ОГЛАВЛЕНИЕ
Текст
                    московский государственный университет
имени М. В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики
Г. Д. Ким, Л. В. Крицков
АЛГЕБРА
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
теоремы и задачи
Том I
Под общей редакцией
академика РАН В. А. Ильина
МЩ± планета/^
Щг знаний V
ПЛАНЕТА ЗНАНИЙ
Москва
2007


ББК 22.147 Рекомендовано Советом по прикладной математике и информатике УМО по классическому университетскому образованию для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 010200 "Прикладная математика и информатика" и направлению 510200 "Прикладная математика и информатика" Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007. - 469 с. 15ВК 978-5-903242-01-6 Настоящая книга представляет собой второе, переработанное и дополненное, издание задачника по объединенному курсу алгебры и аналитической геометрии. Теоретической поддержкой книги является учебник Ильина В.А., Ким Г.Д. "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", в котором авторы придерживаются современной тенденции объединения традиционно различных разделов математики в одну дисциплину, добиваясь наглядности алгебраических абстракций и лаконичности геометрических доказательств. Каждый раздел учебника содержит теоретическое введение, примеры решения типовых задач и большое число задач для семинарских занятий и самостоятельной работы студентов. Задачи снабжены ответами и указаниями. Пособие предназначено для студентов физико-математических специальностей университетов. Издание подготовлено в рамках образовательной программы "Формирование системы инновационного образования в МГУ". 15ВИ 978-5-903242-01-6 © Ким Г.Д., Крицков Л.В., 2007 © Издательство "Планета Знаний", 2007
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Предисловие ко второму изданию 6 Список литературы 7 Глава I. Матрицы 9 § 1. Операции над матрицами 10 § 2. Матрицы специального вида 20 § 3. Элементарные преобразования матриц 31 Глава II. Определители 38 § 4. Перестановки 38 § 5. Простейшие свойства определителя 41 § 6. Миноры и алгебраические дополнения 49 § 7. Вычисление определителя 56 § 8. Смешанные задачи 78 § 9. Обратная матрица 87 Глава III. Множества и отображения 103 § 10. Операции над множествами 103 § 11. Отображения 106 § 12. Эквивалентность и алгебраические законы 111 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств 117 § 13. Геометрические векторы 117 § 14. Вещественное линейное пространство 125 § 15. Линейная зависимость 130 § 16. Ранг матрицы 136 § 17. Базис и координаты 145 § 18. Линейное подпространство и линейное многообразие.. 156 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений 161 § 19. Системы с квадратной невырожденной матрицей 162 § 20. Системы общего вида 166 § 21. Метод Гаусса исследования и решения систем 169 § 22. Геометрические свойства решений системы 179 Глава VI. Векторная алгебра 189 § 23. Аффинная система координат. Координаты точки .... 189 § 24. Скалярное произведение 203 § 25. Векторное и смешанное произведения 217
4 Оглавление Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве 231 § 26. Составление уравнений по различным заданиям 231 § 27. Задачи взаимного расположения прямых на плоскости и плоскостей в пространстве 239 § 28. Полуплоскости и полупространства 249 § 29. Метрические задачи в прямоугольной декартовой системе координат 253 § 30. Метрические задачи в аффинной системе координат .. 267 Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве 271 §31. Уравнения прямой в пространстве. Задачи взаимного расположения 271 § 32. Метрические задачи в пространстве 279 § 33. Векторные уравнения прямой и плоскости 286 Глава IX. Алгебраические линии и поверхности второго порядка 291 § 34. Эллипс, гипербола и парабола 291 § 35. Линии второго порядка, заданные общими уравнениями 307 § 36. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды 316 § 37. Конусы и цилиндры 329 § 38. Поверхности второго порядка, заданные общими уравнениями 335 Глава X. Элементы общей алгебры 344 § 39. Группа 344 § 40. Кольцо и поле 362 Глава XI. Поле комплексных чисел 373 § 41. Алгебраическая форма комплексного числа 373 § 42. Комплексные числа в тригонометрической форме 377 § 43. Корни из комплексного числа 383 Ответы и указания 389 Предметный указатель 460 Указатель обозначений 466
ПРЕДИСЛОВИЕ "Задачи не придумывают, их коллекционируют," - это слова из беседы известного математика П.С.Моденова, автора знаменитого задачника по элементарной математике, с молодыми преподавателями МГУ. Настоящее учебное пособие представляет собой сборник задач по объединенному курсу алгебры и аналитической геометрии. В основе сборника лежит замечательная коллекция задач наших учителей и коллег. В первую очередь - это "Сборник задач по линейной алгебре" И.В.Проскурякова [21], "Сборник задач по аналитической геометрии" С.В.Бахвалова, П.С.Моденова, А.С.Пархоменко [1] и "Задачник по линейной алгебре" Х.Д.Икра- мова [8]. Авторы стремились пополнить классическую коллекцию новыми задачами и, если это им удалось, то во многом благодаря сотрудничеству с коллегами по факультету вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова. Пособие содержит в основном традиционный, но специальным образом подобранный материал, соответствующий курсу, в котором органически связаны дисциплины "Общая алгебра", "Линейная алгебра" и "Аналитическая геометрия". В сборнике представлено большое количество задач разной степени сложности, достаточное для обеспечения курса алгебры и аналитической геометрии. Вместе с тем сборник может быть полезен и для тех, кто осваивает смежные области: в книгу включены задачи матричного анализа, используемые в численных методах, теории функций, дифференциальных уравнениях, математической статистике. Задачи на конечные группы и поля могут заинтересовать и тех, кто изучает дискретную математику. Несколько замечаний о структуре книги. Задачи сгруппированы в параграфы. Нумерация параграфов сквозная. В начале каждого параграфа приводятся определения и формулировки теорем, касающиеся рассматриваемых понятий, а также примеры решений типовых задач. Теоретической поддержкой задачника являются учебник В.В.Воеводина [3], в котором заложены методические основы объединения курсов алгебры и геометрии, и учебник В.А.Ильина, Г.Д.Ким [9]. Последовательность разделов, а также определения и обозначения соответствуют учебнику [9]. В конце задачника помещены ответы к задачам, к некоторым из них даются рекомендации.
6 Инициатива написания книги принадлежит деканату факультета ВМиК МГУ. Мы рады случаю выразить глубокую признательность декану факультета академику РАН Е.И.Моисееву. Авторы считают своим приятным долгом отметить, что на их деятельность оказала решающее влияние система преподавания математики на факультете ВМиК, сложившаяся под руководством и при непосредственном участии академика РАН А.Н.Тихонова, профессора И.С.Березина, академика РАН В.В.Воеводина и академика РАН В.А.Ильина, стоявших у истоков организации факультета. Г.Д.Ким, Л.В.Крицков ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ В настоящем издании исправлены опечатки и неточности, обнаруженные в тексте первого издания [12, том I]. В значительной степени это нам удалось благодаря нашим коллегам - А.Б.Будаку, И.В.Дмитриевой, Н.Б.Есиковой, Х.Д.Икрамову, М.В.Комарову, В.А.Морозовой, А.А.Полосину, Р.В.Разумейко, А.И.Фалину, А.С.Фурсову, а также многим студентам и аспирантам факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова. Мы выражаем им свою глубокую и искреннюю признательность. Во второе издание добавлено более 150 новых задач. При этом мы старались сохранить прежнюю нумерацию задач, снабжая новые задачи "тройными" номерами или располагая их в конце параграфов. Тем не менее, ряд разделов был подвергнут существенной переработке - это прежде всего относится к §§ 39, 40 и отчасти ꧧ19,21и30, где порядок задач был изменен. Кроме того, в конце задачника появились предметный указатель и указатель обозначений. Второе издание книги было подготовлено в рамках образовательной программы "Формирование системы инновационного образования в МГУ". Г.Д.Ким, Л.В.Крицков Декабрь 2006 года
Список литературы 1. Бахвалов СВ., Моденов П.С, Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии.- М.: Наука, 1964. 2. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.- М.: Физматлит, 2003. 3. Воеводин В. В. Линейная алгебра.- М.: Наука, 1974. 4. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. И. Матрицы и вычисления.- М.: Наука, 1984. 5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.: Физматлит, 2004. 6. Глазман И. М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ.- М.: Наука, 1969. 7. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.- М.: Физматлит, 2004. 8. Икрамов X. Д. Задачник по линейной алгебре.-М.: Наука, 1975. 9. Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.- М.: Проспект, 2007. 10. Ильин В.А.,Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия.- М.: Физматлит, 2006. 11. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.- М.: Физматлит, 2005. 12. Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I, том 11A), том 11B).- М.: Зерцало, 2003. 13. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Кн. 1: Основы алгебры. Кн. 2: Линейная алгебра. Кн. 3: Основные алгебраические структуры.- М.: Физматлит, 2004. 14. Кострикин А. И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия.- М.: Лань, 2005. 15. Курош А. Г. Курс высшей алгебры.- М.: Лань, 2005. 16. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств.- М.: УРСС, 2004. 17. Моденов П. С, Пархоменко А. С. Сборник задач по аналитической геометрии.- М.: Наука, 1976. 18. Полна Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа (в 2-х частях).- М.: Наука, 1978. 19. Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры.- М.: Наука, 1996.
8 20. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии (в 2-х частях) .- М.: Наука, 1991. 21. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.- М.: Бином, 2005. 22. Сборник задач по алгебре / Под ред. Кострикина А.И. - М.: Физматлит, 2001. 23. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре.- М.: Лань, 2001. 24. Халмош П. Конечномерные векторные пространства.- Ижевск: НИЦ "Регуляная и хаотическая динамика 2002. 25. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.- М.: Мир, 1989. 26. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.- М.: Лань, 2005. 27. Шилов Г. Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства).- М.: Наука, 1969.
Глава I. Матрицы Пусть га,п е N. Матрицей размера га х п называется совокупность тп чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из га строк и п столбцов. При этом сами числа называются элементами матрицы. Если элемент матрицы стоит на пересечении г-й строки и ^'-го столбца, то говорят, что он расположен в позиции (г,з)- В главах 1-УШ рассматриваются лишь вещественные матрицы, т.е. матрицы с вещественными элементами. Приняты следующие обозначения: 0>Ц (Х\2 • • • &1п «21 &22 0>2п или А — (а%з) - матрица А с элементами а^ в позиции (г,]): 0>т1 йщ2 • • * О-тп {А}ц - элемент матрицы А в позиции (г,з); Атхп - матрица А размера га х п; Ктхп - множество всех вещественных матриц размера га х тг; а'г и а^ - г-я строка и ^-й столбец матрицы А, тем самым матрица А может быть записана более компактно в виде аг а2 I- "т ^ А = [ах а2 @.1) Элементы ац, где г — з, называются диагональными, а элементы ац, где г ф з', - внедиагональными. Совокупность всех диагональных элементов ап, «22, • • •, а-кк, где к = тт(га, п), называется главной диагональю матрицы, а совокупность элементов аы, а2,п-1, ... - ее побочной диагональю. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом О. Матрица размера пхп называется квадратной матрицей п-го порядка. Обозначение: Ап- квадратная матрица А порядка п. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю. Обозначение: сНа§(а11, ...,апп). Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны между собой, называется скалярной. Скалярная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной (тождественной) и обозначается символом /. Элементы единичной матрицы обозначаются символом 5^ (символ Кронекера), г = 3, так что 5ц = \ () \ф^ и / = E^). Столбец е-, и строка е\ единичной матрицы называются з~м единичным столбцом и г-й единичной строкой. Число 1г А = ац+.. .-ЬаПп называется следом матрицы А = (а^) Е КпХп. Матрица размера 1хп называется строчной матрицей, или матрицей- строкой, или вектор-строкой. Матрица размера га х 1 называется столбцовой матрицей, или матрицей-столбцом, или вектор-столбцом.
10 Глава I. Матрицы §1. Операции над матрицами Две матрицы А = (а^) и В = (Ь^) одинакового размера т х п называются равными, если ац = Ъц;, г = 1, т,.?' = 1, п. Обозначение: А = В. Суммой матриц Л = (ац) 6 ГХп и В = (Ь^) е Ктхп называется матрица С — (с^) 6 КтХп, элементы которой определены равенством С%2 = 0>ч +Ъ{^, I = 1,771, ^' = 1,71. Обозначение: С = А + В. Матрица —А = (—ац) 6 Ктхп называется противоположной к матрице А = (ац) еЕтХп. Теорема 1.1. Операция сложения матриц обладает следующими свойствами: УЛ, В, С е НтХп и О е Нтхп 1) А -\- В — В + А (сложение матриц коммутативно); 2) (А + В) + С = А + (В + С) (сложение матриц ассоциативно); 3) А + 0 = 0 + А = А; 4) А + (-А) = -А + А = 0. Разностью матриц А = (а^) в Шгпхп и В — (Ьц) 6 Кшхп называется матрица X = (хц) 6 Ктхп такая, что А = В + X. Обозначение: X = А-В. Произведением матрицы А = (сщ) 6 Ктхп на число а е К называется матрица С — (с^) 6 МтХп, элементы которой определены равенством Сг] = ст^, г — 1,т, ^ = 1,п. Обозначение: С — аА. Матрица ^ оскАь называется линейной комбинацией матриц Аг,...} к=1 Ат с коэффициентами а\,..., ат. Теорема 1.2. Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами: УА, В € ЕтХп, \/а,/3 € К ^ 1 • Л = Л; 2) (а0)А = а@А); 3) а(А + В) = аЛ + аБ (умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения матриц); 4) (ос + C)А = аА + (ЗА (умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения чисел); 5) -А = (-1)А. Произведением матриц А = (ац) е КтХп и В = (Ьц) е КпХ/с называется матрица С = (с^) е КтхА:, элементы которой определены равенством п с^-= ^агв6в>7-, г = 1,7тг, 2 = 1,/с. A.1) 5 = 1 Обозначение: С = АВ. Произведение матриц зависит от порядка сомножителей; произведение АВ определено лишь в том случае, когда размеры матриц А и В согласованы специальным образом: число столбцов левой матрицы должно совпадать с числом строк правой.
§1. Операции над матрицами 11 Соотношение A.1) означает, что элемент матрицы АВ, расположенный в г-й строке и ^'-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов г-й строки матрицы А и 7-го столбца матрицы В. Например, -6 3 -3 ПП 1-2 +(-6)-0 1-4 + (-6) -5 (-1) -2 + 3-0 (-1)-4 + 3-5 6-2 + (-3)-0 6-4 + (-3)-5 Г 2 -2 [ 12 -26 1 11 9 1 2, 3x2 Согласование размеров матриц-сомножителей и их произведения можно "увидеть" на примере умножения матрицы на вектор-столбец и на вектор- строку: п п 1 — 1 т '?; Заметим, что умножение матрицы слева на столбец и справа на строку не определено в общем случае. Непосредственно из определения следует, что Авг = а*, е\А — а\. A.2) Равенства A.2), по существу, означают, что для любой матрицы А 6 КтХп Л.1-ГХ = ±пгА = -Л) где 1П и 1т - единичные матрицы порядков пит соответственно. Матрицы А и В, для которых АВ = В А, называются перестановочными или коммутирующими. Матрица [А, В] = АВ - В А называется коммутатором матриц А и В. Очевидно, что коммутатор матриц нулевой тогда и только тогда, когда матрицы перестановочны. Теорема 1.3. Операция умножения матриц обладает следующими свойствами: 1) (АВ)С = А(ВС) (умножение ассоциативно), 2) а(АВ) = (аА)В = А(аВ), Уа е К, 3) А(В + С) = АВ + АС, (А + В)С = АС + ВС (умножение дистрибутивно относительно сложения матриц), выполненными для любых матриц А, В, С, для которых левые части равенств имеют смысл. Пусть рA) = ^™=0 аь1к - многочлен с вещественными коэффициентами от одной переменной Ь и А - квадратная матрица. Матрица р(А) = ао1 + а±А + <22 Л + • • • + атА171 называется многочленом от матрицы А.
12 Глава I. Матрицы Пусть А = (а„) б1тхп. Матрица Ат ¦¦ понированной к матрице А, если (а^) еЕпХт называется транс- агп 1,п, .7 = 1,тп. Переход от матрицы А к А называется транспонированием матрицы А. Заметим, что при транспонировании матрицы А ее строки становятся столбцами АТ с теми же номерами, а столбцы - строками. Например, г 1 2 3 1_ 4 5 1 6 7 8 ] \\ 1 ; [ 1 2 3 4 ]7 Г 1 1 2 3 4 Теорема 1.4. Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами: 1)(А + В)Т = АТ + ВТ, 2) (аА)т = аАт, Уа е К, 5; (АВ)Т = ВТАТ, 4) (Ат)т = А, выполненными для всех матриц А} В, для которых имеют смысл левые части равенств. Пример 1.1. Найти произведение АВСВ матриц , В = [ 1 -1 2 -2 ], С = 1 1 -1 1 1 , В = [ 1 2 Решение. Имеем АВСВ = А(ВС)В [ 1 2 -1 ] = 2 5 7 9 10 14 18 -5 -7 -9 {БС = 2} = А • 2# = 2(>Ш) 10 20 -10 14 28 -14 18 36 -18 Пример 1.2. Вычислить р(А), если р(Ь) — 5 — 21 + ^2, А - квадратная матрица второго порядка, элементы которой определены условиями ац = тах{г,;}. Решение. Восстановим матрицу А по заданному условию: А — « 9 г [б 8 ] = [ 2 9 ]•¦ , а Ь' = [ах а.г ... ат] Пример 1.3. Показать, что если А = (ац) 6 К и Ь = [а1 а2 •.. ап]т - вектор-строка и вектор-столбец соответственно, то п т Л6 = ^а^г, Ь'А = ^а*а-. A.3) п / п \ Решение. Очевидно, что Ь = ^ а^. Тогда Л6 = А I ^ с^е* ) = {из г=1 \г=1 /
§1. Операции над матрицами 13 дистрибутивности умножения матриц} — ^ А(агвг) — {теорема 1.3} = п п ^2 &гАвг = {A.2)} = ^2 &гсц- Второе из равенств A.3) следует из первого, г=1 г = 1 так как в силу теоремы 1.4 (Ь''А)т — АТ(Ь')Т, причем (Ь')т - это вектор- столбец. Поэтому {Ь1 А)т является линейной комбинацией столбцов Ат, а Ь' А - линейной комбинацией строк А с коэффициентами сц,..., ат. ¦ Пример 1.4. Доказать, что столбцы произведения АВ являются линейными комбинациями столбцов матрицы А, а строки АВ - линейными комбинациями строк матрицы В. Решение. Пусть в обозначениях @.1) матрица В имеет вид В = [Ь\ Ь2 .. • Ьк]. Тогда, как следует из определения произведения матриц, АВ = [АЬ\ АЪъ ... АЪк]. В силу A.3) отсюда следует первая часть доказываемого утверждения. Вторая его часть может быть сведена к первой приемом, описанным в решении примера 1.3. ¦ ЗАДАЧИ 1.1. Матрицы А = (о»,-) € К2х3 и В = (Ь^) е 5x2 определены условиями а,ц = |г — ]\, Ь^ = тах{г,.?'}. Найти: а) произведения АВ и В А; б) линейную комбинацию матриц ААТ и АВ с коэффициентами 1 и —1. 1.2. Найти произведение АВ, где: а) А 74 -35 52 45 13 98 -84 -21 38 -64 32 79 В = о о 1 0 б) А= [ 0 1 0 ], В 74 -35 52 45 13 98 -84 -21 38 -64 32 79 в)А = 6 4 3 2 1 3 -2 -7 " 2-3 5 -1 4 1 -4 1 3 1 1],В = \,в = ' 6 -4 -3 - 2 - " 1 ' 1 1 _ 1 _ ) 3 -2 2 -3 1 4 4 1 —7 5 1 3
14 Глава I. Матрицы дМ = ,В 882 1223 О О' 988 1147 О О 1113 1380 О О 1478 879 О О 1.3. Вычислить произведение 0 0 0 0 1755 1613 1564 1725 ЛВС, где 0 0 1712 151 0 0 716 44 А = 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992 1991 В = 12 6 -21 6 3-1 18 9 -3 , с = Г 1 -2 0 11 -1 3 1.4. Вычислить произведение А2В3С, где 3 -4 1 1.5. Вычислить произведение (АВJС, где 12 23 -5 31 35 51 47 1 -6 -3 , в = 0 2 2 -3 1 7 -4 , с = Г -2 1 3 -2 А 141 121 161 262 232 292 В 4 2 6 -2 1 1 3 , с = 1 О 2 О -4 1.6. Вычислить произведение (АВK, где А = 10 11 -3 -2 -4 1 -4 1 1 , в = -5 7 11 -3 11 27 1.7. Вычислить произведение АВСИ, где , В= [115 149 92], С = 7 -5 1 2 5 -2 -3 ,#= [12 -1 з; 1.8. Вычислить произведение АВС, где 21 И -9 52 -32 17 121 -24 В 4 -1 12 -7 -1 1 , С 6 4 10 -2
§1. Операции над матрицами 15 1.9. Вычислить произведение (АВK(СОJ, где А = 3 -7 -9 21 21 -49 , В Г 5 3 ! 3 2 14 0 6 0 -4 1 -1 ] -35 -15 ' С = -3 -8 4 12 -1 -1 1.10. Известно, что А г —1 СО СО — 1 1 и А 1 4 = 2 8 произведение А 6 2 6 8 Найти 1.11. Рядом Фибоначчи называется последовательность чисел {хп}) в которой Хо = 1, Ж1 = 1, Хп = Хп_1 + Хп_2 ДЛЯ П > 2. Найти матрицу А такую, что Хп+1 Ап Хо х\ \/пеП. 1.12. Доказать, что если А и В - матрицы вида х у 2у х где х, у е К, то а) матрицы А + В и АВ имеют такой же вид; б) ЛВ = В А 1.13. Найти е[Ае^, если Л = (а^) Е Мтхп, ае^и е.,- - единичные строка и столбец подходящих размеров. 1.14. Матричной единицей Ец размера т х п называется матрица, у которой элемент в позиции (г,^) равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Для произвольной матрицы А и матричной единицы Ец подходящего размера вычислить: а) АЕц\ б) ЕуА. 1.15. Найти /(А): а) /(я) = х2-2х + 2, А = б) /(ж) = х2-Зя-4, А = Г 2 -1 1 1 3 12 [ 1 -1 0 Г -2 6 1 -1 5
16 Глава I. Матрицы 1.16. Доказать, что каждая квадратная матрица второго по- а Ь удовлетворяет уравнению рядка А = х2 — (а + д)х + {ай — Ъс) = 0. 1.17. Доказать, что если А - диагональная матрица, то матрица /(А) также диагональная, каков бы ни был многочлен /(я). 1.18. Вычислить: а) 1 -1 1 1 13 б) 1.19. Вычислить 2 -1пп 3 -2 1 1 1П 1 0 а) Д) б) -2 -4 0 I 1 ) 1 -1 -1 1 в) Л 0 г) А 1 , п > 2; е) соз а — 31п а 8111 а СОЗ а 1.20. Вычислить степени квадратных матриц п-го порядка: а) А1 О О А2 0 О О О О ... О ... Ап ^ б) о А2 Ах О -.к д) |_ Ап ... 1 1 О О 1 1 О 0 1 О О г) 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 . 1 . 1 . 0 . 0 . 1 . 0 . 0 . .. 1 .. 1 .. 1 .. 1 . 0 . 0 . 0 . 0 0 0 0 0 0 0 .. 0 .. 0 .. 0 .. 1 .. 0 01 0 0 1 1 . п-1 е) 0 10.. 0 0 1.. 0 0 0.. 10 0.. 0 0 0 0 0 0 1 0 1.21. Пусть х,у Е рпх! вектор-столбцы. Доказать, что матрица А = хут обладает следующим свойством: найдется число ЛЕЕ такое, что Ак = \к~1А, У/с Е N.
§1. Операции над матрицами 17 1.22. Найти коммутатор матриц А и В, если: Г 2 1 0 1 Г —3 —1 2 а) А =\ 1 1 2 , В = -3 2-4 [-121] [ 3 -5 1 Г 1 2 1 1 Г 0 1-2 б)Л=2 12,5= 11 О [ 1 2 3 ] [-2 0 1 1.23. Доказать, что каждое из следующих равенств выполнено в том и только в том случае, когда матрицы А и В перестановочны: а) {А + ВJ = А2 + 2АВ + В2; б) А2-В2 = (А + В)(А-В). 1.24. Доказать, что если матрицы А и В перестановочны, то: а) А3 + В3 = (А + В)(А2 -АВ + В2); б) {А + В)п = АП + СХПАП-ХВ + С2АП~2В2 + ... + В71. 1.25. Найти п-ю степень матрицы А, если матрица А равна: а) д) "-1 -Г 2 2 '-4 -5" 10 11 ; б) ; е) "-5 -5" 10 10 ; а) а+ 1 а а-1 а а а а — 1 а — 1 1 Ж) ; ч 6 5 ] -10 - 9  -Г 2 3 1.26. Вычислить матрицу 1 + А + А2 + ... + А28, А равна: 0 1 2 если матрица а) -1 2 б) в) | 0 0 1 |; г) 0 0 0 1.27. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей А, если: -2 -2 4 4 а) А б)А = в) Л = 2 0 0 г) Л д) Л - матричная единица Е1^- € 0 10 0' 0 0 10 0 0 0 1 ^0000 е) А - квадратная матрица п-го порядка, все элементы которой равны единице. 1.28. Доказать, что умножение матрицы А слева на диагональную матрицу И = сНа§{А1, Аг,..., Ап} равносильно умноже-
18 Глава I. Матрицы Г 1 4 1 2 5 3 6 А = Г 2 12 1 4 15 6 18 ; б) А Г 1 4 1 2 5 3 6 = Г 2 8 1 4 10 6 12 нию строк А соответственно на Ах, А2,..., Ап, умножение же А на В справа равносильно аналогичному изменению столбцов. 1.29. Найти матрицу Л, если: а) 1.30. Доказать, что если А - диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, также диагональна. 1.31. Доказать, что квадратная матрица А перестановочна со всеми диагональными матрицами тогда и только тогда, когда она сама является диагональной. 1.32. Доказать, что квадратная матрица А перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка тогда и только тогда, когда она является скалярной. 1.33. Доказать, что если матрица А перестановочна с матрицей В, то она перестановочна и с матрицей В2. Верно ли обратное? 1.34. Пусть А - квадратная матрица и /(х) и д(х) - произвольные многочлены. Показать, что матрицы /(А) и д(А) перестановочны. 1.35. Доказать, что след матрицы обладает следующими свойствами: а) Ьг(А + В) = ггА + ггВ] б) Ьт(аА) = аЬгА] в) Ьг(Ат) = ЬгА; г) Ьт(АВ) = 1т(ВА), если произведения АВ, В А определены. 1.36. Доказать, что для любой матрицы величина 1т(АтА) неотрицательна, причем равна нулю тогда и только тогда, когда матрица А нулевая. 1.36.1. Существуют ли матрицы А и В, для которых равенство АХ В = Хт выполняется при любой матрице X Е Мшхп ? 1.36.2. Можно ли свести операцию транспонирования матрицы общего вида к операциям умножения ее слева и справа на какие-либо наперед заданные матрицы? 1.37. Доказать, что для любых квадратных матриц А и В одинакового размера их коммутатор [А, В] имеет нулевой след. 1.38. Доказать, что равенство [А, В] = I не выполнено ни для каких вещественных матриц А и В.
§1. Операции над матрицами 19 1.39. Для матрицы А = (а^) Е Мтхп величина г* = $3 аЦ га называется ее г-й строчной суммой, а величина с^ = ^ ац - ее 1=1 ^'-й столбцовой суммой. а) Показать, что Г1" 1 [1_ = "Гг 1 Г-2 _ ^^ ^ [1 1 ... 1 ] А = [ сх с2 б) Пусть все строчные суммы в матрице Лив матрице В одинаковы и равны соответственно а и /3. Считая, что произведение АВ определено, доказать, что все строчные суммы в АВ также одинаковы и равны а/3. в) Сформулировать и доказать столбцовый вариант утверждения пункта "б". 1.40. Доказать, что если квадратные матрицы Ли В порядка п таковы, что для любого вектор-столбца ( Е Кпх1 выполнено соотношение Л^ = В^ то Л = В. 1.41. Доказать, что если квадратные матрицы Ая В порядка рпх! выполнено п таковы, что для любых вектор-столбцов ^, г\ Е соотношение ^ТАг] — ^тВг\, то Л = В. 1.42. Найти коммутатор матричных единиц Ец и Ем и показать, что он нулевой тогда и только тогда, когда либо г — ] = к = /, либо (] — к)(г — 1)ф 0. 1.43. Доказать, что диагональная матрица с нулевым следом является линейной комбинацией коммутаторов матричных единиц. 1.44. Показать, что коммутатор обладает следующими свойствами: а) [А,В] = -[В,А]; б) [аЛ,В] = а[Л, Б], Уа Е М; в) [Л + В, С] = [Л, С] + [В, С]; г) [Л, /] = О; д) [Л,ВС] = [Л,В]С + В[Л,С]; е) ([Л,В])Т = -[ЛТ,ВТ]; ж) [[Л, В], С] + [[В,С], А] + [[С, Л], В] = О (тождество Якоби), выполненными для любых квадратных матриц Л, В, С и единичной матрицы / одного порядка.
20 Глава I. Матрицы 1.45. Доказать, что равенство \[А,В],С] = [А,[В,С\] выполнено тогда и только тогда, когда матрицы [Л, С] и В перестановочны. 1.46. Доказать, что для любых матриц А, В, С второго порядка выполнено соотношение \([А,В})\С} = 0. 1.47. Доказать, что любая матрица с нулевым следом является суммой коммутаторов матриц с нулевым следом. 1.48. Доказать, что для любой матрицы А с нулевой главной диагональю найдутся матрица X и диагональная матрица В такая, что [X, В\ = А. 1.49. Произведением Иордана А* В квадратных матриц А и В одного порядка называется матрица \{АВ + В А). Показать, что произведение Йордана обладает следующими свойствами: а) А * В = В * А] б) (аА) * В = аА * В; в) (А + В) * С = А * С + В * С; г) Л * А = Л2; д) Л * / = Л; е) (Л * В)т = Лт * Вт; ж) (Л2* В)* Л = Л2*(В*Л), выполненными для любых квадратных матриц Л, В, С и единичной матрицы / одного порядка. 1.50. Доказать, что (Л * В) * С = А * (В * С) тогда и только тогда, когда матрицы [Л, С] и. В перестановочны. 1.51. Доказать, что каждое из следующих равенств выполнено в том и только в том случае, когда матрицы [Л, В] и Л — В перестановочны: а) (Л + ВK = Л3 + ЗЛ2 * В + ЗА * В2 + В3; б) Л3 + В3 = (Л + В) * (Л2 - Л * В + В2). §2. Матрицы специального вида Квадратная матрица А = (а^-) € КпХп называется верхней (правой) треугольной, если а^ = 0 при г > у, и нижней (левой) треугольной, если а^- = 0 при г < з. Например, матрицы
§2. Матрицы специального вида 21 - верхние треугольные, а матрицы "ГТ] о ' 1 1 М > ГП о " 1 0 1~1 > 1 Го"] о " 1 о о] - нижние треугольные. Матрица А = (а^) Е ЕтХп называется верхней (правой) ступенчатой, если она обладает следующими свойствами: 1) если г-я строка нулевая, то (г + 1)-я строка также нулевая; 2) если первые ненулевые элементы г-й и (г + 1)-й строк расположены в СТОЛбцаХ С НОМераМИ кг И /Сг+1, ТО кг < /ег-|-1. Если в определении верхней ступенчатой матрицы поменять ролями строки и столбцы, то получим определение нижней (левой) ступенчатой матрицы. Например, матрицы О 0 11 О О О 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 - верхние ступенчатые, а матрицы 0 0 0 | 1 0 0 0 | 1 0 0 0 | 1 5 0 0 0 "Л о о 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - нижние ступенчатые. Очевидно, не всякая треугольная матрица имеет ступенчатую форму. Например, треугольная матрица |1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 не является ступенчатой. Ступенчатая матрица, у которой кг = г, называется трапециевидной. Например, матрицы ^ 0 2 3 4 1 2 3 0 0 0 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 2 2 0 0 3 1 верхние трапециевидные, а матрицы 0 0 < 0 нижние трапециевидные. Матрица А называется - симметрической, если А — А\ - кососимметрической, если АТ = —А; - ортогональной, если АТА = ААТ = 7; - нормальной, если АтА = ААТ; - периодической, если при некотором к (Е называется периодом матрицы А); 1 0 0 0 0 1 | 0 0 1 | выполнено Ак = I (число к
22 Глава I. Матрицы - нилъпотентной, если при некотором к 6 N выполнено Ак = О (наименьшее из таких чисел к называется индексом нильпотентности). Будем говорить, что некоторый класс М матриц замкнут относительно какой-либо операции, если результат применения этой операции к произвольным матрицам из М снова принадлежит классу М. Разобьем матрицу А = (а^) (Е Ктхп системой горизонтальных и вертикальных линий на клетки (блоки). Клеточной (блочной) матрицей называется матрица, элементами которой служат эти клетки. Общий вид клеточной матрицы: Г Ли Л21 1 А3г л12 А22 Аз2 А1к А2к Азк _ где Ац - клетка, расположенная в г-й клеточной строке и в ^-м клеточном столбце. Квадратная клеточная матрица А — (А^) с квадратными клетками на главной диагонали называется квазидиагональной, если Ац — О при г ф з, и квазитреугольной, если Ац = О при г > у (или г < з). Например, матрицы 1 3 0 0 0 2 4 0 0 0 0 0 3 4 5 0 0 4 5 1 0 0 5 1 2 1 3 1 2 3 2 4 2 3 4 0 0 3 4 5 0 0 4 5 1 0 0 5 1 2 - соответственно квазитреугольная и квазидиагональная матрицы второго порядка. ЗАДАЧИ 2.1. Показать, что множество всех верхних (нижних) треугольных матриц порядка п замкнуто относительно операций сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц. 2.2. Найти количество операций умножения, необходимых для вычисления произведения двух треугольных матриц порядка п одного вида. 2.3. Пусть А = (а,ц) - треугольная матрица п-го порядка и к € N. Найти *,г Ак. 2.4. Доказать, что для любой треугольной матрицы А с положительными диагональными элементами найдется треугольная матрица В того же вида с положительными диагональными элементами такая, что В2 — А. 2.5. Доказать, что вещественная треугольная матрица, перестановочная со своей транспонированной, является диагональ-
§2. Матрицы специального вида 23 НОИ. 2.6. Квадратная матрица А порядка п.называется ленточной, если для некоторого числа т (меньшего п — 1) все элементы а,ц с индексами, удовлетворяющими условию |г — ]\ > га, равны нулю. Число 2га + 1 называется шириной ленты. Найти ширину ленты произведения ленточных матриц, если для сомножителей эта ширина равна 2т\ И- 1, 2т2 + 1 соответственно и гах + га2 < п — 2. 2.7. Показать, что операции сложения, умножения на число и умножения блочных матриц совершаются по тем же правилам, что и умножение обычных числовых матриц: а) если блочные матрицы А = (Ац) и В = (Вц) имеют одинаковый размер и одинаковым образом разбиты на клетки, то сумме матриц А я В отвечает блочная матрица С — (Сг^) с элементами Сц = Ац + Вц; б) произведению а А отвечает блочная матрица С — (Сг?) с элементами Сц — аАц\ в) если А — (Ац) и В = (Вц) - две блочные матрицы, для которых определено произведение АВ, и А = Аи А2\ Аи А22 Аи А28 1р1 1р2 *рз в = В 21 В\2 В22 1Я 2Я В3\ В, 52 В зд причем число столбцов блока Ац равно числу строк блока Вц при любых 1,1,], то произведению АВ соответствует блочная матрица С = (Сц) с элементами 5 Сц — И АцВц. 1=1 2.8. Применяя описанное в предыдущей задаче правило умножения блочных матриц, вычислить а) в) т-Н СО 1 4 -2 3' -1 2 -2 1 ]  1 2 3 11 2 3 1 3 ; б) '10 0 0 1 1 0 0 1 -1 -2 0 -1 1 -1 0 Г 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 21 3 0 0 1 " 1 0 0 1 1 1 -2 2" 2 1  -1 4 -2 I1 з 3" 1 о] ; г) " 1 1 2 2 1 0" 0 1 2 0 0 2 '0 2 1 0 0 -1 1 -2 2 1 ' 0 0
24 Глава I. Матрицы 2.9. Показать, что: а) для выполнимости клеточного умножения двух блочных квадратных матриц достаточно, чтобы диагональные клетки были квадратными, причем порядки соответствующих диагональных клеток были равны между собой. Является ли это условие необходимым? б) для выполнимости клеточного умножения блочной матрицы на себя необходимо и достаточно, чтобы все ее диагональные клетки были квадратными. 2.10. Доказать, что множество верхних (нижних) квазитреугольных матриц одинакового порядка и одинаковой клеточной структуры замкнуто относительно умножения. 2.11. Пусть А и В - квазидиагональные матрицы одного порядка и одинаковой клеточной структуры. Доказать, что: а) произведение АВ есть квазидиагональная матрица, диагональные клетки которой равны произведениям АцВц одноименных диагональных клеток сомножителей; б) матрицы АиВ перестановочны тогда и только тогда, когда перестановочны их одноименные диагональные клетки. 2.12. Пусть А е Штхп и В е Шпхт - произвольные матрицы. Доказать тождество " АВ О ' В О 1т А = •*га А О О ' В В А в котором 1т и 1п - единичные матрицы порядка тип соответственно, а символом О обозначены нулевые матрицы подходящих размеров. 2.13. Пусть А - произвольная квадратная матрица. Доказать, что симметрическая матрица, перестановочная с матрицей Л, перестановочна также с матрицей АТ. Верно ли обратное: если некоторая матрица перестановочна и с Л, и с Ат, то она обязательно симметрическая? 2.14. Доказать, что квадратная матрица А порядка п ко- сосимметрическая тогда и только тогда, когда соотношение х1Ах = 0 выполнено для любого вектор-столбца х Е Мпх1. 2.15. Пусть матрицы АиВ симметрические. Доказать, что: а) А + В и ос А для любого а Е К - симметрическая матрица; б) Ак - симметрическая матрица при любом /сеМ; в) матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда матрицы АиВ перестановочны.
§2. Матрицы специального вида 25 2.16. Доказать, что если А и В - симметрические квадратные матрицы одинакового порядка, то матрица С = (АВ)ПА является симметрической для любого п € N. 2.17. Показать, что для любой матрицы А матрица ААТ является симметрической. 2.18. Пусть матрицы А и В кососимметрические. Доказать, что: а) А + В и осА для любого а Е К - кососимметрическая матрица; б) Ак - кососимметрическая матрица при нечетном к и симметричная матрица при четном /с; в) матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда матрицы А и В перестановочны. г) Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие кососимметричности произведения АВ. 2.19. Доказать, что произведение симметрической и кососимметрическои матриц является кососимметрическои матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны. 2.20. а) Пусть А - произвольная симметрическая матрица. Доказать, что матрица А+Ат симметрическая, а матрица А-Ат кососимметрическая. б) Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму симметрической и кососимметрическои матриц. Единственно ли такое разложение? 2.21. Разложить матрицу А в сумму симметрической и косо- симметрической матриц: Г 1 -1 21 1 3 -2 -2 2 0 ; в)Л = Г 2 0 0 1 0 0 2 ] -2 -1 2.22. Доказать, что если матрицы А и В обе симметрические или кососимметрические, то а) их коммутатор [А, В] - кососимметрическая матрица, б) их произведение Иордана А*В - симметрическая матрица. 2.23. Доказать, что всякая кососимметрическая матрица является коммутатором диагональной и симметрической матрицы. 2.24. а) Пусть А - симметрическая матрица. Доказать, что величина 1г А2 неотрицательна, причем равна нулю тогда и только тогда, когда матрица А нулевая. а) А = -2 -7 3 10
26 Глава I. Матрицы б) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для кососимметрических матриц. 2.25. Пусть А и В - симметрические матрицы одного порядка. Доказать, что выполнено неравенство гт(АВJ<гг(А2в2), которое переходит в равенство тогда и только тогда, когда матрицы А и В перестановочны. 2.26. Доказать, что если симметрическая матрица А ниль- потентна с индексом нильпотентности, равным двум, то А - нулевая. Верно ли данное утверждение для кососимметрической матрицы А? 2.27. Найти: а) все ортогональные матрицы второго порядка; б) все симметрические ортогональные и кососимметрические ортогональные матрицы второго порядка. 2.28. Пусть вектор-столбец х удовлетворяет условию хтх = 1. Доказать, что матрица II = I — 2ххт является одновременно симметрической и ортогональной. 2.29. Доказать, что множество ортогональных матриц одного порядка замкнуто относительно операции умножения матриц. 2.30. Показать, что матрица А — (а^) Е Мпхп ортогональна тогда и только тогда, когда для ее строк (столбцов) имеет место соотношение п / п \ X, агказк — &гз I 2^ ЯН^к] = <% I • к=1 \Ь=1 / 2.31. Доказать, что вещественная треугольная матрица ортогональна тогда и только тогда, когда она диагональна, причем элементы ее главной диагонали равны 1 или — 1. / А 2.32. Доказать, что блочная матрица | д _г |,в которой матрица А и единичная матрица / - квадратные одного порядка, ортогональна в том и только в том случае, когда А = О. 2.33. Выяснить, являются ли следующие матрицы нильпо- тентными и, если да, то найти их индексы нильпотентности к: 1 -2 б) 4 -4 А 1 4 ; в) ГО 2 01 0 0 3 0 0 0 ; г) Г1 0 1] 0 0 0 1 0 1
§2. Матрицы специального вида 27 Д) 2 1 21 8 4 8 -6 -3 -6 ; е) 0 0 0 51 Г 2 1 0 0 О -6 -12 0 ,-4-200 О 3 6 0 ; ЖМ О О О О 0 0 0 0] [0001 2.34. Доказать, что сумма и произведение двух перестановочных нильпотентных матриц является нильпотентной матрицей. Верно ли это утверждение, если матрицы не перестановочны? 2.35.х Найти все нильпотентные матрицы второго порядка с индексом нильпотентности 2. 2.36. Доказать, что треугольная матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда ее главная диагональ нулевая. 2.37. Квадратная матрица А называется строго верхней (нижней) треугольной, если а^ = 0 при г > ] (г < ]). Доказать, что: а) для произведения В двух строго треугольных матриц одного вида выполнено условие Ъц = 0 при г > ] — 1 (г < ] + 1); б) строго треугольная матрица А нильпотентна, причем ее индекс нильпотентности не превосходит порядка этой матрицы. 2.38. Доказать, что коммутатор треугольных матриц одного вида является нильпотентной матрицей. 2.39. Показать, что квазитреугольная матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда нильпотентны все ее клетки на главной клеточной диагонали. Г 7 А 2.40. Доказать, что блочная матрица . _Т матрица А и единичная матрица / - квадратные одного порядка, нильпотентна в том и только в том случае, когда нильпотентна матрица I + А2. 2.41.2 Найти все периодические матрицы второго порядка с периодом, равным двум. 2.42. Доказать, что произведение двух перестановочных периодических матриц является периодической матрицей. Верно ли это утверждение, если матрицы не перестановочны? 2.43. Доказать, что если Ат + Ат~1 + ... + А + I = О для некоторого ш Е М, то матрица А периодическая. 2.44. Доказать, что блочная матрица Л _Т , в которой в которой хСм. также задачи 8.1, 16.56. 2См. также задачи 9.61, 16.57.
28 Глава I. Матрицы матрица А и единичная матрица / - квадратные одного порядка, периодическая в том и только в том случае, когда матрица 1 + А2 является периодической. 2.45. Экспопептой матрицы А (по аналогии с экспонентой числа) называют сумму ряда 1 ехрЛ = /+2-ЛЛ B.1) *=1 Сходимость ряда в B.1) понимается как сходимость рядов, получающихся при вычислении каждого элемента матрицы - суммы ряда в правой части. а) Пользуясь признаком сравнения, доказать абсолютную сходимость ряда B.1) для любой квадратной матрицы А. б) Показать, что если А = а! - скалярная матрица, то ехр А = еа1. в) Показать, что (ехр А)Т — ехр(Лт). 2.46. Вычислить ехр А, если 0 12 а) А = 2 1 -4 -2 б) А 0 0 1 ^000 2.47. Доказать, что если А - диагональная матрица, то ехр А также диагональна, причем если А = сНа§{а1,..., ап}, то ехр А = сНа§{еа1,..., еап }. 2.48. Доказать, что если А = -1 0 , то для любого а Е ехр(аА) = соз а • I + зт а • А. 2.49. Доказать, что если А - периодическая матрица с периодом 2, то для любого аеК ехр(аЛ) = сЬ а • / + зЬ а • А. 2.50. Доказать, что если матрицы Ли В перестановочны, то ехр(А + В) = ехр А • ехр В. 2.51. Квадратная матрица А с неотрицательными элементами называется стохастической, если все ее строчные суммы равны 1. Если же при этом еще и каждая столбцовая сумма также равна 1, то матрица называется дважды стохастической. Доказать, что: а) произведение стохастических матриц является стохастической матрицей;
§2. Матрицы специального вида 29 б) произведение дважды стохастических матриц является дважды стохастической матрицей. 2.52. Пусть А е Щтхп и В € Шкх1 - произвольные матрицы. Кронекеровым произведением А® В матриц А и В называется матрица С Е Еткхп1) имеющая следующий клеточный вид: ацВ аиВ ... а\пВ й2\В а,22В ... а2пВ С = ат1В ат2В ... атпВ Доказать, что кронекерово произведение обладает следующими свойствами: а) (аА)®В = А®(аВ) = а(А®В); б) {А + В)®С = А®С + В®С\ в) (А®В)®С=А®(В®С)\ г) А® (В + С) = А®В + А®С\ д) {А®В)Т = АТ ®ВТ; е) (АВ) ® (СИ) = {А ® С)(В ® Я), выполненными для любых матриц А, В, С (в последнем соотношении дополнительно предполагается, что произведения АВ и С В определены). 2.53. Вычислить кронекерово произведение матриц: а) А ® В и В < б) А ® В и В < > А, если Л = 5 Л, если А = [1 2 3], В в) А® В и В® А, если Л Б = -1 О -2 3 -2 1 2 О 3 4 2.54. Доказать, что кронекерово произведение вектор-строки а на вектор-столбец Ъ коммутативно и равно обычному произведению Ьа. 2.55. Доказать, что кронекерово произведение квадратных матриц А и В (быть может, разных порядков) является: а) нулевой матрицей тогда и только тогда, когда одна из матриц А или В нулевая; б) единичной матрицей 1ПШ тогда и только тогда, когда А = А/п и В = Х~11т для некоторого А ф 0; в) диагональной матрицей тогда и только тогда, когда А и В - диагональные; г) треугольной матрицей тогда и только тогда, когда либо А и В - обе треугольные одного вида, либо А - строго треугольная
30 Глава I. Матрицы матрица. 2.56. Доказать, что если А и В обе симметрические или косо- симметрические матрицы, то их кронекерово произведение А®В - симметрическая матрица. Верно ли обратное? 2.57. Доказать, что если А и В ортогональны, то их кронекерово произведение А® В - также ортогональная матрица. Верно ли обратное? 2.58. Доказать, что если А и В - стохастические (дважды стохастические) матрицы, то их кронекерово произведение А®В также является стохастической (дважды стохастической) матрицей. Верно ли обратное? 2.59. Доказать, что кронекерово произведение А® В - ниль- потентная матрица тогда и только тогда, когда одна из матриц А или В нильпотентна. 2.60. Доказать, что кронекерово произведение А ® В - периодическая матрица тогда и только тогда, когда для некоторых к е N и А ф- 0 матрицы \Ак и Х~1Вк единичные. 2.61. Доказать, что след кронекерова произведения квадратных матриц равен произведению следов сомножителей. 2.62. Пусть Т>тхп - множество всех матриц А = А{1) = {а^{1)) размера тхп, элементами сщ{1) которых являются дифференцируемые функции действительной переменной I. Произ- д,А водной матрицы А = А{1) называется матрица — = (а^-(<)) аъ размера т х п. Доказать, что: х Л , А. с1А _ 6. , А „ч Л А ЛВ ё , 4„ч д,Ап . ЛЛВ , й , ,Тх /сМ\Г. дХ ) в) — (АВ) = — В + А-; г) — (Аг) = ' (IV ' ей ей ' (IV ' V ж) —(А *В) = — * В + А * —-. 2.63. Доказать, что если матрица А не зависит от ^, то — ехр(М) = АехрAА).
§3. Элементарные преобразования матриц 31 2.64. Доказать, что равенство — (А2) = 2А— выполнено (И ох ЛА Л тогда и только тогда, когда матрицы — и А перестановочны. сИ г/ ч л ЛА 2.65. Пусть Нх) - многочлен, а матрицы А и — перестано- аг вочны. Доказать, что —/(А) = /'(-А) — . аЬ сИ §3. Элементарные преобразования матриц л = Приведение матрицы к ступенчатой форме. Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих типов: 1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы; 2) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля; 3) прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой ее строки (соответственно столбца), умноженной на любое число. Теорема 3.1 (об основном процессе). Произвольная ненулевая матрица конечным числом элементарных преобразований только строк первого и третьего типов может быть приведена к верхней ступенчатой форме. Доказательство ([9]) этой теоремы представляет собой описание процесса, приводящего ненулевую матрицу к искомому виду. Проиллюстрируем его на конкретном примере. Пример 3.1. Приведем матрицу Г 0 0 12 3 6-4433 3-2542 9-6324 элементарными преобразованиями только строк к верхней ступенчатой форме. Первый шаг. а) Первым ненулевым столбцом в матрице А является 1-й столбец. Поэтому ведущим элементом первого шага должен быть ненулевой элемент в позиции A,1). В матрице А элемент ац = 0 и он не может быть ведущим, поэтому поменяем местами первую и третью строки (можно было бы первую строку переставить со второй, однако, как будет видно в п. "б" , выбор третьей строки упрощает ручные вычисления), при этом [[Г] -2542 6-4433 0 0 12 3 9-6324 б) Аннулируем поддиагональные элементы первого столбца, для чего из второй и четвертой строк вычтем первую строку, умноженную соответственно на 2 и на 3 (отметим, что выбранный ведущий элемент является делителем аннулируемых элементов, и это освобождает преобразования от дробных вычислений), при этом ¦А! =
32 Глава I. Матрицы |3 0 0 0 -2 0 0 0 5 -6 1 -12 4 -5 2 -10 2 -1 3 -2 Второй шаг состоит в применении первого шага к матрице ГО -6 -5 -1 А2 = 0 1 2 3 [ 0 -12 -10 -2 Так как первым ненулевым столбцом в матрице А2 является второй столбец, то ведущий элемент следует искать во втором. столбце и, хотя а12 = — 6 Ф 0, удобней всего в качестве ведущего элемента выбрать элемент, равный 1 (ибо 1 является делителем любого числа), поэтому переставив местами 1-ю и 2-ю строки, получим 0 | 0 0 1 | -6 -12 2 -5 -10 3 -1 -2 Аг = Вычитая из 3-й строки удвоенную 2-ю строку и прибавляя ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на 6, получим Г 0 |1 2 3 Аз —> 0 0| 7 17 [ 0 0 0 0 Все использованные преобразования строк матрицы А2 можно рассматривать как преобразования строк исходной матрицы, так что если опустить все комментарии, то цепочка преобразований матрицы А, приводящая ее к верхней ступенчатой форме, примет вид: 3 6 0 9 3 0 0 0 -2 5 4 -4 4 3 0 1 2 -6 3 2 -2 5 0 1 0 -6 0 -12 2 1 3 3 4 . 4 2 -5 -1С 2 3 -1 -2 ¦ з - 0 0 0 2 5 4 2 1 0 -6 -5 -1 0 1 2 3 0 -12 -10 -2 ] 13-254 2 0 0 |1 2 3 0 0 0| 7 17 . 0 0 0 0 0 Отметим, что в описанном процессе использовались элементарные преобразования только строк матрицы. Процесс приведения матрицы к ступенчатой форме будем называть основным процессом. 1. Квадратная матрица с помощью основного процесса приводится к треугольной форме. 2. Если в основном процессе поменять ролями строки и столбцы, то матрица А приведется к нижней ступенчатой форме. 3. В ручных вычислениях во избежание больших чисел целесообразно в основном процессе использовать элементарные преобразования строк второго типа: сокращать все элементы на общий множитель. 4. Во избежание дробных чисел в ручных вычислениях удобно также в качестве ведущего элемента выбирать элемент, равный единице. Если такого элемента нет, то, как правило, его можно получить, используя элементарные преобразования строк и перестановки столбцов. Теорема 3.2. Произвольная ненулевая матрица конечным числом элементарных преобразований только строк (только столбцов) и пе-
§3. Элементарные преобразования матриц 33 рестпановками столбцов (строк) приводится к верхней (нижней) трапециевидной форме. Для приведения матрицы к верхней трапециевидной форме нужно сначала привести ее к верхнему ступенчатому виду, а затем переставить столбцы так, чтобы ведущие элементы оказались на главной диагонали. Пример 3.2. Приведем матрицу Г 0 0 12 3 6-4433 3-2542 9-6324 к верхней трапециевидной форме. Для этого приведем ее к верхней ступенчатой форме (см. пример 3.1): 3 -2 А = 2 3 17 0 0 и в получившейся матрице переставим местами столбцы так, чтобы 3-й столбец оказался на месте 2-го, а 4-й — на месте 3-го: Квадратные матрицы /)*, Р^ 1 О 0 0] Ьг^ следующего вида Л = с*^0, 1%2 — 0 . 1 1 ' О Ьц = .1.0 0 ¦ 1 1 , У/9 6К, C.1) 2—4271
34 Глава 1. Матрицы в которых все диагональные элементы, кроме указанных, равны единице, а все внедиагональные элементы, кроме указанных, равны нулю, называются матрицами элементарных преобразований. Теорема 3.3. Умножение матрицы А на матрицы элементарных преобразований Р^, Иг, Ь^ справа равносильно элементарным преобразованиям столбцов матрицы А первого, второго и третьего типов соответственно, а умножение слева на матрицы Р^, Иг, Ьц ~ аналогичным элементарным преобразованиям строк. В свете этой теоремы можно по-иному сформулировать теорему 3.1: для любой ненулевой матрицы А существуют матрицы элементарных преобразований Т\,...,Т/с такие, что произведение Т*. .. .Т\А имеет верхнюю ступенчатую форму. ЗАДАЧИ 3.1. Привести матрицу к верхней ступенчатой форме, используя элементарные преобразования ее строк : а) в) 2 2 0 3 1 2 1 3 4 1 0 3 4 2 4 2 1 -2 0 2 7 - 1 0 -2 0 -1 1 1 3 5 -1 1 -9 -6 8 -14 ; г) 3 2 2 2 б) 3 -3 2 -2 0 О 1 -1 3 5 10 3 3 8 3-14 -6 4 -6 Д) о о о 1 2 -1 -9 -5 1 0 Г та- 3.2. Указать матрицу элементарного преобразования кую, что матрица ТА получается из матрицы А: а) перестановкой двух первых строк А; б) прибавлением 1-ой строки Л к ее 3-ей строке; в) вычитанием из 2-ой строки А ее удвоенной 1-ой строки. 3.3. Указать матрицу элементарного преобразования Г такую, что матрица АТ получается из матрицы А: а) перестановкой первого и последнего столбцов А; б) прибавлением к 1-ому столбцу А утроенного 3-его столбца; в) удвоением 2-ого столбца А. 3.4. Пусть А я В таковы, что определено произведение АВ. Доказать, что: а) при перестановке двух строк матрицы А соответствующие строки в АВ также переставляются; б) если к-ю строку матрицы А умножить на число а, то к-я строка АВ также умножится на а;
§3. Элементарные преобразования матриц 35 в) если к к-й строке матрицы А прибавить ее ]-ю строку, умноженную на /3, то с матрицей АВ произойдет то же элементарное преобразование. Сформулировать и доказать аналогичные утверждения для столбцов. 3.5. Матрица А\ получена из А одним из следующих преобразований: а) переставлены 1-ая и 2-ая строки; б) утроена 2-ая строка; в) от 1-ой строки отнята удвоенная 3-ья строка. В каждом случае указать, как связаны между собой матрицы В и 2?1, если имеет место равенство ВА\ = В\А. 3.6. В матрице А выполнено одно из следующих преобразований: а) переставлены 1-ый и 2-ой столбцы; б) удвоен 1-ый столбец; в) ко 2-ому столбцу прибавлен удвоенный 1-ый столбец. В каждом случае указать, какое преобразование следует сделать с матрицей В так, чтобы произведение АВ не изменилось. 3.7. Указать матрицу 5 такую, что матрица 8А получается из А: а) расположением строк А в обратном порядке; б) прибавлением к первой строке А ее остальных строк; в) последовательным вычитанием из каждой строки А, начиная со второй, предыдущей строки; г) последовательным прибавлением к каждой строке Л, начиная с предпоследней, всех последующих строк. 3.8. Указать матрицу 8 такую, что матрица А8 получается из А: а) прибавлением к каждому столбцу Л, начиная со второго, первого столбца; б) вычитанием из второго столбца А каждого столбца матрицы А, умноженного на его номер; в) последовательным прибавлением к каждому столбцу А, начиная с предпоследнего, последующего столбца; г) последовательным вычитанием из каждого столбца Д начиная со второго, удвоенного предыдущего. 3.8.1. Можно ли операцию транспонирования матрицы общего вида свести к элементарным преобразованиям ее строк и
36 Глава I. Матрицы столбцов? 3.9. Матрицей перестановки Р называется квадратная матрица, у которой в каждой строке и в каждом столбце ровно один элемент отличен от нуля и равен 1. Найти все матрицы перестановок третьего порядка. 3.10. Доказать, что множество матриц перестановок одного порядка замкнуто относительно операции умножения матриц. 3.11. Доказать, что всякая матрица перестановки является произведением матриц Рц элементарных преобразований первого типа. 3.12. Доказать, что матрицы перестановок ортогональны. 3.13. Доказать, что стохастическая матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда она является матрицей перестановки. 3.14. Доказать, что линейная комбинация матриц перестановок с коэффициентами ах, с*2,..., а&, удовлетворяющими услови- к ям ау > О, V? = 1, /с, ^2 а^ — 1, является дважды стохастической .7 = 1 матрицей. 3.15. Доказать, что матрицы перестановок периодичны. 3.16. Доказать, что если один из столбцов матрицы А является линейной комбинацией других столбцов, то существует ненулевой вектор-столбец Ь такой, что АЬ = 0. Сформулировать строчный вариант этой задачи. 3.17. Доказать, что если одна из строк матрицы А является линейной комбинацией других строк, то существует ненулевая матрица В такая, что В А — О. Сформулировать столбцовый вариант этой задачи. 3.18. Пусть Ь - одна из матриц элементарных преобразований. Какому преобразованию строк и столбцов матрицы А приводит умножение ЬТАЬ ? 3.19. Доказать, что: а) перестановка двух строк (столбцов) матрицы может быть осуществлена последовательным выполнением элементарных преобразований строк (соответственно столбцов) второго и третьего типов; б) каждая матрица Рц элементарного преобразования первого типа может быть представлена в виде произведения матриц элементарных преобразований второго и третьего типов.
§3. Элементарные преобразования матриц 37 3.20. Используя свойства матриц элементарных преобразований, найти 12 3 4 112 3 1112 1111 а) произведение: 10 0 0 110 0 2 0 10 -10 0 1 б) 12 3 41 112 3 1112 1111 10 0 01 0 12 0 0 0 10 2 0 0 1 12 3 41 112 3 1112 1111 ; г) 1 0 0 0 -12 31 1 0 0 0 1 0 0 0 1 10 0 0 0 2 0 0 10 1 0 0 0 0-1 12 3 4" 112 3 1112 1111 3.21. При каком условии матрицы Рц и Ры элементарных преобразований первого типа перестановочны? 3.22. При каком условии матрицы Ьц и Ьы элементарных преобразований третьего типа с ненулевыми коэффициентами /?' и (Зп соответственно перестановочны? 3.23. По аналогии с элементарными преобразованиями строк и столбцов числовой матрицы можно ввести и элементарные преобразования блочной матрицы. Будем считать, что клетка Ац блочной матрицы А — (Ац), г = 1,р, ] = 1,5, имеет размер т{ х Пу. Элементарными преобразованиями блочной матрицы А будем называть преобразования следующих типов: 1) перестановка двух блочных строк (столбцов) матрицы; 2) умножение всех клеток г-й строки слева на квадратную матрицу О порядка гпг или умножение всех клеток ,7-го столбца справа на квадратную матрицу О порядка щ\ 3) прибавление к каждой клетке г-й строки соответствующей клетки другой /с-й строки, умноженной слева на матрицу В размера гп{ х га/е, или прибавление к каждой клетке ^'-го столбца соответствующей клетки другого 1-го столбца, умноженной справа на матрицу В размера п\, х щ. Доказать, что: а) любое элементарное преобразование строк (столбцов) блочной матрицы равносильно ее умножению слева (соответственно справа) на некоторую квадратную матрицу; б) элементарные преобразования блочной матрицы первого и третьего типов равносильны суперпозиции обычных элементарных преобразований.
Глава П. Определители §4. Перестановки Упорядоченная совокупность чисел с*1, с*2, •.., ап, в которой 1) а» € {1,2, ...,п}, г=1,гс; 2) а» ф щ при г=^ 3, называется перестановкой из чисел 1, 2,..., п. Перестановка 1,2,..., п называется натуральной. Аналогично рассматриваются перестановки из п произвольных символов: достаточно перенумеровать эти символы и иметь дело с их номерами 1,2,. ..,п. Преобразование перестановки, при котором два ее числа щ и щ с номерами г Ф з меняются местами, называется транспозицией. Говорят, что два числа сц и а7 в перестановке с*1,а2,... ,ап образуют инверсию (беспорядок), если большее из них предшествует меньшему, т.е. если с*г > а.$ при г < з, и порядок - в противном случае, т.е. если сц < ОС] при г < з- Перестановка называется четной, если общее число инверсий в ней четно, и нечетной, если нечетно. Общее число инверсий в перестановке а\,с*2, •. •,с*п обозначается символами а{а\,с*2,... ,ап) или а(а). Пример 4.1. Найдем общее число инверсий в перестановке 4,3,5,1,2. Решение. Число 4 образует три инверсии с числами 3, 1 и 2; число 3 - две инверсии с числами 1 и 2 (пара D,3) уже была рассмотрена); число 5 - две инверсии с числами 1 и 2; пара A,2) не образует инверсию. Таким образом, <тD,3,5,1,2) = 3 + 2 + 2 = 7. Запишем количество инверсий, которые образует каждое число в перестановке с последующими, под этим числом: 4, 3, 5, 1, 2 1111 => аD,3,5,1}2) = 3 + 2 + 2 + 0 = 7. . 3 2 2 0 Пример 4.2. Определим четность перестановки 3,6,9,..., Зп, 2,5,8,..., Зп - 1,1, 4,7,..., Зп - 2. Решение. Данная перестановка из Зп чисел разбивается на три последовательные группы из п чисел. Внутри каждой из групп инверсий нет. При этом 3, 6, 9, ..., Зп, 2, 5, 8, ..., Зп-1, 1, 4, 7, ..., Зп - 2 111 1111 1 111 246 2п123 п 000 => а (а) = B + 4 + 6 + . .. + 2п) + A + 2 + 3 + ... + п) = Зп(п + 1)/2. Четность Зп(п + 1)/2 определяется четностью числа п(п + 1)/2, которое четно при п = Ак и п = Ак + 2, к € М, и нечетно при п — Ак + 1 и п = Ак + 3, А; 6 N. Таким образом, данная перестановка четна для тех п, которые при делении на 4 дают четные остатки, и нечетна в протиьном случае. ¦
§4. Перестановки 39 Теорема 4.1. Число всевозможных перестановок из п чисел равно п\. Теорема 4.2. Каждая транспозиция меняет четность перестановки. Теорема 4.3. Все п\ перестановок из п чисел могут быть упорядочены так, чтобы каоюдая последующая отличалась от предыдущей на одну транспозицию, причем начинать это упорядочение можно с любой перестановки. Следствие 1. При п > 2 число четных перестановок равно числу нечетных. Следствие 2. От каждой перестановки из п чисел можно перейти к любой другой перестановке из этих эюе чисел при помощи конечного числа транспозиций. Теорема 4.4. Если сц, а.2,..., ап - перестановка из первых п натуральных чисел с числом инверсий 8, то после преобразования ее в натуральную перестановку индексные номера 1,2, ...,п образуют новую перестановку с тем эюе числом инверсий 8. Проиллюстрируем утверждение теоремы на примере перестановки 4,3,5,1,2. В этой перестановке а\ — 4, с*2 — 3, аз = 5, а± = 1, аь — 2. После преобразования перестановки в натуральную получим перестановку 1,2,3,4,5, т.е. с*4,05,0:2,0:1,аз, при этом перестановка из индексных номеров будет иметь вид 4, 5,2,1,3. Осталось проверить, что сгD,3,5,1,2) = 7 и *D,5,2,1,3) = 7. ЗАДАЧИ 4.1. Выписать транспозиции, посредством которых от натуральной перестановки можно перейти: а) к перестановке 3, 5,4,1,2; б) к перестановке 5,4,3, 2,1. 4.2. Определить общее число инверсий в перестановках: а) 3,1,4,5,2; 6K,7,4,1,5,2,6; в) 1,6,9,4,2,5,3,8,7; г) 4,7,1,3,2,6,5; д) 1,3,5,...,2п-1,2,4,6,...,2п; е) 2,4,6,...,2п,1,3,5,...,2п-1; ж) /с, к + 1,..., п, 1,2,..., к — 2, к — 1; з) к,к + 1,...,п, к- 1,/с-2,...,2,1. 4.3. Найти г и к, при которых указанная перестановка является четной: а) 2,4,1, г, 6, 9, к, 7,5; б) 8,1, 6, г, 3,7, Л, 4, 2. 4.4. В перестановке а\, с*2,..., осп-ъ ап имеется р инверсий, причем известно, что первый и последний ее элементы образуют с остальными элементами суммарно 5 инверсий. Сколько инверсий станет в этой перестановке, если поменять местами первый и последний ее элементы?
40 Глава П. Определители 4.5. В перестановке ах, с*2,..., ап_х, ап имеется р инверсий. Сколько инверсий будет в перестановке ап, ап_1,..., с*2, аа ? 4.6. Какая перестановка из первых п натуральных чисел имеет наибольшее число инверсий? Чему оно равно? 4.7. Сколько инверсий образует число 1, стоящее на к-м месте перестановки? 4.8. Сколько инверсий образует число п, стоящее на к-м месте в перестановке из первых п натуральных чисел? 4.8.1. Сколько инверсий образует число к A < к < п), стоящее в перестановке из первых п натуральных чисел: а) на первом месте; б) на последнем месте? 4.8.2. Указать количество всех перестановок п-го порядка, в которых первый и последний элементы образуют инверсию. 4.9. В указанных перестановках определить общее число инверсий и выяснить, при каких п эти перестановки нечетные: а) 1,4,7,..., Зп - 2, 2, 5,8,..., Зп - 1,3,6,9,..., Зп; б) 2, 5,8,..., Зп - 1, 3,6,9,..., Зп, 1,4, 7,..., Зп - 2; в) 1, 5,..., 4п - 3,2, 6,..., 4п - 2,3,7,..., 4п - 1,4,8,..., 4п; г) 1, 5,..., 4п - 3, 3, 7,..., 4п - 1,2,6,..., 4п - 2,4,8,..., 4п; д) 4п, 4п—4,..., 8,4,4п-1,4п—5,..., 7,3, 4п—2, 4п—6,..., 6, 2, 4п-3,4п-7,...,5,1. 4.10. Чему равна сумма числа инверсий и числа порядков в любой перестановке первых п натуральных чисел? 4.11. Для каких значений п четность числа инверсий и числа порядков во всех перестановках из первых п натуральных чисел одинакова и для каких противоположна? 4.12. Доказать, что для любого к Е Ъ\ 0 < к < п(п — 1)/2 существует перестановка из первых п натуральных чисел, число инверсий которой равно к. 4.12.1. Пусть в перестановке из первых п натуральных чисел имеется к инверсий. Доказать, что ее можно привести к натуральной, используя не более, чем к транспозиций. 4.13. Определить четность перестановки букв в слове анкор, если за исходное принять их расположение в словах: 1) крона; 2) норка] 3) коран.
§5. Простейшие свойства определителя 41 §5. Простейшие свойства определителя Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А = (а^) п-го порядка называется сумма всевозможных произведений а1а1<22а2 •••апа7г элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем если сомножители в этом произведении упорядочены в порядке возрастания номеров строк, то оно берется со знаком (—х)**0^»0^»-"'ап). Для обозначения определителя приняты символы |л4|, с!е1 А. Итак, ап Д21 Д12 Д22 ахп 0.2-а а>п\ ап2 Е (-1) = (а1)а2,...,а,,) <г(а) ^1а1 &2а2 • • • апасп E.1) где суммирование ведется по всевозможным перестановкам (а1,с*2, • • •, лп) из чисел 1,2,... ,п. Каждое произведение в сумме E.1) называется членом определителя, а число (—1)°(а) - его знаком. Из свойств перестановки следует, что число всевозможных членов определителя п-го порядка равно п! и что при п > 2 число положительных членов равно числу отрицательных и равно п!/2. Пример 5.1. Показать, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Решение. Рассмотрим случай верхней треугольной матрицы А = СЩ B12 Й13 О B22 <223 О 0 а33 о о о а2п Переберем все возможные нетривиальные члены Aе1 А. Из 1-го столбца в такой член может войти только ап, так как остальные элементы 1-го столбца равны нулю. Вместе с ап в одно произведение с ним не может войти ни один другой элемент 1-й строки, поэтому из 2-го столбца вместе с ап может быть взят только элемент агг- Теперь уже вместе с аца22 не может войти в одно произведение ни один другой элемент первых двух строк, так что из 3-го столбца вместе с аца22 может быть взят только азз, и т.д. Таким образом, |Л| = (-1)<7A,2"",п)а11а22...апп, т.е. |Л| = аца22 • • .а„„. ¦ Пример 5.2. Найти г и к такие, что произведение аз2сазаА1а1АО>б5акб входит в определитель 6-го порядка со знаком плюс. Решение. Возможны два случая: г = 2,/с = 5иг = 5,/с = 2. В первом случае данное произведение после упорядочения сомножителей в порядка возрастания номеров строк совпадает с произведением аыагзазга^аббабб, при этом аD,3,2,1,6, 5) = 34-2+14-1 = 7. Во втором случае перестановка номеров столбцов будет четной, так как отличается от рассмотренной перестановки одной транспозицией. Следовательно, г = 5, к = 2. ¦ Свойства определителя. Свойство 1. Определитель квадратной матрицы не изменяется при ее транспонировании: \А\ = \АТ\, т.е. в
42 Глава II. Определители определении E.1) определителя моэюно поменять ролями строки и столбцы: \а\= Е (-1)*0"- О>0\\О>0ч1 • • •а/Зг,п- Свойство 2. Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то ее определитель равен нулю. Свойство 3. При умножении строки (столбца) матрицы на число ее определитель умножается на это число. Свойство 4. Если каждый элемент некоторой строки матрицы представлен в виде суммы двух слагаемых: агк = Ък+Ск, к = Т/п, то определитель матрицы можно представить в виде суммы двух определителей: а', Ь'+с' а'п = а\ Ь' а'п + а[ с' < где Ь' = (Ьь&2, • • • >Ьп), с' = (с1,с-2,... , сп). Свойство 5. При перестановке местами двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак. Свойство 6. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца), равен нулю. Свойство 7. Если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других ее строк (столбцов), то определитель матрицы равен нулю. Свойство 8. Если к какой-либо строке (столбцу) матрицы прибавить линейную комбинацию других ее строк (столбцов), то ее определитель не изменится. Пример 5.3. Пусть А € Кпхп, тогда \~А\ — (—1)П|А|, так как матрица —А может быть получена умножением каждой строки матрицы А на —1. Пример 5.4. СОВ2/? 81П27 соз27 = 0, так как 3-я строка явля- со8 2а соз 2/3 соз 27 ется линейной комбинацией первых двух строк. Пример 5.5. Показать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю. Решение. Так как АТ = -А, то \АТ\ = \ — А\. Отсюда (см. свойство 1 и пример 5.3) следует, что \А\ = ( — 1)п\А\. Так как п - нечетно, то \А\ = —\А\, т.е. |А| = 0. ¦ Пример 5.6. Исследовать, как изменится определитель матрицы, если к его 1-й строке прибавить все строки. Решение. Прибавление к 1-й строке всех строк, начиная по 2-й, не изменит определителя (свойство 8), а прибавление к ней 1-й строки равносильно умножению 1-й строки на 2. Согласно свойству 3 определитель удвоится. ¦
§5. Простейшие свойства определителя 43 ЗАДАЧИ Вычислить определители второго порядка. 5.1. 5.4. 5.7. 5.9. 3 2 8 5 а2 аЪ аЬ Ь2 5.2. 5.5. 2001 2002 2000 2001 п+1 п п п — 1 5.3. 5.6. а? + аЪ + Ь2 а2 -аЪ + Ь2 а + Ь а — Ь 5.8. 1935 1965 2035 2065 1оё„Ь 1 1 1о& а а + Ь а — Ь а — Ь а + Ь соз а — зт а зт а соз а 5.10. 5.11. Доказать тождество а У Ь X 2 + X У —а Ъ 2 ¦=: соз а соз /3 зта зт/3 о? + Ъ2 0 0 х2 + у2 Вычислить определители третьего порядка. 5.12. 5.15. 3 2 3 2 5 4 1 3 2 . 5.13. а Ь с Ь с а с а Ъ с а 0 а 0 Ь 0 Ь с . 5.16. . 5.14. а Ь с с а Ь Ь с а 0 1-а а + 1 . 5.17. а + 1 1 — а 0 а + 1 1-а 0 0 а 0 р г с? 0 6 0 5.18. Доказать, что если все элементы квадратной матрицы 3-го порядка равны ±1, то ее определитель является четным числом. 5.19. Найти наибольшее значение, которое может принимать определитель 3-го порядка, если все элементы его матрицы равны ±1. 5.20. Найти наибольшее значение определителя 3-го порядка, если элементы его матрицы равны 1 и 0. Пользуясь свойствами определителя, доказать, что следующие определители равны нулю. 5.21. 31П2 а 1 соз2 а 31п2 /3 1 соз2 /3 зт2 7 1 соз2 7 . 5.22. 31П2 а зт2 /3 зт2 7 соз 2а соз2 а соз 2/3 соз2/3 соз 27 соз2 7
44 Глава П. Определители 5.23. 5.25. 5.27. (а + ЬJ а2 + Ь2 аЬ {р + ЯJ Р2 + Я2 РЧ + у2 ху 5.24. 5.26. (х + уУ х а + Ь с Ь + с а с + а Ь Вт а соз а зт(а + 6) зт/3 соз/3 зт(/3 + 5) 51П7 СОЗ 7 81ПG + ^) (а + ЬK а3 + Ъ3 а + Ь (а-бK а3-Ь3 Ь-а A + аЬK 1 + а3Ь3 1 + аЬ (аж + а-жJ (ах-а~хJ 1 F" + Ь"^J (ЬУ - Ъ~УJ 1 (с2 + с~2J \сг-с~гJ 1 эта соз а соз(а + 6) зт/3 соз/3 соз(/3 + 6) 81П7 СОЗ 7 С03G + 5) 5.28. 5.32. 5.33. 5.34. 5.35. 5.36. Пользуясь лишь свойствами определителя, обосновать тождества. а\ Ь\ а\х + Ъ\у + с\ 5.29. | а2 Ь2 а2х + Ъ2у + С2 аз Ьз азх + Ьзу + с3 а\ + Ь\х а\ — Ъ\х с\ 5.30. | ач + Ь^х аъ — Ь2Х С2 а3 + Ь3х а3 - Ьзх с3 5.31.|1 Ь са | = (Ь - а)(с-а)(с-Ь). — а>1 Ь\ сг 0>2 ^2 С2 аз Ьз сз = -2ж а\ Ъ\ с\ 0,2 Ь2 С2 аз Ь3 сз 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 а а3 1 а2 а3 1 1 1 а Ьс Ь са с аЪ 9 о а Ъ Ь2 0 С (Г а 6с 6 со с аЬ = ( = ( = 1 1 Ь с Ъ3 с3 1 1 62 с2 63 с3 4 а а* Ь Ь4 4 С С = ( (Ь — а) (с — а) (с— Ь). а а* Ь Ь2 (а + Ъ + с)(Ь - а)(с - а)(с - Ь). (аЪ + ас + Ьс)(Ь - а)(с — а)(с — Ь). (а2 + Ь2 + с2+аЬ+ас+Ьс)(Ь-а)(с-а)(с~Ь).
§5. Простейшие свойства определителя 45 5.37. 5.38. 1 1 1 1 1 1 а Ъ с а2 б2 с2 аЛ 1 б3 с3 | а3 б3 с3 = (а + 6 + с) 1 0 а сг 1 6 б2 1 с с2 = (аЬ + Ьс + са) 1 а а2 1 6 б2 1 с с2 а) аз5«43^12^54^21; в) аз2«43^51^14^25^6б; Д) ^36^27^74^51^25^43^62; ж) Й1баззй72^27^61^55^44; и) а21а32 • • . С1п,п-1^1п] 5.39. Выяснить, какие из следующих произведений входят в определители соответствующих порядков, и если да, то с какими знаками: б) 013О41О24О55О23; г) О23О61О36О45О12О54; е) аз4а21&46&73&17&54&62; з) а12а2з • • • Оп-ипОп!', к) О12О21О34О43 • • • 02п-1,2п02?г,2п-1- 5.40. С каким знаком входит в определитель п-го порядка произведение: а) элементов главной диагонали; б) элементов побочной диагонали? 5.41. Выписать все слагаемые, входящие в определитель 4-го порядка со знаком плюс и содержащие множителем а^. 5.42. Подобрать г и ] такие, что произведение 033^14^12^41^5 входит в определитель 5-го порядка со знаком минус. 5.43. Подобрать г, ] и к такие, что произведение 03^05^062^4041013 входит в определитель 6-го порядка со знаком плюс. 5.44. Подобрать г и ] такие, что произведение а4102гОб407б05-7'Озз012 входит в определитель 7-го порядка со знаком плюс. 5.45. Подобрать г,^, к и / такие, что произведение 0/сб04307/0120^-а270б4 входит в определитель 7-го порядка со знаком минус. 5.46. Дополнить произведение элементов B13025034047056 определителя 7-го порядка так, чтобы получить член этого определителя, входящий в него: а) со знаком плюс; б) со знаком минус. 5.47. Вычислить знак члена определителя зная число инверсий в перестановках ах, #2,... ап и /?х, /%> • • • /Зп-
46 Глава II. Определители Пользуясь только определением, вычислить определители. 5.48. 5.51. 5.54. 5.56. а 3 0 5 0 6 0 2 1 1 2 с 3 000A 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 4 3 2 1 . 5.49. .' 5.52. ац 0 0 ... «21 «22 0 ... «31 «32 «33 • • • «п1 «п2 апз ... а 0 ... 0 0 ... 0 0 ... аз,п-2 ап\ ... а>п,п-2 0 о2 0 ... 0 0 0 а3 ... 0 0 0 0 ... ап ах 0 0 ... 0 1 0 2 4 3 с а о 0 0 0 0 0 0 4 3 0 0 0 пп 0 ^2,?г- ^3,71- ®п,п- 0 6 0 0 8 6 4 2 О 0 5 0 4 3 2 1 . 5.50. . 5.53. 5.55. | -1 -1 -1 . 5.58 «1п «2п а а , Зп пп 0 0 о а 0 0 8 4 ац аХ2 а21 а22 «31 «32 «41 «42 Й51 «52 0 ... 0 0 ... ап_2 а1 ... 0 0 0 0 0 а" 6 0 1 0 с 1 1 1 1 0 8 4 0 6 3 6 4 2 3 2 1 «13 «14 «15 «23 «24 «25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 «п-1 0 » 0 0 0 0 0 ап 5.57. 5.59. Пользуясь только определением, вычислить определители: а) |1 Х\к 1 %к-1,к 1 Хк+1,к 1 %пк 1 ;б) 1 СОЗ (р . . . — 5111 (/ . С08(/? (в этих определителях все неуказанные внедиагональные элемен-
§5. Простейшие свойства определителя 47 ты равны нулю, а диагональные - единице). 5.60. Показать, что если в квадратной матрице порядка п более чем п2—п элементов равны нулю, то ее определитель равен нулю. 5.61. Доказать, что если в квадратной матрице порядка п на пересечении некоторых к строк и / столбцов стоят элементы, равные нулю, причем к + I > п, то ее определитель равен нулю. Исходя только из определения, найти коэффициенты при х3 и х" в определителях. .62. х 2х 1 1 х 2 3 2 2х 2 1 х -1 -1 1 —х X X 1 2х 1 X 1 2 3 1 X 1 2 2 1 X 5.63. 5.64. Найти элемент квадратной матрицы порядка п, который а) симметричен элементу а^ относительно побочной диагонали; б) симметричен элементу а^ относительно "центра" матрицы. 5.65. Назовем место элемента а^ четным (нечетным), если сумма г + к четна (соответственно нечетна). Найти число элементов квадратной матрицы порядка п, стоящих на четных и на нечетных местах. 5.66. Доказать, что в каждый член определителя порядка п входит четное число элементов его матрицы, занимающих нечетное место, а элементов, занимающих четное место, входит четное число, если п четно, и нечетное число, если п нечетно. 5.66.1. Показать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю. 5.67. Как изменится определитель порядка п, если первый столбец его матрицы переставить на последнее место, а остальные столбцы передвинуть влево, сохраняя их расположение? 5.68. Как изменится определитель порядка п, если строки его матрицы записать в обратном порядке? 5.69. Как изменится определитель порядка п, если каждый элемент его матрицы заменить элементом, симметричным данному относительно побочной диагонали? 5.70. Как изменится определитель порядка п, если каждый элемент его матрицы заменить элементом, симметричным дан-
48 Глава П. Определители ному относительно "центра" матрицы? 5.71. Как изменится определитель квадратной матрицы А = (ау) порядка п, если каждый ее элемент ац умножить на с1, где с ф О? 5.72. Доказать, что определитель порядка п не изменится, если изменить знак всех элементов его матрицы на нечетных местах; если же изменить знак всех элементов матрицы на четных местах, то ее определитель не изменится, если п четно, и изменит знак, если п нечетно. 5.73. Доказать, что определитель матрицы не изменится, если: а) к каждой ее строке, кроме последней, прибавить последующую строку; б) к каждому ее столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец; в) из каждой ее строки, кроме последней, вычесть все последующие строки; г) к каждому ее столбцу, начиная со второго, прибавить все предыдущие столбцы. 5.74. Как изменится определитель матрицы, если из каждой ее строки, кроме последней, вычесть последующую строку, а из последней строки вычесть исходную первую строку? 5.75. Как изменится определитель матрицы, если к каждому ее столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец и в то же время к первому прибавить исходный последний столбец? 5.76. Как изменится определитель порядка п, если его матрицу повернуть на 90° вокруг "центра"? 5.77. Чему равен определитель матрицы, у которой сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами? 5.78. Найти сумму определителей всех матриц перестановок п-го порядка. 5.79. Найти сумму определителей порядка п > 2 «1а1 СЦа2 • • • а1ап &2с*1 &2а2 . • • а2ап а1,а2,...,ап) 0"па\ &7Ш2 • • • апал где сумма берется по всевозможным перестановкам с*х, с*2,..., ал из первых п натуральных чисел.
§6. Миноры и алгебраические дополнения 49 5.80. Доказать, что если А и В - стохастические матрицы, то определитель их коммутатора [Д В] равен нулю. 5.81. Числа 20677, 53291, 25783, 28451 и 1679 делятся на 23. Доказать, что определитель 2 0 6 7 7 5 3 2 9 1 2 5 7 8 3 2 8 4 5 1 0 16 7 9 также делится на 23. 5.82. Вычислить, пользуясь лишь свойствами определителя: х У г х + г У г х х + у г х У у + г 5.83. Доказать, что любой определитель равен полусумме двух определителей, один из которых получен из данного прибавлением ко всем элементам г-й строки его матрицы числа Ь, а другой - аналогичным образом прибавлением числа —Ъ. 5.84. Пусть А = А{1) е Т)пхп. Доказать, что производная определителя <1еЬ А может вычислена по формуле о'п(<) о'12(*) ... о'1п(<) «21@ «22(*) ••• Я2п(*) — Ае1А + а>пх{1) ап2A) ац{1) ах2A) ... ахп{Ъ) °21@ «22(*) ••• а2п(*) Оп1(*) ап2(*) ... апп(*) + +...+ ац(*) а12(«) «21@ «22(*) а2п@ <1(*) <2(*) '•• <4Л*) §6. Миноры и алгебраические дополнения Пусть А = ((щ) е К" & € М, 1 < /с < гшп(т,п). Выберем в матрице А произвольные к строк и к столбцов с номерами г\ < %2 < ... < г*. и Л < 32 < . • • < :/*: соответственно. Элементы матрицы Ау стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу к-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором к-го порядка матрицы Л, расположенным в строках с номерами 21,22,... ,и и столб-
50 Глава П. Определители цах с номерами л,.72, • тЛ32.-.Зк> тУз132.:Зъ}' . ,3к- Для обозначения миноров приняты символы Мь , М. Итак, Мт2...гк 3\32--3к аг\3\ аП32 аг232 аЧЗк аг23к йгк Пусть теперь А = (а^) - квадратная матрица п-го порядка и М^1 **_"_']•* - ее минор. Если вычеркнуть в матрице А строки и столбцы, в которых расположен заданный минор, то оставшиеся элементы матрицы А образуют квадратную матрицу (п — /с)-го порядка. Определитель этой матрицы называется дополнительным минором к минору ^]\)\..г3кк- Дополнительный минор обозначается символами М%^*2['шг*к, М, М8. Очевидно, что исходный минор является дополнительным к своему дополнительному минору. Дополнительный минор к минору Щ\J2.['г3кк, взятый со знаком ( —1M(м), з(М) = ^2р=1(гр + 7Р), называется алгебраическим дополнением к минору Мч*2 "'^ и обозначается символом Аг*^"** . Итак, *3\32--3к - \ 1> Ш 3\32---3к- Пример 6.1. В матрице А-- является, например, минор М\\ = 1 0 0 2 3 4 3 4 4 1 0 2 минором 1-го порядка может быть любой элемент. Минором 2-го порядка 4 I а л = —12, минором 3-го порядка - 1 3 4 например, минор М*'^ = = 8. Пример 6.2. В матрице А = 12 3 4 2 3 4 1 5 6 4 3 7 8 11 для минора М2)'4 — з 1 = ~~^ дополнительным минором будет минор Мд 5 4 7 1 = -23, при этом ^2,4 (_1I + 2+2+4м«=23< Теорема 6.1 (теорема Лапласа). Пусть А = (а^) 6 Кпхп и к ^ Ы, 1 < к < п — 1. Пусть в матрице А выбраны произвольные к строк (или столбцов). Тогда определитель матрицы А равен сумме всевозможных произведений миноров к-го порядка, расположенных в выбранных строках (соответственно столбцах), на их алгебраические дополнения.
§6. Миноры и алгебраические дополнения 51 Таким образом, в строчном варианте теоремы Лапласа ае1А Е C1,32,---,3к) 3132- •*А лПг2--гк ¦Зк 3\32 ••¦Зк' F.1) где суммирование ведется по всевозможным значениям л,.72, • • • >Зк, удовлетворяющим неравенствам 1 < 3\ < 32 < • • • < Зк < гс, или в столбцовом варианте аеЪ А = ^ (*1|*2|---.*ь) ум-*1*2---*А- И*1*2-.-*к 3132—3 к 3132- -Зк' F.2) где суммирование ведется по всевозможным значениям 21,22,.. творяющим неравенствам 1 < п <%2 < ... < г к < п. Пример 6.3. Вычислить определитель матрицы 5 12 7П ,г*., удовле- А = 3 0 0 2 13 4 5 2 0 0 3 пользуясь теоремой Лапласа. Решение. Заметим, что во 2-й и 4-й строках матрицы А находится л л-2,4 I 3 2 I п лишь один ненулевой минор второго порядка М1А = о 3 г Поэтому разложение определителя по этим двум строкам (т.е. в теореме Лапласа к = 2, И = 2, гг = 4) содержит только одно слагаемое, так что И = **?№$ = | 2 3 | • (-1J+4+1+4 |5 4 | = 5 • (-1) • (-2) = 10- " Из теоремы Лапласа следует, что с1е1 А = 2_] агз А^ или с1е1 А — V", о-чА^, 0^1 г=1 F.3) где А^ - алгебраическое дополнение к элементу а^. Представление определителя F.3) называется разложением определителя по 1-й строке (соответственно по з~мУ столбцу). Пример 6.4. Вычислить определитель матрицы Г 1 0 -1 " А= 5 2 3 [4-2-5 пользуясь разложением по 1-й строке. Решение. Согласно F.3) имеем \Л\ = !•(-!) 1+1 \ Л+(-!)•(-!) 1 + 3 I 5 4 -4 + (-1)(-18) = 14., Теорема 6.2. Определитель квазитреугольной матрицы равен произведению определителей диагональных клеток. Теорема 6.3. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей.
52 Глава II. Определители ЗАДАЧИ 6.1. Сочетанием из п элементов по т называется неупорядоченная выборка т элементов из совокупности п заданных элементов. Число всех сочетаний из п элементов по т обозначается символами С™ или (^). Считая, что С® = 1 и 0! = 1, доказать соотношения: _ п(п-1)...(п-т + 1)в . _ п\ а) С» - т\ ' ] °п " т\(п-тI' в) °п — °?г > ГУ °п+1 ~ °п "Т" °п > е)С5-С1+СЙ-... + (-1)»(^ = 0; ж) (С°J + (С,}J + ... + (С^J = С&; А; ~\ пк _ \^ Ы г*к-1 з) ^т+п ~ 2^ ^т^п • 6.2. В квадратной матрице порядка п найти: а) число миноров порядка /с, расположенных в фиксированных к строках; б) число всех миноров, расположенных в фиксированных к строках; в) число всех миноров порядка к. 6.3. Пусть М - произвольный минор некоторой квадратной матрицы, М5 - дополнительный к М минор, (-1)*№М6- алгебраическое дополнение минора М (здесь з(М) - сумма номеров строк и столбцов матрицы, в которых расположен минор М). Показать, что алгебраическое дополнение к минору М6 равно (_1)*(М)М< 6.4. Минор, стоящий на пересечении к строк и к столбцов квадратной матрицы, имеющих одинаковые номера, называется главным минором порядка к. Найти число главных миноров порядка к в матрице порядка п. 6.5. Пусть Л Е Мпх?г. Доказать, что Аег(А-\1) = (-\)п + ^Г8к(-\)п-к, к=1 где зк - сумма всех главных миноров порядка к матрицы А.
§6. Миноры и алгебраические дополнения 53 6.6. Показать, что построенное в теореме Лапласа разложение определителя порядка п по любым к строкам (столбцам) совпадает с его разложением по остальным п — к строкам (соответственно столбцам). 6.7. Доказать, что если в некоторой матрице А Е Ктхп все миноры порядка к (к < тт(т, п)) равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка выше к. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители. 12 3 4 5 2 12 3 4 6.8.1,? 1А Л о 1.6.9. | 4 5 0 3 0 1.6.10.1 0 2 12 3 0 0 2 12 0 0 0 2 1 13 37 23 4 0 И 9 0 11 41 73 3 0 9 И 0 .6.9. 9 8 3 4 0 6 5 2 9 7 4 5 0 3 0 10 0 0 0 2 3 0 10 .6.10. 6.11. 1 0 0 2 2 0 0 3 3 0 6.14. 6.16. 6.18. 2 0 3 0 4 6.12. 2 3 0 0 3 3 8 0 0 0 12 4 4 4 4 0 0 11 3 4 5 3 7 8 4 2 6 7 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 4 2 9 7 4 0 2 10 1 4 3 0 1 6.15. 4 3 7 5 3 1 3 7 2 5 2 6.13. 12 3 4 5 0 6 0 4 1 2 4 13 5 13 5 2 4 0 5 0 3 2 2 4 6 3 1 7 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 0 0 4 5 0 0 2 6 7 3 5 3 4 1 6.17. 3 4 5 0 0 1 8 3 -1 0 7 0 0 1 0 3 -1 2 7 6 0 0 0 0 52 91 47 16 2 7 16 39 4 0 0 3 5 0 0 0 2 3 0 0 5 И 24 3 0 17 57 28 11 1 6.19. 13 24 3 4 71 7 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 27 8 0 0 83 61 4 5 57 8 0 0 7 23 17 3 7 31 51 43
54 Глава II. Определители 6.20. 1 1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 3 1 2 4 0 0 1 3 9 0 0 1 4 16 6.21. О 5 О 5 О 2 О 5 О 8 О 5 2 О 5 О 5 О 6.22. 6.24. 1 О О х\ Х2 соза эта ух у2 соз/3 зт/3 хх гч соз7 31П7 О а Ь с О! 1 О О &1 О 1 О сх О О 1 6.23. 0 а Ь с 1x00 1 0 у О 1 О О г . 6.25. 1 1 1 1 X п 0 0 X 0 Ь 0 X 0 0 с . 6.26. а Ь с Л Ь 0 0 с с 0 0 Ь А с. Ь а 6.27. Пусть А, В, С, В - миноры третьего порядка, получаемые из матрицы а\ Ь\ с\ <1\ 0,2 &2 02 б?2 аз Ьз сз с?з вычеркиванием соответственно первого, второго, третьего и четвертого столбцов. Доказать, что а\ Ъ\ с\ A\ О О а2 Ь2 с2 с?2 О О О О аз Ъз сз Аз О 0 аг Ьг О 0 а,2 &2 с2 с?2 О 0 а3 Ьз с3 Лз АО - ВС. Применяя теорему Лапласа, вычислить определители, предварительно преобразовав их. 7 8 7с 6.28. 6.30. 8 9 8 9 -7-8 7 8 -8-9 8 9 2 3 4 6 4 5 8 10 113 3 12 3 6 6.29. 6.31. | 2 6 6 8 1 3 1 3 4 5 1 1 4 1 1 9 3 2 7 5 6 3 7 7 -3 - -9 - -2 • -6 • 1 1 1 1 2 2 5 5 9 7 -9 12 -6 -8
§6. Миноры и алгебраические дополнения 55 6.32. 6.34. -; 5 -4 3 -7 5 2 3 -2 6 2 -5 4 -1 7 -3 -3 2 3 4 -1 -3 3 5 6 2 5 5 -4 7 7 4 6 -9 8 -1 -2 -4 2 -8 1 2 3 -5 4 -2 1 -3 -3 -1 5 . 6.33. . 6.35. 2 12 3 2 1 3-2 7 5-1 3 -1 -5 -3 -2 5-6 4 2-4 2-3 3 1 -2 1 8 10 3 1 4 7 9 4 16 1-2213 2 5-4-2 -6 -12 6 3 9 6.36. 6.37. 6.38. 0 11111 10 112 3 110 13 6 10 0 2 0 0 0 10 0 3 0 0 0 10 0 4 1 + х х ... х х 1 + х ... х 2 1111 1 2 1 1 1 1 1 3 3 1 х х 1 1 3 2 3 1 3 4 1 1 1 4 1 1 1 2 X X X .. 1 + 2 .. 1 + 2х 1 + 2 .. 1 + 2 2 2 2 1 + 2 1+2 2 1+22 2 ... 2 2 (порядок определителя равен 2п). 1+2 6.39. Справедливы ли тождества (Л, В Е Кпхп): а) с1е*;(Л + В) = йеЪА + с!е^ В\ б) <1е1(аА) = а с!е{; Л; в) с!еЪ(аЛ) = ап6е^А; г) <1е1;(А*) = (йе* Л)л, к Е N7 6.40. Доказать, что если матрица А ортогональна, то \Aе1А\ = 1. 6.41. Доказать, что определитель нильпотентной матрицы равен нулю. 6.42. Доказать, что для любой квадратной вещественной матрицы А имеет место неравенство АеЬ(ААт) > 0. 6.43. Как изменится определитель, если в его матрице выделить к строк (или столбцов) и из каждой из них вычесть все остальные выделенные строки? 6.44. Найти связь между определителем матрицы А порядка
56 Глава II Определители п и определителями блочных матриц порядка 2п следующего вида: а) А -А А А б) в) ЗА 2А АА ЗА А 2А ЗА 4Л 6.45. Квадратная матрица А порядка п разбита на блоки так, что получающаяся при этом блочная матрица состоит из р клеточных строк и р клеточных столбцов: А = (Ау), г^ = 1,р. При этом отличными от нуля оказались лишь блоки на побочной клеточной диагонали: А\Р) Л2,р-ь.. -,АР\, которые являются квадратными матрицами порядков к\, &2,. • Доказать, что йеЪА = (-1Mс1еЫ1р •д.еЬА2,р-г • • кр соответственно. Aе1А р1> где з V Г1{п-1)+2^кг{кг-\) г=1 /2- §7. Вычисление определителя Метод Гаусса. Метод Гаусса решения матричных задач основан на следующих положениях: • выделяется тип матрицы, для которой задача решается достаточно просто; • указывается тип преобразований, которые либо не изменяют решений задачи, либо изменяют их контролируемым образом; • произвольная матрица указанными преобразованиями приводится к выделенному типу, тем самым задача общего вида сводится к более простой. В применении к задаче вычисления определителя эта схема выглядит следующим образом: - определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов (пример 5.1); - элементарные преобразования матрицы либо не изменяют определителя (свойство 8), либо изменяют (свойства 3 и 5), но так, что эти изменения можно легко контролировать; - произвольная квадратная матрица элементарными преобразованиями приводится к треугольной форме (теорема 3.1). Метод Гаусса вычисления определителя состоит в приведении матрицы элементарными преобразованиями к треугольному виду, вычислении определителя получившейся треугольной матрицы и восстановлении исходного определителя, если привлекались элементарные преобразования первого и второго типов (§3). В методе Гаусса вычисления определителя можно использовать элементарные преобразования как строк, так и столбцов. Пример 7.1. Вычислить определитель матрицы О 2 2 1 п Л~ ' 2 0 1-2 -12 11
§7. Вычисление определителя 57 методом Гаусса. Решение. Приведем матрицу А к треугольному виду: \А\ г переставим л : <| местами 1-ю I = — I и 2-ю строки ] 1-10 1 0 2 2 1 0 2 1-3 0 112 1-10 1 0 2 2 1 2 0 1-2 -12 11 г переставим л ) местами 2-ю I I и 4-ю строки ] вычтем из 3-й строки 1-ю, умноженную на 2, а к 4-й строке прибавим 1- ю -1 0 1 1 1 2 2 1 -3 2 2 1 вычтем из 4-й строки 3-ю, а из 3-й - удвоенную 2-ю 1 -1 0 0 1 1 0 0-1 0 0 1 1-10 1 0 112 0 0-1-7 0 0 0-3 _ Г прибавим к 4-й 1 ~~ \ строке 3-ю / = 3. Метод рекуррентных соотношений. Метод применяется в тех случаях, когда удается получить соотношение, связывающее данный определитель Бп порядка п с определителями такого же вида, но более низких порядков Я„ = /(А1-1>Л.-2>...,/Эп-*), к<П' GЛ) Такое равенство называется рекуррентным соотношением. Простейший вариант метода используется для вычисления определителя Втг конкретного (и невысокого) порядка п и состоит в получении рекуррентного соотношения и последовательном вычислении всех определителей, входящих в это соотношение, при этом определители низших порядков вычисляются непосредственно, а определители более высокого порядка - через рекуррентное соотношение. Пример 7.2. Вычислить определитель #5 = Решение. Найдем рекуррентное соотношение для общего случая определителя данного вида (п + 1)-го порядка: 0 1 1 1 1 1 а\ 0 0 0 1 0 Й2 0 0 1 0 0 аз 0 1 0 0 0 <24 Аг+1 = 0 1 0 A2 1 0 0 разложим следнему ЧУ по по- столб- :ь = а„Б„ + (-1)' п+2 1 сн 0 1 0 а2 0 0 0 0 ап-х 0 разложим второй определитель по последней строке
58 Глава П. Определители апОп + (-1)п+'(-1)п+1а1а2 • •. ап-ь Таким образом, Аг+1 = СЬп Аг — а1й2 . п> 2. G.2) Вернемся к примеру. Согласно G.2) имеем Бъ = с^ГЦ — 0.10,20,3- Для вычисления Г>5 найдем последовательно определители Г>2, Г>з, ГЦ: Г>2 — —1, Из = й2Аг — а\ = —о\ — а2, 0\ = азГ>з — ахаг = — о\Оз — а2#з — 0\01* Отсюда Вь = -сцаза4 — агаза4 - (ца2а4 — аю2аз — —а\а20зо±{-^ 4- ~ 4- ~ 4- ~), если а» т^ 0» * = 1»4. Замечание. Нетрудно показать, что эта форма записи годится и в случае, когда среди а* есть равные нулю. В этом случае соответствующая величина а* в ответе отсутствует. ¦ Чтобы получить общее выражение для определителя произвольного порядка п, поступают следующим образом: а) вычислив несколько определителей низших порядков, устанавливают закономерность и находят предполагаемое искомое выражение; б) затем доказывают гипотетический ответ методом математической индукции. В обоих пунктах "а" и "б" существенно используется рекуррентное соотношение. Пример 7.3. Вычислить определитель йп+г такого же вида, что и в примере 7.2, но произвольного (п 4- 1)-го порядка. Решение. Как было найдено в примере 7.2, И2 — — 1, Из = —о\ — а2 = -а1а2(^- + —¦), ГЦ = -а1а2а3(~ + ^ 4- ^). Покажем, что Г>п+1 = -а1а2...ап-(^ + ^ + ...4-^). Пусть Г>п = -ага2 .. .ап_1(~- 4- ~ 4-... + ^77)• Тогда в силу G.2) Г>п+1 = -ОЮ2 • • • ап-гОп (~ 4- ~ 4-... 4- ^77) - оча2 ... ап-\ = = -а1а2...а„(^- + ^г + ... + ^:). По поводу случая, когда среди а* есть равные нулю, см. замечание в решении примера 7.2. ¦ Особенно удобен метод рекуррентных соотношений для вычисления определителей тпрехдиагоналъных матриц, т.е. матриц вида о\ С\ 0 0 0 0 &1 02 С2 0 0 0 0 ь2 аз 0 0 0 0 .. 0 .. Ьз .. 0 .. 0 .. 0 .. 0 0 0 ап-2 Сп-2 0 0 0 0 Ьп-2 ап-1 Сп-1 0 0 0 0 Ъп-1 ап Для определителей йп трехдиагональной матрицы имеет место простое рекуррентное соотношение Дг = апОп-1 — Ъп-1Сп-1 йп-2, П > 3, G.3) которое может быть получено разложением определителя по последнему столбцу (строке) с последующим разложением алгебраического дополнения к 6П_1 (сп-1) по последней строке (столбцу).
§7. Вычисление определителя 59 Пример 7.4. Вычислить определитель !>« = 2 1 0 0 1 2 1 0 0 ... 1 ... 2 ... 0 ... Решение. Согласно G.3) имеем 1)п = 2Дг-1 — Аг-2, п > 2. Найдем несколько определителей низших порядков: ^1 — 2, ^2 = 3,1)з = 2Л2 — #1 = 6 — 2 = 4. Естественно предположить, что Дг = п + 1. Это предположение легко доказать методом математической индукции (если И к = к Л-1, V/? < п, то Аг = 2^п_1 - Дг-2 = 2п - (п - 1) = п + 1). ¦ Не всегда удается по значениям А, ^2, А и т.д. установить закономерность и выяснить вид общего выражения для определителя произвольного порядка п. Однако, если рекуррентное соотношение имеет вид Аг = рАг-1 + <7Аг-2, П > 3, G.4) где рид- постоянные коэффициенты (не зависящие от п), то вычисление определителя Лп можно свести к вычислению общего члена одной или двух геометрических прогрессий. Перепишем G.4) в виде Яп - аДг-! = /3(Дг-1 ~ аЯп-2), Пп - (ЗОп-1 = а{йп-1 - /?Аг-2), G.5) где а -\- Р — р, аC = —д, т.е. а и /3 - корни уравнения х — рх — д = 0. Очевидно, формулы G.5) описывают геометрическую прогрессию. Пусть а ф E. Тогда по формуле п-го члена геометрической прогрессии из равенств G.5) находим Аг Аг аЛп-1 = /?п-2(Д>-аА), /ЗДг-1-а откуда (решая эту систему) получим Дг = сха71 + С20 (А "/ЗА), где а = А - /ЗА с2 = — А - а А G.6) G.7) а(а-0)> 0{<*-0)' Выражение G.6) легко запоминается. Оно выводилось для п > 2, но непосредственно проверяется для п = 1 и п = 2. Формулы G.7) же не удобны для запоминания, значения С1 и сг проще находить из системы уравнений, определенной начальными условиями: Г А = с\а + с20, \ О2 = С1а2+с202. Если а = /3, то два равенства G.5) сливаются в одно Оп - аЛп-1 = а(Дг-1 - аДг-г),
60 Глава II. Определители откуда по формуле п-го члена геометрической прогрессии получаем Бп = ап(пс1 +с2)? где константы С\ и с2 находятся из начальных условий Г Их = а(с! + с2), \ Я2 = а2Bс1+с2). G.8) Пример 7.5. Вычислить определитель Аг = 9 4 0 0 5 9 4 0 0 5 9 0 0 . 0 . 5 . 0 . . 0 . 0 . 0 . 9 Решение. Согласно G.3) рекуррентное соотношение для этого определителя таково Ип = 9Дг-1 - 2(Ш„_2, п > 3. По значениям Б\ = 9, 1J = 61, Г>з = 9Г>2 — 20Г>1 = 369 трудно уловить закономерность. Так как рекуррентное соотношение для Оп имеет вид G.4), применим описанный выше алгоритм. Найдем корни а, /3 уравнения х2 — 9х + 20 = 0: а = 4, C = 5. По формуле G.6) имеем Бп — с\ ¦ 4П + с2 • 5П, где Г 4с1 + 5с2 = 9, а е { 16с1+25с2 = 61, т.е. С1 =-4, с2 = 5. Таким образом, Дг = 5"+1 - 4"+1. ¦ Пример 7.6. Вычислить определитель А.= 2 -1 0 -1 2 -1 0 -1 2 0 . 0 . -1 . . 0 . 0 . 0 0 0 0 0 Решение. Согласно G.3) рекуррентное соотношение для этого определителя имеет вид Лг = 2Аг-1 - Аг-2, П > 3. Решая уравнение х2 — 2х + 1 = 0, находим а = 0 = 1. Следовательно, {л I л __ О 2с1 + с2 - з' т'е' с1 = с2 = 1. Таким образом, Вп — п + 1. ¦ Определитель Вандермонда. Определителем Вандермонда называется определитель У(Х1,Х2,- ¦ ) #71) ~2 #1 1 #2 #2 1 XI
§7. Вычисление определителя 61 Покажем, что он равен произведению всевозможных разностей вида (хг -жД г > у У(Х1,Х2,...,ХП) = ]^[ (Хг-Хз). G.9) п>г>]>1 Действительно, при п — 2 утверждение очевидно. Пусть оно верно для определителей (п — 1)-го порядка. Тогда, вычитая из каждого столбца, начиная с последнего, предыдущий столбец, умноженный на х\, получаем К(Ж1,Ж2,...,ЖЛ) : После разложения этого определителя по 1-й строке и вынесения из всех строк получившегося определителя общих множителей Х2 — хг, Хз — хг,. • •, Хп — х\, получим рекуррентное соотношение У(х1,х2,. ..,хп) = (х2 -хг)(хз -хг) ...(хп - Хг)У(х2,х3,... ,хп), откуда с учетом индуктивного предположения следует G.9). Полезно произведение G.9) "увидеть"в развернутом виде: 1 1 1 1 0 Х2 — #1 Хз —Х\ Хп Х\ х\ х\ х1 0 — Х\Х2 — Х\Хъ Х\ХП п-1 хз . . Хп 0 Х\Х^ -ХгХ™'2 У(Х1,Х2,...,ХП) = (Х2 ~ Х1)(ХЗ - Хг)(ХА - Хг) -{Хз -Х2){Х4 ~Х2) (хп-1 — х\){хп — х\)- (хп-г -х2){хп - х2)- '\Хтг Хп—г)- Число множителей в этом произведении равно п(п — 1)/2, поэтому К(х1,Х2,...,Хп) = (-1)П(П-1)/2 Ц (Х^-Хг). п>г>7>1 Метод выделения линейных множителей. Метод применяется для вычисления определителя, элементы которого зависят от параметра. Он основан на выполнении элементарных преобразований, формирующих в какой- либо строке (столбце) матрицы общий множитель вида Л — а (где Л - параметр), который выносится за знак определителя. При этом определитель "освобождается" от параметра и дальнейшее его вычисление упрощается. Метод особенно удобен для решения уравнений О(Х) = 0, где 1)(А) - определитель матрицы, зависящий от параметра Л. Линейный множитель Л — а сразу дает корень этого уравнения: А = а. Пример 7.7. Решить уравнение 5-Л 1 1 1 1 5-Л 1 1 -1 -1 -1 -1 3-А -1 -1 3-А 0. Решение. Вычитая из всех строк последнюю, получим 0. 4-А 0 0 1 а 4-А 0 1 0 0 4-А -1 А-4 А-4 А-4 3-А
62 Глава П. Определители Вынесем из первых трех строк общий множитель (А—4), тогда уравнение перепишется в виде (Л-4K 1 0 0 1 0 -1 0 1 0 0 -1 -1 1 1 1 3-А 0. После прибавления к 4тй строке 1-й и 2-й строк и разложения по первым двум столбцам получим уравнение (а-4K|:1 51А : 0, т.е. (А - 4L = 0. Таким образом, уравнение имеет единственный корень А = 4 кратности 4. ¦ Представление определителя в виде суммы или произведения определителей. Метод применяется в тех случаях, когда исходный определитель можно разложить в сумму или произведение определителей, каждый из которых легко вычисляется. Пример 7.8. Вычислить определитель Ип 1 + хгуг 1 + хху2 ... 1 + хгуп 1 + х2у1 1 + х2у2 ... 1 + х2уп 1 + Хпух 1 + хпу2 1 + ХпУп Решение. Воспользуемся линейностью определителя по 1-му столбцу (свойство 4) и представим определитель Оп в виде суммы двух определителей: Аг 1 1 + хху2 ... 1 + хгУп 11+ х2у2 ... 1 + х2уп 11+ Хпу2 ... 1 + ХпУп + х\У\ 1 + хху2 ... 1 + Х1уп х2ух 1 + х2у2 ... 1 + х2уп ХПУ\ 1 + Хпу2 ... 1 + ХпУгг + в первом определителе из всех столб- ^ цов, начиная со 2-го, вычтем 1-й столбец, а во втором определителе воспользуемся линейностью по 2-му столбцу и т.д. 1 хгу2 1 х2у2 1 Хпу2 + Х1У1 Х2у\ хпу\ 313/1 х2у\ ХПУ\ Х\У2 Х2У2 ХпУ2 1 1 1 Х\ Хч хг Х\уп Х2уг хпу, X 1 Уп Уп гУп = + х\у\ хху2 х2у\ х2у2 хпуг хпу2 х\уп Х2уп ХпУп + = 0, так как каждый определитель имеет пропорциональные столбцы (если п > 2) и поэтому равен нулю. Итак, ^1 = 1 +Х1У1; В2 = (х\ - х2)(у\ - у2); Лп = 0 при п > 3. I
§7. Вычисление определителя 63 Пример 7.9. Определитель Оп из примера 7.8 может быть представлен и как произведение двух определителей Г>п = XI 1 VI 0 0 1 У2 •• 0 .. 0 .. 1 Уп 0 0 что сразу дает ответ, полученный в предыдущем примере. ЗАДАЧИ Применяя метод Гаусса1, вычислить определители. 7.1. 7.4. 7.6. 7.8. 1 1 1 -2 1 1 1 1 2-512 -3 7-1 4 5-927 -4 6 -1 -2 3 -3 -2 -5 2 5 4 6 5 5 8 7 4 4 5 6 1 1 3 1 1 1 1 -4 . 7.2. 1 3 1 4 1 1 3 1 1 ?, 1 3 1 1 1 1 . 7.3. 7.10. 7.5. 7.7. 13 5 7 2 4 6 8 3 5 7 9 65 74 83 92 . 7.9. 3 -9 -3 -6 -5827 -4532 -7845 2-543 3-475 -4 9 -8 -5 -3 2-5 3 27 44 40 55 20 64 21 40 13 -20 -13 24 46 45 -55 84 0 13 5 10 13 3 10 1 5 3 10 3 8 6 7 7 6 15 12 12 14 5 12 13 11 И 6 14 9 И 13 4 10 7 8 9 7.11. 0 2 3 0 2 112 3 0 10 12 3 10 0 12 10 0 0 1 В ряде случаев целесообразно предварительно уменьшить абсолютную величину элементов матриц элементарными преобразованиями.
64 Глава II. Определители 7.12. 7.14. 11111 13 12 1 110 11 14 15 1 6 1117 24 11 13. 17 19 75 24 45 57 65 61 11 14 50 56 86 31 20 30 71 80 24 45 57 70 7.13. . 7.15. 1 2 0 0 0 1 1 3 1 7 1 1 3 2 0 0 1 2 1 5 1 11 1 4 3 2 0 1 1 5 1 11 1 1 5 4 3 2 1 3 1 7 1 13 1 6 5 4 3 1 1 7 1 13 1 1 5 1 11 1 17 7.16. 2000 2001 2002 2003 1999 2001 2000 1998 1999 1999 2002 1998 2002 2004 2003 2009 .7.17. 1111 1112 1113 1114 2111 2112 2113 3114 3111 3112 3113 4114 4111 4112 4113 6114 Вычислить определители2, приводя их матрицы к треугольному виду. 7.18. 7.19. 7.20. 7.22. 5 4 4 4 4 п 1 1 1 1 4 5 4 4 4 1 п 1 1 1 4 . 4 . 5 . 4 . 4 . 1 1 . п . 1 . 1 . .. 4 .. 4 .. 4 .. 5 .. 4 .. 1 .. 1 .. 1 .. п .. 1 4 4 4 4 5 1 1 1 1 п 7.21. 7.23. .. 1 .. 1 .. 1 .. 0 .. 1 1 1 1 1 0 1 -п -п 1 Всюду, где по виду определителя нельзя узнать его порядок, предполагается, что порядок равен п.
§7. Вычисление определителя 65 7.34. 3—4271 х а а х а а а а а а 1 -1 -1 - -1 - -1 - а а X а а 2 0 -2 -2 -2 • • • 3 3 0 -3 -3 а а а X а а а а а х 1 п п п 0 — 1 7.25. п + 1 п + 1 п + 1 х у 0 0 .. 0 х у 0 .. 0 0 х у .. 0 0 0 0.. 0 0 0 0.. у 0 0 0 .. 0 0 0 0 0 0 у 0 х у 0 х п + 1 .7.27. ао ах ао х ао о\ ао о\ 0,2 • • • < а2 ... < X . . . ( а2 ... Оп Оп Оп . 7.29. 1 п п п 2 п п п 3 п п п п п п п п п п-\ п 7.31. 1 1 ах 1 1 1 ах 02 0\ + Ъг о\ ах о2 02 02 + 62 02 1 ах а2 - Ь2 ап «п оп ... ап + Ьп 1 ах - «2 1 Ьх ах а2 оп - Ьп Х\ х\ Х\ Х\ 0\2 Х2 Х2 Х2 о\з • 023 • Хз • хз . • • 0\п • • а2п • • Озп • • хп 2 п п-1 2 1 1 1 Ъ\ а,\ а,\ Ь\ Ъъ 0,2 ^2 Н 2 2 2 2 1 О! 02 «п- 6„ 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 1 ах а2 7.33. 0 1 1 ... 1 1 1 0 х ... х х 1 ж 0 ... х х 1 х х ... О а; 1 х х ... х О 7.35. ао ах а2 . -х х 0 . 0 — х х . . ап . 0 . 0 0 0 0
66 Глава II. Определители 1 к -1 1-Й! 0 -1 ] 0 0 0 0 а а + К —а а 0 -о 0 0 0 0 0 0 . Ь2 0 . 1 — Ь2 Ьз • 0 0 . 0 0 . а + 2Н .. 0 о 0 0 0 0 0 0 0 0 • 1 - Ьп-1 Ьп . -1 1-Ъп . а + (п — 2)Н а + (п — 1 0 0 0 0 а —а 0 а -а! О О 0,1 -а2 О О 0-2 -а3 О О О О О О -ап 1 ап 1 ООО. 111. 7.41. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка п, элементы которой заданы условиями ац — тт(г,,?'). 7.42. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка п, элементы которой заданы условиями а^ = тах(г,.?'). 7.43. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка п, элементы которой заданы условиями ац — рг + ад + 8,
§7. Вычисление определителя 67 где р, <?, 5 - вещественные постоянные. 7.44. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка п, элементы которой заданы условиями ац — г2 + ]2. 7.45. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка п, элементы которой заданы условиями а^ — з§п(г — ]). 7.46. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка п, элементы которой заданы условиями ац = \г — ]\. 7.47. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка п, элементы которой заданы условиями ац = а'1--?', где а > 0, а ф 1. Вычислить следующие определители трехдиагональных матриц. 7.48. 7.54. 7.50. 0 -1 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 .. 1 .. 0 .. 0 .. 0 .. . 0 . 0 . 0 . 0 . -1 7.52. 5 2 0 2 5 2 0 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 8 0 0 -4 -3 -4 0 0 5 1-4 0 0 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 5 0 0 0 0 .. 1 .. 5 7.49. 7.51. 0 1 3 1 0 0 1 0 1 0 0 2 3 2 0 0 1 0 7.53. 0 0 0 0 0 0 7 6 0 2 7 6 0 2 7 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 9 4 12 7 6 2 7 .7.55. 0 9 0 4 12 0 0 0 0 О О О 0 0 ... 12 9 О 0 0 ... 4 12 Порядок определителя п > 3.
68 Глава II. Определители 7.56. 7.58.4 2 -1 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 .. -1 .. 2 .. 0 .. 0 .. . 0 . 0 . 0 . 2 . -1 0 0 0 -1 2 .7.57. 4 5 2 0 0 0 0 0 3 5 2 0 0 0 0 0 . 3 . 5 . 0 . 0 . 0 . 0 . . 0 . 0 . 0 . 5 . 2 . 0 . 0 0 0 0 3 5 2 0 0 0 0 0 3 6 1 0 0 0 0 0 5 2 -3800.. 3 19 0.. 0 16 9.. 0 0 16.. 0 0 0 0.. 0 0 0 0.. о о о о о о о о . 6 9 . 1 6 7.59. 2 4 0 0 0 0 12 4 0 0 0 0 12 4 0 0 0 0 12 4 0 0 0 0 12 4 0 0 0 0 12 7.60. а 1 0 0 0 0 1 а 1 0 0 0 0 1 а 1 0 0 0 0 1 а 1 0 0 0 0 1 о 1 0 0 0 0 1а . 7.61.5 7 4 0 0 -2350 0 2 7 5 0 0 2 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 5 0 0 2 7 5 0 0 2 7 2 0 0 4 3 7.62. 1 + х2 х 0 0 0 х 1+х2 х 0 0 х 0 1 + х2 х 0 0 о о о о о о о о 1 + хг х х 1 + х2 Порядок определителя п > 3. вПорядок определителя п > 4.
§7. Вычисление определителя 69 7.63. 3 2 0 0 13 2 0 0 13 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 2 0 0 2 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 5 3 0 0 2 5 3 0 0 2 5 > к строк > / строк 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7.64. Доказать, что п-й член ряда Фибоначчи равен определителю порядка п вида 1 1 0 ... 0 0 -1 1 1 ... 0 0 0 -1 1 ... 0 О О 0 0 ... 1 1 О 0 0 ... -1 1 Найти общую формулу для п-го члена. 7.65. Доказать равенство соза 1 0 0 ... О 1 2соза 1 0 ... О О 1 2 соза 1 ... О О О О О 0 0 0 ... 2соза 1 О 0 0 0 ... 1 2соза = соз па, определитель в левой части которого - порядка п. 7.66. Доказать равенство, не вычисляя самих определителей: ах Ьг 0 0 . С\ 0,2 Ь2 0 . 0 с2 а3 Ь3 ¦ 0 0 0 0. 0 0 0 0. ..0 0 ..0 0 ..0 0 = а\ Ь\С\ 1 а2 0 1 0 0 0 0 0 0 . &2С2 0 . аз 63сз . 0 0 . 0 0 . . 0 0 .. 0 0 . 0 0 • Яп_1 Ъп-\Сп-\ ¦ 1 ап
70 Глава II. Определители Применяя метод рекуррентных соотношений, вычислить оп- ределители. 7.67. 7.68. 7.69. ао + а-1 а\ а\ 0 0 0 1-&1 -1 0 0 0 X п-1 0 0 0 7.70. 0 1 1 а\ 1 0 1 0 7.72.6 \а 0 0 а ... 0 Ь \Ь 0 Й1 +«2 «2 0 0 ъ2 0 а2 а2 + аз 0 ... а„_2 0 ... а, 0 ... 0 \-ь2 ъ3 ... о -1 1- 0 1 0 -Ь3 ... 0 Э ... 1 - 6П_1 0 ... -1 1 0 0 ... 0 х 2 0 ... 0 п-2 х 3 ... 0 0 0 0 ... х 0 0 0 ... 1 1 ... 1 0 ... 0 а2 ... 0 0 ... ап ... 0 Ь ... Ь 0 ... о 0 ... 0 а . 7.71. 7.73. 1 0 0 1о1 0 1 1 а2 1 0 1 1 0 0 1 0 0 О! 0 0 а2 0 &2п-1 1 Ьгп 0 0 0 0 0 0 0 + ап-\ ап_х г-1 ап_1 + ап 0 1 0 0 Ьп 1-М 0 0 0 п-1 X 0 ... 0 1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 а3 ... 0 0 0 ... ап_1 0 0 ... 1 ап\ ... 0 Ьг ... Ъ2 0 • •¦ а2п-1 0 ... ( ) 02п Порядок определителя равен 2гг.
§7. Вычисление определителя 71 7.74. «о 1 7.75.1. 7.76. 7.77. 7.78. 7.79. 1 1 со аг а2 ап «0 «1 С с »2 Ьг-\ 1 -1 0 0 0 п -1 0 0 0 ах 0 0 0 1 1 2 ... ах 0 ... 0 а2 ... 0 0 ... Ъ\ Ь2 • • сх 0 .. 0 С2 .. 0 0.. -1 0 х -1 0 х 0 0 0 0 2 3 ... х 0 ... -1 х ... 0 0 ... 0 0 ... п — 1 п — х 0 -1 х 0 0 0 0 -о2 0 а2 -«з 0 а3 0 0 1 1 п 0 0 ап . 7.75. 1 . 0 . 0 • сг 1 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 ... X 0 -1 ... 0 х п — 1 п 1 0 0 | 0 X 0 о -1 х | 2 ... 2 ... 0 ... 0 X ... -1 ... 0 ... 0 ... 0 • • ¦ «п-1 ] 1 1 со а а а 1 0 0 0 X 0 0 0 —а + п «п 6 С1 0 0 ь . 0 . с2 . 0 . . ь . 0 . 0 • Сп
'2 Глава Я. Определители 7.80. ао -Уг 0 0 0 к кх кх2 Нхп-1 Нх11 а\ а,2 XI 0 -У1 Х2 0 0 0 0 -1 к Нх кхп~2 кх71'1 0 -1 к кхп~ Нхп- оп_1 ап 0 0 0 0 Хп-1 0 Уп %п 0 0 -1  кхп~4  кхп~3 ... 0 ... 0 ... 0 ... к ... кх 0 0 0 -1 к 7.81. Используя значение определителя Вандермонда, вычислить. 11 1 ... 1 12 22 ... Т 7.82. 113 З2 ... 3" 1 п + 1 (п + 1J ... (п + 1)п 7.83. оп (а - 1)п ,п-1 (а-1) п-1 (а - п)п (а-пO1 7.84. а а — 1 ... а — п 1 1 ... 1 (х + ах)" (х + ахO1-1 .. (х + а2)п (х + а2)п-г .. х + а\ х + а,2 7.85. (х + ап+1)п (х + ап+1)п х 1 1 х\ + 1 х2 + 1 ^2 + Х2 х2 + ^2 х + ап+х 1 1 хп + 1 *^п ' %п хп ' ^п .п-1 + Х п-2 ~п-1 + Х п-2 х: п-1 + ^п п-2
§7. Вычисление определителя 73 7.86. С08П Х ф1 С08П 2 ф1 С08П_1 ф2 СОЗп~2(р2 С08 ф1 1 С08(/?2 1 С08П Х </?п С08П 2 </?п 7.87. 1 1 81П фх 81П </?2 81П2 </?х 81П2 </?2 С08 ^?п 1 1 81П (рп 81П2 </?п 31ПП * (р\ 81ПП Х (/?2 • • • 31ПП 1 фп 7.88. Bп - 1)п Bп - 2)п Bп-1)п-1 Bп-2)п-х п пп Bп)п п~1 (гп)"-1 2п-1 1 2п-2 1 п 1 2п 1 7.89. 1 !\{х\) ЬЫ) ... 1п-гЫ) 1 /1(^2) /2(^2) .-. !п-\Ы) 1 Л(ЖП) /2(^п) ••• !п-\{хп) где Д(ж) = х^ + а^я* + ак2хк~2 + ... + а** XI Х2 Хп 7.90. XI — 1 Х2 — 1 Хх Х2 X г2 х2 Хп 1 Хп 7.91. Ж' 1 1 .п-1 2 23 п-1 3 з3 г?г—1 ьп П 3 П' 1 22п~1 32п-г ... п271 7.92. а, 01 „п-2 а? а^-% „п-2 ап+1 ап+1°гЦ-1 «п+1°?г+1 • °п+1
74 Глава II. Определители 7.93. 1 1 1 Хх Х2 %п х\ . х2 • X2 „п-2 .. хх • • х2 ~п-2 х1 х2 . 7.94. 1 1 1 г2 х1 ' т2 х2 ' X2 . хх • х2 7.95. 1 х\ 1 Х2 7.96. 1 Хп 1 XI 1 Х2 1 хп {х\ + Х3 + . . . + Хп) п-1 х\ п-2 п-1 ГГ2 (хх+Хз + .-. + Х^!^-1 п-2 „п-2 Х2Х3...Хп ХгХз...Хп X, п-2 Х\Х2 •• • Хп_1 7.97. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка п, элементы которой заданы условиями Применяя метод выделения линейных множителей, вычислить определители. 7.98. 12 3 .. 1 х + 1 3 .. 1 2 х + 1 .. п п п 1 .х + 1 .7.99. 1 1 1 1 2-х 1 1 1 3-х 1 1 7.100. 1 1 2 1 2-х2 2 2 3 1 3 3 5 7.102. 3 19-х2 —х а Ь с а —х с Ь Ь с —х а с Ь а —х 7.101. 1 + х 1 1 1 1-х 1 1 1 1 + 1 1 п — х 1 1 1 1 1-2 7.103. X аг ах а>1 ах X а>2 &2 а2 .. а2 .. х .. а3 •• Яп ап а>п X
§7. Вычисление определителя 75 7.104. 7.105. 7.106. х + а\ ах а>г аг х а\ а\ х а\ а2 а\ а2 а\ а2 а>2 аз х + а2 аз а2 а2 а2 ... а2 ... х ... а3 ... а3 ... 1 х х2 ац 1 X 0>21 «22 1 «п1 0"п2 0>пЪ х + а3 аз ап-1 ап-1 ап-1 х ап х3 .. х2 .. а; .. ап4 .. 1 1 1 1 1 хп хп~ хп~ 1 ап ап ап х + ап 1 •2 Применяя метод выделения линейных множителей, решить уравнение \А — Х1\ = 0 для следующих матриц А. 7.107. А = 7.109. А = 1-3 4' 4 4 4 -3 1-6 11-20 2 10-2 10 1-1 0-121 7.108. А . 7.110. А-- 7 -12 б 10 -19 10 12 -24 13 12-30 6 2 0 6 -3 0 2-3 0-231 7.111. А 5 1-1-1 15-1-1 11 3-1 11-1 3 7.112. А = 7.113. А-- 13 2-2 -1 -3 -2 2 2 6 4-4 -3 -9 -6 6 . 7.114. А-- 4 12 2 14 2 2 11-31 -1 -1 1 -3 4-222 13 1-1 113-1 -6 6 -6 -4
76 Глава II. Определители 7.115.7 А = 1. 1 1 . .11- . 1 ¦ . 1 . 1 . . 7.116. А = 1 1 2 2 п п 1 2 п Вычислить определители, раскладывая их в сумму определителей. 7.117. х\ а2 аз ... ап ах х2 а3 0"п «1 Й2 Жз ¦•• ап 7.119. а\ а2 а3 О 002 хз хг. .7.118. «1 — Ь\ а\— &2 Й2 — Ь\ 0,2 — »2 7.120. 7.121. 7.122. 1 Х2 хз 1 О ^3 1 О О аз ап -01 «п - 02 1 1 О О О О О О Хп—1 Хп—\ Хп—\ %п—1 Хп Хп 2 Хг] хт. а>п-1 О Хп 0"п (хг -аг) а\ а\ [х2 - а2J а\ х\ + а\Ь\ а\Ъ2 «2^1 х2 + а2Ь2 [Хп 0"п) а\Ъп апЪ\ О х х у 0 х У У О У У У а>пЪ2 Хп Н" апОп 7.123. а У У У X а У У х .. х .. а .. У ¦¦ < а\ - Ьп о>2 - Ьп а>п - Ъп Порядок матрицы равен п.
§7. Вычисление определителя 77 7.124. 0 1 1 1 1 1 ах У У У 1 X 02 У У 1 . X . X . а3 . У ¦ . 1 . X . X . X .. ап Вычислить определители, раскладывая их в произведение определителей. 7.125. СОз(а1-/?1) С05(с*1-/?2) •¦• С08(аХ -/Зп) соз(а2 — Рг) соз(а2~/32) ... со8(а2-/Зп) соз(ап - /Зх) соз(ап - /32) ... соз(ап - /Зп) 7.126. 8т2ах 8т(а1+а2) ... 81п(а1+ап) 81п(а2 + а\) 31П 2с*2 • • • 31п(а2 + <*п) 81п(ап + ах) 81п(ап + аг) 81п 2ап 7.127. 7.128. 1 - аЩ 1 - аЩ 1 — а\Ь\ 1 х2°1 1 - аЦЩ 1 - а^Р а\Ъ2 Щ 1 - а2&1 1 - 02^2 1-ой&? 1 ппип ап°2 1 - апЬх 1 - апЬ2 (ап + Ь0)п (ап + ЬхГ 1 - « 1 - а\Ьп 1 — а2&п 1 - апЪп (а0 + Ь0)п (оо + Ь1)п ... (а0 + Ь„)п @!+Ьо)п @1+61)" ... (ах+ЬпГ (ап + Ып 7.129. 50 51 52 51 52 53 52 53 54 • • 5п_1 5п •• 5п+1 5п—1 Зп 5п+1 52п-2 , где зк = х\ + ... + ж*.
78 Глава II. Определители 7.130. 50 51 52 5п-1 51 52 53 8п 52 • 53 • 54 • 5п+1 • • • 5П_1 5П • • 5п+1 • • 52п-2 I X X2 хп ,гдезк = х\ + ... + хКг> §8. Смешанные задачи 8.1.8 Доказать, что если квадратная матрица второго порядка нильпотентна, то ее индекс нильпотентности не превосходит двух. 8.2. Доказать, что нильпотентная матрица второго порядка имеет нулевой след. 8.3. Доказать, что все члены определителя порядка п > 3, не могут быть одновременно положительными. 8.4. Доказать, что: а) элементарное преобразование блочной матрицы9 первого типа может изменить только знак определителя; б) в результате элементарного преобразования блочной матрицы второго типа, т.е. умножения всех клеток какой-либо строки слева или всех клеток какого-либо столбца справа на квадратную матрицу I), ее определитель умножается на с1е{;1); в) элементарное преобразование блочной матрицы третьего типа не меняет ее определитель. 8.5. Известно, что определитель матрицы А порядка п равен A. Найти определители следующих блочных матриц: а) А -I А2 А б) А А3 А2 А4 0. 8.6. Доказать, что если матрица А ортогональная, то / Ат А I 8.7. Доказать, что если А,В,С - квадратные матрицы одного порядка, то: а) I В А I = 6.еЬA - АВ); б) I В А I = 6.еЬA - В А); См. также задачи 2.35, 16.56. См. задачу 3.23.
§8. Смешанные задачи 79 в) А В С I <1еЬ(А - ВС); г) АВ В А I = <1еф4,Б]. 8.8.10 Выяснить, для любых ли квадратных матриц А, В, С, В одного порядка справедливо равенство А В С В = аеЪ(АО - ВС). 8.9. Пусть А и В - квадратные матрицы порядков тип соответственно. Доказать, что определитель их кронекерова произведения вычисляется по формуле АеЬ(А ® В) = Dе* Л)п • Dе* В)т. 8.10. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы А четного порядка не изменится, если ко всем ее элементам прибавить одно и то же число. 8.11. Матрица В получена из стохастической матрицы А порядка п вычитанием из каждого элемента числа 1. Доказать, что АеЬВ = A-п)с1е1;А 8.12. Пусть 5& - к-я строчная сумма квадратной матрицы А = (а^) порядка п. Доказать, что 51 -ап «2 - «21 $1 - ап 52 - а22 5Х - а\п 52 ~ «2п 5п 0>г, = (-1)п-х{п-1)<1еЬА. 8п 0,п\ 8п 0,п2 8.13. Доказать, что для любой матрицы А = (ау) Е Мпхп: ахп XI = г Ае1 Л - ^ ХхУ$Ац, ап ЛП1 У1 Х-п Уп 1,^ = 1 где Ау - алгебраическое дополнение элемента а^ в матрице А. 8.14. Доказать, что для любой матрицы А = (а^) Е Епхп: ап + х а\2 + х ... а1П + х а21 + х а22 + х ... а2п + х аП1 + х ап2 + х + х = с1е1 Л + х ^ Ау, См. также задачи 9.81 и 9.82.
80 Глава II. Определители где Ац - алгебраическое дополнение элемента а^ в матрице А. 8.15. Пусть /(<) = [с\ — <)(с2 — <)... (сп — *). Доказать, что о/(Ь) ~ Ь/(а) а — Ь 8.16. Доказать, что для любой матрицы А = (ау) € Кпхп: ац ах2 ... «1п I а21 а22 ••• «2п #1«п1 #2«п2 •• • Хпапп I Ь=1 8.17. Доказать, что сумма алгебраических дополнений всех элементов матрицы А = (а^) Е Кпхп равна определителю II 1 ... 1 I «21 - «п а22 - «12 ... а2п - «1?г «31 - «11 «32 - «12 • • • «Зп — «1п . I «п1 - «11 «п2 - «12 • • • 0>пп — «1п I 8.18. Доказать, что сумма алгебраических дополнений всех элементов матрицы не изменится, если ко всем ее элементам прибавить одно и то же число. 8.18.1. Доказать, что любой определитель равен полусумме двух определителей, один из которых получен из данного прибавлением ко всем элементам его матрицы числа /г, а другой - аналогичным вычитанием числа Н. 8.19. Доказать, что если все элементы одной строки (столбца) матрицы равны единице, то сумма алгебраических дополнений всех элементов этой матрицы равна ее определителю. с\ а а ... а Ь с2 а ... а Ь Ь сз ... а Ь Ь Ь ... Сп х\а\\ #2«12 ... хпа\п а2х а22 ¦•• «2п «п1 «п2 • • • «тш
§8. Смешанные задачи 81 8.20. Доказать, что а\С\ а<1&\ СЦС2 Й2^2 азсх а4б?1 азС2 а^2 Ъ\Съ &2^3 ^1С4 &2^4 ЬзСз Ь^З ^3^4 &4^4 8.21. Пусть А и В зать, что ах а>2 аз а4 Ьх Ь2 Ь3 &4 сх с2 сз с4 С?х С?2 с?з сЦ квадратные матрицы порядка п. Дока- |В*|, \А\-\В\ = ^\Лк\ где Ад. и Б/с получены из А и Б обменом столбцов с номерами 1 и к соответственно (т.е. первый столбец матрицы А и &-й столбец матрицы Б меняются местами). 8.22. Пусть А и Б - матрицы размера п х т и т х п соответственно. Доказать, что: а) при п > т определитель произведения АВ равен нулю; б) при п <т выполнено равенство (формула Бине-Коши) 1<к1<...<кп<т где А/^.../^ - минор п-го порядка, расположенный в столбцах матрицы А с номерами к\,. -^к1...кп _ минор п-го порядка, расположенный в строках матрицы В с номерами к\,..., кп. 8.23. Доказать, что сумма главных миноров /с-го порядка матрицы АТА равна сумме квадратов всех миноров к-го порядка матрицы А. 8.24. Континуангпой называется определитель {а\а2 ¦ •От) = 01 -1 0 0 0 1 02 -1 0 0 0 . 1 . аз . 0 . 0 . . 0 . 0 . 0 • О-п-Х . -1 0 0 0 1 а„ а) Записать (аха2 ... ап) в виде многочлена от ах,..., ап. б) Написать разложение континуанты по первым к строкам.
82 Глава II. Определители в) Установить следующую связь континуанты с непрерывными дробями: (а1а2...ап) (а2аз ... ап) ах + а2 + а3 + +- ап-1 Н 8.25. Определитель квадратной матрицы А, элементы которой заданы условиями ац = (хг + ад)-1, называется определителем Коти. Доказать, что аеЪ А = ]^[ (хг - ж,-)(у* - ад) 8.26. Вычислить определитель 1 1 2 _1 п 2 1 3 1 1 3 1 4 1 П (х* + Уз)' 1 п 1 п + 1 1 п+1 п+2 8.27. Вычислить определитель 2гг-1 о -6 —с -й Ь а -а с с й а -Ь а —с ь а 8.28. Перемножая матрицы определителей Х\ 22 Хз 24 22 -21 -24 23 23 24 —21 —22 24 -23 22 -21 У\ У2 УЗ У4 У2 ~У\ -УА УЗ УЗ УА ~У\ ~Уг УА ~УЗ У2 ~У\ доказать тождество Эйлера:
§8. Смешанные задачи 83 (х\ + х\ + х\ + х\)(у\ + у1 + у1 + у1) = = {Х\У\ + Х2У2 + ХЗУЗ + Х4У4J + (жц/2 ~ Х2У\ ~ Х3у4 + Х4УзJ + + (Х1УЗ + Х2У4 - Х3уг - Х4у2J + (Х1У4 ~ Х2уА + ХЪу2 ~ ХАУ\J'. 8.29. Вычислить определитель квадратной матрицы А порядка п > 2, элементы которой заданы условиями ац — /г(#?), где х$ € К - произвольные числа, а /$(<) - произвольные многочлены степени не выше п — 2. 8.30. Пусть /(<) = сцЬ71 + С1^п_1 + ... + сп - многочлен п-й степени и элементы квадратной матрицы А порядка п + 1 вычисляются по формулам ац — /(<) при * = я + Н{г + ^ — 2), где х и /г фиксированы. Доказать, что бег А = (-/г2)п(п+1)/2(п!с0)п+1. Комбинируя различные методы, вычислить определители. 8.31. 0 Ьг Ьг 0.2 0 ь2 а3 . а3 . 0 . • • ап • • ап • • ап &2 &3 О 8.32. 1 X X 2 1 а; 3 . 2 . 1 . тг . п-1 . п-2 XXX 8.33. 8.34. 1 Х1(Х1-1) Х?(х1-1) ... 4_1(Х1-1) 1 ж2(х2-1) х|(х2-1) ... Х2_1(^2-1) 1 хп[хп 1) хп[хп 1) ... хп [хп — 1) 1 + хг \+х\ ... 1 + х7} 1 + х2 1 + х\ ... 1 + х% 1+хп 1 + х2 1 + *Я 8.35. 8.36. 1 + аг + Ьг а\ + Ъ2 а2 + Ъ\ 1 + а2 + Ъ2 а\ + Ьп а2 + Ьп ап + Ьх ап + Ь2 1 + ап + Ьп х\у\ 1 + хху2 1 + х2ух х2у2 1 +^1Уп 1 + х2уп 1 + хпух 1 + х?гу2 ХпУп
84 Глава II. Определители 8.38.1 а\ — Ь\ + х а\ — &2 а2 - Ь\ ап - Ь\ аР -х аР+п_ аР+п(п-1) а,\ - ао а2 - ао ап — ао 1-Х а а2 ( а2 -62 + ап ~ Ь2 а: - х а\- а\- а1- а — х а2 а3 2П_1 ап х + а\ X X ж ж 1 <Я 1 с,и 1 ^п-2 1 С] 1 С? ао а\ 1 1 1 С\ ] ] - с! Г*п—\ X + а2 X X с1 с\- <%- с\ 0 02 1 с\ с\ /-1П — 1 X ... аР+1 - х аР+п+\ _ х ар+п(п- а2, .. «о •• «о •• а2 а3 4 аг — х ап+1 х х х+ а3 X с1 1 Сп- 2 Сп- 0 0 аз ... ¦1) + 1 - . ах • а2 ап - ... а ... 1 2 1 Г1 Сп+1 ^огП—1 °2п-2 Л1 - а2- ьг Ьг ап - Ьп Н х ... а0 ао а0 а71 ап ап+ 2п-2 1 1 - х ар+п- ар+2п ар+п2 -1 — х X X X X + С 1п г<п—2 °71 пп-2 °п-1 •~»га-2 °п-2 0 0 ап-2 лп-1 пп-1 °п-1 0 0 0 ап-1 -1-х ~1-х ~х-х 0 0 0 0 «п 1
§8. Смешанные задачи 85 8.43. 8.44. 8.45. 8.46. 8.47. 8.48. Г1 Г2 °т+1 1 Г2 °т+п-1 1 1 С\ Г1П о о о с\ 1 Сз Оз С3 /пг1 ^2 г<3 °?г °п °п ^71 °т+п+2 с* °п+1 с,1 п+2 ^т+2гН-1 с* •• °п+1 * * Сп+2 • • Г1 °2п °т+1 ^271 ^771+1 Г1 Г2 Г1 лп °т+2п-1 О о о с: 71—1 °т+27г °т+271+1 ^т+Зтг СП п °тг+1 /^71 71+2 СП 2тг °771 СП т+1 О с! о о г1 с1 о о о /"ТО ^771+71 1 х гт—1 ~г< Оп X 8.49. Доказать, что определитель квадратной матрицы А порядка п с элементами а^ = С/т> где п < т, вычисляется по формуле аеЫ = тп(п+1)/2. 8.50. Определителем Вронского или вронскианом системы п— 1 раз дифференцируемых функций }\(х), /г(х),..., /п(#) на-
86 Глава II. Определители зывается определитель ИЧ/ь/2,...,/п) Мх) Л(х) /?(х) ... /{""«(х) /2(Х) #(х) $(*) ••• /2(П_1)(^) /п(*) #(х) №) ••• /МСХ) Вычислить вронскианы следующих систем функций: а) У/(еа1Х, еа2Х,..., еапХ), где ах,..., ап е К произвольны; б) У/(хах, ха2,..., хап), где числа ах,..., ап € К таковы, что ни одно из них не совпадает с числами 0,1,...,п — 2. 8.51. Доказать, что для любой числовой матрицы А = (а^) Е ьпхп выполнено соотношение п п п (II П II \ г=1 г=1 г=1 ' 8.52. Доказать, что для любой п — 1 раз дифференцируемой функции (р(х) имеют место равенства: а)Щ^,^,.,^) = ^(/ь/2г..,/л); б) ИЧДИХ)), /2(Ф)), • • • , /п(^(х))) = = (^И)п(п-1)/2 ИЧЛ(у). Л(У), • • •, Ш)\у^(ху 8.53. Доказать, что имеют место равенства: а)Щ1,/2,/3)...,/п) = Щ/2,Л,...,/4); б) ЦТ в) 1 4 Щ/Ь...,/п-2,/п) И^(/ь...,/п-2)^(/ь...,/п) = т^(Л'/2,...,/п); /1 ЙЖ ТУ (Л,..-, /п-2,/п-1) 8.54. Доказать, что (Щ/1,...,/п_1)J ^Щ/ь/2,...,/п) = Л(х) /{(х) ... Д(п-2)(х) /<п>(х) Л(х) Г2(х) ... /?~2)(х) /<п)(х) /»(Х) /А(Х) ... /^(х) /<П>(Х)
§9. Обратная матрица 87 §9. Обратная матрица Матрица А~1 называется обратной к матрице А, если АА'1 =А~1А = 1. Матрица Д для которой существует обратная матрица, называется обратимой. Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если |А| = 0, и невырожденной (неособенной), если |А| ф 0. Пусть А = (ац) € КпХп. Матрица Г Ац А2\ ... АП1 А\2 А22 • • • Ап2 А1п А2 (9.1) составленная из алгебраических дополнений А^ к элементам а^ матрицы А, называется присоединенной (взаимной) к матрице А. Теорема 9.1 (о фальшивом разложении определителя). Сумма произведений элементов одной строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения к элементам другой ее строки (соответственно столбца) равна нулю. Из этой теоремы и теоремы Лапласа следует, что АА = АА = \А\-1. (9.2) Теорема 9.2 (критерий обратимости). Матрица обратима тогда и только тогда, когда она не вырождена, при этом А'1 = ±А. (9.3) Теорема 9.3 (о единственности обратной матрицы). Если А - квадратная матрица и АВ = I (или В А — I), то В — А~1. Пример 9.1. Найти обратную для невырожденной матрицы Л-[° п . Решение. Из (9.3) следует, что А~1 — — — _^ ^ • ¦ ад — р7 •- ' а -1 Пример 9.2. Найти обратные матрицы для матриц элементарных преобразований Рг7, йг, Ьгз> Решение. Заметим, что матрицы Р^, Лг, Ь^ невырождены: \Р^\ = — 1, \Иг\ = ос ф 0, \Ьц\ = 1. Использование формулы (9.3) для матриц уже третьего порядка утомительно, так как требует большого объема вычислений, поэтому поступим следующим образом. Пусть А - одна из матриц элементарных преобразований. Тогда требуется найти матрицу В такую, что АВ = I (из теоремы 9.3 следует, что В = А~г). Переведем эту задачу на язык элементарных преобразований. Имеем I = 1(АВ) = AА)В. Матрица 1А получена из единичной матрицы / элементарным преобразованием столбцов, следовательно, матрица В должна "восстановить" матрицу 7. Т.е.,
Глава П. Определители если А = Рц, то матрица В должна еще раз "переставить" г-й и у-и столбцы и, тем самым, РГ^ = Рц\ (9-4) если А — 1/г7, то матрица В должна из г-го столбца 1А "вычесть" уъ столбец, умноженный на C и, тем самым, 4 = . 1.0. . -> : 1 . . 1 (9.5) 1 1 г 3 если А — А, то матрица В должна "разделить" г-й столбец 1А на а и 1 Д"х = 1 . . 1/а . . . 1 (9.6) Некоторые свойства обратной матрицы. 2.\А'1\ = 1/\А\. 3. (А-1)'1 =А. 4. (Ат) = (А)т. Теорема 9.4. Произвольная невырожденная матрица элементарными преобразованиями только строк (только столбцов) может быть приведена к единичной матрице. Пример 9.3. Пользуясь элементарными преобразованиями строк, привести к единичной матрице следующую матрицу Г 1 2 1 А= 1 1 4 [236 Решение. Приведем сначала матрицу А к треугольному виду, а затем аннулируем все элементы над главной диагональю: вычтем из 2-й строки 1-ю строку, а из 3-й строки удвоенную 1-ю строку 1 0 0 2 1 -1 3 -1 4 Г вычтем из 3-й 1 \ строки 2-ю / 1 0 0 2 -1 0 1 3 1 вычтем из 1-й строки 3-ю строку, а из 2-й строки утроенную 3-ю строку 1 0 0 2 -1 0 0 0 1
§9. Обратная матрица 89 прибавим к 1-й строке удвоеную 2-ю строку и умножим 2-ю строку на — 1 ->/. Для получения обратной матрицы достаточно к строкам единичной матрицы I применить те преобразования, которые приводят матрицу А к единичной матрице. Для этого удобно составить расширенную матрицу [А\1] и над строками этой матрицы выполнить те преобразования, которые матрицу А приводят к единичной; тогда на месте матрицы I окажется обратная матрица А~1. Итак, А I преобразования строк Аналогично в столбцовом варианте преобразования столбцов / А'1 / А'1 (9.7) (9.8) Этот метод вычисления обратной матрицы называется методом Жор- дана или методом Гаусса-Жордана. Если в расширенных матрицах (9.7) и (9.8) на место единичной матрицы / поставить матрицу В, то вместо матрицы А~1 получим в первом случае матрицу А'1 В, а во втором - В А: преобразования А В А В строк преобразования столбцов / А~1В I ВА~1 Пример 9.4. Применяя метод Гаусса-Жордана, найти обратную матрицу к матрице, заданной в примере 9.3. Решение. Применим все преобразования, выполненные в решении примера 9.3, к расширенной матрице [А\1]: Г1 2 1 1 1 4 2 3 6 1 0 01 0 1 0 0 0 1 _* 1 2 1 0-13 0-14 1 0 01 1 1 0 2 0 1 _> 2 1 -1 3 0 1 1 0 0 -1 1 0 -1 -1 1 1 2 0 0-10 0 0 1 Таким образом, 2 2 -1 1 4 -1 -1 1 -3 1 _» Г 1 0 0 0 1 0 0 0 1 А~х = 6 9-7 -2 -4 3 -1 -1 1 6 9-7 -2 -4 3 -1 -1 1
90 Глава П. Определители Пример 9.5. Найти матрицу X, удовлетворяющую равенству АХ = В, 1 0 1 1 1 -2 -2 1 -1 4 , в = Г 0 1 1 0 1 1 1 1 0 А = Решение. Так как матрицы А и В квадратные, то X = А 1В. Преобразуем расширенную матрицу: 1 -2 1 -1 -2 4 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Г прибавим к 3- 1 \ й строке 1-ю / 1 0 0 1 1 -1 -2 -1 2 0 1 11 1 О" 1 1 2 1 {прибавим к "| 3-й строке \ 2-ю ) прибавим -й строке 2-ю 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 -2 0 1 -1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 2 2 2 прибавим ко 2-й строке 3-ю, а к 1-й строке удвоенную 3-ю строку 4 5 5 3 2 3 2 2 2 Г вычтем из 1-й \ строки 2-ю Г1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 21 3 2 3 2 2 2 Таким образом, Х = 1 3 2 3 2 3 2 2 2 Пример 9.6. Найти матрицу X, удовлетворяющую равенству ХА = В для матриц Л и Б, заданных в примере 9.5. Решение. Так как матрицы А и В квадратные, то X = В А. Преобразуем расширенную матрицу: Г 1 1-2 1 0 1 -1 -1 -2 4 0 1 1 1 0 1 1 1 0 прибавим к 1 3-му столбцу ? —> 2-й ) ' Таким образол *, вычтем из 2-го столбца 1-й, а к 3-му прибавим удвоенный 1-й столбец 1 О О О 1 -1 -1 -1 2 0 1 1 1 -1 3 1 0 2 1 О О О 1 О -1 -1 1 0 1 2 1 -1 2 1 0 2 прибавим к 1-му и 2-му столбцам 3-й Г 1 0 0 2 3 3 0 1 0 3 1 2 01 0 1 2 2 2 X 2 3 2 3 1 2 3 2 2 ЗАДАЧИ 9.1. Привести пример необратимых матриц А и 5, для которых АВ = /.
§9. Обратная матрица 91 Пользуясь присоединенной матрицей, найти обратные для следующих матриц. 9.2. 9.5. - " 7 -5" -8 6 .9.3. Г 3 6 2 ' -2 3 1 [12 1 Г 4 0 3 " 0 10 |_ 5 0 4 соза зта . 9.6. . 9.8. — эта соза . 9.4. 1 " 1 1-1 1 -1 1 -1 1 1 -4 3 " 2 -9 1 1 -5 -4 _ а Ь -Ь' а ,а2 + Ь2^0. 0 11- -11 -10 11 -1-1 0 1 1-1-1 0 ' 1110" -12 10 2 5 2 0 0 0 0 2 . 9.10. . 9.12. " 1 1 0 -1 0 0 0 0 '0001' 0 0 10 0 10 2 1 0 2 0 -2 0 1 0 0 2 -1 -1 9.7. 9.9. 9.11. 9.13. Доказать, что АА = АА = \А\ • /. 9.14. Доказать, что для любых квадратных матриц А и В порядка п и любого а Е К справедливы соотношения: а) ^А^ап-1А] б)^ = АТ] в) АВ = В А; г) Ах = |Л|П-2Л, если Аг = А. 9.15. Привести пример квадратной матрицы порядка п, присоединенная к которой имеет лишь один ненулевой элемент, расположенный в заданной позиции (г,^). 9.16. Найти все матрицы А с неотрицательными элементами, для каждой из которых все элементы обратной матрицы Л-1 также неотрицательны. 9.17. Пусть А и В - невырожденные матрицы одного порядка. Доказать, что матрицы А и В перестановочны тогда и только тогда, когда перестановочны матрицы в любой из следующих пар: а) Л и В; б) А'1 и Б; в) А'1 и В'1; г) Л и В. 9.18. Как изменится обратная матрица Л-1, если в исходной матрице А:
92 Глава II. Определители а) переставить г-ю и ^-ю строки; б) г-ю строку умножить на число а, не равное нулю; в) к г-й строке прибавить ^'-ю, умноженную на число /3, или сделать аналогичные элементарные преобразования столбцов? 9.19. Доказать, что обратная матрица для верхней (нижней) треугольной невырожденной матрицы будет треугольной матрицей такого же вида. 9.20. Доказать, что если В — (Ьц) - обратная матрица для верхней (нижней) треугольной невырожденной матрицы А = (а^) порядка п, то элементы главной диагонали матрицы В определяются равенствами Ъц = 1/ац, г = 1, п, а остальные элементы находятся из следующих рекуррентных соотношений: а) для элементов г-й строки верхней треугольной матрицы з-1 Ьу = -а ^ Ъгьац, з = г + 1, п; /с=г б) для элементов ^'-го столбца нижней треугольной матрицы г-1 ЬУ = -°>й1 ^2 агкЬкз1 I = 3 + 1, П. к=з 9.21. Угловым минором А^ порядка к квадратной матрицы А Е ЕпХтг называется ее главный минор, расположенный в строках и столбцах с номерами 1,2,..., к. 1) Доказать, что если в квадратной матрице А угловые миноры Дх, Дг,..., Дп-1 отличны от нуля, то А может быть разложена в произведение двух треугольных матриц - левой треугольной Ь и правой треугольной Я: А = ЬЯ. Это представление матрицы А называется ее треугольным разложением или ЬЯ-разложением. 2) Выяснить, единственно ли треугольное разложение. 3) Привести пример квадратной матрицы, не имеющей треугольного разложения. 4) Доказать, что условие отличия от нуля всех угловых миноров Дх, Дг,..., Дп-1 "необходимо для существования треугольного разложения невырожденной матрицы А. 9.22. Построить треугольное разложение следующих матриц:
§9. Обратная матрица 93 а) ;б) 1 2 3 2 3 4 3 " 4 6 ;в) ' 1 1 2 -4 -5 -3 3 2 1 ;г) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 3 9.23. Доказать, что квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований только строк (только столбцов) можно привести к единичной матрице тогда и только тогда, когда она невырождена. 9.24. Доказать, что всякую невырожденную матрицу можно разложить в произведение матриц элементарных преобразований. 9.25. Разложить указанные матрицы в произведение матриц элементарных преобразований: а) б) 2 1 О в) Применяя метод Гаусса-Жордана, найти обратные для следующих матриц. 9.26. 9.29. 9.31. 9.33. 5 -6 2 -4 3 О 9.27. О О О О 0 1 1 О О -1 -1 О О О О О 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 9.30. 9.32. 1 О О О 9.28. -3 1 О О О О О О О 1 -1 2 1 2 2 2 1 -2 2 -2 1 2 О -3 2 1 -3 О 1 О 1 -1 2 -2 3 -3 4 0 10 1 10 10 0 10 0 10 0 0 9.34. 0 -1 -1 -1 1 0 -1 -1 1 1 1 1 0 1 -1 0
94 Глава II. Определители Найти обратные для следующих матриц11. ах 0 ... О О а2 О , щ ф О, г = 1,п. щ ф О, г = 1, п. 1 1 О ... О О О 1 1 ... О О О О 1 ... О О О О О ... 1 1 О О О ... О 1 А 1 О О А 1 О О А ООО. 0 0 0. 1 2 3 О 1 2 0 0 0 0 0 0 111.. 0 11.. 0 0 1.. 0 0 0 0 0 0 9.38. 1-1 0 . О 1 -1 . 0 0 1. .. О .. О .. О 0 0 0.. 0 0 0., О О О О О О А 1 О А , А^О. 9.40. 1 О О о 1 О О а 1 0 0 0 0 0 0 п — 1 п п — 2 п — 1 1 О 1 1 1 1 1 1 1 1 О 1 2 1 9.43. 1 О 1 1 1 1 О 1 1 1 О 1 1 1 О О О -1 1 О О О О О О 1 О о 1 11 Всюду, где по виду матрицы нельзя узнать ее порядок, предполагается, что порядок равен п.
§9. Обратная матрица 95 9.44. 0 п-1 п-2 3 2 1 п-1 0 0 0 1 0 п-2 . 0 0 1 0 0 . 3 . 0 . 1 . 0 . 0 . 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 9.45. Найти обратную к матрице определителя из задачи 5.59а. 9.46. Доказать, что для невырожденной матрицы А = О О О о о а>2,п-1 а>2п О «п-1,2 I. а-пх о,П2 О'п—1,п—1 <^п—1,п ап,п—1 апп обратная матрица В = А имеет вид В = Ьц &12 • • • Ь\}П-1 Ь\п &21 Ь22 ... &2,п-1 О Ъп-1,1 ^п-1,2 Ъп\ О О О О о 9.47. Вычислить произведения А 'Ви В А х, если А = О 1 3 2 3 5 3 5 7 В = 1 2 3 2 3 4 3 4 5 Решить матричные уравнения. 9.48. 9.49. X 2 5 -2 3 -3 2 0 1 -2 5 _ X = 1 5 1 -2 1 1 -5 10 0 1 0 1 1 0 10 = Г 2 0 1 -1 6 0 1 1 -3 3
96 Глава II. Определители 9.50. X 9.51. 9.52. 2 2 -1 1 3 2 4 2 - 1 1 -1 2 2 2 _ 2 -1 1 1 2 2 2 _ X Х = Г 2 1 3 1 -5 -2 5 5 . 5 8 Г 1 0 2 2 . ° 1 -1 1 0 2 -12 9.53. 9.54. 111. 0 11. 0 0 1. 0 0 0. 0 0 0. 111. 0 11. 0 0 1. 0 0 0. 0 0 0. .. 1 .. 1 .. 1 .. 1 .. 0 .. 1 .. 1 .. 1 .. 1 .. 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 х = 1 а а 0 1 а О О 1 -4 -9 -6 14 а а а а а а X 0 0 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 0 . 1 1 . .. 1 а .. 0 1 . 0 0 . 0 0 . 0 0 1 1 1 1 1 1 1 О 1 1 9.55. Доказать, что любую невырожденную матрицу можно сделать вырожденной, изменив в ней ровно один элемент. 9.56. Доказать, что матрица, обратная к симметрической невырожденной матрице, также является симметрической. 9.57. Доказать, что матрица, обратная к кососимметриче- ской невырожденной матрице, также является кососимметриче- ской. 9.58. Доказать, что матрица, обратная к ортогональной матрице, также является ортогональной. 9.59. Доказать, что матрица, обратная к матрице перестановок, сама является некоторой матрицей перестановок. 9.60. Доказать, что матрица, обратная к периодической матрице А, также является периодической матрицей, причем ее период совпадает с периодом А. 9.61.12 Найти все периодические матрицы второго порядка, 12См. также задачи 2.41, 16.57.
§9. Обратная матрица 97 у которых: а) период равен трем; б) период равен четырем. 9.62. Пусть невырожденная матрица А обладает тем свойством, что все ее строчные суммы13 одинаковы и равны числу г. Доказать, что г ^Ои обратная матрица Л-1 обладает тем же свойством, только для нее все строчные суммы равны 1/г. Верно ли аналогичное утверждение для столбцовых сумм? 9.63. Доказать, что обратная к невырожденной стохастической (дважды стохастической) матрице является матрицей, у которой все строчные суммы (соответственно все строчные и столбцовые суммы) равны 1. Верно ли, что обратная матрица будет стохастической? 9.64. Доказать, что кронекерово произведение невырожденных матриц обратимо, причем {А®В)-1 = А~1®В-1. 9.65. Пусть А и В - невырожденные матрицы одного порядка. Групповым коммутатором матриц А и В называется матрица {А,В} = АВА~1В~1. Доказать следующие свойства группового коммутатора: а) {аЛ, В} = {А, В}; б) {Л, В}~1 = {В, Л}; в) 4е*{Л, В} = 1; г) {А, В} = I <=> А я В перестановочны; д) {А,В} = А <=> А = 7. 9.66. Матрица Л, у которой все элементы являются целыми числами, называется целочисленной. Доказать, что обратная к целочисленной матрице Л сама является целочисленной матрицей тогда и только тогда, когда йеЪ Л = ±1. 9.67. Пусть Л и В - матрицы размера п х т и т х п соответственно. Доказать, что матрица 1п + АВ обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица 1т + В А. 9.68. Доказать, что если матрица Л нильпотентна, то матрицы I + Л и / — Л обратимы. 9.69. Доказать, что если I — А- невырожденная матрица, то а) / + Л + Л2 + ... + Ап = (/ - Лп+1)(/ - Л); б) I + А + Л2 + ... + Ап + ... = (/ - Л). ]3По поводу строчных сумм см. задачу 1.39. 4—4271
98 Глава II. Определители 9.70. Найти матрицу Л, если 1+А-\-А2 + .. .+АП + .. .= 9.71. Пусть В = хут, где хуу - вектор-столбцы одинакового размера п х 1. Доказать, что если /ш = 1 + хту ^ 0, то матрица I + В обратима и выполнено равенство . Ц + ВУ1 =1--В. 9.72. Пусть Зп - матрица порядка п, все элементы которой равны 1. Доказать, что (/-7П)-! = /-_*/„. п — I 9.73. Пусть А и Б - квадратные матрицы порядка п, причем А невырождена, а В — хут, где я, у - вектор-столбцы одинакового размера п х 1. Доказать, что если [I = 1 + утА~1х ф- 0, то матрица Л + В обратима и выполнено равенство (А + В)'1 = Л Г Л - ^в) Л. 9.74. В невырожденной матрице А к элементу ац прибавляется число /г, при этом полученная матрица А также невырождена. Найти выражение для Л-1 через к и элементы матрицы 9.75. В невырожденной матрице А ко всем элементам прибавляется одно и то же число /г, при этом полученная матрица А также невырождена. Найти выражение для Л-1 через Н и элементы матрицы Л. 9.76. Доказать, что матрица, обратная к невырожденной квазидиагональной матрице А, сама является квазидиагональной, причем она имеет такое же клеточное строение, что и Л, а ее диагональные блоки обратны к соответствующим диагональным блокам матрицы А. 9.77. Доказать, что матрица, обратная к невырожденной верхней (нижней) квазитреугольной матрице Л, сама является верхней (соответственно нижней) квазитреугольной, причем она имеет такое же клеточное строение, что и Л, а ее диагональные блоки обратны к соответствующим диагональным блокам матрицы Л. 9.78. Найти обратные для следующих блочных матриц:
§9. Обратная матрица 99 а) О В 1гп. б) А О В В в) А С О В г) О В А В (здесь Ли В - квадратные невырожденные матрицы порядков п и т соответственно, 1п и 1т - единичные матрицы соответствующих порядков, а В и С - произвольные матрицы подходящих размеров). 1 А 9.79. Найти обратную для блочной матрицы О В I О I _ О О где А и В - квадратные матрицы одинакового порядка. 9.80. Для матрицы А порядка п — 1 известна обратная матрица Л-1. Найти обратную матрицу для окаймленной матрицы В порядка п вида А х т У а В предполагая ее невырожденной (здесь х,у - вектор-столбцы размера (п — 1) х 1, а о - вещественное число). 9.81. Доказать, что если матрица А невырождена, то определитель квадратной блочной матрицы Х = А В С В может быть вычислен по формуле &е%Х = \А\-\В-СА-хВ\. 9.82. Пусть матрицы А,В,С,В- квадратные одного порядка. Доказать, что если матрица А невырождена и перестановочна с матрицей С, то справедливо равенство ае* А В С В АеЬ(АВ - С В). Верно ли это равенство, если матрица А вырождена? 9.83. Доказать, что для квадратной блочной матрицы X А В С В
100 Глава П. Определители в которой А и В - квадратные блоки соответственно порядков п и га, обратной является блочная матрица Х'1 = К 8 где или Р = (А-ВП~1С)-\ (Э = -РВП~1 К=-0~1СР, 8 = 0-1-0~1СЯ 8 = @-СА~1В)-\ Я=~8СА-1 Р = А~1- А~1ВЯ, Я = -А-1В8. Предполагается, что все участвующие в этих соотношениях (которые называются формулами Фробениуса) обратные матрицы существуют. 9.84. Пусть Л, В, С, В - невырожденные матрицы одного порядка. Доказать, что А В С В (А - ВО~1С)-1 (С - ИВ А)-1 (В - АС~10)-1 (Я - С А-1 В)'1 Предполагается, что все участвующие в правой части этого равенства обратные матрицы существуют. 9.85. Матрица А называется подобной матрице В (что обозначается символом А « В), если существует невырожденная матрица 5 такая, что А = 5_1В5. Матрица 5 при этом называется матрицей преобразования подобия или трансформирующей матрицей. Доказать, что отношение подобия на множестве всех невырожденных матриц одного порядка обладает следующими свойствами: а) А « А] б) А « В => В » А; в) А я В, В&С =* А** С. 9.86. Доказать, что если хотя бы одна из двух матриц А, В невырождена, то матрицы АВ и В А подобны. Верно ли это утверждение, если обе матрицы вырождены? 9.87. Показать, что скалярная матрица подобна только самой себе. Доказать, что этим свойством обладают только скалярные матрицы. 9.88. Показать, что матрица А переходит в подобную, если над ней выполняется любое из следующих преобразований:
§9. Обратная матрица 101 а) г-я строка умножается на число а ф 0, а затем г-й столбец умножается на число 1/а; б) к г-й строке прибавляется ^-я, умноженная на число /3, а затем из ^'-го столбца вычитается г-й, умноженный на /3; в) переставляются г-я и уя строки, а затем г-й и ^'-й столбцы; г) каждый элемент матрицы заменяется на симметричный ему относительно "центра" матрицы. 9.89. Пусть матрицы А и В подобны. Однозначно ли при этом определена матрица преобразования? 9.90. Доказать, что преобразование подобия сохраняет следующие свойства матриц: а) невырожденность; б) нильпотентность; в) периодичность; г) ортогональность. 9.91. Пусть В - матрица, подобная симметрической матрице. Доказать, что для симметричности матрицы В достаточно, чтобы матрица преобразования подобия была ортогональной. Является ли это условие необходимым? Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для кососимметрических матриц. 9.92. Матрица В получена из матрицы А преобразованием подобия. Выяснить, верны ли следующие утверждения: а) если А - треугольная матрица, то В - также треугольная; б) если А - стохастическая матрица, то В - также стохастическая. 9.93. Пусть матрицы Ли В подобны и В = 5-1Л5. Доказать, что: а) йе*, В = <1е1; А] б) В = I тогда и только тогда, когда А = I; в) В = А тогда и только тогда, когда А и 8 перестановочны; г) Вк = 3~1Ак8 для любого к е М; д) /(В) = 8~1/(А)8 для любого многочлена /(*); е) В~1 = 8А'18-1; ж) В = 8А8-\ 9.94. Матрицы А и В подобны соответственно матрицам С и -О с одной и той же матрицей преобразования 5. Доказать, что: а) произведения А В и С Б подобны; б) коммутаторы [Л, В] и [С, И] подобны;
102 Глава II. Определители в) групповые коммутаторы {Д В} и {С, Г)} подобны; г) произведения Иордана Л*ВиС*1) подобны. 9.95. Пусть матрицы А е Шпхп и В е Штхт подобны соответственно матрицам С и И. Доказать, что кронекеровы произведения А ® В и С ® В также подобны. 9.96. Пусть матрица А — А{1) Е Т)пхп невырождена при некотором значении I: Доказать, что при данном значении I справедливо следующее правило дифференцирования обратной матрицы: ей ей
Глава III. Множества и отображения §10. Операции над множествами Два множества X и У называются равными, если каждое из них является подмножеством другого, т.е. Объединением множеств X и У называется множество хиУ = {х\х е х или х е У}, т.е. хехиг *=* [хх%$ Пересечением множеств X и У называется множество хпу = {х\хеХ,хеУ}, т.е. хехпу <=> { *|*; Разностью множеств X и У называется множество Х\У = {х\хеХ,х$У}. Если У С X, то разность X \ У называется дополнением множества У до множества X и обозначается символом У. Декартовым произведением множеств X и У называется множество ХхУ = {(х,у)\хеХ,уеУ}. Разбиением множества называется представление множества в виде объединения непустых подмножеств, не имеющих попарно общих точек. Пример 10.1. Доказать, что если подмножества Е и Р множества А удовлетворяют соотношениям ЕиР = А, ЕПР = 0, то каждое из множеств Е и Р является дополнением другого до А. Решение. Докажем, что Р = Е. Для этого покажем, что имеет место двустороннее вложение: Р С Е С Р. С одной стороны, если х е Р, то х е А (так как А — Ей Р) и х ^ Е (так как ЕГ) Р = 0). Следовательно, х Е Е. С другой стороны, если х е Е, то х е А, х $ Е. Так как ЕПР = 0, то хеР.т Пример 10.2. Для подмножеств Е и Р множества А доказать, что ЕГ)Р = Ё1)Т. A0.1) Решение. Проверим двустороннее вложение для множеств из A0.1). Имеем хеЕпг <=> { *||;
104 Глава III. Множества и отображения Следовательно, х е ЕГ\Е х $ Е, х$Е хеЕ, х е Е х е Е1)Е. Характеристической функцией подмножества Е множества А называется функция е(х), определенная для любого х Е А соотношением е(х) х е Е, х^Е. A0.2) Очевидно, что два множества совпадают тогда и только тогда, когда равны их характеристические функции. Пример 10.3. Доказать, что если е(х) и /(х) - характеристические функции подмножеств Е и Е множества А, то е(х)/(х) - характеристическая функция их пересечения Е П Е. Решение. Пусть <р(х) - характеристическая функция Е П Е. Тогда, если х е Е П Е, то (р(х) = 1. При этом х € Е, х е Е и е(х) = 1, /(х) = 1. Следовательно, е(х)/(х) = 1 = (р(х). Если же х $ Е П Е, то </?(х) = 0. При этом либо е(х) = 0, либо /(х) = 0. В любом случае е(х)/(х) = 0 = <р(х). Таким образом, для любых х € А функции (р(х) и е(х)/(х) принимают одинаковые значения. Следовательно, <р(х) — е(х)/(х). ¦ Пример 10.4. Доказать, что {ЕГ)Е)ПС = ЕГ)(ЕГ)С) (ассоциативность пересечения). Решение. 1-й способ. Так же, как и в примере 10.1, проверяется двустороннее вложение множеств. 2-й способ. Для доказательства равенства множеств достаточно проверить совпадение их характеристических функций. Обозначив через е(х), /(х), д(х) характеристические функции Е, Е, С соответственно и используя пример 10.3, получим для любого х Е А (е(х)/(х))д(х) = е(х)Ц{х)д{х)) (в силу ассоциативности умножения в К). 3-й способ. Равенство множеств можно проверить с помощью так называемых кругов Эйлера: {ЕПР)ПС ЕП(РПС)
§10. Операции над множествами 105 ЗАДАЧИ 10.1. Пусть е(х) и /(х) - характеристические функции подмножеств Е и Р подмножества А. Доказать, что 1 - е(ж), е(ж)/(ж), е(х) + }{х) - е(я)/(ж), е(ж) - ф;)/(я) являются характеристическими функциями множеств Е1, ЕПР, Е У Р и Е \ Р соответственно. 10.2. Пусть Е и Р - подмножества множества А . Доказать, что а)ЖУР==ЁпТ\ б)ЖпР = 'ЕиТ] в) Е\Р = ~ЕиР] г) Е\Р = Р\Е. 10.3. Доказать, что соотношение А С В эквивалентно любому из трех соотношений АиВ = В; АПВ = А] АпВ = 0. 10.4. Доказать, что а) (Е У Р) У О — Е У (Р У О) (свойство ассоциативности объединения); б) (Е П Р) ПО = Е П (Р ПО) (свойство ассоциативности пересечения) ; 10.5. Доказать, что а) (ЕпР)иО = (ЕиО)П(РиО) (свойство дистрибутивности объединения относительно пересечения); б) (Е1)Р)ПС = (ЕПО)и(РПО) (свойство дистрибутивности пересечения относительно объединения). 10.6. Пусть Ег (г = 1,п) - подмножества множества А. Доказать, что а) Ег У Е2 У ... У Еп = Ж П ^ П ... П Е^; б) Е1ПЕ2П...ПЕП =_Ег У Е2 У ... и Еп. 10.7. Пусть Е*г (г = 1,п), .Р - подмножества множества Л. Доказать, что а) (Ег У Е2 У ... У Еп) П Р = (Ех П?)У (Д2) У .. • У (Еп П Р)] б) (#1ПЕ2П...ПЕП)У.Р= (#1УЕ)П(Е2УЕ)П...П(ЕПУ,Р). 10.8. Доказать, что операция вычитания множеств не обладает свойством ассоциативности, показав, что равенство (^\^)\С = ^\(^\С) выполнено тогда и только тогда, когда множества Е и О не пересекаются. 10.9. Доказать, что а) Е \ (Р П О) = (Е \ Р) У (Е \ О);
106 Глава III. Множества и отображения б) Е \ {Р и О) = (Е \ Р) П (Е \ О); в)(ЕПР)\0=(Е\0)П(Р\0)] г) (Е и Р) \ о = (Е \ о) и (Р \ а). 10.10. Доказать, что а) X х (Е и Р) = (X х Е) Ы (X х Р)- б) X х (Е П Р) = {X х Е) П{Х х Р)\ в) (ХпУ)х(ЕПР) = (Х х Е)П{У х Р). 10.11. Пусть А - конечное множество, состоящее из п элементов. Найти число всех подмножеств этого множества (включая пустое множество и само множество А). 10.12. Пусть А - конечное множество, состоящее из п элементов. Найти число всех подмножеств этого множества, состоящих из т элементов. 10.13. Обозначим через т(А) число элементов множества А. Доказать, что для любых конечных множеств Л, 2?, С выполнены соотношения: а) т(А \В)= т(А) - т(А П В); б) т(А иВ) = т(А) + т(В) - т(А П В); в) т(АиВиС) = т(А)+т(В)+т(С)-т(АпВ)-т(АпС)- -т(В ПС) + т(А ПВпС). §11. Отображения Пусть X, У - два множества. Отображением / множества X во множество У называется закон, посредством которого каждому элементу хб! ставится в соответствие однозначно определенный элемент у (Е У. Символически отображение записывается в виде / : X —> У. Запись у = /(х) или х \-+ у означает, что элемент х при отображении / переходит в элемент у. Полным прообразом элемента у 6 У называется множество ГЧу)^{хеХ\Пх) = у}. Образом отображения / называется множество ПХ) = {уеУ\ЗхеХ:у = Нх)}. Отображение / : X —> У называется: • инъективным, если из того, что х\ ф Х2, следует, что }{х\) ф /(#2), или, другими словами, если уравнение Пх) = У (ИЛ) при любом у € У имеет не более одного решения; • сюръективным или отображением на, если /(X) = У, или, другими словами, если уравнение A1.1) при любом у е У имеет хотя бы одно решение; • биективным или взаимно однозначным, если оно и инъективно, и сюръективно, или, другими словами, если уравнение A1.1) при любом у 6 У имеет, и притом единственное, решение.
§11. Отображения 107 Два отображения / : X -* У и д : X —* У называются равными, если /(х) = д(х),УхеХ. Тождественным (единичным) отображением на множестве X называется отображение ех ' X —* X, которое переводит каждый элемент хб!в себя. Биективное отображение множества М на себя называется перестановкой (подстановкой) множества М. Если множество М состоит из п элементов, то его элементы можно занумеровать числами 1,2, ...,п и тогда каждую перестановку 5 можно записать в виде таблицы - {II :::*::: I) > <»-2> в которой под каждым номером к указывается номер ак того элемента, который является образом элемента с номером к. Очевидно, 1) с*г е {1,2, ...,п}, 2) ш Ф а-, при г ф з, так что а = (а\, с*2,..., ап) - перестановка (§4) из чисел 1,2,..., п. Заметим, что термин "перестановка" используется и как название отображения A1.2), и как фиксированное расположение чисел 1,2,..., п в определенном порядке а. Это естественно, так как между отображениями A1.2) и упорядочением а чисел 1,2, ...,п, очевидно, существует взаимно однозначное соответствие. Если в таблице A1.2) поменять местами столбцы, то получится другая запись той же перестановки 5: -E?:::й)- <»¦» где 0 = (/?1,/?2, •.. ,0п) и 7 = Gь72» • • • >7п) - перестановки из первых п натуральных чисел. Перестановка A1.2) называется четной, если а - четная перестановка, т.е. если а (а) - четно. В записи A1.3) перестановка 5 четная тогда и только тогда, когда <т(/3) + GG) - четно (см. ниже задачу 11.16). Произведением (суперпозицией или композицией) отображений д : X —> У и / : У —> 2 называется отображение /д : X —> 2, определенное правилом Пример 11.1. Найти произведения 5^ и 1з перестановок / 1 2 3 4 \ . / 1 2 3 4 \ 5= (, 2 4 1 3 ) и1= { 3 4 2 1 )• Решение. Произведение перестановок в данной задаче является суперпозицией двух отображений множества М = {1,2,3,4} на себя. Согласно обозначениям, принятым в определении произведения отображений, в перестановке 8^ первой выполняется перестановка I, а второй - перестановка 5. Суперпозицию перестановок I и 5 наглядно представить следующей схемой I з 1 -+ 3 -+ 1 2 -> 4 -> 3 3 -> 2 -> 4 4 -> 1 -> 2 Поэтому , / 1 2 3 4 \ 81 ~ \ 1 3 4 2 )•
108 Глава III. Множества и отображения Аналогично \ ^ } ^ I * **=A \ з \)- ¦ 4 -> 3 -> 2 Теорема 11.1. Произведение отображений обладает следующими свойствами: 1) /ех = /; еу/ = / для любого отображения / : X —* У; ^ произведение отображений ассоциативно, т.е. если к : X -+ У, д : У-+2,/:2-+1/,то !{дк) = (/р)Л; 3) произведение иньективных (сюръективных, биективных) отображений инъективно (соответственно сюръективно, биективно). Пусть / : X —> У. Отображение /_1 : У —> X называется обратным к отображению /, если Г7 = ех, 1Г1=еу- Теорема 11.2. Если д : X —> У, / : У -> X и /д = ех, то д иньективно, а / сюръективно. Теорема 11.3 (критерий обратимости). Отображение обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно. Теорема 11.4. Обратимые отображения обладают следующими свойствами: 1) обратное отображение единственно; 2) произведение обратимых отображений обратимо, при этом М)-1 = д-г Г1. ЗАДАЧИ 11.1. Пусть К+ - множество всех положительных вещественных чисел и пусть каждому числу аЕМ поставлено в соответствие число х такое, что х2 — \а\. Определяет ли это правило отображение а) К+—>М; б) М+—>М+; в) К—> И+ ? Если да, то будет ли оно сюръективным, инъективным, биективным? 11.2. Определяет ли правило /(я) = зтх отображение а) / : И —> И; в) / : И —> [-1; 1]; б) / : [-7г/2;тг/2] — [-1;1]; г) / : К+ — К+ ? В каких из случаев а)-г) это правило определяет биективное отображение? 11.3. Пусть каждому подмножеству множества А поставлена в соответствие его характеристическая функция. Будет ли это
§11. Отображения 109 биективным отображением множества всех подмножеств множества А на множество функций, принимающих значения 0 и 1? 11.4. Отображение / : X —> У ставит в соответствие паре вещественных чисел а) их сумму; в) их произведение; б) их разность; г) их частное. Для каждого из случаев а)-г) указать подходящие множества X и У. 11.5. Является ли отображением КхМ —> К правило, которое паре чисел а,бЕЁ ставит в соответствие частное а/Ь? 11.6. Пусть X - множество всех невырожденных матриц п- го порядка. Является ли отображением X х X —> X правило, которое любой паре матриц из X ставит в соответствие а) их сумму; б) их произведение? 11.7. Пусть Е - множество, состоящее из п элементов. Установить биективное отображение множества А всех отображений Е во множество {0;1} на множество В всех подмножеств множества Е. 11.8. Пусть Е,Р - подмножества множества X и / : X —> У. Показать, что: а) /(Е иР) = ЦЕ) I) ЯП б) ДЕ ПЕ)С /(Я) П ДП Что изменится в этих соотношениях, если / биективно? 11.9. Пусть Е и Р - конечные множества, состоящие их га и п элементов соответственно. Найти число всех отображений Е в Р. 11.10. Пусть Е и Р - конечные множества, состоящие из га и п элементов соответственно. Показать, что: а) для существования инъективного отображения Е в Р необходимо и достаточно, чтобы га < п; б) число инъективных отображений Е в Р равно п{п — 1)... (п — тп + 1). 11.11. Пусть Е и Р - конечные множества, состоящие из га и п элементов соответственно. Показать, что: а) для существования сюръективного отображения Е на Р необходимо и достаточно, чтобы га > п; б) число сюръективных отображений Е на Р равно пш - п(п - \)ш + ... + (-1)*С*(п - к)т + ... + (-1)П-1С^-1. 11.12. Пусть Е и Р - конечные множества, состоящие из га и п элементов соответственно. Показать, что:
по Глава III. Множества и отображения а) для существования биективного отображения Е на Е необходимо и достаточно, чтобы т = п; б) число биективных отображений Е на Е равно п\. 11.13. Доказать, что если множество X бесконечно, а его подмножество У конечно, то существует биективное отображение X \ У —>Х. 11.14. Для отображения / : X —> У отображение д : X —> У называется левым (соответственно правым) обратным, если д/ — ех (соответственно /д — еу). Доказать, что: а) отображение / инъективно в том и только том случае, если оно обладает левым обратным; б) отображение / сюръективно в том и только том случае, если оно обладает правым обратным. 11.15. Найти произведение перестановок: а) в) г) Д) 2 3 4 2 3 1 4 5 4 6 1 3 2 1 5 2 ;б) 3 1 4 2 2 3 4 2 3 3 4 2 2 4 4 2 1 5 1 4 5 1 в указанном и обратном порядке. 11.16. Доказать, что при записи перестановки 1 2 «1 0-2 в виде общее число инверсий а (у) в перестановке , п . 71 72 • • • 1п . 7ь 721 • • •) 1п и сумма а(а) + <т(/3) имеют одинаковую четность. 11.17. Пусть / - биективное отображение X на У. Показать, что для подмножеств Е и Р множества V имеют место соотношения Г\Е иР) = Г\Е) и ГЧП ГЧЕп Р) = Г\Е) п ГЧЕ); Г1(Е) = ГЧЕ).
§12. Эквивалентность и алгебраические законы 111 §12. Эквивалентность и алгебраические законы Говорят, что на множестве X задано бинарное отношение И, если указано непустое подмножество И, декартова квадрата этого множества. Если при этом (х, у) е К, то говорят, что элементы хну связаны отношением 71, и обозначают символом хНу. Бинарное отношение И на множестве X называется: • рефлексивным, если хИхУх е X; • симметричным, если имеет место импликация хЛу =^ уТ1х; • транзитивным, если имеет место импликация х!1,у,уК,г => хЛг. Бинарное отношение € на множестве X называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если пара элементов х, у Е X связана отношением эквивалентности, то говорят, что х и у эквивалентны, и обозначают символом х ~ у. В конкретных случаях вместо этого символа могут быть использованы и другие, например, х = у, х = у. Классом эквивалентности, порожденным элементом а, называется множество с1 (а) = {х 6 Х\х ~ а}. Любой элемент класса эквивалентности называется представителем этого класса. Теорема 12.1. Класс эквивалентности порождается любым своим представителем. Теорема 12.2. Два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, любое отношение эквивалентности на множестве определяет разбиение этого множества. Множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством множества X по отношению эквивалентности 8 и обозначается символом Х/8. Внутренним законом композиции (алгебраической операцией) на множестве X называется отображение * : X хХ -+Х. Тот факт, что (а, Ь) •—> с, записывается символически в виде а * Ь = с. В конкретных случаях вместо символа * используют символы +, —, х, : и др. Алгебраическая операция * на множестве X называется: • коммутативной, если а * 6 = Ь * а, Уа, 6 € X, • ассоциативной, если (а * 6) * с = а * F * с), Уа, Ь,с Е X. Элемент е 6 X называется нейтральным элементом множества X относительно алгебраической операции *, если Уа (Е X: а*е = е*а = а. Пусть * - алгебраическая операция на множестве X, обладающая нейтральным элементом е. Элемент х называется симметричным элементом для элемента х Е X, если х * х — х' * х — е. Теорема 12.3. Нейтральный элемент единствен. Теорема 12.4. Симметричный элемент относительно ассоциативной алгебраической операции единствен. Говорят, что алгебраическая операция * на множестве X обладает обратной операцией, если для любых двух элементов а,Ь 6 X уравнения а*х = Ьиу*а = Ь имеют единственное решение. Пусть *1 и *2 - две алгебраические операции на множестве X. Алгебраическая операция *1 называется дистрибутивной справа относительно алгебраической операции *2, если (а *2 Ь) *1 с = (а *1 с) *2 (Ь *1 с), Уа, Ь,с € X;
112 Глава III. Множества и отображения дистрибутивной слева, если а *1 (Ь *2 с) = (а *1 Ь) *2 (а *1 с), Уа, Ь, с е X; и дистрибутивной, если она дистрибутивна и справа, и слева. Пусть X и Р - два множества. Внешним законом композиции на множестве X называется отображение РхХ ->Х. Тот факт, что (а, х) *-> с, обозначается символом с = ах. Внешний закон композиции на множестве X называется дистрибутивным относительно внутреннего закона композиции * в X, если а(а * 6) = аа * аб, Уа 6 Р, Уа, 6 6 X. Внешний закон композиции на множестве X называется дистрибутивным относительно внутреннего закона композиции *' в Р, если (а *' 0)а = аа* /За, Уа,/3 е Р, Уа е X. ЗАДАЧИ 12.1. Привести примеры бинарного отношения: а) рефлексивного, симметричного, но не транзитивного; б) рефлексивного, транзитивного, но не симметричного; в) симметричного, транзитивного, но не рефлексивного. 12.2. Найти ошибку в следующем "доказательстве" того, что рефлексивность бинарного отношения Л вытекает из симметричности и транзитивности: "Так как И, симметрично, то из хТЬу следует, что у71х. Так как 71 транзитивно, то из х71у и уКх следует, что жТ&г, т.е. 7^ рефлексивно." 12.3. Доказать, что любое разбиение множества определяет отношение эквивалентности на этом множестве. 12.4. Пусть / : X —» X - отображение на некотором множестве X. Какое условие необходимо и достаточно для того, чтобы бинарное отношение 7^, задаваемое правилом: хТ^у, если у = /(ж), было а) рефлексивным; б) симметричным; в) транзитивным. 12.5. Рассматривается бинарное отношение И на некотором множестве населенных пунктов. Два населенных пункта считаются связанными отношением 7^, если либо они совпадают, либо между ними установлено железнодорожное сообщение. Является ли 7?. отношением эквивалентности? 12.5.1. Рассматривается бинарное отношение И, на множестве всех жителей земного шара. Два человека считаются свя-
§12. Эквивалентность и алгебраические законы 113 занными отношением 7^, если у них есть общие знакомые. Является ли 7^ отношением эквивалентности? 12.5.2. Рассматривается бинарное отношение 71 на множестве всех жителей земного шара. Два человека считаются связанными отношением 7^, если они владеют одним и тем же языком. Является ли 71 отношением эквивалентности? 12.6. На множестве вещественных чисел К задано бинарное отношение 7^ по одному из следующих правил: хТ^у, если а) х = у; б) х < у; в) х < у; г) х > у; д) х>у. В каком из этих правил а)-д) бинарное отношение 7^ рефлексивно? 12.7. На множестве ненулевых вещественных чисел К \ {0} задано бинарное отношение 71 по одному из следующих правил: хТ^у, если а) ху > 0; б) х — у Е Ъ\ в) х/у Е Ъ. Для каждого из этих правил выяснить, является ли бинарное отношение 71 рефлексивным, симметричным, транзитивным? Если 71 является отношением эквивалентности, то найти фактормножество (К \ {0})/7г. 12.8. На множестве упорядоченных пар вещественных чисел К2 задано бинарное отношение 7^ по одному из следующих правил: (Х1,х2O^(у1,у2), если Г Хг =У1, ^2 = У25 аЛ*1<УЪ б)\хг<У1, чГх1=уь , У \ Х2 < У2\ } [х2<У2\ } \ Х2 = У2\ } д) х\у\ + Х2У2 > 0; е) (х\ - х2){у\ - У2) > 0. Для каждого из этих правил выяснить, является ли бинарное отношение 71 рефлексивным, симметричным, транзитивным? 12.9. На множестве упорядоченных пар вещественных чисел К2 задано бинарное отношение 72. по правилу: (#ь#2)^(УъУ2)> если существует биективное отображение / : К —> К такое, что {I=%% Доизэть' ™ *-¦»• °™ше™ п ™мтся отношением эквивалентности. Найти фактор-множество К2/7^. 12.10. На множестве квадратных матриц Кпхп порядка п задано бинарное отношение 71 по одному из следующих правил: А71В, если а) матрицы А и В подобны; б) матрица А перестановочна с матрицей В.
114 Глава III. Множества и отображения Для каждого из этих правил выяснить, является ли бинарное отношение V, рефлексивным, симметричным, транзитивным? 12.11. На множестве матриц Ктхп задано бинарное отношение 71 по одному из следующих правил: АЯВ, если а) существует невырожденная матрица 5 Е Мтхгп такая, что В = ЗА; б) существует невырожденная матрица Т Е Кпхп такая, что В = АТ] в) существуют невырожденные матрицы 5 Е Щтхт иГе Мпхп такие, что В = 8АТ. Доказать, что каждое из этих правил задает отношение эквивалентности. Найти фактор-множество Штхп/Т1. 12.12. Пусть / - отображение множества X во множество У. Доказать, что отношение 71, определенное правилом: х\Я,Х2-> если /(#х) = /(жг), является отношением эквивалентности на множестве X. Найти фактор-множество Х/И. 12.13. Пусть на плоскости задана прямая / и пусть 71 - бинарное отношение, связывающее две точки М\ и М^ по одному из следующих правил: М\71,М<1, если а) либо точки М\ и Мг совпадают, либо прямая М\М2 параллельна или совпадает с прямой /; б) отрезок [М1М2] либо не пересекает прямую /, либо лежит на ней. Доказать, что в каждом случае 72. - отношение эквивалентности. Что представляют собой фактор-множества по этим отношениям эквивалентности? 12.14. Пусть р Е М, р > 1. Два целых числа тип называются сравнимыми по модулю р (га = п(тос1р)), если при делении на р они дают одинаковые остатки. Пусть на множестве Ъ целых чисел введено бинарное отношение по правилу 8: т8п, если га = п(тойр). Доказать, что 8 - отношение эквивалентности. Найти фактор-множество Ъ/8. 12.15. На декартовом произведении множеств Ъ х N введено бинарное отношение по правилу: (р,пO^(д,га), если рт = дп. Доказать, что оно является отношением эквивалентности. Найти фактор-множество {Ъ х Щ/71. 12.16. На множестве дифференцируемых на прямой К функций Т> задано бинарное отношение 7^ по правилу: /(х)Т^д(х), если }'{х) = д'(х)у Ух Е К. Доказать, что бинарное отношение К яв-
§12. Эквивалентность и алгебраические законы 115 ляется отношением эквивалентности. Найти фактор-множество Э/П. 12.17. На множестве всех непустых подмножеств непустого множества X задано бинарное отношение 7^ по одному из следующих правил: ЕЛР, если а) ЕпР^0; б) Е СР. Для каждого из этих правил выяснить, является ли бинарное отношение 7^ рефлексивным, симметричным, транзитивным? 12.18. На множестве всех подмножеств непустого конечного множества X задано бинарное отношение 7^ по правилу: ЕТ1Р, если существует биективное отображение / : Е —> Р. Доказать, что отношение 71 является отношением эквивалентности и найти соответствующее фактор-множество. 12.19. Для каждого из следующих множеств проверить, являются ли указанные операции алгебраическими. Если да, то выяснить, обладают ли они свойствами (К) коммутативности, (А) ассоциативности, (К) наличия нейтрального элемента, (8) существования симметричного элемента для каждого элемента множества: 1) сложение, вычитание, умножение и деление чисел на множестве М вещественных чисел; 2) сложение, вычитание, умножение и деление чисел на множестве К \ {0} ненулевых вещественных чисел; 3) сложение и умножение матриц на множестве всех невырожденных матриц п-го порядка; 4) сложение и умножение матриц на множестве невырожденных треугольных матриц (одинакового вида) п-го порядка; с\ \ а Ь 5] сложение матриц на множестве матриц вида а,Ье К; 2Ь а где 6) умножение матриц на множестве матриц вида где а,Ъе<^,а? + Ъ2 ^ 0; 7) умножение матриц на множестве матриц вида а, Ь е М; 8) умножение матриц на множестве матриц вида где а, Ь е К, а2 + Ь2 ф 0; а 2Ь Ъ Ь а Ъ Ъ а , где Ь а
116 Глава III. Множества и отображения 9) умножение матриц на множестве матриц вида где а, Ь е М, а2 + Ь2 ф 0; 10) коммутатор матриц [Л, В] = АВ — ВА на множестве квадратных матриц п-го порядка; 11) произведение Йордана матриц А * В = ^(ЛВ + В Л) на множестве квадратных матриц п-го порядка; 12) групповой коммутатор матриц {Л, Б} = АВА~1В~1 на множестве невырожденных квадратных матриц п-го порядка; 13) произведение отображений на множестве всех отображений множества X в X] 14) симметрическая разность А А В = (А и В) \ (А П В) на множестве всех подмножеств некоторого непустого множества X. 12.20. Привести пример алгебраической операции, которая коммутативна, но не ассоциативна. 12.21. Привести пример алгебраической операции, которая не ассоциативна, обладает нейтральным элементом, но симметричный элемент не единствен. 12.22. На множестве всех подмножеств множества X рассматриваются операции объединения и пересечения множеств. Доказать, что обе операции коммутативны, ассоциативны и каждая из них дистрибутивна относительно другой. Обладают ли эти операции нейтральным элементом и, если да, то для каждого ли подмножества существует симметричный элемент? 12.23. Доказать, что ассоциативная алгебраическая операция на множестве X обладает обратной операцией тогда и только тогда, когда эта операция имеет нейтральный элемент и для каждого элемента множества X существует симметричный. а Ь —Ь а
Глава IV. Введение в теорию линейных пространств В этой главе рассматриваются задачи, относящиеся к первоначальному опыту изучения линейных пространств. Понятие линейного пространства подготавливается геометрическими примерами - множествами векторов на прямой, на плоскости и в пространстве. Каждое из обсуждаемых здесь понятий - вещественное линейное пространство, линейная зависимость и ранг матрицы, базис и размерность линейного пространства, линейное подпространство и линейное многообразие - мотивируется как п-мерное обобщение соответствующих геометрических понятий. Дальнейшее развитие теории линейных пространств будет дано в главе XII. §13. Геометрические векторы Направленные отрезки. Упорядоченная пара точек {А, В) называется направленным отрезком с началом в точке А и концом в точке В. Обозначение: АВ. Если точки А и В совпадают, то направленный отрезок АВ называется нулевым и обозначается символом в а- Направленный отрезок АВ называется параллельным прямой I (плоскости Р), если либо он нулевой, либо прямая АВ совпадает с прямой I (соответственно лежит в плоскости Р), либо прямая АВ параллельна прямой I (соответственно плоскости Р). Обозначение: А В || /, АВ || Р. > > > Направленные отрезки А\В\, АъВг, ..., АкВк называются коллинеарны- ми (компланарными), если существует прямая (соответственно плоскость), которой параллелен каждый из этих отрезков. Длиной направленного отрезка АВ называется длина отрезка [АВ]. Как следует из определения, длина нулевого и только нулевого направленного отрезка равна нулю. Обозначение: \АВ\. Ненулевые направленные отрезки АВ и Си называются одинаково направленными (сонаправленными), если лучи [АВ) и [СБ) имеют одинаковое направление, и противоположно направленными, если лучи [АВ) и [СИ) имеют противоположные направления. Обозначение: АВ || С В и А В || СИ соответственно. Прямая I с заданным на ней направлением называется осью. Величиной направленного отрезка АВ на оси / называется число да-/ \Щ Этт*, \ -\АВ\, АВ]Ц.
118 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств Из определения вытекают следующие факты. 1°. Нулевые направленные отрезки, и только они, имеют нулевую величину. 2°. (АВ) = -(ВА). Лемма Шаля. При любом расположении точек А, В и С на прямой имеет место равенство . (АВ) = (АС) + (СВ). _^ Равенство направленных отрезков. Направленные отрезки АВ и СИ называются равными, если середины отрезков [АИ] и [ВС] совпадают. Теорема 13.1. Направленные отрезки АВ и СП равны тогда и только тогда, когда они имеют: 1) одинаковую длину: \АВ\ — \СЩ и, в случае \АВ\ ф О, 2) одинаковое направление: АВ ТТ СИ. Теорема 13.2. Для любого направленного отрезка АВ и любой точки С существует, и притом единственная, точка ^ такая, что АВ = СЕ>. Теорема 13.3. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности на множестве всех направленных отрезков. Свободный вектор. Класс эквивалентности направленных отрезков называется свободным вектором или просто вектором. Векторы обозначают строчными латинскими буквами а, Ь. Итак, вектор а = с1 (АВ) состоит из всех направленных отрезков, равных АВ. Обычно вместо символа а = с\(АВ) используется символ а = А В , который в зависимости от контекста читается как "вектор а, порожденный направленным отрезком АВ" или "вектор а, отложенный от точки А ". Длиной вектора а (величиной вектора а на оси) называется длина (соответственно величина) порождающего его направленного отрезка; векторы а^ аг, ..., а^ называются коллинеарными (компланарными), если коллине- арны (соответственно компланарны) порождающие их направленные отрезки; векторы аи Ь называются одинаково направленными (противоположно направленными), если одинаково (соответственно противоположно) направлены порождающие их направленные отрезки. Очевидно, что эти определения корректны несмотря на произвол в выборе направленных отрезков. Вектор единичной длины называется единичным вектором. Сложение векторов. Сумма векторов а и Ь определяется следующим образом. От произвольной точки А откладывается вектор а, пусть В - конец этого вектора, т.е. а = АВ. Затем от точки В откладывается вектор Ь, пусть Ь = ВС. Суммой а + Ь векторов а и Ь называется вектор, порожденный направленным отрезком АС. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Очевидно, что этот же вектор а + Ь для неколлинеарных векторов а и Ь может быть получен как диагональ параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, т.е. если в параллелограмме АВСВ\ а = ЛЁ, Ь — АП, то
§13. Геометрические векторы 119 а -Ь Ь = АС. Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма. Теорема 13.4. Операция сложения векторов обладает следующими свойствами: 1) а+ Ь = Ъ + а, У а, Ъ (свойство коммутативности); 2) (а + Ъ) + с = а ¦+¦ (Ь ¦+¦ с), У а, Ъ, с (свойство ассоциативности); 3) существует вектор О, называемый нулевым, такой, что а + О = 0+ а= а, У а (свойство существования нейтрального элемента); 4) для любого вектора а существует вектор — а, называемый противоположным к вектору а, такой, что а 4- (— а) = О (свойство существования симметричного элемента). Очевидно, нулевым вектором О является класс эквивалентности нулевых направленных отрезков, а противоположным к вектору а = А В является вектор — а = В А. Свойство ассоциативности позволяет обобщить правило треугольника для сложения любого числа векторов: суммой векторов ах, аг,..., ап будет вектор, соединяющий начало и конец ломаной линии, последовательными звеньями которой служат слагаемые векторы а1, аг,..., ап. Отсюда, в частности, следует, что а1 ¦+¦ &2 + ... 4- ап = 0 тогда и только тогда, когда эта ломаная замыкается. Разностью векторов Ь и а называется вектор х такой, что а ¦+¦ х = Ъ. Обозначение: Ъ— а. Теорема 13.5. Для любых векторов а и Ъ существует, и притом единственная, разность Ь — а. Очевидно, Ь— а = Ь+(— а). Правило параллелограмма сложения некол- линеарных векторов а и Ь позволяет построить и разность Ь— а как другую диагональ параллелограмма, т.е. если в параллелограмме АВСБ: а = АВ, Ь = АО, тоЬ-а = В/5. Умножение вектора на число. Произведением вектора а на вещественное число а называется вектор Ъ, удовлетворяющий следующим условиям: 1)|Ь| = |а|-|а| и, в случае Ь ф 0, 2) Ъ || а, если а > 0, и Ь || а, если а < 0. Обозначение: Ъ = а а. Очевидно, что 0 а = а 0 = 0, У а, Уа (Е К. Теорема 13.6. Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами: для любых векторов а, Ь и чисел а,0 е К 1I-&= а; 2) (а/?) а = <*(/?а); 3) (а + /3) а — а а + C а (свойство дистрибутивности умножения на число относительно сложения чисел); 4) а(а + Ь) = аа + аЬ (свойство дистрибутивности умножения на число относительно сложения векторов). Радиус-вектор точки. Пусть в пространстве (на плоскости или на прямой) зафиксирована точка О. Тогда между точками пространства (плоскости или прямой) и векторами можно установить взаимно однозначное соответствие, поставив в соответствие каждой точке А вектор гд = О А. Вектор гд называется радиус-вектором точки А относительно полюса О. Тот факт, что точка А имеет радиус-вектор г, обозначается символом А (г).
120 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств Говорят, что точка М ф В делит ненулевой отрезок [АВ] в отношении Л, если АМ — ХМ В. Обозначение: (АВМ) = А. Заметим, что если точка М делит отрезок [АВ] в отношении Л, то она лежит на прямой АВ и Л ф — 1. Теорема 13.7. Пусть А(г1), В(г2), М(гз) - точки пространства и (АВМ) = Л. Тогда гз = -у^гд- • A3-1) Пример 13.1. В треугольнике АВС точка В делит отрезок С В в отношении 2, медиана СМ пересекается с прямой АВ в точке О. В каком отношении точка О делит отрезок СМ? Решение. Обозначим ВМ = а, ВВ = Ь. Тогда А В = -2а+ Ь, СМ = -3 Ъ + а. Пусть АО = аАВ и ОМ = /ЗСМ. Из треугольника АМО имеем: ОМ + а + АО = О, т.е. /?(а- ЗЪ) + а + а(-2а+ Ь) = О или {C + 1 - 2а) а+ (а — 3/3) Ь = О. Отсюда и из линейной независимости векторов а и Ь следует, что 2а — C = 1, а — 3/? = 0. Следовательно, а = 3/5, /? = 1/5. Так как ОМ = РСМ, то СО = A - /?)СМ. Это означает, что СО = (A - C)/C)ОМ. Таким образом, (СМО) = A -/?)//? = 4. ¦ ЗАДАЧИ 13.1. Что можно сказать о векторах а и Ъ, если: 1) |а+Ь| = |а- Ь|; 4) |а+Ь| = |а| + |Ь|; 2)|а+Ъ| = |а|-|Ъ|; 5) |а- Ь| = |а| + |Ь|; 3) а+Ъ = А(а-Ъ); 6)^ = -^? N |Ь| 13.2. Неколлинеарные векторы а, Ь и а + Ь отложены от одной точки. Что можно сказать о векторах а и Ъ, если вектор а + Ь делит угол между ними пополам? 13.3. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Выразить вектор АМ через векторы АВ и АС. 13.4. Доказать, что векторы АМ, ВN', СК, совпадающие с медианами треугольника АВС, могут служить сторонами треугольника. 13.5. Точки Мг, г = 1,6, являются серединами последовательных сторон выпуклого шестиугольника А1А2А3А4А5А6. До- > > > казать, что векторы М\М<1, М3М4, М$Мь могут служить сторонами треугольника. 13.6. Пусть Е и Е - середины сторон АВ и СО четырехугольника АВСБ, не являющегося параллелограммом; К, Ь, М
§13. Геометрические векторы 121 и N - середины отрезков АР, СЕ, ВР и ВЕ соответственно. Доказать, что КЬМЫ - параллелограмм. 13.6.1. Точки Е,Р,С,Н являются серединами последовательных сторон четырехугольника АВСВ. Доказать, что точка пересечения отрезков ЕС и РН делит эти отрезки пополам. 13.7. Векторы АС — а и ВВ = Ъ служат диагоналями параллелограмма АВСВ. Выразить векторы А В, ВС, СИ и В А через векторы а и Ь. 13.8. В трапеции АВСВ отношение основания АВ к основанию ВС равно Л. Полагая АС = а, ВВ — Ь, выразить через а и Ь векторы АВ, ВС, СВ и В А. 13.9. Точки Е и Р служат серединами сторон АВ и С В четы- ^ ТЭГ1 I Л Г) рехугольника АВСВ. Доказать, что ЕР = . Вывести отсюда теорему о средней линии трапеции. 13.10. Точки Е и Р служат серединами диагоналей АС и В В четырехугольника АВСВ. Доказать, что —> ~АВ + СВ АВ + СВ ЕР = т = . 2 2 13.11. Точки К и Ь служат серединами сторон ВС и С В параллелограмма АВСВ. Выразить векторы ВС и СВ через векторы АК и АЬ. 13.12. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. 13.12.1. В треугольнике АВС точка В делит отрезок СВ в отношении 2, медиана СМ пересекается с прямой АВ в точке О. В каком отношении точка О делит отрезок АВ ? 13.12.2. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С\, А\ и В\ такие, что (АВС\) = (ВСАх) = (САВ\) = 2. Отрезок АА\ пересекается с отрезками ВВ\ и СС\ соответственно в точках М и N. Найти отношение АМ : МИ : МАг. _^ _^ 13.13. Векторы АВ = р и АР — ^ служат двумя смежными сторонами правильного шестиугольника АВСВЕР. Выразить через р и ^ векторы ВС, СВ, ВЕ, ЕР.
122 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств 13.14. Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника к его вершинам, равна 0. 13.15. Доказать, что вектор, идущий из произвольной точки плоскости в центр правильного многоугольника, есть среднее арифметическое векторов, идущих из этой точки к вершинам многоугольника. 13.16. В треугольнике найти точку, для которой сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам треугольника, равна 0. Единственна ли такая точка? 13.16.1. Решить задачу, аналогичную задаче 13.16, для параллелограмма. 13.16.2. Решить задачу, аналогичную задаче 13.16, для произвольного четырехугольника. 13.17. От точки О отложены два ненулевых вектора О А = а и О В — Ь. Найти какой-нибудь вектор ОМ) идущий по биссектрисе угла АО В. 13.18. В треугольнике АВС проведена биссектриса А В угла А. Выразить вектор АВ через векторы АВ и АС. 13.19. В треугольнике АВС биссектрисы АЬ и ВК пересекаются в точке О. Выразить векторы АО и ВО через векторы Ь = АВ и с = АС, если известны длины сторон треугольника: а = \ВС\, Ь = \АС\, с = \АВ\. Вывести отсюда теорему о точке пересечения биссектрис в треугольнике. 13.20. Через точку Р медианы СС\ треугольника АВС проведены прямые АА\ и ВВ\ (точки А\ и В\ лежат на сторонах ВС и С А). Доказать, что векторы А\В\ и АВ коллинеарны. 13.21. а) Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точки А\, В\ и С\ - на другой прямой. Доказать, что из коллинеарности > > > \ > > АВ\ и ВА\, АС\ и СА\ следует коллинеарность ВС\ и СВ\. б) Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точки А±, В\ > > > > > и С\ таковы, что пары векторов АВ\ и ВА\, АС\ и СА\, ВС\ и СВ\ коллинеарны. Доказать, что точки А\, В\ и С\ лежат на одной прямой. 13.22. Пусть АВ — а, АС = Ь - неколлинеарные векторы и М - точка на прямой ВС. Доказать, что АМ = аа + /ЗЬ, где а + C = 1. Что можно сказать о числах а и /3, если точка М лежит:
§13. Геометрические векторы 123 а) на стороне ВС; б) внутри треугольника АВС; в) вне треугольника АВС ? 13.23. Пусть АВ = а, АС = Ь, АВ = с - некомпланарные векторы и М - точка плоскости, проходящей через точки В, С и И. Доказать, что АМ = аа + /ЗЪ + 7с> где а + /? + 7 = 1. Что можно сказать о числах а, /3 и 7? если точка М лежит: а) на грани ВС И] б) внутри тетраэдра АВС Б] в) вне тетраэдра АВС Б ? 13.24. На трех некомпланарных векторах АВ = р, Л.0 = ^, А А! = г построен параллелепипед АВС Б А'В'С'П'. Выразить через р, ^ и г векторы, совпадающие с ребрами, диагональю параллелепипеда и диагоналями граней этого параллелепипеда, для которых вершина А' служит началом. 13.25. В тетраэдре АВСВ даны ребра, выходящие из вершины А: АВ = Ь, АС — с и АП = д.. Выразить через эти векторы остальные ребра тетраэдра, медиану ВМ грани ВСВ и вектор АС2> где ф - точка пересечения медиан грани ВС И. 13.26. Дан тетраэдр ОАВС. Полагая О А = а, ОВ = Ьи ОС = с, выразить через а, Ь и с векторы МТУ, Р(^ и КЗ, в которых М, РиЛ- середины ребер ОЛ, ОВ и ОС, а ТУ, ф и 5 - середины соответствующих противоположных ребер. 13.27. Дан тетраэдр ОАВС. Полагая ОА = а, ОВ = Ь и ОС = с, выразить через а, Ь и с вектор ЕР, в котором # - середина ребра О А, а Р - точка пересечения медиан треугольника АВС. 13.28. Даны радиус-векторы г\, Г2, гз трех последовательных вершин А, В и С параллелограмма. Найти радиус-вектор четвертой вершины В. 13.29. Зная радиус-векторы гх, Г2, гз вершин треугольника, найти радиус-вектор точки пересечения его медиан. 13.30. Зная радиус-векторы гх, гг, гз трех последовательных вершин параллелограмма, найти радиус-вектор г точки пересечения диагоналей параллелограмма. 13.31. Даны три последовательные вершины трапеции А(т\), В(т2) и С(гз). Найти радиус-векторы: Г4 четвертой вер-
124 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств шины I), г' точки пересечения диагоналей и г" точки пересечения боковых сторон, зная, что основание АВ в Л раз больше основания ВС. 13.32. Зная радиус-векторы гд, гв, гди гд/ четырех вершин параллелепипеда АВСВА!В'С'В1\ найти радиус-векторы четырех остальных его вершин. 13.33. Радиус-векторы О А = гх, О В = Г2 и ОС = гз служат ребрами параллелепипеда. Найти радиус-вектор точки пересечения диагонали параллелепипеда, выходящей из вершины О, с плоскостью, проходящей через вершины А, В и С. 13.33.1. Зная радиус-векторы т\, Г2, гз, г 4 вершин тетраэдра, найти радиус-вектор точки пересечения отрезков, соединяющих середины его противоположных ребер. 13.34. Известно, что (ЛВС) = Л. Найти (САВ). 13.35. Известно, что (АВР) = А, {АВО) = ц. Найти (РВД, если точка К делит отрезок АВ в отношении V. 13.35.1. Известно, что (АВР) = А, (АВС})= /х. Найти (АВВ), если точка К является серединой отрезка Р(^. 13.36. Доказать, что если точки К, I/, М, N делят в одном и том же отношении Л стороны АВ, ВС, СИ, В А параллелограмма АВСВ, то четырехугольник КЬМИ есть параллелограмм. Показать, что если Л ф 1 и четырехугольник КЬМИ является параллелограммом, то четырехугольник АВСВ - также параллелограмм. 13.37. Дан тетраэдр АВСВ. Найти точку М, для которой Ша + мв + мс + мв = о. 13.38. От точки М отложены три ненулевых вектора х, у, 2, сумма которых равна нулевому вектору. Зная углы а, /?, 7 между векторами уиг, гих, хиу соответственно, найти отношения длин этих векторов |х|:|у|:|г|. 13.39. От точки М, лежащей в плоскости треугольника АВС, отложены три ненулевых вектора х, у, 2, сонаправленных МА, МВ, МС соответственно и таких, что х + у + ъ — 0. Найти отношение длин этих векторов |х|:|у|:|г|, если: а) точка М является центром окружности, описанной около треугольника АВС\ б) точка М является центром окружности, вписанной в треугольник АВС\
§14. Вещественное линейное пространство 125 в) точка М является точкой пересечения высот треугольника АВС, а сам треугольник АВС остроугольный. 13.40. Найти точку М, лежащую в плоскости треугольника АВС, если сумма трех ненулевых векторов с равными длина- ми, отложенных от этой точки и сонаправленных МА, МВ, МС соответственно, равна нулевому вектору. 13.41. Даны два треугольника АВС и А!В'О\ Выразить вектор ММ', соединяющий точки пересечения медиан этих треугольников, через векторы АА\ ВВ1, С С'. 13.42. В прямоугольном треугольнике АВС опущен перпендикуляр СН на гипотенузу АВ. Выразить вектор СН через векторы С А и С В и длины катетов \ВС\ = а и \СА\ — Ь. 13.43. Зная радиус-векторы гх, Г2, гз вершин треугольника АВС и длины а, Ь, с сторон, противолежащим соответствующим вершинам, найти радиус-вектор г центра круга, вписанного в этот треугольник. 13.44. Зная радиус-векторы гх, Г2, гз вершин треугольника АВС и его внутренние углы, найти радиус-вектор г основания перпендикуляра, опущенного из вершины А на сторону ВС. 13.45. Доказать, что отрезки прямых, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Доказать также, что в той же точке пересекаются отрезки прямых, соединяющих вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, и делятся этой точкой в отношении 3 : 1 (считая от вершин). 13.46. Доказать, что каково бы ни было конечное множество точек Ах, А2, •.., Ап (на прямой, на плоскости или в пространстве), существует и притом только одна такая точка М, что МА[ + МА2 + ... + МАп = 0. §14. Вещественное линейное пространство Непустое множество V называется вещественным линейным пространством, если на нем заданы два закона композиции: внутренний закон композиции, называемый сложением и подчиненный аксиомам: 1) а + Ь = Ъ + а, \/а, Ь 6 V (аксиома коммутативности), 2) (а ¦+¦ Ь) + с — а ¦+¦ (Ь ¦+¦ с), \/а, Ь, с 6 V (аксиома ассоциативности), 3) 3 в € V : а + в = а, Уа е V,
126 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств 4) V а € V 3 (-а) е V: а + (-а) = 0; внешний закон композиции, называемый умножением элемента а на число а € К и подчиненный аксиомам: 5) 1 • а = а, Уа б V, 6) (а/?)а = а@а), Уа,0 6 К,Уа е К; и если эти законы связаны между собой аксиомами: 7) (а + /3)а = аа + /За, Уа,/3 6 К,\/а 6 V (аксиома дистрибутивности умножения на число относительно сложения чисел), 8) а(а + Ъ) = аа + аЪ, \/а е К,Уа, Ь 6 V (аксиома дистрибутивности умножения на число относительно сложения элементов V). Элементы линейного пространства называются векторами, а само линейное пространство называют также векторным пространством. Вектор в называется нулевым вектором пространства, а вектор (—а) - противоположным к вектору а. Нулевой вектор обозначают также символом О. Линейной комбинацией векторов <ц, аг,..., а^ линейного пространства с коэффициентами а\, с*2,..., &к 6 К называется вектор ахах + а^а?. ¦+¦ •.. + а*а*. Разностью векторов Ь и а линейного пространства V называется вектор х е V такой, что а + х = Ь. Обозначение: Ь — а. Большинство задач этой книги сформулировано для следующих классических примеров линейных пространств. Пример 14.1. Геометрические пространства Ух,У2,Уз- Множества Ух, 1^2, Vз всех векторов на прямой, на плоскости и в пространстве соответственно образуют вещественные линейные пространства относительно стандартных операций сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Это следует из теорем 13.4 и 13.6, и из того, что каждое из этих множеств замкнуто относительно обеих операций, содержит нулевой вектор О и противоположный вектор — а к любому своему вектору а. Линейные пространства VI, V?, V* будем называть геометрическими пространствами. Для изображения геометрических пространств условимся все векторы откладывать от одной фиксированной точки О на прямой (на плоскости и в пространстве соответственно). При таком соглашении каждый свободный вектор будет однозначно определен своим концом. В этом смысле мы будем, говоря о свободном векторе, указывать только его конец. Пример 14.2. Пространство вещественных матриц Ктхп. Как следует из теорем 1.1 и 1.2, множество КтпХп всех вещественных матриц размера т х п является вещественным линейным пространством. Пример 14.3. Арифметическое (координатное) пространство К71. Пусть К71 - множество всевозможных упорядоченных наборов п действительных чисел, называемых арифметическими векторами (или п-мерными векторами). Если арифметические векторы записывать в виде а = (а1,..., ап), то К71 = {а = (а1,...,а„)|аг € К,г = Т~гс}. Два арифметических вектора а = (а\,... ,ап) и Ь = (Ьь ...,6П) называются равными, если а* = Ъг, г = 1,п. Операции над арифметическими векторами вводятся следующим образом: а + Ь = (а\ + &1,. •. , ап + 6П), аа = (аец,... ,аап), абК.
§14. Вещественное линейное пространство 127 Нетрудно проверить, что Мп - вещественное линейное пространство относительно введенных операций. Пример 14.4. Пространства многочленов. Многочленом п-й степени от одной переменной I с вещественными коэффициентами называется выражение вида }{1) — ао + а\1 + Д2^2 + ¦ • • + ап1п, где а* 6 К, г = О, п, причем ап ф 0. Число ОбМпо определению считается многочленом с нулевыми коэффициентами и называется нулевым многочленом. Степень нулевого многочлена не определена. Два многочлена /(I) = 5^ь=о ак*к и 9A) = 5^Г=о Ък1к называются равными, если п — т и ак = Ьк, к = 0,п. Суммой многочленов /(I) = $Зь=о ак^к и #(^) ~ Х^о ^* называется многочлен /1(^) = ^2к>0(ак + Ьь)Ьк, в котором недостающие коэффициенты (а.к или 6*.) заменяются нулями. Обозначение: /(I) + д(Ь). Произведением многочлена /B) = Х^=0 а.кЬк па число а € К называется многочлен а/(^) = ^У^-.0 ссакЬк. Нетрудно проверить, что множества Мп всех многочленов степени не выше п и множество Моо многочленов всех степеней, пополненные нулевым многочленом, образуют вещественные линейные пространства. Следующие свойства линейных пространств являются элементарными следствиями из аксиом. 1°. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор. 2°. Для любого вектора линейного пространства существует единственный противоположный вектор. 3°. В линейном пространстве справедливы равенства-. 0а = 0, \/а Е V и ав = 0, Уа е К. 4°. В линейном пространстве из равенства аа = в следует, что либо а = 0, либо а — в. 5°. Для любого вектора а линейного пространства противоположный ему вектор может быть получен как произведение: —а = ( —1)а. 6°. Для любой пары векторов а иЬ линейного пространства существует, и притом единственная, разность а — Ь, причем а — Ъ = а+ (—Ъ). ЗАДАЧИ 14.1. Для каждого из следующих множеств векторов на плоскости определить, является ли оно линейным пространством относительно стандартных операций сложения векторов и умножения вектора на число (если не оговорено противное, то предполагается, что все векторы отложены от фиксированной точки О плоскости, являющейся началом прямоугольной системы координат) . 1. Все векторы, концы которых лежат на данной прямой. 2. Все векторы, начала и концы которых лежат на данной прямой. 3. Все векторы, концы которых не лежат на данной прямой.
128 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств 4. Все векторы, концы которых лежат: а) в первой четверти системы координат; б) в первой или третьей четверти. 5. Все векторы, которые образуют с данным ненулевым вектором а заданный угол </?, О < (р < тс. 14.2. Определить, является ли вещественным линейным пространством множество а) Ъ целых чисел, б) <0) рациональных чисел, в) М действительных чисел относительно стандартных операций сложения и умножения чисел. 14.3. На множестве К+ положительных действительных чисел определены следующие операции: а) "сложение" х © у = ху (т.е. обычное умножение чисел х и у); б) "умножение на действительное число" а О х — ха (т.е. возведение числа х в степень а). Показать, что множество К+ относительно указанных операций образует вещественное линейное пространство. 14.4. Пусть Й2 - множество всех упорядоченных пар действительных чисел х = (ах,а2) с операциями: а) еслих = (аьа2), у = (/?ъ/32), то х + у = (аг +/3Ь а2 + /?2); б) если А Е К, то Хх — {\а\, появляется ли М2 вещественным линейным пространством? 14.5. Для каждого из следующих множеств векторов арифметического пространства Мп определить, является ли оно линейным пространством относительно стандартных операций сложения и умножения на число в Мп. 1. Все векторы из Мп, компоненты которых удовлетворяют условию: а) х\ + Х2 + • •. + хп = 0; б) х\ + х2 + •.. + хп = 1. 2. Все векторы из Мп, у которых: а) первая и последняя компоненты равны между собой; б) все компоненты с четными номерами равны нулю. 3. Все векторы из Мп, которые являются линейными комбинациями данной системы векторов а\, а2,. •., а^ из Кп. 14.6. Пусть 5 - множество всех бесконечных последовательностей действительных чисел х = (ах, а2,..., ап,...), в котором
§14. Вещественное линейное пространство 129 введены следующие операции: а) если я = (аьа2,...,ап,...), у = (А, #2, •.. ,/?п, ¦ • •)> т0 х + у = (<*1 + /?ь <*2 + #2, •.., ап + /?п,...); б) если Л Е К, то Хх = (Ааь Аа2,..., Лап,...). Для каждого из следующих подмножеств множества 5 определить, является ли оно вещественным линейным пространством относительно указанных операций. 1. Все множество 5. 2. Все последовательности из 5, элементы которых удовлетворяют соотношению а& = а^_1 + а&_2, к — 3,4, — 3. Все последовательности из 5, все элементы которых, начиная с некоторого номера, равны нулю. 4. Все последовательности из 5, которые содержат бесконечно много совпадающих элементов. 14.7. Для каждого из следующих множеств квадратных матриц п-го порядка определить, является ли оно линейным пространством относительно стандартных операций сложения матриц и умножения матрицы на число. 1. Множество всех матриц А, для которых: а)ЪгА = 0; в) АТ = Л; б) *гЛ = 1; г) Ат = -А. 2. Множество всех невырожденных матриц из Мпхп, пополненное нулевой матрицей. 3. Множество всех верхних ступенчатых матриц из Кпхп. 4. Множество всех верхних треугольных матриц из Мпхп. 14.8. Для каждого из следующих множеств многочленов от одной переменной с вещественными коэффициентами определить, является ли оно линейным пространством относительно стандартных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число. 1. Множество всех многочленов данной степени. 2. Множество всех многочленов /B), удовлетворяющих условиям: а) /A) = 0; д) /'@) = 0; б) /A) = 1; е) /'A) = /A); в) /@) + 2/A) = 0; ж) /'@) - /@) = /'A) - /A). г) /@) + 2/A) = 1; 3. Множество всех многочленов /(*), для которых I = 1 - простой корень. 5-4271
130 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств 14.9. Для каждого из следующих множеств функций, определенных на заданном конечном отрезке [а, 6], выяснить, является ли оно линейным пространством относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число. 1. Множество всех функций, непрерывных на [а, Ъ]. 2. Множество всех функций, дифференцируемых на (а, Ь). 3. Множество всех функций, интегрируемых по Риману на [а,Ь]. 4. Множество всех функций, ограниченных на [а,Ь]. 5. Множество функций таких, что зир |/(х)| < 1. а<х<Ь 6. Множество всех функций, неотрицательных на [а, Ь]. 7. Множество функций таких, что /(а) = /F). 8. Множество функций таких, что /'((а + Ь)/2) = 1. 9. Множество функций таких, что Нт Нх) = оо. 10. Множество функций, монотонно возрастающих на [а, Ь]. 11. Множество функций, монотонных на [а, Ь]. 12. Множество функций, принимающих конечное число значений на [а, Ь]. 13. Множество функций, обращающихся в тождественный нуль в некоторых окрестностях точек а и Ь. 14.10. Найти ошибку в следующем "доказательстве" того, что аксиома 1 • а = а Уа Е V вытекает из других аксиом линейного пространства: "Пусть а — аЬ, тогда 1 • а = 1(аЬ) = A • а)Ь = аЬ = а". 14.11. Привести пример множества М, для которого выполнены все аксиомы линейного пространства, кроме аксиомы: 1-а = а\/а Е М. В чем состоит значение этой аксиомы в определении линейного пространства? 14.12. Доказать, что коммутативность сложения векторов вытекает из остальных аксиом линейного пространства. §15. Линейная зависимость Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, и нетривиальной, если среди коэффициентов этой комбинации хотя бы один отличен от нуля. Система векторов сц, аг, ... , а>к называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е. если существуют числа а1,а2,... ,<**., одновременно не
§15. Линейная зависимость 131 равные нулю, такие, что сцах + а2а2 + ... + оскак — 0, A5.1) и линейно независимой, если нулевому вектору равна только тривиальная линейная комбинация этих векторов, т.е. если из равенства A5.1) следует, что а\ = с*2 = • •. = схк = 0. Теорема 15.1. Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Теорема 15.2. Система векторов а 1,а2,..., а к, где к > 1, линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через другие. Теорема 15.3. Если подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Теорема 15.4. Любая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима. Теорема 15.5. Система векторов а\,а2,... ,ак линейно независима тогда и только тогда, когда любой вектор, являющийся линейной комбинацией этих векторов, имеет единственное разложение по этим векторам. Теорема 15.6. Если система векторов а\, а2,..., ак линейно независима, а система а\,а2,... ,ак,Ъ линейно зависима, то вектор Ь линейно выражается через векторы си,а2,..., а^. Пример 15.1. Арифметическое пространством71. В арифметическом пространстве К71 единичные векторы е1 = A,0,0,...,0), е2 = @,1,0,...,0), еп = @,0,0,...,1) линейно независимы. Это следует из того, что линейная комбинация этих векторов с коэффициентами сц, а2, • • •, ап представляет собой вектор (сц, а2, ..., ап), который равен нулевому вектору в = @,..., 0) тогда и только тогда, когда аг = 0, г — 1,п. Пример 15.2. Пространство матриц Мтхп. Матричные единицы Ец 6 КтХп (г = 1,т, з — 1,п) (см. задачу 1.14) линейно независимы. Это следует из того, что линейная комбинация этих матриц с коэффициентами ац (г = 1,т, з = 1,п) представляет собой матрицу А = (а^) Е Ктхп, которая равна нулевой матрице тогда и только тогда, когда ац = 0 (г = 1, ттг, 3 = 1~п). Пример 15.3. Пространство многочленов. Многочлены 1, 2, ^ , • •., 1п линейно независимы. Это следует из того, что линейная комбинация этих многочленов с коэффициентами с*о, #1, •.., осп представляет собой многочлен Х2к=оак^' к°торый равен нулевому многочлену тогда и только тогда, когда а к = 0, к = 0,га. Пример 15.4. Геометрические пространства. Следующие факты дают геометрическую иллюстрацию понятия линейной зависимости. Теорема 15.7. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. A5.2)
132 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств Следствие 1. Любые два (значит, и более) вектора прямой линейно зависимы. Теорема 15.8. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Следствие 2. Любые три (значит, и более) вектора плоскости линейно зависимы. Теорема 15.9. Любые четыре вектора линейно зависимы. По аналогии с геометрическими векторами два вектора линейного пространства называются коллинеарными, если они отличаются лишь числовым множителем. ЗАДАЧИ 15.1. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. 15.2. Доказать, что система векторов, два вектора которой различаются скалярным множителем, линейно зависима. 15.3. Доказать, что если три вектора а\, а<1, аз линейно зависимы и вектор аз не выражается линейно через векторы а\ и а2, то векторы а\ и а 2 различаются между собой лишь числовым множителем. 15.4. Доказать, что упорядоченная система векторов а\, а2, ..., а^, отличных от нуля, линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из этих векторов не выражается линейно через предыдущие. 15.5. Доказать, что если к упорядоченной линейно независимой системе векторов ах, а2,..., а& приписать впереди еще один вектор Ъ, то не более чем один вектор полученной системы будет линейно выражаться через предыдущие. 15.6. 1) Доказать, что ненулевые строки верхней трапециевидной матрицы, т.е. строки а>1 = (ац,а12,... ,а1Г,а1>г+1,... ,а!П), а2 = @, а22, • • • ,а2г,а2,г+ъ. • • ,а2п), аг = (I), I), ..., агг, Лг,г+1> ¦ • •»агп)^ где а^ ф 0, к = 1, г, линейно независимы как векторы пространства Кп. 2) Доказать то же утверждение для ненулевых строк верхней ступенчатой матрицы. 15.7. Элементарными преобразованиями системы векторов называются преобразования следующих типов: а) перестановка
§15. Линейная зависимость 133 двух векторов системы; б) умножение вектора системы на ненулевое число; в) прибавление к одному вектору системы другого вектора, умноженного на произвольное число Доказать, что линейная зависимость и линейная независимость системы векторов не нарушаются при ее элементарных преобразованиях. 15.8. Доказать, что произвольную систему векторов арифметического пространства элементарными преобразованиями можно привести к системе векторов, образующих строки некоторой верхней ступенчатой матрицы. Как определить, была ли исходная система линейно зависима? 15.9. Доказать, что для любых трех векторов а, Ь, с и любых трех чисел а,/3,7 векторы аа — /ЗЬ, ^Ъ — ас, /Зс — 7а линейно зависимы. 15.10. Доказать, что векторы а,Ъ,с,й линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы векторы а + Ъ + с, а + Ь + A, Ь + с + й, а + с + (I. 15.11. Пусть х, у, г - линейно независимая система векторов. Будут ли линейно независимы следующие системы векторов: а) ж, х + у, х + у + г] б) х + у, у + г, г + х- в) х-у, у-г, г -.г? 15.12. Найти все значения Л, при которых: а) из линейной независимости системы векторов ах, 0,2 следует линейная независимость системы Хах + а>2, а>\ + Ааг; б) из линейной независимости системы векторов а\, ач, • • •, ап следует линейная независимость системы ах + а2,а2 + «з,..., Оп-1 +ап,ап + Хах • Выяснить, являются ли следующие системы векторов арифметических пространств линейно зависимыми. 15.13. 15.15. 15.17. 15.19. XI = Х2 = Х\ = 22 = Х\ = 22 = 23 = Х\ = 22 = 23 = (-3,1,5), F,-2,15). A,2,3,0), B,4,6,1). A,2,3), B,5,7), C,7,10). A,2,3), D,5,6), G,8,9). 15.14. 21 = D,-12,28), 22 = (-7,21,-49). 15.16. XI = A,3,4,2,7,8), 22 = B,6,8,6,21,24) 15.18. 21 = A,2,3), а* = B,5,7), х3 = C,7,10 + е). 15.20. 21 = C,4,1,2,0,0), 22 = F,8,2,4,1,3), хз = @,0,4,8,2,6).
134 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств 15.21. XI = A,1,1,1), 15.22. хх = A,1,0,0,0), х2 = A,-1,-1,1), *2 = A,2,0,0,0), *з = A,-1,1,-1), . *з = (9,8,7,2,1), х4 = A,1,-1,-1). х4 = E,9,7,1,1). 15.23. Пусть дана система векторов арифметического пространства х\ = (ац,а!2, ...,а!П), #2 = (^21,022, ... ,а2п), Х3 — \0>з1) ^52? • • • > ^ЗП)") 5 где з < п. Доказать, что если \ац\ > ^ |а^|, ] = 1, 5, то данная 1=1 гфэ система векторов линейно независима. 15.24. Если из каждого вектора ах, а2,..., а& пространства Кп исключить компоненты с номерами гь гг,..., гт A < Н < г2 < ... < гт < п), получится новая система векторов Ьх, 62,..., 6/. пространства Еп_т, которую будем называть укороченной для исходной системы. В свою очередь, исходную систему будем называть удлиненной для системы Ъ\, Ъ2)..., Ь&. Доказать, что любая укороченная система для линейно зависимой системы векторов сама линейно зависима, а любая удлиненная система для линейной независимой системы векторов сама линейно независима. 15.25. Доказать, что в пространстве многочленов всякая конечная система, состоящая из многочленов разных степеней и не содержащая нуля, линейно независима. 15.26. Дана система многочленов /х(^) = 1 — I2, /г(<) = 1 + ^3, /зB) = I — ^3, Д(*) = 1 + 1 + 12 +$. Найти линейные комбинации многочленов этой системы: а) 5Л + /2 - 4/3; б) Д + 9/2 - 4/4. Что можно сказать об исходной системе многочленов? 15.27. Для многочлена, полученного в предыдущей задаче, найти другие разложения по системе /1B), /г@> /з(*)> /4(*)- 15.28. Пусть а, Ь, с - различные действительные числа. Выяснить, будет ли линейно зависима следующая система многочленов: (< - а)(* - Ь), (< - а)(< - с), (* - Ь)(< - с).
§15. Линейная зависимость 135 15.29. Доказать, что матрицы А\,..., А& пространства Кпхт линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы матрицы А^,..., А^. 15.30. Доказать, что матрицы А\,..., А& пространства Кпхт линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы для одной невырожденной матрицы В Е Мпхтг линейно зависимы матрицы ВАи...,ВАк. 15.31. Пусть А^ Е Ктхп, ] = 1, /с, и В Е К5Ч Доказать, что матрицы В ® А\, В ® А^ ..., В ® Ак линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы матрицы А\, Ач,..., Л/с и матрица В ненулевая. 15.32. Известно, что невырожденная матрица А такова, что для некоторого к Е N матрицы 7, Л,..., Ак линейно зависимы. Доказать, что матрица А~1 есть многочлен от А степени не выше к-1. 15.33. Доказать линейную независимость следующих систем функций: а) 51пх,созх; б) 1,з1пж,созж; в) 31пх,зт2х,... ,зтпх (п € М); г) 1,созх,соз2х,... ,созпх (п Е М); д) 1,созх,31пх,соз2х,зт2х,... ,созпх,з1ппх (пЕ^; е) 1,31пх,31п2х,... ,зтпх (п Е М); ж) 1,созх,соз2х,... ,созпх (п Е М). 15.34. Доказать линейную независимость систем функций: а) еа1Х,еа2Х,...,еа"х (п Е К), б) ха1,ха2,...,ха- (пбМ), где ах,..., ап - попарно различные действительные числа. 15.35. Доказать, что в пространстве функций одной переменной векторы /1B),..., /п(#) линейно независимы тогда и только тогда, когда существуют числа аг,... ,ап &Ш такие, что сИ/гЫ) Ф 0. 15.36. Доказать, что в пространстве п — 1 раз дифференцируемых функций одной переменной векторы /х(х),..., /п(#) линейно независимы, если существует такое число а Е К, что их вронскиан с!е^(/^~ (о)) отличен от нуля. Верно ли обратное утверждение?
136 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств §16. Ранг матрицы Рангом ненулевой матрицы называется максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считается равным нулю. Обозначение: щА. Очевидно, что если А е Ктхп, то г%А < тт(т,п). Матрица, ранг которой равен числу строк (столбцов), называется матрицей полного ранга по числу строк (столбцов). Пусть г§ А = г > 0. Любой ненулевой минор г-го порядка этой матрицы называется базисным минором, а строки и столбцы, в которых расположен базисный минор, - базисными строками и столбцами. Теорема 16.1 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов). Следствие 1 (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда какая-либо ее строка (столбец) является линейной комбинацией других ее строк (столбцов). Теорема 16.2. Если в линейном пространстве большая система векторов линейно выражается через меньшую, то большая система линейно зависима. Теорема 16.3. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов). С л едствие 2. г%А = г%АТ. Теорема 16.4. Если все строки (столбцы) матрицы А линейно выражаются через строки (столбцы) матрицы В, то г§ А < щВ. Теорема 16.5. Ранг произведения матриц не превосходит рангов сомножителей. Теорема 16.6. Ранг матрицы не изменяется при умножении ее на невырожденную матрицу. Теорема 16.7. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Теорема 16.8. Ранг матрицы не изменится, если из системы ее строк (столбцов) вычеркнуть или к ней приписать строку (соответственно столбец), которая является линейной комбинацией других строк (соответственно столбцов). Метод Гаусса вычисления ранга. Теоретическую основу этого метода для вычисления ранга матрицы (см. §7) составляют следующие факты: - ранг верхней (нижней) трапециевидной матрицы равен количеству ее ненулевых строк (соответственно столбцов); - элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга; - любая матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к трапециевидной форме. Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении этой матрицы элементарными преобразованиями к верхней (нижней) трапециевидной форме и подсчете ее ненулевых строк (столбцов). Как следует из теоремы 3.1, элементарными преобразованиями только строк (столбцов) матрицы ее можно привести к верхней (соответственно нижней) ступенчатой форме. Так как ранг верхней (нижней) ступенчатой матрицы также равен количеству ее ненулевых строк (соответственно столбцов) , то часто в методе Гаусса вычисления ранга матргцу приводят лишь к
§16. Ранг матрицы 137 ступенчатой форме. Матрицы А, В 6 Ктхп называются эквивалентными, если существуют невырожденные матрицы Р и (} такие, что выполнено равенство А = РВС}. Обозначение: А ~ В. Теорема 16.9. Эквивалентность матриц является отношением эквивалентности на множестве матриц КтХп. Теорема 16.10. Любая ненулевая матрица А е КтХп ран/ч г эквивалентна матрице 1Г (Е Ктхп вида 1Г (здесь все элементы, кроме первых г диагональных элементов, равных единице, равны нулю). Теорема 16.11. Две матрицы А, В е и только тогда, когда их ранги совпадают. Пример 16.1. Найти ранг матрицы 3 2 7 10" 2 3 5 0 3 14 3 12 19 4 3 3 ¦ 1 0 0 1 0 0 О 0 0 1 О О эквивалентны тогда А = Решение. Для вычисления г§ А воспользуемся методом Гаусса: 14 3 12т ( вычтем из 4-й строки 1-ю "" 2 3 5 0 3 11 строку, из 3-й - утроен- 3 2 7 1 0 | | ную 1-ю, а из 2-й - удво- 19 4 3 3] I енную 2-ю строку , {переставим <ч 1-ю и 3-ю \ - строки ] 1 0 0 0 4 -5 0 0 3 -1 0 0 1 -2 2 0 2 -1 -4 0 три ненулевые строки, и 1 43 12"! /'из 3-й строки вычтем 0 —5—1—2—1 I удвоенную 2-ю стро- 0 —10 —2 —2 —6 |* | ку, а к 4-й строке при- 0 5 1 2 1 ] \ бавим 2-ю строку В последней верхней ступенчатой матрице - следовательно, г§ А = 3. ¦ Пример 16.2. Найти ранг матрицы А в зависимости от значения параметра Л: Г Л 1 1 А=\ 1 Л 1 [ 1 1 А Решение. Воспользуемся методом Гаусса: г переставим >| 1 1-ю и 3-ю I I строки ) 1 1 А 1 А 1 А 1 1 1 1 А 0 А-1 1-А 0 1 - А 1 - А2 ^ Г прибавим к 3- \ ' 1 й строке 2-ю / вычтем из 2-й строки 1-ю строку, а из 3-й - 1-ю строку, умноженную на А 1 1 А 0 А-1 1-А 0 0 B + А)A-А)
138 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств Если Л = 1, то Аг-. 111 0 0 0 0 0 0 и т%А = т%Ах = 1. Если Л ф 1, то вторую и третью строки матрицы А\ на Л — 1, так что М—> ' 1 С С 1 Л 1 -1 0 -Л- 2 _ можно разделить Ранг последней матрицы равен 2, если Л = —2, и равен 3, если Л ф — 2. Таким образом, г& А = 1 при Л = 1, г^ А = 2 при Л = — 2 и г§ А — 3 при всех остальных значениях Л. ¦ Пример 16.3. Установить, является ли следующая система векторов линейно зависимой: <ц = A,0,2,1,3,7), а2 = B,1,0,3,1,1), а3 = A,2,3,0,2,4), а4 = E,6,4,5,3,3). Решение. Составим матрицу, строками которой являются данные векторы: А = В силу теоремы о базисном миноре строки матрицы А, а следовательно, и заданные векторы, будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда ранг матрицы А меньше числа ее строк, т.е. г§ А < 4. Для вычисления ранга А воспользуемся методом Гаусса: 1 2 1 5 0 1 2 6 2 0 3 4 1 3 0 5 3 1 2 3 7 1 1 4 3 _ А-> < вычтем из 2-й строки удвоенную 1-ю строку, из 3-й строки - 1-ю строку, а из 4-й строки - 1-ю строку, умноженную на 5 Г1 0 2 0 1 -4 0 2 1 0 6-6 1 3 7 1 -5 -13 -1 -1 -3 0 -12 -32 вычтем из 3-й строки удвоенную 2-ю строку, а из 4-й - 2-ю строку, умноженную на 6 Г 1 0 2 1 3 7 0 1-4 1-5 -13 0 0 9-3 9 23 [0 0 18-6 18 46 Ранг последней матрицы, очевидно, равен трем. Таким образом, векторы ах, <22, аз, а4 линейно зависимы. ¦ ЗАДАЧИ 16.1. Известно, что в матрице А существует ненулевой минор г-го порядка, а все миноры (г + 1)-го порядка равны нулю. Доказать, что г§ А = г.
§16. Ранг матрицы 139 16.2. Известно, что в матрице А € Мтхп все миноры порядка г < тт(т, п), кроме одного, равны нулю. Доказать, что г§ А —г. 16.3. Известно, что в матрице А е Етхп не более, чем г, миноров порядка г < тт(т, п) отличны от нуля. Доказать, что г§Л — г. Вычислить ранг следующих матриц. 16.4. 16.6. 16.8. 16.9. 37 259 481 407 19 133 247 209 25 175 325 275 . 16.5. 2 -1 -3 2 1187 401 153 -998 731 233 388 166 557 -23 -1303 47 .16.7. 4 -2 -3 -1 6 -3 4 3 0 1 6 -1 -1 0 4-9 2 0 1 5 2 3 -12 3 7 9 4 5 7 -8 4 15 0 -4 4 0 0 3 -12 6 18 3 7 3 -5 2 0 0 3 3 -2 -1 0 0-20 0 3-60 3 0 1 0 9 21 3 -14 -21 -6 -12 -12 8 14 -3-9 6 6 7 15 6 18 -4 -35 Вычислить ранг следующих матриц в зависимости от значения параметра Л. 16.10. 16.12. 16.14. 3 Л 1 2 1 4 7 2 1 10 17 4 4 1 3 3 16.11. 1 2 1 Л -1 10 -1 2 А 5 -6 1 1 4 А 4 А 2 -1 6 11 А -2 1 .16.13. 1-А 1 1 1 -1 -1-А -1 -1 2 2 2-А 2 -2 -2 -2 -2-А 1-А 1-2А 1 + А 1 + ЗА . 16.15. " А 1 1 1 1 А 1 1 -1 -1 -А -1 -1 -1 -1 -А
140 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств 16.16. Доказать, что матрица Г 1 ах а\ ... а™-1 1 1 а2 а\ ... а^-1 |_ 1 ак а\ ... а\ 1 \ в которой к < п, является матрицей полного ранга тогда и только тогда, когда числа ах, а2,..., а^ различны. 16.17. Доказать, что в любых к линейно независимых строках (столбцах) матрицы найдется ненулевой минор порядка к. 16.18. В матрице ранга г взяты г линейно независимых строк. Являются ли они базисными строками? 16.19. Минор М/с+1 (к + 1)-го порядка называется окаймляющим минор М^ к-го порядка, если М& получается из М^+1 вычеркиванием одной строки и одного столбца. Доказать, что если в матрице А существует ненулевой минор Мт г-го порядка, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то г§ А — г {метод окаймления миноров). 16.20. Матрица А = (а^) Е Ктхп называется матрицей с диагональным преобладанием, если 7П \ап\ >^\агз1 3 =Т~т. 1=1 гфЗ Доказать, что: а) матрица с диагональным преобладанием является матрицей полного ранга; б) определитель квадратной матрицы с диагональным преобладанием отличен от нуля. 16.20.1. Верны ли утверждения предыдущей задачи, если в условии диагонального преобладания хотя бы одно неравенство сделать нестрогим? 16.21. Доказать, что приписывание к матрице одной строки (или одного столбца) либо не изменяет ее ранга, либо увеличивает его на единицу. 16.22. Доказать, что вычеркивание одной строки (или одного столбца) матрицы не изменяет ее ранга тогда и только тогда, когда вычеркнутая строка (столбец) линейно выражается через остальные строки (соответственно столбцы) матрицы.
§16. Ранг матрицы 141 16.23. Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется от приписывания к ней каждого столбца матрицы В с тем же числом строк, то он не меняется и от приписывания к матрице А всех столбцов матрицы В. 16.24. Как может измениться ранг матрицы, если изменить значение одного ее элемента? 16.25. Как может измениться ранг матрицы, если ко всем элементам одной строки прибавить одно и то же число? 16.26. Как может измениться ранг матрицы при изменении элементов: а) одной строки; б) к строк? 16.27. Как может измениться ранг матрицы, если ко всем ее элементам прибавить одно и то же число? 16.28. Существует ли матрица, ранг которой не изменяется: а) при приписывании к ней любого столбца; б) при вычеркивании любой ее строки? 16.29. Известно, что в первых к столбцах матрицы размера тхп главный минор порядка к ненулевой, а все прочие миноры порядка к равны нулю. Доказать, что эта матрица имеет вид Г «и • • ¦ о,\к «1^+1 ... а\п 1 \ 0>к1 • • • &кк 0>к,к+1 ' ' • акп О ... О а/с+х^+1 ... а^+1)П |_ 0 ... О 0>т,к+1 • • • атп ] 16.30. Доказать, что в невырожденной квадратной матрице п-го порядка ранг любой квадратной подматрицы порядка п — 1 не меньше, чем п — 2. 16.31. Известно, что квадратная матрица А порядка п содержит нулевую квадратную подматрицу к-го порядка. Указать, какие значения может принимать ранг матрицы А. 16.32. Известно, что квадратная матрица А порядка п содержит квадратную подматрицу (п — 1)-го порядка, ранг которой равен 1. Указать, какие значения может принимать ранг матрицы Л. 16.33. Известно, что ранг квадратной матрицы А порядка п равен п—1. Доказать, что существует матрица В ранга 1 такая, что матрица А + В невырождена.
142 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств 16.34. Доказать, что ранг блочной матрицы вида Ап О О А22 равен сумме рангов диагональных клеток Ац и ^22- 16.35. Матрица А имеет следующую блочную структуру: Ац А12 О А22 А = Доказать, что г§Л >щАп + г$А22. Построить пример квазитреугольной матрицы Л, для которой в этом соотношении выполняется строгое неравенство. 16.36. Доказать, что для любых матриц А и В одинакового размера |г§Л-г§В| <г§(Л + Б) <г§А + г§Б. Для каждого значения г = \г\ — г2\,г\ + г2 построить пример матриц А и В, для которых г§ А = гх, г§ В = т2 и г§(А + В) = г. 16.37. Доказать, что любую матрицу ранга г можно представить в виде суммы г матриц ранга единица, но нельзя представить в виде суммы менее чем г таких матриц. 16.38. Доказать, что если ранг матрицы А равен г, то минор, стоящий на пересечении любых г линейно независимых строк и г линейно независимых столбцов этой матрицы, отличен от нуля. Верно ли это утверждение, если г§ А > г ? 16.39. Доказать, что ранг симметрической матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы. 16.40. Доказать, что ранг кососимметрической матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы. 16.41. Доказать, что ранг кососимметрической матрицы - число четное. 16.42. Ранг матрицы А Е Мтхп равен единице. Доказать, что найдутся столбец х и строка ут такие, что выполнено равенство А = хут. 16.42.1. Ранг матрицы В Е Мпхп равен единице. Доказать, что для любой матрицы А еШпхп справедливо соотношение 2 ае* А = <1еЬ(А + В) + йеЦА - В). 16.43. Доказать, что если г§Л = 1, то существует число а
§16. Ранг матрицы 143 такое, что А2 = а А. 16.44. Доказать, что если г§Л = г§Л2 = 1, то равенство г§ Ак = 1 выполнено для всех к Е N. 16.44.1. Пусть матрицы А Е Ктхп и В е Шпхт таковы, что оба произведения АВ и В А являются единичными матрицами. Доказать, что т = п и В = А-1. 16.45. Доказать, что любую матрицу Л Е Мтхп ранга г можно представить в виде произведения: А = ВС, где В Е Ктхг - матрица полного ранга по числу столбцов, а С Е Кгхп - матрица полного ранга по числу строк. Такое представление матрицы А называется ее скелетным разложением. 16.46. Известно, что х и у - столбцы одной высоты п. Доказать, что: а) г§G + ухТ) = п, если хту ф> — 1; б) г§G + ухт) = п — 1, если хту = —1. 16.47. Доказать, что если ранг квадратной матрицы А равен 1, то одна из матриц I + А или I — А невырождена. 16.48. Доказать, что если ранг квадратной матрицы А равен 1, то ае1(Л-А) = 1 + Ъг А 16.48.1. Для матриц Ак В определены оба произведения АВ и В А. Верно ли, что ранги АВ и В А совпадают? 16.49. Пусть А Е ТКШХП и В Е Мпх/. Доказать, что выполнено неравенство Сильвестра г§АВ >щА + щВ -п. 16.50. Пусть А Е Мтхп. Доказать, что АТА невырождена тогда и только тогда, когда А - матрица полного ранга по числу столбцов. 16.51. Доказать, что для любой матрицы А выполнено соотношение щ(АтА) = г§А 16.52. Пусть А Е Мшхп и В Е Мпх/. Доказать, что если АВ = О, то г§ А + г§ В < п. 16.52.1. Пусть матрица А Е Мпхп такова, что для любой вырожденной квадратной матрицы В порядка п выполнено соотношение щ{АВ)=щВ.
144 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств Доказать, что А - невырожденная матрица. 16.52.2. Пусть ненулевая матрица А Е Кпхп такова, что для любой квадратной матрицы В порядка п выполнено соотношение щ(АВ)=тё{ВА). Доказать, что А - невырожденная матрица. 16.53. Пусть А и В - квадратные матрицы одинакового нечетного порядка. Доказать, что если АВ = О, то хотя бы одна из матриц А + Ат или В + Вт вырождена. 16.54. Доказать, что если квадратная матрица А порядка п удовлетворяет равенству А2 = 7, то г§(/ + А) + г§(/ - А) = п. 16.55. Пусть А - квадратная матрица порядка п > 1 и А - матрица, присоединенная к А. Как связаны ранги матриц А и А? 16.56.1 Найти все нильпотентные матрицы третьего порядка с индексом нильпотентности, равным двум. 16.57.2 Найти все периодические матрицы А третьего порядка, удовлетворяющие соотношению А2 = I. 16.58. Пусть А Е Ктхп и В € Шкх1, причем одна из матриц А или В неквадратная. Доказать, если кронекерово произведение А® В - квадратная матрица, то она вырождена. 16.59. Доказать, что: а) для невырожденной матрицы А порядка п и произвольной матрицы В выполнено соотношение щ(А®В) =пщВ] б) для произвольных матриц А и В выполнено соотношение г§(Л®В) = г%АщВ. 16.60. Пусть А и В - матрицы одного размера. Доказать, что: ^ в ^ Л, о а) г§ б) г§ 2А -ЪВ А + 2В А + 4В ЗА-В ЗА-2В г§Л + щВ. хСм. также задачи 2.35, 8.1. 2См. также задачи 2.41, 9.61.
§17. Базис и координаты 145 16.61. Пусть А и В - квадратные матрицы одного порядка. Доказать, что: а) щ в) г§ А АВ В В + В2 I А I А2 = щА + г%В; б) г§ = щА + щA-А). А А2 А3 АА = щА; 16.62. Пусть А - невырожденная матрица п-го порядка. Доказать, что ранг блочной матрицы А В С Б л равен п тогда и только тогда, когда И — С А-1 В. 16.63. Пусть А е Ш.тхп и В € Кпх/\ Доказать равенство рангов блочных матриц: г§ Вывести из этого соотношения неравенство Сильвестра задачи 16.49. 16.64. Пусть для матриц А, В и С определено произведение ВАС. Доказать равенство рангов блочных матриц: В 1п ' О А = г§ " АВ О О 1п г§ гё А О О ВАС АС А О ВА Вывести из этого соотношения неравенство Фробениуса щВА + г§АС < г§А + щВАС 16.65. Квадратные матрицы А и В порядка п таковы, что г§Л + г§Б < п. Доказать, что существует невырожденная матрица С такая, что АС В = О. §17. Базис и координаты Базисом линейного пространства V называется упорядоченная линейно независимая система векторов из V, через которую линейно выражается любой вектор пространства. Теорема 17.1. Система векторов е\,..., еп линейного пространства является его базисом тогда и только тогда, когда она образует максимальную линейно независимую систему векторов этого пространства. Из этой теоремы следует, что все базисы одного линейного пространства V состоят из одинакового числа векторов, равного максимальному числу линейно независимых векторов в V. Число векторов базиса называется размерностью линейного пространства. Размерность нулевого пространства по
146 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств определению считается равной нулю. Обозначение: сИтК. Линейное пространство размерности п, где п - целое неотрицательное число, называется п-мерным пространством. Любое п-мерное пространство относится к конечномерным линейным пространствам. Линейное пространство называется бесконечномерным, если для любого к е N в нем найдется линейно независимая система из к векторов. Из определения размерности и теоремы 17.1 следует, что: 1) в п-мерном пространстве любые п линейно независимых векторов образуют базис; 2) в п-мерном пространстве любая система из з векторов, где 8 > п, линейно зависима. Теорема 17.2. Разложение вектора по базису единственно. Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в этом базисе. Обозначение. Если е\,...,еп - базис пространства и х = х\в\ 4 х2е2 + ... 4 хпеп, A7.1) то будем обозначать через хе вектор-столбец из координат вектора х в этом базисе: Хе = {Хг Х2 ... Хп )Т. Столбец хе называют координатным столбцом вектора х в базисе б1,..., еп. Положим е = (в1,е2,. ..,еп). Под символом е будем понимать как обозначение базиса е\,..., еп, так и матрицу-строку {е\,е2,... ,еп). В этих обозначениях разложение A7.1) может быть записано как произведение строки е на столбец хе: Теорема 17.3. При сложении векторов их координаты в одном базисе складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Пусть е = (б1, ег,.. •, еп) и / = (Д, /2,..., /п) - два базиса п-мерного пространства V. Векторы второго базиса, как векторы пространства V, разлагаются по базису е; пусть /1 = Сцб1 + С21б2 4" ... 4" Сп1еп, Н = С12в1 4 С22в2 4 ... 4 Сп2еп, /-. - 0ч /п = сх-пвг 4 С2пв2 4 • •. 4- сппеп. Коэффициенты сц этих разложений образуют матрицу С = (с^) 6 Кпхп, которая называется матрицей перехода от базиса е к базису /. Обозначение: С или Се-+/- Соотношения A7.2) могут быть записаны компактно в виде / = еС. Теорема 17.4. Матрица перехода к другому базису не вырождена. Теорема 17.5. Если С - матрица перехода от базиса е к базису /, то С~1 - матрица перехода от базиса / к базису е. Теорема 17.6. Координаты вектора х в базисах ей/ связаны между собой соотношением Хе —- ОЖ^, где С - матрица перехода от базиса е к базису /.
§17. Базис и координаты 147 Рассмотрим примеры наиболее часто встречающихся в задачнике линейных пространств. Пример 17.1. Геометрические пространства VI, Уг,^. На прямой У\ существует ненулевой вектор, а любые два вектора коллинеарны, т.е. на прямой У\ существует линейно независимая система из одного вектора (теорема 15.1), а любые два (значит, и более) векторов линейно зависимы (теоремы 15.7 и 15.3). Таким образом, любой ненулевой вектор прямой У\ образует максимальную линейно независимую систему векторов в У\ и поэтому (теорема 17.1) является базисом У\, так что сИтУ! = 1. Если в1 - базис У\ и а е VI, то а = хе\, где, как следует из определения умножения вектора на число, -{ |в1|, а|Т ег, |в1|, а|| еь A7.3) Если на прямой У\ введено направление, совпадающее с направлением в1, ТО Ы' На плоскости Уг существует пара неколлинеарных векторов, а любые три вектора компланарны. Из теорем 15.7, 15.8, 15.3 и 17.1 следует, что любая пара неколлинеарных векторов плоскости Уг образует базис Уг, так что сИт У~2 = 2. Если ех, ег - базис Уг и а € УЬ, то а = хв\ + у в2. Координаты х,у вектора а в базисе ех, ег вычисляются следующим образом. О егВ Ах Рис. 2 Отложим векторы в1, ег, а от одной точки О плоскости (рис. 1). Пусть в1 = ОВ, ег = ОС, а = ОА, точки А\ и Аъ - проекции точки А на прямые ОВ и ОС параллельно прямым ОС и О В соответственно. Тогда а = ОА\ +ОА2 = хе\+уе2- Если на прямых ОВ и ОС ввести направления, совпадающие с направлением е\ и ег соответственно, то согласно A7.3) (ОАг) в1 У = (ОА2 Ы A7.4) Аналогично (рис. 2) в пространстве Уз любая тройка некомпланарных векторов образует базис Уз (теоремы 15.8, 15.9, 15.3, 17.1), так что
148 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств сНт Уз = 3. Если в1, ег, ез - базис Уз и а е Уз, то а = хех + уе2 + х&з и „©. ,.®1, ,.©, („л, 1е1| 1е2| |е3| где А1,Л2,Аз - проекции точки А на прямые ОБ, ОС и 0^ параллельно плоскостям ОСИ, ОВВ и ОБО соответственно. Пример 17.2. Арифметическое пространство Кп. В пространстве Кп единичные векторы е1 = A,0,0,...,0), е2 = @,1,0,...,0), еп = @,0,0,...,1) линейно независимы (§15, пример 15.1), и если а = (сц,а2,..., ап) 6 Кп, то а = а1в1 + агег + ... + апеп. A7.6) Таким образом, векторы в1,в2,..., еп образую базис К71 и (НтКп = п. Этот базис называется естественным базисом пространства Шп. Из A7.6) следует, что координатами вектора в естественном базисе служат компоненты <ц, а2,..., ап этого вектора. Пример 17.3. Пространство многочленов Мп. Многочлены 1,1,I2,..., 1п образуют базис Мп, так как они линейно независимы (§15, пример 15.2) и если рA) = ао + а\1 + ... + а,п1п € Мп, то, очевидно, рA) является линейной комбинацией этих многочленов. Этот базис называется естественным базисом пространства Мп. Координатами многочлена р{1) = ^^_0 а.кЬк служат его коэффициенты ао, а1,..., ап. Итак, (ИтМп =п+1. Пример 17.4. Пространство М<х> многочленов всех степеней бесконечномерно, так как для любого к € N можно указать к линейно независимых векторов: 1,2,I2,..., 1к~1. Пример 17.5. Пространство матриц Етхп. Матричные единицы Ец, Ей, ... , Е\п, Е21, #22, ..., Е2п, ..., Етп (в матрице Ец все элементы нулевые, кроме одного элемента в позиции (г, .?), равного единице) образуют базис МтХп, так как они линейно независимы (§15, пример 15.4) и если А = (ац) е КтХп, то А = ^™=1 Е"=1 ачЕч- Этот базис называется естественным базисом пространства ЕтХп. Координатами матрицы А = {ац) Е КтХп в естественном базисе служат ее элементы а^, г = 1,т, .7 = 1,7г. Итак, сИтКтХп = тп. Пример 17.6. Пусть 8 - линейное пространство всех бесконечных последовательностей действительных чисел а = {а\,ос2,...,ап, • •.) (см. задачу 14.6). Найти размерность 5. Решение. Покажем, что векторы ах = A,0,0,. ..,0,0,...), а2 = @,1,0,...,0,0,...), @,0,0,...,1,0,...)
§17. Базис и координаты 149 линейно независимы. Пусть 5^=1 сх.кО>к = #, тогда (а1,а2,...,Оп,0,...) = @,0,...,0,0,...), т.е. аь = 0, к = 1,п. Это означает, что только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору. Следовательно, векторы аь аг,..., ап линейно независимы. Таким образом, для любого п Е N можно указать п линейно независимых векторов пространства 51; следовательно, 5 - бесконечномерное пространство. ¦ Пример 17.7. Пусть Р - линейное пространство всех бесконечных действительных последовательностей вида (а, /?, а, /3,...). Операции над последовательностями в Р введены так же, как и в пространстве 5 предыдущего примера. Найти размерность и какой-нибудь базис пространства Р. Решение. Покажем, что векторы е! = A,0,1,0,1,0,...), е2 = @,1,0,1,0,1,...) образуют базис пространства Р. В самом деле, эти векторы линейно независимы, так как равенство ае\ + /Зв2 = 0 означает, что (а,/?,а,/?,...) = @,0,0,0,...), т.е. что а = 0, /? = 0. С другой стороны, любой вектор а = (а,/3,а,/3,...) € Р является линейной комбинацией векторов б^ег: а = ае\ + 0^2. Таким образом, сИт^Р = 2 и векторы е^ег образуют базис. ¦ Пример 17.8. Доказать, что векторы а1 = A,2,-1,-2), а2 = B,3,0,-1), а3 = A,2,1,4), а4 = A,3,-1,0) образуют базис пространства В4. Решение. Так как в п-мерном пространстве любые п линейно независимых векторов образуют базис, а сИтК4 = 4, то достаточно доказать линейную независимость векторов <21,а2,аз,а4 или, что то же самое, доказать, что ранг матрицы, составленной из этих векторов как из строк, равен количеству строк (теорема 16.3). Имеем 12-1-2 2 3 0-1 12 14 13-1 0 Г 1 2-1-2 0-123 0 0 2 6 0 10 2 1 2-1-2 0-123 0 0 2 6 0 0 2 5 1 2-1-2 1 0-123 0 0 2 6 0 0 0-1 т.е. г%А = 4. ¦ Пример 17.9. Найти координаты многочлена р(Ь) = 1 + Ь + Ь2 + 13 € Мз в базисе !,*—!,(* — IJ, (I - IK.
150 Глава, IV. Введение в теорию линейных пространств Решение. Очевидно, матрица перехода от базиса е — A,2,$2,23) к базису / = A,2 — 1, (I — IJ, (I — IK) имеет вид С- Г 1 -1 0 1 0 0 0 0 1 -1 -2 3 1 -3 0 1 Положим х = р(Ь). Очевидно, хе = A,1,1,1)т. Согласно теореме 17.6 хе = Сх; или х/ = С~1хе. Последнее произведение может быть найдено методом Гаусса-Жордана (§9): 1-1 1-1 0 1-23 0 0 1-3 0 0 0 1 1-1 10 0 1-2 0 0 0 10 0 0 0 1 1 0 0 0 -10 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -2 1 6 4 1 ] * 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4 1 6 4 1 ] Таким образом, многочлен рA) в базисе / = A,1 - 1, {I - IJ, (I - IK) имеет координаты x^ = D,6,4,1)т. ¦ ЗАДАЧИ Показать, что следующие системы векторов являются базисами пространства Кп. 17.1. XI = A,2,3,...,п), 17.2. ц = A,1,..., 1,1,1), х2 = @,2,3,..., п), х2 = A,1,..., 1,1,0), х3 = @,0,3,...,п), х3 = A,1,..., 1,0,0), х„ = @,0,0, ...,п). 17.3. Х1 = A,1,1,1,...,1), х2 = @,1,0,0,...,0), х3 = @,1,1,0,...,0), х4 = @,1,1,1,...,0), х„ = A,0,...,0,0,0). х„ = @,1,1,1,...,1). Для каждого из следующих линейных пространств определить, является ли это пространство конечномерным; в случае положительного ответа найти размерность пространства. 17.4. Линейное пространство К+ из задачи 14.3.
§17. Базис и координаты 151 17.5. Линейное пространство последовательностей действительных чисел (с*1, с*2, • • •)> элементы которых удовлетворяют соотношениям а^ = а/с_1 + а&_2, к = 3,4,.... 17.6. Линейное пространство К из задачи 14.2, п."в". 17.7. Линейное пространство последовательностей действительных чисел (ах,а2,...)> все элементы которых, начиная с некоторого номера, равны нулю. 17.8. Доказать, что при любом п Е N данное множество образует конечномерное линейное пространство; найти его размерность и указать какой-либо базис этого пространства. 1. Множество четных многочленов степени не выше п. 2. Множество нечетных многочленов степени не выше п. 17.9. Доказать, что данное множество образует бесконечномерное линейное пространство. 1. Множество функций, принимающих конечное число значений на [а, Ь). 2. Множество всех функций, непрерывных на [а, Ь]. Выяснить, какие из следующих систем векторов являются базисами подходящего пространства Кп. 17.10. хг = A, 1, 1, 1), 17.11. х2 = B, 3, 0, -1), х3 = A, 2, 1, 3), хА = A, 3, -1, 0). 17.12. XI = A, 2, -1), 17.13. хх х2 = B, 3, 0), х2 х3 = A, 3, -1). х3 = A, 3, 1, 0). 17.14. Доказать, что в пространстве Мп многочленов степени не выше п базисом является всякая система ненулевых многочленов, содержащих по одному многочлену каждой степени к: й = 0,1,2,...,п. 17.15. Доказать, что: а) любой ненулевой вектор пространства можно включить в некоторый базис этого пространства; б) любую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса пространства. 17.16. Пусть в пространстве V выбран некоторый базис ех,..., еп. Тем самым, каждому вектору х Е V поставлена в соответствие строка его координат в этом базисе: х н-> хе = (ах,...,ап). XI = #2 = Хз = Х^ = 'A, = B, = A, 2, = B, 3, = A, 2, = A, 3, 2,-1, 3, 0, -1, 0, 1, -1, 1), 1), -2), -1), 4), 0).
152 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств Доказать, что: а) линейная зависимость (линейная независимость) системы векторов х, у,..., г равносильна линейной зависимости (соответственно линейной независимости) системы строк хе, уе, • • •, %е рассматриваемых как элементы соответствующего арифметического пространства Кп; б) если вектор а линейно выражается через систему х, у,..., г, т.е. а = Хх + цу + ... + г/г, то это же верно и для строк ае, хе, уе,..., ге, причем ае = Ххе + цуе + ... + иге. 17.17. В пространстве К4 найти два различных базиса, имеющих общие векторы е\ = A,1,0,0) и в2 = @,0,1,1). 17.18. Систему многочленов 1Ъ + 1А, 1Ъ - З*3, *5 + 2*2, 1Ъ - I дополнить до базиса пространства М$. [2 17.19. Дополнить систему матриц ^ до базиса пространства К2х3. 17.20. Доказать, что система матриц  2" 2 1 , #2 =  Г 2 1 ,#з = '1 2' 1 2 , Е?4 =  2" 1 1 образует базис пространства К . Построить другой базис этого пространства так, чтобы ни одна из его матриц не была линейной комбинацией каких-либо двух матриц Е1,Е2,Е$,Е±. 17.21. Даны три вектора а = {1,2}, Ь = {-5,-1}, с = {—1,3}. Найти координаты векторов 2а+ЗЬ— с и 16а+5Ь —9с. 17.22. Показать, что векторы а = {—5,-1}, Ь = {—1,3} образуют базис пространства Т^- Найти координаты векторов с = {-6,2} и с! = {2, -6} в этом базисе. 17.23. Даны четыре вектора а = {3,0,-2}, Ь = {1,2,-5}, с = {—1,1,1}, с! = {8,4,1}. Найти координаты векторов —5а^- Ъ - 6 с + йиЗа- Ъ - с- й. 17.24. Показать, что векторы а = {4,1,-1}, Ь = {1,2,-5}, с = {—1,1,1} образуют базис пространства Уз- Найти координаты векторов х = {4,4,-5}, у = {2,4,-10} и ъ — {0,3,-4} в этом базисе. 17.25. При каких а,/3,7 €¦ К векторы а = {1,а,а2}, Ь = {1,/3,/32}, с = {1,7>72} образуют базис пространства Т^? 17.26. Известно, что векторы а, Ь, с некомпланарны. Выяснить, компланарны ли векторы х, у, 2, и если да, то указать линейное соотношение их связывающее: > 2 1 1 30 1 ) 48 7 92 5
§17. Базис и координаты 153 а) х = 2а— Ъ— с, у = 2Ь— с— а, с = 2с — а — Ь; б) х = а + Ъ + с, у = Ъ + с, 2 = -а+с; в) х = с, у = а — Ь — с, 2 = а — Ь + с. 17.27. В параллелограмме АВСВ точка К - середина отрезка ВС и точка О - точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы АВ и АВ, найти координаты векторов ВВ, СО, К В в этом базисе. 17.28. В треугольнике АВС точка М - середина отрезка АВ и точка О - точка пересечения медиан. Принимая за базисные векторы АВ и АС, йайти координаты векторов АМ, АО, МО в этом базисе. 17.29. В трапеции АВСВ длины оснований АВ и ВС относятся как 3 : 2. Принимая за базисные векторы АС и ВВ, найти координаты векторов АВ, ВС, С В, В А в этом базисе. 17.30. В тетраэдре О АВС точки К,Ь,М,И,Р^ - середины ребер О А, ОБ, ОС, АВ, АС, ВС соответственно, 5 - точка пересечения медиан треугольника АВС. Принимая за базисные векторы О А, ОВ и ОС, найти в этом базисе координаты: а) векторов АВ, ВС, АС\ б) векторов к1, Р<2, СЛГ, МР, ~К$-, в) векторов 08, КЗ. 17.31. Даны три точки О, А, В, не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные векторы О А и ОВ, найти: а) координаты вектора ОМ, если точка М лежит на отрезке АВ и АМ : ВМ = гп : п; б) координаты вектора ОЛГ, если точка N лежит на прямой АВ вне отрезка АВ и АЫ : ВЫ — т : п. 17.32. В трапеции АВСВ отношение длин оснований АВ и ВС равно 4. Принимая за базисные векторы АВ и АВ, найти координаты векторов АС, АМ, А8, 8М, где М - точка пересечения диагоналей трапеции, а 5 - точка пересечения ее боковых сторон. 17.33. Доказать, что матрицы образуют базис пространства М2х2, и найти координаты [1-11 1-1 ,Е2 = \?, 5] 1 3 ,Ег = [111 0 1 , #4 = [3 41 5 7
154 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств Г* 14 1 матрицы А = 6 13 в этом базисе. 17.34. Доказать, что матрицы Ех = ЕА =  0 Г 0 1 0 1 0 0 "-2 з : , Е2 = 3 6 2 1 1 2 1] ,д5 = 2 2 2 1 -2 2 -2 1 = 2 2 - , Е3 = 11 2-12 -12 2 > #6 =  2 3' 2 3 4 3 4 5 = 0 1 Г 1 -1.-1 1 -1 -2 > образуют базис пространства симметрических матриц порядка 3, и найти координаты матрицы А — 0 6 1 6 3-3 1 -3 -3 в этом базисе. 17.35. Доказать, что многочлены 1,1 — а, {I — аJ,..., (I — а)п образуют базис пространства Мп, и найти координаты произвольного многочлена р{1) Е Мп в этом базисе. 17.36. Доказать, что многочлены 21+1ъ, 1Ъ—1Ъ, 1+13 образуют базис с пространстве нечетных многочленов степени не выше 5, и найти координаты многочлена 5^ — ^3 + 2$ в этом базисе. 17.37. Доказать, что каждая из двух систем матриц Г1 21 3 0 0 2 ) Г 0 11 -1 1 0 0 ) ГО 1 0 01 -2 1 ) ГО 01 0 1 0 2 ) ГЗ 11 2 1 1 0 ) ГО 0] 0 0 0 1 Г1 4 0 11 -1 2 ) Г4 3] 5 1 1 2 5 ГЗ 01 3 0 1 0 ) ГЗ 0 1 11 5 -2 ) Г 0 11 -1 2 0 0 ) Го 1 0 01 -1 4 является базисом пространства М3х2, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты матрицы размера 3 х 2 в первом базисе, если известны ее координаты (^1> &> •••>&) в0 втором базисе. 17.38. Доказать, что каждая из двух систем матриц Г0 1—2 -10 3 [2-30 Г 0 1 1] -1 0-1 -1 1 0] ) 1 Г0 0-11 0 0 4 [1-4 О] '02-2 -2 0 3 2-3 0 1 •) '0-1 2" 1 0 -2 -2 2 0 _ (10 -1 0-2 [ 0 2 0
§17. Базис и координаты 155 является базисом в пространстве кососимметрических матриц порядка 3, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты кососимметрической матрицы порядка 3 в первом базисе, если известны ее координаты (^ь&^з) в0 втором базисе. 17.39. Доказать, что каждая из двух систем функций 1-12, *3, 1 + 5* +*3, A + *K и A+*K, (I-*K, 1-г2 + 1\ 1 + г + *2 + г3 является базисом пространства М%. Найти координаты многочлена степени не выше 3 в первом базисе, если известны его координаты (^1,&»&> 60 во втором базисе. 17.40. Доказать, что каждая из двух систем функций A + г2J, (I-*2J, 1 и 1 + 12+1А, 1-г2 + г4, I4 является базисом в пространстве четных многочленов степени не выше 4, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты четного многочлена степени не выше 4 в первом базисе, если известны координаты (^ъ^2>^з) в° втором базисе. 17.41. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: а) поменять местами г-й и ^'-й векторы первого базиса; б) поменять местами г-й и ^'-й векторы второго базиса; в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке? 17.42. Матрица 5 является матрицей перехода от первого базиса ех,..., еп ко второму базису Д,..., /71 п-мерного пространства У, а матрица ф - матрицей перехода от третьего базиса <7х,..., дп ко второму базису Д,..., /п. Найти матрицу перехода: а) от второго базиса к первому; б) от первого базиса к третьему. 17.43. Как связаны между собой базисы Д,..., /п и е\,..., еп пространства V, если матрица перехода от базиса е к /: а) диагональная; в) верхняя треугольная; б) скалярная; г) нижняя треугольная? 17.44. Доказать, что система векторов является базисом линейного пространства тогда и только тогда, когда она образует
156 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств минимальную систему, порождающую все пространство. 17.45. В п-мерном линейном пространстве даны векторы еь...,ет, причем тп > п + 2. Доказать, что существуют такие числа ах,..., ат, не все равные нулю, что ]С*^=1 агег = 0 и 17.46. Пусть ех,..., еп и /х,..., /п - два базиса линейного пространства У и 1 < /с < п. Доказать, что из векторов второго базиса можно выбрать такие к векторов, что после обмена их с векторами ех,..., е^ из первого базиса получатся снова два базиса пространства V. 17.47. Векторы х±,..., ж& Е V линейно независимы, а базис ех,..., еп пространства V таков, что он остается базисом после замены вектора е{ на вектор Х{ при любом г = 1, к. Верно ли, что векторы хх,..., х%, е&+ь • • • > еп тоже образуют базис пространства VI 17.48. Известно, что матрицы А\) Ач, • •., Ашп образуют базис пространства Ктхп, а матрицы В\, Вч,..., #5/ - базис пространства К5Х*. Доказать, что их всевозможные кронекеровы произведения А{ ® В^, г = 1,тп, ] = 1,5/, образуют базис пространства КтпХ5/. 17.49. Матрицы А\, Лг,..., ^тп образуют базис пространства Мтхп. Доказать, что матрицы ВА\, ВАч,..., ВАтп также образуют базис этого пространства тогда и только тогда, когда квадратная матрица В порядка т невырождена. §18. Линейное подпространство и линейное многообразие Непустое подмножество Ь пространства V называется линейным подпространством пространства V, если оно само является линейным пространством относительно законов композиции, действующих в V. Теорема 18.1. Непустое подмножество Ь пространства V является линейным подпространством этого пространства тогда и только тогда, когда имеют место импликации: а,Ъ е Ь =>¦ а + ЬбЬ; ае Ь,аеШ => аае Ь. Пусть V - линейное пространство, Ь - некоторое его подпространство, хо - некоторый вектор пространства V. Множество Н всевозможных векторов вида хо + х, где хб1/, называется линейным многообразием (или линейным аффинным многообразием) пространства V, полученным сдвигом подпространства Ь на вектор хо- Вектор хо называется вектором сдвига,
§18. Линейное подпространство и линейное многообразие 157 а подпространство Ь - направляющим подпространством линейного многообразия Н. Обозначение: Н = хо + Ь. Итак, хо + Ь = {хо ¦+¦ х\х Е Ь}. Из определения вытекают следующие факты. 1°. Вектор сдвига хо принадлежит линейному многообразию. 2°. Разность двух векторов линейного многообразия принадлежит направляющему подпространству. Теорема 18.2. Два линейных многообразия Н\ — х\ -\- Ь\ и #2 = Х2 +1/2 совпадают тогда и только тогда, когда Ь\ = Ьъ — Ь и х\ — Х2 Е Ь. Следствие 1. Вектором сдвига может быть любой вектор линейного многообразия. Следствие 2. Линейное многообразие может быть получено сдвигом единственного направляющего подпространства. Размерностью линейного многообразия называется размерность его направляющего подпространства. Линейное многообразие размерности единица называется прямой в линейном пространстве, размерности (п — 1), где п = сНтV, - гиперплоскостью, а размерности /с, 1 < к < п— 1, - к-мерной плоскостью. ЗАДАЧИ 18.1. Образуют ли линейное подпространство арифметического пространства Кп все векторы х — (#ь#2» • • • ->хп) € Кп, компоненты которых: а) являются целыми числами; б) являются четными числами; в) являются нечетными числами; г) удовлетворяют условию х\ + Х2 + ... + хп = 0; д) удовлетворяют условию х\ + Х2 + ... + хп — 1? 18.2. Образуют ли линейное подпространство пространства 1^2 все векторы плоскости, а) каждый из которых лежит на одной из осей координат Ох и Оу\ б) концы которых лежат на данной прямой (начало любого вектора, если не оговорено противное, предполагается совпадающим с началом координат); в) начала и концы которых лежат на данной прямой; г) концы которых лежат в первой четверти системы координат; д) концы которых лежат в первой или третьей четверти системы координат? 18.3. Указать все линейные подпространства геометрического пространства Уз-
158 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств 18.4. Образуют ли линейное подпространство пространства матриц Кпхп: а) матрицы А, у которых Ъг А = 0; б) все симметрические матрицы порядка п; в) все кососимметрические матрицы порядка п; г) все невырожденные матрицы порядка п; д) все треугольные матрицы одинакового вида; е) все верхние ступенчатые матрицы; ж) все матрицы с нулевой главной диагональю? 18.5. Образуют ли линейное подпространство пространства многочленов Мп все многочлены р{1) Е Мп, для которых а) рA) = 0; б) р(-1) = р{1) V* € К; в) р(-1) = -рD) V* 6 К; г) рA) = 1; Д) 2р@) = ЗрA); е) р(о&) = &рA) для любого ^ Е К, где а Е К - некоторое фиксированное число; ж)р{1) >0при*Е [0;1]; з) I = 1 является простым корнем? 18.6. Образуют ли линейное подпространство пространства V а) все линейные комбинации заданных векторов а\)..., а& 6 V; б) все те линейные комбинации заданных векторов ах,..., а& Е У, коэффициенты ах,..., а& Е К которых удовлетворяют условию ах + ... + а/с = 0 ? 18.7. Что представляет собой линейное многообразие размерности нуль? размерности п в п-мерном линейном пространстве? 18.7.1. Доказать, что множество Н векторов линейного пространства образует линейное многообразие тогда и только тогда, когда оно вместе с каждой парой векторов хх>#2 содержит все векторы вида ос\Х\ + а2^2, где ах,аг Е К, ах + аг = 1. 18.7.2. Образуют ли линейное многообразие пространства V все те линейные комбинации заданных векторов ах,..., а*. Е V, коэффициенты ах,..., а& Е К которых удовлетворяют условию: а) ах + ... + аь = 1; б) ах + ... + ак = 2; в) ах + 2а2 + ... + ка^ = 1 ? 18.7.3. Образуют ли линейное многообразие арифметического пространства Мп все векторы х = (#х>#2> • • • ,хп) € Кп, компоненты которых а) являются целыми числами;
§18. Линейное подпространство и линейное многообразие 159 б) являются неотрицательными вещественными числами; в) удовлетворяют условию Х\ -Ь #2 + • • • + Хп — 1; г) удовлетворяют условию х\Х2 • • • хп = 0; д) удовлетворяют условию х\Х2 •. • хп > 0; е) удовлетворяют условию х\ = х^ — • •. = хп\ ж) удовлетворяют условию х\ + 1 = х^ + 2 = ... = хп + п? Если образуют, то является ли это многообразие линейным подпространством? 18.7.4. Образуют ли линейное многообразие пространства Уз все векторы: а) концы которых лежат на данной плоскости, при условии, что векторы отложены от начала координат; б) концы которых лежат на данной плоскости, при условии, что векторы отложены от некоторой фиксированной точки пространства; в) концы которых лежат на прямой /х, при условии, что векторы отложены от точек прямой /2, параллельной 1\\ г) концы которых лежат на прямой /х, при условии, что векторы отложены от точек прямой /2> пересекающей 1\\ д) концы которых лежат на прямой /х, при условии, что векторы отложены от точек прямой /2, скрещивающейся с 1\\ е) концы которых лежат на прямой / при условии, что векторы отложены от точек плоскости 7г, параллельной /; ж) концы которых лежат на прямой / при условии, что векторы отложены от точек плоскости 7Г, пересекающей / ? Если образуют, то какова размерность этого многообразия? 18.7.5. Образуют ли линейное многообразие пространства матриц Кпхп все матрицы Л Е Кпхп: а) у которых след равен единице; б) для которых А + Ат = 7; в) для которых В А = О, где В Е Кпхп - заданная матрица; г) для которых В А = 2В, где В Е Кпхп - заданная матрица; д) для которых Ат = В А, где В Е Кпхп - заданная матрица; е) у которых ранг равен единице; ж) которые обратимы; з) для которых А2 = А; и) у которых ранг не превосходит двух? 18.7.6. Образуют ли линейное многообразие в пространстве многочленов Мп все многочлены р{1) Е Мп:
160 Глава IV. Введение в теорию линейных пространств а) для которых рA) = 1; б) для которых р'@) = р@) + 1; в) для которых р@)рA) = 0; г) у которых степень равна п; д) для которых число I — 1 является корнем; е) для которых число I = 1 является кратным корнем; ж) остаток деления которых на I — 1 равен 1; з) остаток от деления которых на I2 — 1 равен I ? 18.8. Доказать, что линейное многообразие Р = хо + Ь тогда и только тогда является подпространством, когда хо Е Ь. 18.9. Доказать, что для того, чтобы линейное многообразие Р — хо + Ь было подпространством, достаточно, чтобы сумма каких-либо двух векторов х\ и Х2 из Р принадлежала Ь. 18.10. Доказать, что в линейном многообразии размерности /с, не являющимся подпространством, можно найти линейно независимую систему, состоящую из к + 1 векторов. 18.11. Доказать, что в линейном многообразии размерности к всякая система, состоящая из к+2 векторов, линейно зависима. 18.12. Доказать, что для любых к + 1 линейно независимых векторов существует и притом единственное линейное многообразие размерности к, содержащее эти векторы. 18.13. Доказать, что линейное многообразие размерности /с, содержащее линейно независимые векторы хо, #ъ ..., #ь может быть описано как множество всех линейных комбинаций ао#о + ос\Х\ + .. .Н-о^х/с, коэффициенты которой удовлетворяют условию ао + а\ + ... + а^ = 1.
Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений Системой т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными называется совокупность соотношений ( а\\Х\ ¦+¦ Д12#2 + • • . + СЦпХп = Ь\, I а2\Х\ + а22%2 + .. • + а2пХп = Ьг, ( а>гп\Х\ + ат2Ж2 + ... Н- атпХп = Ъгп, где (Ц],Ьг (г = 1, т, ,7 = 1, п) - заданные вещественные числа, а ал, ... , хп - неизвестные величины. Числа а^ называются коэффициентами системы, а Ьг - свободными членами. Упорядоченная совокупность чисел с\,..., сп бМ называется решением системы, если при подстановке этих чисел в систему вместо неизвестных х\,... ,хп соответственно каждое уравнение обращается в тождество. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения. Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения. Исследовать и решить систему - это значит: • установить, совместна она или несовместна; • если она совместна, установить, является она определенной или неопределенной, при этом: - в случае определенной системы найти единственное ее решение; - в случае неопределенной системы описать множество всех ее решений. Коэффициенты системы образуют матрицу А = (а^) 6 КтХп, называемую основной матрицей системы, свободные члены образуют столбец Ь = {Ъ\,... ,Ьт)Т 6 Мт, называемый столбцом свободных членов или столбцом правой части, а неизвестные - столбец х = (х\,... ,хп)Т, называемый столбцом неизвестных. В этих обозначениях система может быть записана в виде Ах = Ь или х\а\ -+¦••• + хпап = Ь, где аг.(г = 1,п) - столбцы матрицы А. Две системы линейных алгебраических уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества всех решений этих систем совпадают. Теорема. Умножение обеих частей системы Ах = Ь слева на невырожденную матрицу приводит ее к эквивалентной системе. 6—4271
162 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений §19. Системы с квадратной невырожденной матрицей Теорема 19.1. Система линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение. Это решение имеет вид х = А~1Ь или, в покомпонентной записи, Хг = \Аг\/\А\, г = Т~п, где Аг получается из матрицы А заменой ее г-го столбца столбцом Ь свободных членов. Эти формулы называют правилом Крамера. з адачи Пользуясь правилом Крамера, решить системы уравнений. Bх- у+ 3г = 9, ( х + у + 2г = -1, 19.1. I Зх-5у+ г = -4, 19.2. I 2х -у + 2г = 3, [Ах-7у+ 2 = 5. {4:Х + у + 4г = -3. (Зх + 2у + 2 = 5, Г х + 2у + 4г = 31, 19.3. {2х + 3у+ 2 = 1, 19.4. <Ьх+ у+ 22 = 29, [2х+ у+ 3г = 11. [Зх- у+ 2 = 10. Для каждого значения параметра А исследовать и решить системы уравнений. 19.5. ( ХХ + <Л ~2]У = ~1\ 19.6. ( ^ ! *У = * ~ 2> 19.7. Выяснить, является ли вектор Ь = A,2, ...,п) Е Мп линейной комбинацией векторов ах, а2,..., ап Е Кп вида: а) ах = A,1,1,...,1), б) аг = A,1,..., 1), а2 = A,2,4,...,2-1), а2 = @,1,...,1), ап = A,п,п2,...,пп х); ап = @,0,..., 1). 19.8. Доказать, что любой многочлен степени п однозначно определяется своими значениями при п + 1 различных значениях переменной, т.е. показать, что для произвольных различных между собой чисел 2о>*ъ • • • >*п € К и произвольных чисел ао,ах,... ,ап Е К существует и притом только один многочлен /B) степени не выше п, для которого
§19. Системы с квадратной невырожденной матрицей 163 19.9. Пользуясь предыдущей задачей, доказать эквивалентность следующих двух определений равенства многочленов от одной переменной с действительными коэффициентами: а) два многочлена называются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной; б) два многочлена называются равными, если их значения совпадают при каждом значении переменной. 19.10. Найти многочлен /(*) второй степени, если известно, что /A) = -1, /(-1) = 9, /B) = -3. 19.11. Найти многочлен /(<) третьей степени, если известно, что /(-1) = 0, /A) = 4, /B) = 3, /C) = 16. 19.12. Доказать, что любой многочлен /(*) степени п однозначно определяется своим значением и значениями всех своих производных до порядка п при некотором I = <о, т.е. показать, что для любых чисел ао, а>\, аг,..., ап Е К существует и притом только один многочлен /(/:) степени не выше п, для которого /(*о) = «о, /'(«о) = оь /"(<о) = «2, • •., /(п)('о) = ап. 19.13. Доказать, что, каковы бы ни были числа ^х>^25&(Ъ&ъ ...,ап_х, Ьо Е К (*х ф *2)> существует и притом единственный многочлен /(<) степени не выше п такой, что /(*1) = «О, №) = СЦ, . . ., /("-^х) = Оп-1, №) = ЬО- 19.14. Доказать, что, каковы бы ни были числа ^х^2>&о>аъ • • •» Як, Ьо, Ьх,..., Ъ[ Е М {1\ ф ^25 к + I = п — 1), существует и притом единственный многочлен /B) степени не выше п такой, что /(*1) = а0,/,(*1) = О1,..-,/(*)(*1) = Ок, /(*2) = Ь0,/'(*2)=Ьь---,/(')(*2)=Ь»- 19.15. Доказать, что равенства АЪ\ = сх, ЛЬ2 = сг, ..., ^4ЬП = Сп, в которых вектор-столбцы Ъ\, Ьг» • • •, Ьп Е Кпх1 линейно независимы, а вектор-столбцы сх, С2, • • •, Сп €1 Ктх1 произвольны, определяют и притом единственным образом матрицу А Е Ктхп. 19.16. Доказать, что для любой линейно независимой системы матриц Бх,В2,... ,ВП2 Е Мпхп и чисел ах, а% ... ,ап2 Е М
164 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений существует и притом единственная квадратная матрица А порядка п такая, что выполнены соотношения Ьт(АВь) = аь,к = 1,п2. 19.17. Доказать, что система ' Ъх + ау = с, сх + аг = 6, су + Ьг = а. имеет единственное решение, если аЬс ^= 0, и найти это решение. 19.18. Доказать, что система ( ах\ + Ьх2 + схз + Лх± = О, Ъх\ — ах2 + Aхз — СХ4 = О, СХ\ — AX2 — ^#3 + &Г4 = О, I, Ах\ + сх2 — Ьхз — ах^ = 0. имеет единственное решение, если действительные параметры а, Ъ, с, A не все равны нулю. Решить следующие системы уравнений. Х\ + Х2 + ...+ Хп = 11 агхг + а2Х2 + 19.19. < а\х\ + а2х2 + • Н" апхп — о, • ' о,пхп = о , -П-1, ГГ1 + а%-гх2 + ... + ай_1хп = Ьп~\ где ах, а2,..., ап Е К попарно различны. х\ + ахх2 + ... + а™ хп = 19.20. < хх + а2Х2 + .-. + а2 хх71 Ь2, ( XI+апж2+ ...+< 1хп = Ьп, где ах, а2,..., ап Е К попарно различны. #1 + Х2 + ...+ ЖП = Ь1, аххх + а2х2 + ...+ апхп = Ь2, 19.21. а^хх + а2х2 + .+ .+ .+ О^Хп — Ьз^ ,п-1 п-1Л а1! ххг+а'2 х2 + + < 1жп = . где ах,а2,..., ап & К попарно различны.
§19. Системы с квадратной невырожденной матрицей 165 19.22. 19.23. < Х\ + Х2 + ...+ 2п + 1=0, 2x1 + 22х2 + ... + 2пхп + 1 = 0, ПХ\ + П2Х2 + . . . + ППХп + 1 = 0. ах\ + ах2 + ... + ахп-\ + Ь#п = Сп, ах\ + а^2 + ... + Ьхп-\ + ахп = сп_х, ( Ьх\ + аа;2 + • • • + а>хп-1 + ахп = сь где (а-Ь)(Ь+(п-1)а) ^ 0. 19.24. < + + ...+ 1, Ьх — ах &1 — а2 Ьх — ап Х\ Х2 Хп _1 + ¦; !-•••+ 7 "" -Ч Ь2 — ах Ь2 — а2 XI Х2 + ...+ Ь2 -ап Хп \Ьп — а\ Ьп — а2 &п — ап где а\,A2,..., ап, Ьх, Ь2,..., Ъп € К попарно различны. 19.25. Пользуясь правилом Крамера, вывести для п-й производной функции /(<) = Н{1) формулу /<">(*)= (Л@) 71+1 М<) *'(*) Л"(<) 0 н(г) 2Л'(*) 0 0 Ь(*) 0 5@ 0 </(') 0 </'(*) Л<п)(*) С^^) С2/^^) ... Н(г) д^{1) 19.26. Доказать, что если система Ах = Ь с квадратной вырожденной матрицей А совместна, то в формулах правила Крамера: \Аг\ = 0, г = Т7п. 19.27. Пусть Ах — Ь - система с квадратной матрицей Л п-го порядка и г§Л = п — 1. Доказать, что если в формулах правила Крамера \А{\ = 0, г = 1,п, то система совместна. Верно ли утверждение этой задачи в случае, если г§ А < п — 1 ?
166 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений §20. Системы общего вида Совместность системы. Пусть Ах = Ь B0.1) - система общего вида и А = (а^) € КтХп. Составим матрицу В, приписав к матрице А столбец свободных членов: В=[А\Ь]. Матрица В называется расширенной матрицей системы B0.1). Теорема 20.1 (теорема Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Схема исследования совместной системы. Пусть система уравнений ацх\ + ... 4- а\гХг 4- а\,г+1Хг+1 4- ... 4- а\пхп = 61, аг\х\ 4-... 4- аггхГ 4- аг,г+1Хг+1 4- ... 4- агпхп = Ьг, (*) V ат\Х\ 4~ • • • 4" йтгХг 4~ <2,т,,г-}-1#г+1 + •••"!" а1ППХп — От совместна и г§ А = г^ В = г. Схема исследования системы (*) состоит в следующем. 1. Выбирается базисный минор матрицы А. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что базисный минор матрицы А находится в левом верхнем углу, так что ац ... а\Т Ф0. аг\ ... аГ1 2. Рассматривается укороченная система из первых г уравнений системы (*), т.е. из уравнений, коэффициенты которых входят в базисный минор: а.цх\ 4-... 4- а\гХг 4- а1)Г-н#г+1 4-... 4- а\пХп = Ъ\, (**) аг\Х1 4- ... 4- аггхг 4- аг>г+1Жг+1 4- ... 4- аГпХп = Ьг. Теорема 20.2. Укороченная система (**) эквивалентна системе (*)¦ 3. Если г — п, то система (**) имеет единственное решение как система с квадратной невырожденной матрицей. 4. Пусть г < п. Неизвестные 2?1,...,жг, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называются главными, а остальные неизвестные Жг+1,..., жп - свободными. Теорема 20.3. Придавая свободным неизвестным произвольные значения и вычисляя значения главных неизвестных из системы (**), можно получить все решения системы (**) . Изложенная схема дает правило, которое позволяет получить любое решение системы (**) , а следовательно, и произвольной совместной системы линейных алгебраических уравнений. Теорема 20.4. Система алгебраических уравнений с п неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда т%А = щВ = п.
§20. Системы общего вида 167 Общее решение системы. Чтобы описать множество всех решений неопределенной системы, можно решить систему (**) относительно главных неизвестных: #1 = /1(жг+1, • • • ,#п), B0.2) Хг — ]г\%г + \ > • • • ) З^п)) где /ь • •., Л - некоторые однозначно (в силу теоремы 19.1) определяемые из (**) функции. Соотношения B0.2) при произвольных жг-н,... ,хп описывают множество всех решений системы и называются общим решением системы. В отличие от общего, конкретное решение х = (сь ... , сп)т, где с», г = 1,п, - известные числа, называется частным решением. Однородные системы. Система линейных алгебраических уравнений с нулевой правой частью называется однородной. Однородная система заведомо имеет решение @, ...,0)т, называемое тривиальным. Теорема 20.5. Однородная система с п неизвестными имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда г$А<п. Теорема 20.6. Однородная система с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда \А\ = 0. ЗАДАЧИ 20.1. Рассматривается система п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными Ах = Ь. Указать все утверждения из приведенных ниже, равносильные невырожденности матрицы А. 1. Для любого Ъ система имеет хотя бы одно решение. 2. Для некоторого Ь система имеет хотя бы одно решение. 3. Для любого Ь система имеет не более одного решения. 4. Для некоторого Ъ система имеет не более одного решения. 5. Для любого Ь система имеет единственное решение. 6. Для некоторого Ь система имеет единственное решение. 20.2. Что можно сказать о матрице А Е Мтхп, т ф- п, если система Ах = Ъ совместна при любом Ъ ? 20.2.1. Что можно сказать о матрице А Е Мтхп, если система Ах = Ь имеет единственное решение при любом Ь ? 20.3. Привести пример матрицы А Е М3х5, для которой система уравнений Ах = Ь совместна при любом Ь. 20.4. Привести пример матрицы Л Е К3х3: а) ранга 1, б) ранга 2, для которой все три системы уравнений не имеют решений (е* - единичные вектор-столбцы из К3).
168 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений 20.5. Доказать, что для любой вырожденной матрицы А и любой нулевой матрицы О подходящих размеров существует ненулевая матрица В такая, что: а) АВ = О; б) В А = О. 20.6. Доказать, что для того, чтобы система линейных уравнений с числом уравнений, на единицу большим числа неизвестных, была совместна, необходимо (но, вообще говоря, не достаточно), чтобы определитель расширенной матрицы был равен нулю. Показать, что это условие будет также и достаточным, если ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных. 20.7. Доказать, что если столбцы основной матрицы системы линейно независимы, то эта система имеет не более одного решения. 20.8. Пусть А е Ктхп и а' е К1хп. Доказать, что системы [ а а вектор-строка а' линейно выражается через строки матрицы А. 20.9. Доказать, что системы уравнений А!х = 0 и А"х = О эквивалентны тогда и только тогда, когда А ]=щА' = тёА". л I Ах = О, Ах = 0 и \ л/ _ р/ эквивалентны тогда и только тогда, когда г§ А" 20.10. Пусть А е Ктхп, Ь е Ктх\ а' € К1хп и /? е И. До- л , Г Ах = Ь, казать, что совместные системы Ах = о и < ; А эквива- ' [ ах — р лентны тогда и только тогда, когда вектор-строка [а'\0\ линейно выражается через строки расширенной матрицы [А\Ь]. 20.11. Доказать, что совместные системы уравнений А'х — Ъ' и А"х = Ъп эквивалентны тогда и только тогда, когда Г А' У Л -**¦ " л I л II щ\ А" Ъ" =щЛ =Г§Л * 20.12. Доказать, что матричное уравнение АХ = В, в котором А Е Ктхп, В Е Мтх^ - заданные матрицы, а матрица X б Кпх;с искомая, имеет решение тогда и только тогда, когда щ[А\В]=щА. 20.13. Векторы х*1),^2),..., х<*) являются решениями неоднородной системы уравнений Ах = Ь. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты линейной комбинации этих векто-
§21. Метод Гаусса исследования и решения систем 169 ров, чтобы она снова была решением системы Ах = Ы 20.14. Векторы х^1\ х&\ ..., х^ являются решениями неоднородной системы уравнений Ах — Ъ. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты линейной комбинации этих векторов, чтобы эта комбинация была решением соответствующей однородной системы Ах = 0 ? 20.15. Показать, что если матричное уравнение АХ В = С, в котором А е Ктхп, В е Шрхд, С е Штхд - заданные матрицы, а матрица X е Мпхр искомая, рассматривать как систему линейных уравнений относительно элементов матрицы X, то матрицей этой системы будет матрица ВТ ® Д если элементы каждой из матриц X и С занумеровать по столбцам. 20.16. Показать, что если матричное уравнение АХ + ХВ = С, в котором А е Ктхт, В е Кпхп, С е Ктхп - заданные матрицы, а матрица X Е Ктхг1 искомая, рассматривать как систему линейных уравнений относительно элементов матрицы X, то матрицей этой системы будет матрица 1п ® А + Вт ® /т, если элементы каждой из матриц X и С занумеровать по столбцам. 20.17. Доказать, что матричное уравнение АХ В = С, в котором А е Ктхп, В е Мрх<?, С е Ктх* - заданные матрицы, имеет решение тогда и только тогда, когда гёА = тё[А\С] и гёВ = тё[Вт\Ст]. §21. Метод Гаусса исследования и решения систем Укажем тип простейших систем линейных уравнений, тип эквивалентных преобразований системы, а также покажем, что произвольная система линейных алгебраических уравнений указанными преобразованиями приводится к указанному типу. Системы с трапециевидной матрицей. Рассматривается система Ах = Ь B1.1)
170 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений с верхней трапециевидной матрицей А. Пусть расширенная матрица этой системы имеет вид ац 0 0 0 '6' й12 • 1 Д22 • 0 . 0 . 'о' ! а\г . а.2г . | агг • .0 '. 'о 0>1,г+1 Л2,г-|-1 аг,г+1 0 '6' '. • а>\п . а,2п (Хггх . 0 ! о' Ьх ь2 Ьг Ъг+ Ътп где ац ф 0, г = 1,г. Теорема 21.1. Система с верхней трапециевидной матрицей совместна тогда и только тогда, когда Ьк = 0 пргх к > г. Реализация всех пунктов схемы исследования и решения совместной системы (§20) для системы с верхней трапециевидной матрицей достаточно проста: 1) в качестве базисного минора матрицы А всегда можно взять минор, расположенный в левом верхнем углу; 2) укороченная система состоит из первых г уравнений; 3) если г = п, то система B1.1) станет системой с треугольной матрицей ацхх + а\2 4- ... 4- а\гхг = 61, Д22 4 ... 4 а2гХГ = 62, С4т"Г"-'Т О т* , которая имеет единственное решение (§19); найти его не представляет труда: решая последовательно уравнения системы снизу вверх, мы каждый раз будем иметь дело с уравнением, содержащим только одно неизвестное. 4) если г < п, то неизвестные хг+1,... ,хп будут свободными и система относительно главных неизвестных будет иметь вид ацхх 4 ... 4 ахгХг = Ь\ — а1)Г+1Жг+1 — ахиХ-п.) аТгхТ = Ьг — аг,г+\Хг+1 — ... — агпХп. Общее и частное решения исходной системы находятся из этой системы с треугольной матрицей. Элементарные преобразования системы уравнений. Элементарными преобразованиями системы уравнений называются преобразования следующих типов: 1) перестановка местами двух уравнений системы; 2) умножение какого-либо уравнения системы на число а ф 0; 3) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на любое число /3. Заметим, что элементарные преобразования системы уравнений означают элементарные преобразования строк ее расширенной матрицы В. Теорема 21.2. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений приводят ее к эквивалентной системе. Приведение системы общего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей. Известно (§3), что матрица А системы уравнений
§21. Метод Гаусса исследования и решения систем 171 B1.1) общего вида элементарными преобразованиями строк и перестановками столбцов приводится к верхней трапециевидной форме. Если используемые при этом элементарные преобразования строк матрицы А применить к строкам расширенной матрицы Б, то на основании теоремы 21.2 мы придем к системе с верхней трапециевидной матрицей, решения которой отличаются от решений исходной системы только нумерацией неизвестных. Метод Гаусса исследования и решения системы уравнений состоит в приведении ее к системе с верхней трапециевидной матрицей с последующим исследованием и решением получившейся системы. При этом, если в процессе преобразования использовались перестановки столбцов основной матрицы А) то в полученных решениях необходимо восстановить исходную нумерацию неизвестных. Пример 21.1. Исследовать и решить систему х\ + Х2 4- Зхз 4 2x4 = 1, 2x1 4 Зх2 4- хз 4- 4x4 = 4, хх 4 3x2 — 7хз 4- 2x4 = 3. Решение. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведем матрицу системы к верхней трапециевидной форме: 1 1 2 3 1 3 3 2 1 4 -7 2 1 " 4 3 - " 1 1 0 1 0 2 3 2 -5 0 -10 0 1 " 2 2 №! 0 0 3 2 -5 0 0 0 1 2 -2 Система с последней расширенной матрицей несовместна. ¦ Пример 21.2. Исследовать и решить систему XI + 4X2 — 5X4 = 0, 2x1 + 9х2 - 2х3 - 11х4 = 3, XI 4 5X2 — Хз — 6X4 = 1, 2x1 4 8х2 4- Зхз - 7х4 = 9, 2x1 4- 7x2 4 8хз — 3x4 = 15. Решение. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведем матрицу системы к верхней трапециевидной форме: 1 4 2 9 1 5 2 8 2 7 0 -2 -1 3 8 -5 -11 -6 -7 -3 01 3 1 9 15 _> Г1 0 0 0 0 4 1 1 0 -1 0 -2 -1 3 8 -5 -1 -1 3 7 °1 3 1 9 15 _у Г* 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 6 -5 -1 0 1 6 01 3 -2 3 18] [1* V 0 0 . 0 4 1 н 0 0 0 -2 1 0 -5 -1 0 1 0 о 3 -2 5 0 Система с последней расширенной матрицей совместна и определенна. Решим последовательно уравнения получившейся системы, начиная с последнего: Х4 = 5, хз = -2, Х2 = 3 4 Х4 4 2Х3 = 4, XI = 5X4 — 4X2 = 9.
172 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений Итак, система имеет единственное решение - вектор-столбец (9,4,—2,5)т. ¦ Пример 21.3. Исследовать и решить систему ' 2x1 4 Х2 4 3x4 — 2x5 = 1, 6X1 4- 3X2 4 2X3 4 Х4 4 8X5 = 1, 4x1 4-2x2+ #з 4 х5 = -1, к 2x1 + Х2+ хз 4 3x4 4 9x5 = 4. Построить ее общее решение и указать какое-нибудь частное решение. Решение. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведем матрицу системы к верхней ступенчатой форме: 2 10 3 6 3 2 1 4 2 10 2 113 -2 8 1 9 11 1 -1 4] —* 2 10 3-2 0 0 2-8 14 0 0 1-6 5 0 0 1 0 11 2 10 3-2 0 0 1-4 7 0 0 0-2-2 0 0 0 4 4 1 -1 -2 4 П 2 1 0 3-2 0 0 | 1 -4 7 0 0 011 1 Базисный минор этой матрицы расположен в первом, третьем и четвертом столбцах, поэтому выберем свободными неизвестные Х2 и Х5 и выразим через них остальные неизвестные, решая относительно них уравнения системы, начиная с последнего: Х4 — 1 — Х5, хз = — 1 4 4x4 — 7x5 = 3 — 11x5, 2x1 = 1 — хг —x4 4 2x5 = —2 — Х2 4 5x5 =>¦ XI = — 1 — хг/2 4- 6x5/2. Итак, общее решение системы имеет вид х = (-1-хг/2 4 5x5/2, Х2,3 - 11x5,1 - Х5,Х5) , Х2,Х5бК. Частное решение системы получится, если в ее общем решении задать значения свободных неизвестных, например, положить их равными Х2 = х5 = 0: х = (-1,0,3,1,0)т. . Пример 21.4. Найти необходимое и достаточное условие того, что в любом решении совместной системы линейных уравнений неизвестное Хк принимает одно и тоже значение. Решение. Условие означает, что Хк не может быть свободным неизвестным, т.е. что к-й столбец матриц системы входит в любой ее базисный минор и, следовательно, не является линейной комбинацией других столбцов. Это равносильно тому, что при вычеркивании /с-го столбца ранг матрицы системы уменьшается на единицу. ¦ ЗАДАЧИ Исследовать на совместность и найти общее решение системы уравнений.
§21. Метод Гаусса исследования и решения систем 173 21.1. < XI + х2-Зх3 = -1, 2x1+ х2-2х3 = 1, XI + Х2+ Х3 = 3, XI +2x2 -Зхз = 1. 21.2. I Bx1 + х2+ х3 = 2, XI +3х2+ Х3 = 5, XI + х2 + 5хз = -7, 12x1 + Зх2 - Зхз = 14. 21.3. 'х1-2х2 + х3- х4 = -1, Х1-2х2 + хз+ Х4 = 1, 21.4. х\ — 2x2 + хз + 5x4 = 5. BX1+ Х2~ Х3+ Х4 = 1, 3x1 - 2x2 + 2хз — 3x4 = 2, 5x1+ х2- х3 + 2х4 = -1, 1,2X1— Х2+ Хз —3X4 = 4. 21.5. < ( 2X1 - Х2 + Х3 - Х4 = 1, 2X1 - Х2 — 3X4 = 2, 3X1 — Хз + Х4 = —3, 2X1 + 2X2 — 2хз + 5X4 = 21.6. < -6. Bx1- х2+ Зх3 = 3, 3X1+ Х2— 5Хз = 0, 4X1- Х2+ Х3 = 3, XI + 3X2 — 13хз = —6. 21.7. '3X1+ Х2~2х3+ Х4 - Х5 = 1, 2X1 — Х2 + 7хз — 3X4 + 5X5 = 2, XI + 3X2 — 2хз + 5X4 — 7X5 = 3, . 3X1 — 2X2 + 7хз — 5X4 + 8X5 = 3. 21.8. < XI + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 11, 2х1 + 3х2 + 4хз+ х4 = 12, 3X1 + 4X2 + Хз + 2X4 = 13, I 4x1 + х2 + 2х3 + Зх4 = 14. 21.9. < ( XI + Зх2 + 2х3 = О, 2x1 - х2 + Зх3 = О, 3x1 - 5x2 + 4х3 = О, I хх + 17х2 + 4х3 = О. 21.10. < ( XI + 2X2 — 3X4 + 2X5 = 1, XI — Х2 — Зхз + Х4 — 3X5 = 2, 2x1 — 3x2 + 4хз — 5x4 + 2x5 = 7, [ 9x1 - 9x2 + бхз - 16x4 + 2x5 = 25. 21.11. < BX1+3X2 — Хз + 5X4 = 0, 3x1 — #2 + 2хз - 7x4 = 0, 4X1+Х2 — Зхз + 6X4=0, [ XI—2X2 + 4хз — 7X4=0. 21.12. < [х\- 2x2 + Зхз — 4x4 = Х2-Х3 + х4 = -3, XI+3X2 — 3X4 = 1, [-7х2+3хз + х4 = -3. 4, 21.13. < XI — 2X2 + Зхз — 4X4 + 2X5 = —2, XI + 2Х2 - Х3 - Х5 = -3, XI — Х2 + 2хз — 3X4 = 10, Х2 - Хз + Х4 - 2X5 = -5, 2X1 + 3X2 - Хз + Х4 + 4X5 = 1-
174 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений 21.14. ^ 21.15. 21.16. ( Х\ + Х2 — 3X4 — #5 ~ О? #1 — Х2 + 2^3 — #4 = О, 4^1 - 2^2 + бхз + 3x4 - 4x5 = О, 1,2хх + 4x2 - 2хз + 4x4 - 7x5 = О. Х\ + Х2 + Х3 + Х4 + Х5 = 7, 3x1 + 2х2 + #3 + Ж4 - Зх5 = -2, #2 + 2хз + 2X4 + 6X4 = 23, 5X1 + 4X2 + Зхз + 3X4 — Х5 = 12. XI - 2Х2 + Хз + Х4 - Х5 = О, 2X1 + #2 — #3 - Х4 + Х5 = О, XI + 7X2 — 5хз — 5X4 + 5X5 = О, к 3X1 — Х2 — 2хз + #4 ~ Х5 = 0. 21.17. < ( 2X1+ Х2— Хз- Х4+ #5 = 1, х\- х2 + хз + х4 - 2х5 = О, 3X1 + 3X2 — Зхз — 3X4 + 4X5 = 2, 1,4x1 + 5x2 — 5хз — 5x4 + 7x5 = 3. { х\ + 3x2 + 5хз — 4x4 = 1» XI + 3X2 + 2хз - 2X4 + Ж5 = -1, 21.18. { х\ — 2x2 + хз - Х4 — Х5 = 3, XI - 4х2 + Х3 + Х4 - Х5 = 3, ^ XI + 2х2 + Х3 - Х4 + Х5 = -1. [ Х\+ 2X2 + Зхз - Х4 = 1, 3X1 + 2X2 + Хз - Х4 = 1, 21.19. { 2x1 + Зх2 + хз + х4 = 1, 2X1 + 2X2 + 2хз — Ж4 = 1, 5x1 + 5x2 + 2хз = 2. Исследовать систему уравнений на совместность и найти ее общее решение в зависимости от значений параметра Л. '3X1+2X2+ Х3 = -1, 21.20. { 7х1+6х2 + 5х3 = Л, 21.21. { ^5х1+4х2+3х3=2. 5х1 — 3х2+2хз+ 4x4 = 3, 4х1-2х2+3хз+ 7x4 = 1, 8x1-6x2- хз- 5x4=9, 17x1 — 3x2 + 7хз + 17x4 = Л.
§21. Метод Гаусса исследования и решения систем 175 '\х\+ х2 + я3=0, 21.22. I 5x1+ х2-2х3=2, 21.23. { 2X1+2X2- Хз = 3. ^3X1 + 2X2+5X3+ 4X4 = 3, 2X1+3X2+6X3+ 8X4 = 5, XI-6х2-9х3-20x4 =-11, 14X1+ Х2+4ХЗ+ АХ4 = 2. 21.24. < 21.25. 21.27. 21.29. 21.30. 21.31. 21.32. 21.26. 21.28. 2X1 — Х2 + Зхз + 4X4 = 5, 4X1 - 2X2 + 5Хз + 6X4 = 7, 6X1 - 3X2 + 7хз + 8X4 = 9, Ах1 - 4x2 + 9хз + 10x4 = 11 2X1+ 3X2+ Хз+2X4 = 3, 4X1+ 6X2+3X3 + 4X4 = 5, 6X1+ 9X2 + 5X3 + 6X4 = 7, 8х1 + 12х2 + 7х3 + Ах4=9. АХ1+ Х2+ Хз+ Х4 = 1, Х1+АХ2+ Хз+ Х4 = 1, Х\+ Х2 + АХ3+ Х4 = 1, %1 + ^2+ х3+Ах4 = 1. (А + 1)х1 +Х2 + х3 = 1, XI + (А + 1)х2 + х3 = А, Х1+х2 + (А + 1)х3 = А2. (А + 1)хх + х2 + х3 = А2 + ЗА, XI + (А + 1)х2 + х3 = А3 + ЗА2, Х1 + х2 + (А + 1)х3 = А4 + ЗА3. BА + 1)хх - А х2 + (А + 1)х3 = -А - 1, (А - 2)х1 + (А - 1)х2 + (А - 2)х3 = А, BА - 1)хх + (А - 1)х2 + BА - 1)х3 = А. Ахх + BА - 1)х2 + (А + 2)х3 = 1, (А-1)х2+ (А-3)х3 = 1 + А, Ахх + (ЗА - 2)х2 + (ЗА + 1)х3 = 2 - А. #1+ х2 + Ах3 = 2, Х1 + Ах2+ х3 = -1, Ах1+ х2+ х3 = -1. #1 + х2 + Ахз=3, Х1 + Ах2+ х3=0, Ахх+ х2+ х3=0. Указать все значения параметра А, уравнений является неопределенной. ( (8 - А)х1 + 2х2 + Зхз + Ах4 = 0, XI + (9 - А)х2 + 4х3 + Ах4 = 0, XI + 2х2 + (Ю - А)х3 + Ах4 = О, XI + 2X2 + ЗХз + АХ4 = 0. при которых система 21.33. {
176 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений B - Л)Х1 + 4х2 + 2х3 + х4 = О, 21 о4 I яг + B - \)х2 + х3 + х4 = О, Л .Л4. < ^з _ Х)Х1 + 6Х2 + C - А)х3 - 4Х4 = О, XI + 2х2 + х3 + B - А)х4 = О. 21.35. Проверить, что во всех решениях системы уравнений ( 2x1 + Зх2 + х3 + Хб = 6, XI + 2X2 + Х3 + Х4 = 5, —XI + Х2 + Зхз + 5X4 + Хб = (, 2X1 — Х2 + Хз — 8X4 + 2X5 — " значения неизвестных хз и х$ постоянны и равны соответственно 1 и 0. Объяснить эти факты в терминах линейной зависимости и линейной независимости столбцов расширенной матрицы системы. Исследовать системы уравнений на совместность и найти общее решение в зависимости от значений входящих в коэффициенты параметров. 21.36. 21.38. 21.40. 21.42. х+ у + 2 = 1, ах + Ъу + сг = (I, ^а2х + Ь2у + с2г = (Р. ' ах+ у+ 2 = 1, 21.37. I х + Ъу+ 2 = 1, х+ г/ + с2 = 1. ах+ у+ % — а, х + Ьу+ 2 = 6, х + у + С2 = с. 'ах + у+ 2 = 4, х + Ьу + 2 = 3, х + 2Ьу + 2 = 4. ,2„_ 21.39. < х + ау + аАг = а6, х+Ъу+ Ь22 = Ь3, Х+ Су + С22 = С3. 21.41. 21.44. ах + Ьу 4- 2 = 1, х + абу + 2 = 6, х+ Ъу + аг = 1. {сх + Ьу+сг = 1 — Ь + с, Ьх+ у+Ъг=Ъ, Ьх+су+Ьг = 1 + Ь — с. {ах + Ъу + 22 = 1, ах + BЬ- 1)у + 32=1, ах + Ъу + (Ь + 3J=26 - 1. {х+ ау+ а^2=1, х+ ау+ аЪг=а, Ьх+а2у+а2Ьг=а2Ь. гах+ у+ 2 = 1, 21.46. Установить, является ли вектор Ь линейной комбинацией векторов ах,а2,аз,а4, и, в случае положительного ответа, найти коэффициенты этой линейной комбинации:
§21. Метод Гаусса исследования и решения систем 177 а) О! = C,7,5), а2 = (-5, -4,7), а3 = B,1, -4), а4 = D,3, -6), 6= B,5,3); б) ах = B,4,2,1), а2 = E,3,3,8), а3 = (8,9, 5,7), а4 = A,1,1,1), Ь= (8,9,7,12); в) аг = (8,3,4,3,7), а2 = F,3,2,5,4), а3 = E,2,3,1,5), а4 = B,1,1,1,2), Ь =B1,10,8,15,18); г) а! = B,4,5,2,1), а2 = C,3,11,5, -7), а3 = A,1,3,1, -1), а4 = B,1,2,1,2), Ь =D,5,2,1,7). 21.47. Решить системы Аа: = Ьг, г = 1,2,3, с общей матри- '2 -1 3' цей А = 3 1 -5 4 -1 1 1 3 -13 и разными правыми частями б! = C,0,3, -6)г, Ь2 = D, -1,4, -9)г, Ьз - F, -3,6, -15M 21.48. Найти все значения параметра А, при которых вектор Ь имеет единственное разложение по векторам а\, а2, о3: а)Ь=A,А-4,1), а1 = F-А,11-2А,1), а2 = F-А.6-А, 1), а3 = A,1,6-А); б) Ь = (-1,-2,-1), ах = (А, б, 3), а2 = C,2А, А), а3 = (А,3 + А, 3); в) Ъ= A,1,1), а! = B-А,1,2-А), а2 = C-2А, 1,2-А), а3 = A,2-А,1); г) Ь = A,2,1), аг = C + А, -2, -1), а2 = (-1, -2,3 + А), а3 = (-2, А, -2). 21.49. Показать, что вычисление матрицы, обратной к данной матрице порядка п, можно свести к решению п систем линейных уравнений, каждая из которых содержит п уравнений с п неизвестными и имеет своей матрицей матрицу А. Пользуясь методом предыдущей задачи, найти обратные матрицы для следующих матриц. 21.50. -2 -3 -6 -9 4 6 12 17 113 4 2 17 7 21.51. 13 11 1 1-10 110 2 -2 -6 -1 1
178 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений 21.52. Найти третий столбец А , где А = 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 21.53. Найти последнюю строку А , где А = 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 110 0 21.54. Даны матрицы А — 1 2 3 4 56 789 В = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 и вектор Ь = A,4, 7)т. Найти общее решение систем: а) Ах = Ь; б) Ах — Вх\ в) Ах — Ву. 21.55. Пусть А Е Ктхп. Доказать следующие утверждения или, если они не верны, привести контрпримеры к ним. 1. Если п > гп и для некоторого Ь система Ах = Ь не имеет решений, то система Ах = 0 имеет бесконечно много решений. 2. Если п < гп и для некоторого Ъ система Ах = Ь не имеет решений, то система Ах = 0 имеет бесконечно много решений. 3. Если п > гп и система Ах = 0 имеет бесконечно много решений, то система Ах — Ъ не имеет решений для некоторого Ь. 4. Если п < т и система Ах = 0 имеет бесконечно много решений, то система Ах — Ь не имеет решений для некоторого Ь. 21.56. Даны матрица 5 1 2 2 3 -4 1 0 1 1 -3 1 6 4 0 -10
§22. Геометрические свойства решений системы 179 и вектор Ь = (&1, &2? &з? &4)Т- Доказать, что система Ах = Ь имеет единственное решение х = (х\,Х2,хъ,ха)Т , удовлетворяющее условию х\ + Х2 + #з + х4 = 0 тогда и только тогда, когда Ьг + Ь2 + Ъ3 + ЪА = 0. 21.57. Доказать, что система уравнений совместна при любой правой части тогда и только тогда, когда строки ее основной матрицы линейно независимы. 21.58. Доказать, что всегда имеет место одна из двух возможностей: либо система уравнений Ах = Ъ совместна при любой правой части, либо однородная система Ату = 0 имеет ненулевое решение (альтернатива Фредголъма). 21.59. Выяснить, какие условия на основную матрицу А системы необходимы и достаточны для того, чтобы при любой правой части Ь система Ах = Ь а) не была неопределенной; б) не была определенной; в) была определенной; г) была неопределенной; д) была несовместной. 21.60. Доказать, что система Ах = Ь совместна тогда и только тогда, когда для любого решения у однородной системы АТу = 0 выполнено равенство Ьту = 0 (теорема Фредголъма). 21.61. Проверить совместность системы уравнений, пользуясь теоремой Фредгольма: Г3х + 5у = 1, Г3х + 4у = 2, а) I Ъх + 9у = 2, б) I Ъх + 1у = 3, 14х + 7у = -1; \2х + Ъу = \. 21.62. Доказать, что системы АТАх = 0 и Ах = 0 эквивалентны. 21.63. Пусть Ах = Ъ - произвольная (не обязательно совместная) система уравнений. Доказать, что система уравнений (АтА)х = АТЪ совместна. §22. Геометрические свойства решений системы Теорема 22.1. Множество всех решений однородной системы Ах = 0 с п неизвестными является линейным подпространством арифметического пространства Шп. Любой базис подпространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений (Ф.С.Р.).
180 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений Теорема 22.2. Размерность подпространства решений однородной системы Ах = 0 с п неизвестными равна п — г, где г — щА. Общий принцип построения фундаментальной системы решений следует из теоремы 22.2: так как размерность подпространства решений однородной системы равна п — г, то для построения фундаментальной системы решений достаточно найти любые п — г линейно независимых решений (§17). Для этого достаточно свободным неизвестным придать п — г линейно независимых наборов значений, т.е. наборов вида (с1>г+1,.. • ,С1П), • • , (Сп-г.г+1, • • .>Сп-г,п), ДЛЯ КОТОРЫХ С1)Г+1 ... С\п #о. Сп — г,г-\-1 ' • • Сп—г,т Если для каждого из этих наборов найти соответствующие значения главных неизвестных, то получим п — г линейно независимых решений системы: ^1 = (Сц, ...,С1Г, С1,г+1, • • • , С\п) , еп — г — \Сп — г,1.1 • • • 5 Сп — г,г, Сп — Г}г-{-1) • • • , Сп — г,п / Фундаментальная система решений а,..., еп-г однородной системы линейных уравнений позволяет записать любое решение системы в общем виде: х = а\е\ + ... + ап-геп-г , Усц,... , ап-г 6 К. Это представление решения называется общим решением однородной системы уравнений через фундаментальную систему решений. Пусть Ах = Ь B2.1) - неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Однородная система Ах = 0, B2.2) полученная из системы B2.1) заменой свободных членов нулями, называется приведенной однородной системой для системы B2.1). Между решениями обеих систем существует тесная связь: 1) сумма решений неоднородной и приведенной однородной систем является решением неоднородной системы; 2) разность двух решений неоднородной системы является решением приведенной однородной системы. Теорема 22.3. Множество всех решений неоднородной системы является линейным многообразием, полученным сдвигом подпространства решений приведенной однородной системы на частное решение неоднородной системы. Итак, найдя одно (частное) решение неоднородной системы и прибавляя его к каждому решению приведенной системы, можно получить все решения неоднородной системы. Это позволяет записать решение неоднородной системы в общем виде следующим образом: х = с + а\е\ + ... -\-ап-гСп-г, Усц,... ,ап-г е К, B2.3) где с - частное решение B2.1), а ех,... ,еп-г - фундаментальная система решений B2.2). Представление B2.3) решения называется общим решением неоднородной системы уравнений через фундаментальную систему реше-
§22. Геометрические свойства решений системы 181 Пример 22.1. Построить фундаментальную систему решений системы уравнений х\ 4- 2x2 + 4хз — 3x4 = О, 3X1 + 5X2 + бХз — 4X4 = О, 4X1 + 5X2 — 2X3 + 3X4 = О, к 3x1 + 8х2 + 24х3 - 19х4 = 0. Решение. Приведем расширенную матрицу системы к трапециевидной форме: 1 2 4 3 5 6 4 5-2 3 8 24 -3 -4 3 -19 01 0 0 о] > Г1 0 0 [о 2 -1 -3 2 4 -6 -18 12 -3 5 15 -10 01 0 0 о] > Г1 2 4 0 1 6 0 0 0 [0 0 0 -3 -5 0 0 0 0 0 0 Выберем свободными неизвестные хз, ха- Так как количество неизвестных п равно 4, а ранг г основной матрицы равен 2, то Ф.С.Р. содержит п — г = 2 решения. Придадим свободным неизвестным хз, Х4 два набора значений: A,0) и @,1) и найдем в каждом случае значения главных неизвестных из уравнений преобразованной системы: Х2 = 5X4 — 6X3, XI = 3X4 — 4хз — 2X2 = —7X4 + 8X3. Результаты сведем в таблицу: XI Х2 8 -6 -7 5 Хз Х4 Итак, решения ег = (8, -6,1,0)т, е2 = (-7,5,0,1)т образуют фундаментальную систему. ¦ Пример 22.2. Найти общее решение неоднородной системы уравнений через фундаментальную систему решений: {6X1 + ЗХ2 + 2Х3 + ЗХ4 + 4Х5 = 5, 4X1 + 2Х2 + Хз + 2х4 + ЗХ5 — 4, 4X1 + 2Х2 + 3X3 + 2Х4 + Х5 = 0, 2x1 4- Х2 + 7хз + Зх4 + 2х5 = 1. Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатой форме: 2 1 0 0 0 0 0 0 6 3 2 3 4 4 2 12 3 4 2 3 2 1 2 17 3 2 51 4 0 1 ] ~~* 2 17 3 2 4 2 3 2 1 4 2 12 3 6 3 2 3 4 11 0 4 5] ~"* 7 1 3 9 3 -4 -4 -6 2 -3 -1 -2 11 -2 2 2] вычтем из 2-й строки 3-ю строку 2 1 7 3 2 0 0 2 0-2 0 0 -13 -4 -1 0 0 -19 -6 -2 2 17 3 0 0 10 0 0 13 4 0 0 19 6 2 -1 1 2 1 -2 -2 -2 2 17 3 2 0 0 10-1 0 0 0 4 14 0 0 0 6 21 11 -2 24 36 ] ~~* 2 17 3 0 0 10 0 0 0 2 0 0 0 0 2 -1 7 0 1 1 -2 12 о] B2.4)
182 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений Найдем Ф.С.Р. приведенной однородной системы ' 2X1 + Х2 + 7Х3 + ЗХ4 + 2Х5 = О, Хз — Х5 = О, 2х4 + 7х5 = 0. Так как количество неизвестных п равно 5, а ранг г основной матрицы системы равен 3, то Ф.С.Р. содержит п — г = 2 решения. Выразим главные неизвестные XI, хз, Х4 через свободные неизвестные Х2, Х5: 7 Х4 = —-#5, Хз = Х5, 1 13 Х\ = ^(-х2 - 7Х3 - ЗХ4 - 2Х5) = --Х2 + ~Х5. Во избежание дробных чисел придадим свободным неизвестным Х2, Х5 следующие линейно независимые наборы значений: B,0) и @,4). Тогда получим: XI -1 3 хз 0 4 Х4 0 -14 Х2 2 0 х5 0 4 Таким образом, решения в! = (-1,2,0,0,0)т, е2 = C,0,4,-14,4)г образуют Ф.С.Р. приведенной однородной системы. Найдем какое-нибудь частное решение исходной системы. Придадим свободным неизвестным значения хг = 0, Х5 = 2. Тогда из системы, соответствующей правой расширенной матрице B2.4), следует: 2х4 = 12 - 7х5 = -2 =» х4 = -1, хз = -2 + х5 = 0, 2X1 = 1 — Х2 — 7X3 — 3X4 — 2X5 = 0 =>• XI = 0. Таким образом, с = @,0,0,—1,2)т - частное решение. Согласно B2.3) общее решение исходной неоднородной системы имеет вид х = @,0,0, -1,2)т + осх(-1,2,0,0,0)т + а2C,0,4, -14,4)т, аиа2еШ. - ЗАДАЧИ Найти фундаментальную систему решений для следующих систем уравнений. 22.1. 0х1+0,2+013+0*4 = 0. 22.2. {^-^Й {10x1 + 6x2 + 15хз - 3x4 - 18x5 = 0, 3x1 + 2x2+ 5х3- ж4- 6x5 = 0, -9хх - 4х2 - Юхз + 2х4 + 12х5 = 0. '2X1-5X2 + 4X3 + 3X4 = 0, Г2Х1 + Х2 + 4хз + Х4 = 0, 22 4 I Зх1-4х2 + 7х3+5х4=0, I Зхх + 2х2 - х3 - 6х4 = 0, 4X1-9X2 + 8X3 + 5X4=0, ' ] 7X1 + 4X2 + бХз - 5X4 = 0, 3X1 — 2X2 + 5X3-3X4=0. I XI + 8хз + 7X4 = 0.
§22. Геометрические свойства решений системы 183 22.6. 22.7. < 22.8. х\ + 4х2 + 2х3 - Зх5 = О, 2^1 + 9^2 + 5хз + 2x4 + Хб = О, Хх + 3X2 + Хз - 2X4 - 9X5 = О. 2X1— #2 — #3 — Х4 — Хб = 0, -XI +2X2- #3 — Х4 - #5=0, 4X1 + #2 - 5хз - 5X4 - 5X5 = О, #1 + #2 + 2хз + #4 + #5 = 0, #1 + #2 + #3 + 2х4 + Х5 = 0. XI + 2X2 + Зхз + 2X4 — 6X5 = О, 2X1 + 3X2 + 7хз + 6X4 — 18X5 = О, Зх1 + 15х2 + 11хз— Х4 + 3x5 = 0, 2X1 + 6X2 + 7Хз + 3X4 — 9X5 = О, XI + 4X2+ 5X3 + 2X4- 6X5=0. Найти базисы линейных подпространств решений следующих систем. 22.9. I 22.11. I 22.12. I 22.13. 22.10. О, ( Зх1+5х2 + 2хз=0, 4х1 + 7х2 + 5х3=0, #1+ Х2~4хз=0, 2х1+9х2+6х3=0. ( 3X1 + 2X2 + #3 + 3X4 + 5X5 = 6X1 + 4X2 + Зхз + 5X4 + 7X5 9X1 + 6X2 + 5хз + 7X4 + 9X5 [ 3X1 + 2Х2 + 4Х4 + 8Х5 = 0. Г XI -Хз +Х5 = О, Х2 - Х4 + Хб = О, XI - Х2 + Х5 - Хб = О, #2 - #3 + #6 = О, XI — Х4 + Х5 = 0. 5X1 + 6X2 - 2хз + 7X4 + 4X5 = О, 2X1 + Зх2 - Хз + 4х4 + 2Х5 = О, 7X1 + 9X2 — Зхз + 5X4 + 6X5 = О, 5X1 + 9X2 - Зхз + Х4 + 6X5 = О. 2X1—4X2+ 5Хз+ 3X4 = 0, 3X1-6X2+ 4хз+ 2X4 = 0, 4х1-8х2 + 17хз + 11х4=0. о, о, 22.14. Для линейного подпространства векторов х = (х1,Х2, #з» х±) ЕМ4, удовлетворяющих условиям х\ — хз, Х2 = Х4, найти два различных базиса, содержащих общий вектор е\ — A,0,1,0). Найти общее решение следующих систем уравнений через их фундаментальные системы решений.
184 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений {3x1 + 5x2 - 4х3 + 2x4 = О, 2X1+ 4X2-6X3 + 3X4 = 0, 11x1 + 17х2 - 8х3 + 4х4 = 0. 22.16. 22.17. < ' 3X1 + 5X2 + Зхз + 2X4 + #5 = 0> 5X1 + 7X2 + бХз + 4X4 + 3X5 = О, 7X1 + 9X2 + 9хз + 6X4 + 5X5 = О, 4x1 + 8x2 + Зх3 + 2х4 = 0. { 5X1 + 7X2 + бХз - 2X4 + 2X5 = О, 8x1 + 9х2 + 9х3 - 3x4 + 4x5 = О, 7X1 + Х2 + бХз - 2X4 + 6X5 = О, 4X1 — ^2 + Зхз — Х4 + 4X5 = 0. 22.18. < CX1+ 4Х2+ Хз + 2Х4 + ЗХ5 = О, 5X1 + 7X2 + Хз + 3X4 + 4X5 = О, 4x1 + 5x2 + 2хз + Х4 + 5х5 = О, [ 7X1 + 10X2 + Хз + 6X4 + 5X5 = 0. 22.19. < {х\ + х2 = О, х\ + х2 + х3 = О, ^2 + ^3 + ^4 = О, %п—2 + %п—1 + %п — и> %п—1 + %п = и. Найти общее решение следующих систем уравнений через фундаментальную систему решений приведенных систем. XI — 3X2 — Зхз — 14X4 = 8, 22.20. <( 2x1 - 6х2 - Зх3 - %а = -5, 3x1 — 9x2 — 5хз — 6x4 = —4. 22.21. < 22.22. < XI — 2X2 — ^3 — 2X4 — 3X5 : 3X1 — 6X2 — 2хз — 4X4 — 5X5 : 3X1 — 6X2 — 4хз — 8X4 — 13X5 : 2X1 ~ 4X2 — #3 — Х4 — 2X5 : XI + 9X2 + 4хз - 5X4 = 1, 3x1 + 2x2 + 2хз + 5x4 = 3, 2x1 + Зх2 + 2х3 + 2х4 = 2, XI + 7X2 + 6х3 - Х4 = 7, [ 2x1 + 2х2 + Зхз + 4х4 = 5. -2, -з, -9, -1.
§22. Геометрические свойства решений системы 185 22.23. ( 22.24. { 22.25. { 2x1 + #2 + Зх3 - 2х4 + х5 = 4, 6X1 + 3X2 + 5Хз - 4X4 + 3X5 = 4, 2X1 + #2 + 7Х3 - 4х4 + #5 = 12) 4X1 + 2X2 + 2хз - 3X4 + 3X5 = 6. [ 8x1 + 6x2 + 5хз + 2x4 = 21, Зх1 + 3х2 + 2х3+ х4 = Ю, 4X1 + 2X2 + Зхз + Х4 = 8, 3X1 + 5X2 + #3 + %4 = 15, [ 7x1 + 4х2 + 5х3 + 2х4 = 18. 2X1 + 6X2 + 7хз + 2X4 + ^5 + ЗХб = 4, 3X1 + 9X2 - 5Хз + 3X4 - 6X5 + 2Хб = 6, -XI -3X2+ 4X3- Х4 + 7Х5+ Жб =-2. Найти размерность направляющего подпространства линейного многообразия решений следующих систем в зависимости от значений параметра Л. 22.26. 22.27. E - Л)х1 - 2x2 - хз = 1, -2x1 + B - Л)х2 - 2х3 = 2, -XI - 2х2 + E - А)хз = 1. -XI + A + А)х2 + B - А)х3 + Ах4 = 3, \х\ — Х2 + B — А)хз + Ах4 = 2, \х\ + Ах2 + B - А)хз + Ах4 = 2, Ах1 + Ах2 + B - А)хз - Х4 = 2. 22.28. Проверить, что система ( 2X1 + 4X2 + бХз + 5X4 + 3X5 = О, 5X1 + 6X2 + 7Хз + 9х4 + 6X5 = О, 4X1 + 6X2 + 8хз + 7X4 + 5X5 = О, 5X1 + 5X2 + 5Хз + 8X4 + 6X5 = О, [ 3X1 + 4X2 + 5Хз + 6X4 + 4X5 = О имеет бесконечно много решений, причем в каждом ее решении Х4 = Х5 = 0. Объяснить эти факты в терминах линейной зависимости и линейной независимости столбцов матрицы системы. 22.29. Указать все группы неизвестных, которые могут быть
186 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений объявлены свободными неизвестными системы ' 7x1 - 4х2 + 9х3 + 2х4 + 2х5 = О, 5хх + 8x2 + 7хз — 4x4 + 2x5 = О, 3X1 - 8X2 + 5Хз + 4X4 + 2X5 = О, ^ 7X1 - 2X2 + 2хз + Х4 - 5X5 = 0. 22.30. Построить однородные системы уравнений, для которых следующие системы векторов являются фундаментальными системами решений: а) у! = (-2,1,1,1)Т, б) У1 = (-2,1,1,1)т, в) У1 = (-2,1,1,1)г. 1Л2 = @,1,2,0)Т, у2 = @,1,2,0)т; уз = A,-1,0,1)т; 22.31. Построить однородную систему линейных уравнений, состоящую: а) из двух уравнений; б) из трех уравнений; в) из четырех уравнений, - для которой система векторов У1 = A,4,-2,2,-1)^, у2 = C,13, -1,2,1)г, уз = B,7,-8,4,-5)г является фундаментальной системой решений. 22.32. Построить неоднородные системы линейных уравнений, которые описывают линейные многообразия минимальной размерности, содержащие векторы: а) У1 = A,1,2,1,1)т; б) Ш = C,0,0,2,1)г, !й = @,1,1,0,0)г; в) у1 = A)-1,2,0,3)т, г) у1 = B,1,3,0)т, у2 = E, -3,0, -2,1)г, у2 = C,1,3,0)т, уз = (-1,0,3,1,4)т; у3 = B,2,3,0)т, у4 = BI,4,0)т, у5 = B,1K,1)т Выяснить, можно ли найти однородную систему уравнений, для которой указанные системы векторов являются двумя ее фундаментальными системами решений. 22.33. У1 = A,0,0,0)г, 21 = A,0,0,0)т, у2 = A,1,0,0O\ и г2 = A,1I,0)т, уз = A,1,1,0)Г г3 = B>1I,0)т.
§22. Геометрические свойства решений системы 187 22.34. Уг = A,0,0,0)т, гг = (О,0,0,1)т, у2 = A,1,0,0)т, и *2 = @,0,1,1)т, 1й = A,1,1>0)г *3 = @,1,1,1)т. 22.35. VI = A,0,0,0)т, гх = (О,0,1,0)т, у2 = @,1,0,0)т, и *2 = @,1,1,0)т, уз = @,0,1>0)г г3 = A,1,1,0)т. 22.36. Уг = B,3,1, 2)т, гг = A,0,2, -5)т, 1Л2 = A,1,-2,-2)г, и *2 = @,1,8,7)г, у3 = C,4,2,1)т *3 = D,5,-2,0)т. 22.37. Пусть строки матрицы А е Шрхп (р < п) образуют фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений ранга г с п неизвестными (п = г +р). Доказать, что строки матрицы В Е Крхп образуют фундаментальную систему решений той же системы уравнений тогда и только тогда, когда существует невырожденная матрица С порядка р такая, что В = С А. 22.38. Доказать, что если ранг матрицы однородной системы линейных уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то любые два решения этой системы пропорциональны, т.е. отличаются лишь числовым множителем. 22.39. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что если определитель квадратной матрицы А порядка п > 1 равен нулю, то алгебраические дополнения соответствующих элементов двух любых строк (столбцов) пропорциональны. 22.40. Пусть ранг квадратной матрицы А п-го порядка (п > 1) равен п — 1. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что ранг ее присоединенной матрицы А равен 1. 22.41. Доказать, что если в однородной системе линейных уравнений число уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то в качестве решения этой системы можно взять набор миноров, полученных из основной матрицы поочередным вычеркиванием 1-го, 2-го и т.д. столбцов, причем эти миноры берутся с чередующимися знаками. Далее показать, что если это решение не нулевое, то любое решение системы ему пропорционально. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти частное и общее решения систем уравнений.
188 Глава V. Системы линейных алгебраических уравнений 22 42 |5:г1+3:г2+4хз=0, 22 43 /4:г1~6:г2+ 5х3 = 0, '• И: 6X1 + 5x2 + 6^3 = 0. " ' \6Х1-9X2 +10X3 = 0. {2х1+3х2+5хз+6х4=0, ( 4x1 -5х2-6хз+3х4=0, Зх1+4х2+6хз+7х4=0, 22.45.< 2x1- х2-3х3+2х4=0, 3X1+ #2+ Хз+4Х4 = 0. [бХ1—7X2-9X3 + 5X4 = 0. 22.46. При каких условиях в общем решении системы уравнений ( Х2 + ахз + Ьх4 = 0, — XI + СХз + &Х± = 0, ах1 + СХ2 — ех4 = О, ЬХ1 + AX2 + СХз = О за свободные неизвестные можно принять хз и Х4 ? 22.47. Известно, что для системы Ах — Ь с матрицей А размера тхп любой вектор х Е Кп является решением. Что можно сказать о матрице А и векторе Ъ в этом случае? 22.48. Пусть АВ = 0, Ае К7ПХТ\ В Е Кпх/с. Доказать, что г§ А + г§ В < п. 22.49. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы в любом решении совместной системы линейных уравнений к-е неизвестное было равно нулю. 22.50. Пусть А Е Ктхп. 1. Доказать, что множество решений матричного уравнения АХ = 0, где X Е Кпх/с, образует линейное подпространство пространства матриц КпхА\ 2. Найти размерность подпространства решений этого уравнения. 22.51. Пусть А Е Ктхп, В Е К*Ч 1. Доказать, что множество решений матричного уравнения АХ В = О, где X Е Кпх;с, образует линейное подпространство пространства матриц КпхА\ 2. Пользуясь результатом задачи 20.15, найти размерность подпространства решений этого уравнения.
Глава VI. Векторная алгебра В этой главе рассматриваются пространства VI, Уъ, Уз векторов на прямой, на плоскости и в пространстве. Предполагаются известными следующие факты (гл.IV): - сИтК1 = 1и любой ненулевой вектор ех является базисом VI, - сИт У2 = 2 и любая пара неколлинеарных векторов ех, ег является базисом Уг, - сИт Уз = 3 и любая тройка некомпланарных векторов ех, ег, ез является базисом Уз> - координаты вектора вычисляются согласно формулам A7.3), A7.4), A7.5). §23. Аффинная система координат. Координаты точки Пусть в пространстве Vз (на плоскости V2 или на прямой У\) зафиксирована некоторая точка О, называемая полюсом. Для любой точки А вектор г д = О А называется радиус-вектором точки А относительно полюса О. Задание точки ее радиус-вектором определяет, очевидно, биективное отображение. Тот факт, что точка А имеет радиус-вектор г, обозначают символом А(г). Если в пространстве Уз зафиксированы точка О и базис ех, ег, ез, то говорят, что в пространстве задана аффинная система координат (или общая декартова система координат) {О; ех, ег, ез}. Точка О называется началом координат; оси, проходящие через начало координат и определенные векторами ех, ег, ез, называются осями координат и обозначаются Ох (ось абсцисс), Оу (ось ординат), 02 (ось аппликат) соответственно. Плоскость, определяемая осями координат Ох и Оу (Ох и Ог, Оу и Ог), называется координатной плоскостью Оху (Охг, Оуг соответственно). В этой терминологии аффинная система координат обозначается также символом Оху г. Координатами точки А в аффинной системе координат (О; ех, ег, ез} называются координаты радиус-вектора г л этой точки в оазисе ех, ег, ез. Тот факт, что точка А имеет координаты х,у,2, обозначают символом А(х,у,г). Итак, га = хег +уе2 +ге3 <==> А(х,у,г). Таким образом, любая точка пространства в заданной системе координат имеет координаты, причем: 1) точки ^1 (#1,2/1, 21) и ^2B2,2/2, ^2) совпадают тогда и только тогда, КОГДа XI = Х2, У\ = 2/2, 21 = 22; 2) если А(ж1,т/1,21) и В(ж2,2/2,22) - точки пространства, заданные своими координатами в системе координат {О; ех, ег, ез} , то вектор а = АВ в базисе ех, ег, ез имеет координаты а = {х2 — #1,2/2 — у\,%2 — %\}\
190 Глава VI. Векторная алгебра 3) если А(хх,у\,гх), #(#2,2/2,22)» С(#з,Уз, *з) и (ЛВС) = А, то хх + Ах2 ух + Луг ^1 4- Лг2 хз = ^ПГ' уз = "ТТа-' гз = "ТТл" • Базис ех,... ,еп, где п = 1,2,3, называется ортонормированным, если векторы базиса 1) имеют единичную длину и, в случае п > 1, 2) попарно перпендикулярны. Аффинная система координат {О; в1, ег, ез}, соответствующая орто- нормированному базису ех, ег, ез, называется прямоугольной декартовой или просто прямоугольной системой координат. Пусть на плоскости Р даны две непараллельные прямые I и Ь. Проекцией направленного отрезка АВ на прямую I параллельно прямой Ь назы- > вается направленный отрезок АхВх, где Ах, Вх - проекции точек А и В на, прямую / параллельно прямой Ь. Обозначение: рг^ АВ. Теорема 23.1. Проекции равных направленных отрезков равны. Проекцией вектора а = АВ на прямую I параллельно прямой Ь называется вектор, порожденный рг^ АВ . Обозначение: рг^ а. Теорема 23.2. Проекция вектора на прямую I параллельно прямой Ь обладает свойством линейности: 1) рг^( а + Ь) = рг^ а + рг^ Ь , Уа, Ь , 2) рг^(аа) = а-рг^ а, Уа, Уа 6 К . Пусть в пространстве заданы плоскость 7г и непараллельная ей прямая /. Проекцией направленного отрезка АВ на прямую I (на плоскость 7г) параллельно плоскости 7Г (соответственно прямой I) называется направ- > > ленный отрезок АхВх (А2В2), где А\ и Вх (Аг и В2) ~ проекции точек А и В на прямую / (плоскость 7г) параллельно плоскости 7г (прямой I). Обозначение: рг* АВ, рт1ж АВ. Для обеих проекций справедливо утверждение теоремы 23.1: проекции равных направленных отрезков равны. Проекцией вектора а = А В на прямую I (плоскость 7г) параллельно плоскости 7г (прямой I) называется вектор, порожденный рг^ АВ (ртп АВ). Обозначение: рг* а, рг^ а . Обе проекции вектора в пространстве обладают свойством линейности. Во всех трех случаях, если 1±Ь или /±7г, проекции вектора называются ортогональными проекциями. Формулы A7.5) для координат вектора а (Е Уз в базисе еь ег, ез могут быть записаны в терминах проекций вектора на ось в виде т = (РГх *) (РГУ а) у _ (РГ* а) |в1| ' У Ы ' |е,| ' где ргх а, ргу а, ргг а - проекции вектора а на оси, определенные базисными векторами ех, ег, ез (т.е. на оси координат Ох, Оу> Ог)> параллельно координатным плоскостям Оуг, Ох г, Оху соответственно.
§23. Аффинная система координат. Координаты точки 191 X У г — а р 1 7 ] + С Г *' 1 у' 1 г' 1 Теорема 23.3. На плоскости (в пространстве) величина проекции вектора на ось параллельно прямой (соответственно прямой или плоскости) обладает свойством линейности. Если {О; в1, е2, ез} и {О'; е\, е'2, е3} - две аффинные системы координат в пространстве ("старая" и "новая"), (а,/3,7) ~ координаты нового начала О' в старой системе координат, С = (с^) - матрица перехода от базиса в1, ег, е3 к базису е'ь е2, е3 (§17), (х,у,г) и (х' ,у',%') - координаты точки в старой и новой системах координат, то х = а + сцх + с\2у' + С1з2;, ИЛИ у — C + С2\Х' + С22У' + С23*', г — 7 + с31Х; + с32^ + сзз2;. Эти соотношения называются формулами преобразования координат. Эти формулы выражают старые координаты точки через новые. Ориентация в вещественном линейном пространстве. Два базиса е = (е1,...,еЛ) и е' = (е'1,...,е„) вещественного линейного пространства V называются одинаково ориентированными, если матрица перехода С от базиса е к базису е имеет положительный определитель, и противоположно ориентированными - в противном случае. Из определения следует, что два базиса, получающиеся друг из друга - перестановкой двух их векторов или - умножением какого-либо вектора на отрицательное число, противоположно ориентированы. Теорема 23.4. Отношение одинаковой ориентированности является отношением эквивалентности на множестве всех базисов пространства V. Множество всех базисов пространства разбивается отношением одинаковой ориентированности ровно на два непересекающихся класса (класса эквивалентности) так, что всякий базис принадлежит одному и только одному классу, два базиса одного класса одинаково ориентированы, а любые два базиса из разных классов противоположно ориентированы. Один из классов называют классом правых (или положительно ориентированных) базисов, а другой - левых (отрицательно ориентированных). Каждый из этих двух классов называется ориентацией пространства. Вещественное линейное пространство с выбранной на нем ориентацией называется ориентированным пространством. Так как класс эквивалентности порождается любым своим представителем, то для того, чтобы ориентировать линейное пространство, достаточно задать один какой-нибудь базис пространства и объявить положительно ориентированными все одноименные с ним базисы. Класс правых базисов на плоскости Уг и в пространстве Уз обычно выбирают следующим образом: - упорядоченную пару неколлинеарных векторов е\, ег плоскости называют правой (положительно ориентированной), если кратчайший поворот от в1 к ег выполняется против часовой стрелки, и левой (отрицательно ориентированной) - в противном случае (начала векторов считаются совмещенными) ; - упорядоченную тройку некомпланарных векторов в1, ег, ез пространства называют правой (положительно ориентированной), если из конца вектора ез кратчайший поворот от в1 к ег виден против часовой стрелки, и левой (отрицательно ориентированной) - в противном случае (начала векторов тройки считаются совмещенными).
192 Глава VI. Векторная алгебра Преобразование прямоугольной декартовой системы координат на плоскости. Если {О; в1, е2} и {О'; е'ь е^} - две прямоугольные декартовы системы координат на плоскости, то матрица перехода С от ортонормированного базиса е = (в1, е2) к ортонормированному базису е = (е'ь е'2) имеет вид С1 — \ с°8 Ф ~ 8Ш V3 1 [ 51П<^ СОЗ</? ] ' если базисы е и е одинаково ориентированы, и П — \ С°8 ^ 31П (/? 1 ^ ~~ [ 81П ф — С08 </? ] ' если базисы е и е противоположно ориентированы. В первом случае новая система координат получается из старой переносом начала в точку 0'(а,13) и поворотом на угол <р [чр - угол между е\ и е^), во втором случае - переносом начала в точку О'(а, /?), поворотом на угол <р с последующим отражением относительно е^ (т.е. изменением направления е2 на противоположное). При этом формулы преобразования координат имеют вид в первом случае и : а 4 X СОЗ ф — у 81П </?, : 0 4 х' 81П Ц) 4 у' СОЗ ф X = а + X СОЗ ф Л~У 81П (/?, у = /3 + X* 81П ф — у' СОЗ <р во втором. Пример 23.1. Дана треугольная призма АВСА\В\С\, в которой треугольник АВС - основание, АА\, ВВ\, СС\ - боковые ребра. Найти координаты точки А\ в системе координат {В\\ АС\,СВ\, ВА\}. Решение. Координаты точки А\ в указанной системе координат совпадают с координатами вектора В\А\ в базисе АС\> СВ\, ВА\. Найдем эти координаты. Имеем ВхМ =1ЫЗ + Ш1. B3.1) Для вектора В\В имеют место следующие разложения: Ё&В = Жб 4 Ш, ЖВ = ~МА = АГВ + вЗ, ВГЗ = ЙС = С^А 4 АС. Сложив эти равенства, получим ЖВ = | (С^4 + ^В + В^5) = -1 (ЖЛ 4 ВЛ? 4 СВ1) . Отсюда и из B3.1) следует, что 1тт^ 2. ВгАх = -3ЛС1 ~ зСБ1 + зБА1' и, значит, А1(—-, —-, -).
§23. Аффинная система координат. Координаты точки 193 Пример 23.2. Дан вектор О А = {х, у}. Найти координаты вектора ОВ, получающегося из вектора О А поворотом на угол (р. Система координат прямоугольная. Решение. Пусть ОВ = {х\у'}. Перейдем к новому базису е = (в1, ег), полученному из исходного поворотом на угол </?. Тогда новые координаты вектора О В будут совпадать с координатами {х,у} вектора О А в старом базисе, поэтому X — ХСОБ(р — у5Ш(р, у = Х51ПС/? + уСОЗф. ш ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа, если не оговорено противное, система координат считается аффинной. Координаты точки 23.1. Дан правильный шестиугольник АВСВЕР. Найти координаты всех его вершин в системе координат: а) {Л;АВ,Л^}; б) {А; ЛВ, АК}) где К - точка на диагонали АЕ такая, что А К = АВ. 23.2. Даны две смежные вершины А{—1,3), ВB, —1) параллелограмма АВСВ. Найти две другие его вершины, если известно, что диагонали параллелограмма параллельны осям координат. 23.3. Относительно прямоугольной декартовой системы координат дана точка М(х)у). Найти точку М\, симметричную точке М: а) относительно начала координат; б) относительно оси абсцисс; в) относительно оси ординат; г) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов; д) относительно биссектрисы второго и четвертого координатных углов. 23.4. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(—2,1), ВA,3), GD,0). Найти его четвертую вершину В. 23.5. Даны три последовательные вершины трапеции А(—1,— 2), ВA,3), С(9,9). Найти четвертую вершину В этой 7—4271
194 Глава VI. Векторная алгебра трапеции, если ее основание АО в полтора раза длиннее основания ВС. 23.6. Даны две точки Л(-3,1) и ВB,-3). На прямой АВ найти точку М так, чтобы она была расположена по ту же сторону от точки А, что и точка В, и чтобы отрезок АМ был втрое больше отрезка АВ. 23.7. Относительно прямоугольной декартовой системы координат дана точка М(х, у, г). Найти координаты точки М\, симметричной точке М: а) относительно начала координат; б) относительно плоскости Оху\ в) относительно оси Ох. 23.8. Относительно прямоугольной декартовой системы координат дана точка М(х,у,г). Найти ее ортогональную проекцию Мо: а) на ось Ох; б) на плоскость Оуг. 23.9. Дан параллелепипед АВСБАхВхСхВх. Принимая за начало координат вершину А, а векторы АВ, АИ и АА\ - за базисные, найти координаты: а) вершин С, В\ и С\\ б) точек К и Ь - середин ребер А\В\ и СС\ соответственно; в) точек М и N пересечения диагоналей граней АхВхСхИх и АВВ1А1 соответственно; г) точки О пересечения диагоналей параллелепипеда. 23.10. Вершина О тетраэдра ОАВС принята за начало координат, а векторы О А, ОБ, ОС - за базисные. Найти в этой системе координаты точек пересечения медиан граней тетраэдра. Деление отрезка в отношении 23.11. Найти координаты точки М, делящей отрезок М1М2, ограниченный точками МхB,3) и М(—5,1), в отношении: 1)А = 2; 2)А = ~; 3) Л --4; 4) Л = \. 23.12. Найти координаты середины отрезка М\М<1 в каждом из следующих случаев: 1) М1B,3), М2(-4,7); 2) МЦ-2,4), М2B,-4); 3)М1@,0),М2AI).
§23. Аффинная система координат. Координаты точки 195 23.13. Один из концов отрезка АВ находится в точке Л B,3), его серединой служит точка МA,—2). Найти другой конец отрезка. 23.14. Даны две точки ЛC,4) и 2?B, —1). Найти точки пересечения прямой АВ с осями координат. 23.15. Найти точку пересечения медиан треугольника с вершинами Л(Х1,У1), В(Ж2,У2), С(хз,Уз)- 23.16. Даны середины сторон треугольника: МхB,4), М(—3,0), МзB,1). Найти его вершины. 23.17. Даны две смежные вершины А(—4, —7), ВB,6) параллелограмма АВСИ и точка пересечения его диагоналей МC,1). Найти две другие вершины параллелограмма. 23.18. На осях Ох и Оу отложены соответственно отрезки О А = 8, ОВ = 4. Найти отношение, в котором отрезок АВ делится основанием перпендикуляра, опущенного на прямую АВ из начала координат. Система координат прямоугольная. 23.19. Даны две точки А(—4,2), В(8,-7). Найти точки С и I), делящие отрезок АВ на три равные части. 23.20. Определить координаты концов А и В отрезка, который точками СB,2), 1)A, 5) разделен на три равные части. 23.21. Дана точка АB,4). Найти точку В при условии, что точка С пересечения прямой АВ с осью ординат делит отрезок АВ в отношении |, а точка Б пересечения прямой АВ с осью абсцисс делит отрезок АВ в отношении — |. 23.22. Даны две точки Л(9, —1) и В(—2,6). В каком отношении делит отрезок АВ точка С пересечения прямой АВ с биссектрисой второго и четвертого координатных углов? 23.23. Найти точки А и В, зная, что точка С{—5,4) делит отрезок АВ в отношении |, а точка 1)F, —5) - в отношении |. 23.24. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки М и N так, что (АВМ) — ц, {АСИ) = V. Точку пересечения отрезков ВЫ и СМ обозначим через О. Найти отношения {ВИО) и (СМО). 23.25. Применяя результат предыдущей задачи при ц = V — 1, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. 23.26. Вершина А параллелограмма АВСО соединена с серединой М стороны Б С, а вершина В - с точкой N, лежащей на стороне СО и отстоящей от точки О на расстоянии, равном
196 Глава VI. Векторная алгебра ^ стороны СИ. В каких отношениях делятся отрезки АМ и ВЫ точкой К их пересечения? 23.27. Найти центр круга, вписанного в треугольник с вершинами 4(9,2), В@,20), С(-15,-10). Система координат прямоугольная. 23.28. Найти точку пересечения общих касательных двух окружностей, центры которых совпадают с точками СхB, 5) и ^2(Т' т)> а РаДиУсы соответственно равны 3 и 7. Система координат прямоугольная. 23.29. Найти координаты точки, делящей отрезок М1М2, ограниченный точками М\{—3,2,4) и М2F,0,1), в отношении: 1)Л = 2; 2) А 1; 3) Л = ±; 4) Л =-3. 23.30. На прямой, проходящей через точки МхA,2,4) и М2(—1,4,3), найти точку, лежащую в плоскости Охг. 23.31. Отрезок АВ разделен на пять равных частей; известны первая точка деления СC, —5, 7) и последняя ,Р(—2,4, —8). Определить координаты концов отрезка и остальных точек деления. 23.32. Даны две вершины треугольника 4(—4, —1,2) и БC, 5, —16). Найти третью вершину С, зная, что середина стороны АС лежит на оси Оу, а середина стороны ВС - на плоскости Охг. 23.33. Найти отношение, в котором каждая из координатных плоскостей делит отрезок 4В, ограниченный точками АB, —1,7) и 5D,5,-2). 23.34. Даны две прямые: одна из них проходит через точки А(—3, 5,15) и В@,0, 7), а другая - через точки СB, —1,4) и Г)D, —3,0). Выяснить, пересекаются ли эти прямые, и если пересекаются, то найти точку их пересечения. 23.35. Даны две точки 4(8,-6,7) и В(-20,15,10). Установить, пересекает ли прямая АВ какую-нибудь из осей координат. Преобразование координат 23.36. Найти новые координаты точек 4B,3), В(—5,4), С@,2) в системе, полученной переносом данной аффинной системы координат, если за новое начало координат принимается точка 0'G,-1). 23.37. В аффинной системе координат задана точка МB, 5).
§23. Аффинная система координат. Координаты точки 197 После переноса она имеет координаты (—4, 7). Найти старые координаты нового начала О' и новых базисных векторов е^, е!2) а также новые координаты старого начала О и старых базисных векторов ех, е2. 23.38. Новая система координат получена поворотом некоторой прямоугольной декартовой системы координат на угол а = 60°. Координаты точек АBч/3, -4), В{у/Ъ, 0) и G@, -2>/3) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат. 23.39. В некоторой прямоугольной декартовой системе координат даны точки МC,1), N(—1,5) и Р(—3, — 1). Найти их координаты в новой системе, полученной из исходной поворотом на угол а = —45°. 23.40. Даны две прямоугольные системы координат. Начало новой системы находится в точке 01{—4,2); угол от положительного направления оси Ох до положительного направления оси О'х' равен ^; системы одинаково ориентированы. Найти выражение старых координат произвольной точки плоскости через ее новые координаты. 23.41. Новая система координат получена из старой переносом начала в точку 0'C,—4) и поворотом на угол а такой, что соз а = Щ, 51п а = — у^. По отношению к исходной системе координат дана точка ЛF, —2). Найти ее координаты в новой системе. Системы координат прямоугольные. 23.42. На плоскости даны две прямоугольные системы координат {О; ех, е2} я {О'; е'х, е'2}. Вторая система координат получена из первой поворотом вокруг точки А на угол (р в направлении кратчайшего поворота от ех к е2. Найти координаты (х,у) точки в первой системе координат, если известны ее координаты (х',у') во второй системе координат и, кроме того: 1) ЛA,1),<^ = 45°; 2) ЛB,4), <р = 180°; 3) АC,0), <р = 60°; 4) А(-2,2), <р = 90°. 23.43. Даны две точки АB,1) иЖ5,5). Найти конец вектора АС, получающегося из вектора АВ поворотом на угол ~. Система координат прямоугольная. 23.44. Даны две соседние вершины квадрата А(—3,2) и -ВB,4). Найти две другие его вершины С и В. Система координат прямоугольная. 23.45. Основанием равнобедренного треугольника служит
198 Глава VI. Векторная алгебра отрезок АС: А(—4,2), GD,-4). Найти координаты вершины В этого треугольника, зная, что углы при его основании равны агс1:§|. Система координат прямоугольная. 23.46. Найти величину ортогональной проекции вектора АВ на ось, направление которой определяется вектором СВ, если Л(-4,2), БF,4), С(—.6, -1), 2?(—1, -13). Система координат прямоугольная. 23.47. Даны две противоположные вершины квадрата А(—3,2), ВE,-4). Найти две другие его вершины С и И. Система координат прямоугольная. 23.48. Центр описанной около равностороннего треугольника АВС окружности находится в начале координат. Найти координаты вершин В и С, зная, что АB, 4). Система координат прямоугольная. 23.49. В ромбе АВСВ с острым углом при вершине Л, равным 60°, известны координаты смежных вершин А{—1,3) и ВC,1). Найти координаты других вершин ромба. Система координат прямоугольная. 23.50. Определить координаты /с-й вершины правильного п- угольника, если даны координаты первой вершины А\{х1,у\) и координаты центра 8(хо)уо). Система координат прямоугольная. 23.51. Найти формулы преобразования аффинной системы координат на плоскости в каждом из следующих случаев (координаты новых базисных векторов и нового начала координат заданы в старой системе): 1) 2) 3) 4) 5) «1 = «1 = <- е[- е[- 42,5}, = {5,0}, = {0,2}, = {о,0}, = {0,а}, е'2- е>2- е>2- *'2- е'2: = {7,9}, = {0,4}, 0'C,1); 0'C,5); = {-7H})О'@,2); = {0,6}, = {Ь,0}, О'@,0), где О'@,0), где аЬ^О; оЬ^О. 23.52. По отношению к аффинной системе координат даны три точки ЛB,1), ВC,0), СA,4). В новой системе координат те же точки имеют координаты ЛA,6), БA,9), СC,1). Найти формулы преобразования координат, а также старые координаты нового начала координат и новых базисных векторов и новые координаты старого начала координат и старых базисных векторов.
§23. Аффинная система, координат. Координаты точки 199 23.53. Известны координаты трех точек А,В,С относительно двух аффинных систем координат на плоскости. Доказать, что формулы преобразования координат будут в этом случае определены однозначно тогда и только тогда, когда данные точки Л, В, С не лежат на одной прямой. 23.54. Даны две системы координат Оху и Ох1у''. Координаты (я, у) произвольной точки относительно первой системы выражаются через ее координаты {х'уу') относительно второй системы по следующим формулам: х = 2х' - 5у' + 3, у=-х' + 2у' - 2. Найти координаты начала второй системы и ее базисных векторов относительно первой системы. 23.55. Координаты (#,у) каждой точки плоскости в первой системе координат выражаются через координаты {х\ у') этой же точки во второй системе координат соотношениями ,СЕК2х2. Первая систем координат является прямоугольной декартовой. При каком необходимом и достаточном условии вторая система также является прямоугольной декартовой? 23.56. Даны две системы координат Оху и Ох'у'. Относительно первой системы координат начало второй системы находится в точке 0'(—4,2), ось О'х1 пересекает ось Ох в точке -4B,0), а ось О'у1 пересекает ось Оу в точке 5@,8). Принимая за базисные векторы второй системы векторы О'А и О'В, выразить координаты произвольной точки плоскости относительно первой системы через ее координаты во второй системе. 23.57. Дан параллелограмм О АС В. Рассмотрим две системы координат, принимая за начало обеих систем вершину параллелограмма О, за базисные векторы осей Ох и Оу первой системы соответственно векторы О А и ОБ, а за базисные векторы осей Ох1 и Оу1 второй системы соответственно векторы ОК и ОЬ {К и Ь - середины сторон АС и ВС). Найти координаты вершин параллелограмма во второй системе. 23.58. Дан правильный шестиугольник АВСИЕР. Найти координаты (я, у) точки плоскости в системе координат {А;АВУ х У а /5 + С
200 Глава VI. Векторная алгебра АР}, если известны ее координаты (х1\у') в системе координат {С',СВ,СЕ}. 23.59. В трапеции АВСВ диагонали пересекаются в точке Е, а длины оснований ВС и АО относятся как 2:3. Найти координаты (я, у) точки в системе координат {А; АВ, АБ}, если известны ее координаты (х1 ,у') в системе координат {Е;ЕА, ЕВ}. 23.60. В трапеции АВСВ длины оснований ВС и АИ относятся как 3:4, точка Е является серединой основания АБ, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке Р. Найти координаты (х, у) точки в системе координат {Е; ЕВ, ЕС}, если известны ее координаты (х',у1) в системе координат {Р;РВ,РС}. 23.61. В прямоугольном треугольнике АВС, длины катетов которого равны АВ = 3 и ВС = 4, точка И является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла. Векторы в1, в2, е[, е'2 имеют единичную длину, причем ех сонаправлен с В А, в2 сонаправлен с ВС, е[ сонаправлен с АС, е;2 сонаправлен с ИВ. Найти координаты (х,у) точки плоскости в системе координат {В; ех, ег}, если известны ее координаты {х', у') в системе координат {И; е[, е'2}. 23.62. Найти формулы преобразования аффинной системы координат в пространстве в каждом из следующих случаев (координаты новых базисных векторов и нового начала координат заданы в старой системе): 1) е'1 = {2,4,1}, е'2 = {0,4,4}, е'3 = {1,1,0}, О'B,1,3); 2) е[ = {4,2,1}, е'2 = {5,3,2}, е'3 = {3,2,1}, 0'A,1,2). 23.63. Даны две системы координат Охуг и О'х'у'г'. Координаты (х,у,г) произвольной точки относительно первой системы выражаются через ее координаты (х* ,у'', г') относительно второй системы по следующим формулам: а) х = х' + у' + г' - 1, у = -х1 + х' + 3, г = -х' - у' - 2; б) х = -2х'-у'-г'-1, у = -у1 -г1, г = ж' + Зу' + г'Н-!. В каждом из указанных случаев найти координаты начала второй системы и ее базисных векторов относительно первой системы. 23.64. По отношению к аффинной системе координат даны четыре точки ЛA,0,0), 5@,1,0), С@,0,1), #A,1,1). В новой системе координат те же точки имеют координаты АA,-1,0),
§23. Аффинная система координат. Координаты точки 201 В@,1,1), СA,0,1), 1)@,1, -1). Найти формулы преобразования координат, а также старые координаты нового начала координат и новых базисных векторов и новые координаты старого начала координат и старых базисных векторов. 23.65. Известны координаты четырех точек Л, В, С, В относительно двух аффинных систем координат в пространстве. Доказать, что формулы преобразования координат будут в этом случае определены однозначно тогда и только тогда, когда данные точки А, В, С, И не лежат в одной плоскости. 23.65.1. В прямоугольной декартовой системе координат Охуг произведено "переименование" координатных осей. а) Показать, что "переименование" х' = у, у' = г, г1 — х эквивалентно суперпозиции поворотов вокруг координатных осей. б) Верно ли аналогичное утверждение для "переименования" х' = г, у' = у, г1 = х? 23.66. Даны две системы координат Охуг и Ох1 у1 г1 с общим началом О и одинаковыми по длине базисными векторами по всем осям обеих систем. Первая система прямоугольная; ось Ох! второй системы совпадает с осью Ог первой, а оси Ох1 и Оу1 суть соответственно биссектрисы углов хОг и уОг. Найти формулы преобразования координат при переходе от первой системы ко второй. 23.67. В пространстве даны две прямоугольные системы координат {О; ех, в2, ез} и {О; е^, е2, е^}. Вторая система координат получена из первой в результате последовательного выполнения двух поворотов на угол 45°: сначала вокруг оси О г в направлении кратчайшего поворота от ех и в2, а затем вокруг новой оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от нового вектора е2 к вектору ез. Найти координаты (я, у, г) точки в первой системе координат, если известны ее координаты (х',у\г;) во второй системе координат. 23.68. Найти формулы преобразования координат при переходе от одной прямоугольной системы координат Охуг к другой прямоугольной системе О'х'у1 г1, если системы одинаково ориентированы, начало второй системы находится в точке 0'A, 2, 3) и (еь е[) = агссоз^, (еь е2) = агссоз(-|), (еь е'3) < |, (е2, е[) = агссоз(-§), (е2, е'2) > §. 23.69. Даны две прямоугольные системы координат Охуг и О'х'у'г1. Начало второй системы находится в точке 0'B,1,2); ось
202 Глава VI. Векторная алгебра О'х' проходит через точку О, а ось О1 у1 пересекает ось Оу в точке А. За положительное направление оси О'х' принято направление вектора О'О, за положительное направление оси О'у' - направление вектора О'А; положительное направление оси О1 г1 выбрано так, чтобы системы были одинаково ориентированы. Выразить координаты (ж, у, г) произвольной точки относительно первой системы через ее координаты (я/, у', г') во второй. 23.70. В пространстве даны две прямоугольные системы координат {О; ех, е2, ез} и {С; е'г, е2, е^}. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (—1,3,5). Вектор е^ образует углы, равные 60°, с векторами ех и в2 и острый угол с вектором ез- Вектор е2 компланарен с векторами ех и е2 и образует с вектором е2 острый угол. Системы координат одинаково ориентированы. Найти координаты (х, у, г) точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты (х\у',г') во второй системе. 23.71. В пространстве даны две прямоугольные системы координат {О; ех, е2, ез} и {0'\ е'х, е2, е^}. Точки ОиО' различны, а концы векторов е% и е[, отложенных соответственно из точек О и О', совпадают (г = 1,2,3). Найти координаты (ж, у, г) точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты (а/, у', г') во второй системе. 23.72. Координаты (ж, у, г) каждой точки пространства в первой системе координат выражаются через координаты (х',у\ г1) этой же точки во второй системе координат соотношениями " X У г = а р . 7 . + С \ х' 1 у' 1 г' \ Первая систем координат является прямоугольной декартовой. При каком необходимом и достаточном условии вторая система также является прямоугольной декартовой? 23.73. В основании призмы ЛБСТЭЛхБхСх^х лежит ромб с острым углом Л, равным 60°. Точка К лежит на продолжении ребра А В за точку Б, причем угол АПК прямой. Найти координаты (ж, у, г) точки пространства в системе координат {А\АВ, АО, ЛАх}, если известны ее координаты (х\у',х') в системе координат {К; К А, КВ, КС\}.
§24. Скалярное произведение 203 23.74. В треугольной призме АВСА1В1С1 точка М - точка пересечения медиан грани А\В\С\. Найти координаты (я,у,г) точки пространства в системе координат {Л; АВ, АС, АВ\], если известны ее координаты (а/, у', г') в системе координат {А\\ А\В, А^С,ММ}. 23.75. В тетраэдре АВСБ точка М - точка пересечения медиан грани ВСБ. Найти координаты (х, у, г) точки пространства в системе координат {Л; АВ, АС, АИ}, если известны ее координаты (о/, у', г') в системе координат {М; МВ, МС', МА}. 23.76. В правильной шестиугольной пирамиде ЗАВСИЕР с вершиной 5 точка М является центром основания. Найти координаты (я, у, г) точки пространства в системе координат {Л; АВ, АР, АЗ}, если известны ее координаты (я7, у', г') в системе координат {5; 5С, 5Д 5М}. 23.77. Дан параллелепипед АВС'ВА\В\С\В\. Найти координаты {х, у, г) точки пространства в системе координат {Л; ЛС, АВ1, ААх}, если известны ее координаты (х1\у',г!) в системе координат {Я1;1?70,1>1Сь ^В}. §24. Скалярное произведение Скалярным произведением (а, Ь) ненулевых векторов а и Ь называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: (а, Ь) = |а|-|Ь|со8(аГЬ). Если один из векторов а или Ъ нулевой, то скалярное произведение этих векторов по определению считается равным нулю. Из определения следует, что | а| = у/( а, а), соз( а, Ь) = (а, Ь)/(| а|• | Ь|). Величина (а, а) называется скалярным квадратом вектора а и обозначается а2. Очевидно, что а2 = |а|2. Обозначим через рга Ь ортогональную проекцию вектора Ь на ось, определенную вектором а ф 0. Теорема 24.1. Если а ф О, то для любого вектора Ь (а, Ь) = |а|(рга Ь) = (а,рга Ь). Теорема 24.2. Для любых векторов а, Ь, с и числа абК ;;(а,Ь) = (Ь,а); «;(а+Ь,с) = (а,с) + (Ь,с); 3) (а а, Ь) = а(а, Ь);
204 Глава VI. Векторная алгебра 4) (а, а) > 0, причем (а, а) = 0 тогда и только тогда, когда а = О. Из свойств 1-3 следует, что скалярное произведение линейно и по второму множителю: (а, Ь + с) = ( а, Ь) + (а, с), (а, а Ь) = а( а, Ъ). Скалярное произведение векторов может быть вычислено по их координатам, если известна "таблица умножения" базисных векторов: если з з зз а = ^Лгвг, Ъ = ^/Згвг, ТО ( а, Ь) = ^^СК^^г, в,). г=1 г = 1 г=1 у — 1 Векторы а и Ь называются ортогональными, если (а, Ь) = 0. Из определения следует, что векторы а и Ь ортогональны тогда и только тогда, когда либо один из них нулевой, либо они перпендикулярны. В терминах ортогональности векторов ортонормированность базиса в1,..., еп, где п = 1, 2,3, означает, что (е- е)-( °' **Э> Матрица Г (еь еО (еь е2) (еь е3) С(еи ©2, е3) = (е2, ех) (е2, е2) (е2, е3) [ (е3, в!) (е3, е2) (е3, е3) называется матрицей Грама системы векторов е\, е2, ез, а ее элементы 9гз = (ег> е;) ~ метрическими коэффициентами. Теорема 24.3. Координаты {с*1,а2,а:з} вектора а в базисе ех, е2, ез вычисляются по правилу сц = (а, вг), г = 1,3, тогда и только тогда, когда этот базис ортонормированный. Направляющими косинусами вектора (луча) называются косинусы углов, образованных этим вектором (соответственно лучом) с осями координат. Если в1, е2, ез - ортонормированный базис и е - единичный вектор, то (е, ех) = соз(еГе!), (е, е2) = соз(ё7е2), (е, е3) = соз( е^ез), и следовательно, в силу теоремы 24.3 направляющие косинусы вектора е являются его координатами в этом базисе. Теорема 24.4. Скалярное произведение векторов а = сх\ в\ + а2 е2 + аз ез и Ь = /3\ е\ ¦+¦ /32 е2 ¦+¦ /Зг ез равно сумме попарных произведений координат з (а,Ъ) = ]Га,Д г = 1 тогда и только тогда, когда в1, е2, ез - ортонормированный базис. Следствие 1. Если векторы а — {а1,а2,аз}, Ь = {C\,/?2,/Зз} заданы координатами в ортонормированном базисе, то | а| - у/с^ + ^ + сЦ; соз( СЬ) = ^+^+^Д. Следствие 2. В прямоугольной декартовой системе координат расстояние р(А,В) между точками А(х1^у\^г\) и В(х2,у2,г2) равно Р(А, В) = у/(х2 ~ XIJ + (У2 - У1? + (*2 - 21J-
§24. Скалярное произведение 205 Пример 24.1. Пусть А, В, С и В - произвольные точки плоскости или пространства. а) Доказать, что (АВ, СО) + (ВС, АО) + (СА, ВО) = 0. B4.1) б) Используя тождество B4.1), показать, что в любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке. Решение, а) Выразим все участвующие в левой части B4.1) векторы через векторы а = АВ, Ъ = ВС, с = СО и воспользуемся линейностью скалярного произведения по обоим его сомножителям: ( а, с) + (Ь, а + Ь + с) + (- а - Ь, Ь + с) = ( а, с) + (Ь, а) + | Ъ|2+ +(Ь, с) - (а, Ь) - |Ъ|* - (а, с) - (Ь, с) = 0. б) Пусть теперь точка О - точка пересечения высот, проведенных из вершин АиС треугольника АВС. Тогда первые два слагаемых в левой части B4.1) равны нулю как скалярные произведения ортогональных векторов, и значит, [СА, ВО) = 0. Таким образом, прямая (ВО) содержит высоту треугольника, проведенную из вершины В. ¦ Пример 24.2. Ребро куба АВСОА\В\С\0\ равно 2, точка К - центр грани АВВ\А\. Найти длину перпендикуляра, опущенного из вершины С\ на прямую О К. Решение. Единичные векторы а, Ь, с на ребрах В А, ВВ\, вд образуют ортонормированный базис пространства. Пусть точка Р - основание перпендикуляра, опущенного из точки С\ на прямую ОК, а точка М - основание перпендикуляра, опущенного из точки К на АВ. Найдем координаты вектора РС\ в базисе а, Ь, с. Имеем: ОК = ОМ Л- МК = —2с — а + Ь, 1ЭР = оОК = -аа + аЪ-2ас, РС1 = Р/5 + ~ОС[ = (аа-аЪ + 2ас) + (—2 а + 2 Ь) = (а — 2) а ¦+¦ B — а) Ь + 2а с. Из ортогональности векторов РС\ и ОР следует, что (РС\,ОР) = 0. С учетом ортонормированности базиса а, Ь, с получаем, что —а(а — 2) + аB — а) — 4а2 — 0, откуда находим а = |. Следовательно, РС\ =-|а+|Ь+|си |РС1| = |\/3. В §25 (пример 25.1) дано другое решение этой задачи. ¦ Пример 24.3. Найти вектор х, перпендикулярный вектору а — {2,-3,3} и образующий с вектором Ь = { —1,1,0} угол 7г/4, если известно, что с осью Оу он образует острый угол, а его длина равна длине вектора Ь. Система координат прямоугольная. Решение. По условию задачи (х, а)=0, (хЪ) = |х|.|Ъ|Л/2, {242) |х| = |Ь|, ^ ; (х, е2) >0. Пусть х = {х1,Х2,жз}. Так как | Ь| = у/2, то равенства B4.2) в коорди-
206 Глава VI. Векторная алгебра натной форме имеют вид 2x1 - Зх2 + Зхз = 0, х?+х1+х32 = 2, B4'3) Х2 > 0. Из первых двух уравнений следует, что XI = 3 — 3^2, Х2 = ЗХз — 2, Жз € К. Подставляя эти соотношения в третье уравнение B4.3), получим: хз-= 1 или Хз = 19' и следовательно, {0,1,1} или Х={|,-А,11|. Последнему условию в B4.3) удовлетворяет лишь первый вектор. Таким образом, х = {0,1,1}. ¦ Пример 24.4. Векторы а, Ъ, с таковы, что | а| = 1, | Ь| = | с| = 2, причем векторы а и Ь перпендикулярны, а вектор с образует с каждым из векторов а и Ь угол 7г/3. Найти угол между наибольшей и наименьшей внутренними диагоналями параллелепипеда, построенного на этих векторах. Решение. Из правила сложения векторов следует, что диагонали параллелепипеда совпадают с векторами а + Ъ + с, а + Ь— с, а— Ъ + с, — а + Ь ¦+¦ с. Возьмем в качестве базисных векторы а, Ь, с. Матрица Грама Г 1 0 1 1 этих векторов имеет вид: С( а, Ь, с) = 0 4 2 . Пользуясь этой "табли- [12 4] цей" скалярных произведений, найдем квадраты длин диагоналей: |а+Ъ+с|2=(а+Ъ+ с, а+Ъ+ с) = | а|2 + | Ь|2 + | с|2 + 2(а, Ъ)+ +2(Ъ, с) + 2(а, с) = 15. Аналогично: |а+ Ь- с|2 = 3, |а- Ь+ с|2 = 7, | - а + Ь + с|2 = 11. Таким образом, наибольшей является диагональ а + Ь + с, а наименьшей - диагональ а ¦+¦ Ь — с. Для вычисления угла между ними, найдем скалярное произведение: (а+Ъ+с, а+Ь- с) = |а+ Ъ|2 - | с|2 = | а|2 + | Ъ|2 - | с|2 = 1. Тем самым, косинус угла между этими диагоналями равен (а+Ь+с, а+Ь-с) _ 1 |а+ Ъ+ с||а+ Ъ- с| ~ зТб' Пример 24.5. В параллелограмме АВСЭ: АВ = 3, ВС = 4, ВАС = 60°, точка М - середина стороны ВС, точка N делит отрезок ПС в отношении 2. Найти тупой угол между прямыми АМ и ВИ.
§24. Скалярное произведение 207 Решение. Введем базисные векторы а = СМ, Ь = СИ. Матрица Грама этой системы векторов имеет вид: С( а, Ь) = -. -. . Найдем координаты векторов АМ и ВЫ в базисе а, Ь: АМ = — а — 3 Ь, ВЫ = -2 а ¦+¦ Ь, так что АМ = {-1,-3}, Б7У = {-2,1}. Пользуясь "таблицей" G(а, Ь) скалярных произведений базисных векторов, получаем, что (АМ, В ТУ) = 2.4 + 61-11-31 = 10, |ЛМ|2 = 1-4 + 2-3-1 + 9-1 = 19, \ВЫ\2 = 4-4+2-(-2)-1+1-1 = 13. Отсюда следует, что соз(АМ, Ш) = л/247' Таким образом, тупой угол между прямыми АМ и ВЫ равен 7г—агссоз л/247 ¦ Пример 24.6. Найти ортогональную проекцию вектора а = {4,0,1} на ось, определяемую вектором Ь = {—2,1,2}. Система координат прямоугольная. Решение. Найдем сначала величину ортогональной проекции вектора а на указанную ось. Согласно теореме 24.1, она равна (рГь а) = "ТьГ = Сама же ортогональная проекция равна произведению своей величины на единичный вектор, сонаправленный с вектором Ъ: . Ь /4 2 4\ Пример 24.7. Даны два вектора а и Ь. Найти ортогональную проекцию вектора Ъ на ось, определяемую вектором а. Решение. Отложим векторы а и Ь от точки О, пусть а = О А, Ь = ОВ, точка С - основание перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую О А. Тогда О В = ОС + С В или Ь = аа + СВ, где ОС = а а - искомый вектор. Умножив обе части этого равенства скалярно на вектор а, найдем а: (а, Ь) = а( а, а) или а = (а, Ь)/| а|2. Следовательно, ОС=^а. . ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа считается, что координаты векторов заданы в прямоугольной декартовой системе координат. Случай произвольной аффинной системы координат оговаривается особо.
208 Глава, VI. Векторная алгебра 24.1. Является ли скалярное произведение алгебраической операцией на множестве Уз геометрических векторов пространства? 24.2. Является ли бинарное отношение И, отношением эквивалентности на множестве Уз геометрических векторов пространства, если: а) хЯу <=> (х, у) = 0; б) х?гу Ф=^ (х, у)>0; в) х?гУ 4=^ |х| = |у|; г) хЛу 4=> (х— у, а) = 0, где а Е Уз - заданный вектор? 24.3. Задает ли скалярное произведение биективное отображение У3 х У3 в К? У2хУ2вШ? 24.4. Найти скалярное произведение векторов а и Ь в каждом из нижеследующих случаев: а) |а| = 8, |Ь| = 5, (аПь) = 60°; б) |а| = |Ь| = 1, (а, Ь) = 135°; в) аХЬ; г)|а| = 3, |Ь|=6, а|Т Ь; д)|а| = 3, |Ь| = 1, а П Ь. 24.5. Доказать тождество |а+Ь|2 + |а-Ь|2 = 2(|а|2 + |Ь|2) и дать его геометрическое толкование. 24.6. Даны единичные векторы а, Ь, с, удовлетворяющие условию а + Ь + с = 0. Вычислить (а, Ъ) + (Ъ, с) + (с, а). 24.7. Даны векторы а, Ь, с, удовлетворяющие условию а + Ь+ с = 0. Зная, что | а| = 3, |Ь| = 1, |с| = 4, вычислить (а, Ь) + (Ь, с) + (с, а). 24.8. Доказать, что векторы р = (Ь, с) а — (а, с) Ь и с ортогональны. 24.9. Какой угол образуют единичные векторы 8 и 1, если известно, что векторы р = 8 + 2* и ^ = 58 — 4* взаимно перпендикулярны? 24.10. Доказать, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы на превосходила длины суммы оставшихся трех векторов. 24.11. В треугольнике АВС известны длины сторон ВС = 5, С А = 6, АВ = 7. Найти скалярное произведение (В А, ВС).
§24. Скалярное произведение 209 24.12. Найти тупой угол а между медианами равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенными из вершин острых углов. 24.13. Найти угол а при вершине равнобедренного треугольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны. 24.13.1. Пусть А, В, С и В - произвольные точки плоскости или пространства. а) Доказать, что Aв, ев) + (вс, ао) + (са, во) = о. б) Используя это тождество, показать, что в любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке. 24.14. Найти длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 2р-^^и р — 2^, если |р| = у/2, | с^| = 2, (Р7ч) = т/4. 24.15. Найти угол между внутренними диагоналями куба. 24.16. Найти углы между внутренними диагоналями прямоугольного параллелепипеда, если из трех его ребер, выходящих из одной вершины, два ребра одинаковы по длине, а третье вдвое длиннее остальных. 24.17. Ребро куба АВСВА1В1С1В1 равно 2, точка К - центр грани АВВ1А1. Найти угол между В К и ВВ\. 24.18. Высота в правильном прямоугольном параллелепипеде АВСВАхВхСхВх в два раза меньше стороны основания. Найти наибольшее значение угла А\МС\, где М - точка на ребре АВ. 24.19. Найти угол между скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра. 24.20. Доказать, что если биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла перпендикулярны, то биссектриса третьего плоского угла перпендикулярна каждой из них. 24.21. Доказать, что если в тетраэдре два ребра соответственно перпендикулярны своим противоположным, то и остальные два ребра взаимно перпендикулярны. 24.22. Доказать, что в тетраэдре все грани являются равными треугольниками тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, перпендикулярны. 24.23. Доказать, что сумма квадратов длин ребер тетраэдра в четыре раза больше, чем сумма квадратов расстояний между
210 Глава VI. Векторная алгебра серединами его скрещивающихся ребер. 24.24. Доказать, что в параллелепипеде все внутренние диагонали одинаковы тогда и только тогда, когда этот параллелепипед прямоугольный. 24.25. Дан куб АВСВА\В\С\0\ с ребром а. Найти длину наименьшего отрезка, концы которого расположены на прямых АВ\ и ВС\ и который образует угол 60° с плоскостью грани АВСВ. 24.26. В треугольнике АВС точка В делит сторону АВ в отношении Л. Выразить длину отрезка С В через длины а = ВС, Ь = АС, с = А В трех сторон треугольника и число Л. 24.27. В прямоугольном треугольнике АВС опущен перпендикуляр СН на гипотенузу АВ. Выразить вектор СН через векторы а = СВ и Ь = С А. 24.28. В треугольнике АВС проведена высота АН. Выразить вектор АН через векторы Ь = АВ и с = АС. 24.29. Зная векторы а и Ь, на которых построен параллелограмм, выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма, перпендикулярной к стороне а. 24.30. В тетраэдре О АВС из вершины О опущена высота ОН на противоположную грань. Выразить вектор ОН через векторы а = 04, Ь = ОВис = ОС. 24.31. Дан прямоугольник АВСВ и точка М (которая может лежать как в плоскости прямоугольника, так и вне ее). Показать, что: а) скалярное произведение векторов, идущих от точки М к двум несмежным вершинам прямоугольника, равно скалярному произведению векторов, идущих от той же точки к двум другим вершинам: (МЛ,Ш) = (МВ,МВ); б) сумма квадратов длин векторов одной пары равна сумме квадратов длин векторов другой пары: |МЛ|2 + |МС|2 = |МВ|2 + \Ш5\2. 24.32. Дан параллелограмм АВСВ. Доказать, что величина АХ2 + СХ2 - ВХ2 - ВХ2 не зависит от выбора точки X. 24.33. Пусть О - центр окружности, описанной около треугольника АВС, а точка Н обладает тем свойством, что ОН =
§24. Скалярное произведение 211 О А + ОБ + ОС. Доказать, что Н - точка пересечения высот треугольника АВС. 24.34. Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки X до вершин заданного треугольника минимальна тогда и только тогда, когда точка X совпадает с точкой пересечения медиан в треугольнике. 24.34.1. Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки X до вершин заданного тетраэдра минимальна тогда и только тогда, когда точка X совпадает с точкой пересечения середин его противоположных ребер. 24.34.2. Пусть Ах,..., Ап - произвольное множество точек пространства. Доказать, что существует и притом только одна такая точка X, для которой выражение |ХАх|2 + ... + |ХАП|2 достигает своего минимального значения. 24.35. В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон. Найти угол между диагоналями четырехугольника. 24.36. Доказать, что в произвольном четырехугольнике АВСВ выполнено равенство АВ2 + ВС2 + СП2 + АО2 = АС2 + ВВ2 + 4МЛГ2, где М и N - середины диагоналей АС и ВО соответственно (теорема Эйлера). 24.37. Точки 4, В, С и I) таковы, что для любой точки М ). > > > у числа (МА.МВ) и (МС,МО) различны. Доказать, что АС - Ш. 24.38. Пусть Я - радиус окружности, описанной около правильного п-угольника. Найти: а) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого многоугольника, выходящих из одной его вершины; б) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого многоугольника. 24.39. Правильный многоугольник А\... Ап вписан в окружность радиуса К с центром О; X - произвольная точка. Доказать, что АХХ2 + ... + АПХ2 = п(Я2 + ОХ2). 24.40. Точки Ах,..., Ап лежат на окружности с центром О, причем ОА\ + ... + ОАп = 0. Доказать, что для любой точки X справедливо неравенство XА\ + ... -Ь XАп > пК, где К - радиус
212 Глава VI. Векторная алгебра окружности. 24.41. Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки X до вершин правильного п-угольника будет минимальной тогда и только тогда, когда X - центр п-угольника. 24.42. Вычислить скалярное произведение векторов а и Ь, заданных своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев: а) а = {3,5,7}, Ь = {-2, б, 1}; б) а = {3,0, -6}, Ь = {2, -4,0}; в) а ={2,5,1}, Ъ = {3,-2,4}; г) а ={9,8,5}, Ь= {-9,8,3}. 24.43. Определить угол а между векторами а и Ь, заданными своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев: а) а = {8,4,1}, Ь = {2,-2,1}; б) а={1,1,1}, Ъ = {3,3,-3}; в) а= {2,5,4}, Ь = {6,0,-3}; г) а= {1,0,1}, Ъ = {2,-2,0}. 24.44. Даны векторы: а = {2,-2,1}, Ь = {1,1,-1}, с = {—1,1,2}. Вычислить: а) 2а2 + 6(а, Ь)-2с2; б) 2а2 - ЗЬ2 + Зс2; в) 4(а, Ъ)-3(Ъ, с)-5(а, с); г) а2(Ь, с)+Ь2(с, а)+ с2(а, Ь). 24.45. Даны векторы: а = {3,1,2}, Ь = {2,1,-2}, с = {2,1,2}. Найти координаты векторов: а) (а, Ь)с - а(Ь, с); б) а2Ь+ Ь2с + с2а; в) (а- ЬJс + (Ь- сJа+(а- сJЬ. 24.46. Найти направляющие косинусы вектора АВ, если А(-2,1,3) и В@,-1,2). 24.47. Луч образует с двумя осями координат углы в 60°. Под каким углом он наклонен к третьей оси? 24.48. Найти углы, образуемые вектором ОВ = {6,2,9} с плоскостями координат Оух, Огх, Оху. 24.49. Найти угол между биссектрисами координатных углов хОг и уОг. 24.50. Найти угол между лучом, лежащим в плоскости Оху и образующим с осью Ох угол 30°, и лучом, лежащим в плоскости Охг и образующим с осью Ох угол 60°. 24.51. Треугольник АВС задан своими вершинами ЛC,2, —3), ВE,1,— 1), СA,—2,1). Определить его внешний угол при вершине А. 24.52. Найти внутренние углы треугольника ЛВС, если 4(9,2,4), ВB,3,-1), СE,-1,-6). 24.53. Вычислить длину б? диагонали ОВ параллелепипеда, зная длины а = О А, Ь = ОБ, с = ОС трех его ребер, выходящих
§24. Скалярное произведение 213 из одной вершины О, и углы а = ВОС, C = СО А, 7 = АОВ между ними. Найти также косинусы углов, образуемых диагональю ОВ с ребрами ОА, 0В, ОС. 24.54. Одна из вершин параллелепипеда АВСОАхВхСхОх находится в точке АA, 2, 3), а концы выходящих из нее ребер - в точках В(9,6,4), 1)C,0,4), А\(Ь, 2,6). Найти длину & диагонали АС\ этого параллелепипеда и угол, образуемый этой диагональю с ребром АВ. 24.55. Вычислить углы </?х, у?2> ^з> образованные противоположными ребрами тетраэдра, вершины которого находятся в точках ЛC, -1,0), В@, -7,3), С(-2,1, -1), ЯC,2,6). 24.56. Найти вектор х, коллинеарный вектору а = {12, —16, — 15}, если известно, что | х| = 50 и вектор х образует с осью Ог острый угол. 24.57. Найти вектор х, перпендикулярный векторам а = {2,3, —1} и Ь = {1, —2, 3}, зная, что он образует с осью Оу тупой угол и что 1x1 =3>/3. 24.58. Даны два вектора а = {8, 4,1} и Ь = {2, —2,1}. Найти вектор с, компланарный векторам а и Ь, перпендикулярный вектору а, равный ему по длине и образующий с вектором Ь тупой угол. 24.59. Даны два вектора а и Ь. Представить вектор Ь в виде суммы двух векторов х и у так, чтобы вектор х был коллинеа- рен вектору а, а вектор у ортогонален вектору а. 24.60. Даны два неколлинеарных вектора а и Ь. Найти вектор х, компланарный векторам а и Ь и удовлетворяющий системе уравнений (а, х) = 1, (Ь, х) = 0. 24.61. Даны три некомпланарных вектора а, Ь, с. Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (а, х) = 1, (Ь,х)=0, (с,х) = 0. 24.62. Даны векторы а и п. Найти ортогональную проекцию вектора а на плоскость, перпендикулярную вектору п. 24.63. Найти ортогональную проекцию вектора {—14, 2,5} на ось, определяемую вектором {2, —2,1}. 24.64. Найти величину ортогональной проекции вектора {5,2, 5} на ось, определенную вектором {2, —1, 2}. 24.65. Найти величину ортогональной проекции вектора а = {4, —3,2} на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.
214 Глава VI. Векторная алгебра 24.66. Найти ортогональную проекцию вектора {8,4,1} на плоскость, перпендикулярную вектору {2, —2,1}. 24.67. Даны векторы а = {8,4,1}, Ь = {2,-2,1}, с = {1,1,9}. Найти ортогональную проекцию вектора с на плоскость, параллельную векторам а и Ь. 24.68. Найти сумму векторов, являющихся ортогональными проекциями вектора а на стороны равностороннего треугольника ЛВС. 24.69. Известны величины ортогональных проекций векторов а, Ь, с и с! на ось, определенную вектором е: (рге а) = 5, (рге Ь) = -3, (рге с) = -8, (рге с!) = 6. Образуют ли векторы а, Ъ, с, с! замкнутую ломаную? 24.70. Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти из них меньше длины суммы всех десяти векторов. Доказать, что существует ось, величина проекции на которую каждого из десяти векторов положительна. 24.71. Векторы а = {0,1,2}, Ь = {1,0,1}, с = {2,1,0} являются ребрами параллелепипеда, выходящими из одной вершины. Найти ортогональную проекцию меньшей внутренней диагонали параллелепипеда на грань, параллельную векторам Ь и с. Скалярное произведение в аффинных координатах 24.72. Выразить через метрические коэффициенты ри, #Х2, #22 базиса ех, в2 на плоскости: а) длины базисных векторов; б) угол и между базисными векторами; в) площадь параллелограмма, построенного на базисных векторах. 24.73. Зная матрицу Грама О — (д^) базиса ех, в2 на плоскости, найти: а) скалярное произведение векторов а= {0,1,0,2} и Ь = {Ьх, 62}; б) длину вектора а = {ах, 02} и его направляющие косинусы; в) угол между векторами а = {ах,а2} и Ь = {Ьх,^}. 24.74. В аффинной системе координат дан вектор а= {7, — 8}. Найти вектор Ь единичной длины, перпендикулярный вектору а и направленный так, что пара векторов а, Ь имеет положительную ориентацию, при этом дц = 4, ди = 8, д22 — 25.
§24. Скалярное произведение 215 24.75. Зная длины базисных векторов |ех| = 2, |в2| = 3 и угол между ними ш = 7г/3, найти длину вектора а = {—4,6}. 24.76. Известны длины базисных векторов аффинной системы координат | ех| = 4, | ег| = 2 и угол между ними и = 7г/3. Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника АA, 3), ВA,0), СB,1). Определить длины сторон АВ и АС этого треугольника и угол А между ними. 24.77. Относительно аффинной системы координат дан треугольник АВС с вершинами АA) 1), ВE,3), СC,5), длины сторон которого суть АВ = >/52, АС = 4, ВС = >/28. Определить длины базисных векторов этой системы координат и угол между ними. 24.78. Относительно аффинной системы координат дан прямоугольный треугольник АВС с вершинами в точках ЛA,0), В@,1), СC, 2), прямым углом при вершине С и катетами С А = 2, СВ = 3. Определить длины базисных векторов этой системы координат и угол между ними. 24.79. Относительно аффинной системы координат дан прямоугольный треугольник АВС с вершинами в точках ЛA,0), Б@,1), СC, 2), прямым углом при вершине С и катетами С А = 2, СВ = 3. Определить длины сторон А1В1 и А\С\ треугольника А\В\С\ и угол А\ между ними, если вершины этого треугольника имеют координаты АхA,1), 2?хB,2), СхB,4). 24.79.1. Доказать, что скалярный квадрат вектора а = ах ех + а2 в2 + аз ез вычисляется через его координаты в базисе е1> ^2, ез по правилу а2 = а? + 0% + а| тогда и только тогда, когда этот базис ортонормированный. 24.80. Базисы ех, в2 и Гх, Г2 на плоскости называются взаимными (биортогональными), если (еь ГО = (ез, Ь) = 1, (еь Г2) = (е2, Ъ) = 0. Зная матрицу Грама С = (д^) базиса ех, в2, найти: а) матрицу Грама взаимного базиса; б) координаты векторов взаимного базиса Гх, $2 в базисе ех, е2; в) длины векторов взаимного базиса; г) угол между векторами Гх и Г2 взаимного базиса. 24.81. Вектор а = {ах,а2} задан своими координатами в базисе ех, ег, а вектор Ь = {Ьх,^} - своими координатами во
216 Глава VI. Векторная алгебра взаимном базисе ?х, $2- Доказать, что их скалярное произведение вычисляется по формуле (а, Ь) = ахЬх +а2Ь2- 24.82. 1) Найти векторы е^, е'2, полученные поворотом на угол (р векторов ех и е2 соответственно, если известны метрические коэффициенты #хъ #12, 922 базиса ех, в2- 2) Рассмотреть частный случай поворота на угол (р — 7г/2. 24.83. Найти вектор а', полученный поворотом вектора а = {ах,а2} на угол <р, зная метрические коэффициенты #хъ 9п, 922 базиса ех, е2, в котором заданы координаты вектора а. 24.84. 1) Найти векторы е^, е'2, полученные поворотом на угол (р векторов ех и е2 соответственно, если | ех| = | ег| = 1, а угол между векторами ех, в2 равен и. 2) Рассмотреть частный случай поворота на угол <р — 7г/2. 24.85. Выразить через метрические коэффициенты дц = (вг, е^) базиса ех, в2, ез в пространстве: а) длины базисных векторов; б) углы и)ц — (е^, е^) между базисными векторами. 24.86. Пусть О = (д^) - матрица Грама базиса ех, е2, ез в пространстве, ае, Ье - координатные столбцы векторов а и Ь соответственно в базисе ех, ег, ез. Доказать, что скалярное произведение векторов а и Ь вычисляется по формуле (а, Ъ)=атеОЬе. 24.87. Зная матрицу Грама С = (д^) базиса ех, в2, ез в пространстве, найти: а) длину вектора а = {ах,а2,аз}; в) угол между векторами а = {ах,а2,аз} и Ь = {Ьх, &2, &з}- 24.88. Найти направляющие косинусы вектора а = {ах,а2, аз}, заданного своими координатами в базисе ех, е2, ез, если: а) известны метрические коэффициенты дц = (е*, е;) этого базиса; б) известно, что базисные векторы ех, в2, ез по длине равны 1, а углы между ними равны: и\2 = (ёхТвг)» ^13 = (ёГГ^з)? ^23 = (егГез)- 24.89. Базисы ех, е2, ез и Гх, {*2, (з в пространстве называются взаимными (биортпогональными), если (<*, $) = (!• ес™1 = з> у и 3) \ 0, если г ф ].
§25. Векторное и смешанное произведения 217 Найти матрицу перехода от базиса ех, в2, ез к его взаимному базису Гх, {*2, Гз, если известна матрица Грама О базиса ех, е2, ез- 24.90. Вектор а = {^х,а2,аз} задан своими координатами в базисе ех, ег, ез, а вектор Ь = {61,62^3} ~ своими координатами во взаимном базисе Гх, {*2, Гз- Доказать, что их скалярное произведение вычисляется по формуле (а, Ь) = а\Ь\ + о,Фт. + азЬ3. 24.91. Известна матрица Грама С базиса ех, е2, ез- Доказать, что матрица Грама базиса, взаимного с базисом ех, е2, ез, является матрицей, обратной к матрице О. 24.92. Вектор а = {ах,й2>&з} задан своими координатами в базисе ех, в2, ез с метрическими коэффициентами д^. Найти координаты вектора а в базисе, взаимном с базисом ех, в2, ез- 24.93. Длины векторов базиса ех, е2, ез равны единице, а углы между ними равны 7г/3. Найти длины векторов Гх, 1*2, Гз базиса, взаимного с ех, в2, ез. 24.94. Пусть ех, ег, ез и Гх> ?2> Гз - взаимные базисы пространства. Найти углы 9{ между векторами е^ и $ (г = 1,3), если векторы ех, ег, ез по длине равны единице, а углы между ними равны: ш\2 = (ёГГег), ^13 = (еГГ^з), <^23 = (егГез)- 24.95. Доказать, что матрица С является матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормиро- ванному базису тогда и только тогда, когда С - ортогональная матрица. §25. Векторное и смешанное произведения Векторное произведение. Пусть в пространстве Уз выбрана ориентация. Базисы, задающие эту ориентацию, назовем правыми (положительными). Векторным произведением ненулевых векторов а и Ь называется вектор с такой, что: 1)|с| = |а|.|Ь|мп(ГЬ), 2) с ортогонален каждому из векторов а и Ь и если с ф О, то 3) с направлен так, что упорядоченная тройка а, Ь, с - правая. Если один из векторов а или Ь нулевой, то векторное произведение считается равным О. Обозначение: [а, Ь]. Теорема 25.1 (критерий коллинеарности). Векторы а и Ь коллинеарны тогда и только тогда, когда [а, Ь] = 0 .
218 Глава VI. Векторная алгебра Теорема 25.2. Векторное произведение антикоммутативно: [а, Ь] = -[Ь, а], Уа, Ь. Теорема 25.3. Векторное произведение линейно по каждому из сомножителей. Смешанное произведение. Смешанным произведением векторов а, Ъ и с называется число, равное скалярному произведению векторного произведения а и Ь на вектор с. Обозначение: (а, Ъ, с). Итак, (а, Ь, с) = ([а, Ь], с). Теорема 25.4 (критерий компланарности). Векторы а, Ь, с компланарны тогда и только тогда, когда (а, Ь, с) = 0. Теорема 25.5. Смешанное произведение некомпланарных векторов а, Ь и с равно по абсолютной величине объему V параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах а, Ъ, с. Причем _ Г V, если а, Ъ, с - правая тройка; (а,Ъ,с) = { : -V, если а, Ь, с - левая тройка. Теорема 25.6. Для любых векторов а, Ъ, с выполнено равенство ([а, Ь],с) = (а,[Ь, с]). Следствие 1. Для любых векторов а, Ь, с имеют место равенства (а, Ь, с) = (Ь, с, а) = (с, а, Ъ) = -(Ь, а, с) = -(а, с, Ъ) = -(с, Ь, а). Следствие 2. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей. Векторное и смешанное произведения в прямоугольных координатах. Пусть ех, ег, ез - ортонормированный базис пространства и пусть в1, ег, ез - правая тройка. 1. Если векторы а = {а1,аг,аз} и Ь = {61,62,63} заданы своими координатами в базисе в1, ег, ез, то [а,Ы а2 аз 62 6з еХ - а\ аз Л . сы аг 62 + ^ 62 ез, или, в условной записи в виде мнемонического определителя, | ех ег ез [а, Ъ] = а\ й2 аз I &1 &2 Ьз (имеется в виду разложение этого определителя по первой строке). 2. Если векторы а= {а1,а2,аз}, Ь = {61,62,63}, с = {с1,С2,сз} заданы своими координатами в базисе ех, ег, ез, то I сц а2 аз (а, Ь, с) = 61 6г 6з I С\ С2 Сз Замечание. Если исходный базис в1, ег, ез отрицательно ориентирован, то ^] = -(|Е 8 61 - \ Ьг Ьз | ез + \ Ьг Ь2 I ез )¦ [»,ь] в1 ег ез а1 аг аз 61 62 6з (а,Ь,с) = - а\ а2 аз Ь\ 6г 6з С\ С2 Сз
§25. Векторное и смешанное произведения 219 Пример 25.1. Ребро куба АВСВ А\В\С\В\ равно 2, точка К - центр грани АВВ\А\. Найти расстояние р(С\,ВК) от точки С\ до прямой ВК. Решение. Из определения векторного произведения следует, что Р{Сх,ОК) = [РК,РСХ] Найдем координаты векторов В К и ВС\ в ортонормированном базисе а = \ВА, Ь = \Ш[, с = \ВС. Имеем: ВК = {-1,1,-2} (см. пример 24.2), ~ВС[ = ВС + ВВ[ = -2а + 2Ь, так что ВС[ = {-2,2,0}. Отсюда у > I а Ь с I [ВК,ВС1} = \ -1 1 -2 ={4,-4,0}, I -2 2 0 I \[Ш,ВС[)\=А^2, \ВК\ = л/6. Следовательно, р(Сь ^^^^ = Ау/3/3. ¦ Пример 25.2. Ребро куба АВСВА1В1С1В1 равно 2, точка К - центр грани АВВ\А\. Найти расстояние между прямыми В К и СС\. Решение. Заметим, что В К и СС\ - скрещивающиеся прямые и расстояние между ними равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат, т.е. высоте Н параллелепипеда, построенного на векторах ВК, ВС и ВВ\ (ВВ\ = СС\). Из свойств смешанного и векторного произведений следует, что Л = \{ВК\ВС\ВВ[) \[вк,вс\\ В ортонормированном базисе а = \ВА, Ь \~ВВХ, с= \ВС векторы ВК, ВС и ВВ\ имеют координаты Ш = {-1,1,-2}, ВС = поэтому {-2,0,0}, ВВХ = {0,2,0}, {ВК,ВС,ВВх) = [ВК,ВС] = а -1 -2 Ъ 1 0 1 ! 0 I 2 с -2 0 = 8, = {0,-4,2}, \[ВК,ВС}\ = 2>/5. Следовательно, Н — Ау/Ъ/Ъ. ¦ Пример 25.3. Ребро куба АВСВА\В\С\В\ равно 2, точка К - центр грани АВВ\А\. Среди треугольников КТВ, где точка Т лежит на прямой СС\, найти треугольник наименьшей площади.
220 Глава VI. Векторная алгебра Решение. Имеем 8 кто = \ В К - к, где К - высота треугольника КТВ. Площади всех таких треугольников определяются длинами высот. Среди всех высот Н наименьшую длину имеет общий перпендикуляр к прямым ВК и СС\, т.е. его длина совпадает с расстоянием между ближайшими точками этих прямых. Из примера 25.2 следует, что Нтт = р(ВК,СС\) = 4л/5/5, В К — л/б. Таким образом, 5тт = 2\/30/5. ¦ Пример 25.4. Дан треугольник АВС. Найти все такие точки Р, что площади треугольников АВР, ВСР и АСР равны. Решение. Так как площади треугольников АВР, ВСР и АСР равны, то векторы [РА,РВ], [РВ, РС], [РС,РА] одинаковы по длине. Из определения векторного произведения следует, что векторы [РА,РВ], [РВ,РС], ГРС, РА] перпендикулярны плоскости треугольника АВС и сонаправлены. Таким образом, [РА, ~РВ) = [РВ, рб\ = \Рб, РА]. B5.1) Выразим векторы РВ и рд через векторы р = АР, Ь = А В и с = АС: РР=Ь-р, РС= с- р. Подставим эти соотношения в B5.1) и преобразуем получившиеся равенства в соответствие со свойствами векторного произведения: Г [-р,Ъ-р] = [Ъ-р,с-р], ^Г [-р,Ъ] = -[Ъ, р]-[р, с] + [Ъ,с], \ [-Р, Ь- р] = [с- р,-р] \ [-р, Ь] = -[с, р] [2Ь- с, р] = [Ь, с], [Ь+ с, р]= О. Из второго равенства последней системы следует, что векторы ри Ь+с коллинеарны и потому р = а( Ь+ с) для некоторого абМ. Тогда из первого равенства системы получим: [2Ь- с,аЬ + ас] = [Ъ, с] 4=> A - За)[Ь, с] = О. Вектор [Ъ, с] не нулевой и, тем самым, а = 1/3. Следовательно, р = !(ь+с). __ Так как конец вектора АМ = |р= |(Ь+ с) делит сторону ВС треугольника пополам, то АМ - медиана треугольника, а точка Р делит эту медиану в отношении 2:1, считая от вершины А. Поэтому Р - точка пересечения медиан в треугольнике АВС. ¦ Пример 25.5. Доказать, что векторы а, Ъ, с не компланарны тогда и только тогда, когда не компланарны векторы [Ь, с], [с, а], [а, Ь]. Решение. Пусть векторы а, Ь, с не компланарны. Рассмотрим равенство а[Ь, с] +/?[с, а] +7[а, Ь] = 0. Умножая скалярно обе части этого равенства на вектор а, в силу свойств смешанного произведения получим а = 0. Аналогичным образом доказывается, что /3 — 7 = 0. Это означает линейную независимость (т.е. некомпланарность) системы векторов [Ь, с], [с, а], [а, Ь]. Пусть теперь [Ь, с], [с, а], [а, Ъ] не компланарны. Рассмотрим равенство аа + /ЗЪ ¦+¦ 7е = О-
§25. Векторное и смешанное произведения 221 Умножая скалярно обе части этого равенства на вектор [ Ъ, с], в силу свойств смешанного произведения получим а = 0. Аналогичным образом доказывается, что /3 = ^ = 0. Это означает некомпланарность векторов а, Ъ, с.и Две тройки векторов а^ а2, аз и Ъх, Ъг, Ьз называются взаимными (биортпогональными), если векторы этих троек связаны соотношениями Г я ь ^ — / °' если г #.7, ^аг, о3) - ^ 1? если г = ^". В решении задачи из примера 25.5 фактически показано, что если (а, Ь, с) = 1, то тройка [Ь, с], [с, а], [а, Ъ] является взаимной к тройке векторов а, Ъ, с. Пример 25.6. Доказать, что для любых векторов а, Ь и с пространства выполнено тождество [а,[Ь,с]]= Ь(а,с)- с(а,Ь). Решение. Выберем правый ортонормированный базис в1, е2, ез, взяв в качестве вектора в1 вектор единичной длины, коллинеарный вектору Ь, в качестве вектора ег - вектор, компланарный Ь и с, и ез = [в1, ег]. В этом базисе векторы Ь, с, а имеют координаты: Ь = {6,0,0}, с = {с1,С2,0}, а= {а1,а2>аз}. Тогда [Ь, с] = в1 Ь С\ е2 0 С2 е3 0 0 {0,0,6с2}, [а, [Ь, с]] = {а2&с2,-а1&С2,0}, Ь(а, с) — с( а, Ь) = {(ахсх 4- а2С2)Ь} 0,0} — {с\а\Ь,С2а\Ъ,0} = {а2с26,-с2а1б,0} = [а, [Ь, с]]. ¦ Пример 25.7. Найти объем V параллелепипеда, построенного на тройке базисных векторов а, Ь, с, если известна матрица Грама С = С( а, Ь, с). Решение. Пусть в1, ег, ез - ортонормированный базис, одинаково ориентированный с тройкой а, Ь, с, и пусть векторы а, Ь, с в этом базисе имеют координаты: а= {а1,аг,аз}, Ь = {61,62,63}, с = {с1,С2,сз}. Тогда V2 ,ь, а\ Ьх С\ с) = а2 ь2 С2 аг а2 аз Ь\ 62 Ьз С\ С2 Сз аз Ьз сз а\ Ь\ й2 ^2 аз Ьз , С\ С2 сз откуда получаем, что У=^|С(а,Ъ,с)|. ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа считается, что координаты векторов заданы в прямоугольной декартовой системе координат,
222 Глава VI. Векторная алгебра тройка ех, в2, ез базисных векторов которой - правая. Случаи других систем координат оговариваются особо. 25.1. Является ли векторное произведение алгебраической операцией на множестве Уз геометрических векторов пространства? 25.2. Является ли бинарное отношение И, отношением эквивалентности на множестве Уз геометрических векторов пространства, если: а) х7гу 4=^ [х, у] = 0; б) кЯу 4=> [х— у, а] = 0, где а Е Уз - заданный ненулевой вектор; в) х7?.у 4=> (х, у, а) = 0, где а Е Уз - заданный ненулевой вектор; г) х7?,у <=^ (х — у, а, Ь) = 0, где а, Ь е Уз - заданные неколлинеарные векторы? 25.3. Пусть а - заданный ненулевой вектор. Является ли отображение х I—> [х, а] пространства Уз на себя биективным? 25.4. Даны векторы а = {1,3,-2}, Ь = {2,4,-1}, с = {1,4, —4}. Найти координаты векторов [Ь, с], [с, а], [а, Ъ] и выяснить, образуют ли найденные векторы тройку, взаимную к векторам а, Ь, с. 25.5. Зная два вектора а и Ь, найти: 1)[а,а+Ь]; 2)[а+Ь, а-Ь]; 3) [2(а+ Ь),2Ь - а]. 25.6. Показать, что [а, Ь]2 + (а, ЬJ = а2Ь2. 25.7. При каком значении аЕК векторы р = а а + 5 Ъ и ^ = За— Ь коллинеарны, если известно, что а и Ь не коллинеарны? 25.8. Доказать, что для любых векторов а, р, ^, г векторы [а, р], [а, о], [а, г] компланарны. 25.9. Доказать, что если векторы а, Ь, с не коллинеарны, то равенство [а, Ь] = [Ь, с] = [с, а] выполняется в том и только в том случае, когда а + Ь + с = 0. 25.10. Доказать, что для точки О внутри треугольника АВС площади треугольников ОАВ, О ВС и ОСА равны тогда и только тогда, когда О - точка пересечения медиан. 25.11. Из одной точки проведены три некомпланарных вектора а, Ь, с. Показать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна вектору [а, Ь] + [Ь, с] + [с, а]. 25.12. Векторы г#, г с и г# являются радиус-векторами
§25. Векторное и смешанное произведения 223 трех вершин тетраэдра АВС И. Доказать, что вектор п = [гв, гс] + [тс, тп] + [г#, тв] перпендикулярен грани ВСВ тетраэдра и равен по длине удвоенной площади этой грани. 25.13. Квадрат АВС В служит основанием прямоугольного параллелепипеда АВСВ А\В\С\В\. Найти наибольшую возможную величину угла между прямой ВВ\ и плоскостью ВВС\. 25.13.1. Доказать, что векторы а, Ь, с не компланарны тогда и только тогда, когда не компланарны векторы [Ь, с], [с, а], [а,Ь]. 25.14. Найти острый угол между высотами, опущенными из двух вершин правильного тетраэдра на противоположные грани. 25.15. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням тетраэдра, равных по длине площадям этих граней и направленных в сторону вершин, противолежащих граням, равна нулю. 25.16. Показать, что если векторы [а, Ь], [Ь, с], [с, а] компланарны, то они коллинеарны. 25.17. Три вектора а, Ь, с связаны соотношениями а = [Ь, с], Ь = [с, а], с = [а, Ь]. Найти длины этих векторов и углы между ними. 25.18. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках Л(-1,0,-1), В@,2,-3), СD,4,1). 25.19. Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, вычисляется по формуле /( (а, а) (а, Ь) I Ъ-\\ (Ь,а) (Ь,Ь) |- 25.20. Доказать, что для любой точки О, лежащей внутри треугольника АВС, выполнено равенство Злов • ОС + 8ВОс • ОА + 8Соа -ОВ=0. 25.21. На сторонах АВ и СИ параллелограмма АВСИ взяты точки М и N так, что МИ || АС. Доказать, что площади треугольников АВМ и СВЫ равны. 25.22. На продолжениях сторон треугольника АВС взяты точки Ль Вг и С\ так, что аЖ = 2АВ, ВС[ = 2ВС, СА[ = 2СА. Найти площадь треугольника А\В\С\, если известно, что площадь треугольника АВС равна 5.
224 Глава VI. Векторная алгебра 25.23. На сторонах треугольника АВС взяты точки А\, В\ и С\ так, что {ВСА{) = (САВг) = (АВСг) = 2. В результате взаимного пересечения отрезков ААх, ВВ\ и СС\ получается новый треугольник РС^Я. Найти отношение площадей треугольников Р(ЗЯ и АВС. 25.24. Используя векторное произведение, вычислить площадь плоского четырехугольника АВСВ с вершинами: а) Л(-1,2), ВD,3), СE,-1), ЯB,0); 6LA,1), ВD,3),СE, 5), ЯE,0); в) А(-1,0,1), 5@,1,2), С(-2,2,5), #(-4,0,3); г) 4A,1,0), 5E,1,-4), С@,2,2), #(-5,4,9). 25.25. Найти площадь выпуклого пятиугольника АВСВЕ с вершинами Л(-3,-2), В(-2,3), СC,5), 2?F,0), 5B,-3). 25.26. Доказать, что площадь выпуклого плоского четырехугольника АВСВ в пространстве равна половине длины векторного произведения [АС, В В]. 25.27. Доказать, что выпуклые плоские четырехугольники АВСВ и А1В1С1В1 имеют равную площадь тогда и только тогда, когда [АС,ВЕ>) = ±\Мс1,Жо1]. 25.28. Диагонали четырехугольника АВСВ пересекаются в точке О. Доказать, что площади треугольников АОВ и СОВ равны тогда и только тогда, когда стороны ВС и АВ параллельны. 25.29. На стороне АВ четырехугольника АВСВ взяты точки Ах и Вх, а на стороне С В - точки С\ и^, причем АА\ — ВВ\ — ХАВ и СС\ = ВВ\ = \СВ, где Л < 1/2. Доказать, что отношение площадей четырехугольников А1В1С1В1 и АВСВ равно 1-2Л. 25.30. Точки Л, 23, С, В являются последовательными вершинами выпуклого четырехугольника. Доказать, что соотношение [ТА, ГВ] = [гВ, ТС] = [ГС, Г/)] = [гя, ГЛ], связывающее радиус-векторы его вершин, выполнено в том и только в том случае, когда один из векторов гд + г с или г#+ г# нулевой. 25.31. Используя результат предыдущей задачи, доказать, что в выпуклом четырехугольнике АВСВ существует точка О, для которой площади треугольников ОАВ, ОВС, ОСВ, ОВА
§25. Векторное и смешанное произведения 225 равны, тогда и только тогда, когда одна из диагоналей этого четырехугольника содержит середину другой диагонали. 25.32. Доказать, что в выпуклом четырехугольнике АВСВ точка О обладает свойством Заов + Зсои = 5вое + 8 во а тогда и только тогда, когда она лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей четырехугольника. 25.33. На продолжениях сторон ВА, АВ, ВС, СВ выпуклого четырехугольника АВСВ взяты точки А\, В\, С\, В\ так, что Ва[ = 21I, АВ[ = 2АВ, ~ВС[ = 2ВС и Св[ = 2СВ. Найти площадь получившегося четырехугольника А\В\С\В\, если известно, что площадь четырехугольника АВСВ равна 5. 25.34. В выпуклом пятиугольнике АВСВЕ стороны ВС, С В, ВЕ и АЕ параллельны соответственно диагоналям АВ, ВЕ, АС и ВВ. Доказать, что АВ \\ СЕ. 25.35. Даны два вектора а = {11,10,2} и Ь = {4,0,3}. Найти единичный вектор с, перпендикулярный векторам а и Ь и направленный так, чтобы тройка векторов а, Ь, с была правой. 25.36. Даны два вектора а = {1,1,1} и Ь = {1,0,0}. Найти единичный вектор с, перпендикулярный вектору а, образующий с вектором Ь угол в 60° и направленный так, чтобы тройка векторов а, Ь, с была левой. 25.37. Даны два вектора а = {8,4,1} и Ь = {2, —2,1}. Найти вектор с, перпендикулярный вектору а, равный ему по длине, компланарный с векторами а и Ь и образующий с вектором Ь острый угол. 25.38. Даны три вектора а = {—2,-2,-4}, Ь = {5,1,6}, с = {—3,0,2}. Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений: (а, х) = 40, (Ь, х) = 0, (с, х) = 0. 25.39. Даны три некомпланарных вектора а, Ь и с. Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (а, х) = а, (Ь, х) = /?, (с, х) = 7. 25.40. Даны три вектора а = {8,4,1}, Ь = {2,2,1}, с = {1,1,1}. Найти единичный вектор й, образующий с векторами а и Ь равные углы, перпендикулярный вектору с и направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и а, Ь, <1 имели одинаковую ориентацию. 25.41. Даны три вектора а = {8,4,1}, Ь = {2,2,1}, с = {1,1,1}. Найти единичный вектор <1, компланарный векторам а 8-4271
226 Глава VI. Векторная алгебра и Ъ, перпендикулярный вектору с и направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и а, с1, с имели противоположную ориентацию. 25.42. Даны три вектора а = {8,4,1}, Ь = {2,-2,1}, с = {4,0,3}. Найти единичный вектор с1, перпендикулярный векторам а и Ь и направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и а, Ь, с! имели одинаковую ориентацию. 25.43. Даны два луча. Первый луч составляет с осями координат углы 7г/4, 7г/3, 27г/3, а второй - равные между собой тупые углы. Найти направляющие косинусы третьего луча, перпендикулярного двум данным лучам и образующего с ними правую тройку. 25.44. Даны три вектора ~ОА = {8,4,1}, ОБ = {2,-2,1}, ОС = {4,0,3}, отложенные от одной точки О. Найти направляющие косинусы луча, выходящего из точки О и образующего с ребрами ОА, ОВ, ОС трехгранного угла ОАВС равные острые углы. Установить, лежит ли этот луч внутри или вне трехгранного угла ОАВС. 25.45. Даны три некомпланарных вектора О А, ОБ, ОС. Внутри углов АОВ, ВОС и СО А взяты соответственно ненулевые векторы ОБ, ОЕ и ОР. Установить, будут ли упорядоченные тройки векторов О А, ОВ, ОС и ОД ОЕ, ОР иметь одинаковую или противоположную ориентацию. 25.46. Даны три некомпланарных вектора О А = а, ОВ = Ь, ОС = с, отложенных от одной точки О. Найти вектор ОВ — с1, отложенный от той же точки О и образующий с векторами а, Ь, с равные между собой острые углы. 25.47. Из начала координат выходят два направленных отрезка ОМ\ и ОМг, образующие с осями координат углы с*1, /Зх, 71 и с*2, /З2, 72 соответственно. Найти направляющие косинусы вектора ОМ, выходящего из начала координат, перпендикулярного обоим заданным направленным отрезкам и расположенного так, что тройка векторов ОМ\, ОМ2, ОМ правая. 25.48. Одна из вершин параллелепипеда АВСОАхВхСхВх находится в точке ЛA,2,3), а концы выходящих из нее ребер - в точках Б(9, 6,4), 1)C,0,4), АхE,2,6). Найти угол <р между диагональю АС\ и плоскостью грани АВСВ этого параллелепи-
§25. Векторное и смешанное произведения 227 педа. 25.49. Вычислить объем параллелепипеда АВС В А1В1С1В1, зная его вершину ЛA,2,3) и концы выходящих из нее ребер В(9,6,4),1>C,0,4),Л1EJ,6). 25.50. Вычислить объем параллелепипеда, зная длины О А — а, ОВ — Ъ, ОС — с трех его ребер, выходящих из одной вершины О, и углы ВОС = а, СО А = /3, СО А = 7 между этими ребрами. 25.51. Три некомпланарных вектора а, Ь, с являются ребрами тетраэдра, выходящими из одной его вершины. Показать, что объем тетраэдра равен ^|(а, Ь, с)|. 25.52. Вычислить объем тетраэдра АВСВ, зная координаты его вершин: ЛB, -2,1), ВC,0,2), СE, -1,3), ВA,3,1). 25.53. Вычислить объем четырехугольной пирамиды ОАВСО, зная координаты ее вершины 0C,2,1) и координаты вершин основания А(-1,1,1), В(-1,2,3), С@,1,4), 25@,-1,0). 25.54. Пусть А\, В\, С\, В\ - точки пересечения медиан граней ВСВ, СИ А, АВВ и АВС тетраэдра АВСВ. Найти отношение объема тетраэдра А\В\С\В\ к объему тетраэдра АВСВ. 25.55. Точки А, В, С, В являются вершинами тетраэдра АВСВ. Доказать, что их радиус-векторы удовлетворяют соотношениям (тА, тв, тс) = (гд, гв, га) = (гс, гв, г/?) = (гс, г^, гл) в том и только в том случае, когда гд + гв + г с + г# = 0. 25.56. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что для точки О внутри тетраэдра АВСВ объемы тетраэдров О АВС, ОВВА, ОСВВ и ОСВА равны тогда и только тогда, когда О лежит на пересечении отрезков, соединяющих вершины тетраэдра АВСВ с точками пересечения медиан противоположных им граней. 25.57. Даны три некомпланарных вектора а = {ах,а2,аз}, Ь = {&1, Е>2, Ьз}, п = {пх,П2,пз}. Найти площадь параллелограмма, являющегося ортогональной проекцией на плоскость, перпендикулярную к вектору п, параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. 25.58. В тетраэдре АВСВ ребро С В перпендикулярно плоскости АВС, М - середина ВВ, N - середина АВ, К - точка на ребре СВ такая, что СВ = ЗСК. Доказать, что расстояние между прямыми В К и САГ равно расстоянию между прямыми АМ и СДГ.
228 Глава VI. Векторная алгебра а)([а,Ъ],[с,с1]) = б) [[а,Ь Ь, с, и); в) (а, Ъ, г) (а, Ъ, с)(х, у, г) 25.59. Доказать, что в произвольном трехгранном угле биссектрисы двух плоских углов и угла, смежного к третьему плоскому углу, лежат в одной плоскости. 25.60. В ориентированном пространстве даны два перпендикулярных друг другу вектора а и п, причем | п| = 1. В плоскости, положительная ориентация которой определяется упорядоченной парой векторов а, [п, а], найти вектор Ь, полученный из вектора а поворотом в этой плоскости на угол (р. 25.61. Даны три некомпланарных вектора О А = а, ОВ = Ь, ОС = с, отложенных от одной точки О. Найти вектор ОН, где Н - ортогональная проекция точки О на плоскость (АВС). 25.62. Доказать тождества: а) [а, [Ь, с]] = Ь(а, с)- с(а, Ь); б)[[а,Ь],с] = -а(Ь>с)+Ь(а>с). 25.63. Доказать тождества: (а, с) (а, A) (Ь,с) (Ь,<1) б) [[а, Ь],[с, й]] = с(а, Ь, A) - <1(а, Ь, с) = Ь(а, с, A) - а(Ь, с, и); с) A = (A, Ь, с) а + (<1, с, а) Ь + (<1, а, Ь) с; (х, а) (х, Ь) (х, с) (У, а) (у, Ь) (у, с) (а, а) (а, Ь) (г, с) д) ([а, Ь],[с, йЦе, (}) = (а, Ъ, <1)(с, е, Г)-(а, Ь, с)(й, е, Г). 25.64. Найти условие, необходимое и достаточное для выполнения равенства [[а,Ь],с] = [а,[Ь,с]]. 25.64.1. Найти условие, необходимое и достаточное для выполнения равенства ([а,Ъ],[с)а]) = ([а)с])[Ъ,а]). 25.65. а) Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение [а, х] = Ь, где а ф 0, имело решение. б) Найти общее решение этого уравнения. 25.66. а) Показать, что условие (а2, Ь) = 0 необходимо для того, чтобы система уравнений (аь х) = а, [а2, х] = Ь имела решение.
§25. Векторное и смешанное произведения 229 б) Найти это решение, если (ах, а2) ф 0. в) Пусть ах, а2 ф 0 и (ах, а2) = 0. Найти необходимое и достаточное условие разрешимости системы в этом случае и построить ее общее решение. 25.67. Рассматривается система уравнений [ах, х] = Ьх, [а2, х] = Ь2, в которой ах, а2, Ьх, Ь2 - заданные векторы, причем ах и а2 не коллинеарны. а) Показать, что условия (ах, Ьх) = 0, (а2, Ь2) = 0, (аь Ь2) + (а2, Ьх) = 0 необходимы для разрешимости этой системы. б) При выполнении указанных условий и условия (ах, Ь2) ф> 0 найти общее решение системы. 25.68. Ненулевые векторы а и Ь удовлетворяют условию (а, Ь) = 0. Найти векторы х и у из системы уравнений х+у=а, (х, уУц2>, [х,у[= Ъ. ^ ^ 25.69. Даны плоские углы ВОС = а, СО А = /3, 'АОВ = 7 трехгранного угла ОАВС. а) Вычислить косинусы его внутренних двугранных углов А, В, С, противолежащих граням ВОС, СОАу АОВ. б) Доказать, что зта зт/? 51117 5111 А 31П В 51П С 25.70. Ребра трехгранного угла О А, ОВ и ОС определяются единичными векторами а, Ь, с соответственно. Доказать, что точка Р равноудалена от граней трехгранного угла тогда и только тогда, когда ОР |Т зта • а + зт/3- Ъ+ 31117- с, где а = ВОС, /3 = СО А, 7 = АОВ - плоские углы рассматриваемого трехгранного угла. 25.71. Ребра трехгранного угла О А, ОВ и ОС определяются соответствующими единичными векторами а, Ь, с, образующими правую тройку. Доказать, что точка Р равноудалена от ребер трехгранного угла тогда и только тогда, когда ОР ТТ [Ь,с] + [с, а] + [а, Ь].
230 Глава VI. Векторная алгебра Векторное и смешанное произведения в аффинных координатах 25.72. Выразить через метрические коэффициенты дц базиса ©1) е2, ез в пространстве объем параллелепипеда, построенного на базисных векторах. 25.73. Зная метрические коэффициенты дц базиса ех, е2, ез, найти объем V параллелепипеда, построенного на векторах а= {ах,а2,а3}, Ь = {Ьх,Ь2,Ь3}, с = {сх,с2,с3}. 25.74. Объем параллелепипеда, построенного на базисных векторах ех, е2, ез, равен V. Найти объем параллелепипеда, построенного на базисных векторах взаимного базиса. 25.75. Доказать, что векторы [е2, е3] - [е3, ех] [ех, е2] *1 = 7 ^> *2 = 7 75 *3 = (ех,е2, ез)' (ех,е2, ез)' (ех,е2,ез) образуют базис, взаимный к базису ех, е2, ез и имеющий ту же ориентацию. 25.75.1. Пусть тройка базисных векторов ех, ег, ез - правая и Vе - объем параллелепипеда, построенного на этих базисных векторах. Доказать, что для векторов а = {ах,а2,аз}, Ь = {Ьх,Ь2,Ьз}, с = {сх,с2,сз}, заданных своими координатами в этом базисе, выполнено равенство (а, Ь, с) = Vе а\ а2 аз Ъ\ Ь2 Ъз с\ с2 с3 25.75.2. Пусть {О; ех, е2, е3} и {0'\ е'х, е'2, е'3} - две аффинные системы координат и С - матрица перехода от базиса ех, ег, ез к базису е'1? е'2, е3, причем <1еЬС > 0. Доказать, что объемы Уе иУе' параллелепипедов, построенных на соответствующих базисных векторах, связаны соотношением Уе/ = Уе • ска С. 25.76. Векторы а = {ах,а2,аз} и Ь = {Ьх,Ь2,Ьз} заданы своими координатами в базисе ех, е2, ез. Найти координаты векторного произведения [а, Ь] в базисе, взаимном с базисом ех, е2, ез-
Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве §26. Составление уравнений по различным заданиям Канонические уравнения. Ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется ее направляющим вектором. Теорема 26.1. На плоскости в аффинной системе координат Оху уравнение прямой I, проходящей через точку Мо(хо,уо), с направляющим вектором а = {т,п} имеет вид х-хо у-уо = 0 B6.1) X — Хо У~Уо п B6.2) Уравнение B6.2) означает лишь пропорциональность и в случае, когда т = 0 или п = 0, равносильно уравнению х — хо = 0 или у — у о = 0 соответственно. Уравнения B6.1), B6.2) называются каноническими уравнениями прямой на плоскости. Следствие. Уравнение прямой, проходягцей через две различные точки Мо(хо,уо) и М\(х 1,2/1), имеет вид х — хо Х\ — Хо У-Уо =0. 2/1 - 2/о | Два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, называются ее направляющими векторами. Теорема 26.2. В пространстве в аффинной системе координат Охуг уравнение плоскости -к, проходящей через точку Мо(#о,2/о, ^о), с направляющими векторами р\ = {тг^щ^кг} и р2 = {7712,712,^2} имеет вид х — хо 7712 ' - 2/о г- г0 п\ к\ П2 &2 0. B6.3) Уравнение B6.3) называется каноническим уравнением плоскости. Следствие. Уравнение плоскости, проходящей через три точки Мо(хо, 2/о,%о), М\(х1,у1,г\), М2(#2,2/2,22), не лежащие на одной прямой, имеет вид х- хо у - 2/о г- г0 XI -хо 2/1-2/0 гг - г0 \ = 0. #2 — хо 2/2 — 2/о 22 — го
232 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве Параметрические уравнения. Теорема 26.3. Уравнение прямой, проходящей через точку Мо(го) с направляющим вектором а имеет вид г= г0 + *а, I е К, B6.4) или, в координатной форме, в системе координат Оху Г х = х0 + 1т, ,0~ -ч \ у = уо + *п, < € К. - [гЬ'Ь) Число I в уравнениях B6.4) и B6.5) является координатой точки М(х,у) прямой на самой прямой, если за начало координат принимается точка Мо(жо,2/о), а за базисный вектор - вектор а = {тп,п}. Уравнения B6.4), B6.5) называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости в векторной и координатной формах соответственно. Теорема 26.4. Уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(го) с направляющими векторами рх и рг имеет вид г = го -\-ирг +ур2, и,ьеЖ, B6.6) или, в координатной форме, в системе координат Оху г х = хо + иггц ¦+¦ г>7П2, у = уо + гт1 + г»п2, B6.7) г = го 4-14&1 + г>/с2, и, V Е К. Числа г*, г> в уравнениях B6.6) и B6.7) являются координатами точки М(х, у) плоскости на самой плоскости, если за начало координат принимается точка Мо(хо,2/о, ^о), а за базисные векторы - векторы Р1 = {т1,П1,/С1}, р2 = {ТП2,П2,А;2}. Уравнения B6.6), B6.7) называются параметрическими уравнениями плоскости в векторной и координатной формах соответственно. Общие уравнения. Теорема 26.5. Линия на плоскости является прямой тогда и только тогда, когда она является алгебраической линией первого порядка, т.е. определяется уравнением Ах + Ву + С = 0, где А2 + В2 ф 0. B6.8) Уравнение B6.8) называется общим уравнением прямой на плоскости. Вектор п = {А, В} называется вектором нормали к прямой относительно уравнения B6.8). Теорема 26.6. Поверхность в пространстве является плоскостью тогда и только тогда, когда она является алгебраической поверхностью первого порядка, т.е. определяется уравнением Ах + Ву + Сг + В = 0, где А2 + В2 + С2 ф 0. B6.9)
§26. Составление уравнений по различным заданиям 233 Уравнение B6.9) называется общим уравнением плоскости в пространстве. Вектор п = {А, В, С} называется вектором нормали к плоскости относительно уравнения B6.9). Общее уравнение прямой (плоскости) называется полным, если все коэффициенты А, В, С (соответственно А, В, С, Б) отличны от нуля. Теорема 26.7. В аффинной системе координат Оху на плоскости (Охуг в пространстве) вектор а = {га, п) {соответственно а = {га, гс, к}) параллелен прямой (плоскости), заданной общим уравнением B6.8) (соответственно B6.9)), тогда и только тогда, когда Ат + Вп = 0, B6.10) (соответственно Ат + Вп + Ск = 0). B6.11) Следствие 1. Вектор а= {—В, А} ф О параллелен прямой B6.8). Следствие 2. Векторы а={0,-С,В}, Ъ = {-С,0,А}, с={-В,А,0} компланарны плоскости B6.9). Следствие 3. В прямоугольной декартовой системе координат вектор нормали п = {А} В} к прямой B6.8) (соответственно п = {А, В, С} к плоскости B6.9)) перпендикулярен этой прямой (плоскости). Уравнения в отрезках. Полные уравнения B6.8) и B6.9) прямой на плоскости и плоскости в пространстве могут быть записаны в виде: ± + у г н * + * + * = !. а о а о с Эти уравнения называются уравнениями прямой и соответственно плоскости в отрезках. Числа а, 6, с в этих уравнениях называются отрезками, которые отсекает прямая (плоскость) на осях координат. Векторные уравнения. Параметрические уравнения B6.4) и B6.6) представляют собой векторные уравнения прямой (как на плоскости, так и в пространстве) и плоскости. Уравнение B6.6) порождает другую форму векторного уравнения плоскости: (г- го, Р!,р2)= О или (г, рьр2) = Я, B6.12) где В = (г0, рь рг). Теорема 26.8. Уравнение прямой на плоскости (плоскости в пространстве), проходящей через точку Мо(го) перпендикулярно вектору п, имеет вид (г- го, п) = 0 или, что то же самое, (г, п) = Г>, где П - константа, равная (го, п). Пример 26.1. В треугольнике АВС даны уравнения сторон АВ: Зх — 2у + 1 = 0, ВС: х ~ у + I =0и медианы СМ: 2х — у — 1 = 0. Составить каноническое, общее и параметрическое уравнения стороны АС. Система координат аффинная. Решение. Из систем уравнений Г а; - у + 1 = 0, Г Зх - 2у + 1 = 0, Г х - у + 1 = 0, \ Зх - 2у + 1 = 0 ' \ 2х-у-1 = 0 и \ 2ж - у - 1 = 0
234 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве находим координаты точек В, М и С: ВA,2), МC,5), СB,3). Так как точка М - середина отрезка А В, то координаты (ж, у) точки А находятся из х -\- 1 у -{- 2 соотношений —-— = 3, —-— = 5, так что АE,8). Каноническое уравнение АС как прямой, проходящей через точки А и С, имеет вид х-2 _У-3 х-2 _ у-3 5-2 " 8-3 ^^ 3 ~ 5 ' Отсюда легко получить общее уравнение: Ъх — Ъу — 1 = 0. Параметрическое уравнение АС как прямой с направляющим вектором АС = {3; 5}, проходящей через точку СB,3), имеет вид х = 2 + 3*, у = 3 + 5*, * е К. ¦ Пример 26.2. Зная вершину <АC, —4) треугольника АБС и уравнения двух его высот ВН: 7х-2у—1 = 0, СР: 2х — 7у — 6 = 0, написать уравнение стороны ВС. Система координат прямоугольная. Решение. Из системы уравнений Г 7х-2у = 1, \ 2х-7у = 6 1 8 найдем координаты точки <2 пересечения высот треугольника: <2(—,—). > 28 28 Вектор А<2 = {—^-, -7г-} перпендикулярен прямой ВС, поэтому вектор п = {1,-1} можно взять за вектор нормали прямой ВС. Тогда общее уравнение прямой ВС будет иметь вид х-у + с = 0. B6.13) Чтобы найти коэффициент с, найдем координаты точки В: вектор {2,-7} - направляющий вектор прямой АВ, поэтому прямая АВ определяется урав- х _ з у -\- А нением —-— = ——- или 7х-\-2у — 13 = 0, а точка В определяется системой уравнений Г 7х + 2у - 13 = 0, \ 7ж-2у-1 = 0. Подставив найденные отсюда координаты A,3) точки В в B6.13), находим с = 2и искомое уравнение х - у + 2 = 0. ¦ Пример 26.3. На прямых /1: х+у—2 = 0 и ^- Ьх+у—14 = 0 найти точки Аб1ьВб12 такие, что прямая АВ имеет угловой коэффициент, равный 3, и что длина отрезка АВ равна у/Ш. Система координат прямоугольная. Решение. Уравнение прямой АВ имеет вид у = Зх + Ь, поэтому вектор {1,3} является направляющим вектором этой прямой. Следовательно, если (х,у) - координаты точки А, то точка В имеет координаты (х + 1,у ¦+¦ 32), ^ 6 М. Параметр I находим из условия, что \АВ\ = у/Ш: I = ±1, так что точка В имеет координаты (х ± \,у ± 3). Подставляя координаты точек А и В в уравнения прямых /1 и ^ соответственно, находим искомые точки: ,41A,1), #1B,4) иЛ2E,-3), Б2D,-6). ¦ Пример 26.4. Составить параметрические уравнения плоскости треугольника с вершинами в точках ЛB, 5,1), 2?F,3,2), СA,1,1).
§26. Составление уравнений по различным заданиям 235 Решение. Векторы С А = {1,4,0} и С В = {5,2,1} - направляющие векторы плоскости, поэтому ее параметрические уравнения имеют вид х = 1 -+- и ¦+¦ 5г>, у = 1 + 4гх + 2г>, ¦ г=1 + г>, г*,г>еК. ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа считается, что система координат произвольная аффинная. Случай прямоугольной декартовой системы координат оговаривается особо. Уравнения прямой на плоскости 26.1. Написать уравнение прямой: 1) проходящей через точку C, —2) параллельно оси Оу\ 2) проходящей через точку G,0) параллельно вектору {—4,2}. 26.2. Написать уравнение прямой: 1) проходящей через две точки B,3) и (—4, —6); 2) проходящей через начало координат и через точку A,8). 26.3. Написать уравнение прямой: 1) проходящей через точку B,3) и имеющей угловой коэффициент, равный —5; 2) проходящей через точку (—2, 7) и имеющей тот же угловой коэффициент, что и прямая Зх + у — 5 — 0. 26.4. Написать уравнение прямой: 1) имеющей угловой коэффициент 3 и отсекающей на оси ординат отрезок, равный 4; 2) отсекающей на осях Ох и Оу отрезки, равные 3 и —5 соответственно; 3) отсекающей на оси Ох отрезок 3 и проходящей через точку (-5,3). 26.5. Выяснить, под каким углом к оси Ох наклонена прямая, проходящая через точки A,4) и C,5). Система координат прямоугольная. 26.6. Написать уравнения сторон равнобочной трапеции, зная, что основания ее соответственно равны 10 и 6, а боковые стороны образуют с основанием угол в 60°. Ось Ох содержит большее основание трапеции, за ось Оу берется ось симметрии трапеции, а за положительное направление оси Оу берется на-
236 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве правление луча, проведенного от большего основания к меньшему. Система координат прямоугольная. 26.7. Через точку М(—4,10) провести прямые, отсекающие на осях координат ненулевые отрезки равной длины. Система координат прямоугольная. 26.8. Через точку МB, —1) провести прямую, отрезок которой между осями координат делился бы в данной точке пополам. 26.9. Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой х + 2у — 6 = 0. Система координат прямоугольная. 26.10. Через точку МD, —3) провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями, была равна 3. Система координат прямоугольная. 26.11. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку E, —3) параллельно вектору {2, —4}. 26.12. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (—6, —4) и имеющей угловой коэффициент 26.13. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси ординат под углом в 150°. Система координат прямоугольная. 26.14. Составить параметрические уравнения прямой, отсекающей на осях Ох и Оу отрезки 3 и —5. 26.15. Составить параметрические уравнения прямых: 1) Зх + 6у + 5 = 0; 2) у = -Зх + 5; 3) у = -3; 4) х-2у-4 = 0; 5) х = 2; 6) 2х + Зу = 0. 26.16. Составить общие уравнения прямых: 1) х = «, у = 1 - 3<; 2) х = 2 + 5«, у = 4 - П\ 3) х = 3 - 2«, у = -8 + 6*; 4) х = 3 - 2*, у = 3. 26.17. Даны две прямые у = к\х + Ь\ и у = А^х + &2- Найти геометрическое место середин отрезков, высекаемых данными прямыми на прямых, параллельных осям координат. 26.18. Даны вершины треугольника: А(—2,3), ВD, —7), СF,5). Написать уравнения прямых, равноудаленных от всех вершин треугольника. 26.19. Дан треугольник ЛВС: Л(-2,3), ВD,1), СF, -5). Написать уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины А. 26.20. Даны уравнения двух сторон треугольника 2х — у = 0,
§26. Составление уравнений по различным заданиям 237 Ъх — у = 0 и уравнение Зх — у = О одной из его медиан. Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на ней лежит точка C,9), и найти координаты его вершин. 26.21. Дано уравнение х — 2у + 7 = 0 стороны АВ треугольника АВС и уравнения х + у — 5 = 0, 2х + у — 11 = 0 медиан, выходящих из вершин А и В соответственно. Составить уравнения двух других сторон треугольника. 26.22. Через точку Р(—3, —5) провести прямую, отрезок которой между прямыми 2х + 3у — 15 = 0, 4х — 5у— 12 = 0в точке Р делился бы пополам. 26.23. Дана точка @,2) пересечения медиан треугольника и уравнения двух его сторон Ъх — 4у +15 = 0, Ах + у — 9 = 0. Найти координаты вершин треугольника и уравнение его третьей стороны. 26.24. Точка пересечения медиан треугольника лежит в начале координат. Известны уравнения двух его сторон: х+у—4 = 0 и 2х + у — 1 = 0. Найти вершины треугольника и уравнение его третьей стороны. 26.25. Даны уравнения 4х + Ъу = 0, х — Зу = 0 медиан треугольника и его вершина B,-5). Составить уравнения сторон треугольника и найти остальные его вершины. 26.26. В треугольнике АВС углы А и В при его основании АВ острые, а боковые стороны АС и ВС не равны между собой. Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей прямоугольников, вписанных в треугольник так, что две вершины прямоугольника лежат на основании данного треугольника, а две другие - на его боковых сторонах. 26.27. Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей параллелограммов, вписанных в данный четырехугольник так, что стороны этих параллелограммов параллельны диагоналям четырехугольника. Уравнения плоскости в пространстве 26.28. Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку B,6,-3) параллельно плоскостям координат. 26.29. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки М1,М2,М3, если: 1)М1B,3,1),М2C,1,4),М3B,1,5); 2) МхB,0,-1), М2(-2,4,1), М3@,2,-1).
238 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве 26.30. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через точки МхB,1,1) и Мг(—3,0,4). 26.31. Даны вершины тетраэдра ЛB,1,0), 5A,3,5), СF,3,4), 1)@, — 7, 8). Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ и середину ребра СВ. 26.32. Даны вершины тетраэдра ЛC,5,—1), ВG,5,3), С(9, —1,5), ^E,3,-3). Написать уравнения плоскостей, равноудаленных от всех вершин тетраэдра. 26.33. Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях Ох и Оу отрезки 5 и —7 и проходящей через точку A,1,2). 26.34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку C, 5, —7) и отсекающей на осях координат ненулевые отрезки равной длины. Система координат прямоугольная. 26.35. Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки ЛC, 5,1) и 5G,7,8) и отсекающей на осях Ох и Оу ненулевые отрезки равной длины. Система координат прямоугольная. 26.36. Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях координат отрезки, равные 3, 5 и —7 соответственно. 26.37. Определить отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостью х — у + 7г — 4 = 0. 26.38. Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью 2х+3у+6г —18 = 0. Система координат прямоугольная. 26.39. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку B, —5,1). 26.40. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку C, 7,2) и параллельной двум векторам {4,1,2} и {5,3,1}. 26.41. Составить параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку B,3, —5) и параллельной векторам {—5, 6,4}, {4,-2,0}. 26.42. Составить уравнения плоскостей, проходящих через оси координат и параллельных вектору {2,1, —4}, 26.43. Написать уравнения плоскостей, проходящих через оси координат и через точку C, —5,1). 26.44. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и равноудаленной от точек B,7,3) и (—1,1,0). 26.45. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки D,5,2), F,2,4) и параллельной вектору {1,2,1}. 26.46. Составить параметрические уравнения плоскости,
§27. Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей239 проходящей через две точки A,7,8), B, —6, —6) и параллельной оси Ох. 26.47. Даны вершины тетраэдра ЛE,1,3), БA,6,2), GE,0,4), /2D,0,6). Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру СИ. 26.48. В плоскости, проходящей через три точки ЛB,1,3), БB,4,0), С{—3,0,4), выбрана аффинная система координат с началом в точке А и базисными векторами АВ = е\ и АС = в2- Найти: 1) пространственные координаты (ж, у, %) точки М, имеющей в плоскостной системе координаты и = 5, у = 3; 2) плоскостные координаты гг и г? точки пересечения данной плоскости с осью Ог. 26.49. В плоскости 2х + Зу — 4г + 12 = 0 выбрана аффинная система координат, начало которой находится в точке С пересечения этой плоскости с осью Ог, а концы базисных векторов в1 и в2 соответственно в точках А и В пересечения плоскости с осями Ох и Оу. 1) Найти пространственные координаты (ж, у, г) точки Е этой плоскости с плоскостными координатами и = 1, у = 1; 2) Написать в плоскостной системе координат уравнения прямых АВ, ВС и С А пересечения данной плоскости с координатными плоскостями пространственной системы. 3) Написать в плоскостной системе уравнение линии пересечения данной плоскости с плоскостью Ъх + Зг — 8 = 0. 26.50. Написать общее уравнение плоскости по ее параметрическим уравнениям в каждом из следующих случаев: 1) х = 2 + Зи - 4и, у = 4 - у, г = 2 + Згг; 2) х = и + у, у = и — у, г — 5 + бгг — 4г>; 3) ж = 1 + 2у, у = -2, г = 1 - гг; 4) х — и — у, у = 1 — 4гг, г = 7 + 2и. §27. Задачи взаимного расположения прямых на плоскости и плоскостей в пространстве Необходимые и достаточные условия того, что две прямые /1 : Ахх + Вху + Сх =0 и 12 : А2х + Б2у + С2 = 0, B7.1) заданные общими уравнениями в аффинной системе координат, совпадают, параллельны или пересекаются, приводятся в следующей таблице (в ней
240 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве приняты обозначения: С = ( ^ в\)'Р:=(а\ в\ С2) ^ Расположение прямых Совпадают Параллельны Пересекаются Условие м_в1_с1 А2 В2 Сг м_в±,с1 А2 В2 С2 Ах Вг Аг * В2 Равносильное условие г§,Р=1 ( тёС=1 { гё^ = 2 теО = 2 Если уравнения B7.1) относятся к прямоугольной декартовой системе координат, то необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых /1 и /2 является условие ^1^2+^1^2 = 0. B7.2) Необходимые и достаточные условия того, что две плоскости 7Г1 : Ахх + Вгу + Схг + И! =0 и тг2 : А22 + Б2У + С22 +А> = 0, B7.3) заданные общими уравнениями в аффинной системе координат, совпадают, параллельны или пересекаются, приводятся в следующей таблице (в ней приняты обозначения: С= ( ^ \ с1)>Р={а\ в\ с\ Е>\ ) ): Расположение плоскостей Совпадают Параллельны Пересекаются Условие А2 В2 Сг ./^2 ^1 - Ё1- 9±ф®1. А2 В2 С*2 Г>2 Строки матрицы А не пропорциональны Равносильное условие тёГ = 1 Г гёС=1 1 ЩГ = 2 гёС = 2 Если уравнения B7.3) относятся к прямоугольной декартовой системе координат, то необходимым и достаточным условием перпендикулярности плоскостей 7Г1 и 7Г2 является условие А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0. B7.4)
§27. Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей241 Множество 7г(Мо) всех прямых плоскости, проходящих через данную точку Мо, называется пучком (собственным) прямых с центром в точке Мо. Пусть 1\ и 12 - две несовпадающие прямые пучка 7г(Мо), заданные уравнениями B7.1) в некоторой аффинной системе координат Оху. Положим Гг(х,у) = АгХ + ВгУ + Сг, ГДв I = 1,2. Теорема 27.1. Прямая принадлежит пучку тг(Мо) тогда и только тогда, когда она определяется уравнением аГ1(х,у) + 0Г2(х,у) = О B7.5) при некоторых а,/ЗбМ, одновременно не равных нулю. Каждая пара чисел а, /?, где а2 + 01 ф О, определяет единственную прямую пучка. Уравнение B7.5) называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых B7.1). Уравнение пучка 7г(Мо) с центром Мо(хо,уо) может быть записано в виде А(х - х0) + В(у - уо) = О, где А и В принимают все действительные значения, одновременно не равные нулю. Множество 7г(/) всех плоскостей пространства, проходящих через прямую /, называется пучком плоскостей с осью /. Пусть т и тт2 - две пересекающиеся плоскости пучка пA), заданные уравнениями B7.3) в некоторой аффинной системе координат Оху г. Положим Ег(х,у,г) = АгХ + Вгу + Сг% + А, где г = 1,2. Теорема 27.2. Плоскость принадлежит пучку тгA) тогда и только тогда, когда она определяется уравнением аРх (ж, у, г) + (ЗР2{х, у,г)=0 B7.6) при некоторых а, /3 е К, одновременно не равных нулю. Уравнение B7.6) называется уравнением пучка плоскостей, проходящих через прямую пересечения плоскостей B7.3). Пример 27.1, Найти необходимое и достаточное условие того, что прямая /з : Агх + Взу + Сз = О принадлежит пучку прямых с центром в точке пересечения прямых /1 : А\х 4- В\у ¦+¦ С\ =0и/г : А2х + В2у -V С2 = 0. Система координат аффинная. Решение. Факт пересечения прямых II и !г равносилен условию \ А /-? I д1 о1 т^О. Тот факт, что прямая 1з принадлежит пучку прямых, определенному прямыми /1 и /г, равносилен условию совпадения прямых а(А1Х + Вгу + С\) + /3(А2х + В2у + С2) = 0 и /2 : А3х + В3у + Сз =0 при некоторых а и /3 или условию аАг + 0А2 _ аВх + 0В2 _ аС\ + 0С2 Аз ~ В3 ~ Сз ' Это означает, что третья строка матрицы является ли- Аг Вг Сх А2 В2 С2 Аг В3 Сз нейной комбинацией двух первых ее строк. Следовательно, искомое условие
242 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве имеет вид А2 В2 #0, Ах Вх Сх А^ 2?2 С*2 Аз Вз Сз B7.7) Пример 27.2. Найти необходимое и достаточное условие того, что три прямые АкХ + Вьу + Ск = 0, к = 1,2,3, пересекаются в одной точке. Система координат аффинная. Решение. Тот факт, что три прямые пересекаются в одной точке означает, что каждые две из них пересекаются (т.е. каждый из определителей I Ах А2 I | Ах Аз I I Лг Аз | ч В Б 'Б Б МБ В отличен от нуля) и что третья прямая принадлежит пучку прямых с центром в точке пересечения двух других (т.е. Ах Вх Сх = 0, как и в B7.7)). Аъ Въ Сч Аг Вг Сг Таким образом, искомое условие имеет вид Ах Вх Сх А2 Аг В2 Вг С2 Сг _ „ I Ах А2 I , п I Ах Аз ~ °- \ Вх В2 Г ' Й1 Вз /0, А2 В2 Аз Вг /0. Пример 27.3. Через точку пересечения прямых Зх — у = 0, х ¦+¦ Ау — 2 = 0 провести прямую, перпендикулярную к прямой 2х + 1у = 0. Система координат прямоугольная. Решение. Искомая прямая принадлежит пучку прямых, проходящих через точку пересечения прямых Зх — у = 0их + 4у — 2 = 0 (эти прямые, действительно, пересекаются, так как - ф ~7~)» поэтому она определяется уравнением аCх - у) + Р(х + Ау - 2) = 0 при некоторых а, /3, одновременно не равных нулю. Следовательно, общее уравнение искомой прямой имеет вид (За + 0)х + D/3 - а)у -2/3 = 0. Условие перпендикулярности прямых приводит к уравнению относительно а и /3: 2Cа + /3) + 7D/3 - а) = 0 <=> а = 30/3. Положив /3=1, получим искомое уравнение 91х-26у-2 = 0. - ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа считается, что система координат произвольная аффинная. Случай прямоугольной декартовой системы координат оговаривается особо. Прямые на плоскости 27.1. Установить, какие из следующих пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются; в последнем случае найти
§27. Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей243 точку пересечения: 1) х + у - 3 = 0, 2х + Зу - 8 = 0; 2) х - у + 5 = 0, 2х - 2у + 3 = 0; 3) х - 2у + 4 = 0, -2х + 4у - 8 = 0; 4) х + у + 5 = 0, 2х + Зу + 10 = 0; 5) 2х + Зу - 1 = 0, 4х + 6у - 7 = 0; 6) 7х + 9у - 62 = 0, 8х + Зу + 2 = 0. 27.2. Даны две прямые, из которых одна задана своим общим уравнением Ах + Ву + С = О, а другая - параметрически: х = хо + а&, у = уо + Ы. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) совпадали. 27.3. Две прямые заданы своими параметрическими уравнениями: х — х\ + а\1, у = ух + Ь\1 и х = х2 + б^, у = У2 + Ъ2^^ Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) совпадали. 27.4. Установить, какие из следующих пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются; в последнем случае найти точку пересечения: 1) Зх + 4у + 5 = 0; х = -3 + 4*, у = 1 - 3*; 2) 2х - Ъу - 7 = 0; х = 2 + *, у = -9 - *; 3) 6х - Зу + 5 = 0; х = 5 + «, у = -3 + 21\ 4) 2х + 5у - 38 = 0; х = -2 + 2*, у = -9 + 5*; 5) Ъх + 9у - 6 = 0; х = 2 + 3*, у = -*. 27.5. Установить, какие из следующих пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются; в последнем случае найти точку пересечения: 1) х = 3 + «, у = 2 - <; х = 3<, у = -2*; 2) х = 5 + 4*, у = -2-2*; х = 1 - 2*, у = 7 + *; 3) х = 4 - 8*, у = 2 + 6*; х = -4 + 4*, у = 8 - 3*. 27.6. Через точку G, 4) провести прямую, параллельную прямой Зх - 2у + 4 = 0. 27.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (—8,1) параллельно прямой х + у + 7 = 0. 27.8. Через точку МB, 5) провести прямую, равноудаленную от точек Р(-1, 2) и EE,4). 27.9. Даны середины МхB,3), М2(-1,2) и М3D,5) сторон треугольника. Составить уравнения сторон. 27.10. Зная уравнения двух сторон параллелограмма х—Зу =
244 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве О, 2х + 5у + 6 = О и одну из его вершин СD, —1), составить уравнения двух других сторон параллелограмма. 27.11. Даны вершины треугольника А(—1,2), ВC, —1) и С@,4). Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне треугольника. 27.12. Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2х + Ъу — 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5. Система координат прямоугольная декартова. 27.13. Составить уравнение прямой, параллельной и равноудаленной от параллельных прямых х + у — 1 = 0, х + у — 13 = 0. 27.14. Доказать, что условие Ахх + Ву1 + С = Ах2 + Ву2 + С необходимо и достаточно для того, чтобы прямая Ах+Ву+С = 0 была коллинеарна прямой, проходящей через точки М1(х\,у\) и М2(х2,У2), т-е- была ей параллельна или с ней совпадала. 27.15. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х — у — 1 = 0, х — 2у = 0 и точка пересечения его диагоналей МC, — 1). Написать уравнения двух других сторон параллелограмма. 27.16. Составить уравнения сторон параллелограмма АВСВ, зная, что его диагонали пересекаются в точке МA,6), а стороны АВ, ВС, СВ и В А проходят соответственно через точки РC,0), EF,6), ДE,9), 5(-5,4). 27.17. Даны вершины треугольника Л@,1), В(-2, 5), СD, 9). Составить уравнения сторон ромба, вписанного в данный треугольник, если одна из его вершин совпадает с точкой А, стороны, выходящие из вершины Л, лежат на сторонах АС и АВ данного треугольника, а вершина, противолежащая вершине А, расположена на стороне ВС. Система координат прямоугольная. 27.18. В параллелограмме АВСВ даны уравнения сторон АВ: Зх + 4у - 12 = 0 и АП\ Ъх - 12у - 6 = 0 и точка Д(-2, ^) - середина стороны ВС. Найти уравнения двух других сторон параллелограмма. 27.19. Определить взаимное расположение трех прямых в каждом из следующих случаев: 1) 2х + у - 3 = 0, Зх - 2у + 5 = 0, Ъх - у + 2 = 0; 2) х - 2у + 3 = 0, 2х - 4у + 7 = 0, Зх - 6у + 4 = 0; 3) х + 4у - 5 = 0, х - 2у + 7 = 0, х + 3 = 0; 4) ж - у + 3 = 0, 2х - 2у + 7 = 0, Ах - 4у + 1 = 0;
§27. Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей 245 5) 2х + Зу + 5 = 0, х - у + 1 = О, Зх - 4у - 12 = О; 6) Зх + 2у + 6 = О, 9х + 6у - 5 = О, 5х - у + 3 = О. 27.20. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х + у — 3 = О, 7х - 4у + 2 = 0. 27.21. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 7х — у + 3 = О, Зх + 5у — 4 = 0и через точку ЛB,-1). 27.22. Через точку пересечения прямых Зх — Ъу + 2 = 0, Ъх — 2у + 4 = О провести прямую, параллельную прямой 2х — у+ 4 = 0. 27.23. Через точку пересечения прямых 2х — 6у + 3 = О, Ъх + у — 2 = 0 провести прямые, параллельные осям координат. 27.24. Через точку пересечения прямых х + у — 6 = 0, 2х + у — 13 = 0 провести прямую, отсекающую на осях координат ненулевые отрезки равной длины. Система координат прямоугольная. 27.25. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения пар прямых 2х — у = 0, х + 4у — 2 = 0их + 2у = 0, Зх - 1у + 4 = 0. 27.26. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы три прямые А^х + В^у + С^ = 0, /с = 1,2,3, образовывали треугольник. 27.27. Стороны треугольника заданы уравнениями А^х + В^у + С/с = 0, к = 1,2,3. Написать уравнение его медианы, проведенной из точки пересечения первой и второй сторон. 27.28. Даны уравнения двух пересекающихся прямых А^х + ВкУ + Сь = 0, к = 1,2, и точка Е(хо, уо), не лежащая ни на одной из этих прямых. Прямая А\х + В\у + С1 = 0 принимается за новую ось ординат, прямая А2Х+В2У+С2 = 0 - за новую ось абсцисс, причем точка Е в новой системе имеет координаты A,1). Найти выражения новых координат х\ у' произвольной точки М плоскости через ее старые координаты х,у. Плоскости в пространстве 27.29. Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают: 1) 2х + Зу + 4г - 12 = 0, Зх - 6у + 1 = 0; 2) Зх - 4у + 6х + 9 = 0, 6х - 8у - Юг + 15 = 0; 3) Зх-2у-Зг + 5 = 0, 9х - 6у - 9г - 5 = 0; 4) х + у + г - 1 = 0, 2х + 2у - 2г + 3 = 0; 5) 2х - у - г - 3 = 0, 10ж - Ъу - Ъг - 15 = 0.
246 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве 27.30. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы плоскость Ах + Ву + С г + В = 0: 1) была параллельна плоскости Оху; 2) пересекала плоскость Оху\ 3) совпадала с плоскостью Оху. 27.31. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы плоскость Ах + Ву + С г + I) = 0: 1) пересекала ось О г; 2) была параллельна оси О г] 3) проходила через ось О г. 27.32. Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают: х — 1 + и + у, 1) { у = 2 + щ г = 3 + и — у; х = 1 + и + у, 2) { у = 2 + щ г — 3 + и — у\ х = 1 + и + у, 3) ^ у = 2 + и, г = 3 + и - у; х = 3 + 2гг, у = 2 - 2и + 4и, г = 1 + и + Зг>; х = 1 + 4п, у = Згг + у, г = 4 + 2и + 2у\ х = — 1 + 2и + у, у = и + 2и, г = 1 + Зг;. 27.33. Две плоскости заданы своими параметрическими уравнениями: х = х\ + а\и + агг;, У = У\ + Ь\и + Ь2у, г — г\Л- с\и + сггг, С помощью рангов матриц х = Х2 + ази + а^у, У = У2 + Ь3и + ЪАу, г = г2 + сзи + с±у. А = а\ а2 аз а>4 Ь\ Ъ2 Ьз &4 С\ С2 Сз С4 и В а\ а2 аз а4 #2~~ х1 Ь1 Ь2 Ьз Ъ± у2 - уг сг с2 сз с4 г2 - г\ выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) совпадали. 27.34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку C, —5,1) и параллельной плоскости х — 2у + Аг = 0. 27.35. Даны уравнения трех граней параллелепипеда 2х + Зу + Ах — 12 = 0, х + Зу - 6 = 0, г + 5 = 0 и одна из его вершин F, —5,1). Составить уравнения трех остальных граней параллелепипеда.
§27. Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей:247 27.36. Составить уравнения плоскостей, равноудаленных от точек -АA,3, -4), БA,1,2), С(—3, —1,2) и проходящих через начало координат. 27.37. Даны три плоскости: А^х + В^у + С^г + Бь = 0, к = 1,2,3. С помощью матриц С = ^1 Вх СХ А2 В2 С2 Аз Вз Сз и Г = Аг Вг Сг А Л 2 #2 С2 1^2 Аз Вз Сз Оз выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы: 1) эти плоскости имели единственную общую точку; 2) эти плоскости были попарно различны и имели единственную общую прямую; 3) эти плоскости попарно пересекались и линия пересечения каждых двух плоскостей была параллельна третьей плоскости (т.е. плоскости образовывали призму); 4) две плоскости были параллельны, а третья плоскость их пересекала; 5) эти плоскости были попарно параллельны; 6) две плоскости совпадали, а третья их пересекала; 7) две плоскости совпадали, а третья плоскость была им параллельна; 8) эти плоскости совпадали. 27.38. Определить взаимное расположение трех плоскостей в каждом из следующих случаев: 1) 2х - 4у + Ъг - 21 = 0, 6х + у + г - 30 = 0, х - Зх + 18 = 0; 2) 2х + 4у - 6г - 1 = 0, Зх + 6у - 9г - 5 = 0, х + 2у - Зг = 0; 3) 15х + 8у - г - 2 = 0, 7х + 2у + г = 0, Зх - у + 2г + 1 - 0; 4) 5х - 2у + 4 = 0, Зх + г - 5 = 0, 8х - 2у + г + 7 = 0; 5) 6х + 2у + Ш-3 = 0, Ъу-1г- 10 = 0, Зх + у + 6г + 12 = 0. 27.39. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через линию пересечения плоскостей 2х + 5у — 6г + 4 = 0 и Зу + 2г + 6 = 0. 27.40. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (—3,1,0) и через прямую пересечения плоскостей х + 2у — г + 4 = 0иЗх-у + 2г-1 = 0. 27.41. Через линию пересечения плоскостей 6х — у + г = 0, Ъх + Зг — 10 = 0 провести плоскость, параллельную оси Ох.
248 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве 27.42. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей х + 2у + 3г — 4 = 0, Зх + г — 5 = 0и отсекающей на осях Оу и Ог ненулевые отрезки равной длины. Система координат прямоугольная. 27.43. В тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью 2х — Зу + Аг + 18 = 0, вписан куб так, что одна из его вершин лежит в начале координат, три ребра, выходящих из этой вершины, направлены по осям координат, а вершина, противоположная началу координат, лежит в данной плоскости. Определить длину ребра куба. Система координат прямоугольная. 27.44. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2х — 2 = 0,ж + у — г+ 5 = 0и перпендикулярной к плоскости 7х — у + Аг — 3 = 0. Система координат прямоугольная. 27.45. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, точку A,2,3) и перпендикулярной к плоскости х — у + 2г — 4 = 0. Система координат прямоугольная. 27.46. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости х + Зу + Ъг — 10 = 0и проходящей через линию пересечения данной плоскости с плоскостью Оху. Система координат прямоугольная. 27.47. В пучке, определяемом плоскостями 2х + у — Зг + 2 = 0 и Ъх + Ъу — 4г + 3 = 0, найти две перпендикулярные друг к другу плоскости, из которых одна проходит через точку D,-3,1). Система координат прямоугольная. 27.48. В пучке, определяемом плоскостями Зх + у — 2х — 6 = 0 и х — 2у + Ъг — 1 = 0, найти плоскости, перпендикулярные к этим плоскостям. Система координат прямоугольная. 27.49. Даны уравнения граней тетраэдра АВСВ\ (ЛВС) : х + 2у + г + 2 = 0, (АВБ) : х + у - 1 = 0, (АС И) : х - у - г = 0, (ВСИ) : Зх + г + 1 = 0. Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ и середину ребра СВ. 27.50. Показать, что три плоскости х+2у — г — 4 = 0, Зх — 2уЛ- Зх — 6 = 0, 4у — 3^ + 3 = 0 образуют призму, и написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения первых двух граней призмы и параллельной ее третьей грани. 27.51. Даны уравнения граней тетраэдра АВСВ\
§28. Полуплоскости и полупространства 249 (АВС) : х + 2у - Зг - 6 = О, (АВБ) : 2у + Ъг - 4 = О, {АСБ) : Зх + г + 1 = О, (ВСЯ) : х + 2у = О. Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ и параллельной противоположному ребру СИ. 27.52. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения плоскостей х — у = 0, х + у — 2г + 1 = О, 2х + 2-4 = 0и 1) содержащей ось Оу\ 2) параллельной плоскости Охх\ 3) проходящей через начало координат и точку B,1,7). 27.53. При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости А^х + Вьу + С^г + В^ — 0, к = 1,4, пересекаются в одной точке? 27.54. При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости А^х + Вьу + С&2 + 2)*. = 0, к = 1,4, образуют тетраэдр? §28. Полуплоскости и полупространства Пусть прямая I в аффинной системе координат Оху задана уравнением Ах + Ву + С = 0. B8.1) Теорема 28.1. Точки М\(х\,у\) и Мг (#2,2/2) принадлежат разным полуплоскостям относительно прямой I тогда и только тогда, когда {Ахх + Вуг + С)(Ас2 + Ву2 + С) < 0. B8.2) Полуплоскость, для точек М(х, у) которой Ах ¦+¦ Ву + С > 0, называется положительной полуплоскостью относительно уравнения B8.1) прямой / и обозначается символом /+, а полуплоскость, для точек которой Ах+Ву+С < 0, - отрицательной полуплоскостью и обозначается /_. Теорема 28.2. Вектор нормали п = {А, В} к прямой I: Ах 4- Ву + С = 0, отложенный от любой точки прямой, направлен в сторону положительной полуплоскости. Пусть плоскость 7г в аффинной системе координат Оху г задана уравнением Ах + Ву + Сг + В = 0. B8.3) Теорема 28.3. Точки М\(х 1,7/1,21) и М2 (#2,2/2, 22) принадлежат разным полупространствам относительно плоскости 7г тогда и только тогда, когда (Ах1 + Ву1 + С*1 + Я)(Ах2 + Ву2 + Сг2 + Л) < 0. Полупространство, для точек М(х,у, г) которого Ах + Ву + С г + Б > 0, называется положительным полупространством относительно уравнения B8.3) плоскости 7г и обозначается символом 7Г+, а полупространство,
250 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве для точек которого Ах + Ву + Сг + Б < 0, - отрицательным полупространством и обозначается 7г_. Теорема 28.4. Вектор нормали п = {А, В, С} к плоскости 7г: Ах 4- Ву + С г + О = 0, отложенный от любой точки плоскости, направлен в сторону положительного полупространства. Пример 28.1. Дан треугольник АВС: АC,1), В(-2,4), С( 1,0) и прямая / : х — 7у + 5 = 0. Установить, пересекает ли эта прямая стороны треугольника или их продолжения. Решение. Выясним, в каких полуплоскостях относительно уравнения данной прямой находятся вершины треугольника: 3-7 + 5>0=> А е/+; -2-28 + 5 <0=> В е/_; 1 -0 + 5 > 0 ==» С е /+. Так как точки А и В находятся по разные стороны от прямой /, то эта прямая пересекает сторону АВ. Аналогично приходим к выводу, что прямая / пересекает сторону ВС. ¦ Пример 28.2. Установить, при каком необходимом и достаточном условии точка Мо(хо,уо,%о) лежит между двумя параллельными плоскостями Ах + Ву + Сг + Их = 0 и Ах + Ву + Сг + А> = 0. Решение. Так как нормали к плоскостям совпадают: щ = п2 = {А, Б, С}, то точка Мо лежит между этими плоскостями тогда и только тогда, когда она принадлежит разноименным полупространствам относительно уравнений этих плоскостей, т.е. (Ах0 + Ву0 + Сг0 + #1)(Ах0 + Яуо + Сг0 + А>) < 0. ¦ Пример 28.3. Плоскости щ : 5х + у + 2г — 7 = 0,7Г2 : 7х + у + 3;г — 4 = 0, 7Гз : 2х + г — 3 = 0 образуют призму. Расположена ли точка Мо(—1,0,4) внутри этой призмы? Решение. На каждом ребре призмы укажем по точке, взяв, например, в качестве ее абсциссы х = 0: ттчПтгз:^ 7ж + у + Зг-4 = 0, => { У=Щ =* М12@,13,-3); 7Г1 П 7Гз : 7Г2 П 7Гз : Точка Мо лежит внутри призмы тогда и только тогда, когда она расположена в тех же полупространствах относительно уравнений граней призмы, что и точки, лежащие на противоположных ребрах: 0-3-3 <0=*М12 е (тгз)-; -2 + 4-3<0=ФМое (тгз)-; 0 + 1 + 9-4>0=Ф М13 е (тг2)+; -7 + 0 + 12-4>0=>Мое (тг2)+; 0-5 + 6-7 < 0 => М23 е GГ1)-; -5 + 0 + 8-7<0=>Мое (пх)-. Ъх + У + 2г - 7 = 0, 7х + у + Ъг - 4 = 0, х = 0 Ъх + У + 2г - 7 = 0, 2х + г - 3 = 0, х = 0 7х + у + 3* - 4 = 0, 2х + г - 3 = 0, х = 0 => < ==> < => ^ Г ж = 0, у =13, =>М12@,13,- 1 г = -3 1=0, у = 1, =>М13@,1,3); 1 2 = 3 1 = 0, у = -5, =^М23@,-5, 2 = 3 Таким образом, точка Мо расположена внутри призмы. ¦
§28. Полуплоскости и полупространства 251 ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа считается, что система координат произвольная аффинная. Прямая на плоскости 28.1. Даны две прямые (АС) : 2х + Зу - 5 = О, (ВИ) : х - у - 1 = 0 и пять точек РC,1), (^B,2), Р(-2,1), 5A, -1), ТD,0). Обозначая через /.АМВ тот из четырех углов, образованных данными прямыми, в котором лежит точка Р, а через /.СМИ - угол, ему вертикальный, установить, в каких углах лежат остальные четыре точки. 28.2. В каждом из следующих случаев определить, принадлежат ли две данные точки одному углу, смежным углам или вертикальным углам, образованным прямыми, заданными своими уравнениями: 1) C, 5), (-2,1), Зх - у + 8 = 0, 2х + Ъу - 6 = 0; 2) F,-2), E,2),х + у-3 = 0, 2х + 3у = 0; 3) B, -2), C,6), х - 2у + 1 = 0, 2х + 6у - 9 = 0. 28.3. Две параллельные прямые 2х—5у+6 = 0 и 2х—Ъу—1 = 0 делят плоскость на три области: полосу, заключенную между этими прямыми, и две полуплоскости вне этой полосы. Установить, каким областям принадлежат точки ЛB,1), РC,2), СA,1), ДB,8),ЯG,1),,Р(-4,6). 28.4. Даны две точки Л(—3,1), 5E,4) и прямая х—2у+1 = 0. Установить, пересекает ли данная прямая отрезок АВ или его продолжение за точку А или за точку В. 28.5. Доказать, что прямая Ъх — у — 5 = 0 пересекает отрезок прямой Зх — 2у — 6 = 0, заключенный между осями координат. 28.6. Даны четыре точки 4E,3), ВA,2), СC,0), ЯB,4). Установить, принадлежит ли точка М пересечения прямых АВ и С В отрезкам АВ и С В или их продолжениям. 28.7. В каком отношении прямая 2х — у+5 = 0 делит отрезок, начало которого находится в точке (—5,4), а конец - в точке B,1)? 28.8. При каких значениях параметра и точки прямой х = 2+ 5гг, у = — 1 + и принадлежат отрезку этой прямой, заключенному между двумя прямыми х + Ау — 1 = 0, х + у = 0? 28.9. При каком необходимом и достаточном условии точка
252 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве (#(ь Уо) лежит между двумя параллельными прямыми Ах + Ву + С1=0иАх + Ву + С2 = 0? 28.10. Даны три прямые Ах + Ву + С\ = 0, Ах + Ву + С2 = О, Ах + Ву + 0 = 0. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы третья прямая лежала в полосе, образованной первой и второй прямыми. 28.11. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями А В: 2х - у + 2 = О, ВС : х + у - 4 = О, АС: 2х + у = 0. Определить положение точек МC,1), Л/"G, —6), РC, 2) относительно этого треугольника. 28.12. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка (хо, уо) лежала внутри треугольника, образованного прямыми А1Х+В\у+С1 = 0, А2х+В2у+С2 = 0, А3х+В3у+Сз = 0. 28.13. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями АВ: Зх-у + 4 = 0, ВС: 2х-у+ 1 = 0, С А: х-2у = 0. Определить положение прямой 2х — у + 3 = 0 относительно этого треугольника. Плоскость в пространстве 28.14. Определить положение точек 4B, 5,1), 5B,1,0), С@, 0,1), Г)@,1, -9), Е(—1, -3,0) относительно плоскости 2х + 2у + 2 + 2 = 0. 28.15. Даны две плоскости 2х + г — 0, х + у + Зг — 5 = 0 и точки 4B,1,1), ВA,0,3), С@,0,1), Я(-1,5,1), #A,4,-3). Установить, какие из точек 5, С, I), Е лежат в одном двугранном угле с точкой А, какие в смежных с ним углах и какие в угле, к нему вертикальном. 28.16. Даны две параллельные плоскости Зх + 4у + 2г — 10 = 0, Зх + Ау + 2г + 5 = 0 и точки 4A,1,1), 5B,0,0), СE,6,1), 2)(—4,0,1). Определить положение этих точек относительно данных плоскостей. 28.17. Даны две точки 4(—3,1,5), 5E,4,2) и плоскость 2х — 4у + ^ + 14 = 0. Установить, пересекает ли данная плоскость отрезок АВ или его продолжение за точку 4 или за точку В. 28.18. Даны две точки Мх(#1,3/1,21), М2{х2^у2^г2) и плоскость Ах+Ву+Сг+Б = 0. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данная плоскость пересекала: 1) прямую М\М2\ 2) отрезок М\М2 в его внутренней точке; 3) продолжение отрезка М\М2 за точку М\\ 4) продолжение отрезка М\М2 за точку М2.
§29. Метрические задачи в прямоугольной системе координат253 28.19. При каком необходимом и достаточном условии плоскость Ах + Ву + Сг + Е = 0 лежит между параллельными плоскостями Ах + Ву + С г + Их = 0 и Ах + Ву + С г + А> = О? 28.20. Даны две точки АC,5,1), БB,-6,3). Найти отношение, в котором делит отрезок АВ точка С пересечения прямой АВ с плоскостью 2х — Зу + 6г — 1 = 0. 28*21. Три плоскости Акх+Вку+Скг + Пк = 0, к = 1, 2,3, образуют призму. При каком необходимом и достаточном условии точка Мо(хо,уо^о) лежит внутри призмы? 28.22. Грани тетраэдра заданы уравнениями Акх + Вку + Скг + Б & = 0, к = 1,4. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка Мо(^о, </о> ^о) и вершина тетрадра, противолежащая грани А\х + В\у + С\г + 1?1 =0, лежали по разные стороны от этой грани. 28.23. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка Мо(хо,УО)^о) лежала внутри тетраэдра, образованного плоскостями А&х + Вьу + С^г + И^ = 0, к = 1,4. §29. Метрические задачи в прямоугольной декартовой системе координат Если Оху - прямоугольная декартова система координат, то угловой коэффициент к прямой у = кх ¦+¦ Ь есть тангенс угла от положительного направления оси Ох до этой прямой. При этом, если <р - угол от прямой с угловым коэффициентом к\ до прямой с угловым коэффициентом к2 (при условии, что эти прямые не перпендикулярны), то к2 - кх 1 + кгк2 Прямые с угловыми коэффициентами к\ и к2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда к\к2 — —1. Теорема 29.1. В прямоугольной декартовой системе координат Оху расстояние р(Мо, I) от точки Мо(#о, Уо) до прямой I : Ах + Ву + С = 0 определяется формулой \Ахо±Вуо±С\ Р{м^1)-—7жгт— Теорема 29.2. В прямоугольной декартовой системе координат Оху г расстояние от точки Мо(хо, уо, ^о) до плоскости 7г : Ах + Ву + С г + 0 = 0 определяется формулой ,_. . \Ах0 + Вуо + С г0 + И\
254 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве Теорема 29.3. В прямоугольной декартовой системе координат Оху угол <р между прямыми 1к : АкХ 4- В^у 4- Ск = 0, к = 1,2, совпадающий с углом между их нормалями, определяется формулой АхА2 + ВхВ2 у/а\ + вЫа1 + в1 Теорема 29.4. В прямоугольной декартовой системе координат Оху г угол <р между плоскостями -к к : АкХ 4- ВкУ + Ск% -\- Ок = О, к — 1,2, совпадающий с углом между их нормалями, определяется формулой АХА2 + ВХВ2 + СХС2 СОЗ(^ = у/А\ + Б? + С?>/^2 + В2 + ^2 " Пример 29.1. Даны две пересекающиеся прямые 1к : А^х + Б^у + С^ = О, /с = 1,2, и точка Мо(#о,2/о), не лежащая ни на одной из них. Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми, в котором лежит точка Мо- Система координат прямоугольная. Решение. Точка М(х,у) лежит на биссектрисе тогда и только тогда, когда р{М,1\) = р(М,12), т.е. \Ахх + Вху + Сх\ = \А2х + В2у + С2\ Bд ^ Тот факт, что точки М(х,у) и Мо(хо>2/о) лежат внутри одного угла между прямыми 1х и 12 означает, что они находятся в одинаковых полуплоскостях как относительно прямой /1, так и относительно прямой 12. Следовательно, (Агх + Вху 4- Сх)(Ахх0 4- В1Уо 4- С г) > О, (А2х + В2?у + С2)(А2хо + В2у0 4- С2) > 0. Отсюда и из B9.1) следует, что уравнение искомой биссектрисы имеет вид А\х + Вху 4- С\ _ А2х + В2^ + С2 если {Аххо 4- Вц/о 4- Сх){А2х0 + В2у0 4- С2) > 0, Ахх 4- Вху + С\ _ А2х 4- В2у 4- С2 если (Аххо 4- #1Уо 4- С1)(А2ж0 4- В2у0 4- С2) < 0. ¦ Пример 29.2. Даны две пересекающиеся прямые 1к : А^х + Вь^Стс = 0, к = 1,2, и точка Мо(хо,Уо), не лежащая ни на одной из них. Вычислить косинус того угла между этими прямыми, в котором лежит точка Мо- Система координат прямоугольная. Решение. Опустим из точки Мо на данные прямые перпендикуляры МоМх и МоМ2 (рис. 1-4). Обозначим через а искомый угол, а через (р - угол между нормалями щ = {^1, В1} и п2 = {А2, В2} к прямым /1 и 12. Так как
§29. Метрические задачи в прямоугольной системе координат2ЪЪ вектор нормали к прямой 1& направлен в сторону положительной полуплоскости относительно данной прямой, то возможен один из указанных на рис. 1-4 вариантов расположения точки Мо- М1у Ь / 4г 11 / 4 / И /а - М0 П2 М2 Рис. 1 Мх/ /* 1 'а. - п2 ^ м2 Рис. 3 Рис. 4 Как видно из рисунков, если угол, в котором лежит точка Мо, образован полуплоскостями (относительно прямых ^1 и /2) одинакового знака (рис. 1, рис. 2), то а = 7г — 1р. Если же полуплоскости имеют разные знаки (рис. 3, рис. 4), то а = (р. Таким образом, \ 7Г-С/?, при этом со8а = если (Агхо + Вгуо + С\){А2хо + В2у0 + С2) < О, если (Аххо + Вхуо + С1)(А2х0 + В2у0 + С2) > О, АХА2 + ВХВ2 соза = А1А2 + В1В2 у/А* + В*у/А% + В% в первом случае; во втором случае. B9.3) B9.4) Пример 29.3. Стороны треугольника АВС заданы своими уравнениями АВ : 7х- у -3 = 0, АС : х + у - 5 = 0, ВС : х -у -9 = 0. Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла А треугольника. Решение. В силу B9.1) уравнение биссектрис угла между прямыми А В и АС имеет вид \7х -у - 3| _ \х + у - 5[ л/50 " л/2 Найдем координаты точек В и С: {?-7-_93==о0, -*(-1.-ю>. {*1;:5=8- -сG,-2).
256 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве Так как искомая прямая является биссектрисой внутреннего угла треугольника, то вершины В и С лежат относительно нее в разных полуплоскостях, гт „ ( 7х-у-3 = 0, ^Г7х-ту-3=:48>0, ДляточкиЯ:( ж4у_5 = -16<0, Для точки С: { ж +/_ 5 = 0. Поэтому искомая биссектриса имеет вид ^ = _(х + у-5) или Зх + у- 7 = 0. ¦ Пример 29.4. Составить уравнение биссекторной плоскости тупого двугранного угла между плоскостями 7Г1 : Зх-\-Ъу—4г+1 = 0 и 7Г2 : х—г — Ъ — 0. Система координат прямоугольная. Решение. Уравнение биссекторных плоскостей имеет вид (см. пример 29.1 в очевидной модификации для плоскостей) |Зх + 5у-4г + 1| _ \х-г-Ъ\ ТГо -~7Г- B9-5) Пусть а - тупой угол между плоскостями к\ и 7Г2, а (р - угол между их нормалями П1 = {3,5,-4} и П2 = {1,0,-1}. Так как (щ, пг) = 5 > 0, то угол <р - острый. Следовательно, а = 7г — </? и согласно B9.3) для всех точек искомой биссекторной плоскости (За; + Ъу — 4г ¦+¦ 1)(х — г — 5) > 0, поэтому уравнение B9.5) приобретет вид Зх + Ъу - 4г 4-1 _ _ 0_ п = х — г — 5 или 2х — Ъу — г — 26 = 0. ¦ 5 Пример 29.5. Через точку C,-1) провести прямую, отстоящую от точки B, —3) на расстоянии 9/л/17. Решение. Пусть Ах ¦+¦ #у + С = 0 - общее уравнение искомой прямой. Найдем коэффициенты А, В, С, пользуясь условиями задачи. Имеем ( ЗА-В + С = 0, ^ |2А-ЗВ + С|= 9 B9.6) I у/А2 + В2 л/17' Так как А, В, С определены с точностью до постоянного множителя, то можно считать, что А2 + В2 — 17, 2А — ЗВ + С > 0. Тогда система B9.6) перейдет в систему ЗА - В + С = 0, 2А - ЗБ + С = 9, А2 + В2 = 17, из которой находим, что А\ = 1, В\ = 4, С\ = 3 и Аг — —, Вг = -=-, о о 23 С*2 = —-г-- Таким образом, искомые прямые имеют уравнения х + 4у ¦+¦ 3 = 0 и 13х + 16у - 23 = 0. ¦ Пример 29.6. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая х ¦+¦ 2у = 0, а одной из боковых сторон - прямая х — у + 5 = 0. Составить уравнение другой боковой стороны, зная, что она проходит через точку МD,2).
§29. Метрические задачи в прямоугольной системе коордяяат257 Решение. 1-й способ. Обозначим через к\,к2,к$ угловые коэффициенты основания, данной и искомой боковых сторон соответственно, через а и E - углы от основания до данной и искомой боковых сторон. Так как у. и р - уг. С1 = -1/2, кг = -1/2, к2 = 1, Р = -а, то г^=ГГТ^ = 3, 180 =-3. 1 + &1АС2 С другой стороны, . д кз-кх 1 + кхкз Отсюда кз = 7 и уравнение искомой прямой имеет вид у-2 = &з(ж-4) <=> 7х-ту-26 = 0. 3 2-й способ. Так как 1§а = 3, то а - острый угол и зта = ——, \/10 1 3 1 соза = ; следовательно, зт/3 = ^=, соз/? = -г=. Направляющий вектор а = {тп, п} может быть получен поворотом направляющего вектора основания {—2,1} на угол /3, поэтому а= Г2' 7ш +!' 7ш;2' 7Ш + х' 7ш)= {Ж'Тш}' Так как а || {1,7}, то искомое уравнение имеет вид |х-4 У — 2 1=0 4=> 7х - у - 26 = 0. 3-й способ. Пусть Ах + Ву+С = 0 - уравнение искомой прямой. Тогда А + 2В 1 СОЗ/3 = ч/5^А2 + В2 х/Т0' Так как Л и Б определены с точностью до постоянного множителя, то можно считать, что А2 + В2 = 2. Следовательно, Г Л + 2В = 1, \ А2 + В2 - 2. 7 1 Отсюда находим две пары (А, В): ( — 1,1) и (-,—-), которые отвечают пря- о о мым, образующим с основанием угол, косинус которого равен Первая 7 1 пара (—1,1) соответствует данной боковой стороне, а вторая пара (-,—-) - о о искомой. Таким образом, искомое уравнение имеет вид 7х — у + С = 0 или (с учетом того, что прямая проходит через точку МD,2)) 7х — у — 26 = 0. ¦ Пример 29.7. Составить уравнение прямой, отстоящей от точки МA,1) на расстояние 5 и образующей с прямой / : Зх+у+2 = 0 угол а = агссоз —=. V Ю 9—4271
258 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве Решение. Поворачивая вектор {3,1} нормали к прямой / на угол а и -а, получим нормальные векторы щ и П2 к искомым прямым: _ Г соз а — 8т а "I Г 3 "I Г О "I Г соз а зт а "I Г 31 _ Г 61 П1" [ 81п а соз а ] [ 1.) ~ у/То ' П2 ~~ [ - зт а соз а ] [ 1 ] ~~ [ -8 ] " Следовательно, уравнения искомых прямых имеют вид у 4 С = 0 и Зх - Ау 4 В = 0. Так как р(М, /) = 5, то \2±А-ь и !3-4 + л!-5 г -5 и 5 -5, отсюда находим С\ = 4, Сг = — 6, Б\ = 26, Дг = — 24 и уравнения искомых прямых 2/4-4 = 0, у - 6 = 0, Зх - Ау 4 26 = 0, Зя - 4?/ - 24 = 0. - ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа считается, что система координат прямоугольная декартова. Прямая на плоскости 29.1. Даны вершины треугольника АD,6), В(—4,0) и С(—1, —4). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины Л на сторону ВС 29.2. Найти проекцию точки (—5,6) на прямую 7х — 13у — 105 = 0. 29.3. Найти точку, симметричную точке М(—2,9) относительно прямой 2х — Зу + 18 = 0. 29.4. Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон: АВ : 2х — у + 3 = 0, ВС : х + Ъу — 7 = 0, АС : Зх - 2у + 6 = 0. 29.5. Даны две вершины треугольника А(—6, 2), ВB)—2) и точка #A,2) пересечения его высот. Вычислить координаты третьей вершины С. 29.6. В треугольнике АВС известны сторона АВ: Ах+у—12 = 0, высота ВН: Ъх - 4у - 15 = 0 и высота АЬ: 2х + 2у — 9 = 0. Написать уравнения двух остальных сторон и третьей высоты СК этого треугольника. 29.7. Точка пересечения высот треугольника лежит в начале координат. Известны уравнения двух сторон этого треугольника:
§29. Метрические задачи в прямоугольной системе координат2Ь9 х + Зу — 1 = 0, Зх + Ъу — 6 = 0. Составить уравнение третьей стороны. 29.8. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ЛC, —4) и уравнения двух высот: 7х — 2у — 1 = 0 и 2х - 7у - 6 = 0. 29.9. Даны две вершины треугольника ЛB, —3) и БE,1), уравнение стороны ВС: х+2у—7 — 0 и медианы АМ: Ьх—у—13 = 0. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ. 29.10. На прямой х — Зу + 1 = 0 найти точку, равноудаленную от двух точек (—3,1) и E,4). 29.11. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A,7) и уравнения 2х + Зу — 10 = 0, х — 2у + 3 = 0 перпендикуляров, восстановленных в серединах сторон, выходящих из этой вершины. 29.12. Найти общую вершину М двух равнобедренных треугольников АМВ и СМИ, зная концы их оснований Л@,0), В@,1),С(-2,1), 0A,1). 29.13. Дано уравнение стороны прямоугольника 2х + 3у — 6 = 0 и точка пересечения его диагоналей E, 7). Написать уравнения остальных сторон прямоугольника, зная, что одна из них проходит через точку (—2,1). 29.14. На прямой х + у — 3 = 0 найти точку М такую, чтобы лучи МА и МБ, выходящие из этой точки и проходящие через точки А(—2,— 1)иВA,3), образовывали с данной прямой равные углы. 29.15. Написать уравнения прямых, проходящих соответственно через точки A5,10) и A0,5), зная, что прямая х + 2у = 0 делит пополам углы, образуемые искомыми прямыми. 29.16. Вершина треугольника находится в точке (—2,9), а биссектрисами двух его углов служат прямые 2х — Зу + 18 = 0, у + 2 = 0. Написать уравнение стороны треугольника, противолежащей данной вершине. 29.17. Написать уравнения сторон равнобедренной трапеции, зная середины ее оснований A,1), B,8) и точки D, —3), (—15,14) на ее боковых сторонах. 29.18. Дано уравнение стороны ромба х+Зу — 8 = 0 и уравнение его диагонали 2х + у + 4 = 0. Написать уравнение остальных сторон ромба, зная, что точка (—9, —1) лежит на стороне, парал-
260 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве лельной данной. 29.19. Через точку C,1) провести прямые, наклоненные к прямой 2х + Зу — 1 = 0 под углом 45°. 29.20. Через начало координат провести прямые, образующие с прямой Ъх — 6у + 2 = 0 углы, тангенсы которых равны 7/6 и -7/6. 29.21. Даны две точки ЛC,3) и В@,2). На прямой х+у-4 = 0 найти точку, из которой отрезок АВ виден под углом 45°. 29.22. Для каждой из следующих пар прямых найти тангенс угла от первой прямой до второй прямой: 1) 2х + Зу = 0, х - у + 5 = 0; 2) х - Зу + 2 = 0, 2х + у = 0; 3) 2х + Ъу - 3 = 0, Ъх + 2у - 6 = 0; 4) Зх + 4у - 12 = 0, Ъх - 12у + 60 = 0. 29.23. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая 2х + Зу = 0, его вершина находится в точке B,6), тангенс угла при основании равен 3/2. Написать уравнения боковых сторон треугольника. 29.24. Вершина равнобедренного треугольника находится в точке (—7,15), а середина его основания - в точке A,3). Составить уравнения сторон треугольника, зная, что тангенс угла при основании равен 4. 29.25. Даны уравнения основания равнобедренного треугольника х + у — 1 = 0 и боковой его стороны х — 2у — 2 = 0, точка (—2,0) лежит на другой боковой стороне. Найти уравнение третьей стороны треугольника. 29.26. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая 2х + Зу = 0, а боковой стороной - прямая Ъх — 12у = 0. Написать уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что она проходит через точку B,6). 29.27. Концы основания равнобедренного треугольника находятся в точках А(—3,4), ВF, —2), тангенс угла при основании равен 3/2. Найти координаты вершины С, зная, что начало координат и точка С лежат по разные стороны от прямой АВ. 29.28. Даны вершина В{—3,— 1) равнобедренного треугольника, вершина СB,1) в его основании и соз</? = | угла </? при вершине В. Составить уравнения сторон треугольника. 29.29. Точка АB,0) является вершиной правильного треугольника, а противолежащая ей сторона лежит на прямой х +
§29. Метрические задачи в прямоугольной системе координат261 у — 1 = 0. Составить уравнения двух других сторон. 29.30. Зная уравнения двух сторон треугольника АВ: 2х + Зу — 6 = 0, АС: х + 2у — 5 = 0и угол при вершине В, равный 45°, написать уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС треугольника. 29.31. Даны две вершины АA,2) и ВC,4) треугольника и косинусы внутренних углов Л и Б, прилежащих к данным вершинам: созЛ = -д, созВ = -4=. Составить уравнения сторон треугольника и найти его третью вершину. 29.32. Дана вершина С(—3,2) треугольника АВС, тангенсы его внутренних углов: 1;§Л = |, Ъ§В = | и уравнение 2х — у — 2 = 0 стороны АВ. Составить уравнения двух других сторон треугольника. 29.33. Даны две прямые: х + Зу = 0кх-у + 8 = 0. Найти третью прямую так, чтобы вторая из данных прямых была биссектрисой угла между первой из данных прямых и искомой прямой. 29.34. Зная уравнение стороны треугольника х + Ту — 6 = 0 и уравнения биссектрис х + у — 2 = 0, х — Зу — 6 = 0, выходящих из концов этой стороны, найти координаты вершины, противолежащей данной стороне. 29.35. Даны уравнения сторон треугольника Зх + у — 3 = 0, Зх + 4у = 0 и уравнение х — у + 5 = 0 биссектрисы одного из внутренних углов этого треугольника. Составить уравнение третьей стороны. 29.36. Определить тангенсы внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями х + 2у = 0, Зх — у = 0, х + у-1 = 0. 29.37. Найти косинус того угла между двумя прямыми 1\ и /2> в котором лежит точка М, если: 1) /х : х + Ъу - 2 = 0, 12 : 10х + 2у + 1 = 0, МA,1); 2) /1 : 2х - 6у - 3 = 0, 12 : х + 7у + 5 = 0, МD,1). 29.38. В каком (остром или тупом) угле, образованном прямыми 2х — у + 3 = 0, х — 4у = 0, лежит точка B, —1)? 29.39. Даны три прямые А\~х + В^у = 0, к = 1,2,3, проходящие через начало координат. При каком необходимом и достаточном условии третья прямая расположена в остром угле, образованном двумя первыми прямыми? 29.40. Составить уравнения прямых, параллельных прямой
262 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве Ьх + 12у — 1 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии, равном 5. 29.41. Найти расстояние между параллельными прямыми Ах + Ву + Сг = 0 и Ах + Ву + С2 = 0. 29.42. Составить уравнения двух параллельных прямых, зная, что расстояние между ними равно 4/\/5 и что на оси Ох они отсекают отрезки, равные соответственно —3 и —7. 29.43. Составить уравнения биссектрис углов между следующими прямыми: 1) Зх - у + 5 = 0, Зх + у - 4 = 0; 2) Зх-4у + 2 = 0, 5х + 12у-3 = 0; 3) х — у — 0, х + у = 0; 4) х + 2у = 0, Зх + 4у = 0. 29.44. Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми: 1) ж-3у = 0, Зх-у + 5 = 0; 2) х - 5у = 0, -10я + 2у + 1 = 0. 29.45. Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми 1\ и /2) внутри которого лежит точка М, если: 1) *1 : ж + 7у = 0, /2 : х - у - 4 = 0, МA,1); 2) /х : 10х - 2у + 3 = 0, 12: х + Ьу = 0, МC,1). 29.46. Даны две прямые/1 : Зх+4у-2 = 0, /2 • 5х—12у-4 = 0 и точка A,1). Внутри угла, образованного данными прямыми и содержащего данную точку, найти такую точку, чтобы ее расстояния до прямых 1\ и /2 были равны соответственно 3 и 1. 29.47. Найти точки, равноудаленные от обеих биссектрис координатных углов и от точки A, \/2). 29.48. Найти точку, находящуюся на равных расстояниях от точек D,1) и (8, —3) и от прямой Зх — Ау = 0. 29.49. На прямой х + у — 8 = 0 найти точки, равноудаленные от точки B,8) и от прямой х — Зу + 2 = 0. 29.50. На осях координат найти точки, равноудаленные от прямых Ъх — у + 6 = 0и5х + у — 3 = 0. 29.51. На прямой х+2у—12 = 0 найти точки, равноудаленные от прямых х + у — 5 = 0и7х — у + 11 = 0. 29.52. На прямой х — Зу + 13 = 0 найти точки, отстоящие от прямой х + 2у + 3 = 0 на расстоянии, равном у/Е. 29.53. Найти точку, отстоящую от каждой из прямых Ах — Зу + 20 = 0 и Зх + 4у — 60 = 0 на расстоянии, равном 5. 29.54. Составить уравнения прямых, перпеьдикулярных пря-
§29. Метрические задачи в прямоугольной системе координат263 мой 2х + 6у — 3 = 0 и отстоящих от точки E,4) на расстоянии, равном л/10- 29.55. Найти касательные к окружности с центром A,1) и радиусом 3, параллельные прямой Ъх — 12у = 0. 29.56. Написать уравнения касательных к окружности с центром A,1) и радиусом 2, проведенных из точки G,-1). 29.57. Найти общие касательные к двум окружностям, центры которых находятся в точках A,1) и B,3), а радиусы соответственно равны 2 и 4. 29.58. Составить уравнение прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки C, 5) на расстоянии, равном 7. 29.59. Через начало координат провести прямую, отстоящую от точки C, —2) на расстоянии, равном 1. 29.60. Составить уравнения прямых, отстоящих от точки A,9) на расстоянии, равном 5, и наклоненных к прямой х—7у = О под углом 45°. Найти вершины квадрата, образованного этими прямыми. 29.61. Внутри треугольника, образованного прямыми (АВ) : 7х+у-2 = О, (ВС) : Ъх+Ъу-А = 0 и (АС) : 2х-2у+Ъ = 0, найти точку, равноудаленную от двух его сторон АВ и ВС и отстоящую от третьей стороны АС на расстоянии, равном Зл/2/4. 29.62. Найти центр и радиус окружности, проходящей через точку (—1,3) и касающейся прямых 7а; + у = О, х — у + 8 = 0. 29.63. Найти центр круга, вписанного в треугольник, ограниченный осями координат и прямой Зх — Ау — 5 = 0. 29.64. Найти центр круга, вписанного в треугольник, стороны которого заданы уравнениями х + у + 12 = 0, 7х + у = 0, 7х - у + 28 = 0. 29.65. Составить уравнения биссектрис внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями Зх — 4у = 0, Ах - Зу = 0, Ъх + 12у — 10 = 0. 29.66. Написать уравнение биссектрисы наибольшего из внутренних углов треугольника со сторонами Зх — 4у — 2 = 0, Ах - Зу - 5 = 0, Ъх + 12у + 27 = 0. 29.67. Написать уравнения сторон квадрата, описанного около окружности с центром A,9) и радиусом 5, зная, что одна из его диагоналей параллельна прямой х — 7у = 0. 29.68. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая х+2у+6 = 0, а боковой стороной - прямая 2х-\-у = 0. На-
264 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве писать уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что ее расстояние от точки пересечения данных сторон равно х/5. 29.69. Написать уравнения сторон прямоугольника, зная уравнения его диагоналей 7х — у + 4 = 0, х + у — 2 = 0и внутреннюю точку C,5) одной из его сторон. 29.70. Центр симметрии квадрата находится в точке (—1,0), а одна из его сторон задается уравнением х-РЗу—5 = 0. Составить уравнения трех других сторон квадрата. 29.71. Даны уравнения х + у — 5\/2 = 0, х + у = 0 параллельных сторон ромба и точки C, 5) и A,0), лежащие на двух других его сторонах. Составить уравнения двух других сторон ромба. 29.72. Составить уравнения сторон квадрата, две параллельные стороны которого проходят через точки B,1) и C, 5), а две другие - через точки @,1) и (—3, —1). 29.73. Составить уравнения сторон квадрата, зная его центр A,6) и точки на двух непараллельных сторонах: D,9) на стороне АВ, (-5,4) на стороне ВС. 29.74. Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 1х — у + 4 = 0, х + у — 2 = 0 и точка C, 5) на его основании. Составить уравнение основания. 29.75. Написать уравнения сторон ромба, зная точку МA,6) пересечения его диагоналей и по одной точке на трех его сторонах: РC,0) на стороне АВ, С?F,6) на стороне ВС, ДE,9) на стороне СВ. 29.76. Вершины острых углов прямоугольных треугольников перемещаются по двум параллельным прямым, а вершина прямого угла - по прямой, к ним перпендикулярной. Какую линию описывает при-этом основание перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника? 29.77. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний которых до катетов С А и С В прямоугольного треугольника АВС равна расстоянию до его гипотенузы АВ. 29.78. Найти множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух пересекающихся прямых А\х + В\у + С\ = 0 и А2Х + Въу + Сч = 0 есть постоянная величина, равная к.
§29. Метрические задачи в прямоугольной системе коордияат265 Плоскость в пространстве 29.79. Через точку М(—5,16,12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось Ох, другая - ось Оу. Вычислить острый угол между этими плоскостями. 29.80. Через начало координат провести плоскость, перпендикулярную к плоскости 5х — 2у + Ъг — 10 = 0 и образующую с плоскостью х — 4у — 82 + 12 = 0 угол 45°. 29.81. Через линию пересечения плоскостей х + Ъу + г = 0 их — г + А = 0 провести плоскость, образующую угол 45° с плоскостью х — 4у — 8г — 1. 29.82. Вычислить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью 2х + Зу + 6г - 12 = 0. 29.82.1. Плоскость задана уравнением г = ах + Ьу + с. Найти тангенс острого двугранного угла, образованного этой плоскостью и координатной плоскостью Оху. 29.83. Найти косинус того угла между плоскостями: 1) Зх + у - 2г + 4 = 0 и х - 7у + 2г = 0; 2) 8х + 4у + г + 1 = 0 и 2х - 2у + г + 1 = 0, в котором лежит точка A,1,1). 29.84. Грани тетраэдра заданы уравнениями: 2х — 2у + г + 2 = 0, 8х + 4у + г —16 = 0, х + у + г — 5 = 0, 4х + 3у = 0. Вычислить косинус внутреннего двугранного угла тетраэдра, ребром которого служит линия пересечения первых двух плоскостей. 29.85. Проверить, что три плоскости Их + 10у + 2^ = 0, Зх+4у = 0, х—у+г—1 = 0 образуют призму, и вычислить косинус ее внутреннего двугранного угла, образованного первыми двумя плоскостями. 29.86. Три плоскости Акх + Вку + Скг + Бк = 0, к = 1,2, 3, образуют призму. При каком необходимом и достаточном условии все внутренние двугранные углы этой призмы будут острые? 29.87. Составить уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов между двумя плоскостями 7х + у — 6 = 0, Зх + Ъу - 4г + 1 = 0. 29.88. Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между двумя плоскостями Зх + 5у — 4г +1 = 0, х — г — 5 = 0, в котором лежит начало координат. 29.89. Написать уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла, образованного плоскостью 2х — Зу + 6г — 6 = 0
266 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве с плоскостью Оуг. 29.90. Грани тетраэдра заданы уравнениями 8х+4у+;г —16 = О, 2х - 2у + г + 5 = 0, х + у + г + 5 = 0, 4г + Зу = 0. Написать уравнение плоскости, делящей пополам внутренний двугранный угол тетраэдра между первой и второй плоскостями. 29.91. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости Ах + Ву + С г + В — 0 и отстоящих от нее на расстоянии, равном A. 29.92. Найти расстояние с? между двумя параллельными плоскостями Ах + Ву + С г + В\ = 0 и Ах + Ву + С г + Х>2 = 0. 29.93. Даны вершины тетраэдра Л@,0,2), ВC,0,5), СA,1,0) и ^D,1,2). Вычислить длину высоты, опущенной из вершины В на грань АВС. 29.94. Внутри треугольника, высекаемого на плоскости Оху плоскостями х+4у+8г + 8 = 0, х-2у+2г + 2 = 0, Зх+4у + 12 = 0, найти точку, равноудаленную от этих плоскостей. 29.95. На оси О г найти точку, равноудаленную от точки B,3,4) и от плоскости 2х + Зу + г — 17 = 0. 29.96. На оси Оу найти точки, равноудаленные от двух плоскостей х + у — 2 + 1 = 0, х — у + г — 5 = 0. 29.97. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости 2х + у — 4г + 5 = 0и отстоящей от точки A,2,0) на расстоянии, равном 29.98. Написать уравнение плоскости, отсекающей на осях координат отрезки, пропорциональные числам 1,2,3, и отстоящей от точки C, 5,7) на расстоянии, равном 4. 29.99. Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью Их — 10у — 2г - 57 = 0. 29.100. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку АE,2,0) и удаленной от точки БF,1, —1) на расстоянии, равном 1, и от точки С@, 5,4) на расстоянии, равном 3. 29.101. Через линию пересечения плоскостей х + 28у — 2г + 17 = 0, Ьх + 8у — г + 1 = 0 провести плоскости, касающиеся сферы с центром в начале координат радиуса 1. 29.102. Составить уравнения общих касательных плоскостей к сферам с центрами A,1,0), @,1, —2) и радиусами 1, 2 соответственно, если известно, что они проходят через начало координат.
§30. Метрические задачи в аффинной системе координат 267 29.103. Составить уравнения общих касательных плоскостей к трем сферам с центрами @,0,0), (—2,3,-1), C,-1,1) и радиусами 1, 2, 4 соответственно. §30. Метрические задачи в аффинной системе координат Пример 30.1. Доказать, что расстояние р( Мо, /) от точки Мо (хо, у о) до прямой / : Ах + Ву + С = 0 определяется формулой = \Ахо + ВУо + С\-УШ1 у/дпВ2-2д12АВ + д22А2 где С = (рг^-) - матрица Грама базисных векторов аффинной системы координат. Решение. Пусть Р(х1,ух) - основание перпендикуляра, опущенного из точки Мо на прямую /. Тогда р(Мо,1) = \РМо\. Найдем вектор РМо. Для этого будем искать вектор Ь = {га, &}, перпендикулярный прямой /. Так как а = {—В, А} - направляющий вектор прямой /, то (а, Ь) = 0, т.е. ( — Вех 4- Ае2,тех + ке2) = 0, или, с учетом метрических коэффициентов -тВдц + тАд12 - кВдХ2 4- кАд22 = 0. Следовательно, можно взять т = Ад22~ ВдХ2, к = Вдц - АдХ2. C0.2) Тогда РМо = 1Ъ, I е К и \РМо\ = Щ.\Ъ\= = \1\у/((Ад22-Вд12)е1 + (Вдп-Ад12)е2,(Ад22-Вд12)е1 + (Вдп-Ад12)е2) = = |^|\/р22Л2 - 2дпАВ + диВ2у/дид22 - д22- Таким образом, |РМо| = |*| • у/д22А* - 2д12АВ + рцБ2х/5еТс. C0.3) С другой стороны, РМо = {*га,*/с}, поэтому т = хо — *га, ух = у0 — 1к. Подставив эти координаты в уравнение прямой I, получим (с учетом соотношений C0.2)) Ах0 + Ву0 + С 1 = д22А2-2д12АВ + д11В2' Отсюда и из C0.3) следует, что у/дпВ2 - 2д12АВ + д22А2
268 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа рассматривается аффинная система координат {О; ех, ег} на плоскости и {О; ех, ег, ез} в пространстве. Прямая на плоскости 30.1. Найти тангенс угла а от оси Ох до прямой у = кх + Ъ, если: а) известны метрические коэффициенты §ц, ^12? 322 базиса б) известно, что | ех| = | ег| = 1 и (ёхГег) = ш. 30.2. Найти тангенс угла <р от прямой у = к\х + Ь\ до прямой у = /с2ж + &2? если: а) известны метрические коэффициенты дц, дх2> 322 базиса еь е2; б) известно, что | ех| = | е2| = 1 и (ёхГ®2) = ^- 30.3. Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых А\х + В\у + С\ = 0, Л2х + Б2у + С2 = О, зная метрические коэффициенты ри, #Х2> д22 базиса ех, е2. 30.4. Базисные векторы аффинной системы координат имеют единичную длину. Определить угол со между ними, если известно, что прямые у — 2х — 3 = 0 и 5# + 4у — 5 = 0 перпендикулярны. 30.5. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (хо, уо) на прямую Ах + Ву + С = 0, если | ех| = | е2| = 1 и (ех, е2) =и. 30.6. Через точку B, —5) проведена прямая, образующая угол 7г/6 с прямой 4х — Зу + 1 = 0. Составить уравнение этой прямой, если |ех| = |е2| = 1 и (ёхТег) = 7г/3. 30.7. Зная метрические коэффициенты дц, #Х2> 322 базиса аффинной системы координат, составить уравнения семейства прямых: а) перпендикулярных к оси Ох\ б) перпендикулярных к оси Оу. 30.8. Найти расстояние Л от точки (#о>Уо) Д° прямой Ах + Ву + С = О, зная метрические коэффициенты дц, дх2, 322 базиса, взаимного к базису аффинной системы координат.
§30. Метрические задачи в аффинной системе координат 269 30.9. Найти расстояние A от точки (ж(ьУо) до ПРЯМ0Й Ах + Ву Л-С = О, если |ех| = |е2| = 1 и (еГГ^) = и. 30.10. Составить уравнения биссектрис углов между координатными осями, зная метрические коэффициенты дц, дх2> #22 базиса аффинной системы координат. 30.11. Составить уравнения биссектрис углов, образованных прямыми х — у — 1 = 0их + у + 2 = 0, если дц = 1, #Х2 — 1, 322 = 2. 30.12. Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой Зх — 2у + 6 = 0, если известны метрические коэффициенты дц базиса аффинной системы координат Оху. 30.13. Зная метрические коэффициенты дц базиса аффинной системы координат Оху, составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат ненулевые отрезки равной длины и проходящей через точку МB, —1). 30.14. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки -4A,2) на прямую 2х + у — 1 = 0, если |ех| = | е2| = 1» (©1, ег) = 27г/3. Какая точка является ортогональной проекцией точки А на эту прямую? 30.15. Составить уравнение серединного перпендикуляра к отрезку с концами A,1) и A,3), если |ех| = |в2| = 1, (ёГГеЬ) = тг/4. 30.16. Найти расстояние между параллельными прямыми Ах + Ву + С\ = 0 и Ах + Ву + С2 = 0, если |ех| = |е2| = 1, (ёГГег) =ш> 30.17. На плоскости рассматривается аффинная система координат {О; ех, ег}, в которой (ёТГ^г) = 7г/3. Известно, что точка -4A,2) удалена от прямой х + у — 1 = 0 на расстояние 1 и ее ортогональной проекцией на эту прямую является точка 5A,0). Найти метрические коэффициенты дц базиса. 30.18. Прямая у = 1 является биссектрисой угла между прямыми х = 1 и у = х. Найти угол и между базисными векторами ех, в2, если известно, что они единичные. Плоскость в пространстве 30.19. Плоскость 7Г задана своим уравнением Ах + Ву + Сг + -О = 0 в некоторой аффинной системе координат. Доказать, что если векторы {*х, Г2, Гз образуют базис, взаимный к базису дан-
270 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве ной аффинной системы координат, то вектор р = А {\+В 1*2+С Гз будет перпендикулярен плоскости 7г. 30.20. Найти расстояние A от точки (#о, Уо) ДО плоскости Ах+ Ву + Сг + И = 0, зная метрические коэффициенты дц базиса ех, ©2, ез- 30.21. Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей А^х + В^у + С^г + В^ = 0, к = 1,2, если известна матрица Грама О = (ду) базисных векторов аффинной системы координат. 30.22. Найти углы между плоскостями А^х+В^у+Скг+Ок — 0, к = 1,2, если известна матрица Грама С? = (д^) базисных векторов аффинной системы координат. 30.23. Зная метрические коэффициенты дц базиса аффинной системы координат Охугу составить уравнение плоскости, проходящей через точку МA,2, — 3) и отсекающей на осях координат ненулевые отрезки равной длины. 30.24. Найти объем тетраэдра, заключенного между координатными плоскостями и плоскостью 2х + Зу — 6 г + 12 = 0, если известна матрица Грама О базиса аффинной системы координат Охуг. 30.25. Известно, что |ех| = |ег| = 1, ех 1. ег, |ез| = 2, (еГГёз) = (ёгГ^з) = ^/3. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, точку A,1,1) и перпендикулярной плоскости х + у + 2г — 4 = 0. 30.26. Известно, что |ех| = |ег| = 1, ех I- ег, |ез| = 2, (ёхГез) = (егГез) = 27г/3. Составить уравнение плоскости, все точки которой равноудалены от точек 0@,0,0) и А@,0,2). 30.27. Известно, что |ех| = |ег| = 1, ех ± ег, |ез| = 2, (ёхГез) — (егГ^з) — ^/3- Для каждого значения параметра а найти угол между плоскостью х + у + аг — 1 = 0 и ее вектором нормали п = {1,1,а}.
Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве §31. Уравнения прямой в пространстве. Задачи взаимного расположения Прямая, проходящая через точку Мо(хо, Уо> ^о), с направляющим вектором а = {тп, п, к} определяется уравнениями: а) х = хо + тп1, у = Уо+Ш, C1.1) г = г0 + Ы, I е К, или в векторной форме г= го+ а*, * е К, C1.2) где Го - радиус-вектор точки Мо\ б) х - хо _ у-уо _ г - 20 C1.3) 771 П /С Уравнения C1.1) и C1.2) называются параметрическими уравнениями прямой в координатной и векторной формах соответственно, уравнения C1.3) - каноническими уравнениями прямой. Векторное уравнение C1.2) равносильно (согласно критерию коллинеарности) уравнению [г- го, а] = 0 C1.4) или [г, а] = М, где М = [г0, а]. C1.5) Система уравнений Г Ахх + Вху + Сгг + их = О, А2х 4- В2у + С2г + В2 = О C1.6) в случае, если г§ и о ^ =2, определяет прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей тгх : А\х + В\у + С\г + Их = 0 и 7Г2 : Агж + #22/ + Сгг + В2 = 0. Систему C1.6) называют общими уравнениями прямой в пространстве. Теорема 31.1. Если в аффинной системе координат Охуг прямая I задана общими уравнениями C1.6), то вектор а-\| В2 С2 |'~| А2 С2 \>\ А2 В2\) C1'7> является направляющим вектором этой прямой.
272 Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве Для запоминания координат вектора а может быть использован мнемонический определитель I в1 ег ез а = \ Аг Вх Сг А2 В2 С2 где в1, ег, ез - базис, соответствующий системе координат Охуг. Разложение этого определителя по первой строке совпадает с разложением вектора а по базису ех, ег, ез. В прямоугольной декартовой системе координат, соответствующей ор- тонормированному базису ех, ег, ез, вектор C1.7) является векторным произведением [П1, П2] НОрмалеЙ П1 И П2 К ПЛОСКОСТЯМ 7Г1 И 7Г2- Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Пусть каждая из прямых /», г = 1,2, задана лежащей на ней точкой Мг{хг,уг,%г) и направляющим вектором а* = {тг,Пг, кг} в некоторой аффинной системе координат Охуг. Теорема 31.2. Прямые 1\ и 12 лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда х2 -хх у2- у\ 77Ц П\ 7712 712 Теорема 31.3. Прямые 1\ и 12 совпадают тогда и только тогда, когда Г х2 - хх у2- ух Г§ 7711 П\ [ 7712 712 параллельны и не совпадают тогда и только тогда, когда Х2 -XI у2- У\ 22 - ^1 22 - 21 кг к2 22 -21 /С1 к2 0. = 1, гё 7711 7712 Щ П2 /С1 к2 ]-'¦ Гё 7711 7712 771 тг2 пересекаются тогда и только тогда, когда гё[ 7711 7712 771 712 /С1 1 _ Г8 х2 — х\ 7711 7712 У2~У\ ГЦ 772 кг к2 22 - 21 к2 2, Взаимное расположение прямой и плоскости. Пусть в пространстве в некоторой аффинной системе координат Охуг заданы плоскость тг : Ах + Ву + С г + В = 0 и прямая / : г = г0 + Ь а, где го = {ж0,уо,2о}, а= {т,п,к}. Теорема 31.4. Прямая I лежит в плоскости 7г тогда и только тогда, когда Г Ат + Вп + Ск = 0, \ Ах0 + Ву0 + Сг0 + В = 0; прямая I параллельна плоскости 7г, но не лежит в ней тогда и только тогда, когда Г Агп + Вп + Ск = 0, \ Ах0 + Ву0 + С20 + В Ф 0; прямая I пересекает плоскость 7г тогда и только тогда, когда Ат + Вп + Скф 0.
§31. Уравнения прямой в пространстве 273 Пример 31.1. Составить уравнение плоскости, параллельной прямой х-2 _ у + 7 _ г I: 1 -2 х у + 2 = 0 и и проходящей через линию пересечения плоскостей 7Г1 7Г2 : у + 2 — 4 = 0. Система координат аффинная. о 1- с: IX - ( X — 1/4-2 = 0, Решение. 1-й способ. Из системы уравнении < ^ , * — 4 = 0 найдем частное решение B,4,0), которое дает точку АB,4,0), через которую проходит прямая пересечения плоскостей 7Г1 и 7Г2. Из мнемонического определителя = {-1,-1,1} находим направляющий вектор р = {—1,-1,1} этой прямой. Из канонического уравнения прямой / определим ее направляющий вектор ^ = {1,3, —2}. Таким образом, искомая плоскость проходит через точку А и параллельна неколлинеарным векторам р и я, поэтому она определяется уравнением х — 2 у — 4 ' = 0 <=> х + у + 2г-6 = 0. в1 1 0 е2 -1 1 ез 0 1 -1 1 -1 3 2-й способ. Искомая плоскость принадлежит пучку плоскостей, определенному плоскостями 7Г1 и 7Г2, поэтому ее уравнение имеет вид а(х - у + 2) + 0(у + г - 4) = 0 <=> ах + @ - а)у + 0г + 2а-40 = О. Так как прямая I параллельна этой плоскости, то ее направляющий вектор ц = {1,3, —2} параллелен этой плоскости. Следовательно, а + 3@ - а) - 20 = 0, откуда получим 0 — 2а (можно взять а — 1, 0 = 2) и уравнение искомой плоскости х + у + 2г — 6 = 0. ¦ Пример 31.2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку B,1,0) и пересекающей две прямые ж + 1 1 У + 2 2 13 3 4 1 Система координат аффинная. Решение. Искомую прямую можно рассматривать как линию, по которой пересекаются две плоскости, проходящие через данную точку и одну из данных прямых. Уравнения этих плоскостей х + 1 2 1 1/-1 1 0 г 3 0 = 0, х-2 3 о У + 2 г 4 1 1 0 образом, < или Зу - г — 3 = 0, х — Ъг — 2 = 0. Таким уравнения искомой прямой. ¦ Пример 31.3. Через точку пересечения прямой х — I _ у _ г 2 ~ 3 ~ 4 Ъу-г х — Зг = 0 3 = -2 = общие /:
274 Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве с плоскостью 7г: х + 2у — г = 0 провести прямую, перпендикулярную данной прямой / и лежащую в данной плоскости 7г. Система координат прямоугольная. Решение. 1-й способ. Обозначим через а = {2,3,4} - направляющий вектор прямой /, а через п = {1,2,-1} - вектор нормали к плоскости 7г. Вектор Ь = [а, п] = { — 11,6,1} будет направляющим вектором искомой прямой. Найдя точку Мо пересечения прямой / с плоскостью 7г, можно со 1 3 ставить параметрические уравнения искомой прямой. Имеем Мо(-, —-, — 1) и 1 3 х = - - 11*, у = —- + 6*, г = -1 + I. 2 4 2-й способ. Искомая прямая является пересечением плоскости 7г и плоскости 7Г1, проходящей через прямую / и перпендикулярной прямой /. Следовательно, плоскость т проходит через точку A,0,0) и параллельна векторам а = {2,3,4} и Ь = [а, п] = { — 11,6,1}, поэтому она определяется уравнением х — 1 у г 2 3 4 -11 6 1 = 0 <=> 21х + 46у - 45* -21 = 0. Искомая же прямая задается общими уравнениями Г х + 2у- 2 = 0, \ 21х + 46у - 45г - 21 = 0. ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа считается, что система координат произвольная аффинная. Случай прямоугольной декартовой системы координат оговаривается особо. X У 31.1. В пространстве дана прямая — = - = 5. Найти направ- А О ляющий вектор этой прямой. 31.2. Составить параметрические уравнения прямых: , ( х-2у + 4г = 0, , (х + у-г + Ь = 0, 4 \ Зх - 2у + Ъг = 0; *> \ 2х-у + 2г-2 = 0. 31.3. Составить уравнения прямой, проходящей через точки А и В, в каждом из следующих случаев: 1) ЛB,3,1), 5D,6,9); 2) 4G,-1,2), ВE,-1,4); 3LA,5,1), ВA, -5,1). 31.4. Представить каждую из следующих прямых как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ох и Оу: х = 3 + 5*, ( х = -1 + *, 1) {у = 7-4*, 2I у = 1-1, г = -6 + *; I 2 = 5*.
§31. Уравнения прямой в пространстве 275 31.5. Написать уравнения прямой: 1) проходящей через точку C,5,1) параллельно прямой 2 = 2 + 4/;, у = -3*, г = -3; 2) проходящей через точку @, —5, 4) параллельно прямой х + 2у + 6 = 0, г = 5. 31.6. Дана точка ЛA,2,3). Считая, что система координат прямоугольная: 1) составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точки А на координатные плоскости; 2) составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точки А на оси координат; 3) написать уравнения плоскостей, проходящих через точку А и перпендикулярных к осям координат. 31.7. 1) Составить уравнения прямой, отсекающей на осях Ох и Оу отрезки, соответственно равные 2 и 3. 2) Написать уравнение плоскости, проходящей через эту прямую и параллельной оси Ог. 31.8. Написать уравнения прямой, лежащей в плоскости Оуг) параллельной оси Оу и отсекающей на оси Ог отрезок, равный 3. 31.9. 1) Написать уравнения плоскостей, проходящих через ось О г и делящих пополам двугранные углы, образованные координатными плоскостями Ох г и Оуг. 2) Написать уравнения биссектрисы угла между положительными направлениями осей Ох и Оу. Система координат прямоугольная. 31.10. Найти ортогональную проекцию прямой на плоскость Оху в каждом из следующих случаев: п Г Ьх + 8у-Зг + 9 = 0, * ж - 3 _ у-4 _ г-6 1) \ 2х - 4у + г - 1 = 0; А) -5 " 6 " 8 * Система координат прямоугольная. 31.11. Найти точки пересечения с плоскостями координат каждой из следующих прямых: , Г 6х + 2у - г - 9 = О, 1) \ Зх + 2у + 2г - 12 = 0; 31.12. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями: @,3/1,21), (#2,0,22). Вычислить координаты х = 6 + 21, у = -2 + 4«, г = -5*.
276 Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве точки пересечения этой прямой с третьей координатной плоскостью. Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, написать уравнение плоскости, их содержащей; если прямые пересекаются, написать также уравнение плоскости, их содержащей, и, кроме того, найти их точку пересечения. 31.13. х = 1 + 2*, Г х = 6 + 3*, ( х = 2 + 4*, Г х = 7-6*, 1){ У = 7 + Ь, и\у = -1-2Ь, 2I у=-6*, и 1 у = 2 + 91, 2 = 3 + 4* [ г = -2 + *; { г = -1-8* (, г = 12*; х = 1 + 2*, ( х = -2*, Г ж = 1 + 9*, Г ж = 7 + б*, 3){ у = 2-2*, я I у = -5 + 3*, 4К у = 2 + 6*, и ^ у = 6 + 4*, г = -* I г = 4; I 2 = 3 + 3* I 2 = 5 + 2*. 31.14. - 2у + 3 = О, + 2г - 8 = 0; Л 1|2-1 = 0, | Ж ^ \ Зж + у-2 + 13 = 0 И \ у Г 2ж + Зу = 0, Г 2 - 4 = 0, ^\я+г-8=0 и \ 2х + 3* - 7 = 0; ,,/1 + у + г-1 = 0, / 2х + Зу + 6* - 6 = 0, ^ \ у + 4г = 0 И \ Зж + 4у + 7г = 0; Зх + у — 2г = 6, Г ж — 2у + 5г = 1, (х- \ 33 41а: - 19у + 52г = 68 \ 33а; + 4у - Ьг = 63. 2ж - Зу - Зг - 9 = 0, х- 2у + 2 + 3 = 0; х + у- г = 0, 2х - у + 2г = 0; х - Зу + г = 0, х + у-2 + 4 = 0; {?-- -2 + 2 = 0, 7у + Зг - 17 = 0.
§31. Уравнения прямой в пространстве 277 31.16. При каком необходимом и достаточном условии две прямые А3х + В3у + С3г + #з = 0, ААх + В4у + С4г + 2L = 0 Л3х + В3у + С3г + Дз = 0, Л4х + В4у + С4г + #4 = 0. Л1Ж + Вху + С\г + 2?1 = 0, Л2х + В2у + С2* + #2 = 0 лежат в одной плоскости? 31.17. Даны две прямые Агх + Вгу + С\г + В\ = 0, Л2х + В2у + С2г + В2 = 0 С помощью рангов матриц С = выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямые: 1) скрещивались; 2) пересекались; 3) были параллельны; 4) совпадали. Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли данная прямая в указанной плоскости, параллельна ей или пересекает ее; найти точку пересечения прямой и плоскости. 31.18. Ах А2 Аз А4 Вг в2 Вз В4 Сг 1 с2 Сз с4 я Р = \ Ах А2 Аз А4 Вх в2 Вз в4 Сх с2 Сз с4 Ох Д2 Вз в4 1) 2) 3) 4) 31.19 1 а;-12 у-9 1 X X X 4 + 1 2 -13 8 -7 _ »Л 4 У-1 2 у-4 _ г " 3 г г - 1 -4 ~3~ -5 х Г Зх + 5у - 7г + 16 = 0, > \ 2ж-у + 2-6 = 0 , ( 2х + Зу + 6г - 10 = 0, ;\х+у+г+5=0 „х / ж + 2у + Зг + 8 = 0, ^ 1 Ъх + Зу + г - 16 = 0 За; + 5у - г - 2 = 0; За: - Зу + 2г - 5 = 0; х + 2у - 4г + 1 = 0; Зх - у + 2г - 5 = 0. I 5а; — г — 4 = 0; I у + 4г + 17 = 0; I 2а; - у - 4г - 24 = 0.
278 Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве 31.20. Найти точку встречи прямой х = 2*, у = 1 — *, г = 3 + 1: с плоскостью х + у + 2 — 10 = 0. 31.21. Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости у + 2г = 0 и пересекающей прямые х = 1 — *, у = *, 2 = 4* и ж = 2-*, у = 4 + 2*, * = 1. 31.22. Составить уравнения прямой, проходящей через точку C,-1, —4), пересекающей ось Оу и параллельной плоскости у + 2г = 0. 31.23. Составить уравнения прямой, параллельной прямой х — Зу + 2 = 0, х + у — г + 4 = 0и пересекающей каждую из двух прямых х = 3 + *, у = — 1 + 2*, г = 4* и х = — 2 + 3*, у = —1, г = 4 - *. 31.24. Составить уравнения прямой, проходящей через начало координат и пересекающей каждую из двух прямых х = *, у=1-*, г = 3 + *их = 2 + 2*, у = 3-*, г = 4 + 3*. 31.25. Составить уравнения прямой, проходящей через точку B,3,1) и пересекающей каждую из двух прямых х + у = 0, х — у + г + 4 = 0их + Зу-1 = 0, у+ 2-2 = 0. 31.26. При каком необходимом и достаточном условии прямая х = хо + гп1, у = уо + п*, г = го + Ы пересекает треугольник с вершинами в точках МДх^, у%, 2*), г = 1,2,3 ? 31.27. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через прямую х = 3 — 2*, у = 1 + *, 2 = *. 31.28. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A,2,3), параллельной прямой х = у = 2 и отсекающей на осях Ох и Оу равные отрезки. 31.29. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (—2,3,0) и через прямую х = 1, у = 2 + *, 2 = 2 — *. 31.30. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (-3,1,0) и через прямую х+2у-г+4 = 0, Зх-у+2^-1 = 0. 31.31. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х = 2 + 3*, у = — 1 + 6*, 2 = 4* и параллельной прямой х = — 1 + 2*, у = 3*, 2 = — *. 31.32. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и параллельной линии пересечения двух плоскостей х + 4у — 2* + 7 = 0 и Зх + 1у - 22 = 0. 31.33. При каком необходимом и достаточном условии отрезок прямой х = хо + гп*, у = уо + п1, 2 = 2о + Ы между двумя пересекающимися плоскостями А{Х + В{у + С{2 + 1)г = 0, г = 1,2,
§32. Метрические задачи в пространстве 279 лежит в остром угле, образованном этими плоскостями? Система координат прямоугольная. 31.34. Показать, что прямые х = 1 + 21, у = 21, г = I и х = 11 + 8^, у = 6 + 4^, г = 2 + 1 пересекаются, и написать уравнения биссектрисы тупого угла между ними. Система координат прямоугольная. 31.35. Написать уравнения биссектрисы тупого угла между прямой Г х - 2у - 5 = О, \ у - Аг + 14 = О и ее ортогональной проекцией на плоскость х+у+1 = 0. Система координат прямоугольная. 31.36. Доказать, что уравнение пучка плоскостей с осью х - хр _ у - у о _ г - 2р т п к имеет вид ж-хо у-уо г-г0 а + /3 + 7—т— = 0, т п к где произвольные постоянные а, /?, 7 €1 К таковы, что а+/3+7 = 0. §32. Метрические задачи в пространстве Пусть Охуг - прямоугольная декартова система координат пространства. Угол ф между прямыми /*: г = г* ¦+¦ 1эц,г = 1,2, совпадающий с углом между их направляющими векторами а* = {тг,Пг,кг}, вычисляется по формуле ТП1ГП2 + П\П2 + &1&2 С08С/? = —7======— у/т2 + п\ + к2 у/т2 + п\ + Щ Угол ф между прямой /: г= Го + ^а и плоскостью 7г: Ах + Ву + С% + 2) = 0 находится как дополнительный к углу между направляющим вектором прямой а = {т,п,к} и вектором нормали к плоскости п = {А, В, С} и вычисляется по формуле \Ат + Вп + Ск\ 8т ф = . , 0 < ф < 7Г/2. ^ у/т2 + п2 + /с2ч/А2 + В2 + С2 ~ ' Расстояние р(М\, /) от точки М\ (Г1) до прямой / : г = Го + 1 а находится > как высота к параллелограмма, построенного на векторах а и М\Мо\ рСМьО-118'!^1"- C2-1) Расстоянием между скрещивающимися прямыми 1г'. г = г* ¦+¦ 1яц, г = 1,2, называется кратчайшее расстояние между точками этих прямых. Оно
280 Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве совпадает с длиной общего перпендикуляра к прямым /1 и /2, т.е. с расстоянием между параллельными плоскостями, в которых лежат прямые /1 и Хъ. Это расстояние р{1\,1г) находится как высота параллелепипеда, построенно- > го на векторах М1М2, ах, а2: р{кМ |(г2- гь аь а2)[ I»!, »2 I C2.2) Соотношения C2.1) и C2.2), вообще говоря, не связаны с системой координат. В случае прямоугольной декартовой системы координат они сводятся к простейшим формулам вычисления векторного произведения, смешанного произведения и длин векторов по их координатам в ортонормированном базисе. Пример 32.1. Доказать, что прямая /, проходящая через точку л4( 1,2,3) и пересекающая прямые /1 1 У-1 -1 г-1 и /2 : у-8 = г + 3 -9 6 ' образует с этими прямыми равные углы. Система координат прямоугольная. Решение. Прямая / является линией пересечения плоскостей щ и 7Г2, проходящих через точку А и одну из данных прямых. Плоскости щ и 7г2 определяются уравнениями х — 1 у — 1 г — 1 2-12 0 1 2 2х + 2у - г - 3 = 0, х-2 2 1 у-8 -9 6 2 + 3 6 -6 о 6х + 6у + г - 57 = 0, поэтому направляющим вектором прямой / будет вектор {8, —8,0} (являющийся векторным произведением векторов нормали к плоскостям 7Г1 и 7гг) или коллинеарный ему вектор а = {1,-1,0}. Направляющими векторами прямых /1 и 12 являются векторы а! = {2,-1,2} и аг = {2,-9,6}. Угол (р между прямыми / и /1 определяется из соотношения СОЗС/? : (а,а!)| аЫ*! _1_ у/2 7Г 4' а угол ф между прямыми / и /2 - из соотношения 1(а,а2) С08ф : |а2| у/2 ф=- = Ч>. Пример 32.2. Составить уравнение прямой /, проходящей через точку АA,0,0), отстоящей от оси О г на расстояние 1/\/5 и образующей с осью О г угол ф = агссоз -. Система координат прямоугольная.
§32. Метрические задачи в пространстве 281 Решение. Пусть а1 = {/,т,п) - направляющий вектор искомой прямой. Ось Ог проходит через точку 0@,0,0) и имеет направляющий вектор а2 = {0,0,1}. Согласно C2.2) Имеем (ОА, ац, а2) = [*1, а2] = в1 1 0 поэтому 1 / 0 е2 тп 0 р{1,Ог) _ КОЛ, аьа2)| |[аь а2]| 0 0 тп п 0 1 е3 п 1 = тп; = {тп,-/,0} и 1 л/5 _ М у/т2 +I2' [аь а2]| = у/т2 + /2, Так как координаты вектора а определены с точностью до постоянного множителя, можно считать, что \т\ = 1, т2 + I2 = 5. Отсюда получим четыре пары (/,т): B,1), (-2,1), B,-1), (-2,-1). Угол между векторами а1 и а2 равен либо с/?, либо 7г — с/?; поэтому согласно C2.1) VI2 +т2+п2 у/5 + п2 = ±1 ±2. Каждое из этих значений п дает четыре тройки координат {/, тп, п}. Отобрав из них неколлинеарные векторы, получим четыре прямые: х-1 ±2 ±2 х-1 ±2 Т2" ЗАДАЧИ В задачах этого параграфа считается, что система координат прямоугольная декартова. Случай произвольной аффинной системы координат оговаривается особо. 32.1. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки C, —2,4) на плоскость 5х + Зу — 7г + 1 = 0. 32.2. Найти ортогональную проекцию точки A,2,-3) на плоскость 6х — у + Зг — 41 = 0. 32.3. Составить уравнение ортогональной проекции прямой 2х + у — 2 + 4 = 0, х + у = 0 на плоскость Охг. 32.4. Составить уравнение ортогональной проекции прямой х = 3 + Ы, у = —1 + 1, г = А + 1 на плоскость 2х — 2у + Зг - 5 = 0.
282 Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве 32.5. Найти точку, симметричную точке B, 7,1) относительно плоскости х — 4у + 2 + 7 = 0. 32.6. Составить уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости Охг и пересекающей каждую из двух прямых х — I, у = -4 + *, г = 3 - I и х = 1 - 21, у = -3 + *, г = 4 - 5«. 32.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую # - #о _ у - у о _ г - го а Ь с и перпендикулярной к плоскости Ах + В у + С г + I) = 0. 32.8. Составить уравнение плоскости, зная, что точка РB,6, —4) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. 32.9. Даны две точки АC, -2,1), ВF,0, 5). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В и перпендикулярной к прямой АВ. 32.10. Через начало координат провести плоскость, перпендикулярную к прямой # + 2 _ у-3 _ 2- 1 4 5 - -2 " 32.11. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (#1,2/1,21) и перпендикулярной к прямой # = #о + а^, у = уо + Ь*, г = го + с*. 32.12. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (#1,2/1,21) и перпендикулярной к прямой Л1# + Б1у + С12 + #1 -0, Л2# + В2у + С22 + #2 = 0. 32.13. Найти точку, симметричную точке D,3,10) относительно прямой # = 1 + 21, у = 2 + А1, г = 3 + 5^. 32.14. Найти прямую, проходящую через точку М@,1,1), образующую прямой угол с прямой у + 1 = 0, х + 2х — 7 = 0и пересекающую прямую х — 1 = 0, 2 + 1 = 0. 32.15. Составить уравнения прямой, пересекающей ортогонально ось Оу и прямую # = 3 + 4^, у = 1 — I, г = 2 + 5^. 32.16. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки C,2,1) на ось Ох. 32.17. Составит