Задачи и теоремы линейной алгебры - Прасолов В.В.

Автор: Прасолов В.В.
Теги: алгебра математика линейная алгебра
ISBN: 5-02-014727-3
Год: 1996
Похожие
Матричный анализ
Конечные поля. Том 1
Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции. Часть 2
Теория конечных графов Т.1
Текст
                    В. В. ПРАСОЛОВ
ЗАДАЧИ
И ТЕОРЕМЫ
ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ
МОСКВА
НАУКА • ФИЗМАТЛИТ

ББК 22.143 Федеральная целевая программа
TT7Q книгоиздания России
УДК 512.64
Прасолов В. В. Задачи ■ теоремы линейной алгебры.—
М.: Наука. Физматлит. 1998.-304 с— ISBN 5-02-014727-3.
Изложены с полными доказательствами теоремы линейной ал-
алгебры, полученные за последние годы в не вошедшие в учебную
литературу, но вполне доступные студентам младших курсов. При-
Приведены также нестандартные изящные доказательства известных
теорем. Написанная четко, простым и ясным языком, книга блестя-
блестяще подтверждает мысль об изменчивом облике линейной алгеб-
алгебры — этого старого раздела математики, постоянно обогащаемого
в процессе решения конкретных задач.
Для научных работников — математиков и физиков. Может
быть использована аспирантами и студентами соответствующих
специальностей.
Табл. 2. Ил. 9. Бпблиогр. 80 назп.
Рецензенты:
члеи-корреснондепт РАН А. И. Кострикип
кандидат физико-математических наук Д. В. Беклемишев
„1602040000-019 ttnnK „
053 @2) -96 11!МM' Наука, II полугодие
© В. В. Прасолов, 1996
ISBN 5-02-014727-3

ОГЛАВЛЕНИЕ
i
Предисловие 6
Основные обозначения п соглашения 7
Г л а в а 1
Определители
Историческая спраика 9
§ 1. Вычисление определителей 11
§ 2. Миноры и алгебраические дополнения 20
§ 3. Дополнение по Шуру 30
§ 4. Симметрические функции, суммы степеней и числа Бер-
нулли 34
Решения задач 40
Глава 2
Линейные пространства
Историческая справка Cj&}
§ 5. Двойственное пространство. Ортогональное дополнение 57
§ 6. Ядро и образ оператора. Факторпространство ... 63
§ 7. Бависы. Линейная независимость 68
§ 8. Ранг матрицы 73
§ 9. Подпространства. Ортогонализация 77
§ 10. Комп.чексификация и овеществление. Унитарные про-
пространства 86
Решения задач 91
Глава 3
Канонические формы матриц и линейных операторов
I 11. След- и собственные значения оператора .... f 97
§ 12. Жорданова нормальная форма 10*Г
§ 13. Мпнимальпый мпогочлен и характеристический мпо-
гочлен . . ■ 112
§ 14. Кппоническея форма Фробениуса * 117

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 15. Приведение диагонали к удобному виду .... 119
§ 16. Полярное разложение ■ . 123
§ 17. Разложения матриц (-«•V&.-UXVIW^ ^
§ 18. Нормальная форма Смита. Элементарные делители мат-
матриц 128
Решения задач 130
Г л а в а 4
Матрицы специального вида
§ 19. Симметрические и эрмитовы матрицы /138 i
§ 20. Одновременное приведение пары эрмитовых форм к v—'
диагональному виду 143
§ 21. Кососимметрические матрицы 146
§ 22. Ортогональные матрицы в преобразование Коли . . 149
§ 23. Нормальные матрицы 152
§ 24. Пилыютептпые матрицы 153
§ 25. Проекторы 155
§ 26. Иннолюцин 160
Решения задач 162
Глава 5
Полилинейная алгебра
§ 27. Полилинейные отображения и тензорные ироизведе- {^~~
ния И69
§ 28. Симметрические п кососимметрические тензоры . . rtf
§ 29. Пфаффиап 181
§ 30. Разложимые кососимметрическне и симметрические
тензоры 184
§ 31. Тензорный ранг 188
§ 32. Линейные отображения тензорных произведений . . 191
Решения задач 196
Глава 6
Матричные неравенства
§ 33. Неравенства для симметрических и эрмитовых матриц B01
§ 34. Неравенства для собственных значений .... тНго
§ 35. Неравенства для норм матриц 210
§ 36. Дополнение по Шуру и произведение Адамара . . 213
§ 37. Неотрицательные матрицы 216
§ 38. Дважды стохастические матрицы 222
Решения задач »•<.•. 227

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава 7
Матрицы в алгебре и анализе
§ 39. Перестановочные матрицы 232
§ 40. Коммутаторы 237
§ 41. Кватернионы и числа Кэли. Алгебры Клиффорда . . 243
§ 42. Представлении матричных алгебр. Конечные поля . . 255
§ 43. Результант 257
§ 44. Теорема Витта 263
§ 45. Обобщенная обратная матрица. Матричные уравнения 266
§ 46. Функции от матриц. Дифференцирование матриц . . 271
§ 47. Матрицы с предписанными собственными значениями 276
Решения задач 280
Приложение. Некоторые свойства многочленов . . . 29Э
Сиисон литературы 295
Предметный указатель 300

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книг по линейной алгебре написано очень много, п средн
есть поистине замечательные (см., например, список рекомендуе-
рекомендуемой литературы). Может сложиться мнение, будто других книг
больше пе нужно. Или несколько более осторожное ипепио, будто
в этих книгах сказано все, что пужпо, и сказано именно так, как
нужно, а потому любая новая книга будет лишь повторением
старых. Миепие очевидно неверное, но тем не менее почти обще-
общепринятое. Новые результаты в линейной алгебре появляются по-
постоянно, и постоянно появляются новые, более простые и изящные
доказательства известных теорем. Кроме того, есть не так уж мало
интересных старых результатов, в учебную литературу пе во-
вошедших.
В этой книге я постарался собрать наиболее иптереспые за-
задачи п теоремы лилейной алгебры, доступные студентам младших
курсов. Вычислительная лилейная алгебра осталась при этом не-
несколько в стороне. Значительную часть книги составляют резуль-
результаты, известные лишь по журнальным публикациям. Мне кажется,
что они будут интересны многим читателям.
Книга предполагает знакомство читателя с основными поня-
понятиями линейной алгебры: линейное пространство, базис, линейное
отображение, определитель матрицы. Но все содержательпые тео-
теоремы обычного курса линейной алгебры в книге приведены с пол-
полными доказательствами. При птом особое внимание обращено на
нестандартные изящные доказательства этих известных теорем.
Наложение ведется почти исключительно над полями действи-
тельпых и комплексных чисел. Лишь изредка отмечены особенно-
особенности случая нолей конечной характеристики.
В линем!пой алгебре часто приходится осуществлять переходы
от лппейпкгп оператора к матрице и обратно. Это делается без осо-
особых оговорок, по пе должно приводить к педоразумениям.
Я благодарен рецензентам книги Д. В. Беклемишеву и
А. И. Кострикипу яа ценные замечания и Д. Б. Фуксу на полезные
обсуждения рукописи.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
— матрица размера т X п-
^ ami ■ • • атп ,
»ij — элемент г-й строки и /-го столбца матрицы А.
\\сц)\\ — матрица А.
|ву||"— квадратная матрица ||а^|| порядка и; для матрицы по-
порядка п + 1 бывает удобно также обозначение | а^ ||™.
det(/4), \A\ —определитель матрицы А.
laiil™ — определитель матрицы ||«у|"-
ЛВ — произведение матрицы А размера р X п на матрицу В
размера п X Ч\ является матрицей ||с«|| размера р X Я, где сщ =
п
= 2] ay^jji —произведение i-ii строки первой матрицы ва к-й
i=i
столбец второй матрицы.
diag(Xi, ..., Х„) —диагональная матрица, т. е. матрица поряд-
порядка п с элементами аи = %i и ац — 0 при г ^ /.
Е = diag(l, ..., 1) — единичная матрица; если пеобходпмо ука-
указать порядок п единичной матрицы, то она обозначается Еп.
АТ — транспонированная матрица; Лт=|;а^.II, где а\- = а^ для
А = Ilflijll.
^ = 1 аЦ !!• г«е аУ = " Л II II
,1* = (Л)'.
/1 ... п\
о = , , —перестановка; o(i) = к{.
Vй! • • • "п/
о f 1,
'~~~ ' = | — 1, если перестановка а нечетная
1, если перестановка о четная;
если пере
Перестановка [ "" /* j для краткости иногда обозначается
\*i ••• *п/
<ei, ..., е„> — линейное пространство, порожденное вектора-
векторами «1, ..., еп.
если в пространствах V" и Wm заданы базисы в|, ..., еп и
в|, ..., гт, то матрице А соответствует оператор A: Vn-*-Wm,

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
переводящий вектор I : I в вектор
й вектор I : I
1
()(
т) Vmi ■■ тп)\хп
n • / n . \ m n ;
Так как yt = 2 «у*,-, то 4[2 ^«,- =2 2 "y^j8^ в частно-
частности, Ae .= 2j aijev
i
rk Л — рапг матрицы А.

Г л а в а 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Историческая справка
Бертран Рассел в книге «История западной филосо-
философии» писал о Лейбнице: «Его лучшая мысль не доста-
доставила бы ому популярности, и он оставил свои рукописи,
в которых излагалась эта мысль, неопубликованными.
А то, что он опубликовал, имело целью заслужить одобре-
одобрение государей и государынь. Следствием этого является
то, что есть две системы философии, каждую из которых
можно рассматривать как представляющую взгляды Лейб-
Лейбница: одна, которую он открыто провозглашал, была
оптимистичной, ортодоксальной, фантастичной и мелкой;
другая, которую извлекли из его рукописей относительно
недавние издатели, была глубокой, ясной, во многом
сходпой с философией Спинозы и удивительно логичной».
Лейбниц оставил неопубликованными и свои работы,
в которых он пришел к понятию определителя. Впервые
это понятие появилось у него в 1678 году; при этом он
естественным образом пришел к необходимости снабжать
коэффициенты линейных уравнений двумя индексами.
В 1693 году Лейбниц писал Лопиталю о пользе примене-
применения коэффициентов вида аю, аи и т. д. (коэффициент аю
Лейбниц обозначал 10 и называл его числом, чтобы от-
отличить от буквы, т. е. коэффициента без индекса): «...Раз
Вы говорите, что Вам трудно поверить, что пользование
числами носит столь же общий характер и столь же
удобпо, как и пользование буквами, значит, я нехорошо
выразил свою мысль. Нельзя сомневаться в общности,
если принять во внимание, что можно пользоваться 2, 3
и т. д. так же, как а или Ь, если только иметь в виду, что
это не настоящие числа. Так, 2 • 3 означает вовсе не 6,
но то же, что аЪ. Что касается удобства, то оно очень ве-
велико, и поэтому я часто пользуюсь этим, особенно в длип-
ных и трудных вычислениях, в которых легко ошибиться.

10 ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Ибо, кроме удобства проверки с помощью чисел, а также
отбрасывания девяток, я нахожу в этом очень важное
преимущество даже для развития Анализа. Так как это
открытие довольно своеобразно, я еще не рассказывал
о пом другим. Но вот в чем дело. Ведь верно, что когда
приходится употреблять много букв, то :>тн буквы совсем
не выражают отношений между обозначаемыми ими ве-
величинами; между том. пользуясь числами, я могу это от-
отношение выразить. Допустим, например, что предложены
три простых уравнения с двумя неизвестными и требу-
требуется исключить эти два неизвестных, причел но общему
правилу. Я полагаю 10 +11* + 12у = 0 A) и 20 +
+ 21я + 22г/ = 0 B) и 30 + 31я + 32г/ = 0 C), где
предлагаемые числа выражены каждое двумя зпаками,
из которых первый показывает мне, какому уравнению
принадлежит число, а второй показывает, какой оно при-
принадлежит букве. Вычисляя таким образом, везде откры-
открываешь гармошш, которые не только служат пам порукой,
но и сразу показывают нам правила или теоремы. Напри-
Например, исключая сперва из первого и второго уравненип у,
мы получим
+10-22+ «.22*
-12-20-12-21*
а исключая его из первого и третьего, мы получим
+10-32 + 11 -Ъ2х =0 ■ ■ ..5
-12-30-12-31*
где легко заметить, что эти два уравнения отличаются
лишь тем, что предыдущий знак 2 заменяется на преды-
предыдущий знак 3. Впрочем, в каждом члене каждого урав-
уравнения предыдущие знаки одинаковы, а последующие зна-
знаки образуют одну и ту же сумму. Теперь остается исклю-
исключить из четвертого и пятого уравнений букву х, и тогда
мы получим
.,*-' lo 2i Зг 1о 2г 3i
11 2г Зо = 11 2о Зг
12 2o 3i I2 2i Зо,
что и представляет собой последпее уравнение, свободное
от обоих неизвестных, которые желали исключить, и за-
заключающее свое доказательство в самом себе, в силу за-
заметных во всем гармоний, которые было бы весьма труд-

§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Ц
но открыть цри употреблении букв а, Ь, с, особенно, когда
число букв и уравнений велико. Часть секрета Анализа
состоит в характеристике, т. е. в искусстве хорошо упот-
употреблять применяемые знаки, и по этому малому образцу
Вы видите, Сударь, что Виет и Декарт еще но познали
все его тайны. Незначительно продолжив это вычисление,
можно прийти к общей теореме для любого произвольно-
произвольного числа букв к простых уравнений».
Полученное Лейбницем условие совместности трех
линейных уравнений с двумя неизвестными можно за-
записать в виде
«20 1
йзо a:Sl
= 0.
Открытие Лейбница значительно опередило свое вре-
время.- Первая публикации, посвященная определителям,
появилась лишь через 72 года, в 1750 году; опа принад-
принадлежит Г. Крамеру.
Почти одновременно с Лейбницем, в 1683 году, к по-
понятию определителя иршнсл японский математик Секи
Кова Шипсуке. Он усовершенствовал «фап-чэн»—метод
решения системы п липейных уравнений с п неизвестны-
неизвестными, содержащийся в древнекитайской «Математике в де-
девяти книгах», датируемой между III в. до п. э. и 1 в. п. э.
§ 1. Вычисление определителей
Методы вычисления определителей весьма разнообраз-
разнообразны. В этом параграфе мы приведем некоторые наиболее
важпые из них па примере вычислений конкретных опре-
определителей.
Напомним основные свойства определителя матрицы.
1. При перестановке двух строк (или столбцов) опре-
определитель изменяет лишь знак. Из этого, в частности, сле-
следует, что определитель матрицы с двумя одинаковыми
строками равен нулю.
2. Определитель матрицы не изменится, если к одной
из ее строк прибавить линейную комбинацию других
строк.
п
3. | пц |" = 2j (— l)l+i ацМц, где А/ч — определитель
3=1
матрицы, полученной из матрицы ]|ey|i вычеркиванием

12
ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
i-й строки и /-го столбца (формула разложения опреде~
лителя по i-й строке). Для доказательства этой формулы
пужно сгруппировать сомножители при элемоптах aiS, где
i фиксировано, / = 1, ..., п.
! +
... a1
... а„
"П2
а,„ ... а.
"П2
6. ()
1.1. Прежде чем перейти к вычислению определите-
определителей, докажем правило Крамера, которое как раз и по-
появилось в первой опубликоватюй работе об опреде-
определителях.
Теорема (правило Крамера). Рассмотрим систему
линейных уравнений Х\пл + ... + xnain = bt (г = 1, ..., п),
т. е. xiAi +... +хпАп = В, где А, обозначает ]~й столбец
матрицы А = || ац ||", а В — столбец свободных членов Ъ(.
Тогда zjdet^-Ai, ..., An) = det(Au — Ai~iBAi+i, ..., An).
Доказательство. dot(^l5 ..„fi, ..., An)=det(Av ...
j ..., An) = '2ixsuet(Al, ..., A}, ..., An) =>
lt ..., An), так как при ]Ф1 получается
определитель, содержащий два одинаковых столбца.
В случае, когда det(.Ai, ..., Ап)*£0, получоппая фор-
формула может использоваться для нахождения решеиий си-
системы линейных уравнений.
1.2. Одним из наиболее часто встречающихся опреде-
определителей является определитель Вапдермонда
= П (*•-«,).
Чтобы вычислить этот определитель, для к = п, п— 1, ...
..., 2 вычтем из к-то столбца (к — 1)-й столбец, домно-
женный па х\. При этом первая строка примет вид
A, 0, 0, ..., 0), т. е. вычисление определителя Вандер-
монда порядка п сводится к вычислению некоторого оп-
определителя порядка п— 1. Вынося для каждой строки

§ i. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
нового определителя мпожитель xl — xi, получим
13
V (xv ..., хп) =
4
~n—2
~"—2
х
„П—2
x
При n = 2 равенство F(xi, 3:2) = ^2 — ^i очевидно, поэтому
П
Большинство применепий определителя Вандермонда
связано с тем, что V(x\, ..., хп) = 0 тогда и только тогда,
когда среди чисел х\, ..., хп есть два равных.
1.3. К вычислению определителя Вандермонда сво-
сводится вычисление многих других определителей, напри-
например, следующего определителя весьма общего вида.
Пусть j(t) = aoln + aif1 + ... + ап — многочлен ге-й сте-
степени; Cij = f(t) при t = x + h(i + j), где х п h фиксиро-
фиксированы. Тогда
Для наглядности доказательства проведем при п = 2
и укажем, какие изменения пужно сделать в общем слу-
случае. Разложение в ряд Тэйлора позволяет записать мат-
матрицу С = \\су\% в виде произведения двух матриц
/"И/2
f"{x+h)/2
/(* + *)
/(*+2А)
1
BfeJ\
2& .
1 }
Первую из этих двух матриц тоже можно представить
в виде произведения двух матриц
~2 \ /а а.
X
(* + *)
(.г + 2k)
О О
(в общем случае элементами второй из этих матриц яв-
являются числа ay = oj_jCn.i-j-j)- Итак,
|cv|? = (%+1(C°nCln ... Cnn)V(nh, (n - 1)A, ..., 0)x
Ц
0 (»-

14 ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Учитывая, что л! (п — 1)! (п — 2)! ... 1! ■■= Ц (i — /с),
0<h<i<:n
получаем требуемое.
1.4. Несколько слояшее, чем определитель Вандер-
монда, вычисляется определитель Коши |яу|™, где а,3 =
( +Ы1
Докажем по ипдукции, что
I «»i I" = П (*i - Ъ) (Vt - У)IИ (*i r »j).
В качестве базы индукции возьмем а^\\= (xt+ у if1. До-
Доказательство индуктивного тага проводится в два этапа.
Вычтем сначала последний столбец из всех предыдущих.
Получим а'ц = (xi f у;) — (xi -|- уп)~г = (уп — Vj) (zi +
+ Уп)~\х1 ~Ь Уз)~х при 7 т^= га. Из всех строк вынесем мно-
множители (xt+yn)~l, а из всех столбцов, кроме последне-
последнего,— множители уп — у}. В результате перейдем к опре-
определителю |b«|i, где Ъц = пц при 7" Ф п и bin = 1. Для вы-
вычисления этого определителя вычтем последнюю строку
из всех предыдущих. Вынося из всех строк, кроме по-
последней, множители xn — Xi, а из всех столбцов, кроме
последнего,— множители (х„ + У;)~1, можно перейти к оп-
определителю Копти | ац |™ меньшего размера.
1.5. Матрица Л вида
О 1 0 ... О
О 0 1 ... О
оо..; 1
«1 «2 ••• вп-1,
называется матрицей, Фробениуса, циклической матрицей,
а также сопровождающей матрицей многочлена р(А,) =
= ХП — ап-\Кп~1 — а„_2Хп" — ... — яо. С помощью разложе-
разложения по первой строке легко проверить по индукции, что
dDX£r) (lI ) A)(М
1.6. Матрица Ijayl1", где оч = &,--л причем bh = b,, если
&^=ЦтоAм), называется циркулянтом.
Пусть si, ..., е„ — попарно различные корпи ге-й сте-
степени из едипицы; f(x) — bo+biX + ... + bn-ixn~l. Дока-
Докажем, что определитель циркулянта равен /(ei)/(82)...
.../(е„). Справедливо даже более сильное утверждение:
числа /(ei), ..., /(е„) являются собственными значения-
значениями матрицы ||ау||" (см. пп. 11.5 и 11.6).

§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Легко проверить, что при п ~ 3
П 1 4
15
'/(О /d) /d) \ /1 1 1'
= ( / Fj) V (M «J/ (ei) =-- / A) / (в») / (e2) И ei ei |.
Поэтому 7A, <•!, е,)|ву|; = /A) /(Pl) /(e.) 7 (i, Elt e2).
Учитывая, что определитель Вандермонда 7A, ei, ег)
отличен от пуля, получаем |flij|? = /A) /(ех) /(е2). В об-
общем случае доказательство аналогично.
1.7. Матрицей Якоби (или трехдиагональной матри-
матрицей) называется квадратная матрица ^ = |fly||i с дей-
действительными элементами a.h равными нулю при \i — j\ >
> 1. Пусть ai = a.n при t=J, ..., п, 6? = а,,,+1 и Ci =
при г = 1, ..., м— 1. Тогда матрица Якоби имеет вид
2
О
0
0
0
0
0
0
"П-1
Для вычисления определителя матрицы Якоби можно
воспользоваться следующим рекуррентным соотношепием.
Пусть Aft — | я у I* при к>1, До = 1. Используя разложение
матрицы |! «у Hi по к-й строке, легко проверить, что Afc =
= asAfc_i — bk-\ck-\Ak-2 при к>2. Из получеппого рекур-
рекуррентного соотношения видно, в частности, что Дп (опре-
(определитель матрицы /) зависит не от самих чисел 6„ с,,
а лишь от их произведений вида Ь<с*.
Величина
«1 *
-1
О
-1 «,
О
. 1
— 1

16 ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
пазывается контииуантой, потому что цепная дробь
равна \-^ 7-т. Докажем это утверждение по ипдук-
(а2аз ••• п)
ции. Ясно, что ах -\ = * ^. Остается доказать, что
ап)'
ап)
т. е. а\ (п2 ... ап) + (аз . • • ап) = (а\... а„). Это равенство сле-
следует из доказанного выше рекуррентного соотношения,
так как (aia2. ..an) = (an .. .a2ai).
1.8. При умножении строки квадратной матрицы на
число % ее определитель тоже умножается на Я, а при
прибавлении к строке любой другой строки определи-
определитель не изменяется. Эти утверждения можно обобщить
для преобразований сразу нескольких строк. Рассмотрим
матрицу Л = I А л„_1» гДе -^п и -^22 — квадратные
матрицы порядка тип соответственпо. Пусть D — квад-
квадратная матрица порядка т; В — матрица размера пХт.
Теорема.
DAX
DA
12
= \D\-\A\ и
Доказательство.
IDA
n
1
D
11
i-BA.
11
12
*22+В
12
*12
В
11
Е О
+ BA,J=[B E
А А
Л21 Л22

§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
17
ЗАДАЧИ
1.1. Матрица -<4 = ||ау||" кососимметрическая, т. е.
вц = — пц, причем п нечетно. Докажите, что \А\ =0.
1.2. Докажите, что определитель кососимметрической
матрицы четного порядка не изменится, если ко всем ее-
©лементам прибавить одно и то же число.
1.3. Вычислите определитель кососимметрической мат-
рпцы А-n порядка In с элементами 1 над главной диа-
гоналыо.
1.4. Докажите, что все члены разложения определи-
определителя порядка п, где п &? 3, не могут быть одновременна
положительными.
1.5. Пусть ац = ан~я. Вычислите определитель |ау)?.
1.6. Пусть
1
X
с*
г3
— 1
h
hx
hx2
0
—1
h
hx
0
0
— 1
h
при
Д„ определяется аналогично. Докажите, что An =
1.7. Вычислите определитель |су|", где Cij =
i Ф j и си = Хи
1.8. Пусть ам+1 = с< при i=l, ..., n (an,n+i = an,i).
а остальные элементы матрицы Л = ||оу|" нулевые. Дока-
Докажите, что определитель матрицы Е + А + А2 +... + Ап~*
равеп A — с)"-', где с = с\... с„.
1.9. Вычислите определитель l^ijli, где ffly™1
1.10. Пусть ац = C4+i. Докажите, что | «ij I™ = 1.
1.11. Докажите, что для любых действительных чисел
а, Ь, с, d, e и /
(a + b)de~{d + e)ab ab — de a + b—d—e
(b -f с) ef — (e + /) be Ъс — ef b + c — e — f
(c~\- d) fa — (/ -f- a) cd cd— fa с ~\- d — / — a
Определитель Banдермоида
= 0.
1.12. Вычислите определитель
„n—2
id-1
\П—1
2 в. В. Прасолов

18 ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.13. Вычислите определитель
1 Х„
гп—2
х
-п-1
1.14. Вычислите определитель |а^|о, где rtift = л? ''х
1.15. Пусть V = 1| а*,-1|™, где а у = х\~х,— матрица Вап-
дермопда; \\ — матрица, полученная нз V вычеркиканнем
(й+1)-го столбца, состоящего из к-х степеней, и добав-
добавлением w-го столбца, состоящего из п-х степеней. Докажи-
то, что detVk = an-k{xu .... x7l)detV, где at(xu ..., хп) —
г-я элементарная симметрическая функция (см. п. 4.1).
1.16. Пусть »а = С(п. Докажите, что | яу Ц = иг(г+1)/2
При Г «ё П.
1.17. Даны целые числа к\, ..., кп. Вычислите опреде-
определитель |ау|", где ai} = l/(kt + ]— i)l при Iti + j-i^O и
ау = 0 при fc, + 7-i<0.
1.18. Пусть sh — рух\ -f... + РпЛ, ац ^= Si+,-. Докажи-
Докажите, что | ац ft = рх .. . рп П (хг — xif-
1.19. Пусть sft = х\ +... + х\. Вычислите опреде-
определитель
1
Я —1
sn
sn+l
П-1
У
1.20. Пусть ац — (xt + у})". Докажите, что „
1.21. Найдите над полем С все решения системы
уравнений Xj +... + Х£ = 0 (к = 1, ..., к).
1.22. Пусть ok{xo, ..., хп) — к-я элементарная симмет-
симметрическая функция, 00 = 1; о»(^i) =■ Ой(#0, •__;., я;«-ь ^i+i? •••
..., хп). Докажите, что если aa = ot(xj), то 1яу|о==

§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 19
Соотношения между определителями
1.23. Пусть &« = (-l)'+Ja«. Докажите, что |ау |"= | Ьу ("♦
1.24. Докажите, что
Vl Vl Vl «А
Я3С1 "A a3C2 aid2
1.25. Докажите, что
аг 0 О bt о О
О а2 О I) b2 U
О 0 в, 0 Об,
зз
_
ах а2
а3 а4
■
С1 С2
с3 с4
■
d3 dx
а2а22 —
— b3b
3b33
1
si
.26. Пусть
-ап ...
-««, •••
Sft
*l
sn
= 2
г=1
-вш
-апп
i- Докажите, что
1.27. Докажите, что
/■."•ft
... СГ1
... а.
'n+fc
1.28. Пусть Л„ (к) = | оу |о, где ау = C&j. Докажите,
An (А.) = 1.3...Bя-1) Лп~11* ~ 1}>
1.29. Пусть £)„ = | ау |о, где яч = С^*. Докажите,
что Z)n = 2n(n+1)/2.
2»

20
ГЛ. I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ft
1.30. Даны числа а0. аи ..., я2п. Пусть Ьк=2 (— *У С{аг
• = 0, ..., 2м); а„ = ai+i, btl = bl+J. Докажите, что
|o
1.31 [Фидлер, 1981]. Пусть
Л =
Ап Ап\
-22
где Лц и #и, а также Л22 и #22 — квадратные матрицы
одного порядка соответственно, причем гкЛп—гкЛ и
гк /?22 = гк В. Докажите, что
» •* I Л ! RI .1 Л 111,
-*22l
11
21
22
1.32. Пусть А ж В — квадратные матрицы порядка п.
п
Докажите, что |Л|-|Д|= 2|-^и|-|^«1' гДе матрицы
Л л и Вк получены из Л и В обменом столбцов с номера-
номерами 1 и А; соответственно (первый столбец матрицы А и
к-ж столбец матрицы В меняются местами).
1.33. Даны столбцы Л^ ..., Лр, В\, ..., Вп-Р, С\, ..., СР
длины п. Пусть а« = \A,BCj\ — определитель матрицы
{Ai...Ai...APB\ ...Bn-tCj). Докажите, что |flyli =
= | АВ \р~11 ВС\\ (тождество Базена).
§ 2. Миноры и алгебраические дополнения
2.1. Во многих случаях для матрицы Л бывает полезно
рассмотреть определитель матрицы, элементы которой
стоят на пересечениях некоторых р строк и р столбцов
матрицы Л. Такой определитель называется минором р-го
порядка матрицы А. Для удобства введем следующее обо-
обозначение:
ai h
12
Если i\ = k\, ..., iP = kIi, то минор называется глав-
главным, а если ц =- к\ = 1, ..., iP = кр = р, то — угловым.
2.2. Ненулевой мипор максимальпого порядка назы-
называется базисным, а его порядок рангом матрицы.

§ 2. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛЕ1ЕНИЯ
21
Теорема. Если Л
(д. д. I —
базисный минор мат-
матрицы А, то все ее строки являются линейными комбина-
комбинациями строк с номерами i\, ..., tp, причем сами эти стро-
строки линейно независимы.
Доказательство. Линейная независимость строк-
с номерами i\, ..., ip очевидна, так как определитель мат-
матрицы с линейно зависимыми строками равен нулю. Оче-
Очевиден также случай, когда размер матрицы Л равен
тХр или р X т.
Доказательство достаточно провести для базисного
/1 ... Р\
минора AL _ _ р\. Определитель
*n
равен нулю как при / < р, так и при / > р. Разложив его
по последнему столбцу, получим соотношение вида
+ U2jC2 + . ..+ upjCp + uijC = О,
не зависят от / (но зависят от i),
Ф®- Зпачит, i-я строка равна ли-
липервых р строк с коэффициентами
сР, с
р
где числа с\, , Р
A ...
1
нейной комбинации
-Ci/C, /
-Ср/С.
Следствие 1. Если А
I д. д. I —
базисный минор,
то все строки матрицы А лежат в липейпом подпростран-
подпространстве, порожденном строками с номерами ij,_:_;_u_iJit-Boaio~.
му ранг матрицы А равен наибольшему числу ее линейно
независимых строк. —-^
Следствие 2. Аналогичные рассуждения можно
провести и для столбцов, поэтому ранг матрицы равен
наибольшему числу ее линейно независимых столбцов.
2.3. Определитель произведения двух непрямоуголь-
пых матриц можно выразить через мипоры сомножителей.
Теорема (формула Бипе — Коти). Пусть А и В —
матрицы размера пХт и тХп соответственно, причем
п^ тп. Тогда
dot А В = 2 Ak hnBhv"kn
hn

22 ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
где Ак кп— минор, полученный из столбцов матрицы
А с номерами ki, ..., кп, а В1 п—минор, полученный
из строк матрицы В с номерами ки ..., /г,,.
m
Доказательство. Пусть С — АВ, с^ = 2 <чФь.%.
Тогда det С — 2 (— 1)° 2 ац^осп • ■ • 2 аикпЬьпа(п)
m
= Zj alh, • • ■
h
m
— 2 aift • • • anknB v "• Мпнор i? г" " отличен от
нуля, только если числа ки ..., кп попарно различны,
поэтому суммирование можно вести но попарно различным
ftlt ..., А-п. А так как В "'" п' — (— 1)ХВ v" n для лю-
любой перестановки т чисел klt ..., кп, то
= h <h 2 <fe (- l)T«it(i) • ■ • апх(п)Вк^-Ьп =
2 Ah KBki"\
Замечание. Другое доказательство csr. в решении
задачи 28.7.
2.4. Напомпим формулу разложения определителя по
г-й строке:
п
A)
где Af^ — определитель матрицы, полученной пз матрицы
А = || ay ||" вычеркиванием г-й строки и у-го столбца. Чис-
Число At} = (—l)i+1Mij называется алгебраическим дополне-
дополнением элемента а,, в матрице А; ясно, что Ац — сумма
всех сомножителей при ау в разложении определителя
матрицы А.
Определитель можпо раскладывать не только по одной
строке, но и по нескольким. Фиксируем строки с номе-
номерами U, ..., ip, где U < h < ... < ip. В разложение опре-
определителя матрицы А входят произведения членов разло-

§ 2. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 23
<ения минора А К _ _ ; |, где /,<...</„, на члены
азложения минора ^l/ .../")' гДе гр+1<...<гП)
p+i < ... < уп, причем никаких других членов в разло-
кении определителя матрицы Л нот. Чтобы вычислить
шаки при этих произведениях, переставим строки и
яолбцы так, чтобы мипор А ( ,■ ;- 1 стал угловым.
[[ля этого нужно совершить (i\ — 1)+ ... + (гР — р) +•
+ 0i — 1)+ • ..+(;р — р)= j + /(mod2) перестановок, где
i-«i + ... + fp,y-/, + ... + /,. Число (-Ц
называется алгебраическим дополнением минора
... у I- Нами доказано следующее утверждение.
Теорема 1 (Лаплас). Фиксируем р строк матри-
матрицы А. Тогда сумма произседений миноров порядка р. при-
принадлежащих этим строкам, на их алгебраические допол-
дополнения равна определителю матрицы А.
Матрица adj A = WA^ называется присоединенной
к А. Докажем, что A(&d}A)=\A\ -E. Для этого нужно
п
проверить, что 2 'hjA^j — &м\А\. Нри k — i эта формула
совпадает с A).. Если же к Ф i, то заменим fc-ю строку
матрицы А на г-го. Определитель полученной матрицы
равен нулю; разлагай его но к-й строке, приходим к тре-
п п
буемому равенству: 0=2 «ftj^ftj = 2
ji i=
Если матрица А невырождена, то A~l ()
Теорема 2. Операция adj обладает следующими
свойствами:
a)
б) j() (
в) если АВ = ВА, то (j)(j)
Доказательство. Так как для обратимых матриц
выполнено равенство (АВ)~1 =В~*А~\ то свойство а) вы-
выполнено для невырожденных матриц. Обе части равепства
а) непрерывно зависят от элементов матриц А и В, по-
поэтому оно выполпяется для всех матриц. Свойство б) оче-
очевидно следует из а).

24
ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Если АВ = В А и матрица А обратима, то Л {АВ) А~1 =
= А-\ВА)А~\ т. е. ВА-1=А~1В. Поэтому свойство в)
выиолпяется для обратимых матриц А. Для вырожденной
матрицы А рассмотрим матрицы X{X)~[&d]{A+KE)]B
и У (Л) = Б [ad j (Л + ХЕ)]. Для почти всех X матрица
А + ХЕ невырождена, и в таких случаях выполняется
равенство X(X)=Y{X). Элементы матриц Х{Х) и Y{X)
являются многочленами от X, поэтому X{X) — Y(X) для
всех X. В частности, Х@)=У@), т. о. {a.d)A)B=*
2.5. Миноры матрицы А и дополнительные к ним ми-
миноры матрицы (ad^)r связаны весьма простыми соот-
соотношениями.
Теорема 1. Пусть Л —Цяу!;", (ad^)T —
К р < п. Тогда
А А,
= \А\*
PV
■п.Р+1
Доказательство. При р = 1 утверждение совпа-
совпадает с определением алгебраического дополнения А
Пусть р> 1. Из равенства
Ап ... А1р
рх * *' рр
К 0
Л1,р+1 ■■■ Ат
■"р,р+1 • • ■ рп
Ё
'11 • • •
Ml
о'-.0
\А\
ai,v+i ■■•
«in •"
0
••• ап,Р+1
■ • • Sm
следует, что
Ап ... А1
... Аг
аР+1.Р+1 '•• аР+1>п
ап,р+1 * • ' а"«
Если |Л| т^О, то, сокращая на \А\, получаем требуемое.
Для |Л|=О утверждение следует из непрерывности по
пц обеих частей требуемого равепства.
Следствие. Если матрица А вырождена, то

§ 2. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
25
Доказательство. При р = 2 получаем
и
аЗп
... а„
Аналогично можно доказать, что равны пулю п все дру--
гие лшноры порядка 2 матрицы adj^.
Чтобы доказать для произвольных миноров теорему,
аналогичную теореме 1, посмотрим, как преобразуется
присоединенная матрица при перестановке двух строк
пли столбцов.
Теорема 2. При перестановке двух строк матрицы
А в присоединенной матрице происходит такая sice пере-
перестановка столбцов и все ее олементы меняют знак.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в матрице А порестав-
лепы строки с померами i и /. Для алгебраических допол-
пений АРГ1, где р Ф i, j, утверждение теоремы очевидно,
так как получаются мипоры с переставленными строка-
строками i и /. Для алгебраического дополпепия Ащ получится
мипор, для преобразования которого в минор Miq нужно
сделать \i-j\-i перестановок строк. Поэтому А-щ —
Теорема 3 (Якоби). Пусть А •= || ац |", (adj A)T =
становка. Тогда
Ал ! ... А: ;
) у
= ( . . 1—
Vi ••■ in1
произвольная пере-
Ч„
*
' ' '
Доказательство. Применим теорему 1 к матрице
— liawfi, где я =a
Получим
vp
p+l.p-1-1
rl
Ир+1,п
A)
Согласно теореме 2 Аи — (—1)а Aikjr Яспо также, что
\А'\ =(—1)°|Л1. Сокращая обе части равенства A) на
{(—1)')р, получаем требуемое.
2.6. Кроме нрисоедппенпой матрицы иногда рассмат-
рассматривают ассоциированную матрицу рМу!", составленную
из миноров порядка п — 1 матрицы А. Определители при-

26 ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
соединенной и ассоциированной матриц равны (см., на-
например, задачу 1.23).
Можно также рассмотреть для матрицы А размера
тХп матрицу, составленную из миноров порядка г, где
г<тт(т, п); миноры при этом упорядочиваются лекси- ^
кографически. Полученная матрица СГ(А) называется'
r-й ассоциированной для матрацы А.
Используя формулу Бине — Когаи, можно проверить,
что Cr(AB)=Cr(A)Cr(B).
Для квадратной матрицы А порядка п определители
матриц А и С, (А) связаны соотношением
det Сг {А) = (det А)р, где р = С£\.
Наиболее простое доказательство этого утверждения ис-
нользуот понятие внешней степени (см. п. 28.5, тео-
теорема 3).
2.7. Пусть 1 < т < г < п, А = \ ац |;1П, Ап == | ау |",
Ат ~~ ! Щ |Г- Рассмотрим матрицу Srm,n, составленную пз
миноров порядка г матрицы А, содержащих угловой ми-
минор Ат', определитель этой матрицы является минором
порядка Cn^m матрицы С,(А). Определитель матрицы
Srm,n можно выразить через Ап и Ат.
Теорема (обобщенное тождоство Сильвестра).
Где р — Ьп-m-i,
т~1
Доказательство [Мор, 1953]. Докажем равенство
A) индукцией по п. При ге = 2 оно очевидно. Матрица
£о,п совпадает с СГ(А), а так как \СТ{А)\ = Ачп, где д =
= С'п"!1! (см. п. 28.5, теорема 3), то равепство A) спра-
справедливо в случае тга = 0 (считаем, что /10 = 1). Обе части
равенства A) являются непрерывными но ац- функциями,
поэтому доказательство индуктивного шага достаточно
провости„з случае, когда а\\Ф0. Все рассматриваемые ми-
миноры содержат первую строку, поэтому из строк с номе-
номерами 2f'*..., п можно вычесть первую строку, домножен-
яую на произвольный коэффициент, и определитель мат-
матрицы 5m,n при этом не измепится. С помощью такой
операции все элементы первого столбца матрицы А, кро-
кроме элемента ап, можно сделать нулевыми. Пусть А —
матрица, полученная из новой матрицы вычеркивапием
первой строки и первого столбца; 5j^i,n-i ~ матрица,
составленная из миноров порядка г— 1 матрицы А, содер-

§ 2. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 27
жащих ее угловой мпнор порядка /га — 1. Очевидно, что
С ^ с—i "Кг—1
•Зт.п = "ll^m—i,n—it Причем К Матрице От—],п—1 МОЖНО
применить предположение индукции (случай т— 1 = О
был рассмотрен отдельно). Кроме того, если Ат~\ _п
Лп-i — угловые миноры порядка то— 1 и п— 1 матрицы А,-
то /1„| = ап-^fm-i и Лп = ацЛ^п-1. Поэтому
где * ■--- С;"™, /^ = С;-™_! = ри?1 = С;"!™, = 7. Учи-
Учитывая, что t = p + q, получаем требуемое.
2.8. Теорема (Чеботарев). Пусть р — просто?, число
и г = с?:р{2л!Iр). Тогда асе миноры матрицы Вапдермон-
да ЦаурУ, где ап = е°, отличны от пуля.
Доказательство [Решетник, 1955]. Предполо-
Предположим, что
-0.
Тогда существуют такие комплексные числа clt ..., clt не
все равные 0, что линейная комбинация столбцов с коэф-
коэффициентами а, ..., Cj равна нулю, т." е. числа £', . ..,е *
являются корнями многочлена с^х i -f- ... -|- Cjx'. Пусть
( х - е*0 ... ( х - е*0 = xi - Ь^-i + ... ±Ъ,. A)
Тогда
^ж1! + -..-!- e}xli r= (Ь^—Ь^-Ч-... ± &3-)(я^ + • ■ • 4-я0),
B)
где Ьо = 1 и а„ # 0. Для удобства будем считать, что
Ь, = 0 при f > / и t < 0. Коэффициент при а^+*"' в правой
части уравнепия B) равеп ±(asbt — as-J),-i + ... ± aQb,-s).
Степень многочлена B) равна s + /, причем лишь коэф-
коэффициенты при степенях 1\, .... /,■ могут быть ненулопымн,
а значит, найдется s + \ нулевых коэффициентов: a,bt —
— a,-ibi-\^-...±aobt-s = O при t = to, t\, ..-, t.. Числа
«о, ..., as-u а, не все пулевые, поэтому |сй(|о = 0 для
cM = bt _i. Пусть tk — l=x. Формула A) показывает, что
Ъг можно представить в виде многочлена /т(е) с целыми
коэффициентами, причем этот многочлен является сум-

28
ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
мой С] степеней числа е, а значит, /т A) = С]. Так как
си = Ь, ==Л(е), то |ctJ\l=g(е), причем g (i) = | су |J, где
сц = С I \ Многочлен q (х) — хр~* + ... + х 4- 1 неприво-
неприводим над Q (см. приложение, п. 2, теорема 2) и д(е) = О.
Следовательно, g{x)= q(x)y(x), где ф — многочлен с це-
целыми коэффициентами (см. приложение, п. 2, теорема 1)»
Поэтому £A) = дA)фA) = рфA), т. е. g(l) делится на р.
Чтобы прийти к противоречию, достаточно доказать,
что число g A) = | clj [о, где су = С^~1, 0 ^ th < j + s в
0<j + s^p — 1, не делится па р. Легко проверить, что
Д = \с'а\о = laij|o, гДе яы = C^j (см. задачу 1.27), в
- 7+т+т)
Следовательно,
Ь=о n>v
где Ao, A\, ..., A, — коэффициенты при панвысгаих сте-
степенях t в многочленах Ф&(£)= 1, ф! (f), ..., Ф»(£); степень
многочлена q>t(t) равна i. Ясно, что в полученном произ-
произведении нет несократимых дробей с числителями, деля-
делящимися на р.
ЗАДАЧИ
2.1. Нусть А — матрица размера пХп. Докажите, что
п
А + М?'| =- Хп -]- 2
где h — сумма всех С»
( Я1
главных мипоров ft-ro порядка матрицы А.
2.2. Докажите, что
«и--- «in
S

§ 2. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
29>
где Ац — алгебраическое дополнение элемента ай в мат-
матрице ajj ,j".
2.3. Пусть Иа«И™ —симметрическая матрица,
п п
, А(х, х) = 2
Докажите, что если 1 =С р < п, то
аи ... «1р А1(х)
"р\
рр
= — А (х, х) А,
*де 4 =
рр
2.4. Докажите, что сумма главных fc-миноров матрицы
АТА равна сумме квадратов всех fc-миноров матрицы А*
2.5.
"iaii
Я21
ат
Докажите, что
• • • ипат
•■■ а2.
••• апп
+... -1-
«11 ••■
иап1 ...
а2П
"nann
^("i-r- ... -\-и„)\А\.
Обратные и присоединенные матрицы
2.6. Пусть А и В — квадратные матрицы порядка п-
.Вычислите матрицу
: (Е А 0\-1
О Е В] .
\0 ОН}
2.7. Докажите, что матрица, обратная к невырожден-
невырожденной верхпей треугольной матрице, тоже будет верхней
треугольной.
2.8. Приведите пример матрицы порядка п, присоеди-
присоединенная к которой имеет лишь один ненулевой элемент,
причем этот элемент стоит в £-й строке и /-м столбце,
где г и ; заданы.
2.9. Матрица А кососпмметричЕШ, причем ее порядок
равен п. Докажите, что матрица adj А симметрична при
нечетном п и кососимметрична при четном п.
2.10. Пусть Ап — кососимметрическая матрица поряд-
порядка п с элементами —1 пад главной диагональю. Вычисли-
Вычислите adjj4n.

30 ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
2.11. Матрицу ас!](Л— %Е) можпо записать в виде
та—1
суммы % hhAk (гг —порядок матрицы Л). Докажите,
&=о -;
что: а) для любого к A<Кв-1) матрица А!:А — Лй_[
диагопальна; б) матрица Л„_„ выражается как мпогочлеи
степени s— 1 от А.
2.12. Найдите все такие матрицы Л, что все элемен-
элементы матриц Л и Л неотрицательны.
2.13. Пусть е — первообразный корень п-й степени
аз 1; Л — !!«ij|'", где ач = е". Вычислите матрицу Л.
2.14. Вычислите матрицу, обратную к матрице Ван-
дермопда V{xu ..., хп).
§ 3. Дополнение по Шуру
3.1. Квадратную матрицу Л можно записать в блоч-
блочном виде: Л —I . . , где Ли, Л и. Л21 и Л22 — мат-
\Л21 Л22>-
рицы размеров пХп, пХт, тХпжтХт соответствен-
соответственно. Если матрица Лц повырождена, то определитель мат-
матрицы Л можно следующим образом выразить через мат-
матрицы Лц, Л12, Л21 И Л22.
Теорема 1. Если \Ап\ ¥-0, то IЛ| = Ми|-|Л22 —
Доказательство. Достаточно заметить, что
11 Л12\ I E -.
Определение. Матрица (Л[Ли) = Лг2 — A21A1iA12
называется дополнением по Шуру матрицы Аи в мат-
матрице А. "'
Другрс доказательство теоремы 1 можпо получить, на-
например, цредставив матрицу А в виде
0\(А11 0\(Е Y^ (An AltY }
Э\Ми 0UE У\_ (Агг
Ej\O D)\0 Е/~ \ХАи
Для этого нужно взять X = A2lAYil, Y = A^A12 n D =
= Л22 — АпА^А1г. Полученное разложение матрицы Л
позволяет свести вычисление обратной матрицы Л~1 к вы-

§ 3. ДОПОЛНЕНИЕ ПО ШУРУ 3f
чжслению матриц А^1 и D~l. В самом деле,
А-1=(Е -Ag^UA-* О W Е 0\
\0 Е До Л 'У-^Ип1 Я/*
Теорема 2. Если \Ац\ ¥•(), т = п и А\\Ац
то \А\ = \A\1A22 — Л21^1?1.
Доказательство. Согласно теореме 1 | А | в
Теорема 3. Если и и v — строка и столбец, то
A v
— а | А\ — u(at\]A)v.
Доказательство. Предположим сначала, что.
\А\Ф0. Тогда Л " =\А\(а-иА-1и) = а\А\ —
и а
— и (adj A) v. Обе части полученного равенства непрерыв-
непрерывно зависят от элементов матрицы А, поэтому равенство
остается справедливым и для вырождоппых матриц.
Предельный переход в доказательстве теоремы 3 оче-
очевиден: вырожденная матрица А является пределом невы-
невырожденных матриц. Но в теореме 2 нужпо соблюдать
осторожность: условие А\\А2\ = А2\А\\ накладывает до-
полпительные ограничения. Л, например, условие
АпАтх2 = - А12А^ A)
лишает пас возможности приблизить вырожденную мат-
матрицу Л п невырождеппыми матрицами, удовлетворяющи-
удовлетворяющими этому условию. В самом дело, если А12 = L J,
т т (а °\
ХА12 = — А12Х тогда и только тогда, когда X = L oj.
Это приводит к неприятным последствиям. Если выпол-
выполнено условие A) и матрица Ац невырождена, то
det(I" I
\Л21 А
то
Но для матриц Ап = ^ Qj, А12= ^ Qj, Ап = ^ {J n
Ai2 = I „ 0), удовлетворяющих условию A), это равенства
но выполняется!

32 ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
3.2. Дополпение по Шуру естественным образом во;
пикает также при блочной записи обратной матрицы.
Теорема. Пусть А и D — невырожденные лштрищ
Тогда
А Д\-1 (\ Bi.
С Dj = \С1 Dx
где AZ1 = А — BD^C и D^1 = D — СЛ~гВ.
Доказательство.
ГА В\/А1 ВЛ 1АА1-\-ВС1 АВ1 + ВОЛ /р о\
\С Dj\Ci D J ~~ \ САХ + DC1 CB1 + DD1j^\O ЕГ
поэтому ABi + BDi=0 и CA^ + DCi = 0, а значит, #i =
= -A~lBDi и C1 = -D-iCA1. Далее, ААх + ВСх=^Е
CB\ + DDi = К. Следовательно, AA\ - BD~XCA\ = E
-CA^BD^+DD^E, т. e. Ax =(A -BD~lC)-1 и Di =
^(D-CA-'B)-1.
Замечание. Если В п С — невырождеппые матри
цы, то аналогично получаем D\ = —B~lAB\ и А\ =
--С-'ДС,. Далее, -AC~'DCX + ВС, = Е и СВХ
-DB~lABi=E, т. е. С, = E-AC~lD)~l и В^
xA\
С = Ац — квадратные матрицы, причем матрицы В и i
невырождены. Матрицу (В \ С) — А22 — A21A^l1Ai2 мон
но рассматривать как подматрицу матрицы (Л | С) -
Теорема (Хэйнсворт).
Доказательство [Островский, 1973]. Для матри
цы Л*можно записать следующие разложения:
"" ° °\(Е * -Х-\
я ° о , 1
о е)\о ^сЧ
<Аи Л12 °\ IR О
31 32
Л„ Аш Е ПО О (А\В)

§ 3. ДОПОЛНЕНИЕ ПО ШУРУ 33
Рассматривая дополнение но Шуру матрицы Аи в левом
сомножителе разложения B), можно записать
C)
Следовательно, АцХ2 = 0, а так как матрица Аи певы-
рождеиа, то Хг = О. Поэтому 0 = АцХ^Л- X4 = Х4 и Е =
/ли Ai
= А3\Х2 + Xs = Х6. Ясно также, что . ,
\Л21 Л2
iAn owe хл
= I л г L у Ь т- е- Хъ = (В\С). Подставим теперь
разложение C) в B) и сравним полученное выражение
с A):
лп ° O\jb Mr *Ч
А21 Е О О
^31 о Wl.o MIC)/
о ^
Сокращая обо части этого равенства слева на невырож-
невырожденную матрицу, получаем, в частности,
,(В\С)
{A\B)j
В |С) 0\ IE
* Я.) I О
Разложение такого вида единственно.
ЗАДАЧИ
3.1. Пусть А — квадратная матрица. Докажите, что
# АЕ
где 2 М* — сумма квадратов всех миноров порядка к
матрицы А.
3 в. В. Прасолов

34 ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
3.2 [Эдельмап, 1976]. Пусть А — матрица размера
п X п, U и V — матрицы размера п X т и S — матрица
размера тХт, причем матрицы A, S, А + VSIF и S~x +
+ VTA~lU невырождепы. Докажите, что
а) (А + USV*)-1 - А-1 - A-lU{S~l +
б) (A + USVT)<US A1(Si
в) SVT(A
г) 5-5Ут( )(
3.3. Пусть
A2 4 7
3 5 8 И
6 9 12 14
ю 13 15 1в;
матрица Л„ для произвольного ге определяется ана.югич-
по (на диагоналях, перпендикулярных главной, стоят
последовательные натуральные числа). Докажите, что
Ul(l)*fc(ftl) и \\1кк*
§ 4. Симметрические функции, суммы степеней
и числа Бернулли
Этот параграф посвищен различным дотерминантным
выражениям дг.» симметрических функций, сумм степе-
степеней и чисел Бернулли. Большинство из отих выражений
возникает из соотношений, являющихся системами ли-
линейных уравнений, при решении этих систем по правилу
Крамера. В большинстве ил рассматриваемых случаев
однородной части системы линейных уравнепий соответ-
соответствует треугольная матрица, поэтому в выражении оста-
остается только один определитель.
Для получения требуемых соотношении используются
некоторые известные факты о симметрических функциях
и числах Бериулли. Все эти факты приведены с полны-
полными доказательствами.
4^»~Пусть ак(х\, ..., хп)—к-я элементарная симмет-
симметрическая функция, т. е. коэффициент при хп~" в много-
многочлене (x + Xi).. .(х + Хп)', будем считать, что ak{xlm ...
..., £„) = () при k>n. Пусть, далее, «k(xv ..., жп) =
= х\-{-... -\- хп. Докажем сначала, что
Sft - Sft_i0i + Sft-202 - . . . + (-l)*fc0\ = 0.
Произведение sk-PoP состоит из членов вида хСр{х^ ...
...Xj V Если i^ij], ..., jp), то этот член сокращается

§ 4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 85
с членом х\~р+\х}1.. ■ Xi... ^р) произведения sk-p+\oP-u
а если i&iji, ..., /Р}, то он сокращается с членом
a$~p~1(xiXji ... xjp) произведения s»-p-i0p+i.
Рассмотрим соотношения
S2O1 — SiO
«ак систему линеГгпых уравнений относительно
С помощью правила Крамера получаем
1
•i 2 О
1
ак~к\
Аналогично
sh =
°1 «
0
ka
ft "fc-1
4.2. Наряду с симметрическими фупкциями ah и сум-
суммами степеней sk можно рассмотреть сумму однородных
мономов степени к
*!, ...,*„)=
2
А1 ■••
Получим сначала соотношения, связывающие рк и а*,
а затем соотношения, связывающие ph и sh. Легко прове-
проверить, что
1 + Л«+ />•*" +А*3+•.. =
= A+^1+ (*!*)«+ ...)•• • A +*»«+(*»«)'+ ••■) =
11;

36
ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
т. е.
pi-oi = 0
Рй — PlOl + 02 = O
Рз — P20I + РH2 — 03 == О
Следовательно,
Pk-l Ph-2 i
Ph Ph-1 • • • Pi
И ft =
*1 *
0
ft-1 °h-2 *
ft ай_х ... ax
Получить соотиотепия, связывающие рк и sk, несколь-
несколько сложнее. Рассмотрим функцию j (t) == (I — xtt)...
,..{\-xnt). Тогда
_ 1Ж - /_L_V -
Поэтому
'l
l-xnt)f(ty
С другой стороны, {fit))'1 = 1 +1
этому
т. e.
Следовательно, sh = (— I)*1-
+p3t3 +..., по-
поp 1 °
Pft-2 ••• !
— 1
— 2
о
fc-1 • • •

kn
kn~2
к
с»-2
n—l
0
0
rn-3
71—I • • •
cn—^
0
0
1
1
1
1
§ 4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 37
4.3. Перейдем к рассмотрению свойств суммы степе-
степеней первых членов натурального ряда. Пусть Sn(ft)=»
= 1" +... + {к — 1)". Докажем, что
n-i (к) — —J-
Заметим сначала, что этот определитель не изменится,
если из первого столбца вычесть последний.
Сложим равенства (ж + I) — х™ = 2 Стхг для х =»
i-0
m-l
= 1, 2, ..., к- 1. В итоге получим кт — 1 = 2 CmSi (к).
«=0
Набор таких равенств для т = 1, 2, ..., п можно рассмот-
рассмотреть как систему линейных уравнений относительно
Si (к); иэ этой системы получаем требуемое выражение
для Sn-i{k).
Из полученного выражения для Sn-\(k) видно, что
Sn-i(k) — многочлен стогтени п от к.
4.4. Приведем теперь матричные выражения для
Sn(k), из которых, кстати, следует, что многочлен Sn(x)
полиномиально выражается через S\{x) и 5г(ж); точпее
говоря, справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть u = Si(x) и v = S2{x). Тогда при
к &* 1 существуют такие многочлены ph и qk с рациональ-
рациональными коэффициентами, что S2h+i{x) = u2pk(u) и S2h{x)=*
= vqh(a).
Чтобы получить выражение для О2»+!, воспользуемся
равенством
П —1
[п(п — 1)]г = 2 (яг(ж + 1)г — хт(х- 1)г) =
«с=1
= 2(^2 я21-1 + с3г 2 *2Г-3 + Я 2 *2Г-* +•••)■ A)
Эти равенства для г = 2, 3, 4, ... можно записать в мат-
матричном виде:
[n(n-i)f\
ln(n-l)] =
[и (я-1)П

38
ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Все получоыпые матрицы конечного порядка невырожде-
невырождены, поэтому
S&(n)
S7(n)
^KJ-1
[n(n-l))s
[«(ra-1)]4
Из полученной формулы видно, что S2k+i(n) выражается
через п(п — 1) = 2и(п) и делится на [п(п— I)]2.
Чтобы получить выражение для £2», воспользуемся
равенством
П-1
(п — 1)' =
— (а: —
- cl)
х=1
Предварительно, однако, из пего нужно исключить не-
нечетные степени с помощью равенства A). В результате,
учитывая, что Cr+i — C\ = Cl~x, получим
пг+1(п—1)г =
т. е.
nr {n _ i)r
Теперь аналогичпо предыдущему случаю получаем
Sm (n) \
4 (га)
2п —
где
то многочлены
_ о / \ 2п — 1 п In — 1)
Так как 52 (п) = —^ к—^—'-,
Se(n), ... делятся па 5г(и), причем частпое является мно-
многочленом от. п (п — 1}=2и(п), . ,

§ 4, СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 39
4.5. Во многих теоремах анализа и теории чисел встре-
встречаются числа Бернулли Вк, возникающие при разложе-
разложении в ряд функции
fe=O
Легко проверить, что Во = 1 и В\ = —1/2.
С помощью чисел Берпулли моягао представить
Sh(n)= 1*+ 2* + ... + (п— 1)* в виде многочлена от ге.
т
Теорема, (те + 1) 5т (и) = 2 C5,+iftn™+i-*.
h=0
Доказательство. Представим произведение ря-
_ь— 2 (пх> в виде ряда двумя способами. С од-
ft=0 «—1
пой стороны, это произведение равно
п— 1 оо /m—I \
■т /»пж -|\ _ г V «™ — nr -L > I > г™ 1 - —
Х_^е —У)-х^е - пх , ^1 ^<- I m, -
V(w -f- 1) о (/ii
С другой стороны, это произведение равно
Z A-W -^опх+^^ы {т + 1)}
ft=0,s=l m=i ft=o
Приведем пекоторые деторминантные выражения для
Bh. Нусть bk=*BJk\. Тогда согласно определению
У Ъ а* 1
fe=o /
f ..-),т.
"зТ"+
— f^-
е.
h
=
о
+ -ЗГ-
l
2! '
1
3! '
1
~4Г'

40
ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Решая эту систему линейных уравнений по правилу Кра-
Крамера, получаем
1/2! 1 0 ... О
1/3! 1/2! 1 ... О
1/4! 1/3! 1/2! ... О
Bh = k\bh=(-l)*k\
:-l)! ... 1/2!
Докажем теперь, что B2h+i = 0 при к З5 1. Пусть
3j-=--J-+ /(*)• Тогда f(z)-f(—x)=-
X
е*-1
е_ж_1 -|- х = 0, т. е. / — четная функция. Пусть с
B2J{2k)\. Тогда
ж
ж
Приравнивая коэффициенты при ж3, ж5, ж7, ... и учиты-
1 1 2» — 1
вая, что
2Bн)!
1)! 2Bп + 1I
, получаем
1
2-3!
3
2-5!
5
51 -т- 31 "Г сз - 2-7! •
Следовательно,
■^2ft = BЛ1)! <"ь =
. ft+i
2
1/3!
3/5!
5/7!
l*>h tMOh Л. i\
1
1/3!
1/5!
1 *ltOlr—*\
О
1
1/31
О ..
О ..
1 ..
. 0
. о
. О
1/;
Рещенин задач
1.1. Так как Ат = —А и п нечетно, то \АТ\ = (—1)"|А| =
= —|Л|. С другой стороны, для любой матрицы \АТ\ = \А\. По-
Поэтому \А\ =-|Л|,т. е. \А\ =0.
1.2. Пусть А — кососимметричсская матрица четного порядка.
О 1 ...
— 1
Тогда матрица ( • А \ кососимметрическая нечетного по-

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
41
рядка, поэтому ее определитель равен нулю. Следовательно,
\А\ =
1
— х
О
О
О
U...1
— X
Вычитая первый столбец последней матрицы из всех остальных,
получаем требуемое.
1.3. К строкам с номерами 3, ..., 2я прибавим 1-ю строку и
вычтем 2-ю. U результате получим матрицу вида
0
— 1
0
1
0
0
1 ..
1 .,
.. i
.. i
О О
Следовательно, \Ап\ = |i4n-i|. Ясно также, что |.Ai| = 1.
1.4. Предположим, что все члены разложения определителя
порядка п положительны. Если пересечение двух строк и столб-
(х и\
цов определителя задает матрицу I I, то в разложении есть
члены xva и уиа., поэтому sign (xv) = —sign (yu). Пусть а<, Ь4
и С{—первые три элемента i-й стропи (i = 1, 2). Тогда
sign (aib2) = —sign (a2&i), sign (b\a) = —sign (b2ci) и sign (с^) =
= —sign (c2oi). Перемножая эти равенства, получаем sign p =
= —sigap, где р = aibiclaibici. Приходим к противоречию.
1.5. Для всех i^s 2 вычтем из i-й строки (i — 1)-ю строку, ум-
умноженную на а. В результате получим верхпюю треугольную мат-
матрицу с диагональными элементами пц = 1 и аи = 1 — а2 при
1> 1. Определитель атой матрицы равен A — а2)"-1.
1.6. Раскладывая определитель Дп+1 по последнему столбцу,
получаем Д„+1 = М„ + ЛДП = (х + h)hn- Ясно также, что hi =
1.7. Докажем индукцией по п, что искомый определитель ра-
Ри « = 2 это ут-
верждепие легко проверяется. Доказательство индуктивного тага
проведем для п = 3 (в общем случае доказательство апалогично):
вен Л (х{ — агЬ{) 1+2 (aibi/(xi— aih))-
j \ i
а
а
х\ а\
261 Х
А °3
Ь2 а
2 а
163
А
=
хг
-«А
0
0
по пи
1и2 13
Х2 п2Ъ-Л
Й362 Х3
+
«А «,
a2bl a
аз61 аа
Ь2 °А
2 в2Ь3
Ь2 аЗЬ1
Первый определитель вычисляется по предположению индукции,
а для вычисления второго определителя нужно вынести из пер-

42 ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
вой строки множитель а* и для всех г ^ 2 вычесть из г-й строки
первую строку, умноженную на а,-.
1.8. Легко проверить, что det (Е— А) = 1 — с. Матрица А яв-
является матрицей преобразования Aet = C(_iej_i, поэтому Ап —
— c'i... с„К. Следовательно, (Е + А -;-... + Л") (К — А) =
= К — Лп = A — с)Я, а значит, A — c)det (£ + Л + ... + Л*) =
= A-е)". При с Ф 1, сокращая на 1-е, получаем требуемое.
Определитель рассматриваемой матрицы непрерывно зависит от
ci, ..., с„, поэтому равенство остается справедливым и при с = 1.
1.9. Так как -^j^ = JL.-j-L_, то , а.. |» = 0 , Ьц (»
где о = — и Ьц = II (— — аг41, т. е. j bi3. |™ — определитель
Коши (см. п. 1.4). Поэтому
=°"~1 П & - "О (^ - жо/°п П A - "w).
1.10. Доказательство проведем индукцией по п при фиксирован-
фиксированном т. Пусть Ап = | ai;. [i™, где ау = C^j. У матрицы Ао на дпа-
гонали стоят единицы, а выше диагонали —нули, поэтому det Ao=
= 1. Рассмотрим матрицу В= j! Ъц jl™, где 6^ = 1 при f^m,
6i, «+i = 1 при i ^ m — 1, а все остальные элементы biS равны пу-
пулю. Так как с£+ C^-i _ с£+1, то ЛПВ = ^n+i. Ясно также, что
det/i = 1. Поатому detenu = delj4n.
1.11. Точки А, В, ..., F с координатами (а2, а), ..., (/2, /) лежат
па параболе. По теореме Паскаля точки пересечения пар прямых
АВ и DE, ВС и EF, CD и FA лежат на одной прямой. Нетрудно
проверить, что точка пересечеппя прямых АВ п DE есть
( (а + Ь) de — (d + e) ab de—ab \
\ d+e — a — Ь ' d + e — a — b)'
Остается заметить, что если точки (хи у{), (х2, 1/2) и (х3, уз) лежат
на одной прямой, то
1
Уз
= 0.
1.12. Пусть s = х\ +... + хп. Тогда k-& элемент последнего
п—2
столбца имеет вид (s — Ж),)" = (— «О" + 2 ?ixv СлеД°-

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
43
вательно, прибавляя к последнему столбцу лилейную ко.мСипацию
остальных столбцов с коэффициентами —ро, ..., —рп-2, приходим
к определителю
г«-2
П—J
(~~ хп)П
хп).
1.13. Пусть Д— искомый определитель. Умножая первую стро-
строку па х\, ..., и-ю строку па хп. получаем
где а = xi... хп. Переставляя последний столбец нового опреде-
определителя на первое место, получаем оД = (—l)"-1oV(a:I, ..., х„),
т. е. Д = (—l)n-'F(xI, ..., хп) при о^=0. Определитель Д непре-
непрерывно зависит от xi,..., хп, поэтому равенство остается справедли-
справедливым и при а = 0.
1.14. Так как *?"
= anF(H0. •••. И„), где ц, =
Учитывай, что ц, — р} =(hj— Х4) A —
+
то
и о = Х„...^„
4Х,-, получаем |nih|o
1.15. Добавим к матрице V (п + 1)-й столбец, состоящий из
и-х степеней, а затем первую строку A, —х, х2, ..., (—х)п). По-
лучепная матрица W снова является матрицей Вандермонда, по-
поэтому det W — (х + xt)... (х+ х„) det V = (an + an-i^ + ...
... + жп) det 7. С другой стороны, разложив определитель матри-
матрицы W по первой строке, получим det W = det Fo + x det Vt + ...
... + xn det Vn-i. Фиксируя x\, ..., жп, получим равенство двух
многочленов от х; значит, коэффициенты этих многочленов равны,
т. е. det Vh = an_ft det V.
1.16. Пусть х( = in. Тогда 011 =
X: (Xt — 1 )
ai2 = —i— ',
rj
_, т. е. в fc-м столбце стоят оди-
наковые многочлены к-й степени от х\. Так как определитель не
изменяется при прибавлении к его столбцам линейных комбина-
комбинаций других столбцов, то его можно привести к виду \ bih |j, где
2
bih = J\/k\ =(nhjk\) i\ Следовательно, | aih |J= | bih |{= и-i- ...

44
ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
... JL- r] V(l, 2, ...,г) = пг<г+1)/2, так как
«=2! 3! ...(г- 1)!.
1.17. Для I = 1, ..., п умпожим г-ю строку определителя
|ву|"па "ij!, где т\ — kt-\-n— i. Получим определитель |&у|".
где bij = (fcj + n— i)ll(kt + j — i)\ — тг(шг — 1) ... (mt + / +
+ 1 — п). Элементы /то столбца определителя | Ьц |" являются
одинаковыми многочленами степени п — /от лц, причем коэффи-
циепты при старших членах этих многочленов равны 1. Поэтому,
вычитая из каждого столбца линейные комбипации предыдущих
столбцов, определитель | Ь-г. I" можно свести к определителю со
строками ('"f» m?~2t •■•. !)• Этот определитель равен
TJ (тг — т-)^ Ясно также, что | ау [J = | 6у |"/m1! m2! ... тп\.
1.18. При и = 3 легко проверить, что
*i 4 *S/\p, p,*, pb#
В общем случае справедливо аналогичное равенство.
1.19. Искомый определитель можно представить в виде произ-
произведения двух определителей
1 ...
*1 •••
** ...
*« ...
1
<
1
yn
•
1 *1
1 *,
0
-г1
1 ^n
о о
поэтому он равен TJ (y — x^ JJ (x4 — x^'-
1.20. При и = 2 легко проверить, что
в общем случае элементами первой матрицы являются числа
л
1.21. Предположим, что есть ненулевое решение, причем ко-
количество попарно различных чисел %t равно г. Объединив равные

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
числа
.... и.
; в г групп, получим т^Х* + ... + тгХг = 0 при к = 1, ...
Пусть хх = m,Xi, ..., хг = тгХТ. Тогда Я*^ + ...
... -|- Х?~'гг ~ ° ПРИ * = 1, .. .| ». Взяв первые г из этих уравне-
уравнений, получим систему линейных уравнепий от Х\, ..., хт, причем
определителем этой системы является определитель Вапдермоида
V(Xi. ..., Яг) ф 0. Следовательно, х\ = ... = хт =» 0, а значит,
Я| = ... = Яг = 0. Получено противоречие, поэтому решение толь-
только нулевое.
1.22. Доказательство проведем индукцией по п. При и = 1 ут-
утверждение очевидно. Вычитая первый столбец матрицы |' ац ['." из
всех остальных, цолучим матрицу flbyjjj\ где Ьц = сц(х{) — at(x0)
при / ^ 1. Докажем теперь, что Gk{xi) — аь(х}) =
= (xj — Xi)ak-t(xi, xj). В самом деле, a*(zi, ..., хп) = оа^) +
+ xtOk-i(xt) = <Jft(a:i) + Xiaii-i(xt, Xj) + xiXj<Jh~2(Xi, Xj), поэтому
<5k(xi) + XiGh-\(xt, Xj) = Ofc(x/) + XjCh-i(xi, xj). Следовательно,
i j in __ / v / it in—1 r _ /IT Л
{ "ij lo "■ V*o Tl/ ' * • Го ~~ xn) | cij lo ' где Ci> ~ a*^0i x"-
1.23. Пусть Л = [и/2]. Умножим на —1 строки матрицы Ц Ъц ||"
с номерами 2, 4, ..., 2к, а затем умножим на —1 столбцы с номе-
номерами 2, 4, ..., 2&. В итоге получим матрицу \f^ |".
1.24. Легко проверить, что оба выражения равны произведе-
произведению определителей
1.25. Оба определителя равны
«1
«3
0
0
«2
«4
0
0
0
0
ь
ь
0
0
0
ал«3
all
«21
«31
—
«12
«22
«32
«1Я2Ь
С
13
«2Я
«33
j
i
т
«11
«21
«31
«12
«22
«32
А
а
11
«21 1
«31 1
613
623
ьзз
—
12 613
22 Ь23
'32 Ь33
Ь1 «2«3
+ *1«263
11
621
611 «12 в13
621 «22 «23
631 «32 «33
— Ь Ь Ь,
Ь11
621
631
в12
«22
«32
—
6!2
Ь22
ь
Ь13
6зз
Ь13
Ь23
633

46
ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.26. Д„я определителей матриц порядка и+1 легко прове-
проверить следующие равенства:
h - au ■
*n-«m •
— 1
.. *n-
= («-
"«in
"«nn
-1
1)
0
0
1
—
:
Sl~
an ■
ani '-
1
= («
-a
- a
-1
•
•
i —
11
ni
V
%
1)
...
...
~«.n
-1
0
sl~
sn~
sl
a
in
ann
1
1
—
• -
•
1 —ra
"al« sl
nn n
0 —1
(для получения первого равенства нужно к последнему столбцу
прибавить сумму всех остальных, а для получения последнего
равенства нужно последний столбец вычесть из всех остальных).
1.27. Воспользуемся тождеством С£ + С'" = Ср+Г Скла-
Складывая соответствующим образом столбцы, от матрицы со строка-
строками вида (С",С™, ..., C™~ft) можно перейти к матрице со стро-
строками (С™, C%+v CJJ+!1, ...t Cj^T1ft+1). Проделывая аналогичную
операцию для столбцов с номерами 2, 3, ..., п, получим матрицу
со строками (С^, C%+v С£и, С™+1 C™4T2fe+2). После не-
нескольких таких операций в итоге получим матрицу со строками
1.28. Вычтем в определителе Дп(&) из строки с номером f + 1
строку с номером i для i = п, п — 1, ..., 1. В результате получим
Ап (*) =
(*). гДе А'т (к) = | ау |", а
к + 1
..
. А так
как
To
1-3... B«—1)
ап-1
(»-!)■
1.29 [рарлиц, 1957]. Согласно задаче 1.27 Dn= D'n—\a\.\n,
где ву ^C*[j_j+i, т. е. в обозначениях задачи 1.23 получаем
так как (и + 1)(« + 2) ... 2»
= Bп)!/2 • 4 ... 2« и Дп-|(») =
= 2*, где к = п+(п-1) +...
Bп)!/п!, 1-3 ... B» — 1) =
n_b А так как Do = 1, то Dn =

РЕШЕНИЯ ЗЛДЛЧ
47
1.30. Доказательство проведем прп п = 2. Согласно задаче 1.23
I "»Ло = I a'ij la* где а>4 ~ ^~ W+i air Прибавим к последнему
столицу мачряцы [(«У* ее предпоследний столбец, а затем к по-
следпей строке полученной матрицы прибавим ее предпоследнюю
строку. В результате получим матрицу
-el
-Д'а.
■Д'а,
где Д'а* = a*— ak+l, Дп+|аА = A4An«*). Затем прибавим ко 2-й
строке 1-ю. а к 3-й прибавим 2-ю строку получеппой матрицы; та-
такую же операцию проделаем для столбцов. В результате получим
матрицу
Индукцией по к логко проверить, что Ьь = Дляо- В общем случае
доказательство аналогично.
1.31. Матрицы Лий можно представить в виде
Р РХ
yp ypx
) \qv q r
где P = An ts. Q = B22 (см. п. 6.3). Используя п. 1.8, получим
iP+WQV PX + WQ
\YP+QV YPX + Q
IP WQ I I E X
\YP Q \'\V E
1
IP WQ
\P\.\Q\ \YP Q
P PX
QV Q
1.32. Раскладывая определитель матрицы
О ала
{ап1
ат hi
0
а11
п
?12
0
... ат
... 0 ,
ьт
ьп
... ъ1п
... 0

48 ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
по первым п строкам (см. п. 2.4), получаем
п1ПЪ1к
bith
nl
°1к • • • °Ш
"пк • • • *nn
\к
где е*= (l
(mod2), а* = и— 1 и рА == А: — 1, т. е. еь + а* + р* == 1 (mod2).
С другой стороны, вычитая из i-й строки матрицы С (i + ")-ю
строку для i = 1,..., и, получаем |С| = —\А\ • \В\.
1.33. Доказательство проведем индукцией по р. При р = 1 ра-
равенство очевидно. Тождество из задачи 1.32 можно в пашем слу-
случае записать в виде
I АВ\.\ВС\=~% (-1)Р+*+1 \AjBCb\.\AtBCb\. A)
fti
B)
Все элементы определителя Д& имеют вид |Л<ВСь|, где i> 1; при-
присоединим в них столбец Ai к матрице В (для этого нужно совер-
совершить р — 2 трапепозиции). К полученному определителю можно
применить предположение нпдукцни; в результате получим
Разложим определитель Д = | АцВС^ [J по первой строке:
р
(в определителе \АВ\ столбец А\ снова переставлен на свое преж-
прежнее место). Подставляя это выражение для Д* в B) и учитывая
A), получаем требуемое.
2.1. Коэффициент при Х{ Я; ... Х; в определителе матрицы
Л + diag(JC'i, ..., Х„) равен мипору, полученному из матрицы А
вычеркиванием строк и столбцов с номерами ц, ..., im.
2.2. ft точпостыо до знака множитель при ai/ в определителе
| Ojj |" равеп мпожителю при xtjjj в рассматриваемом определите-
определителе. Для сравнения знаков этих множителей нужпо сравнить зна-
знаки перестановок Г п~\ . 'И1 .П "ч-Этипере-
стаповки отличаются на транспозицию (/, и+1), поэтому мпожи-
те.'ш имеют разные знаки.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 491
2.3. Согласно задаче 2.2 определитель, стоящий в левой ча-
Р Р «
сти, равен — 2 АЦА{ (х) А^ (х) = — 2 2 Aijauxiajtxv 'Д*
Лу — алгебраическое дополнение элемента ац в матрице | ау ||Р.
я
В правой части стоит величина — 2 xsxiasA' поэтому доста-
р р
точно проверить, что 2 •4ijeisaj< = asA Так как 2 -"*yajs —
.8д, то
2.4. Пусть 5 = АТЛ. Тогда
^•;;^K^-::CO}
Поэтому, воспользовавшись формулой Бине — Копта, получаем
,Ь -
2.5. Коэффициент при ui в сумме определителей, стоящих в ле-
левой части, равен ацЛц + ... + ап\Ап\ = \Л\. Для ц2, ..., ип дока-
доказательство аналогично.
2.6. Ответ:
(Е —А АВ\
О Е -В].
О О Е )
2.7. Если i < /, то, вычеркивая t-ю строку и /-й столбец верх-
верхней треугольной матрицы, получим верхнюю треугольную матрицу
с нулями на диагонали на местах от i до / — 1.
2.8. Рассмотрим единичную матрицу порядка п — 1. Вставим
между (I—1)-м и £-м столбцом этой матрицы столбец из нулей,
а затем менаду (; — 1)-й и /-й строкой полученной матрицы вста-
вставим строку из пулей. Минор Мц полученной матрицы равен 1,
а все остальные миноры равны 0, так как, вычеркивая любую дру-
другую строку или другой столбец, мы вычеркиваем хотя бы одну
единицу, и получится вырожденная матрица.
4 в. В. Прасолов

.50 ГЛ. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
2.9. По определению At) = (—l)i+h]elB, где В— матрица по-
порядка и—1. Так как Ат = — Л, то Asi = (—l)'+U\at(—В) =
2.10. Ответ зависит от четности п. Согласно задаче 1.3 \Aitt\ —
= 1, поэтому ad]4gfe = Л^1- При к = 4 лдгко проверить, что
— 1ч / 0 1-1
-lW-1 0 1 -
—1/1 1-1 0
о/ V-i 1 -1
Аналогичное равенство справедливо и при любом четном и.
Вычислим теперь adj Л2ь+!. Так как |Л2Й| = 1. то rkA?k+i = 2к.
Ясно также, что A2k+i v = 0. если у — столбец A, —1, 1, —1, ...).
■Следовательно, столбцы матрицы S = aclj И2s i г имеют вид Xv.
Кроме того, fin = |Лг*| = 1 и матрица В симметричпа (см. зада-
задачу 2.9). Поэтому
1 —1 1 ...\
l-i 1 ... Г
2.11. а) Так как [adj {А — ХЕ)] (А — ХЕ) = \А — 'кЕ\-Е — диа-
тональная рц, 2
\ fe=0
) Так как [adj {А — ХЕ)] (А — ХЕ) = \А — 'кЕ\-Е — диа-
/П—1 \ П—1
матрица, то 2 XhAh ] (А — ХЕ) = 2 XkAhA —
\ fe=0 ft=0
- S
нальная матрица.
б) Матрица Лп_! равна ±Е, поэтому при s = 1 утверждение
верпо. Кроме того, Лп-«-1 = dE -\-An~,A, поэтому из справедливо-
справедливости утверждения для s следует его справедливость для s +1. C а-
м е ч а н и е. В частности, матрица adj A = A<> выражается как мно-
многочлен степени п — 1 от А.) ■
2.12. Матрица А =||ву1™. в каждой строке и каждом столбце
которой стоит ровно один положительный элемент, обладает тре-
требуемым ввойством; при этом A~~l = jj by ||", где Ьц = 1/а,-4, ес-
если ац ¥= 0.
Докажем, что другие .матрицы ие могут обладать требуемым
свойством. Предположим, что матрица Л=| ац |j" обладает тре-
требуемым свойством и я,-г, аи > 0. Пусть Л—1 = |;&у |ji- Тогда при i ф /
я
имеет место равенство 0= 2 аиАц^^А^Н" а{£*з' ~\~ •-• ^°"
ft=i
этому Ьг} = Ъ,} = 0 при / ф i, т. е. строки г и s имеют единствен-
единственные непулевые элементы bTi и b,t. Следовательно, строки г и s

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 51
пропорциональны в матрица А~г выроягдена. Получено противо-
противоречие.
2.13. Докажем, что А~1 — |Ъу'$, где htl = e'i}fn. В самом
деле,
п
uimi ik hj
2.14 [Клингер, 1967]. Пусть ain_h=an_k(x1, ..., х{, ..., х„).
Используя результат задачи 1.15, легко проверить, что
— jj 6jj ||™, где Ьц — (— 1)г+3 огп_}У (г1, ..., хг, .. ■, а;п).
3.1. Согласно теореме 2 и. 3.1
Е А\ ,
Ат Е\ = 1Ь'
Остается воспользоваться результатом задачи 2.1 при X = —1,
а затем результатом задачи 2.4.
3.2. Все эти равенства легко проверить непосредственно, до-
ыножая па А + USW и 5-'+ VTA~4J н производя соответствую-
соответствующие сокращения. Приведем, однако, более поучительное доказа-
доказательство, показывающее, откуда берутся эти формулы.
Пусть ^i и 1/| — столбцы длиной п, Х2 и у2 ■— столбцы длиной т,
причем
i л и \/»\ /». \
A>
т. е. Ах\ + Vx2 = У\ и VTx\ — S~xxz — уъ Тогда х\ = А~ху\ —
— А-^Х]хг и г/а = VT(A~iy1 — A~4Jxu) —S-lx2, т. е.
^-1 _S-1_VTA-1U j j
я xt= E~> + VTA-lU)~l(VTA-'[yi — уг). Последнее выражение для
хг можно подставить в формулу хх = A~lt/i—А~^ихг\ в итоге по-
получим
Можно пойти и другим путем, перейдя от A) к равенствам х2 ■■

52 ГЛ. i. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
= SVTxt — Sy2 и?1 = Axi + U(SVTxi — Sy2), т. е.
Далее получим
SVT
/ (A -I- USVT)~i (A + USVT)-* US \K\ = (xi) ,3)
\SVT(A + USVT)-1 SVT{A + USVT)-1US-S/\9t) \*t)
Если матрица ( ] невырождепа, то в формулах B)
\VT —S~lJ
я C) стоят матрицы, обратные к ней; приравнивая их, получаем
требуемое.
Формула B) дает выражение матрицы ( 1 че-
\vT —s~l)
рез дополнение Шура матрицы А, а формула C) — через допол-
непие Шура матрицы —S~l,
3.3. Помепяем местами первый и последний столбец матрицы
Ап, затем второй и предпоследний и т. д. В результате получим
матрицу А'п, причем | Ап\ = e|j4jj|, где е = (—1)»<"-«)/*. Преоб-
разуем матрицу А'п следующим образом. Вычтем 1-й столбец из
2-го, ..., (и — 1)-й из п-го; затем вычтем 1-ю строку из 2-й, ...
..., (га — 1)-ю из я-й. В результате получим матрицу вида| "I,
\v BJ
тде а = (и2 —n + 2)/2, it —строка (и —1, « — 2, ..., 3, 2, 1); р —
столбец (га, и —1, ..., 4, 3, 2); В — кососимметрическая матрица с
элементами —1 пад главной диагональю. Поэтому согласно тео-
,реме 3 п. 3.1 |ЛП| = е(а det B+ u(adj B)v). Разберем отдельпо
случаи четного и нечетного п.
Пусть в = 2к. Тогда е = (—1)* и det В = 0 (см. задачу 1.1).
Матрица adj В вычислена в задаче 2.10. Легко проверить, что
u(adjfi) = fc(l, —1, 1,-1,...), поэтому u(adjfi)v = fc(fc + l). Сле-
Следовательно, \А»\ = (—l)*fc(fc+1).
Пусть теперь п = 2к + 1. Тогда 6 = (—1)*, а — 2fc2 + к + 1 и
detB= 1 ^см. задачу 1.3). Легко проверить, что u(adjB) = (—fc,
к + 1, -к, к + 1,...) = -ЛA, -1, 1, -1, ...) + @, 1, 0, 1, ...), по-
поэтому u(€rdjS)y = — к2+ к(к+ 1) = к. Следовательно, \А^{\ =

Глава 2
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Историческая справка
Понятие векторного пространства появилось значи-
значительно позже, чем понятие определителя. Лейбницу при-
принадлежат серьезные заслуги и в создании этого понятия.
Его пе устраивало то, что на языке алгебры в геометрии
можно было описывать лить различные величины, по не
положения точек и не направления прямых. Лейбниц
начал рассматривать наборы точек А\ ...Ап и считал, что
А\.. .Ап = Х\. ..Хп, если длины отрезков А{А3 и ZfXj
равпы для всех t и / (он использовал', конечно, несколько
иные обозначения). На этом языке уравнение АВ = AY
задает сферу радиуса АВ с центром А, а уравнение AY =>
= BY = CY задает прямую, перпендикулярную плоско-
плоскости ABC.
Хотя Лейбниц и рассматривал пары точек, эти пары
вовсе пе соответствовали векторам: учитывались лишь
длины отрезков, но не их направления; пары АВ и ВА
пе различались.
Эти работы Лейбница оставались неопубликованными
более 100 лет после его смерти. Они были опубликованы
в 1833 году, и за развитие этих идей была назначена
премия. В 1845 году об этой премии Мёбиус сообщил
Грассману, через год Грассман представил свою работу,
и премия была присуждена ему. Книгу Грассмана напе-
напечатали, по опа никого не заинтересовала.
Важным шагом в создании понятия векторного про-
пространства было геометрическое представление комплекс-
комплексных чисел. Вычисления с комплексными числами пастоя-
тельно требовали обоснования их применения и создания
достаточно строгой их теории. Еще в XVII веке Джон
Валлис пытался представить комплексные числа геомет-
геометрически, но это ему не удалось. В 1799—1831 годах шесть
математиков независимо опубликовали работы, содержа-

54 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
щие геометрическую интерпретацию комплексных чисел.
Наибольшее влияние па математиков оказала работа Га-
Гаусса, опубликованная в 1831 году. Сам Гаусс не счптал
геометрическую иптерпротацию достаточпо убедительным
обоснованием существования комплексных чисел, потому
что он в то время уже пришел к созданию неевклидовой
геометрии.
Решающий вклад в создание понятия re-мерного про-
пространства сделали сразу два математика — Гамильтон и
Грассман. Их подходы были принципиально различны,
разным было и влияние их работ на развитие математи-
математики. Работы Грассмана содержали глубокие идеи, которые
оказали большое влияпие на развитие алгебры н алгеб-
алгебраической геометрии. Но его книги были трудны для по-
пимапия, и значение его идей было осознано далеко не
сразу. Развитие линейной алгебры пошло в основпом по
пути, указанному Гамильтоном.
Гамильтон A805—1865)
Ирландский математик и астроном сзр Уильям Роузн
Гамильтоп, член многих академий, в том числе и Петер-
Петербургской, родился в 1805 году в Дублине. С трех лет он
воспитывался у своего дяди, священника, и к 13 годам
изучил 13 языков, а в 16 лет он прочитал «Небесную ме-
механику» Лапласа.
В 1823 году Гамильтон поступил в Тринити колледж
в Дублине, по окончании которого ему предложили стать
профессором астрономии в Дублинском университете и
Королевским астрономом Ирландии. Большую пзвестпость
Гамильтону принесло теоретическое предсказание двух
ранее неизвестных явлений в оптике, вскоре после этого
обнаруженных экспериментально. В 1837 году он стал
президентом Ирландской академии; в том же году он
опубликовал свои работы, в которых комплексные числа
вводились как пары действительных чисел. Этому откры-
открытию поначалу не придали большого значения. Всех мате-
математиков, кроме Гаусса и Бойяи, геометрическая интер-
интерпретация комплексных чисел вполне устраивала. И лишь
после того как неевклидова геометрия стала достаточно
широко известна, математики заинтересовались интерпре-
интерпретацией комплекспых чисел как пар воществопных чисел.
Гамильтон вскоре осознал возможности, которые дава-
давало его открытие. В 1841 году он пришел к рассмотрению.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 55
наборов (ai, ..., ап), где ^ — вещественные числа. Имен-
Именно на этой идее основан наиболее общепринятый подход
к понятию линейного пространства.
. С особым увлечением Гамильтон занимался тройками
действительных чисел; ему хотелось получить трехмер-
трехмерный аналог комплексных чисел. Его возбужденное со-
Ьтояние передалось его детям. Когда Гамильтон спускал-
спускался к завтраку, они кричали:
_; — Ну, папа, ты научился поремпожать тройки?
" На что он принужден был отвечать, грустно качая
головой:
— Нет, я умою только складывать и вычитать их.
Эти напряжопные занятия привели к тому, что 16 ок-
октября 1843 года, во время прогулки, Гамильтон почти
воочию увидел символы г, /, к и соотношения i2 = f =
= к2 = ijk = —1. Последние 25 лет своей жизни Гамиль-
Гамильтон занимался почти исключительно кватернионами и их
применениями в геометрии, механике, астрономии. Он
забросил свои блестящие исследования по физике и
изучал, например, возведение кватернионов в кватерни-
онпую степень. О кватернионах он напечатал 2 книги и
более 100 статей. Занимаясь кватернионами, Гамильтон
дал определение скалярного и векторного произведения
ректоров в трехмерном пространстве.
Грассман A809—1877)
Внешняя сторона жизни Германа Грассмапа была да-
далеко не такой блестящей, как у Гамильтопа. До конца
своей жизни он оставался учителем гимпазии в своем
родном городе Штеттине. Несколько раз он пытался по-
получить университетскую должность, но безуспешно. Га-
Гамильтон, прочитав книгу Грассмана, назвал его величай-
величайшим немецким гением. По поводу той же книги через
30 лет после ее публикации издатель писал Грассману:
«Вашей книги в продаже больше нет. Так как ее почти
никто ие покупал, то 600 экземпляров были использова-
использованы в качестве макулатуры, а оставшиеся несколько эк-
экземпляров распроданы все, кроме одного, который оста-
остается в нашей библиотеке». Следующая книга Грассмапа,
как считал он сам, пользовалась еще меньшим успехом.
Идеи Грассмана получили распространение лишь к кон-
концу его жизни. Сам он в это время уже потерял контакты с
математиками и утратил интерес к геометрии. Последние

56 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ! ПРОСТРАНСТВА
годы жизни Грассман занимался преимущественно сан-
санскритом. Он сделал перевод «Ригведы» (более 1000 стра-
страниц) и составил к ней словарь (около 2000 страниц). За
эти труды Американское общество востоковедов избрало
его своим членом. В современных исследованиях «Ригве-
«Ригведы» их часто цитируют.
Грассмана можно, пожалуй, назвать самоучкой. Он
окончил упиверситот в Берлине, но там он изучал фило-
филологию и теологию. Отец его был преподавателем матема-
математики в Штеттине, но книги, написанные им, Грассман
прочитал только в университете. Впоследствии он гово-
говорил, что многие идеи он почерпнул из этих книг и толь-
только развил их.
В 1832 году Грассман фактически пришел к векторной
записи законов механики; это сильно упрощало многие
расчеты. Он заметил коммутативность и ассоциативность
сложения векторов и выделил эти свойства в явном виде.
Впоследствии Грассман излагал свою теорию в весьма
общем виде, для произвольных систем, обладающих опре-
определенными свойствами. Это сильно затрудняло понимание
его книг; почти никто кроме него еще пе осознавал зна-
значения коммутативности, ассоциативности и дистрибутив-
дистрибутивности в алгебре.
Грассман определил геометрическое произведепие
двух векторов как параллелограмм, натянутый на эти
векторы. Равновеликие и одипаково ориентированные па-
параллелограммы, параллельные одной плоскости, он считал
эквивалентными. Впоследствии он по аналогии ввел гео-
геометрическое произведение г векторов в ге-мерпом про-
пространстве. Это произведение он рассматривал как геомет-
геометрический объект, координатами которого являются мино-
миноры порядка г матрицы размера г X п, составленной из ко-
координат данных векторов.
В работах Грассмана было фактически построено по-
понятие линейного пространства со всеми его атрибутами:
оп дал определение подпространства и липейной зависи-
зависимости векторов.
В 40-е годы прошлого века математики оказались не-
неподготовленными к восприятию идей Грассмана. Свою
первую кпигу он послал Гауссу и получил в ответ за-
записку, в которой Гаусс благодарил его и писал, что по-
подобными вещами он занимался полвека тому назад и кое-
что недавно опубликовал на эту тему. Мёбиус, в ответ
на просьбу Грассмапа написать рецензию на его книгу,

§ 5. ДВОЙСТВЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 57
сообщил ему, что но понимает философской части книги
и поэтому не может прочитать ее до конца. Впоследствии
Мёбиус говорил, что он знает лишь одного математика,
который прочитал книгу Грассмана до конца,— это Брет-
ганейдер. Получив премию эа развитие идей Лейбница,
Грассман обратился к министру культуры с просьбой
■'дать ему университетскую должность, и его работы посла-
Jm па рецензию Куммеру. В рецензии было сказано, что
хЪ них недостает ясности. На просьбу Грассмана ответили
отказом.
В 60-е и 70-е годы прошлого века многие математики
своими путями приходят к идеям, аналогичным идеям
Грассмаиа. Его работы получают высокую оценку Кре-
Кремоны, Гапкеля, Клобша и Клейна, по самого Грассмана
математика уже больше не интересует.
§ 5. Двойственное пространство.
Ортогональное дополнепие
5.1. Линейному пространству V над полом К можно со-
сопоставить линейпоо пространство V*, элементами которо-
которого являются линейные функции на V, т. е. такие ото-
отображения /: V-*K, что f{hV] + X2V2) = hf(vi) + h2f{v2)
для любых Х\, %.2*=К и vu V2^V. Пространство V* па-
зывается двойственным (или сопряженным) к V.
Базису «i, ..., е„ пространства V можно сопоставить
базис е*, ...,еп пространства V* следующим образом:
Докажем, что е,, ...,еп действительно ба-
ба2 B)
*
; (j) j Д,
зис. Если /е7* и w = 2 аэд <= F, то f{v) =
= S^i/C6») = SflH^i = Saie* {V). ПОЭТОМУ / = 2 aie*i-
Остается проверить липейную независимость векторов
el, ..., е*. Пусть 2«ге* = 0. Тогда 0 = (Sflje*)(e3) = a5,
т. е. а\ = .. . = а„ = 0.
Итак, если в пространство V выбран базис еи ..., е„,
то можно построить изоморфизм g: V -»■ V* следующим
образом: #(е;)--е;. Но при выборе другого базиса по-
получим, вообще говоря, другой базис (см. и. 5.3), т. е. по-
построенный изоморфизм не канонический.
Можно, однако, построить канонический изоморфизм
пространств V и (V*)*, сопоставив вектору »еу такой
элемент у'еG*)*, что v'(f) = f(v) для любого /еУ*.
Линейность и взаимная однозначность этого отображения
проверяются очевидным образом.

58 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Замечание. Элемепты пространства V* иногда на-
называются ковекторалш. Употребима также следующая
терминология: элементы V пазываются коптравариаптпы-
ми векторами, а элемопты V* называются ковариантными
векторами.
5.2. Линейному оператору A: V\ -*■ F2 можно сопоста-
сопоставить двойственный (сопряженный) оператор Л*: F*-vV*
следующим образом: (Л*/2) (vi) = J2{Avi) для любых
Для величины /(у), где »еУи|е V*, удобпо ввести
более симметричное обозначение </, иУ. Определение опе-
оператора А* в этих обозначениях запишется следующим
образом: <Л*/г, Ui> = </г, Лу]>.
Если в пространство Fi выбран базис iea), а в про-
пространстве Уг выбран базис {es}, то оператору Л можно
сопоставить матрицу !1а«И, где Ле,-= ^Eiuifii. Аналогичным
образом оператору А* можно сопоставить матрицу
относительно базисов {е£} и {ер}. Докажем, что 1у||
= !1"<л|т. В самом дело, с одпой стороны, (v^, Ae$) =
= Saij(e*, e,)= ahj. С другой стороны, (el, /Ц) =
= <Л*е*,е^)= S«*ft(e*. ei)=aih- Следователь»;), «*ft — aki.
р
5.3. Пусть в пространстве У выбраны базисы {еа} и
{ер}; 4 — матрица перехода от базиса {еа} к базису {ев),
т. е. е,- = Ле(. Пусть, далее, Л* — матрица прдртотй «т
зпса {е„} к базису {ер|. Докажем, что Q
В самом деле, (е*, е$) = бц =(в*, Kj/ = (Л*еТ,
= (е*, (А*)ТАе}), поэтому (Л*)М=£, т. е.
Теперь мы готовы ответить на вопрос, затропутый
в п. 5.1: когда совпадают изоморфизмы V -*■ К*, построен-
построенные с помощью базисов {ео> и {е&}? Пусть отображения
/, g: V-+V* задапы формулами / (е4) = et и ^(е-;) = е4;
Л — матрица перехода от базиса {еа} к {ер}. Тогда
g (в,) = я (^'ei) = A~Jg (et) = Л-'еГ = ^4~3 Dт)~1е?. По-
Поэтому отображения / и g совпадают тогда и только тогда,
когда Ат = А~\ т. е. А — ортогональная матрица.
Скалярное произведепие в пространстве V над полем
действительных чисел позволяет выделить множество ор-
топормированных реперов, а матрицы перехода между
ортопормированпыми реперами ортогопальны. Поэтому

§ 5. ДВОЙСТВЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 59
скалярное произведение позволяет построить однозначно
определенный изоморфизм V -*■ V*. При этом изоморфиа-
ме вектору v^V сопоставляется функция у*: у*(ж) =
= (у, х) для любого х е V.
5.4. Рассмотрим систему линейпых уравнений
/i(*)-6,, ...,/»(*) = Ът. A)
Можно считать, что ковектоцы Д, ..., fh линейно незави-
независимы и ft = 2 H"/j прп i > к. Если жо — решение си-
стемы A), то /»(я0) =2 ^ii/jC^o) при i>k, т. е.
i
h
h = S ^ijbj при i > fc. B)
j-i
Докажем, что если выполнены условия B), то система
A) совместна. Дополним ковекторы /i, ..., /» до базиса
и рассмотрим двойственный базис е\, ..., е„. В качестве
решения можно взять хо — Ъ\в\ + ... + bkeh; общее реше-
решение системы A) имеет вид xo + t\eh+\ + . .. + tn-hen, где
U, • ■ •, tn-n — любые числа.
Теорема 1. Если система A) совместна, то она
имеет решение х—(х\, ..., хп), где х-% = 2 cvfih причем
3 = 1
числа Сц не зависят от &,-.
Для доказательства достаточно рассмотреть координа-
координаты вектора Хо = Ъ\е\ + ... + bheh относительно нужного
базиса.
п
Теорема 2. Если fi(x)= 2 aij*b г^е оу е Q и ко-
векторы, /i, ..., /m образуют базис (е частности, т = ге),
п
то система A) имеет решение Xi — 2 СФ'^ г^е числа ci}
рациональны и не зависят от bj\ это решение единственно.
Доказательство. Так как
ТО

60
ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Если элементы матрицы А рациопальны, то элементы
матрицы А~1 тоже рациональны.
Полученные результаты имеют несколько неожидан-
неожиданное применение.
Теорема 3. Если прямоугольник со сторонами а и
Ъ произвольным образом разрезан на квадраты, со сторо- '
нами хи ..., хп, то х%!а eQ к хф е Q для всех L
Доказательство. Например, для рис. 1 можно
написать следующую систему уравнений:
X\ + X2 =
хъ + хг =
Ж4 + *2 =
#4 + #5 +
а:6 + xi ==
а,
а,
а,
а,
Ж1+ЖЗ + ^4
Ж2 + #5 + X^
^2 + ^6 = Ъ.
= а,
+
=
-Ь,
C)
Аналогичную систему уравпений можно паписать и для
любого другого разбиения прямоугольника па квадраты.
Заметим также, что если система, соответствующая неко-
некоторому рисунку, имеет еще одно положительное решение,
то и этому решению можно со-
сопоставить разбиение прямо-
прямоугольника на квадраты, и для
любого разбиении справедливо
равенство х\ -1- • • • -'г хп — а&
(равенство площадей).
Предположим сначала, что
система C) имеет одипствен-
ное решение. Тогда xt = )wa +,
+ ц(Ь, причем ta. Ц{ ^ Q- Под-
ставия эти значения во все
уравнения системы C), полу-
получим рапопства вида р,а + qf) =■
= 0, где pj.qrjSQ. Если р^=-
= qt = 0 для всех /, то система
C) совместна для всех а и Ъ.
Поэтому при любом достаточно малом изменении чисел
а и Ь система C) имеет положительное решение £,=»
= Xta + fab, а значит, существует соответствующее раз-
разбиение прямоугольпика. Следовательно, для всех а и Ь,
лежащих в некоторых интервалах, выполняется равенство
х4
» а
. Рис. 1

§ 5. ДВОЙСТВЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 6f
Поэтому 2 ^-i = S l^i — 0, а значит, А< = ц< = 0 для всех L
Получено противоречие, поэтому в одном из равенств
pfl + qfi = 0 одно из чисел р, и д3 отлично от нуля. Сле-
Следовательно, b — ra, где reQ и ж< = (Л< + гц,)«, где-
Я,4 + гщ е= Q.
Докажем теперь, что размерность пространства реше-
решений системы C) но может быть больше нуля. Решения
системы C) имеют вид ж, = к.а + \1{Ь + a\tt\ +... + акА,
где t\, ..., th принимают произвольные значения. Поэтому
равенство
должно выполняться для всех U, ..., th, лежащих в не-
некоторых интервалах. Левая часть равенства D) является
квадратичной функцией от t\, ..., th; эта функция имеет
2ар«*р+«-ч поэтому опа не может оставаться по-
рД
стояппой при всех малых измепениях чисел t\, ..., th.
5.5. Как уже говорилось, не существует каноническо-
канонического изоморфизма между V и У*. Есть, одпако, канониче-
каноническое взаимпо однозначное соответствие между множеством1
й-мерЕ'зх подпространств У и множеством (и —й)-мер-
вых подпространств У*. Подпространству W^V можно
сопоставить множество
W± = {/ е У* | </, ш> = 0 Vwe W).
Это множество называется аннулятором (или ортогональ-
ортогональным дополнением) пространства W. Достаточно очевид-
очевидно, что* W1- — линейное подпространство У*. Докажем, что
dim W + dim Wx = dim У. Пусть е\, ..., ек — базис W. До-
Дополним его до базиса е\, ..., е„ пространства У. Ясно, что»
е£+1, ..., е* е W^. Кроме того, если / = а^ + ...
... -f- afees и, например, ai^O, то </, ei> = ai=?fcO. По-
Поэтому et+i, ..., вп — базис пространства W-*-.
Легко проверить, что если W\ «=ТУ2, то W2CZ Wf. Ор-
Ортогональное дополнение обладает также следующими
свойствами:
а) (W^ — W;
б) (Wt + W2)x = Wt П Wi и (РУХ П
в) если V=WX® W2, то У* = Wtf Ф
Докажем эти свойства, а) Легко проверить, что
J-)J- и размерности зтих пространств равны.

<62 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
б) Пусть е — базис Wx П W2, e U ш, — базис Wi,
eUw2 — базис ТУ 2 п е U и»| U ы?2 U у — базис, V. Тогда е U
U wt U н?2 — базис Wi + VF2, поэтому у* — базис (Wx +
+ W2)X. С другой сторопы, w2[Jv* и w* U у* — базисы
Wx и W2L, поэтому v* — базис И^|")И^. Аналогично до-
доказывается, что и*! U н'2 U v* — базис как пространства
(Wi Л W2)x, так и пространства Wf + И^.
в) Согласно свойству б) имеем W^ + W% = (Wx f|
П W2)x = F* и Wi1 П W£ - (Wx + W2)* = 0.
Подпространство PFX определено инвариантно, поэто-
поэтому линейпая оболочка векторов е^+1,..., е* не зависит
от выбора базиса пространства V, а зависит лишь от са-
самого подпространства W. А вот линойпая оболочка век-
векторов ег, ...,ек зависит от выбора базиса а, ..., е„: она
может быть любым й-мерным подпространством V*, пе-
пересекающимся с W1- только по нулю. В самом деле, пусть
Wi — й-мерпое подпространство V* и Wi П W1- — 0. Тогда
(WiI является (и — &)-мерным подпространством У,
пересекающимся с W только по нулю. Пусть ек+\,..., еп —
•базис (V^ij^. Дополним его базисом ей ..., ек про-
прой ,
странства W до базиса еи ..., е„. Тогда е*, ..., eft— ба-
базис W\.
Теорема. Если А: V -*■ V — линейный оператор и
AW<= W, то A*WL<=WX.
Доказательство. Пусть x*=W и /е Wx. Тогда
<A*j, х> = </, Ах) = 0, так как Ах е= W. Следовательно,
5.6. Если в пространстве V пад полем действительных
чисел задано скалярное произведение, то пространства V
я V* можно отождествить, сопоставив вектору v e V ли-
пейную фупкцию f{x) = (v, x) (см. п. 5.3). При таком
отождествлении ортогональным дополнением пространства
W ^ V будет подпространство W1-, состоящее из векторов,
-ортогональных всем векторам из W.
В пространстве матриц размера пгХп можно ввести
«стествеппое скалярное произведе^«^г^то^скЯллй
изведепие можно записать в вйд^Яг(ХУ ) = ^
Теорема. Пусть А — матрица размера тпХ п. Если
Зля любой матрицы X размера пХпг справедливо равен-
равенство \х(АХ) = 0, то А = 0.

§ 6. ЯДРО II ОГ.РЛЗ ОПЕРАТОРА. ФЛКТОГПРОСТРАНСТВО 6&
Доказательство. Пусть W — подпространство
матриц вида ХА, где ^g!R. Если (,гD.Х") = О, то FeF,
поэтому Wx = V, а значит, W = 0.
Для доказательства можно также воспользоваться ра-
равенством tr(A4T) = 2ay-
i
ЗАДАЧИ
5.1. Матрица 4 порядка п такова, что для любой мат-
матрицы X порядка п с нулевым следом tr^4X = 0. Докажи-
Докажите, что А = КЕ.
5.2. Пусть А и В — матрицы размера тХп и кХп
соответственно, причем если АХ -— 0 для некоторого столб-
па X, то ВХ = 0. Докажите, что В = СА, где С — матрица
размера кХт.
5.3. Все координаты вектора v e Rn пеиулевые. До-
Докажите, что ортогональное дополнение v содержит векто-
векторы всех октантов, кроме октаптов, содержащих v и —v.
ЪЛ. Через вершины треугольника ABC проведены по-
попарно не параллельные прямые а, Ъ и с, задающиеся ко-
векторами а*-, Ьх и с-. Эти ковекторы определены с точ-
точностью до пропорциональности, поэтому будем считать,
что ах + Ъ± + 0х = 0. Докажите, что прямые а, 6 и с пе-
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда для
любой точки О
0,^F2) +Ь*-(ОВ)+с*-(ОС) = 0.
5.5. Пусть изоморфизм V-+V* (х^-х*) обладает
тем свойством, что равенства х*(у) = 0 и у*(х) = 0 экви-
эквивалентны. Докажите, что х*(у) = В(х, у), где В — сим-
симметрическая или кососимметрическая билинейная
функция.
§ 6. Ядро и образ оператора.
Факторпространство
6.1. Для линейного отображения A: V-+W можно-
рассмотреть два множества:
КегЛ = iv <= V\Av = 0) — ядро отображения;
Tm A = {w e W | 3v e V: Av—w} — образ отображения.
Легко проверить, что Кег А — линейное подпространство
в V, a Im А — подпространство в W. Пусть е\, ..., ек —
базис Кег Л, eh ..., eh, efc+b ..., е„ — расширение этого-

«4 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
•базиса до базиса F. Тогда Аек+и • • •> Аеп — базис
поэтому
dim Кег А + dim Im A = dim У.
Выберем в подпространствах У и W базисы и paccMOi
рим матрицу оператора А относительно этих базиссл
Пространство Im А порождено столбцами матрицы А, пс
этому dimIm./4 = гкЛ. Видно, в частности, что ранг Mai
рицы оператора А не зависит от выбора базисов, т. (
ранг оператора определен однозначно.
Если дапы отображения A: U -*■ V и В: V -»- W, т
Im А и Кег В могут пересекаться. Для вычисления раз
мерности пересечения этих подпрострапств можно вое
пользоваться следующей формулой.
Теорема. dim(Im А П КегВ)= dimln^ -
— dim Im В А = dim Кег В А — dim Кег Л.
Доказательство. Пусть С — ограничение отобра
жения В па 1га А. Тогда dim Кег С + dim ImC = dim 1тпЛ
т. e. dim(Im/l П Ker B)+ dim imBA = dimlm.4. Дл)
доказательства второго равенства достаточно заметить
■что dim Im В А == dimF — dim Кег В А и dim Im A = dim V -
—dim Кег А.
6.2. Ядро и образ оператора А и сопряженного к нем;
•оператора А* связаны следующим соотношением.
Теорема 1. Ker A* =(Im АI- и Im А* =(Кег Л)-1
Доказательство. Равенство А*] = 0 означает, чт<
ЙАх) = А*](х) = 0 для любого х е V, т. е. /еAтЛ)-1
оэтому Кег Л* =AтА)л-, а так как (А*)* — А, т<
КегЛ =AтЛ*I-. Следовательно, (КегЛ)х =
((IH*)J)J I^*
)
Следствие, гк Л = гк Л*.
Доказательство. Л A* = dim ImA* =
•= dim (Кег А )х = dimF— dim Ker A = dimlH^ =гкЛ.
Замечание 1. Из равенства гкЛ=гкЛ* лег»
получить другое доказательство того, что ранг матрице
по строкам равен рангу по столбцам (см. п. 2.2).
Замечание 2. Если V — пространство со скаляр
ным произведением, то V* можно отождествить с V и тог
да V=lmA ® AтЛ)х = 1тЛ © Кег Л*. Аналогично F =
= 1тЛ*ФКегЛ. (В^лвщтчмиа ааиньи^Ьа^)
Теорема 2 (^альтернатива Фредгольма/. Пуст;
Л.'. V -*• V— лииейшхй оператор.Риссмитрим4уравнения
A) Ах=*у, x,y^V; C) Ах = 0;
B) A*f-g, /,^У»; D)

§ 6. ЯДРО IT ОБРАЗ ОПЕРАТОРА. ФАКТОРПРОСТРАНСТВО 65
Тогда либо уравнения A) и B) разрешимы при любых
правых частях, причем в этом случае решение единствен-
единственно, либо уравнения C) и D) имеют одинаковое коли-
количество линейно }(езависимых решений х\, ..., xh и f\, ...
..., /ft, причем в этом случае уравнение A) (соответствен-
(соответственно B)) разрешимо тогда и только тогда, когда fi(y) = ...
• •• = Л(?/)==0 (соответственно g(x\) = ... = g(xk) = 0).
Доказательство. Альтернатива Фредгольма явля-
является, но сути дела, переформулировкой теоремы 1. Разре-
Разрешимость уравнений A) и B) при любых правых частях
озпачает, что 1mA = V и 1mA* = V, т. е. (Кет А*I- = V
и (KevA)± = V, а значит, Кег4* = 0 и Кег4=0. Эти
равенства эквивалентны, так как ткА =ткА*.
Если же КегАФО, то dimKer^l* = dimKer.4 и
y^ImA тогда и только тогда, когда у ^(КетА*)-1; т. е.
/i (у) = ... = }h(y) — 0. Аналогично gslmvl тогда и толь-
только тогда, когда g(x\) = ... = g(xh) = 0.
6.3. Образ линейного отображения А связан с разре-
разрешимостью линейного уравнения
Ах = Ъ; A)
это урапнение разрешимо тогда и только тогда, когда
6 elm А. В том случае, когда отображение задано мат-
матрицей, есть простой критерий разрешимости уравне-
уравнения A).
Теорема 1 (Кропекер — Капелли). Пусть А — мат-
матрица, х и Ъ — столбцы, причем их размеры таковы, что
A) имеет смысл. Уравнение A) разрешимо тогда и толь-
только тогда, когда гк.4=гк(Л, Ъ), где (А, Ь) — матрица,
полученная из матрицы А приписыванием столбца Ъ.
Доказательство. Пусть А\, ..., Ап — столбцы
матрицы А. Уравнение A) можно переписать в виде
х\А\ + ... + хпАп = Ъ. Это равенство означает, что стол-
столбец Ъ является линейной комбинацией столбцов Аи ..., А„,
т. е. гкЛ = гк(Л, Ь).
Липейные отображения можно задавать разными спо-
способами; например, выражение f(X) = A\XBy + ... +
+ АпХВп, где размеры матриц X, At и В( таковы, что оно
имеет смысл, задает линейное отображение одного про-
пространства матриц в другое. Мы ограничимся исследова-
исследованием уравнения
С = АХВ. B)
5 в. в. Прасолов

66 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Приведем сначала это уравнепие к более просто-
простому виду.
Теорема 2. Пусть а = гк^4. Тогда существуют такие
невырожденные матрицы ЬА и RA, что LAARA=Ea—
единичная матрица порядка а, дополненная нулями до.
размеров матрицы А.
Доказательство. Рассмотрим отображение
А: V -*■ Vm, соответствующее матрице А (в ирострапст-
вах F" и Vm фиксированы базисы е\, ..., еп и ei, ..., em),
Пусть i/a+i, . • •, Уп — ба:шс КсгА, векторы ij\, ..., уа до-
полпяют этот базис до базиса F". Зададим отображение
ЯА: V-+V» формулой ЯА(е()=г/>. Тогда ARA(e:) = Ащ
при i^a и ARA(et)=0 при i>a. Векторы х\=Аух, ...
..., Xa — Aijz образуют базис пространства УтЛ; допол-
дополним 17Х некторами ха+\, .... хп до базиса пространства Vm,
Зададим отображение LA: Vm -»- Vm формулой LAxt = е(.
Тогда LAARA(e^)= Zi при Ki<a и LAARA(ei) =0 при
г > а. Поэтому матрицы операторов LA и RA относительно
базисов е и е соответственно являются искомыми.
Теорема 3. Уравнение B) разрешимо тогда и толь-
только тогда, когда выполнено одно из следующих эквива-
эквивалентных условий:
а) существуют такие матрицы Y и Z, что С' = AY
и С = ZB;
(В\
б) гк4 = гк(Л, С) игкБ=гк1 _], где матрица (А,С)
составлена из столбцов матриц А и С, а другая матрица
составлена из строк матриц В и С.
Доказательство. Эквивалентность условий а) и
б) доказывается аналогично теореме 1. Ясно также, что-
если С = ЛХВ, то можно положить Y — XB и Z = AX.
Предположим теперь, что С = A Y и С = ZB. Используя
теорему; 2, уравнение B) можно переписать в впдо
D = EaWEb, где D = LACRB и W = R^XLi1. Условия
С = A Y и С — ZB запишутся при этом в виде
D = EaiR^YRs) и D = {LAZL^)Eb. Первое из этих
равенств означает, что последние m — а строк матрицы D
нулевые, а второе равенство означает, что последние
п— Ь столбцов матрицы D пулевые. Поэтому в качестве W
можно взять матрицу D; более того, в матрице D элемен-
элементы последних тп — а строк и последних п— b столбцов
можно замепить любыми числами, т. е. пространство ре-

§ С. ЯДРО И ОБРАЗ ОПЕРАТОРА. ФАКТОРПРОСТРАНСТВО 67
«пений имеет размерность тп — аЬ. По матрице W матри-
матрица X определяется однозначно: Х = RAWLB.
6.4. Если W — подпространство в У, то У можно раз-
разбить на подмножества Mv — {х е V\x — v e W). Легко про-
проверить, что Mv = М9> тогда и только тогда, когда v — v e
^ W. На множестве V/W = IMjv e V) можно ввести
структуру линейного пространства, полагая XMV = fthv и
Mv + MV' = Mv+V'-, легко ироверить, что MKv и M*+v'
не зависят от выбора и и у', а зависят лишь от самих
множеств Mv и Mvr. Пространство V/W называется .фак-.
торпростуанством пространства V по подпространству W;
класс Mv удобно обозначать v + W.
Существует каноническое отображение р: V -*■ V/W.
где p{v)= Mv; отображение р называется проекцией.
Ясно, что Квтр = W и Imp — V/W. Если еи ..., ек — ба-
базис W и ei, ..., efc, ek+i, ..., еп — базис F, то p(ei) = ...
... = /o(es) = O, a p(^+i), ..., р{еп) — базис F/РУ. Поэтому
<lim (К/ W) = dim V - dim IV.
Теорема. Имеют место следующие канонические изо-
изоморфизмы:
а) (U/W)/(V/W)*U/V, ecjwWcV<=U;
б) V/VUW^ {V+W)/W, если V, W<=U.
Доказательство, а) Пусть щ, 112e U, Классы
«I + W и U2 + W задают один класс по модулю V/W
тогда п только тогда, когда [(ui + W) — («2 + W)] е V,
т. е. щ — и%<^ V+ W— V, а зпачит, элементы и\ и ич за-
задают один класс по модулю V.
б) Элементы V\, V2eV задают одип класс по модулю
V П W тогда и только тогда, когда V\ — v2^W, а значит,
классы i/'i + W и Р2 + WP совпадают.
ЗАДАЧА
6.1. Пусть А — линейный оператор. Докажите, что
п
dimKer4n+1 = dim.Keri4 -f- 2 dim(lm Ah[\ КегЛ)
dim Im A = dim Im A"*1 + 2 dim (Im Ak f| Ker A).

68 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 7. Базисы. Линейная независимость
7.1. Различным объектам — линейным отображениям,
квадратичным формам, кососпмметрическим формам —
можно сопоставпть матрицу, выбрав предварительно ба-
базис. При переходе к другому базису эта матрица может,
измениться. Для наглядности мы, забегая несколько впе-
вперед, соберем вместе законы преобразований этих матриц
при замене базиса.
Рассмотрим линейное отображение /: V -*■ W. Пусть
х— столбец (х\,..., хп), е — строка (ei,..., еп) и е — стро-
строка (ei, ..., Em), причем строки е и е составлены из базисных
иекторов. Тогда А будет матрицей отображения / относи-
относительно базисов е и е, если }(ех)—гАх. Пусть е' — еР и
е' = е(? — другие базисы. Тогда f(e'x) = f(ePx) = е АРх =
= e'Q~1APx, поэтому A'=Q~XAP — матрица отображения
/ относительно базисов е' и е'. Особенно важен тот слу-
случай, когда V = W, т. е. / — линейный оператор, и Р = (?.
В этом случае А' = Р~1АР.
Теорема. Пусть А — матрица линейного оператора.
Многочлен \А - 1Е\ = (-1)"Я" + an-iXn~l +... + a0 не за-
зависит от выбора базиса, а зависит лишь от самого опе-
оператора.
Доказательство. \Р-1АР-).Е\ = \Р-*(А
iiMi Лтиш
В частности, инвариантами оператора являются
1Л1=ао и ivА={—\)п~хап~\. Многочлен \А — кЕ\ назы-
называется характеристическим многочленом оператора, а его
корни — характеристическими или собственными числами
(значениями) оператора.
Пусть е(, ..., е„ — базис V; £,, ..., еп — двойственный
базис; е — строка (ei, ..., еп); е* — столбец (ех, ...,еп).
Тогда е*е = Еп — единичная матрица порядка п. Векто-
Вектору v можно сопоставить столбец х = {х\, ..., хп), а ковек-
тору /—'строку y = (yi, ..., у„) так, что v = ex и f = ye*.
Столбец х и строка у называются координатами v и / от-
относительно базиса е. Пусть х' и у' — координаты v и /
относительно базиса е' => еР. Тогда ex = v = е'х' = еРх',
поэтому х = Рх'. Далее, уе* = / = у'{е')*, поэтому у' =
= у'(е')*е'= уе*е'= уе*еР = уР. Итак, если е = еР, то
у' = j/P и х = Рх', т. е. координаты ковектора преобраву-
ются точно так же, как преобразуется базис (ковариант-
(ковариантность), а координаты вектора преобразуются не так
(контравариаптность).

§ 7. БАЗИСЫ. ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ 69
Рассмотрим теперь квадратичную форму В(х) = хтАх.
При переходе к базису е — еР получим х = Рх', поэтому
{х')тА'х'=хтАх = (х')тРтАРх', а значит, А'=РТАР.
Видно, в частности, что форму х\ -\- ... + х\ сохраняют
преобразования, для которых Е = РТЕР, т. е. ортогональ-
ортогональные преобразования.
7.2. Большинство общих утверждений о базисах доста-
достаточно очевидно. Есть, однако, несколько неочевидпых
теорем о получепии базисов путем обмена векторов двух
систем линейно независимых векторов.
Теорема 1. Пусть хи ..., хп и у и ..., уп — два ба-
базиса и 1 < к < п. Тогда к из векторов у\, ..., уп можно по-
поменять с векторами xi, ..., xh так, что снова получим
два базиса.
Доказательство [Грин, 1973]. Векторы у\, ...
..., уп возьмем в качестве базиса пространства V. Для
любого набора п векторов z\, ..., zn пространства V рас-
рассмотрим величину M{z\, ..., zn)— определитель матрицы,
строки которой являются координатами векторов zi, ...
..., zn относительно базиса z/i,..., уп. Векторы zi,..., zn об-
образуют базнс тогда и только тогда, когда М(%\, ..., г„)Ф 0.
Формулу разложения определителя матрицы М(х\, ..., хп)
по первым к строкам можно записать в впде
М to, ..., хп) = 2 ±М («,, ...,хк,А)М (Y\A, xk+1, ...
асу
...,*»), A)
где суммирование производится но всем (и — к)-элемент-
к)-элементным подмножествам множества У = iyi, ..., г/я). Так как
М(х\, ..., хп) ¥=0, то в сумме A) есть хотя бы один
ненулевой член; соответствующее подмножество А опре-
■ деляет требуемый набор вектороз базиса у\, ..., уп.
Теорема 2. Пусть х\, ..., хя и у\, ..., уп — два ба-
базиса. Тогда для любого к из хи ..., хп можно выбрать
несколько векторов, поменяв которые с некоторыми из
векторов уи ■.., Ун, слова получим два базиса.
Доказательство [Грин, 1974]. Вектор yt можно
разложить по базису х\, ..., хп. Пусть Af a Ai — мно-
множества тех векторов из xh, ..., хп и х\, ..., xh-\, которые
входят в это разложение с ненулевыми коэффициентами.
. Тогда J/ie(^i, Л{), и если х} е= At, то х} ^{уи Ai\Xj, Л{).
Докажем, что в {у\, ..., yh} существует такое непустое
подмножество S, что
■ A)

70 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
где S = iy\, ..., yn)\S. Предположим противное. Тогда
ыпожество S = (у\,..., yj не обладает свойством A), поэто-
поэтому пайдется такое i^{l, 2,...,/с}, что At<=: <S> = (yh+\,...
..., г/я>. Пусть, для определенности, i = 1. Множество
tj/2, ..., г/*} тоже не обладает свойством A), поэтому
пайдется такое is {2, ..., к), что Ли<=<г/1, Ун+и ■■■, Уп^', ■
для определенности положим i = 2. Продолжая такие рас-
сужденпя, дойдем до Ак<=(у\, ■ ■., Ун-и Ук+i, •. •, Уп>-
Рассмотрим подпространство W = <xi, ..., хк-и ук+1, ...
..., ?/„>. Все подмножества А{ лежат в <х\, ..., a;ft_i>, по-
этому они лежат в W. Так как А\ <= <yh+u • •., Уп> с W,
то г/, е (Аъ А'г) cz W. Поэтому А2 ■= <уи ук+\ */»> <=
с: W, а значит, у2 <= (Л2, Лг) сг И7 п т. д. до j/i,s W.
В итого получаем <г/ь ..., ук, ук+1 уп> <= W. Но
dimly <(ft— 1) +(и — к)= п— 1. Приходим к противо-
противоречию.
Рассмотрим минимальпое множество S, обладающее
свойством A). Если S состоит из одного элемента, напри-
например ?/1, то А\Ф(у2, ..., уя>, поэтому найдется такой
Хг еАи что х( Ф <г/2, ..., уп>, т. е. ж„ у2, ■ ■., уп — базис.
С другой стороны, хг e(j/i, A{\ x\, A[\ поэтому уи хи ...
.... Xt, .... хп — тоже базис. Предположим теперь, что S
состоит более чем из одного элемента. В силу минималь-
пости S для всех г/, <= S множество S\ yt не обладает_свой-
ством A). т. е. пайдется такой г/j <= S\yb что Ajcz (.S, г/,->.
В результате каждому элементу j/< сопоставлеп некоторый
элемент ys = /(?/<)• Это отображение /: 5 -»• S — биекция
без пеподвижпых точек. В самом деле, если /(j/i)=/ (yi>) =
= г/j, то ^4j cr E, yi) П \5, г/i'/ = \S}, что противоречит
свойству A). Ипъективпое отображение конечного мно-
множества и себя является бггекцией.
Сопоставим каждому ^eS элемент z,s{a;ft, .. ^ хп)
следующим образом. Пусть f(yi)=3ys- Так как As<= (S, j/,->
и Ajjfc^.iE), то найдется такой zt^ AjMS), что <£, j/(> =
= <6\ z,->. Если г/«, г/„е 5, то Л^ <= <5, уР> и4рс <5, г/,>,
Где у^ г/,. Следовательно, Ла П Аь с: <^>, т. е. множества
Ли\<£> и »4()\<iS> попарно пе пересекаются, поэтому zt
по иходпт в Aj при 1(у,)^У1. Пусть для определенности
S = {у\, ..., !/;,}. Докажем, что {j/i, ..., уР} можно поме-
поменять с {zb ..., zp). В самом деле, у{ е <^, z(> = <Zi, yP+\, ...
• ■ -7 J/n> при г" < р, поэтому уи • • -, г/Р е <zb . .., zp, j/p+i, ...
-•-, Цп>, т. е. zi, ..., zp, j/p+i, ..., г/„ —базис. С другой

§ 7. БАЗИСЫ. ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ 71
стороны, z\ s(j/j, Aj\zi, Aj) и в А) из всех элементов
zi, ..., zp входит только zf. Поэтому zie<y;ij Л>, где
.4 = {«1, ..., arj\{zi, ..., zp}, а зпачит, {yit ..., г/Р, Л}—
базис.
7.3. Теорема. Пусть Т — линейный оператор в про-
пространстве V"\ причем для любого вектора |eF векто-
векторы |, Т g, ..., Г" | линейно зависимы. Тогда операторы
Е, Т, ..., Тп линейно зависимы.
Доказательство [Онети, 1988]. Можно считать,
что п — минимальное из всех чисел, обладающих тем свой-
свойством, что векторы |о, • • •> ^""'^о линейно независимы и
Гя|о е <£а, . •., Г" |с> для некоторого вектора 1о. Тогда
существует такой многочлен р0 степени п, что ро(Т)%а — О,
и можно считать, что коэффициент при старшей степени
многочлена ро равеп 1. Фиксируем вектор ц <= V и дока-
докажем, что ро{Т)т\ = О. Рассмотрим пространство W =
— <%о, • ■.» Т"Ъ, Ц, • • -, Г"т]>. Легко проверить, что dim W <
^ 2га и T{W)<= W. Для каждого 1е£рассмотрим векторы
Векторы /о(О), ..., /n_i@) линейно пезависнмы, поэтому
на W существуют такие линейные функции срс ■ • ■, Ф^-i,
что <pi(/j(O)) = б«. Пусть А (А.) = 1 ву(Х) Uf, где ai}{%) =»
= Ф;(Л(А,)). Тогда А (Я,)—многочлен от X степени не
более п, причем Д@)=1. По условию теоремы для лю-
любого Я, е С существуют такие комплексные числа
аа(Х), . .., oc-i(X), что
g(X) = Oo(X)/o(M+ • • • + «--I
п1
Следовательно, ф{ (g (Я,)) = 2 «h (*-) (Pi (/ft (^)) при
i — 0, ..., и — 1. Если A(X)=?fcO, то получепнуго систему
линейных уравнений относительно ah(%) можно решить
с помощью правила Крамера. Поэтому ak(k) — рациональ-
рациональная функция для Bcex^,sC\A, где А —(конечное) мно-
множество корней ыногочлепа А (Я,).
Равенство A) можно записать в виде Pi(T)foCk) = О,
где pb(T)~Tn-an-i{%)Tn-1-...-ao(k)E. Пусть
Pi (Я), ..., ря (Я)-~ корни многочлена р%. Тогда
Если Я,^А, то векторы /о(Я,), ..., /n-i(^) линейно неза-

72 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
висимы, т. е. h(T)foCk)^ 0 для любого ненулеиого мно-
многочлена h степени и —1. Поэтому w ={T — Рг(Л,)Е). • •
...(Т-$п(Ь)Е)МЬ) + 0л (T-fr{\)E)w-O, т. е. р,(Х)-
собственпое значение оператора Г. Аналогично доказывает-
доказывается, что ^2 Ск), ■. ■, ?п (к) — собственные значения оператора Т.'
Следовательно, lp\(k) I *£ НЯ1, (см. п. 35.1). Рациональ-
Рациональные функции ao(i), ..., ап-\Ск) являются элементар-
чымп симметрпческимп функциями от ограниченных на
С\А фупкций $\(%), ..., ^я(?.), поэтому опи сами огра-
ограничены па С\А. Следовательно, фупкций аоСк), ...
..., an_iG.) ограничены па С, т. е. опи постоянны:
о,(Х)=о,. Пусть р{Т)=Тп-ап-1Т^ - . .. - апЕ. Тогда
/>(Г)/О(А,) = О дляА,1=С\А, а значит, p{T)jo{>.)=O для
«сех X. В частности, рG1)|о = О. Следовательно, р = ро
и ро{Т)ц = О.
ЗАДАЧИ
7.1. В пространстве V даны векторы ei, ..., em. До-
Докажите, что если иг > п + 2, то существуют такие числа
Oi, . .., am, пе все равные нулю, что2а»е1 = О И 2а»= 0.
7.2. Выпуклой линейной комбинацией векторов V\, ...
..., ym называется любой вектор x~txV[ + ... + tmvm, где
tiг> 0 и 2*1 — 1- Докажите, что в вещественном про-
пространстве размерности п любая выпуклая линейная комби-
комбинация пг векторов является также выпуклой линейпой
комбинацией пе более чем п +1 из этих векторов.
7.3. Докажите, что если | ац | > S I a»ft I при i = 1, ...
. .., п, то матрица А = [|aij-'!" не вырождепа.
Замечапие. Матрицы такого вида называются мат-
рицема с доминирующей диагональю.
7.Д, Векторы Х\, ..., xh линейпо независимы. Известно,
что если в базисе е\, ..., е„ вектор et заменить на xt,
то снопа получится базис (при любом i). Обязательно ли
х\, . . ., xh. ek+u ..., е„ — базис?
7.5. а) В re-мерном евклидовом пространстве даны век-
векторы е\, ..., en+i, причем (е„ е;)<0 при i¥=j. Докажите,
что любые п из этих векторов образуют базис.
б) Докажите, что в и-мерном евклидовом простран-
пространстве п + 2 вектора не могут образовывать попарно ту-
тупые углы.

1 § 8. РАНГ МАТРИЦЫ 73
§ 8. Ранг матрицы Q
8.1. Столбцы матрицы АВ являются линейными комби-
комбинациями столбцов матрицы А, поэтому гк АВ <тк4; стро-
строки матрицы АВ являются линейными комбинациями строк
матрицы В, поэтому rkylB=SrkB. Если матрица В обра-
обратима, то гкЛ = гк (АВ)В~1 < гк АВ, поэтому гк А = гк АВ.
Приведем еще два нераненстна для рангов произве-
произведений матриц.
Теорема 1 (неравенство Фробениуса). rkJ3C +
+ гк АВ^тк ABC+ rkB.
Доказательство. Если V<= V и X: V-+W, то
dim (Кег XIи) *£ dim Ker X = dim V — dim Im X. Запишем
это неравенство для U = Im ВС, F=ImB и Х = А:
dim(Keri4limBc)< dimlmS — dimlm^B.
Ясно также, что dim (КегЛМ1твс) = dim Im ВС—
Теорема 2 (неравенство Сильвестра). гк А + гк В ^
< гк АВ + п, где п — число столбцов матрицы А и число
строк матрицы В.
Доказательство. Запишем неравенство Фробе-
Фробениуса для матриц А\ = А, В\=Е и С\=В. В итоге по-
получим TkBlCi + TkAiBi^TkA1B1Ci + rkBu т. е. гкВ +
+ гк А < гк АВ + п.
8.2. Для ранга матрицы можно дать другое определе-
определение: ранг матрицы А равен наименьшему иэ размеров
матриц В и С, произведение которых равпо А.
Докажем, что это опред^лоняе эквивалентно обычному.
Если А = ВС и иаимепышш нз размеров матриц В и С
равен к, то гк А < min (гк В, гк С) < к. Остается дока-
доказать, что если А — матрица размера m X п и rk A = к, то
матрицу А можно представить в виде произведения мат-
матриц размеров /те X к и к У. п. Выделим в матрице А ли-
линейно независимые столбцы А\, ..., АК. Все остальные
столбцы через них выражаются, поэтому
А = (ж11Л1 + .., + хк1Ак, ..., х1пАг
8.3. Пусть Мт.п — пространство матриц размера
иг X и. В этом пространстве можно указать подпростран-
подпространство размерности тг, ранг элементов которого не превос-

74 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ходит г; для этого достаточно взять матрицы, в последних
пг — г строках которых стоят нули. Докажем сначала, что
если т < п п г — наибольший ранг элементов подпрост-
подпространства U <=■ М, to dim U < гаг, а затем выясним, как уст-
устроены такие подпространства максимальной размерности.
Теорема 1. Пусть г г£ m < и, U с: Мтп — линейное
подпространство, причем наибольший ранг элементов U
равен г. Тогда dim U < пг.
Доказательство [Флапдерс, 19G2]. Дополнив при
необходимости матрицы блоком пулей, будем считать, что
матрицы имеют размер я X п. В пространстве U выберем
матрицу А рапга г. Преобразованием X >-*■ PXQ, где
Р и Q — невырожденные матрицы, матрицу А можно
привести к виду [ г ) (см. п. 6.3, теорема 2). Такое
же преобразование произведем над всеми матрицами про-
пространства U и запишем их в соответствующем блоч-
блочном виде.
/вп в12\
Лемма 1. Если B&U, то В—\в 0 I, где
В21В12 = 0.
Доказательство. Пусть В = I g B 1st/,
причем матрица В21 состоит из строк щ, ..., и„_г, а мат-
матрица Вп — из столбцов vi, ..., vn-r. Любой мипор порядка
г + \ матрицы tA + В равен нулю, поэтому
Коэффициент при V равен Ъц, поэтому Ь« = 0. Следователь-
Следовательно, A(t) = — utaid](tEr + Bn)Vj (см. п. 3.1, теорема 3). Так
как ad](tEr + Bii)='fr~iEr +..., то коэффициент при f~l
многочлена A(t) равен —utVj. Поэтому UtVj — O, а значит,
Лемма 2. Если В, С ^U, то В2\Сп + СцВ^ == 0.
Доказательство. Применив лемму 1 к матрице
В + С егЪ, получим (B2i + C2\) (Bi2 + Сп) = 0, т. е.
Перейдем пепосредствепно к доказательству теоремы 1.
Рассмотрим отображение /: U -*■ Мг,п, заданное формулой
/(С) = (Сц, Сп)- Кег/ состоит из матриц вида [д л|»
причем согласно лемме 2 B2\Ci2 = 0 для всех матриц

§ 8. РАНГ МАТРИЦЫ 75
C^U. Рассмотрим, далее, отображение g: Кег/->Л/г>п,
g (В): (Xu, X12) i-k tr {B2lXlz). Это отображение моно-
морфно (см. п. 5.6), поэтому пространство &'(Кег/)с:
с Мг,п имеет размерность /г = dimKer/. Следовательно,
(#(Кег/))х— подпространство размерности пг — к в Мг,п.
Если Се U, то B2iCi2 = 0, а значит, tr(B2iCi2) = 0. По-
Поэтому /(£/) <= (g(Ker/))x, т. е. dim/(*7) «S rcr-fc.
Остается заметить, что dim/(£/) + Л = dim Im/ +
+ dim Ker / = dim U.
Теорему 2 удобпо сформулировать в инвариантной фор-
форме, поэтому вместо пространства Мт,„ рассмотрим прост-
пространство L(Nn, Mm), состоящее из линейных отображений
Л'п -> М"\
Теорема 2. Пусть UczL(N", Mm)—линейное под-
подпространство, г — наибольший ранг элементов U и
dim U = max(mr, nr). Тогда выполнено одно из следую-
следующих условий:
1) пг^ п и в N существует такое (п — г)-мерное под-
подпространство Ni, что U = {A\ANi = 0};
2) тге < п и в М существует такое r-мерное подпрост-
подпространство Ми что U=*L{Nn, Mi).
Доказательство [Фландерс, 1962]. Инвариант-
Инвариантные обозначения понадобились лишь для формулиров-
формулировки. Добавив при необходимости к пространству М™ или N*
прямое слагаемое, будем считать, что m = п. Вос-
Воспользуемся результатами и обозначениями теоре-
л ли п тт (°п °12\
1. Матрицы 6е(У имеют вид 1р 0 I*
Требуется доказать, что либо Ci2 = 0 для всех С е[/,
Либо 6*21 вя 0.
Рассмотрим спова отображение /: V -*■ Мгп, задан-
заданное формулой /(С) = (Сц, С&). Пусть И. <= Жг-П_г — под-
подпространство, порожденное всеми матрицами С^. Тогда
f(U)<=Mrr Ф Н. Пространства Мг,п-Г и Мп-т,г можно отож-
отождествить операцией транспонирования; для В2\ ^ Мп-Г,г и
Zi2e MTin-r величину i?(B<i\X\2) можно рассматривать как
скалярное произведение в Мг,п-г- Относительно этого ска-
скалярного произведения #<=(Кег/)х, поэтому dim Ж г(п —
—/■) — dimКег/, а значит, dim/(С/)< г2 + dim// ^ иг —
— dim Кег /. А так как nr = dim Im / + dim Кег /, то Я
= (Kerf)\ dim# + dimKer/ = r(rc-r) и dim/(C/) 2
+ dim II, т. е. f{U) =Mr_r ®ЯиКег/ = И\
мы

76 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Выберем в Мп-Т,т подпространство L так, что Д/„_,,г =»
— Кег / Ф L. Существует единственное линейное отобра-
отображение К: f(U)-*- L, делающее диаграмму
коммутативной; здесь h I q 0 I = ^an P — естествен-
естественная проекция Mn-r,r = Кег / ® L на Ь. В самом деле,
если (Сц, Ci2)s/(f/), то в Мп-Гг найдется такая матрица
г (сп си\ тт ' „
Ь21, что \q о 1е^> причем матрица С21 определена с
точностью до слагаемого из Кег /. Таким образом, мы полу-
получаем отображение A,: j(U) -*■ Л/„_,,т/Кег/ = L. Легко про-
проверить, что это отображение линейно. Докажем, что К *■ 0.
Если Ciisfr, и Сп^Н, то существует матрица
С С \
11 12)
С о ]е£Л Тогда Х(Сц, С-л) = Сц, поэтому соглас-
согласно лемме 1 %(Сп, Ci2)Ci2 = 0. Аналогично, Х(Сц,
м2 = 0. Следовательно, h(Cu, 0)С\2*=к(Си, Сп,
= 0, т. е. К(Сц, 0)еЯх = Кег/, а значит,
Я,F'ц, 0)s L П Кег/== 0. Величина л(Сп, Ci2) = Hc\u 0) +
+ Х@, Ci2) = X@, C12) зависит только от Ci2", обозначим
ее ЦС12). Пусть Ci2е Н — ненулевая матрица, v — ее не-
ненулевой столбец. Тогда если Сц е М,г и и — строка
то
v
0==
"и
и 0
= — и- aclj Ctl'V.
Матрицу Си можно подобрать так, чтобы матрица
имела ровно один ненулевой элемент, причем этот эле-
мепт может стоять в любом заданном месте (см. зада-
задачу 2.8). Следовательно, и = 0, а значит, ) O
(С С\
) , , , ()
(Си Сп\
Итаи; если I с 0 I е V и См Ф 0, то Сц =»
= A,(Ci2) = 0. Поэтому в любой матрице из U одна из мат-
матриц Си и Сц нулевая. Ясно также, что матрицы
I " ?! и с о I с ненулевыми матрицами B\% и Си
не могут одновременно входить в U, так как иначе их
сумма не входила бы в U.

§ 9. ПОДПРОСТРАНСТВА. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ 77
Соображения размерности показывают, что простран-
пространство, порожденное матрицами Ci2 или C2ii имеет макси-
максимальную размерность г(п — г), т. е. оно совпадает с про-
пространством MTin-T или Мп-Т,г-
ЗАДАЧИ
8.1. Пусть all = xi+i/1. Докажите, что гк11ац1'^2.
8.2. Матрица Л квадратная, причем rk A = 1. Докажи-
Докажите, что \А + Е\ = trA + l.
8.3. Докажите, что гк(Л*Л) = гкЛ (см. п. 10.3).
8.4. Пусть А — невырожденная матрица. Докажите, что
<гслп ранг матрицы I „ л ] равеп рангу А, то D = СА~}В.
Vе ")
8.5. Пусть В — билинейная функция на V х W; Л'у =
= {v^V\B(v, ц>) = 0 4w<=W} и Nw = {w e W | В (у,
«?) = 0 Vi> e F}. Докажите, что dim V — dim Nv e dim W—
— dim Л'тг.
8.6. Матрицы А\ и Л2 имеют одинаковые размеры.
Пространства Fi и F2 ггорождены нх строками, прострап-
ства 1и н 1^2 — столбцами. Докажите, что следующие
условия эквивалентны:
)
2) F,nF2 = 0;
3) И'', П W2 = 0.
8.7. Докажите, что если А и В — матрицы одного раз-
размера ir ВТА =0, то гк(Л +Я) = гк4 + гкВ.
8.8. Пусть А ж В — квадратные матрицы нечетного по-
порядка. Докажите, что если АВ = 0, то хотя бы одна из
матриц Л + Ат и В + Вт вырождена.
8.9. Точки Xi, ..., Х„ расположены па окружности
в указанном порядке. Рассмотрим кососимметрическую
матрицу А = || ау ||™, где а;з = XtXj при г > /. Докажите, что
гкЛ =2 (обобщенная теорема Птолемея).
§ 9. Подпространства. Ортогонализация
9.1. Размерность пересечения двух подпространств
и рямморность пространства, порожденного ими, связаны
следующим соотношением. г ">
Теорема. dim(F + W) + dim(y П W) = dimV + dimW^\
Доказательство. Пусть а, ..., ег — базис VuW;
его можпо дополнить до базиса еи ..., er, v\,..., у„_, про-
пространства V" и до базиса е\, ..., ет, wu ..., wm-r прост-
пространства Wm. Тогда еи ..., ег, Уь ..., vn-T, wu ..., шя_г — ба-

78 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
зле пространства V + W. Поэтому dim(F + W)+ dim (У ГС
f\W) = (г + п-г+т- г) +r = n + m = dim V + dim И7.
9.2. Пусть V — пространство над К. Скалярные
изведением в У называется отображение г Ф И
сопоставляющее паре векторов в, »s7 число (u, у)е У
и обладающее следующими свойствами: '
1) (и, v) = (v, и);
2) (ки + \jlv, w)=K{u, w)+ \x(v, w);
3) (и, и)> 0 для любого и¥=0; величина Ы = У (и, и)
называется длиной вектора и. Иногда длину вектора и
обозначают Hull.
Базис е\, .. ., ея пространства V пазывается ортонор-
мированным (соответственно ортогональным), если
(et, ej) = 6tj (соответственно (et, ej)=O при i^=j).
Матрица А перехода от ортонормированпого базиса к
ортопормированному называется ортогональной. Столбцы
такой матрицы образуют ортонормированную систему век-
векторов, поэтому АТА — Е, а значит, Ат = А~х и ААТ = Е.
Если А — ортогональпая матрица, то (Ах, Ау) =
=*{х, АтАу) = (х, у) (см. пп. 5.2 и 5.3).
Легко проверить, что любые векторы е\, ..., е„, обла-
обладающие свойством (е„ е,)= 8ц, линейно независимы. В са-
самом деле, если Xjei + ... + %пеп = 0, то %{ = СК\е\ + ...
...+ %пеп, е() = 0. Аналогично можно доказать, что орто-
ортогональная система ненулевых векторов линейпо не-
независима.
Теорема (ортогонализация Грама — Шмидта).
Пусть е\, .. ., еп — произвольный базис. Тогда существует
такой ортогональный базис ei,..., е„, что ег е (е\,..., es>
для всех i=l, ..., п.
Доказательство. Применим индукцию по п. При
га = 1 утверждение очевидно. Предположим, что утверж-
утверждение верно для п векторов. Рассмотрим базис еи ..., еп+и
По предположению индукции существует такой ортого-
нальпый'базис Ei, ..., е„, что е( s <ei, ..., е,-> для г = 1, ...
-.., п. рассмотрим вектор en+i = %\г\ + ... + %„гп + en+i.
Условие (е<, en4.i)==0 означает, что Я((е,-, E,) + (en+i, Е;)=«
= 0, т. е. %г = — (е„+ь ef)/(Ej, в,). Взяв такие Х;, получим
ортогональную систему векторов Ej, ..., ея+1, причем
е^^О, так как епц 9^ <8|, ..., е„> = <ej, ..., е„>.
Замечание 1. От ортогонального базиса ei, ..., ел
Можно перейти к ортонормированпому базису et,
где е| — /V

§ 9. ПОДПРОСТРАНСТВА. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ 79
'** Замечание 2. Процесс ортогонализации имеет доста-
достаточно простой геометрический смысл: из вектора е„+\
г.ычисляется его ортогональная проекция на подпростран-
подпространство W = <ej, ..., е„> и и результате получается вектор
ги+1, ортогональный W.
9.3. Пусть в пространстве V задано скалярное произ-
произведение и W — подпространство V. Вектор w ^W на-
называется ортогональной проекцией вектора реУна под-
подпространство W, если v — w -L W.
Теорема 1. Для любого вектора neV существует
единственная ортогональная проекция на подпростран-
подпространство W.
Доказательство. Выберем в пространстве W орто-
нормированный базис в\, ..., ек. Рассмотрим вектор
w = X\ei + .. .+ taek. Условие w — v-Let означает, что
O = (Xie! +... + %hek— v, e,) = h — (v, et), т. е. h = {v, et).
Выбрав такие числа h, получим требуемый вектор w —
к
Следствие 1. Если е\, ..., е„ — базис пространст-
п
еа V и v еУ, то v = 2 (". ei) в{.
n
Достаточно заметить, что v — 2 (у> е») е\ ортогонален
всему пространству V.
Следствие 2. Если w и wx — ортогональные проек-
проекции вектора v на подпространства W и W3-, то v = w + w-1.
Для доказательства достаточно дополнить ортонорми-
рованный базис пространства W до ортонормированного
базиса всего пространства п воспользоваться следствием 1.
Теорема2. Если w — ортогональная проекция векто-
вектора v па подпространство W и w\ e W, то
|i7-M>,|2=|tf-u;|a+|u>-ii;,!2.
Доказательство. Пусть а= v— w и Ь = w —
— w\ e W. По определению a -L Ъ, поэтому \а + Ь\2 = (а +
+ Ь, e+b)=|e|2+ Ifcl2.
Следствие 1. \v\2 = \w\2 + \v — w\2.
Для доказательства достаточно положить w\ = 0.
Следствие 2. \v — w\\ >> \v — w\, причем равенство
достигается у&лъко при w = W\.
9.4. л^злолумежду прямой I и подпространством _W
называется угол между1 вектором о, задающим /, и векто-

80
ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ром w — ортогональной проекцией d на ^ (если w = О,
то v -L W). Так как v — w -i- «?, то (у, u;) = (u;, u>) > 0, т. е.
угол между векторами v n u? не острый.
вектора у
то
поэтому
)l|
(см. рис. 2),
^( W)
Пусть в\, ..., еп — ортонор-
ортонормированный базис и v = х\в\ +
+... + хпеп — единичный век-
w тор. Тогда Xid — проекция век-
вектора v на г-ю ось координат,
т. е. Xi = cos ocf, где а, — угол
менаду векторами v и ef (косинус угла между векторами
v и et может отличаться знаком от косинуса угла между
вектором v и i-й осью координат). Следовательно,
Рис. 2
п
2 cos2 оц = 1 и
i
п
г = 2 A — cos2 оц) = п — 1.
i
Теорема. Пусть ei, ..., ек — ортонормированный ба-
базис подпространства W с V; at — угол между векторами и
h
и ef, а — угол между v и W. Тогда cos2 а = 2 cos2 а»^
Доказательство. Дополним базис е\, ..., ек до
базиса ei,..., е„ пространства F.Тогда у = х\в\ +... + хпеп,
причем Xi = cos at при i = 1, ..., А: и проекция вектора v
на подпространство W равпа х\в\ + ... + xheh=w. Следо-
Следо\
вательно, cos
р
а = | w |2 = х\ +
ar| =
cos2 ах -f-
... + cos2 aft.
9.5. Теорема. Пусть ej, ..., е„ — ортогональный ба-
базис пространства V, d\, .. ., dn — длины векторов е\,..., е„.
Эти векторы имеют равные проекции на некоторое пг-мер-
ное подпространство W <= V тогда и только тогда, когда
d\ A/dJ -t- :.. + 1/4) > m при i = 1, ..., п.
Доказательство [Ниспевич, Брызгалов, 1953].
Выберем в пространстве W ортонормированный базис и
дополним его до ортонормированного базиса ei, ..., е„
пространства V. Пусть (хц, ••-, xni) — координаты векто-
вектора et относительно базиса В|, ..., е„; уы = Хм№(. Тогда
Wyki\\ — ортогопальная матрица, причем длина проекции
вектора ег на подпространство W равна d тогда и только-

§ 9. ПОДПРОСТРАНСТВА. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ 81
тогда, когда
l = (x\i +■■■+ a&O/d? = ffi/dl A)
Если требуемое подпространство W существует, то
т п п т I n
ft=l i=l t=l h=l
X (l/^i + • • • + 1/dn).
Предположим теперь, что т ^ d\ (l/d* + ■ • • +
при i = 1, ..., и, и построим ортогональную матрицу
// 1
||Ум|1л обладающую свойством A), гдей2 = тп I —- 4- ■ ■ •
l\dl
••• + "^i"j; подпространство W после этого строится оче-
видпым образом. Индукцией по ге докажем, что если
О «^ ф,- < 1 при i = i, ..., п и Pi + ... + р„ = m, то сущест-
существует такая ортогональная матрица ||ум||", что у\\-\- ...
... 4- J/mi= Pi. При и = 1 утверждение очевидно. Предпо-
Предположим, что утверждение верно для п — 1 и докажем его
для п. Рассмотрим два случая.
a) m ^ п/2. Можно считать, что Pi ^ ... > ря. Тогда
Pn-i + Рп < 2пг/га ^ 1, а значит, существует такая орто-
ортогональная матрица Л =* Цям!?", что а\\ -\- ... -\- а^х = Pi
при i = 1, ..., п -2 и aj.n-i 4- • • • + aSi,n-i = Pn-i + Рп.
Тогда матрица
('в11 •■• °I,n-2 aiel,n-l "~a2el,Ti-l \
an-l,i •■• ап-ьп-а а1ап-1.п-1 —aian-l,n-l)t
О ... О а. а, /
где a, -t-p»-i/(P»-i + P«) и 0С2 = Ур„/(Р-> + Р»)> ортого-
нальпа no столбцам, 2 Ун — Р» при i = 1, ..., и — 2,.
Ь=1
J/l.n-! 4" • • ■ + Ут.п-г = «1 (Рп-1 + Рп) = Рп-1 И Уй + ...
• • • 4- Утп = <х\ (Pn-i + Рп) = Рп. Кроме того, столбцы орто-
нор:мированы.
G) Пусть т > и/2. Тогда п — т ^ и/2, поэтому сущест-
существует такая ортогональная матрица||г/м!£) что y5i+i.i + ...
• • • + J/n,i = 1 — Pi при i=l, ..., re, а значит, У\% + .. ►
...+ 3/mi=Pi.
в В. В. Прасолов

«2
ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Следствие. Если а,- — угол между вектором е, и
подпространством W, то d, = d/cos а,-. Поэтому для орто-
ортогональных векторов е\, ..., еп в R" пг-мерное подпро-
подпространство W, образующее с ними данные углы ось • •., ап.
существует тогда и только тогда, когда (cos2oci + ...
... + cos2 an)/cos2 а,- ^ иг при i = 1, .. ., п.
9.6. Пусть U и W — пг-мерные подпространства в про-
пространстве V; ei, ..., еш и Ei, ..., Em —их ортонормиро-
ваппые базисы.
Теорема 1. пусть хи ..., хт и уи ..., ут — системы
■векторов в U и W. Тогда
I (*i, Uj) \i = I (*i, ^) |Г I B/i, e,-) 1ГI (ei, е,-) 1Г.
Доказательство [Коваленко, 1983J. Так как xi =
m m
= 23 (^г, Eft) eft + х'г, где x[ J_ W и y} = 2 (l/ji eft) eft, T0
h=l
S («i,
Г =
А так как eh = 2 <
3=1
m
2
4-eft, где г'к±и, то
Следствие 1. ( | (ж*,
Доказательство. Из равенства
чм1едует, что
2 («i. ek) (eh, Xj
Аналогично,
m
Перемаожим эти равенства и домножим полученное ра-
равенство па (|(«г,е3-)|ГJ. Остается воспользоваться ре-
результатом теоремы 1.
Следствие 2. Если хи ..., жт и у\, ..., ут —
ортонормированные базисы U и W, то ( I («i, у3-) |") =
— A («•. «f> IT)'-

§ 9. ПОДПРОСТРАНСТВА. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ 8£
Теорема 2. | det[(в{,в,-);)™ |^ 1, причем равенство
достигается только при U = W.
Доказательство [Коваленко, 1983]. По перавен-
ству Адамара (см. 33.2)
m m
( I (ей ej) |ГJ < 2 (ei, eftJ ... 2 (em, eftJ = Z? ... «.,
ft=i ft=i
где U — длина проекции вектора et на W. Ясно, что k *S 1,.
причем U = h = ... = lm = 1 тогда и только тогда, когда-
tf=<e, em>^W.
9.7. Теорема 1. Пусть в пространстве V дана систе-
система к-мерных подпространств, причем любые два из них
пересекаются по (к — 1) -мерному подпространству. Тогда
все они либо имеют общее (к — 1) -мерное подпространство,
либо лежат в одном {к + \)-мерном подпространстве.
Доказательство. Предположим, что fc-мерные про-
пространства Fi, Vz п Т7з не имеют общего (к — 1)-мерного
подпространства. Тогда (к — 1)-мерные пространства
V\ Г) V% и V\ П V% различны, поэтому они порождают все
пространство Vu а значит, dim(Fi П У2П Va) = dim(Fi П
П Уг) + dim(Fi П Vs) — dim Vi = к — 2. Рассмотрим орто-
ортогональное дополнение W пространства Fi П F2 П V3. Пере-
Пересечения W с пространствами V\, У2 и Vs двумерпы, и эти
двумерные плоскости попарно пересекаются по прямым.
Следовательно, они лежат в одном трехмерпом простран-
пространстве, а значит, пространства V\, F2 п Vs лежат в одном
(к — 2)+ 3 ={к+ 1)-мерном пространстве. В частности,
Vs^<Vh F2>.
Докажем теперь, что любое другое дапное подпрост-
подпространство Vi содержится в <Vi, Уг>- Если Vu V2 и Vi не
имеют общего (А;—1)-мерного подпространства, то У4С
c<F,, F2>, поэтому пусть Fi П V2 П F4 = Vi П F2. Так
как F4 П Уз ^ V] П F2, то F4fiy3 содержит вектор v, пе
принадлежащий Fi П F2. Тогда dim<Fi П Уг, и> = й и
'Fi Г, Уг у> с F4, поэтому У4 = <Vi П У2, у> с <У,, У2,
Уз> = <У„ У2>.
Теорема 1 справедлива также и в пространстве У*.
Переходя к пространству У, для m = dim У — к получим
елс'ующее утверждение.
Теорема 2. Пусть в пространстве V дана система
m-мерных подпространств, причем любые два из них ле-
{жат в одном (тп+1)-мерном пространстве. Тогда все
.они либо имеют общее (пг — 1)-мерное подпространство?
либо лежат в одном (тп + \)-мерном подпространстве.
в»

«4 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
9.8. Пусть в пространстве V заданы непустые множе-
множества векгоров А\, ..., Ап (эти множества могут включать
и нулевой вектор). Для любого целого т, где 0 < т < и,
рассмотрим следующие свойства:
(Рят) любые векторы аи ..., <хя, где at <= At, порож-
порождают пространство размерности не более т\
(Qn,m) существует подпространство W размерности
h @ < h < иг), содержащее h + (и — иг) из множеств А,.
Свойства Р„,„ и Qn,n (с h = 0) выполнены всегда.
Теорема.Свойства Рят и QBim эквивалентны.
Доказательство [Шерк, 1965]. Если выполнено
свойство Qnm и, например, множества Л] ..., Ah+n-m со-
содержатся в W, то первые h+ n — m пз векторов а\, ..., ап
содержатся в fe-мерном пространстве W, а остальные
п — (h + п —тп) = m — h векторов порождают пространство
размерности не более m — h. Поэтому векторы а\, ..., ап
порождают пространство размерности не более h + (m —
— h) = m.
Предположим теперь, что выполнено спопстпо Ря,т. До-
Доказательство свойства Qn,m приведем двойной индукгщен:
п
по п и но / = 2 dim <Л;>. При и = 1 утверждение оче-
t=i
видпо. В дальнейшем считаем, что утверждение доказано
для п — 1, где п > 2. Если выполнено свойство Ря,о, то каж-
каждое множество At состоит лишь из нулевого гектора, по-
поэтому выполнено свойство Qn-o. В дальнейшем считаем,
что ire ^ 1.
Если для мпожеств А\, ..., Ап-\ выполнено свойство
Pn-i,m-i, то по предположению индукции для них вы-
выполнено свойство Qn-i.m-i, а значит, для мпожеств Аи ...
,.., Ап выполпепо свойство Qn,m- Поэтому можно считать,
что никакие и—1 множеств из Аи . • •, Ап не обладают
свойством Pn-i,m-i. Тогда пг<п и существуют векторы
ai, .. .„ пп-\, порождающие пространство U, размер-
размерность которого не меньше пг. Из свойства Ря,т следует,
что dim£/ = m и Ая с: U. В частности, dim Ап^ т. Ана-
Аналогично dim^i < т при i = 1, ..., п.
Докажем теперь, что свойство Qn,m выполнено, если
Ап = {0). Для мпожеств Ai, ..., An-i выполнено свой-
свойство Рп-i.m. Если т = и — 1, то свойство Qn>m выполнено
с h = 0. Если т < п — 1, то согласно предположению
индукции для множеств Ai, ..., Ап-\ выполнено свойство

§ 9. ПОДПРОСТРАНСТВА. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ 85
Qn-i,m, а значит, для множеств А\, ..., Ап выполнено свой-
свойство Qn.m. Поэтому в дальнейшем считаем, что
АгФШ при i= 1, ..., п. A)
Лемма. Пусть к-мерное подпространство W\, где
1 < к < пг, содержит к из множеств А\, ..., Ап. Тогда
для этих множеств выполнена свойство QB,m.
Доказательство. Можно считать, что А\, ..., Ак
содержатся в W\. Кроме того, можно считать, что число к
в условии леммы выбрано минимальным. Тогда либо к = 1,
либо любое А-мерное подпространство, где 0 < h < к,
содержит менее h множеств пз А\, ..., Лп. Во втором
случае свойство Qk.h-i не выполнено для множеств Аи ...
..., Ак, поэтому для них не выполнепо свойство P*,i,-i,
а значит, векторы Ь\, • ■ •, bk, где fc, e At можно выбрать
так, что они образуют базис W\. При к = 1 аналогичное
утверждение очевидно следует из A).
Пусть р — проекция V параллельно W\ на подпро-
подпространство, дополнительное к W\. Векторы Ъ\, • ■ •, Ьк,
ац.1, ..., а„ порождают подпространство размерности не
более пг, поэтому векторы p(ah+i), ..., р(ап) порождают
пространство размерности не более m — к. Следовательно,
множества p(Ak+i), ..., р(Ап) обладают свойством Рп-м.-*.
Согласно предположению индукции они обладают свой-
свойством QH-fc,m-ii, т. е. для некоторого g @ «£ g < пг — к)
множества ^(Л^), . -.,p(Aig+n_m} лежат в g-мерном
подпространстве. Следовательно, множества Аг, ...,А^
А^, . ..,Aig+n_m лежат в (g + А;)-мерном подпростран-
подпространстве. Это завершает доказательство леммы (с h = g + k).
Завершим теперь доказательство свойства Qn,m. Если
п
/ = 2 dim A\ < п, то утверждение очевидно следует из
A). Предположим теперь, что утверждение верно для
/ — 1. Согласно лемме можно считать, что dim^n>l.
Пусть В„ состоит из единственного элемента Ъп е Ап,
Ь„Ф0. Множества А\, ..., Ап-\, Вп обладают свойством
П—1
lJn,m и 2 dim Ai + dim5n</, так как dimBB==l<
i
il
< dim A n. Следовательно, существует fc-мерное подпрост-
рапство Z, содержащее к-\г(п — тп) из множеств А\, ...
..., Ап-\, Вп, причем 0 ^ к < т. Согласно A) k>i.
Пространство Z содержит к + (п — т)—1> к множеств из
t4i, ..., Ап. Остается воспользоваться леммой.

86 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ЗАДАЧИ
9.1. Пусть ej, ,.., еп — ортонормированный базис,
Ei, .. ., ел — ортопормированная система векторов, а« —
угол между векторами &t и е;-. Докажите, что
п к
2 2 cos2 оц = к.
»=tj=l
9.2. В и-мерном пространстве V даны m-мериые под-
подпространства U и W, причем i/lW для некоторого
и е U\0. Докажите, что w -LU для некоторого w e ТУ\О.
9.3. В и-мерном евклидовом пространстве даны две
системы векторов х\, ..., xh и у\, ..., ук, причем (xt, х})~
= (yt, У}) при всех i, j. Докажите, что существует орто-
ортогональный оператор U, отображающий xt в у и
§ 10. Комплекеификация в овеществление.
Унитарные пространства
10.1. Комплексификацией линейного пространства V
над 0? называется множество пар (а, Ь), где a, b e V,
на котором введена структура линейного пространства над
С следующим образом:
(а, Ь) + (в,, Ь|) = (о + о,, b + bi),
(х + iy) (а, Ъ) = (ха - уЪ, хЬ + уа).
Такие пары векторов можно записывать в виде а + ib.
Комплекеификация пространства V обозначается V ;
подпространство, состоящее из пар {а, 0), называется
вещественным подпространством V или вещественной
формой У1.
Оператору А: V -*■ V можно сопоставить оператор
A': V"'-^-Vs, заданный формулой А® (а-\-ib) = Аа-у iAb.
Оператор Л"' называется комплексификацией опера-
оператора .А. Если ei, ..., е„—базис пространства V,
то е\, ..., еп — базис (над С) пространства V ; в этих
базисах матрицы операторов А и А совпадают.
Пространство V с фиксированным вещественным
подпространством V называется вещественно-комплекс-
вещественно-комплексным пространством. В этом пространстве определена опе-
операция сопряжения, переводящая вектор v + iw в вектор
v + iw = v — iw (v, weV). Пространство V является

§ 10. КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ И ОВЕЩЕСТВЛЕНИЕ 87
линейным пространством размерности 2 dim V над iR.
Операция сопряжения является линейным преобразова-
преобразованием этого пространства пад R, но пе над С Точки
пространства V (и только они) остаются нрп сопряжении
неподвижными.
10.2. Липешгое пространство V пад С является также
и лпяейным пространством пад R (элементы V можно
умножать на все комплексные числа, поэтому их заве-
заведомо можно умножать на вещественные числа). Полу-
Полученное пространство над R называется овеществле-
овеществлением V; будем обозначать его Fr.
Аналогично, линейное отображение Л: V -*■ W над С
можно рассматривать как линейное отображение
А$>: Vr-*-Wr над R. Отображение А$> называется
овеществлением отображения А.
Если ei, ..., еп — базис V пад С, то е\, . ■., <?n, ie\, ...
..., ien — базис Vr. Легко проверить, что если А = В +
+ iC — матрица линейного отображения А: V -*■ W отно-
относительно базисов е\, ..., еп и Ei, ..., em, причем мат-
матрицы В и С вещественны, то матрица линейного отобра-
отображения А& относительно базисов е\, ..., en, ie\, ..., fe,
(В —С\
И 8), . . ., Em, I8i, . . ., 18m ИМСвТ ВИД I ^ д|.
Теорема. Если А: V-*■ V — линейное отображение
пад С, mo det Лк = | det Л [а.
B + iC — C+iB
С В
У v) llifV исъ *J-ii< "~~ 1 "■*-'•' *-■■ | ■
IB — С \
с ts I
| в +1 с о
С B — W
=s\B+tC\-\B — iC\= det A- det A =
= de t^|2.
10.3. Пусть V — линейное пространство пад С. Ска-
Скалярным или эрмитовым произведением в V называется
отображение *V~xV-^С, сопоставляющее паре векторов
х, у еУ комплексное число (х, у) и обладающее следую-
следующими свойствами:
1) (*, #) = (*/. *);
2) (ах + $у, z)=a{x, z)+$(y, z);
3) (х, х)—действительное положительное число для
любого х Ф 0.
Пространство V, в котором задано эрмитово произве-
произведение, называется унитарным или эрмитовым. Стандарт-
Стандартное эрмитово произведение в С имеет вид Xiyi + ...+

88 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Базис ei, ..., е„ пространства V называется ортонор-
мированиым, если (е*, е;)=б«. Пусть рву!;?— матрица
оператора А относительно ортонормированного базиса
ем, ..., е„, т. е. Ае$ = 2ttijei- Тогда aiS = (Ае,, ef). В част-
частности, значения {Ах, у.) одпозначно определяют опера-
оператор А.
Линейный оператор А* называется сопряженным с А,
если (Ах, у) = (х, Л*у) = (А*у, z).Пусть ||ау|Г и |ЬуйГ —
матрицы операторов А и Л* относительно ортонормиро-
ванпого базиса. Тогда a:s = (Aes, е() = (Л*е„ е^ — Ъц. Мат-
Матрица X* = JCT называется сопряженной с X (она полу-
получается, из X комплексным сопряжением всех элементов
п транспонированием).
Дипейпык оператор А называется унитарным, если
(Ах, Ау) = (х, у), т. е. унитарный оператор сохраняет
эрмитоно произведение. Если оператор А унитарен, то
(х, у) = (Ах, Ау) = (х, А*Ау). Поэтому А*А =Е =АА*,
т. е. строки и столбцы матрицы А образуют ортонормиро-
санцую систему векторов.
Линейпый оператор А называется эрмитовым (соот-
кетствепно косоэрмитовым), если А* = А (соответствен-
(соответственно А* = — А). Лилейный .оператор эрмитов или косозр-
мптов тогда и только тогда, когда его матрица А относи-
относительно ортонормированного базиса эрмитова, т. е. А* = А,
или косоэрмитова, т. е. А* = —А; в этом случае его
матрица относительно любого ортонормированного базиса
эрмитова или косоэрмитова.
Аналогом вещественных симметрических матриц в
комплексном случае янляются, как правило, эрмитовы
матрицы. Иногда рассматривают также комплексные сим-
симметрические пли кососимметрические матрицы, для кото-
которых Ат = А или Ат = —А.
Т е о pje м а 1. Пусть А — комплексный оператор, причем
(Ах, х)^0. Тогда А = 0.
Доказательство. Запишем равенство (Ах, ж) = 0
для х = и + v и х =и + iv. Учитывая, что (Av, u)=«
— (Ли, и) = 0, получим (Аи, и) + (Аи, и) = 0 и i(Av, и) —
— i(Au, v) = (Aiv, u) + (Au, iv) = 0. Следовательно,
(Аи, у)= 0 для любых и, v e V.
Замечание. В вещественном случае тождество
(Ах, ж)=0 означает, что А — кососимметрический опера-
оператор (см. п. 21.1, теорема 2).

§ 10. КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ И ОВЕЩЕСТВЛЕНИЕ 89
Теорема 2. Пусть А — комплексный оператор, при-
причем (Ах, i)sS для любого х. Тогда А — эрмитов опе-
оператор.
Доказательство. Так как (Ах, х) = (Ах, х) = (х,
Ах), то ((А-А*)х, х) = (Ах, х)-{А*х, х) = (Ах, х)-
— (х, Ах) = 0. Согласно теореме 1 А — А* = 0.
Теорема 3. Любой комплексный оператор однознач-
однозначно представим в виде А = В + iC, где В и С — эрмитовы
операторы.
Доказательство. Если А = В+ iC, где В к С —
эрмитовы операторы, то А* = В* — iC* = В— iC, поэтому
2В = А + А* и НС = А — А*. Легко проверить, что опе-
операторы (А +А*)/2 и (А — A*)I'll эрмитовы.
Замечание. Оператор iC косоэрмитов тогда и только
тогда, когда оператор С эрмитов, поэтому любой опера-
оператор А однозначно представим в виде суммы эрмитова
и косоэрмитова оператора.
Оператор А называется нормальным, если А*А—АА*.
Легко проверить, что унитарные, эрмитовы и косоэрми-
тоны операторы нормальны.
Теорема 4. Оператор А=>ВЛ-1С, где В и С — эр-
эрмитовы операторы, нормален тогда и только тогда, когда
ВС = СВ.
Доказательство. Так как А* = В* — iC* = В — iC,
то А*А = В2 + С2 + i(BC - СВ) и АА* = В2 + С2- i(BC-
— СВ). Поэтому равенство А*А = АА* эквивалентно ра-
равенству ВС-СВ = 0.
10.4. Если V— линейное пространство над 0?, то для
задания на V структуры линейного пространства над С
необходимо задать операцию / умножения на i, т. е.
Iv = iv. Это линейное отображение /: V -*■ V должно об-
обладать следующим свойством: Pv = i(iv) = —v, т. е.
Р = —Е. Ясно также, что если в пространстве V над О?
задан такой линейный оператор /, то V можно превратить
в пространство над С определив умножение на комп-
комплексные числа формулой (а + ib)v = av + blv. В частно-
частности, пространство V в этом случае имеет четную раз-
размерность.
Определение. Пусть V—линейное пространство
1гад (R. Линейный оператор /: V -*■ V называется комп-
комплексной структурой, если Р = —Е.
Выберем в пространстве R базис и обозначим ба-
базисные векторы ei, ..., е„, ieit ..., ien. Отображение

90 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
7: K2n->!R2n, заданное формулами Ieh = ieh и 7(ieft)=*
= — eh, является комплексной структурой. Если А — не-
невырожденное преобразование R , то для базиса Ав\, ...
..., Аеп, A (ie\), ..., A{ien) аналогично можно определить
комплексную структуру 1А. Комплексные структуры /
и /д совпадают тогда и только тогда, когда оператор А
является комплексно линейным оператором в прострап-
стве R2n, на котором структура комплексного простран-
пространства определена оператором /; в этом случае матрица А
относительно базиса ei, ..., еп, ie\, ..., ien имеет вид
1В -С\
[с в)-
Собстоепные значения оператора I: V -*■ V чисто мни-
мнимые, поэтому для более детального изучения этого опе-
оператора рассмотрим комплексификацию V пространст-
пространства V. Следует отметить, что операция умножепия на i
v V никак не связана с комплексной структурой / а
ее комплексификацней ■»•
Теорема. Vz == F+ © У_, где V+ =■ КегGе — гЕ) =
= Im(/G+i£) и y_ = K.er(/G-biZ?) = Im(/G-iE).
Доказательство. Так как (lG — iE)(lG + *#) =
= {Pf-\-E=0, то 1ш(Г+г/0с=Кег(/г — i/s). Аналогич-
Аналогично Im Gе — iE) cz Кег Gе + iE). С другой стороны,
— i(f + iE)-\- iil^ — iE)^ 2E, поэтому Усс=1тGс +
+ iE) + 1m(r ~ iE). Учитывая, что КегGе— iE)f\
П Кег Gе -(- iE) = 0, получаем требуемое.
Замечание. Ясно, что V+ = V-.
10.5. Пусть V — линейное пространство пад С. Рас-
Рассмотрим пространство V, совпадающее как множество
и как группа по сложению с V, а произведение Я, па у
в F равно* произведению К на v в V. Легко проверить,
что V —„линейное пространство над С. Опо, конечно,
изоморфно V, но изоморфизм пе канонический. Ясна
также, что овеществления пространств V и V канониче-
канонически изоморфны.
Теорема. Пространство (Vr) канонически изо-
изоморфно V®V.
Доказательство. Овеществления пространств;
Vr) и V ® V канонически изоморфны, так как они
изоморфны пространству W, состоящему из пар (х, у)„

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 91
где х, у е V. В пространстве W определена комплексная
структура 1(х, у) = (—у, х), соответствующая комплексной
структуре пространства (У«?)С, и комплексная струк-
структура J(x, y) = (ix, iy), соответствующая комплексной
структуре пространства V. Легко проверить, что W —
==Кег(/-/)ФКег(/ + /). В самом деле. Кег(/-7) со-
состоит из пар (а, —га), Кег(/ + /) состоит из nap (b, ib),
поэтому Кег (/ — /) П Кег (/ + /)= 0; кроме того, любой
элемент (х, г/)е W можно представить в л идо суммы эле-
элементов (а, —ш) п (b, ib), где а= (x + iy)/2 и Ь—{х —
-~iy)/2. Так как I(a, -ia) = {ia, а) и I(b, ib) = (-ib, b),
пространства Кег(/ —/) и Кег(/ + /) канонически изо-
изоморфны FiF соответственно.
ЗАДАЧИ
10.1. Выразите характеристический многочлен матри-
матрицы Ах через характеристический мпогочлен матрицы А.
10.2. Пусть W — комплексное пространство размер-
размерности п, V с W — некоторое вещественное подпростран-
подпространство размерпостп л. Докажите, что V может быть вещест-
вещественной формой W тогда и только тогда, когда V П iV = 0.
10.3. Пусть Vх — W ф W, где W — некоторое комп-
комплексное подпространство. Докажите, что в пространст-
пространстве V можно иыбрать комплексную структуру / так, что
(c)
()
10.4. Рассмотрим вещественно линейное отображение
комплексной плоскости в себн Az = az + bz, где а, Ъ е С
Докажите, что это отображение вырождено тогда и толь-'
ко тогда, когда \а\ = \Ь\.
10.5. В пространстве Сп укажите комплексное под-
прострапство размерпости [п/2], на котором квадратичная
форма В(х, у) = х\у\ + ... + хпуп тождественно рав-
«а нулю.
Решения задач
5.1. Пусть V — пространство всех матриц порядка и, WczV —
подпространство матриц с нулевым следом. Тогда Ат е W-1. Кро-
Кроме того, Е е W± и dim W1- = 1. Поэтому Ат — ХЕ.
5.2. Пусть Ai, ..., Am и В\, ..., Вк — строки матриц А а В. Из
равенств А\Х =*... = АтХ = 0 следуют равенства В\Х = ...
... = BhX = 0, т. е. если X е= <Л, Лт>->-, то X е= <В1( ..., 5s>±.

92 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Поэтому (Аи ..., Amy^-cz <B,, ..., fift>J-, а значит, <Si, ..., B*> cr
c: <^4i,..., Ату. Следовательно, строки матрицы В являются линей-
линейными комбинациями строк матрицы А, т. е. 'bij = 2 cipapj'
5.3. Пусть i; = («i, ..., о„). Если ш = (Ь,, ..., Ь„) —вектор из
октапта, не содержащего ни v, ни —v, то а,&*>0 и ajbj < 0 для
некоторых i и /. К вектору w можно прибавить вектор w\ =
= (х\, ..., хп), где а,-я;,- > 0 и aja;,- < 0, а все остальные координа-
координаты равны нулю. Числа xi и xj можно подобрать так, что atXi +
+ ajij = —(у, w), т. е. (у, н; + W|)= 0.
5.4. Точка .Y принадлежит прямой а тогда и только тогда, ког-
когда пл-(АХ) =0, т. е. ах(ОХ) =а±(ОА). Пусть X — точка пересе-
пересечения прямых а и Ь. Тогда а-ЧОА') = a-t-(O4) n ,';J-(OX) = b±(OB).
Поэтому с±(ОХ) = — (a-L + 6-L) (ОА') = —а^(ОД) — Ь-!-@5). Точка
X принадлежит прямой с тогда и только тогда, когда сх(ОС) =
5.5. Пусть В(х, у) = я*(у). Рассмотрим для фиксированного х
две линейные функции fi(y) = х*(у) и /г(у) = j/*(«). По условию
равенства f\(y) = 0 и }г(у) = 0 эквивалентны. Поэтому Ker/i =
= Ker/2i а значит, В(х, у) — к(х)В(у, х). Докажем, что к(х) —
постоянное число.
С одной сторопы, В(х + х\ у) = х*(у) +х'*(у) = к(х)у*{х) +
+ к(х')у*(х'). С другой сторопы, В(х + х', у) = к(х + х')В(у, х +
+ х') = к(х + х')у*{х) +к(х + х')у*(х'). Поэтому \к(х + х') —
— к{х))у*(х)= (к(х')— к(х + х'))у*{х').Есла х' = Хх, то /с(а:') =
= к(х). Поэтому можно считать, что векторы х' и х неколлинеар-
ны. Но тогда вектор у можно подобрать так, что у*{х) Ф 0 и
у*(х') = 0. Следовательно, к(х + х') = к(х).
Таким образом, В(а:, у) = &В(у, я) = к*В(х, у). Можно подо-
подобрать такие векторы х и у, что В(х, у) ф 0. Поэтому А;2 = 1, т. е.
А; = ±1. При к = 1 получаем симметрическую функцию, при к =
= —1 — кососимметрическую.
6.1. Так как для любых отображений A: U-*-V и В: V-+W
справедлива формула dim (Im4 f| KerB) = dimKer/JA —
— аГтКегЛ. (см. 6.1), то dim (Im Ah П Кег^4) = dimКегЛ^1—
— d\mKerAh для любого к. Следовательно,
п
2 dim (Im Ah П Кег А) = dim Кег Ап+г - dim Кег А.
Для доказательства второго равенства достаточно заметить, что
dimlm^p = dim V— dim Кег .4р, где V — пространство, в которой
действует оператор А,

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 93
7.1. Рассмотрим ьсе подмножества дапвого множества векто-
векторов, состоящие из линейно независимых векторов, и выберем сре-
среди них наибольшее по числу элементов. Пусть для определенности
это будут векторы еи ..., е\ (к sg n). Тогда существуют такие чис-
числа Xi И Hi, ЧТО
%xex -f ... + Xheh + ЯЛ+1е»+1 = \ite\ + ... + \1кен + ц*+2<г*+2 = О,
причем X.k+i т^Ои \1кл г *= 0. Если 2 ^i= 0 пли 2 Pi ~ "» т0 д0~
казательство завершено. Поэтому можно считать, что 2 ^1= * н-
2^i = —1- Тогда числа at = %i + ц< (i^ ft), а*и = X*+i, я*+2 =
= цл.. 2 и (Xj = 0 при i > к + 2 — искомые.
7.2. Доказательство проведем индукцией по т. При m ^ и + 1
утверждение очевидно. Пусть т ^ ге + 2. Тогда существуют такие
числа eti, ..., 0Sn>, не все равные нулю, что 2 "'{"г — 0 и 2 ai= ^
(см. задачу 7.1). Поэтому * = 2 «^ + Я, 2 «t^i = 2 г'гир Где"
*• = tj -f- Xaj п 2 *i = 2 *i= *• Остается подобрать число X так,
чтобы все числа U + \<Xi были неотрицательны и по крайней мере-
одпо из них равнялось нулю. Множество
{ЯеК^ + Хс^Х) при * = l,...,m)
замкнуто, непусто (оно содержит нуль) в ограничено снизу
(и сверху), так как среди чисел ос< есть положительные (и отрица-
отрицательные); минимальное число Я, из этого множества искомое.
7.3. Предположим, что матрица А вырождена. Тогда сущест-
существуют такие числа Xi, ..., Хп, не все равные нулю, что 2 ^i°ih = &
при к = 1,..., п. Пусть %t — наибольшее по модулю из чисел Xi,...
..., \п (длн определенности это X]). Так как Xian + Хгвю-г- •••■
,.. + Xnain = 0, то |Я,1вц| = \Хга,г+... + Xnain\ ^ \Хга\г\ +...
...+ \Xnaln\ < |Xi|(|a12| +...+ |ящ|) < |^i||on|- Получено-
противоречие.
7.4. Нет, не обязательно. Можно, например, взять векторы
Х\ = е\ — е2 и хг = е2 — е3 — в|. Тогда Х\ + а;2 + е3 = 0.
7.5. а) Докажем сначала, что если Л.^ + ... + Xn+i«n+i = 0,.
то все числа %{ одного знака. Пусть ото не так. Можно считать, что-
все числа X,- ненулевые и
ххех + ... + хкек = yh+ieh+\ + . -. + V*+\en+i, (t)
где Xj, \jj > 0. Домножим скалярно равепство A) на вектор, стоя-
стоящий в левой части. Тогда в левой части получим неотрицательную'
величину, а в правой отрицательную. Приходим к противоречию.
Выберем теперь минимальный набор е* , ...,е$. линейно за-
висимых векторов. Нужно доказать, что в. него входят все векто-
векторы <=1, ..., еп+ь Предположим, что один из векторов, например «!„

<L ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
пе входит в этот набор. Так как 51 h ei = 0» гДе h > О» т°
р р г> р
' = /«1> 2 ^ioetol = 2^«n(ei' ei )<&• Получено противоречие.
«o\ o(i )
\ р ) р р
б) Предположим, что векторы е , ея+2 в Rn таковы, что
(е<, в}) < 0 при igfr/. С одной стороны, если а\в\ + ...
... + «п+гвп+г = 0, то все числа сс< одного знака (си. решение
-задачи а). С другой стороны, числа ои, ..., ап+2 можно выбрать
так, что ^^^О (см. задачу 7.1). Получено противоречие.
8.1. пусть * = (;; :j.ye^ ;;; ^J. тогда цв,.|:™
= XY и гк | ау |j- < г
8^2. Пусть ei—вектор, порождающий Im А; дополним его до
базиса ei, ..., еп. Матрица А относительно этого базиса имеет вид
... ans
0 1 Поэтому it Л = я! и \Л + £| = 1 + «i.
,0 .'..' "о/
8.3.- Достаточно доказать, что Кег Л* П Im А = 0, Если А*е> =
= 0 и 11=41», то (f, v) = (Дш, и) = (н;, A*v) =0, поэтому
i>=0.
8.4. Столбцы матрицы В являются линейными комбинациями
столбцов матрицы А, иоятому В = АХ для пекоторой матрицы X.
Строки матрицы (С, D) являются линейными комбинациями строк
матрицы (А, В), поэтому (С, D) = Y(A, 5), т. е. С = YA и D =
= У5 = У4Х А так как X = А~ХВ и У = СА, то D = (СД-1) X
8.5. Пусть v и w — столбцы коордипат векторов из V и W.
Тогда В (i;, w) = vTBw. Размерности пространств, порожденных
векторами вида vrB и Bw, равпы rkfi. Следовательно, dimAV =
= dimF — rkB и dimNw = dim W — rkB.
8.6. Пусть r1=rkA1 и r = rk (At +A2). Тогда dim V{ =
= dim IV« = г, и dim (Fi + F2) = dim (W, + T72) = г. Равенство
rx-\-r2=?r означает, что dim (F, + F2) = dim V\ + dim V2, т. е.
7, n V2 ==-0. Аналогично, Wi fl W2 = 0.
8.7.'Равенство 5ГЛ = 0 означает, что столбцы матриц А и В
попарно ортогональны. Следовательно, пространства, порождеа-
лые столбцами матриц А и 5, пересекаются только по нулю. Оста-
Остается воспользоваться результатом задачи 8.6.
8.8. Пусть порядок матриц А и В равен 2т +1. Согласно не-
неравенству Сильвестра rk А + rk В ^ rk АВ + 2т + 1 = 1т + 1. По-
Поэтому rk А < те или rkS < т. Еслигк А < т,тогкЛт = гкЛ < т,
.а значит, гк(Л + АТ) < гк А + гк Ат < 2та < 2т + 1.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
95-
8.9. Можно считать, что аи Ф 0. Пусть А\ — t-я строка матри-
Aju А. Докажем, что a2iAf = «2i^i + ацА?, т. е.
«i2«u + аи«и + аиац = 0. A)
Равенство A) антисимметрично но i и /, поэтому можно считать,
что i</ (рис. 3). В равенстве A) отрицателен только множитель
flj2, поэтому оно эквивалентно теореме Птолемея для четырехуголь-
четырехугольника XiXjXjXj.
> п
9.1. Для каждого вектора е;- справедливо равенство 2cos2 аУ=
1, поэтому 2 2
aij
9.2. Пусть U\ — ортогональное дополнение вектора и в U. Так ка»
dim U^ -\- dim W = п— (т.— 1) -J- тге = и -f-1, то dim^U^ f| W)^
^ 1. Если we W П Uf, то w ± Ut и w_Ln, поэтому h;J_{7.
9.3. Применим к векторам х\, ..., x\ процесс ортогопализации
с последующей нормировкой. Векторы ei, ..., ек иолучепной орто-
пормироплппой системы лшшйпо выражаются через xi, ..., хь,
причем коэффициенты зависят только
от скалярных произведений (xi,xs).
Следовательно, векторы е\, ..., es
линейно выражаются через ж,,... Хк,
причем коэффициенты зависят толь-
только от скалярных произведений (xt,
Xj). Аналогичное утверждение вер-
верно и длн выражений х\, ..., хн че-
через вь ..., ек. Пусть 8Ь ..., Ък — ор-
тонормированная система, получен-
полученная при ортогопализации векторов
yi,...,yk. Так как (хих,) = (yt, yi),
то векторы jri, ..., ун выражают-
выражаются через ei, ..., eft с такими же
коэффициентами, с какими век-
векторы xi, ..., Xk выражаются через е\,
ный оператор, отображающий е,- в е< (t = 1,
ет xt в yt.
10.1. Пусть Ра^К)—характеристический многочлен матрицы
А — В + 1С, где В в С — вещественные матрицы. Легко проверить,,
что
В — ХЕ —С
С В — Х
(см. п. 10.2).
Рис. 3
Поэтому ортогональ-
к), отобража-

36 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
10.2. Если V — вещественная форма W, то яспо, что V [\iV = 0.
Пусть У П iV = 0. Тогда W -= У е IF, *. е. любой вектор w е W
можно представить в виде суммы w = vl + iv2, где vlt bjgF,
Поэтому множество пар (»i, у2), где v\, bjeF.c естественной one»
рацией умпожопия па комплексные числа изоморфно W.
10.3. Пусть «i + ij/i, ..., хп + tyn — базис W. Из равенства
Fc = W © W следует, что *i, j/i, ..., хп, Уп — комплексный базис
'Vе, т. е. вещественный базис V. Требуемая комплексная структура
/: V-*-V задается формулами 1хи = —уь. и 1ун = хн; ясно, что
тогда 1* (*к + Щ = - »k + **ft = * (orh + frfc).
iOA Пусть с = ai + tag, b = bx + ^2, где a{, 6{ s iR. Матрица
указанного отображения относительно базиса 1, i имеет вид
^_ь д _fe Г> ое определитель равен |а|2—[6|2.
10.5. Пусть р = [я/2]. Комплексное подпространство, порож-
порожденное векторами е\ + ie2, ез + ie4, ..., e2p-i + ie2p, обладает требу-
требуемым свойством, так как если *= (ai, Ш\, аг, ie2, .•■) и у =
= (bi, tbi, b2, ib ),тоВ(г, у) = (a,6,-a,6,)+... — 0.

Глава 3
КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
И ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ . *. -.лед в собственные значения оператора
НА. Следом квадратно'п матрицы А называется сум-
сумма ее диагональпых элементов. След матрицы А обозна-
обозначается ЬсА или SpA. Легко проверить, что ХтАВ
= 2 «ij&ji = tr В А. Поэтому tr P-UP = trPP-lA =±t'A
i
%3 t
т. е. след матрицы линейного оператора не зависит от;
выбора базиса. "" * •" ■ '
"' Рапенство tr^45C = tr^CB 'выполняется не всегда.
■-■■ • • /о i\ " '\\ *о\ " /о 'о\
я д
'■■-■■ • • /о i\ " '\\ *о\ " /о 'о\
Напримор/если А =\р 0J, В = ^0 0J и с — \i OJ» T
/1 -0V ' •• " ■
ЛВС = 0 и 4Ci5 = (о oj-
Для следа оператора А в евклидовом пространстве
имеется следующая полезная формула.
Теорема. Пусть ei, ..., еп — ортонормироеанный ба-
базис. Тогда
п
tv A = 2 (^i, ei).
t=i
Доказательство. Так как Лв{ = 2аухе-}, то
(Ле,-, ej) = aii.
Замечание. След оператора инвариантен, но при-
приведенное выше определение следа использует базис, т. е.
оно не инвариантпо. Можно, однако, дать и инвариантное
определение следа оператора (см. п. 27.2, теорема 2).
11.2. Ненулевой вектор usF называется собственным
вектором линейного оператора A: V-+-V, если Av—XV;
число % называется при этом собственным значением
7 в. В. Прасолов

98 гл. з. канонические формы Матриц
оператора А. Фиксируем X и рассмотрим уравнение Av =
= Kv, т. е. (A —%E)v = 0. Это уравнение имеет ненуле-
ненулевое решение v тогда и только тогда, когда \А.— Я,/? 1=0.
Поэтому собственными значениями оператора А являют-
являются корни многочлена р(Х)=\А— ХЕ\; этот многочлеа
имеет степень п, где и —порядок матрицы А. Любой
оператор над полем С имеет собственный вектор, и лю-
любой оператор в нечетномерном пространстве над полем
8? тоже имеет собственный вектор.
Набор собственных значений оператора А называется
его спектром.
Многочлен р(Х) называется характеристическим мно-
многочленом оператора А; этот многочлен зависят лишь от
самого оператора и не зависит от выбора базиса (си.
п. 7.1). Иногда характеристическим многочленом назы-
называют многочлен \ХЕ — АI.
Теорема. Если Aei—faei, ..., Aeh*=Xheh, причем
числа к\, ..., А* попарно различны, то векторы е\, ..., ек
линейно независимы.
Доказательство. Предположим противное. Вы*
брав минимальную линейно зависимую систему векторов,
будем считать, что eft = a1e1 + ...-f a»_iet_i, причем
ai...GCk-iч'Ои векторы е(, ..., ек-\ линейно независимы.
Тогда 4e* = «iA,iei+ ...-f ajk-iXfc-ie*-! в Aeh = Xhek =
= ai^,ftei +... + ah-iXhek~\. Следовательно, Xi=Xk. Полу-
Получено противоречие.
Следствие. Если характеристический многочлен
оператора А над полем С не имеет кратных корней, то
собственные векторы А образуют базис.
11.3. Линейный оператор А, имеющий базис собствен-
собственных векторов, называется диагоналигируемым или полу-
полупростым. Бели X — матрица, составленная из столбцов
координат собственных векторов х\, ..., хп, а Xt — соб-
собственное значение, соответствующее ж,, то АХ = ХА, где
A = diag(Ai, ..., Хп). Поэтому Х~1АХ = А. Верно и обрат-
обратное: если X~^AX = diag(lu ..., Х„), то Х\, ..., Х„ — собст-
собственные значения оператора А, а столбцы матрицы X —
соответствующие им собственные векторы.
Над полем С недиагонализируемым может быть
лишь оператор, имеющий кратные собственные значения,
а такие операторы образуют множество меры пуль.
Докажем, что над полем С диагонализируемы сле-
следующие важиые классы операторов: унитарные и эр-
эрмитовы.

§ II. СЛЕД И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРА 99
Замечание. Более общее утверждение доказано в
п. 17.1.
Собственные значения эрмитова оператора А вещест-
вещественны. В самом деле, если Ах = %х, то {Ах, х) = %{х, x),
поэтому Х = {Ах, х)/(х, х). А так как {Ах, х) = {х, Ах) =
= {Ах, х), то {Ах, х) е R. Собственные значения уни-
унитарного оператора А равны по модулю 1, так как
\Ax\-\xl
Рассматривая комплоксификации симметрического и
ортогонального оператора над полем К, получаем, что
для них справедливы аналогичные утверждения.
Теорема 1. Если А — унитарный или эрмитов опе-
оператор и AW<= W, то AWX <= Wx.
Доказательство. Если А—унитарный оператор,
то AW*=W, а значит, A~lW=W. Поэтому A*W<=W
как для унитарного, так и для эрмитова оператора А.
Пусть y^W1- и w&W. Тогда (Ay, w) = (y, А*ц>) = 0,
так как A*w е= W. Следовательно, у е W1-.
Доказательство теоремы 1 почти без измепепий про-
проходит для симметрического или ортогонального операто-
оператора А над полем R.
Теорема 2. Для эрмитова или унитарного опера-
оператора А существует ортопормировапный базис собственных
векторов.
Доказательство. Применим индукцию по раз-
размерности п пространства V. При га = 1 утверждение оче-
очевидно. Пусть е — собственный вектор оператора А. Тогда
подпространство <е>х инвариантно относительно А, по-
поэтому можно рассмотреть ограничение А на это подпро-
подпространство. Оператор эрмитов (упитареп) тогда и только
тогда, когда в каком-либо ортонормированием базисе его
матрица эрмитова (упитарпа). Поэтому, дополнив век-
вектор е до ортопормированного базиса пространства V, по-
получим, что ограничение оператора А на подпространство
<е>х тоже является эрмитовым (унитарным) оператором.
Следовательно, по предположению индукции для опера-
оператора А существует ортонормированпый базис собственных
векторов.
Замечание. Собственные значения симметрическо-
симметрического оператора над полем R вещественны, поэтому для сим^
метрического оператора доказательство теоремы 2 прохо-
проходит без изменений.
Теорема 3. Для ортогонального оператора А су-
существует ортонормировапный базис, в котором его мат-

100 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
рица имеет блочно диагональный вид с блоками ±1 и
/cos<p — sinqA
^sin ф cos cpj'
Доказательство. В случае когда есть собствен-
собственный вектор (соответствующий собственному значению
±1), доказательство аналогично доказательству теоре-,
мы 2. Предположим поэтому, что векторы х и Ах не па-
параллельны для всех х. Функция у(х) = *-(х, Ах) (угол
между векторами х и Ах) непрерывна на компакте —
единичной сфере. Пусть ф = £- (х0, Ах0) — минимум функ-
функции <р(х), е — вектор, параллельный биссектрисе угла
между векторами х0 и Ахо. Тогда Ф ^ Z (е, Ае) ^
< Z(e, AxQ) -■- Z {Ахй, Ае) = —-f ^-, а значит, вектор
Ае лежит в плоскости (Ахо, е> = (хо, е>. Она инвариант-
инвариантна относительно А, так как Ах0, Лее <£<,, е>.
Ортогональное преобразование плоскости является
поворотом или симметрией относительно прямой, но
симметрия имеет собственные значения 1 и —1, поэтому
матрица оператора А на пространстве <жо, е> имеет вид
/ i \
11.4. Интересными спектральными свойствами обла-
обладает матрица Якоби
О ... О
/
1-е, а. -
/ = (ОЦ) =
Собственные значения этой матрицы вещественны и не-
некратны. Рассмотрим для матрицы / последовательность
многочленов Dh (X) = | ац - Щ |* (Do (X) = 1, Dn (Я-) —
характеристический многочлен /). Эти многочлены удов-
удовлетворяют рекуррентному соотношению
' Dk(%)^(ah-X)Dh-l(X)-bk-ich-iDh-2{^) A)
(см. п. 1.7), поэтому характеристический многочлен
А.(^) зависит не от самих чисел bh, ch, а лишь от их
произведений. Заменив в матрице / элементы bh и ск на
ibkch, получим симметрическую матрицу /' с тем же са-
самым характеристическим мпогочлепом. Следовательно,
собственные значения матрицы / вещественны.

g 11. СЛЕД И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРА Ю1
Симметрическая матрица имеет базис собственных
векторов, поэтому остается доказать, что каждому соб-
собственному значению X матрицы /' соответствует не более
одного собственного вектора (х\, ..., х„). Это верно даже
для матрицы /. Так как
(ai — X) Х\ — Ь\Х2 = О,
—с\Х\ + (я2 — X) Х2 — Ъ?.хг = О,
—Сп-2Хп-2 + (а„_1 — X) Хп-\ — Ьп-1Хп = О,
— Cn-iXn-j + (О„ — X) Хп = О,
то, сделав замену у\*=хи y2*=biX2, ..., yh = bi... b^
иолучим
J/2 = (ai— X)yit .
уп = (ая_, — X) 2/»_i — сп-2Ьп-2уп-2.
Эти соотношения для ук совпадают с соотношениями A)
для Dk, поэтому если ух = с =>cD0(X), то yh = cDh(X).
Следовательно, вектор {хи ..., хк) определен однозначно
(с точностью до пропорциональности).
11.5. Для вычисления собственных значений матрицы
А может оказаться .полезным следующее утверждение.
Теорема. Если X — собственное значение матрицы
A, f — произвольный многочлен, то f(X) — собственное
значение f(A).
Доказательство. Требуется доказать, что если
U-X£|=0, то \f(A)-j(X)E\ = \f(A)-f(XE)\=O. Для
зтого достаточно проверить, что f(A) — f(XE) = (A—-
— XE)g(A), где £—некоторый многочлен. Это легко
проверяется почленно: Ап — (ХЕ)п = (А — ХЕ) (Ап-} +
+ XA2+ + KiE)
)
Следствие. Если X — собственное значение матри-
матрицы А и f{A) = Q, то /(А,) = 0.
Доказательство. Так как f(X) — собственное зна-
значение матрицы f(A) = O, то /(Я,) = 0.
11.6. Приведем два примера вычисления собственных
векторов и собственных значений.

102 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
а) Рассмотрим матрицу
0
1
0
0
0
1
0 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
1
0
0
p=-\
VO 0 0 ... 1 О,
Так как Peh — ehl.i, то P'eh = ek+t. Поэтому Рп = Е, где
п — порядок матрицы. Следовательно, собственные значе-
значения являются корнями уравнения xn = i. Пусть е =
п
--= ехрBл£/гс). Докажем, что некторы us = ^s,seh(s —
ft=i
= 1, ...,п) являются собственными векторами Р, соот-
соответствующими собственным зпачепетям e~s. В самом деле,
Ри = У\ е^Ре — 2 е^е = 2 <
б) Рассмотрим матрицу
1 0
0 1
о и
Пусть х — столбец (х\, ..., хп). Уравнение Ах = Кх мож-
можно переписать в виде Х2*=Хх\, хз = %Х2, ..., хп = %хп-\ и
Р\Х\ + Р2Х2 + ... + рпхп — "кхп. Поэтому собственные век-
векторы матрицы А имеют вид (а, %а, К2а, ..., "Кп~1а,), где
Р р
И.7. След матрицы АВ равен следу матрицы В А.
Оказывается, справедливо более сильное утверждение:
у этих матриц одинаковые характеристические много-
многочлены.
Теорема. Если А и В — квадратные матрицы одно-
одного порядка, то характеристические многочлены матриц
АВ и ВА совпадают.
Доказательство. Предположим сначала, что
матрица А невырождена. Тогда \АВ — ХЕ\ — \А~Х(АВ —
— %Е)А\ — \ВА — %Е\. Ясно также, что многочлен
р(%, А, В) —\АВ — КЕ\ непрерывно зависит от элементов
матриц А и В. Поэтому равенство р(К, А, В) = рСк, В, А)
справедливо и для вырожденных матриц.
Следствие. Пусть А и В — матрицы размера тХп
и пХт соответственно, причем т < п. Тогда "кп~т\АВ —
%Е\ \ВАЕ\

§ 11. СЛЕД И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРА 103
Для доказательства матрицы А и В нужно дополнить
блоком нулей до матриц размера пХп.
11.8. Пусть /(ж, у) — многочлен от некоммутирующих
переменных х и у; /о(ж) = /(ж, 0). Пусть, далее, матрицы
А, В а X размера пХп, тХт и пХт соответственно
таковы, что АХ = ХВ, причем rk X = г. Легко проверить,
что тогда f(A, XK)X = Xf(B, KX) для любой матрицы
К размера т X га.
Теорема. Характеристические многочлены матриц
/(Л, ХК) и f(B, KX) имеют вид ±Q{X)p{X) и ±8(Я,)?(л),
где многочлены 6, р и q имеют степени г, п — г u m — г
соответственно, причем многочлены р и q не зависят от
К и являются делителями характеристических многочле-
многочленов матриц fo(A) и fo(B).
Доказательство [Годдард, Шнайдер, 1955]. Для
г = 0 утверждение очевидно. Пусть 0<г<пит)(и, тп).
Существуют такие невырожденные матрицы Р и Q по-
порядка п и тп, что /)Х^~1 = (ОГО) = У (см. и. 6.3,
теорема 2). Пусть С = РАР-\ D=*QBQ~X и L=*QKP-\
(Сп Сп\
Запишем матрицу С в блочном виде I с с Г гДв
Си — матрица порядка г; матрицы D и L разобьем на
блоки аналогичным образом. Из равенства АХ = ХВ сле-
следует, что CY=YD, т. е. Cn=Du, С2, = 0 и Z>i2 = 0.
Поэтому РХКР'1 = YL = [ ou о") и QKXQ-1 = LY =
0\
слвД°вательно' Pf(A,
(
(f{civLxi) 0 ^ _
= l ^. f(D , 0I- В качестве 6, р и g возьмем ха-
характеристические многочлены матриц /(Си, ^ii)i /(C22,0)
И /(Z>22, 0). ЯСНО, ЧТО
/(C)^ о /fl(C22)

104 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
При r = min(rc, m) блочная запись имеет вид (Си,
(С \
или
р (, )
(С \
(у," и °ДПН из многочленов р и q равен ±1.
1 Е АХ ХВ кХ
421
Следствие 1. Если АХ — ХВ и ткХ = г, то же-
рактеристические многочлены матриц А и В имеют об-
общий делитель степени г. '
Следствие 2. Пусть X — матрица размера п X то,
составлеппая из линейно независимых собственных век-
векторов матрицы А. Тогда АХ = ХА, где Л — диагональная
матрица порядка то, составленная из собственных зна-
значений матрицы А. Для любой матрицы К размера тпХп
собственные значения матрицы А + КХ являются соб-
собственными значениями матрицы А + ХК ' (для доказа-
доказательства носледпего факта достаточно рассмотреть много-
многочлен /О, у) =х+у).
tЗАДАЧИ : ^
• 11.1. Пусть ei, ..., е„ и 8*i, ..., е„ — ортопормирввая-
ныв базисы пространства V, A: V-*-V — линейный опе-
оператор. Докажите, что S (Леи ei) = 2 (^i, ei).
11.2. а) Существуют ли такие матрицы А и В, что
ВЕ?
ВАГЕ?
б) Докажите, что если АВ — ВА=А, то А—вырож-
А—вырожденная матрица. . . . . •
11.3. Докажите, что если гкЛ = 1 и tri4B = 0, то
АВА=0.
11.4. Найдите собственные значения и собственные
векторы матрицы А =| ац [^ где ац = Ulh-
11.5. Докажите, что любая квадратная матрица А яв-
является суммой двух невырожденных матриц.
11.6. Докажите, что собственные значения матрицы
непрерывно зависят от ее элементов, точнее говоря, для
любого е >0 существует такое б>0, что если 1о« — Ь«| <
< б и % — собственное значение данной матрицы А, то
у матрицы В есть такое собственное зпачение ц, что
IA, — |i| <e.
11.7. Сумма элементов каждой строки невырожденной
матрицы А равна s. Докажите, что сумма элементов каж-
каждой строки матрицы А~1 равна 1/s.
11.8. а) Докажите, что если первый столбец матрицы
S~lAS имеет вид (I, 0, 0, ..., 0), то первый столбец

§ И. СЛЕД И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРА 105
матрицы S является собственным вектором матрицы А,
соответствующим собственному значению К.
б) Докажите, что если первая строка матрицы S~^AS
имеет вид (X,, 0, 0, ..., 0), то первая строка матрицы
S~l является собственным вектором (матрицы Ат, соот--
ветствующим собственному значению X.
11.9. Пусть f(%)= \А — ХЕ\, где А —матрица порядка
п
п. Докажите, что /'(Я,) = — 2 Hi — ЬЕ\, где ^ — мат-
матрица, полученная из матрицы А вычеркиванием i-й стро-
строки и f-ro столбца.
11.10. Пусть %i, ..., %п — собственные .значения мат-
матрицы А. Докажите, что собственные значения матрицы
равны П П
11.11. Матрица Л = |вц|(У центрально симметрична,
т. е. еЦ).= an-itn-j. Докажите, что среди собственных век-
векторов матрицы А, соответствующих любому собственному
значению, есть непулевой симметричный (zt = xn~t) или
антисимметричный (х( = —а;п_<) вектор.
11.12. Докажите, что собственные значения матриц
(А В\ I А В\ (А В\
а) [В А)ш> б) (-В А)'> в) [В -Л)
являются соответственно: а) собственными значениями
матриц А ± В; б) собственными значениями матриц А ±
± гВ; в) квадратпыми корнями из собственных значений
матриц А2 + В2 ± i(AB — ВА).
11.13. Элементы at,n-i+i=xt комплексной матрицы
^4=||flijli могут быть ненулевыми, а все остальные ее
элементы равны пулю. Какому условию должен удовлет-
удовлетворять набор чисел {х\, ..., хп), чтобы матрица А была
диагонализируемой?
11.14 [Дрезин, Хейсворт, 1962]. а) Докажите, что
матрица А имеет тп липейно независимых собственных
лекторов, соответствующих вещественным собственным
значепиям, тогда и только тогда, когда существует такая
неотрицательно определенная матрица S ранга пг, что
AS SA*
б) Докажите, что матрица А имеет m линейно неза-
независимых собственных векторов, соответствующих равным
по модулю 1 собственным значениям, тогда п только
тогда, когда существует такая неотрицательно определен-
определенная матрица S ранга тп, что ASA* =S.

106 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
§ 12. Жорданова нормальная форма
12.1. Пусть А — матрица некоторого линейного опе-
оператора относительно базиса е пространства V; тогда
Р~1АР — матрица того же оператора относительно бази-
базиса Ре. Матрицы А и Р~1АР называются подобными или
сопряженными. Выбрав подходящим образом базис, мат-
матрицу оператора можно привести к более простому виду:
к нормальной жордановой форме, циклической форме,
к матрице с равными элементами на диагонали или все-
всеми нулевыми, кроме одного, элементами на диагонали
и т. д.
Может показаться, что >класс матриц, сопряженных с
матрицей А посредством комплексных матриц, шире
класса матриц, сопряженных с А посредством веществен-
вещественных матрац. Но это не так.
Теорема. Пусть А и В — вещественные матрицы и
А = РВР~1, где Р — комплексная матрица. Тогда А =
= QBQ~l, где Q — вещественная матрица.
Доказательство. Требуется доказать, что если
среди решений уравнения
АХ~ХВ A)
есть невырожденная комплексная матрица Р, то среди
решений есть и невырожденная вещественная матрица
Q. Решения над С линейного уравнения A) образуют
линейное пространство W над С с базисом С\, ..., Сп.
Матрицу Cj можно представить в виде суммы Cj — Xj +
+ iYj, где X] и У] — вещественные матрицы. Так как А
и В — вещественные матрицы, то из равенства АС} = Cfi
следуют равенства AXj = XJ3 и AY, = YjB. Поэтому про-
пространство W порождено над С матрицами Х\, ..., Хп,
Yu ..., Г„, а значит, в нем можно выбрать вещественный
базис D\, ..., Dn.
Пусть P{tu ..., tn)=UiDi + ... + tJDn\. По условию
многочден P(U, ..., tn) не равен тождественно нулю над
С, поэтому он не равен тождественно нулю и над К (см.
п. 1 приложения), т. е. матричное уравнение A) имеет
невырожденное вещественное решение UD\ +... + tnDn.
12.2. Жордановой клеткой называется квадратная
матрица
(Ив... 0>
о к 1 ... о
0 0 0 ... X)

§ 12. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
107
Жордановой матрицей называется матрица, состоящая
из диагональных блоков Jri(K) и пулей вне этих блоков.
Жордановым базисом для оператора А: V-»- V пазы-
вается базис пространства V, в котором матрица А яв-
^дяется-нюряановой.
Теорема. Для любого линейного оператора А: V-*■
-*■ V над алгебраически замкнутым полем существует
жорданов базис, причем жорданова матрица оператора А
определена однозначно с точностью до перестановки жор-
—дшювых клеток.
Доказательство [Вальяхо, 1986]. Докажем сна-
сначала существование жорданова базиса. Доказательство
xi У/
irz '■p-z
У
о
Рпс. 4
проведем индукцией по га = dim V. При га = 1 утвержде-
утверждение очевидно. Пусть Я — собственное значение оператора
А. Рассмотрим вырожденный оператор В —А—%Е. Жор-
данов базис для оператора В будет также жордановым
базисом для оператора А — В + %Е. Последовательность
Im В0 => Im В1 =э Im В2 =э ... стабилизируется, поэтому
можно выбрать натуральное число р так, что ImBp+1 =
= 1т Вр Ф 1т В'-*. Тогда 1т В" П Кег В = О и 1т Вр~' П
ПКегВ^О. Следовательно, ВрAтВр) = 1т Вр.
Пусть Si = Im В' П Кег В. Тогда Кег В = 5, => 52 =>...
... =э Sp Ф 0 и 5Р+1 = 0. Следить за дальнейшим ходом до-
доказательства поможет рис. 4. Выберем в пространстве Sp
базис xl (г = 1, ..., пр). Так как х\ ^1тВр~1, то х\ =
af для некоторого вектора #?. Рассмотрим ве'кторы

108 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
Xi = Вр~нз$ (к — 1, ...,р). Векторы ж* дополним до
базиса пространства Sp-i векторами у}, найдем вектор
yf~x, для которого у) = Вр~2ур~г, и рассмотрим векторы
у\ = Bp~l~1y'j~1 (I = 1, ..., р — 1). Затем дополним век-
векторы х\ и у] до базиса пространства £Р-2 векторами z\
и т. д. Если i изменяется от 1 до /,..., t изменяется от
1 до Т, то количество всех выбранных векторов равно
pi +(p — l)J + ... + 2S + Т = / +(/ + /)+ ... + (/ +
+ /+... + S+r) = dimSp + dim1SP-i + ... + dimS,. Л так
как dim(Im В'~{ П Кегб) = dimKerS' — dimKerB1' (см.
р
6.1), то 2dimSi = cHmKer£p.
i=l
Дополним выбранпые векторы базисом пространства
\тВ* и докажем, что получится базис пространства V.
Количество этих векторов показывает, что достаточно
проверить их линейную независимость. Предположим, что
+ • • • + 2 ъуГ1+ ■ ■ ■ +2ад* = о,.
где /slmB». Применив к A) оператор Вр, получим
В"(/) = 0, а значит, / = 0, так как В*AтВ*) = 1тВр.
Применив теперь к A) оператор В1, получим 2°4£i =
= 0, а значит, все числа <и нулевые. Применив теперь
к A) оператор В"-2, получим 2 Pi^i + 2 У)У) = 0, а
значит, все числа р( и it нулевые, п т. д.
По предположению индукции в пространстве Im Вр Ф
=£ V можно выбрать жорданов базис для оператора В;
дополнив его выбранными векторами, получим жорданов
базис пространства V.
Для доказательства однозначности жордановой формы
достаточно проверить, что количество жордановых клеток
матрицы В, соответствующих нулевому собственному
значению, определено однозначно. Этим клеткам можно
сопоставить диаграмму, изображенную на рис. 4, поэтому
количество клеток порядка к равно
dim Sh — dim5fc+1 =(dim Ker В" — dim KerB") —
— (dim KerBfc+1 — dim KerB") =
- 2 dim Ker B* - dim Ker B*"' - dim Ker B*+1 =
-rk B*-> - 2 rk B* + rkB*+I;
это число определено инвариантно.

§ 12. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА 109
12.3. Жорданову нормальную форму удобно исполь-
аовагь при возведении матрицы в степень. В самом деле,
если А—Р~11Р, то A' — P~^J'P. Для возведения в стелень
жордановой клетки XE + N можно воспользоваться фор-
s
мулой бинома Ньютона (Xf -j- N)s = 21 C*XhNs~k (эта
формула верна, так как EN = NE). Единственными дону-
левыми элементами матрицы Nm являются единицы на
местах A, тге+1), B, иг+ 2), ..., (п — т, га), где га —
порядок матрицы N; если т > га, то Nm = 0.
12.4. Жорданов базис всегда существует лишь над ал-
алгебраически замкнутым тюлем; над полем R жорданов
базис существует не всегда. Но над полем 1R тоже име-
имеется жорданова форма, являющаяся овеществлением
жардаповой формы над С. Объясним, как она устроена.
Заметим сначала, что жорданов базис, соответствующий
вещественным собственным значениям оператора А, над
О? строится точпо так же, как пад С Поэтому интересен
лить случай невещественных собственных зпачений.
Пусть А — комплексификация вещественного опера-
оператора А (см. п. 10.1).
Теорема 1. Между жордановыми клетками опера-
тора А , соответствующими собственным значениям Я,
и К, существует взаимно однозначное соответствие.
Доказательство. Пусть B = P + iQ, где Р и Q —
вещественные операторы. Если х и у — вещественные
векторы, z = х + iy, г = х — щ, то равенства Bz = 0 и
J?z=O эквивалентны. А так как (А — ХЕ)к =(А — Я2?)\
то отображение z>~- z задает взаимно однозпачное соот-
соответствие между Кет(А— %Е)к и Кет(А — ХЕ)\ Размер-
Размерности этих пространств определяют количество и раз-
размеры жордаповых клеток.
Пусть J* (I) — матрица порядка 2га, полученная из
жордапопой клетки /„ (X,) замепой каждого элемента х +
+ iy матрицей [ — у х)ш
Теорема 2. Для оператора А существует базис,
в котором его матрица имеет блочно диагональный вид
с блоками Jmi(ti), • •■, Jmk(tk) для вещественных соб-
собственных значений U и блоками J* (^i), ...,/*,(?.s)
для невещественных собственных значений Xt и А*.

НО ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
Доказательство. Если % — собственное значение
оператора А, то согласно теореме 1 X — тоже собствен-
собственное значение оператора А, причем каждой жордановой
клетке /Я(Я,) оператора А соответствует жорданова клет-
клетка /П(Х). Кроме того^ если е\, ..., е„ —жорданов базис
для Jn(K), то ей ..., е„ —жорданов базис для /„(^). По-
Поэтому вещественные векторы х\, у\, ..., х„, уп, где ек =
= xk + iyh, линейно независимы. Матрица ограничения
оператора А на подпространство <хи уи ..., хп, уп> в
базисе х\, у и ■ •-, я„, Уп имеет вид /п(^)-
12.5. Жорданово разложение показывает, что любой
линейный оператор А можно представить в виде суммы
А=А, + Ап, где А, — диагонализируемый оператор, А„ —
нильпотентный оператор, причем АаАп = АпА,.
Теорема 1. Операторы А, и Ап определены одно-
однозначно, причем A, = S(A) и An = N(A), где S и N —
некоторые многочлены..
Доказательство. Рассмотрим сначала одну жор-
дапову клетку А = "КЕ + Nh порядка к. Пусть S (t) =
m mi
= 2 sjt5. Тогда 5(Л)=2я2 dVAf, так как
ENh = NkE. Коэффициент при Nl равен
г
= -|- Slp) (Я,), где Sip) — р-я производная многочлена S.
Поэтому нужно подобрать многочлен S так, что S(K) = X
и S' (%) = ... = 5(*~" (к) == 0, где к — порядок жордановой.
клетки. Если Xi, ..., %п — различные собственные значе-
значения оператора А, ки ..., кп — порядки максимальных
соответствующих им жордановых клеток, то многочлен S
должен принимать в точке К( значение Xi и иметь нуле-
нулевые производные до порядка kt — 1 включительно. Такой
многочлен всегда можно построить (см. п. 3 приложе-
приложения). Ясно также, что если A. = S(А), го Ап = А — S(A)r
т. е. N(A) = A — S(A).
Докажем теперь единственность разложения. Пусть
As+An =A=AS+An, причем А.Ап = АпА, и А[а'п = А^А",.
Если АХ^ХА, то S(A)X = XS(A) и N(A)X =
= XN(A). Поэтому AtA't = ASAS и АпА'п = А'„Ап. Опера-
Оператор В = Ag — As = An — Ап является разностью ком-
коммутирующих диагонализируемых операторов, поэтому он
диагонализируем (см. задачу 39.6,6). С другой стороны,

I 12. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА Ш
оператор В является разностью коммутирующих ниль-
потентных операторов, поэтому он нильпотентен (см. за-
задачу 39.6,а)). Диагонализируемый нильпотентвый опе-
оператор равен нулю.
Аддитивное жорданово разложение А = А. + Ап позво-
позволяет получить для невырожденного оператора А разложе-
разложение А = А.Аи, где Аи — унипотентный оператор, т. е. сум-
сумма единичного оператора и нильпотентного.
Теорема 2. Пусть А — невырожденный оператор
над С. Тогда А можно представить в виде А = А,Аи =
= АиА„ где А, — полупростой оператор, Аи — унипотент-
унипотентный оператор, причем такое разложение единственно.
Доказательство. Если оператор А невырожден,
то оператор А, тоже невырожден. Тогда А — А, + Ап =
= А,Аи, где Аи = А71 (А„ + Ап) = Е + АГхАп. Так как
•операторы А^1 и Ап коммутируют (см. п. 2.4), то
■А* 1Ап — нильпотентный оператор, коммутирующий с
As. Докажем теперь единственность разложения. Если
А = А,Аи = АиА, и AU = E + N, где N — нильпотентный
оператор, то A =A,(E + N) = A, + A.N, где A,N ~ ниль-
нильпотентный оператор, коммутирующий с А. Такой опера-
оператор A,N = Ая единствен.
ЗАДАЧИ
12.1. Дан линейный оператор А: V-*■ V. Докажите,
что пространство V можно разложить в прямую сумму
таких подпространств N и S, что АI я — нильпотентный
оператор, AI s — невырожденный оператор, причем это
разложение единственно (разложение Фиттинга).
12.2. Докажите, что матрицы А и Ат лодобны.
12.3. Пусть a(i), где £ = 1, ..,, га,— произвольная пе-
перестановка, P—]iPij$L, где Pfj = 6i.o(j). Докажите, что
матрица Р~1АР получается из матрицы А перестановкой
строк, соответствующей а, и такой же перестановкой
столбцов.
Замечание. Матрица Р называется матрицей пе-
перестановки.
12.4. Количество попарно различных собственных зна-
значений матрицы А равно тп, причем m > 1. Пусть b{j —
= U(Ai+1). Докажите, что | Ь« К* =jfi> 0 и |Ьц|™ = 0.
12.5. Докажите, что rk A = гк А2 тогда и только тогда,
когда существует Ита(А + 1

112 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
§ 13. Минимальный многочлен
в характервствческвй многочлен
п
13.1. Пусть p(t)= 2 ahtk — многочлен я-й степени.
ft=0
Для любой квадратной матрицы А можно рассмотреть
п
матрицу р(А) = 2 tt|,4b. Многочлен p(t) называется
аннулирующим многочленом матрицы А, если р(А) — 0 —
нулевая матрица. Если А — матрица порядка п, то мат-
матрицы Е, А, ..., Ап линейно зависимы, так как размер-
размерность пространства матриц порядка п равна га2. Поэтому
для любой матрицы порядка га существует аннулирую-
аннулирующий многочлен, причем его степень не превосходит п2.
Аннулирующий многочлен иатрицы А минимальной сте-
степени с коэффициентом 1 при старшей степени называет-
называется минимальным многочленом матрицы А. Докажем, что
минимальный многочлен единствен. В самом деле, если
pl(A) = Am + ...—Q — p2(A) = Am + ..., то многочлен
Pi—Р2 является аннулирующим для матрицы 4, причем
его степеиь меньше т. Следовательно, р\ — ръ = 0.
Легко проверить, что если В = Х~1АХ, то Вп =
= Х~1АпХ, поэтому р(В) = Х~1р(А)Х, а значит, мипи-
мальный многочлен однозначпо определен не только для
матрицы, но и для оператора.
Теорема 1. Любой аннулирующий многочлен мат-
матрицы А делится на минимальный многочлен.
Доказательство. Пусть р — минимальный много-
многочлен матрицы A, q — аннулирующий многочлен. Поделив
g на р с остатком, получим q = pf + r, где deg г < deg p,
причем r(A)= q(A) — p(A)f(A) = Q, т. е. г —аннулирую-
—аннулирующий многочлен. Следовательно, г —0.
Аннулирующим многочленом вектора usF (относи-
(относительно ortepaTopa A: V -*■ V) называется такой многочлен
р, что р(-Л)у = 0. Аннулирующий многочлен минималь-
минимальной степени с коэффициентом 1 при старшей степени
называется минимальным многочленом вектора v. Ана-
Аналогично доказательству теоремы 1 можно доказать, что
минимальный многочлен вектора является делителем ми-
минимального многочлена оператора А.
Теорема 2. Существует вектор, минимальный мно-
многочлен которого совпадает с минимальным многочленом
оператора А.

§ 13. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН
Доказательство. Любой идеал / в кольце мно-
многочленов от одной переменной порожден многочленом f
минимальной степени. В самом деле, если ge/, то g=»
= fh + г, а значит, re/, так как fhe/.
Для любого вектора v е у рассмотрим идеал /»=»
«*= {p\p(A)v = 0); этот идеал порожден некоторым много-
многочленом pv со старшим коэффициентом 1. Если рл — ми-
нимальпый многочлен оператора А, то Pa^Iv, поэтому
pv — делитель рл. Следовательно, когда v пробегает все-
пространство V, получается лишь конечный набор мно-
точленов pv\ пусть это будут многочлены pi, ..., рк. Про-
Пространство V содержится в объединении конечного набора
своих подпространств Vt = {же V\p{(A)z = 0) (i = l, ...
..., к), поэтому V=Vi для некоторого i. Тогда pi(A)V =
= 0, т. е. pi делится на рл, а значит, pt — рА.
13.2. Простейшие соображения показывают, что сте-
степень минимального многочлена матрицы А порядка п н&
превосходит и2. Оказывается, степень минимального мно-
многочлена не превосходит га, потому что характеристический
многочлен матрицы А является аннулирующим много-
многочленом.
Теорема (Гамильтон —Кэли). Пусть p(t)=\tE —
— А\.Тогдар(А)=*0.
Доказательство. Для жордановой формы опера-
оператора доказательство очевидпо, так «ак (% — £)" является
аннулирующим многочленом жордаповой клетки /„(Я,).
Приведем, однако, доказательство, не использующее тео-
теоремы Жордана. Можно считать, что А — матрица опера-
оператора над С. Доказательство проведем индукцией по по-
порядку п матрицы А. При и = 1 утверждение очевидно.
Пусть X — собственное значение оператора А, е\— соот-
соответствующий ему собственный вектор. Дополним е, до-
базиса е\, ..., еп. В базисе е\, ..., еп матрица оператора А
О а )' гДе ^i ~ матрица оператора А в фак-
торпросгранстве F/<ei>. Поэтому p(t) = (t — %) \tE — A\\ =
*==('—%)p\(t). По предположению индукции р\(А\) = 0
в иа.кторпросграпстве Vl<.e{>, т. е. р\{А\) V<= (.е{>. Оста-
Остается заметить, что (А — lkE)ei=O.
Замечание. Используя жорданову нормальную
форму, легко проверить, что минимальный многочлен
матрицы А равен J[ (t — Xj) , где произведение берется
по всем собственным значениям Я,( матрицы А и «j.—
8 в. В. Прасолов

114 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
размер максимальной жордановой клетки, соответствую-
соответствующей Я,;. В частности, матрица А диагонализируема тогда
и только тогда, когда ее минимальный многочлен не
имеет кратных корней и все его корни принадлежат ос-
тговному полю.
13.3. Согласно теореме Гамильтона — Кэли характери-
характеристический многочлен матрицы А порядка п совпадает с
минимальным многочленом тогда и только тогда, когда
-степень минимального многочлена равна п. Минимальный
многочлен матрицы А является минимальным многочле-
многочленом для некоторого вектора v (см. 13.1, теорема 2). По-
Поэтому характеристический многочлен совпадает с мини-
минимальным тогда и только тогда, когда для некоторого век-
вектора v векторы v, Av, ..., An~xv линейно независимы.
Теорема. Характеристический многочлен матрицы
Л порядка п совпадает с минимальным многочленом тог-
тогда и только тогда, когда для любого вектора (хо, ...
..., х„-\) найдутся такие столбцы Р и Q длиной п, что
хк = QTAhP.
Доказательство. Предположим сначала, что сте-
степень минимального многочлена матрицы А равна и. Тог-
Тогда найдется такой столбец Р, что столбцы Р, АР, ...
..., Ап~1Р линейно независимы, т. е. матрица К, состав-
составленная из этих столбцов, невырождена. Любой вектор
Х = (х\, ..., Хп) можно представить в виде Х = (ХК~1)К =
= (<?ТР СМ»-Ф), где Qt=XK-l.
Предположим теперь, что для любого вектора (х\, ...
..., х„) найдутся такие столбцы Р и Q, что xk = QTAkP.
Тогда найдутся такие столбцы Pi, ..., Рп, Q\, ..., Qn, что
матрица
невырождена. Матрицы Е, А, ..., Ап~х линейно незави-
независимы, так как иначе столбцы матрицы В были бы ли-
линейно зависимы.
13.4. Теорема Гамильтона — Кели допускает различ-
различные обобщения.
Теорема 1. Пусть рЛ(Ъ.) —характеристический мно-
многочлен матрицы А, а матрица X коммутирует с А. Тогда
рА(Х) — М(А — X), где М — некоторая матрица, комму-
коммутирующая с А и X.

§ 13. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН 11>у
Доказательство [Гринберг, 1984]. Поскольку,
согласно 2.4, BadjB = IBI -Е, получаем pA{%.)E =
= [adj (А-Щ] '(А -Щ = [ *2 Ak\k) (А -Щ= 2 *"^С
Все матрицы Ah диагональны, потому что матрица
п
р(к)Е диагональна. Следовательно, рл. (X) = 2 XkA'h.
Если матрица X коммутирует с Л и Ah, то рл(-Х) =
/ n-1 \
= B^ft^ 1М~-Х). Но матрицы Ah полиномиально-
\fe=0 /
выражаются через А (см. задачу 2.11), поэтому если X
коммутирует с Л, то X коммутирует с Ah.
Аналог теоремы Гамильтона — Кэли можно доказать-
для квадратной блочной матрицы
где Ац — матрица размера щ X щ (в обычную теорему
Гамильтона — Кэли эта теорема превращается при т =
= 1). Предварительно введем некоторые обозначения.
Пусть 6(i) = @, ..., 0, 1, 0, ..., 0) —набор из т цифр
с единицей на i-u месте;
т
Тогда Л=2-46<1)- Для мультииндекса z=(zi, ..., zmy
индукцией по I z\ = ъ\ +... + zm определим А* =
т
= 2 А A)Лг~ (}; предполагается, что А' — 0, если
для некоторого i, я А' = Е для z = @, 0, ..., 0).
Пусть, далее,
0
где Ей — единичная матрица порядка щ. Тогда Е
■ т
= 2 Е^1\ Рассмотрим матрицу В (xlt ..., х„) = А
8*

116 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
т
— 2 Х{Е^1\ Характеристическим многочленом блочной
матрицы А называется многочлен
1 (*i *т) = | В (хг Хп)| = 2 bZi...Zmx[l ... х%= 2М*
(суммирование ведется по значениям мультииндекса z=»
= (zi, ..., Zm), где 0<zt <rii).
Теорема 2. Если в характеристическом многочлене
f(xu ..., xm) заменить х1 на А1, то получим нулевую
-матрицу.
Доказательство [Уорвик, 1983].Пусть adjB(xv ...
• • •» xm) = 2 В^сг, где элементы матриц Bz tie зависят от х.
Z
Из равенства / (xlt ..., xm)• Е = \ В\■ Е = (adj В) В получаем
Km \ m
А - 2 XiEm). Так как 2 Е*{) = Е,
m m
то xzA= %Ema?A, а значит, 2
i=l z г 1=1
m
). Поэтому bzE=
довательно, если ж* заменить на 4*, то получим матрицу
- пусть /z=
Достаточно доказать, что Jz = 0. По определе-
определению ^6(i) = 2 A^A'+W-*», а так как
3=1
m
m
то получаем 2 Е6A)Лг+6<4> =
i
m m
= 2 }^
1,3=1 * 1=1
ЗАДАЧИ
13.1. Пусть А — матрица порядка п; fi(A) = A —
-(tcA)E, fh+1(A) = fk(A)A-r±-itT(fk(A)A)E. Дока-
Докажите, что U(A) = 0.
13.2. Пусть А и В — матрицы порядка га. Докажите,
что если tr.4m = trJ3m при тп = 1, ..., п, то собственные
значения матриц А я В совпадают.

§ 14. КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ФРОВЕНИУСА 117
13.3. Матрица А невырождена и ее минимальный
многочлен р(%) совпадает с характеристическим. Дока-
Докажите, что минимальный многоэлен матрицы А'1 равен
13.4. Пусть рА — минимальный многочлен матрицы
А, Мп — пространство матриц порядка га. Докажите, что
Bh = {A ^ Ып I dog рл < к) — замкнутое подмножество Мп.
§ 14. Каноническая форма Фробениуса
14.1. ЗКорданова форма является лишь одной из ка-
канонических форм матриц линейных операторов. Приме-
Примером другой канонической формы является циклическое
разложение (каноническая форма Фробениуса).
Циклической клеткой называется матрица вида
/О 0 0 ... О — а0
1 0 0 ... О — аг
О 1 0 ... О -аа
\0 0 0 ... 1 -ап_1У
Если A: Vn-*Vn и Ае1=е2, ..., Аеп-Х=еп, то матрица
оператора А относительно базиса е\, ..., е„ является цик-
циклической клеткой. —■
Теорема. Для любого линейного оператора А: V-*■
-*■ V (над полем С или К) существует базис, в котором
матрица А имеет блочно диагональный вид, причем бло-
блоками являются циклические клетки.
Доказательство [Джекоб, 1973]. Применим ин-
индукцию по размерности пространства V. Если степепь
минимального многочлена А равна к, то существует пек-
тор у ^ V, степепь минимального многочлена которого
тоже равна к (см. л. 13.1, теорема 2). Пусть yt = Al~ly.
Дополним базис уи ..., yh пространства W = <yi. ..., г/*>
до базиса пространства V и рассмотрим W* ={yt,
А*у*, .... А*к~гу*к). Докажем, что V=W®W\L— А-шк-
вариантное разложение пространства V.
Степень минимального многочлепа оператора А* гоже
равна к, поэтому подпространство Wt инвариантно отно-
относительно А*, а значит, подпространство \Wi) инвари-
инвариантно относительно А (см. теорему п. 5.5). Остается до-
доказать, что \¥*[)\У^ =0 п 6.imWl = k. Предположим,
что аоуь + ... + atA уь^ W' при 0 < s < к — 1 и а, Ф 0.

118
ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
Тогда Л—1 (aoyt +...+ asA**y\) s WL, значит, 0 =
= (a0A*h-^yl+ ...+ asA*h-yh, у) = a0(yl, Л*—1») +
... +as(yt, Ah гу) = ao{yl, yh-g) + ... +a,{y*k, yft) = as.
Получено противоречие.
Матрица ограничения оператора А на подпространст-
подпространство И7 в базисе у\, ..., ук является циклической клеткой.
Ограничение оператора А на подпространство W** мож-
можно представить в требуемом виде по предположению ин-
индукции.
Замечание. При доказательстве для оператора А
найден базис, в котором его матрица имеет блочно диа-
диагональный вид. На диагопали стоят циклические клетки
с характеристическими многочленами ри р%, ..., рк, где
Р\ — минимальный многочлен А, р% — минимальный мно-
многочлен ограничения оператора А на некоторое подпро-
подпространство, поэтому р2 — делитель р\. Аналогично p,+i —
делитель pim
14.2. Докажем, что характеристический многочлен
циклической «летки
О 0 ... О —а. \
1 О
О -а0
О -а.
О О
1 —о.
•n-i '
равен
п—1
X" + 2
Так как Лв1 = е2, ..., Аеп-\ = еп и
/ П-1 \
\Ап + 2 ^ьАк Ki = 0. Учитывая,
п—1
= Ai~xei, получаем, что ^п + 2 ЯгА —аннулирую-
П-1
Аеп = — 2 aheh+l
что
то
fto
щий многочлен оператора А. Остается заметить, что век-
векторы ei, Ав\, ..., Ап~хе\ линейно независимы, поэтому
степень минимального многочлена А не меньше п.
Попутно мы доказали, что характеристический много-
многочлен циклической клетки совпадает с минимальным мно-
многочленом.
ЗАДАЧИ
14.1. Матрица оператора А является блочно диаго-
диагональной и состоит из двух циклических клеток с взаимно
простыми характеристическими многочленами рад. До*

9 15. ПРИВЕДЕНИЕ ДИАГОНАЛИ К УДОБНОМУ ВИДУ Ц9
кажите, что базис можно выбрать так, чтобы матрица
оператора стала циклической клеткой.
14.2. Пусть А — жорданова клетка, т. е. существует
такой базис еи ..., е„, что Aei=keu Aeh = ek-i+Xeh при
fc = 2, ..., п. Докажите, что существует такой вектор v,
что векторы v, Av, ..., A"~lv образуют базис (тогда мат-
матрица оператора А относительно базиса v, Av, ..., AK~lv
является циклической клеткой).
143. Для циклической клетки А укажите такую сим-
симметрическую матрицу 5, что A —SATS~X.
§ 15. Приведение диагонали к удобному виду
-л
15.1. Замена матрицы А на ХЛХ сохраняет след,
поэтому диагональные элементы матрицы ХАХ'1 не мо-»^
гут быть сделаны совсем произвольными. Можно, однако,
диагональ матрицы А привести к более удобному виду,
например, матрица АФШ подобна матрице, у которой
все диагональные элементы, кроме одного, равны нулю,
я любая матрица подобна матрице, у которой все диаго-
диагональные элементы равны.
Теорема. Пусть А Ф %Е. Тогда А подобна матрице,
все диагональные элементы которой, кроме одного, равны
нулю.
Доказательство [Гибсон, 1975]. Диагональ цик-
циклической клетки имеет требуемый вид. Поэтому утверж-
утверждение верно для любой матрицы, характеристический
многочлен которой совпадает с минимальным (см.
п. 14.1).
Для матрицы порядка 2 характеристический много-
многочлен не совпадает с минимальным только для матриц
вида %Е. Пусть теперь А — матрица порядка 3, причем
А Ф %Е и характеристический многочлен матрицы А не
совпадает с минимальным многочленом. Тогда минималь-
минимальный многочлен матрицы А имеет вид (х — %) (ж — ц),
а характеристический многочлен равен (х — %J(х — \i),
причем случай К = ц не исключается. Следовательно,
/о 1 <Л
матрица А подобна матрице С = \ а ь ° , причем ха-
\0 0 \)
рактеристический многочлен матрицы I А делится на
х — X, т. е. Ъ? — Ь% — а =■ 0. Если Ъ = X = 0, то теорема
верна. Пусть Ъ = Я, ч* 0. Так как Ь2 — Ь2 — а = 0, то о = 0.

120 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
В этом случав
(О —Ь Ь\(Ь — 1 Ь\
— ь о ь I ь оо },
— Ь -Ь 26/V Ь 0 6/
/ь -1 ь\
причем det I Ь 0 0 \ф о, поэтому матрица .4 подобна
\ь о ь)
матрице
/ о —ь ь\
\-Ь 0 5.
\—ъ —ь гь)
Пусть, наконец, ЪФ\. Тогда для матрицы D =
= diag(b, X) теорема Ьврна, поэтому существует такая
матрица Р, что PDP~X — (^. ^. )• Матрица
/1 0\ /1 0 Wl 0W0 *\М 0 \ /0 ^ \
лмеет требуемый вид.
Предположим теперь, что теорема верна для матриц
порядка т, где т ~5* 3. Матрица Л порядка m +1 имеет
вид ' , ), где А\ — матрица порядка иг. Так как А Ф
Ф%Е, можно считать, что Ai^XE (для доказательства
можно воспользоваться результатом задачи 12.3). По
предположению индукции существует такая матрица Р,
что диагональ матрицы PAiP~l имеет вид @, 0, ..., 0, а).
Поэтому диагональ матрицы
*-[о 1/U -x-jlo i}-
имеет вид- @, ..., 0, a, (J). Если а = 0, доказательств»
завершено. Пусть аФО. Тогда ^ = („ ^)' где диаго-
диагональ матрицы Cj порядка т имеет вид @, 0, ..., а, ^),
поэтому С\ Ф ХЕ. Следовательно, существует такая мат-
матрица Q, что диагональ матрицы QCQ~* имеет вид @, ...
..., 0, х). Поэтому диагональ матрицы ( Q д ) ( » с ) *
X I А имеет требуемый впд.

§ 15. ПРИВЕДЕНИЕ ДИАГОНАЛИ К УДОБНОМУ ВИДУ 121
Замечание. Доказательство остается справедливым
для поля любой характеристики.
15.2, Теорема. Пусть А — произвольная комплекс-
комплексная (вещественная) матрица. Тогда существует такая
унитарная (ортогональная) матрица U, что матрица
UAU~l имеет на диагонали равные числа.
Доказательство. Если унитарная матрица Р со-
соответствует перестановке о, то диагональные элементы
матрицы Р-^АР получаются из диагональных элементов
матрицы А перестановкой о (см. задачу 12.3). Поэтому
любые два диагональных элемента матрицы.. А можно
перестацить на места' A, 1) и B, 2). Доказательство
проведем индукцией по числу диагональных элементов,
де равных m = trA/n; число таких элементов не может
быть равно .1. Для работы с такими элементами нам по-
потребуется следующее утверждение.
Лемма. Пусть А — комплексная (вещественная)
матрица, диагональ-которой имеет вид (а\, а^, ..., ап).
Тогда для любого t, где 0 s£ t «£ 1, существует такая уни-
унитарная (ортогональная) матрица U, что диагональ мат-
матрицы UAV~l имеет вид {а1,аг,а3, ...,ап), где ai = tal'-\-
-f- (I — t)a2 и а2 = A — t) at + ta2.
"Доказательство. Так как
. ■ (и о\[р q)!^1 o\_(upu~1 uq
I о e)\r я До е)~{ ru-i s
то можно ограничиться матрицами порядка 2. Унитарная
матрица порядка 2 с определителем 1 имеет вид( - - \
\—v и Г
где М2+ |у|2 = 1 (см. задачу 22.2). Легко проверить, что
_м v\(ai
~v п)\с
В вещественном случае величина aicosza ( )
X sin a + п2 sin2 a при изменении а от 0 до л/2 изменяется
от а\ до аг, поэтому в вещественном случае доказатель-
доказательство леммы завершено.
Пусть w = cosae*p, p = sinaef*. Тогда /(в, p) = OiIbIz +
+ bva + спи + агМ2 = aicos2a + a2sin2a + sin a X
XcosaEe<f) + ce-*), где р=»<р —ф. Точки Ье'Ч-се-*' при
О «S p =S 2л образуют на комплексной плоскости эллипс
(или отрезок) с центром в нуле. В самом деле, точки е*
лежат на единичной окружности, а отображение

122 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
•-► bz-\- cz задает вещественно линейное отображение
комплексной плоскости (это отображение может быть вы-
вырожденным) . Поэтому величина (be® + се-*I(а\ — а2)
принимает вещественное значение р для некоторого {$.
При таком р" получаем /(и, v)=ta\ +A — t)a?, где t =
= cos2 a + p sin а cos а. При изменении а от 0 до п/2
величина t изменяется от 1 до 0. Доказательство леммы
завершено.
В случае двух диагональных элементов, не равных
m=ttAfn, доказательство теоремы непосредственно сле-
следует из леммы. Предположим теперь, что количество диа-
диагональных элементов матри-
матрицы А, не равных т, больше
двух. Тогда существуют та-
такие диагональные элементы
в|, а,; и ак, что точка тп =
= \хА1п на комплексной пло-
плоскости лежит внутри тре-
треугольника Oiflflh- Пусть г —
точка пересечения пряных
mah и did] (рис. 5). Согласно
Рас. 5 лемме матрицу с диагональю
(а,, а,, ...) можно заменить
на матрицу с диагональю (г, ...), а матрицу с диаго-
диагональю (z, a», ...) можно заменить на матрицу с диаго-
диагональю (тп, ...); при этой все диагональные элементы,
кроме а„ а} и ак, не изменятся. В результате количеств»
диагональных элементов, равных тп, увеличится по край-
крайней мере на 1.
15.3. Теорема. Любая ненулевая матрица А поряд-
порядка п подобна матрице, все диагональные элементы кото-
которой отличны от нуля.
Доказательство -[Маркус, Певис, 1959]. Любая
матрица А подобна матрице, диагональные элементы ко-
которой райны txA/n (см. п. 15.2), поэтому остается рас-
рассмотреть случай, когда 1сА=0. Можно считать, что мат-
матрица А жорданова. Рассмотрим сначала матрицу А =
= ilaij|". где ай = бцбг^ Если U = IIи«И — упитарная мат-
матрица, то UAU~l — UAU* = B, где &« = и,1Йа. Ясно, что>
матрицу U можно подобрать так, что 6« Ф 0.
Дальнейшее доказательство проведем индукцией по
п; при п —2 утверждение доказано. Предположим снача-
сначала, что матрица А диагональная. Можно считать, что

§ 16. ПОЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 123
(а О \
ап^О. Тогда Л —I 0 Д1, где Л —ненулевая диаго-
диагональная матрица. Пусть матрица U такова, что все диа-
диагональные элементы матрицы UAU~l ненулевые. Тогда
диагональные элементы матрицы
/1 0\/«u 0W1 0 \_/«ц О
\ О и)\0 Л / \, 0 tj—1] ~ \ О UAU-1
ненулевые.
Предположим телерь, что матрица А не диагональная.
Можно считать, что а^^О и матрица С, полученная из
матрицы А вычеркиванием первой строки и первого
столбца, ненулевая. Пусть матрица U такова, что все
диагональные элементы матрицы UCU~l ненулевые. Рас-
Рассмотрим матрицу
/1 0 \ /1 0
^^(о и)А[о
Единственным ненулевым диагональным элементом мат-
матрицы D может быть элемент ац. Если ац=0, то для
матрицы ( 1 ) подберем такую матрицу V, что диа-
тональные элементы матрицы VI л IV ненулевые.
\ * ffl22/
Тогда все диагональные элементы матрицы
Г. ХГ 2) -"»-»•
ЗАДАЧИ
15.1. Пусть А — вещественная матрица с нулевым
следом. Докажите, что существует непулевой вектор-
столбец х, для которого хтАх = 0.
15.2. Докажите, что для любой ненулевой квадратной
матрицы А найдется такая матрица X, что у матриц X
л А + X нет общих собственных значений.
§ 16. Полярное разложение
16.1. Любое комплексное число z можно представить
в виде г=Ые'ф. Аналогом этого представления является
полярное разложение матрицы А = SU, где S — эрмитова,
U — унитарная матрица.

124 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
Теорема. Любую квадратную матрицу А над
№(над С) можно представить в виде A — SU, где S — сим-
симметрическая (эрмитова) неотрицательно определенная
матрица, U — ортогональная (унитарная) матрица. Если
матрица А невырождена, то такое представление един-
единственно.
Доказательство. Если А = SU, где S — эрмито-
эрмитова, U — унитарная матрица, то АА* = SUU*S = S2. Если
матрица S к тому же неотрицательно определена, то ра-
равенство S2 = AA* задает ее однозначно (см. п. 19.4, тео-
теорема 1). Для невырожденной матрицы А остается поло-
положить U = S~lA. Матрица U унитарна, так как UU* =
В случае вырожденной матрицы А требуются более
тонкие рассуждения. Для оператора АА* существует ор-
тонормировапный собственный базис zi, ..., zn, причем
AA*zi = khu гДе йчеК (см. п. 11.3). Положим Sz =
= kiZi, где ki > 0. Можно считать, что числа &i, ..., km
положительны и km+i —... =kn = 0. Пусть w( = A*zJki
для £<772 и W — <w\, ..., wm>. Так как kikj(wt,Wj) =
= (A*Zi, A*z3) = (zu AA*z5) -= A? (zu z5), то wu ..., wm —
ортопормированный базис пространства W. Дополним
векторы w\, ..., wm до ортонормированного базиса w\, ...
..., wn и положим Uwt = zt. Докажем, что А = SU. Для
i^m SUwi = Szi = ktZ{ и Aw{ = AA*zilki = kizi. Для i>
>m SUiVi = 0 и (Awu 4u)i) = (u)i, A*Awt) = 0, так как
A*Aw, e= Im A*A <= Im A* = W.
Замечание. Матрицу Л* можно представить в ви-
виде A* — SU, поэтому А = (А*)* = U*S, где матрица U*
унитарна.
16.2. Теорема 1. Любую матрицу А можно пред-
представить в виде А = UDW, где U и W — унитарные мат-
матрицы, D — диагональная матрица.
Доказательство. Пусть A=SV, где S — эрмито-
эрмитова, V — унитарная матрица. Для матрицы S существует
такая унитарная матрица U, что S= UDU* (ом. п. 11.3),
где D — диагональная матрица. Матрица W = U*V уни-
унитарна и А = SV = UDW.
Теорема 2. Если A=SiUi = U2S2 — полярные раз-
разложения невырожденной матрицы А, то U\ = U2.
Доказательство. Пусть А — UDW, где U и W —
унитарные матрицы, a Z) = diag(di, ..., dn). Рассмотрим
матрицу Z)+ = diag(|dil, ..., Ш). Тогда DD DD

§ 17. РАЗЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ 12S-
а значит,
А = (UD+U*) (UD^DW) =(UD+lDW)(W*D+W).
Матрицы UD+U* и W*D+W положительно определенные,
а матрица D +*D унитарная. Из единственности поляр-
полярного разложения невырожденной матрицы следует, что
% = UD+U*, S2 = W*D+W и Ux = UD+lDW = U2.
ЗАДАЧИ
16.1. Докажите, что любое линейное преобразование
Кп является композицией ортогонального преобразова-
преобразования и растяжения по перпендикулярным направлениям
(с разными коэффициентами).
16.2. Пусть A: R"-»-Rn — сжимающий оператор,
т. е. \Ах\ ^ \х\. Пространство Rn вложено в R2n. Дока-
жите, что А является ограничением на Rn композиции
ортогонального преобразования Rzn и проекции на Rn»
§ 17. Разложения матриц
17.1. Теорема (Шур). Любую квадратную матрицу-
А над С можно представить в виде А = UTU*, где U —
унитарная, Т — треугольная матрица, причем матрица А
нормальна тогда и только тогда, когда Т — диагональная
матрица.
Доказательство. Применим индукцию по поряд-
порядку матрицы А. Пусть х — собственный вектор матрицы
А, т. е. Ах = Кх. Можно считать, что \х\ = 1. Пусть W —
унитарная матрица, первым столбцом которой служат
координаты вектора х (для построения такой матрицы
■достаточно дополнить вектор х до ортонормированного
базиса). Тогда
По предположению индукции существует такая унитар-
унитарная матрица V, что матрица V*A\V треугольная. Тогда-
матрица U — WlQ у\ искомая.

126 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
Легко проверить, что равенства Т*1 =ТТ* и А*А =
= АА* эквивалентны. Остается доказать, что треугольная
нормальная матрица является диагональной. Пусть
*«•■• «1»
Тогда (ff*)n = Uiil2+U.2l2 + ...+ Uul2 и (Т*Т)п =
= Unl2. Поэтому из равенства ТТ* = Т*Т следует, что
112 =... = hn = 0. Из матрицы Г можно вычеркнуть пер-
первую строку и первый столбец и повторить эти рассуж-
рассуждения.
17.2. Теорема [Ланцош, 1958]. Любую веществен-
вещественную матрицу А размера тХп и ранга р>0 можно пред-
представить в виде A = XAYT, где X и У— матрицы размеров
/и Xр и пХр с ортонормированными столбцами, А —
диагональная матрица порядка р.
Доказательство [Шверг, 1960]. Ранг матрицы
АТА равен рангу А (см. задачу 8.3). Пусть U — ортого-
ортогональная матрица, приводящая симметрическую матрицу
АТА к диагональному виду, т. е. UTATAU — diag(\i\, ...
..., iip, 0, ..., 0), причем ц,->0. Пусть, далее, уи ...
• ••, Ур — первые р столбцов матрицы U; Г —матрица,
составленная из этих столбцов. Столбцы Xi —K^Ayu где
%i = Уц,-, образуют ортонормированпую систему, так как
{Ayh Ау-) = {уг, ATAy}) = tf(yi, ys). Ясно также,
что AY = Ck\X\, ..., ХрХр) = ХА, где X — матрица, состав-
составленная из столбцов х\, ..., хр, A = diag(X,i, ..., ХР). До-
Докажем теперь, что А = XAY*. Рассмотрим для этого сно-
снова матрицу U = (Y, Го)- Так как КегЛГЛ = КегЛ (см.
решение задачи 8.3) и (ЛМ)Уо = О, то AY0 — 0. Следо-
Следовательно, AU-(XA, 0), а значит, А=(ХА, 0)UT = XAYT.
Замечание. Так как AU = (XA, 0), то UTAT =
(AXr\ „ Т7 ЛТ
1 q -1. Домножив это рапенство па С/, получим А =
YAXT. Следовательно, АТХ = YAXTX = УЛ, так как
TX = EV. Поэтому (ХТЛ)(ЛГХ) = (ЛУТ)(УЛ) = Л2, так
как YTY — Ер. Значит, столицы матрицы X являются
собственными векторами матрицы ЛАТ.
17.3, Теорема, а) Любая комплексная матрица яв-
является произведением двух комплексных симметрических
матриц.

§ 17. РАЗЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ 12?
б) Любая вещественная матрица является произведе-
произведением двух вещественных симметрических матриц.
Доказательство, а) Заметим сначала, что
/X 1 0\ /0 0 1\/0 0 Х\
О X i|=0 1 00 X 1 ;
\0 О Я/ \1 О 0/\Х 1 О/
аналогичные равенства справедливы и для жордановыг
клеток любого размера. Следовательно, жорданову мат-
матрицу / можно представить в виде произведения двух.
симметряческих матриц, а значит, любую матрицу А
можно представить в виде А = PJP~l, где / = ST — про-
произведение двух симметрических матриц. Тогда A—SiTir
где S\=*PSP* и Т\ *=(Р*)-1ТР~* — симметрические мат-
матрицы.
б) В вещественном случае матрицу тоже можно при-
привести к виду, аналогичному жордановой нормальной фор-
форме (см. п. 12.4). Для вещественных собственных значе-
значений предыдущее доказательство проходит без изменений.
В сяучае собственных значений о ± 1% заметим, что
U -PWO
поэтому соответствующую вещественную жорданову клет-
клетку можно представить в виде
О 0 /\/0 О Л\
о / о о л / ,
/ о о/\л i о;
где
oj " л~и -»/
(для клеток произвольного размера справедливо анало-
аналогичное равенство). Дальнейшее доказательство аналогич-
аналогично комплексному случаю.
ЗАДАЧИ
17.1. Все угловые миноры квадратной матрицы А от-
отличны от нуля. Докажите, что ее можно представить в»
виде А = Т\Тъ, где fi —нижняя треугольная, Т2 — верх-
верхняя треугольная матрица (разложение Гаусса).
17.2. Докажите, что невырожденную матрицу X мож-
можно представить в виде X = UT, где U — ортогональная
матрица, Т — верхняя треугольная матрица (разложений
Грама).

128 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
17.3 [Рамакришнан, 1972]. Пусть J3 = diag(l,
..., в"), где е — первообразный корень га-й степени
£ = 1!су I™, где сч = б<,1-1 (/—1 берется по модул
Докажите, что любая матрица М над С порядка п
■; n—j
значно прйдставима в виде М = 2 ekiB С1.
й,1=0
17.4. Докажите, что любую кососимметрическую
рйцу А можно представить в виде А = 5[52 — S2S
S\ и 5г — симметрические матрицы.
§ 18. Нормальная форма Смита.
Элементарные делители матриц
18.1. Пусть А — матрица, элементами которой явз
ся целые числа или многочлены (можно считать, чтс
мепты матрицы А принадлежат коммутативному ко
в" котором'определено понятие наибольшего общего ,
теля).' Пуеть, далее, /*(Л) —наибольший общий- дел1
■миноров порядка к матрицы А. Из формулы разло»
определителя по строке следует, что fh делится на
Формула А~1 = (adjA)fdetA показывает, что эл!
тами матрицы Л будут целые числа (соответст!
^многочлены), если det^ = ±l (соответственно del
ненулевое число). Обратное утверждение очевидно
■как det.4 •det.4~!. = det(.4.A~1)= 1. Такие обратимые
рицы называются матрицами-единицами (соответству
го кольца матриц). Произведение матриц-единиц явл:
•матрицей-единицей. " '
Теорема 1: Если А' = ВАС, где В и С — матр
единицы, то fk(A') = fh(A) при всех допустимых к.
Доказательство. Из формулы Бине — Коши
дует, что fk(A') делится на /*(-4). А так как А = В~1А
то fk(A) делится на fk(A').
Теорема 2 (Смит). Для любой матрицы А раз
т*Х и существуют такие матрицы-единицы В и С,
В&С = diag(gi. g2, ..., gP, 0, ..., 0), где gi+i делится г
Доказательство. Матрица-едишща li°&ylli\
«а == 1 при i Ф р, q и (ХрЯ = а,Р = 1, а остальные элем
равны нулю, при умножении на нее справа (слева)
ществляет перестановку столбцов (строк) с номе
р и q. Матрица-единица ]«у|!?, где а« = 1 (i=l, ..
.и aPq = f {рФд — фиксированные числа), при умнож

S 18. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СМИТА 129
па нее справа осуществляет прибавление к g-му столбцу
р-то столбца, умноженного на /, а при умножении сле-
слепа — прибавление к р-й строке </-й строки, умноженной
•на /. Остается проверить, что такими операциями матри-
матрицу А можно привести к требуемому виду.
Нормой целого числа будем называть его модуль,
а нормой многочлена — его степень. Выберем элемент а
данной матрицы с наименьшей нормой и переставим его
на место A, 1). Поделим элементы первой строки на а с
остатком и прибавим к столбцам 2, 3, ..., п кратные пер-
первого столбца так, чтобы в первой строке получились ос-
остатки от деления на а. Аналогичную операцию проделаем
со столбцами. Если при этом в первой строке или в нер-
нервом столбце кроме а останется еще один ненулевой эле-
элемент, то его норма строго меньше нормы а. Переставим
этот элемент на место A, 1) и повторим указанные опе-
операции. Норма углового элемента строго убывает, поэтому
в конце концов в первой строке и в первом столбце оста-
останется единственный ненулевой элемент аи.
Предположим, что в полученной матрице есть элемент
а,„ не делящийся на Оц. Прибавим к первому столбцу
столбец, содержащий atj, а затем прибавим к строке, со-
содержащей ац, кратное первой строки так, чтобы элемент
ац заменился на остаток от деления на ац. В результате
получим элемент, норма которого строго меньше нормы
ац- Переставим его на место A, 1) и повторим все ука-
указанные операции. В конце концов получим матрицу вида
I 0 А')' причем псе элемепты матрицы А' делятся на
g\. Для матрицы А' можно повторить все предыдущие
рассуждения.
Замечание. Ясно, что fh(A) = gvg2 ... gh.
18.2. Полученные в нормальной форме Смита элемен-
элементы g\, ..., gp называются инвариантными множителями
матрицы А. Они выражаются через делители миноров
fh(A) следующим образом: gk = fklfk-i, если /„-1=^0.
Каждый инвариантный множитель gi можно разло-
разложить в произведение степеней простых чисел (соответ-
; ственно степеней неприводимых мпогочленов). Такие мно-
множители называются элементарными делителями матри-
матрицы А. В набор элементарных делителей каждый множи-
множитель входит с учетом кратпости.
Элементарными делителями вещественной или комп-
комплексной матрицы А называются элементарные делители
9 В. В. Прасолов

130 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
матрицы А — хЕ. Произведение всех элементарных дели-
делителей матрицы А с точностью до знака равно ее характе-
характеристическому многочлену.
ЗАДАЧИ
18.1. Вычислите инвариантные множители жордановой
клетки и циклической клетки.
18.2. Пусть А — матрица порядка п, /n-i — наиболь-
наибольший общий делитель миноров порядка п — 1 матрицы
А — хЕ. Докажите, что минимальный многочлеп матри-
матрицы А равен ±\А — xE\/fr,-\.
Решения задач
11.1. Оба эти выражения равны следу оператора А (см. п. 11.1).
11.2. а) Нет, не существуют, tr. (АВ — ВА) =tvAB — tcBA =
= 0, a tr E = п.
б) Предположим, что матрица А невырождена. Тогда А~ХАВ —
— А-'ВА =Е. Но tr {В-А-^ВА) = 0, а НЕ = п.
11.3. Пусть Im А = <ei>. В базисе et, ..., е„ матрица оператора
АВ имеет вид | ® ••• " |, причем х\ = tr АВ = 0, т. е.
i = 0.
11.4. Пусть D = diag (Я), ..., Хп). Легко проверить, что
/1 ... 1 \
D~lAD =| 1 = В. Пусть (х,, ..., х») -
вектора х. Тогда Вх = у, где у — столбец (а, ..., а), причем а =
= х{ + ... + хп. Собственные векторы, соответствующие нулевому
собственному значению, ебразуют (и — 1)-мерное подпространст-
подпространство, заданное уравнением хг + ... + хп = 0; собственный вектор
A, ..., 1) соответствует собственному значению п. Ясно также, что
если е — собственный вектор матрицы В, то De — собственный век-
вектор матрицы А.
11.5.. Пусть р(Х) = \ХЕ + А\ и q(X) = \ХЕ — А\ —многочле-
—многочлены степени п. Существует число Я,, пе являющееся корнем ни од-
одного из этих многочленов. Тогда матрицы В\='кЕ-\-А и В2 =
= —кЕ + А не вырождены и Л = (Вх + #2)/2.
11.6. Очевидно, что коэффициенты характеристического много-
многочлена непрерывно зависят от элементов матрицы. Остается дока-
доказать, что корни многочлена р(х) = хп + а:хп~1 + ... + о» пепре-
рывно зависят от ei, ..., а„. Доказательство достаточно провести
координаты

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 131
для пулевого корня (для ненулевого корня х\ можно рассмотреть
мамену переменных y = x — Xi). Если р@) =0, то а„ = 0. Рас-
Рассмотрим многочлен q (х) = хп + bixn~l + ... + Ь„, где | bj — о<| <
< 6. Если xi, ..., хп корни многочлепа q, то |xi...xn| = |6„| <6,
а зпачит, модуль одного из корней многочлена q меньше j/T.
Взяв 6 = еп, получим требуемое.
11.7. Если сумма элементов каждой строки матрицы А равна s,
то Ае = se, где е — столбец A, 1,..., 1). Следовательно, А~1(Ае) =
= A~l(se), а значит, A~le = (l/s)e, т. е. сумма элемептов каждой
строки матрицы А~1 равна 1/s.
11.8. а) Пусть Si, ..., Sn— столбцы матрицы S. Тогда
Л (Si ...) = (Si ...)(\ ...), где Л —столбец (X, 0 0). Прирав-
Приравнивая первые столбцы этих матриц, получаем ASt = XS\.
б) Первый столбец матрицы (S-lAS)T = STAT(ST)-1 имеет вид
(Я,, 0, ..., 0), поэтому можно воспользоваться результатом за-
задачи а).
п
11.9. Легко проверить, что | А — }.Ё \ = 2 (~ *)* ^K-k (Л)»
ft=o
где Ат(Л) —сумма всех главных миноров порядка т матрицы А.
п п n—i
Поэтому 2 Ai — W | = 2 2 (— 1>h ^An-b-i (^i)- Остается
i=l I i=l ft=o
n
заметить, что "£ &p(Ai) = (n —p) &p(A). В самом деле, любой
i=I
главный мипор пирядка р матрицы А является главным минором
для п — р матриц Л,-.
11.10. Так как adj (P-'XP) =P-'(adjX)P, то можно считать,
что матрица А имеет жордапову пормальную форму. В этом слуг
чае матрица adj Л верхпяя треугольная (см. задачу 2.7); ее диаго-
нальпые элементы легко вычисляются.
11.11. Пусть S = р 6i,n_j |j£ — матрица с единичной побочной
диагональю. Тогда AS = || bti |j™ и SA = || е{. |™, где biS = at, „_,- и
c,-j = an-i. j. Поэтому центральная симметричность матрицы А оз-
пачает, что AS = SA. Легко проверить также, что вектор х сим-
симметричен, если Sx = х, и антисимметричен, если Sx = —я.
Пусть К — собственное значение матрицы А и 4i/ = Xy, где
1/=^ 0. Тогда Л (Sy) = 5(Лу) = S(Xy) = US (у). Если Sy = —у, то
можно положить я = у. Если Si/ =?£= —у, то можно положить ж =
= У + 5г/; тогда Ля = Хж и Sx = ж.
11.12. a)
А — ХЕ В
В А —
Е Е
Е —Е
I А + В — ХЕ А — В — ХЕ
\ЛТВ — ХЕ —(А-В — ХЕ
А-\-В-ХЕ А — В — ХЕ Г
О — 2(А-В-ХЕ)\

432 гл. з. канонические формы матриц.
, ч I А — ХЕ В \\Е iE
б) _в a-xeYUe e
[А В\г _( А* + В* АВ — ВА\
A + iB — XE ЦА—(В—Щ [_
ЦА+iB— ХЕ) A — iB — XE\—
\ A + iB — XE HA — tB — XE)\
О 2 (А — iB — ХЕ) Г
. By ( A + u „_ _.
в) (в -А) = [вА/" л ' d2 '• поэтому можно вос"
пользоваться результатом задачи б).
11.13. Так как Aet = xn-i+\en-i+\ и Aen~t+l = ж<е,-, то подпро-
подпространства Vi = <ej, en-(+i> ипвариантны относительно оператора А.
При i Ф п — i + 1 матрица ограничения оператора А на подпрост-
рапство V,- имеет вид 2? = l q|. Собственные значения матри-
матрицы В равпы ±уХц. Если Хц = 0 и В диагопализируема, то В == 0.
Поэтому матрица В диагонализируема тогда и только тогда, когда
оба числа X и \х равпы или не равны нулю одновременно.
Итак, матрица Л диагонализируема тогда и только тогда, ког-
когда оба числа xt и £„-:-н одновременно равны или не равны пулю
для всех г.
11.14. а) Предположим, что векторы-столбцы х\,. ■., хт соответ-
соответствуют вещественным собственным значениям а , От. Пусть
X = (xi,..., хт) и D = diag (аи..., ат). Тогда АХ = XD, а так как
D — вещественная матрица, то АХХ* = XDX* = X(XD)* =
= Х(АХ)* — ХХ*Л*. Если векторы хи ..., хт линейно независи-
независимы, то rk XX* = ik X == m (см. задачу 8.3); поэтому в качестве
матрицы S можно взять XX*.
Предположим теперь, что AS = SA* л S— неотрицательно оп-
ределенпая матрица ранга т. Тогда существует такая невырожден-
невырожденная матрица Р, что 5 = ЛУР*, где N = I "* ) (см. п. 11.3). До-
множим обе части равенства AS = SA* слева на Р~', а справа на
{Р*)~1; в результате получим (P~XAP)N = N(P~lAP)*. Пусть
/Ви В \
Р~гАР = В=\ д п К где Ви — матрица порядка т. Так как
* \ 21 22/
Дп — эрмитова матрица порядка т. Матрица 5ц имеет ш линейно
независимых собственных векторов zi, ..., zm с вещественными
собственными значениями. А так как АР — РВ и Р — невырожден-
невырожденная матрица, то векторы Р| 1|, ..., Pi ™Ч линейно независи-
независимы и являются собственными векторами Л, соответствующими ве-
вещественным собственным значениям аи . •., <*т-

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 133
б) Доказательство во многом аналогично задаче а); в нашем
случае АХХ*А* == АХ(АХ)* = XD(XD)* = XDD*X* = XX*.
Если ASA*=S и S = PNP*, то P-^APN{P-^AP)* == N, т. е.
= 1 0 д I.
12
о)"
Поэтому
где матрица В,, унитарна.
12.1. Это разложение уже фактически было построено в дока-
доказательстве теоремы Жордана. Если V гэ Im А гэ Im Л2 гэ ...
... = 1тЛ1>= ЫАР+1 и ОсКегЛ с..сКегЛг' = КегЛг'+1, Т(>
должны выполняться равенства Л' = Кет А? и 5 = 1тЛ*. Ясно,
что ЛГ П S cz Кег Л П Im Aр = 0 и dim Кег Л" + dim Im Ap = dim V.
12.2. Пусть А — жорданова клетка порядка А;. Легко проверить,
что в этом случае SkA = ATSh< где Sh = || 6t s+1_jl|\— невырожден-
невырожденная матрица. Если А — прямая сумма жордановых клеток, то мож-
по взнть прямую сумму матриц 5».
12.3. Матрица Р~х соответствует перестановке о~1, поэтому
12.4. Пусть Я,1, ..., Хт — попарно различные собственные зна-
чепия матрицы А; р ,■ — кратность собственного значения Я.«.
Тогда tr (А") = р^ + ... + р^. Поэтому | Ь{.(J-1 = ?1 ...
••• РтХ\ (^i — ^-jJ (CM- задачу 1.18). Для вычисления определи-
теля | Ьц |™ можно, папример, в выражении для tr (Ah) заменить
PvA на сУмму **, + (Рт - 1) ^,.
12.5. Если Л' = Р-'АР, то (Л' + Я,Й)-"Л' = Р"'(Л + Х£)~1ЛР,
поэтому достаточно рассмотреть случай, когда А — жорданова клет-
клетка. Если матрица Л невырождена то Нт(А + Х£)~х= Л". Пусть
1*о
Л = JV — жорданова клетка с нулевым собственным значением.
Тогда (N+kE)-iN = X-4E—l-lN + X->iN2 — ...)N>= X~lN —
— X~2iV2 + ...; предел при' X -*■ 0 существует, только если Л' = 0.
Итак, для существования указанного предела матрица А не
должна иметь ненулевых жордановых клеток с нулевым собствен-
собственным значением. Это условие эквивалентно тому, что гк А = гк А2.
13.1. Пусть (%v ..., Яп) — диагональ жордановой нормальной
формы матрицы A, oh = ah(lv ..., Я,„). Тогда \%Е — А \ =
п
е= 2 (— l)ft hn~hah. Поэтому достаточно доказать, что fm (Л) =»
к-0

134 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
т
= 2 (~ i)k Am~kah для всех т. При т = 1 это равенство совпа-
совпала
дает с определением f±. Предположим, что утверждение доказа-
доказано для m и докажем его для т+1. Ясно, что /т+1(А) =
т
*г | "V / л\л Am—h-\-in \р Тя„
м I /. V— *■} « "ь i'-'* 1 <*К
" i»Tl
ft=0
как tr
m
= A,J + ... + Xjj, то остается заметить, что 2 (—^^т—ь-)-!0^"!"
fc=0
-j-(m+l)(-l)m+1am+1 = 0 (см. и. 4.1).
13.2. Согласно решению задачи 13.1 коэффициенты характери-
характеристического многочлена матрицы X являются функциями от tr X,...
..., tr (X"), поэтому характеристические многочлепы матриц Л и В
совпадают.
13.3. Пусть /(X)—произвольный многочлен, g(X) = A,"/(A,-I)
вй = Л-1. Если 0 = g(B) = Bnf(A), то /(Л) = 0. Поэтому мини-
минимальный многочлен матрицы В пропорционален Х"/»^). Оста-
Остается заметить, что старший коэффициент многочлена Я,пр(Я,~') ра-
равен lim (я,"р (Х~1))/%п = р @).
1-»оо
13.4. Ясно, что
#s = {Л е Мп\ матрицы й, Л, Л2, ..., Л*~1 линейно зависимы}.
Матрицу из Мп можно записать в виде строки длиной п2. Соста-
Составим из таких строк, соответствующих матрицам Е, Л, Л2, ..., Л*,
матрицу Т. Линейная зависимость матриц Е, А, ..., Л*-' эквива-
эквивалентна тому, что гкТ ^к — 1, т. е. все миноры порядка А;— 1 мат-
матрицы Т равны 0. В итоге получаем систему алгебраических соотт
ношепии для коэффициентов матрицы Л.
14.1. Минимальный многочлен циклической клетки совпадает
(с точностью до знака) с характеристическим многочленом. Мини-
малышй«-мн.огочлеп оператора Л аннулирует данпые циклические
клетки, поэтому он делится па р и q. А так как многочлены р и q
взаимно просты, то мипимальпый многочлен Л равен pq. Следова-
Следовательно; в пространстве V существует вектор, минимальный мно-
многочлен которого равен pq,
14.2. Докажем сначала, что Аке„ *= е„-* + е, где te{«», ...
..., е„_ы.1>. При к = 1 Ае„ = en_i + е„, а если утверждение вер-
по для к, то Л*+'е„= en-*-i+ Хеп-ч+ Ле и е„_к, Ае е<е„,..., еп-*>.
Поэтому, записав столбцы координат векторов еп, Леп, ...
..,, Л"-'е„ относительно базиса еп, еп-\, ..., в|, получим матрицу

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
135
1 *
о'-
I. Эта матрица невырождена, поэтому векторы е„, Аеп,...
..., Ап~1еп образуют базис.
Замечание. Можно доказать, что в качестве v можпо взять
любой вектор xtei + ... + хпеп, где хп ¥= 0.
• 14^. Пусть
Тогда
-п-2
0 0)
а1 *
1 О
О
О
а1
1
О О
о о
— симметрическая матрица. Поэтому AS = (Л5)т = SAT, t. е.
А = S4rS-'.
15.1. Утверждение очевидно следует из теоремы 15.2. Приве-
Приведем, однако, независимое доказательство. Так как хтАх — число,
то хгАх = (хтАх)т = хтАтх. Поэтому хтАх = xTAix, где А\ =
= (А-\-Ат)/2 — симметрическая матрица с нулевым следом. Со-
Соответствующую ей квалратичпую форму ортогональным преобра-
преобразованием можно привести к диагопальеому виду, поэтому она не
может быть знакоопределеннои.
15.2. Согласно теореме п. 15.3 существует такая матрица Р, что
все диагональные элементы матрицы В = Р~1АР ненулевые. Рас-
Рассмотрим матрицу Z, диагональные элементы которой равны 1, над
диагональю стоят нули, а под диагональю — такие же элементы, как
у матрицы —В. Собственные значения нижней треугольной мат-

136 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ
рицы Z равны 1, а собственные значения верхней треугольной
матрицы В + Z равны 1 + Ьц ф 1. Поэтому в качестве матрицы X
можно взять PZP~l.
16.1. Оператор А можно представить в виде А = SU, где U —
ортогональный оператор, S — положительно определенный симмет-
симметрический оператор. Для симметрического оператора существует
ортогональный базис собственных векторов, т. е. он является рас-
растяжением по перпендикулярным направлениям.
16.2. Если А = SU—полярное разложение оператора А, то
для S существует ортонормированныи собственный базис е\, ...
..., е„, причем все собственные значения пе превосходят 1. Следо-
Следовательно, Set = (cosq>j)ei. Дополним базис е\, ..., е„ до базиса
«1, ..., en, 8i, ..., еп пространства К2п и рассмотрим ортогональ-
ортогональный оператор Si, действующий в каждой плоскости <ej, e*> как
/8 *\
поворот на угол ср;. Матрица оператора Si имеет вид
А так как
ТТ П\ I VTT -if s
0 Е) = \ * :
то S± I q ^j—искомое ортогональное преобразование R2n.
17.1. Пусть матрица ХРЯ(Х) имеет единственный ненулевой
внедиагональный элемент avq = X, а на диагонали этой матрицы
стоят единицы. Тогда матрица Xpq(X)A получается из матрицы А
прибавлением к р-й строке g-й строки, умноженной на А,. По ус-
условию апфО, поэтому, вычтя из к-й строки первую, умноженную
• на ом/вп, получим матрицу с ац = ...=• ап\ = 0. Из условия сле-
следует, что 022 Ф 0. Поэтому снова можно вычесть из А-й строки
(А; ^ 3) вторую, умноженную на 0*2/022. и получим матрицу с
оз2=.. .= азп = 0 и т. д. Следовательно, домножая матрицу А спра-
справа па матрицы ХРЯ(Х), где р > д, можпо получить верхнюю тре-
треугольную матрицу Г2. Так как р > q, то все матрицы Xpq пижпие
треугольные, а зпачит, их произведепие Т тоже является нижней
треугольной матрицей. Из равенства ТА = Т2 следует, что А =
= T~lT2. Остается заметить, что матрица Тх = Г-1 нижняя тре-
треугольная (см. задачу 2.7); на диагонали матрицы Т\ стоят единицы.
17.2. Пусть х\, ..., хп — столбцы матрицы X. Согласно 9.2 су-
существует такая ортонормированная система векторов у\, ..., уп,
что ji e (i|, ..., Ж(> при i = 1, ..., п. Тогда матрица U, состоя-
состоящая из столбцов уи ..., уп, ортогональна и U = ХТи где 7\ — верх-
верхняя треугольная матрица. Следовательно, X = UT, где Т = Т^1 —
верхняя треугольпая матрица.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 137
17.3. На каждом пересечении фиксированной строки и фикси-
фиксированного столбца единицу имеет ровно одна из матриц Е, С,
С2, ..., Сп~1, поэтому М однозначно представима в виде М =
= D0 + DiC + ... + Dn-\Cn~l, где Dt — диагональная матрица.
Диагопальные матрицы Е, В, В2 Я" линейно независи-
независимы, так как из их диагоналей можно составить определитель Ван-
дермопда. Поэтому любая матрица Dt однозначно иредставима в
П—1
виде их лилейной комбинации: #г = 2 аы^к-
ft=o
17.4. Матрицу AJ2 можно представить в виде Л/2 = StS2, где
■Si и Si—симметрические матрицы (см. п. 17.3). Поэтому А =
= (А — АтI2 = StS2 — SsSi.
18.1. Пусть А — жорданова или циклическая клетка порядка п.
В обоих случаях матрица А — хЕ имеет треугольную подматрицу
порядка п ■— 1с едипицами на главной диагонали. Поэтому /i = ...
... = /«_i = 1 и /„ = рл(х) —характеристический многочлен мат-
матрицы А. Следовательно, gt = ... = gn-i = 1 и gn — рл{х).
18.2. Циклическая нормальная форма матрицы А имеет блоч-
но диагональный вид с циклическими клетками, соответствующими
многочлепам р\, р2, •. ■, рн, где pi—минимальный многочлен мат-
матрицы А и pi делится на pt+\. Инвариантными множителями этих
циклических клеток являются р\, ..., рк (задача 18.1), поэтому их
нормальные формы Смита имеют вид diag A, ..., 1, pi). Следова-
Следовательно, нормальная форма Смита матрицы А имеет вид diag(l, ...
..., 1, рк, ..., р2, pi). Поэтому /п_1 = р2рз ...рн-

Глава 4
МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
§ 19. Симметрические и эрмитовы матрицы
Напомним сначала доказанные ранее свойства ве-
вещественных симметрических и комплексных эрмитовых
матриц.
Собственные значения вещественной симметрической
(эрмитовой) матрицы вещественны, причем собственные
векторы, соответствующие разным собственным значе-
значениям, ортогональны (см. п. 11.3).
Симметрическая (эрмитова) матрица S ортогонально
(унитарно) диагоналпзируема, т. е. существует такая ор-
ортогональная (унитарная) матрица U, что матрица U~lSU
диагональыа (см. п. 11.3).
Матрица А эрмитова тогда и только тогда, когда
(Ах, i)e!R для любого вектора х (см. п. 11.3 и п. 10.3,
теорема 2).
19.1. Между квадратичными фермами и симметриче-
симметрическими билинейными функциями существует взаимно одно-
п
эначноесоответствие: квадратичной форме ?(«)= ^ацх\-\-
+ 2 2aijXiZj соответствует симметрическая билиней-
п
ная функция Б (х, у) = 2 а-ихЦЛ + 2 ац (Zji/j + x}yi) =
i i<
n
= 2 ey^ij/j. где аа — а^. В ипвариантном виде это
соответствие можно записать так: q(x) — B(x, x) и
B(x,y)^(q(x+y)-q{x)-q(y))l2.
Симметрическая матрица А — || aXj ;j" называется
матрицей квадратичной формы q или симметрической би-
линейпой функции В (относительно некоторого базиса).

g 19. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ЭРМИТОВЫ МАТРИЦЫ 139
Если х и у — столбцы координат, то q(x) = xTAx = (x, Ах)
и В (ж, у) = хтАу = (х, Ау).
В вещественном случае квадратичная форма q назы-
называется положительно определенной, если q (х) > О для
любого х ^ 0. Симметрическая матрица Л, соответствую-
соответствующая квадратичной форме q, называется в этом случае
положительно определенной. Аналогично вводится поня-
понятие отрицательно определенной симметрической матрицы
и квадратичной формы (q(x)<-0); неотрицательно опре-
определенной (q(x)^O) и знакоопределенной, т. е. положи-
положительно или отрицательно определенной.
В комплексном случае квадратичная форма не может
быть знакоопределенной. Понятие зпакооиределенньгх
симметрических билинейных функций можно ввести для
п
эрмитовых форм В (х, у) = 2 о-1зх]Уг (гДе А = I ау I™ —
эрмитова матрица). Если х и у — столбцы координат, то
В(х, у) = у*Ах = х*Ау, т. е. В(х, у) = (Ах, у) = (Ау, х),
где (Ах, у)—стандартное эрмитово произведение. Ясно,
что В(у, х) = В(х, у). Эрмитова форма называется поло-
положительно определенной, если В(х, х)>0 при х^О.
Для вещественной симметрической или эрмитовой
формы существует ортонормировапный базис, в котором
п
п
2
матрица А диагональна, т. е. В (х, у) = 2 ^гУи при-
i
чем числа К{ вещественны (см. п. 11.3). Эрмитова
форма В положительно определена тогда и только тогда,
когда все числа Kt положительны.
Пусть е = (е\, ..., еп) и е' = (е\, ..., е'п) — два базиса
и е' = еР, где Р — матрица перехода от е к е'. Если х и
х' — столбцы координат одного вектора относительно ба-
базисов е и е', то ех = е'х' = еРх', т. е. х — Рх'. Поэтому
у*Ах — (у')*Р*АРх', т. е. нри переходе от базиса е к е'
матрица А эрмитовой формы В(х, у) —у*Ах заменяется
на Р*АР.
Замечание. Матрицы эрмитовой формы и квадра-
квадратичной формы при замене базиса в комплексном случае
преобразуются по-разному. В первом случае эрмитова
матрица А заменяется на Р*АР, а во втором случае ком-
комплексная симметрическая матрица А заменяется на РТАР.
19.2. Пусть е\, ..., е„— произвольный базис, В(х, у) —
эрмитова форма, ei, ..., е„ — ортогональный базис, отно-

140 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
сительно которого матрица эрмитовой формы имеет вид
diag(ai, ..., а„), где а^ = В(Е{, ef).
Рассмотрим эрмитову матрицу G —1| В (е%, е^) |"; пусть
Gi — угловой минор порядка i матрицы G.
Теорема 1 (критерий Сильвестра). Матрица G по-
положительно определена тогда и только тогда, когда
\d\ >0 при г= 1, ..., п.
Доказательство. Пусть At — матрица перехода
от базиса е\, ..., et к базису ei, ..., е,-. Тогда \B{ek, е3)|£ =
= AiGiAi. Поэтому
ах ... a;= IGJ -Idet^l2. A)
Следовательно, все элементы а\, ..., а„ положительны тог-
тогда и только тогда, когда \Gt\ > 0 при i = 1, ..., п.
Теорема 2 (Якоби). Пусть 16,-1=^0 при i = l, ...
..., п— 1. Тогда эрмитову форму В(х, у) можно привести
п
к виду 2 uizijji, где аг= |G,|/|G,_il, |G0| = i.
Доказательство. В базисе ei, ..., еп эрмитова
n _
форма В имеет вид 2 а&Уи где «и ...a;= iGjIldet^d2
г=1
согласно A). Замена z,- >-»■ zt del At приводит форму В
к требуемому виду.
Напомпим, что для любой эрмитоной матрицы А су-
существует такая унитарная матрица U, что U*AU — X —
= diag(A,i, ..., Я„). Так как AU=UA, столбцы матри-
матрицы V являются собственными векторами матрицы А.
Эрмитова форма унитарным преобразованием приво-
приводится к виду Xixiyi + ... + Хпхпуп, где U е К; квадра-
квадратичная форма пад R ортогональным преобразованием
Х
приводится к виду "К-ухХ -j-... + ^n^n. Дальнейшей заменой
Xi = у\ %i | xi эрмитову форму можно привести к виду
х\у~\ -К .. + xvyv — xp+iyP+l — ... — xp+qyp+4, B)
а квад|5атичпую форму можно привести к виду
x\ + ...+ xl — 4+1— •••— 4+3- C)
Теорема 3 (закон инерции квадратичных форм).
Числа р и q в B) и (Ъ) для каждой формы определены
однозначно.
Доказательство. B) и C) задают разложения
пространства V в прямую сумму подпространств V — V+ ©

§ 19. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ЭРМИТОВЫ МАТРИЦЫ 141
ф у_ © v0, причем на подпространствах V+, V-, Vo форма
соответственно положительно определена, отрицательно
определена, тождественно равна нулю. Пусть V = W+ ©
в w_ © Wo — другое такое разложепие. Тогда У+П
ft(W_®W0) = Q, поэтому dimV+ + dim(W_eVFoKra,
т. е. dim V+ s£ dim W+. Аналогично dim W+ ^dim У+..
19.3. Займемся теперь приведением к диагональному
виду квадратичных форм.
Теорема (Лагранж). Квадратичную форму можно
привести к виду ц (а:,, ..., хп) = %.xx\ ■{-.. .-\- Кпх%.
Доказательство. Пусть А — | ац ||" — матрица
квадратичной формы q. Доказательство проведем индук-
индукцией по и. При п — 1 утверждение очевидно. Рассмотрим
два случая.
а) Существует ненулевой диагональный элемент, на-
например, ап ^ 0. Тогда q (хг, ..., хп) ■--- апу\ ;- q' (i/2, ..., уп),
где yi = xi+{ai2X2 + ... + аихпIап и у{ = xt при г>2.
К форме q' применимо предиолон^ение индукции.
б) Все диагональные элементы равны нулю. Интере-
Интересен лишь случай, когда есть хотя бы один ненулевой эле-
элемент, например а 12 ^ 0. Пусть х\ = у\ + z/2, хъ = у\ — yi и
Л1=у( при i^3. Тогда q(xl: ..., хп) — 2а12(у\ — у\) +
+ <?' (Ун • ••. Уп), причем q' не содержит членов с у\ и р|.
К форме q(yi, ..., уп) можно применить замепу а).
Замечание. В комплексном случае дальнейшей
заменой t/; = YXf Xi квадратичную форму q можпо привести
к виду y\ + ... + yl, где р = rkA.
19.4. Докажем два свойства неотрицательно опреде-
определенных эрмитовых матриц.
Теорема 1. Если эрмитова матрица А неотрицатель-
неотрицательно определена, то А = S2, где S — некоторая неотрица-
неотрицательно определенная эрмитова матрица, причем такая
матрица S единственна.
Доказательство. Существует такая унитарная
матрица U, что А — U~lDU, где D = diag(di, . .., dn), при-
причем dt > 0, т. е. di = 1%\ можно считать, что X, ^ 0. Пусть
Л = diag(Xi, ...,Хп) и S = U^AU. Тогда S2 = U~lA2U = А.
Докажем теперь, что если матрица S неотрицательно
определена и S2 = A, то матрица S определена однознач-
однозначно. Пусть е\, ..., еп — собственный ортонормировапный
•базис для S. Тогда Aei — S2ei = Xf e%. Подпространство,
лорождепное собственными векторами S, соответствующие

142 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
ми собственному значению X, совпадает с подпростран-
подпространством, порожденный собственными векторами А, соответ-
соответствующими собственному значению Хг. Следовательно, это
подпространство однозначно определено оператором А и
действие оператора S па нем тоже определено однозначно.
Теорема 2. Если эрмитова матрица А неотрицатель-
неотрицательно определена и (Ах, ж) = 0, то Ах = 0.
Доказательство. Согласно теореме 1 А — S*S.
Поэтому 0 = (Ах, х) = (S*Sx, x) = (Sx, Sx). Следовательно,
Sx = 0 и Ах = S*Sx = 0.
19.5. Пусть собственные значения эрмитовой матри-
матрицы А расположены в порядке убывания: %\ > ... > Х,„.
Числа Х\, ..., Я„ обладают следующим минимаксным свой-
свойством.
Теорема (Курант — Фишер). Пусть х пробегает все
(допустимые) единичные векторы. Тогда
Я,х = max (х, Ах), Я2 —- rain max (х, Ах), ...
. ..Дп= min max (x, Ax),
J/i Vn-i^Wj «J-Vn-1
Доказательство. Выберем ортонормированный
базис, в котором форма (х, Ах) диагопальна, т. е,
(х, Ах) — X^l -}-•••+ Хпз4. Рассмотрим подпространства
Wl = {x\xh+i = ... = xn^0) и W2 = {x\x-Lyi, ...
..., ж-Lj/ft-]}. Так как dim W\ == к и dim W2 > n — k + 1,
то W=~Wi П W2 Ф 0. Если x e W и \x\ = 1, то х е Wx и
(Лж, ж) - Ьхх\ +... -|- л„4 > Xft (х\ +... + xl) = Я*. Поэ-
Поэтому Хй^ max (x, Ax)^. max (Ах, х), а значит, A,ft<;
wrw w
xew1r,wi
(
1i
min max (x, Ax).
Рассмотрим теперь векторы у(= @, ..., 0, 1, 0, ..., 0)
(единица стоит на i-м месте). Тогда W2 = {x\x-i-y\, ...
..., ж-Lyt-i} = {x\xi = ... =xh-i = 0}. Если x'^Wz и
Ixl = 1, то (х, Лх) = ЛкхЛ +... + Л„хЛ< КD+... + х»)=
= Xft. Поэтому
Яй ^ max (ж, Лж) ^ min max (ar,
ЗАДАЧИ
19.1. Пусть S — комплексная симметрическая матрицам
Докажите, что матрица S5 эрмитова.

§ 20. ОДНОВРЕМЕННАЯ ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ЭРМИТОВЫХ ФОРМ143
19.2. Пусть S — вещественная неотрицательно опреде-
определенная матрица ранга к. Докажите, что хотя бы один
главный минор порядка к матрицы S положителен.
19.3. Докажите, что вещественная симметрическая
матрица ранга г является суммой г симметрических мат-
матриц ранга 1.
19.4. Докажите, что если А >0, то ad] A >0.
19.5. Докажите, что если —1<Х<1, то матрица
■А = 0 пч ill > ГД° а« = 1 и аа = ^ ПРИ * "^ U положительно
определена.
19.6. Матрица А положительно определена. Докажите,
что
j
19.7. Матрицы А я В веществепньге симметрические,
причем матрица Л = Л~'В диагональна. Пусть Ле, = Я,е,.
Докажите, что если Х.-^Я,,-, то {Aet, е^ = (Ве(. ej) = O.
19.8. Пусть S — симметрическая невырожденная мат-
матрица порядка п, все элементы которой положительны.
Каково наибольшее возможное число нулевых элементов
матрицы £-'?
19.9. Докажите, что если А = S^, где матрицы Si и 5г
положительно определенные, то собственные значепия
матрицы А положительны.
§ 20. Одновременное приведение пары
эрмитовых форм к диагональному виду
20.1. Теорема. Пусть А и В — эрмитовы матрицы,
причем матрица А положительно определена. Тогда су-
существует такая матрица Т, что Т*АТ = Е, а матрица
Т*ВТ диагональиа.
Доказательство. Для матрицы А существует та-
такая матрица У, что Y*AY = Е (см. п. 19.2). Матрица
С = 1*ВУ эрмитова, поэтому существует такая унитарная
матрица U, что матрица U*CU диагональна. А так как
U*EU = Е, то Т = YU — искомая матрица.
Две эрмитовых формы не всегда можно одновременно
привести к диагональному виду заменой базиса. Рассмот-
Рассмотрим, например, эрмитовы формы, соответствующие матри-
/1 0\ /0 1\ (а Ь\
цам ^о о) и (ч1 01- Пусть Р — [с dl * произвольная

144 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
невырожденная матрица. Тогда
V °)^ \ad + be bd + ld)'
Остается проверить, что равенства а6 = 0и ad+bc = Q не
могут выполняться одновременно. Если аЪ = 0 и матри-
матрица Р невырождена, то либо а = 0 и Ъ Ф 0, либо 6 = 0 в
а Ф 0. В первом случае 0 = ad + be = Ьс, поэтому с = 0r
а во втором случае ad = 0, поэтому d = 0. В обоих случаях
получается вырожденная матрица Р.
20.2. Разумеется, пару эрмитовых форм можно приве-
привести одновременно к диагональному виду не только в том-
случае, когда одна из них положительно (или отрицатель-
отрицательно) определена. Известны еще и другие уелввия, при ко-
которых пару эрмитовых форм можно одновременно прине-
принести к диагональному виду.
Теорема 1. Если эрмитовы матрицы А и В знакооп-
ределены (т. е. неположительно или неотрицательно опре-
определены), то существует такая невырожденная матрица Тг
что матрицы Т*АТ и Т*ВТ диагоналъны.
Доказательство [Ньюком, 1961]. Пусть rk A = at
rk В = Ъ и а < Ь. Существует такая невырожденная мат-
• (Еа Q\
рица Т\, что T-^ATx^Aq о1=-Ло. Рассмотрим по-
последние п — а диагональных элементов матрицы Вх —
= Т\ВТг. Матрица В\ знакоопределенная, поэтому если
ее диагональный элемент равен нулю, то строка и столбец,
в которых оп стоит, нулевые (см. задачу 20.1). Пусть те-
теперь ка^кой-либо из рассматриваемых диагональных эле-
элементов не равен нулю. Легко проверить, что
1Е х*\(С е*\1Е 0
*\1
Если у ^ 0, то, положив a = l/Vf и х = — (l/f)c, получии
матрицу, все впедиагональные элементы последней строки
и последнего столбца которой равны нулю. Эти преобра-
преобразования сохрапяют матрицу Ац', докажем теперь, что с их:

g 20. ОДНОВРЕМЕННАЯ ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ЭРМИТОВЫХ ФОРМ145-
помощью матрицу В\ можно привести к виду
г
\ о
ва о о
Ек О
О О
где Ва—матрица порядка а и к = Ъ — гкБв. Для этого
перестановочной матрицей, затрагивающей лишь послед-
последние п—а элементов матрицы В\, поставим первыми не-
ненулевые диагональные элементы, а последними нулевые.
Затем с помощью указанных выше преобразований, начи-
пая с последнего ненулевого элемента и постепенно сокра-
сокращая размеры рассматриваемой матрицы, доходим до мат-
матрицы порядка а.
Пусть Тг — такая невырожденная матрица, что-
Т%ВТ2 — Во и Г*Л7^ = Ао. Существует такая унитар-
унитарная матрица U порядка а, что матрица U*BaU диаго-
нальна. А так как U*EaU = Ea, то T=T2UU где
t/д == I о e)i — искомая матрица.
Теорема 2. Пусть Л и В — эрмитовы матрицы, при-
причем не существует такого ненулевого столбца х, что
х*Ах = х*Вх = 0. Тогда существует такая невырожденная
матрица Т, что Т*АТ и Т*ВТ — диагональные матрицы.
Так как треугольная эрмитова матрица диагональная
теорема 2 является частным случаем следующего утверж-
утверждения.
Теорема 3. Пусть А и В — произвольные комплекс-
комплексные квадратные матрицы, причем не существует такого
столбца х, что х*Ах = х*Вх = 0. Тогда существует такая
невырожденная матрица Т, что Т*АТ и Т*ВТ — треуголь-
треугольные матрицы.
Доказательство [Мажиндар, 1963]. Если одпа из-
матриц А и В, например В, невырождена, то р(Х) =
= \А—ХВ\='К"\—В\ + ... — многочлен ненулевой сте-
степени. Если обе матрицы А и В вырождены, то \А — lkB\*=-
= 0 при К = 0. В обоих случаях уравнение \А — аВ|=0
имеет корень Л,, поэтому существует такой столбец Х\, что
Ax\—4Sx\. Если Х¥=6 (соответственно Л = 0), выберем:
такие линейпо независимые столбцы х2, ..., хп, что
ххАхх = 0 (соответственно х\Вхг — 0) при i =■ 2, ...
...,»; в обоих случаях х*Ахг = х*Вхх = 0 при-
i = 2, ,.., п. Поэтому если матрица D составлена из столб»
10 в. В. Прасолов

146 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
ЦОВ XI, . . ., Хя, ТО
D*AD =
о
о
Докажем, что матрица D невырождена, т. е. столбец х\ не
выражается линейно через х%, ..., хп. Предположим,
что х\ = Х2Х2 + ... + Хпхп. Тогда хх Axt = (Х2Жа +...
... + КпХп) Ахг = 0. Аналогично х^Вх^ =0. Получено про-
противоречие, поэтому иатрица D невырождена.
Докажем теперь, что матрицы А\ и В\ удовлетворяют
условию теоремы. Предположим, что существует такой
.ненулевой столбец yi =(аг,..., а„), что У*гА1ул=у[В1у1={),
Легко проверить, что А1 = DiADv где D\ — матрица,
составленная из столбцов х%, ..., хп. Поэтому у*Ау —
= у*Ву = О, где у = Diyl=:О2Х2 + ... + апхп¥= 0, так как
столбцы Х2, ..., хп линейно независимы. Получено проти-
противоречие.
Если для матриц Л| и Bi существует такая невы-
невырожденная матрица Т\, что матрицы Т^А^Т^ш Т*В1Тг
/1 0\
верхние треугольные, то матрица 1 — D I q у I искомая.
Для матриц порядка 1 утверждение очевидно, поэтому
можно воспользоваться индукцией но порядку матрицы.
ЗАДАЧИ
20.1. Эрмитова матрица А~\щ^ неотрицательно
определена и аи = 0 для некоторого i. Докажите, что
я« = а» = 0 для всех ;'.
20.2 [Альберт, 1958]. Симметрические матрицы At и
Bi (i=l, 2) таковы, что характеристические многочлены
матриц %Ai + уАъ и хВ\ + уВ% равны при всех х и у. Обя-
Обязательно ли найдется такая ортогональная матрица U,
что UA<0T = Bi при i = 1, 2?
§ 21. Кососимметрические матрицы
Матрица А- называется кососимметрической, если
Ат = —Л. В этом параграфе рассматриваются веществен-
вещественные кососимметрические матрицы. Напомним, что опреде-
определитель кососимметричесиой матрицы нечетного порядка
раьен пулю (см. задачу 1.1).

§ 21. КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ 147
21.1. Теорема 1. Если А — кососимметрическая
матрица, то А2 — симметрическая неположительно опреде-
определенная матрица.
Доказательство. (А2)т = (ЛТJ=(—АJ=* А2 и
(А2х, х) = {Ах, Атх) = — (Ах, Ах) *£ 0.
Следствие. Ненулевые собственные значения косо-
симметрической матрицы являются чисто мнимыми.
В самом деле, если Ах — Хх, то А2х = Х2х, причем;
I2 *£ 0.
Теорема 2. Равенство (х, Ах) = 0 выполняется для
всех х тогда и только тогда, когда матрица А кососиммет-
кососимметрическая.
Доказательство. В ортонормированном базисе
(х, Ах) — 2 <iij£iXj — 2 (яч + пц) XiXs. Квадратичная
форма равна нулю при всех х тогда и только тогда,,
когда ее коэффициенты paimbi нулю, т. е. ао + а# = 0.
21.2. Билинейная форма В (х, у) — 2 а^хщ} пазы-
вается кососимметрической, если В (х, у) = —В (у, х).
В этом случае 2 (ач I■ ая) **Уз — в ix> У) + & (J/. х) — 0>т- е.
i,i
Теорема. Кососимметрическую билинейную форму
заменой базиса можно привести к виду
Доказательство. Пусть, например, а12фО. Вве-
Введем вместо сс2 и у2 переменные х2 = а12х2 -{-... + am#n и"
i/2 = ai2^2 + • • ■ + о-тУп- Тогда В (х, у) = ж^а — #22/i +
+ (с3*з + • • • + спХп) у'2 — (с3у3 + • • • + с^/п) ж2 + • •. Введем,
вдгесто хх ж уг переменные хг = хг + с3х3 + • • • + спхп в
J/i ^ Ух + СяУз + • • • + СпУп. Тогда В (х, у) =х\у'2— х'2у'х-\-.. „
(многоточием обозначены слагаемые, в которые входят пе-
переменные х\ и yi с г^З). Для переменных х3, х4, ..., у3г
3/4, ... можно повторить такую же процедуру.
Следствие. Ранг кососимметрической матрицы
четен.
Элементы а«, где i < /, можно считать независимыми
переменными. Тогда доказательство теоремы показывает,.
// 0 ■■ ' " '■'
что А — PTJP, где / = diagl I у
10»

148 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
а коэффициенты матрицы Р являются рациональными
•функциями от a,j. Учитывая, что (_ 1 o)=(l о)( 01/'
матрицу J можно представить в виде произведения мат-
матриц J\ и /г, имеющих равные определители. Поэтому
А = (PTJ\) (J2P) = FG, где элементы матриц F л G являют-
являются рациональными функциями от элементов матрицы /1
и det.F = detG.
Замечание. Полученное разложение А = FG пуж-
но понимать как равенство соответствующих рациональ-
рациональных функций. Для конкретных матриц А эти рациональ-
рациональные функции могут не иметь смысла. Но для любой
конкретной матрицы А имеет место аналогичное разложе-
разложение (см. задачу 21.3).
21.3. Линейпый оператор А в евклидовом пространстве
называется кососимметрическим, если в некотором орто-
нормированном базисе его матрица кососимметричпа.
Теорема. Для кососимметрического оператора А су-
существует ортопормироваиный базис, в котором его матри-
/° -**\
ца имеет вид diag(Ai, ..., ;\k, 0, . . ., 0), edeAi -— I ^. 0 I
Доказательство. Оператор А2 симметрический
неположительно определенный. Пусть F». = {v е К|Л2у =
= — %2v}. Тогда V' = © Ух, причем AVi.cz ух. Если A2v = 0,
то (Av, Av) = — (A2v, v) = 0, т. е. Av = 0. Поэтому в про-
пространстве Vo достаточно выбрать ортонормированный
-базис.
При >» Ф 0 оператор A \vx не имеет вещественных
собственных значений и его квадрат равен —К2Е. Пусть
jeFi—единичный вектор, у = Х~1Лх. Тогда (х, у) —
= (ж, %-1Ах) = 0, Ау = —Кх и {у, y) = (k-lAx, y) =
= \~1(х, —Ау) — (х, х)—1. Для построения ортонормиро-
ванного базиса в У», возьмем, далее, единичный вектор
beFi, ортогональный х и у. Тогда (Аи, х) — (и, —Ах)=*
= 0 и (Аи, у) —(и, — Ау) = Ь. Дальнейший ход построения
ортопормированного базиса в У», очевидеп.
ЗАДАЧИ
21.1. Докажите, что если матрица А вещественная ио-
сосимметрическая, то матрица Е + А невырожденная.
21.2. Невырожденная матрица А кососимметрична. До-
Докажите, что матрица А~х тоже кососимметрична.

g 22. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ 149
21.3. Докажите, что для любой кососимметрической
матрицы А порядка 2га существуют такие матрицы F и G,
что А = FG, det F = det G и элементы матриц F и G
являются рациональными функциями от элементов мат-
матрицы А.
§ 22. Ортогональные матрицы и преобразование Кэли
Вещественная квадратная матрица А называется орто-
ортогональной, если ААТ = Е. Это равенство означает, что
«троки матрицы А образуют ортонормнронаниую систему.
А так как АТА = А~1(ААТ)А — Е, то ортонормированную
систему образуют и столбцы матрицы А.
Матрица А ортогональна тогда и только тогда, когда
(Ах, Ау) = (х, АтАу) = (х, у) для всех х, у. Достаточно
даже выполнения равенства (Ах, Ах) — (х, х), так как в
этом случае 2(Ах,Ау) — (А(х + у), А(х + у))—(Ах,Ах) —
-(Ау,Ау) = 2(х,у).
Если первые к строк матрицы порядка п образуют
ортонормированную систему, то эту ортонормированную
систему можно дополнить до ортонормированного базиса
и получить ортогональную матрицу.
Ортогональная матрица является унитарной, поэтому
ее собственные значения по модулю равны 1 (см. п. 11.3).
22.1. Собственные значения ортогональной матрицы
лежат на единичной окружности, а собственные значения
кососимметрической матрицы лежат на мнимой оси.
Дробно линейное отображепие / (z) — , <z переводит
единичную окружность в мнимую ось и /(/(z)) = z. Поэто-
Поэтому можно ожидать, что отображение 1(А) =
= (Е — А) (Е + А)~1 переводит ортогональные матрицы в
кососимметрические, а кососимметрические в ортогональ-
ортогональные; это отображепие называется преобразованием Кэли.
Введем обозначение А* = (Е — А) (Е + А)~\ Аналогично
равенству f(j(z)) = z можно проверить равенство (А*)* =
— А; при доказательстве следует учесть, что все возпи-
кающие в процессе преобразования матрицы попарно
коммутируют.
Теорема. Преобразование Кэли переводит любую
кососимметрическую матрицу в ортогональную, а любую
ортогональную матрицу А, для которой \А + Е\Ф0, в ко-
кососимметрическую.

150 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Доказательство. Так как матрицы Е — А и
Е + А коммутируют, преобразование Кэли можно запасать
в виде 4*--=|^j. Если ААТ = Е и \Е + А\Ф0, та
ЯАт Е А~1 А-Е .#
(
^ I Е + Ат
Если Ат = —А, то
А-Е _ .#
А + Е
*\т Е — Ат
Замечание. Преобразование Кэли можно записать
22.2. Если U—ортогональная матрица и \U + Е\Ф{),
то U = (Е- X) (Е + X)-1 =2(Е + X)-1 -Е, ще X = U* -
кососимметрическая матрица.
Если S — симметрическая матрица, то 5= UKU", где
Л—диагональная матрица, V—ортогопальная матрица.
При \U + Е\ Ф 0 получаем следующее равенство: S =>
= B(Я + X)-1 -Е)АB{Е + X)-1 — Е)т, где X=Z7*.
Докажем теперь, что аналогичные формулы справедли-
справедливы и в том случае, когда \U + E\ = 0.
Теорема 1. Если А — произвольная квадратная
матрица, то существует такая матрица / = diag(±l, ...
..., ±1), что \A+J\¥=O.
Доказательство [Сю, 1953]. Пусть п—порядок
матрицы. При и = 1 утверждение очевидно. Предположим,
что утверждение верно для любой матрицы порядка
п — 1, и рассмотрим матрицу А порядка п. Запишем мат-
( 1 "*Л
рицу А в блочном виде: А = I . Ь где А\ — мат-
\Аз I
рица порядка п— 1. По предположению индукции сущест-
существует такая матрица /i = diag(±l, ..., ±1), что
Mi+/il =5*0. Тогда
А„
А3 «-1
поэтому хотя бы один из определителей, стоящих в левой
части, отличен от нуля.
Следствие. Если U — ортогональная матрица, то
существуют такая кососимметрическая матрица X и диа-
диагональная матрица / = diag(±l, ..., ±1), что U'■=■
J(EX)(E + X)l

§ 22. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ 151
Доказательство. Существует такая матрица / =
= diag(±l, ..., ±1), что 10+ /|*0. Ясно, что Р = Е.
Поэтому 1/0 +£1*0, а значит, /0= (Е — X) (Е + Х)~\
гдеХ= (JU)*.
Теорема 2. Любую симметрическую матрицу S мож-
можно привести к диагональному виду с помощью такой орто-
ортогональной матрицы U, что IU + Е\ Ф 1.
Доказательство [Сю, 1953]. Пусть S = 0XA0
Согласно теореме 1 существует такая матрица
= diag(±l, ..., ±1), что 101+ /|*1. Тогда |0i/
Ф0. Пусть 0=0!/; ясно, что UAUT =0ХЛ0[ = S.
Следствие. Для любой симметрической матрицы S
существуют такие кососимметрическая матрица X и диа-
диагональная матрица Л, что
S = B(£ + X)-1 - Е)А{2(Е + Х)~1 — Е)т.
ЗАДАЧИ
22.1. Докажите, что если р {%)— Характеристический
многочлен ортогональной матрицы порядка п, то
(Ш) ()
() р()
22.2. Докажите, что любая унитарная матрица по-
„ . I и v\
рядка L с определителем 1 имеет вид - -1, где
\—v и)
!и12+Ы2=1.
22.3. Определитель ортогональной матрицы А поряд-
порядка 3 равен 1. Докажите, что:
а) (tTAJ — tv{AJ = 2tvA;
б) /2 ан - lj2 + 2. (ay - a}if = 4.
22.4. Пусть / — невырожденная матрица. Матрица А
называется J-ортогональной, если ATJA = /, т. е. Ат =
= /Л/~1; матрица Л называется J-кососимметрической,
если ATJ= —JA, т. е. Ат = —JAJ~X. Докажите, что преоб-
преобразование Кэли переводит /-ортогональные матрицы в
/-кососимметрические и паоборот.
22.5 [Дьекович, 1971]. Все собственные значения опе-
оператора А по модулю равны 1 и \Ах\ г£ Ы для всех х.
Докажите, что А — унитарный оператор.
22.6 [Цассенхауз, 1961]. Унитарный оператор 0 пе-
ршгщит некоторый ненулевой вектор х в ортогональный

152 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
ему вектор Ux. Докажите, что любая дуга единичной ок-
окружности, содержащая все собственные значения опера-
оператора V, имеет длину не меньше я.
§ 23. Нормальные матрицы
Линейный оператор А над С называется нормальным,
если А*А = ЛА*.
Следующие условия эквивалентны нормальности опе-
оператора Л:
1) А = В + iC, где В ъ С — коммутирующие эрми-
эрмитовы операторы, т. е. ВС = СВ (см. п. 10.3, теорема 4);
2) А = UAU*, где U — унитарная, Л—диагональная
матрица, т. е. оператор А имеет ортонормированный соб-
собственный базис (см. п. 17.1);
п п
3) 2|^i[2— 2 1ау|2» где ki, .. .Дв — собственные
i=l i,j=l
значения оператора А (см. п. 34.1, теорема 1).
23.1. Теорема 1. Если А —нормальный оператор,
то Кег4* = Кег4 и 1тЛ* = 1тЛ. .
Доказательство. Равенства А*х = 0 и Ах = 0 эк-
эквивалентны, так как (А*х, А*х) — (х, АЛ*х) = (х, Л*Лж)=»
= (Ах, Ах).
Равенство Л*х — 0 означает, что (х, Ау) = (А*х, у) = 0
для всех у, т. е. leflm^I. Поэтому 1пхЛ =(КетА*)± и
1тЛ*= (КегЛ)х. А так как КегЛ = КегЛ*, то ImA =
= 1тЛ*.
Следствие. Если А — нормальный оператор, то V =*
Л®Л® 4
()
Теорема 2. Оператор А нормален тогда и только
тогда, когда любой собственный вектор оператора А яв-
является собственным вектором оператора А*.
Доказательство. Легко проверить, что если опе-
оператор А нормален, то оператор А —■ КЕ тоже нормален,
а значит, Кег(Л — ХЕ)=°Кет(А* — \Е), т. е. любой соб-
собственный вектор оператора А является собственным век-
вектором оператора А*.
Предположим теперь, что любой собственный вектор
оператора А является собственным вектором оператора А*.
Докажем, что если Ах = Хх, то А (<ж>х)с <ж>х. В самом
деле, если jedI, то (ж, Ау) = (А*х, y) = ([ix, y)=*
= ц(ж, г/) = 0. Возьмем произвольный собственный вектор
е\ оператора А. Оператор А можно ограничить на прост-

§ 24. НИЛЫ10ТЕНТНЫЕ МАТРИЦЫ 153
ранство <ei>x. В этом пространстве возьмем произвольный
собственный вектор ег оператора А и т. д. В итоге полу-
получим ортонормированный собственный базис оператора А,
поэтому А — нормальный оператор.
23.2. Теорема. Если А — нормальная матрица, то
А* полиномиально выражается через А.
Доказательство. Пусть А = VAU*, где Л =
«=diag(X,i, ..., Хп) и U —унитарная матрица. Тогда А* =
= U\*U*, где Л* = diag(Xi, ..., Х„). Существует такой ин-
интерполяционный многочлен р, что p(X,,) = X,i при г = 1, ...
...,_«. Тогда p(A) = diag(p(Xi), ..., р(Я„)) = diag(X,b ...
..., Х,„) = Л*. Поэтому p(A)=Up{A)U* = UA*U* = A*.
Следствие. Если А и В—нормальные матрицы и
АВ = В А, то А*В = В А* и АВ* == В* А; в частности, АВ —
нормальная матрица.
ЗАДАЧИ
23.1. Пусть А — нормальная матрица. Докажите, что
существует такая нормальная матрица В, что А = В2.
23.2. Пусть А ж В — нормальные операторы, причем
Im A J- Im В. Докажите, что АЛ- В — нормальный опе-
оператор.
23.3. Докажите, что если А — нормальный оператор и
A = SU—его полярное разложение, то SU—US.
23.4. Матрицы А, В и АВ нормальны. Докажите, что
матрица ВА тоже нормальна.
§ 24. Нильпотентные матрицы
24.1. Квадратная матрица А называется нилъпотент-
нилъпотентной, если Ар = 0 для некоторого р > 0.
Теорема 1. Если порядок нилъпотентной матрицы А
равен п, то Ап = 0.
Доказательство. Выберем наибольшее натураль-
натуральное р, для которого Ар Ф 0. Тогда Avx Ф 0 для некоторого
х и Ap+l = 0. Докажем, что векторы х, Ах, ..., Арх линей-
линейно независимы. Предположим, что А1х = 2 hiAlx, где
k<p. Тогда A*-h{Ahx) = A*x*t-0, но Л*-*(Мг;г) = 0, так
как i>k. Получено противоречие. Следовательно, р<п.
Теорема 2. Характеристический многочлен нилъпо-
нилъпотентной матрицы А порядка п равен (—К)п.

154 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Доказательство. Многочлен Я," является аннули-
аннулирующим для матрицы А, поэтому минимальный многочлен
матрицы А равен %т, где 0 ^ т ^ п, а характеристический
многочлеп матрицы А равен (—Х)п.
Теорема 3. Пусть А — нильпотептная матрица, к —
максимальный размер жордановых клеток матрицы А.
Тогда Ак = 0 и Ак~]ФО.
Доказательство. Пусть N — жорданова клетка по-
порядка иг, соответствующая нулевому собственному значе-
значению. Тоща существует такой базис ei, ..., em, что Ne{ =
= e,-i, а значит, Npei = ei-V (предполагается, что е{-р — О
при i — p<0). Поэтому Nm = 0 и Nm~xem = eu т. е.
Л*'0
24.2. Теорема 1. Матрица А порядка га пилъпотент-
на тогда и только тогда, когда ir{Av)-== 0 для р = 1, ..., п.
Доказательство. Приведем матрицу А к нор-
нормальной жордановой форме. Матрица А пилыютентна
тогда и только тогда, когда все ее собствепные значепия
равны нулю. Предположим, что матрица А имеет пепу-
левые собственные значения К\, ..., Хп; пусть щ—сумма
порядков жордановых клеток, соответствующих собствен-
собственному значению fa. Тогда tr (Лр) =■ ra^f -{-...+ и;Аь- Так
как к ^ га, достаточно доказать, что равенства п^к\ + ■ • >
... + щХ\ = 0 (р — 1. ..., к) пе могут выполняться. Эти
равенства можно рассмотреть как систему уравнений от-
относительно п\, ..., пк. Определитель этой системы равен
произведению Xi ... Хк на определитель Вандермопда и»
значит, отличен от нуля; поэтому rai =... = пк = 0.
Теорема 2. Пусть А: V-*■ V—линейный оператор
и W— инвариантное подпространство, т. е. AW с W. Опе-
Оператор А индуцирует операторы Ac W-*■ W и Ах V/W-*-
-*■ V/W. Если операторы А\ и Ач. нилъпотентны, то опера-
оператор А тоже нильпотентеп.
Д о к'а з а т е л ь с т в о. Пусть А\ = 0 и А% = 0. Ра-
вепство- А\ = 0 означает, что A"V czW, а равенств»
А%=0 означает, что ^'^ = 0. Поэтому AP+4V<=
<=A'W = 0.
24.3. Жорданова нормальная форма нильпотентной
матрицы А имеет блочно диагональный вид с жордановы-
ми клетками /nj @), ...,/nft@) на диагонали, причем
п\ +... + пк = п, где п—порядок матрицы А. Можно
считать, что rai > ... ^ пк. Набор (щ, ..., пк) называется

§ 25. ПРОЕКТОРЫ
155
разбиением числа п. Набору (щ, ..., пк) можно сопоста-
сопоставить таблицу Юнга, состоящую из п клеток, расположен-
расположенных таким образом, что в i-й строке стоит п{ клеток, при-
причем первые клетки всех строк находятся в первом столб-
столбце (рис. 6).
Нильпотентные матрицы подобны тогда и только тог-
тогда, когда им соответствует одна и та же таблица Юн-
Юнга. Размерность пространства
КегЛт выражается через
(«1, ..., пк) по формулам:
•dim Кег А = к = Card {/| щ > 1},
dim Ker Am — dim Ker Л +
+ Card {/|ra,> m}
{Card М — мощность М).
Набор (п[, ..., п\), где п'г=
= Card{}\nj>i} называется Рис б
двойственным к (пи ..., пк).
Таблицы Юнга двойственных разбиений числа п получа-
получаются друг из друга транспонированием. Если нильпо-
тентной матрице А соответствует набор (пи .-., пк), то
dim Кег Ап = п[ + •.. + пт.
ЗАДАЧИ
24.1. Пусть А и В — две матрицы порядка п. Дока-
Докажите, что если матрица А + КВ нильпотентна для и +1
различных значений X, то матрицы А ж В нильпотентпы.
24.2. Матрица А2 — А нильпотептна. Докажите, что
либо А нильпотентна; либо существует такой многочлен р
с целыми коэффициентами и без свободного члена, что
матрица р(А) ФО идемпотентна..
24.3. Укажите такие матрицы А и_В, что матрица
ХА + \iB нильцотентна для любых К и ц и матрицы А и В
нельзя одновременно привести к треугольному виду.
§ 25. Проекторы
25.1. Оператор Р: V -+■ V называется проектором (или
идвмпотентом), если Р2 = Р.
Теорема 1. Матрица проектора Р в некотором бази-
базисе имеет вид diag(l, ..., 1, 0, ..., 0).

156 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Доказательство. Любой вектор »еУ можно
представить в виде v — Pv + (v— Ру), где Pv^ImP и
v — РиеКегР. Кроме того, если jelmP ПКегР, то
х — 0. В самом деле, тогда х = Ру и Рх = 0, поэтому
0 = Рх = P2i/ = Ру = х. Следовательно, У = Im P © Кег Р.
Выберем в качестве базиса У объединение базисов Im P и
Кег Р. В этом базисе матрица оператора Р имеет требуе-
требуемый вид.
Следствие 1. Существует взаимно однозначное со-
соответствие между проекторами и разложениями У = W\ ©
© W2. Каждому такому разложению соответствует проек-
проектор P(wi + W2) = w\ для W\ e W[ и wz^Wz, а каждому
проектору соответствует разложение У = ImP © Кег Р.
Оператор Р можно назвать проекцией на W\ парал-
параллельно Wn.
Следствие 2. Если Р — проектор, то rkP = trP.
Теорема 2. Если Р — проектор, то Е — Р —
тоже проектор, причем Кех(Е — P)=ImP и Im(E — Р)==
= КегР.
Доказательство. Если Р2 = Р, то (Е — РJ =
= £ — 2Р + Р2 = i? — Р. Согласно доказательству теоре-
теоремы 1 КегР состоит из векторов v — Pv, т. е. КегР =
= Im {Е — Р). Аналогично Кег (Е — Р) = Im P.
Следствие. Если Р — проекция па W\ параллельно-
Wi, то Е — Р — проекция на Wi параллельно W\.
25.2. Пусть Р —проектор и F=ImP©KerP. Еслвг
ImP-J-KerP, то Pv — ортогональная проекция вектора v
на ImP (см. п. 9.3).
Теорема 1. Проектор Р эрмитов тогда и только тог-
тогда, когда ImP J- Кег Р.
Доказательство. Если оператор Р эрмитов, то^
KerP = (ImP*)-L = (ImP)-L. Предположим теперь, что
Р — проектор и Ira P -L Кег Р. Векторы х — Рх и у — Ру
лежат в КегР, поэтому {Рх, у — Pz/) = O и (Ру, х — Рх) =
= 0, т. е..(Рж, у) = (Рх, Ру)<=(х, Ру).
Замечание. Если проектор Р эрмитов, то (Рх, у) =
= (Рх, Ру); в частности, (Рх, ж) = |Рж|2.
Теорема 2. Проектор Р эрмитов тогда и только тог-
тогда, когда \Рх\ *£ \х\ для всех х.
Доказательство. Если оператор Р эрмитов, то>
x — Px-LPx, поэтому \х\2°=\Рх\2+\Рх — х\2>\Рх\*.
Докажем теперь, что если |Рж|<|ж|, то KerP-J-ImP.
Предположим, что вектор pelmP не перпендикулярен
Кег Р и vi — проекция вектора v на Кег Р. Тогда

§ 25. ПРОЕКТОРЫ 157"
\v— Vi\<\v\ и v = P{v — v{), поэтому \v — vi\<.
< \P(v — i>i) I. Получено противоречие.
Эрмитовы проекторы Р и Q называются ортогональны-
ортогональными, если Im P -L Im Q, т. е. PQ = QP = 0.
Теорема 3. Пусть Р\, ..., Р„ — эрмитовы проекторы.
Оператор Р = Pi + ... + Рп является проектором тогда и-
только тогда, когда PtPj = О при i Ф /.
Доказательство. Если PsPj = 0 при i Ф), то-
Р* = (РХ4- • • • + Р„J = Р\ + ... + Pi - Л 4-... + Рп =
= i\
Предположим теперь, что Р = Pi + ... + Р„ — проек-
проектор. Этот проектор эрмитов, значит, если х ^ Im А, то
х = Р& и |ж|2 = 1Р,-ж12 *£ IP,o:i2 + ... + |Рэтж|2 = (PiS, ж) + ...
+ (Р, а;) = (Ра:, ж) = |Рж|2^|а:|2. Поэтому Р,ж = 0 при
т. е. Р;Р,- = 0.
25.3. Пусть WczV; а\, ..., ak — базис W. Рассмотрим
матрицу А размера п X к, столбцами которой являются ко-
координаты векторов oi, ..., ah относительно ортонормиро-
ванпого базиса пространства V. Тогда ткА*А —ткА — к,.
поэтому матрица А*А невырождена.
Ортогональную проекцию Pv вектора v на подпро-
подпространство W можно выразить с помощью матрицы А*
В самом деле, с одной стороны, Pv = х\а\ +... + xkah, т. е.
Pv = Ax, где ж —столбец {х\, ..., хк). С другой стороны,.
Pv — v-1-W, т. е. A*{v — Ах)= 0. Поэтому х =(A*A)~lA*v,
а значит, Pv = Ax = А(А*А)~1А*х, т. е. Р = А(А*А)~1А*.
Если базис а\, ..., ак ортонормирован, то А*А=Е,
а значит, Р = АА*.
25.4. Теорема 1 [Дьекович, 1971]. Пусть V =*■
= Vi®...©y», причем У(Ф0 при i=l, ..., к; Р(: У —
-*■ Vi — ортогональный проектор и A=Pi + ... + Ph~.
Тогда 0<|Л|^1, причем |Л|=1 тогда и только тогда,
когда У, -L V3.
Докажем предварительно две леммы; в дальнейшем Pi.
обозначает ортогональный проектор на У), Рц-. Vt -*■ У^ —
ограничение Р3 на Vi.
Лемма 1. Пусть V = У1 © У2, причем У; Ф 0. Тогда.
|£ — Pi2^*2il ^ 1, причем равенство достигается тогда и
только тогда, когда Vi -L У2.
Доказательство. Операторы Pi и Рг эрмитовы
неотрицательно определенные, поэтому оператор А =-
«* Pi +P2 тоже неотрицательно определен. Кроме того,,
«ели Ах = Р\Х + Р2х = 0, то Р\Х = Р2х = 0, так как PiZ e.
е V{ и Ргх е У2. Поэтому ж -J- У1 и ж J- У2, а значит^

158 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
1С = 0. Следовательно, оператор А положительно опреде-
определен и \Л I > 0.
Выберем в качестве базиса пространства У объедине-
объединение базисов Vi и V2. В этом базисе матрица А имеет вид
/ Е рп\ п I E 0 \ „
1 D „ ! положим В = \р р р . Легко
\F1Z Е I V 12 £~*12*2l/
проверить, что |Я — Pi2P2il = l#l=UI>0. Докажем те-
теперь, что вое собственные значения оператора Е — РмРя
(т. е. ограничения В па Уг) по модулю не превосходят 1.
В самом деле, если ж<=У2, то \Вх\2= (Вх, Вх)
■ ^(x-PiPiX, x-P2Pix)=\x\2-(P2Pix, )( PJ>)
+ 1Р2РМ2. А так как (Р2Р\Х, ж) = (Р,ж,
= |Р1Ж|2, (ж, P2Plx) = \Pix\* и IP^P^IPzP^I2, то
|Бх!2<к|2-|Р^|2. A)
Все собственные значения оператора Е — Р\2Р2\ по моду-
модулю ле превосходят 1 и его определитель положителен,
-поэтому 0<|£ —Pi2P2il<l.
Если \Е — P12P21I =1, ■ то все собственные значения
оператора Е — Р\2Р2\ равны 1, поэтому, учитывая A),
получаем, что этот оператор унитарен (см. задачу 22.5).
-Следовательно, |#г| = Ы для любого ж«=У2. Снова учи-
учитывая A), получаем |Pi;r|=O, т. е. V2-i-Vi.
Лемм а-2. Пусть V=*V\®V2, причем Vt¥=0; H —
такой эрмитов оператор, что 1тЯ = У1 и Оператор
Hi =H\Vl положительно определен. Тогда 0< Iff+ Рг1 <
;< \Н\\, причем равенство достигается тогда и только тог-
тогда, когда Vi -L V2.
Доказательство. Возьмем в качестве базиса
пространства V общий базис пространств V\ п V2. В этом
базисе матрица оператора Н + Р2 имеет вид
Я1 Я!Р21\
В самом деле, так как КегЯ = (Ira ff)^■ => (Ух)х, го
Н = 11Р\\ поэтому II\у = ЧХР2Х. Легко проверить, что
Е
О
Остается воспользоватьря леммой 1.
Перейдем к доказательству теоремы 1. Аналогично
доказательству леммы 1 можно доказать, что |Л| >0. До-
Доказательство второго неравенства проведем индукцией
ло к. При к = 1 утверждение очевидно. При к > 1 рас-

§ 25. ПРОЕКТОРЫ 159
смотрим пространство W = V\ ® ... ®VK-\- Пусть Qt =
ePilw (i=l, •-., ft — 1), Hi = (?i + ... + Qh-i. По пред-
предположению индукции |#il < 1; кроме того, \Hi\ >0. При-
Применив к оператору Я —Pi + .. . + Pk-i лемму 2, получии
Если |Л]=1, то согласно лемме 2 Vh-LW; кроме то-
того, I Н\ I = 1, поэтому У( -L V} при i, j < к — 1.
Теорема 2. Пусть Nt— нормальный оператор в V,
ненулевые собственные значения которого равны \i, ...
..., Xrhi. Пусть, далее, г\ + ... + rh ^ dim V. Если ненуле-
ненулевые собственные значения оператора N = Ni +... + Nk
равны Xji, где 7 = 1, ..., г,-, то оператор N нормален,
Im Nt J- Im Nj и NtNj = 0 при i Ф j.
Доказательство [Дьекович, 1971]. Пусть V{ =
= ImiV(. Так как rkJV = rkiVi + ... + rkNh, то W =
= Vi + ... + Vk — прямая сумма. Для нормального опера-
оператора KeriVj = (ImA^j)-L, поэтому Ker Nf cz Wx, а значит,
Ker N^W-1-. Ясно также, что dim Ker N = dim W\ Поэто-
Поэтому без потери общности можно ограничиться простран-
пространством W и считать, что п + ... + rh = dim V, т. е. det N*&0.
Пусть Mi= Nj |y{. Возьмем в качестве базиса простран-
пространства V объедипение базисов пространств Vi. Так как
7V = 2^i = 2A'tPi = 2iWiPi, в этом базисе матрица;,
оператора N имеет вид
Условие на собственные значения операторов ЭД и N
к
влечет равенство IN — ХЕ | = Д | Л/{ — Я£ |. В частности,
к
при % = 0 получаем \N\ — JJ |М*|. Следовательно,.
i
ри
■ • • Ркк
= 1, т. е. \Р\ + ... + Рк\ = 1. Применяя теоре-
му 1, получаем, что V =Vi®... ® Vh — прямая сумма-
ортогональных подпространств. Следовательно, оператор»
N нормален (см. п. 17.1) и NtN] = 0, так как ImiV,ci

160 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
ЗАДАЧИ
25.1. Пусть Pi и /J2 — проекторы. Докажите, что:
a) Pi + Р2 — проектор тогда и только тогда, к
;
б) Pi —Pi — проектор тогда и только тогда, к
Р1Р2ГР2Р1^Р2.
25.2. Найдите все матрицы порядка 2, являющ!
проекторами.
25.3. Пусть А — унитарный оператор. Т
п1
п-1
Нт — V Агх — Рх. где Р — эрмитов проектор
Кег(Л — Е) (эргодическая теорема).
25.4. Операторы А\, ..., Ак » пространстве F раз
ности п таковы, что А\ + ... + Ah = E. Докажите,
«следующие условия эквивалентны:
(а) все операторы At — проекторы;
(б) AiAj = O при i¥=j;
(в) rk А\ + ... + rk Ak = и.
§ 26. Инволюции
26.1. Линейный оператор А называется инволюь
■если А2 = Е. Легко проверить, что оператор Р явля
проектором тогда и только тогда, когда оператор 2Р
является инволюцией. В самом деле, равенство
= BР — £J=4Р2—АР + Е эквивалентно равенству Р'
Теорема. Любая инволюция в некотором бс
имеет вид diag(±l, ..., ±1).
Доказательство. Если Л — инволюция, то
= (А +E)j2 — проектор; этот проектор в некотором i
се имеет вид diag(l 1, 0, ..., 0) (см. п. 25.1, ti
ма 1). Оператор Л=2Р — Е в этом базисе имеет
• diag(l, .... 1, -1, ..., -1).
3 а м е ч а п и е. Воспользовавшись разложением
— — (х—Ах) \r-j-(x-{- Лх), можно доказать, что
— Кег (Л + Е) © Кег {А - Е).
26.2. Теорема. Матрицу А можно представить .
•бе произведения двух инволюций тогда и только т
когда матрицы А и А~х подобны.
Доказательство [Дьекович, 1967]. Если А =
*где S и Т — инволюции, то Л = TS — S(ST)S — S.

§ 26. ИНВОЛЮЦИИ 161
Предположим теперь, что матрицы А и А~1 подобны.
Жорданова нормальная форма матрицы А имеет вид
diag(/i, ..., Jk), поэтому матрицы diag(/i, ..., Jk) и
diag(J71) --ч^Т1) подобны. Если / — жорданова клетка,
то матрица /~' подобна жордановой клетке. Следователь-
Следовательно, матрицы Ji, ..., Jh можно разбить на два класса: для
матриц первого класса ./о1 ~ /о, а для матриц второго
класса /« ~/j и /f- ~ /„. Достаточно доказать, что в
виде произведения двух инволюций можно представить
матрицу Ja в первом случае и матрицу diag(/«, J») во
втором случае.
Характеристический многочлен жордановой клетки
совпадает с мипимальпым многочленом, поэтому если р
и q — минимальные многочлены матриц Ja и /a S то
д(Х,) = jo(O)~1X,n/?(X~1), где « — порядок матрицы Ja (см.
задачу 13.3).
Пусть /«'-/а1. Тогда ^(Х,)=]о(О)-1Гр(Х,-1), т. е.
Р {Ц = 2 aikn~ , где ао = 1 и ana,n-i = ot,{. Матрица Ja по-
подобна циклической клетке, поэтому существует такой ба-
базис в], ..., еп, что /авц = eh+i при к^п — 1 и Л»еп =
= — апе, — ап-1в2 — ...— а\еп. Пусть fek = en+i_s; очевид-
очевидно, что Т — инволюция. Если STek = Jaek, то Sen+i-k = ek+i
при к Ф п и Se\ = — anei — ... — aien. Проверим, что S —
инволюция: S2ei — aB(anei +... + а\е„)— an_ien — ...
... — aie2 = ei + (anan-i — а,)ег + ... + (а„Я1 — an_i)е» = е\\
при i ¥= 1 равенство S2et = e4 очевидно.
Рассмотрим теперь случай JZ1 ~ Jfr пусть 2 oci^"~* и
2 РА"" — минимальные многочлены матриц Ja и У,».
Тогда 2 at Х-* --= Р^1 Xя S Pi^n = PiT1 2 Pi>.' • Поэтому
a,,-,|Jn = Pi и а„,р„ = Ро = 1- Существуют такие базисы
еи ..., еп ж ei, ..., е„, что Jaeh = ek+U Jaen = -«„ei - ...
...-aien и УрвЧ-(-1 = ekt /eei = —Piei - .. .-р\,е„. Пусть
r и fsh = eA. Если d.iag(/a, yp) = S2t, то Seh+i =
/ 5 5 57 7
= —Pibi — ... — pnen и 5en =-o^ei —... — aien. Прове-
Проверим, что S — инволюция. Равенства S2et = e( и S2Ej = ej
очевидны при 1^1и/#я, S2e, =5(—p^t — ... — В„е„) =
= -fre2 - ... - p\,-ieB + pn (anei + ... +aien) = e,+ (pnan_i —
— jii)Iег + ... + (,pnai — fjn_i) en = еь Аналогично S2en = е„.
Следствие. 5сли В — невырожденная матрица и.
ХТВХ = jB, го матрицу X можно представить в виде про-
произведения двух инволюций.
11 В. В. Прасолов

162 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Доказательство. Если ХТВХ — В, то Хт =
= ВХ~1В~1, т. е. матрицы Xх и X подобны. Кроме того,
матрицы 1нГ подобны для любой матрицы X (см. за-
задачу 12.2).
ЗАДАЧИ
26.1. Найдите все матрицы порядка 2, являющиеся
инволюциями.
26.2. Пусть Л — симметрическая матрица, Н = (ЛА +
+ Е)~Х(АА-Е) и S = 2A(AA+E)-\ Докажите, что
{-II 1
- I — инволюция.
II j
Решения задач
19.1. Ясно, что (SS)T = (S )T Sr = IS = (SS).
19.2. Для матрицы S существует такая матрица А, что S =
= ЛТА. Главные мипоры порядка А; матрицы S неотрицательны,
поэтому достаточно доказать, что сумма главпых миноров поряд-
порядка к матрицы S положительна. Но ;>та сумма равна сумме квад-
квадратов всех минороЕ порядка к матрицы А (задача 2.4). Так как
гкЛ = к1 то по крайней мере один минор порядка А; матрицы А
отличен от пуля. (Замечалие. Аналогичное утверждение вер-
верно и для ормитолой неотрицательно определенной матрицы S.)
19.3. Пусть S = UAUT, гдо [/—ортогональная матрица, Л =
= diag(X,, ..., X,, 0, ..., 0). Тогда S = S, +... +Sr, где S{ =
= ?7diag@, ..., О, Х(, 0, ..., 0)UT.
i9A. Пусть А = UDU~\ где U — унитарная матрица, О —диа-
—диагональная положительно определенная матрица. Тогда ad] A =
= r/(adj D)U~\ причем adj D — диагональная полояштельпо опреде-
леппая матрица (см. п. 2.4).
19.5. Матрице А соответствует квадратичная форма / (х, х) =
= 2 х\ + 2Я 2 xixj- Ясно, что 2 2 x\xi <2 ХЬ ПоэтомУ если
— К X < 1 и 2 х\ Ф °. то 2Х 2 xixj I < 2 ХЬ Следовательно,
/ (*. х) = 2 х\ + 2Я 2 xixi > °-
19.6. Пусть U — такая ортогональная матрица, что V-XAV =
= Лв \U\ = 1. Сделаем замену х = Uy. Тогда (х, Ах) = (у, Ау)
и ifai... dxn = dyi... dyn, так как якобиан замены переменных

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
163
равен \U\. Поэтому
+оо -|-оо 4-оо
f п я
•"*• * d*= \ ... \
—ОО —00 —ОО
' 19.7. Ясно, что (Ве{, е,-) = (AA~lBei, е3) = Xt(Ae{, es). Ана-
Аналогично, (Ве^ ei) = 'kj^Aej, а). Остается заметить, что (Ве^ е}) =
— (Sej, в() и (Aci, ej) = (Aej, et), так как матрицы А и В сим-
симметричны.
19.8. Скалярное произведение i-й строки S на /-й столбец S~!
равно пулю при г Ф /. Поэтому в каждом столбце S~l есть поло-
положительный и отрицательный элемент, а значит, число ее ненуле-
ненулевых элементов не менее 2гс, а число нулевых элементов не более
л2— 2п.
Пример матрицы S~\ имеющей 2л ненулевых элементов, выглл-
дит следующим образом:
2
— 1
A
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1 ..Л-1
2 ...
1 ...
2 ...
1 ...
1
0
1
1
0
-1
— 1
0
0
— s
0
—«
S
о
где s = (—!)".
19.9. Существует такая иоложительно определенная матрица Q,
что Si = Q2 (см. п. 19.4, теорема 1). Собственные значения мат-
матриц А = S,S2 = Q(QS2) и В = (QS2)Q совпадают (см. п. 11.7). Ос-
Остается заметить, что матрица В = QS2Q положительно опреде-
леппая.
20.1. Пусть а» = 0 и aj,- Ф 0. Рассмотрим вектор в, i-я и /-я
координаты которого равны xi и £j, а все остальпые координаты
равны нулю. Тогда В(и, и) = aijXjXi -\-ai)XjXi + djj\xi\2. Фиксиру-
Фиксируем xj ф 0, и пусть xi = A,Oija:j, где Я,е R. Тогда В(в, и) = 2Я|в|2+
+ Ь, где а — aijXj Ф 0 и Ь = aj,|a;j|2. Величина 2Я,|о|2+Ь при-
ппмает как положительные, так и отрицательные зпачення, по-
поэтому форма В не является знакоопределенпой.
20.2. Нет, не обязательно. Пусть А{ = Bt = diag(O, 1, —1),
/ О V2 2\ /О О У2\
**о = { Т/2 О О I и fi2= I ° ° 2 Г Легко
\ 2 0 0/ ' \У2 2 0 /
11*

164 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
рить, что |хЛ, + уА2 + Щ = Я.3 — Х(х2 + 6j/2) — 2у"х = \xBt +
+ уВ2 + ХЕ |. Предположим теперь, что существует такая ортого-
ортогональная матрица V, что VA\VT = В, = А\ и UAilF = Bs. Тогда
UAi e= A\U, а так как матрица А\ диагональная и на диагонали
стоят попарно различные числа, то V — диагональная ортогональ-
ортогональная матрица (см. задачу 39.1, а)), т. е. U = iiag(K, ц, v), где X,
ц, v = ±1. Следовательно,
/00 У2\ / 0 У2Хц 2Jiv\
0 0 2 \ = B^VA2UT= h/f^ 0 0 I-
\У2 2 0/ V 2\\ 00/
Получено противоречие.
21.1. Ненулевые собственные значения матрицы А чисто мни-
мнимые, поэтому —1 не может быть ее собствеппым зпачениен.
21.2. Так как (—Л)-' = —Л, то (Л-')г = (Лг)~1 =
= (—Л)-1 = —Л-1.
21.3. Доказательство приведем индукцией по и. При п = 1
/ 0 х\ / 0 ж\/— х 0\ „.
имеем I _ х о=[_1 о) 1 0 1 Г ^ля Доказательства шага ин-
индукции разберем два случая.
/ А1 АЛ
1) Предположим сначала, что Л= т I, где Л, =
( )° П f (
FG = j у^ 1 yy , p q j. Матрицы Fx и Gx можно выбрать так,
что FyGx = Ay. Возьмем, далее, У = F\~1A2 и X = —"А\б\~г. Тог-
Тогда ХУ + F2G2 = - Л^-1/71Л2 + F2Ga = - AlA-42+F2Gs. Мат-
Матрица Л3 + а\А~хА^ кососимметрнчпа, поэтому по предположению
индукции матрицы F^ и Gg можно подобрать так, что /G2 = Л3-]
п detf = det G.
Д1 
2) Раесмотрим теперь случай, когда аи =0, по а^ ф 0 для
пекоторых..! и /. Пусть Р — ортогональная матрица, соответствую-
щая перестановке L . 1 (см. задачу 12.3). Матрица РАР*
относится к первому случаю, поэтому существуют такие матрицы
Ft и G,, что РЛРГ = FiGu Тогда Л =. (Р/?,) (G,P) = FG, где F =
= Р-1/1, и G = G.P.
22.1. Корни многочлена р (X) таковы, что если z — корень, то
и 1/г = z/zz = z — тоже корень. Поэтому многочлен q(k) =»

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 165
= Vp(lA) имеет те же корни, что и р (и с теми же кратностя-
ми). Кроме того, свободный член многочлена р(%) равен ±1, по-
поэтому старшие коэффициенты многочленов р(Я.) и q(X) могут от-
отличаться лишь знаком.
/о Ь\
22.2. Пусть |с А— унитарная матрица с определителем 1.
(а Ь\ (a e\-i I d — с\
Т0ГДЭ [с d) = [b dj =[-Ъ а)' т- в. «=d и 5--с
Кроме того, ad — be = 1, т. е. \а\2 + \Ъ\2 = 1.
22.3. а) Оператор Л является поворотом на некоторый угол <р,
поэтому tr Л = i + 2 cos <р и tr(A2) = 1 + 2 cos 2ф = 4 cos*ф — 1.
б) Ясно, что 2(ву - eji)" =2 аЬ ~ 22 eUeiiи tr(AS) =2eii+
-|- 2 2 eijeji- С другой стороны, согласно задаче a) tr (Л2) =
== (tr ЛJ — 2 tr Л = (tr Л — I)8 - 1 = /2 «и — А* — 1- Поэтому
Д 22 2 2
(
2««- *j2 - *=2 4
22.4. Введем обозначение ~д — АВ~1ш, тогда правило сокраще-
ЛИ Л
ния выглядит следующим образом: -тгц- = -q. Если Лг = 7Л-!7~!,
то
(А*I =
Е — Ат
E + A?-
= —JA7-\
E — JA~1J~1
Е + /А-Ч-1-
TO
/ (Л + Е) Л/
Если Ат
' ~ Е + Ат ~ EJAJ-* ~J{EA)J-1 ~ (Л ' J '
22.5. Так как все собственные значения оператора Л по моду-
модулю равны 1, достаточно проверить, что оператор Л унитарно диа-
гонализируем. Докажем сначала, что оператор Л диагонализиру-
ем. Предположим, что жорданова нормальная форма оператора Л
имеет клетку порядка не менее 2. Тогда существуют такие векто-
векторы е\ и ej, что Aei = kex и Ле2 = Я,в2 + «1; можно считать, что
|e(| =1. Рассмотрим вектор х = ej— (ei, ег)е\. Легко проверить,
что ar-Le, и Ах = кх + е,. Поэтому \Ах\2 = |Ь:|2+ |«i|2 =
= |ж|2+1, а значит, \Ах\ > |х|. Получено противоречие.
Остается доказать, что если Ах = Хх и Ау = цу, причем % ф
ф Ц, то (х, у) — 0. Предположим, что (z, у) Ф 0. Заменив вектор

1 06 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
и. ил ас, где а — подходящее комплексное число, можно считать,
что Re[(Xji— i)(x, у)] > 0. Тогда
-l)(*, у)] >0,
т. е. \Az\ > |z|, где z = x-\-y. Получено противоречие.
22.6. Пусть Я,1, ..., Хп—собственные зпачения оператора U,
е\, .•■, еп — соответствующие им попарно ортогональные собствен-
собственные векторы. Тогда * = 2 xiei и Да; = 2 ^х^, а значит, 0 =
= (В*,*)= 2 Я.{|^|2- Пусть ti = \xi\2/\x\2. Так как tt>0,
2 ti = 1 и 2 *i^i = 0, то начало координат лежит внутри вы-
выпуклой оболочки точек Я.1, ..., %п-
23.1. Пусть А = UAU*, где V — унитарная матрица, Л =
= diag(X,,..., Х„). Тогда
B=UDU*, где Z) = diag(±yl,,...,±Ar.).
23.2. По условию 1тЯс Aт Л)-1- — КегЛ*, т. е. А*В = 0.
Аналогично В*Л = 0. Поэтому (Л* + В*) (Л + В) = А*А + Д*Д.
Учитывая, что для пормального оператора КегЛ = КегЛ* и
Im Л = 1га Л*, аналогично (Л + В) (Л* + В») = АА* + ВВ*.
23.3. Рассмотрим ортонормированный базис, в котором опера-
оператор Л диагоналей. Можно считать, что А = diag(di,..., d*, 0,...,0),
причем dj <?t 0. Тогда S = diag(|di|, ..., \dk\, 0, ..., 0). Пусть D =
= diag(di, ..., dk) и Z>+ = diag(|di|, ..., |dk|). Равенство
ID 0\ID+ 0\(Ut UA iD Vl D+U2\
[o o)~[o oj[u3 uJ-[ о о j
выполняется, только если V^ = D"^}D = diag^e J, ...,e h), по-
поэтому матрица I ц ^ j унитарна, только если (/j = 0h Г73 = 0.
/Д+ Ox'/17! °
Ясно, что (+ oj(o p^
23.4. Матрица А' пормальиа тогда и только тогда, когда
2 l^i j2- = trX*X, где Я,1, . .., Хп — собственные зпачения матри-
матрицы X (см. п. 34.1, теорема 1). Пусть Я.1, ..., Хп—собственные зна-
значения матрицы АВ. Тогда Я.1, ..., Я,„ — собственные значения мат-
матрицы ВА (см. п. 11.7). Так как матрица АВ нормальна, то 21 \ |2~
= tr [(АВ)* АВ\. Остается проверить, что tv[(AB)*AB] =■
= tr[(BA)*BA]. Ясно, что tr[(AB)*AB] = tr[(B*A*A)B] =*
= tr(BB*A*A) и 1т[(ВА)*ВА] = tr[A*(B*BA)] = Ьс(В*BAA*), a
так как матрицы Л и В нормальны, то ВВ* = В*В и А*А = АА*.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 167
*
24.1. Матрицу (Л + \В)п можно представить в виде
(А + ХВ)П = Л" + XCi +...+ Xn-ICn_i+X,»fin, где элементы матриц
С\, ..., Сп-1 не зависят от \. Пусть а, с\, ..., сп-и Ь — элементы
матриц Ап, Си ..., Cn-i, Вп, стоящие на месте (£, /). Тогда а +
+ Xct + ... + Я,п~'сп-1 + Я,пЬ = 0 для n + i различных значений X.
Получена система из в + 1 уравнения для n+i неизвестных а,
еи ..., е„_1, Ь. Определитель этой системы является определителем
Вандермопда, поэтому он не равен нулю. Следовательно, получен-
полученная система уравнении имеет лишь нулевое решение. В частно-
частности, о = Ь = 0, а значит, Ап = В" = 0.
24.2. Пусть (А* — Л)*= 0. Тогда Л* = Л*+'?(Л)= Ah[Aq(A)] =
= A*+lq(A)[Aq(A)] = А^\АЧ{А)У =.. . *
Если А*ФО, то Х = А^(А)*Ф0 и X* =
= Л*д(Л)* = X, т. е. p(t) = t*g(t)*— искомый многочлен.
24.3.
/О 1 <Л /О О 04
Пусть Л= 0 0 -1, В = \1 О О
\0 0 0' \0 1 О/
Ч- Ц^- Легко проверить, что С3 = 0.
Матрицы Л и В нельзя одновременно привести к треугольно-
треугольному виду, так как матрица АВ пе нильпотентна.
25.1. а) Ясно, что(Р1 + />2J = Р? + Р|+(Р1Р2 + Р2Р1) = ,Р1+
+ (Р1Р2 + РЛУ ЕСЛИ РЛ + Р2Р1 = °- Т0 2Р1Р2 = Р1Р* -
PlP2 ~ РгР\ = Pi (PiP2 + РЛ) - (РЛ + Р2Рд Р1 = °"
б) Так как К — (Р, —Р2) = (Е — Рг) + Р2, то оператор Р\ — Рг
является проектором тогда и только тогда, когда {Е — />,)Р2 =
= Р2(Е — Р,) = 0, т. е. Р,Р2 = P2Pi = Р2.
25.2. Если Р — матрица порядка 2 и гкР= 1, то trP= 1 и
detP = O (если гкРт*1, то Р = Е или Р = 0). Поэтому Р =
+ <* * \
с 1 —о ' где а + be = i. Ясно также, что если
tr Р = 1 и dot Р = 0, то согласно теореме Гаыильтопа — Коли
рг — р = рг _ (tr P)P + det P = 0.
25.3. Так как Im(E — Л) = Кег((£ —Л)*)-1-, то любой вектор а;
можно представить в виде х = х\ + х2, где х\ е Im(£ — Л) и^е
еКег(£ — Л*). Достаточно отдельно рассмотреть х\ и а;2. Вектор
х\ имеет внд у — Ау, поэтому
»—1
1
и .—
»=>о
%Uo.
Так как ж2еКег(£ —Л*), то ж2 = Л*ж2 = Л-'а;2, т. е. Axt

168 ГЛ. 4. МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Поэтому • •
п- 1 п—1
Остается заметить, что Кег(Я—Л*) = Кег(Л— Е),
25.4. (б) =ф- (а). Достаточно домножить равенство А{ + ...
... + Лк = £ на Л*.
(а) =*- (в). А{ — проектор, поэтому гкЛ< = tvA{. Следователь-
Следовательно,
(в) => (б). Так как ^А{ = Ё, то Im Л, + ... + Im Ah = V. Но
rk At +... + rk-Л» = dim 7, поэтому 7 = Im Л i © ... © Im Л». Для
любого неУ справедливо равенство А]Х = (Л1 +... + Л*)Л3-ж =
= АХА]Х + ... + АьЛ}х, причем AiAjx e Im Л( и Л^а; е Im Л,-. Сле-
Следовательно, AtA] = 0 при i ф ] и -4| = -4j-
26.1. Если инволюция Л в двумерном пространстве пе равна
±Е, то ее матрица в некотором базисе имеет вид diag(l, —1). По-
(х у\
г хи где х* + yz
Согласно теореме Гамильтона — Кэли такая матрица Л удовлетво-
удовлетворяет уравнению Л2— (tr A)A + (del А)Е = 0, т. е. Л2 = Е.
26.2. Требуется доказать, что Н2 + SS = Е и S// = //S. Для до-
доказательства этих равенств достаточно воспользоваться перестано-
перестановочностью матриц АА +Е и АА — Е, а также равенствами
А(АА ±Е) = (ЛЛ ±£)Л и А{АА±Е)-1 = (ЛЛ
= 1.

Глава 5
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§ 27. Полилинейные отображения
и тензорные произведения
27.1. Пусть У, У), ..., У» — линейные пространства;
dim V{ = «j. Отображение /: V\ X ... X Vk -*■ V называет-
называется полилинейным (или к-линейным), если оно лппейно
по каждой из к перемепных при фиксированных осталь-
остальных переменных.
Выберем в пространствах Vu ..., Vk базисы {вц>, ...
..., {ещ}. Если / — полилинейное отображение, то
/Bхцеи, •..,2хыен}) = ^,x1i ... xhif (ец, ...,ehi).
Отображение / задается своими ri\...nh значепшши
/(ец, ..., гм)еУ, причем эти значения могут быть лю-
любыми. Рассмотрим пространство V\ ® ... ® VK размерности
щ... пк, базисные элементы которого обозначим ец® ...
... ® ек). Рассмотрим, далее, отображение р: Vi X. ..Х7к-*
-»■ V\ ® ... ® Vk, заданное формулой рBж1»е1»> • •«
..., 2 xhpt>}) = 2x\i ■ ■ ■ з«ец®... ®еу; элемент p(vu ...
..., vh) обозначим v\ ® ... ® vk. Каждому полилинейному
отображению / соответствует линейное отображение
f: F,e...eFt-V, где f(eH® ... ® ем) = /(е„, ..., е„);
соответствие между полилинейными отображениями / и
линейными отображениями f взаимно одпозначное. Лег-
Легко проверить также, что f(v\®...®vk) = f(v\, ..... vh)
для любых векторов vt e У,.
Элемепту v\ ® ... ® vk можно сопоставить полилиней-
полилинейную функцию f{w\, ..., wk)=wi(vi)...wk{vh) паУ! X ...
...xFft. Продолжив это отображение по линейности,
получим изоморфизм пространства V\ ® ... ® Vk на прост-
пространство полилинейных функций на У1х...хУ*. Та-
Таким образом можно получить инвариантное определение

170 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
пространства V\ ® ... ® Ук; это пространство называется
тензорным произведением пространств V\, ..., У».
Линейное отображение У*<8> ... ®У* -*- (Уг® ... ®Уй)*,
переводящее /х®.. . ®/ft €=У*<8>.. .®У£ в линейную
функцию /(i?i ®...® vk) = fi(vl)...fk(vh), является кано-
каноническим изоморфизмом.
27.2. Теорема 1. Пусть Нот (У, ТУ) — пространство
линейных отображений V в W. Тогда существует кано-
канонический изоморфизм а: У* ® W -*■ Нот (У, W).
Доказательство. Пусть (е(} и {е}}—базисы У и
W. Положим а(е*®е3)у = е\ (v) е} = у4е3- и продолжим
отображение а по линейности. Если v^V, /e7* и
w^iV, то a(f®w)v = f(v)w, поэтому а можно опреде-
определить инвариантно.
Пусть Аер = 2 uqpEq, тогда А [2 Vpep\ = 2 aqpVpE.q.
ч \ р ) р.?
Поэтому отображению а(е*(8»е;) соответствует матрица
(аЯР), где а,р = 6щ6р(. Такие матрицы образуют базис
пространства Hom(K, PF). Ясно также, что размерности
пространств V*®W и Нот(V, W) равны.
Теорема 2. Пусть V — линейное пространство над
полем К. Рассмотрим отображение свертки е: У* ® V -*■
-*■ К, заданное формулой г(х* ® у)=х*(у) и продолжен-
продолженное по линейности. Тогда 1тА = га~[(А) оля любого ли-
линейного оператора А в пространстве V.
Доказательство. Выберем в пространстве V ба-
базис. Доказательство достаточно провести для матриц Etj ■■=
= (а«р), где а,р = 6,j6pi. Ясно, что и-2?ц = 6« и еа~1(^у) =
= е(е*(8»е;) = e,*(ej) •= бу.
Замечание. Пространство У* ® У и отображения
а п е определены инвариантно, поэтому теорема 2 дает
инвариантное определение следа оператора.
27.3. Тензором типа (р, q) на пространстве V назы-
называется элемент пространства Гу(У) = У*® .. .®У*®
® У®.. ._®У (р экземпляров пространства У* и q
экземпляров пространства У), изоморфного пространству
липейных функций на У X ... X У X V* X ... X У*. Число
р называется коаариантной валентностью тепзора, д,—
контравариантной валентностью, р + q — общей валент-
валентностью. Векторы являются тензорами типа @, 1), а ко-
векторы — тензорами типа A, 0).
Пусть в пространстве У выбран базис ei, ..., е„ и
в]., ...,еп— двойственный ему базис пространства У*.

§ 27. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 171
Каждый тензор типа (р, q) имеет вид
числа ?1j!i!ip называются координатами (или компонента-
компонентами) тензора относительно базиса в\, ..., еп.
Выясним, как изменяются координаты тензора при
переходе к другому базису. Пусть е,- = Ае. = 2aijei и е*=
= 2&ije*. Легко проверить, что Л = (Лг)-1 (см. п. 5.3).
Введем обозначения а) = а,, и 6i = Ьу; тензор A) для
краткости обозначим 2 ZiUa^ep. Тогда 2
К ^р, т. е.
i \..лр = Oij • • • oip«hi ... ahqbly..ip B)
(по одинаковым индексам производится суммирование).
Формула B) связывает координаты S тензора в базисе
{ej и координаты Т в базисе (е(). Несколько иную ин-
интерпретацию закона преобразования координат тензоров
типа @, 1) и A, 0) см. в п. 7.1.
Для тензоров типа A, 1), которые можно отождест-
отождествить с линейными операторами, определено отображение
свертки, переводящее v* ® w в v*(w). При этом отобра-
отображении оператору сопоставляется его след (см. п. 27.2,
теорема 2).
Пусть l«Sis£p и lsS/s£</. Рассмотрим линейное
отображение Г$(У)-> 1%L\(V), нереводяшее /i ® ...
... ® /р ® у, ® . .. ® у, в fi(v5) f?®v-j, где /т и vj —
тензорпые произведения элементов /i, ..., fp и v\, ..., vq
без /( и v, соответственно. Это отображение называется
сверткой тензора по i-му нижнему индексу и /-му верхне-
верхнему индексу.
27.4. Линейпые отображения Ас Т7, -»- Wt (г = 1, ...
..., к) индуцируют линейное отображение А\®. . . ® Ah:
V\ ® ... ® Vk-+ W\ ® ... ® Wh, переводящее элемент вц ®
® ... ® еы в А 1вц ® ... ® Акек1. Легко проверить, что при
этом элемепт Pi®...®z;k переходит в A\vt ® ... ® Akvh.
Отображение А\ ® ... ® Ак называется тензорным произ-
произведением отображений А\, ..., Ак.
Если ilej = 2ayei и 5вд = 2Ьиер, то (jq)
= 2aijbpg8j®ep. Поэтому, упорядочив соответствующим
образом базисы е,®еч и ei®sp, матрицу А®В можно

172 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
записать в виде
или в виде
ЬиА ... ьиЛ
матрица А® В называется также кронекеровским произ-
произведением матриц А и В.
Теорема. Пусть собственные значения квадратных
матриц А и В равны «i От в Pi, ..., рп. Тогда соб-
собственные значения матрицы А® В равны а#;, а собствен-
собственные значения матрицы А ®Еп + Ет®В равны сц + fy.
Доказательство. Приведем матрицы А и В к
жордановой нормальной форме (достаточно привести к
треугольному виду) и в тензорном произведении рассмот-
рассмотрим базис, являющийся произведением этих базисов. Ос-
Остается заметить, что -Mcc)®/e([i)— верхняя треугольная
матрица с диагональю (оф, ...; а$), а /„(а)®/?, и ЕР®
®/,(Р)— верхние треугольные матрицы с диагоналями
(а, ..., а) и (Р, ..., Р).
Следствие. detD ® B) = (detA)n{AetB)m.
27.5. Тензорное ироизведение операторов можно ис-
использовать для решения матричных уравнений вида
АхХВх + ... + А.ХВ.^С, A)
где
Докажем, что при естественном отождествлении
Hom(F, Vm)=-(V')*®Vm и Нот(Г\ 7") (У*) ® F
отобрая;ение X •-* AiXBi отождествляется с
т. е. уравнение A) можно переписать в виде
1 + ... + Bi®As)X == С,
где Xe'(F')*®Fn и Се(Г)*®7". В самом деле, если
элемент /®i)e(F)*®P соответствует отображению
Xx = (f®v)x = f{x)v, то элемент BTf® Ave=(Vh)* ® Vя
соответствует отображению (BTf ® Ли)у —f(By)Av =
=*АХВу.
Теорема 1. Пусть А и В — квадратные матрицы.
Уравнение АХ — ХВ = С имеет единственное решение

§ 27. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ $73
тогда и только тогда, когда матрицы А и В не имеют об-
общих собственных значений.
Доказательство. Данное уравнение можно пе-
переписать в виде (Е ® А — Вт ® Е) X — С. Собственные зна-
значения оператора Е®А—ВТ®Е равны at— рз-, где а* —
собственные значения А, р1, — собственные значения Вт,
т. е. собственные значения В. Оператор Е ® А — Вт ® Е
невырожден тогда и только тогда, когда af — р",^°0 при
всех i и /.
Теорема 2. Пусть А и В — квадратные матрицы
одного порядка. Уравнение АХ — ХВ—ХХ имеет ненуле-
ненулевое решение тогда и только тогда, когда X = а4 — р1 j, где
<x.t и Pj — собственные значения А и В.
Доказательство. Уравнение (Е ® А — Вт ® £) X =
= XX имеет ненулевое решение, если X, — собственное зна-
значение оператора Е ® А — Вт ® Е, т. е. X = at — $,.
27.6. Полилинейной функции /е Hom(FX .. .X V,
К)9*®ру* можно сопоставить подпространство Wt^V*,
порожденное ковекторами | вида |(a;) = /(ai, ..., а<_1, ж,
■пг, ..., aP-i), где векторы а\, ..., av-\ и число г фикси-
ровапы.
Теорема 1. fes&'W,.
Доказательство. Пусть ei, ..., ег — базис Wt;
дополним его до базиса ei, ..., е„ пространства У*. Тре-
■буется доказать, что/^2/1г..гр8^® • • • <8>eip. где/^...1^=
= 0, когда один из индексов it, ..., ip больше г. Пусть
•fii, ..., еп — базис, двойственный к ei, ..., е„. Так как
г
/ (в1. ..., х, ..., <*„_,) = S «iEi (ж), то /(в^, ..., eip) - О,
«ели хотя бы одно из чисел /i, ..., jp больше г; кроме
того, в^®... ®eip(e;-i, ..., ejp) — 1, если U =ji, ..., iP = jP,
а во всех остальных случаях эта величина равна нулю.
Теорема 2. Если ковекторы ei, ..., е, таковы, что
/ = 2/i1...ipei1®---®ev т° wi<=-^ Б'>-
Доказательство. Яспо, что/^, ..., a^—i, x,ah, ...
..., op-,) =S/i1...Jpei1(a1) • ■ • eift {x) ..2
ЗАДАЧИ
27.1. Докажите, что y®u; = y'®w'¥=0 тогда и толь-
только тогда, когда v = Xv' и w' = Xw.
27.2. Пусть 4,: Fi-^PFi (i = l, 2) —линейные отобра-
отображения. Докажите, что:

174 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
a)
б) ( ) ( )( )
в) Кег(Л1®42)-КегЛ, ® W2 +Wi ® Кег Л2.
27.3. Пусть Vi, Уг<=У и VKi, И^с W. Докажите, что
27.4. Пусть У — евклидово пространство и У* естест-
естественным образом отождествлено с У. Докажите, что опе-
оператор Л = Е — 2а® а, где а — единичный вектор, явля-
является симметрией относительно ах.
27.5. Пусть А (х, у) — билинейная функция в евкли-
евклидовом пространстве, причем если х-^-у, то А (ж, j/) = 0.
Докажите, что функция А (х, у) пропорциональна ска-
скалярному произведению (х, у).
§ 28. Симметрические и кососимметрические тензоры
28.1. Каждой перестановке a^Sq можно сопоставить
линейный оператор /о: Tl(V)-*~Tl(V), переводящий
элемент у, ® ... ® у, в va0) ® ... ® уО(„. Тензор Т (= Г?(У)
■называется симметрическим (соответственно кососиммет-
рическим), если ja(T) = T (соответственно /„(Г) =
= (—1)аТ) для любой перестановки а. Симметрические
тензоры образуют в Tq0{V) подпространство Sq(V), а ко-
кососимметрические— подпространство Л9 (У). Ясно, что
5«(У)ПЛ«(У) = 0 при q>2.
Оператор S = —у ^ /о называется симметризацией,
а
а оператор А = —у ^ (— 1)а/0 — аитисимметризацией пли
о
Теорема 1. Оператор S является проектором Т\(У)
на 5'(У)/а оператор А — проектором на Л*(У).
Доказательство. Очевидно, что симметризация
любого тепзора симметрична и на симметрических тензо-
тензорах оператор действует тождественно.
Так как для любого Т е= P0(V) имеем f^(AT) =
= ifl(- !)Т/а/х (Л =(-1)°-5Г 2 (- 1)Р/"р (Г) = (-1) СЛГ,
т р=от
то ТгаЛс=Лд(У). Если тензор Г кососимметричен, т»
2 i

§ 28. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И КОСОСИММЕТРИЧЕСКИБ ТЕНЗОРЫ 175
Введем обозначения 5(ei ®... ®eig) = е^... е^ и
•4(e{i<g>... <s>eiq)= eii Л • • • Л «V Например, е<е,- = (е< ® е,- +
+ «j ® ef)/2 и ei Л «j = (eiigej — e,-®ei)/2. Если еь ..., е„ —
базис У, то тензоры е^... е^ порождают 5е(У), а тензоры
*ii Л • - • Л % порождают A"(V). Тензор е^ ... eig зависит
лишь от того, сколько раз ег встречается в этой записи,
К hn
поэтому можно ввести ооозначенне е^ ... eiq = ех ... еп ,
где вектор е4 встречается в записи е% ... eig ровно kt раз.
Тензор eit/\ ... f\elq при перестановке любых двух векто-
векторов е,а и е,~ меняет знак, поэтому е\ Д ... Л е% = О»
если e*a = 6ip, и тензоры е^ Д • • • Л %■, где К ii <...
...<iq^n, порождают пространство Л'(У). В частности,
Л'(У) = 0 при q>n.
Теорема 2. Элементы б!1... вп", где &i + ... + &„ = д,
■образуют базис пространства Sq(У), а элементыe\ Д...
• • • Л е»д- г^в Kii<...<ie<», образуют базис про-
пространства Л'(У).
Доказательство. Достаточно проверить линей-
линейную независимость этих вегаторов. Если наборы (Ai, ...
..., кп) п A\, ..., 1п) различны, то тензоры е± ... епп и
«х1 ... вп являются линейными комбинациями двух непе-
непересекающихся подмножеств базисных элементов про-
пространства Tl(V). Для тензоров вида в{ Д ... Д е,д дока-
вательство аналогично.
Следствие, dim А9 (V) --= С» и dim 5" (У) = Cl+g^.
Доказательство. Ясно, что количество наборов
i<ii <...<},<« равно С„. Для вычисления количества
наборов к\ +... + кп = g поступим следующим образом.
Каждому такому пабору сопоставим последовательность
из q + п — 1 шаров, среди которых q белых и и — 1 чер-
черных; в этой последовательности сначала идет к\ белых
шаров, за ними одип черный, за ним &2 белых, за ними
однп черный и т. д. Из п + q — 1 шаров q белых шаров
можпо выбрать Cilfg-j способами.
п
п
28.2. В пространстве Л (У) — ф Л7 (У) можно вве-
сти операцию внешнего произведения Тх Д Тг = А (Тг(%)Т2)
для Ti^Ap(V) и T2^A4{V); на Л(У) эта операция про-
продолжается по линейности. Полученная алгебра Л (У), на-

176 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
зывается внешней алгеброй или алгеброй Грассмана про-
пространства У.
Теорема. Алгебра Л(У) ассоциативна и косоком-
мутативна, т. е. ?\ Д Г2 = (- 1)МГ2 Д Tt для Г^Л^У)
и Г2еЛ'(У).
Доказательство. Достаточно рассмотреть слу-
случай, когда Г] =Ж1 ® ...®жР и 7т2 = жР+1® ... ®жР+,. До-
Докажем сначала, что 4(Г1 ® Г2) = .4(.А(Г1)® T2). Так как
Л (zx®... ®хр) = -i-
ТО
А{А(Тг)®Т2) =
= А (~
Остается заметить, что
где ti-=(t(oA)), ..., r{a(p)), (p ), . (рд
Аналогично доказывается, что А(Т\ ® Гг) = А (Г
л(г)) поэтому (r д глд ^^(адглг)
д,
му (rt д глд
A23) = 4(Г1(8)ЛG123)IЛBЛ 3)
Ясно, что xp+l®...®xp+q®xi®...®xp=*xa0)®...
...®ж,(Р+„, где 0 = (р + 4, ..., р + 9, 1, ..., р). Чтобы в
о последовательно переставить элемент 1 на первое ме-
место, ..., элемент р на р-& место, требуется совершить pq
транспозиций. Следовательно, (—1)" = (—1)рв и A(Ti®
®Г) A)Л(Г®Г)
) ()()
В алгебре Л(У) k-а степень элемента м обозначается
Л*©, HHrtMH словами Лйб) = со Д .. . Д <о (к раз).
28.3. Кососимметрической функцией на У X... X V на-
вывается такая полилинейная функция f(vi, ..., и,), что-
/(УаA„ .... »«(«)) = (—1O(рь ..., у«) для любой переста-
перестановки о.
Теорема. Пространство A"V* канонически изоморф-
изоморфно пространству кососимметрических функций на У X...
...ХУ, а также пространству (A"V)*.

§ 28. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ 177
Доказательство. Легко проверить, что функция
Л • • • Л) К ) ^//)K )
—г 2 (~ ^)^1 (^d)) • • • U (vw)) — кососимметрическая.
" о
Если е\, ..., е„ — базис пространства У, то кососимметри-
ческая функция / задается значепиями / (е* , ..., е(д), где
1 *£ i\ < ... < it «S n, причем любой такой набор значений-
соответствует некоторой кососимметричеокой функции.
Поэтому размерность пространства кососимметрических
функций равна размерности пространства A"V*, а значит,
эти пространства изоморфны.
Построим теперь канонический изоморфизм Л'У* -*■
-+ (A4V)*. Линейное отображение V* ® ... ® V* -* (V ® ...
... ® V) *, переводящее элемент (/i, ..., /,) е V* ® ... ® У*
в полилинейную функцию f(v\, ..,, vq)= f\{vi).. .fq{vq),
является каноническим изоморфизмом. Рассмотрим огра-
ничепие этого отображения на Л'У*. Элемент /i Л • • •
• • • Л U — А (Л® ■ • • ®/?) е А7У* переходит в полилиней-
полилинейную фуНКЦИЮ / К, ...,»,) = -^р 2(~ VPh (yo(J)) • • • 1яЫч))'
' а
Функция / кососимметрична, поэтому получаем отобра-
отображение A"V*-*-(AqV)*. Проверим, что это отображение—•
изоморфизм. Ясно, что
... и
ал
Л ("О
Пусть ei, ..., е„ и ei, ..., Бп — двойственные базисы про-
пространств V и V*. Элементы е{1 Д ... Д вгд образуют базис
пространства A"V; рассмотрим двойственный базис про-
пространства (Л'У)*. Из доказанного выше равенства сле-
следует, что при рассматриваемом отображении элемент
е*1 Л • • • Л е*д переходит в базисный элемепт, двойствен-
двойственный q\eti/\ ... /\ eig.
Замечание. Попутно доказано равенство/(Л(ух® ..,
• • • ® »«)) = -$■ 7(»i® •.. ® »,) Для / е A<V*.
12 в. в. Прасолов

178 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
28.4. Теорема 1. ТЦу) = A*{V)®S*(V).
Для доказательства достаточно заметить, что в®Ъ—
= у(а®Ь —&®а) + Т (а®6 + 6®а)-
Теорема 2. Имеют место следующие канонические
изоморфизмы:
а) () 0
i=0
б) Sq{V@W)s*®
i=0
Доказательство. Ясно, что Л'УсТ^УфТУ) и
с: Т%~1 (У®W). Поэтому имеется каноническое
вложение Л* У ® Л'~* W а Т\ (У © W). Спроектируем
Г2(УфТУ) на Л^УФТУ) с помощью оператора альтер-
альтернирования. В результате получим каноническое отобра-
отображение Л'У®Л«-'ТУ-»-Лв(У ®W). При этом отображении
элемент (иг Д ... Avi)®(wi /\ • • • Л ^д-») переходит в
yi Л • • • Л vi Л wi Л • • • Aw4~i- Выбрав в пространствах У
и W базисы, легко проверить, что построенное отобра-
отображение
является изоморфизмом.
Для пространства S"(V®W) доказательство анало-
аналогично.
Теорема 3. Если dim У = га, то имеется канониче-
канонический изоморфизм ApV^(An-pV)* ® Л"У.
Доказательство. Внешнее произведение являет-
является отображением APV"X. An~pV-+ Л"У, поэтому каждому
элементу ЛРУ соответствует некоторое отображение
Лп-рУ -»■ ЛЯУ. В итоге получаем отображение ЛРУ -^
-^Нога(Л"-1>У, ЛЯУ)^(ЛП-3'У)*®Л"У. Докажем, что это
отображение — изоморфизм. Выберем в пространстве V
базис et, ..., ея. Элементу е^ Д ... Д е*р соответствует ото-
отображение, переводящее е^ Д ... Д ein__p в 0 или ±.ег[\...
... /\еп в зависимости от того, пересекаются ли множе-
множества {ii, ..., ip) и {/i, ..., ;„_р} или дополняют друг друга
до {1, ..., га}. Такие отображения образуют базис про-
пространства Нот (ЛП""РУ, ЛЯУ).
28.5. Липейный оператор В: V -*■ V индуцирует ли-
линейный оператор Вч: T%(V)-*- Т% (У), отображающий
vi ® ... ® vt в • Bvi ® ... ® Bvq. Если Т = vi ® ... ® i7a, то

§ 28. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ 17$>"
1oBq(T), поэтому
Bqfa(T) - jaBq(Г) для любого Т е= Т\ (У). A)
Следовательно, Bq переводит симметрические тензоры в
симметрические, а кососимметрические — в кососиммет-
кососимметрические. Ограничения Bq на Sq(V) и Л'(У) обозначим
SqB и А"В соответственно. Пусть 5 и А — операторы сим-
симметризации и альтернирования. Из равенства A) следу-
следует, что BqS = SBq и BqA = ABq. Поэтому Bq (е*1 ... 4") =
= (Be,) ■ ■ ■ (Веп)"п и /?,(еч Л ■ • • Л *,) = (^J Л • ■ •
Л(/М)
(д)
Т е о р е м а 1. Пусть
л ... л %) = 2 ^::."К л • • • л %
Тогда Ь} '.""*? —минор В ( .' ч )^am/)Mifbij оператора В,
1 " q \/i ■ ■■ fq/
Доказательство. Яспо, что
Век /\ ... Д Век ~ B bi^ Л -.. Л (S 6y
Следствие. Aq(B) = Ct(B) — ассоциированная мат-
матрица (см. п. 2.6).
Введем на множестве наборов индексов (it, ..., ig)
лексикографический порядок, т. е. будем считать, что
(м, ..., iq)<(]\, ..., /,), если ii=/i, ..., Jr=/r и fr+i <
<7r+i. В соответствии с лексикографическим порядком
упорядочим базиспые векторы е-у ... е„" и е% Д ... Д е,- .
Теорема 2. Ясли матрица оператора В треугольна
в базисе е\, ..., е„, то матрицы SqB и Л'В треугольны в
базисах е^ ... е„п и е^ Д ... Д eig. упорядоченных лекси-
лексикографически.
Доказательство.Пусть,например,5е{е(е^...,в{>,
т. е. в соответствии с нашим отношением порядка Be^
< ей Если J! < /1? ..., iq < /,, то е^ Д ... Д eig <eit Д
12*

180 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
• • • Л e5q и eix... еч = е*1 ... e ,
Поэтому имеем AqB[eit Л • • • Л %)<е^ Л • • • Л
Теорема 3. det(A'i9) = (detfi)p, где p = C£lj
r, где г = -Jc£t«-i.
Доказательство. Можно считать, что В — опера-
оператор над С. Пусть еи ..., е„ — жорданов базис для опе-
оператора В. Согласно теореме 2 матрицы операторов А"В
и 5*5 треугольны в базисах е^ Л • ■ • Л е<9 и е^... е„ ,
упорядоченных лексикографически. Если вектору е, соот-
соответствует диагональный элемент Я,,-, то векторам е^ Д ...
• • • Л eiQ и ех J... е„ соответствуют диагональные эле-
элементы A,ii#.. A.ig и Я,!1... Я,„п, причем fti +... + Л„ = д.
Поэтому произведение всех диагональных элементов мат-
матриц Лв5 и 5*5 имеет но Я, суммарную степень qdim Л*(У)
и ?dim5''(y) соответственпо. Следовательно, 1Лв51 =
-|В»| и |S«Bl=.|B|',rAep=-JcS = Ctt=i и r-^C^-j.
Матрице 5 порядка « можно сопоставить мпогочлен
AB(t) = 1+2 bv{AQB)t9 и ряд SB(t)=l+ S tr(£"#>«.
Теорема 4. 5в@ = (Лв(—О)-
Доказательство. Как и при докавательстве тео-
теоремы 3, получаем, что если матрица В треугольная с
диагональю (Хи ..., %п), то матрицы А"В и S4B треуголь-
треугольные с диагональными элементами Я.{ ... \iq и Ххг... %п
(fci+...+*»==«). Поэтому Лв(—*) = (!—Л0...A —
— Л») и 5B(i) = A + fkx + i2?i? +...). • • A + &„ +
+ f2?^ + ...). Остается заметить, что 1/A — tXi) = 1 +
+ л, ^'i2?.? + • • •
ЗАДАЧИ
28.1. Трилинейная функция / симметрична по первым
двум аргументам и кососимметрична по двум последним.
Докажите, что / = 0.
28.2. Пусть /: 1?т X $?т -*■ Я?"— симметрическое би-
Липпйпое отображение, причем if{x, x), /(г/, )

§ 29. ПФАФФИАН 181
,< \f(x, у)\2 и f(x, х)ФО при х¥*0. Докажите, что т<».
! 28.3. Пусть еъ ..., е2п — базис и со = ех Д е2 + е3 Д
J\ et + ... + «ая-1 Л е2П. Докажите, что Ляо> = п\ е^.. .
• • • Л е2п.
28.4. Пусть 4 — матрица порядка п. Докажите, что
Aet(A + £) = 1 + 2 tr(
28.5. Пусть d — определитель системы линейных урав-
/ п \ / я \
нений 2 aiixi I ( 2 apq*q 1=0 (г, р = 1, ...,»), где не-
известными считаются («+1)«/2 величин x(Xj, упорядо-
упорядоченных лвксикографичеоки. Докажите, что d =
28.6. Пусть sk = trD*), о* —сумма главных миноров
порядка к матрицы А. Докажите, что для любого нату-
натурального тп выполняется равенство
«т — sm-i<Ji + »«-2О2 —... + (—l)mmom == 0.
28.7. Докажите формулу Бине — Коши с помощью
внешнего произведения.
§ 29. Пфаффиан
29.1. Если Л = ||ау|Г—кососкмметрическая матрица,
то del .4 является многочлелом от независимых перемен-
переменных пц, где i<j; обозначим этот многочлен Р(а(}). Для
» нечетного Р = 0 (ом. задачу 1.1); если п четно, то мат-
матрицу А можно представить в виде А = XJX?, где элемен-
элементы матрицы X являются рациональными функциями от
т ,. /7 о i\ /о i\\ .
переменных ац и ^=diagll ^ о/'" "'1—1 0/] 'ом*
п. 21.2). Напомним, что это разложение следует рассмат-
рассматривать как разложение матриц, элементы которых явля-
являются рациональными функциями от а1}; для некоторых
значений ati эти рациональные функции могут иметь ну-
нулевые знаменатели. Так как detX=f(at!)ig(ati), где /
и g — мпогочлепы, то Р = det (XJXT) = {figJ. Поэтому
J2=Pg2, т. е. f делится на g2, а значит, / делится на g,
т. е. flg=*Q — некоторый многочлен. В итоге получаем,
что Р = Q2, где Q — многочлен от я,-,-, т. е. определитель
кососимметрическои матрицы, рассматриваемый как мно-
многочлен от ац, где i < /, является полным. квадратом.

182 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Этот результат можно получить и другим способом,
дающим для многочлена Q явное выражение. Пусть в
пространстве V задан базис е\, ..., б2п. Сопоставим ко-
сосимметрической матрице А~-\о.ц\%п элемент со =
= 2 я^е4 Де,-е Л2(У), а элементу со сопоставим Лясо =
»<>
= f(A) el Л • • • Л e2n e Л2П(У). Функция /D) выражает-
выражается через элементы матрицы А.
Запишем теперь элемепты со и Л"со в базисе tj =
=2a:jjei. Можно проверить, что 2 яуе»Лег— 2 &yei Л 8i>
где А = ХЯХГ, и Ej Д • • • Л Чп = (det X) el/\... /\егп. По-
Поэтому f(A)e1f\... Ae2n = f(B)e1/\ ... Д еа„ = (detX) х
Xf(B)ei/\.../\e2n,T. e. /(ZBZT) = (detZ)/(S). Если 4-
невырожденная кососимметрическая матрица, то ее мож-
можно представить в виде A =XJXT, где/= diagf f . Q I,...
-i о))'Поэтому
Докажем, что /(Л) = п\2л(— 1) <ЧлМл. • • • аип^и„у
о " *
/1 2 N
где а = I ™ и суммирование ведется по всем
\*1 • • • 12П/
разбиепиям мпожества {1, ..., 2га} на пары {i4, ik+i},
где ik<ik+i (но не по всем перестановкам а). Пусть
coy = ацег Д в), тогда сну Д cofej = cohJ Д со^-, причем со Д
Д cofti = 0, если среди индексов i, j, к, I есть совпа-
совпадающие. Поэтому Л"B(оу)= 2»t » Л ••• Л ю«2я—Игп^
= ^Я» i • • • Я1„„ ,in« ei Л • • • Л ei« = >£j (— 1) ai i • • •
• • • а*2п—i*2nei Л • • • Л *2n. причем слагаемых, соответствую-
соответствующих коэффициенту ауа ... aBn_1i2n. ровно п\\ в самом
деле, каждый из п элементов со» i , ..., ®7-2n_1i2n можно
выбрать в любом из п сомножителей ЛпBюу), причем
в каждом сомпожителе выбирается ровно один элемент.
В частпости, /(/)=«!.
Многочлен Vf(A) = f(A)/f(I)= ±Vdet4, рассматри-
рассматриваемый как многочлен от переменных а(,-, где i<j, назы-
называется пфаффианом. Легко проверить, что для матриц
порядка 2 и 4 соответственно пфаффиан равен а\% и

§ 29. ПФАФФИАН 183
29.2. Пусть К Oi <... < 02* < 2». Множество (oi, ...
«,.., 02*} можно дополнить до множества_{1, 2, ..., 2п) мно-
множеством {oi, ..., 02(п-к)}, где Oi < . ..<02(п-м- В результа-
результате множеству {о^, ..., oW сопоставим перестановку о ==
= (Oi...02fcOi ...02(n-k))- Легко проверить, что (—4)° =
= (-1)', где a=(oi-l) + (oj-2)+... + (o2fc-2*).
Пфаффиан подматрицы кососимметрич«акой матрицы
Af=||i»y|Jn, где тоц = (—1)'+ж при i</, обладает сле-
следующим свойством.
Теорема 1. Пусть Pai...a2k = Г- ■ — i a a
Тогда POi...Caft=(-l)ff.
Доказательство. Применим индукцию по к. Яс-
Ясно, что Ра о = та а — (— 1) 1 а • Знак перестановки,
соответствующей {oi, 02), равен (—1)", где a=(oi —1) +
+ (о2 _ 2) s= (oi + 02 + l)mod 2.
Воспользовавшись результатом задачи 29.1, легко
проверить, что ро,...о-2ъ = 2 (— ^УРа,щРо ...^...а„ь-
По предположению индукции ^>c1...'5i...o2ft = (—1)г, где
T = @2...<T<...02il2.. .2m). Знаки перестановок о и т
равны (-1)" и (-1)», где a = (oi — 1)+...+ (о2»-2Л)
+ 1)+ .. . + (oSfc — 2/с + 2),т. е. (-:;i)T = (- 1)°(- l)°1+Ci+1.
Значит, \..jtt=2j(-l)(-l) (—1)(—II
i
..
2
Теорема 2. Пусть М — определенная выше матри-
матрица, А — кососимметрическая матрица порядка In. Тогда
~"№М) = 2j ^ -Рц. г9е Pft"=
ft=O о \ui ••• и2(я-й)У
Д оказа^тел ь'с т во [Каган, 1971]. Матрицы А и М
будем рассматривать как элементы 2 яу^Дв,- и 2my*iA
Д е,- в Л2!7. Так как Л Д М = М Д 4, справедлива фор-
я
мула бинома Ньютона: Ля (А + WM) = 2 С^А ЛЙМ)Д
ft=O
Л (ЛЯ-"Л) = 2 cXk 2 (A!Po,...olk) ((" - к)\ Ph) вв. Л • • •

184 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
• • • Л eoh Л • • • Согласно теореме 1, Pov..oih = (— 1)с;
ясно также, что eOi Д ... Д eOft Л • • • =(—*)°eiA • • • t\ew
я
Поэтому Л" (А + №М) = п\ 2 XlkiVi Л • • • Л «п, а зна-
fe=0
чит, Pf (А + №М) = 2 b*hPk.
ЗАДАЧИ
29.1. Пусть Pf (А) — apqCpq + /, где многочлен / не за-
зависит от ам; APq — матрица, полученная из А вычеркива-
вычеркиванием строк и столбцов с номерами ряд. Докажите, что
С(АУ++1ЩА)
Р9(УЩря)
29.2. Пусть X — матрица норядка 2», строками кото-
которой являются координаты векторов х\, ..., хч^; g« = <#.,
х,>, где величина <я, Ь> для векторов а = (а\, ..., Я2П) и
п
b = (bi, ..., Ь2п) равна 2 (a2ft-Aft — ЯгАь-г)-Докажите,
что det X = Pf (С?), где G = \ gtJ |f.
§ 30. Разложимые кососимметрические
и симметрические тензоры
30.1. Кососимметрический тензор оеЛ1(У) называ-
называется разложимым, если его можно представить в вида
со = х1 Л ... Л хъ где xt e V.
Симметрический тензор T^Sh(V) называется разло-
разложимым, если ето можно представить в виде T = S(xi ® ...
...®xh), где Xi^V.
Теорема 1. Ecauxx f\ ... /\ xh = уг/\ .../\укф0щ
то <хи ..., хк> = <уи ..., yk>.
Доказательство. Предположим, например, что
У\ ^ <Х\,. ..., хк>. Тогда векторы ei=x\, ..., eh = xh и
e4+i = i/i можно дополнить до базиса. Разложив векторы
2/2, • • .*» Ук по этому базису, получим равенство «i Л ••-
• • • Л eft = eft+i A\2ai2...iftei2 Л • • • Л eift). Это равенство
противоречит линейпой независимости векторов б{ Д ...
... Л eih.
Следствие. Любому разложимому кососимметриче-
скому тензору и= хг Д ... Да^ можно сопоставить k-мер-
ное подпространство <xj, ..., zh>; это подпространства

§ 30. РАЗЛОЖИМЫЕ ТЕНЗОРЫ 185
не аависит от разложения, а зависит лишь от самого
тензора со.
Теорема 2. Если 5(ж, ® ... ® xk) = S{y{ ® ... ® ук)Ф
Ф О, то <хи ..., хк> = <уи ..., ук>.
Доказательство [Мсррис, 1975]. Предположим,
например, что yi&ixi, ..., хк~>. Пусть Т = S(xi®...
... ®хк) — непулевой тензор. Любой полилинейной функ-
функции /: V X ... X V -*■ К соответствует линейная функция
f: V ® ... ® V -*• К. Тензор Т ненулевой, поэтому суще-
существует такая линейная функция f, что f (T)¥=0. Полили-
Полилинейная функция / является линейной комбинацией про-
произведений линейных функций, поэтому существуют такие
линейные функции gu ..., gh, что g(T)¥=0, где g = gi...
...gk- Рассмотрим линейные функции hh ..., hh, совпа-
совпадающие с gi, ..., gh на подпространстве <xi, ..., хкУ и
принимающие значение 0 на векторе у\\ пусть h~hi...
...hk. Тогда %(T) = g(T)i4). С другой стороны, Г =
2
= 0, так как в любое произведение входит
Получено противоречие, поэтому у\ ^ <.х\, ..., хк~>. Ана-
Аналогичные рассуждения показывают, что <г/1, ..., укУ <=■
<= <хи ..., хк> и <хи ..., xh> с= <уи ..., ук>.
30.2. Исходя непосредственно из определения разло-
разложимого кососимметрического тензора, нельзя за конечпое
число операций выяснить, разложим ли данный косоегш-
МетрИЧеСКИЙ ТОПЗОР 2 ai ...ik^i Л • • • /\^г^.Мы ПОКЭ-
жем, что условие разложимости кососимметрического тен-
тензора эквивалентно некоторой системе уравпений для его
координат <uv..ik (соотношения Плюккера). Предвари-
Предварительно сделаем несколько замечаний.
Для v* e V* можно рассмотреть отображение i(v*):
Л*У-*-Л*~'У, определенное формулой (i(v*)T, /> =
= <Г,»*Л/> Для любых /s(Aft~IF)* и T^AhV. Ана-
Аналогично для ds V можно рассмотреть отображение i(v):
AhV*Ah1V*
Подпространству Л <= AkV можно сопоставить подтаро-
страиство А3- = {у* I i (v*) A = 0} <= V*; если ЛсЛЧ; = V,
то Ах совпадает с аннулятором А (см. п. 5.5).
Теорема 1. W = (A±)-L является минимальным под-
подпространством V, для которого А лежит в подпростран-
подпространстве A'lfcA'F.

48в ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Доказательство. Если A<=AhWi и y*eWx, то
i(v*)A = 0, поэтому W£czAx, а значит, Wt =>(ЛХ)Х.
Остается доказать, что Л«= AkW. Пусть V = W®U, щ. ...
..., иа — базис пространства £/, W\, ..., wn-a — базис про-
пространства W, и*, ..., Wn-a — двойственный базис про-
пространства V*. Тогда и* е^ = А\ поэтому j(u*)A = O.
Если j е {/,, ..., ]Ь) и {)[,... ,)'b-i\] U 0'} ^ {/i, • • •, Ы- то
отображение г (и*) пер.еводит тензор w^ Л • • • Л "^ь-ь Л
Л "j, Л • • • Л "ib в ^цЛ • • • Л"Ч_ЬЛ и ' Л • • • Л «*' г
в противном случае отображение i {uj ) переводит этот
тензор в нуль. Поэтому i{u*)A ~ь W®AbU с: ЛЙ~ЬЖ<8>.
® Л6"^/. Пусть 2^a(g)wa — компонента некоторого эле-
а
мепта пространства Л, лежащая в пространстве Ak~W8>
«Л1^. Тогда i(«p)(S Ла®ив) = 0, a значит, 0=
= <« (и?) 2 л« ® и., /> = <2 ла®иа,["р Л /> = <лР® up,
а а
мэЛ // Для воех /. Но если Лр ® мр ^0, то / можно подо-
подобрать так, что (Лрфир, ыр Д /)=И=0. Аналогично доказы-
доказывается, что компоненты любого элемента пространства А
в слагаемых Ak~'W® A*U нулевые при г>0.
Пусть caeA"(F). Применим теорему 1 к пространству
А=<ю>. Если i»i, ..., wm — базис пространства W, то
(о = 2аЧ—'h1"*! Л • • • Л "\- Поэтому кососимметриче-
ский тензор to разложим тогда и только тогда, когда
т — к, т. е. dim W = к. Если же тензор со неразложим,
то dim W > к.
Теорема 2. Кососимметрический тензор шеЛ"G)
разложим тогда и только тогда, когда w Д о = 0 для
любого w^W = (<(о>х)х.
Доказательство. Предположим, сначала, что
w = i;iA.'-- Л vhФО. Тогда И^=<У1, ..., ук>, а зпачит,
юДш*0 для любого вектора w^W.
Предположим теперь, что кососимметрический тензор
и неразложим. Тогда dim W = пг > к. Операция внешнего
произведения индуцирует невырожденное отображение
AhW ® Am~hW -> AmW (см. п. 28.4, теорема 3), поэтому
со /\афО для некоторого a<^Am~hW. А так как
a = Sa*i--.*m-ftu'«i Л • • • Л «4,-ь- то со Д wj ^= 0 для не-
некоторого и>( е W.

§ 30. РАЗЛОЖИМЫЕ ТЕНЗОРЫ 187
Следствие (соотношения Плюккера). Кососиммет-
рический тензор со= 2 а*1.-.*ле*1Л • • • Л^л разложим
*1<""<*Ь
тогда и только тогда, когда
^Л"**1 л ■"" л S л
любого набора чисел /i < ... </*_i.
Доказательство. В нашем случае
Пусть Ej, ..., е„ — базис, двойственный elt ..., еп] / =
=% Л • • • Л e3h-i и у* = 2yiEi- Тогда <щ> / Л у*> =
.<= < 2 . «ч-'/Л Л • • • Л «
t<<tk
= A/я!) 2j«ii-.-jft—iJ^- Поэтому
'А1 = {v* =2^j/2\..Ji_/,-=0 Для любых /lf.. .,/ft-i},
а значит, W = (Лх)х = ш = Sa»i---Jh—iJej|- Согласно тео-
^р 2 нососимметричеакий тензор (о разложим тогда и
!#олько тогда, когда ы /\w -=О для всех a/ePF,
Рассмотрим подробнее случай к = 2. Коэффициент при
*» Л eJ Л еР Для фиксированного /i = g равен aeagp +
•+■ flpsfl^ + a,Paji. Легко также проверить, что соотношение
ЛцаЧР 4- apiaqj + а,-рЯл = 0 нетривиально, только если ин-
индексы i, j, p, q попарно различны.
В заключение отметим некоторые свойства рассмот-
рассмотренного выше отображения d = i(v): Л(У*)-*- Л(У*).Это
отображение обладает тем свойством, что d2 = d ° d = 0.
А так как
</i Л • • • Л /л, v Л »i Л • • • Л *>*-!> =
к И ■•• /к С*-:
то, разложив этот определитель по первому столбцу,
получим d (и л. • • Л /ft) = 2 (- i)i+7i (») /1Л • • • Л М • • •
• • • Л/*.
Теорема. Если ae=ApF* и ре-Л«У*, го й(аДР) =

188 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай,
когда а = /ХД... Д /р и р = /р^ Д ... Д /„+,. Ясно,
2 (- i)i+1/iM/i Л ••• Л7*Л--- ЛЛ.+.+
««р
+ 2 (-1)"^1/! Л ••• Л Ъ+}+1 Л • • • Л /Р+9 =
ЗАДАЧИ
30.1. Пусть ю е Л*У и б! Д ... Дег =#= 0 для некоторых
е; <= V. Докажите, что <о=(ох Д ех Д ... Д ег тогда и только
тогда, когда со Д е» = 0 для г = 1, ..., г.
30.2. Пусть dimF = n и (oeA""'F. Докажите, что
со — разложимый кососимметрическии тензор.
30.3. Пусть векторы е\, ..., е%п линейно независимы,
я
со=2 ^-хДеаг и Л=<со>. Найдите размерность прост-
ранства W =(ЛХ)Х.
ЗОА Пусть тензоры z1=xl Д ... Джг и z2= УгА--
не пропорциональны, Z = ixi, ..., жг> и Y = <у\,...,
Докажите, что пространство <zi, Z2> состоит из разложи-
разложимых кососимметрических тензоров тогда и только тогда,
когда dim (X П У) = г — 1.
30.5. Пусть подпространство W <= AhV состоит из раз-
разложимых кососимметрических тензоров. Сопоставим каж-
каждому элементу w = x1f\ ... Д^еИ7 подпространств»
[и>] = <хи ..., хк> с= V. Докажите, что либо все подпро-
подпространства [w] имеют общее (к—1)-мерное подпростран-
подпространство, либо все они лежат в одном (к+ 1)-мерном под-
подпространстве.
§ 31V Тензорный ранг
31.1. Пространство V ® W состоит из линейных ком-
комбинации элементов v ® w, но не любой элемент этого-
пространства можно представить в виде v ® w. Рангом
элемента Т е V ® W называется наименьшее число ft,
для которого Т = vi ® w\ + ... + vh ® wh; ранг элемента
Т обозначим гк Т.

§ 31. ТЕНЗОРНЫЙ РАНГ 18Э>
Теорема 1. Если Т = ^аце&Ъ), где iet) и ieii —
базисы пространств V и W, то гк Г = гк Hoyll.
Доказательство. Пусть vv = 2 d*ei, wp — 2 P?eJ»
ap —столбец (of, ..., a£) и р"р — строка (Pf, ..., PmX
Тогда || ay | = аф1 -|- ... + afcPft. Наименьшее число к,
для которого возможно такое разложение матрицы Во«11г
равно рангу этой матрицы (см. п. 8.2).
Следствие 1. Множество {Т<s V ®W \ ткТ<к}
замкнуто; в частности, если Vim Ti=T и rk Т( ^ к, та
j->oo
гк Т s£ /с.
Замкнутость является следствием того, что зто мно-
множество задается алгебраическими уравнениями.
Следствие 2. Ранг элемента вещественного прост-
пространства V ® W не изменяется при переходе к комплек-
сификации.
Для элемента Т е F, ® ... ® V, ранг можно опреде-
определить аналогичным образом, т. е. как наименьшее число kr
для которого Т = v{<8)... ®i>p+ ... + yi® • • • ®ур- Оказы-
Оказывается, что при /7^3 неверны свойства, сформулирован-
сформулированные в следствиях 1 и 2. Но прежде чем перейти к изуче-
изучению свойств тензорного ранга, расскажем, чем был вы-
вызван иптерес к пему.
31.2. В пространстве матриц порядка п выберем ба-
зпс eap = ||6ia6jp\\"; пусть в«р — двойственный базис»
Тогда А = 2 ацец, В = 2 Ъ^ец и4В=2 aihbhjeij =
= 2 e»ft (^) eftj (^) *ij- Таким образом, вычисление произ-
ведения двух матриц порядка га сводится к вычислепию
п3 произведений линейных функций гл(А)гы(В). Но яв-
является ли число пъ минимальным? Оказывается, что нет.
Например, для матриц порядка 2 можно указать 7 пар
таких линейных функций fp и gp и 7 таких матриц Ер,
7
что АВ = 2 /р (-4) gp (.8) .Ер. Это разложение было по-
p=i
строено в работе [Штрассен, 1969]. Вычисление наи-
наименьшего числа таких троек (/р, gp, Ep) эквивалентно
вычислению ранга тензора 2j&ik®Hj ®ву =^2/р ®8р®Ер*
i,i,h p
Отождествим векторы и ковекторы и введем для
краткости обозначения а = еп, Ъ = еп, с = еч\ и d = «22-

190 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Легко проверить, что для матриц порядка 2 2 e«i
b<g)c)<g)a + (a<g)b
c)®c + (с®Ь -i- d®c?)®d. Разложение Штрассена
ямест вид 2eift®fftj®eij = 2 ^p> где Ti=(a —
— d)®(a
®(b)
(), ( )( )t 5 ( )
®(a-b), Г4 = я® (b + d) ® (b + d), Тъ = (с - d) ® a ®
+ Ь) ® d, и приводит к следующему алгоритму вычисле-
•НИЯ
р дущу ру
произведения матриц •4=1 г / I и В = I 2 ' I:
il — di, S2 = U2 — (^2? Sz = di — bi,
j — d[, i?5 = C2 + d2, Se = Я2 + C2,
Ръ = aiS7, P6 = S8a2, Pi = 5g510
5l4 = Рб — ^2, Sib = P4 + Рб, SU == P, + P5,
(S S \
c13 e14). При вычислении АВ по алгорит-
алгоритма ^18'
му Штрассена требуется 7 умножений и 18 сложений
(или вычитаний).
31.3. Пусть V — двумерное пространство с базисом
{еи е2). Рассмотрим тензор Т == еу ® et ® еу + еу ® е2 ® «2 +
+ е2 ® ei ® е2.
Теорема 1. Ранг тензора Т равен 3, ко существует
■последовательность тензоров ранга не более 2, сходящая-
сходящаяся к Т.г
Доказательство. Пусть Т% = X'1 [е\ ® ех ®
®(-e»+tei) + (ei + te2)®(ei + te2)®ei]. Тогда Т%.-Т =
■= %.еч ® е2 ® е2, поэтому Iim | Т^, — Т \ = 0.
Предположим, что
®® +
(
l)( 2w). Тогда ei ® ex +
e2® e2 = aib'® С + Я.1У ® u; и ei ® e2 = a2b ® с + Я,2у ® w.
Следовательно, линейно независимые тензоры b ® с и

S 32. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
v ® w ранга 1 принадлежат пространству <ei®ei 2
® ег, ei ® ег>. Последнее пространство можно отождест-
отождествить с пространством матриц вида @ ]. Но все такие
матрицы ранга 1 линейно зависимы. Получено противо-
противоречие.
Следствие. Подмножество тензоров ранга не более
2 в Т%(у) не замкнуто, т. е. его нельзя задать системой
алгебраических уравнений.
Рассмотрим теперь тензор Т\ = е\ ® е\ ® е\ — ег ® е2 ®"
■® в] + ех ® е2 ® б2 + ег ® е\ ® е2. Пусть rkR Tx — ранг тен-
тензора Т\ над полем К, rkr7\ — рапг тензора Т\ над по-
полем С.
Теорема 2. тккТ1фтк^Т1.
Доказательство. Легко проверить, что Т\ =
= (яГ® а\ ® O2 + a2®fl2® «i)/2, где ai = ei + £e2 и о2 =
= ei — г^г. Поэтому гксГ! ^2. Предположим теперь, что-
гкК7'1^2. Тогда, как и при доказательстве теоремы 1,
получим, что линейно независимые тензоры Ь ® с и у ® w
рапга 1 принадлежат пространству <ei ® е\ + ег® е2, ег®
® ег — ег ® е\>, которое можно отождествить с простран-
пространством матриц вида [_ 1. Но пад полем R среди таких
матриц нет матриц ранга 1.
ЗАДАЧИ
31.1. Пусть U <= V и T^Tp0{U)d TPO{V). Докажи-
Докажите, что ранг тензора Т не зависит от того, рассматривает-
рассматривается ли он в ТЦи) или в ТЦУ).
31.2. Пусть е\, ..., ек — линейпо независимые векто-
векторы; efp — ei® ... ®e\^Tl(V), где р>2. Докажите, что
ранг тензора efp + ... + е®р равен к.
§ 32. Линейные отображения тензорных произведений
Тензорпос произведение V\ ® ...'® Vp является ли-
нейпым пространством; в этом пространстве есть еще и
дополнительная структура — каждому элементу можно^
сопоставить его ранг. Поэтому можно, например, рас-
рассмотреть липейные преобразования, переводящие тензо-
тензоры ранга к в тензоры ранга к. Наиболее интересен слу-
случай отображения пространства Нот (Vv V2) = Vt ® Уа.
в себя. Отметим, также, что если dim V\ = dim Уг = п, та

-192 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
невырожденным отображениям из Hom(Fi, F2) соответ-
соответствуют тензоры рапга га, т. е. равенство det-A = O можно
интерпретировать на языке ранга тензоров.
32.1. Если А: V -> U и В: V ->- V - - певырожденпые
линейные операторы, то линейный - оператор Т = А'® В:
I/ ® у -> U ® V сохраняет ранг элементов U'® V. В слу-
случае когда dim U = dim У, есть еще один тип преобразо-
преобразований, сохраняющих ранг элементов U'® V. Возьмем
произнольный изоморфизм ф: U -> V и зададим отобра-
отображение S: U'® V -*- U ® V формулой S(u ® v) = qr'i> ® фи.
Тогда любое преобразование вида TS, где Т = А%>В —
преобразование первого типа, сохраняет ранг элементов
U ®V.
Замечание. Легко проверить, что S — инволюция.
В матричном виде преобразование первого типа запи-
запишется как X !-»■ АХВ, а преобразование второго типа как
Х<-* АХ В. Преобразование второго типа не сводится
к преобразованию первого типа (см. задачу 32.1).
Теорема. Пусть линейное отображение Т: U *® V -*■
-*■ U ® V переводит любой элемент ранга 1 в элемент
jama 1. Тогда Т = А®В или Т = (А'® B)S, причем вто-
второй случай возможен, только если dim U = dim V.
Доказательство [Григорьев, 1979]. Нам потре-
потребуется следующее утверждение.
Лемма. Пусть элементы оц, <22 е t/'® V таковы, что
rk(ti<xi + ^2)^ 1 для любых чисел t\ и t%. Тогда аьмож-
но представить в виде Oj = iV® v{, где и\ = М2 или v\ = V2.
Доказательство. Предположим, что ос,- = щ'® vt,
ai + a,2 = u®v и <гл> Ф <иг>, iv\> Ф <Уг>. Тогда можно
считать, что <и> Ф <щ>. С одной стороны, (/'® g) (и ® v) =
= /(«)gr(y)- С Другой стороны, (/®£)(в®») =
= (/®g) (щ ® vl + U2®v2) = f{u1)g{vl) + f(u2)g(u2). По-
Поэтому, выбрав /ef/* и g^V* так, что /(ц) = 0, /(и^т^О
п ^(msJ^O, ^MiJ^O, приходим к противоречию.
В дальнейшем будем считать, что dim V > dim V ^ 2.
Кроме *того, для удобства фиксированные векторы будем
обозначать а и Ь, а векторы, в качестве которых можно
взять любые векторы пространств U и V, будем обозна-
обозначать и и v. Применив лемму к T(a®bi) и Г(а®Ь2))
где <£>!> Ф (Ь2У, получим, что Т (а® bi) == a' ® bt или
Т {a®bi) = а'{ <g»fe'. Так как Т(а ® (Xbi — цЬ2) ) = 0, только
если X = ц = 0, то (р^ф^рг) (соответственно (

§ 32. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ 193
Легко проверить, что в первом случав T{a®v)—a'®
® v' для любого v e V. Для доказательства достаточно
применить лемму к T{a®bi) и T(a®v), Г(я'® fe2) и
T(a®v). В самом деле, случай Т[(а ® v) = с' ® Ьь где
<с'> ¥= <я'>, невозможен. Аналогично во втором случае
Т(а® v)—f(v)® b', где /: F -»- С/— некоторое отображе-
отображение (очевидно, линейное). Во втором случае подпрост-
подпространство а® V мономорфно отображается в U ® Ь', поэто-
поэтому dm V ^ dim С/, а значит, dim U = dim V.
Рассмотрим отображение Ти равное Т в первом слу-
случае и TS во втором случае. Тогда при фиксированном а
справедливо равенство Tt(a ® v) = a ® Bv, где В: V-*-
-»- V — невырожденный оператор. Пусть <Я1>=И=<а>. Тогда
T1(a1®v) = a\®Bv или Т, (oi ® v) = a' ® B{v, где <В{> Ф
Ф <В>. Применив лемму к T(a®v)n T(u®v), T(ai'®v)
и T(w® v), получим, что в первом случае Ti(u®v) =
= Аи® Bv, а во втором случае Т\(и ® v)— я'1® f{u, v).
Во втором случае пространство U ® V должно мономорф-
мономорфно отображаться в подпространство а' ® V; этот случай
невозможен.
Следствие. Если линейное отображение Т: U®
® V ->- U ® V любой элемент ранга 1 переводит в эле-
элемент ранга 1, то любой элемент ранга к оно переводит в
элемент ранга к.
32.2. Пусть Мп-п — пространство матриц порядка п,
Т: Ж„>п ->- Ж„ „ — линейное отображение.
Теорема 1. Если Т сохраняет определитель матриц,
то Т сохраняет и ранг матриц.
Доказательство [Маркус, Мойлс, 1959]. Для
удобства введем следующие обозначения: Ет и 0г — еди-
ничная ж пулевая матрицы порядка г; А®В = Iq в]-
Докажем сначала, что если отображение Т сохраняет
определитель, то Т невырождепо. Предположим, что
Т(А) = 0 л А¥=0. Тогда 0 < rk A < п. Существуют такие
невырожденные матрицы М и N, что MAN = Er © 0n_r,
где r = rk4 (см. п. 6.3, теорема 2). Для любой матрицы
X порядка п выполняется равенство \MAN + Х\Х
X ШЛМ-1 -•= \А + M-XXN-X\ = \Т(А + M-lXN-l)\ =
= \T(M-lXN'1) I = IXI • iMiVl-1. Следовательно, \MAN-\-
+ X\ = \X\. Положив JC = Or©£'n_r, приходим к проти-
противоречию.
Пусть ткА—r и ткТ(Л)= s. Тогда существуют та-
такие невырожденные матрицы Mi, Ni и М% N2, что
13 в. В. Прасолов

194 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Mi A JV, = Er ® 0n_r = У, и М2Т {A)N2 = E.® 0„_. = У2-
Рассмотрим отображение f: Мп,п -*■ Л/П>п, заданное форму-
формулой f(X) = M2T(MZ1XNT1)N2. Это отображение линей-
линейно и \f(X)\ — fclXl, где k = \M2MT1NZ1N2\; кроме того,
/ (Yi) = М2Т (А) N2 — Y2. Рассмотрим матрицу У3 = 0г ©■
$i?n_r. Тогда I^Yi + Уз1 =Я,Г для всех Л. С другой сто-
стороны, 1/(А.Г1 + УаI = № + /(У8I-р(а.), где р-мно-
р-многочлен степени не более s. Следовательно, г ^ s. А так
как \В\-\ТТ-1(В)\ — \Т-1{В)\, то отображение 77-1
тоже сохраняет определитель. Поэтому s ^ г.
Будем говорить, что линейное отображение Т: М„,„ -*■
-*■ Мп,п сохраняет собственные значения, если наборы
собственных значений матриц X и Т(Х) совпадают для
любой матрицы X.
Теорема 2. а) Если Т сохраняет собственные зна-
значения, то Т(Х)=АХА~1 или Т(Х)-=АХТА~1.
б) Если Т над С сохраняет собственные значения
армитовых матриц, то Т(Х) = АХА~1 или Т(Х)= АХТА~1.
Доказательство [Маркус, Мойлс, 1959]. а) Если
Т сохраняет собственные значения, то Т сохраняет ранг,
поэтому Т(Х)=АХВ или Т(Х) = АХТВ (см. п. 32.1).
Остается доказать, что Т(Е) = Е. Определитель матрицы
равен произведению ее собственных значений, поэтому Т
сохраняет определитель. Следовательно, \Х — КЕ\ =»
= \Т(Х) — кТ(Е)\ = \СТ(Х) — Ш, где С = Т{Е)~\
а значит, собственные значения матриц X и СТ(Х) сов-
совпадают; кроме того, собственные значения матриц X и
Т(Х) совпадают по условию. Отображение Т невырожде-
но (см. доказательство теоремы 1), поэтому любую мат-
матрицу У можно представить в виде Т(Х), а значит, собст-
собственные значения матриц У и CY совпадают. Матрицу С
можно представить в виде С = SU, где U — унитарная
матрица, S — эрмитова положительно определенная мат-
матрица. Собственные значения матриц U~l и CU*1 — S сов-
совпадают, но собственные значения унитарной матрицы
U~l имеют вид е'ф, а собственные значения матрицы S
положительны. Следовательно, S = U = Е и С = Е, т. е.
Т(Е)=Е.
б) Достаточно доказать, что если Т сохраняет собст-
собственные значения эрмитовых матриц, то Т сохраняет соб-
собственные значения всех матриц. Любую матрицу X мож-
можно представить в виде X = Р + iQ, где Риф — эрмитовы
матрицы. Для любого действительного х матрица А =*

§ 32. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 195
= Р + xQ эрмитова. Если собственные значения матрицы
А равны ki, ..., кп, то собственные значения матрицы Ат
'равный С. Поэтому \хАт = tT(T(A)m); обе части
этого равенства являются многочленами от х степени не
более т. Два многочлена, значения которых равны при
всех действительных х, совпадают, поэтому равны их
значения и при х — i. Следовательно, trXm = tr(T(X)m)
для любой матрицы X. Остается воспользоваться резуль-
результатом задачи 13.2.
32.3. Теорема, а) Пусть Т: Мп,п ->- Мп_п — линейное
отображение, переводящее невырожденные матрицы в
невырожденные. Тогда Т — невырожденное отображение.
б) Если, кроме того, Т(Е) = Е, то Т сохраняет собст-
собственные значения.
Доказательство [Маркус, Пёвис, 1959]. а) Если
|Г(Х)|=О, то 1X1=0. Для Х = А— %Е получаем, что
если \Т(А — Щ[=>\Т(Е)\ \Т(Е)-1Т(А)-Ш =0, то
\А — "кЕ\=0. Поэтому собственные значения матрицы
Т(Е)~1Т(А) являются собственными значениями мат-
матрицы А.
Предположим, что А¥=0 и Т(А)=0. Для матрицы А
можно найти такую матрицу X, что матрицы X и X + А
не имеют общих собственных значений (см. задачу 15.2),
а значит, матрицы Т(Е)~1Т(А + X) и Т(Е)~1Т(Х) не
имеют общих собственных значений. С другой стороны,
эти матрицы совпадают, так как Т(А + Х)= Т{Х). По-
лучепо противоречие.
б) Если Т(Е) = Е, то из доказательства а) следует,
что собственные значения Т(А) являются собственными
значениями А. Поэтому если собственные значения мат-
матрицы В = Т(А) некратные, то собственные значения
матрицы В совпадают с собственными значениями мат-
матрицы А = Т~1(В). Для матрицы В с кратными собствен-
собственными значениями можно рассмотреть сходящуюся к ней
последовательность матриц Bt с некратными собственны-
собственными значениями (см. п. 43.5, теорема 2) и заметить, что
собственные значения матриц В; сходятся к собственным
значениям матрицы В (см. задачу 11.6).
ЗАДАЧИ
32.1. Пусть X — матрица размера тпХп, где тп > 1.
Докажите, что преобразование X >-»• X нельзя предста-
представить в виде X >-+ АХВ.
13*

196 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
32.2. Пусть /: Afn>n -»- Afnn — невырожденное отобра-
отображение, прячем f(XY) = f(X)f(Y) для любых матриц X в
Y. Докажите, что f(X) = АХА~\ где А — фиксированная
матрица.
Решения задач
27.1. Дополним векторы v и w до базисов пространств V и W.
Если v' ® и/ = v ® и?, то разложения векторов у' и и?' по атим
базисам имеют вид Xv и \xw. Ясно также, что Xv ® цю =
= fyi(u ® и?), т. е. \х = 1Д.
27.2. а) Утверждение очевидным образом следует из опреде-
определения.
б) Возьмем базисы пространств 1т А] и 1т А2 и дополним их
до базисов {а} и {е,} пространств Wx и W%. Пространство Im^i ®
® W2 порождено векторами ei ® е,, где ej e 1тЛ(, а пространство
Wl ® Im Aa порождено векторами е,- ® е^, где е3- е Im Л2. Поэтому
пространство (Im^i ® И'г) П (Wi ® 1тЛ2) порождено векторами
е« ® 8j, где eiSlm^, и е,- е Im .42, т. е. это пространство совпада-
совпадает с Im Ai <gi [га Л2.
в) Возьмем базисы пространства КегЛ[ и КегЛ2 и дополним
их до базисов {е,} и {bj} пространств Vj и Vt. Отображение -4i®
@)А2 переводит ;>лемепт е< ® 8j в нуль, если е<еКегЛ( или е^ s
г Кег А2; остальные элементы вида а ® е^ это отображение пере-
переводит в базис пространства lmA^®\mAt, т. с в линейно неза-
независимые элементы.
27.3. Выберем в пространстве V, П V% базис {vi} и дополним
его до базисов {i>|} и {и*} пространств Fj и Уг. В результате по-
получим базис [vit vj, v%] пространства Vi + V2. Аналогично постро-
построим базис {и>а, и>р, ш*} пространства Wj + W2. Тогда {yi®«"a»
»{®ш^ ^®ша, ^®ш>} и {^®ша, t'i®"'*, "I®wat «^®
® ш*] —базисы пространств Fi ® W( и Fa ® Wj, причем элементы
этих базисов содержатся в базисе пространства (Vi + V2) ®
® (W^i +^2), т. е. они в совокупности линейно независимы. Сле-
Следовательно, {vf ® wa) — базис пространства (V\ ® W\) П (V2 ® Ws).
27.4,»-Ясно, что Ах = х—2(а, х)а, т. е. Аа = —а и Лж = х
длн л; е а-1-.
27J). Фиксируем а ф 0; Л (а, ж) — линейная функция, поэтому
А (а, х) = (ft, х), причем Ъ = В(а), где В — некоторое линейное
отображение. Если хА-а, то А (а, я) = 0, т. е. F, х) = 0. Поэтому
ах с- й-l, a значит, S(a) = 6 = Х(а)а. А так как Л(ц + ", х) =
= Л(ц, ж) 4-^(", х), то a,(ti + «>)(ti+ w) == X(u)u + X(v)v. Если
векторы и в v линейно независимы, то Х{и) = X(v) = ?.; любой

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 197
другой вектор w линейно независим с одним из векторов и к »,
поэтому k(w) = А,. Для одномерного пространства утверждение
очевидно.
28.1. Будем поочередно менять местами два первых аргумента
и два последних: f(x, у, z) = Цу, х, z) = —f(y, z, x) =
= —/(z, У, х) —f(z, х, У) = /(*, *, У) =—/(*, V, z), поэтому
2f(x, у, z) = 0.
28.2. Продолжим отображение / до билинейного отображения
Ста х С1"-»-Сп. Рассмотрим уравнение /(z, z) = 0, т. е. систему
квадратных уравнений /i(z, z) = 0, ..., /„(г, г) = 0. Предположим,
что п <т. Тогда эта система имеет ненулевое решение z = х + iy.
Из второго условии следует, что у ф 0. Ясно также, что 0 =
= /(z, z) = /(ж + iy, x + iy) = /(ж, х) — /(», у) + 2i/(*, у), поэто-
поэтому /(ж, х) = /(у, 1/)#Ои /(ж, у) = 0. Это противоречит первому
условию.
28.3. Элементы аг= e2i-iAe2i лежат в Л2 G), поэтому а{Лс^ =
= os^. Д а{ и ск4 Л °Ч = 0- Следовательно, Л"© = 2 °Ч Л • • •
... Д ain = п\ аг Д ... Л О6П = п! ех Д ... Л e2ir
28.4. Пусть на диагонали жордановой нормальной формы мат-
матрицы А стоят числа Xi, Х,п. Тогда det(.4+£) = (l + ^i)...
...Ц + \п) и tr(A94)= 2 *•» •••h (CM- п- 28^ Доказа-
Доказательство теоремы 3).
28.5. Если А = || ац |™, то матрица рассматриваемой системы
уравнений равна S*(A). Кроме того, detS2^) = (det.4)r, где г =
2
="JJ С„+2_1 = п +1 (см. п. 28.5, теорема 3).
28.6. Легко проверить, что ah = tr(\hA). Если в жордановом
базисе диагональ матрицы А имеет вид (Ki, Яп), то sh = Я,1+...
... + X* и ak = 2 ^i ••• ^ib- Требуемое тождество для функций
sk и а» доказано в 4.1.
28.7. Пусть е,- и в}, где 1 sg / < i»,— двойственные базисы. Ве-
Величину п! <^ Д • • • Л »n. /i Л •• • Л /я>. гДе yi = 2 a4ej- и /i ="
= 2 bjfij, можно вычислить двумя способами. С одной стороны,
она равна
-1. \ ...."./ = . -V'1 W.J? =det4B.
/ХЫ ••• /«С») 2a«^i ••• 2а«Л«

198 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
С другой стороны, она равпа
\ftnl
= ft jS^ \...knB V" "re! (\ Л • • • Л e^, zh Д ... Д eJn) =
= У A b'i-1»
29.1. Так как Pf D) = 2 (—1)*Ч i - • • ai2n_1i2n> причем сум-
суммирование ведется по всем разбиениям множества {1, ..., 2п) на
нары {f»_i, г»}, где i2h-i <ы, то 2
... а, : . Остается заметить, что знаки перестановок а
Г
'
■ i ш М от-
личаются на (—1) x 2 . В самом деле, для перемещения элемен-
элемента jj в верхней строке о на первое место требуется h — 1 транс-
транспозиций, а для перемещения i2 на второе место требуется £2 — 2
транспозиций.
29.2. Легко проверить, что G = XJX1, где / =
= diagjf_° J). .-..(_J J))- Поэтому Pf(G) =detX.
30.1. Ясно, что если w = «1 Д «! Л • • • Л ег> то « Л «i = °-
Предположим теперь, что мДе;=0 при i = 1, ..., г и ег Д •••
... 1\етФ§. Дополним векторы еь ..., ет ДО базиса et,..., е„
иространства V. Тогда w = 2a» Uei Л •-■ Л eib» причем
2 aiv..ike\ Л • • • Л «ift Л «{ = « Л «i = 0 при i = 1,..., г. Если не-
ненулевые тензоры ei Д ... Д et Д ei линейно зависимы, то тен-
тензоры ei Л • • • Л eih тоже линейно зависимы. Поэтому аг __ ifc = 0
при i ф\i\, ..., ih}. Следовательно, аг .фО, только если
{1, - -., г} '<= {h, ..., к), а значит,
<B = Bbi1...ift_rei1A •••Ле4я_г)Де1Д ... Д V
30.2. Рассмотрим линейное отображение /: У-»-Лп(Т), задан-
заданное формулой / (у) = рДм. Так как dim An(V) = 1, то dim Кег / ^
^ п — 1. Поэтому существуют линейно независимые векторы
ei, ..., en-i, лежащие в Кег /, т. е. е4 Д «в = 0 при г = 1, ..., и — 1.
Согласно задаче 30.1 w = К е^ Д ... Д

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 199
ЗОЛ Пусть Wi = <ei, ..., е2п>. Докажем, что W = Wu Прост-
Пространство W нвлнетсн наименьшим пространством, длн которого
AczA2W (см. п. 30.2, теорема 1). Ясно, что Л с A?Wi, поэтому
W cWt и dim W ^ dim Wx = 2п. С другой стороны, Л"м =
= п\ е1 Л ... Л е2п (см- заДачУ 28.3) и Л1*© е \2nW. Поэтому
Л2пТР ф 0, т. е. dim W 3* 2ге.
30.4. При замене базисов пространств X и Y тензоры z\ и z2
заменяются на пропорциональные им тензоры, поэтому можно счи-
считать, что *! + *, = К Л ••• Л pk)A(*iA ••• Л «r-h + ^Л •••
• ••Л Уг—ft)' где "'< • ••> У|1—базис пространства X П Y, а векторы
*i, ..., хг-ь и yi, ..., yr-.h дополняют его до базисов пространств
X и Y. Предположим, что zx + z2 = u1 Д ... Д иг. Пусть м = i? +
+ ж + У, где у <= <»i, ..., %>, а: е <г,,.... хг-кУ aye <yi yr~h>.
Тогда (zx + z2) Д u = (Uj Д ... Д i>ft) Д (^ Д ... [\хт_ъ А У + УгА
••• Л Уг—k Л х)- Если г—Л > 1, то ненулевые тенворы ^ Д ...'
.••Л^г_йЛ У и угЛ ... Л Уг-к1\ х будут линейно независимы.
Значит, в этом случае из равенства (s^ + «2) Д м = 0 следует, что
ме<1)|, .... ик>, т. е. <Mi, ..., и,> с: < i>i, ..., vhy и r<fc. Полу-
Получено противоречив, поэтому г — к = 1.
30.5. Любые два подпространства [u>i] и [w2] имеют общее
{к — 1)-мерное подпространство (см. задачу 30.4). Остается вос-
воспользоваться теоремой 1 п. 9.7.
31.1. Дополним базис е>, ..., е* пространства U до базиса ei, ...
..., е„ пространства V. Пусть Т — 2 «iyj ® • • • ® "р- Каждый
элемент vx. е V можпо представить в пиде *>] = и) + и;;., где wj e U
и u>je <eft+1, ..., еп>. Поэтому Г = 2 aiul ® • •. ® «р + • • •; раэ-
ложив элементы, обозначенные многоточием, по базису ei, .... е„,
легко проверить, что любая их линейная комбинация, не равная
нулю, не может лежать в T%(U). А так как ГеГ£(С0, т(>
J1=2aiMi®'-*®Mp' т. е. ранг элемента Т в Г£(£0 не больше,
чем в rjG). Обратное неравенство очевидно.
31.2. Пусть е®р+ ... +efp = «J® ... ® iip+ ... +^®...
... ® Up. Согласно задаче 31.1 можно считать, что и^е^е^ ...
..., eky. Тогда Mi = 2Kijej> T'e- S u\ ® • • • ® "р = Sei ®
з * )
■ ® «р. Следовательно, 2 аум2 ® • • • ® ир =*
| п0ЭТ0Му а линейно независимых тензоров г
..., е®* лежат в^пространстве (ul2 ® \.. ® mJ,, ..., м2®
размерность которого не превосходит г. Следовательно,
2 aijwl)

200 ГЛ. 5. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
32.1. Предположим, что АХ В = Хг. Тогда матрицы А а В име-
имеют размер п X m и ^^ifc^fcAjЕИ ^1- Следовательно, a<j&<j = 1 и
№,8
ацЬ,} = 0, если fc ф / или s ф I. Из первого набора равенств сле-
следует, что все элементы матриц А л В ненулевые, но тогда второй
набор равепств выполняться по может.
32.2. Пусть В, X е Мп.п. Уравнение ВХ — XX имеет ненулевое
решение X тогда и только тогда, когда X — собственное значепие
матрицы В. Если X — собственное значение матрицы В, то ВХ =
= XX длн некоторой ненулевой матрицы X. Поэтому /(В)/(Х) =
= Xf(X), а значит, X — собственное значение матрицы f(B). Пусть
В = diag([5i, ..., fin), где {}<—попарно различные ненулевые чис-
числа. Тогда матрица /(В) подобна В, т. е. / (В) — AJiA~l.
Пусть ^(Х) = 4-1/(Х)Л1. Тогда g(B) = В. Если Х=||гу1|^
то ДХ = | Pi*y|" и ХВ = | ЯцР;. ||". Поэтому ВХ = р"*Х, только ес-
если все строки матрицы X, кроме i-й, нулевые, а ХВ = |},-Х, только
если все столбцы матрицы X, кроме /-го, нулевые. Пусть Ец —
матрица, единственный ненулевой элемент которой равен 1 и сто-
стоит в г-й строке и у-м столбце. Тогда Bg{E(j) = pg(£«,•) Tig(Eti)B =
= $]g(Eij), а значит, g{Ea) = (MjEi). Легко проверить, что Etj =
= ЕцЕц. Поэтому a<j = aiios^. Кроме того, 2?ц = Еи, поэтому
а|{ = аи, а значит, апан = ait = 1, т. е. ац = I/a». Следова-
Следовательно, os,j = ал/ад. Поэтому g (X) = А^КА^, где Л2 =
= diag(au, ..., ащ), а значит, /(X) = АХА~\ где А = А^Аг.

Глава 6
МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
§ 33. Неравенства для симметрических
и эрмитовых матриц
33.1. Пусть А и В — симметрические (эрмитовы) мат-
матрицы. Будем считать, что А> В (соответственно А^В),
если матрица А — В положительно (соответственно неот-
неотрицательно) определенная. Неравенство А > 0 означает,
что матрица А положительно определенная.
Теорема 1. Если А>В>0, то A~1<B~1.
Доказательство. Существует такая матрица Р,
что А = Р*Р и В = P*DP, где D — диагональная матри-
матрица с положительными элементами па диагонали (см.
п. 20.1). Условие А>В означает, что E>D. Тогда
Е < D-\ а так как А'1 = QQ* и В'1 =» QD^Q*, где Q =
= Р-\ то А~1<В-К
Т е о р е м а 2. Если А > 0, то А + Л > 2Е.
Доказательство. Для матрицы А существует
такой ортонормированпый базис, что {Ах, х) — 2 «i | Щ |2.
В этом базисе ((А + А'1) х, х) = 2 («i + аГ^) I *i [2 и
B£ar, ar) = 2 2 12412. Остается заметить, что ац -\- оГ1 ^ 2,
так как а,- > 0.
Теорема 3. Если А — вещественная матрица и А>
> 0, то {А~\ х) = max B (х, у) - (Ау, у)).
у
Доказательство. Для матрицы А существует такой
ортонормированный базис, что (Ах, х) = 2 оцх*. Так как
/ \2 2
)
-) + -£-, то max B (ar, у) —
/ 1 у
)
у
причем максимум дости-
достигается при yL = £{/«{.
(Ai В\
33.2. Теорема 1. Пусть -4 = 1 в* А ] —положитель-
—положительно определенная матрица. Тогда det 4 < det A i det A2.

202 ГЛ. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Доказательство. Матрицы А\ и Ач положитель-
положительно определены. Легко проверить, что det A =
= 6etA1det(A2 — B*Ai1B) (см. п. 3.1). Матрица
В*А~[1В положительно определена, поэтому Aet{A2 —
— В*А~1в) ^. det А2 (см. задачу 33.1). Следовательно,
det A ^ det A\ det А%; равенство достигается, только если
В*А^гВ = 0, т. е. В = 0.
Следствие 1 (неравенство Адамара). Если матри-
матрица А = II ац ||" положительно определена, то det A <
^ ЯцЯ22... апп; равенство достигается, только если мат-
матрица А диагоналъна.
Следствие 2. Если X — произвольная матрица, то
Для доказательства следствия 2 достаточно приме-
применить следствие 1 к матрице А =ХХ*.
(Ai в\
Теорема 2. Пусть А=\д» д 1 —
положительно оп-
определенная матрица, причем матрица В квадратная. Тог-
Тогда ldetfi|2«: detail det Л2.
Доказательство [Эверит, 1958]. Пусть Т =
£ У МаТРИЦЯ Т*АТ={0 А2
ложительно определена, поэтому А2 — В*А^гВ > 0. Сле-
Следовательно, det (В*АГ1В) < det (fi*^1 В) -\- det (A2 —
- В*А-^в)^ det A2, т. е. ldetfll2 = det(BB*)<
<det A\ det Л2.
Теорема 3 (неравенство Сасса). Пусть А — поло-
положительно определенная недиагональная матрица поряд-
порядка п; Ph — произведение всех главных миноров порядка
к матрицы А. Тогда
Рг> К2> - • • >^Т1 >Рп, где ah = (Cfci).
Доказательство [Мирский, 1957]. Требуемое не-
неравенство можно переписать в виде Р%~ > Ph+i
A</г=^« — 1). При га = 2 доказательство очевидно. Яс-
Ясно также, что для диагональпой матрицы Ph = Ph+i-
Предположим, что Рь~к>Ph+i A < А;<га — 1) для неко-
некоторого п ^ 2. Рассмотрим матрицу А порядка га +1.
Пусть Аг — матрица, полученная из матрицы А вычерки-

§ 33. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ 203
ванием r-й строки и г-го столбца; Ркт — произведение
всех главных миноров порядка к матрицы Аг. Согласно
предположению индукции Р^к ^ Ph+i,r для 1 < к ^
<« — 1 и 1«£г«£гс4-1, причем хотя бы одна из матриц
Ат не диагональная, поэтому хотя бы одно из неравенств
П+ П+1
строгое. Следовательно, Ц P^k >Ц Pk+i.r для 1</с^
Г=1 Г=1
<п—1, т. е. /^n-ft><"+1-">>p<Jl!_-ft>ft. Сократив на п — к,
при п Ф к получим требуемое. При п = к рассмотрим
матрицу ad j Л = В =- | Ьц Ц?4. Так как А > 0, то В > 0
(см. задачу 19.4), поэтому Ьц ... fen+i,n+i >detZ? =
= (det.4)n (см. следствие 1 теоремы 1), т. е. Рп>Р"+1.
Замечание. Неравенство Pi > Р„ совпадает с пе-
равенством Адамара.
33.3. Теорема 1. Пусть aj>0, 2ai =1 и At>0.
Тогда.
| а1А1 +... + afeJ4ft|^ \At |ai ... | Аь |aft.
Доказательство [Мирский, 1955]. Рассмотрим
сначала случай к = 2. Пусть А, В > 0. Тогда существует
такая матрица Р; что Р*АР = diag(Xi, ..., ?и) = Л и
Р*ВР = Е. Поэтому Р*(аА+A-а)В)Р = аЛ+A-а)Е,
т. е. |о4 +A — а)В] ■ \Р*Р\ = |аЛ + A— а)Е\; ясно
также, что |Р*Р| = IB]'1. Следовательно, \аА +A— а)В|=
п
= IВI П(а^» + 1 — а)- Докажем теперь, что если 0 < а <
<1 и %>0, то al + i — а>ка. Функция J(t) = V вы-
выпукла вниз, так как /" (t) = (lnXJV >0. Поэтому
f(ax + (i — a)y)<af(x) + (l — a)f(y). Остается поло-
положить ж = 1 и у = 0. В итоге получаем \аА +A — а)В| ^
> \В\ ■ 1Л|а= Ш1 • Ша\В\-а=\А\а\В\1-а.
Дальнейшее доказательство проведем индукцией по к;
будем считать, что к ^ 3. Так как а\А\ +... +акАк =
=*A —ah)B + акАк, причем матрица В = ai^j/(l — ak) +
iAh-il(l — а*) положительно определена, то

204 ГЛ. в. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
А так как т—-± f- ... -f- rzF"*" = *»
то
-ж/A—к) ..
Замечание. Можно проверить, что равенство до-
достигается тогда и только тогда, когда А \ = ... = Ак.
Теорема 2. Пусть %t — произвольные комплексные
числа и А{>0. Тогда
|det(Mi + • • • + KAh) I < det(l^iUi + ... + \kk\Ak).
Доказательство [Фрэнк, 1965]. Пусть ft = 2;
можно считать, что A,i = 1 z J,j = J,. Существует такая
унитарная матрица U, что матрица UAiU~l=D диаго-
нальна. Тогда М = VAzV'1 >0и
det {Аг + КА2) = det (D + Ш) =
р-о
S
где набор (jfi, ..., /П-Р) дополняет (ii, ..., tp) до A,...,п)
(см. решение задачи 2.1). Из неотрицательной опреде-
определенности матриц М ж D следует, что Л/I , .
Vi ••• '
и dj^O. Поэтому
Проведем теперь доказательство индуктивного шага.
Снова будем считать, что Xi — 1. Пусть А = А\ и А' =■
= ^42 + ... + Xk+iAt+i. Существует такая унитарная
матрица»-£/, что матрица UAU~l=*D диагональна; матри-
матрицы М} = UAjU~l и М = UA'U~l неотрицательно опреде-
определены. Поэтому
I det (Л + А')\ = | det(Z) + М)|<
71
<2 2 л

■§ 33. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ 205
Так как М = Х2М2 + ... + Xh+iMh+i, то согласно предпо-
предположению индукции
Остается заметить, что
п / Ь-"-1 / i i \ \
2. 2 «v-.d^det 2|я3-|м3-f1 ;U
*)=01^. ..<5р х \j=2 \ll"-lp//
= det(Z) + |Я2|М2+ ... + |*,ft+1| Mfe+1) = detB| Яч
33.4. Теорема. Пусть вещественные матрицы А и В
положительно определены, а матрицы А\ и Bi получают-
получаются из А и В вычеркиванием первой строки и первого
столбца. Тогда
\А + В\ \А\ \В\
Доказательство [Беллман, 1955]. Если А >О,
то
(х1Ах){у,А-'у)>(х,у)'. A)
В самом деле, существует такая упитарная матрица U,
что U*AU = Л = diag(A,i, ..., Я,„), причем h>0. После
замены х — Ua и у = Ub перейдем к неравенству Ко-
ши — Шварца
(S^?)Bfe?Ai)>B«ifeiJ. B)
Неравенство B) обращается в равенство при сц =
поэтому
/ (А) =
-.—Ц^г-
(у, А~1у)
Докажем теперь, что если г/=A, 0, 0, ..., 0) = еь то
j() Ul/Uil. В самом деле, (elt A^ej) = exA~xe\ =
= (в1 adj Л вО/| 41 = (adj A)al\ A\ =\A1\I\A\.
Остается заметить, что min g (x) + min h (x) ^
X X
<! min (g (x) + h (x)) для любых функций g и fe, и поло-
х
жить g(a;) = (a;, Ах)/(х, е\) и fe(a;) = (a;, Bx)/(x, е\).

206 ГЛ. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕГЛВЕНСТВА
ЗАДАЧИ
33.1. Пусть А и В — матрицы порядка п («>1)т
Л В 0 Д |Л + В|Ы1 +
у р р
причем Л>0 и В >0. Докажите, что
+ |В|, причем равенство достигается только при В = 0.
33.2. Матрицы А и В эрмитовы, причем А > 0. Дока-
Докажите, что \&et(A + iB)\ ^АвЬА, причем равенство дости-
достигается только при В = 0.
33.3. Пусть Ah и Вк — угловые подматрицы порядка к
положительно определенных матриц А я В, причем А >
> В. Докажите, что \Ак\ > \Вк\.
33.4. Матрицы А и В вещественные симметрические,
причем А > 0. Докажите, что если матрица С = А + Ш
вырожденная, то Саг = 0 для некоторого ненулевого ве-
вещественного вектора х.
33.5. Вещественная симметрическая матрица А поло-
положительно определена. Докажите, что
33.6. Докажите, что если А > 0, то \A\lfn =
— m'mtr(AB)Jn, где п — порядок матрицы А и минимум
берется по всем положительно определенным матрицам В
с определителем 1.
§ 34. Неравенства для собственных значений
34.1. Теорема 1 (неравенство Шура). Пусть ki, ...
..., Я» — собственные значения матрицы А = Цау!?. Тогда
п п
2 | ^{ |2 ^ 2 I аЧ [2i причем равенство достигается тогда
и только тогда, когда А — нормальная матрица.
Доказательство. Существует такая унитарная
матрица' U, что матрица Т = U*A U верхняя треугольная^,
причем матрица Т диагональна тогда и только тогда,
когда матрица А нормальна (см. п. 17.1). Так как Г* =
°-V*A*U, то TT* = U*AA*U, а значит, 1гGТ*) =
— tr(AA*). Остается заметить, что tr (АА*) = 2 la»jl2 и
2
*=1

§ 34. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 207
Теорема 2. Пусть %и ..., кп — собственные значе-
значения матрицы А = В + iC, где матрицы В и С эрмитовы.
Тогда
< 2
S |ImЯг|2< S Ы2.
i=l U=l
Доказательство. Пусть, как и в доказательстве
теоремы 1, T = U*AU. Так как В=(А+А*)/2 и iC =»
— (Л—Л*)/2, то U*BU = (T + T*)/2 и U*(iC)U =
= (Г —J*)/2. Поэтому
2 2 = tr (ЯВ*) = tp(T + Г*J/4 =
= 2 |Re^|2
i
34.2. Теорема 1. Пусть А и В — эрмитовы матрицы,
С = А + В. Упорядочим собственные значения этих мат-
матриц в порядке возрастания: cci ^... < а„, р^ < ... ^ jJn,
Yi < ... *S in. Тогда:
а) 4i><*i + $i-i+i при i>j\
б) y* ^ «j + Р*-н-п «ри i ^ /.
Доказательство. Выберем для матриц А, В vs. С
такие ортовормированные базисы (at), {&<} и {с<}, что
Лпг = а{а< и т. д. Предположим сначала, что i > j. Рас-
Рассмотрим подпространства V\ = <ah ..., а»>, Уг =
=» <bi-j+u ..., Ь„> и Уз= <ci, ..., с«>. Так как diim Vi =
= п — 7 + 1, dim Уг = га — t + j и dim V$ = i, то
dim(F! П F2 П 73)> dim V, + dim V2 + dim F3 - In — 1.
Поэтому подпространство Vi П Vr2 П F3 содержит некото-
некоторый вектор х единичной длины. Ясно, что aj+[J{_j+i<
s£(.r, Ах) + (х, Вх) = {х, Сх)<ъ.
Заменив матрицы А, В и С на —А, —В и —С, нера-
неравенство б) можно свести к неравенству а).
(В С\
Теорема 2. Пусть А = I с„ д I — эрмитова матрица.
Упорядочим собственные значения матриц А и В в по-

208 ГЛ. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
рядке возрастания: а,\ *£ ... *£ а„, рЧ < ... *£ $m. Тогда
at ^ Pi ^ CLi+n-m.
Доказательство. Выберем для операторов А п В
ортонормироваиные собственные базисы W и {bt}; мож-
можно считать, что операторы А л В действуют в простран-
пространствах V и U, где U <= V. Рассмотрим подпространства
V\ — <of, ..., а„> и F2='<bi, . ••, Ь(>. Подпространство
Fi Л Уг содержит некоторый едипичпый вектор х. Ясно,
что аг<(а;, Ах)=-(х, Вх)*^$и Применив зто неравенство
к матрице —А, получим —an_«+i < —$m-t+u т. е.
?i ^ Oj+n-m.
34.3. Теорема. Пусть А и В — эрмитовы проекто-
проекторы, т. е. А2 = А и В2=В. Тогда собственные зна-
значения матрицы АВ вещественны и заключены меж-
между 0 и I.
Доказательство [Африат, 1956]. Собственные
значения матрицы АВ =(ААВ)В совпадают с собствен-
собственными апачениями матрицы В(ААВ) = (АВ)*АВ (см.
п. 11.7). Последняя матрица неотрицательно определен-
определенная, поэтому ее собственные значения веществепны п не-
неотрицательны. Если все собственные значения матрицы
АВ нулевые, то эрмитова матрица (АВ)*АВ нулевая,
а зпачит, АВ = 0 (см. задачу 8.3). Предположим теперь,
что АВх = Хх¥-0. Тогда Ax = k~1AABx = %-1ABx = x,
а значит, (х, Вх) = {Ах, Вх) = (х, АВх) = К(х, х), т. е.
К — (х, ВхI(х, х). Для матрицы В существует такой ор-
тонормированный базис, что (х, Вх)= $i\xA2 + ...
... + pjzj2, где £}< = 0_или 1. Поэтому К < 1.
34.4. Числа а< = У^<, где Xt — собственные значения
матрицы А*А, называются сингулярными значениями
матрицы А. Для эрмитовой неотрицательно определенной,
матрицы сингулярные значения совпадают с собственны-
собственными зпачепиями. Если A =S U — полярное разложение-
матрицы А, то сингулярные значения матрицы А совпа-
совпадают с сЪбствепными значениями матрицы S. Для мат-
матрицы S .существует такая унитарная матрица V, что S =*
= VAV* п матрица Л диагональна. Поэтому любую квад-
квадратную матрицу А можно представить в виде А =
= VAW, где матрицы V л W унитарны, а Л =■
=»diag(oi, ..., а„).
Теорема 1. Пусть аи ..., о„ — сингулярные значе-
значения матрицы А, причем а{ > .. .> ап, а %и ..., kn ~ соб-
собственные значения матрицы А, причем \КГ\ > ... > UnL
Тогда IXi... Xm\ < d ... om при m<n.

§ 34. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 2091
Доказательство. Пусть Ах = к\х. Тогда\к1\2(х,'х)=
= (Ах, Ах) = (х, А*Ах) ^ о\ (х, х), так как а\ — наиболь-
наибольшее собственное значение эрмитова оператора А*А. По-
Поэтому l^-iI *£ Oi; при т = 1 неравенство доказано. Приме-
Применим полученное неравенство к операторам Ат(А) и
Лт(А*А) (см. п. 28.5). Их собственные значения равны
Н • • • ^*т И а\ • • • Oim' ПОЭТОМУ \Х\ . . . Хт\ < Oi . . . От.
Ясно также, что \Ki.. .^„1 = Idet ЛI —ydet(A*A)~
= Oi ... о„.
Теорема 2. Пусть Oi > ... > ап — сингулярные зна-
значения матрицы А, л > ... > т„ — сингулярные значения-
п
матрицы В. Тогда \ tr (ЛВ)\ ^ 2 a&i-
Доказательство [Мирский, 1975]. Пусть А ==
= C/i5Fi и В = U2TV2, где £/< и ^--унитарные матри-
матрицы, S=diag@i, ..., о„) и r = diag(xb ..., т„). Тогда-
SVUTV) (VVSVVT) ilTSVT)
где u={V2Ui)T и V = ViU2. Поэтому |trD£)|
= 12 тмил} I < B1 мц |s (TiTj + 21 Уу i2 ст^)/2. Матри-
Матрицы с элементами |н,-,12 и Ы(}\2 дважды стохастические,.
^| i in -- VI X1 1 12 V /
поэтому 2л I uii 1 o'lTi ^ ^J сг*'г* и -*J I УУ Г ct«tj ^s -^ °*т« (см>
задачу 38.1).
ЗАДАЧИ
34.1. Докажите, что каждое собственное значение мат-
матрицы Цац 1? принадлежит одному из кругов la^ — z\ *S p»,.
где р* = 2 I «w I (круги Гершгорина).
34.2. Докажите, что если U — унитарная матрица,
а 5 > 0, то 11т (US) I < tr S.
34.3. Докажите, что если А ж В — неотрицательно оп-
определенные матрицы, то \ir (AB) I «^ tr A tr В.
34.4 [Каллен, 1965]. Докажите, что Нт Ак = 0 тогда
ft-»oo
и только тогда, когда выполпепо одно из следующих
условий:
а) все собственные значения матрицы А но модулю
меньше 1;
б) существует такая положительно определенная мат-
матрица Я, что Я — А*НА > 0.
14 в. В. Прасолов

210 ГЛ. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Сингулярные значения
34.5. Докажите, что если все сингулярные значения
матрицы А равны, то А =■ W, где V — унитарная мат-
матрица.
34.6. Докажите, что если сингулярные значения мат-
матрицы А равны oi, ..., ов, то сингулярные значения мат-
матрицы adj А равны J] Oi, ..., Ц сгь
34.7. Пусть Oi, ..., On — сингулярные значения мат-
матрицы А. Докажите, что собственными значениями матри-
/0 А\
цы являются числа Oi, ..., оя, —o*i, ..., —оя.
\А* о/
§ 35. Неравенства для норм матриц
35.1^Операторной (Ули спектральной) нормой матри-
матрицы А называется величина ]] A [|s = sup ■ *7 ; число р (А) =
l!#o
= max \м, где ki, ..., %п — собственные значения матри-
матрицы А, называется спектральным радиусом матрицы А.
Так как существует такой ненулевой вектор х, что Ах =
= %{х, то \\АК>р{А).
Легко проверить, что если U — унитарная матрица,
то ИЛИ, = 1ЫЕЛ1В = IIСМИ,. Для этого достаточно заметить
что \AUx\l\x\ = \Ay\/\U-1y\ = \Ay\/\y\, где у =■ Ux и
\UAx\/\z\-\Ax\/\x\.
Теорема 1. ЫК = Ур(А*А).
Доказательство. Если A = diag(^i, ..., Х„), то
<| Ах|/|х|J = 21 hxi|*/S| si|2 <max\h\. Пусть |Я,1 =
= maxl^,-l и Лж = KjX. Тогда lArl/UI = 1^1. Поэтому
11ЛН, = р(Л).
Любую матрицу А можно представить в виде А =
=> UAV, где U и V — унитарные матрицы, а матрица Л
диагонадьна, причем на ее диагонали стоят сингулярные
числа матрицы (см. п. 34.4). Поэтому 114II, = НЛ11в =
р()р()
Теорема 2. Если матрица А нормальна, то \\А1\3 =
(А)
Р()
Доказательство. Нормальную матрицу А можно
лредставить в виде А — U*AU, где A = diag(>,i, ..., К)
и V — унитарная матрица. Поэтому А* А =• U*AAU.
Пусть 4е< = Я,4е« и xt=U~1ei. Тогда 4М |Л|2
а значит, р(А*А) = р(АJ.

§ 35. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ НОРМ МАТРИЦ 211
35.2. Евклидовой нормой матрицы А называется ве-
величина 1А 1е -1/211 ву I1 = УЩШ) --- -|/Sol где о, -
сингулярные числа матрицы А.
Если U — унитарпая матрица, то WAU\\»=*
и WAK
(){)
Теорема. Если А — матрица порядка п, то
Доказательство. Пусть <Ji, ..., о„ — сингулярные-
числа матрицы А,. причем pi 5=... ^ а„. Тогда ^
= о\ и \\A$ = ol+...+ol Ясдо, что (Т«<а
+ п <
Замечание. Евклидова и спектральная норма не-
неслучайно выражаются через сингулярные значения мат-
матрицы; зто связано с их инвариантностью относительна
действия группы упптарш.:к матриц. Если f(A)—произ-
f(A)—произвольная функция от матряцы А и f(A) = f(UA)= f(AU)
для любой унитарной матрицы U, то / зависит лишь от
сингулярных значений матрицы А. В самом деле, А =
= UAV, где A = diag(oi, ..., о»), a U и V — унитарные
матрицы. Следовательно, /(Л)=/(Л).
35.3. Теорема 1. Пусть А — произвольная матрщат
S — эрмитова матрица. Тогда Ы — (А + А*)/211, <
^ 11.4 — S\\e, причем равенство достигается только при
S = (A+A*)I2.
Доказательство. Легко проверить, что
=trr
Поэтому
прлчем равенство достигается только при S = (А + А*)/2.
Теорема 2. Если S > 0 и U — унитарная матрица,
то WS —Е II, < 115 — Е/Ив, причем если S > 0, то равенства
достигается тогда и только тогда, когда V — Е.
Доказательство. Ясно, что (S—U)*(S — £/) =
= S2-(U+U*)S + E и {S - E)*(S - Е) = 52 -2S + Е.
Поэтому 15 - £/Ц- \S - Ej% = 2 tr S - tr((tf + 17*M)'
14*

212 ГЛ. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Так как \tr(US)\ <iiS и Itr(£/*S)I < brS (см. зада-
задачу 34.2), то tr((£/+tf*)S)< ltr(tfS)l + ltr(£/*S)!<2trS.
Если S > 0, то равенство может достигаться, только
•если U = e*E. В этом случае tr((£/ + U*)S)=-
= (е'* + е~**)\х S. Ясно, что если е** + е~* = 2, то е*» = 1.
Теорема 3. Пусть A >=-US — полярное разложение
матрицы А. Тогда для любой унитарной матрицы X спра-
еедливо неравенство WA — U\\e < WA — Х\\„ причем для
невырожденной матрицы А равенство достигается только
при X = U.
Доказательство. Ясно, что Ы — Х\\е =
— WS — ZH, - 017E - U~lX)II, = «5 - U-'XK. Согласно
теореме 2 WS — U~lXK > WS — £11, — Ы — J7II., причем
■если S > 0, то равенство достигается, только если
U-XX = Е, т. е. X - U.
35.4. Теорема. Пусть А — невырожденная матрица,
X — вырожденная матрица. Тогда \A — X\i~^\A~1^1,
причем если \\А~Ч, = р(А~1), то существует такая вы-
вырожденная матрица X, что || А — X Цв = | А~1 \^1.
Доказательство [Франк, 1961]. Возьмем такой
вектор v, что Xv = 0 и v -Ф 0. Тогда
Предположим теперь, что IL4-4I, = 1Я~Ч у у,
т. е. 4у = %у. Тогда || A (f1 = | Я, | = 14г/1/| у |. Матрица
Х = А—%Е вырожденная и |А — Х\в = \%Е1 = \Ц =
ЗАДАЧИ
35.1*. Докажите, что если \ — нулевое собственное
значение матрицы А, то ЦЛ!^ О^КМЦ».
35.2. Докажите, что IUBII, < МИ8Ш1, и II4BII, <
< оливу..
35.3. Пусть А — матрица порядка п. Докажите, что
2-я

g 36. ДОПОЛНЕНИЕ ПО ШУРУ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ АДАМАРА 213
§ 36. Дополнение по Шуру и произведение Адамара
(Ап Аг\
36.1. Пусть А — . . — блочная запись матрицы
\Л21 Л22/
А, причем \Аи\ ^0. Напомним, что дополнением по Шу-
Шуру матрицы Ац в А называется матрица (А\Ап) =
= Аг2 — АпА^Аы (см. п. 3.1).
Теорема 1. Если А>0, то (А\Ап)>0.
Доказательство. Пусть Т = I u 1, где
V О К I
(Ап 0 \
= А21. Тогда матрица Т*А Т = .
\ U Л22'
положительно определена, а значит, А22 — В*А^В >- 0.
Замечание. Аналогично можно доказать, что если
А 3*0 и \Ац\^0, то (А\Ац)>0.
Теорема 2. Если Н и К — произвольные положи-
положительно определенные матрицы порядка п, а X и Y —
произвольные матрицы размера пХт, то
X*H~1X+Y*KY-(X+Y)*(H + K)-1
Доказательство. Пусть Т =1 я I. Матрица
\ ° Ет )
А = Т* ( ) Т =(х« x^_ixj неотрицательно опреде-
определенная. Аналогично, матрица В = | VMK-iJ\ неотри-
неотрицательно определенная. Остается применить теорему 1 к
дополнению по Шуру матрицы Н + К в матрице А + В.
Теорема 3. Пусть А, В > 0 и Ап, Вц > 0. Тогда
(А + В\Аи+Вп) > (А\Ап) + (В\Вп).
Доказательство. По определению (А+В\Ац +
+ Bn)^(Aai + Ba2)-{Aai + BnUAu + Bn)-HAa + В12),
а согласно теореме 2 А^А^А^ + В^В^В^ ^ (Aa +
+ ^21) (^ii + ^п)~3 (А12 + Вп). Поэтому (А + В\Аи +
+Яп) > D22 + B22)-(A2lAZMi2 + В21Вг?В12)=(А \ Аи) +
+ \Р I -Вц)-
Полученные результаты можно применить к доказа-
доказательству следующего утверждения.

214 ГЛ. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Теорема 4. Пусть Ah и Вк — угловые подматрицы
порядка к положительно определенных матриц А и В
порядка п. Тогда
Доказательство [Хэйпсворт, 1970]. Заметим сна-
сначала, - что согласно теореме 3 и задаче 33.1
)\ > \(А\Аи)\
(В\Вп) I = \А\/\Аи\
При « = 2 получаем \А + В\ = U, + Ву\ • I (А +
+ В\А1 + В1)\>(Ш + |fl,|)(UI/M,| + \ВЦШ).
Предположим теперь, что утверждение доказано для
матриц порядка п — 1 и докажем его для матриц поряд-
порядка п. По предположению индукции
Кроме того, согласно сделанному выше замечанию
I (A + BU.., + Я._,) | > \А\1\Ап-у\ + |В|/Шв-,|. По-
Поэтому
36.2. Если А—1|ay||" и В = ||Ьу||"—квадратные мат-
матрицы, то их произведением в смысле Адамара называет-
называется матрица С = \\ су ||", где с« = ацЪц. Произведение в

§ 38. ДОПОЛНЕНИЕ ПО ШУРУ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ АДАМАРА 215
смысле Адамара обозначается А" В (иногда использует-
используется обозначение А * В).
Теорема 1 (Шур). Если А, В>0, то А»В>0.
Доказательство. Пусть U = juy|" —такая уни-
унитарная матрица, что_А = U*AU, где A = diag(^i, .._., ta).
Тогда aij = 2 UpihjiUp}, а значит, 2 яуЬуачж,- =
_ р U
= 2 ^р 2 bijifiyf, где у\ = XiUPi. Все числа %Р попожитель-
р *.i
яы, поэтому остается доказать, что если числа х( не все
нулевые, то числа yf тоже не все нулевые. Для
этого достаточно заметить, что 21 J/f Г — 21 ^i^pi |2 =
2
Теорема 2 (Оппенгейм). Если А, В > 0, го
det D - В) > (Д яи) det В.
Доказательство. Для матриц порядка 1 утверж-
утверждение очевидно. Предположим, что утверждение доказа-
доказано для матриц порядка га — 1; запишем матрицы А а В
порядка п в виде
21
где аи и Ьц — числа. Тогда &et(A°B) —
= пцЬц det (Л ° В\а\\Ь\\) и {А ° В | йцЪп) = А22 ° ^га—
Так как матрицы (А\пп) и (В\Ьц) положительно опреде-
определены (см. п. 36.1, теорема 1), то согласно теореме 1 матри-
матрицы Л22 ° (В\Ьц) и (А | аи)' (B2lBltbZi) положительно опре-
определены. Поэтому det(/4 ° В)> оцЬц det(^22 °(В|Ьц)) (см.
задачу 33.1). Согласно предположению индукции
! °(В\Ьц))> «22. ..anndet(#lbn); ясно также, что
) = detfi/fen.
Замечание. Равенство достигается, только если
матрица В диагональная.
ЗАДАЧИ
36.1. Докажите, что если А и В — положительно оп-
веделенные матрицы порядка п, причем А > В, то
Ы+В\>\А\- "-

216 ГЛ. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
36.2. [Дьекович, 1904]. Докажите, что любую поло-
положительно определенную матрицу А можно представить
в виде А = В ° С, где В и С — положительно определен-
определенные матрицы.
36.3 [Дьекович, 1904]. Докажите, что если А>0 а
В>0,то тк(А °В)>ткВ.
§ 37. Неотрицательные матрицы
37.1. Понятие положительного числа обобщить для
матриц можно разными способами. С одним из этих обоб-
обобщений — положительно определенными матрицами — мы
уже познакомились. В этом параграфе мы займемся дру-
другим обобщением — положительными матрицами.
Веществеипая матрица ^ = la»j!|i называется поло-
положительной (соответственно неотрицательной), если все
ау>0 (соответственно ау>0). В этом параграфе для
положительных матриц будет использовано обозначение
А > 0; запись А~>В означает, что А — В > 0. Обратите
внимание, что во всех остальных параграфах обозначение
А > 0 озпачает, что А — эрмитова положительно опреде-
определенная матрица.
Вектор х=(х\, ..., х„) называется положительным,
если Xi > 0. Обозначение: х > 0.
Матрица А порядка п называется разложимой, если
множество {1, ..., п) можно так разбить на два непустых
подмножества / и J, что а« = 0 при i ^ I и j e J. Иными
словами, матрица А разложима, если перестановкой строк
- (Аи А1*\
z столбцов ее можно привести к виду I 0 . , где Ац
и А22 — квадратпые матрицы.
Теорема. Если А — неотрицательная неразложимая
матрица порядка п, то (Е + А) п~' > 0.
Доказательство. Для каждого ненулевого неот-
рицателйаого вектора у рассмотрим вектор z = (E + A)y «
= У + -^У- Предположим, что пе все коордипаты вектора
у положительны. Перенумеровав при необходимости век-
,- (и\
торы оазиса, можно считать, что у = I_ I, где и>0.
^21 f* 9„и ^п "** ^' то ^2|М "** ®' Поэтому у вектора z по
крайней мере на одну положительную координату боль-

g 37. НЕ0ТРИЦАТЕ.1ГЫШЕ МАТРИЦЫ 217
ию, чем у вектора у. Следовательно, если у > 0 и у Ф О,
то (ЕЛ-А)п~^у>0. Беря в качестве вектора у базисные
векторы, получаем требуемое.
- 37.2. Пусть А — неотрицательная матрица порядка п
я х — неотрицательный вектор; rse = sup{pS* 0\Ах^ рж}.
Пусть, далее, г =5= sup rx. Супремум достаточно взять не
яр всем х 5= 0, а лишь по компактному множеству Р =
= {x>0\\x\ = i). Поэтому существует такой ненулевой
неотрицательный вектор z, что Az^rz, и не существует
такого положительного вектора w, что Aw>rw.
Неотрицательный вектор z называется экстремальным
■вектором матрицы Л, если Az^rz.
Теорема 1. Если А — неотрицательная неразложи-
неразложимая матрица, то г > 0 и экстремальный вектор матрицы А
является собственным вектором.
Доказательство. Если 1 = A, ..., 1), то Л|>0,
поэтому г > 0. Пусть z — экстремальный вектор матрицы
А. Тогда Az — rz = r\^0. Предположим, что tj^O. До-
мпожив обе части равенства на (Е + Л)п~1, получим
Aw-rw = (E + A)n~1r\>0, где w = (E + A)n-lz> 0. При-
" ходим к противоречию.
Замечание 1. Ненулевой экстремальный вектор z
матрицы А положителен. В самом деле, z > 0 и Az = rz,
поэтому (l + r)n~lz = (E + A)n-1z>0.
Замечание 2. Собствеппый вектор матрицы А, со-
•ответствующий собственному зпачению г, единствен с
точностью до пропорциональности. В самом деле, пусть
Лх = гх и Ау = гу, причем х>0. Если \i = ram(yjxi), то
У1 > uarj и вектор z = y — цх имеет неотрицательные ко-
координаты, причем по крайней мере одна из них равна
нулю. Предположим, что z Ф 0. Тогда z > 0, так как
-z^O и Az = rz (см. замечание 1). Приходим к противо-
противоречию.-
Теорема 2. Пусть А — неотрицательная неразло-
неразложимая матрица, а матрица В такова, что \btj\ ^пц. Тогда
если р" — собственное значение матрицы В, то |($| < г,
причем если р" = ге'ф, то |ЬУ| =atj и В = e1<fDAD~l, где D =
-diag(di, ..., dn) и ld.l-1.
Доказательство. Пусть Ву = $у, где у¥*0.
Рассмотрим вектор y+ = (lyil, ..., 1г/„1). Так как $yi —
2 Ъ то | fa [ = 21 Ьуу} | < 2 ац | у) |, а значит,

218 ГЛ. в, МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Предположим теперь, что £ = re'9. Тогда у+ — экстре-
экстремальный вектор матрицы А, а значит, у+>0 и Ау+ = гу*..
Пусть В+ — | Ьу |, где Ьу = (Ьц ]. Тогда В* < А и В+у+ =
=*гу* =Ау+, а так как у+>0, то В+=А. Рассмотрим
матрицу D = diag(du ..., dn), где а\ = уг/\уг\. Тогда у =»
= Dy+ и равенство By = $у можно переписать в виде-
BDy+ = §Dy+, т. е. Су1- = гу+, где С = e'W^BD. Из опре-
определения матрицы С следует, что С+ = В+ = Л. Докажем
теперь, что С+ = С. В самом деле, Су+= гу+= В+у+=
= Ау+ = С+у+, а так как G+ >С и у+ > 0, то С+у+>Су\
причем равенство возможно, только если С = G+ — А.
37.3. Теорема. Пусть А — неотрицательная нераз-
неразложимая матрица, к — количество ее различных собствен-
собственных значений, по модулю равных наибольшему собствен-
собственному значению г, причем к > 1. Тогда существует такая
матрица перестановки Р, что матрица РАРТ имеет блоч-
блочный вид
0
0
0
A.
Аи
0
0
0
0
423
0
0
0
0
••• Ak-uh
0
Доказательство. Наибольшие по модулю собст-
собственные значения матрицы А имеют вид aj = rexp(£q>,)..
Применив теорему 2 п. 37.2 к матрице В = А, получим
А = exp (i(ty) • DjADJ1. Поэтому p(t) = \A — tE\ —
= | exp (iqfi-DjADJ1 — tE\= Xp (exp (— iq>s) t), где Ш = 1.
Числа ai, ..., ah являются корнями многочлена р, поэто-
поэтому они инвариантны относительно поворотов на углы фл.
Учитывая, что собственное значение г некратное (см..
задачу 37.4), получаем а, = гехрB/я£/А:). Пусть у\ — соб-
собственный вектор, соответствующий собственному значе-
значению ai = rexpBju//s). Тогда yt>Ony1 = D1yf (см..
п. 37.2, доказательство теоремы 2). Существует такая
матрица'перестановки Р, что PDtP = diag(e viEv ....
...,e*Ve£s), где числа е1?1, ..., еч* попарно различны »
Е\, • •., Е, — единичные матрицы. Если вместо вектора у\
взять вектор е~ viy1, то можно считать, что ^i = 0.
Разобьем матрицу РАР* на блоки Apq в соответствии
с разбиением матрицы PDiPT. Так как A=ex])(iq>j)DjAD~%
то
РАРТ = ехр(£фО (PDiPT) (PAPT) (PD^)-1,

g 37. НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ 219
т. е. Ард = ехр ] i (ур — yq + -у) 1 Apq. Значит, если
~ -j- YP#Vem°d 2л, то 4рв = 0. Числа 7< попарно раз-
различны, поэтому для любого р существует не более одного
такого числа q, что АРд ^ 0 (при этом q^p). Из нераз-
неразложимости матрицы А следует, что хотя бы одно такое
число q существует. Следовательно, существует такое
отображение Pl-*q(p), что Ард^^О и ~г" + Vp =
mod 2л. Для р = 1 получаем 7<j(i)=-£- тос12л. Пос-
После перестановки строк и столбцов матрицы РАРТ можно
■считать, что 7?<i) = Тг- Продолжив аналогичные рассуж-
рассуждения, можно получить ife(j-i) = ifj — 2я(/ — i)/k при
2^7<min(&, s). Докажем, что s = k. Предположим сна-
сначала, что Ks<k. Тогда -£- + yt — утФ0mod2я при
К г =£ s. Поэтому Л„ = 0 для 1 «* г < s, т. е. матрица А
приводима. Предположим теперь, что s>k. Тогда ^=
•= 2(i — 1)л/к при 1^£</с. Числа fi попарно различны
лри 1 ^; ^ s и для любого i, где 1 ^ i ^ А;, найдется та-
такое число / A < 7 < ^), что ~y + Vi^ 7j m°d 2я. Поэто-
Поэтому -^- + Yi^7rmod2я при Ki<A;Hft<r<s, т. е.
AiT = 0 нри таких /с и г. В обоих случаях приходим к
противоречию, поэтому /г = s. Теперь ясно, что при ука-
заиыом выборе матрицы перестановки Р матрица РАРТ
имеет требуемый вид.
Следствие. Если А > 0, то наибольшее положи-
положительное собственное значение матрицы А по модулю боль-
больше всех остальных ее собственных значений.
37.4. Неотрицательная матрица А называется прими-
■тивной, если она иеразложима и наибольшее по модулю
собственное значение единственно.
Теорема 1. Если матрица А примитивна, то Am>Q
для некоторого пг.
Доказательство [Маркус, Минк, 1975]. Поделив
элементы матрицы А на наибольшее по модулю собст-
непиоо значение, можно считать, что А — неразложимая
матрица, наибольшее собственное значение которой равно
i, а все остальные собственные значения по модулю
меньше 1. Пусть S~*AS = L в) — нормальная жорда-

220 ГЛ. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
нова форма матрицы А. Так как все собственные значе-
значения матрицы В по модулю меньше 1, то limZ?" = 0 (см..
Я-»оо
задачу 34.4, а)). Первый столбец хт матрицы S является
собственным вектором матрицы А, соответствующим соб-
собственному значению 1 (см. задачу 11.8). Следовательно,
этот вектор является экстремальным вектором матрицы
А, а значит, х{>0 (см. п. 37.2, теорема 1). Аналогично-
первая строка у матрицы £"' состоит из положительных
элементов. Поэтому ]inij4" = limS( |5~ =
= S( )S-1 = хту>0, а значит, Ат>0 для неко-
некоторого т.
Замечание. Если i>0 и Ат>0, то матрица А
примитивна (см. задачу 37.5).
Неотрицательной матрице А порядка п можно сопо-
сопоставить ориентированный граф с п вершинами. В этом
графе
вершины
и 7 соединены
щим из i
Например,
0 1
Л =
0 0
0 0
1 1
в 7,
с номерами i
ребром, иду-
если ах. > О-
матрице
0 .
1 .
0 .
0 .
.. 0
.. 0
.. 1
.. 0
(IV
Vх/
Л-/'
сопоставляется граф, изобра-
изображенный на рис. 7.
Рис 7 Матрица А неразложима
тогда и только тогда, когда
вершины графа можно разбить на такие множества / и
J, что нет ребер, идущих из вершин множества / в вер-
вершины множества J.
Индукцией по к легко проверить, что матрице АК
сопоставлен граф, в котором вершины с номерами i и /
соединены ребром, идущим из i в /, если для графа, со-
соответствующего матрице А, существует путь длиной к,.
идущий из i в / в соответствии с ориентацией ребер.
Теорема 2. Если А — примитивная матрица поряд-
порядка п, то А'1 > 0 при y = nz — 2n + 2, причем для матрицы
А порядка п>д, заданной равенством A), эта оценка
точная.

§ 37. НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ 22t
Доказательство.. Сопоставим матрице А граф..
Пусть h — наименьшая длина пути с началом и концом,
в вершине i (если я((>0, то ls = l); I — наименьшее иа
чисел Zf. Для определенности будем считать, что l = h a
«12 > 0, а2з > 0, ..., ап > 0. Пусть р — произвольная вер-
вершина. Длина кратчайшего пути, ведущего из нее в одну
из вершин 1,2,..., I, не превосходит п — I. Его можно
продолжить до пути длиной ровно п — I, ведущего в одну
из этих же вершин. Пусть это будет вершина /. Согласно-
теореме 1 и замечанию к ней матрица А1 тоже примитив-
примитивна. Соединим в соответствующем ей графе вершину /
с вершиной q. Длина кратчайшего такого пути не пре-
превосходит я—1. В графе, соответствующем матрице А1,.
вершина j соединена сама с собой, поэтому путь, соеди-
соединяющий ; с q, можно продолжить до пути длиной п — 1.
Следовательно, в графе, соответствующем матрице А,
любые вершины р и q можно соединить путем длиной
n-l + (n-i)l, т. е. Л"-'+(п-1)'>0. Ясно также, что Z<
< га — 1, так как в противпом случае соответствующий
граф является циклом и любой степени матрицы А со-
соответствует цикл. Следовательно, п — Z + (» —1I =
= (ra-2)Z + ra=sS(ra-2)(«-l)+/i = »2~2« + 2. Остается*
заметить, что если Л>0 и Ат>0, то Ah>0 при к>т
(см. задачу 37.1).
Перейдем теперь к доказательству точности нашей
оценки. Докажем сначала, что в графе, изображенном на
рис. 7, нет пути длиной п2 — 2га + 1, идущего из вершины
\ в вершину 1, т. е.Dя ~2 1)ц = 0. Любой путь, идущий
из вершины 1 в вершину 1, состоит из р обходов по боль-
большему циклу длиной га и q обходов по меньшему циклу
длиной п — 1, причем р > 1. Предположим, что
рп+ q(n— 1) = («— IJ. Тогда —q=a imodn, а значит,
q>n— 1. Следовательно, q(n— 1)>(п— IJ и р«^0. По-
Получено противоречие.
Докажем теперь, что в рассматриваемом графе для
любых двух вершин i и j существует путь длиной
п2— 2п+ 2, идущий из i в /. Ясно, что из любой вершины
i в любую вершину / Ф i ведет путь длиной а, где 0 ^ а =5
«^ п— 1. Пройдя из i в ), можно дополнительно совершить
р обходов по циклу длиной п и q обходов по циклу дли-
длиной п — 1, причем если i = j = 1 и q > 0, то р > 0. В слу-
случае i = / положим /; = 1и<7 = га — 2. Тогда рп + q(n — 1) =
■" и2 — 2га + 2. Докажем теперь, что если К а < п — lv

222 ГЛ. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
то уравнение pn+q(n — l)+a = «2 — 2п + 2 имеет неот-
неотрицательное целочисленное решение (р, q). Так как
л2 — In + 2 — а > п2 — Зге + 3, то достаточно доказать, что
уравнение рп+ q(n — l) = d имеет неотрицательное реше-
решение (р, q) при d > п2 — Зга + 3. Доказательство проведем
индукцией по d. При d — п1 — Зге + 3 положим р = 1 и ,
g = re — 3. Для доказательства индуктивного шага раз-
разберем два случая.
1. q>0. Тогда p'n + q'(n- l) = d+1 для р'=р+1
и 9' = q — 1.
2. 9 = 0. Тогда pn — d и /)>п-2. Положив />' =
= р — га + 2 и gr' = n — 1, получим p'n + q'(n— l) — d+ 1.
Согласно задаче 37.5 рассматриваемая матрица при-
гмитивна, поэтому оценка для *((А) точная.
ЗАДАЧИ
37.1. Докажите, что если А>0 ж Ак>0, то Ah+l>0.
37.2. Докажите, что неотрицательный собственный
•вектор неразложимой неотрицательной матрицы положи-
положителен.
(В С\
37.3. Пусть А = (jy р\ — неотрицательная нераз-
неразложимая матрица, причем В — квадратная матрица. До-
Докажите, что если а и [J — наибольшие собственные зна-
'чепия матриц А и В, то р1 < а.
37.4. Докажите, что если 4 — неотрицательная нераз-
неразложимая матрица, то ее наибольшее собственное значе-
значение является пекратным корнем характеристического
многочлена.
37.5. Докажите, что если А > 0 и Ат > 0, то матрица
А примитивна.
37.6. Докажите, что если А — неотрицательная не-
неразложимая матрица и йц>0, то матрица А при-
примитивна.
37.7 [Шидак, 1964]. Матрица А примитивна. Может
.ли ксугачество положительных элементов у матрицы А
-быть больше, чем у матрицы А2?
§ 38. Дважды стохастические матрицы
38.1. Неотрицательная матрица .A = !Jay|;J называется
п п
«дважды стохастической, если 2 ач ~ 1 и 2 аУ = 1 при
1 = 1 ;=1
.«сех i и /.

§ 38. ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ 22$
Теорема 1. Произведение дважды стохастических
матриц является дважды стохастической матрицей.
Доказательство. Пусть матрицы А я В дважды.
п п п
стохастические и С = АВ. Тогда 2 су = 2 2 «ip^ =:
» р1
i
я я я я
= 2 Ьр, 2 Я{р — 2 bPj = 1. Аналогично 2 СУ =
P=l i=l P=l i="l
Теорема 2. Если матрица А = ||ву|? унитарная, то-
матрица В = || by i|", где Ь« = I я« 12, дважды стохастическая..
Доказательство. Достаточно заметить, что
2|ayl 2Kl .
1=1 3=1
38.2. Теорема 1 (Биркгоф). Множество всех дваж-
дважды стохастических матриц порядка п является выпуклым
многогранником с матрицами перестановок в качестве
вершин.
Пусть ц, ..., ifc — некоторые номера строк матрицы А,.
/1, ...,// — некоторые номера столбцов. Матрица Иа<Д где
i s Ци ..., ik) и /s {jlt ..., /,}, называется подматрицей
матрицы А. Диагональю матрицы А называется набор
элементов ai,0(i), ..., ani4n), где о — некоторая перестанов-
перестановка. При доказательстве теоремы Биркгофа нам потре-
потребуется следующее утверждение.
Теорема 2 (Фробениус — Кениг). Каждая диаго-
диагональ матрицы А порядка п содержит нулевой элемент
тогда и только тогда, когда матрица А содержит нулевую-
подматрицу размера sXt, где s + t = n + 1.
Доказательство. Предположим спачала, что на
пересечении строк ц, ..., i, и столбцов /ь ..., /( стоят ну-
нули, причем s + t = n+l. Тогда хотя бы одно из s чисел
o(ii), ..., a(i,) принадлежит множеству {/i, ..., /(}, т. е.
соответствующий элемент диагонали нулевой.
Предположим теперь, что каждая диагональ матрицы
А порядка п содержит нулевой элемент, и докажем, что
тогда матрица А содержит нулевую подматрицу размера
sXt, где s + t = n+l. Доказательство проведем индук-
индукцией по п. При п = 1 утверждение очевидно. Предполо-
Предположим теперь, что утверждение верно для матриц порядка
п — 1, и рассмотрим ненулевую матрицу порядка п. Вы-
Выберем в пей ненулевой элемент и выбросим строку и:
столбец, его содержащие. В полученной матрице порядка
п — 1 каждая диагональ содеришт нулевой элемепт, по-

224
ГЛ. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
этому у нее есть нулевая подматрица размера st X tu где
-Si + h = п. Следовательно, исходную матрицу А переста-
шовкей строк и столбцов можно привести к блочному ви-
виду, изображенному на рис. 8.
Предположим, что матрица X имеет диагональ без
нулевых элементов. Любую диагональ матрицы Z можно
дополнить этой диагональю до диагонали матрицы А.
t,
X
Y
0
z
Рис. 8
Следовательно, любая диагональ матрицы Z содержит ну-
.левой элемент. В результате получаем, что нулевой эле-
элемент содержат либо все диагонали матрицы X, либо все
диагонали матрицы Z. Пусть, для определенности, все
диагонали матрицы X содержат нулевой элемент. Тогда
матрица X содержит нулевую подматрицу размера pXq,
где р+ q = Si + 1. Следовательно, матрица А содержит
нулевую подматрицу размера pX(ti + q) (на рис. 8 эта
матрица заштрихована). Ясно также, что p + (h + q) =
+ l + +l
i
Следствие. У любой дважды стохастической мат-
матрицы есть диагональ, состоящая из положительных эле-
элементов:
В самом деле, иначе эта матрица содержит нулевую
лодматрицу размера sXt, где s + i = »+l. Сумма эле-
элементов каждой из рассматриваемых строк и каждого из
рассматриваемых столбцов равна 1; на пересечениях этих
■строк и столбцов стоят нули, поэтому сумма одних лишь
элементов этих строк и столбцов равна s + t = n + 1, что
•больше суммы всех элементов, равной п. Приходим к
противоречию.

§ ,!8. ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ 225
Приступим теперь к доказательству теоремы Биркгофа.
Нужно доказать, что любую дважды стохастическую мат-
матрицу S можно представить в виде S — 2Я{Р{, где Pi—
матрица перестановки, А,45*0 и 2Я4 = 1. Применим ин-
индукцию по числу к положительных элементов матрицы S
порядка га. При к = п утверждение очевидно, так как в
этом случае S — матрица перестановки. Предположим
теперь, что матрица S не является матрицей перестанов-
перестановки. У этой матрицы есть положительная диагональ (см.
следствие теоремы 2); пусть Р — матрица перестановки,
соответствующая этой диагонали, и ж — наименьший эле-
элемент диагонали. Яспо, что хФ\.. Матрица Т =
= х-—^E —жР) днажды стохастическая, причем поло-
положительных элементов у нее по крайней мере на один
меньше, чем у матрицы 5. По предположению индукции
матрицу Т можно представить в требуемом виде, a S =
Т
{)
Теорема 3. Любая дважды стохастическая матрица
S порядка п является выпуклой линейной комбинацией
не более чем га2 — 2га + 2 матриц перестановок.
Доказательство. Вычеркнем из матрицы S по-
последнюю строку и последний столбец. Матрица S одно-
однозначно восстанавливается по оставшимся (га— IJ элемен-
элементам, поэтому множество дважды стохастических матриц
порядка п можно рассматривать кап выпуклый многогран-
многогранник в пространстве размерности (га—IJ. Остается вос-
воспользоваться результатом задачи 7.2.
38.3. Теорема 1. Пусть х\ 3* ж2 3* ... 3» хп и i/i 3* ...
... 3* ?/„, причем ху + ... + xk e£ jh + ... + ук при всех к < га
и х\ + ... + хп = yi + ... + уп. Тогда существует такая
дважды стохастическая матрица S, что Sy — x.
Доказательство. Пусть 7 = diag(yi, ..., уп),
^=]]му||"— ортогональная матрица и H—UYUT. Тогда
'*« — 21игрI2Ур-Таким образом, если у — столбец (уи •••
р
• ■., Уп), h — столбец (Ац, ..., hnn) и S = !|syl™, где sy =
= \щ\2, то h — Sy. Так как S — дважды стохастическая
матрица, то остается воспользоваться результатом тео-
теоремы 47.3. Обратите лишь шшманне па то, что в форму-
формулировке нашей теоремы и теоремы 47.3 числа упорядо-
упорядочены по-разному.
15 в. в. ПрасолЪв

226 ■I'-'I. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Теорема 2 (неравенство Г. Вейля). Пусть ai ^ ...
... ^ ос — модули собственных значений невырожденной
матрицы A, o*i > ... > о„ — ее сингулярные значения.
Тогда а\ -1- ... • j- a^^ cr'i -;- ... -[- (т* З.гя всех к < га и
s>0.
Доказательство. Согласно теореме 1 п. 34.4
ai.. .ak ^ Oi... о» при /с<я и ai... а„ = Oi ... о„. Пусть
а; и у — столбцы (Inai, ..., 1па„) и (lnai, ..., lnan).
Согласно теореме 1 существует такая дважды стохасти-
стохастическая матрица S, что х — Sy. Фиксируем к =^ п и для
?/. = (ui, ..., ы„) рассмотрим функцию /(») = /("')"'г • ■ •
... + /(«»), где /(i)=exp(si) — выпуклая функция; функ-
функция / выпукла на множество векторов с положительными
координатами. Фиксируем теперь вектор и с положитель-
положительными координатами и рассмотрим функцию ^(^) = /Eи),
определенную на множестве дважды стохастических
матриц. Если 0*£Ж1, то g{%S + (l - а)Г)= ({XSu +
+ iT)fS) + (i\)fT)(S) + (i\)(T
)(
т. е. функция g выпуклая. Выпуклая функция, опреде-
определенная на выпуклом многограннике, принимает наиболь-
наибольшее значение в одной ил его вершин. Следовательно,
g(S)^. g(P), где Р — матрица некоторой перестановки л
(см. теорему 1 и. 38.2). В результате получаем f(x)-=
= f(Sy) = g(S)<g(P) = !(y4i), ..., у„1п)). Остается за-
заметить, что / (х) -- охр (s In ал) ; ... - г- exp (s In a7i) - - a* -J-
ЗАДАЧИ
38.1 [Мирский, 1975]. Пусть Л =- рлу Ц" — дважды
стохастичес1»ая матрица; а^ > ... 3* #„ X) и yi > ...
...5э;/„Х). Докажите. ^no'^ia1.sxrytl^.'^ix1.yr.
38.2 .(Веллмап, Гофман, 1954]. Пусть >.i- • - •, ?.„ —соб-
—собственные значения эрмитовой матрицы //. Докажите, что
точка с координатами (Лц, ..., /(„„) принадлежит выпук-
выпуклой оболочке точек, координаты которых получаются па
чисел /.1, ..., Я„ всевозможными перестановками.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 227
<и Решения задач
•п > •
33.1. Существует такая матрица Р, что Р*ЛР = Е и Р*ВР =
= diagftii цп), где Hi 3*0. Поатому \Л + В\ = d2 Д A + ц<)>
|/l!=d2 и j#|=d2JJni. где rf=|detP|. Ясно также, что
П (i -h иО =--= * -I- C^i-i- - - - -i- t^n) +Л\ч>1 + Ц\ч ue-
piiiieucTBo строгоо, если ц,1 -f- • ■ • + V-n > 0, т. е. хотя бы одно из
чисел |л 1, ..., |in отлично от нуля.
33.2. Как и в предыдущей задаче, det (A-\-iB)—d~ Д (osft -{- г'РА)
ii det Л ■- -■ d2 Д аЛ, где а* > О nP,(e'R. Так как |а* + фь12 =
= |а(,|2+ |^л|2, то |аА+'Р*| ^ а* > 0, причем неравенство стро-
строгое, если рь ^= 0.
33.3. Так как Л — В = С > 0, то ЛА = Ль + Ск, где ЛА, Дь, СЛ >
> 0. Поатому \Ah\ > \Вк\ + \Ск\ (см. задачу 33J).
33.4. Пусть х + 1у — непулевой собственный вектор матрицы С,
соответствующий пулевому собственному значению. Тогда
(Л + W) (х + ir/) = (Лх — Bj/) + ЦВх + Лу) =0, т. е. Ах = By и
И у = — Вх. Поэтому 0^(Лж, х) = (By, х)= (у, Вх) = —(у, Лу)^
^0, т. е. (Лт, х) = [Лу, у) =0. Следовательно, Ах = Ау = 0,
а значит, Лх = Вх = 0 и Л# = By = 0, причем хотя бы одип и;)
векторов хну отличен от нуля.
33.5. Пусть г— (zi, ..., г„). Квадратичная форма Q, соответ-
п
ствующая рассматриваемой матрице, имеет вид 2 2 rj202i ~Ь
-(- (Лг, г) =- 2zQ (z, г) -|- (Лг, z). Форма () положительно определена
на подпространстве кораамерности I. поэтому остается доказать,
что квадратичная форма Q не является положительно определен-
определенной. Если х *Ф 0, то (г, х) Ф 0 для некоторого z. Поатому число z0
можно подобрать так, что 2зо(г, х) + (Az, z) < 0.
33.6. Существует такая унитарная матрица U, что U*A U =
-= diag(?.i Х„), где Х( ^ 0. Кроме того, tr(AB) = b'(U*AUB'),
где /i' = U*BU. Поэтому можно считать, что Л = diag(Xi, ..., Кп).
В утом случае tr (AB)/n -=B Х^ц) /n > (JjxibiiI/n=
= |Л|1/"(ДЬНI/'1. Остается заметить, что Д &и> | Д | = 1
(см. н. 33.2).
34.1. Пусть X — собственное значение данной матрицы. Тогда
система 2 aijxj -- ^'ri ('— 1> ••■>«) имеет ненулевое решение
(j*i, .... .rn). Выберем с]>еди чисел xi, ..., а"п наибольшее по моду-
модулю; пусть ато будет а*. Так как ahhrh— K-rk== — 2 ол, то
I ohh*fc- ^*h| < S I akjxj I < PhI rh |' т- е- Ы — Х\ ==£ ()*.
15*

228 ГЛ. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
34.2. Пусть S= V*DV, где £) = diag(Xi *,„), V— унитар-
унитарная матрица. Тогда tr(US) = li(UV*DV) = tr(Vi/F*D). Пусть
7tf7* = W = | u>y flj. Тогда tr (US) = 2 wah- Так как W - уни-
унитарная матрица, то | w« | ^ 1, а значит, | 2 wn^i | < 21 'ч | =
Если S > 0, т. e. Xi # 0, то tr S = It(US) тогда и только тог- *
да, когда м>н = 1, т. е. W = Я, а значит, U — Е. Равенство trS =
= [tr(f5)[ для положительно определенной матрицы S может
выполняться, только если и>ц = е*», т. е. U = е{Щ.
34.3. Пусть osi^...^osn^O и Pi^...^pn>0 — собствен-
собственные зпачения матриц Л и В. Для неотрицательно определенных
матриц собственные значения совпадают с сингулярными значе-
значениями, поэтому | tr (АВ) | < 2 KiP{< B а0 B Pi) = lr A lT B
(см. п. 34.4, теорема 2).
34.4. а) Если lim Ah — 0 а Ах = Кх, то lim Xkx = 0. Докажем
fc-юо ft-»oo
тиггррь, что если |Х,| < 1 для всех собственных значепнй матри-
матрицы Л, то lim4ft=0. Это утверждепие достаточно доказать для жор-
дановой клетки А = кЕ + N. Ясно, что (ХЕ + N)h = ^ С^Я,*^'
и Л7' = 0 при i ^ ге, где ге — порядок матрицы 4. Остается заме-
заметить, что С{<тг-/\\ и limfcV^O.
ft->oo
б) Если Лж = Ьи матрица // обладает указапными свойст-
вями, то 0 < (Нх — Л*ПЛх, х) = (Их, х) — (Пкх, Кх) =
= (Нх, х)A — |?i|2). Ноатому |Х| < 1, так как (Нх, х) >().
Предположим теперь, что lim Ah = 0. Тогда lim (A*)h — 0 п
ft-*oo ft-»oo
lim D*)ft Ak — 0. Легко проверить, что если lim Bk — 0, то все
ft-»oo k-»oo
собственные значения матриц Bk стремятся к нулю. Поэтому все
собственные значения матрицы (А*)тЛ'п по модулю меньше 1
при некотором т. Рассмотрим матрицу И = Е + А*А +...
...+(Л*)т-1Ат~1. Легко проверить, что Н — Л*НА =Е— (Л*)тЛт.
Собственные значения последней матрицы равны 1 —а;, где at —
собственные значепия матрицы (А*)ыАт. Так как а; < 1, то 1 —
— OSi > Q,.
34<в! Собственные значения эрмитовой матрицы Л*А равны,
поэтому А*А = tE, где teR. Следовательно, матрица U = ^l/tA
унитарная. *
34.6. Достаточно применить результат задачи 11.10 к матри-
матрице А*А.
34.7. Достаточно заметить, что
= + \а*А — Х2е\ (см. п. 3.1, теорема 2).
—\)?Е—А*а\

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 229
r*>4i<85.1. Предположим, что Ах *= \x, причем Кх Ф 0. Тогда
£ 1*- Поэтому шах-^->-^-= >. и
. Пусть у = Вх Тогда
Согласно задаче 34.3 || АВ \\ — tr (B*A*AB) = tr (ВВ*А*А)
35.3. Пусть а у ..., ап — сингулярные значения матрицы А.
Тогда сингулярпые значении матрицы ad j А равны JJ а;, . . .
i
•••■> JJoj(задача 34.6), поэтому j|Ар| = а\ +...-! о* и
i/n
— JJ Oj4-. ..-■-JJ п;. Предположим сначала, что матрица А не-
вырожденная. Тогда || ad j A jij| = (а\ ... а\)\ — —...+ -j ]. Нере-
\°i fTn'
ва о* ... о^, < п~" (о^ +...-]- о^)п и [ -5 -f ...
множив неравенства
Обе части этого неравенства непрерывно зависят от элементов
матрицы А, поэтому неравенство верно и для вырожденных
матриц.
Иеравопстпо обращается в равенство, если С\ = ... = ап, т. с.
матрица А иронорциоиальпа унитарной матрице (см. задачу 34.5).
36.1. Согласно теореме 4 п. 36.1
\А J- В I > I А , I 1 -
Кроме того, |-4,,|/|В*| > 1 (см. задачу 33.3).
36.2. Пусть В (к) ^||ft;j||r. где 1>ц = \ и Ъц = У. при i Ф j. Тог-
Тогда В{к) > 0 при 0 < X, < 1 (см. задачу J9.5), а зиачит, С(Я) в

230 ГЛ. 6. МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
= ЛоВ(Х)>0. Кроме того, lim С (X) — Л. Поэтому существует.
такое число А,о, что С().о) > 0 и ?.о < 1. Тогда А = С(к0) о Д(>.0) '—
искомое разложение.
36.3. Если В > 0. то можно воспользоваться теоремой Шура
(см. и. 36.2, теорема J). Предположим теперь, что rk В = к, где
0<&<гкИ. Тогда матрица В содержит положительно опреде-
определенную главную подматрицу М(И) ранга А- (см. задачу 19.2). Пусть
М(А) — соответствующей подматрица Л; таи как Л > 0, то М(А) >
> 0. Но теореме Шура подматрица Л/(Л) оМ[В) матрицы Л о А? не-
невырождена.
37.1. Пусть Л:-1а.,Х. A"*-B--\bi;f{ u ВЛ~С *№&■
Тогда сPq = Ь,.|й|, + ... + br.n<inq. причем btj > 0 и ац ~S* 0. ГГред-
положим, что ср7 = 0. Тогда u\,t = ... = я,!4 = 0. т. с </—ii столбец
матрицы А пулевой, ^ледова гелыю, q-h гтолГц.'ц матрицы И = Ак
тоже нулевой. Получено противоречие.
37.2. Предположим, что Данный сооствеипыи вектор пе явля-
является положительным. Можно считать, что он имеет вид («1, где
х > 0. Тогда
А В\1*\1Ах\
с d)[q)-[cx)'
а значит, Сх = 0. Л так как С ^ 0, то С = 0. поэтому дапная мат-
матрица разложима. Получено противоречие.
37.3. Пусть у > 0 — ненулевой собственный вектор матрицы В,
соответствующий собственному значению Р; ;г = (о)' Тогда Ах =
1В
■
во Ах = $х выполняться не может, так как собственныii вектор
неразложимой матрицы положителен (см. задачу 37.2). Кроме то-
того, sup{f ^ 0 | Ах — 1.x ^ 0} ^ р, цричем если р = а, то х — экст-
экстремальный вектор (см. п. 37.2, теорема 1), а значит, Ах = {Jz. По-
отому р <*"а.
37.4^.'Пусть /(X) = |Л — Ш\. Легко проверить, что /' (к) =
71
= — 2 | ^i ~ ^^ |' гДе Ai — матрица, получепная из матрицы А
пычиркиванием i-й строки и j-ro столбца (см. задачу 11.9). Если
г п rs — наибольшие собственные значения матриц Л и Ai, то г >
> г{ (см. задачу 37.3). Следовательно, все числа |Л,- — гЕ\ поло-
положительны или отрицательны одновременно, так как старшие ко-
коэффициенты многочленов \А( — Ы\ совпадают. Поэтому /'(г) Ф 0.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 231
37.5. Пусть Х|, ..., Х„ — собст ионные значения матрицы Л,
Hi. ..., и,,, — собственные значения матрицы Л"'. Тогда (Ц — X™.
Кечи ]ц, j >.;. 3* |Цп|, то Hi > 0 и Hi > |щ| при i =И= 1 (см. след-
стиле теоремы 37.3). Поэтому Хх~ у и^ и Xi > |Х,| при 1ф 1.
37.6. Предположим, что матрица А не примитивна. Тогда для
некоторой матрицы перестановки Р матрица РАРТ имеет вид. ука-
укапанный в условии теоремы п. 37.3. С другой стороны, диагональ-
диагональные плементы матрицы РЛРТ получаются из диагональных ,>лемен-
тов матрицы А перестановкой. Приходим к противоречию.
37.7. Да, может. Рассмотрим, например, неотрицательную .мат-
.матрицу А, соответствующую ориентированному графу 1-^A. 2),
2^C, 4, 5), 3-*(в, 7, 8), 4-MG, 7, 8), 5- F, 7, 8), G - (Г.), 7-~
-»■ (9), 8-»-(fl). 9->-A). Легко проверить, что матрица .1 неразло-
неразложима, а так как яц > 0, то она примитивна (см. задачу 'М.6). Мат-
Матрице Л2 соответствует орпептировапиый граф 1-»-A, 2, 3. А, 5),
2-^F, 7, 8), 3-*(9), 4-^(9), 5^(9), 6^A), 7-A), 8-A),
9--> A, 2). У первого графа 18 ребер, а у второго 16.
38.1. Существуют такие неотрицательные числа £,■ u rj,-, что
«г = 1г + .. - + £п и уг — Цг + ... + Пп- Следовательно,
2 xrVr ~ 2 ar,rrVs = 2 F,s - e») *!»• "=
= 2 (srs - «„) .2 5t 2 nj - 2 ?^ 2 2 («™ - «„)■
r,s j^r j^s i,j 7<is<j
Достаточно проверить, что 2 2 CV« ~~ ям) ^ °- Если *^/, то
2 2 eM =-■ 2.2 »„. -0:>™«y 2 2 (fir. - «„) > 2 2 («« -
— flf,) = 0. Случай i>/ разбирается аналогично.
38.2. Существует такая унитарная матрица I/, что II = f/Af/*,
где Л = diag(A.i, ..., ?in). Так как ''ij = 2 "ift"jft ^fc' T0 Aii =
-~ 2 xih^k> r^e ^£* = I "<fe|2. Поэтому й = XX, где X — столбец
(Xi, ..., Х„) и X —дважды стохастическая матрица. Согласно тео-
теореме 1 п. 38.2 X -= ^ 1аРо> ''ДО ''о — матрица перестановки о, ta ^ О
№' v п
." Z- 'о ■= !■ Следовательно, А -•= ^ 'с(Ро^)-

Г л а в а 7
МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ II АНАЛИЗЕ
§ 39. Перестановочные матрицы
39.1. Матрицы А и В одного порядка называются пе-
перестановочными (пли коммутирующими), если АВ = ВА.
Выясним, как устроены «се .матрицы X, перестановочные
с данной матрицей А. Можно рассмотреть даже более
общее матричное уравнение АХ — ХВ, где А и В — квад-
квадратные матрицы разного размера, так как решить ;>то
уравнение не сложнее, чем решить уравнепие АХ = ХА.
Уравнение АХ = ХВ эквивалентно уравнению
(PAP-1) (PXQ-1) = (PXQ->) (QBQ-i),
т. е. уравнению А'Х' = Х'В', где А' = РАР~1 и В' =
= QBQ~{ — жордановы формы матриц А и В, X'=PXQ~l.
Поэтому можно считать, что A = diag(Ai, ..., Ар)пВ =
= diag(Z?i, ..., Вд), где Аг и Bt— жордановы клетки.
Разобьем строки матрицы X на р блоков в соответствии
с разбиением матрицы А, а столбцы матрицы X разобьем
на q блоков в соответствии с разбиением матрицы В;
пусть Хц — соответствующие блоки матрицы X. Уравне-
Уравнение АХ = ХВ эквивалентно системе уравпений ЛгХа =
== Xt,Bj для блоков матрицы X.
А- (хп ••■ *т\
Пусть Х=1 I, Nn и Nm — пильпотептпые
V^mi • • • xmn)
матрицы порядка пит соответственно, у которых над-
днагональные элементы вида a,,(+i равны 1, а остальные
элементы равны нулю. Рассмотрим уравнение
т. е.

§ 39. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ МАТРИЦЫ 233
Легко проворить, что
■ «
... yh \
... ,, 1
1-
k-
- min (m,
n).
\ о ... о /
Ксли А, ^ ц, то, рассмотрев первый столбец обеих частей
уравнения, последовательно получим хт1 — 0, zm-i,i =
= 0, ..., хц = {). Продолжив далее такие же рассуждения
для следующих столбцов, получим Х = 0. Предположим
теперь, что X — и, т. е. NmX = XNn. Легко проверить, что
и атом случае решение X имеет вид (О, У) при
/У\
п > т, I 01 при п < т и У при п = т, где
Г =-
Размерность пространства решений раина min.(m, и).
U результате доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть % — собственное значение матри-
матрицы А или матрицы В, причем этому собственному значе-
значению соответствуют жордановы клетки порядков п\(к), ...
..., аг(К) и &i(X), ..., Ьа(Х); если X — собственное значе-
значение лишь одной матрицы, то порядки жорданооых клеток
второй матрицы считаются нулевыми. Тогда размерность
пространства решений уравнения АХ = ХВ равна
2 2min(/ii(X), &j- (/.)).
Следствие. Размерность пространства решений
уравнения АХ = ХА равна
2 2 min (а* (А.), а,-(>.)).
Теорема 2. Пусть m — размерность пространства
решений уравнения АХ = ХА, где А—квадратная мат-
матрица порядка п. Тогда следующие условия эквивалентны:
а) m = п\
б) характеристический многочлен матрицы А совпа-
совпадает с минимальным многочленом;
в) любая матрица, перестановочная с матрицей А,
является многочленом от А.

234 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
Доказательство. Согласно следствию теоремы 1
m — 2 2 min (аг (*■)• aJ С1)) ^2 2 яi (*■)' ■" ». причем ра-
всиство достигается тогда и только тогда, когда жордано-
1'ы клетки матрицы А соответствуют попарно различным
собственным значениям, т. е. характеристический много-»
член совпадает с минимальным многочленом.
Если характеристический многочлен матрицы А сов-
совпадает с минимальным мпогочлепом, то размерность
пространства <Е, А, ..., Л") равна п, потому оно сов-
совпадает с пространством решений уравнения АХ — ХА,
т. е. любая матрица, перестановочная с А, является мно-
многочленом от А.
Кслц любая матрица, перестановочная с Л, является
многочленом от Л, то пространство решений уравнении
ЛА' = А'Л содержится в пространстве (Е, А, ..., Л*~!>,
причем к^п согласно теореме • Гамильтона — Кэли.
С другой стороны, к Зг т 3* п, поэтому т — п.
39.2. Теорема 1. Пусть операторы А и В в прост-
пространстве V перестановочны и Vx(h) = {v s V\ (Л — XE)hv =
= ()}. Тогда BVx{k)<= Vx{k).
Доказательство. Операторы (Л — ХЕ)к и В пере-
перестановочны, ноотому если v^Vt.(k), то (Л — XE)hBv =
= Д(Л-?.Я)»17 = 0, т. е. Bv^Vx(k).
С л едет в и е. Пусть операторы А и В в пространстве
V перестановочны и V =V\® V% причем AVtc= Vf и ог-
ограничение оператора А на подпространства V\ и V2 не
имеют общих собственных значений. Тогда BVi^-Vu
Теорема 2. Пусть А\, ..., Л„ — коммутирующие опе-
операторы в пространстве V над С, причем пространство V
неприводимо относительно этого набора операторов, т. е.
если подпространство W с= V таково, что AiWczW при
i = 1 п, то W = 0 или W = V. Тогда dim V= 1.
Доказательство. Если Ai = X:E при всех г, то
утиергодеппе очевидно. Если же К — собственное значение
оператора Л,- и At^%E, то подпространство {v e ^'1(Л,—
— XA'fw = 0} отлично от 0 и V и ишшрпантио относитель-
относительно Ль ..., Л„ (см. теорему 1).
Теорема 3. Для любого семейства коммутирующих
линейных операторов в пространстве V над С существует
такое разложение V — Vy ® ... © Vk, что все подпростран-
подпространства V, инвариантны относительно данных операторов
и в каждом подпространстве V( любой оператор имеет
лишь одно собственное значение.

S :m. пкрестаповочнык Матрицы 235
Доказательство. Для оператора Л в простран-
стке W размерности т можно рассмотреть разложение н
прямую сумму инвариантных подпространств \\\ —
— {w «н W\ (А — XE)'"v — 0). Разложим пространство V и
прямую сумму таких подпространств для первого опера-
оператора данного семейства операторов. Полученные подпро-
подпространства инвариантны относительно всех операторов
семейства (см. следствие теоремы 1). Если какой-либо
оператор семейства имеет на одном из этих подпрост-
подпространств различные" собственные значения, то для этого
оператора и для полученного подпространства рассмотрим
аналогичное разложение. Такое измельчение подпро-
подпространств пространства V закончится на некотором шаге.
Следствие. Для любого семейства диагоналишруе-
мых попарно коммутирующих операторов существует
базис, а котором все эти операторы диагональпы.
39.3. Теорема. Матрицы А и В таковы, что любая
матрица, перестановочная с матрицей А, перестановочна
также и с матрицей В. Тогда B — g(A), где g— некото-
некоторый многочлен.
Доказательство. Матрицы А и В можпо рас-
рассматривать как линейные операторы в некотором прост-
пространстве V. Для оператора А существует циклическое
разложение V = V\ © ... © Vh, обладающее следующими
свойствами: A Ff <= VV, ограничение А; оператора А на под-
подпространство Vt является циклической клеткой; характе-
характеристический многочлен оператора А{ равен pf, причем pt
делится на pi+\ и р\ — минимальный многочлен оператора
А (см. и. 14.1). Пусть е,- — вектор, порождающий про-
пространство Vi, т. е. Vi=(eu Aeu A'*et, ...>; Р, — проектор,
отображающий пространство V на Vu т. е. Pi{vi + ...
... + у4)=у< для v, e Vi, ..., уье=К.,,. Так как Л Vt с \\
для всех /, то PtA(v\ + ... + vh) = Avt = AP{(Vi + ... + vh),
т. е. операторы Рг и А перестановочны, а значит, опера-
операторы Pi а В тоже перестановочны. Следовательно, Be, —
= BPfii = Р,Ве, е Vf, а значит, Bet = g, (A) е„ где gt — не-
некоторый многочлен. Пусть f(A)e(—произвольный пектор
пространства У,. Тогда Bj(A)e{ = f(A)Bet = /(Л )g,(A)e, =
— gi(A)j(A)ei, т. е. Bi\ = gi(A)vi для любого вектора
Докажем, что B = g\{A). Пусть п, = pjp,. Рассмотрим
для i=l, ..., А: операторы Xs: К-»- V, переводящие пек--
тор /(Л)е; подпространства V{ в вектор f(A)nt(A)ei, а на
остальных подпространствах депстиующне тождествоино.

236 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
Проверим сначала, что это определение корректно, т. е.
если f(A)ei = O, то f(A)nt(A)ei = 0. В самом деле, если
/(Л)е( = 0, то / делится на pt, а так как pi — ntpt, то »■/
делится на ри а значит, }(А)щ(А)е\ — 0. Так как
X,Af(A)et = Af(A)n((A)ex= АХ,1(А)еи то операторы Xt
и Л перестановочны, поэтому операторы Х( и Z? тоже
перестановочны. С другой стороны, XiBei = Xigi(A)ei —
= gi(A)ni(A)e1 = nl(A)gt(A)e1 и BXlel='Bnl{A)el =
= M,(^)Bei = M1D)giD)e1, поэтому и,-D) [g,-(Л)—
— gi (Л)] е, == 0. Следовательно, мпогочлеп «j(gi — gi) де-
делится на />i = ntp,, т. е. gf — gi делится па р(, а значит,
Bvt = gi(A)Vi = gi(A)Vi для любого вектора vtsV\. По-
Поэтому fi = (^)
ЗАДАЧИ
39.1. Пусть .4 = diag(ta, ..., ^„), где числа к( попарно
различны, и матрица X перестаповочпа с матрицей А.
а) Докажите, что матрица X диагопальна.
о) Пусть, кроме того, числа kt непулевые и матрица
X перестановочна с матрицей NA, где N — || 6j+ll,-1™. До-
Докажите, что X = ХЕ.
39.2. Докажите, что если матрица X коммутирует со
всеми матрицами, то X = \Е.
39.3. Найдите все матрицы, перестаповочпые с матри-
матрицей А = |й1;|!", где пц— 1 при всех i, j.
39.4. Пусть Ра — матрица, соответствующая переста-
перестановке о. Докажите, что если АР„ = Р„А для всех о, то
А = ХЕ + и/, где / — матрица, псе элементы которой
равны 1.
39.5. Докажите, что для любой комплексной матрицы
А существует такая матрица В, что АВ = ВА и характе-
характеристический многочлен матрицы В совпадает с мини-
минимальным многочленом.
З9.£.**а) Пусть А и В — перестановочные нильпотент-
пые матрицы. Докажите, что матрица А+В нильпо-
тентна.
б) Пусть Л п В — перестановочные диагонализируе-
мые матрицы. Докажите, что матрица А + В диагонали-
аиру см а.
39.7. В пространстве размерности п даны (различные)
попарно коммутирующие инволюции Ли ..., Ат. Дока-
Докажите, что т < 2".

% 40. КОММУТАТОРЫ 237
39.8. Дипгоналшшруемые операторы А\, ..., Ап по-
попарно коммутируют. Докажите, что все эти операторы
полиномиально выражаются через некоторый диагонали-
зируемый оператор.
39.9. В пространстве матриц порядка 2т укажите
подпространство размерности /л2+ J, состоящее на попар-
попарно перестановочных матриц.
39.10. Докажите, что если все матрицы, перестановоч-
перестановочные с матрицей А, являются многочленами от матрицы
В, то они являются многочленами от матрицы А.
§ 40. Коммутаторы
40.1. Пусть А и В — квадратные матрицы одного по-
порядка. Матрица АВ — ВА называется коммутатором мат-
матриц А и В и обозначается [А, В]. Равенство [Л, В] =0
означает, что матрицы А к В перестановочны. Легко про-
проверить, что tr [А, В] = 0 для любых матриц А и В (см.
ц. 11.1).
Несложные вычисления показывают, что
[А, [В,
(тождество Якоби).
Отображение аил: М„,„ -> Мпп, определенное формулой
а<1л{^)= [А, X], является линейным оператором в про-
пространстве матриц. Отображение, сопоставляющее каждой
матрице А оператор айл. называется присоединенным
представлением алгебры Мпп. Присоединенное представ-
представление имеет важные приложения и теории алгебр Ли.
Легко проверить следующие свойства отображения
ad л:
1) ad,а.в] = аA.л adu — odi, аAл (это равенство эквива-
эквивалентно тождеству Якобп);
2) оператор D — adA является дифференцированием
алгебры матриц, т. е. D(XY) = XD{Y) + '(DX) Y;
3) Dn(XY)--- 2 Cl{DhX)(/;"-'T):
n-1 ~\
■'0 D (Г1) - S A'h (DX) X
40.2. Если Л = [X, У], то irA = 0. Окапывается, верно
обратное: если irA = 0, то существуют такие матрицы

238 гл- "• МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ II АНАЛИЗЕ
X и У, что А = [X, У]. Более того, па матрицы X и У
можно накладыиать различные ограничения.
Теорема 1. Пусть 1гЛ = 0. Тогда существуют та-
такие матрицы X и У, что X — эрмитова матрица, 1гУ = 0
„ А = [X, У].
Доказательство [Фрсгус, 196C]. Существует та- >
кая унитарная матрица U. что вес диагональные элемен-
элементы матрицы UAU* — В -- \\Ьц>;" пулевые (см. и. 15.2).
Рассмотрим матрицу D = diug(<i, dlt), где d\, ■ • •. dn —
произвольные попарно различные действительные числа.
Пусть 5V---I'i/;/", где J/..-= 0 н ytl = bj(dt- d,) при i^j.
Тогда £»"! - У,/) l! (й - ^) »у I" ■■ Ц /'i;!'" = - UAU*. Сле-
Следовательно, A = t/T*/;y,t/- £/*У,#[/ = ХУ- УХ, где Х =
= U*DU и y=Lr*yiC/. Ясно, что А"—эрмитова матрица
n tr У = 0.
Замечание. Если А—вещественная матрица, то
матрицы X и У можно выбрать вещественными.
Т е о р е м а 2. Пусть tr А = 0 » Хь ..., Х„, \ц, ..., и„ —
заданные комплексные числа, причем Т^ФК) при i^j.
Тогда существуют такие комплексные матрицы X л Y с
собстиенными значениями ?ч, ..., /.„ (/ |ii, ..., н„ соответ-
соответственно, что Л = [X, У].
Доказательство [Гибсои. 197.")]. Сущестнуст
токая матрица Р, что псе диагональные элементы матрицы
РАР~1 ^B^\\biX нулевые (см. п. 15.1). Пусть Л ^
= diag(A.!. ..., %„) и c,1 = bil/(h — hi) "P" i^j- Диагональ-
Диагональные элементы сн матрицы С можно подобрать так, чтобы
она имела собственные значения \\\. ..., |д„ (см. и. 47.2).
Тогда DC — CD --• || (h —- k}) сц ||" — В. Остается положить
Х = Р-Ч)Р и У-Р-'С/>.
Замечание. Это доказательство проходит над лю-
любым алгебраически замкнутым нолем.
40.3..Те ор ем а. Матрицы А и В таковы, что для не-
некоторого s>0 равенство ad^X ^= 0 влечет равенство
ud\B ^=40. Тогда матрица В полиномиально выражается
через А.
Доказательство [Сманли, 19E1]. Случай s = \
разобран is п. 39.3; поэтому в дальнейшем будем считать,
что s 5э 2. Отметим, что при s > 2 из равенства &6\Х = 0
не обязательно следует равенство ас!д-Л ■--• 0.
Можно считать, что Л =diag(/|, ..., /,), где Л — жор-
данова клетка. Пусть Х = diag(l, ..., п). Легко проверить,

§ 40. КОММУТАТОРЫ 239
что ad^iX — О (см. задачу 40.1), а значит, ad^X ■--- 0 и
асГ^В -■- 0. Матрица X диагонализирусма, поэтому
adxZ? = O (см. задачу 40.fi). Следопателыю, В— диаго-
диагональная матрица (см. задачу 39.1, а)). В соответствии
с блочной записью A = diag(/i. ..., //) запишем матрицы
В и X в виде В = diag(/?i, ..., Bt) и X = diag(Xb .... X,).
Пусть Y-=diag(Gi->.i£).Vi, ..., (J,-K,E)X,), где h -
собственное значение жордановой «.метки /.. Тогда
аAдУ — 0 (см. задачу 40.1). Следовательно, а'1д(Х-:-
' }') = (), а значит, ad*v+Y# • = 0. Матрица X+Y днаго-
пализируема, так ка'к ее собстпениые значения равны
1 п. Поэтому ad т. Y В = 0, а значит, adr В = 0.
И.ч равенств [X. В] = 0 и [К, В] = 0 следует, что В, =
= Ь,Е (сл1. задачу 39.1). Докажем, что если собственные
значения матриц У, и У,ц равны, то Ь1 = ЬЫ\. Рассмотрим
/О ... О 1\
Г7 II ... О О
матрицу и — I I, порядок которой равен сумме
\0 ... 0 (I/
порядков матриц Л и Л+i, и в соотиетстшш с блочной
записью yl=diagG|, .... Jt) введем матрицу Z =
= diag@, U, 0). Легко проверить, что ZA = AZ = 't.Z, где
X — собственное значение матриц У, и 7,+ i. Следовательно,
ad.t(X + Z)=-ad.lZ = O, ad;\(X r Z) =.. () n ad;\-4ZB - 0.
Л так как собственные значения матрицы X + Z равны
1, ..., я, то ad.T+z5 = 0. Поэтому [Z, В] = [X + Z, В) =
= 0, т. е. fr, = fei+|.
Можно считать, что А = diag(M\, ..., Л/,,), где Mt —
объединение ;кордановых клеток с равными собственны-
собственными значениями. Тогда В (li;ig(/)'., ...,/i9), где />'j ~- 1чЁ.
Согласно и. 39.1 из равенства [W. А\ = 0 следует, что
W = Aiag(Wu ..., Wq), а значит, [W, 5] = П. Таким об-
образом, случай s^2 сводится к случаю s= 1.
40.4. Матрицы Л[, ..., Л„, называются одновременно
триангулируемыми, если существует такая унитарная
матрица Р, что все матрицы Р*А.Р верхние треугольные.
Теорема. Матрицы А\ А„, одновременно три-
триангулируемы тогда и только тогда, когда для любого
многочлена р{х\. ..., хт) от некоммутирующих перемен-
переменных матрица р{А\, ..., .1„,) [Л„ At\ нилыготентна.
Доказательство [Дрезин. Даиги, Грюнберг,
1951]. Если матрицы Аи ..., А,„ одновременно триангули-
триангулируемы, то Р*р(Аи ..., А„,)Р и Р* [A,, Aj]P — верхние тре-

240 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ II АНАЛИЗЕ
угольные матрицы, причем на диагонали последней мат-
матрицы стоят пули. Поэтому матрица р(А\, ..., Ат) [Л,-, Aj]
нилыютентна.
Предположим теперь, что псе матрицы вида р(Аи ...
..., Ат) [Аи Aj] нильпотентиы, и докажем, что тогда мат-
матрицы А\, ..., Ат одновременно триангулируемы. Докажем '
сначала, что для любого ненулевого вектора и существует
такой многочлен h(x\, ..., хт), что h(Au ..., Лт)и —
ненулевой общий собственный вектор матриц А\, ..., Л,„.
Доказательство проведем индукцией но т. При т = \
существует такое число к, что векторы и, Л,м, ..., Л[ и
линейно независимы и Аги — а^^'^и •-... |- аои.
Пусть g(x)^j*-ak-ia*-l-...-ao и *о(ат)=- £Йг'
где жо — кореш, многочлена g. Тогда go(A{)u¥>
Ф0 a (Ai-xQE)g0(Al)u = g(Ai)u = Q, т. е. go{Ax)u-
собственный вектор матрицы А\. Предположим, что ут-
утверждение верно для любых т ~ 1 матриц А\, ..., Ат-\.
Для данного ненулевого вектора и некоторый вектор v\ -—
~h{A\, ..., Ат-\)и является общим собственным векто-
вектором матриц А\, ..., Лт-\. Возможны дна случая.
1. [At, Am]f(Am)vi = 0 для любого многочлена /.
Тогда [Ai,Ai]vl---:2lA*m([Ai,Am]AknS-1vl)--0,T. с.
s=0
Aig(Am)vi = g(A,,,)AiVi для любого многочлена g. Дли
матрицы А,„ существует такой многочлен gi, что
gi(Am)vi — собственный вектор этой матрицы. А так как
Atg\ (Am)v\ =g\ (Am)AiO\ и V\ — собственный вектор мат-
матриц Аи ..., Лп-\, то gi(Am)vl = g1(Am)h(Au ..., Ат-\)и —
собственный вектор матриц Аи ■.., Ат.
2. [Л,, Am]J\ (Am)v{ Ф 0 для некоторого многочлена /i
и для некоторого L Вектор Cifi(Am)vu где С\= \Аи А,„],
ненулевой, поэтому у матриц А\, ..., Am-i есть общий
собственный вектор v2 — g\(Au ..., Am^i)Cifi(Am)vu
К вектору v-2 можно применить такие же рассуждешгя и
т. д. IJ результате получим последовательность V\, v2,
v-i, ..., где у,, —собственный вектор матриц А\, ..., Лт-\
« VkH=gh(Ai, ..., Am-i)CJk(Am)vk, причем Cft= [Ля, Л,„]
для некоторого s. Эта последовательность обрывается на
векторе vP. если [Л,-, A,,,]f(Am)vp — O для всех in дли
всех многочленов /. Для матрицы Л,„ существует такой
многочлен gP(x), что gP{A,n)vp — собственный пектор мат-
матрицы Ат. Как и в случае 1, получаем, что этот вектор

§ 40. КОММУТАТОРЫ 251
является собственным вектором матриц Аи ..., Ат и
gp{Am)vp*~gp(Am)g(Au ..., Am)h(Au ..., Am-i)u.
Остается докапать, что последовательность v\, v2, ...
обрывается. Предположим, что эта последовательность ня
обрывается. Тогда существуют числа Xi, ..., Я„+ь пе все
равные пулю, для которых X\Vi + ... + \n+lvn+i = 0, а зна-
значит, существует номер /, для которого К] Ф- 0 и —"Ци^ =
= \i+lvj+l +... + %n+lvn+l. Ясно, что vM=g,(Au ...
..., Ат-1)С£(Ат)и1, vj+2 = uj+2(Au ..., Am)Cjf}(Am)v} и
т. д. Поэтому —X;Pj = u(-4b ..., Am)C]fj(Am)v5, а значит,
/,-(Лт)и(Ль ..., Am)CspJ{Am)vi = — b)f]{Am)Vj. Следоватоль-
но. непулевой вектор fj(Am)Vj является собственным век-
вектором оператора fj(Am)u(A\, ..., Am)Cj, причем он соот-
соответствует непулевому собственному значению — к). Но по
условию этот оператор нильпотептен, а значит, у него нет
ненулевых собственных значений. Получено проти-
противоречие.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству
теоремы. Доказательство проведем индукцией по п. При
п■ = 1 утверждение очевидно. Как уже было доказано,
операторы А\, ..., Ат имеют общий собственный вектор
у, соответствующий некоторым собственным значениям
c&i, ..., ат. Можно считать, что |у| = 1, т. о. у*у = 1. Су-
Существует унитарная матрица Q, первым столбцом которой
является вектор у. Ясно, что Q*AiQ = Q* (ctty ...) =
[о A[h
причем матрицы Av ..., Ат порядка п — 1
удовлетворяют условию теоремы. По предположению ин-
индукции существует такая унитарная матрица Pi порядка
п— 1, что матрицы P^AiP1 верхние треугольные. Тогда
/1 0\
Р — Q1 о Р I — искомая матрица.
Следствие. Множество наборов (Аи ..., Ат) одно-
одновременно триангулируемых матриц замкнуто.
В самом деле, для фиксированных i и / и многочлена
р множество наборов, для которых матрица Х =
= р(А\, — Am) [A{, Aj] нильпотептна, задастся уравне-
уравнением Хп — 0; это уравнение приводит к системе алгобраи-
ческих уравнений для элементов матриц А\, ..., Ат.
Замечание. Из доказательства теоремы следует,
что матрицы А\, ..., Ат одновременно триапгулируемы
тогда и только тогда, когда существует такая певырож-
16 в. В. Прасолов

242 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
денная матрица Р, что все матрицы P~lAJP верхние тре-
треугольные.
40.5. Теорема. Если гк [А, В] < 1, то операторы А
и В одновременно триангулируемы над С.
Доказательство [Гуралник, 1979]. Предположим
сначала, что характеристический многочлен оператора В
совпадает с минимальным многочленом. Пусть С= [А, В].
Тогда rkCsSl и tr(C5')= tr(ABi+1 -ЯЛЯ<)= 0, поэтому
СВ'С = 0 при всех i>0 (см. задачу 11.3). Докажем, что.
операторы А и В имеют общий собственный вектор;
индукцией но размерности пространства тогда легко до-
доказать, что они одновременно триангулируемы (см. до-
доказательство теоремы 40.4). Если ImC^O, то пусть v —
ненулевой вектор, лежащий в ImC Тогда B'v^KerC,
а значит, подпространство <у, Bv, B2v, .. .> содержится
в Кег С и инвариантно относительно В. В этом подпрост-
подпространстве оператор В имеет собственный вектор w. Так как
шеКегС и Bw=Xw, то B(Aw) = -Cw + ABw =X(Aw).
Жордановы клетки оператора В соответствуют попарно
различным собственным значениям, поэтому векторы w
и Aw коллинеарны. Если же ImC = 0, то АВ = ВА.
В этом случае подпространство, порожденное собственны-
собственными векторами оператора А, соответствующими некоторому
собственному значению %, инвариантно относительно В
(см. н. 39.2, теорема 1). Поэтому операторы А и В имеют
общий собственный вектор.
Докажем теперь, что если гк [А, В] < 1, то существу-
существует последовательность пар матриц (Л(, Bt), сходящаяся
к паре (А, В) и обладающая тем свойством, что
гк [А{, Bt] =s; 1 и минимальный мпогочлен матрицы Bt
совпадает с характеристическим многочленом. Этим до-
доказательство теоремы будет завершено, так как все пары
(Л(, Bf) одновременно триангулируемы, а множество пар
одновременно триангулируемых матриц замкпуто (см.
п. 40.4^. Для матрицы А существует такая матрица Т,
что AT = ТА и характеристический многочлен матрицы Т
совпадает с минимальным миогочлепом (см. задачу 39.5).
Пусть множество М состоит из пар матриц вида
{А, ХВ+цТ). Ясно, что гк [А, кВ + цТ\ < 1. Пусть, да-
далее, М' — подмножество М, состоящее из таких пар, что
характеристический многочлен матрицы %В + цТ не сов-
совпадает с минимальным мпогочленом. Множество М' за-
задается конечным числом алгебраических уравнений для
элементов матрицы ХВ + цТ (см. решение задачи 13.4),

§ 41. КВАТЕРНИОНЫ И ЧИСЛА КОЛИ. АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА 243
т. е. копечпым числом алгебраических уравнений для Я
и ц. Кроме того, мпожество М\М' непусто, так как опо
содержит пару {А, Т). Поэтому замыкание множества
М\М' совпадает с М. В частности, пара (Л, В) является
пределом пар (Ah Bt), лежащих в М, но не лежа-
лежащих в М'.
ЗАДАЧИ
40.1. Пусть / = N + %Е — жорданова клетка порядка
п, yl=diag(l, 2, ..., п) и B = NA. Докажите, что
а$А - &A2jB = 0.
40.2. Докажите, что если С = [А\, В\] + ... + [Ап, Вп]
и матрица С перестановочна с матрицами А\, ..., Ап, то
матрица С нильпотентпа.
40.3. Докажите, что adl(S) = S (- i)n~lCUf^ilnl~-
40.4 [Клейнеке, 1957]. Докажите, что если ad^(jB)=O,
то adl(/?n) = n!(adAE))n.
40.5. Докажите, что если [А, [А, В] ] = 0 и m 5» п > 0,
то п[Ат, В] =т[Ап, В]Ат-п.
40.6. Докажите, что если А — диагонализпруемая мат-
матрица и ad^X = 0, то adA Х = 0.
40.7. а) Докажите, что если \x(AXY) = ti(AYX) для
любых д!атриц X и Y, то А = ХЕ.
б) Пусть / — линейная функция на пространстве мат-
матриц порядка п. Докажите, что если f(XY) = f(YX) для
любых, матриц X и Y, то }(X) = 'ktiX.
§ 41. Кватернионы и числа Кэли.
а Алгебры Клиффорда
41.1. Пусть зФ — алгебра с единицей над 5?, в кото-
которой задана операция сопряжения ау-+_а, обладающая сле-
следующими свойствами: о = а и ab == Ьа.
Рассмотрим пространство st © М- = {(а, Ь)\а, Ъ е $$■)
и зададим в пем умножепие по формуле (а, Ь) (и, v) =
B=(au — vb, Ьп + va). Полученная алгебра называется
удвоением алгебры зФ. Эта конструкция интересна тем,
что алгебра комплексных чисел С является удвоением
16*

244 гл. 7. Матрицы в алгебре и анализе
алгебры К, алгебра кватернионов И является удвоени-
удвоением алгебры С, а алгебра Кэли Са является удвоением
алгебры ОН.
Легко проверить, что элемент A, 0) является двусто-
двусторонней единицей. Пусть е = @, 1). Тогда F, О)е =@, b),
поэтому, отождествив элемент х алгебры «s$ с элементом
(х, 0) удвоения алгебры «s$, получим разложение (а, &) =
= а + be.
В удвоении алгебры s£ операцию сопряжения можно
задать формулой (а, Ъ) = (а, —ЬУ, т._е. а + be = а — be.
Если х = а + be ц у = и + ve, то ху = аи + (be)u+ a(ve) +
+ {be) {ve)= па — п(be) — (ye)a + (ve) (be) = yx.
Легко проверить, что еа = ае и a(be) = (ba)e для
а, & s ,s£. Поэтому удвоение алгебры зФ некоммутативно,
если сопряжение в зФ не тождественно, и неассоциатив-
неассоциативно, если алгебра s4- некоммутативна. Если же алгебра $$■
коммутативна ц ассоциативна, то ое удвоение ассоциа-
ассоциативно.
41.2. Так как @, 1)@, 1) = (-1, 0), то е2 1, по-
поэтому удвоепием алгебры ]? с тождественным сопряже-
сопряжением является алгебра С. Рассмотрим удвоение алгеб-
алгебры С со стапдартным сопряжением. Любой элемент по-
полученной алгебры можно записать в виде q = a + be, где-
а = ао + a\i, b = п2 + а& и Оо, ..., вз s К. Введя обозна-
обозначения / = е и к = ie, получим обычную запись кватер-
кватерниона q = по + a\i + п2] + аък. Число по называется ве-
вещественной частью кватерниона #i а кватернион a\i +
+ ai] + a%k называется его мнимой частью. Кватернион
называется вещественным, если а\ = ач. = аз = 0, и чисто
мнимым, если ао = 0.
Умножепие в алгебре кватернионов В*1 задается сле-
следующими равенствами: i2 == /2 = к2 = —1, ij = —fi = kf
jk = —fc/ = i, ki = —iA; = /.
Алгебра кватернионов является удвоением ассоциатив-
ассоциативной и „коммутативной алгебры, поэтому опа ассоциативна.
Сопряженный с кватернионом q = а + be кватернион
q равен а — Ье = а^ — а\ъ — а-2.\ — аък. В и. 41.1 было по-
показано, что gi<?2 =■ 1zq\-
Теорема 1. Скалярное произведение (q, r) кватер-
кватернионов q и г равно (qr + rq)/2, в частности, 1д12=з
= (?> Ч)=ЧЧ-
Доказательство. Функция B(q, r) = (qr+rq)/2
симметрична и билинейна. Поэтому достаточно проверить,

§ 41. КВАТЕРНИОНЫ И ЧИСЛА КЭЛИ. АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА 245
что B(q, r)=(g, r) для элементов базиса. Легко прове-
проверить, что 5A, i)=0, B(t, i)=l и B(i, /)=0; остальные
равенства проверяются аналогично.
Следствие. Элемент q/\q\2 является двусторонним
обратным для элемента q.
В самом деле, qq = \qV = qq.
Теорема 2. Igrl = \q\ ■ IH. _
Доказательство. Ясно, что \аг\г = qrqr = qrrq—
= q\r\*q=\q\*\r\2.
Следствие. Если q Ф 0 и г Ф 0, то qr¥= О.
41.3. Любому кватерниону q = а + xi + yj + zk можпо
(и v\
— v л)
= y + iz. При этом C{qr) = C(q)C(r) (см. задачу 41.5).
Мнимому кватерниону q = xi + yf + zk можно сопо-
/ 0 -х у \
ставить матрицуR(q) = \ * 0 — * . Произведение
\— у х о /
мнимых кватернионов может иметь ненулевую веществен-
вещественную часть, поэтому матрица R {qr) определена не для всех?
и г. Но легко проверить, что R(qr—rq) — R(q)R{r) —
— R(r)R(q), т. е. векторное произведение q X г =•
= (qr — rq)/2 соответствует коммутатору трехмерных ко-
сосимметрических матриц.
Линейное подпространство в пространстве матриц па-
зывается матричной алгеброй Ли, если оно вместе с лю-
любыми двумя матрицами А и В содержит и их коммута-
коммутатор [А, В]. Легко проверить, что матричными алгебрами
Ли являются множество вещественных кососимметриче-
окнх матриц и мпожестко комплексных косоэрмитовых
матриц; эти алгебры Ли обозначаются 3)(и, R) и su(n)'
соответственно.
Теорема 1. Алгебры Ли зз(Я, j?) и 3ttB) uco-
морфны.
Доказательство. Обе эти алгебры, как было до-
доказано выше, изоморфны алгебре чисто мнимых кватер-
кватернионов с коммутатором [g, r] = (qr — rq)/2.
Теорема 2. Алгебры Ли s»J(<i, 0?) и зэC, 0?)-Ь
4- зэ C, R) изоморфны.
Доказательство. Алгебру Ли аэC,'.-?) .можно
отождествить с алгеброй Ли чисто мнимых кватернионов.
Сопоставим кватерниону 7^63C,3?) преобразование

246 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
P{q): u^-qu пространства R4 = И. Легко проверить, что
fQ —х —у —z\
z 0 —х
— ух О
Аналогично отображение Q(q): u*-*uq принадлежит
9) D, R). Легко проверить, что отображения q >-»• Р (q) и
Я -*■ Q {q) являются гомоморфизмами алгебр Ли, т. е.
P(qr-rq)~P{q)P(r)-P(r)P(q) и Q(qr~ rg) = Q(q)X
X Q(r)— Q{r)Q{q)- Поэтому отображение (<7, r)>-* P(q) -+-
+ Q (г) является гомоморфизмом алгебры Ли 90 C, К) -+■
-г зо C,0?) в зэ D, R). Размерности этих алгебр совпа-
совпадают, поэтому достаточно проверить, что рассматриваемое
отображение мономорфно. Равенство P(q)+ Q(r)~O озна-
означает, что qx + xf = 0 для всех х. При х = 1 получаем g =■
— — г, а значит, qx — xq = 0 для всех ж. Следовательно,
g — вещественпый кватернион (см. задачу 41.4); с дру-
другой стороны, по определению q — мнимый кватерпион.
Поэтому q — г = 0.
41.4. Рассмотрим алгебру кватернионов Ш как про-
пространство над Я?. В пространстве Ш®Ш можно ввести
структуру алгебры, определив произведение элементов
х\ ® Х2 и у] ® ^2 как £i#i ® жгг/2. Отождествим простран-
пространство R4 с И. Лепко проверить, что отображение т:
И®Н-*-М4(К), определенное формулой [w (Х] ® Жг) ] ж =
= Ж1ЖЖ2, является гомоморфизмом алгебр, т. е. w(uv)=*
= м;(м)ш(у).
Теорема. Отображение w является изоморфизмом
алгебр И®1Н и М^(к).
Доказательство. Размерпости алгебр И®1Н и
МЛ (J?) равны, но вычисление ядра отображения w сов-
совсем не так просто, как вычисление ядра отображения
(q, г) — Р.(а) ^Q(r). потому что пространство 1Н®1Н
со'держит'не только элемепты вида х ® у. Мы докажем,
что обр^з" отображения w совпадает с М4(-Т?). Матрицы
/1 0\ /1 0\ /О П / 0 1\
е = 10 l)' е=1о — lj' а ~~ \1 0у> ° = ^—1 0J
образуют базис пространства матриц порядка 2. Образы
элементов х® у, где ijs {I, i, /, А;}, при отображении w
приведены в таблице 1. Из этой таблицы видно, что среди
линейных комбинаций пар образов этих элементов встре-
встречаются все матрицы, три блока которых нулевые, а чет-

§ 41. КВАТЕРНИОНЫ И ЧИСЛА КЭЛИ. АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА 247
ввртьш блоком является одна из матриц е, е, а и Ь. Сре-
Среди линейных комбинаций четверок этих матриц встреча-
встречаются все матрицы, содержащие ровно один ненулевой
элемент, причем этот элемент равен 1. Такие матрицы
образуют базис пространства М4 (К).
41.5. Удвоением алгебры кватернионов с естественной
операцией сопряжения является алгебра Кэли {алгебра
Таблица 1. Значения х ® у
У
X
1
i
j
к
1
( e
\ о
(~b
\ о
[ °
I e
f °
I °
0 \
e j
0 \
—ь )
—e \
0 j
—a \
0 J
i
( b
\ о
( e
l о
С о
I a
/ 0
\ —e
0 \
—b 1
0 \
~^e /
a \
0 j
—e \
0 j
1
t 0
1 —e
( °
l ь
Г е
\ о
/ a
V 0
e \
0 /
—b \
0 )
0 \
e J
0 \
a J
( °
f °
^—a
\ о
/ 8
1 о -
oj
e\
oj
O\
a)
O\
-ej
октав). Базисом этой алгебры жак пространства над К
являются элементы 1, i, j, k, e, f = ie, g = je и h = ke.
Таблицу умножения базисных элементов удобно предста-
представить с помощью рис. 9. Произве-
Произведением двух элементов, лежа-
лежащих на одной прямой или одной
окружности, явльяется третий эле-
элемент, лежащий на той же прямой
или окружности. Выбор знака
определяется ориентацией; напри-
например, ie = /, if = ~e.
Пусть | = а + be, (где а и Ъ —
кватернионы. Сопряжение в ал-
алгебре Кэли задается формулой
(о, Ь) = (о, — Ъ), т. е. а + Ье = а —
— be. Ясно, что || = (а, Ъ) (о, Ь) =
==_(a,b) {a,—b) = (aa + bb, Ъа — Ьа) = 5а+ЪЪ =*аа + ЬЬ, т.е.
|| —£умма квадратов координат вектора |. Поэтому ||| =■
= V1ё = V fi — длина вектора |.
Теорема, \\r\\ = 1|| • |т]|.
Доказательство. Пусть | =■ о + &е и т) — и + ve,
где а, Ъ, и, v — кватернионы. Так как (Ье)и =

248 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
*-@, _&)(«, О) = (О, Ьп)*=(Ьп)е и (be)(ve) = (O, Ъ) (О, у)
= (—vb, 0) ==—?&, то
>(аи ~ vb) (па — 5у) + (&п + уо) (м5 + av).
Запишем кватернион v в виде v == к + vi, где Я — дей-
действительное число и V\~— v\. Тогда
(аи -ХЪ + vib) (па -КЪ- lvx) +
+ (Ъи + Ка + Via) (иЪ + ка — av\).
Кроме того, ||12|т)|2 =(аа + ЬЬ)(ип + к2 — У1У1). Так как
числа им и ЪЪ действительные, то аипа — ааип и bbvy =
= v\bb. Используя аналогичные равенства, получаем
= vi(bua +аиЪ) — (аиЪ + bua)vi = 0, так
как bTia + аиЪ — действительное число.
Следствие 1. Если | ¥=■ 0, то I/Ill2 — двусторонний
обратный элемент для \.
Следствие 2. Если | Ф 0 и г\ Ф 0, го |t) ^ 0.
Алгебра кватернионов некоммутативна, поэтому алгеб-
алгебра Кэли неассоциативпа. Но для элементов алгебры Кэли
справедливы равенства x(zy) = (xx)y, y(xx) = (yx)x и
(ху)х = х(ух) (см. задачу 41.8). Можно доказать, что
любая подалгебра алгебры Кэли, порожденная двумя
элементами, ассоциативна.
41.6. По аналогии с векторным произведением в про-
пространстве чисто мнимых кватернионов можно определить
векторное произведение в сомимернам пространстве чисто
мнимых чисел Кэли. Пусть хну — чисто мнимые числа
Кэли. Их векторным произведением называется мнимая
часть ху\_ояо обозначается хХ у. Ясно, что х X у =
= (ху ~ху)/2= (ху - ух) 12.
Мояшо проверить, что скалярпое произведение чисел
Кэли х ». у равно (ху + ух)/2; для чисто мнимых чисел
Кэли х пгу получаем (х, г/)= — (ху + ух)/2.
Т е сф е м а. Векторное произведение чисто мнимых
кватернионов обладает следующими свойствами:
а) х X у -L х, х X у -L у;
б) |яХг/|2=Ы21г/|2-|(я, у)\2.
Доказательство. а) Нужно доказать, что
х(ху- ух) + (ху — ух)х = 0. Так как х(ух) = (ху)х (см.
задачу 41.8, б)), приходим к равенству х(ху) — (ух)х.
Согласно задаче 41.8, а) х(ху)*=(хх)у и (ух)х = у(хх).

§ 41. КВАТЕРНИОНЫ И ЧИСЛА КЭЛИ. АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА 249
Остается заметить, что хх = —хх = — (х, х) — действи-
действительное число.
б) Нужно доказать, что — (ху — ух) (ху — ух) =
= Ь\х\Цу\2-(ху + ух)(ху + ух), т. е. 2Ul2l.r/l2 =
= (ху)(ух) + (ух){ху). Пусть а = ху. Тогда а-^ух и
2Ы2|г/|2 = 2(а, а) = аа + па =-(ху) (ух) + (ух) (ху).
41.7. Оставшаяся часть этого параграфа будет посвя-
посвящена решению следующей задачи: «Чему равно наиболь-
наибольшее количество ортогональных операторов А\, ..., Ат в
пространстве К", удовлетворяющих соотношениям А\ =
= — Е и AiA$ + AiAi = 0 при i Ф;?» Эта задача может по-
показаться весьма неестественной. К ней, однако, сводятся
многие важные задачи, так или иначе связанные с алгеб-
алгеброй кватернионов и алгеброй Кэли (заметим, что опера-
операторы умножения на i, j, ..., h удовлетворяют требуемым
соотношениям). Мы сначала сформулируем ответ, а за-
затем расскажем, какие задачи сводятся к нашей задаче.
Теорема 1. Запишем число п в виде п=Bо+1Jй,
где Ь = с + Ы и 0<с<3. Пусть p(n) = 2c + 8d. Тогда
наибольшее количество требуемых операторов в !Rn рав-
равно р(га)— 1.
Произведение квадратичпых форм
Пусть а = xi + ix2 и Ъ = у\ + iy^. Тогда равенство
Ы21Ы2= |а&|2 можно переписать в виде
где Z] = Х\У\ — х2у2 и 22 = зцуя — Х2У\. Аналогичные тож-
тождества можно записать для алгебры кватернионов и для
алгебры Кэли.
Теорема 2. Тождество вида
(*;+...+:£)(»;+...+»'„) = *;+...+4,
где Zi — вещественные билинейные функции от х и у,
существует тогда и только тогда, когда тп^р(п).
Доказательство. Пусть Ч = ^} by (x) j/j, где
Ъц{х) — линейные функции. Тогда
*! *= 2 Ь'ц (х) у] ■ |- 2 2 Ьц (х) bih (x) y}yk.

250 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
Поэтому S Ь% = х\ ~... + zlt и 2 bi} (x) bik (ж) = 0. Пусть
i <A
В(х)=\Ьц(х)$. Тогда Вт()() {1 + + )
Матрицу В (х) можно записать в виде В (х) = xtBx +...
... + хтВт. Поэтому ВТ{х) В (х) = х\в1вг-\-... +o$aBllBn.+
^(lhBfB^XiXj, а значит, fifZ?j = E и ?
+ BfBi = 0. Операторы Вг ортогональны и ВТХВ$ =
г= — ВугВг при i ф j.
Рассмотрим ортогональные операторы Аи ..., Лщ-х,
где Ai = Бй1^. Тогда В^Вг = — В^хВп, а значит, Л»=
= — ЛГ1, т. е. 4? = — £. Кроме того, ВТХВ) = — fi^15*
при i Ф /, а значит, ЛгЛ,- = В^гВгВ^В}= — В7гВтВ^В^
= BjlBi = -AiAi.
Легко проверить также, что если ортогональные опе-
операторы А\, ..., Ат-\ таковы, что А\ = —Е и AlAi +
+ AjAt — 0, то операторы В] = Ai, ..., fira_j = Л„_ь Вга =
= Е обладают требуемыми свойствами. Для завершения
доказательства теоремы 2 остается воспользоваться тео-
теоремой 1.
Нормированные алтебры
Теорема 3. Пусть алгебра зФ над К является
евклидовым пространством, причем \ху\ = Ы • \у\ для
любых х, у е $$,. Тогда размерность $$■ равна 1, 2, 4 или 8.
Доказательство. Пусть ei, ..., в„ — ортонормиро-
ванный базис алгебры зФ. Тогда
где zi, ..., zn — билинейные функции от ж и у. Из ра-
равенства |zl2 = Ы2|г/|2 следует, что
(хГ'+...+ xl)(yU-. ■. + У2») = 4 +■ ■ • + zl.
Остаетйй воспользоваться теоремой 2 и заметить, что
р(га)=п тогда и только тогда, когда п = 1, 2, 4 или 8.
Векторное произведение
Теорема 4. Пусть в пространстве Кп, зЗв re 5s 3,
определена билинейная операция f(v,w) — vxwe= IRn,
обладающая следующими свойствами: векторы v и w пер-

§ 41. КВАТЕРНИОНЫ И ЧИСЛА КЭЛИ, АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА 251
пендипулярпы вектору vXw и \v X w\2 = Ы2|ц>|2 —
— (у, wJ. Тогда п = 3 или 7.
Доказательство [Масси, 1983]. Рассмотрим про-
пространство Rn+1 = R ф К" и зададим в нем умножение
с помощью форму™
(о, у) (&, ы>) = (ай — (у, и;),вш + &у+уХ и>),
где (у, w)— скалярное произведение в К". Легко мро-
верить, что в полученной алгебре размерности п + 1 спра-
справедливо тождество \ху\2 = \х\2\у\2. Остается воспользо-
воспользоваться теоремой 3.
3 а м е ч а н и е. 13 пространствах размерности 3 и 7
билппеГшая операция, обладающая указанными свой-
свойствами, существует (см. п. 41.6).
Векторные поля на сферах
Векторным полем на сфере Sn = (у е Rn+111 v \ = 1}
называется отображение, сопоставляющее жаждой точке
peS" в&ктор F(v), лежащий в касательном пространстве
к 5" в точке v. Касательпое пространство к S" в точке v
состоит из векторов, перпендикулярных у, поэтому
F(v)-i-v. Векторное поле называется линейным, если
F(v)=Av для некоторого линейного оператора А. Легко
проверить, что А у J- v при всех у тогда и только тогда,
когда А — кососимметрический оператор (см. ш. 2J.1,
теорема 2). Поэтому на сфере S2n любое линейное вектор-
векторное поле обращается в нуль в некоторой точке.
Чтобы исключить векторные поля, обращающиеся в
нуль, будем рассматривать только ортогональные опера-
операторы; в этом случае \Av\ = 1. Легко проверить, что орто-
гональпый оператор А кососимметржчеп тогда и только
тоща, когда А2 = — Е. Напомним, что оператор, квадрат
которого равен — Е, называется комплексной структурой
(см. п. 10.4).
Векторные поля F\, ..., Fm называются линейно неза-
независимыми, если векторы Fi(v), ..., Fm(v) линейно неза-
независимы в каждой точке у. В частности, линейно незави-
независимы векторные поля, соответствующие таким ортого-
ортогональным операторам А\, ..., Ат, что А(о JL A]V при всех
iФ/. Равенство {Atv, Ар)= 0 означает, что (у, AjA$v) —
= 0. Поэтому At Af + (A[Aj)T - 0, т. е. AtA} + Arf., = 0.

252 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
Итак, -для построения т линейно независимых вектор-
пых лолей на сфере Sn достаточно указать ортогональные
операторы Ai,...t Am в (п + 1)-мерном пространстве,
удовлетворяющие соотношениям At — — Е и AtAj +
+ А}Аг = 0 при i Ф /. Таким образом, доказано следующее
утверждение.
Теорема 5. На сфере Sn~l существует р{п) — 1 ли-
линейно независимых векторных полей.
Замечание. Гораздо сложнее доказывается теоре-
теорема о том, что на сфере Sn~l не существует р(га) пелре-
рывных линейно независимых векторных лолей (см.
[Адаме, 1962]).
Линейные подпространства
в пространстве матриц
Теорема 6. В пространстве матриц порядка п над
полем действительных чисел есть подпространство раз-
размерности р(п), все ненулевые матрицы которого невы-
невырождены:
Доказательство. Добавим оператор Ао = Е к
операторам А\, • • •» Анп)~и При доказательстве теоремы5
было показано, что (Atv, А}и) = 0 при i¥=j. Поэтому
B hiAiV, ^ t*jAjv) = 2 л* I v f- Следовательно, оператор
2^i^i певырожден, если хотя бы одно и.з чисел >.,■ от-
личпо от нуля.
41.8. Перейдем теперь к доказательству теоремы 1
п. 41.7. Рассмотрим алгебру Ст, задающуюся образую-
образующими ei, ..., ет и соотношениями е| = — 1 и еге, + е,е{ = О
при i ¥= j. Любому набору ортогональных матриц А\, ...
..., Ат, удовлетворяющих соотношениям А\ = — Е
и AiAj + А,Аг = 0 при i Ф /, соответствует представление
(см. п. 42.1) алгебры Ст, при котором элементы е\, ..., ет
переходят в ортогональные матрицы. Чтобы изучить
строение* алгебры Ст, введем вспомогательную алгебру
Ст. задающуюся образующими ei, ..., em и соотноше-
соотношениями Ei = 1 И 8i8j + 8J8J = О При i Ф j.
Замечание. Алгебры Ст и Ст называются алгеб-
алгебрами Клиффорда.
Лемма 1. Ci^C, C2ezh, c[ &.К ф К и С-гetM2(R).
Доказательство. Последний изоморфизм задает-
задается следующим образом: элементы 8i и eg переходят в

■§ 41. КВАТЕРНИОНЫ И ЧИСЛА КЭЛИ. АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА 253
Io _ij и (i о). Остальные изоморфизмы очевидны.
Следствие. C®HsAf2(C).
В самом деле, комплексификацип алгебр С2 и С2
изоморфны.
Лемма 2. Ch+2£*Ch®C2 и c'h+2 = Ch®C'2.
Доказательство. Первый изоморфизм задается
формулами /(ef)= 1 ® е< при i = 1, 2 и f{et)~ e<-2® ei62
Таблица 2
ft
ck
с,
1
с
R ф R
5
М4(С)
2
и
ifrfR)
6
3
И ф С1
Af2(C)
7
м8(*)евд
4
ад
8
M18(R)
при i > 3. Второй изоморфизм задается формулами ^
-= 1 ® е< при i = 1, 2 и g(8i)= ci-2 ® eie2 при i ^ 3.
Лемма 3. Ch+i^Ck®M2{h) и C'k+tmC'h®Mz
Доказательство. Согласно лемме 2Сь+4
<8)С2 = Cft®C2®C2. А ^так как Сг®С2 = И®
--ЛГ2(;Н), то Cft+4 = Cft®M2(iH). Апалогично
2()
Лемма 4. Cft+8 le()
Доказательство. Согласно лемме 3 Сь+8 = Cft+4®
Afa(»i) = Cb®Mt(H)®JJfj(iH). А так как H®iH^M4(R)
(см. п. 41.4), то M2(IH)<g)M2H = M2(M4(iR)) = MjeA?).
Леммы 1—3 позволяют вычислить Ск при 1 «£ А; < 8.
Например, Сй = Cx®Aft(IH) = С®М2AН) = М2(С®Н) =
= М2(М2(С)) = М4(С); C6 = C2®M2(iH) = M2(iH®lH) =
-=Ме(Щ и т. д. Результаты вычислений записаны в табл. 2.

254 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ Б АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
Лемма 4 позволяет теперь вычислить С„ для любого к.
Алгебры С\, ..., С% имеют естественные (представления в
пространствах С, И, И, ОЛ, С4, К8, R8 и J?16; раз-
размерности этих пространств над R равны 2, 4, 4, 8, 8, 8t
8 и 16. Кроме того, при переходе от алгебры Ск к алгеб-
алгебре 6\+8 размерность пространства естественного представ-
представления увеличивается в 16 раз. Простой перебор показы-
вает, что яри п =» 2* наибольшее /га, для которого алгеб-
алгебра Ст имеет естественное представление в К", равно
р(»)-1.
Пусть /: Ст -*■ Мп (S) — представление алгебры Ст,
при котором элемепты ei, ..., ет переходят в ортогональ-
ортогональные матрицы. Тогда /A • е<)=/A)/(е<), причем матрица
f{et) обратима. Поэтому /A)=/A • е,)/^) = i? — еди-
единичная матрица. Алгебра Ст имеет вид MP(F) или
MP(F)® MP(F), где F — и?, С или iH. Поэтому если / —
такое пре'дставление алгебры Ст, что /A) = £г, то пред-
представление / вполне приводимо и его неприводимые ком-
компоненты изоморфны Fp (см. п. 42.1); значит, его размер-
размерность делится на р. Следовательно, для любого числа п
наибольшее число т, для которого алгебра Ст имеет та-
такое представление в !НП, что f(l) = E, равно р(п)—1.
Непосредственной проверкой imojkho убедиться, что-
при изоморфизмах, указанных в леммах 1—4, элемент»
е\, ..., ет переходят в ортогональные матрицы.
ЗАДАЧИ
41.1. Докажите, что вещественная часть произведения
кватернионов zii + yij + %\к и a^i + до'+ z2fc равна ска-
скалярному произведению векторов (х\, у\, z\) и (ж2, г/2, %2)г
взятому со знаком «минус», а мнимая часть равна век-
векторному произведению этих векторов.
41.2. а) Докажите, что кватернион q чисто мнимый
тогда и «только тогда, когда q2 < 0.
б) Докажите, что кватернион q вещественный тогда
и толь*ко тогда, когда д2 > 0.
41.3. Найдите все решения уравнения q2 = —1 в алгеб-
алгебре кватернионов.
41.4. Докажите, что кватернион, коммутирующий со.
всеми чисто мнимыми кватернионами, веществен.
41.5. Матрицу А с кватернионными элементами мож-
можно представить в виде А = Z\ + Z$, где Z\ и Ъ% — кома-

§ 42. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТРИЧНЫХ АЛГЕБР 255
лексные матрицы. Сопоставим матрице А матрицу Ло =
~\ т" 7 • Докажите, что (AB)e='A<sBe.
* 2 1'
41.6. Рассмотрим отображение пространства К4 = М,
переводящее кватернион х в qx, где q — некоторый фик-
фиксированный кватернион.
а) Докажите, что это отображение ортогональные
векторы переводит в ортогональные.
б) Докажите, что определитель этого отображения
равен Igl4.
41.7. Дан тетраэдр ABCD. Докажите с шгомощью ква-
кватернионов, что АВ ■ CD + ВС • AD S* АС • BD.
41.8. Пусть х и у — элементы алгебры Кэли. Докажи-
Докажите, что а) х{уу) = (ху)у и х(ху)°={хх)у; б) (ух)у =
§ 42. Представления матричных алгебр.
Конечные поля
42.1. Пусть М- — некоторая ассоциативная алгебра,
{V)—алгебра линейных преобразований простран-
пространства V. Гомоморфизм /: Js^-^-gl(F) пазывается представ-
представлением алгебры $$>. Если задан гомоморфизм /, то эле-
элементы алгебры s& действуют на пространстве V соглас-
согласно формуле av = f(a)v; при этом (ab)v = a(bv). Таким
образом, пространство V является «я£-аю)Дудем.
Подпространство W cz V называется инвариантным
подпространством представления /, если siW «= W, т. е.
W — подмодуль «s^-модуля V. Представление называется
неприводимым, если любое его ненулевое инвариантное
подпространство совпадает со всем пространством V.
Представление /: .s£-»-fiI(F) называется вполне приво-
приводимым, если пространство V является прямой суммой та-
таких инвариантных подпространств, что ограничения па
них представления / пеприводимы.
Теорема. Пусть М- =fiI(F) и /: М- -»■ &1{W)— такое
представление, что f(l) = E. Тогда W = W{ ® ... © Wh,
где Wt — инвариантные подпространства, изоморфные V.
Доказательство. Пусть е», ..., ет — базис про-
пространства W. Так как /A)е( = eh то Wс (s£e\, ..., j^em>.
Пространство j^ можно представить в виде прямой сум-
суммы подпространств Ft, состоящих из матриц, у которых
-столбцы с номерами 1, ..., i — 1, i + 1, ..., п нулевые.

256 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
Яспо, что s&Fi = F{ и если а — ненулевой элемент F{, то
Пространство W является суммой пространств Ftet.
Эти пространства инвариантны, так как $$>Ft = Ft. Если
х = aes, где а е Ft и х Ф О, то .я£а: = £фае} = /^. Поэтому
любые два пространства вида F{ej либо пе имеют общих
ненулевых элементов, либо совпадают. Пространство W
можпо представить в виде прямой суммы некоторых не-
ненулевых подпространств Fief, для этого нужно на каж-
каждом таге добавлять подпространства, не содержащиеся в
прямой сумме ранее выбраппых подпространств. Остает-
Остается доказать, что любое ненулевое пространство F{ej изо-
изоморфно V. Рассмотрим отображение h: F{ -*■ F^}, для ко-
которого h{a) — ae}. Ясно, что «s^Ker h с Ker h. Если а —
пепулевой элемент Ker h, то $&а = Ft. Поэтому h либо-
изоморфизм, либо нулевое отображение.
Замечание 1. Доказательство остается справедли-
справедливым и для алгебры матриц над алгеброй кватернионов.
Замечание 2. Аналогичное утверждение можно
доказать для алгебры ,s£ = gI(F)© gl(F).
42.2. Too p ем а (Бернсайд). Пусть зФ— подалгебра
алгебры линейных преобразований пространства V над
С, причем пространство V неприводимо относительно
действия зФ и dim F> 1. Тогда $t> = &1{V).
Доказательство. Если х е V и х Ф 0, то М-х —
инвариантное подпространство, поэтому s£x = V или
s4-x = 0; равенство $$>х = 0 невозможно, так как в этом
случае (х> — инвариантное подпространство. Докажем
сначала, что алгебра зФ содержит некоторый оператор
ранга 1. Предположим, что Ро — ненулевой оператор из
бФ минимального ранга и rkPo = d>l. Тогда векторы
Pqx\ и Рох2 линейно независимы для некоторых Х\ и х2.
Пусть В — такой оператор из j#, что BPqx\ = x2. Тогда
векторы PoBPoxi = PqX^ и PqX\ линейно неаависввмы,
а значит, Р0ВР0 — ХР0 Ф 0 при всех %. Оператор PqB — %E
можно ограничить на Im Ро, а число X е С можно вы-
выбрать fan, чтобы полученный оператор был вырожденным.
Тогда 0 < rk {PqB — %Е)Р0 < d. Получено противоречие,
поэтому d = 1.
Оператор Ро ранга 1 можно записать в виде Рох =
= /о(х) г/о, где /о — линейная функция. Докажем, что
■мпожество М = \f\Bx — f(x)y0 для В <= зФ) содержит все
линейные функции. Это множество является линейным
пространством, поэтому достаточно проверить, что нет

§ 43. РЕЗУЛЬТАНТ 257
ненулевого вектора х, аннулируемого всеми / s M. Пусть-
х Ф 0 и и{х\)Ф0. Ясно, что PoBz=> fo(Bz)yo eb^ су-
существует такой оператор В, что Вх = х\. Тогда оператору
PgB соответствует такая линейная функция /, что f{x)=*
= fo{Bx) = fo{xi)¥>O. Так как СРох = fo(x)Cy0, то алгеб-
алгебра s& содержит все операторы ранга 1. Ясно также, что-
любой линейный оператор можно представить в виде-
суммы липейпых операторов ранга 1.
ЗАДАЧИ
42.1. Докажите, что определитель жососимметрической
матрицы А нечетного порядка над полем нечетпой харак-
характеристики равен нулю. Верно ли аналогичное утвержде-
утверждение для поля характеристики 2?
42.2. Приведите пример матриц X и У над полем ¥р,
удовлетворяющих соотношению XY — YX = Е.
42.3. Матрицы А], ..., Ап образуют трупшу относи-
относительно умпожения и S = А\ + ... + А„. Докажите, что-
еслп tr S = 0, то S = 0.
§ 43. Результант
43.1. Рассмотрим.многочлены f{x) — 2«i^"~l и g(x) =r
m
= 2 ЬгХт~г, где а0 Ф 0 и &о Ф 0. Если /и? имеют об»
щий корень, то / => щ и g = щ для некоторых многочле-
многочленов ф, р и д. Следовательно, fq = gp, причем -deg q «S
<m-l н deg p <i n — 1. Ясно также, что если / и g не
имеют общих корней и fq — gp — h, то /i делится на /g,
а значит, deg q > deg g = m.
ПуСТЬ q = Uo3m-' + U{Xm~2 + . . . + Um-i И p = РоЖ" + . . .
. .. + yn_i. Равенство jq = gp можно записать в виде си-
системы уравнений
= b\VQ+
O.\U\ + doU.2 = ^2^0 + b\V\
Многочлены / и g имеют общий корень тогда и только-
тогда, когда эта система уравнений имеет ненулевое ре-
17 в. В. Прасолов

258
ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
шение (wo, и\, ..., v0, v\, ...)• Если, палример, в = 3и
и = 2, то определитель этой системы уравнений имеет
вид
0
о
о
-\
0
-ъ, ~ь„
-h -\
о -к
0
а1
О К Ь,
Матрица S(f, g) называется матрицей Сильвестра мно-
многочленов / и g. Определитель матрицы S(f, g) называется
результантом многочленов / и g; он обозначается J?(/, g).
Ясно, что R(f, g) — однородный многочлен степени m no
деромепным at и степени п по переменным Ь]. Многочле-
Многочлены/и g имеют общий корень тогда и только тоща, когда
■определитель рассматриваемой системы равен нулю, т. е.
Д( )
43.2. Теорема. Пусть х{ — корни многочлена /, yj —
корни многочлена g. Тогда R (/, g) = a™b% JJ (xi — yfi =
Доказательство. Так как f — ao(x — x\)...
- .. (x — xn), то ak = ±uQ<5k{x\, ..., xn), где afc — элементар-
элементарная симметрическая функция. Аналогично &» =
=> ±6oOft(j/i, ..., j/m). Результант является однородным
многочленом степени m ло переменным at и степени п
по аеременвым 6}, /поэтому
R {U S) = «о'Ь"^ (*1. • • •, хп, l/i, • • •, Ут)»
где Р — симметрический многочлен от х\, ..., ж„ и у\, ...
•.., J/m, обращающийся в нуль при Xt = ys. Формула х =
= (хг — yj) x\~x -\- yjx\~x показывает, что Р{хи ..., ym) ~
= (*»~ Vi)Qixu • • -, !/•»)+ ^(^ь • • •. Ъ, • • •. У»)- Подставив
в это равенство Xi — yj, получим, что Т(х\, ..., xt, ...
• • -, Ут) — 0, т. е. Т — нулевой многочлен (см. приложе-
приложение, п. 1). Аналогичные рассуждения показывают, что
многочлен Р делится на 5 = a™bg JJ (ж* — yj).
Так как g (х) = Ьо Ц (* - У}), то Ц
-у-), а значит, 5 =а*Ш ^Ш

§ 43. РЕЗУЛЬТАНТ
259
... +bm) — однородный многочлен степени п по перемен-
переменным &о, .. -, Ьт. Для переменных оо, ..., а„ рассуждения ана-
аналогичны. Ясно также, что симметрический многочлен
ЯсГЦС^Г + Ъгщ~1 -f- ... -f- Ьт)является многочленом от
i
а0, ..., an, bo, ..., Ът. Следовательно, R(ao, ..., Ът) =
= Я5(оо, ..., Ът), где Л — некоторое число. С другой сто-
стороны, коэффициент при
р
многочленах
a™tf;R (xv ...,ут) и S (хг, . ..,ут) равен «™6„, поэтому
43.3. Матрица Сильвестра имеет слишком большой по-
порядок, поэтому вычислять результант с ее помощью не-
неудобно. Есть много разных способов понизить порядок
матрицы для вычислепия результанта. Можно, например,
заменить многочлен g на остаток от его деления на мно-
гочлсп / (ом. задачу 43.2). Другой способ понижения по-
порядка матрицы принадлежит Безу. Мы ограничимся
рассмотрением случая п — т, хотя для многочленов не-
неравных степеней тоже существуют аналогичпые, но менее
симметричные формулы.
Запишем матрицу Сильвестра в блочном виде-
верить, что
где матрицы Л{, Bt квадратные. Легко про-
проc
0
0
0
Г1 •
eo •
0 .
0 .
" cn-l
•• cn-2
•• eo
.. 0
cn-i
cl
co
где
k
= 2
Г1оэто(му
E 0
А1 А2
0
а так как \А1\ = аоф0, то R{f, g)= \AiB2-BiA2\.
Пусть cpq = a,pbq — og6p. Легко проверить, что А
— ВхАй = | Wij |j™, где Wij — 2 см и суммирование ведется
по таким парам (р, q), что р+ q=*n + f — i, p<n-iH
17*

260 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
q Ss ]. А так как са» + Ca+i.e-i + ... + сеа = 0 при a *s $,
то можно ограничиться теми парами, для которых р <
<min(n —г, / —1). Например, при тг = 4 получим
матрицу
C04
еоз
C02
C01
C14
C04 +
соз +
Cf,2
C13
C12
C21
CU+C23
C0J + C13
C03
C34
C24
C14
C04
Если / = . • , то матрица Z = \\ wij ||™ / симметрич-
\i 0/
на; она называется безутианой (или матрицей Везу) много-
многочленов /и?. При этом Zj^ = ы^в—л-! = 2 ^р?- ^Де ^ + д —
~2п+ l~ i — j ш р ^ min (га — i, га — j).
Теорема. Пусть fug — многочлены степени п.
Тогда
где Z = |j zy [l" — матрица Безу многочленов fug.
Доказательство. Если a> E, то
A+i=p-a-l
Ясно также, что коэффициент многочлена f(z)g{y) —
- f{y)8{?) при зГуР — зРу* равен а„-аЬп-9 — ап-»Ьп-а. По-
По8{?) р
этому *(*>gW~- yitW— многочлен, причем если р> q,
то его коэффициент при жру' равен
— «п-р^п-а)' где суммирование ведется по таким парам
(а, р), что р +у = $-\-я — I, причем a=Sn и ^ < q, т. е.
р + 1 <; а < п. Результат суммирования не изменится,
если нижнюю границу заменить на тах(р + 1, 9+1).
Остаемся заметить, что коэффициенты при xpyq и хчур
равны и Zp+i.j-j-i = 2сп-а,п-р, где п — а+п— ^==
= 2и —р —д —1, х. е. а+Р = р + д+1, и 0<га —
sSmin(re— р — 1, и —д—1), т. е. тах(р + 1, д +
< a < га.
43.4. Опишем еще один способ понижения порядка
матрицы для вычисления результанта. Для простоты бу-
будем считать, что оо = 1, т. е. /(ж)=жп + alxn~i + ... + о
„

§ 43. РЕЗУЛЬТАНТ 261
и i(x) — °охт + Ъ\хт-1 + ... + Ъп. Рассмотрим матрицу
/01 0 ..
/о о 1
А =
loo о ..
Теорема 1. Пусть R = g(A). Тогда deiR = R{f, g).
Доказательство. Пусть at и (ij — корни много-
многочленов / п g. Тогда g(a:)= &0(я - ^i).. -{х~ W. Поэтому
#(Л) = Ьо(Л — ^iS). . .(Л — $тЕ). Л так как \А — КЕ\ =
~ 1J (ai """ ^-) (см- п- 1-5), то det g (A) == L™ J] («i — р1,-) =
Теорема 2. i7pw то < га матрицу R можно вычис-
вычислять следующим рекуррентным способом. Пусть г\, ...
..., г„ — строки матрицы R. Тогда п =(bm, bm-i, ..., b\,
bo, 0, ..., 0) при m < га, о если тп^п, то r\ ~(dn, ..., di),
еде <Ь = Ь{ — Ьопг. Кроме того, rt = rt-\A для i = 2, ..., га.
Доказательство. Пусть е% = @, ..., 1, ..., 0),
где 1 стоит на i-ш месте. При k < n первая строка матри-
матрицы Л* равна ек+\. Поэтому строение Г\ при т<п оче-
очевидно. При т = п пужпо воспользоваться равенством
Так как ег ~ et~\A при i = 2, ..., п, то r<
^Z? BA 4
^ i
Теорема 3. Степень наибольшего общего делителя
многочленов jug равна п — rk R.
Доказательство. Пусть Pi, ..., р8 — корни много-
многочлена g с кратностями к\, ..., кв соответственно. Тогда
g (*) = К П (яг - Рг) и Л = ,? (Л) = fr0 П (Л - Ы) *'•
i i
При переходе к базису, в котором матрица А имеет жор-
данову нормальную форму J, матрица R заменится на
матрицу Ъй J| (/ — Pi/'")'1*. Характеристический (многочлен
i
матрицы А совпадает с минимальным многочленом, по-
поэтому если |5j — корепь кратности 1{ многочлена /, то жор-
данова клетка 7, матрицы /, соответствующая собствен-
собственному значению fi(, имеет порядок U. Ясно также, что
k(./i —$iE) г — /j ~ rnin(/«i, U). Теперь, рассматривая
я:ордановы клетки матрицы J по отдельности, легко убе-
убедиться, что п — rk R = У^ min (fcj. Z»), а последняя сумма

262 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
равпа степени наибольшего общего делителя мпогочле-
нов / и g.
Доказательства теорем этого пункта следуют работе
[Барнетт, 1971].
43.5. Пусть х\, ..., хп — корни многочлена f(x)=*
= аохп + ... + ап, причем ао ^= 0. Величипа D (/) =■
= ад™" JJ (xi — Xj) называется дискриминантом много-
многого
члена /. Ясно, что Z)(/) = 0 тогда и только тогда, когда /
имеет кратные корпи, т. е. R(f, /') = 0.
Теорема 1. R{f, f') = ±aoD(f).
Доказательство. Согласно теореме 43.2 R(f, /') =
= a" JJ/'(xj). Легко проверить, что если Xi— корень
i
многочлена /, то /' (х$ = а0 JJ{xj—Х{). Поэтому R(f, /')=:
= «Г1 П {х, - х,) -= ± аГ-?и (Щ ~ Ъ?.
Следствие. Дискриминант является многочленом
от коэффициентов многочлена /.
Теорема 2. Любая матрица является пределом мат-
матриц с некратными собственными значениями.
Доказательство. Пусть f(x)—характеристичен'
ский многочлен матрицы А. Многочлен / имеет кратные
корни тогда и только тогда, когда D (/) = 0. В результате
получаем алгебраическое уравпепие для элементов матри-
матрицы А. Ограничение уравпепия D(f) = O на прямую {ХА +
+ (\ —Х)В), где В — матрица с некратными собственны-
собственными значениями, имеет конечное число корней. Поэтому
матрица А является пределом матриц с некратными соб-
собственными значениями.
ЗАДАЧИ
43.1. Даны числа num. Докажите, что существуют
такие миогочлоны ф и if с целыми коэффициентами от
перемецных х, ао, ..., а„, bo, ..., bm, что
'* Ф(а, Ь, *)/(*)+ф(в, Ъ, х) g(x) = R(f, g)
для / (x) = 2 а.\хп-к и g (ж) = 2
i=0 i=0
43.2. Пусть г (ж)—остаток от деления многочлена
g(x) на многочлен f(x) и degr(a;)= А;. Докажите, что
h

§ 44. ТЕОРЕМА ВИТТА 263
43.3. Пусть f(x) = aoxn + ... + an, g(x) = Ъохт +...
... + 6m и rk (z) = акОхп-'1 + ак1хп~2 + ...+ aKn-i — остаток
от деления многочлена xkg(x) на f{x). Докажите, что
a
аео ••• ао,п-1
43.4. Характеристические многочлены матриц А и В
порядков пат соответственно равны / и g. Докажите,
что результант многочленов / и g с точностью до зпака
равен определителю оператора А* *-*-АХ — ХВ в про-
пространстве матриц размера п X т.
43.5. Пусть «1, ..., а„ — корни многочлепа f{z) —
п
— 2 aix71-1 и sk = а.\ + ... -\- а.п. Докажите, что D(j) =
i=0
= af~Jdet5, где
S2n—2
43.6. Пусть / и g — многочлены степени п. Докажите,
что их безутиапа равна нулю тогда и только тогда, когда
эти многочлены пропорциональны.
43.7 [Барнетт, 1972]. Пусть Z — матрица Безу много-
многочленов / = хп + а\хп~1 + ... + ап и g{x)= boxn + ... + bn;
R — матрица, определенная в 43.4. Докажите, что Z =
- TR, где
-1 "n-2
1
О
§ 44. Теорема Витта
44.1. Пусть g — симметрическая билинейная функция
на пространстве V. Определим в пространстве V скаляр-
скалярное произведение формулой (х, y)=g{x, у). Если для
любого ненулевого вектора isF существует такой век-
вектор г/ е У, что (х, у) Ф 0, то скалярное произведение на-
называется невырожденным; пространство V с таким ска-
скалярным произведением называется невырожденным.

264 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
Изометрией пространств (Vi, g\) и {Vz, g2) со скаляр-
скалярными произведениями называется такой изоморфизм
F: Vi->K2, что g2{F(x), F{y)) = gl(x, у) для любых
векторов х и у. Пространства, между которыми сущест-
существует изомотпия. называются изометричными.
Пусть W с: V — пекоторое подпространство. Ортого-
Ортогональным дополнением пространства W относительно дан-
данного скалярного произведения называется подпростран-
подпространство
W± = {ve=V\ {о, х) = 0 Уже W).
Ясно, что W с(V^-1-)-1-. Равенство W ={W±)X выполняется
не всегда; например, если (z, y)eO, то \W±)± = V для
любого W <= V. Но д.чя невырожденного пространства V
всегда выполняются равенства dim W + dim W1- = dim V
u (^j-)-l = W (ом. задачу 44.1).
Векторы х и у называются ортогональными, если
(х, i/) = 0. Квадратичную форму д(ж) = (ж, х) можно при-
привести к главным осям (см. л. 19.3), поэтому в любом про-
пространстве V над К можно выбрать такой ортогональный
базис Ж1, ..., х„ mi, ..., ц„_„ что (ж,, xt)= 0 и («,, itj)^ 0.
При этом иространство <£i, ..., х,У определено инвариант-
инвариантно: оно равно Fx.
Теорема. Пусть х\, ..., х„ щ, . ■ ., ик-я—набор ли-
линейно независимых попарно ортогональных векторов в
невырожденном пространстве V, причем (xt, xt) = 0 и
{щ, щ)Ф 0. Тогда в пространстве V существуют такие
векторы уи ..., у„ что хи ..., х„ уи ..., у„ щ, ..., uh-. —
набор линейно независимых векторов и матрица ограни-
ограничения скалярного произведения на каждое подпростран-
подпространство (Xi, j/i> равна L 0J, причем подпространства
<х\, yi>, ..., <х„ у.У, <щ>, ..., <uh-.> попарно ортого-
ортогональны.
Доказательство. Пусть W\ = <Х2, ..., х„ щ, ...
..., м.-Л и W2 = <хи Wi>. Тогда dimW$= AimWx -j-i,
поэтому существует вектор z1eTV^\H75". Можно считать,
что (zi, a;i)= 1 и Zi-LT^i. Пусть у\ = Z\ + Xx\, где Я, «-
= -(z,, z,)/2. Тогда (i/i, аг|)=1, (у\, ?i)=0 и yi -L Wu
Легко проверить, что Хз, ..., х„ ui, ..., мч_, е <ж,, yi>xH
<a;i, yi> П <a;i, г/1>х = 0. В самом деле, если v = oca;i + ^yi s
e <Ж1, у,>х, то a=(v, i/i)=0 и Р=(у, a:i) = 0. Поэтому
можно перейти к пространству <xi, i/i>x и аналогичным
образом построить в нем вектор у% и т. д.

§ 44. ТЕОРЕМА ВИТТА 265
Замечание. Пространство <х\, ..., х„ у\, ..., у,,
й\, ■ • ■, иь-гУ певырождено.
Ненулевой вектор х называется изотропным, если
(х, х) — 0. Пространство <х, у> с матрицей скалярного
произведения I ) называется плоскостью Артина.
\1 О/
Прямая сумма попарно ортогональных плоскостей Арти-
Артина называется пространством Артина.
44.2. Теорема (Витт). Пусть W и W — подпро-
подпространства невырожденного пространства V со скалярным
произведением и /: W -*■ W — некоторая изометрия. Тог-
Тогда f можно продолжить до изометрического преобразова-
преобразования всего пространства V.
Доказательство. Подпространства W и W мож-
можно считать невырожденными. В самом деле, выберем в
пространстве W такой ортогональный базис х\, ..., х„
«1, ..., ик-„ что (Ж(, xt)=0 и (щ, Ui)¥=0, и дополним его
векторами у\, ..., у„ как указано в формулировке тео-
теоремы п. 44.1. Пусть х\ = f(xi) и и'г = 1{щ). Базис х[ x'Sj
«1, ..., uh-s можпо аналогичным образом дополнить
векторами у\. ..., у\. Положим 7(j/{) -- у\ и f(w) = f(w)
для всех w e W. В результате получим изометрию не-
выронеденных пространств W = (W, у\, ..., у,У и W' =
= (W'', у[, ..., j/s) и будем продолжать ее.
Предположим сначала, что W и W — одномерные не-
невырожденные пространства. Пусть х — ненулевой элемент
W и p/(i)eF. По условию (х, х) = (у, у)^0, поэто-
поэтому (х + у, х + у) + {х-у, х-у) = 2{х, х)+2{у, у) =
= 4(ж, х)Ф0. Следовательно, хотя бы один из векторов
х + у и х — у пеизотролен. Простые вычисления показы-
показывают, что для любого пеизотроппого вектора а преобра-
преобразование
является изометрией. Если а = х±у, то (а, а) =2(а, х),
поэтому sX:ky{x) = х — (х ± у)= Ту, а значит, — sg+y или
1 &-у — искомая иоометрия.
Докажем теперь требуемое утверждение для невырож-
невырожденных пространств W w.W произвольной размерности».
Доказательство проведем индукцией по п. Пусть х —
неизотропный вектор пространства W yi Wi = <x>. Тогда
W = Wi © W2, где W2 — ортогональное дополнение про-

266 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
странства Wi в W. Ограничение шометрии / на одномер-
одномерное подпространство Wx можно продолжить до изометрии
g всего пространства V. Остается построить такую изо-
метрию h пространства W£, что ограничения отображе-
отображений h " g и / на W2 совпадают. Для этого достаточно рас-
рассмотреть изометрию /°g~\ отображающую (и— 1)-мер-'
ное пространство g{Wz) в f{Wz), и продолжить ее до
изометрии пространства Ц^\)±ш, это можно сделать по
предположению индукции.
ЗАДАЧИ
44.1. Докажите, что если скалярное произведение в
пространстве V невырождено и W ^V, то dim V =
- dim W + dim W± и (Wx)x = W.
44.2. Пусть W\ и Wi — изометричные подпространства
невырожденного пространства V. Докажите, что подпро-
подпространства W} и W% тоже изометричны.
44.3. Пусть жиг/ — ненулевые изотропные векторы
невырожденного пространства V. Докажите, что суще-
существует изометрия пространства V, переводящая вектор
х в у.
44.4. Подпространство W ^ V называется изотропным»
если ограничение скалярного произведения па него тож-
тождественно равно нулю. Изотропное подпространство, не
содержащееся в другом изотропном подпространстве, на-
называется максимальным изотропным 'подпространством.
Докажите, что если W\ и W% — максимальные изотроп-
изотропные подпространства невырожденного пространства V, то
существует изометрия пространства V, переводящая
Wi в Wi.
44.5. В пространстве V над К задано скалярное
произведение {х, у), причем квадратичная форма q(x) —
= {х, ж),, невырождена. Докажите, что сигнатура q равна
нулю тогда и только тогда, когда существует изотропное
подпространство размерности (dim V)/2.
§ 45. Обобщенная обратная матрица.
Матричные уравнения
45.1. Матрица X называется обобщенной обратной для
матрицы А (не обязательно квадратной), если ХАХ = А,
АХА = А и матрицы АХ и ХА эрмитовы. Это понятие
появилось независимо в работах [Мур, 1935] и [Пенроуз,

§ 45. ОБОБЩЕННАЯ ОБРАТНАЯ МАТРИЦА 267
1955]; эквивалентность определений Мура и Пенроуза
показана в работе [Радо, 1956]. Легко проверить, что для
невырожденной матрицы А обобщенная обратная матри-
матрица совпадает с обратной матрицей.
Теорема 1. Матрица X является обобщенной обрат-
обратной для матрицы А тогда и только тогда, когда матрицы
Р = АХ и Q = ХА являются эрмитовыми проекторами на
\ха.А и 1mA* соответственно.
Доказательство. Предположим сначала, что мат-
матрицы Р и Q являются эрмитовыми проекторами на 1тЛ
и 1тА* соответственно. Если v — произвольный вектор,
то Луе ImA, поэтому PAv = Av, т. е. AXAv = Av. Кро-
Кроме того, Xv e imXA = Im А*, поэтому QXv = Xv, т. е.
XAXv = Xv.
Предположим теперь, что матрица X является обоб-
обобщенной обратной для матрицы А. Тогда Р2 = (АХА)Х =
= АХ = Р и Q2 = (ХАХ)А= ХА = Q, причем матрицы
Р и Q эрмитовы. Остается доказать, что Im Р = Im А и
1т(? = 1тЛ*. Так как Р = АХ и Q = Q*=A*X*, to
lmPc^\mA и Im Q <= Ira A*. С другой стороны, А =
— АХА =РА и А* = А*Х*А* = Q*A* = QA*, поэтому
Im A <= Im P и Im A* <= Im Q.
Теорема 2 (Мур — Пенроуз). Для любой матрицы
А существует единственная обобщенная обратная матри-
матрица X.
Доказательство. Если ткА = г, то матрицу А
можно представить в виде ахроизведения матриц С и D
размера те X г и г X и соответственно (см. п. 8.2); при
этом Im A = Im С и Im A* = Im D*; ясно также, что мат-
матрицы С*С и DD* невырождены. Положим X =
= D*(DD*)-l{C*C)-lC*. Тоща АХ = С{С*С)~1С* и ХА =
= D*(DD*)~lD, т. е. матрицы АХ и ХА являются эрми-
эрмитовыми ироокторами на 1тС=1тЛ и 1тЛ* = 1тА*
соответственно (см. п. 25.3), а значит, X — обобщенная
обратная матрица для матрицы А.
Предположим теперь, что Х| и Хг — обобщенные об-
обратные матрицы для матрицы А. Товда АХ\ и АХ2 —
эрмитовы проекторы па ImA, поэтому AXi=AX2. Ана-
Аналогично Х\А — Х2А. Следовательно, X\=Xi(AXi) =
AJ 22 2
Обобщенную обратную матрицу для матрицы А бу-
будем обозначать А*.
45.2. Обобщенная обратная матрица А+ применяется
для решения систем линейпых уравнений, «ак совмест-

268 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
ных, так и несовместных. Наиболее интересны ее прило-
приложения « решению несовместных систем.
Теорема 1. Рассмотрим систему линейных уравне-
уравнений Ах = Ъ. Величина \Ах — Ъ\ минимальна для таких xt
что Ах = АА+Ь, а среди всех таких х наименьшую вели-
величину \х\ имеет хо — А+Ь.
Доказательство. Оператор Р = АА* — шроектор,
поэтому оператор Е — Р тоже проектор, причем
Im(E — P)= КегР (см. п. 25.1, теорема 2). А так как
оператор Р эрмитов, то КегР = AтР)х. Следовательно,
1т(Е-Р)=КетР='{1тР)± = {1тА)±, т. е. для любых
векторов х и у векторы Ах и [Е-АА+)у перпендику-
перпендикулярны и
\Ах + (Е - АА+)у\2 = \Ах\2 + \у - АА+у\2.
Аналогично \А+х + (Е - А+А)у\2 = \А+х\2 + \у-А+Ау\2.
Так как Ах- Ъ = А{х - АЧ)-(Е- АА+)Ь, то
\Ах - Ь\2 = \Ах - ААЧ\2 + \Ь - АА+Ь\2 > \Ь - АА*Ь\\
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда
Ах=ААЧ. Если Ах^-ААЧ, то |z|2=U+fc +
+ {Е-А+А)х\* = \А+Ь\2+ \х - А+Ах\2 > \Л+Ь\2, причем
равенство достигается тогда и только тогда, когда
х = А+Ах = А+АА+Ь = А+Ь.
Замечание. Равенство Ах = АА+Ъ эквивалентно
равенству А*Ах = А*Ь. В самом деле, если Ах — АА^ЪХ
то А*Ь = А*{А+)*А*Ъ = А*АА+Ъ = А*Ах, а если А*Ах =
= А*Ъ, то Ах = АА+Ах = (А+)*А*Ах = {А+)*А*Ъ=АА+Ь.
С помощью обобщенной обратной матрицы можно за-
записать критерий совместности системы липейных уравне-
уравнений и найти все ее решения.
Теорема 2. Матричное уравнение АХВ = С имеет
решение тогда и только тогда, когда АА+СВ+В = С. Ре-
Решения этого уравнения имеют вид X = А+СВ+ + Y —
— A+AYBB+, где Y— произвольная матрица.
Доказательство. Если АХВ = С, то С = АХВ =
= АА+1АХВ)В+В = АА+СВ+В. Наоборот, если С =
= АЛ*СВ+В, то Хо = А+СВ+ — частное решение уравне-
уравнения АХВ — С. Остается доказать, что общее решение
уравнения АХВ = 0 имеет вид X=Y-A+AYBB+. Яспо,
что A(Y-A+AYBB+)B = O. С другой стороны, если
АХВ = 0, то X = У - A+AYBB+, где У = X.
Следствие, а) Матричное уравнение АХ = С раз-
разрешимо тогда и только тогда, когда АА+С =• С; решения
этого уравнения имеют вид X = А+С + Y — A+AY, где
У — произвольная матрица.

§ 45. ОБОБЩЕННАЯ ОБРАТНАЯ МАТРИЦА 269
б) Матричное уравнение ХА — С разрешимо тогда и
только тогда, когда СА+А =С; решения этого уравнения
имеют вид X = СА+ + У — YA+A, где Y — произвольная
матрица.
45.3. Теорема [Рот, 1952]. Пусть А е Afm>m, В е
е Мп.п «Се Д/т.„.
а) Уравнение АХ — ХВ = С имеет решение X е Мт-а
тогда и только тогда, когда матрицы ( Л и [ Г
\0 В) \о В)
подобны.
б) Уравнение АХ — YB = С имеет решение X, 7s
п тогда и только тогда, когда матрицы М °\
\0 BJ
и
г д] одного ранга.
Доказательство [Фландерс, Виммер, 1977].
а) Пусть U = ( „ J. Предположим сначала, что ука-
указанные матрицы подобны. Рассмотрим для i = 0, 1 ото-
отображения ф<: Мт<п -*■ Mnin, заданные формулами
и-и(л *)-(АР-рА aq-qb\
u u[o b]-\brra bssb)'
°)и-и(л *)(
b)u u[o b]-\br-ra bs-sb
lt/_r7M 0 ) - (AP+CR-PA AQ+CS-QB V
b)u u\o b)-\ br-ra bs-sb ).
Уравнения FU = UF и GFG~lU' = U'F имеют изоморф-
изоморфные пространства решений; этот изоморфизм задается
формулой U = G~]U'. Поэтому dim Кег <ро = dim Ker <pi.
Если U е Кег ф4, то BR = RA и BS = SB. Поэтому можно-
рассмотреть пространство
V = {(R, S) e Mn,m+JBR = RA, BS = SB)
и определить проекции \i{: Кегф<^- V, где ]Ht(U) = (R, S).
Легко проверить, что
Д.гя ji0 это очевидно, а для |л следует из того, что СВ.
= 0 и CS = 0, так как R => 0 и S = 0.

270 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
Докажем, что Im ц,0 = Im Hi. Если (Л, S)^V, то
\Л s) s ^er <Р°" Поэтому Im цо — V, а значит, Im Ц1 «=
■с Im Цо. С другой стороны, dim Im Цо + dim Кег ]Хо =
«• dim Кег фо = dim Кег ф1 = dim Im ца + dim Кег ц,,.
Матрица L _Л лежит в Кегфо, поэтому @, — Е)^
е Im Цо = Im ци Следовательно, в Кегф! есть матрица
вида (q _!). Значит, AQ + CS-QB = 0, оде S = -E.
Поэтому X = Q — решение уравнения АХ — ХВ = С.
Обратно, если X — решение данного уравнения, то
Га о \ (е х) _ (а ах) (а с + хв)_ (е х) (а с]
[о в) [о е) ~ \о в I ~" \о в ) — \о е) [о ву
(е х\~Ча о\(е х\ (а с\
означит, @ Е) @ в][0 Е} = @ в).
б) Предположим сначала, что указанные матрицы од-
\
ното
) р
IU U (W W \
ранта. Пусть U = " 12) и W = „а *2 .
0 1 б Л/
2 2з а 22
Рассмотрим для i = 0, 1 отображения ifj: Л/т+п> 2(т+то
-*■ Mm+ni m+n, заданные формулами
_ (AUn
)u-w(A y =
ЛП„ - WnA
~W2!A
bu21-w21a bu22-w22b )'
Пространства решений уравпений FU = WF и GFG~lU' =
~W'F изоморфны; этот изоморфизм задается формулами
U = G-Ш' a\V = G-W. Поэтому dim Кег ф0 = dim Кег ф,.
Рассмотрим пространство
Z = {(U2U U22, W2U W22) \BU2i = WnA, BUi2 = W22B}
и опрегделим отображения v<: Кегф<->2, где \t(U, W) =
=(^21, £^22, W21, W22). Тогда Imvi с: Imvo = .Z и
Kervi = Kervo. Поэтому Imvi = Imv0. Матрица (С/, W),
где U = W = L _ J, лежит в Keri|>0. Поэтому в

g 46. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИП27*
тоже существует элемент, для которого С/22 = —Е. Длж
этого элемента равенство AV\2J^CIS^ = WuB эквива-
эквивалентно равенству A U2i — \V\2B — С.
Обратно, если решение X, Y данного уравнения суще-
существует, то
(Е —Y\(A 0 \ (Е Х\ _(А АХ — YB) _ (А С\
[о е) [о в) [о е) ~ [о в } — [о в)'
ЗАДАЧИ
45.1. Докажите, что если С == АХ — YB, то существу-
существует такая матрица Z, что С = AZB.
45.2. Докажите, что любое решение системы матрич-
матричных уравнений АХ = О, ХВ = 0 имеет вид X =*
= (Е — A+A)Y(Е — ВВ+), где У — произвольная матрица-
45.3. Докажите, что система уравнений АХ = С, ХВ =
= D имеет решение тогда и только тогда, когда каждое
из уравнений АХ = С и ХВ = D имеет решение а
AD = СВ.
§ 46. Функции от матриц.
Дифференцирование матриц
46.1. По аналогии с экспонентой числа можно опреде-
лить экспоненту матрицы А как сумму ряда 2* ~~JA' Д**"
A=0
кажем, что этот ряд сходится. Если А и В — квадратные-
матрицы порядка и и lo^l «S а, \Ъц\ < Ь, то элемепты мат-
матрицы АВ ло модулю не превосходят nab. Поэтому эле-
элементы матрицы Ah 00 модулю не превосходят nh~lah =
= {па)Чп. А та/к как ~2(j?$- = 4"*""' т0 Ряд 2 Ж
ko Ь0
o
сходится к некоторой матрице еА = ехр А; эта матрица
называется экспонентой матрицы А.
Если Ai=P-]AP, то А1 = P~1AkP. Следовательно,.
ехр(Р~'АР) = .Р-'(ехрА)Р. Поэтому вычисление экапо-
ненты произвольной матрицы сводится к вычислению-
экспоненты жорданавой клетки.
Пусть J = KE + N — жорданова клетка порядка га*
Тогда (КЕ + N)k = 2 C^Xh~mNm. Поэтому ехр {tJ) =
0

72 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
{ к\ ~~ *di ±* (k-m.)\ ml
ft=o m—o m=0 k*=m
n~1 m
eA== ^j^W1, TaK KaK ^m=
o o
Приведя матрицу А к жор'дановой нормальной форме,
-получим следующее утверждение.
Теорема 1. Если минимальный многочлен матрицы
А равен (х — A.x)ni ... (ж — A,fe)nft, ro элементы матрицы
ft()
многочлен степени не более и<— 1.
Теорема 2. det(eA) = e*rA.
Доказательство. Можно считать, что А —
верхняя треугольная матрица с элементами hi, ..., А,п
на диагонали. Тогда Ак — верхняя треугольная матрица
-с элементами ^J, .... ln на диагонали. Поэтому еА —
■верхняя треугольная матрица с элементами ехр К\, ...
..., ехр Хк на диагонали.
46.2. Рассмотрим семейство матриц X (t) —1| хц (t) [".
элементы которых являются дифференцируе.мыми функ-
ция>ми от t. Пусть X {t) = —-77 поэлементная произ-
.водная матричной функции X(t).
Теорема i.{XY)m = XY+ XY.
Доказательство. Если Z — XY, то z^ = 2хшУк},
h
.а значит, zy = 2 хгьУм + 2жг^«. Поэтому Z = XY + ХУ.
ft к
Теорема 2. а) (X)" = - З
б) tr (ЗГ1*) = - tr ((Х^1)' X).
Доказательство, а) С одной стороны, (Х~Х)" =
■= Е = 0. С другой стороны, (Х^Х)' =(Х-1)' X + Х^Х.
Поэтому" (Х~1)Х= -Х-1Х, а значит, (X)" =
б) Так жак tr(X-'X)=«, то 0 =
Теорема 3. (eAty =^
v-^p СХОДИТСЯ
(
2
A=0

§ 46. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИЦ273
±
46.3. Систему п линейных дифференциальных урав-
аепий первого порядка для п неизвестных можно зали-
зализать в виде X = АХ, где X — столбец длиной п, А — мат-
матрица порядка п. Если матрица А постоянна, то X(t) =
= еА'С — решение этого уравнения с начальным услови-
условием Х@)=С (см. ш. 46.2, теорема 3); решение данного
уравнения с дапным начальным условном единственно.
Общий вид элементов матрицы вл* дает теорема 1 п. 46.1;
используя эту теорему, цриходим к следующему утвер-
утверждению.
Теорема 1. Если минимальный многочлен матри-
матрицы А равен (А, — V)™! ... (X — А*)™11, то решения xi(t), ...
..., xn(t) уравнения X = АХ (т. е. координаты векто-
вектора X) имеют вид Xi (t) = ph (t) Л' + ... + pik {t) e%*\
где pi}(t) — многочлен, степень которого не превосхо-
превосходит га,- — 1.
Непосредственной подстановкой легко проверить, что
X(t)= eAtCeBi — решение уравнения Х = АХ + ХВ с на-
начальным условием Х@)=С.
Теорема 2 (формула Якоби). Пусть X(t) — реше-
решение уравнения X = A (t) X. Тогда
det X = ехр ( J tr A (s) ds I det X @).
Доказательство. Согласно задаче 46.6, а)
(ietXy =(detZ)(trZZ~1). В пашем случае ХХ~г =
= A(t). Следовательно, функция y(t)= detX(t) удовлет-
удовлетворяет условию (In у)' = у/у = tr A (t). Поэтому у (t) =
= сехр f tr A {s)dsl где с = i/@) = detX(O).
46.4. Рассмотрим систему дифференциальных уравне-
уравнений x = f(x, t), где x — (xi, ..., хп). Непостоянная функ-
функция F(x\, ..., хп) называется первым интегралом этой
системы дифференциальных уравнений, если -^■F(x1, ...
..., ж„)=0 для любого решения xi(t), ..., xn(t) данной
18 в. В. Прасолов

274
ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
системы. Первый интеграл позволяет понизить порядок
системы на 1.
Пусть А и L — квадратные матрицы, элементы /кото-
/которых зависят от Х\, ..., хп. Дифференциальное уравнение-
L = AL — LA называется уравнением Лакса.
Теорема. Функции %(хи •••» zn)=*tr(LK) являются
первыми интегралами уравнения Лакса (если они не
константы).
Доказательство. Пусть B(t)—решение уравне-
уравнения В = — В А с начальным условием /?(()) = .£'. Тогда
detfi(*)=exp JA(s)ds\фО (см. п. 46.3, теорема 2) к
\о /
(BLB-1)- = BLB'1 +BL В'1 + BL (Я)* =- BALB~l+
+ B(AL - LA)B-i+BLB-i(BA)B-*=O. Поэтому жорда-
нова нормальная форма матрицы L не изменяется, а зна-
значит, ее собственные значения постоянны.
Представление систем дифференциальных уравнений
в виде уравпений Лакса является одним из основных спо-
способов нахождения первых интегралов гамильтоновых си-
систем дифференциальных уравнений. В виде уравнения
Лакса легко записать уравнение Эйлера М = М X ю, опи-
описывающее движение твердого тела с неподвижной точкой-
Для этого нужно взять
и А = I —
мг ~м3
ш2 _,
Первым интегралом этого уравнения является tr L2
( )
( )
Менее тривиальным примером является цепочка Тодды
= —j^-U, где V = exp (xi —
j^ ... + ехр (ж„_1 — ж„).
Эту систему уравнений можно переписать в виде уравне-
уравнения Jlttkca с
bi ai
±j TSZ
О
ю
"П-1

§ 46. ФУНКЦИИ ОГ МАТРИЦ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИЦ 275
А =
— а. О
О
— а
•n-]
О
an-l
о
где о( = (ехр((а;( —a;i+i)/2))/2, b( = — i,/2. В самом деле,
уравнение L = 4L — L4 эквивалентно системе Ъг = 2а?,
Ъ2 = 2а* - 2а?, ..., Ъп = - 2а£_1? ах = а1(&2 - Ьх), ....
«„_! = On-i (&„ — &„_!). ПОЭТОМУ (In uj)" = &i+1 — Ьг =
=(Ж{ — xi+1y/2, ai = ciexp((xl-xl+i)/2) и ^=—26,,=
= — 4а? = — 4с? ехр (^ — xz), х2 = - 4^ ехр (ж2 — ж3) +
+ 4с?ехр{хх — xz), ..., хп= 4с«ехр(жп_1—х„J. Решение
уравнения L = AL — LA, для которого С\ = ... = с„ = 1/2,
является решением цепочки Тодды. Поэтому функции
Ь\(х\, ..., хп, xi, ..., in) = tr(L*) являются первыми ин-
интегралами для цепочки Тодды.
ЗАДАЧИ
46.1. ПустьЛ = Г -). Вычислите еА.
46.2. а) Докажите, что если [А, -В] = 0, то еА+в =
= елев.
б) Докажите, что если е(А+в>* = eA'eBt при всех t, то
[Л,Я] = 0.
46.3. Докажите, что для любой унитарной матрицы Z7
существует такая эрмитова матрица Н, что U = еш.
46.4. а) Докажите, что если вещественная матрица X
кососимметрична, то матрица ех ортогональна.
б) Докажите, что любую ортогональную матрицу U с
определителем 1 можно представить в виде ех, где X —
вещественная кососимметрическая матрица.
46.5. а) Пусть А — вещественная матрица. Докажите,
что det еА = 1 тогда и только тогда, когда tr A = 0.
б) Пусть В — вещественная матрица и detfi = l.
Всегда ли найдется такая вещественная матрица А, что
18*

276 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
46.6. а) Докажите, что (detA)' = tr(Aad]AT)
б) Пусть А% — матрица порядка п. Докажите, что
trD(adj АТУ ) = (л - 1) tr(iadj Лг).
46.7 [Эйткен, 1953]. Рассмотрим отображение F:
Мп,п - Мя,я. Пусть QF (X) = 1; щц (X) |i', где соу (X) =
= ^Г tr F (X). Докажите, что если F (X) = Хт, где m —
целое число, то QF(X)= mXm~x.
§ 47. Матрицы с предписанными
собственными значениями
47.1. Теорема 1. Для любого многочлена /(ж) =
= хп + cixn~l + ... 4- с„ и любых чисел а\, ..., an-i су-
существует матрица порядка п с характеристическим мно-
многочленом } и элементами а\, ..., а„ на диагонали {послед-
{последний диагональный элемент ап задается соотношением
ai + ... + а„ = — ci).
Доказательство [Фарахат, Ледерманн, 1958J.
Многочлены и0 = 1, щ =х- а\, ..., ип = (х — а\)...
...(х — а„) образуют базис в пространстве многочленов
степени не более п, поэтому / = м„ + "К\ип-\ + ... + Я„мо.
Приравпивая коэффициенты при хп~1 в левой и правой
части, получаем с\ == — {а\ + .. . + а„)+ \\, т. е. %\'=
= с\ + (ai + ... + а„) = 0. Пусть
ах 1 0 ... 0 0'
О1 а„ 1 ... 0 0
« о о
Разложив ошределитель матрицы хЕ — А по последней
строке, приучим |ж£ — 4| =А„ + Я„-1И, + ... + Ягип-2 +
+ и„ = /, т. е. А — искомая матрица.
Теорема 2. Для любого многочлена f(z) —
— хп + cixn~] + ... + спи любой матрицы В порядка n — i,
характеристический многочлен которой совпадает с мини-
минимальным многочленом, существует такая матрица А, что
В является подматрицей А и характеристический много-
многочлен А равен /.

§ 47. МАТРИЦЫ С ПРЕДПИСАННЫМ СПЕКТРОМ 277
Доказательство [Фарахат, Ледерманн, 1958].
/В Р\
[усть А = уот ь], где Р и Q — произвольные столбцы
линой п — 1, Ъ — произвольное число. Ясно, что
&(хЕп -А) = {х- Ъ)det(z£n-i -B)-QT adj(xE^ - В)Р
см. п. 3.1, теорема 3). Докажем, что adj \хЕп~г — В) —
п—2
= 2 Иг(х)Вт, где многочлены ио, ..., ип-2 образуют ба-
ис пространства многочленов степени не более п — 2.
1усть g(x)=det(xEn-i -B)=*xn~l + ^хп~2 +... и
)(x,X) = (g{x)-g(%))/(x-J,). Тогда (хЕ-В)у(х, В) =
= g(x)E — g(B) = g(x)E, так <как по теореме Гамильто-
ta — Кэли g(B)= 0. Поэтому <р-(ж, fi) = ?(ж) (хЕ - Я)-1 =
= adj(a;^ —Б). Кроме того, так как (я" — Ък)/(х — I) =
ft—I n—2 г
= 2 а*-1-'^, то ср (ж, г.) = 2 *п-г-2 2 ^-S>-S =
s=o г=0 «=0
п—2 п— 2 п— 2
= 2 ^ 2 fn-r-2a:''"a» а значит, ■ ц, {х, к) = 2 *•*«« (^),
•де а, = ж"—2 + t{хп~-г + ... + U-,-2. Итак, (let{xEn —
п—2
- А) = (аг - Ь) (xn-i -|- f,аг"-2 4- ...) — 2 i>sQTBsP = хп-\-
s=o
n—a
-г (h — Ь) xn-i + h (ж) — 2 usQTBsP, вде ft — многочлен
8=0
;тетени не более п — 2 и многочлены и0, ..., 1{„_а
>бразуют базис пространства многочленов стопепи
ie более п — 2. А так как характеристический мно-
'очлен матрицы В совпадает с минимальным многочле-
многочленом, то столбцы Q и Р мояшо выбрать тате, что
[QTP, ..., QTBn~2P) -r- произвольный заданный набор чи-
;ел (см. п. 13.3).
47.2. Т еор ома. В комплексной матрице Л заданы
ice внедиагоналъные элементы. Тогда диагональные эле-
элементы х\, ..., хп можно подобрать так, что собственные
тачения матрицы А совпадут с данными комплексными
телами; при этом количество таких наборов Х\, ..., хя
гопечно.
Доказательство [Фридланд, 1972]. Яспо, что
let [А + Щ = (хх + X) ...(хп-г1)+ 2 а4 ffc (я;* +
ft-sfn—2 1 *
2
Kph(xu .... xn), где ph — многочлен, degph^k-2.

278 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
Уравнение &et(A + hE)=Q имеет корни fa, ..., %п тогда
и только тогда, когда oh(fa, ..., Я„) = afc(a;i, ..., ж„) +
+ />*(я1, ..., ж„). Таким образом, наша задача сводится к
решению системы уравнений ак(х\, ..., xn)=qh(xi, ...
..., хп), где к = 1, ..., га и степень многочлена qk не пре-
превосходит к — 1 (и даже & — 2 при к &* 2).
ПУСТЬ Ж = ЖЬ 0ft = 0ft (xlt . . ., Хп) И Oft = Oft (Х1, . . .,
Ж{, ..., ж„). Тогда Oft = Ж0ь_1+ 0ft. Поэтому х"—
+ 02ж?~г — ... + (— 1)по-„ = хп — (х + 0^) жп-1 ^ ч„.
+ 02) хп~* — ... = 0. Раамотрим многочлены fi (хг,
..., хп), где степень гг меньше п. Тогда /4=/4— (х?—с
( )) ^ ft+
n, где gi=(— ly-Ha + qi), т. е. F = FG, где F
иб- столбцы (/lf ...,/„) и (Л, • • •, ft), F = 14fi I!»" •
Поэтому 6=7"^, а Гтак как y-^FT^, где Ж==
= detF = JI(^i—^) и Fj— матрица, элементы которой—
многочлены от х1, ..., хп, то ТУ^, ..., W^nef l/1? ..., /„],
где/1/i, ..., /„]— идеал кольца многочленов над С, по-
порожденный Д, ..., /п.
Предположим, что многочлены gi, ..., gn не имеют
общих корней. Тогда по теореме Гильберта о нулях (см.
шриложение, ш. 4) 1=2 Viet, поэтому W = 2 yi (W&O s
s /[/,, ..., /n]. С 'другой стороны, W = ]&iv..inxi ...хп,
где ih < п. Поэтому W <£I [/i, ..., /„] (см. приложение,
п. 5). Следовательно, многочлены g\, ..., gn имеют об-
общий корень.
Докажем теперь, что количество общих корней много-
многочленов gu ..., gn конечно. Пусть | = (хи ..., хп) — корень
многочленов gu . ■., gn. Тогда 1 — корень многочленов fi,...
..., /„, Tajt как U = zr~Vi + • ■ ■ + gn. Поэтому ж" -\-
+ ri(xi, •..••. хп) — /i = 0, причем степень многочлена п
меньше^тг. Но такая система уравнений имеет конечное
число решений (см. приложение, п. 5). Поэтому число
различных наборов х\, ..., х„ конечно.
47.3. Теорема. Пусть A,i *£...*£ Я„, di <...<<*»,
di +... + dh 2* Xi + ... + Kh при к = 1, ..., п — 1 и di + ...
... + dn = Я,1 + ... + Хп. Тогда существует такая ортого-
ортогональная матрица Р, что на диагонали матрицы РТЛР, где
А — diag(Ai, ..., Хп) стоят числа d\, . • •, ^п.

§ 47. МАТРИЦЫ С ПРЕДПИСАННЫМ СПЕКТРОМ 279
Доказательство [Чань, Ли, 1983]. Пусть снача-
сначала п = 2. Тогда Ki ^s di ^ d2 ^ Яг и d2 =%\ + Я2 — di. Ес-
Если Я,1 = Яг, то можно положить Р = Е. Если же Xi < Яа,
то матрица
Г ^2 — ^1 \ Г **!—^1 Т^2~^1/
искомая.
Предположим теперь, что утверждение верно для не-
некоторого п Ss 2 и рассмотрим наборы из п + 1 чисел. Так
как Я,1 *S di < dn+i < A,n+i, то существует такой номер
/ > 1, что Xj_i «S d\ < %}. Пусть Р\ — такая матрица пере-
становиш, что РгАРг = diag(Xlt Я,-, % "k ^)
Ленжо проверить, что A( } )
<max(di, Я,1+ Xj —di)<^. Поэтому существует такая
ортогональная матрица Q порядка 2, что на диагонали
матрицы ()rdiag(Xi, КЛО стоят числа di и %i + h} — du
IQ 0\
Рассмотрим матрицу Р2 = 10 е) порядка и + 1. Ясно,
что Р2(РГЛР1)Р2=^Ь1 дУ где Л,
— di, Я2, ..., %}, . ■., Яп+i). Упорядоченные по возрастанию
диагональные элементы матрицы Ai и числа d2, ..., dn+\
удовлетворяют условию теоремы. В самом деле, di +...
... +dh>(k - l)d, > %2 + ... + К при к = 2, ..., /- 1 и
+ dk = d\ + ... + dk - d\ > Xi + ... + K-di -
( i-di) + X2 + ...+Vi + ^i+i + --- + ^» при Л =
= /, ..., n+1; в обоих случаях правые части неравенств
не меньше суммы к — 1 минимальных диагопальных эле-
элементов матрицы Aj. Поэтому существует такая ортого-
ортогональная матрица Qi, что на диагонали матрицы Q^A^x
/1 0 \
стоят числа d2) ..., dn+i. Пусть Р3 =уо Q )• Тогда мат-
матрица Р = Р\Р2Рг искомая.
Замечание. Если A,i < < ^n, d\ *£ ... < dn и на
диагонали матрицы РТАР, где Л = diag (X.j, ..., Я„) и Р —
ортогональная матрица, стоят числа dj, ..., dn, то
di +... + dft ^ Xi + ... + К при к = 1, ..., » — 1 и di + ...
... + dn = Я,, + ... + К.

280 ■' ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
Решения задач
39.1. а) Ясно, что АХ = \%гхг.\^ и ХА = ^х{.^, а значит,
Xixjj =.'KjXij. Поэтому хц = 0 при i ф ].
б) Согласно задаче а) X = diag (х\, ..., хп). Легко проверить,
что (NAX){i i+, = ki+\Xi+i и (XNA)tit+i = ht+\xt. Поэтому х( =
== Ж1+1 при i = 1, 2, . .., п — 1.
39.2. Достаточно воспользоваться результатом задачи 39.1.
39.3. Пусть pi, рп —суммы элементов строк матрицы X,
<?ь ••-, Яп — суммы элементов ее столбцов. Тогда
АХ =
\h ■■• In) \Pn
Поэтому АХ = ХА тогда ы только тогда, когда q\ — ... = qn =
= pi= ... — рп.
39.4. Равенство АРа = Ра4 можно переписать в виде Л =
= P~MP,j. Если Р-1^^ = | Ь{;-1|", то б,-," = a<>«).o<i) (см. зада-
задачу 12.3). Для любых чисел р и q существует такая перестановка о,
что р = a(q). Поэтому адя = Ьяя = о0(?), щ,| = арр, т. е. все диа-
диагональные элементы матрицы А равны. Если i ф / и р ф д, то су-
существует такая перестановка о, что г = а(р) и / = о(д). Поэтому
"рч = Ьрз = ао;р), о(г;) = "<;, т. е. все внедиагопнльпые элементы
матрицы А равны. Следовательно, А —аЕ + $ (/ — £) =
= (а-р)К + ^.
39.5. Можно считать, что А = diag (А,. ..., Аъ), где At — жор-
данова клетка. Пусть ц,|, ..., \ik — попарно различные числа и В< —
жордапова клетка, соответствующая собственному значению ц.< и
имеющая такой же размер, как и At. Тогда в качестве В можно
взять матрицу diag (Z?i,-..., Вь).
39.6. а) Для перестановочных матриц А и В справедлива фор-
формула (А + В)п = 2 С\АкВп~н. Пусть Ат = Вт = 0. Если п =
= 2то — 1, то либо к ~^ иг, либо п — ft ^ то, поэтому (Л + В)п = 0.
б) Это утверждение следует из теоремы 3 п. 39.2.
39.7. Ипволюции являются диагонализируемыми операторами,
причем бЪи приводятся к диагональному виду с элементами ±1
на диагонали (см. п. 26.1). Значит, согласпо следствию теоремы 3
it. 39.Z существует базис, в котором все матрицы Ах имеют вид
diag (±1, ..., ±1). Количество различных матриц такого вида
ранпо 2".
39.8. Разложим пространство V в такую прямую сумму инва-
инвариантных подпространств \\, что каждый оператор Aj имеет на
любом подпространстве V, лишь одно собственное значение кц
(см. п. 39.2, теорема 3). Рассмотрим диагональпый оператор D, ог-
р.шичепие которого па подпространство V{ имеет вид \цЕ, причем

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 281
все числа ц< попарно различны. Для каждого / существует такой
интерполяционный многочлен /,-, что fj(\n) = %ц при всех i (см.
приложение, п. 3). Ясно, что fj(D) = А].
[ХЕ А \
39.9. Легко проверить, что все матрицы вида I q ^1, где
А — произвольная матрица порядка то, перестановочны.
39.10. Пусть V— пространство решений уравнения АХ = ХА,
п — порядок матриц Л и В. По условию V с <£, В, ..., В*"), при-
причем к ;g и согласно теореме Гамильтона — Кэли. С другой сторо-
стороны, dim V ^s л (см. доказательство теоремы 2 п. 39.1). Следователь-
Следовательно, dim V = п, а значит, минимальный многочлен матрицы А сов-
совпадает с характеристическим многочленом, т. е. dim <Д, А,...
. ..,.4"-'> = п. Остается заметить, что <£, А, ..., Ап-1)с: V.
40.1. Легко проверить, что [iV, А] = N. Поэтому ad j A =
= V, М = [N, А] = # = / — IE. Ясно также, что ad/ (/ — Щ = 0.
Для любых матриц X и Y справедливо равенство
adr ((У — %£)Х) = (Y— Щ adyX, поэтому ad£ ((Y — КЕ) X) -
= (Y — %Е) &А\Х. Положив Y = J и X = Л, получим adj (Л\4) =
= N sA2jA = 0.
40.2- Так как Cn=Cn~1'^l[Ai, В4]=2СП"~1Л4В4— Jj^"^-4*151
=S^(cn~1fii)-2(cn~lifiLi = S[^-cn~1Bi]- то trC"=
= 0 при п ^ 1. Следовательно, матрица С нпльпотентна (см.
п. 24.2, теорема 1).
40.3. При п = 1 утверждение верно. Ясно также, что если ут-
утверждение верно для к, то
= 2 (- «"-•cU4 л** - 2 (- i
= "^ (- D^H-ic^-i^^^"-^1 + 2 (-
n+i
= 2 (-
1=0
40.4. Отображение D = adA: Afn,n -*■ Afn;n является дифферен-
дифференцированием. Нужно доказать, что если D2J5 = 0, то Dn (В") =»
= w!(DJ5)n. Для п = 1 утверждение очевидно. Предположим, что
утверждение верно для некоторого п. Тогда
n) = D [Dn (J5n)] = n\ D [(DB)n] =
1^*

282 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
Ясно, что
п+1 .
А так как D<B = 0 при i ^ 2, то £>"+'(В"+|) = В • О»+1 (В»)-f
+ (и + 1) (Ш) A>»(В")) = (л + 1) (DB) (I>"(J5«)) = (и + 1)!(Z)B)»+'.
40.5. Докажем сначала требуемое утвержденне при п = 1. Прн
» = 1 утверждение очевидно. Ясно также, что если утверждение
верно для некоторого то, то [Лт+1, В] — А (АтВ — ВАт) +
+ (АВ — ВА)А™ = тЛ[А, В]Ат~1 + [А, В]Ат = (т + 1) [Л, В]Л™.
Пусть теперь т > и > 0. Домпожив равенство [Лп, В] =
= п[А, В]Ап~1 справа на тАт~п, получим т[Ап, В]Ат~п =
= тп[А, В]Ат~1 = п[Ат, В].
40.6. Оператору ad а в пространстве Нот (V, V) соответствует
оператор L — EQA —АТ ®Е в пространстве V* ® V (см. п. 27.5).
Если оператор А диагоналей в базисе е\, ..., е„, то оператор L диа-
гонвлеп в базисе е\®е.. Поэтому KerZ." = KerL.
40.7. а) Если trZ = 0, то Z = [X, Y] (см. п. 40.2), поэтому
tr (AZ) = tr (AXY)-ti (AYX) = 0. Следовательно, А = XE (см.
задачу 5.1).
б) Для любой линейной функции / на пространстве матриц су-
существует такая матрица А, что /(X) = tr (АХ). А так как/(ХУ) =
= /(УХ), то tr {AXY) = tr (AYX). Следовательно, А = ХЕ.
41.1. Легко проверить, что произведение указанных кватернио-
кватернионов равно— (х\Хг+ ум + гм) + (y{z2 — ^y2)i + (zxx2 — z2x\) / +
41.2. Пусть ? = «+!;, где а — вещественная часть кватернио-
кватерниона, v — его мнимая часть. Тогда (о + vJ = a2 + 2au + i>s. Согласно
теореме 1 п. 41.2 v2 = —»w = —1»|2<0. Поэтому кватернион
ог + 2ai> + v2 вещественный тогда и только тогда, когда аи — ве-
вещественный кватернион, т. е. а = 0 или v = 0.
41.3. Из решения задачи 41.2 видно, что q2 = —1 тогда и только
тогда, когда д = xi + Vi + ZK где х2 + у2 + zs = 1.
41.4. Пусть кватернион g = a + v, где a — вещественная часть
кватерни»на q, иерестановочен с любым чисто мнимым кватернио-
кватернионом w. Тогда (a + v) w = w(a+ и) и aw — wa, поэтому vw =
= wv. А так как vw = шу = юи, то vw — вещественный кватер-
ниоп. Остается заметить, что если v Ф 0 и кватернион w не про-
пропорционален г;, то vw ф iR.
41.5. Пусть В = Wx + И^, где Wi и ^—комплексные матри-
матрицы. Тогда АВ = Z,Wt + Z2jWl + ZXW$ + ZrfWij и

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 283
Поэтому достаточно доказать, что Z^jWi = Z2WJ и
= — Z2W2. Так как ji = — ij, то }Wt = И7,/, а так как // = —1 и
Щ = i, to jWj = —W2.
41.6. Ясно, что (qx, qy) = (xqqy + yqqx)/2 = |9|2(a;, !/). Ото-
Отображение жн*дх/|д| ортогонально и сохраняет ориентацию. По-
Поэтому оиределитель отображсыия х>-> qx равен |д|4.
41.7. Тетраэдр можно расположить в пространстве кватернио-
кватернионов. Пусть а, Ь, с и d — кватернионы, соответствующие его верши-
вершинам. Можно считать, что с и d — вещественные кватернионы.
Тогда
(я _ Ь) (с — d) + (Ь — с) (а — d) = F — d) (а—с).
В самом деле, все сомножители, содержащие Ъ, сокращаются, а
кватерниопы а, с и d попарно перестановочны. Следовательно,
\a-b\\c-d\+\b-c\\a-d\->\b-d\\a-c\.
41.8. а) Пусть х = а + be и у = и + "е. Тогда
(ху) у = [{аи — vb) и — v (Ъи + va)] -f- [(bu -\- va) и + v {аи — vb)] e,
х(уу) = [а {и? — vv) — (ум -\- vu) b\ + |.Ь (ыа — vv) + {vu -\- vu) о] е.
А так как vv = vv и и + п — действительные числа, то
а(иг — vv) — (vu + vu)b = ом2 — aw — (it + u)vb =
= ait2 — vva — гЬ(и + «) = (аи — vb)u — »(Ьй+ va),
b(u2 — vv) + (vu + «м)а = Ьм2— bvv -\- v(u + it)a =
= bu2— vvb + va(u + it) = Fп+ do)m + »(ait — vb).
Равенство x(xy) = (xx)y доказывается аналогично.
б) Рассмотрим трилинейное отображение /(а, х, у) = (ах)у —
— а(ху). Подставив Ь = х + у в равенство (ab)b = a(bb) и учтя,
что (ах)х = а(хх) и (ау)у = а(уу), получим (аж)!/ — а(уж) =
= а(ху)— (ау)х, т. е. /(а, ж, у) = —/(а, у, х). Аналогично, под-
подставив 6 = х-\- у в равенство ЬFа) = FЬ)о, получим f(x, у, а) =
= —1(у, х, а). Значит, /(а, х, у) = —/(о, у, х) = f(y, а, х) =
=—НУ, х, а), т. е. (ах)у+(ух)а=ю.(ху)+у(ха). При а = у
получаем (ух)у = #(яу).
42.1. Легко проверить, что 2\А\ = 0 (см. задачу 1.1). Для поля
нечетной характеристики из этого равенства следует, что \А\ = (X
Для поля характеристики 2 аналогичное утверждение невер-
неверно; в этом случае, например, единичная матрица является кососим-
метрической.

0
0
0
0
1
0
0
0
0 ...
1 ...
0 ...
0 ...
0
0
1
0
284 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
42.2. Матрицы
и Y.
удовлетворяют требуемому соотношению.
42.3. Так как AtS = 2 агА. = ^,Ah = S, то S2 = У А£ = п5.
J A i
Поэтому все собственные значения матрицы S равны 0 или и,
а так как tr S = 0, то все собственные значения равны 0. Следова-
Следовательно, матрица S — пЕ певырождена и из равенства S(S—пЕ) =
= 0 получаем S = 0.
43.1. Пусть со, ..., Cn+m-i — столбцы матрицы Сильвестра
S(f, g) И yh = хт+п-к-1. Тогда УсСо + • ■ . + Уп+т-Юп+т-1 = С, ГДв
с —столбец (хт~Ч[х), ..., /(г), г"->^(*), ..., g{x)). Рассмотрим
это равенство как систему липейных уравнений относительно
Уо, ■■ ■, Ут,-т-\ и применим для нахождения уп+т-{ правило Краме-
Крамера. В результате получим
г/л+m-idet (со, ..., c+m_i) = det (c0, ..., cn+m-t, с). A)
Остается заметить, что yn+m-i = 1, det (c0, ..., cn+m-i) = Д(/, я)',
а определитель, стоящий и правой части равенства A), можно
представить в требуемом виде.
43.2. Согласно теореме п. 43.2 R (/, g) =a™ JJ г"(ж4) ir Л (/, г)=
== а0 И г (*»)■ кРоме тог0'
i
+ r(xt) =
43.3. Пусть со, ..., CnJ-m-i — столбцы матрицы Сильвестра
S(f. g) и Ук = хп+т-к-[. Тогда jroco + • • • + ?«-•"•-icn+m_t = с, где
с — столбец (хт-1}(х), ..., f(x), xn~lg(x), ..., g{x)). Ясно, что ес-
если к ^ п — 1. то a:ftg (х) = 2 ?.{х1/ (г) + ги (х)> ГДв ^< — некоторые
числа и г.^ т — \. Поэтому, прибавляя к последним п элементам
столбца с*'линейиые комбинации первых т элементов, этот стол-
столбец HoHggO привести к виду (xm~lf(x), ..., f(x), гп_,(ж), ..., ro(x)).
Аналогичные преобразования строк матрицы £(/, g-) приводят эту
матрицу к виду
где А ■■
1 о

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 285
43.4. Рассматриваемому оператору соответствует оператор
Ет®А—ВТ ® Еп (см. п. 27.5). Собственные значения этого опе-
оператора равны а.{ — $j, где а* — корпи многочлена /, $j — корни мно-
многочлена g (см. п. 27.4). Поэтому его определитель равен
43.5. Легко проверить, что S = VTV, где
/1 «, ... «Г1
«Г1
Ооэтому det 5 = (det vf = Д (аг — atf.
43.6. Воспользуемся теоремой п. 43.3. Ясно, что
Inn —— = hm
к-+у х У e-*o
= f'(y)g{y)-f(v)g'(v)-
Значит, если безутиапа многочлепов fag равна нулю, то f'g =
= s'f и (fig)' = U'g — g'f)/g2 = 0. Обратное утверждение оче-
очевидно.
43.7. Пусть zi, ..., zn — строки матрицы Z, п, ..., г„ — строки
-матрицы R, »i, ..., sn — строки матрицы ГЛ. Тогда
«п = г, = (Ь„ — Ьоа„, ..., 6, — 60а0 = zn
... + г„_;Л) = an_isn + st+iA при i = и — 1, ..., 2, 1. Поэтому ос-
остается проверить, что zj = вп-12п + 2j+i4 при £ = 1, 2, ..., п — 1.
■Ясно, что zti — an_<znj — (z{+lA),- = z.j — an_<co. n+i-j — 2<+i, j-i +
+ an+l-jC0, n-i И On+!-jCo, n-< — an-<Co, n+l-^ = Cn+i_J, n-i- При I =
= / — 1. i>/ — 1 и i</—1 величина z<+i,j_i — zjj равна соот-
соответственно 0, Сп-}+1. п-< И —Cn-i, n-j+l. ПОЭТОМУ «l+l.J-l—2lj =■
= Cn_j + i, „_j.
44.1. Рассмотрим отображение /: V->F*, сопоставляющее эле-
элементу x e F линейную функцию fc(#) = (ж, у). Так как скаляр-
скалярное произведение невырождено, то Кег / = 0, а значит, / — изомор-
изоморфизм. Поэтому dim/(W'') = dim W. Ясно также, что пространство
W1- совпадает с аннулятором пространства f(W) (см. п. 5.5). Сле-
Следовательно, dim W1- = dim V — dim W и dim (W-1I- = dim V —
— dimW-i- = dimW. А так как W <= (W-L)J-, to W = (^J-)-l.
44.2. Согласно теореме Витта существует изометрия простран-
пространства V, переводящая W\ в Wt. Ясно, что эта изометрия перево-
переводит Wf Bffj1.

286 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
44.3. ЛивеЁное отображение пространства <х> в пространств»
<#>, переводящее х в у, является изометрией. По теореме Витт»
эту изометрию можно продолжить до изометрии всего простран-
пространства V.
44.4. Докажем сначала, что dim Wt = dim Wt. Предположим,
что dim W, < dim W2. Тогда W^ = W'2®W, где dim W'2 = dim Wt.
Любой изоморфизм /: W'2~*-W1 является изометрией. По теореме-
Витта эту изометрию можно продолжить до изометрии J всего-
пространства V. Тогда Wiczf(Wt), причем dim/(W2) = dim Wt >
> dim W\, т. е. изотропное подпространство не максимально. Полу-
Получено противоречие, поэтому dim W\ = dim W2. Следовательно, су-
существует изоморфизм g: W\ -*■ W%. Этот изоморфизм является изо-
изометрией, которую по теореме Витта можно продолжить до изомет-
изометрии всего пространства V.
44.5. Предположим сначала, что сигнатура формы q равна пу-
пулю. Тогда в пространстве V существует такой базис е{, ..., епг
ei, ..., е„, что (е<, ез) = 6ц, (е<, е,) = —6tj и (е{, 8j) = 0. Легко
проверить, что подпространство U—(e\-\-e,u ..., еп + вп> изот-
изотропно и имеет размерность (dim V)/2.
Предположим теперь, что U — изотропное подпространство в
dim U = (dim V)/2. Пусть v'+ = {х е V | q (х) > 0}, V'_ = {х е
е 7 | q (x)< 0} и F± = V^ L) {0}. Тогда U (\ V± — 0, поэтому
dim F± ^ dim V — dim U = (dim 7)/2. А так как dim V+ -f-
+ dim 7_ = dim V, то dim 7± = (dim V)/2.
45.1. Уравнения 4Х = С и FJ5 = С разрешимы, поэтому
С и CB+J5 = С (см. п. 45.2). Следовательно, С = АА+С =»
AZB, где Z = А+СВ+.
45.2. Если X — матрица размера то X п и rk X = г, то X = Рф,.
где Р и ^ — матрицы размеров т X г и гХ» (см. п. 8.2). Прост-
Пространства, порожденные столбцами матриц X и Р, совпадают, по-
поэтому из равенства АХ = 0 следует равенство АР = 0, т. е. Р =
= (.£ — .А+.А)У1 (см. п. 45.2). Аналогично из равенства ХВ = О-
следует, что |? = Y2(E - ВВ+). Поэтому X = PQ == (£ — Л +4) У X
Х(£ — #В+), где F=y,F2. Ясно также, что если X =*
= (£ — 4+*4")'У(£ — SJ3+), то АХ = 0 и ХВ = 0.
45.3. Если 4Х = С и ХВ = D, то 4Z> = ЛХВ = СВ. Если же
4Х, = С, Xjfi = /? и AD = СВ, то Л4+С = С и DB+B = Z). Поэто-
Поэтому Л(Л+С + ОВ+ — 4+.4DJ5+) =С и D+C + /?i?+
= {А+С + DB+- А+СВВ+)В *= D, т. е. Хо = А+С +
— A+ADB+ — частное решение рассматриваемой системы
нений.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 287
46.1. Пусть / = L ~q\. Тогда А2 = — t*E, Аъ = — (V, А*
■ t*E, As = t*I и т. д. Поэтому
cos t —sin A
nt C0StJ-
46.2. а) Для перестановочных матриц справедлива формула
-бинома Ньютона, поэтому
и! Ad jU k\
n=0 ft=O
Г (я-*)! ~ '
б) Так как е(л+в" = E+ (A +B)t+ (A2 + AB + BA + B2) X
XI'/2 + ... н eAteBt = E + (A+B)t+(A* + 2AB+ BI)tIl2 +...,
то А2 + АВ +ВА+В2 = A2 + 2AB + В1, а значит, AB = BA.
46.3. Существует такая унитарная матрица V, что U = VDF~',
•где D = diag (exp (icti), ..., exp (;an)). Пусть Л = diag (a{, ..., а„).
Тогда U = etu, где Н = 7Л7-1 = 7AF* — эрмитова матрица.
46.4. а) Пусть U = е* и X1 = —X. Тогда tft/T = ехехТ =
= е*е~х = Я, так как матрицы X и —X перестановочны.
б) Для матрицы U существует такая ортогональная матрица V,
I cos q)j — sin tpi \
■что U=V diag (A, Ak, E) y-i, где Д, = (^ ф. сод ф. j
(см. п. 11.3, теорема 3). Ясно также, что матрицу At можно пред-
о -<р
)
•ставить в виде ех, где Х= I _ q 1 (см. задачу 46.1).
46.5. а) Достаточно заметить, что det (ел) = еи А (см. п. 46.1,
теорема 2) и trA — вещественное число.
б) Пусть Я) и Я.2 — собственные значения вещественной матрицы
.А и ^1 + Я2 = tr.4 = 0. Числа 1{ и 12 либо оба вещественные, ли-
либо А,1 = А,2, т. е. А,1 = —Хь Поэтому собственные значения матри-
матрицы еА равны либо еа и е~а, либо е1а и e~ta, где в обоих случаях
„ /—2 0 \
•а — вещественное число. Следовательно, матрица В =f Q —1/2/
ше является экспонептои вещественной матрицы.

288 ГЛ. 7. МАТРИЦЫ В АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗЕ
46.6. а) Пусть Ац — алгебраическое дополнение элемеита ац.
Тогда tr (X adj Ат) — 2 ау*у.
Так как det Л = a1jAlj +..., где многоточием обозначены чле-
члены, не содержащие a,j, то (det А)' = о,цАц + ау-^у + ••• =
= ацАц + ..., где многоточием обозначены члены, не содержа-
содержащие dtj. Поэтому (det A)' =2 aij^ij- Кроме того, adj.Ar =
= (detA)A~K
б) Так как A adj Ат = (det^)fi, то Ь(А&й}Ат) = п det A, a
значит, п (det А)' = tr \А ad j Ат) -\- tr (A (adj Лг)'). Остается
воспользоваться результатом задачи а.
46.7. Предположим сначала, что m > 0. Тогда
tr X
2
a,b,...,p,q
2
O,b,...,p,9,r
xiaxab
Поэтому ■ .
— AтХт)- V ^2-^
. . . +
дх„
а.Ь P,q,r
ХЦ
Предположим теперь, что m < 0. Пусть X 1 — \ Уц |"- Тогда
Vij = X;il&, где Xij — алгебраическое дополнение элемента xtj »
матрице X и А = det X. Согласно теореме Якоба (см. п. 2.5, теоре-
теорема 3)
= (-1H
"Vn
... X.
*nin
где о =

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
28»
Iootomv
Xj 1 Xl1
Vi V»
Xt i Xj •
:ледоватепьпо, - XjoJpi = Д
-ХЬ«ЩГЩ=Ь2Щ7\
— V^iUia. А та»
taK
b • • • V«j и tr ^m=
a,b д.т-
a,b q,r
2
a.b g,r

Приложение
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ
1. Теорема. Пусть /ft *») =2 VV?1 — *i"'
■причем f(x\, ..., хп) = 0 для любого набора чисел х\, ..., хп. Tot-
da все коэффициенты многочлена f равны нулю.
Доказательство. Непулевой многочлен от одной пере-
переменной имеет конечное число корней, поэтому при п = 1 утверж-
.дение очевидно. Предположим, что утверждение верно для любо-
любого многочлена от п — 1 переменных. Многочлен / можно записать
в виде
-Многочлен з^ан +. • • + ао, где a^ = /<(п,..., xn-i), принимает толь-
только нулевые значения, поэтому U(xt, ..., ж„_,) = 0, а значит, все
коэффициенты многочлена ft(xh ..., х„-\) равны нулю.
Замечание. Теорема верна лишь для полей, содержащих
бесконечно много элементов. Ненулевой многочлен х? — х над по-
лем Fp приникает только нулевые значения.
2. Многочлен / с целочисленными коэффициентами называ-
называется неприводимым (над кольцом целых чисел), если его нельзя
представить в виде произведения двух многочленов меньшей сте-
степени с целочисленными коэффициентами.
Теорема 1. Пусть многочлены f и g с целыми коэффициен-
коэффициентами имеют общий корень, причем многочлен f неприводим. Тог-
Тогда g/f — многочлен.
Доказательство. Будем последовательно производить де-
деление с остатком: g*=aif+bi, /=ojbi + 6s, b{ = азЬ2 + Ьз, ...
..., Ь„-2 ==**п-|Ьп. Легко проверить, что Ьп — наибольший общий
.делитель многочленов fag. Все многочлены at и 6< имеют целые
коэффициенты. Значит, наибольший общий делитель многочленов
/ и g над кольцом целых чисел совпадает с их наибольшим об-
общим делителем над полем С Но над полем С многочлены f ш g
имеют нетривиальный общий делитель, а значит, многочлены / и
g имеют нетривиальный общий делитель г и над кольцом целых
чисел. Так как многочлен / неприводим, то г = Я./, где Л — неко-
некоторое число.
Теорема 2 (критерий Эйзенштейна). Пусть f(x)=ao +
+ а,х-\- ... + а„хп — многочлен с целыми коэффициентами, причем
для некоторого простого числа р коэффициент ап не делится на р,
-а0, ..., On-i делятся на р и ао не делится на р*. Тогда f — неприво-
неприводимый многочлен.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ 291<
Доказательство. Предположим, что
рпчем g и h не константы. Число Ьоса = а0 делится на р,
ээтому одно из чисел 60 и со делится на р. Пусть, для опре-
злепности, Ьо делится на р. Тогда с0 не делится на р, так как,
j = Ьосо не делится на р2. Если все числа 6* делятся на р, то ап
елится на р. Поэтому Ь( не делится на р при некотором i, где
< £ sg deg g < п; можно считать, что i — наименьший номер чис-
а Ь(, не делящегося на р. С одной стороны, по условию число а<
елится на р. С другой стороны, в< =я &jc0 + &<_tci +... + Ьос{>_
ричем все числа 6<-iCi, , bgct делятся на р, а число bjCo не де-
ится на р. Получено противоречие.
Следствие. Если р — простое число, то многочлен f(x) =s=
= жР~' +... + х + 1 неприводим.
В самом деле, к многочлену
южно применить критерий Эйзенштейна.
3. Теорема (Эрмит). Пусть в точках х\, ..., х„ заданы чис-
ia о@) г/A) «("i' «(о) „A) Jan-J). m — «, J-
.. -f an — 1. Уоада существует многочлен Hm(x) степени не более-
ч, для которого Hm (Xj) = yf и Д<*> (*,.) = nj1).
Доказательство. Пусть к — max (ai, ..., оп). При к =»
= 1 можно воспользоваться иптерполяциопным многочленом Лаг—
>апжа
У (XX)(XX)(XX)-(X-Xn) г0)
Пусть <о„(х) = (х — xi)...(x — xn). Возьмем произвольный)
многочлен Нт-п степени не более т — пи сопоставим ему мно-
■очлен Ит(х) = Ln(x) + м„(а;)Яга_„(*). Ясно, что tfm(*j) = У) пр*
табом многочлене Нт-п. Кроме того,
я; (г) =. l; (*)+ш; w ят_п (*>+«n ^ я;_п (*>,
г. е. Н'т (*,) = L; (^) + ш; (^) Ят_„ («,). А так как ш^ (*,) чЬ О,
го в точках, в которых заданы значения Il'^^x^ можно опреде-
определить соответствующие значения Нт-п(х]). Далее,
' ; (xj} IIm_n (x.) + 2a,; (x.) ^
Поэтому в точках, в которых заданы значения Н"т [х.у можно оп-
определить соответствующие значения Н'т_п{х.^ и т. д. Таким-
образом, наша задача сводится к построению многочлена Нт-п{х).
19*

292 ПРИЛОЖЕНИЕ
степени не более т — ге, для которого Н*$_п (ж}.) = г^ при г =
= 0, ..., ocji — 2 (если aj = 1, то на значения многочлена Нт-п и
его производных в точке xs никаких ограпичеяий не накладывает-
накладывается). Ясно также, что то — п = 2 (otj — 1) — 1. После к — 1 ана-
аналогичных операций остается построить интерполяционный много-
многочлен Лагранжа.
Замечание. Можно доказать, что
--«-22
i
Oj—locj— j—1
2 1 «
l ;=0 ft=0
где Й (х) = (х- хгр ... (х - xafn.
4. Мы использовали следующий частный случай теоремы
Гильберта о нулях.
Теорема. Пусть /i, ..., /г — многочлены от п переменных
над С, не имеющие общих нулей. Тогда существуют такие много-
многочлены gu ..., gr, что figi + ... + frgr = 1.
Доказательство. Пусть I(fi,...,/г)— идеал кольца много-
многочленов С [хх, ..., хп\ = К, порожденный многочленами /i, ..., /у.
Предположим, что не существует таких многочленов g\, ..., gy, что
/i?i + ... + Ugr = i. Тогда l{h /г) Ф К. Пусть / — нетриви-
нетривиальный максимальный идеал, содержащий /(/i, ..., /г). Легко нро-
верить, что К/1 — поле. В самом деле, если / ф. I, то I + Kf — пде-
ал, строго содержащий /, а значит, атот идеал совпадает с К. Сле-
Следовательно, существуют такие многочлены gs^B /ie/, что 1 =
= li + fg- Тогда класс g e КЦ является обратным для класса
/effi
Докажем теперь, что поле А = К',1 совпадает с С. Пусть а* —
образ элемента Xi при естественной проекции
Р- C[*j *nl-C[*i *nVI = A-
Тогда
Пусть, далее, ^0=€ it Aa = С [a^... ,as]. Тогда As+1={ Vaiaj+1|aiS
eA^Aj^jj. Докажем индукцией по s, что существует го-
гомоморфизм колец /: As-*-S (переводящий 1 в 1). При s=0 ут-
утверждений"* очевидно. Покажем теперь, как ио гомоморфизму
/: As-*-€ построить гомоморфизм g: As^_1-*-€. Разберем для это-
этого два случая.
Если элемент х = a,+i алгебраичен над А,, т. е. bmxm +
+ bm-ix™-1 +...+ bo = 0 для некоторых bi е А,, то пусть |ое С —
корень уравнения /(ЬщIт + ... + 1{К) = 0. Тогда отображение
£Baftx'1) = 2/ (afc)^o определено корректно и является иско-
искомым гомоморфизмом.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ 293
Если же элемент х = a,+i не алгебраичен над А,, то для лю-
Зого |еС отображение g(^i%xk) = 2if(ah)%k является иско-
искомым гомоморфизмом.
В итоге получаем гомоморфизм h: .4-vC, причем fe(l) = 1.
Нспо также, что fe~'@) — идеал, а в поле А нетривиальных идеа-
идеалов быть не может. Поэтому h — мономорфизм. А так как Сс4,
го h — изоморфизм.
Итак, можно считать, что а{ еС. Многочлен ft(xi, ..., хп) е£
при проекции р переходит в fi (ах, ..., an) e К. л так как /i, ...
...,/,е/, тор (/{) = 0 е С. Поатому /4 (oi, ..., а„) == 0. Получено
противоречие.
5. Теорема. Многочлены
где i = l, ..., п, таковы, что degP<<m<; I(ft, ..., /n) — идеал,
порожденный многочленами f\, ..., /„.
а) Пусть Р(х[, ..., хп)—ненулевой многочлен вида
Sa» ...» ^••■хп^ где ih < mh пРи всех k — 1| •••■ и
^/(/. /«).
б) Система уравнений хг г -\- Рг (х^ ..., хп) = 0 (s == 1, ...,»)
всегда разрешима над С, причем число решений конечно.
Доказательство, а) Подставляя вместо 14М *, где
О <ti и 0 ^ qi < mi, многочлен (/4 —jPj) 1ж , имеющий но пе-
ремеппым х{, ..., хп строго меньшую степень, получим, что любой
многочлен Q{xu ..., хп) можно представить в виде Q {xv ...,жп)=
-Q*{xv...,xn,f1 fn) = 2"А1 • • • **"#• • • ft' где /i<
<m,,...,;,< mn. Докажем, что такое представление Q* определе-
определено однозначно. Достаточно проверить, что подстановкой /{ = xi г-{-
+ Pj(xv ...,жп) любой ненулевой многочлен
/i, ..., fn) приводится к ненулевому многочлену Q(x{, ..., х„).
Среди всех членов мпогочлепа Q* выберем тот, для которого сум-
сумма (sito, +/,)+...+ {snmn + /„) = m максимальна. Ясно, _ что
degQ ^ т. Вычислим коэффициент при мономе х^ г 1 ...
...х'£тп+3п bQ. Так как сумма (s;m, + /i) + ... + (snmn + /„)
максимальна, этот мопом может возникнуть лишь из монома
х3^ ... г^1/*1 ... /JJ1. Следовательно, коэффициенты при этих двух
мономах равны и deg Q = т.
Ясно, что Q{x\,..., хп) е /(/|, ..., /„) тогда и только тогда, ког-
когда Q*(x\, ..., хп, U, • • -, In) — сумма мономов, для которых s, +.• • •
.. • + sn &s 1. Кроме того, если Р [х^ ..., хп) = 2 ai ...inx ) -•• xni
где i*< mfc, то P*(«i, ..., xn, /,, ..., /„) = P(xu ..., xn). Поэтому
P /(,,...,/„).

294 ПРИЛОЖЕНИЕ
б) Если многочлены /i,..., /п не имеют общего нуля, то по тео-
теореме Гильберта о нулях идеал /(Д, ..., /п) совпадает с кольцом
всех многочленов, а значит, P^I(fu ..., /„), что противоречит а).
Следовательно, данная система уравнений разрешима. Пусть 1 =
= Aь •••, In)—решение этой системы. Тогда li* =
= — P{(lv ...,tn), где degP{ <пц, поэтому любой многочлен
<?(li In) представим в виде Q (|х £„)= 2 \..л$ - ■ ■ &п"»
где & < то*. Следовательно, dim£[ti, ..., £„] < т{... тп = то, а
значит, т + 1 элементов 1, |{, ..., |™ линейно зависимы, т. е. лю-
любой элемент |< удовлетворяет полиномиальному соотношению
2 *ь5* = 0. Ясно, что число решений уравнения 2 ^ь** = 0 ко~
нечпо, а это уравнение едино для всех решений системы и зави-
зависит лишь от номера t

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
КНИГИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Беллман Р. Введение в теорию матриц.—М.: Наука, 1969.
Гаитмахер Ф. Р. Теория матриц.—М.: Наука, 1988.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.— М.: Наука,
1966.
Кострикип А. И. Введение в алгебру.— М.: Наука, 1977.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геомет-
геометрия.— М.: Наука. 1986.
Мальцев А. И. Основы линейной алгебры.— М.: Наука, 1975.
Маркус М., Мипк X. Обзор по теории матриц и матричных
неравенств.—М.: Наука, 1972.
Постпиков М. М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная
алгебра.— М.: Наука, 1986.
Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и
алгебры Ли.— М.: Наука, 1982.
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.— М.:
Наука, 1984.
X а л м о ш П. Конечномерные векторные пространства.— М.: Физ-
матгиз, 1963.
Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.— М.: Мир, 1989.
Шилов Г. Б. Математический анализ. Конечномерные линейные
пространства.— М.: Наука, 1969.
Crowe M. J. A history of vector analysys.— Notre Dame; London:
Univ. of Notre Dame press, 1967.
Gieub W. H. Linear algebra.— Berlin e. a.: Springer-Verlag, 1967.
Greub W. H. Multilinear algebra.—Berlin e. a.: Springer-Verlag,
1967.
Muir Т., Metzler W. H. A treatise on the theory of determi-
determinants.— New York, 1930.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
.Адаме (Adams J. F).
Vector fields on spheres /I Ann. Math,— 1962.— V. 75.— P. 603—
632.
Альберт (Albert A. A.)
On the orthogonal equivalence of sets of real symmetric matri-
matrices // J. Math. Mfich.- 1958 — V. 7 — P. 219-235.
А ф р и а т (Afriat S. N.)
On the latent vectors and characteristic values of products of
pairs of symmetric idempotents ff Quart. J. Math.—1956.—
V. 7.- P. 76-78.

296 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Барнетт (Barnett S.)
Matrices in control theory.— London: Van Nostrand Reinhold,
1971.
A note on the Bezoutian matrix II SIAM J. Appl. Math,— 1972.—
V. 22,— P. 84—86.
Беллмап, Гофман (Bellman R., Hoffman A.)
On a teorem of Ostrowski and Taussky / Arch. Math. 1954.—
V. 5.- P. 123-127.
Б е л л м а н (Bellman R.)
Notes on matrix theory — IV / Amer. Math. Monthly.— 1955.—
V. 62.— P. 172-173. . . ;
В а л ь я х о (Valiaho H.)
An elementary approach to the Jordan form of a matrix / Amer.
Math. Monthly.— 1986.— V. 93.— P. 30—32.
Гибсон (Gibson P. M.)
Matrix commutators over algebraically closed field / Proe.
Amer'. Math. Soc— 1975.— V. 52.— P. 30—32.
Год дар д, Шнайдер (Goddard L. S., Schneider H.)
Pairs of matrices with a иоп-zero commutator / Proc. Gambr.
Phil. Soc — 1955.— V. 51.— P. 551—553.
Григорьев Д. Ю.
Алгебраическая сложность вычисления семейства билинейных
форм // Ж. ВМ и МФ.- 1979.— Т. 19.— С. 563—580.
Гринберг (Greenberg M. J.)
Note on the Cayley — Hamilton theorem / Amer. Math. Month-
Monthly.—1984.—V. 91.—P. 193—195.
Грин (Green G.)
A multiple exchange property for bases // Proc. Amer. Math.
Soc— 1973.- V. 39.- P. 45—50.
Another exchange property for bases II Proc. Amer. Math. Soc—
1974.- V. 46.- P. 155-156.
Гуралнии (Guralnick R. M.)
A note on pairs of matrices with rank one commutators // Line-
Linear and multilinear Algerba.— 1979.— V. 8.— P. 97—99.
Джекоб (Jacob H. G.)
Another proof of the rational decomposition theorem / Amer.
Math. Monthly.—1973 —V. 80.—P. 1131—1134.
Дрезин; Данги, Грюнберг (Drazin M. A., Dungey J. W.,
Greunderg K. W.)
Some theorems on commutative matrices / J. London Math.
Soc— 1951.— V. 26.- P. 221—228.
Дрезин, Хейнсворт (Drazin M. A., Haynsworth E. V.)
Criteria fer the reality of matrix eigenvalues / Math. Z.— 1962.—
Bd 78.— S. 449-452.
ДbeKOBi?w*''(Djokovic D. Z.)
On the Hadamard product of matrices II Math. Z.—1964.—
Bd 86.— S. 395.
Product of two involutions II Arch. Math.—1967.— V. 18.—
P. 582—584.
A determinantal inequality for projectors in a unitary space /
Proc Amer. Math. Soc— 1971 — V. 27.— P. 19—23.
Каган (Kahane J.)
Grassmann algebras for prooving a theorem on Pfaffians / Li-
Linear Algebra and AppL—1971.— V. 4— P. 129-139.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 297
К а л л е п (Cullen С. G.)
■ A-note on convergent matrices II Amer. Math. Monthly.— 1965.—
V. 72.—P. 1006-1007.
Карлиц (Carlitz L.)
A determinant / Amer. Math. Monthly.— 1957 — V. 64.— P. 186—
188.
Клейнеке (Klcinecke D. C.)
On operator commutators II Proc. Amer. Math. Soc.—1957.—
V. 8.- P. 535—536.
К л и н г е р (Klinger A.)
The Vandermonde matrix II Amer. Math. Monthly.—1967.—
V. 74.— P. 571—574.
Коваленко СП.
Вычисление угла между подпространствами евклидова прост-
пространства I/ Мат. методы анализа динамич. систем.—1983.—
№ 7.— С. 24—27.
Лапцош (Lanczos С.)
Linear systems in self-adjoin form ff Amer. Math. Monthly.—
1958.-V. 65.—P. 665—679.
M а ж и н д а р (Majindar К. N.)
On simultaneous heimitian congruence transformations of matri-
matrices // Amer. Math. Monthly,—1963.—V. 70.—P. 842—844.
Маркус, Минк (Marcus M., Minck H.)
On two theorems of Frobcnius / Pacific J. Math.—1975.—
P. 149-151.
Маркус, Мойлс (Marcus M., Moyls B. N.)
Linear transformations on algebras of matrices // Canad. J.
Math.— 1959.— V. 11.—• P. 61—66.
Маркус, Пепис (Marcus M., Purves R.)
Linear transformations on algebras of matrices: the invariance
of the elementary symmetric functions // Canad. J. Math.—
1959.- V. 11.—P. 383-396.
M а с с и (Massey W. S.)
Cross product of vectors in higer dimensional euclidean spaces ff
Amer. Math. Monthly.— 1983.— V. 90.— P. 697—701.
M e p p и с (Merris It.)
Equality of decomposable symmetrized tensors / Canad. J.
Math.— 1975.— V. 27.— P. 1022—1024.
Мнрский (Mirsky L.)
An inequality for positive definite matrices / Amer. Math. Month-
Monthly.— 1955,- V. 62.- P. 428-430.
On generalization of Hadamard's doterminantal inequality due
to Szasz // Arch. Math- 1957.- V. 8- P. 274-275.
A trace inequality of John von Neuinan Ц Monalsh. Math.—
1975.— Bd 79.— S. 303—306. . .
Mop (Mohr E.) .
Einfaher Beweis des. verallgemeinerter Determinantensatzos von
Sylvester nebst einer Verscharfung Ц Math. Nachr.—1953.—
, Bd 10.— S. 257—260.
Myp (Moore E. H.)
General Analysis — Part I / Mem. Amer. Phil.. Soc.-' 193,1—
V. l.-P. 197.
НнсневичЛ. Б., Брызгалов В. И.
" ' Об одной задаче п-мерпоЁ геометрии / УМН.— 1953.— Т. 8,
№ 4— С. 169—172. ■: ' '

298 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Ньюком (Newcomb R. W.)
On the simultaneous diagonalization of two semi-definite matri-
matrices / Quart Appl Math.—1961.—V. 19.—С 144—146.
О и е т и (Aupetit В.)
An improvement of Kaplansky's lemma on locally algebraic ope-
operators И Studia Math.— 1988.— V. 88.— P. 275—278.
Островский (Ostrowski A. M.)
On Schur's complement / J. Comb. Theory.—1973.— V. 14.—
P. 319—322.
Пенроуз (Penrose R. A.)
A generalized inverse for matrices II Proc. Cambr. Phil. Soc.—-
1955.— V. 51.— P. 406—413.
Радо (Rado R.)
Note on generalized inverses for matrices / Proc. Cambr. Phil.
Soc— 1956.- V. 52.— P. 600—601.
Рамакришнан (Ramakrishnan A.)
A matrix decomposition theorem / J. Math. Anal. AppL—1972.—
V. 40.- P. 36-38.
P e ш е т п я к 10. Г.
Новое доказательство одной теоремы Н. Г. Чеботарева /
УМН.— 1955.—Т. 10, № 3 —С. 155—157.
Рот (Roth W. Е.)
The equations AX— YB = С and АХ—ХВ—С in matrices /
Proc. Amer. Math. Soc—1952.— V. 3.— P. 392—396.
С м а й л и (Smiley M. F.).
Matrix commutators / Canadian J. Math.—1961.—V. 13.—
P. 353—355.
С ю (Hsu P. L.)
On symmetric orthogonal and skew-symmetric matrices ff Proc.
Edinburgh Math. Soc— 1953.- V. 10.— P. 37-44.
У о р в и к (Warwick К.)
Using the Cayley—Hamilton theorem with JV-partitioned Matrices /
IEEE Trans. Aut. Control.— 1983.— V. 28 —P. 1127—1128.
Фарахат, Ледерман (Farahat H. K., Lederman W.)
Matrices with prescribed characteristic polynomials / Proc. Edin-
Edinburgh Math. Soc— 1958—1959.— V. 11 — P. 143—146.
Ф и д л е р (Fiedler M.)
Remarks on the Schur complements II Linear Algebra and
Appl.- 1981.- V. 39.-P. 189—195.
Фландерс (Flanders H.)
On spaces of linear transformations with bound rank / J. Lon-
London Math*. Soc— 1962.— V. 37.- P. 10—16.
Фландерс,.Вимнер (Flanders H., Wimmer H. K.)
On matrix equitions AX — XB = С and AX— YB = С ff SIAM
J. Appl. Math.— 1977.— V. 32.— P. 707—710.
Франк (Franck P.)
Sur la meilleure approximation d'une matrice donnee par une
matrice singuliere / С. г. Acad. Sci. Paris.—1961.—T. 253.—
P. 1297—1298.
Ф р е г у с (Fregus G.)
A note on matrices with zero trace // Amer. Math. Monthly.—
1966.-V. 73.- P. 630-681.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 299
Фридланд (Friedland S.)
Matrices with prescribed off-diagonal elements II Israel I.
Math.- 4972.— V. 11.—P. 184—189.
Фрэнк (Frank W. M.)
A bound on determinants / Proc. Ainer. Math. Soc.—1965.—
V. 16 — P. 360-363.
Хейнсворт (Haynsworth E. V.)
Applications of an inequality for the Schur complement // Proc.
Amer. Math. Soc—1970.—V. 24 —P. 512—516.
Цассеехауз (Zassenhaus H.)
A remark on a paper of 0. Taussky / J. Math. Mech.— 1961.—
V. 10.— P. 179-180.
Ч а н ь, Ли (Chan N. N., Kim-Hung Li)
Diagonal elements and eigenvalues of a real symmetric matrix ff
J. Math. Anal. Appl — 1983.— V. 91.— P. 622—626.
Шверт (Schwert H.)
Direct proof of Lanczos' decomposition theorem / Amer. Math.
Itfonthly.— I960.— V. 67.— P. 855—860.
Шерк (Scherk P.)
On sets of vectors ff Math. Scand.— 1965.— V. 16.— P. 38—40.
Ш и д а к (]?idak Z.) _
О pofitu kladnych prvku v mochinach nezapornc matice ff Caso-
pis pSst. mat.— 1964.— R. 89.— P. 28—30.
Ш т р а с с е н (Strassen V.)
Gaussian elimination is not optimal / Num. Math.—1969.—
Bd 13.-S. 354-356. Русский перевод: Киб. сб.-1970 — № 7.—
С. 366—Л70.
9верит (Everitt W. N.)
A note on positive definite matrices / Proc. Glasgow Math.
Ass —1958 — V. 3.— P. 173—175.
Здельмае (Edelmann H.)
Vier Woodbury — Formeln hergeleitet aus dem Variabletausch
einer speziellen Matrix ff Z. angew. Math. Mech.—1976.—
Bd 56.—S. 219—220.
Эйткен (Aitken A. C.)
A note on trace-differentiation and the й-operator / Proc. Edin-
Edinburgh Math. Soc— 1953.— V. 10.— P. 1—4.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра Грассмана 176
— Клиффорда 252
— Кэли 247
— октав 247
Алгебраическое дополнение
минора 23
элемента 22
Алгоритм Штрассена 190
Альтернатива Фредгольма 64
Альтернирование 174
Аннулирующий многочлен 112
Аппулятор 61
Антисимметризация 174
Ассоциированная матрица 25
Базисный iranop 20
Безутпапа 260
Валентность тензора 170-
Векторное поле 251
Вещественная форма 86
Внешняя алгебра 176
Выпуклая липейпая комбина-
комбинация 72
Глаипый минор 20
Дважды стохастическая матри-
матрица 223 "
Днойствепное пространство 57
Двойственный оператор 58
Диагонадизируемый оператор
98
Дискримипант 262
Дополнение по Шуру 30
Жордапов базис 107
Жордапова клетка 106
— матрица 107
Закон инерции 140
Знакоопределенная форма 139
Идемнотент 155
Изотропный вектор 265
Инвариантные миояштели 129"
Инволюция 160
Каноническая форма Фробениу«-
са 117
Ковариантная валентность 170
Ковариантпый вектор 58
Ковектор 58
Коммутатор 237
Коммутирующие матрицы 232
Комплекснфикация 86
Комплексная структура 89
Коптинуанта 16
Контраварпаптная валептность
170
Контравариантный вектор 58
Координаты тепзора 171
Кососимметрическая матрица
146
— функция 176
Кососнмметрический тензор 174
Косоэрмитов оператор 88
Критерий Сильвестра 149
— Ойзенштейна 290
Круги Гершгорина 209
Матрица Безу 260
-• перестановки 111
— с доминирующей диагональю-
72
— Сильвестра 258
— Фробепиуса 14
— Якобн 15
Минимальный многочлен 112.
Минор 20

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
30*
[еотрицательная матрица 216
Геотрицательно определенная
форма 139
1еравенство Адамара 202
- Вейля 226
- Оппенгейма 215
- Сасса 202
- Сильвестра 73
- Фробениуса 73
- Шура 206
1илыютентная матрица 153
1ормальная форма Смита 128
1ормальный оператор 89
)бобщсппая обратная матрица
266
"(браз отображения 63
)дновремепно триангулируемые
матрицы 239
)иераторная норма 210
)пределитель Вандермонда 12
- Коши 14
Эртогоналпзация Грама —
Шмидта 78
Эртогопальпая матрица 78
- проекция 79
Ортогональное дополнение 61
Эртогоналъпый базис 78
Эртонормиропанпый базис 78
Этрицательно определеппая
форма 139
Перестановочные матрицы 232
Плоскость Артипа 265
Подобная матрица 106
[(олгглггггейттое отображение 169
Положительная матрица 216
Положительно определенная
форма 139
Положительный вектор 216
Полупростой оператор 98
Полярное разложение 123
Правило Крамера 12
Представление алгебры 255
Преобразование Коли 149
Примитивная матрица 219
Присоединенная матрица 23
Присоединенное представление
237
Проектор 155
Проекция 67
Произведение Адамара 214
Прострапство Артина 265
Пфаффпан 182
Разложение Ланцоша 126
— Гаусса 127
— Грама 127
— Фиттинга 111
— Шура 125
Разложимая матрица 216
Разложимый тензор 184
Ранг матрицы 20
— тензора 189
Результант 258
Свертка тензора 171
Симметризация 174
Симметрический тензор 174
Скалярное произведение 78, 87
След 97
Собстнепное число 68
Собственный вектор 97
Соотношения Плюккера 187
Сопровождающая матрица мно-
многочлена 14
Сопряженная матрица 107
Сопряженное пространство 57
Сопряженный оператор 58, 85
Спектральная норма 210
Спектральный радиус 210
Таблица Юнга 155
Тензор 170
Тензорное произведение отобра-
отображений 171
пространств 170
Теорема Берпсайда 256
— Биркгофа 223
— Витта 265
— Гамильтона — Кэли ИЗ
— Кронекера — Капелли 65-
— Куранта — Фишера 142
— Лагранжа 141
— Лапласа 23
— Мура — Пенроуза 267
— Птолемея 77
— Фробениуса — Кенига 225
— Хэйнсворт 32
— Чеботарева 27
— Шура 125
— Якоби 25
Тождество Базена 20
— Сильвестра 26
— Якобп 237
Трехдиагональная матрица IS

302
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Угловой минор 20
Удвоение алгебры 243
Унипотентный оператор HI
Унитарное пространство 87
Унитарный оператор 88
"Уравнение Лакса 274
■Факторпространство 67
••Формула Вине — Коши 21
— Якоби 273
^Характеристический многочлен
68
.Характеристическое число 68
Цепочка Тодды 274
Циклическая клетка 117
— матрица 14
Циклическое разложение 117
Циркулянт 14
Числа Бернулли 39
Экспонента матрицы 271
Экстремальный вектор 217
Элементарные делители 129
Эрмитов оператор 88
Эрмитово произведение 87
— пространство 87
Ядро отображении 63

Научное издание
ПРАСОЛОВ Виктор Васильевич
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Редактор Ф. И. Кианер
Художник В. Я. Батищее
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректор О. М. Карпова
ИБ N 41359
Сдано в набор 13.01.92. Подписано н печати 14.03.96.
Формат 84х1081/м. Бумага тип. N 2. Гарнитура обык-
обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 15,96. Усл.
кр.-отт. 15,96. Уч.-нвд. л. 17,55. Тираж 3000 вк»..
Заказ Mi 386. С-019.
Издательская фирма
«Фйвико-математическая литература» РАН
117071 Моснва В-71, Ленинский проспект, 16
Новосибирская типография MJ 4 РАН
€30077 Новосибирск 77, Станиславского, 25