Автор: Ким Г.Д. Крицков Л.В.
Теги: алгебра аналитическая геометрия геометрия
ISBN: 5-94373-077-Х
Год: 2003
Текст
Г. Д. Ким, Л. В. Крицков
АЛГЕБРА
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ТЕОРЕМЫ И ЗАДАЧИ
ТОМ II (2)
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М. В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики
Г. Д. Ким, Л. В. Крицков
АЛГЕБРА
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ТЕОРЕМЫ И ЗАДАЧИ
ТОМ II (2)
Под редакцией
академика РАН Ильина В. А.
Москва
ЗЕРЦАЛО-М
2003
ББК 22.147
Рекомендовано
Советом по прикладной математике и информатике
УМО по классическому университетскому образованию
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 010200
"Прикладная математика и информатика "
и направлению 510200
"Прикладная математика и информатика "
Ким Г. Д., Крицков Л. В.
Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том II,
часть 2. М.: ИКД "Зерцало-М", 2003. — 251 с.
ISBN 5-94373-077-Х
Книга представляет собой вторую часть второго тома задачника по
объединенному курсу линейной алгебры и аналитической геометрии. Каждый
раздел содержит теоретическое введение, примеры решения типовых задач
и большое число задач для семинарских занятий и самостоятельной работы
студентов. Задачи снабжены ответами и указаниями. Книга тесно связана с
учебником Ильина В. А., Ким Г. Д. "Линейная алгебра и аналитическая
геометрия".
Для студентов физико-математических специальностей университетов.
© Ким Г. Д., Крицков Л. В., 2003
ISBN 5-94373-077-Х © Издательство "Зерцало", 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие , 4
Список литературы 5
Глава XV. Структура линейного оператора в
комплексном пространстве 6
§ 57. Собственные значения и собственные векторы.
Характеристический многочлен 6
§ 58. Операторы и матрицы простой структуры 25
§ 59. Инвариантные подпространства. Прямая сумма
операторов 34
§ 60. Корневые подпространства. Жорданова форма 49
Глава XVI. Линейные операторы в унитарном и
евклидовом пространствах 72
§ 61. Сопряженный оператор 72
§ 62. Нормальные операторы и матрицы 87
§ 63. Унитарные операторы и матрицы 96
§ 64. Самосопряженные операторы и матрицы 110
§ 65. Знакоопределенные операторы и матрицы 118
§ 66. Разложения линейных операторов и матрице 130
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы ... 139
§ 67. Билинейные и квадратичные формы в линейном
пространстве 139
§ 68. Квадратичные формы в вещественном и комплексном
пространствах 150
§ 69. Квадратичные формы в евклидовом и унитарном
пространствах 159
Глава XVIII. Линейные нормированные
пространства 176
§ 70. Норма вектора 176
§ 71. Линейные операторы в нормированных пространствах.
Нормы операторов и матриц 186
§ 72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 202
Ответы и указания 212
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие представляет собой вторую часть
второго тома сборника задач по объединенному курсу алгебры и
аналитической геометрии. Оно содержит подборку задач о структуре
линейных операторов в комплексных линейных пространствах, задач по
теории линейных операторов в унитарных и евклидовых пространствах,
теории билинейных и квадратичных форм, а также задачи об
операторах в линейных нормированных пространствах.
Будучи непосредственным продолжением первого тома [8] и
первой части второго тома [9], пособие наследует их структуру. Задачи
сгруппированы в параграфы, нумерация которых продолжает
нумерацию этих книг. В начале каждого параграфа приводятся
определения и формулировки теорем, касающиеся рассматриваемых понятий,
а также примеры решений типовых задач. Теоретической
поддержкой задачника являются учебник В.В.Воеводина [2], в котором
заложены методические основы объединения курсов алгебры и геометрии,
и учебник В.А.Ильина, Г.Д.Ким [7]. Последовательность разделов, а
также определения и обозначения соответствуют учебнику [7]. В
конце задачника помещены ответы к задачам, к некоторым из них даются
рекомендации.
Список литературы
1. Беклемишева Л. А., Петрович А.Ю., ЧубаровИ.А.
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.- М.:
Наука, 1987.
2. Воеводин В.В. Линейная алгебра.-М.: Наука, 1974.
3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.И. Матрицы и вычисления.-
М.: Наука, 1984.
4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.-М.: Наука, 1988.
5. Гл азман И. М., Л юбич Ю. И. Конечномерный линейный
анализ.- М.: Наука, 1969.
6. Икрам о в Х.Д. Задачник по линейной алгебре. - М.: Наука,
1975.
7. Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая
геометрия.-- М.: Изд-во Моск. ун-та, 2002.
8. Ким Г. Д., Крицков Л. В. Алгебра и аналитическая
геометрия: теоремы и задачи. Том I.- M.: Зерцало, 2003.
9. Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая
геометрия: теоремы и задачи. Том II (1).- М.: Зерцало, 2003.
10. Кострикин А.И. Введение в линейную алгебру.- М.: Наука,
1977.
11. Кострикин А. И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и
геометрия.- М.: Наука, 1986.
12. Курош А. Г. Курс высшей алгебры.- М.: Наука, 1971.
13. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа (в 2-х
частях).- М.: Наука, 1978.
14. Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры.- М.:
Наука, 1996.
15. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.-
М.: Наука, 1967.
16. Сборник задач по алгебре / Под ред. КострикинаА. И.- М.:
Факториал, 1995.
17. Халмош П. Конечномерные векторные пространства.- М.:
Физматгиз, 1963.
18. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.- М.: Мир, 1989.
19. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные
линейные пространства).- М.: Наука, 1969.
Глава XV. Структура линейного оператора
в комплексном пространстве
§57. Собственные значения и собственные векторы.
Характеристический многочлен
Пусть V - линейное пространство над полем Р. Ненулевой вектор х е V
называется собственным вектором оператора А Е C(V, V), если
существует такое число Л G Р, что
Ах = Хх.
Число Л называется собственным значением оператора А,
соответствующим собственному вектору х. Множество всех собственных значений
оператора А называется спектром этого оператора.
Из определения следует, что если х - собственный вектор оператора
А, отвечающий собственному значению Л, то любой вектор ах, где а ф О,
также будет собственным вектором оператора Д, отвечающим тому же
собственному значению Л.
Пример 57.1. В пространстве вещественных многочленов Мп
любой многочлен нулевой степени будет собственным вектором оператора
дифференцирования (§52), ему соответствует собственное значение Л = 0.
Пример 57.2. Для оператора проектирования пространства V =
L\ (BL/2 на подпространство L\ параллельно подпространству Li (§52) любой
ненулевой вектор из L\ будет собственным вектором, отвечающим
собственному значению Л = 1, так как Vx = x, Va; £ Li, а любой ненулевой вектор из
Z/2 будет собственным вектором, отвечающим собственному значению Л = 0,
так как Vx = Ox, Vz G L2.
Ненулевой вектор-столбец х Е Рп называется собственным вектором
матрицы А € РпХп, если существует число Л € Р такое, что
Ах = А#.
При этом число Л называется собственным значением матрицы А,
соответствующим собственному вектору х.
Если е = (ei,...,en) - произвольный базис пространства V, то для
оператора Лб £(V, V) соотношения
Ах = Хх И АеХе = Ххе
эквивалентны.
Это означает, что собственные значения оператора А и его матрицы в
любом базисе е = (ei,...,en) совпадают, а собственные векторы матрицы
Ае являются координатными столбцами собственных векторов оператора А
в этом базисе.
Теорема 57.1. Собственные векторы xi,... ,Xk оператора
(матрицы), отвечающие различным собственным значениям Ai,..., Xk,
линейно независимы.
Следствие. Линейный оператор, действующий в п-мерном
пространстве, не может иметь более чем п различных собственных значений,
§57. Собственные значения и собственные векторы
или, в матричной формулировке, матрица п-го порядка не может иметь
более чем п различных собственных значений.
Характеристическим многочленом матрицы А € РпХп называется
функция
/(A) = det(A-AJ), А <ЕР.
Теорема 57.2. Характеристический многочлен матрицы
А 6 рпХп является многочленом п~й степени от переменной А с
коэффициентами из поля Р, причем
/(А) = а0 + ai(-A) + а2{-\)2 + ... + an-i{-\)n'1 + (-А)п, (57.1)
где каждый коэффициент а*, к = 0,п — 1, равен сумме всех главных
миноров (п — к)-го порядка матрицы А. В частности, ао = detA, an-i = tr A.
Теорема 57.3. Характеристические многочлены подобных
матриц совпадают.
Следствие. Все матрицы одного и того же линейного оператора
имеют одинаковые характеристические многочлены.
Характеристическим многочленом оператора называется функция
/(A) = det(.4-AZ), AGP.
Из определения определителя оператора следует, что характеристический
многочлен оператора совпадает с характеристическим многочленом
матрицы этого оператора в произвольном базисе.
Следом оператора А называется след матрицы этого оператора в
произвольном базисе. Обозначение: ЬтЛ.
Теорема 57.4. Пусть V - линейное пространство над полем
Р. Число А Е Р является собственным значением оператора Л Е C(V,V)
тогда и только тогда, когда А - корень его характеристического
многочлена, т.е.
- AJ) = 0. (57.2)
Уравнение (57.2) называется характеристическим уравнением для
оператора Л.
Теорема 57.5. Каждый линейный оператор, действующий в п-
мерном комплексном пространстве, имеет:
1) п собственных значений, если каждое собственное значение
считать столько раз, какова его кратность как корня характеристического
многочлена;
2) хотя бы один собственный вектор.
Замечание. Теорема остается справедливой в вещественном
пространстве для тех операторов, чьи характеристические многочлены имеют
только вещественные корни.
Пусть Ао - собственное значение оператора Л. Множество
WXo = { х е V | Ах = Хох}
называется собственным подпространством оператора Л, отвечающим
собственному значению Ао.
Очевидно, что W\o = кег(Л — АоХ), поэтому собственное
подпространство является линейным подпространством пространства V.
Размерность собственного подпространства W\o называется
геометрической кратностью собственного значения Ао, а кратность Ао как
корня характеристического многочлена называется его алгебраической
кратностью.
Глава XV.Структура линейного оператора
Теорема 57.6. Геометрическая кратность собственного
значения не превосходит его алгебраической кратности.
Теорема 57.7. Сумма собственных подпространств оператора,
отвечающих различным собственным значениям, является прямой
суммой.
Пример 57.3. Найти собственные значения и собственные векторы
матрицы
А =
0 1-11
-12-11
1 0
0 1
-1 1
-1 1
Решение задачи на собственные значения и собственные векторы
состоит:
а) в вычислении корней характеристического многочлена и отборе тех
корней, которые принадлежат основному полю, так как только они являются
собственными значениями;
б) в отыскании для каждого найденного собственного значения Ло
максимальной линейно независимой системы собственных векторов, т.е.
построении фундаментальной системы решений однородной системы уравнений
(А - \ol)x = 0.
Для указанной матрицы А, во избежание вычисления корней многочлена
четвертой степени, будем находить эти корни, минуя прямое построение
характеристического многочлена и вычисляя определитель матрицы А — XI
методом выделения линейных множителей (§7). Имеем
det(A - XI) =
-Л 1 -1 1
-1 2-Л -1 1
-1 1 1-Л 0
-1 1 0 1-Л
■{
вычтем из 1-й
строки 2-ю, а из
3-й строки 4-ю
}■
1 -Л Л-1 О О
-1 2-Л -1 1
О О 1-Л Л-1
-1 1 О 1-Л
-110 0
-1 2-Л -1 1
0 0-11
-1 1 0 1-Л
■{
■{
вынесем из 1-й и
3-й строк общий
множитель
}■
прибавим ко 2-му
столбцу 1-й, а к 4-му
столбцу 3-й
\
-10 0 0
-1 1-Л -1 0
0 0-10
-1 1 0 1-Л
= (Л-1)4=0.
Отсюда следует, что матрица Л имеет единственное собственное
значение Л = 1, алгебраическая кратность которого равна четырем.
Собственные векторы, отвечающие этому собственному значению,
являются ненулевыми решениями однородной системы
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
§57. Собственные значения и собственные векторы
эквивалентной (метод Гаусса) системе
Г —1 1 —1 1
0 0-11
для которой решения е\ = (1,1,0,0)т иег = (0,0,1,1)т образуют
фундаментальную систему решений. Таким образом, все собственные векторы имеют
вид а(1,1,0,0)т + /3(0,0,1,1)т, аЧ/32/0.-
Пример 57.4. Линейный оператор Л, действующий в вещественном
пространстве, в некотором базисе имеет матрицу
■ 0
1
0
0
0
. 0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
0
0
1
2
1
1
0
0
-1
-1
1
0
0
0
1
1
0
1
А =
Найти все собственные подпространства оператора Л.
Решение. Найдем собственные значения оператора Л. Так как
характеристические многочлены оператора и его матрицы в любом базисе
совпадают, то построим характеристический многочлен матрицы А. Имеем
■(
det(A -
применим
му Лапласа
вым двум
кам
теоре-
к пер-
стро-
-Л
1
0
0
0
0
)■
-1
-л
0
0
0
0
-л
1
0
0
-л
-1
-1
-1
-1
-л
0
0
1
2-
1
1
л
-л
-1
-1
-1
0
0
-1
-1
1-Л
0
1
2-Л
1
1
1
0
0
1
1
0
-л
-1
-1
1-Л
0
=
1
1
0
1-Л
= { см. пример 57.3 } = (Л2 + 1)(Л - I)4.
Корнями характеристического многочлена являются числа ±г, 1, а
собственным значением является только Л = 1 (так как оператор действует
в вещественном пространстве), алгебраическая кратность которого равна
четырем.
Собственное подпространство, отвечающее этому собственному
значению, совпадает с кег(Л — X) или, в координатной форме, с множеством
решений однородной системы (А — 1)х = 0, т.е. системы
0 1
0
0
0
0
0 J
эквивалентной системе
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
-1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
-1
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
-1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
10
Глава XV. Структура линейного оператора
Ранг матрицы этой системы равен четырем, а векторы в\ = (0,0,1,1,0,0)т
и ег = (0,0, 0,0,1,1)т образуют фундаментальную систему решений. Таким
образом, размерность собственного подпространства равна двум, а базис
собственного подпространства составляют векторы, координатные столбцы
которых в исходном базисе совпадают с е\ и ег. ■
Пример 57.5. В вещественном пространстве Мз многочленов степени
не выше трех дан линейный оператор Л, который многочлены 1, t, t2, t3
переводит соответственно в многочлены —t — t2, 1 + 2t + £3, 1 + 2t2 + £3, t +12.
Найти собственные значения и собственные векторы оператора Л.
Решение. Согласно определению матрица оператора Л в базисе е,
состоящем из многочленов 1, £, £2, £3, равна
0 110
-12 0 1
-10 2 1
0 110
Вычислим характеристический многочлен матрицы Ле, а следовательно, и
оператора Л:
det(Ae - XI) =
-Л 1 10
-1 2-Л 0 1
-1 0 2-Л 1
0 1 1 -Л
вычтем из 1-й
строки 4-ю, а из
2-й строки 3-ю
}■
-Л 0 0 Л
0 2-ЛЛ-2 0
-1 0 2-Л 1
0 1 1 -Л
= Л(Л-2)
-10 0 1
0-11 0
-1 0 2-Л 1
0 1 1 -Л
С прибавим к 4-му "|
= < столбцу 1-й, а к > =
I 3-му столбцу 2-й J
А(А-2)
-10 0 0
0-10 0
-1 0 2-Л 0
0 1 2 -Л
= Л2(Л-2)2
Собственными значениями оператора Д, тем самым, являются числа
Xi = 0 и Лг = 2, алгебраическая кратность каждого из них равна двум.
Для нахождения собственных векторов, отвечающих собственному
значению Xi = 0, решим систему Аех = 0, т.е. систему
-10 2 110
0 1 1 0 0
Ранг матрицы этой системы равен двум, значит, def(.4 — ЛХ) = 2 и
геометрическая кратность собственного значения Ai = 0 равна двум. Векторы
/j = (1,0,0,1)т и /г = (2, -1,1,0)т образуют фундаментальную систему
ре3
0
1
1
0
1
2
0
1
1
0
2
1
0
1
1
0
о ■
0
0
0
шений. В базисе е этим векторам соответствуют многочлены f\(t) = 1 + £3 и
f2[t) = 2 - t + t2. Таким образом, собственные векторы, отвечающие Х\ = 0,
имеют вид c*i/i(£) + 0:2/2(^)1 гДе ai + a2 Ф 0-
§57. Собственные значения и собственные векторы
11
Для нахождения собственных векторов, отвечающих собственному
значению Лг = 2, решим систему (Ае — 21)х = О, т.е. систему
2
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
-2
0 1
0
0
0
-10 0 110
0 11-20
Ранг матрицы этой системы равен двум, значит, так же, как и для
собственного значения Ai = 0, собственное значение Лг = 2 имеет геометрическую
кратность 2. Векторы /з = (1,2,0,1)т и Д = (0, —1,1,0)т образуют
фундаментальную систему решений. В базисе е этим векторам соответствуют
многочлены /з(0 = 1 + 2£ + £3 и /4(0 = — t + t2. Таким образом, собственные
векторы, отвечающие Лг = 2, имеют вид аз/з(0 + <*4/4(0i гДе аз + <*4 ф 0. ■
Пример 57.6. Линейный оператор Л, действующий в комплексном
пространстве, в некотором базисе имеет матрицу
2 4-4
0 5-3
-1 3 1
Найти собственные значения и собственные векторы оператора Л.
Решение. Составим характеристический многочлен оператора Л:
det(A - XI) =
2-Х 4 -4
0 5-Л -3
-1 3 1-Л
{прибавим к 3-му 1
столбцу 2-й J
2-А 4 0
0 5-Л 2-Л
-1 3 4-Л
прибавим к 3-му
столбцу
удвоенный 1-й
2-Х 4 4 - 2Л
0 5-Л 2-Л
-1 3 2-Л
= (2-А)
2-Л 4 2
0 5-Л 1
-1 3 1
= (2-Л)(Л2-6Л+10).
Корнями характеристического многочлена являются числа 2, 3 -I- г и
3 - г. Так как оператор Л действует в комплексном пространстве, то все
эти числа являются его собственными значениями, причем каждое имеет
алгебраическую кратность 1.
Для каждого собственного значения найдем соответствующие
собственные векторы.
Для собственного значения Х\ = 2 решим систему (А — 21)х = 0, т.е.
систему
0
0
-1
4
3
3
-4
-3
-1
0
0
0
-1
о
3 -1
1 -1
]■
Ранг матрицы этой системы равен двум, значит, геометрическая кратность
собственного значения Х\ = 2 равна единице. Фундаментальная система
решений состоит из одного вектора е\ = (2,1,1)т. Следовательно,
собственными векторами оператора Л, отвечающими собственному значению Л1 = 2,
являются векторы, координатные столбцы которых в исходном базисе
совпадают с aei, где а ф 0.
12
Глава XV. Структура линейного оператора
Для собственного значения
т.е. систему
-1-г
0
-1
2
4
— г
3
-4
-3
-2-г
0
0
0
= 3 + г решим систему (А — (3 + г)/)я = О,
1 _^ Г -1 3 -2-г О 1
J <=» [ о 2-г -3 О J *
Ранг матрицы этой системы равен двум, значит, геометрическая кратность
собственного значения Аг = 3 + г также равна единице. Фундаментальная
система решений состоит из одного вектора ег = (4,3,2 — i)T.
Следовательно, собственными векторами оператора Л, отвечающими собственному
значению А 2 = 3 + г, являются векторы, координатные столбцы которых в
исходном базисе совпадают с /Зег, где /3 ф 0.
Для нахождения собственных векторов, отвечающих собственному
значению Аз = 3 - г, необходимо решить систему (А — (3 - %)1)х = 0. Так
как А - вещественная матрица, то матрицы А — (3 + г)/ и А — (3 - г)/
комплексно сопряжены, и потому ig(A — (3 — г)/) = rg(A — (3 + г)/) = 2. Тем
самым, геометрическая кратность собственного значения Аз = 3 — г, как и
собственного значения А 2 = 3 + г. равна единице. Так как для вектора еч
выполнено соотношение (А — (3 + г)/)е2 = 0, то переходя к комплексно
сопряженным величинам, получим (А — (3 — г)/)ё^ = 0, откуда следует, что вектор
е3 = ё2 = (4,3,2 + %)т составляет фундаментальную систему решений
рассматриваемой системы. Следовательно, собственными векторами оператора
Л, отвечающими собственному значению Аз = 3 - г, являются векторы,
координатные столбцы которых в исходном базисе совпадают с 7^3, где 7 Ф 0.
" Ао
0
0
0
1
Ао
0
0
0 ...
1 ...
0 ...
0 ...
0
0
Ао
0
0
0
1
Ао
Пример 57.7. Матрица
Л(Л0) =
размера k x к называется жордановой клеткой k-го порядка. Эта матрица
имеет:
1) характеристический многочлен /(А) = (Ао - А)*;
2) собственное значение А = Ао алгебраической кратности А;;
3) собственные векторы, которые являются нетривиальными решениями
однородной системы уравнений с матрицей
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
... 0
... 0
... 0
... 0
0
0
1
0
ранг которой, очевидно, равен к — 1. Таким образом, геометрическая
кратность собственного значения А = Ао равна единице и матрица Л(Ао) (а
также оператор, задаваемый этой матрицей) имеет один линейно независимый
собственный вектор.
§57. Собственные значения и собственные векторы 13
ЗАДАЧИ
57.1. Найти собственные значения и собственные векторы
каждого из следующих операторов:
а) нулевого; б) единичного; в) скалярного.
57.2. Какой вид имеет матрица линейного оператора А, если
первые к векторов выбранного базиса пространства являются
собственными векторами А1
57.3. Доказать, что:
1) ядро линейного оператора совпадает с собственным
подпространством, отвечающим нулевому собственному значению;
2) если Ао - собственное значение линейного оператора А,
то кег(Д — А0Х) есть собственное подпространство оператора А,
отвечающее этому собственному значению;
3) собственные векторы, отвечающие ненулевым
собственным значениям, лежат в образе оператора.
57.4. Пусть А - матрица линейного оператора,
действующего в n-мерном линейном пространстве, а Ао - собственное
значение этого оператора. Чему равна размерность собственного
подпространства, отвечающего собственному значению Ао, если
ранг матрицы А - Ао/ равен г?
57.5. Показать, что при умножении оператора на ненулевое
число собственные векторы не меняются, а собственные
значения умножаются на это число.
57.6. Показать, что оператор А — al при любом а имеет те
же собственные векторы, что и оператор А. Найти связь между
собственными значениями этих операторов.
57.7. Доказать, что если х - собственный вектор
оператора А, отвечающий собственному значению А, то х будет
собственным вектором и для оператора: а) А2] б) Ак при любом
натуральном fc; в) f{A)) где f(t) - любой многочлен. Найти
соответствующие собственные значения этих операторов.
57.8. Верно ли следующее утверждение: если х -
собственный вектор для некоторого многочлена f{A) от оператора А, то
х является собственным вектором и для самого оператора А1
57.9. Доказать, что если оператор А2 имеет собственное
значение А2, то одно из чисел А или —А является собственным
значением оператора А.
57.10. Доказать, что характеристические многочлены /(А)
14
Глава XV. Структура линейного оператора
матрицы А и д(\) матрицы А - Ао/ связаны соотношением
57.11. Используя задачу 57.10, показать, что алгебраические
кратности соответствующих собственных значений операторов
А и А—А0Х одинаковы. Равны ли их геометрические кратности?
57.12. Доказать, что матрица невырождена тогда и
только тогда, когда все корни ее характеристического многочлена
отличны от нуля.
57.13. Доказать, что ранг матрицы не меньше числа ее
ненулевых собственных значений.
57.14. Доказать, что если оператор А невырожден, то А
и А'1 имеют одни и те же собственные векторы. Найти связь
между собственными значениями этих операторов.
57.15. Пусть квадратная матрица А n-го порядка
невырождена. Доказать, что характеристические многочлены /(А)
матрицы А и h(\) матрицы А'1 связаны соотношением
Л(А) = (-ХПА
57.16. Используя задачу 57.15, показать, что алгебраические
кратности соответствующих собственных значений операторов
А и А'1 одинаковы. Равны ли их геометрические кратности?
57.17. Пусть А е Спхп. Доказать, что вещественный вектор-
столбец является собственным вектором матрицы А тогда и
только тогда, когда он является собственным вектором, общим
для вещественной и мнимой частей матрицы А. Что можно
сказать о собственных значениях этих матриц?
57.18. Известно, что матрицы А и В подобны. Как связаны
их собственные векторы?
57.19. Выяснить, подобны ли следующие пары матриц:
а)
б)
-3
-12
:
9
1
7
5
3
2
8
3 -2
4 -1
L0 ]
18
2
14
10
6
L2
9
1
7
5
3
5 2
20 7
-5 0
3 7
11 5
36
4
28
20
12
4
1
12
0
-7.
45 '
5
35
25
15
и
и
59
-147
-24
" -7
-5
18
-6
25
15
10
4
13
47
63
10
-63
159
63
93
23
-14
-10
36
-12
50
13
-400
-219
31
113
-28
-20
72
-24
100
2
8
20
10
0 -
-3 '
8
65
57
35
4
9
44
113
-10
§57. Собственные значения и собственные векторы
15
в)
О 54 193
ООО
120 23
О О
О О
5
37
87
0
101
29
-48
100
-375
10
63
101
и
112 17 23 44 -17
43 О О О О
17 26 18 О О
24 11 25 5 О
23 10 О О О
57.20. Ответить на следующие вопросы, не находя
собственных значений и собственных векторов указанных матриц:
а) одна из матриц А =
7
10
12
-12
-19
-24
6
10
13
,в=
-2 12
-10 2
-2 0 3
подобна диагональной матрице D = diag(l, 1, —1); какая именно?
б) диагональная матрица D = diag( 1,1,0) подобна одной из
матриц А =
-1
-2
2
4 3
5 3
-4 -2
в) из двух матриц А =
,в =
' 2
-1
1
1
0
1
0
1
-1
-Г
1
0
1
1
0
г
0
1
; к
в =
какой именно;
2 -1 -1
1 0 -1
3 -1 -2
одна
подобна диагональной матрице Dx = diag(l, —1,0), а другая -
диагональной матрице D2 = diag(l, 1,0); какая какой именно?
57.21. Матрица А =
2 5 1
-1 -3 0
-2 -3 -2
риц1 —/, J3(—1), diag(—I, J2(—1)). Какой именно?
подобна одной из мат-
57.22. Из матриц А =
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
-1
-1
-1
-1
0
0
, в—
1
0
0
1
0
1
1
0
0
-1
-1
0
-1
0
0
-1
с =
одна подобна матрице2 J^O). Какая
3 -1 -1 -1
111-3
11-31
-1 3 -1 -1
именно?
57.23. Доказать, что собственные значения треугольной ма-
1 Матрицы J2(—1), Ja(—1) - жордановы клетки (см. пример 57.7).
2Матрица J*(0) - жорданова клетка (см. пример 57.7).
16 Глава XV. Структура линейного оператора
трицы совпадают с ее диагональными элементами. Верно ли
обратное: если собственные значения квадратной матрицы
совпадают с ее диагональными элементами, то эта матрица
является треугольной?
57.24. Показать, что характеристический многочлен
квазитреугольной (квазидиагональной) матрицы равен произведению
характеристических многочленов диагональных клеток.
57.25. Найти характеристический многочлен, собственные
значения и собственные векторы:
а) оператора поворота плоскости V2 геометрических векторов
на угол <р Е [О,2тг);
б) оператора поворота пространства V3 геометрических
векторов на угол ср Е [0,2тг) вокруг заданного ненулевого вектора
а;
в) оператора Л} действующего в пространстве V3
геометрических векторов по правилу Лх = [х, а], где а - заданный
ненулевой вектор;
г) оператора проектирования пространства V = Li © L2 на
Li параллельно L2\
д) оператора отражения пространства V = Li © L2
относительно Lx параллельно L2\
е) оператора дифференцирования в пространстве
вещественных многочленов Мп\
ж) оператора дифференцирования, действующего в
пространстве, натянутом на функции fi(t) = cos£, f2(t) = sint.
57.26. Известны n — 1 (с учетом их алгебраических кратно-
стей) собственных значений Ai,\.., \n-i матрицы А порядка п.
Как найти еще одно собственное значение Ап?
57.27. Показать, что если собственными значениями (с
учетом их кратностей) квадратной матрицы А п-го порядка
являются числа Аь..., Ап, то для любого k E N выполнено
соотношение
(сумма в правой части называется к-м моментом собственных
значений матрицы А).
57.28. Пусть А и В - квадратные матрицы n-го порядка.
Доказать, что для того, чтобы А и В имели одни и те же (с
учетом их алгебраических кратностей) собственные значения,
§57. Собственные значения и собственные векторы
17
необходимо и достаточно, чтобы trAk = trBk для всех к = 1,п.
57.29. Найти определитель матрицы А третьего порядка,
если известно, что tr А = 2, tr Л2 = 6, tr Л3 = 8.
57.30. Доказать, что в действительном линейном
пространстве нечетной размерности спектр всякого оператора непуст.
Вычислить собственные значения и собственные векторы
следующих матриц.
57.31.
57.34.
57.36.
57.38.
57.40.
57.42.
4 -1 -2
2 1 -2
1 -1 1
2 -5 -3
-1 -2 -3
3 15 12
2-12
4-3 2
-1 0-2
0 10 0
3 0 2 0
0 2 0 3
0 0 10
57.35.
57.37.
57.39.
57.41.
4 1 1
2 4 1
0 14
4-4 2
2 -2 1
-4 4 -2
7 -12 6
10 -19 10
12 -24 13
10 10
110 1
10 10
0 111
1
-1
0
1
2 0
-2 0
0 2
2 0
3
-3
0
3
57.43.
-10 0
3 0 0
0 3 1
1 О 3
Найти собственные значения следующих матриц: а) в поле
действительных чисел; б) в поле комплексных чисел.
1 1 0
57.44.
57.46.
1 2
-2 1
57.45.
0 1 1
1 0 1
0 2 0
1 0 2
0 3 0
-10 3
57.47.
1 -2
0 -1
1 0
0 1
-2 0
-1 2
0 -2
3 0
18 Глава XV.Структура линейного оператора
57.48. Найти собственные значения матрицы
3 1 0 2%
1 3 -2г О
О 2г 1 1
-2г 0 1 1
57.49. Найти собственные значения и собственные
векторы линейного оператора, матрица которого в некотором базисе
е1?..., еп линейного пространства является жордановои клеткой
Л(А0).
57.50. Пусть х, у - собственные векторы линейного
оператора, отвечающие различным собственным значениям. Доказать,
что вектор ах + ру будет собственным вектором этого
оператора тогда и только тогда, когда ровно одно из чисел а или /3
отлично от нуля.
57.51. Доказать, что все отличные от нуля векторы
пространства являются собственными векторами оператора Л
тогда и только тогда, когда А - скалярный оператор.
57.52. Пусть Ai,..., An - собственные значения
линейного оператора Л, действующего в комплексном пространстве Сп.
Найти собственные значения оператора Л как оператора,
действующего в вещественном пространстве С^.
57.53. Линейный оператор Л переводит векторы
естественного базиса3 пространства IR4 в векторы (—1,0,1, —1), (3,1, —2,3),
(—3, —1,2, —3), (—2, —1,1, —2) соответственно. Найти
собственные значения и собственные векторы оператора Л.
57.54. Линейный оператор Л переводит векторы (1,0,0,0),
(1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1) пространства IR4 соответственно
в векторы (0,2,1,0), (1,2,1,-1), (-1,2,1,1), (-1,4,2,1). Найти
собственные значения и собственные векторы оператора Л.
57.55. В пространстве IR2x2 дан линейный оператор АХ —
~ - А" + -X" j j . Найти собственные значения и
собственные векторы оператора Л.
57.56. Оператор С в пространстве V квадратных матриц
второго порядка определен равенством СХ = [А, X], где А -
заданная матрица. Найти собственные значения и собственные
векторы оператора С, если:
См. §44, пример 44.1.
§57. Собственные значения и собственные векторы
19
а) А =
в) А =
0
_ га>2х2.
Т/ - Ш!2х2-
_ ^2x2
0 -1
1 О
57.57. В пространстве М3 многочленов степени не выше
трех линейный оператор А переводит многочлены 1, t) t2, t3
соответственно в многочлены 1 — t + 6t2 — 6£3, 1 — t + t2 — t3,
1 - t — At2 + At3, 1 — t — t2 + t3. Найти собственные значения и
собственные векторы оператора А.
57.58. Найти собственные значения и собственные векторы
матрицы А = хут порядка больше единицы, где х, у - заданные
вектор-столбцы одинакового размера.
57.59. Найти собственные значения и собственные векторы
п х п-матрицы
1 1 ... 1
1 1 ... 1
1 1 ... 1
57.60. Найти собственные значения и собственные векторы
матрицы А = (aij) E IRnxn, где a^ = tii/l*j, hj = T^i a Мь---)
цп - заданные ненулевые числа.
57.61. Найти собственные значения и собственные векторы
п х п-матриц:
а)
а
6
6
Ь
а
Ь
Ь ...
ь ...
а ...
Ь
Ь
Ь
Ь Ь Ь ... а
б)
0
ь
ь
а
0
Ь
а ...
а ...
0 ...
а
а
а
Ь Ь Ь ... О
где а и b - заданные вещественные числа.
57.62. Найти собственные значения матрицы
• о
0
0
U
0 ..
0 ..
0 ..
с2 ..
. 0
. 0
. 0
ъ2
Ьп-1
а
где а, Ь», с», г = 1,п — 1, - заданные вещественные числа.
20
Глава XV.Структура линейного оператора
57.63. Доказать, что стохастическая матрица имеет
собственное значение единица. Найти какой-либо
соответствующий этому собственному значению собственный вектор.
57.64. Доказать, что все собственные значения
стохастической матрицы по модулю не превосходят единицы.
57.65. Найти собственные значения матрицы
0 ... 0 ах
0 ... а2 0
уп ... О О
где а*, г = 1,п, - заданные вещественные числа.
57.66. Найти собственные значения матрицы
1
1
1
1
1
2тг
1
£
е2
е3
еп-1
где е = cos Ь г sin
п
57.67. Для
1
г2
£4
£6
£2(п-1)
2тт
п
матрицы
р
■
п
р
0
0
0
1
1
в3
£6
£9
£3(«-1)
- нечетное
порядка п
1
0
0
0
0 ...
1 ...
0 ...
0 ...
...
...
1
£п-1
£2(п-1)
£3(п-1)
£(п-1)2
число.
0
0
0
0
о ■
0
1
0
найти:
а) характеристический многочлен;
б) собственные значения в поле комплексных чисел и
соответствующие им собственные векторы.
57.68. Найти собственные значения циркулянта
а2
п-1 dv
0>п-2
§57. Собственные значения и собственные векторы
21
где а{, г = 1,п, - заданные вещественные числа.
57.69. Найти собственные значения следующих трехдиаго-
нальных матриц n-го порядка:
а)
0
1
0
0
0
-1
0
1
0
0
0 ...
-1 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
; б)
а
Ь
0
0
0
Ь
a
Ь
0
0
0
Ъ
a
0
0
... 0
... 0
... 0
... о
... Ь
0
0
0
Ъ
a
57.70. Пусть А - вещественная трехдиагональная матрица:
al Ъх О ... О О
Ъх а2 Ь2 ... О О
О Ъ2 а3 ... О О
А =
0 0 0 on_i Ьп_!
0 0 0 Ь„_1 ап
Доказать, что:
а) все корни характеристического многочлена матрицы А
вещественны;
б) геометрическая кратность каждого собственного значения
матрицы А равна единице.
57.71. Доказать, что утверждения предыдущей задачи
остаются справедливыми и для вещественной трехдиагональной
матрицы
аг bi 0 ... 0 0
сг а2 Ь2 ... 0 0
0 с2 а3 ... 0 0
0 0 0
0 0 0
С„-1
если biCi > 0, i = l,n. Такая матрица называется матрицей
Якоби.
57.72. Выяснить, может ли спектр:
а) матрицы
1277 311
617 -300
210 129
2 0
51 49
63
47
1
137
120
11
89
53
-691
283
129
61
46
41
-200
состоять из
22 Глава XV.Структура линейного оператора
чисел 100, 63, 15, 1, 0;
1-335-3
15 -45 45 75 -45
б) матрицы
состоять из чисел
9 -27 27 45 -27
7 -21 21 35 -21
_ 12 -36 36 60 -36
27, 1, 0, 0, -20.
57.73. Найти собственные значения и собственные векторы
следующих операторов, действующих в пространстве Мп
многочленов степени не выше п:
a) Af(t) = tf'(t); 6
в) Af(t) = f(t + а), где aER- заданное ненулевое число;
г) Af(t) = - f f(r) dr; д) Af(t) = 1 f rf(r) dr;
t Jo V Jo
е) Af(t) = — —, где h E R - заданное ненулевое
число;
ж) Af(t) = —— -, где a E R - заданное
ненулевое число;
,ia)+ita)+itar+.. .+W.
где aER, fcEN, k <n - заданные числа.
57.74. Доказать, что ранг оператора проектирования равен
его следу.
57.75. Пусть 11 - оператор отражения пространства V =
Li © L2 относительно Ьг параллельно L2. Доказать, что след
оператора 1Z вычисляется по формуле
57.76. Доказать, что характеристический многочлен
транспонированной матрицы Ат совпадает с характеристическим
многочленом матрицы А.
57.77. Оператор Т действует в пространстве Rnxn по
правилу: ТА — Ат. Доказать, что спектр оператора Т состоит из
чисел 1 и -1. Указать собственные векторы, отвечающие этим
собственным значениям.
57.78. Оператор Q действует в пространстве Rnxn по
правилу: QX = АХ, где А Е Rnxn - заданная матрица.
§57. Собственные значения и собственные векторы 23
а) Доказать, что число А Е R является собственным
значением оператора Q тогда и только тогда, когда оно принадлежит
спектру матрицы А.
б) Пусть векторы ai,..., а& образуют базис собственного
подпространства матрицы Л, отвечающего собственному значению
А. Найти все собственные векторы оператора Q, отвечающие
этому же собственному значению А.
57.79. Оператор Q действует в пространстве Rnxn по
правилу: QX = ХВ, где В Е IRnxn - заданная матрица.
а) Доказать, что число А Е К является собственным
значением оператора Q тогда и только тогда, когда оно принадлежит
спектру матрицы В.
б) Указать, какие матрицы являются собственными
векторами оператора Q.
57.80. Пусть характеристические многочлены квадратных
матриц А и В имеют простые корни А1?..., Ат и /1Х,..., /in
соответственно. Найти собственные значения кронекерова
произведения А ® В матриц А и В.
57.81. Пусть А и х - собственное значение и
соответствующий собственный вектор матрицы А Е IRmxm, а /i и у -
собственное значение и соответствующий собственный вектор матрицы
В Е IRnxn. Доказать, что кронекерово произведение х ® у
является:
а) собственным вектором матрицы А ® В;
б) собственным вектором матрицы А ® In + Im ® В.
Какому собственному значению отвечает этот собственный
вектор?
57.82. Пусть А Е Шпхп - заданная матрица и А1}..., Ап - ее
собственные значения. Найти собственные значения оператора,
действующего в пространстве IRnxn по правилу:
а) ТХ = АХАТ;
б) ТХ — АХА~1 (матрица А невырождена);
в) ТХ = [X, Л], где [X, А] - коммутатор матриц X и А.
57.83. Пусть Ai,..., Ап и /ii,..., /in - собственные значения
заданных матриц А и В соответственно. Найти собственные
значения оператора, действующего в пространстве IRnxn по
правилу:
а) ТХ = АХ В; б) ТХ = АХ + ХВ.
57.84. 1. Доказать, что если хотя бы одна из двух матриц
24
Глава XV.Структура линейного оператора
А, В невырождена, то матрицы АВ и В А подобны. Как в этом
случае связаны собственные векторы матриц АВ и В А?
2. Верно ли утверждение предыдущего пункта, если обе
матрицы А и В вырождены?
57.85. Доказать, что если Аи В - квадратные матрицы
одинакового порядка, то характеристические многочлены матриц
АВ и В А совпадают.
57.86. Пусть Аи В - произвольные матрицы размеров га х п
и п х га соответственно. Доказать, что для характеристических
многочленов матриц АВ и В А выполнено соотношение:
(-Х)п\АВ - Х1т\ = (-Х)т\ВА - Х1п\.
57.87. Доказать, что собственные значения блочных матриц:
,\ А В ] , \ А В ] ,\ А В ]
aj L В А \; 0) [-В А \] в) [ В -А \
являются соответственно: а) собственными значениями матриц
А ± В] б) собственными значениями матриц А ± гВ\ в)
квадратными корнями из собственных значений матриц А2' +B2±i[A} В].
57.88. Пусть А - квадратная матрица n-го порядка и число
А является ее собственным значением геометрической кратности
не меньше к. Доказать, что А является собственным значением
любой главной подматрицы матрицы А порядка га > п — к.
57.89. Доказать, что любая квадратная матрица А является
суммой двух невырожденных матриц.
57.90. Доказать, что для любой вырожденной матрицы А =
(dij) порядка п и любого сколь угодно малого числа е > 0
найдется матрица В — (Ь^) того же порядка, которая:
а) невырождена;
б) для всех ее элементов выполнено неравенство |Ь^ — а^\ < е.
57.91. Доказать, что характеристический многочлен
матрицы
an_i ап_2
-1
О
О
-1
О
О
а0
О
О
О
О
-10
равен /(А) = (-А)п + а^^-А)71"1 + ... + а^-А) + а0. Матрица
С/(д) называется сопровождающей матрицей многочлена /(А)
(или матрицей Фробениуса).
§58. Операторы и матрицы простой структуры 25
57.92. Пользуясь предыдущей задачей, показать, что
всякий многочлен степени п со старшим коэффициентом, равным
(-1)п, может быть характеристическим многочленом некоторой
квадратной матрицы порядка п.
57.93. Вычислить:
2тг . . 2тг
3) > е , где е = cos Ь г sin —, п = 2га + 1;
п
"■ £J)j где е = cos —I" zs^n—j n =
§58. Операторы и матрицы простой структуры
Линейный оператор Л G C(V, V) называется оператором простой
структуры, если в пространстве V существует базис из собственных
векторов оператора Л.
Квадратная матрица А € РпХп называется матрицей простой
структуры, если она имеет п линейно независимых собственных векторов.
Очевидно, что линейный оператор является оператором простой
структуры тогда и только тогда, когда его матрица в любом базисе имеет простую
структуру.
Теорема 58.1. Линейный оператор Л G C(V,V) имеет простую
структуру тогда и только тогда, когда в пространстве V существует
базис, в котором он имеет диагональную матрицу, или, в матричной
формулировке, квадратная матрица является матрицей простой структуры
тогда и только тогда, когда она подобна диагональной.
Если матрицы А и В подобны и Т~1АТ = В, то говорят, что матрица
А преобразованием подобия приводится к матрице В, при этом матрица Т
называется матрицей преобразования подобия.
Из теоремы 58.1 следует, что матрица простой структуры приводится
преобразованием подобия к диагональной матрице:
и 0 1
А2
0 А„_
При этом, как нетрудно проверить, столбцами матрицы Т преобразования
подобия являются линейно независимые собственные векторы, отвечающие
собственным значениям Ai, A2,..., Ап соответственно.
Из теоремы 58.1 следует, что в n-мерном пространстве линейный
оператор, имеющий п различных собственных значений, является оператором
простой структуры.
В соответствии с теоремой 58.1 оператор (матрицу) простой структуры
называют также диагонализуемым оператором (матрицей).
26
Глава XV.Структура линейного оператора
Теорема 58.2. Линейный оператор А Е £(V, V) имеет
простую структуру тогда и только тогда, когда все его собственные
подпространства в прямой сумме дают все пространство V.
Теорема 58.3. Линейный оператор, действующий в
комплексном пространстве, имеет простую структуру тогда и только тогда,
когда для каждого собственного значения этого оператора геометрическая
кратность совпадает с алгебраической.
В вещественном пространстве эта теорема верна для тех операторов,
чьи характеристические многочлены имеют только вещественные корни.
Пример 58.1. Доказать, что матрица
А =
0 10 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-6 17-1
подобна диагональной матрице. Указать матрицу Т преобразования
подобия, приводящую матрицу А к диагональному виду.
Решение. Матрица А подобна диагональной матрице тогда и только
тогда, когда она имеет простую структуру, т.е. тогда и только тогда,
когда имеет четыре линейно независимых собственных вектора. Найдем эти
векторы. Имеем
det(A - XI) =
-А 1 0 0
0 -А 1 0
0 0 -А 1
-6 1 7 -1-А
{прибавим к 1- 1
му столбцу > =
все остальные J
-А + 1 1 О О
-А + 1 -А 1 О
-А + 1 О -А 1
-А + 1 1 7 -1-А
вычтем из всех
строк 1-ю
110 0
1 -А 1 0
1 0 -А 1
1 1 7 -1-А
110 0
0 -А-1 1 0
0 -1 -А 1
0 0 7 -1-А
-А-1 1 0
-1 -А 1
0 7 -1-А
{прибавим к 1-му 1
столбцу 3-й J
-А-1 1 0
0 -А 1
-А-1 7 -1-А
1 1 0
0 -А 1
0 6 -1-А
= (А2 - 1)
1 1 0
0 -А 1
1 7 -1-А
= (А2-1)(А + 3)(А-2).
Таким образом, матрица А имеет четыре различных собственных
значения Ai = l, Лг = —1, Лз = —3, Л4 = 2, следовательно, является матрицей
простой структуры. Решая однородные системы (А — \{1)х = 0, г = 1,4,
найдем соответствующие собственные векторы. Получим
для Ai = 1: ei = (1,1,1,1)т,
§58. Операторы и матрицы простой структуры
27
для А2 = -1: е2 = (1,-1,1,-1)Т,
для Аз = -3: е3 = (1, -3,9, -27)т,
для А4 = 2: е4 = (1,2,4,8)т.
Векторы ei, ег, ез, е4 линейно независимы, так как отвечают различным
собственным значениям.
Матрица
Т =
1
1
1
1
1
-1
1
-1
1
-3
9
-27
1
2
4
8
столбцами которой являются собственные векторы е1,б2,ез,е4, является
искомой матрицей преобразования подобия. ■
[9 9 1
2 ^ найти матрицу Л30.
Решение. Покажем, что матрица А подобна диагональной. Для этого
найдем все собственные значения и соответствующие собственные векторы
матрицы А. Имеем
det(A - XI) =
2-А
5-А
= А2-7А + 6 = (А-
следовательно, Ai=6, Аг = 1 - собственные значения матрицы А.
Построив фундаментальную систему решений для однородной системы
уравнений (А — Xil)x = 0, г = 1,2, найдем максимальную линейно независимую
систему собственных векторов, отвечающих А*. Для Ai = 6 собственным
вектором будет вектор е\ = (1,2)т, а для \2 = I - вектор ег = (-2,1)т.
[1 —2 1
2 1 ~ матрица, столбцами которой являются найденные
собственные векторы, то (пример 58.1) А = Т q ^ Т"1, откуда еле-
*-.™л-.т[Г ']т-.\{\ "
1 Г б30 - 4 2(б30 + 1)
5 [ 2(630 + 1) 4 • б30 - 1
ЗАДАЧИ
58.1. Пусть V = Li © L2. Доказать, что:
а) оператор проектирования на Li параллельно L2;
б) оператор отражения относительно L2 параллельно Ьг
имеет простую структуру.
58.2. Построить базис из собственных векторов операторов:
а) отражения плоскости относительно прямой х - 2у = 0
параллельно прямой Зх — у = 0;
б) проектирования плоскости на прямую Зх + 2у = 0
параллельно прямой х — у = 0;
28 Глава XV.Структура линейного оператора
в) проектирования пространства на плоскость х — Зу = О
параллельно прямой х + z = 0, х + у — 2г = 0;
г) отражения пространства относительно прямой х = у = —z
параллельно плоскости х + 2у — z = 0.
58.3. Доказать, что у оператора простой структуры:
а) образ есть линейная оболочка собственных векторов,
отвечающих ненулевым собственным значениям;
б) пересечение ядра и образа состоит только из нулевого
вектора;
в) ядро и образ в прямой сумме дают все пространство.
58.4. Привести пример линейного оператора А)
действующего в пространстве Rn} для которого Rn ф im А + кет А.
58.5. Доказать, что всякий многочлен f(A) от оператора
простой структуры сам имеет простую структуру. Кроме того,
если А невырожден, то А~1 имеет простую структуру.
58.6. Оператор А) действующий в n-мерном пространстве
V, имеет п различных собственных значений. Доказать, что
всякий оператор /3, перестановочный с А) является оператором
простой структуры.
58.7. Показать, что в условиях предыдущей задачи оператор
В можно представить многочленом от оператора А.
58.8. Оператор А) действующий в n-мерном пространстве
V} имеет п — 1 различных собственных значений. Найти
необходимое и достаточное условие диагонализуемости оператора А.
58.9. Доказать, что если матрица А имеет простую
структуру, то простую структуру имеет и матрица Ат.
58.10. Пусть хотя бы один из операторов А или /3,
действующих в пространстве V', обратим. Доказать, что если
оператор АВ имеет простую структуру, то простую структуру будет
иметь и оператор ВА. Верно ли это утверждение, если оба
оператор А и В вырождены?
58.11. Выяснить, замкнуто ли множество всех операторов
простой структуры, действующих в пространстве V,
относительно операций: а) сложения операторов; б) умножения
операторов.
Выяснить, диагонализуемы ли операторы, заданные в
некотором базисе комплексного пространства матрицами.
58.X3.L3-4. 58.14. [»'
§58. Операторы и матрицы простой структуры
29
58.15.
58.17.
58.19.
58.21.
58.23.
58.25.
58.27.
5
2
-3
-1
-2
-3
0
-1
2
1
2
3
0
0
1
1
2
3
1
0
0
4
6
-5
-2
-1
-2
3
8
-14
1 '
2
3
0 '
1
0
4
4
-3-
2 "
2
3
3 '
6
-10 _
. 58.
. 58.
58.16.
58.18.
-
. 58.20
22.
24.
' 1
2
-3
" -2
-2
2
0
-1
-2
0
-2
2
1
0
2
-6
-4
11
' -2
-1
-2
1
2
-3
5
5
-5
2 1
-2
0
-2 "
-2
1
0
0
1 "
2
-3
3 '
3
-3
4 _
2 "
2
3
1
" 1
1
0
0
1
+
0
г
0
0
1
1
1-
3
—г
0
0
-1
-1
i 0
г
1
-1
-1
0
0
58.26.
58.28.
-1
1
1
1
1
1
0
2
2
-1
1
г
-1
—г
1
0
1
-1
1
-1
0
2
-1
1
1
0
2
-1
1 "
-г
-1
г
Выяснить, диагонализуемы ли следующие матрицы: а) над
юлем R; б) над полем С.
58.29.
58.32.
58.34.
1
3
0
1
0
-1
-2
0
0
1
I"
1
0
0
58.30.
-
4
58.31.
C0Sa -Sina
sin a cos a
0 1
1 2t
58.33.
58.35.
' 0 1 1
-1 0 -1
-11 0
1111
10 11
0 0 10
0 0 11
30
Глава XV.Структура линейного оператора
58.36.
58.38.
о о
о о
0 1
1 О
-5
4
6
2
О
-1
О
О
-2
2
3
-3
-1
О
О
О
-3 -1
2 1
3 1
4 О
58.37.
1
0
0
1
0
1
1
0
0
-1
1
0
-1
0
0
1
58.39. В пространстве вещественных многочленов Мп дан
оператор Л, действующий по правилу
Ap(t) = t*p"(t)-btp'(t)-cP(t).
1. Найти спектр А.
2. При каких 6, с оператор А имеет простую структуру?
Указать диагональный вид матриц операторов,
действующих в арифметическом пространстве Еп и заданных в
естественном базисе этого пространства следующими матрицами.
0 1 0 ... 0
58.40.
58.42.
58.43.
0
0
1
X
У
. У
. . .
У
X
У
1
-1
0
1
0
, . .
1
0
0
У '
У
X
-1
1
58.41.
О 0 1
0 0
10
о
1
о
()
(-1)
п-2
58.44.
О 1 0 0 ... О
п-1 0 2 0 ... О
О п-2 0 3 ... О
О
О
О
О
О
О
О
О О
О О
0 п-1
1 О
§58. Операторы и матрицы простой структуры
31
58.45.
0 1
1 0
0 1
0 0
0 0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
. , .
•
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
• • •
0
0
0
1
0
с
с
с
с
-1
1 0
1 0
1 0
1 1
0
58.46.
58.47. Проверить, имеет ли матрица
А =
О
О
О ах
а2 О
О О
простую структуру, и, если да, указать ее диагональный вид, в
следующих случаях:
а) ах = ... = ат = 1, ат+1 = ... = ап = 4;
б) ах = ... = ат = 1, am+i = ... = ап = 0;
в) ах = ... = ат = 1, am+i = ... = ап = -1
(здесь т = [(п + 1)/2]).
58.48. При каких условиях на c*i, a2,..., ап матрица А из
предыдущей задачи подобна диагональной матрице?
58.49. Доказать, что если матрица А подобна диагональной
матрице Л = diag(Ai,..., Ап) и Т~1АТ — Л, то диагональные
элементы матрицы Л совпадают с собственными значениями А,
а столбцы матрицы преобразования подобия Т - с линейно
независимыми собственными векторами, отвечающими А1? А2,...,
Ап соответственно.
Для каждой из приведенных ниже матриц выяснить, имеет
ли эта матрица простую структуру. В случае
положительного ответа найти матрицу преобразования подобия, приводящую
данную матрицу к диагональному виду.
32
Глава XV. Структура линейного оператора
58.50.
58.52.
58.54.
58.56.
58.58.
58.60.
0 0 0 1
0 0 2 0
0 3 0 0
4 0 0 0
1 1 2
0 2 2
0 0 1
0 0 0
3
4
-2
110 0
3 0 10
-10 0 1
-2000
5 2-3
4 5-4
6 4-4
4 7-5
-4 5 0
1 9 -4
-1 3 -1
-3 5 -1
-3 3 1
58.51.
58.53.
58.55.
58.57.
58.59.
58.61.
г О О О О
0 0 10
0 2 0 0
3 0 0 0
112 3
0 112
0 0 2 0
0 0 0 2
4 10 0
0 4 10
0 0 4 1
0 0 0 4
8 15 -36
8 21 -46
5 12 -27
4
6
5
1
1
1
1
2
4
3
1
1
-1
-1
-5
-9
-7 _
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
58.62. Показать, что если матрица А подобна диагональной
матрице diag(Ab ..., Ап), то многочлен f{A) от матрицы А
подобен матрице diag(/(Ai),..., /(Ап)), причем с той же. матрицей
преобразования подобия.
58.63. Найти необходимые и достаточные условия
диагонализуемости матрицы А = хут) где я, у Е Rnxl - заданные
вектор-столбцы.
58.64. Пусть линейный оператор Д, действующий в
трехмерном комплексном линейном пространстве, имеет в некотором
базисе вещественную матрицу и по крайней мере один корень
характеристического многочлена этой матрицы не является
вещественным. Доказать, что Л - оператор простой структуры.
58.65. Может ли сопровождающая матрица4 многочлена /(А)
иметь простую структуру, если у этого многочлена есть хотя бы
4См. задачу 57.91.
§58. Операторы и матрицы простой структуры
33
один кратный корень?
58.66. Доказать, что матрицы А и В простой структуры
подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый
характеристический многочлен.
58.67. Доказать, что комплексная матрица, все собственные
значения которой различны, подобна сопровождающей матрице
своего характеристического многочлена.
58.68. Доказать, что всякий циркулянт5 в поле комплексных
чисел имеет простую структуру.
58.69. Пусть Ai,..., An - все различные корни многочлена
/(А). Найти собственные векторы сопровождающей матрицы
этого многочлена.
58.70. Пусть матрица А имеет простую структуру.
Доказать, что для любого числа а ранг матрицы А — ai равен
наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой
матрицы.
58.71. Доказать, что если Л - оператор простой
структуры, а /(А) - его характеристический многочлен, то f{A) = О,
т.е. оператор простой структуры ацнулируется своим
характеристическим многочленом.
58.72. Найти trB, где В = 1+А+А2+.. .+А28, А =
.58.73. Найти Л100, где А =
58.74. Найти еА, где А —
О 2
-3 5
4 -2
6 -3
58.75. Найти А100, если I + А +А2 + А3 + ... = -
58.76. Найти
-4
-2
lim
tlAk
-1
0
0
0
1
3
0
-3
1
;б)
А =
-8
0
0
0
1
3
0
-3
1
если: а) А =
58.77. При каких вещественных значениях параметра а ма-
5См. задачу 57.68.
34 Глава XV. Структура линейного оператора
трица
А =
1 -1 1
-1 1 -1
a -1 1
имеет простую структуру: а) над полем R; б) над полем С; в) над
полем Q ?
58.78. Доказать, что для любого n E N и для любой
комплексной матрицы А простой структуры найдется матрица В
такая, что Вп = А.
58.79. Доказать, что если матрицы А Е Rmxm и В Е Rnxn
диагонализуемы, то диагонализуемы и следующие матрицы:
А ® В, А ® /п + Im ® В.
58.80. Доказать, что если матрицы А Е IRmxm и В Е Rnxn
имеют простую структуру, то операторы Q и Т, действующие в
пространстве матриц Щтпхп по правилам
дх = ахв,
ТХ = АХ + ХВ}
также имеют простую структуру.
§59. Инвариантные подпространства.
Прямая сумма операторов
Пусть V - линейное пространство над полем Р и Л G C(V,V).
Линейное подпространство L пространства V называется инвариантным
подпространством относительно оператора Л, если для любого вектора х из
L его образ Ах также лежит в L.
Пример 59.1. Тривиальные подпространства {в} и V инвариантны
относительно любого оператора Л G C{V, V).
Пример 59.2. Для любого линейного оператора Л инвариантными
подпространствами будут кегЛ и \тА, так как если Ах = в, то Л{Лх) =
Лв = 0, и если у = Ах, то Лу = Л(Лх) = Лх\, где х\ = Ах.
Пример 59.3. Для оператора дифференцирования (§52) в
пространстве многочленов Мп инвариантными подпространствами являются все
подпространства Мо, М\,..., Мп-\.
Теорема 59.1. Пусть Л Е C(V,V) и L - инвариантное
подпространство относительно Л. Тогда существует базис пространства
V, в котором матрица оператора Л имеет квазитреугольную форму.
Теорема 59.2. Если пространство V является прямой суммой
подпространств Li,...,L&, инвариантных относительно оператора Л Е
£(V, V), то в пространстве V существует базис, в котором матрица
оператора Л имеет квазидиагональную форму.
Пусть L - подпространство, инвариантное относительно оператора Л Е
£(V,V). Отображение A\L : L —> L, определенное равенством
§59. Инвариантные подпространства 35
(A\L)x = Ax, \fx e L,
называется индуцированным оператором, порожденным оператором А или
сужением {ограничением) оператора А на подпространство L. В силу
линейности оператора А индуцированный оператор также будет линейным.
Он совпадает с оператором А на подпространстве L и не определен вне его.
Итак, A\L € C(L,L).
Теорема 59.3. Характеристический многочлен
индуцированного оператора является делителем характеристического многочлена
порождающего оператора.
Теорема 59.4. Если V = L\ ф... ф L* - прямая сумма
подпространств Li,...,Lfc, инвариантных относительно оператора А Е C(V,V),
то характеристический многочлен /(А) оператора А равен произведению
характеристических многочленов /i(A),..., Д(Л) индуцированных
операторов A\Li,...,A\Lk:
)
Теорема 59.5. Произвольный линейный оператор,
действующий в комплексном пространстве, на любом своем инвариантном
подпространстве имеет хотя бы один собственный вектор.
Теорема 59.6. В п-мерном комплексном пространстве V для
любого линейного оператора А Е C(V, V) существует система п
вложенных друг в друга инвариантных подпространств L\,... ,Ln всех
размерностей от 1 до п, т.е. таких, что
Li С Ь2 С ... С Ln = V,
где dim!/*: = к, к = 1,п.
Теорема 59.7. Для любого линейного оператора А,
действующего в комплексном пространстве, существует базис, в котором матрица
линейного оператора имеет треугольную форму, или, в матричной
формулировке, любая квадратная комплексная матрица подобна матрице,
имеющей треугольную форму.
Теорема 59.8. У всякого линейного оператора, действующего
в комплексном пространстве, существует одномерное инвариантное
подпространство.
Теорема 59.9. У всякого линейного оператора, действующего в
вещественном пространстве, существует одномерное или двумерное
инвариантное подпространство.
Линейный оператор А € C(V, V) называется нильпотентным, если
существует число q G N такое, что А4 = О. Наименьшее число о,
обладающее этим свойством, называется индексом нильпотентности (высотой)
оператора А. Очевидно, что индекс нильпотентности ненулевого оператора
q > 2. Аналогично определяется нильпотентная матрица А € РпХп и ее
индекс нильпотентности.
Пример 59.4. В пространстве многочленов Мп оператор
дифференцирования (§52) является нильпотентным оператором индекса п + 1.
Пример 59.5. Жорданова клетка
г 0 1 0 ... О 0 п
О 0 1 ... О О
Л(0)=
О 0 0 ... О 1
. о о о ... о о J
является нильпотентной матрицей индекса к.
36 Глава XV.Структура линейного оператора
Теорема 59.10. Если А Е £(V, V) - нильпотентный оператор
индекса q и хо Е V - вектор, для которого Ач~ххо ф в, то векторы
о, • • • ,Ач~1хо
линейно независимы.
Следствие . Индекс нильпотентности не превосходит
размерности пространства.
Теорема 59.11. В комплексном пространстве линейный
оператор нильпотентен тогда и только тогда, когда все его собственные
значения равны нулю.
Если V = Li©Z/2®. • .@Lk - прямая сумма подпространств Li, L2,..., L*.,
инвариантных относительно линейного оператора А Е C(V, V), то оператор
А называется прямой суммой индуцированных операторов A\Li,..., A\Lk-
Эту же ситуацию описывают словами: оператор А приводится
подпространствами L\, Z/2, • •., Lk.
Теорема 59.12. Произвольный линейный оператор А Е £{V,V)
является прямой суммой нильпотентного и обратимого операторов,
причем это разложение единственно.
Указанное в теореме разложение может быть получено следующим
образом. Если А Е C(V, V), Nk = ker Ah, Tk = im^, то ядра Nk строго вложены
друг в друга до некоторого момента д, начиная с которого все Nk совпадают:
Nx CN2C...CNq = Nq+i =....
Подпространства Nq и Tq дают требуемое разложение:
V NT
Nq, Tq инвариантны относительно оператора Л;
оператор A\Nq нильпотентен;
оператор A\Tq обратим.
Из теоремы 59.12 следует, что в комплексном пространстве V:
1) оператор А на подпространстве Nq имеет только нулевые собственные
значения, а на подпространстве Tq его собственные значения отличны от
нуля;
2) для оператора А с характеристическим многочленом /(Л) = (—A)mi •
(A2-A)m2...(Ap-A)m":
а) характеристические многочлены /i(A) и /2(А) операторов A\Nq и
A\Tq имеют вид
Л(А) = (-АГ', ■ /2(А) = (Аа-АГ'...(Ар-АГ';
б) при этом
dim Nq = mi, dim Tq = 7712 + ... + mp.
Пример 59.6. Найти все инвариантные подпространства оператора,
заданного в естественном базисе пространства IR3 матрицей
\ -1 -2
А= | 2 1-2
1 -1 1
Решение. Найдем характеристический многочлен оператора. Имеем:
_ Г прибавим к 1-му 1 _
"" \ столбцу 2-й j ""
4-А -1 -2
2 1-А -2
1 -1 1-А
§59. Инвариантные подпространства
37
вычтем из 3-й
строки 1-ю
2-А -1 -2
О 1-А -2
2-А -1 1-А
2-Л -1 -2
О 1-А -2
О О 3-А
Все собственные значения оператора различны: Ai=l, А2 = 2, Аз = 3.
Поэтому (следствие из теоремы 58.1) оператор имеет простую структуру
и (см. задачу 59.20) любое нетривиальное инвариантное подпространство
этого оператора является линейной оболочкой некоторой системы его
собственных векторов. Решив системы уравнений (А — \{1)х = 0, г = 1,2,3,
найдем собственные векторы:
для Ai = 1 собственные векторы имеют вид aei, где а Е R, а ф 0,
для А2 = 2 - вид ае2, где а е R, а ф 0, е2 = (1,0,1)т,
для Аз = 3 - вид аез, где а G R, а ф 0, ез = (1,1,0)т,
и других собственных векторов у оператора нет.
Таким образом, подпространства {#}, R3, £(ei), £(e2), £(е3), £(ei,e2),
£(б1,ез), £(е2,ез) - это все инвариантные подпространства данного
оператора. ■
Пример 59.7. Найти все инвариантные подпространства оператора,
заданного в естественном базисе пространства R матрицей
Г 2 -5 -3
А= -1 -2 -3
L 3 15 12
V
Решение. Найдем характеристический многочлен оператора. Имеем:
2-А -5 -3
-1 -2-А -3
3 15 12-А
вычтем из
строки 2-ю
1-й
1 _
3-А -3 + А 0
-1 -2-А -3
3 15 12-А
= (3 - А)
1 -1 0
-1 -2-А -3
3 15 12-А
{ко 2-й строке прибавим 1-ю, "|
из 3-й строки вычтем 1-ю, > = (3 — А)
умноженную на 3 J
-3-А -3
18 12 - А
-1
-3-А
18
0
-3
12-А
= (3 - А)
= (3-А)2(6-А).
Оператор имеет собственные значения Ai = 3 и А2 = 6 алгебраических
кратностей mi = 2 и гаг = 1 соответственно.
Решив системы уравнений (А — \{1)х = 0, г = 1,2, найдем
максимальные линейно независимые системы собственных векторов: для Ai = 3 -
это ei = (-7,5,-б)т, е2 = (6,-3,3)т, а для А2 = 6 - это е3 = (1,1,-3)т.
Векторы ei, е2 образуют базис собственного подпространства, отвечающего
собственному значению Ai = 3, так что геометрическая кратность
собственного значения Ai = 3 равна 2 и равна его алгебраической кратности гаь
38
Глава XV. Структура линейного оператора
Это же относится и к собственному значению А2 = 6. На основании
теоремы 58.3 оператор имеет простую структуру (теорема применима к данному
оператору, так как его характеристический многочлен /(А) имеет только
вещественные корни), и следовательно (см. задачу 59.20), любое
нетривиальное инвариантное подпространство оператора является линейной оболочкой
некоторой системы его собственных векторов. Собственные векторы
опера2 2
тора имеют вид с = aei + /Зв2, где а,/3 Е
ф 0 б
4- /З2 Ф 0, и аез, где аЕ
0, и других собственных векторов у оператора нет.
Таким образом, одномерными инвариантными подпространствами
будут: подпространство £(ез) и любое одномерное подпространство
собственного подпространства £(ei, ег), отвечающего собственному значению Ai = 3.
Двумерными инвариантными подпространствами будут: подпространство
£(ei, е2) и все подпространства вида £(с, ез), где с Е £(ei, 62), с ^ 0.
Последнее подпространство £(с, ез) и подпространство £(ез), т.е. подпространства
£(с,ез) для любого с Е £(ei,e2), могут быть заданы и в виде линейной
оболочки £(а, ез), где а - любой вектор V", так как если a = aei + /Зе2 + 7ез, то
если с = aei + /Зе2 = 0,
если с-^ ^.
Итак, полный список инвариантных подпространств таков:
{£?}, V", любое одномерное подпространство пространства С{е\, е2) и
подпространства £(а,ез), где а - любой вектор из V. ■
Пример 59.8. Найти два двумерных инвариантных
подпространства относительно линейного оператора Л, заданного в естественном базисе
пространства Ш. матрицей
А =
6 -1 1
5-5 5
4-9 9
Решение. Известно (см. задачу 59.25), что если А - собственное
значение оператора Л, то любое подпространство, содержащее im(.4 - AT),
инвариантно относительно этого оператора. Найдем собственные значения:
/(А) = det(A - XI) =
6-А -1 1
5 -5-А 5
4 -9 9-А
6-А 0 1
5 -А 5
4 -А 9-А
= -А
5-А 0 1
0 1 5
-5 +А 1 9-А
Отсюда Ai = 0, А2 = 5 и, очевидно, A3 = tr А — Ai — А2 = 5. Таким образом,
оператор Л имеет собственные значения Ai = 0 и А2 =5 алгебраических
кратностей 1 и 2 соответственно.
Найдем те двумерные инвариантные подпространства, которые
содержат im(.4 — AiX) = im Л. Так как rg Л = 2 и Ai = 0, то все они совпадают с
подпространством L\ = im Л, поэтому L\ может быть найдено как линейная
оболочка столбцов матрицы А (§54), и (см. пример 45.2 в §45) может быть
описано уравнением
L\ : xi -2х2 +яз = 0. (59.1)
§59. Инвариантные подпространства 39
Аналогично, все двумерные инвариантные подпространства, которые
содержат im(.4 - Л2Х) = im(A — 52), совпадают с im(A — 5Х), которое
описывается уравнением
L2 : xi -x2 + x3 = 0. (59.2)
Итак, L\ и Z/2 - два двумерных подпространства, инвариантных
относительно Л.
Отметим, что алгоритм, использованный в предыдущих примерах 59.6
и'59.7, позволяет построить только одно двумерное инвариантное
подпространство.
Действительно, собственному значению Ai = 0 соответствуют
собственные векторы aei, где а Е К, о. ф 0, е\ = (0,1,1)т, а собственному значению
Лг = 5 - собственные векторы аег, где a E IR, а ф 0, ег = (1,0, — 1)т. Тем
самым, получим двумерное инвариантное инвариантное подпространство
£(ei,e2), которое, очевидно, совпадает с подпространством Li-
Другой алгоритм решения этой задачи использован в примере 61.3. ■
ЗАДАЧИ
59.1. Доказать, что сумма и пересечение любого числа
подпространств, инвариантных относительно оператора А, также
инвариантны относительно Л.
59.2. Доказать, что следующие подпространства
инвариантны относительно оператора Л:
а) ядро и образ оператора Л\
б) собственные подпространства оператора Л\
в) линейная оболочка любой системы собственных векторов
оператора Л\
г) всякое подпространство, содержащее образ оператора Л\
д) образ и полный прообраз всякого подпространства L,
инвариантного относительно Л.
59.3. Доказать, что операторы Л и Л — al, где a -
любое число из основного поля, имеют одни и те же инвариантные
подпространства.
59.4. Доказать, что если оператор А невырожден, то Л и
Л~1 имеют одни и те же инвариантные подпространства.
59.5. Показать, что всякое подпространство, инвариантное
относительно оператора Л) инвариантно и относительно любого
многочлена от этого оператора. Верно ли обратное
утверждение?
59.6. Доказать, то ядро и образ любого многочлена f(A) от
оператора Л инвариантны относительно Л.
59.7. Пространство V размерности п разложено в прямую
сумму подпространства Li размерности к (к > 0) и подпро-
40 Глава XV.Структура линейного оператора
странства L2 размерности п - к: V = Lx © L2. Пусть базис
ei,...,en пространства V выбран так, что Lx = £(е1?... ,ек),
L2 = £(efc+1,..., еп). Матрицу оператора А в базисе еь ..., еп
представим в блочном виде
Ап Al2
А2\ А22
где Ап и Л22 - квадратные матрицы порядков к и п — к
соответственно. Доказать, что:
а) A2i = О тогда и только тогда, когда L\ инвариантно
относительно оператора А]
б) Л21 = О и Ai2 — О тогда и только тогда, когда оба
подпространства Li и Ь2 инвариантны относительно оператора А.
59.8. Показать, что всякая комплексная квадратная матрица
А порядка п подобна матрице В вида
д _
#12
где Б22 - матрица порядка п — 1. Указать способ построения
матрицы преобразования подобия в этом случае.
59.9. Линейный оператор А) действующий в n-мерном
пространстве, имеет п различных собственных значений. Найти все
инвариантные относительно Л подпространства и определить их
количество.
59.10. Пусть Л - оператор простой структуры,
действующий в n-мерном пространстве V. Найти все подпространства
V', инвариантные относительно оператора А.
59.11. Найти все подпространства, инвариантные
относительно:
а) скалярного оператора;
б) оператора проектирования V на подпространство Lx
параллельно L2;
в) оператора отражения И относительно L2 параллельно Lx;
г) оператора поворота плоскости V2 вокруг начала координат
на угол а;
д) оператора Д, действующего в геометрическом
пространстве V3 по правилу: (4х = [х,а];
е) оператора транспонирования в пространстве квадратных
матриц IRnxn;
ж) оператора дифференцирования Х>, действующего в
пространстве многочленов Мп;
§59. Инвариантные подпространства
41
з) оператора А) действующего в пространстве многочленов
Мп по правилу: Af(i) = </'(*);
и) оператора А) действующего в пространстве многочленов
rt
Мп по правилу: Af{t) = Г1 / f(£)d£.
Jo
59.12. Линейный оператор А задан матрицей А в некотором
базисе е пространства V. Найти все инвариантные
подпространства относительно этого оператора, если:
а) А =
в) А =
л)А =
ж)А =
59.13. Что можно сказать об операторе А Е C(V)V))
относительно которого любое подпространство в V инвариантно?
59.14. Доказать, что если в n-мерном пространстве V всякое
подпространство размерности fc, где к - фиксированное
натуральное число, 1 < к < п, инвариантно относительно оператора
Л, то А - скалярный оператор.
59.15. Пусть n Е N - произвольное число. Привести
пример n-мерного линейного пространства V и линейного
оператора А Е £(V, У), имеющего ровно п + 1 различных инвариантных
подпространств.
59.16. Что можно сказать о линейном пространстве V и
операторе А Е £(V, V)) если оператор А имеет лишь два различных
инвариантных подпространства?
59.17. Доказать, что ненулевой линейный оператор А Ф X,
для которого А2 = Л, является оператором проектирования на
im*4 параллельно кет А.
59.18. Доказать, что всякий линейный оператор Д, не
являющийся скалярным и для которого А2 = X, является
оператором отражения относительно собственного подпространства,
0
-1
-з.
1 -2
1
1
4
2
-4
5
-1
-1
2 1
4 -2
5 -3
-4
-2
4
-1
5
-1
; г)
2 "
1
-2
-1 '
-1
1
; е)
; з)
А
Л —
А =
А =
А =
-7
8
' 4 1
2 4
0 1
' 4
2
-1
' -6
2
3
-2
2
1 "
1
4 _
-2
0
1
2
-3
6
•
2 '
2
1
3 '
6
2
42 Глава XV. Структура линейного оператора
отвечающего собственному значению Ai = 1, параллельно
собственному подпространству, отвечающему собственному
значению А2 = — 1.
59.19. Доказать, что оператор простой структуры А на
каждом своем инвариантном подпространстве L индуцирует
также оператор простой структуры A\L.
59.20. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что
всякое нетривиальное инвариантное подпространство оператора А,
имеющего простую структуру, натянуто на некоторую систему
собственных векторов этого оператора.
59.21. Доказать, что любое подпространство L
комплексного пространства V', инвариантное относительно линейного
оператора Д, содержит одномерное подпространство, также
инвариантное относительно А.
59.22. Доказать, что любое нечетномерное подпространство
L действительного пространства V, инвариантное
относительно линейного оператора А, содержит одномерное
подпространство, также инвариантное относительно А. Верно ли это
утверждение для инвариантных подпространств четной размерности?
При каких условиях подпространство L содержит одномерное
подпространство, все векторы которого остаются
неподвижными под действием оператора А ?
59.23. Доказать, что комплексное пространство,
содержащее единственное одномерное подпространство, инвариантное
относительно линейного оператора А) неразложимо в прямую
сумму двух ненулевых подпространств, инвариантных
относительно А.
59.24. Пусть А Е £(V, V) - заданный оператор. Доказать,
что комплексное пространство V разлагается в прямую сумму
(одного или нескольких) инвариантных относительно А
подпространств, каждое из которых содержит единственное одномерное
инвариантное подпространство и, значит (согласно предыдущей
задаче), далее не разложимо.
59.25. Пусть Ао - собственное значение линейного
оператора А, действующего в пространстве V. Доказать, что всякое
подпространство в V, содержащее im(.4 — А0Х), инвариантно
относительно А.
59.26. Доказать, что если линейный оператор имеет
собственный вектор, то для него существует (п — 1)-мерное инва-
§59. Инвариантные подпространства
43
риантное подпространство.
59.27. Доказать, что в n-мерном комплексном пространстве
всякий линейный оператор имеет инвариантное
подпространство размерности п — 1.
59.28. Доказать, что всякое А;-мерное инвариантное
подпространство линейного оператора, действующего в комплексном
линейном пространстве V, содержит (к — 1)-мерное
инвариантное подпространство.
59.29. Что можно сказать о комплексном линейном
пространстве V и операторе А Е C(V, V), если оператор А имеет:
а) ровно три различных инвариантных подпространства; б)
ровно четыре различных инвариантных подпространства?
59.30. Доказать, что если оператор Л, действующий в п-
мерном комплексном пространстве V', обладает единственным
одномерным инвариантным подпространством, то он имеет
ровно п + 1 различных инвариантных подпространств.
59.31. Пусть А - матрица линейного оператора А в
некотором базисе е, А - собственное значение оператора А и ненулевой
столбец а удовлетворяет уравнению ат(А — XI) = 0. Доказать,
что уравнение атх = 0 в базисе е определяет (п — 1)-мерное
подпространство, инвариантное относительно оператора А.
59.32. Найти (п — 1)-мерные подпространства в IRn,
инвариантные относительно линейного оператора, заданного своей
матрицей Л, если:
а) А =
в) А =
п)А =
1
2
-3
-1
-2
-3
-1
1
0
2
1
2
-3
-2
-1
-2
2
-1
1
0
1
2
-3
2 '
2
3
•
0 1
2 0
-1 2
1
-1
б) А =
г) А =
;е)А =
-3
-7
-2
0
0
3
-1
0
-2
2
0
4
10
4
-3
0
0
4
-1
2
0
-4
5
-3
-10
-4
1
0
0
0
-2
4
0
-1
-1
3
0 '
1
0
0
С
-5
1
С
-2
)
)
1 -4
3
1
2
0
59.33. Пусть линейный оператор А действует в простран-
44
Глава XV. Структура линейного оператора
стве V над полем Р и имеет в некотором базисе матрицу
а2
1 О
О 1
О О
О О
О
О
1
О
Доказать, что если у многочлена xn — a\Xn l — ... — an_ix — an
нет корней из Р, то оператор А не имеет нетривиальных
инвариантных подпространств.
59.34. Пусть А = a+i/3 (/3 Ф 0) - собственное значение
вещественной матрицы А порядка n, z = х + iy Е Сп - собственный
вектор матрицы А (ж, у - вещественные векторы). Доказать, что
х и у образуют базис двумерного инвариантного
подпространства пространства Rn матрицы А.
59.35. Найти двумерные инвариантные подпространства
для линейного оператора, действующего в пространстве IRn и
заданного в некотором его базисе матрицей:
-5
а) А =
4
1
0
-6
0
1
4
0
0
б) А =
4
6
2
-2
2
3
-3
-3
2
3
4
-1
- 1
1
0
59.36. Доказать, что всякая .действительная квадратная
матрица подобна верхней (нижней) квазитреугольной матрице, у
которой диагональные клетки имеют порядок 1 или 2.
59.37. Из результата предыдущей задачи вывести
следующее утверждение: в n-мерном действительном пространстве
всякий оператор имеет инвариантное подпространство
размерности п — 1 или п — 2.
59.38. 1. Пусть линейный оператор Л, действующий в п-
мерном линейном пространстве V, имеет систему вложенных
друг в друга инвариантных подпространств L\ С L2 С .'.. С
Ln = V, где dimLfc = k, к = 1,п. Доказать, что в V существует
базис, в котором матрица оператора Л верхняя треугольная.
2. Пусть в базисе ei,..., е„ пространства V матрица
линейного оператора А имеет верхнюю треугольную форму. Доказать,
что подпространства Lk = £(ei,... ,е*), к — 1,п, инвариантны
относительно Л и строго вложены друг в друга.
§59. Инвариантные подпространства
45
59.39. Привести вещественную матрицу А к треугольному
виду и указать соответствующую матрицу преобразования
подобия, если:
а)
в)
д)
А =
А =
А =
6-11
5-5 5
4-9 9
" 2 5
-1 -3
-2 -3
" 1 0
1 1
X X
0 1
1 ■
0
-2
1 '
-1
0
б)
; г)
; е)
А =
А =
А =
1
2
-3
00 00 1-Й
1
■ 5
-8
7
1
2
-3
-3
-2
2
2
-3
4
1
2
-3
1
2
0
1
-2
3
59.40. 1. Пусть Li С L2 С ... С Lr = V - цепочка
подпространств линейного пространства V', инвариантных
относительно линейного оператора Л, и dim Li = П{ (щ < п2 < ... < пг =
п). Пусть базис еь ..., еп выбран так, что векторы е1}..., еП{
принадлежат Li (г = 1,г). Показать, что матрица Ае -
верхняя квазитреугольная с диагональными блоками порядков fc;, где
к{ = щ- п»_1 (г = 2~r), fcx = щ.
2. Пусть в некотором базисе пространства матрица
линейного оператора имеет верхнюю квазитреугольную форму.
Доказать, что оператор обладает системой вложенных друг в друга
инвариантных подпространств. Выразить их размерности через
порядки диагональных блоков.
59.41. Найти все инвариантные подпространства для
линейного оператора, имеющего в некотором базисе е1?..., еп матрицу,
совпадающую с жордановой клеткой Jn(^o)-
59.42. Пусть операторы Л и В перестановочны. Доказать,
что ядро и образ оператора В инвариантны относительно
оператора Л.
59.43. Доказать, что всякое собственное подпространство
оператора Л инвариантно относительно любого оператора,
перестановочного с Л.
59.44. Доказать, что если оператор Л, действующий в п-
мерном пространстве, имеет п различных собственных
значений, то любой оператор В, перестановочный с Л, является
оператором простой структуры. При этом все собственные векторы
оператора А будут также и собственными векторами оператора
В.
46 Глава XV.Структура линейного оператора
59.45. Доказать, что для перестановочных операторов Аи В
простой структуры существует базис пространства,
составленный из общих собственных векторов этих операторов.
59.46. Операторы АиВ} действующие в n-мерном
комплексном пространстве V, перестановочны и имеют простую
структуру. Доказать, что если Аь ..., Ап и /х1}..., \in -
занумерованные с учетом алгебраической кратности собственные значения
операторов А и В соответственно, то собственными значениями
оператора А + В будут числа
Al + /i», , А2 + //г2 у • • , Ап + Vin ,
где г\,...,гп - некоторая перестановка.
59.47. Доказать, что любые два перестановочных оператора
комплексного пространства имеют общий собственный вектор.
59.48. Доказать, что для любого (хотя бы и бесконечного)
множества G, состоящего из попарно перестановочных
операторов комплексного пространства V) найдется собственный
вектор, общий для всех операторов из G.
59.49. В пространстве IRnxn оператор А задан равенством
АХ = [А)Х]) где А - фиксированная матрица. Доказать, что
следующие подпространства инвариантны относительно А:
а) подпространство матриц с нулевым следом;
б) подпространство все верхних треугольных матриц (если
матрица А верхняя треугольная);
в) множество всех кососимметрических матриц (если
матрица А кососимметрическая);
г) множество всех диагональных матриц (если матрица А
диагональная).
59.50. Линейный оператор Т', действующий в пространстве
IRnxn, определен формулой ТХ — АТХ + ХА, где А -
фиксированная матрица.
1. Доказать, что кососимметрические матрицы образуют
подпространство L, инвариантное относительно Т.
2. Установить связь между собственными значениями
индуцированного на это подпространство оператора T\L и
собственными значениями матрицы А.
59.51. В пространстве IRnxn оператор Q задан равенством
QX = А~1ХА) где А - заданная невырожденная матрица.
Доказать, что следующие подпространства инвариантны
относительно Q:
§59. Инвариантные подпространства 47
а) множество всех матриц с нулевым следом;
б) множество всех скалярных матриц;
в) множество всех верхних треугольных матриц (если
матрица А верхняя треугольная);
г) множество всех симметрических матриц и множество всех
кососимметрических матриц (если матрица А ортогональная);
д) множество всех эрмитовых матриц и множество всех ко-
соэрмитовых матриц (если А - унитарная матрица и эти
множества рассматриваются как подпространства 2п2-мерного
вещественного пространства СтгъХп).
59.52. Линейный оператор Q} действующий в пространстве
™nx7i j_ - плг а-\лг а л Г cos a —sin а]
Rn, определен формулой QX = А 1ХА, где А= . ,
'^ v r j * I « [sin а cos а J'
а Е R. Найти собственные значения и собственные векторы
оператора (?|L, индуцированного на подпространство:
а) симметрических матриц;
б) матриц с нулевым следом.
59.53. Пусть Ао - собственное значение линейного оператора
А
1. Доказать, что подпространства Lk = кет(Л- A0Z)*, к Е N,
инвариантны относительно Л.
2. Показать, что Lk С L*+i- Может ли это включение быть
строгим?
59.54. Пусть пространство V является прямой суммой
ненулевых подпространств Li и L2: V = Li © L2.
1. Пусть V - оператор проектирования на Ьг параллельно
1/2, аЛ- некоторый линейный оператор, действующий в V.
Доказать, что операторы А и V перестановочны тогда и только
тогда, когда каждое из подпространств Ьг и L2 инвариантно
относительно Л.
2. Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для
оператора 1Z отражения относительно Li параллельно L2.
59.55. Пусть Л и В - линейные операторы, действующие
в n-мерном линейном пространстве V. Известно, что Лп = О)
de£A = 1 и [В, Л] = Л. Доказать, что оператор В имеет п
собственных значений вида А, А— 1,...,А — п + 1, где А - некоторое
число.
59.56. Доказать, что перестановочные матрицы А и В
можно привести к треугольной форме одним и тем же подобным пре-
48 Глава XV.Структура линейного оператора
образованием. Что означает это утверждение для
коммутирующих операторов А и В?
59.57. Пусть Аь...,Ат - собственные значения матрицы
iGCmxm,/ilr..,//n- собственные значения матрицы В Е Спхп
(с учетом их алгебраических кратностей). Доказать, что:
а) ran произведений Аг/^, г = 1, га, j = 1, п, дают в
совокупности все собственные значения кронекерова произведения А® В\
б) га + п сумм Aj + fij, г = 1, га, j = 1, п, дают в совокупности
все собственные значения матрицы А ® /n + /m ® В.
59.58. Доказать, что индекс всякого нильпотентного
оператора, действующего в n-мерном пространстве, не превосходит
п.
59.59. Показать, что оператор дифференцирования V в
пространстве многочленов Мп, является нильпотентным. Найти его
индекс нильпотентности.
59.60. Доказать, что нильпотентный оператор не имеет
отличных от нуля собственных значений.
59.61. Доказать, что оператор, действующий в комплексном
пространстве, является нильпотентным тогда и только тогда,
когда все его собственные значения равны нулю.
59.62. Доказать, что треугольная матрица нильпотентна
тогда и только тогда, когда все ее диагональные элементы
нулевые.
59.63. Доказать, что ненулевой нильпотентный оператор не
может иметь простую структуру.
59.64. Пусть Л - нильпотентный оператор с дефектом,
равным единице. Доказать, что на любом своем инвариантном
подпространстве оператор Л индуцирует нильпотентный оператор
с тем же дефектом.
59.65. Доказать, что квадратная матрица (вещественная
или комплексная) нильпотентна тогда и только тогда, когда все
корни ее характеристического многочлена равны нулю.
59.66. Пусть оператор Л приводится парой подпространств
Li и L2. Доказать, что:
а) ранг оператора Л равен сумме рангов операторов A\Li и
Л\Ь2;
б) характеристический многочлен оператора Л равен
произведению характеристических многочленов операторов Л\ЬХ и
A\L2;
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма 49
в) оператор Ак при любом к Е Z является прямой суммой
операторов (А\Ьх)к и (Л\Ь2)к')
г) для любого многочлена f(t) оператор f(A) есть прямая
сумма операторов f(A\Li) и /(Д|1/2).
59.67. Доказать, что оператор дифференцирования в
пространстве многочленов Мп не приводится никакой парой
подпространств.
59.68. Доказать, что если для оператора А любые два
нетривиальных инвариантных подпространства имеют ненулевое
пересечение, то оператор А не приводится никакой парой
подпространств.
§60. Корневые подпространства.
Жорданова форма
Теорема 60,1 (о расщеплении линейного оператора). Для
любого линейного оператора Л, действующего в комплексном
пространстве V, с характеристическим многочленом
/(Л) = (Л! - A)W1 ... (Лр - \Г?, где А* ф Xj при i ф j,
существуют инвариантные подпространства К\1,..., КХр такие, что
V = КХх Ш ... 0 КХр ;
dimK\. = mj , j = 1,р;
fj(X) = det(A\KXj - AJ) = (А, - А)™' , j = Т^.
Следствие. Для любого линейного оператора, действующего в
комплексном пространстве, существует базис, в котором его матрица
имеет квазидиагональную форму, у которой число диагональных клеток
совпадает с числом различных собственных значений, а их размеры - с
алгебраическими кратностями собственных значений, или, в матричной
формулировке, любая квадратная комплексная матрица подобна
квазидиагональной матрице, обладающей указанным выше свойством.
Подпространство KXj определяется собственным значением Xj
оператора Л и представляет собой ядро Nq оператора (Л — Х31)я в момент д, начиная
с которого все ядра Nq-fi, iVq+2,... совпадают с Nq, т.е. KXj состоит из всех
векторов ж, для которых (Л — XjX)kx = в при некотором A; G Z, k > 0.
Пусть Xj - собственное значение оператора Л. Вектор х € V называется
корневым вектором оператора Л, отвечающим собственному значению Aj,
если (Л — XjX)kx = 0 при некотором k E Z, А; > 0. Высотой корневого
вектора называется наименьшее А;, обладающее указанным свойством.
Множество всех корневых векторов оператора Л, отвечающих
собственному значению Aj, называется корневым подпространством оператора Л,
отвечающим собственному значению Xj.
Таким образом, корневое подпространство оператора Л, отвечающее
собственному значению Xj, совпадает с подпространством KXj,
участвующим в расщеплении оператора Л (теорема 60.1). Структура корневого
подпространства KXj определяется цепочкой вложений:
50
Глава XV. Структура линейного оператора
если Nk = ker(Л — Xjl)k, то
WXj = N1C
(60.1)
где W\j - собственное подпространство оператора, отвечающее
собственному значению Aj, q - максимальная высота корневого вектора, отвечающего
собственному значению Aj.
Отметим, что для операторов простой структуры, и только для них, эта
цепочка обрывается на первом шаге:
WXj =Мх=Кхг
Теорема 60.2. Пусть A Е C(V,V) - линейный оператор,
действующий в комплексном пространстве V, и его характеристический
многочлен имеет вид
= (А1-А)т1...(Ар-АГ», где А< ф А, при г ф j .
Тогда в пространстве V существует базис е, в котором матрица
оператора Л имеет квазидиагональную форму
О
о
б которой матрицы Aj, j = l,p, имеют вид
О
о
где
- клетка Жордана qi-го порядка с Xj на главной диагонали, количество
всех клеток Жордана в матрице Aj равно геометрической кратности Sj
собственного значения Xj, q\ + #2 + • •. 4- qsj — rrij, а количество клеток
k-го порядка равно числу
" Aj
0
0
. 0
1
Aj
0
0
0
1
0
0
... 0
... 0
... Aj
... 0
0 "
0
1
A; -
k = -Пк-i + 2пк - Пк+i = rk-i - 2тк +
(60.2)
где пк = dim Nk = def(.4 - Xjl)k, rk = rg(A - Xjl)k.
Следствие. Для собственных значений оператора А имеют место
соотношения Х\ + ... + А„ = tr А, Х\ •... • An = det A.
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
51
Полученная форма матрицы линейного оператора называется жордано-
вой формой, а базис е, в котором матрица оператора имеет жорданову форму
Ае, - каноническим (или жордановым) базисом.
Жорданова форма матрицы линейного оператора определена
однозначно с точностью до порядка клеток Жордана. Для операторов простой
структуры, и только для них, жорданова форма совпадает с диагональной.
В матричной формулировке теорема 60.2 означает, что любая
квадратная комплексная матрица подобна матрице, имеющей жорданову форму.
Матрица Ае, имеющая жорданову форму и подобная матрице А,
называется жордановой формой матрицы А.
Если А = ТАеТ~1, то столбцами матрицы Т преобразования подобия
являются векторы канонического базиса.
Теорема 60.3. Две матрицы А,В е СпХп подобны тогда и
только тогда, когда их жордановы формы совпадают.
Теорема 60.4 (теорема Гамильтона-Кэли). Линейный
оператор, действующий в комплексном (или в вещественном) пространстве,
является корнем своего характеристического многочлена.
Пример 60.1. Построить корневые подпространства оператора в Ш. >,
заданного в естественном базисе матрицей
А =
3-402
4-5-2 4
0 0 3-2
0 0 2-1
Решение. Найдем характеристический многочлен матрицы А. Имеем
3-А
4
0
0
-4
-5-А
0
0
0
-2
3-А
2
2
4
-2
-1-А
3-А -4
4 -5-А
3-А -2
2 -1-А
Все корни характеристического многочлена вещественны, поэтому к
данному оператору применима общая теория операторов, действующих в
комплексном пространстве. Оператор имеет два различных собственных
значения Ai = -1 и A-j = 1 алгебраических кратностей mi = Ш2 = 2.
Поэтому для него существуют два корневых подпространства К\х и К\2,
= mi = 2, dimK\2 = тг = 2.
1. Построим К\х. Для этого рассмотрим матрицу. В = А — \\1 =
4-4 0 2
4-4-2 4
0 0 4-2
0 0 2 0
Подпространство N\ = ker В определяется однородной системой
уравнений Вх = 0. Так как xgB = 3, то dimTVi = 1 < mi, так что N\ ф К\х и
следует построить N2.
Подпространство N2 определяется однородной системой В2х = 0:
и найдем цепочку вложений (60.1).
0
0
0
0
0
0
0
0
12
8
12
8
-8
-4
-8
-4
0
0
0
0
Г003-2 101 Г 0 0 1 -1 0 I
[002-1 loJ-^000 10j
52
Глава XV. Структура линейного оператора
Так как rgB2 = 2, то dim7V2 = 2 = mi, так что if\i = %• Таким
образом, корневое подпространство -Kai определяется системой уравнений
Г "
1 -1
О 1
и ее фундаментальная система решений е\ = (1,0,0,0)т,
= (0,1,0,0) образует базис
2. Построим Кх2
2-402
4-6-2 4
0 0 2-2
0 0 2-2
Подпространство N\ определяется
Вх = 0, эквивалентной системе
1-201
2-3-1 2
0 0 1-1
Для этого рассмотрим матрицу В = А -
и найдем цепочку вложений (60.1).
однородной системой уравнений
0 -I
0 -
0
Г 1
■> о
0
-2
1
0
0
-1
1
1
0
-1
0
0
0
Так как rg В = 3, то dim Ni = 1 < шг, так что Ni ф Кх2 и следует построить
N2.
Подпространство N2 определяется однородной системой уравнений
= 0.
" -12
-16
0
0
Имеем:
16
20
0
0
12
16
0
0
-16
-20
0
0
0"
0
0
0
Г-3 4
4 -4 5
3
4
-4
-5
01
0J "
. [1 -1
* [О 1
-1
0
1
-1
0
0
Так как rgB2 = 2, то dimN2 = 2 = 7712, так что Кх2 = ^2- Таким
образом, корневое подпространство Кх2 определяется системой уравнений
1 -1 -1 1
0 1 0 -1
0 I
0 и ег0 ^азис образует фундаментальная система
решений е3 = (1,0,1,0)т, е4 = (0,1,0,1)т.
Итак, оператор имеет два корневых подпространства Кхх = £>{е\,е2)
и Кх2 = £(ез,е4), где е, = (1,0,0,0)т, е2 = (0,1,0,0)т, е3 = (1,0,1,0)т,
т
Пример 60.2. Привести матрицу
А =
Г 3 -4 0 2
4-5-2 4
0 0 3-2
0 0 2-1
подобным преобразованием к квазидиагональной форме с треугольным
клетками на главной диагонали. Указать матрицу преобразования подобия.
Решение. Как следует из примера 60.1, оператор Л, определяемый
матрицей А, обладает двумя корневыми подпространствами Кхг, Кх2, где
Ai = —1, Л2 = 1, dimi^ = 2, dimi^ = 2. Следовательно, IR4 = Кх1 Ф Кх2
и в базисе пространства, составленном как совокупность базисов Кхг и Кх2,
матрица оператора Л имеет квазидиагональную форму
[о1 м ]•
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
53
где Ai и А2 - матрицы операторов Л\К\1 и А\К\2 в соответствующем
базисе.
Найдем базисы, в которых клетки А\ и Л2 имеют треугольный вид.
Известно (пример 60.1), что если В = А — Ai/, Nk = кет Bk, то
где N\ и N2 определяются системами уравнений
1-10 1
О 1 О
О 0 1
0
0 0 1-1
0 0 0 1
соответственно. Построим базис N\: е\ — (1,1,0,0)т и дополним его до
базиса N2 вектором в2 = (1,0,0,0)т. Тогда Ае\ = —ei, Ав2 = 4ei -еги
".-['J -!]■
Аналогично, векторы ез = (1,1,1,1)т и е\ = (1,0,1,0)т образуют базис
К\2, в котором оператор А\К\2 имеет треугольную форму
А2
-[{?]■
Таким образом, матрица Л подобным преобразованием приводится к
виду
-1 4 0 0
0-100
0 0 12
0 0 0 1
Т~1АТ = В и матрица Т преобразования подобия имеет вид
ГТУ _
1111
10 10
0 0 11
0 0 10
Пример 60.3. Построить канонический базис и найти жорданову
форму Aj матрицы
0 1-11
-12-11
-11 10
-11 0 1
А =
Указать матрицу Т подобного преобразования, приводящего матрицу А к
жордановой форме: T~lAT = Aj.
Решение. Метод выделения линейных множителей, примененный к
det(i4—А/), дает характеристический многочлен матрицы А: /(А) = (А —I)4.
Следовательно, матрица А обладает единственным собственным значением
А = 1, алгебраическая кратность которого равна четырем. Отвечающее ему
корневое подпространство К\ имеет размерность 4.
54
Глава XV. Структура линейного оператора
Построим корневое подпространство К\. Для этого рассмотрим матри-
=А-1=
Обозначим Nk
г/с)- Рассмотрим ядра TVi, Л/2,...
совпадать с К\, т.е. когда щ
системой уравнений Вкх = 0.
-1
-1
-1
-1
= rgB*,
Na
-1
-1
0
0
'*,..., **q до момента
= 4. Каждое ядро
= dim Nk (очевидно, Пк = 4 —
когда ядро TV,, будет
определяется однородной
Эта система равносильна системе 0 0—110 ' из КОТОРОИ
следует, что ri = 2, п\ = 2 и общее решение системы имеет вид
Так как п\ < 4, то TVi ф К\, и следовательно, необходимо перейти к N2.
Заметим, что из того, что п\ = 2 (ni - геометрическая кратность
собственного значения Л = 1), следует, что жорданова форма матрицы имеет
ровно две жордановых клетки, однако размеры этих клеток пока неизвестны.
2. N2:B2x = 0,
где В2 — О. Следовательно, т2 — 0, п2 = 4 и решением системы является
любой вектор (xi,X2,X3,X4)T Е К4. Так как п2 = 4 = dim/Га, то корневое
подпространство Аа построено: /С\ = N2.
Заметим, что равенство п2 = 4 окончательно формирует жорданову
форму матрицу, так как согласно (60.2) количество клеток второго порядка
в ней равно числу t2 = —п\ + 2ri2 — пз = —ni + 2ri2 — пг = 2.
Теперь построим канонический базис К\.
Для этого найдем максимальную линейно независимую систему
корневых векторов высоты 2, дополняющих какой-либо базис N\ до базиса N2. На
основании соотношений (60.3) построим базис N\: (1,1,0, 0)т, (0,0,1,1)т,
который дополним векторами /i = (0,1,0,0)т, f2 = (0,0,0,1)т до базиса
N2. Каждый из векторов /i и f2 порождает линейно независимые корневые
векторы Bfi и Bf2 высоты 1 (т.е. из N\). Так как их количество равно
размерности TVi, построение канонического базиса закончено. Жорданова
"лестница" имеет вид
N2
/i =
Bfi
(0,1,
= (1,
0,
1,
0)т,
1,1)т,
/2 =
Bf2
(0,0
= (1,
0,
1,
1)
0,
о)т
Нумерация векторов базиса производится по столбцам жордановой
"лестницы", в каждом столбце векторы нумеруются снизу вверх. Итак, векторы
ei = (1,1,1,1)т, е2 = (0,1,0,0)т, е3 = (1,1,0,0)т, е4 = (0,0,0,1)т
образуют канонический базис, жорданова форма имеет вид
Г 1
0
0
. 0
1
1
0
0
0
0
1
0
0 1
0
1
1 _
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
55
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
= Aj, где Т =
Заметим, что в выборе векторов /i и /г существует определенный
произвол. Во избежание лишних вычислений предпочтение надо отдать
единичным векторам (если это оказывается возможным), так как вычисление
произведений Bfi, В2 f\,... сводится при этом к простому выделению
соответствующих столбцов матриц Б, Б2, ■
Пример 60.4. Построить канонический базис и найти жорданову
форму матрицы
А =
Решение. Характеристический многочлен матрицы А имеет вид
у (Л) = Л4. Следовательно, матрица А обладает единственным собственным
значением Л = 0 алгебраической кратности 4. Отвечающее ему корневое
подпространство К\ имеет размерность 4.
Как и в примере 60.3, цепочка вложений (60.1) имеет вид
причем г\ = 1, п\ = 3, общее решение, определяющее векторы из N\ имеет
вид
Х\ = — Х2 + #3 + Z4 (60.4)
при любых Х2,хз,Х4', 7*2 = 0, П2 = 4 = dim K\ и любой вектор {x\,X2,xs,xi)T
является вектором из N2-
Заметим, что из того, что п\ = 3, следует, что жорданова форма
матрицы имеет ровно три жордановых клетки. Очевидно, что это могут быть
лишь одна клетка второго порядка и две клетки первого порядка, так что
жорданова форма матрицы А уже определена.
Построим канонический базис.
Так как П2 — п\ = 1, то единственный корневой вектор высоты 2 -
вектор /i = (1,0,0,0)т - может быть получен как дополнение базиса N\\
(-1,1,0,0)т, (1,0,1,0)т, (1,0,0,1)т (воспользоваться (60.4)) до базиса N2.
Вектор /i порождает корневой вектор высоты 1 - вектор Bf\ = (1,1,1,1)т.
Так как dimTVi = 3, то вектор Bf\ необходимо дополнить двумя векторами
д\ и р2 до базиса N\. Чтобы найти эти векторы, опять воспользуемся общим
решением (60.4):
XI
1
1
1
Х2
1
0
0
1
1
0
Х\
1
0
1
Bh
92
Таким образом, жорданова "лестница" имеет вид
N2
/i = (l,0,0,0)T,
В/1 = (1,1,1,1)т,
pi = (1,0,1,0)т, 02 = (1,О,О,1)Т
56
Глава XV. Структура линейного оператора
и векторы ei = (1,1,1,1)т, е2 = (1,0,0,0)т, е3 = (1,0,1,0)т, е4 = (1,0,0,1)7
образуют канонический базис, жорданова форма имеет вид
Пример 60.5. Найти канонический базис и жорданову форму
матрицы
-4
0
-5 -2
0 3
0 2
2
4
-2
1
Решение. Как следует из примера 60.1, данная матрица обладает
двумя корневыми подпространствами К\х и К\2, отвечающими
собственным значениям Ai = -1hA2 = 1 алгебраических кратностей 2, так что
dim if м =d\mK\2 = 2.
Канонический базис пространства представляет собой совокупность
канонических базисов корневых подпространств К\х и К\2. Рассмотрим по-
отдельности эти подпространства.
Для подпространства К\х имеет место (см. пример 60.1) цепочка
вложений
Ni CN2=KXl,
где ni = 1 (так что в жордановой форме матрицы ровно одна жорданова
клетка с Ai = — 1 на главной диагонали, причем второго порядка, так как
dimK\l = 2), ri2 = 2, общее решение для векторов из N\ имеет вид
= х2,
при любых Х2, а для векторов из N2 - вид
= 0,
I
(60.5)
(60.6)
при любых Ei,a;2.
Соотношения (60.5) и (60.6) позволяют найти базис (1,1,0,0)т
пространства Ni и дополняющий его до базиса N2 вектор }\ = (1,0,0,0)т:
Х\
1
1
Х2
1
0
ЯЗ Х4
0 0
0 0
Ni
/1
N2
Вектор /i - единственный корневой вектор высоты 2, отвечающий
собственному значению Ai = — 1 (так как П2 — п\ — 1), он порождает корневой
вектор Bfi = (4,4,0,0)т высоты 1. Так как п\ = 1, построение
канонического базиса подпространства К\х закончено: с\ = (4,4,0,0)т, ег = (1,0,0,0)т.
Аналогично строится канонический базис К\2. Здесь цепочка вложений
имеет вид
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
57
NiCN2 KX!t,
где rii = 1, ri2 = 2, общее решение для векторов из Ni имеет вид
{==
Х2 = #4,
= х\
при любом #4, а для векторов из N2 - вид
При ЛЮбЫХ Жз, ^4.
Поступая так же, как и в подпространстве К\х, находим вектор }\ =
(0,1,0,1)т, дополняющий базис (1,1,1,1)т подпространства N\ до базиса
N2. Вектор Bfi = (—2, —2, —2,-2)т завершает построение канонического
базиса Кх2: е3 = (-2, -2, -2, -2)т, е4 = (0,1,0,1)т.
Таким образом, канонический базис пространства - это векторы е\ =
(4,4,0,0)т, е2 = (1,0,0,0)т, е3 = (-2, -2, -2, -2)г, е4 = (0,1,0,1)т, а жор-
данова форма матрицы А имеет вид
-1
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
Пример 60.6. Найти канонический базис и жорданову форму
матрицы
А =
Решение. Характеристический многочлен матрицы А в силу ее
квазитреугольной структуры равен:
" 2
0
0
0
0
1
4
-2
0
0
1
2
0
0
0
0
1
0
5
3
0
1
-2
-3
-1
/(Л) = det(A - XI) = (2 - А)
4-А 2
-2 -А
5-А -3
3 -1-А
(2 - А)5.
Следовательно, А = 2 - единственное собственное значение матрицы А
алгебраической кратности 5. Отвечающее ему корневое подпространство Кх
имеет размерность 5.
Для построения корневого подпространства Кх рассмотрим матрицу
В = А - 21 =
и изучим ядра Nk = \иетВк
1. Ni: Bx = 0.
- о
0
0
0
0
1
0
-2
0
0
1
2
-2
0
0
0
1
0
3
3
0
1
-2
-3
-3
58
Глава XV.Структура линейного оператора
0 110 0
Эта система равносильна системе I 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
из которой
следует, что п\ = dimTVi = 2 и общее решение системы имеет вид
{Х2 = ~X3i
х\ = хъ = U, Va;i,a;3 t li^.
Так как п\ < 5, то Ni ф К\, и следовательно, необходимо перейти к N2.
Г 0 0 0 1-11
0 0 0
2. N2: В2х = 0, где В2 =
8 -8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-8
0
0
8
0
0
. Следовательно,
подпространство N2 описывается уравнением
Х4 = Я5
при любых Ж1,Я2,яз,Я5, и, кроме того, ri2 = dim N2 = 4. Так как П2 < 5, то
N2 Ф К\, и следует перейти к N3.
3. Nr- B*x = 0,
где В3 = О. Отсюда вытекает, что пз = 5 = dim K\ и решением системы
является любой вектор (x\,X2,x$)X4,Xb)T E IR5.
Тем самым, корневое подпространство К\ построено и цепочка
вложений имеет вид:
Построим теперь канонический базис К\.
Так как пз — п>2 = 1, то единственный корневой вектор /i высоты 3
должен дополнять какой-либо базис N2 до базиса N3:
Xi
0
0
0
1
0
Х2
0
0
1
0
0
яз
0
1
0
0
0
Х\
1
0
0
0
0
хъ
1
0
0
0
1
No
/1
Корневой вектор /i = (0,0,0,0,1)т порождает корневой вектор Bf\ =
(0,1, —2, —3, -3)т высоты 2 и корневой вектор В2 f\ = (-1, -8,8,0,0т
высоты 1.
Так как П2 — п\ = 2, то необходимо построить два корневых вектора pi,
#2 высоты 2, дополняющих какой-либо базис N\ до базиса N2. В качестве д\
возьмем уже имеющийся вектор Б/i, а вектор #2 найдем аналогично тому,
как это было сделано выше:
Х\
0
1
0
0
Х2
1
0
1
0
хз
-1
0
-2
1
Х4 Хъ
0 0
0 0
-3 -3
0 0
Ni
Bfi
92
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
59
Корневой вектор г/2 = (0,0,1,0,0)т порождает корневой вектор Вд2 =
(1,2,-2,0,0)т высоты 1.
Так как п\ = 2, то базис N\ состоит из двух корневых векторов
высоты 1. Такие векторы уже построены: В2/i и Вд2, поэтому все векторы,
входящие в канонический базис, найдены.
Жорданова "лестница" имеет вид:
N3
N2
N1
/1 =
Bfi
(0,0,0,
= (0,1,
= (-1
0,1)т
-2,-3,
-8,8,0
-з)т,
,0)т,
92-
(0,0
= (1,
1
2,
0,0)т
-2,0, Of
поэтому векторы канонического базиса нумеруются так:
ei = B2fi, e2 = Bfi, e3 = /i, e4 = Вд2, е5 = р2,
а жорданова форма матрицы А состоит из двух клеток размеров 3 и 2:
- 2
0
0
0
. 0
1
2
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
2
0
0 и
0
0
1
2 .
Матрица Т преобразования подобия (Т lAT = Aj) имеет вид
Г -1 0 0 10 1
-8 10 2 0
8-20-21
0-3 0 0 0
0-3 1 0 0
ЗАДАЧИ
60.1. Доказать, что корневой вектор высоты 1 является
собственным вектором.
60.2. Пусть / - корневой вектор оператора Л, отвечающий
собственному значению А; и имеющий высоту q (q > 0).
Доказать, что:
а) вектор (А — KI)f имеет высоту q — 1;
б) вектор (Л — AjX)/, где А^ - отличное от А; собственное
значение оператора Д, имеет высоту q\
в) если А; - корень многочлена /(А) кратности / < q, то
вектор f{A)f имеет высоту q — 1\
г) если А обратим, то вектор А~г f имеет высоту д;
д) если В - оператор, перестановочный с Л, то высота
вектора Bf не превосходит q.
60 Глава XV.Структура линейного оператора
60.3. Пусть /i, /г - корневые векторы оператора А)
отвечающие одному собственному значейию А; и имеющие ненулевые
высоты qi ид2, причем qi > q2. Доказать, что для любого числа
а вектор /i + af2 также является корневым, причем его высота
равна qi.
60.4. Доказать, что в корневом подпространстве существует
базис, состоящий из корневых векторов максимально возможной
в этом подпространстве высоты.
60.5. Доказать, что ненулевые корневые векторы различных
высот, отвечающие одному собственному значению, линейно
независимы.
60.6. Доказать, что ненулевые корневые векторы,
отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
60.7. Показать, что корневой вектор / оператора А будет
корневым вектором той же высоты: а) для оператора А — А0Х;
б) для оператора А~1) если А обратим.
60.8. Пусть / - вектор из К\, имеющий высоту q. Показать,
что:
а) система векторов
(А - АХ)*"1/, (А - А2)'-2/, • • •, (А - XI)f, f (60.7)
линейно независима;
б) линейная оболочка системы (60.7) является инвариантным
подпространством оператора А.
Систему векторов (60.7) называют серией, порожденной
вектором /, а ее линейную оболочку - циклическим
подпространством, порожденным вектором /.
60.9. Пусть L - циклическое подпространство, порожденное
корневым вектором / высоты q оператора А. Построить
матрицу оператора A\L в базисе (60.7).
60.10. Пусть L - циклическое подпространство,
порожденное вектором f e Кх высоты q оператора А. Построить матрицу
оператора A\L в базисе /, (А - АХ)/,..., (А - АХ)9"1/-
60.11. Доказать, что если К\{ - корневое подпространство
оператора Д, соответствующее собственному значению А;, то:
а) KXi есть корневое подпространство оператора А - А0Х,
соответствующее собственному значению А; — Ао;
б) К\. есть корневое подпространство оператора Л"1, соот-
вествующее собственному значению 1/А*, если оператор А
обратим.
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
61
60.12. Показать, что:
а) высота всякого вектора из KXi не превосходит
алгебраической кратности собственного значения А^;
б) множество всех векторов из К\{) высота которых не
превосходит заданного k E N, является подпространством,
инвариантным относительно А.
60.13. Доказать, что всякое корневое подпространство
оператора А является инвариантным подпространством любого
оператора В) перестановочного с А.
60.14. Показать, что для того, чтобы оператор А имел
простую структуру, необходимо и достаточно, чтобы для каждого
собственного значения А; этого оператора собственное
подпространство W\i совпадало с корневым подпространством KXl.
60.15. Доказать, что оператор простой структуры не имеет
корневых векторов высоты больше единицы.
60.16. Доказать, что оператор простой структуры А на
каждом своем инвариантном подпространстве индуцирует
оператор простой структуры.
Построить корневые подпространства следующих матриц.
60.17.
60.19.
60.21. Оператор Л, действующий в n-мерном пространстве
V', называется одноклеточным, если максимальная возможная
высота его корневых векторов совпадает с размерностью п
пространства. Доказать, что:
а) всякий базис пространства V содержит по крайней мере
один вектор высоты п;
б) если / - вектор высоты п, отвечающий собственному
значению Ао, то система векторов (А — AqX)71"1/, (А — А0Х)п~2/,...,
(А - А0Х)/, /, т.е. серия, порожденная вектором /, является
базисом пространства V\
в) оператор обладает единственным собственным значением;
г) матрица оператора А в базисе пункта "б)" есть жорданова
-1
-3
-1
2
-1
0
1
1
2
1
3
0
3
2
1
2
1
0
1
2
1
. (
3 "
2
3
0
50.18.
. 60.
1
-4
4
20.
1
-2
2
1
0
0
1
0
1
-2
-3
-2
0
0
4
2
2
1
-6
-4
-3
-2
62
Глава XV.Структура линейного оператора
клетка порядка п, отвечающая этому собственному значению.
60.22. В условиях предыдущей задачи найти матрицу
оператора А в базисе /, (А- А0Х)/,..., (A- A0X)n"2/, (A-Xol)n'lf-
60.23. Пусть А - одноклеточный оператор и / - его корневой
вектор максимальной высоты п, отвечающий собственному
значению Ао. Доказать, что в базисе /, Af,..., An~xf его матрица
совпадает с сопровождающей матрицей6 многочлена (Ао — А)п.
Построить канонический базис и найти жорданову форму
следующих матриц.
2 11] Г 5 -9 -4
60.24. | "" о I. 60.25. 0 2 1. 60.26. 6 -11 -5
0 0 2
60.27.
11
-4
3
0
0
-1
з.
1
2
0
-1
. 60.
0
1
2
-1
25
0"
0
1
1
60.28.
-10
о
1
о
о
10
о
о
1
о
-7
-5
0
0
0
1
13
1
0
0
0
0
Найти жорданову форму следующих матриц порядка п.
-1 -1 0 ... О О
О -1 -1 ... О О
60.29. О О -1 ... О О
60.30.
60.31.
1
0
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0
а
1
0
0
0
«1
9
0
0
0
0
0
0
а
1
0
0
0
«2
9
0
0
0 ..
0 ..
0 ...
0 ...
а
0 ...
0 ...
0
0
0
0
0
0
0
1
0
...
-1 -1
0 -1
о ■
0
0
а
а
0
0
0
9 с
0
, где а^О.
0 '
0
0
*п-1
9
, где c*i... ап_!
6См. §57, задачу 57.91.
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
63
60.32.
60.33.
60.34.
60.35.
1
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
а
0
0
0
1
1
0
0
2
1
0
0
3
2
0
0
а
1
1
1
0
3
2
1
0
4
3
2
0
12
а
0
0
1 ..
1 ..
1 ..
0 ..
4 ..
3 ..
2 ..
0 ..
5 ..
4 ..
3 ..
0 ..
«13 •
«23 •
а .
0 .
. 1
. 1
. 1
. 1
. п
. п
. п
. п
.
п
—
—
1
+
п
—
2
In
2п
Зп
(
■
1
2
1 '
1
, где ai2a23
• an-i,n
60.36. Найти канонический базис и жорданову форму
оператора V дифференцирования в пространстве многочленов Мп.
60.37. Доказать, что если Л - одноклеточный оператор с
собственным значением Ао Ф 0, то одноклеточными будут также:
а) оператор Л2;
б) оператор Л1 для любого натурального числа I;
в) оператор Л"1.
60.38. Показать, что если Л - одноклеточный оператор с
нулевым собственным значением, действующий в пространстве
размерности п > 1, то Л2 уже не будет одноклеточным
оператором.
60.39. Доказать, что для одноклеточного оператора А с
собственным значением Ао дефект оператора (Л—\о%)к при к = 1,п
равен к.
60.40. Доказать, что одноклеточный оператор Л с
собственным значением Ао не имеет нетривиальных инвариантных
подпространств, отличных от подпространств ker(.4 — A0I)fc.
60.41. Пусть Ли В- перестановочные одноклеточные опера-
64
Глава XV. Структура линейного оператора
торы. Доказать, что инвариантные подпространства этих
операторов совпадают.
60.42. Пусть корневые векторы /ь ..., fp оператора А,
отвечающие собственному значению Ао, образуют линейно
независимую систему векторов высоты q) для которых никакая
нетривиальная линейная комбинация не является корневым
вектором высоты q — 1. Доказать, что векторы (Л — A0Z)/i,...,
(Л — АОХ)/Р образуют линейно независимую систему векторов
высоты q— 1, для которой никакая нетривиальная линейная
комбинация не является корневым вектором высоты q — 2.
60.43. Доказать, что в условиях предыдущей задачи серии,
построенные исходя из векторов /1?..., /р, образуют в
совокупности линейно независимую систему.
60.44. Доказать, что корневое подпространство разложимо
в прямую сумму циклических подпространств.
Построить канонический базис и найти жорданову форму
следующих матриц.
60.45.
60.47.
1
1
-3
3
99
0
0
0
2
0
0
0
-1
0
-1
-1
3
-3
0
99
13
0
0
2
0
-3
0
0
0
0
2
-2
0
0
99
0
0
0
2
0
0
-5
0
0
2
-2
13 '
0
0
99
0
0
0
2
0
0
. 60
О(\ А О
эи.4о.
0
0
0
0
2
0
.46.
" -3
-3
-1
0
0
0
0 "
0
0
0
0
2
1
2
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
-2
0
1
2
0
0
0
0
0
1
0
2
1
1
•
0 "
0
0
-1
-3
-3
60.49.
60.50. Найти канонический базис и жорданову форму
оператора Т>2 двукратного дифференцирования в пространстве
многочленов Мп, предполагая, что n = 2k + 1 - нечетное число.
Построить канонический базис и найти жорданову форму
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
65
следующих
60.51.
60.53.
60.55.
60.57.
матриц
" 3
2
2
' 3
1
3
4
' 5
1
1
1
" 1
2
1
2
2
-3
-2
-3
-1
1
0
-1
1
5
1
1
-1
-2
-1
-1
-1
1 "
1
2
0
0
5
3
-1
-1
3
-1
0
0
-1
0
0
. 60
0 "
0
-3
-1
-1"
-1
-1
3
•
-1
-1
0
-2
-1
.52.
' 4
-2
1
60.54.
60.56.
0 '
0
0
0
-1
1
1
1
" 3
9
0
_ 0
' 2
0
0
0
0
1 '
-2
4
-1
-3
0
0
0 3
2 0
0 2
0 0
0 0
1
-7
4
2
4
6
0
2
0
-7 1
1 1
-4
5 "
7
8
0
2
60.58. Найти канонический базис и жорданову форму
оператора V2 двукратного дифференцирования в пространстве
многочленов Мп, предполагая, что п = 2к - четное число.
60.59. Может ли в пространстве размерности 8
существовать нильпотентный оператор А, для которого числа г к — rg Ак
составляют последовательность 6,4,3,1,0?
Построить канонический базис и найти жорданову форму
следующих матриц.
60.60.
60.62.
60.64.
О 1 О
-4 4 0
-2 11
2 6-9
1 3 -5
1 2 -4
3 -1 1
-2 4 -2
-2 2 0
60.61.
60.63.
60.65.
IS
18
18
-2
5
5
-
-6
-12
-9
-1
-1
1
-4
-1
-5
4
1
4
-6 '
-3
-6
1 '
4
2
2 '
1*
3
66
Глава XV.Структура линейного оператора
60.66.
60.68.
60.70.
60.72.
60.74.
60.76.
60.78.
60.79.
" 3
-2
3
' 3
4
0
0
' -3
-1
0
0
" 2
2
1
-4
' 1
-1
-1
0
г-3
0
1
1
1
" 3
0
-1
0
0
0
" 2
0
0
0
2
0
0
1
-1
-4
-5
0
0
4
1
0
0
0
3
0
-6
1
3
0
-1
-1
1
-1
0
-2
3
2
3
0
-3
2
-4
1
-2
-2
1
0
-1
-1
1 -3 -2
-2
0
0
0
6
0
-2
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1 0
0 1
1 0
1 1
1
4
-3
0
0
0
1
0
1
0
1
0
-,
2 '
4
-2
-1
15 "
5
-3
2
0
1
0
-2
0 "
1
1
1
-2
0
1
1
0.
1
0
0
3
0
-1
0
0
0
5
0
1
60.67.
■ 1
4
6
. 60.69.
. 60.71.
-
. 60.73
. 60.75.
. 60.77.
0 0 "
1 0
0 1
6 1
0 4
-2 -3
-1 0 1
0 0
1 0
0 -9
3 0
0 -1
•
-3
-7
-7
' -2
-1
-2
3
' -1
-3
4
1
•
' 0
0
-5
-3
" 4
-1
6
-6
2 1
-1 0
1 1
-1 -1
1 1
•
4 "
8
7 _
4
2
4
-6
0
1
-3
0
0
0
3
1
1
2
1
-1
-]
(
-]
]
0
0
-1
0
0
3
-5
0
-5
-3
0
0
1
-1
-1
4
L 1
L -1
1 1
L 0
L 2
0 '
0
0
-1
1 "
0
1
-1
3 '
1
0
0
1 "
-1
1
2 _
1]
-1
1
-1
-1
60.80. Доказать, что в любой жордановои форме оператора
Л число жордановых клеток, отвечающих собственному значе-
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
67
нию Ао, равно дефекту оператора А — А0Х.
60.81. Доказать, что в любой жордановой форме оператора
Л число жордановых клеток, отвечающих собственному
значению Ао и имеющих порядок, больший или равный к,
определяется формулой tk = rik — rik-i) где п0 = 0, тгк = def(*4 — А0Х)Л.
60.82. Из результата предыдущей задачи вывести
соотношение tk = 2пк — rifc+i — пк-1, где tk - число жордановых клеток,
отвечающих собственному значению Ао и имеющих порядок к.
60.83. Оператор Л) действующий в n-мерном комплексном
пространстве V, имеет собственные значения Ах,...,Ад.
геометрических кратностей s1}..., sk соответственно. Определить,
сколько ненулевых элементов в жордановой форме оператора Л.
Не вычисляя канонического базиса, найти жорданову форму
следующих матриц.
60.84.
3
-2
-2
3
-1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
60.85.
5 0 6 7
0 5 0 8
0 0 5 0
0 0 0 5
0 0 0 0
9 14
10 15
16
11
12
13
17
18
60.86.
1
0
о
о
-1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-2 2 1
. 60.87.
0 0 0 0 0 19
0 0 110 0
10-301 0
0 1 3 0 0 1
0 0 0 0 0 1
0 0 0 10-3
0 0 0 0 1 3
60.88.
60.89.
2
0
1
3
-2
4
0
2
-1
2
2
3
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
-4
1
5
8
1 -1
-3
3
о
о
о
о
о
о
-4
7
6
0
0
0
о
о
о
о
о
-4 -0
0 -4
1
1
0
0
1
0
0
-1
1
0
0
1
1
-3
2
1
-3
3
68
Глава XV.Структура линейного оператора
60.90. Найти fc-ю степень жордановой клетки Jn(a) порядка
п.
60.91. Доказать, что значение многочлена f(A) от клетки
Жордана А = Jn(\) определяется формулой
f(n-l
/(A)
0
0
1!
/(A)
0
2!
/'(A)
1!
0
f
3!
"(A)
2!
0
' (n_-2)l)!
(n-2)!
/(A)
60.92. Найти жорданову форму квадрата жордановой
клетки, на диагонали которой стоит число а ф 0.
60.93. Найти жорданову форму квадрата жордановой
клетки с нулем на главной диагонали (нильпотентной клетки
Жордана).
60.94. Векторы канонического базиса оператора Л
занумеровали в обратном порядке. Как изменится матрица оператора
в этом случае?
60.95. Зная жорданову форму оператора Д, найти
жорданову форму оператора: а) Л — А0Х; б) А~1.
60.96. Найти жорданову форму матрицы
a
0
0
0
0
0
0
a
0
0
0
0
1
0
a
0
0
0
0
1
0
0
0
0
... 0
... 0
... 0
... a
... 0
... 0
0
0
0
0
a
0
0
0
0
1
0
a
порядка п > 3.
60.97. Показать, что если A1}...,An - собственные
значения оператора Л) действующего в n-мерном пространстве (среди
этих чисел могут быть и равные), то собственными значениями
многочлена f(A) будут числа /(Ai),..., /(Ап).
60.98. Доказать, что всякий оператор, действующий в
комплексном пространстве, является прямой суммой одноклеточных
операторов.
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма 69
60.99. Доказать, что всякий оператор, действующий в
комплексном пространстве, можно представить в виде суммы
оператора простой структуры и нильпотентного оператора.
60.100. Доказать, что оператор А, удовлетворяющий
условию А2 — X и не являющийся скалярным, есть оператор
отражения.
60.101. Доказать, что оператор А) удовлетворяющий
условию Ак = 1 для некоторого натурального числа к, является
оператором простой структуры.
60.102. Найти жорданову форму идемпотентного оператора
Л, т.е. оператора, удовлетворяющего условию А2 = А.
60.103. В пространстве многочленов М8 найти жорданову
форму разностного оператора A\f(t) = f(t + 1) — /(<).
60.104. В пространстве многочленов М8 найти жорданову
форму:
а) оператора трехкратного дифференцирования;
б) оператора A2f(t) = f(t + 2) - 2f(t + 1) + /(t);
в) оператора A3f{t) = f(t + 3) - 3/(t + 2) + 3/(t + 1) - f(t).
60.105. Доказать, что если оператор Д, действующий в 71-
мерном пространстве, невырожден, то обратный оператор А~1
можно представить многочленом степени п — 1 от А.
60.106. Доказать, что жорданова клетка Л(А0)
аннулируется многочленом f(t) тогда и только тогда, когда число Ао
является корнем этого многочлена кратности не менее к.
60.107. Что можно сказать о жордановой форме оператора
Л, если А3 = А2 ?
60.108. Пусть f(t) - заданный многочлен с комплексными
коэффициентами степени п > 1. Найти необходимые и
достаточные условия того, что квадратная матрица X порядка m (m > 2)
удовлетворяет уравнению f(X) = О.
60.109. Пусть характеристический многочлен /(А)
оператора А разложен в произведение многочленов /i(A) и /2(А), не
имеющих общих корней. Доказать, что
кет/2(Л) = 1тД(Л).
Выяснить, являются ли подобными указанные матрицы А, В
и С.
60.110. А =
-3
-12
3
2
8
-2
5
20
-5
,в =
59
-147
-244
-63
159
263
52
-132
-219
70
Глава XV. Структура линейного оператора
с =
59 -63 52
-147 159 -132
-244 263 -218
60.111. А =
С =
60.112. А =
С =
3
-3
-2
' 6
3
-2
' -1
3
2
' 0
-2
4
1
-1
-2
0
2
-1
3
4
8 '
6
0 -2
-1
-5
-2
6
16
-28
2 '
6
2 _
5
-2
-1
. в =
6 '
12
-2(
)
' -8
-10
-12
5
-1
-1
12
18
24
-2
1
2
-6
-10
-14
60.113. Доказать, что всякая комплексная матрица А
подобна транспонированной матрице Ат.
60.114. Что можно сказать о жордановой форме матрицы Д
если А подобна обратной матрице Л"1?
60.115. Пусть А - нильпотентная матрица, к -
максимальный размер жордановых клеток матрицы А. Доказать, что
индекс нильпотентности матрицы А равен к.
60.116. Доказать, что матрица А порядка п нильпотентна
тогда и только тогда, когда tr(Ap) = 0 для р — 1, п.
60.117. Доказать, что жорданова клетка подобна
сопровождающей матрице7 своего характеристического многочлена
(матрице Фробениуса).
60.118. Доказать, что всякая комплексная матрица подобна
квазидиагональной матрице, у которой все диагональные клетки
являются матрицами Фробениуса.
60.119. Квадратная матрица А порядка га имеет простую
структуру; известна жорданова форма J матрицы В порядка п.
Найти жорданову форму матрицы: а) А®В\ б) A®In + Im®B.
7См. §57, задачу 57.91.
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
71
60.120. Найти жорданову форму матрицы порядка п
Г 1 1
1 1
А =
где е - положительно и стоит на месте (п, 1), а не указанные
внедиагональные элементы равны нулю.
60.121. В жордановой форме матрицы А заменим
внедиагональные элементы, равные единице (если таковые имеются),
произвольным числом е ^ 0. Доказать, что полученная матрица
подобна матрице А.
Глава XVI. Линейные операторы в
унитарном и евклидовом пространствах
§61. Сопряженный оператор
Пусть V и W - два пространства, оба унитарных или оба евклидовых,
и А Е C(V,W). Отображение А* : W —> V называется сопряженным
оператором к оператору А, если
(Ах,у) = (х,А*у), VxeV,yeW.
Теорема 61.1. Сопряженный оператор линеен.
Теорема 61.2. Для любого оператора А Е £(V,W) существует,
и притом единственный, сопряженный оператор.
Теорема 61.3. Операция сопряжения линейного оператора
обладает следующими свойствами:
1) (А + ВУ = Ат+В*,
2) (аА)т =аА\
3) (АЗ)* =В*А*,
4) (Ж)"1 = (Л"1)*,
5) (ДТ=А
выполненными для любых операторов, для которых определены указанные
операции.
Теорема 61.4. Если е и f - ортонормированные базисы
пространств V и W соответственно, то
(A')ef = (Afe)H.
Следствие. rg.4 = rg,4*.
Теорема 61.5. Для любого оператора А € £(V,W)
ker A = (im Д*)\ im A* = (ker A)*~.
Два базиса ei,..., еп и /i,..., }п пространства V называются биорто-
гональной парой базисов, если (ei,fj) = Sij, где Sij - символ Кронекера.
Теорема 61.6. Для любого базиса ei,... ,е„ унитарного
(евклидова) пространства существует, и притом единственный, биортогоналъ-
ный базис /i,..., fn.
Теорема 61.7. В паре биортогональных базисов е и f
унитарного (евклидова) пространства V матрицы операторов А и А* связаны
соотношением
(A-)f = (Ае)н.
Теорема 61.8. Для любого оператора А, действующего в
пространстве V (унитарном или евклидовом):
1) если е - ортонормированный базис V, то
§6L Сопряженный оператор 73
2) выполнены равенства
det А* = detA, rg А* = rg А;
3) если подпространство L инвариантно относительно оператора А,
то его ортогональное дополнение L1- инвариантно относительно
сопряженного оператора А*.
Теорема 61.9 (теорема Шура). Для любого оператора,
действующего в унитарном пространстве, существует ортонормированный
базис, в котором он имеет треугольную матрицу.
Следствие. Если Ai,..., Лп - собственные значения оператора А,
то собственными значениями оператора А* будут числа Ai,..., Ап.
Ортонормированный базис унитарного (евклидова) пространства, в
котором матрица линейного оператора имеет треугольную форму, называется
базисом Шура для этого оператора.
Пример 61.1. Найти сопряженный оператор для оператора Л,
действующего в геометрическом пространстве Уз по правилу: Лк = [х, а], где
а - фиксированный вектор.
Решение. Покажем, что А* = —А. С одной стороны, для любых
векторов х, у € Уз'- (-4х, у) = (х,.А* у). С другой стороны:
(.Ах, у) = ([х, а], у) = (х, а, у) = -(х, у, а) = -(х,-[у, а]) = (х,-Ау).
Таким образом, (х,А* у) = (х, —Ду), Vx, у € Уз, следовательно
(задача 61.1), А* = -А. •
Пример 61.2. Линейный оператор А переводит векторы fti = (2,3,5),
Ь2 = (0,1,2), Ьз = (1,0,0) в векторы с, = (1,1,1), с2 = (1,1, -1), с3 = (2,1, 2)
соответственно. Найти матрицу оператора Л* в ортонормированном базисе
ei, ег, ез, в котором заданы координаты всех векторов.
Решение. Заметим, что векторы fti, Ь2, Ьз линейно независимы,
следовательно, оператор Л определен однозначно. Легко показать (см. пример
52.10 §52), что Ае = СВ~1, где столбцы матрицы В иС состоят из fci, 62, Ьз
и ci, C2, сз соответственно. Использование метода Жордана (§8) обращения
матрицы дает матрицу
г2
= 1
2
-11
-7
-1
6
4
0
Так как ei, ег, ез - ортонормированный базис, то (А*)е — (Ае)т, т.е.
Г 2 1 2
(А*)е = -И -7 -1
L 6 4 О
Пример 61.3. * Написать уравнения гиперплоскостей, инвариантных
относительно линейного оператора Л, заданного в некотором ортонормиро-
ванном базисе евклидова пространства матрицей
4 -23 17
А = | 11 -43 30
15 -54 37
хСр. с примером 59.8, §59.
74 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
Решение. Все двумерные подпространства, инвариантные
относительно оператора Л, являются ортогональными дополнениями к одномерным
инвариантным подпространствам оператора А*, т.е. линейным оболочкам
£(е) собственных векторов е оператора А . Найдем собственные значения
матрицы Ат:
4-Х 11 15
-23 -43 - Л -54
17 30 37 - Л
{прибавим к 1-й "|
строке 2-ю и 3- > =
ю строки J
-2-Л -2-Л -2-Л
-23 -43 - Л -54
17 30 37 - Л
2)(А2
Таким образом, оператор А* имеет единственное собственное значение Л =
—2, которому отвечает единственный линейно независимый собственный
вектор е = (3, -3,1). Искомое инвариантное подпространство, являясь
ортогональным дополнением к £(е), определяется уравнением
3zi - Зя2 + хз = 0.
Пример 61.4. В пространстве Мг
скалярное произведение задано формулой
многочленов степени не выше 2
(f,9)
л6
Л
f(t)g(t)dt,
(61.1)
причем а = — 1, Ъ = 1. Найти оператор D*, сопряженный к оператору V
дифференцирования в М^.
Решение. Рассмотрим в пространстве Мг естественный базис e\{t) =
1, б2(£) = t, ез(£) = t2. Нетрудно показать, что этот базис не является даже
ортогональным базисом относительно введенного в этой задаче скалярного
произведения (например, (б1,ез) = 2/3 ф 0). Поэтому для матриц De
оператора V и {V*)e сопряженного оператора V* равенство (D*)e = ДГ, вообще
говоря, не справедливо.
Для построения матрицы (D*)e воспользуемся соотношением:
hj = 1,3,
(61.2)
k=i
где (V*)e = (akj).
При каждом j = 1,3 соотношения (61.2) с i — 1,2,3 образуют систему
линейных уравнений относительно неизвестных aij, Q2j, ct3j с квадратной
матрицей коэффициентов, совпадающей с матрицей Грама базиса е1,б2,ез,
и следовательно, (теорема 47.5 §47) невырожденной. Поэтому эта система
уравнений совместна и определенна при любых правых частях.
Матрица Грама базиса б1,е2,ез равна
Г 2 0 2/3
0 2/3 0
[ 2/3 0 2/5
Правые части систем имеют вид:
§61 Сопряженный оператор 75
- при j = 1
i) = 0, (2>e2,ei) = 2, (2>e3,ei) = О;
- при j = 2
(£>ei,e2) = О, (£>е2,е2) = О, (£>е3,е2) = 4/3;
- при j = 3
(2>ei,e3) = О, (Х>е2,е3) = 2/3, (£>е3,е3) = О.
Решая все три системы одновременно:
2 0 2/3
О 2/3 О
2/3 0 2/5
0 0 0
2 0 2/3
О 4/3 О
получим аи = 0, a2i = 3, a3i = 0, ax2 = -5/2, а22 = 0, а32 = 15/2, адз = О,
агз = 1, с*зз = 0. Таким образом,
Г 0 -5/2 О 1
(2>*)е = 3 0 1 .
L 0 15/2 О J
Пользуясь полученной матрицей, установим, как действует
сопряженный оператор V* на произвольный многочлен f(t) = ао 4- Q>\t 4- а2£2 Е М2:
Р*/(О = ao2?*ei(O + а^*е2{1) + a2Vme3(t) =
= ao-3* + ai(-- + у*2) +а2« = --oi + (3ao + a2)*+ yOi*2- ■
ЗАДАЧИ
Задание линейного оператора в евклидовом
(унитарном) пространстве
61.1. Пусть V и W - унитарные (евклидовы) пространства,
Ли В - линейные операторы из C(V, W). Доказать, что если
для любых х Е V, у EW выполнено
(Лж,у) = (fix, у),
то операторы Л и В совпадают.
61.2. В унитарных (евклидовых) пространствах V и W
фиксированы некоторые базисы еь ..., еп и Д,..., /т
соответственно. Пусть для линейных операторов А Е £(V, ТУ) ибЕ C(W) V)
выполнены соотношения
(Aei} fj) = (ei} Bfc), г = 1, n, j = 1, m.
Доказать, что в таком случае Л* = В.
61.3. Линейный оператор Л Е C{V, W) переводит ортонор-
мированный базис е\,..., еп пространства У в систему векторов
/ь ..., /п из W. Доказать, что:
76 Глава XVI.Линейные операторы в унитарном пространстве
а) Ах = 5>, е<)Д, Vx е У; б) А'у = £>, fi)*u Vy € W.
г=1 г=1
61.4. Пусть оператор Л действует в евклидовом
(унитарном) пространстве V. Доказать, что
п
tr.4 = ^2(Леие{)
г=1
для любого ортонормированного базиса ei,..., еп
рассматриваемого пространства У.
61.5. Пусть ei..., ек - ортонормированный базис
подпространства L евклидова пространства V. Используя скалярные
произведения (у, ei),..., (у, efc), найти образ произвольного вектора
у Е V для оператора:
а) ортогонального проектирования на подпространство L;
б) ортогонального проектирования на подпространство LL\
в) ортогонального отражения относительно подпространства
ц
г) ортогонального отражения относительно подпространства
LL.
61.6. Подпространство L задано системой уравнений:
(х, ei) = 0,..., (х, ек) = 0, где ei,..., ек - некоторая ортонорми-
рованная система векторов. Найти, используя скалярные
произведения (у, е\),..., (у, ек\ образ произвольного вектора у € V
для оператора:
а) ортогонального проектирования на подпространство L;
б) ортогонального отражения относительно подпространства
LL.
61.7. В естественном базисе е пространства IR4 найти
матрицу оператора ортогонального проектирования на линейное
подпространство L, если L натянуто на систему векторов:
а)(2,3,-1,1)т; б)(1,2,1,-2)т;
в) (1,-1,2,0)т, (-1,1,1,3)т; г) (1,1,1,1)т, (0,1,1,0)т;
д)(1,1,-1,0)т, (0,1,1, -1)т, (-1,1,0,1)т;
е)(0,1,0|1)т>(1,0,3,0)т,(0,1,-1,-1)т.
61.8. В базисе е найти матрицу оператора ортогонального
отражения относительно подпространств L, заданных в задаче
61.7.
61.9. Линейное подпространство L четырехмерного евкли-
§6L Сопряженный оператор 77
дова пространства Е в некотором ортонормированном базисе е
задано системой уравнений. Найти в том же базисе матрицу
оператора ортогонального проектирования на L, если:
*s + *4 = 0; б) L : | Зх2 - 2х3 + Зх4 = о|
+ 2х2 — х3 + х4 = 0,
+ х2 + 2х3 - х4 = 0,
Зх2 - 4х3 + Зх4 = 0;
+ #2 + #3 - #4 = 0,
— х2 + х3 + х4 = 0,
+ х2 - х3 - 2х4 = 0.
61.10. В условиях задачи 61.9 найти в базисе е матрицу
оператора ортогонального отражения пространства Е относительно
указанных подпространств L.
61.11. Пусть системы векторов /ь ... ,/т и ди ... ,дт
удовлетворяют условиям (fi^j) = 0, i,j = 1,га, г ^ J- Пусть
Lx = £(/1}..., /т), а подпространство L2 задано системой
уравнений (x,fli) = 0,..., (ж,дт) = 0. Найти через скалярные
произведения векторов у, /i,..., /m, Si, •..,ffm образ произвольного
вектора у Е V для оператора:
а) проектирования на Lx параллельно L2\
б) отражения относительно Li параллельно L2.
т
61.12. Оператор Л задан формулой Ах = ^(#,/г)#г> где
г=1
/ij • • • j fmi ffi> • • • >ffm ~ некоторые заданные векторы. Доказать,
что:
а) ядро оператора А представляет собой ортогональное до-
m
полнение линейной оболочки, натянутой на векторы
г=1
fc = 1,771;
б) образ оператора А является линейной оболочкой, натяну-
m
той на векторы ^(Д, fi)gu fc = l,m.
г=1
61.13. Показать, что всякий линейный функционал /(ж)
унитарного (евклидова) пространства V можно задать как
скалярное произведение
f(x) = (х,р),
где р - некоторый фиксированный (для данного функционала)
78 Глава XVI.Линейные операторы в унитарном пространстве
вектор пространства.
61.14. Пусть п Е N. Доказать, что для любого к = О, п,
любых чисел a, b,t0 Е R можно указать многочлен pk(t) Е Мп,
что равенство
fik)(t0)= f"f(t)pk(t)dt
J a
выполняется для всех многочленов f(t) Е Мп.
Сопряженный оператор
61.15. Доказать, что для оператора А) действующего в
унитарном (евклидовом) пространстве, выполнено:
а) (ЛтУ = (А*)т для всякого га Е N;
б) если оператор А невырожден, то свойство пункта а) имеет
место для любого целого числа га;
в) если f(t) = ao + ai£ + .. .+ am£m - произвольный многочлен,
то
где J(t) = Щ + a{t + ... + a^tm.
61.16. Доказать, что свойства, перечисленные в
предыдущей задаче, выполняются и для операции сопряжения на
множестве квадратных матриц А (комплексных или вещественных).
61.17. Показать, что для нильпотентного оператора А с
индексом нильпотентности q сопряженный оператор А* также
нильпотентен и имеет тот же индекс нильпотентности.
61.18. Показать, что если операторы Аи В перестановочны,
то перестановочны и сопряженные операторы А* и В*.
61.19. Что представляет собой сопряженный оператор для:
а) тождественного оператора;
б) скалярного оператора в евклидовом (унитарном)
пространстве;
в) произвольного оператора, действующего в одномерном
евклидовом пространстве;
г) произвольного оператора, действующего в одномерном
унитарном пространстве?
61.20. Пусть е1}..., еп - ортогональный (но не ортонормиро-
ванный) базис пространства V. Найти связь между матрицами
оператора А Е C(V,V) и сопряженного оператора А* в этом
базисе. В каком случае выполнено соотношение (А*)е = ^
§61. Сопряженный оператор 79
61.21. Что можно сказать об операторе А Е C(V, V)) если в
любом базисе е пространства V выполнено соотношение:
(А*)е = (Ае)н?
61.22. Пусть е^и/,/г- пары биортогональных базисов в
пространствах V и W соответственно. Доказать, что
справедливо соотношение
(A')gh = (Afe)».
61.23. Пусть V,W- унитарные (евклидовы) пространства,
еь ..., еп и /1}..., /т - ортонормированные базисы V и W
соответственно и А Е C{V^W). Доказать, что имеют место
равенства:
а) -4*Л = ^{fj^Ae^ei, Vj = l,m;
n , m v
6) a-x = E E^Wf/i.^) e*.Va; G w-
61.24. Найти сопряженный оператор для оператора
поворота геометрического пространства V2 на угол а.
61.25. Найти сопряженный оператор для оператора,
действующего в пространстве V$ по правилу Ах. = [х, а], где а -
заданный вектор.
61.26. Найти оператор, сопряженный линейному
функционалу /, действующему в унитарном пространстве V по правилу:
а) f(x) = (х, Л), где h E V - заданный вектор;
m
б) f(x) = ^{Лкх,кк), где hk E V, fc = l,m, - заданные
Jk=l
векторы, Дд. Е C(V) V) - заданные операторы.
61.27. Оператор, действующий в n-мерном арифметическом
пространстве со стандартным скалярным произведением, задан
формулой Ах = Вх, где В - заданная матрица порядка п. Найти
сопряженный оператор А*, если пространство:
а) вещественное IRn; б) комплексное Сп.
61.28. Найти оператор, сопряженный к оператору,
действующему в евклидовом (унитарном) пространстве матриц щтхп
(Cmxn) со стандартным скалярным произведением и
определенному равенством:
а) ТХ = АХ, где А - заданная квадратная матрица порядка
80 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
га;
б) QX = ХВ, где В - заданная квадратная матрица порядка
п;
в) СХ = [А, X], где m — п и А - заданная квадратная
матрица порядка п.
61.29. Пусть скалярное произведение в пространстве Мп
задано формулой (61.1) с произвольными a, ft Е R: а < ft. Для
линейного оператора, действующего по правилу
Ap(t)= / K{t)S)p{s)ds,
J a
где jRT(i,5) = ^2^kj(s) и kj(s) E Mn, найти сопряженный опера-
j=0
тор.
61.30. Пространство V является прямой суммой
подпространств Li и L2. Доказать, что:
а) оператор, сопряженный проектированию пространства V
на Ьг параллельно L2) является оператором проектирования на
L,2 параллельно L^\
б) оператор, сопряженный отражению пространства V
относительно Lx параллельно L2, является оператором отражения
относительно L^ параллельно L^.
61.31. Найти оператор, сопряженный оператору А
геометрического пространства V2y если:
а) А - ортогональное проектирование на линейную оболочку
вектора а ф 0;
б) А - ортогональное отражение относительно линейной
оболочки, натянутой на вектор а ф 0.
61.32. Пусть Оху - прямоугольная система координат на
плоскости и А - оператор проектирования на ось Ох
параллельно биссектрисе первой и третьей четверти. Найти сопряженный
оператор А*.
61.33. Пусть Oxyz - прямоугольная система координат в
пространстве и А - оператор проектирования на координатную
плоскость Оху параллельно прямой, задаваемой уравнениями
х — у — z. Найти сопряженный оператор А*.
Матрица сопряженного оператора
61.34. Пусть ex,e2 - ортонормированный базис двумерно-
§6L Сопряженный оператор
81
го пространства V и линейный оператор А в базисе /х = е1}
[1 2 1
.. _i • Найти матрицу
сопряженного оператора А * в том же базисе /х, /2.
61.35. Линейный оператор А евклидова пространства в
базисе из векторов Д = (1,2,1), /2 = (1,1,2), /3 = (1,1,0) задан
матрицей
[11 3
Af= 0 5-1
[_ 2 7 -3
Найти матрицу сопряженного оператор А* в том же базисе /,
считая, что координаты векторов даны в некотором ортонорми-
рованном базисе.
61.36. Найти матрицу линейного оператора Л*,
сопряженного к оператору А в ортонормированном базисе ех,е2)е3, если
А переводит векторы ах = (0,0,1), а2 = (0,1,1), а3 = (1,1,1) в
векторы 6i = (1,2,1), b2 = (3,1,2), b3 = (7,-1,4)
соответственно (координаты всех векторов считаются заданными в базисе
ei,e2,e3).
61.37. Пусть еь ..., еп - ортонормированный базис в
евклидовом или унитарном пространстве V. Матрица А линейного
оператора А, действующего в V, задана в базисе /ь ..., /п.
Найти матрицу сопряженного оператора А* в базисе /1}..., /п, если:
Г 1 4 1
а) /i = eu /2 = -ех + е2, А = К 1 ;
Г 1 2 1
б) /i = eu /2 = 2ег + е2, А = - „ ;
[1 ^ j
в) /i = ег + е2, /2 = б! - ге2, Л = I _х _ ?. 1 _ \\;
г) /i = ех + е2 + е3, /2 = е2 + е3, /3 = е2 - е3, ^ =
Д) /i = ei-e2-e3, /2 =
, /3 = е3, Л =
е) /i = ех + e2, /2 = e2 + e3, /3 = ex + e3, A =
2 -4 1
ж) /x = ex + e2, /2 = ex - e2 + e3, /3 = ex - e2 - e3,
0
1
0
■ 1
-1
2
-2
2
0
0
1
1
1
0
4
0
2
0
0
0
1
1
1
1
82 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
А =
з) Л = eu /2 = iex+e2y /3 = -ге
1 3 3
0 2 5
0 0 4 -
г -г 0
ie2 + e3)A = 0 0 1
[ 1 0 1
61.38. Скалярное произведение в евклидовом (унитарном)
пространстве задано через координаты векторов в некотором
базисе е. Линейный оператор имеет в базисе е матрицу А. Найти
матрицу сопряженного оператора в базисе е, если:
[2 5 1
1 ч h
1 б j
б) (ж, у) = ххух + хгу2 + x2yi + Зж2у2, >!=
5—3
в)
г)
л'
е)
(я, У)
А =
(*,У)
х2у3
(х,у)
(1 +
— %1
' 1
0
1
о.
^ 2з
У1
У1
1
1
1
hV
г)х3у~2,
+(1+
+ 5x2j/2 +
-2 '
-2
0 .
h +
A =
T + x2
A =
)
22/2"
" 2
0
1
' 1
0
0
)х2уГ+Зх2^, А
2x3y3 + 2xiy2 + 2х2у! -
-1 3
1 1
0 1
5#з2/з + зххУг ~ i^2U\. +
i 0 "
1 0
0 -г
=
0 г
-г 0
х2у3 - ж3у2,
Х1У3+ЖЗУ1-
(1 - г>2уз"+
61.39. Линейный оператор двумерного евклидова
пространства переводит векторы с координатными столбцами ai и а2 в
векторы с координатными столбцами Ьх и Ъ2 соответственно;
базис, в котором заданы координаты, ортонормированный. Найти
матрицу сопряженного оператора в этом базисе, если:
а) в1 = (0,1)т, а2 = (1,3)т, Ьг = (3,1)т, Ь2 = (2, 3)т;
б) ах = (1,1)т, а2 = (1,4)г, h = (О, -2)Т, Ь2 = (-3,7)т.
61.40. Оператор дифференцирования V действует в
пространстве многочленов М2 со скалярным произведением (61.1), в
котором a = — 1, b = 1. Найти матрицу сопряженного оператора
§61. Сопряженный оператор
а) в базисе 1, t, t2; б) в базисе 1, t) 3t2 — 1;
в) в базисе t2 -t, t2 - 1, t2 + t.
61.41. В пространстве М2 введено скалярное произведение
(/, д) = /(-1Ж-1) + f (0)д(0) + f (i)g(i).
Найти матрицу оператора Х>*, сопряженного к оператору
дифференцирования V, в каждом из базисов, указанных в предыдущей
задаче. Сравнить полученные матрицы с соответствующими
матрицами предыдущей задачи.
61.42. Оператор дифференцирования V действует в
пространстве многочленов М2 с естественным скалярным
произведением. Найти матрицу сопряженного оператора V* в каждом
из базисов, указанных в задаче 61.40.
61.43. Оператор дифференцирования V действует в
пространстве многочленов Мп со скалярным произведением (61.1)
с произвольными a, ft Е R: a < ft. Доказать, что сопряженный
оператор действует по правилу
f
J a
где hi(t) - многочлен степени не выше п, однозначно
определяемый из соотношений
гь
/h(t)tk dt = Ъкр(Ъ) - akp(a), к = 0, п.
fa
61.44. Оператор двукратного дифференцирования V2
действует в пространстве многочленов Мп со скалярным
произведением (61.1) с произвольными а, Ь Е Ш: a < Ъ. Доказать, что
сопряженный оператор действует по правилу
где h2(t) - многочлен степени не выше п, однозначно
определяемый из соотношений
I
J a
в которых W(f, g) =
/(*) /'(*)
- вронскиан функций f(t) и g(t).
9(t) g'(t)
61.45. Доказать, что для кронекерова произведения А® В
сопряженная матрица имеет вид Ан ® Вн.
61.46. Показать, что в пространстве Спхп со стандартным
скалярным произведением сопряженными для операторов QX —
АХВ и ТХ = АХ + ХВ) где Л, В - заданные квадратные
матрицы n-го порядка, являются операторы Q*X = АнХВН и
84 Глава XVI.Линейные операторы в унитарном пространстве
Т*Х = АНХ + ХВН соответственно.
61.47. Пусть А - матрица линейного оператора в базисе е
евклидова пространства, А* - матрица сопряженного оператора
в том же базисе. Доказать, что А* = Г~МТГ, где Г - матрица
Грама базиса е.
61.48. Пусть А - матрица линейного оператора евклидова
пространства в некотором базисе, Г - матрица Грама этого
базиса. Найти матрицу А* сопряженного оператора в том же базисе,
если:
1 1
1 1
Г =
,Г =
5 -2
-2 1
3 2
2 2
1
1
0
2
-1
1
0
1
1
1 "
0
1
1
-1
0
,г =
0 '
0
-3
' 2
-1
1
,г =
-1
1
0
" 1
1
-2
1 "
0
2
1
2
0
-2 "
0
9
а) А =
б) А =
в) А =
г) А =
61.49. Доказать теорему Фредгольма: для того чтобы
неоднородная система линейных уравнений Ах = Ъ была совместна,
необходимо и достаточно, чтобы столбец Ъ был ортогонален ко
всем решениям сопряженной однородной системы А*у = 0.
61.50. Доказать альтернативу Фредголъма: или система
уравнений Ах = b совместна при любой правой части ft, или
сопряженная однородная система А*у = 0 имеет ненулевое
решение.
61.51. Доказать, что для любого оператора А выполнены
соотношения:
а) кегА*А = кет А] б) imA*A = im.4*.
61.52. Пусть операторы А и В таковы, что В*А — О.
Доказать, что образы этих операторов суть ортогональные
подпространства.
61.53. Доказать, что если АВ* = В* А = О, то ранг
оператора А + В равен сумме рангов операторов А и В. При этом ядро
оператора А + В есть пересечение ядер операторов А и В.
61.54. Найти ядро и образ оператора, сопряженного к
оператору дифференцирования V, действующего в пространстве М2
§61 Сопряженный оператор
85
со скалярным произведением, определяемым: а) формулой из
задачи 61.41; б) формулой (61.1) с a = —1, Ъ — 1; в) стандартным
образом.
61.55. Оператор дифференцирования V действует в
пространстве многочленов Мп с естественным скалярным
произведением. Описать все инвариантные подпространства
сопряженного оператора V*.
61.56. Оператор дифференцирования V действует в
пространстве многочленов Мп со скалярным произведением:
а) определяемым равенством
б) формулой (61.1) с a = —1, 6=1.
В каждом из этих случаев найти n-мерное инвариантное
подпространства сопряженного оператора V*.
61.57. Найти двумерные инвариантные подпространства
оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе
трехмерного евклидова пространства матрицей:
а)
г)
0
0
1
0
1
1
1
0
0
-1
0
-1
;
1"
2
1
б)
; д)
3 -2
1 2
О 1
в)
-3
9
О
2 5
О -9
3 3
1 3 -3
-3 -5 -3
1 1 2
61.58. Пусть L - подпространство, инвариантное
относительно линейного оператора Л, действующего в евклидовом
(унитарном) пространстве V, Vo G C(V, L) - оператор
ортогонального проектирования V на L. Доказать, что
61.59. Оператор А, действующий в n-мерном евклидовом
(унитарном) пространстве V, имеет инвариантное
подпространство L размерности п — 1. Доказать, что подпространство LL
натянуто на некоторый собственный вектор оператора А*.
61.60. Оператор А действует в n-мерном пространстве V.
Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что любое его
инвариантное подпространство размерности п — 1 содержит образ
оператора А — А0Х, где Ао - некоторое собственное значение
оператора А.
86 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
61.61. Доказать, что линейный оператор Д, действующий
в n-мерном вещественном линейном пространстве, имеет
(п — 1)-мерное инвариантное подпространство тогда и только
тогда, когда спектр оператора А не пуст.
61.62. Построить ортонормированный базис (базис Шура), в
котором матрица линейного оператора А трехмерного евклидова
пространства будет верхней треугольной, и найти эту матрицу,
если А задан в некотором ортонормированном базисе матрицей:
а)
3
1
0
1
0
0
-2
2
1
2
2
1
3
1
1
-1 '
1
0
; б)
; д)
-3
9
0
' 3
2
3
2
0
3
1
0
-1
5
-9
3
-1 '
-2
-1
; в)
0
1
0
0
0
1
1
0
0
61.63. Найти все базисы Шура линейного оператора
пункта д) предыдущей задачи и найти соответствующие каждому
такому базису верхние треугольные матрицы оператора.
61.64. Найти базис Шура для оператора дифференцирования
Х>, действующего в пространстве М2 со скалярным
произведением, определяемым: а) формулой из задачи 61.41; б) формулой
(61.1) с a = -1, b = 1; в) стандартным образом.
61.65. Доказать, что перестановочные операторы Аи В,
действующие в унитарном пространстве, имеют общий базис Шура,
в котором матрицы этих операторов треугольные одинакового
вида.
61.66. Доказать, что любая квадратная комплексная
(вещественная) матрица А унитарно (соответственно ортогонально)
подобна квазитреугольной матрице В с треугольным клетками
на главной диагонали, т.е. существует такая унитарная
(ортогональная) матрица S, что А = SHBS.
61.67. Оператор А действует в унитарном пространстве V.
Найти связь между собственными значениями оператора А и
сопряженного оператора А*.
61.68. Пусть х - общий собственный вектор сопряженных
операторов А и А*. Доказать, что соответствующие вектору х
собственные значения Аи// являются комплексно сопряженными
числами.
61.69. Пусть х - собственный вектор оператора А,
отвечающий собственному значению А, у - собственный вектор опера-
§62. Нормальные операторы и матрицы 87
тора А*} отвечающий собственному значению //, причем // ф А.
Доказать, что векторы х и у ортогональны.
61.70. Пусть Кх и К* - корневые подпространства
операторов Л и Л*, отвечающие соответственно собственным значениям
А и /х, причем fi ф X. Доказать, что подпространства Кх и if*
ортогональны.
61.71. Как связаны жордановы формы сопряженных
операторов ЛиЛ*?
61.72. В пространстве многочленов М2 с естественным
скалярным произведением найти канонические базисы Жордана
для оператора дифференцирования V и сопряженного к нему
оператора V*.
61.73. Доказать, что базис Шура оператора Л определен
неоднозначно. Именно, для любого заранее заданного
расположения собственных значений Ai,..., An оператора Л найдется
ортонормированный базис унитарного пространства, в котором
матрица этого оператора - верхняя (нижняя) треугольная,
причем на главной диагонали стоят собственные значения Xj в
указанном порядке.
§62. Нормальные операторы и матрицы
Пусть V - унитарное или евклидово пространство. Линейный оператор
А е £{V, V) называется нормальным оператором, если
ААт = А* А.
Квадратная матрица А (комплексная или вещественная) называется
нормальной матрицей, если
АА" = А" А.
Из определения и теоремы 61.8 следует, что оператор нормален
тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе его матрица
нормальна.
Теорема 62.1. Собственный вектор нормального оператора,
отвечающий собственному значению \, является собственным вектором
сопряженного оператора, отвечающим собственному значению А.
Следствие. Если А - нормальный оператор, то
ker А = im"1" A, ker A* = im"1" A*.
Теорема 62.2. Собственные векторы нормального оператора,
отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.
Теорема 62.3 (критерий нормальности). Оператор,
действующий в унитарном пространстве, нормален тогда и только тогда, когда
существует ортонормированный базис из собственных векторов этого
оператора.
Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
Следствие. В унитарном пространстве нормальный оператор А и
его сопряженный А* имеют общий ортонор мир о ванный базис из
собственных векторов.
Теорема 62.4. Если любой собственный вектор оператора А,
действующего в унитарном пространстве V, является собственным
вектором сопряженного оператора А*, то А - нормальный оператор.
Подобные комплексные (вещественные) матрицы А и В = Q~l AQ
называются унитарно (соответственно ортогонально) подобными, если
матрица преобразования подобия Q унитарна (соответственно ортогональна), т.е.
если QHQ = QQH = / (соответственно QTQ = QQT = /).
Из определения следует, что две комплексные (вещественные)
квадратные матрицы одинакового порядка унитарно (соответственно ортогонально)
подобны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и
того же оператора в унитарном (соответственно евклидовом) пространстве в
ортонормированных базисах.
Теорема 62.5 (матричная формулировка теоремы 62.3).
Квадратная комплексная матрица является нормальной тогда и только
тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице.
Пример 62.1. Найти ортонормированный базис из собственных
векторов оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе евклидова
пространства матрицей
А =
1 1-1-1
1 1-1-1
-1-111
-1-111
Решение. Так как базис, в котором задана матрица оператора,
ортонормированный, то нормальность оператора следует из того, что А -
нормальная матрица, т.е. АТА = ААТ (последнее равенство очевидно в силу
симметричности матрицы А: Ат = А).
Построим характеристический многочлен матрицы А:
det(A - XI) =
1-Х
1
-1
-1
1 -1
1-Л -1
-1 1-Л
-1 1
-1
-1
1
1-Л
{вычтем из 1-й 1
строки 2-ю, а из > =
3-й строки 4-ю J
-Л Л О О
1 1-Л -1 -1
О О -Л Л
-1 -1 1 1-Л
прибавим ко 2-му
столбцу 1-й, а к 4-му
столбцу 3-й
= Л2
1
1
О
-1
1
1
О
-1
-1
о
1-Л -1
О 1
-1 1
о
2-Л
О
-2
О
-1
1
1
О
-1
-1
1-Л
о
-2
О
2-Л
2-Л -2
-2 2-Л
= (-Л)3(4-Л).
Отсюда следует, что собственными значениями матрицы А являются
числа Х\ = 4 и Лг = 0 алгебраических кратностей 1 и 3 соответственно.
§62. Нормальные операторы и матрицы
89
Для нахождения собственных векторов, отвечающих Ai = 4, решим
систему уравнений (А — 4/)я = 0:
-3 1 -1 -1
1 -3 -1 -1
-1 -1 -3 1
-1 -1 1 -3
1
0
0
1
2
0
0
1
-1
0
1
1
0
0
0
Этой системе удовлетворяет единственный линейно независимый вектор
/i = (-i,-i,i,i)T.
Для нахождения собственных векторов, отвечающих А 2 = 0, требуется
решить систему Ах = 0:
[1 1 -1 —1 | 0 ].
Этой системе удовлетворяют три линейно независимых вектора. Для
того, чтобы эти векторы были взаимно ортогональными, будем находить их
последовательно.
Возьмем в качестве первого решения вектор /г = (1,-1,1,— 1)т,а второе
решение /з будем искать так, чтобы оно было ортогонально вектору Д:
L \*t(i J2/ L
1 1-1-1
1-1 1-1
1 -1 -110
-2 2 0 0
Последней системе удовлетворяет, например, вектор /з = (1,1,1,1)т.
Аналогичным образом третье решение Д будем искать так, чтобы оно
было ортогонально векторам /г и /
Ах = 0,
1 1-1-1
0-220
1111
1 1-1-1
0-110
0 0 11
Последней системе удовлетворяет единственный линейно независимый
вектор Д = (1,-1,-1,1)т.
Итак, вектор Д образует базис собственного подпространства W\x,
отвечающего собственному значению Ai = 4, а векторы /г, /з, Д -
ортогональный базис собственного подпространства W\2, отвечающего собственному
значению А 2 = 0. В силу теоремы 62.2 объединение этих базисов дает
ортогональный базис всего пространства. После нормировки получим искомый
ортонормированный базис из собственных векторов:
2' ГГ2
Y
ез
-а-й-о-
-(1Л1Л
С2~ V2' 2'2' 1
-i
' 2'
ЗАДАЧИ
62.1. Показать, что всякий скалярный оператор унитарного
(евклидова) пространства является нормальным.
90 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
62.2. Показать, что если А - нормальный оператор, то
нормальными будут также операторы:
а) а А для любого числа a G С;
б) Лк при любом натуральном fc;
в) f(A) для любого многочлена /(£);
г) Л"1, если А невырожден;
д) А\
62.3. Показать, что всякий линейный оператор,
действующий в одномерном унитарном (евклидовом) пространстве,
является нормальным оператором.
62.4. Показать, что оператор поворота на плоскости V2
является нормальным оператором.
62.5. Показать, что оператор, действующий в пространстве
V3 по формуле Лх = [х, а], где а - заданный вектор, является
нормальным.
62.6. Показать, что в пространстве многочленов Мп с
естественным скалярным произведением следующие операторы
являются нормальными:
а) /(*)-»■ /(-*); 5)f(t)^t»f(t-1).
62.7. Доказать, что всякий циркулянт2 является нормальной
матрицей.
62.8. Привести примеры, показывающие, что сумма А + В и
произведение АВ нормальных операторов А и В в общем случае
уже не будут нормальными операторами.
62.9. Привести примеры, показывающие, что в
неортогональном базисе матрица нормального оператора: а) может не
быть нормальной; б) может быть нормальной.
62.10. Пусть A — B + iC - комплексная нормальная матрица
порядка п. Доказать, что действительная матрица D порядка 2п
вида
В -С
D=[C В
также является нормальной.
62.11. Доказать, что вещественная нормальная матрица
ортогонально подобна квазидиагональной матрице с
диагональными клетками первого и второго порядков.
2См. задачи 57.68, §57 и 58.68, §58.
§62. Нормальные операторы и матрицы 91
62.12. Доказать, что если строки и столбцы нормальной
матрицы рассматривать как векторы арифметического
пространства с естественным скалярным произведением, то:
а) длина fc-й строки равна длине fc-ro столбца;
б) скалярное произведение fc-й и j-й строк равно скалярному
произведению j-ro и fc-ro столбцов (в указанном порядке).
62.13. Доказать, что квазитреугольная нормальная матрица
обязательно является квазидиагональной.
62.14. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров
порядка fc, выбранных из строк нормальной матрицы А с
номерами ji,..., jk, равна аналогичной сумме для столбцов с теми
же номерами.
62.15. Доказать, что кронекерово произведение нормальных
матриц А и В (имеющих, быть может, разный порядок) само
является нормальной матрицей.
62.16. Пусть А и В - нормальные матрицы n-го порядка.
Доказать, что операторы ТХ — АХ В и QX = АХ + ХВ
являются нормальными операторами пространства Cnxn (IRnxn).
62.17. Доказать, что если Л - нормальный оператор, то:
кег Л* = кег A, im.4* = imA
62.18. Доказать, что оператор *4, действующий в унитарном
или евклидовом пространтве V', нормален тогда и только тогда,
когда для всякого вектора х справедливо равенство
\Лх\ = \А*х\.
62.19. Доказать следующее утверждение: для того чтобы
оператор Л, действующий в унитарном пространстве, был
нормальным, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа А
образ и ядро оператора Л — АХ были ортогональны. Верно ли
аналогичное утверждение в евклидовом пространстве?
62.20. Доказать, что оператор проектирования V на
подпространство Li параллельно L2 является нормальным тогда и
только тогда, когда подпространства Li и L2 ортогональны, т.е.
когда оператор V является оператором ортогонального
проектирования.
62.21. Доказать, что оператор 1Z отражения относительно
подпространства Ьг параллельно L2 нормален тогда и только
тогда, когда подпространства Ьг и L2 ортогональны, т.е. когда
оператор 1Z является оператором ортогонального отражения.
62.22. Доказать, что в любом подпространстве L унитарно-
92 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
го пространства, инвариантном относительно нормального
оператора А) существует ортонормированный базис, состоящий из
собственных векторов оператора А.
62.23. Показать, что собственные подпространства
нормального оператора попарно ортогональны.
62.24. Пусть е - собственный вектор нормального
оператора А. Доказать, что подпространство L, состоящее из всех
векторов, ортогональных е, инвариантно относительно А.
62.25. Доказать, что любая вещественная нормальная
матрица ортогонально подобна квазитреугольной матрице с
диагональными клетками первого и второго порядков (ср. с задачей
62.11).
Показать, что указанные ниже матрицы являются
нормальными, и для каждой из них найти ортонормированный базис из
собственных векторов.
62.
62.
62.
26.
28.
29.
1
^i I I' ^
[ г 1 J
" 2 - г -1
-1 1-г
0 1
Доказать, что
А
А =
.27.
0
1
2-г
0
-2
-1
матрица
' 1
1
-1
-1
1
2
0
2
1
1 -1
1 -1
1
1
1
-2
0
1
-1
1
-1
унитарно подобна диагональной, и найти соответствующую
матрицу преобразования подобия U.
62.30. Доказать, что две нормальные матрицы одного
порядка унитарно подобны тогда и только тогда, когда они
имеют одинаковые характеристические многочлены. Верно ли это
утверждение для матриц, не являющихся нормальными?
62.31. Доказать, что две нормальные матрицы n-го порядка
унитарно подобны тогда и только тогда, когда tr Ak = tr Bk для
всех к = 1,п.
62.32. Доказать, что если оператор, действующий в
унитарном пространстве, одновременно нормальный и нильпотентный,
то он нулевой. Верно ли это утверждение для оператора, дей-
§62. Нормальные операторы и матрицы 93
ствующего в евклидовом пространстве?
62.33. Может ли нормальный оператор иметь
неортогональный базис, составленный из собственных векторов?
62.34. Можно ли ввести скалярное произведение в
пространстве многочленов Мп (п > 1) так, чтобы оператор
дифференцирования V был нормальным оператором?
62.35. В пространстве многочленов Мп (п > 1)
рассматривается оператор, действующий по формуле Af(t) — f(t + а), где
а - некоторое заданное число. Можно ли задать скалярное
произведение в Мп так, чтобы этот оператор был нормальным?
62.36. Пусть V - произвольное линейное пространство.
Доказать, что, каков бы ни был оператор Л Е C(V, V) простой
структуры, можно задать скалярное произведение в V так,
чтобы Л был нормальным оператором.
62.37. Оператор Л арифметического пространства IR3 со
стандартным скалярным произведением имеет в естественном
базисе матрицу
1 1 1
О 0 1
0 0-1
Ввести скалярное произведение в IR3 так, чтобы оператор Л был
нормальным оператором.
62.38. Для каждого из следующих операторов, действующих
в пространстве М3, выяснить, можно ли ввести в М3 скалярное
произведение так, чтобы оператор стал нормальным, и, в случае
положительного ответа, построить соответствующее скалярное
произведение:
а)Л/(«) = /(«-1); 6)Af(t) = f(l-t); B)Af(t) = f(2-t);
г) А№ = /(2* + 1); Д) А№ = /(1 + t) + /(1 - t);
e)Af(t) = f(l-t) + f(2-t).
62.39. Доказать, что оператор Л является нормальным
тогда и только тогда, когда сопряженный оператор Л*
представляется многочленом от Л.
62.40. Пусть Л - нормальный оператор, действующий в
евклидовом пространстве V, причем Л2 = —1. Доказать, что
Л* = -Л.
62.41. Пусть а,ЬЕМи p(t) = t2 + at + b- многочлен, не
имеющий вещественных корней. Предположим, что Л - нормаль-
94 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
ный оператор, действующий в евклидовом пространстве, причем
р(А) = О. Доказать, что А* = -А — аХ.
62.42. Пусть А - нормальный оператор, действующий в
евклидовом пространстве V) L - двумерное инвариантное
относительно А подпространство в V', причем А не имеет в L
собственных векторов. Доказать, что подпространство L инвариантно
относительно оператора А*.
62.43. Пусть А - нормальный оператор, действующий в
двумерном евклидовом пространстве V, причем спектр А пуст.
Доказать, что в любом ортонормированном базисе пространства V
матрица оператора А имеет вид
а —Ъ
Ъ а
62.44. Доказать, что оператор А является нормальным
тогда и только тогда, когда для каждого инвариантного
подпространства L оператора А его ортогональное дополнение LL
также инвариантно относительно А.
62.45. Доказать, что оператор А является нормальным
тогда и только тогда, когда каждое подпространство,
инвариантное относительно А) инвариантно и относительно сопряженного
оператора А*.
62.46. Пусть нормальный оператор А перестановочен с
некоторым оператором В. Доказать, что:
а) А* перестановочен с В] б) А перестановочен с В*.
62.47. Пусть нормальный оператор Д, действующий в п-
мерном унитарном пространстве, имеет п различных
собственный значений. Доказать, что любой оператор /3,
перестановочный с Л, нормален.
62.48. Пусть А - комплексная нормальная матрица.
Доказать, что существует такая нормальная матрица В, что В2 = А.
62.49. Доказать, что перестановочные нормальные
операторы А и В имеют ортонормированный базис из общих
собственных векторов.
Показать, что указанные ниже матрицы Аи В - нормальные
и перестановочные, и построить для каждой пары
ортонормированный базис из общих собственных векторов.
62.50. А =
0
1
1
1
0
1
1
1
0
,в =
0
-1
1
1
0
-1
-1
1
0
§62. Нормальные операторы и матрицы 95
1 + 5г -2 + 2г 1 - г
62.51. А =
2
2
-1
2
-1
2
-1"
2
2
-2 + 2г 4 + 2г -2 + 2г
1 - г -2 + 2г 1 + 5г
62.52. Доказать, что если нормальные операторы Л и В
перестановочны, то нормальными будут и операторы А + В, АВ
и В А.
62.53. Пусть А и В - нормальные операторы, причем
известно, что их образы ортогональны. Доказать, что А + В -
нормальный оператор.
62.54. Доказать, что если операторы А) В и АВ нормальны
и хотя бы один из операторов А или В имеет не только
простые, но и различные по модулю собственные значения, то Л и
В перестановочны.
62.55. Доказать, что если операторы Л, В и АВ
нормальны и хотя бы один из операторов А или В не имеет различных
собственных значений одинакового модуля, то А и В
перестановочны.
62.56. Привести пример нормальных операторов ДиВ, для
которых операторы АВ и В А нормальны и различны.
62.57. Доказать, что комплексная матрица А = (akj) Е Спхп
нормальна тогда и только тогда, когда
fcj=l k=l
где Аь..., Ап - все (с учетом кратности) собственные значения
матрицы А.
62.58. Пусть А - нормальный оператор, действующий в 71-
мерном унитарном пространстве V, и числа Ai,..., Ап являются
собственными значениями оператора А с учетом их
алгебраической кратности. Доказать, что А - нормальный оператор тогда
и только тогда, когда
к=1
62.59. Матрицы Л, В и АВ нормальны. Доказать, что
матрица В А также нормальна.
62.60. Спектральным радиусом р(А) оператора А
называется максимальный из модулей его собственных значений А1}..., Ап:
р(А) = max|Afc|.
96 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
Обосновать следующую экстремальную характеристику
спектрального радиуса нормального оператора А:
\(Лс,х)\
= max — г—.
хфВ (Х)Х)
Что можно сказать о векторах, на которых достигается этот
максимум?
62.61. Доказать, что имеют место следующие оценки для
спектрального радиуса нормальной матрицы А n-го порядка:
а) р(А) > 1
п
n
akj
б) р(А) > max \akk\.
Kk<n '
62.62. Доказать, что для спектрального радиуса
нормального оператора А справедлива формула
р(А) = max
\Х\
Всякий ли вектор х, реализующий указанный максимум, будет
собственным вектором оператора А ?
§63. Унитарные операторы и матрицы
Линейный оператор Ы, действующий в унитарном (евклидовом)
пространстве, называется унитарным (соответственно ортогональным)
оператором, если
iru = uir =i.
Из определения вытекает, что
1) оператор Ы унитарен (ортогонален) тогда и только тогда, когда в
любом ортонормированном базисе он имеет унитарную (соответственно
ортогональную) матрицу;
2) для унитарного (ортогонального) оператора U
|detW| = 1;
3) для унитарного (ортогонального) оператора Ы
ЪГ =£Г1;
4) унитарный (ортогональный) оператор нормален.
Теорема 63.1 (критерии унитарности). В унитарном
(евклидовом) пространстве V следующие утверждения равносильны:
1) оператор Ы унитарен (ортогонален);
2) UmU = l;
3) UU* =1;
§63. Унитарные операторы и матрицы
97
4) операторы сохраняет скалярное произведение, т.е.
(Ых,Ыу) = (х,у), Vx,yeV;
5) оператор Ы изометричен, т.е. сохраняет длину:
6) оператор U переводит любой ортонор мир о ванный базис V в орто-
нормированный базис;
7) оператор U переводит хотя бы один ортонор мир о ванный базис V в
ортонор мир о ванный базис.
Следствие. Унитарный (ортогональный) оператор на любом своем
инвариантном подпространстве индуцирует унитарный
(соответственно ортогональный) оператор.
Теорема 63.2 (спектральная характеристика унитарного
оператора). Нормальный оператор в унитарном пространстве унитарен
тогда и только тогда, когда все его собственные значения по модулю
равны единице.
Теорема 63.3. Если подпространство L инвариантно
относительно унитарного (ортогонального) оператора U, то его ортогональное
дополнение L1" также инвариантно относительно Ы.
Теорема 63.4. Для любого ортогонального оператора Q в
евклидовом пространстве существует ортонормированный базис е, в котором
его матрица имеет квазидиагональную форму с клетками вида
Г cosy? -sinу? 1 г ±1 1
[ sin ip cos ip J L J
на главной диагонали:
Qe =
-1
О
-1
о
cos y?i - sin (pi
sin ip\ cos ip\
COS Ifk — Sin ipk
sin (pk cos (pk
(63.1)
Матрица (63.1) называется канонической формой матрицы
ортогонального оператора.
Простым вращением называется оператор в евклидовом пространстве,
который в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу вида
98 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
О
cos ip — sin ip
sin ip cos ip
О
1
Простым отражением называется оператор в евклидовом
пространстве, который в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу вида
1
О
-1
О
1
Теорема 63.5. Всякий ортогональный оператор может быть
представлен как произведение некоторого числа простых вращений и
простых отражений.
Пример 63.1. Линейный оператор А унитарного (евклидова)
пространства переводит векторы базиса /i,..., Д» соответственно в векторы
0i,... ,£п> Показать, что оператор А унитарен (ортогонален) тогда и
только тогда, когда матрицы Грама систем /i,..., fn и #i,..., gn совпадают.
Решение. Пусть х =
и у =
- произвольные векторы
k=i
пространства. Оператор Л - унитарен (ортогонален) тогда и только тогда,
когда он сохраняет скалярное произведение любой пары векторов. Так как
{х,у) = ]Р xkyj(fk,fj), (Ax,Ay) = ^Г xkyj(Afk,Afj) = ]Р xky-{gk,g3),
k,j = l k,j = l k,j = l
то унитарность (ортогональность) оператора равносильна равенству
kfk, У =
A:,jf = l k,j = l k = l j = l
что, как легко проверить, равносильно совпадению матриц Грама
Пример 63.2. Оператор А задан в некотором базисе четырехмерного
пространства V матрицей
А =
12 11
2 111
-2 -2 -2 -1
-2 -2 -1 -2
§63. Унитарные операторы и матрицы
99
Показать, что оператор Л является оператором отражения, и ввести
скалярное произведение в V так, чтобы оператор Л был ортогональным.
Решение. 1. Покажем, что оператор А имеет простую структуру, а
его спектр состоит из двух чисел: Ai = — 1 и Л2 = 1. В этом случае
пространство V разлагается в прямую сумму собственных подпространств W\Y
и W\2, отвечающих собственным значениям Ai = -1hA2 = 1
соответственно. Отсюда непосредственно следует, что оператор А является оператором
отражения в подпространстве W\2 относительно W\x. Действительно:
Ух € V : х = х\ +х2, \ А
Итак, построим характеристический многочлен оператора А:
det(A - .
1-А 2 1 1
2 1-А 1 1
-2 -2 -2-А -1
-2 -2 -1 -2-А
-1-А
2
0
-2
= (
1
1
А
+ А
-А
0
-2
+ 1)2
0
1
-1-
-1
1
2
0
-2
0
1
А 1 +
-2-
0
3-А
0
-4
А
-А
—
0
1
1
-1
(А-
-3
f
0
2
0
1)
-А
1
2 1
0
-2
= (А
-1
-А
0
-2
0
1
1
-1
1(А-
0
1
-1
-2-А
1).
Таким образом, собственными значениями являются числа Ai=—1иА2 = 1
алгебраических кратностей mi = 3 и т,2 = 1 соответственно.
Для нахождения собственных векторов, отвечающих собственному
значению Ai = —1, необходимо решить систему
{А + /)я? = 0 <=^ [ 2 2 1 1 | 0 ].
Фундаментальная система решений этой системы е\ = (1,—1,0,0)т,
е2 = (0,0,1,-1)т, ез = (1,0, -2,0)т образует базис собственного
подпространства W\x, откуда следует, что геометрическая кратность собственного
значения Ai = — 1 равна трем и совпадает с его алгебраической кратностью
mi.
Для нахождения собственных векторов, отвечающих собственному
значению А2 = 1, необходимо решить систему
(А -1)х =
0 2 11
2 0 11
-2 -2 -3 -1
-2 -2 -1 -3
1
0
0
-1
1
0
0
1
-1
0
0
1
0
0
0
Фундаментальная система решений этой системы состоит из одного
вектора б4 = (1,1,— 1, — 1)т и образует базис собственного подпространства
W\2. Тем самым, геометрическая кратность собственного значения А-2 = 1
равна единице и совпадает с его алгебраической кратностью шг-
Согласно критерию теоремы 58.3 оператор А имеет простую структуру.
2. Как следует из теоремы 63.2, оператор А простой структуры с
собственными значениями Ai = — 1 и Аг = 1 будет ортогональным, если его
собственные векторы образуют ортонормированный базис.
100 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
Введем скалярное произведение так, чтобы базис ei, е2, ез, е4,
построенный выше, был ортонормированным.
Пусть два произвольных вектора х и у пространства V заданы вектор-
столбцами своих координат в исходном базисе:
х = (xi,x2,X3,xa)t, у = (2/1,2/2,2/з, 2/4 )Т-
Разложим векторы х и у по базису е:
х = aiei + a2e2 + а3е3 + а4е4, 2/ = Aei + #262 + /Ззез + fae*
и введем скалярное произведение равенством
(я?, у) = a i/?i +а2/32 +а3/3з + а4/34. (63.2)
Очевидно, что в этом случае система ei, е2, ез, е4 станет ортонормирован-
ной.
Чтобы найти координаты вектора х = (х\, х2, яз, ха)Т в базисе е, решим
систему:
1 О
-1 О
О 1
О -1
Г 2 О О О
0 2 0 0
0 0 10
0 0 0 2
1
0
-2
0
1
1
-1
-1
Х\
х2
хз
Х4
->
-10 0 1
0 1-2-1
0 О
О О
х2
хз
+Х2
—2х\ — 2х2 — хз — 3
—Х\ — х2 — Хз — х\
2х\ + 2х2 + хз
OL\ =
+• Х'з + Х4
i+XM
= —a?i - х2 —
а3 = -х\ - Х2 -хз- x
ХЗ +ХА
Q4 = Х\ + Ж2 Н .
Аналогичные соотношения (с заменой Zj на yj) имеют место для
координат вектора у = (уь2/2,уз,2/4)Т в базисе е.
Окончательно из (63.2) получим формулу для скалярного произведения:
(ж, у) =
) (2/1
+ (х\ +
(2/1+2/2
+ 2/4
(
ял
4-
+ 2/2
2/з + 2/4)
) (2/1+2/2
ЗАДАЧИ
63.1. Доказать, что ортогональные (унитарные) операторы
в пространстве £(У, V) образуют мультипликативную группу.
63.2. Образует ли подгруппу в группе всех ортогональных
операторов, действующих в евклидовом пространстве:
а) подмножество операторов с определителем, равным 1;
§63. Унитарные операторы и матрицы 101
б) подмножество операторов с определителем, равным —1?
63.3. Пусть V - евклидово (унитарное) пространство, L -
некоторое его подпространство. Образует ли подгруппу в группе
ортогональных (унитарных) операторов подмножество
операторов, для которых L является инвариантным подпространством?
63.4. Показать, что произведение унитарного оператора на
число а является унитарным оператором тогда и только тогда,
когда \а\ = 1.
63.5. Описать все унитарные операторы, действующие в
одномерном пространстве.
63.6. Определить, является ли ортогональным
(соответственно, унитарным) оператор:
а) поворота плоскости V2 на угол а;
б) оператор, действующий в пространстве V3 по формуле
Ах = [х, а], где а - заданный вектор;
в) оператор, действующий в пространстве Мп со
стандартным скалярным произведением по правилу Af(t) = /(—£);
г) оператор, действующий в пространстве Мп со
стандартным скалярным произведением по правилу Af(t) = tnf(t~1)]
д) оператор из пункта "в)", если скалярное произведение в
Мп задано формулой (61.1) с а = —1, 6=1;
е) оператор из пункта "г)", если скалярное произведение в
Мп задано формулой (61.1) с а — —1, 6=1;
ж) оператор, действующий в пространстве Rmxn (Cmxn) со
стандартным скалярным произведением по правилу ТХ — АХ,
где А - заданная матрица порядка га;
з) оператор, действующий в пространстве Rmxn (Cmxn) со
стандартным скалярным произведением по правилу ТХ — ХВ,
где В - заданная матрица порядка п.
63.7. Пусть А - нормальный оператор, действующий в
трехмерном унитарном пространстве. Доказать, что если
собственные значения Ах, А2, А3 этого оператора, рассматриваемые как
точки комплексной плоскости, не лежат на одной прямой, то
оператор А можно представить в виде
А = al + fill,
где U - унитарный оператор, а € С, р > 0 - некоторые числа.
63.8. Может ли оператор проектирования быть унитарным?
63.9. Показать, что оператор ортогонального отражения
является унитарным оператором.
102 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
63.10. Показать, что операторы задачи 63.6, пунктов "в)" и
"г)" являются операторами ортогонального отражения. Найти
собственные подпространства каждого из них.
63.11. Доказать, что нормальный оператор *4,
удовлетворяющий условию Ак = I при некотором целом к ф 0, является
унитарным оператором.
63.12. Линейный оператор А евклидова (унитарного)
пространства переводит некоторый базис Д,..., fn в систему
векторов gl = Afi)..., gn = Afn. Показать, что оператор А
ортогонален (унитарен) тогда и только тогда, когда матрицы Грама
систем /i,..., /п и gi,...,gn совпадают.
63.13. Определить, является ли ортогональным оператор
А n-мерного евклидова пространства, действующий на векторы
ортонормированного базиса ei,..., еп по формулам:
a) Aei = ex+e2, Ae2 = е2; б) Аех = ei+e2, Ae2 = ei —е2;
в) Аех = -i=(ei + ег), Ае2 = ~^(e
г) Аег = — (5ех - 12е2), Ае2 = —
д) >tex = -(3ei + 4е2), Де2 = -{4ег + Зе2);
е) Лех = ei+2e2 + 2e3, Ле2 = 2ei+e2-2e3, Ае3 =
ж) Дв1 = -(2ei + е2 - 2е3), Ле2 = —=(ei + е3),
о у 2
-4е3 = —^(-е!+4е2 + е3);
з) Дв1 = ~^(е1 + ег), ^4е2 = -(е2 + \/Зе3), Ле3 = ~д{^\ ~ ез).
63.14. Определить, является ли унитарным оператор А 71-
мерного унитарного пространства, действующий на векторы
ортонормированного базиса еь ..., еп по формулам:
а) Аех — ei+ie2, Де2 = zei; б) Дех = ei+ie2, Де2 - iex+e2\
в) Дв1 = ~^(2ei + ie2), ^4e2 = -j=(iei + 2e2);
г) Ае± - ^(2ei + (1 + 2г>2), Ае2 = ^(5ei - 2(1 + 2г)е2);
§63. Унитарные операторы и матрицы 103
Д) Aei = -?={ei + ie2), Ле2 = -{iei + е2- iV2e3),
Ле3 = -(ex -ie2 + \/2e3);
e) ^ei = ~^(ei - г'е2), *4e2 = g(2iei + e2 - 2ie3),
*4e3 - -(ei -2ге2 + 2е3).
63.15. Линейный оператор *4 евклидова пространства
переводит систему векторов, заданных в некотором ортонормиро-
ванном базисе координатными столбцами ai,...,an, в систему
векторов, заданных в том же базисе координатными столбцами
bi,...,Ьп соответственно. Проверить, является ли оператор Л
ортогональным, если:
а) п1 = (3,4)т, а2 = (1,3)т, Ьх = (5,0)т, Ь2 - (3, if;
б) п1 = (2, -1)т, а2 - (-1,1)т, Ьх - (1,2)г, Ь2 - (1,1)т;
в) в1 = (1,2,2)т, а2 = (1,1,0)т, а3 - (0,1, -1)т, Ьг - (2,2,1)т,
Ь2 = (0,1,1)т,Ь3-(-1,1,0)т;
г) в1 = (2,2,2,2)т, а2 - (2,0,2,2f, а3 - (2,2,0,2)т, а4 =
(2,2,2,0)т, Ьг - (4,0,0,0)т, 62 = (3,-1,1,1)т, Ь3 = (3,1,-1,1)т,
64 = (3,1,1,-1)т.
63.16. Пусть А - матрица линейного оператора в некотором
базисе, Г - матрица Грама этого базиса. Каким необходимым
и достаточным условиям должна удовлетворять матрица А для
того, чтобы этот оператор был:
а) ортогональным (в евклидовом пространстве);
б) унитарным (в унитарном пространстве)?
Отдельно рассмотреть случай, когда базис ортонормированный.
63.17. Пусть А - матрица линейного оператора в ортонор-
мированном базисе n-мерного евклидова (унитарного)
пространства. Показать, что каждое из следующих условий необходимо
и достаточно для ортогональности (унитарности) этого
оператора:
а) столбцы матрицы Л, рассматриваемые как векторы Еп
(Сп), образуют ортонормированный базис;
б) строки матрицы А, рассматриваемые как векторы Еп (Сп),
образуют ортонормированный базис.
63.18. Проверить, является ли ортогональным линейный
104 Глава ХУГЛинейные операторы в унитарном пространстве
оператор, заданный в ортонормированном базисе евклидова
пространства матрицей:
-3 -2
-2 3
а)
1 -1
1 1
б)
, 1 Г 4 3
в) i I -3 4
D 4
•>1
0
-1
-1
2
2
-1
1
0
1
2
-1
2
1
-1
0
-1 "
2
2
1
' 3
; ж)
-
5[
2 2
1 -2
2 -2
12 0
2 5-2
0-2 5
1
63.19. Проверить, является ли унитарным линейный
оператор, заданный в ортонормированном базисе унитарного
пространства матрицей:
J_ [ 1 + i -i
а)
г
-1
' 1
1
1
1
1 .
1
г
_ y
—г
б)
1
-1
1
-1
1
\/2
1
—г
-1
г
в)
Vsl -i i-«T
63.20. Доказать, что если матрица А = (akj) G Cnxn
унитарна, то В = (bkj) £ Cnxn, где bkj = la^l2) ~ дважды
стохастическая матрица.
63.21. Доказать, что всякая матрица перестановок является
унитарной матрицей.
63.22. Доказать, что если р(А) - характеристический
многочлен ортогональной матрицы порядка п, то Апр(1/А) = ±р(А).
63.23. Доказать, что каждый элемент унитарной матрицы
равен по модулю своему дополнительному минору.
63.24. Доказать, что сумма квадратов модулей всех
миноров порядка fc, стоящих в произвольных к строках (столбцах)
унитарной матрицы, равна единице.
63.25. Пусть угловой минор порядка к унитарной матрицы
U по модулю равен единице. Доказать, что в таком случае U
имеет квазидиагональный вид
С/п О
о и22
где С/ц - клетка порядка к.
§63. Унитарные операторы и матрицы
105
А =
63.26. Пусть U = Р + iQ - комплексная унитарная матрица
порядка п. Доказать, что действительная матрица порядка In
вида
р -Q
.Q р
является ортогональной.
63.27. Доказать, что кронекерово произведение унитарных
матриц U и V (имеющих, быть может, разный порядок) само
является унитарной матрицей.
63.28. Пусть U и V - унитарные матрицы n-го порядка.
Показать, что:
а) оператор ТХ = UXV является унитарным;
б) оператор QX = UX + XV, вообще говоря, не является
унитарным.
63.29. Показать, что при унитарно подобном
преобразовании нормальная матрица переходит в нормальную.
63.30. Может ли матрица ортогонального (унитарного)
оператора в некотором базисе быть неортогональной (неунитарной)?
63.31. Линейный оператор *4, действующие в евклидовом
пространстве V, задан в базисе /ь ..., /п матрицей A] ei,..., еп
- ортонормированный базис в V. Определить, является ли
оператор Л ортогональным, если:
1 Г 7
a) /i = ех + е2, /2 = е2, А = -
+ е2, А = -=
б) Л =ej, /2 =
в) Л = Зех + е2, /2 = 2ej + е2, А =
4
-1
-1
1
1 Г -<
г) /i =еь /2 = -ei+e2,/3 = е1-е2+е3, А=-
-5
10
2
1
-2
1
2
2
д) /i = е2 + е3, /2 = ех + е3, /3 = ех + е2, А = -
1
-2
1
2 3 0
-3 0 0
2 0 3
63.32. Доказать, что линейный оператор, сохраняющий
ортогональность любых двух векторов, лишь числовым
множителем отличается от некоторого унитарного оператора.
63.33. Доказать, что всякое отображение, действующее в
евклидовом (унитарном) пространстве и сохраняющее в нем ска-
106 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
лярные произведения, линейно.
63.34. Может ли ортогональный оператор:
а) не иметь собственных векторов;
б) обладать базисом из собственных векторов;
в) иметь по крайней мере один собственный вектор, но не
иметь базиса из собственных векторов?
Привести соответствующие примеры.
63.35. Найти собственные значения и какую-нибудь
максимальную ортонормированную систему собственных векторов
ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормиро-
ванном базисе евклидова пространства матрицей:
1 Г 1 -1 1 ^ 1 Г 1 11 ч 1 Г 4 3
1 -1
5-3 5
ж)
3 4
4 -3
0 0 1
1 О О
О 1 О
1
3
-ч/б
д)
cos a — sin a
sin a cos a
e)
cos a sin a
sin a — cos a
3
1
м)
0 0 0 1
10 0 0
0 10 0
0 0 10
1
3) ~
3
<
<
v/6l
-v/6
-2
; н)
1
2
2
•
1
2
2
1
-2
л)
' 1
1
1
-1
2
-2
1
1
1
о
2
1
1
-1
1
у/2
-v/2
0
1
1
1
1
-
3
2
1
-2
1
1
1
2
2
1 "
1
v/2 -v/2
-1 "
1
1
1
2
-2
1
63.36. Найти собственные значения и какой-либо ортонор-
мированный базис из собственных векторов унитарного
оператора, заданного в ортонормированном базисе унитарного
пространства матрицей:
«я[
1
в)
cos a
sin a
— sin a
cos a
1
—i
2i
2*
e)
0
1
0
§63. Унитарные операторы и матрицы
107
ж)
и)
1
J.
3
1
1
с\
2
' 2
1
-2
" V2
-v/2
0
1
2
2
2 "
-2
1
1
1
/2 -
1 "
1
V2
1
3>Z
4
1
3
-v/6
2
г
.
3
1
i
i
-1-г
v^'
-\/б
-2 _
—г
1
1-г
-1-г
-1 + г
о
л)
0 0 0 1
10 0 0
0 10 0
0 0 10
63.37. Пусть линейный оператор евклидова (унитарного)
пространства обладает ортонормированным базисом из
собственных векторов, отвечающих собственным значениям, по
модулю равным единице. Доказать, что оператор является
ортогональным (унитарным).
63.38. Доказать, что оператор *4, заданный в
ортонормированном базисе евклидова пространства матрицей:
1
-1
2
1
2 -2
2
-2
1
; д)
' 0
1
0
0
л
-3
0
0
1
0
0
0
0
1
в)
Г cos а sin а
' [ sin a — cos a
1 '
0
0
0
>
представляет собой ортогональное отражение относительно
некоторого подпространства L. Найти это подпространство.
63.39. В базисе 1,М2 пространства М2 оператор Л имеет
матрицу
3 -2 -2
2 -1 -2
2 -2 -1
Показать, что Л - оператор отражения. Ввести в М2 скалярное
произведение так, чтобы Л был ортогональным оператором.
63.40. Пусть в некотором ортонормированном базисе
матрица унитарного оператора Л вещественна и пусть / -
собственный вектор оператора *4, отвечающий комплексному
собственному значению А = а + г/3, /3 ф 0. Пусть / = u + iv, где векторы и
и v имеют в том же базисе вещественные координаты. Доказать,
108 Глава ХУТ.Линейные операторы в унитарном пространстве
что:
а) вектор д — и — iv является собственным вектором
оператора *4, отвечающим собственному значению Л = а — г/3;
б) векторы и и v ортогональны и, кроме того, \и\ = |v| =
|/|/\/2, Аи = аи — /3v, Av — (Зи + av.
63.41. 1. Пусть А - ортогональный оператор и А = а + г/3
(/3^0)- комплексный корень его характеристического
многочлена. Доказать, что найдется пара ненулевых ортогональных
векторов и, v таких, что Аи = аи - /?v, Av = /Зи + av.
2. Доказать, что всякий ортогональный оператор обладает
одномерным или двумерным инвариантным подпространством.
63.42. Ортогональный оператор А в некотором ортонорми-
рованном базисе евклидова пространства задан матрицей:
. 1 га -11 к. 1 г з 4 1 Г о о 1
a)75ll I J; 6) S I 4 -3 J> r>
1
о
-I
»)J
»>^
2 1 2
1 2 -2
-2 2 1
V2 1 1
-\/2 1 1
0 \/2 -v^
1111
1 1-1-1
1-1 1-1
1-1-1 1
1 3 v/6
3 1 -v/6
-v/6 л/6 -2
0 0 0 1
10 0 0
0 10 0
0 0 10
1
1
-1
-1
1 1 1
1 -1 -1
1 -1 1
1 1 -1
Найти канонический базис и матрицу оператора Л в этом базисе.
63.43. Доказать, что унитарная матрица второго порядка с
определителем, равным единице, подобна вещественной
ортогональной матрице.
63.44. Доказать, что линейный оператор Л,
удовлетворяющий условию
(Л*)100 = А-1,
является унитарным.
63.45. Известно, что все собственные значения оператора
A G C(V,V) по модулю равны единице и \Ах\ < \х\ для всех
§63. Унитарные операторы и матрицы 109
xeV.
1. Доказать, что оператор Л имеет простую структуру.
2. Показать, что собственные векторы, отвечающие
различным собственным значениям, ортогональны.
3. Вывести из полученных выше свойств, что Л - унитарный
оператор.
63.46. Доказать, что любая квадратная комплексная
(вещественная) матрица А может быть представлена в виде
А = QR, (63.3)
где Q - унитарная (ортогональная) матрица, R - правая
треугольная. Представление (63.3) называется QR-pизложением
матрицы А.
63.47. Пусть А = QiRi и А = Q2#2 - два (ЗД-разложения
невырожденной матрицы А. Доказать, что найдется унитарная
(ортогональная) диагональная матрица U такая, что
Q2 = QiU, Rx = UR2.
63.48. Доказать, что для матрицы R из разложения (63.3)
имеет место равенство А* А = R*R.
63.49. Найти условие на вектор-столбец ги, при выполнении
которого матрица вида
Н = 1- 2wwH (63.4)
является унитарной.
63.50. Пусть w - нормированный вектор-столбец. Доказать,
что соответствующая ему матрица (63.4), рассматриваемая как
оператор арифметического пространства со стандартным
скалярным произведением, задает в нем ортогональное отражение.
Такая матрица Н называется матрицей отражения.
63.51. Для матрицы отражения найти:
а) собственные значения и собственные векторы;
б) ее определитель.
63.52. Показать, что всякая унитарная матрица, все
собственные значения которой равны 1 и —1, причем собственное
значение —1 простое, может быть представлена в виде (63.4).
63.53. Показать, что матрица . есть матри-
' [ sin a -cos а J *
ца отражения. Найти соответствующий ей вектор
ПО Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
63.54. Показать, что вектор w можно выбрать так, чтобы
порожденная им матрица отражения переводила заданный
вектор х в вектор, коллинеарный единичному столбцу ei
(предполагается, что сам вектор х не коллинеарен ei).
63.55. Используя результат предыдущей задачи, построить
алгоритм получения фД-разложения квадратной матрицы.
§64. Самосопряженные операторы и матрицы
Линейный оператор А, действующий в унитарном (евклидовом)
пространстве, называется самосопряженным, если
Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называют
эрмитовым, а в евклидовом пространстве - симметрическим.
Квадратная матрица А (комплексная или вещественная) называется
самосопряженной, если А = Ан. Комплексную самосопряженную матрицу
называют эрмитовой, а вещественную - симметрической или вещественно-
эрмитовой (очевидно, для симметрической матрицы: А = АТ).
Из определения вытекает, что:
1) самосопряженный оператор нормален;
2) оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда в любом орто-
нормированном базисе он имеет самосопряженную матрицу;
3) определитель самосопряженного оператора веществен;
4) если подпространство L инвариантно относительно
самосопряженного оператора А, то ортогональной дополнение LL также инвариантно
относительно А',
5) самосопряженный оператор на любом своем инвариантном
подпространстве индуцирует самосопряженный оператор.
Теорема 64.1 (спектральная характеристика
самосопряженного оператора). Нормальный оператор в унитарном (евклидовом)
пространстве самосопряжен тогда и только тогда, когда все корни его
характеристического многочлена вещественны, или, в другой
формулировке, оператор, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве,
самосопряжен тогда и только тогда, когда существует ортонормиро-
ванный базис, в котором его матрица имеет вещественную диагональную
форму, или, в матричной формулировке, нормальная матрица (комплексная
или вещественная) является самосопряженной тогда и только тогда,
когда она унитарно подобна вещественной диагональной матрице.
Линейный оператор А, действующий в унитарном (евклидовом)
пространстве, называется косоэрмитовым (соответственно, ко со
симметрическим), если
А' = -А.
Квадратная комплексная матрица называется косоэрмитовой, если
Ан = — А. Квадратная вещественная матрица называется кососимметри-
ческой, если АТ = —А.
Из определения следует, что оператор А косоэрмитов (кососимметри-
чен) тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном
§64. Самосопряженные операторы и матрицы 111
базисе пространства косоэрмитова (соответственно, кососимметрична).
Теорема 64.2. Линейный оператор Л в унитарном
пространстве эрмитов тогда и только тогда, когда оператор гЛ косоэрмитов.
Из этой теоремы следует, что все свойства самосопряженных операторов
переносятся на косоэрмитовы (кососимметрические) операторы с той лишь
разницей, что в последнем случае все корни характеристического
многочлена чисто мнимые.
ЗАДАЧИ
64.1. Доказать, что множество всех самосопряженных
операторов, действующих в унитарном (евклидовом) пространстве
образует аддитивную группу.
64.2. Пусть V - евклидово пространство. Доказать, что
в линейном пространстве C(V, V) множество всех
симметрических (кососимметрических) операторов образует линейное
подпространство. Справедливо ли это утверждение для эрмитовых
(косоэрмитовых) операторов, действующих в унитарном
пространстве VI
64.3. Показать, что произведение ненулевого эрмитова
оператора на число а будет также эрмитовым оператором тогда и
только тогда, когда число а действительно.
64.4. Пусть А - линейный оператор, действующий в
унитарном (евклидовом) пространстве V. Проверить
самосопряженность операторов:
а)Д + Л*; б) АД'; в) Л*Л\
г) i(A — А*) (если V - унитарное пространство).
64.5. Пусть Hi и Н2 - самосопряженные операторы,
действующие в унитарном (евклидовом) пространстве V. Доказать,
что:
а) %\%2 + ^2^i ~ самосопряженный оператор;
б) %{Н2 ~ самосопряженный оператор тогда и только тогда,
когда операторы Н\ и У,2 перестановочны;
в) их коммутатор [T^i,?^] косоэрмитов (соответственно ко-
сосимметричен).
64.6. Доказать, что проектирование унитарного
(евклидова) пространства V на подпространство L\ параллельно
подпространству L2 будет самосопряженным оператором тогда и
только тогда, когда Lx и L2 ортогональны.
64.7. Доказать, что отражение унитарного (евклидова)
пространства V относительно подпространства Ьх параллельно под-
112 Глава ХУГЛинейные операторы в унитарном пространстве
пространству L2 будет самосопряженным оператором тогда и
только тогда, когда Lx и L2 ортогональны.
64.8. Описать все эрмитовы операторы, действующие в
одномерном пространстве.
64.9. Линейный оператор А действует в двумерном
евклидовом пространстве, причем для некоторой пары неколлинеарных
векторов х и у выполнено
{Ах, у) = {х,Ау).
Доказать, что А - симметрический оператор.
64.10. Показать, что оператор, действующий в
геометрическом пространстве V3 по правилу Ах = [х, а], где а - заданный
вектор, является кососимметрическим.
64.11. Оператор, действующий в пространстве Е4 со
стандартным скалярным произведением, переводит векторы Д =
(0,1,1,1), /2 = (-1,0,1,1), /з = (-1, -1,0,1), U = (-1, -1, -1,0)
соответственно в векторы ^ — (3, —1, —1, —1), д2 — (1, —3, —1, —1),
#з = (—lj —3, —1,1), #4 = (—3, —1, —1,1). Будет ли этот оператор
симметрическим?
64.12. Показать, что операторы задачи 62.6 являются
симметрическими в пространстве Мп со стандартным скалярным
произведением.
64.13. Показать, что оператор, унитарный и эрмитов
одновременно, или равен ±1, или является оператором
ортогонального отражения.
64.14. Доказать, что если линейный оператор *4,
действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, обладает любыми
двумя из следующих трех свойств:
1) А - самосопряженный оператор;
2) А - унитарный (соответственно, ортогональный)
оператор;
3) А - инволюция, т.е. А2 = X,
то он обладает и третьим свойством. Найти все классы
операторов, обладающих всеми этими свойствами.
64.15. Выяснить, будет ли самосопряженным линейный
оператор, заданный в ортонормированном базисе следующей
матрицей:
2 2-1
2-12
-12 2
1
-2
3
-3
7
2
-Г
2
-4
; г)
164. Самосопряженные операторы и матрицы
113
64.16. Выяснить, будет ли самосопряженным линейный
оператор, заданный в ортонормированном базисе унитарного
пространства следующей матрицей:
а)
д)
б)
1 -г
-г 1
1
i
0
1
i
0
-2г_
; e)
в)
1
1 + г
О
5 i
-i 1
1-г
3
—г
1
1-г
1 + г
Зг
64.17. Может ли матрица самосопряженного оператора в
некотором базисе евклидова пространства быть
несимметрической?
64.18. Найти ортонормированный базис е из собственных
векторов и матрицу Ае в этом базисе для линейного оператора,
заданого в некотором ортонормированном базисе матрицей:
а)
2 2
2 2
; б)
-2»
4
в)
11
2
-8
2
2
10
-8
10
5
; г)
17 -8 4
-8 17 -4
4 -4 11
64.19. Привести указанные матрицы унитарно подобным
преобразованием к диагональному виду:
[9 о i о 1 г 9 о 1 о —г О
2-й
+ £г
2 — г
7
64.20. Показать, что в пространстве Спхп со стандартным
скалярным произведением:
а) оператор умножения на заданную эрмитову матрицу
(слева или справа) является самосопряженным;
б) оператор умножения на заданную косоэрмитову матрицу
(слева или справа) является косоэрмитовым;
в) оператор эрмитова сопряжения является эрмитовым.
64.21. Пусть Нi и Н2 - эрмитовы матрицы n-го порядка.
Показать, что операторы ТХ — HiXH2 и QX = HiX + ХН2
являются эрмитовыми.
64.22. Пусть А - матрица линейного оператора в некотором
базисе, Г - матрица Грама этого базиса. Каким необходимым
и достаточным условиям должна удовлетворять матрица А для
того, чтобы этот оператор был:
а) симметрическим (в евклидовом пространстве);
б) эрмитовым (в унитарном пространстве)?
114 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
64.23. Линейный оператор Л евклидова или унитарного
пространства задан матрицей А в некотором базисе; Г - матрица
Грама этого базиса. Определить, является ли оператор Л
самосопряженным, если:
-101 Г1 1
1 1 ' 1 2
в) А =
д)А =
е) А =
ж) А =
3 41 Г2 3
-2 -3 ' 3 5
0
2 i
-г 1
1 0 0
1 2 0
-1 -3 -1
,Г =
1 0 0
0-10
0 0 0
г —
1 0 2 1
1 -1 -1
0 0 0
1 0 0
-21 -1 0
2 -Зг 2
,Г =
,Г =
' 2
1
0
1
2
1
1 -1
1
2
1 -2
1
-1
-1
■ 2
—i
0
0 '
1
1
-1 "
-2
3
-1 -1 1
г
2
г
2 0
0 3
0 '
—г
]
L _
64.24. Симметричный оператор, действующий в
пространстве многочленов М2 со стандартным скалярным произведением,
переводит многочлены 2 + 2t — t2 и 2 — t + 2t2 соответственно в
Ъ — t — i1 и 3 + 3£ + 3£2. След этого оператора равен 3. Найти его
матрицу в базисе 1, £, t2.
64.25. Что можно сказать об операторе *4, если он в любом
базисе имеет эрмитову матрицу?
64.26. Пусть Нi и Н2 - комплексные эрмитовы матрицы
одинакового порядка. Доказать, что след матрицы HiH2 есть
число действительное.
64.27. Пусть эрмитова матрица Н представлена в виде Н =
S + iK, где S и К - действительные матрицы. Показать, что 5
- симметрическая, а К - кососимметрическая матрица.
64.28. Доказать, что в условиях предыдущей задачи
действительная матрица
S -К
К S
§64. Самосопряженные операторы и матрицы 115
является симметрической.
64.29. Доказать, что кронекерово произведение эрмитовых
матриц Hi и Н2 (имеющих, быть может, разный порядок) само
является эрмитовой матрицей.
64.30. Доказать, что симметрическая матрица ортогонально
подобна вещественной диагональной матрице.
64.31. Доказать, что для эрмитова оператора И скалярное
произведение (Их, х) есть число действительное для любого
вектора х.
64.32. Доказать, что если Н - самосопряженный оператор и
скалярное произведение (Нх,х) равно нулю для любого вектора
х, то оператор Н нулевой.
64.33. Доказать, что если Hi и Н2 - самосопряженные
операторы и для любого вектора х выполнено
то Hi = Н2.
64.34. Доказать, что если для любого вектора х
унитарного пространства V скалярное произведение (Их,х) есть число
действительное, то оператор % эрмитов.
64.35. Доказать, что если А - унитарный оператор и
оператор А - X обратим, то оператор г(А — Х)~1(А +X) эрмитов.
64.36. Пусть А - эрмитов оператор. Доказать, что:
а) оператор А — %Х обратим;
б) оператор В = (А — И)~1(А + гХ) унитарен;
в) оператор В — X обратим;
г) имеет место равенство A = i(B—X)~1(B + I).
64.37. Показать, что оператор А является косоэрмитовым
тогда и только тогда, когда оператор г А эрмитов.
64.38. Показать, что собственные значения косоэрмитова
оператора суть чисто мнимые числа.
64.39. Пусть А - кососимметрический оператор,
действующий в евклидовом пространстве V. Доказать, что (Ах, х) = О
для любого вектора х G V.
64.40. Доказать, что если А - линейный оператор,
действующий в унитарном пространстве V, и для всех векторов х Е V
выполнено равенство (Ах,х) = 0, то оператор А нулевой.
Справедливо ли подобное утверждение в евклидовом пространстве?
64.41. Доказать, что ортогональное дополнение LL к
подпространству L евклидова (унитарного) пространства, инвариант-
116 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
ному относительно кососимметрического (соответственно, косо-
эрмитова) оператора *4, также инвариантно относительно Л.
64.42. Доказать, что характеристический многочлен косо-
симметрической матрицы имеет только чисто мнимые корни.
64.43. Доказать, что характеристический многочлен косо-
симметрической матрицы является четным многочленом.
64.44. Доказать, что кососимметрический оператор,
действующий в нечетномерном пространстве, вырожден.
64.45. Доказать, что если косоэрмитов оператор Л в
унитарном пространстве имеет в некотором ортонормированном базисе
вещественную матрицу и собственный вектор, отвечающий
собственному значению га, aGl, представлен в виде х + гу, где
векторы х и у имеют вещественные координаты, то:
а) векторы х и у ортогональны;
б) векторы х и у имеют одинаковую длину;
в) выполнены соотношения: Лх = —ау, Лу — ах.
64.46. Доказать, что для любого кососимметрического
оператора в евклидовом пространстве существует ортонормирован-
ный базис, в котором матрица оператора имеет
квазидиагональную форму с клетками второго порядка вида „ ~ , /3 ф 0, и
нулевыми клетками первого порядка на главной клеточной
диагонали.
64.47. Доказать, что кососимметрическая матрица
ортогонально подобна вещественной квазидиагональной матрице с
нулевыми клетками первого порядка и кососимметрическими
клетками второго порядка на главной клеточной диагонали.
64.48. Найти характеристический многочлен вещественной
матрицы, одновременно ортогональной и кососимметрической.
64.49. Доказать, что вещественная трехдиагональная
матрица
аг Ьг 0 ... О О
fci а2 Ь2 ... О О
О 62 а3 ... О О
О 0 0 ... ап_х Ьп_!
О 0 0 ... Ьп_! ап
ортогонально подобна диагональной матрице с различными
диагональными элементами.
, к = 1,п- 1,
§64. Самосопряженные операторы и матрицы
117
64.50. Используя результат предыдущей задачи, показать,
что матрица Якоби
п! Ьх О
С\ О>2 &2
О С2 0>з
О
О
О
О
О
О
0 0 0
0 0 0
Яп-1 6n_i
biCi > 0, г = l,n,
вещественно диагонализуема.
64.51. Доказать справедливость следующих представлений
для максимального и минимального собственных значений
эрмитова оператора И:
Ai = max
хфВ
(Нх,х)
An = min
(Пх,х)
Показать, что векторы, на которых достигаются указанные
экстремумы, являются собственными векторами оператора И.
64.52. Показать, что для максимального и минимального
собственных значений эрмитовой матрицы Н — (hkj)
справедливы оценки:
Ai > max/ifcfc, An < minhkk.
к к
64.53. Пусть максимальное собственное значение Ai
эрмитовой матрицы Н = (hkj) совпадает с некоторым диагональным
элементом hkk. Доказать, что все внедиагональные элементы
fc-й строки и fc-ro столбца матрицы равны нулю.
64.54. Пусть подпространство L натянуто на собственные
векторы ei,..., ек эрмитова оператора Н, отвечающие
собственным значениям Ai,..., Afc, занумерованным в порядке
невозрастания. Доказать, что выполнены соотношения:
i = max
еьф
(ж, ж) '
Ai. = min
(Нх,х)
(х,х)
64.55. Пусть собственные значения А1?..., Ап эрмитова
оператора Ну действующего в п-мерном пространстве V,
занумерованы в порядке невозрастания. Доказать следующую теорему
118 Глава ХУЬЛинейные операторы в унитарном пространстве
Kypauma-Фишера: для каждого собственного значения Хк
справедливы представления:
х . {Нх,х) х . (Нх,х)
Xk = max mm — —, А& = mm max —; —.
Lfc х€Ьк,хфв (X,X) in-fc+i x€Ln-k + ux^e [X^X)
В первом равенстве максимум берется по всем fc-мерным
подпространствам Lk пространства V\ аналогично, во втором
равенстве минимум берется по всевозможным подпространствам
Ln_fc+1 размерности п - к + 1.
64.56. Пусть Яп_1 - произвольная главная подматрица
эрмитовой матрицы Н порядка п. Используя теорему Куранта-
Фишера, доказать, что собственные значения /ix,..., fin-i
матрицы ifn_i, занумерованные в порядке невозрастания, разделяют
собственные значения матрицы i/, иными словами,
Ai > /ii > A2 > /i2 > • • • An_i > /in_i > An.
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы
Теорема 65.1. Линейный оператор Л в унитарном
пространстве V эрмитов тогда и только тогда, когда
(Ах,х)еШ, Vxev. (65.1)
Условие (65.1) формально верно и в евклидовом пространстве, однако
лишено смысла, так как справедливо для любого линейного оператора Л.
Самосопряженный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве V
называется положительно определенным, если
(Ах,х)>0, ЧхфО,
неотрицательно определенным (отрицательно определенным,
неположительно определенным), если (Ах,х) > 0, Vx £ V (соответственно (Ах,х) <
О, Ухф в, или(Дж,з;) <0, VzG V). Обозначение: Л > О, Л > О, Л < О,
А < О соответственно. '
Эрмитова (симметрическая) матрица А порядка п называется
положительно определенной, если для любого ненулевого вектора-столбца х G Сп
(соответственно iGin)
хн Ах > 0 (соответственно хТАх > 0).
Аналогично определяются отрицательно, неотрицательно и
неположительно определенные матрицы.
Из определения следует, что оператор положительно определен тогда и
только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет
положительно определенную матрицу. Аналогичное утверждение имеет место и
для операторов Л > О, Л < О, Л < О.
Теорема 65.2. Самосопряженный оператор Л в унитарном или
евклидовом пространстве положительно определен (А > О, А < О,
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы
119
А < О) тогда и только тогда, когда все его собственные значения Л
положительны (соответственно, Х>0, X < О, X < 0).
Следствие 1. Если Л > О (или Л < О), то Л обратим.
Следствие 2. Определитель положительно (неотрицательно)
определенного оператора положителен (соответственно неотрицателен).
Теорема 65.3. Оператор, обратный к положительно
(отрицательно) определенному оператору, положительно (соответственно
отрицательно) определен.
Теорема 65.4. Для любого неотрицательно (положительно)
определенного оператора Л существует, и притом единственный,
неотрицательно (соответственно положительно) определенный оператор В
такой, что В2 = Л .
Оператор В называется квадратным корнем из оператора Л и
обозначается Д1/2. Аналогично определяется квадратный корень А1/2 из
положительно (неотрицательно) определенной матрицы А.
Пример 65.1. Найти квадратный корень из матрицы
А =
5 5 3-3
5 5 3-3
3 3 5-5
-3 -3 -5 5
Решение. Найдем собственные значения матрицы А:
det(A - XI) =
5-Л 5
5 5-Л
3 3
-3 -3
3 -3
3 -3
5-Л -5
-5 5-Л
-Л Л О О
5 5-Л 3 -3
О О -Л -Л
-3 -3 -5 5-Л
= Х2
= Х2
10 - Л -6
-6 10 - Л
10 0 0
5 10-Л 3 -6
0 0 10
-3 -6 -5 10-Л
= Л2(Л-4)(Л-16).
Итак, собственными значениями матрицы А являются числа Л1 =0,
Л2 = 4, Л3 = 16.
Так как все Л^ неотрицательны, то в силу теоремы 65.2 матрица А
неотрицательно определена. Поэтому для нее существует квадратный корень
А1/2 (теорема 65.4).
Для нахождения А1^2 построим матрицу S преобразования подобия,
приводящего исходную матрицу А к диагональной форме:
А = SAS~\ где Л = diag(0,0,4,16).
Тогда А1/2 = SA1/2S~\ где Л1/2 = diag(0,0,2,4).
Чтобы построить матрицу S (см. пример 58.1), найдем базис из
собственных векторов матрицы А. Так как матрица А симметрическая, то
этот базис можно выбрать ортонормированным (теорема 64.1).
120 Глава XVI.Линейные операторы в унитарном пространстве
Собственные векторы, отвечающие Ai = 0, являются ненулевыми
решениями системы
Ах =
5 5 3-3
3 3 5-5
0 1 Г 1 1 0 0 0 1
0 J "* [ 0 0 1 -1 О J '
Базис этого собственного подпространства образуют нормированные
векторы е\ = -^=(1,-1,0,0)г, е2 = -^=(0,0,1,1)т. Нетрудно видеть, что эти
векторы ортогональны.
Собственное подпространство, отвечающее А2 = 4, очевидно,
одномерно, и соответствующий линейно независимый собственный вектор ез
находится из системы
(А - А1)х = 0
15 3-3
5 13-3
3 3 1-5
-3 -3 -5 1
1
0
0
-1
2
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1 т
Отсюда е3 = -(1,1,-1,1) .
Наконец, собственное подпространство, отвечающее Аз = 16, также
одномерно и, решая систему
(А - Ш)х = 0
-11 5 3-3
5 -11 3 -3
3 3 -11 -5
-3 -3 -5 -11
1
0
0
-1
-2
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
получим е4 = -(1,1,1, -1)Т.
Тем самым, матрица S преобразования подобия имеет вид
S =
Так как векторы ei, ег, ез, е4 и, следовательно, столбцы матрицы S
образуют ортонормированную систему, то 5 - ортогональная матрица. Поэтому
Таким образом, получим
- 1
i
у/2
0
0
0
0
1
v/2
1
v/2
1
2
1
2
1
~2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
А1/2 = SA1/2ST =
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
J
1
2
2
2
-2
5т_ 1
2
■ з
3
1
-1
3
3
1
-1
1
1
3
-3
-1
-1
-3
3
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы 121
ЗАДАЧИ
65.1. Может ли положительно определенный оператор Н
переводить ненулевой вектор х в вектор у, ортогональный к х?
65.2. Показать, что положительно определенный оператор
не вырожден.
65.3. Пусть И - положительно определенный оператор
евклидова пространства V. Показать, что для любого ненулевого
вектора х Е V его образ образует с х острый угол.
65.4. Показать, что всякий оператор ортогонального
проектирования является неотрицательно определенным оператором.
65.5. Пусть И и S - неотрицательно определенные
операторы. Показать, что для любых неотрицательных чисел а и /3
оператор ctH + /3S является неотрицательно определенным.
65.6. Пусть % и S - неотрицательно определенные
операторы, и пусть для некоторых ао,/?о £ К оператор а0Н + /30S
положительно определен. Показать, что в таком случае
положительно опеределены все операторы аН + /35, где а и (3 -
произвольные положительные числа.
65.7. Показать, что эрмитов оператор И является
неотрицательно (положительно) определенным тогда и только тогда,
когда для всякого положительного (соответственно
неотрицательного) числа е оператор Н + еХ не вырожден.
65.8. Пусть V viW - пара унитарных (или евклидовых)
пространств и Л- произвольный линейный оператор, действующий
из V в W. Показать, что произведение Л*Л является
неотрицательно определенным оператором, действующим в пространстве
F, а произведение А А* - неотрицательно определенным
оператором, действующим в пространстве W. Соответственно, для
любой матрицы А Е Cnxm матрицы Ан А и ААН
неотрицательно опеределены.
65.9. Доказать, что
rg ДМ = rg AA* = rg A.
65.10. Доказать, что операторы А*А и АА* положительно
определены тогда и только тогда, когда оператор А обратим.
65.11. Пусть И - неотрицательно определенный оператор и
СНх,х) = 0 для некоторого вектора х. Доказать, что:
а) х принадлежит ядру кетН оператора И;
б) оператор Н\Т, индуцированный на образе Т = \mH one-
122 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
ратора Н) является положительно определенным.
65.12. Что можно сказать о неотрицательно определенном
операторе И, если его след равен нулю?
65.13. Пусть Н - комплексная положительно определенная
матрица. Доказать, что матрица Нт также положительно
определена.
65.14. Главной подматрицей квадратной матрицы
называется матрица, составленная из элементов матрицы А) стоящих
на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами.
Доказать, что любая главная подматрица неотрицательно
(положительно) определенной матрицы сама является
неотрицательно (соответственно положительно) определенной.
65.15. Главным минором квадратной матрицы А называется
определитель соответствующей главной подматрицы. Показать,
что в положительно определенной матрице все главные миноры
положительны.
65.16. Угловым минором к-го порядка квадратной матрицы
А называется главный минор, стоящий на пересечении строк и
столбцов с номерами 1,2,..., к. Доказать следующий критерий
Сильвестра положительной определенности: для того чтобы
эрмитова матрица Н была положительно определенной,
необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры этой матрицы были
положительны.
65.17. В неотрицательно определенной матрице Н угловой
минор порядка к равен нулю. Доказать, что равны нулю все
угловые миноры порядка выше к.
65.18. Доказать, что в отрицательно определенной матрице
Н все главные миноры нечетного порядка отрицательны, в то
время как все главные миноры четного порядка положительны.
65.19. Сформулировать и доказать критерий Сильвестра
отрицательной определенности эрмитовой матрицы Н.
65.20. Доказать, что если е - какой-либо базис унитарного
пространства F, то матрица Грама этого базиса положительно
определена.
65.21. Доказать, что если матрица A G Спхп положительно
определена, то в любом n-мерном унитарном пространстве V
матрица А является матрицей Грама некоторого базиса в V.
Для каждой из указанных ниже трехдиагональный матриц
порядка п определить, является ли эта матрица положительно
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы
123
или отрицательно определенной.
65.22.
65.23.
65.24.
65.25.
п
п
п
1
0
0
0
. 0
' п'
1
0
0
" 1
1
0
0
0
—
1
0
0
0
0
+
1
0
0
0
0
г
1
2
1
0
0
1
п
1 1
п
1
0
0
0
1
i-l
1
0
0
0
1
(п-
0
0
0
1
2
0
0
1
-2
1
0
0
0
п
п
I)2
...
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
п
1
2
0
0
0
2
1
0
1
—
0
0
0
•
•
•
•
0
0
0
1
1
3
•
•
0
0
4
1
-
.
. 0
. 0
. 0
. 4
. 1
. 0
. 0
. 0
. 0
3
1
0
0 '
0
1
1
0
0
0
2
1
0
0
0
0
1
3
1
0
0
0
1
2
1
0
0
0
1
1
1
0 "
0
0
0
1
2 _
0 '
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
65.26.
65.27. Пусть в матрице А все диагональные элементы равны
единице, а все внедиагональные равны а. Доказать, что если
\а\ < 1, то матрица А положительно определена.
124 Глава ХУТ.Линейные операторы в унитарном пространстве
65.28. Доказать, что если в трехдиагональной матрице вида
а
Ь
0
0
0
Ь
a
Ъ
0
0
0
Ь
a
0
0
... 0
... 0
... 0
... а
... Ь
0
0
0
6
а
действительные числа а и Ь удовлетворяют условию a — 1 > Ь2,
то эта матрица положительно определена.
65.29. Доказать, что если в трехдиагональной матрице вида
Ч
0
0
0
Ьг
0,2
ь2
0
0
0
Ьг
а3
0
0
... 0
... 0
0
ап-г
Ьп-г
0
0
0
Ьп-г
On
действительные числа ак и Ьк таковы, что ^ > I,
> Ь\ + 1,
\/к = 1,п — 1, то эта матрица положительно определена.
65.30. В неотрицательно определенной матрице А = (akj)
для некоторого к выполнено акк — 0. Доказать, что akj = a^ = 0
для всех j.
65.31. Показать, что в положительно определенной матрице
максимальный по модулю элемент стоит на главной диагонали.
65.32. Доказать, что эрмитова матрица Н = (hkj) G Cnxn с
диагональным преобладанием
п
\hjj\> Zl^'l' Vj = M,
k=l
положительно определена.
65.33. Пусть Н = S + iK - комплексная положительно
определенная матрица. Доказать, что действительная матрица
S ~К
[k s
положительно определена.
65.34. Доказать следующий критерий Якоби
положительной определенности: самосопряженный оператор, действующий
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы 125
в евклидовом или унитарном пространстве положительно
определен тогда и только тогда, когда все коэффициенты его
характеристического многочлена отличны от нуля и имеют
чередующиеся знаки.
65.35. Доказать, что среди всех миноров fc-ro порядка
положительно определенной матрицы Н наибольшим по модулю
является некоторый главный минор.
65.36. Доказать, что кронекерово произведение
положительно определенных матриц Hi и Н2 (имеющих, быть может,
разный порядок) само является положительно определенной
матрицей.
65.37. Что можно сказать об операторе Л, если в базисе е
он имеет унитарную матрицу Д., а в базисе / - положительно
определенную матрицу Ар.
65.38. Доказать, что если оператор *4, действующий в
евклидовом пространстве V, положительно определен, то для всех
векторов ж, у е V имеет место неравенство
{х,Ах)(у,А-гу) > {х,у)2.
65.39. Доказать, что для любой симметрической
положительно определенной матрицы А = (а^) существует разложение
А = LLT, (65.2)
где L - левая треугольная матрица.
65.40. Доказать справедливость следующих рекуррентных
соотношений для элементов lkj матрицы L в разложении (65.2)
[метод квадратного корня или метод Холецкого):
1 /9
p=l
i-i
hj = (akj - ]T ljphp)/ljj, k > j.
p=i
65.41. Доказать, что матрица A eCnxn положительно
определена тогда и только тогда, когда А = ВнВ для некоторой
невырожденной матрицы В б Спхп.
65.42. Пусть А Е СпХп - положительно определенная
матрица и имеют место равенства: А = В± Вх, А = В^В2^ в которых
126 Глава ХУГЛинейные операторы в унитарном пространстве
Вг,В2 € CnXn. Доказать, что найдется унитарная матрица U
такая, что В2 =
Найти квадратные корни из следующих матриц.
2 1 1
65.43.
65.45.
5 -3
-3 5
65.44.
1 2 1
1 1 2
24 6 -12
6 33 6
-12 6 24
65.46.
1111
1111
1111
1111
65.47. Доказать, что для определителя положительно
определенной матрицы Н = (hkj) порядка п справедливо неравенство
det Н < /in^22 • • • ^nn-
Знак равенства здесь имеет место тогда и только тогда, когда
Н - диагональная матрица.
65.48. Применяя результат предыдущей задачи к матрице
Н = ААН, где А = (ajy) - невырожденная матрица n-го порядка,
доказать следующее неравенство Адамара:
65.49. Пусть Н и S - эрмитовы операторы, причем S
неотрицательно определен. Доказать, что если Н и S перестановочны,
то перестановочны и операторы Н и «S1/2.
Пара эрмитовых оператора Hi и Н2 связана неравенством
Ki > U2 {Hi < Я2, Hi > П2, Hi < H2), если оператор Hi - H2
неотрицательно (соответственно, неположительно,
положительно или отрицательно) определен.
65.50. Показать, что отношение > на множестве эрмитовых
операторов обладает следующими свойствами:
а) если Н > 5, S > Г, то Н > Г;
б) если Hi > Si, H2 > 52, то oOii + /ЗН2 > aSi H- /3S2 для
любых неотрицательных чисел а и /3;
в) если Н > <S, то А*НА > A*SA для любого оператора А.
65.51. Положительно определенный оператор Н
удовлетворяет неравенству Н>Х. Доказать, что H~l < Z.
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы 127
65.52. Доказать, что если два положительно определенных
оператора Hi и Н2 связаны неравенством Hi >Н2, то для
обратных операторов выполнено соотношение Н^1 < Н21.
65.53. Доказать, что если А > О, то А + А'1 > 21.
65.54. Пусть эрмитов оператор У. положительно определен.
Доказать, что существует такое число a > О, что И > al.
65.55. Пусть эрмитов оператор Н положительно определен.
Доказать, что для любого положительно определенного
оператора А существует такое число a > О, что Н > аА.
65.56. Пусть А - самосопряженный оператор. Доказать, что
следующие утверждения эквивалентны:
а) все собственные значения А лежат на отрезке [а, 6];
б) оператор А — XL отрицателен при А > 6 и положителен
при А < а.
65.57. Показать, что произведение /Н{Н2 перестановочных
неотрицательно определенных операторов Hi и Н2 также
является неотрицательно определенным оператором.
65.58. Пусть Hi > Н2 и Т - неотрицательно определенный
оператор, перестановочный с^ иН2. Доказать, что
UiT>U2T.
65.59. Пусть Hi и Н2 ~ эрмитовы операторы, причем %2
положительно определен. Доказать, что собственные значения
оператора HiH2 суть действительные числа, при этом сам
оператор имеет простую структуру.
65.60. Пусть в условиях предыдущей задачи оператор Hi
неотрицательно определен. Показать, что все собственные
значения оператора /Н{Н2 неотрицательны.
65.61. Показать, что справедливо утверждение, обратное
утверждению предыдущей задачи: если операторы Hi и Н2 -
эрмитовы, Н2 положительно определен и все собственные
значения оператора HiH2 неотрицательны, то Hi неотрицательно
определен.
65.62. Пусть Аи В - операторы, действующие в унитарном
(евклидовом) пространстве V. Задача нахождения числа А и
ненулевого вектора х, удовлетворяющих уравнению
Ах = ХВх, (65.3)
называется обобщенной проблемой собственных значений, при
этом числа А называются собственными значениями обобщен-
128 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
ной проблемы, а векторы х - соответствующими собственными
векторами.
1. Доказать, что собственные значения обобщенной
проблемы являются решениями уравнения
det(A - \В) = О,
называемого \-уравнением пары операторов А и В.
2. Доказать, что если оператор В невырожден, то
обобщенная проблема собственных значений (65.3) эквивалентна
стандартной проблеме собственных значений
Ах = Хх.
Указать соответствующий оператор А.
65.63. Доказать, что если В - положительно определенный
оператор, то обобщенная проблема собственных значений (65.3)
эквивалентна стандартной проблеме собственных значений вида
Ау = Лу,
где А = B-l'2AB'1'2, у = 01/2х.
65.64. Доказать, что если в условиях предыдущей
задачи А - положительно (неотрицательно) определенный оператор,
то все собственные значения обобщенной проблемы собственных
значений (65.3) положительны (неотрицательны).
65.65. Пусть А и В - эрмитовы матрицы порядка п, причем
В - положительно определена. Доказать, что:
а) левая часть А-уравнения пары матриц Аи В представляет
собой многочлен от А степени п, старший коэффициент которого
равен определителю матрицы —В]
б) А-уравнение имеет п действительных корней, если каждый
считать столько раз, какова его кратность.
65.66. Пусть в обобщенной проблеме (65.3) оператор A G
£(V, V) эрмитов, а В - неотрицательно определен. Доказать,
что в пространстве V существует ортонормированный базис из
собственных векторов задачи (65.3) тогда и только тогда, когда
оператор В невырожден.
65.67. Пусть А - эрмитова матрица, а В - положительно
определенная матрица. Пользуясь задачами 65.63 и 65.66,
показать, что существует невырожденная матрица S такая, что
SHBS - /, SHAS = Л,
где Л - некоторая диагональная действительная матрица.
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы 129
65.68. Доказать, что для любых положительно
определенных матриц Л, В и любых положительных чисел а, /3: а + /3 — 1
выполнено неравенство
65.69. Пусть А и В - матрицы порядка п > 1, причем А > О
и В > О. Доказать, что
\А + В\>\А\ + \В\,
причем равенство достигается лишь при В = О.
65.70. Положительно определенная матрица А представлена
в клеточном виде:
А \ Mi A12 1
А= Ан А U
J
где Ап и А22 - квадратные подматрицы. Доказать, что
det A < det An • det A22,
причем равенство достигается лишь тогда, когда А\2 — О.
65.71. Положительно определенная матрица А представлена
в клеточном виде:
' АХг А12]
12 J
причем подматрица Л12 - квадратная. Доказать, что
| det Ai2\2 < det An • det A22.
65.72. Матрицы А и В эрмитовы, причем А > О. Доказать,
что
\det(A + iB)\ > det Л,
причем равенство достигается лишь при В = О.
65.73. Доказать следующее неравенство Минковского для
определителей: если матрицы А и В порядка п положительно
определены, то
(det(A + В))1'11 > (det A)1/11 + (det B)l/n.
Показать, что равенство здесь имеет место тогда и только тогда,
когда В = а А для некоторого числа а > 0.
130 Глава ХУТ.Линейные операторы в унитарном пространстве
§66. Разложения линейных операторов и матриц
Теорема 66.1. Линейный оператор А в унитарном (евклидовом)
пространстве может быть представлен, и притом единственным
образом, в виде суммы
А = Н + К: (66.1)
эрмитова (симметрического) оператора 7i и косоэрмитова (кососиммет-
рического) оператора /С.
Разложение (66.1) называется эрмитовым разложением оператора Л.
В унитарном пространстве эрмитово разложение может быть
переписано в виде А = Hi 4- iH2i гДе ^i и % - эрмитовы операторы.
Теорема 66.2. Линейный оператор А £ £(У, V) в унитарном
(евклидовом) пространстве нормален тогда и только тогда, когда
операторы % и К в эрмитовом разложении (66.1) этого оператора
перестановочны.
Теорема 66.3. Любой оператор А в унитарном (евклидовом)
пространстве может быть представлен в виде произведения
А = Ш (66.2)
неотрицательного оператора % и унитарного (ортогонального)
оператора U. При этом оператор Н определен однозначно, а если А обратим, то
однозначно определен и оператор Ы.
Разложение (66.2) называется полярным разложением оператора А.
Теорема 66.4. Оператор А нормален тогда и только тогда,
когда в любом его полярном разложении (66.2) операторы % иЫ
перестановочны.
Пример 66.1. Найти полярное разложение матрицы А = ^ ~ .
Решение. Известно (см. задачи 66.46 и 66.47), что,в полярном
разложении А = BU матрица В является квадратным корнем из матрицы ААТ,
а матрица U переводит ортонормированный базис из собственных векторов
матрицы Ат А в ортонормированный базис из собственных векторов
матрицы ААТ. Имеем А7 А = 2 у 49 ' со^ственными значениями АТА
являются числа р\ = 0, р\ = 100, а ортонормированным базисом из собственных
векторов АтА - векторы е\ = —^=(7,-1)т, б2 = —р(1,7)т. Аналогич-
5у2 5у2
но, ААТ = 50 \ _i i L числа р\ = 0, р\ = 100 являются собственными
значениями ААТ', а векторы /i = -/=(!> 1)Т> h = -^=(—1,1)Т образуют ор-
V 2 \ 2,
тонормированный базис из собственных векторов ААТ. Обозначим через
матрицы, столбцами которых являются векторы ei,e2 и /i,/a. В этих
обозначениях ААТ = Q-1 [ J 10$ ] Q = QT [ [j 10J ] Q, поэтому В = (ААТ)1/2 =
§6tf. Разложения линейных операторов и матриц 131
QT [ 0 10 ] Q = [ -5 ~5 ]' Таким образом, В = [ J "^ ]. С
другой стороны, C/ei = /i, С/е2 = /2, т.е. UP = QnU = QPT = M 4 ~з ] •
Таким образом, А = BU, где Б = [ _\ ~\\и =\\\ ~\\
Замечание. Во избежание больших вычислений полезно помнить, что
собственные значения матриц АТА и ААТ лишь множителем отличаются
от собственных значений матриц у 49 и —1 1 соответственно,
а собственные векторы совпадают. ■
ЗАДАЧИ
Эрмитово разложение
66.1. Во что переходит эрмитово разложение матрицы
порядка п при п = 1?
66.2. Что можно сказать о линейном операторе Л,
действующем в унитарном пространстве V, если (Лж, х) = 0 для всякого
вектора х G VI
66.3. Что можно сказать о линейных операторах ЛиВ,
действующих в унитарном пространстве V) если для всех векторов
х EV выполнено равенство:
а) (Ах,х) = {Вх,х)\ б) {Ах,х) = (х,Вх)?
66.4. Доказать, что если для линейного оператора Л,
действующего в унитарном пространстве V, скалярное
произведение (Ах, х) есть число действительное, каков бы ни был вектор
х е V, то А - эрмитов оператор.
66.5. Показать, что в определении положительно
определенного оператора, действующего в унитарном пространстве,
требование, чтобы этот оператор был эрмитовым, является
излишним.
66.6. Пусть И и S - эрмитовы операторы. Показать, что
скалярное произведение (Их, Sx) будет действительным числом
для любого вектора х тогда и только тогда, когда операторы И
и S перестановочны.
66.7. Что можно сказать о матрице A G Спхп, если она
ортогональна
а) любой эрмитовой матрице;
б) любой косоэрмитовой матрице
в смысле скалярного произведения (Л, В) = tr(BHA)?
132 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
66.8. Пусть матрица А Е Спхп такова, что для любой
эрмитовой матрицы Н след произведения АН есть действительное
число. Доказать, что в этом случае матрица А эрмитова.
66.9. Как связаны эрмитовы разложения оператора А и его
сопряженного *4*?
66.10. Показать, что для нормального оператора *4,
действующего в унитарном пространстве, собственные значения
операторов Hi и Н2 в его эрмитовом разложении А = Hi + гН2
совпадают соответственно с действительными и мнимыми частями
собственных значений оператора А.
66.11. Показать, что всякий ортонормированный базис из
собственных векторов нормального оператора А является в то
же время базисом из собственных векторов и для операторов Нъ
Н2 его эрмитового разложения А = Hi + гН2-
66.12. Пусть А и В - перестановочные нормальные
операторы, и А = Hi + iH2) В — Si + iS2 - их эрмитовы разложения.
Доказать, что все операторы 7^, Н2^ Si, <S2 перестановочны.
66.13. Пусть Л - оператор n-мерного унитарного
пространства V с эрмитовым разложением Л = Hi + iH2. Доказать,
что множество значений скалярного произведения (Ах,х), где
х € V - произвольный нормированный вектор, заключено в
прямоугольнике (аь ft), (аь/?п), (an,ft), (an,/3n). Здесь аь ft иап,
/Зп - соответственно наибольшие и наименьшие из собственных
значений операторов Hi иН2.
66.14. Пользуясь предыдущей задачей, доказать
следующую теорему Бендиксона: действительные (мнимые) части
собственных значений оператора Л, действующего в унитарном
пространстве, заключены между наибольшим и наименьшим из
собственных значений оператора Hi (соответственно Н2) его
эрмитова разложения Л = Hi + iH2.
66.15. Доказать, что собственные значения оператора Л,
действующего в евклидовом пространстве, заключены между
наибольшим и наименьшим из собственных значений оператора
Н его эрмитова разложения Л = Н + /С.
66.16. Известно, что в эрмитовом разложении A— Hi Л- гНч
оператора Л, действующего в унитарном пространстве,
оператор Hi положительно определен. Доказать, что оператор А
невырожден.
66.17. Доказать, что в условиях предыдущей задачи выпол-
§66. Разложения линейных операторов и матриц 133
нено неравенство
|det.4| >detfti.
Когда достигается равенство в этом соотношении?
66.18. Доказать, что пространство Епхп является
ортогональной суммой подпространств симметрических и кососимме-
трических матриц.
66.19. Что можно сказать о линейном операторе *4,
действующем в евклидовом пространстве V, если (Ах,х) = 0 для
всякого вектора х Е VI
Сингулярное разложение
66.20. Пусть А - линейный оператор ранга г,
действующий из n-мерного унитарного (евклидова) пространства V в т-
мерное унитарное (соответственно евклидово) пространство W
и ei,..., еп- ортонормированный базис из собственных векторов
оператора А* А, причем векторы еь ..., ег отвечают ненулевым
собственным значениям pj,..., pi (pi > О, i = 1,г). Доказать,
что:
1) векторы er+i,..., еп образуют базис ker A]
2) векторы ei,..., ег образуют базис im A*]
3) векторы *4еь ..., Аег ортогональны и образуют базис im Л;
4) 1^1 =pfc, fc = T7r;
5) каждый их векторов Де^, к = 1,г, является собственным
вектором оператора *4Д*, отвечающим собственному значению
рЬ
6) если положить fk = pk 1Аек, то
A*fk = ркек-
66.21. Доказать, что ненулевые собственные значения
операторов А* А и А А* совпадают. Арифметические значения
квадратных корней из общих собственных значений операторов А* А
и АА* называются сингулярными числами оператора А.
Аналогично определяются сингулярные числа прямоугольной
матрицы А (комплексной или вещественной).
66.22. Зная сингулярные числа оператора А, найти
сингулярные числа: а) оператора А*] б) оператора а А, где а -
произвольное комплексное число.
66.23. Доказать, что сингулярные числа оператора не
изменяются при умножении его на унитарный оператор.
134 Глава ХУЬЛинейные операторы в унитарном пространстве
66.24. Показать, что оператор Л не вырожден тогда и
только тогда, когда все его сингулярные числа отличны от нуля.
66.25. Показать, что модуль определителя оператора равен
произведению его сингулярных чисел.
66.26. Предполагая, что оператор Л невырожден, найти
связь между сингулярными числами операторов Л и Л~1.
66.27. Доказать, что сингулярные числа нормального
оператора совпадают с модулями его собственных значений.
66.28. Доказать, что оператор *4, действующий в унитарном
(евклидовом) пространстве, унитарен (соответственно
ортогонален) тогда и только тогда, когда все сингулярные числа этого
оператора равны единице.
66.29. В пространстве многочленов Мп со стандартным
скалярным произведением найти сингулярные числа оператора
дифференцирования.
66.30. Найти сингулярные числа оператора
дифференцирования в пространстве многочленов М2, если скалярное
произведение задано формулой
(/,<?) = /(-l)ff(-l) + /(0)5(0) + /(1)5(1).
Сравнить полученный результат с результатом предыдущей
задачи.
66.31. В условиях задачи 66.20 доказать, что существуют
ортонормированные системы ех,..., еп € V и /х,..., fm £ W
такие, что
ле*-\ в, k>r; Л Jk ~ \ в, k>r.
Подобные ортонормированные системы ei,..., en и /ь ..., fm
называются сингулярными базисами оператора Л.
66.32. Доказать, что если еь ..., еп и /ь ..., fm -
сингулярные базисы оператора *4, то (в обозначениях задачи 66.20):
1) еь ..., еп - ортонормированный базис пространства V из
собственных векторов оператора Л*Л]
2) /i, • • •, fm ~ ортонормированный базис пространства W из
собственных векторов оператора ЛЛ*.
66.33. Пусть А - матрица размера тхп ранга г,
вещественная или комплексная. Доказать, что матрицу А можно
представить в виде
А = UAV,
§66. Разложения линейных операторов и матриц 135
где U и V - ортогональные (унитарные) матрицы
соответственно порядков га и п, Л - матрица размера га х п такая, что
Аи > А22 > • • • > Кг > 0, а все остальные элементы равны
нулю. Такое представление называется сингулярным
разложением матрицы А.
66.34. Доказать, что если А = UKV - сингулярное
разложение матрицы А, то:
1) диагональные элементы матрицы Л являются
сингулярными числами матрицы А;
2) столбцы матрицы U образуют ортонормированный базис
из собственных векторов матрицы ААН;
3) столбцы матрицы Vм образуют ортонормированный базис
из собственных векторов матрицы АнА;
4) столбцы матриц Vм и U образуют сингулярные базисы
матрицы А.
66.35. Зная сингулярное разложение А = UKV матрицы А,
найти сингулярные разложения и сингулярные числа матрицы:
а) Ат; б) Ая; в) А"1, если А обратима.
66.36. Определим для матрицы А Е Cmxn квадратную
матрицу В порядка га + п формулой
О А
В - ■ Ан О
Показать, что если au...,aq, где q = min(ra,n), -
сингулярные числа матрицы А, то собственными значениями матрицы
В являются числа ±<7х,..., ±crq и |га — п\ нулей.
66.37. Доказать, что каковы бы ни были квадратные
матрицы А и Б порядка п, сингулярные числа матриц АВ и ВНАН
всегда одинаковы. Верно ли это утверждение для пары матриц
АВ и В А?
66.38. Строки матрицы А ортогональны. Доказать, что
сингулярные числа матрицы А равны длинам ее строк как векторов
соответствующего арифметического пространства.
66.39. Найти сингулярные числа га х n-матрицы А,
имеющей ранг 1.
66.40. Пусть сингулярные числа рх,..., рп оператора Л,
действующего в n-мерном пространстве F, занумерованы в порядке
невозрастания. Доказать, что справедлив следующий вариант
136 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
теоремы Куранта-Фишера:
\Ах\ . \Ах\
рк = max mm , pk = mm max
Lfc х£Ьк,хфв \х\ Ьп-н
где, как и в задаче 64.55, в первом равенстве максимум берется
по всем fc-мерным подпространствам Lk пространства V, а во
втором равенстве минимум берется по всевозможным
подпространствам Ln_fc+1 размерности п — к + 1. В частности, верны
соотношения:
\Ах\ . \Ах\
p = min
\X\ хфВ Щ
66.41. Доказать, что в условиях предыдущей задачи
минимальное и максимальное по модулю собственные значения Ап и
Ах оператора А удовлетворяют неравенствам:
66.42. Пусть операторы А и В действуют в n-мерном
пространстве V и ак, Рк, Jk, к — 1,п, - занумерованные в порядке
невозрастания сингулярные числа операторов *4, В и А + В
соответственно. Доказать, что выполнены неравенства:
66.43. Пусть операторы А и В действуют в n-мерном
пространстве V и а*, рк, 6k, к = 1,п, - занумерованные в порядке
невозрастания сингулярные числа операторов А, В и АВ
соответственно. Доказать, что выполнены неравенства:
&пРк ^ ^k < OiiPk, OikPn < ^fc < ®kPli к = 1,71.
66.44. Доказать, что для суммы сингулярных чисел /9х,..., рп
матрицы А £ Спхп справедливы представления:
Pi + • • • + Рп = max | tr(AWO| =
W
где максимум берется по всем унитарным матрицам W порядка
п.
Полярное разложение
66.45. Во что переходит полярное разложение матрицы
порядка п при п — 1?
§66. Разложения линейных операторов и матриц
137
66.46. Показать, что в полярном разложении Л = НИ
оператора Л неотрицательно определенный оператор И определен
единственным образом.
66.47. Пусть Л = VIA - произвольное полярное разложение
оператора Л. Показать, что оператор U переводит ортонорми-
рованный базис из собственных векторов оператора Л* Л в
подобный же базис оператора АЛ*.
66.48. Доказать, что для вещественной матрицы
существует вещественное полярное разложение.
66.49. Показать, что, каково бы ни было полярное
разложение Л = ПК оператора Л, унитарный оператор U переводит
подпространство im*4* в подпространство im*4,
подпространство кет А в подпространство кет Л*.
66.50. Найти полярное разложение отрицательно
определенного оператора.
66.51. Найти полярное разложение оператора
дифференцирования в пространстве многочленов Мп со стандартным
скалярным произведением.
Найти полярные разложения следующих матриц.
1 ~71 fifi*4 Г14 "21 (жи [23-14]
1 7 • 66-53- 26 7 h 66-54- 14 -2 '
66.52.
66.55.
66.57.
66.59.
15
5
0
10
О
0
3
-4
9 -12
8
-3
б
-4
б
-4 '
8
3
1 5 1
1 5 1
3 9-3
66.56.
66.58.
66.60.
3-4 0
8 6-5
4 3 -10
0 3-1
0 4 2
-5г 0 0
3
3
5
1
1
1
3
-1
1
1
-1
-1
1
1
3
-1
66.61. Найти полярное разложение диагональной матрицы
А = diag(zi, z2,..., zn), где zfc, к = 1,n, - заданные комплексные
числа.
66.62. Показать, что произвольную матрицу А Е Спхп
можно представить в виде А = FB, где V Е Спхп - унитарная
матрица, а матрица В G СпХп неотрицательно определена.
66.63. Доказать, что в разложениях квадратной матрицы А:
138 Глава ХУТ.Линейные операторы в унитарном пространстве
А = HiU и А = VHi, в которых матрицы Hi и Н2
неотрицательно определены, а матрицы U и V унитарны, матрицы Hi
и Н2 совпадают тогда и только тогда, когда А - нормальная
матрица.
66.64. Пользуясь полярным разложением, показать, что для
любой квадратной матрицы А матрицы ААН и АнА всегда
унитарно подобны.
66.65. Используя полярное разложение, доказать
утверждение, обратное утверждению задачи 65.59: если квадратная
матрица А порядка п имеет простую структуру и ее собственные
значения суть действительные числа, то А можно представить в
виде А = HS, где Н - эрмитова матрица, а матрица S
положительно определена. Для действительной матрицы А
сомножители Н и S также можно выбрать действительными.
Глава XVII. Билинейные и квадратичные
формы
§67. Билинейные и квадратичные формы
в линейном пространстве
Пусть V - линейное пространство над полем Р1. Отображение А :
V х V —> Р называется билинейной формой в пространстве V, если для
любых ж, j/, z G V, a G Р:
l)A( ) A(
2) А(ах,у) = аА{х,у);
3) А{х,y + z) = A{x,у) + А(х, z);
4) Д(ж,а1/) = аД(гс,у).
Билинейная форма называется симметричной, если
V«,y€ V.
Скалярное произведение (ж, у) в евклидовом пространстве является
симметричной билинейной формой.
Теорема 67.1. Пусть V - линейное пространство над полем Р
и ei,...,en - базис V. Для любых чисел a,ij G P, i,j = 1,п, существует,
и притом единственная, билинейная форма А{х,у) в пространстве V, для
которой A{ei,ej) = aij, i,j = 1,п, при этом
п
А{х,у)= ]Г aijXiyj, (67.1)
(?ля всех векторов х = 5Zl*=i ж*е* w ^ = 2Г=12/*е**
Представление билинейной формы в виде (67.1) называется общим
видом билинейной формы в базисе е. Матрица Ае = (а^) 6 рпХп^
элементы которой определены равенством а^ = ^(ei,ej), z,j = 1,п, называется
матрицей билинейной формы А(х,у) в базисе е.
Общий вид (67.1) билинейной формы А{х,у) может быть записан в
компактной форме: если хе и уе - координатные столбцы векторов ж и у в базисе
е, то
А{х,у) = ХеАеУе, А(х,у) =у^А^Хе.
Выражение, стоящее в правой части (67.1), также называется
билинейной формой от переменных xi,... ,жп и t/i, - - -, уЛ-
Теорема 67.2. Произвольная матрица А = (а^) G РпХп
является матрицей единственной билинейной формы в заданном базисе
пространства.
1В этой главе предполагается, что характеристика основного поля равна
нулю.
140 Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Теорема 67.3. Матрицы билинейной формы А{х,у) в базисах е
и f = eQ связаны соотношением А/ = QTAeQ.
Следствие. TgAe = TgA/.
Теорема 67.4. Билинейная форма симметрична тогда и только
тогда, когда ее матрица в любом базисе симметрична.
Рангом билинейной формы называется ранг ее матрицы в любом
базисе. Билинейная форма А(х,у) называется вырожденной, если TgA(x,y) <
dim У, и невырожденной, если vgA(x,y) = dimV.
Теорема 67.5. Билинейная форма А(х,у) вырождена тогда и
только тогда, когда существует вектор х ф в такой, что
Л(х,у) = 0, Vy€V.
Пусть А(х,у) - симметричная билинейная форма в пространстве V над
полем Р. Квадратичной формой называется отображение А : V —> Р,
которое каждому вектору х 6 V ставит в соответствие число А(х,х).
Обозначение: А(х,х) или А(х). Билинейная форма А(х,у) при этом
называется полярной билинейной формой к квадратичной форме А(х,х).
Теорема 67.6. Полярная билинейная форма для любой
квадратичной формы определена однозначно.
Матрицей квадратичной формы А(х,х) в базисе е называется матрица
полярной к ней билинейной формы А(х, у) в этом базисе.
Две квадратные матрицы Аи В порядка п называются конгруэнтными,
если существует невырожденная матрица Q такая, что В = QTAQ.
Из свойств билинейной формы вытекают следующие свойства
квадратичных форм.
1°. Матрица квадратичной формы симметрична.
2°. Любая симметрическая матрица является матрицей единственной
квадратичной формы в заданном базисе.
3°. Матрицы квадратичной формы в базисах е и / = eQ связаны
соотношением
А, = QTAeQ, (67.2)
иными словами, две матрицы квадратичной формы А(х,х) в различных
базисах конгруэнтны.
4°. В базисе е квадратичная форма А(х,х) с матрицей Ае = (aij) может
быть записана в следующем виде: Уж = $^Г=1 ж»е*
А(х,х) = ^2 aiixixh ач = ai«» (67.3)
или, в компактной форме,
А(х,х) = хТеАехе, Ате = Ае. (67.4)
Представление квадратичной формы в виде (67.3) или (67.4)
называется общим видом квадратичной формы А(х,х) в базисе е. Выражение
f(xi,... ,in) = ]C"J=1 aijxixj, гДе aij = aji Vi,j, называется квадратичной
формой от переменных х\,... ,хп.
5°. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы в
произвольном базисе. Очевидно, TgA(x,x) = TgA(x,y). Квадратичная форма
§67. Формы в линейном пространстве 141
А(х,х) называется вырожденной, если^ А(х,х) < dim V, и невырожденной,
если rg A{x, x) = dim V.
Базис е = (ei,...,en) называется каноническим базисом квадратичной
формы Л(х, х), если матрица квадратичной формы в этом базисе диагональ-
на: Ае = diag(Ai,...,An).
В каноническом базисе квадратичная форма А(х, х) согласно (67.3)
имеет вид А(х,х) = Xix] 4- • • • 4- XnXn, который называется каноническим видом
квадратичной формы, при этом числа Ai,..., А„ называются ее
каноническими коэффициентами. Канонический вид называют также суммой
квадратов. Очевидно, что число ненулевых квадратов совпадает с рангом А{х,х).
Итак, если е - канонический базис и г = rg A(x,x), то
А(х,х) = Aixj 4-... 4- Кх2г, Уя = Х)Г=1 Xiei'
Если в\,...,еп - канонический базис квадратичной формы А{х,х), то
полярная к ней билинейная форма в этом базисе имеет вид
п п
А(х,у) = \ix\yi 4- Х2Х2У2 4-... 4- ХпХпУп, х = ]Г) xia, у = ^ y.ei,
1=1 t=i
называемый каноническил* видом билинейной формы.
Теорема 67.7. Для любой квадратичной формы существует
канонический базис, или в другой формулировке, любая квадратичная форма
g(xi,... ,хп) от переменных х\,... ,хп невырожденным преобразованием
координат приводится к сумме квадратов.
Две квадратичные формы / и g от п переменных называются
эквивалентными, если одна из них приводится к другой невырожденным
преобразованием координат. Очевидно, канонический вид квадратичной формы /
- это эквивалентная с / форма, не содержащая произведений различных
переменных XiXj, г ф j.
Теорема 67.8. Если в матрице квадратичной формы А(х, х)
ранга т первые т угловых миноров отличны от нуля: А* ф 0, к = 1,г,
то существует базис е, в котором матрица квадратичной формы имеет
диагональный вид Ае = diag(Ai,..., Аг, 0,..., 0), где
Afc=Afc/Afc_i, & = I~F, (67.5)
где Afc - угловые миноры k-го порядка матрицы А, т.е. А* = М^""'£,
к — 1,п, и Ао = 1.
Соотношения (67.5) называются формулами Якоби.
Пример 67.1. Квадратичная форма А(х,х) в некотором базисе ei,e2
имеет вид
А(Х,Х) = Ах\ 4" 6Ж1Ж2 4" 1х\, Уж = Х\в\ 4- Ж2в2.
Написать матрицу квадратичной формы А(х, х) в этом базисе.
Решение. Пусть А = (a,ij) - матрица квадратичной формы А(х,х) в
базисе е\,б2. Из (67.3) следует, что если х = xiei 4- Ж2в2, то
А(х,х) = anXi 4- a\2X\X2 4- а\2Х2Х\ 4- а22Х2 = an^j 4- 2012^1X2 4- 0,22X2-
142 Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Следовательно,
■-[*?]
Пример 67.2. Восстановить билинейную форму f(x\,x2,2/1,2/2),
полярную к квадратичной форме
g(xi,x2) = х\ + 6ж1Ж2 + 9х2.
Решение. Квадратичная форма g(xi,x2) имеет матрицу
-[з
3
которая совпадает с матрицей полярной к ней билинейной формы. Согласно
(67.1)
/(Zl,£2,2/1,2/2) =:
Пример 67.3. Привести квадратичную форму
/ = 2х\ + 8ж1Ж2 + 4ж1Ж3 + 9жз + 19x1
\ + 8ж1Ж2 + 4ж1Ж3 + 9жз + 19x1
к канонической форме и построить невырожденное преобразование
координат, осуществляющее такое приведение.
Решение. Опишем два способа, позволяющие привести квадратичную
форму к каноническому виду.
Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов) состоит в
последовательном выделении полных квадратов сначала в группе слагаемых,
содержащих xi, затем содержащих х2 и т.д. Имеем
\ + 4ж1Ж3) + 9жз + 19ж| = 2(хх + 2х2 + х3)2 - Ъх\ - 2х\-
!9яз = 2(xi + 2х* + жз)2 + (ж2 - 8х2х3) + 17^1 =
х3)2 + (я?2 2 § § 2
1 ?
где yi = xi 4- 2ж2 + ж3, у2 = х2 - 4ж3, уз = х3.
Если Q - матрица перехода к новому базису, то хе = Qye- Поэтому
Г 1 2 1 1 ( Г 1 -2 -1
Q"1 = 0 1 -4 и Q= 0 1 4
L 0 0 1 J L 0 0 1
Следовательно, формулы преобразования координат имеют вид
xi = ух - 2у2 - уз,
х2 = у2 +4у3,
хз = уз-
Заметим, что стандартный метод Лагранжа соответствует
треугольному преобразованию координат (см. ниже пример 67.4).
Метод элементарных преобразований. Заметим, что если Q -
матрица элементарных преобразований (§3), то преобразование (67.2) матрицы А
квадратичной формы равносильно двум преобразованиям - элементарному
преобразованию столбцов матрицы А, определяемому матрицей Q, и такому
же преобразованию строк матрицы А. Матрицы элементарных
преобразований невырождены. Следовательно, их произведение - тоже невырожденная
матрица. Поэтому матрица, получающаяся в результате умножения матриц
§67. Формы в линейном пространстве
143
элементарных преобразований, проводимых над столбцами и строками
матрицы А квадратичной формы, является матрицей перехода к новому
базису. Соответственно, квадратичная форма в результате этих преобразований
может быть приведена к каноническому виду.
Отметим также, что матрицы элементарных преобразований столбцов
второго типа являются диагональными матрицами, а если элементарное
преобразование заключается в прибавлении к столбцу другого столбца с
меньшим номером, то соответствующая матрица является верхней
треугольной. Если можно обойтись только такими элементарными
преобразованиями, то матрица Q перехода к новому базису, будучи произведением верхних
треугольных матриц, также получится верхней треугольной.
Итак, построим последовательность элементарных преобразований
столбцов и таких же преобразований строк, которые приводят матрицу А к
диагональному виду. Имеем:
А =
2 4 2
4 9 0
2 0 19
причем угловые миноры равны соответственно: Ai =2, А 2 =
2 4
4 9
= 2,
Дз = |Л| = 2.
1. Вычитая из 2-го столбца удвоенный 1-й столбец, а затем вычитая из
2-й строки удвоенную 1-ю строку, получим
Ах = h[ALi =
Отметим, что в результате такого преобразования главные миноры матри-
2
0
2
0
1
-4
2 I
-4 ,
19 I
где
Г 1
0
0
-2
1
0
0
0
1
цы А\ остались теми же: Ai =2, А2 =
2 О
О 1
= 2, A3 =
2. Вычитая из 3-го столбца 1-й столбец, а затем вычитая из 3-й строки
1-ю строку, получим
А2 = .
2 0 0
= | 0 1-4
О -4 17
где I* =
1 0 -1
О 1 О
О 0 1
Главные миноры опять остаются без изменения: Ai = 2, А2 =
2 О
О 1
= 2,
3 |2|
3. Наконец, прибавив к 3-му столбцу 2-й столбец, умноженный на 4, а
затем прибавив к 3-й строке 2-ю строку, умноженную на 4, получим
2 0 0
Аз = L3A2L3 = | О 1 О
О 0 1
1 О О
где L3 = | О 1 4
О 0 1
Матрица Аз - диагональная, т.е. квадратичная форма / приведена к
каноническому виду
f = 2zl + zl + zl (67.6)
В результате последнего преобразования главные миноры опять не
изменились, и теперь в матрице А$:
Ai = 2, A2 = 2-l, Аз = 2-1-1.
144 Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Иными словами, канонические коэффициенты могут быть вычислены по
формулам:
2 - А, 1 - А2 1 - ^
2~Ль X-A? 1"А2'
т.е. по формулам Якоби (67.5).
Чтобы найти преобразование координат, отметим, что
так что матрица Q перехода к новому базису имеет вид
[1 —2 —9
О 1 4
О 0 1
а старые координаты связаны с новыми, соответственно, по формулам
Х\ = Z\ — 2z2 — 9Z3, Х2 = Z2 + 4Z3, Xz = Z$. m
Пример 67.4. Привести квадратичную форму
/ = Ж1Ж2 4" XiXz 4" X2XZ
к каноническому виду и найти приводящее к нему преобразование
координат.
Решение. Матрица квадратичной формы / имеет вид
Г 0 1/2 1/2
А = 1/2 0 1/2
|_ 1/2 1/2 О
Ее угловой минор Ai = 0, поэтому здесь не применимы ни стандартный
метод Лагранжа, ни метод элементарных преобразований в том виде, в
котором он был использован в предыдущей задаче.
Модифицируем сначала метод Лагранжа.
Перейдем к новым координатам
#1=2/1+ 2/2, Х2 = 2/1 - 2/2, xz = 2/з,
тогда квадратичная форма / перейдет в квадратичную форму
9 = 2/1 - 2/2 4- 2yi2/3 = {выделим полный квадрат} = (yi + 2/з)2 - 2/2 ~ 2/з-
В координатах
z\ = 2/i 4- уз, *2 = 2/2, zz = уз
квадратичная форма / будет иметь канонический вид
Z\ — Z2 — Z3.
Он соответствует преобразованию координат
Х\ = Z\ — Z2 — ZZi X2 = Z\ 4" Z2 — 23, Xz = 23,
которое уже не будет треугольным.
Покажем теперь, какие изменения нужно внести в метод элементарных
преобразований.
Отметим, что аннулировать все внедиагональные элементы матрицы А
квадратичной формы элементарными преобразованиями столбцов и такими
же преобразованиями строк не удастся, так как главная диагональ матрицы
А нулевая. Поэтому сначала выполним предварительное преобразование.
§67. Формы в линейном пространстве 145
Прибавим к 1-му столбцу 2-й, а затем прибавим к 1-й строке 2-ю строку.
Имеем:
[11/211 [100
Ai = LjALi =1/2 0 1/2, где Li = 1 1 0
[ 1 1/2 0 J L 0 0 1
Теперь уже Ai = 1 ф 0 и можно преобразованиями, аналогичными
проведенным в предыдущей задаче, обнулить внедиагональные элементы 1-го
столбца и 1-й строки матрицы А\.
Вычитая из 2-го столбца 1-й столбец, умноженный на 1/2, а затем
вычитая из 2-й строки 1-ю строку, умноженную на 1/2, получим
А2 = L2 A\Li2 =
1 Oil • [ 1 -1/2 О
0 -1/4 0 , где L2 = 0 10
1 0 0 0 0 1
Вычитая из 3-го столбца 1-й столбец, а затем вычитая из 3-й строки 1-ю
строку, получим
Аз = LIA2L3 =
1 О
О -1/4
О 0-1
0
о ,
1
где
Ьз =
Г 1
0
0
0
1
0
-1
0
1
Матрица Аз - диагональная, следовательно, квадратичная форма /
приведена к каноническому виду
Матрица Q перехода является произведением матриц используемых
элементарных преобразований:
Г 1 -1/2 -1 1
Q = LxLiLz =1 1/2 -1 .
[О 0 1 J
Соответствующее преобразование координат осуществляется по формулам
1 1
Х\ = Z\ — —Z2 — Z3, Х2 = Z\ Н- —Z2 — Z3, #3 = ^3-
Отметим также, что это преобразование, как и в модифицированном
методе Лагранжа, не будет треугольным. ■
Пример 67.5. Привести квадратичную форму
/ = \х\ - Ylix\X2 - 10^2
к каноническому виду и найти приводящее к нему преобразование
координат.
Решение. Применим метод Лагранжа:
/ = (2xi - Згх2)2 + 9x1 - Юа^ = (2xi - Згх2)2 - х\ = у? - у22,
где yi = 2х\ — Згжг, уг = Х2. Таким образом, каноническим видом будет
форма у2 - у!» а формулы преобразования координат имеют вид
1 Зг
XI = -yi + уу2, Х2 = У2. ■
146
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Пример 67.6. Найти канонический вид квадратичной формы
/ = х\ - 2х\ + х\ + 2х\хч + 4ж1Ж3 + 2х2х3.
Г 1 12 1
Решение. Матрица квадратичной формы равна А = 1 -2 1 ,
L 2 1 1 J
ее угловые миноры равны соответственно: Ai = 1, А2 = —3, A3 = 8.
Согласно формулам Якоби каноническими коэффициентами
квадратичной формы являются числа
Ai = T = l, Л2 = —= -3, Л3=д7 = --,
так что каноническим видом квадратичной формы будет форма
о
У\ - Зуг ~ ^Уз- ■
ЗАДАЧИ
67.1. Составить матрицы данных билинейных форм в п-
мерном линейном пространстве:
1) ххУ1 (п = 1); 2) ххУх (п = 2); 3) ххУ2-х2У1 (п = 2);
4) 2х1У1 - х1У2 - х2У! - Ъх2У2 {п = 2);
(п = 3);
5)
6) ххУ2 -
П
7)
7х3у2
(п = 3);
г=1
8)
9)
г=1
Ю)
И) £
<
67.2. Для симметричных билинейных форм из предыдущей
задачи записать соответствующие им квадратичные формы.
67.3. По данной квадратичной форме Л{х,х) в п-мерном
пространстве восстановить полярную к ней билинейную форму
А{х,у):
1) -3x1 (п = 1); 2) -18xia;2 + 9х22 (п = 2);
3) х\ + 4ж!Ж2 + 4ж!Ж3 + 5ж^ + \2х2хъ + 1х\ (п = 3);
4) 2х\ - 6ххх2 - Зх22 (п = 3); 5) ^ x{xi+1.
г=1
67.4. Выписать общий вид квадратичной формы, имеющей
в некотором базисе матрицу:
4
2
4
2
-3
0
4
0
4
;3)
0
2
1
2
8
2
1
2
0
2
-1
0
0
-1
2
-1
-1
0
1
2
0
0
-1
0
2
§#7. Формы в линейном пространстве 147
4)
5) А = К) б К"*", где atj = { £ jj _ > j " J;
67.5. Как изменится матрица билинейной (квадратичной)
формы, если изменить базис ei,..., еп следующим образом:
1) поменять местами г-й и j-и векторы базиса;
2) умножить г-й базисный вектор на число а ф 0;
3) вектор е{ заменить на е{ + aej (j ф г);
4) векторы базиса записать в обратном порядке?
67.6. Квадратичная форма и линейный оператор имеют в
некотором базисе одинаковые матрицы. Какой должна быть
матрица перехода от этого базиса к другому базису для того,
чтобы в другом базисе матрицы квадратичной формы и линейного
оператора также совпадали?
67.7. Треугольным преобразованием координат называется
преобразование вида
где qu ф 0, г = 1,п. Доказать, что:
а) треугольное преобразование не вырождено и
преобразование, обратное у нему, тоже треугольное;
б) угловые миноры Дд., к = 1, п, матрицы квадратичной
формы при треугольном преобразовании координат, в котором все
коэффициенты qiU i = l,n, равны 1, не изменяются.
67.8. Доказать, что:
а) для того чтобы квадратичную форму / ранга г
треугольным преобразованием можно было привести к каноническому ви-
ДУ
где Хк ф 0 (к = 1,г), необходимо и достаточно, чтобы угловые
миноры матрицы А квадратичной формы удовлетворяли
условиям
Акф0 (к<г), Ак = 0 {к>г);
148 Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
б) указанный канонический вид определен однозначно,
причем его коэффициенты находятся по формулам
-T
— 1,Г,
где До = 1.
67.9. Найти канонический вид для следующих
квадратичных форм:
4х\ + 4ххХ2 + $Х1\ 2) х\ - Х\Х2 - х\\
\ ? \
) \ 1 ) \ \
3) 2Ъх\ + 30хгх2 + 9х?2; 4) -х\ + 2ххх2 - 2х\\
5) -16х? + 24x1x2-9x2J; 6) я??| |
7) х* - 3^2 - 4х3 + 2ххх2 + 2xiX3 - 6х2х3;
8) а;2 + 5^ - 4х23 +
9) 4rcf + ^2 + х\ —
10) -12x1 - 3x1 - 12xj
11) х\ + 2х\ + 2х\ + 3x1
12) —х\ — х\ - х\ + XiX2 + х2х3.
67.10. Доказать, что билинейная форма А(х,у) в п-мерном
пространстве симметрична тогда и только тогда, когда
существует базис еь ..., еп пространства, в котором она имеет вид
п п п
Л{х,у) = £ \кхкУк, Vx = X) хкек, Vy = £ укек.
к=1 к=1 к=1
67.11. Найти канонический вид и преобразование
координат, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных
форм:
1) 2х\ + 18х^ + 8xj - 12ж!Ж2 + 8ххх3 - 21х2хъ\
2) 2х\ + Зх\ + 4а;2 -
3) 9x1 + 4х\ + х\ -
4) 8х\ + 8x1 + х\ +
5) Зх\ - 2х\ + 2х\ + 4ххх2 - Зхххъ - х2хъ\
6) х\ + 4х\ + 6x4 - ххх2 + х2х3 - х3х4;
7) Х1Х2 + Х2Х3 + Х3Х4 + Х±Х\\
8) Зх\ + 2x2 ~ х\~ 2^4 "I" 2ххХ2 — 4х2х3 + 2х2х4;
9) ххх2 + 2х2х3 - Зх3х4;
10) х\ + х\ + х3 + х\ + х\ + х\ - 2xix3 - 2х2х4 - 2х3х5 - 2х4хб;
п
11) X) akajXkXj, где не все числа a., i = 1,п, равны нулю;
kj=l
12) Zx2k+Z хкхУ, 13) £ xkXj; 14) £ xfcxfc+1;
k=l k<j k<j k=l
167. Формы в линейном пространстве 149
15) t Ы - s)2, где s = Ж1 + "'- + а;п; 16) £ \к - j\ ■ xkXj;
к=\ П k<j
17) 4х\ - \2ixxx2 - 9z*; 18) 9х\ + 24(1 + г)ххх2
19) ixlx2\ 20) (1 + г)х\ + (2 + 2г)ххх3 + гх\ + Ъх\\
21) х\ + (2 - 2г)ж!Ж2 + 2ziZ3 + 2гж| + (2 + 2г>2х3 + (1 + г)я?|;
22) -х\ - 41x^2 - (2 - 2i)x1x3 + 4х\ - (4 + 4г)ж2ж3 + 2гх\.
67.12. Показать, что отношение конгруэнтности является
отношением эквивалентности на множестве квадратных матриц
одинакового порядка.
67.13. Доказать, что две квадратичные формы от п
переменных эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы
конгруэнтны.
67.14. Для следующих квадратичных форм найти
невырожденное линейное преобразование координат, переводящее
форму/в форму д:
1) / = 2х\ + 9x1 + Зжз + &Г1Ж2 ~ 4xix3 - Юж2ж3,
д = 2у\ + Зу| + 6у% - 4угу2 - 4уху3 + 8у2у3;
2) / = Ъх\ + 10х22
g = 5yj + 6у| +
3) / = 5^1 + 5^2 +
67.15. Выяснить, какие из следующих квадратичных форм
в вещественном пространстве эквивалентны между собой:
1) /х = х\ - х2х3, /2 = 2/i2/2 - yh /з =
2) /i = ж? + 4ж
/2 = 2/1+ 22/2 - Уз +
/з = -4zj* - z\- z\- 4zxz2 + 4axz3 + 18z2z3.
67.16. Доказать, что в линейном пространстве Enxn
выражение tr(X2) задает квадратичную форму. Определить ее ранг.
1
67.17. Показать, что выражение I(f,g) = J f(t)g(t)dt явля-
-1
ется симметричной билинейной формой в пространстве многоче-
нов Мп. Привести ее к каноническому виду при п = 3.
1
67.18. Показать, что выражение /(/, д) = J f'(t)g'(t) dt явля-
-1
ется симметричной билинейной формой в пространстве многоче-
нов Мп. Привести ее к каноническому виду при п = 3.
150 Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
§68. Квадратичные формы в вещественном и
комплексном пространствах
Пусть А(х, х) - квадратичная форма в вещественном пространстве.
Общее число ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной
формы ранга г равно г. Число тг положительных коэффициентов называется
положительным индексом инерции квадратичной формы, а число v = г -тг
- отрицательным индексом инерции, их разность а = тг — v - сигнатурой.
Теорема 68.1 (закон инерции). Положительный и
отрицательный индексы инерции вещественной квадратичной формы не зависят
от выбора канонического базиса.
Обозначим символами Р(До, Ai,..., А*) и V(Ao, Ai,.. •, А^) число
совпадений и перемен знаков в последовательности вещественных чисел До,
Ai, ...,Ak.
Теорема 68.2 (сигнатурное правило Якоби). Пусть Ао = 1,
и Afc - угловой минор k-го порядка матрицы квадратичной формы А(х,х)
ранга г и А* ф 0, к = \,т. Тогда
TT = P(A0,Ai,...,Ar), u = V(A0,A1,...,Ar).
Квадратичная форма А(х,х) называется положительно
[отрицательно) определенной, если А(х,х) > 0 (соответственно А(х,х) < 0), Уя Ф в.
Такие формы называют знакоопределенными (или знакопостоянными).
Квадратичная форма А(х,х) называется неотрицательно
(неположительно) определенной, если А(х,х) > 0 (соответственно А(х,х) < 0), Vrc.
Такие формы называют полуопределенными.
Квадратичная форма, для которой существуют векторы х п у такие,
что А(х,х) > 0, А(у,у) < 0, называются знакопеременными.
Пример 68.1. Примером положительно определенной квадратичной
формы в вещественном пространстве может служить скалярный квадрат
в евклидовом пространстве, т.е. отображение А : Е —> Ш, определенное
равенством А(х) = (х,х), Уж £ Е.
Теорема 68.3. Квадратичная форма А(х,х) положительно
(отрицательно) определена тогда и только тогда, когда ее положительный
(соответственно отрицательный) индекс инерции совпадает с
размерностью пространства.
Следствие. Определитель матрицы положительно определенной
квадратичной формы положителен.
Теорема 68.4 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма
А(х,х) положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда,
когда угловые миноры А&, к = 1,п, ее матрицы в произвольном базисе
положительны (соответственно чередуют знаки, начиная с
отрицательного):
Afc > 0, fc = T~ri (AkAfc_i <0, к = 17п, Ао = 1).
Теорема 68.5. Пусть V - вещественное линейное
пространство. Отображение А : V х V —> Ж является скалярным произведением в
пространстве V тогда и только тогда, когда оно есть билинейная форма,
полярная к положительно определенной квадратичной форме.
§68. Формы в вещественном и комплексном пространствах 151
Матрица билинейной формы, задающей скалярное произведение,
совпадает с матрицей Грама базисных векторов: Ае = &(ei,..., е&).
В комплексном пространстве полным аналогом вещественных
квадратичных форм являются так называемые эрмитовы квадратичные формы.
Пусть теперь V - комплексное линейное пространство. Отображение
Л : V х V —У С называется полутпоралинейной формой, если для любых
x,y,ze V, aeC:
l)A( ) A()
(
2) А(ах,у) = аА(х,у)-,
3) А(х,y + z) = А(х,у) + А(х,z);
4) А(х,ау) = аА(х,у).
Полуторалинейную форму называют эрмитовой, если
А(у,х) = A(x,y),Vx,y e V.
Пример 68.2. Скалярное произведение (ж, у) в унитарном
пространстве является эрмитовой полуторалинейной формой.
Для полуторалинейных форм остаются в силе все утверждения,
касающиеся билинейных форм. В частности:
- общий вид полуторалинейной формы А(х,у) в базисе е задается
равенством: Уж = ^Ук=1 xkCk, У = YJj=\ Узез
А(х,у) = ^2 akjxkyj> (68.1)
k,j=l
где akj = Д(ел,е^), или, в компактной форме,
А(х,у) = хТеАеу1 = у"А[хе\
- если е и / = eQ - два базиса пространства, то А/ = QTAeQ\
- полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда ее
матрица в любом базисе эрмитова.
Теорема 68.6. Полуторалинейная форма эрмитова тогда и
только тогда, когда А(х,х) G М, Уж 6 V.
Пусть А(х, у) - эрмитова полуторалинейная форма в комплексном
пространстве V. Эрмитовой квадратичной формой (или, короче, эрмитовой
формой) называется отображение А : V —> С, которое каждому вектору х G
V ставит в соответствие число А(х,х). Полуторалинейная форма А(х,у)
при этом называется полярной полуторалинейной формой к эрмитовой
форме А{х,х).
Эрмитова квадратичная форма обладает всеми свойствами (с
очевидными изменениями) обычных квадратичных форм. В частности:
1) существует взаимно однозначное соответствие между эрмитовыми
полуторалинейными и эрмитовыми квадратичными формами пространства;
2) матрица эрмитовой квадратичной формы в любом базисе эрмитова;
3) общий вид эрмитовой квадратичной формы: Уж = ^£
п
А(х,х)= Yl a>kjxkxj, akj =ajk (Vk,j = l
или, в компактной форме,
А(х,х) =x^Aex7 = x
152 Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
4) канонический вид эрмитовой квадратичной формы задается
равенством:
г п
А(х,х) = J
5) метод Лагранжа приведения к каноническому виду применим и для
эрмитовой формы;
6) остаются справедливыми формулы Якоби;
7) эрмитова квадратичная форма принимает только вещественные
значения;
8) для эрмитовых квадратичных форм справедливы закон инерции,
сигнатурное правило Якоби, критерий Сильвестра;
9) отображение А : V х V —> С есть скалярное произведение в
комплексном пространстве V тогда и только тогда, когда оно является полуторали-
нейной формой, полярной к положительно определенной эрмитовой форме.
Канонический вид квадратичной формы (эрмитовой формы), в котором
все ненулевые канонические коэффициенты равны 1 или —1, называется
нормальным видом.
Пример 68.3. Найти нормальный вид квадратичной формы
/ = х\ + х\ + Ъх\ + 4ж1Ж2 + 2х\хъ + 2х2х3.
Г1 2 11
Решение. Матрица квадратичной формы / имеет вид А = 2 1 1 ,
Ll I 3J
ее угловые миноры равны Ai = 1, А2 = —3, A3 = —7. Согласно формулам
Якоби за канонический вид формы / можно взять форму
у\ - Зу2 + \yl
Ai A2 A3 7
с каноническими коэффициентами —— = 1, -г— = — 3, -т— = -•
1 Ai A2 3
Последняя форма после преобразования координат
Z\ = yi, Z2 = \/Зу2, 23 = у/УЗуЗ
примет нормальный вид
«2 о о
zi-zi + zi. ш
Пример 68.4. Показать, что квадратичная форма
/ = ]Г(п + 2 - j)x) + 2 ]Г
3=1 3=1
положительно определена.
Решение. Для проверки положительной определенности
квадратичной формы / составим ее матрицу и воспользуемся критерием Сильвестра.
Формы в вещественном и комплексном пространствах 153
Имеем
n+1
1
0
0
0
0
1
n
1
0
0
0
0
1
n-1
0
0
0
... 0
... 0
... 0
... 4
... 1
... 0
0
0
0
1
3
1
0
0
0
0
1
2
А =
Критерий Сильвестра удобнее применить не к матрице А, а к
матрице А1, получаемой из А перестановкой сначала строк, а затем столбцов в
обратном порядке:
Ах =
Матрица А\ соответствует квадратичной форме, получаемой из /
перенумерацией переменных х\,... ,жп в обратном порядке. Поэтому (в силу
критерия Сильвестра) квадратичная форма / положительно определена
тогда и только тогда, когда все угловые миноры Afc, k = 1,п, матрицы А\
положительны.
Составим рекуррентное соотношение для А&:
" 2
1
0
0
0
0
1
3
1
0
0
0
0
1
4
0
0
0
0
0
0
... п-1
1
0
0
0
0
1
п
1
0
0
0
0
1
п + 1
и перепишем его в более удобном виде:
Afc- Afc_i = (fc-2)Afc_i
*_! - А*_2).
(68.2)
С помощью (68.2) и метода математической индукции докажем, что
Ак > Ак-1 >0.
Действительно, Ai = 0 и А2 = 5 > Аь Пусть Ак > Ak-i > 0, к > 2.
Тогда из (68.2) следует, что
Afc+i = Ак + (к - l)Afc + (Afc - Afc_i) > Ак.
Таким образом, А* > 0 для всех к = 1, п, и следовательно, квадратичная
форма / положительно определена. ■
Пример 68.5. Для полуторалинейной формы
/ = 2ж1уГ 4- ixiyi - ix2y\ 4- 2х2у2
выписать соответствующую ей эрмитову квадратичную форму и привести
эту форму к каноническому виду. Найти приводящее к этому виду
преобразование координат.
Решение. Матрица формы / имеет вид А = _• о • Г^ак как
Аи = А, то эта полуторалинейная форма эрмитова и, следовательно, она
порождает эрмитову квадратичную форму д. Матрица эрмитовой формы д
совпадает с матрицей А, поэтому
д = 2|xi|2 4-гж1ж1- гж2жГ4-2|ж2|2.
Для приведения к каноническому виду применим метод Лагранжа (в
комплексном случае - это метод выделения квадратов модулей). Заметим
154 Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
предварительно, что для комплексных чисел а и Ь:
\а 4- Ь\2 = (а 4- Ь)(а + Ь) = аа + ab+ ab + ЬЬ.
Имеем:
g = 2(*,*,
уx2j +*1(У
-2 • \х2х2 + 2х2х2 = 2(*х - \х2) (xj - |х2 j + |
Таким образом, каноническим видом квадратичной формы д будет
форма
2 3 2
2
где yi = х\ Ж2, 2/2 = Х2- Формулы преобразования координат имеют вид
#i = yi 4- ~2/2, #2 = 2/2- ■
ЗАДАЧИ
68.1. Применяя сигнатурное правило Якоби, найти
нормальный вид, положительный и отрицательный индексы инерции и
сигнатуру следующих квадратичных форм:
1) х\ 4- х\ 4- Ъх\ 4- •
с\\ 2 о 2 | 2
3) 2ж? 4- 5а^ 4- 2х\ - -
5) x\ 4- 2^3 4- кх\Хъ + 6^1X3;
68.2. Пользуясь сигнатурным правилом Якоби, найти
индексы инерции следующих квадратичных форм:
71 — 1 П П—1
Ч xi + Lj xkxk+u Ч
к=1 к=1 к=1
3) ~\ £ х\ + Е хкхц 4) Ех1 + 4 1
ifc=l k<j k=l k<j
п
5) а X) я£ + 26 Yl xk%j, где а > Ь > 0 - произвольные числа.
к=1 k<j
68.3. Пусть главный минор Д*., fc < п, матрицы
квадратичной формы от п переменных равен нулю, но миноры Д*_1 и Д*+1
отличны от нуля. Доказать, что в этом случае Д^_хД^+1 < 0.
68.4. Пусть в последовательности До = 1, Дь .. •, Дп
главных миноров матрицы квадратичной формы от п переменных
Формы в вещественном и комплексном пространствах 155
определитель Дп ф О, но при некотором к < п минор Ак = О,
однако Afc_xAjfc+i ф 0. В каждом таком случае нулевому
минору Ак в рассматриваемой последовательности припишем
произвольный знак. Показать, что модифицированное таким образом
сигнатурное правило Якоби сохраняет силу.
68.5. Применяя модифицированное правило Якоби из
предыдущей задачи, найти нормальный вид, положительный и
отрицательный индексы инерции и сигнатуру следующих
квадратичных форм:
1) -Ъх\ + 4хгх
2) Х\Х2 + х2х3
3) ххх2 + 2хгх3 + 3xix4 + х2х3 + 2х2х4
4) хгх2 + ххх3 + х2х3 + х2хА + х3х4 + х3х5
5) x\+xl + xl + xl + 2х^4 + 2х2х3 + 2х3х4.
68.6. Показать, что ранг и сигнатура квадратичной формы
имеют одинаковую четность.
68.7. Доказать, что в положительно определенной форме
все коэффициенты при квадратах переменных положительны.
Является ли это условие достаточным для положительной
определенности квадратичной формы?
68.8. Доказать, что для того, чтобы квадратичная форма
Л(х, х) была неотрицательно определенной, необходимо и
достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были
неотрицательны. Является ли условие неотрицательности только
угловых миноров достаточным для неотрицательной определенности
квадратичной формы?
68.9. Найти все значения параметра А, при которых
положительно определены следующие квадратичные формы:
1) \х\ -ix1x2 + (А + 3)ж2;
2) Ъх\ + х\ + Xxl + AxiX2 — 2ж!Ж3 — 2х2х3\
3) \х\ + 8x1 + х\ + 16xiX2
4) 2х\ + х\ + 3x1 + 2\Xlx2
5) х\ + х\ + 5^з + 2\ххх2 - 2ххх3
6) х\ + 4x1 + xl
7) 2х\ + 2х\ + х\ + 2\xiX2 + 6xiX3 + 2х2х3\
8) х\ + 4ж2 - Xxj + 2\хгх2 + 2ххх3 + 2х2х3\
9) (4 - \)х\ + (4 - \)х\ - (2 + \)х\ + 4xYx2 - 8xix3 + Sx2x3.
68.10. Пусть в квадратичной форме /(xi,... ,жп)
коэффициент пц > 0. Выяснить, каков будет результат следующей
156 Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
замены переменных:
2/1 = -7=(auZi + • • • + alnxn),
у/041
yk = xk, fc = 2,n.
68.11. Доказать, что положительно определенную
квадратичную форму можно привести к нормальному виду
треугольным преобразованием переменных (см. задачу 67.7).
68.12. Привести к нормальному виду треугольным
преобразованием переменных следующие квадратичные формы:
1) х\ + 2х\ + Ъх\
2) х\ + 2x1 + 2х1
3) х\ + 4х* + 11х1
68.13. Доказать, что квадратичная форма А(х,х)
является положительно определенной тогда и только тогда, когда ее
матрица Ае хотя бы в одном базисе е представляется в виде
Ае = STS, где S - верхняя треугольная невырожденная
матрица. Такое разложение матрицы Ае называется ее треугольным
разложением.
68.14. Показать, что диагональные элементы матрицы S
в треугольном разложении матрицы А и главные миноры Д*
матрицы А связаны соотношениями:
68.15. Доказать, что треугольное разложение
положительно определенной матрицы А единственно, если дополнительно
потребовать, чтобы диагональные элементы матрицы 5 были
положительны.
68.16. Показать, что элементы skj матрицы S в треугольном
разложении положительно определенной матрицы А = (akj) G
Enxn могут быть вычислены по формулам:
— —i J —
k-i
k-l
Skj = Skkfakj ~ E
P=l
Формы в вещественном и комплексном пространствах 157
68.17. Используя формулы предыдущей задачи, найти
треугольные разложения следующих матриц:
Г 1 9 4 4
л о _о 1 Г Q —Ч п 1
9 ^ Я 11
-2 13 0 -4 ^
68.18. Доказать, что для того, чтобы вещественная
симметрическая матрица А представлялась в виде А = ВТВ) где В -
вещественная невырожденная матрица, необходимо и
достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы А были положительны.
68.19. Доказать, что для того чтобы вещественная
симметрическая матрица А представлялась в виде А = ВТВ, где В
- вещественная квадратная матрица, необходимо и достаточно,
чтобы все главные миноры матрицы А были неотрицательны.
Кроме того, если rg А = г, то и rgB = г, и можно считать, что
первые г строк матрицы В линейно независимы, а остальные -
нулевые.
68.20. Доказать, что ранг билинейной формы равен единице
тогда и только тогда, когда она является произведением двух
ненулевых линейных форм.
68.21. Доказать, что для представимости вещественной
квадратичной формы в виде произведения двух вещественных
линейных форм необходимо и достаточно, чтобы ранг этой
квадратичной формы не превосходил единицы, либо ранг был равен
двум, а сигнатура равна нулю.
68.22. Пусть для ненулевой билинейной формы А в
вещественном пространстве V существует такое число а, что для
любых ж, у Е V выполнено равенство:
А{х,у) = аА(у)х).
Доказать, что а = 1 или а = — 1.
68.23. Пусть А - билинейная форма в вещественном
пространстве V и всякий раз, когда выполнено равенство А(х, у) =
О, имеет место и равенство А(у,х) — 0. Доказать, что форма
А либо симметрична, либо кососимметрична, т.е. для любых
х,у Е V выполнено равенство А(х,у) = —А(у,х).
68.24. Доказать, что если произведение двух линейных
форм, заданных в вещественном линейном пространстве V,
тождественно равно нулю, т.е. Ii(x)l2(x) = 0 для любого х Е V', то
хотя бы одна из этих форм тождественно равна нулю.
158 Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
68.25. Доказать, что если симметричная билинейная
форма А(х,у), заданная в вещественном линейном пространстве V,
распадается в произведение двух линейных форм: А(х,у) =
h(x)h{y)i то она представима в виде А(х,у) = А/(х)/(у), где А -
число, отличное от нуля, а 1(х) - некоторая линейная форма.
68.26. Выяснить, при каком необходимом и достаточном
условии квадратичные формы f(x) и —f(x) могут быть
приведены к одному и тому же каноническому виду.
68.27. Доказать, что если неотрицательная квадратичная
форма обращается в нуль хотя бы при одном ненулевом наборе
вещественных значений переменных, то эта форма вырожденна.
68.28. Пусть f(x) - квадратичная форма в вещественном
линейном пространстве V. Вектор х0 € V называется
изотропным, если f(x0) = 0. Доказать, что если квадратичная форма
f(x) знакопеременна, то в пространстве V существует базис,
состоящий из изотропных векторов.
68.29. Показать, что:
1) если А(х) у) - билинейная форма в комплексном
пространстве V) то форма В(х,у) = А(х,у) является полуторалинейной;
2) если В(х, у) - полуторалинейная форма в комплексном
пространстве V, то форма А{х,у) = В(х)у) является билинейной.
68.30. Составить матрицы следующих полуторалинейных
форм, действующих в n-мерном комплексном пространстве V:
1) -ixxyl (n = 1); 2) -ixxyl (n = 2);
3) ЗжхуГ + 4гж!у^ - 5z22/T + w2ffi (n = 2);
4) -ЗгжхуГ + 2жху^ + 2ж2уГ + (1 ~ г)х2Ш {п = 2);
5) (1 + 1)ххЩ + (1 + г)х2у1 - Ъх2Щ (п = 2);
6) (1 + г>!У2" + (1 - г>2уГ - Ъх2Щ (п = 2);
7) ЖхуГ - Зх2у2" + (2 + г)жз2/з - гхгш + (4 + г)ж3уГ (п = 3);
8) 2жхуГ - 6ж2у2" + Зжзг/1 + З^хуз" + Зж2уГ + (2 - Ы)хгЩ+
(2 + 5г)х3уГ + 4гя?21/з - 4гж3г/2~ (п = 3);
п
9) £ хкЩ] 10) £ хку].
к=1 кфз
68.31. Какие полуторалинейные формы из предыдущей
задачи эрмитовы? Записать соответствующие им эрмитовы
квадратичные формы.
68.32. Восстановить эрмитову полуторалинейную форму
А(х,у) по эрмитовой квадратичной форме f(x) = А(х,х).
68.33. Доказать, что в пространстве Спхп функция f(x) =
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах 159
\,т(ХнX) задает положительно определенную эрмитову
квадратичную форму.
68.34. Доказать, что в линейном пространстве Епхп
выражение tr(AXTX) задает положительно определенную
квадратичную форму тогда и только тогда, когда матрица А
положительно определена.
68.35. Доказать, что в пространстве многочленов Мп с ком-
6
плексными коэффициентами выражение /(/, д) — J f{t)g(t)p{t)dt,
a
в котором непрерывная функция p(t) положительна на (а, 6),
задает эрмитову полуторалинейную форму.
§69. Квадратичные формы в евклидовом и
унитарном пространствах
Теорема 69.1. Для любой квадратичной формы {эрмитовой
квадратичной формы) А(х,х) в евклидовом (унитарном) пространстве V
существует, и притом единственный, самосопряженный оператор У. £
C(V, V) такой, что
Теорема 69.2. Для любой квадратичной формы (эрмитовой
квадратичной формы) в евклидовом (унитарном) пространстве V
существует ортонор мир о ванный базис, в котором она имеет канонический вид.
Операция построения ортонормированного базиса, в котором
квадратичная форма имеет канонический вид, называется приведением квадратичной
формы к главным осям.
Канонический базис квадратичной формы А(х,х) совпадает с ортонор-
мированным базисом из собственных векторов соответствующего
самосопряженного оператора %, а канонические коэффициенты - с отвечающими
им собственными значениями. Собственные значения оператора % являются
корнями уравнения \Ае — А/| = 0, которые, вообще говоря, уже не зависят от
эператора 1-L и инвариантно связаны только с самой квадратичной формой.
Таким образом, при приведении квадратичной формы к главным осям
канонические коэффициенты определены однозначно. Это позволяет нахо-
цить канонический вид квадратичной формы, минуя вычисление
канонического базиса.
Что же касается канонического базиса, то он определен с той же
степенью произвола, с какой определена полная ортонормированная система из
собственных векторов самосопряженного оператора.
Теорема 69.3 (о паре квадратичных форм). Для любой
пары квадратичных форм (эрмитовых квадратичных форм) А(х,х) и В(х,х)
б вещественном (комплексном) пространстве V, одна из которых
положительно определена, существует базис, в котором обе квадратичные
Фоюмы имеют канонический вид.
160
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Пример 69.1. Найти канонический вид, к которому приводится
квадратичная форма
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
... 0
... 0
... 0
... 0
... 1
0
0
0
1
0
ортогональным преобразованием, не находя самого преобразования.
Решение. Решим задачу для удвоенной квадратичной формы
п-1
2/ = ^2хда+ь
t=i
Матрица этой квадратичной формы имеет трех диагональный вид:
А =
Известно, что при ортогональном преобразовании координат
канонические коэффициенты определены однозначно и совпадают с собственными
значениями матрицы А. Для вычисления собственных значений А
необходимо найти корни следующего уравнения
= 0.
Воспользуемся методом рекуррентных соотношений (§7) вычисления
определителя трехдиагональной матрицы *
-А
1
0
0
0
1
-Л
1
0
0
0 ...
1
-Л ...
0 ...
0 ...
0
0
0
-Л
1
0
0
0
1
-Л
a + p
1
0
0
0
аР
a+p
1
0
0
0
aP ...
a + p ...
0
0
0
0
0
a + P
0
0
0
при а + Р = —А, аР = 1:
a-P •
Из равенства Dn = 0 следует, что (a//3)n+1 = 1 или
а 2пк . . 2пк
-- = cos + г sin ,
р п+1 п+1
к =
(к ф О, так как а ф Р). Отсюда с учетом соотношения аР = 1 получаем
. / пк . . пк ч о . / пк . . пк ч . -—
а = ±^cos + ism -)> р = ±^cos — г sin -)> к = 1,п.
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах 161
Знаки ± для а и /3 надо брать одинаковыми, так как а/3 = 1.
Следовательно, Л = —(а + /3) = ±2cos^j-, к = 1,п. Все эти числа являются
корнями характеристического многочлена, но среди них есть совпадающие:
- cos jqj-y = cos ^n+n+^n • Поэтому все различные числа содержатся в
системе
А* = 2 cos
= l,n.
n + 1'
Так как степень характеристического многочлена равна п, то
найденная система содержит все корни характеристического многочлена, причем
кратных корней нет. Эти корни вещественны и представляют собой
полный спектр рассматриваемой симметрической матрицы А. Поэтому 2/ =
7Г& 2
к=1
п +:
пк
■yl
Пример 69.2. Найти ортогональное преобразование, приводящее к
каноническому виду (к главным осям) квадратичную форму
/ = х\ 4- х\ 4- х\ 4- 4x1^2 4- 4ж1Жз 4- 4ж2Жз,
и выписать этот канонический вид.
Решение. Матрица квадратичной формы / равна
г 1 2 2
А= 2 1 2
L 2 2 1
Известно, что при ортогональном преобразовании координат
каноническими коэффициентами будут собственные значения матрицы А, а
каноническим базисом - ортонормированный базис из ее собственных векторов.
Найдем собственные значения матрицы А. Имеем
1-Л 2 2
2 1-Л 2
2 2 1-Л
( вычтем из 2-й
= < и 3-й строк 1-ю
I строку
1-Л 2 2
14-Л -1-Л О
14-Л О -1-Л
1-Л 2 2
1 -1 О
1 0 -1
= 0.
Следовательно, Л1 = Лг = — 1, Лз = tr А — Л1 — Лг = 5.
Найдем ортонормированный базис из собственных векторов матрицы А.
Для Л = — 1 линейно независимую систему собственных векторов образуют
векторы /i = (-1,1,0)т, /2 = (—1,0,1)т. Процесс ортогонализации
приводит систему /i, /2 к ортонормированной системе
Для Л = 5 линейно независимая система собственных векторов состоит из
одного вектора /з = (1,1,1)т или, после нормирования, ез = —/=(1> 1» 1)Т-
v3
162
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Таким образом, каноническим видом квадратичной формы / в ортонор-
мированном базисе е1,б2,ез будет форма
~~2/l "~ У2 "• ^2/3 ?
матрица преобразования координат равна
1
у/2
1
0
1
\/б
1
"71
2
7!
1 -
Уз
1
7!
1
7! -
и следовательно, формулы преобразования координат имеют вид
Х2 =
Пример 69.3. Проверить, что квадратичная форма g = х\ 4- ^х\ +
Зж| + 2ж1а;з положительно определена, и найти канонический вид, к которому
приводится квадратичная форма / = 8x5 — 28x2 4- 14хз 4- 16x1X3 + 14xiX3 4
32х2Хз преобразованием координат, приводящим квадратичную форму g к
нормальному виду, не находя самого этого преобразования.
Решение. Квадратичные формы / и g имеют матрицы
8 8 7
А= | 8 -28 16
7 16 14
и В =
1 0 1
0 4 0
1 0 2
Угловые миноры матрицы В положительны (Ai = 1, А2 = 4, A3 = 4) и
согласно критерию Сильвестра квадратичная форма g положительно
определена. Известно (задача 69.14), что если общим преобразованием
координат квадратичная форма / приводится к каноническому виду, а
квадратичная форма g к нормальному виду, то канонические коэффициенты Ai,... ,ЛП
квадратичной формы / определены однозначно (с точностью до их порядка)
и являются корнями Л-уравнения пары форм / и д: \А — ХВ\ = 0.
Найдем эти корни. Имеем *
\A-\B\ =
8-Л 8 7-Л
8 -28 - 14Л 16
7-Л 16 14 - 2Л
■{
вычтем из 3-й
строки удвоенную 1-ю
строку
8-Л 8 7-Л
8 -28 - 14Л 16
Л-9 0 0
= (Л - 9)
8
7-Л
-28 - 14Л 16
= 4(Л-9)(Л2-81) = 0.
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах 163
Таким образом, Ai = А2 = 9, Аз = — 9и каноническим видом
квадратичной формы / будет форма
Пример 69.4. Проверить, что в паре квадратичных форм
/ = — х\ — 2х\ 4-
- 2х2х3
одна из форм положительно определена. Найти преобразование координат,
приводящее эту форму к нормальному виду, а другую - к каноническому
виду, и выписать этот канонический вид.
Решение. Квадратичные формы / и g имеют матрицы
Г -1 1 2 I [1-14
А=\ 1-2-8 и В= -1 2-1
L 2 -8 О J |_ 4 -1 26
Квадратичная форма / не является положительно определенной, так
как в матрице А угловой минор Ai = — 1 < 0. Угловые миноры матрицы
В положительны (Ai = А2 = Аз = 1) и согласно критерию Сильвестра
квадратичная форма g положительно определена. Приведем квадратичную
форму g к нормальному виду, пользуясь методом Лагранжа:
g = (xi - х2 4- 4х3)2 4- х\ + Юхз 4- 6ж2ж3 = (zi - х2 4- 4я3)2 4- (х2 4- Зж3)2 4- х\.
или
т.е.
Преобразование
2/1 =
Х\ -
!координат
= Xi -
= 2/1 4
в матричной записи
[ хх Л
Х2
хз J
= Q\
■ Х2 4-4жз,
2/2 - 7у3,
Г У1 1
\ У2 ,
L Уз
У2 = Х2 4- За
Х2 = У2 ~ 3j/
где Q\ =
'3,
з, :
[ 1
о
L о
Уз =
Гз =
1
1
0
--хз
Уз,
-7
-3
1
приводит квадратичную форму g к нормальному виду у\ 4- 2/2 4- 2/з- При
этом матрица Б квадратичной формы р преобразуется в матрицу В\ = I и
выполнено соотношение 7 = Q\BQ\.
Выясним, как выглядит квадратичная форма / в новых переменных
2/1,2/2,2/3- Матрица А квадратичной формы / перейдет в новую матрицу j4i,
связанную с А соотношением А\ = Q[AQ\. Имеем
[1 0 От [ -1 1 21 [ 1 1 -71 [ -1 0 6
А1=\ 1 10 1-2-801-3= 0-1-3
L-7 -3 1J L 2 -8 0 J L 0 0 1J L 6-3-5
Таким образом, квадратичная форма / имеет вид
/i = -2/1 ~ 2/2 ~ 5у2 4- 12у12/з - 6у22/з.
Приведем эту квадратичную форму к главным осям, т.е. найдем
ортогональную матрицу Q2 перехода к новым переменным так, чтобы новая
матрица А2 = Q^AiQ2 квадратичной формы стала диагональной. Следует
164
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
отметить, что при таком преобразовании квадратичная форма g в новых
переменных будет снова иметь нормальный вид. Действительно,
В2 = Q\BXQ2 = QllQ2 = QIQ2 = I
в силу ортогональности матрицы Q2.
Найдем собственные значения матрицы А\:
-1-Л 0 б
О -1-Л -3
6 -3 -5-Л
■{
прибавим к 1-й
= ^ строке удвоенную
2-ю строку
-1-А -2-2А О
О -1-А -3
6 -3 -5-А
= (-1 - А)
1 2 О
О -1-Л -3
О -15 -5-Л
Итак, числа Ai = 4, А2 = — 1, A3 = —10 образуют спектр матрицы А\.
Все собственные значения просты, поэтому каждому из них отвечает ровно
один линейно независимый собственный вектор. Для Ai = 4 - это вектор
/i = (6, -3,5)т, для А2 = -1 - это вектор /2 = (1,2,0)т, для А3 = -10 - это
вектор /3 = (-2,1,3)т.
После нормирования получим ортонормированный базис из собственных
векторов матрицы А\\
61 =
ез =
Отсюда следует, что новые переменные zi,22,23 должны быть введены
по формулам
У2
Уз
=Q2
22
23
ИЛИ
ZZ
2/2
Уз
где матрица Q2 имеет вид
6
л/70
3
л/70
5
л/70
1
71
2
71
0
2
л/П
1
л/П
3
л/14
Итак, Q^AQi = j4i, Q2A\Q2 = Л, где Л = diag(4, —1,-10).
Следовательно, (QiQ2)TA(Q\Q2) = Л и искомое преобразование координат
определяется матрицей
32 3 22 п / 32 3 22
18
л/70
5
л/70
2
0
8
л/14
3
л/14 -
1 т-е-
18
8
—F=2l H 7=
л/70 л/14
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах 165
Квадратичные формы / и g относительно переменных z\, Z2,23 будут
иметь следующий вид
f = ±z\-zl-\{)zl, g = z\ + z\ + z\. ш
Пример 69.5. Показать, что квадратичные формы
/ = х\ — 1Ьх2 4-
х\
g = х\ 4-
4-
приводятся к каноническим видам одним преобразованием координат.
Найти:
а) эти канонические виды;
б) соответствующее преобразование координат.
Решение. Квадратичные формы f и g имеют матрицы
1 2 -1
А= \ 2-15 3
-13 0
1 2 -1
и В= | 2 17-7
-1 -7 3
Квадратичная форма / не является положительно определенной, так как в
матрице А угловой минор А 2 < 0. Угловые миноры матрицы В
положительны (Ai = 1, А2 = 13, A3 = 1) и согласно критерию Сильвестра
квадратичная форма д положительно определена. Следовательно, применим
алгоритм, описанный в примере 69.4, и существует преобразование
координат, приводящее форму д к нормальному виду д = у2 + у\ + у\, а форму / -
к каноническому виду / = \\у\ + \2у\ + А3уз-
а) Канонические коээфициенты А1,Аг,Аз квадратичной формы /
являются корнями А-уравнения пары форм / и д (см. пример 69.3):
|Л-ЛВ| =
1-Л 2-2Л -1 + А
2-2Л -15- 17Л 3 + 7А
-1 + А 3 + 7А -ЗА
-1
0
0
2-2А -19-13А 5 + 5А
-1 -2 1
2-2А -15-17А 3 + 7А
-1 + А 3 + 7А -ЗА
= (А-1)(А2 + А-6) = 0.
-1 + А 5 + 5А -1-2А
Следовательно, Ai = 1, Аг = 2, Аз = —Зи каноническим видом квадратичной
формы / будет форма
f = y2i+bl-3yl (69.1)
б) Для того, чтобы найти преобразование координат, приводящее форму
g к нормальному виду, а форму / - к каноническому виду (69.1), применим
метод Лагранжа к квадратичной форме д:
2x2 - х3)2
2ж2 - х3)2
2x1 ~
- хз)2 + (3x2 — хз)2.
Преобразование координат (легко проверить его невырожденность)
= Х\ + 2^2 — Хз,
( Z\ = ;
или
{Х\ = Z\ - Z2,
Х2 = -Z2 + 23,
хз = -3z2 + 2г
приводит квадратичную форму д к нормальному виду: z\ + z\ + z\.
166
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
В новых координатах zi,Z2,Z3 квадратичная форма / имеет вид
/ = (*i - z2)2 - 15(-*2 + *з)2 + 4(*i - *2)(-*2 + *з)-
-2(^1 - z2)(-3z2 + 2z3) + 6(-z2 + *3-)(-3*2 + 2z3) = z\ + 2z\ - 3*
т.е. требуемый канонический вид. Поэтому yi = zi, г/2 = 22, Уз =
искомое преобразование задается равенствами
Г xi =
< ж2 =
I жз =
=yi -у2,
= -t/2 + уз,
= -Зу2 4- 2у3.
Пример 69.6. Найти преобразование, приводящее каждую из
квадратичных форм
= х\ + х\ 4- 4ж1Ж2 4-
= 9x1 + 2х\ 4- 2жз -
4-
4- 2х2х3
к каноническому виду, и выписать соответствующие канонические виды
этих форм.
Решение. Матрицы квадратичных форм fug равны соответственно
0 2 2
А= | 2 1 1
2 1 1
9 -6 -6
В= | -6 2 1
-6 1 2
Отметим, что как следует из критерия Сильвестра, ни одна из этих
квадратичных форм не является знакоопределенной. Действительно, в матрице
А угловой минор Ai = 0, а в матрице В угловые миноры Ai = 9, А2 = -18.
Поэтому алгоритм, предложенный в предыдущей задаче, не применим.
Воспользуемся тем, что матрицы А и В перестановочны:
АВ = В А =
-24 6 6
6 -9 -9
6 -9 -9
Согласно результату задачи 62.49 существует ортонормированный базис,
состоящий из собственных векторов, общих для матриц А и В. Найдем
сначала собственные значения матриц А п В.
Для матрицы А имеем:
-Л 2 2
2 1-Л 1
2 1 1-Л
-Л 2 2
2 1-Л 1
0 Л -Л
= -Л
-Л 4 2
2 2-Л 1
0 0 1
= -Л(Л + 2)(Л-4).
Итак, спектр матрицы А составляют числа Л1 = 0,
Для матрицы В имеем:
= —2, Лз = 4.
9-/х -6
-6 2-/х
-6 1
-6
1
9-/х -6
-6 2-/х
0 -1 + /х
-6
1
9-/х -12 -6
-6 3-/х 1
0 0 1
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах 167
Итак, спектр матрицы В составляют числа /л = 1, /Х2 = —3, /хз = 15.
Для построения ортонормированного базиса из собственных векторов,
общих для матриц А и В, воспользуемся тем, что каждое собственное
подпространство матрицы А инвариантно относительно матрицы В (задача
59.43) и что в нем содержится собственный вектор матрицы В (задача 59.21).
Так как все собственные значения матриц А и. В простые, то все
отвечающие им собственные подпространства одномерны. Поэтому каждый
ненулевой вектор из собственного подпространства матрицы А является
собственным вектором матрицы В.
Собственному значению Ai = 0 матрицы А отвечает собственный вектор
ei = —(0,1,—1)т, собственному значению Аг = -2 - собственный вектор
ег = -/=(0,1,1)т, а собственному значению Аз = 4 - собственный вектор
V 2
1 т
ез = —т=(1, 1,1) • Эти же векторы являются собственными векторами и для
v3
матрицы В. Остается проверить, что собственному вектору е\ отвечает
собственное значение /л = 1, собственному вектору ег - собственное значение
/1з = 15, и собственному вектору ез - собственное значение /хг = -3.
Таким образом, если
0 =
1
0
1
i
v/2
0
1
1
v/2
n/3
1
71
7! ,
то замена переменных
Х\
2/2
Уз
преобразует квадратичные формы к каноническим видам
/ = -2уЗ+4у|, g = yj + 15у2 - Зу|. .
Пример 69.7. Найти преобразование, приводящее каждую из
квадратичных форм
f = 2x1+Х*+х1- 2X2X3,
\ \ \
g =
х\
1
х\ —
к каноническому виду, и выписать соответствующие канонические виды
этих форм.
Решение. Матрицы квадратичных форм /ир равны соответственно
2 0 0
А= | 0 1-1
0 -1 1
13 -8 8
В = | -8 1-4
8 -4 1
168
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Как и в предыдущей задаче, ни одна из этих квадратичных форм не
является знакоопределенной (в матрице А: Аз = 0, в матрице В: Дг < 0),
однако матрицы А и В перестановочны:
Г 26 -16 16
АВ = ВА= -16 5 -5
L 16 -5 5
поэтому построим ортонормированный базис, состоящий из собственных
векторов, общих для матриц А и. В.
Найдем спектр матрицы А:
\А - \1\ =
и спектр матрицы В:
2-Х 0
0
1-Л -1
-1 1-Л
= (-А)(2-А)2 = 0^
=0, А2 = Аз = 2
13-/х -8 8
-8 1-/х -4
0 -3-/2 -3-/х
13-/х -8 8
|Б-/х/|= -8 1-/х -4
8 -4 1-/х
13-/х -16 8
-8 5-/х -4
О 0 1
=> /XI = /Х2 = -3, /ХЗ = 21.
Для построения ортонормированного базиса из собственных векторов,
общих для матриц А и В, поступим так же, как и в примере 69.6: общие
собственные векторы будем искать в собственных подпространствах этих
матриц.
Для матрицы А:
- собственному значению Ai = 0 отвечает один линейно независимый
собственный вектор /i = (0,1,1)т;
- собственному значению Аг = Аз = 2 отвечает двумерное собственное
подпространство L = {(а1,а2,аз)т | аг 4- аз = 0}.
Для матрицы В:
- собственному значению /xi = /Х2 = —3 отвечает двумерное собственное
подпространство М = {(а1,а2,аз)т | 2ai — аг 4- аз = 0};
- собственному значению /хз = 21 отвечает один линейно независимый
собственный вектор д$ = (2, —1,1)т.
Так как gz G Ь, то в качестве одного из собственных векторов матрицы
-А, отвечающих собственному значению А 2 = Аз = 2, можно выбрать вектор
/з =дз- Аналогично, так как }\ 6 М, то в качестве одного из собственных
векторов матрицы В, отвечающих собственному значению /ц = /Х2 = -3,
можно взять вектор д\ = /ь
Третий собственный вектор /2 = #2, общий для матриц А и В, должен
принадлежать обоим подпространствам L и М, и поэтому
/г =92 = (ai,a2,a3) G LflM
Отсюда f2=92 = (1,-1,1)Т.
2ai - a2 + a3 = 0,
a2 4- аз = 0.
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах 169
После нормировки получим искомый ортонормированный базис из
общих собственных векторов:
-^=(0,1,1)Т, е2 = -^(1, -1,1)т, е3 = -^(2, -1,
Таким образом, если
Q =
то замена переменных
х\ Л Г у\
\=Q\ У'2
L Уз
Xi =
хз =
2_
уД
1_
1
71
преобразует квадратичные формы к каноническим видам
/ = 2у2 + 2у|, g = -Зу? - Зу22 + 21у|. .
ЗАДАЧИ
69.1. Найти канонический вид, к которому приводятся
следующие квадратичные формы посредством ортогонального
преобразования, не находя самого этого преобразования:
1) 3x2 + Зхз + 4xix2 + 4xix3 — 2х2х3;
2) 1х\ + 7x1 + 1х\ + 2xix2 + 2xxx3 + 2х2х3;
l; 4) 3xi-h3x2-X3-6xiX3 + 4x2x3;
- 4х2х3;
+ 4х2х3; 7) 2ххх4 + 6х2х3;
2ххХ3 + 4xiX4 + 4х2х3 + 8х2х4 +
3) xl-
5) -Ъх\
6) — х\ + х\ — Ъх\
8) х\ + 4x2 + Хз + 4x4
69.2. Найти ортогональное преобразование, приводящее
следующие квадратичные формы к каноническому виду (к главным
осям), и выписать этот канонический вид:
1) 6x1 + Ъх\ + 7х23 - 4х!Х2 + 4ххх3;
2) Uxj + 5х1 + 2жз + 16xix2 + 4xxx3 - 20х2х3;
3) х\ + х\ + 5x1 - 6ххх2 - 2ххх3 + 2х2х3;
170 Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
4) 17х2 + 14x1
5) х\ — 5х\ + х\ + 4ххх2
6) 8х2 — 7x1 + 8x1
7) 2х\Х2 — бжхЖз — 6ж2Ж4 + 2x3X4]
8) 5х\ + 5х\ + 5х\ + 5х\ -
9) 3x1 + 8ж!Ж2 - 3x1 + 4x1 ~ \
10) х\ + 2ххх2 + х\ — 2х\ — 4ж3ж4 - 2х\\
11) 9х\ + 5x1 + 5x1 \
1
12) 4x1 ~ 4ж1ж2 + А + 5х\ - 4х\ + 12ж4х5 + х\\
13) 4х\ - 4x1 ~ 8ж2£з + 2х\ - 5х\ ^
) \ 1 \ \
14) Зх\ + 8ж!Ж2 - Зх\ + 4х\ - 6ж3ж4 - 4х\
15) Е х\ + Z XkXj] 16)
69.3. Доказать, что невырожденную вещественную
квадратичную форму можно привести к нормальному виду
ортогональным преобразованием тогда и только тогда, когда ее матрица
ортогональна.
69.4. Доказать, что матрица положительно определенной
квадратичной формы ортогональна тогда и только тогда, когда
эта форма есть сумма квадратов. Как это утверждение
формулируется на языке матриц?
69.5. Пусть L - r-мерное линейное подпространство п-мерно-
го евклидова пространства V. Обозначим через к(х) квадрат
длины ортогональной проекции вектора х на подпространство
L. Доказать, что отображение х н-> к(х) задает квадратичную
форму в V. Найти канонический вид этой квадратичной формы.
69.6. Найти унитарное преобразование, приводящее
следующие эрмитовы квадратичные формы к каноническому виду (к
главным осям), и написать этот канонический вид:
1) 2|жх|2 + гх^Щ — гж2хГ + 2|ж2|2;
2) |zi|2 + (3-4i)a?i^+ ( 2
3) 3|жх|2 + 3|ж2|2 — 5|ж3|2 - i
4) \хх\2 + \х2\2 + \х3\2 + Х1х
5) 12|ж! |2 - (1 + 1)ххЩ - (1 - i)x2x^ + 2хгЩ + 2ж3хГ + (3 +
3i)x1xi+(3 - 3«')ж4жГ+ 12|ж2|2 + (1 - г)х2Щ+{1 + г)хъ'х2'-2х2х1-
2x^x5 + 8|ж3|2 - (1 + i)x3X4~ - (1 - г)х4Щ + 8|ж4|2.
69.7. Доказать, что квадратичная форма является
положительно определенной тогда и только тогда, когда все собствен-
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах 171
ные значения ее матрицы положительны, и отрицательно
определенной тогда и только тогда, когда отрицательны.
69.8. Доказать, что все собственные значения трехдиаго-
нальной матрицы порядка 9 вида
-2 1 0 ... О
1-2 1 ... О
О 1 -2 ... О
А =
О 0 0- ... 1
отрицательны.
69.9. Доказать, что трехдиагональная матрица порядка 10
вида
1-3 0 0 ... 0
-3 2 1 0 ... 0
А= 0 1 -2 1 ... 0
0 0 0 0 ... -2
имеет 9 отрицательных собственных значений, а ее
максимальное собственное значение больше единицы.
69.10. Доказать, что собственные значения вещественной
симметрической матрицы А лежат на отрезке [а, Ь] тогда и
только тогда, когда квадратичная форма с матрицей А — Ао/
положительно определена при любом Ао < а и отрицательно определена
при любом Ао > Ь.
69.11. Пусть А и В - вещественные симметрические
матрицы. Доказать, что если собственные значения матрицы А лежат
на отрезке [а, 6], а собственные значения матрицы В - на отрезке
[с, d], то собственные значения матрицы А + В лежат на отрезке
[a + c,b + d\.
69.12. Доказать, что квадратичная форма положительно
определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты
характеристического многочлена ее матрицы отличны от нуля, и
знаки этих коэффициентов чередуются, причем свободный член
положителен.
69.13. Пусть f ид - пара квадратичных форм от одних и тех
же переменных, причем форма д невырождена. Доказать, что
при любом преобразовании координат, приводящем обе формы
к каноническому виду
. + Xny2n) g = l + + 2
172 Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
совокупность отношений —,...,— одна и та же, причем эти
отношения являются корнями А-уравнения \А — \В\ = 0, где А и
В - матрицы форм / и g соответственно.
69.14. Пусть дана пара квадратичных форм / и g от одних и
тех же переменных, причем форма g положительно определена.
Доказать, что канонический вид
получаемый для формы / при любом линейном преобразовании,
приводящем форму g к нормальному виду, определяется
однозначно с точностью до порядка слагаемых, причем его
коэффициенты Ах,..., Ап являются корнями А-уравнения \А — ХВ\ = О,
где А и В - матрицы форм f n g соответственно.
69.15. Выяснить, можно ли следующие пары квадратичных
форм привести к каноническому виду одним вещественным
невырожденным линейным преобразованием:
1) f = х\ + 4£1х2 — х\, g = х\ + 6xiX2 + 5x1;
2) / = х\ + хгх2 - х\, д = х21-2х1х2.
69.16. Пусть даны две положительно определенные
квадратичные формы / и j, и пусть одно невырожденное линейное
п
преобразование переменных приводит форму / к виду ^ А^2,
i=i
а форму д к нормальному виду, а второе преобразование,
наоборот, форму / приводит к нормальному виду, а форму д к
п
виду Yl fazh Найти связь между коэффициентами Ах,..., Ап и
69.17. Найти канонический вид квадратичной формы /, к
которому она приведется преобразованием, приводящим
положительно определенную квадратичную форму д к нормальному
виду (не находя самого преобразования), если:
2)/
3)/
4)/
5)-/
6)/
7)/
9
= х\ +
= х\ +
= 89i?
= 7х\Х
= 8x1 -
= 2*2-
= н-
56^2 + 16
2z1z2 + х
- 42ziz2
2 + 31ж|,
- bxiX2 +
Ь ххх2 + х
f A + х\
х\х2, д — х\
•1 д = Wxl -
+ Ьх\, д = 4
д = х\ + 2хх
12 2
2 2' 9 *^1
!Ж3 - 2x2xz -f
"Т~ ^>Хл —| ZtX2X^
+ 2Ъх\ + 10^!
f 6Ж1Ж2 + ^25
1ж? - 18ж1Ж2 Н
ж2 + 2^;
- ххх2 + \х\\
■ 2х2х±,
;
х2]
-2т2-
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах 173
8) / = х\ + \х\ - 2х\ + х\ + Ъх^хг + Аххх3,
g = х\ + \х\ + х2 + х\ + 2х2х3.
69.18. Проверить, что по меньшей мере одна из двух
данных квадратичных форм является знакоопределенной. Найти
преобразование переменных, приводящее эти две формы
одновременно к каноническому виду, и записать получающиеся
канонические виды обеих форм:
1) / = х\ + 2ххх2 + 3x1, g = 4xl + 16ziZ2 + Ьх\\
2) / = 2х\ - Зххх2 - \х\, д = 2х\ + 6xlx2 + Ъх\\
3) / = Пх\ - 6xix2 + х\, g =
1
4) / — 9x1 — 10xiX2 + Зж2, д = 2x\X2 — x\\
5) / = x^ — 2x\X2 + x2, g = 172^ + 8xi£2 + x2\
6) / = x\ + 2xxx2 + bx\, g = 2xxx2 - \x\ - x\\
7) f = x\ + 2x\ + 3x\ + 2xxx2 — 2xxx3,
8) / = -x\ -5x22-
\
g = -х\ - 2 з
9) / = 5^1 + 2ххх2 + 4xix3 +x\+
g = Ъх\- 2х1х2 + 4xix3 + x\ + 2х\\
2 *
lUy / — 1O2J2 — ^~k3 — 1UXiX2 — ОХ\Х3 i^ ^Z»C2«I/3,
11) / = 6x| + 6xiX3 + x2 — 6ж2Жз + 6^3,
9 ^i^|a/3 1^ 4/O/Oj
12) / = 2х\- 2х\х2 ~ 2х\х* + х\ + 2x
h
g = 9xj - \2ххх2 -
13) f = х\ + Зх\ + х\ — х\ — 2ххх2 —
g = х\ + 2х\ + 2х\ + 2х\ - 2ххх2 - 2х2хъ -
14) / = х\\\ \
8х2х4 - 2х3ж4, g = —х\ + 2ххх2 — 2х\ + 4ж2ж3 — Ъх\
15) / = х\ — 4ж2ж3 + 4^з - 4ж3ж4 + 4х\,
д = х\- 2ххх2 + 2х\ - 2х2х3 + 2х\ - 2х3х4 + 2х\.
69.19. Пусть А и В - матрицы квадратичных форм / и д
от переменных Жх,...-,хП) причем известно, что форма д
положительно определена. Доказать, что:
а) корни А-уравнения \А — ХВ\ = 0 совпадают с собственными
значениями симметрической матрицы В~112АВ~112\
б) если ортогональная матрица U приводит матрицу
В~1/2АВ~1/2 к диагональной форме D = diag(Ai,..., Лп)
преобразованием подобия:
174 Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
UT{B-ll2AB-l/2)U = Д
то замена переменных
{х1...хп)т =- S(yl...yn)T,
где S = J3~~1/2[/, приводит обе квадратичные формы / и g к
каноническим видам:
/ = Wi + • • • + Kyi 9 = У\ + ... + у2п.
69.20. Пусть А и В - матрицы квадратичных форм / и g
от переменных я^,... , хп, причем известно, что форма g
невырождена, а матрица В'1 А диагонализуема и при этом
где S - невырожденная матрица соответствующего
преобразования подобия. Доказать, что:
а) если все диагональные элементы Ai,...,An матрицы D
различны, то квадратичные формы / и g приводятся к
каноническим видам одним преобразованием
(да ... жп)т = ^(j/i... уп)т\
б) в случае, когда среди диагональных элементов матрицы
D есть равные числа, то существует ортогональная матрица U
такая, что преобразование
(x1...xn)T = SU(y1...yn)T
приводит обе квадратичные формы / и g к каноническим видам.
69.21. Доказать, что если матрицы квадратичных форм / и
g перестановочны, то эти квадратичные формы можно
одновременно привести к каноническому виду одним невырожденным
линейным преобразованием.
69.22. Пользуясь перестановочностью матриц следующих
квадратичных форм, найти преобразование переменных,
приводящее эти две формы одновременно к каноническим видам, и
записать получающиеся канонические виды:
1
2)
g = — х\
2 + 6x1
g = 4a?J + х\ + х\
J \ \
3) / = х\ + Ьх\ +х\ + 2хгх2 + 6хгх3 + 2х2х3)
g = х\ - 2х\ + х\ + 4xix2 - 10xiX3
4) / = х\ + х\ + х\ + х\ + 2х±х2 + 4:Хгх3
g — 2х\ + 2х\ + 2х\ + 2х\ — 2ххх2
— 2x^X4.
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах 175
69.23. Две квадратичные формы от п переменных
называются ортогонально эквивалентными^ если от одной из них
можно перейти к другой посредством ортогонального
преобразования. Доказать, что для ортогональной эквивалентности двух
форм необходимо и достаточно, чтобы характеристические
многочлены их матриц совпадали.
69.24. Выяснить, какие из следующих квадратичных форм
ортогонально эквивалентны:
1) / = 9х\ + 9х\ + \2ххх2 - 6х2х3,
g = -Ъу\ + 6yl + Qy23 - 12У1у2
h = \\z\ — Az2 + \\z\
2) / = 7xj +x\ + x\
g = 2y\ — 2/| — 2/|
69.25. Доказать, что любую вещественную невырожденную
матрицу А можно представить в виде А = QR, где Q -
ортогональная матрица и R - верхняя треугольная матрица с
положительными элементами на главной диагонали, и такое
представление единственно.
69.26. Доказать, что:
а) любую вещественную невырожденную матрицу А можно
представить как в виде А = Q\Bi, так и в виде А = B2Q2, где
матрицы Qi и Q2 ортогональны, а матрицы Bi и В2 -
симметрические, с положительными угловыми минорами. Каждое из
этих представлений единственно;
б) любую комплексную невырожденную матрицу А можно
представить как в виде А = Q\Bi, так и в виде А = B2Q2) где
матрицы Qi и Q2 унитарны, а матрицы Bi и В2 эрмитовы, с
положительными угловыми минорами. Каждое из этих
представлений единственно;
в) пусть А - симметрическая (или эрмитова) матрица с
положительными угловыми минорами и В - ортогональная
(соответственно унитарная) матрица. Доказать, что:
1) произведения АВ и В А тогда и только тогда будут
симметрическими (эрмитовыми) матрицами с положительными
угловыми минорами, когда В - единичная матрица;
2) произведения АВ и В А тогда и только тогда будут
ортогональны (унитарны), когда А - единичная матрица.
Глава XVIII. Линейные нормированные
пространства
§70. Норма вектора
Пусть V - линейное пространство, вещественное или комплексное.
Нормой в линейном пространстве V называется отображение || • || : V -► К,
ставящее в соответствие каждому вектору х G V число ||ж|| G R и
удовлетворяющее аксиомам: Vx, у G V, a G ЩС)
1) 11^11 ^ О? причем ||ж|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)'|М| = |а|-|М|;
3)||ж + у||<||ж||4-||у|| (неравенство треугольника).
Линейное пространство V с заданной на нем нормой || • || называется
линейным нормированным пространством. Число ||ж|| называется нормой
вектора х.
Пример 70.1. В евклидовом (унитарном) пространстве норма может
быть введена как длина, т.е. ||ж|| = \х\. Эта норма называется евклидовой
нормой и обозначается символом ||я||е. Итак,
\\х\\Е = уД^х).
Справедливость аксиом нормы вытекает из свойств длины.
Пример 70.2. В арифметических пространствах Еп, Сп обычно
рассматривают следующие нормы вектора х = (xi,... ,хп):
Plli = £ 1**1;
/п Ч
= £ Ы2
k=l
первые две из которых можно записать единообразно в виде
Отметим, что норма ||-||з совпадает с евклидовой нормой \\-\\e для
стандартного скалярного произведения, поэтому справедливость аксиом нормы для
|| • ||2 вытекает из свойств длины. Для норм f|-||i и ||-||оо справедливость
аксиом 1 и 2 очевидна. Аксиома 3 вытекает из неравенства \хк + Ук\ < |#fc| 4- |t/*|,
справедливого для любой пары чисел а^, у*, вещественных или
комплексных: если х = (ж1,...,ж„) и у = (yi,...,yn), то
\\* + vlli = £ \*k + yibl < £ (k*| + Ы) = £ k*l + £ Ы = \\x\u + II2/H1;
fc=i fc=i fc=i fc=i
lk + y||oo= max \хк+Ук\< max (\хк\ + |ул|) < max |a*|+ max |yfc| =
l<fc< l<fc< l<fc< l<fc<
= llxlleo +
170. Норма, вектора 177
Пример 70.3. Аналогичные нормы рассматриваются в произвольном
конечномерном линейном пространстве V (вещественном или комплексном):
если ei,... ,е„ - базис V и ж = ]Г)Г=1 ж*е*, то
где р = 1,2, |W|oo= max
1fc
Такие нормы называются соответственно нормами || • ||i, || • ||г и || • ||оо
относительно базиса е\,... , еп- Справедливость аксиом нормы проверяется так
же, как и в предыдущем примере.
Пример 70.4. В пространствах матриц Етхп и Стхп рассматривают
следующие нормы матрицы А = (a>kj):
*=1 i^K^m J=1
1/2
Справедливость аксиом нормы проверяется так же, как и в примере 70.2.
Теорема 70.1. В нормированном пространстве V отображение
р : V х V —> Е, определенное равенством
Hi Т 11] ~~ IT* — 7/1 \/т* II (- \/
НУ^^У) — Их 4/11» vx»£/ t v,
является метрикой.
Последовательность векторов {ж^} в нормированном пространстве V
называется сходящейся по норме к вектору а 6 V, если
lim ||ж(А:) - а\\ = 0.
fc—юо
Вектор а при этом называется пределом последовательности {ж(Л)} по нор-
ме || • ||.
Обозначение: lim ж'*' = а или ж^ —> а.
Теорема 70.2. Сходящаяся по норме последовательность имеет
единственный предел.
Пусть жо € V и г > 0. Множество 5(жо,г) = {ж 6 V | ||ж — жо|| = г}
называется сферой радиуса г с центром жо по норме || • ||, а множество
2?(жо,г) = {ж 6 V ||ж — жо|| < rj - замкнутым шаром радиуса г с центром
хо по норме || • ||.
Пример 70.5. Ниже на рис. 1 точками плоскости изображены сферы
радиуса единица с центром жо = (0,0) по нормам || • ||i, || • Цг, || • (loo в
арифметическом пространстве Е2.
Множество М в нормированном пространстве V называется
ограниченным, если существует число с > 0 такое, что ||ж|| < с для всех векторов
iGM. Множество М называется компактным, если из любой
последовательности векторов, лежащей в М, можно выделить подпоследовательность,
сходящуюся по норме к вектору а £ М.
Теорема 70.3. Сфера Se{xq,t) и замкнутый шар Be(хо,г) в
пространстве с евклидовой нормой являются компактными множествами.
178 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
Две нормы || • ||' и || • ||" в линейном пространстве V называются
эквивалентными, если существуют такие числа с\ > О, С2 > 0, что для любого
вектора х 6 V выполняются неравенства
Теорема 70.4. В конечномерном пространстве любые две нормы
эквивалентны.
Следствие. В конечномерном пространстве из сходимости по
одной норме следует сходимость по любой другой норме.
Пример 70.6. Показать, что норму в арифметическом пространстве
Ш.п (С ) можно определить равенством
Эту норму называют также нормой Гёльдера с показателем р.
Решение. Проверка аксиом нормы нетривиальна лишь для
неравенства треугольника, которое для нормы || • ||р совпадает с классическим
неравенством Минковского:
(70.1)
Его вывод опирается на так называемое неравенство Гёльдера:
1/Р / п \ 1/<7
, l + ^i-
Р Я
/
Докажем сначала неравенство Гёльдера.
Отметим, что функция }{х) = ха — ах на интервале (0,оо) при а €
(0,1) достигает максимума в точке х = 1. Действительно, }'(х) = а(ха~1 -
1) = 0 при х = 1, причем }'{х) > 0 при х е (0,1) и }'{х) < 0 при х > 1.
Следовательно, }{х) < /(1), что эквивалентно следующему неравенству
ха - ах < 1 - a, Va G (0,1), Уж > 0.
Если в этом неравенстве положить х = а/6, а = 1/р, где а, 6 - произ-
§70. Норма вектора 179
вольные положительные числа и р > 1, то получим
После умножения обеих частей на 6, придем к неравенству
ai/Pbi/« < £ + Ё, где 1 + 1 = 1, р>1.
р q p q
Это неравенство (называемое неравенством Юнга), как нетрудно видеть,
справедливо и в случае, когда одно из чисел а или Ь равно нулю.
Пусть теперь х\,..., хп, у\, • • •, уп - произвольные вещественные или
комплексные числа. Обозначим
у=
и будем считать, что X и Y отличны от нуля (иными словами, среди чисел
Xki k = 1,п, и среди чисел у^, А; = 1,п, есть ненулевые; это условие не
ограничивает общности, так как если все числа равны нулю, то неравенство
Гёльдера превращается в тривиальное тождество). Положим
v хк „ Ук , j—
А У
п п
Тогда, очевидным образом, ^ |^л|р = J^ l^itl4 = 1.
k=i fc=i
Запишем неравенство Юнга для величин а = \Хк\р иЬ = IV/t^:
<-|xfc|p + -|y,r.
Р Q
Если - + - = 1, то, складывая почленно эти неравенства, получим
Р Я
Умножая обе части полученного неравенства £^ |XfcYjt| < 1 на величину
k=i
XY, с учетом принятых обозначений приходим к неравенству Гёльдера.
Перейдем к доказательству неравенства Минковского. Сначала
применим неравенство треугольника \хк + ун\ < |^fc| 4- \ук\ к каждому слагаемому
в левой части (70.1):
п п
5>Х> Ы)Р- (70.2)
180 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
Правую часть этого неравенства преобразуем следующим образом:
п п п
**1 + Ы)р = Е1**1(1**1 + Ы)""1 + Е I^KI**! +1»*!)""1-
к=\ к=\ fc=l
К каждой полученной сумме применим неравенство Гёльдера, тогда
П v 1/р / П
Г / п \1/р/п \ 1/р1 / n
< Е iXfcip +(Е i»*ip ) Е
^ 4=i ' 4=1 ' J \fc=i
Но (р — l)q = р, поэтому разделив обе части этого неравенства на вели-
/ п \ i-(i/p)
чину [ J2 (\xk\ + \Ук\)р ) , получим
1/р
1/р
1/р
что с учетом неравенства (70.2) дает неравенство Минковского (70.1). ■
Пример 70.7. Пусть в пространстве V (вещественном или
комплексном) выбран какой-либо базис ei,... ,еп. Рассмотрим для каждого вектора
х G V его норму || • ||р относительно этого базиса:
k=i \k=i /
Доказать, что выполнено соотношение
lim ||ж||р = ||ж||оо,
р-+оо
где ||ж||оо = max \xk\.
1<к<п
Решение. Без ограничения общности будем считать, что координаты
вектора х упорядочены по невозрастанию их абсолютных величин, причем
\xi\ = ... = \xm\ > \xm+l\ > ... > \Xnl
В этом случае имеем ||ж||оо = \xi\- Преобразуем далее величину ||ж||р:
i/p
= \xi\ • ехр - In I m 4-
\Р V
|xi|-exp \- I lnm + lnf 1 + —
[P V у ш
т
§70. Норма вектора 181
Так как при k > m 4- 1:
< 1, то lim N ^
р—юо ^—'
fc=m+l
р
= 0. Поэтому
lim ||ж||р = \x\\ lim exp |-(lnra-
p-+oo p—юо ~*
ЗАДАЧИ
70.1. Можно ли норму тп(х) в пространстве Сп задать
равенством
т(х) = max (| Re ж ^ | +
70.2. Можно ли норму т(А) в пространстве Rnxm задать
равенством
70.3. Можно ли норму m(f) в пространстве Мп задать
равенством
m(f) = y^ f\t)p{t) *j (o < 6), V/ e Mn,
где p(t) - непрерывная на [о, Ь] функция?
70.4. Можно ли норму т(Л) в пространстве £(V, W) задать
равенством
т(А) = [tr(^M)]1/2, МЛ G C(V, W)?
70.5. Пусть 7тг(ж) и п(ж) - две нормы в линейном
пространстве V. Показать, что нормами в этом пространстве будут и
следующие величины:
а) р(х) = тах(т(ж),п(ж));
б) q[x) — am(x) + /Зп(ж), где аи/J- фиксированные
неотрицательные числа, не равные одновременно нулю;
70.6. Пусть Л - линейный невырожденный оператор
линейного нормированного пространства V с нормой ||ж||. Доказать,
что нормой пространства V является и величина
т(х) = \\Ax\\.
70.7. Линейное пространство V является прямой суммой
подпространств Lx и L2. При этом на Li введена норма т(ж), на
L2 - норма п(х). Пусть х - произвольный вектор из V, причем
182 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
х = Х\ + х2, где Xi E Li, x2 Е L2. Положим
||ж|| = т(х\) + п(х2).
Показать, что это соотношение вводит норму на V.
70.8. Доказать, что если Н Е Спхп - эрмитова положительно
определенная матрица, то норма т(х) в пространстве Сп может
быть задана равенством:
т(х) = (ж,Яж)1/2, Мх е Сп,
относительно стандартного скалярного произведения в Сп.
70.9. Доказать, что если || • || - норма в пространстве V, то
для любых ж, у € V выполнено неравенство
11*-!/11>11ИЫ1!/Н|.
70.10. Доказать, что для евклидовой нормы || • \\Е в
евклидовом пространстве V выполнено равенство параллелограмма
II* + У\\в + II* - У\\2Е = ЧИП + Ы\2е), V», yeV. (70.3)
70.11. Доказать, что верно и обратное: если норма || • || в
линейном вещественном пространстве V удовлетворяет равенству
параллелограмма (70.3), то в V можно ввести скалярное
произведение так, чтобы эта норма была евклидовой относительно
этого скалярного произведения.
70.12. Доказать, что в любом нормированном пространстве
V выполнено соотношение
2(1И2 + Ь\\2) < ||* + У\\2 + ||* - У\\2 < 4(||х||2 + \\у\П
70.13. 1. Доказать, что норма || • ||р в пространстве V
относительно заданного базиса ei,..., еп удовлетворяет неравенству
Кларксона: для любых ж, у € V
\х-у р
II X
\\
X
+
2
+
2
У
У
1
р
р
\Q
\р
2 р
приКр<2
(здесь p~l +q~l = 1).
2. Пользуясь неравенством Кларксона, показать, что в
пространстве V с нормой || • |1р (1 < Р < оо) относительно
любого заданного базиса из условия, что различные векторы а?,
§70. Норма вектора183
у принадлежат единичной сфере: ||ж||р = 1, \\у\\р = 1,
следует, что для любого a € (О,1) выполнено строгое неравенство
||ах + (1-а)1/||р<1.
70.14. Нормированное линейное пространство V
называется строго нормированным, если в неравенстве треугольника
||я + 2/|| < \\х\\ + \\y\\ знак равенства достигается только в случае,
когда векторы х и у линейно зависимы. Доказать, что:
а) евклидово пространство V с евклидовой нормой \\-\\e
строго нормировано;
б) пространство V с нормой || • ||р при 1 < р < оо строго
нормировано;
в) пространство V с нормой || • ||i или с нормой || • Цоо не
является строго нормированным.
70.15. Доказать, что если х^ —ь- х^°\ у^ —> у(°\ то:
а) ||я:<*)|| -> ||яг<°)||;
б) ||z(fc) - а\\ ->> ||ж(0) — а\\ для любого вектора а;
в) ах^ + /Зу^ —} ах^ + /Зу^ для любых чисел аи/?;
г) если последовательность чисел Хк сходится к числу Ао, то
70.16. Доказать, что если всякая нетривиальная1
подпоследовательность последовательности {х^} сходится, то сходится
и сама последовательность {х^}.
70.17. Доказать, что из всякой ограниченной
последовательности векторов нормированного пространства можно выделить
сходящуюся подпоследовательность.
70.18. Доказать, что сходимость последовательности {z(fc)}
к вектору х^ по норме равносильна покоординатной сходимости
этой последовательности относительно любого базиса.
70.19. Пусть в пространстве V задан базис еь ..., еп и
относительно него введены нормы || • ||р, 1 < р < оо. Доказать, что
если 1 < pi < р2 < оо и p~l = api1 + (1 - а)^1, 0 < а < 1, то
выполнено неравенство
llrll < 1М1а • llrll1""
IFIIp Ь IFIIP1 \\х\\р2 -
70.20. Для каждой пары из трех норм: || • ||х, || • ||2, || • Цоо
найти наилучшие возможные константы С\ и с2 в определении
эквивалентности норм.
тривиальной подразумевается подпоследовательность,
совпадающая с исходной последовательностью, начиная с некоторого члена.
184 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
70.21. В арифметическом пространстве Сп наряду с нормой
||х||2 рассматривается норма т(х) = || Ах\\2, где А -
невырожденная матрица n-го порядка. Как вычислить для этой пары норм
наилучшие возможные константы С\ и с2 в определении
эквивалентности норм?
70.22. Доказать, что отображение р : V х V —> R,
определенное правилом
p(x,y) = \\x-yl (70.4)
задает метрику в линейном нормированном пространстве V.
Число р(х) у) называется расстоянием между х иу по норме в
пространстве V.
70.23. Показать, что метрика р(х) у)) «веденная в
предыдущей задаче, обладает следующими свойствами:
а) р(х + z, у + z) = р(х, у) Vz, у, z Е V;
б) р(ах} ау) = \а\р{х, у) Vx, у <Е V, Va E R(C).
70.24. Доказать, что если метрика р(х^у) в линейном
пространстве V обладает свойствами "а)" и "б)" предыдущей
задачи, то она порождается некоторой нормой по формуле (70.4), и
эта норма единственна.
70.25. Пусть т(х) - норма в евклидовом (унитарном)
пространстве V. Для любого у G V положим
Показать, что эта величина всегда конечна и удовлетворяет всем
аксиомам нормы. Полученная таким образом норма т*(у)
называется двойственной к норме т(х) относительно скалярного
произведения (ж, у) в пространстве V.
70.26. Показать, что определение двойственной нормы
эквивалентно любому из следующих определений:
а)т'(у)= sup \(х,у)\; б) т*(у) = max 1^1;
т(х)=1 х*е т\Х)
R,e (х 11)
в) т*{у) = max \{х,у)\; г) т'{у) = max v ' у;
т{х)=1 хфв т{Х)
Д) т*(у) = max Re(x,y).
m(x)=l
70.27. Пусть т*(у) - норма, двойственная к норме т(х)
в евклидовом (унитарном) пространстве V. Показать, что для
§70. Норма вектора 185
любых двух векторов х и у справедливо неравенство
\(х,у)\ <m(x)m*(y).
Показать, что для любого у € V найдется вектор х0 £ V такой,
что
\{хо,у)\ =m(xo)m*{y).
70.28., Найти двойственную норму для евклидовой нормы
вектора.
70.29. В арифметическом пространстве Сп со стандартным
скалярным произведением найти двойственную норму: а) к
норме || • У,»; б) к норме || • Цх.
70.30. Доказать, что в арифметическом пространстве Сп со
стандартным скалярным произведением двойственной к норме
II * ||р) Р > 1) является норма || • ||9, где р~1 + q~l — 1. Что
представляет собой для этой пары норм неравенство из задачи
70.27?
70.31. В арифметическом пространстве Сп со стандартным
скалярным произведением найти двойственную норму к норме,
определенной равенством
\\x\\ — \\Bx\\
\\х\\ ~" II^^IIpj
где р > 1, а В - некоторый невырожденный оператор,
действующий в пространстве Сп.
70.32. В арифметическом пространстве Сп введено
скалярное произведение, выражающееся через стандартное скалярное
произведение по формуле (ж, у)д = (Ах, у), где Л - заданный
положительно определенный оператор. Найти двойственную
норму к норме:
а) ||ж||р, р> 1,
б) ||ж|| = ||Вж||р, где р > 1, а В - некоторый невырожденный
оператор, действующий в пространстве Сп.
70.33. Известно, что для норм га(ж) и п(х) евклидова
(унитарного) пространства V при любом векторе х выполняется
неравенство гп(х) > п(х). Показать, что для двойственных норм
т*(у) и п*(у) имеет место обратное соотношение: т*(у) < п*(у)
для любого вектора у.
70.34. Показать, что норма т**(х)) двойственная к
двойственной норме 7П*(у), совпадает с исходной нормой т(х).
186 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
§71. Линейные операторы в нормированных
пространствах. Нормы операторов и матриц
Пусть V и W - линейные нормированные пространства (оба
вещественные или оба комплексные) с нормами || • ||v и || • \\w соответственно.
Пространство линейных операторов C{V,W), будучи само вещественным или
комплексным линейным пространством, может быть наделено своей нормой.
Норма N(-) в пространстве £(V, W) называется согласованной с
векторными нормами || • ||v, \\-\\w пространств V и W, если для любого оператора
Ae£(V,W)
\\Ax\\w <N(A)\\x\\v, V*€ V.
Линейный оператор А £ £>{V, W) называется непрерывным на векторе
жо 6 F, если для любой последовательности {х^}, сходящейся к вектору
х^ по норме || • ||v, последовательность {Ах^} сходится к вектору Ах^ по
норме || • || w- Линейный оператор А £ £(V, W) называется непрерывным на
множестве М, если он непрерывен на любом векторе я(0) £ М. Оператор
А 6 £(V,W), непрерывный на всех векторах пространства V, называется
непрерывным.
Теорема 71.1. Линейный оператор, действующий в
конечномерных нормированных пространствах, непрерывен.
Линейный оператор А £ £(V, W) называется ограниченным, если
единичную сферу в V он переводит в ограниченное по норме пространства W
множество.
Теорема 71.2. В конечномерных нормированных пространствах
V и W любой линейный оператор А 6 £(F, Wj ограничен.
Тем самым, отношение ||.4a;||w/|M|v ПРИ всех х Ф 0 ограничено сверху,
и для любой пары нормированных пространств V и W в £(V, W) можно
ввести согласованную норму. В дальнейшем в пространстве линейных
операторов C(V,W) будут рассматриваться только согласованные нормы.
Теорема 71.3. Пусть V, W - конечномерные пространства и
А £ £(V, W). Отображение, заданное соотношением
/х(A) =sup " ' ,
хфв IfIIv
является нормой в пространстве C(V, W).
Норма /л(А) называется нормой оператора Д, подчиненной
(порожденной) векторным нормам пространств V и W.
Обозначение: \\A\\. Итак,
= SUp ii^f^ ЕЕ SUp \\AX\\W.
хфв \\ЩУ \\х\\у=\
1. Подчиненная норма обладает свойством согласованности:
\\Ax\\w < \\A\\ ■ \\x\\v, Vx 6 V.
2. Подчиненная норма - наименьшая из всех согласованных норм.
3. Подчиненная норма обладает свойством мультипликативности, т.е.
\\AB\\ < \\A\\ ■ \\B\\
для всех операторов ДиБ, для которых определено произведение A3.
§71. Линейные операторы в нормированных пространствах!^!
Пусть V, W - евклидовы (унитарные) пространства. Норма линейного
оператора А £ C(V, W), порожденная евклидовыми нормами вектора,
называется спектральной нормой. Обозначение: \\A\\2- Итак,
\\Л\\2= sup \\Лх\\е= sup у/(Ах,Ах).
1И1в = 1 (х,х) = 1
Теорема 71.4. Спектральная норма оператора равна
максимальному сингулярному числу этого оператора, т.е.
\\A\\2 = s/pt^A),
где р(А*А) - спектральный радиус оператора А* А.
Следствие . Спектральная норма нормального оператора равна
абсолютному значению максимального по модулю собственного значения
этого оператора.
Теорема 71.5. Сингулярные числа линейного оператора в
евклидовом (унитарном) пространстве не изменяются при умножении опера-
тора на ортогональный (унитарный) оператор.
Следствие . Спектральная норма линейного оператора не
изменяется при умножении оператора на ортогональный (унитарный)
оператор.
Пусть е = (ei,..., е„) и / = (/i,..., /m) - базисы пространств V и W
и пусть в пространствах V и W введены векторные нормы || • ||р, где р > 1
или р = оо, одинакового типа. Обозначим через ||Д||Р норму оператора
А 6 £(V,W), подчиненную векторным нормам || • ||р, через А =
матрицу оператора А в базисах ей/.
Теорема 71.6. Для любого оператора А £ £(V, W)
\\A\\\ = ^^ Y,
Теорема 71.7. Для любого оператора А £ £(V,W)
||Л||ов= max £>fcj|.
l<fe<m -•_!
Векторные нормы || • ||г пространств V и W порождают спектральную
норму оператора Ц.ДЦ2, так как векторная норма ||-Цз совпадает с евклидовой
нормой || • ||я, если в пространствах V и W ввести скалярные произведения
так, чтобы базисы ей/ стали ортонормированными.
Евклидова норма оператора А £ £(V, W), т.е. число
\\A\\e = y/tr(A'A),
обладает многими свойствами подчиненных норм.
1. Если А/е = (akj) - матрица оператора А в паре ортонормированных
базисов ей/ пространств V и W соответственно, то
2. Свойство согласованности: \\Ax\\e < ||.Д||е||#||я для всех х £ V.
188 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
3. Свойство мультипликативности: \\AB\\e < ||.А||е||#||е для всех
линейных операторов А и В, для которых определено произведение АВ.
4. \\А\\Ъ = ЫАА-.
5. \\A\\\ = р\ 4- •. • 4- Рп, где pi,... ,р„ - сингулярные числа оператора
' 6. ||Д||В > ||Д||2.
7. || А|| е не изменяется при умножении оператора А на ортогональные
(унитарные) операторы.
Определения согласованной и подчиненной норм непосредственно
распространяются на пространства матриц, рассматриваемых как линейные
операторы в арифметических пространствах. Если, в частности, в
арифметических пространствах введены нормы || • ||р, то соответствующая
подчиненная норма матрицы А = (а^) размера n x n обозначается ||Л||Р и при
этом в силу теорем 71.6, 71.7 и свойства 1 евклидовой нормы оператора:
\\A\U = пи* JT \akj\, \\A\\E = ( J2 £
= max
В большинстве задач этого параграфа участвуют матричные нормы,
обладающие свойством мультипликативности. Как следует из задачи 71.13,
такие нормы согласованы хотя бы с одной из векторных норм в
пространствах Е или Сп соответственно.
Теорема 71.8. Собственное значение линейного оператора
А 6 £(V, V) не превосходит по абсолютной величине любую его
согласованную норму.
Пусть А - самосопряженный оператор в евклидовом (унитарном)
пространстве V и ei,..., еп - ортонормированный базис из собственных векторов
оператора Д, отвечающих собственным значениям
Ai > А2 > ... > А„. (71.1)
Под нормой || • || будем понимать евклидову норму || • ||е, так что если
Теорема 71.9. Для самосопряженного оператора А
\\ — тах(Аг,ж), А„ = min (Ах,х).
Ц|| Г |||| lV
Эта теорема описывает экстремальные свойства и квадратичной формы
в евклидовом (унитарном) пространстве: на единичной сфере
квадратичная форма А(х,х) принимает экстремальные значения на тех векторах,
которые являются собственными векторами соответствующего
самосопряженного оператора % (теорема 69.1).
Теорема 71.10. Если L - линейная оболочка собственных
векторов etl, • • •, eifc (i\ < ... < ik) самосопряженного оператора А,
отвечающих собственным значениям At2, • •., Aifc из (71.1), то
А»! = max (Ax,x), Xik = min (Ax,x).
|||| l€L |||| l<EL
§71. Линейные операторы в нормированных пространствах!89
Теорема 71.11 (теорема Куранта-Фишера). Для
собственных значений (71.1) самосопряженного оператора А справедливо
представление
\к = max min (Ax,x),
Lk ||*|| = l,*€Lfc
где максимум берется по всевозможным k-мерным подпространствам Lk
пространства V.
ЗАДАЧИ
71.1. Показать, что если М(А) - согласованная норма в
пространстве £(V, W)) то равенство N(A) = аМ(Л) (а > 0) также
будет нормой в этом пространстве, причем согласованной, если
а > 1.
71.2. Показать, что для любой согласованной нормы М(А) в
пространстве C{V,W) можно выбрать такую константу а0 > 0,
для которой норма N(A) — а0М(А) не будет согласованной.
71.3. Показать, что если || Л|| - подчиненная норма в £(V, W),
то N(A) = ot\\A\\ - согласованная норма, тогда и только тогда,
когда а > 1.
71.4. Показать, что если норма М(А) в пространстве £(V, W)
не является согласованной, то можно выбрать такую константу
а > 1, для которой норма N(A) = аМ(А) будет согласованной.
71.5. Пусть V =fi W и норма М(А) в пространстве £(V, W) не
является согласованной. Показать, что можно изменить норму
или в пространстве У, или в пространстве W так, чтобы норма
М(А) стала согласованной с новыми нормами пространств V и
W. S
71.6. Показать, что для любой согласованной нормы N(A)
в пространстве £(У, V) выполнено неравенство N(1) > 1.
71.7. Пусть ЦАЦ - мультипликативная матричная норма в
пространстве СпХп. Показать, что мультипликативными
матричными нормами будут и следующие величины:
б) L(A) - ||А*||;
в) N(A) = \\Р 1АР\\) где Р - невырожденная матрица
порядка п.
71.8. Показать, что если М(А) и L(A) - мультипликативные
матричные нормы, то величина
190 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
также будет мультипликативной матричной нормой.
71.9. Доказать, что для любой подчиненной нормы в
пространстве £(V, V) выполнено равенство ||Х|| = 1. Верно ли, что
если согласованная норма N(-) удовлетворяет условию N(1) — 1,
то она является подчиненной?
71.10. Пусть А = (atj) e Спхп (п > 2). Показать, что
функция, определенная равенством
К(А) =
является мультипликативной матричной нормой. Показать, что
норма К(А) не подчинена никакой векторной норме на Сп.
71.11. Пусть Eij - матрица порядка п, у которой
единственный ненулевой элемент стоит в позиции (l,j) и равен единице.
Показать, что если матричная норма ||А|| для всех l,j
удовлетворяет неравенству ||-E/j|| < 1, то
\\A\\ < К(А),
где К(А) - норма, определенная в предыдущей задаче.
71.12. Пусть А = (aij) Е СпХп (п > 2). Показать, что
функция, определенная равенством
- с • max laiJ,
является матричной нормой при любом с > 0. Показать, что:
а) эта норма является мультипликативной тогда и только
тогда, когда с > п; б) при с > 1 эта норма не подчинена никакой
векторной норме; в) при с Е (0,1) эта норма не согласована ни с
одной векторной нормой в Сп.
71.13. Доказать, что если || • || - мультипликативная
матричная норма в Спхп, то в арифметическом пространстве Сп можно
ввести норму, относительно которой матричная норма || • || будет
согласованной.
71.14. Как вычислить спектральную норму: а)
диагональной матрицы; б) квазидиагональной матрицы?
71.15. Найти евклидову норму: а) единичной матрицы п-го
порядка; б) унитарной матрицы порядка п. Каковы
спектральные нормы этих матриц?
71.16. Найти евклидову норму самосопряженной матрицы А
порядка п, зная ее собственные значения Аь ..., Ап.
71.17. Доказать, что спектральная норма матрицы А равна
ее евклидовой норме тогда и только тогда, когда А - матрица
§71. Линейные операторы в нормированных пространствах!91
ранга 1.
71.18. Показать, что спектральная норма ненулевого
оператора ортогонального проектирования Р, действующего в
евклидовом (унитарном) пространстве У, равна единице.
71.19. Доказать, что верно и обратное: если спектральная
норма проектора V равна единице, то V - оператор
ортогонального проектирования.
71.20. Доказать, что для любых унитарных матриц U и V
выполнены соотношения
||СШЧ|2 = Р||2| \\UAV\\B = \\A\\B.
71.21. Доказать неравенства:
а) \\А\\Е <
в) \\АВ\\Е < \\А\\Е\\В\\2.
71.22. Доказать, что для любой матрицы A G СпХп
выполнены неравенства:
л) \\A\\l < \\AUA\U
б) \\A\\l < \\А\ЦА\\я, где р > 1 и р"1 + q~l = 1.
71.23. Пусть матрица А имеет эрмитово разложение А =
Hi + iH2. Доказать, что:
||Я2||2 <
71.24. Доказать, что если А = Н1-\-Ш2 - эрмитово
разложение матрицы Л, то для любой эрмитовой матрицы Н выполнено
неравенство
WA-hWeZWa-kWe.
Таким образом, матрица Нх из эрмитова разложения А является
эрмитовой матрицей, ближайшей (в смысле евклидова
расстояния) к матрице А. Аналогично, матрица Ш2 - ближайшая к А
косоэрмитова матрица. Указать аналог этого свойства на
комплексной плоскости.
71.25. Пусть А = HU - полярное разложение матрицы
А. Показать, что для матриц Нг и Н2 ее эрмитова
разложения А = Нi + iH2 выполнено соотношение
Какому свойству комплексных чисел соответствует это
равенство?
71.26. Доказать, что для всякой положительно определенной
192 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
матрицы А ближайшей в смысле евклидова расстояния
унитарной матрицей является единичная матрица /, наиболее далекой
- матрица —/. Что изменится, если А - неотрицательная
матрица?
71.27. Пусть А = HU - полярное разложение матрицы А.
Доказать, что для любой унитарной матрицы V справедливы
неравенства
\\A-U\\E<\\A-V\\E<\\A + U\\E.
Указать соответствующее свойство комплексных чисел.
71.28. Пусть А - n x n-матрица с сингулярными числами
Pi? • • •) Рп- Положим
S{A) =pi + ...+pn.
Доказать, что S(A) является мультипликативной матричной
нормой.
71.29. Доказать, что для любых неотрицательных матриц Л
и В и любых неотрицательных чисел а и /3 норма, определенная
в предыдущей задаче удовлетворяет равенству
S(aA + РВ) = aS(A) + PS(B).
71.30. Показать, что в определении подчиненной нормы
= sup
знак точной верхней грани можно заменить на знак максимума.
71.31. Пусть нормы || • ||р (1 < р < оо) в пространствах
£(V, W) и C(Wj V) подчинены векторным нормам || • ||р в
пространстве V относительно заданного базиса е и в пространстве
W относительно заданного базиса /. Доказать, что:
а) Mill = Mice, II^Hoo = M1|i;
б) \\<А\\р = M*llg ПРИ любом р > 1, где p l + q x = 1.
71.32. Пусть линейный функционал / в евклидовом
(унитарном) пространстве V действует по правилу: f(x) — (x,/i), где
h € V - заданный вектор. Доказать, что подчиненные нормы
функционала / вычисляются по формулам:
а) H/lli = ЦЛЦ00, ll/Hoo = Hi;
б) II/IIp = jj^jlg при любом р > 1, где р 1 + q х = 1.
71.33. В пространстве многочленов Мп нормы || • ||р введены
относительно естественного базиса. Найти подчиненные нормы
||р следующих линейных функционалов / в Мп:
§71. Линейные операторы в нормированных пространствах!93
a) f(x) = х(0); б) /(*) = х(1); в) f(x) = х'(1);
г) f(x) = [ x{t)dt\ д) f(x) = [ x(t)tdt.
Jo Jo
71.34. Вычислить евклидовы нормы функционалов из
предыдущей задачи, если известно, что скалярное произведение в
Мп задано стандартным образом.
71.35. Найти подчиненную нормы ||/||р линейного
функционала f(A) = tr А в пространстве матриц Епхп.
71.36. Найти следующие подчиненные нормы диагональной
матрицы А = diag(Ai,...,An): a) ||A||i; б) ЦАЦ*,; в) ||А||Р,
1 < р < оо.
71.37. Доказать, что при п > 2 для всякой n x п-матрицы
А = (akj) справедливы:
а) равенство
, , Halloo
max \aki\ = max ;
„ „
\x\\x
б) строгое неравенство
71.38. Нормы m(-) и п(-) линейного пространства V таковы,
что для любого вектора х: т(х) = сп(ж), где с - фиксированное
число. Показать, что соответствующие подчиненные нормы в
£(F, V) совпадают.
71.39. Пусть М(А) - норма матриц, подчиненная
векторной норме т(х). Найти матричную норму, подчиненную норме
п(х) = т(Рх), где Р - фиксированная невырожденная матрица.
71.40. Пусть А - матрица ранга 1, представленная в виде
произведения А = хун, где х и у - n-мерные вектор-столбцы.
Для любой нормы т(х) арифметического пространства и
соответствующей подчиненной нормы матриц М(А) доказать
равенство
М(А) = т{х)т*{у),
где т*{у) - норма, двойственная к т(х) относительно
стандартного скалярного произведения.
71.41. Найти значение нормы Ц-АЦоо на матрице ранга 1 с
известным представлением А = хун.
71.42. Оператор А действует в евклидовом (унитарном)
пространстве V по правилу Ах = (ж,Ь)а, где а, Ь Е V - заданные
194 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
векторы. Доказать, что для любой нормы || • \\у в пространстве
V подчиненная ей норма оператора А может быть найдена из
соотношения
где || • ||у - норма, двойственная к норме || • ||у относительно
скалярного произведения в V.
71.43. Пусть L = С(е) - подпространство евклидова
(унитарного) пространства V, натянутое на вектор е единичной
длины. Пусть оператор А Е £(V, V) ранга 1 таков, что \mA = L.
Доказать, что для любой нормы ||-||р в пространстве V
подчиненная ей норма оператора А может быть найдена из соотношения
\\А\\Р = \\е\\р-\\Ае\\я,
где p~l + q~l = 1 при р > 1, q = оо при р = 1 и q = 1 при р = со.
71.44. Пусть п(-) и ш(-) - две заданные нормы в
пространстве Сп, а Сх и с2 - пара положительных констант, наилучших в
соотношении их эквивалентности:
Cin(x) < m(x) < с2п(ж), Мх G Сп.
Обозначим через N(-) и М(-) матричные нормы в Спхп,
подчиненные нормам п(-) и т(-) соответственно. Доказать, что
выполнено соотношение
—N(A) < М{А) < -N(A), MA e Cnxn,
Ci С2
причем константы — и — являются наилучшими.
с2 Ci
71.45. Пусть п(-) и т(-) - две заданные нормы в
пространстве Cn, a N(-) и М(-) - соответствующие им подчиненные
матричные нормы на Спхп. Доказать, что равенство
N(A) - М(А)
выполнено для всех матриц Л G Спхп тогда и только тогда,
когда существует константа с > 0 такая, что
п(х) = ст(х), Мх е Сп.
71.46. Доказать, что в обозначениях предыдущей задачи
неравенство
N{A) < М{А)
для подчиненных матричных норм выполнено сразу для всех
матриц А Е Спхп в том и только том случае, когда
N(A) - М(А), МА е Спхп.
§71 Линейные операторы в нормированных пространствах!95
71.47. Пусть ||А|| - подчиненная матричная норма.
Доказать, что для нее справедливо представление
\\AB\\
= max "„ ".
вфо \\B\\
71.48. Доказать, что представление из предыдущей задачи
остается в силе и в том случае, если максимум в правой части
берется не по всем ненулевым матрицам В, а только по
матрицам В ранга 1.
71.49. Доказать, что для подчиненной матричной нормы
справедливо представление
= max -'
71.50. Пусть тп(х) и m*(x) - двойственные нормы
арифметического пространства, М(А) и М*(А) - подчиненные им нормы
матриц. Доказать, что для всякой матрицы А
М{А) = М*{АН).
71.51. Доказать, что, какова бы ни была квадратная
матрица А порядка п, любая ее матричная норма ЦАЦ связана со
спектральным радиусом р(А) = max \Хк\ матрицы А (здесь Аь ... Ап
- собственные значения матрицы А) неравенством
Р(А) < \\A\\.
71.52. Показать, что для любой матричной нормы \\A\\
диагональной матрицы А = diag(Ax,..., Ап) имеет место
неравенство IIЛII > max |Аь|.
11 " ~ l<fc<n' *'
71.53. Показать, что если матрица А нормальна, то
Р(А) = \\А\\Е.
71.54. Привести пример матрицы Л, удовлетворяющей
строгому неравенству р(А) < \\A\\ для каждой матричной нормы || • ||.
71.55. Указать круг на комплексной плоскости, который
содержит все собственные значения матрицы
-1 0 1 + 2г
О 2 1+i
1 + 2г 1 + г О
196 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
71.56. Доказать, что все собственные значения матрицы
1-234
2 1-10
1-201
112-1
лежат в круге комплексной плоскости \z\ < 6.
71.57. Доказать, что наибольшее и наименьшее собственные
значения Ах и А4 симметрической матрицы
6 2-3 0
2 9 5 1
-3 5 13 -2
0 1 -2 20
удовлетворяют неравенствам
20 < Хг < 23, 0 < А4 < 6.
71.58. Доказать, что все собственные значения
стохастической матрицы по модулю не превосходят единицы.
71.59. Доказать, что собственные значения трехдиагональ-
ной матрицы
ах 62 0 ... 0 0
с2 а2 Ь3 ... 0 0
0 с3 а3 ... 0 0
О О О ... ап_! Ьп
О О О ... сп ап
удовлетворяют неравенству
I \ I ^ ( I I I I Is I I \ Is Г\
к
71.60. Пусть А е Спхп и задано число е > 0. Доказать,
что существует по крайней мере одна матричная норма || • ||, для
которой имеют место оценки р(А) < \\A\\ < р(А) + е. Иными
словами,
= in£\\A\\,
где точная нижняя грань берется по всевозможным матричным
нормам в Спхп.
71.61. Показать, что
где точная нижняя грань берется по всевозможным
невырожденным матрицам Т.
§71. Линейные операторы в нормированных пространствах!97
71.62. Показать, что при п > 2 спектральный радиус р(А)
не является матричной нормой в Спхп, поскольку:
а) ЗА ф О: р(А) = 0;
б) ЗА, В е Спхп: р(А + В)> р(А) + р{В);
в) ЗА, В е Спхп: р(АВ) > р(А)р(В) > 0.
Привести соответствующие примеры матриц А и В.
71.63. Показать, что последовательность А^ = (а/<7- )
матриц одинакового размера сходится по какой-либо норме к
матрице А = (aij) тогда и только тогда, когда a\V -> atj для всех
71.64. Показать, что пределом последовательности
нормальных матриц может быть только нормальная матрица.
Аналогично, последовательность унитарных матриц может
сходится только к унитарной матрице, последовательность эрмитовых
матриц - к эрмитовой матрице. Верно ли, что
последовательность положительно определенных матриц может сходится
только к положительно определенной матрице?
71.65. Пусть задана матрица А Е Спхп. Если существует
мультипликативная матричная норма || • ||, для которой \\A\\ < 1,
то lim Ak = О, т.е. все элементы матрицы Ак стремятся к нулю
к-юо
при к -> оо. i
71.66. Матрицы Л, для которых lim Ak = О, называют схо-
k—too
дящимися. Доказать, что матрица А сходящаяся тогда и только
тогда, когда ее спектральный радиус р(А) меньше единицы.
71.67. Для матрицы А = \ L л /0 показать, что
р(Ак) = [р(А)]к.
Что происходит с элементами матрицы Ак и величинами
71.68. Пусть А - сходящаяся матрица и последовательность
векторов х^ задана рекуррентным соотношением ж^+1^ = Ах^к\
к = 0,1,— Показать, что эта последовательность сходится к
нулевому вектору независимо от выбора начального
приближения х(°К
71.69. Пусть || • || - мультипликативная матричная норма в
Спхп. Доказать, что для любой матрицы А Е СпХп выполнено
соотношение
\
к->оо
198 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
71.70. Пусть || • || - мультипликативная матричная норма в
£71X71 Показать, что наряду с неравенством р(А) < \\A\\
выполнены неравенства
р{А)<\\Ак\?1\ к = 2,3,...
Вывести отсюда и из предыдущей задачи, что
71.71. Доказать, что мультипликативная матричная норма
|| Л|| матрицы А совпадает с ее спектральным радиусом:
\\A\\ = р(А)
тогда и только тогда, когда для всех к Е N выполнено равенство
\к
71.72. Пусть {A(fe)} С Cnxn - заданная последовательность
оо
матриц. Показать, что ряд ]Г) А^ сходится к некоторой матри-
к=0
це в пространстве Спхп, если найдется такая матричная норма
оо
|| • || на Спхп, что числовой ряд ]Г) 11^-^11 сходится.
к=0
оо
71.73. Показать, что степенной ряд £ акАк, где А Е Спхп,
к=0
сходится, если существует такая мультипликативная матричная
оо
норма || • || на Спхп, что числовой ряд ]Г) |а^|||Л|| сходится или
к=0
хотя бы его частичные суммы образуют ограниченную
последовательность.
оо
71.74. Является ли сходимость числового ряда Y1 1а*;|1И11*
к=0
оо
необходимым условием сходимости степенного ряда ]Г) акА ?
71.75. Пусть функция f(z) определена степенным рядом
оо
f(z) = X) ак%к с радиусом сходимости R > 0, и пусть || • || -
к=0
мультипликативная матричная норма на Спхп. Показать, что
матричная функция
f(A) = Y^akAk (71.2)
к=0
корректно определена для всех матриц A G Спхп, таких, что
< R. В более общей формулировке: показать, что равенство
§71. Лилейные операторы в нормированных пространствах199
(71.2) корректно определяет матричную функцию f{A) для всех
тех матриц А Е Спхп, у которых спектральный радиус р(А)
удовлетворяет условию р(А) < R.
71.76. Доказать, что если матрица А диагонализуема и. А —
S^AS, А = diag(Ab ..., Ап), то выполнено равенство
причем /(Л) = diag(/(Ai),..., /(Лп)).
71.77. Показать, что матричная экспонента, задаваемая
степенным рядом
к=0 ""
корректно определена для каждой матрицы А Е СпХп.
71.78. Доказать, что для любых перестановочных матриц А
и В выполнено равенство:
ехр(А + В) = ехр(А) • ехр(В).
71.79. Показать, что если В = S^AS, то выполнено
соотношение ехр(В) = S~l exp(A)S. Вывести из этого соотношения,
что матрица ехр(А) всегда невырождена и выполнено равенство
det[exp(A)] = exp(tr A).
71.80. Доказать, что для любой унитарной матрицы U
существует такая эрмитова матрица i/, что
U = ехр(Ш).
71.81. Выяснить, как можно было бы определить функции
cos(A) и sin(A) и для каких матриц А это возможно.
71.82. Показать, что для любой матрицы А Е Спхп
выполнено равенство
cos(A) + ism(A) = exp(iA).
71.83. С помощью равенства предыдущей задачи показать,
что
[cos(A)]2 + [sin(A)]2 - /.
71.84. Доказать, что матрица А Е Спхп обратима, если
существует такая мультипликативная матричная норма || • ||, что
||/ — j4|| < 1. Показать, что в этом случае выполнено равенство
к=0
200
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
71.85. Доказать, что если || • || - мультипликативная
матричная норма и || А || < 1, то матрица I — А обратима и
к=0
71.86. Пользуясь результатом предыдущей задачи,
вычислить матрицу, обратную к матрице В, если:
а) В =
1 -2 1
0 1 3
0 0 1
;6)В =
-12 3
0 1 2
0 0-1
;в)В =
'2
0
0
0
1
0
4
-1
3
71.87. Пусть || • || - мультипликативная матричная норма
в СпХп и матрица А Е Спхтг такова, что для нее существует
матрица В Е Спхп такая, что \\ВА — 1\\ < 1. Показать, что обе
матрицы А и В обратимы.
71.88. Пусть мультипликативная матричная норма ||-||
обладает свойством: ||/|| = 1. Доказать, что для матрицы А Е Спхп,
такой, что || Л|| < 1, справедливы неравенства
1
< \\(I - A)~l\\ < —
71.89. Доказать, что если || • || - мультипликативная
матричная норма и матрица А Е СпХп, такова, что J|A|| < 1, то
справедливы неравенства
<\\(1-А)-'\\<
71.90. Пусть А,В е Спхп, причем матрица А обратима, а
матрица А + В вырождена. Показать, что справедливо
неравенство ||В|| > 1/||Л"11| с любой мультипликативная матричной
нормой || • ||.
71.91. Пусть А Е Спхп и выполнены условия диагонального
преобладания:
Доказать, что матрица А обратима.
§71 Линейные операторы в нормированных пространствах201
71.92. Доказать, что если матрица А = (akj) e Rnxn
нормальна, то выполнено неравенство
\\А\\2 > 1
к,j=l
Сравнить этот результат с неравенством задачи 62.61.
71.93. Пусть А - матрица порядка п с собственными
значениями Аь ..., Ап. Доказать следующее неравенство Шура:
71.94. Пусть в условиях предыдущей задачи ai,...,an и
Д,..., /Зп суть действительные и мнимые части собственных
значений Аь ..., Ап. Доказать, что:
а) AY,«l<\\A + AH\\\- б)
к=1 к=1
71.95. Доказать, что равенство в неравенстве Шура из
задачи 71.93 достигается тогда и только тогда, когда А -
нормальная матрица. Это же верно для обоих соотношений предыдущей
задачи.
71.96. Пусть А - матрица порядка п с собственными
значениями Xi,..., Ап и Р - произвольная невырожденная матрица.
Доказать, что
к'=1
Для каких матриц А указанная нижняя грань достигается?
71.97. Используя задачу 71.91, доказать, что из
нормальности матриц А, В и АВ вытекает нормальность матрицы В А.
71.98. Пусть Ах,..., Ап - собственные значения, а ри ..., рп -
сингулярные числа матрицы А. Доказать, что
|Ai| + ... + |An| <pi + ...+pn.
71.99. Используя результат предыдущей задачи, доказать,
что для всякой матрицы А порядка п выполнено неравенство
202 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
71.100. Пусть ра - минимальное сингулярное число
квадратной матрицы А порядка п. Доказать, что расстояние (по
спектральной норме) от матрицы А до множества всех
вырожденных матриц равно рп.
71.101. Найти наибольшее и наименьшее значения
квадратичной формы /(#i,..., хп) на единичной сфере х\ +... + х2п = 1,
если:
а) / = Х1 + 4жз + 2ж1Ж2 + 4ж1Ж3 + 4ж2ж3 (n = 3)>
б) / = Зж? 4- а?2 4- Зж3 + Ъх\ 4- 4(xiX2 4- ххх3 4- XiX4) 4-
4- 2ж3ж4 (п = 4);
в) / = —2a?i - 4ж2 - а?з - ж4 4- 6(xiX2 4- ж2ж3 4- ж2ж4) 4-
4- 2ж3ж4 (п = 4).
§72. Нормы и операторные уравнения.
Псевдорешения
Рассмотрим проблему решения систем линейных алгебраических
уравнений с точки зрения свойств линейного оператора.
Пусть V, W - евклидовы (унитарные) пространства, Л G C(V, W))
u G W. Уравнение
Az = u (72.1)
называется линейным операторным уравнением, вектор и - правой частью,
вектор z - решением. Очевидно, в матричной записи операторное
уравнение превращается в систему линейных алгебраических уравнений и,
следовательно, все свойства систем уравнений можно переносить на операторные
уравнения и наоборот.
Однородное уравнение
A*w = в (72.2)
называется сопряженным к уравнению (72.1).
Теорема 72.1 (альтернатива Фредгольма). Либо
операторное уравнение (72.1) имеет решение при любой правой части и G W, либо
сопряженное к нему уравнение (72.2) имеет нетривиальное решение.
Альтернатива Фредгольма для оператора А, действующего в одном
пространстве V, означает, что либо основное уравнение имеет единственное
решение при любом и G V, либо сопряженное к нему уравнение имеет
нетривиальное решение.
Теорема 72.2 (теорема Фредгольма). Операторное
уравнение (72.1) имеет решение тогда и только тогда, когда его правая часть
ортогональна всем решениям сопряженного уравнения (72.2).
Пусть уравнение (72.1) разрешимо, и пусть Н - множество всех его
решений. Нормальным решением уравнения (72.1) называется такое его
решение Zo, ЧТО
\Ы\е = inf ||*||в.
zt H
§72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 203
Теорема 72.3. Для любого разрешимого уравнения (72.1)
нормальное решение zq существует и единственно, причем zq - перпендикуляр,
опущенный из любого решения z уравнения (72.1) на кег А.
Для уравнения (72.1) вектор г = Az - и называется невязкой вектора
z, функция F(z) = \\Az — и\\% - функционалом невязки.
Вектор z~*~ £ V называется псевдорешением уравнения (72.1), если
\\Az+-u\\%=miv\\Az-u\\l. (72.3)
Другими словами, псевдорешение - это вектор пространства V,
минимизирующий функционал невязки.
Если уравнение (72.1) разрешимо, то псевдорешение совпадает с
решением в обычном смысле.
Теорема 72.4. Псевдорешение существует для любого
операторного уравнения (72.1).
Уравнение
A*Az = A*u (72.4)
называется нормальным уравнением для уравнения (72.1).
Теорема 72.5. Вектор z* пространства V является
псевдорешением уравнения (72.1) тогда и только тогда, когда z~*~ - решение
нормального уравнения (72.4).
Псевдорешение наименьшей длины называется нормальным
псевдорешением. Из теорем 72.3, 72.5 следует, что нормальное псевдорешение
существует и единственно для любого уравнения (72.1).
Пример 72.1. Найти нормальное решение системы
{Х\ + Х2 - 2X3 + Х4 = -3,
xi +2хг - хз - х4 = 3
относительно евклидовой нормы, соответствующей стандартному
скалярному произведению в пространстве Ш4.
Решение. В силу теоремы 72.3 для нахождения нормального решения
необходимо среди всех решений данной системы выбрать то, которое
ортогонально ядру матрицы системы, т.е. ортогонально всем решениям
приведенной однородной системы
{Х\ + Х2 — 2X3 + Х4 = 0, /70 г\
2 0 VLb>
Это равносильно тому, что нормальное решение должно быть ортогонально
какому-либо базису этого ядра, т.е. какой-либо фундаментальной системе
решений (72.5).
Имеем
Г 1 1 -2 10 1 Г 1 1
[ 1 2 -1 -1 0 J ~* [ 0 1
-2 1
0 1 Xl Х2
0 =» 3 -1
U J -3 2
Х4
1 0
0 1
Фундаментальную систему решений (72.5) образуют векторы
204
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
Таким образом, нормальное решение является единственным решением
следующей системы
Xl
Xl
(x
(x
+ X2 -
+ 2x2
ei) =
62) =
-2x34
- x3 -
0,
0
—^
" 1
0
0
0
-X4
■ x4
1
1
0
0
= —3
= 3,
-2
1
11
0
1
-2
-11
3
-
-3
6
33
-6
11-21
1 2-1-1
3-110
-3201
-3
3
0
0
—>
Итак, нормальным решением является вектор 2о = (0,1,1,-2)т. ■
Пример 72.2. Найти все псевдорешения системы
i +х2 +хз = 7,
xi + 2х2 + 2х3 = 4,
i -Х2 = 0.
Скалярное произведение в пространстве Ш3 считается заданным
стандартным образом.
Решение. Очевидно, что данная система несовместна. Выпишем
матрицу системы А, столбец правых частей 6:
1 1 1
А=|2 2 2
1 -1 0
6 =
и построим соответствующую нормальную систему2 АтАх = АТЪ. Так как
6 4 5 15
АТА =
, АТЪ =
15
15
то нормальная система имеет вид
6xi 4- 4x2
4xi + 6x2
5xi + 5x2
5хз = 15,
5хз = 15,
5хз = 15.
(72.6)
Решим нормальную систему:
4 5
15
Отсюда решением нормальной системы (72.6), а следовательно,
псевдорешением исходной системы является любой вектор (х1,Х2,хз)т,
удовлетворяющий условиям
XI +Х2 +Х3 = 3,
Xi -Х2 =0,
2Отметим, что, так как скалярное произведение в Ж считается
заданным стандартным образом, сопряженным оператором Л* к оператору Л,
заданному в естественном базисе матрицей А, является оператор, заданный
матрицей Ат.
§72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения
205
т.е. вектор вида (а,а,3 - 2а)т, аб1. ■
Пример 72.3. Найти все псевдорешения системы
( Xi + Х2 + Х3 = 7,
< XI + Х2 + Х3 = 2,
L XI - Х2 = 0.
Скалярное произведение в пространстве Ж считается заданным
стандартным образом.
Решение. Отметим сначала, что данная система получена из
несовместной системы предыдущего примера элементарным преобразованием
второго уравнения - делением его обеих частей на число 2.
Аналогично предыдущей задаче:
А=
1
1 1
1 -1 0
7
6= | 2
0
АТА =
3 1 2
1 3 2
2 2 2
АТЪ =
Нормальная система имеет вид
3xi +х2 + 2хз = 9,
xi +3х2 + 2х3 = 9,
2xi + 2х2 + 2х3 = 9
+ х2 +х3 = 9/2,
— Х2 = 0.
Таким образом, псевдорешением является любой вектор вида (а, а, 9/2 -
2а)т ,а G R.
Следует обратить внимание, на то, что, несмотря на "близость" данной
системы и системы из предыдущей задачи, множества их псевдорешений
различны. ■
Пример 72.4. Найти нормальное псевдорешение системы из примера
72.2.
Решение. Нормальное псевдорешение этой системы является
нормальным решением соответствующей нормальной системы (72.6).
Фундаментальную систему решений соответствующей приведенной
однородной системы
1 1
1 -1
составляет единственный вектор е\ = (1,1,— 2)т. Поэтому нормальное
решение системы (72.6) находится из системы
= Х2 = Хз = 1.
6
4
5
1
4
6
5
1
5
5
5
-2
15
15
15
0
—>
1
0
0
1
1
2
0
1
1
1
1
-2
3
3
1
0
Таким образом, вектор Zq = (1,1,1)т - нормальное псевдорешение
исходной системы. ■
Понятие псевдорешения можно эффективно использовать в так
называемой задаче о наименьших квадратах.
206
Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
Назовем средним квадрашическим отклонением функции у = f(x) от
заданной системы точек Mi(m,yi),..., Mk(xk,yk) величину
6 =
(72.7)
Задача о наименьших квадратах состоит в нахождении функции у =
f(x) из определенного класса, для которой величина среднего квадратиче-
ского отклонения (72.7) минимальна3.
Пример 72.5. Найти линейную функцию f(x) = агх + oi, наименее
отклоняющуюся от точек Mi(0,0), Мг( —1,0), Мз(1,2), М\{2,1) в смысле
среднего квадратического отклонения.
Решение. Составим векторы / = (/(xi), /(#2), Кхз), }{%а))Т значений
искомой линейной функции f(x) в заданных точках и 6 = (у1,У2,уз,2/4)т
ординат заданных точек:
/= (oi,oi -a2,ai+a2,ai + 2a2)T, b = (0,0,2,1)т.
Величина среднего квадратического отклонения (72.7) в данном случае
равна S = ||6 — /||е/2, где || • \\е - обычная евклидова норма в пространстве
Ш . Величина S будет минимальна тогда и только тогда, когда минимальна
евклидова норма разности векторов 6 и /. Очевидно, что величина ||6 — f\\2E
является функционалом невязки для системы
=0,
- а2 = 0,
+а2 = 2,
+ 2а2 = 1,
(72.8)
и поэтому коэффициенты 01,02 искомой линейной функции /(х) являются
псевдорешением системы (72.8).
Составим для системы (72.8) нормальную систему. Так как
А =
1 0
1 -1
1 1
1 2
6 =
Г о
о
2
1
].
то нормальная система имеет вид
4oi + 2a2 = 3,
2ai + 6а2 = 4.
Отсюда а\ = а.2 = 1/2, и искомая линейная функция имеет вид
., v 1 1
Так как / = (1/2,0,—1,1/2)т, то среднее квадратическое отклонение
найденной функции от точек Mi, M2, М3, М4 равно 6т1П = \/б/4. ■
3Аналогичную задачу можно ставить и для функций у = /(xi,... ,£„)
любого числа переменных.
§ 72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 207
ЗАДАЧИ
Найти нормальные решения следующих систем.
я?1 + 12х2 - х4 4- 17я6 = 0,
72.1. <{ 31a?i 4- 15х3 - 11х4 - Зх5 = О,
17х2 - х3 4- 7ж5 - 23х6 = 0.
5а? 1 — Зх2 — хз — 2,
72.2. { -Ж! 4- х2 + х3 = О,
—Xi 4- Зх2 4- 5х3 = 2.
72 3 I Xl ~*~ ^Х2 ~ Хз = ^' 72 4 / Xi - ж2 - ж3 + ж4 = 4,
\ xi - ж2 4- 2ж3 = 8. \ х2 — х3 = 0.
a?i 4- ж2 4- х3 4- ж4 = 5,
72.5. л . 1П
xi ~ 2х2 4- Зж3 - 4ж4 = 10,
-Зя?1 4- 6ж2 - 9ж3 4- 12ж4 = -30.
Исследовать на экстремум функцию у = /(жь ... ,хп\ при
выполнении указанных условий.
{i 4-ж2 4-ж3 4-ж4 = 2,
я?1 4- 2ж2 4- Зж3 4- 4ж4 = 0,
i - #2 4- 2ж3 = 2ж4 = 3.
^о о 2.2.2 f 2a?i ж2 + ж3 — 3,
72.8. у = х? 4- х\ 4- *3, если | g^J + 2х2 - х3 = 4.
72.9. у = Ах\ 4- х\ 4- 9а^, если 4х: - х2 4- х3 = 23.
- Зх2 4- 2х3 - 4х4 = 3,
4- х4 = 5.
72.10. у = -х\-Ъх\-х\-±х\, если ( J1 " 3
п
72.11. Найти максимальное значение выражения ^х£ при
к=1
выполнении каждого из следующих условий:
п
у q xk ^ a yq 7^ ztlj.
к=1 к=1 к=1
При каких значениях переменных Xi,... ,хп этот максимум
достигается?
п
72.12. Найти максимальное значение выражения ^ кх\ при
к=1
п
выполнении условия ^ кхк = а. При каких значениях перемен-
к=1
208 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
ных а?!,..., хп этот максимум достигается?
72.13. Доказать, что в евклидовом (унитарном)
пространстве V система уравнений
{x,e1) = au...,{x,ek) = ак (72.9)
имеет решение при любых числах аь ... ,ак тогда и только
тогда , когда векторы еь..., ек линейно независимы.
72.14. Доказать, что система уравнений (72.9) разрешима
тогда и только тогда, когда имеет место импликация:
к к
г=1 г=1
72.15. Доказать, что система уравнений
/i(z) = ai,..., fk(x) = а*,
где /х,..., fk - линейные функционалы в линейном пространстве
У, имеет решение при любых числах аь ..., ак тогда и только
тогда, когда функционалы /ь ..., Д линейно независимы.
72.16. Пусть л41? А2 - матрицы размеров mi хп и га2 хп, а 6Ь
62 - вектор-столбцы высот mi и т2 соответственно. Доказать,
что система уравнений
Ахх = Ьь А2х = Ь2
имеет решение при любых правых частях тогда и только тогда,
когда равенство А[у = A%z возможно лишь для нулевых вектор-
столбцов у и z высот mi и га2 соответственно.
72.17. Для уравнения [х, а] = b в геометрическом
пространстве У3 найти условия:
а) его разрешимости при любой правой части Ь;
б) его разрешимости для данной правой части Ь.
72.18. Найти условия разрешимости системы уравнений
[х, ai] = Ьь [х, а2] = Ь2.
72.19. Пусть д - ортогональная проекция вектора и на образ
im Л оператора Л. Доказать, что всякое псевдорешение
уравнения Az = и есть прообраз вектора д.
72.20. Показать, что множество всех псевдорешений
уравнения Az = и есть многообразие, направляющее подпространство
§ 72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 209
которого - ядро кег А. Это многообразие является
подпространством тогда и только тогда, когда и принадлежит ядру кег А*
сопряженного оператора А*.
72.21. Показать, что нормальное псевдорешение уравнения
Az = и можно определить как псевдорешение этого уравнения,
ортогональное к ядру оператора А, или, что все равно, как
псевдорешение, принадлежащее образу сопряженного оператора А*.
72.22. Пусть V - оператор дифференцирования в
пространстве многочленов Мп со стандартным скалярным
произведением, g(t) - заданный многочлен из Мп. Найти все псевдорешения
и нормальное псевдорешение уравнения Vf = g.
72.23. Как связаны между собой псевдорешения и
нормальные псевдорешения уравнения Az = и и уравнений: a) aAz = щ
б) Az = ащ в) aAz = аи, где а - число, отличное от нуля?
72.24. Как связаны между собой нормальные псевдорешения
уравнения Az = и и уравнений: a) VAz = Vn; б) AUz = ul Здесь
U и V - унитарные операторы.
72.25. Пусть А - нормальный оператор и пусть известен ор-
тонормированный базис еь ..., еп, составленный из собственных
векторов этого оператора. Как найти псевдорешение и
нормальное псевдорешение уравнения Az — ul
72.26. Пусть А - оператор ранга г, действующий из п-
мерного пространства V в га-мерное пространство W.
Известен ортонормированный базис ех,..., еп из собственных
векторов оператора А* А и соответствующие собственные значения
р\,..., р\ (pi > 0, г = 1, г). Доказать, что:
а) псевдорешения уравнения Az — u описываются формулой
z+ = ftei + ... + /Згег -f ъ+ier+i + • • • -
где
(а ЛрЛ ( A*ii рЛ
(Aei,Aei) p\
а 7г+ъ • • •»In ~ произвольные числа;
б) нормальное псевдорешение есть вектор
72.27. Для оператора А предыдущей задачи известен
ортонормированный базис /i,..., /ш из собственных векторов
оператора АА* (при этом pi > 0, г — 1,г). Доказать, что нормальное
210 Глава XVIII. Линейные нормированные пространства
псевдорешение уравнения Az = u можно найти по формуле
где
72.28. { jj£| +
37ж2 + 46ж3 = 0,
+ 73ж3 = 0.
Найти нормальные псевдорешения следующих систем
линейных уравнений, считая, что скалярные произведения в
соответствующих арифметических пространствах введены
стандартным образом.
27xi - 55х2 = 1,
-13xi 4-27х2 = 1,
-14xi 4-28х2 = 1.
■ х3 4- х4 = 2, ( Х\ 4- Х2 = 2,
х34-х4 = 3, 72.31. < Xi-x2 = 0,
—Xi — 2x2 = I?
72.32. < 2x\+f» = °'
xx 4- -uX2 = U,
3xi 4- 6x2 = 0.
4-
72.30.
х2
4- ж2 = 2.
72.33.
—Xi 4- x2 4- x3 = 0,
x2 4- 2x3 = 1.
72.34. { -xi 4- (1 4- e)x2 4- x3 = 0,
x2 4- 2x3 = 1.
&JL,\ Jb2 — 1,
72.35.^ -xi 4- x2 4- x3 = 0,
X2 4- (2 4- s)x3 = 1, (е^О)
2xi — 3x2 = —1,
72.37. i xi - 2x2 = -1, 72.38.
Ci 4-x3 = 1.
2xi - 3x2 = -1,
72.36. ( -xi 4- x2 = 0,
xi 4- x2 = 1.
4x2 4- 2x3 4- 2x5 = 3,
2x2 + 2x3 = 0,
—3xi 4- x4 = —2,
2x2 4- 2x5 = 3.
72.39. Найти нормальное псевдорешение в пространстве М3
со стандартным скалярным произведением уравнения:
a) f(t - 1) + /(1 -t) = t; б) f{t - 1) - /(1 -t) = l.
72.40. Доказать, что для любой квадратной матрицы А
порядка п нормальным псевдорешением уравнения АХ — ХА = I
§72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 211
в пространстве Спхп со стандартным скалярным произведением
является нулевая матрица.
72.41, Найти функцию /, наименее уклоняющуюся от
заданных точек Mi, г = l,fc, в смысле среднего квадратического
уклонения, если:
а) У — fix) ~ линейная функция: /(ж) = a2x + ax и
точки заданы координатами: Mi(l,l), М2(0,2), М3(2,0), М4(0,1),
М5(0,-1);
б) у = f[x) - квадратичная функция: f(x) = аъх2 + а2х +
di и точки заданы координатами: Mi(0,0), М2(-1,0), М3(1,2),
М4(2,1);
в) У — f(x) ~ квадратичная функция: f(x) = х2 + а2х 4- a>i и
точки заданы координатами: М^О, 1), М2(1,1), М3(2,1);
г) z = /(ж, у) - линейная функция: /(ж, у) = aix + а2у 4- а3 и
точки заданы координатами: Mi(l, 1,1), М2(1,2,2), М3(2,1,0),
М4(0,1,1);
д) z = /(ж, у) - линейная функция: /(ж, у) = ахх + а2у + а3 и
точки заданы координатами: Мх(0,0,0), М2(1,1,1), М3(1,0,1),
М4(0,1,1), М8(1,1,0).
Каково будет наименьшее среднее квадратическое отклонение в
каждом из этих случаев?
Ответы и указания
§57
57.1. Оператор имеет одно собственное значение: а) Л = 0; б) Л = 1;
в) Л = а, если скалярный оператор равен аХ. Собственными векторами
являются все ненулевые векторы.
57.2. \ о (7 > где А - диагональная матрица.
57.4. п-г.
57.6. Оператор Л — XqX имеет собственные значения \к — Ао, где А* -
собственные значения оператора Л.
57.7. а) А2; б) А*; в) /(А). 57.8. Нет.
57.9. Указание. Рассмотреть характеристический многочлен
оператора Л2 - А2Х.
57.11. Да.
57.14. Оператор Л~1 имеет собственные значения AjT1, где А& -
собственные значения оператора Л.
57.16. Да.
57.17. Если А - собственное значение матрицы А, то Re А и ImA суть
собственные значения вещественной и мнимой частей матрицы А
соответственно.
57.18. Если х - собственный вектор матрицы В = 3~гАЗ, то у = Sx -
собственный вектор матрицы А.
57.19. а) Нет; б) нет; в) нет. Указание. Сравнить следы, ранги,
определители данных матриц.
57.20. а) А; б) А; в) А подобна £>2, В подобна D\.
57.21. J3(-l). 57.22. С. 57.23. Нет.
57.25. а) /(А) = А2 — 2Acosy? + 1; при <р = 0: собственное
значение 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор; при (р = 7г:
собственное значение —1, собственным вектором является любой ненулевой
вектор; при остальных ср собственных значений нет;
б) /(Л) = (-А)(А2 - 2Acos (p+1); при любом (р есть собственное значение
0 и собственные векторы а а, а ф 0; кроме того, при (р = 0: собственное
значение 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор,
ортогональный а; при <р = тг: собственное значение —1, собственным вектором
является любой ненулевой вектор, ортогональный а;
в) /(А) = -А3 — |а|2А2; собственное значение 0, соответствующие
собственные векторы а а, а ф 0;
г) /(А) = (1 - \)к(-\)п~к, где к = dimLi, n = dim У; собственное
значение 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор из Li,
и собственное значение 0, собственным вектором является любой ненулевой
вектор из Li\
д) /(Л) = (1 - А)*(-1 - A)n~fc, где к = dimLi, n = dimV; собственное
значение 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор из Li, и
собственное значение —1, собственным вектором является любой ненулевой
вектор из Ьг\
Ответы и указания к §57 213
е) /(Л) = (-A)n+1; собственное значение 0, собственным многочленом
является любой многочлен нулевой степени;
ж) /(А) = А2 + 1; собственных значений нет.
57.28. Указание. Воспользоваться следующими тождествами
Ньютона: kan-k + (tr A)an-k+i + (Ьт A2)an-k+2 + ... + (Ьт Ak)an = О, k = Т~п, где
antn + an-itn~l + ... + a\t + ao - характеристический многочлен матрицы
A.
57.29. \A\ = -2. Указание. Найти собственные значения матрицы
А.
57.31. Ai = 3, собственным вектором является любой ненулевой
вектор.
57.32. Ai = 2, собственные векторы имеют вид а(1,1 + г)т, а ф 0.
57.33. Ai = 1, Аг = 3, собственные векторы соответственно равны
а(-5,1з + 4г)т, а(1,-г)Т, а ф 0.
57.34. Ai = 1, А2 = 2, A3 = 3, собственные векторы соответственно
равны а(1,1,1)т, а(1,0,1)т, а(1,1,0)т, а ф 0.
57.35. Ai = 3, А2 = 6, собственные векторы соответственно равны
а(0|1,-1)т,а(3,4,-2)Г,а#0.
57.36. Ai = 3, А2 = 6, собственные векторы соответственно равны
а(-7, 5, -6)т + /3(2, -1,1)т, а2 + 01 ф 0, и а(1,1, -3)т, а # 0.
57.37. Ai = 0, собственные векторы равны а(1,1,0)т + /3(0,1,2)т, а2 +
57.38. Ai = -2, Аг = — 1, Аз = 0, собственные векторы соответственно
равны а(0,2,1)т, а(1,1, -1)т, а(2, 2, -1 jr, а # 0.
57.39. Ai = 1, А2 = -1, собственные векторы соответственно равны
а(2,1,0)т +/9(1,0, -1)т, а2 +/З2 ф 0, и а(3,5,б)т, а # 0.
57.40. Ai = -3, А2 = -1, A3 = 1, А4 = 3, собственные векторы
соответственно равны а(1, -3, 3, -1)т, а(1, -1, -1,1)т, а(1,1, -1, -1)Т, а(1, 3,3,1)т,
а/0.
57.41. Ai = 0, А2 = 2, собственные векторы соответственно равны
а(0,1,0,-1)т,а(0,1,0,1)т,а#0.
57.42. Ai = 0, А2 = 2, собственные векторы соответственно равны
а(2)-1,0,0)т+ЖЗ,0,0,-1)тиа(1,-1,0,1)т+Ж0,0,1,0)т,а2+)32#0.
57.43. Ai = 3, собственные векторы равны а(1,0,0,-I)7"+/9(0,0,1,0)т,
а2+/?2#0.
57.44. а) Нет собственных значений; б) Ai,2 = 1 ± 2г.
57.45. a) Ai = 2; б) Ai = 2, А2,з = (1 ± t>/3)/2.
57.46. a) Ai = -1, А2 = 5; б) Ai = -1, А2 = 5, А3,4 = 2 ± г.
57.47. а) Нет собственных значений; б) Ai,2 = ±г, Аз,4 = ±2г.
Указание. Ко 2-й строке определителя \А — А/| прибавить 3-ю строку.
57.48. Ai = 0, А2 = 4, А3,4 = 2 ± 2л/2.
57.49. Собственное значение Ао алгебраической кратности п,
собственные векторы равны aei, а ф 0.
57.51. Указание. При доказательстве необходимости использовать
результат предыдущей задачи.
57.52. Ai,..., An, Ai,..., An.
57.53. Ai = 0, собственные векторы равны а(1,1,0,1)т 4- /9(0,1,1,0)т,
214 Ответы и указания к §57
57.54. Ai = 0, собственные векторы равны а(1,0,0, — 1)т+/3(0, -1, 2,0)т
а2+/?2#0.
57.55. Ai = 2, собственные векторы равны omq g +/? I \ g >
22
57.56. a) Ai = 0, собственные векторы равны aI+/3 g g > a2+/32 ф 0;
б) Ai = 0, А2,з = ±2, собственные векторы соответственно равны ai +
\ I}
в) Ai = 0, Аг,з = ±2г, собственные векторы соответственно равны ai +
] [ ]
57.57. Ai = 0, А2 = -3, собственные векторы соответственно равны
а(1 - 2* + *2) + /?(-2 + 7* - 5*3), а2 + /?2 ф 0, а(«2 - *3), а / 0.
57.58. Ai = 0, собственными векторами являются все ненулевые
векторы (ai,... ,an)T, ортогональные вектору у: X™=i аЦЛ = 0, и А2 = ]£Г=1 ^*2/г,
собственными векторами являются векторы /9х, /9 ^ 0.
57.59. Ai = 0, собственными векторами являются все ненулевые
векторы (ai,..., an)T: ai + ... + an = 0, и А2 = п, собственными векторами
являются векторы /9(1,..., 1)т, /3 ф 0.
57.60. Ai = 0, собственными векторами являются все ненулевые
векторы (ai,..., an)T: — + . • • Н = 0, и Аг = п, собственными векторами
являются векторы /3(/ii,... ,/in)T, /9 ф 0.
57.61. а) Ai = a - 6, А2 = a + Ь(п — 1), соответствующие собственные
векторы те же, что и в задаче 57.59;
б) пусть q = y/a/b, тогда А* = Ь—^ , где ek = cos(2kn/n) +
1 - <7£fc
isin(2A;7r/n), к = 0, n — 1. Собственные векторы, отвечающие А&, имеют
вид a(l,pfc,pfc,... ,р£~1)7\ где рк = (Ь + Afc)/(a + Afc), a ^ 0.
57.62. Ai = 0, А2,з = \[a ± ^/a2 + 4(6ici + ... + 6n_icn_iJ.
57.63. Например, (1,1,..., 1)т.
57.65. Если n = 2A;, то ±-yaian, ±^/а2О;п-1, • • -} ±^/а^а^+Т; если
п = 2к + 1, то i^/aian, ±y/a2an-i1..., ±^/а^а^+^, а^+ь
57.66. При п = 4к + 1: Ai = \/n кратности к + 1, А2 = — \/п кратности
&5 Аз,4 = ±\/ш кратностей А;. При п = 4А; 4- 3: Ai,2 = ±\/^ кратностей
Л + 1, A3 = y/ni кратности к + 1, А4 = — \/пг кратности к. Указание.
Рассмотреть квадрат данной матрицы.
57.67. а) (-А)п — (-1)п; б) собственному значению А* = cos(2kn/n) +
isin(2A;7r/n) отвечают собственные векторы а(1, А;ь, А^,..., AJJ"1)7^, a ф О
(А; = М^Т).
57.68. Afc = /(ел), где f(x) = ai +CL2X + ... Ч-ОдХ71"1, ек = cos(2kn/n) +
isin(2A;7r/n), /c = 0,n-l. Указание. Воспользоваться задачей 43.27.
57.69. а) А* = 2zcos(for/(n+l)), к = Т/п\ б) \к = a + 2bcos{kn/(n + l)),
Ответы и указания к §57 215
57.70. Указание, а) Воспользоваться симметричностью матрицы А]
б) воспользоваться рекуррентным соотношением для Dn = \А — XI\: Dn =
(an - \)Dn-i — bn-iDn-2 и показать, что если Dn = 0, то Dn-\ ф 0.
57.71. Указание. Рекуррентное соотношение
Dk{\) = (ak - \)Dk-i(\) - bk-ick-iDk-2{\)
для Dk{\) = det(Ak — А/) показывает, что Dn(\) зависит не от самих чисел
б*, Cfc, а лишь от их произведений. Поэтому, заменив в Ап элементы 6* и с*
на \/ЬьСк, получим симметрическую матрицу А'п с тем же
характеристическим многочленом.
57.72. а) Нет; б) нет. Указание. Рассмотреть след и, ранг данных
матриц.
57.73. a) A* = fc — I, fc = l,n + l, соответствующие собственные
векторы равны fk(t) = art*"1, а/0;
б) при п = 2к: Ai,2 = ±1, соответствующие собственные векторы равны
<*i(l +*n) + a2{t + tn~l) + ... + ak{tk-1 + **+1) + afc+i*fc и ai(l - Г) +a2(* -
tn~l) + ... + ctk(tk~l - tk+l); при n = 2k + 1: Ai,2 = ±1, соответствующие
собственные векторы равны ai(l±in) + a2(*±in~1) + .. . + а*(£*±£*+1) (при
условии, что не все коэффициенты ai равны нулю);
в) Ai = 1, собственные векторы равны f(t) = a, a ф 0;
г) Afc = 1/А;, к = l,n + 1, соответствующие собственные векторы равны
д) \к = 1/(А: + 1), к = 1,п + 1, соответствующие собственные векторы
равны fk(t) = at*"1, a ^ 0;
е) Ai = 0, собственные векторы равны f(t) = a, a ф 0\
ж) Ai = 0, собственные векторы равны ^0<2А;<п а2&(* - о)2к!, где не все
коэффициенты a2fc равны нулю; ~ ""
з) Ai = 1, собственными векторами являются все ненулевые многочлены
из Мк-
57.77. Симметрические и кососимметрические ненулевые матрицы.
57.78. б) Ненулевые матрицы вида [xi х2 ... хп], где Xi - либо один из
собственных вектор-столбцов ai,... ,а&, либо нулевой столбец.
57.79. б) Собственному значению А соответствуют ненулевые
матрицы вида [xi X2 ... хп)Т, где xi - либо один из собственных вектор-столбцов
матрицы Вг, отвечающих А, либо нулевой столбец.
57.80. Afc/ij, k,l = 1,п. Указание. Учесть, что матрицы А и В
подобны диагональным матрицам.
57.81. а) A/i; б) A + /i.
57.82. а) AfcAj; б) АЛ/А/; в) Л^ — Л/ (&,/ = Т~п). Указание. См. задачу
52.55.
57.83. А*/!*; б) A* +/ij, A;,/ = 1,п. Указание. См. задачу 52.55.
57.84. 1) Пусть А невырождена. Тогда если х - собственный вектор
матрицы АВ, то А~1х - собственный вектор матрицы В А. 2) Нет,
неверно.
57.85. Указание. Если одна из матриц А или В невырождена, то
воспользоваться предыдущей задачей. Если обе матрицы Аи В вырождены,
то выбрать последовательность Ек —> 0 так, чтобы матрицы Ак = А — £kl
были невырождены, и применить предельный переход.
57.86. Указание. Использовать равенство
216 Ответы и указания к §58
Г АВ - Х1т А 1 Г 1т О I _ Г 1т О 1 Г -A/m A 1
[ О -А/„ J [ В /„ J - [ В 1п \ [ О ВА-Х1п }■
57.87. Указание. Использовать равенства:
v Г / / I Г Л - А/ Б I Г Л + В - А/ О 1Г//1
а) [ О / J [ В A-XI \- [ В A-B-XI \[О / J;
-х Г / И 1 Г А - А/ Б 1 _ Г А - %В - XI О 1 Г / И 1
б^[О /J[ -Б A-A/J~[ -В A + iB-Xl\[O /J;
v Г Л В12_[ А2 + В2 ЛЯ - Я I
в) [ -В А \ -[ВА-АВ А2 + В2
57.88. Указание. Достаточно рассмотреть случай, когда главная
подматрица расположена в левом верхнем углу. В этом случае показать,
что собственному значению А матрицы А соответствует хотя бы один ссоб-
ственный вектор вида (х\,... ,хт,0,... ,0)Т.
57.89. Указание. Показать, что найдется A G R, при котором
матрицы А ± XI невырождены.
57.90. Указание. Рассмотреть матрицы В вида А — el.
57.93. 1) 1 + (-1)п; 2) 0; 3) у/п при п = Ак + 1, iyfH при п = 4к + 3;
4) ;(»-i)(3n-2)/2nn/2 указание. Использовать задачи 57.66 и 57.67.
§58
58.2. а) {2,1}, {1,3}; б) {-2,3}, {1,1}; в) {3,1,0}, {0,0,1}, {-1,3,1};
г) {1,1,1}, {2,-1,0}, {1,0,1}.
58.6. Указание. Воспользоваться тем, что каждое собственное
подпространство одномерно.
58.7. Указание. Учесть, что если D - диагональная матрица с
различными диагональными элементами, то любую диагональную
матрицу можно представить многочленом от D.
58.10. Указание. Рассмотреть операторы Ли В, имеющие в
некотором базисе е матрицы Ае = q q , Be = q ^ .
58.11. а,б) Нет. 58.12. Нет. 58.13. Да. 58.14. Нет.
58.15. Нет. 58.16. Да. 58.17. Да. 58.18. Да.
58.19. Нет. 58.20. Нет. 58.21. Да. 58.22. Нет.
58.23. Да. 58.24. Нет. 58.25. Да. 58.26. Да.
58.27. Нет. 58.28. Да. 58.29. а) Нет; б) да.
58.30. а) Нет; б) нет. 58.31. а) Да, если а = пп, п G Z; б) да.
58.32. а) Нет; б) да. 58.33. а) Нет; б) да.
58.34. а) Нет; б) нет. 58.35. а) Нет; б) нет.
58.36. а) Нет; б) да. 58.37. а) Нет; б) да.
58.38. а) Нет; б) да.
58.39. 1) Ai = -с, А2 = -Ь - с, Хк = к (к - 1) - Ък - с, к = 3~п. 2) При
всех 6, с е R.
58.40. [ InQr SIr ], где г = [п/2].
58.41. diag(l,e, ...,en~1), где е = cos(2?r/n) + 2sin(27r/n).
58.42. diag(x + (n - l)y, x - y,..., x - y).
58.43. diag(0, ...,0,n). 58.44. diag(n - l,n - 3,..., 1 - n).
Ответы и указания к §58
217
58.45. diag I 2 cos , 2 cos ,..., 2 cos
^ n+1 n+1 n+1
58.46. diag ( 2% cos 1 , 2г cos 1 ,..., 2г cos
V
V
58.50. Г =
58.52. Г =
= diag(2,-2,v/6,-v/6).
= diag(l,l,2,2).
58.56. Г =
58.57. Г =
58.58. T =
58.47. a) diag(2/m, -2/m) при n = 2m, diag(2/m_i, 1, -2/m_i) при n =
2m - 1; б) матрица не диагонализуема; в) diag(i/m, -г/т) при п = 2т,
diag(*7m_i, I, -ilm-i) при п = 2т - 1.
58.48. Элементы а* и an-k+i должны либо оба быть отличными от
нуля, либо оба обращаться в нуль (к = 1, п).
110 0
0 0 2 2
о о \/б -у/Е
2-2 0 0
58.51. Матрица не имеет простую структуру.
"1 0 1 1 "
0 2 10
0-10 2
0 0 0-1
58.53. Матрица не имеет простую структуру.
58.54. Матрица не имеет простую структуру.
58.55. Матрица не имеет простую структуру.
Г 1 1 1 1
1 0 2 ,A = diag(l,2,3).
2 1 2 J
1 9 + 3\/3 9 - 3\/3 1
2 З-у/3 З + л/З , A = diag(2,v/3,-v/3).
13 3 J
13 3 I
1 2 + 2г 2-2г , А = diag(l,2 + Зг, 2 - Зг).
2 5 5 J
58.59. Матрица не имеет простую структуру.
Г 1 1 1]
58.60. Г= 1 1 0 ,A = diag(l,2,2).
L 1 0 -3 J
58.61. Матрица не имеет простую структуру.
58.63. хту ф 0.
58.65. Нет. Указание. Показать, что ранг сопровождающей
матрицы не меньше п — 1.
58.69. Собственные векторы для каждого А&, к = 1,п, имеют вид
58.70. Указание. Достаточно рассмотреть случай, когда а -
собственное значение матрицы А. Пусть его алгебраическая кратность равна
к. Тогда rg(;4 — al) = n — к. Так как характеристический многочлен
матрицы А — aI имеет fc-кратный корень, равный нулю, то в нем коэффициент
при Хк отличен от нуля. Следовательно, среди главных миноров порядка
п — к есть ненулевой.
58.72. ЬтВ = (144 + 629)/5. Указание. Воспользоваться задачей
58.5.
,fl7Q , 3 • 2100 - 2 • З100 2(31ОО-2200
эо.'з. | о/оюо _ 2100) з101 — 2101
218 Ответы и указания к §59
чя 74 Г 4е - 3 2 - 2е ]
58.74. [ 6е _ 6 4 - Зе J •
3 . 2100 — 2 • З100 2(3100 — 2200} 1
58.75. I _з(3100 - 2100) з101-2101 ' Указание-
Воспользоваться задачей 9.696.
58.76. а) 4; б) -8.
58.77. а) При а > -5/4; б) при а ф -5/4; в) при а = (к2 - 5)/4,
keN.
58.79. Указание. Использовать задачу 57.81.
58.80. Указание. Использовать задачу 57.83.
§59
59.5. Нет.
59.8. Указание. Взять в качестве первого столбца матрицы
преобразования собственный вектор-столбец матрицы А.
59.9. Если ei,...,en - базис из собственных векторов оператора Л,
то ненулевые инвариантные подпространства натянуты на всевозможные
подсистемы е^,..., е{к. Число инвариантных подпространств равно 2П.
59.10. Пусть V является прямой суммой собственных подпространств
оператора Л: V = W\ ф ... ф Wp. Тогда любое инвариантное
подпространство L имеет вид L = L\ ф ... ф Lp, где Li - некоторое подпространство в
59.11. а) Все подпространства; б,в) все подпространства вида L =
Mi фМ2, где Mi, М2 - подпространства в Li, L2 соответственно; г) нулевое
подпространство и V2; д) нулевое подпространство, £(а), £х(а) и Уз; е)
все подпространства вида L = М\ ф М2, где М\, М2 - подпространства в
подпространствах симметрических и кососимметрических матриц
соответственно; ж) подпространства М&, к = 0,п, и нулевое подпространство; з,и)
линейная оболочка любого множества одночленов из Мп.
59.12. Кроме тривиальных инвариантных подпространств {в} и V
имеются следующие инвариантные подпространства: а)£((2,-1)т),£((1,-1)т);
б) £((-1,2)т); в) £(а,), С(аг,ак), 1 < г < к < 3, где ai = (0,1,1)т,
а2 = (1,-1,-1)т, а3 = (1,-1,-2)т; г) £(ai), £(a3), £(ai,a2), £(ai,a3),
где ai = (0,1,-1)т, а2 = (1,-1,0)т, а3 = (3,4,-2)т; д) любое
подпространство в £(ai,a2), где а\ = (1,1,0)т, а2 = (2,1,—2)т, и любое
подпространство, содержащее £(а2); е) любое подпространство в £(ai,a2), где
а\ = (1,1,0)т, а2 = (1,0, -1)т, и любое подпространство, содержащее £(аз),
где аз = (2,2,—1)т; ж) £(ai), где а\ = (1,1,1)т, любое подпространство
в £(а2)аз), где а2 = (1,—1,0)т, аз = (0,1,—1)т, подпространства вида
£(ai,a), где a - любой вектор из £(а2,аз); з) £(ai), где а\ = (1,2,3)т,
любое подпространство в £(а2,аз), где а2 = (2,-1,0)т, аз = (3,0,-1)т,
подпространства вида £(ai,a), где a - любой вектор из £(а2,аз).
59.13. Скалярный оператор. Указание. См. задачу 57.51.
59.15. Оператор дифференцирования в Мп.
59.16. Либо V - одномерное комплексное или вещественное
пространство и Л- любой оператор, либо V - двумерное вещественное пространство
и Л - любой оператор с пустым спектром.
59.17. Указание. Найти спектр Л.
Ответы и указания к §59
219
59.19. Указание. Выбрать базис в V так, чтобы ei,... ,е*
образовывали базис L, и, рассмотрев матрицу оператора А в этом базисе,
воспользоваться теоремой 58.3.
59.22. Вообще говоря, нет. При условии, что индуцированный на L
оператор имеет собственное значение 1.
59.26. Указание. Использовать задачу 59.25.
59.29. a) dimL = 2 и А имеет единственное собственное значение
геометрической кратности 1; б) dimV = 2 и А имеет простую структуру или
dim V = 3 и А имеет единственное собственное значение геометрической
кратности 1.
59.31. Указание. Использовать задачу 59.25.
59.32. Требуемые инвариантные подпространства определяются
уравнениями: а) (2а + Щхг - olx2 + /Зх3 = 0 (|а| + \/3\ ф 0); б) х\ - х2 + 2х3 = 0;
в) xi - Х2 = 0; г) xi + 2х2 ± (х3 + 2х4) = 0; д) х\ + х3 ± (х2 + х4) = 0;
е) 2xi + #2 + Зхз 4- х\ — хъ = 0. Указание. Воспользоваться результатами
задач 59.25 и 59.31.
59.35. а) £((0,1,1)т, (2,1,0)т); б) £((1, -1, -1,0)т, (0,0,0,1)т).
59.39. В пункте г) матрица А к треугольному виду не приводится. В
остальных пунктах решение не единственно; если В = S~1AS - требуемый
треугольный вид, то:
а) В =
б) В =
в)В =
д)В =
е)В =
-25
О 5
О О
0 0 0
0 0 1
0 0 0
-1 -1
0 -1
0 0
0 -1
о о
о о
2 0 1
5 =
о
-1
1
-1
1
-1
о
s =
1
5
4
1
2
-3
-2
1
1
0
-1
1 0
-2 1
1 -2
1
-1
0
S =
S =
0
0
1
0
0
1
1
0
-1
о
1
-1
о
о
1
59.40. 2. Если fci,
f ... + *,, j = l~F.
59.41. Lfc = £(ei,.
.., kr - порядки диагональных блоков, то dim Lj =
k =
59.43. Указание. См. задачу 59.42.
59.44. Указание. Использовать задачу 59.43.
59.46. Указание. См. задачу 59.45.
59.47. Указание. Учесть, что если dimV = п, то в G содержится не
более п2 линейно независимых операторов.
59.50. 2. Xi + Aj, I < i < j < п.
59.52. При а = Лгтг, к G Z, оператор Q\L единичный и Л = 1, все
ненулевые матрицы порядка 2 собственные. При а = (7г/2) + тг/г, к е Z,
есть собственное значение Л = 1 с собственной матрицей / для пункта а)
и 1 п для пункта б) и собственное значение Л = — 1 с ненулевыми
L J
собственными матрицами вида i _а Для обоих пунктов. При а ф як/2
220
Ответы и указания к §60
есть собственное значение Л = 1 с собственной матрицей / для пункта а)
и j q для пункта б) и собственное значение Л = cos 2a ± i sin 2a с
собственными матрицами \ ±± — 1 для обоих пунктов.
59.53. 2. Да, может.
59.55. Указание. Пусть Ле\ = в, е\ ф 0, тогда е\ -
собственный вектор и оператора В с некоторым собственным значением Л. Векторы
ei,..., еп такие, что Aek+i = е*, & = 1, п — 1, линейно независимы, причем
Век = (А-Л + 1)е*, к = T~S.
59.56. Существует базис пространства, в котором матрицы обоих
операторов - треугольные одинакового вида.
59.57. Указание. Привести каждую из матриц А и В подобным
преобразованием к верхней треугольной форме.
59.59. п + 1.
59.61. Указание. Рассмотреть индуцированный оператор на каждом
собственном подпространстве.
59.67. Указание. В каждой паре инвариантных подпространств
одно вложено в другое.
§60
60.2. Указание. Рассмотреть образы векторов под действием
операторов (Л — XiT)q и (Л — \il)q~l и учесть, что вектор (Л — \{Т)ч~1х является
собственным.
60.4. Указание. Использовать задачу 60.3.
60.9. Л(Ло). 60.10. [Л(Ао)]т.
60.16. Указание. Воспользоваться тем, что оператор простой
структуры не имеет корневых векторов высоты к > 1.
60.17. Ко = £((0,1, -1)т), Ki = £((1,0,1)Т, (0,1,0)т).
60.18. Кх = Ш3.
60.19. К2=£((2,-1,0,0)т,(1,0,1,0)т,(2,0,0,1)т),
т
60.20. Ж-_1=£((1,1>0>0)г>(0,0,1,1)г)>
^1 = £((3,1,0,0)т,(0,-2,3,1)т).
60.24. ei = (4,3)T
е2 = (0,1)т
60.22. [Jn(X0)]T.
60.25. ei = (l,(
Aj
-и
Aj= 0
О О
60.26.
60.27.
= (-4,-5,6)т, Aj =
е3 = (0,0,1,-1)7',
е4 = (0,0,0,1)т;
1
2
0
0
0
0
2
0
0
0
о •
1
2 .
1
0
0
1
2
0
0
1
.
J
0 1
1
о J
0
1
2
0
0
0
1
2
Ответы и указания к §60
221
Aj =
" 1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0 "
0
0
1
1
60.28. ei = (1,1,1,1,1)' ,
e3 = (ЗЛ0Л1)т, '
e4 = (l,0,0,0,-lf,
е5 = (0,0,0,0, If;
60.29. Jn(-1). 60.30. Jn(l). 60.31. Jn(9). 60.32. Jn(l).
60.33. Л(1). 60.34. Jn(2). 60.35. Jn(a).
60.36. £>j = Jn+i(O), канонический базис 1, £, *2/2!,..., *n/n!.
60.38. Указание. Рассмотреть максимальную высоту корневых
векторов.
60.40. Указание. Сравнить с задачами 59.11, "ж)" и 59.41.
60.41. Указание. Использовать задачи 60.2, д) и 60.40.
60.45.
60.46.
60.47.
60.48.
e2 = (O,l,O,Of,
e3 = (0,0,2,-2f,
е4 = (0,0,1, Of;
е2 = (0,0,1, if, '
e3 = (l,2,l,-lf,
е4 = (1,1,0,0)*;
d = (0,0,13,0f,
e2 = (0,l,0,0f,
e3 = (13,0,0,0f,
e4 = (0,0,0, if;
Aj =
Aj =
e2 = (-2, -3,-1,0,0,0f
e3 = (1,0,0,0,0,0f,
e4 = (0,0,0,1,2,lf,
e5 = (0,0,0,1,1, Of,
ee = (0,0,0,1,0,Of;
60.49. ei = (0,0,0,0,-l,0)T,
e2 = (l,0,0,0,0,0f,
e3 = (0,0,0,-3,0, Of
e4 = (0,l,0,0,0,0)T,
e5 = (0,0,0,0,0,-5f
ee = (0,0,1,0,0, Of;
60.50. Жордановой формой будет матрица diag(Jfc(O), Л(0)),
каноническим базисом, - например, базис
Aj =
1
0
0
0
99
0
0
0
А
А
0
0
0
0
1
1
0
0
1
99
0
0
j —
Г 2
0
0
0
0
. 0
1
0
0
0
0
0
1
0
(
-
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
)9
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
1
0 _
-
•
0 "
0
1
99 _
1
-1
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
-1
0
0
0 -I
0
0
0
1
2 .
0
0
0
1
-1
0
о-
0
0
0
1
-1.
1
1
60.51.
'4! '"■•(2*-2)!
е1 = (2,2,2)т,
2fc-2
1
'■ЗГ'5!'
222
Ответы и указания к §60
60.52.
60.53.
60.54.
60.55.
60.56.
60.57.
е, = (1,-2,1/,
e2 = (l,0,0f,
e2 = (l,0,0,0f,
e« = (0,1,0,6)*;
ei = (l,-7,4,2f,
e2 = (0,0,1, Of,
e3 = (7,l,8,4f, •
e4 = (-1,0,0, Of;
ei = (1,1,1, If,
e2 = (l,0,0,0f,
e3 = (0,1,1, Of, '
e4 = (0,0,1,-if;
ei = (24,0,0,0, Of,
e2 = (5,7,8,0,0f,
e3 = (0,0,0,0,lf,
e4 = (4,6,0,0,0)7',
e5 = (O,O,O,l,Of;
e2 = (o!-'l,Vo,Of,
e3 = (1,1,0,1, if
3
= 1 0
0
Aj =
0
0
0
0
4
0
0
0
1
0
0
0
1
4
0
0
2
0
0
0
0
" -1
0
0
0
0
2
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
-1
0
0
0 1
0
0
1
2
0
0
1
-1
0
e4 = (0,0,0,-1, Of,
e5 = (0,0,0,0,l)r;
60.58. Жордановой формой будет матрица diag(Jfc+i(O),
ническим базисом, - например, базис
1 /2* , 1,з 1,5
' '3! '5! '•"'
0 1
0
О
О
-1
1 U2 U
1
60.59.
60.60.
60.61.
60.62.
60.63.
60.64.
2! '4!
Нет, так как \
ei = (0,0,l)7
ei = 11.1.1)',
e2 = (6,9,9f,
= (6,2,2)^,
= (-2,'2,2f:
• — IV
— Пз = 2 > Пз — 712 = 1,
о о
! rik = 8 -гк.
Aj =
Aj =
Aj =
3
О
О
-1
о
о
1
| 2
О
-3
О
О I
1
О
о
1
-3
-2 1
О -2
О О
Ответы и указания к §60
223
60.65.
60.66.
60.67.
60.69.
60.70.
= (-4,-3,-4)т,
1 1 О
О 1 О
0 0-2
1 1 0
0 1 1
0 0 1
3 0 0
= I 0 -1 1
0 0-1
60.68. ei = (2,2,2,2)T,
ез = (4Л0,0)т,
е4 = (1,0,0,0)т;
е3 = (0,0,1,0)т,
е4 = (0,0,0, if;
ei = (2,l,0,0)T,
е2 = (-21,-10,0,0)т,
ез = (0,0,3,-2)т,
Aj =
110 0
0 10 0
0 0-1 1
0 0 0-1
0 10 0
оооо
0 0-1 О
0 0 0-1
60.71. ei = (l,O,l,l)T,
е2 = (0,3,-3,0)т,
е3 = (0,0,1,0)т,
Aj =
60.72. ei = (0,-1,0,2)т,
е3 = (-1!о!о,7Г,
60.73. ei = (3,3,-3,-3)T,
ез = (-3,'-3,'-3,-3)т,
Aj =
60.74. ei = (2,2,-2,-2)T,
^(oioioli)^! Aj =
60.75. ei = (2,-2,2,-2)т,
-1
0
0
0
0
1
-1
0
0 -2
0
0
Г 1
0
0
_ 0
" 2
0
0
0
1 1
0 1
0 0
0 0
3 1
0 3
0 0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
1
1
0
0
0
3
0
0
0
1
-2
0
0
1
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
0 '
0
0
-2 _
0 "
0
0
0
0
0
-2
0
0
0
1
0
1
-
о 1
0
0
0
0
1
-2
0 0 0-2
224
Ответы и указания к §60
60.76.
60.77.
60.78.
60.79.
е3 = (1,O,O,O,O)T, Aj
е4 = (1,0,0,-1,0)^,
е, = (-4,0,0,3,1)^,
e3 = (o!i,-i!o!o)T! т
ев = (о!о,О>О,1Г;
ei = (24,-12,0,0,0,0)7',
е2 = (6,0,-2,8,-4,0)т,
e4 = (o!o!o!l!o!o)T, '
еь = (3,0, -1,-8,4,0)7",
е6 = (2,0,0,-3,0,1)т;
- = (-2,0,2,0,2,0)т
/п п п п о nw
- -1
=
—
0 -
0
0
0
■ 1
0
0
0
. 0
о
0
0
0
0
. 0
1
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0 1
0
0
1
0 .
0
0
0
0
0
0
0 ч
0
0
0
-1 .
0 1
0
0
0
1
0 .
Aj =
е2 = (0,0,0,0,2,0)т,
ез = (1,0,0,0,0,0)т,
е4 = (0,0,0,3,0,1)т,
е5 = (0,0,0,1,0,0)т,
е6 = (0,1,0,0,0,0)т;
60.80. Указание. Проанализировать матрицу Aj — Ло/, где Aj
жорданова форма оператора Л.
г 2 1 0 0 0 0 п
0 2 10 0 0
0 0 2 0 0 0
0 0 0 2 10
0 0 0 0 2 0
L 0 0 0 0 0 2 J
60.83. Если det.4 ф 0, то 2п—N sj; если det Л = 0, то 2п—у Sj-mp,
i=0 j=O
где mo - алгебраическая кратность нулевого собственного значения.
60.84.
60.86.
60.88.
Г 1
0
0
0
. 0
Г 1
0
0
0
. 0
Г2
0
0
0
0
.0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
-4
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
1
-4
0
0
о 1
0
0
0
-1 .
0
0
0
1
-1
0
0
0
1
-4
-
0
0
0
0
0
0 -4
60.85.
- 5
0
0
0
0
. 0
1
5
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
1
5
0
0
0
0
0
0
13
0
0
0
0
0
0
19
60.87.
110 0 0 0
0 10 0 0 0
0 0 110 0
0 0 0 110
0 0 0 0 11
L 0 0 0 0 0 1 J
60.89.
110 0 0 0
0 110 0 0
0 0 10 0 0
0 0 0 110
0 0 0 0 11
L 0 0 0 0 0 1
Ответы и указания к §60 225
ak Clak~l C2ak~2 C3ak~3 Cn~lak~n~*~1
60.90.
0 ak Clak~l C2ak~2 Qn-2ak-n+2
0 0 ak Clak~l ... C?~3a*-n+3
0 0 0 0 ... ah
при к < n — 1 здесь следует положить Cj? = 1 и С£ = 0 для к < s.
60.91. Указание. Положить А = XI+ Н и в равенстве f(x) = /(А) +
t (x — Л) Н ^j-^ (х — Л) + Л Н J—^ (х — Л)а, где s - степень многочлена
/(ж), взять х = А.
60.92. Jn(a2), где п - порядок жордановой клетки.
60.93. Если А = i/n(0), то жорданова форма матрицы А2 состоит из
двух клеток: Jn/2(0), Л/г(О) при четном п и J(n_1)/2(0), J(n+i)/2(0) при
нечетном п.
60.94. Каждая клетка заменится на транспонированную, а сами клетки
будут стоять на диагонали в обратном порядке.
60.95. Диагональные элементы Ai,..., An в жордановой форме
оператора Л заменятся на: a) Ai - Ао,..., Ап - Ао; б) 1/Ai,..., 1/Ап.
60.96. Жорданова форма содержит две клетки: Jn/2(a)1 Jn/2{<x) при
четном п и J(n_!)/2(a), J(n_|_i)/2(Q;) при нечетном п.
60.97. Указание. Использовать задачу 60.91.
60.100. Указание. Учесть, что для жордановой формы A j оператора
Л выполнено соотношение Aj = /.
60.101. См. указание к предыдущей задаче.
60.102. Диагональная матрица с диагональными элементами, равными
нулю или единице,
60.103. Jn+i(0).
60.104. Жордановы формы всех операторов совпадают и состоят из
трех клеток 7з(0).
60.105. Указание. Учесть, что в характеристическом
многочлене оператора Л свободный член отличен от нуля, и применить теорему
Гамильтона-Кэли.
60.106. Указание. Воспользоваться задачей 60.91.
60.107. Жорданова форма - квазидиагональная матрица с
диагональными клетками первого порядка, равными 0 и 1, и второго порядка, равными
J2(0).
60.108. Указание. Воспользоваться задачей 60.106.
60.110. Никакие две из матриц А, В и С не являются подобными.
60.111. А и С подобны между собой и не подобны В.
60.112. А и В подобны между собой и не подобны С.
60.114. Если А - собственное значение оператора Л, отличное от ±1,
то 1/А - также собственное значение, причем к обоим относится одинаковое
число жордановых клеток с соответственно равными порядками.
60.116. Указание. Пусть Ai,...,Afc - различные собственные
значения матрицы А алгебраических кратностей Ш1,...,т*. Тогда tv(Ap) =
miX^ + ... + rafcA£ = 0, р = 1, к. Рассмотреть систему этих соотношений
относительно переменных mi,..., m*.
60.119. Напишем квазидиагональную матрицу порядка ran, у которой
на диагонали тп раз повторен матрица J. Тогда жорданова форма
соответственно матриц A <g> В и A <g> In + /m ® В получается так: а) для каждого
226
Ответы и указания к §6J
собственного значения А» матрицы А, не равного нулю, умножаем
диагональные элементы г-й клетки J на А*; если же А* = 0, то соответствующую
клетку J заменяем нулевой матрицей; б) ко всем диагональным элементам
г-й клетки J прибавляем А,.
60.120. Если a - первообразный корень n-й степени из единицы и
г = ^/ё, то жорданова форма будет диагональной матрицей вида
diag(l + г, 1 + га, 1 + га2,..., 1 + га""1).
§61
61.5. а)
г) у-
б) у - ]Г(у,е.,)е.,; в)
^ - у;
61.6. a) y-
61.7.
б) у-
61.8.
61.9.
а) 15
1
-1
1
-1
2
0
-1
-1
а)15
-1
-1
1
-1
1
0
-2
-2
а)4
5
-3
-1
0
" 4
6
-2
2
-1
6
9
-3
3
>
-3
1
-1
1 -1 1
1 -1
-1
1
0 -1
3 0
0 2
0 -1
" -7
12
-4
4
-1
-1 -
-1
1
0 -2
3 0
0 1
0 -2
3
-1
-1
-1
3
1
-1
0
-1
2
12
3
-6
6
1 -
1
1
1
-2
0
-2
1
-1
3
-1
-1
-3 -1
2
0
-1
1
1
3
-4
-6
-13
-2
1 '
1
1
1
■
ч
>
-1
-1
3
-1
0 1
0 -1
2
3
3
5
5
2
3
-1
1 __
5
1
2
1
42
4 "
6
-2
-13
г)
1
2Т
-1 1
-1
-1
3 _
1
1
Ii
" 1 0
0 1
0 1
1 0
6
6
12
-6
; б)
3 0
0 0
0 1
1 0
-15
6
12
-6
-v 1
б) 12
Г 1
2
-1
2
)
" 1
2
1
-2 -
0 1 "
1 0
1 0
0 1
6 12
41 -2
-2 38
1 2
1
5
" -4
2
1
-2
0 "l 1
1 0
0 0
0 0
j
6 12
20 -2
-2 17
1 2
1 -
-1
-3
2
1
4 2
2 1
-4 -2
-6 "
1
2
41
2 1
-1 2
2 -4
-4 -2
-6 "
1
2
20
1 -3
7 3
3 9
-1 -5 3
2 -1
4 -2
-2 1
4
-2
2
4
-2
4
-2
-4
-2
4
-2
-4
-2
-1
-1 '
-5
3
7
Ответы и указания к §61
227
61.10. a) i
1 -1 -1 -1
-1 1 -1 -1
-1 -1 1 -1
-1 -1 -1 1
3-6-2 0 1
-6 -3 0 -2
-2 0-3 6
0-263
-5 -1 -3 -1
-113-5
-3333
-4
2
-1
2
-1 -5
2-1 2
-1 -2 4
-2 -4 -2
4 -2 -1
1
61.11. а)
Л,Ы"
(fk,9k)J
61.13. Указание. Рассмотреть действие линейного функционала на
произвольном ортонормированном базисе пространства V.
61.14. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
61.19. а) X; б) если А = аХ, то А* = аХ; в) Л* = А] г) так как
А = аХ, то Л* = аХ.
61.20. ЕслиЛ = (11а6((е1,е1),...,(еп,еп)),то(Л*)е = Л-1^Л.
Равенство {Л*)е — А^ выполнено, если |ei| = ... = |еп|.
61.21. Л - скалярный оператор.
61.24. Поворот на угол а в противоположном направлении.
61.25. Л* = -Л
61.26.
/*(а)=аЛ; б) /*(а) = а
61.27. а) А*х = Втх\ б) А*х = Внх.
61.28. а) Т*Х=АТХ (Т*Х=АНX); б)
в) С*Х = [АТ,Х] {С*Х = [АН,Х]).
61.29. A*p(t)
•I
•/а
K(s,t)p(s)ds.
61.31. А* = А в обоих пунктах.
61.32. А* - оператор проектирования на биссектрису второй и
четвертой четверти параллельно оси Оу.
61.33. А* - оператор проектирования на плоскость :
лельно оси Oz.
-36
30
— 0
парал61.34.
61.36.
-? 4 ]■
«•»•
26
-37
30
27
-15
14
9
-2
-1
2
61.37. а)
г 2 2
" [ 1 -2
8 L 12
61.38. а)
-2
3
2 0
0
-1
_!]; б) [
Д)
0
2
-4
51
-2
0
-11
49
-2 15 1
_! 7 J;
-3
5
1
-1
6
Г 2-г
■> [.",
•> 14 -i
]■•>[
1 + г
1-г
-1+г
2
1
1
4
1
-1
г
е)
в)
-2
2
2
4-г
1 + 2г
0
-2 + 4г
2-г
2
-2
2
3
-5
3
+ 9г 1.
— 4г J'
228
Ответы и указания к §61
г
г)
L -
61.39.
61.40.
61.41.
61.42.
61.46.
61.48.
Г 6
г) -3
2
1
0
-1
а)
а)
а)
а)
-3
2
-2
[ '
1
2
-
Г °
1
о
10
-4
-1
-7 (
3 ]
0
6
0
0
3/2
0
0
0
2
1
J
) 1
L J;
-5
0
15
-4
0
6
0
0
0
Указание. ]
а)
9
-5
2
[.
(
-]
Ло
) 1
L •
2 1
6 J
Г
д)
[
б) [
о i
2
о J
°1
1
1
1'
1 -1
1 0
5 -3
_;
б) о
2
4
' -1
0
-1
11
1 ;
3 J
~з ]•
г 0 0
6 0
. 0 5
Г "6
-16
L -2
1/2
0
-1/2
е)
0 ]
0 ;
0 J
1
11
—г
2-
-5
1 + 4г
в)
2 1
0 16 |
1
П
0
-1J
Воспользоваться задачей
L5
[i
6 J
;в)
-Зг
-4г
2
-3
-5/2
Юг 1
20 .
-4 + 5г J
1 2
0 5/2
-2 -1 3
■
в)
Го
1
о
61.28.
3 3
4 5
-2 0
0
3/2
0
2/3
0
2/3
5
-2 0
0 3/2
2 0
°1
Ч
61.53. Указание. Учесть, что im(А + В) С imА + im#, и показать,
что im Л С im(A + B) и im# С \тп(А + В). Для доказательства второй части
утверждения перейти к ортогональным дополнениям в равенстве \тЛ* +
imB* =im(A*+B*).
61.54. a) kerD* = £(t2), imX>* = £(*,*2); б) кег£>ф = £(3*2-2), imX>* =
C(t,3t2 - 2); в) кег£>ф = £(3*2 - 1), imD* = £(*,3*2 - 1).
61.55. Нулевое подпространство и подпространства C(tk, £fc+1,..., tn),
k = 07n.
= 0; в) 3xi + x2 - 2x3 = 0;
61.56. a)2^/(fc) = 0; б) / f(t)dt = O
k=o J-1
61.57. a) xi + х2 + хз = 0; б) xi - х2 + \
г) 4xi + Х2 — Зхз = 0; д) 3xi + 5хг + бхз = 0.
61.62. в) Такого базиса нет. В остальных пунктах базис и матрица
определены неоднозначно. Ими будут, например, векторы с указанными
координатными столбцами (относительно исходного базиса) и соответственно
матрицы:
2 -у/3/2
0 2
0 0 2
0 27/л/14 -65Л/42]
0 0 14/л/З ;
0 0 0 J
a) -L(
г) (1,0,0)2
^(0,1,1)'
4(o,i,-i)T,
З/л/2
1
-1
Ответы и указания к §62
229
т 1 т 1 т Г 2 4/л/З 8/л/б
,1)т, -р(1,-2,-1)т, -—(1,1,-1)т I о -2 ->/2
ml V6 \/3 [ О О 2
61.63. Кроме приведенных в ответе к пункту д) предыдущей задачи:
«>4
-L(
-L(
V6
-L(
75(
2
о
0
-2
0
0
4/ч/3
2
0
4/л/З
2
0
8/л/б 1
х/2 и
"2 J
7Л/6]
3/\/2 , а также
2
J
базисы, получаемые из любого приведенного выше домножением некоторых
векторов на множитель —1, и соответствующим образом измененные
матрицы.
61.64. а)
б) -L, ±
И
в) -L, У|,, У|(
61.65. Указание. Использовать существование общего собственного
вектора у операторов Л* и В* и, следовательно, общего инвариантного
подпространства размерности п — 1 у операторов ДиБ (здесь п - размерность
пространства).
61.67. Собственные значения оператора Л* комплексно сопряжены к
собственным значениям оператора Л.
61.71. Жорданова форма оператора Л* получается из жордановой
формы оператора А заменой диагональных элементов сопряженными
комплексными числами.
61.72. Канонический базис для V составляют, например, многочлены
2,2£,£2. Канонический базис для V* - многочлены £2,£/2,1/2.
§62
62.15. Указание. Использовать задачу 61.45.
62.19. Указание. Показать, что корневые подпространства
оператора Л совпадают с его собственными подпространствами и попарно
ортогональны.
62.26. е1 = -^
62.27.
= |(2,1, -2)т, е2 =
ез =
3\/Ш
62.28. ei = -4=(1,
+ Зг,2-6г,5)
,-1)т, е2 = -L(
- Зг, 2 + 6г, 5)
е3 =
62.29. А = (7Л(7Я, Л = diag(2,-2,2t,-2t), С/ =
1
V2
1
\/2
0
0
1
1
"75
1
2
1
~2
г
2
г
2
1 -
1см
1
2
г
~2
г
~2_
230 Ответы и указания к §62
62.30. Нет, неверно.
62.31. Указание. Использовать задачи 57.28 и 62.30.
62.32. Да, верно.
62.33. Да, может, если геометрическая кратность хотя бы одного
собственного значения больше единицы.
62.34. Нет. 62.35. Можно, только если a = 0.
62.37. Если х = (ai,a2,a3), у = (01,0^0з), то положить (х,у) =
ai(0i + 02 + 0з) + OL20\ + 2a202 + 2a203 + a30i + 2а302 + ЗазДз-
62.38. Нормальными являются операторы пунктов б),в),г). Если f(t) =
а0 + ait + ait2 + a3t3, g(t) = 0O + 0it + 0it2 + /?3*3, то:
6) (/,$) = i(4aoA) + 2aiA + 2a2Po + 3a3/90 + 2aoft + 2ao02
2ai/92 + 3ai/93 + 2a20i + 6a2/?2 + 9a2/?3 + 3a3ft + 9a3/?2 + f
B) •(/, 0) = оюД) + a0 A + 2ao02
/3 4a2/?i + 9a2/92 + 27a2/93
r) (/, g) = aoA - aoft + cto02 - ао0з - <*\0о + 2aiA - 3ai/92 + 4ai/?3
9 3? 69 109 0 49 ЮД 20?
62.39. Указание. Построить многочлен f(t) так, чтобы для каждого
собственного значения Xj оператора Л выполнялось условие f{\j) = \j.
62.41. Указание. Проанализировать собственные значения
оператора Л.
62.42. Указание. Использовать предыдущую задачу.
62.45. Указание. Использовать предыдущую задачу.
62.49. Указание. Использовать задачу 61.65.
62.51. ei = ^(1,-2,1)Г, е2 = -L(l,0,-l)T, е3 = -L(1,1,1)T.
62.53. Указание. Показать, что А*В, В*Л, АВ*, #Л* - нулевые
операторы.
62.54. Указание. Пусть Л имеет простые и различные по модулю
собственные значения, и пусть ei,..., еп - ортонормированный базис из
соответствующих собственных векторов. Пользуясь нормальностью матриц
АеВе и Ве, показать, что Ве - диагональная матрица.
62.55. Указание. Рассуждая так же, как и в доказательстве
предыдущей задачи, показать, что матрица Ве квазидиагональная, причем ее
диагональные клетки порядка, большего 1, соответствуют кратным
собственным значениям оператора А.
62.57. Указание. Использовать теорему Шура и тот факт, что
нормальная матрица унитарно подобна диагональной.
62.58. Указание. Воспользоваться результатом предыдущей
задачи.
62.59. Указание. Воспользоваться критерием, установленным в
задаче 62.57.
62.60. Эти векторы суть собственные векторы оператора Л,
отвечающие собственным значениям с максимальным модулем. Указание.
Разложить вектор х по ортонормированному базису из собственных векторов
оператора А.
Ответы и указания к §63 231
62.61. Указание. Применить результат предыдущей задачи: а) к
вектору с координатным столбцом (1,...,1)т; б) к векторам с единичными
координатными столбцами.
62.62. Нет. Например, для унитарного оператора А отношение | Лх|/|ж|
равно единице для любого ненулевого вектора х.
§63
63.2. а) Да; б) нет. 63.3. Да.
63.5. Операторы умножения на число а: \а\ = 1.
63.6. а), в), г), д) Да; е) да, только если п = 0; ж) да, только если
АТА = 1 (АНА = 1)\ з) да, только если ВВТ = 1 (ВВН =/); б) нет.
63.7. Указание. Рассмотреть матрицу оператора А в ортонормиро-
ванном базисе из собственных векторов и использовать тот факт, что через
точки Ai, A2, A3 комплексной плоскости можно провести окружность.
63.8. Только если это единичный оператор.
63.10. а) Собственное подпространство для А = 1 - это
подпространство всех четных многочленов, а собственное подпространство для А = — 1 -
соответственно всех нечетных многочленов; б) собственное подпространство
для А = 1 натянуто на многочлены tn + 1, tn~l + £2,..., собственное
подпространство для А = — 1 - соответственно на многочлены tn — I, tn~l — £2,
63.11. Указание. Проанализировать спектр оператора Л.
63.13. а), б), д), е), з) Нет; в), г), ж) да.
63.14. а), б), е) Нет; в), г), д) да.
63.15. а), в), г) Да; б) нет. _
63.16. а) АТГА = Г; б) АНГА = Г. Если базис ортонормированный,
то: а) АТА = /; б) Ан А = I.
63.18. а), г), д), ж) Нет; б), в), е) да.
63.19. а) Нет; б), в), г) да.
63.20. Указание. Воспользоваться задачей 63.17.
63.22. Указание. Учесть, что если z - корень многочлена р(А), то
~z = \jz - тоже его корень.
63.25. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
63.30. Да. 63.31. а), в), д) Да; б), г) нет.
63.32. Указание. Пусть е\,...,еп - ортонормированный базис.
Показать, что векторы Aei,..., Аеп имеют одинаковую длину.
63.33. Указание. Для Vz,у,z Е V, Va,/3 G Р установить тождество
(А(ах + /Зу) - аАх - /ЗАу, Az) = 0.
63.34. Да во всех пунктах.
63.35. а), в) Нет собственных векторов;
б) Ai = -1, А2 = 1, /i = с(-1,1 + \/2)т, /2 = с(1 + \/2,1)т, где с =
(4 + 2N/2)"1/2;
г) Ai = -1, А2 = 1, /i = ~=(1, -2)т, /2 = -~(2,1)т;
д) при а ф /стг, к € Z, нет собственных векторов; при а = 0: Ai = A2 =
1; при а = тг: Ai = A2 = 1, любой ортонормированный базис - базис из
собственных векторов;
е) Ai = -1, А2 = 1, /i = (sin|,-cos|)T, /2 = (cos |,sin |)T;
232 Ответы и указания к §63
з) Ai = -1, А2 = Аз = 1, /i = 4=(1,-1,1)г, /2 = 4=(1,1,0)г> /з =
V3 V2
и), k)Ai = 1,/i = -J=(l,l,O)T;
л) Ai = -1, h = ^=(
м) A! = -1, A2 = 1, /i = i(l, -1,1, -1)T, h = 5(1,1,1, if;
h) Ai = -1, A2 = A3 = A4 = 1, /1 = i(-l,l,l,-l)T, /2 = -^(l.O.l.O)7",
/3 = i(l,l,-l,-l)T, /4 = -^(0,1,0, if.
i 1£ ^ ^
63.36. a) A, = i±i, A2 = 1£, Л = -^(1,-0', Л = ^(МГ;
. 4 + Зг 4-3 . 1 (л лТ , 1 м .чТ
б) Ai = -у-, А2 = -^-, Л = -^(1,0 , Л = -^(1,-0 5
в) Ai = cosa + isina, A2 = cos а — г sin а, /1 = —р(1, — г) , /г = —^=(1, г) ;
г) Ai = t, A2 = -t, /1 = с(г(1 + ч/2),1)т, /2 = с(1,г(1 + \/2))т, где
(4 + 2ч/2)"1/2;
д) Ai = 1, А2 = i, h = ±(i - 1,1)т, /2 = i(l, I + if;
\ \ 1 \ -1 + гУЗ -1-гЛ 1 т
е) Ai = 1, А2 = , Аз = , /i = -^=(1,1,1) , /2 =
\ х 1х 1+г2\/2 1 — 1"2л/2 , 1 м , пчт л
ж) Ai = 1, А2 = , Аз = , /i = -^=(1,1,0) , /2 =
1(1,-1,г ^
\х 1\ -1 + »>/3 ч -1 - г\/3 1 т
з) Ai = 1, А2 = , Аз = , /i = -^=(1,1,0) , /2 =
_L
i(l,-l,u/2)^/3 = i(l,-l,-n/2);
и) Al = -1, А2 = 1+^!, Аз = ^J^Z,
/2 = —7=L==(1 + v^ - г(л/7 + л/14),3 + 2v^2 + гл/7,2^)т, /3 = /2";
2^/7(2 + ^/3)
к) Ai = 1, А2 = ^!, А3 = -А2, h = -^(1,г,0)т, /2 = 1(1,-,-,-^)т,
/з = 1(1,-г',^Г;
л) Ai = -А2 = 1, Аз = -А4 = t, /i = i(l, 1,1,1)т, /2 = i(l, -1,1, -1)т,
Ответы и указания к §63
233
/з = Ul,-i,-l,if, U = l(l,i,-l,-if.
z z
63.38. Подпространство L натянуто на векторы: а) (1 4- \/2,1)т;
б) (2,1)г; в) (cos(a/2),sin(a/2))r;r) (1,1,0)г, (1,-1, 2)г; д) (1,1,1,1)г.
63.39. Если f(t) = a0 4- ait 4- a2£2, #(*) = &о 4- bit 4- b2t2, то (/,#) =
63.41. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
63.42. а), в) Любой ортонормированный базис. В остальных пунктах
канонические базисы и соответствующие матрицы определены
неоднозначно; ими будут, например, векторы со следующими координатными
столбцами и матрицы:
р
г) ^
V3
■!
(1 + х/2,3 + 2\/2,2\/2)т,
(
з) -(1,-1,1,-
-10 0 0
0 10 0
0 0 0-1
0 0 1 0
H)i(i,i,i,-i;
diag(l, 1,1,-1);
к) ^(1,1,0,0]
10 0 0
0-1 0 0
0 0 0 1
0 0-10
63.43. Указание. Показать, что такая матрица подобна матрице
diag(cos а 4- г sin a, cos а - г sin а), которая, в свою очередь, подобна матрице
Г cos a —sin а 1
[ sin а cos а J'
63.44. Указание. Проанализировать спектр оператора Л.
63.45. Указание. 1. Предположить противное: существуют такие
векторы е\ и е2 (|ei| = 1), что Aei = Aei и Ле2 = \e2+ei. Рассмотреть образ
1(1,1,-1
-L(
, -L(
, -L(
234 Ответы и указания к §64
вектора х = б2 — (ei,e2)ei и прийти к противоречию. 2. Предположить
противное: существует неортогональная пара векторов х и у таких, что
Лх = Лж, Лу = /iy, где Л ф /i. Пусть число а Е С выбрано так, что
Re[(A/J- 1)(ах,у)] > 0. Показать тогда, что \А{ах + у)\2 - \ах + у\2 > 0.
63.49. Длина вектора w должна быть равна единице.
63.50. Указание. Показать, что Я2 = /.
63.51. а) Простому собственному значению Л = — 1 отвечают
собственные векторы, коллинеарные вектору w; собственными векторами,
отвечающими собственному значению Л = 1, являются все ненулевые векторы,
ортогональные w\ б) определитель равен единице.
63.53. w = (-sin ^,cos-)T.
63.54. Выбрать w = ?(х — fcei), где к - любое число, удовлетво-
\х - kei\
ряющее условию |А;| = |х|.
63.55. По данной матрице А порядка п выберем, в соответствии с
предыдущей задачей, матрицу Hi так, чтобы матрица А\ = Hi А имела
А \ к "I 1 Л 1 П
вид Ai = j \i гДе Ai - подматрица порядка п — 1. Строим теперь
матрицу if2 вида if2 = diag(l,if2), где if2 - матрица отражения порядка
п — 1, выбранная так, что в матрице НчА\ все поддиагональные элементы
первого столбца равны нулю. Тогда у матрицы HiHiA первые два столбца
совпадают сохтолбцами треугольной матрицы. Продолжая таким образом,
после п — 1 шагов получим верхнюю треугольную матрицу.
§64
64.2. Нет.
64.8. В унитарном пространстве это операторы умножения на
действительное число. В одномерном евклидовом пространстве все линейные
операторы являются симметричными.
64.9. Указание. Векторы х и у выбрать в качестве базиса
пространства.
64.11. Да. Указание. Показать, что (fi,gj) = (gi,fj) Vt Ф j.
64.14. Оператор А либо равен ±Х, либо задает ортогональное
отражение.
64.15. б,г) Да; а,в) нет.
64.16. в,е) Да; остальные - нет. 64.17. Да.
64.18. a) ei = -^(1,-1)т, е2 = 4f(M)T; Ae = diag(0,4);
б) ei = 4г(2М)Т, е2 = 4=(^-2)Т; Ае = diag(0,5);
в) ei = |(2,2,1)т, е2 = |(2, -1, -2)т, е3 = |(1, -2, 2)т; Ае = diag(9,18,9);
г) ei = -^=(1,1,0)т, е2 = ^(1,-1,-4)т, е3 = ^(2,-2,1)т; Ае =
diag(9,9,27).
64.19. UTAU = D, где:
Ответы и указания к §65
235
= diag(5,-l)> U =
А
у/3 \/б
D = diag(2,8),C/=-^[2_-1l 2\{
64.22.
64.23.
64.24. ^
! Г 1 1 0 1
,4), U=— \ -г г 0 I
V2 [ О О n/2 J
а) АТГ = ГА; б) АЯГ = ГА.
а,е,ж) Не является; в остальных пунктах - является.
1 Г 17 5 -1
1 ' 5 -7 5
-1 5 17
Указание. Найти многочлен /з(£), орто-
тональный многочленам fi(t) = 2 + It — t2 и /г(£) = 2 - t + 2t2 и имеющий
ту же длину. После этого построить матрицу оператора в ортогональном
базисе/i(0, /2(0, /з(О-
64.25. Л - оператор умножения на действительное число.
64.40. Нет. Указание. В унитарном пространстве для любых двух
векторов х, у преобразовать равенства (Л(х + у), х + у) = 0 и (Л(ж 4- гу), х +
гу) = 0. В евклидовом пространстве - см. предыдущую задачу.
64.46. Указание. Воспользоваться результатом предыдущей
задачи.
64.48. (A2 + l)*, keN.
64.49. Указание. Использовать результат задачи 57.70.
64.50. Указание. Использовать результат задачи 57.71.
64.53. Указание. Согласно задаче 64.51 k-й единичный столбец
является собственным вектором, отвечающим собственному значению Ль
64.56. Указание. Без ограничения общности будем считать, что
подматрица #n-i расположена в левом верхнем углу матрицы Я. Пусть
ei,...,en-i - ортонормированный базис из собственных векторов
матрицы Hn-i, отвечающих собственным значениям /zi,... ,/in-i соответственно,
причем /ii > /22 > ... > /in-i- Согласно задаче 64.52:
где Lk = £(е1,...,е*), Мп-к = £(efc,... ,en-i). Если каждому (п - 1)-
мерному вектор-столбцу у поставить в соответствие вектор-столбец х =
у I (Hn-iy,y) (Ях,х)
п то = 1
[у I
и J
то
(У,У)
Подпространствам Ьк и Мп-к будут соот-
(У,У) (,)
ветствовать в n-мерном пространстве подпространства Lk и МП_А; той же
размерности, и в силу теоремы Куранта-Фишера имеем:
§65
65.1. Нет. 65.12. ?{ = а
65.14. Указание. Рассмотреть величину хтАх для вектор-столбцов
х, у которых отличны от нуля лишь компоненты с номерами, совпадающи-
236 Ответы и указания к §65
ми с номерами строк (столбцов), в которых расположена главная
подматрица.
65.16. Указание. Воспользоваться задачей 64.56.
65.22. Матрица не является знакоопределенной.
65.23. Матрица положительно определена.
65.24. Матрица положительно определена.
65.25. Матрица является неотрицательно определенной.
65.26. Матрица является неотрицательно определенной.
65.30. Указание. Пусть а** = 0 и a,kj Ф 0. Для вектор-столбца
х, у которого к-я и j-я компоненты равны Хк и Xj соответственно, а все
остальные - равны нулю, выписать выражение хтАх и взять в нем Хк =
\cikjXj, где Xj ф О фиксировано, a A G М произвольно.
65.31. Указание. Использовать задачу 65.15.
65.32. Указание. Использовать критерий задачи 65.7.
65.34. Указание. Воспользоваться формулами Виета.
65.36. Указание. Использовать задачи 64.29 и 59.57.
65.37. Оператор Л - единичный.
65.38. Указание. Рассмотреть ортонормированный базис ei,... ,е„,
в котором матрица оператора диагональна: Ае = diag(Ai,..., Ап), причем
все \к > 0, и переписать требуемое неравенство, используя координаты
векторов х и у в этом базисе.
65.42. Указание. Показать, что если А = ВНВ, то А~1/2ВН ВА~1/2 =
I. Вывести отсюда, что В = UA1^2 для некоторой унитарной матрицы U.
1 Г 3 -1 1 1 Г 4 1 1-1
65.43. -L 1 k\- 65-44- 4 М- 4 1 •
\/2 L -1 3 J 3 [ 1 1 4 J
14
2
-4
2
17
2
-4 1
2 •
14 J
65.46.
_
2
65.45. - I 2 17 2 1. 65.46. - j j j j
3 I _4 9 14 I 1111
65.47. Указание. Способ 1. Воспользоваться результатами задач
65.39 и 65.40. Способ 2. Пусть D = diag(af11,... ,a^). Тогда требуемое
неравенство равносильно неравенству det(D1/2HD1/2) < 1, и поэтому
достаточно рассмотреть матрицу if, все диагональные элементы которой
равны 1. Если Ai,...,An - ее собственные значения, то detif = П£=1 А* <
(iE:.ir ()
65.49. Указание. Воспользоваться результатом задачи 62.49.
65.50. Указание. Использовать определение неотрицательной
определенности оператора.
65.51. Указание. Рассмотреть собственные значения оператора И.
65.52. Указание. Перейти к неравенству X < И2 'Hi'H^ и вос"
пользоваться предыдущей задачей.
65.53. Указание. Записать требуемое неравенство в ортонормиро-
ванном базисе из собственных векторов оператора Л.
65.55. Указание. Использовать положительную определенность one-
ратора A-l/2HA~l/2.
65.57. Указание. Воспользоваться результатом задай 62.49.
65.58. Указание. Использовать задачу 65.49.
65.59. Указание. Показать, что оператор /Н\/Н2 имеет те же
собственные значения, что и эрмитов оператор 7i2 ^1^
Ответы и указания к §66 237
65.62. В-1 Л.
65.68. Указание. В силу задачи 65.67 существует невырожденная
матрица S: SH AS = diag(Ai,..., Л„) = Л, SHBS = I. Поэтому SH(aA +
(1-а)В)5 = аЛ + (1-а)7, откуда \aA + (l-a)B\ = \В\Цпк=1{а\к + 1-а) >
\В\.\А\а.
65.69. Указание. В силу задачи 65.67 существует невырожденная
матрица S: SHAS = /, SHBS = diag(Ai,..., An), где Хк > 0 Vfc. Поэтому
2l \ 2
65.70. Указание. Матрицы Ац и А22 положительно определены и
detA = detAn • det(A22 - A^A^Au). Так как матрица А^А^Ап
положительно определена, то можно воспользоваться неравенством из задачи
65.69.
65.71. Указание. Пусть Г = * -A\iAu Матрица ТнAT =
\ г? л ли л~1 а положительно определена, поэтому А (г i4j"11i4i2> О.
L \J /122 -^12-^11 -^ 12 J
Следовательно, в силу неравенства задачи 65.69 det^i^n^is) <det УЬг-
65.72. Указание. См. указание к задаче 65.69.
65.73. Указание. Умножая обе части неравенства слева и справа
на (deti4~1/2)1/n, показать, что без ограничения общности можно считать,
что А = /. После этого переписать неравенство, используя собственные
значения матрицы В.
§66
66.1. В алгебраическую форму записи комплексного числа.
66.2. Л = О. 66.3. а) Л = #; б) Л = В*.
66.7. а) Она косоэрмитова; б) она эрмитова.
66.9. Если Л = 11+К, - эрмитово разложение оператора Л, то эрмитово
разложение оператора А* имеет вид Л* = И — /С.
66.12. Указание. Использовать существование ортонормированного
базиса из общих собственных векторов операторов А и В.
66.17. Когда оператор Л эрмитов. Указание. См. задачу 65.72.
66.19. Л - кососимметрический оператор.
66.22. Если pi,..., рг - сингулярные числа оператора Л, то: а) у Л* те
же сингулярные числа; б) аЛ имеет сингулярные числа |a|pi,..., |а|рг.
66.26. Сингулярные числа оператора Л~1 обратны сингулярным
числам оператора Л.
66.29. п, п-1,..., 2, 1, 0.
66.30. 2>/3, у/Щ, 0.
66.35. a) AT = VTAUT; б) Ан =VHAUH; в) A~l = (PV)HPA~lP{UP)H,
где матрица Р получена из единичной матрицы перестановкой ее строк в
обратном порядке.
66.36. Указание. Достаточно рассмотреть случай га > п. Пусть
А = UAV - сингулярное разложение матрицы А. Представить матрицы Л
и U в блочном виде: Л = [ q j, где S = diag((7i,...,c7n), О G C(m"n)Xn;
U = [Ui U2 ], где Ui e Cmxn, U2 e Cmx(m"n) и положить U = Ui/y/2,
238
Ответы и указания к §66
V = V/\/2. Тогда матрица W = \ ~н ~н 2 будет унитарной, и
вы-
равенство
S О
О -S
о о
66.37. Неверно. Указание. Рассмотреть матрицы А = q п и
В =
о 1
66.39. Единственное сингулярное число равно (tr AAT)1^2.
66.42. Указание. Воспользоваться задачей 66.40.
66.43. Указание. Воспользоваться задачей 66.40.
66.44. Указание. Пусть А = UAV - сингулярное разложение
матрицы А. Тогда
tv(AW) = tv(UAVW) = tv(AVWU) = tr(AZ),
где Z = VWU вместе с W пробегает все множество унитарных матриц.
Очевидно, что | tr(AZ)| < р\ +... + рп- Равенство здесь достигается,
например, при Z = I.
66.45. В тригонометрическую форму записи комплексного числа.
66.46. Указание. Показать, что И = (АА*)1/2.
66.47. Указание. Учесть, что если А = HU - полярное разложение,
„п л л* _ п/2 д* л _ ]j*qj^]j
1 \J ^Л.УЛ. — JL , S\ S\ — LA TV, LA •
66.49. Указание. См. указание к задаче 66.47.
66.50. Для А < О: U = -A, U = -X.
66.51. В естественном базисе е пространства Мп:
0 1 0 ... 0 1
Не =
66.52. tf =
66.53. Н =
66.54. Я =
66.55. Я =
66.56. Я =
66.57. Н =
66.58. Я =
Ue =
5
-5
оо
1—11—1
25
10
-5
5
10
25
оо
1—11—1
],</=[3/5
0 0 1
о
о
±1
о о
о о
4/5
-4/5 ]
4/5
3/5
4/5
3/5
4/5
3/5
-4/5 ]
15
5
0
5
0
0
5
15
0
0
10
5
0
0
10
0
5
10
U =
10 -5 0
-5 10 0
0 0 5
2уД у/г 0
у/г 3\/2 0
0 0 5
-4/5 1
3/5 J-
10 0
0 3/5 -4/5
0 4/5 3/5
3/5 -4/5 0
4/5 3/5 0
0 0-1
' 1 0 0
0 3/5 4/5
0 -4/5 3/5
Г 0 l/v/2 -l/v/2
= 0 l/v/2 l/v/2
/
0
1
0
Ответы и указания к §67
239
66.59. Н =
66.60. Н =
3 3 3 1 т Г 2 1 2
3 3 3 I t/ = - -2 2 1
3 3 9 J 3 [ i 2 -2
Г 2 2 2 О
2 2 2 0
2 2 6 0
0 0 0 2
1
2
1
1
1
1
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
-1
1
1
-1
66.61. Если Zk = TfcUfc, где Uk = cos</?fc + isin^, - тригонометрическая
форма записи диагональных элементов, то А = НU, Н = diag(ri,... ,гп),
66.65. Указание. Пусть А = РЛР"1, где Р-диагональная матрица,
и Р = KU - полярное разложение матрицы Р. Тогда выполнено равенство
А = (KUKUHK)(K-1)2.
§67
67 1 1И 1 1- 2) [ 1 ° 1. з^ Г ° Х 1 - 4^ Г 2 -1 I-
Of.!. L) [ 1 J, L) I q q j, 6) I _j q J , 4j I _j _^ |,
0 10 1 г 0 1 -3
0 0
3 0 i
9) A = (a,ij) G MnXn, все элементы равны нулю, кроме элементов
побочной диагонали, равных единице;
10) А = (dij) e RnXn, uij = 1 при \i - j\ < 1, остальные элементы
нулевые;
11) А = (aij) G MnXn, aij = 1 при г — j < 2, остальные элементы
нулевые.
67.2. 1) х\; 2) х\; 4) 2х\ - Ъх\ - 2ххх2\
п
1=1
к к
9) при п = 2к + 1: х^+1 + 2 ^ XjXn+i-i, при п = 2к: 2 ^ XjXn+i_i;
10)
n— 1
^^+i; П)прип<3:
67.3. 1) -3xiyi; 2) 9x22/2 - 9xiy2 - 9x2y2;
3) xiyi + 5x22/2 + 7хзуз + 2xiy2 + 2x2yi
4) 2xiyi - 3x22/2 - 3xi2/2 - 3x22/i; 5) -
6х2уз
67.4. 1) -4xi - 4x2 + 10xix2; 2) 4x? - 3x2 + 4x§ + 4xix2 + 8xix3;
3) 8x2 + 4xiX2 + 2xiX3+4x2X3; 4) 2{x\ +X2+X3+X4 — X1X2 -X2X3-X1X3);
n-l
5) 2 Y^ XiXi+i-
i=i
67.5. 1) Поменяются местами г-я и j-я строки, а также г-й и j-й столбцы;
2) внедиагональные элементы г-й строки и г'-ro столбца умножатся на а, а
240 Ответы и указания к §67
г-й диагональный элемент умножится на а2; 3) к г-й строке прибавится j-
я, умноженная на а, а затем к новому г'-му столбцу прибавится новый j-й
столбец, умноженный на а; 4) матрица отразится симметрично побочной
диагонали.
67.6. Ортогональной матрицей.
67.9. 1) Ay\+Ayh 2) yj - ph 3) 2byh 4) -y\ - yh 5) -16yh
6) y\ + yl - yh 7) y\ - Ayl - yh 8) y\ + Ay\ - yh 9) Ay\ + ^y22 - fyh
ю)-12Ш2-|У22 + ^уз2; п)у1+2У1+у1 + 1у1; Щ-у\-\У1-\у1
3 5 2 4 3
67.11. 1) 2у2 + 3у2 -3yf; xi = yi -5у2 + у3, х2 = -у2 + уз, хз
2) 2у\ + 10у| + 190у1; хг = уг + у2 - 9у3, х2 = 2у2 + 2у3, х3 =
3) yh У1 = ЗЖ1 - 2х2 - Хз, У2 = Х2, УЗ = Хз]
4) 8?/ + у; + +
-уз; yi = a;i + х2 + -яз, 2/2 = Ж2, уз = яз;
5) Зу2 - ЗОу2 + 530у|; yi = xi + -х2 - -z3, 2/2 = ^х2 - — ж3, уз = т^яз;
6) У?+ 3yf-3y3+y|; yi = ял-яг, У2 = х2 + -х3, у3 = -ж3 + х4, У4 = Зх4;
7) у2 - у2; xi = yi - у2 - у3, ж2 = yi + у2 - У4, ж3 = у3, х4 = уа\
8) 3y? + 15y|-85yl-629y|; xi = yi-у2 + 2у3 - у4, х2 = Зу2-6у3+ 3у4,
ж3 = 5у3 + 6у4, х4 = 17у4;
9) т(у? -у2 +Уз -yl)\ У\ = х\ +х2 + х3 + ж4, у2 = xi -х2+х3, у3 = хз,
у4 = хз -хА;
Ю) у\ +у\ -У3-У4+У5+Уе; 2/1 = Ж1 -жз, У2 = х2-х4,уз = хз, у4 = х4,
У5 = хз - Х5, ye = ж4 - х6;
11) Уь 2/1 = aixi + ... + anxn, y2 = ж2,..., y^-i = x^-i, у* = xi,
• -, Уп = хп, если ak ф 0;
У1 = XI + -(Х2 + Хз + • . . + Хп), у2 = Ж2 + -(
Уп = ^nj
2 2 ^4 П 1
y у
1О\2 2 2^242 П 1 2
13) yi - у2 - у3 - -у4 - -уъ - • • • - 2(п-2)Уп;
1/ 1/
У1 = -(Xl + Х2) + Х3 + Х4 + . . . + Хп, У2 = 2 \Х1 - Х2),
УЗ = ХЗ + ~(Х4 + Х5 + . . . + Хп), у4 = Х4 + -(Х5 + Хб + • . • + Хп),.
L О
Уп = Хп]
14) если п четно: у\ - у\ + у2 - у2 + ... + y2_i - у2,
Ук = (хк + хк+\ + хк+2)/2 при А; = 1,3,..., п - 3,
ук = (хк-1 - хк +Xfc+i)/2 при к = 2,4, ...,п - 2,
yn_i = (xn-i + хп)/2, уп = (яп-1 - хп)/2\
если п нечетно: yl - y2+yl ~ yl + • • - + yl-2 - 2/п-ь
= (xjb + х*+1 + xfc+2)/2 при А; = 1,3,..., п - 2,
ук = (хк-1 -хк+ Xfc+i)/2 при А; = 2,4,..., п - 1,
Уп = хп;
Ответы и указания к §68 241
15) 2/1 + ~У2 + • • • + ~Уп-2 + «Уп-lJ
n n — 1 3 2
yi = xi г(х2+х3 + ...+хп), У2 =Х2 г
п — 1 п — 2
Уп-1 = Яп-1 - Хп, Утг = Хп;
16) (п-1)у2-у22-у32-...-у2;
У\ = «(xi + х2 + х3 + ••• + хп), у2 = «("^ + ^2 + яз + • • • + хп),
уз = ;т(-Х1-Х2+хз + ... + хп),. .., Уп = ;r(-xi-X2-...-Xn-i+xn);
17) у2; yi = 2xi - Згх2, уг = я2;
18) у2 + (1 - 2г)у|; yi = 3xi + 4(1 + i)x2, y2 = 4х2;
19) ^(yi - У2); yi = xi + Х2, У2 = xi - х2]
20) (1 + г)У1 + *У2 + (2 - г)Уз5 2/1 = ^i + ^з, уг = х2, уз = х3;
21) у2 + гу|; У1 = si + (1 - г)х2 + х3, уг = 2х2 + х3, уз = х3]
22) -у\\ yi = xi 4- 2гх2 + (1 - i)x3i yi = х2, уз = х3.
Указание. 15) Представить форму в виде \ х^ у
п *-** п *-**
k=i k<j
применить метод индукции.
67.14. 1) xi = yi - Зу2 - 6у3, х2 = уг + Зуз, хз = уз;
2) xi = 2\/2yi + уДу2 + 5у3, х2 = -pyi + уз, х3 = уз;
О О
3) xi = у3, х2 = \/2у2 + у3, х3 = \Ply\ г=у2 - (3 + -^=)уз-
V2 V2
67.15. 1) Формы /i и /3 эквивалентны, но ни одна из них не
эквивалентна /г; 2) формы /2 и /3 эквивалентны, но ни одна из них не эквивалентна
/ь
67.16. п2. ^
67.17. / = 2xiyi + 2х2у2 + 8х3у3 + 8х4у4 в базисе 1, V3«, V5(3r - 1),
)
о о
67.18. / = 2хгу2 + -х3у3 + -Х4У4 в базисе 1, *, £2, *3 — t.
3 5
68.1. 1) у2 + у22 - уз2; 2, 1, 1; 2) у2 - у22 - у32 - у42; 1, 3, -2;
3) У? + у22 + Уз2; 3, 0, 3; 4) -у2 + у22 - у32; 1, 2, -1;
5) У? - у22 + Уз2; 2, 1, 1; 6) у2 - у22 + у32 + у42; 3, 1, 2.
68.2. 1) Если п = 2к, то 7Г = v = к, если п = 2к + 1, то тг = к + 1, v — к\
2) 7Г = п, v = 0; 3,4) тг = 1, v - п - 1; 5) 7Г = n, i/ = 0.
68.3. Указание. Использовать результат задачи 64.56.
68.4. Указание. Использовать результат предыдущей задачи.
68.5. 1) у2-у2-у2; 1, 2,-1; 2) у2 +у22 - у32 - у42; 2, 2, 0;
3) У2 - у22 - Уз2 - У42; 1, 3, -2; 4) у2 + у22 - у\ - у\ - у\\ 2, 3, -1;
5)у2+У22 + у?-у1;3, 1, 2.
68.7. Нет.
242
Ответы и указания к §<
68.8. Нет. Указание. В доказательстве использовать положительно
определенную при всех е > 0 квадратичную форму В(х, х) = Л(х, х)+£(х,х).
Рассмотреть пример: / = —х\ + 2х\хг.
68.9. 1) Л > 1; 2) Л > 2; 3) Л > 8; 4) |Л| < д/б/З; 5) -4/5 < Л < 0;
6) Л € 0; 7) Л Е 0; 8) Л Е 0; 9) Л < -6.
68.10. Форма приведется к виду у\+д{у2, • • ■ , 2/п), где д - квадратичная
форма от переменных у2,..., уп •
68.11. Указание. См. задачу 65.39. '
68.12. Все формы положительно определены, соответствующими
треугольными преобразованиями будут следующие преобразования:
1) yi = xi + х2 + х3, 2/2 = Х2 + х3, уз = х3;
2) yi = xi + х2, 2/2 = х2 + яз, 2/з = х3;
3) yi = xi - х3 - 2х4, 2/2 = 2х2 + х3, 2/з = Зхз + 2х4, 2/4 = 4х4.
68.15. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
68.16. Указание. Сравнить с задачей 65.40.
68.17. 1) 5 =
3) 5 =
68.19. Указание. При доказательстве достаточности учесть
критерий задачи 68.8, затем, используя нормальный вид соответствующей А
квадратичной формы, получить разложение А = QTDQ, где D = diag(l,..., 1,
О,... ,0).
68.20. Указание. Перейти к каноническому виду билинейной
формы.
68.21. Указание. См. предыдущую задачу.
68.24. Указание. Предположить, что h(y) ф 0, h(z) ф 0, и
рассмотреть вектор у + z.
68.25. Указание. Доказать, что если А(х,у) ф 0, то , = \ =
h(x) I2(y)
А ф 0. Рассмотреть произведение (/i(x) — А/2(х))/2(х) и применить задачу
68.24.
68.26. Ранг - четное число, сигнатура равна нулю.
68.27. Указание. Использовать канонический вид квадратичной
формы.
68.28. Указание. Пусть ei,...,en - канонический базис, в котором
квадратичная форма / имеет нормальный вид, причем /(е;) = 1, г = 1,р,
f(ej) = —1, j = р + 1,г, f(ek) = 0, к = г + 1,п. Рассмотреть векторы ei±ej,
г = Т7р, ; = р+1,г.
-Зг
Г 2
0
. 0
■ 1
0
0
0
1
2
0
2
1
0
0
-1
3
2
1
0
1
1
1
; 2) 5 =
J
4 "
3
2
1
0
0
-1
2
0
0
-2
1
2 1-
-г J'
8)
Ответы и указания к §69 243
68.31. 6) (1 +i)zi^2 + (1 -
8) 2|xi |2 + 3x1^ + Зх2хТ + (2 - Ы)ххЩ + (2 + 5г)х3яГ - 6|ж2|
k=i k^j
68.32. Д(х,у) = ^{А(х + у,х + у)- А(х,х) - А(у,у)) + %-(А{х + гу,х +
iy)-A(x,x)-A{y,y)).
§69
69.1. 1) 4»? + 4у| - 2yh 2)6y2+6y22+9yf; 3) у2 + л/Зу2 - \/Зу3;
4) Зу2 + (1 + s/Vf)yl + (1 - Vrf)yh b)-y\-7yl + byh 6) -7»? + 2j/22;
7) J/2 + 3?/22 - 3»J - t/42; 8) 10»?.
69.2. 1) 3j/2 + &y% + 9yi; xi = (2j/i - y2 + 2j/3)/3, a:2 = (2yi + 2y2 - уз)/3,
/
2) 9y2 + 18t/2 - 9y2; n = (2yi + 2y2 - уз)/3, x2 = (-yi + 2y2 + 2y3)/3,
хз = (2y! - y2 + 2y3)/3;
3) Зу?+бу22-2Уз2; xt =-Ly1 + -Ly2 + -Ly3, x2 =--Lya-^ + ^ys,
4) 9y2 + 18y2 + 18y|; xi = (yi - 2y2 + 2y3)/3, x2 = (2yi - y2 - 2y3)/3,
хз = (2yi + 2y2 + y3)/3;
« , a e a 2 ^\f2 Jl 1 2v^ 2
5) Зу! - 6y2; xi = -yi + — y2 + -уУз, x2 = jyi jj-уг, x3 = -yi +
yft V2
Tw - T»s;
о /о" /о" 1 о /о
6) 9у? + 9уз - 9t/i; Ж1 = -yi + — у2 + -g-уз, а;2 = -yi ^-уз, ж3 =
2 >/2 у/2
-yi - ~2-у2 + "g-Уз;
2|||
7) 2у2+4у|-2у|-4у|; xi = (у1+у2+уз+у4)/2, х2 = (-y
= (-yi - уг + уз + у4)/2, х4 = (yi - уг + уз - у4)/2;
8) 4у2+8у| + 12у|-4у|; xi = (у1+у2+уз+У4)/2, х2 = (yi-y2-y3+y4)/2,
= (yi + у2 - уз - У4)/2, Х4 = (yi - уг + уз - У4)/2;
9) 5у2 - 5у| + 5у|; ял = (2yi + у2)/\/5, х2 = (yi - 2у2)/у/Е, х3 = (2у3 +
/ 4 = (-уз + 2у4)/\/5;
10) 2у2 - 4у22; xi = (yi + уз)/у/2, х2 = (yi - уз)/А х3 = (у2 + у4)/л/2,
= (у2 - У4)/\/2;
11) 9у2+9у| + 9у|; ял = yi, х2 = (у2 + 2у3 + 2у4)/3, х3 = (2у2Н-у3-2у4)/3,
= (2у2 - 2у3 + у4)/3;
12) 5у2 + 5у2+5у|-8у|; х\ = (2yi+y5)/\/5, х2 = (-yi+2y5)/\/5, х3 = уз,
= (2у2 + Зу4)/\/ГЗ, хъ = (Зу2 - 2у4)/\/13;
244 Ответы и указания к §69
13) 4у2 + \у\ + Ayl - 6у? - 6yh xi = yi, х2 = ^(у2 + 2у4)/\/5, яз =
(-2у2 + У4)/\/5, х4 = (уз + Зу5)/\/10, х5 = (Зуз - уь)/\/Тд;
14) 5y?-5y22 + 5yi-5y? + 5y!; xi = {2yi+y2)/y/b, х2 = (yi-2y2)/\/5, яз =
(Зуз + у4)/\/Т0, х4 = (-у3 + Зу4)/\/10, х5 = (2у5 + уб)/>/5, у6 = (у5 -2уб)/\/5;
? + у + + £
у? + -у2 + ... + -у£; yi = -7=(xi + х2 + ... + in), у» =
2 2 y/п
... + Xi_i - (г- 1)ж»), г = 2,п;
...п — 12 1г 1г
16) —-—у\ — -у2 — ... — -Уп5 преобразование можно взять то же, что и
в предыдущем пункте.
69.4. Матрица с положительными угловыми минорами ортогональна
тогда и только тогда, когда она единичная.
69.5. Если xi,...,хп - координаты вектора х в ортонормированном
базисе ei,..., еп, где ei,... ,ег составляют базис L, то к(х) = х\ + .. . + х%.
69.6. 1) |yi|2 + 3|у2|2; xi = (yi - гу2)/\/2, х2 = (-tyi + y2)/\/2;
2) 6|yi|2 - 4|у2|2; X! = ^^(У1 + У2), х2 = -^=(yi - у2);
3) 2|yi|2 + 4|y2|2-5|y3|2; xi = (yi +»уг)/>/2, ^2 = (tyi +y2)/\/2, x3 = уз;
4) 31У.12; ,1 = -^yi + ^=у2 + ^уз, х2 = iy, - -^уз, ,з = ^yi -
5) 4|у!|2 + 8|у2|2 + 12|у3|2 + 16|у4|2; хх = (-yi + уз + (1 - 0im)/2, х2 =
(у2 + (1 + г)2/з-у4)/2, хз = (у1-(1-г)2/2 + Уз)/2, х4 = ((1 + г)У1+2/2 + у4)/2.
69.8. Указание. Привести соответствующую квадратичную форму
к каноническому виду.
69.9. См. указание к предыдущей задаче.
69.11. Указание. Применить предыдущую задачу.
69.13. Указание. Показать, что корни Л-уравнения не меняются при
невырожденном преобразовании обеих форм.
69.15. Нельзя в обоих пунктах. Указание. Показать, что корни
соответствующих Л-уравнения невещественны.
69.16. При подходящей нумерации выполнены соотношения: Ai/ii ="1,
г = 1,п.
69.17. \)f = -2y\ + \yh 2)f = 4yl-2yh 3) / = 5»?; 4) / = yj+^yh
5) / = f y\ - \yh 6) / = 9y? - yh 7) / = »? + yl + y\ - 3j/42; 8) / =
y\ + 2y\ + 2y| - ly\.
* 112
69.18. 1) / = y2+y2,p = 5y2-4y^; xi = -^=yi -y2, x2 = —y= yi + -y2;
\ <• 29 2 1 2 2 2 /?" 3 1
2) /= yS/i - 2У21 P = 2/i +У2; zi = v5yi, x2 = --j=yi + 77=2/2;
3) / = У? + 2/2,^ = 2/1+ 7y2; xi = —yi + -7=2/2, ж2 = -j=yi + -^
Ответы и указания к §69 245
4) / = yl + у2, 9 = у\ ~ 2^25 xi = -j=yi + -т=у2, х2 = \/3yi
5) / = 26у2, , = у? + у22; Х1 = --jLyi + ^у2, х2 = -^ +
6) / = У? + у22, д = -5у2 - ±у22; Х1 = -±=У1 + ^=У2, *2 = --1=
3
У2',
12 1
7) / = у\ + у2 + Уз» Р = 5у? + 2у|; yi = -^ял + -^х2 + "у=хз, У2
8) / = -у? ~У2 ~yh 9 = -5у? - 2у2 + у|; yi = -xi - -ж2 + ж3, У2
2 5. 22.
зХ1 ~ зХ2 ~ ^3 = зХ1 ~ з^2 ~
1 112
9) / = 3у2+2у2,0 = у2 + у2+уз; xi = -/=У2,х2 = УзУ1 + 72У2~ ^/1У
13 = i2'1" Tl2'2 + 7Гз;
15 7
10) / = 5у? - у| - 5у|, р = у2 + у2 + у|; ял = —=у\ + ТТЕУ* + T7f^
И) / = Зу2 + Зу| - Зу|, $ = у? + у2 + у\\ xi = -=yi + -^у2 - ~|
2 2
-7=У2 + —^уз;
2 2 8
12) / = J/2 + у\ + yl g = Uyh xi = -д=у, + -у=у2 +
+ ^ + Л'13 = +
13) / = У\ + 2у2 - у2, р = У2 + У2 + Уз + У2; У1 = Xi - Х2, У2 = Х2-
Уз = хз - х\, уа = ха\
14) / = 3у2 + 3у2+6уз-6у|,р = -y\-yl-yl-yl\xi = ~/^yi"~ 7/б
6 7 8 2 5 8 3 1
Ауз + -1У4, х4 = -^у, - -Ly2 + -Ly3 + -^у4,
15) / = 2у2 +2у22 -К2у| - 2у42, р = у? +у| +Уз +у2; xi = yi +y2 + Уз
х2 = (yi + у2 + уз + Зу4)/2, хз = уз + У4, х4 = (-yi + у2 + уз + У4)/2.
69.20. Указание. Поанализировать соотношение SH BS = (5я
эквивалентное данному в задаче, и показать, что матрицы SH BS и 5
квазидиагональные и имеют согласованную блочную структуру.
69.21. Указание. Воспользоваться задачей 62.49.
246 Ответы и указания к §70
69.22. 1) / = у2 + yl + 16у|, д = 2yl - ?>yh yi = (2xi + х2 +
)
У2 = (-Х2 + Х3)/\/2, УЗ = ("ЯЛ + Х2 + Х3)/>/3;
2) / = -У? - У2 + 5уз, £ = 6у|; yi = (х2 - х3)/\/2, у2 = (ял - х2 - я*)/л/5,
уз = (2xi + х2 + хз)/\/6;
3) / = Зу? - 2у? + 6у|, р = -6у2 + 6у|; yi = (ял - х2 + ж3)/>/3, У2 =
(xi - х3)/л/2, уз = (xi + 2x2 + х3)/\/б;
4) / = 5у?+уз -Уз-У4, 9 = У1+5уз+Уз+у4; yi = (xi+x2+ x3+ x4)/2,
У2 = (Xl - Х2 + ХЗ - Х4)/2, уз = (Xi - Х3)/\/2, у4 = (Х2 - Х4)/\/2.
69.23. Указание. Показать, что при ортогональном преобразовании
характеристический многочлен матрицы квадратичной формы не
изменяется.
69.24. 1) Формы / и h ортогонально эквивалентны, но ни одна из них не
является ортогонально эквивалентной форме д\ 2) формы д и h
ортогонально эквивалентны, но ни одна из них не является ортогонально эквивалентной
форме /.
69.25. Указание. Так как матрица АтА положительно определена,
то существуют верхняя треугольная матрица S и диагональная матрица D
с положительными элементами на главной диагонали такие, что А7 А =
STDS. Переписать последнее равенство в виде АтА = (Dl/2S)T(Dl/2S)
и положить R = D1/2S. Если матрица А имеет два представления А =
QiRi = Q2R2, то матрица Q^lQi = R2R11 одновременно ортогональная и
треугольная с положительными диагональными элементами, и значит, она
единичная.
69.26. Указание, а) Так как матрица АтА положительно
определена, то существуют ортогональная матрица Р и диагональная матрица D
с положительными элементами на главной диагонали такие, что АТА =
Р7DP. Тогда матрица В\ — PTDl/2P является квадратным корнем из
матрицы АтА, а матрица Qi = АВ^1 ортогональна. Единственность
матрицы В\ следует из единственности квадратного корня из матрицы АТА.
в) Утверждения следуют из единственности представлений, указанных в
пунктах а) и б).
§70
70.1. Да. 70.2. Нет.
70.3. Да, только если p(t) > 0 и p(t) ф 0. 70.4. Да.
70.11. Указание. Показать, что равенство (х, у)* = |(||х + у||2-||х-
у||2) задает в V скалярное произведение.
70.13. Указание. Использовать числовые неравенства:
2 y v 2 I ~2
верное для всех р > 2 и z G [0,1], и
и + v
и — v
р/(р-1)\ р-1
верное для всех рЕ(1,2]ии,ибК.
70.19. Указание. Воспользоваться неравенством Гёльдера.
Ответы и указания к § 71 247
70.20. ||х||2 < ||*||, < ^||x||2, Их»» < ||z||, < nllxlU, ||z|U < \\xh <
\/n||x||oo, где п - размерность пространства.
70.21. Константа с\ равна наименьшему, а константа С2 - наибольшему
сингулярному числу матрицы А.
70.24. Указание. Показать, что такая норма может быть введена
равенством ||х|| = р(х,0).
70.28. Евклидова норма двойственна к себе относительно
порождающего ее скалярного произведения.
70.29. Нормы || • ||оо и || • ||i двойственны друг к другу.
70.30. Неравенство Гёльдера.
70.31. Двойственная норма определяется равенством ||х||* = IK^*)"1^!^,
где p~l + q~l = 1 при р > 1 и q = оо при р = 1.
70.32. а) ||х||; = \\Ax\\q\ б) \\x\\* = IK^)"1^!^, где q такое же, как и в
предыдущей задаче.
70.34. Указание. Использовать задачу 70.27.
§71
71.2. Указание. Пусть ||Л|| - подчиненная норма в £(У, W). Тогда
За > 0: VA G C(V, W) выполнено неравенство аМ(А) < \\A\\. Рассмотреть
а0 = а/2.
71.4. Указание. Пусть ||Л|| - подчиненная норма в £(V, W). Тогда
За > 0: У A G C(V, W) выполнено неравенство ||Л|| < аМ(А). Показать, что
норма N(A) = аМ(А) согласована.
71.5. Указание. Пусть ||Л|| - подчиненная норма в £(V,W).
Использовать тот факт, что За > 0: VA G C(V, W) выполнено'неравенство
а|И| < М(Л).
71.9. Нет. Указание. Рассмотреть норму iV(A) = max{
71.10. Указание. Учесть, что К(1) = п > 1.
71.12. Указание, а) Рассмотреть матрицу А, все элементы которой
равны единице; б,в) найти значение М{1).
71.13. Указание. Рассмотреть норму п(х) вектор-столбца i 6 С1,
задаваемую равенством п(х) = || [ х 0 ... О ] ||.
71.14. а) Наибольший из модулей диагональных элементов; б)
наибольшая из спектральных норм диагональных клеток.
71.15. В обоих пунктах евклидова норма равна \/п, а спектральная
норма равна единице.
71.16.
71.19. Указание. Использовать задачу 61.29а.
71.22. Указание, а) Учесть соотношения: р(АиА) < \\АНА\\\,
\\AH\\i = ||Л||оо; б) учесть неравенство р(АнА) < Ьт(АнА).
71.23. Указание. Использовать соотношения Н\ = (А + Ан)/2, Яг =
H
71.24. Действительная (мнимая) часть комплексного числа z является
ближайшей к z точкой действительной (мнимой) оси.
71.25. Если z = х + iy - алгебраическая форма записи числа z, то
22 2
248
Ответы и указания к §71
71.26. Если А > О, то утверждение верно, однако соответствующие
унитарные матрицы могут быть определены неоднозначно. Указание.
Для любой унитарной матрицы U имеем: \\А — U\\% = tr((A — U)H (A — U)) =
trA2 + n - 2RetT(AU). Согласно задаче 66.44: \Retr(AU)\ < trA, причем
равенство достигается лишь при U = ±/.
71.27. Для числа z = r(cos(p + ism<p) число ш\ = cosy? + ism<p
является ближайшей, а число и)2 = — cos (р — г sin кр - наиболее удаленной точкой
единичной окружности.
71.28. Указание. Использовать задачи 66.43 и 66.44.
71.29. Указание. Показать, что для неотрицательной матрицы А
выполнено: S(A) = tr A.
71.30. Указание. Воспользоваться непрерывностью нормы.
71.31. Указание. Использовать двойственность друг к другу
векторных норм, соответствующих участвующим в левой и правой частях этих
равенств.
71.32. Указание. Использовать предыдущую задачу.
71.33. а) 1; б) (n + l)1/q при р > 1 и 1 при р = 1;
в)
Я
при р > 1 и п при р = 1;
п+1
~4} Я
г) (У^ к~4} Я при р > 1 и 1 при р = 1;
k=i
п + 1
д) (^2 k~q)l/q при р > 1 и 1/2 при р = 1.
Указание. Использовать предыдущую задачу.
71.34. а)1; б) чДГТТ; в) ./£ Л2; т) *№ к-*-, л)
V
Указание. Учесть, что если /(х) = (х,/г), то /*(а) = а/г, Va 6l, и
следовательно, //*(1) = ||/i||e. Тем самым, ||/|| = ||/i||e-
71.35. 1. 71.36. max I Ad во всех пунктах.
71.37. Указание, б) Вычислить обе части неравенства на
квазидиагональной матрице diag I
71.39. N(A) = М{РАР-г).
Вычислить обе час
^ ^ , 1,..., 1 J.
71.41. Если х = (xi,...,Xn)T, у =
, то
71.42. Указание. Воспользоваться задачей 71.40.
71.43. Указание. Воспользоваться представлением Лх = (х,Ле)е и
предыдущей задачей.
71.45. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
71.46. Указание. Воспользоваться задачей 71.44.
71.48. Указание. Воспользоваться задачей 71.40.
Ответы и указания к § 71 249
71.49. Указание. Воспользоваться задачей 71.40, представив
матрицу В ранга 1 в виде В = хун.
71.51. Указание. Учесть, что в силу задачи 71.13 матричная норма
ЦАЦ согласована хотя бы с одной векторной нормой, и рассмотреть норму
вектора Ах, где х - собственный вектор матрицы А.
71.54. Указание. Рассмотреть нильпотентную ненулевую матри-
цу-
71.55. Например, круг \z\ < у/%-\-у/2. Указание. Воспользоваться
результатом задачи 71.51 с подходящей матричной нормой.
71.57. Указание. Доказать, что матрица положительно
определена.
71.60. Указание. В силу теоремы Шура существуют такие
унитарная матрица U и верхняя треугольная матрица В, что А = UBUH,
причем на главной диагонали матрицы В стоят собственные значения
матрицы А. Положим Dt = diag(£,£2,... ,£п). Тогда непосредственным
вычислением можно убедиться в том, что сумма модулей всех элементов матрицы
DtBD^1, расположенных выше главной диагонали, при достаточно
больших t > 0 не будет превосходить е. Поэтому HZ^t-SZ^^"1 ||i < р(А) + еив силу
задачи 71.7, пункт в) матричную норму А можно определить равенством:
цац = \\DtuHAUDT% =
71.61. Указание. Повторить рассуждения, аналогичные
проведенным в предыдущей задаче, и учесть, что \\B\\2 = р(ВнВ).
71.62. Указание. Рассмотреть матрицы q П'1 0 ' 1 О'
[IS]-
71.65. Указание. Показать, что ||j4fc|| —> 0, и, воспользовавшись
эквивалентностью норм, перейти к ||А*||оо.
71.66. Указание. При доказательстве необходимости рассмотреть
Акх на каждом собственном векторе х матрицы А. Для обоснования
достаточности использовать результаты задач 71.60 и 71.65.
71.69. Указание. Во-первых, из соотношений [^(А)]* = р(Ак) <
\\Ак\\ вытекает, что р{Ак) < \\Ак\\1/к. Во-вторых, для любого е > 0
спектральный радиус матрицы В = [/э(А) + £]-1j4 меньше единицы, и
следовательно, В - сходящаяся матрица (задача 71.66). Поэтому, начиная с
некоторого номера к = N, выполнено неравенство \\Вк\\ < 1. Отсюда
\\Ак\\<[р(А) + е]к.
71.71. Указание. Достаточность следует из соотношения задачи
71.69. Для доказательства необходимости использовать цепочку соотноше-
ний: ||Л||к = [р(А)]к = р(Ак) < \\Ак\\ < \\А\\к.
71.72. Указание. Показать, что частичные суммы матричного ряда
образуют последовательность Коши.
71.74. Нет.
71.79. Указание. Использовать теорему Шура о приведении к
треугольному виду.
71.80. Указание. Учесть, что унитарная матрица U унитарно
подобна диагональной матрице.
71.81. Это возможно для любых матриц А.
1
0
0
2
1
0
-7
-3
1
250 Ответы и указания к §72
Г -1 2 1 ] Г 1/2 0 -2/3
71.86. а) I О 1 -3 I; б) О 1 2 ; в) О 1 1/3
L О О 1 J [О 0 1/3
Указание, а) Представить В в виде Б = / — А и показать, что
Б"1 = I + А + А2\ б) подобрать диагональную матрицу D так, чтобы все
диагональные элементы матрицы DB были равны единице.
71.90. Указание. Использовать соотношение А + Б = А(1 + А~1В)
и показать, что если ЦА^БЦ < 1, то матрица А + В обратима.
71.91. Указание. Диагональная матрица D = diag(an,... ,ann)
обратима. Показать, что у матрицы В — I — D~lА норма ||Б||оо меньше
единицы, и воспользоваться задачей 71.84.
71.93. Указание. Использовать теорему Шура и задачу 71.20.
71.94. Указание. Пусть А = А\ + iAi - эрмитово разложение
матрицы А и В — UH AU - верхняя треугольная форма матрицы А
(теорема Шура). Тогда эрмитово разложение матрицы В имеет вид В =
UHA\U + %UHA2U. Использовать для каждой из матриц UHAyJJ
неравенство Шура предыдущей задачи.
71.95. Указание. Неравенства переходят в равенства тогда и
только тогда, когда соответствующие по теореме Шура треугольные матрицы
диагональны.
71.96. Для матриц А простой структуры. Указание. Использовать
рассуждения, аналогичные проведенным в доказательстве задачи 71.60.
71.97. Указание. Согласно 57.83 матрицы АВ и В А имеют
одинаковые собственные значения Ai,..., Ап. Так как АВ - нормальная матрица ,
п
то НАБНя = 2_. l^fc|2- Показать, пользуясь определением евклидовой нормы
к=\
матриц, что ||БА||я = ||АБ||я.
71.98. Указание. Из представления задачи 66.61 следует, что для
любой унитарной матрицы W: \ tr(AW)\ < pi + ... 4- рп- Пусть В = UH AU
- треугольная форма Шура матрицы А. Тогда tr(AW) = \,t(BUhWU).
Выберем W из условия UHWU — D = diag(di,... ,dn), где 6**^* = 16**1 = |А*|.
Тогда tr(;4W) = |Ai| + ... + |АП|.
71.99. Указание. Использовать задачи 71.11, 71.28 и 71.98.
71.100. Указание. Пользуясь задачей 71.90, доказать, что если
матрица А + В вырождена, то ЦБЦг > рп- Показать, что равенство ЦБЦг = рп
выполнено для матрицы В = UDV, где D = diag(0,... ,0, -рп), а
унитарные матрицы (7, V участвуют в сингулярном разложении матрицы А:
А = UKV.
71.101. а) (5 - Зл/5)/2, (5 + Зл/5)/2; б) -2, 9; в) -7, 5.
§72
72.1. (0,0,0,0,0,0)^. 72.2. (1/2, 0,1/2)т. 72.3. (3,1, 3)т.
72.4. (1,-2,0, If. 72.5. (3,7, -4, -4)т.
72.6. (1/3,-2/3,1,-4/3)т.
72.7. (2,1,0, — 1)т - точка минимума.
72.8. (7/5,0,1/5)т - точка минимума.
72.9. (9/2, -9/2,1/2)т - точка минимума.
Ответы и указания к §72 251
72.10. (9/2, -1/6, -1,0)т - точка максимума.
72.11. а) а2/п при х\ = ... = хп = а/щ
2
б)
6а2 /л , 6а
l)(2n + l
. , п_! а(д2 -
72Л2' / °. 1
() ( )
72.13. Указание. Применить альтернативу Фредгольма.
72.14. Указание. Применить теорему Фредгольма.
72.17. а) Ни для одного a G Уз уравнение не имеет решения при любой
правой части; б) (Ь, а) = 0.
72.18. Если векторы zi и Z2 таковы, что [zi, ai] = [z2, аг], то они
удовлетворяют соотношению (zi, bi) = (гг, Ьг).
72.22. Если g(t) = antn +gn-i(t), где degpn_i < n- 1, то искомые
псевдорешения суть все первообразные многочлена gn-i(t). Нормальное
псевдорешение f(t) удовлетворяет условию /(0) = 0.
72.23. Если многообразие псевдорешений записать в виде zo+ker Л, где
zo - нормальное псевдорешение, то соответствующими множествами
псевдорешений будут следующие многообразия: а) — zo + ker Л; б) azo + ker Л;
а
в) zo + ker Л.
72.24. Если zo - нормальное псевдорешение уравнения Az = n, то
соответствующими нормальными псевдорешениями будут векторы: a) zo\
б) U*z0.
72.25. Пусть г = vgA и собственные векторы ei,...,er отвечают
ненулевым собственным значениям Ai,..., Аг. Если u = aid + ... + arer +
ar+ier+i + ... + anen, то псевдорешения суть векторы — ei + ... + — er +
Ai Ar
/3r+ier+i + ... + /3neni V/3r-(-i,... ,/3n G С, а нормальное псевдорешение - век-
тор — ei + ... + t—er.
Ai Ar
72.28. (0,0,0)T. 72.29. (0,0)T. 72.30. |(1,1,1,1)T.
72.31. -^(152)T. 72.32. ^(5,6)T. 72.33. ^(l,0,l)T.
72.34. ^(l,0,l)T. 72.35. (l,l,0)T. 72.36. (g, |)T.
7,37. (|,|)'. 7..38. (..i.-i...l)'.
72.39. a)i(l-t2);6)i(-8t + <3).
72.40. Указание. Показать, что ортогональная проекция матрицы /
на образ оператора СХ = [А,Х] есть нулевая матрица.
72.41. Функция f(x) и наименьшее среднее квадратичное отклонение
соответственно равны:
a) f{x) = (-х + 3)/4, у/Щ; б) f{x) = (-х2 + 3i + 3)/4, л/5/4;
в) /(i) = х2 - 2х + (4/3), v^/З; г) /(i) = -(7/2)х + 6у - 3, л/105/4;
д) fix) = ix + y + 3)/7,
Ким Г. Д., Крицков Л. В.
АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ:
Теоремы и задачи.
Том II (2)
ИКД "Зерцало-М"
Лицензия № 003601 от 20 ноября 2000 г.
Подписано в печать 14.10.2003. Формат 60x90/16.
Усл. печ. л. 16,0. Тираж 2000 экз.
Заказ № 8908
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП "Типография "НАУКА"
121099, Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-94373-077-Х
9'785943 730771
ISBN 5-94373-077-Х
9"785943 '730771