MATHEMATISCHE MONOGRAPHIEN
Herausgegeben
von W. Grobner und H. Reichardt
Band 10
GALOISSCHE THEORIE
DER p-ERWEHERUNGEN
von H. Koch
MIT EINEM-GELEITWORT
VON I. R. SAFAREVlC
VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
Berlin 1970
X. KOX
ТЕОРИЯ ГАЛУА
/^-РАСШИРЕНИЙ
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
Л. В. Кузьмина
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1973

Оглавление
199
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к немецкому изданию
От автора
Введение
1. Прокоиечные группы
1.1. Проективные пределы групп и колец
1.2. Проконечные группы
1.3. Подгруппы и факторгруппы
1.4. Абелевы проконечные группы, двойственность в смысле Понт-
рягина
1.5. Дискретные модули . •
1.6. Категория Ч?
1.7. Индуктивные пределы в Ч?
2. Теория Галуа для бесконечных алгебраических расширений . . .
2.1. Группы Галуа бесконечных расширений
2.2. Основная теорема теории Галуа . •
3. Когомологии проконечных групп
3.1. Определение групп когомологии ....
3.2. Расширения групп
3.3. Сдвиг размерностей
3.4. Теорема Шапиро
3.5. Ограничение и коограничение ......
3.6. Перемещение .-¦-.••-. . . . . , . . .
3.7. Инфляция и трансгрессия
3.8. Индуктивные пределы групп когомологии
3.9. w-произведение
4." Свободные про-р-группы
4.1. Построение свободных про-/?-групп
4.2. Магнусова алгебра
4.3. Абелевы про-/7-группы
4.4. Первая характеризация свободных про-/7-групп
4.5. Вторая характеризация свободных про-/7-групп
размерность
когомологической размерности
Эйлера — Пуанкаре . .
5. Когомологическая
5.1. Определение
5.2. Характеристика
6. Представление про-р-групп с помощью образующих и соотношений
6.1. Число образующих
6.2. Система соотношений
7. Групповая алгебра про-р-группы
7.1. Определение и основные свойства пополненной групповой
алгебры
7.2. Дискретные и компактные G-модули
5
7
9
13
13
17
19
20
21
23
24
27
27
30
32
32
36
36
39
39
40
41
46
49
52
52
53
54
55
59
, 61
61
62
65
65
66
72
72
73
7.3. Характеризация про-/7-групп размерности sg2 74
7.4. Фильтрации ! . . 77
7.5. Исчисление коммутаторов и степеней 80
7.6. Групповое кольцо свободной про-/7-группы 82
7.7. Теорема Голода — Шафаревича 83
7.8. Структура соотношений и w-произведение .87
8. Вспомогательные результаты из теории алгебраических чисел . . 92
8.1. Основные понятия теории алгебраических чисел для беско-
бесконечных расширений 92
8.2. Нормальные расширения 93
8.3. Автоморфизм Фробениуса 94
8.4. Локальные и глобальные поля 95
8.5. Строение мультипликативной группы конечного локального
поля 97
8.6. Теория полей классов для конечных абелевых расширений . . 99
8.7. Перенесение на бесконечные абелевы расширения 101
8.8. Теорема главных идеалов 102
8.9. Когомологин систем классов 105
8.10. Когомологии мультипликативной группы 107
8.11. Символ норменного вычета 109
9. Максимальные р-расш прения 112
9.1. Поля характеристики р 112
9.2. Поля, содержащие корень степени р из единицы 113
9.3. Поля, не содержащие корень степени р из единицы . . . . 115
10. Конечные локальные поля 117
10.1. Случай %(9)?-р 117
10.2. Случай х(р)=/7, 6F)= 0 120
10.3. Случай xW=*P> в(*)= 1 122
11. Конечные глобальные поля ¦ 131
11.1. Максимальные /7-расширения 131
11.2. Максимальные /7-расширения с заданными точками ветвления 134
11.3. Число образующих 139
11.4. Явное вычисление образующих и соотношений .... . , 142
11.5. Полное определение структуры Gs в частных случаях . , . 1В0
12. р-группы классов и р-башня полей классов 154
12.1. Критерий взаимной простоты числа классов с р 154
12.2. /7-поле классов циклического расширения степени /7 .... 160
12.3. Критерий бесконечности /7-башни полей классов 170
13. Когомологическая размерность Gs 174
13.1. Когомологии группы S-единиц 174
13.2. Случай 6(k)= 1 180
13.3. Случай 6(fe)=0 184
Указатель источников 189
Список литературы 192
Объяснение некоторых часто встречающихся обозначений 195
Именной и предметный указатель 196

УДК 511. в
Книга одного из крупнейших математиков ГДР, извест-
известного специалиста по теории чисел, содержит полный обзор
важного раздела теории алгебраических чисел. Изложение
основано иа теории когомологий конечных и проконечяых
групп, приложения которой выходят далеко за рамки теории
алгебраических чисел. Она применяется в гомологической
алгебре, алгебраической геометрии, теории чисел, теории
групп, топологии. Это делает книгу интересной и доступной
широкому кругу математиков различных специальностей.
Книга будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам
старших курсов университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
К
0223-012
041@1)-73
ПРЕДИСЛОВИЕ К НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
В этой книге излагается сравнительно новая область
алгебраической теории чисел. Она посвящена алгебраической
теории р-расширений, развившейся за последние 25 лет и
достигшей теперь такого уровня, который делает в высшей
степени желательным предлагаемое здесь систематическое
изложение.
Это направление арифметики занимается теорией конечных
расширений полей арифметического типа. Такими полями
являются поля ?-адических чисел, поля формальных степен-
степенных рядов с конечными полями констант, поля алгебраи-
алгебраических чисел и поля алгебраических функций от одной
переменной с конечными полями констант. Его основная
цель состоит в получении новой информации, помимо той,
которую дает классическая теория полей классов. Последняя
теория, как известно, дает обзор расширений с коммутатив-
коммутативной группой Галуа. При этом коммутативность группы
Галуа весьма существенна. Благодаря этому теория полей
классов в идейном отношении тесно связана с широким
кругом математических теорий: от теории радикальных
расширений (называемой теперь теорией Куммера) до топо-
топологической теории двойственности, теории абелевых и
гармонических интегралов и .многообразий Пикара. Теоре-
Теоретико-групповым основанием всех этих вопросов служит
двойственность Понтрягина между коммутативными группами
и их группами характеров. Это — та часть математики,
которую А. Вейль назвал «абелевой математикой».
Как известно, Гильберт при создании теории полей
классов исходил из аналогии между полями алгебраических
чисел и функциональными полями, полями мероморфных
функций на компактных римановых поверхностях. С этой
точки зрения «некоммутативное» обобщение теории полей
классов должно соответствовать изучению фундаментальной
группы римановой поверхности, которая, как известно,
некоммутативна.
Построение теории, которая выходит за рамки теории
полей классов, оказалось возможным для расширений,

Предисловие
группы Галуа которых нильпотентны (или, что эквивалентно,
являются р-группами). Как и при изучении фундаментальных
групп в топологии, оказалось, что интересующие нас группы
естественным образом задаются с помощью образующих и
соотношений, и это существенно проясняет их строение.
Эта теория содержится в предлагаемой книге. Хотя изло-
изложенная теория далеко не охватывает все типы конечных
групп, она приводит к решению ряда проблем теории чисел.
Например, она позволяет многое узнать о структуре всех
расширений полей р-адических чисел или полей формальных
степенных рядов над конечными полями констант. Эта
теория дает возможность получить решение проблемы
о башне полей классов и связанной с ней проблемы о росте
минимальных дискриминантов полей алгебраических чисел.
Одновременно я хочу подчеркнуть, что мы имеем здесь
дело с еще далеко не законченной теорией. Напротив, ряд
крайне интересных проблем остается нерешенным. Например,
к ним относятся следующие вопросы': явное описание группы
Галуа алгебраического замыкания поля р-адических чисел
(скажем, через выделение в ней подгрупп ветвления),
существование расширений поля рациональных чисел с за-
заданной (неразрешимой) группой Галуа, гипотеза Артина
для L-рядов.
Я убежден, что эта книга будет интересна широкому
кругу математиков. С одной стороны, она доступна для
неспециалистов в этой области и быстро вводит читателя
в новый круг вопросов, содержащих много проблем, ко-
которые ждут своего решения. С другой стороны, специалисты
найдут в ней почти все основные результаты этой теории,
а также много новых результатов автора этой книги. Работы
автора принадлежат к интереснейшим достижениям в этом
направлении и сильно способствовали тому, что эта область
приняла ее современный вид.
Я надеюсь, что выход из печати книги X. Коха будет
стимулировать дальнейшее развитие Этого направления в
теории алгебраических чисел.
ОТ АВТОРА
Москва, декабрь 1969
И. Р. Шафаревич
Основная цель данной книги состоит в унифициро.ванном
; представлении на основе теории когомологий Галуа резуль-
результатов, полученных в теории Галуа р-расширений И. Р. ТТТя-
фаревичем, А.^ Фрёлихом, А. Брюмером и автором. Чтобы
, сделать эти результаты доступными широкому кругу мате-
математиков, интересующихся алгеброй, мы предполагаем извест-
1 ными только основные понятия алгебры, теории групп и тео-
теории алгебраических чисел, которые можно найти в учебниках.
| Первые семь разделов книги посвящены теории когомо-
когомологий проконечных групп и, в частности, про-р-групп. Само
соэой разумеется, что при этом в первой части- чувствуется
влияние «Когомологий Галуа» Geppa. Некоторые разделы
этой части можно рассматривать как комментарии к лекциям
Серра. Остальная часть книги посвящена теории полей.
Необходимые для этого предложения теории полей классов
сформулированы и могут быть приняты читателем как
1 аксиомы. Впрочем, в настоящее время существуют по край-
крайней мере два легко доступных изложения теории полей
классов в необходимой для нас форме и объеме — Касселс
и Фрёлих [1], а также Нейкирх [1].
Часть результатов этой книги получена мною во время
пребывания в 1967—1968 гг. в Математическом институте
им. Стеклова Академии наук СССР в Москве. Я пользуюсь
случаем выразить мою сердечную благодарность за пригла-
приглашение руководству института и в особенности профессору
И. Р. Шафаревичу. Однако влияние И. Р. Шафаревича на
, эту книгу гораздо глубже — еще со времени моей учебы
в Москве A960—1961 гг.) и в дальнейшем я неоднократно
пользовался его ценными советами.
Я признателен профессору X. Рейхардту за включение
книги в серию «Математические монографии». Я хотел

8
От автора
бы также поблагодарить сотрудников отдела теории чисел
Института чистой математики Академии наук ГДР (Берлин)
О. Неймана, В. Тора, X. Пипера и "В. Цинка, которые
прочитали рукопись и предложили ряд улучшений и испра-
исправлений.
Я благодарю VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
и в особенности главного редактора Л. Болла и редактора
Э. Арндт за образцовую и внимательную работу над руко-
рукописью. Их труд значительно способствовал успеху этого
издания.
Берлин, осень 1969г.
X. Кох.
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Издательство выражает благодарность автору книги про-
профессору Хельмуту Коху, приславшему специально для рус-
русского издания его книги новый текст, существенно улучшаю-
улучшающий и дополняющий материал разд. 12.
ВВЕДЕНИЕ
После того как была доказана основная теорема теории
Галуа, составившая остов этой теории, главной проблемой
теории стал вопрос о возможных нормальных расширениях
данного основного поля k с заданной группой Галуа G.
Эта проблема известна как обратная задача теории Галуа.
Решение обратной задачи в сильной степени зависит от
свойств основного поля k. В простейшем нетривиальном
примере, когда основное поле k — R является полем веще-
вещественных чисел, решение дает так называемая «основная
теорема алгебры». Если G — циклическая группа порядка 2,
существует расширение с группой Галуа G, а именно, поле
комплексных чисел С. Для групп G более высокого порядка
не существует представления в виде группы Галуа. Следую-
Следующий пример полного решения проблемы дает поле функций
от одной переменной над алгебраически замкнутым полем
констант характеристики 0 (об этом см. Шафаревич [4]).
Совсем иное положение имеет место в классическом
случае, когда в качестве основного поля k выбрано поле
алгебраических чисел. В этом случае для произвольной
группы G не известно, существуют ли расширения с группой
Галуа G. Важным результатом в этом направлении является
теорема Шафаревича [3], которая утверждает, что для раз-
разрешимой группы G такие расширения существуют. Для абе-
левой группы G общее представление обо всех возможных
расширениях с данной группой Галуа дается теорией полей
классов.
В данной книге рассматривается более широкий класс
нильпотентных групп. В теории Галуа доказывается, что
это эквивалентно рассмотрению класса р-групп для любого
простого р. В качестве основных полей допускаются все
поля, к которым приложима теория полей классов, т. е.
глобальные поля, которые, помимо полей алгебраических
чисел, включают поля функций от одной переменной над
конечными полями констант, и локальные поля, т. е. поля
р-адических чисел и поля степенных рядов от одной пере»-
менной над конечными полями констант.

От автора
бы также поблагодарить сотрудников отдела теории чисел
Института чистой математики Академии наук ГДР (Берлин)
О. Неймана, В. Тора, X. Пипера и"В. Цинка, которые
прочитали рукопись и предложили ряд улучшений и испра-
исправлений.
Я благодарю VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
и в особенности главного редактора Л. Болла и редактора
Э. Арндт за образцовую и внимательную работу над руко-
рукописью. Их труд значительно способствовал успеху этого
издания.
Берлин, осень 1969г.
X. Кох.
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Издательство выражает благодарность автору книги про-
профессору Хельмуту Коху, приславшему специально для рус-
русского издания его книги новый текст, существенно улучшаю-
улучшающий и дополняющий материал разд. 12.
ВВЕДЕНИЕ
После того как была доказана основная теорема теории
Галуа, составившая остов этой теории, главной проблемой
теории стал вопрос о возможных нормальных расширениях
данного основного поля k с заданной группой Галуа G.
Эта проблема известна как обратная задача теории Галуа.
Решение обратной задачи в сильной степени зависит от
свойств основного поля k. В простейшем нетривиальном
примере, когда основное поле k = R является полем веще-
вещественных чисел, решение дает так называемая «основная
теорема алгебры». Если G — циклическая группа порядка 2,
существует расширение с группой Галуа G, а именно, поле
комплексных чисел С. Для групп G более высокого порядка
не существует представления в виде группы Галуа. Следую-
Следующий пример полного решения проблемы дает поле функций
от одной переменной над алгебраически замкнутым полем
констант характеристики 0 (об этом см. Шафаревич [4]).
Совсем иное положение имеет место в классическом
случае, когда в качестве основного поля k выбрано поле
алгебраических чисел. В этом случае для произвольной
группы G не известно, существуют ли расширения с группой
Галуа G. Важным результатом в этом направлении является
теорема Шафаревича [3], которая утверждает, что для раз-
разрешимой группы G такие расширения существуют. Для абе-
левой группы G общее представление обо всех возможных
расширениях с данной группой Галуа дается теорией полей
классов.
В данной книге рассматривается более широкий класс
нильпотентных групп. В теории Галуа доказывается, что
это эквивалентно рассмотрению класса р-групп для любого
простого р. В качестве основных полей допускаются все
поля, к которым приложима теория полей классов, т. е.
глобальные ..поля, которые, помимо полей алгебраических
чисел, включают поля функций от одной переменной над
конечными полями констант, и локальные поля, т. е. поля
р-адических чисел и поля степенных рядов от одной пере*
менной над конечными полями констант.

10
Введение
Прежде всего мы хотим еще несколько уточнить поста-
постановку задачи. Как обнаружилось в течение последних двад-
двадцати лет, в теории Галуа полезно рассматривать расширения
с определенными свойствами максимальности. Тогда группа
Галуа такого, возможно бесконечного, расширения в общем
случае является проконечной группой и, если ограничиться
/^-расширениями, — про-р-группой, которая «не слишком
отличается от свободной», так что представление группы
с помощью образующих и соотношений оказывается адек-
адекватным. Точнее, мы рассматриваем некоторое основное по-
поле k, некоторое множество S простых точек поля k и ком-
композит ks (в фиксированном сепарабельном замыкании k)
всех нормальных р-расширений k, которые разветвлены толь-
только в простых точках из S. Поле ks называется максималь-
максимальным неразветвленным вне S р-расширением k. Любое ко-
конечное нормальное расширение ky. группа Галуа которого
является р-группой, содержится в поле ks для некоторого
конечного S. Тогда в смысле теории Галуа обратная задача
для р-групп эквивалентна описанию групп Галуа G s расши-
расширений ks/k для всех конечных S.
Главное внимание в этой книге уделено группам Gs для
глобального основного поля k. Напротив, р-расширения полей
р-адических чисел рассматриваются лишь постольку, по-
поскольку это необходимо для перехода к глобальным полям.
Это имеет двоякое основание. С одной стороны, для такого
поля с успехом можно браться за обратную задачу для
любой группы G (см. Ивасава [1], Боревич [1], Кох [1], [3],
Яковлев [1]), и следует. ожидать, что в недалеком будущем
будет найдено окончательное решение. С другой стороны,
существует общее изложение теории Галуа максимальных
р-расширений полей ?-адических чисел — Лабют[1]. Соответ-
Соответствующая теория для полей степенных рядов с конечными
палями констант значительно проще и полностью излагается
здесь.
Группа Галуа максимального р-расширения локального
поля kp имеет одно определяющее соотношение или свободна,
смотря по тому, содержится ли в k? корень степени р из
единицы или нет. Это соотношение для }igS может пере-
переходить в соотношение группы Gs. Вопрос о том, получается
ли таким способом система определяющих соотношений
для Gs, рассматривается Кохом [4] и тоже относится к основ-
основным вопросам данной книги.
Для поля алгебраических чисел описание группы Gs
находится в тесной связи с задачей о башне полей классов.
Эта задача послужила Шафаревичу [5] поводом для рас-
рассмотрения группы С?5-
Введение
11
Теоремы о структуре Gs позволяют также получить неко-
некоторые результаты о р-компоненте группы классов абелевых
расширений основного поля k. Результаты, идущие в этом
направлении, изложены в разд. 12 этой книги. Они являются
обобщением теорем Фрёлиха [2], [3].
В предлагаемой книге не рассматривается важный резуль-
результат теории Галуа р-расширений — теорема Шо«льца [1] — Рей-
хардта [1] — Шафаревича [2] о существовании нормального
расширения поля алгебраических чисел с заданной р-группой
Галуа. Доказательство этой теоремы в рамках теории кого-
мологий Галуа, лежащей в основе этой книги, до сих пор
ие найдено.

1. ПРОКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
Группы Галуа бесконечных нормальных расширений
являются проконечными группами. Поэтому прежде всего
мы рассмотрим общие свойства этих групп. Основные факты
теории топологических групп цитируются по Понтрягину [1].
Под подгруппой топологической группы всегда подразуме-
подразумевается замкнутая подгруппа.
1.1. Проективные пределы групп и колец
Пусть / — некоторое фильтрующееся множество, т. е.
частично упорядоченное множество с отношением порядка ^,
причем для любых ?, j е / существует k e / со свойством
i^k, j^k. Множество / — категория, объектами которой
являются элементы /, а множества морфизмов Нот (г, /),
/, / е /, состоят из одного элемента, если i ^ /, и пусты в
противном случае.
Определение 1.1. Проективной системой Р — {/, Gi, q>{}
компактных групп (колец) называется некоторый контра-
вариантный функтор из / .в категорию R компактных групп
(колец), причем »е/ соответствует группа (кольцо) Gi,
a i^j соответствует морфизм ф? из G. в Gr Систему
{/, Gv фП мы будем также сокращенно обозначать {Gt\i ^/}•
Пример 1.2. Пусть / = N — множество натуральных чисел (с обыч-
обычным отношением порядка), {Gi 11 s N) — некоторое семейство компактных
групп и ф; — произвольные морфнзмы из Gi+x в G{. Для г"^у по-
положим
Тогда {N, G{, ф{} — проективная система.
Определение 1.3. Для каждого G е 51 можно опре-
определить тривиальную проективную систему Ро, такую, что
каждому /е/ соответствует группа (кольцо) G и каждым
^/ соответствует тождественное отображение G.

14
1. Проконечные группы
Каждый морфизм q> нз G'et в G очевидным образом
определяет морфизм ') Ра- в Ра, который мы также обозна-
обозначаем через ф.
Определение . 1.4. Группа (кольцо) СеЯ вместе
с некоторым морфизмом Ф из Ра в проективную систему
P—U, Gt, ф{) называется проективным пределом Р, если для
любой G' e R и произвольного морфизма Ф' из Ра- в Р
существует единственный морфизм ф из G' в G, такой, что
диаграмма
<ь
Ра
коммутативна.
Морфизм Ра в Р задается семейством {ф4|ге/} морфиз-
мов фг из G в Gu таких, что для всех i ^ у диаграмма
G
С,
У
коммутативна.
Предложение 1.5. 27-яя всякой проективной системы
{/, Gp ф{} существует проективный предел в R, который опре-
определен однозначно с точностью до изоморфизма в Я-
Доказательство. Единственность следует непосред-
непосредственно из определения. Проективный предел [G, {|//}]
можно построить сле б G
можно построить следующим образом: G — множество всех
Г Г '
элементов
таких, что
gi из II Git которые для любых *', / s/,
удовлетворяют условию
8t =
Топология в G индуцирована компактной топологией в ТТ Gt.
is/
Группа G замкнута "в Ц Gt и, следовательно, компактна.
is/
') Морфизмом системы Р — {/, G^, ф{} в систему Р' = {/, G^, ф^]
называется семейство морфизмов [Лг I X{: Gl -> G'}, таких, что ^{Л,/ =» Д,гф|
для / ^ /. В терминах теории категорий морфизм проективных систем
является морфизмом функтора Р в функтор Р'. — Прим. перев.
1.1. Проективные пределы групп и колец
15
Морфизм ф/ можно получить ограничением проекции
Ц Gi-^-Gt на G. Легко проверить, что таким способом мы
получаем проективный предел. ¦
Проективный предел системы [/, G{, ф^} сокращенно будем
обозначать через Пт<<=/ G( или lim G{.
Пример 1.6. Пусть G — произвольная топологическая группа (про-
(произвольное топологическое кольцо) и / — множество нормальных дели-
делителей (идеалов) G конечного индекса, которое замкнуто относительно
конечных пересечений. В множестве / определено фильтрующееся отно-
отношение порядка
/ => у для /,. у <= /.
/
Пусть ф{ для i => у — проекция G/j -+¦ Gft. Очевидно, что {/, Gft, ф{]
является проективной системой, предел которой мы будем обозначать
через G1'. Соответствие
U
is/
определяет морфизм ф; из G s G1', ядром которого служит пересечение
множеств, входящих в /. Отображение ф устанавливает структурной
изоморфизм между / н структурой открытых нормальных делителей (идеа-
(идеалов) G .
Если / состоит из всех нормальных делителей (идеалов) конечного
индекса, то G1 называется тотальным пополнением G. Мы будем обо-
обозначать его в дальнейшем также через G.
Пусть р — некоторое простое число. Если / состоит из всех нор-
нормальных делителей (идеалов) р-примарного индекса, то G называется
р-пополнением G.
Пример 1.7. р-пополнение кольца целых рациональных чисел изомор-
изоморфно кольцу Zp целых р-адических чисел. Тотальное пополнение Z изоморфно
прямому произведению JJ Zp, распространенному на все простые р.
В общем случае, пусть О — дедекиндово кольцо и да — простой идеал-
в кольце О с конечным полем классов вычетов. Тогда пополнение кольца О
относительно множества /, состоящего из всех степеней }), изоморфно
кольцу Ор целых элементов пополнения поля частных К кольца О отно-
относительно нормирования К, соответствующего ?.
Пусть поле классов вычетов конечно для всех простых идеалов р
кольца О. Тогда тотальное пополнение О изоморфно прямому произве-
произведению JT Ор, распространенному на все простые идеалы X) кольца О.
Пусть Р={/, Gr ф/} и Q = {/, Hp г|э[) — проективные си-
системы. Морфизм ф из Р в Q состоит из монотонного ото-
отображения Ф частично упорядоченного множества / в частично
упорядоченное множество / и морфизмов ф^ из G®(/> в Hi,

16
/. Проконечные группы
где i е /, таких, что для всех /
диаграмма
«18
p/
Н,
коммутативна.
Отображению ф соответствует морфизм ф' из lim Gt
в lim Hi, определенный следующим образом:
Определение 1.8. Пусть/ — фильтрующееся множе-
множество. Подмножество / множества / называется конфиналь-
ным в /, если для каждого / е / существует / е /,. такое,
что / ^ /.
Например, каждое бесконечное подмножество N конфи-
нально в N.
Пусть Р = {/, G{, cp't] — некоторая проективная система.
Ограничение на / определяет проективную систему Q =
= [/, Gv tpQ. Вложение /->/ совместно с отождествлениями
Gt —*¦ G{ определяет некоторый морфизм ф из Р в Q. Соот-
Соответствующий морфизм ф' из lirrifs/ G{ в \\miejGi является
изоморфизмом. Мы будем обычно отождествлять lim^s/ Gt
Из вышеизложенного ясно, что понимается под катего-
категорией Л7 проективных систем над /. Проективный предел
lirrue/ является точным функтором из 5?, в 5?. Другими сло-
словами, имеет место
Предложение 1.9. Пусть Р = (/, F{, Эр, Q = f/, Gt, y\),
R = {/, Нг 1|з|) — проективные системы, 0 = [9f j — морфизм из Р
в Q и я|э = {фЛ — морфизм из Q в R. Пусть для всех /е/
последовательность
точна. Тогда последовательность
1 —>- lim fj -p* lim Gt -^-,+ lim Яг- -> 1
также точна.
1.2. Проконечные группы
17
Доказательство. Морфизм г|/ сюръективен; пусть
ТТ hi —элемент из lim Ht. Множества
По,,
is/
для всех /
:']
замкнуты и не пусты. Вследствие компактности И Gt пере-
сечение центрированной системы множеств {Л/|/ е /} не пусто.
(Относительно основных свойств центрированных систем
множеств см. Понтрягин [1], § 13.) Каждый элемент из f\Aj
принадлежит Hm G{ и отображается при помощи г|/ на JJ hi.
¦*— i^i
Нетрудно проверить, что. Kerb's Im0'. Остальные утвер-
утверждения следуют непосредственно из определений. ¦
Аналогичным образом доказывается
Предложение 1.10. Пусть {/,<?,, ф/}—проективная
система с пределом [G, {q>{\i е /}] и j — некоторый индекс из I.
Пусть gj e Gj и для всех i е /, таких, что j ^ /, пусть gj e
е1тф|. Тогда g} е 1т фг
1.2. Проконечные группы
Определение 1.11. Проконечной группой называется
топологическая группа, которую можно представить как
проективный предел конечных групп.
Пример 1.12. Группы G1, рассмотренные в примере 1.5, являются
проконечными группами, в частности группа Хр — проконечная группа.
Предложение 1.13. Пусть G, {ф,- \i е /} — проективный
предел проективной системы f/, G{, фП конечных групп G..
Тогда система (Кег ф(|/ е /} является фундаментальной систе-
системой окрестностей единицы в G.
Доказательство. Предложение 1.13 следует немед-
немедленно из определения топологии в G. ш
Следующее предложение дает внутреннюю характеристику
проконечных групп:
Предложение 1.14. Следующие свойства компактных
групп G эквивалентны:
(i) Группа G проконечна.
(п) Группа G вполне несвязна.

18
7. Проконечные группы
(iii) Существует множество П открытых нормальных дели-
делителей G, образующее систему окрестностей единицы в G.
Доказательство. В силу предложения 1.13 из (i)
следует (iii). Наоборот, пусть выполнено свойство (iii). Тогда
система {G/U\U ^Щ образует проективную систему конеч-
конечных групп (см. пример 1.6). Рассмотрим проективные си-
системы {U\U eU), {G|?/<=U}, {G/U\Us=U} и морфизмы
Ф^: U—*G, \|3[/: G-+G/U, где V е U. К ним можно приме-
применить предложение 1.9. Так как
мы получаем, что
G =
т. е. что (i) следует из (iii).
Условие (ii) эквивалентно требованию, чтобы пересечение
всех открытых и замкнутых окрестностей единицы было
равно {1}. Тогда из (iii) сразу следует (ii). В силу предло-
предложения 3.17 книги Понтрягина [1] условие (iii) следует из (ii). ¦
В дальнейшем мы будем обозначать систему всех нор-
нормальных делителей G конечного индекса через Uo.
Из предыдущих рассмотрений легко следует
Предложение 1.15. Прямое произведение и проек-
проективный предел проконечных групп, проконечны.
Вообще, можно показать, что в категории проконечных
групп,. морфизмами которой являются непрерывные гомо-
гомоморфизмы групп, для произвольной малой категории /
в качестве системы индексов существуют проективные пре-
пределы. Однако в общем случае предложение 1.9 не имеет
места.
¦ Теперь мы напомним еще понятие расслоенного произве-
произведения. Для произвольной диаграммы проконечных групп
01Ч
существует определенная с точностью до изоморфизма про-
G X G мф G и G такая
конечная группа
что диаграмма
р
G, X qG2 с морфизмами в G, и G2, такая,
*-
1.3. Подгруппы и факторгруппы
19
коммутативна, и для любой коммутативной диаграммы
существует единственный морфизм из X в G, X qG2, делаю-
делающий коммутативной диаграмму
Группа G, X qG2 состоит из всех пар [gu g2], где g,
^ G2 и qpg qg
G,,
1.3. Подгруппы и факторгруппы
Подгруппа V проконечной группы G допускает в каче-
качестве системы окрестностей единицы систему {V f] U\U ^\Ха}
и поэтому, а также в силу предложения 1.14 и первой тео-
теоремы об изоморфизме является проконечной.
Факторгруппа группы G по нормальному делителю N
допускает в качестве системы окрестностей единицы систему
{UN/N\ U e= Uo) и поэтому, а также в силу предложения 1.14
и второй теоремы об изоморфизме_является проконечной.
Следующее предложение гарантирует существование не-
непрерывной системы представителей для смежных классов по
данной подгруппе.
Предложение I.I6. Пусть Н — подгруппа проконечной
группы G. Тогда существует непрерывное сечение а из G/H
в G, такое, что а(Н)=\, т. е. существует непрерывное ото-
отображение а топологических пространств G/H в G, такое, что
сквозное отображение
G/H —-> G -» GIH
является тождественным.
Прежде чем доказывать предложение 1.16, сделаем не-
несколько предварительных замечаний.
Пусть 23 — фильтрующаяся система подгрупп G и П ® = S.
Тогда {G/V\V e= 23} является проективной системой тополо-
топологических пространств. Рассуждения § 1.1 и 1.2 почти до-
дословно переносятся на этот случай. В частности, существует

20
/. Проконечные группы
проективный предел системы {G/V\V е 93}, и непрерывное
естественное отображение G/S в limvss G/V является гомео-
гомеоморфизмом.
Лемма 1.17. Пусть К и Н — подгруппы G, причем К <= И
и Н/К конечна. Тогда существует непрерывное сечение а
из G/H в G/K, такое, что а{Н) = К.
Доказательств-о. Система {UK/K\ U e Uo} является
системой окрестностей единицы G/K. Так как Н/К. конечно,
существует окрестность U <= Uo, такая, что UKIK Л Н/К = {1}.
Тогда естественное отображение
q>: UK/K->UH/H
является гомеоморфизмом. Пусть gi
вычетов G по U. Положим
l, ¦ ¦., gk—система
l(uH), v = I, ..., k; useU.
Отображение о, очевидно, обладает нужными свойствами. ¦
Перейдем теперь к доказательству предложения 1.16.
Пусть Ж — множество всех пар [S, о], где 5 — некоторая
подгруппа И и о — непрерывное сечение^ из G/H в G/S.
Упорядочим множество Ж, положив [5, а] <; [5', а'], если
S'cS и о индуцировано отображением о'. Множество Ж
индуктивно. Действительно, пусть задана цепочка {[5Ь ot] |/e/}
и f]St=S. Сечения ог: G/H-*G/St индуцируют непрерыв-
ное отображение о' из GIH в lim G/S,-, т. е. непрерывное
сечение а из G/H в G/S.- Тогда [S, о] является верхней гранью
для {[5,-, 0г]|/е/}. По лемме Цорна в Ж существует макси-
максимальный элемент [S, а]. В этом случае S = {1}. Действи-
Действительно, если S =^= {1}, то в S существует некоторая собствен-
собственная подгруппа конечного индекса. Тогда по лемме 1.17
элемент [S, а] не максимален. Из этого следует наше утвер-
утверждение. ¦
Пример 1.18. Все подгруппы аддитивной группы Z* кольца Zp
имеют конечный индекс и изоморфны Zp". Для любой степени рп суще-
существует ровно одна подгруппа индекса рг.
1.4. Абелевы проконечные группы,
двойственность в смысле Понтрягина
Пусть G — абелева проконечная группа их — некоторый
морфизм G в R/Z. Так как G компактна, группа Im x также
компактна и изоморфна группе G/Ker %. Из этого следует,
1.5. Дискретные модули
21
что группа Im x конечна, следовательно, она циклическая
и содержится в Q/Z. Все такие характеры % образуют группу
Char (G) = Нот (G, Q/Z), двойственную G в смысле теории
Понтрягина (см. Понтрягин [1], гл. VI). Группа Char(G)
является дискретной периодической группой.
Точнее говоря, Char является контравариантным функ-
функтором из категории абелевых проконечных групп в катего-
категорию абелевых дискретных периодических групп, и наоборот.
При этом прямому произведению проконечных групп соот-
соответствует прямая сумма дискретных периодических групп.
Пример 1.19. Группа, двойственная тотальному пополнению Z (см.
пример 1.6), изоморфна группе Q/Z.
Пример 1.20. Двойственным понятием к проективному пределу
компактных абелевых групп является индуктивный предел дискретных
абелевых групп (см. также § 1.7). Пусть {<?; | / е /} является проективной
системой абелевых проконечных групп. Тогда существует естественный
изоморфизм
Char (Hm Oi) = lim (Char (G<)).
1.5. Дискретные модули
Пусть G — проконечная группа и Л — некоторый унитар-
унитарный G-модуль. Мы рассматриваем А как топологическое
пространство с дискретной топологией.
Определение 1.21. Модуль А называется дискретным
G-модулем, если отображение G X А->А, определяющее
действие G на А, непрерывно.
Предложение 1.22. Пусть G — проконечная группа
и А — некоторый унитарный Ь^модуль. Следующие условия
эквивалентны:
(i) A — дискретный G-модуль.
(ii) Для любого а е А подгруппа Ga — {g \g e G, ga = a)
открыта в G.
(iii) Пусть U — некоторая система окрестностей единицы
в G, состоящая из открытых нормальных делителей. Тогда
А = U Аи,
где Au =
для и <= U}.
Доказательство. Из условия (i) следует (ii). Пусть
а е А. При ограничении отображения GyC,A-*A на Gy^{a)
прообраз элемента {а} равен Ga X {«}• Это показывает, что Ga
является открытым.
Из условия (ii) следует (iii). Пусть а е А. Подгруппа Ga
содержит некоторую подгруппу U
U. Тогда а <= Ад"

22
/. Проконечные группы
поле рациональных /7-адических чисел.
для
Из условия (ш) следует (i). Пусть a, b e A, g <= G и
ga = b. В силу (ш) элемент 6 инвариантен относительно не-
некоторой подгруппы УеИ. Тогда Ug X {а} является откры-
открытой окрестностью элемента [g, а], переходящей в {Ь} при
отображении G У. А^-А. ¦
Из предложения 1.22 немедленно следует, что любой под-
подмодуль и любой фактормодуль дискретного G-модуля также
является дискретным G-модулем.
Пример 1.23. Пусть А — некоторая абелева группа и G— проко-
нечная группа, тривиально действующая на А. Очевидно, что тогда А
является дискретным G-модулем.
Пример 1.24. Пусть Qp
Формула
а (Ь + Zp) = ab + p
превращает Qp/Zp в дискретный Zp-модуль.
Пусть G — проконечная группа, Я — некоторая подгруппа
в G и А — дискретный Я-модуль.
ft
Обозначим через Ма(А) множество всех непрерывных
отображений / из G в А, обладающих свойством
hf(x) = f(hx) для всех /г е Я, ^eG.
Отображение f непрерывно тогда и только тогда, когда
существует открытый нормальный делитель U группы G,
такой, что f зависит только от смежных классов G по U.
В самом деле, система {f~l (a) | a e А) образует открытое
покрытие G. Тогда существует -конечное подпокрытие
[f~l (av) |v= 1, • •• , s). Множество f~l (av) является объеди-
объединением открытых множеств вида gV, где g e G и V — от-
открытый нормальный делитель G. Так как f~l (av) также замк-
замкнуто, можно выбрать конечное покрытие f~l (av) множествами
вида gV. Пусть U — открытый нормальный делитель G, со-
содержащийся во всех V, с помощью которых были построены
конечные покрытия множеств f~'(ai). •••» f~ (as)- Тогда U
удовлетворяет нужным условиям.-
Мы перенесем операцию сложения в Л на Ма (А) и опре-
определим в Ма (А) умножение на элементы g^G формулой
(gf)(x) = f(xg) для x^G. A.1)
Функция gf зависит, как и f, только от классов смежности G
по U и, следовательно, непрерывна. Легко убедиться, что
формула A.1) превращает Mq(A) в дискретный G-модуль.
1.6. Категория 9?
23
Положим М{о} (А) = Ма (А). Мы будем называть Ма (А)
индуцированным модулем.
Пусть А — некоторый дискретный G-модуль. Мы можем
также рассматривать А как Я-модуль. Формула
fa (х) = ха, х е= G,
определяет для любого а <= А некоторый элемент fa из
Ма(А). Отображение а-> fa определяет вложение G-модулей А
в М^ (А).
Пример 1.25. Превратим X [Gf = Z [G] ®z X в G-модуль, положив
h (g ® х) == hg ® к для g, h 6E G, х «= X.
Тогда для конечной группы G модуль X [G] изоморфен MQ (X). Этот
изоморфизм задается формулой
f
V
1.6. Категория 9?
В дальнейшем мы всегда будем понимать под G-модулем
дискретный G-модуль. Кроме категории ^а всех G-модулей,
важную роль играет следующая категория %?:
Объектами <& являются пары [G, А], где G — проконеч-
проконечная группа и Л — некоторый G-модуль. Морфизмом [G, А]
в [Я, BY называется пара [ср, ¦ф], где ср — морфизм из Я в G,
а г|з — гомоморфизм абелевой группы А в В. При этом для
любых h e Я, а е А должно выполняться следующее условие
согласованности:
ар (Ф (h) a) = /ггр (а).
A.2)
Пример 1.26. Пусть А — некоторый G-модуль и Я — подгруппа G.
Вложение ф группы Н в G и тождественное отображение ф группы А
образуют морфизм [G, А] в [Я, А], называемый ограничением.
Пусть Н — нормальный делитель G. Модуль Ан элементов А, непо-
неподвижных относительно действия И, можно рассматривать как G/Я-модуль.
Отображение ср: G -> G/H и вложение ф: А -*¦ А определяют морфизм
[G/H, Ан] в [G, Л], называемый инфляцией.
Пример 1.27. Пусть Н — произвольная подгруппа G и Л — неко-
некоторый Я-модуль. Вложение ср: Я -> G и гомоморфизм ф, сопоставляющий
любому f e М^ (А) его значение в точке 1, определяют морфизм
\О. Мна (А)\ в [Я, Д|.

24
/. Проконечные группы
1.7. Индуктивные пределы в Ч?
Пусть / — некоторое фильтрующееся множество.
Определение 1.28. Индуктивной системой (I,[Gt,At],
[ф|, г|зЛ} в %? называется ковариантный функтор из категории /
в <8. При этом элементу ie/ соответствует объект [G?, At]
и паре элементов i^j соответствует морфизм [ср/, г|зЛ из
[Gi, At] в [G,, А,]. Заметим, что система {/, Gp у'] является
проективной системой в категории проконечных групп.
Если все Gt равны {1}, мы получаем индуктивную си-
систему абелевых групп {/, Аг г|з{].
Пример 1.29. Пусть А— некоторый G-модуль и {А{ | I е N} — не-
некоторая возрастающая последовательность подмодулей. Пусть ф^ для
/— тождественный морфизм G и ф{ — вложение А{ в Af. Тогда си-
система {n,[G, At], [ф{, i|^Jj является индуктивной системой.
Пример 1.30. Пусть {К{ \ i е N}—некоторая возрастающая после-
последовательность конечных нормальных расширений ЛГ,- поля k. Пусть ф/ для
/</— проекция групп Галуа G (Kj/k) -> G (Kt/k) и ф{ — вложение
К?-* К*- Тогда система {n, [G (K{/k), K{~], [<р/, ф{]} является индук-
индуктивной системой.
Определение 1.31. Пусть / — фильтрующееся множе-
множество. Любому G-модулю А соответствует тривиальная индук-
индуктивная система D{a А] = {1, [G, А], [ф{, г|з|]}, где ф| и о]?'—
тождественные отображения. Любому морфизму [ф, \|з] из
[G, А] в [G-, А'] очевидным -образом соответствует морфизм
функторов из D\o, A\ в D[a\ агъ который мы будем также
обозначать через [ф, о|з].
Определение 1.32. Пусть А — некоторый G-модуль,
и-пусть для" индуктивной системы D = {/, \G., А.], Гф|, i|)/]l
задан некоторый морфизм Ф в А. Модуль А называется
индуктивным пределом системы D, если для любого G'-mo-
дуля А' и любого морфизма Ф' из D в ?>[о- л>] существует
единственный морфизм [ф, г|з] из [G, А] в [G', А'], такой, что
диаграмма
D[Qy А\
DХ СФ.
коммутативна.
Морфизм из D в D(Gi A] задается семейством {[фг, г|зг] |/
морфизмов из [GJ, Л?] в [G, Л], таких, что для любых i
1.7. Индуктивные пределы в
25
Gt +-L- G,
At
\
диаграммы
G Л
коммутативны.
Индуктивный предел определяется однозначно с точностью
до изоморфизма, и справедливо следующее
Предложение 1.33. В категории -<& существуют индук-
индуктивные пределы.
Доказательство. Пусть D = {/, [Gv Ht], [ф^, о^]] —
некоторая индуктивная система. Тогда {G, Gi, ф*} является
проективной системой проконечных групп. Далее мы будем
использовать конструкцию проективного предела lim Gi==G
из доказательства предложения 1.5.
Тройка {/, At, фП является индуктивной системой абеле-
вых групп. Индуктивный предел НтЛг = Л этой системы
можно построить следующим образом. Будем считать два
элемента at e А{ и at e Af эквивалентными, если существует
индекс k, такой, что i ^.k, j^.k и выполняется соотно-
соотношение
Это определяет отношение эквивалентности в объедине-
объединении At для i e /. Очевидно, что классы эквивалентности
по этому отношению образуют абелеву группу Л, которая
является индуктивным пределом системы {/, А{, аЭД'}. Соот-
Соответствующие отображения 1|)г из А{ в А сопоставляют каждому
элементу at e Лг его класс аг в А.
Мы определим умножение элементов Ц gt из G на а^е=А
при помощи формулы
8lul-
A.3)
Это определение не зависит от выбора элемента af в его
классе. Действительно, пусть а/ == ау\ тогда существует ин-
индекс k, такой, что j^k, j' ^ k и

/. Проконечные группы
Используя A.2) и учитывая, что gf = ср*дй и gjr = ф^?А,
находим, что для gj,ar справедливы равенства
** (?/'аг) = 8>tf> (аг) = gktf (a,) = Ч>/ (?,а/)-
Мы немедленно убеждаемся, что A.3) превращает А в ди-
дискретный G-модуль. Тогда [G, А] является искомым индук-
индуктивным пределом и соответствующие морфизмы из [Giy At]
в [G, А] задаются согласованными парами отображений
[фг. Ф*]- ¦
Отметим еще .следующее простое утверждение:
Предложение 1.34. Пусть Dv = {[G«v>, A(tv)\, /e=/}, где
v= 1, 2, 3, — индуктивные системы в <&. Пусть также задана
точная последовательность
Тогда индуцированная последовательность
¦Urn AT-* Mm А?-
О
¦\\mAf-
точна.
2. ТЕОРИЯ ГАЛУА ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ РАСШИРЕНИЙ
Теория Галуа категории R — это контравариантный функ-
функтор из R в некоторую «более простую» категорию R', причем
определенные свойства объектов и морфизмов $ отра-
отражаются в $'.
В классической теории. Галуа объекты $ — это конечные
нормальные расширения K/k (под нормальными расшире-
расширениями мы понимаем в дальнейшем нормальные алгебраиче-
алгебраические сепарабельные расширения полей), а морфизмы Klk
в К'Ik' — это изоморфизмы К в К', переводящие k в k''.
Категория 5?' — это категория конечных групп, а контрава-
контравариантный функтор сопоставляет каждому расширению K/k
группу G (K/k) автоморфизмов К, оставляющих на месте все
элементы поля k, причем морфизму K/k —* К'Ik' соответст-
соответствует проекция из G (K'/k') в G (K/k).
При переходе от классической теории Галуа к теории
Галуа бесконечных расширений вместо категории конечных
групп появляется категория проконечных групп. Большую
часть предложений классической теории Галуа можно пере-
перенести без затруднений на бесконечный случай.
2.1. Группы Галуа бесконечных расширений
Пусть K/k — некоторое (конечное или бесконечное) нор-
нормальное расширение.
Определение 2.1. Как и в конечном случае, мы назы-
называем группой Галуа расширения K/k группу всех автомор-
автоморфизмов поля К, которые оставляют на месте все элементы
поля k. Мы будем обозначать эту группу через G (K/k).
Мы введем в G (K/k) топологию, выбрав в качестве системы
окрестностей единицы систему U (K/k), определенную следую-
следующим условием:

28
2. Теория Галуа для бесконечных алгебраических расширений
где 9? — множество всех конечных нормальных расширений k,
содержащихся в К-
Предложение 2.2. Группа Галуа G(K/k) является
проконечной группой.
Точнее говоря, группа G (K/k) изоморфна проективному
пределу системы {G (N/k)\N <= 91).
Доказательство. Отображения ограничения G (K/k)-*
-> G (N/k) определяют гомоморфизм ф группы G (K/k)
в lim G (N/k). Для произвольного aei( выберем поле М 91?
/)
такое, что а
пё
М. Положим
(а) = ём (а) Для
lim G(N/k).
Это определение не зависит от выбора М. Легко проверить,
что отображение о|з является обратным для ф. Поэтому
отображение ф является изоморфизмом абстрактных групп.
Кроме того, в силу предложения 1.13, отображение ф пере-
переводит систему окрестностей единицы {G (K/N)\N e Щ в си-
систему окрестностей единицы группы lim G (N/k). Следова-
тельно, ф является также изоморфизмом топологических
групп. ¦
Предложение 2.3. Пусть К = (J Kt, где {Ki \i <= /} —
некоторое семейство нормальных расширений k. Пусть для
любых i, j найдется индекс п, такой, что Kt cz Кп и Kj с:;/СА.
Тогда {G (Kt/k)\i е /} является проективной системой и G(K/k)
изоморфна lim G (Kt/k).
Доказательство предложения 2.3 вполне аналогично до-
доказательству предложения 2.2. ¦
Ьа
Пример 2.4. Пусть k = Q (?р) и К = (J Q (? v)> где ? v — перво-
первообразный корень из единицы степени /Л Тогда G (K/k) ~ Z/2Z X Z2 при
р = 2 и G (ЛГ/fc) ~ Zp прн рФ 2.
Предложение 2.5. (Теорема о продолжении изомор-
изоморфизма.) Пусть заданы нормальное расширение K/k с проме-
промежуточными подполями К\ и Къ и изоморфизм у между
полями Ki и К2, оставляющий на месте элементы k. Тогда у
можно продолжить до некоторого автоморфизма расширения
1\/Пч
2.1. Группы Галуа бесконечных расширений
29
Доказательство. Для каждого М е !Я определим
в П G (N/k) подмножество Вм следующим образом:
ЛГе=9?
П SN\gN^G(Nlk) и для NczM
существует автоморфизм gM e G (M/k), такой,
чт0 ём является продолжением1) vl^iD^
на М и gN=*gM\N].
В силу теоремы о продолжении изоморфизма для конечных
расширений система {ВМ\М е !R} является центрированной
системой замкнутых подмножеств компактного множества
Ц G (N/k). Тогда система {ВМ\М е ЭТ} имеет непустое пере-
сечение В, и в силу предложения 2.2 любой элемент из В
определяет продолжение автоморфизма у па. К- Ш
Предложение 2.6. Пусть K/k — некоторое нормальное
расширение и М — промежуточное подполе, конечное над k.
Тогда индекс G(KIM) в G (K/k) равен [М : k].
Доказательство. Пусть [M:k] — n и Yi» •••» Yn —
различные изоморфизмы М в К. По предложению 2.5 любой
изоморфизм Yv можно продолжить на К- Пусть Yv — про-
продолжение изоморфизма Yv Тогда элементы уи ..., Yn обра-
образуют систему представителей смежных классов группы G (K/k)
по подгруппе G (К/М). ¦
Предложение 2.7. Пусть K/k — нормальное расшире-
расширение и К = U Kt, где Kt — конечные расширения k. Тогда
t^i
подгруппы
{G (K/Kt)\i
в G(K/k).
G (KIKt) одновременно открыты и замкнуты и
/} является системой окрестностей единицы
Доказательство. Пусть / е / и N/k — конечное нор-
нормальное подрасширение K/k, содержащее Kt- Группа G (K/N)
имеет конечный индекс в G (KIKt) в силу предложения 2.6.
Так как G (K/N) открыта и замкнута, это верно и для G (KIKt).
Пусть, напротив, N/k — некоторое конечное нормальное под-
подрасширение K/k; тогда, в силу теоремы о примитивном эле-
элементе, TV cr Ki для некоторого i, т. е. G (K/Ki) <= G (K/N).
Следовательно, система {G (K/Kt)\i ^ I) является системой
окрестностей единицы. ¦
¦) Через y IК автор обозначает ограничение автоморфизма у нз
поле К- — Прим. пере$.

30
2. Теория Галуа для бесконечных алгебраических расширений
Предложение 2.8. Пусть К Ik — нормальное расшире-
расширение и М — некоторое промежуточное поле. Тогда топология
в G (KIM) индуцирована топологией в G(K/k) и G (К/М)
замкнута в G (Klk). Группа G (К/М) открыта тогда и только
тогда, когда расширение M/k конечно.
Доказательство. Для любых двух промежуточных
полей М и N расширения K/k выполняется равенство
G (К/М) Г) G (KIN) = G (K/MN).
Тогда система {G(K/MN) \N/k —конечно и нормально}, в силу
предложения 2.7, является системой окрестностей единицы
группы G(K/M) как в топологии, индуцированной группой
G (K/k), так и в топологии G (К/М) как группы Галуа рас-
расширения К/М. Группа G (К/М) замкнута в G (K/k), так как
она компактна. Если G(K/M) открыта, то она имеет конеч-
конечный индекс в G (K/k). Из предложения 2.6 непосредственно
следует, что расширение M/k конечно. ¦
2.2. Основная теорема теории Галуа
Предложение 2.9. Пусть K/k — некоторое нормальное
расширение. Соответствие Ф (М) = G (К/М) определяет взаимно
однозначное отображение Ф множества всех промежуточных
полей М расширения K/k на множество всех (замкнутых)
подгрупп группы G (K/k).
Обратным к Ф является отображение W, сопоставляющее
подгруппе U группы G(K/k) поле К (U) элементов, непод-
неподвижных относительно U.
Доказательство. Из конечной теории Галуа и пред-
предложения 2.5 следует, что для любого промежуточного
поля М поле элементов, неподвижных относительно G (К/М),
совпадает с М. Нам осталось показать, что для любой
подгруппы U группы G(K/k) выполняется равенство U =
= G(K/K(U)). Очевидно, что U cz G (К/К(U)).
Пусть {Ki\i^I} — множество всех конечных нормальных
подрасширений расширения KIK(U). Существует коммута-
коммутативная диаграмма с естественными отображениями
G (К/К (U)) —^ lim G (Кг/К (U))
2.2. Основная теорема теории Галуа
следует, что,тогда G (KilK(U)) = U\Kt и отображение Ф,—
тождественное. Отображение q>2 переводит U во всюду
плотное подмножество, а так как U замкнуто, q>2 отобра-
отображает U на \im U \Ki, т.е. q>2 является изоморфизмом и, сле-
следовательно, *U=G (KIK (U)). ш
Отметим еще два предложения, которые непосредственно
следуют из конечной теории Галуа и из предыдущих рас-
рассуждений.
Предложение 2.10. Пусть Klk — некоторое нормаль-
нормальное расширение и N — промежуточное поле, нормальное над k.
Тогда последовательность
1 -* G (KIN) -> G (Klk) -> G (Nik) -> 1
яыяется точной последовательностью морфизмов проконечных
групп.
Предложение 2.11. Пусть Q/k — некоторое нормальное
расширение и К\, К2 — промежуточные подполя. Тогда из
нормальности KJk следует нормальность К1К2/К2, « естест-
естественное отображение
G (KiK2/K2) -* G (K1IK1 fl /C«)
является изоморфизмом.
Если K2/k также нормально, то существует естественный
изоморфизм
GO
G (Kilk) Xa G (Кз/k),
где G =
Пример 2.12. Пусть k — конечное поле и К — алгебраическое за-
замыкание к. Тогда G (К/к) изоморфна тотальному пополнению Z (см
пример 1.7).
V
ф.'
¦^ WmU\Ki
Очевидно, что в Ki поле К (U) совпадает с полем непод-
неподвижных элементов для U\Ki- Из конечной теории Галуа

3. КОГОМОЛОГИИ ПРОКОНЕЧНЫХ ГРУПП
Основным приемом теории полей классов и теории кого-
мологий Галуа, с помощью которого получены почти все
результаты о р-расширениях, приведенные в этой книге,
является вычисление групп когомологий дискретных модулгй
над проконечными группами. Итак, в первую очередь мы
должны изложить соответствующую теорию. При этом мы
прежде всего учитываем потребности теории когомологий
Галуа. Теория когомологий конечных групп, необходимая
в теории полей классов, затронута лишь настолько, насколько
это нужно для формулировки интересующих нас предложе-
предложений теории полей классов. Остальное можно найти у Серра [1],
гл. VI—XI.
3.1. Определение групп когомологий
Пусть G—некоторая проконечная группа и А —некото-
—некоторый G-модуль. Мы определим группы когомологий G с коэф-
коэффициентами в Л с помощью подходящего комплекса.
Пусть Kn(G, А) для п ^ 1 — множество всех непрерыв-
непрерывных отображений произведения п экземпляров G в А и
K°(G, А) = А. Групповая операция в А переносится на
Kn(G, A).
Как и' для элементов Ма(Х) (см. также § 1.5), непре-
непрерывность f^Kn(G, А) означает, что функция f(xu ..., хп)
зависит только от смежных классов xv по некоторому от-
открытому нормальному делителю G. Формула
n+l
)
(dj)(xu
определяет гомоморфизм dn из K"(G, А) в Kn+{(G, А). Мы
покажем, что K(G, A)= Ё Kn(G, А) вместе с отображением
d = {dn\n = 0, I, ...} образует комплекс.
3.1. Определение групп когомологий
33
Предложение 3.1. Для п~^\ справедливо равенство
dndn-i=0.
Доказательство. Сначала мы докажем предложе-
предложение 3.1 для индуцированных модулей А = Ма(Х). Для этого
мы определим для всех g^G гомоморфизм sn(g) из
Kn(G, Ма(Х)) в К"~ (G, МО(Х)) при помощи следующей
формулы:
(sn(g)f)(xu ..., хп-и
, хи ..., хп-и g), C.1)
где f^Kn(G, MQ{X)). При этом, мы рассматриваем / как
непрерывную функцию от п + 1 аргументов хи ..., х„, х со
значениями в X. Первые п аргументов используются для
построения комплекса, а последний аргумент х используется
для построения индуцированного модуля. Легко проверить,
что
для всех
C.2)
Теперь мы докажем при помощи индукции, что dndn-i=0.
Для п= 1 непосредственное вычисление показывает, что
did0 = 0. Пусть для некоторого m ^ 1 уже доказано, что
dmdm-i=0. Заменим в C.2) п на m+ I, a f на dj. Тогда
мы получим равенство
(g) dm+ldj = dj — dmsm+l (g) dj.
СнЪва применяя C.2), мы получаем
sm+2(g)dm+1dJ = dmdm-.lsm{g)f = 0 для всех g <=G.
Из последнего равенства и C.1) немедленно следует, что
dd Q
+
Чтобы доказать предложение C.1) для произвольного
G-модуля Л, заметим прежде всего, что формула
..., ф/г„), Л,, ..., hn<=H, C.3)
сопоставляет любому морфизму [ф, г|з] из [G, А] в [Н, В]
гомоморфизм q комплекса K(G, А) в комплекс К{Н, В).
Соответствие
[G, А)-^ K(G, A),
[ф> 'Ф] ~VVL*- ф
определяет функтор из ЧР в категорию градуированных групп,
который становится точным при ограничении на Wq.
2 Зак. 285

34
3. Когомологии проконечных групп
Вложение А-*МО(А) (см. пример 1.24) индуцирует ком-
коммутативную диаграмму
Kn-l(G, А)
„„_,
Kn(G, А)
Kn+l(G, А)
Kn'l(G, Ma(A))
, MQ(A)) -I? Kn+1(G, Ma(A))
вертикальные стрелки которой являются вложениями. Из
этой диаграммы немедленно следует предложение 3.1. ¦
Из предыдущих рассуждений следует также
Предложение 3.2. Соответствие
[G, А] -*~ K(G, A)
[ ] K(G, A)
и формула C.3) определяют функтор из 91? в категорию
комплексов, который становится точным при ограничении
на Я?а.
Определение 3.3. Мы определим группы когомологии
Hn(G, А) группы G с коэффициентами в А как группы кого-
когомологии комплекса K(G, A):
n для п — 0.
Морфизм комплексов ^ индуцирует для всех п ^ 0 гомо-
гомоморфизмы г|>*: Hn(G, А)->Ип(Н, В).
Из предложения 3.2 следует основное в теории когомо-
логий комплексов ..-•--¦
Предложение 3.4. Соответствие
[G, A]^~Hn(G, A),
определяет функтор из Ч? в категорию абелевых групп.
Предложение 3.5. Пусть G и Н — проконечные
группы и
0
В
— коммутативная диаграмма над <<<?, причем первая (соответ-
(соответственно вторая) строка является точной последовательностью
G-модулей (соответственно Н-мод//лей).
3.1. Определение групп когомологии
35
Тогда следующая диаграмма:
0->Я°(О, Л)-> ...
Hnr-l(G, С)
ап-1
О -> Н° (Я, Л') -* ... -> Я" (Я, СО -?^г+
->Hn(G, A) ->Hn(G, В) ->Hn(G, С) -> ...
-> я" (я, ло -» я" (я, so -» я" (Я, со -> ...
в которой А„_1 обозначает связывающий гомоморфизм, точна
и коммутативна.
Предложение 3.6. Пусть G-модуль А является пря-
прямой суммой G-модулей At, где ze/. Тогда Hn(G, А) является
прямой суммой абелевых групп Я" (G, А{), /е/.
Из доказательства предложения 3.1, также следует
Предложение 3.7. Пусть G— проконечная группа
и X — некоторая абелева группа. Тогда
Hn(G, Mo(X)) = 0 при rt>l.
Доказательство. Пусть f<=Kn(G, Ма(Х)) и dJ = 0.
Тогда из C.2) следует, что f — dn-isn(g)f. ¦
Пусть А — произвольный G-модуль. Тогда при п = 0
H°(G, A) = A° = {a<=A\ga = a для g <= G].
Это условие, а также предложения 3.5 и 3.7 определяют
группы когомологии G с точностью до. изоморфизма. Это.
получается методом сдвига размерностей, который мы рас-
рассмотрим в § 3.3.
Рассмотрим еще случай п = 1.
Непрерывное отображение из G в Л называется скре-
скрещенным гомоморфизмом, если для любых g\, g2^ G вы-
выполняется равенство
/ (S1S2) = f (ffi) + gif (?2).
Скрещенный гомоморфизм f распадается, если при неко-
некотором фиксированном а<= А его можно записать в виде
f (g) = ga — а.
Группа Я1 (G, Л) совпадает с факторгруппой группы всех
скрещенных гомоморфизмов из G в А по подгруппе всех
распадающихся скрещенных гомоморфизмов. Если G дей-
действует на Л тривиально, то HX(G, A)—это группа обыкно-
обыкновенных непрерывных гомоморфизмов.

36
3. Когомологии проконечных групп
3.2. Расширения групп
Пусть А — конечная абелева группа и
О -* А -> G -* G -> 1
— точная последовательность проконечных групп. Обычная
теория расширений групп без затруднений переносится на
случай проконечных групп. Нужно только потребовать,
чтобы все появляющиеся при этом операции были непре-
непрерывны. В частности, элементы группы H2(G, А) взаимно
однозначно соответствуют классам эквивалентных групповых
расширений группы G с помощью А.
3.3. Сдвиг размерностей
В силу примера 1.24 любой G-модуль А допускает вло-
вложение в некоторый индуцированный модуль Ма {X), т. е.
существует точная последовательность G-модулей
О -> А -> Мо (X) -> С -> 0.
Тогда из предложений 3.5 и 3.7 следует существование точ-
точной последовательности
Hn(G, Ma(X))-*Hn(G, C)->Hn+l(G, Л)^0
и изоморфизмов
Hn(G, С) ~ Hn+1 (G, А) при п > 1..
Это позволяет свести при помощи индукции вычисление
«-мерной группы когомологии к рассмотрению простого част-
частного случая п = 0. При помощи этого метода, называемого
сдвигом размерностей, можно легко доказать многие утвер-
утверждения теории когомологии.
Вообще, справедлив следующий принцип:
Предложение 3.8. Пусть G и Н — проконечные группы
и F — некоторый точный ковариантный функтор из катего-
категории %'н в категорию 'ё'о, переводящий индуцированные мо-
модули в индуцированные. Далее, пусть Хт — морфизм функ-
функторов, определенный для всех А е ^н, причем Хт (А) является
гомоморфизмом из Hm(G, FA) в Hm{H, A).
Тогда существует единственное семейство морфизмов функ-
функторов {Хп\п — пг, ш+1, ...}, такое, что для любой точной
последовательности
0->Л->Я->С->0
3.3. Сдвиг размерностей
ЗГ
?н и всех п~^ m диаграмма
Hn(G,FC)
C.4)
Hn+l(G, FA)-,
"n+i
>ЯП+1(Я, А)
коммутативна.
Если Xm — изоморфизм, то Хп также являются изоморфиз-
изоморфизмами при п^гп.
Доказательство. Прежде всего мы докажем един-
единственность отображений Я„ при помощи индукции по п.
Пусть задана точная последовательность //-модулей:
О
- М (X) -* С -> 0.
Тогда по условию предложения 3.8 существует точная ком-
коммутативная диаграмма
Hn{G,
Hn(G, FC)
Hn+l (G, FA)
I
0
, (A)'
4n(H, MH(X))
I
Hn (Я, C)
к
¦
Я"+1 (Я, Л)
C.5)
: m однозначно
из которой следует, что Я„+1 для всех п
определяется отображением Хп.
Если Я„ — изоморфизм, то Хп+1 — также изоморфизм.
Этим доказано последнее утверждение предложения 3.8.
Мы докажем существование отображений Хп также при
помощи индукции. Если для заданного п^пг уже опреде-
определено отображение Хп(А), мы определим Хп+{(А) при помощи
диаграммы C.5).
Это определение не зависит от выбора индуцированного
модуля МН(Х). А именно, пусть задана другая точная по-
последовательность Я-модулей
0-*A-!F+MII(X')-»C'-*0.
Тогда мы вложим модуль А в
М„ (X 0 X') ~ Мн (X) ф М„ (X')

38
3. Когомологии проконечных групп
при помощи отображения q>" ==-<р + q/ и получим точную
коммутативную диаграмму
0->Л +МН(Х)—+С ->0
* * 4
Iid I I
О -* Л -> Af я (* © X') -* С" -> О
lid I I
v * v
0->Л *А1Я(Х')—*С ->0
Из коммутативности следующей диаграммы: -
= - Н"(Н,С")
4n(G.FC")
и соответствующей диаграммы для С следует доказываемое
утверждение.
Пусть теперь
0->Л->?->С->0
— некоторая точная последовательность //-модулей. Мы вло-
вложим В в некоторый Мн (X) и получим точную коммутатив-
коммутативную диаграмму
О-уЛ—->?—+С ->0
1м
О
А
я (Z)
¦ О
Диаграмму C.4) можно получить из следующей коммутатив-
коммутативной диаграммы:
Н (G,FC)
— Н (Н.С)
h"'(g,fa)
Аналогично можно показать при помощи следующей
диаграммы:
О->Л->ЛГЯ(Л)->С ->0
I I I
О -* fl -> Af д (В) -> С -* О
3.5. Ограничение и коограничение
39
что отображения Л„ функториальны, т. е. что диаграмма
Я" (О,
Нп{Н,В)
коммутативна. ¦
Теперь мы опишем некоторые приложения предложе-
предложения 3.8.
3.4. Теорема Шапиро
Пусть G — некоторая проконечная группа, Н — некото-
некоторая подгруппа в G и Л — некоторый Я-модуль. В примере
1.27 был построен морфизм из [G, Me (А)] в [Я, Л]. Этот
морфизм индуцирует для л = 0, 1, ... гомоморфизмы ц>'п(А)
из Hn(G, M%(A)) в Нп(Н, А).
Предложение 3.9. Отображения ф*(Л) являются изо-
изоморфизмами.
Доказательство. Mq является точным функтором
из Я?н в 'Wq, и модуль Мо(Мн(Х)) изоморфен М0(Х). По-
Поэтому мы можем применить к отображениям ср* предложе-
предложение 3.8. Легко проверить, что ср* — изоморфизм, откуда сле-
следует наше утверждение. ¦
Предложение 3.9 позволяет заменять когомологии под-
подгруппы когомологиями самой группы.
3.5. Ограничение и коограничение
Пусть Н — некоторая проконечная группа, G—подгруппа Я
и Л — некоторый Я-модуль. Отображение ограничения, рас-
рассмотренное в примере 1.26, индуцирует гомоморфизм Res
из Нп(Н, А) в Hn(G, Л), который мы будем называть огра-
ограничением.
Пусть также индекс G в Я конечен. Мы определим при
помощи предложения 3.8 отображение, которое переводит
Hn{G, А) обратно в Нп(Н, А).
В качестве функтора F мы возьмем отображение, кото-
которое переводит любой Я-модуль в этот же модуль, рассма-
рассматриваемый как модуль над G. Функтор F переводит МН(Х)
в Mq(Mhio(X)), где под Мн/а(Х) понимается группа всех
отображений H/G в X. Мы определим отображение А0(Л) из

40
3. Когомологии проконечных групп
А° в АИ при помощи формулы
Яо(А)а— 2 га для всех а е Л°.
г е= Я/О - - '
Очевидно, что морфизм Яо функториален, поэтому его можно
продолжить на высшие размерности. Соответствующее ото-
отображение Cor из #"(<?, Л) в Нп(Н, А) мы будем называть
коограничением.
Пусть m — некоторое целое число и X — некоторая абе-
лева группа. Эндоморфизм.X, определяемый условием х—>тх,
мы будем в дальнейшем обозначать через т. Справедливо
следующее
Предложение 3.10. Имеет место равенство
Cor • Res = [Я : G]. C.6)
Доказательство. Мы применим предложение 3.8,
причем в качестве F мы возьмем тождественное отображе-
отображение fffj. Легко проверить, что C.6) справедливо для нуль-
нульмерных когомологии. Тогда единственность отображений Я„,
установленная в предложении 3.8, показывает, что C.6)
справедливо для всех размерностей. ¦
Из предложения 3.10 следует
Предложение 3.11. Пусть Н — некоторая конечная
группа и А — произвольный Н-модуль. Тогда при п 2s 1
группа Нп (Я, А) аннулируется умножением на порядок Я.
Доказательство. Применим предложение 3.10 в слу-
случае, когда <? = {1}. Тогда для любого aeff"(ff, Л), где
л^1, ограничение Res а равно нулю, следовательно,
[Я : {1}] а = Cor • Res а = 0. ¦
3.6. Перемещение
Пусть Я — некоторая конечная группа и G — подгруппа
в Я. В теории алгебраических чисел важную роль играет
коограничение
Я1 (G, Q/Z) -* Я1 (Я, Q/Z), C.7)
где Я тривиально действует на Q/Z.
По двойственности для конечных коммутативных групп,
C.7) индуцирует гомоморфизм Ver из Н/[Н, Я] в G/[G, G],
который называется перемещением из Я в С
3.7. Инфляция и трансгрессия
41
Предложение 3.12. Перемещение из Я в G задается
в явном виде формулой
8-*- IT h (g, г),
где г пробегает систему представителей левых смежных клас-
классов R из H/G, и h(g, r) e G определяется условием gr =
= grh (g, г), где gr — представитель для gr в R.
Доказательство. Из точной последовательности
О -> Q/Z -> М „ (Q/Z) -> С -> О
мы получаем точную и коммутативную диаграмму
H°(G, С)—д-*Я'(<?, Q/Z)->0
I ° I
Пусть % ^ Я1 (G, Q/Z) и f — прообраз % относительно До,
представленный элементом / е= Мн (Q/Z). Тогда для всех х «= Я
выполняется равенство
f (л:/г) — f (лг) = х(/г).
Образ f при коограничении равен 2 rf, и соответствую-
соответствующий характер Cor%==%' задается формулой
-/(О- 2
Таким образом,
Из этого равенства следует наше утверждение. ¦
Из функториальных свойств отображения Cor следуют
соответствующие свойства перемещения.
3.7. Инфляция и трансгрессия
Пусть G — некоторая проконечная группа, Я — нормаль-
нормальный делитель G и А — некоторый G-модуль. Морфизм из
[G/H, Ан] в [G, А], рассмотренный в примере 1.26, индуци-
индуцирует морфизм Inf соответствующих групп когомологии, ко-
который мы будем называть инфляцией.
Мы определим сейчас для каждого g e G некоторый
автоморфизм группы Нп(Д, Л): морфизмы у. a-+ga, a^A,

42
3. Когомологии проконечных групп
и ф: А-> g~lhg, ЛеЯ, совместимы и, следовательно, инду-
индуцируют некоторый эндоморфизм g" — g группы Нп(Н, А).
Для любых gu g2 e О выполняется равенство
gi • §2 = glg2,
из которого следует, что g является автоморфизмом Я" (Я, Л).
Для geff, а также в случае, когда g действует на Л
тривиально, отображение g равно тождественному в нулевой
размерности- Из предложения 3.8 следует, что это же верно
для всех размерностей. Из этого следует, что Я" (Я, Л)
можно рассматривать как дискретный G/Я-модуль. Спра-
Справедливо следующее
Предложение 3.14. При отображении ограничения
образ Hn(G, А) в Нп(Н, А) инвариантен относительно дей-
действия G/H.
Доказательство. Для
коммутативная диаграмма
любого
существует
Hn(G, Л)-^>Я"(Я, Л)
с тождественным автоморфизмом ga. Отсюда следует наше
утверждение. ¦
Мы определим теперь некоторый морфизм функторов из
Нп(Н, Л)а/Н в Я"+1(С/Я, Ля),~дг>1, называемый трансгрес-
трансгрессией, причем мы предполагаем, что
/Г(Я, Л) = {0} для v=l,
п— 1.
Пусть сначала п = 1 и а^ Н1 (Я, А)а/Н, где а — некоторый
скрещенный гомоморфизм. Мы хотим построить некоторое
продолжение Ъ гомоморфизма а на G, удовлетворяющее сле-
следующим условиям:
(i) Ъ — непрерывное отображение из G в Л;
(И) gb(g~lhg)-b(h) = hb(g)-b(g) для всех ge=G,h<=H;
(Hi) b(hg) = b(h) + hb(g) для всех g(=G, he=H.
Выберем в G открытый нормальный делитель U, такой,
что a (h) зависит только от смежного класса Я mod Я [\U
и для всех h e Я элемент a (h) инвариантен относительно
действия U. Далее, выберем некоторое непрерывное сечение s
из G/H в G, которое существует по предложению 1.16.
Так как б инвариантен относительно G, для y e G/H суще-
3.7. Инфляция и трансгрессия
43
ствует элемент b (sy), удовлетворяющий условию
sya ((sy)~' hsy) — a(h) = hb (sy) — b (sy) для всех h e Я.
C.11)
Благодаря нашему выбору U левая часть C.11) принимает
одно и то же значение для всех элементов sy из данного
смежного класса по U. Поэтому мы можем выбрать один
и тот же элемент Ъ (sy) для всех sy из данного смежного
класса по U, что доказывает непрерывность b (sy) как функ-
функции от y- Для произвольного g — hsy из G положим
Тогда функция b(g) непрерывна по построению и, как легко
проверить, удовлетворяет условиям (ii) и (ш).
Положим
g2) = b(gl)-\-glb(g2)-b(g1g2). C.12)
Значения функции f(gi,g2) инвариантны относительно дей-
действия h е Я. В самом деле, из (ii) следует, что
hf(gu g2) — f(gi, g2) =
= glb(gT1hgl) -b(h) + gt {g2b(g^g-lhglg2) -b{g^hgx)) -
— (gig2b ((g&V1 hgtg2) — b (h)) = 0.
Принимая во внимание инвариантность f(gi, g2) относительно
/геЯ, легко проверить, что для любых hu h%<^H, glt g2^G
выполняется равенство
f{hlguh2g2) = f(gug2)- C.13)
Из доказанных свойств функции f(gi,g2) следует, что си-
система факторов ф, определенная равенством
. Ф(У1, Y2) = f(sYi, sy2), C.14)
задает элемент ф е fP(GIH, AH).
Класс ф не зависит от выбора сечения s и b (sy). В самом
деле, для другого сечения s7:
y
6'(s'y) имеет вид
Ъ' (s'y) = Ъ (s'y) + с (у), с (у) €= А»,
откуда следует, что для всех g s G (g означает класс g в GIH)
(g)
Тогда
ф' (Yi. Y2) = f (s'y 1, s'y2) =
= 6(s'yi) + s'ytb (s'Y2) — b(s'yls'y2) + с(уЛ

44
3. Когомологии проконечных групп
Коциклы ф и q/ отличаются на тривиальный коцикл, откуда
следует требуемое.
Теперь мы определим трансгрессию в размерности один
формулой
Тга а = ф. C.15)
Очевидно, что трансгрессия является гомоморфизмом из
Н1{Н,АHШ в H2{GIH,AH).
Мы покажем также, что последовательность
О -> Я1 (G/H, А») _> Я' (G, Л)
\QIH
Res " \'*> '
H2\GjH, A")
Tra^
H2(G, A)
точна.
Точность в Я1 (G/H, АИ). Пусть a е Ker Inf; тогда суще-
существует сеЛсо свойством a(g) = gc — с для jeG. Так как
a(g) = a(gh) = ghc — с для всех АеЯ, мы получаем, что
с е Ля, т. е. а распадается.
Точность в Я1 (G, Л). Пусть а е Ker Res; тогда существует
сеД такое, что a(h) = hc — с для всех АеЯ, Тогда фор-
формула a'(g) = a (g) — gc + с определяет некоторый скрещенный
гомоморфизм, гомологичный а и равный нулю на Я. Сле-
Следовательно, а' зависит только от смежных классов G по Я
и принимает значения, инвариантные относительно действия Я,
т. е. п = а' лежит в образе инфляции.
Точность в Я1 (Я, А)а/Н. Пусть oelm Res, т. е. а является
ограничением некоторого скрещенного гомоморфизма Ъ на Я.
Тогда Ъ удовлетворяет.условиям (i)— (Hi), и система факто-
факторов C.14) обращается в нуль, т. е. Тгаа = 0.
Напротив, пусть a s Ker Тга; тогда из C.12) следует, что
• Ь (g{) + g{b (g2) — b (g!g2) = с
(g2) — с
Тогда b' = b — с является скрещенным гомоморфизмом на G,
таким, что Res В' = а.
Точность в H2(G/H, Ан). Пусть ф е Im Тга, причем ф
имеет вид C.14). Очевидно, что тогда Inf ф = 0.
Пусть ф е Ker Inf; тогда выполняется равенство
Ф Ши 82) — с (Si) + giC (g2) — с (gig2)-
Без ограничения общности можно считать, что фA,?) =
¦вф(#, 1) = 0 для всех g^G/H. Легко проверить, что при
этих условиях с (g) удовлетворяет условиям (i) — (iii) и огра-
ограничение с на Я является скрещенным гомоморфизмом а,
инвариантным относительно действия G/H, т. е. Тгаа = ф.
3.7. Инфляция и трансгрессия
46
Пусть теперь
H{ (Я, Л) = {0} для 1 ^ / ^ п — 1 C.16)
и последовательность
0->Л->Мо(Л)->С->0
точна. Модуль Ма(А) является также Я-индуцированным.
Условие Я1 (Я, Л) = {0} показывает, что последовательность
0 -> А" -> МQ (А)" -> С» -> 0
точна, причем Ма (Л)я является G/Я-индуцированным мо-
модулем.
Мы определим трансгрессию в размерности п при помощи
индукции как отображение Тга, делающее коммутативной
диаграмму
I, С")
в которой связывающие гомоморфизмы Д„_, и Д„ являются
изоморфизмами. Благодаря условию C.16) С также удовле-
удовлетворяет предположению индукции.
Из коммутативности диаграммы
0 -¦ Я""' (G/H, Ся) -тд* Я» (G, С) -^
ЯП-'(Я,С)
а/н
следует теорема Хохшильда — Серра:
Предложение 3.15. Пусть Н1 (Я, Л) = {0} для
, A)
: — 1. Тогда последовательность
)-ш^Нп(О,А)^-^Нп(Н,
Тга'
15Г» (О, А)
точна.
Легко видеть, что трансгрессия является морфизмом
функторов.
Укажем одно следствие из предложения 3.15.

46
3. Когомологии проконечных групп
Предложение 3.16. Пусть G — проконечная группа,
Н — нормальный делитель G конечного индекса и А — неко-
некоторый G-модуль, все элементы которого имеют конечный по-
порядок, взаимно простой с [G : Я].
Тогда для всех n 2s 1
Нп (G/H, А") = {0}
и ограничение
Hn(G,A)-+Hn(H,A)
QIH
является изоморфизмом.^
Доказательство. Из предложения 3.11 следует, что
Hn(G/H, Ан) аннулируются умножением на [G : Н]. По пред-
предположению любой элемент А и, следовательно, любой эле-
элемент Hn(G/H, А^) имеет порядок, взаимно простой с [G : Я].
Из этого следует первое утверждение..
В случае п=\ второе утверждение немедленно следует
из предложения 3.15. Для л> 1 мы докажем второе утвер-
утверждение при помощи сдвига размерностей.
Пусть последовательность
0 _* Л-> ЛГО (Л) ^» С-> 0
точна. Тогда для п
существует коммутативная диаграмма
О,С)->Я"(Я, С)аш
/T+1 (G, A) -> Hn+1 (H, AfH
где связывающие гомоморфизмы Д^ являются изоморфиз-
изоморфизмами. Так как С также удовлетворяет предположениям пред-
предложения 3.16, 'мы получаем при помощи индукции требуемое
утверждение. ¦
3.8. Индуктивные пределы групп когомологии
В качестве дальнейшего приложения метода сдвига раз-
размерностей мы докажем одно предложение, которое играет
основную роль при вычислении групп когомологии проко-
нечных групп.
Предложение 3.17. Пусть система {[Git At], ie/,
[ф{. ФЛ} является индуктивной системой в категории %? и
имеет предел [G, А]. Тогда [Hn(G{, A{), i е /, ¦ф'*} для всех
""" п является индуктивной системой абелевых групп и есте-
3.8. Индуктивные пределы групп когомологии
47
ственное отображение
limHn(Gh Ai)->Hn(G, A)
является изоморфизмом.
Доказательство. Мы докажем предложение 3.17 при
помощи индукции. Пусть п = 0. Очевидно, что отображение
является вложением.
Пусть, наоборот, a.j е А° и U j — множество всех элемен-
элементов G/, оставляющих а/ на месте. 'Тогда Ut является под-
подгруппой конечного индекса в Gy. Пусть g<'>, ..., g1^ — си-
система представителей для левых смежных классов G{ no U{.
Так как а{ неподвижно при действии G, существует индекс
k I> /, такой, что
^ ) v = 1 s.
Тогда -ф*а, неподвижен при действии G^. Действительно,
если gk^Gk и tfgk = g^u, где и <= Uр то
Из этого следует, что ai = i^Oy в lirn At l.
Пусть предложение 3.17 уже доказано для некоторого
п^О. Из коммутативной диаграммы с точными строками
0 -> Ai -> MG{ (At) -> Ct -> 0
0-
-0
0->Л -> Ма(А) ->С ->0
можно получить точную коммутативную диаграмму
#"(G,, MG.(Ac))
Hn (G, MQ (A))
im Я"
Hn+l (Gt,
4-
Hn (G, C)
Hn+1 (G, A) -> 0
Отсюда с помощью предложения 1.34 следует наше утвер-
утверждение для п + 1. ¦
Приведем теперь два примера вычисления групп когс>-
модогий с помощью предложения 3.17?

48
3. Когомологии проконечных групп
Предложение 3.18. Пусть K/k — некоторое нормаль-
нормальное расширение. Тогда для п ^ 1
Hn{G(Klk), К+) = {Щ.
Доказательство. Пусть сначала K/k — конечное рас-
расширение. Тогда по теореме о нормальном базисе К+ является
индуцированным G (/С/&)-модулем (см. замечание в конце при-
примера 1.25). В этом случае наше утверждение следует из
предложения 3.7.
Пусть теперь K/k — произвольное нормальное расширение.
Тогда G (К/?)-модуль К+ является индуктивным пределом
системы \[G(N/k), N+\, N <= Ш} (см. предложение 2.2). Наше
утверждение следует теперь из предложения 3.17. ¦
Предложение 3.19. (Теорема 90 Гильберта.) Пусть
k — нормальное расширение. Тогда
Hl(G(K/k),Kx) = {0}. C.17)
Доказательство. Положим G (K/k) = G. Пусть рас-
расширение K/k конечно и / — скрещенный гомоморфизм, такой,
что f e Н1 (G, Кх). Рассмотрим элемент
Ъ(а)= Ц f(g)ga для а е= Кх.
gesQ
Легко проверить, что для любого h ^ G
Для доказательства (.3.17) достаточно показать, что суще-
существует а е Кх, такое, что b (а) Ф 0.
Пусть 1, а, ..., ап~1—базис K/k. Система уравнений
S xgga" = Q, v = 0, .... п —1,
je в
имеет отличный от нуля определитель Вандермонда | gav \gv.
Из этого следует наше утверждение для конечных расши-
расширений.
Для произвольного нормального расширения утверждение
следует из предложения 3.17. ¦
Предложение 3.20. Пусть m — некоторое натуральное
число и G — lim (?,-, где группы Gt конечны и имеют порядок,
взаимно простой с т. Тогда для произвольного G-модуля А
все элементы H"(G,A) имеют при п~^\ порядок, взаимно
простои с т.
3.9. <j- произведение
Доказательство. Пусть U' t — ядро естественного
отображения G-+Gt. Тогда G-модуль Л является индуктив-
индуктивным пределом системы {\Glt Avi\ \i s /}.
Предложение 3.20 следует немедленно из предложений
3.11 и 3.17. ¦
3.9. ^-произведение
Пусть G — проконечная группа и Л, В, С —три G-модуля.
Пусть также задано билинейное отображение ° группы Л X В
в С, удовлетворяющее для любых g(=G, a<=A, b^B условию
g (a° b) = gao gb.
Такое отображение мы будем называть спариванием А и В в С.
В тех случаях, когда это не приводит к недоразумению, мы
будем обозначать С также через А ° В.
Пример 3.21. Пусть А = В — некоторое кольцо, на котором в дей-
действует тривиально. Тогда умножение в А является спариванием.
Пример 3.22. Пусть А я В — произвольные G-модули. Тензорное
произведение A <g)z В можно превратить в G-модуль, положив
g (a <g> b) = ga <g> gb для aeAieS.
Тогда ® является спариванием А н В в A ®z В.
Любое спаривание Л и В в С индуцирует для га^О,
m^sO некоторое билинейное отображение
Hn(G,A)XHm(G,B) в Hn+m(G,C),
которое мы будем называть ^-произведением и которое мы
сейчас определим.
Положим для / €= Кп (G, Л), /' е= Km (G, В)
(f of'\(r Y \^—t(v V \c V *¦ f' (v v \
\l I MAi> • • •» -Ьп+пг/ / \-*-l> • • • > А-п) ° *l • • • лп/ ^лп+1 -*n+m;.
Коцикл f°/r принадлежит /*C"+m(G, С), и, как легко прове-
проверить, выполняется условие
n+m
(f о /')
Г + (_!)» /
Тогда формула
корректно определяет билинейное отображение Hn(G, Л) X
ХЯт(О, В) в Hn+m(G, С), которое и называют ^-произве-
^-произведением. Следующие свойства w-произведения вытекают не-
непосредственно из определения,

50
3. Когомологии проконечных групп
Предложение 3.23. Пусть G — проконечная группа и
о—спаривание G-модулей А и В в С. Тогда для asff°(G, A),
pGff°(G, В) справедливо равенство
a w р = а о р.
Предложение 3.24. Пусть G — проконечная группа,
0->Л-*Л'->Л"-*0
— точная последовательность G-модулей и В — некоторый
G-модуль, такой, что последовательность
0 -> A <8>z В -> Л' <8>z В -> A" <8>zВ ->0
/Г" (<?, 5) выполняется ра-
раточяа.
Тогда для а е= Я" (G, А") и
венство
(Д„а) ug = An+m (a w p),
где Д„ ы Д„+т— соответствующие связывающие гомоморфизмы.
Предложение 3.25. Пусть G — проконечная группа,
()_>?_> ?'_>?"_> 0
— точная последовательность G-модулей и А — некоторый
G-модуль, такой, что последовательность
0 -> Л <8>
Л <8>
Л <8>
¦ О
точна. Тогда для а е Нп (G, А) и р «= /fm (G, 5") справедливо
равенство
aw Д„р = (-1)" Д„+т (a w р).
Функториальные свойства w-пройзведения описываются
следующим предложением:
Предложение 3.26. Пусть G, Н — проконечные группы
и о- (соответственно •) — спаривание G-модулей А и В в С
(соответственно Н-модулей А' и В' в С). Пусть также [<р, -фл],
[ф, if>B] и [ф, ^с] — некоторые морфизмы из [G, А] в [Н, А'],
из [G, В] в [Я, В'] и из [G, С] в [Я, С7], такие, что
-фо (а о b) = tyAa • ^Bb для любых а (= А, Ъ е В.
Тогда для аеЯ"(С,А) и реЯи((?, В) справедливо
равенство
i|)'(oup) = ^au4);p.
Последние четыре предложения однозначно определяют
w-произведение, соответствующее тензорному произведению.
Это можно доказать при помощи метода сдвига размер-
размерностей, который применим в этом случае, так как для точ-
точ3.9. ^-/-произведение
51
ной последовательности
0_>Л->Ма(Л)->С->0
последовательность
О -> Л <8>z В-> MQ (Л) ®z В -> С <8>z В -> О
также точна. Действительно, тензорное произведение — это
точный справа функтор, поэтому нужно только проверить,
что отображение
A<FS-7B-+Mn(A\<g)zB
инъективно. Композиция отображения Л—уМа(А) и отобра-
отображения Ма(А)—*-А, рассмотренного в примере 1.27, равна
тождественному отображению. Из этого следует наше утвер-
утверждение.
Предложение 3.27. Пусть G — некоторая проконечная
группа и А, В, С — некоторые G-модули. Пусть также опре-
определено спаривание (А ° В) ° С = Л ° (В ° С), причем
(ао Ь)°с = а о (bo с) для всех а е Л, b e В, с^С.
Тогда для любых аеЯ"(С, Л), ре=Ят(С?, S), yt=Hl(G, С)
справедливо равенство
Y)
Предложение 3.28. Пусть G — проконечная группа
и А, В — некоторые G-модули. Пусть определено произведение
Л ° В = В = А, причем
а°Ь = Ъ о а для всех а е А, Ъ е В.
Тогда для всех as Hn(G, А), р^Ят(б, В) справедливо
равенство
a up = (-l)"mp wa.
Функториальные свойства тензорного произведения позво-
позволяют доказать для тензорного произведения предложения
3.27 и 3.28. При этом нужно отождествить (Л <g> В) <8> С
с А <8> (В <8> С) и А ® В с В <8> А. В этом случае доказатель-
доказательство легко получается при помощи сдвига размерностей.
Пример 3.29. Очевидно, что условия предложений 3.27 и 3.28
выполняются, если А = В=С — коммутативное кольцо, на котором G
действует тривиально.

4. СВОБОДНЫЕ ПРО-/7-ГРУППЫ
В дальнейшем р всегда обозначает простое число. Мы рас-
рассмотрим частный случай проконечных групп, называемых
про-р-группами. Эти группы интересуют нас как группы
Галуа р-расширений. Про-р-группа — это проконечная группа,
которую можно представить как проективный предел конеч-
конечных р-групп. Мы начнем с подробного обсуждения свобод-
свободных про-р-групп.
4.1. Построение свободных про-р-групп
Определение 4.1. Пусть G — некоторая про-р-группа.
Системой образующих G называется подмножество Е эле-
элементов группы G, обладающее следующими свойствами:
(i) Группа G совпадает с минимальной замкнутой под-
подгруппой G, содержащей Е.
(и) В любой окрестности единицы группы G содержатся
почти все (т. е. все, кроме конечного числа) элементы Е.
В дальнейшем мы увидим, что для любой про-р-группы
существует система образующих.
Определение 4.2. Система образующих ? называется
минимальной,- если никакое подмножество в ? не является
системой образующих.
Перейдем теперь к построению свободных про-р-групп.
Пусть / — некоторое множество индексов и Fj — обычная
свободная группа с системой образующих {si\i^I}. Далее,
пусть U — множество нормальных делителей N группы FJt
обладающих следующими свойствами:
(i) Индекс [Fj: N] равен степени р.
(и) Почти все элементы системы {si \ i ^ /} содержатся в N.
Система {Fj/N \N ^Щ является проективной системой
в смысле примера 1.6, проективный предел которой F(I)
является про-р-группой.
Группа F (/) называется свободной про-р-группой с систе-
системой образующих {S[\iel}. Оправдание для такого назва-
названия будет приведено ниже.
4.2. Магнусова алгебра
53
Отображение ср: w-+J\wN, w <= Fj, является гомомор-
гомоморфизмом из Fj в F(I), и его образ всюду плотен в /"(/).
Чтобы показать, что отображение ср инъективно, необходимы
некоторые вспомогательные рассмотрения.
4.2. Магнусова алгебра
Определение 4.3. Пусть Л — кольцо с единицей и
/ — некоторое множество индексов. Магнусовой алгеброй Л (/)
от переменных х1у /е/, над Л называется алгебра формаль-
формальных некоммутативных (ассоциативных) степенных рядов от
переменных х{ с коэффициентами в Л.
Мы определим гомоморфизм ip свободной группы Fj с си-
системой образующих {st |/e/} в группу единиц алгебры Л(/),
положив
Тогда, в частности, справедливо равенство
Лемма 4.4. Отображение ip инъективно.
Доказательство. Пусть
sai
Sli
— некоторый элемент Fh записанный в несократимом пред-
представлении, т. е. iv Ф iv+l для v=l, .... к—1. Тогда тре-
требуется доказать, что
* К1 • • • в5)=(!+'О*1 • • • 0
По формуле бинома получаем
•v=l
где суммирование производится по всем наборам [6, йи]
длины х. Пусть характеристика Л равна п и q — некоторый
простой делитель п. Выберем bv равным наибольшей сте-
степени q, делящей av. Тогда -( ?V.J Ф 0 (mod q), и в D.1) содер-
содержится по крайней мере один член, отличный от единицы,
который не сокращается ни с каким другим членом. ¦

54
4. Свободные про-р-группы
Предложение 4.5. Отображение ф* определенное
в § 4.1, инъективно.
Доказ ательство. Наше утверждение равносильно
тому, что
П11 = {1}.
Предположим сначала, что / конечно. Обозначим через В
идеал кольца (Z/pZ)(I), состоящий из всех степенных рядов
с нулевым свободным членом, а через Bv — идеал, состоя-
состоящий из степенных рядов, не содержащих членов степени,
меньшей v. Очевидно, что для всех v Г>0 порядок (Z/pZ) AI В?
то
равен степени р и fj fiv = {0}.
•v=0
Положим
Nv = {w €= Ft 1 ф (w) — 1 e= ?v}. D.2)
Группа Afv является нормальным делителем F7, и из леммы 4.4
следует, что f"|Afv = {l}. Наконец, покажем при помощи
индукции по v, что индекс Nv в F, равен степени р. Для v = 1
справедливо равенство Nx = Ft. При больших значениях v
отображение -ф индуцирует вложение Nv/Nv+i в BvJBy>+1. Из
этого следует наше утверждение.
Если / бесконечно, рассмотрим множество всех нормаль-
нормальных делителей iVv, j группы Fh порожденных множествами
NV(J), {Si\i<=I-J},
где / — конечное подмножества / и Nv (/) — группа, опре-
определенная в D.2) для множества индексов /. Очевидно,
что Nv,j принадлежат U, и выполняется условие
n^v,y={l>-
v, /
Этим наше утверждение полностью доказано. ¦
Мы получили также вложение ср группы Ft в F(I), позво-
позволяющее отождествить F,c ф {F/}. В частности, система {si \i e/}
является минимальной системой образующих для F(I).
4.3. Абелевы про-р-группы \
По двойственности Понтрягина между компактными и дис-
дискретными группами, абелевым про-р-группам соответствуют
дискретные абелевы р-периодические группы. Пусть G—абе-
лева про-р-группа периода р. Тогда двойственная группа V
является дискретным векторным пространством над Z/pZ.
4.4. Первая характеризация свободных про-р-групп
55
Пусть, далее, система {%t |/e/} образует базис V. Элементы
St e G при i e /, удовлетворяющие условиям
(Si, %j) = бг/,
составляют минимальную систему образующих G, причем
группа G изоморфна Ц Z/pZ.
Произвольную про-р-группу G можно рассматривать как
Zp-модуль. Для а = lim av e Zp, где aveZ,HjeG положим
V->oo
Легко видеть, что это определение не зависит от выбора
последовательности {av} и что справедливы соотношения
ga+b ^ gagbt
(ga)b = gab Для g(=G, a, b(=Z.
Если G к тому же коммутативна, то выполняется соот-
соотношение
(g&T — g?g% Для gr g2^G, as Zp.
4.4. Первая характеризация свободных про-р-групп
Мы докажем прежде всего несколько предложений о про-
р-группах, которые потребуются в дальнейшем.
Предложение 4.6. ПустьF(I)—свободная про-р-группа
с образующими {si | / е /}, G — некоторая про-р-группа и
{t{\i^I}—подмножество G, обладающее тем свойством, что
любая окрестность единицы G содержит почти все элементы
системы {t{ | / е /}.
Тогда существует единственный морфизм ц> из F(I) в G,
такой, что
фE/) = ^ для i<=I. D.3)
Доказательство. Единственность ф следует из того,
что ф однозначно -определяется условием D.3).
Для доказательства существования ф заметим прежде
всего, что отображение D.3) однозначно продолжается до
некоторого гомоморфизма Fj в G.
Далее, пусть Ф (U) для t/eUfl — ядро индуцированного
отображения

66
4. Свободные про-р-группы
Очевидно, что Ф(?/) принадлежит U. Обозначим через Фц
индуцированный морфизм
Fj/Ф (U) -* G/U.
Тогда система {Ф, Фи\и ^UQ} определяет морфизм проек-
проективных систем {Fj/V |KgU} и {G/U \U e Uo). В силу резуль-
результатов § 1.1 этому морфизму соответствует морфизм
F (/) = lim FjIV -> lim G/U ~ G,
который отображает Ц wV в Ш qp (w) U для w^F{. Этот
Vett ?/e=u
морфизм удовлетворяет нашим требованиям. ¦
Для произвольной про-р-группы G мы обозначим через G*
нормальный делитель G, порожденный всеми р-степенями
и всеми коммутаторами элементов G. Группа G* совпадает
с наименьшим нормальным делителем N группы G, для кото-
которого GIN является абелевой группой периода р.
Предложение 4.7. Пусть Gx и G2 — некоторые про-р-
группы и ф—морфизм из Gx в G2. Морфизм qp сюръективен
тогда и только тогда, когда индуцированное им отображе-
отображение ф^ из GJG] в G2/G*2 сюръективно.
Доказательство. Пусть <p(Gi)=^=G2. Тогда суще-
существует открытый нормальный делитель U группы G2, такой, что
По известному предложению о конечных р-группах (см., на-
например, -Холл [1], гл. 12) группа -ф (GO ?//?/ содержится
в некотором нормальном делителе G'/U индекса р группы G2/U.
Следовательно, G2C G и
т. е. морфизм ф, не сюръективен. Очевидно, что и обратно,
сюръективность ф влечет за собой сюръективность ф,. ¦
Теперь мы перейдем к упомянутой характеризации сво-
свободных про-р-групп.
Предложение 4.8. Пусть G — некоторая про-р-группа.
Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) про-р-группа G свободна;
(И) любое групповое расширение некоторой про-р-группы Н
с помощью G распадается;
(Ш) группа G является проективным объектом в катего-
категории всех про-р-групп.
4.4. Первая характеризация свободных про-р-групп
67
Доказательство. Из условия (i) следует (ii). Дей-
Действительно, пусть G — свободная про-р-группа с системой
образующих {si | / е /},
— некоторое _групповое расширение и а — непрерывное сече-
сечение из G в Я. Мы можем применить предложение 4.6 к сво-
свободной группе G, к группе Я и к множеству {ast\i^I}.
Тогда существует морфизм а' из G в Я, такой, что ф<т'=1,
т. е. расширение D.4) распадается.
Из условия (ii) следует (iii). В самом деле, пусть задана
точная диаграмма про-р-групп
G
r
1
D-5)
Используя результаты § 1.1, мы можем дополнить D.5) до
диаграммы
G2
1
с сюръективным отображением ф. В силу наших предполо-
предположений, существует морфизм ф: G-+G2Xq,G, такой, что
ф$ = 1... Тогда отображение фа^Ф-. является искомым мор-
физмом. -
Из условия (iii) следует (i). Пусть группа G удовлетво-
удовлетворяет условию (iii). В силу результатов § 4.3, группа G/G*
для подходящего / изоморфна произведению ТТ Z/pZ, и по
is/
предложению 4.6 существует морфизм из F(I) на П Z/pZ
с ядром /*¦(/)*. Тогда по предположению существует мор-
морфизм ф из G в F(I), делающий диаграмму
Л
n
ie/
коммутативной. Так как отображение
<р*:

58
4. Свободные про-р-группы
является изоморфизмом, по предложению 4.7 морфизм <р
сюръективен. Группа F(I) свободна, поэтому существует
морфизм i|) из F(I) в G, такой, что фф==1. Морфизм ф
также сюръективен и поэтому является изоморфизмом, т. е.
группа G изоморфна F(I). n
Мы приведем еще, два следствия предложения 4.8.
Предложение 4.9. Пусть G — про-р-группа и отобра-
отображение
6: П Z/pZ-+G/G* D.6)
i <=/
является эпиморфизмом для подходящего множества индек-
индексов I. Тогда существует эпиморфизм из F (/) в G, индуци-
индуцирующий Э. Любую систему образующих GIG* можно про-
продолжить до системы образующих G.
Доказательство. По условию (Ш) предложения 4.8
существует морфизм qp из F(I) в G, делающий коммутатив-
коммутативной диаграмму
G->G/G*->1
полученную с помощью отображения D.6). В силу предло-
предложения 4.7 морфизм ф сюръективен.
Пусть система {/,|i'g/) является системой образующих
для GIG*. Тогда существует однозначно опрёделещшй эли?..
морфизм из F(I) в GIG*, который для всех ? е / переводит
образующие st группы F(I) в tt. Тогда система fosjie/}
является системой образующих группы G, продолжающей
систему {ti [ / ^ /}. ¦
Предложение 4.10. (Основная теорема Бернсайда.)
Пусть G — про-р-группа и Е = {s,-1 i е /} — подмножество G,
такое, что в любой окрестности единицы G содержатся почти
все элементы Е.
Множество Е тогда и только тогда является системой
образующих G, когда {S{G*\ i^I) является системой образую-
образующих GIG".
Доказательство. Пусть {stG* \i e /} — система обра-
образующих GfG". Системе образующих Е соответствует мор-
морфизм ф из F (I) в G, индуцирующий эпиморфизм F(I)IF(I)"
на GIG*. Тогда по предложению. 4.7 морфизм ф сюръекти-
сюръективен, т. е. система {Si\i^I} порождает группу G. ш
4.5. Вторая характгризация свободных про-р-групп
59
4.5. Вторая характеризация свободных про-р-групп
Все автоморфизмы абелевой группы ZIpZ имеют порядок,
взаимно простой с р. Поэтому любая про-р-группа G всегда
действует на Z/pZ тривиально.
Для групп #*(G, Z/pZ), которые будут часто встречаться
в дальнейшем, мы введем сокращенное обозначение:
#*(G, Z/pZ) = #*(.G).
Для произвольной абелевой про-р-группы G периода р
группа Я1 (G) является двойственной группой. Тогда предло-
предложение 4.7 можно сформулировать следующим образом:
Предложение 4.11. Пусть Gu G2 — про-р-группы и
Ф — морфизм из G, в G2. Отображение ф сюръективно тогда
и только тогда, когда индуцированное отображение ф* из
Hl(G2) в Hl(G{) инъективно.
Дадим теперь когомологическую характеризацию свобод-
свободных про-р-групп.
Предложение 4.12. Данная про-р-группа G свободна
тогда и только тогда, когда #2(G) = {0}.
Для доказательства предложения 4.12 докажем сначала
два вспомогательных утверждения.
Лемма 4.13. Пусть А ф {1} — некоторая конечная р-группа
и G — некоторая р-подгруппа группы всех автоморфизмов А.
Тогда А0 Ф {1}.
Доказательство. Разложим А в объединение не-
непересекающихся подмножеств вида
Ga = {ga\ ge=G}, a e= А.
Число элементов Ga равно единице только в том случае,
когда элемент а инвариантен, и кратно р, если а не инва-
инвариантен. Следовательно, число инвариантных элементов
кратно р. Отсюда следует требуемое. ¦
Л е м м а 4.14. Пусть G — некоторая про-р-группа иНф{\}—
нормальный делитель G. Тогда существует нормальный дели-
делитель Нг группы G, такой, что Н' аН и [Н : Н'\ = р.
Доказательство. Так как НФ {1}, в И существует соб-
собственный открытый нормальный делитель Н". Поскольку тоцо-
логия Н индуцирована топологией G, мы можем, не ограничи-
ограничивая общности, считать, что Н" является нормальным делителем
G. Пусть Нг — максимальная подгруппа Н, которая является
нормальным делителем G. Тогда [Н:Н']=р. Допустим, что это

60
4. Свободные про-р-группы
неверно, т. е. [Н : Н'] > р. Группа ЩН' является конечной
р-группой, на которую G действует посредством сопряжения.
По лемме 4.14 в ЩН' существует подгруппа HJH' порядка р,
инвариантная относительно действия G,.что противоречит
максимальности Н'. Ш
Перейдем теперь к доказательству предложения 4.12.
Из предложения 4.8, условия (и) и § 3.2 следует, что
//2(G) = {0} для свободной про-р-группы G. Наоборот, пусть
G —¦ про-р-группа, такая, что #2(G) = {0}, и отображение
6: П Z/pZ -> GIG'
является изоморфизмом для подходящего множества индек-
индексов /. Тогда по предложению 4.9 существует морфизм <р из
F(I) в G, индуцирующий 6. Пусть Кегф = #. Допустим,
что Н =ф {1}. Тогда по лемме 4.14 существует нормальный
делитель Н' группы F(I), такой, что [Н : Н'] — р.
Пусть G' = F(I)/H'. Условие #2(G) = {0} показывает, что
индуцированное морфизмом ф расширение групп
D.7)
распадается, т. е. что
Gr ~ ZIpZ X G.
В коммутативной диаграмме
отображения второй строки являются изоморфизмами, что
противоречит условию D.7). ¦
Пример 4.15. Факторгруппа свободной про-р-группы F (/) по ком-
коммутанту изоморфна группе Jj Zp.
l
5. КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ
РАЗМЕРНОСТЬ
Когомологическая размерность про-/?-группы G равна 1
тогда и только тогда, когда G свободна. В общем случае
когомологическая размерность показывает, как сильно дан-
данная про-/?-группа отличается от свободной.
5.1. Определение когомологической размерности
Определение 5.1. Про-р-группа G имеет когомологи-
когомологическую размерность cd G = п, если п ^ 0 — наименьшее число,
для которого Hn(G)^{0} и Hn+l(G) = {0}. Если Hn (G)=j4O}
для всех натуральных п, мы полагаем cdG = <x>.
Это определение мотивировано следующим предложением:
Предложение 5.2. Пусть G — некоторая про-р-группа
и cdG<;«. Тогда HV(G, A) = {0) при v>n для всех перио-
периодических модулей А.
Доказательство. Периодический модуль является
индуктивным пределом своих конечных подмодулей, поэтому,
в силу предложения 3.17, можно ограничиться рассмотре-
рассмотрением конечных G-модулей А. ¦ _...._-..-_
Модуль А разлагается в прямую сумму АР®АР, где Ар
(соответственно Ар) — модуль всех элементов р-примарного
порядка (соответственно порядка,
Тогда по предложению 3.6
взаимно простого с р).
Hm{G,
p)®H
(G, Ap).
По предложению 3.20, Hm(G, Ар) = {0) для тЗ>1. Поэтому
можно ограничиться рассмотрением конечных р-модулей А.
Для таких модулей существует композиционный ряд
{0} с: Ai <= А2 <= ... czAs — A,
факторы которого Av+l/Av изоморфны Z/pZ по лемме 4.13.
Тогда из предложения 3.5 по индукции получаем, что
Hn+1(G, Л) = {0}.
С помощью сдвига размерностей окончательно получаем
HV(G, Л) = {0} для v>n. ш

60
4. Свободные про-р-группы
неверно, т. е. [Я : #4 > р. Группа НШГ является конечной
р-группой, на которую G действует посредством сопряжения.
По лемме 4.14 в #/#' существует подгруппа НХ1Н' порядка р,
инвариантная относительно действия G,. что противоречит
максимальности Я'. Ш
Перейдем теперь к доказательству предложения 4.12.
Из предложения 4.8, условия (ii) и § 3.2 следует, что
//2(G) = {0} для свободной про-р-группы G. Наоборот, пусть
G — про-р-группа, такая, что H2(G) = {0}, и отображение
6: T[Z/pZ
G/G*
является изоморфизмом для подходящего множества индек-
индексов /. Тогда по предложению 4.9 существует морфизм <р из
F(/) в G, индуцирующий 6. Пусть Кег<р = Я. Допустим,
что Нф{1}. Тогда по лемме 4.14 существует нормальный
делитель Я' группы F(I), такой, что [Я : Н'\ = р.
Пусть G' = F(I)IHf. Условие #2(G) = {0} показывает, что
индуцированное морфизмом qp расширение групп
0 -> ZIpZ -* Gf -> G -> 1
распадается, т. е. что
В коммутативной диаграмме
D.7)
I I ф
., , ,]JZ/pZ-*G'/G"-+G/G* '".
отображения второй строки являются изоморфизмами, что
противоречит условию D.7). ¦
Пример 4.15. Факторгруппа свободной про-р-группы F (/) по ком-
коммутанту изоморфна группе JJ Zp.
I
5. КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ
РАЗМЕРНОСТЬ
Когомологическая размерность про-/?-группы G равна 1
тогда и только тогда, когда G свободна. В общем случае
когомологическая размерность показывает, как сильно дан-
данная про-/?-группа отличается от свободной.
5.1. Определение когомологической размерности
Определение 5.1. Про-р-группа G имеет когомологи-
когомологическую размерность cd G =п, если п ^ 0 — наименьшее число,
для которого tf"(G)=7M0} и #"+1(<5) = {0}. Если Я" (G)^={0)
для всех натуральных п, мы полагаем cd G = оо.
Это определение мотивировано следующим предложением:
Предложение 5.2. Пусть G — некоторая про-р-группа
и cdG^rt. Тогда HV(G, A) = {Q) при v>n для всех перио-
периодических модулей А.
Доказательство. Периодический модуль является
индуктивным пределом своих конечных подмодулей, поэтому,
в силу предложения 3.17, можно ограничиться рассмотре-
рассмотрением конечных G-модулей А. ' ~ ...._-..—
Модуль А разлагается в прямую сумму АрфАр, где Ар
(соответственно Ар) — модуль всех элементов р-примарного
порядка (соответственно порядка, взаимно простого с р).
Тогда по предложению 3.6
Hm(G, A)=*Hm{G, Ap)®Hm{G, Ap).
По предложению 3.20, Hm(G, Ap) = {0} для тЗ>1. Поэтому
можно ограничиться рассмотрением конечных р-модулей А.
Для таких модулей существует композиционный ряд
{0} с: Ах <=. А2 с: ... с As — A,
факторы которого Av+l/Av изоморфны Z/pZ по лемме 4.13.
Тогда из предложения 3.5 по индукции получаем, что
Hn+1(G, Л) = {0}.
С помощью сдвига размерностей окончательно получаем
#V(G, Л) = {0} для v>«. ¦

62 5. Когомологическая размерность
Справедливо также следующее
Предложение 5.3. Пусть G — некоторая про-р-группа
и Н — подгруппа G. Тогда cd H ^ cd G.
Доказательство. Из предложения 3.9 получаем
Нт (Я, Z/pZ) = Hm (G, M% (Z/pZ)) = {0}
для т > cd G. ш
5.2. Характеристика Эйлера — Пуанкаре
Для конечной группы А порядка pv положим dimA = v.
Для про-/?-группы G конечной когомологической размерности,
такой, что dim Hn(G) < оо для всех п~^\, мы определим
характеристику Эйлера — Пуанкаре %{G) формулой
г (G) = 2 (-1)" dim #n(G).
п=0
Аналогично, для любого G-модуля А р-примарного порядка
положим
%(G, A) = 2 (-1)"dimHn(G, A).
Пусть последовательность
0 -> Л] -> А2 -*¦ Л3 -> 0
является точной последовательностью G-модулей р-примар-
ного порядка. Соответствующая ей точная последователь-
последовательность когомологий показывает, что
Х(<?, Л2) = х(О, Л,) + хС<5, As).
Аналогично доказательству предложения 5.2 можно показать,
что для любого G-модуля А порядка ps выполняется равен-
равенство
%(G, A) = s%(G). E.1)
Предложение 5.4. Пусть для про-р-группы G опре-
определена характеристика Эйлера — Пуанкаре и Н — некоторая
подгруппа G конечного индекса. Тогда справедливо равенство
{H) [G
= [G : H]X(G).
Доказательство. Из предложения 3.9 и E.1) следует,
(#)
5.2. Характеристика Эйлера—Пуанкаре
63
Теперь мы собираемся доказать утверждение, обратное
к предложению 5.4, для чего нам нужно определить частич-
частичную характеристику Эйлера — Пуанкаре %п (G, А).
Пусть G — некоторая про-/?-группа, для которой- выпол-
выполняется условие
dim#v(G)<oo для 0<v<n.
Тогда мы положим
X*(G)=2 (-l)vdimtfv(G).
v=0
Определим также для G-модуля А р-примарного порядка
ЗЬ (G,
2
v==0
(- l)v dim Hv (G, A).
Применяя индукцию по длине композиционного ряда и
рассматривая соответствующие когомологические последова-
последовательности, мы получаем неравенство
(-1)"%«(G, A)^(~lf dim A-juiG). E.2)
Предложение 5.5. Пусть G — некоторая про-р-группа
с частичной характеристикой Эйлера — Пуанкаре %n(G) и
U — некоторое множество открытых подгрупп в G, образую-
щее систему окрестностей единицы., причем для всех C/elt
выполняется равенство
%n(U) = [G : U]xn(G). E.3)
Тогда cd G <[ п.
Доказательство. Мы должны показать, что Hn+1 (G) =
= {0}.
Пусть ae=Hn+l(G) и ae=Kn+l(G, Z/pZ). Существует от-
открытая подгруппа U ell, такая, что значения коцикла а
зависят только от смежных классов G по U. Коммутатив-
Коммутативная диаграмма в категории 'W
[G, Z//>Z]->[G, Mua{ZlpZ)\
Ч /
[U, ZIpZ]
индуцирует коммутативную диаграмму
#"+1 (G) ~ъ> Hn+l (G, MUq (Z/pZ))
\Res /
Hn+l(U)
Вследствие нашего выбора U, Resa = 0 и поэтому qpa = O.

64
5. Когомологическая размерность
Точная последовательность
О -> Z/pZ -* МUQ (Z/pZ) -> А -> О
индуцирует последовательность когомологий
0->Я°(С)-> ... ->Я"(С, Л)->Кегф->0.
Из этой последовательности следует равенство
dimKer<p = (-ir(xre(<?) + X*(G, A)-Xn{G, MvQ(ZlpZ))). E.4)
Из предложения 3.9 и E.3) следует, что
%n(G, MUa(Z/.pZ)) = [G : U)%n(G).
Вместе с неравенством E.2) это дает неравенство
dim Кег <р ^ 0, т. е. Кегф = {0}, и, следовательно, а = 0. ¦
6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРО-/?-ГРУПП
С ПОМОЩЬЮ ОБРАЗУЮЩИХ
И СООТНОШЕНИЙ
Одним из важнейших методов построения про-/?-групп
является метод образующих и соотношений. В частности, мы
будем представлять в таком виде группы Галуа /?-расши-
рений.
6.1. Число образующих
Определение 6.1. Числом образующих d(G) про-р-
группы G называется размерность над Z/pZ векторного про-
пространства Я1 (G).
Это определение мотивировано следующим предложением:
Предложение 6.2. Пусть G — про-р-группа.
мощность любой минимальной системы образующих G
d'(G)
Тогда
равна
Доказательство. Пусть {S* | i е /} — некоторая мини-
минимальная система образующих G. В силу предложения 4.11
система stG* является минимальной системой образующих
для GIG*. Тогда соответствие
индуцирует изоморфизм между Ц Z/pZ и GIG*. По двойст-
двойственности получаем
откуда следует, что dim Я1 (G) = card /. ¦
Пример 6.3. Положим для свободной группы F с конечным числом
образующих
X (F) - 1 - й (F).
Из предложения 5.4 мы получаем, что для подгруппы U конечного
индекса в F
d (U) -[FiU] (d (F) - 1) + 1.
Это аналог теоремы Шренера о подгруппах дискретной свободной группы.
В общем случае любая подгруппа конечного индекса про-/7-группы с ко-
конечным числом образующих также имеет конечное число образующих.
3 Зак. 285

66
6. Представление про-р-групп с помощью образующих
Пример 6.4. В силу предложения 6.2, все минимальные системы
образующих данной про-р-группы равномощны. Аналогичное утверждение
для дискретных групп неверно, в чем легко убедиться на примере бес-
бесконечной циклической группы.
6.2. Система соотношений
Определение 6.5. Пусть G — про-/?-группа. Точная
последовательность
l-+R-*F-?>G-*l, F.1)
где F — свободная про-/?-группа с системой образующих
{ti\i^,I}, называется представлением G с помощью F. Если
{qrf{|/e/} является минимальной системой образующих G,
то представление называется минимальным.
Подмножество Е группы R называется системой соотно-
соотношений группы G (относительно представления F.1)), если
(i) группа R порождена множеством Е как нормальный
делитель F;
(ii) любой открытый нормальный делитель R содержит
почти все элементы Е.
Множество Е называется минимальной системой соотно-
соотношений, если никакое подмножество Е не является системой
соотношений группы G.
Пусть задано семейство про-/?-групп {G* \i e /} и семейство
морфизмов {<р*|ге/} из Gt в некоторую про-/?-группу G.
Пусть также для каждого индекса i задан нормальный де-
делитель Tt группы G{, причем Gt/Tt —свободная про-/?-группа.
Система {фг|ге/} называется допустимой относительно
{Ti\i ^ /), если любой открытый нормальный делитель G со-
содержит почти все <Pj (Т{).
Пример 6.6. Если / конечно и Г* = G{, то система {op* | i e /} до-
допустима.
Предложение 6.7. В предположениях определения 6.5
пусть {ф(|/е/}- допустимая система относительно {Гг | ге /}.
Пусть для каждого /е/ задано представление
¦^r*Gi-*l.
F.2)
Тогда существуют отображения %г из Ft в F, ограничения
которых на Ri мы обозначим через х«, такие, что диаграмма
к
F.3)
R
6.2. Система соотношений
67
коммутативна, причем система {%i [ г <= /} допустима относи-
относительно {Ri | i e /}. В таком случае мы говорим о допустимом
представлении для {фг|/<=/}. .
Доказательство. Пусть а — непрерывное сечение
из G в F, такое, что стA)=1. Пусть [tk\k e It} — системы
образующих свободных про-/?-групп F{, такие, что образы tk
при отображении 0,-: Ft -*¦ GjTi для некоторого подмножества
il с Ii составляют свободную систему образующих Gi/Tt,
а для ^G/f = /j-/| элементы tk отображаются в 1. Тогда
морфизмы %i H3^F{ в F, задаваемые условием
'* е 1и F.4)
делают диаграмму F.3) коммутативной.
Пусть, далее, N — открытый нормальный делитель F. Мно-
Множества ф (N) и 0-' (N) являются открытыми окрестностями
единицы в G. Тогда их пересечение содержит некоторый
открытый нормальный делитель U группы G.
В силу наших предположений почти для всех i e / вы-
выполняется условие
Vi(Ti)c=U. F.5)
Пусть i — индекс, для которого выполняется условие F.5).
Из условия F.4) мы получаем
для всех k <= l\. Из этого следует, что %,¦ (Кег 6,-) с: N. Так как
Ri с: Кег 8,-, мы получаем также, что %i (Ri) <= R Л N. Таким
образом, в любой окрестности единицы группы R содержится
группа вида R [] N, откуда следует наше утверждение. ¦
Пусть система {ф* \i е /} допустима относительно {7\ U
Рассмотрим индуцированные отображения ф^: Hv (G)-~*-Hv
Если v^2 и oeffv(G), то ф!(а) = 0 почти для всех /.
Действительно, пусть / — некоторый коцикл, представля-
представляющий а. Коцикл / зависит только от смежных классов G по
некоторому открытому нормальному делителю U. Пусть i—ин-
i—индекс, для которого ф(Г* сг U. Тогда f индуцирует некоторый
коцикл из KV(G{), зависящий только от смежных классов Gt
по Tt, и, следовательно, f индуцирует некоторый коцикл из
К" (Gi/Ti). Так как группа Gi/Ti свободна, #v (<5*/Гг) = {0},
поэтому и ф^(а) = 0.
Пусть [%i\i^I) — некоторое семейство морфизмов, допу-
допустимое относительно {Ri\i^I} и делающее диаграмму F.3)
коммутативной. Образ f е Н' (R) относительно индуцирован-
3*

68 6. Представление про-р-групп с помощью образующих
ного отображения
Я1
равен нулю почти для всех i е /. Действительно, пусть U—
открытый нормальный делитель R, на котором f постоянен.
Почти для всех i e / определено естественное отображение
и соответствующее ему отображение
Так как образ f в Я1 (С/) равен нулю, из этого следует наше
утверждение. Кроме того, определено отображение
X*: #'(*)-* ,2 #'(*f)- F.6)
Справедливо следующее
Предложение 6.8. Группы %* (Ri) для /е/ порождают R
как нормальный делитель F тогда и только тогда, когда огра-
ограничение отображения % на Я1 (R)° является вложением.
Доказательству предложения 6.8 мы предпошлем следу-
следующую лемму.
Лемма 6.9. Пусть G — произвольная прр-р-группа и А—
р-примарный G-модуль. Тогда из условия А° = {0} следует,
что А = {0}.
Доказательство. Любой элемент а^А порождает
некоторый конечный С-модуль До. Если Aq =?? {0}, то по
лемме 4.14 и А2 =#= {0}, что противоречит нашему предполо-
предположению. ¦
Перейдем теперь к доказательству предложения 6.8.
Пусть f — некоторый гомоморфизм из Я1 (R)°, образ которого
относительно отображения % равен нулю. Если R порождается
как нормальный делитель F группами Xi {Ri), то f (%,- {Ri)) = {0}.
Так как f инвариантен относительно h e F, имеем также
f{hXt{Rt)fi~l) = {0} и, следовательно, /(#)=={()}, т. e. f = 0.
Пусть, наоборот, % инъективно и Rf — нормальный дели-
делитель F, порожденный %t {Rt) для ie/. Включение R' c= R
индуцирует гомоморфизм <р: Я1 (^)->Я' (R'), через который
можно пропустить отображение F.6):
Я1 (R) -^ Я1 (/?')-* S Я>
ф
По предположению, все элементы из Кег ф, инвариантные
относительно G, равны нулю. Тогда из леммы 6.9 следует,
что Kerqp = {0}, и, в силу предложения 4.12, /? = #'. я
6.2. Система соотношений
69
Теперь мы перейдем к основному результату этого раз-
раздела. Для этого определим сначала понятие порождающего
множества.
Определение 6.10. Множество Е cz R называется по-
порождающим множеством для {%* [ i e /}, если выполняются
следующие условия:
(i) множество Е вместе с (J %* (Rt) порождают группу R
как нормальный делитель Fp
(ii) любая окрестность единицы R содержит почти все
элементы Е.
Множество Е называется минимальным, если никакое под-
подмножество Е не является порождающим множеством. Для
пустого множества / порождающее множество совпадает
с системой соотношений.
Предложение 6.11. Пусть {qp; | i е /} — семейство мор-
физмов q>t из G{ в G, допустимое относительно {Ti\i e /},
и пусть задано допустимое представление, определенное си-
системой {фг |ге/}, причем представления G{ и G минимальны:
1
1
Rt-
k
R -
Fi
к
¦F
h
l
1
Далее, пусть Е — минимальное порождающее множество для
{%{ \i^I] и ф* — индуцированное отображение
Тогда справедливо равенство
dim Кег ф* = card E.
Доказательство. Пусть R; = Fj для /si? — под-
подгруппа F, порожденная /, и X/ — вложение Ff cz F. Тогда си-
система {%/1/ е/ U Е) допустима и (J %j{Rf) порождает /? как
1^1 U Е
нормальный делитель F. По предложению 6.8 индуцированное
отображение
-> 2 Я
/е/ и fi

70
6. Представление про-р-групп с помощью образующих
также инъективно. Рассмотрим теперь коммутативную диаг-
диаграмму
W{R)Q-+ 2 Я1 (Я/)
6.2. Система соотношений
71
2
/<=/ие
t t
Кегф*-* 2 Я'(Я/)
/ее
где i|)* обозначает индуцированное отображение
Hl(Rf-+ 2 Л
F.7)
Предложение 6.13. Число соотношений про-р-группы
равно мощности произвольной минимальной системы, соотно-
шений.
Предложение 6.14. Пусть выполняются все условия
предложения 6.11. Группа R тогда и только тогда порождается
подгруппами Xi (Ri) для * е Л когда отображение ф* инъек-
инъективно.
Вторая строка F.7) является вложением, а так как Е мини-
минимально, в силу предложения 6.8, то она является также
изоморфизмом.
Используя предложение 3.15, мы получаем точную ком-
коммутативную диаграмму
|lnf
V1 ?71 1 Г' \
Zi n^Gi)
ie/
|lnf
2 я1^)
0->Кеп]Л
ITra
-^> 2
0
|Tra
Так как представления для Gt n G выбраны минимальными,
отображения инфляции, а следовательно, и трансгрессии
являются изоморфизмами. Тогда индуцированное отображение
Кег -ф* в Кег ф* также является изоморфизмом. Наше утвер-
утверждение следует теперь из равенства
dim 2 Hl (RA
/ее
card Е.
Мы приведем еще два частных, случая предложения 6.11.
Для этого мы введем понятие числа соотношений.
Определение 6.12. Числом соотношений про-/?-группы G
мы называем Z/pZ-размерность группы Я2(О),

7. ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА ПРОФГРУППЫ
Результаты, полученные в этом разделе, опять главным
образом касаются представления про-/?-группы с помощью
образующих и соотношений. Они получаются привлечением
пополненной групповой алгебры про-/?-группы. В этом раз-
разделе Л обозначает компактное коммутативное кольцо с еди-
единицей.
7.1. Определение и основные свойства
пополненной групповой алгебры
Пусть G — проконечная группа и N, N' — открытые нор-
нормальные делители G, причем N zd N'. Тогда естественное
отображение
GIN'-* GIN
можно по линейности продолжить до гомоморфизма группо-
групповых алгебр
A[GIN')->A[G/N].
Таким образом, мы получаем проективную систему компактных
колец {A[G/N)\N^U0}.
Определение 7.1. Пополненной' групповой алгеброй
¦ A [[G]] проконечной группы G над компактным кольцом Л
называется проективный предел системы {A[GIN] \N e Uo}.
Так как алгебры A[GIN] компактны, Л [[G]] также ком-
компактна. Формула
g-* П
определяет вложение G в A[[G]], причем A[G] всюду плотно
в A[[G]].
Дальнейшие основные свойства Л [[G]] содержатся в сле-
следующем предложении:
Предложение 7.2.
(i) Соответствие
G
7.2. Дискретные и компактные G-моду ли
73
определяет ковариантный функтор из категории проконечных
групп в категорию компактных А-алгебр.
(ii) Пусть А — компактная А-алгебра. Любой морфизм <р
группы G в группу единиц А* алгебры А однозначно про-
продолжается до морфизма A [[G]] в А.
(ш) Пусть ф: G —> G' — морфизм проконечных групп
с ядром N. Тогда ядром индуцированного морфизма
является замкнутый идеал I (N), порожденный элементами
h — 1 при h<=N.
Доказательство, (ii) Отображение <р допускает одно-
однозначное продолжение до непрерывного гомоморфизма q/
из A[G] в А. Так как A[G] плотно в Л[[C]], <р' однозначно
продолжается на Л[[С]].
(i) Существование соответствующего морфизма получается
как частный случай (ii). Отображение Gl-*G2 продолжается
до отображения Л [[GJ]—»-Л [[G2]].
(iii) Без ограничения общности можно считать, что мор-
морфизм ф сюръективен. Очевидно, что / (N) cz Ker qp'. Тогда
ф' индуцирует морфизм
Его ограничение
ф:
ар:
G'
является изоморфизмом. Тогда гр ' в силу условия (ii) про-
продолжается до некоторого морфизма из Л [[С]] в Л [[G]]/I(N)
который, очевидно, является обратным к <р. Из этого сле-
следует, что / (N) = Ker q/. ¦
Предложение 7.3. Пусть G — проконечная группа.
Система {/ (N) | N е Uo} образует систему окрестностей нуля
в A[[G]].
Доказательство. Это немедленно следует из пред-
предложения 1.13 и предложения 7.2. ¦
7.2. Дискретные и компактные G-модули
Определение 7.4. Компактный Л[[О]]-модуль А на-
называется свободным, если для подходящего множества ин-
индексов / он изоморфен прямому произведению
рассматриваемому как Л [[С]]-модуль,

74
7. Групповая алгебра про-р-группы
В дальнейшем мы ограничимся частным случаем Л = ZIpZ.
Пусть А — дискретный G-модуль периода р. Тогда группа
Char Л является компактным правым ZIpZ [Gj-модулем и,
следовательно, может рассматриваться как Z/pZttGJl-модуль.
Наоборот, если Л — компактный правый Z/pZifGJJ-модуль,
то группа Char Л является дискретным G-модулем периода р.
Предложение 7.5. Свободные компактные Z/pZ[[G]]-
модули и индуцированные модули Ма (X) для свободных
дискретных ZjpZ-модулей Х двойственны друг другу.
Доказательство. В силу результатов § 1.4 нам до-
достаточно доказать предложение 7.5 в частном случае X=ZlpZ.
Другими словами, мы должны показать, что модуль MQ(Z/pZ)
изоморфен Char(Z//?Z [[G]]).
Пусть х — некоторый характер группы Z/pZ[[G)]. Обозна-
Обозначим через %g элемент ZIpZ, определенный условием
х -» xg (xg) для х е= Z/pZ.
Далее, пусть фх — отображение G в ZIpZ, заданное
формулой
<f>%(g)=Xg Для g^G.
Отображение фх принадлежит Ма (ZIpZ). В самом деле.
X является непрерывным отображением из ZlpZ[[G]] в дис-
дискретную группу Q/Z. Поэтому х зависит только от смежных
классов ZlpZ[[G]] по некоторому идеалу I(U), где U e UG.
Тогда фх зависит только от смежных классов G по U,
т. е. отображение фх непрерывно.
Легко убедиться, что ф является гомоморфизмом G-моду-
лей из Char (ZIpZ [[G]}) в MQ(ZlpZ).
Пусть, наоборот, f — некоторый элемент MQ(Z/pZ). Тогда
/ — некоторая функция из G в Z/pZ. Формула
So Xgg) = Jo f (g, X8),
почти для всех g e G,
определяет непрерывный характер Z//?Z[G], который одно-
однозначно продолжается до характера ZfpZ[[G]].
Очевидно, что так определенное отображение ф из MQ(ZlpZ)
в Char (ZIpZ [[G]]) является обратным к ф. Это доказывает
наше утверждение. ¦
7.3. Характеризация про-р-групп размерности ^2
Мы докажем следующее
Предложение 7.6. Пусть
= 0
7.3. Характеризация про-р-групп размерности г^ 2
75
— произвольное представление про-р-группы G и А — дис-
дискретный G-модуль. Следуя § 3.7, мы будем рассматривать
группу Hl(R, А) как G-модуль. Тогда группа H4G, H4R А))
изоморфна H3(G, А). ' "
Доказательство. Прежде всего мы покажем, что
G-модуль Я1 (R, Мо (А)) является индуцированным. Для этого
мы построим некоторый изоморфизм qp из H4R, М„ (А))
в Мв (Я1 (/?, А)). Элементы . Я1 (R, Ма (Л)) и Ma(Hl(R,A))
являются функциями, определенными на R X G. Положим
для / «= Я1 (R, Ма (Л))
(ф/) (г, g) = f (g-lrg, g),. re=R, gt=G,
где g — произвольный представитель g в F. Непосредственно
убеждаемся, что ф является изоморфизмом G-модулей.
Последовательность
0
М
о(Л)->С->0
точна. Так как R — свободная про-/?-группа, последователь-
последовательность
0-+Hl(R, A)-*Hl(R
также точна. Отсюда и из предложения 3.15
точную коммутативную диаграмму
Я1 (F, Ma(A))->H°(G, Я1 (R, MQ(A))) >
Я1 (F, С) * Я°(С, Я1 (R, С))
.. .. 4 I
О Hl(G,Hl(R,A))
мы получаем
—> О
fP(G, C)->0
Я3 (G, А)
I ' I
О О
Из диаграммы следует, что трансгрессия из H°(G, Я1 (R, С))
в Я2 (G, С) индуцирует изоморфизм между Я1 (G, Я1 (R, А))
и H3(G, А). Я
Формула
г о h== h~lrh, r e R, h^F,
превращает R/[R, R] Rp в правый F-модуль. Так как дей-
действие F определяется смежным классом по R, мы можем
рассматривать R/[R, R] Rp как правый G-модуль.
Мы докажем следующее
Предложение 7.7. Пусть G — про-р-группа и
G.1)

76
7. Групповая алгебра про-р-группы
— некоторое минимальное представление G. Тогда следующие
условия эквивалентны:
(i) когомологическая размерность G ^ 2,
(И) G-модуль Я1 (R) является индуцированным,
(Hi) яЦП/)
(iv) R/[R, R] R" ?*¦ П Z/pZ [[G]] как правый G-модуль,
(v) 7?/[7?, R] — П ZP[[G]] как правый G-модуль.
При этом для множества индексов I выполнено условие
card / = dim H2(G) = r (G).
Доказательство. В силу предложения 7.6, из (ii)
следует (i).
Покажем, что из (i) следует (ш). Пусть {rt | i е Г) — мини-
минимальная система еоотношений G относительно представле-
представления G.1). Определим некоторый гомоморфизм ф из Я1 G?)
в Ма (X), где X = 2 Z/pZ, положив
= 2 я(Й~1г1Й)г я е= Я1 G?), g e= G, G.2)
is /
где ? — представитель g в F.
На основании условия (ii) определения системы соотно-
соотношений элементы n(g~lrtg) равны нулю почти для всех ie/,
т. е. правая часть G.2) определена. Так как я непрерывен,
существует открытый нормальный делитель U группы F,
такой, что значения я зависят только от смежных классов R
по 7?Л?/. Тогда фя зависит только от смежных классов F
по U и, следовательно, непрерывно. Наконец, легко убе-
убедиться, что ф — инъективный гомоморфизм G-модулей. Рас-
Рассмотрим точную последовательность
О -> Я1 (R) —^ Ма (X) -^ С -> О
и соответствующую ей последовательность когомологий
О -> Я1 (R)a —.+ Ма (Х)° -+ С° -+ Я1 (G, Я1 G?)).
Применяя предложение 7.6 и учитывая наши предположения,
мы получаем, что Hl(G, H1(R)) = O. Покажем, что отобра-
отображение ф* сюръективно; для этого рассмотрим отображе-
отображение F.6) в частном случае, когда 7?,- совпадает с- подгруппой 7?,
порожденной элементом г{. Так как {rt\ ig/} — минимальная
система соотношений, отображение F.6) является изомор-
изоморфизмом. Из этого следует, что для каждого ie/ существует
яееЯ^Т?), такой, что я (r;) == 6{J + pZ, где / <= /. Поскольку
7.4. Фильтрации
77
морфизм ф* сюръективен, группа С° также равна нулю.
Тогда по лемме 6.9 группа С также равна нулю, что дока-
доказывает наше утверждение.
Эквивалентность условий (ш) и (iv) следует из предло-
предложения 7.5.
Условие (iv) получается из (v) факторизацией по модулю р.
Нам осталось показать, что условие (v) следует из (iv).
Пусть lj—единица t-й компоненты IIZp[[G]]. Положив
1 <-*¦/•< для is/,
мы получаем гомоморфизм G-модулей ф из f[Z
в RI[R, R], делающий диаграмму
П Zp [[G]] -+ Rf[R, R]
I
I
— * R/[R,
коммутативной. Мы рассматриваем' эту диаграмму как диа-
диаграмму^ про-р-групп без действия операторов. Из теоремы
Бернсайда (предложение 4.11) следует, что отображение ф
переводит минимальную систему образующих IIZp[[G]]
в минимальную систему образующих RJ[R, R]. Так как
группа R свободна, ф является изоморфизмом. ¦
7.4. Фильтрации
В этом разделе мы рассмотрим фильтрации в Z/p2[[G]l
и G. Через /"(G) мы будем обозначать замыкание в Z/pZ[[G]j
множества п-х степеней элементов из /(G).
Предложение 7.8. Пусть G — про-р-группа с конеч-
конечным числом образующих. Тогда подгруппы In(G) для всех п
образуют систему окрестностей нуля в Z/pZ[[G]].
Сначала мы докажем два вспомогательных утверждения.
Лемма 7.9. Пусть G — конечная р-группа. Тогда
In (G) = {0} для достаточно больших п.
Доказательство. Пусть для произвольного п
" э ...=>As = {0}
— композиционный ряд /"(G) как G-модуля. Факторы
изоморфны Z/pZ. Действительно, по лемме 4.14,

78
7. Групповая алгебра про-р-группы
содержит подмодуль, изоморфный Z//7Z. Из неприводимости
модуля AJAy-i следует, что он изоморфен Z/pZ.
Тогда для всех geG, а щ In (G) выполняется сравнение
ga = a (mod At),
и поэтому (g— 1O" (G) содержится в At. В этом случае и
весь идеал /rt+1(G) содержится в Ль что доказывает наше
утверждение. ¦
Лемма 7.10. Пусть G — про-р-группа с конечным числом
образующих. Тогда для всех п^1 модуль /"(G) имеет
конечный индекс в Z/pZ[[G]].
Доказательство. Пусть sb ..., sm — система обра-
образующих О. Положим
Xi = Si — I, i—l, ••-, m, / =
Покажем по индукции, что группа /ге//"+1 конечна.
I. Пусть п=1. Положим
Л1 = г//?гл:1 + ... +Z/pZxm.
Тогда Л! + /2 является замкнутым подмножеством /. Формула
-l) + g-l+g'-l G.3)
показывает, что для g— 1, g'— 1еЛ[+/2 элемент ggf — 1
также принадлежит Ах +I2. Из этого следует, что А^ + Р = I.
II. Пусть для данного п уже доказано, что группа
ln~x\ln конечна. Пусть также Г~1 = Л„_1ф/ге— разложение
в прямую сумму абелевых групп, с конечной груп-
тП-1
пой Л„_!. Тогда группа
¦n+i
является замкнутым
„! ру
подмножеством /", и условие G.3) показывает, что
¦Г = iig -
где (... )z/pZ — топологическое векторное Z/pZ-пространство,
порожденное множеством (...). Тогда, поскольку АхАп-х
конечна, /rt//rt+1 также конечна. ¦
Перейдем теперь к доказательству предложения 7.8. По
лемме 7.10 подмножества /"(G) открыты. С другой стороны,
ядра отображений
Фу: Z/pZ[[G]]^Z/pZ[G/U], U e= Uo
o,
образуют систему окрестностей 0 в Z/pZ [[G]]. Итак, нам
остается показать, что для любого [/еИй существует п,
такое, что /"(G) cz Кег фу.
7.4. Фильтрации
79
По лемме 7.9 существует п, такое, что In(G/U) = {0)
Тогда Г (G) cz Кег <р„. ¦ "
Фильтрация {/rt(G)|n=l, 2, ...} индуцирует фильтрацию
{Gre|n=l, 2, . ..} группы G:
которую мы будем называть фильтрацией Цассенхауса. При
этом Gn является нормальным делителем группы G.
Предложение 7.11. Пусть G — про-р-группа с конеч-
конечным числом образующих. Тогда система {Gre|n=l, 2, ...}
является системой окрестностей единицы группы G. Группы
Gn/Gn+i содержатся в центре G/Gn+l.
Доказательство. Соответствие
в силу G.3) индуцирует вложение
Gn/Gn+l->In(G)/In+[(G).
Поэтому группа Gn является открытым нормальным делите-
делителем G. С другой стороны, если U — произвольный открытый
нормальный делитель G, существует п, такое, что In(G) cz
cz Кег фу и, следовательно, Gn cz U.
Для доказательства второго утверждения мы должны
показать, что для любых g e Gre и h e G коммутатор [g, h] =
= g~ h~ gh содержится в Gn+l. Это эквивалентно тому, что
-lh-lhln+l(G) ( n+l)
In+l(G), т.
у,
gh(mod In+l(G)). Послед-
ПоследG3)
g
g-lh-lgh—l(), т. е. hg gh(mod I(
нее равенство следует непосредственно из G.3).
Предложение 7.12. Пусть G — про-р-группа и g <= Gn.
Тогда gp e Gnp и для любых h e G коммутатор [g, А] со-
содержится в Gn+l.
Доказательство. Второе утверждение уже было
доказано выше. Первое утверждение следует из равенства
Мы. определим еще некоторые фильтрации, необходимые
нам в дальнейшем.
Пусть G — про-/?-группа. Для заданного q, равного /?х
или 0, и натурального п мы определим подгруппы G(n' q) при
помощи индукции. Для п = 1 положим

80
7. Групповая алгебра про-р-группы
Если для некоторого п |> 1 подгруппа G(n' q) уже опреде-
определена, положим
В силу определения подгруппа G("'q) является нормаль-
нормальным делителем G и G(n- «>/G(n+I" ?) лежит в центре G/G(/l+1- «>.
Группы G<re>0) мы будем также обозначать через G(n).
Предложение 7.13. Пусть G—про-р-группа с конеч-
конечным числом образующих. Тогда {G(n" ч)\п — 1, 2, ...} является
системой окрестностей единицы группы G.
Доказательство. Прежде всего мы докажем по
индукции, что группы G(n"q) имеют конечный индекс в G.
Для п — 1 утверждение очевидно. Пусть для некоторого
п !> 1 уже доказано, что группа G/G(n'q) конечна. Тогда
в силу примера 6.3 про-/?-группа G("'<7) = G' имеет конечное
число образующих. Кроме того, группа G'q[Gr, G'\ содер-
содержится в G(n+l'q\ Тогда из конечности группы G'IG'q\Gf, G'\
следует конечность G(n'q)/ G(n+l'q), что доказывает требуемое.
Для окончания доказательства предложения 7.13 остается
заметить, что, по предложению 7.12, G(n- q) содержится в Gn,
и система {Gre|n=l, 2, ...} образует систему окрестностей
единицы в G. ¦
7.5. Исчисление коммутаторов и степеней
Теперь мы докажем некоторые правила для вычисления
коммутаторов и степеней. Они основываются на рассмотре-
рассмотрении группового кольца Zp [[F]] свободной про-р-группы F
с конечным числом образующих.
Пусть Cq — идеал группового кольца Zp[[G]], порожден-
порожденный q и всеми элементами вида g — 1, где g e G, и Cnq — за-
замыкание n-й степени Cq.
Для g s G("' ч) легко показать при помощи индукции, что
g — leCj и что отображение
является гомоморфизмом. Индуцированное отображение
п. G(n-q)lG{n+Kq)->CnICn+i
fq I q> q
Является гомоморфизмом Zp-модулей,
7.5. Исчисление коммутаторов и степеней
81
Предложение 7.14. Пусть F — свободная про-р-группа
с конечным числом образующих. Тогда отображение ф" инъек-
тивно и элемент g ef принадлежит F(n'q) тогда и только
тогда, когда g — Is Cnq.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай q — О-
Тогда инъективность ф" доказана в книге Холла [1], 11.2
(лемма 11.2.3). (В книге Холла рассматриваются групповые
кольца обычных свободных групп над Z. Так как они
плотны в Zp [[F\], соответствующие результаты переносятся
на рассматриваемый случай.) Пусть теперь h — 1 е С", при-
причем h e F(s) и h ф y?(s+1). Предположим, что s < п. Тогда
отображение ф* переводит A/^s+1) в 0, что противоречит
инъективности ф*
Теперь пусть q ф 0 я h~l s Cnq. Тогда элемент h — 1 для
некоторого /, такого, что 1 <[ / < п, можно представить в виде
... +ся,
для
п.
Тогда по предыдущему замечанию h ^ Я'>, и, поскольку
является гомоморфизмом Zp-модулей, существует Af
такое, что
Тогда hht — 1 можно представить в виде
для
= /-f- 1, ..., п.
При помощи полной индукции получаем, что h e F- "\ от-
откуда следует инъективность ф™. ¦
Предложение 7.15. Пусть G — про-р-группа и a<=G(n- q\
Ъ е G<m'q), ceG. Тогда справедливы соотношения
[а, Ь] <= G(n+m- «>, G.4)
[а, Ь"]шт [a, b]q [[а, Ь\, Ь]( *) mod G(n+m+2- q\ G.5)
[a, be] em [a, b] [a, c] mod G(n+m+K q), G.6)
{ac)q H aqc" [a, c]( 2) mod Gin+2' q\ G.7)

82
7. Групповая алгебра про-р-группы
Доказательство. Достаточно доказать предложе-
предложение 7.15 для свободной про-/?-группы F с конечным числом
образующих. В этом случае мы можем применить предло-
предложение 7.14. Из равенств х
дует, что
[a, b] = a~lb-lab =
)(
а — 1g C% y = b — lsC™ сле-
сле(
н= 0 mod Cnq+m,
in+m+l' "К
следовательно, [а, Ь] е F"
Соотношения G.5), G.6) и G.7) можно доказать или ана-
аналогично, или прямым вычислением, используя тождество
[а, Ьс] = [а, с][а, Ь][[а, Ь], с]
и соотношение G.4). В
7.8. Групповое кольцо свободной про-р-группы
В § 4.2 была определена магнусова алгебра Л(/) от пере-
переменных xt для i е / над кольцом Л. В частном случае
A = Z/pZ, / = {1, 2, .... т), мы введем в A(I)==Z/pZ(m)
топологию при помощи системы открытых окрестностей 0.
Пусть Dn — идеал Z/pZ (т.), состоящий из всех степенных
рядов, однородные составляющие которых имеют степень
не менее п. Тогда система [Dn \п= 1, 2, ...} является иско-
искомой системой окрестностей 0 в Z/pZ (m). В этой топологии
Z/pZ (m) является прямым произведением своих однородных
составляющих и, следовательно, компактно. Справедливо
следующее
Предложение 7.16. Пусть F — свободная про-р-группа
с образующими s,, ..., sm. Соответствие
xt —> Si — 1, i = 1, . . -, m,
допускает продолжение до изоморфизма Z/pZ(/n) в Z/pZ[[F]],
Доказательство. Пусть Р (х{, ..., хт) — некоторый
степенной ряд из Z/pZ (m). По предложению 7.8,
P(sl — 1, . . ., sm— 1) является корректно определенным эле-
элементом Z/pZ [[F]]. Следовательно, соответствие
ф: Р(х1у . . ., xm)-^P(si — 1, . . ., sm— 1)
определяет морфизм Z/pZ (m) в Z/pZ [[F]]. С другой стороны,
соответствие
¦1+*,.
(-
7.7. Теорема Голода—Шафаревича
83
продолжается до гомоморфизма г|э свободной группы F(m),
порожденной 5i, ..., snt, в группу единиц Z/pZ(m). Можно
показать при помощи индукции, что при этом F(m)f\Fn ото-
отображается в 1 + Dn. По предложению 7.11 из этого следует,
что -ф непрерывно. По предложению 7.2 (И) отображение -ф
допускает непрерывное продолжение на У7 и на ZIpZ [[F]].
Очевидно, что так определенное отображение Z/pZ [[F]]
в Z/pZ(tn) является обратным к ф, т. е. ф является изомор-
изоморфизмом. ¦
В дальнейшем мы будем отождествлять Z/pZ (m)
с ZIpZ [[F]}.
Предложение 7.17. Пусть G — про-р-группа с конеч-
конечным числом образующих. Пусть также задано представление
1,
G-8)
причем {ri \i e /} — система соотношений G относительно пред-
представления G.4). Тогда ядро индуцированного отображения
Z/pZ[[F]]-^-Z/pZ[[G]] порождается элементами {гс—1|/е/}
как идеал Z/pZ [[>]].
Доказательство. По предложению 7.2 (iii) ядро
отображения Z/pZ [[F]]-*Z/pZ [[G]] совпадает с I (R). Как
идеал, I(R) порождается элементами ri—1, te/. и
7.7. Теорема Голода — Шафаревича
Мы переходим теперь к основному результату этого раз-
раздела. Сначала введем следующее определение:
Определение 7.18. Пусть G — про-р-группа с конеч-
конечным числом образующих и
l-+R^F-+G^l G.9)
— представление G с помощью конечно порожденной сво-
свободной про-р-группы F.
Степенью элемента г е R мы будем называть натуральное
число пг, такое, что г <= Fm, г ф. Fm+U где [Fn\n— 1, 2, ...} —
фильтрация Цассенхауса группы F.
В дальнейшем нам потребуется следующая
Лемма 7.19. Пусть выполняются все предположения
определения 7.18. Далее, пусть S — система соотношений G
относительно представления G.9). Пусть S представлено в виде
объединения непересекающихся конечных подмножеств Sn,
где Sn состоит из соотношений степени п. {На основании

84
7. Групповая алгебра про-р-группы
наших предположений множества Sn всегда можно выбрать
конечными.)
Мы введем следующие обозначения:
г„ = card Sn, bn = dim t (G)/In+l (G), cn = 2 by,
v—о
i~o = bo = Co == 1 •
Тогда справедливо неравенство
v=o
где d—d (F) обозначает число образующих F.
GЛ0)
Доказательство. Пусть М = I(#) и L — замкнутое
векторное Z/pZ-пространство в ZlpZ [[F]], порожденное эле-
элементами г — 1 для г е 5. Положим также
Тогда
и справедливо неравенство
dim L/Ln+i
v=l
G.11)
Далее, пусть Вп — модуль однородных многочленов степени п
от Xt = Si — 1 для < = 1, .... d. По предложению 7.16
G.12)
G.13)
и справедливо равенство
dim Bn = dn.
Выберем для л=1, 2, ... подпространства Са cz Bn,
такие, что
Г(F)^ Л*„©С„(mod /n+1 (F)),
и положим Со = ZlpZ. Изоморфизмы
(Z/pZ [[F]]/In (F))/(MIn (F)IIn (F)) ~
^ (Z/pZ [[F]]M*)/(M/" (^)Ш) ^ Z/pZ [[G]]//" (G)
Л1//1(/?)/Г(Р)~Л1Шп
показывают, что
dim Z/pZ [[F]]/ln (F) = dim M[Mn + dim Z/pZ [[G]]//n (G). G.14)
7.7. Теорема Голода—Шафаревича
85
С другой стороны,
dim Г (F)/In+l (F) = dim MJMn+l + dim С„
и, следовательно,
dim ZIpZ [[F]]fIn+[ (F) = dim M/Mn+i + 2 dim Cv. G.15)
Из G.14) и G.15) следуют равенства
v=0
От предыдущих замечаний мы перейдем к центральному
пункту доказательства: вычислению dim M/Mn+i. Пусть С —
замкнутое векторное Z/pZ-пространство, порожденное С„ для
я = 0, 1, .... и A = Z/pZ[[F]]. Тогда
© С (mod Г (F))
и, следовательно,
Справедливы также следующие соотношения:
AL = ML + CL <= Л1ЛВ1 + CL = AfBj -f CL,
и, следовательно,
M — AfSj + CL (mod In+l (FJ).
Отсюда следует оценка
dim M/Mn+1 < dim MB1/MBl f| In+l (F) + dim CL/CL f)
Оценим правую часть G.16). Формула
m<8) b-+mb, m<=M, b^Bu
определяет эпиморфизм
м/мп ® z/Pz Si -^ mbjmbi n /ft+1 (Л,
откуда следует, что
dim MBi/MBi (] In+i (F) < d dim Af/Mn.,
С другой стороны, формула
1 (/=").
G.16)
G.17)

86
7. Групповая алгебра про-р-группы
определяет эпиморфизм
2 (Cn_v ®zipzULv+l)-+CUCL Л In+l (F).
откуда следует оценка
dim CL/CL(]In+[(F)--
2 K-w dim L/L
¦l
v+l-
G.18)
Объединяя G.11) с формулами G.15) — G.18), мы получаем
оценку
2dv-ce<d(n2dv-Cn_1)+ ? *«-
V=0 \v=0 / v=l
откуда после простых преобразований следует, что
К--
2 <Vn_v.
v=0
Легко доказывается также следующее предложение:
Предложение 7.20. Пусть G—конечная р-группа,
величины d, ru г2, ... определены, как в лемме G.19), и ряд
Ф @ = 1 + (г, - d) t + r2t2 + ...
сходится для 0 < t < 1.
Тогда ф @ > 0 для 0 < t < 1.
Замечание. В нашем случае число соотношений
r(G) =.dim H2 (G\ конечно, ^поэтому всегда можно выбрать
такую систему соотношений, что почти все гп равны нулю.
Доказательство предложения 7.20. По лемме 7.9
почти все Ъп равны нулю. Поэтому ряд 2 Ьп^ на самом
ге0
деле является многочленом, и ряд
с/
п=0
сходится при 0 < t < 1. Это также позволяет нам разложить
произведение
в двойную сумму
оо
2
2
v=0
7.5. Структура соотношений и w -произведение
87
Из леммы 7.19 для 0 < * < 1 получается оценка
оо
и после деления на 2 CJ"
о<2г„*
2
л=0
л.
Мы приведем одно следствие предложения 7.20, которое
при п = 2 совпадает с теоремой Голода — Шафаревича
в более сильной формулировке Гашюца и Винберга.
Предложение 7.2,1. Пусть G — конечная р-группа и
1 _> # _> у? _*. Q -+ 1
— минимальное представление G, такое, что RczFm для не-
некоторого гп, где {Fn \п — 1, 2, ...} — фильтрация Цассенхауса
для группы F.
Тогда число образующих d и число соотношений г
группы G связаны друг с другом неравенством
Д-оказательство. В данном случае ф(t) имеет вид
( l —dt + rf.
Предположим,_ что, r<Z.—n(n — l)"- Тогда, выбрав для /
, ""'AT"
значение Го^ у —• получим после простого вычисления:
ф(^0)<[0, что противоречит предложению 7.18. ш
7.8. Структура соотношений и v_> -произведение
Пусть G — про-/?-группа с конечным числом образующих d
и {si, ..., sd] — минимальная система образующих G. Пусть
также
1-+R-+F-+G-+1 G.19)
— минимальное представление G и [rt\i^I} — минимальная
система соотношений в G относительно представления G.19).
Тогда система {sv[G, G], v==l d] является мини-
минимальной системой образующих для G/[G, G]. Порядки эле-
элементов sv[G, G], где v= I d, равны оо или кратны
q — pn. Тогда при тривиальном действии G на Z/^Z отобра-

88
7. Групповая алгебра про-р-группы
жение инфляции
Hl(G, ZlqZ) -> Я1 (F, Z/qZ)
является изоморфизмом. В дальнейшем мы будем отожде^-
ствлять эти группы. Из предложений 3.15 и 4.13 следует,
что отображение трансгрессии ;
Я1 (/?, Z/qZ)° ->H2(G, ZlqZ)
является изоморфизмом.
Для каждого «е / можно определить гомоморфизм
<р,: Я2(С, ZlqZ)-+Z/qZ,
положив
<PiCt = Тга~'а(гг).
Далее, мы определим для {slt .... sd) дуальный базис
{Xi> •••. Xd) группы Я1 (б, ZlqZ) из условия
Так как представление G.19) минимально, справедливо
включение R с: Т7*2' '^ В дальнейшем нам потребуется одно
утверждение о структуре группы F2' q)jF{3' q).
Предложение 7.22. Любой элемент g группы G<2' *'
может быть записан в виде
v=l т
для g' e= GC*
О
v, avA
G.20)
Если группа G свободна, числа ау и aVA однозначно опре-
определяются элементом g.
¦ Доказательство. Если элемент g может быть за-
записан в виде конечного слова от su ..., sd, существование
представления G.20) доказывается применением собиратель-
собирательного процесса Холла (см. Холл [1], 11. 1). Произвольный
элемент из GB' e) можно записать в виде произведения gig',
где g{ — конечное слово от st, ..., sa и g' содержится в G<3< <7).
Единственность av следует из того, что группа GI[G, G]Gg
изоморфна прямому произведению d циклических групп по-
порядка q2. Для доказательства единственности avA рассмотрим
коцикл
Так как группа G по предположению свободна, этот коцикл
распадается, т. е. существует непрерывное отображение
7.8. Структура соотношений и w -произведение
89
tf)vA: G -> ZlqZ, такое, что
Xv Ш Хц (ft) = ^v^ (ft) + Ifvn (ftO — ^vn (ftft). G.21)
Так как отображение i|)vll можно изменить на любой гомо-
гомоморфизм G в ZlqZ, мы можем считать, что
¦tvn(s«) = 0 для % — 1, ..., d.
Тогда из условия G.21) для натурального m следуют соот-
соотношения
т. е.
для
Тогда из соотношения
^v^ (Я) + ^VH (g) = —
следует, что """
(g)
* A
) + 6V^^ = -
т. e.
(—1 ДЛЯ V = JC, Ц = Я,
1 для v = a,, \x = x, G.23)
0 в остальных случаях.
Далее, i|jVA(G<3- "^{О}. Тогда в силу G.21) функция г^
мультипликативна на элементах, порожденных хч и [х, у]
для *e=GB> q), y<==G.
Применяя i|3vtl к G.20), мы получаем для v < ц
откуда следует единственность avA. (Здесь, как и в даль-
дальнейшем, черта означает класс mod qZ.) ¦
Однозначность aVJl можно было бы получить из рассу-
рассуждений Холла [1], гл. 11. 1. Однако только что проведенные
рассуждения необходимы нам для доказательства следую-
следующего предложения:
Предложение 7.23. Пусть G — про-р-группа с d обра-
образующими и минимальным представлением G.19). Пусть также
q — степень р, такая, что RczJ*2-, {su ..., sd) — система
образующих F и {rt\ i'g/) — минимальная система соотноше-
соотношений в G. В соответствии с предложением 7.22 пусть соотно-

90
Л Групповая алгебра про-р-группы
шения rt представлены в виде
Тогда для t<=/ и v, \x=l, .... d справедливы равенства
- avu для v < ц,
Ф» (Xv ^ Хц) =
для v =
В последней формуле «^ означает kj-произведение, индуци-
индуцированное умножением в кольце ZlqZ, и ф*, %v—функции,
определенные выше.
Доказательство. Из определения трансгрессии (см.
§ 3.7) и доказательства предложения 7.22 следует, что
Хц) =
для v < ц.
для v = ц.
Предложение 7.24. Пусть В — отображение Hl(G, Z/qZ)
в H2(G, ZlqZ), индуцированное точной последовательностью
Тогда для /е/ и v = 1, .... d выполняется условие
Доказательство. Для | = х + V^. 0 ^ х
жим % = х -\- q*Z. Тогда функция
, поло-
полоявляется коциклом, представляющим Bxv- Тогда индуциро-
индуцированный коцикл с аргументами в F распадается. Таким об-
образом, существует непрерывное отображение if)v из f в Z/qZ,
такое, что
gi, &2-+-J (Xv (Si) + Xv (&) — Xv (g
(Ai)
(A2) - ^v (AiA2) = j (xv (Ai) + Xv (As) -
G.22)
для всех h\, h2^F.
Без ограничения общности мы можем считать, что
•*v(sJ = 0, и= 1, ..., d.
7.5. Структура соотношений и v_/ -произведение
91
Если А, или /г2 содержатся в Ker xv, правая часть G.22) об-
обращается в нуль. Тогда
и
(А,
— Xv
= 0.
Xv (i2)) + i|>v (A,A2) = 0.
Поэтому функция tf)v обращается в нуль на подгруппе
группы F, порожденной su .... sv_j, sv+1, .... srf, \F, F].
Итак, мы получаем
Отсюда следует, что

8. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ИЗ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Мы сформудируем здесь теоремы теории полей классов,
которые понадобятся нам в дальнейшем, и перенесем их,
насколько это необходимо, на бесконечные расширения.
8.1. Основные понятия теории алгебраических чисел
для бесконечных расширений
Пусть K/k — алгебраическое . расширение, конечное или
бесконечное. Простой точкой *E поля К мы будем, как обычно,
называть класс эквивалентных нетривиальных нормирова-
нормирований К. Если р является ограничением ?Р на k, мы будем
писать ?Р | р. Алгебраическим пополнением /С«р поля К относи-
относительно^ (и k) называется индуктивный предел HmLq, где L
пробегает все промежуточные поля расширения K/k, конечные
над k, q — ограничение нормирования ^ на I и I, — попол-
пополнение L относительно q. Поле К канонически вкладывается
в /Ср. Простая точка называется . конечной или бесконечной
в зависимости от того, соответствует ли она неархимедову
или архимедову нормированию. Конечная простая точка назы-
называется также простым дивизором. Бесконечная простая точка
называется вещественной или комплексной в зависимости от
того, является ли соответствующее пополнение полем веще-
вещественных или комплексных чисел.
Поле классов вычетов k относительно р мы будем обо-
обозначать через S^.
. Пусть К' — произвольное промежуточное поле в K/k и
Vsp—показатель К, соответствующий простой точке ?р, при-
причем v^ (соответственно v^) — его ограничение на К' (соот-
(соответственно на k). Простая точка Щ называется неразветвлен-
ной относительно расширения K'/k, если множество значе-
значений v-jy совпадает с множеством значений v$.
Очевидно, что точка *J5 тогда и только тогда не развет-
разветвлена в расширении K/k, когда ^ не разветвлена для любого
конечного подрасширения расширения Klk. Это позволяет
перенести теорему о том, что точка ^ композита KKJk не
8.2. Нормальные расширения
93
разветвлена тогда и только тогда, когда ограничения Щ на К
и К\ не разветвлены над k, с конечных расширений на
бесконечные.
Бесконечная точка Ч$\р называется неразвет в ленной отно-
относительно расширения Klk, если Kv — k$.
8.2. Нормальные расширения
Пусть Klk — нормальное расширение и v^ — показатель
поля К- Мы определим группу разложения 3<» (АУ&) = 3<р и
группу инерции ^(K/k)=%^ точки ^ следующим образом.
Элемент g e G (Klk) принадлежит 3<&> если для всех ае/(
выполняется равенство
Элемент geG (K/k) принадлежит 3:<р, если для всех а е К,
таких, что v«p(a)^0, выполняется условие
Группа
Vsp (get — a) > 0.
является нормальным делителем
Предложение 8.1. Пусть L/k — подрасширение нор-
нормального расширения K/k с конечной точкой ">$. Тогда
% (KIL) = G (KIL) Л 3? (Klk),
&е (KIL) = G (KIL) П S* (Klk).
(8.1)
Если расширение L/k нормально и q — ограничение ^
на L, то
3, (L/k) = G (KIL) 3=p (K/k)IG (KIL), (8.2)
5, (L/k) = G (K/L) % (K/k)/G (KIL). (8.3)
Доказательство. Равенства (8.1) следуют непосред-
непосредственно из определения. Равенства (8,2) и (8.3) следуют из
соответствующих утверждений для конечных расширений. ¦
Из предложения 8.1 следует, что группа 3y(Klk) (соот-
(соответственно Z<$(Klk)) изоморфна lim3<i(?/&) (соответственно
Игл Ж, (L/k)), где предел берется по всем конечным нормаль-
нормальным подрасширениям расширения K/k и q обозначает огра-
ограничение $ на Z.
Пусть р — ограничение ^ на k. Каноническое вложение
К-^-Кф индуцирует вложение

94 8 Вспомогательные результаты из теории алгебраических чисел
Предложение 8.2. Образ вложения ф^ совпадает с 3,г
Доказательство. Предложение 8.2 легко доказы-
доказывается прямым построением обратного отображения при
помощи последовательностей Коши. в
Мы определим для - бесконечных точек группы 3<р=?р
как образ отображения фф.
Предложение 8.3. Поле элементов, неподвижных
относительно группы ?^, совпадает с максимальным расшире-
расширением k, в котором Щ не разветвлена.
Доказательство. Пусть К(%ъ) — поле неподвижных
элементов для %& тогда
где объединение берется по ограничениям q точки Щ на
всевозможные конечные нормальные подрасширения расши-
расширения Klk. Из неразветвленноети KC&*)lk следует неразвет-
вленность KC&v)lk. Пусть, наоборот, K'/k — подрасширение
расширения Klk, в котором точка Ц не разветвлена; тогда
любое конечное подрасширение K'/k содержится в некотором
расширении К (?o)/k, откуда следует, что К' czKCZy)- Ш
8.3. Автоморфизм Фробениуса
Теперь мы рассмотрим поле k с простым дивизором р,
таким,, что поле вычетов jtp конечно.
Если Klk — нормальное конечное расширение и ^— про-"
должение показателя р на К, то естественное отображение
сюръективно и его ядро совпадает с %<$•
Результаты § 8.2 позволяют непосредственно перенести (8.4)
на бесконечные нормальные расширения Klk.
Для конечного поля вычетов йр группа G (&$/Stp) канони-
канонически изоморфна некоторой факторгруппе тотального пополне-
пополнения Z. Пусть N (р) — число элементов поля &$. Тогда возве-
возведение в степень N (р) является автоморфизмом расширения
St-slStp, порождающим G ($?%/&$). Прообраз a-niKlk) этого авто-
автоморфизма при отображении (8.4) называется автоморфизмом
Фробениуса ^ относительно расширения K(?y)lk.
Пусть дивизор Щ не разветвлен в Klk, L/k — нормальное
подрасширение Klk и <\ — ограничение дивизора Щ на L. Тогда
aq(Llk) совпадает с ограничением a^(Klk) на L.
8.4. Локальные и глобальные поля
95
8.4. Локальные и глобальные поля
В дальнейшем k всегда будет обозначать локальное или
глобальное поле. При этом под локальным полем мы будем
понимать алгебраическое расширение поля' рациональных
/7-адических чисел Qp или поля всех формальных степенных
рядов от одной переменной х над полем из р элементов
ZlpZ[[x]].
Если при этом k является конечным расширением, k
называется конечным локальным полем.
Глобальным полем называется алгебраическое расширение
поля рациональных чисел Q или поля рациональных функций
от одной переменной х над полем из р элементов Z/pZ(x).
Если при этом k является конечным расширением, k назы-
называется конечным глобальным полем. Локальными полями
являются также пополнения глобальных полей по некоторому
простому дивизору. Поля R и С мы будем также называть
локальными полями.
Группой дивизоров %L конечного глобального поля L мы
будем называть группу всех формальных линейных комби-
комбинаций простых дивизоров <| поля L с коэффициентами из Z.
Пусть vq—показатель поля L, нормированный так, что
его наименьшее положительное значение равно единице. Тогда
отображение
определяет гомоморфизм ( ) мультипликативной группы Lx
поля L в 9tz. Коядро гомоморфизма ( ) называется группой,
классов поля L и обозначается-через Cl(L). Пусть U — неко-
некоторое глобальное поле, содержащееся в L. Тогда существует
единственный мономорфизм %L> —> %L, совместимый с вложе-
вложением U —> L. Тогда коммутативная диаграмма
позволяет определить группу дивизоров %к и группу классов
дивизоров С1(К) бесконечного глобального поля К как индук-
индуктивный предел соответствующих групп для конечных гло-
глобальных подполей L с= К.
Любому конечному локальному или глобальному полю k
соответствует некоторая локально компактная группа A(k).
Для локального поля k группа A (k) по определению
совпадает с мультипликативной группой kx поля k.

96 8. Вспомогательные результаты из теории алгебраических чисел
Для глобального поля мы определим сначала группу
иделей J (k). Как абстрактная группа / {k) изоморфна под-
подгруппе Ц kx (причем здесь, как и в дальнейшем, произведе-
ние берется по всем простым точкам р поля /г), состоящей
из элементов, почти все компоненты которых являются еди-
единицами. Пусть Ер для конечного р — группа единиц f$p, для
бесконечного р положим Ер = &*. Тогда группа иделей / (k)
содержит подгруппу Ц Ер. Мы введем в / (k) топологию,
индуцированную топологией прямого произведения в JJ Ер,
т. е. такую, что система всех открытых окрестностей еди-
единицы в Ц Ер образует полную систему окрестностей еди-
единицы в / (&)• По теореме Тихонова о прямом произведении
группа Ц Ер, а следовательно, и / (k) локально компактна.
*>
Любому иделю J_[a.p^J = J(k) сопоставляется некоторый
р
дивизор при помощи формулы
II ар -> П р** ("*>>.
р р конечны
Степень соответствующего дивизора называется также сте-
степенью иделя.
Далее, пусть К — некоторое глобальное поле и ф — вложе-
вложение k в К- Тогда ф индуцирует сюръективное отображение ф'
множества простых точек поля К на множество простых
точек поля k: -¦¦ -----
Vq/ да (а) = Vqj (ф (а)), а е к.
Кроме того, ф индуцирует мономорфизм ф, поля
В соответствии с этим формула
П «р -* П Ф. (aq/ (ад)
с образом отображения J(k)-+J(K). Если расширение Klk
нормально, группа G (Klk) действует на / (К), причем
Группа &х вкладывается в / (&), причем элементу а е kx
соответствует идель (а), р-компонента которого равна образу а
при каноническом отображении k-+kp. Соответствующий
идель мы будем называть главным иделем.
S.5. Строение мультипликативной группы- конечного поля 97
Теперь мы определим A (k) как факторгруппу С (k) =
= J{k)/kx. Группа С {k) называется группой классов иделей
поля k. Как и для группы иделей, мономорфизм ф: k-+K
индуцирует некоторое вложение C(k)-+C{K). Для йс^мы
будем отождествлять C(k) с его образом в С (К). Для нор-
нормального расширения K/k группа G = G (Klk) действует
на С (К), и при этом C(K)a = C{k). В самом деле, точной
последовательности
соответствует точная последовательность когомологий
1 _> kx _ / (k) -* С (К)а -> Я1 (G, Кх).
По предложению 3.19 группа Я1 (G, Кх) равна нулю, следо-
следовательно, C(K)a = C{k).
Пусть теперь k—конечное, локальное или глобальное
поле, L — произвольное конечное сепарабельное расширение k
и К — конечное нормальное расширение k, содержащее L.
Пусть М — множество изоморфизмов L в К, оставляющих
на месте k. Мы определим норму NLiku элемента a^A(L)
формулой
NLik0.= П ?<*•
Элемент Ыиь& инвариантен относительно G (Klk) и, следова-
следовательно, содержится в A (k).
Пусть k —r конечное глобальное поле яр — простая точка k.
Мы вложим &¦* в / (k) так, что элементу а е &* будет соот-
соответствовать идель, ^-.компонента которого равна а, а осталь-
остальные компоненты равны единице. Мы обозначим этот идель
через а. Соответствующее отображение kx в С (k) также
является вложением.
Пример 8.4. Группа С (Q) изоморфна R+ X JJ Ер, где произведе-
р
ние берется по всем простым числам, R+ — мультипликативная группа
вещественных положительных чисел и Ер — группа рациональных р-ади-
ческих единиц.
8.5. Строение мультипликативной группы
конечного локального поля
Пусть k — конечное локальное поле с простым дивизором р
и q — характеристика его поля вычетов. Топология в k
задается системой окрестностей единицы {?„|п=1,2, .'..},
где ?я = {а|ае kx, а е== 1 (рп)} — группа единиц п-й степени.
Группы Еп открыты, замкнуты и компактны. Факторгруппы
4 Зак. 285

98 8. Вспомогательные результаты из теории алгебраических чисел
EJEn+x изоморфны конечным q-группам Лр", следовательно,
группы Еп = lim En/En+V являются npo-q-группами. В частности,
в силу результатов § 4.3 группы Еп являются Z^-модулями.
Пусть я — простой элемент поля k. Циклическая под-
подгруппа, порожденная л,, замкнута в kx и, следовательно,
дискретна. Тогда любой элемент aeF однозначно предста-
представляется в виде
a —«v"(e)g-e,
где ? — корень из единицы степени, взаимно простой с q, и
esS]. Таким образом, для kx получается разложение в пря-
прямое произведение
где Н — конечная группа, которая состоит из содержащихся
в k корней из единицы степени, взаимно простой с q. Эта
группа имеет порядок N (р) — 1 =card$p— 1.
Структура группы Ех описывается леммой Гензеля. Она
весьма различна для случая %(k) — q с простым q и случая
%(k)=0. В первом случае ?, изоморфна прямому произведе-
произведению счетного числа групп, изоморфных Zq. Во втором случае
группа Ех изоморфна прямому произведению [k : Qq] экземп-
экземпляров группы Zq и конечной группы, состоящей из корней
из единицы q-примарной степени, содержащихся в k. В по-
S
следнем случае группа Е\. для любого заданного s содержит
некоторую группу Еп для достаточно большого п.
Мы приведем одно приложение этих результатов к изу-.
чению строения слабо разветвленных расширений k. Пусть
Klk — конечное слабо разветвленное расширение k, т. е.
показатель ветвления Klk взаимно прост с q. Расширение Klk
содержит неразветвленное подрасширение Tjk, степень кото-
которого совпадает со степенью инерции f. Это расширение полу-
получается присоединением к k корней степени (N (p)f— 1) из
единицы. Расширение K/Tk чисто разветвлено, и его степень
равна показателю ветвления е. Пусть й — простой элемент
поля К- Тогда существует представление
где ? s Tk — корень из единицы степени, взаимно простой
с q, и е^К— некоторая главная единица. Так как (е, q)=l,
1/е е Z,, и, следовательно, 1/е является е-й степенью в К-
Следовательно, Уя? ^ К и К — Tk [ Уя?,) .
8.6. Теория полей классов для конечных расширений
99
Расширение Klk нормально тогда и только тогда, когда
в К содержатся корень степени е из единицы и \^nZ,N <w.
Пусть Klk — некоторое р-расширение, т. е. нормальное
расширение р-примарной степени, причем р =Ф q. Если корень
степени р из единицы не содержится в k и, следовательно,
в К, то е = 1, т. е. расширение Klk не разветвлено. Так как
группа корней из единицы степени, взаимно простой с q,
содержащихся в поле k, имеет порядок N (р)— 1, k содержит
корень р-й степени из единицы тогда и только тогда, когда
W (р) s I (mod p).
Пусть k — поле, пополненное относительно бесконечного
показателя р, т.е. k — поле вещественных или комплексных
чисел. Руководствуясь формальной аналогией с предыдущим
случаем, положим
а ^ Р (mod p) для а, рей,
если ар~ > 0 в случае k = R и ар — любое число в случае
k = С. Любой элемент а = 1 (mod p) является п-п степенью
для любого натурального числа п.
8.6. Теория полей классов
для конечных абелевых расширений
Пусть k — конечное локальное или глобальное поле.
Теория полей классов устанавливает взаимосвязь между
абелевыми расширениями k и подгруппами группы A (k).
Существует взаимно однозначное соответствие между
(замкнутыми) подгруппами U конечного индекса в A (k) и
конечными абелевыми расширениями К поля k, причем
группа G (Klk) изоморфна A (k)/U.
Этот изоморфизм индуцирован отображением взаимности
a-*(a, Klk),
отображающим A (k) на G (Klk). Ядро U этого гомоморфизма
совпадает с норменной группой NKfk (А (К))-
Для символа Артина (a, Klk) справедливы следующие
правила преобразования:
(i) Пусть klk — произвольное конечное расширение. Тогда
для а е A (k')
(Nvih (a), Klk) = (а, Kk'lh').
(it) Пусть K'lk ~~ конечное нормальное расширение, Klk —
максимальное абелево подрасширение K'lk и к' — некоторое

100 8., Вспомогательные результаты из теории алгебраических чисел
промежуточное поле в K'/k, над которым К' абелево. Тогда
для aeiD)
(а, К'Ik') = Ver (a, K/k),
где Ver — отображение перемещения из G (K'lk) в G (K'/k')
(см. § 3.6).
(iii) Пусть K'/k — нормальное под расширение расширения
K/k. Тогда для a<=A(k)
(a, K'/k) = (a, K/k).
(iv) Пусть s — изоморфизм поля К на sK. Тогда для
яеЛ(А)
(sa, K
Черта в предыдущих формулах означает ограничение авто-
автоморфизма на подполе.
Для локального поля k отображение ( , K/k) отображает
группу единиц k на группу инерции расширения K/k. Если
K/k не разветвлено, то для любого a s k
(a, i\/fe) = cr (К/я) , I."-",)
где a (K/k) — автоморфизм Фробениуса расширения K/k и
v(a) — показатель k, нормированный условием v(ri)—\.
Ведущим модулем подгруппы U конечного индекса в kx
называется наименьшая степень рп, для которой Еп содер-
содержится в U.
Пусть k—конечное глобальное поле, Щ—простой дивизор
Кир — его ограничение на k. Тогда диаграмма
&* +C(k)
G(Kv/kp)-+G(K/k)
в которой горизонтальные стрелки — вложения, определенные
выше, и вертикальные стрелки — отображения взаимности,
коммутативна. Из (8.5) получаем для не разветвленных
точек ^\р
(a, K/k)=oy(K/k)v»ia) для а<=&„. (8.6)
Пусть U — подгруппа конечного индекса в С (k). Тогда
прообраз Up группы U при вложении k*-+C(k) имеет ко-
конечный индекс в kp. Для конечных точек р ведущий модуль Up
называется ведущим р-модулем U. Для бесконечных простых
точек р ведущий р-модуль U равен 1 или р в зависимости от
8.7. Перенесение на бесконечные абелевы расширения
101
того, равны ли Up и kp- или нет. Последний случай возмо-
возможен только для k? = Rx и Up = R+.
Ведущий модуль группы U определяется как произведе-
произведение ведущих ^-модулей. Так как U — открытая подгруппа С (k),
ведущий >-модуль U равен 1 почти для всех р. Таким обра-
образом, конечная часть ведущего модуля U является целым ди-
дивизором поля k.
Пусть K/k — абелево расширение и U — соответствующая
ему подгруппа. Тогда конечная часть ведущего модуля U
является делителем дискриминанта K/k.
Этим утверждением совместно с (8.6) гомоморфизм ( , K/k)
из C(k) на G(K/k) определен однозначно. В самом деле,
образ любого класса иделей, компоненты которого в точках,
разветвленных в K/k, равны единице, однозначно опреде-
ляется условием (8.6). Пусть Да» — произвольный идель и
для конечных точек р элементы dp совпадают с ^-компонен-
^-компонентами дискриминанта K/k, а для бесконечных точек р поло-
положим dp = р. Тогда по аппроксимационной теореме сущест-
существует a e k, такой, что
=э 1 (mod dp)
для всех разветвленных простых точек (бесконечная точка $
называется разветвленной, если К<$ Ф kp). Тогда
(П оц, • о, K/k) = (П aP, K/k),
причем (Па*> • a. K/k) вычисляется при помощи (8.6), что
доказывает требуемое.
8.7. Перенесение на бесконечные абелевы расширения
Пусть k — конечное локальное или глобальное поле,
K/k — абелево расширение k я й <= A (k). Соответствие
a-*(a, K/k) = lim(a, KJk),
где KJk пробегает все конечные подрасширения K/k, позво-
позволяет определить при помощи соотношения (iii) из § 8.6
отображение из A (k) в G (K/k), образ которого всюду пло-
плотен. Так как подгруппы конечного индекса в A (k) и G (K/k)
находятся во взаимно однозначном соответствии, группа
G (K/k) изоморфна тотальному пополнению A (k) группы A (k).
Гомоморфизм, ( , K/k) удовлетворяет, очевидно, правилам
преобразования (i), (iii) и (iv).

102 8. Вспомогательные результаты из теории алгебраических чисел
Пусть К — максимальное абелево расширение k. Мы изу-
изучим ядро и образ отображения ( , K/k) для различных слу-
случаев.
Пусть k — локальное поле. Тогда в силу § 8.5 A (k) ~
где Е — группа единиц поля k. Из этого следует, что
Пусть k — глобальное поле. Нормализованным нормиро-
нормированием фр называется нормирование, соответствующее конеч-
конечной точке р и такое, что его значение для простого элемента
равно ./V(?)"'. Для бесконечной точки р нормализованное
нормирование определяется как абсолютная величина для
k$ = R или как квадрат абсолютной величины для kv = С.
Тогда для любого а е k справедлива формула произведения
Учитывая эту формулу, получаем, что отображение
П «, -> П чу(«,)
индуцирует гомоморфизм группы С (k) в R+. Его ядро мы
-обозначим через C0(k); оно является компактной группой.
Для функциональных полей группа C0(k) вполне несвязна
и группа C(k) изоморфна ZXCp(&)« В этом случае
G(K/k)A(k)ZXC(k)
В отличие от этого для полей алгебраических чисел ото-
отображение ( , K/k) не является мономорфизмом. Его ядро D (k)
состоит из всех бесконечно делимых элементов, а группа С (k)
изоморфна R+ X C0(k). Так как R+ бесконечно делима и Cn(k)
компактна, существуют изоморфизмы
G (K/k) ~ A(k) ~ С(k)/D (k).
8.8. Теорема главных идеалов
Теоретико-групповой теоремой главных идеалов называется
следующее
Предложение 8.5. Пусть G — конечная группа. Тогда
образ G/[G, G] при перемещении из G в [G, G] состоит
только из единицы.
Мы применим эту теорему к расширениям глобальных
полей. Пусть сначала k — поде алгебраических чисел
8.8. Теорема главных идеалов
103
ной степени и К — максимальное неразветвленное (во всех
точках) абелево расширение поля k. Простой дивизор р
поля k называется вполне распадающимся в конечном рас-
расширении k'lk, если число различных продолжений р на k'
равно степени расширения \k': k]. Через Е мы будем обо-
обозначать группу всех иделей, компоненты которых в конечных
простых точках являются единицами. Пусть vp — соответст-
соответствующий р' показатель, такой, что vp(:rt)=l для простого
элемента я. Тогда формула
$ t> конечны
определяет гомоморфизм группы / (k) на % (k), и ядро этого
гомоморфизма совпадает с Е. Это отображение индуцирует
гомоморфизм группы С (k) на Cl(k), ядром которого является
группа Ekx/kx.
Предложение 8.6. Пусть K/k — конечное абелево рас-
расширение, которому по теории полей классов соответствует
подгруппа Ekx/k* группы С (k). Тогда К является макси-
максимальным неразветвленным абелевым расширением k, причем
G(K/k) изоморфна Cl(k) и простой дивизор р поля k вполне
распадается в K/k тогда и только тогда, когда р — главный
дивизор.
Доказательство. Так как группа Cl(k) конечна,
Ekx/kx имеет конечный индекс в C(k). В силу § 8.6 рас-
расширение k, соответствующее подгруппе Ekx/kx, не развет-
разветвлено, и, обратно, любому конечному абелеву неразветвлен-
ному расширению k соответствует подгруппа в C(k), содер-
содержащая Ekxjkx. Отсюда следует первая часть предложе-
предложения 8.6.
Пусть я — простой элемент kp. В силу 8.6 дивизор р
распадается тогда и только тогда, когда класс иделя я лежит
в Ekx/kx, т. е. когда р — главный дивизор. ¦
Теперь мы сформулируем р-аналог предложения 8.6. Пусть
К(р) — максимальное неразветвленное абелево р-расширение k
и Cl(k)(p)—подгруппа элементов порядка, взаимно простого
с р, в Cl(k).
Предложение 8.7. Группа G (К (p)/k) изоморфна
Cl(k)/Cl(k)(p). Простой дивизор р поля k вполне распадается
в К (р) тогда и только тогда, когда для некоторого целого а,
взаимно простого с р, дивизор р" главный.

104 8. Вспомогательные результаты из теории алгебраических чисел
Следующее предложение является р-аналогом теоремы
главных идеалов:
Предложение 8.8. Пусть а — дивизор поля k. Тогда
существует целое а, взаимно простое с р, такое, что
а" — главный дивизор в К (р)-
Доказательство. Пусть К' — максимальное абелево
неразветвленное р-расширение К(р)- Тогда G (К (p)lk) — мак-
максимальная абелева факторгруппа G(K'/k) и G {КЧК{р))
совпадает с коммутантом- G (K'/k). Тогда по предложению 8.5
отображение перемещения из G(K'/k) в G(K'IK(p)) совпа-
совпадает с н/левым. В силу условия (и) § 8.6 это означает, что
каждый элемент- из С (k) содержится в подгруппе С(К(р)),
соответствующей G(K'/K(p))- Из этого на основании предло-
предложения 8.7 следует наше утверждение. В
Пусть k — конечное глобальное поле и S — непустое ко-
конечное множество точек k. Обозначим через Ks максималь-
максимальное абелево неразветвленное расширение k, в котором вполне
распадаются все дивизоры из S, а через Ks (p) обозначим
максимальное р-подрасширение Ks-
Предложение 8.9. Расширение Ksfk конечно, и ему
по теории полей классов соответствует подгруппа
Группа G (Ksfk) изоморфна факторгруппе Cl (k)s группы Cl (k)
по подгруппе, порожденной дивизорами из S. Простой диви-
дивизор р поля k. вполне распадается в Ks тогда и только тогда%
когда в k существует дивизор а, в который входят только
простые дивизоры из S, такой, что рл — главный дивизор.
Для доказательства предложения 8.9 достаточно за-
заметить, что в функциональном случае конечность Cl(k)s
следует из непустоты S. В остальном доказательство вполне
аналогично доказательству предложения 8.6. ¦
Приведем р-аналог предложения 8.9.
Предложение 8.10. Группа G(Ks(p)/k) изоморфна
Cl(k)s/Cl(k)s(p). Простой дивизор р поля k тогда и только
тогда вполне распадается в К (р), когда для некоторого це-
целого а, взаимно простого с р, существует дивизор а поля k,
в который входят только простые дивизоры из S, такой, что
раа — главный дивизор.
В качестве аналога предложения 8.8 мы получаем сле-
следующее
8.9. Когомологии систем классов
105
Предложение 8.11. Пусть й — дивизор поля k. Тогда
существуют целое а, взаимно простое с р, и дивизор Ь поля k,
в который входят только простые дивизоры из S, такие,
что а"Ь является главным дивизором в Ks (p).
8.9. Когомологии систем классов
Пусть k — конечное локальное или глобальное поле,
рл рм G G (K/k)
у и гобальное поле,
— произвольное нормальное расширение и G = G (K/k).
Мы приведем здесь несколько утверждений о строении групп
Hn(G, A(K))- Переход от конечных к бесконечным расшире-
расширениям легко осуществляется с помощью предложения 3.17,
так как группа А (Д") является индуктивным пределом си-
системы {[G(KJk), A(KV)]}, где KJk пробегает все конечные
нормальные подрасширения Klk.
Первая и третья группы когомологии А (К) равны нулю.
Существует канонический мономорфизм invft из H2(G, А (К))
в Q/Z. Образ аеЯ2(С, А (К)) при отображении invft назы-
называется инвариантом элемента а. Для конечных расширений Klk
группа H2(G, А (К)) циклическая и имеет порядок [К '• k].
Отображение invfe и символ Артина ( , Klk) связаны сле-
следующим образом. Пусть Ko/k — максимальное абелево под-
расширение Klk, %<^Hl(G, Q/Z) — некоторый характер G и
Д — связывающий гомоморфизм из HX(G, Q/Z) в H2(G, Z),
индуцированный точной последовательностью
0 -* Z -> Q -* Q/Z -> 0.
Так как HV(G, Q) = {0} для v!>l, Д является изоморфизмом.
Рассмотрим ^-произведение, соответствующее спариванию
A
Так как A(k) = H°(G, А (К)), элемент а ^ А% для a<=A(k)
принадлежит H2(G, A(K))- Справедливо следующее соотно-
соотношение:
X (a, Kx/k) = invft (а w Дх). . (8.7)
Используя (8.7), Можно вывести свойства invft из свойств
символа Артина, и наоборот.
Для inv? справедливы следующие правила преобразования:
(i) Пусть k'lk — произвольное алгебраическое расширение.
Тогда диаграмма
H2(G(Klk), А (К))
H2{G{Kk'lk'), A(Kk'))-
invb
inv
Q/Z
Q/Z
коммутативна ¦.

106 8. Вспомогательные результаты из теории алгебраических чисел
(И) Пусть k'/k — конечное подрасширение K/k. Тогда ото-
отображение коограничения
H2(G{Klk'), A(K))-+H2(G(K/k), А (К))
инъективно и диаграмма
W(G(K/kf), A(K))^H2(G(K/k), А (К))
коммутати сна.
(ш) Пусть K'/k— нормальное подрасширение K/k. Тогда
отображение инфляции
Н2 (G(K'lk), А (/СО) -> Н2 (G {Klk\ А (К))
инъективно и диаграмма
H2(G (K'/k), А (К')) ->Н2 (G (K/k), А (К))
Q/Z
коммутативна.
Первое утверждение (ш) .. следует из , условия
Hl(G, А(К)) = {0} и предложения 3.15.
(iv) Пусть s — изоморфизм между К и sK и s* — индуци-
индуцированный изоморфизм
Н2 (G (K/k), А (К)) -* Я2 (G (sK/sk), A (sK)).
Тогда диаграмма
H2(G (K/k), А (К)) -> Я2 (G (sK/sk), A (sK))
коммутативна.
Пусть k — локальное поле, К — его конечное нормальное
неразветвленное расширение, G = G (K/k) и Е — группа единиц
поля К. Тогда HV(G, Е)=={0} для v>l.
8.10. Когомологий мультипликативной группы
107
Точная последовательность когомологий, соответствующая
точной последовательности
индуцирует изоморфизм
#2(G, Kx)->H2(G, Z).
Рассмотрим его композицию с изоморфизмом
Д~': H2(G, Z)-+HX(G, Q/Z).
Так как K/k не разветвлено, группа G циклическая и допу-
допускает в качестве образующей автоморфизм Фробениуса <5K,k.
Определим мономорфизм из Hl (G, Q/Z) в Q/Z условием
В результате мы получаем некоторое отображение ф из
H2(G, Кх) в Q/Z. Это отображение совпадает с invfe.
Действительно,
откуда, применяя (8.7) и результаты § 8.6, получаем наше
утверждение.
Можно показать, что в общем случае inv^ однозначно
определяется своими значениями для неразветвленных рас-
расширений и правилами преобразования (i) и (ш). В этом
состоит основной результат, позволяющий использовать кого-
когомологические методы в локальной теории полей классов.
8.10. Когомологии мультипликативной группы
Пусть K/k—конечное глобальное расширение и G = G (K/k).
Для каждой точки р поля k зафиксируем некоторое ее про-
продолжение Щ в К- Вложение К—>Кф индуцирует гомоморфизм
где 3^ = vp)
Для a^H2(G, Kx) элемент -фра обращается в нуль почти
для всех р.. Действительно, расширение K/k не разветвлено
почти для всех р и коцикл, соответствующий а, имеет зна-
значения, являющиеся единицами в Ку почти для всех р. Для
таких р элемент ifpa содержится в образе отображения

108 8. Вспомогательные результаты из теории алгебраических чисел
где Еу — группа единиц поля Ку, причем Н2 (Зр, Е<$) = {0} для
неразветвленных расширений /(V&*>. Таким образом, суще-
существует корректно определенное отображение
„ кх),
(8.8)
где ?$ — фиксированное продолжение р и суммирование произ-
производится по всем простым точкам поля k. Тогда отображения
е> KX)-*QIZ
индуцируют отображение
(8.9)
которое получается суммированием инвариантов.
Локально-глобальный принцип Хассе утверждает, что по-
последовательность
• Q/Z,
(8.10)
полученная с помощью (8.8) ы (8.9), точна. С помощью пред-
предложения 3.17 этот результат без затруднений переносится
на бесконечные расширения.
Для конечных нормальных расширений Klk группа
H3(G, Кх) является циклической группой порядка [К : k]/l {Klk),
где I {Klk) — наименьшее общее кратное локальных степеней
[К® ¦ к.х\.для. всех простых точек Ч§\ р. Пусть L/k — нормальное
подрасширение Klk. Тогда из диаграммы . . ..
I
х
получается коммутативная диаграмма
H2{G (L/k). С (L)) -*Я3(G (L/k), Lx)
¦ I Inf I Inf
H2(G (Klk), С (К)) -> Я3 (G (Klk), Kx)
горизонтальные стрелки которой являются эпиморфизмами.
Левое отображение инфляции является мономорфизмом цикли-
циклических групп. Образ правого отображения инфляции обра-
обращается в нуль, если [К : k]/l (Klk) является делителем [К : L],
т. е. если [L : k] делит / (Klk).
8.11. Символ норменного вычета
109
8.11. Символ норменного вычета
Мы рассмотрим для локального поля k аналог символа
Артина, который называется в этом случае символом нор-
норменного вычета.
Пусть в k содержится корень степени п из единицы gre,
причем п взаимно просто с характеристикой k. Пусть
К= k(Ya), aeft, —некоторое циклическое расширение k.
Тогда символ норменного вычета (а, р) степени п опреде-
опредеx
ляется для а,
x
kx условием
(р,
Значения (а, р) являются корнями из единицы степени п и
удовлетворяют следующим условиям:
(i) (aa't Р) = (а, Р) (а', р);
(и) (а, рр') = (а, Р)(а, Р');
(Hi) (а, р)(р, о)=1;
(iv) из (а, Р)=1 для всех peftx следует а е feXn;
(v) (а, Р) = 1 тогда и только тогда, когда р является нор-
нормой в )i
Условия (ii), (iv), (v) непосредственно следуют из свойств
символа Артина. Условие (iii) будет доказано ниже, усло-
условие (i) следует из (ii) и (iii).
Теперь мы интерпретируем (a, P) как «^-произведение
элементов некоторых одномерных групп когомологий. Мы
ограничимся случаем, когда n = q является степенью про-
простого числа р. Пусть G— группа Галуа максимального р-рас-
ширения k поля k.
Любому a ^ kx . можно сопоставить элемент
Н1 {G, Z/qZ), определенный условием
из
Определенное таким образом отображение ф является гомо-
гомоморфизмом kx на Hl{G, Z/qZ) с ядром kXq.
Мы покажем, что группа Ед корней степени q из еди-
единицы в поле k изоморфна H2{G, ZlqZ), для чего рассмотрим
последовательность Куммера
0-+Z/qZ^kx-+kx^l, (8.11)
где k обозначает максимальное сепарабельное р-расширение
поля k (см. также разд. 9), а отображение А определено

ПО 8. Вспомогательные результаты из теории алгебраических чисел
условием Я, (а) = ?^. Последовательности (8.11) соответствует
точная последовательность когомологий
Образ H2(G, ZlqZ) при отображении Я,* совпадает с H2(G, kx)q
и в силу § 8.9 является циклической группой порядка q. Сле-
Следуя § 8.9, мы определим изоморфизм i между H2(G, kx)q
и Eq условием
Тогда -ф = 1-Я.* является изоморфизмом между H2(G, ZlqZ) и Eq.
Теперь мы переходим непосредственно к интерпретации
символа норменного вычета.
Предложение 8.12. Для любых a, peftx справедливо
соотношение
(а, р) = -ф (фа w фР)~'.
Доказательство. По определению
а _
(°> Р)= ?*а
где х„ <= Нх (G (k (Ya)lk), Z/qZ) индуцирован %а. Используя (8.7)
и правило преобразования (Hi) из § 8.9, получаем
Элемент Д%а представляется коциклом
g, h->— (зсЛг) + Ха (h) — %
где z обозначает представитель z e ZlqZ в Z.
Для доказательства предложения 8.12 осталось показать,
что справедливо равенство
Элемент К* (ха w xg) представляется коциклом
а элемент р ^ Дха представляется коциклом
, _(•/?) (х7<г)+ха Щ-г^ТИщ i/o-('
(а-12)
. (8.13)
S.У/. Символ норменного вычета
111
Произведение (8.12) и (8.13) является кограницей, что дока-
доказывает предложение 8.12. ¦
Из предложения 8.12 и антикоммутативности ч^-произве-
дения следует свойство (ш) для символа норменного вычета.
В дополнение к предложению 8.12 мы докажем следующее
Предложение 8.13. Пусть В — отображение из
#'(G, ZlqZ) в H2(G, ZlqZ), индуцированное точной последо-
последовательностью
О
0.
ZlqZ — + Z/<72Z -> ZlqZ
Тогда справедливо равенство
(a, g,) = *ф (ДФа).
Доказательство. Как и в доказательстве предложе-
предложения 8.12, мы должны доказать, что
Элемент Bq>a представляется коциклом
g, н -> j (x7(i) + хДа) - %agh)) +
Этим наше утверждение полностью доказано.

9. МАКСИМАЛЬНЫЕ /^-РАСШИРЕНИЯ
Максимальным р-расширением к поля k называется ком-
композит всех конечных р-расширений k, содержащихся в неко-
некотором алгебраическом замыкании k, т. е. всех нормальных
(сепарабельных) р-расширений k.
Расширение к замкнуто относительно р-расширений.
А именно, если К есть р-расширение к, то это же спра-
справедливо и для всех сопряженных с К над k р-расширений к.
Тогда нормальное расширение К поля k, порожденное рас-
расширением К, является р-расширением к, откуда следует,
В дальнейшем мы будем обозначать группу G (klk) через Gk.
Ситуация существенно зависит от того, содержит ли k корень
р-й степени из единицы или нет. Для сокращения обозна-
обозначений мы введем функцию б (к), которая равна 1 в первом
случае и нулю во втором. Для поля k характеристики р мы
положим б (к) = 0. В этом разделе нас в первую очередь
интересуют случаи, когда группа Gk свободна.
9.1. Поля характеристики р
Мы докажем следующее
Предложение 9.1. Пусть k — поле характеристики р.
Тогда Gk — свободная про-р-группа с числом образующих,
равным
dimzfpzk+/f(k+),
где
'zipz.'
(х) = х" — х.
(9.1)
(9.2)
Доказательство. Рассмотрим последовательность
Артина — Шрейера
0 ^ Z/pZ ^ &+~W+^ 0.
Эта последовательность точна. Для доказательства этого
достаточно доказать сюръективность f, которая следует из
9.2. Поля, содержащие корень степени р из единицы
113
того, что уравнение
х" — х = а, а<=кх, (9.3)
всегда имеет решение I в к. Вместе с | и | + а, а е Z/pZ,
также является решением (9.3). Тогда к(?)/к является р-рас-
р-расширением, т. е. к(%) = к и I <= к. Применяя предложение 3.18,
мы получаем точную последовательность когомологий, соот-
соответствующую последовательности Артина — Шрейера:
откуда вытекает (9.1) и откуда следует также, что
#2(Gft) = {0}.
Из этого по предложению 4.13 получаем, что группа Gk
свободна. ¦
9.2. Поля, содержащие корень степени р из единицы
Будем считать, что характеристика k отлична от р и k
содержит корень степени р из единицы. Через ?р мы будем
обозначать первообразный корень степени р из единицы.
Предложение 9.2. Группа Н2 (G k) изоморфна Н2 (Gk, кх)р,
и число образующих Gk равно
x/*Xp. (9.4)
Доказательст в о. Рассмотрим последовательность
Куммера
0->Z/pZ— *кх—
где ф определяется условием
(9.5)
и р — возведение в р-ю степень.
Последовательность (9.5) точна. В этом утверждении оче-
очевидно все, кроме сюръективности р. Чтобы доказать, что р
сюръективно, достаточно проверить, что для любого a e кх
уравнение
хр = а
имеет решение | в поле к. Расширение к (§)/& является р-рас-
щирением? т. е. | е Ц,

114
9. Максимальные р-расширения
Применяя предложение 3.19 к.точной последовательности
когомологий, соответствующей (9.5), получаем точную после-
последовательность
fc?^fcx^tf'(Gft)-*0,
из которой следует (9.4) и точная последовательность
О -> Я2 (Gk) -> Я2 (Gk, kx) V- Я2 (Gk, ?х),
где р означает умножение на р. Отсюда следует и первое
утверждение предложения 9.2. ¦
Нас интересуют случаи, когда группа Я \Gk, «x)p обра-
обращается в нуль. Во-первых, это происходит, если основное
поле k «достаточно велико». Локальное поле k называется
р-бесконечным, если оно является объединением конечных
локальных полей kt, где i <= /, причем для любого ie/
существует г'е/, такой, что р \[ki>: ki].
Предложение 9.3. Пусть k — локальное р-бесконечное
поле. Тогда группа Gk является свободной про-р-группой.
Доказательство. В силу предложений 9.2 и 4.13 нам
достаточно доказать, что H2(Gk, ?x)p = {0}.
Группа когомологий H2(Gk, ?x) изоморфна lim H2(pkl, kfL
Поэтому нам достаточно показать, что группа lim Я \Gk., &х)р
равна нулю. Пусть а{ е H2(Gkl, kf)p и p\[kj\ki\; тогда,
в силу § 8.9 (i), at при отображении
H2(G (kt/kt), ?Х)-*Я2(О (ktk,lk,), [kik,)*)
и тем более при отображении
• H2{G(ktlki), ?х)-> Я2 (<?(?,/&/)> */*)
переходит в нуль, что доказывает требуемое. ¦
Предложение 9.4. Пусть k — глобальное поле, такое,
что поля kp р-бесконечны для всех конечных простых точек р.
Если k — поле алгебраических чисел и р = 2, пусть k—чисто
мнимое поле, т. е. для всех бесконечных точек р поля k
пусть kp = С. Тогда Gk — свободная про-р-группа.
Доказательство. Группа H2(Gk, ?x) изоморфна
НтЯ2(С|ь., ^), где k{, пробегает все конечные глобальные
подполя k. Поэтому нам достаточно показать, что группа
lim H2(Gkt, ?X) равна нулю,
9.3. Поля, не содержащие корень степени р из единицы 115
Используя (8.10), мы получаем для ktczkj точную и
коммутативную диаграмму
I
о - я2 (g v kf)
(з v
(9-6)
причем pi (соответственно р/) пробегает все простые точки kt
(соответственно kt) и ^t (соответственно ф;) является выде-
выделенным простым делителем pt (соответственно pf), таким, что
^1 \Щ( для р/ \pi. Отображение <р индуцировано естественными
гомоморфизмами
для
другими словами, для а),.еЯ2C^,
Наше утверждение следует теперь из (9.6), так же как в до-
доказательстве предложения 9.3. ¦
Пример 9.5. Условия предложения 9.3 или 9.4 выполняются, если k
содержит все корни из единицы р-примарной степени.
9.3. Поля, не содержащие корень степени р из единицы
Будем считать,.что основное поле k имеет характеристику
отличную от р, и не содержит корень степени р из единицы'.
Положим k' = k(?,p). Справедлива следующая теорема ре-
редукции:
Предложение 9.6. Пусть ограничение Я2 (G (?'/&)) -*¦
-*¦ H2{G {k'\kk')) является нулевым отображением. Тогда
группа H2(Gk) изоморфна Я2 (Gk'f ik'lk).
Доказательство. Сначала покажем, что группа
Я1 (G (&'/?)) равна нулю. Пусть »,еЯ'(С(Щ т. е. Я —
некоторый гомоморфизм из G(k'lk) в Z/pZ. Тогда Кег Я
имеет индекс 1 или р в G (k'jk) и является нормальным де-
делителем G (k'/k). Поэтому поле элементов, неподвижных от-
относительно Кег X, является р-расширением k и, следова-
следовательно, совпадает с k. Тогда Кег А, = G (?'/?). т. е. А = 0.

116
9. Максимальные р-расширения
Рассмотрим отображение инфляции
H2(G(klk))-+H2(G{k'lk)). (9.7)
Так как Я1 (G (?'/?)) = {0}, мы получаем из предложения 3.15
точную последовательность
0 -> Я2 (G (k/k)) —f+H4G (k'M) -^* Я2 (G (&'/?))•
С другой стороны, отображение ограничения
Я2 (G (?'/&))-* Я2 (G (?'/?*')
инъективно по предложению 3.16, так как степень [kk': k]
взаимно проста с р. Отображение
Я2 (G (kfIk)) -* Я2 (G (?'/?*'))
является нулевым, и, "следовательно, отображение
Я2 (G (?
Я2
также нулевое, т. е. отображение (9.7) является изоморфизмом.
Из условия (р, [k''.k\) — \ и предложения 3.16 следует,
что ограничение
Я2 (G (к'Ik))-+H2{G {k'lk'))a (k'/k) (9.8)
является изоморфизмом.
Рассматривая композицию (9.7) с (9.8), мы получаем
искомый изоморфизм между H2(Gk) и Н2 (Gц')а (k/kK В
Из предложений 9.3 и 9.4 следует, что Я2 (G {k'/kk')) = О,
если k — локальное или глобальное поле. В этом случае
справедливы условия предложения 9.6. В частности, мы по-
получаем
Предложение 9.7. Пусть k—локальное р-бесконечное
поле или глобальное поле, такое, что поля k$ бесконечны для
всех конечных простых точек р. Тогда Gk — свободная про-
р-группа ').
Пример 9.8. Условия предложения 9.7 выполняются, если для
всех я ^2 поле k содержит максимальное р-подрасщирение поля, полу-
получающегося присоединением к простому подполю k корня степени р" на
единицы.
') В числовом случае при р = 2 нужно предположить также, что k-
чисто мнимое поле. — Прим. пврвв.
10. КОНЕЧНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
В этом разделе мы более полно изучим максимальные
р-расширения в случае, когда k — конечное локальное поле.
Обозначим через р простей дивизор- поля к, а через %(р) —
характеристику поля вычетов k.
Расширение k/k содержит выделенное подрасширение Tk—
максимальное неразветвленное /^-расширение поля k. В силу
§ 8.3 и 8.6 группа Галуа G {Tklk) изоморфна Ър, причем
в G GV&) существует выделенная образующая ok — автомор-
автоморфизм Фробениуса 7V&. Таким образом, мы приходим к за-
задаче теоретико-группового описания про-/?-группы G (k/k) = Gk
с выделенным нормальным делителем Zk = G (^/Гй), причем
факторгруппа GJZk канонически изоморфна Zp.
В наиболее трудном случае, когда k — поле р-адических
чисел, содержащее корень степени р из единицы, и х(р) = р,
эта задача будет разрешена только частично.
10.1. Случай ?D>) ф р
Сначала мы рассмотрим случай, когда характеристика
поля вычетов k отлична от р.
Если в k не содержится корень степени р из единицы,
т. е. выполняется условие
N(pLbl (mod p),
то k/k не разветвлено в силу § 8.5.
Предложение 10.1. Пусть % (р) Ф р и б (k) = 0. Тогда Gk
изоморфна Zp и Zk = {1}.
Мы будем считать теперь, что в k содержится корень
степени р из единицы; при этом
JV()))el (mod p).
Присоединяя к k первообразные корни степени р" из
единицы Z, п, мы получаем р-расширение, степень которого

118
10. Конечные локальные поля
неограниченно растет вместе с п, т. е.
Тогда из § 8.5 следует, что любое конечное подрасши-
рение k/k может быть порождено двумя элементами ?рЛ и
Vug, где я — фиксированный простой элемент поля k и ? —
некоторый корень из единицы из Тк. Поскольку Y& содер-
содержится в Tk, поле k является объединением нормальных рас-
расширений
Уя7, я = 1, 2
Пусть корни из единицы ?рл нормированы так, что
Sp« =?рл-«г для л>т.
Тогда группа G{KJk) порождается двумя автоморфизмами а„,
т„, определенными условиями
Автоморфизм <xft является продолжением автоморфизма Фро-
Фробениуса k(t,pn)/k, а- хк является образующей, циклической
группы инерции KJk. Автоморфизмы а„ и т„ удовлетворяют
перестановочному соотношению
A0.1)
Группа Gk является проективным пределом системы
{G {KJk) \п = 1, 2, . . .}• Поэтому про-р-группа Gk может быть
задана образующими
ст =
сг„,
т = П т„,
1
удовлетворяющими перестановочному соотношению
(Ю.2)
Автоморфизм а является продолжением автоморфизма Фро-
бениуса максимального неразветвленного р-расширения TJk,
а г — образующая подгруппы инерции 2ft группы Gk. По по-
/О.У. Случай xff) Ф Р
119
строению ?ft мы получаем, что 2ft изоморфна Ър. Любое
другое продолжение а' автоморфизма Фробениуса Tk/k имеет
вид
а' = аха, aeZj,
и, следовательно, удовлетворяет условию A0.2). Соотношение
A0.2) сохраняется также при замене т на некоторую другую
образующую группы ?к. Этим доказано следующее предло-
предложение:
Предложение 10.2. Пусть %(Р) Ф р и б(й) = 1. Тогда
группа Gfi является про-р-группой с двумя образующими а
и х, удовлетворяющими соотношению
При этом в качестве а можно взять произвольное продолжение
автоморфизма Фробениуса максимального неразветвленного
р-подрасширения k/k, - а в качестве х можно взять любую
образующую группы инерции расширения k/k, изоморфной Zp.
По предложению 10.2 про-р-группа Gk имеет две образу-
образующие и одно соотношение. Этот результат можно было
также получить из предложения 9.2.
В самом деле, справедливо следующее общее утверждение:
Предложение 10.3. Пусть k — конечное локальное поле
с 6F)= 1 и характеристикой, отличной от р. Тогда Gk —
про-р-группа когомологической размерности 2, имеющая две
образующие при % (р) Ф р и [k : Qp] + 2 образующих при
%(р) — р; в обоих случйях Gk имеет одно соотношение.
Доказательство. Число образующих вычисляется
при помощи § 8.5 и предложения 9.2. Из § 8.9 и предло-
предложения 9.2 следует, что r{Gk) — \. Из этого мы получаем:
0 для %(р)фр,
Пусть теперь U — подгруппа конечного индекса в Gk.
Тогда поле K{U) элементов, неподвижных относительно U,
является конечным р-расширением k, откуда получаем во
втором случае
%2(U) = - [К{Щ : Qp] = - [К(U) :k][k: Qp] =
В первом случае равенство X2(U)==[Gk: U]-^{G^) тривиально.
Из этого по предложению 5.5 получаем, что когомологиче-
когомологическая размерность G^ равна 2, Щ

120
10. Конечные локальные поля
10.2. Случай 7L(p) = p, 6(fe)=0
Если k — поле конечной характеристики, его характери-
характеристика совпадает с характеристикой поля вычетов %{р). Тогда
в случае % (р) = р мы оказываемся в ситуации предложения 9.1.
Справедливо следующее
Предложение 10.4. Пусть k — конечное локальное поле
характеристики р. Тогда группа Gk является свободной
про-р-группой со счетным числом образующих.
Система образующих Gk может быть представлена в виде
{о, т,, т2, ...}, где а — продолжение автоморфизма Фробе-
ниуса расширения TJk, а т,, т2, ... принадлежат G (k/Tk).
Доказательство. Из § 8.7 следует формула для
числа образующих d(Gk) группы Gk:
d(Gk)=dimH\Gk)=dimChar(Gk/G%\Gk, Gk])===dimChar(kx/kXp)-
В силу § 8.5 группа kx/kXp является прямым произведением
счетного числа циклических групп порядка р, откуда следует,
что d(Gk) счетно. Это можно также доказать, применив
предложение 9.1 и вычислив размерность k+/fk+.
Пусть я — простой элемент поля k и еь е2, ... —система
главных единиц k, определенная в § 8.5, так что любая
главная единица е е k может быть однозначно представлена
в виде
о...
v=l
Пусть k — максимальное абелево р-расширение поля k. Тогда
определим систему
а' ="(я, k/k), tC = (ev, k/k), v= 1, 2, ....
которая в силу § 8.7 является минимальной системой обра-
образующих для G (k/k). При этом а' является продолжением
автоморфизма фробениуса, а х\, х'2, ... содержатся в группе
инерции k/k. Продолжая эти автоморфизмы на k с помощью
предложения 4.11, мы получаем требуемую систему образу-
образующих группы Gk. В
Пусть теперь k — поле характеристики 0, т. е. k — ко-
конечное поле р-адических чисел и б (k) = 0. Справедливо сле-
следующее
Предложение 10.5. Пусть k — конечное поле р-адиче-
qkux чисел, не содержащее корень степени р из единицы, и
10.2. Случай х(Р) = Р.
= 0
121
%iP)—P- Тогда Gk — свободная про-р-группа с числом обра-
образующих, равным [k : QPJ -f 1 = п -f- 1.
Система образующих группы Gk может быть задана в виде
{а, т,, ..., т„}, где а — некоторое продолжение автоморфизма
Фробениуса с Tkjk, а т,, т2, .... т„ содержатся в группе
инерции k/k.
Доказательство. Утверждения предложения 10.5,
касающиеся образующих, доказываются, как и в предложе-
предложении 10.4. Используя § 8.5, мы получаем выражение для
числа образующих:
d (G*) - dim Char (kx/kXp)= [k : Qp] + 1. (Ю.З)
Чтобы доказать, что Gk свободна, нужно показать, что
cdGfe<:i, т. е. H2(Gk) = {0}. Мы приведем два доказатель-
доказательства этого утверждения.
1. Как и в доказательстве предложения 10.3, можно по-
показать, что для любой подгруппы U конечного индекса в Gk
выполняется соотношение
По предложению 5.5 отсюда следует, что edGft^l.
2. Применим предложение 9.6, выполнение условий кото-
которого следует из предложения 9.3. Тогда существует изомор-
изоморфизм
Покажем, что группа Я2 (G^H (й'/й) равна нулю, для чего за-
заметим, что в силу § 8.9 (iv) существует изоморфизм
^@,,Пагаав^@„П. (Ю.4)
С другой стороны, из § 9.2 мы получаем изоморфизм
Ф': Я2(ОИ->Я2(О^ kfx)p,
индуцированный отображением
Пусть для s ^ G (k'/k)
s?P = ??(s), a(s)eZ/pZ.
Тогда справедливо равенство
A0.5)

122
10. Конечные локальные поля
Действительно, отображение sqp* индуцировано морфизмами
Gk- *- Gk>: g ^- s~lgs, g e= Gk.>,
Z/pZ -> ?'x: a -+ Ca lS>» " e
а отображение qp*s индуцировано морфизмами
Gft't-Gft': g-*s~lgs, g^Gv,
Z/pZ -* k'x: a -* #. as Z/pZ,
где s — некоторое продолжение s на G (k'/k).
Для аеЯ2(Ой')°(*'/*)» используя A0.4) и A0.5), получаем
a(s)qp*(a)=qp'(a)=O
и, следовательно, а = 0. в
10.3. Случай Xty)=p,
Мы будем предполагать, что
Так как [Qp(?p): QP] = P — Ь наше предположение всегда
справедливо для рФ2.
Пусть q = р* — наибольшая степень р, для которой в k
содержится корень степени q из единицы. Мы дадим описа-
описание группы Gk mod G?' ч) П Gk{).
Мы докажем три леммы.
Лемма 10.6. Пусть t,q — первообразный корень степени q
из единицы и q' — наибольшая степень р, для которой рас-
расширение
не разветвлено. Далее, пусть g — целое рациональное число,
такое, что
где о — автоморфизм Фробениуса расширения \\/T^)/.
Тогда g=l(mod<7) и существует базис {я, а0, а,, ..., а„}
группы kx mod kXq,~ удовлетворяющий следующим условиям:
(i) я — простой элемент поля k;
(п) а0 является q-примарным элементом, т. е. расширение
Ik не разветвлено;
10.3. Случай %(}) = р, 5(k) = 1
123
(iii) a,, . . ., an являются главными единицами поля k;
(iv) обозначим через ( , ) символ норменного вычета сте-
степени q над k. Тогда
(ССО, П) = Zq,
(a2v-,, O2V) = ^, v= 1, 2, .... л/2;
для всех остальных пар базисных элементов символ нормен-
норменного вычета равен 1;
(v) <
(vi) ?„=а0 " af.
Доказательство. Из A0.6) следует, что
поэтому ^ s= I (mod ^).
Пусть a0 является <7-примарным элементом поля k, удо-
Г / q \ ]
влетворяющим условию (v), так что [k \]/~а^) : k\ ==q.
Предположим сначала, что q' < q. Тогда
и, следовательно,
где a, —некоторая единица поля k. Из условия (v) мы полу-
получаем равенство
и, следовательно,
т. е.
• — 1
8 —
х = ° _ mod qr.
Без ограничения общности мы можем считать, что
х =
Элемент а, нельзя представить в виде <хоЭР, где a
Y
Рей, так как в этом случае расширение k\ YZq)/k было бы
не разветвлено, что противоречит определению q\

ш
124
10. Конечные локальные поля
Предположим теперь, что q'^q. Тогда сам элемент
g-примарен и k\VZq) — k \V^ )• Поэтому
t,q —
a
k,
О(modp).
Как было показано выше,
mod q.
Без ограничения общности можно считать, что л: =
Так как элемент а0 определен с точностью до q-x степеней,
мы можем изменить ао так, чтобы выполнялось равенство
7r
где элемент щ не может быть записан в виде <хорр для ueZ,
Из условий (8.5) и (v) видно, что для простого элемента
я поля k выполняются равенства
(оо, я) V^o «=- (я,
т. е. (cto, n) = Zq.
Для единицы а' поля k аналогичным образом получаем,
что (oq, <х')х=\. Существует единица о', такая, что (аи a') = ?,q.
Действительно, пусть (alt а') — ?дЬ для всех а'. Рассмо-
Рассмотрим элемент у = (а1а^сур~ , где с удовлетворяет условию
'(oi, я) = ??: Из построения следует, что v не является
<7-й степенью и (Р, y) = 1 Для всех р е kx, что противоречит
§ 8.11, (iv).
Теперь мы можем изменить п на некоторую единицу,
так чтобы выполнялось условие (я, ai)«l.. Тогда a.xkXq со-
содержится в Z/^Z-модуле М, образованном всеми элемен-
элементами akXq, такими, что (я, а) = (ао, а). Из условия (а0) а) = 1
следует, что а является единицей. Условие (iv) § 8.11 пока-
показывает, что символ норменного вычета определяет невыро-
невырожденную билинейную форму на М. Из этого следует, что
элементы с^, ..., а„ можно выбрать так, чтобы выполнялись
условия (iii) и (iv). '
Так определенные элементы я, щ, щ, ..., ап образуют
базис fex mod kXq, удовлетворяющий условиям (i) — (vi). ¦
10.3. Случай
Р, 6(Ь) = 1
125
Лемма 10.7. Пусть {а, ат} — ортонормированный
базис kx mod kXq, т. е. выполняются условия
V_1( a2v) = Zg, v = 1, .... m/2,
и для любой другой пары базисных элементов av, ац, v < ц,
выполняется равенство (av, ац) = 1. Пусть также
и av — автоморфизмы kjk, такие, что
oAV^J^^V^, A0.7)
<*v ' VaJ — V^V H=5^=v, ц=1, ..., m. A0.8)
Тогда система {alt .. ., а^} является минимальной системой
образующих Gk.
Пусть
l_*^_*F_>Gft-*l
— некоторое минимальное представление группы Gk и
Si, ..., sm — прообразы ах, ..., ат в F. Тогда соотношение
между образующими Gk можно записать в виде
к-,.
где
Доказательство. Элементы a, Gf" "\ ..., omG^- я обра-
образуют минимальную систему образующих Gft/G<fe2><7). Поэтому
из предложения 4.10 следует, что {сг,, ..., ат} является
минимальной системой образующих Gk.
Пусть %lt .. ., Хт — двойственный относительно {ai a^
\ базис группы #' (Gk, Z/qZ), т. е.
Xv (^ц) = 6vn> v> Ц=1 /П.
Тогда из предложений 8.12 и 8.13 следует, что
3C2v-i ^ &v = — So Для v=l, ..., m/2
и для всех остальных пар базисных элементов %v, %ц, v < ц.,
w-произведение равно нулю. При этом |0 = 'Ф"' (??) является
образующей циклической группы Я2 (Gk, Z/qZ) порядка q.
Из предложения 10.3 следует, что группа Gk имеет одно
соотношение. Трансгрессия определяет изоморфизм между
Я1 (R, ZlqZ)ab и H2{Gfy Z/qZ). Пусть г — соотношение, опре-

126
10. Конечные локальные поля
деленное условием
Тга-'(|0(г))=-1.
Тогда из предложений 7.23 и 7.24 следует, что
г = МГТ sa^q fs «I \s s \r' где г' е F<3'q)
Лемма 10.8. Пусть выполняются все предположения
леммы 10.7. Ограничим автоморфизмы аи ..., ат на поле
&B> q) = k \Ya\> •••> V~um) ¦ Тогда выполняются соотношения
(«„_,, k<2- <Ь) = с;1^^1, (ю.9)
(o2v, feB'fl)M)=a214pa2v) v=l, .... m/2. A0.10)
Доказательство. Заметим сначала, что норма эле-
мента Ya относительно расширения kxYa'jjk равна
Из этого следует,, что
== а бе*; = i.
127
Далее, для .ц=. 1, • • •,. "»„ v TJ -.; •. ::.т/2 справедливы соот- |
ношения I
Л / f a \ i \ Q Р
fa... = I
= (V «2V.
I
Легко доказывается следующее предложение: |
Предложение 10.9. Пусть k — конечное расширение Qp I
степени п, где n^sO (mod 2), q (соответственно ф — наиболь- §
шая степень р, для которой в k (соответственно максималь- 1
ном неразветвленном. р-расширении Ти поля к) содержится I
Корень, данной степени из едццицых причем q~^p. Пусти |
— первообразный корень степени q из единицы, причем
и g — целое рациональное число, такое, что
где о' — автоморфизм Фробениуса расширения TJk. Пусть,
кроме того, {я, а0, а1? ..., ап} — базис kx mod kXg, удовле-
удовлетворяющий условиям (i) — (vi) леммы 10.6. Пусть а — произ-
произвольное продолжение а' на k, такое, что
oG? = (n,k™(k),
и т0, ..., т„ — произвольные элементы Gk, удовлетворяющие
условиям
TvGi2) = (av, kB)/k), v = 0, 1, ...., п,
где kB) — максимальное абелево расширение k.
Тогда элементы т0, .... т„ лежат в группе инерции рас-
расширения k\k и вместе с а составляют минимальную систему
образующих группы Gk.
Пусть
l-*R-*F-*Gk->\
— некоторое минимальное представление Gk и s, t0, ..., tn —
прообразы элементов о, т0, ..., х„ в F. Тогда единственное
соотношение г группы Gk может быть представлено в виде
г = tt4i [to, s] .[*,, ti] ..,.[tn-u tjr', r'e= FC' q) П F*\ .
Доказательство. Так как k{2) содержит максималь-
максимальное неразветвленное подрасширение TJk расширения k/k,
из § 8.6 следует, что элементы т0, ..., хп содержатся
в G(klTk).
Применим лемму 10.7, положив ao = a/t+i, я = а„+2,
п + 2 = т.
Сначала мы вычислим коэффициенты ах, ..., ат, имеющие
тот же смысл, что и в предложении 7.22. Из леммы 10.6
?ri .
следует, что ?<7=a0'7 a, , и поэтому
(av, t,q) = 1 для v = 3, 4, .... т— I,

128
10. Конечные локальные поля
Нам осталось вычислить (olf ?7). Для этого мы покажем,
что (?q, ?,)=1. При рф2 мы получаем
При р — 2 и <7^4 из равенства (—?,,?(,) =1 после воз-
возведения в степень д/2 получается равенство
из которого следует, что (?,,?,)= 1. Для
получаем, используя § 8.6 (i),
p-=q = 2 мы
(-1, -1)/=Г=(-1, А(/=Л)/А)\^Т=
0 (/0
и, следовательно, (¦—1, —1)=1, так как степень [k : Q2]= n
по предположению четна.
Тогда для q' = 1 выполняется соотношение
а. для qr ~^р — соотношение
(а„ 2,) =*(«*!. «,)''= 1.
Отсюда следуют соотношения
a2*= — qr, ат = — 8~ , а, = а3 = . .. =ат_, =0.
По лемме 10 8 мы можем выбрать aj, ..., art так, чтобы
выполнялись условия
(<г\е-1
гт Ь; 4
a =
To=a,a, V2/ ,
T2v-! = CT2~v. T2v = ct2v-p v = 2- • • •' n/2-
Таким образом, система a, т0, ..., т„ является минимальной
системой образующих Gk и группу Gk можно задать соот-
соотношением rj вида
Г\ =i
где г2
, /Г1][к, /з][/6, ^Г1]...
.3. Случай
= Р,
129
Из последнего равенства после легких преобразований
получаем
п =^f"'/f [to, s][tlt /2] ... р„-1, M
Благодаря условиям
?C). A0.11)
и
rt можно также записать в виде
(#-'/?)
где г4 е [F, F] = F{2\
Сравнивая последнее равенство с A0.11), мы,получаем, что
л:= 1 (mod q). Тогда rf~l — r также является определяющим
соотношением для Gk, удовлетворяющим всем необходимым
условиям, в ,
В оставшемся не рассмотренным случае «si (mod 2)
доказательство аналогично предыдущему доказательству.
Поэтому мы укажем только основные моменты.
В нашем случае q = р = 2 и расширение k (|/— \)jk раз-
разветвлено, так как в противном случае k/Q2 имело бы четный
индекс ветвления. Далее, справедливо равенство
В самом деле,
(-1, -i)/rr™(-
(-1, -1) = -
= (Nk/Ql (-1), Q2 (/=
так что —1 не является нормой относительно Q2(V—О/Фг-
Таким образом, справедлива
Лемма 10.10. Существует базис {я, а0, а,, ..., ап]
группы &х mod kx2, удовлетворяющий следующим условиям:
(i) я — простой элемент поля .k\
(ii) элемент Oq 2-примарен;
(iii) Oq, щ, ..., ап являются единицами в k;
(iv) (cto, я) =— 1, (altar) = —1, (a2V, ct2V+1) = — 1, v =
= 1, ..., "T ; для всех остальных пар базисных элементов
символ норменного вычета равен 1.
(у) —1=0!.
5 Зак, 286

130
10. Конечные локальные поля
Лемме 10.7 соответствует следующая
Лемма 10.11. Пусть выполнены все условия леммы 10.10.
Положим а„+1=ао, а„+2 —я, пг — п-\-2. Пусть о{, .... от —
автоморфизмы k{2)/k, такие, что
(—1)*v«* V^l, v, Ц= 1, ..., m.
Тогда выполняются соотношения
— CT
2v,
V =
Аналогично предложению 10.9 доказывается
Предложение 10.12. Пусть k — конечное расшире-
расширение Q2 нечетной степени п. Пусть также (it, Oq, aly ..., ап} —
некоторый базис 6х mod kX2, удовлетворяющий условиям
(i) — (v) леммы 10.9, и а, т0 т„ — произвольные эле-
элементы Gfe) такие, что
v = 0, I, .... п.
Тогда а является продолжением автоморфизма Фробениуса
с Tktk, а т0, ..., т„ содержатся в группе инерции kfk и состав-
составляют вместе с о минимальную систему образующих группы G&.
Пусть
— минимальное представление G и s, t0, ..., tn — прообразы
' F Тогда единственное определяющее соотно-
О, То, • • • > хг,
шение г группы
представление G и s, t0, , n
F. Тогда единственное определяющ
G может быть представлено в вид
ее соотно-
е
»-i, tn\r',
11. КОНЕЧНЫЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
Теперь мы рассмотрим случай, когда основным полем
является конечное глобальное поле k, т. е. когда k является
конечным расширением поля Q или 2.jqZ (x). Содержание
этого раздела является наиболее важной частью книги.
Мы изучим группу Галуа Gs максимального /^-расширения
поля k, неразветвленного вне заданного множества S про-
простых дивизоров k. Прежде всего мы выясним, какую ин-
информацию о строении Gs можно получить с помощью резуль-
результатов о строении группы Галуа максимального /^-расширения
локального поля, изложенных в предыдущем разделе.
11.1. Максимальные р-расширения
Пусть р — простой дивизор k и йр — пополнение k отно-
относительно р. Положим G (k/k) = G и G {kPlkp) = G$. Вложе-
Вложение k в kp индуцирует морфизм ф^ группы, G$ в G, сопо-
сопоставляющий любому автоморфизму из Gp его ограничение
на k. Отображение фу индуцирует гомоморфизм
Гомоморфизм фр не зависит от выбора вложения -ф^г
?—*¦ kp. Если i|3p: k -> йр — некоторое другое вложение, то, по
теореме о продолжении изоморфизма, существует автомор-
автоморфизм Y: &ъ ~* &р> такой, что диаграмма
01.1)
коммутативна. Ей соответствует коммутативная диаграмма
JL-G,
V и-
G

130
10. Конечные локальные поля
Лемме 10.7 соответствует следующая
Лемма 10.11. Пусть выполнены все условия леммы 10.10.
Положим а„+1=а0, ап+2 = я, т = п + 2. Пусть о{, .... ат —
автоморфизмы k Ik, такие, что
v>
rn.
Тогда выполняются соотношения
(a2v,
Аналогично предложению 10.9 доказывается
Предложение 10.12. Пусть k — конечное расшире-
расширение Q2 нечетной степени п. Пусть также (я, Oq, о,, .. ., а„} —
kx mod kX2, удовлетворяющий условиям
изольные эле
некоторый базис
(i)— (v) леммы 10.9,
менты Gk, такие, что
ц а, т0,
рщ
т„ — произвольные эле-
элеТогда а является продолжением автоморфизма Фробениуса
с Tklk, а т0, ..., т„ содержатся в группе инерции kfk и состав-
составляют вместе с а минимальную систему образующих группы Gk.
Пусть
— минимальное представление G и s, t0, ..., tn — прообразы
' а, т0, ..., т„ в F. Тогда единственное определяющее соотно-
соотношение г группы G может быть представлено в виде
г = *i [^ s] [t2, h]... [tn-,, tn) r\ r' e F{3'2)
11. КОНЕЧНЫЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
Теперь мы рассмотрим случай, когда основным полем
является конечное глобальное поле k, т. е. когда k является
конечным расширением поля Q или Z/gZ (л:). Содержание
этого раздела является наиболее важной частью книги.
Мы изучим группу Галуа Gs максимального р-расширения
поля k, неразветвленного вне заданного множества S про-
простых дивизоров k. Прежде всего мы выясним, какую ин-
информацию о строении Gs можно получить с помощью резуль-
результатов о строении группы Галуа максимального /з-расшйрения
локального поля, изложенных в предыдущем разделе.
11.1. Максимальные р-расширения
Пусть р — простой дивизор k и kf, — пополнение k отно-
относительно р. Положим G (k/k) = G и G (k9/kp) = Gv. Вложе-
Вложение к в kf индуцирует морфизм q>p группы. Gp в G, сопо-
сопоставляющий любому автоморфизму из Gp его ограничение
на k. Отображение щ индуцирует гомоморфизм
Гомоморфизм фр не зависит от выбора вложения г^:
li-*kp. Если typi k—>kp — некоторое другое вложение, то, по
теореме о продолжении изоморфизма, существует автомор-
автоморфизм y: &P ~* ^р» такой, что диаграмма
(Н.1)
коммутативна. Ей соответствует коммутативная диаграмма
5*

132
//. Конечные глобальные поля
где v обозначает отображение т —> у~Ч\ для т е Gp. По предло-
предложению 3.14 индуцированное отображение y*: Нч (Gp) -*¦ Hv (Gp)
является тождественным, что доказывает требуемое.
Для конечных простых точек р факторгруппа Gp по под-
подгруппе инерции Zp расширения kplkp изоморфна Zp. Для каж-
каждого р зафиксируем некоторое его продолжение 4$ на k. Тогда
существует каноническое вложение k в ky (см. § 8.1) и ky,
являясь р-расширением kp, вкладывается в kp. В дальней-
дальнейшем через фр мы будем обозначать морфизм Gp в G, инду-
индуцированный вложением k—>k<$—*-kp.
Пусть V — множество всех простых точек k. Тогда семей-
семейство {ф»|реУ} допустимо относительно {2р|реУ} в смысле
§ 6.2. Действительно, пусть U — открытая подгруппа в G.
Поле К (U) элементов, неподвижных относительно U, является
конечным расширением k. Поэтому в K(U)/k ветвится только
конечное число простых дивизоров. С другой стороны,
образ ?р относительно q>p совпадает с группой инерции Zy
точки ^ в k- Поле неподвижных элементов K(Z%) является
максимальным подполем k, в котором sjj He разветвлено.
Почти для всех р мы имеем К (U) а К (?#), т. е. ф? (?,,) с: U.
Таким образом, определено отображение
Ф*: H2(G)-»ZlP(Gp),
где сумма распространена на все точки р поля k. Для беско-
бесконечной точки р группа Я2 (Gp) отлична от нуля только тогда,
когда р = 2 и р — вещественная точка.
Предложение 11.1. Отображение ф* инъективно.
Доказательство. Если характеристика k равна р,
наше утверждение следует из предложения 9.1.
Рассмотрим теперь случай, когда %(k) Ф р и 6(й) = 1,
т. е. k содержит первообразный корень из единицы степени р.
Рассмотрим диаграмму пар
{G,Z/pZ}-*{Gp,Z!pZ}
где горизонтальные стрелки индуцированы вложением k-*kpt
а вертикальные стрелки индуцированы изоморфизмом между
Z/pZ и (?р). Эта диаграмма, индуцирует коммутативную диа-
11.1. Максимальные р-расширения
133
грамму когомологий
A1.2)
Нижняя горизонтальная стрелка в (.11.2) определена кор-
корректно и является инъективным отображением. Действи-
Действительно, по принципу Хассе (§ 8.10) существует вложение
где 3ij — группа Галуа k$[kp. Кроме того, вложение ?<р
индуцирует гомоморфизм
который является изоморфизмом. В самом деле, в силу § 8.9
отображение ф^ является мономорфизмом циклических групп,
порядок которых равен р или 1. Для конечных р расшире-
расширение k^/kp всегда, нетривиально, и поэтому порядок группы
#2Cчз, Щ) равен р. Для бесконечных р поле &р = й9 совпа-
совпадает с полем комплексных чисел.
Вертикальные стрелки в A1.2) являются изоморфизмами
в силу предложения 9.2, что доказывает требуемое.
Пусть теперь б (k) — 0. Положим k' = k (?p), G'=*G (k'lk').
Для простого дивизора р' поля k' естественные отображения
G'—>G и G?'^Gp индуцируют коммутативную диаграмму
A1.3)
где рг пробегает все простые дивизоры А'иа^е Я2 (Gp) ото-
отображается на
2 в,, (а,), в„: Я2 (Gp)-* Я2 (G^).
В силу § 9.3 вертикальные стрелки в A1.3) являются моно-
мономорфизмами. Тогда инъективность ф* следует из инъектив-
ности ф'\ в
Из предложений 6.14 и 11.1 следует, что модуль соотно-
соотношений G порождается «локальными соотношениями», причем

134
//. Конечные глобальные поля
для точки р соответствующее локальное соотношение три-
тривиально или нет, в зависимости от того, равно ли 6(&$>) нулю
или 1. Если 6(&)=1, мы можем опустить любое локальное
соотношение, как показывает следующее
Предложение 11.2. Пусть q — произвольная простая
точка k и
2
— отображение, индуцированное ср*, причем в прямой сумме
пропущено слагаемое #2(Gq). Тогда для 6(&)=1 отображе-
отображение фч инъективно.
Доказательство. Для доказательства достаточно
заметить, что по принципу Хассе отображение
Я2(о, **).-» 2 яЧо,,*?),
еще остается инъективным. В остальном доказательство со-
совершенно аналогично доказательству предложения 11.1. ¦
11.2. Максимальные р-расширения
с заданными точками ветвления
Пусть 5 — произвольное множество точек k. Обозначим
через ks максимальное р-расширение к, которое имеет вет-
ветвление только в простых точках из S. Поле ks является
композитом всех конечных р-расширений к, в которых вет- J
вятся только точки из" 1$л'~ ~ - ¦ - -. I
Следующие типы простых точек остаются неразветвлен-1
ными в любом р-расширении:
(i) точки р, такие, что N (р) Ф 1 (mod p).
Действительно, в силу § 8.5 в этом случае 6 (&$)) = 0 и
точка р не разветвлена.
(И) Комплексные точки.
(ш) Вещественные точки, если р ф- 2.
В дальнейшем мы будем предполагать, что эти точки не
содержатся в S.
В этом параграфе мы попытаемся перенести предложе-
предложения 11.1 и 11.2 на группу G (ks/k) — Gs-
Отображению ф* соответствует отображение
индуцированное морфизмами ф^: Gp-+G-+ Gs. Мы обозна-j
чим ядро фд через Ш§. I
11.2. Максимальные р-расширения с заданными точками ветвления 135
Наша задача состоит в оценке группы Ш5, которая
в общем случае отлична от нуля. Для этого определим
группу
Vs = {а <= kx \(a) = ap, a s=kP аля pe=S},
где (а) — главный дивизор, соответствующий а. Очевидно,
что kxp czVs- Положим
Группа Bs конечна. Пусть сначала множество 5=0 пусто.
Гомоморфизм, сопоставляющий каждому а е У0 идеал а,
такой, что (а) — ар, индуцирует эпиморфизм V0/kXp на Cl(k)pt
ядро которого изоморфно РЕ, где Е обозначает группу еди-
единиц поля k. Поэтому размерность
dim Б0 = dim Cl (k)p + dim PE
конечна. Наконец, для Si гэ S2 справедливо включение
VSl c= F52.
Из этого следует наше утверждение.
Мы докажем теперь предложение,
основной результат этой книги.
которое составляет
Предложение 11.3. Существует естественное вложе-
вложение группы Ш3 в Bs.
Замечание. В силу предложения 6.7 предложение 11.3
означает следующее. Пусть для р eS^заданоi семейство к.омг,
мутативных диаграмм
¦G<
Rs
R^^Fp^- GP
допустимых в смысле предложения 6.7 относительно системы
{?p|p«=S}. Пусть при этом представления для Gs и Gp мини-
минимальны. Тогда по предложению 6.11 Rs порождается обра-
образами R$ относительно %v для )ieS(B силу разд. 10, Rp имеет
не более одного соотношения) и некоторым минимальным
порождающим множеством соотношений, число элементов
которого в силу предложения 11.3 не превосходит dim Bs.
Доказательство предложения 11.3. Для простой
точки р поля k пусть $Р — простой делитель р в k, выбран-
выбранный в § 11.1, и ^ — нормальный делитель' G = G (k/k), по-

136
11. Конечные глобальные ПолА
рожденный подгруппами инерции 2sp для р ф. 5. Так как
группа инерции любого другого простого делителя точки р
в к сопряжена с 2щ, в силу предложения 8.3 поле непод-
неподвижных относительно %s элементов совпадает с ks. Таким
образом, мы получаем точную последовательность
1->2S->G^GS^1. A1.4)
Применим предложение 3.15 к A1.4) и модулю Z/pZ. Мы
получим точную последовательность
(Н.5)
Я2 (Gs) -и* Я2
С другой стороны, диаграмма
A1.6)
в которой / обозначает естественное вложение, коммута-
коммутативна. Действительно, для peS существует коммутативная
диаграмма
Gp—*G
Gp/Zp-+Gs
где 2„ обозначает группу инерции. kplkp. Группа О„/2„ изо-
изоморфна Ър или {1} в зависимости от того, конечно ли р или
бесконечно. В обоих случаях Я2 (Gp/Zp) = {0}, откуда следует
коммутативность A1.6).
По предложению 11.1 отображение ф* инъективно. Из
A1.6) следует равенство
Ker Inf = Кег ср; = Ш5.
Из A1.5) мы получаем точные последовательности
и
0 -> Char UIS -> Char Я1 (Zsfs -> Char Я1 (G).
Кроме того,
Я1 (G) == Char (G/Gp [G, G])
и
Я1
= Char
a, G]).
//.2. Максимальные р-расширепия с заданными точками ветвления 137
Поэтому последовательность
0
[2S, G] ^^ G/Gp [G, G],
в которой if) индуцировано вложением 2;5->-G, точна.
Определим теперь некоторый морфизм
%¦ П 2У2? [г,, G,] ^ ?s/2g [Zs, G].
Для этого рассмотрим семейство ЗЯ = {S^ ] р ф. S). Любая
открытая подгруппа U группы G содержит почти все группы Jsp
семейства ЗЯ. Действительно, поле элементов, инвариантных
относительно U, является конечным расширением k. Поэтому
в нем разветвлено только конечное число точек. Для нераз-
ветвленных простых точек р справедливо включение %^czU.
Для х9 е Жр элемент щхр содержится в ?>р. Поэтому
П
является корректно определенным элементом группы
%s/%s [?s. G]. Так как для хр е ?J [Jp, Gp] элемент ф^тр содер-
содержится в ?f [2s, G], мы можем определить искомый мор-
мор%( П t,)= П
физм % условием
Очевидно, что классы из Ss/^l [?s, G], имеющие пред-
представитель в &р, содержатся в Im %. Так как группа ?s/?s [2s, G]
порождена такими классами, отображение % сюръективно.
Поскольку группа G$/%p является циклической, справед-
справедливо равенство [2р, Gp] = [G$, Gp]. Поэтому из локальной
теории полей классов (§ 8.7) следует, что группа 2^/2^ [Хр, Gp]
изоморфна Ер/Ер, где Ер — группа единиц поля kp. С другой
стороны, в силу § 8.7 группа G/GP[G, G] изоморфна Сн1С1 =
= J/Jpkx, где для краткости мы обозначили / (k) через /.
Существует коммутативная диаграмма
П 2„/2? [2Р, Gp] -> 2s/2g [Zs, G] -+ G/G" [G, G]
i
П Ep/Epp
(П.7)
¦> JU'k*
в которой отображение г\ индуцировано вложением
П ?*->/,

138
//. Конечные глобальные поля
Из A1.7) мы получаем изоморфизм
Кег r|->-Ker if>x
и, учитывая сюръективность %, эпиморфизм
Кег i])%-»-Ker -ф.
Теперь мы вычислим Кег г\. Пусть Us — группа всех иде-
лей поля k, компоненты которых равны 1 для jieS и
являются единицами для р ф S. (Для бесконечных точек р
мы считаем единицами все элементы k^.) Тогда
П Ер/Е$ ~ USJP[JP
и Кег У] изоморфно
Учитывая, что
мы получаем, что группа Kertj изоморфна
Итак, мы получили эпиморфизм
-> Char Ills,
который индуцирует мономорфизм
- Ш5^Б^. ¦
Рассмотрим снова случай б(k) — 1. Пусть qeS, S' = S —q
и ф* обозначает отображение
H*(GS)-+ S Я2(О„).
Предложение 11.4. В случае б(k) = 1 существует
изоморфизм
ms = Кег Ф;,.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диа-
/.3. Число образующих
139
Так как отображение ср* инъективно, справедливы равенства
Ш5 = Кег Inf = Кег ср*,. в
В качестве следствия из предложений 11.3 и 11.4 мы
получаем
Предложение 11.5. Пусть S — некоторое конечное
множество простых точек k. Тогда для числа соотношений
г (Gs) группы Gs справедлива оценка
r(Gs)
2
6{k) + dim Bs + 6,
A1.8)
где 6 = 6 (й, S) = 1 для б(&)=1 « 5=0 и 6 = 0 so всед;
остальных случаях.
Доказательство. Из определения IIIS и предложе-
предложения 11.4 следует оценка
г (Gs) = dim Я2 (Gs) < dim Ш5 + 2 б (?„) — б (к) + 6.
)isS
Из предложения 11.3 мы получаем
что доказывает требуемое, в.
Пример 11.6. Пусть х(?) = /0 и Cl(k)p — {1}. Тогда для любого
множества простых точек S поля k группа Gs является свободной про-
р-группой.
11.3. Число образующих
Основная цель этого параграфа состоит в нахождении
числа образующих d (Gs) = dim Я1 {Gs) в случае, когда 5 ко-
конечно. Мы начнем с построения некоторой точной последо-
последовательности, которая имеет место при произвольном S.
Рассмотрим для этого следующие группы и морфизмы.
По определению,
Я1 (Gs) = Char
где
= GPS[GS, Gs].
Группа Gs/Gs является группой Галуа максимального абе-
лева элементарного р-расширения, которое не разветвлено
вне 5. Из теории полей классов (§ 8.6 и 8.7) следует изо-
изоморфизм
Gs!G*s ^J/UsJpkx. A1.9)
Пусть U = U0. Существует естественный изоморфизм
pJl Р A1.10)

140
//. Конечные глобальные поля
Учитывая, что
Vs = USJ" П ftx, V0fk>< p c~ UJ" П Jpk><fJp,
мы получаем естественную последовательность
0 _> v^x" -5Г> V0Ik-xp _> ?//?/5?/> — > J/UsJPk>< -^
-+JIUJpkX->Q, A1.11)
точность которой легко проверить. Принимая во внимание
A1.9), A1.10) и изоморфизмы
Char (?»/??) = Char (?РД* [*», 0*1 ) = Я1 в
мы получаем с помощью двойственности
Предложение 11.7. Последовательность
Ф2
точна. Отображение фд индуцировано морфизмами
?»->G
i> ~ф"
¦ G -> G.e.
Как уже было показано в § 11.2, размерность
dim Б0 = dim Cl (k)p + dim PE
конечна. С другой стороны, группа J(UJ"kx изоморфна pCl(k).
Для поля алгебраических чисел ft группа С/(ft) конечна, и
поэтому
dim С7 (?)р = dim РС/(&).
В отличие от этого для функциональных полей k существует
точная последовательность
где Clo(k) — группа классов дивизоров нулевой степени и deg
обозначает степень класса дивизоров. Группа Clo(k) конечна,
поэтому
Cnk) Cl{k)
и
dim pCl (k) = dim pCl0 (k) + 1 = dim Cl (k)p + 1.
Для функционального поля группа единиц Е состоит
только из корней из единицы, содержащихся в k, поэтому
dim РЕ = 6 (ft).
11.3. Число образующих
141
Для поля алгебраических чисел k
dim р? =
где Г] — число вещественных точек, а г2 — число пар ком-
комплексно сопряженных точек k.
Из § 8.5 мы получаем для конечного локального поля
k оценку
&(?) для
dim Я1
= dim
«о
Используя все предыдущие оценки и предложение 11.7,
мы получаем следующее предложение, определяющее число
образующих группы Gs:
Предложение 11.8. Число образующих d(Gs)
группы Gs конечно тогда и только тогда, когда выполняется
одно из двух следующих условий:
(i) X (k) ^ Р_ и число простых точек р из S, для которых
) 1, конечно.
(И) x(k) = P и 5=0.
В обоих случаях справедливо равенство
6
dim Bs,
где г — число.архимедовых простых точек k.
Объединяя предложения 11.5 и 11.8, мы получаем для
частичной характеристики Эйлера — Пуанкаре выражение
- S [k9: QP] + г + 6 (k, S). A1.12)
pe=S
В случае когда 8 (k, S) = 0 и 5 не содержит бесконечных
точек, выражение
H(k,S)=- 2 [к*: QP] + г + в (ft, S),
стоящее в правой части A1.12), мультипликативно в следую-
следующем смысле.
Пусть k/k — конечное подрасширение kslk и S — множе-
множество всех простых делителей точек из 5 в ft. Тогда ks = ks и
Я (ft, S) = [к : k] H (k, S).

142
11. Конечные глобальные поля
Используя предложение 5.5, получаем
Предложение 11.9. Пусть 0(k, S) — О, S не содержит
бесконечных точек, d(Gs) конечно и для всех конечных под-
расширений klk расширения ks/k формула A1.12) превра-
превращается в равенство. Тогда когомологическая размерность про-
р-группы Gs ^ 2.
Доказательство. Пусть Н — подгруппа конечного
индекса в Gs. Поле неподвижных относительно И элемен-
элементов klk является конечным подрасширением ks/k. Тогда,
в силу наших предположений, справедливы равенства
Х2(Н) = X2(Gj) =
= [k:k]H {k, S) = [G : H] x2 (Gs).
Доказываемое утверждение следует теперь из предложе-
предложения 5.5. ¦
В разд. 13 мы вернемся к вопросу о том, когда в A1.12)
выполняется равенство.
11.4. Явное вычисление образующих и соотношений
В этом параграфе мы попытаемся получить явное выра-
выражение для определяющих соотношений группы Gs при неко-
некотором «наиболее удобном» выборе минимальной системы
образующих группы Gs. Мы ограничимся случаем Б5 == {0}.
Тогда, по предложению 11.3, IHs = {0}, откуда, по пред-
предложению 6.14, "следует, что модуль соотношений Gs поро-
ждается локальными соотношениями. Так'как для %(й)=="р
группа Gs свободна, мы будем считать, что %(к)фр.
Мы начнем с выбора минимальной системы образую-
образующих Gs, для чего введем следующие обозначения. Пусть
dimpCl(k) — h и alf .. ., aft — некоторый набор иделей поля k,
такой, что образы этих иделей при отображении
образуют базис pCl{k). В функциональном случае пусть а,
имеет наименьшую возможную положительную степень,
а степени а2, ..., ah равны нулю.
Пусть ? — образующая группы корней из единицы в k и
еь ..., ег_( — базис группы единиц поля k. При 6(fe)=l
положим ? = ег.
Для заданного простого дивизора р поля k пусть щ — не-
некоторый простой элемент и ссц,, ..., ап^ — базис Е$ mod Щ.
11.4. Явное вычисление образующих и соотношений
143
Для
Тогда
Пусть для б (и») = 1 и х dP) = Р элементы щ = я, dip =
= аь ••-, аПр-1,р = ап, аП))), = а0 выбраны так, что для них
выполняются условия леммы 10.5 или леммы 10.9. Для р = 2
и бесконечной вещественной точки р элемент ац> = — 1
является образующей для Ер = Rx mod E\.
Для a e k$ мы будем обозначать идель, ^-компонента
которого равна а, а остальные компоненты равны 1, также
через а. Пусть ^ — фиксированный простой делитель р в ks.
Для простого дивизора )ieS мы обозначим через <Гр эле-
элемент Gs, обладающий следующими свойствами:
(i) ар является продолжением автоморфизма Фробениуса $
с максимального подрасширения ks/k, в котором ^ не раз-
разветвлен;
(ii) ограничение а9 на максимальное абелево подрасши-
рение k^/k расширения ks/k совпадает с (яр, k^/k).
Для точек )>eS и v=l, ..., щ обозначим через Tvp
элементы из Gs, обладающие следующими свойствами:
(i) Tvp содержится в группе инерции ?«р точки ^ расши-
расширения ks/k.
(ii) Ограничение tV)> на k^/k совпадает с (av)), k^/lt).
Пусть cov — некоторое продолжение (uv, kT/k) на Gs для
v^ I, ..., h.
Автоморфизмы шь ..., ооА, тц,, —, T^t,,.J).e 5,.составляют,
систему образующих-@- группы G$- Чтобы доказать это/ до- ¦
статочно проверить, что, во-первых, любая открытая под-
подгруппа Н группы Gs содержит почти все элементы из (S, и,
во-вторых, что множество @ порождает группу Gs.
1. Поле, соответствующее Н, является конечным подрас-
подрасширением kslk. Поэтому в нем разветвлено только конечное
число простых точек. Для остальных точек справедливо
включение тц>, ..., хПрр е Н.
2. По теореме Бернсайда (предложение 4.10) достаточно
показать, что © mod G%[Gs, Gs] является системой образую-
щих-для Gs/Gs[Gs, Gs] — J/UsJ"kx, т. е. достаточно показать,
что система
{а„ ..., ctjj U {сц„ anf91 р е= S]
является системой образующих для / mod UsJpkx. Формулы
A1.10) и A1.11) показывают, что последнее условие следует
из определения элементов av, aM.

144
11. Конечные глобальные поля
В общем случае @ не является минимальной системой
образующих. В предположении Bs = {0} из A1.11) следует,
что из системы @ можно выбросить еще
dim Б0 = dim pE -j- dim Cl {k)p
элементов.
Таким образом, мы получим минимальную систему обра-
образующих для / mod UsJpkx.
Предположим сначала, что k — поле алгебраических чисел.
По построению, {ац> ага))))|ре5} является минимальной
системой образующих для U mod USU". Мы должны умень-
уменьшить эту систему настолько, чтобы оставшиеся элементы
вместе с Кег ср3 = Im ср2 составили минимальную систему обра-
образующих для U mod USUP.
Пусть <7v — наименьшее целое положительное число, для
Ukx, и pv — элемент поля k, такой, что
для v = l, ..., h. Тогда система
которого
a*v
{(8и)' <v(Pv)k= L • •., г - 1 + 6 (Л), v = 1, ..., h) mod UsUp
является базисом Im qp2. Он определяется системой уравнений
h,
где уш и 6^ в случае %{р) ф р являются произведениями
корня из единицы порядка, взаимно простого с р, и неко-
некоторой главной единицы поля к; в случае % (р) = р элементы
Ур и 6^ являются корнями из единицы степени, взаимно
простой с р, и для бесконечных р они содержатся в kp.
Таким образом, система A1.13) задается матрицей коэффи-
коэффициентов
ранг которой над Z/pZ равен г—1 + 6 (А) + &. По теории
полей классов системе A1.13) соответствует система урав.*
11.4. Явное вычисление образующих и соотношений 145
нений
п
Ь1Р ' * ' тп,р = '
v — l «»
(П.14)
в которой черта обозначает класс по модулю [Gs, Gs]. Эта
система позволяет выяснить, какие образующие из E про-
пропущены.
В функциональном случае все рассуждения проходят со-
совершенно аналогично. Следует только заметить, что эле-
элементу ct] не соответствует никакого уравнения, так как сте-
степень определяемого им дивизора отлична от нуля.
Пусть ®0 <= @ — минимальная система образующих Gs.
Формула A1.14) позволяет вычислить элементы из 5D = @ — @0
с точностью до множителей из [Gs, Gs].
- Мы перейдем теперь к вычислению системы определяю-
определяющих соотношений для Gs. Сначала мы выразим стр через
элементы из @0.
Так как аи . .., aft образуют базис /mod UJpkx и в функ-
функциональном случае а, имеет наименьшую возможную поло-
положительную степень, существует Ср е Z, Ср щ?0 (mod р), такое,
что я^ может быть представлено в виде
У- (Н.15)
Элементы с^ в этом представлении для х(ч) Ф Р являются
произведениями некоторых корней из единицы степени,
взаимно простой с р, и главных единиц; для %(q) = p эле-
элементы а, являются главными единицами порядка, взаимно
простого с р, и aq e k% для архимедовых q. Далее, справед-
ливы условия р
Положив
¦ Ь
V
= с'. с-'
мы получаем из A1.15)
П
-1,
. .. т,
для ре 5. A1.16)
Пусть F — свободная про-р-группа, образующие которой

146
11. Конечные глобальные поля
находятся во взаимно однозначном соответствии с элемен-
элементами @о- Пусть также
l^tf_*F^Gs^l (П.17)
— минимальное представление Gs, определенное условиями
= <av> v = 1, ..., h,
Пусть для хх „ «= © элементы ^ являются прообра-
прообра[F F]
зами
зами т^ „ в F, такими, что по модулю [F, F] т^„ опреде-
определяются через образующие"теми же соотношениями, которыми
по модулю [Gs, Gs] элементы fv выражаются через @0
согласно A1.14). Пусть Sp — прообраз стр в Р, которы_й
mod \F, F] задается в виде, аналогичном представлению стр
с помощью A1.16), т. е.
h
3 v=l
п
По предложению 11.3 из условия Б5 = {0} следует, что
отображение
#2(G)
2
инъективно. В случае 6(&)=1 из предложения 11.4 следует,
что для произвольной точки р0 из S отображение. "
также инъективно. Мы применим предложение 6.14 и резуль-
результаты § 10.
Так как G при отображении q\, отображается на группу
разложения Зч?. мы можем выбрать образующие сг, ть ..., хпр
группы Gp таким образом, чтобы выполнялись условия
Ф»ст = °у Ф?Т1 =* тц». • • •. Ф„ТП)) = %*•
В силу § 6.2 эти образующие определяют для любой точки
)) eS точную коммутативную диаграмму
1-+R -*F ->G ->l
t t t
i -> R, -> Pf -> G? -> I
11.4. Явное вычисление образующих и соотношений
147
Для конечных точек р, таких, что 6 (&,,)= 1, мы получаем
следующие соотношения в R:
rp = tjj,™'1 [tr> , si1] для х(р)=^Р (предложение 10.2)
(в этом случае мы будем также писать t9 вместо tip),
где 4 e Z
ние 10.9),
3' ф Л
— tlp
= *v Для % (p) = p, <? ^= 2 (предложе-
(предложе]
где rj e T^3-2> Л Z7*2', /op = tnp9 для x (p) = p, <? = 2 (предложе-
(предложение 10.12).
Для вещественной точки р максимальное 2-расширение
поля &р = R совпадает с полем комплексных чисел. Эта
точка определяет в /? соотношение вида
Гр *яр У
Применяя предложение 6.14 к A1.18), мы получаем
Предложение 11.10. Пусть 5—множество простых
точек k, такое, что Б5 = {0}. Тогда в минимальном предста-
представлении A1.17) группы Gs модуль соотношений R порождается
соотношениями гр для ))е5, 6(&р) = 1. При 6(?)=1 мы
можем опустить любое (только одно) из этих соотношений.
Приведенные выше вычисления для k, использующие тео-
теорию полей классов, позволяют вычислите, соотношения />
с точностью до множителей из [F, F]P[[F, F], F].
Доказательство. Так как элементы sp и ftup опре-
определены с точностью до множителей из [F, F], наше утвер-
утверждение следует из результатов о структуре соотношений Гр,
если учесть, что
/т(з, р) л ръ = [Ft F]P [[Pt р]> F] H
Особенно простые соотношения получаются, когда k — поле
рациональных чисел, мнимое квадратичное числовое поле
с числом классов, взаимно простым с р, или функциональ-
функциональное поле, характеристика и число классов которого взаимно
просты с р. В любом из этих случаев справедливо равенство
Тогда для 6(&) = 0 и группа Bs равна нулю, откуда сле-
слет что система образующх M
д д (&) 0 и группа B
дует, что система образующих т1!р
у, уд сле
%п , )зе5, является

148
/Л Конечные глобальные поля
минимальной. В случае b{k)= 1 мы должны выбросить один
элемент из этой системы, чтобы получить минимальную си-
систему образующих. Пусть этим элементом будет хкр0. Тогда
наша система образующих (So имеет вид
{V ••••¦VlpeS) АЛЯ б^) = 0' зс(?) = о,
fm.llJ(T.J»e=Sl для 6(k) = 0, %{k)>0,
NU^JpeSJ-^J для 6(А)=1,
В последних двух случаях мы можем опустить соотно-
соотношение, соответствующее р0. Легко проверить, что, за исклю-
исключением случая 6F)= 1» %(&) = 0, соотношения гр вычисляются
при помощи теории полей классов, примененной к полю k
(эти вычисления были проведены выше) с точностью до мно-
множителей из FK3).
Пример 11.11. Пусть k — Q и р ф 2. Тогда для всех S группа Б^
равна {0}. Положим для q e S
( первообразный корень из единицы mod q при q = 1 (mod p),
\ 1 + р при 9 =" Р-
Тогда величины clq,q = c^^ q', q^S, можно получить из соотношений
— = a c,i'i (mod q') для q' ф р,
9 *
Для q Ф р получается соотношение
п
q' e= S
Пример 11.12. Пусть 4 = Qh p => 2. Тогда группа Б^ равна нулю,
если в S содержатся точки оо и 2 илн q, где q = 3 (mod 4). Для
9'
и в S содержатся точки
S — {2} мы можем положить
а1Ог
*~ 1
—1 для q = оо,
положительный первообразный корень mod q для <? ^ 1 (mod 2).
Для 9 = 2 базис {2,5, —1} группы Q^ mod. Q^2 удовлетворяет условиям
1 5 Г
леммы
{ р
10.9. Поэтому мы можем положить а12 = —1, 022 = 5. Группа
x2 порождается элементом —1. Тогда образующие т]2, х^, т^»
— {2}, связаны следующим соотношением:
'1 (Р)
.4. Явное вычисление образующих и соотношений
149
Чтобы получить минимальную систему образующих, нужно выбросить
один из элементов
fi2. To,,, tq< 9^3 (mod 4).
Мы будем считать, что оо е S, и выбросим из системы образующих (?_
элемент Тоо> а из системы соотношений Gs — элемент г . Для q ф 2
элементы с?, ?, 9'. 9 s S, определяются из условий
— a aJ/« (mod 9O для q' аэ 1 (mod 2),
Тогда
Итак, мы получаем следующие соотношения:
для 9 = I (mod 2)
для
где S' = S — {2, оо}.
Пример 11.13. Пусть k = &0 (*) — функциональное поле ненулевой
характеристики q ф р и б (?Q) = 0. Тогда Б5 = {0} для всех S. Пусть
alt,= ар для D e S — первообразный корень степени (Af (»j — 1) из еди-
единицы, принадлежащий полю kQ [х]/ф,, (х), где ф), (лг) — нормированный
простой многочлен, соответствующий ?. Для нормирования при помощи
степени U положим фа (х) = -г-. Пусть, uj — идель, компонента которого.
в U равна —, а во всех остальных точках равна единице. Мы можем
положить Яр
(х). Тогда числа
Тегда для J)', ))sS справедливы сравнения
совпадают со степенями фр (х).
и соотношение г„, соответствующее }eS, принимает вид
Пример 11.14. Пусть й = k0 (x) — функциональное поле ненулевой
характеристики q ф р и б (й0) = 1.
Пусть m — число элементов поля констант k0 и ps — наибольшая
степень р, которая делит m — 1. Из условия б (k0) = 1 следует, что s~^\.
Группа Bs равна нулю, если S содержит простой дивизор р0, такой,
что
N (»о) ф 1 (mod ps+i).
A1.19)

150
11. Конечные глобальные поля
Пусть t, — первообразный корень степени (т—1) из единицы в k0
и ajp=Op — первообразный корень степени N (р) — 1 из единицы
в Ао М/ф„ (х), такой, что
(для нормирования с помощью степени а^, = а^ = ?). Группа V'0/^ p
порождается ?. Таким образом, мы получаем следующее соотношение
между образующими т^, р <= S, группы G $:
п
m—l
1 (mod G<s2)>
В соответствии с этим мы можем выбросить тч,.
Величины йу Су Сур определяются, как н в примере 11.13. Следует
отметить, что теперь могут также ветвиться простые дивизоры первой
степени. Для нормирования с помощью степени U выполняется сравнение
5 u* mod a,
из которого следует, что
Благодаря сравнению
¦ 0.
t — ТТ f^^-1 modf<2)
р e s-ад
соотношение г„ для точки peS- {p0} принимает вид
где
¦1
N (Do) —
11.5. Полное определение структуры Gs
в частных случаях
В отдельных случаях информация, полученная в двух
предыдущих параграфах, полностью определяет группу Gs.
В этом параграфе мы рассмотрим такие случаи, ограничив-
ограничившись числовыми полями.
(I) Пусть Б^ = {0} и Gfp)=G(s-p). Если 5 и, следова-
следовательно, d(Gs) конечно, можно применить общий алгоритм
Скопина [2]. При помощи полной индукции можно показать,
что G(s- р) = G{s+Uр) для п >3. Тогда из условия
№=1
U.S. Полное определение структуры Gs в частных случаях
151
следует, что Gs ={!}. В этом случае группа Gs конечна.
Дальнейшие подробности можно найти у Коха [4], стр. 56, [6]
и в следующем примере:
П ри ме р 11.15. Пусть k== Q, рф% S = {plt pj,
pv = 1 (mod p), pv Ф 1 (mod p2), v = 1, 2,
Pi Ф xp (mod P2) для л s Z.
Тогда группа Gs изоморфна некоммутативной группе порядка р3
показателя р2.
(II) Теперь мы рассмотрим случай, когда элементы ар
и хр из подгрупп разложения Gs, соответствующих слабо
разветвленным точкам р, составляют минимальную систему
образующих Gs. Предположим к тому же, что 5 содержит
простой делитель р.
Мы докажем следующее предложение:
Предложение 11.16. Пусть k—конечное поле алге-
алгебраических чисел и S — множество точек k, удовлетворяю-
удовлетворяющих следующим условиям:
1) Множество S содержит непустое подмножество 51; со-
состоящее из всех простых делителей р в S, причем в случае
б (k) = 0 для всех )>eS| и б (kp) = 0, а в случае б {k) = 1
множество Si состоит только из одного элемента.
2) Справедливо неравенство
d= 2 «р—г —Л+1—6(^)^0.
р е= s,
3) Множество S2 = S — 5] состоит из h простых дивизо- '.
ров pv, таких, что N (pv)ss f (mod p), v = 1, .. ., h, и классы pv,
v = 1, ..., h, образуют базис pCl (k); кроме того, S2 содержит
еще d других простых дивизоров pv, таких, что АА(ру) =
=э 1 (mod p), v = A+l, ..., h-\-d. При р = 2 множество S2
содержит также все вещественные точки ph+d+u ..., ри.
4) Справедливо равенство Б5 = {0}.
5) Группа JI Ер1Ер порождается элементами вида
тт P<sSl
JJ аЕр, где а е k и для всех простых дивизоров q поля k,
P^ Si
не принадлежащих S2, vG(a)^0(modp).
Тогда группа Gs обладает представлением
l^R^F^Gs^\,
где F — свободная про-р-группа с системой образующих
{sv 4JV=1? •••' h + d> i* = i, ••-.«}

152
//. Конечные глобальные поля
и R порождается, как нормальный делитель F, соотноше-
соотношениями
], v=l, .... h + d,
fPix, fx = A + rf+ 1, .... и.
Доказательство. Положим
COv = CTpv, V = 1, . . ., А.
В силу § 11.4 элементы
{CTV Tvlv== l> '•' h + d> P= 1» • • •» «}
образуют минимальную систему образующих тогда и только
тогда, когда определитель
а,
V |
A1.20)
соответствующий системе уравнений
~0ч
п *;
п п
п
- П Л
э> ПС" П С =
не сравним с нулем по модулю р. Заметим, что в определи-
определителе A1.20) номер строки указывается индексами jieS,
р \р и Хр = 1, ..., пр, а номер столбца — индексами v= 1, ..., А,
ц=1, .... г-1 + 6(&), х = А + 1, .... h + d.
Действительно, в этом и только в этом случае мы можем
выбрать элементы, выбрасываемые из E, из множества
а оставшиеся в @0 элементы из A1.21) заменить элементами
орх |А = А + 1, ..., A+rf. Легко видеть, что определитель
A1.20) щ& 0 (mod p) тогда и только тогда, когда выполнено
условие 5, Тогда предложение П. 16 следует из рд
11.5. Полное определение Структуры Gs в частных случаях
153
жения 11.10, если принять во внимание то обстоятель-
обстоятельство, что в случае б (k) = 1 можно отбросить соотноше-
соотношение, соответствующее точке р | р, )>eS, а в случае б (k) = 0
для точек р\ р, jieS, не появляется никаких соотношений, в
Пример 11.17. Пусть &=Q, рф2я S = [p, q], q^\ (mod;?2).
Тогда Qs является факторгруппой свободной группы F с образую-
образующими sq, tq по нормальному делителю R, порожденному соотношением
*4~г it~l «~!1
lq \>q > Sq J.
Пример 11.18. Пусть k = Q, p = 2 и 5 = {2, 9, oo}, <7s=±3 (mod 8).
Тогда Gs является факторгруппой свободной группы F с образующими
Sq, tq, too no нормальному делителю, порожденному соотношениями'
Пример 11.19. Пусть & = Q (V—23 ), /? === 3 и S=-{p,, jJ, 9, p}, где
точки рь р2 являются простыми делителями 3, <7=1 (mod 9) остается
простым в Q (У—23 ) и р — некоторый простой дивизор, не являющийся
главным (число классов поля Q (у—23) равно 3). Тогда Gs является
факторгруппой свободной про-р-грушш F с образующими sq, tq, sf, tp
по нормальному делителю, ^порожденному соотношениями
-li
tq~\ r/-l
li

12. р-ГРУППА КЛАССОВ
И /7-БАШНЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
Теперь мы применим результаты разд. 11 к изучению
р-группы классов, т. е. р-компоненты группы классов идеа-
идеалов, и р-башни полей классов, т. е. максимального нераз-
ветвленного р-расширения. Мы ограничимся рассмотрением
полей алгебраических чисел.
Исходный пункт наших рассмотрений состоит в следую-
следующем: пусть k — некоторое поле алгебраических чисел конеч-
конечной степени и К — конечное р-расширение k. Пусть S — мно-
множество простых точек, разветвленных в K/k. Тогда р-башня
полей классов Kzs поля К содержится в ks. Мы будем изу-
изучать р-группу классов и р-башню полей классов поля К,
рассматривая подходящие расширения поля k. Пусть Нк =
= G (ks/K)- Тогда справедливо следующее
Предложение 12.1. Пусть для каждого ))eS зафик-
зафиксирован некоторый простой делитель Щ в ks. Обозначим
группу инерции 4$ относительно ks/k через ?$. Группа
G(K0/k) изоморфна факторгруппе Gs no нормальному дели-
делителю, порожденному группами Жр f) HK для peS.
Д о к а з а те ль с т во. В силу результатов § 8.2, группа
2i> П Нк является группой инерции Ц относительно ~ksIK..
Тогда поле элементов, неподвижных относительно действия -
нормального делителя, порожденного группами %р П И к Для
р е S, является по предложению 8.3 максимальным р-рас-
шйрением К., в котором ^ и, следовательно, р не развет-
разветвлены. ¦
В дальнейшем мы получим несколько следствий из пред-
предложения 12.1, которые, однако, никоим образом не исчер-
исчерпывают всех возможных приложений этого предложения.
12.1. Критерий взаимной простоты числа классов с р
Пусть K/k — некоторое конечное абелево р-расширение,
которому по теории полей классов соответствует подгруппа X
группы Cfe. Для каждой простой точки р поля k обозначим
через Хр прообраз X относительно естественного отображе-
отображения k$-*Ck (см. § 8.4). Пусть Xf = Xf f] Ef — подгруппа еди-
единиц группы Х$.
12.1. Критерий взаимной простоты числа классов с р
155
Мы сделаем следующие дополнительные предположения
относительно расширения K/k:
А. Для множества точек S, разветвленных в K/k, выпол-
выполняется условие
В. Отображение
USUP П
П
ISS,
A2.1)
получающееся из A1.11), инъективно. При этом S,—мно-
S,—множество всех точек S, лежащих над р.
Условие А обеспечивает возможность применения резуль-
результатов § 11.4. Чтобы пояснить условие В, вернемся к после-
последовательности A1.11), которую можно также написать сле-
следующим образом:
p-^ UIUSUP S^ J/UsJpkx Si+ j/ujpkx -* 1
4 /<
usup П xE/usup
Из теории полей классов следует изоморфизм
J/UsF-k ы Gs/G"s,
где, как и в § 4.4, мы полагаем Gs~ G(i'p). Минимальной
системе образующих <50 группы Gs соответствует минималь-
минимальная система образующих группы J/UsJpk. Факторгруппе
Ер ¦ XpJEp (р e Si) соответствуют по теории полей классов
те автоморфизмы группы инерции %р (ks/k), которые содер-
содержатся уже в %р П Нк- Инъективность отображения ф3 = Фз ° *
означает, что можно выбрать минимальную систему обра-
образующих <50 группы Gs, в которую входили бы системы обра-
образующих групп Ер • XpJEp для всех р е Si.
Далее, положим G — G (Ka/k) и
V(X) = J/UsJpk П *?.
- р &s,
Тогда по теории полей классов
V(X)caG/G\ A2.2)
Действительно, пусть К{2)/К — максимальное неразветвленное
расширение К, которое абелево уже над k. Тогда G (K^2)/k) ~
?x.J/{ IJ Xе] kxUs. Профакторизовав последнее выражение
'Apes 1

156
12. р-группа классов и р-башня полей классов
по Jp, мы получим G/G*. Легко проверить, что для всех р е= 5,
Х Е /р О
p?b справедливо включение Хр
дует A2.2).
Диаграмма
Ер <= /р. Отсюда сле-
слеusup П
П
г\
G,G'
-> 1
показывает, что, отбрасывая описанные выше автоморфизмы
(соответствующие Ер • Хр/Е^), мы переходим от минимальной
системы образующих <50 группы Gs к некоторой минимальной
системе образующих <?, группы G. Рассмотрим подробнее
группы Zp[)HK ())gS). Для. бесконечных ))е5 группа %$
имеет порядок не выше 2, и в этом случае ?р f) Hr является
собственной подгруппой %р только тогда, когда ?р Л Нц = {1}.
Для слабо разветвленных конечных точек р е 5 (т. е. р ф. S{)
группа ?Р циклическая и ?РЛ #*niod [3i>, 3d] порождается
некоторой степенью xQJ образующей тр группы ? . В этом
случае qv — степень р, обладающая' свойствами ^? | [/С : /г] и
qp\N ($) — 1. Пусть Зр = 35р обозначает группу разложения р.
Заметим, что, поскольку факторгруппа Зр/^р циклическая и
расширение K/k абелево, существует включение [3j>, 3»] с:
X f\H Вб л peS истему образующих (т х }
ирение K/k абелево, сущу
f\HK. Выберем для peSj систему образующих (т
,,,,
., х
р}
р (, }
группы ?)j mod [3*, Зр] (эта система немного отличается от
рассмотренной в § 11.4), такую, что {т1))г ..., то ^\ является
минимальной системой образующих''?„#?/7/'к в ' 3№№>
а образующие т0 +1 р хп ^ лежат в Zv П Нк. Тогда как
й З 3; Л Н тся системой
+ р^
нормальный делитель Зр группа 3;^ Л Нк порождается системой
и коммутаторами [|р> Tip], где |f, -^ е 3„-
Предложение 12.2. Пусть l-*-R-*-F->Gs—>l — мини-
минимальное представление A1.17) группы Gs, где F — свободная
про-р-группа, образующие которой
=l, .... «„, ре S, Tve=®0}
взаимно однозначно соответствуют элементам системы @0').
При этом, пользуясь предположением В, мы выбираем <Е0
') Образующие {wv ,.., дад} соответствуют образующим группы клас-
классов k. — Прим. перев.
12.1. Критерий взаимной простоты числа классов с р
157
так, чтобы она включала подмножество g, состоящее из
автоморфизмов Tvp+i. „ т„рР е^П^ ()jg 50. Тогда
1-*/?.-». л-*е.
1
A2.3)
— минимальное представление G, где F: — свободная группа
с системой 3 образующих (w
делитель R
t\
?j], соответствующей @j=<50— <j. Нормальный
группы Fx порожден элементами
tf] для N(p)=\ mod p, p e= 5,
<Эля вещественных р, peS,
[л;,,, г/р], где xr yp(EEHp, pe=Sr
мы обозначаем подгруппу Fu порожден-
При этом через Ь
ную sr tlp, ..., tVfv
Замечание. Эти соотношения нельзя считать задан-
заданными в явном виде, потому что входящие в них элементы
не все выражены явно через образующие F\. Доказательство
легко следует из предыдущих рассмотрений. Заметим, что
для слабо разветвленных точек peS группа разложения Зр
имеет только две образующие, а именно а и т., так что [3,,. 3J
порождается коммутатором [а,,, тр].
Теперь мы получим критерий, показывающий, когда число
классов К взаимно просто с р.
Предложение 12.3. Пусть р ф-2 и Klk — некоторое
конечное абелево р-расширение, удовлетворяющее предполо-
предположениям А и В. Число классов К тогда и только, тогда взаимно
просто с р, когда выполняются следующие условия:
(i) внешняя степень V (X) Л V (X) порождается элементами
вида аЛР, где а, р е kp, p <= 5;
(ii) К содержит гильбертово р-поле классов поля k;
(Hi) NmJK • yfex Л U ¦ k* =?x • Us П Хр.
pe=S
Условие (i) эквивалентно утверждению, что р-башня по-
полей классов (р Ф 2) К&/К абелева уже над k. Условия (ii) и
(ш) эквивалентны утверждению, что К{§ = К, где К&> cz K0
обозначает максимальное подполе, которое абелево уже над k.
Доказательство. Сначала мы докажем справедли-
справедливость эквивалентности, касающейся условия (i). Рассмотрим
минимальное представление A2.3) группы G =* G^K^Ik).

158
12. р-группа классов и р-башня полей классов
Образующие подгрупп Ff\ Ru S = Rlf\Ff) как нормальных
делителей Fx соответствуют образующим векторных Z/pZ-npo-
странств, а именно:
S/Sp[S, FJ-V
U
Р . рC)
Мы утверждаем, что образ ф порождается коммутаторами
[*р> Уъ\> гДе *р> У? ^ Hp.P ^ S- Здесь Я), efj обозначает
подгруппу с образующими
sP, ^ц>, ..., tV9p для jjgSi,
sp, tp для конечных p, p ^ S — Slt
U
для бесконечных p.
(Последний случай приводит к единичным коммутаторам и
включен только для полноты.) Так как группа Ri/Ri[Ri, F{]
в силу предложения 12.2 порождается указанными выше
коммутаторами и элементами из Ri f) Fp, необходимо показать,
что полный прообраз последней группы относительно ty со-
содержится в ядре отображения ф. Теперь мы воспользуемся
тем, что по предположению р ' ° "~ ^„™„„ /у т\ »„„
получаем
2. Из равенства G.7) мы
A2.4)
пC)
f) • [Ri,'Ft]
Следовательно, Кег ф = R?\RUF{\ ft (#
cz F{2)p • FC>, т. е. Кег Ч> с= Кег ф. Из A2.4) следует, что даже
весь прообраз Rx f) Fi относительно if Содержится в ядре ф.
В итоге мы получаем: G = G (Kalk) абелева ФФ М2) с Rx ФФ
4Ф Ф сюръективно ФФ F^JFf^ ¦ Ff* порождается элементами
U*. Уц]> где л:^, у,, s Я^ ))gS.
Нам потребуется теперь следующее утверждение (см.
Холл [1], гл. 11.1): для произвольной свободной про-р-группы F,
с конечным числом образующих внешняя cTeneHb.Fi/F*AFJF*
изоморфна векторному Z/pZ-пространству F\_JjFypFi . Этот
изоморфизм определяется условием х Л у-+[х, у]. Далее, мы
знаем, что FJF* ~ V (X). Это следует непосредственно из A2.2)
и минимальности представления A2.3). Поэтому для образую-
образующих группы FfV-^i2'Р ¦ Fi3> выполняется условие (i) нашего пред-
предложения (нужно учесть, что Яр с: F, отображается на группу
разложения Зр с: 6 = G (K&lk).
12.1. Критерий взаимной простоты числа классов с р
159
Теперь мы докажем утверждение об эквивалентности,
касающееся условий (н) и (iii). Для этого вернемся к рас-
рассмотренному выше расширению KB)\k, которое по теории
полей классов характеризуется над k условием (B>/
^ J/kx Us- U Х$. Тогда
pes
G
^ kx ¦ NK/kfK/kx • Us • П
s
П
lies
Точнее, расширение К%/К соответствует р-компоненте этой
группы. Условие /Ссз = К означает также, что группа G (К{2)!к)
имеет порядок, взаимно простой с р. Рассмотрим гильбертово
поле классов kx поля k. Тогда G(kjk)~ J/kxU и G
^ k*NK!kJK/kx ¦ NKlkJK [\kx-U.
Итак, мы получаем точную последовательность
уЕ
Лр ¦
NKlkJK
-* G (К<2Iк) -* G (Kk JFQ-+1. A2.5)
Ее правый член имеет порядок, взаимно простой с р, тогда
и только тогда, когда р-компонента расширения kjk содер-
содержится в /С. Левый член является р-группой. Действительно,
его можно вложить в группу kx • U/kx • Us • П Xf, которая
fss
является образом р-группы UjUs • IT Xf. В результате из
последовательности A2.5) следует, что
К^0==К^О(К1'2Ук) имеет- порядок, взаимно простой с /)'О"
Ф^ выполняются условия (ii) и (iii).
Условие (i) означает, что K<z = К(<з> условия (ii), (iii) озна-
означают, что К@=К; в результате мы получаем Kf3 = K- Этим
предложение 12.3 полностью доказано. ¦
Мы приведем теперь пример, в котором выполняются
условия А и В. Для этого мы докажем сначала следующее
предложение, которое также представляет интерес для
разд. 13:
Предложение 12.4. Пусть 6(&) = 1 и S — множество
простых точек k, содержащее все простые делители р. Тогда
группа Bs изоморфна факторгруппе pCl(k)s группы pCl(k)
по подгруппе, порожденной классами простых дивизоров р
из S.
Доказательство. Пусть k — композит всех неразвет-
вленных циклических расширений степени р, в которых про-

160
12. р-группа классов и р-башяя полей классов
стые точки из S вполне распадаются. По теории Куммера
для циклических расширений степени р над k, формула
у а—*-%(а) у а, а е Vs, сопоставляет любому хеБ5 некото-
некоторый элемент из группы Галуа G (k/k). Это отображение
является изоморфизмом между Б5 и G (k/k). С другой сто-
стороны, по теории полей классов (см. § 8.8) группа G (k/k)
изоморфна РС1 (k)s.
Пример 12.5. Пусть ? „ — первообразный корень степени рп из
единицы. Число классов поля Q (? п\ взаимно просто с р тогда и только
тогда, когда число классов Q (?р) взаимно просто с р.
Утверждение примера 12.5 легко получить непосредственно из предло-
предложения 12.1. Пусть Юп — некоторый простой делитель р в & = Q(? „Ли
S = {p1}. Если число классов поля k взаимно просто с р, то дивизор р4
вполне распадается в ks/k и рп вполне распадается в ks/Q (t п\ Тогда
по предложению 12.1 число классов поля Q (? n\ взаимно просто с р.
Обратное утверждение следует непосредственно из теории полей классов.
Пример 12.6. Пусть рфЧ и k = Q. Если в K.IQ. ветвится более
трех простых дивизоров, то число классов поля К делится на р.
12.2. р-поле классов циклического расширения степени р
Теперь мы ограничимся случаем, когда K/k — циклическое
расширение степени р. Мы добавим к предположениям А, В
§ 12.1 следующее предположение:
С. Число классов основного поля k взаимно просто с р.
В этом случае мы получим из предложения 12.2 более
простое представление для группы G = G (Kzs/k). Благодаря
условию С минимальная система образующих (Sj содержит,
автоморфизмы только из групп ?»,, )jgS. Так как K/k — цикли-
.ческое расширение степени р, v$ = l для JieS, (т. е. р\р)',
1?,, = ^ = ^ для ))eS.
Пусть и — число простых точек в S и п — число простых
точек р, таких, что тр е %. Мы занумеруем простые точки
из 5 так, что первые п соответствуют образующим из си-
системы @!, и положим Sp = Si, соответственно tf = tit 1 ^i^«.
Тогда минимальное представление
обладает такими свойствами: Fx — свободная про-р-группа
с минимальной системой образующих tu ..., tn, Ri поро-
порождается как нормальный делитель Ft элементами t\, ..., tZ,
[slt t{], . . ., [sa, tu], где для бесконечных точек ?0 мы считаем
sv=l. Пусть Н — прообраз G(Ks2lK) при отображении
12.2. р-поле классов циклического расширения степени р 161
Ft-*-G (Ka/k). Тогда Н является свободной подгруппой ин-
индекса р в грулпе Fx, и мы получаем некоторое (не мини-
минимальное) представление
1 ->/?!-* Н -* G
Так как.все точки )jgS разветвлены в K/k, элементы t4
для v=l, ..., и не содержатся в Н. Не ограничивая общ-
общности, мы можем считать, что элементы tlt .... ta выбраны
так, что элементы tit^1 и, следовательно, t^t^1 для ц, v =
= 1, .... и содержатся в Н. Тогда легко проверить, что
Н как про-р-группа порождается элементами
*f, tfWiTV—»ii.v, v = 0 p— 1, (i = 2 n. A2.6)
Число этих элементов, входящих в A2.6), равно 1+р(л—1),
следовательно, они в силу примера 6.3 составляют мини-
минимальную систему образующих Н.
Благодаря равенству
tP = Оц, р_1 • Оц, р_2 ... ОцD A2.7)
систему A2.6) можно заменить системой образующих
[fu С fWv|v = 0, -.., р —2, ц = 2, .... п).
Пусть Q.— нормальный делитель Н, порожденный эле-
элементами t\, ¦ • •. tn- Группа Q является также нормальным
делителем группы Fx. Действительно,
Так как /? е Ri для р = 1, ..., п, мы можем перейти
к факторгруппам F2 = FxlQ, Н{ = Н/01, #2 = #i/Q и получить
представление
l-*>/fc-»-#j-»>G(*Wtf)->l, A2.8)
где Hi — свободная про-р-группа с минимальной системой
образующих
{t^v|v = 0, ..., р — 2, И = 2, ...,«}. A2.9)
Для р = 2 представление A2.8) минимально,, так как элементы
{tit^1\n = 2, ..., п] вместе с t{ составляют минимальную
систему образующих группы Fx.
При р^З представление A2.8) в общем случае не мини-
минимально.
Теперь мы перейдем к более подробному рассмотрению
модуля соотношений R2.
1/, F) Зак. 285

16Й
12. р-группа классов и р-башня полей классов
Предложение 12.7. Пусть K/k — циклическое расши-
расширение степени р, удовлетворяющее условиям А, В, С. Тогда
группа G (Кя/К) допускает представление
G(K/K)*l, A2.10)
где Hi — свободная про-р-группа с минимальной системой
образующих i
W+V*rv-Q|v = O, ..., Р-2, (i = 2 п).
Группа R2 как нормальный делитель Н\ порождается систе-
системой соотношений
ttf-Q. [*v.<v]-QI|*e«+l "> v = l, .... и,
х=1, .... р-1). A2.11)
Для р=2 представление A2.10) минимально.
Доказательство. Учитывая предыдущие результаты,
мы должны только доказать, что система соотношений A2.11)
порождает R2 как нормальный делитель Нх.
-Прежде всего покажем индукцией по к, что
[sv, ?]«5fti.
Для этого воспользуемся тождеством
[sv, ty+l] = [Sv, tv] ¦ [sv, ty] • [s-v, t*, ty].
Система соотношений A2.11) порождает R2 как нормаль-
нормальный, делитель F2: Кроме тогог
и
tT1 [sv, Я] • h = (tT%) • tv1 Uv, Й] *v • (<ГVv).
tvl • Uv, Й] ^v = [sv, <v] • [sv, & fv] = [Sv, <vl~!
Теперь наше утверждение следует из тождества
]
Обозначим через d@) число образующих (C0/C)
Из предложения 12.7 следует, что d@)^{p—1)(л—1),
причем в случае р = 2 имеет место равенство. В случае
р =?= 2 мы получим более точную оценку.
Профакторизуем G (К0/К) по коммутанту и перейдем
к группе С= G (/Си//С), где Л^з — гильбертово р-поле классов
поля К- Группа С также имеет <2@) образующих, и ей по
12.2. р-поле классов циклического расширения степени р 163
теории полей классов соответствует р-компонента группы
классов К-
С^СЦК)(р). A2.12)
Положим Л = G (K/k), G = G (Kgj/k) и рассмотрим расши-
расширение групп
1_>C->G->A-*.1. A2.13)
Предложение 12.8. Расширение групп A2.13) обла-
обладает следующими свойствами:
(О G — полупрямое произведение .абелевой группы С и
циклической группы Л;
(П) пусть Л действует на С сопряжением. Тогда для
А-модг/ля С справедливо равенство SpAC = {l}. (SpA обозна-
обозначает след, SpAc= Ц ХсХ~1 для с^С.)
Доказательство, Условие (i) следует из того, что
Л порождается образом некоторого элемента из подгруппы
инерции (поле k имеет число классов, взаимно простое с р),
порядок которого не выше р.
Условие (ii) следует из изоморфизма A2.12), который
можно рассматривать как изоморфизм Л-модулей, если
воспользоваться правилом преобразования (iv) из § 8.6.
Действительно, _пусть с = A, К§/к), где Ш.<=СЦК)(р)-
Тогда ХсХ~х={Х%, KelK) и SpAc = (Nm%, К%\К)= 1, так
как число классов основного поля k взаимно просто с р.
Формула с = Хс%~х для X е Л определяет действие группо-
группового кольца 2[Л] на С. Пусть /л <=: Z [Л] — идеал, порожден-
порожденный элементами .Я,— 1, X е Л. Так как Л — циклическая
группа, этот идеал главный:
где а =ф 1 — некоторый раз и навсегда выбранный элемент Д..
Группа С как Л-модуль имеет фильтрации
С:
> liC
где ЦС = {c(a~if | с е= С), A2.14)
:Z$C
где г?с =
A2.15)
Группа ztC = CA — это группа всех неподвижных относи-
относительно действия Л элементов С. По лемме 7.9 цепочка A2.14)
может стабилизироваться только на нулевой подгруппе и,
следовательно, имеет конечную длину, так как группа С
конечна. Поскольку длина фильтрации A2.14) конечна, можно
доказать по индукции, что фильтрация A2.15) имеет ту же

164
12. р-группа классов и р-башня полей классов
самую длину, т.е. ZnC=-C тогда и только тогда, когда
Мы приведем теперь два следствия из предложения 12.8.
Сначала рассмотрим взаимосвязь между цепочкой A2.14) и
центральным рядом группы G, определенным в конце § 7.4.
Следствие 1. Справедливы равенства /л.С = G(n+1) =
для всех
==G для всех ^
Доказательство. Групповое расширение A2.13) рас-
распадается, откуда следует, что I&C = GB). Кроме того, группа
G/GB) = C//aC ХЛ вследствие свойства (И) р-элементарна,
так как 1 = SpAc = cp mod/дС. Это доказывает равенство
в случае п= 1.
Проведем индукцию по п. Пусть Ц~1 С = G(rt> == G(n' р)
(я ^=2). Группа IX~1C/IaC абелева, и Л действует на нее
тривиально; она лежит также в центре Gfl%C. Это означает,
что G(rt+1)^/iC. С другой стороны, /ЛС = [/Г'С, Л] =
[(я\ A]G(n+"
[\ ]
Так как /л = (а—1)ZJA] — главный идеал, мы получаем
сюръективное отображение
/Г2С//Г'С -?=!> Ц-'С/ЦС. A2.16)
По предположению индукции группа, стоящая справа, р-эле-
р-элементарна. В результате мы получаем:
Теперь мы изучим связь между фильтрациями С как Z-mo-
дуля и фильтрациями A2.14), A2.15). Для этого положим
KVC = {c"v | с е С) — группа рч-степеней С,
nvC = {ce=C\cpV=l} —
группа всех элементов порядка pv.
Следствие 2. Справедливы равенства
п
= /л С,
Доказательство. Покажем, что п1С — 1& 'С. Осталь-
Остальное легко получить при помощи итерации (для nv нужно
провести двойственные рассмотрения). Рассмотрим многочлен
'i-r'-iio^r1.
¦УМ.1
A2.17)
1 +х+ ... +лс"-1=-
12.2. р-поле классов циклического расширения степени р 165
Положим х = а в A2.17) и рассмотрим SpAC = c1+CT+---+CTp~1.
Тогда
SpA=p-e + (or-l)p-1,
где eeZp[[o — 1]] (кольцу формальных степенных рядов от
а — 1с коэффициентами из Zp), причем е является единицей
в этом кольце. Так как С можно также рассматривать как
Zp[[a—1]]-модуль, из этого следует наше утверждение1).
Замечание. Последнее заключение остается верным,
если С — бесконечная абелева про-р-группа. Группы 1\С а С
образуют в этом случае систему окрестностей единицы. До-
Доказательство вполне аналогично доказательству предло-
. жения 7.8.
После этих подготовительных рассмотрений мы перейдем
к упоминавшейся выше оценке для d@). Рассмотрим группы
G = G(K0/k) и G = G(K§/k). Тогда
V (X) ~ G/G* = GIG* = G[GB).
При этом следует учесть изоморфизм A2.2) и следствие 1
из предложения 12.8. Группа V (X) по теории полей классов
соответствует расширению K^jk, определенному в предло-
предложении 12.3. Далее, пусть М (X) cz V (X) — подгруппа, поро-
порожденная П Х$. По теории полей классов факторгруппе
V (Х)/М (X) соответствует максимальное абелево р-расшире-
ние L/k, L гэ К, такое, что L/K не разветвлено и в нем вполне
распадаются простые точки из 5.
Напомним еще раз, что Х = kx • NK/k/K/'kx cz CA—нормен-
ная группа, соответствующая расширению K/k. Обозначим
через X подгруппу, порожденную X в V (X). Включениям
{1} cz M (X) (zz X d V (X) соответствует башня полей
К@ => L гэ К => k.
Тогда m = dimz/pz M (X) «^п —- 1 ^ dimz/pz X и для разности
/ = (п — 1) — m мы получаем pl = [L : К]-
Предложение 12.9. Пусть K/k — циклическое расши-
расширение степени р, удовлетворяющее условиям А, В и С. Тогда
для числа образующих d@) группы G(Kz>/K) при р=ф=2
справедлива оценка
(п - 1) + / < d @X (п - 1) + (р - 2) /.
В случае р = 2 справедливо равенство d@)=n— 1.
') Нужно вспомнить, что SpA С = 1, и поэтому ср 'е = c~'-<s~v>p~i
для всех с е С. — Прим. перев.

166
12. р-группа классов и р-башня полей классов
Доказательство. Как мы уже видели, число d @)
совпадает с числом образующих абелевой группы С. При-
Применяя следствие 2 из предложения 12.8, мы получаем
Р-2
@) — dimz/pz (С/я'О = 2 dimz/pZ(/lC//X+1C).
V=0
Из равенства
СЦаС = G {К($1К) A2.18)
по предыдущему замечанию следует, что dimZ/pZ (СЦ\С) =
= п — 1. Теперь положим dimZ/pZ(c//iC) = 10. Тогда, принимая
во внимание A2.16), мы получим
(п — 1) + /0 <d@)<(п - 1) + {р -2) /0.
Нам осталось показать, что 10 — 1. Рассмотрим изоморфизм
С/СЛ • /лС g~' > IaC/IaC. Как будет доказано в следующем
предложении 12.10, группа СА czC совпадает с группой, по-
порожденной автоморфизмами Фробениуса <т.ц для всех точек ^
поля К, лежащих над S. Тогда из A2.18) мы получаем
IaC-Ca/IaC=G(K20/L) и /лС//лС ~ G (Ь/К). ¦
Предложение 12.10. Пусть Klk—циклическое расши-
расширение степени р, удовлетворяющее условиям предложения 12.9.
Тогда подгруппа инвариантных классов идеалов С1К (р)А
(Л = G (Klk)) в р-группе классов поля К порождается про-
простыми идеалами Щ из К, лежащими над S (S — множество
точек ветвления k в
Доказательство. По теории полей классов это утвер-
утверждение эквивалентно тому, что группа С порождается авто-
автоморфизмами Фробениуса а™- Доказательство последнего по-
получается из предложения 12.7. Рассмотрим сначала диаграмму
Я,
1
I
1
¦F2-+G (K0lk) -> 1
Л
{ г
= Л
12.2. р-поле классов циклического расширения степени р
167
=FilQ не является свободной группой!). Профакторизовав
по коммутанту Н\ , мы. получим диаграмму
1 1
1 -> #з-^ U -»С -> 1 Лз
Ъ31 F3
Л=Л
1 1
Группа U = #i/tf!2> является свободным Zp-модулем размер-
размерности (я—1)(р—1) в силу предложения 12.7. Последова-
Последовательность 1—>U—>F3—>Л—>-1, как и последовательность A2.13),
обладает всеми свойствами, указанными в предложении 12.8.
Условие (ii) можно проверить непосредственно для образую-
образующих U, причем без ограничения общности в качестве tl можно
выбрать представитель а е Л в F3. Таким образом, мы при-
приходим в точности к равенству A2.7).
Теперь мы можем применить к Л-модулю U следствие 2
из предложения 12.8, после чего получим
UA = ZtU cz jt,?/ = {1}, A2.19)
так как U — свободный Zp-модуль. Далее, покажем, что
gp=-\ для всех.-ge=F3 — U. A2.20)
Любой такой элемент g имеет представление g = ы • t, где
u^U и t =И= 1 — некоторая степень tY. Из условий tp = 1 и
Брл U = 1 следует, что
1 I-
П
о=0
Благодаря A2.20) мы можем отбросить образующие tp
B)
{\х = п + 1, ..., и) группы /?2mod Я] . Равным образом можно
среди оставшихся соотношений /?3 заменить прообразы so
автоморфизмов a^^G^K^jk) (см. § 11.4) прообразами Sv
автоморфизмов Фробениуса о^ s G (Kf?jK)- Автоморфизмы сгр
и о„ различаются самое большее на некоторый множитель
из Л, так что мы можем положить

168
12. р-группа классов и р-башня полей классов
Аналогично, мы можем соотношения вида [§v, t*\ mod Hf
(и=1, ..., p — 1) заменить соотношениями [§v, tit .... ^]
(ti входит k раз). При этом нужно учитывать выкладки из
доказательства предложения 12.7 и то, что svtit^1 e Н\.
Пусть теперь get/ и jsCA, т. е. [g, ti] s R3. Тогда
[g, t{\ mod H(? допускает представление
[«. *il = l8i. ti\ ¦ [ft, *i,' *i] • • • [gp-i, <i, ••-. *i], A2.21)
p"^i
где любой gj et/ является произведением степеней элемен-
элементов Зо. Из A2.19) мы получаем, что ?/Л —{1}, так что условие
A2.21) означает, что g = g{ ¦ [g2, tx] • •. , g=*gi e СЛ. ¦
Замечание. Предложение 12.10 существенно зависит
от предположений А, В и С. Пусть 1К — группа идеалов К,
а Рк — подгруппа главных идеалов. Рассмотрим когомологии
последовательности Л-модулей
тогда из условия С можно вывести, что наше предложение
эквивалентно равенству Н1 (Л, Рк) = {1}. Это равенство можно
получить из предположений А и В, причем существенно то,
что Л ~ Z/pZ.
В заключение мы докажем еще следующее предложение:
Предложение 12.11. Группы G (K&/K) <=: G {K<alk) имеют
одинаковые р-центральные ряды тогда и только тогда, когда
выполняется одно из следующих двух условий:
(ii) p > 2 и. гильбертово р-поле классов К® абелево уже
над k.
Доказательство. Положим для краткости C—G (/С0//С)
и G = G(Kg>/k). Из равенств СаЬ =С и Qab = Gab следует, что
С1С{2' р) = C/nlC, G/&2- р) = G/&2- р) = GIUC.
С другой стороны, G/C = G/C = Л, так что мы получаем
эквивалентные условия
^.p) = gB-p) и п'С = /ЛС.
По следствию 2 из предложения 12.8 последнее равенство
означает, что /Х~1С = /лС Это тривиально при р = 2 и экви-
эквивалентно условию /лС=={1} при р > 2. Теперь мы докажем
по индукции, что из равенства
g )
12.2. р-поле классов циклического расширения степени р
169
следует совпадение р-центральных рядов С я д. Предположим,
что с{п-р)=&п-р) (л>2), и докажем, что С(л+1- р) = G{n+U р).
Включение с: очевидно, так как С czG. Чтобы доказать
обратное включение, достаточно показать, что [C(n> p\ G] =
Е С</1+1> р>. Элементы С(Пз р) могут быть представлены в виде
[hn-u h], hn-i, где An-iGC1""'1, AsC, поскольку п ^2.
Из тождества
^-J [x, ^-'.'«J • у ¦ z'1 [у, г~\ х] ¦ z ¦ х~х [г, х~К у] ¦ х = 1,
подставляя л; = Л„_1( y = h~~l, z = g^6, мы получаем
[Ля-ь Л, g] еС1"'1 р). При этом нужно учесть, что
[Л, й", An_i]eC("+1' p) следует из включения [/г, ^~'] е
eGB.P) = cB'p) и G.4), a fe, Л^!ь Л-']еС(п+1-р) следует из
предположения индукции. Аналогично доказывается, что
[hp-i, g]ssz[hn-i, g]P^ 1 modC(n+I' p>, причем нужно опять
воспользоваться предположением индукции. ¦
Пример 12.12. Положим для р ф 2
р-1
iyj = — 1,
р
Через 2* обозначим одно из чисел —4, 8, —8. Тогда любое квадра-
тйчное поле можно однозначно представить в виде 0.{у р\ ... р^), где
Pi, •••» Рп — произвольные попарно различные простые числа.
Для а е Z и отличного от 2 простого числа р определим [а, р] усло-
условием
[а, р] « 1 для р
[а, р] = 0 в остальных случаях.
Далее положим
[рш, 2] = 1 для р* вв 5 (mod 8),
[р*, 2] = 0 в остальных случаях.
Пусть К = Q {У р\ - - • Рп) — мнимое квадратичное поле и L/K — мак-
максимальное неразветвленное 2-расширение. Тогда для G (L/K) существует
минимальное представление
• wn> и R3 как
Рп. где
¦¦2 п.
-- i - — \—l'\J *- Ч
где Н\ — свободная про-р-группа с образующими ш;
нормальный делитель Н\ порожден соотношениями pi,
п - Г • 1
Pi
\[pv- %]
(mod Я<3-

170
12. р-группа классов и р-башня полей классов
Пример 12.13. Пусть К = Q (V р] ¦ ¦ ¦ р^) — вещественное квадра-
квадратичное поле н L/k — максимальное 2-расширеиие, в котором ветвятся
только бесконечные точки. Тогда для G (L/K) существует представление,
в точности аналогичное представлению из примера 12.12.
Пример 12.14. Пусть К = Q \V p'iP^pI) я l определено, как в при-
примерах 12.12 и 12.13. Группа G (L/K) изоморфна группе Клейна тогда и
только тогда, когда для любых перестановок цифр 1, 2, 3(i, /, I) выпол-
выполняются равенства
Pi
= — 1.
Группа G (L/K) изоморфна группе кватернионов тогда н только тогда,
когда
= 1
рУз\ = ( р1р"А
Pi / \ Рг I
Pi
и для любых двух различных индексов
Ръ )
¦¦— 1.
12.3. Критерий бесконечности р-башни полей классов
В дальнейшем k будет обозначать конечное поле алге-
алгебраических чисел, a K/k — произвольное конечное р-расши-
рение. Мы докажем одно предложение, показывающее, что
р-башня полей классов поля К бесконечна, если число развет-
разветвленных простых дивизоров в КШ превосходит некоторую
границу, зависящую только от k.
. Предложение 12.15. Пусть р -Ф 2 и К.Ik ¦— конечное
р-расширение с и точками ветвления. Пусть пг обозначает
р-ранг группы единиц поля k, т. е.
ш = г (k) — 1 + б (k),
где г (&) — число бесконечных точек k.
Если
2пг + 5 для р ^ 5,
и
2т + 6 для р ¦= 3,
го р-башня полей классов поля К бесконечна.
Точнее, должна выполняться оценка
где
Р—I
а-
а —
27
10
У а2 + 2am,
для р ^5,
для р = 3.
A2.22)
A2.23)
Доказательство. Из условия
и > 2т + 5
следуют неравенства
Из неравенства
*)•+ *(*)«•
а==
. 5'
= — для р
2"-2 _ ]
условие A2.23) сильнее условия A2.22).
следует, что при р^ ()
Это же верно и при р = 3.
В дальнейшем мы будем использовать обозначения, опре-
определенные во введении к этому разделу. Нам нужно показать,
что группа
G(K0/k) & Gs/(Z,(}HK\pe= S)e$
бесконечна.
По лемме 4.14 существует нормальный делитель Н$ группы
разложения 3?>. имеющий индекс р в Нк и содержащий ?v.
Достаточно доказать, что группа
бесконечна.
Для точки p^S, такой, что N(p)s= I (mod p), группа Нр
порождается т?. Для jieS, р \р группа 3,, в силу § 11.4
порождается элементами
где т,р, ..., хп^ е Ху Положим х19 = тр. Элементы х1р, ..., т^
можно выбрать так, чтобы группа Н$ как нормальный дели-
делитель Зр порождалась элементами
Пусть
— некоторое минимальное представление для Gs. По замеча-
замечанию к предложению 11.3 группа R как нормальный дели-
делитель F порождается локальными соотношениями и, самое
большее, еще dim Bs других соотношений. Тогда в соответ-
соответствии с результатами предыдущих параграфов для G суще-
существует представление
1,
A2.24)

172
12. р-группа классов и р-башня полей классов
где /?! порожден соотношениями
%, [sp, Ы для р е= S, N (р) = 1 (mod р),
1 К М » „
и, самое большее, еще dim Bs других соотношений.
Теперь мы применим предложение 7.20. Соотношения
вида Л>р имеют степень ^1. Соотношения [sv, /р], так же
как и «неизвестные»-соотношения, число которых не прево-
превосходит dim Bs, имеют степень ^2; t% по предложению 7.12
имеют степень ^ р. Поэтому мы можем положить в пред-
предложении 7.20
и rv = 0 для v ^ 3, v Ф р.
Далее, по предложению 11.8
= S (np — 1) —
Предположим, что группа G конечна. Тогда
чр (/) = 1 _ (м + dim Б.; — т) t + (и + dim bs)t2 + utp > 0
для 0<^< 1. Тогда тем более справедливо неравенство
1 — (и — т) t + u*2 + и/" > 0
для 0 < t < 1. Выберем для t значение
и —m
2и
тогда
1
(и — отJ
A2.25)
С другой стороны, из A2.23) следует неравенство
и, следовательно,
(м — /пJ > 2иа.
A2.26)
Положив в A2.26) а = 2 , мы получим после про-
простых преобразований
j (И — ОТJ .
Аи
«2Р
/2.<? Критерий бесконечности р-башни полей
173
Так как
и — т
последнее неравенство противоречит A2.25). Таким образом,
группа G бесконечна.
Этим предложение 12.15 доказано в случае р^5. В слу-
случае р = 3 доказательство проходит совершенно аналогично,
если положить
,_ и —от
Т~ Зи " "
Метод доказательства предложения 12.15 применим и
в случае р — 2. Для бесконечных точек #кЛ ?* = П}> т- е.
бесконечные точки не вводят «дополнительных» соотношений.
Так как основное поле k содержит корень из единицы сте-
степени 2, мы можем отбросить одно соотношение. Если число
бесконечных точек, разветвленных в K/k, равно z, то в со-
соответствии с доказательством предложения 12.15 справедливо
утверждение: 2-башня полей классов поля К бесконечна,
если для некоторого t, 0 < t < 1,
ф (t) = 1 — (и — щ) t + Bи — z — 1) t2 < 0.
Функция ф (t) принимает наименьшее значение в точке
(и — отJ
В этой точке
2Bи—2-1) •
• _ (и — отJ
4{9h.-—z—
Условие ф (/0) ^ 0 эквивалентно неравенству
= т + 4 + ]/l6 + 8m — 4(z — 1).
и
A2.27)
Предложение 12.16. Пусть K/k — некоторое конечное
2-расширение. Тогда при выполнении условия A2.27) 2-башня
полей классов поля К бесконечна.
Пример 12.17. Для классического примера мнимого квадратичного
поля К предложение 12.16 дает не точный ответ. В этом случае для
бесконечности 2-башни полей классов К достаточно, чтобы в K/Q были
разветвлены шесть простых точек.
Пример 12.18. Если потребовать, чтобы все символы [р*, р^] из
примера 12.12 обращались в нуль, то в этом случае мы получим соот-
соотношения степени, не меньшей 3. Тогда по предложению 7.21 существует
бесконечно много мнимых квадратичных полей K/Q с четырьмя развет-
разветвленными точками н бесконечной р-бащией полей классов.

188
/3: Когомологическая размерность Gs
для данного простого делителя р' точки р в k' дивизоры sp'
при s e H пробегают все простые делители р в k\
Из A3.17) следует, что
2
т. е.
= yav для
A3.19)
при
Из формул A3.17) и A3.18) следует, что элемент
отображении inv переходит в
2JTi-1 V,'V A3.20)
,2,
Как легко видеть, выполняется соотношение
A3.21)
2
ssfl
Из последних трех формул следует, что в fPiGs'Y* су-
существует элемент, который при отображении q>^, переходит
в y<*p- Так как, с другой стороны, группа H2(GS) изоморфна
H2(Gs')H> наше утверждение доказано. ¦
УКАЗАТЕЛЬ ИСТОЧНИКОВ
В разделе 1 излагается совокупность простейших свойств
проконечных групп. При этом мы употребляем язык теории
категорий, см., например, Маклейн [1], гл. 1.
Разд. 2. Основы теории Галуа бесконечных расширений
уже были заложены Дедекиндом [1]. В частности, мы при-
приведем следующее замечание на странице 288: «... отсюда
следует, что совокупность ® всех в в определенном смысле
образует непрерывное многообразие, на чем мы не будем
останавливаться более подробно».
Крулль [1] в 1928 г. дал точное определение топологии
в группе Галуа бесконечного нормального расширения. Одна-
Однако эти группы сами по себе привлекли внимание лишь в
работах Ивасавы [1], [2] и Кавады [1]. В этих работах впер-
впервые было получено чисто теоретико-групповое описание групп
Галуа достаточно сложных бесконечных расширений. Полное
изложение общей теории Галуа бесконечных расширений,
отличающееся от приведенного здесь, можно найти у Бур-
баки [1], иное, более сжатое,—у Грюнберга [1].
Разд. 3 содержит независимое изложение методов вычи-
вычисления когомологни для проконечных групп. Мы рассматри-
рассматриваем только когомологни комплекса, с которыми легко озна-
ознакомиться по Ленгу [1], гл. 4. В частности, мы избежали
использования спектральной последовательности и широко
пользовались методом сдвига размерностей.
В разделах 4 — 6 мы излагаем прежде всего материал
из книги Серра [3], гл. 1. Изложение теории свободных
про-р-групп полностью основано на работе Лазара [1]. Пред
ложение 5.5 принадлежит Коху [9], а предложение 6.14 —
Шафаревичу (см. Хёхсманн [1]).
Разд. 7 использует целый ряд источников. Предложение
7.7, кроме пунктов (ii), (iii), можно найти с другим доказа-
доказательством у Брюмера [3], следствие 5.3, а предложение 7.16
принадлежит Лазару [1]. Доказательство леммы 7.19 при-
принадлежит Винбергу [1]. Основная идея доказательства пред-
предложения 7.20 принадлежит Голоду н Шафаревичу [1]. Одна-
Однако в то время как там утверждение, соответствующее лемме
7.19, получается из рассмотрения кольца формальных сте-

190
Указатель источников
пенных рядов, мы, следуя Рокетту [1], переходим к вещест-
вещественным степенным рядам. Связь между структурой соотно-
соотношений и «^-произведением G.8) была изложена Серром [2].
В разд. 8 приводятся предложения и основные факты
алгебраической теории чисел, выделенные курсивом. Осталь-
Остальной текст должен прежде всего облегчить читателю, недо-
недостаточно знакомому с теорией полей классов, понимание
связи между этими результатами. По поводу доказательства
цитируемых предложений мы отсылаем к следующим рабо-
работам:
§ 8.1—§ 8.4: Вайс [1], Касселс и Фрёлих [1], гл. I, II;
§ 8.5: Хассе [1], II, § 15;
§ 8.6, § 8.9: Артин и Тэйт [1], гл. 5 — 8, Касселс и Фрё-
Фрёлих [1], гл. 6 — 7, Нейкирх [1], часть II, Серр [1], гл. 11 — 14;
§ 8.7: Артин и Тэйт [1], гл. 9;
§ 8.8: Артин и Тэйт [1], гл. 13, Цассенхаус [1] (имеется
еще много других доказательств теоретико-групповой тео-
теоремы главных идеалов);
§ 8.10: Артин и Тэйт [1], гл. 7;
§ 8.11 представляет собой переложение книги Серра [1],
гл. 14, § 2.
Результаты разд. 9 относительно структуры группы Бра-
уэра H2(G (k/k), ?x) были известны с тридцатых годов (см.
Дейринг [1]). Предложение 9.1 в основном принадлежит Ша-
фаревичу [1], а предложение 9.3 — Ивасаве [2] и Кдваде [1].
R то время как в этих работах использовался метод теории
погружения полей, мы применили здесь метод последова-
последовательностей Куммера, следуя Серру [3], гл. II.2. Теорема
редукции 9.6 принадлежит Хёхсманну [2].
Разд. 10. Предложения 10.1 и 10.2 уже давно известны
дли конечных расширений. Утверждение предложения 10.3
о числе соотношений принадлежит Каваде [1]. Другие дока-
доказательства были получены Скопиным и Фаддеевым [1] и Сер-
Серром [3], теорема П.4; последнему доказательству мы и сле-
следуем. Утверждение о когомологической размерности предло-
предложения 10.3 было сначала получено Серром [3], теорема П.4,
для нужд теории групп Пуанкаре. Приведенное здесь дока-
доказательство принадлежит Коху [9]. Предложение 10.5 было
впервые доказано Шафаревичем [1] в эквивалентной формули-
формулировке для конечных расширений. Его доказательство осно-
основано на той же идее, что и приведенное здесь доказатель-
доказательство 1. Доказательство 2 принадлежит Хёхсманну [2]. Другие
доказательства предложили Кавада [1] и Серр [3], теорема
II.3. Предложение 10.8 принадлежит Коху [4]. Точная струк-
Указатель источников
191
тура Gh как про-р-группы была выяснена в работах Скопи-
на [1], Демушкина [1], [2], [3], Серра [2] и Лабюта [1]. Пол-
Полное изложение можно найти у Лабюта [1].
Разд. 11. § 11.1 заимствован из работы Хёхсманна [1].
Предложения 11.1 н 11.2 были впервые доказаны Кохом [4]
без использования когомологий. Предложения 11.3 и 11.4
опубликованы здесь впервые. Предложение 11.5 быдо впер-
впервые доказано Шафаревичем [5] при помощи других методов.
Оно явилось отправным пунктом теория групп Gs. § 11.3
содержит стандартные рассуждения теории полей классов.
§ 11.4 приводит к результатам автора [4], § 4, которые в
другой форме были доказаны Фрёлихом [1] в случае, когда
основным полем является поле рациональных чисел Q (при-
(примеры 11.11 н 11.12). Пример 11.15 принадлежит Бровкину
[1], см. также Кох [4], [5], [6]. Предложение 11.16 было до-
доказано Кохом [4] (предложение 6.1) в более слабой и неин-
неинвариантной формулировке. Для р = 2, k = Q, S = {2, oo}
группа Gs была вычислена Маркшайтисом [1]. Результат
Маркшайтиса легко получается из примера 11.18. Дальней-
Дальнейшие примеры можно найти в работах Брюмера [2] и Ша-
фаревича [5].
Разд. 12. Предложения 12.2 и 12.6 можно рассматривать
как обобщение теоремы 3 и теоремы 4 Фрёлиха [2], [3]. В
частности, пример 12.5 взят из работы Фрёлнха [2]. Работы
[2] и [4] Фрёлиха содержат дальнейшие результаты о струк-
структуре р-компоненты абсолютных абелевых полей. Пример
12.4 принадлежит Ивасаве [3], а в частном случае р = 2
восходит к Веберу. Предложение 12.9 является обобщением
предложения 1 из работы Коха [2]. Брюмер [1] впервые
доказал предложение, показывающее, что р-башня полей
классов бесконечна, если основное поле К имеет достаточно
много разветвленных точек над Q. В случае р -ф 2 резуль-
результат Брюмера легко следует из предложения 12.15 (см. так-
также Рокетт [1]).
Разд. 13. Предложения 13.7 и 13.8 доказаны Брюмером
[2] для полей алгебраических чисел при выполнении усло-
условия А. Относительно предложения 13.12 см. Кох [7] и Хёх-
сманн [2], где рассматривается частный случай максималь-
максимального р-расширения.
Примечание при корректуре. Л. В. Кузьмин сообщил
автору устно, что им получены дальнейшие результаты о
когомологической размерности групп Gs, которые будут опу-
опубликованы в Изв. АН СССР1).
') Эти результаты приведены в работе Кузьмина [1]. Дальнейшее
развитие эти методы получили в работе Кузьмина [2]. Обе эти работы
добавлены к списку литературы при переводе. — Прим. перев.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Артин, Тэйт (Artin Е., Tate J.)
[1] Class field theory, Harvard, 1961.
Боревич З. И.
[1] О расширениях регулярных локальных полей без слабого ветвления,
Вести. Ленингр. ун-та, 19 A956), 41—47.
Бровкин (Browkin J.)
[1] On the generalized class field tower, Bui. Acad. Polon. Sci., Ser. Math.,
11 A963), 143—145.
Брюмер (Brumer A.)
[1] Ramification and class towers of number fields, Mich. math. /., 12 A965),
129—131.
[2] Galois groups of extensions of number fields with given ramification,
Mich. math. J., 13 A966), 33—40.
[3] Pseudocompact algebras, profinite groups and class formations, /. Al-
Algebra, 4 A966), 442—470.
Бурбакн (Bourbaki N.)
[1] Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, «Наука», М.(
1965.
Вайс (Weiss E.)
[1] Algebraic number theory, New York, 1963.
Винберг Э. Б.
[1] К теореме о бескоиечномерности ассоциативной алгебры, Изв. АН
СССР, сер. шатен., 29, № 1, A965), 209—214.
Голод Е. С, Шафаревич И. Р.
[1] О башие полей классов, Изв.-АН СССР, сер. матем.; 2$, № 2 A964),
261—272.
Грюнберг К.
[1] Прокоиечные группы, см. Касселс и Фрёлих [1], гл. 5.
Дедекинд (Dedekmd R.)
[1] Ober die Permutationen des Korpers aller algebraischen Zahlen, Ges. Wer-
ke, Bd. 2, Braunschweig, 1931, S. 272—292.
Дейринг (Deuring M.)
[1] Algebren, Berlin, 1935.
Демушкии С. П.
[1] Максимальное /^-расширение локального поля, Изв. АН СССР, сер. ма-
матем., 25 A961),- 329—346.
[2] О 2-расширеииях локального поля, Сибирск. матем. ж., 4 A963), 951—
955.
[3] Топологические 2-группы с четным числом образующих и одним полным
определяющим соотношением, Изв. АН СССР, сер. матем., 29 A965),
3—10.
Ивасава (Iwasawa К.)
[1] On solvable extensions of algebraic number fields, Ann. Math., 11 Ser.,
58 A953), 548—572.
Список литературы
193.
[2] On Galois groups of local fields, Trans. Amer. Math. Soc, 80 A955),
448—469.
[3] A note on class numbers of algebraic number fields, Abh. Math. Sem.
Univ. Hamburg, 20 A956), 257—258.
Кавада (Kawada Y.)
[1] On the structure of the Galois group of some infinite extensions, /. Fac
Sci., Univ. Tokyo, Sec. I, 7 A954), 1—18.
Касселс Дж., Фрёлих А.
[1] Алгебраическая теория чисел, «Мир», М., 1969.
Кох (Koch H.)
[1] Ober Darstellungsraume,Math. Nachr., 26 A963), 67—100.
[2] Ober den 2-Klassenkorperturm eines quadratischen Zahlkorpers, /. reine
angew. Math., 214/215 A964), 201—206.
[3] Ober Galoissche Gruppen von p-adischen Zahlkorpern, Math. Nachr.,
29 A965), 77—111.
[4] /-Erweiterungen mit vorgegebenen Verzweigungsstellen, /. reine angew.
Math., 219 A965), 30—61.
[5] /-Erweiterungen mit zwei Verzweigungsstellen, Monatsber. DAW, 7
A965), 616—623.
[6] Ober beschrankte Gruppen, /. Algebra, 3 A966), 206—224.
[7] Ober eine Vermutung von Hochsmann, /. reine angew. Math., 225 A967),
203—206.
[8] Ober die Hochschild-Serre-Sequenz, Monatsber. DAW, 8 A966),
865—869.
[9] Ober die Dimension der Galoisschen Gruppen maximaler r-Erweiterun-
gen, Monatsber. DAW, 10 A968), 5—8.
[10] Zum Satz von Golod-Safarevic, Math. Nachr., 42 A969), 321—333.
Кох, Цинк (Koch H. und Zink W.)
[1] Ober die 2-Komponente der Klassengruppe quadratischer Zahlkorper, Er-
scheint demnachst in der Wiss. Z. d. Humboldt-Universitat, Berlin.
Крулль (Krull W.)
[1] Galoissche Theorie der unendlichen algebraischen Erweiterungen, Math.
Ann., 100 A928), 687—698. . - -
Кузьмин Л. В.
[1] Гомологии проконечных групп, мультипликатор Шура и теория полей
классов, Изв. АН СССР, 6 A969), 1220—1254.
[2] Модуль Тэйта полей алгебраических чисел, Изв. АН СССР, 2 A972).
Лабют (Labute J.)
[1] Classification of Demushkin groups, Can. J. Math., 19 A966), 106—132.
Лазар (Lazard M.)
[I] Sur les groupes nilpotents et les anneaux de Lie, Ann. ENS, 71 A954),
101—190.
Ленг С.
[1] Алгебра, «Мир», М., 1968.
Маклейн С.
[1] Гомология, «Мир», М., 1966.
Маркшайтис Г. Н.
[1] О ^-расширениях с одной критической точкой, Изв. АН СССР, сер.
матем., 27 A963), 463—466.
Нейкирх (Neukirch J.)
[1] Klassenkorpertheorie, Bonner Math. Schriften, 23 A967),

194
Список литературы
Понтрягин Л. С.
[1] Непрерывные группы, изд. 2, Гостехиздат, М., 1954.
Рейхардт (Reichardt H.)
[1] Konstruktion von Zahlkorpern mit gegebener Galoisgruppe von Prim-
zahlpotenzordnung, /. reine angew. Math., 177 A937), 1—5.
Рокетт (Roquette P.)
[1] On class field tower (О башне полей классов), см. Касселс, Фрёлих
[1], гл. 9. •
Серр (Serre J. Р.)
[1] Corps locaux, Paris, 1962.
[2] Structure de certains pro-p-groups, Sem. Bourbaki 1962—1963( expose 252.
[3] Когомологии Галуа, «Мир», М., 1968.
Скопин А. И.
[1] О ^-расширениях локальных полей, содержащих корень степени рм из
единицы, Изв. АН СССР, 19 A955), 445—470.
[2] Идеал соотношений, Труды матем. инст. им. Стеклова, 80 A964), 117—
128.
Скопин А. И., Фаддеев Д. К.
[1] О доказательстве одной теоремы Кавады, ДАН, 127 A959), 529—530.
Фрёлих (Frohlich A.)
[1] On fields of class two, Proc. London Math. Soc, C), 4 A954), 235—256.
[2] On the absolute class-group of Abelian fields, /. London Math. Soc, 29
A954), 211—217.
[3] The generalisation of a theorem of L. Redei's, Quart. J. Math. Oxford,
B) 5 A954), 130—140.
[4] On the absolute class-group of Abelian fields (II), /. London Math. Soc,
30 A955), 72—80.
Xacce (Hasse H.)
[1] Zahlentheorie, Auf. 3, Akademie-Verlag, Berlin, 1969.
Хёхсманн (Hochsmann K.)
[1] Ober die Gruppe der maximalen /-Erweiterung eines globalen Korpers,
/. reine angew. Math:,-219 A965), 142—147. -¦-•
[2] /-расширенияг см. Касселс, Фрёлих [1], гл. 14.
Холл М.
[1] Теория групп, ИЛ, М., 1962.
Цассенхаус (Zassenhaus H.)
[1] L'ehrbuch der Gruppentheorie, Leipzig, 1937.
Шафаревич И. Р.
[11 О ^-расширениях, Мат. сб., 20 A947), 351—363.
[2] Построение полей с заданной, группой Галуа порядка 1а, Изв. АН
СССР, 18 A954), 261—296.
[3] Построение полей алгебраических чисел с заданной разрешимой груп-
группой Галуа, Изв. АН СССР, 18 A954), 525—578.
[4] Поля алгебраических чисел, Proc. Congr. Stockholm, 1962, стр. 163—176.
[5] Расширения с заданными точками ветвления, РиЫ. Mathem. IHES, 18
A964), 71—95.
Шольц (Scholz A.)
[1] Konstruktion algebraischer Zahlkorper mit beliebiger Gruppe von Prim-
zahlpotenzordnung, Math. Z., 42 A937), 161—188.
Яковлев А. В.
[1] Группа Галуа алгебраического замыкания локального поля, Изв. АН
СССР, сер. матем., 32 A968), 1283—1322.
,.л~ ОБЪЯСНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ
ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ ОБОЗНАЧЕНИЙ
N
Q
Z
R
С
к+
к*
R+
G (L/K)
?*
р
К'
К
К'
P
dim A
А А
а
множество натуральных чисел
поле рациональных чисел
кольцо целых рациональных чисел
поле вещественных чисел
поле комплексных чисел
характеристика поля К
аддитивная группа поля К
мультипликативная группа поля К
мультипликативная группа положительных веще-
вещественных, чисел
группа Галуа нормального расширения полей LIK
первообразный корень из единицы степени s
простое число
поле, получающееся из поля К присоединением
корня р-й степени из единицы
максимальное р-расширение поля К
максимальное р-расширение поля К'
кольцо целых рациональных /?-адических чисел
поле рациональных р-адических чисел
при фиксированном простом р для группы А по-
порядка ps dim A ==¦ s. Для дискретного векторного
пространства над Z/pZ dirrvl обозначает размер-
размерность А
прн фиксированном простом р 6 (К) равно 1 или 0
в зависимости от того, содержит ли К первообраз-
первообразный корень степени р из единицы или нет
для абелевой группы А и натурального q Aq обо-
обозначает группу всех элементов, которые аннулиру-
аннулируются умножением на q\ qA обозначает факторгруппу
А по подгруппе всех q-x степеней А"
для некоторой группы А обозначает класс элемен-
элемента а по некоторому нормальному делителю

ИМЕННОЙ И ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
автоморфизм Фробениуса 94
Артин (Artin E.) 190
башия полей классов 154
Бернсайда основная теорема 58
Боревич 3. И. 10
Бровкин (Browkin J.) 191
Брюмер (Brumer A.) 7, 189, 191
Бурбаки (Bourbaki N.) 189
Вайсе (Weiss E.) 190
Вебер (Weber H.) 191
ведущий модуль 100
Винберг Э. Б. 87, 189
Гашюц (Gaschiitz W.) 87
Гильберт (Hilbert D.) 48
главный идель 96
Голод Е. С. 189
группа Галуа 27
— иделей 96
— инерции 93
— классов дивизоров 95
иделей 97
— когомологий-32, 34
— -проконечная 17
— разложения 93
— S-единиц 174
/7-группа классов 154
групповая алгебра пополненная 72
двойственность Понтрягина 20
Дедекинд (Dedekind) 189
Дейрииг (Deuring M.) 190
Демушкин С. П. 191
Ивасава (Iwasawa К.) 190, 191
индуктивная система 24
индуктивный предел 24
индуцированный модуль 23
инфляция 41
Кавада (Kawada Y.) 189, 190
Касселс (Cassels J. W. S.) 7, 187
коограничение 40
Кох (Koch H.) 10, 151, 189, 190, 191
Кузьмин Л. В. 191
Лабют (Labute J.) 10, 191
Лазар (Lazard M.) 189
Ленг (Lang S.) 189
Магнусова алгебра 53
Маклейн (MacLane S.) 189
Маркшайтис Г. Н. 191
G-модуль дискретный 21
Нейкирх (Neukirch A.) 7
непрерывное сечение 19
нормализованное нормирование 102
основная теорема теории Галуа 30
отображение взаимности 99
перемещение 40
поле глобальное 95
— локальное 95
— /^-бесконечное 114
Понтрягин Л. С. 13, 17, 18, 20
пополнение алгебраическое 92
— тотальное 15
р-пополнение 15
порождающее множество 69
последовательность Артина —
Шрейера 112
— Куммера 109, 113
представление допустимое 66
принцип Хассе 108
«-'-произведение 49
проективные пределы 14
— системы 13
про-р-группы 52
— свободные 52
расширения групп 36
— бесконечные абелевы 101
Именной и предметный указатель
197
/7-расширеиия конечные 112
— максимальные 112
Рейхардт (Reichardt H.) 8, 11
Рокетт (Roquette R.) 190
сдвиг размерностей 36
Серр (Serre J. P.) 8, 32, 189, 190
символ норменного вычета 109
система образующих 52
— соотношений 66
Скопин А. И. 150, 191
скрещенные гомоморфизмы 55
спаривание 49
степень идеала 96
теорема главных идеалов теорети-
теоретико-групповая 102
— Гензеля 97
— Голода — Шафаревича 83
— 90 Гильберта 48
— о продолжении изоморфизма 28
— Хохшильда — Серра 45
— Шапиро 39
точка бесконечная 92
— вещественная 92
— вполне распадающаяся 103
точка комплексная 92
— конечная 92
— неразветвленная 93
Тэйт (Tate J.) 190
Фаддеев Д. К. 190
фильтрация Цассенхауса 79
Фрёлих (Frohlich А.) 7, И, 190, 191
характеристика Эйлера — Пуанкаре
62
частичная 63
Хассе (Hasse H.) 187
Хёхсманн (Hochsmann К.) 189, 190,
191
Холл (Hall M.) 56, 81, 88, 89
Цассенхаус (Zassenhaus H.) 190
Шафаревич И. Р. 7, 9, 10, 11, 189,
190, 191
Шольц (Scholz A.) 190
Яковлев А. В. 10