нильпотентна. Так как Т —
максимальный тор, то из теоремы 10.6 вытекает, что С = Т ХСи.
Согласно предложению 8.8, существует элемент /еГ, такой,
что Z(t)° = Z(T)° = C. Пусть g — такой элемент группы G, что
gtg~lеС. Тогдаgtg~lеГи Z(gtg~l)-=>Z(T). ТакKaK*dimZ(gtg~lf=
= dimZ@°, то Z(gtg)° = C, откуда следует, что g e N (С). Так
как N(C)° = C (п. 11.7), то множество элементов группы С, со-
сопряженных с t, конечно. Согласно утверждению B) леммы 11.9
(роль группы Я играет группа С), множество °С содержит плот-
плотное открытое подмножество группы G. Будучи нильпотентной,
группа С содержится в некоторой подгруппе Бореля Вг группы G,
так что °В' также содержит плотное открытое подмножество
группы G. Но многообразие G\Br полно (п. 11.1); следовательно
(лемма 11.9, утверждение A)), многообразие °ВГ замкнуто и
G = QBr. Ввиду сопряженности подгрупп Бореля G=°B. Остав-
Оставшаяся часть теоремы вытекает из теоремы п. 10.6.
11.11. Следствие. Центр Z(G) группы G совпадает с цент-
центром каждой подгруппы Бореля. Пересечение всех максимальных
торов группы G совпадает с Z(G)S.

§ 11. Подгруппы Боре ля 183
Доказательство. Пусть geZ(G) ий- подгруппа Бореля.
Из формулы G=GB следует, что g^B, т.е. Z(G) czZ(B).
Обратное включение вытекает из следствия 11.4.
При g ^Z{GS) с В имеем g^T, где Т — максимальный тор
группы В (см. теорему п. 10.6, утверждение 5). Из сопряженности
максимальных торов вытекает, что g принадлежит каждому макси-
максимальному тору, так что Z(G)sczH, где Н — пересечение макси-
максимальных торов. Так как Н с Г, то Н — диагонализируемая группа;
кроме того, Н — нормальный делитель в G. Условие жесткости
(п. 8.10) влечет за собой включение HczZ(G). Следовательно,
H = Z{G)sy что и требовалось доказать.
11.12. Следствие. Пусть S — повтор группы G и a^ZQ{S).
Тогда множество {as}{JS содержится в некотором торе группы G.
Группа ZQ(S) связна. Для любого g^G имеет место включение
Доказательство. Покажем сначала, что элемент {a}US
содержится в некоторой подгруппе Бореля В группы G. Пусть
F — множество неподвижных точек элемента а, действующего на
многообразии G/B естественным образом. По теореме 11.10 эле-
элемент а содержится в некоторой группе, сопряженной с В, так что
множество F непусто. Так как подтор S централизует а, то мно-
множество F инвариантно относительно него. Согласно теореме 10.4,
в F есть точка, неподвижная относительно S, которую мы обо-
обозначим через х. Стабилизатор В' точки х в G является подгруп-
подгруппой Бореля группы G, содержащей множество {a}US.
Таким образом, доказательство первого утверждения сводится
к случаю, когда группа G разрешима, а в этом случае оно выте-
вытекает из теоремы 10.6, утверждение E). Кроме того, согласно тео-
теореме 10.6, группа ZB>(S) связна, откуда следует, что a^ZQ(S)°9
что составляет второе из доказываемых утверждений. Пусть теперь
g^G. По теореме 11.10 g содержится в некоторой подгруппе
Бореля В группы G. Тогда g e ZB(gs). Но последняя группа
связна (см. теорему 10.6); следовательно, g^ZQ{gs)°.
11.13. Определение. Централизатор максимального тора
группы G называется подгруппой Картана группы G.
Согласно следствию 11.12, подгруппы Картана группы G связны,
согласно следствию 11.7, они нильпотентны и, согласно следствию
11.3, сопряжены друг с другом. Из теоремы 10.6 вытекает, что
отображение T->ZQ(T) является биекцией множества максималь-
максимальных торов на множество подгрупп Картана и что ZQ (Т) = Т X Zo (T)u.
Наконец, по теореме 11.10 объединение °С подгрупп, сопряжен-
сопряженных с подгруппой Картана, содержит плотное открытое подмно-
подмножество группы G,

184 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
11.14. Предложение. A) Пусть a: G~>G' — сюръективный
морфизм алгебраических групп, В — подгруппа Бореля группы G,
иВ = Т • BUJ гдеТ — максимальный тор. Тогда а(В) = а (Т) • а (Ви) -
подгруппа Бореля группы G' и каждая подгруппа Бореля группы G'
получается таким образом. Кроме того, а (Г) — максимальный тор
группы G', и а(Ви) — а(В)и.
B) Пусть Н — связная подгруппа группы G, и пусть Во — под-
подгруппа Бореля группы Я. Тогда Во = (Я f| 5)° для подходящей
подгруппы Бореля В группы G. Если Я— нормальный делитель
группы G, то подгруппы Бореля группы Н исчерпываются груп-
группами вида {В(]Н)°9 когда В пробегает все подгруппы Бореля
группы G.
Аналогичные утверждения имеют место для максимальных то-
торов и максимальных связных унипотентных подгрупп.
Доказательство. A) Сквозное отображение G-> G'-> G'/a(B)
индуцирует сюръективный морфизм G/B-> G'/a(B), так что мно-
многообразие G'/a(B) полно, и, следовательно, а (В) — параболическая
подгруппа. Согласно п. 11.2, а {В) содержит подгруппу Бореля
группы G'. Но группа а (В) связна и разрешима; следовательно,
она сама является подгруппой Бореля. Разложение в полупрямое
произведение а (В) =а(Г) • а(Ви) и тот факт, что а(Ви) = а(В)и,
следуют из сохранения разложений Жордана при морфизмах.
В частности, а (Г) — максимальный тор в группе а (В) и, следо-
следовательно, в G'. Из теоремы сопряженности вытекает, что все под-
подгруппы Бореля, все максимальные торы и все минимальные связ-
связные унйпотентные подгруппы группы G' получаются таким путем.
B) Включим связную разрешимую группу Во в подгруппу
Бореля В группы G. Тогда В0<и(Н f\B)°, причем последняя
является связной разрешимой подгруппой группы Я. Следовательно,
она совпадает с Во. Аналогично можно доказать соответствующие
утверждения для торов и связных унипотентных подгрупп.
Следствие. Пусть S — тор и f: G->S — сюръективный мор-
морфизм. Тогда любой максимальный тор Т группы G содержит та-
такой тор S', что f: S'-> S — изогения.
Согласно предложению, /: Т -> S — сюръективный морфизм.
Из следствия п. 8.5 получаем, что компонента единицы ядра
ker (/|Г) — прямой множитель тора Г, откуда вытекает следствие.
11.15. Теорема (Шевалле). Если Р — параболическая под-
подгруппа, то Р = NQ (P).
Предварительно докажем теоретико-групповую лемму.
Лемма. Пусть Н id Mid L — такие группы, что множество
подгрупп группы М, Я-сопряженных с L, совпадает с множеством
подгрупп, М-сопряженных с L. Тогда N^ {М) а М • N^ (L).

§ И. Подгруппы Бореля 185
Доказательство. Если h^NH(M), то hL = mL для под-
подходящего т^М, так что m"lh^NH(L) и h^mNH{L).
Прежде всего сведем теорему к случаю, когда Р — подгруппа
Бореля. А именно, предположим, что теорема верна для под-
подгруппы Бореля В а Р. Принимая во внимание теорему сопря-
сопряженности (п. 11.1), мы можем применить лемму к подгруппам
BczPczG; в результате получим NG{P)cz Р - N0{B) = P - В = Р.
Пусть теперь N — нормализатор подгруппы Бореля В. Группа В
содержит подгруппу Картана C = Z0(T) для некоторого макси-
максимального тора Т (см. п. 11.13). Учитывая теорему сопряженности
для максимальных торов в группах G и В, мы опять можем при-
применить лемму к подгруппам Т с В с= G; получим, что NczB • No G1).
Используя жесткость торов и следствие п. 11.12, приходим к ра-
равенству NG (T)° = C cz В, так что группа В • NQ (Г) — конечное
объединение смежных классов по подгруппе В. Следовательно,
№ cz Ву так что
(*) В = #°.
Оставшаяся часть доказательства основывается на следующей
лемме.
Лемма. Предположим, что для замкнутых подгрупп группы G
имеют место соотношения N id В id Я, Hr id Я, причем
(i) группы Я и W связны и разрешимы;
(и) для некоторого элемента а е N множество коммутаторов
(а, Н') содержится в Я;
(Hi) В —подгруппа Бореля группы G и N = NG(B). Тогда су-
существует подгруппа Бореля В', содержащая Яг, нормализатор N'
которой содержит а, и такая, что а е В'> только если а е В.
Доказательство. Пусть D = [d e G \ d"xa d e N}. Тогда
D — прообраз множества неподвижных относительно а точек мно-
многообразия GIN. Обозначим через Do связную компоненту единицы е
в множестве D. Пусть n:G -> G/B — факторный морфизм и Е = л (D);
пусть Ео — связная компонента точки я (е) на множестве Е.
+ GIN
и и и
D —> Е —> (G/W)fl
и и
А)—* ?0
Покажем сначала, что множества Е и Ео замкнуты и Ео = я (Z)o).
Так как D — прообраз в G замкнутого множества из G/Nf
то множество ? = я (?>) — прообраз в G/B того же множества и,
следовательно, замкнуто. Тогда множество Ео также замкнуто. Так
как я(Do) — связное множество, то n(D^)czE0, Так как группа В

186 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктйвные группы
связна, TodeD0 влечет за собой dB a Do, так что ?>0 = я (я (DQ)) cz
cut (Ео). Поскольку слои отображения я: я {Е0)->Е0 связны (^ В),
то множество я {Ео) связно и, следовательно, содержится в DQ.
Таким образом, D0 = n~~l{EQ)f так что n(D0) = n(n~lEQ) = EQ,
хх 1
@
Пусть теперь h е Я'. Так как аГхкаЬГх е Я, 'то hah еаЯс
cz N - В czN, т. е. AeD. Поскольку группа Я' связна, то отсюда
следует, что Я' cz Ро. Значит, я (Я') cz ?0, и так как множество Ео
замкнуто, то я (Я') cz Eo. Множество я (Я'), будучи замыканием
орбиты Я' -я(г), инвариантно относительно Я' и является полным
многообразием, ибо G/B — полное многообразие. Группа Я' связна
и разрешима и потому имеет неподвижную точку на множестве Ео.
Так как ?0 = я(?>0), то эту неподвижную точку можно записать
в виде n{d)y d^D0. Покажем, что группа B/ = dBd удовле-
удовлетворяет всем требованиям леммы.
A) Точка n(d) неподвижна относительно Я' =#> Я'
# dTlH'd cz В # Я' cz dSd = S'.
B)dGD#rf4fld6iV#aG dNd"l=dNQ (S) d"!=iV
= N0(B') = N\
C) Пусть a e Sr; тогда d l ad ^ В, так что образ отображе-
отображения DQ-+N, g->g~lag, связен и имеет ненулевое пересечение
с группой В (ибо множество Do связно и d e Do). Согласно
утверждению (*) В = №; следовательно, этот образ содержится
в В. В частности, поскольку esfl0, то а = еае~1 ев В.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Итак, нам осталось убе-
убедиться, что B = N, где В— подгруппа Бореля и N = NG(B). Если
a^N, то as, au^N; по этой причине достаточно доказать, что
если элемент а полупрост или унипотентен, то а^ В. В любом
случае по теореме плотности п. 11.10 можно указать связную
нильпотентную группу Я, содержащую элемента. (Если a—as,
то в качестве Я можно взять максимальный тор, а если а = аи,
то максимальную связную унипотентную подгруппу.) Тогда имеется
ряд {е} = Яо cz H{ cz ... с= Нп = Я связных нормальных делителей
группы Я, такой, что (Я, Hi)czHl-l {l^t^n), в частности
(a-1, HJczH^ A </</*)..
Положим В0 = Ви N0 = N. Тогда для каждого /= 1, 2, ..., п,
используя лемму, находим подгруппу Бореля Bit содержащую Hh
нормализатор Nt которой содержит а, и такую, что ае В/ лишь
в том случае, когда a ^ В/-!-
На последнем шаге ае Я = Яяс: В„, откуда последовательно
вытекают соотношения а^Вп-и а^Вп-2у ...» а^В0 — В. Тео-
Теорема доказана.
11.16. „Многообразие44 d8 = 3(i(G) всех подгрупп Бореля
группы С Прежде всего $ (G) — множество, на котором группа G

§ 11. Подгруппы Бореля 187
действует при помощи сопряжения. В силу теоремы сопряжен-
сопряженности это действие транзитивно. Стабилизатор элемента В е 3$
совпадает с группой N0{B), которая по теореме о нормализаторе
в свою очередь совпадает с В.
Пусть Я — подгруппа группы G. Множество точек из ,$, не-
неподвижных относительно Я, совпадает с $и (здесь мы снова
применяем теорему о нормализаторе), где
Пусть Во^$ и я: G -> G/Bo — факторный морфизм. Стабили-
Стабилизатор точки x = n{g) есть
Gx = {h\ hgB0 = gB0} = {h | g-'hg €= Bo} = *B0 €= Я.
Следовательно, мы можем определить отображение
<р: G/Bo->$, <р (*) = <?*.
Так как q>(n{g)) = gBQ, то из теоремы сопряженности вытекает,
что отображение ф сюръективно. Кроме того,
Ф (я (ё)) = Ф (я (Л)) ФФ ^So = hBQФФ g"!A е yvo (Bo) = So (теорема о
нормализаторе) 44 я (g) = я (Л).
Это означает, что отображение ф инъективно. При помощи
биекции ф мы можем снабдить множество Jf структурой много-
многообразия G/?o- Более того, из теоремы сопряженности вытекает, что
эта структура не зависит от выбора группы Во. Это следствие того
факта, что отображение ф является G-эквивариантным.
В самом деле, при g, h^G мы имеем ф(А • п{g)) = ф(я{hg)) —
= hgB0 = Л (^5о)==== ЛФ (я (^))- Еще одно следствие этого соотношения
состоит в том, что если Я — подгруппа группы G, то отображе-
отображение ф индуцирует биекцию
т. е. неподвижные точки многообразия G/Bo при действии
группы Я соответствуют взаимно однозначно множеству под-
подгрупп Бореля, содержащих Я.
11.17. Следствие. Группа Бореля В максимальна среди
разрешимых {не обязательно замкнутых или связных) подгрупп
группы G.
Доказательство. Предположим, что Я — разрешимая под-
подгруппа, содержащая группу В. Тогда группа Я разрешима
(см. п. 2.4), так что мы можем предполагать группу Я замкнутой.
Тогда В == Я0. Следовательно, по теореме 11.15 Я czN0(B) — B.
Предостережение. Максимальная разрешимая подгруппа
не обязана быть подгруппой Бореля. Так, например,-при.G = SOft

188 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
и р Ф 2 группа диагональных матриц в группе G изоморфна
группе (Z^Z)"" и не содержится ни в какой подгруппе Бо-
Бореля ]).
11.18. Действие группы GT на многообразии (G/B)r.
Предложение. Предположим, что группа G действует
транзитивно на многообразии D, причем стабилизатор точки есть
группа Бореля. Пусть Т — тор в группе G. Тогда каждая непри-
неприводимая компонента многообразия DT инвариантна относительно
группы GT и последняя действует транзитивно на каждой из них.
Если В ^ ЗР> то Вт — подгруппа Бореля группы GT и соответ-
соответствующее отображение $T->&(GT) сюръективно.
Доказательство. Ясно, что множество DT инвариантно
относительно группы GT\ так как группа GT связна (п. 1.1.12),
то это свойство наследует каждая неприводимая компонента мно-
множества DT. Пусть X — одна из них, и пусть Bq = GXo ^ $ — ста-
стабилизатор некоторой точки х0 ^ X. Поскольку орбитное отобра-
отображение п: G->D, n(g) = gx0, индуцирует биективный морфизм
G/B0—>D, то многообразие D полно.
Мы утверждаем, что включение GTxoczX является равенством.
Так как множество X связно и слои (?ё Во) отображения я связны,
то множество Y = n~l{X) связно. Если у е Y, то n(y)^DT, так
что y~lTy cz Во. Пусть a: Y X Т -> В0/{В0)и — композиция отобра-
отображения (уу t)->y~lty и проекции Во-> В0/(В0)а. Жесткость торов
(п. 8.10) позволяет заключать, что а (у, t) не зависит от у. Так
как Гс1В0, то е^ Y, и поэтому при j/eK мы имеем у~~Чу =
ess t (mod BQ)U для всех t е= Т. Таким образом, y~lTy cz Т • (В0)и.
Последнее множество связно, так что из сопряженности макси-
максимальных торов вытекает, что y~1Ty = g~~lTg для некоторого
g = tb ^Т • (В0)и; мы можем заменить g на элемент &. При 5 е Т
по модулю (В0)а имеют место сравнения y~lsy ===s = b~~l sb. Но ото-
отображение y~lTy-+BQ/(B0)a инъективно, поэтому y~lsy = b~lsb, т. е.
yb~~x е Gr. Таким образом, л {у) = ух0 = yb~lx0 е GTx0 (ибо b е ?0=
= GjJ. Следовательно, GTxQ содержит n(Y) = X, как мы утвер-
утверждали. Многообразие X полно (как замкнутое множество в D);
поэтому из п. АГ. 18.3 вытекает, что многообразие GTJBl полно,
ибо морфизм GTJBl->X биективен. Группа в1 связна и разре-
разрешима; поэтому В1 e$(Gr). Из предложения 11.14 следует, что
каждая подгруппа Бореля группы GT имеет такой вид.
^Максимальные разрешимые подгруппы группы G могут быть и,конеч-
и,конечными. Относительно описания максимальных разрешимых подгрупп см. Пла*
тонов [4]. — Прим. ре$>

§ 11. Подгруппы Бореля 189
Следствие. Если группа GT разрешима, то множество $т
конечно и каждая группа Ве|г содержит Gr. В частности, это
имеет место, когда Т — максимальный тор.
Доказательство. Пусть D = G/B для некоторого Ве|.
Согласно предложению, орбита относительно группы GT в полном
многообразии DT является его неприводимой компонентой. Если
группа GT разрешима, то в силу теоремы о неподвижной точке
(п. 10.4) каждая компонента имеет неподвижную относительно
группы GT точку, поэтому каждая из них сводится к точке, так
что многообразие DT конечно. Отображение x~*Gx индуцирует
биекцию множеств Dr->$r, причем каждая группа Gx содержит
группу GT. Последнее утверждение вытекает из п. 11.13.
11.19. Однотранзитивность *) группы Вейля. Пусть Т — тор
в группе G. Группа
W = W(T, G)=No(T)/Zo(T)
называется группой Вейля группы G относительно тора Г. Группы
Вейля максимальных торов ввиду их сопряженности изоморфны
между собой, и мы называем их просто „группами Вейля
группы G".
Ввиду жесткости торов ZQ(T) = NQ(T)°, так что W — конеч-
конечная группа.
Предложение. Предположим, что Т — максимальный тор
группы G.
(a) Группа Бореля, содержащая тор Г, содержит также
группу ZQ(T).
(b) Действие группы No (Г) на множестве $т подгрупп Бореля,
содержащих тор Т, индуцирует однотранзитивное действие группы
Вейля W на $т. В частности, card Jr = [W : 1]<оо.
Доказательство. Утверждение (а) вытекает из след-
следствия п. 11.18.
(Ь) Группа NQ (T) действует на множестве 3F посредством
сопряжения, причем в силу (а) подгруппа GT действует тривиально;
следовательно, эффективное действие осуществляет группа W.
Предположим, что В, Вг е $г. Тогда В = gBr при некотором jgG;
Г и gT — максимальные торы группы S, откуда gT—-bT для неко-
некоторого JgS. Таким образом, g = bn~\ где n = g~lb ^ NG(T) и
В' = ё В = пЬ В = пВ. Это доказывает тот факт, что группа No (T)
(и, следовательно, группа W) действует на $т транзитивно.
Предположим теперь, что n^N0{T) и пВ — В, т. е. n^NB(T).
Однотранзитивность действия группы W означает, что п е GT\
Последнее следует из утверждения E) теоремы 10.6.
1) См. примечание на стр. 172. — Прим. перед.

190 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
Замечание. Как мы увидим в § 13, подгруппы Бореля,
содержащие тор Г, порождают группу G.
11.20. Предложение. Пусть a: G-> G' — сюръективный
морфизм алгебраических групп, и пусть Т — максимальный тор
группы G. Тогда Т' = а(Т) — максимальный тор группы G' и а
индуцирует сюръективные отображения
A) ЯГ->Я
B) W G\ G) -> W (Г, G').
Если ядро морфизма а содержится в каждой подгруппе Бореля
группы G, то отображения A) и B) биективны.
Доказательство. Из предложения 11.14 вытекает, что
V — максимальный тор группы G' и что отображение $->&&'
сюръективно. Если № е $/Г, то каждая подгруппа Бореля
группы a (S7H есть подгруппа Бореля группы G, отображающаяся
на В', и одна из них содержит максимальный тор Т cza~l {В')°.
Это показывает, что отображение A) сюръективно.
Выберем В^$т и положим В' = а(В). Обозначая через W
и W группы Вейля групп G и G' соответственно, мы получаем
коммутативный квадрат
W ^ W
C)
где вертикальные стрелки обозначают орбитные отображения
w -> WB и w -> ^'В7 соответственно. Согласно предложению п. 11.18,
эти отображения биективны, так что сюръективность отображе-
отображения B) вытекает из сюръективности отображения A).
Наконец, если ker(a) содержится в каждой подгруппе Бореля,
то отображение $->9ЬГ инъективно и, следовательно, инъективно
отображение A). Из коммутативности диаграммы C) следует
инъективность отображения B).
11.21. Радикалы; редуктивные и полупростые группы. Группа
называется радикалом группы G. Очевидно, что это связный раз-
разрешимый нормальный делитель группы G, содержащий все другие
такие нормальные делители. Унипотентная часть группы R(G)
R{G)a (иногда обозначаемая через RU(G))
называется унипотентным радикалом группы G. Он является
связным унипотентным нормальным делителем группы G, содер-

§ 12. Подгруппы Картана; регулярные элементы 1Э1
жащим все другие такие нормальные делители. Это вытекает из
аналогичного свойства радикала R{G).
Говорят, что группа G полупроста, если /?(G) = {e}, и редук-
тивна, если Ra{G) = {e}. Очевидно, что группа G/R(G) полупроста,
а группа G/Ra{G) редуктивна, и что они являются наибольшими
факторгруппами группы G с этим свойством.
Из рассмотрения ряда коммутантов группы R{G) и нижнего
центрального ряда группы RU(G) вытекает, что группа G полу-
полупроста (соответственно рецуктивна) тогда и только тогда, когда G
не имеет связных абелевых (соответственно унипотентных абеле-
вых) отличных от {е} нормальных делителей.
Предложение. Если группа G редуктивна, то R(G) = Z{G)°
и группа R (G) является тором.
Доказательство. Очевидно, что R(G)zd Z(G). Поскольку
группа G редуктивна, то R(G) = R{G)S, так что, согласно тео-
теореме 10.6, /?((?) — тор. Из-за жесткости торов нормальные торы
в связных группах центральны; значит, R(G) czZ{G)°.
Библиографические замечания. Все результаты этого пара-
параграфа вплоть до п. 11.14, за исключением п. 11.8, доказаны
Борелем [1]. Однако принятая в этих лекциях терминология была
введена позднее (см. Семинар Шевалле [1]). Большая часть
остальных результатов этого параграфа принадлежит Шевалле
(там же). В частности, доказательство теоремы 11.15 заимство-
заимствовано из сообщения 9 Семинара Шевалле [1]. Многообразие $
(п. 11.16) можно было бы ввести более непосредственным образом;
может случиться, что оно определено над k9 даже если в нем
нет определенных над k элементов 1) (см. Борель и Шпрингер [2],
§ 7 или Семинар Шевалле [1]; сообщение 12).
§ 12. ПОДГРУППЫ КАРТАНА; РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
12.1. Свойства подгрупп Картана. Напомним (см. п. 11.13),
что подгруппа Картана группы G определяется как централизатор
максимального тора в G.
Теорема, (а) Подгруппы Картана сопряжены.
(b) Объединение подгрупп Картана содержит плотное открытое
подмножество группы О.
Пусть С — некоторая подгруппа Картана. Тогда
(c) C = NQ(C)^
(d) С = CSX,Cu9 где T = CS — единственный максимальный тор
группы G, содержащийся в группе С, и C = GT.
1) То есть ^-определенных подгрупп Бореля. — Прим. ред.

192 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
(е) С -— максимальная среди связных нильпотентных подгрупп
группы G подгруппа.
Доказательство. Утверждения (а) — (d) были доказаны
ранее в пп. 11.7 и 11.13.
Остается показать, что С — максимальная связная нильпо-
тентная подгруппа группы G. С учетом утверждения (с) это вы-
вытекает из следующей леммы, аналогичной соответствующему
факту для конечных групп.
Лемма. Пусть Н — собственная замкнутая подгруппа связной
нильпотентной группы G. Тогда dim H<dimNQ(H).
Доказательство. Пусть Z — Z(G)°. Если Z не содержится
в //, то ZH aNQ(H)> откуда следует заключение леммы. Если Z
содержится в Я, то применяем индукцию по размерности группы
H/Z в G/Z, прообраз нормализатора которой есть группа NQ(H).
12.2. Регулярные элементы; ранг. Размерность подгруппы Кар-
тана группы G называется рангом группы G. При g^G эле-
элемент gs принадлежит некоторому максимальному тору Г, так что
dimZQ{gs)^dimGT — (ранг группы G), и мы называем элемент
g^G регулярным, если в этом соотношении имеет место равен-
равенство. Таким образом, элемент g регулярен тогда и только тогда,
когда регулярен элемент gs.
Мы будем обозначать множество регулярных элементов группы G
через Greg. Элементы множества G — Greg называются сингуляр-
сингулярными.
Лемма. Пусть Т — максимальный тор группы G и /gT.
Тогда следующие условия эквивалентны'-
(а) элемент t регулярен;
(b)Z0(/)o=G^,
(с) tф 1 для каждого корня аеФ(Г, G).
Доказательство. Так как GT — связная подгруппа группы
ZQ(t)y то эквивалентность утверждений (а) и (Ь) немедленно вы-
вытекает из подсчета размерностей. Эквивалентность утверждений
(Ь) и (с) следует из п. 9.4.
Из утверждения (с) вытекает, что регулярные элементы
группы Т образуют плотное открытое подмножество в Г. В част-
частности, регулярные элементы существуют тогда и только тогда,
когда Т Ф 1.
Предложение. Пусть g — полупростой элемент группы G.
Тогда следующие условия равносильны:
A) элемент g регулярен;
B) Z (g)° — подгруппа Картана;
C) Z(g)° — нильпотентная группа;

§ 12. Подгруппы Картана; регулярные элементы
D) элемент g принадлежит только одному максимальному тору;
E) элемент g содержится лишь в конечном числе максималь-
максимальных торов.
Доказательство. Пусть Т — максимальный тор группы G,
содержащий g. Эквивалентность утверждений A) и B) вытекает
из эквивалентности утверждений (а) и (Ь) в лемме, а имплика-
импликация B)=ФC) доказана в теореме п. 12.1, утверждение (е).
Из того факта, что связная нильпотентная группа содержит
только один максимальный тор (теорема 10.6, утверждение C)),
вытекает, что C)=#D). Кроме того, D)=ФE) тривиально.
Пусть Я = ZQ (g)°. Из условия E), с учетом сопряженности
максимальных торов в группе Я, вытекает, что фактор H/NH(T)
является конечным связным многообразием и, следовательно, со-
состоит из одной точки. Таким образом, Т — нормальный делитель
связной группы Я. Жесткость тора Т (см. п. 8.10) позволяет
сделать вывод, что Т содержится в центре группы Я, т. е.
HaGT. Но GTczZQ(g)°, так что GT = H. Отсюда следует, что E)
влечет за собой B), что завершает доказательство.
12.3. Теорема. A) Элемент g^G регулярен тогда и только
тогда, когда он содержится только в одной подгруппе Картана.
B) Множество Greg содержит плотное открытое подмножество
группы G.
Доказательство. A) Предположим, что g — регулярный
элемент. Тогда gs содержится в подгруппе Картана C = Z0(gs)°
(см. п. 12.2) и, согласно следствию 11.12, g^-C. Если С — со-
содержащая g подгруппа Картана, то gs^C's, так что С = ZG(C'S)
(см. теорему п. 12.1, утверждение (d)) содержится в группе ZQ(gs)
и, следовательно, С/ = С.
Обратно, предположим, что элемент g принадлежит только
одной подгруппе Картана С. Так как gsczCsczZ(C), то группа
Я = ZQ(gs)° содержит группу С, которая, очевидно, является под-
подгруппой Картана группы Я. Прочие подгруппы Картана группы Я
сопряжены с С и, следовательно, содержат элемент gs^Z(H).
Раз элемент g лежит лишь в одной подгруппе Картана группы Я,
то элемент gu = gjlg обязан лежать лишь в одной подгруппе
Картана группы Я. Теперь регулярность элемента gs, а вместе
с ним и элемента g, вытекает ввиду предложения п. 12.2 из
следующей леммы.
Лемма. Предположим, что связная группа Н содержит уни-
потентный элемент h, принадлежащий только одной подгруппе
Картана С. Тогда группа Н нильпотентна.
Доказательство. Пусть С = Нт, где Т — некоторый макси-
максимальный тор; вложим группу С в подгруппу Бореля В = Т • Ви.

194 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
Учитывая утверждение C) следствия 1 п. 11.5, приходим к вы-
выводу, что достаточно доказать нильпотентность группы В, Это
будет следовать из включения ficzC, которое в свою очередь
вытекает из соотношения J5aczC. Итак, пусть Bu — NmZDNm-xZD...
... zd No = {e} — нижний центральный ряд группы Ви. Индукцией
по / будем доказывать, что NtczC$ причем можно начинать, оче-
очевидно, с номера />0. Если x^Nh то h~lxhx~l e Ni-U ибо
h^Bu, так что xhx"l^hNi^lczC по предположению индукции.
Следовательно, NtczNH(C)f так что NtсNfj(C)°, ибо группа Nt
связна. Это заканчивает доказательство леммы.
B) Пусть С = GT — ТХСи — подгруппа Картана и 7^ =
= {tt=T\ta?= 1 для всех ае=ФG\ G)}. Тогда Со = ТоXСи — плот-
плотное открытое подмножество группы С; по лемме п. 12.2 Со =
= СП Greg. Так как каждый регулярный элемент принадлежит
подгруппе Картана, то Greg является образом морфизма
f:
Так 'как Coc:im(f) = Greg» то C = CoczGreg. Поскольку множе-
множество Greg инвариантно относительно сопряжения, то, следова-
следовательно, Greg=>°C, и по теореме п. 12.1, утверждение (Ь), множе-
множество °С плотно в G. Так как многообразие GXC0 неприводимо»
то / — доминантный морфизм. Таким образом, Greg = im(f) со-
содержит плотное открытое подмножество группы G (см. утвержде-
утверждение B) теоремы п. АГ. 10.1).
12.4. Предложение. Пусть a: G->G' — сюръективный мор-
физм алгебраических групп.
A) Подгруппы Картана группы G' являются образами под-
подгрупп Картана группы G.
B) a(Greg)czGfeg.
Доказательство. A) Пусть С = Gr —подгруппа Картана
группы G. Ввиду сопряженности подгрупп Картана достаточно
показать, что а (С) —подгруппа Картана группы G'. Но Г/='а(Г)--
максимальный тор группы G (см. п. 11.4); из предложения 9.6 и
следствия 11.12 вытекает, что отображение GT-+G' сюръективно.
B) При geGreg и t = gs имеем a(t) — a(g)s\ согласно предло-
предложению 9.6, отображение ZG(t)°->ZGf{a(t))° сюръективно. Так как
ZQ @°— подгруппа Картана, то ввиду A) Zq* (a (/))° — также под-
подгруппа Картана; следовательно, элемент a{g) регулярен.
12.5. Предложение. Пусть Н — не обязательно связная
нильпотентная алгебраическая группа, и пусть T = (H°)S — макси-
максимальный тор в Н° (см. теорему 10.6). Тогда Т содержится
в центре группы Н.

§ 12. Подгруппы Картана; регулярные элементы 195
Доказательство. Так как Я0 == ТX{Н\ (см. теорему 10.6),
то Т содержится в центре группы Я0 и является нормальным
делителем группы Я. Рассмотрим изоморфизм
X,: Епс1алг. групп (Г) -* Endz-мод (X, (Г))
колец эндоморфизмов (см. пп. 8.3 и 8.6). При АеЯ будем писать
I(h) вместо lnt(h) на Г и x{h) вместо Х#(/(А)). Если считать
группу Т аддитивной, то коммутирование с элементом А, т. е.
отображение t-+(h, t) = hth~lt~l совпадает с эндоморфизмом
/(A) id Т Я /(/) id
р ( ) рф
() —id. Так как группа Я нильпотентна, то элемент /(/г) — id
и, следовательно, элемент x(h) — id нильпотентен, т. е. элемент
x(h) унипотентен. Таким образом, группа х(Я), будучи образом
группы Н/Н°, является конечной унипотентной подгруппой группы
для некоторого я^О. Но группа GLrt(Z) не содержит нетривиаль-
нетривиальных унипотентных элементов конечного порядка (см. например,
п. 7.3). Следовательно, x(H) = {id}t откуда следует, что группа Я
централизует тор Г.
12.6. Определение Шевалле подгрупп Картана. Это опреде-
определение совпадает с условием B) следующей теоремы. Оно инте-
интересно тем, что имеет смысл для абстрактных групп.
Теорема. Пусть С—-не обязательно замкнутая подгруппа
группы G. Тогда следующие условия равносильны:
A) С — подгруппа Картана.
B) (а) С — максимальная нильпотентная подгруппа;
(Ь) каждая подгруппа конечного индекса группы С имеет
конечный индекс в своем нормализаторе (в G).
C) С — замкнутая связная нильпотентная подгруппа, и С =*
= NQ(C)°.
Доказательство. A)=ФB). Если Я — нильпотентная группа,
содержащая группу C = ZQ(T), то мы можем считать, что группа Н
замкнута. Так как Т — максимальный тор в группе G, то Т —
также максимальный тор в группе Яо; в силу предложения 12.5
TczZ(H), т. е. HczZQ(T) = C.
Если Н — подгруппа конечного индекса в С, то Я плотна в С,
ибо группа С связна. Следовательно, NQ{H)czNQ(C). В силу
теоремы п. 12.1 NQ(C)° — C, и включения ЯczCczNQ(C) показы-
показывают, что группа Я имеет конечный индекс в NQ(H).
Импликация A)=ФC) содержится в теореме п. 12.1.
C)=фA). Пусть C = SXCa, где S = CS. Вложим группу С
в подгруппу Бореля В, и пусть Т — максимальный тор группы В,
содержащий группу S, тогда В = Г • Ви. Положим М = ZB (S).
Тогда группа М связна (п. 11.12) и, очевидно, М = Т • Ми. Так как

196 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
группа S центральна в группе Л4, то S - Ми — связная нильпо-
тентная группа, содержащая группу С. По предположению
С = Л/0(С)°; из леммы п. 12.1 вытекает, что S-MU = C. Поскольку
группа М связна и разрешима, то {М, М)аМиаС, так что
группа С — нормальный делитель в М. Но С = NQ(C)°, и группа М
связна, так что С = М. Таким образом, С id Г, откуда вытекает,
что S = T и что С = ZB (Г) — подгруппа Картана группы В и,
следовательно, группы G.
B)=ФA). Предположим, что группа CciG удовлетворяет усло-
условиям (а) и (Ь). Так как группы С и С одновременно нильпо-
тентны или нет, то из условия (а) следует, что группа С замкнута.
Тогда, согласно условию (Ь), группа С0 имеет конечный индекс
в группе NQ(C°), так что C° — NQ(C0H. Поскольку группа С0 ниль-
потентна, то из импликации C)=#>A) вытекает, что С0 —под-
—подгруппа Картана группы G. Но тогда из импликации A)фB)
следует, что С0 — максимальная нильпотентная подгруппа, так что
С° = С.
Библиографические замечания. Определение Шевалле под-
подгруппы Картана на языке абстрактной теории групп дано Ше-
Шевалле [1], т. 3, где подгруппы Картана изучаются для поля ха-
характеристики нуль. Результаты этого параграфа можно найти
в статье Бореля [1].
§ 13. ПОДГРУППЫ БОРЕЛЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ДАННЫЙ ТОР
Если Я —замкнутая связная подгруппа группы G, то множе-
множество $н подгрупп Бореля, содержащих группу Я, пусто, если
группа Я неразрешима. Если же это множество непусто, то мы
положим
Если Т — максимальный тор, то, так как группа ЦТ) связна и
разрешима, мы можем написать 1(Т)==Т • I {Т)и. Основная цель
этого параграфа— доказать, что группа I (Т)и является унипо-
тентным радикалом (см. п. 13.16) группы G.
Этот факт находит важные применения в исследовании ре-
дуктивных групп. Помимо некоторой информации о группах „по-
„полупростого ранга 1" (п. 13.14), он используется в доказательстве
того факта, что если группа G редуктивна, то множество Ф(Г, G)
является системой корней.
Окончание доказательства этого утверждения в п. 14.8 тре-
требует дополнительной информации о действии торов на унипотецт-
йых групп ах.

§ 13. Подгруппы Бореля, содержащие данный тор 197
Наконец, он необходим при построении „большой клетки" 1),
ассоциированной с парой подгрупп Бореля (см. п. 14.1).
13.1. Регулярные, полу регулярные и полусингулярные торьь
Пусть S —тор в группе G.
Top S называется регулярным, если он содержит регулярный
элемент. Следовательно, максимальные торы регулярны (см.
п. 12.3).
Top S называется полурегулярным, если множество $s конечно.
Top S называется сингулярным, если множество $s бесконечно.
Пусть S — регулярный тор, и пусть sgS — регулярный эле-
элемент. Тогда dimZQ(s)^. dimZQ(t) для любого (gS. С другой
стороны (п. 8.18), существует элемент /gS, такой, что ZQ(t) —
= ZQ(S). Так как централизатор тора S связен (п. 11.12), то
ZQ(S) = ZQ(s)° тогда и только тогда, когда элемент s&S регу-
регулярен. В частности, в этом случае Gs является подгруппой Кар-
тана и, следовательно, нильпотентна. Отсюда и из следующего
ниже предложения вытекает, что регулярные торы полурегулярны.
Если A,: GL1->G—однопараметрическая подгруппа, то мы
будем называть А, регулярным, пэлурегулярным или сингулярным
параметром, если тор S = im(^) обладает соответствующим свой-
свойством.
Предложение. Пусть S — тор в группе G, X = G/B для
некоторой группы В е Jf. Следующие условия равносильны:
A) тор S полурегулярен;
B) тор S имеет изолированную неподвижную точку на X
(т. е. Xs обладает связной компонентой, состоящей из одной
точки);
C) группа Gs разрешима;
D) G5c/(S)
Доказательство. Импликация A)=ФB) очевидна, так как
множество Xs конечно и непусто (напомним (см. п. 11.16), что
имеется естественная биекция между множествами $s и Xs).
B)=ФC). Группа Gs связна (см. п. 11.12), и множество Xs ин-
инвариантно относительно нее; следовательно, связные компоненты
многообразия Xs инвариантны относительно группы Gs. Если одна
из этих компонент состоит из одной точки, то эта точка непод-
неподвижна относительно группы G5. Соответствующая подгруппа Бо-
Бореля содержит группу Gs, так что группа Gs разрешима.
Импликации C)=Ф D) и C)=#>A) вытекают из следствия в п. 11.18.
Импликация D)=^C) очевидна, ибо груцца I{S) разрешима.
!) В оригинале «big cell». — Прим. перев.

198 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
Следствие. Пусть Я — связная содержащая тор S под-
подгруппа группы G. Если тор S регулярен (соответственно полу регу-
регулярен) в G, то он регулярен (соответственно полурегулярен) в Н.
Доказательство. Группа Hs нильпотентна (соответственно
разрешима), коль скоро большая группа Gs нильпотентна (соот-
(соответственно разрешима).
13.2. Сингулярные подторы и корни. Зафиксируем полу ре-
регулярный тор Т. Если элемент аеХ(Г) отличен от нуля, то
Га = (кег(а))° — подтор коразмерности 1 тора Т.
Мы будем здесь обозначать корни группы G относительно
тора Т через Ф вместо обычного обозначения ФG\ G). Таким
образом,
9 = 9ге II 9«.
аеФ
Рассмотрим также подмножество Ч? =Ф(Т, G/I(T)). Напомним
(см. п. 8.17), что если мы запишем §a = L(I (Т))а@$'а, то через Ч?
обозначается множество тех корней а, для которых g? Ф 0. Мы
называем их „корнями группы G вне группы /(Г)". Кроме того,
так как GTczI(T) и, следовательно, §тaL(I(T))t то мы имеем
Предложение. A) Следующие утверждения о повторе S
тора Т эквивалентны: (а) 5 сингулярен; (Ъ) S аТа для некоторого
aG?; (с) GS<?I(T).
B) Если АеХ# (Г), то X—полу регулярный параметр тогда и только
тогда, когда (а, X) ф 0 для всех aG?.
Из утверждения A) без труда получаем
Следствие. Сингулярные подторы тора Т содержатся в син-
сингулярных подторах коразмерности 1.
Доказательство предложения. A) (а)ФФ(с). Если под-
подтор S полурегулярен, то GsaI(S) (условие D) предложения
п. 13.1), и ясно, что I(S)czI(T). Обратно, если GsczI(T), то
группа Gs разрешима (условие C) предложения п. 13.1), так что
подтор S полурегулярен.
Далее, эквивалентность (Ь)ФФ(с) есть эквивалентность (аLФ(с)
утверждения B) предложения из п. 9.4, где за Н следует принять
группу /(Г) и использовать тот факт, что группа Gs связна
(п. 11.12).
B) Применяем к подтору S = im(A,) эквивалентность (аLФ(Ь).
13.3. Действия однопараметрических подгрупп на 0 и оо. Мы
будем писать
Pl = GL1U{0}U{00} (объединение непересекающихся множеств),

§ 13. Подгруппы Бореля, содержащие данный top
принимая следующее соглашение: координатное кольцо группы q
есть кольцо К[ъУГх\> и проективная прямая Pj покрывается
аффинными прямыми с координатными кольцами К[%\ и /Cfx]»
Точки 0 и оо соответствуют уравнениям % = 0 и %~1 = 0 соответ-
соответственно в этих открытых множествах. Характер % есть отображе-
отображение отождествления GLq^/C*.
Предположим, что /: GL1-*y — морфизм в полное многообра-
многообразие. Из утверждения (f) п. АГ. 18.5 вытекает, что морфизм / одно-
однозначно продолжается до морфизма /: P{-+Y. Таким образом, мы
можем говорить о значениях /@) и f(oo).
Предположим теперь, что имеется линейное представление
группы G на векторном пространстве У, и пусть X: ОЪ{->Т —
однопараметрическая подгруппа тора Т группы G. Тогда группа G,
и тем самым группа GL^ действует на проективном простран-
пространстве &>(V). Если х ?Е&> (У), то морфизм/: GL{-+0>(V), f(t) = X{t)x9
продолжается до морфизма проективной прямой Р! в ^{V). Вместо
/@) и /(оо) мы в этом случае будем писать Х@)х и Я(оо)дг.
Для определения этих точек выберем базис еи ..., еп про-
пространства V, такой, что ei — собственный вектор, скажем с харак-
характером а*, для тора Г; пусть (ai,X) = mi (см. п. 8.6). Тогда, если
2^ и feGLlf то
Предположим, что v Ф 0, и пусть I = {Ца1Ф 0}. Пусть ? — мно-
множество тех /g/, для которых т* принимает минимальное значе-
значение/я == min nti (i e /). Пусть, аналогично, / — множество тех / е /,
для" которых п%1 принимает максимальное значение М = тахт^
(/g/). Если обозначить через [v]^^(V) образ вектора v при
проектировании я: V — 0->^(V), то для любого f e GLj мы имеем
[t>] = [^""mo] = [Г^а]. Определим морфизм
формулой
и морфизм
формулой
Так как m^ — Af<0^m; — m для всех /g/, to обе формулы
имеют смысл (в точках 0 и оо соответственно) и дают ненулевые
векторы из пространства V. Если t<=QLXi то gm(t) = t~~mX(t)v и
gM(/) = СМК(t) v. Таким образом, морфизм/: t~> [X(t) v] совпадает

200 Гл. JV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
на GL»! с обоими морфизмами nogm и n°gM- Первый из этих
двух морфизмов распространяет морфизм / на точку f =Ю, а вто-
второй—на точку / = оо. В явном виде
Из этих формул становится ясным, что
МО)[] М)[]
т — М (т. е. все m* (i^I) равны между собой) #
и — собственный вектор группы GLj относительно
[] — неподвижная точка группы GL^ при действии, инду-
индуцированном отображением X.
Если X таково, что значения mi = (aitX) различны при различ-
различных характерах а; A*О'^я), то собственные векторы группы GL^
(относительно X) совпадают с собственными векторами тора Т.
Следовательно, в этом случае А,@)[у] =Л(оо) [v] тогда и только
тогда, когда [v] — неподвижная относительно тора Т точка.
13.4. Предложение. Пусть Т — тор с линейным представ-
представлением на векторном пространстве V. Пусть Y — замкнутое мно-
множество размерности ^ 1 в проективном пространстве &*{V), инва-
инвариантное относительно Т. Тогда на Y существует по крайней мере
две неподвижные относительно тора Т точки.
Доказательство. Пусть alf ..., ап — различные характеры
тора Т в V. Можно выбрать ЯеХ#(Г)^Нот(Х(Г), Z) (см. п. 8.6)
так, что все mi = (ahX) различны. Тогда группа GI^ и тор Т
имеют одинаковые собственные векторы в пространстве V и, сле-
следовательно, одни и те же неподвижные точки в ZP{V). Мы можем
поэтому без ограничения общности предполагать, что T = GL1.
Если YT = Y, то множество YT бесконечно, так как dimF^l.
Если УтфУ, то выберем точку о G У {0}, которая проектируется
при отображении я: V — {Q}->&(V) в точку jcgF, x ф YT. Мно-
Множество Y замкнуто и, значит, содержит точки Х{0)х и Цоо)*,
неподвижные относительно тора Т (см. п. 13.3). Кроме того, так
как точка х не является неподвижной относительно Г, то из
п. 13.3 также следует, что эти неподвижные точки различны.
13.5. Следствие. Пусть Р — параболическая подгруппа
группы G, Р ф G, и Т — тор группы G. Тогда Т имеет по край-
крайней мере две неподвижные точки на многообразии G/P.
Доказательство. Согласно п. 5.1 (см. также доказатель-
доказательство теоремы 6.8), мы можем выбрать линейное представление

§ 13. Подгруппы Бореля, содержащие данный тор 201
G->GL(V) и точку хе^(У) так, что отображение g->gx инду-
индуцирует изоморфизм многообразия G/P на орбиту Y = Gx. Из пред-
предположения следует, что множество Y замкнуто и что dimF^l.
Таким образом, следствие вытекает из предложения 13.4.
13.6. Предложение. Пусть Т — максимальный тор группы, G.
Тогда G порождается всеми подгруппами В d 9P.
Доказательство. Пусть Р — подгруппа, порожденная груп-
группами Ва$т. Она замкнута и связна (п. 2.2). Зафиксируем группу
Ве$г и рассмотрим факторные морфизмы
G-^G/B^> G/P.
Предположим, что Р Ф G. Так как Р, очевидно, параболическая
подгруппа, то, согласно следствию 13.5, на многообразии G/P
есть неподвижная относительно тора Т точка, отличная от р(п(е)).
Прообраз Y в G/B этой неподвижной точки замкнут и инвариантен
относительно Г. Таким образом, точка я(у)еУ неподвижна от-
относительно тора Г, и по построению
Имеем ТуауВ, т.е. y~lTyczB. Ввиду сопряженности макси-
максимальных торов в группе В мы можем записать у1Т =ЬТ для
подходящего Ь е J5, так что yb e N0(T). Однако из определения
группы Р вытекает, что группа NQ(T) нормализует Р. По теореме
о нормализаторе (п. 11.15) Ы0(Т)аЫ0(Р) = Р, так что у = (yb) b~1^
^РВ = Р и, следовательно, р(п{у)) = р(п(е)). Противоречие.
Замечание. Мы увидим позднее (п. 14.1, следствие), что
любая связная ^-группа порождается двумя надлежащим образом
выбранными подгруппами Бореля.
13.7. Лемма. Пусть W — гиперплоскость в векторном про-
пространстве V, Y — замкнутое подмногообразие проективного про-
пространства &(V), и H = 0>{W)cz0>(V). Тогда
(a) если dimY> 1, то Y[\H Ф 0;
(b) если многообразие Y неприводимо и не содержится в Н, то
каждая неприводимая компонента многообразия Y (]Н имеет раз-
размерность dim Y — 1.
Доказательство, (а) Если Y (] Н = 0, то Y — полное
многообразие в аффинном пространстве &(V) — Я, так что мно-
множество Y конечно (см. утверждение B) п. 10.1).
(Ь) Локально на &(V) гиперплоскость Н определяется одним
линейным уравнением, и, следовательно, это верно и для гипер-
гиперплоскости Y П Н ца F. Утверждение (Ь) следует теперь из п. АГ.9,2.

202 Гл. IV. Подгруппы Ьореля; редуктивные группы
13.8. Зафиксируем полурегулярный тор Т группы G. Обозначим
через Х#(ГMГ множество полурегулярных однопараметрических
подгрупп тора Г. Согласно утверждению B) предложения п. 13.2,
это множество .непусто. Более точно (см. п. 13.2)
ХДГ),г = {Я€=Х.(Г)|<а,Л,>#0 для всех og?},
Зафиксируем подгруппу Бореля Вое$ и положим X = G/BQ.
При А,еХ#(ГMГ множество неподвижных точек из im(A,) в X
конечно и, следовательно, совпадает с Хт.
Предложение. Пусть А,еХ#(ГMГ. A) Существует и притом
только одна точка x(^)gI, такая, что Х(оо)х = х(Х) для всех х
в некоторой окрестности точки х(Х). Соответствующая подгруппа
Бореля В(Х) содержит тор Т.
B) Множество U —{х ^Х\Х(оо)х — х(Х)} является дополне-
дополнением инвариантного относительно Т сечения {в некотором !P{V))
гиперплоскостью множества X. В частности, dim (X— U) = dim X — 1.
C) Существует множество {Р J нетривиальных характеров тора Т
с тривиальными ограничениями на T(]R{G), такое, что при Ve
е Х# {T)sr равенство В(Х) = В (V) имеет место тогда и только
тогда, когда (fo, А/) > 0 для каждого i.
Замечание. Обратно, из существования такой точки х(X)
вытекает, что А, — полурегулярный параметр, ибо (см. п. 13.1,
утверждение B) предложения) точка х(Х) должна быть изолиро-
изолированной неподвижной точкой множества \т{Х). Группа В(X) назы-
называется группой, ассоциированной с X.
Доказательство. Так как многообразие X неприводимо,
то любые два непустых открытых множества пересекаются, что
очевидно, влечет за собой единственность х(Х).
Так как X = G/Bqq*{G/R{G))/{Bq/R{G)), to мы можем выбрать
линейное представление группы G/R (G) и, следовательно, группы G
в векторном пространстве V так, чтобы многообразие X оказалось
G-орбитой некоторой точки в пространстве $P(V). Пусть я: V —
— {0}->&(V), v -> [v] — канонический морфизм. Заменяя простран-
пространство V подпространством,, натянутым на множество я^), мы
можем, далее, предполагать, что многообразие X не содержится
ни в какой гиперплоскости пространства Ф{у\
Пусть ех, ..., еп — базис пространства V, такой, что каждый
вектор ei является собственным вектором, скажем с характером ait
тора Г. Положим mt = (ah X) и предположим, что базис упоря-
упорядочен так, что т{^ ... ^тл. Пусть ml== ... =тг и тГ > mt
при />г. Пусть W — гиперплоскость пространства V, натянутая
на векторы е2, ..., еп, и предположим, что а = 2#*е*^^ (т. е.
ах Ф 0). Тогда вычисление в п. 13.3 показывает, что ' "
(*) 4oo)[t>] = hel+ ... +arer\.

§ 13. Подгруппы Бореля, содержащие данный тор 203
Пусть Н — гиперплоскость ^(W) в проективном пространстве
(V). Наша цель — показать, что г=1 и что точка х{к) = [е{]
обладает свойством, сформулированным в утверждении A). Кроме
того, мы докажем, что множество U в утверждении B) совпадает
с X —(Х(]Н)9 откуда, е учетом п. 13.7, будет следовать утвер-
утверждение B).
Предположим, что г>1. Имеется бесконечное множество эле-
элементов Jg/C и векторов v вида v = ех + Ье2 + ..., таких, что
[v] si В противном случае многообразие X содержалось бы
в объединении гиперплоскости Я и конечного числа гиперпло-
гиперплоскостей а2 = Ьа{. Но это не возможно, ибо многообразие X не-
приводимо и не содержится ни в какой гиперплоскости. Так как
г>1, то из равенства (*) вытекает, что при v = e{ + Ье2+ ...
точки A,(oo)[fl] различны при различных Ь. Таким образом, мы
получаем бесконечное число неподвижных точек множества im (к)
в X, что противоречит предположению о полурегулярности пара-
параметра А,. Таким образом, г=1.
Пусть теперь г = 1. Из соотношения (*) следует, что А, (оо) [0] = [ej]
тогда и только тогда, когда v ^W. Поэтому
что доказывает утверждения A) и B).
Для доказательства утверждения C) рассмотрим параметр
А/ е Х# {T)sr. Пусть mi = {ai, h'i). Как показывает проведенное
выше рассуждение, для подходящего / число гп\ строго больше
числа гп\ для всех 1ф]> и лг(А/) = [е/]. Таким образом, х(Х') =
= х (Л) ФФ т\ > т\ для всех I > 1 ФФ («i, V) > (ah V) для всех
i > 1 ФФ (Р*, V) > 0 для всех / > 1, где р* = а{ — at. Это доказывает
утверждение C), ибо характеры at тора Т тривиальны наГПЛ(О).
Пусть f: G -+G' — изоморфизм алгебраических групп, и пусть
Г = / (Г). При ^gX$ (T)sn очевидно, / о X е= X, (Г )sr и В (А, о f) =
= f(B(X)). Предположим теперь, что n^NQ(T) и / = Int(n). Тогда
Tf = Г и, если мы введем обозначение nA, = Int (n) о Л, то
В(пХ) = пВ{К) при ne=NQ{T).
13.9. Следствие. Пусть Т — максимальный тор, W = W (Г, G)
и X — G/Bo, как и выше. Тогда
A) если dimX>l, го card№>2;
B) если dim Я > 2, го cardDF>3.
Доказательство. Напомним, что группа W действует
однотранзитивно на многообразии Хт (см. пп. 11.16, 11.19); следо-
следовательно, card W = card ЛГГ и утверждение A) вытекает из пред-
предложения 13.4. Пусть теперь dim X^2. Выберем параметр X^Xm(T)sr
и положим S = im(A,). Тогда множество Xs конечно и Г-инва-
риантно, так что XS = XT9 и достаточно показать, что card Xs ^3.

204 Гл. IV. Подгруппы Бореяя; редуктивные группы
Пусть Y — сечение многообразия X Г-инвариантной гиперпло-
гиперплоскостью, такое, что оператор А,(оо) проектирует окрестность
X — Y точки х{Х) в точку х{Х) (см. п. 13.8). Тогда множество Y
замкнуто и dim Г = dim X — 1 ^ 1. Согласно предложению 13.4,
на множестве У имеется две неподвижные относительно группы S
точки, и x(k)q?X — третья неподвижная точка в X.
13.10. Камеры Вейля. Пусть Т — максимальный тор и
W = W (Г, G). При AgX# (T)sr рассмотрим ассоциированную
группу Бореля В(Х)^$Т, построенную в п. 13.8. Пусть ВбЛ
Тогда множество
называется камерой Вейля группы В (относительно тора Т группы G).
Предложение. A) Имеется множество {fo} нетривиальных
характеров тора Г, тривиальных на Т (]R (G) и таких, что
WC {В) = {1gX^ {T)sr | (fo, X) > 0 для каждого /}.
B) Группа Вейля W действует однотранзитивно на множестве
камер Вейля WC{B) группы Bcz%T.
Доказательство. Из утверждения B) следует, что каж-
каждая камера Вейля непуста, и тогда A) совпадает с утвержде-
утверждением C) предложения п. 13.8.
Если n<=NQ(T) и X(=WC{B), то (см. конец п. 13.8) В(пК) =
= пВ{Х), так что nWC{B) = WC{nB). Если n€=Gr, то пК = Ь9 и,
следовательно, группа W — NQ(T)/GT действует на множестве
камер Вейля таким образом, что отображение/: В -> WC (В) экви-
вариантно относительно W. Так как группа W транзитивна на $т,
то каждое множество WC (В) непусто (ибо хотя бы одно из них
непусто). Но WC(B) определяет группу В; значит, / биективно.
Однотранзитивность группы W на множестве камер Вейля WC(B)
следует теперь из однотранзитивности W на $т (п. 11.19).
13.11. Централизаторы сингулярных подторов коразмерности 1.
Пусть S — сингулярный подтор коразмерности 1 в максимальном
торе. Т, и пусть В е $т. Тогда Т — максимальный тор в группе Gs,
и из предложения п. 11.18 следует, что Bs — подгруппа Бореля
группы Gs. В самом деле, отображение B->BS является эпимор-
эпиморфизмом множества ^?(G)rHa множество $(Gs)Tl). В записи WC{BS)
группу Bs следует рассматривать как элемент множества $(GS)T.
Предложение. (I) Группа Вейля W(Г, Gs) имеет порядок 2.
B) В X, (Т) имеет место соотношение WC {В) <= WC {Bs).
1) Применяем упомянутое предложение к группе Gs\ тогда $(G)T--
: a (GS)T = 39 (G7). — Прим. перев.

§ IS. Подгруппы Бореля, содержащие данный тор 20S
C) Если С — один из двух элементов множества $(GS)T, то
имеется нетривиальный элемент аеХ {T/S) с: X (Г), такой, что
для любого Ве^г
Bs = С «* (а, Х)< 0 для всех Я е= ГС (М).
Если С — другой элемент множества $ {GS)T, то
(а, X) < О для все* ^efC(В).
Доказательство. A) Положим Я = Gs, и пусть я: Н->Н'=
= Я//? (Я) — факторный морфизм. Тогда Г' = я (Г) — максималь-
максимальный тор в группе Я7, и предложение 11.20 утверждает, что ото-
отображение W{T, H)->W' = W{T', Я') является изоморфизмом. Мы
сначала покажем, что dim7v= 1, а затем выведем из этого факта,
что card W' — 2> откуда будет следовать утверждение A).
Так как SaR(H) и S имеет коразмерность 1 в торе 71, то
dimr/ = dimG1/rn/?(Я))^ 1. С другой стороны, так как тор S
сингулярен, то группа Я = GS неразрешима; следовательно,
группа Я' неразрешима и, согласно п. 11.5, Т ф{е}. Таким обра-
образом, dim Tf = 1.
Из п. 13.9 (утверждение 1 следствия) вытекает теперь, что
card DT > 2. С другой стороны, группа W = NH> (T')/ZH'{T') дей-
действует на Т' точно, и так как Т' ^ GLq, то (см. пп. 8.3, 8.4) группа
At(r7)^ GL^Z) имеет порядок 2. Следовательно, card W ^. 2.
B) Рассмотрим коммутативный квадрат
G -2-+G/B
А
I'
Gs
где я и я5 — факторные морфизмы и / {ns (g)) = g • я (е). Тогда
отображение / инъективно. Если X^WC(B), то п{е) = х(Х), так
что X (оо) проектирует открытое множество на точку я (е). Следо-
Следовательно, при соответствующем действии на многообразии Gs/Bs
оператор Цоо) проектирует открытое множество на точку ns{e),
т. е. группа Bs ассоциирована с параметром X в группе Gs, что
и требовалось доказать.
C) Из A) и утверждения B) предложения п. 13.10 вытекает,
что имеются две камеры Вейля тора Т как тора в группе Gs.
Согласно утверждению A) предложения п. 13.10, каждая из них
имеет вид {lGXt(r)sr|(fc ^)>0 для каждого /}. Здесь через
\(T)sr обозначается множество параметров X, которые полуре-
полурегулярны в группе Gs, и Р^ — нетривиальные характеры тора T/S.
Так как dim71/S==l, то X(r/S)^Z. Поскольку имеются две не-
непустые камеры Вейля, то они должны иметь вид

206 Гл. IV. Подгруппы Вореля; редуктивные группы
где а — образующая группы X (T/S) ?ё Z. В частности, WC (В)
имеет такой вид для некоторого а. Но в группе Z лишь два эле-
элемента 1,-1 могут служить образующей, так что C) вытекает
из B).
13.12. Следствие. Пусть Q — сингулярный повтор коразмер-
коразмерности 1 в торе Ту отличный от S. Тогда существует подгруппа
Бореля В' е 9Р\ такая, что
B's = BS и B'Q ф J3Q.
Доказательство. Используя утверждение C) предложе-
предложения п. 13.11, мы можем найти нетривиальные характеры aeXG/S)
и p<=XG7Q), такие, что при В'<=0$т и X's=WC(B')
Так как БфС}, то характеры аир линейно независимы в Х(Г)
(ибо их ядра имеют различные связные компоненты); поэтому мы
можем найти такой параметр VgXJT)sp что (а, V) > 0 и
(р, V)<0. Тогда группа В' = В(Х') является искомой группой
Бореля.
13.13. Группы полупростого ранга 1 и группа PGL2. Пусть
Т — максимальный тор группы G и W = W (Г, G). Число dim {Т/Т П
f|/?(G)), т. е. размерность максимального тора группы G/R(G),
называется полупростым рангом группы G. Ввиду сопряженности
максимальных торов полупростой ранг зависит только от G. На-
Например, группа PGL2 неразрешима и размерность ее максималь-
максимального тора равна 1 (см. п. 10.8); следовательно, ее полупростой
ранг равен 1.
Предложение. Следующие условия эквивалентны:
A) полу простой ранг группы G равен 1;
B) card W = 2;
C) dimG/B==l (где Ве=$);
D) многообразие G/B изцморфно Р^
E) существует сюръективный морфизм <р: G->PGL2> такой, что
кег(ф)= f] В' {так что (кег (<р))° = R (G)).
Доказательство. Импликация A) =ФB) содержится в дока-
доказательстве утверждения A) предложения п. 13.11.
B)=ФC). Поскольку card l^ = card^r> 1, то группа G нераз-
неразрешима, так что dim G/S^l. Так как cardW<3, то из утвер-
утверждения B) следствия 13.9 вытекает, что dim G/B < 2.
C) =ф D). Пусть X ^ X* (Т) — регулярный параметр. Тогда
группа GLj действует (посредством X) на многообразии G/B не-

§ 13. Подгруппы Бореля, содержащие данный тор 207
тривиально, ибо тор Т действует нетривиально. Из того факта,
что G/B — неприводимое многообразие размерности 1, вытекает,
что если точка х е G/B не является неподвижной относительно Г,
то орбитное отображение GI^-* G/B9 t-^X{t)xt является доминант-
доминантным моофизмом. Следовательно, для полей функций на этих
многообразиях имеет место включение K{G/B)c:K{GLl). Но
/С (GLx) — поле функций от одной переменной; по теореме Люрота
K(G/B) — также поле функций от одной переменной. Многообразие
G/B есть полная гладкая кривая; следовательно, она изоморфна
проективному пространству Р^
D) =Ф E). Если 6/В^Рь то, как следует из п. 10.8, действие
группы G на GIB задается морфизмом qp: G ->PGL2(= Aut(P1)).
Ясно, что ядро этого морфизма равно (]В' (Вг е$), так что
(ker (qp))° = /?(G). Так как группа G неразрешима (ибо ВФв), то
в силу следствия 11.6, qp(G)>2. Но группа PGL2 связна и имеет
размерность 3. Следовательно, морфизм <р сюръективен.
E) =ФA). Из существования морфизма ф вытекает, очевидно,
что полупростой ранг группы G совпадает с полупростым рангом
группы PGL2, который равен 1.
Следствие. Предположим, что полу простой ранг группы G
равен 1; пусть Во, Ви В^ — различные подгруппы Бореля группы G.
Положим 1= ()В{В<=$). Тогда {Во f] В{)/1 ^ GL2 и BQ f] В{ П В«, = /.
Доказательство. Существует сюръективный марфизм
ф: G -> PGL2 с ядром /, такой, что группы Bt являются стабили-
стабилизаторами различных точек многообразия Р^ (Если подействовать
на Р{ подходящим автоморфизмом, то можно даже считать, что
Bt — стабилизатор точки /(/ = 0, 1, <х>) (см. п. 10.8).) Следствие
вытекает из того факта, что группа PGL2 действует однотранзи-
тивно на тройках различных точек в пространстве Pj и что под-
подгруппа, оставляющая неподвижными пары точек, изоморфна GLt
(см. п. 10.8).
13.14. Редуктивные группы полупростого ранга 1. Пусть
G — редуктивная группа полупростого ранга 1 и Т — максималь-
максимальный тор в G. Положим
-г-соответствующие алгебры Ли.
Предложение. A) 1{Т) = В[\В' = Т и I = Z{G).
B) Ви ^ Ga и действие тора Т на группе Ви задается образую-
образующей а группы Х{Т/Т(}1). Далее, ФG\ В) = {а} и Ь==1(Г)фда.
Кроме того, Ви — единственная Т-инвариантная подгруппа группы G,

208 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
такая, что L {Ви) = да. Подобные же утверждения имеют место по
отношению к группе Bf с заменой характера а на — а.
Доказательство. Согласно предложению п. 13.13, имеется
сюръективный морфизм ср: G->PGL2 с ядром /. Поскольку
Ru{G)=={e), то морфизм ф: Bu-*y{Bu)^Ga имеет конечное ядро,
так что Ви — связная унипотентная группа размерности 1. Согласно
теореме 10.9, существует изоморфизм 9: Gfl->BU и изоморфизм
6': Gа->В'. Если t<=T и 6 е= G , то
для подходящего аеХ(Г) (см. п. 10.10). Переходя к группе PGL2,
мы видим, что характер а порождает группу X (ф (Т)) = X (Т/Т f|/)
и что действие тора Т на группе В'и задается характером —а
(п. 10.8).
Тогда группа Ви П В'и соответствует собственной подгруппе
группы Gfl, инвариантной относительно нетривиального линейного
действия тора Г, задаваемого характером а; таким образом,
Ви(\В'и = {е).Тж как В = Т-Ви, то В П В' = Т • (Ви(] В') = Т-(Ви(]
f|BQ = r. Но Т czI(T) = (B[}B')°, что доказывает первую часть
утверждения A). Отсюда следует далее, что /с:Г, так что
/ — диагонализируемый нормальный делитель группы G. По тео-
теореме жесткости /czZ(G). Обратное включение вытекает из след-
следствия 11.11, что доказывает A).
Так как В = Т • Ви, то Ь =¦= L (Т)ф L (Ви) и сделанные выше
замечания показывают, что L(BU) — одномерное подпространство
алгебры Ли да. Подобным же образом b'^=L(r)©L(B«)> причем
L(By) — одномерное подпространство алгебры Ли д_а. Следова-
Следовательно, ЬПЬ' = 1(Г), откуда, подсчитывая размерности, получаем
Ь + Ь' = д, ибо
dim(b + b/) = 2 + dim7\
dim G = dim / + dim PGL2 = dim / + 3
и
dimr=dim/ + dim(p(r) = dim/+ 1.
Это доказывает все утверждения в B) и C), кроме следующего:
если Н — связная Г-инвариантная подгруппа, такая, что L(H) = ga,
то Н=-.Ви.

§ 13. Подгруппы Бореля, содержащие данный гор 209
Так как dim Я = 1, то Я — либо тор, либо унипотентная группа.
Если бы группа Я была тором, то ввиду жесткости группы Г и Я
были бы поэлементно перестановочны. Но тор Г действует на L(H)
нетривиально, откуда следует, что Н = Ни. Заметим далее, что
Г-Я—-связная разрешимая подгруппа, содержащая Г; поэтому
группа Т - Я содержится либо в В, либо в В'. Так как Ф(Г, В') —
= {— а} и Ф (Г, Т • Я) = {а}, то Т • Я <= В и, следовательно, Я с Вц.
Подсчет размерностей показывает, что Н = Ви.
Докажем, наконец, утверждение D). Пусть я: G->G/B — фак-
факторный морфизм; положим хо=тс(е). Так как В — стабилизатор
точки х0 и В'и{)В = {ё}, то множество {6'(с)л:0] (с е Gfl) содержит
некоторую окрестность точки л:0 на многообразии G/B ^ Р^ Пред-
Предположим, что параметр ^еХ^(Г) таков, что т = (а, А,)>0. При
ceGfl и t^GL{ имеем
X (t) 6' {с) х0 = X (t) 8' (с) X (t)~l xQ (тор Т оставляет неподвижной
точку лг0) =
Полагая здесь Г равным 0 (или t равным оо), получаем
Отсюда следует, что X — полурегулярный параметр и что х(Х) = х0.
Это показывает, что
(а, X) > 0 =# параметр X полурегулярен и х(X) = х0(т. е. В(Х) = В).
Согласно утверждению C) предложения п. 13.11, условие (аД)>0
определяет в Х#(Г) камеру Вейля, так что
Подобным же образом получается аналог этого утверждения для В'.
13.15. Обратимся теперь к общей ситуации, т. е. группа G
более не предполагается полупростой группой ранга 1, если про-
противное не оговорено.
Лемма. Пусть S и Q — различные сингулярные торы кораз-
коразмерности 1 в максимальном торе Г, и пусть В $г
A) B/?)
B)
Доказательство. A). Согласно утверждению A) предло-
предложения п. 13.11 и утверждению E) предложения п. 13.13, суще-
существует сюръективный морфизм ф: G5->PGL2, такой, что (кег(ф))° =
= R (Gs) и Ф {В1) ^ Gfl. Отсюда следует, что dim {BSJ{BSU (] Ru(Gs)))= 1.
Утверждение A) вытекает теперь из соотношения R (Gs) с: / (S) cz
с:/(Г) (см. п. 11.18).

210 Гл. IV. Подгруппы Воре ля; редуктивные группы
B) Выберем группу В', как в п. 13.12. Так как В^ФВ'0, то
из следствия в п. 13.13 вытекает, что BQ(]B/Q=T>Ru(GQ)t и,
согласно п. 11.18, эта группа содержится в группе /(Г). Так как
B'S = BS, то ЦВ^сВПВ' и I {Bs)<* а В<* ft B'Q cz I {T).
13.16. Теорема. Пусть Т — максимальный тор в группе G.
Тогда I(T)U = RU{G).
Доказательство. Ясно, что Ru (G) а I (Т)и и что последняя
группа связна и унипотентна. Остается показать, что группа
1{Т)и — нормальный делитель группы G.
Согласно предложению 13.6, группа G порождается подгруп-
подгруппами Бореля В е <%т. Комбинируя это с утверждением B) след-
следствия 9.5, получаем, что группа G порождается группами Bs
при В е ^?г, когда S пробегает различные подторы коразмер-
коразмерности 1 тора Т. Так как Bs = T • В«, то достаточно показать, что
группа jBf нормализует группу 1{Т)и. Отметим сначала, что
(*) если S —- полурегулярный тор, то, согласно предложению
п. 13.1, BsaGsaI{S)c2l{T)9 так что BsuaI{T)u.
Предположим теперь, что S — сингулярный тор. Тогда группа в?
содержится в группе
так что остается показать, что группа Н нормализует группу / (Т)и.
Заметим, что 1{Т)иаН и что Я— связная унипотентная группа,
которая нормализуется тором Т (ибо группы Bs и Ви нормализуются
тором Г). Поэтому если мы покажем, что dimH ^.diml {Т)и + 1,
то из леммы п. 12.1 будет следовать, что группа Н нормализует
группу 1{Т)и.
Известно (см. утверждение B) следствия 9.5), что группа Н
порождается группами HQ, когда Q пробегает подторы коразмер-
коразмерности 1 в Г. Если Q — S, то, очевидно, Hs = Bu и из утвержде-
утверждения A) леммы п. 13.15 следует, что dim(Hs/(Hs(]I(T)u))^l.
Если Q ф S и тор Q полурегулярен, то, согласно утверждению (*),
HQ а В$ а I {Т)и. Предположим, наконец, что тор Q сингулярен
и отличен от S. Тогда, очевидно, HQaI(Bs)Qt причем последняя
группа содержится в /(Г), согласно утверждению B) леммы
п. 13.15. Следовательно, HQaI{T)u для всех Q ф S, так что есте-
естественный морфизм
сюръективен. Как мы отмечали ранее, левая часть имеет размер-
размерность ^1, что завершает доказательство.

§ 13. Подгруппы Бореля, содержащие данный тор 211
13Л7. Из доказанной теоремы можно извлечь ряд важных
фактов. Примем обозначения: Т — максимальный тор, S — подтор
группы G.
Следствие 1. (a) RU(GS) = RU(G)S.
(b) Если подтор S полурегулярен, то {GS)U = RU(G)S.
(c) GT = T-R(G)T
Доказательство. Утверждение (с) есть частный случай
утверждения (b), a (b) вытекает из (а), ибо RU(H) = HU, когда
Я— связная разрешимая группа (теорема 10.6).
При доказательстве утверждения (а) мы можем предполагать,
что SaT (п. 11.5). Группа RU(G)S — связный унипотентный нор-
нормальный делитель группы Gs и, следовательно, Ra(G)s cz RU(GS).
С другой стороны, группа RU{GS) содержится в каждой подгруппе
Бореля группы Gs, а среди них имеются все группы Bs, В^$т.
В частности, Ru{Gs)c:I{T) = T • RU{G) по теореме 13.16, так что
Ru(Gs)aRu(G)s.
Следствие 2. Предположим, что группа G редуктивна, SaT.
(a) Группа Gs редуктивна.
(b) Если S — полурегулярный тор, то Gs = Т. В частности, тор S
регулярен.
(c) GT = T. Подгруппы Картана группы G совпадают с макси-
максимальными торами.
(d) Пересечение Z всех максимальных торов совпадает с Z(G).
Утверждения (а), (Ь) и (с) непосредственно вытекают из соот-
соответствующих утверждений следствия 1. Группа Z — диагона-
лизируемый нормальный делитель; ввиду жесткости торов она
содержится в центре группы G. С другой стороны, согласно
утверждению (с), группа Z(G) содержится в каждом максималь-
максимальном торе. Это доказывает утверждение (d).
13.18. Корни в редуктивных группах. Пусть Т — максимальный
тор в группе G. Автоморфизм группы Х(Г) называется отраже-
отражением, если он имеет порядок 2 и тривиален на подгруппах коранга 1.
Как и в п. 13.2, положим Х? = Ф{Т, G/I (Г)); вместо Ф (Г, G)
мы будем писать просто Ф.
Следующая теорема суммирует значительную часть накоплен-
накопленной нами информации о редуктивных группах.
Теорема. Пусть G — редуктивная группа.
A) ?=Ф, L(T) = f и g = <f 0 П 9а-
аеФ
B) Сингулярные торы коразмерности 1 в Т имеют вид Га=(кега)°,
а«ф

212 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
C) Множество Ф порождает подгруппу конечного индекса
в группе X(r/Z(G)°) сиХ(Г). Если характеры а и р из Ф линейно
зависимы, то р = ± а.
D) При аеФ положим Ga = Zo(Ta). Тогда Ga —- редуктивная
подгруппа полупростого ранга 1, причем
(a) -ае=Ф и L(Ga) = gr©ga® д_а;
(b) dimga=l;
(c) подгруппа W{T, Ga) группы W(T, G) порождается отраже-
отражением га, га (а) = — а;
(d) существует единственная связная Т-инвариантная под-
подгруппа Ua группы G, такая, что L(f/a) = ga. Это унипотентная
часть подгруппы Бореля группы Ga, содержащей тор Т.
E) Пусть В е= Ят.
(a) Для каждого аеФ множество Ф(В)П{а, -— а} = ф(Г, В?а)
состоит в точности из одного элемента. Следовательно, множество
Ф — объединение непересекающихся множеств Ф(В) и —ФE);
(b) ГС(В)=={А,еХ#(Г)|(аД)>0 (Зля всел: абФ(В)};
(c) если Xs=WC{B), то Ф(В) = {а еФ|(а, Я)>0};
(d) яа группе Х(Г) можно задать структуру линейно упоря-
упорядоченной группы, так что Ф(В) б#дег множеством положительных
элементов в Ф;
(e) L(B) = <f0 Ц &.
аеФ(В)
Доказательство. A) Из теоремы 13.16 и предположения
о редуктивности группы G следует, что / (Г) = Г. Ясно, что
ФG\ (?/Г) = Ф. Имеет место разложение (см. п. 8.16):
9 = 9ГФ II
аеФ
Согласно предложению п. 9.4, gr=L(Gr) и ввиду следствия 2
п. 13.17 GT=T.
B) Первое утверждение вытекает из утверждения A) предло-
предложения п. 13.2, ибо ЧР = Ф. Известно (см. п. 13.17, следствие 2),
что Z(G)° —подтор тора Г. Если 5 — подтор тора Т, то, согласно
п. 9.4, Gs = G #Ф й5 = gФФ5 с Га для каждого а?ф, Таким обра-
образом, Z (О)о= (П Гв)°.
C) Ясно, что доказанное только что равенство равносильно
условию, что множество Ф порождает подгруппу конечного индекса
в группе X(T/Z(G)°). Если а, реХ(Г), то, очевидно, характеры a
и р линейно независимы, т. е. равенство па = пг$ для некоторых
отличных от нуля пг, п ^ Z может выполняться тогда и только
тогда, когда группы Та = (ker (a))° и Гр = (кег(Р))° совпадают.
В этом случае PgO(Gq), так что последняя часть утверждения C)
будет следовать из утверждения D) (а), которое влечет за собой
равенство ФG\ Ga) = {a, —a}.

§ 13. Подгруппы Бореля, содержащие данный тор 213
D) Имеем L(Ga) = gr© П 9Й; из п. 13.11 известно, что
гасГр
группа Ga имеет полупростой ранг 1, а из п. 13.17 — что группа Ga
редуктивна. Следовательно, мы можем использовать результаты
п. 13.14. Так как a<=<?(Ga), то из предложения п. 13.14 вытекает,
4ToO(Ga) = {a, — a} и что dimga=l. В частности, бГа = 8Г©Йа® 9_а,
так что ТааТр (при реФ)^р=±а. Это доказывает утвержде-
утверждения (а) и (Ь).
Как уже отмечалось, группа W(T, Ga) имеет порядок 2; пусть
га — ее образующая и п — прообраз элемента га в группе Nq (Г).
Автоморфизм группы Г, индуцированный элементом п, имеет
порядок 2 и оставляет неподвижной каждую точку подтора Та
коразмерности 1. Следовательно, множество коммутаторов (п, Т)
образует подтор коразмерности 1 (ибо он является нетривиальным
образом группы T/TaG* QL{). Если ре=Х(Г), то ${ntn~l) = fb(t)
для всех /е= ГФ*Р((я, Т)) = {1}4&(п, Г)скег(р). Множество таких р
образует подгруппу коранга 1 в группе Х(Г), не содержащую а.
Так как множество Ф(аа) = {а, —а} инвариантно относительно га,
то га (а) = — а, ибо в противном случае автоморфизм га оставлял бы
неподвижными элементы подгруппы конечного индекса в группе X (Г)
и, следовательно, был бы тождественным. Это доказывает утвер-
утверждение (с).
Докажем, наконец, утверждение (d). Пусть Я — связная Г-ин-
вариантная подгруппа группы G, такая, что L(tf) = ga. Так как
dimtf=l, то Я —либо тор, либо унипотентная группа. Если
Я — тор, то ввиду жесткости торов группа Я централизует тор Г,
что противоречит нетривиальности действия тора Т на L(H).
Следовательно, по теореме 10.9 существует изоморфизм 8: Gfl-> Я,
и мы имеем /8{Ь)Сх = 8{tab) при /gT, 6GGfl, Отсюда следует,
что Я cz Ga. Теперь существование и единственность группы Ua
следует из соответствующих утверждений о группе Ga (см. п. 13.14).
E) Утверждение (а) вытекает из предложения п. 13.14, ибо
BTacz$(Ga)T и <I>(Ga) = {a, —a}, как отмечалось выше.
Кроме того, из п. 13.11 следует, что
WC{В) с= WC(Вт*) = {^Х,(Г) |(а, X)>0}
для каждого а<=Ф(В). Для доказательства утверждения (Ь) мы
покажем, обратно, что любой параметр Ае Q WC(BTv) при-
a €= Ф (В)
надлежит камере Вейля WC{B).
Если параметр X не полурегулярен, то, согласно B), S —
= im (Л) с: Та для некоторого а, так что Ga cz Gs, а это противо-
противоречит тому факту, что параметр Я полурегулярен в группе Ga.
Таким образом, параметр X полурегулярен и определяет группу

214 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
В' = В(Х); мы должны показать, что S' = B. Из предположения
вытекает, что В'Та = Вг<* для всех абф. Но, согласно утвержде-
утверждению B) п. 9.5, группа В порождается подгруппами BT°- и анало-
аналогичное утверждение имеет место для группы В'. Следовательно,
В = В', что и требовалось показать.
Очевидно, что утверждение (с) является следствием утвержде-
утверждений (а) и (Ь).
Докажем утверждение (d). Пусть Яр ..., Лг —базис группы Х#(Г),
такой, что B = B(kx). Для ненулевого характера а мы будем
писать, что а>0, если первый отличный от нуля член среди (а, Xt)
A^/^г) положителен. Этим определяется линейный порядок
на группе Х(Г). Если абФ(В), то (а, A,i)>0, так что а>0.
Если а?ф, а^Ф(В), то, согласно утверждению (а), -абФ(В),
так что <х<0.
(е) По определению, если fe = L(B), то Ь = Ьг0 Д Ьа. Но,
а е= Ф (В)
очевидно, Ът = L (Т) = дг и, если а е Ф(В), то Ьа = да, ибо dim да = 1
(утверждение D) (Ь)). Теорема доказана.
1*Л9, Предложение. Пусть G—связная редуктивная группа
и X — полупростой элемент ее алгебры Ли д. Тогда группа ZQ (Х)°
редуктивна.
Доказательство. Сохраним обозначения п. 13.18 и поло-
положим Н = ZQ(X)°. Согласно предложению 11.8, мы можем считать,
что let. Имеем
В соответствии с п. 9.1 %(Х) — L{H). В частности, если aG?,
то GaczH. Требуется доказать, что радикал RU{H) р-авен еди-
единице {е}. Согласно следствию 9.5, радикал RU{H) порождается
централизаторами сингулярных подторов тора Г, значит, их пере-
пересечениями с некоторой группой Ga, т. е. наконец, некоторыми
подгруппами {/„(ae^P). Но если UaczRu(H), то группа Ыа содер-
содержится в унипотентном радикале группы Ga. Последняя группа
редуктивна (см. п. 13.17, следствие 2) — противоречие.
Библиографические замечания. Результаты этого параграфа
(кроме п. 13.19) принадлежат Шевалле (см. Семинар Шевалле
[1], сообщения 10, 11 и 12).
§ 14. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ И РАЗЛОЖЕНИЕ БРЮА
В РЕДУКТИВНЫХ ГРУППАХ
В этом параграфе связная аффинная группа G предполагается
редуктивной. Через Т обозначается максимальный тор группы G;
вместо ФG\ G) мы будем писать просто Ф. Для каждого аеф,
положим Га == (кег (а)H и C?a = Z(rj

§ 14. Системы корней и разложение Брюа 215
Группа Вейля W = W (Г, G) действует на группе Х(Т) и мно-
множестве Ф, инвариантном относительно нее. Наша цель — показать,
что Ф — приведенная система корней в некотором подпространстве
пространства X(T)Q = X(T) ®ZQ с группой Вейля W (см. п. 14.8).
Учитывая результаты § 13, нам остается доказать главным обра-
образом, что га(Р) — peZa; это будет сделано в п. 14.6 после неко-
некоторой подготовительной работы, которой посвящены пп. 14.3—14.5.
Пусть Ве^ги я: G~> G/B — факторный морфизм. Положим
о = п{е). Разложение Брюа (п. 14.11) означает, что если ?/ = Sa,
то отображение w-+Uw(o) является биекцией группы W на
множество U-орбит на многообразии G/B. Кроме того, при w&W
орбита Uw{o) изоморфна аффинному пространству (клетке) и
w (о) — единственная неподвижная относительно тора Т точка на
Uw (о).
14.1. Теорема. Пусть Xe=WC{B) при В, ?'€=$^ Следую-
Следующие условия равносильны:
(I) В()В' = Т\ (i) bflb' = L(r) (b«=L(B), b' = L(B')V>
(II) Морфизм-произведение BXS'->G является доминантным
и сепарабельным; (ii) b + b' = g;
(III) В' = В(—Я); (Hi) Ф(В') = — Ф(В).
Из условия (III) видно, что существует единственная группа В',
удовлетворяющая сформулированным условиям. Она называется
группой Бореля, противоположной группе Бореля В. „Большая
клетка", ассоциированная с тором Т и группой В, есть произве-
произведение В • В', которое содержит, согласно условию (II), плотное
открытое подмножество группы G.
Доказательство. Из п. 13.18 известно, что
as Ф
аеФ(В)
. Йа
(ВО
и Ф — объединение непересекающихся множеств Ф{В) и — Ф{В)=
= Ф(В(—Я)). Из этих фактов вытекает эквивалентность утвер-
утверждений (i), (ii), (Hi), (III).
Эквивалентность утверждений (II) и (ii) также очевидна (см.
п. АГ. 17.3).
A)=Ф(ш). Предположим от противного, что В(]В' — Т и что
имеется характер аеФ(В)ПФ(В')« Тогда ?г<* = В'т« с= В (] В' —
противоречие.
(i)#(I). Так как ТаВ()В' и L{B(] В'^ЬПЬ', то (j) влечет
за собой равенство Т = {В[\В')°. Так как В=-ТВи, то В[\В'=

216 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
= Т • С, где С = Ви П В' = Ви П Я« • Тогда С — конечная группа,
которая нормализуется и, следовательно, централизуется связной
группой Г. Таким образом, С czGT (]Ви = Т (]Ви = {е} (см. п. 13.17,
следствие 2).
Следствие 1. Пусть Н — связная группа, Т — максимальный
тор группы Н и В — подгруппа Бореля группы Я, содержащая
тор Т. Существует одна и только одна подгруппа Бореля Вг
группы Я, удовлетворяющая следующим трем эквивалентным
друг другу условиям:
B[\B' = T-Ru{H)y Ь()Ь'= t + L(Ru(H)), Ъ + Ь' = Ь
Пусть я: H-+H'=H/RU (Я) — каноническая проекция. Группа Я'
редуктивна (п. 11.21) и тс (В) (соответственно я (Г)) — подгруппа
Бореля (соответственно максимальный тор) группы #' (п. 11Л4).
Кроме того, каждая подгруппа Бореля группы Я содержит Ru (Я)
и является прообразом некоторой подгруппы Бореля группы Я'.
Следствие 2. Пусть Я — связная группа и Р •— параболи-
параболическая подгруппа группы Я. Тогда группа Р совпадает с норма-
нормализатором в G алгебры Ли L(P).
Пусть Q — NQ{L (Р)). Тогда группа Q содержит группу Р и,
следовательно, является параболической подгруппой. Из тео-
теоремы 11.15 видно, что группа Q связна. Пусть В — подгруппа
Бореля группы G, содержащаяся в Р. Если Вг — подгруппа Бореля
группы Q, то В' сопряжена с В при помощи элемента из группы Q,
так что L(B')cz L(P). С другой стороны, согласно следствию 1,
существует такая подгруппа Бореля Вг группы Q, что L (В') +
+ L{B) = L(Q). Следовательно, L(Q) = L{P) и Q = P.
14.2. Центр и коммутант. Обозначим через C = Z(G)° „связ-
„связный центр" группы G. Так как группа G редуктивна, то С сов-
совпадает с R{G) (см. п. 11.21); поэтому группа G/C полупроста.
Предложение. A) C = t f) Ta)° ={TW)°.
\аеФ /
B) Коммутант Об группы G является полупростой группой.
C) G = С • DG, и С() DG — конечная группа.
Доказательство. A) По теореме п. 13.18 (см. утвержде-
утверждение B)) С=/Р) Та\°; очевидно, что CczTw. Остается показать,
\оеФ /
что (Tw)°czTa для каждого абф, Согласно п. 13.18 (утвержде-
(утверждение D) (с) теоремы), существует такой элемент w^W, что w(a) =
= - а. Если теперь teF, то wt = U так что f = {wtf= tw{a) = Г*.
Таким образом, Г^с=кегBа) и (кег Bа))° = (кега)°=Га.
C) Напомним сначала, что группа PGL2 совпадает со своим
коммутантом (п. 10.8). Так как группа GJT^ изогенна группе PGL2,

§ 14. Системы корней и разложение Врюа 21?
то Ga — Ta'DGa для каждого аеф, Известно (п. 13.18), что
группы Ga (а^Ф) порождают группу G, так что остается пока-
показать, что Т cz G • DG. Положим D = (NQ (Т)9 Т)° a {DG Г) Г). Доста-
Достаточно доказать, что T = C-D или что Tq = Cq + D'Qt где Г'= X, (Г),
С' = Х#(С), D' = X,(D). Но C' = T'W в силу утверждения A) и
по построению все элементы A-ш)Я (^е?Де Г') содержатся
в группе D'. Тогда подпространство пространства jTq, натянутое
на эти элементы, обладает дополнением {Tq)w = {T'w)Qt так как
групповая алгебра Q[W] полупроста. Это доказывает соотноше-
соотношение G=C • DG.
Если мы покажем, что группа C(]DG конечна, полупростота
группы DG будет следовать из того факта, что отображение
DG-> G/C = G/R{G) сюръективно и с конечным ядром. Таким
образом, доказательство завершается следующей леммой:
Лемма. Пусть С — центральный тор в связной группе Н.
Тогда группа C(]DH конечна.
Доказательство. Используя точное линейное представле-
представление, мы можем считать, что Н cz GL{V). Пусть V = Ц V* A^/^/г),
где Vi = Vap at пробегают веса группы С в пространстве V.
Тогда HaGL{V)c = GL(Vx)X ... XGL{Vn). При *<=С в этих
координатах имеем t = (tai • lvlf ..., t*n' lyn). Далее, если t^DH,
то каждая матрица f1 • 1^ имеет определитель, равный 1, так что
(Л) ' = 1, где m? = dimVj. Следовательно, группа C{]DH содер-
содержится в группе вида С{ X ... ХСП, где Сг — циклическая группа,
порядок которой делит тг.
Следствие. Следующие три условия равносильны: группа Q
полупроста', G=DG\ группа Z{G) конечна. В этих условиях пусть
Н — замкнутый связный нормальный делитель группы G. Тогда
группа Н редуктивна, Z(H)° = {Z(G)f)H)° и DH = {DG{\Hf.
Первое утверждение является очевидным следствием предло-
предложения. Далее, Ru{H)cz RU{G), так что Ra{H) = {e} и группа Н
редуктивна. Группа Z(#)° есть тор, являющийся нормальным
делителем в G; поэтому (см. п. 8.10, следствие) группа Z(H)°
содержится в центре группы G и в группе Z(G)°(]H. Обратное
включение очевидно, Ясно, что группа DH содержится в группе
{DG(]H)°. Тот факт, что (DG[}H)° не больше группы DH, сле-
следует из включения Z(H)°czZ(G) и предложения.
14.3. Прямо порожденные группы. Пусть {Hi)i^J —конечное
семейство замкнутых связных подгрупп связной группы Я.
Мы будем говорить, что группа Н прямо порождена своими

218 Гл. IV, Подгруппы Бореля; редуктивные группы
подгруппами Hiy если для некоторого упорядочения «1э ..., in
множества / морфизм-произведение
есть изоморфизм многообразий. Мы будем обозначать эту ситуа-
ситуацию следующим образом:
Ht' Нч ... 'Я .
Если п = 2 и одна из групп нормализует другую, мы получаем
в качестве частного случая разложение группы в полупрямое
произведение.
14.4. Действие тора Т на унипотентных группах. Предполо-
Предположим, что тор Т действует на связной унипотентной группе U,
причем выполняются следующие условия (множество Ф(Г, U) мы
обозначаем для краткости через Ф (?/)):
(i) Каждый вес а группы Т в пространстве u = L{U) отличен
от нуля, так что
«- п
а €=<?(?/)
и dimua=l для каждого аеФ((/).
(и) Различные корни а, реФ(У) линейно независимы, т. е.
подторы ra = (ker(a))° и Гр = (кег(Р))° различны.
Предложение. A) Если а?ф([/), то Ua — UTa является
единственной Т-инвариантной замкнутой подгруппой группы U
с алгеброй Ли иа.
B) Пусть Л — множество замкнутых Т-инвариантных подгрупп
группы U.
(a) Всякая группа ЯеЛ связна и прямо порождается под-
подгруппами
{[/Ja еФ(#)}== {?/а К <=$}
в любом порядке.
(b) Н -> i -1 структурный мономорфизм структуры подгрупп Л
на структуру Т-инвариантных подалгебр алгебры Ли и.
(c) Если Я, ^ЯбЛ для некоторого jcg[/, то Н=хН.
Доказательство. Известно (см. п. 9.4, предложение), что
для подтора S тора Т группа Us связна и L(Us) = us = Ц ue.
Sc:rp P
Если положить S = T, то UT = {e}. Полагая S = Ta для некото-
некоторого а?ф([/), мы видим, что группа Ua связна и ввиду пред-
предположения (ii) L(?/a) = ua. Единственность группы Ua следует
из части (а) утверждения B), которую мы сейчас докажем.

§ 14. Системы корней и разложение Брюа 219
Пусть ЯеЛ. Предположим сначала, что группа Я связна.
Мы знаем (см. п. 9.4, предложение), что группа Я порождается
подгруппами Яг<* (а?ф([/)), Тогда HT*czUa и, если 1) = /,(Я),
то L(Wra) = fo = ^acita. Принимая во внимание предположе-
предположение (i), получаем, что dim ?/a = dimua = 1. Таким образом, либо
Нт* = {е}, % = 0 и афФ(Н),
либо
НТ« = иа, $а = иа и ае=Ф(Я).
Пусть <Zi, ..., ап — некоторое упорядочение множества Ф(Я), и
пусть
/: P = ?/aiX... XUan~>H
— отоб ражение-произведение. Для доказательства части (а) утвер-
утверждения B) мы должны убедиться, что / — изоморфизм много-
многообразий. Ясно, что дифференциал (df)e — изоморфизм, так что
/ — доминантный и сепарабельный морфизм.
Без ограничения общности мы можем выбрать такое упоря-
упорядочение множества Ф(Я), что группы Uai при l^i^m не со-
содержатся в группе Z(tf), а при i>m содержатся. Будем разли-
различать два случая:
(I) /л = 0, т. е. группа Я коммутативна. Тогда группа Р удов-
удовлетворяет предположениям (i) и (И) (если Р фигурирует в каче-
качестве U) и / — доминантный Г-эквивариантный гомоморфизм с ко-
конечным ядром. Но группа Т связна, значит, ker(f)c:Pr, а мы
видели выше, что предположения (i) и (И) приводят к соотноше-
соотношению Рт = {е}. Таким образом, / — изоморфизм.
(II) Общий случай. Пусть я: H-+H/Z(ЯH— факторный мор-
морфизм. Если i^m, то Оа^^Ша) — биективный морфизм, и
с помощью индукции по dim Я получаем я (Я)=я([/а1)' ..." я (f^am).
Следовательно, Я = Ua ' ... ' Ua *Z(H)°. Согласно случаю (I),
Пусть теперь группа ЯеЛ несвязна. Применяя только что
доказанное утверждение к группам Я0 и [/, заключаем, что
U = Я0• F, где V = Uа ' ... ' С/» для некоторых $tеФ([/). Тогда
группа Я является теоретико-множественным декартовым произ-
произведением группы Я0 и группы F = H(]V. Так как F — конечное
Г-инвариантное подмножество группы ?/, то F aUT = {e}.
Этим заканчивается доказательство утверждения A) и части (а)
утверждения B). Часть (Ь) утверждения B) непосредственно вы-
вытекает из части (а).
Остается доказать часть (с) утверждения B); предположим,
что Я, ^ЯеЛ для некоторого хе[/. Мы покажем индукцией
по dim С/, что Н=ХН. . . -

220 Гл. IV. Подгруппы Боре ля; редуктивные группы
Выберем UyczZ(U). Пусть л: U ->?/' = U/Uy — факторный
морфизм. По предположению индукции п(Н) = п(хН). Если
UyaH> то Uy = xUyczxH и Н^^Н. Если же ?/Y <? Я, то по
крайней мере группа M = H-Uy совпадает с группой ХН • Uy.
Тогда L(M) = L(#)©uY = I(*#)©ur Так как алгебры Ли L (Я)
и L{XH) инвариантны относительно Т и так как веса тора Т на
пространстве и имеют кратность 1, то L(H) = L{XH). Следова-
Следовательно, на основании утверждения B) (а) (или B) (Ь)) мы имеем
# = *#.
Замечание. Каждая группа Ua изоморфна группе Gfl, сле-
следов ательно, отображение-произведение
f: ?/a,X... XUan->H
в доказательстве предложения приводит к Г-эквивариантному
изоморфизму группы Я (как многообразия) с аффинным про-
пространством Кп> на котором тор Т действует диагонально при по-
помощи весов alf ..., ап. Отсюда вытекает существование Г-экви-
вариантного изоморфизма многообразий L (Я) и Я. В характери-
характеристике нуль это не что иное, как экспоненциальное отображение.
14.5. Специальные множества корней. Напомним сначала, что
при аЕф существует единственная связная Г-инвариантная под-
подгруппа Ua с алгеброй Ли ga (см. п. 13.18, утверждение D) (Ь)
теоремы).
При а, Р^ Ф обозначим через (а, Р) множество корней y ^ Ф
вида у = га + s$, где г, s — натуральные числа. Для подмно-
подмножеств f и W множества Ф положим
D/,4/') = U(a>P) (at=W, ИП
Мы будем называть множество W специальным, если
(a) (WtW)czW
и
(b) существует такой параметр АеХДГ), что (а, А,)>0 для
всех aef.
Без ограничения общности можно считать, что параметр X
в условии (Ь) регулярен, т. е. что (а, Я) ф 0 для всех аеф.
В самом деле, пусть X' — произвольный регулярный параметр.
Так как Ф конечно, то мы можем выбрать, столь большое число N,
чтобы при аЕф и h"=*Nk + k' соотношение (а, Х")>0 выпол-
выполнялось всякий раз, когда (а, Я)>0. Тогда, очевидно, параметр А"
регулярен и может служить также в качестве Я в условии (Ь).
Предложение. A) Если а, реФ м р-^=+а, то
[а, Р) = (Y ^ ФIY = ^"« + srp при rf 5^Z, s>0}
— специальное множество.

§ 14. Системы корней а разложение Брюа 221
Пусть ?сф- специальное подмножество.
B) Множество подгрупп {Ua\a&W} в любом порядке прямо
порождает Т-инвариантную подгруппу Uy группы G.
C) Если аеф и (a^Jcz^F, то группа U ^нормализует группу
Доказательство. Предположим, что а, реф и р =7^= н= а.
Очевидно, что множество [а, Р) удовлетворяет условию (а) опре-
определения специального множества. Чтобы проверить условие (Ь),
напомним (см. п. 13.18, утверждение C) теоремы), что при $ф+а
корни аир линейно независимы. Следовательно, существует
такой параметр ^еХ(Г), что (а, ^} = 0 и (р, X) > 0. Ясно, что
этот параметр X положителен на множестве [a, P), откуда выте-
вытекает утверждение A).
Заметим, что (а, Р) с: [а, р). Так как условие (а) для мно-
множества (а, Р) очевидно, то (а, Р) — специальное множество. Мы
хотим воспользоваться следующим фактом:
(*) Пусть U(а, р) — произведение взятых в некотором порядке
групп {Uy\ уе=(а, р)}; тогда (Ua, ?/p) <= ?/(сьр) (в случае (а, Р)^= 0
мы полагаем t/(a, p) = {е}).
Докажем сначала утверждения B) и C), а затем уже утвер-
утверждение (*).
Пусть ?сФ — специальное множество. Замечание, предше-
предшествующее предложению, показывает, что мы можем выбрать
регулярный параметр Х^Х.^(Т), такой, что (а, X) > 0 для всех
aGf, Положим В = В{Х)У U = Ви и Ф+ = Ф(?/) =Ф(В). Тогда
из п. 13.18 следует, что действие тора Т на группе U удовле-
удовлетворяет условиям (i) и (И) п. 14.4. Если, кроме того, а?ф+,
то группа Ua совпадает с группой, которая обозначалась этим же
символом в п. 14.4. Предположим, что произведение (в некотором
порядке) групп {Ua |a е ?} есть подгруппа; обозначим ее через Uw.
Ясно, что Uy — замкнутая Г-инвариантная подгруппа группы U
с алгеброй Ли 2 9сг Из п. 14.4 вытекает тогда, что W =
и что группа Uw прямо порождается подгруппами {f/a|a еЧ'}
в любом порядке.
Утверждения B) и C) мы будем доказывать индукцией
по card^F. Если cardDf) = 0, то оба утверждения очевидны, ибо
U\p = {e}. В противном случае мы можем записать 4r = {p}U1F/,
где P^W и (р, A,)<(yi X) для всех у^W. Тогда, как легко
видеть, yV/ — специальное множество и (PjWJczT'. Следовательно,
по предположению индукции группа Uw прямо порождается
подгруппами {Uy \ у еЧ1"'}. Из утверждения (*) вытекает, что
группа Uw нормализуется группой U^ (см. доказательство утвер-
утверждения C) ниже). В частности, U$ • Uy = Uy есть подгруппа

222 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
группы ?/, и, как показано в предыдущем абзаце, группа
прямо порождается подгруппами {Uy\y g?}, взятыми в любом
порядке. Это доказывает утверждение B).
Переходя к доказательству утверждения C), предположим,
что (а, 40 с: W. Чтобы убедиться, что группа 0а нормализует
группу Uxp, достаточно показать, что при х е Ua и у е W имеет
место включение *Uy cz Uv. Предположим, что у е Uy. Тогда
xy=(xyx"l){yly)=(xty)y^(Ua9 Uy)Uy. Таким образом, достаточно
проверить, что (?/а> Uy) cz Uy. Но, согласно (*), (?/а, Uy) cz G(а, Y),
где f/(a,Y) есть произведение (в некотором порядке) групп
{(/6|б^(а, у)}. Так как (a, y)czx?f то U^^czU^, что завершает
доказательство.
Доказательство утверждения (*). Положим Ч? =
= (a» P)U{a, P}. Ясно (см. доказательство утверждения A) выше),
что множество W специально. Следовательно, можно выбрать
параметр % группы В = В(Х) и U=BU и множество Ф+=Ф(?/),
такое, что W с=Ф+.
Для у^Ф+ обозначим через 9Y изоморфизм Gfl->f/Y. Тогда
'9Y (х) = 9Y (Рх) (где / е Г, х s Gfl).
Пусть а1э ..., ап — элементы множества Ф+ в любом фиксирован-
фиксированном порядке. Согласно п. 14.4, морфизм-произведение
uaix ... хи^и
есть изоморфизм многообразий. Определим морфизм
Тогда, используя указанный выше изоморфизм, получаем
(произведение в возрастающем порядке), где Pt — полиномы от
двух переменных. Пусть
Pi(x,y)= 2 cUr,sxrys.
г, s>0
Так как /(О, y) = et=f{x, 0), то, очевидно, каждый одночлен в Pt
включает как х% так и у, т. е. действительное суммирование
происходит по г, 5 > 0.
При /?Ги х, j/sGfl, как легко видеть, выражение *f(x9 у)
равно

§ 14. Системы корней и разложение Брюа 223
а также равно
П9„ДЛ/М*> у)).
Отсюда следует, что для каждого i —1 п
Г,5>0 Г. S>0
Поэтому
Cf,r,5 = O> если at?=ra + s&.
Как мы уже отмечали, citr,s = 0, если г —О, либо 5 = 0; следова-
следовательно, citrtS = 0, если а^(а, Р). Таким образом,
Р; == 0, если а* ф. (а, Р).
Это равносильно тому, что мы хотим доказать. Действительно,
последнее соотношение означает, что при х, j/sGfl элемент
(ва(*)> Эр (f/)) содержится в произведении (в указанном порядке)
тех групп ип(у для которых а* ^ (а, Р).
Замечания. A) Так как корни аир линейно независимы,
то корень а* однозначно представляется в виде га + sp. Следова-
Следовательно, наше доказательство пбказывает, что каждый полином Р(
является одночленом, равным нулю, если с^ ^ (а, р).
B) Доказанное выше утверждение является некоторым аналогом
того факта в теории комплексных полупростых алгебр Ли, что
[8а» Spl^Sa+u-
C) В характеристике р > 0 может случиться, что a, p, a + ре Ф,
даже если (f/a, U^) = {e\.
14.6. Следствие. Пусть абФ.и пусть ra e W — образующая
подгруппы W (Г, Ga). Тогда при р е= Ф
где np>a^Z. /Сролгв того, па, а = 2.
Доказательство. Известно (см. утверждение D) теоремы
п. 13.18), что га(а) = — a = a — 2a и что /доставляет неподвижной
подгруппу коранга 1 в группе Х(Г). Переходя к пространству
X(r)Q и дополняя корень а до базиса этого пространства, осталь-
остальные элементы которого содержатся в гиперплоскости неподвижных
относительно преобразования га (продолженного на X (jT)q) эле-
элементов, мы видим, что для любого y^X(T)Q число Y""^a(Y)
есть (рациональное) кратное корня а. В частности, га(Р) = р — п^ аа
для некоторого np,a^Q; кроме того, па>а = 2 и па,-а== —2.
Следовательно, при доказательстве того факта, что n&tQL^Zt
мы можем предполагать, что (J Ф ± а.

224 Гл. IV. Подгруппы Вореля; редуктивные группы
Согласно предложению п. 14.5, множество корней [а,р) является
специальным; следовательно, подгруппы [/Y(vG[a, P)) прямо
порождают Г-инвариантную подгруппу Я==?/[а, р>. Очевидно, что
(а, [а, Р)) с: [а, р) и (— а [а, Р)) с: [а, Р), так что (см. предложе-
предложение п. 14.5) группы Ua и ?/_а нормализуют группу Я. Так как
группы Ua, ?/_a и Т порождают группу Ga, то группа Ga норма-
нормализует Я. Но автоморфизм га индуцируется сопряжением при
помощи элемента /ie]VOa(r), и, как мы только что видели, этот
элемент п нормализует группу Я. Поскольку Р^[а, р) и nU^n~l =
= г«[/р = ?/Га(р), то га(Р)е=[а, Р), т. е. ra(P) = ra + sp для под-
подходящих г, 5 ^ Z, s > 0. Таким образом, 5=1 и ttg>a = --r^Z,
что и требовалось доказать.
14.7. Обзор по системам корней. Приведенные здесь факты
можно найти в книге Серра [2], ч. III, гл. V, или в монографии
Джекобсона [1].
Пусть R — подполе поля R и V — векторное пространство над R.
Положим V* = НотдA/, R). Пусть а —ненулевой вектор в про-
пространстве V. Элемент r^GL{V) называется отражением относи-
относительно а, если г (а) ===== — а и г оставляет неподвижными точки
некоторой гиперплоскости Я в пространстве V. Таким образом,
г (Р) = р — <р, Я) а при Р^У, где элемент ^gF* имеет ядро Я,
и (а, I) =; 2.
Если Ф —конечное множество, порождающее пространство F,
то имеется не более одного отражения относительно а, такого,
чтобы множество Ф было инвариантным относительно него.
Системой корней называется пара (У, Ф), где V — векторное
пространство над R и Ф — множество в F, удовлетворяющее
условиям
A) множество Ф конечно, порождает V и не содержит нуля;
B) для каждого а ^ Ф имеется отражение га относительно а,
такого, что множество Ф инвариантно относительно га (га един-
единственно, согласно сделанному замечанию);
C) если а, ре=Ф, то г^ (Р) = р — пр> аа, где n^a<==Z.
Элементы множества Ф называются корнями.
Понятие изоморфизма системы корней очевидно. Мы будем
обычно обозначать систему корней через Ф и говорить, что
Ф —система корней в пространстве V. В частности, Аи1;(Ф) с: GL (V).
Подгруппа W (Ф) группы АиЦФ), порожденная отражениями га
(а е Ф), называется группой Вейля системы корней Ф.
Выберем корень a ^ Ф так, чтобы выполнялось условие: если
аа — корень, пропорциональный корню а, то | а |^1. Если аа — один
из таких корней, то— аа = га{аа)=аа—паа,аа, так что 2a=nfla)Ct^Z.
Таким образом, корни, пропорциональные корню а, имеют вид
{— а, а} и {—а, — а/2, а/2, а}. Если последний случай не реали-

§ 14. Системы корней и разложение Врюа 225
зуется, т. е. р=±а всякий раз» когда корни аир пропорцио-
пропорциональны, то система корней Ф называется приведенной.
Зафиксируем систему корней Ф в пространстве V. Базисом
системы корней Ф называется подмножество S множества Ф,
которое образует базис пространства V и таково, что каждый
корень р выражается в виде линейной комбинации Р= 2 таа
корней множества S с целыми коэффициентами пга одного знака.
Положительными корнями Ф+ (относительно S) мы называем те
корни, для которых все та не отрицательны. Таким образом,
множество Ф является объединением непересекающихся мно-
множеств Ф+ и Ф*~ = — Ф+. Множество
WC(S) = {X<=V\{a9k)>0 для всех aeS}
называется камерой Вейля множества 5 (или множества Ф+);
ясно, что WC{S) не изменится от замены множества S на мно-
множество Ф+.
Элемент X^V* назовем регулярным, если (а, А,) Ф О для всех
а <= Ф. Например, камера Вейля, очевидно, состоит из регулярных
элементов. Для регулярного элемента положим
и
S (X) = {а ^ Ф+ (А,) |а не является суммой двух элементов из Ф+
Теорема. Пусть Ф — система корней в пространстве V.
A) Если элемент X^V* регулярен, то S (X) — базис множества Ф.
Это единственный базис, содержащийся в Ф+ (X). Таким образом,
S -> WC (S) — биекция множества базисов на множество камер
Вейля.
Предположим, что Ф — приведенная система корней.
B) Группа Вейля W (Ф) действует однотранзитивно на мно»
жестве базисов системы корней Ф и на множестве камер Вейля.
Пусть S -— базис системы корней Ф.
C) Корни ra (a e S) порождают группу W (Ф).
D) Ф= U wS.
Базису S системы корней Ф можно сопоставить так называе-
называемую схему Дынкина Эуп(Ф, S) — конечный граф, вершины кото-
которого—элементы множества S с некоторыми „весами", причем
вершины a, P^S соединяются па> «• п^а дугами. Схемы Дынкина
дают полную классификацию систем корней. Кроме того, зави-
зависимость (Ф, S)-> Оуп(Ф, S) функториальна, и группа автомор-
автоморфизмов системы корней Ф есть полупрямое произведение группы W
8 Зак, 1154

226 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
и группы Aut(Dyn((D, S)) автоморфизмов схемы Дынкина, причем
последняя является стабилизатором множества S в группе Aut(CP).
Система корней (У, Ф) называется неприводимой, если про-
пространство V нельзя представить в виде нетривиальной прямой
суммы V=VX + V2, такой, что Ф = (ФП^1)и (ФП^)
14.8. Теорема. Пусть пространство V = X(r/Z(G)°)Q канони-
канонически отождествлено с подпространством пространства X(r)Q.
Тогда Ф — приведенная система корней в пространстве V с группой
Вейля W.
Доказательство. Из утверждения C) теоремы п. 13.18
вытекает, что Ф — конечное множество ненулевых векторов, поро-
порождающее пространство V и такое, что если корни аир пропор-
пропорциональны, то р=±а. В остальной части доказательства мы,
используя переход к G/Z(G)°, можем предполагать без ограниче-
ограничения общности, что Z(G)° = {e}.
Из утверждения D) (с) теоремы п. 13.18 мы получаем.отра-
получаем.отражение га пространства Х(Г) относительно а, такое, что Ф инва-
инвариантно относительно га. Распространение отображения га на V
(которое мы также будем обозначать через га) удовлетворяет
условию B) из определения системы корней.
Условие C) (целостности) установлено в следствии 14.6,
Это показывает, что Ф — приведенная система корней в У и
что W(O)czW.
Если мы отождествим V* с X#(r)Q, то из результатов п. 14.7
и из утверждения E) теоремы из п. 13.18 становится ясно, что
камеры Вейля в V* базисов системы Ф совпадают с подмноже-
подмножествами из V*, полученными из камер Вейля в Х#(Г) подгрупп
Бореля ВеЛг. (Камера Вейля в V*, соответствующая подгруппе
В е= $г, равна {Л е= V* |(а, X)>0 для аЕф(Г, В)}.) Согласно
утверждению B) предложения из п. 13.10, W действует однотран-
зитивно на этих камерах Вейля. Согласно результатам п. 14.7,
так же действует и W (Ф). Следовательно, включение W{Q))czW
является на самом деле равенством.
Следствие. Пусть Ве#, и пусть S = S(B) — множество
тех корней а е Ф (В), которые не являются суммами двух элемен-
элементов из множества Ф(В).
A) Множество S является базисом системы корней Ф. (Мы
называем S множеством простых корней, ассоциированных с груп-
группой Бореля В (и тором Т).)
B) Группа G порождается подгруппами {GJaeS}.
Доказательство. Утверждение A) вытекает из следствия
14.6, если учесть тот факт (см. п. 13.18, утверждение E) теоремы),
что Ф(В) = {аеФ|(а, X)>0 при Ае WC(В)} и для такого К

§ 14. Системы корней и разложение Брюа 227
(а, X) ф О для всех аеф, т. е. X — регулярный элемент про-
пространства V*.
B) Из п. 13.6 нам известно, что группа G порождается мно-
множеством подгрупп В е $т. Если В е $т, то В = Т • Ви и, согласно
предложению п. 14.4, группа Ви порождается (и даже прямо по-
порождается) подгруппами (/а(аеФ(В)). Следовательно, группа G
порождается группой Т и группами (/а(а^Ф).
Пусть Н — подгруппа, порожденная группами Ga(a^S);
группа Ga содержит группу t/a, а также представитель na e NGa(T)
элемента rae№. Из п. 14.7 вытекает, что группа Н содержит
представитель n = n{w) e N0(T) каждого элемента w e HP. Если
реф, то лС/о = t/ад, (о). Таким образом, группа Н содержит все
группы Uа, для которых р = w (а) для некоторого а €= S. Согласно
п. 14.7, такие корни р исчерпывают все Ф. Очевидно, Н id T,
откуда следует, что Я = С
14.9. Автоморфизмы полупростых групп. Предположим, что
G — полупростая группа; зафиксируем группу Бореля Ве^г.
Пусть Int (G)— группа внутренних автоморфизмов в группе
— Ant (П\
— Ли1алг. групп \и)
автоморфизмов группы G. Обозначим через A(BtT) подгруппу
группы Л, относительно которой инвариантна как группа В, так
и группа Г.
Согласно п. 14.8, Ф(В) есть множество положительных корней
относительно базиса S(B) системы корней Ф. Мы будем обозна-
обозначать через Dyn (Ф, В) соответствующую схему Дынкина (см. п. 14.7)
и через Aut (Dyn (Ф, В)) —ее группу автоморфизмов.
Если aGi4(BJ), то, так как а- Г==Г, элемент а индуцирует
автоморфизм системы корней Ф. Так как а-В = В, то базис
S(B)<z:<b инвариантен относительно элемента а и, следовательно,
этот последний определяет элемент а' е Aut (Dyn (Ф, В)).
Предложение. A) A = Int(G) • A(BtT).
B) Группа Int(G)fl Л(в,г) является ядром описанного выше
гомоморфизма A(BtT) -> Aut (Dyn(Ф, В)){а->а').
C) Естественное отображение Л/Int (О)-> Aut (Dyn (Ф, В))инъек-
тивно. В частности, группа Int (G) имеет конечный индекс в группе Л.
Доказательство. Ясно, что утверждение C) следует из
A) и B).
A) Пусть йеА Учитывая сопряженность подгрупп Бореля
группы G, мы имеем с>В — В, где с = Int (g) о а для некоторого
§gG. Ввиду сопряженности максимальных торов в группе В
имеем d- Т = Т, где d = IntF)o? для некоторого Ь е В. Таким
образом, d = Int F) о Int(g)oaE A(B|n, что и требовалось доказать.
8*

228 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
B) Предположим, что a^A(BtT). Если a = Int(g) для некото-
некоторого ge=G, то g^NQ(B)(]N0(T) = B(]N0(T) = NB(T) = T (см.
пп. 10.6, 11.15), так что элемент индуцирует тождественный авто-
автоморфизм на Ф.
Обратно, предположим, что элемент а' е Aut(Dyn(<P, В))
является единичным. Требуется доказать, что автоморфизм а вну-
внутренний. Для каждого a^S{B) имеется изоморфизм 9a: Ga->f/a.
Так как группа Ua инвариантна относительно элемента а, то а9а(*)=
= 9a(cax) для некоторого са^К*. Так как элементы множе-
множества S(B) линейно независимы, то мы можем найти элемент /е Т,
такой, что ta — ca для каждого aGS(B). Тогда автоморфизм
Int @ действует так же, как автоморфизм а на каждой группе
Ua(a^ S(B))\ поэтому мы можем заменить а на lnt (ty1 о а и
предполагать, что каждый элемент са=1. В этом случае авто-
автоморфизм а оставляет неподвижными элементы каждой группы Ua
(S(B))
())
Мы утверждаем, что а оставляет неподвижными также и эле-
элементы тора Т. В самом деле, если t^T, то ta — a{t)a для ка-
каждого a e S (В). Так как группа G полупроста, то S(B) поро-
порождает подгруппу конечного индекса в Х{Т) (см. пп. 14.8 и 13.18).
Следовательно, t = a{t), что и требовалось доказать.
Очевидно, что автоморфизм а оставляет инвариантными группы
Ga=GTa и оставляет неподвижными элементы подгруппы Бо-
Бореля T'Ua. Следовательно (следствие 11.4), автоморфизм a\Ga
является тождественным. Наконец, так как группы Ga (aGS(B))
порождают группу G (следствие в п. 14.8), то а — тождественный
автоморфизм.
14.10. Предложение. Предположим, что G — полупростая
группа, и G ф {ё}.
A) Пусть Н — связный нормальный делитель группы G, и
пусть H' = {GH)°. Тогда
(a) группа Н полупроста;
(b) G=H'H' и группа Н {\Н' содержится в конечной группе Z (G).
B) Пусть {Gi\i^I} — минимальные элементы в множестве
связных нормальных делителей размерности ^ 1. Тогда
(a) (G,, G/) = {e} при 1ф\\
(b) множество I конечно] пусть, скажем, / = {1, ..., п}; мор-
физм-произведение
OiX... XGn->G
является изогенией\
(c) если Я — связный нормальный делитель группы G, то Н
порождается группами {Gi\GtczH}.
C) Группа G „почти проста'', т. е. G/Z(G) — простая группа
тогда и только тогда, когда система корней Ф неприводима.

§ 14. Системы корней и разложение Брюа 229
Доказательство. A) Утверждение (а) вытекает из следствия
п. 14.2. Группа 0я является ядром гомоморфизма сопряжения:
Int | Я , ч
V > АШалг. групп \П )>
и, согласно предложению п. 14.9, образ группы Я есть подгруппа
конечного индекса. Поэтому группа Я • GH имеет в G конечный
индекс. Следовательно, G = Я • (GM)°= Я • Я', ибо группа G
связна. Кроме того, (ЯП Я'Hс: Z{H)°cz R (Я) ={е}, так что группа
ЯП Н' — конечный нормальный делитель группы G и, значит, со-
содержится в ее центре.
B) Группа (Gt, H) {i <= /) является связным нормальным дели-
делителем группы G, содержащимся в Gt(]H. Следовательно, ввиду
минимальности Gt он равен {е} или Gt. Другими словами,
GiCz(GHH или GtczH. В частности, (Gt, Gj) = {e] при Ьф\.
Пусть / = {*!, ..., /r}cz/, и пусть Gj — образ морфизма
f/. GtiX ... XG^G-
С учетом сделанных выше замечаний индукция по г = card / пока-
показывает, что группа GjO Gh конечна, если h ф /, и, следовательно,
что ядро ker(/y) конечно. Тогда dim G ^dim G,— 2
//
^, так что множество / обязано быть конечным. Кроме
того, морфизм /7: G. X ... X Gt- "~>G/ является изогенией.
Пусть Я и Н' — такие же, как в утверждении A). Ясно, что
/ = / U У и / П /' = 0, где / = {/ 6= / | G, с Я} и /7 ={/ е / | б/сгЯ7}.
Отсюда следует, что H = Gj, так как G = Gj - G/ = H - Н' и
группа Я П Я7 конечна.
C) Если G=H • H'f то ясно, что система корней Ф группы G
разлагается в прямую сумму систем корней групп Я и Я'. Таким
образом, если размерности обеих групп Я и Я7 больше 1, то си-
система корней Ф приводима.
Обратно, предположим, что система корней Ф приводима;
пусть, скажем, Ф = Ф1иAJ—нетривиальное разложение в сумму
двух систем корней. Пусть G^ — группа, порожденная всеми под-
подгруппами Ua (а^Фг). Тогда, так как Ф{ и Ф2 —непустые множе-
множества, то dim Gt^\ (/== 1, 2).
Покажем сначала, что группы G{ и G2 порождают группу G.
Обозначим через Я группу, порожденную группами Ь{ и G2.
Тогда группа На = Н (]Ga проектируется на полупростой фак-
фактор PGL2 группы Ga (см. п. 10.8), так что группа На содержит
тор Г«, дополнительный к тору Та в Т. Так как {Г\Та)° = {е}
(группа G полупроста), то торы Т'а независимы и порождают
тор Т. Таким образом, группа Я содержит тор Т и, следова-
следовательно, каждую группу Ga, значит, и группу G ввиду следствия

230 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
п. 14.8. Мы утверждаем, далее, что группа G\ централизует
группу G2. В самом деле, если аеф, и Р^Ф2, то корней вида
ra + sP (г, 5>0) не существует. Следовательно, согласно утвер-
утверждению (*) в доказательстве предложения из п. 14.5, группы Ua
и f/p коммутируют.
Поэтому группа Gif\G2 коммутирует с группой, порожденной
группами G\ и G2; так как она совпадает с группой G, то группа
G\ П G2(c:Z(G)) конечна. Это завершает доказательство утвер-
утверждения C) и всего предложения.
14.11. Разложение Брюа. Зафиксируем группу Бореля Bs|r.
Пусть U=Buf Ф+ = Ф(В) и S —базис системы корней Ф в Ф+,
т. е. „множество простых корней, ассоциированных с В".
Пусть В~~ ^&т — противоположная группа Бореля (см. п. 14.1).
Положим U~ = Ви и Ф~=ф(В~) = Ф+. При ае=Ф мы будем
писать а>0, если а?ф+ и а<0, если абФ".
Мы будем здесь обозначать через w как элемент группы W,
так и его представитель в группе NQ(T), если выбор предста-
представителя не влияет на его использование.
Рассмотрим группы
UW = U()WU и ?/; = С/Пю?/~.
Обе они являются замкнутыми подгруппами, инвариантными отно-
относительно Ту так что (предложение п. 14.4) каждая из них прямо по-
порождается в любом порядке содержащимися в ней группами
Uу (y>0). Множество таких y можно описать в виде
где y^ === Y° Int (п) Для любого представителя n^N0(T) эле-
элемента w. Так как Ф+ = Ф^иФш и Ф^ПФш = Ф» то из п. 14.4
следует, что
Пусть х0 — неподвижная относительно группы В точка многообра-
многообразия GIB.
Теорема, (а) (Разложение Брюа для группы G.) Группа G
представима в виде объединения непересекающихся двойных смеж-
смежных классов BwB {w ^ W). При w^W морфизм (/^ ХВ^
—> BwB((x, y)->xwy) является изоморфизмом многообразий.
(Ъ) (Клеточное разбиение многообразия G/B.) Многообразие G/B
является объединением непересекающихся U-орбит UwxQ (w e W).

§ 14. Системы корней и разложение Брюа 231
При т^^морфизм Uw ->UwxQ (u-*uwx0) является изомор-
изоморфизмом многообразий.
Замечания. A) Точки множества (G/B)T соответствуют точ-
точкам множества 0$т, и, согласно предложению п. 11.19, группа W
однотранзитивно действует на этом множестве. В частности,
Wxo — (G/B)T, и это множество имеет столько же элементов,
сколько W. Следовательно, утверждение (Ь) выше означает, что
каждая U-орбита в G/B имеет точно одну общую точку с (G/B)T.
B) Так как B = U T и группа W нормализует тор Г, то при
w ^ W мы имеем BwB = UwB и Bwxo = Uwxo.
Таким образом, утверждения (а) и (Ь) равносильны.
C) Из п. 14.4 следует, что каждая группа Uw изоморфна
как многообразие аффинному пространству. Таким образом, если
/С = С, то каждая из [/-орбит является клеткой; утверждение (Ь)
задает клеточное разбиение многообразия G/B в том смысле, как
это определяется в алгебраической топологии. Так как эти клетки
являются комплексными многообразиями, то их (вещественные)
размерности обязательно четны. Следовательно, 2/-е число Бетти
многообразия G/B есть число клеток (комплексной) размерности /.
Последнее есть число тех элементов ш?У, для которых dim U^ =
= card{Y>0 \w~~l(y)<0} равно /.
Доказательство. Ввиду приведенного выше замечания B)
теорема будет доказана, если мы установим следующие три
утверждения.
A) Пусть w, w'^W. Тогда Uwxo = Uw'xo=^w = w'.
B) G = BWB.
C) При w ^ W отображение и^У\В-^BwBt заданное форму-
формулой {х, y)-+xwy, является изоморфизмом многообразий.
Доказательство утверждения A). Пусть w'xQ = uwxOi
и ^ U. Тогда стабилизатор в U элемента w'x0, т. е. U f] w В = UW',
совпадает со стабилизатором элемента uwxQ, т. е. с группой Uuw=
*=UOuwB = u{UnwB) = aUw. Таким образом, группы Uw и aUw =
= UW' являются замкнутыми Г-инвариантными подгруппами груп-
группы U. Тогда утверждение B) (с) предложения п. 14.4 влечет за собой
UW = UW>. В частности, множества Ф1=Ф{иш) и Ф^ = ф(?/о,')
совпадают. Доказательство завершает следующая лемма.
Лемма. Если w, w' g^ и Ф^ == Фш'» то w = w .
Доказательство. Предположим, что п е No (T) — пред-
представитель элемента w. Тогда действие элемента w на А^Х#(Г)
и на аеХ(Г) задается формулами ВУЯ = lnt(n) о А, и aw = ao lnt{n).
Таким образом, a,w°K = o,°Wfk или, что равносильно, (aw> АЛ==

232 Гл. IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы
Если X — полурегулярный параметр, то камера Вейля, содер-
содержащая элемент X, определяется знаком чисел (а, X), когда а
пробегает множество Ф+. Это вытекает из утверждения E) тео-
теоремы п. 13.18. Предположим, что X^WC(B), т. е. (а, Я)>0для
всех а>0. Тогда при а>0 имеем (а, wX) = (aw, X), и это число
положительно, если а е Ф^, и отрицательно, если а^Ф^. Из пред-
предположений леммы следует, что WX и w X лежат в одной и той же
камере Вейля. Следовательно, w = w'9 ибо W действует на ка-
камерах Вейля однотранзитивно (п. 13.10).
Доказательство утверждения B). Мы проведем его
в несколько шагов.
(i) Утверждение B) справедливо, если полупростой ранг
группы G равен 1.
В этом случае порядок группы W равен 2, так что ввиду
утверждения A) множество BWx0 состоит из двух [/-орбит. Сле-
Следовательно, достаточно показать, что многообразие G/B состоит
не более чем из двух [/-орбит. Рассмотрим морфизм [/->G/B
(и->иу), где у не неподвижен относительно группы [/. Мы Гложем
отождествить группу U ^ Gfl с многообразием Р{ минус точка и
расширить этот морфизм до морфизма P{->G/B. Его образ замк-
замкнут и одномерен и, следовательно, совпадает с G/B. С другой
стороны, этот образ состоит из одномерной [/-орбиты плюс одна
неподвижная точка.
(И) Если аеФ и x^G/B, то
Положим C = (Ga)x — Gafl Bx. Это подгруппа Бореля группы
Ga (п. 11.18), так что мы получаем Оа-эквивариантный и биек-
биективный морфизм GJC-> Gax. Так как полупростой ранг группы Ga
равен 1 (п. 13.18) и ее группа Вейля относительно тора Т есть
{е> Га)> то утверждение (ii) следует из (i).
(Hi) Предположим, что а — простой корень (г. е. aeS), и пусть
Чг = ф+ — {а}. Тогда в терминологии и обозначениях п. 14.15 мно-
множество W специально, так что группа Uqr прямо порождается
подгруппами [/р(Ре"ЧР"). Кроме того, группа Uv нормализуется
группой Ga И U = [/а[/^ = UxpUa>
Из свойств систем корней вытекает, что множество Ч специ-
специально и что (a, 4r)ci4f. Следовательно, (—а, Ч^с:4?. В самом
деле, предположим, что у = г (—а) + $р еФ, где ре4? и г>0,
s > 0. Тогда Р = 2 Щ& и тб > 0 для некоторого бо=^=а, ибо система Ф
6S °
приведенная. Следовательно, б0-координата элемента у равна
0 так что y^®"- Ясно, что у^а и ^?

§ N. Системы корней и разложение Брюа 233
Из п. 14.5 вытекает, что группы {f/plPeY} прямо порож-
порождают (в любом порядке) группу Ux? и что группа Uxp нормализуется
группами Ua и ?/_а, а также, конечно, и группой Г. Следова-
Следовательно, группа Uv нормализуется группой Ga, ибо последняя
порождается группами f/a, ?/-a и Г. Равенства U = f/af/^ UU
теперь очевидны.
(iv) Если a<=S и xz={G/B)T, то GaBx = {Ux)\J{Urax).
Так как B = UT=UaUvT (см. (in)), то
{Tx = X И UaCZGa) =
(группа Ga нормализует группу Uxy\ (ill)) =
= t/чг ( (UaX) U (UataX) ) (шаг (ii) ) =
(v) Если aGS, го Ga{BwB)czBwB[] BrawB.
В самом деле, если шеЯ!7, то, согласно (iv),
GaBwB = (?/a;B) U {UrawB)d{BwB)d{BrowB).
Ввиду следствия п. 14.8 группа G порождается группами
Ga(aeS). Следовательно, из (v) получаем, что G (BWB)cz(BWB),
откуда следует утверждение B).
Доказательство утверждения C). Так как ?/w =
== (j f| WB = f/ П wBw~l = U П wUw~l, то UwwczwU. Аналогично,
Из записи B — UT = UwUwT мы видим, что BwB=
= UwwB, так что отображение
f: U~XB-> BwB{{x, y)-> xwy)
сюръективно. Так как С/юО> с о>?/~ и f/" П В == {в}, то отображение f
также инъективно. Кроме того, так как алгебра Ли L(U~) =
= 2 9a имеет тривиальное пересечение с алгеброй Ли L(B)==
a<0
= 97©29a» T0 отображение f сепарабельно и, следовательно,
<х>0
является изоморфизмом.
14.12. Следствие. Если В, В', В"?=$у то группа В[\В'
содержит максимальный тор группы G. Если группы Бореля В'
и В" противоположны группе Бореля В, то они сопряжены эле-
элементом группы В.
Доказательство. Многообразие G/B = \J Uwx0 (в обо-
wW
значениях п. 14.11) обладает неподвижной относительно группы В'
точкой. Пусть группа В' оставляет неподвижной точку x = uwx0,
где wt=W и ие?/. Тогда B/=awB. Так как TawB, то
аТ итВ'В

234 Гл. IV. Подгруппы Боре ля; редуктивные группы
Пусть Г', Т" — максимальные торы в группах B[\Bf и В[\В"
соответственно. Если В' (соответственно В") противоположна
группе В, то она является единственной подгруппой Бореля
группы G, содержащей тор Т (соответственно Г") (теорема 14.1).
Тогда элемент Ь^В, такой, что ЬТ' = Т" (теорема 10.6) сопря-
сопрягает группу Вг с группой В".
14.13. Следствие. Пусть В, Br e $т — противоположные
подгруппы Бореля и U = BU, U' = B'U. Тогда отображение-произ-
отображение-произведение ?/' X В-> G является изоморфизмом многообразия U' X В
на открытое подмножество группы G. Группа G есть рациональ-
рациональное многообразие.
Ввиду следствия 14.12 мы можем считать, что Б, В' суть
группы В9 В~ из п. 14.11. Пусть w0 — элемент группы Вейля,
который преобразует множество Ф+ в Ф~\ Тогда левый сдвиг
на w0 является изоморфизмом многообразия U • а>0 • В на мно-
многообразие w0- U - w0- B = U' - В, и первое утверждение вытекает
из теоремы п. 14.11.
Тор Т изоморфен над k произведению групп GL^ На основа-
основании теоремы п. 13.18 предположения (i), (ii) п. 14.4 выполняются;
поэтому мы можем применить замечание п. 14.4. к группам U
и U'\ таким образом, обе они изоморфны как многообразия аф-
аффинным пространствам. Так как группа В изоморфна как много-
многообразие произведению Ty^U (теорема 10.6), то V • В — рацио-
рациональное многообразие и, следовательно, группа G является рацио-
рациональным многообразием.
Замечание. В § 18 мы увидим, что многообразие группы G
унирационально над k и рационально над сепарабельным рас-
расширением поля й, а в п. 15.1—что всякая связная аффинная
ft-группа есть рациональное многообразие над полем k.
14.14. Лемма. Сохраняем обозначения п. 14.11. Пусть Ха
(aeS)-ненулевой элемент алгебры Ли ga и X = 2 ^<х- Тогда
S
Пусть g е Тг {X, Ь). По теореме п. 14.11 g = b' • w • b F, b' <=
gB, ше W). Так как группа В нормализует алгебру Ли Ь,
то мы можем предполагать, что Ь' = е. Согласно предложению
3.12, элемент Ad (b) (X) — X принадлежит алгебре Ли коммутанта
((/, U) группы U. Из утверждения (*) п. 14.5 следует, что группа
((/, U) прямо порождена подгруппами иу{у?=Ф+, у ф S). Так
как элемент w переставляет между собой алгебры Ли ga, то мы
можем написать
Ad (g) {X) =

§ 14. Системы корней и разложение Брюа 235
Множество тех корней а, для которых сафО, содержит множество S,
и соответствующие элементы XW(a) линейно независимы. Так как
Ad {g) {X) е b, то w(S)cz(b+. Ввиду пп. 14.8 и 14.7 отсюда сле-
следует, что w = e9 B
14.15. Лемма. Пусть Н — связная группа и М — замкнутая
подгруппа группы Я. Предположим, что существует такой эле-
элемент Ighi = L(M), что множество Тг(X, ш) тех h^H, для ко-
которых Ad (h) (X) е m, состоит из конечного множества левых смеж-
смежных классов по М. Тогда NH (m)° == М° и множество V == (jAd (h) (m)
содержит плотное открытое подмножество пространства 1). Если
многообразие Н/М полно, то F = Ij.
NH(m) является замкнутой подгруппой группы Я, содержа-
содержащейся в Тт{Х, ш); следовательно, ее компонента единицы равна М°.
Доказательство совершенно аналогично доказательству леммы
11.9. Рассмотрим морфизм
где a(x9Y) = (x9 AA(x)(Y))9 р = яХН, а я: Я->Н/М -канони-
-канонический морфизм. Пусть Q = $a(H X m)« Те же соображения, что
и в п. 11.9, позволяют заключить, что множество Q замкнуто.
По определению V = pr2(Q), где рг2 —проекция на второй мно-
множитель; следовательно, множество V замкнуто, если многообра-
многообразие Н/М полно. Слой проекции рг2 над элементом Z множества V
есть множество смежных классов хН> неподвижных относительно
группы ji(Tr(Z, ш)"). В частности, слой над точкой X конечен.
С другой стороны, используя проекцию рт{ на первый множитель,
мы видим, что dim Q = dim Я, так что рг2 — доминантное отобра-
отображение.
14.16. Предложение. Алгебра Ли 1) группы Я является
объединением своих подалгебр Боре ля.
(По определению подалгебра Бореля 1) алгебры Ли есть ал-
алгебра Ли подгруппы Бореля группы Я0.)
Мы можем считать группу Я связной. Пусть R — ее радикал.
Каноническая проекция H-+H/R определяет биективное отобра-
отображение подгрупп Бореля (п. 11.14). Это сводит дело к случаю,
когда группа Я полупроста. Пусть В — подгруппа Бореля группы Я.
Согласно леммам 14.14 и 14.15, множество V алгебр Ли, сопря-
сопряженных с алгеброй Ли Ь, содержит плотное открытое подмно-
подмножество многообразия fy. Но так как многообразие Н/В плотно,
то множество V замкнуто (п. 14.15), откуда следует предложение

236 Гл. IV. Подгруппы Боре ля; редуктивные группы
14.17. Предложение. Элемент X, принадлежащий алгебре
Ли 1) группы Ну нильпотентен тогда и только тогда, когда он
принадлежит алгебре Ли замкнутой унипотентной подгруппы.
Доказательство. Утверждение „тогда" доказано в п. 4.8.
Пусть теперь элемент X нильпотентен. Согласно предложению
14.16, он принадлежит алгебре Ли подгруппы Бореля группы Я,
что сводит дело к случаю, когда группа Н связна и разрешима.
В силу утверждения 4 теоремы 10.6 XgL {Hu).
Библиографические замечания. Вплоть до п. 14.13 результаты
этого параграфа принадлежат Шевалле (см. Семинар Шевалле
[1]). В частности, относительно результатов п. 14.11 см. сообще-
сообщение 13, относительно п. 14.8 — сообщение 16 и сообщение 17 от-
относительно пп. 14.9 и 14.10. Основное отличие приведенного здесь
изложения от изложения этих вопросов в сборнике Семинар
Шевалле [1] состоит в том, что условие о целости коэффициен-
коэффициентов (п. 14.6) доказано нами более непосредственно без привлечения
теории представлений. Пункт 14.16 принадлежит Гротендику
(Демазюр и Гротендик [1], сообщение XIV, теорема 4.11, стр. 33).
Приведенное здесь доказательство заимствовано из статьи Бо-
Бореля и Шпрингера [2].

Глава V
ВОПРОСЫ РАЦИОНАЛЬНОСТИ
В этой главе все алгебраические группы предполагаются аф-
аффинными, a G является k-группой.
§ 15. РАЗЛОЖИМЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ И ПОДГРУППЫ
15.1. Определение. Пусть G — связная разрешимая группа.
Будем говоритЬу что G разложима над k, или k-разложима,
гели она обладает композиционным рядом G = GozdG{zd ... idGs=*
= {е}у состоящим из связных k-подгрупп Git причем факторы
изоморфны над k группам Ga или ^O^)
Примеры. A) Группа Т>п всех обратимых диагональных
(мХ я)-матриц разложима над простым полем. Вообще, если
fe-тор разложим над k в смысле п. 8.2, то он изоморфен произ-
произведению групп, изоморфных GL»! (см, пп. 8.2 и 8.3), и, следова-
следовательно, разложим в смысле данного здесь определения. Обратное
вытекает из следствия п. 8.14.
B) Так как связная одномерная ft-группа ^-изоморфна Ga или
GL4 (теорема 10.9), то из теоремы 10.6 вытекает, что для алгеб-
алгебраически замкнутого поля k любая связная разрешимая ^-группа
^-разложима.
15.2. Предложение. Пусть V — полное k-многообразие, на
котором k-рационально действует связная разрешимая k-разложи-
мая группа G. Множество V {k) либо пусто, либо обладает точкой,
неподвижной относительно группы G.
Доказательство проведем индукцией по dim G. Пусть
N — инвариантная связная ft-подгруппа группы G, такая, что
факторгруппа G/N изоморфна Ga или GLt. По предположению
индукции существует неподвижная относительно N точка x^V (й).
Тогда отображение g->g-x определено над k и индуцирует
fe-морфизм /: G/N->V9 образ которого является орбитой G{x)
точки х. По предположению многообразие группы G/N изоморфно
над k многообразию Р{ — Л, где А — одна или две точки, раци-
рациональные над k. Так как многообразие V полно, то / продол-
продолжается до ft-морфизма полного многообразия Р{ в V. Тогда /(Pi) =

233 Гл. V. Вопросы рациональности
= G {x) \jf(A) — полное многообразие и, следовательно, является
замыканием множества G {х) в топологии Зарисского. Поэтому
f (Pi) инвариантно относительно G. Множество f(A) состоит из
одной или двух точек, рациональных над ft, каждая из которых
остается неподвижной при действии G,— в противном случае их
орбиты пересекались бы с G (х). Это доказывает предложение.
15.3. Определение, k-подгруппа H группы GLrt называется
триангулируемой над ft, если существует элемент jcgGL(«,Ij),
такой, что хНх~1 состоит из верхних треугольных матриц (см. п. 4.6).
Флаг F в пространстве Кп называется рациональным над ft,
если он состоит из подпространств, определенных над ft. Это
имеет место тогда и только тогда, когда F получается в резуль-
результате трансформирования с помощью элемента группы GL(n, ft)
стандартного флага Fo: [e{]cz[ei, e2]ci Таким образом, группа Я
триангулируема над ft тогда и только тогда, когда относительно
ее действия инвариантен некоторый рациональный над ft флаг,
или же когда Н оставляет неподвижной точку многообразия фла-
флагов У (V), рациональную над ft.
Триангулируемая группа непременно разрешима. Если поле ft
алгебраически замкнуто, то всякая связная разрешимая ft-под-
группа группы GLrt триангулируема над k (теорема Ли — Кол-
чина (следствие 10.5)).
15.4. Теорема. Пусть G — связная разрешимая группа.
(i) Предположим, что группа G разложима над k. Тогда ка-
каждый образ группы G при k-морфизме f {соответственно при
k-морфизме в группу GL {V)), разложим над k {соответственно
триангулируем над ft).
Предположим, что группа G линейна.
(И) Следующие условия эквивалентны, (а) группа G триангу-
триангулируема над ft; (b) группа Gu определена над k и группа G/Gu
разложима над k\ (с) X(G)=X(G)^.
(iii) Если поле k совершенно, то группа G разложима над k
тогда и только тогда, когда она триангулируема над ft.
Доказательство, (i) Покажем сначала, что группа G'=f (G)
разложима над k. Рассмотрим в первую очередь случай, когда
группа G имеет размерность 1 и С^ {в}. Тогда размерность
группы G' также равна 1. Если G = GLj, то группа G' изоморфна
над ft группе QL{ (предложение п. 8.2). Пусть G = Gfl. Тогда
группа G' унипотентна; она действует точно и ^-рационально на
проективной прямой Р1э причем имеется ровно одна неподвижная
точка Р, рациональная над полем kp~~°°, и одна открытая орбита
(п. 10.9, замечание). Отображение / задает ft-рациональное дей-
действие группы G на Р{ с неподвижной точкой Р. Согласно пред-

§ 15. Разложимые разрешимые группы и подгруппы 239
ложению 15.2, точка Р рациональна над ft; следовательно (п. 10.9,
замечание), группа G' изоморфна над ft группе Ga.
Переходя к общему случаю, рассмотрим композиционный
ряд (Gt) группы G, удовлетворяющий условию п. 15.1. Тогда
(f{Gi)) — композиционный ряд группы G' и f индуцирует сюръек-
тивный ft-морфизм группы Gi/Gi+l на группу f{Gi)/f{Gi+i) (/ = 0, ...
..., 5—1). Наше утверждение следует теперь из одномерного
случая.
Пусть теперь G' — определенная над ft подгруппа группы GLrt
и 9я п — многообразие флагов пространства Кп- Так как группа G'
разложима над ft и &'п{к)ф0, то в множестве &fn(k) имеется
неподвижная относительно группы G' точка (предложение 15.2)
и, следовательно, G' триангулируема над k (п. 15.3).
(и) (а)=#(Ь). Пусть G содержится в группе 1п верхних тре-
треугольных матриц степени я, и пусть Urt —унипотентная часть
группы Trt. Тогда GU = G П Urt. Согласно утверждению 4 теоремы
10.6, алгебра Ли группы Gu состоит из всех нильпотентных ма-
матриц из L(G)\ следовательно, L(GU) = L (G)fl L (Urt), и группа Gu
определена над ft в силу предложения 6.12. Так как ft-мор-
физм группы Тп на группу Т>п с ядром Un индуцирует инъектив-
ный ft-морфизм группы G/Gu в Drt, то группа G/Gu изоморфна
над k прямому произведению групп GLj (предложение п. 8.4).
(Ь)=Ф(с), Так как группа G изоморфна над k полупрямому
произведению групп G/Gu и Gu (теорема 10.6), и X(GM) = {1}, то,
очевидно, отображение я*: X(G/GM)->X(G), индуцированное
проекцией я: G —> GJGUi является изоморфизмом. Если группа Gu
определена над /г, то проекция я определена над k\ следовательно,
отображение я* преобразует множество X(G/Gu)k в X(G)k.
Поэтому равенство X(G/GU) = X(G/Gu)k влечет за собой X(G) =
X(G)
(с)=Ф(а). Пусть X: G-> GL (V) — морфизм, определенный над k.
По теореме Ли — Колчина существует такой характер %^X(G),
что собственное подпространство Vx отлично от нуля. Так как
по предположению характер % определен *над ft, то простран-
пространство Vx определено над ft (п. 5.2). Используя индукцию по dimV,
приходим к выводу, что группа A, (G) триангулируема над ft, от-
откуда следует наше утверждение.
(ill) Пусть поле ft совершенно. Ввиду утверждения (i) доста-
достаточно показать, что разложимость над ft группы G вытекает из
ее триангулируемости над ft. Пусть GcTrt. Компоненты единицы
пересечений группы G со стандартным нормальным рядом группы Тп
(см. п. 10.2) дают нормальный ряд (G?), состоящий из связных
ft-групп, последовательные факторы которого одномерны и изо-
изоморфны либо образам подгрупп группы Dn и, следовательно,
ft-изоморфны группе GI^ (пп. 8.2 и 15.1), либо унипотентным

240 Гл. V. Вопросы рациональности
одномерным группам. Так как поле ft совершенно, то эти послед-
последние ft-изоморфны группе Ga (п. 10.9, замечание). Таким образом,
группа G разложима над ft.
Замечание. Согласно утверждению (ш) теоремы 15.4, ли-
линейный ft-тор ft-разложим тогда и только тогда, когда он триан-
триангулируем над ft. С другой стороны, по той же причине связная
унипотентная ft-группа всегда триангулируема над ft, хотя и не
всегда ft-разложима. Пример такой группы над полем харак-
характеристики > 2, разумеется несовершенным ввиду утверждения (и)
теоремы п. 15.4, можно найти в статье Розенлихта [2], стр. 46.
15.5. Следствие, (i) Пусть G — триангулируемая над ft ли-
линейная группа. Тогда образ группы G при k-морфизме f: G -> GL (V)
триангулируем над ft.
(ii) Пусть группа G унипотентна. Тогда группа G триангули-
триангулируема над ft. Если поле k совершенно, то группа G разложима
над ft.
(i) Пусть G' = f(G). Тогда Gu = f(Gu) и морфизм f индуцирует
сюръективный ft-морфизм группы G/Gu на G'/G'u. Наше утвер-
утверждение следует теперь из утверждений (i) и (ii) теоремы 15.4.
(ii) Это следует из утверждений (ii) и (ill) теоремы 15.4.
15.6. Предложение. Пусть G = Gfl, GLt. Пусть X — (не-
(непустое) ft-многообразие, на котором группа G действует транзи-
тивно и k-рационально. Тогда ХAг)Ф 0.
Доказательство. Многообразие X неприводимо. Если
dimX = 0, то X состоит из одной точки, которая должна быть
рациональной над ft. В противном случае dimX=l и при х^Х
орбитное отображение fx: g->g-x сюръективно (с конечными
слоями); следовательно, его коморфизм есть инъективный гомо-
гомоморфизм поля К{Х) в поле K{G). Но в рассматриваемом случае
К (G) = К {Т)> где Т — переменная; по теореме Люрота поле К (X) —
чисто трансцендентное расширение поля /С размерности 1. Дру-
Другими словами, X — рациональная и, очевидно, гладкая кривая.
Следовательно, существует ft-изоморфизм кривой X на ft-откры-
тое подмножество полной гладкой кривой Y рода 0. Действие
группы G на кривой X естественно продолжается до ft-рациональ-
ного действия группы G на 7, и множество Y — X состоит из
конечного числа точек, неподвижных относительно группы G.
Запишем P{ = G\JA, где либо Л = {0}, либо A = {0}U {о©}1)-
Орбитное отображение fx продолжается до морфизма f много-
многообразия Рх в К, который оказывается сюръективным, ибо его
образ замкнут и одномерен. Отсюда следует, что Y — X = f(A).
Так как морфизм fx определен над полем k(x)> то f {А) с Y (ft (x)).
Это справедливо для любой точки х е X. Но мы можем найти
1) В зависимости от того, будет ли G = Ga или GLj. — Прим. ред.

§ 15. Разложимые разрешимые группы и подгруппы 241
две точки х, у^Х{К), такие, что k(x){]k(y) = k9 например, две
„независимые общие точки" или общую точку х и алгебраиче-
алгебраическую точку у. Следовательно, f (А) с: Y (ft) и последнее множество
непусто. Так как Y — кривая рода нуль, то она ft-изоморфна мно-
многообразию Р{ (п. 10.9, замечание). Следовательно, Y обладает по
крайней мере тремя рациональными точками (соответствующими
точкам 0, 1, ©о). Но множество f(A) состоит не более чем из
двух точек, откуда вытекает, что Х{1г)Ф0.
15.7. Следствие. Пусть Н — некоторая k-группа, L —связ-
—связная разрешимая k-разложимая подгруппа и л: Н -> H/L — кано-
каноническая проекция. Тогда отображение я (ft): H(k)->(H/L)(k)
сюръективно.
Воспользуемся индукцией по dimL. Пусть N —- первый нетри-
нетривиальный член композиционного ряда, „разлагающего" группу L.
Группа N — разложимая над ft группа коразмерности 1, так что
группа L/N изоморфна над ft группе GI^ или Ga. Отображение я
является композицией канонических проекций
U —> H/N -?> H/L.
Пусть х ^(H/L)(k) и Х~$~~1(х). Так как морфизм р сепарабелен,
то многообразие X определено над ft. Группа L нормализует
группу N, следовательно, правые сдвиги на многообразии H/N
определяют ft-рациональное действие группы L/N на H/N (след-
(следствие 6.11). Очевидно, что орбиты этого действия являются слоями
морфизма р. Следовательно, в силу предложения 15.6 ХAг)Ф0.
По предположению индукции отображение a (ft) сюръективно,
откуда и вытекает следствие.
15.8. Замечание. Предположим, что Н — связная ft-группа.
Пусть х — общая точка над ft многообразия H/L. Согласно след-
следствию, многообразие n~l(k(x)) обладает точкой у, рациональной
над ft (х), что дает вложение поля ft (у) в поле ft (х) = ft (Я/L),
т. е. „рациональное отображение, определенное над ft", многооб-
многообразия H/L в группу Н. Иначе говоря, существует плотное ft-от-
крытое подмножество U многообразия H/L и ft-морфизм s: U -~> Я,
такой, что rtos = id. Это означает, что расслоение группы Я
над H/L допускает локальное сечение, определенное над ft. От-
Открытое многообразие n~l(U) изоморфно над ft многообразию
U X L> откуда следует, что группа Н бирационально изоморфна
над ft многообразию {H/L) X L. В частности, если группа Н раз-
разрешима и ft-разложима, то Н — рациональное многообразие над k.
Предположим теперь, что поле ft алгебраически замкнуто.
Тогда унипотентный радикал RU{H) группы И разложим над ft.
Из замечания и следствия 14.13 вытекает, что Н — рациональное
многообразие над ft.

242 Гл. V. Вопросы рациональности
15.9. Теорема. Пусть k — совершенное поле и группа G
связна. Максимальные связные разрешимые k-разложимые под-
подгруппы (соответственно максимальные связные унипотентные k-под-
группы, соответственно максимальные k-разложимые торы) группы G
сопряжены друг с другом при помощи элементов из группы G (k).
Если R — одна из таких подгрупп, то {G/R) (k) есть множество ра-
рациональных точек проективного k-многообразия V, содержащего
многообразие G/R в качестве k-открытого подмножества, на ко-
котором k-рационально действует группа G.
Пусть R — максимальная связная разрешимая ^-разложимая
подгруппа группы G. Пусть я: О-> GL{V) —- точный /г-морфизм,
такой, что отображение dn инъективно, и V содержит прямую D,
определенную над kf стабилизатор которой в группе G (соответ-
(соответственно в L{G)) совпадает с R (соответственно с L{R)) (тео-
(теорема 5.1). Образ группы R в группе GL(V/D) относительно
естественного представления триангулируем над k (теорема 15.4).
Следовательно, существует рациональный над k флаг Р в про-
пространстве У, одномерное подпространство которого совпадает
с D, и такой, что RP = P. Пусть ST [V) — многообразие флагов
пространства V и /: g -» g{P)-~ орбитное отображение группы G
в &~(V). Пусть X = G{P). Это проективное /г-многообразие, на
котором fe-рационально действует группа G; оно является объеди-
объединением множества G (Р) и орбит строго меньшей размерности.
Пусть Q^X(k) и Н — стабилизатор точки Q. Группа Я опреде-
определена над k (ибо поле k совершенно) и триангулируема над fe,
ибо оставляет неподвижным некоторый элемент множества !F(V)(k)
(утверждение (ш) теоремы 15.4). Следовательно, dim H ^dim/? и
dim G (Q) > dim G (Р). Поэтому Qs=G (P), так что X(k) = G (P) (?).
По построению флага Р его стабилизатор в группе G (соот-
(соответственно в алгебре Ли L(G)) совпадает с R (соответственно
с L{R)), так что морфизм f сепарабелен и G {P) = G/R9 откуда
следует, что (G/R){k) = X{k).
Пусть теперь Я — связная разрешимая fe-разложимая подгруппа
группы G. Согласно предложению 15.2, группа Н обладает не-
неподвижной точкой x^X(k). В силу сказанного выше xeG (P)(fe) =
= (G//?)(&). Из п. 15.7 следует, что х — образ некоторого эле-
элемента g e G (k) при отображении /. Но тогда xHx~l cz R и, если
группа Н унипотентна, то xHx~l a Ru. Отсюда следует, что любая
связная разрешимая fe-разложимая подгруппа (соответственно
связная унипотентная ^-подгруппа) группы G сопряжена при
помощи некоторого элемента из G (k) с группой R (соответ-
(соответственно Ru) и что всякий fe-разложимый тор Н сопряжен над k
с подтором группы R. Мы знаем уже, что fe-торы группы R раз-
разложимы над k (теорема 15.4). Остается показать, что два макси-
максимальных тора Г, V группы R сопряжены при помощи элемента

§ 16, Группы над конечными полями 243
группы R(k). Воспользуемся индукцией по dim/?. Пусть Q — связ-
связная одномерная fe-подгруппа группы Ru, являющаяся нормальным
делителем в /?. Она триангулируема над k, и так как поле k
совершенно, то она ^-разложима и ^-изоморфна группе Gfl. Ис-
Используя индукцию и замечание 15.8, мы можем свести дело к слу-
случаю, когда T'czT-Q, т. е. когда /?u = Gfl — одномерная группа.
Если Ru коммутирует с Г, то группа R = TX,Q нильпотентна и
Т = Г. В противном случае ZR(T) = T и RU = (T, R) (см. п. 9.3).
Пусть S — компонента единицы централизатора группы Ru в Г.
Она имеет коразмерность 1, определена над k и является нор-
нормальным делителем в R. Группы Г, Тг сопряжены относительно Ru
(теорема 10.6), следовательно, S cz Г', и, выделяя S, мы можем
предполагать, что Т = GLL. Пусть Y = {п е= Ru \ п • Т • п — Т'}.
Это замкнутое множество непусто (теорема 10.6) и определено
над ?. Если х, у е= Г, то у1 • х е= N (Г), так что у~1 • х е= ZR (Т) = Т
(п. 10.6) и, наконец, х еу • Г. Таким образом, тор Г действует
на множестве Y при помощи правых сдвигов транзитивно; в силу
предложения 15.6 F(fe)^0
Замечание. Существует обобщение на произвольное поле k
доказанного в последнем абзаце утверждения: в любой связной
разрешимой fe-группе Н любые два максимальные тора, опреде-
определенные над k, сопряжены с помощью элемента из Н (k). Этот
результат принадлежит Розенлихту [4], теорема 4. Другое дока-
доказательство можно найти в статье Бореля и Титса [1], п. 11.4.
Библиографические замечания. Результаты этого параграфа
до п. 15.5 доказаны в статье Розенлихта [2]; это одна из первых
статей, посвященных вопросам рациональности в аффинных алге-
алгебраических группах. Пункт 15.6 также принадлежит Розенлихту [1],
стр. 425. Другое доказательство дано в статье Розенлихта [5].
Теорема 15.9 опубликована Борелем и Титсом [1], теорема 8.2.
§ 16. ГРУППЫ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
В этом параграфе k — конечное поле, q ==p9 — число элемен-
элементов поля k, /у. х-+ xq — гомоморфизм Фробениуса поля харак-
характеристики р.
16.1, Пусть V — многообразие, определенное над k. Обозначим
через v{q) образ точки v^V при „морфизме Фробениуса" V->V9
который мы также обозначим через Fq. Напомним, что если
V а К!1 — аффинное многообразие, то координаты точки v{q) полу-
получаются применением гомоморфизма Fq к координатам точки и,
и коморфизм (Fq)Q: k [V] -+ k [V] является ^-степенным гомомор-
гомоморфизмов /->/*•
Отображение Fq является чисто несепарабельной изогенией»

244 Гл. V. Вопросы рациональности
Оно биективно, и его дифференциал в любой точке является
нулевым отображением. Множество неподвижных точек отобра-
отображения Fq совпадает с V (k) и, следовательно, конечно. Если V
является fe-группой, то Fq — гомоморфизм.
16.2. Определим отображение f: G X О -> G формулой f(g, А) =
= g~I • Л- g^\ и пусть fg — отображение A->f(g, А). Тогда f^ =
— fh°fg и морфизм / определен над k. Следовательно, группа G
действует на себе посредством отображений fg и это действие
^-рационально,
16.3. Теорема (Ленг). Пусть a^G. Тогда орбитное отобра-
отображение sa: g->g~l-a*g№ сепарабельно. Его обрлз открыт
и замкнут.
Для доказательства второго утверждения достаточно убедиться,
что sa(G°) — связная компонента элемента а в группе G. Следо-
Следовательно, мы можем считать группу G связной. Пусть /: х-+х~х.
Тогда (п. 3.2)!)
{dsa)e (X) = die (X) • а + dFq (X) (X е= <|).
Но {di)e = — Id (п. 3.2) и dFQ = 0 (п. 16.1); следовательно,
откуда вытекает, что dsa — изоморфизм. Поэтому sa — доминант-
доминантный и сепарабельный морфизм. Орбита sa(G) элемента а содер-
содержит непустое открытое множество, ввиду однородности само мно-
множество sa (G) также открыто. Так как это справедливо для любого
элемента группы G, то все орбиты также замкнуты.
16.4. Следствие. Пусть G — связная группа. Тогда отобра-
отображение g->g~l-g(q) сюръективно и сепарабельно.
Это вытекает из теоремы п. 16.3 в случае а = е.
16.5. Следствие. Пусть G — связная группа и V — непустое
k-многообразие, на котором группа G действует транзитивно
и k-рационально. Тогда V (k) Ф 0.
Пусть уеУ. По предположению существует такой элемент
geG, что g-v{q) = v. Согласно следствию 16.4, для подходящего
А е G имеем g = A" • h\ Тогда hv = h{q) • v{q) = {h • v){Q\ откуда
A • v €= V (k).
16.6. Предложение. Группа G° обладает подгруппой Кар-
тана {соответственно максимальным тором, соответственно под-
1) Здесь точка обозначает умножение в группе Т (G) (см. п. 3.5); Х*а равна
d(pa)e(X)t т. е. дифференциалу правого сдвига Pa(g) = ga B точке е. — Прим.
перев.

§ 16. Группы над конечными полями 245
группой Бореля), определенной над k. Любые две подгруппы Бо-
Бореля, определенные над k, сопряжены с помощью элемента из
04k).
Пусть Я —подгруппа Картана (соответственно максимальный
тор, соответственно подгруппа Бореля) группы G0. Тогда группа
H{q), полученная применением отображения Фробениуса, также
является подгруппой Картана (соответственно максимальным тором,
соответственно подгруппой Бореля). Следовательно, существует
такой элемент g e G0, что
g.H{4).g-l=H
(см. пп. 11.1, 11.3). В силу следствия 16.4 существует элемент
a^G°, такой, что g = a~l • a{q\ Следовательно,
={а-Н- a~l){q)9
откуда вытекает, что группа аНа~х определена над k.
Пусть В, В' — две подгруппы Бореля, определенные над k.
Многообразие V = Тг(В, B;) = {jceG |хВх~{ — В'} определено
над k (ибо поле k совершенно) и непусто (теорема 11.1). Так как
группа В совпадает со своим нормализатором (теорема 11.15),
то В действует на V транзитивно при помощи правых сдвигов.
В силу следствия 16.5 V (k) Ф 0.
Замечание. Последнее утверждение предложения 16.6 на
самом деле справедливо для произвольного поля (Борель и Тите
[1], теорема 4.13).
16.7. Предложение. Пусть Я — связная k-epynna и
f: G° -> Я — сюръективный k-морфизм. Тогда подгруппа Картана
{соответственно максимальный тор, соответственно подгруппа Бо-
Боре ля) группы Я, определенная над kf является образом такой
подгруппы группы G0.
Пусть М — определенная над k подгруппа Картана группы Я
и м' =f~l {М)°. Тогда группа М' определена над k (ибо она
fe-замкнута и поле k совершенно) и М = /(М/), так как группа М
связна. Согласно предложению 16.6, Ш обладает определенной
над k подгруппой Картана С. В силу предложения п. 11.14 группа
}{С) является подгруппой Картана группы f{Mf) — M. Следова-
Следовательно, /(C/) = iW. В двух других случаях доказательство анало-
аналогично.
16.8. Предложен ие. Пусть G, Я — связные k-группы и
f: G —> Я — изогенияу определенная над k. Тогда группы G (k)
и Я (k) содержат одинаковое число элементов.
Пусть г: М -> N — изогения связных алгебраических групп.
Обозначим через degr степень трансцендентности поля k{M) над

246 Гл. V. Вопросы рациональности
полем rQk(N). Степень сепарабельности этого расширения равна
числу элементов множества кег(г).
Пусть а0—•отображение g->g"~l • g{q). Оносепарабельно и сюръек-
тивно (п. 16.4), и его степень сепарабельности равна числу [G (k)]
элементов группы G(&)• Аналогично, степень сепарабельности
отображения ан равна [H{k)\. Но f °aQ — aH°f; следовательно,
deg (/ о aQ) = deg f • deg aQ = deg f • deg aH.
Предложение следует из того факта, что deg/=^0.
16.9. Не вдаваясь в детали, упомянем, что следствие 16.4
можно интерпретировать на языке когомологий Галуа. Оно экви-
эквивалентно следующему факту: если L — конечное расширение Галуа
поля k, то
Hl{Gsil{L/k)9 G(L))== 0.
Определение множества Я1 можно найти, например, в книге
Серра [1].
Библиографические замечания. Результаты этого параграфа,
за исключением пп. 16.6, 16.7, принадлежат Ленгу [1]. То об-
обстоятельство, что следствие 16.5 можно вывести из теоремы 16.3,
было отмечено Серром и упомянуто в статье Розенлихта [2] (см.
сноску на стр. 45 этой статьи).
§ 17. ФАКТОР ГРУППЫ ОТНОСИТЕЛЬНО АЛГЕБРЫ ЛИ
В этом параграфе char {k) = p> 0. Мы полагаем Ak = k[G]
и AK—K[G]. Напомним (п. 3.3), что алгебру Ли $ можно ото-
отождествить с алгеброй левоинвариантных /("-дифференцирований
алгебры Ак посредством отображения Х-+*Х и что
8(*) = 8ПОегл(Лл, Ak).
В § 6 мы ввели понятие фактора G/H группы G относительно
ее замкнутой подгруппы. Разумеется, обе группы G и Н предпо-
предполагались „приведенными", ибо только с такими группами мы
имели дело в этих лекциях. Однако этот фактор можно опреде-
определить на более широкой категории схем на группах (Демазюр и
Гротендик [1]). В этом параграфе мы рассмотрим частный случай
этой ситуации, когда в качестве Н выступает ограниченная под*
алгебра Ли алгебры Ли д, — простейший тип неприведенных
групп размерности нуль. Наш основной результат — предложе-
предложение 17.8, которое будет играть важную роль в § 18.
17.1. Лемма. Пусть т-— определенная над k ограниченная
подалгебра Ли алгебры Ли д. Пусть В — множество элементов
алгебры Ак> аннулируемых дифференцированиями множества (&)

§17. Фактор группы относительно алгебры Ли 247
Тогда В содержит Al и является конечно порожденной k-алгеб-
рой. Кроме того, m = {X е g | X • В = 0}.
Так как алгебра Ли g действует на алгебре Ак при помощи
дифференцирований, то она аннулирует множество АРК1 Следова-
Следовательно, BzdAI, и алгебра Аь является целой над В. Тогда
алгебра В является конечно порожденной, согласно хорошо из-
известному факту (см., например, Серр [4], лемма 10, стр. 58).
При доказательстве второго утверждения группу G можно
считать связной. Пусть L=K(G) иМ- поле частных алгебры Вк.
Тогда LzdMzd Lp, так что L — чисто несепарабельное расширение
поля М высоты 1. Действие алгебры Ли g на Ак очевидным об-
образом распространяется до действия алгебры Ли g®#L на L,
так что д®#? становится алгеброй Ли дифференцирований
поля L. Поле М является полем инвариантов {) для алгебры Ли
т®^!. (Если D(a/b) = 0, где D —дифференцирование, то
D(a • 6р~~1) = 0, откуда следует, что а/b =а • bp~l/bp есть частное
двух D-инвариантов.) Но тогда в силу теории Галуа для несепа-
рабельных расширений степени 1, построенной Джекобсоном [2],
гл. IV, теорема 19, стр. 186, m®KL есть алгебра Ли всех диф-
дифференцирований поля L, которые аннулируют М. Отсюда выте-
вытекает второе утверждение.
17.2. Предложение. Пусть m — ограниченная подалгебра Ли
алгебры д, которая определена над k. Тогда существует аффинное
k-многообразие G/m и k-морфизм п: G->G/m, обладающий сле-
следующими свойствами:
(i) Морфизм п биективен, ker {dn)x = x • m (xeCJ). Комор-
физм щ индуцирует изоморфизм кольца k [G/m] на алгебру В тех
элементов алгебры Ak, которые аннулируются подалгеброй m (fe).
(ii) Если Z — аффинное k-многообразие и s: G->Z — такой
k-морфизм, что ker {ds)x id x • m (xeG), то существует единствен-
единственный k-морфизм f: G/m->Zf такой, что s = fon.
Пара (G/m, я) единственна с точностью до k-изоморфизма.
Пусть (У{, Ui) (i=l, 2) — две пары, обладающие свойствами
(i) и (ii). Существуют единственные fe-морфизмы /: V{->V2 и
h\ V2"^>V{, такие, что n2 = f°n\ и щ=/г°п2- Отсюда сразу сле-
следует, что морфизмы f n h биективны и что коморфизмы f0, Ao
являются изоморфизмами. Остается доказать их существование.
Пусть Ьх, ..., bs — множество образующих для В как /г-алгебры
(п. 17.1). Согласно предложению п. 1.9, имеется конечномерное
подпространство Wt алгебры Ак, инвариантное относительно
1) Поясним, что инвариантом относительно дифференцирования D модуля М
называется такой элемент деМ, что D(а) = 0. — Прим. перев.
2) См. сноску на стр. 244. — Прим. перев.

248 Гл. V. Вопросы рациональности
группы G, действующей при помощи правых сдвигов, причем Wt
определено над k и содержит bt (l</^s). Пусть Я = XI Wi и
6 == ?>! + ... -\-bs^E. Мы утверждаем, что орбита V = G*b
элемента Ь относительно естественного действия группы G в Е и
орбитное отображение я: g-> g*b удовлетворяют нашим условиям.
Если g'b — b, то bi{g) = bi{e) A<л^$). Поскольку bt по-
порождают алгебру В и В содержит Apk, то f{g) = f(e) для любого
f^Ak, так что g—e, т. е. отображение я биективно. Пусть
leg. Тогда, согласно предложению 3.10, Xе=кег(йя)<> тогда и
только тогда, когда &j*X = 0, т. е. в силу леммы 17.1 тогда и
только тогда, когда Хеш. Следовательно, ker{dn)e = m. Равенство
ker(dn)x = X • ш вытекает тогда из того факта, что орбитное ото-
отображение эквивариантно.
Так как орбитное отображение п биективно и многообразие V
нормально, то V аффинно (предложение п. АГ. 18.3) и комор-
физм я0 инъективен. Соотношение ker (йя)* = тп влечет за собой
щ(к[У])аВ. Чтобы установить обратное включение, достаточно
доказать, что 6f g Im я0 A ^ i ^ s). Зафиксируем i. Пусть
щ щ — базис пространства Wt (k) и а{, ..., at — двойственный
базис пространства W](k). Ограничение отображения a^W]ciE*
на многообразие V есть элемент алгебры k[V]. Если обозначить
его через а/, то
что доказывает наше утверждение.
Пусть теперь s и Z — как в утверждении (И). Тогда so(k[Z])
аннулируется дифференцированиями из m (k) и, следовательно,
содержится в В. Поэтому единственный fe-морфизм f: V-+Z, ассо-
ассоциированным коморфизмом которого является s0: k[Z\—>B, удо-
удовлетворяет соотношению s = fojt.
Замечание. При доказательстве того факта, что много-
многообразие V аффинно, мы использовали предложение п. АГ.18.3.
Этого можно избежать. Затратив несколько больше усилий, можно
показать непосредственно, что многообразие V замкнуто в ?.
Подобное рассуждение можно найти в книге Бореля [2], предло-
предложение 7.7.
17.3. Лемма. Сохраним обозначения п. 17.2 и § 3. Пусть
f^AKf geG, leg. Тогда
(i) (tf) •*«-'<>(*•/).
(И) (/**)(?)

§ 17. Фактор группы относительно алгебры Ли 249
Пусть fti hi^AK — такие элементы, что \iof = 2 ft ® ht. Тогда
Так как (/^ * J)(g) = X(Xg-i • iof) (см. п. 3.4), то
откуда, согласно п. 3.4,
(hf * X) (g) - - S */,. Л, (g-1) = - (* * f) (g-1)»
что доказывает утверждение (i). Из равенства f(g • A:) = f (grA:^" • g)
получаем
Следовательно,
(f • ^) (г) = SJr(fi о int
Так как дифференциал морфизма Int по определению (см. п. 3.5)
есть Ad, то из определения дифференциала отображения и п. 3.4
получаем
(f * X) (g) = S (Ad (g) (X) • f,) • A, (g) - (Ad (g) (X) * f) (g).
17.4. Предложение. Пусть m — ограниченная подалгебра
Ли алгебры Ли д. Предположим, что алгебра Ли тп определена
над полем k и инвариантна относительно Ad G. Тогда яа много-
многообразии G/rn из п. 17.2 можно ввести каноническую структуру
k-группы, такую, что морфизл* л: G —> G/rn является k-изогенией.
Если G' — некоторая k-группа us: G->G' есть k-изоморфизм, диф-
дифференциал которого аннулирует алгебру т, то существует един-
единственный k-морфизм f: G/m—>G7, такой, что s = /°n.
Сохраним предыдущие обозначения. Так как подалгебра Ли
т инвариантна относительно Ad G, то, согласно утверждению (i)
леммы 17.3, алгебра Вк совпадает с множеством элементов,
неподвижных относительно левых конволюций I* (Iem). Из
утверждения (п) этой леммы вытекает тогда, что iQB = В. Пусть
[gB и \ij = 2 ft ® hi {fi, ht e Ak). Можно предполагать, что эле-
элементы // (соответственно элементы hi) линейно независимы над k.
В самом деле, при X е g мы имеем
При Хеш обе левые части равны нулю. Следовательно, Xft =
*=Xhi=Q для всех /, откуда \х^В а В ® В. Таким образом,

260 Гл. V. Вопросы рациональности
алгебра В и отображение \i, /0, е удовлетворяют условиям п. 1.5,
выполнение которых гарантирует, что В— координатное кольцо
над k аффинной fe-группы. Это позволяет ввести на многообра-
многообразии G/m структуру аффинной fe-группы. Так как она совместима
с включением BaAk, то отображение я из п. 17.2 является fe-изо-
генией. Это доказывает первое утверждение предложения. Второе
вытекает из утверждения (п) предложения 17.2.
17.5. Примеры. A) Если m = g, то k(G/m) = Apk. Изогению
Фробениуса (п. 16.1) можно рассматривать как fe-изогению я
группы G на G/g.
B) Пусть р = 2 и G = SL2. Тогда g = $l2 есть алгебра Ли B X 2)-
матриц со следом нуль. Она содержит одномерное подпростран-
подпространство m матриц, кратных единичной, которое является ограниченным
идеалом, инвариантным (фактически центральным) относительно
группы SL2. Легко видеть, что G/m = PGL2. Морфизм я: G->G/m
реализуется при помощи естественного действия группы G на Р,
(см- п. 10.8). Тогда lmdn==n есть двумерный идеал алгебры Ли
L(G/m), инвариантный относительно р-отображения и относительно
группы Ad (G/m). Можно показать, что PGL2/n^SL2 и что сквоз-
сквозное отображение G-> G/m—>(G/m)/n есть изогения Фробениуса
группы G.
17.6. Характеры группы GLj имеют вид х -> xm (m e Z). Диф-
Дифференциал такого характера есть отображение Х—>тХ. Пусть
теперь Г —тор. Отсюда следует, что L(T) ^ Х#(Г) ® fe, L(T)* 9*
^Х(Г)®^. В частности, характер а^Х(Т) имеет нулевой диф-
дифференциал тогда и только тогда, когда аер«Х(Г).
17.7. Лемма. Пусть G — связная группа. Предположим, что
все полупростые элементы алгебры Ли g центральны. Тогда мно-
множество полупростых элементов алгебры Ли g является подпро-
подпространством, определенным над k> и совпадает с алгеброй Ли не-
некоторого максимального тора группы G.
Пусть Т — максимальный тор группы О. Пусть X е g — полу-
полупростой элемент. Он является касательным вектором к некото-
некоторому тору S (см. п. 11.8). и в силу следствия 11.3 существует
элемент g ge G, такой, что g • S • g—1 cz Т. По предположению эле-
элемент X централен в g и, следовательно, G совпадает с центра-
централизатором элемента X в G (см. п. 9.1). Поэтому Ad(g)(X) = X
и let, Но алгебра Ли t состоит из полупростых элементов
(п. 8.2, следствие), откуда вытекает, что t есть множество всех
шолупростых элементов алгебры Ли д. Существует такая степень
iq = ps числа р, что 5-я итерация [q] отображения [р] аннулирует
все нильпотентные элементы алгебры Ли д (если G с GLrt, то
.можно принять s = д). Если Х = Х? + Ха — разложение ,Жордана

§ 17. Фактор группы относительно алгебры Ли 251
элемента Igjj, to X[q] = X[SQ\ что показывает, что отображение [q]
преобразует get. Так как отображение [q] биективно на t (см.
п. 3.3, пример B)), то t совпадает со всем образом отображе-
отображения [q]. Но [q] есть fe-морфизм многообразий (если G cz GLrt,
то Х[я] является q-н степенью матрицы X (см. п. 3.6)); следова-
следовательно, многообразие t==im[^] определено над k.
17.8. Предложение. Пусть G ¦— связная ненильпэтентная
группа; предположим, что каждый полупростой элемент алгебры
Ли g централен. Пусть Т — максимальный тор группы G. Тогда
существует k-подгруппа G', такая, что неполупростые элементы
алгебры %' центральны, и чисто несепарабельная k-изогения л: G -> G',
такая, что ker{dri) = t и im (dri) — подпространство алгебры Ли%',
дополнительное к алгебре Ли любого максимального тора.
Пусть Ф = Ф(Г, G) — множество корней группы G относительно
тора Т (п. 8.17). Так как группа G ненильпотентна, то тор Т не
централен в группе G (см. п. 11.5) и множество Ф непусто (след-
(следствие п. 9.2). Пусть с — наибольшее положительное число, такое,
что Фс рсХ(Т). Ввиду п. 17.6 по; алгебра Ли t центральна
в алгебре Ли g тогда и только тогда, когда с^1. Согласно
лемме 17.7 и предположению, с^1. Доказательство проведем
индукцией по с.
Согласно п. 9.1, все элементы алгебры Ли t централизуются
группой G. Разумеется, алгебра Ли t является ограниченной и
инвариантной относительно Ad (G); следовательно, мы можем
применить предложение 17.4: получаем fe-группу G{ = G/t и fe-изо-
гению щ: G~+G{, такие, что ker(dn1) = t. Пусть Т' — максималь-
максимальный тор группы Gp Согласно п. 11.14, dim Т = dim T'. В силу
леммы 17.7 dnx аннулирует все полупростые элементы алгебры
Ли д, так что (см. п. 4.4) dn{ (g) состоит из нильпотентных эле-
элементов. Если Г7 —максимальный тор группы Gu то d()n
Л?(Г) = {0}, откуда
A) MGi) = *
по размерностным соображениям. Пусть теперь Tf = щ{Т). Так
как отображение dn{ аннулирует алгебру Ли t, то из п. 17.6 сле-
следует, что индуцированный гомоморфизм я*: Х(Г/)->Х(Г) отобра-
отображает группу Х(Г') в р • Х(Г). С другой стороны, отображение dn{
инъективно на сумме корневых подпространств да (абф). Из
формулы A) и эквивариантности следует, что гомоморфизм я*
индуцирует биекцию множества Ф(Г/, G{) на Ф. Так как я*Х(Г7) с
с1р-Х(Г), то d < с, где d — наибольшее целое число, такое, что
Ф(Г, Gx)czpdX(r). Если rf = 0, то мы возьмем щ=л, Gx = G'.
Если с?=й=О, то по индукции выберем группу G' и морфизм я2,
удовлетворяющие нашим условиям по отношению к группе Ga.

252 Гл. V. Вопросы рациональности
Ясно тогда, что пара (G', п — п2ощ) удовлетворяет нашим требо-
требованиям.
Библиографические замечания. Как уже упоминалось, резуль-
результаты пп. 17.2, 17.4 справедливы в гораздо более общей форме
(Демазюр и Гротендик [1]). Лемма п. 17.3 впервые доказана
Серром [5] и Барсотти. См. также Картье [1]. Предложение
п. 17.8 доказано в несколько более общем виде Борелем и
Шпрингером [1], § 5.3.
§ 18. ПОДГРУППЫ КАРТАНА НАД ПОЛЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ;
УНИРАЦИОНАЛЬНОСТЬ; РАЗЛОЖИМОСТЬ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
18.1. Регулярные элементы. Пусть nil X (X е д) — кратность
нулевого собственного значения преобразования ad {X), и пусть
п (д) — минимум nil X, когда X пробегает д. Элемент X назы-
называется регулярным, если nil Х = п($), и сингулярным в против-
противном случае. Ясно, что nil X = nil Xs, так что X регулярен в том
и только в том случае, когда его полупростая часть Xs является
регулярным элементом. Если р Ф О, то элемент X регулярен тогда
и только тогда, когда элемент XlpJ регулярен.
Если ввести координаты в алгебре g по отношению к базису
из g(fe), то мы можем написать
det (ad (JO - Т) = Tm (с0 (Х) + с{(Х)Т+...+ cq (X) Г7),
где сг — однородные полиномы с коэффициентами из поля k и
q — dim g — n(g). По определению числа п($) полином сд отли-
отличен от нуля. Сингулярные элементы суть корни полинома с0;
следовательно, они образуют собственное fe-замкнутое алгебраи-
алгебраическое подмножество алгебры Ли д, а регулярные элементы об-
образуют плотное открытое подмножество.
Пусть поле k бесконечно. Тогда существует регулярный полу-
полупростой элемент iGg(fe), ибо множество g(fe) плотно в g в то-
топологии Зарисского (поле k бесконечно). Пусть X = Xs + Хп — его
разложение Жордана (п. 4.4). Тогда элемент Xs регулярен. Если
поле k совершенно, то Х5ед (k). Пусть р Ф 0. Тогда существует
степень [q] отображения [р], которая аннулирует элемент Хп.
Тогда XW XW
18.2. Теорема. Пусть группа G связна.
(i) Группа G содержит максимальный тор и подгруппу Картана,
определенные над k.
(ii) Если группа G редуктивна либо поле k совершенно, то
группа G унирациональна над k.

§ 18. Подгруппы Картана над полем определения 253
(i) Подгруппа Картана является централизатором максималь-
максимального тора Т и определена над k, если тор Т определен над k
(следствие п. 9.2). Следовательно, достаточно показать, что суще-
существует определенный над k максимальный тор. Если группа G
нильпотентна, то это утверждение C) теоремы 10.6. Если поле k
конечно, это предложение 16.6. В общем случае мы восполь-
воспользуемся индукцией по dimG.
Пусть поле k бесконечно и группа G не нильпотентна.
Пусть Т—максимальный тор группы G. Так как группа G
ненильпотентна, то тор Т нецентрален (п. 11.5). При р = 0 нену-
ненулевые характеры тора Т имеют ненулевые дифференциалы, так что
алгебра Ли t нецентральна в алгебре Ли д, и g обладает нецен-
нецентральными полупростыми элементами. Если все полупростые эле-
элементы алгебры Ли g центральны (и, следовательно, р ф 0), то
выберем G' и я: G->G', как в п. 17.8. В противном случае
G' = G, jt = Id. Согласно п. 18.1, множество g'(ft) содержит ре-
регулярный полупростой элемент Y. По построению n(g') Ф dim g',
так что 1(У)фс(. Пусть G действует на д' при помощи отобра-
отображения Ad о я; при Ze^ обозначим через Gz стабилизатор эле-
элемента Z в G. Ясно, что ti(Gz) = Zq' (Z). В частности, согласно п. 9.1,
GK = dim 8б'(У) Ф dimg', так что ОуфС Мы утверждаем, что
группа GY определена над k. Это ясно, если поле k совершенно
или если морфизм я тождествен (п. 9.1). В остальных случаях
достаточно показать, что орбитное отображение /: g->g(Y)=*
= Ad я (g){Y) сепарабельно (предложение 6.7). Это сводится к
доказательству того факта, что отображение dfe сюръективно.
Согласно формуле B) п. 3.9 и п. 9.1, касательное пространство
в точке Y к орбите Ad G' {Y) = G • Y совпадает с Y + [Y, g'].
С другой стороны, согласно формуле B) п. 3.9,
dfe(X) = Y + [dn(X),Y] (X eg).
Согласно предложению 17.8, пространство йя(д) дополнительно
в д' к алгебре Ли любого максимального тора. Мы знаем, чтс
У —алгебра Ли максимального тора (предложение 11.8). Так как
последняя коммутирует с Y, то мы получаем [Y, dn{$)] = [Y, g'],
что доказывает наше утверждение.
Так как Y — касательный вектор к максимальному тору, то
ZG,{Y) содержит максимальный тор группы G' и, следовательно,
G°Y содержит максимальный тор группы G. Ввиду сопряженности
все максимальные торы группы G°Y максимальны в группе G.
По предположению индукции один из них определен над k, откуда
следует утверждение (i).
(ii) Напомним (пример 2 п. 8. 13), что неприводимое fe-многооб-
разие V унирационально над k, если его поле функций k(V) со-
содержится в чисто трансцендентном расширении поля k. Если

254 Гл. V. Вопросы рациональности
многообразия (Vj) (I </^m) унирациональны над k и /: V{ X • • •
• »• X^m"*^ "~ доминантный fe-морфизм, то, очевидно, многооб-
многообразие V унирационально над k.
Пусть поле k совершенно. Тогда унипотентный радикал RU{G)
группы G, который всегда fe-замкнут, определен над k. Он раз-
разложим над k (теорема 15.4) и, следовательно, является рациональ-
рациональным многообразием над k (замечание 15.8). Кроме того, также
ввиду замечания 15.8, группа G бирационально изоморфна как
fe-многообразие многообразию G/RU{G)XRU(G). Это сводит до-
доказательство утверждения (и) к случаю, когда группа G редук-
тивна.
Итак, предположим, что группа G редуктивна. Если G — тор,
то все сводится к примеру B) п. 8.13. Рассмотрим случай, когда
поле k бесконечно, и будем рассуждать при помощи индукции
по dim G. Сохраним обозначения из доказательства утвержде-
утверждения (i). Пусть Н —- группа, порожденная подгруппами G°r, когда
Y пробегает регулярные полупростые элементы множества g' (fe).
Мы утверждаем, что # = G. Предположим противное. Тогда $' =
= L (п (Я)) — собственная подалгебра алгебры д'. Так как поле k
бесконечно, то существует элемент Zeg'(fe), регулярный и не
содержащийся в у. Пусть Z = Zs-{- Zn — его разложение Жордана.
Для некоторой итерации [q] отображения [р] мы имеем Z[sq] =
— Z[q\ и элемент f/ = Z^ регулярен, полупрост и рационален
над k. Он коммутирует с Z (ибо он коммутирует с Zs и Zl/J =
= Z? в матричной реализации группы G'), так что у (U) gt ty.
Но (см. п. 9.1) &„/(?/) есть алгебра Ли группы ZQ,{U)° = n{Gu).
В качестве следствия получаем, что СифН — противоречие. Итак,
H = G. Тогда в множестве G°Y можно выбрать конечное множе-
множество групп Ни ..., Ни таких, что отображение-произведение
#i X • • •Х#*—>> G сюръективно. Группы Ht не совпадают с G,
определены над k (согласно (i)) и редуктивны, ибо их образы
при изогении я редуктивны (предложение 13.19). По индукции они
унирациональны над k\ следовательно, группа G унирациональна
над k.
Пусть теперь поле k конечно. Тогда (предложение 16.6) группа G
обладает подгруппой Бореля В, определенной над k\ последняя
содержит в свою очередь определенный над k максимальный тор Г.
Так как поле k совершенно, то единственная подгруппа Бореля
В~, противоположная группе В и содержащая тор Г, также оп-
определена над k, и унипотентные радикалы ?/, U~ групп В к В~
определены над k. Согласно теореме 10.6, группа В изоморфна
над k полупрямому произведению Г • [/. Согласно п. 14.13, группа G
как многообразие бирационально ^-изоморфна многообразию
U~ У^ТУ^и. Согласно следствию 15.5, группы UyU~ разло-
разложимы над k и, следовательно, являются рациональными много-

§ 18. Подгруппы Картана над полем определения 255
образиями над k. Так как тор Т унирационален над k (пример
B) п. 8.13), то группа G унирациональна над k.
Замечание. Можно показать, что любая связная fe-rpynna
порождается своими подгруппами Картана, определенными над k:
для конечного k см. Борель и Шпрингер [2], п. 2.9. Для беско-
бесконечного поля k это следует из того принадлежащего Гротендику
факта, что многообразие групп Картана группы G рационально
над k (для произвольного поля) (Демазюр и Гротендик [1], сооб-
сообщение XIV, теорема 6.1, стр. 39; см. также Борель и Шпрингер
[2], пп. 7.9, 7.10). Отсюда следует, что группа G унирациональна
над &, если ее подгруппы Картана унирациональны над k. Это
содержит два случая утверждения (и).
18.3. Следствие. Пусть G — связная группа и поле k бес-
бесконечно. Если поле k совершенно или группа G редуктивна, то
множество G (k) плотно в G в топологии Зарисского.
Это вытекает из унирациональности. Отметим, что Розенлих-
том [2], стр. 46, построен пример одномерной унипотентной ^-группы
над бесконечным полем k, в котором множество G (k) конечно.
18.4. Следствие. Пусть G — связная разрешимая группа.
Тогда группа G разложима над алгебраическим расширением по-
поля k.
Согласно п. 18.2, группа G обладает максимальным тором Г,
определенным над k. Ее унипотентный радикал ^-замкнут и, сле-
следовательно, разложим над конечным чисто несепарабельным рас-
расширением поля k в силу следствия 15.5. Тор Т разложим над
конечным (сепарабельным) расширением поля k (п. 8.11), что до-
доказывает следствие.
18.5. Лемма. Пусть 1) — алгебра Ли замкнутой подгруппы Н
группы G. Предположим, что алгебра $ определена над k и $ —
= п (I)). Тогда группа NG{§) определена над k\ группа Н имеет
конечный индекс в группе NQ (^) и определена над конечным се-
сепарабельным расширением поля k\ группа Н° определена над k.
Пусть N — NG(fy. Тогда группа N содержит Н и алгебра Ли
L{N) содержит $ и нормализует §. Значит, L{N) = $ и dim Af =
= dim Я. Так как NzdH, то Н° = № и группа Н имеет конеч-
конечный индекс в N. Предположим, что группа N определена над k.
Тогда группа Н° = № также определена над k (см. утверждение
(Ь) предложения п. 1.2) и группа Н определена над ks, согласно
п. АГ. 12.3. Остается показать, что группа N определена над k.
Пусть d = dim 1), E — Ad§ и я = Ad • Ad —- естественное пред-
представление группы G в пространстве Е. Пусть D — прямая, соот-
соответствующая подпространству §. Из предположений и леммы п. 5Л

258 Гл. V. Вопросы рациональности
Подобное рассуждение для группы ?/_а завершает доказа-
доказательство.
18.8. Следствие. Пусть G — связная редуктивная группа.
Тогда группа G разложима над конечным сепарабельным расши-
расширением поля k.
По теореме 18.2 группа G обладает максимальным определен-
определенным над k тором Г. Последний в силу предложения п. 8.11 разло-
разложим над конечным сепарабельным расширением kf поля k. Остается
сослаться на теорему 18.7.
Библиографические замечания. В характеристике нуль тео-
теорема 18.2 принадлежит Шевалле: утверждение (i) см. Шевалле [1],
т. 3, а утверждение (И) — в статье Шевалле [2]. Для бесконечного
совершенного поля эта теорема была установлена Розенлихтом [2],
а в общем случае — Гротендиком (Демазюр и Гротендик [1], сооб-
сообщение XIV). Приведенное здесь доказательство найдено Борелем
и Шпрингером [1]. Упомянутая выше статья Шевалле также
содержит результат (предложение 3), который, в сущности, экви-
эквивалентен рациональности над k многообразия подгрупп Картана
группы G, если fe —поле характеристики нуль (см. замечание
в п. 18.2 по поводу общего случая этой теоремы).
Результаты п. 18.7 принадлежат Картье (не опубликовано).
Более общие результаты можно найти у Демазюра и Гротен-
дика [1], сообщение XII. Мы следовали здесь статье Бореля и
Шпрингера [2].

ПОСЛЕСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Эти заметки охватывают лишь первую часть теории линейных
алгебраических групп над полем. Чтобы облегчить дальнейшее
изучение, мы дадим здесь краткий комментарий к статьям и
книгам по этому предмету.
Если не считать некоторых общих фактов, изложенных в гл. I
и II для произвольного поля, структурная теория разрабаты-
разрабатывалась в первую очередь над алгебраически замкнутым, а затем
уже над произвольным полем. Это соответствует в алгебраической
геометрии различию между „геометрическими" вопросами и вопро-
вопросами „рациональности".
Главы III и IV дают первую часть теории полупростых
алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем. Пере-
Перечислим основные оставшиеся за рамками этих лекций разделы
этой теории (все результаты принадлежат Шевалле): (а) опреде-
ляемость неприводимых представлений их старшими весами (см.
Семинар Шевалле [1], Борель [4] или Стейнберг [4]); (Ь) изомор-
изоморфизм двух групп над данным полем с одинаковыми системами
корней (см. Семинар Шевалле [1] или Демазюр и Гротендик [2]);
(с) существование группы с заданной системой корней (см.
Борель [4], Шевалле [2] или Стейнберг [4]).
Главу V можно рассматривать как введение в теорию алгебраи-
алгебраических групп над произвольным, не обязательно алгебраически
замкнутым полем. Она содержит все необходимое для изучения
редуктивных fe-групп, предпринятого Борелем и Титсом [1].
Однако мы совершенно не затронули классификации классов
изоморфизма над k простых /г-трупп. По этому поводу мы
рекомендуем читателю статью Титса [4], а также (для совершен-
совершенного поля) лекции Сатаке [2].
Если k — локальное поле, то группа G {к) fe-точек fe-группы G
обладает естественной структурой аналитической fe-труппы, топо-
топология которой тоньше топологии Зарисского. Если fe = R или С,
то группу G (k) можно рассматривать как вещественную или
комплексную группу Ли. Если группа G полупроста, то основную
роль в изучении группы G {k) играют максимальные компактные
подгруппы, разложения Картана и Ивасава, и симметрическое про-
пространство G{k)/U, где U — максимальная компактная подгруппа

260 Послесловие к русскому изданию
группы G(k). Если k — неархимедово локально компактное поле,
то группа G(k) может иметь несколько классов сопряженных
максимальных компактных подгрупп. Тем не менее и в этом слу-
случае развита довольно богатая теория, которая в значительной
степени аналогична теории вещественных групп Ли (см. Брюа и
Тите [1], [2], [3], Ивахори и Мацумото [1]).
В этой книге рассматривались только приведенные аффинные
группы над полями. Они представляют собой частный случай
групповых схем, относительно которых мы отсылаем читателя
к книгам Демазюра и Габриеля [1] и Демазюра и Гротендика [2].
В наших лекциях алгебраические группы рассматривались
сами по себе, без учета связей с другими разделами математики.
Однако эти связи многочисленны, и на самом деле оказывали
весьма стимулирующее воздействие на развитие теории. Чтобы
получить представление об этом, читателю стоит ознакомиться
с Трудами симпозиума по чистой и прикладной математике [I]1)-
1) Там же можно найти обширную библиографию по теории алгебраических
групп и ее приложениям. Некоторые из докладов на этом симпозиуме переве-
переведены на русский язык. (См. сб. Арифметические группы и автоморфные функции,
«Мир», М., 1969.)
Укажем также на труды семинара по алгебраическим группам и связанным
с ними конечным группам (Seminar of Algebric groups and related finite groups,
Springer, 1970; готовится русский перевод). — Прим. ред.

ЛИТЕРАТУРА1)
Б op ел ь (В or e 1 А.)
1. Groupes lineaires algebriques, Ann. Math., 64, N .1 A956), 20—80.
2. Introduction aux groupes arithmetiques, Hermann, Paris, 19692).
3. Linear algebraic groups, Proc. Symp. Pure Math., vol 9, Amer. Math. Soc,
Providence, 1966, 3—19.
4°. Properties and linear representations of Chevalley groups, Seminar on Al-
Algebraic groups and related finite groups, Springer, Berlin. 1970, 1—55.
Борель, Шпрингер (Borel A., Springer T. A.)
1. Rationality properties of linear algebraic groups, Proc. Symp. Pure Math.,
vol. 9, Amer. Math. Soc, Providence, 1966, 26—32.
2. Rationality properties of linear algebraic groups, II, Tohoku Math. /., 20
A968), 443—497.
Б о р е л ь, Т и т с (В о г е 1 А., Т i t s J.)
1. Groupes reductifs, Publ. Math. Inst. Haut. Et. Sci., 27 A965), 55—150.
(Русский перевод: Борель А., Тите Жм Редуктивные группы, сб. Ма-
Математика, 11: 1, 43—111, 11: 2 A967), 3—31.)
2°. Complements a l'article «Groupes reductifs» (в печати).
3°. Elements unipotents et sousgroupes paraboliques de groupes reductifs,
I, Inv. Math., 12 A971), № 2, 95—104.
4* On «abstract» homomorfisms of simple algebraic groups, Proc. Colloq.
Algebraic Geometry in Bombey, Oxford, 1969, 75—83.
Б р ю а, Т и т с (В r u h.a t F., T i t s J.)
Г. a) BN-paires de type affine et donnees radicielles, Compt. Rend. Acad.
Sci. Paris, 263 A966), 598—601.
b) Groupes simples residuellement deployes sur un corps local, ibid., 766—
768; c) Groupes algebriques simples sur un corps local, ibid., 822—825;
d) Groupes algebriques simples sur un corps local: cohomologie galoisienne,
decompositions d'lwasawa et de Cartan, ibid., 867—869. (Русский перевод:
Брюа Ф., Тите Ж-, Строение полупростых алгебраических групп над
локальными полями, сб. Математика, 12:5 A968), 19—33.)
2°. Groupes algebriques simples sur un corps local. Proc. Conf. on Local Fields,
Driebergen, 1967.
3°. Groupes algebriques simples sur un corps local, Publ. Math. Inst. Haut. Et.
Sci. (в печати).
*) Первоначальный список литературы содержал лишь те работы, которые
цитировались в тексте. Для русского перевода автор расширил этот список, снаб-
снабдив его кратким комментарием (см. послесловие к русскому изданию). Добавлен-
Добавленная автором литература помечена нуликом; звездочкой отмечена литература,
добарленная редактором. — Прим. ред.
2) Имеется русский перевод беновной части этой книги (см. сб. Матема-
Математика, 12 :4, 12 : 5, 12 : 6 A968)). — Прим. ред.

262 Литература
Бурбаки (BourbakiN.)
1. Groupes et algebres de Lie, Chapitre 1: Algebres de Lie, Hermann, Paris,
1960.
2. Groupes et algebres de Lie, Chapitre VI: Systemes de recines, Hermann,
Paris, 1969. (Готовится к печати русский перевод.)
Ван-дер-Варден (VanderWaerdenB. L.)
1. Algebra, Teil 1,5 Aufl., Springer, Berlin, 1960. (Русский перевод первого
издания: Ван-дер-Варден, Современная алгебра, часть 1, ОГИЗ,
М.-Л, 1947.)
Вей ль (Weil A.)
1. On algebraic groups and homogeneous spaces. Amer. J. Math., 77 A955),
493-512.
2*. Adeles and algebraic groups (notes by M. Demazure and T. Ono), Inst.
Adv. Studies, Prinston, 1961. (Русский перевод: В ей ль А., Адели и ал-
алгебраические группы, сб. Математика, 8 : 4, A964), 3—74).
В и н б е р г Э. Б., О н и щ и к А. Л.
1*. Семинар по алгебраическим группам и группам Ли, 1967—1968, МГУ, М.,
1969.
Годеман (GodementR.)
1*. Groupes lineaires algebriques sur un corps parfait, Seminaire Bourbaki,
1960/1961, expose 206.
Демазюр (Demazure M.)
1°. Schemas en groupes reductifs, Bull. Soc. Math. France, 93 A965), 369—
413.
Демазюр, Гротендик (Demazure M., Grothendieck A.)
1°. Schemas en groupes, Seminaire de Geometrie Algebrique, Inst. Haut. Et.
Sci., Paris, 1964.
2°. Schemas en groupes, I, II, III, Springer Lecture Notes 151, 152, 153,
Springer, Berlin, Gottingen — Heidelberg, New-York, 1970.
Демазюр, Габриель (Demazure M., Gabriel P.)
Г. Groupes algebriques, I, Masson, North Holland, 1970.
Джекобсон (Jacobson N.)
1. Алгебры Ли, «Мир», М., 1964.
2. Lectures in Abstract Algebra, vol. Ill, van Nostrand, Princeton, 1964.
Ивахори, Мацумото (IwahoriN., MatsumotoH.)
Г. On some Bruhat decomposition and the structure of the Hecke rings of
p-adic Chevalley groups, Publ. Math. Inst., Haut. Et. ScL, 25 A965), 5—48.
Картан (CartanE.)
1. Oeuvres completes, Hermann, Paris, 1952.
Картер (Carter R. W.)
1*. Simple groups and simple Lie algebras, /. London Math. Soc, 40, p. 2,
№ 158 A965), 193—240. (Русский перевод: Картер Р., Простые группы
и простые алгебры Ли, сб. Математика, 10; 5 A966), 3—47.)
Картье (С artier Р.)
1. Isogenies des varietes de groupes, Bull. Soc. Math. France, 87, № 3
A959), 191—220.
2*. Groupes algebriques et groupes formels, Colloq. sur la theor. groupes
algebr. Bruxelles, 1962. Louvain, Paris, 1962, 87—110.
Днезер (Kneser M.)
1°. Semi-simple algebraic groups. Algebraic Number Theory, Academic press,
N.-Y. — London, 1967. (Русский перевод: Кнезер М., Полупростые ал-

Литература 263
гебраические группы, сб. «Алгебраическая теория чисел», «Мир», М., 1969,
374—396.)
Колчин (Ко 1 chin E. R.)
1. Algebraic matrix groups and the Picard — Vessiot theory of homogeneous
linear differential equations, Ann. Math., 49 A948), 1—42.
2. On certain concepts in the theory of algebraic martic groups, Ann, MatKy
49 A948), 774—789.
Кэртис, Райнер (Curtis С. W., Reiner I.)
1. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, «Наука»,
М., 1969.
Л ен г (Lang S.)
1. Algebraic groups over finite fields, Amer. Journ. Math., 78 A958), 553—
563.
2. Abelian varieties, Interscience Tracts, № 7, N. Y., 1959.
3*. Алгебраические числа, «Мир», М., 1966.
Мамфорд (Mamford D.)
1. Introduction to algebraic geometry, Harvard lecture notes, Harvard, 1967.
2*. Geometric invariant theory, Springer, 1965.
Мостов (MostowG.)
1*. Fully reducible subgroups of algebraic groups, Amer. J. Math., 68 A956),
200—221.
Maypep (Maurer)
1. Zur Theorie der continuierlichen, homogenen und linearen Gruppen, Sitz.
Bericht. Bayer. Acad., 24 A894).
Oho (Onо Т.)
1. Arithmetic of algebraic tori, Ann. Math., 74 A961), 101—139.
Платонов В. П.
Г. Теория алгебраических линейных групп и периодические группы, Изв.
АН СССР, сер. матем., 30 A966), 573—620.
2°. Алгебраические группы с почти регулярным автоморфизмом и теоремы
инвариантности, Изв. АН СССР, сер. матем., 31, № 3 A967), 687—696.
3*. Расщепляемые линейные группы, ДАН СССР, 151, № 2 A963), 286—289.
4*. Доказательство гипотезы конечности для разрешимых подгрупп алгеб-
алгебраических групп, Сиб. Матем. ж., X, № 5 A969), 1084—1090.
Ричардсон (Richardson R.)
Г. Conjugacy classes in Lie algebras and algebraic groups, Ann. Math., 86
A967), 1—15.
Розенлихт (Rosenlicht M.)
1. Some basic theorem on algebraic groups, Amer. J. Math., 78 A956), 401—
443.
2. Some rationality questions on algebraic groups, Annali di Math. Рига et
Appl. (IV), 43 A957), 25—50.
3. On quotient varieties and the affine embedding of certain homogeneous
spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 101 A961), 211—223.
4. Questions of rationality for solvable algebraic groups over nonperfect
fields, Annali di Math. Рига et Appl, (IV), 61 A963), 97—120.
5. Another proof of a theorem on rational cross sections, Pacific L Math.,
20, № 1 A967), 120-131

264 Литература
Сатаке (Satake I.)
Г. On the theory of reductive algebraic groups over a perfect field, Journ.
Math. Soc. Japan, 15, № 2, A963), 210—235. (Русский перевод: С а т а-
к е И., Теория полупростых алгебраических групп над совершенным по-
полем, сб. Математика, 9 : 2, 1965, 19—44.)
2°. Classification theory of semi-simple algebraic groups, Notes by D. Schatt-
schneider, Univ. of Chicago, 1967. **^
Семинар Шевалле (SeminaireC. Chevalley)
1. Classification des groupes de Lie algebriques vol. 1, 2, Ecole Normale Su-
perieure, Paris, 1958.
Cepp (Serre J. P.)
1. Когомологии Галуа, «Мир», М., 1968.
2. Алгебры Ли и группы Ли, «Мир», М., 1969.
3. Quelques proprietes des varietes abeliennes en characteristique p, Amer. J.
Math., 80, № 3 A958), 715—739.
4*. Алгебраические группы и поля классов, «Мир», М., 1968.
Стейнберг (Steinberg R.)
1°. Variations on a theme of Chevalley, Pad]. L Math., 9 A959), 875—891
2°. Regular elements of semi-simple algebraic groups, Publ. Math. Inst. Haut.
Et. Set., 25 A965), 281—312.
3°. Endomorphisms of linear algebraic groups, Memoirs Amer. Math. Soc, 80,
1968.
4°. Lectures on Chevalley groups. Notes by J. Faulkner and J. Wilson, Yale
University, 1968.
T и т с (Т i t s J.)
1. Lectures on algebraic groups, Notes by P. Andre and D. Winter, Yale
University A966/1967), 1969.
2°. Groupes semi-simples et geometries associees, Proc. Internat. Congr.
Math. Stockholm, 1962, Uppsala, 1963, 197—221.
3°. Algebraic and abstract simple groups, Ann. Math., 80, № 2 A964), 313—
329.
4°. Classification of algebraic semisimple groups, Proc. Sympos. Pure and
Appl. Math, vol IX, Algebraic groups and Discontinuous Subgroups, Amer.
Math. Soc. Providence, 1966, 33—62. (Русский перевод: Тите Ж-, Клас-
Классификация полупростых алгебраических групп, сб. Математика, 12: 2
A968), 110-143.)
Труды симпозиума по чистой и прикладной математике
Г. Proc. Sympos. Pure and Appl. Math. Amer. Math. Soc, v. 9, Providence,
1966.
Чжоу (Chow W.)
1. On the projective embedding of homogeneous varieties, «Algebr. Geometry
and Topology», Symposium in honor of S. Lefschetz, Prinston University
Press, 1957, 122—128.
Шевалле (Chevalley C.)
1. Теория групп Ли, т. II: Алгебраические группы; т. Ill: Общая теория
алгебр Ли, ИЛ, М., 1958.
2. On algebraic group varieties. Journ. Math. Soc. Japan, 6, № 3—4 A954),
303—324.
3. La theorie des groupes algebriques. «Proc. Intern. Congr. Math. Edinburh,
1958», Cambridge University Press, 1960, 53—68. (Русский перевод: Ше-
Шевалле К., Теория алгебраических групп, Международный математический
конгресс в Эдинбурге, 1958, Физматгиз, М-, 1962.)

Литература 265
4°. Sur certains groupes simples. Tohoku Math. Journ. B), 7 A955), 14—66.
(Русский перевод: Шевалле К., О некоторых простых группах, сб. Ма-
Математика, 2: 1 A958), 3—58.)
5°. Certain schemas de groupes semi-simples, Seminaire Bourbaki, 1960—
1961, expose 219.
Ill п р и н г e p (S p r i n g e г Т. A.)
1°. Some arithmetic results on semi-simple algebras, Publ. Math. Inst. Haut.
Et. ScL, 30, A966), 115—141.
2°. The unipotent variety of semi-simple group, «Colloquium on algebraic
geometry, Bombey, 1968». Tata Institute, 1969, 373—391.
Шпрингер, Стейнберг (Springer Т. A., Steinberg R.)
1°. Conjugacy classes, Seminar on algebraic groups and related finite groups,
Springer, Berlin, Heidelberg, New-York, 1970, part E, 168—265.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра афинная 20
— двойных чисел 55
— Ли алгебраическая 129
ограниченная 85
— симметрическая 57
— Хопфа 69
Жесткость 144
Замкнутое вложение 29
Базис системы корней 225
Вес диагонализируемой группы 150
— полуинварианта 116
Главное открытое множество 19
Группа аддитивная Ga 70
— алгебраическая 66
— Бореля 177
— Вейля 189
—- диагонализируемая 137
— диагональная 70
— линейная алгебраическая 72
— мультипликативная Gm 70
— нильпотентная 82
— однотранзитивная 172
— определенная над k 66
— ортогональная 71
— параболическая 178
— полная линейная 70
— полупростая 191
— разложимая над k 137, 256
— разрешимая 82
— редуктивная 191
— связная 67
— симплектическая 70
— специальная линейная 70
— унипотентная 112
Группы Бореля противоположные 215
Дифференциал морфизма 55
Дифференцирование 15
-*- универсальное 50
Камера Вейля 204
Касательное пространство 54
— расслоение 55
Кольцо приведенное 15, 18
— регулярное 23
Комоморфизм 10, 31
Корень 150
— положительный 225
Кривая алгебраическая 64
^-группа 66
^-многообразие 41
Аморфизм 40
^-структура на векторном простран-
пространстве 39
— на /(-алгебре 39
— на /(-схеме 39
/(-пространство 26
/(-схема 27
Локализация 16
Многообразие аффинное 27
— гладкое 58
— нормальное 61
— полное 34
— проективное 34
— сопряженное 48
— флагов 163
Множество конструктивное 13
— локально замкнутое 13
Морфизм бирациональный 36
— доминантный 36
— сепарабельный 36
— факторный 121

Предметный указатель
267
Неприводимые компоненты 12
Нормализатор 73
Нормализация 72
Носитель модуля 19
Орбита точки 73
Отображение орбитное 122
Отображение-произведение 9
Отражение 211
Ряд коммугантов 81
— нижний центральный 81
Сдвиг 75
Сепарабельное расширение
Система корней 224
Слой морфизма 37
— предпучка 24
Стабилизатор 73
Схема Дынкина 225
15
Параметр регулярный 197
— полурегулярный 197
— сингулярный 197
Подгруппа Бореля 177
—- Картана 183
Поле рациональных функций на мно-
многообразии 35
Полуинвариант 116
Почти прямое произведение 9
Предмногообразие 27
Предпучок 23
Представление линейное рациональное
72
— присоединение 92
— точное 72
Произведение многообразий 30
— отображений 9
-— полупрямое 77
Пространство алгебраических преобра-
преобразований 73
— квазикомпактное 12
— нётерово 12
Пучок 24
Топология Зарисского 18
Тор 140
— анизотропный 148
— полурегулярный 197
— регулярный 197
— сингулярный 197
Точка многообразия нормальная
простая 58
сепарабельная 43
рациональная над k 43
Фактор многообразия 122
Флаг 162
Функтор точек 43
Функция рациональная 35
— регулярная 31
Характер 116
61
Радикал алгебраической группы 190
унипотентный 190
Разложение Брюа 230
— Жордана в алгебраической группе
108
Размерность топологического простран-
пространства 14
Ранг алгебраической группы 206
тшт ш^ — полупростой 206
Целое расширение 20
Централизатор 73
Элемент алгебраической
простой 109
регулярный 192, 252
сингулярный 192, 252
~ унипотентный 109
группы полу-

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Из предисловия автора 7
Обозначения 9
Глава АГ. Алгебраическая геометрия 11
1. Некоторые топологические понятия .11
2. Некоторые факты из теории полей . 14
3. Некоторые факты из коммутативной алгебры 16
4. Пучки 23
5. Аффинные /С-схемы и предмногообразия 26
6. Произведения; многообразия 29
7. Проективные и полные многообразия 32
8. Рациональные функции 35
9. Размерность 37
§ 10. Образ и слой морфизма .37
§ 11. ^-структуры на /(-схемах 38
§ 12. ^-структуры на многообразиях 41
§ 13. Сепарабелъные точки 43
§ 14. Критерии Галуа для рациональности 46
§ 15. Дифференцирования и дифференциалы 50
§ 16. Касательные пространства 54
§ 17. Простые точки 58
§ 18. Нормальные многообразия 61
Литература ...'..... 65
Глава I. Общие понятия, связанные с алгебраическими группами ... .66
§ 1. Понятие алгебраической группы 66
§ 2. Групповое замыкание. Разрешимые и нильпотентные группы . . 78
§ 3. Алгебра Ли алгебраической группы 85
§ 4. Разложение Жордана 101
Глава II. Однородные пространства 114
§ 5. Полуинварианты 114
§ 6. Однородные пространства 120
§ 7. Алгебраические группы характеристики нуль 129
Глава III. Разрешимые группы 137
§ 8. Диагонализируемые группы и торы . 137
§ 9. Классы сопряженных "элементов; централизаторы простых эле-
элементов 151
§ 10. Связные разрешимые группы 160

Оглавление 269
Глава IV. Подгруппы Бореля; редуктивные группы 177
§ 11. Подгруппы Бореля 177
§ 12. Подгруппы Картана; регулярные элементы 191
§ 13. Подгруппы Бореля, содержащие данный тор 196
§ 14. Системы корней и разложение Брюа в редуктивных группах . .214
Глава V. Вопросы рациональности 237
§ 15. Разложимые разрешимые группы и подгруппы 237
§ 16. Группы над конечными полями 243
§ 17. Фактор группы относительно алгебры Ли 246
§ 18. Подгруппы Картана над полем определения; унирациональность;
разложимость редуктивных групп 252
Послесловие к русскому изданию t 259
Литература 261
Предметный указатель . 266

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и др. просим
присылать по адресу:
Инд. 129820, Москва И-110 ГСП, 1-й Риж-
Рижский пер., 2, издательство «Мир».

А. Борель
ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Редактор Г. Цукерман
Художник К. П. Сиротов
Художественный редактор В. Я. Шаповалов
Технический редактор 3. Я. Резник
Корректор Е. Г. Литвак
Сдано в набор 14/VI 1971 г.
Подписано к печати 3/11 1972 г.
Бумага № 1 бОХЭО'Дб^в.бО бум. л. 17 печ. л.
Уч.-изд. л. 15,63. Изд. № 1/5900.
Цена 1 р. 33 к. За'к. 1154.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.

В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР»
готовится к печати
Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Том I. Нью-Йорк —
Лондон, 1970.
Известный венгерский математик Ласло Фукс уже знаком со-
советскому читателю по книге «Частично упорядоченные алгебраиче-
алгебраические системы» («Мир», 1965). Его новая книга заполняет сущест-
существенный пробел в математической литературе на русском языке.
Она является своего рода энциклопедией по абелевым группам; в ее
основном тексте и в упражнениях можно найти почти все сколько-
нибудь важные результаты теории абелевых групп, поставлено 50
нерешенных проблем. От читателя не требуется специальных зна-
знаний, что дает возможность использовать книгу и для первого зна-
знакомства с общей алгеброй.
Книга будет полезна каждому математику, работающему в
теории групп, теории модулей и колец, топологии, гомологической
алгебре.