МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И САПР
Traite des Nouvelles Technologies
Serie Assistance par Ordmateur (XAO)
La methode des elements finis
Du modele... a la CAO
Jean-Claude Sabonnadiere
Jean-Louis Coulomb
Hermes
Paris Londres Lausanne
Ж: К. Сабоннадьер
Ж.-Л. Кулон
МЕТОД
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
и «ПР
Перевод с французского
канд техн наук В. А. Соколова, М. Б. Блеер
под редакцией
д-ра техн наук Э.К. Стрельбицкого
Москва «Мир» 1989
ББК 32.97
С 12
УДК 681.3
Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л.
С12 Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц,-
М.: Мир, 1989-190 с., ил.
ISBN 5-03-000488-2
В книге французских специалистов рассматриваются вопросы примене-
ния теории конечных элементов ля автоматизации процессов конструирова-
ния двумерных и трехмерных изделий применительно к разным объектам
машиностроения н электротехнической промышленности Основное внимание
уделяется вычислительным процедурам, реализуемым на ЭВМ Приведены
пакеты прикладных программ
Для инженеров и студентов, занимающихся методами автоматизирован-
ного проектирования и конструирования
2004060000-154
С----------------113-89
041 (01)-89
ББК 32.97
Редакция литературы по информатике и робототехнике
ISBN 5-03-000488-2 (русск.) © Hermes Publishing, 1986
ISBN 2-86601-056-6 (франц.) © перевод на русский язык, «Мир», 1989
От редактора перевода
В связи с бурным развитием вычислительной техники и созданием
систем автоматизированного проектирования (САПР) более настойчиво
ставятся требования включения в арсенал инженеров-разработчиков
современных численных методов решения краевых задач математиче-
ской физики. Поэтому необходимо своевременное ознакомление электро-
техников с современной теорией и практикой решения таких задач.
Предлагаемая советскому читателю книга написана пионерами при-
менения одного из наиболее современных и мощных вычислительных
методов - метода конечных элементов - для расчета магнитных полей в
рамках создания САПР электротехнических устройств. В ней пред-
ставлены основы теории метода конечных элементов, приемы его
реализации для решения конкретных задач, а также описаны некоторые
программные реализации.
Книга написана на достаточно высоком теоретическом уровне. В
какой-то мере она является продолжением книги этих же авторов
«САПР в электронике», вышедшей в издательстве «Мир» в 1988 г.
Вместе с книгами Л. Сегерлинда «Применение метода конечных элемен-
тов» (Мир, 1979 г.) и П. Сильвестера, Р. Феррари «Метод конечных
элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков» (Мир, 1986 г.)
книги Ж.-К. Сабоннадьера и Ж.-Л. Кулона дают достаточно полное
представление о возможностях, областях применения и развитии метода
конечных элементов за рубежом.
Перевод выполнен канд. техн, наук В. А. Соколовым (гл. 1-6) и
М.Б. Блеер (гл. 7-9, заключение).
Э. К. Стрельбицкий
Предисловие
За последние годы методы работы инженеров изменились коренным
образом благодаря развитию информатики и численных методов
анализа.
Численные методы сделали возможным решение самых сложных
задач для самых сложных физических моделей. Широкое распростране-
ние получили интерактивные программы графического представления
информации, позволяющие более компактно описывать геометрические
и физические свойства объектов по сравнению с классическими мето-
дами.
В настоящее время численные методы и интерактивная графическая
техника составляют единое целое в программах систем автоматизиро-
ванного проектирования.
Книга Ж.-Л. Кулона и Ж -К. Сабоннадьера посвящена методу конеч-
ных элементов, рассматриваемому не как самоцель, а как вычислитель-
ное средство в комплексных САПР. В первой части книги читатель
познакомится с принципами метода конечных элементов сначала на
простых примерах, а затем на все более сложных и, наконец, с общими
аспектами и способами применения. Во второй части рассматривается
использование метода конечных элементов в САПР. Читатель позна-
комится с построением конечноэлементной сети, оптимизацией раз-
мещения матриц в памяти ЭВМ и организацией программного обес-
печения. Все это иллюстрируется конкретными примерами.
Оба автора являются профессорами Национального политехниче-
ского института в Гренобле и преподают в Высшей инженерной школе
электротехников в Гренобле; они успешно передают студентам инже-
нерных и научных специальностей опыт, полученный ими в процессе
исследовательской работы в областях моделирования, численных мето-
дов и САПР. В самом деле, желательно, чтобы их педагогические
методы работы и полученные результаты стали достоянием всех
специалистов в этой области.
На основе результатов, полученных в этих трех областях, Ж.-Л Ку-
лон и Ж.-К. Сабоннадьер написали оригинальную работу, которая, я в
этом уверен, поможет многим желающим использовать метод конечных
элементов для самостоятельной разработки программ САПР.
Выражаю авторам за это глубокую признательность.
Даниель Блош
Президент Национального политехнического
института, Гренобль
Введение
Метод конечных элементов
Метод конечных элементов, по крайней мере его основы, известен
уже более полувека, но настоящий взлет он получил лишь с развитием
современных средств информатики. Интегральные представления из-
вестны достаточно давно благодаря работам Галёркина, Ритца, Куранта
и Гильберта [1-4] (здесь отмечены только эти работы, как внесшие
наиболее существенный вклад). Однако применение интегральных пред-
ставлений расширялось по мере того, как разрабатывались методы
решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений
больших размерностей. Действительно, громадная работа по решению
линейной системы с несколькими десятками уравнений и таким же
количеством неизвестных отталкивала большинство инженеров, и
такими вычислениями занимались лишь немногие специалисты, кото-
рые, впрочем, разрабатывали всевозможные ухищренные методы, при-
менявшиеся в течение ряда лет, некоторые из которых используются еще
и сегодня (Сутвел, Якоби, Гаусс).
В настоящее время стало обычным решение с помощью ЭВМ или
даже мини-ЭВМ нелинейных алгебраических задач, содержащих не-
сколько тысяч уравнений. Кроме того, соответствующие численные
методы и составление вычислительных программ становятся в наши дни
составной частью преподаваемых курсов в большинстве инженерных
школ. Специалисты-механики, столкнувшись со сложными задачами
расчета структур, первыми использовали информационную технику для
анализа моделей механических структур (этот факт относится к 1956 г.).
Затем (1960 г.) математики получили строгие формулировки для
метода конечных элементов, после чего он становится общим средством
изучения задач в частных производных, понемногу вытесняя метод
конечных разностей, который рассматривался в период своего апогея
как универсальное средство решения задач такого типа.
Начиная с 1970 г. этот метод становится все более популярным среди
инженеров всех специальностей благодаря работам Зинкевича, Гал-
лагера, Одена, Лиона, Равьяра, Сильвестера, Чари, Тузо [2, 9, 15, 18, 20,
26]. Этому способствовало создание коммерческих пакетов программ,
среди которых отметим часто используемые в механике (NASTRAN,
ASKA), теплотехнике (TITUS), электромагнетизме (FLUX, MAGNET И,
PE2D).
При чтении значительного числа книг и программ, касающихся
метода конечных элементов, может возникнуть вопрос: что нового
может привнести в эту область еще одна книга? Цель этой книги-
Введс ши
показать тесную связь. сущес1в>ющую между методом конечных элемен-
тов и системами автоматизированного проектирования
(САПР).
Еще одна книга... зачем?
Действительно, в большинстве отмеченных работ рассматриваются
аспекты метода конечных элементов, ориентированные на применение в
конкретной дисциплине (Зинкевич, Галлагер, Сильвестер, Абсис [9, 21,
26]), или с хорошо разработанными математическими формулировками
(Равьяр, Лион, Тузо [6, 15, 20]), или дается немного теории и основное
внимание сосредоточивается на программировании (Оуэн, Хинтон [19]).
В рамках этой книги метод конечных элементов рассматривается как
вычислительное средство, позволяющее с помощью системы автома-
тизированного проектирования разрабатывать устройства и структуры
на основе полученных теоретических моделей их функционирования. С
этой точки зрения метод конечных элементов неразрывно связан со
средствами САПР, поскольку помимо расчета он позволяет описать
изучаемый объект в соответствии с логической схемой, по которой
метод конечных элементов привлекается на конечном этапе разработки
и облегчает синтез результатов в виде схем, графиков или значений
функций изучаемого объекта.
С чисто описательной точки зрения три этапа использования метода
конечных элементов не зависят друг от друга и могут использовать
различную технику вычислений и средства информатики. Однако на
практике эти три фазы должны быть тесно переплетены, поскольку
метод конечных элементов должен быть не просто средством для
получения отдельного решения, а связующим звеном всей совокупности
вычислений, позволяющих инженеру после нескольких часов работы
закончить расчет устройства.
Эта книга содержит две дополняющие друг друга части. Первая
больше ориентирована на математические аспекты и информатику. Во
второй подробно рассматриваются методы программного обеспечения,
численного и графического взаимодействия, которые, как мы полагаем,
должны использоваться во всех программах вычислений по методу
конечных элементов.
План книги
В гл. 1 первой части описываются общие принципы метода, начиная с
интегральных представлений уравнений и до минимизации функци-
онала, полученного в результате разбиения на элементы и составления
аппроксимирующих функций. В гл 2 рассматриваются основы метода
на нескольких элементарных примерах, иллюстрирующих математичес-
кие операции метода. Эти примеры последовательно для одного, двух
или трех измерений позволяют читателю самостоятельно провести
Введение
9
соответствующие вычисления с помощью калькулятора или ЭВМ.
В гл. 3 рассматриваются различные варианты метода в зависимости
от выбора типа элементов и аппроксимаций. Показано, что вычисления
во всех случаях требуют применения численных методов, описываемых в
гл. 4.
Первая часть заканчивается рассмотрением теории изопараметри-
ческих конечных элементов второго порядка, которые используются
довольно часто и позволяют проиллюстрировать рассмотренные ранее
численные методы.
Вторая часть посвящена практическим аспектам использования
метода конечных элементов в программном обеспечении САПР. Внача-
ле анализируется структура программного обеспечения, затем показыва-
ется, каким образом техника графического взаимодействия, обычно
используемая в программах САПР, позволяет перейти от описания
объекта к его разбиению на конечные элементы.
После краткого описания хода вычислений и информационных аспек-
тов использования памяти и контроля вычислений изложено исполь-
зование результатов.
Последняя глава иллюстрирует на примере программ FLUX 2D и
FLUX 3D специфику автоматизированного проектирования электро-
магнитных устройств. Обзор основных типов программного обеспече-
ния, применяемого в промышленности, предшествует заключению о
перспективах развития метода.
1. Основы метода конечных элементов
Метод конечных элементов, разработанный на основе матричных
методов расчета механических конструкций, рассматривается сегодня
как способ решения задач, описываемых уравнениями математической
физики в частных производных. Рассмотрим метод конечных элементов
с этой точки зрения, поскольку в большинстве случаев, когда этот метод
включается в системы автоматизированного проектирования (САПР),
он служит для моделирования механических, тепловых и электрических
задач. Начнем с краткого изложения основных уравнений математиче-
ской физики и их связи с граничными условиями, позволяющими
корректно описывать поставленные задачи.
1.1. Основные уравнения математической физики
Многообразие уравнений в частных производных, описывающих
физические явления, включает большое число частных случаев, что не
позволяет дать их краткое и вместе с тем исчерпывающее описание
Однако можно объединить большую часть встречающихся уравнений в
три большие класса, каждый из которых описывает достаточно частный
тип явления:
эллиптическое уравнение, представляемое в виде
<?2ф а2Ф
дх2 + ду2 ~ ’
параболическое уравнение, представляемое в виде
а2Ф <ЭФ
— - — = О,
дх2 dt
гиперболическое уравнение, представляемое в виде
о2Ф 52Ф
---------= 0.
dt2 дх2
(1-1)
(1-2)
(1.3)
Уравнения эллиптического типа возникают в задачах потенциаль-
ного типа, встречающихся при изучении стационарных режимов в
электротехнике (электростатика или магнитостатика), механике (дефор-
мация твердых тел, лапласовское течение жидкости или газа) и тепло-
технике (распределение температур). Обычно совместно с этими уравне-
ниями используются граничные условия типа
Дирихле (Ф(Д = Фо =/0 (,?)),
Основы метода конечных цементов
11
f дФ
Неймана I —(л) = /0 (л)
\дп
/	сФ
или смешанные I Ф(л) н-(5) = /0 (j)
\	дп
К уравнениям параболического типа приводят задачи диффузии Эти
уравнения описывают также проникновение наведенных токов в про-
водящее тело в задачах электротехники
Существуют два типа условий, встречающихся совместно с пара-
болическими уравнениями:
-граничные условия типа Дирихле, Неймана или смешанные на
границе области,
-начальные условия (7 = 0) на всей области.
Уравнения гиперболического типа характеризуют явления распро-
странения волн, будь то волны вибрации механического типа или
электромагнитные волны. Это уравнение может трансформироваться в
уравнение эллиптического типа при периодическом возбуждении. Оно
используется также для отыскания собственных мод вибрации твердых
тел или мод электромагнитных волн.
Граничные условия, связанные с уравнением распространения,-это
условия Коши в начальный момент (заданы функция и ее временная
производная du/di).
Замечания. 1. Когда рассматриваемая область образована нескольки-
ми подобластями, в которых коэффициенты уравнения различны из-за
различия физических свойств материалов, формирующих подобласти,
имеются границы вырождения производных высокого порядка и фор-
мирования условий перехода, обеспечивающих условия непрерывности
различных функций и их производных.
Пример. В электростатике хорошо известно, что при переходе из
одного диэлектрика в другой имеет место преломление линий электри-
ческого поля. Если рассматривать электрический потенциал К, опре-
деленный внутри некоторой области D, образованной подобластями D,
из материала с диэлектрической проницаемостью £j и D2 из материала с
диэлектрической проницаемостью е2, то уравнение для потенциала
изменяется при переходе из одной среды в другую.
г / г /
Среда 1: — е. — I + — е, — =0.
дх \ дх/ ду \ ду/
3 /	с /
Среда 2: — е,— + — е,— = 0
дх \ дх /	8у\ ду J
(1-4)
(1 5)
На границе раздела эти уравнения не применимы и заменяются
двумя уравнениями непрерывности потенциала и электрической индук-
ции, учитывающими прерывистость напряженности электрического
12
Глава !
ПОЛЯ.
На границе раздела: = V2,	(1.6)
гк	ev2
Ej— = е2“ (« нормаль к границе раздела).	(1.7)
дп	дп
2. Эллиптические задачи возникают при анализе явлений в ста-
ционарном режиме как в статическом случае (отсутствует изменение во
времени), так и в случае известного закона изменения во времени
(например, синусоидального). Параболические и гиперболические задачи
связаны с исследованиями в переходном режиме (называемом иногда
динамическим) и их решение позволяет анализировать изменение физи-
ческих явлений во времени (переходные электрические или тепловые
режимы, механическая реакция на возмущение).
Гиперболические задачи, связанные с переходными процессами, в
настоящее время не стали объектом широкого применения метода
конечных элементов. Поэтому примеры, используемые в настоящей
работе, при рассмотрении переходных процессов будут основываться на
параболических задачах, при решении которых широко используется
метод конечных элементов.
1.2.	Понятие корректно поставленной задачи
Уравнения в частных производных в совокупности с граничными
условиями обычно называют задачей в частных производных. Однако
объединение уравнения и граничных условий не приводит автоматически
к математической задаче, моделирующей физическое явление.
Чтобы точнее охарактеризовать проблему, Адамар ввел понятие
корректно постав пенной задачи [10] Задача поставлена корректно, если
она удовлетворяет трем следующим условиям:
•	имеет решение;
•	решение единственно;
•	достаточно малому изменению начальных данных соответствует
достаточно малое изменение решения.
Если два первых условия представляются тривиальными, то третье,
более сложное для восприятия решение мешает построению задач,
априорно имеющих удовлетворительный вид, но тем не менее не
приводящих к решению вследствие неустойчивости явления.
Наиболее показательным примером является следующая задача:
d2V	d2V
а) —-	+ -,=(),	у > 0,
дх2	ду2
б) И=	0,	у = 0,
д V	sin пх
в) — =	--—у-,	V — 0
ду	п2
(1-8)
Основы метода конечных э ie ментов	13
Условие (в) равномерно стремится к нулю, когда п стремится к
бесконечности и тогда эта задача становится задачей, определяемой
уравнением (а) и условиями V = 0, д V/dy = 0 для у = 0, решением
которого является константа.
Итак, решение задачи, определенное таким образом, имеет вид
1
t'(.v, 1) = — sh пу sin их,	(1-9)
Зи
которое стремится к бесконечности вместе с п при любых ненулевых
значениях х и у.
Это случай неустойчивой задачи (эта задача становится корректно
поставленной, если условие V = 0 отменяется и переносится в бесконеч-
ность).
В общем случае эллиптические уравнения сопровождаются граничны-
гФ
ми условиями типа Дирихле, Неймана или смешанными («Ф + b — = с).
СП
Параболические и гиперболические уравнения сопровождаются гранич-
ными условиями Коши (заданы начальные значения функции и ее
производной по времени).
Приведенная ниже таблица, заимствованная из работы [16], более
точно определяет связь между уравнениями и граничными условиями,
для открытых и закрытых областей, приводящую к корректно по-
ставленным задачам.
Граничное условие	Харак гер границы	Уравнение		
		Параболическое	Эллиптическое	Г иперболическое
Дирихле	Открытая	Единственное (t > 0) условие	Недостаточное условие	Недостаточное условие
Неймана или смешанное	Закрытая	Избыточное условие	Единственное	Не единствен- ное
Коши или смешанное	Открытая	Избыточное условие	Некорректное	Единственное
	Закрытая	Избыточное условие	Избыточное условие	Избыточное условие
1.3.	Интегральная формулировка
Одна из особенностей метода конечных элементов состоит в том, что
он базируется скорее на интегральной формулировке анализируемого
явления, нежели на дифференциальной форме, которую представляют
уравнения в частных производных и граничные условия. Эта инте-
14
Глава 1
тральная формулировка может быть вариационного типа (если это
возможно), в то время как в других задачах она будет проекционного
типа.
Проекционные методы имеют более широкое применение по сравне-
нию с вариационными, которые могут быть сведены к адекватному
выбору базисных функций. Однако, когда это возможно, представляется
интересным использовать принцип виртуальных перемещений, посколь-
ку он дает физическую интерпретацию, помогающую определить не-
которое число глобальных величин с минимумом дополнительных
расчетов и, что особенно важно, с высокой точностью, достигаемой за
счет соответствия между физической сущностью этих величин и вариа-
ционным аспектом (часто энергетическим) метода расчета. Рассмотрим
вариационные формулировки, а затем проекционный метод, называ-
емый методом Галеркина, и проведем параллель между этими пред-
ставлениями
1.3.1.	Вариационная формулировка
Эта формулировка базируется на некоторых математических аспек-
тах вариационного исчисления, которые следует напомнить.
1.3.1.1.	Основная лемма вариационного исчисления
*2
Лемма Если J/(Z)^(z)A = О, V^(Z) непрерывна, так что ^(z) > О и
'1
£01) =	= 0, тогда /(z) = 0, Vze (Zv Z2).
1.З.1.2.	Вариация интеграла с фиксированными пределами
Теорема. Пусть Ф(х, у, Z)-непрерывная функция трех переменных с
непрерывными первыми производными. Если дифференцируемая функ-
ция w(Z) с производной u'(t) определена на интервале (Zt, Z2) таким
образом, что w (Zj) = wt, w(Z2) = и2 и она делает экстремальным интеграл
(2
I = J Ф (и, и', t) dt, то справедливо уравнение Эйлера, выражаемое таким
'1
функционалом
<Ф d I сф\
— -- — 1=0,
ди dtxduv
(1-Ю)
„ u(t2) = и2, u(tx) = W;
Доказательство Найдем среди всех функций, проходящих через точки
wj и M2(r2, w2), такие, которые делают интеграл I экстремальным.
Пусть и0 - функция-решение, тогда вводя некоторую непрерывную функ-
цию ^(z), такую, что £(Zt) = £(Z2) = 0 и £(Z) > 0, определим функцию
u(t) = w0(z) + Ц(1).
Основы метода конечных элементов
15
Интеграл I становится тогда функцией X:
эта функция будет экстремальной для к = 0, если ее производная
d!(Q)/dk = 0.
Итак:
^2	^2
<// Г <7Ф	8 д'8Ф ди дФ ди'\
— = I dt = I +	) dt
dk J dk J \8u 8k du' ok/
Если — выражается легко, то определение — требует интегрирования по
8k	8k
81
частям. Тогда второй член — принимает вид
f <?Ф д2и 8Ф ди С	f d /5ф\ ди
— "— dt =  -------—	— — — dt
J ди' dkdt	Lou' f/.J;	J dt\du / dk
G	G
<5Ф	d / 5Ф\
x = —, dx = — I — I dt,
du'	dt \8u'/
82u	du
—-dt = dy, y = —.
ct ok	8k
Учитывая, что
ди
dk
di
dk
^(и0 + ц) = ад,
8k \	/
G
зф ”l?2 граф
~
-du J/ J Lou
G
d/'дФ
dt\8u'.

Свойства £,(z)E,(zt) = £(z2) = 0 дают, что для k = 0, и = u0 справедливы
выражения
аФ d(8Ф
ди dt\8u'
(1 И)
и(/1) = и2, u(t2) = и2.
Хотя это и не показано непосредственно, уравнение является диф-
ференциальным второго порядка, поскольку Ф - неявная функция t через
и и и’, что приводит к выражению
d /аФ\ _ д2Ф du д2Ф du' д2Ф _ 82Ф	д2Ф , 82Ф
dt\8u'J ди'ди dt ди'2 dt ди'dt 8и'2	dudu' ди'dt
I ft
Г юва 1
(1.12)
Или после группировки
Г а2Ф г2ф	г2ф	га>
, и" + -—— + -—---—
< ди	сиси	си dt ди
wf/J = ик, u(t2) = и2.
Эта теорема показывает, что в некоторых условиях существует
эквивалентность между решением дифференциальной задачи второго
порядка и отысканием функции, дающей экстремум функционалу (инте-
гралу), когда он является уравнением Эйлера.
Таким образом, безразлично решать ли уравнение с заданными
граничными условиями или минимизировать интеграл. До последнего
времени математический аппарат, которым мы располагали, был ори-
ентирован скорее на решение дифференциальных задач, нежели на
минимизацию функционалов, поэтому в большинстве физических ис-
следований стремились описывать явления в дифференциальной форме,
хотя, как правило, анализ использовал энергетические и термодинами-
ческие принципы и давал интегральные или даже вариационные пред-
ставления при рассмотрении задач механики или электромагнетизма.
В общем случае вариационное представление является соответствую-
щим функционалом, построенным на принципе Гамильтона, который
следует привести.
Рассмотрим физическую систему, являющуюся функцией независи-
мых переменных х2, ..., х„ и описываемую некоторым числом
функций, называемых переменными состояния qk, q2, .... q„ и их про-
изводными q'lk = ('qjdx к. Принцип Гамильтона постулирует существова-
ние некоторого функционала интегрального типа
Л = Яг q'^da,
экстремум которого определяется условием стационарности, характе-
ризующим изменение системы. Область определена на основе незави-
симых переменных хк и подынтегральной функции L(xp qr q4), известной
под названием функции Лагранжа системы, являющейся скалярной
функцией переменных состояния q их производных и независимых
переменных хк Эта функция Лагранжа, характеризующая изменение
системы, имеет прямой физический смысл и представляет собой раз-
ность двух членов энергетического типа: некоторого члена Wc, харак-
теризующего кинетическую энергию, который меняется по квадратич-
ному закону в зависимости от частных производных q4. и члена Wp,
описывающего потенциальную энергию, которая является сложной
функцией переменных состояния qt
Я„ Ф) = Wc(q'j„ q'kL) - Wp(qk).
Необходимым условием стационарности интеграла 1а, определенного
уравнениями Эйлера для подынтегральной функции L, является диф-
ференциальное представление физического явления, характеризуемого
функционалом 1а.
Ос ионы метода конечных j семешпов
17
Примеры
1. Электростатическое поле
Если рассматривать для простоты изложения электростатическое
поле в двумерном пространстве, то имеются две независимые перемен-
ные-координаты х и у, переменной состояния является электрический
потенциал Ии его частные производные-составляющие напряженности
dV	дУ
электрического поля Ех=-----и Е —-------.
дх	ду
Очень простые энергетические представления приводят к понятиям
потенциальной энергии
W„ = - р(х, у) И
и составляющей кинетической энергии в среде, характеризуемой ди-
электрической проницаемостью е
е//ЗИ\2	/BV\2
жс = -—) + —
2ххдх/ хду/
Тогда можно записать функцию Лагранжа в виде
1	//дУ\2 /8У\г\
L=-ell—I +1—I I — р(а, у) V или
2	\\6аг/ \оу/ /
1	/ \
L=-e У' 2 + у'2 - ру
2	\ у /
Уравнение Эйлера от подынтегральной функции в рассматриваемой
области Ia = J Ld(i> имеет вид
с L г ( 8L\ д ( 8L\
—	--- =0,
8V дхХдУу 8y\8V'yJ
8 ( \ 8 ( \
— еЕЧ+— еГ -р = 0,	(1.13)
с \ \	/ ду \	/
о/ап 8( ап
или — е— I + — е— I = р(а. у)
а%\ дх/ дух ду/
2. Упругая деформация в механике
Рассмотрим некоторое твердое деформируемое тело объемом V и
поверхностью S, подвергающееся воздействию совокупности внешних
сил. Введем следующие обозначения: и, - составляющие результирующе-
го поля перемещения; е- тензор деформаций и о-тензор напряжения;
/-удельная объемная внешняя сила и р-удельная сила на поверхности
тела.
Согласно теореме о полной потенциальной энергии, при состоянии
устойчивого равновесия допускаются такие кинематические перемеще-
ния, удовлетворяющие условиям равновесия, которые минимизируют
полную потенциальную энергию и наоборот.
IS
Г шва 1
Если это выразить в терминах классических законов механики, то
получим
£ = Du,	(1 14)
где D матрица дифференциальных операторов, которая означает, на-
пример, что
ди	dv	ди	dv
~ Е = — Т = - - + -------
дх	ду	ду	дх
и ст = Ее, где Е-матрица коэффициентов упругости
Теорема о потенциальной энергии утверждает, что функции пере-
мещения равновесных систем минимизируют функционал
1
(D1 ED) udv — §vfTudv — Js рт uds
(1 15)
где S„-часть поверхности, где нет деформаций
Когда уравнения Эйлера представляются через перемещения и и v с
одной стороны, и независимые переменные х и у с другой, то мы вновь
возвращаемся к дифференциальным уравнениям, описывающим пере-
мещения и и v в зависимости от нагрузок
Если ввести в рассмотрение коэффициент упругости Ее и коэф-
фициент Пуассона р, соответствующие поперечной деформации, то
матрица |£| принимает вид
(1 16)
Эта матрица, называемая матрицей жесткости материала, легко
преобразуется в матрицу упругости материала
1
1 -ц 0	“
-ц 1 О
О 0 2(1 +H)J
(1 17)
Дифференциальные уравнения получаются при использовании прин-
ципов напряжений - деформации Уравнения равновесия получаются
подстановкой в уравнение вынужденных деформаций уравнений вынуж-
денных перемещений
Ее ди	цЕе dv
1 — ц2 дх	+ 1	— ц2 ду
цЕе ди	Ее dv
1 — ц2 дх	1	— ц2 ду
Ее / ди 5i>\
2(1 + ц) \йу дх/
(1 18)
Основы метода конечных > ie ментов
19
Подставляя эти уравнения в выражения равновесия
хдез ух дх
х +	— — X
У дх ду
уда худх
Хху +	= — Y
ду дх
получим следующие формулы
Ее Гд2и 1 — ц <92и”1 Ее d2v
1 — ц2LSx2 2 5/J 2(1 - и) дхду
Ее Г1 - ц d2v <32t>~| Ее д2и
-f-	-f-	— — V
1 — ц21_ 2 5х2 5y2J 2(1 - ц) дх ду
Замечание Другой способ решения этой задачи состоит во введении
функции, автоматически удовлетворяющей уравнениям равновесия, и в
использовании потенциальных функций, образующих, согласно некото-
рым заданным правилам, вынужденные составляющие, автоматически
удовлетворяющие условиям равновесия Состояние плоского принужде-
ния принимает во внимание только одну функцию этого типа, а именно
такую функцию принуждения Эйри Ф, что
52Ф	<32Ф	<32Ф
(У.. — СУ,, —	== —
Sy2	дх2	дх ду
Совместно с этим определением условие совместимости
а2тх}, д2гх д2гу
дх ду дх2 ду2
дает
д /	\	д /	\	/	\ д2хху
—- ст, - цсту ) + —- СТ — ЦСТ, 1 = 2 1 + ц I-,
ду2 \	/	дх2 \	/	\	/ дхду
или
а4Ф 54ф	54ф	54ф	/	\ а4Ф
— ц +	— ц — 21 1 -f- ц I
ду4 дх2 ду2 дх4 дх2 ду2 \	/ дх2 ду2
и окончательно
34Ф а4Ф о4Ф
— + 2---------+ — = а,
дх4 дх2 ду2 ду4
которое является бигармоническим уравнением
А (ДФ) = О
(1 19)
(120)
Использование этих функций принуждения, физическая интерпретация
которых часто весьма сложна, нередко заставляет для задач определять
граничные условия
20
Глава 1
1.3.2. Проекционные методы
Основной принцип методов проекций базируется на теореме, прису-
щей гильбертовым пространствам и определяющей пространство, в
котором только нулевой вектор ортогонален всем векторам простран-
ства.
Практически ортогональность двух векторов (в нашем случае-двух
функций) описывается нулевым значением их скалярного произведения.
Пусть в L2, являющемся пространством, в котором можно расположить
большое число физических задач, ортогональность двух функций fug
определяется в виде
W'gdv = ° ’
Решение задачи в частных производных сводится к отысканию
некоторой такой функции и, чтобы операторы L в области и В на границе
удовлетворяли следующим условиям:
L(u)-f=0
и
В(и) — д = 0.	(1.21)
Метод, называемый методом взвешенных невязок, состоит в отыска-
нии функций и, удовлетворяющих условию на границах Ф, и таких,
чтобы для всех функций Ф существовали условия наличия непрерывных
производных
(1.22)
Если совокупность функций Ф образует пространство бесконечных
размеров, то можно достичь эквивалентности между задачей в частных
производных и ее интегральным представлением. Однако при практи-
ческом применении функции Ф образуют пространство конечных раз-
меров и соотношение (1.22) создает только аппроксимацию, характе-
ризуемую данными из этой совокупности функций.
Преимущество метода взвешенных невязок перед вариационным
методом состоит в том, что он может использоваться во всех уравне-
ниях, независимо от существования и знания вариационной форму-
лировки задачи. Наоборот, с самого начала существует ошибка метода
из-за выбора функций Ф; тем не менее этот последний пункт имеет
вторичное значение, так так эта ошибка и ошибка аппроксимации
объединяются, чтобы дать одинаковые результаты в случае обоих
представлений
Пример. Теплотехническая задача
8 ( 5Т\	8 / 8Т\
— fc— + — [k— + Q = 0,	(1 23)
8х\ дх / ду \ ду /
Т= T0\s.
Основы метода конечных эк ментов
21
Представление в рамках метода взвешенных невязок состоит в
выборе таких функций Т, удовлетворяющих граничным условиям, что
\/ф
Интегрирование по частям позволяет преобразовать этот интеграл к
виду
’	/ д ( дТ\	д ( 8Т\	\	ССС	СдТдФ	дТдФ\	\
Ф — к— + — к— + О)Л2 = -к-------------+-----+Ф2 50 +
q	\5х\ дх/	дух ду/	/	JJ \	\дх дх	дуду)	J
" дТ
О кФ — dS.
s дп
(1 24)
Если предположить Ф = 0 на контуре, тогда второй член исчезает и
получаем
дТдФ\	\
+------I — ОФ ) dfl = О
ду dv)	/
(125)
1.3.3.	Другие формулировки
•	Среди других возможных формулировок можно использовать сме-
шанные вариационные формулировки с множителями Лагранжа или
штрафные функции.
•	Среди методов проекционного типа метод наименьших квадратов,
минимизирующий квадратичную норму ошибки уравнения и граничных
условий, позволяет определить коэффициенты линейной комбинации
базисных функций, которая аппроксимирует неизвестную функцию.
1.4.	Аппроксимация неизвестных функций
В интегральном представлении решение, полученное минимизацией
функционала, является решением исходной дифференциальной задачи.
Однако для большинства задач получение точного решения является
одинаково сложным как в интегральном, так и в дифференциальном
представлении. Эти трудности заставляют искать приближенное реше-
ние в виде линейной комбинации известных независимых функций,
математические операции с которыми не вызывают осложнений. Эти
функции могут быть тригонометрическими в случае рядов Фурье, или
полиномиальными на отдельных участках в случае метода конечных
элементов.
Тогда записывают, что искомая функция и является комбинацион-
ным приближением
и* = A	j + A2N 2 + ... + AnnNnn,
в котором коэффициенты Av А2...ANN будут определяться методом,
22
Глава 1
Рис. 1 1 Область из двух треугольных элементов.
реализующим наилучшее приближение функции и на базе функций N v
^2....^NN'
В методе конечных элементов, как это будет показано в разд. 1.5,
рассматриваемая область разбивается таким образом на подобласти,
называемые элементами, чтобы на каждом из них неизвестная функция
была бы аппроксимирована полиномом. Изучаемая область разбивается
без пропусков и перекрытий. Собственные полиномы на каждом элемен-
те разбиения должны удовлетворять граничным условиям непрерывно-
сти, совпадающим с граничными условиями, налагаемыми самой зада-
чей. Это ограничение позволяет определить совокупность функций Nlt
исходя из функций N *е), определенных на каждом отдельном элементе.
На рис. 1.1 представлено разбиение на плоскости четырехугольника
на две треугольные области первого порядка, для которых неизвестная
функция аппроксимируется полиномом первого порядка Р = а + Ьх +
су. Для каждого элемента необходимо определить три коэффициента и
три одночлена, что совместно дает шесть неизвестных коэффициентов,
но условие непрерывности на стороне, соединяющей вершины 2 и 3,
требует равенства полиномов в этих вершинах. Это налагает два
ограничения, которые в действительности сводят шесть коэффициентов
к четырем неизвестным коэффициентам. Тогда для каждой вершины
имеется некоторая аппроксимирующая функция (подробно такой подход
будет рассмотрен в разд. 2.2). Выбор для каждого элемента аппрок-
симирующей функции будет определять соответствующий тип элемента.
Имеется строгая математическая зависимость между типом аппрокси-
мирующих функций (линейным, квадратичным, кубичным) и формой
элементов, которая всегда определяется разбиением.
1.5.	Минимизация функции с помощью аппроксимирующих функций
Основной общий принцип двух интегральных представлений, приве-
денных выше, заключается в определении коэффициентов их, и2, uNN
аппроксимирующей функции и* путем наложения на функционал опре-
деленного числа условий.
1.5.1.	Вариационное представление
Пусть «-некоторая неизвестная функция, удовлетворяющая уравне-
нию в частных производных
L («)=/,	(1.26)
Основы метода конечных эцементов	23
а также граничным условиям, которые в данный момент не рассматри-
ваются, но учитывают функционал
F = jfnL (и, и'х, и'у, х, у) dQ.	(1-27)
Если функция и заменяется такой аппроксимирующей ее функцией и*
на всей области Q, что
NN	NN	NN
и* = £ и, N,, и'* £ и, N'lx, и'* = £ и, N'ty,
1=1	i=i	i=i
где и,-числовые коэффициенты, которые, как будет видно в даль-
нейшем, являются фактически значениями и* в каждом узле разбиения,
то функционал становится единственно функцией коэффициентов
uNN.
Необходимое условие экстремальности (1.27) (которое в большинст-
ве случаев является условием минимизации) записывается в виде
dF dF	dF
— = 0,-----= 0, ..., -= 0,	(1.28)
du j	du2	du
которое является системой из NN алгебраических уравнений с NN
неизвестными коэффициентами и{, и2, , uNN. Решение этой системы
дает аппроксимирующую функцию и* во всей области.
1.5.2.	Метод Галёркина
При применении этого метода необходимо выбрать совокупность
проекционных функций Ф15 Ф2, ..., ®vv
Г Г / (NN	\	\
ф,(ь( £	=
J J	\ \ = t	/	/
Ф,Щ £	= °,	(1-29)
JJ \ \ = 1	/	/
Г Г ( (NN	\	\
\ \ = 1	/	/
При этом получают новую систему из NN алгебраических или
трансцендентных уравнений, решение которой дает NN неизвестных
коэффициентов и,, и2, .... uNN.
1.5.3.	Общие замечания
В обоих случаях применение метода конечных элементов приводит к
замещению уравнения или системы уравнений в частных производных
системой недифференциальных уравнений, имеющих в качестве коэф-
фициентов аппроксимирующие функции, которые фактически являются
значениями аппроксимирующей функции в вершинах разбиения.
Если в методе Галеркина весовые функции идентичны аппроксими-
24
Г шва 1
Рис 1 2 Примеры конечных элементов.
рующим функциям, то полученная система уравнений аналогична сис-
теме уравнений, вытекающей из вариационных представлений.
Если оператор L линейный, то функционал имеет квадратичную
форму, что приводит к линеаризации полученной системы алгебраиче-
ских уравнений. То же самое в методе Галёркина, где линейность L
приводит к линеаризации уравнений (1.29), так как в каждом из них
коэффициенты н, можно вынести из-под знака интеграла
I - Пф,/Ж.
1.6.	Разбиение на конечные элементы и аппроксимация
В заключение рассмотрим важнейшие понятия метода конечных
элементов, а именно понятия разбиения и связи между аппроксимацией
неизвестной функции и разбиением.
1.6.1.	Понятие конечного элемента
Обычно конечным элементом внутри рассматриваемой области Q
называют некоторую подобласть Qe, геометрические размеры которой
очень малы по сравнению с размерами области Q, но тем не менее
остаются конечными. В простейшем случае эти элементы имеют тре-
угольную (2D) или тетраэдральную (3D) топологию для плоских и
трехмерных задач. В общем случае топология может быть четырех-
угольной или многоугольной. Элемент характеризуется числом геомет-
рических узлов и степенью аппроксимации неизвестной функции в
области. Аппроксимация может быть прямолинейной или криволиней-
ной и порядок аппроксимации лежит в пределах 1-6. На рис 1.2
приведено несколько типов элементов, которые будут подробнее рас-
смотрены в гл. 3.
1.6.2.	Аппроксимирующие функции
На каждом конечном элементе определим аппроксимирующие функ-
ции N\, Ne2, .... Nek таким образом, чтобы неизвестная функция была
линейной комбинацией этих аппроксимирующих функций. Эти функции
Основы метода конечных э ieментов
25
связаны с узлами элемента и служат его характеристикой.
Пример. Прямолинейный треугольный элемент первого порядка.
Функции N2, N3 являются такими линейными функциями, что
U = Xj (х, у) и3 + N2 (х, у) и2 + N3 (х, у) и3
И N1 = ((Х2у3 - х3у2) + (у2 - Уз)х + (*3 - Х1)У)/2А’
N2 = ((х3у1 - х3у3) + (у3-у1)х + (хз - х3)у)/2А,
N3 = ((ХхУ2 - Х2У1) + (jl ~У2)Х + (*2 - Х1)У)/2А,
где 2А = (х2у3 - х3у2) + (х3у3 - х3у3) + (х3у2 - х2у3).
Для элементов сложной формы можно определить аппроксимирую-
щие функции, называемые иногда функциями формы, которые получают
посредством геометрических преобразований, начиная с некоторого
стандартного элемента по алгоритму, который будет подробно рас-
смотрен в гл. 4.
1.6.3.	Разбиение и аппроксимация
Основа метода конечных элементов состоит в определении способа
разбиения области на подобласти (конечные элементы) без перекрытия и
пересечения. На рис. 1.3—1.5 приведено несколько примеров разбиения
для плоских и объемных тел.
Когда разбиение будет осуществлено, исходная область Q будет
определяться сетью точек, являющихся общими узлами смежных эле-
ментов. Неизвестная функция после решения задачи будет характеризо-
ваться ее значениями в каждом узле разбиения. Эта неизвестная функция
Рис 1.3 а-разбиение в двумерных задачах (треугольные элементы), б-разбиение
в трехмерных задачах (тетраэдры).
26
Г шва I
будет интерполироваться в области (1 по значениям в узлах, полученным
в ходе вычислений Приближение будет осуществляться с помощью
кусочно-непрерывной функции Условия непрерывности определяются
типом элементов совместно с условиями непрерывности, наложенными
на неизвестную функцию задачей
После разбиения функционал в области Q определяется совокуп-
ностью интегральных функционалов на каждом из элементов, с учетом
того что каждый узел принадлежит нескольким элементам Этот функ-
ционал становится функцией NN переменных, являющихся значениями
неизвестной функции в узлах разбиения
Позже будут рассмотрены геометрические ограничения, которые
должны быть наложены на разбиение для обеспечения заданной точно-
сти вычислений
Основы метода конечных элементов
21
Определение области
Разбиение на конечные элементы
Вычисление коэффициентов
алгебраической системы
Решение
Использование
Рис 1 5 Разбиение в трехмерных зада- Рис 1 6 Схема организации расчета
чах (тетраэдры)	методом конечных элементов
На рис 1 6 приведена схема, объясняющая ход расчетов по методу
конечных элементов После разбиения области на элементы осуществ-
ляют решение системы алгебраических уравнений, результаты решения
представляются в удобной для пользователя форме
2. Переход от одномерных объектов к двумерным
Среди численных методов метод конечных элементов на сегодняш-
ний день наиболее универсален для численного расчета полей. Он
особенно хорош своей гибкостью, простотой программирования, а
также тем, что хорошо подходит для интерпретации физики изучаемою
явления. Изложим принципы его применения, иллюстрируя это много-!
численными простыми примерами, после чего в гл. 5 будет развита
общая теория изопараметрических конечных элементов второго поряд-
ка, которая является наиболее распространенным вариантом этого
метода.
2.1.	Теоретические основы метода конечных элементов
Фундаментальный принцип метода конечных элементов заключается
в разбиении изучаемой области на элементарные области конечных
размеров. В каждой из этих областей, называемых конечными элемента-
ми, неизвестная функция аппроксимируется полиномом, степень которо-
го меняется в зависимости от задачи, но остается обычно невысокой (от
1 до 6). Разбиение или дискретизация области делается с учетом
некоторых правил, позволяющих обеспечить эффективность расчетов
(рис. 2.1).
Для каждого элемента (например, треугольника АВС на рис. 2.2)
аппроксимирующий полином (в данном случае первого порядка) опре-
деляется его коэффициентами (здесь тремя). Коэффициенты могут быть
определены значениями функции в частных точках, называемых узлами
элемента (здесь вершинами треугольника). Если известна функция в
каждом узле, то имеется возможность ее аппроксимации на всей об-
ласти. Можно также сказать, что неизвестная функция А(х, у) зависит от
NN параметров At, А2, ..., ANN, являющихся неизвестными, которые
функция принимает в каждом узле каждого элемента. Определение
параметров Av А2, .... ANN является этапом определения А(х, у).
Зная вариационное представление задачи
min f	)
А (А) =	[А, а;, а;, х, у] dx dy$,	(2.1)
заменяют двойной интеграл на сумму интегралов на каждом конечном
элементе области:
Ne
F(A)= £ Fe(A),	(2.2)
е = 1
Переход от одномерных объектов к двумерным
29
Рис 2 1. Разбиение на конечные элементы
I де Ne-число элементов разбиения и Fe-часть F на элементе с номером
е На каждом элементе с номером е функция А может быть заменена ее
аппроксимацией А = Р(А^, Ад, А£, х, у), интегрирование которой дает
А
Рис. 2.2. Конечные элементы первого порядка и аппроксимация А на этом
элементе.
j.) = а0 + a, х + а2 у,
4i = A(xt,yt) = аи г а, х У a2yt,
4z = А (х2, у2) = я0 + а, х2 + а2 у2,
F = А(х3, т3) = а0 + а, х3 + а2 у3
30
Глава 2
F(A) в виде функции одних только параметров АеЛ, Ав, Аес элемента е:
Fe(A) = Fe(AA, Ав, А^).	(2.3)
Суммируя, получают
F(A)= X Fe(AeA,AeB,Aec) = F(A1,A2,...,A^),	(2.4)
е = 1
принимая во внимание, что некоторые из узлов 1, 2,..., NN являются
общими для нескольких элементов и что вклад каждого элемента
должен учитываться в выражении для функции F относительно величин
Aj, А.... Ауу неизвестной функции в этих узлах, когда объединяют
элементы всей области.
Отыскивают оптимум F во всей области, имея в виду, что частные
производные F относительно величин А2, .... ANN одновременно
обращаются в нуль:
dF	dF	dF
	= 0, -= 0, .., -=0	(2 5)
dA------------------------------------------------------------dA 2
Эта операция приводит к составлению системы из NN уравнений с
NN неизвестными, которые определяют величины Ар А2,   ANN в узлах
разбиения. Правая часть этих уравнений получается, исходя из той части
функционала, которая содержит в себе члены, характеризующие источ-
ники, или на основе значений А, заданных на границе области (неодно-
родные граничные условия Дирихле).
2.2.	Первый пример: одномерное пространство
Пусть имеется система дифференциальных уравнений
</2А
(1)	—-а2А= 1,
dx
rfA(0) rfA(l)
(2)	—— =	= 0,
dx dx
(2 6)
(2 7)
образованная уравнением (2.6) и граничными условиями (2.7) на сег-
менте [0,1]. Изучим эту задачу подробнее с тем, чтобы яснее показать
механизм применения метода конечных элементов.
а)	Вариационная формулировка
Как было показано в гл. 1, вариационная формулировка связана с
задачей отыскания функции А, обеспечивающей оптимум функционала:
(3) F(A) =
+ а2А2 + 2А
о
dx
(2-8)
Переход от одномерных объектов к двх мерным
3]
Q = П и Г
а
----1-----1-----(
I	2,4	4
П = и Пе
е- ।
------ I---1 I----1
А О, В A £2, В А П5 В
б
Рис 2 3 Одномерные конечные элементы
5 а- область, б-глобальная модель с тремя элементами,
в-локальные элементарные модели
б)	Конечноэлементная постановка
Проиллюстрируем все свойства, связанные с разбиением на конечные
элементы, рассматривая в качестве примера разбиение на три идентич-
ных элемента. Представим изучаемую область в трех формах (рис. 2.3).
Различие между этими областями на первый взгляд кажется искус-
ственным, но оно найдет свое оправдание в процессе построения матриц,
связанных с отдельными элементами.
Действительно, существует очень простая топологическая связь меж-
ду глобальной и локальными моделями. Эта связь может выражаться с
помощью булевых матриц. Пусть Xv Х2, Х3, ^-значения X в узлах 1,
2, 3, 4 глобальной модели из трех элементов, затем ХА, Хв, ХА, Хв, ХА,
Хд-те же значения величин в узлах А и В каждого из элементов.
Связи между величинами Xt, с одной стороны, и ХА, Хев, с другой,
устанавливают тождественность, существующую между этими различ-
ными точками:
Х1А = Х1, ХВ = Х2, ХА = Х2,	Х2=Х3, ХА = Х3, Х3 = Х4.
Эти соотношения можно
между каждым элементом и
записать в форме особой матрицы связи
глобальной нумерацией:
Х'в	=	10 0 0 0 10 0		Ха х2 Х3 х4	-	XI Х2В	=	0 10 0 0 0 10		Х1 *2 Х3 х4	-	XI	=	0 0 10 0 0 0 1		X, Х2 Хз Х4
или в векторной форме X1 = А'Х, X2 = А2Х, X3 = А3Х, или с исполь-
зованием более компактной записи Xе = Х'Х (е = 1,2,3).
в)	Интерполяционные функции
Величину А можно представить с помощью различных функций,
выбор которых характеризует используемый метод. В рассматриваемом
примере выберем линейные функции.
На каждом элементе е выберем некоторую линейную функцию вида:
Ае = а + Ьх,
что для х = 0 и х = h дает
А(0) = А А = a, A(h) = Аев = а + bh.
(2.9)
32
Глава 2
Рис 2 4 Функции Ф®
Введем здесь понятие AN, которое представляет собой значение
функции А в узлах разбиения Эти значения будут в дальнейшем
рассматриваться как численные значения Л, в глобальной модели, но
при этом будем помнить, что At является значением А в узле /.
Решая уравнения (2 9) относительно а и Ь, получаем'
а = АеЛ, Ь = (Аев - AA)/h
и соответственно
Ав — А‘.	(	х
А® = А'л +	= 1 А'а + ~А'В
п	\	п/ п
Если обозначить Фе = {ФА, Фд}г и Ае = {Аа, Аев}т, то можно записать
N = В
Ае(х) = X ФкАек = ФеТАе,	(2.10)
N = А
что позволяет ввести две функции интерполяции
ф^ = (1®вМ = 7Л(4
\ М	h
где Ре(х) представляет собой характеристическую функцию элемента е,
которая равна 1 на этом элементе и 0 вне его.
Умножение на эту функцию приводит к тому, что функции ФА и Ф|
определены только на элементе е.
Можно представить шесть функций Ф‘( (рис 2 4). Эти функции
удовлетворяют следующим очевидным условиям:
Ф^(хм) = 8М N (6MN = 1, если N = М; = 0, если N / М),
0 < Фец < 1,
N - В
Z Фх = 1.
N = А
Свяжем теперь функцию А с функциями интерполяции и величинами
Av которые она принимает в NN вершинах элементов (рис. 2.5)
хе
А(х)= X Ае(х)= X ФеГЛе= X Ф‘''А‘Э.	(2.11)
е-= 1	е = 1	е = 1
Ne
Очевидно, что сумма £ А (%) является символической, так как
е = 1
Переход от одномерных объектов к двумерным
33
Рис 2 5 Представление А через функции Ф‘(,
каждая функция А“' равна нулю вне элемента е и, разумеется, величина
функции А в каждом узле, связывающем два элемента, должна учиты-
ваться только один раз.
Вектор А, определенный уравнением (2.11), не зависит от е, и
функцию А (а) можно записать в виде
А(х) = ФГЛ
где вектор Фг = {Фр Ф2, Ф3, Ф4}г определяется уравнением
Ne	Ne	Ne
Фг = £ Ф<’ГД<’ = £ (ЛеГФс)г = ( £ ЛеГФе)г.
е — 1	е = 1	е = 1
Можно определить этот вектор как
Ne
Ф= Е ЛеГФе.	(2.12)
е = 1
То же замечание, что и выше, применяется здесь при определении
существования этой суммы и способа вычисления Ф: Фе = 0 для всех
точек вне элемента е и значение функции Фе (xN) необходимо учитывать
только один раз при суммировании
Окончательно можно представить А(х) в виде
NN
А(х) = £ Ф,Л, = Ф7Л = ЛГФ,	(2.13)
। = 1
где Ф, функции глобальной интерполяции (представлены на рис. 2.6).
Функции Ф, можно выразить с помощью базисных функций Ф‘(, т. е.
Ne
ф,= Е ф^ж,.
е = 1
Если в качестве исходного взять значение х на отрезке [0,1], получим
при введении функции Р(х)
„. ,	f 1, если 0 < х < h,
Р(х) = <
(0, если 0 > х > h,
34
Г пава 2
Рис 2 6 Функции Ф
ф* =( 1-^)Р(х), Ф* = ( 2 - - | Р(х - й), Ф’=(3--)Р(х-2й),
\ й/	\ й/	\ й/
Y-	Y- _ Й	( X - 9А\
Ф>=-т	Фь=-— P(x-h),	Ф’=(—— Р(х-2Й),
п	п	\ п /
откуда
Фх = (®А ®A)( J + (ФА ®A)(J + (ФА> ®A)( J = (1 - х-)р(*\
\0/	\0/	\0/	\ й/
/0\	,	, /1\	,	, /0\ х / х\
ф2 = (ФА, ®А) , + (®A, ®А) л + (®A, ф|) л =	+ 2 - ~
\1/	\0/	\0/ h \ п/
,	, /0\	_	/0\	□	f\\ x — h	I х\
Фз = (ФА, ФА) л + (ФА, фА)(, I + (ФА, ФА) л = ^~р(х - й) + з - - Р(х - 2й),
\0/	\1/	\0/ h	\ h/
,	1 ЛЛ ->	, /0\ / х\
ф4 = («А, ФА) л + (ФА, ФА) л + (ФА, ФА) , = -2 + - р(х - 2й)
\0/	\0/	\1/ \ й/
Отметим, что эти функции непрерывны, линейны и дифференцируемы
на отрезках, хотя их дифференцируемость не является очевидной
г)	Построение матриц
Вновь рассмотрим выражение (2 13), в котором А(х) = ФТА = АТФ,
что дает
А2 = (Ат Ф)(ФТ А), а также
JA /</Ф\т Jc№\
— = 1 — А = А'I — , откуда
dx \dx)	\dx/
fdA\2	J<№ бЙК’Д
— =л-----------И
\dxj \dx dx /
Переход от одномерных объектов к двх мерным
35
Тогда функционал (2 8) примет вид
fl <1Ф АФТ , _
F(A) = - Ат-----------А + а2А ФФТА
J 2 L dx dx
dx + f ФТА dx
о
и после интегрирования этот функционал становится функцией вектора
А, или узловых величин Л, (i = 1,	,4)
(2 15)
1 т
Г (А) = -АТМА + FA
(2 16)
где М- матрица общего члена
И.,
Г dФl АФ,
-------- + аФ,Ф( dx,
_ dx dx-J
(2 17)
a F-вектор составляющих
i
F, =
О
(2 18)
Представляется интересным определить матрицу М и вектор F,
исходя из базисных функций (называемых также функциями формы),
определенных на каждом элементе Для этого снова возьмем величину
Ф предварительно определенную в (2 12)
Ne
Ф = £ Дс'Фе, что приводит к
е — 1
±= у
dx	dx
Тогда
Ne	Ne	Ne Ne
ФФГ = (£ ДеГФе)(£ &еТфеу= Y X ЛеТФеФеЛе
е = 1	е = 1	е — 1 е = 1
Далее, для всех величин <?'#<? произведение ФеФе равно нулю (так
как Фе = 0 на е и Фе = 0 на ё, значит Уё ф еФеФе = 0), так что
"е
Ффг = Y ЛеТФеФеТЛе
е = 1
Таким же образом
4Ф dФт Ne
~-----= У дсТФ<!ФеТДе, откуда
4г dx
36
Г гав a 2
О
+ а2Ф‘'Фе7'
(2.19
‘ (№‘т
м = X д 1 (----------------
е _ !	(. J \ dx dx
о
+ а2ФгФ'
поскольку Фе равно нулю вне элемента е, интеграл от 0 до 1 становитс;
интегралом от 0 до h, поэтому
"е
М= X д‘
и пусть
-------- + а2ФеФеТ Л
. dx dx	/
о
«е
М = X ЛеГМ(е)Л<!я где
f/ЛФе dd>	\
Ме =-----------+ а2Фе0ФеТ dx
J\dx dx	J
Общий член определяется в виде
h
С Г (М>‘м d^	,	1
Mmn= -~^-^ + a2®^ dx,
J L dx dx
Ае,
М = 1,2;	= 1,2.
(2.20;
(2 21]
(2.221
О
о
Вектор F определяется соотношением
1
F = <bdx =
о
1 1 *
Г/ Ne	\	Ne Г	Ne Г
( X АеГФе)dx = £ ЛеГ ®edx = X ЛеГ <bedx =
* 'е — 1	'	е— 1	е ~ 1	*
О	0	0
"е
= X AeTFe,
е = 1
где вектор Fe имеет составляющие
h
¥eN = \^Kdx, N=l,2.
о
Также определяются элементы матрицы
Ме =
О
(2.231
о
Переход от одномерных объектов к дн\ мерным
37
которые в рассматриваемом примере при
х	, х
Фл = 1 - 7 и фв = 7
п	п
определяются как
Ж _
dx
\Г’ =
а2
Р
. а2
1 а2
-- + h—
п 6
1 /га2
h + ~Р
1 б7Фв _ 1
Л ’ dx h’
1 + А7.
Если считать, что а = 1, /г = 1/3, то
	- 28 9	53- 18	1	56	-53'
=	53	28	" 18	_ -53	56 _
	18	9			
точно также
	h fl	x\ 1 — - 1 dx		h '		1
F =	О h	\ hj /'x'\	=	2 h	=	6 1
	fl	- 1 dx		—		—
	О	\h/	-1		L2 J		L6-1
д) Объединение элементов
Этот этап расчета является просто формированием глобальной
матрицы М на основе элементарных матриц с использованием формулы
(2 21)
1 0	o' 1	I’m;,	м;г“|Г1		0	0	0
0	0	LM),	MfJ	Lo	1	0	0
0	0						
							
							
0	o'						
i	0	I’M?,	М1Я	r°	1	0	0
0	1	Lm221	MhJ	Lo	0	1	0
0	0						
0	o'						
0	0	I’m?,	м?г]	r°	0	1	0
1	0	LM’,	MhJ	Lo	0	0	1
0	1						
м;, м;2 о о
м>, мь о о
О ООО
О ООО
0	0	0	0
о м?, м]2 о
О Ml, м|г о
0	0	0	0
0 0 0 о
0 0 0 о
о о м?, м?2
О О ME М12
38
Глава 2
откуда
м;,
м2,
о
м;2___________о
м;2 + mj, м;2
м22, |~мЕ +
с
О о
О I о
М?, м32
М232
м2\
о о
Математические операции объединения в алгоритмическом плане состо-
ят в реализации следующих операций для каждого элемента:
а)	формирования элементарной матрицы
б)	отыскания для каждого узла этого элемента соответствующего
номера в глобальной нумерации;
в)	присоединения общего члена MeMN к уже существующему члену в
общем члене М
Для объединения матриц Ме используют таблицу с двумя входами, в
которой каждому номеру узла одного элемента (в локальном варианте
от 1 до 2) соответствует его глобальный номер (изменяющийся в
пределах от 1 до NN).
На этой стадии следует учитывать существенное влияние нумерации
узлов на структуру матрицы.
Действительно, предположим, что в рассматриваемом примере
сегмент [0, 1] разделен на 10 элементов. Если нумерация их узлов
проведена в естественном порядке, матрица будет иметь структуру,
приведенную на рис. 2.6, а.
Предположим теперь, что нумерация узлов проведена в следующем
порядке: 139854276 10. Структура матрицы для такой нумерации
представлена на рис. 2.6, б (ненулевые элементы обозначены крестика-
ми).
Если первая структура, называемая ленточной матрицей, обладает
свойствами, интересными с точки зрения размещения в памяти и
решения, то вторая теряет свойства ленточной матрицы и не имеет
указанных преимуществ.
Построение второго члена осуществляется в соответствии с теми же
принципами
F = £AerFe.	(2.26)
Таким же способом и в то же время, что и матрицу, элемент за
элементом формируют второй член.
Переход от одномерных объектов к двумерным
39
									
									
									
									
									
									
									
									
									
									
а
Рис 2.6а. Ленточная матрица.
Рис. 2.66. Разреженная матрица.
е) Решение
Теперь нужно рассчитать Аг, А2, Аяя, чтобы оптимизировать
F (А). Этот оптимум, если он существует, может быть получен только
для величин At, удовлетворяющих одновременно соотношениям
ал,
Итак
i = 1, 2, . , N.
+ F.M,-
NN (Г] NN
F (А) = АТМА + FtA=Y] - Z М„Л,
Рассчитаем----; переменная Ак в этом расчете фигурирует два раза, в
первый раз для величины i, равной к, второй раз внутри квадратных
скобок для величины J, равной к.
1 1
=	+ +	(2.28)
8А>. 27-1 =!
Во второй сумме можно заменить индекс i на j, что с учетом
симметрии дает
8F NN
— = Е Mk,Aj + Fk = 0, Vfc = l, ., N.	(2.29)
5 A 7-i
40
Глава 2
Тогда решением задачи будет решение системы линейных уравнений
МА = F и в рассматриваемом примере значения А должны быть
решением системы
3,1111	-2,9444				А,		-6,1667
-2,9444	6,2222	— 2,9444			А2		-0,3333
	-2,9444	6,2222	-2,9444		А3		-0,3333
		-2,9444	3,11П_		—At _		_-0,1667 _
А = - 0,999998, А = - 0,999998, А = -0,999998, А = -0,999998.
ж) Учет граничных условий Дирихле
Предположим теперь, что вместо условий Неймана, введенных ранее
= О), имеются условия Дирихле, например А(0) = 0,
А(1)= 1.
0 1
।		।-----<-----1
12	3	4
В этом случае точки 1 и 4 разбиения на конечные элементы больше не
являются точками, в которых функция А неизвестна. В этих точках
функция определяется граничными условиями, а не решением диф-
ференциального уравнения.
Тогда, необходимо модифицировать систему линейных уравнений,
получаемых объединением элементов, чтобы придать функции в точках
1 и 4 значения, определяемые граничными условиями
—					—		
1	0	0	0		А,		0
М21	м22	м23	М 24		а2		F2
0	м32	М33	М34		А3		F3
_0	0	0	1		-At-		_ 1
Тогда можно исключить 1-е и 4-е уравнения, величины Аг и А4 будут
перенесены во второй член, что дает
М22^2 Т М2$А3 = F2 М21 X 0,
^32-^2 Т М33А3 = F3 — М34 х 1.
В рассматриваемом примере
6,222222 - 2,9444441 _рД _ Г+ 0,333333'
_ 2,944444	6,222222J |_.4 J L - \2ТТГП J ’
Переход от одномерных объектов к дв\ мерным
41
решением которого является
"6,222222 -2,9444444] ГЯ2] _ ГО,333333 "
_0	4,8288691] |_Л3] ~ |_3,4355158]’
А3 = 0,7114535; А2 = 0,3902414.
Точные значения равны Л (0,66667) = 0,7110788, А (0,333333) = 0,3897569,
а ДЛ3 = - 0,0004 и ДЛ2 = - 0,0005.
2.3.	Второй пример: двумерное пространство
Анализируемая задача имеет вид
<Э2А а2А
уу + ТТ +/= °’
дх ду
дА
— = 0 на дС1г, А — <1! = 0 на дС12
дх
(2.30)
Предполагается, что область имеет четырехугольную форму с вершина-
ми 1, 2, 3 и 4 и разбивается на два треугольных элемента П2.
а)	Нумерация глобальная и нумерация локальная
Пример нумерации приведен на рис. 2.7 Внутренняя нумерация
каждого элемента отмечена внутри треугольника. Можно тем же спо-
собом, что и в предыдущем примере, определить матричные соотноше-
ния между узлами в локальной и глобальной нумерации
М'1’ = м2,	= м3, М'1’ = м.,
откуда
0
Д1 = 0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
И
1
= М3, М™ = м4,	= м2,
А2
0 0 10
0 0 0 1
0 10 0
откуда
М1 = М2 = А2М, где
М1 = {М1Л, М1В, М1С}1, М2 = {М2Л, М2В, ,
м = {м3, м2, м3, м4},
где М представляет собой информацию, связанную с узлом z. Эти
отношения касаются исключительно связи между номерами узлов.
б)	Интерполяционные функции
Выбирая линейные интерполяционные функции на треугольнике,
получим
Ае = ае0 + otjx + а2у,	(2.31)
42
Глава 2
Рис 2 7 Нумерация в двумерных задачах
а глобальная нумерация, б-локальная и глобальная нумерация
пусть
1
1
1
1В
“о + а‘Л + “гТ'л
“о + а‘1хв + а2Ув
“о + а‘1хс + а‘2Ус
хл Ул
хв Ув
хс Ус
“I
«2
Назовем (А.ел, А.в, Ау = (Аел, Ав, Аес)' вектором значений А в узлах
элементов.
Из этого делаем вывод, что
иначе
' 1	хл	Ул	1	хвУс хсУв	хсУа хлУс
1	хв	Ув	= —	У в ~ Ус	Ус ~ Ул
1	хс	Ус _	2Л	хс~хв	Хл-Хс
хлУв хвУл
Ул ~ Ув
хв - хл
где Л-площадь треугольника, а 2Л-детерминант матрицы. В матрич-
ном представлении получаем
	• хл	Ул	-1	4е ЛА	
А =(1,х,у)	• хв	Ув		Ае лв	= Фе.ле. + ФевЛев + ФесАес.	(2.32)
	J *с	Ус .		Ае L лс J	
Это и определяет функции формы ФеА, Фв, Ф£, которые, разумеется,
будут линейными: Ф'(. = aeN + beNx + c‘Ny. Обозначим
1 1 1
ал = ~(хвУс - хсУв), ав = —(ув- ус), ас = —-(хс - хв),
2Д	2Д	2Д
1	1 1
Ьл = ~(хсУл - хлУс\ Ьл = —(Ус- Ул), Ьс = —(хл- хс),
2Д	2Д	2Д
1	1	1
сл — ~(хлУв ~ хвУл), св = 77^’л — Ув), сс — ~~~(хв ~ хл)
2Д	2Д	2Д
Переход от одномерных объектов к двумерным
43
и пусть
ФеА = аел + ЬеАх + сеАу,
Фв = аев + Ьвх + севу,
Фс = ас + Ьесх + сесу.
(2.33)
Окончательно имеем
Ае(х, у) = ФеГЛ = ЛеГФе, где
аА ЬА СЛ 1
«в Ь'в сев х
аес Ьес сес у
(2.34)
вводя глобальную нумерацию
Ne	N	NN
А(х, у) = £ Ае(х, у) = X ФеГЛе = £ Ф,Д = ФГЛ.	(2.35)
е=1	е=1	i=l
Для расчета вектора Ф вновь вернемся к матрице соответствия Ае:
Ае = \еА -> Ф7Л
"е	Ь	Ne
= £ ФеГлел = Z (АеГФе)2 = X ФеГлел,
откуда получаем
Фг = £ ФеГЛе = £ (ЛеГФе)г или
е=1	е=1
Ф = £ ЛеГФе.
е = 1
(2.36)
(2.37)
Функция Ф, построенная таким образом, является функцией, опреде-
ленной на отрезках с использованием функций формы для каждого
элемента.
Обозначим через М точку с координатами хи у, что дает Ф( (М) = 5У,
так что
фл (хлУл) =	|.	фл (хвУв) =	0,	Фел (хсус) = О,
фв (хАуА) =	0,	Фев (хву в) =	1,	Ф| (хс v с) = О,
фс (хлУл) =	0,	фс (ХвУв) =	0,	Фс (%сУс) = 1 •
в) Выражение функционала
Имеем
(2.38)
(2 39)
44
Глава 2
А(х, у) = ФсАг + (Ф^ + Фл) А2 + (Фд + Фс)А3 + ФдА
г\ А / Т	/ 7)fT>\
А(х, у) = ФтА = АТФ
4\2 гбФ<ЭФг
х/ дх дх
fA = /ФтА,
А,
откуда
F(A) = ffl^
5Ф5ФГ\
Н------I dxi
ду ду /
F(A)=l-ATMA — FTA,
дФдФт дФдФт
дх дх ду ду
А ~ (ff/Ф’ dxd/> А,
дФдФт
.дх дх
где
1, ддФдФ1 дФдФт\
М = - ff-------1------I dxdy,
2>s\dx дх ду ду '
F = Ф/dxdy.
Итак, возвращаясь к функциям, определенным на каждом элементе,
имеем
т дФ А таФебФ тбФе
Ф = У Д'гФе, —= У ДгГ--------= У ДеГ—,
дх	дх ду Д ду
5Фе\/ ** дФ‘
У Ь‘т—- У Де г——
ехЛЛ. 5х,
(2.40)
как
Фе Фе = о,
что дает’
5Ф5ФГ
дх дх
Так
Ve' / е,
из тех же соображений, получим
5Ф5ФГ & т/5ФебФеГ\
	= У Д---Де,
8У sy-----------------\ду ду )
откуда
т( „ (дФ‘дФ‘т дФ‘дФеТ
м= у деГ ff-----------+---------
\ дх дх ду ду
Д'
(2-41)
и, разумеется,
F =	= £ (ffne/r^e) Д'.
Переход от одномерных объектов к />в\ мерным
45
Пусть
&
м = £ ьеТмеье,
е - 1
&
F = £ FeAc,
е= 1
(2 42)
где
„ (8Фе8Ф‘т 8Ф‘8ФеТ\
Ме = ffsie {-т-z--Ь —---z— dQe,
\ дх дх ду ду )
Fe = tfne(f<I>eT)d£le.
Ме = jjoe grad Фс • grad ФеГ dxdy,
F‘ =По-/ФеГ dxdy
Члены Me и Fe
В рассматриваемом i
дх	Л ’	дх	в’
<?Ф}	х	8Ф1	,
-Z— = С л,	= Св,
8у	8у
 получаются из величин Фе
примере имеем
дх с’
дФ^ х
Т" = СС’
ду
на этом
(2 43)
элементе
F<e) = ШИ + ^вХ + ccy)dQ, ПИ + ЬвХ + ceBy)dL1,
е=1,2
ПН + Ьесх + сесу)<К1} = [FI, FS, FS]
В результате имеем две матрицы
	^лл ^1лв М\с		М2ЛЛ М2ЛВ Мас
м1 =	Мвл	Мвс	и М2 =	Мва Mgg М^с
	_МсЛ Мсв Мес		_ Мел Мсв Мес _
где
Mmn = (beMbeN + ceMceN) х площадь (е),
F(e) = ПИ + beNx + ceNy)dQ.
Формирование матрицы М по правилу £eAerAfeAe достигается
46
Г iaea 2
матричным умножением
0	0	0						0	0	0
0 1	1 0	0 0		§ Й S у ю оз ю n - X.	М2лв ^и М2СВ	S S S	=	М2А МЛА	М2ВВ МАВ	М2ВС МАС
0	0	1						М2са	Мсв	М2сс
Пусть после формирования и суммирования
	и	ж	
			ж
ж			ж
			
откуда
	1	2	3	4
1	+ 0	МрА + 0	м*, + 0	0 + 0
2	MqA + 0	м;А + М’,	Ml, + MS	0 + М1с
3	Мдс + 0	М1л + М’в	Ml, + М1А	0 + М1с
4	0 + 0	0 + м*.	0 + М^А	0 + МрС
Переход от одномерных объектов к дву мерным
47
аналогично имеем
	0 1 о o’		'о 0 1 o'
F = [F*,F‘,F*]	0 0 10	+ [F2, F2, F2]	0 10 0
	.1000.		.0 0 0 1.
F = [F£, F\, F в, 0] + [0, Fj, Fl F£|,
f = {f1c,f1a + f2b,f1b + f2a,f2c}.
(2.44)
Если внимательно рассмотреть результат объединения, можно от-
метить, что в окончательной матрице коэффициент М1} содержит
несколько членов. Вначале М1} соответствует связям между узлами i и j
глобальной нумерации. Если j = i, то коэффициент М„ будет содержать
столько же членов, сколько имеется элементов, принадлежащих этому
узлу, и он будет суммой членов Mkk каждого элемента, где к представля-
ет собой номер z в локальной нумерации элемента е. При j # i коэффи-
циент М,} будет содержать столько членов, сколько имеется элементов с
общими вершинами i и j, и каждый из членов будет коэффициентом Мк1,
где к и I являются локальными номерами, соответствующими i и j в
глобальной нумерации элемента е. Это замечание дает практический
алгоритм формирования матрицы М.
(2-45)
(2-46)
г)	Минимизация функционала
Мы уже выразили функционал F(A) через вектор А и матрицу М
F(A)=X-AtMA-FTA.
Этот функционал, имеющий квадратичный характер, будет иметь
минимум, если величины Ак, А2, ..., Л„ ..., ANN вектора А будут
удовлетворять условиям
SF	5F	3F
	= 0,..., — = 0, ...,-= 0.
ЗЯ]-------------------ЗЛ,	дАцн
Итак, если разложить F(A), получим
j	NN	NN	NN
F(A) = -Z	X М^А^- X FkAk.
Л=1;=1	к=1
Дифференцируя по Л,, имеем
5F 1 NN 1 NN
--= - У МА + - У Мк,Ак - F,.
ЭЛ, 2 ‘J J 2~, “ к
(2.47)
(2-48)
Индексы к и / в этой формуле являются «немыми» индексами, можно
даже во втором члене заменить к на у и поменять местами полученные
индексы i и j. В результате получим
5F NN
— = X MoAi ~F,, V; = 1, 2, ..., NN.	(2.49)
48
Глава 2
X	X
X
X	х
X
X
X X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X X
X X
X	X
X
а
XXX
X X X X
XXX
X X
X
X
X X
XXX
X X X X
X X X X
XXX
X X
X
б
Рис. 2.8. Типы матриц в методе конечных элементов,
а-разреженная матрица, б-лент очная матрица
Отсюда следует, что минимум функционала будет достигнут для
значений Л1( А2, ..., ANN вектора А, являющихся решением линейной
системы
MA = FT,	(2.50)
решение которой дает узловые значения А}, Аг, ANN позволяющие
рассчитать А во всей области.
д)	Линейная система
Было показано, что операция объединения вводит в матрицу М
ненулевые элементы для индексов i, j, соответствующих вершинам,
связанным общими конечными элементами. Это свойство показывает
существенное влияние нумерации вершин на структуру матрицы. По-
скольку в общем случае отдельная вершина связана с незначительным
числом других вершин (треугольник первого порядка имеет три верши-
ны), в матрице М оказывается много нулевых элементов и она будет
разреженной матрицей. Если применить последовательную нумерацию,
матрица будет иметь ленточную структуру, т. е. ненулевые элементы
будут находиться на главной и ближайших к ней диагоналях (рис 2.8).
Интересно отметить, что ленточная структура более удобна для
размещения в памяти ЭВМ и решения, чем разреженная матрица, в
которой ненулевые элементы разбросаны по всей матрице.
Именно поэтому стремятся отыскать алгоритмы оптимальной
нумерации, имеющие своей целью свести к минимуму ширину ленты
матрицы, т. е. расстояние между первым и последним ненулевыми
элементами в строке.
е)	Введение условий Дирихле
Если предположить, что точка 1 глобальной нумерации является
Переход от одномерных объектов к двумерным
49
точкой, в которой заданы граничные условия Дирихле, то можно
модифицировать матрицу линейной системы тем же способом, что и при
условиях Дирихле в одномерной задаче. Это приводит к А = g (х, у)
и в других уравнениях
М22Л2 + Л/23Л3 + М24Л4 = F2 — M2ig(x3, yt),
М32Л-2 + М33А3 + М34Л4 = F3 — M33g(x3, _у1),
Л/42Л2 + М43А3 + М^А^ = F^.
Этот процесс аналогичен описанному выше и не вызывает допол-
нительных трудностей.
2.4.	Третий пример: трехмерное пространство
В этом примере будет показано, что распространение метода
конечных элементов на трехмерное пространство в теоретическом плане
не ставит дополнительных проблем, если рассматриваются задачи толь-
ко скалярного типа.
В задачах векторного типа, связанных с турбулентными полями
(ротор отличен от нуля), существование векторного потенциала, един-
ственность которого обеспечивается только выбором заданного условия
калибровки (например, div А = 0), затрудняет определение математичес-
ких формулировок.
В следующем примере будет рассмотрена скалярная задача, в кото-
рой функция А(х, у, z) удовлетворяет уравнению Пуассона с условиями
Дирихле и Неймана
АА=^’	(2.51)
гл
— = 01„ , А = 1 In .
~	11L 'У
СП 1	2
Исследуемая область делится на два тетраэдра, на которых опре-
деляется линейная аппроксимация функции А в зависимости от узловых
значений Л,, определенных в вершинах тетраэдра. Если записать, что
внутри тетраэдра выполняется формула
А(х, у, z) = а + Ьх + су + dz,
при применении этой формулы к вершинам Л,, А2, А3, Л4 тетраэдра
получаем следующие выражения:
1	у,	zt	а
Х2	У1	Z2	Ь
1 *3	1’3	Z3	с
_ 1 л4	v4	-4_| [_d _
А
(2 52)
А
А
50
Глава 2
Рис 2 9 Стандартный тетраэдр
(2 53)
что приводит к записи на этом элементе
Ае = [а, Ь, с, d]
— [^1, д2, j43, Л4] х
Х1
У1
1
х2
Уг
z2
х
У
(2 54)
(2 55)
Если ввести понятие стандартного элемента (рис 2 9), у которого
хл = Ул = гл = °, хв =1, Ус = zc = 0,
хс = zc = 0, Ус = 1, хо = Ул = °, zd =
то это приводит к
	1	1 мВД	цСй 1	1	=	1111 0 10 0 0 0 10 _0 0 0 1 _	1	1 X У		1 -1 -1 -1 0	10	0 0	0	10 _0	0	0	1	_		1 X У _ Z
Переход от одномерных объектов к дв\ мерным
51
откуда
Фел = 1 — х — у — z,
Фев = х,
Фес = У,
ФЪ=	z.
Если рассматривать тело, образованное двумя тетраэдрами (рис 2 10),
то можно записать
А(е) = А+ Л2Ф^> + Л3Ф!Г + А4Ф£>,
<'А дФеА дФев дФе дФе	56)
—- = А.—- + Ав—- + Аг------+ Ad----
-л	Л а ' В	1 С	' U
дх дх дх дх дх
Тем же способом, что и в предыдущих случаях, определяют матрицы
соответствия между глобальной и локальной нумерациями
Функции формы определяются соотношениями
Ф1 = 1 — х — х — z, Фз — у,
Фе2 = х,	ФХ = z
Рис 2 10 Тетраэдральные элементы
52
Глава 2
В матричной форме имеем
Ае =	= АеГФе,
дА* дФ'т т 8Фе
	=----Ае = АеТ ,
дх--------дх-дх
8Ае дФ"т	т5Фе
----=_____Ае = АеТ 
ду	ду	ду
оАе дФеТ т дФе
dz dz	dz
Используя связь между локальной и глобальной нумерациями, получаем
Ае = ЛеЛ (е = 1, 2)	(2 57)
2
А = Е А',
е = 1
откуда
2	5
А = £ ФеТАе = ФЛ = ФГЛ
е= 1	i 1
где
2	2
ФТА = £ ФеТАеА = £ (ДеГФ)гА
el	el
Окончательно имеем
2
Ф = £ ЛеГФе,
е= 1
Исходя из этих глобальных величин, можно определить типичную
матрицу значений функционала В рассматриваемом примере эта матри-
ца будет иметь порядок 5x5, поскольку выбранное разбиение содержит
5 узлов и имеет вид
М =
’ ГйФйФт
nLSx дх
дФ дФт
ду ду
дФ дФт
dz dz .
dxdydz.
при этом
F = fff [ФАхАуАг
(2 58)
Переход от одномерных объектов к дв) мерным
53
Рис 2 11 Построение матрицы
Преобразования, аналогичные описанным ранее, позволяют перейти от
элементарных матриц на каждом элементе к глобальной Переход
осуществляется в соответствии со схемой, представ тенной на рис 2 11
Однако необходимо уточнить, что в трехмерном пространстве задачи
нумерации и даже простой дискретизации на конечные элементы при-
обретают весьма специфический характер
Кроме того, в некоторых типах трехмерных задач выбор лучшей
формулировки не является очевидным во всех встречающихся случаях
2.5.	Четвертый пример: времяпеременные задачи
В этом разделе проведем методом конечных элементов анализ
времяпеременных задач, используя в качестве примера уравнение диффу-
зии В самом деле, это уравнение относится к одному из наиболее часто
используемых при изучении диффузии теплоты (в его тепловом аспекте)
и при изучении индуцированных токов (в его электромагнитном
аспекте)
Этим примером проиллюстрируем применение метода конечных
элементов совместно с дискретизацией временной переменной, соответ-
ствующей конечным разностям Пусть уравнение (2 51) относительно
переменной A(x,y,z) имеет вид
г / (5А\ д / ЗА\ ЗА
V’lT !\- v - / “ Jo t ,	(2 59)
<v\ SxJ Sy\ Sy J St
в котором коэффициент v является удельным магнитным сопротив-
лением, которое в каждый момент времени зависит от величины
В = [(сА/Зх)2 HcA/Aj2]1 2, но который мы будем считать постоянным в
данном разделе, тогда как проводимость ст постоянна в каждой области
пространства Функция J0(x,y, t) представляет ток, определенный в
некоторых частях пространства В целях упрощения пренебрежем
условиями Дирихле существующими на границе области
54
Г iaca 2
Разбиение области на конечные элементы позволяет определить в ней
неизвестную функцию А (х, у, t) как линейную комбинацию функций
формы IV,, связанных с узлами разбиения и значениями А,(1) неизвестной
функции в тех же вершинах.
NN
А (*’ 0 = L ф. (х> у)А-0-	(2-6°)
i=i
Тогда уравнение (2.59) можно заменить системой дифференциальных
уравнений в виде
dA
N— + MF = F (/).	(2.61)
dt
Здесь M и F имеют вид матрицы и второго члена двумерных
элементов, рассмотренных ранее, а матрица N определяется следующим
образом:
Ntj = ^стФ,Ф;Л2.	(2.62)
Составить такую систему уравнений на основе уравнения (2.59) очень
легко проекционным методом Галеркина.
Решение этой системы получено дискретизацией временной перемен-
ной на интервалы шириной А/, достаточно малой, чтобы соблюдать
заданную точность. Если обозначить через А" + 1 значение вектора А в
момент (и + 1)А/, а через А"-значение того же вектора в момент иА/,
производная dA/dt будет аппроксимироваться на момент иА/ функцией
^1 = ±(Л" + 1-Лл).
dt
Если считать задачу линейной, как принято в настоящем разделе, и
выбрать неявный метод (гл. 4), можно записать систему (2.61) в виде
N
— (Л"+1 - А") + MAn+1 = F",	(2.63)
т. е.
( N\	N
М + — Л"+1 =Fn + — А".	(2.64)
\	А//	А1
Это последнее соотношение показывает, что на каждом временном
шаге приходится решать систему из NN уравнений.
Замечания
1) Если задача линейная с постоянными коэффициентами, очевидно,
что решение таких систем упрощается, поскольку матрицы М и N
остаются постоянными, а трудоемкие матричные преобразования в ходе
решения будут выполняться только один раз.
2) Если задача нелинейная, отыскание решения требует большого
объема вычислений, так как на каждом временном шаге необходимо
решать нелинейную систему одним из соответствующих методов (на-
пример, методом Ньютона - Рафсона, описанном в гл. 4).
3.	Конечные элементы и аппроксимирующие функции
3.1.	Введение
В этой главе будут представлены различные типы встречающихся на
практике конечных элементов вместе с соответствующими аппроксими-
рующими функциями.
Здесь не ставится цель дать исчерпывающее описание всех типов
конечных элементов, используемых во всех возможных применениях;
тем более что это уже проделано в блестящей работе [6], к которой
можно адресовать всех интересующихся этой проблемой; здесь будут
описаны только те элементы, которые наиболее часто используются в
САПР для описания объектов и их автоматического или автоматизиро-
ванного с помощью ЭВМ разбиения. Действительно, между реализацией
программы расчета методом конечных элементов, специально пред-
назначенной для анализа какого-либо устройства, и замыслом програм-
много обеспечения для проектирования семейства технических изделий
имеется ряд объективных противоречий, часто приводящих к противо-
положным выборам. В специальных случаях, когда нужна максимальная
точность или минимальное время счета, часто представляет интерес
использование усложненных элементов различного рода и типа в со-
ответствии с уравнениями и условиями, встречающимися в различных
участках области. Напротив, в программах общего назначения, которые
должны подходить для различных геометрических и физических си-
туаций и быть максимально удобными для пользователя, предпочти-
тельнее использовать небольшое число типов различных элементов, что,
с одной стороны, упрощает процесс программирования, а с другой-по-
зволяет использовать программы, более доступные для пользователя, не
являющегося специалистом в методе конечных элементов.
Использование метода конечных элементов в качестве инструмен-
та моделирования в программном обеспечении САПР технических
устройств, которые могут иметь порой очень сложную форму, требует
хорошей адаптации генерации сети к областям, контуры которых могут
быть как прямолинейными, так и криволинейными. Использование
криволинейных элементов представляется особенно необходимым, ког-
да искривленные поверхности сочетаются с нелинейными физическими
свойствами. Будет показано, что все прямолинейные и криволинейные
элементы можно свести к некоторому стандартному элементу, который
является правильным многоугольником, полученным при помощи
взаимно-однозначных преобразований. Будут рассмотрены основные
стандартные элементы для одного, двух и трех измерений и порядок
составления из них элементов прямолинейного и криволинейного типа.
Будут рассмотрены также два больших семейства: элементы типа
56
Глава 3
Лагранжа, которые обеспечивают непрерывность функции при переходе
от одного элемента к друг ому (но не непрерывность их производных) и
элементы эрмитова типа, обеспечивающие непрерывность неизвестной
функции и ее производных, включенных в аппроксимацию
Мы также коснемся элементов серендипа [26], так как на практике
некоторые из них оказываются очень полезными
3.2.	Одномерные элементы
3.2.1.	Линейный элемент
Этот тип элемента был рассмотрен в предыдущей главе, и стандартный
элемент был определен его узлами и = + 1 (рис 3 1) с функциями формы
в виде
1 1
ф1 (“) = 2(1 -	Ф2(^ = 20 + «),
и любая неизвестная функция А может быть записана в виде
А(м) = Л1Ф1(м) + Л2Ф2(м)	(3 1)
3.2.2.	Квадратичные лагранжевы элементы
В этом элементе неизвестная функция определяется ее значениями,
принимаемыми в трех эквидистантных узлах
А (и) = A j®] (и) + Л2Ф2 (и) + Л3Ф3 (и),	(3 2)
где функции Ф], Ф2, Ф3, имеющие вид
1 ,1
Ф( = ^и(и — 1), Ф2 = (1 - а2), Ф3 = -и(1 + и)
представлены на рис 3 2
1	2
а -Ч-------------1----------
Рис 3 1 Линейный элемент
а определение б функции формы
Конечные цементы и аппроксимирующие функции
57
1	2	3
—I----------1--------1—►
-1	О	1 и
а
Рис 3 2 Квадратичный элемент
и определение о функции формы
Рис 3 3 Кубический эрмитов элемент
а определение б функции формы
3.2.3. Кубический эрмитов элемент
Этот элемент содержит два узла и1 и и2, в которых узловыми
переменными являются значения неизвестной функции и ее производ-
ных Он содержит 4 узловые переменные A'i, А2, А'г
А(и) =	+ Л'1Ф2(и) + Л2Ф3(и) + Л'2Ф4(и),	(3 3)
—— = A tФ1 (и) + А]Ф2(и) 4- Л2Ф'з (и) + Л2Ф4 (и)	(3 4)
аи
Представление этого элемента и его функций формы приводится на
рис 3 3 Функции формы Ф задаются в виде
Ф1(ф = ^(1 — w)2(2 + w), Ф2(М) = 1(1 -ц2)(1 -и),
Ф3(ф =^(1 + и)2 (2 -и), Ф4(и) = ^(- 1 + w2) (1 + и)
58
Гiaea 3
3.3.	Двумерные элементы
В этом разделе рассматриваются элементы, наиболее часто исполь-
зуемые в современных программах. Можно выделить два больших
класса наиболее популярных элементов-это треугольные элементы
(стандартным элементом которого является равнобедренный прямо-
угольный треугольник) и четырехугольные элементы, соответствующие
деформации исходного квадрата, построенного на сегменте [—1, + 1].
3.3.1.	Треугольные элементы
Этот тип элемента является объектом наибольшего числа теорети-
ческих исследований, так как к нему хорошо применим математический
анализ Не касаясь здесь этой темы, отсылаем интересующегося чита-
теля к специальным работам [1, 2, 3]. Остановимся лишь на элементах
первого и второго порядка, которые представляются наиболее при-
годными для моделирования физических задач (механики, электротех-
ники, теплотехники). Треугольные конечные элементы представляют
дополнительный интерес с точки зрения программного обеспечения
САПР, так как для них имеются простые автоматические алгоритмы для
генерации сети области.
3.3.1.1.	Треугольники первого порядка
Этот элемент был детально рассмотрен в предыдущей главе. Здесь
мы напомним лишь определение функций формы, связанных со стан-
дартным элементом:
А (и) =	(м, v) + Л2Ф2(и, v) + Л3Ф3 (и, v),	(3.5)
где Ф1; Ф2, Ф3-линейные функции, определяемые соответственно фор-
мулами Ф, = 1 — и — v, Ф2 = и, Ф3 = v. На рис. 3.4 представлен стандарт-
ный элемент и его функции формы.
Замечания
1)	Отметим, что в таком определении и, v представляют собой
естественные координаты треугольника.
2)	Можно показать, что ошибка на этом элементе растет за счет
члена, пропорционального наибольшему размеру элемента /, лежащего
напротив наибольшего внутреннего угла 0 треугольного элемента.
Последнее замечание дает эвристическое правило разбиения на конечные
элементы, которое состоит в том, чтобы не строить треугольников со
слишком тупыми углами, так как это увеличивает ошибку
З.З.1.2.	Квадратичные элементы лагранжева семейства
Этот элемент обладает свойствами треугольного элемента, выгодны-
ми с точки зрения автоматической дискретизации, кроме того, он
способен обеспечить дополнительную точность, позволяющую для не
очень сложных геометрических задач реализовать разбиение, не требую-
щее такой степени дискретизации, как для элементов первого порядка.
Конечные >ie менты и аппроксимирующие функции
Рис. 3 4 Треугольный элемент первого порядка
а-определение, б функции формы
Представление такого элемента в базовой системе дано на рис. 3.5
вместе со следующими функциями формы:
ФДн, v) = (и + v - 1) (2г/ +	2v - 1),	Ф4(н,	v)	= 4н(1	— и - v),
Ф2 (и, v) = и(2и — 1),	Ф5 (и,	v)	= 4uv,
Ф3 (и, v) = v (2v — 1),	Ф6 (w,	v)	= 4v (1	— и — v).
З.З.1.З.	Треугольные эрмитовы элементы
Эти элементы, как и в одномерном случае, позволяют обеспечить
непрерывность не только функции, но и ее тангенциальных и нормаль-
ных производных при переходе от одного элемента к другому.
В каждом узле элемента неизвестные значения-это не только значе-
ния неизвестной функции, но и значения ее первой и второй про-
изводных.
Узел г.
8А	8А,	82А,	82А,	д2А,	, „ „
А„ —!, —5	1=1,2, 3.	(3.6)
8и	8v	ди2 '	8v2	8u8v
Это представление приводит к 18 степеням свободы, которым
б
Конечные э /ементы и аппроксимирующие функции
61
Рис 3 6 Эрмитов элемент
должны соответствовать функции формы. На рис 3 6 представлен этот
элемент. Его функции формы взяты из работы [1]
Положим w = 1 — и — v,
Фх = и'(10и' — 15 и'2 + 6>v3 + 30tw(n + v)),
Ф2 = пи’2 (3 — 2w — Зи2 + 6wu),
Ф3 = tw2(3 — 2w — Зг2 + 6uv),
Ф4 = -u2w2(w + Зг),
Ф5 = гл-и-2,
М
м2
Ф6 = -v2w2(w + Зи),
Ф7 = u2(10u — 15п2 + би3 + 15r2vv),
Ф8 = — (— 8u + 14u2 — 6u3 — 15t>2w),
u2v
Ф9 =	— 4u — 3t> — 3t>2 + 3ut>),
u2	,	,
Ф10 = —(2m(1 — u)2 + 5t>2w),
u2t>	,
=	2 + 2u + v + v — uv),
2 7	3 2
U V W U V
4 +^Г’
= c2(l(h — 15r2 + 6i? + 15u2w),
uv2
Ф14 =	(6 — 3u — 4t> — 3u2 + 3uv),
v2
Ф15 = —(— 8t> + 14t>2 - 6r3 - 15m2w),
2 2	7 3
U V W U V
=---------1----,
4	2
uv2
Ф17 = —(— 2 + и + 2t> + и2 — uv),
г2	.
Ф18 = —(2v (1 — v)2 + 5u2w)
4
Ф
Ф
ф13
М3
Ф16
62
Гшва 3
3.3.2.	Четырехугольные элементы
Этот тип элементов широко используется в изопараметрической
криволинейной форме, так как для него легко подбираются аппроксими-
рующие функции, обладающие особыми свойствами в определенных
направлениях Такое представление может быть, в частности, полезным
в случае изучения физических явлений, анизотропных с точки зрения
материалов.
Здесь не рассматриваются четырехугольные элементы Лагранжа, так
как они легко конструируются и с численной точки зрения представляют
очень ограниченный интерес в силу слабой пригодности полиномов
высокой степени представлять заданные кривые [2]. Поэтому остано-
вимся на серендиповых элементах, упомянутых в работе [26], автор
которой основывался на значениях неизвестной функции на границах
элемента Будут также представлены эрмитовы элементы, обеспечиваю-
щие непрерывность первых производных, так как при рассмотрении
задач механики это свойство часто бывает необходимым.
З.З.2.1.	Билинейный элемент
Этот наиболее простой элемент семейства представляет чисто педа-
гогический интерес, поскольку он хорошо иллюстрирует конструирова-
ние функций формы. Он представлен на рис. 3 7.
3.3.2.2.	Изопараметрический квадратичный элемент
Этот элемент широко используется в случаях, когда требуется лишь
непрерывность функции (электричество, магнетизм, теплотехника) Дей-
ствительно, такой элемент второго порядка хорошо подходит для
представления материальных объектов, имеющих частично криволиней-
ные границы Ограничения производства (механическая обработка,
литье) приводят к тому, что инженеры по возможности ограничивают
сложность геометрического описания объектов либо прямыми, либо
	
	
Рис 3 7 Линейный элемент (определение)
Функции формы
1
Ф, =-(1 - и)(1 -Г),
4
1
Ф3 =-(1 +и)(1 +1>),
4
1
Ф2 =-(!+«)(7 -г),
4
1
Ф4 = -(1 -«)(1 +1>)
4
Конечные эче менты и аппроксимирующие функции
63
v
	7 6
-1	0	1
Рис 3 8 Изопараметрический квадратичный элемент второго порядка (опреде-
ление)
Функции формы
1
Ф, (и V) = -(1 — «)(1 + и)(1 + и + v),
4
1
Ф2(« г) - -(1 + ц)(1 - V)(1 + и - v),
4
1
Ф3(« 1>) = -(1 + «)(1 + и)(-1 + и + V),
4
1
Ф4(« V) = -(1 — «)(1 — и)(1 + и — V),
4
1 1
Ф5(« и) = ~(1 - Ц2)(1 - и) ф6(и V) = -(1 + «)(] - V2),
2	2
1	1
Ф7(« и) = -(1 — и2)(1 + V), Ф8(ц V) = -(1 - ц)(1 - V2)
2	2
кривыми второго порядка. Параметрическое описание полиномами
второго порядка позволяет хорошо аппроксимировать эти границы; в
сочетании с аппроксимацией неизвестной функции полиномами того же
порядка оно ограничивает необходимость очень мелкого разбиения.
В результате требуемая точность достигается меньшим количеством
данных и менее сложными операциями. Этот элемент в сочетании с
изопараметрическим треугольником был успешно использован в про-
грамме FLUX 2D На рис. 3.8 представлен изопараметрический квадра-
тичный элемент с функциями формы.
3.3.2.3.	Прямоугольный эрмитов элемент
Этот элемент должен быть прямоугольным и параллельным осям х,
у, так как необходимо включать в рассмотрение узловую переменную
——, которая при общем преобразовании использует три производных
dudv
64
Глава 3
v
	+1
	+1
u
Рис 3 9 Прямоугольный эрмитов элемент (представление)
Функции формы
Ф2(и)Ф, («),
Ф,(«)Ф2(0
Ф2(И)Ф2(0
f Ф3(«)Ф,(»)
J Ф4(ц)Ф| (0,
2 ) Ф3(«)Фг(»)
1 Ф4(«)Ф2(0
Ф, (и)Ф3(0
Ф2 (и) Ф3 (V)
ф,(и)ф4(0
Ф2 (и) Ф4(1?)
второго порядка В каждом узле этого элемента определяют четыре
узловые величины А„ dAJdu, dAJdv, d2AJdudv, которые приводят к 16
степеням свободы и соответственно к 16 функциям формы, исходящим
из четырех базовых функций
1 1
W = _(1 — ч>2)(2 + w), Ф2(н>) = -(1 + w2)(2 — w),
4	4
Ф2(н>) = - (I + н2)(2 — н>), Ф4(н>) = -(— 1 + н>2)(1 + н>)
4	4
На рис 3.9 представлен элемент и его функции формы.
3.3.2.4.	Кубический эрмитов элемент
Этот элемент может использоваться совместно с предыдущим эле-
ментом в геометрическом моделировании, когда объект невозможно
описать только элементами предыдущего типа На сторонах этого
элемента величины А и dA/dt непрерывны, а величина 8А/дп этим
свойством не обладает. Однако в любом узле величины дА/Sx и дА/ду
идентичны для всех элементов, связанных с этими узлами На рис. 3 10
представлен этот элемент совместно с функциями формы
3.4.	Трехмерные элементы
Решение трехмерных задач предполагает преодоление существенных
трудностей при работе с данными. Во второй части книги будет
показано, что построение трехмерной сети является тяжелой работой,
Конечные з и менты и аппроксимирующие функции
65
	
	1
Рис 3 10 Кубический эрмитов элемент (определение)
Функции формы
1
Ф, = -(1 - и)(1 - t>)(2 -и-1-и-
8
1
Ф2 = -(1 - и)(1 -г)(1 - и2),
8
1
Ф3 =-(!-«)(!-0(1-г2),
8
1
Ф4 = -(1 + и)(1 - 0(2 + и - v - и2
8
1
Ф5 = -(1 + «)(! - 0(1 ~«2),
8
1
Ф6 = -(1 + «)(! -0(1 -Л
8
1
Ф7 = -(1 + 0(1 + 0(2 + и + v - и2 - г2),
8
1
ф8 = -(1 + 0(1 + 0(1 - и2),
8
1
Ф9 = -(1 + 0(1 + 0(1 - О'),
8
1
Ф10 = -(1 - 0(1 + 0(2 — u + v — u2— и2),
8
1
Ф,, =-(1 -0(1 +0(1 - и2),
8
1
Ф|2 =-(1 -0(1 +0(1 - О)
8
которая в сложных структурах не может выполняться полностью авто-
матически при сохранении регулярности формы всех элементов.
К наиболее часто используемым элементам относятся тетраэдры,
поскольку они позволяют упростить задачи автоматической генерации
сети элементов, элементы типа гексаэдра с криволинейными гранями,
которые хорошо подходят для моделирования объектов, имеющих
криволинейные поверхности, и, наконец, призматические элементы,
предназначенные для заполнения объема в сочетании с гексаэдрами.
3.4.1.	Тетраэдры
Тетраэдр может определяться либо в обычных координатах и, v, w,
либо в барицентрических координатах, связанных с последними. Следует
следить лишь за тем, чтобы соблюдалось соответствие между нумераци-
ей узлов стандартного и реального элементов. Это соответствие за-
ключается в том, что при обходе трех первых узлов в тригонометри-
ческом смысле вектор нормали к плоскости, образуемой ими, должен
быть направлен внутрь элемента
66
Глава 3
Рис 3 11 Линейный тетраэдр
(определение)
Функции формы
Ф, = 1 — и — v — и, Ф2 = и,
Ф3 = v, Ф4 = и
3.4.1.1.	Тетраэдры первого порядка
Неизвестная функция внутри тетраэдра меняется линейно (рис. 3.11)
в зависимости от функций формы.
З.4.1.2.	Тетраэдры второго порядка
Этот элемент квадратичного типа содержит 10 узлов, 4 вершины и
6 узлов в серединах сторон. Он очень полезен в полевых задачах, где
надо получить хорошую аппроксимацию градиента неизвестной функ-
ции. Этот элемент представлен на рис. 3 12.
3.4.2.	Гексаэдральные элементы
Рассмотрим лишь неполный квадратичный элемент, поскольку он
наиболее часто используется в изопараметрической форме для пред-
ставления объектов с криволинейными гранями. Этот элемент хорошо
подходит для генерации сети путем топологической деформации исход-
ной решетки посредством операции геометрической деформации
На рис. 3.13 представлен кубический элемент с 20 узлами, имеющий
различные функции формы Функции формы Ф определяются раз-
личными формулами в зависимости от расположения узлов, которые
могут находиться в вершинах или на сторонах, параллельных осям [6].
Функции и коэффициенты ик, vk, wk имеют следующий вид
• Узлы при вершинах
№	1	3	5	7	13	15	17	19
uk	-1	1	1	-1	-1	1	1	-1
vk	-1	-1	1	1	-1	-1	1	1
wk	-1	-1	-1	-1	1	1	1	1
Ф,к = gU + uuk)( 1 + vvk)(- 2 + uuk + vvk + wwk),
Конечные цементы и аппроксимирующие функции
67
• Узлы на сторонах, параллельных оси и(ик = 0),
№	2	6	14	18
А	- 1	1	- 1	1
wk	- 1	-1	1	1
Фк = |(1 - и2)(I + vvk)(I + wwk).
•	Узлы на сторонах, параллельных оси v (vk = 0),
№	4	8	16	20
Uk	-1	-1	1	-1
wk	-1	-1	1	1
Фк = |(1 + uuk)(I - v2)(I + wwk).
•	Узлы на сторонах, параллельных оси w(wt = 0),
№	9	10	11	12
Uk	-1	1	1	-1
vk	- 1	-1	1	1
фк =	+ uuk)(I + vvk)( 1 - w2).
Рис 3 12 Квадратичный тетраэд-
ральный элемент (определение)
Функции формы
Ф, = (1 — и — v — и) (1 — 2и — 2с — 2и’),
Ф2 = 4и (1 — и — v — w),
Ф3 = — и (1 — 2»),
Ф4 = 4ис, Ф5 = — с (1 — 2с),
Ф6 = 4с (1 — и — с — w), Ф, = 4и (1 —
— и — с — и),
Ф8 = 4ии, Ф9 = 4си, Ф10 = — и (1 — 2и)
68
Г пава 3
Рис 3.13. Кубический элемент с 20
узлами
3.4.3.	Призматические элементы
Как уже указывалось, эти элементы хорошо дополняют элементы
предыдущего типа при заполнении тел простой формы. Они обычно
используются в своей квадратичной форме. Призматический элемент
представлен на рис. 3.14 вместе с функциями формы.
3.4.4.	Эрмитовы элементы
Эти элементы, подобно одномерному и двумерному случаям, могли
бы определяться для трехмерных задач. Однако непомерно большое
число степеней свободы, соответствующее им, ограничивает широкое
применение этих элементов в трехмерных задачах. Поэтому они в
настоящей книге не представлены и используются в очень ограниченном
числе специальных задач.
3.5. Заключение
Выбор типа используемого элемента при реализации программ
зависит прежде всего от области применения этой программы. Так, если
эрмитовы элементы широко используются в механике, где требуется
непрерывность производных, то лагранжевы элементы лучше применять
в электромагнетизме и термодинамике для учета изменения констант
при переходе из одной среды в другую.
Конечные цементы и аппроксимирующие функции
Рис 3 14 Типичный призматический элемент (определение).
Функции формы:
1
Ф3 = “(1 — и — 0(1 — 2и — 20(1 — и),
2
Ф2 = — 2им (1 — и — 0( 1 — и),
1
Ф3 = _ми(1 — 20(1 - ч I
2
Ф4 — — 2га к (1 — и),
Ф5 = ри(1 — 20(1 — w),
Ф6 = — 2tw(l — и — 0(1 — w),
Ф7 = (1 — и — 0(1 — И2),
ф8 = м(1 - и-2),
Ф9 = V (1 — и2),
1
Ф10 = _w(l — и — 0(1 — 2и — 20 (1 + »0,
2
Фп = 2им (I — и - ( И I + и )
1
Ф12 = —и» (1 — 2м) (1 + н)
2
Ф13 = 2utn (1 + и)
1
Ф)4 =-----IW(1 — 20(1 + W),
2
Ф15 = 2tw(l — и — 0(1 + W)
В пределах одного семейства выбор элементов зависит от требуемой
точности, естественно, с учетом требований, налагаемых самой задачей
и сложностью алгоритмизации. Действительно, генерация сети из тре-
угольных элементов легко поддается автоматизации, тогда как прямо-
угольные элементы следует вводить в сеть в интерактивном полу-
автоматическом режиме. Существование или возможность реализации
или применения генераторов сети часто бывает определяющим факто-
ром в выборе геометрии элемента.
4. Численные методы
В этой главе приведены основные численные методы, необходимые
для использования метода конечных элементов с помощью обычных
технических средств САПР (визуализация, графики, схемы и т. д.). Более
основательно эти методы приведены в работе [7]. Здесь же для каждого
из них представлены лишь принципы работы и алгоритмы. Прямые и
непрямые методы, которые мы сейчас рассмотрим, позволяют решать
системы линейных уравнений. Более того, в модифицированном виде их
можно использовать для решения нелинейных систем методом Ньюто-
на - Рафсона; в заключение рассмотрим два численных метода вычисле-
ния определенных интегралов. Метод Гаусса представляет интерес,
когда можно, как в случае метода конечных элементов, свести все
интегрирование к расчету интеграла на ограниченном числе стандарт-
ных областей, в которых координаты и весовые коэффициенты точек
интегрирования определяются один раз. Метод Ньютона - Котеса, где
выбираются координаты точек интегрирования, размещенных равно-
мерно, позволяет быстро рассчитать интегральную величину на сегменте
или заданной кривой.
В заключение в этой главе будут рассмотрены дискретные методы
решения систем дифференциальных уравнений, среди которых метод
разделенных шагов (для текущих задач), метод связанных шагов, а
также метод прогноза-коррекций.
4.1.	Методы решения систем линейных уравнений
Задача состоит в решении системы
Ах = Ь,	(4.1)
в которой А - регулярная матрица, частным видом которой является
ленточная матрица (все элементы Л равны нулю, если индексы i и j
помещают этот член в матрице за пределами некоторой полосы, осью
которой является главная диагональ).
Такая особенность приводит на практике к работе в два этапа:
построению системы линейных алгебраических уравнений и решению
этой системы. Построение будет эффективным, если учесть, что боль-
шинство элементов матрицы равно нулю и что нет необходимости их
размещать в памяти ЭВМ и тем более использовать при расчетах.
Предварительно рассмотрим принцип размещения матриц в памяти
ЭВМ, а затем и сами методы решения.
Численные методы
71
Рис. 4.1. Покрытие прямоугольника
сетью треугольных элементов первого
порядка (3 узла).
Если N > М, нумерация узлов оптимальна
для размещения в памяти ленточной мат-
рицы
N+1 ... (М—1)N+1
Рис. 4.2. Покрытие прямоугольника
сетью треугольных элементов первого
порядка
Если N > М нумерация узлов не оптималь-
на для размещения в памяти ленточной мат-
рицы
4.1.1.	Методы размещения матрицы в памяти ЭВМ
Чтобы представить себе проблему емкости памяти ЭВМ, связанную
с размещением матрицы, рассмотрим сеть конечных элементов в виде
треугольников, которая покрывает некоторую прямоугольную область,
содержащую М х N узлов (рис. 4.1, 4.2). Например, выберем М = 20 и
N = 2М = 40, что дает М х N = 800 узлов.
При обычном способе размещения всех коэффициентов матрицы
необходима память для (М х N)2 = 160000 коэффициентов. Это гро-
мадное число для небольшой двумерной задачи с одной степенью
свободы в узле!
4.1.1.1.	Размещение ленточных матриц
Первый способ, позволяющий уменьшить этот объем, состоит в
размещении матрицы в виде прямоугольной таблицы. На рис. 4.3
представлена топология матрицы при М = 5 и N = 7. Большинство
коэффициентов равно нулю. Лишь коэффициенты, связывающие два
узла, принадлежащие одному и тому же элементу, ненулевые. На рис. 4.4
представлено эффективное размещение коэффициентов в прямоугольной
таблице размером М х N строк на 2М + 3 столбцов. При М = 20 и
N = 40 это составляет 34400 коэффициентов при использовании опти-
мальной нумерации, представленной на рис. 4.1. При нумерации узлов,
представленной на рис. 4.2, аналогичная операция приводит к таблице с
М х N строк и 2N + 3 столбцов, что дает 66 400 коэффициентов, т. е.
почти в два раза больше по сравнению с предыдущим случаем.
Этот пример показывает влияние нумерации узлов на объем мат-
рицы. Хорошая нумерация минимизирует ширину ленты матрицы.
Однако в случае произвольной сети выбор эффективной нумерации не
является очевидным. Существует много способов и анализ всех комби-
наций будет слишком дорогим. Поэтому останавливаются на некоторой
72
Глава 4
приемлемой нумерации, хотя и неоптимальной. Наиболее простой
алгоритм состоит в следующем: выбирается первый узел, затем ну-
меруются по порядку соседние узлы, затем соседние соседних и т. д.
Существуют много алгоритмов такого типа [38].
4.1.1.2.	Размещение симметричной ленточной матрицы
Часто оказывается, что матрица линейной системы симметрична, это
в частности случай матриц, получаемых при вариационном методе. При
этом можно рассчитывать и сохранять только часть ленточной матри-
цы, например поддиагональную часть матрицы плюс диагональ. Тогда
прямоугольная таблица размещения симметричной ленточной матрицы,
представленной на рис. 4.1, содержит М х N строк и М + 2 столбцов.
При М = 20 и N = 40 получаем 17 600 коэффициентов.
4.1.1.3.	Компактное размещение символической матрицы
При размещении ленточной матрицы число нулевых коэффициентов
остается еще значительным. Более экономичный способ размещения
состоит в запоминании только ненулевых коэффициентов. Для этого
необходимо сохранить топологию матрицы в компактной форме.
Рис 4.3 Топология ленточной матрицы для сети, представленной на рис 4.1.
(М = 5, N = 7).
х - ненулевые коэффициенты, --нулевые коэффициенты; 0-все коэффициенты нуле-
вые, 9 - несуществующие коэффициенты.
Чис сенные истоды
73
2М+3
N.
Рис 4 4. Размещение в памяти ленточ-
ной матрицы, приведенной на рис. 4 3,
в виде прямоугольной таблицы
В системах, получаемых для задач, описываемых уравнениями в
частных производных, топология матриц всегда симметрична, даже в
случае несимметричных коэффициентов матрицы. В этом случае доста-
точно запомнить топологию, например нижнюю треугольную часть
матрицы.
На рис. 4.5 показан способ размещения топологии нижней треуголь-
ной части матрицы, представленной на рис. 4.3. Для каждой строки
формируют некоторый список номеров столбцов ненулевых коэффици-
ентов. Списки помещаются один за другим для формирования единой
таблицы номеров столбцов. Указатели строк группируются в другой
таблице, позволяющей находить начало и конец каждого списка номе-
ров столбцов.
Значения коэффициентов нижней треугольной части матрицы раз-
мещаются в таблице того же объема, что и таблица индексов столбцов.
Если матрица несимметричная, в другой аналогичной таблице раз-
мещается транспонированная верхняя треугольная часть (рис. 4.5).
Для примера, соответствующего рис. 4.1, размещение в памяти
занимает 5MN мест указателей и индексов плюс 4MN (симметричная)
или 8MN (несимметричная) мест для коэффициентов (4000 + 3200 или
6400, если М = 20 и N = 40) при любой нумерации узлов.
74
Глава 4
Уя Строки	азатели Индексы столб-		Поддиагональная часть	Наддиагональная часть
	'трок	цао		
1	1	1		
2	2		X X	х х_^
3	4	^23	(»• X X	(-► XX —
		Э		
4	6	^3 4^	X	(»- X х_^
5	8	^45-,	X х_	(»- X х_
				7
6	10	1 6_^	р q —j	(- г q
7	12	(— 1 2 6 7	(— X X X X	(► X X X X	
8	16	С- 2 3 7 8	(-«. ХХХХ	X X X X	
9	20	(► 3 4 8 9	(► X X X X	(►ХХХХ	
10	24	4 5 9 10	(► X X X X	(► X X X X	
		(	...	
				... _
MN	—		ХХХХ	***- ХХХХ
MN + 1				
	а	б	в	г
Рис. 4.5. Компактное размещение в памяти матрицы, приведенной на рис. 4.3.
«-таблица указателей начала строки в таблицах б, в и г; б-топология поддиагональной
части матриц, включая диагональ; в-размещение коэффициентов поддиагональной части
матрицы, включая диагональ: г - возможное размещение (несимметричная матрица) над-
диагональной части матрицы, включая диагональ (дублирование).
4.1.1.4.	Использование внешней памяти
При любом выбранном методе, начиная с некоторой степени
сложности задачи, оперативная память ЭВМ становится недостаточной.
Тогда для размещения используют внешнюю память большой емкости с
прямым доступом (магнитный диск). Для этого матрица разделяется на
блоки, каждый блок считывается или записывается по мере необходи-
мости при построении и решении.
4.1.2.	Методы решения систем линейных уравнений
Основными методами решения систем линейных уравнений вида
АХ = б, получаемых при использовании методов конечных разностей
или конечных элементов, являются следующие:
-прямые методы:
•	факторизация Гаусса: применяется ко всем действительным или
комплексным, симметричным или несимметричным несингулярным
матрицам;
Численные методы
75
•	факторизация Холецкого: применяется ко всем действительным
симметричным положительно определенным матрицам;
- итерационные методы:
•	сопряженные биградиенты с предобусловленностью: применяются
ко всем несингулярным матрицам (действительным или комплексным);
•	сопряженные градиенты с предобусловленностью: применяются ко'
всем действительным симметричным положительно определенным
матрицам.
4.1.2.1.	Прямые методы
Основной алгоритм метода Гаусса состоит в следующем:
-	найти треугольную нижнюю матрицу L и треугольную верхнюю
матрицу U с единицами на диагонали, такие что А = L U (факториза-
ция А);
-	найти вектор такой Y, что L- Y = В (решение обычно осуществляе-
мое параллельно с факторизацией);
-	найти вектор такой X, что U • X = У (X является решением
А • X = В).
Основной алгоритм метода Холецкого аналогичен:
-	факторизация А в виде А = L- В;
-	найти У как решение В • У = В;
-найти X как решение В‘Х = У
Подробное описание этих методов приведено в работе [12]. В случае
положительно определенной симметричной матрицы методу Холецкого
отдается предпочтение, так как выполняется меньше расчетов и не-
обходим меньший объем памяти ЭВМ (рассчитывается и размещается в
памяти только одна матрица).
Матрицы L и U обладают следующими топологическими свойст-
вами:
-	L и U1 имеют одинаковую топологию (ненулевые коэффициенты
располагаются на одних и тех же местах);
-если Л-ленточная матрица, то Г и [/-также треугольные лен-
точные матрицы той же ширины, что и А.
Для В и U коэффициент заполнения имеет более существенное
значение, чем коэффициент заполнения матрицы А. Факторизация
вводит в матрицы В и U1 дополнительные ненулевые члены (без
изменения ширины ленты). Это обстоятельство в какой-то степени
является следствием выбранного способа размещения.
В случае когда А размещается в виде прямоугольной таблицы, В
может размещаться тем же способом и при таком же объеме. Обычно В
занимает то же место, что и А. Замещение оуществляется по мере
факторизации.
В случае когда А размещается в компактной форме, необходимо в
соответствии с топологией А строить топологию В и [/'. Этот этап,
предшествующий собственно факторизации, называется символической
факторизацией. Если в процессе факторизации хотят замещать элементы
76
Г шва 4
в А, элементами L (и в случае необходимости 17), необходимо размещать
А в соответствии с топологией L и U (избыточной для А). При
факторизации, приводящей к появлению значительного числа ненулевых
коэффициентов, компактное размещение теряет свою эффективность
Однако оно остается полезным, особенно в случае матриц, имеющих
профиль ленты со значительно нарушенным порядком. Нумерация,
конечно, имеет громадное значение при заполнении вследствие фактори-
зации. В отличие от размещения ленточной матрицы, нет необходи-
мости искать минимальную ширину ленты, однако надо искать мини-
мальное объединение (алгоритм чешуйчатого рассечения).
4.1.2.2.	Итерационные методы
Остановимся лишь на методе сопряженных градиентов
Когда А - положительная симметричная матрица, можно показать,
что вектор X, минимизирующий функцию
1
F (X) = -Х'АХ - Х‘В,	(4.2)
2
является решением АХ = В. Основной идеей целого класса итерацион-
ных методов является построение ряда векторов
X(, + i) = Х(‘) + р(‘ф(‘),	(4.3)
что дает решение последовательным уменьшением величины F
На каждом шаге направление спуска У известно, скалярная величина
ц(,) рассчитывается таким образом, чтобы величина F(X<1+1)) была
минимальна. В соответствии с выбором, сделанным для И0 на каждой
итерации, получают различные методы (релаксации, наискорейшего
спуска, сопряженных градиентов).
Метод сопряженных градиентов
Уравнение F (X) = const представляет собой семейство обобщенных
эллипсоидов с одним и тем же центром X = А ~1 (В) (решение). Вектор
И'1”1* является касательной к эллипсоиду в точке Х(1>. Вектор невязки
R(,) = В — АХ(,) ортогонален тому же эллипсоиду. Плоскость, проходя-
щая через точку Xм и содержащая направления И*1 ~ и Л(1), рассекает
эллипсоид по эллипсу. Вектор, исходящий из Х'1> и направленный к
центру эллипса, определяет новое направление И<‘) (он удовлетворяет
отношению сопряженности VtMAV{‘~ = 0). Центр этого эллипса опре-
деляет новую точку X (‘+ 11 (рис 4 6)
Алгоритм итерации имеет вид
Rm = В - АХ(1),	Х(,) =---------,	(4.4)
J/С) = Л(0 _|_	„С) = ------
Х(,+ Х) = Х(,) + ц('>И‘
Чш кнные методы
77
Рис 4 6 Графическая интерпретация итерации по методу сопряженных градиен-
тов
Процесс начинается с выбора начального вектора X'1'’ и направления
= Он заканчивается, когда норма невязки становится доста-
точно малой. Для хорошо обусловленной матрицы размером N этот
процесс сходится за N итераций.
Метод сопряженных градиентов с предобусловленностью посредством
неполного разложения Холецкого
Применяя надлежащую предобусловленность в методе сопряженных
радиентов, получают быстро сходящийся метод для линейных систем в
случае применения методов конечных разностей и конечных элементов
(»Х/10) итераций)
Если АХ = В-решаемая система, применим метод сопряженных
градиентов к системе
(L~1A(L,)~1)L‘X = L~'B,	(4 5)
где L-нижняя предобусловленная треугольная матрица, полученная,
например, при неполном разложении Холецкого Этот метод состоит в
расчете по алгоритму Холецкого только элементов L, находящихся на
тех метах, где элементы матрицы А отличны от нуля Необходимо
внимательно следить за тем, чтобы матрица L1 AL' ~ 1 оставалась
положительной. Практически эта последняя матрица не вычисляется;
операции выполняются так, чтобы отдельно сохранялись А и L. Этот
метод хорошо подходит для компактного размещения матриц, посколь-
ку Lсохраняет ту же топологию, что и А.
Более подробно итерационные методы описаны в работах [29, 40,
43]
Замечание. В этом разделе не рассматривались уже достаточно
старые методы релаксации Якоби или Гаусса-Зейделя, поскольку при
объемах машинной памяти современных мини- и микроЭВМ такие
методы теряют свое основное преимущество, состоящее только в ис-
пользовании незначительного объема памяти. Однако они могут иногда
78
Глава 4
представлять интерес и использоваться с аппаратными средствами очень
малого размера (как, например, в программных средствах MICROFLUX,
разработанных фирмой CEDRAT).
4.2.	Нелинейные системы. Метод Ньютона - Рафсона
4.2.1.	Одномернаи задача
Принцип. Рассмотрим нелинейное уравнение с одной переменной
Ф (х) = 0.	(4.6)
Основой метода Ньютона-Рафсона является построение ряда зна-
чений х<0), х(1\ ..., х(п\ исходя из начальной величины х<0) с использова-
нием процесса итераций, учитывающего значения ф (х), а также значения
ее производной.
Пусть х<0)-начальная величина ряда; назовем Дх<0) приращением
величины х0, так чтобы х(1) — х<0) + Ах(0) удовлетворяло уравнению (4.6)
с точностью до второю порядка.
ф(х(0) + Дх(0>) ~ ф(х(0)) + ф'(х<0’)Дх = 0.	(4.7)
Отсюда следует, что если ф' (х0) # 0, то
Дх<0) = — ф (х<0))/ф'(х(0)),	,	(4.8)
откуда значение Xj равно
х*1’ = х<0) — ф (х<0))/<р'(х<0)).	(4.9)
Вновь повторяя ту же операцию, начиная с xt, можно построить ряд
итераций по следующему алгоритму:
х{к + 1) = xw - ф(х"1’)/ф'(х"1)).	(4.10)
Итерации будут прекращены, когда разность между двумя после-
довательными итерациями удовлетворяет заданной точности
|х(‘+ 11 —
-----------< £ .
|х<1 + 1)|
Этот метод можно проиллюстрировать геометрически с помощью
схемы, представленной на рис. 4.7, на которой видно, что основой
метода является определение каждой итерации по пересечению с осью
абсцисс, которая является касательной к кривой, проведенной на основе
предыдущей итерации.
На этом рисунке видно, что условие ф' (х0) # 0 заставляет выбрать
начальную точку достаточно близко от окончательного решения, для
того чтобы в ряду итераций не было ни одной точки с горизонтальной
касательной. Это условие является необходимым условием сходимости
(монотонности функции в окрестности решения), которое не всегда легко
выполняется, но для которого можно сформулировать собственные
критерии для каждого типа решаемой задачи.
Чис сенные методы
79
Рис. 4.7. Итерации по методу Ньютона-Рафсона.
4.2.2.	Матричное уравнение. Минимизация функции л переменных
Поиски минимума функции
F(x1; х2, ... , х;, ... , х„),	(4.11)
определенной в области Rn, приводит к решению системы из п алгеб-
раических уравнений
... , х„ ... , х„) = О,
F^(x15 ... , х„ ... , х„) = О,
... , х„ ... , х„) = 0.
Это - тот самый случай, когда применяют метод конечных элементов
к задаче, которая содержит материалы, служащие причиной нелинейно-
сти, что приводит к решению нелинейных уравнений.
Принцип метода аналогичен предыдущему. Когда применяют раз-
ложение в ряд Тейлора первого порядка в i-м уравнении (4.12), получают
F'x^x^ + Axt ... х)0) + Лх; ... х*0) + Ах„) =
= F;,(x^ ... х<°> ... х<°>)+ t F^xAXj.
J = 1
Это приводит к решению линейной алгебраической системы
I
Дх(°)	=

(4.13)
Г шва 4
80
чтобы получить вектор Дх)0’,	, Ал*,0*, а также первый итерационный
вектор:
х<” = х)0’ + Дх)0’, ... , х!” = х<°> + Дх!0’, ... , х'* 1’ = х<0’ + Дх<0’.
Как и в предыдущем случае, процесс продолжают и на k-й итерации
получают выражение
F'^i Дх <t+i> = F'W.
(4-14)
Матрица общего члена Fx х называется матрицей Якоби системы
или функции и, разумеется, должна быть регулярной. В этом случае, как
и в предыдущем, необходимо проверить условие монотонности произ-
водных и итерации прекращают, когда выполняется условие
||х(*+1) _ х(*)||
1|х(к+1>||	<£’
где ||w|| представляет собой норму, установленную для оценки сходи-
мости.
Замечания
1) Поскольку метод Ньютона - Рафсона позволяет решать линейную
алгебраическую систему
Ах — Ь = 0,
для которой он сходится за одну итерацию, часто используют этот
принцип для улучшения полученного решения, когда линейная система
плохо обусловлена. Действительно, пусть г-вектор, называемый невяз-
кой, такой что
г = Ах — Ь	(4.15)
с составляющими
п
r> = Z Ал-^-
7 = 1
Найдем приращение составляющих Дх4, делающих невязку равной
нулю,
г,(хх + Дхх ... х, + Дх, ... хп + Дх„) =
" дг
= T.fX! ... х, ... х„) + Y = °’
1=10*1
тогда имеем
V 8г‘к
£ 77 Ал
Кроме того, член
Sr.
йх,
йх,(7?/^^	Ь‘)~А
Чис сенные методы
81
d|BI(H)
Рис 4 8 Пример немонотонности вследствие неточностей экспериментальной
кривой
а-кривая /В| (Н), б - производная
откуда имеем систему
У Л1(Ах( =-rI, V, = 1, ... , п,	(4.16)
। = 1
которая является предыдущей системой, для которой также было
улучшено решение добавлением Ах к вектору предыдущего решения.
2)	Условие <р' (УУ 0 часто приводит к сглаживанию кривых, пред-
ставляющих физические свойства материалов, которые базируются на
экспериментальных данных и могут не удовлетворять этому свойству
монотонности (рис. 4.8).
3)	Однако, когда начальная точка хорошо выбрана и выполняется
критерий монотонности для производных, метод Ньютона-Рафсона
дает очень хорошую сходимость. Часто достаточно менее десяти ите-
раций, чтобы получить решение с высокой точностью (е = 0,001).
4.2.3.	Заключение
Метод Ньютона - Рафсона является наиболее эффективным итера-
ционным методом решения нелинейных алгебраических или трансцен-
дентных уравнений. Он сходится только при определенных условиях
относительно матрицы Якоби и при выборе начальной точки не слиш-
ком далеко от решения; в этом случае обеспечивается очень быстрая
сходимость. Метод можно также использовать для улучшения резуль-
тата, полученного при решении системы линейных алгебраических урав-
нений.
82
Г гава 4
4.3.	Численные методы вычисления определенных интегралов
При использовании метода конечных элементов приходится вычис-
лять определенные интегралы, когда на каждом элементе сети разбиения
определяется элементарная матрица интегрированием на каждом эле-
менте функционала, аппроксимируемого с помощью функций формы.
Если же элементы криволинейны или задача нелинейна, аналитическое
интегрирование становится невозможным и тогда приходится система-
тически прибегать к численному интегрированию.
Использование метода конечных элементов в САПР приводит к
вычислению определенных интегралов на отрезках прямых, дуг кривых
или в некоторых областях. При интегрировании по области можно
использовать интегрирование по каждому ее элементу, тогда для инте-
гралов, упомянутых выше, необходимо использовать эффективные и
точные методы численного интегрирования.
Поэтому сейчас мы рассмотрим основные методы численного инте-
грирования Более подробному описанию численною интегрирования
посвящены специальные работы, в частности работа [23].
Здесь будут представлены лишь два важнейших метода: метод
Гаусса, широко используемый при интегрировании на элементах, но
требующий вычисления в определенном числе особых точек, и метод
Ньютона - Котеса, который позволяет вычислять интегралы только в
точках, определенных пользователем, и который также очень полезен
для интегрирования на линиях или поверхностях, для которых расчет
гауссовых координат не является необходимым и где достаточно рав-
номерного распределения точек.
Основой численных методов интегрирования является замена инте-
грала
I = LT/R dx dy	(4-17)
конечной суммой
п т
7* = X X ^/(х,, у,),	(4.18)
.= 1у= 1
в которой координаты х„ у, и весовые коэффициенты w определяются
так, что выражение (4.18) будет точным для описания полинома мак-
симально возможной степени. Вид полинома и число определяемых в
области точек зависят от применяемого метода.
4.3.1.	Метод Ньютона-Котеса
Абсциссы а, = а + ih точек интегрирования выбираются на расстоя-
нии шага h = (b — а)/п друг от друга; тогда определенный интеграл
описывается формулой
Ь	п
\f(x)dx = X AJ(a + ih),	(4.19)
a	i = 0
Чис сенные методы
83
в которой необходимо определить коэффициенты А,.
Для этого можно использовать два способа.
Можно записать, что формула (4.19) является точной для функций
f (х), идентичных соответственно 1, х, х2, ..., х", что приводит к записи
линейной системы в виде
»	ъ	/'ък+1 — ак + 1\
£ А,(а + ih)k = j xhdx = I-------I, Vk = 0 1, ..., n.	(4-20)
. = o	a	\ k + 1	/
Можно также заменить интегрируемую функцию ее интерполяцион-
Л
ным полиномом Лагранжа и записать f (х) = £ f (а,) — L, (х), что при-
е - 1
ВОДИТ К
ь
Л, = j L, (х) dx.
а
В табл. 4.1 приведены значения абсцисс а, и коэффициентов Л, для
метода Ньютона Котеса первого (метод трапеций), второго (метод
Симпсона), четвертого и восьмого порядков.
Замечание. Часто точнее и удобнее делить интервал (а, Ь) на более
мелкие сегменты, на которых лучше применять метод невысокого
порядка (например, метод Симпсона), нежели использовать формулы
высокого порядка.
Таб ища 4 1
Порядок	Я,	AJh
1	-1	1/2 (метод трапеций)
	-1	1/2
	-1	1/3
2	0	4/3 (метод Симпсона)
	1	1/3
	-1	7/45
	-1/2	32/45
4	-0	12/45
	1/2	32/45
	1	7/45
	-1	989/14 175
	— 3/4	5 888/14 175
	-1/2	-928/14 175
	-1/4	10496/14175
8	0	-4 540/14175
	1/4	10 496/14175
	1/2	-928/14 175
	3/4	5888/14 175
	1	989/14 175
84
Глава 4
4.3.2.	Метод Гаусса
а) Интегрирование на сегменте
Предположим, что нужно вычислить интеграл
Ь	+ 1
/ = J/(x)dr = j f(u)du.	(4.21)
а	-1
Заменим его конечной суммой:
/* = Z ^Ж),	(4.22)
i=i
в которой коэффициенты w, и абсциссы х;, неизвестные вначале, будут
определены при условии, что формула (4.22) точная, если f (х) является
полиномом максимально возможной степени. В рассматриваемом при-
мере получается 2и неизвестных коэффициентов; их можно рассчитать
записав, что формула (4.22) является точной для всех полиномов степени
меньше или равной (2и — 1).
Запишем, что функция f (х) является полиномом степени (2и — 1)
/(х) = а0 + Ojx + ... + а2„х<2"“1).
Имеем
1	1 1
а0 j dx + j xdx + ... + a2„ j x2n~1dx =
-1	-1	-1
(4.23)
= a0 X w, + «i E xtw, + ... + a2n X -к?"'1 w,.
i = 1	i = 1	i = 1
Идентично
J x* dx = --= xf tv,, к = 2p(p = 1, ..., n — 1),	(4.24)
-i	k+1	1=i
1	n
[ x* dx = 0 = £ x? w,, к = 2p — 1 (p = 1, ..., n).
-1	i=i
В результате получаем систему из 2и уравнений с 2и неизвестными wf,
х;. Эта система линейна относительно и; и нелинейна относительно
х; (и; > 0, — 1 < Xj > 1). Решение этих уравнений показывает, что значе-
ния х, являются корнями полинома Лежандра порядка п.
Коэффициенты w, и абсциссы х; для различных порядков интегриро-
вания помещены в табл. 4.2 (значения для и от 1 до 10) [26, с. 218].
Чш 1енные методы
85
	+ а				Н		
			п	= 1			
	0		п	= 2	2.00000	00000	00000
0.57735	02691	89626	п	= 3	1.00000	00000	00000
0.77459	66692	41483			0.55555	55555	55556
000000	00000	00000	п	= 4	0.88888	88888	88889
0.86113	63115	94053			0.34785	48451	37454
0.33998	10435	84856	п	= 5	0.65214	51548	62546
0.90617	98459	38664			0.23692	68850	56189
0.53846	93101	05683			0.47862	86704	99366
0.00000	00000	00000	п	= 6	0.56888	88888	88889
0.93246	95142	03152			0.17132	44923	79170
0.66120	93864	66265			0.36076	15730	48139
0.23861	91860	83197	п	= 7	0.46791	39345	72691
0.94910	79123	42759			0.12948	49661	68870
0.74153	11855	99394			0.27970	53914	89277
0.40584	51513	77397			0.38183	00505	05119
0.00000	00000	00000	п	= 8	0.41795	91836	73469
0.96028	98564	97536			0.10122	85362	90376
0.79666	64774	13627			0.22238	10344	53374
0.52553	24099	16329			0.31370	66458	77887
0.18343	46424	95650	п	= 9	0.36268	37833	78362
0.96816	02395	07626			0.08127	43883	61574
0.83603	11073	26636			0.18064	81606	94857
0.61337	14327	00590			0.26061	06964	02935
0.32425	34234	03809			0.31234	70770	40003
0.00000	00000	00000			0.33023	93550	01260
n = 10
0.97390	65285	17172	0.06667	13443	08688
0.86506	33666	88985	0.14945	13491	50581
0.67940	95682	99024	021908	63625	15982
0.43339	53941	29247	0.26926	67193	09996
0.14887	43389	81631	0.29552	42247	14753
1	п
ff(x)dx= z
- 1	7=1
Таблица 4.2. Абсциссы и весовые коэффициенты для квадратурных формул
Гаусса.
86
Глава 4
б) Интегрирование на прямоугольнике
Наиболее удобный метод для вычисления двойных интегралов
1 1
I = J J f (х, у) dxdy	(4 25)
-1 -1
состоит в оценке первого интеграла при условии у = const
f f(x, у) dx = f WjftXj, у) = g(y).	(4 26)
-i	j-i
Затем вычисляется интеграл
1	n
f g(y) dy= £ w, g(yt),
-1	1=1
откуда окончательно следует
/= f } f(x,y)dxdy = £ £ Я,Я,/(хгу,)	(4 27)
-1 -1	t-1J-l
Тогда можно определить формулы интегрирования с различным
числом точек в каждом направлении Координаты и коэффициенты,
используемые в программах FLUX 2D для четырехугольников и FLUX
3D для шестиугольных элементов, были взяты из табл 4 2
в) Интегрврованве на треугольнике
Формулы для интегрирования треугольников не могут быть получе-
ны путем развития одномерных формул Для численного интегрирова-
ния методом Гаусса применительно к треугольникам и тетраэдрам были
получены специальные формулы, которые предсталены в табл 4 3
Табища 4 3 Интегрирование методом Гаусса на треугольнике
Одна точка интегрирования
1	А1	= 0,3333333	А2	= 0,3333333	Вес	= 0,5000000
			Три точки интегрирования			
1	А1	= 0,5000000	А2	= 0,5000000	Вес	= 0,1666667
2	А2	= 0.5000000Е + 00 А2		= 0,5000000	Вес	= 0,1666667
3	АЗ	= 0,5000000	А2	= 0,0000000Е + 00	Вес	= 0,1666667
			Семь точек интегрирования			
1	А1	= 0,3333333	А2	= 0,3333333	Вес	= 0,11250000
2	А1	= 0,5971587Е -	01 А2	= 0,4701421	Вес	= 0,6619708Е - 01
3	А1	= 0,4701421	А2	= 0,5971587Е - 01	Вес	= 0,6619708Е - 01
4	А1	= 0,4701421	А2	= 0,4701421	Вес	= 0 6619708Е - 01
5	А1	= 0 7974270	А2	= 0,1012865	Вес	= 0,6296959Е - 01
6	А1	= 0,1012865	А2	= 0,7974270	Вес	= 0,6296959Е - 01
7	А1	= 0,1012865	А2	= 0,1012865	Вес	= 0,6296959 Е - 01
Чис 1енные методы
87
4.3.3.	Заключение
В теории численного интегрирования известно много способов опре-
деления интегралов, тем не менее применительно к методу конечных
элементов и к задачам апостериорной обработки (вычисление интегра-
лов) метод Гаусса имеет преимущества при интегрировании на элемен-
тах, так как он требует меньше вычислений и обеспечивает высокую
точность, а метод Ньютона Котеса лучше для вычисления криво-
линейных интегралов, где применение эквидистантных координат упро-
щает расчеты, чего нет в методе Гаусса Напомним, наконец, что для п
точек на одномерном сегменте метод Ньютона-Котеса имеет порядок
(и — 1), тогда как метод Гаусса-(2и — 1)
4.4.	Дифференциальные задачи с начальными условиями
Применение метода конечных элементов к задачам в частных произ-
водных параболического или гиперболического типа приводит к реше-
нию системы дифференциальных уравнений первого порядка вида
dA
М — + NA = В,	(4 28)
dt
где М и N- регулярные матрицы, в которых некоторые члены могут
быть (в случае нелинейных задач) функциями составляющих Л, вектора
А Напомним, что систему дифференциальных уравнений, содержащую
производные высших порядков, всегда можно заменить системой урав-
нений первого порядка, но большей размерности Путем алгебраических
преобразований систему (4 28) можно представить в канонической
Рис 4 9 Дискретизация временного интервала
Ftaea 4
Рис 4 10 Метод касательных
форме
dA
—	= F(A, t);
J dt
(4.29)
A(0) = Ao
С помощью такой канонической формы будем изучать обычно
применяемые численные методы решения.
4.4.1.	Дискретизация. Метод касательных
Общий принцип всех численных методов состоит в дискретизации
временного интервала (/0, Гмакс) временными шагами Лг, которые для
простоты будем полагать постоянными, но которые могут меняться, в
частности, в соответствии с вариациями изучаемого явления.
Пусть Ar = h - временной шаг дискретизации (рис. 4.9).
Производную функции A(t) можно аппроксимировать разностью двух
последовательных значений А
M^t^-AM
dt h
Наиболее простой численный метод, называемый методом касатель-
ных, состоит в замене в системе (4.29) производной dAjdt ее аппрокси-
мацией
A(tl+1)-A(tl) = hF(A(tl),tl),	(4.31)
откуда решение в моменты времени г,+ 1 = t0 + ih имеет вид
A (t, + J = А (г,) + hF (А (г,), г,).	(4.32)
Этот метод называется методом касательных, поскольку он состоит
для одномерного уравнения в определении точки A(tl+l) путем построе-
ния касательной к кривой решения в точке Я, (г,) (рис. 4.10).
Чис ценные методы
89
Этот метод удобен благодаря своей простоте, однако, чтобы полу-
чить достаточную точность решения, требуется очень мелкий временной
шаг. Иногда предпочтение отдается более сложным методам, позво-
ляющим повысить точность путем увеличения временных шагов и,
следовательно, сокращения объема вычислений. Эти методы можно
разделить на два основных типа: методы с разделенными шагами и
методы со связанными шагами. Выделяют также явные методы, в
которых аппроксимация в момент времени /1+1 определяется только
известными переменными в момент времени tv и неявные методы, в
которых аппроксимация А заставляет учитывать в момент времени /1+1
значения, которые принимает А в этот же момент. Явные методы проще
использовать, однако часто необходимо выбирать очень мелкие времен-
ные шаги h по причине явления численной неустойчивости. Неявные
методы более устойчивы и допускают большие временные шаги, однако
на каждом временном шаге необходимо увеличивать объем вычислений
из-за наличия неявного члена.
4.4.2.	Явные методы с разделенными шагами.
Методы Рунге-Кутта
Вновь рассмотрим метод касательных и применим его к дифферен-
циальному уравнению первого порядка
f Л'(/) = Р(Л(/),Г),
1я(г0) = 4
Согласно методу касательных,
A,+ l = А, + hF(At, Г,).	(4.34)
Если сравнить этот метод с разложением в ряд Тейлора по у:
h2
А,+ 1 = A(t, + h) = A (/,) + hA'(t,) + —A' (t,) + .. =
2	(4.35)
d
= A (/,) + hF (А, t) + ~(F(A (/)), t) + ...,
dt
видно, что формула (4.34) идентифицируется с разложением в ряд
Тейлора по А до члена первого порядка включительно, поэтому обычно
говорят, что это метод первого порядка.
Поиски метода более высокого порядка привели к алгоритму, назы-
ваемому методом Рунге-Кутта.
Этот алгоритм заставляет учитывать точки г, + 0fc /г внутри интервала
(г„гг+1) на основании формулы (4.35):
«-1
Л+1 = А, + аЧк F,k)
к = 0
90
Глава 4
вместе с
Flk = F(A, + h “Х akl Fa, t, + 0к h),	(4.36)
1 = 0
где коэффициенты akl, a.qk, 0k рассчитываются так, что выражение (4.36)
совпадает с разложением в ряд Тейлора до максимально возможного
порядка. Число внутренних точек q называют рангом метода.
Чаще других используется метод Рунге-Кутта четвертого ранга
(RK4), классически работающий по приведенному ниже алгоритму.
Вначале вычисляют промежуточные величины к,:
/ Д /Л
ki = F(A„ t,), к2 = F\y, ++
/ к h\
к3 = f(f, + h~,tt + -J, k4 = F(yl + hk3, t, + h).	(4.37)
а затем рассчитывают Al+1 по формуле
h
Al +1 == yt + — (kj + 2k2 + 2k j + k4)	(4.38)
6
4.4.3.	Неявные методы
Принцип неявных методов заключается в использовании при вы-
числении производных значения функции в момент /1 + 1.
В случае метода касательных можно записать
4 + 1 = Л, + hF(Al+1,tl+1).	(4.39)
Это уравнение нельзя решить простым способом. Если оператор
F- линейный, необходимо в каждый момент времени решить систему
линейных алгебраических уравнений. Если же оператор нелинейный, то
для решения такой системы на каждом шаге приходится делать много
итераций.
Тем не менее этот метод представляет значительный интерес, по-
скольку он безусловно устойчив (так как с каждым последующим шагом
ошибки метода или округлений предыдущего шага уменьшаются).
Однако из-за своей устойчивости этот метод (как все неявные методы)
имеет тенденцию «сглаживать» результаты и, кроме того, он мало
пригоден для решения задач, в которых искомые величины очень быстро
меняются. В этих случаях предпочитают полунеявные методы как более
точные и вместе с тем сохраняющие устойчивость.
4.4.4.	Полунеявные методы
В этих методах вводят коэффициент 0, меняющийся в пределах 0-1, и
аппроксимируют уравнение выражением
A (t, + J = А (/,) + hF (А (/, + e) t, + 0А),	(4.40)
Чис генные методы
в котором
A(tl + fi) = (l-Q)A(Q <-ОА(Г, + 1).
Естественно, при 0 = 0 возвращаемся к явному методу, при 0 = 1 - к
неявному
Этот метод безусловно устойчив при 0 > 1/2 и обеспечивает большую
точность по сравнению с неявным методом. Однако, как и в случае
неявного метода, необходимо значительное число вычислений на каж-
дом шаге. И наконец, отметим, что чаще применяется схема, называемая
схемой Крэнка-Николсона, которая при 0=1/2 обеспечивает устойчи-
вость и высокую точность.
4.4.5.	Методы прогноза-коррекции
Эти методы предназначены для того, чтобы на каждом временном
шаге избежать целого ряда расчетов, характерных для неявного метода.
Их принцип заключается в двойной (одновременно неявной и явной)
формулировке при выполнении только одной итерации
Начальная величина F(0>(A(tl + l), Z, + 1) определяется по явной схеме
(формула прогноза), тогда как окончательная величина вычисляется по
неявной схеме (формула коррекции). Например, комбинация прогно-
за-коррекции для задачи (4.33) имеет вид
А
^!°+i =	—(23Е(4„ /,)-	/,_!) + 5F(A,_2, t, 2)),
А	<441’
A+i = А, + й(ЗГ(А:+>1’ ', + 1) + тА‘’	Z'-J)
Использование такого метода требует для двух первых точек вычис-
лений по явной формуле.
4.5.	Заключение
В этой главе были представлены численные методы, которые нашли
применение в методе конечных элементов. Описание носит обзорный
характер, что отвечает целям книги, а читателю, желающему более
подробно ознакомиться с численными методами, можно рекомендовать
уже указанные в разделе работы, и в первую очередь работу Тузо и
Дхатта [6]. Численные методы в нашем изложении сводятся к состав-
лению алгоритмов, наилучшим образом подходящих для структуры
программ и для совокупности функций, которые затем включают в
программное обеспечение, разрабатываемое на основе метода конечных
элементов. Таким образом, из всех алгоритмов следует выбирать тот,
который лучше подходит для формульного представления задачи, спо-
соба размещения в памяти и размеров решаемой задачи. Необходимо
также постоянно развивать программное обеспечение, вводя новые
алгоритмы, имеющие лучшие характеристики, или модифицируя старые.
5. Общая теория изопараметрических конечных
элементов второго порядка
5.1.	Введение
Использование криволинейных конечных элементов второго порядка
широко распространено в специальных пакетах программ промышлен-
ного назначения. В большинстве промышленных изделий геометрия
составных частей представляется прямыми и геометрическими кривыми,
которые могут быть легко сведены к кривым второго порядка (окруж-
ностям, коническим кривым) Когда указанными кривыми не удается
обеспечить полное совпадение, моделирование явления элементами вто-
рого порядка дает хорошее совпадение с криволинейными элементами,
что обеспечивает достаточную точность вычислений при приемлемом
числе элементов.
Часто встречается использование этого варианта метода конечных
элементов, реализованного в пакете FLUX 2D для электрических,
магнитных и термодинамических применений. Хотя примененное в нем
разбиение на криволинейные треугольные или четырехугольные элемен-
ты является более трудоемким, чем автоматическое построение прямо-
линейных треугольников, его эффективность часто значительно пре-
восходит простые способы разбиения.
Эта глава знакомит читателя с методом изопараметрических конеч-
ных элементов.
В выбранном примере будет рассмотрена нелинейная задача, позво-
ляющая показать принцип использования метода Ньютона Рафсона
совместно с методом численного интегрирования для того, чтобы иметь
возможность одновременно учитывать как нелинейность, так и криво-
линейность при разбиении на конечные элементы
Рассмотрим задачу, которая описывается нелинейным уравнением
Пуассона Она моделирует стационарные режимы в задачах электро-
магнетизма и термодинамики, а также некоторые задачи механических
деформаций Уравнение имеет вид
5 ( да\ д / да\
— о— +— о— +/ = О	(5.1)
дх \ дх/ ду \ ду/
совместно с граничными условиями, которые могут быть либо одно-
родными условиями Неймана, либо условиями Дирихле.
В этом уравнении коэффициент о может быть переменным в зависи-
мости от х и у, однако можно также положить что:
о - функция а: о = фа):
о - функция градиента а: о = g (| Va |);
о - функция ротора а: о = g (| V х А |);
тогда как f является функцией только х и у.
Общая теория конечных цементов второго порядка	93
Эта гипотеза позволяет рассматривать целый ряд физических проб-
лем (электричество, термодинамика, механика).
5.2. Постановка уравнений
Рассмотрим уравнение (5 1). Проинтегрируем его методом Галёркина,
вводя проекционные функции Ф£ (х, у), определенные на каждом элементе
и идентичные аппроксимирующим функциям. Запишем уравнение (5.1) в
интегральной форме:
i = 1, .., NN.
(5.2)
После интегрирования по частям получаем для левой части
Г да <ЭФ да ЭФ ~|
i-OX ох оу оу_1
(5-3)
Учитывая, что
NN
а = У А.Ф= АТФ = ФТА,
4—iJJ	’
J-1
выражение (5.3) запишется в виде
NN
I
/ЭФ, ЭФ, дФ, дФ\
\ ох ох	оу оу /	J
(5-4)
(5.5)
или в матричной форме
NN
7=1
(5.6)
ЗФ, ЗФ ЗФ, ЗФ
В этой матрице первый член---------- +-------- можно записать как
дх дх ду ду
Гаф1 “I
"ЭФ, 5Ф,"
_ дх ду _
= УФ’ УФ,,
ду
где V-символ, примененный к функции Ф(, представляет собой градиент
этой функции
Общий член матрицы М можно записать в виде
М„ = ПпоУФ^Ф,<«2,	(5.7)
94
Глава 5
где члены матрицы MtJ зависят от А или ее производных и также от
коэффициентов (в случае нелинейных задач).
Второй член запишется в виде
F, = tffb.dxdy иЕ= (F., F„ Fnn)t.
5.3.	Применение метода Ньютона-Рафсона
Система уравнений (5.6) является нелинейной вследствие зависимости
членов матрицы М от узловых величин А}. Пусть R,-величина г-й
составляющей остатка
NN
*. = I	(5-8)
7=1
Когда в узловых величинах Ак задано приращение ААк, остаток
становится равным
NN 8R
Л,(Л1 + ЛА,,.„Ак + ЛАк,. ) = RAA., ., Ак, ..) + £ ~ &Ak.	(5.9)
Итак, это приращение должно приводить к нулевым значениям 7?,:
ЛДЛр ..., Ак,..., ANN) + S - AAt = 0.	(5.10)
*=i 8Ак
Это уравнение линейно относительно приращений ААк функции Ак:
NN SR,
^77^=-r‘-	(5-11)
к=> дА*
dR,
В этом уравнении необходимо построить матрицу Нл =----- как
функцию R, от узловых величин через коэффициент ст.
Вычислим
тогда
NN дМ
= м,к + X —1 л,,	(5.12)
7=1 SA*
так как F, не зависит от узловых величин.
Матрица Н1к является суммой уже рассчитанной матрицы М1к и
некоторой матрицы Slk, определяемой следующим образом:
"" ем„
S,k=lry~Ar	(5-13)
Общач теорич конечных леиентов второго порчдки
95
Вычислим эту матрицу
NN д
S* = X ~(Лп<т?Ф,г?Ф,Л,^),
,= 1
(5.14)
NN	до
s.t= X (ИсЛФ^Ф, —ОД.
.	дАк
На этой стадии вычислений учитывают зависимость ст от неизвестной
функции А.
а) Величина ст непосредственно зависит от А: в = g(a)
NN
В этом случае ст = g( £ Ai Ф,) и ее производная равна
Зет	да	dg
^7 = 9'(а)77 = Т(а)Фк-
дАк дАк da
(5.15)
Тогда матрица S выражается в зависимости от g
//	dg	\
8Л= X 4 ПпУФ^Ф.-ф.ас
\ \	аа	/
(5.16)
б) Величина ст зависит от модуля е, являющейся градиентом А
В этом типе задач имеем ст = g(|Va|2) и можем записать е = |Va|2,
ст = g (4
Тогда
д<у
---является производной сложной функции
^4
Зет dg
dAk d(e) dAk
Вычислим e как функцию узловых величин
/ да \
(5.17)
л / дх I	т	(8а\2 (да\2
\а = I I , откуда е = Vo va = I — I -И — ,
I да I	\дх/ \ду/
vy/
где
(5.18)
да NN ЗФ,
— = X 4—
дх	дх
J- 1
да N дФ,
- - = X А,—,
Sy Sy
тогда
(5.19)
/NN	ЗФ\2 /NN ЗФ\2
= X -4,— + X Л,—
\ ,	дх/	\ , 1 ду/
J = 1	J = 1 z
(5.20)
%
Г шва 5
и окончательно имеем
NN NN /дФ. дФе ЗФ, дФД
е=у L — —+ ——ЛЛ
,	\ дх дх ду ду)
(5-21)
В более компактной форме это выражение можно записать следующим
образом:
е = Z Z (УФ,тУФе)<Л	(5-22)
7=1 1=1
де
Для производной----получим выражение
ал*
де NN	NN
— = Z (v®I v®eT)4 + X (V®; v®()^	(5.23)
SA* <-1
С учетом симметрии входящих в него двух членов, его можно
переписать в виде
де NN
— = 2Е (V®tTV®J/l,	(5.24)
8Ai ю
и тогда непосредственно для члена Slk получим
™ NN	dg
s.k = 2 Z X И(?Ф,Т УФ,)-(УФ*Г ?Ф<)М<И	(5.25)
в) Величина а зависит от модуля г-ротора А
Такой тип задач встречается в электромагнетизме и в механике
потоков жидкостей и газов, т. е в дисциплинах, где имеют место
турбулентные явления Тогда вводят г = | V х а|2 и производную
Зет dg dr
дАк dr dAk
где
— За
Уха =
дх
да
ду
( 8а\2
совместно с г = I — ) +
\дх)
а<л2
.ду) '
где, как в предыдущем случае,
да ™ дФ.
— = У А,—,
дх , J дх
7-1
(5.26)
Обща я теория конечны v ate ментов второго порядка
97
8а ™ <М>
— = Z aj —
8У 7-1 °У
(5.26а)
Это приводит к следующему равенству:
dr ™
— = 2£ (УФГУФ,)Л	(5.27)
5	А	(=1
и окончательно к выражению
NN NN /	d	\
s,k = Z Z Щ?Ф,Г 7Ф,~7ФГ ?Ф< X A^.dxdy.
_________	\	dr	/
(5.28)
В каждом из этих трех случаев матрица Якоби Н будет содержать два
члена: член, связанный с самим коэффициентом и и вычисляемый в
каждой точке области в зависимости от А, и член, включающий в себя
вариацию и как функцию А или модуля одного из векторов, связанных с
ее частными производными.
Ниже будет подробно рассмотрен весь процесс вычислений на каж-
дом элементе, сейчас лишь отметим, что когда и зависит непосредствен-
но от Л, матрица Якоби теряет свое свойство симметрии, что затрудняет
в алгоритмическом плане решение и размещение этой матрицы в
памяти.
Однако можно модифицировать эту матрицу так, чтобы сохранилось
ее свойство симметрии (например, пренебрегая недиагональными чле-
нами или заменяя член Slk на S'lk = 1/2 (Slk + Skl)).
Такая модификация, не изменяя окончательных результатов, замед-
ляет сходимость, поскольку приращение определяется неточно, но часто
легче сделать две или три лишние итерации, затрачивая на расчет
каждой итерации в 4-5 раз меньше времени, чем при использовании
несимметричной матрицы.
Решение системы (5.6) методом Ньютона-Рафсона начинается с
выбора некоторой начальной величины для каждой составляющей
вектора А. Как правило, выбирают величину и, равную начальному
тангенсу угла наклона функции д, и решают первую систему с этими
значениями а, введенными в матрицу Н. Затем на каждой итерации
строят матрицу Н по величинам А, полученным на предыдущей итера-
ции, строят вектор R и решают линейную систему НЛА = —R с тем,
чтобы определить приращение ЛА, которое получил вектор А на
предыдущей итерации.
Итерации прекращают, когда норма остатка становится очень малой
или когда уже выполнено слишком большое число итераций. Последнее
означает, что необходимо пересмотреть постановку задачи.
98
Гiaea 5
5.4.	Построение матрицы Н и векторов F и R
Вновь повторим определение матрицы М и положим К1} =
= V Ф,г V Фр что дает
MtJ = jjaOK.jdxdy	(5 30)
и если вспомнить, что имеется вектор Ф = (Ф15 Ф2, Ф„ , ФЛЛ), то
матрица К определяется следующим образом
ЗФ дФт ЗФ ЗФТ
К =-------+------- (5 31)
дх дх dy ду
Определим теперь зависимость между матрицей К (а следовательно,
М и S) и собственными матрицами на каждом элементе Для этого
вспомним (гл 3), что
Ne
Ф = £	(5.32)
е= 1
Делаем вывод, что
/	/ЗФе ЗФеТ ЗФе дФ‘т\ \
К= У ЛеГ----------+----------ДМ,
е=1 \	\ дх дх	ду ду / /
‘~Ne
К = X ^еТКе\е,	(5 33)
е= 1
где общий член KeNN матрицы Ке определяется как
=	(5 34)
а матрица М принимает вид
/ У	\	/	\
М = f ся £ ^еТ Ке Ле ) dxdy = £ АеГ1 f |Пе о Ке dxdy I Ае
\е=1	/	е= 1	\	/
Ne
М= ЛеТМеЛе	(5 35)
е ” 1
Таким же способом определяется матрица S
NN da
SIk = X Ип — V Ф,т УФ7ЯД dxdy	(5 36)
, ал
j - 1
или
Slt = 2^ 'f уф; УФ7у УФ, УФ.Л^^О	(5 37)
что можно записать в матричной форме
dq
S = f fn — (КА)ФТ dxdy	(5 38)
Общая теория конечных элементов второго порядка
99
Учитывая соотношения
*е
К= £ ^еТКе\е
е = 1
*е
А = X АеТЛе,
е— 1
*е
ф = £ деГФе,
е = 1
получаем
5 =
"е
X Ь‘т
ЬеТ К‘ Ае ЛеТ Ае ФеТ Ле dxdy
(5 39)
где суммирование проводится только по одному индексу, что является
следствием соотношений, которые делают равным нулю все произве-
дения, у которых индексы элементов различны Кроме того, получаем
де дет _ единичную матрицу в силу определения матриц Де Окон-
чательно имеем
S= X
е- 1
ЛеГ f fn — ДеТ ке Ае ФеТ Д‘ dxdy,
\ da	)
или
N«	/ dq	\
S= X ДеТ( fine — К‘ АеФеТ dxdy\b,e,
(5 40)
14 е
S= X ДеТ5еЛе,
е= 1
где элементарная матрица Se равна
"	(	dq	\
51м = S
р=1	\ /
Также для выражений 5 в случаях «б» и «в» получают выражение в
форме
5= ДеГ5еДе	(5 41)
е— 1
совместно с выражением
5ТМ = 2 Е х	V®! — УФ, УФМ dte,
100
Г iaea 5
наконец, второй член F определяется в виде
Ne
F= Е AeTFe при Fi = ГФ? dtle.	(5.42)
e= 1
После этого анализа рассмотрим подробнее методику работы на
каждом элементе.
5.5.	Конечные элементы
Теперь метод конечных элементов доведен до этапа вычисления боль-
шого числа определенных двойных интегралов (3 интеграла на элемент).
Коэффициенты (х, у) ], входящие в подынтегральное выражение,
изменяются от элемента к элементу, которые к тому же могут иметь
криволинейные границы.
Поэтому мы окончательно остановимся на методе численного инте-
грирования. Чаще всего используется метод, называемый методом
Гаусса, в котором заменяют функцию/(х, у), подлежащую интегрирова-
нию на некоторой области Q, суммой ее значений fix,, у,) в некотором
числе точек,
м N
Wnef(x,y)dQe= Е Y w*f(xvy&
1-1 k-i
взятых с весовыми коэффициентами wlk (гл. 4).
Для систематического применения этого метода сведем интегрирова-
ние на каждом элементе к вычислению интеграла на элементе, на-
зываемом стандартным элементом, который всегда будет одним и тем
же. Такое преобразование имеет преимущество: координаты х,, ук и
весовые коэффициенты, используемые в формуле, определяются один
раз
f fne f(.x, у) dQe = f f □ или д f(x (u, v), у (и, v)) J (u, v) dudv,	(5.43)
где J - определитель матрицы преобразования, обеспечивающей переход
от координат х, у к координатам и, v, т. е.
дх дх
ди dv
J = det
ду ду
ди dv
Для четырехугольных элементов в качестве стандартного выбирают
квадрат [—1, +1] х [—1, +1], для треугольных - равносторонний тре-
угольник [—1, +1].
Преобразование, обеспечивающее переход от координат х, у к коор-
динатам и, v, определяется заданными узловыми координатами эле-
мента е: хр ур х2, у2, .... х„, уп.
Это преобразование использует понятие изопараметрии, заключаю-
Общая теория конечных элементов второго порядка
101
щееся в выборе в качестве аппроксимации непрерывных координат х и у
тех же аппроксимирующих функций, которые выбирались для аппро-
ксимации неизвестной функции Ф‘(. Ф',	т, е.
И	п
х = X Хк Фк, у= X Ук Фк-
к=1	к=1
(5-44)
Исходя из этого, на каждом элементе, определенном его узловыми
координатами хк, ук, определим преобразование
х(и, г) = X хк Фк(и, v), у(и, v) = £ ук ФДи, г),	(5.45)
к=1	к=1
где функции формы Фк(и, v) будут определяться непосредственно на
стандартном элементе. Тогда на этом элементе получим
п
Ае(и, 0 = £ Акфк(и- v)-
к=1
(5.46)
Все интегрирование, выполненное на этом элементе, может быть
определено по координатам и,, г, и приданным весам в точках, опреде-
ляемых этими координатами.
5.5.1.	Вычисление интегралов
Член, наиболее часто встречающийся в интегралах, является матри-
цей Якоби перехода от координат х, у к координатам и, v, который
существует в силу замены координат и участвует также в вычислении
производных дФ^/дх, дФ1/ду, необходимых для оценки операторов гра-
диента и ротора.
Действительно, имеем
ЗФ, ЗФ, дх ЗФ, ду
—---------,
ди	дх ди ду ди
(5 47)
ЗФ, ЗФ, дх ЗФ, ду
— + .
dv	дх dv ду dv
откуда матричное отношение
ЗФ, дх ду ЗФ,
ди _ ди ди дх
ЗФ, — дх ду ЗФ,
dv dv dv ду
102
Глава 5
Это можно записать в символической форме
Vur®, = JaVxv®„
или еще
= Ja-1 УИГФ,
Итак, матрица Ja определяется формулой
Ja =
дх ду ди ди дх ду ди dv_	=	11 Ь<1 а 1 Ь<1 3
Ее можно
ди
дФк
dv
Ja =
" 5Ф4
*к X —Ук
к~1 8и
" 5Фк
хк L —Ук
*-! °V J
записать еще и в следующем виде
8Ф,
ди
5Ф,
dv
(5 48)
оФ,
ди
ЗФ,
dv
У-L
Ук
Член, который чаще других встречается в интегралах, определяющих
Slk, описывается следующим выражением
УхуФ^Ф, = (Ja’1 УиФ/(1а-‘У„„Ф,) = Vul ®(t(Ja-lrJa-1)Vu„®„
откуда окончательно имеем
Ме1т = ((„ CTV„„®j(Ja Jar) 1 ®,det Ja dudv,	(5 49)
Fe = jj д/Ф,(г/, г) det Ja dudv	(5 50)
Наконец, величина в случаях «б» и «в» разд 5 3 имеет вид
"	"	da
SL = 2Y X лХЛПнли2Л.,Ф^аJar) X V„v®i-7- V„„®mdetJa</M<fe
(551)
Эти выражения далее можно упорядочить с точки зрения численных
вычислений, однако эти математические преобразования не дадут ничего
нового читателю, который должен знать, что для вычисления этих
интегралов обычно используют метод интегрирования Гаусса, в кото-
ром необходимо определить для координат точек интегрирования в
пространстве и, v соответствующие точки в пространстве х, у для того,
чтобы оценить величину А и, следовательно, определить ст
5.6.	Применение метода
Применение этого метода состоит в том, чтобы для каждого элемен-
та реализовать соответствующее интегрирование на основе преобразо-
ваний, в результате которых он будет соответствовать стандартному
элементу После интегрирования на совокупности элементов мы полу-
чим совокупность матриц (размером 8x8 для четырехугольников и
Общая теория конечных элементов второго порядка	103
6x6 для треугольников), которые надо объединить с учетом нумерации
узлов каждого элемента Операция интегрирования является очень
важной, поскольку после объединения матриц строится матрица Якоби,
возникающая после каждой итерации Ньютона - Рафсона
В памяти матрицу размещают с учетом ее ленточного вида и
принятого метода решения В основном метод Ньютона-Рафсона
применяют совместно с прямыми методами решения линейных систем
(Гаусса, Холецкого, ICCG), итерационные методы обычно используются
только в очень малых ЭВМ из-за небольшого объема их памяти
6. Общая архитектура САПР, базирующихся на методе
конечных элементов
Алгоритмы, рассмотренные в предыдущей главе, разумеется, форми-
руют основу программного обеспечения САПР, однако одних этих
алгоритмов явно недостаточно. В частности, для использования метода
необходимы алгоритмы подготовки данных и использования результа-
тов. В этой главе будут определены функции, связанные с ядром метода
конечных элементов, уточнена их роль и описано их взаимодействие при
формировании САПР, базирующейся на методе конечных элементов.
6.1.	Общая структура
Практически расчет характеристик некоторого устройства в процессе
проектирования проходит стадию представления задачи уравнениями в
частных производных и включает три этапа (рис. 6.1):
•	описание геометрии, физических характеристик, генерацию сети ко-
нечных элементов;
•	расчет с помощью метода конечных элементов;
•	визуализацию и интерпретацию результатов моделирования.
Эти три этапа хорошо разделены и в действительности соответст-
вуют на уровне программного обеспечения трем функциям, выполняе-
мым отдельными модулями:
•	модулем ввода данных;
*	модулем вычислений;
•	модулем вывода результатов1).
6.2.	Функции модуля ввода
Модуль ввода предназначен для ввода и подготовки всей информа-
ции, необходимой для решения задачи методом конечных элементов.
Следует сообщить данные о дискретизации области и представить ее
физические характеристики. Модуль ввода должен также осуществлять
следующие три функции:
•	описание геометрии объекта;
•	генерацию сети конечных элементов;
•	указание областей и границ.
Генерация сети в области заключается в формировании совокупности
узлов и совокупности конечных элементов, обеспечивающих приемле-
u Эти модули обычно называются препроцессором, процессором и пост-
процессором соответственно - Прим ред
САПР, базирующиеся на методе конечных э сементов
105
*
овОв
Вычисление
Выбод
Рис 6 1. Схема операций при решении задачи с использованием метода конечных
элементов.
мую дискретизацию области. Такая дискретизация должна соответство-
вать границам области и внутренним границам между различными ее
участками. Кроме того, конечные элементы не должны иметь форму,
слишком отличающуюся от симметричных форм стандартных элемен-
тов (равносторонних треугольников или тетраэдров, квадратов или
кубов).
Узлы определяются их координатами, тогда как элементы характе-
ризуются их типом и перечнем их узлов. Некоторые формулировки
задач требуют использования интегралов на границах. В этом случае
дополнительно к конечным элементам области (объемным в трехмер-
ных задачах, линейным в двумерных) требуется создать конечные
элементы границ (поверхностные в трехмерных и линейные в двумерных
задачах, дискретизирующие рассматриваемые границы).
Операция указания областей и границ позволяет уточнить физическое
поведение:
•	описание физических характеристик материалов (например, проводи-
мость, теплопроводность и т. д.);
•	описание источников (например, источники тепла);
•	описание граничных условий;
в описание начальных условий для времяпеременных задач.
Обычно эта информация вводится последовательно участок за участ-
ком, граница за границей. Связи между участками, конечными элемента-
ми области и узлами позволяют отразить эту информацию в виде
дискретизации области.
Описание геометрии иногда производится в неявной форме при
создании сети. Однако в настоящее время стремятся разделить эти
операции. Вначале составляется описание геометрии, а затем создается
сеть, использующая заданную геометрию. Крайним случаем является
использование двух специализированных программ: жесткого моделиро-
106
Глава 6
Моделирование
геометрии
Генерация сети
конечны*, элемен-
тов
Указание облас-
тей и границ
(иногда неявное при
генерации сети)
Рис. 6 2 Схема модуля ввода.
вания для геометрической части (например, с помощью пакета EUCLID)
и составления сети для дискретизации (например, с помощью пакета
FEMGEN) (рис. 6.2.).
6.3.	Функции модуля вычислений
Модуль вычислений решает одиночное уравнение для вариационной
постановки или систему линейных или нелинейных уравнений для
проекционной постановки.
Этот модуль получает на входе описание сети, физические характе-
ристики и граничные условия. На выходе он выдает значения искомых
величин в каждом узле сети.
Для решения систем уравнений используются два семейства методов:
методы точечные или блочные, действующие путем релаксаций, и
глобальные матричные методы. Последние методы, используемые зна-
чительно чаще, имеют несколько этапов (рис. 6.3):
9 построение подматриц и собственных подвекторов на каждом конеч-
ном элементе;
9 объединение этих подматриц и подвекторов для формирования
матрицы и правой части;
•	учет граничных условий;
•	решение линейной системы.
Решение линейных систем осуществляется несколькими возможными
способами:
9 прямыми методами (Гаусса, Холецкого);
•	полупрямыми методами (ICCG);
•	итерационными блочными методами (Гаусса-Зейделя).
Для систем нелинейных уравнений эти операции повторяются в
соответствии с принятой итерационной схемой (Гаусса - Зейделя, Нью-
тона-Кантаровича, Ньютона-Рафсона) (рис. 6.4).
САПР, базирхющиесч на методе конечных цементов
107
Элементарный расчет
^Объединение матриц В систему
( Учет граничных услоВий
I
Решение матричной системы^
Рис. 6.3. Модуль вычислений: операции при линейной статической задаче.
Рис. 6.4 Модуль вычислений' операции при нелинейной статической задаче
108
Г пава 6
Рис 6 5 Модуль вычислений операции при нелинейной динамической задаче
Для времяпеременных задач такое рассмотрение должно быть повто-
рено на каждом временном шаге (явные и неявные методы конечных
разностей Крэнка - Николсона, прогноза-коррекций) (рис 6.5)
Описание принципов действия этих методов приведено в гл 4,
посвященной численным методам
6.4.	Функции модуля вывода
Модуль ввода позволяет описать задачу, которая затем решается
модулем вычислений. Однако полученное решение не может непосредст-
САПР, базирующиеся на методе конечных э ie ментов
109
венно использоваться по следующим причинам:
•	значения переменных в узлах конечноэлементной сети не всегда
имеют четкий физический смысл (например, вектор магнитного потен-
циала в задачах электромагнетизма),
•	масса необработанной численной информации, получаемой при вы-
числении (несколько тысяч узловых величин), слишком велика для
восприятия пользователем.
Модуль вывода играет двойную роль (рис. 6.6):
•	извлекает значащую информацию Эта информация может быть
связана с локальными величинами (например, магнитной индукцией,
удельными потерями, механическими напряжениями и т. д) или гло-
бальными величинами (тепловым потоком, электромагнитными силами
и т.д.);
•	представляет численную информацию в графической форме для
облегчения ее восприятия и интерпретации (в виде карты полей, изотерм,
постоянных механических напряжений, кривых изменения температуры
или магнитного поля вдоль некоторой линии и т.д.).
6.5.	Структура программного обеспечения для метода
конечных элементов
Программа САПР, базирующаяся на методе конечных элементов,
должна включать в той или иной степени разнообразные функции,
которые только что были перечислены и объединены в три модуля.
В минимальной конфигурации входной и выходной модули могут
отсутствовать. Карты с данными могут вводиться с помощью редактора
текста. Да и сами результаты можно найти среди выходных результатов
на бумаге!
В программном обеспечении систем автоматизированного проекти-
рования функции ввода и вывода особенно развиты, так как они
сокращают время получения данных и оценки результатов в ходе
моделирования.
Синтез (графический) информации
Извлечение информации
Рис 6 6 Схема модуля вывода
110
Глава 6
Рис 6 7. Возможная организация программного обеспечения с использованием
метода конечных элементов
а-все функции объединены, г) ввод и вывод объединены «-три раздельные программы.
Вычислительный модуль в основном использует элементы основной
конфигурации технических средств: арифметический процессор, опера-
тивную память, внешнюю память большой емкости.
Разнородность используемых ресурсов для препроцессора, процессо-
ра и постпроцессора вынуждает разработчиков иногда организовывать
программное обеспечение в виде трех отдельных программ, реализуе-
мых в ряде случаев на ЭВМ различной производительности (мини-ЭВМ
для взаимодействия и графики, суперЭВМ-для векторных вычислений).
Тогда поток данных, передаваемых из одной программы в другую
(соответственно от одной ЭВМ к другой), осуществляется с помощью
файлов.
Чаще всего встречается следующая организация (рис. 6.7):
•	единая программа для всех функций;
•	одна программа для ввода и вывода, другая программа для расчетов;
•	отдельная программа на каждую функцию.
Использование единой программы, управляющей всеми функциями,
позволяет осуществлять быстрый переход от одной процедуры к другой.
Единая программа особенно эффективна в тех случаях, когда необходи-
мо многочисленное повторение цикла ввод - расчет - вывод.
В следующем возможном варианте пользователь раздельно поль-
зуется модулем ввода-вывода и модулем вычисления. Это позволяет ему
производить расчеты с разделением времени или даже “on line”, если в
соответствии со схемой организации работ имеется очень мощная ЭВМ
(рис. 6.8).
Последний вариант представляет собой цепочку «препроцессор - про-
цессор - постпроцессор». При этом можно предусмотреть использование
нескольких препроцессоров, представляющих пользователю различные
возможности. Пользователь выбирает тот или иной препроцессор в
зависимости от конкретных обстоятельств расчета. Например, если
разработаны два способа построения сети (один полностью автомати-
САПР, базирующиес ч на методе конечных цементов
III
ческий, а другой ручной, работающий поблочно), то сначала осущест-
вляют автоматическое разбиение сети, затем, если результаты не удов-
летворительны (слишком много элементов, не соблюдается симметрия и
т. д.), то используют ручное поблочное разбиение сети. Все случаи
входят в цепочку одной и той же программы решения (рис. 6.9).
6.6.	Взаимодействие между программами
Архитектура, составленная из нескольких программ, предполагает
что все звенья одного и того же уровня (например, программы ввода)
могут сообщить результаты своей обработки всем звеньям следующего
уровня (например, программам расчета).
Если программы получены независимо друг от друга, это правило
обычно не выполняется и тогда необходимо маркирование. Для ограни-
чения числа модулей преобразования данных лучше определить стан-
дарт передачи, называемый нейтральным файлом.
Рис. 6.10 иллюстрирует задачу обмена между программами с по-
мощью файлов. Как правило, введение новой программы ввода требует
указать транслятор для программы вычисления (в данном случае 3).
Поскольку принят стандартный формат для промежуточных данных,
включение входного модуля требует только одного транслятора незави-
симо от числа программ расчета.
Стандарт IGES (Основные требования при обмене графической
информацией), являющийся стандартом ANSI, точно определяет форму
Рис 6.8 Организация рабочих мест в сети
112
Г шва 6
Автома-
тическое
разбиение
сети
Ручное
разбие-
ние сети
Рис 6 9 Два альтернативных способа построения сети, использующие один и тот
же модуль вычислений
обмена содержимого банка данных и позволяет определить формат
данных в нейтральных файлах передачи между программами.
Не следует забывать, что подключение внешних программ, если оно
не представляет теоретическую задачу, может явиться источником не-
приятностей, если программы не были написаны строго и с хорошей
структурой. Следует проявлять особую осторожность при совместном
использовании программ различного происхождения
6.7.	Многодисциплинарные программы
Различные явления, происходящие в непрерывных средах, описы-
ваются одними и теми же уравнениями в частных производных.
Например, двумерное уравнение Пуассона (гл. 5) моделирует сле-
дующие явления
• теплопроводность в непрерывном режиме
8 ( 5Т\	8 ( 5Т\
— /с— +— /с— = -?,
глЛ 8х) 8у\ 8у!
• электростатику
8 / <5V\	8 / 5V\
— Е—) + — Е— = -Р.
5х\ дх/ 8у\ ду)
• магнитостатику
8 /1 ЗАЛ 8 /1 ЗАЛ
I / 9" I ) — Jz
ЗлЛц дх)	8у /
С 4ПР ба<ир\iouiui'i ч на методе конечных элементов
ИЗ
ff
Рис 6 10 Межпрограммная передача данных
а неструктурированная схема передачи данных, б упорядоченная структура чтобы доба-
вить новую программу, достаточно написать один транслятор
114
Глава 6
Механика	Теплотехника	Электромагнетизм
Рис. 6.11. Схема многодисциплинарной обработки по методу конечных элемен-
тов.
Численные методы, и в частности метод конечных элементов, поз-
воляют решать некоторые типы уравнений, представляющие интерес
для различных областей физики. То же самое можно сказать и о
применении программ, использующих эти методы. Одна и та же
программа может служить для решения сходных задач, происходящих
из различных дисциплин.
Тогда возникает проблема выбора языка общения между человеком
и программой в рамках исследуемой задачи. Рассматривается несколько
возможностей:
•	единый нейтральный язык (математический);
•	единый проблемно-ориентированный язык (механика, теплотехника и
т.д.);
в язык для данной задачи.
Решение об использовании единого языка реализуется много проще,
однако оно трудно принимается пользователем. Действительно, как
интерпретировать интерактивный диалог, когда задаваемые вычисли-
тельной машиной вопросы формулируются на математическом языке?
Вот один пример.
- «Следует ли применить к этой поверхности граничное условие
Дирихле (да/нет)?»
Тот же вопрос, сформулированный для теплотехники или электро-
магнетизма, выглядит следующим образом:
- «Эта поверхность имеет одинаковую и известную температуру
(да/нет)?»
САПР, базирующиеся на методе конечных элементов	115
- «На этой поверхности электрический потенциал одинаков и из-
вестен (да/нет)?»
В действительности помимо языка часто существуют более глубокие
различия, связанные с окончанием моделирования в каждом физическом
явлении.
Поэтому часто встречается следующая последовательность обработ-
ки при рассмотрении задач методом конечных элементов:
•	единое устройство разбиения на конечные элементы;
•	устройство описания физических характеристик по дисциплинам;
•	единое решающее устройство;
•	устройство обработки результатов по дисциплинам.
На рис. 6.11 иллюстрируется архитектура одной из таких систем.
Существует еще один метод, который состоит в использовании
общих программ, способных адаптироваться к специальным задачам.
На рис. 6.12 показана организация такой системы. Программное обеспе-
чение FLUX EXPERT, разработанное Ф. Массе в Электротехнической
лаборатории Гренобля, является блестящей иллюстрацией этого ме-
тода.
6.8. Заключение
В этой главе было рассмотрено современное состояние архитектуры
программного обеспечения, использующего метод конечных элементов.
Прогресс аппаратного, программного и методического обеспечения в
будущем может повлиять на разработку такого программного обес-
печения.
Ясно, что значительные достижения в создании рабочих мест с
графическими терминалами радикально преобразуют диалог чело-
век-машина, делая его более эффективным и импровизированным.
Программа
пригодна
для работы
с задачами
статической
механики
Рис. 6.12. Система для решения задач статической механики по методу конечных
элементов.
116
Глава 6
Программное обеспечение, использующее метод конечных элементов,
становится более эффективным при использовании интерактивных про-
цедур
С другой стороны, широкое распространение метода конечных эле-
ментов, требующего больших затрат процессорного времени, стимули-
рует разработку компьютеров высокой производительности Нет сомне-
ний в том, что объединение рабочих мест с суперЭВМ составит ключе-
вую архитектуру для будущих конечноэлементных пакетов
Наконец, появление систем управления базами данных для САПР и
использование элементов искусственного интеллекта оказывают сильное
влияние на прогресс в разработке программного обеспечения и на более
тесную интеграцию в системе автоматизированного проектирования и
производства








Геометрия дискретизация и физические свойства
125
известны, и он имеет к ним доступ лишь на более высоком уровне В
этом случае программа ориентирована на метод конструктивной гео-
метрии, а результат определяется в соответствии с методом описания
границ
Постановка задачи с помощью программного обеспечения DAO Исполь-
зование средств DAO чрезвычайно эффективно при описании и визуали-
зации геометрии объекта (особенно трехмерного) Более того, наличие
на предприятии одного программного обеспечения, используемого од-
новременно в составе DAO и для ввода данных при моделировании,
упрощает процесс облучения (необходимо освоить работу всего лишь
одного программного средства) и управления разработками (исполь-
зуется одна база данных)
Однако этот столь привлекательный метод сталкивается с условия-
ми, ограничивающими его применение
•	средства геометрического описания обеспечивают выполнение чрез-
вычайно эффективных функций для введения и контроля формы объекта
К сожалению, алгоритмы дискретизации, начиная с трехмерной геомет-
рии, пока еще плохо поддаются управлению Именно поэтому боль-
шинство трехмерных разбиений осуществляется с использованием спе-
цифических методов, мало или совсем непохожих не разбиение сплош-
ных тел,
•	наличие единственного описания объекта, реализованного с исполь-
зованием базы данных, хранящейся на предприятии, не может удовлет-
ворить всех потребностей Например, наличие отверстия в верхнем углу
картера имеет большое значение для обеспечения механической прочно-
сти детали или определения техпроцесса ее изготовления, однако может
оказаться абсолютно ненужным при термическом исследовании с по-
мощью метода конечных элементов Следовательно, необходимо по
возможности упрощать геометрию объекта, чтобы тем самым упрос-
тить последующее разбиение Автоматическое формирование такой
геометрии на основе применения полного геометрического анализа пока
еще освоено плохо
7.1.5. Связь человек - программное обеспечение
Связь между оператором и интерактивной программой осуществ-
ляется за один цикл, имеющий три этапа
•	запрос программы,
•	ответ оператора,
•	протокол программы
Этот диалог осуществляется посредством [13]
•	языка команд, предназначенного для управления различными дей-
ствиями, выполняемыми программой,
•	языка описания, позволяющего описывать данные, которые необхо-
димы для работы программы,
•	языка индикации или визуализации, позволяющего назвать програм-
му и получить о ней общие сведения,
126
Глава 7
СОЗДАТЬ ТОЧКУ величина х величина у (номер при возврате)
ИЗМЕНИТЬ ТОЧКУ номер-точки величина-х величина-у
УДАЛИТЬ ТОЧКУ номер-точки
ВЕРИФИЦИРОВАТЬ ТОЧКУ номер-точки (описание при возврате)
ИНДИЦИРОВАТЬ ТОЧКУ номер-точки	С-НОМЕРОМ
ВСЕ	БЕЗ-НОМЕРА
СОЗДАТЬ ГРАНЬ СЕГМЕНТ номер-точки номер-точки номер-точки
ДУГА номер-точки номер-точки номер-точки
ИЗМЕНИТЬ ГРАНЬ номер-грани СЕГМЕНТ номер-точки номер-точки
ДУГА номер-точки номер-точки номер-
точки
УДАЛИТЬ ГРАНЬ номер-грани
ВЕРИФИЦИРОВАТЬ ГРАНЬ номер-грани (описание при возврате)
ИНДИЦИРОВАТЬ ГРАНЬ (номер-грани)	(С НОМЕРОМ)
(ВСЕ)	(БЕЗ НОМЕРА)
СОЗДАТЬ ПОВЕРХНОСТЬ номер-грани... номер-грани
ИЗМЕНИТЬ ПОВЕРХНОСТЬ номер-поверхности номер-грани... номер-грани
УДАЛИТЬ ПОВЕРХНОСТЬ номер-поверхности
ИНДИЦИРОВАТЬ ПОВЕРХНОСТЬ (номер-поверхности) (С-НОМЕРОМ)
(ВСЕ)	(БЕЗ-НОМЕРА)
Рис. 7.10. Язык команд.
Что касается самого оператора, то его диалог основан на следующих
четырех базовых функциях [11]:
•	выборе одной операции из комплекса операций, выполнимых в
данный момент. Речь идет о языке команд или меню;
•	введение буквенно-цифровых символов (текстов или цифр), позво-
ляющих связать числовые значения с параметром команды или меню;
•	введении чертежей или изображений;
•	идентификации объектов.
В качестве примера на рис. 7.10 приведен язык команд и описания
геометрии модели, рассмотренной в разд. 7.1.3. Каждая команда имеет
следующую структуру: управляющее слово-модификаторы-параметры.
На рис. 7.11 представлен один из вариантов «иерархического меню».
Использование такого диалога имеет много преимуществ. Он не требует
знания кодовых слов или синтаксиса команд. Выбор операции можно
осуществить простым графическим обозначением.
На рис. 7.12 представлен отрывок диалога, использующего язык
команд, а на рис. 7.13 показаны различные состояния поля воспроизведе-
ния иерархического меню.
В любом случае, работу оператора облегчит быстрая и точная
реакция программного обеспечения на каждую из этих команд.
7.2. Дискретизация области
Дискретизация области соответствует представлению непрерывной
среды в дискретной форме. В методе конечных элементов дискретизация
Геометрия, дискретизация и физические свойства
т
УРОВЕНЬ 1	УРОВЕНЬ 2	УРОВЕНЬ 3
СОЗДАТЬ	ТОЧКУ ГРАНЬ	Позиция-точки СЕГМЕНТ идентификация-точек ДУГА идентификация-точек
ИЗМЕНИТЬ	ПОВЕРХ- НОСТЬ ТОЧКУ ГРАНЬ	идентификация-граней идентификация-точки положение-точки идентификация-грани СЕГМЕНТ идентифика- ция-точек ДУГА идентификация-то- чек
УДАЛИТЬ	ПОВЕРХ- НОСТЬ ТОЧКУ ГРАНЬ ПОВЕРХ- НОСТЬ	идентификация-поверхности идентификация-гра- ней идентификация-точки идентификация-грани идентификация-поверхности
Рис. 7.11. Диалог, организованный по иерархическому меню.
=>	СОЗДАТЬ (С)	ТОЧКУ (Т)	0 0	
=>	С	т	10 0	
=>	С	т	10 20	
=>	ИНДИЦИРО- ВАТЬ	ТОЧКУ	ВСЕ	С-НОМЕРОМ
=>	СОЗДАТЬ	ГРАНЬ (ГР)	СЕГМЕНТ	1 2
=i>	С	ГР	СЕГ	3 4
=>	С	ГР	СЕГ	2 12
=i>	СТЕРЕТЬ			
=i>	ИНДИЦИРО- ВАТЬ	ГРАНЬ	ВСЕ	С-НОМЕРОМ
=i>	СОЗДАТЬ	ПОВЕРХ- НОСТЬ	2 10 4 8	
Рис. 7.12. Определение объекта, представленного на рис. 7.7, с помощью языка,
представленного на рис. 7.10.
заключается в разделении области на группу подобластей (элементов) с
соблюдением границ и переходов исходной области. При таком разделе-
нии выявляется некоторое количество узлов (например, вершины
треугольников первого порядка), для которых определяются степени
свободы, используемые в уравнениях с конечными элементами. Любой
дву- или трехмерный объект можно представить как совокупность
простых линейных элементов (треугольника, четырехугольника, тетраэд-
128
Г шва 7
КОМАНДА	а	КОМАНДА “УДАЛИТЬ”	а	КОМАНДА “УДАЛИТЬ ТОЧКУ”
СОЗДАТЬ ИЗМЕНИТЬ	б	ТОЧКА ГРАНЬ ПОВЕРХНОСТЬ	б	
УДАЛИТЬ ИНДИЦИРОВАТЬ		ГРАНИЦА ОБЛАСТЬ	в	ВОЗВРАТ
ОСТАНОВИТЬ	в	ВОЗВРАТ		
Исходное
меню
Меню после
выбора
точки
Меню после
выбора
команды
“УДАЛИТЬ”
Рис. 7.13 Динамическое иерархическое меню.
а-ход развития древовидной структуры, б-активный выбор, «-возврат на ближайший
верхний уровень
ра, шестигранной призмы), а при необходимости и криволинейных
элементов. Благодаря относительной легкости дискретизации на конеч-
ные элементы, а также универсальности выполняемых при этом вы-
числительных операций, метод конечных элементов получил широкое
распространение в САПР.
В данном разделе книги рассматриваются наиболее широко исполь-
зуемые методы дискретизации на конечные элементы и определяется
возможность их связи с описанием геометрии объекта.
7.2.1.	Структура дискретизированной модели
Прежде чем описывать методы дискретизации, напомним структуру
дискретизированной модели. Разделение на конечные элементы описы-
вается с помощью следующих списков узлов и конечных элементов:
узел = тип координат, координаты,
индекс узла изображения,
конечный элемент области =
тип,
индекс первого узла,
индекс последнего узла,
индекс области,
конечный элемент границы =
тип,
индекс первого узла,
индекс последнего узла,
индекс границы,
индекс элемента соседней области I,
индекс элемента соседней области 2
Геометрия дискретизация и физические свойства
129
Список узлов содержит метрическую информацию в адекватной
системе координат (х, у, г, 6; г, z; х, у, z; г, 6, z, ...). В списках конечных
элементов заключена топологическая информация: разделение области
на конечные элементы области и разделение границ на конечные элемен-
ты границы.
Рис 7 14 Некоторые типы конечных элементов
130
Глава 7
Тип конечных элементов одновременно определяет их форму (сег-
мент, треугольник, четырехугольник, тэтраэдр, призма, шестигранник) и
количество узлов (треугольники с 3 или 6 узлами). На рис. 7.14 показаны
некоторые линейные, плоские и пространственные конечные элементы с
их кодовым номером и локальной нумерацией узлов. Индексы области и
границы служат для установления связи между элементами разбиения и
физическими характеристиками областей и границ (разд. 7.3.1)
Некоторые формулировки метода конечных элементов требуют вы-
числения интегралов на границах (например, тепловой поток, известный
на границе). Такие интегралы определяются в пределах конечных эле-
ментов границы. Иногда выражение подынтегральной функции зависит
от внутренних процессов, происходящих в области (нормальная произ-
водная переменной); в этом случае удобно иметь информацию о сосед-
нем конечном элементе (предполагается, что разбиение области и
границы совместимо). Для конечного элемента границы, расположен-
ного на месте сопряжения, существуют два соседних конечных элемента
области (для двумерного случая - один - справа, другой - слева от линей-
ного элемента; для трехмерного случая-один-сверху, другой-снизу от
плоского элемента). Для конечного элемента границы, расположенного
на краю области, существует только один соседний элемент области.
Все эти данные, представленные в той или иной эквивалентной
форме, необходимы при обработке с использованием метода конечных
элементов. Однако они неудобны при кодировании вручную. Вот почему
исторически развитию программного обеспечения метода конечных
элементов предшествовало развитие методов дискретизации
7.2.2.	Блочная дискретизация
Такая дискретизация фактически соответствует предварительному
разбиению объекта на суперэлементы, которые в свою очередь делятся
на конечные элементы. Обычно эти блоки имеют очень простую
топологию (треугольники и четырехугольники в двумерном случае;
тетраэдры, призмы и шестигранники в трехмерном случае) и могут быть
прямолинейными и криволинейными (рис. 7.15).
Оператор должен внимательно следить за разбиением граней с тем,
чтобы использовать получаемую при этом информацию для распростра-
нения разбиения внутрь плоских или объемных блоков. Кук и Зенкевич
предлагают методы, которые основаны на равномерном распределении
узлов в блоке, при том условии, что противоположные грани имеют
такое же количество узлов. Однако существуют и другие методы,
которые свободны от этого ограничения [33].
На рис. 7.16 проиллюстрирована основная идея метода Кука приме-
нительно к четырехугольнику. На рисунке показана поверхность, под-
лежащая дискретизации, с выделенным на ней единичным квадратом.
Локальные координаты (и, и) узлов на краях вычисляются через из-
вестные реальные координаты этих узлов. Локальные координаты внут-
Геометрии, дискретизации и физические свойства
131
Рис. 7.15. Дискретизация области блоками.
а - предварительное разбиение, б-разбиение блока на конечные элементы.
Рис 7 16 Дискретизация четырехугольника по методу Кука
Граничные узлы известны, внутренние - вычисляются а-локальные координаты, б-дейст-
вительные координаты
132
Глава 7
ренних узлов получаются путем определения координат точек пересече-
ния линий, соединяющих узлы одного ряда:
	(^i,j макс	мин^	^А’,у мин^	
	' Г у макс	- и.  ) (V-	. - V- ) i,j мин/ 1	1 макс, j	i мин, у/
	(V- 1	1 макс, j	V- ) (U 	+ V- -1 1 МИН,у/ 1 l,J МИН 1	1 мин,у/
iJ ]	।	( ^i,j макс	- и. } (V  - V ) t,J мин/ 1	1 макс, у	i мин, J'
Затем локальные координаты преобразуются в действительные. В про-
цессе таких преобразований возможно применение формул интерполя-
ции Кука, Зенкевича или других формул.
Определение конечных элементов не представляет трудности, по-
скольку образованные узлы топологически распределены равномерно,
что упрощает правила их соединения.
Метод описания блоками с последующим их разбиением на конечные
элементы безусловно является наиболее распространенным при дискре-
тизации дву- и трехмерных объектов (генераторы сети: COLIBRI,
FEMGEN, SUPERTAB). Характеристики таких генераторов зависят
главным образом от используемых методов описания геометрии и
правил соединения между собой соседних блоков.
Практически в основу этих методов положен принцип такого соеди-
нения блоков, при котором правильное расположение блоков позволяет
восстановить геометрию области.
Некоторые двумерные генераторы предлагают более естественный
способ дискретизации в три этапа:
•	описание геометрии объекта;
•	разбиение объекта на блоки;
•	разбиение блоков на конечные элементы.
В этом случае метрические и топологические данные выводятся из
геометрической модели и переводятся сначала в направлении модели
блоками, а затем в направлении элементарного разбиения. Именно это
имеет место в версии 1985 генератора FLUX 2D. Благодаря сопряжению
моделирующего пакета программ EUCLID с генератором сети FEMGEN
был реализован трехмерный вариант этого метода.
7.2.3.	Дискретизация наложением сетки
Равномерная сетка. Она располагается на поверхности в двумерном
случае или в объеме в трехмерном случае. Привязка на краях или на
переходах области достигается либо перемещением наиболее близкого
узла сетки, либо расчетом точек пересечения сетки с границей (рис. 7.17).
Квадратичное и восьмеричное дерево. Многочисленные варианты этого
метода, называемые «квадратичным деревом» в двумерном случае и
«восьмеричным деревом» в трехмерном случае, приводят обычно к
возникновению большого количества узлов на криволинейных границах
и рядом с ними. Однако Йери и Шепард предложили метод, называемый
«подходом с использованием модифицированного квадратичного дере-
Геометрия, дискретизация и физические свойства
133
Рис. 7.17. Дискретизация наложением сетки.
Краевые узлы приведены к границе. Пересечения с границей определены, а-исходная сетка;
б-окончательная дискретизация.
ва», который обеспечивает приемлемое распределение узлов (рис. 7.18).
В данном подходе с наложением сетки генерация конечных элементов
не создает проблем, пока сетка остается топологически неизменной.
Однако в тех случаях, когда узлы определяются как результат пересече-
ния, на границах области возникают многочисленные частные пробле-
мы.
Эти методы реализуются достаточно просто и являются очень
надежными, поскольку опираются на геометрическую модель объекта;
кроме того, они полностью поддаются автоматизации как в двумерном,
так и трехмерном случаях.
7.2.4.	Фронтальное распространение сети
Исходный предпосылкой этого метода является обычно известная
фронтальная дискретизация. Элементы строятся послойно, опираясь на
этот фронт. Каждый новый слой продвигает фронт внутрь области.
Дискретизация оканчивается, когда фронт исчезает.
Такой метод успешно использовал Понсе в программе DELTA для
автоматической двумерной дискретизации с помощью треугольников.
Внутренние узлы создаются последовательно вдоль фронта таким обра-
зом, чтобы формировать практически равносторонние треугольники,
удовлетворяющие критериям плотности дискретизации. В случае не-
односвязных поверхностей (например, поверхности с отверстиями)
необходимо добавить искусственный разрез, который делает их одно-
связными (рис. 7.19 и 7.20).
С точки зрения реализации этот метод опирается на геометрическую
модель и, за исключением процедуры определения разреза, может быть
полностью автоматизирован. Можно привести достаточно много при-
меров его использования для решения двумерных задач. Случаев же его
использования для решения трехмерных задач, насколько нам известно,
не так уж много.
Рис 7 18 Подход с использованием модифицированного квадратичного дерева
(данные Йери и Шепарда)
а граница объекта, d-модифицированное квадратичное дерево, в окончательная дискрети-
зация
Геометрия дискретизация и физические свойства
135
Рис 7 19 Неодносвязная поверхность, которая стала односвязной вследствие
разреза
Рис 7 20 Несколько шагов фронтального алгоритма, рассмотренные на одном
примере [49]
136
Г пава 7
7.2.5.	Дискретизация путем наложения слоев
Методы наложения слоев применимы только к трехмерным объек-
там.
Дискретизация 2,5 D. Этот простой метод заключается в том, что
дискретизированная поверхность перемещается в пространстве. Переме-
щение может осуществляться по кругу при дискретизации тора, по
прямой-при дискретизации цилиндра и по кривой-в общем случае.
При каждом шаге образуются узлы и призматические или шестигранные
элементы. Такой способ можно применять только при дискретизации
объектов, которые сами были получены как результат перемещения
профиля по определенной образующей (рис. 7.21).
Топология 2,5 D. Если объект имеет форму, близкую к тору или
цилиндру (точно не являясь ни тем, ни другим), то можно применить
один из вариантов предыдущего метода. К каждому новому слою
добавляются узлы, полученные при равномерном перемещении узлов
предыдущего слоя. Это необходимо для согласования с изменениями
геометрии относительно предыдущего уровня. При этом топология
дискретизации не изменяется (TOSCA).
В методе сечений используются не топологически идентичные слои, а
поверхности, дискретизованные на треугольники. Если две поверхности
одного объекта разбиты на треугольники независимо друг от друга, то
между ними можно осуществить тетраэдральную дискретизацию [49]
(рис. 7.22). Процесс дискретизации сечений сводится к следующему:
• определение плоских сечений;
Рис 7 21 Перемещение дискретизированной поверхности
Геометрия, дискретизация и физические свойства
137
Рис 7 22. Разбиение на тетраэдры области между двумя треугольными сечениями
[49]
•	разбиение этих сечений на треугольники;
•	разбиение пространства между сечениями на тетраэдры.
В основе этих методов лежит разделение объекта на плоские сечения.
Вместе с тем они применимы лишь к определенному типу геометрии.
7.2.6.	Глобальное разбиение на треугольники и тетраэдры
Методы, представленные в данном разделе, не учитывают тополо-
гических связей (фронта, слоя) между узлами, которые в общем априор-
но известны, но распределены самым случайным образом.
Исследование соединений. Этот метод разработан для двумерного случая
Фредериком и др. и усовершенствован применительно к трехмерному
случаю Нгуеном ван Феем. Он заключается в том, что уже созданные
узлы соединяются друг с другом в соответствии с критериями локальной
максимизации наименьшего телесного угла сформированных тетраэд-
ров. Метод можно упростить, ограничив исследование наиболее близких
друг к другу узлов, которые легко можно соединить между собой.
У этого алгоритма имеется целый ряд недостатков:
•	для вогнутых участков области необходимо предусмотреть дополни-
тельные узлы;
•	требуется контроль взаимопроникновения;
•	не предусмотрена возможность введения новых узлов.
Разбиение на треугольники и тетраэдры по Делоне. Этот более эффек-
тивный метод предполагает разбиение на треугольники в двумерных
случаях и на тетраэдры в трехмерных случаях. При таком способе
138
liana 7
Рис. 7.23. Итерационная триангуляция по Делоне
а-дискретизация D,_j (3 треугольника, описанные окружности которых содержат узел I,
должны быть исключены), б-дискретизация D, (строятся 4 новых треугольника)
дискретизации не имеется ни одной вершины треугольника (соответ-
ственно тетраэдра), которая находилась бы точно внутри круга, опи-
санного вокруг другого треугольника (соответственно сферы, описанной
вокруг другого тетраэдра).
Такая дискретизация проводится итеративно с помощью следующего
алгоритма:
•	дискретизация Do блока, содержащего всю систему узлов, осуществ-
ляется двумя треугольниками в двумерном случае и восемью тет-
раэдрами в трехмерном случае;
•	при проведении дискретизации D, каждый z-й узел (где i = 1, ..., N)
объединяется с дискретизацией D, _ t следующим образом (рис. 7.23):
а)	элементы, описанная окружность (сфера) которых содержит узел z,
исключаются;
б)	грани треугольников в двумерном случае и плоскости тетраэдров
в трехмерном случае, видимые из узла z, соединяются с узлом z для
формирования новых элементов;
в)	ненужные элементы вокруг объекта удаляются.
Метод имеет следующие преимущества:
•	полученные треугольники и тетраэдры «в среднем» имеют приемле-
мую форму;
•	новые узлы могут включаться в процесс дискретизации.
Основой данного метода является систематический метод автомати-
ческой дискретизации (Эрмлин, дю Терай), суть которого сводится к
следующему:
•	задается первый набор узлов, «разумно» распределенных на границах
и поверхностях сопряжений;
•	с помощью этих узлов проводится первая граничная дискретизация
(следует следить за соблюдением границ и поверхностей сопряжений);
Геометрич, дискретизации и физические свойства
139
•	«слишком большие» конечные элементы удаляются. Для этого доста-
точно добавить по одному узлу в барицентре каждого из этих элементов
и вводить их в процесс дискретизации до тех пор, пока не исчезнут все
слишком большие элементы.
При устранении «слишком больших элементов» можно использовать
геометрический критерий: площадь или объем элемента должны соот-
ветствовать требуемой плотности дискретизации [39], а также критерии
моделирования: площадь или объем должны уменьшаться, пока пре-
обладают ошибки метода конечных элементов, обусловленные дискре-
тизацией.
На таком подходе основан адаптивный графический препроцессор,
разработанный Сандесом:
•	на основе первой (грубой) дискретизации программа вырабатывает
первое решение;
•	полученное решение позволяет выявить те области, в которых ошиб-
ка принятого метода дискретизации наибольшая.
В этих областях увеличивают точность проведения дискретизации.
Вновь получают решение, соответствующее более точной дискретиза-
ции. Такой процесс продолжается до тех пор, пока ошибка дискретиза-
ции не станет допустимой или пока не будет достигнуто максимально
допустимое количество элементов или узлов.
Сандес предлагает метод, согласно которому ошибка дискретизации
вычисляется с помощью энергетических данных, выводимых из при-
ближенного решения.
С точки зрения применения метод дискретизации Делоне основы-
вается на геометрической модели объекта и полностью автоматизируем.
Этот метод в настоящее время нашел очень широкое применение в
программном обеспечении САПР.
Рис 7 24 Триангуляция по Делоне генератором сети FLUXLAB. (Документация
ENSIEG)
Рис 7 25 Разбиение на тетраэдры по Делоне генератором сети FLUX3D-
GET3D (Документация ENSIEG)
а -объект, подлежащий дискретизации, б -дискретизация объекта, в-дискретизация объекта
и воздуха
Геометрия дискретизация и физические свойства
141
7.2.7.	Улучшение качества дискретизации
Качество дискретизации зависит от двух критериев:
•	формы элементов: элементы не должны иметь форму, слишком
отличающуюся от идеальной (равносторонних треугольников, квадра-
тов, кубов и т. д.), ввиду опасности вырождения решения;
•	размеров элементов: ошибка метода, вводимая дискретизацией, зави-
сит от размеров элементов. Последние должны быть по возможности
меньше в тех областях, в которых решение затруднено.
Этим критериям удовлетворяют два пути, по которым следует идти
при выполнении дискретизации:
•	формирование элементов;
•	оптимизация сеток.
Формирование элементов. Предварительные результаты проведения
дискретизации нельзя считать полностью удовлетворительными. Напри-
мер, разбиение на треугольники и тетраэдры по Делоне, несмотря на
абсолютную точность, включает несколько слишком плоских элементов,
близких к вырождению. В этом случае улучшению дискретизации
способствует регулирование разбиения. Достаточно переместить каж-
дый внутренний узел к барицентру ближайшего элемента. Повторив эту
процедуру несколько раз, можно достигнуть прекрасных результатов
[39] (рис. 7.26 и 7.27).
Оптимизация сеток. Оптимизацию заданной дискретизации можно
осуществить следующими методами:
•	уменьшением размера элементов;
•	повышением точности на каждом элементе (порядок функции интер-
поляции).
Ранее мы рассматривали адаптивный препроцессор, основанный на
дискретизации Делоне (Сандеса).
В адаптивных методах дискретизация и решение тесно связаны друг с
другом. Оптимальная дискретизация зависит одновременно как от
геометрии, так и физической сущности задачи. Одна и та же задача, в
Рис 7 26 Регулирование триангуляции
Центральный узел перемещается в барицентр соседних треугольников
142
Гчава 7
Рис 7 27 Регулирование триангуляции по Делоне
а грубая дискретизация, б откорректированная дискретизация
Геометрич дискретизацич и физические свойства
143
которой источник энергии перемещается или меняет свою эффектив-
ность по нелинейному закону, ведет к новой дискретизации
В настоящее время не существует метода адаптивной дискретизации,
который можно было бы предпочесть Такой метод пока находится в
стадии эксперимента
7.2.8.	Визуализация разбиения
В предыдущем разделе мы подчеркнули важность качества дискрети-
зации Существуют определенные способы автоматического контроля на
каждом элементе
•	слишком острые или слишком тупые углы,
•	очень важное значение имеет отношение длины к ширине или на их
соединении,
•	наличие несовместных элементов;
•	наличие отверстий
Однако оператор будет чувствовать себя увереннее, если предусмот-
реть возможность визуализации осуществляемой им дискретизации
Кроме всего прочего эта процедура бывает часто необходимой в
процессе интерактивного разбиения.
Рис 7 28 В момент вычерчивания каждый конечный элемент подвергается гомо-
тетии с масштабом 0,9 относительно барицентра элемента
Это позволяет обнаружить отверстия (пространство между элементами 13, 30, 31 и 32) и
несовместные элементы (сопряжения элементов 34 и 42 с элементом 35) FLUX 2D
(Документация ENSIEG)
144
Г iaea 7
При визуализации двумерной дискретизации обычно не возникает
проблем. Однако необходимо отметить особую технику вычерчивания
элементов (рис. 7.28), позволяющую выявлять наличие отверстий и
несовместных элементов
Наоборот, визуализация трехмерных разбиений достаточно трудна
для понимания оператора. При проведении этой операции используются
следующие способы:
•	каркасное представление: высвечиваются все ребра всех элементов.
Если вычерчивается много элементов, то рисунок быстро становится
запутанным,
•	удаление невидимых линий: вычерчиваются лишь видимые ребра и
поверхности. Этот способ обеспечивает визуализацию внешних обра-
зующих поверхностей разбиения всей области или подсистемы элемен-
тов. Посредством последовательного снятия слоев элементов можно
изучать внутреннюю часть разбиения;
•	проведение сечения в разбиении: сечение трехмерного разбиения
плоскостью представляет собой двумерное разбиение, дающее представ-
ление об исходном разбиении.
Замечание. Прямолинейный тетраэдр можно разрезать плоскостью,
проходящей через точку, сегмент, треугольник или прямоугольник.
Существенному улучшению понимания картины способствует ис-
пользование цветов для дифференцирования элементов и усиления
объемного эффекта.
7.3. Описание физических характеристик
Наряду с геометрическим описанием области и ее дискретизацией
численное моделирование требует наличия следующей информации:
- Каков тип решаемого уравнения в частных производных (УЧП)?
- Каковы характеристики коэффициентов этих уравнений?
- Каковы граничные условия (ГУ)?
- Какими характеристиками обладают коэффициенты для гранич-
ных условий?
Например, для системы с подвижным сердечником и осевой сим-
метрией (рис. 7.29) можно дать следующие ответы на поставленные
вопросы:
а / 1 а / \\ а / i а / \\
УЧП- — v----гАй I + —( v---( гАй = / в области Q,
5г\ гдг\ // dz\ г dz\ //
- коэффициенты УЧП v и j, определенные кусочно (рис 7 29),
- ГУ Ав = О,
- коэффициенты ГУ отсутствуют
Здесь Ав - определяемая компонента потенциального вектора Я, у-известная
плотность тока, V-магнитная проводимость (обратная магнитной проницаемос-
ти), которая постоянна в воздухе и в катушке, но зависит от величины индукции В
в сердечнике
Геометрия дискретизация и физические свойства
145
Рис 7 29 Подвижный сердечник
Магнитостатическая задача с осевой симметрией £1, = железо (v = функция от Ао, j = 0),
О2-КАТУШКА (v = v0, j = 5 А/мм2), П, = ВОЗДУХ (v = v0, J = 0), Г, = ОСЬ (А„ = 0), Г2 =
= БЕСКОНЕЧНОСТЬ (А„ = 0)
Обычно оператор косвенно указывает тип уравнения, подлежащего решению,
выбирая соответствующую программу моделирования или соответствующую
функцию в имеющейся у него более общей программе Тогда ему остается
ответить на три других вопроса
Целью данного раздела является изложение методов описания системы
физических параметров
7.3.1.	Локализация и спецификация
Определение физических параметров осуществляется в два этапа за
счет локализации и спецификации
Локализация физических параметров соответствует идентификации
различных участков области (зон) и различных участков края области
(границ), что оказывает влияние на определение физических параметров.
|46
Глава 7
Программа	Л———
Администратор ) —--------
добавить
удалить
изменить
проверить
База данных
материалов
Программа
моделирования
проверить
Рис 7.30 База данных материалов
Эти топологические данные, которые нисколько не заменяют точного
определения материалов и граничных условий, обычно вводятся в
процессе геометрического описания (разд. 7.1.3), а затем распространя-
ются на дискретизацию (разд. 7.2.1).
Спецификация физических параметров заключается в эффективном
описании материалов и источников каждой зоны, а также типа и
параметра граничных условий на каждой границе. Эти данные можно
уточнить без дескриптора геометрии и дискретизации, которые стано-
вятся в этом случае более общими, поскольку не зависят от модели-
рующей части. Зависимости между топологией и физическими характе-
ристиками осуществляются в процессе топологического описания с
помощью имен, соответствующих зонам и границам.
7.3.2.	Описание физических параметров зон
Этот этап заключается в описании параметров материалов и источ-
ников каждой зоны.
Действительно, во многих задачах очень часто встречаются одни и те
же материалы. Поэтому целесообразно объединить их описания в «базе
материалов», к которой пользователь сможет обратиться и данные
которой можно вызывать посредством специальной программы, назы-
ваемой «администратором» базы данных (рис. 7.30).
При этом можно выполнять следующие операции:
-	проверку каталога материалов, каталога свойств, свойств мате-
риала, характера изменения (формы кривой);
-	добавление материала, приписывание материалу нового свойства;
-	удаление материала, лишение материала какого-либо свойства;
изменение наименования материала, наименования и описания
свойства.
Каждый материал имеет наименование и комплекс физических
свойств, которые могут быть постоянными или переменными в зависи-
мости от пространственных и временных координат.
Свойство материала определяется двумя факторами:
-	его моделью (характером его изменения);
-	его взаимодействием со средой (влияющими факторами).
Геометрия дискретизация и физические свойства
147
Примеры физических свойств:
-	магнитная и диэлектрическая проницаемости в вакууме:
•	модель: изотропная постоянная,
•	зависимость: отсутствует;
- теплопроводность слоев (тензорная величина),
•	модель: анизотропная постоянная,
•	зависимость: отсутствует;
-	удельное электрическое сопротивление, зависящее от температуры:
• модель: линейное изотропное изменение,
• зависимость: температурная;
- теплопроводность слоев, зависящая от температуры:
•	модель: линейное анизотропное изменение,
•	зависимость: температурная;
- магнитная индукция изотропной насыщаемой среды В(Н):
•	модель: сплайн второго порядка,
•	зависимость: от магнитного поля Н.
Могут потребоваться другие модели, в частности, для теплопровод-
ности квадратичные и экспоненциальные модели.
Замечание. Нелинейные характеристики материалов, полученные в ре-
зультате измерений, должны определяться очень тщательно. Прежде
всего, необходимо убедиться в том, что результат интерполяции (в
частности, сплайн) однороден и не содержит пульсаций (контроль
производных).
Это обусловливает эффективность итерационных процессов, исполь-
зуемых при решении нелинейных уравнений Гаусса-Зейделя и Ньюто-
на-Рафсона.
На рис. 7.31 представлены результаты интерполяции после сглажи-
вания характеристики намагничивания В(Н) листовой электротехничес-
кой стали TS10.
7.3.3.	Описание физических характеристик границ
При моделировании физического поля нужно учитывать его состоя-
ние по всей области. Следовательно, необходимо описать граничные
условия, которые в математике могут принадлежать к следующим
типам:
-	условия Дирихле: значение переменной задается на границе (тем-
пература известна, перемещение запрещено);
-	циклические условия Дирихле: имеется зависимость между иссле-
дуемыми функциями на двух границах (разд. 7.2.1). Различают три типа
циклических условий:
•	условия периодичности: переменная имеет одно и то же неизмен-
ное значение в двух аналогичных точках обеих границ. Пример: два
одноименных полюса синхронного двигателя. Значения переменной по
двум радиусам, отстоящим друг от друга на два полюсных деления,
идентичны;
148
Глава 7
Рис 7.31 Кривая намагничивания листовой электротехнической стали TS 10.
Интерполяция сплайном 2-го порядка (Документация FLUXLAB)
•	условия апериодичности: значения переменной неизвестны и про-
тивоположны по знаку для аналогичных точек на двух границах.
Пример: два разноименных полюса синхронного двигателя. Значения
переменной по двум радиусам, отстоящим друг от друга на полюсное
деление, противоположны по знаку;
•	условия сдвига: между неизвестными значениями аналогичных
точек двух границ имеется постоянная известная разность. Это условие
используется, когда область пересекается потоком, величина которого
известна, а траектория неизвестна;
-	условия Неймана: значение нормальной производной переменной
на границе известно. Различают два типа условий Неймана:
•	однородные условия: нормальная производная переменной равна
нулю. Пример: некоторые плоскости симметрии;
•	неоднородные условия: значение нормальной производной пере-
менной на границе известно или зависит от переменной. Это условие в
действительности представляет собой источник, который обеспечивает
связь с внешней средой. Пример: тангенциальное поле в электромагне-
тизме, конвективный или радиационный обмен в теплотехнике.
Замечание. В некоторых граничных условиях используются поверхност-
ные параметры материалов, которые можно поместить в базу данных
материалов совместно с объемными параметрами. Пример: поверх-
ностные коэффициенты конвективного и радиационного обмена.
Геометрия, дискретизация и физические свойства
149
7.3.4.	Реализация
На практике до решения задачи оператор уточняет, из какого
имеющегося в базе данных материала состоит каждая область. Кроме
того, он определяет источники и граничные условия.
Данные о материалах извлекаются из базы данных и в виде копий
передаются решающей программе либо просто в виде ссылок сообща-
ются моделирующей программе, которая в нужный момент осуществит
их извлечение из базы данных.
7.3.5.	Заключение
В данной главе мы рассмотрели методы, используемые для сле-
дующих целей:
•	описания геометрии;
•	дискретизации области;
•	описания свойств областей и границ.
Эти три функции часто бывают тесно связанными в тех реализациях,
основное внимание в которых уделено процессу дискретизации.
Чрезвычайно высокие качества алгоритмов автоматической двумер-
ной дискретизации и возможные ожидаемые усовершенствования в
области трехмерной и адаптивной дискретизации позволяют предпола-
гать, что в будущем наименее интересная функция-дискретизация отой-
дет на второй план, а на первь!й план выдвинутся две другие функции,
которые являются более общими. Поэтому в данной главе большое
внимание мы уделили методам описания геометрии, которые, безуслов-
но, все более интенсивно будут применяться в конечноэлементных
пакетах САПР.
С другой стороны, в настоящее время имеется тенденция к увели-
чению сложности задач, решаемых с помощью конечных элементов,
вследствие введения нелинейностей соединений. Поэтому при совре-
менном моделировании необходимо глубокое знание состава имеющих-
ся материалов. Именно поэтому мы подчеркнули важность объединения
этой информации в виде базы данных материалов, пригодной для
численного моделирования.
8.	Обработка результатов
Комплексный анализ системы методом конечных элементов прово-
дится в три этапа'
-	постановка задачи, которая заключается в геометрическом описа-
нии объекта, в определении способа его разбиения на конечные элемен-
ты, а также в указании его физических характеристик и граничных
условий;
-	вычисления методом конечных элементов, в ходе которых создает-
ся математическая модель объекта в виде системы уравнений, которая
затем решается;
-	обработка результатов, которая заключается в преобразовании
дискретных данных, полученных на предыдущем этапе, в удобные для
оператора величины.
Целью данной главы является описание основных принципов анали-
за, проводимого методом конечных элементов. Эти принципы исполь-
зуются на последнем этапе решения задачи, который можно было бы
назвать «экстрактором результатов» или «постпроцессором».
8.1.	Задачи постпроцессора
Постпроцессор выполняет следующие функции:
-	извлечение необходимых данных по запросу;
-	интегральное представление результатов расчета;
-	решение уравнений, описывающих постановку задачи.
8.1.1.	Извлечение данных
Дискретизированная модель решаемой задачи сводится к совокуп-
ности значений переменных, характеризующих состояние объекта и
вычисленных в узлах аппроксимирующей сетки на этапе решения задачи.
Возможность непосредственного использования этих переменных для
обработки зависит от характера исследуемого явления. Так, при реше-
нии задач теплопередачи наиболее предпочтительными являются дан-
ные о распределении температуры, в то время как при анализе линейной
упругости необходимо иметь данные о перемещениях.
В некоторых случаях может быть и так, что сама по себе переменная,
характеризующая состояние объекта, не несет никакой информации.
Например, при решении объемных задач по электромагнетизму сам
вектор магнитного потенциала А не несет никакой информации. Для
разработчика нужна его производная В = rot А, определяющая величину
Обработка резу зьтатов
151
магнитной индукции. Даже в тех случаях, когда задача связана не-
посредственно с оценкой состояний, знание значений производных бы-
вает очень полезным. Это, в частности, относится к задачам по изуче-
нию плотности теплового потока (Q = — К grad Т) или упругих напря-
жений Исследования дискретной модели объекта позволят получить
следующие данные:
-	локальные значения (температуры, плотности теплового потока,
перемещения, магнитной индукции);
-	интегральные показатели (величина теплового потока через по-
верхность, величина внутренней магнитной энергии).
8.1.2.	Представление информации
Дискретизированная модель объекта, получаемая с помощью метода
конечных элементов, позволяет определять интересующие нас локаль-
ные и глобальные величины.
Эти цифровые данные можно представить в виде таблиц значений,
предназначенных для пользователя. Такой метод требует больших
затрат времени и сил и применяется при отсутствии других более
совершенных методов (рис. 8.1).
Появление надежного графического оборудования позволило отойти
от этого метода. ЭВМ обладает способностью на основании цифровых
значений синтезировать изображения, а затем выводить эти изображе-
ния на графопостроители или на графический видеотерминал. В полу-
чаемых таким образом рисунках используется определенная система
графических символов, которая требует предварительного освоения К
этим символам относятся: кривые равных значений, траектории частиц,
матрицы стрелок. Они имеют существенные преимущества по сравне-
нию с цифровыми списками (рис. 8.2).
В частности, глобальные данные этого типа позволяют сразу
выявить грубые ошибки в решении задачи. Это очень важно; одно это
оправдывает все усилия, направленные на усовершенствование методов
обработки результатов, (рис. 8.3).
8.1.3.	Работа с уравнениями и задачами
Если исследуемый объект линеен, то его можно представить систе-
мой линейных базовых уравнений. В качестве примера рассмотрим
область, включающую два независимых электрических проводника С1 и
С2, а точнее - область с магнитным полем В1 (х, у, z), образованным
током Л = 1 в проводнике С1 и током 12 = 0 в проводнике С2, или
магнитным полем В2 (х, у, z), образованным токами Л = 0 и 12 = 1.
Общее решение задачи для любых значений токов 11 и 12 имеет
следующий вид:
B(x,y,z) = Л Bl (x,y,z) + 12• В2(х,у,z).
т
Глава 8
Для получения частного решения, соответствующего конкретной задаче,
на основании ранее полученного общего решения задачи можно исполь-
зовать постпроцессор. Часто бывает так, что новая задача описывается
уже известным уравнением. В этом случае можно использовать связь,
существующую между решениями для систем с конечными элементами.
Если, например, какая-либо зона области требует более точного анали-
за, целесообразно извлечь эту зону, провести в ней достаточно подроб-
Banque noeud2
Version
8309
N ombre de noeuds, nb de valeurs nodales
445
numero num.val val.val.
1	0	.20000000E + 02
2	2	.19928486E + 02
3	3	.19859535E + 02
4	4	.19795769E + 02
5	5	.19739693E + 02
6	6	.19693462E + 02
7	7	.15614847E + 02
8	8	.11595411E + 02
9	9	.76623 526E + 01
10	10	.38073702E + 01
11	0	•00000000E + 00
12	0	.00000000E + 00
13	0	.00000000E + 00
14	0	.00000000E + 00
15	0	.00000000E + 00
16	0	.00000000E + 00
17	0	.00000000E + 00
18	0	.00000000E + 00
19	0	.00000000E + 00
20	0	.00000000E + 00
21	0	.00000000E + 00
22	0	.00000000E + 00
23	0	.00000000E + 00
24	0	.00000000E + 00
25	0	.00000000E + 00
26	0	.00000000E + 00
27	0	.00000000E + 00
28	0	.00000000E + 00
29	0	.00000000E + 00
30	0	.00000000E + 00
31	0	.00000000E + 00
32	0	.00000000E + 02
33	0	.00000000E + 02
Рис 8.1. Таблица результатов.
Обработка результатов
153
Рис. 8.2. Графическая интерпретация результатов
Вычерченные линии представляют собой трубки магнитного потока в электродвигателе.
(Документация ENSIEG.)
ную дискретизацию с граничными условиями, выведенными из общего
уравнения (рис. 8.4). Другую возможность можно проиллюстрировать
на примере исследования деформации проводника под действием соб-
ственного электрического поля. Первоначальный анализ методом конеч-
ных элементов позволяет получить закон распределения магнитного
поля. Это следует из решения уравнений из области электромагнетизма,
где определяются силы Лапласа, действующие на электрический провод-
ник. Значения этих сил являются исходными данными при решении
задачи линейной упругости методом конечных элементов (рис. 8.5).
Все сказанное имеет смысл лишь тогда, когда постпроцессор обеспе-
чивает передачу информации к модулям верхнего уровня (геометрия,
дискретизация, физические характеристики).
8.2.	Выборка данных
Численное моделирование физического явления, описываемого диф-
ференциальными уравнениями в частных производных, позволяет полу-
чить значения точечных или интегральных параметров. Характер изме-
нения параметров зависит как от исследуемого явления, так и от
принятого метода моделирования. Однако при наличии большого коли-
154
Г шва 8
Рис 8 3 Обнаружение ошибки в описании задачи
а изотермы вычисленные при некорректных граничных условиях б изотермы вычислен
ные при корректных граничных условиях
Плоскости, ограничивающие область
с нулевым потенциалом
Граничными условиями
невычерченных поверх-
'ногтей являются
однородные условия
Неймана
Юметров
В
Изолятор
Обработка резу зьтатов
а
Рис 8 4 Уточнение решения (Документация EDN TOSCA) а вид изолятора, его основания и границ электростатической
задачи б деталь первой глобальной дискретизации изолятора, в деталь более подробной дискретизации вблизи изо-
лятора
1$б
Г/шва 8
Рис 8 5 Механическая деформация
(Документация CETIM)
чества разнообразных методов выборки данных они часто близки к друг
другу независимо от рассматриваемых областей техники.
Цель данного раздела состоит в том, чтобы показать на примере все
многообразие возможных подходов при расчете поля, а затем изложить
возможные методы реализации выборки данных для уравнений с конеч-
ными элементами.
8.2.1.	Пример магнитостатического анализа двумерного
объекта
Дискретизированное решение. В качестве примера, выбранного нами
для иллюстрации сказанного выше, рассмотрим магнитостатическую
задачу для двумерного случая, заданную вектором-потенциалом А в
Обработка резу гьтатов
157
декартовых координатах. Пусть в двумерном пространстве вектор А
имеет всего одну ненулевую составляющую, т. е.
О
А= О
а
Величина составляющей а определяется с помощью следующего урав-
нения в частных производных:
8 /1 Sa\ 8 /1 ба\
— I--I + —I-----I = J в области П,
8х \ц дх/ 8у \ц ду/
а = 0 или да/дп = 0 на границе Г, где J - плотность тока, проходящего
перпендикулярно данной плоскости; ц-магнитная проницаемость сре-
ды, которая зависит от индукции В = rot А.
Функционал, соответствующий этому уравнению, имеет вид
F(a) = f (f? H-db - Ja) <Kl,
где индукция В = rot А и вектор магнитного поля Н = В/ц зависят от
составляющей а.
Переменная, характеризующая состояние объекта, интерполируется с
помощью функций формы Ф сети конечных элементов следующей
формулой’
NN
а(х,у) = X А,Ф,(х,у).
I = 1
Значения А, переменной а в узлах сети представляют собой необра-
ботанные результаты решения полученные путем минимизации функ-
ционала.
Величины, которые выводятся из дискретизированного решения К
ним относятся:
-	векторный магнитный потенциал в точке с координатами (х,у)
NN
а(х,у) = X
I - 1
-	магнитная индукция в точке с координатами (х,;/)
NN
B = V X а = £ УФ( х Л(;
i = 1
- магнитная проницаемость в точке с координатами (х,у)
В = Н(В);
158
Глава 8
-	напряженность магнитного поля в точке с координатами (х,у)
Н = В/ц;
-	магнитный поток через контур единичной глубины по оси z,
образованный линией (х1,у1) — (х2,у2)
Ф = а(х2,у2) - afx^yt)-,
-	ток в катушке (не зависит от решения)
I = ИкатушкаЛЮ;
-	поток катушки
1
Ф = уИаатушаа7«^;
-	электромагнитная энергия в области
W=^n^0HdBdQ-,
-	собственная индуктивность катушки (в предположении линейнос-
ти)
L= 2W/I2-,
-	сила, действующая на катушку
Г = ЯаатушааУЛВЖ;
-	момент, действующий на объект в воздушном пространстве или в
вакууме, полученный при интегрировании тензора Максвелла
Н В
с = \г{(г х Н) Вп — х п) dCl,
где Г контур интегрирования;
-	момент, действующий на объект в воздушном пространстве или в
вакууме, полученный методом виртуальных работ [35]
8W	дВ	д
с = - — =	—	dCl-tfaWHdb — (dCl).
ае	ае	ае
8.2.2.	Элементарные алгоритмы выборки
Предыдущий пример, взятый из области двумерной магнитостатики,
использует ограниченное количество базовых операторов:
-	обычные арифметические операторы: +, —, х, /;
-	обычные математические функции:	, sin, cos, 1g;
-	операторы дифференцирования поля: div, grad, rot (дивергенция,
градиент, ротор);
-	операторы интегрирования в пространстве;
-	оператор дифференцирования по времени;
-	оператор интегрирования по времени.
Обработка резу штатов
159
Операнды либо являются исходными данными (например, J) либо
являются решением уравнения, либо прямо или косвенно выводятся из
решения (пример: Н = В/ц(В)).
Эти операнды бывают действительными (если явление статично или
изменяется только при поэтапной обработке) либо комплексными (если
явление изменяется по гармоническому закону).
Таким образом, в данном случае мы сталкиваемся с проблемами,
очень похожими на те, которые возникают на этапе построения элемен-
тарных матриц перед сборкой для решения методом конечных эле-
ментов. Среди уже встречавшихся и решенных проблем можно назвать
следующие:
-	оценка какой-либо величины в одной точке, для которой известны
ее принадлежность к элементу и ее локальные координаты в этом
элементе;
-	оценка какого-либо интеграла по элементу границы. Интегриро-
вание может быть аналитическим или численным. Интеграл на грани-
це, разделенной на элементы, получается в результате суммирования
элементарных составляющих;
-	оценка какого-либо интеграла по элементу области. Это базовый
алгоритм метода конечных элементов. В данном случае интегрирование
также может быть аналитическим или численным. Оно позволяет
вычислить интеграл в любой подобласти, состоящей из набора конечных
элементов.
Новыми являются следующие проблемы:
-	оценка какой-либо величины в любой точке. В этом случае следует
обратиться к ранее сказанному и сначала определить, к какому элементу
принадлежит эта точка, а затем-каковы ее локальные координаты в
этом элементе. Последняя проблема легко решается в случае треуголь-
ников или прямолинейных тетраэдров, но требует решения системы
нелинейных уравнений в случае криволинейных элементов.
Пример', пусть
х, у—общие координаты точки;
х,, yt-общие координаты узлов элемента;
Ф,- функции формы элемента;
и, г-локальные координаты точки.
Необходимо определить такие значения и, V, чтобы
х = £ ФДн,v)-Xt, у = £ Ф,(н,v)'Yt.
1=1	1=1
Для этого нужно решить систему нелинейных уравнений:
г (и, V) = £ Ф, (и, V) А", — х,
। = 1
s(u, v) = £ Фг (и, v) Yt — у.
160
Г taea 8
при
Sr Sr (к)	" 5Ф,	" сФ
Г Г £ X тЧ
ди dv , 1 ди j Sv
Ss Ss
ди dv
" 5Ф,	" ЗФ,
L —У„ L ~У,
,= 1 ди , = 1dv
который очень быстро сходится для нормального криволинейного эле-
мента,
-	определение какого-либо интеграла вдоль линии, поверхности или
объема в случае, если они не совпадают с границами конечных элемен-
тов В этом случае осуществляется дополнительное разбиение линии,
поверхности или объема на достаточно малые линейные, поверхностные
и объемные элементы На каждом элементе проводится численное
интегрирование для нескольких точек либо применяется алгоритм
поиска локальных координат
Замечание 1 Максимально возможная точность решения с помощью
конечных элементов не всегда одинакова и зависит от того, с какими
значениями приходится работать (локальными или глобальными)
Обычно более точно определяются значения глобальных величин По-
этому, если имеются две эквивалентные математические формулировки,
то предпочтительнее использовать интеграл по области, нежели ин-
теграл по границе Например, при вычислении сил (или пары сил)
электромагнитной природы, действующих на объект, можно использо-
вать два подхода тензор Максвелла и виртуальные работы Последний
метод позволяет выразить силу (или пару сил) в виде интеграла по
области, который дает хорошие результаты (рис 8 6)
Замечание 2 При графическом представлении результатов иногда об-
наруживаются некоторые прерывистости, которые бывают двух видов
(рис 8 7)
-	физические, связанные с явлениями, возникающими, например, при
переходе через границу раздела двух сред,
Обработка резх шпатов
161
Рис 8 6 Определение локальных координат с помощью глобальных
Рис 8 7 Прерывистость магнитного поля [2]
Разрывы линий поля имеют физический смысл лишь на границах раздела двух различных
сред (точка В) во всех остальных случаях они являются результатом ошибки метода
-	вычислительные, связанные с кусочной аппроксимацией функции
или ее производных Например, в треугольнике первого порядка функ-
ция является непрерывной, а ее производная имеет разрывы Чтобы
улучшить графическое представление объекта, можно провести сглажи-
вание дискретных неоднородностей
162
Глава 8
8.2.3.	Организация программного обеспечения
Программное обеспечение выборки результатов может быть орга-
низовано двумя путями:
1.	Значения рассчитываются заранее. В этом случае все возможные
величины рассчитываются и помещаются в процессор расчета. Единст-
венная функция выходного процессора заключается в ознакомлении и
графической индикации этих результатов.
2.	Значения рассчитываются выходным процессором. При такой
структуре количество хранимых данных минимально, но увеличивается
время расчета при последующей обработке результатов. Выходной
процессор становится своего рода суперкалькулятором, способным
осуществлять арифметические операции, интегрирование и дифференци-
рование скалярных и векторных полей (RUTHLESS, FLUX 3D)
8.3.	Визуализация данных
Анализируемая область может быть дву- или трехмерной. Величина,
подлежащая визуализации, может быть скалярной или векторной. Об-
ласть, информацию о которой необходимо получить, может представ-
лять собой точку, линию, поверхность или объем.
К сожалению, при графическом представлении существуют опреде-
ленные ограничения, связанные с двумерной природой чертежа как
средства изображения.
Поэтому возможны следующие варианты визуализации:
-	2D/3D: если в области определена одна линия, то можно вычертить
изменение скалярной величины в виде графика S(U), где U- криво-
линейная абсцисса вдоль линии (рис. 8.8). Для векторной величины
прослеживается изменение ее составляющих в глобальной или локаль-
ной системе (нормальной - тангенциальной) или ее модуля;
-	2D/3D: на поверхности области 2D или на выбранной поверхности
3D вычерчиваются кривые равных значений скалярной величины (на-
пример, изотермы). При трехмерном представлении поверхностью мо-
жет быть край объекта или его сечение. В случае левой трехмерной
поверхности может потребоваться удаление скрытых линий (рис. 8.3 и
9.17);
-	2D/3D: для какой-либо поверхности можно получить изменение
скалярной величины путем вариации цвета;
-	2D/3D: в узлах решетки, нанесенной на какую-либо поверхность,
можно представить векторы (рис. 9.15);
-	3D: объемное изменение векторного поля можно представить
пучком из траекторий движения частиц;
-	3D: иллюзию рельефа может дать стереоскопический эффект
-	наконец, если исследуемое явление изменяется во времени, то в
разные моменты времени можно использовать описанные ранее методы
Обработка рез) гьтатов
163
Рис 8.8 Изменения магнитного поля в воздушном зазоре электрической маши-
ны (Пакет FLUX 2D)
представления. Такие чертежи можно последовательно визуализировать
с помощью фотографий или связать их с помощью машинной муль-
типликации.
8.4.	Заключение
Выходной процессор позволяет осуществить числовую обработку
результатов расчета. Эти процессы напоминают действия, проводимые в
лаборатории над реальной системой.
Такое впечатление усиливается благодаря применению совершенного
входного и выходного графического оборудования.
На практике оказывается, что для разработчика это последнее звено
в цепочке обработки данных с помощью конечных элементов является
самым главным.
9. Области применения
В предыдущих главах мы рассмотрели различные аспекты метода
конечных элементов.
Прежде всего, мы показали возможность применения этого метода в
качестве средства вычислений и обосновали взаимосвязь исследуемых
физических явлений с их математической моделью Затем мы предста-
вили этот метод как обязательный этап при осуществлении конкретного
процесса проектирования, учитывая возможность его введения в общее
программное обеспечение автоматизированного проектирования благо-
даря гибкости метода и общему характеру принципов его применения.
Теперь необходимо на практических примерах проиллюстрировать
реальность описанных нами возможностей метода. С этой целью мы
прежде всего представим пакет прикладных программ FLUX 2D, кото-
рый в настоящее время широко используется на многих предприятиях и
в котором впервые были сопряжены метод конечных элементов и
некоторые методы САПР, используемые в настоящее время почти
повсеместно. Затем мы расскажем о некоторых специфических областях
применения метода, которые красочно иллюстрируют сказанное ранее
как на уровне описания данных и дискретизации, так и на уровне
обработки результатов.
9.1.	Пакет прикладных программ FLUX 2D
Пакет программ FLUX 2D разработан исследовательской группой
«Моделирование и САПР» Электротехнической лаборатории в Греноб-
ле. Эта работа явилась результатом очень тесного сотрудничества
между исследователями группы моделирования (Б. Ансель, Ж. Кулон,
Ф. Масс, Ж. Менье, П. Рафинежад, Ж.-К. Сабоннадьер) и инженерами
лаборатории (А Каллегер и Б. Морель).
Исследователи приняли участие в разработке самих программных
средств как непосредственно, так и в виде советов и материальной
помощи, оказанной ими в течение всех лет разработки и выпуска этих
программ. Инженеры, в частности Бернар Морель (основной разработ-
чик структуры программного обеспечения и его изготовитель), алгорит-
мизировали, а затем и запрограммировали разработки исследователей.
Пакет программ FLUX 2D, выпущенный в продажу в 1981 г. через
сеть Транспак (с пакетной коммутацией), в настоящее время выпускается
серийно для оснащения большого числа ЭВМ различных типов (VAX 11,
HP 9000, PRIME, APOLLO, SUN, HB 68), что подтверждает их широкую
Об юсти применения
165
применимость, предусмотренную техническими требованиями. Это оп-
ределило использование при программировании языка Фортран 77 и
стандарта ANSI.
FLUX 2D-это программа анализа двумерных электромагнитных
явлений в поперечных сечениях бесконечно протяженных объектов или в
плоскости, проходящей через ось симметрии объекта. В настоящее время
она используется также для исследования тепловых процессов, связан-
ных с электромагнитными или другими явлениями. Эта особенность
программы FLUX 2D непосредственно иллюстрирует те два условия, о
которых мы говорили ранее, а именно универсальность метода конеч-
ных элементов (уравнения электромагнетизма и теплопроводности
очень схожи, а связанные с ними граничные условия различны) и
необходимость адаптации диалога к конкретной дисциплине при исполь-
зовании программы в рамках задач САПР.
Действительно, в тех разделах программы FLUX 2D, которые связа-
ны с электромагнетизмом, диалог с пользователем реализован с при-
влечением терминологии инженера-электрика, в то время как в разделе,
связанном с теплотой, аналогичные коэффициенты представляют собой
теплотехнические величины (теплопроводность, теплоемкость).
Более детальное изучение внутренней структуры программы FLUX 2D
позволит обнаружить и другие ее особенности, в частности возможность
вести диалог на двух языках (французском и английском). Об этом речь
пойдет ниже.
9.1.1.	Общая структура программы FLUX 2D
Схема общей структуры программы FLUX 2D представлена на
рис. 9 1, на котором можно отметить пять основных элементов, которые
могут функционировать абсолютно независимо друг от друга, а будучи
объединенными позволяют решить задачу или систему задач при рас-
смотрении одного объекта или семейства заданных объектов. При
анализе этих элементов мы постараемся выявить типичные математи-
ческие или эргономические доводы, определившие выбор того или иного
элемента.
9.1.1.1.	Программное обеспечение процедур описания
данных и дискретизации
Эта программа, названная ENTREE (ввод), обеспечивает последова-
тельный ввод геометрических данных, идентификацию различных облас-
тей и разбиение их на конечные элементы. Ввод данных осуществляется
методом определения топологии с использованием базовых элементов,
которые представляют собой точки, сведения о которых по соображе-
ниям обеспечения большей точности задаются в полярных или декарто-
вых координатах. С помощью пронумерованных точек пользователь
может описывать сегменты и секторы круга (для сектора круга возмож-
166
Глава 9
Рис. 9.1 Организация программы FLUX 2D.
ны 6 определений), позволяющие осуществить моделирование геомет-
рии объекта. Затем формируется первый набор треугольных или четы-
рехугольных элементов, соединение которых позволяет получить раз-
личные стандартные области, совокупность которых формирует оконча-
тельное представление объекта. Геометрические преобразования (враще-
ние, зеркальное отображение, перенос) позволяют моделировать слож-
ные объекты с повторяющимися рисунками.
Следующим этапом является разбиение на конечные элементы типа
треугольников или изопараметрических криволинейных четырехуголь-
Области применения
|«
ников второго порядка. Такое разбиение предусмотрено в текущей
версии и осуществляется пользователем вручную с помощью програм-
мы, а в будущей версии пакета прикладных программ будет предложен
вариант автоматического разбиения на треугольники.
Основная причина, лежащая в основе такого выбора, заключается в
том, что при выбранном типе элементов нет необходимости осу-
ществлять очень точную дискретизацию, а, следовательно, при ручной
дискретизации с помощью программы пользователь остается «хозяи-
ном» стратегии разбиения, что позволяет опытному инженеру эконо-
мить рабочее и расчетное время, правильно выбрав соответствующий
вариант разбиения, приспособленный к исследованию определенной
группы объектов.
Опыт показал, что такой обоснованный выбор не всегда удовлетво-
ряет «случайного» пользователя, для которого важнее всего получить
результат как можно быстрее. Необходимые указания пользователю
содержатся в выведенном на экран графическом меню, на котором
выбор осуществляется путем указания позиции меню ввода функции,
набираемой на клавиатуре.
На рис. 9.2-9.5 представлены некоторые варианты изображений,
полученных на экране в различные моменты функционирования про-
граммы ввода, когда в любое время возможна визуализация, символь-
ное описание объекта или его разбиение на конечные элементы.
9.1.1.2.	Определение физических свойств и граничных
условий
Эта программа, называемая PROPHY (физические свойства), позво-
ляет установить соответствие между физическими свойствами матери-
ала, из которого состоит область, и характеристиками источников,
которые могут находиться в этих областях (интенсивность, частота,
модуль и фаза). Тип диалога определяется пользователем в зависимости
от типа решаемой задачи (магнитостатическая, электростатическая,
электродинамическая, магнитодинамическая, переходная магнитная,
стационарная тепловая, переходная тепловая, магнитотермическая).
Материалы, из которых пользователь может формировать области,
извлекаются из базы данных материалов, свойства которых соответ-
ствуют выбранному варианту.
На рис. 9.6 представлены примеры диалога, выбранного для каждого
случая применения.
Граничные условия-это те же условия, которые обычно применяют-
ся в методе конечных элементов, т. е. условия Дирихле или Неймана.
Однако разница заключается в том, что здесь они обычно дополняются
новыми условиями, часто применяемыми инженерами с целью учета
периодичности и симметричности некоторых задач (многополюсные или
повторяющиеся структуры). Например, так называемое условие перено-
са позволяет исследовать поведение устройства в достаточно большом
168
Глава 9
б
Рис 9 2 а начальный рисунок объекта б окончательный рисунок объекта, полученный
после двух зеркальных отображений (Пакет FLUX 2D)
NOMBRE D’OBJETS EXISTANTS
8 SEGMENT
1 CERCLE
0 SCALAIRE
7 POINT
0 VECTEUR
0 AXE
0 INTERSEC
2	TRANSFOR
2	IMAGE
3	MAILLE
4	ASSEMBLA
= voir ass tous				
ASSEMBLA	1				
	MAILLE	1		
	MAILLE	2		
	HUILE			
ASSEMBLA	2				
	ASSEMBLA	1		
	MAILLE	3		
ASSEMBLA	3				
	ASSEMBLA	2		
	IMAGE	1		
ASSEMBLA	4				
	ASSEMBLA	3		
	IMAGE	2		
= voir mai tous				
MAILLE	1 QUADRILATERE			
	SEGMENT	5		
	SEGMENT	4		
	SEGMENT	1		
	CERCLE	1		
MAILLE	2 QUADRILATERE			
	SEGMENT	5		
	SEGMENT	6		
	SEGMENT	8		
	SEGMENT	7		
MAILLE	3 TRIANGLE			
	SEGMENT	2		
	SEGMENT	3		
	CERCLE	1		
	PORCE			
= voir seg 1	3			
SEGMENT	1			
	POINT	1	POINT	2 !
SEGMENT	2			
	POINT	2	POINT	3
SEGMENT	3			
	POINT	3	POINT	5
= voir poi 1	2			
POINT	1		0 0000000E + 00	0 0000000E + 00
POINT	2		50 00000	0 0000000E + 00
Рис 9 3 Интерактивное считывание базы данных
170
Глава 9
Рис. 9.4. Процесс разбиения. (Пакет FLUX 2D.)
пространстве вокруг заданной точки функционирования. (Это условие
требует, чтобы неизвестная переменная А вдоль границы Tj принимала
такие же возрастающие на постоянную величину значения, как и вдоль
соответствующих точек противоположной границы Г2, причем эти
значения, как правило, неизвестны.)
Условие, называемое «плавающим потенциалом», позволяет считать,
что по контуру (внутренней) поверхности неодносвязной области не-
известная переменная принимает постоянное значение в соответствии с
криволинейной абсциссой (хороший электрический, магнитный или теп-
ловой проводник).
Индикация типа условий на каждой границе позволяет пользователю
контролировать точность или возобновить работу. Если задача уже
решена, а разработчику нужно провести новый расчет с изменением
одного-двух физических свойств, то подобное изменение можно осу-
ществить с помощью модуля, называемого MOD PRO (модификация
физических свойств), не прибегая к полному повторению программы
PROPHY. Кроме того, если пользователь изменил только геометрию и
не затронул ни топологии, ни физических свойств, то с помощью
модуля, называемого COPPRO (копия физических свойств), он может
сразу присвоить новой задаче все физические свойства предыдущей
задачи. Наличие в программе ENTREE этих модулей в совокупности с
командой возобновления разбиения на конечные элементы, позволяет
пользователю при наличии одной геометрии и одного разбиения решать
большое число аналогичных задач, т. е. ускорить проектирование.
б
Рис. 9.5. ^-разбиение на конечные элементы, d-увеличение масштаба изображения при
разбиении. (Пакет FLUX 2D)
Nature du probleme 9
CASSER arret en catastrophe
MS magnetostatique
MD magnetodynamique
ME magnetique evolutif
ES electrostatique
ED electrodynamique
TP thermique permanent
ТЕ thermique evolutif
MT magneto-thermique
Nature de probleme md
10 matenaux utihsables sont disponibles
En voulez-vous la list9 (par defaut NON)
Nature de 1’espace de travail (par defaut CARTESIEN)
Frequence des sources 9 500
Region numero 1 nominee	PORCE
Nom du matenau choisi cuivre
Correction 9 (par defaut NON)
La region comporte-t-elle une source 9 non
Quelle couleur lui affectez-vous 9 (par defaut NOIR) rouge
Region numero 2 nommee HUILE
Nom du matenau choisi aucun
La region comporte-t-elle une source 9 non
La region est suppnmee
DEFINITION DES CONDITIONS AUX LIMITES
a
Requette choisi
Quel “instant” choisissez-vous (par defaut 90) 0 0
Voulez-vous le trace des lignes equiflux9 (par defaut OUI)
Combien de lignes desirez-vous 9 (par defaut 11)
Finesse du trace (par defaut NORMAL)
Valeur minimale de la variable = — 0 495E — 04 Weber
Valeur maximale de la variable = 0 624E — 05 Weber
Choix de la repartition des lignes (par defaut EQ)
Voulez-vous le trace des iso-densite de puissance dissipee 9 (par defaut OUI)
\c
Combien de lignes desirez-vous 9 (par defaut 11)
Finesse du trace (par defaut NORMAL) s
Le calcul de la vue en perspective donne en meme temps
la valeur maximale de Tinduction dans chaque element
Voulez-vous la preparer 9 (par defaut OUI) n
Commande choisi aff
Quelle vue desirez-vous 9 re
Quelle vue desirez-vous 9
*** Reponse incorrect Taper9 pour la list des possibles ***
Quelle vue desirez vous 9 9
ELEMENTS
REGIONS
EQU1 FLUX
PUISSANCE
SUP_ELEMENTS
FIN
Quelle vue desirez-vous 9 pui
***Vous devez d’abord choisir un menu*** 6
dessin des elements numerotes
contours du domaine et des regions
trace des lignes d’induction
contours et iso-densites de puissance
superpose les elements a la vue actuelle
retour au niveau commande
O6iacmu применении
173
9.1.1.3.	Решающий процессор
На выходе программы PRORHY или других аналогичных модулей
определения физических свойств все элементы, необходимые для по-
строения системы линейных или нелинейных уравнений, собираются в
базу данных, формируемую для этой задачи Процессор реализует
методы, описанные в первых пяти главах, которые позволяют получить
с помощью гауссова интегрирования подматрицы, соответствующие
каждому элементу, а затем после их объединения и получения матриц М
и S процесса Ньютона - Рафсона совместно с методом ICCG использо-
вать полученные результаты для решения систем линейных уравнений
Чтобы пользователь мог контролировать процесс счета, программа
запрашивает у него максимальное количество итераций, которое он
хочет осуществить, и относительное отклонение от нормы результи-
рующего вектора, при котором он считает необходимым прекратить
выполнение итераций
Замечание Поскольку этот этап расчета может оказаться достаточно
продолжительным, важно, чтобы пользователь был информирован о
том, что расчет протекает нормально Поэтому программа через равные
промежутки времени выдает сообщения (как правило, юмористического
содержания), извещающие о продолжении расчета и отсутствии сбоев в
системе
9.1.1.4.	Процессор обработки результатов
Этот процессор, называемый EXPGEN, использует результаты ра-
счетов и данные, получаемые от программ ENTREE и PROPHY для
получения интегральных представлений
Процессор EXPGEN позволяет получить четыре больших класса
представления результатов воспроизведение кривых равных значений,
расчет локальных значений, воспроизведение локальной величины вдоль
отрезка линии или дуги круга, расчет глобальных величин В каждом
классе имеется множество вариантов, зависящих от того, является ли
решаемая задача исследованием стационарного режима (постоянного
или синусоидального) либо переходного Каждый типовой случай вос-
произведения мы проиллюстрируем рисунками
Воспроизведение кривых равных значений Если решаемая задача
изменяется во времени, то пользователь должен выбрать момент пере-
ходного процесса или фазу синусоидального колебания, изображение
которого он хочет получить Это изображение может содержать до 20
кривых равных значений, а точность воспроизведения зависит от его
назначения (грубый, нормальный, очень точный при вычерчивании на
графопостроителе) Возможен также запрос однородного распределения
эквипотенциалов или указание значений, в пределах которых необходи-
Рис 9 6 а диалог в программе PROPHY, б диалог в процессоре EXPGEN
174
Глава 9
мо получить распределение, а также выбор эквипотенциалов, соответст-
вующих значениям потенциалов, выбранных пользователем (этот случай
представляет интерес для электростатики, где можно металлизировать
поверхность, чтобы сделать ее эквипотенциальной).
На рис. 9.7 представлены линии равных индукций (а) и линии равного
распределения удельных потерь (б) внутри устройства с наведенными
токами (сдвиг по фазе 0° по отношению к токам возбуждения). В
зависимости от типа исследуемой задачи равные величины могут быть
следующими: линиями индукции (магнитные задачи), эквипотенциаль-
ными линиями (электростатические, электродинамические задачи), кри-
выми равной плотности тока или рассеиваемой мощности (магнитоди-
намические задачи), изотермами.
Расчет локальных величин. Расчет может выполняться для потен-
циала, индукций и любых других локальных величин. Он может осу-
ществляться для точки с координатами, введенными с помощью кла-
виатуры или указанными посредством наложения сетки на чертеж
областей или эквипотенциалов. В этом случае программа индицирует
координаты точки, номер элемента, к которому она относится, и
необходимые значения величин (составляющие и модули для действи-
тельной величины, модуль и фазу-для комплексной величины) (рис. 9.8).
Воспроизведение локальной величины. Для любой локальной величины
можно получить график ее изменения вдоль отрезка линии или дуги
круга. Во многих случаях это очень удобно (рис. 9.9).
Расчет глобальных величин. К этим величинам относятся главным
образом силы и пары сил, используемые при решении различных задач
или вычислении интегралов. В этом случае программа запрашивает
описание подвижной части (сила, пара сил) или областей, в которых
необходимо провести вычисление интегралов, а затем отсылает требуе-
мые значения в список или на терминал.
Обычно постпроцессор функционирует на принципе вложенных меню,
при котором с помощью команды открывается доступ ко многим
другим командам с учетом иерархии и логики. При этом окончание
каждой команды определяется кодовым словом END.
9.2.	Программное обеспечение FLUX 3D
FLUX 3D-это программное обеспечение САПР, предназначенное
для решения трехмерных задач, которое в настоящее время разрабаты-
вается группой моделирования и САПР Электротехнической лаборато-
рии в Гренобле и содержит некоторые из разработок, описанных выше:
автоматическую дискретизацию и процессор обработки результатов.
9.2.1.	Процессор ввода и дискретизации
Этот процессор создан на базе существующего программного обе-
спечения моделирования геометрии, поэтому основное внимание было
Рис 9 7 Проводящий цилиндр в переменном магнитном поле
а -линии равных индукций, б-распределение удельных потерь (Документация CEDRAT)
176
Г гав а 9
Region ACIE R= 45 67308 Z= 105 7692
Valeurs instantanees calculees a ’Tinstant” О deg
Induction (Tesla )
Composante X= 0 5003290E — 03 Composante Y =	0 1413414E — 02
Module =	0 1499356E — 02 Direction =	70 50674 degre(s)
Champ (A/m )
Composante X =	3 981491 Composante Y =	11 24759
Module =	11 93149 Direction =	70 50674 degre(s)
Region AIR R =	83 10439 Z =	105 7692
Valeurs instantanees a ‘Tinstant” О deg
Induction (Tesla )
Composante X= 0 7411709E —02 Composante Y= 0 1256309E — 02
Module =	0 7517429E —02 Direction =	9 620384 degre(s)
Champ (A/m )
Composante X= 5898 050 Composante Y =	999 7391
Module =	5982 180 Direction =	9 620384 degre(s)
Region CULA R= 110 9203 Z= 105 0824
Valeurs instantanees calculees a ’Tinstant” О deg
Induction (Tesla )
Composante X= 0 1026058E — 01 Composante Y =	0 4571709E —03
Module =	0 1027076E — 01 Direction =	2 551185 degre(s)
Champ (A/m )
Composante X =	8 165112 Composante Y =	3638050
Module =	8 173213 Direction =	2 551185 degrefs)
Рис 9 8 Представление локальных величин
Рис 9 9 Кривая распределения плотности тока вдоль цилиндра (Пакет
FLUX 2D)
Области применения
177
Интерактивное
— получение
точек
___L
Точки
Рис 9 10 Принцип создания объекта
Автоматический
— запуск дискре-
тизации по оги-
бающей тетра
здрод
Визуализация
Внешних
поверхностей
__ Удаление и до-
бавление тет-
раздров на изо-
бражении
— Объект описы-
вается точками
и тетраэдрами
уделено разработке программы дискретизации области на тетраэдры
Принцип создания объекта представлен на рис 9 10, а конкретные
этапы - на рис 9 11
Такой способ построения по точкам и тетраэдрам удобен при
моделировании твердых тел, поскольку он позволяет описать внутрен-
нюю и наружную структуру объекта, а это является необходимой
информацией для программы дискретизации
Дискретизация начинается с автоматического формирования очень
грубой сетки, внутрь которой помещаются все уже созданные объекты
посредством обычных геометрических преобразований (переноса, вра-
щения, гомотетии), а также все возможные атрибуты визуализации Эта
операция приводит к образованию нового элемента VOLUME (ОБЪЕМ),
размещаемого внутри элемента SOUS-DOMAINE (ПОДОБЛАСТЬ),
который уже существует или подлежит образованию
Когда описаны все материальные области и подобласть AIR, поль-
зователь создает новые узлы на общих поверхностях различных под-
областей Эта операция осуществляется интерактивно с помощью все
более совершенных графических средств Затем запускают программу
разбиения по методу Делоне (гл 6-8) и контролируют равномерность
получаемой сети и, в частности, соблюдение границ различных под-
областей Эта операция определяет начальную сеть на основании кото-
рой будет реализована автоматическая доводка путем создания внут-
ренних узлов
178
1' iana 9
Операция разбиения заканчивается идентификацией элементов гра-
ницы путем перегруппировки сторон тетраэдров, образующих общие
поверхности для подобластей, которые в дальнейшем будут обозначены
как элементы.
Такой генератор сети пригоден для манипулирования со сложными
объектами и вместе с тем его освоение является достаточно простым
благодаря блоку алгоритмов формирования и доводки сети. Другое
важное преимущество заключается в возможности включения опреде-
ления параметра в сами алгоритмы, что позволяет пользователю просто
разбить всю группу объектов с аналогичной топологией. Среди не-
достатков этих генераторов сети можно отметить следующие: форми-
рование большого количества тетраэдров, форму которых не всегда
легко контролировать; формы, полученные методом регуляризации,
который используется после алгоритма Делоне, в большинстве случаев
являются очень точными.
9.2.2.	Процессор расчета
Данный процессор работает с конечными элементами, т. е. прямоли-
нейными тетраэдрами 1-го порядка или криволинейными тетраэдрами
Обмети применения
179
2-го порядка. Нелинейные задачи решаются методом Ньютона-Раф-
сона (гл. 4), а системы линейных уравнений, получаемые в результате
применения этого метода-методом ICCG (гл. 5).
9.2.3.	Постпроцессор
9.2.З.1.	Определение локальных величин
Одной из особенностей постпроцессора FLUX 3D является исполь-
зование программы обработки аналитических формул. Это решает
проблему мультипрограммных режимов обработки и исключает не-
обходимость изменять программу каждый раз, когда к выполняемым
ею функциям необходимо добавить вычисление величины, которое
заранее не было предусмотрено, но оказалось необходимым в процессе
работы. При работе с постпроцессором FLUX 3D пользователь описы-
вает требуемую величину в виде арифметического выражения с помощью
базовых величин (координат), переменных, характеризующих состояние,
и физических свойств. Этот метод использует два этапа: интерактивное
описание параметров и расчет.
Далее мы рассмотрим различные способы применения этого метода.
Организация и обработка параметров. Обработка параметров вы-
полняется интерактивно, при этом каждый параметр характеризуется
тремя факторами: числом компонентов (одним-для скалярной вели-
чины, тремя-для векторной), типом (действительная или комплексная
величина) и природой параметра.
Природа параметра определяет величины, влияющие на его описа-
ния, ими могут быть:
-	переменные, характеризующие состояния (А, <р, Т, ...);
-	физические характеристики (J, К, v);
-	различные операторы, построенные на базе переменных, характе-
ризующих состояние (градиент, ротор, дивергенция, производные, ...,);
-	пространственные координаты;
-	формулы (которые являются нерекурсивной комбинацией сущест-
вующих параметров);
-	величины, получаемые при общем интегрировании (об этом ниже).
Каждый параметр представляет собой элемент, определяемый име-
нем и формируемый на базе трех указанных выше факторов.
Наличие библиотеки расчетных формул. Эта библиотека является даль-
нейшим развитием библиотеки, созданной для расчета реальных ска-
лярных переменных и используемой в программах предварительной
обработки (гл. 6 и 7).
Такая библиотека позволяет вести расчеты по формулам, построен-
ным на базе элементарных функций (синус, косинус, ...,) и обычных
операторов ( + , —, х, /, **), причем каждая операция может содержать
один или несколько параметров.
Например, в электромагнетизме выражение, связывающее модуль
180
Глава 9
МН магнитного поля Н в зависимости от индукции В, коэрцитивной
зилы Нс и скаляра v через (NU), характеризующего магнитную прово-
димость, записывается в виде vB — Нс, а пользователь может определить
зго следующим образом:
МН = MOD (ОТ х В-Нс)
Функция MOD (У) вектора V с составляющими VX, VY, VZ описывается
выражением
(MOD (У) = (SQRT(FX**2 + ИУ‘*2 + RZ‘*2))).
Использование формул при обработке результатов. С момента своего
зоздания параметры регистрируются и помещаются в специальную базу
данных. Для конкретной задачи эта база данных инициализируется
посредством регистрации переменных, характеризующих состояние, и
параметров, характеризующих физические свойства различных областей
задачи. Затем пользователь может интерактивным путем получить
необходимые ему параметры, используя приведенные ниже формулы.
Пример. Формулировка магнитостатической задачи с использованием
векторных потенциалов.
Исходными параметрами являются следующие:
А - векторный потенциал, переменная состояния, 3 действительных ком-
поненты;
J-плотность тока (физическая характеристика), 3 действительных ком-
поненты;
N U -магнитная проницаемость (физическая характеристика), одна
действительная компонента (изотропная задача);
Нс - коэрцитивная сила (физическая характеристика), 3 действительных
компоненты;
X, Y, Z-пространственные координаты.
С помощью этих параметров пользователь может составить любую
необходимую арифметическую формулу. В частности, можно последо-
вательно получить формулы:
В = rot (А),
Н= NU х В — Нс
и вычислить SQRT (НН).
Каким образом осуществляется расчет? Любой расчет осуществ-
ляется последовательно в четыре этапа:
-	интерактивный ввод данных с последующим синтаксическим ана-
лизом;
-	определение списка параметров с иерархической последователь-
ностью, указывающей связи между параметрами;
-	расчет в момент запроса величины используемых параметров. Эта
операция возможна только при известной природе каждого параметра;
-	расчет по формулам с использованием библиотеки подпрограмм и
имеющихся функций.
Области применения
181
9.2.3.2.	Визуализация переменных, характеризующих состояние
Визуализацию можно осуществить в заданной плоскости или на
границе кривыми равных значений (для скалярных величин), стрелками
(для векторных величин) или одной либо несколькими графиками (для
представления параметра вдоль заданной линии) (рис. 9.12-9.16).
9.2.3.3.	Расчет интегральных величин
Используя формулы, приведенные в разд. 9.2.3.1, можно интерактив-
ным способом рассчитать определенный интеграл требуемой функции в
зоне, которая может представлять собой целую область.
Вычисления можно осуществить, используя численное интегрирова-
ние по методу Гаусса по каждому конечному элементу, принадлежащему
зоне.
Такая возможность очень существенна, поскольку она позволяет
описывать большое количество полезных величин. Если подынтеграль-
ное выражение равно 1, то получают объем области, если оно является
параметром (В х (NU х В — Яс))/2, то получают энергию. Эти величины
в свою очередь можно рассматривать как параметры с целью их
последующего использования.
9.3.	Программное обеспечение для микроЭВМ
С тех пор, как в 1983 г. появилась программа вычислений методом
конечных элементов для ЭВМ типа SHARP, составленная выпускниками
Центральной школы в г. Лионе, а следом за ней - программное обеспе-
чение MICROFLUX, разработанное фирмой CEDRAT-RECHERCHE
(филиалом фирмы CEDRAT) совместно с Электротехнической лабора-
торией Центральной школы Лиона, мы являемся свидетелями (1985 г.)
настоящего расцвета программного обеспечения метода конечных эле-
ментов применительно к микроЭВМ. После программного обеспечения
MICROFLUX (1983 г.) появился пакет GE2D, разработанный фирмой
General Electric (1984 г.) и версия ANSYS для микроЭВМ, разработанная
фирмой ANSWER совместно с Университетом Карнеги-Меллона.
Что можно ожидать от такого обилия программного обеспечения?
Очевидно, именно этот вопрос задает себе потенциальный пользователь
всех этих программ, создатели которых подчеркивают их чрезвычайную
интерактивность, что делает их очень привлекательными. В самом деле,
если не считать таких очевидных преимуществ, как интерактивное
графическое манипулирование при создании объекта и разбиении на
элементы, то использование этих программ в промышленности, где при
создании близких групп изделий важно, используя небольшое число
манипуляций, принимать большое количество решений, представляется
не таким эффективным, как кажется на первый взгляд.
Однако, учитывая тот факт, что микроЭВМ становятся значительно
производительнее, можно предположить, что в недалеком будущем их
182
Глава 9
'ис. 9.12. Разбиение реле с помощью FLUX 3D.
Об гасть применения
183
Рис 9 13 Разбиение других объектов с помощью FLUX 3D
удастся совместить с такими программами, как FLUX, требующими
значительных вычислительных ресурсов, но вместе с тем предоставляю-
щими значительно большие возможности
9.4.	Суперпрограммы
Мы не можем закончить эту главу, не сказав несколько слов о
«монстрах» таких пакетах, как NASTRAN, TITUS и MODULEF Они
были разработаны на основе программ, первоначально предназначен-
ных для одного или нескольких применений, а потом постепенно
расширялись за счет дополнений, вносимых большим количеством
пользователей и группами специалистов, ответственных за обслужи-
вание и развитие программного обеспечения
Эти пакеты прикладных программ обладают очень высокой универ-
сальностью и априорно обеспечивают решение любой задачи, не содер-
жащей особых сложностей
Для пользователя вся сложность заключается в обучении работе с
этим программным обеспечением, причем этот процесс может оказаться
длительным и часто неинтересным Кроме того, в данном случае
полностью исключается вопрос о возможности такого овладения этими
средствами, чтобы их можно было использовать для решения собствен-
ных задач В этом случае необходимо быть специалистом в области
конечных элементов, программного обеспечения и в своей собственной
184
Глава 9
Рис 9 14 Эквипотенциальные магнитные линии, полученные с помощью
FLUX 3D
Области применения
185
Рис 9 15 Представление векторного поля
Рис 9 16 Линии поля
Заключение
Нуждается ли данная книга в заключении? Мы в этом не уверены,
однако предполагаем, что читатель рассчитывает на него, и поэтому
написали это заключение, надеясь, что оно оправдает ожидания тех
читателей, которым хватило терпения до него добраться.
В настоящее время метод конечных элементов достиг высокой
ступени развития и поэтому очень часто используется в технических
науках Этот метод в сочетании с интерактивными графическими средст-
вами, ориентированными на современные средства вычислительной
техники, и другими методами автоматизированного проектирования
(итерационными процедурами, анализом групп изделий, использова-
нием баз данных) стал доступен большинству инженеров и техников
исследовательских подразделений.
Методические, математические и информационные аспекты, связан-
ные с применением метода, уже были рассмотрены, что позволило,
используя эти различные аспекты метода конечных элементов, создать
определенное число экспертных систем, облегчающих пользователю
реализацию различных этапов метода.
Система FLUX-EXPERT, разработанная сотрудником Электротех-
нической лаборатории в Гренобле П. Массом, позволяет на основе
исходного уравнения при обычных граничных условиях построить инте-
рактивным способом программное обеспечение метода конечных эле-
ментов, основанное на перспективном методе Галёркина и использую-
щее функциональные возможности системы FLUX 2D, расширенные в
части ввода данных, разбиения на элементы и обработки результатов.
Система FLUX-EXPERT позволяет с помощью уравнения и определен-
ного количества заранее известных подынтегральных функций построить
элементарные матрицы и матрицы сборки, что обеспечивает решение
линейных и нелинейных уравнений, являющихся результатом дискрети-
зации исходных уравнений в частных производных.
П. Тро, сотрудник Высшей технической нормальной школы, разра-
ботал другую экспертную систему SYMATRAU для разбиения на
конечные элементы заранее заданного объекта.
И наконец, чрезвычайно сложным становится управление супер-
программами, которых мы кратко коснулись в конце гл. 9, поскольку к
ним необходимо добавлять процессор логического ввода, чтобы поль-
зователь знал, какую часть системы он должен использовать конкретно
для решения своей задачи. Именно это было применено в системе
TITUS, в которой в зависимости от типа задачи и в соответствии с
заранее установленными правилами экспертная система указывает поль-
Зак мочение
(87
Рис. 3.1. Деформация. (Документация UTC)
Рис. 3.2. Расчет структуры (Документация UTC.)
188
Заключение
зователю ту часть системы TITUS, которая соответствует его задаче.
С точки зрения математики некоторые системы, предназначенные
для комплексного специфического применения, например по проблемам,
связанным с механизмом излома или с пластичностью, ориентированы
на возможность введения элементов различных типов и даже специаль-
ных элементов с переменной геометрией и позволяют моделировать
такие сложные задачи, в которых геометрия зависит от решения.
Именно так построена программа MEF и ее версии, разработанные
группой Ж. Тузо из Технологического университета Компьеня (рис. 3.1,
3.2).
Мы считаем, что метод конечных элементов должен развиваться в
направлении изготовления пакетов прикладных программ, пригодных
для различных вариантов применения и все более удобных для пользо-
вателя. Такое направление в сочетании с повышением производитель-
ности системы сделает метод конечных элементов доступным пользо-
вателю, который сможет в процессе проектирования одновременно
получать визуальную информацию о поведении изделия при любом
изменении его геометрии или физических свойств. Если в дальнейшем
применить наряду с самыми современными интерактивными графиче-
скими средствами методы искусственного интеллекта, то это позволит
обеспечить адаптацию каждого изделия к специфике той области, в
которой оно должно применяться.
Литература
Монографии
1.	Ciarlet Р. G. The finite method of elliptic problems, North Holland, Amsterdam.
2.	Chari, Silvester. Finite elements for electrical and magnetic field problems,
J. Whiley, 1980.
3.	Coulomb J. L., Sabonnadiere J. С., С. A.O. en electrotechnique, Hermes, 1984.
4.	Courant, Hilbert, Methods of mathematical physics, Interscience Publishers, New
York, 1953.
5.	Czendes Z. J., Shenton D., Magnetic field computation using Delaunay triangula-
tion and complementary finite element methods, COMPUMAG 83 Conf., IEEE
Trans, MAG-19, n” 6, 2551-2554 (nov. 1983).
6.	Dhatt G., Touzot G., Une presentation de la methode des elements finis, Editions
Laloine, 1984.
7.	Durand, Resolutions numeriques des equations algebriques, Masson.
8.	Finlayson, The method of weighted residual and variational principles, Academic
Press, 1972.
9.	Gallagher, Introduction a la methode des elements finis, Pluralis, 1976.
10.	Gallagher R. H., Finite element analysis: fundamentals, Prentice Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey, 1975.
11.	Gardan Y., Lucas M., Techniques graphiques interactives et С. A. O., Hermes, 1983.
12.	Gastinel N., Analyse numerique lineaire. Enseignement des sciences, Hermann.
13.	Giambiasi N., Rault J. C., Sabonnadiere J. C., Introduction a la Conception Assistee
par Ordinateur, Hermes, 1984.
14.	Hadamard J., La theorie des equations aux derivees partielles, Editions de Pekin,
1963.
15.	Lions, Magenes, Problemes aux limites non homogenes et applications, vol. 1 et 2,
Dunod, Paris, 1968.
16.	Mikhlin, Variational methods in mathematical physics, Mac Millan, 1964.
17.	Morse, Feshbach, Methods of theoretical physics, Me Graw Hill, 1953.
18.	Oden, Finite elements of non linear continua.
19.	Owen, Hinton, Finite elements in plasticity, Me Graw Hill Pineridge Press.
20.	Raviart, Thomas J. M., Introduction а Г analyse numerique des equations aux
derivees partielles, Masson, Paris, 1983.
21.	Silvester, Ferrari, Finite elements for electrical engineers, Cambridge University
Press, 1983.
22.	Strang G., Fix O. J., Analysis of the finite elements methods, Prentice Hall, 1973.
23.	Stroud H. H., Approximate calculation of multiple integrals, Prentice Hall, 1971.
24.	Tchung, Finite elements analysis in fluid dynamics, Me Graw Hill, 1978.
25.	Washitzu, Variational methods in elasticity, Pergamon Press, 1975.
26.	Zienkiewicz О. K., La methode des elements finis, 3eme edition, Me Graw Hill,
1979.
Статьи
27.	Ancelle, Boilion, Coulomb, Data parametrization in pre-processor for computer
aided design of electromagnetic devices, Conf. ENGSOFT 83, Imperial College,
London, 1983.
28.	Armstrong, Biddlecombe, The PE2D package for transient eddy current analysis,
IEEE Trans. MAG, 18, n° 2 (March 1981).
29.	Axelsson O., A class of iterative methods for finite element equations, Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering, 9, 2 (1976).
30.	Baer, Eastman, Henrion, Geometric modelling: a survey, Computer Aided Design, ll,
n° 5 (Sept. 1979).
31.	Bernard F., CATIA du dessin au volume, de la cinematique aux calculs scienti-
190
Литература
fiques, de la commande numerique a la robotique, un outil complet de CFAO pour
la mecanique, MICAD 84, Hermes, 1984.
32.	Bishop A.W., ROMULUS 2 and its role in CAE, MICAD 84, Hermes, 1984.
33.	Cavendish J. C., Automatic triangulation of arbitrary planar domains for the finite
element method, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 8
(1974).
34.	Chopard B., Grosjean A. et al., Conception maillage et usinage de surfaces
complexes, au moyen de SYSTRID, MICAD 84, Hermes, 1984.
35.	Coulomb J. L., Du Terrail Y. et al., Two 3D parametered mesh generators for the
magnetic field computation, IEEE Trans. MAG, 20, n° 5 (Sept. 1984).
36.	Draft International Standard ISO/DIS, GKS Functional description ISO TC
97/SC5 WG2, n° 117, 1982.
37.	FLUX 2D-Manuel reference, Laboratoire d’Electrotechnique, ENSIEG, BP 46,
38402 St Martin d’Heres.
38.	George A., Lui J. W., Computer solution of large sparce positive definite systems,
Prentice Hall, Serie in Computational Mathematics.
39.	Hermeline F., Triangulation automatique d’un polyedre en dimension N, Rairo
Analyse Numerique, 16, n° 3 (1982).
40.	Jacobs D. A. H., Generalization of the conjugate gradient method for solving
nonsymmetric and complex systems of algebraic equations, Central Electricity
Research Laboratories, Leatherhead, Surrey, 1980.
41.	Lewis J. G., Pool W. G., Ordering algorithms applied to sparce matrices in electrical
power problems, Jr. Electric Power Problems: the Mathematical Challenge, Eris-
man, Neves, Dwarakanath Eds., 1980.
42.	Lawther D. A., Silvester P. P. et al., Ruthless: a general purpose finite element
post-processor, INTERMAG, 1981.
43.	Manteuffel T. A., The shifted incomplete Cholesky factorisation, Applied Mathe-
matics Division, Sandia Laboratories, Livermore, SAND78-8226, 1978.
44.	Mantyla, Sulonen, A solid modeler with Euler operators, IEEE Computer Graphics
and Application (Sept. 1982).
45.	Masse Ph., Modelling of continuous media methodology and computer aided
design of finite elements programs, INTERMAG Conf. Hamburg, IEEE Trans.
MAG (1984).
46.	Meijerink J. A., Van Der Vorst H. A., An iterative solution method for linear
systems of which the coefficient matrix is a symmetric M matrix, Mathematics of
Computation, 31, n° 137 (January 1977).
47.	National Bureau of Standards, A technical briefing on the Initial Graphics
Exchange Specification (IGES), NBSIR81, § 2297, Juillet 1981.
48.	Polak, De Beer et al., MAGGY 2 and PADDY program packages for two and three
dimensional magnetostatic problems, Conf. COMPUMAG, Grenoble, 1978.
49.	Poncet A., Autour de 1 ecriture d’un code d’elements finis. These Doctoral es
Sciences Mathematiques, Grenoble, 1979.
50.	Rose C., COLIBRI: un mailleur tridimensionnel. Note interne EDF HI3570-02,
1982.
51.	Silvester P., Magnet 78-User’s manual, Mac Gill University, Montreal, 1978.
52.	Simkin J., Trowbridge C. W., Three dimensional computer program (TOSCA) for
non linear static electromagnetic fields, Rutherford Laboratory, Owon UK.
53.	SUPERTAB, SUPERTAB: SDRC I-DEAS, level 2, General Electric, CAE Inter-
national Inc., 1984.
54.	Theron M., L’algebre des solides et la CFAO en mecanique-un exemple: le systeme
EUCLID, MICAD84, Hermes, 1984.
55.	FLUX 2D, CEDRAT-ZIRST-38240 MEYLAN.
Содержание
От редактора перевода ............................................ 5
Предисловие ...................................................... 6
Введение ......................................................... 7
1.	Основы метода конечных элементов.............................. 10
1.1.	Основные уравнения математической физики ..................10
1.2.	Понятие корректно поставленной задачи..................... 12
1.3.	Интегральная формулировка ................................ 13
1.4.	Аппроксимация неизвестных функций......................... 21
1.5.	Минимизация функций с помощью аппроксимирующих функций	22
1.6.	Разбиение на конечные элементы и аппроксимация............ 24
2.	Переход от одномерных объектов к двумерным.................... 28
2.1.	Теоретические основы метода конечных элементов............ 28
2.2.	Первый пример: одномерное пространство.................... 30
2.3.	Второй пример: двумерное пространство..................... 41
2.4.	Третий пример: трехмерное пространство ................... 49
2.5.	Четвертый пример: времяпеременные задачи ................. 53
3.	Конечные элементы и аппроксимирующие функции ................. 55
3.1.	Введение ................................................. 55
3.2.	Одномерные элементы ...................................... 56
3.3.	Двумерные элементы ....................................... 58
3.4.	Трехмерные элементы....................................... 64
3.5.	Заключение ............................................... 68
4.	Численные методы ............................................. 70
4.1.	Методы решения систем линейных уравнений.................. 70
4.2.	Нелинейные системы. Метод Ньютона-Рафсона................. 78
4.3.	Численные методы вычисления определенных интегралов . .	82
4.4.	Дифференциальные задачи с начальными условиями ....	87
4.5.	Заключение ............................................... 91
5.	Общая теория изопараметрических конечных элементов второго по-
рядка ............................................................ 92
5.1.	Введение ................................................. 92
5.2.	Постановка уравнений	............................. 93
5.3.	Применение метода Ньютона-Рафсона ........................ 94
5.4.	Построение матрицы Н	и	векторов	F	и R .................. 98
5.5.	Конечные элементы	................................... 100
5.6.	Применение метода	................................... 102
6.	Общая архитектура САПР, базирующихся на методе конечных эле-
ментов .......................................................... 104
6.1.	Общая	структура ....................................... 104
6.2.	Функции	модуля ввода ................................... 104
6.3.	Функции	модуля вычислений .............................. 106
6.4.	Функции	модуля вывода................................... 108
192
Содержание
6.5.	Структура программного обеспечения для метода конечных эле-
ментов .......................................................... 109
6.6.	Взаимодействие между	программами .......................... 111
6.7.	Многодисциплинарные	программы	........................... 112
6.8.	Заключение ................................................. 115
7.	Геометрия, дискретизация и физические	свойства .................. 117
7.1.	Описание геометрии ......................................... 117
7.2.	Дискретизация области ...................................... 126
7.3.	Описание физических характеристик .......................... 144
8.	Обработка результатов ........................................... 150
8.1.	Задачи постпроцессора ...................................... 150
8.2.	Выборка данных.............................................. 153
8.3.	Визуализация данных......................................... 162
8.4.	Заключение ................................................. 163
9.	Области применения.............................................. 164
9.1.	Пакет прикладных программ FLUX	2D ...................... 164
9.2.	Программное обеспечение FLUX 3D............................. 174
9.3.	Программное обеспечение для микроЭВМ ....................... 181
9.4.	Суперпрограммы ............................................. 183
Заключение ......................................................... 186
Литература ......................................................... 189
Научное издание
Жан-Клод Сабоннадьер, Жан-Луи Кулон
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И САПР
Заведующий редакцией д-р техн, наук А.Л. Щёрс. Зам. зав. редакцией Э.Н. Вадиков.
С1арший научный редактор В. С. Соболев. Младший научный редактор В. Н. Соколова.
Художник А. А. Лукьяненко. Художественные редакторы Н.М. Иванов. О. Н. Адаскина.
Технический редактор 3. И. Резник. Корректор Т. М. Подгорная
ИБ № 6839
Сдано в набор 2 12.88. Подписано к печати 20.07.89. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная
№ I. Печать офсетная Гарнитура тайме Объем 6,00 бум.л. Усл.печ.л. 12,00. Уел. кр.-отт.
24,38. Уч.изд.л 11,69. Изд. № 6/6741. Тираж 10000 экз. Зак. 1405. Цена 1 руб.
Издательство «МИР» В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР по
делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 129820, ГСП, Москва, И-110,
1-й Рижский пер., 2.
Можайский полиграфкомбинат В/О «Совэкснорткнига» Государственного комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли г Можайск, ул. Мира, 93.