Geometric topology
Localization, periodicity and Galois symmetry
by
Dennis Sullivan
Massachusetts Institute of Technology
Cambridge, Massachusetts
June 1970

БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА»
Д. Сулливан
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ТОПОЛОГИЯ
Локализация, периодичность
и симметрия Галуа
Перевод с английского
под редакцией
Д. Б. Фукса
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» • МОСКВА 1975

УДК 513.836
Книга написана на основе курса лекций по геометрической
топологии, прочитанных известным американским математиком.
В ней впервые в мировой литературе изложены результаты ав-
автора, обнаруживающие совершенно неожиданные связи между
топологией, алгебраической геометрией и теорией чисел.
Книга заинтересует математиков многих специальностей. Она
будет полезна аспирантам и студентам старших курсов универси-
университетов.
Редакция литературы по математическим наукам
18-75 © Перевод на русский язык, «Мир», 1975

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Дэнис Сулливан — один из талантливейших моло-
молодых американских топологов. Его первая работа, за-
законченная им в 1967 г., содержала доказательство
«Hauptvermutung» — основной гипотезы комбинатор-
комбинаторной топологии—для односвязных многообразий, четы-
четырехмерные когомологии которых не имеют 2-круче-
ния. Следующая работа Сулливана A969 г.) была
посвящена доказательству важной гипотезы Адамса —
некоторого достаточного условия гомотопической три-
тривиальности векторного расслоения. Доказательство
этой гипотезы и является главной целью настоящей
книги.
Однако книга содержит и много материала, не свя-
связанного с этой гипотезой. Первые три главы посвяще-
посвящены систематическому перенесению в гомотопическую
топологию алгебраических операций локализации и по-
пополнения. Материал этих глав частично используется
в доказательстве гипотезы Адамса, но представляет
и значительный самостоятельный интерес; заметим,
что эта часть книги постоянно цитируется в журналь-
журнальной литературе. Главы 4 и 5 содержат доказательство
самой гипотезы и различных ее переформулировок.
Наконец, в гл. б приводятся элементы классификации
кусочно линейных и топологических Корасслоений.
Эта глава составляет переход ко второй, пока еще
не написанной, части, которая должна быть посвя-
посвящена кусочно линейным и топологическим многообра-
многообразиям.

Предисловие редактора перевода
В книге много отступлений, касающихся самых
разных вещей, — гомотопической классификации авто-
автоморфизмов кватернионнои проективной плоскости, то-
топологии вещественных алгебраических многообразий
и др. Но и будучи столь разнообразной по содержанию,
книга оставляет цельное впечатление, поскольку автор
все рассматривает под единым углом зрения — лока-
локализаций, пополнений и симметрии Галуа.
В целом книга представляется весьма содержа-
содержательной и заслуживает самого внимательного изуче-
изучения. Для ее чтения требуется лишь знакомство с элгмен-
тами топологии и алгебраической геометрии. Однако
в ней довольно много неясных, неформально написан-
написанных мест, продумывание и доделка которых оста-
оставляется читателю. Некоторые пояснения, главным
образом ссылки на журнальную литературу, сделаны
нами в подстрочных примечаниях.
Д. Фукс

ВВЕДЕНИЕ
К необходимости применять локализацию автор
пришел в 1965—1967 гг. при изучении инвариантов ком-
комбинаторных многообразий. Уже в самом начале этой
работы стало понятно, что простое число 2 нужно
рассматривать отдельно от остальных простых чисел.
Алгебраически эта необходимость появляется при
изучении инвариантов квадратичных форм1). (Впро-
(Впрочем, при изучении многообразий рассматриваются
только инварианты квадратичных форм над полем ха-
характеристики два и характеристики нуль.)
Геометрически эта необходимость появляется, когда
мы пытаемся оценить область действия этих инва-
инвариантов. С этой точки зрения характерен вопрос о реа-
реализации циклов подмногообразиями: по модулю два
любой цикл реализуется, а по модулю других прос-
простых чисел возникает множество препятствий (Том).
Потребность в специальном изучении инвариантов,
связанных с нечетными простыми числами, видна уже
из того факта, что в действительности не всякий
цикл может быть реализован подмногообразием. Есте-
Естественный инвариант, возникающий при этом, «сигна-
«сигнатурный инвариант многообразия М», — это функция,
относящая каждому замкнутому подмногообразию
трубчатой окрестности многообразия М в евклидовом
пространстве сигнатуру его пересечения с М.
Естественной алгебраической формализацией этого
инварианта служит каноническая ориентация в К-тео-
рии:
АЛ(е{К-гомологии М).
В гл. 6 мы обсудим эту ситуацию на двойствен-
двойственном языке векторных расслоений. Двойственность
') Которые, по словам Винкельнкемпера, являются главным
средством дискретизации компактных многообразий.

Введение
(Александера) между теорией многообразий и теорией
векторных расслоений базируется на трансверсаль-
трансверсальности и геометрической технике перестроек. Абсо-
Абсолютно точный смысл этой двойственности можно при-
придать лишь в односвязном случае.
Таким образом, хотя в этой работе речь идет
только о двойственной теории векторных расслоений,
она инспирирована проблемами теории многообразий.
Теория векторных расслоений, будучи гомотопи-
гомотопической теорией, приспособлена к применению ариф-
арифметических понятий, вводимых в первой главе. Пред-
Предметом этой главы служит «тензорное умножение»
теории гомотопий на различные кольца. Особенно
полезно «умножать» на поле рациональных чисел Q
и на кольцо "Zp целых /з-адических чисел.
Этот процесс локализации частично мотивируется
сказанным выше об инвариантах квадратичных форм.
Заметим, однако, что геометрические вопросы не тре-
требуют рассмотрения /з-адических чисел1).
К необходимости привлекать р-адические числа
приводит изучение работ Адамса о послойной гомо-
гомотопической эквивалентности векторных расслоений —
эти вопросы родственны обсуждавшимся вопросам
теории многообразий. Адаме высказал предположение,
что между векторными расслоениями, связанными
друг с другом его знаменитыми операциями г|Л имеются
некоторые фундаментальные гомотопические соотно-
соотношения.
Адаме доказал, что если эти соотношения имеют
место, то они универсальны, — весьма волнующее поло-
положение дел! В действительности Адаме прогнозировал
бесконечное число соотношений — по одному на каж-
каждое простое число р. Каждое из этих соотношений
содержит информацию о всех простых числах, не
равных р.
После этого Квиллен заметил, что соотношения
Адамса имеют аналоги в характеристике р и что эти
') Хотя теорема Минковского — Хассе о квадратичных формах
его требует.

Введение
аналоги легко доказываются. Он предположил, что
с помощью этальных гомотопий алгебраических много-
многообразий по модулю р удастся доказать и топологиче-
топологическую гипотезу Адамса.
С другой стороны, видно, что гипотеза Адамса
связана с кусочно линейной и топологической тео-
теориями.
Автор старался найти топологическое или геомет-
геометрическое объяснение феномена Адамса и получил
переформулировку, доказываемую уже на основании
того факта, что существует алгебраическая конструк-
конструкция конечных когомологий алгебраических многообра-
многообразий (эталь-теория). Возникает явление, которое можно
описать только на р-адическом языке; оно состоит
в том, что /з-адическая теория векторных расслоений
в каждой размерности имеет естественную группу
симметрии. При этом симметрии, возникающие в (п — 1)-
мерной теории, индуцируют некоторые канонические
послойные гомотопические эквивалентности в я-мернол
теории, и этих эквивалентностей оказывается более
чем достаточно для доказательства гипотезы Адамса.
Более того, все элементы любой орбиты группы
симметрии имеют одинаковый (нестабильный) послой-
послойный гомотопический тип.
Симметрии, действующие на этих векторных рас-
расслоениях, — это просто симметрии Галуа, действую-
действующие в корнях из единицы, теоретико-гомотопически
реализованные в «чеховских нервах» алгебраических
покрытий грассмановых многообразий. Эти симмет-
симметрии продолжаются в /(-теорию, и при этом плотное
подмножество в группе симметрии можно отожде-
отождествить с операциями Адамса, точнее с их «изоморфи-
ческой частью». Следует заметить, что это отожде-
отождествление не нужно для применения симметрии Галуа.
Тот факт, что некоторые сложные выражения из
внешних степеней векторных расслоений индуцируют
хорошие операции в /(-теории, служит подтверждением
скорее изобретательности Адамса, чем естественности
нашей точки зрения.
Симметрии Галуа (благодаря переформулировке
сигнатурного инварианта на языке /(-теории) действуют

10 Введение
в комбинаторной теории и даже в топологической тео-
теории (как это следует из триангуляционных теорем
Кирби — Зибенмана). Комбинируя эти симметрии
с периодичностью в геометрической теории, можно
продолжить программу Адамса в следующих напра-
направлениях:
1) гомотопические соотношения, связанные с дей-
действием группы Галуа, имеют место и в топологиче-
топологической теории и в ней тоже универсальны;
2) можно явно описать действие группы Галуа
в топологических терминах;
3) для векторного расслоения Е сигнатурный инва-
инвариант имеет аналитическое описание [Д? в Кс(Е)\,
и топологический тип расслоения Е описывается
с помощью действия группы Галуа на этот инва-
инвариант, у
В качестве следствия получается, что два различ-
различных векторных расслоения, неподвижных по отношению
к элементам конечного порядка группы Галуа, раз-
различны топологически. Например, при р = 3 круче-
кручение группы Галуа порождается комплексным сопря-
сопряжением, и, следовательно, любые два неизоморфных
векторных расслоения, локализованные по простому
числу 3, топологически различны.
Используемая нами периодичность есть периодич-
периодичность в теории послойной гомотопической эквивалент-
эквивалентности между PL- или топологическими расслоениями
(см. гл. 6, § 4).
При этом в случае нечетных простых чисел теория
становится изоморфной /С-теории, а геометрическая
периодичность превращается в периодичность Ботта.
(В неодносвязной ситуации периодичность имеет краси-
красивую алгебраическую переформулировку в терминах
групп Уолла.)
Результаты гл. 6 требуют предварительных рас-
рассмотрений, производимых в первых пяти главах, глав-
главным образом в гл. 3 и 5.
В гл. 3 строится /з-адическое пополнение гомото-
гомотопического типа. Результатом конструкции, является
некоторый гомотопический тип вместе с дополнитель-

Введение 11
ной структурой'), компактной топологией на опреде-
определяемом им контравариантном функторе.
Используя /з-адический гомотопический тип для
всех р и рациональный гомотопический тип (см. гл. 2),
можно восстановить классический гомотопический тип.
При этом у возникающих р-адических гомотопи-
гомотопических типов часто имеются симметрии, которые
в классическом случае или отсутствуют, или вы-
выявляются с трудом. Например, в гл. 4, в которой
обсуждаются /з-адические сферические расслоения,
мы покажем, как с помощью дополнительной сим-
симметрии р-адического пополнения проективного про-
пространства СР°° можно построить теорию главных
сферических расслоений (по одной такой теории
для каждого делителя числа р— 1).
Другое важное свойство /з-адических гомотопиче-
гомотопических типов заключается в том, что они могут быть
построены с помощью гротендиковской теории эталь-
ных когомологий в алгебраической геометрии. Длинная
пятая глава посвящена изложению этальной теории,
которую мы делаем более явной с помощью конструк-
конструкции Лабкина, аналогичной конструкции Чеха. Эта
конструкция геометрически очень содержательна и
должна иметь много приложений в геометрической
гомотопической теории2).
Для того чтобы построить р-адические гомотопи-
гомотопические типы, мы используем технику проективных
пределов, построенную в гл. 3. Арифметический квад-
квадрат, построенный в этой же главе, показывает, что
надо добавить к этальному гомотопическому типу для
того, чтобы восстановить классический гомотопиче-
гомотопический тип.
Далее, мы детально изучаем симметрии Галуа
на векторных расслоениях и в заключение пытаемся
проанализировать «вещественные многообразия». Эта
попытка приводит к интересной топологической ги-
гипотезе.
') В интересных случаях эта дополнительная структура яв-
является «внутренней» по отношению к гомотопическому типу.
2) На самом деле это только начало.

12 Введение
В первой главе содержится алгебраическое введе-
введение и вводятся некоторые понятия, используемые
в последующих главах. В ней содержатся примеры
проконечных групп в алгебре и в топологии, которые
нам будут нужны в дальнейшем.
В планируемой второй части мы подробно изучим
случай простого числа 2 и постараемся интерпретиро-
интерпретировать результаты главы 6 этой части на языке много-
многообразий. Кроме того, там мы продолжим изучение
локализации многообразий в связи с интересными
примерами из алгебры и геометрии.
Наконец, я пользуюсь возможностью выразить
свою благодарность Джону Моргану из Принстонского
университета, который написал предварительный текст
первых лекций. Я уверен, что без его помощи моя
работа не появилась бы на свет ни теперь, ни в бли-
ближайшем будущем. .
Кроме того, вычисления, проделанные Грегом ирам-
фелем, оказали мне неоценимую психологическую
помощь в начале работы. Наши беседы в Принстоне
в 1967 г. и последующие годы доставили мне большое
удовольствие и принесли большую пользу.
Д. Сулливан

Глава 1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
Мы начинаем с общих алгебраических конструк-
конструкций: локализации и пополнения колец и групп. Будут
изучены свойства этих операций и связи между ними.
§ 1. ЛОКАЛИЗАЦИЯ
Если не оговорено противное, то все кольца будут
предполагаться имеющими единицу и не имеющими
делителей нуля.
Пусть R — кольцо. Множество Se/?-{0) мы на-
назовем мультипликативной системой, если 1 g S и из
a, b e S следует, что ab e S.
Определение 1.1. Пусть S^R — {0] — мульти-
мультипликативная система. Обозначим через S~lR мно-
множество, состоящее из классов эквивалентных дро-
дробей r/s, где г е R, s e= S и дробь г'Is' считается экви-
эквивалентной дроби г"Is", если r's"' ~r"s''. Введем в S~lR
структуру кольца, положив
[rls]-[r'lsf] =
Построенное кольцо мы будем называть локализацией
кольца R относительно мультипликативной системы S,
а гомоморфизм
переводящий г в [г/1], — локализующим гомоморфиз-
гомоморфизмом или просто локализацией.
Пример 1. Если рsR — простой идеал, то
подмножество R — р является мультипликативной си-
системой. Обозначим через Rp кольцо {R — p)~xR и

14 Глава 1
назовем его локализацией кольца R относительно р.
В кольце Rp всякий элемент кольца R, не лежащий
в р, обратим. Локализующий гомоморфизм R-+Rp
переводит идеал р в единственный максимальный
идеал кольца Rp, составленный из всех его необра-
необратимых элементов.
Например, нулевой идеал является простым, и,
очевидно, локализация кольца R относительно этого
идеала является полем частных кольца R.
Операция локализации определяется и для /?-мо-
дулей. Если М есть /?-модуль, то его локализация
определяется как 5~'/?-модуль S~lM = M<S>nS~lR.
Интуитивно можно представить себе операцию
локализации модуля М как превращение операций
умножения в М на элементы множества S в изо-
изоморфизмы.
Рассмбтрим следующий интересный пример, из то-
топологии.
Пример 2 (П. А. Смит, А. Борель, Г. Сигал).
Пусть X — локально компактный полиэдр, на котором
действует группа второго порядка с образующей Т
(инволюция). Можно задать вопрос, существует ли
связь между гомологиями множества неподвижных
точек F и «гомологиями пары (X, Г)».
Обозначим через S (стягиваемую) бесконечномер-
бесконечномерную сферу, на которой действует антиподальная инво-
инволюция. Тогда на пространстве XX S диагональная
инволюция свободна и существует единственное с
точностью до эквивариантной гомотопии эквивариант-
ное отображение
XXS-+S.
Поэтому корректно (с точностью до гомотопии) опре-
определено отображение
и, следовательно, группа «эквивариантных когомо-
логий пары (X, Г)»
Н*(ХТ; Z/2)

Алгебраические конструкции 15
приобретает структуру ^-модуля, где
Z/2).
В кольце R имеется максимальный идеал (х), поро-
порожденный х, и этот идеал прост. Оказывается, что
когомологии множества неподвижных точек с коэф-
коэффициентами в кольце Rx (локализации кольца R
относительно идеала (х)) совпадают с локализацией
инвариантных когомологии:
H*(F; RX)~H*(XT; ZI2)X*=H*(XT; Zl2)<8)RRx.
В большей части нашей работы нам не потре-
потребуется общее понятие локализации. В большинстве
случаев кольцо R будет кольцом целых чисел и, соот-
соответственно, ^-модули будут просто абелевыми груп-
группами.
Пусть / — некоторое множество простых чисел.
Мы назовем «локализацией кольца Z относительно I»
кольцо
Z; = S Z,
где S — мультипликативное множество, порожденное
простыми числами, не входящими в I.
Если / состоит из единственного простого числа р,
то можно написать
поскольку в этом случае Z/ есть просто локализация
кольца целых чисел относительно простого идеала р.
Отметим еще равенства
^{все простые числа) == ^ И Ж-0 = v === ^О1
Нетрудно проверить, что кольцами вида Z/ исчерпы-
исчерпываются подкольца поля Q, содержащие единицу. Ниже
мы увидим, что тензорное произведение Z/®zZr
совпадает с Z/nr, а расслоенное произведение
ZXZ Z
Операция локализации модулей применима, в част-
частности, к произвольной абелевой группе, рассматри-
рассматриваемой как Z-модуль. Для удобства сформулируем
отдельно определение локализации абелевой группы.

16 Глава 1
Определение 1.2. Пусть G — абелева группа.
Назовем локализацией группы G относительно множе-
множества I простых чисел Zj-модуль G 0 Zt; обозначение: Gt.
Естественное включение Z->Z/ индуцирует локализу-
локализующий гомоморфизм G-*Gt. Можно описать локали-
локализацию с помощью индуктивного предела. Упорядочим
для этого множество произведений простых чисел,
не входящих в /, с помощью делимости. Составим,
далее, индуктивную систему групп, индексированную
элементами этого упорядоченного множества, из групп
GS = G n гомоморфизмов
G умножение на sis' /-, / • /\
Предложение 1.1.
lim Gs эё G 0 Zt = Gt.
s
Доказательство. Определим отображения
Gs -> G 0 Zz
формулой gi—>g0 1/s. Эти отображения согласованы
друг с другом и потому определяют отображение
lim Gs-+G® Zt.
s
В случае G = Z ясно, что это отображение яв-
является изоморфизмом. (Каждое отображение Z->Zj
мономорфно, и, следовательно, индуктивный предел
мономорфен. При этом элемент a/s кольца Zf яв-
является образом элемента а кольца Z при отображе-
отображении Z = G,-*Z/.)
Общий случай сводится к рассмотренному, по-
поскольку переход к индуктивному пределу коммутирует
с тензорным умножением.
Лемма 1.2. Если I и Г — два множества простых
чисел, то тензорное произведение колец Z/ « Zy
иЗОМОрфНО КОЛЬЦУ Zifti',
Доказательство. Определим кольцевой гомо-
гомоморфизм
Zt 0 Zv Л Z,nr,

Алгебраические конструкции 17
положив p(a/b <S> a'lb') = aa'/bb'. Так как b есть про-
произведение простых чисел, не лежащих в /, а Ь' есть
произведение простых чисел, не лежащих в /', то
произведение bb' является произведением простых
чисел, не лежащих в 1[\1'\ следовательно, отображе-
отображение р определено корректно.
Чтобы проверить, что р есть эпиморфизм, рас-
рассмотрим дробь r/seZ/ni' и представим s в виде
произведения SiS2, где Sj лежит вне / и s2 лежит вне /'.
Тогда р A/^! <8> r/s2) = rls.
Чтобы показать, что отображение р- есть мономор-
мономорфизм, предположим, что
® cildt\ = 0.
Тогда 2iaiCilbidi = Q и, следовательно,
Последнее означает, что
= 2 atCi (l/bi
i
и, таким образом, отображение р не имеет ядра.
Лемма 1.3. Структура Z-модуля' на абелевой
группе G продолокается до структуры Zr модуля в том
и только в том случае, когда группа G изоморфна
своей локализации относительно любого множества
простых чисел, содержащего I').
Это следует из предложения 1.1.
Пример 3.
[ 0 при р ф-1,
-2,е ... ®7,ф(/-кручение в),
где число слагаемых Z; равно рангу группы G.
') Точнее, когда для указанных / локализующий гомомор-
гомоморфизм G ->Gi является изоморфизмом. — Прим. ред.

18 Глава 1
Предложение 1.4. Локализация переводит точ~
ные последовательности абелевых групп в точные по-
последовательности абелевых групп.
Доказательство. Это тоже следует из пред-
предложения 1.1, поскольку индуктивный предел сохра-
сохраняет точность последовательностей.
Следствие 1.5. Если 0->Л->В-*С->0 — точ-
точная последовательность абелевых групп и две из этих
групп являются Zi-модулями, то и третья группа
является Zi-модулем.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму ло-
локализации
|®Zj [
В силу предложения 1.4 нижняя строка точна, а из
предположения и леммы 1.3 следует, что два из трех
вертикальных отображений являются изоморфизмами.
Согласно лемме о пяти гомоморфизмах, и третье вер-
вертикальное отображение является изоморфизмом, и нам
остается еще раз применить лемму 1.3.
Следствие 1.6. Если в длинной точной после-
последовательности
два из трех множеств групп
Ш, {вп}, \сп}
составлена из Zj-модулей, то и третье множество
составлено из Zi-модулей,
Это доказывается в точности таким же примене-
применением леммы о пяти гомоморфизмах.
Следствие 1.7. Пусть F->?->В — расслоение
Серра, и пусть пространства F, Е, В связны и их

Алгебраические конструкции 19
фундаментальные группы абелевы. Тогда если какие-
нибудь два из множеств
{ntF}, {п,Е), {п{В)
составлены из Zi-модулей, то и третье множество со-
составлено из Zi-модулей.
Это вытекает из следствия 1.6 и точности гомото-
гомотопической последовательности
*¦ щЕ —
Аналогичное утверждение имеет место и для го-
гомологии.
Предложение 1.8. Пусть F->Е-> В — расслое-
расслоение Серра, такое, что группа щВ тривиально дей-
действует на группах Ht(F; Zip) при любом простом р,
не лежащем в I. Тогда если два из множеств
{HtF}, {HtE}, {H{B}
(целочисленных гомологии) составлены из Zi-модулей,
то и третье множество составлено из Zf моду'лей.
Доказательство. Из точности коэффициент-
коэффициентной последовательности
... Н{Х^ HiX-+Hi{X; Zip)-> ...
следует, что группы HiX являются Zj-модулями в том
и только в том случае, когда группы Hi(X; Zip) три-
тривиальны для всех простых чисел р, не лежащих в /.
Но из спектральной последовательности Серра
с коэффициентами в Zip видно, что если два из трех
множеств
[HiiF; Zip)}, {Н^Е; Zip)}, {Н{(В; Zip)}
состоят из нулей, то и третье множество состоит из
нулей.
Замечание. Этим очень простым доказатель-
доказательством предложения 1.8 автор обязан Д. У. Андер-
Андерсону,

20 Глава 1
Назовем квадрат абелгвых групп
А^> В
4 I'
расслоенным квадратом, если последовательность
точна. . .
Лемма 1.9. Индуктивный предел расслоенных
квадратов является расслоенным квадратом.
Доказательство: индуктивный предел точных
последовательностей является точной последователь-
последовательностью.
Предложение 1.10. Пусть G — абелева группа,
и пусть 1,1' — такие множества простых чисел, что
1[I' = &, /Щ' = {все простые числа}.
Тогда
Q ->G®Zt
4 4
есть расслоенный квадрат.
Доказательство. Случай 1. Если G = Z, то
нетрудно проверить, что последовательность
точна.
Случай 2. Если G~Z/pa, то квадрат' имеет вид
I или j ].
->0 0 -*¦ О
Случай 3. Если G — конечно порожденная группа,
то она является конечной прямой суммой групп, рас-
рассматривавшихся в первых двух случаях.

Алгебраические конструкции
21
Общий случай. Произвольная абелзва группа
является индуктивным пределам конечно порожденных
абелевых групп, и наше утверждение следует из
лэммы 1.9 и случая 3.
Доказанное предложение можно переформулировать
следующим образом: группа G является расслоенным
произведением своих локализаций Ci и Gr над Go.
В заключение укажем на следующее обобщение
предложения 1.10.
Метапредложение 1.11. Составим бесконеч-
бесконечную диаграмму
G2 G3 G5 ...
Go
Группа G является бесконечным расслоенным произ-
произведением своих локализаций G2, Gt1, ... над Go.
Доказательство. Из предыдущего предложе-
предложения следует, что группа G2,3 является расслоенным
произведением групп G2 и G3 над Go. Далее, группа
О2,з,5 является расслоенным произведением групп О2,з
и G5 над Go и т. д.
§ 2. ПОПОЛНЕНИЯ
Теперь мы перейдем к рассмотрению пополнений
колец и групп. Из колец нас будет, как и раньше,
интересовать главным образом кольцо целых чисел,
для которого мы будем рассматривать «арифметиче-
«арифметические пополнения». В случае же групп мы рассмотрим
проконечные пополнения, а для абелевых групп — свя-
связанные с ними формальные пополнения. В конце главы
мы рассмотрим некоторые примеры проконечных групп,
встречающиеся в топологии и в алгебре, и обсудим
строение группы р-адических единиц. Наконец, мы
изучим связи между операциями локализации и попол-
пополнения, для чего построим некоторые расслоенные квад-

22 Глава 1
раты, которые впоследствии появятся снова — уже на
уровне ClF-комплексов.
Пополнения колец; р-адические числа. Пусть
R — кольцо, и пусть
/, Э /2 = ...
— убывающая последовательность его идеалов с
fV#={0}.
С помощью этих идеалов можно определить в кольце R
метрику, положив
d(x, y) = e~k, е>1,
если x—y^Ik, но х—у ф. Ik+S (/0 = R). Если х—у^1к
и у — z^Ik, то х — z s/min(«., /). Поэтому имеет место
сильное неравенство треугольника
d{x, z)<max(d(*, у), d(y, z)).
оо
Кроме того, если d(x, у) = 0, то *— t/e р|/у={0}.
Поэтому функция d действительно является метрикой
в R.
Определение 1.3. Пусть R — кольцо с метри-
метрикой d. Определим пополнение Rd кольца R относи-
относительно метрики d при помощи фундаментальных по-
последовательностей. Другими словами, рассмотрим
в кольце R такие последовательности {#„}, что
lim d{xn, xJ = 0").
n, m-»oo
Последовательности {хп}, {уп) считаются эквивалент-
эквивалентными, если d(xn, yn)—>-0. Обозначим множество, клас-
классов эквивалентных фундаментальных последователь-
') В нашем случае это требование эквивалентно условию

Алгебраические конструкции 23
ностей через Rd и определим в Rd структуру тополо-
топологического кольца, положив
Имеется естественный пополняющий гомоморфизм
переводящий элемент г в последовательность {г, г, ...}.
Гомоморфизм с обладает свойством универсальности
относительно непрерывных гомоморфизмов кольца R
в полные топологические кольца.
Пример 1. Пусть R = Z и I/ = (р'), гАе Р — ПР°"
стое число. Индуцируемая последовательностью // то-
полэгия есть не что иное, как р-адическая топология
в Z, а пополнение есть кольцо Zp целых р-адических
чисел.
Кольцо целых р-адических чисел было введено Ген-
зелем при изучении диофантовых уравнений. Решение
диофантова уравнения в кольце Zp равносильно реше-
решению соответствующих диофантовых сравнений по модулю
высоких степеней числа р. Решение диофантовых срав-
сравнений по всем модулям эквивалэнтно решению соот-
соответствующего уравнения во всех кольцах р-адических
чисел. Некоторые нетривиальные полиномы полностью
распадаются над кольцом Zp. Таков, например, поли-
полином
хр-1 — 1
(см. доказательство предложения 1.16). Поэтому в этом
случае (и во многих других случаях) мы имеем воз-
возможность изучать независимо проекции известных проб-
проблем над кольцом Z в различные р-адические числа,
располагая каждый раз таким дополнительным сред-
средством, как корни (р —1)-й степени из единицы.
Пример 2. Пусть I — непустое множество простых
чисел (р„ р2, ...), и пусть

24 Глава 1
Индуцируемая последовательностью Ij топология есть
/-адическая топология в Zu и соответствующее попол-
пополнение обозначается через Zj.
Если /' s /, то /' > fj и всякая фундаментальная
последовательность в /-адической топологии будет фун-
фундаментальной последовательностью и в Г-адической
топологии. Благодаря этому определено отображение
Предложение 1.12. Рассмотрим проективную
систему колец {Zlpn}, в которой гомоморфизм Zip —>
-* Zip"' (п ^ ш) определяется как приведение mod pm.
Существует естественный кольцевой изоморфизм
Zp -?> Ит Zlpn.
Доказательство. Прежде всего определим для
каждого натурального п кольцевой гомоморфизм
Если \х{\ — фундаментальная последовательность
в кольце Z, то вычеты mod pn чисел xt при достаточно
большом i не зависят от /, и мы полагаем
Р/ЛМ!— {стабильный вычет Xi).
Ясно, что если последовательность [xi\ эквивалентна
последовательности {yi\, то при достаточно большом i
разность Xi — y{ делится на рп\ следовательно, отобра-
отображение р„ определено корректно.
Нетрудно проверить, что построенные гомомор-
гомоморфизмы р„ согласованы с отображениями, составляю-
составляющими проективную систему. Значит, они определяют
гомоморфизм <~-
%~^ HmZ/pn.
Гомоморфизм рр является мономорфизмом. Дей-
Действительно, если рр \xi] = 0, то для каждого натураль-
натурального п почти все члгны последовательности {xi} делятся

Алгебраические конструкции 25
на р", т. е. лежат в идеале /„. Но это и означает,
что последовательность [xi) эквивалентна последова-
последовательности {0, 0, 0, ...}.
Гомоморфизм рр является эпиморфизмом. Действи-
Действительно, пусть {гп}—последовательность вычетов modp",
задающая элемент кольца lim Z/pn. Выберем последо-
последовательность {?„] целых чисел, лежащих в соответствую-
соответствующих классах вычетов. Очевидно, последовательность
{гп} фундаментальна и
Следствие. Кольцо Zp компактно.
Доказательство. Изоморфизм рр непрерывен
в топологии проективного предела в lim Z/pn.
\ Предложение 1.13. Произведение естественных
отображений Zj -*• Zp, p e /, индуцирует кольцевой
изоморфизм
ре/
Доказательство. Рассуждения, использован-
использованные при доказательстве предложения 1.12, показы-
показывают, что кольцо Z/ является проективным пределом
конечных колец
Z/p{ ... pi, / = {р1, Р2, ...}.
Но
lim Z/p{ ... р< = lim Ц Z/p{ = lim Ц Z/p{ =
^lirn lim
= Um f[ li
= lim f[ZPi=Jl
Замечание. Кольцо Zj имеет единицу, но в слу-
случае, когда множество / содержит более одного простого

26
Глава 1
числа, в нем есть делители нуля. Кольцо Z/ компактно,
и целые числа плотны в нем.
Пример 3 (K(RP°°), M. Атья). Обозначим через R
кольцо виртуальных комплексных представлений
группы Z/2. Хорошо известен изоморфизм
при котором элементу п + tnx соответствует пред-
представление
'1
п
т
группы Z/2 в пространстве С"+т. Обозначим через If
идеал, порожденный элементом (х—1)Л Тогда попол-
пополнение кольца R относительно последовательности
идеалов // канонически изоморфно комплексному
Д"-функтору пространства RP°°:
R~9*K (RP°°) = [RP°°, Z X BU].
Нетрудно проверить, что аддитивная группа кольца R
изоморфна счетной сумме групп целых 2-адических
чисел.
Пример 4 (К(Fix), M. Атья и Г. Сигал). Рас-
Рассмотрим снова компактное топологическое простран-
пространство X с инволюцией Т и обозначим через F множе-
множество неподвижных точек инволюции Т, а через Хг
«теоретико-гомотопическое пространство орбит» Хт —
=*XXSr/((x, s)~{Tx, -s)).

Алгебраические конструкции 27
Обозначим, далее, через Ка(Х) кольцо Гротендика
эквивариантных векторных расслоений над X. Ясно,
что Ко (X) есть Я-алгебра, где R — кольцо преды-
предыдущего примера. Эта алгебра является тонким инва-
инвариантом геометрической структуры пары (X, Т). Тем
не менее Атья и Сигал показали, что
(i) пополнение алгебры К0{Х) относительно после-
последовательности идеалов (х — 1)' Ко {X) совпадает
с /(-функтором пространства Хт;
(И) пополнение алгебры Ко(Х) относительно после-
последовательности идеалов {х-\- 1)' Kq(X) связано с K(F).
Если мы пополним алгебру Kq{X) относительно
семейства идеалов {x—\,x-\-\)!Kg{X) (что экви-
эквивалентно 2-адическому пополнению, так как (л:— 1,
х -f1J s B) s {х — 1, х + 1)), то мы получим изо-
изоморфизм
K(F)®Z2[x]/(x*-l)~K(XT);.
В гл. 5 мы используем это соотношение, чтобы
получить «алгебраическое описание» /С-функтора (тен-
зорно умноженного над целыми 2-адическими числами
на групповое кольцо группы Z/2) множества веществен-
вещественных точек вещественного алгебраического многообразия.
Пополнения групп. Мы рассмотрим для групп два
типа пополнений. Прежде всего изучим проконечные
пополнения.
Пусть G— произвольная группа и / — непустое
множество простых чисел. Обозначим через {H}i мно-
множество таких нормальных подгрупп Н группы G, что
индекс G: Я конечен и разлагается на простые мно-
множители, лежащие в /. Мы частично упорядочиваем [Щи
полагая Нх ^ Я2, если Я! Э Я2.
Определение 1.4. Проективный предел конечных
/-факторов группы G,
называется 1-проконечньш пополнением группы G.

28 Глава 1
Тополэгизируем /-проконечное пополнение Gt груп-
группы G как проективный предел дискретно тополэгизи-
рованных групп G1H. В результате Gt становится ком-
компактной нульмерной топологической группой, и ясно,
что естественное отображение
универсально относительно отображений группы G
в конечные /-группы').
Конструкция /-проконечного пополнения функто-
риальна. Действительно, произвольный гомоморфизм
f: G-^-G' индуцирует, ввиду наличия диаграммы
я=г'я'-> н'
I I
G Л G'
I I
GIH 1> Q'lH'
проективное семейство отображений
и, слгдовательно, определяет гомоморфизм
Примеры. 1) Пусть G = Z и /={р]. Ясно, что
р-факторы группы Z исчерпываются группами Zip".
Поэтому
{р-проконечное пополнение группы Z}—limZ/p";
п
последний же предел есть не что иное (аддитивно), как
теоретико-кольцевое р-адическое пополнение кольца Z
(кольцо целых р-адических чисел).
') То есть что любой гомоморфизм группы G в конечную
/-группу единственным образом распространяется на G/.

Алгебраические конструкции 29
2) Пусть G = Z, а /= {р„ р2, ...}. Тогда
Z,= limZ/^' ...р?',
а
где
а = {(а„ а2, .... а,, 0, 0, 0, ...))
есть множество последовательностей неотрицательных
показателей, из которых лишь конечное число отлично
от нуля, упорядоченное по правилу:
а<а', если а(. ^а^ при всех i.
Так как последовательность {afe], где
ak= {^J^^^k, 0, 0, 0, ...),
к раз
конфинальна, то
2,= Пт П Zip) = П Hm Zip) = П Zp.
3) Для любой абелевой группы G
о,а П бр.
4) Если G — конечно порожденная абелева группа
ранга п, то
Z/© ... ©7г©(/-кручение группы G).
п слагаемых
5) Если группа G является Z-делимой, то ее /-про-
конечное пополнение тривиально; например, Ог = О,
(Q/Z), = 0.
6) р-проконечное пополнение бесконечной прямой
со
суммы ©Z/p есть бесконечное прямое произведение
Из этих примеров мы видим, что функтор проконеч-
ного пополнения точен на категории конечно порожден-
порожденных абелевых групп, но не точен на категории всех

30 Глава 1
абелевых групп; например, точная последовательность
0-+Z->Q->Q/Z->0
переходит после пополнения в последовательность
0-*.Z,->0->0-*0.
Следующая модификация конструкции проконемного
пополнения приводит к функтору пополнения, точному
уже на всей категории абелевых групп.
Определение 1.5. Формальным 1-пополнением
абелевой группы .G называется группа
Ясно, что формальное /-пополнение конечно порожден-
порожденной абелевой группы совпадает с ее проконечным
/-пополнением.
Предложение 1.14. Функтор G*->-Gi точен.
Кроме того, он является единственным функтором,
совпадающим на категории конечно порожденных
абелевых групп с проконечным пополнением и ком-
коммутирующим с переходом к прямому пределу.
Доказательство. Первое утверждение следует
из отсутствия у группы Zi кручения, а второе вытекает
из двух очевидных фактов:
(i) любая абелева группа является индуктивным
пределом своих конечно порожденных подгрупп;
(И) тензорное умножение коммутирует с переходом
к прямому пределу.
Если / есть множество всех простых чисел, то
группа Gi называется просто проконечным пополнением
группы G и обозначается через G, а группа Gi назы-
называется формальным пополнением группы G и обозна-
обозначается через G. Очевидно, G = G ® Z=G <S> Z.
Заметим, что проконечное пополнение G группы G
полно. В самом деле, пусть {Н}—частично упорядо-
упорядоченное множество открытых подгрупп группы G,

Алгебраические конструкции 31
имеющих конечный индекс; тогда
G з* lim {G/Я} (= «непрерывное пополнение группы G»),
Иногда оказывается, что любая подгруппа группы G,
имеющая конечный индекс, открыта. Это верно, на-
например, в случае G = Z и вообще в случае конечно
порожденной абелгвой группы G. В этих случаях
топология группы G восстанавливается по ее групповой
структуре с помощью изоморфизма *.
Топология не определяется групповой структурой,
например, в,случае группы
тт °°
И Z/p = {проконечное пополнение группы @Z/p].
Примеры из топологии и алгебры. Теперь мы рас-
рассмотрим некоторые интересные примеры «проконечных
групп».
1) Пусть X — бесконечный комплзкс и h* — некото-
некоторая экстраординарная теория когомологий. Предпо-
Предположим, что для каждого / группа Л{(Х) конечна,
а группа /i'(pt) является конечно порожденной (или
наоборот). Тогда для каждого i приведенная группа
hl (X) будет проконечной группой. Например, приведен-
приведенный /С-функтор пространства RP™ есть группа целых
2-адических чисел.
Проконечность группы h' (X) слздует из формулы
Я'(Х) = ИтЯ'' (я-й остов X)
п
и того факта, что группы h'(n-Pi остов X) по существу
являются конечными').
') В данном случае «по существу» означает, что котечен
образ гомоморфизма включения Я' ((и+1)-й остов)->А( (n-й остов).
Заметим еще, что общепринятая аксиоматика экстраординарных
когомологий охватывает лишь конечные комплексы. Здесь под-
подразумевается распространение этой аксиоматики на ка!егорию
всех комплексов, включающее аксиому А* (Ига Хп) = lim h* (Xn);
основным дефектом так определяемых экстраординарных кого-
когомологий является неточность последовательностей пар. —Прим.
ред.

32 Глава 1
2) Пусть К — бесконечное нормальное расширение
поля k. Тогда К есть объединение конечных нормаль-
нормальных расширений поля k:
оо
Поэтому группа Галуа поля К. над k является про-
конечной:
Рассмотрим подробнее четыре примера такой си-
ситуации.
(i) Пусть k есть простое полз Fp и K = FP — алге-
алгебраическое замыкание поля Fp. Тогда К является
объединением полей F п, состоящих из р'г элементов,
причем F п содержится в F т в том и только в том
случае, когда т делится на п. Упорядочим целые числа
согласно делимости. Тогда
Gal (FPIFP) = Ига Gal {FpnjFp) = Hm Tin = Z.
n n
Более того, группа Gal {FpnjFp} имеет естественную
образующую — автоморфизм Фробениуса
F —?—+F
(Согласно малой теореме Ферма, a" = amodp, так
что g" тривиально действует на Fp.) Степени авто-
автоморфизма У топологически порождают Z (плотны
в Z). Поля, составленные из элементов, неподвиж-
неподвижных относительно степеней автоморфизма &", 1^ред<
ставляют собой не что иное, как конечные поля, филь-
фильтрующие Fp.
(ii) Пусть k = Q (поле, рациональных чисел) и К — Aq
получается присоединением к Q всех корней из еди-
единицы. Тогда
где Z* — группа обратимых элементов кольца

Алгебраические конструкции 33
Полг Aq может быть описано как максимальное
абелево расширение поля Q, т. е. как максимальный
элемент в частично упорядоченном «множестве» абе-
левых расширений поля Q (абелевых групп Галуа).
Разложение
соответствует тому факту, что Aq является компози-
композитом полей
.р ( Q с присоединенными корнями 
5 \ степени р1- из единицы ]'
a Gal (Л^/Q) есть группа Z* единиц кольца целых р-ади«
ческих чисел.
(Ш) Пусть fe = Q и К = Q — алгебраическое замы<
кание поля Q. Тогда
G = «группа Галуа поля Q» = Gal (Q/Q) = lim Gal (K/Q\
(предел берется по числовым полям Галуа К) есть
проконечная группа исключительной важности.
Кручение группы О невелико: оно исчерпывается
элементами второго порядка, соответствующими ком-
комплексным сопряжениям. Все эти элементы сопряжены
между собой, и каждый из них коммутирует только сам
с собой и с единицей. Этой некоммутативности соот-
соответствует тот факт, что (гипотетический) 2-адический
этальный гомотопический тип вещественного алгеб-
алгебраического многообразия (см. гл. 5) не должен, в об-
общем случае, допускать симметрии Галуа.
Заметим также, что группа G определена только
с точностью до внутреннего автоморфизма (подобно
фундаментальной группе топологического простран-
пространства), в то время как ее проконечная абелеанизация
' G/[G, G]
определена канонически (подобно группе одномерных
гомологии топологического пространства). Быть может,
именно поэтому существует столь красивая теория,
дающая описание групп G/[G, G]. Эта теория — «тео-
2 Д. Сулливан

34 Глава I
рия полей классов для поля Q» — дает канонический
изоморфизм
G/[G, G]s*Z*.
Мы увидим дальше, что 2*-симметрии Галуа, связан-
связанные с максимальным абелевым. расширением поля Q,
буквально пропитывают всю геометрическую тополо-
топологию: они появляются в кусочно линейной теории,
в С°°-теории и даже в топологической теории.
(iv) Мы увидим ниже (см. предложение 1.16), что
группа р-адических единиц естественно изоморфна
прямой сумме некоторой конечной группы и аддитив-
аддитивной группы целых р-адических чисел, точнее, что
Поэтому имеются групповые гомоморфизмы
Z->Z*,
нетривиально отображающие группу Zp в группы
с q = p и ?=1 mod р.
Возникающая при этом диаграмма
«группа Галуа Fp» абелеанизация
«группы Галуа Q»
позволит нам связать «случай характеристики р» со
«случаем характеристики нуль».
Единицы кольца целых р-адических чисел. Кроме
этих интересных алгебраических явлений, в р-ади-
ческом случае важную роль играют также аналити-
аналитические соображения. Например, с помощью р-ади-
р-адических аналитических функций log и ехр можно до-
доказать такое
Предложение 1.16. Существует каноническое
расщепление (проконечной) группы единиц кольца це-
целых р-адических чисел:
p при р>2,

Алгебраические конструкции 35
Доказательство. Рассмотрим случай р > 2.
Так как мультипликативная группа./7]!, конечного поля F
изоморфна Zip— 1, то имеется точная последователь-
последовательность
i v тт включение v у редукция mod p „ !¦-?,_ 1Ч ,
1 —* и •*¦ il/p ' \?->1Р — U ~* 11
p
где U — подгруппа группы единиц, составленная из
элементов вида 1 + " с « = 0 mod p.
Первый шаг. Определим каноническое расщепле-
расщепление Т
т
Для этого рассмотрим эндоморфизм л: н-> г° группы Zp
и будем его неограниченно итерировать (динамическая
система Фробениуса на Zp). Так как порядок группы
единиц кольца Z/p равен р ~ (р — 1), то для лю-
любого х е Zp имеют место сравнения Ферма
л:?-1 =l(modp),
xp(p-i) =i(modp?),
Эти сравнения показывают, что ряд
определяющий «представитель Тайхмюллера х», схо-
сходится для любого х е Zp. В то же время
х= lim *"".
Значит, каждая точка xsZp при многократном по-
повторении эндоморфизма Фробениуса х >—*¦ хр стремится
к стационарной точке этого эндоморфизма. Но бино-

36 Глава I
миальная формула
-2...(*-
показывает, что
(a+ pb)pn = a"n {mod pn).
Таким образом, x зависит только от вычета эле-
элемента х mod р. Следовательно, каждый класс смеж-
смежности по подгруппе U стягивается под действием
итерированного эндоморфизма Фробениуса к одной
точке. Ясно, что полученные (р— 1) точек образуют
в Zp подгруппу, и эта подгруппа изоморфно отобра-
отображается гомоморфизмом Zp—>(Z/p — 1) нашей последо-
последовательности на Zip— 1. Обратный изоморфизм группы
"Zip — 1 на эту подгруппу и принимается за Т.
Второй шаг. Определим теперь канонический изо-
изоморфизм
Точнее, мы построим пару взаимно обратных изо-
изоморфизмов
Во-первых, положим
ы3/3— .... .
Нетрудно проверить, что этот ряд имеет смысл и схо-
сходится. Действительно, если ы = ру, то n-й член ип/п
при любом п лежит в pZp и стремится к нулю при
п->оо (этого достаточно для сходимости ряда в этой
неархимедовой ситуации).

Алгебраические конструкции 37
Отображение е мы построим с помощью экспо-
экспоненты:
Функция е определена для всех х из максимального
идеала
pZp s Zp.
Как и в предыдущем случае, используя соотношения
х = ру, можно показать, что (при р > 2) последова-
последовательность хп1п\ целиком лежит в Zp и стремится к нулю
при п-*-оо. Доказательство опирается на соотноше-
соотношение
Vo(n!) =
в котором функция Vp(rt) определена равенством
а чР{п) обозначает число ненулевых коэффицентов
в разложении
Так как в кольце формальных степенных рядов
x — j,; и jOgex__X) то отображения / и е опреде-
определяют взаимно обратные изоморфизмы между U и pZp.
Поскольку в группе Zp нет элементов конечного по-
порядка, то группа pZp изоморфна группе Zp\ Это за-
завершает доказательство при р>2. В случае /? = 2
требуются некоторые модификации.
На первом шаге точная последовательность
строится с помощью приведения по модулю 4 и изо-
изоморфизма
Расщепление в этом случае получается поднятием
группы Z/2={0.1} в группу {iljsZJ.

38 Глава 1
На втором шаге логарифм по-прежнему определяет
отображение
?/-*2Z2sZ2,
но экспоненциальное отображение определено только
на квадрате максимального идеала:
Действительно, равенство
означает, что дроби *у лежат в Z2 (и даже четны)
при всех п, но они сходятся к нулю только при чет-
четном у.
С помощью построенных функций из того, что Z^
не имеет кручения, легко вывести, что и U не имеет
кручения. (Доказательство: если хп=\, то logлгга ==
= п log х = 0; следовательно, log х = 0 и х = elog х = 1.)
Итак, мы построим отображения
возведение
г, в квадрат r;2J°JL и'Э умножение на 4 А
отображение log является изоморфизмом в силу ком-
коммутативности диаграмм
4Z2\ U2\
\exp | \log
включение I fj включение
\
/exp
2Z2 * U S
(Из первой диаграммы видно, что отображение
4Z2 —> U инъективно, а из второй — что отображение
ехр • log является изоморфизмом на свой образ.)
Замечание. Имеет смысл сравнить расщепления
. Zp?* {Zip — 1)©ZP, p нечетно,

Алгебраические конструкции 39
с расщеплениями
-г- argz© log | z |
R.^©Jo^(z/2)eR+>
где С — поле комплексных чисел, R — поле веществен-
вещественных чисел, R+ — аддитивная группа поля R и S1 — фак-
факторгруппа группы R+ по подгруппе целых чисел.
§ 3. СРАВНЕНИЕ ПОПОЛНЕНИЯ С ЛОКАЛИЗАЦИЕЙ
Сравним теперь операции локализации и попол-
пополнения. Напомним соответствующие определения.
Локализация: Gj= lim {G—*-G—>
Проконечное! x .. [конечные/-факторы!
j:Gr/— шп |
р] фр
/-пополнение j: Ul~~ l^L \ группы G J*
подгруппы
индекса I
Формальное ] q g %% lim {яг}.
/-пополнение/ ' w ' —>l "
конечно порожденные
подгруппы Н s Q
Пусть G — абелева группа, и пусть / — непустое
множество простых чисел.
Предложение. Имеется естественная комму-
коммутативная диаграмма
локализация _
Ог = С/ ® Z/
формальное /-пополнение —
проконечное ^-пополнение ~ ГкОНеЧНЫе/-фЭКТОры!
группы G )

40 Глава I
Доказательство. Прежде всего построим ком-
коммутативную диаграмму
локализация
От *-
прхжонечноеч
пополнение
Gt
Для. этого напомним, что группа Gi может быть
определэна как индуктивный предел системы гомомор-
гомоморфизмов
умножение на а _ , .
q >. Q, {q, р) — 1 при ре/
(см. предложение 1.1), и заметим, что гомоморфизм
является изоморфизмом для любой подгруппы Я
группы G конечного /-индекса. Последнее доставляет
канонические отображения группы Ог во все конечные
/-факторы группы G и через их посредство канониче-
каноническое отображение группы Gi в их проективный пре-
предел G/. Ясно, что получающаяся диаграмма коммута-
коммутативна.
Далее, используя отображение с и равенство
G=limffa,
a
где На — конечно порожденные подгруппы группы G,
мы получаем диаграмму
естественное естественное
отображение а с f~ отображение ^
G/ -« lim щ -*¦ lim щ >¦ Gz.
Здесь первое отображение, очевидно, является изомор-
изоморфизмом, а третья группа по определгнию является
формальным пополнением Gj. Итак, мы определили
отображения _

Алгебраические конструкции 41
и можем построить обещанную диаграмму. Осталось
проверить ее коммутативность. Но верхний треугольник
коммутативен, поскольку он является индуктивным
пределам треугольников, построенных выше (для ко-
конечно порожденных групп), а коммутативность ниж-
нижнего треугольника вытекает из естественности диаг-
диаграммы
ШпЯа—Ш
Следствие. Если G — конечно, порожденная
группа, то имеет место коммутативная диаграмма
с точными строками и столбцами
О
О -»¦ {/'-кручение G}->-G —> Gt
При (? = Z мы получаем последовательность колец
*- Z/ *- %
локализация пополнение
и естественное отображение Gt-*Gi есть (idG)®c.
Ясно, что локализация и формальное пополнение
коммутируют с прямыми пределами. Следующие при-
примеры показывают, что другие подобные утверждения
не верны:
(а) локализация: [lim Z/pa] ®Q = QP, но lim[Z/pa®
(b) формальное пополнение: [limZ/pa] <8> Zp
a,
lim (Z/pa ® Zp);

42 Глава 1
(с) проконечное пополнение: i) запишем Q = limZ;
тогда HmZ=s=Z®Q, но 0 = 0; ii) Hm(... ^-Z^-
,- | П
Следующие замечания касаются смешанных операций,
A) Если сначала произвести локализацию, а затем
Проконечное пополнение, то результат легко описать
и он часто равен нулю. Именно,
Gpt если /П*'#0,
0, если /П/' = 0.
Полагая, в частности, (G, /, /') = (Z, 0, р), мы видим,
что 0Р = 0.
B) Если сначала произвести локализацию, а затем
формальное пополнение, то мы получим- новые объекты.
Вот два примера. _
(i) Группа (ZoO = Qp = Q ® Zp изоморфна аддитив-
аддитивной группе поля р-адических чисел, которое обычно обо-
обозначается через Qp, Это поле является полгм частных
кольца Zp (хотя оно и ненамного больше этого кольца:
чтобы получить поле Qp, достаточно присоединить к Zp
элгмент 1/р). Очевидно, Qp является локально ком-
компактным метрическим полем (с нормой || \\р), причем
единичный круг, т. е. множество элементов х с || х\\р ^ 1,
есть Zp. Степенной ряд log(l + дг), который мы рас-
рассматривали выше, сходится во внутренней части еди-
единичного круга, т. е. в максимальном идеале pZp ? Zp.
Часто поле Qp определяют как пополнение поля рацио-
рациональных чисел в р-адической метрике. Этим оно по-
похоже на поле вещественных чисел R.
(ii) Группа (Zo)~ = Q ® Z является ограниченным
произведением полей р-адических чисел по всем р.
Подробнее:

Алгебраические конструкции 43
есть подмножество бесконечного прямого произведения,
состоящее из таких последовательностей
(Г2> Г3> Г5> • • •' rV> • • •)
р-адических чисел, в которых все элэменты, кроме,
быть может, конечного числа, являются целыми р-ади-
ческими числами.
Из этого описания видно, _что (Zo)~ есть кольцо;
это кольцо обозначается через Q. __
Заметим, что поле Q естественно вложено в кольцо Q
с помощью диагонального вложения
п//п->(п/т, п/т, .... п/т, ...).
Комбинируя это вложение с вложением поля Q в поле
вещественных чисел R, мы получаем вложение
Образ поля Q при этом вложении дискретен и фак-
факторгруппа аддитивной группы кольца Q X R по адди-
аддитивной группе поля Q компактна. Кольцо Q X R назы-
называется кольцом ад елей (для поля Q).
Оказывается, что для любого поля алгебраических
чисел можно построить соответствующее ему кольцо
аделей и даже по любой алгебраической группе —
соответствующую группу аделей (например, для поля
Q{t) = Q(x)l{xp-l) или для группы GL(n,Z)).
На группах аделгй существуют канонические меры,
и объем соответствующих арифметических факторов
имеет интересные теоретико-числовые интерпретации
(см. статью А. Вейля «Адели и алгебраические группы»
в сб. «Математика», 8 : 4 A964)).
Единицы колец аделей называются иделями. Они
используются при конструкции абелевых расширений
числовых полей (глобальная и локальная теория по-
полей классов).
Арифметический квадрат. Теперь мы рассмотрим
«расслоенный квадрат», связывающий операции лока-
локализации и пополнения. Он возникает при попытке
восстановить объект по его локализациям и пополне-
пополнениям.

44 Глава 1
Предложение 1.17. Диаграмма, состоящая из
групп {колец) и естественных отображений
(Р) " &Р
р-адическое
f целые числа, | пополнение^ |р-адические]
(локализованные в р) (.целые числа]
локализация I локализация
I в нуле | в нуле
формальное
р-аднческое
/вещественные"! пополнение ^ fp-адические!
\ числа J ( числа /
является расслоенным квадратом групп (колец).
Доказательство. Мы должны проверить точ-
точность последовательности
где /, /'.— естественные вложения
Zp —*- Qp, Q *• Qp.
Ясно, что для любого р-адического числа xeQp
существует такое рациональное число nip", что сумма
х + (п/ра) является целым р-адическим числам. Поэтому
отображение i — / является эпиморфизмом.
Кроме того, ясно, что у отображения Оф@) нет
ядра.
Чтобы закончить доказательство, нам бсталось
заметить, что рациональное число я/аи в том и только
в том случае является целым р-адическим числом,
когда аи не делится на р, т. е. когда л/аи принадле-
принадлежит локализации кольца Z по идеалу р.
Следствие. Локализация кольца Z по идеалу р
есть расслоенное произведение над полем р-адических

Алгебраические конструкции 45
чисел кольца целых р-адических чисел и поля рацио?
нальных чисел.
Предложение 1.18. Диаграмма
Z—-*Z
/целые) ГпоГеХ ( произведение по 1
(числа) * всем Р колец целых|
I р-адических чисел >
i локализация локализация
в нуле I в нуле
t , ппппЛм.нн» Гограниченное произве-1
(пяттипняльныр! пополнение \ v Г „ I
[рациональные ^ |дение по всем р полей?
I числа J [ р.адИческих чисел i
{«конечные адели»}
является расслоенным квадратом колец.
Доказательство. Опять-таки нам надо про-
проверить точность последовательности
р
(мы используем соотношения
р
Q = ограниченное произведение IlQp,
р
т. е. совокупность бесконечных последовательностей
р-адических чисел, из которых все, кроме конечного
числа, целые). Нетрудно проверить, что существует
такое рациональное число п/ш, что сумма n\m\r9

46 Глава 1
является целым р-адическим числом при всех р. По-
Поэтому отображение i — /' является эпиморфизмом.
Как и раньше, доказательство завершается таким
замечанием: рациональное число является р-адическим
целым при всех р в том и только в том случае, когда
оно просто целое.
Следствие. Кольцо целых чисел является рас-
расслоенным произведением поля рациональных чисел и
кольца целых аделей (т. в. произведения колец целых
р-адических чисел по всем р) над кольцом всех ко-
конечных аделей.
Обобщение: для любой конечно порожденной
абелэвой группы G и любого непустого множества /
простых чисел диаграмма
_ Z-адическог пополнение * л
G ® Z/ й Gi >¦ Gi ^ G ® Z,
локализация
J в нуле
локализация »
Ф
_ _ _ формальное пополнение , _ . _ _ _ ^^ ^
G ® Q & Go — »- (Go)/ = G ® Q ® Zj
является расслоенным квадратом.
Принимая за / множество всех простых чисел, мы
видим, что группа G восстанавливается по канониче-
каноническому отображению своей лэкалэзации G ® Q и своего
проконечного пополнения Ц Gp в группу
р
G ® {«конечные адели»}.
Полагая /= [р], мы видим, что локализация группы G
по отношению к р может быть восстановлена по ана-
аналогичным отображениям локализации в нуле и р-ади-
ческого пополнения.
В следующих двух главах будут приведены анало-
аналогичные конструкции для пространств. Мы увидим, что
изучение пространства X можно разбить на две
части — изучение его проконечного пополнения X и

Алгебраические конструкции 47
рационального пространства Хо. Каждое из этих двух
пространств отображается в адельное пространство Ха,
причем пространство X восстанавливается по диаграмме
X
I
В этом главная идея первых трех глав.

Глава 2
ТЕОРЕТИКО-ГОМОТОПИЧЕСКАЯ
ЛОКАЛИЗАЦИЯ
В этой главе мы построим функтор локализации
в гомотопической теории, используя при этом кле-
клеточную конструкцию для односвязных пространств
и конструкцию Постникова для «простых пространств».
В конце главы будет приведено несколько поясняющих
(как мы надеемся) примеров.
Мы будем работать в категории «простых прост-
пространств» и гомотопических классов отображений. На-
Напомним, что «простое пространство» — это простран-
пространство, имеющее гомотопический тип Сй^-комплекса
и такое, что его фундаментальная группа абелева н
тривиально действует на группах гомотопий и гомоло-
гомологии его универсального накрывающего пространства.
Пусть / — некоторое (возможно, пустое) множество
простых чисел. Мы зафиксируем / и под локализа-
локализацией будем понимать локализацию относительно I.
Определение 2.1. Пространство ^называется
локальным, если его гомотопические группы nqXt ло-
локальны, т. е. являются Zj-модулями. Отображение
пространства X в локальное пространство Xi,
называется локализацией, если оно универсально
относительно всех отображений пространства X в ло-
локальные пространства, т. е. если для любого такого
отображения / существует единственное отображе-
отображение //, делающее диаграмму
X *Xt
( локальное \
{пространство /
коммутативной.

Теоретико-гомотопическая локализация 49
Локальные пространства и локализации характе-
характеризуются следующим утверждением:
Теорема 2.1. Пусть
Х—+Х'
— произвольное непрерывное отображение. Если про-
пространства X, X' просты, то следующие утверждения
эквивалентны:
(i) отображение I является локализацией;
(И) отображение I локализует группы целочислен-
целочисленных гомологии:
ЯД >¦ НХ
N яд ® zz ^
(Ш) отображение I локализует группы гомотопий
>0):
яД >¦ яД'
z\ /С
Полагая I равным тождественному отображению, мы
получаем
Следствие. Если пространство X просто, то сле-
следующие утверждения эквивалентны:
(i) пространство X локально;
(и) группы Н„Х локальны;
(ш) группы яД локальны.
Кроме того, из теоремы 2.1 сразу вытекает
Следствие. Пусть X — >X' — непрерывное ото-
отображение. Если пространства X, X' локальны и про-
просты, то следующие утверждения эквивалентны:
(i) l является гомотопической эквивалентностью;
(ii) l индуцирует изоморфизм локальных гомологии;
(Hi) / индуцирует изоморфизм локальных гомотопий.

50
Глава 2
Заметим, что отображение индуцирует изоморфизм
локальных гомологии тогда и только тогда, когда
оно индуцирует изоморфизм рациональных гомологии
и гомологии modp для всех ре/.
Доказательство теоремы 2.1 небезынтересно, но
длинно, и мы приведем его в конце главы. Теперь же
мы опишем конструкцию локализации, которая ис-
использует эту теорему. Конструкция проводится по
остовам и начинается с построения локализации
сферы.
Выберем конфинальную последовательность
{/i, /2. •••} в мультипликативном множестве целых чисел,
взаимно простых с /. Например, если / = {р,, р2, ... } —
множество простых чисел, дополнительное к /, то пусть
[i\, 1'г С •••} = {pi. р\р\ pi ¦¦•pi>--\ за-
фиксируем, далее, отображение S1 —-> S' степени l'n
и определим «локальную сферу» 5^ как «бесконеч-
«бесконечный телескоп», построенный по последовательности
отображений
<г'А <г'А «г'
i-ареры
цилиндры отображений
Ясно, что включение S1 —*¦ s\ первой сферы в те-
телескоп локализует гомологии, так как оно индуцирует
следующее отображение групп Я/:
О —> 0 при / ф i,
Z —> lim Z = Zi ^при I = i.

Теоретико-гомотопическая локализация 51
Из теоремы 2.1 следует, что отображение / лока-
локализует и группы гомотопий,
—
и что / является локализацией. Возникающая гомо-
гомотопическая ситуация интересна, поскольку отображе-
отображение в гомотопических группах сферы, индуцирован-
индуцированное отображением степени d этой сферы на себя,
описать нелегко. Например:
(i) отображение S2-^>52 индуцирует в группе
n3(S2) = Z умножение на d2 (X. Хопф);
(ii) отображение 54 — ¦> S4 индуцирует эндоморфизм
группы щ E4) = Z/2 ф Z/2, задаваемый матрицей
(J о) (Д- Франк).
Следствие. Эндоморфизм в d-кручеши группы
7ij (Sl), задаваемый отображением степени d, нильпо-
тентен.
Определение 2.2. Локальный CW-комплекс
строится индуктивно, начиная с точки или с локаль-
локальной одномерной сферы, путем присоединения конусов
над локальными сферами посредством отображений
этих локальных сфер в «локальные остовы» меньшей
размерности.
Замечание. Так как у нас нет локальных нуль-
нульмерных сфер, то нет и локальных одномерных клеток.
Теорема 2.2. Пусть X есть CW'-комплекс,
у которого имеется только одна нульмерная тетка
и вовсе нет одномерных клеток. Тогда существуют
такой локальный CW-комплекс Хг и такое «клеточное»
отображение

52 Глава 2
что:
(i) отображение I индуцирует изоморфизм между
множеством клеток комплекса X и множеством ло-
локальных клеток комплекса Xt;
(ii) отображение I локализует гомологии.
Следствие. У любого односвязного простран-
пространства имеется локализация.
Доказательство следствия. Выберем та-
такое клеточное разбиение пространства X, в котором
есть только одна нульмерная клетка и вовсе нет
одномерных клеток '), и рассмотрим отображение
удовлетворяющее требованиям теоремы 2.2. Из тео-
теоремы 2.1 следует, что / локализует гомотопии и
является локализацией.
Доказательство теоремы 2.2 будет про-
проводиться индукцией по размерности. Если X — дву-
двумерный комплекс с одноточечным одномерным осто-
остовом ХA), то X есть букет двумерных сфер: X=\/S2.
В этом случае отображение VS2-* VS/ удовлетворяет
требованиям теоремы 2.2 и является локализацией.
Предположим теперь, что утверждение теоремы 2.2
справедливо для всех комплексов размерности ^ п — 1.
Пусть X — комплекс размерности п. Если отображе-
отображение /: A-*Ai удовлетворяет требованиям теоремы 2.2
и является локализацией, то такова и его надстройка
2/: 2Л-»-2Л/. Рассмотрим последовательность Пуппе
v s»-i -1>хы~1) -Z+X-U V
I' Jv-
Von—1 Ч тЛп— I)
1) Для построения такого разбиения требуется, вообще
говоря, заменить пространство X другим, гомотопически ему
эквивалентным, пространством. — Прим. ред.

Теоретико-гомотопическая локализация 53
Так как, согласно теореме 2.1, Х{"~п является локаль-
локальным пространством, то отображение f[t делающее
квадрат коммутативным, существует и единственно.
Обозначим через Хщ кослой отображения ft и опре-
определим отображение /: Х-*Хц) как
): Г U
Из предположения индукции следует, что отображе-
отображение / индуцирует взаимно однозначног соответствие
между множествами клеток и локальных клеток.
Рассмотрим диаграмму
v sn-i _i> дЬ-ч -^Х -^ V 5" ^ llJt1"-"
V 5Г/Г' -^ Х\?Ги 1+ Х{1) -+ V
Так как у всех нижних пространств, кроме, быть
может, пространства Хщ, гомологии локальны, то,
как это следует из точности, Хщ также имеет локаль-
локальные гомологии.
Поскольку все вертикальные стрелки, за исключе-
исключением, быть может, /, локализуют гомологии, то и /
локализует гомологии. Тем самым теорема 2.2 дока-
доказана для конечных комплгксов. Если X — бесконеч-
бесконечный комплекс, то положим
Ясно, что Xt удовлетворяет требованиям теоремы 2.2.
Существует конструкция, двойственная клеточной
локализации; она использует башню Постникова.

54 Глава 2
Пусть X — башня Постникова:
Мы говорим, что X есть лэкальная башня Постникова,
если комплекс Хп построен индуктивно, начиная с точки,
при помощи расслоений с «локальными К (я, я)» (т. е.
К (я, п) с лэкальными я) в качестве слоя.
Теорема 2.3. Если X — произвольная башня Пост-
Постникова, то существуют локальная башня Постникова
Xt и отображение
Х^Хи
которое локализует группы гомотопий и k-инварианты ')•
Доказательство. Проведем индукцию по числу
этажей в башне X. Предположим, что мы построили
отображение
локализующее гомотопий. Тогда можно формально
локализовать /г-инвариант
k e Hn+l (X1"-"; я„). ^
') Замечание. При построении башни Постникова Xi и
отображения X -> Xi мы ие будем пользоваться тривиальностью
действия группы Я] иа группах гомологии универсального на-
накрывающего пространства.

Теоретико-гомотопическая локализация 55
Мы получим элемент
Как это следует из теоремы 2.1 и формулы универ-
универсальных коэффициентов, существует единственный эле-
элемент
с rkt—ki. Согласованная пара ^-инвариантов (k,
позволяет нам построить диаграмму
Хп is_ +х?
\ \*i
в которой, согласно определению /г-инварианта, Z"
есть слой отображения k, Xi определяется как слой
отображения kh a /„ строится из соображений естест-
естественности. Из точности гомотопической последователь-
последовательности расслоения следует, что отображение /„ локали-
локализует гомотопии.
Действуя так и дальше, мы локализуем всю башню X.
Следствие. Любое простое пространство обла-
обладает локализацией.
Доказательство. Построим башню Постникова
для нашего простого пространства. Локализуя эту
башню согласно теореме 2.3, мы получим локализацию
исходного пространства.
Заметим, что в силу свойства универсальности,
любые две локализации канонически изоморфны. По-
Поэтому мы можем говорить о функторе локализации.
Предложение 2.4. В категории простых прост-
пространств функтор локализации сохраняет расслоение
и корасслоения.

56 Глава 2
Доказательство. Мы будем использовать гомо-
гомологические и гомотопические свойства локализации.
Пусть
есть расслоение с простыми F, Е, В, и пусть
...->n.(F)->n,(E)—> яДВ) —>я,_, (/>)-> ...
\ I /
, F)
есть соответствующая точная последовательность. Рас-
Рассмотрим диаграмму
Fl-±El-±Bl
I- I I
слой #,)—>?,-> В,
(так как ft о it = 0, то отображение gt существует и
единственно). Она индуцирует коммутативную лестницу
1 I" f I" i
(fi). ~> n, (слой) -> я, (?•/) ^> я» (Bt) -> я,_1 (слэй) -> ...
Ее коммутативность следует из коммутативности диа-
диаграммы
, слэй) -*¦ я» (слой).
В силу леммы о пяти гомоморфизмах, отображение gi
является гомотопической эквивалентностью. Слэдова-
h h
тельно, Fi —> Et —>¦ Bi есть расслоение,

Теоретико-гомотопическая локализация §7
Пусть теперь А -> X -*¦ X [} f С А—корасслоение с про-
простыми А, X, X(jfCA. Тогда диаграмма
Л-^>Х-> X[}fCA -+2А ^+ЪХ
\а \ь \ь\]С(а) [га
At -^Xi-
гомотопически коммутативна, и потому отображение
X U f С (А) -*¦ Xi U f[ С (Ai) индуцирует изоморфизм Zi-vo-
мологий. Для завершения доказательства предложе-
предложения 2.4 остается проверить, что пространство Yt =
= Xt\j flC{Ai) просто: из следствия теоремы 2.1 тогда
будет вытекать, что естественное отображение
является гомотопической эквивалентностью. Судить
о том, так ли это, когда Yt не односвязно, мы предо-
предоставляем читателю.
Заметим теперь, что распространения функтора
лэкализации на всю категорию гомотопических типов,
которое сохраняло бы расслоения и корасслоения, не
существует. Действительно, рассмотрим диаграмму
I двулистное накрытие
RP2
двулистное
накрытие
^естественное вложение
Вертикаль в этой диаграмме является расслоением,
а горизонталь —корасслоением. Если мы локализуем
эту диаграмму «вне двойки» (т. е. по отношению к /,
не содержащему 2), то получим диаграмму
S?

58 Глава 2
Если бы локализация сохраняла корасслоения, то про-
пространство RPi было бы гомотопически эквивалентно
точке. Если бы локализация сохраняла расслоения, то
пространство RP] былэ бы гомотопически эквивалентно
лэкальной сфере 5? (которая гомотопически не три-
тривиальна).
Интересно понять, какую локализацию можно опре-
определить для более общих пространств, чем простые ').
Прежде чем переходить к доказательству теоремы 2.1,
приведем несколько примеров и сделаем несколько
поясняющих замечаний.
A) Для любого локального пространства X имеет
место изоморфизм
[S{. X\b * ntX.
где индекс Ь означает, что рассматриваются отобра-
отображения, сохраняющие отмеченную точку. При / > 1
этот изоморфизм является групповым (так как s\ =
= 25/"', то лзвая часть обладает при i> 1 естествен-
естественной структурой группы), а при 1=1 он позволяет
ввести групповую структуру в левой части.
B) Для локального пространства X имеет место
гомотопическая эквивалентность Q'X^ Map6EJ, X),
обобщающая изоморфизм A).
C) Отображение
которое определяется, в силу свойства универсаль-
универсальности, отображением
доставляет гомотопическую эквивалентность между
компонентами связности, содержащими тождественное
') См., например, эквивариантную локализацию, используе-
используемую при доказательстве теоремы 4.2 2).
2) См. также недавнюю работу М. Bendersky, A functor
which localized non-simply connected spaces, Lecture Notes,
418 A974), 13- 21. -Прим. ред.

Теоретико-гомотопическая локализация 59
отображение. (Заметим, что щ@,'81)=2, ая0(Q'(sj))=
= Zj.) В частности,
(Mapt(S't S')+1)^Mapt(S{, S')+I.
D) Если J, /' — два непересекающихся множества
простых чисел и 1[}1' = {все простые числа), то диа-
диаграмма
X ->Х1
I |
Xi- -> Xq
является расслоенным квадратом. (С помощью пред-
предложения 1.11 легко проверить, что последовательность
0->щХ->ntX <8> Zt->ntX<S> Zr->«<*® Q-*0
точна.)
E) Обобщение: пространство X является бесконеч-
бесконечным расслоенным произведением своих локализаций
в отдельных простых числах
Хр Xq Хг
... \i/ ...
Ха
над пространством Хо:
Х2, з = Х2 Ххо Х3,
-^2, 3, 5 — -^2, 3
Х^ ... ((Х2 Хх.Х3) Хх, Xs)
(см. предложение 1.12).
F) Пространство Хо является Я-пространством
в том и только том случае, если оно является произ-
произведением пространств Эйленберга — Маклейна (см.
Milnor J., Moore J., On the structure of Hopf algebra,
Ann. of Math., 81 A965), 211—264).
G) Пространство Х является Я-пространством
в том и только том случае, если для каждого про-
простого р пространство Хр является Я-пространством
и канонический изоморфизм Н^{Хр\ Q)-*H,(Xq; Q)

60 Глава 2
является кольцевым для произвольной пары простых
чисел р, q.
Доказательство. Пусть X есть Я-простран-
ство с умножением ц: Ху,Х~>Х. Отображение ц
индуцирует отображение цр: (X ХХ)Р-*ХР и, следова-
следовательно, отображение \ир: ХР\ХР->ХР. Поэтому каж-
каждое Хр наследует от X Я-структуру. Пространство
(ХрH совпадает с Хо, и ясно, что Я-структуры на Хо,
индуцированные Я-структурами X и Хр, совпадают.
Поэтому естественные изоморфизмы
являются кольцевыми.
Обратно, если для всех простых р пространство Хр
снабжено Я-структурой и естественный изоморфизм
Ht{Xp; Q)^ Ht(Xq; Q) является кольцевым, то Я-про-
странства (Хр)о и {ХдH изоморфны (так как в случае
рационального Я-пространства его Я-структура опре-
определяется кольцом Понтрягина). Поэтому в простран-
пространствах диаграммы
Х2 Х3 Хь ...
¦Хо
имеются согласованные умножения. Они индуцируют
структуру Я-пространства на расслоенном произве-
произведении X.
Замечание. Если Hg(X;Q) = 0 при q^n для
некоторого п, то, согласно теореме Хопфа, кольца
Ht{Xp\ Q) являются внешними алгебрами и потому
определяются своими групповыми структурам^. Следо-
Следовательно, канонический изоморфизм Я, {Хр\ Q) э*
= Н,(ХЯ; Q) автоматически является кольцевым.
(8) Если Я — гомотопически коммутативноз Я-про-
странство, то функтор F = [ , Я] ® Zj представляется
пространством Я<.

Теоретико-гомотопическая локализация 61
(9) Если Я-пространство X обладает классифици-
классифицирующим пространством ВХ, то {BX)t является клас-
классифицирующим пространством для Я-пространства Xt.
п
A0) Имеет место изоморфизм (BUnH?± П K(Q, 21),
П
задаваемый рациональными классами Чжэня
Для доказательства достаточно вспомнить, что
H*(BUn;Q)~Q[cu .... с„], "
A1) Так как
H*(BSO2n; Q)s*'
то отображение
BSo2n "l'Pi Р"-';х>Щ К(Q, 4/)] X /С(Q, 2л)
задает локализацию в нуле пространства BSOin.
A2) /r(BSOa,_,; Q)eeQ[p,, .... р„_,]; в действи-
действительности Q можно заменить на Z[l/2]. Поэтому:
(a) (BSO2n-yH^UK(Q,2i);
(b) если мы локализуем относительно нечетных про-
простых чисел, то естественная проекция
BSO2n-x-*- BSO
будет обладать каноническим сечением над Dл—1)-м
остовом.
A3) Пространство Тома MUn является кослоем ко-
корасслоения
Поэтому (MUnH является кослоем корасслоения
П к (Q, а) -> П к (Q. 20

62 Глава 2
т. е. пространство (М/„)о канонически ретрагируется
на K(Q, 2л).
Геометрическое следствие. Каждая прямая
в пространстве
Я2'(конечный полиэдр; Q)
содержит точку, которая «естественно» представляется
как класс Тома подкомплекса V нашего полиэдра
с комплексным нормальным расслоением.
A4) Пространство (BUH естественно представляется
как индуктивный предел по всем п, k отображений
A5) Рассмотрим S" с п > 0.
(a) Пространство So является Я-пространством в том
и только в том случае, когда п нечетно. При этом
So" есть пространство петель пространства K(Q, 2n).
(b) Пространство Stn~l является Я-пространством
только при п = 1, 2, 4 и является пространством пе-
петель только при я=1, 2 (Дж. Ф. Адаме).
(c) Если р нечетно, то пространство Spn~l при всех, и
является Я-пространством. Оно является пространством
петель в том и только в том случае, когда р = 1 (mod и).
(Необходимость этого условия доказали X. Адем,
Н. Стинрод, Дж. Ф. Адаме и А. Люлевичус, а доста-
достаточность будет проверена в гл. 4 при изучении «глав-
«главных сферических расслэений».)
Таким образом, всякая сфера S2" становится про-
пространством петель в результате локализации по любому
из бесконечного множества простых чисел р. Напри-
Например, Sp есть пространство петель для всех простых р
вида 4Jfe + 1. Однако для фиксированного р локальные
сферы Sp"~ являются пространствами петель лишь при
конечном множестве значений п: если р > 2, то для п,
делящих р — 1 (или, в общем случае, для п, являю-
являющихся порядками конечных подгрупп в группе единиц
кольца целых р-адических чисел).

Теоретико-гомотопическая локализация 63
A6) (а) Если мы локализуем вне двойки, то ото-
отображение Кирби — Зибенмана
{
l пространства R" j l пРостРанства К J
становится эквивалентностью при п-*¦<».
(Ь) Обозначим через G предел при и->оо группы
собственных гомотопических эквивалентностей простран-
пространства R". Тогда при локализации вне двойки получается
гомотопическая эквивалентность
GIPL ^ О/Тор s ВО (см. гл. 6, стр. 278),
а при локализации в двойке — следующие разложения:
О/Тор ^ (произведение пространств Эйленберга —
Маклейна)
G/PL ^ (почти произведение пространств Эйленберга —
Маклейна)
, 2)Х№, 4)]Х
6S?»
X [Й/С(г/2, 4/ + 2)] X
(с) При локализации вне двойки имеют место ра-
равенства
Kpl as/СторЭ^ КО*ф [конечная теория} (гл. 6, § 4).
где через /СО* обозначена группа специальных единиц
в К -теории {КО* = 1 + КО), и естественное отображение
задается некоторым экспоненциальным оператором 6
в /(-теории:
¦ефнуль> /(О*® {конечная теория} (гл. 6).
Мы детализируем последнее замечание во второй
части этой работы.

64
Глава 2
Доказательство теоремы 2.1. Прежде всего
мы докажем эквивалентность условий (п) и (Ш). Нач-
Начнем с трех общих замечаний.
Замечание (а). При изучении отображения
Х-+Х'
мы будем использовать его постниковские разложения:
I X"
верхняя
постниковская
система
Xn-i
п=\, 2, 3, ...
я-й ft-иивариант
(пространства X'
К(лп,п+1)
где Х° = X°i = *, вертикальные сгрелки являются рас-
расслоениями и
(Так как в постниковской башне имеет место стабили-
стабилизация остовов, то мы можем без всякого риска использо-
использовать проективный предел. В гл. 3 мы будем изучать
проективный предел в более сложной ситуации и при-
приведем пример возникающих при этом ловушек.)
II
нижняя
постниковския
система
Х„
I I.
К{пп, п) п~+К{п'п, п)
б-инвари^нт
простр а Нства Х'п

Теоретико-гомотопическая локализация 65
где {xl-*-X'i) = (x-+X'), вертикальные стрелки яв-
являются расслоениями и Хп-Л-Х'п есть (п — 1)-связное
накрытие отображения Х—>ХГ1).
Замечание (Ь). При изучении отображений
индуцированных гомоморфизмами k: n-*n', мы будем
использовать диаграмму
(III) К(п,п)-^К{л', п)
I I
Р > Р
где Р — стягиваемое пространство путей и вертикаль-
вертикальные стрелки являются расслоениями.
Замечание (с). Имеет место следующее обобще-
обобщение предложений 1.7 и 1.8. Пусть
— отображение расслоения в расслоение. Тогда
(i) если все пространства связны и имеют коммута-
коммутативные фундаментальные группы, а два горизонтальных
отображения, локализуют гомотопии, то и третье гори-
зонтальног отображение локализует гомотопии;
(И) если фундаментальные группы действуют
тривиально на группах гомологии слоев и два
') То есть Хп, х'п — «убивающие пространства». — Прим. ред-
3 Д. Суллнван

66 Глава 2
горизонтальных отображения локализуют гомологии,
то и третье горизонтальное отображение локализует
гомологии.
Утверждение (i) сразу следует из точности гомото-
гомотопической последовательности расслоения (ср. с доказа-
доказательством предложения 1.7).
Доказательство утверждения (ii) состоит из двух
частей. Во-первых, из предложения 1.8 вытекает, что
если из трех наборов групп гомологии
H,Ff, H,E', Н,В'
два состоят из локальных групп, то и третий состоит
из локальных групп. Во-вторых, если мы уже знаем,
что гомологии всех правых пространств локальны, то
для доказательства утверждения (ii) достаточно про-
проверить, что отображения f, g, h индуцируют изомор-
изоморфизм групп
НА ; Z,),
так как, например,
Но последнее ясно, поскольку если два отображения
индуцируют изоморфизм групп Н*( ; Zt), то третье
отображение тоже индуцирует изоморфизм этих групп
в силу теоремы о сравнении спектральных последова-
последовательностей.
Используя сделанные замечания, нетрудно теперь
показать, что отображение I простого пространства X
в простое пространство X' локализует гомотопии в том
и только в том случае, когда оно локализует гомо-
гомологии.
Шаг 1. Пусть
{хЛХ') = (К(п, 1)~^К(л', 1)).
Если / локализует гомологии, то оно локализует и
гомотопии, так как я=#,(Х) и п' = Н^Х'). Если /
локализует гомотопии, то
(л ->• л') =

Теоретико-гомотопическая локализация 67
Следовательно, / локализует гомологии, так как: (i)
при n = Z отображение / есть локализация
изучавшаяся ранее; (ii) при n = Zlpn
если р ф. I,
~п, если р <= /;
(iii) наконец, произвольная абелева группа является
индуктивным пределом прямых сумм групп, рас-
рассмотренных в (i) и (ii).
Шаг 2. Пусть
(X -U X') = (К (п, п) — > К (п', п)\
Если / локализует гомологии, то I локализует и
гомотопии, так как п = Нп(Х), я' = Нп(Х').
Если I локализует гомотопии, то, используя индук-
индукцию по п, диаграмму III в замечании (Ь), замеча-
замечание (с) и утверждение, доказанное на первом шаге,
мы видим, что I локализует и гомологии.
Шаг 3 (общий случай). Пусть отображение / ло-
локализует гомологии. Применяя теорему Гуревича при
и = 1, мы находим, что отображение / локализует nv
Используя утверждение, доказанное на первом
шаге, диаграмму II в замечании (а) с я=1 и заме-
замечание (с), мы находим, что отображение
локализует гомологии. Применяя теорему Гуревича
при п — 2, мы видим, что отображение 12, а значит
и отображение /, локализует п2. Используя утвержде-
утверждение, доказанное на втором шаге, с п = 2, диаграмму II
с п = 2 и замечание (с), мы приходим к выводу, что
отображение I локализует щ и т. д. По индукции по-
получаем, что отображение / локализует гомотопии во
всех размерностях.
Пусть теперь отображение I локализует гомотопии.
з*

68 Глава 2
Применяя утверждение, доказанное на втором шаге,
и используя диаграмму I, мы проверяем по индукции,
что каждое из отображений
Хп -^-+ {XT
локализует гомолэгии. Поэтому отображение
также локализует гомологии.
Эквивалентность утверждений (И) и (ш) теоремы
2.1 доказана.
Покажем теперь, что утверждения (i) и (и) нашей
теоремы эквивалентны.
Пусть /: Х-*Х'— универсальное отображение для
отображений в локальные пространства Y. Беря в ка-
качестве Y различные пространства К (л, п) с локаль-
локальными я, находим, что / индуцирует изоморфизм групд
#*( ; Q) и Н*( ; Zip) при pel. Следовательно,
отображение / индуцирует изоморфизмы групп
Н.( ;Q) и НА iZIp), ре/.
Используя точную последовательность Бокштейна
...-»//,(; Z/pn)-* Hi ( ; Zlpn+l) -» Ht ( ; Zip") ->...,
мы по индукции докажем, что / индуцирует изомор-
изоморфизм групп Н, ( ; Zip") для всех п. Так как опера-
операция взятия гомологии при всех п коммутирует с ин-
индуктивным пределом, то I индуцирует изоморфизм
групп //,( ; Zip00), где Z/p°° = lim Z/pn. Используя,
наконец, точную последовательность коэффициентов
и изоморфизм
мы находим, что отображение I индуцирует изомор-
изоморфизм групп //, ( ; Z/).
По определению, X' есть локальное пространство.
Следовательно, как мы уже доказали, его группы го-
гомологии локальны. Таким образом, (ii) следует из (i).

Теоретико-гомотопическая локализация 03
Для того чтобы доказать, что (i) следует из (И),
рассмотрим препятствие к единственности продолже-
продолжения fi отображения f в диаграмме
\ и
Y
Оно лежит в группе
H*(X',X;nJ).
Заметим, что группы я„У являются /г-модулями и что
отображение / индуцирует изоморфизм Zz-гомологий.
Используя естественную точную последовательность
(над кольцом Zj)
мы Получаем, что отображение / индуцирует изоморфизм
Zrкoгoмoлoгий. Из формулы универсальных коэф-
коэффициентов над Zi следует, что группа, в которой
принимает значение препятствие, тривиальна. Следова-
Следовательно, существует единственное продолжение // отобра-
отображения f, и, значит, отображение / является локали-
локализацией.

Глава 3
ПОПОЛНЕНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
В этой главе мы распространим конструкцию
пополнений групп в гомотопическую теорию.
Мы следуем идеям Артина и Мазура')> которые
понимали проконечное пополнение гомотопического
типа как проективную систему гомотопических типов
с конечными гомотопическими группами. Мы «завер-
«завершим» рассмотрения Артина — Мазура, построив для
каждого связного CW-комплекса X настоящий гомо-
гомотопический тип X.
Это проконечное пополнение X будет наделено до-
дополнительной структурой: естественной компактной
топологией на функторе [ , X]. Последняя позволит
нам рассмотреть проективный предел в гомотопиче-
гомотопической категории, что обычно бывает невозможно.
Предположения типа конечности, налагаемые на X
(или X), делают эту топологию внутренней по отно-
отношению к X. Благодаря этому мы будем иметь воз-
возможность уничтожать или восстанавливать ее, как
того потребует ситуация.
Для счетных комплексов X мы построим также
формальное пополнение X. Последнее является CW-
комплексом с частичной топологией на функторе
[ , X]. Мы будем применять формальное пополнение
к рациональным гомотопическим типам, поскольку,
как оказывается, проконечное пополнение рациональ-
рационального пространства всегда стягиваемо. В этом случае
существенной частью топологической структуры на
функторе [ , X] является структура Z-модуля на го-
гомотопических группах пространства X. Эта Z-струк-
') Artin M., Mazur В., Etale homotopy theory, Springer
Lecture Notes, 100 A969).

Пополнение в гомотопической теории 71
тура делает более обозримыми указанные гомотопи-
гомотопические группы, которые чрезвычайно велики как
векторные Q-пространства.
Эти конструкции пополнения и конструкция лока-
локализации из гл. 2 позволяют нам «разложить» клас-
классический гомотопический тип на рациональную часть
и бесконечное множество р-адических частей.
Мы обсудим возможность восстановления клас-
классического гомотопического типа по этим частям с по-
помощью адельного типа и гомотопического анадога
«арифметического квадрата» из гл. 1.
§ 1. ПОСТРОЕНИЕ ПРОКОНЕЧНОГО ПОПОЛНЕНИЯ t
Идея конструкции. Мы начинаем со следующего
замечания. Если F — пространство с конечными го-
гомотопическими группами, то на функторе [ , F] можно
ввести естественную топологию. Эта (компактная)
топология получается из эквивалентности
[Г,Л^> lim [Ya,F]
конечные
полкомплексы
и удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа.
Для любого пространства X рассмотрим категорию
{/} отображений пространства X в пространства F
с конечными гомотопическими группами. Эта категория
окажется пригодной для образования проективных
пределов, и мы сможем определить функтор X равен-
равенством
X(Y) = lim [Y,F]
(\f) зависит от X). Компактность правой части обес-
обеспечивает, в силу теоремы Брауна, представимость
функтора X. Таким образом, мы определим гомотопи-
гомотопический тип проконечного пополнения X и тополэгию на
функторе [ , X].
Замечание. Существенность условия ком-
компактности для образования проективного предела

72 Глава 3
иллюстрируется следующим примером. Обозначим че-
через L проективный предел представимых функторов
[ , S2] относительно системы отображений в себя, по-
порожденных отображением
Q2 степень 3 Q2
Нетрудно проверить, что L(S}) ^ L(S2)s* *, но L (RP-)
состоит из двух элгментов. Следовательно, функтор L
не представим ')•
Дадим, хотя, может быть, и преждевременно, сле-
следующее определгние:
Определение 3.1. Проконечное пополнение X
связного CU^-комплекса Х состоит из
(i) контравариантного функтора
л.
lim f , F]
/гомотопическая 1 tn
1 категория J
категория компактных
хаусдорфовых вполне несвязных
пространств
(п) Cl^-комплекса (также обозначаемого через X),
представляющего сквозной функтор
л естественный
гомотопическая i ^х^_ Г топологическая | функтор >
| категория 1 _
' 1 множеств J '
категория J [ категория
(iii) естественного гомотопического класса отобра-
отображений (называемого проконечным пополнением)
') Если бы он был представим, то естэственная последова-
тгльность
была бы точна. — Прим. ред.

Пополнение в гомотопической теории 73
определяемого отображением
П
Ниже это определение обсуждается и мотивируется.
Предложение 3.1. Если гомотопические группы
пространстза F конечны, то функтор [ , F] естест-
естественно представляется как функтор в топологи-
топологическую категорию вполне несвязных компактных
хаусдорфовых пространств. При этом гомотопические
классы отображений F -> F' индуцируют непрерывные
отображения функтора [ , F\ в функтор [ , F'\.
Доказательство основывается на двух утвер-
утверждениях:
(О для любого конечного комплекса Ya множества
[Ya, F\ конечно;
(ii) для любого комплекса Y естественное отобра-
отображение
[У, F] сужен"е > \\m[Ya,F]
конечные
подкомплексы
взаимно однозначно.
Утверждения (i) и (ii) мы докажем несколько позже.
Вместе они показывают, что множество [Y, F] естест-
естественно изоморфно проективному пределу конечных ди-
дискретных топологических пространств. Но из общей
топол:1гии известно, что такие «проконечные простран-
пространства» характеризуются тем, что они являются ком-
компактными хаусдорфовыми и вполне несвязными.
Гомотопический класс отображений /: У-+К инду-
индуцирует непрерывное отображение [Y, F] -> [Y', F\. Под-
Подходящее клеточное отображение класса / индуцирует
отображение направленных множеств
и, следовательно, определяет отображение (в противо-
противоположную сторону) обратных систем.

74 Глава 3
Аналогично, отображение f: F—>F' индуцирует
естественное непрерывное отображение соответствующих
функторов:
[Y,
Предложение доказано.
¦Таким образом, полная подкатегория гомотопи-
гомотопической категории, состоящая из гомотопических типов
пространств с конечными гомотопическими группами,
канонически изоморфна категории функторов из гомо-
гомотопической категории в категорию компактных хаус-
дорфовых пространств:
F++[ ,F\.
Каждому пространству X отвечает подкатегория этой
категории «компактно представимых функторов». Точ-
Точнее, свяжем с пространством X категорию (/}, у кото-
которой (i) объектами служат (базированные) гомотопи-
гомотопические классы отображений X —> F, где F — про-
пространство с конечными гомотопическими группами;
(п) морфизм объекта X -> F в объект X -*¦ F' есть
гомотопически коммутативная диаграмма
Предложение 3.2. Категория \\\ обладает сле-
следующими свойствами: (a) {f} — направленная катего-
категория, т. е. любые два объекта f, g^MootCHo включить
в диаграмму

Пополнение в гомотопической теории 75
(Ь) в категории {/) нет существенно различных мор-
физмов, т. е. любая диаграмма f^tg может быть
включена в диаграмму
в которой композиции совпадают.
Доказательство, (а) Для любых объектов
X ~* F и X -*¦ F' категории {/} диаграмма
fxg/
X——
N.
¦F'
\
F
коммутативна.
(b) Пусть заданы два морфизма в категории {f}:
Х-+ F'
F
Рассмотрим «коуравнитель» отображений h и h'\
С (A, h')->Fr=ZF, hog~h°gr.
Если h' есть отображение в точку, то С (A, hf) — гомо-
гомотопический слой отображения h. В общем случае ото-
отображение С (Л, h')—>F' может быть описано как (гомо-
топически) универсальное для отображений g: П->Х'
с фиксированной гомотопией между h ° g и ti ° g (суще-
(существование и гомотопическая единственность очевидным
образом следуют из теории Брауна)').
Более явно пространство C(h, h') можно описать как
некоторое подмножество в произведении ((пути F)X^')
а именно
C(h, h')—{p^F', x<=F'\ p(o)
') См. Brown E. H., Abstract homotory theory, Trans. Amer.
Math. Soc, 119 A9fi5), 79—85, или Спеньер Е., Алгебраическая
топология, «Мир», М., 1971, гл. VII, § 7. —Прим. ред.

76 Глава 3
Так же как и в случае, когда h' есть отображение
в точку, можно построить точную последовательность
гомотопических групп
...->я,С(й, A')-»n,F'^^-n,F-»-... .
Из функториальности определения пространства
С {h, h') слздует существование коммутативной диа-
диаграммы
F" = C(h, h')
г/ I
/ I
Х1^ F'
(f" определяется с помощью гомотопии, соединяющей
h°f с К°f). В силу точности гомотопической послздо-
вательности, гомотопические группы пространства F"
конечны, т. е. отображение X-+F" есть объект кате-
категории {/}.
Мы пришли к следующей ситуации.
(i) Для каждого пространства X определена кате-
категория. {X—>F\ — {f\, и в силу предложения 3.2 эта
категория является .хорошо индексирующей, т. е. при-
пригодной для образования проективных пределов. (Мы
. можем считать, что объекты категории {/) составляют
множество; чтобы этого достичь, достаточно выбрать
в каждом гомотопическом типе с конечными гомотопи-
гомотопическими группами по одному представителю.)
(И) Имеется функтор из категории индексов {/}
в категорию «компактных представимых функторов»
Поэтому fenepb естественно доказать
Предложение 3.3. Пусть {Fa} — семейство ком-
компактных представимых функторов, занумерованных
хорошо индексирующей категорией {а}. Тогда можно
образовать проективный предел lim Fa, и этот предел
а
является компактным представимым функтором.

Пополнение в гомотопической теории П
Доказательство. Полезно определить новую
систему функторов /а на гомотопической категории, взяв
за /„ (Y) пересечения образов отображений Р^(У) -> Fa{Y)
по всем морфизмам а->р. Используя направленность
категории (а) и отсутствие в ней существенно различ-
различных морфизмов, можно показать, что все морфизмы
а—>р индуцируют один и тот же морфизм
[Например, уравняем пару отображений а^Р коммутативной
диаграммой ai?P->-Y- Тогда диаграмма
коуравнивает пару
Но, по .определению, /р (Y) содержится в образе Fу (Y), и потому
эти отображения F^(Y)^$. Fa(Y) совпадают на /р (Y).
Для того чтобы доказать, что образ этого единственного
отображения
/g (У) -> ^a (Y)
лэжнт в /а (У), мы используем сильную направленность катего-
категории {а}. А именно, если
Fv (Y) -> Fa (Y)
есть отображение, индуцированное произвольным отображением
a ->Y- т0 мы можем доминировать отображения a ->¦ \, a -> Р
отображениями р -> 6', у -> 6', а потом уравнять композиции:
/К
а 6'н»6
Последняя диаграмма определяет коммутативную диаграмму
F& (Y) Fa(Y)
^FyiY)^
Любая точка из /р (У) содержится в образе F& (Y). Поэтому,
в силу коммутативности, образ /р (У) лежит в Fy (У). Так как
исходное отображение a -> у было произвольно, то мы доказали,
что образ /р(К) содержится в /а (У).)
Ясно, что проективный предел lim Fa по категории {а}
а
канонически изоморфен обычному проективному пределу

78 Глава 3
lim/a по категории {а}, в которой все морфизмы
a
a^|p склеены в один морфизм а-^->р. Ясно, далее,
что для любого гомотопического типа Y пространство
/а(У) является компактным и хаусдорфовым и что оно
непусто, если F^{Y) непусто ни при каком р. (Для
проверки того, что Ia(Y) непусто, надо, рассуждая
так же, как и раньше, проверить непустоту конечных
пересечений образов Fo{Y).)
Конечно, Fa{Y) всегда содержит постоянное отобра-
отображение и, следовательно, функтор
ГС1 1*7™» /ТГ\
+hm Fa(Y)
относит каждому Y непустое компактное хаусдорфово
пространство. (Мы используем здесь фундаментальный
факт (**): проективный предел непустых компактных
хаусдорфовых пространств есть непустое компактное
хаусдорфово пространство.)
Для того чтобы доказать представимость функтора
G = lim Fa,
a
нам надо проверить две аксиомы Брауна:
(i) экспоненциальный закон;
(и) свойство Майера — Виеториса ').
Первое условие заключается в том, что естествен-
естественное отображение
(р)П
р р
должно быть изоморфизмом для произвольного семей-
семейства пространств {YJ. Выполнение этого условия сразу
следует из перестановочности проективного предела
') Подразумевается теорема Брауна, утверждающая, что
проверяемые ниже условия обеспечивают представимость функ-
функтора; см. Спеньер Е., Алгебраическая топология, «Мир», М.,
1971, гл. VII, § 7. — Прим. ред.

Пополнение в гомотопической теории 79
с произвольными перемножениями; Оно не использует
компактности функторов Fa.
Второе условие более деликатно, и его проверка
часто оказывается непреодолимым препятствием. Если
Y = A\jB и Z — А()В (все это — комплексы и под-
подкомплексы) и мы выбрали элементы множеств G{A)
и G(B), индуцирующие один и тот же элемент мно-
множества G (Z), то должен найтись хотя бы один элемент
множества G(Y), ограничение которого на Л и В со-
совпадает с выбранными элементами.
Это верно для каждого а, так как Fa — предста-
вимый функтор. При этом ясно, что множество под-
подходящих элементов множества Fa(A\jB) является ком-
компактным. Используя фундаментальный факт (**), мы
видим, что проективный предел этих множеств не
является пустым. Следовательно, функтор lim F = G
обладает свойством Майера — Виеториса.
Из теоремы Брауна следует, что существует такой
CW-комплекс V, что
В процессе доказательства предложения 3.1 мы при-
приняли без доказательства два утверждения. Докажем их.
Первое: если Y — конечный комплекс и F — про-
пространство с конечными гомотопическими группами, то
множество [Y, F] конечно. Это доказывается несложной
индукцией по числу клеток пространства Y. Надо
только вспомнить, что число гомотопических классов
продолжений отображения на область определения этого
отображения с приклеенной г-мерной клеткой не пре-
превышает числа элементов группы nt{F).
Второе: естественное отображение
ГУ, F] -^ lim [Уо, F],
где {а} — направленное множество конечных подком»
плексов в Y, является изоморфизмом.
Доказательство естественно разбивается на две
части.

80 Глава 3
Первый шаг. Отображение г сюръективно при
любых Y, F. Пусть х — элэмент проективного предела.
Обозначим через р такое направленное подмножество
в {а), что вместе с каждым элементом оно содержит
все меньшие, и при этом существует отображение
Yt= U Ya^F,
представляющее элемент */р. Множество $ таких пар
(р, дер) мы упорядочим условием: (р, хр)<1(р', х^), есл!
psp', и ограничение отображения лу на Y^ гомо-
гомотопно *р. Любая линейная упорядоченная цепочка
в 3& счетна (так как это верно для {а}). Пусть
(Рр *Э,)^ • • • —линейно упорядоченная цепочка в Л.
Используя конструкцию бесконечного телескопа, воз-
возникающего из влэжений комплексов Ур, мы видим,
что любое линейно упорядоченное подмножество в $
имеет верхнюю грань. Следовательно, согласно лемме
Цорна, в множестве & есть максимальные элементы;
пусть (р0, Xg) —один из них. Если ро Ф {а}, то суще-
существует конечный комплекс Yai>, не лежащий в р0. и
простые аддиционные гомотопические соображения по-
показывают, что отображение х^: У\ —>F продолжается
до отображения Ур0 U Yat—> F, а это противоречит
максимальности р0. Следовательно, р0 = {а} иг — эпи-
эпиморфизм.
Второй шаг. Если группы я,-/7 конечны, то отобра-
отображение г есть вложение. Пусть f,g — отображения комп-
комплекса Y, индуцирующие одинаковые элементы в про-
проективном пределе. Тогда сужения отображений f, g на
любой конечный подкомплекс Ya гомотопны. Так как
группы яг (F) конечны, то существует, лишь конечное чи-
слэ различных гомотопических классов гомотопий, свя-
связывающих сужения отображений f и g на Ya. Эти гомо-
гомотопические классы гомотопий, связывающие отображе-
отображения fug, образуют проективную систему конечных мно-
множеств (над категорией {а}). Опять-таки, по соображениям
компактности, проективный предел, не пуст. Повторяя

Пополнение в гомотопической теории 8F
рассуждения первого шага, мы можем убедиться
в том, что этот проективный предел гомотопий можно
реализовать настоящей гомотопией между отображе-
отображениями f и g.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА
ПРОКОНЕЧНОГО ПОПОЛНЕНИЯ
Мы изучим теперь группы гомотопий и группы
когомолэгий проконечного пополнения X.
Предложение 3.4. Если X (k — \)-связно, то
имеет место изоморфизм
щХ ^ {nkX)
топологических групп.
Доказательство. Согласно определению X,
nkX= \imnkF.
Iff
Любой конечный фактор
индуцирует элемент этой проективной системы, а именно
k) ~^ К (л, k).
Используя накрывающие пространства при k = 1
и теорию препятствий при k> 1, лггко показать, что
полная подкатегория категории (/}, состоящая из таких
отображений X-+F, что F является (k — 1)-связным
и Як(X) —>¦ nk{F) есть эпиморфизм, конфинальна.
Прежде чем изучать связь между высшими гомо-
топиями пространств X и X, рассмотрим когомологии.
Имеется естественная диаграмма
Н\Х\ ZJn)
т/ V
/ i >
Н{ {X; Z/rt) ^— lim H1 (F; Z/n)
ТГ

82 Глава 3
Предложение 3.5. Отображение I является
изоморфизмом при любых п, i.
Доказательство. Для того чтобы доказать
эпиморфность отображения /, достаточно заметить, что
для любого класса хеЯ'A; Z/n) отображение
переводится отображением / в этот класс х.
Для доказательства инъективности отображения /
рассмотрим диаграмму
\ j*
0S>K(Z/n, I)
где х е Я1 (F; Z/n) — некоторый класс, индуцирующий
нулевой класс в когомологиях X, вертикальная последо-
последовательность представляет собой расслоение и f — не-
некоторое поднятие отображения /. Предложение доказано.
Каноническое прямое слагаемое Imc в группе
Н1 (X; Z/n) тесно связано с непрерывными когомоло-
гиями пространства X, т. е. с такими гомотопическими
классами отображений
которые индуцируют непрерывное отображение между
компактными представимыми функторами [ , X] и
[ , K{Z/n,i)].
Предложение 3.6. Рассмотрим две естествен-
естественные подгруппы группы. Н' (X; Z/n):
L = lim Hl (F; Z/n) <* Hl (X; Z/n),
1ft*"
С = «непрерывные когомологии пространства X».
Тогда
Ls CsclL.

Пополнение в гомотопической теории 83
Доказательство. «Распутаем» определение
группы С. Она состоит из таких классов отображений
что для любого пространства Y индуцированное ото-
отображение
Um[Y,F] Um[Ya,K(Zln, i)]
непрерывно. Это значит, что для любого конечного
подкомплекса Ya^Y существуют проекция fa простран-
пространства X в пространство Fa с конечными группами го-
мотопий и (непрерывное) отображение
такие, что диаграмма
(I) [У,Х]^[У,КB1п,
|проекция (сужени
коммутативна. Более того, отображение {Ka->fa| дол-
должно сохранять порядок и отображения ga с разными
а должны быть согласованы. Из этого следует, что
любой элемент группы
L = lim #'¦(/=¦; Z/n)
"Iff
определяет непрерывный класс когомологий. Действи-
Действительно, если' класс JeL происходит из элемента
и G Н1 (F; Z/n) при отображении X->F, то для лю-
любого конечного подкомплекса YasY мы можем поло-
положить

84 Глава 3
Обратно, пусть хе-Н1 {X; Z/ri) — непрерывный класс
когомолэгий; положим Y = Х и рассмотрим коммута-
коммутативную диаграмму (I); соответствующую тождествен-
тождественному отображению Х->Х. Мы увидим, что для каж-
каждого конечного подкомплекса Ха^ X сужение ото-
отображения х на Ха пропускается через некоторое Fa:
Элемент группы L, определяемый хг, имеет то же
сужение на Ха, что и х. Таким образом, сужения
групп L, С на когомолэгий любого конечного под-
подкомплекса комплекса X совпадают.
Таким образом, С не может быть больше, чем cl L:
любая точка, лежащая вне cl L, отделяется от clL
в одном из конечных факторов Н'' (Ха; Zjn).
Лемма 3.7. Предположим, что X имеет «счетный
тип», т. е. группы
Нот(я1Л') конечная группа), Н' {X; Z/n)
счетны. Тогда пополнение X является простым проек-
проективным пределом
пространств Fn с конечными гомотопическими груп-
п гми, у каждого из которых есть только конечное
число ненулевых гомотопических групп.
Доказательство. Обозначим через F{n) «ко-
остов F», получаемый из F присоединением клеток,
убивающих гомотопические группы размерностей > п.
Для пространства F с конечными гомотопическими
группами имеет место изоморфизм
[ ,F)~\\m[ , FM]

Пополнение в гомотопической теории 85
компактных представимых функторов. Поэтому попол-
пополнение
X = lim F = lim lim F[n)
* ^4
является проективным пределом пространств с конеч-
конечными гомотопическими группами, тривиальными за ис-
исключением конечного их числа.
Множество гомотопических типов таких пространств
счетно, а множество гомотопических классов отображе-
отображений одного такого пространства в другое конечно.
Далэе, согласно условию лгммы, множество гомо-
гомотопических классов отображений X-+F(n) счетно. По-
Поэтому X есть проективный предел по индексирующей
категории С, у которой числэ объектов счетно и мно-
множество отображений между любыми двумя объектами
конечно. В такой категории С можно выбрать линейно
упорядоченную конфинальную подкатегорию
Это означает, что любой объект О из С можно отоб-
отобразить в некоторый объект п, и при этом любые два
отображения
можно уравнять отображением п->ш:
O^tn-* ш.
(Действительно, упорядочим объекты из С в последо-
последовательность Oj, O2, ... и предположим, что уже по-
построен кусок 1->2—> ... —*¦ г, такой, что любой из
объектов Oj, ..., Оп можно отобразить в г. Выберем
такой морфизм
гЛг + 1,
что объект О„+1 можно отобразить в г + 1 и f уравни-
уравнивает все элементы множеств Нот(Ог-, г) с i^.n и т. д.)
Итак, мы построили такую последовательность про-
пространств

86 Глава 3
ЧТО
X ?* lim F,
п-
Предложение 3.8. Предположим, что все мно-
множества
Нот (щХ, конечная группа)
счетны и что при всех nut группы Н1 (X; Z/n) ко-
конечны. Тогда для любой конечной области коэффи-
коэффициентов А естественное отображение
Н1 (X; А) *- Н1 {X; А)
является изоморфизмом при всех i.
Доказательство. Мы построим вспомогатель-
ное пространство FM, используя лемму 3.7. Пусть
Z=limFn. Превратим (индуктивно) отображения
Fn+l-+Fn в расслоения F'n+i-*F'n и определим F^ как
геометрическую реализацию проективного предела син-
сингулярных комплексов пространств F'n.
Утверждение: X есть ретракт пространства Fx.
Действительно, отображения Fx->F'n индуцируют ото-
отображение F^-^-X. С другой стороны, имеются отобра-
отображения X-*Fn, и, послэдовательно применяя теорему
о накрывающей гомотопии, можно построить коммута-
коммутативную диаграмму

Пополнение в гомотопической теории 87
определяющую в свою очередь отображение X-^F^.
Из определения X следует, что композиция
является тождественным отображением. Поэтому группа
Н* (X; Zln) является прямым слагаемым в ffiF^,; Z/ri).
Но группы когомологий H*(FCO; Zln) двойственны груп-
группам гомологии H,(FM; ZlnI). Последние можно вычи-
вычислить с помощью цепного комплекса
(Ит С,) ® Zln,
i
где С{ — сингулярный цепной комплекс (над Z) про-
пространства F'i.
Так как отображения Fri+\-*F'i являются расслое-
расслоениями, то соответствующие отображения
являются эпиморфизмами. Поэтому
(litn Ct) ® Zln ^ lim {Сi ® Zln)
H,(FX; Zln) ss Я (Mm C<),
где С; = Cj ® Z/n. Отображения С;+1~>Сг снова
являются эпиморфизмами, и поэтому в силу доказы-
доказываемой ниже леммы 3.9
Следовательно,
H.(F»\Zln)sz Hm
') По-видимому, подразумевается двойственность Понтрягина
Char Н, (X; G) = Н* (X; Char G)
(см. Александров П. С., Общая теория гомологии, Уч. зап. МГУ,
Математика, вып. 45 A940), или Pontrjagin L, The general
topological theory of duality for closed sets, Ann. Math., 35
A934), 904—914), связывающая рассматриваемые группы ввиду
равенства Char {Z/n) = Zjn. — Прим. ред.

88 Глава 3
а так как в силу предложения 3.5 группы
\ш^Н* (Ft; Z/n) 36 Н*(Х; Z/n)
конечны, то имеется и двойственный изоморфизм
H'lF^ZMstlimiriFaZln).
Таким образом, в диаграмме
с..
H*{X;
Н*(X, Z/n) ^Пт H*(Fr, Z/n)
отображение / является эпиморфизмом. Следовательно,
с — изоморфизм.
Мы доказали предложение в случае А = Z/n. Общий
случай получается из этого прямым сложением.
Лемма 3.9. Пусть
• • • —> w_|_| *¦ С i —> •.. —* Cq
— проективная система цепных комплексов. Пред-
Предположим, что все отображения <рг являются эпимор-
эпиморфизмами и что гомологические группы каждого из
комплексов Ct конечны, {в каждой размерности). Тогда
H(\imCt)si\imH(C,).
Доказательство. Мы говорим, что проектив-
проективная система групп
обладает свойством ML (Миттаг-Лефлгра), если для
каждого номера i существует такой номер JV > i, что
fl lm(Aa-> Ai)=lm(Ax-> Ai).

Пополнение в гомотопической теории 89
Значение условия ML определяется следующим
фактом: если
— проективная система коротких точных послэдова-
т.льностей и система [Ai\ обладает свойством ML,
tj последовательность
О -> lim Ai -> lim Bi -> lim С,- -> О
точна.
Обозначим черэз С цепной комплзкс lim С,- или
одну из его групп. Обозначим, далее, через Z, В и Н
соответствующие группы циклов, границ и гомологи-
гомологических классов в какой-нибудь (фиксированной) раз-
размерности. Аналогично, рассмотрим группы Cit Z,-, Bi
и Hi.
Доказательство леммы разбивается на восемь
шагов:
@) C = limC; (по определению);
A) Z = \\mZi (вэрно всегда);
B) [В{\ удовлетворяет условию ML (т. к. ф; —
эпиморфизм);
C) [Zi\ удовлзтворяет условию ML (конечность
гомологии);
D) 0->limZ,-->limCi-»limBi->0 (см. (З));
E) \\твТ=В @^Z->C-»B->0 (@), A) и D));
F) (T^-limBi->!imZr-*lim#f->0 (см. B));
G) lim НТ= Н @->B->Z->tf-*0 (A), E) и F)).
Прежде чем вывести некоторые следствия из предло-
предложения 3 8 и его доказательства, мы докажем одну алге-
алгебраическую лемму:
с
Лемма 3.10. Предположим, что я -> я' — такой
гомоморфизм одной абелевой группы в другую, что
(i) с ® Z/я есть изоморфизм конечных групп;
(ii) л' представляется как проективный предел ко-
конечных групп.
Тогда я' = я и с есть проконечное пополнение.

90 Глава 3
Доказательство. Заметим, что из конечности
групп G ® Z/n следует, что
G s lim (G ® Z/n).
п
Следовательно, с индуцирует изоморфизм проконечных
пополнений:
lim с ® Z/ra
я = lim (я ® Z/n) -±z > lim (я' ® Z/n) = я',
и нам остается доказать, что я'=я'. Топологизи-
руем я' как проективный предел:
где Fa— проективная система конечных групп. Ясно,
что операция умножения в группе я' на п является
непрерывным отображением (поскольку непрерывны
отображения Fa—*-Fa). Поэтому пп' есть замкнутая
компактная подгруппа группы я', а так как фактор
я'/пя' = я' ® Z/n
конечен, то подгруппа пя' также и открыта в л'. Сле-
Следовательно, естественное отображение
непрерывно.
Поскольку группа я' компактна, то образ /(я')
замкнут в я'. С другой стороны, он плотен в л'. По-
Поэтому отображение / является эпиморфизмом. Но,
с другой стороны, ясно, что для любой проконечной
группы я' отображение s
является вложением. Следовательно, я' ^ я'.
Заметим, что в процессе доказательства мы выяс-
выяснили, что если я' — такая абелэва проконечная группа,
что все группы я' <8> Z/n конечны, то проконечная то-
топология на группе я' восстанавливается по ее алгеб-
алгебраической структуре, а именно
я' s* я',

Пополнение в гомотопической теории 91
Мы сейчас покажем, как этот результат переносится
на гомотопические типы.
На время обозначим через | X | CW-комплекс, пред-
представляющий функтор X (лишенный топологии).
Следствие 3.11. Если щХ=О и группы Н' (X; Z/ri)
конечны при любых i, n, то
Доказательство. Согласно предложению 3.8,
естественное отображение
индуцирует изоморфизм групп когомолэгий modn. Как
показывает теория препятствий, любое отображение
комплекса X в односвязное пространство F с конеч-
конечными гомотопическими группами однозначно пропу-
пропускается через | X |. Поэтому функторы X и (\Х\)"
определяются одной и той же проективной системой.
Следствие. В односвязном «конечном*» случае
топология в функторе [ , Х\ определяется гомотопи-
гомотопическим типом самого \ X \.
Замечание. Условие односвязности, вероятно,
не является здесь необходимым: можно надеяться, что
предложение 3.8 обобщается на случай конечных ло-
локальных коэффициентов, а из этого бы следовало,
что топология на функторе [ , X] определяется ком-
комплексом | X | для любого «конечного» гомотопического
типа X. Этот факт, очевидно, справедлив для неодно-
связных пространств F с конечными гомотопическими
группами (так как тогда F^F).
Следствие 3.12. Предположим, что группы
HiX [== Hi (X; Z)] конечно порождены и что все мно~
жества
Нот (щХ, конечная группа)

92 Глава 3
счетны. Тогда естественное отображение
является проконечным пополнением.
Доказательство. Мы используем простран-
пространство Fx, построенное при доказательстве предложе-
предложения 3.8. Рассмотрим (целочисленную) диаграмму
lim
1-
Согласно лемме 3.9, и есть изоморфизм. Далее,
по определению, отображение i°j является тожде-
тождественным. Кроме того, аналогичная диаграмма с коэф-
коэффициентами в Z/n состоит из конечных групп и изо-
изоморфизмов. Для сравнения X с Fx и X с X мы можем
воспользоваться естественной точной послгдователь-
ностью
О -> Tor (Ht-XY, Z/n) -> Я» (Y; Z/n) -> HtY ® Z/я -> 0.
Из этой последовательности видно, что если / есть
изоморфизм в размерности / — 1, то / <8> Z/n есть изо-
изоморфизм в размерности i. Рассуждения, использован-
использованные при доказательстве леммы 3.10, показывают, что
естественное отображение
является изоморфизмом. Поэтому прямое слагаемое
}Н{Х ^ HiF^ совпадает со всем Я/F^. Наконец, индук-
индукция по i добавляет изоморфизм
[Более подробно: если отображение Hi-iX -> Hi- Д является
проконечным пополнением, то отображение HiX<g>Z/n->HiX®Z/ti
является изоморфизмом, из чего следует, в силу леммы 3.10,
что отображение Н[Х -> HiX является проконечным пополне-

Пополнение в гомотопической теории 93
нием; здесь мы используем равенство Тог (О, Z/n) = Tor (G, Z/n),
справедливое для произвольной конечно порожденной абелевой
группы С]
Теперь рассмотрим высшие гомотопические группы
пространства X. Они, вообще говоря, являются про-
коиечными группами. Их удается связать с гомото-
гомотопическими группами пространства X ллшъ при силь-
сильных ограничениях на фундаментальную группу про-
пространства X. Мы будем предполагать, что все гомо-
гомотопические группы пространства X (включая и
фундаментальную) являются конечно порожденными
абелевыми группами. Кроме того, мы предположим,
что группы яД и лгХ тривиально действуют в кого-
моло!"иях modn универсальных накрывающих про-
пространств X и X.
Предложение 3.13. При указанных ограниче-
ограничениях естественные отображения
являются проконечными пополнениями.
Доказательство. Хотя случай /=1 мы уже
разобрали, передокажем утверждение в этом случае,
но таким способом, который будет применим и
к i > 1.
Согласно предложению 3.8, отображение с: Х-+Х
индуцирует изоморфизмы в когомологиях modn (кото-
(которые конечны). Далее, гомоморфизм щХ-*-щХ совпа-
совпадает с гомоморфизмом Н\Х-> Н]Х. Следовательно,
тензорное умножение на Z/n делает отображение
П\Х-+П\Х изоморфизмом. Кроме того, П\Х есть про-
кочечная группа и потому, согласно лемме 3.10, ото-
отображение п\Х-*п\Х является проконечным попол-
пополнением.
Дальнейшие рассуждения основываются на сле-
следующем предложении, которое будет доказано ниже
(см. стр. 96): если я —конечно порожденная абелева
группа, то естественные отображения КЫ, пг)->К (я, ш)
индуцируют изоморфизм в когомологиях mod/г.

94 Глава 3
Рассмотрим диаграмму
X
К{щХ,
в которой столбцы представляют собой естественные
расслоения, причем слои Хи (X)i—универсальные на-
накрывающие над X, X. Поскольку группы щХ, щХ
тривиально действуют в когомолэгиях пространств
Xi, (Х)х, спектральные последовательности указанных
расслоений показывают, что когомологии modn про-
пространств ^.(Х)! конечны, а так как с и с{ индуцируют
в когомологиях mod я изоморфизм, то и d индуцирует
изоморфизм в когомологиях mod п. Следовательно,
d индуцирует изоморфизм и в гомологиях modn,
а потому dt: ЯД1->ЯД! есть проконечное пополне-
пополнение. Таким образом, гомоморфизм
(с,: Д
является проконечным пополнением. Дальнейшее рас-
рассуждение подобно этому, только универсальные на-
накрытия заменяются «убивающими пространствами»').
Например, для Доказательства того, что с„: п3Х-+я3Х
есть проконечное пополнение, необходимо рассмотреть
диаграмму
Л2 * \Л J
I d [
[l I1 ¦
~ ,2)
') См., например, Серр Ж--П., Гомотопические группы и
классы абелевых групп, сб. «Расслоенные пространства», ИЛ,
М., 1958, стр. 138. — Прим. ред.

Пополнение в гомотопической теории 95
Это рассуждение фактически доказывает слгдую*
щее, болге сильное предложение.
Следствие 3.14. Пусть f: X-+Y — такое ото-
отображение одного односвязного пространства в дру-
другое, что
(a) группы л( (X) конечно порождены;
(b) группы nt(Y) проконечны;
(c) / индуцирует изоморфизм в когомологиях mod п.
Тогда f эквивалентно проконечному пополнению:
слабая
гомотопическая
эквивалентность
Доказательство. Доказательство предложе-
предложения 3.13 показывает, что отображение f индуцирует
проконечное пополнение в гомотопических группах.
Но в силу теории препятствий отображение простран-
пространства X в любое односвязное пространство с конечными
гомотопическими группами однозначно пропускается
через Y. Поэтому существует отображение Y->X, ин-
индуцирующее изоморфизм гомотопических групп.
Мы завершим общее изучение функтора пополнения
доказательством следующего предложения.
Следствие 3.15. Пусть с: X->Y — отображе-
отображение одного односвязного пространства в другое, и
пусть группы nt{X) конечно порождены. Тогда сле-
следующие условия эквивалентны:
(i) с пополняет гомотопические группы
проконечнОеХ
пополнение

95 Глава 3
(ii) с пополняет приведенные группы целочисленных
гомологии
HtX^ HtY
проконечпое\
пополнение v
(iii) групп я niY проконечны и отображение с
индуцирует изоморфизм групп когомологий mod я;
(iv) с является проконечным пополнением.
Заметим, что при выполнении этих условий Л" = К
и потому гомотопический тип пр >странства X опре-
определяет топологию на функторе [ , X].
Доказательство. Мы уже показали, что (i)
и (ii) следуют из (iv) и что (iii) эквивалентно (iv).
Стандартное рассуждение с убивающими простран-
пространствами и спектральными последовательностями (ср.
доказательство предложения 3.13) показывает, что (i)
следует из (ii). Далге, формула универсальных коэф-
коэффициентов показывает, что и (iii) следует из (ii). На-
Наконец, индукция по разложению Постникова вместе
с доказываемой ниже лэммой показывает, что (iii)
слздует из (i). (Ср. конец гл. 2, где болэе подробно
проводятся аналогичные рассуждения.) Теперь докажем
утверждение, использовавшееся в доказательстве пред-
предложения 3.13 (и ниже).
Лемма. Если я — конечно порожденная абелева
группа, то отображение
К (л, т)->'К(п, т)
индуцирует изоморфизм когомологий mod п.
Доказательство. С помощью диаграммы
К(п,ш- 1) -> К(А,ш— 1)
{пути}
I
К(п, т)
{пути}
1
-> К{п, пг)

Пополнение в гомотопической теории 97
можно привести общий случай к случаю т= 1. Далее,
!этот случай сводится к случаю, когда jt = Z или
n = Z/n. Так как во втором случае я = я, то доста-
достаточно разобрать случай n = Z.
Компактно, представимый функтор [ , K(Z, 1)] сов-
совпадает с проективным пределом lim[ , K(Z/n, 1)]. Как
п
это видно из доказательства предложения 3.8, при-
приведенные группы гомологии mod n пространства К (Z, 1)
являются прямыми слагаемыми групп
lim Hq (К (Z/i, I); Z/n).
Легко видеть, что этот предел равен Z/n при q = 1
и 0 при q > 1. С другой стороны,
Hi (К (Z, 1); Z/n) = Z <g> Z/n = Z/n.
Следовательно,
HAK(Z, 1); Z/n)-^>H,(K(Z, 1); Z/n).
Примеры, (i) Если G — конечно порожденная абе-
лева группа, то
K(G, n)" ^K{G,n)^K(G® Z, п).
(ii) Если гомотопические группы ntX конечны, то
(iii) S" есть пространства Мура M(Z, n).
(iv) /C(Q/Z, 1Г^(СР°°)Л
[Действитгльно, расслоение К (Q/Z, 1) Д- /С (Z, 2) ^ СР°° (со
слоем /С (Q, ')) индуцирует изоморфизм в когомологиях mod n,
которые к тому же являются конечными группами. Далее,
б есть отображениэ односвязного пространства в односвязное;
этн пространства имеют проконечные гомотопические группы, и
отображение б также индуцирует изоморфизм в когомологиях
mod гс. Как было показано выше, из этого следует, что б есть
гомотопическая эквивалентность.]
4 Д. Сулливан

98 Глава 3
(v) Недавний результат Квиллена, сравнивающий
вычисления Мильграма и Накаоки, наводит на мысль
о том, что
{проконечное пополнение K(SX, I)} s lim (Q"S"H.
[Здесь S^, есть индуктивный предел симметрических
групп, а индекс «нуль» означает компоненту постоян-
постоянного отображения').] Во всяком случае имеется ото-
отображение
индуцирующее изоморфизм в фундаментальных груп-
группах и в когомологиях mod п.
Если наше предположение правильно, то проконеч-
проконечное пополнение связывает бесконечную симметрическую
группу со стабильными гомотопическими группами
сфер.
(vi) Предположим, что X имеет гомотопический тип
комплексного алгебраического многообразия. При
очень слабых ограничениях на X можно показать, что
чеховские нервы алгебраических (этальных) покры-
покрытий X представляют собой комплексы, имеющие конеч-
конечные гомотопические группы и аппроксимирующие кого-
мологии X (Lubkin S., On a conjecture of Andre Weil,
Atner. J. of Math., 89, No. 2 A967), 443—548).
Работа Артина — Мазура (Etale Homotopy, Spin-
ger Lecture Notes, 100 A968)), относящаяся к когомо-
логиям Гротендика, показывает, что X есть проектив-
проективный предел по этальным покрытиям чеховских нервов
этих покрытий.
Замечательным следствием этого алгебраического
описания X является естественное действие группы
Галуа в X. Этому посвящена гл. 5.
') Имеется в виду гомологическая эквивалентность
К (Sx, !)-> ]im (QnSnH — результат, по-видимому, впервые полу-
полученный Дайером н Лашофом (Е. Dyer, R. К- Lashof, Homology
of iterated loop spaces, Amer. J. Math., 84 A962), 35—88).—
Прим. ред.

Пополнение в гомотопической теории 99
§ 3. /-ПРОКОНЕЧНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ
Все сказанное сохраняет силу, если всюду заменить
конечные группы /-конечными, где /, как и раньше,
есть некоторое множество простых чисел, а /-конечная
группа—это конечная группа, порядок которой является
произведением простых чисел из /; например, если /
есть множество всех простых чисел, то «/-конечная
группа» — это просто «конечная группа».
Все конструкции и утверждения переносятся на этот
случай без изменений. Например, аналог предложе-
предложения 3.8 должен включать требование, чтобы группы
Я' (X; Zjp) были конечны при ре/ и все множества
Нот^Л", /-конечная группа) былл счетны, а его
утверждение состоит в существовании изоморфизма
Я* (X; Zip) с* Н* (Xt; Zip), ре/.
Далее, я*-услэвия, аналогичные условиям предло-
предложения 3.13, влекут за собой изоморфизм
Опять-таки топология на функторе [ , Xt\ восстана-
восстанавливается по гомотопическому типу Xt, если яД = 0
и группы И1 (X; Zip) конечны при всех I и всех ре/.
Новым обстоятельством является наличие в односвяз-
ном случае канонического расщепления на р-адические
компоненты.
Предложение 3.16. Если (щХ)^ = 0, то суще-
существует естественное расщепление
в смысле компактных представимых функторов. Далее,
любое отображение
разлагается в произведение
П it;-. x
ре/
4*

100 Глава 3
Доказательство. Представим произвольное
пространство F с конечными гомотопическими группами
как проективный предел (в смысле компактных пред-
ставимых функторов) его коостовов
(первые п гомотопических групп пространства Fa совпа-
совпадают с соответствующими гомотопическими группами
пространства F, а остальные тривиальны).
Если nxF — 0, то нетрудно проверить (используя
рассуждения постниковского типа), что F" можно раз-
разложить в конечное произведение р-примарных ком-
компонент:
рп I I рп
Тогда
а если гомотопические группы niF /-конечны, то
Так как
%t е* lim F,
* f
где предел берется по отображениям / пространства X
во всевозможные пространства F с /-конечными гомо-
гомотопическими группами, то
Usslim П/Р^ П Ит^Р= П К
f f
Напомним, что топология в [ , F] определяется
канонически, поэтому мы можем по желанию ее то
вводить, то отбрасывать. Это замечание проясняет
предыдущие, несколько формальные рассуждения.
Последнее равенство
lim Fp S6 Xp

Пополнение в гомотопической теории 101
использует расщепление на уровне отображений
Наличие этого расщепления вытекает из того (легко
проверяемого с помощью теории препятствий) факта,
что при р ф q любое отображение
гомотопно постоянному отображению. Последнее обоб-
обобщается (опять-таки с помощью теории препятствий)
до слгдующего утверждения: при р ф q любое ото-
отображение
у -> V
Лр ^ I q
гомотопно постоянному отображению.
Пример. Пусть X = ВО2 — классифицирующее
пространство группы ортогональных матриц порядка 2,
и пусть / есть множество всех простых нечетных
чисел. Тогда:
(ii) при нечетном простом р H*(Xt; Х/р) = 2/р[х4].
Следовательно,
(Ш) QXi ^ S?.
Таким образом, две нетривиальные гомотопические
группы пространства О2 превращаются при пополнении
в бесконечное множество ненулевых гомотопических
групп пространства Si.
Точнее,
« П (во2);
нечетные
простые числа
И ДЛЯ
Я], Я2, Я3, Я4, Я5
^0, 0, 0, Zp, 0, ..., 0, Z/p
В гл. 4 мы более подробно обоснуем равенство (ii).

102 Глава 3
Формальное пополнение. Теперь мы опишем кон-
конструкцию, которая переносит в категорию гомотопи-
гомотопических типов операцию
{рациональные числа} »- {/-адические числа}.
Предположим, что X — счетный комплекс'). Тогда X
можно представить как объединение конечных под-
подкомплексов:
Определение. Формальное l-пополнение Xt
определяется равенством
*/= (J (*„)Г.
где в правой части стоит бесконечный телескоп, соста-
составленный из J-проконечных пополнений конечных под-
подкомплексов Хп.
Заметим, что Xt есть CW-комплскс и что на функторе
задана частичная топология: если Y — конечный ком-
комплекс, то множество
[F.Xjjsdim [У, (Xra)~]2)sdim {проконечные пространства}
обладает топологией индуктивного предела.
Предложение 3.17. Гомотопический тип ком-
комплекса Xi и частичная топология на функторе
зависят только от гомотопического типа комплекса X.
') Условие счетности не является необходимым: телескопи-
телескопическую конструкцию можно провести и для высших кардиналов.
2) См. доказательство предложения 3.17.

Пополнение в гомотопической теории 103
Доказательство. Пусть \Xrj}—другое пред-
представление X в виде объединения конечных подком-
подкомплексов. Тогда существует система отображений
так как по определению Сй^-тополэгии образ лобсго
отображения компактного пространства в X содержится
в Xi (X'j) при некотором i (у). Композиции
совпадают с естественными влэжениями. Поэтому a i ти-
тикающие отображения
\im[Y, Xi]<^\im[Y, X'j] (Y — конечный комплекс)
взаимно обратны, и во второй строке отображения
непрерывны. Предложение доказано.
Аналогичное рассуждение, использующее клеточные
отображения, показывает, что фильтрация гомотопи-
чески эквивалентного пространства X' приводит к тому
же самому результату. Более того, в действительности
формальное пополнение есть функториальная конструк-
конструкция в гомотопической категории.
Гомотопические группы пространства Xt являются
индуктивными пределами проконечных групп. При этом
отображения, составляющие индуктивную систему,
являются непрерывными ^/-гомоморфизмами. Поэтому
группы niXi являются топологическими ^/-модулями.
С другой стороны, группы iiiX <8> Z* тоже являются
топологическими 2/-модулями (топология в группах
щХ ® Zt определяется как топология индуктивного
предела:
% ^ Hm Hi ).
конечно порожденные

104 Глава 3
Предложение 3.18. Если пространство X одно-
связно, то существует естественный изоморфизм.
топологических %-модулей.
Доказательство. Представим X в виде объеди-
объединения конечных односвязных подкомплексов \Х1\. Тогда
niXl ?ё lim лрс\ (так как сфера S' компактна)
i
^ lim (щХ1)^ (так как щХ1 — 0 и X1 — ко-
~j*~ нечный комплекс; см. пред-
лэжение 3.14)
^ lim ((П]Х') <g> Z;) (так как группы nlXi конечно
~J> порождены)
^ (Mm п/Х') ® % (так как тензорное перемно-
"*" жение перестановочно со взя-
взятием индуктивногд предела)
^ {Л]Х) <8> 7,1 (опять-таки вследствие ком-
компактности сферы S1),
причем все изоморфизмы являются топологическими
Zг-изoмopфизмaми.
§ 4. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТ
В ГОМОТОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Мы рассмотрим теперь гомотопический аналог ариф-
арифметического квадрата:
z-
¦Q<g>Z"
Мы говорим, что X есть геометрический гомотопи-
гомотопический тип, если X гомотопически эквивалентно Сй^-ком-

Пополнение в гомотопической теории 105
плгксу, у которого при каждом i есть ллшь конечное
число г-мерных клеток.
Рассмотрим диаграмму
проконечное
пополнение
локализация
) локализация
J
формальное
пополнение
и предположим на время, что X однэсвязно.
Проконечное пополнение X комплекса X является
С ^-комплексом с компактной топологией на функторе
Как мы видели, в случае, когда X есть односвяз-
ный геометрический комплгкс, тополэгия восстанавли-
восстанавливается по гомотопическому типу комплекса X; при
этом гомотопические группы комплекса X являются
Z-модулями;
Локали>эация X в нуле, Хо, представляет собой счетный
комплекс, гомотопические группы которого являются
конечномерными векторными Q-пространствами:
niX0 ^ щХ ® Q.
Локализация в нуле комплекса X является
плексом, наделенным отображением
~ локализация ~
А *-

106 Глава 3
причем имеется коммутативная диаграмма
-* локализация ^
*- Я* (лH
х\-> х
© Q
(вертикальный изоморфизм однозначно определяется
условием коммутативности). Следовательно, группы
я* (Х)о обладают естественной структурой Z-модулэй
и естественной топологией, определяемыми равенством
п
ntX ® Q s* lim (щХ —*¦ щХ).
n
Формальное пополнение комплекса Хо определено, так
как Хо — счетный комплекс. Он определяет CW-kom-
пл:кс {Хо)~ с частичной топологией на функторе
Гомотопические группы комплекса (Хп)~ являются,
следовательно, топологическими Z-модулями, и имеется
канонический топологический Z-изоморфизм
Предложение 3.19. Пусть X — односвязный
геометрический комплекс. Тогда существует естествен-
естественная гомотопическая эквивалентность между (Хо)~
и (Хо), причем индуцированный изоморфизм гомотопи-
гомотопических групп сохраняет структуру модулей над коль-
кольцом «конечных аделей» Q ® Z.
Доказательство. Представим X в виде объеди-
объединения возрастающего семейства его конечных односвяз-
ных подкомплексов {X1}. Тогда естественное отображение
Х=1\т(Х')-*Х

Пополнение в гомотопической теории 107
является гомотопической эквивалентностью (lim озна-
означает бесконечный телескоп). Действительно, из условий,
налагаемых на X, следует, что
Применив функтор формального пополнения к отобра-
отображению
X —*¦ Хо,
мы получим отображение
индуцирующее следующий Z-гомоморфизм гомотопи-
гомотопических групп отображений:
Я;Л >¦ Щ (Ло)
IU
Z-нзоморфизм
Z 'в М ^> я X ® Z
Но / локализует гомотопические группы:
X Д
\
^ 1-> Л ®
Поэтому композиция /'
\
индуцирует в гомотопических группах отображение,
которое можно включить в коммутативную диаграмму
х 1> л® 1 \ I Z-изоморфизм

108 Глава 3
Следовательно, {Хо)~ действительно является локали-
локализацией в нуле комплекса X, причем группа Z согла-
согласованно действует в гомотопических группах этих ком-
плэксов. Таким образом, гомотопические типы ком-
комплексов (А"о)~, {Х)о и структуры Z ® С-модулей в их
гомотопических группах совпадают.
Обозначим через ХА гомотопический тип ком-
пл :кса (А"о)~ (или (Х)о) и назовем его конечноадельным
гомотопическим типом' комплекса X. Гомотопические
группы комплекса ХА являются модулями над коль-
кольцом A = Q®"Z конечных аделей. Предложение 3.19
позволяет построить арифметический квадрат, отве-
отвечающий односвязному «геометрическому» гомотопиче-
гомотопическому типу X:
прокоиечное
пополнение - тт / р-аДИЧеСКОв ]
л + л — 11 ^ пополнение Х)
локализация! (локализация
«рациональный %»™??
тип А"» = А >ХА «адельныи тип А"»
Эта диаграмма индуцирует на уровне гомотопических
групп диаграмму
Этим доказано
Предложение 3.20. Арифметический квадрат
ячляется «расслоенным квадратом». Подробнее, если
превратить отображения
в расслоения, то отображения
локализация
X
прокоиечное
пополнение ^
X. > Л

Пополнение в гомотопической теории 109
будут эквивалентны индуцированным расслоениям
над Хо, X.
Следствие 3.21. Гомотопический тип односвяз-
ного геометрического комплекса X определяется его
рациональным гомотопическим типом Хо, проконеч-
ным пополнением X и эквивалентностью
{Ха)~ ?ё (Хо) (= адельный тип X),
причем е индуцирует в гомотопических группах 2,-изо-
морфизм.
Далее, другая тройка
(Yo, Y, f: (Y0)--*(YH)
определяет тот же гомотопический тип X в том и
только в том случае, когда существуют такие гомо-
гомотопические эквивалентности
и ~ v л
Xq ~~* YQ, X —*• Y,
что диаграмма
(Х0Г ^ (Х)о
(Yo)~ -^ {Y)o
коммутативна.
При таком описании гомотопического типа X надо
учитывать, что существует разложение гомотопического
типа X:
(точнее, соответствующего компактного представимого
функтора), а также соответствующее разложение ото-
отображения v
1К
Таким образом, мы ;видим, что односвязные геометри-
геометрические пространства X разлагаются в бесконечное
множество р-адических кусков и один рациональный

ПО Глава 3
кусок. Проблема склеивания этих кусков —это проблема,
относящаяся к рациональным гомотопическим типам
с дополнительной структурой Z-модулей в их гомото-
гомотопических группах. В этой связи мы укажем на ана-
аналог конструкции адельного пространства, содержа-
содержащейся в статье А. Вейля «Адели и алгебраические
группы» (сб. Математика, 8:4 A964)).
Пусть 5 — произвольное конечное множество про-
простых чисел. Положим
Второй множитель строится, как обычно, с помощью
компактной топологии в функторах [ , Хр].
Множества {5} и соответственно гомотопические
типы {Xs} образуют индуктивную систему.
Предложение 3.22. «Адельный тип» комплекса X
эквивалентен индуктивному пределу пространств Xs ').
Эквивалентность сохраняет структуру Z-модулей в го-
гомотопических группах.
Доказательство. Используя теорию препят-
препятствий, легко проверить, что для любых комплексов Y,
Y' существует единственное от<к)ражение f, делающее
диаграмму
YXY'
\локализация
локализациях id
УоХ У ••••;••¦> (УХ По
(гомотопически) коммутативной. Поэтому имеются ка-
канонические отображения
') Как всегда, под индуктивным пределом понимается бес-
бесконечный телескоп, построенный по конфицздьному множеству

Пополнение в гомотопической теории 111
в свою очередь индуцирующие отображение
Для проверки того, что А индуцирует Z-изоморфизм
гомотопических групп, достаточно заметить следую-
следующее: существует естественный изоморфизм
т. е. кольцо конечных аделей является ограниченным
произведением колец р-адических чисел.
Замечание 1. Это предложение может рассмат-
рассматриваться как описание отображения локализации для
проконечного гомотопического типа X,
Замечание 2. Пусть теперь Y — односвязное про-
пространство, гомотопические группы которого являются
конечно порожденными Z-модулями. Возникает вопрос,
существует ли такой односвязный геометрический
комплекс X, что Y = X.
Прежде всего локализуем Y в нуле. Это можно
сделать через индуктивный предельный переход, исполь-
используя отдельные р-адические компоненты Y, как в пред-
предложении 3.22 (поскольку Y ^ Y =ё Д Yp\- В результата
мы получим «адельный тип» ХА искомого комплекса X,
если, конечно, этот комплекс X существует. Очевидно,
ХА есть рациональное пространство — его гомотопиче-
гомотопические группы являются векторными Q-пространствами
(несчетной размерности). С другой стороны, эти гомо-
гомотопические группы являются и Z-модулями. Таким
образом, вопрос о нахождении X сводится к следую-
следующей задаче рациональной гомотопической теории:
найти подходящее «вложение» рационального про-
пространства (с конечномерными группами гомотопий)

H2 Глава 3
в ХА. Точнее, надо построить отображение с: Хй->ХА,
индуцирующее Z-изоморфизмы
Тогда искомое пространство X можно определить как
расслоенное произведение
X —>Y
Хо * ХА
Например, в случае, когда X есть комплексное алге-
алгебраическое многообразие, видно, какой дополни-
дополнительной информацией мы должны располагать, чтобы
восстановить гомотопический тип X по этальному го-
гомотопическому типу X, т. е. по X, — нужно иметь
подходящее вложение рационального типа Хо про-
пространства X в локализованный этальный гомотопиче-
гомотопический тип (Х)о.
Замечание 3. Нетрудно проверить, что любое
односвязное пространство Y, гомотопические группы
которого являются конечномерными векторными Q-npo-
странствами, получается при локализации некоторого
геометрического пространства X.
Построение проводится индукцией по «локальным
клеткам» пространства Y. Точнее говоря, представим Y
как объединение \}Yn, где У„ есть кослэй некоторого
отображения a: S*->Yn_v и предположим, что уже
построен геометрический комплекс Хп-\ с (Xn-iH^Yn-i-
Надлежащим образом выбирая локализацию 5* —>So,
мы можем найти a': Sk->Xn-u такое, что диаграмма
локализация локализация
. Sk0—>7„_,
будет коммутативна. (Действительно, для этого доста-
достаточно взять такую локализацию /: Sk->S%, чтобы

Пополнение в ёомотопической теории ИЗ
гомотопический класс сфероида
s* - So* 4. у..,
представлялся в виде (l/N)ar с
a' е= Im [щХп-х -> п/я-,];
тогда наша диаграмма будет коммутативной для ло-
локализации 5* —> So —>¦ So.) Определим теперь Хп как
кослой отображения а'; очевидно, {XnH^Yn.
Аналогичное построение проходит и в случае, когда
мы рассматриваем локализации относительно произ-
произвольного множества / простых чисел.
Было бы интересно проанализировать подробнее
препятствие к проведению такого построения в проко-
нечном случае.
Локальный арифметический квадрат. Сказанное
сохраняет силу для локализации X в произвольном
множестве /. Расслоенный квадрат групп
Zz-> Z,
Q -><Q <g> Z/= {/-адические числа}
где / — непустое множество простых чисел, имеет гомо-
гомотопический аналэг
Xq -*¦ ХА[ = (XtH — (X0)l
свойства которого близки к свойствам квадрата из
предложения 3.19.
Если /= {р}, то квадрат превращается в диаграмму
i I
xo-»xQp
В которой

1!4 Глава 3
есть форма комплекса X над полем р-адических чисел
в р-адическом пополнении поля Q.
Естественно задать вопрос, что такое комплекс Xr,
где R — поле вещественных чисел (вещественное попол-
пополнение поля Q), и как его включить в рассматриваемую
схему. Например, «конечный адельный тип ХА» дол-
должен при этом замениться «полным адельным типом»
Тогда слой естественного отображения
будет иметь компактные гомотопические группы, и это
отображение должно быть удобным для изучения.
Если I есть дополнение к простому числу {р}, то
пространства типа Xi возникают при изучении эталь-
ного гомотопического типа алгебраических многообра-
многообразий над полем характеристики р. Возможно, в этих
случаях существует препятствие к заполнению диа-
гр аммы
xQ
где XQ подчинено условию конечномерности над Q и
я, {Xi)o = яДо ® Z/ над Z/. Тогда оно является пре-
препятствием к поднятию многообразия в нулевую харак-
характеристику,- :

Глава 4
СФЕРИЧЕСКИЕ РАССЛОЕНИЯ
Мы обсудим теорию послойных гомотопических
классов расслоений, слои которых являются /-локаль-
/-локальными или Z-адическими сферами. Эти теории связаны
между собой в соответствии с предложением 3.20 и
обладают интересными симметриями.
Определение. Расслоение Гуревича ')
слоем которого служит локальная сфера S?~'(n>l),
называется локальным сферическим расслоением. Ори-
Ориентацией расслоения называется класс когомологий
сужение которого порождает группу
\oi -> *; Zi) ^ Z/.
Если / — множество всех простых чисел, то мы по-
получаем более или менее знакомую теорию:
(П Множество классов послойно гомотопически эк-
эквивалентных Sn~'-расслоений над X совпадает с мно-
множеством гомотопических классов отображений
X-*BGn.
(ii) BGn есть классифицирующее пространство ассо-
ассоциативного Я-пространства
С„ = [Sn~x J* Sn-] | deg/ e { ± 1} = T)
') Отображение Е-+В называется расслоением Гуревича,
если оно обладает свойством накрывающей гомотопии для ото-
отображений произвольного пространства в В.
2) Нп(Е->В) обозначает «-ю когомологическую группу пары
(цилиндр отображения Е -> В, Е).

116 Глава 4
(Я-структура определяется композицией), т. е. QBGn
изоморфно Gn как гомотопически ассоциативное
//-пространство (Stasheff J. D., A classification theorem
for fibre spaces, Topology,2, № 3A963), 239 — 246).
(Hi) Ориентированная теория классифицируется')
множеством [X, BSGn], где BSGn можно описать двумя
эквивалентными способами: (а) как классифицирующее
пространство для компоненты SGn //-пространства Gn,
содержащей тождественное отображение; (Ь) как уни-
универсальную (двулистную) накрывающую над BGn.
(iv) Инволюция в ориентированной теории, отве-
отвечающая замене ориентации, соответствует действию
группы щВОп на BSGn.
(v) Естественные вложения Gn—>Gra+1, BGn~* BGn+x
соответствуют операции послойной надстройки; объеди-
оо
нение BG = (J BGn является классифицирующим про-
«=¦=1
странством для стабильной теории.
Стабильная теория для конечномерных комплексов
есть просто индуктивный предел конечномерных теорий
относительно послойной надстройки. Этот индуктивный
предел стабилизируется на конечном шаге: поэтому
можно считать, что BG классифицирует сферические
расслоения, у которых слои имеют много большие
размерности, чем базы.
Для бесконечных комплексов X гомотопический
класс отображения X в BG есть элемент проективного
предела множеств гомотопических классов отображе-
отображений конечномерных остовов X. Такое описание воз-
возможно благодаря кочечности гомотопических групп
пространства BG-) (см. гл. 3). С другой стороны, элг-
') Относительно послойных гомотопических эквивалентнос-
тей, сохраняющих ориентацию.
2) Напомним, что естественное отображение
я (X, Y) -> lim (л-й остов X, Y)
не всегда является обратимым (см. Адаме Дж., Уокер Г., При-
Пример в теории гомотопий, сб. Математика, 9: 1 A965), 51 —53).
Условия его обратимости исследованы, например, в статье Бух-
штабера В. и Мищенко А., Элементы бесконечной фильтрации
в tf-теории, ДАН СССР, 178, № 6 A968), 1234 — 1237.'— Прим.ред.

Сферические расслоения 117
мент этого проективного предела можно интерпрети-
интерпретировать как возрастающее объединение сферических
расслоений возрастающей размерности над остовами X.
Инволюция в «стабильной теории» тривиальна'),
а потому имеется каноническое расщепление
BG^K{ZJ2, l)XBSG.
При некоторых п пространства BGn и BSGn можно
описать явно:
BG2 = ВО2, BSG2 = СР°° ^ BSO2.
Дальнейшие пространства BGn не известны, хотя (ко-
(конечные) гомотопические группы пространства BG =
оо
= (JfiGn совпадают со стабильными гомотопическими
группами сферы и в этом качестве много изучались.
Явная процедура построения классифицирующего
пространства, предложенная Сташеффом,. непосред-
непосредственно к 5?~'-расслоениям не применима, так как S?
есть бесконечный (хотя и локально компактный) комп-
комплекс (если, конечно, / не есть множество всех простых
чисел).
Если же мы рассмотрим /-адические сферические
расслоения, т. е. расслоения Гуревича со слоем S?~\
то ситуация станет еще хуже: комплекс Si~l не сче-
тен и потому даже не локально компактен.
Однако можно использовать теорию квазирасслое-
квазирасслоений Дольда2) и получить абстрактную теорему пред-
представимости для расслоений с произвольным слоем.
') Это простейший случай феномена Адамса.
8) См. Дольд А., ГТолуточлые гомотопические функторы, сб.
Математика, 9:3 A970), 3 — 93.

J18
Глава 4
Теорема 4.1 (А. Дольд). Существуют такие связ-
связные CW-комплексы В? и В?, что
теория "I
5Г"'-расслоений /
теория 
^""'-расслоений/ :
где [ , ] обозначает множество свободных (не бази-
базированных) гомотопических классов.
В действительности теория Дольда дает как раз
базированный изоморфизм:
/базированные] ^г „,
1 расслоения j= I ' Jb>
чтобы получить нашу свободную формулировку, нужно
разбить каждое множество на орбиты группы щВ,
Основная теорема.
Теорема 4.2. (i) Имеется каноническая диаг-
диаграмма
послойная
послойная
ТеОрИЯ I локализация J Теория I
"~'-расслоений j |_S?~ '-расслоений j
послойное
пополнение
послойное
пополнение
\ | теория 1
[ §?~'-расслоений)
отвечающая диаграмме классифицирующих про-
пространств:
В0„ —> В1
В1

Сферические расслоения
119
(ii) Соответствующая диаграмма фундаментальных
групп есть диаграмма единиц:
\
(ш) Соответствующая диаграмма универсальных
накр явающих канонически изоморфна диаграмме .
локализация в1
(BS(jn)l
/-адическое
пополнение
пополнеЕше
Последняя диаграмма является классифицирующей
для диаграммы ориентированных теорий; действие
фундаментальной группы на накрывающих простран-
пространствах соответствует действию групп единиц в ориен-
ориентированных теориях, определяемому формулой
(S, иъ) -* A, аиъ),
где | — сферическое расслоение Е-*-В; U\ — ориента-
ориентация, т. е. элемент групп л Н'1{Е^>В; R); а —единица
кольца R — X, Zi или Z/.
Доказательство теоремы 4.2 довольно длинно, и мы
отложим его до конца главы. Однако мы сразу сфор-
сформулируем результат, который получится в процессе
доказательства.

120 Глава 4
Следствие 1. Имеются естественные изомор-
изоморфизмы
(Aut 5Г1), ^
(Aut sr')i ss (SGn);.
Здесь через Aut X обозначается сингулярный ком-
плзкс автоморфизмов X (симплэкс а — это гомотопиче-
гомотопическая эквивалентность оХХ-+Х); индекс «1» обозна-
обозначает компоненту тождественного отображения.
Группа Галуа. Другое слгдствие основной теоремы,
которое заслуживает выделгния, относится к симмет-
риям в пространствах {BSGn)l и (BSGnI .
Следствие 2. Поскольку указанные простран-
пространства классифицируют ориентированные теории, они
обладают согласозаннлми ZJ- и Zl-симметриями.
Если, например, 1={р), то
Z??* Z/2® {свободная абелгва группа, порожденная
простыми числами, отличными от р],
~.\Zlp-\®2p при р>2,
при р = 2.
Мы видим, что послг пополнения существенно раз-
различные симметрии в локальной теории срастаются
(топологически) в компактную группу с одной (тополо-
(топологической) образующей. Ниже мы покажем (слгдствие 3),
что все гомотопические группы пространства BSGn ко-
конечны, за исключением одной:
— Z@ {кручение} при четном п,
,j = ZS (кручение) при нечетном п.
Первые п — 2 гомотопические группы пространства
BSGn (со 2-й по (л— 1)-ю) конечны и совпадают с пер-
первыми п — 2 стабильными гомотопическими группами

Сферические расслоения 121
сфер'). Поэтому гомотопические группы пространства
(BSG,^ представляют собой /-части этих групп плюс
одна группа, изоморфная % (в размерности п или 2/г—2).
Группа единиц ZJ тривиально действует на гомо-
гомотопических группах малой размерности (стабильных),
но нетривиально на высших группах. Например, если п
четно, то группа 2/ действует на группе
па (BSGn)^ /кручение эё %
посредством умножения.
') Ссылка на следствие 3 здесь не вполне убедительна, по-
поскольку оно, во-первых, не доказывается и, во-вторых, не по-
покрывает перечисленных утверждений о гомотопических группах
пространства BSGn. Впрочем, все эти утверждения локазываются
элементарными средствами. Прежде всего для любого / группа
л(- (BSGn) изоморфна я(._( (SG ) (это — следствие общего свой-
свойства классифицирующих пространств). Пространство же SGn
естественно расслаивается над S"" со слоем, гомотопически
эквивалентным компоненте пространства Qn~lSn~l кратных пр-
тель сферы. Гомотопическая последовательность этого расслое-
расслоения, с учетом канонического изоморфизма nAQn~lSn~i) =
= Я/+„_1 (Sn~]), имеет вид
и гомоморфизмы y определяются умножением Уайтхеда на
каноническую образующую группы лп_1 (Sn~ ). Если /<«—I,
то посл^дозательность дает яг_( (SG ) = п(+п_2 \Sn~ ) =
= ^!!})(S0)-[h> таким образом, щ (BSg") = я?*\ (S0)]. Далее,
если п четно, то гомотопические группы сферы Sn~ , за исклю-
исключением nn-i{Sn~[), конечны, и
я (SG Н= я. (BSG \]=1 к0"ечная группа при i ф я,
I—\\ п>\ i\ nil \ z 0 конечная группа при / = «.
Наконец, если п нечетно, то бесконечны (и имеют ранг 1) группы
я/1_1E"~1) и п2п-з (S™~'). но гомоморфизм Y: яп~: Eп~')->
->я2га_з (Sn—I) имеет конечное ядро, благодаря чему
„ /cr? W— „ /дчг ч,_] конечная группа при i?=2n — 2,
я«-| (^^п) 1-я* {^ип)\ - \ Z 0 конечная группа при / = 2п - 2.
— Прим. ред.

122 Глава 4
Действие группы Z? на высших гомотопических
группах измеряет эффект, производимый на гомотопи-
гомотопические группы сфер отображением степени а. Его можно
вычислить с точностью до присоединенности через
произведение Уайтхеда и инвариант Хопфа. Оно пред-
представляется особенно интересным при /={2).
Рациональная теория. Еслч / пусто, то локальная
теория становится «рациональной теорией». Используя
расслоение
[('II]
локализованное в 1 = &, легко доказать
Следствие 3. Ориентированные S^-расслоения
классифицируются
(i) «классом Эйлера» в Я" (база; Q) при четном п;
(и) «классом Хопфа» в Я2"" (база; Q) при нечет-
нечетном п.
Нетрудно также проверить эквивалентность после-
последовательностей расслоений
[...-* SG2n -> SG2n+l -
класс
I Хопфа
(Q, in)
w-квадрат
Следствие З имеет «подкрученный аналог» для не-
ориентируемых расслоений.
Стабильная рациональная теория тривиальна. Не-
ориентируемая стабильная рациональная теория совпа-
совпадает с теорией локальных Q-систем коэффициентов,
т. е. с Я1 ( ; Q*).
Заметим, что первое утверждение следствия 3 (под-
(подкрученное или неподкрученное')) означает гомотопи-
гомотопическую эквивалентность
1) Для доказательства полезно сравнить расслоения SOn-
~>SOn+l->Sn и (Q"I->5Grt+1->5re. — Прим. ред.

Сферические расслоения 123
Группа единиц поля Q,
Q* = Z/2® {свободная абелева группа, порожденная
простыми числами},
действует в ориентированной рациональной теории
естественным образом при четном п умножениями на
квадраты при нечетном.
Стабильная теория.
Следствие 4. (i) Для стабильных ориентирован-
ориентированных теорий имеют место изоморфизмы
[ориентированная] f ориентированная
\ стабильная l-ло- \ ^ \ стабильная /-ади-
I кальная теория J l ческая теория
, J\i {BSG)?Y
(ii) Неориентированная стабильная теория канони-
канонически изоморфна прямому произведению ориентиро-
ориентированной стабильной теории на теорию локальных Zj-
или Zi-систем коэффициентов:
[ стабильная ]
| /-локальная ~[ , КA], 1)Х П (BSG)P\,
У теория J р е1
( стабильная ]
/-адическая ^[ , K(Z1, 1)X П (BSG)P].
( теопия I ре/
теория
(iii) Группа Галуа тривиально действует в стабиль-
стабильной ориентированной теории.
Доказательство. (Q Так как гомотопические
группы пространства BSG конечны, существует канони-
каноническое расщепление
BSG ?? П (BSG)P
р

124 Глава 4
пространства BSG на р-примарные компоненты. Ясно,
что для конечномерных комплексов
[ ,(BSG),]si[ , lim
—*¦
^ lim (ориентированные Sz^'-TeopHHJ ^
?ё(стабильная ориентированная локальная теория}.
С другой стороны, из описания рациональной струк-
структуры следует, что естественное отображение
lim J
я
является изоморфизмом. Так как, по определению,
стабильная ориентируемая /-адическая теория класси-
классифицируется пространством
lim {BSGa)~,
п
то первое утверждение следствия доказано.
(ii) Рассмотрим /-адический случай. Локальная
система
аеЯ'( ; Z/)
определяет S'-расслоение а, так как группа единиц %
действует на подходящем представителе гомотопиче-
гомотопического типа 5} посредством гомеоморфизмов (годится,
например, пространство K(Zt, 1), построенное с по-
помощью функториальной конструкции).
Согласно (i), любое стабильное ориентированное
/-адическое расслоение можно представить /-локальным
расслоением Y- Послойный джойн а * y определяет
/-адическое расслоение, так как
Нетрудно проверить, используя такие же рассужде-
рассуждения, как при доказательстве теоремы 4.2, что эта
конструкция определяет отображение
К Фи l)X(BSG),-*limB?,
re
индуцирующее изоморфизм в гомотопических группах.

Сферические расслоения 125
Локальный случай разбирается аналогично. В дей-
действительности нет необходимости его рассматривать,
так как можно априори показать (используя джойи
Уитни), что стабильная локальная теория аддитивна.
(ш) Тривиальность действия группы Галуа сразу
следует из (ii). Ее можно установить и непосредственно:
в локальной теории действие группы Галуа тривиально,
так как существуют автоморфизмы расслоения Si * у,
где * — послойный джойн, a v — локальное ориентиро-
ориентированное расслоение, умножающее ориентацию на любую
единицу кольца Z/; по соображениям непрерывности
из этого следует, что действие проконечной группы Z/
также тривиально.
Заметим, что утверждение (ш) следствия 4 является
чисто «теоретико-гомотопическим» вариантом гипотезы
Адамса.
Инерция внутреннего стабильного гомотопического
типа. Сейчас мы обобщим эту чисто теоретико-гомо-
теоретико-гомотопическую гипотезу Адамса.
Пусть
Во-*--. ->е„-+в„+1->...
— последовательность пространств. Предположим, что
каждое из этих пространств является базой сфери-
сферического расслоения с.
причем размерности слоев строго возрастают и рас-
расслоения согласованы, т. е. существуют изоморфизмы
Мы изучим «стабильное расслоение»

126 Глава 4
где бто есть бесконечный телескоп {Вп\, а у строится
из расслоений {уп} и эквивалентногтей {/„} ').
Основное предположение относительно этого «ста-
«стабильного расслоения» \ заключается в том, что оно
должно быть «внутренним» по отношению к фильтра-
фильтрации {Вп} в Вх. Иными словами, должны существо-
существовать сколь угодно большие номера п, такие, что сфе-
сферическое расслоение уп+1 сильно аппроксимируется
отображением
т. е. композиция
является эквивалентностью над d(n)-M остозом, при-
причем d(n) — dn—> 00 при л-^-оо.
Как нетрудно проверить, естественные стабильные
расслоения:
«ортогональное» BO-+BG,
«унитарное» BU-+BG,
«симплектическое» BSp~>BG,
«кусочно линейное» BPL-+ BG,
«топологическое» В Тор -> BG,
«гомотопическое» BG ——-> BG
являются «внутренними» по отношению к естествен-
естественным фильтрациям
[ВОп\, {Вия}, {BSpn}, {BPLn), {ВТор„}, {BGa\.
Можно дать аналогичные определения для локаль-
локальных и /-адических сферических расслоений. В ориен-
ориентированном случае тогда возникнут отображения
)^ U(BSG)P.
') Напомним, что, согласно результатам гл. 3, пространство BG
представляет компактный функтор. Расслоения уп гомотопически
у
однозначно определяют отображения Вп —--»¦ BG и y есть соот-
соответствующий элемент проективного предела
Um [Вп, BG] as [В^, BG);
в частности, отображение y не зависит от выбора эквивалент-
ностей {fa}.

Сферические расслоения 127
Ясно, что локализация или пополнение внутреннего
расслоения является внутренним расслоением.
Теорема (инерция внутреннего послойного гомо-
гомотопического типа). Пусть у — стабильное сферическое
расслоение над пространством В^ (обычное, локаль-
локальное или полное), являющееся внутренним по отноше-
отношению к фильтрации [Вп] пространства Вх. Пусть Ах —
какой-нибудь фильтрованный автоморфизм простран'
ства Вх:
Тогда Ах сохраняет послойный гомотопический тип у,
т. е. диаграмма
\ /
BG
послойно гомотопически коммутативна.
Доказательство. Нам удобно будет считать,
что dn = n и d(n) = 2n. Это интуитивное упрощение
можно устранить путем несложной модификации
последующих рассуждений.
Рассмотрим сферические расслоения
вп
фильтрованный автоморфизм
{слой j} = Fn-+Bn ^—>Bn
I' I'
*
I'
и отображение е, являющееся эквивалентностью над
d(n)-M остовом
D ?_
о а
п
сеченнеЧ. .„
^t Уп+1

128 Глава 4
Мы можем считать, что отображение An+i кле-
точно, что отображение Ап послойно и что отобра-
отображение е послойно и индуцирует тождественное отобра-
отображение базы. Сузим отображения е, Ап+1 и Ап на
пространства, лежащие над rt-м остовом простран-
пространства Вп+1:
Сделав отображения е/ и AJ клеточными и сузив их
на 2«-е остовы, мы получим отображения
Так как отображения Ап и Лп+] были гомотопи-
гомотопическими эквивалентностями, то и отображение (Ап/Jп
является гомотопической эквивалентностью. Отобра-
Отображение же (<?/Jге является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью, согласно определению внутреннего расслое-
расслоения. С другой стороны, отображение
*.(Вп+1)п
является 5"-расслоением, и потому
Yn + l/ = (Yn+l/J«-
Следовательно, мы можем «подкрутить» автоморфизм
(Ап/Jп с помощью автоморфизма (е/Jп, в результате
чего мы получим автоморфизм А расслоения Yn+iA
накрывающий автоморфизм (Ап+1)п\
Тогда композиция

Сферические расслоения 129
является послойной гомотопической эквивалент-
эквивалентностью, накрывающей тождественное отображение
остова (Bn+i)n.
Переход к пределу при я->оо дает гомотопически
коммутативную диаграмму
Следствие. Любой автоморфизм пространства
BG, сохраняющий фильтрацию \BGn), гомотопен
тождественному.
Замечание 1. Имеется по крайней мере один
гомотопический автоморфизм пространства BG, не
гомотопный тождественному: отображение
определяемое Я-структурой в BG.
Замечание 2. В конкретных примерах, связан-
связанных с пространствами ВО, BPL, BG ..., фильтрован-
фильтрованные автоморфизмы соответствуют тем операциям над
расслоениями, которые являются автоморфизмами и
сохраняют геометрическую размерность слоя, т. е.
автоморфизмам, которые имеют геометрическую при-
природу. Поэтому нашу теорему можно сформулировать
так: геометрические автоморфизмы теорий расслоений
сохраняют стабильный послойный гомотопический тип.
Когда /-адическое расслоение является пополне-
пополнением /-локального расслоения? Как показано в первой
и третьей главах, существуют расслоенные квадраты
•.формальное {-пополнение
5 Д. Сулливан

ТЗЭ Глава 4
Поэтому имеет место
Следствие 5. Ориентированное Si~x-расслоение
является пополнением Si~][-расслоения в том и только
в том случае, когда
(п четно) образ класса Эйлера при гомоморфизме
Я* (база; 2,)-^ Я" (база; Q,)
рационален, т. е. лежит в образе гомоморфизма
Яд(база; О)^*Яп
(п нечетно) класс Хопфа, являющийся априори
элементом группы
Я2" (база; Q,),
рационален.
Доказательство. Ограничимся случаем чет»
ного п. В этом случае наш расслоенный квадрат экви-
эквивалентен квадрату
(BSGJt -> (BSGS
рациональный /-адический
класс Эйлера класс Эвлера
Y У
K(Q, n)->K(Qi,n)
и утверждение вытекает из следующего общего свой-
свойства расслоенных квадратов. Пусть имеется расслоен-
расслоенный квадрат С№-комплексов
А->В
I 4
C-+D.
Тогда отображение любого CW-комплекса Х в В и С
и гомотопия между соответствующими отображениями X
в D гомотопически однозначно определяют отображе-
отображение X в А.
Добавление. Связь между локальными и полными
расслоениями можно представить себе и по-другому.

Сферические расслоения 131
Именно, благодаря эквивалентности
(BSGa); at П
St '-расслоение можно отождествить с набором Sp •
расслоений, по одному для каждого ре/, подчинен-
подчиненных условию согласованности, которое заключается
в том, что у этих расслоений характеристические классы
(Эйлера или Хопфа, с коэффициентами в Qp) являются
образом одного рационального класса.
Главные сферические расслоения. Некоторые л>
кальные (или /-адические) сферы естественно гомотопи-
чески эквивалентны топологическим группам. Таким
образом, мы можем говорить о главных сферических
расслоениях. Легко описать классифицирующее про-
пространство для главных сферических расслоений и его
отображение в классифицирующее пространство для
ориентируемых сферических расслоений.
Предложение. Пусть р — простое нечетное
число. Пополненная сфера S" еомотопически экви-
эквивалентна топологической группе (или пространству
петель) в том и только в том случае, когда п четно
и делит 2р — 2 ').
Следствие. Локальная сфера SJ"'1 гомотопи-
чески эквивалентна пространству петель в том и только
в том случае, когда
I s (р: Z/n S р-адические единицы}.
Прежде чем доказывать эти утверждения, заметим,
что если сфера SJ"'~i имеет классифицирующее про-
пространство Р°° (п, I), то
') Если р = 2, то хорошо известно, что только сферы S1, S3
и S7 являются Я-пространствамн, причем S7 не является про-
пространством петель.

132 Глава 4
и из наличия расслоения
следует, что
(i) алгебра Я*(Р°°(я, /); Zj) изоморфна алгебре
полиномов от одной образующей размерности 2/г, .
(И) для каждого выбора ориентации сферы ST~~1
существует естественное отображение
такое, что при соответствующем отображении колец
когомологий класс Эйлера из когомологий пространства
(BSG2n)i переходит в полиномиальную образующую
кольца когомологий Р°° (я, /).
Доказательство предложения. Стандарт-
Стандартное рассуждение, использующее умножение в когомо-
логиях, показывает, что сферическое Я-пространство
должно быть нечетномерным.
Если Sp~l есть пространство петель, QBn, то ясно,
что когомологии mod p пространства Вп составляют
алгебру полиномов с одной образующей размерности п.
Рассматривая действие операций Стинрода в Я* (В„; Z/p),
мы найдем, что число А = я/2 должно делить число
(р— \)pk при достаточно большом k '). Рассматривая
затем вторичные операции (и используя результаты Лю-
') Действительно, если оеЯ1 (Вп; Zp) — полиномиальная
образующая, то ар = З^^а Ф 0, где &" есть /-я степень Стин-
Стинрода. Классическая формула Адема (см. Adem J., The relations
of Steenrod powers of cohomology classes, Alg. Geom. and Topol.,
Princeton, 1957, p. 191—238) показывает, что всякая степень &l
к
представляется в виде полинома от степеней вида &р . Поэтому
k й
найдется такое k> что 5*р а ф 0; но в этом случае- dim^p a =
= п + 2рк(р — 1) делится на п.-^ПриМ. ред.

Сферические расслоения 133
левичуса '), обобщающие знаменитые работы Адамса2)
со случая р = 2 на общий случай), мы найдем, что А
делит р — 1.
С другой стороны, если Я делит р — 1, то мы можем
явно построить пространство Вп. Для этого (i) вл>
жим Z/A. в Z/p — Is Z*p; (ii) выберем такую клеточ-
клеточную реализацию пространства K(ZP, 2), на которой
группа Zp действует клеточно; (ш) образуем прост-
пространство
Мы получим односвязное р-адически полное простран-
пространство Вп, у которого алгебра когомологий mod p является
алгеброй полиномов с одной образующей размерности п,
и пространство петель QBn гомотопически эквивалентно
Ор .
Подробнее, из спектральной послгдовательности
расслоения
K(ZP, 1)-*{пути}-*/СBр, 2)
и равенства K(ZP, l) = Slp следует, что алгебра
Я*(К (Zp, 2); Zjp) является алгеброй полиномов от одной
образующей дг размерности 2. Так как Я взаимно
просто с р, то из спектральной последовательности,
расслоения
K(ZP, 2)-*K{Zp, 2)/(Z/A)->/C(ZA, 1)
') Подразумевается статья Люлевичуса (Liulevicius A.,
The factorisation of cyclic reduced powers by secondary coho-
mology operations, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 46, no. 7 A960),
978—981; см. также книгу под тем же названием в серии
Memoirs of the American Mathematical Society, Providence, 1962).
Рассуждение, приведенное в предыдущем примечании, можно пов-
повторить, заменив формулы Адема формулами Люлевичуса, пред-
?
ставляющими &р как полиномы от вторичных когомологических
операций; этим доказывается делимость числа 2р — 2 на га. —
Прим. ред.
2) Подразумевается цикл работ Адамса, опубликов энный
в книге Adams J. F., Stable homotopy theory, Springer Lecture
Notes, no. 3 A956). —Ярил. ред.

134 Глава 4
следует, что алгебра когомологий mod р пространств
K(ZP, 2)/(Z/A) является подалгеброй в алгебре кого
мологий mod p пространства К (Zp, 2), состоящей и-
полиномов, инвариантных относительно отображениг
{\,х,х\х\ ...)ЛA. ал:, а2*2, ...),
где а s Z/p — примитивный корень степени X из еди
ницы. Таким образом, Я'(б„; Z/p) =0 при i < п, а эта
означает ввиду р-адической полноты пространства Bnf
что Н1 (б„; Z) — 0 при i < и. Так как, далзе,
щ (к B„ 2)/(za)); = (z/я); = о,
то Вп односвязно, и из теоремы Гуревича следует,
что Вп (п—1)-связно. Следовательно, пространство
петель ?1Вп является (п — 2)-связным р-адически пол-
полным пространством с Н1 (Ш3„; Z/p) = 0 при Ьфп—\
H^iQBn; Zip) = Z/p. Поэтому Hl (QBa; Z) = 0 при
n-\Q Z) = ZP и QBn^SZ'1.
Доказательство следствия. Если / содер-
содержится в множестве {р \п делит (р — 1)} ')> то составим
расслоенное произведение
Ц
K(Q, 2n)-»K(Qi, Щ
где Bin — построенное выше классифицирующее про-
пространство сферы Sp"~'. Переходя к пространствам пе-
петель, мы получим расслоенный квадрат
из которого сразу вытекает наше утверждение.
') Мы при этом оставляем неразобранным лишь случай
2, т. е. сферу SJ.

Сферические расслоения 135
Изоморфизм. Тома. Подобно обычному сфериче-
_..)му рассло*
с ориентацией
скому расслоению, S? -расслоение Е-*Х вместе
определяет изоморфизм Тома
Hl{X; Zi) ^*я<+« (?-**; 2,).
(Это можно доказать индукцией по клеткам базы,
используя последовательности Майера — Виеториса.)
Обратно, если f: А ->Х — расслоение и класс
таков, что умножение
Hl(X\ Zi)
является изоморфизмом, то при известных ограниче-
ограничениях на фундаментальную группу можно показать,
что f: Л—>Х есть ориентированное 5"~'-расслэение
(аналогичный факт о сферических расслоениях дока-
доказан Спиваком '))•
Предположим, например, что фундаментальная
группа пространства X тривиально действует на кого-
молэгиях слоя расслоения /. Тогда из спектральной
последовательности расслоения f: A->X слгдует, что
Я* (слой; Zi)^H*(srK,Zi).
Если при этом слой является «простым пространством»,
то можно произвести послойную локализацию2), и
мы получим 5"~'-расслоение над X:
слой -> А >¦ X
послойная
локализация локализация
\ + II
5Г1 -+Е *Х
') См. Spivak M., Spaces satisfying Ро'псагё duality, Topo-
Topology, 6, No. 1 (!967), 77-101.— Прим. ред.
2) См. доказательство теоремы 4.2.

136 Глава 4
Подобное верно и для /-адических расслоений.
Джойн Уитни определяет спаривание Si~x- и
5Г~'-теорий в Si+m~'-теорию: мы можем образовать
джойн слоев (S?~l и S?~l) над каждой точкой и по-
получить 5?+~'-расслоение. Конечно, при этом исполь-
используется соотношение
ой-1 . от—1 on+m—1
О1 * О1 = О1 .
Аналогичное соотношение, между пополненными
сферами не имеет места, однако
{Si * Si )i ?? S[ ,
и потому композиция послойного джойна с «послойным
пополнением» определяет спаривание в /-адических тео-
теориях.
Доказательство теоремы 4.2. (i) Отображение. /
строится при помощи послойной локализации. Пусть
g —расслоение над симплексом а со слоем F. Предпо-
Предположим, что F есть простое пространство и что задано
отображение dl
1\да—+д1'
\ /
(слой f)\,/^(слой Ft)
да
локализующее каждый слой. Если нам удастся по-
построить отображение t, делающее диаграмму
произвольная
тривиализация
проекция
коммутативной, то мы сможем продолжить dl до послой-
послойной локализации / расслоения | над всем симплексом а,

Сферические расслоения 137
положив
I ¦*¦ I' = конус отображения t ')
\/
Но так как
H*№',t\do; ntFt)^H*(doX(Ft, F); 7гмодуль) = 0,
то, согласно теории препятствий, нужное нам отобра-
отображение / существует. Таким образом, мы можем послойно
локализовать любое расслоение, слой которого прост —
для этого надо последовательно локализовать рас-
расслоение над остовами базы. Мы получим в результате
«гомотопически локально тривиальное» расслоение, ко-
которое однозначно определяет расслоение Гуревича со
слоем Ft.
Если F— такое пространство, что
IT {Flt F; 2,) = О,
то аналогичные рассуждения доказывают возможность
послойного пополнения расслоений со слоем Р. В част-
частности, мы видим, что можно послойно пополнять сфе-
сферические расслоения.
Подобным же образом проверяется, что операции
послойной локализации и послойного пополнения сфе-
сферических расслоений функториальны и что возникающая
диаграмма
4 1-
в?
коммутативна. Первое утверждение теоремы доказано.
') Конус непрерывного отображения <р: А->В определяется
как результат приклеивания к В конуса над А по отображению ф
основания конуса (отождествляемого с А) в В. — Прим. ред.

133 Глава 4
Для доказательства второго и третьего утверждений
рассмотрим последовательность теорий
., [ориентированные! f f. \ w
и- { sj-расслоения / ~* { ^-расслоения] -+ Я1 ( ; R*),
где /? = Z, Z/ или Zz, a S« = SB~\ 5Г1 или 5Г1
соответственно. Здесь первое отображение — это «забы-
«забывание» ориентации, второе — замена каждого слоя его
группой (я— 1)-мерных целочисленных когомологий
(эта замена дает локальную систему на базе со значе-
значениями в /?, которая характеризуется элгментом группы
Далее, свойство накрывающей гомотопии показы-
показывает, что Sjj-расслоение над Si+l может быть построено
по гомотопическому автоморфизму пространства S1 X
Х5д, сохраняющему слои проекции S'X5«->5'. Мы
можем рассматривать этот автоморфизм как отобра-
отображение сферы S* в пространство автоморфизмов AutS#
пространства Sr. При этом можно считать, что базис-
базисная точка экватора 5* переходит в единичный элемент
множества Aut5«. Если / = 0, то расслоение опреде-
определяется компонентой образа другой точки экватора.
Но в последовательности
первое отображение является вложением на множестве
обратимых элементов, а второе и третье — изоморфиз-
изоморфизмами. Следовательно,
Этим доказано второе утверждение теоремы, а также
тот факт, что любое ориентируемое S^-расслоение над
S1 тривиально.
Вообще, задание ориентации на S^-расслоении (над
базой с отмеченной точкой) определяет вложение в него
тривиального расслоения S«->*. Если база связна, то
и, обратно, такое вложение определяет ориентацию

Сферические расслоения 139
расслоения ')• Построенная выше последовательность U
определяет последовательность классифицирующих
пространств
BR-t+BR-Z+KiRr, 1).
Таким образом, если i > 0, то
?? {ориентированные расслоения, над St+i) =
se {базированные расслоения над 5'+'} ??
s n{+lBR.
Следовательно, последовательность U индуцирует сле-
следующие отображения в гомотопических группах:
*—*-R*-?-R* для щ, ni+l -^-nt+i ->* для
Таким образом, отображение BR-->BR является уни-
универсальным накрытием. Далее, соответствие между
ориентированными расслоениями и базированными рас-
расслоениями показывает, что группа nt (BR) ^ R* дей-
действует в BR так, как утверждалось в (Hi).
Осталось доказать первую часть утверждения (ш).
С помощью индукции по остовам (так же как при
доказательстве утверждения (i)) строится естественная
диаграмма
Так как базированные или ориентированные S
слоения над 5'+1 определяются отображением S1-*
-> {компонента тождественного отображения в AutS«},
то нам нужно вычислить отображения гомотопических
') Расслоения, для которых фиксировано такое вложение,
далее называются базированными, — Прим. ред.

140 Глава 4
групп, индуцированных диаграммой
\.
(Autsr')i
Чтобы изучить, например, отображение с, рас-
рассмотрим диаграмму
^ » ^ Л пополнение^ V5' ' t>/ '•
(*) 5Gre пополснение > (Aut ST').
I |
пополнение '
Ясно, что с0 определяет в гомотопических группах тен-
тензорное умножение на Z;. Элемент г'-й гомотопической
группы правого верхнего пространства является, по
определению, гомотопическим классом отображений
тождественных на *Х5д и постоянных на S*X*-
Сдвигая эти отображения в каждом слое на тожде-
тождественное отображение, мы приходим к гомотопическим
классам отображений, постоянных на *Х5Л и на
S'X*> т. е. к гомотопическим классам отображений
1) «Послойный сдвиг» понимается в смысле сложения отобра-
отображений Sft -> SR, подобного сложению сфероидов, определяющему
операцию сложения в гомотопических группах. Это можно пони-
понимать и иначе. Поскольку (S_, Sfl)b есть Я-пространство
(S^ является надстройкой), имеется каноническая гомотопическая
эквивалентность (S^, SR)b -> (Sfi, SR)\ где 0 означает ком-
компоненту постоянного отображения; базированное же отображение
Sl -y.(SR, Sr)q равнозначно отображению SlASR->SR. Кстати,
значок Л обозначает «smash-product»: АЛВ = А X В/[(ЛХ*) U
U (* X В)]; обычно вместо Л пишут #. — Прим. ред.

Сферические расслоения 141
Множество таких гомотопических классов изоморфно
в свою очередь множеству
е* nn+i.iS"-1 <g> %.
Итак, мы видим, что С! тоже индуцирует в гомотопи-
гомотопических группах /-адическое пополнение.
Как известно, лгвый столбец изучаемой диаграммы
является расслоением Гуревича и, следовательно, инду-
индуцирует длинную точную последовательность гомотопи-
гомотопических групп. Покажем, что правый столбец тоже инду-
индуцирует точную гомотопическую последовательность.
Рассмотрим для этого препятствие к достраиванию
коммутативной диаграммы
*xffj+i I вложение '\
*
Оно лежит в группе
Я*((ог/+1, dai+1)X(SR, *); nk-iSR).
Но эта группа тривиальна, если кфп-\-\, и равна
nn+?_1S^~I = пг («слой»),
если k—ji-\-l. Таким образом, правый столбец диа-
диаграммы (*) действительно индуцирует точную гомото-
гомотопическую последовательность, и из этого следует, что
отображение с индуцирует в группах гомотопий тен-
тензорное умножение на %').
:) Это доказывается рассуждением, копирующим обычное
доказательство 5-леммы. — Прим. ред.

142 Глава 4
Итак, мы доказали, что отображение
BSGn-* {универсальное накрытие над В§
является /-адическим пополнением.
Аналогично доказывается, что отображение
BSGrt-> {универсальное накрытие над Вв}
является локадиздцией, и это завершает доказательство
теоремы 4.2.

Глава 5
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ЭТАЛЬ-ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Мы обсудим теперь замечательную теорию, проис-
происходящую из алгебраической геометрии, — теорию
гомотопических типов алгебраических многообразий.
Ее основное содержание составляет чисто алгебраи-
алгебраическая конструкция проконечного пополнения гомото-
гомотопического типа комплексного алгебраического много-
многообразия.
Мы будем рассматривать комплексные аффинные
многообразия FsC*, например, такие, как
GL(n, С)?Ся1+1 =
= {(*in*i2. ¦•-. хпп, y)\det(xu)-y=l}.
Мы будем также рассматривать алгебраические
многообразия конечного типа, получающиеся при
склеивании конечного числа аффинных многообразий,
например таких, как проективная прямая Р'(С) =
= {пространство прямых в С2} = А1[)А2 с диаграм-
диаграммой склейки
А{ <- Л] П А2-*А2,
изоморфной диаграмме
_, включение .-^ обращение (х |> *~') _,
ч_, ¦* \\s — 0} > о.
Поле С играет в этих примерах только роль «поля
определения». Каждое из этих двух определений дает
для любого коммутативного кольца R многообразие
над R: GL(n, R) и Pl(R). Для этого надо лишь заме-
заметить, чтд соотношение, выделяющее GL(n, С), и склеи-
склеивающие функции для Р1 (С) естественным образом
лежат в R (так как они лежат в Z).
Известное понятие предсхемы над кольцом R')
описывает объект, который получается некоторой об-
') Точное определение см., например, в книге MacDonald
I. G., Introduction to schemes, Benjamin, N. Y.

144 Глава 5
щей конструкцией склеивания аффинных Я-многообра-
зий. Понятие алгебраического многообразия над R
(или схемы) получается из него добавлением условия
замкнутости диагонали.
Наша основная конструкция естественным образом
относит каждой предсхеме S этальный гомотопиче-
гомотопический тип e(S). Этот этальный гомотопический тип
представляет собой проективную систему обычных
гомотопических типов, которые строятся по «алгебраи-
«алгебраическим покрытиям» (т. е. этальным покрытиям) пред-
предсхемы S. Процедура построения гомотопического
типа по алгебраическому покрытию предсхемы ') ана-
аналогична построению чеховского нерва по топологиче-
топологическому покрытию топологического пространства. Опять-
таки, аналогично теории Чеха, гомотопические типы
индексируются множеством всевозможных покрытий
предсхемы, частично упорядоченным относительно впи-
вписанности.
В работе Артина — Мазура2) доказано несколько
теорем, связывающих
(i) классический гомотопический тип многообразия
над ползм комплексных чисел и его этальный гомо-
гомотопический тип;
(ii) этальные гомотопические типы одного и того же
многообразия, рассматриваемого над разными коль-
кольцами.
Например, имеет место
Теорема 5.1. Если V — алгебраическое много-
многообразие конечного типа над С, то существует естест-
естественный гомотопический класс отображений
проективная си-
система «нервов»
этальных по-
классический этальный КрЫТИЙ МНОГО"
гомотопический тип гомотопический тип обпязия V
") Простое описание этой процедуры имеется в статье Lub-
kin S., On a conjecture of Andre Weil, Amer. J. of Math., 89,
No. 2 A967), 456.
2) Artin M., Mazur В., Etale homotopy, II, Springer Lecture
Notes,-No." 100 A969). . ...

Алгебраическая геометрия 145
индуцирующий для любой локальной системы А ко-
конечных абелевых групп изоморфизм
H*(V; А)-%- Iim Я* (нерв; Л).
этальные
покрытия
В действительности Артин и Мазур использовали
конструкцию нервов, более тонкую, чем чеховскую,—
сплетающую нервы целой системы этальных покрытий.
Их конструкция основывалась на понятии гиперпокры-
гиперпокрытия, введенного Вердье.
Они развили также некоторую гомотопическую тео-
теорию проективных систем гомотопических типов. Под
отображением
одной проективной системы в другую они понимают
элзмент множества
Iim Iim [Xh X,\.
t i
Из теоремы 5.1. следует, что для комплексного алге-
алгебраического многообразия X конечного типа
1-
(проективная система
этальныи I гомотопических типов
гомотопический } = <с конечными гомото.
пическими группами')
I тип X
[F},fl (в смысле описанных выше отображений),
где {f\—категория, использозавшаяся в гл. 3 при
построении проконечного пополнения классического
гомотопического типа. Таким образом, мы можем
построить обратный предел «нервов» этальных покры-
') Для того чтобы гомотопические группы «нервов» эталь-
этальных покрытий были конечными, нужно наложить иа X дополни-
дополнительные требования: нормальности или неособости. В общем слу^
чае при -алгебраическом построении проконечного пополнения X
многообразия X надо брать прокоиечные пополнения «нервов».

143 Глава 5
тий и получить алгебраическую конструкцию проко-
нечного пополнения X обычного гомотопического типа
комплексного алгебраического многообразия X.
Сначала мы постараемся объяснить, почему удобно
использовать этальные методы. Для этого мы обсудим
на некоторых примерах небольшую модификацию
конструкции Лабкина построения чеховских компле-
комплексов. После этого мы изучим «полный этальный го-
гомотопический тип» и его симметрии Галуа в случае
конечного грассманиана. В качестве мотивировки
следует постоянно иметь в виду «лемму об инерции»
из гл. 4.
§ 1. ИНТУИТИВНОЕ ОБСУЖДЕНИЕ ЭТАЛЬНОГО
ГОМОТОПИЧЕСКОГО ТИПА
Пусть V — неприводимое комплексное алгебраи-
алгебраическое многообразие. Рассмотрим задачу нахождения
когомологий V чисто алгебраическими средствами.
Оказывается, что это можно сделать, если рассмотреть
когомологии с конечными коэффициентами. (Напомним,
что когомологии гладкого многообразия с веществен-
вещественными коэффициентами можно найти аналитически
через дифференциальные формы.)
Сингулярный метод описания когомологий исполь-
использует понятие непрерывного отображения
[ топологическое пространство,|
симплгкс-> | определяемое алгебраическим [,
I многообразием V >
и мы должны от него отказаться. Чеховский метод вы-
вычисления когомологий более алгебраичен — он исполь-
использует лишь структуру открытых подмножеств в V.
Часть этой структуры алгебраичиа по природе.
Действительно, существует естественное отображение
, , f структура )
Г структура ljU открытых ,
\ подмногообразии V } { ПШШНоЖесТв)

Алгебраическая геометрия
147
которое относит каждому алгебраическому подмного-
подмногообразию его дополнение, являющееся открытым
но Зарисскому.
Открытые подмножества, лежащие в образе ото-
отображения с, определяют на пространстве V топологию
Зарисского, которая, таким образом, определяется
чисто алгебраически.
Попробуем применить схему Чеха к топологии 3а-
рисского. Пусть {Uа) —конечное покрытие многообра-
многообразия V открытыми по Зарисскому множествами.
Предложение. Если {иа}состоит из п-\-1 эле-
элемента, то нерв покрытия {{/„} является п-мерным
симплексом.
Это следует из того, что пересечение конечного
числа непустых открытых по Зарисскому подмножеств
в U является снова не-
непустым открытым под-
подмножеством, так как
ввиду неприводимости
V дополнение к каж-
каждому подмножеству Ua
является подмногообра-
подмногообразием вещественной ко-
коразмерности два. Так
как гомологии симплек-
симплекса тривиальны, то не-
непосредственное приме-
применение метода Чеха к то-
топологии Зарисского не
дает ничего.
Обобщение этого метода, простое, но имеющее
замечательные и далеко идущие применения, было
найдено Гротендиком. Замысел Гротендика заключа-
заключается в следующем.
Прежде всего заметим, что чеховская схема вычи-
вычисления когомологий покрытия может быть распростра-
распространена на произвольную категорию. Мы рассматриваем
покрытие {?/„} как категорию, объектами которой
служат множества ?/„, а морфизмами — включения

748 Глава 5
Ниже мы опишем геометрическую схему этой
конструкции, принадлежащую Лабкину.
Далее мы применяем эту конструкцию к катего-
категории, построенной из покрытия алгебраического много-
многообразия X при помощи «этальных отображений»
где Ua — открытое по Зарисскому множество в X и я —
конечнолистное') накрытие 2).
Объектами этой категории являются этальные ото-
отображения, морфизм объекта {Ua, na) в объект {U*, л»)
определяется как коммутативная диаграмма
Таким образом, теперь может существовать несколько
морфизмов одного объекта в другой, а не одно лишь
включение, как раньше.
В действительности Гротендик, используя такие
этальные покрытия, обобщил понятие топологии и
в этом контексте развил теорию когомологий с коэф-
коэффициентами в пучке.
Из определения ясно, что все такие категории
(отвечающие всевозможным этальным покрытиям X)
содержат столько же информации об X, сколько ее
содержится
(i) во всевозможных покрытиях многообразия X
открытыми по Зарисскому множествами;
(И) в той части фундаментальных групп открытых
по Зарисскому множеств, которая восстанавливается
по (алгебраическим) конечнолистным накрытиям.
') Ясно, что всякое алгебраически накрытие конечнолистно;
теорема Римана и ее обобщения утверждают обратное.
') Подразумевается, что эти отображения составляют «эталь-
ное покрытие»,- т. е. объединение множеств я (Ua), отвечающих
всем объектам категории, есть X. — Прим. ред.

Алгебраическая геометрия 149
Чтобы переадресовать эту информацию в гомо-
гомотопическую теорию, дадим
Определение 5.1 (нерв категории). Пусть
С — категория. Определим полусимплициальное мно-
множество ') S (С) следующим образом:
вершины — объекты категории С;
1-симплексы — морфизмы категории С;
«-симплексы — цепочки морфизмов длины п
0„-!>0,Л...Д0,
Операции взятия граней отвечают отбрасыванию край-
крайних морфизмов и компонированию соседних морфиз-
морфизмов. Операции вырождения определяются тем, что
в цепочку вставляется тождественное отображение.
Нервом категории С мы назовем геометрическую
реализацию полусимплициального множества S(C).
Гомологические, когомологические и гомотопические
группы категории С определяются как гомологиче-
гомологические, когомологические и гомотопические группы ее
нерва.
Чтобы сделать нерв категории более геометри-
геометрическим, удобно запретить вырожденные симплексы,
т. е. такие цепочки
в которых хотя бы одно из отображений ft является
тождественным2).
Мы приведем несколько примеров, позволяющих
лучше «почувствовать» гомотопическую теорию ка-
категорий.
') Определение полусимплициальных понятий см. в книге
May J. P., Simplicial objects in the algebraic topology, Van
Nosfrand, Math. Studies, 1967. — Прим. ред.
2) Эту фразу нужно понимать так: из двух употребительных
конструкций геометрической реализации мы выбираем ту, (гео-
(геометрические) симплексы которой отвечают только невырожден-
невырожденным симплексам реализуемого комплекса. Именно эта реализа-
реализация описана в цитированной книге Мея. — Прим. ред.

150 Глава 5
Пример 0. (i) Невырожденная часть нерва кате-
категории
A-
есть
(ii) Пусть К — симплициальный комплекс. Обо-
Обозначим через С (К) категорию, объектами которой
являются симплексы комплекса К и морфизмами
которой являются включения граней в симплексы.
Нерв категории С(К) есть не что иное, как (первое)
барицентрическое подразделение комплекса К:
К нерв С(К)
(ш) Если всякая пара объектов категории С связы-
связывается не более чем одним морфизмом, то нерв
категории С является симплициальным комплексом.
(iv) Если в категории С есть финальный объект А,
то нерв категории С стягиваем. Действительно,
нерв С ?ё {конус над нервом (С — А)}.
(v) Нервы категории С и дуальной категории С*
совпадают.
Следующий пример иллюстрирует остроумный ме-
метод Лабкина использования понятия нерва категории.
Пример 1. Пусть °U, = {Ua} — конечное покрытие
конечного полиэдра /С. Предположим, что
(i) разность К —Uа является при каждом а под-
подкомплексом;
(ii) множество Ua при каждом а стягиваемо;
(ш) покрытие {?/„} «локально направлено», т. е.для
любого х <= Ua(] С/р существует (/ycjce[/vE Uaf\ U у

Алгебраическая геометрия 151
Следуя Лабкину, построим подпокрытие С(Ш)
покрытия Ш, составленное из «наименьших» окрест-
окрестностей. Именно, мы говорим, что Ua принадлежит
С (CU), еслд существует такая точка х^К, что Ua
является наименьшим элементом покрытия 4/, содер-
содержащим я. (Из (ш) и конечности покрытия <U сле-
следует, что у любой точки х есть единственная «наи-
«наименьшая окрестность».)
Рассмотрим C{U) как категорию, объектами
которой служат (/„, а морфизмами — включения.
Предложение 5.1. Нерв категории С{Ш) го-
мотопически эквивалентен К-
Доказательство. Предположим, что комплекс
К триангулирован таким образом, что
(i) каждый' симплекс содержится в некотором
элементе покрытия С {*%()¦,
(п) для каждого элемента Ua покрытия С(<2/)
максимальный подкомплекс K{Ua) барицентрического
подразделения комплекса К, содержащийся в Ua,
стягиваем.
[Если эти условия не выполнены, нам следует таким образом
подразделить К, чтобы
(i) каждый симплекс имел диаметр, меньший, чем число Ле-
Лебега покрытия Щ;
(и) каждое дополнение К — Ua было полным, т. е. содер-
содержало симплекс в том и только в том случае, когда оно содержит
все его ]
Тогда категория C{fU) эквивалентна категории
стягиваемых подкомплексов К (Ua) комплекса К-
Нетрудно построить канонический гомотопический
класс отображений нерва категории С{Ш) в К-
Отобразим каждую вершину Ua нерва С (<Ы) в ка-
какую-нибудь вершину подкомплекса K.a{=K.{Ua)) cz К.
Каждый 1-симплекс Ua-+Up нерва C^U) отобразим
(кусочно линейно) в путь, соединяющий в К$ точки,
соответствующие Ua и ?/р. Продолжая подобные по-
построения и используя стягиваемость комплексов
К{Uа), мы построим кусочно линейное отображение
/: C{(U)->K- Построим теперь встречное отображе-

152
Глава 5
ние. Каждому симплексу оеК отнесем наименьшую
окрестность Ua его центра. Нетрудно проверить, что Ua
{невырожденные)
симплексы
нерва C(U)
покрытие К
(семь открытых множеств)
является наименьшей окрестностью любой точки х,
принадлежащей внутренности симплекса а'). Следо-
Следовательно, включение ест влечет за собой включение
Ua гэ Ux 2). Поэтому каждый симплекс барицентриче-
барицентрического подразделения комплекса К
ol<o2< ... <а„, а* е=/С,
соответствует симплексу
нерва С {1С). Это доставляет симплициальное отобра-
отображение g: К'-»-{нерв С {1С)}, где К' — барицентрическое
подразделение комплекса К.
Рассмотрим композиции
{нерв
{нерв C{<U)}->K,
¦{нерв С{Щ.
¦^к^к*
') Множество точек, для которых Ua является «наимень-
«наименьшей окрестностью», получается выкидыванием из Ua конечного
числа множеств Ug, следовательно, оно является объедине-
объединением конечного числа открытых симплексов.
2) Действительно, Ua пересекается с внутренностью т и,
следовательно, содержит наименьшую окрестность некоторой
внутренней точкц т. — Прим. ред.

Алгебраическая геометрия 153
Можно проверить, что образ симплекса
а,< ... <а„
комплекса К' при первой композиции содержится
в K{Ua). Это позволяет без труда построить гомото-
пию, связывающую эту композицию с тождественным
отображением.
Для изучения второй композиции рассмотрим та-
такое подразделение L нерва категории С (<?/), чтобы
отображение f было симплициальным. Каждому сим-
симплексу а триангуляции L отнесем:
(a) наименьший симплекс нерва категории С (*?/),
содержащий а, скажем U{ а ?/2 с •. ¦ с {/„;
(b) все множества из C{°U), являющиеся «наимень-
«наименьшими окрестностями» центров симплексов вида ftx,
где т — грань а.
Обозначим через С (о) полную подкатегорию ССЩ,
порожденную множествами Uu ..., Un и множест-
множествами, описанными в (Ь). Так как построение fa происхо-
происходит в Un, то все объекты категории С (о) лежат в ?/„.
Следовательно, категория С (о) обладает финальным
объектом и, значит, нерв С (о) является стягиваемым
подкомплексом С (<%i).
Кроме того, как это следует из конструкции, вклю-
включение тс» влечет за собой включение С(т)еС(а).
Таким образом, композиция g°f и тождественное
отображение обладают общим ацикличным носителем
(т.е. asC(a) и g ° f (a) s С (а)) и потому гомотопны
(гомотопия строится индукцией по симплексам триангу-
триангуляции L).
Замечание. Каноническое отображение gq^:
/С->{нерв CCU)}, где °U== {?/„) и С{Щ есть категория
«наименьших окрестностей», построено нами в пред-
предположении, что разности К—Ua являются под-
подкомплексами и категория 11 конечна и локально на-
направлена:. Грубо говоря, отображения типа gou (для
несколько более сложных Щ только и нужны Лабкину

154 Глава 5
для построения комплексов, аппроксимирующих гомо-
гомотопический тип алгебраического многообразия. Допол-
Дополнительные сложности возникают в связи с тем, что
приходится рассматривать категории, в которых су-
существует несколько морфизмов между парой объек-
объектов.
Пример 2. Пусть я — группа. Обозначим через
С (п) категорию, в которой есть лишь один объект, л,
а морфизмы соответствуют элементам группы л и
компонируются в соответствии с умножением в л. Тогда
Лг = {нерв С(я)}=ё /С (я, 1)
— пространство, у которого фундаментальная группа
есть л, а остальные гомотопические группы триви-
тривиальны.
Для доказательства сначала рассмотрим группу
щЫ. Согласно Ван Кампену, эта группа порождена
замкнутыми путями с началам и концом в отмечен-
отмеченной точке, состоящими из ребер, а соотношения поро-
порождаются 2-симплексами:
(см. П. Хилтон, С. Уайлл, Теория гомологии, «Мир», М.,
1966, § 6.3). Комплекс N имеет одну вгршину (объект я).
Элементы группы л определяют петли с началом и кон-
концом в этой вершине. Таким образом, указанное комби-
комбинаторное описание фундаментальной группы немедленно
дает нужный изоморфизм
л
Рассмотрим теперь симплексы комплекса N. Невы-
Невырожденные п-симплексы в точности соответствуют на-
наборам из п элементов группы л
К&, .... gn): пгФ 1}.

Алгебраическая геометрия 155
Следовательно, «-симплексы универсальной накрываю-
накрывающей N комплекса N соответствуют парам, составлен-
составленным из «-симплекса комплекса N и класса комбина-
комбинаторных путей, соединяющих его с отмеченной точкой:
Таким образом, невырожденные и-симплексы комп-
лгкса N соответствует парам, составленным из невы-
невырожденного и-симплекса в N и элемента группы п.
Нетрудно проверить, что цепной комплекс, соответ-
соответствующий рассматриваемой триангуляции N, совпа-
совпадает с «бар-резольвентой группы я» (см. С. Маклейн,
Гомология, «Мир», М., 1966). Таким образом, ком-
комплекс N ацикличен, и так как он односвязен, то он стя-
стягиваем. Следовательно, N есть К {я, 1).
Предыдущие два примера имеют общее обобщение,
наличие которого представляется существенным топо-
топологическим фактом, предопределившим успех теории
этальных когомологий.
Пример 3. Пусть 'М — локально направленное
покрытие пространства X множествами вида К (я, 1),
т. е. jtj(/a='O, если Ua e °U и I > 1. Рассмотрим «обоб-
«обобщенное этальное» покрытие пространства X универ-
универсальными накрывающими') открытых множеств Ua,
и рассмотрим, как и раньше, категорию «наименьших
окрестностей». (Мы предполагаем, что для каждой
точки х е X существует лишь конечное число элемен-
') Сейчас мы допускаем бесконечные накрытия.

156 Глава 5
тов покрытия Ш, содержащих х.) Отображениями слу-
служат коммутативные диаграммы
Y
X
Оказывается, что комплекс X гомотопически эквива-
эквивалентен нерву категории C{<%i).
Отображение Х->{нерв C{°U)} построить в этом
случае немного труднее, чем в примере 1. При этом
удобно использовать стягиваемые «покрытия Чеха»,
измельчающие 41 (как в доказываемой ниже теореме
5.12).
Гомологическое доказательство можно извлечь из
теоремы 2 цитированной выше статьи Лабкина.
Вместо того чтобы приводить точное доказательство,
рассмотрим несколько характерных примеров. Они
иллюстрируют геометрический смысл лабкинской кон-
конструкции этальных когомологий.
(i) (окружность S1). Рассмотрим категорию, опре-
определяемую одним накрывающим отображением
В этой категории Z есть один объект — я и беско-
бесконечное множество морфизмов — сдвиги прямой R, со-
согласованные с п. Нерв категории Z гомотопически
эквивалентен K(Z, 1)==S1.
(ii) (двумерная сфера S2). Пусть р и q — две раз-
различные точки на S2. Рассмотрим категорию над S2,
определяемую отображениями:
(е) {S*-p)-+S*,
(Z) {универсальное накрытие над S2 — р — q) -*¦ 52.
Эта категория может быть описана так:
Cs* \e<-Z->e'\,
причем каждый из объектов е, е' имеет единствен-
единственный эндоморфизм— тождественный, в то время как Z
имеет счетное множество эндоморфизмов — преобразо-

Алгебраическая геометрия 157
вания монодромии п11, — оо < п < оо. Кроме того, суще-
существуют единственные морфизмы Z->e и Z-*er.
Нерв подкатегории {Z} гомотопически эквивален-
эквивалентен окружности.
Нерв подкатегории \е] стягиваем, и поэтому нерв
подкатегории {Z, е)?С представляет собой конус над
окружностью. Следовательно, нерв категории С полу-
получается склеиванием двух конусов над Sl no S1, т. е.
нерв C^S2.
(iii) (трехмерная сфера S3). Рассмотрим покрытие
пространства С2 — 0 открытыми множествами
Обозначим через С категорию, определяемую ото-
отображением универсальных накрытий этих открытых
множеств в С2 — {0}. Категорию С можно описать диа-
диаграммой
где ри pi — проекции. (Мы можем представлять себе
элементы групп Z, Z + Z и проекции ри р2 как мор-
морфизмы категории С.)
Нерв категории С соответствует диаграмме про-
пространств
соответствующей разбиению сферы S3 в объединение
двух полных торов с общей границей.
При этом естественному функтору
о
соответствует отображение Хопфа
(iv) (комплексная проективная плоскость). Рассмо-
Рассмотрим ' три естественных открытых аффинных подмно-
подмножества UQ, Uu ¦ Cf-i с ОРг, задаваемых- в' однородных

158 Глава 5
координатах уравнениями г0 фО,г^ф О, г2 Ф 0- Тогда
множества ?/* гомеоморфны С, множества Uif]Uf }
гомеоморфйы (С — 0) X С и множество Uo П Ui 2
гомеоморфно (С — 0) X (С — 0). Категория С, соответ-
соответствующая покрытию пространства СР2 универсаль-
универсальными накрывающими этих открытых множеств
ирЩ
может быть описана диаграммой
в которой

Алгебраическая геометрия
159
Таким образом, категория С является в некотором
смысле конусом отображения Хопфа
\е)
z
t
; + z
и {нерв С} = е4 U HS2 ^ СР2.
Заметим, что в категории С имеется инволюция,
действующая на объектах как симметрия относительно
/2 и переводящая а в Ь.
Инвариантная подкатегория описывается диа-
диаграммой
и ее нерв является конусом отображения
степень 2
ol
ol
т. е. изоморфен вещественной проективной плоскости
RP2.
(v) (я-мерное комплексное проективное простран-
пространство). Рассмотрим категорию С, определяемую уни-
универсальными накрывающими пересечений стандартных
открытых аффинных подмножеств пространства СРЧ,
Категорию С„ можно представлять как л-мерный
симплекс а, причем в центр каждой грани т помещен
объект аг, множество эндоморфизмов которого обра-
образует свободную абелеву группу с числом образующих,

160
Глава 5
равным размерности этой грани, например
Нерв категории С„ гомотопически эквивалентен СРЧ.
Это разбиение пространства СР*1 встречается в раз-
различных вопросах. Например:
(i) при рассмотрении СРЧ как и-го шага милно-
ровской конструкции классифицирующего пространства
группы S1:
(ii) при рассмотрении динамической системы Фро-
бениуса
(z
z\ 2*)
на СР'!; при итерации отображения 9~ч точки про-
пространства СРп ведут себя по-разному, смотря по тому,
какому симплексу в диаграмме они принадлежат: пре-
предельные точки траектории лежат на торе, размерность
которого равна размерности соответствующего сими-'
лэкса.
Рассмотрим, например, СР1 как расширенную ком-
комплексную плоскость. При. итерации отображения
г->гч точки, лежащие внутри единичного круга, стре-

Алгебраическая геометрия 16 Г
мятся к его центру, точки, лежащие вне единичного
круга, стремятся к бесконечности, а единичная окруж-
окружность переходит в себя; это соответствует разбиению
(Джон Гукенхеймер). В общем случае (для произволь-
произвольного п) категория, описывающая гомотопический тип
пространства СР\ обладает естественными эндомор-
эндоморфизмами Fq, переводящими каждый объект в этот же
объект и каждый эндоморфизм f любого объекта
в f. (Заметим, что этими требованиями эндоморфизм Fq
определгн однозначно.) Геометрическая реализация
этого эндоморфизма Fq индуцирует эндоморфизм про-
пространства СР\ гомотопически эквивалзнтный &~д.
Из разобранных примеров видно, что существуют
простые категории, определяющие гомотопический тип
многообразий
С1 —О, С2-0, ... ; СР\ СР\ .... СР\ ... .
Эти категории строятся по покрытиям многообра-
многообразия открытыми по Зарисскому подмножествами с при-
привлечением универсальных накрытий этих множеств.
Указанные .категории нельзя построить чисто алгебра-
алгебраически с помощью рассмотрения этальных покрытий
многообразия V, так как алгебраические накрытия
обязательно конечны. Но все же категории, соответ-
соответствующие этальным покрытиям, «проконечно аппрок-
аппроксимируют» рассматривавшиеся выше категории.
Вернемся, например, к случаю V ±=Sz = CPl.
Вместо универсальных накрытий рассмотрим конечные
накрытия:
S2-p-g
Категория С(<2/„), соответствующая этому покрытию,
описывается диаграммой
6 Д. Сулливан

162 Глава 5
а ее нерв является надстройкой над бесконечномер-
бесконечномерным- линзовым пространством К. (Z/n, 1).
Рассмотрим проективную систему категорий
CW
m) C{<Uk)
(порядок соответствует делимости). Нервы этих кате-
категорий образуют проективную систему гомотопических
типов с конечными гомотопическими группами
{надстройка над К (Z/n, 1)}„.
Так как рассматриваемые этальные покрытия гомо-
топически конфинальны в проективной системе всех
этальных покрытий СР1, то построенная проективная
система представляет этальный гомотопический тип
сферы S2.
Можно образовать теоретико-гомотопический пре-
предел ')
X — lim (надстройка иад К (Z/n, 1)}.
п
Используя методы гл. 3, нетрудно проверить, что
{надстройка над /С(Z/n, 1)} =
lim (Z/n) = Z, если / = 2,
п
О, если }Ф2.
Так как пространство X односвязно, оно предста-
представляет собой пополнение сферы S2, которое, таким об-
образом, может быть построено по этальиым покры-
покрытиям СР1.
') Нужно, как и в гл, 3, использовать наличие компактной
топологии в функторах [ , ZK(Z/n, 1)].

Алгебраическая геометрия 163
Аналогичным образом можно построить проконеч-
ные пополнения рассмотренных выше многообразий,
используя нервы категорий, соответствующих эталь-
ным покрытиям этих многообразий.
Для более общего комплексного алгебраического
многообразия V Лабкин рассматривает все (локально
направленные, конечные) этальные покрытия. Послг
этого он рассматривает нервы категорий наименьших
окрестностей, соответствующих этим покрытиям. Та-
Таким образом, он строит проективную систему гомото-
гомотопических типов, с помощью которой можно восстано-
восстановить проконечные пополнения гомотопического типа
многообразия V.
Успех этой конструкции с тополэгической точки
зрения вполне объясняется приведенными выше при-
примерами и утверждением нз примера 3. С алгебраичес-
алгебраической точки зрения решающую роль играют два факта:
(i) существует достаточно много открытых по За-
рисскому множеств типа К (я, \I)\
(ii) категория конечных неразветвлгнных топологиче-
топологических накрытий над алгебраическим многообразием U
изоморфна категории алгебраических неразветвлен-
ных накрытий над U.
Следующий набросок (восходящий к Лефшецу) со-
содержит идею доказательства утверждения (i), которое
былэ в более общем случае впервые доказано Артином.
Обозначим через Кп следующее утверждение:
Пусть Vn — неособое n-мерное алгебраическое под-
подмногообразие проективного пространства CPV, U cr F"—
открытое по Зарисскому множество и р — точка мно-
множества U. Тогда существует такое открытое по Зарис-
Зарисскому подмножество U'cz V" типа К (я, 1), что р е V ?U.
Утверждение Ki верно. Действительно, одномерное
многообразие Vх является римановой поверхностью
и U есть V без конечного множества точек; следова-
следовательно, U есть пространство типа К(я, 1).
') Здесь и ниже, говоря «пространство типа К (я, I)», мы
не имеем в виду никакой определенной группы я, а подразуме-
подразумеваем лросто пространство с. асферической универсальной накры*
вающей. — Прим. ред,
6*

№
Глава 5
Если в расслоении F ->?-> В слой и база являются
пространствами типа К (я, 1), то, как это следует из
точности гомотопической последовательности, простран-
пространство Е тоже имеет тип К (я, 1).
Предположим, по индукции, что утверждение Kn-i
верно. Докажем, что утверждение Кп верно для всех
n-мерных многообразий V. Пусть U ? V — открытое
по Зарисскому множество и ре(/. Рассмотрим «об-
«общую» рациональную проекцию многообразия CPV на
такую, что
О)я(р) есть регулярное значение отображения n\v;
(И) неособая риманова поверхность С = л~'(я(р))
пересекает многообразие V — U трансверсально в ко-
конечном множестве точек хи ..., хг.
Рассмотрим окрестность W точки я(р) в СРп~1
типа К (я, 1), содержащуюся в образе множества тех
точек, для которых справедливы утверждения (i) и (ii)
с постоянным г. Открытое по Зарисскому множество
U' = n~lW — (V — U)cz U расслаивается над W со
слоем риманова поверхность без г точек. Так как база
и слой имеют тип К (я, 1), то и V имеет тип /((я, 1).
Утверждение Кп доказано.
Что касается предложения (ii), то легко усматри-
усматривается лишь, что всякое этальное отображение пред-
представляет собой конечнолистное накрытие. Обратное
труднее; можно показать, что конечнолистная на-
накрывающая обладает аналитической структурой и что

Алгебраическая геометрия 165
эта структура эквивалентна алгебраической в доста-
достаточном для вычисления я, количестве случаев. Для
п=\ это сделал Риман. . .
§ 2. ПОЛНЫЙ ЭТАЛЬНЫИ ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП
Чтобы применить этальную гомотопическую теорию-
мы переходим к пределу, используя компактность
проконечных множеств (так же, как в гл. 3). В ре-
результате из проективной системы гомотопических ти-
типов, связанных с этальными покрытиями, мы полу-
получим единый гомотопический тип, который назовем
«полным этальным гомотопическим типом» соответст-
соответствующего алгебраического многообразия. В комплекс-
комплексном случае этот «полный этальный гомотопический
тип» оказывается проконечным пополнением классиче-
классического гомотопического типа соответствующего комп-
лгксного многообразия.
Мы рассмотрим (в односвязном случае) возника-
возникающий арифметический квадрат и подробно разберем
примеры: вещественное грассманово многообразие и
комплексное грассманово многообразие.
Пусть X — гомотопический тип комплексного ал-
алгебраического многообразия конечного типа или ин-
индуктивный предел таких гомотопических типов, как,
например,
р. .. /многообразие я-мерных плоскостей1^
р. .. /мнооре мрных плокостей^
« \^> ^^ \ в й-мерном пространстве / •
Если многообразие X нормально, то этальный го-
гомотопический тип X представляет собой проективную
систему СИ^-комплгксов с конечными гомотопическими
группами. Каждый из этих комплексов определяет пред-
ставимый компактный функтор (см. гл. 3), и проек-
проективный предел этих функторов снова является ком-
компактным представимым функтором. Мы обозначим этот
функтор через X:
(гомотопическая \ J? ( категория компактных 1
1 категория / *"\ хаусдорфовых пространств J *

166 Глава 5
Так как функтор X представим, то ои однозначно
определяет представляющий гомотопический тип (кото-
(который мы тоже обозначим через X)').
Определение 5.2. Компактный представимый
функтор X
i|m [ ,верв| (категория ком-
Г гомотопическая 1 %????? I пактных хаус-
\ категория / > ] дорфовых прост-
( ранств
вместе с представляющим гомотопическим типом X мы
назовем полным этальным гомотопическим типом ал-
алгебраического многообразия X.
Теорема 5.2. Пусть V — комплексное алгебраи-
алгебраическое многообразие конечного типа. Тогда полный
этальный гомотопический тип V, определяемый равен-
ством
[ , У]= Шп [ , нерв],
этальвые
покрытия
эквивалентен проконечному пополнению классического
гомотопического типа многообразия V.
Далее, (а) целочисленные гомологии пространства V
являются проконечным пополнением целочисленных
гомологии многообразия V:
HtV & {ИРГ;
(b) если многообразие V односвязно, то гомотопи-
гомотопические группы пространства V являются проконеч-
ными пополнениями соответствующих гомотопических
групп многообразия V:
') Если нервы эталышх покрытий имеют бесконечные гомо-
гомотопические группы, то, прежде чем брать проективный предел,
их надо пополнить.

Алгебраическая геометрия 167
(с) в этом же односвязном случае гомотопический
тип V разлагается в произведение своих радических
компонент:
(d) топология на функторе [ ,V] определяется го-
гомотопическим типом V.
Доказательство. Первое утверждение теоремы
можно доказать, например, пополнив обе части соотно-
соотношения Артина — Мазура между проективными систе-
системами гомотопических типов:
(этальный ™}-{„ТГГрГовЬ 1""» (« «¦
Чтобы сделать это, мы привлекаем лзмму из гл. 3,
утверждающую, что проективный предел компактных
представимых функторов всегда является компактным
представимым функтором.
Поскольку проконечное пополнение гомотэпическогэ
типа V определялось как обратный предел системы
{^)ш» мы приходим к нашему утверждению. Соотн)-
шения между гомологиями и гомотопиями следуют из
результатов гл. 3.
Замечание. В односвязном случае безразлично
используются ли при построении полного этальногэ
гомотопического типа прообъект Артина — Мазура илч
системы нервов Лабкина. Действительно, согласно ре-
результатам гл. 3, Л'обое отображение односвязного про-
пространства V в проективную систему пространств (X,),
обладающее когомологическим свойством
H*{V; A)&limH*{Xt; A),
где Л конечно, позволяет построить прэконечнэе попол-
пополнение пространства V:
(Предположение об односвязности можно было бы от-
отбросить, если бы мы могли доказать когомологический

168 Глава 5
изоморфизм для любой системы конечных локальных
коэффициентов.)
Чтобы оценить информацию, содержащуюся в про-
конечном пополнении, рассмотрим арифметический квад-
квадрат
проконечное
v пополнение v »
X —— > X = «проконечныи
тип X»
ция j |
локализация,], Хлокализачия
формальное
«рациональный = Хо пополнение> ХА ~ {Хо)~ ^ (Х)о
тип X» |
адельный
тип X
Если, например, X односвязно, то справедливы сле-
следующие утверждения:
(И) отображения гомотопических групп, индуциро-
индуцированные отображениями из «арифметического квадрата»,
имеют вид
[Z->Z
я.Х
Если группы Н1 (X; Z/n) конечны при всех I и п,
то топология на гомотопическом функторе
определяется гомотопическим типом X. В этом случае
мы можем рассматривать пополнение X как гомотопи-
гомотопический тип с дополнительным свойством — естествен-
естественной топологией на функторе [ , X] (подобно тому, как
топология в группе Z определяется групповой струк-
структурой:

Алгебраическая геометрия 169
(iii) Проблема восстановления классического гомо-
гомотопического типа X по полному этальному гомотопи-
гомотопическому типу X является проблемой рациональной
теории гомотопий, которая состоит в нахождении
«подходящего вложения» рационального гомотопического
типа Хо в адельный гомотопический тип ХА:
"¦О ЛА ~~ 'А/локализация в нуле"
Отображение i должно быть эквивалентно формаль-
формальному пополнению (см. гл. 3). Если это так, то X го-
мотопически эквивалентно расслоенному произведению
отображений I и / в диаграмме
*„¦
формальное
пополнение
i
>
1
*^*— '
естественная
эквивалентность
локализация
\ _ адельный
'о тип X
Заметим, что мы не охарактеризовали вложения /,
а лишь потребовали, чтобы оно было указано. В рас-
рассматриваемых примерах этого будет достаточно.
Примеры. 1° (комплексный грассманиан). X —
= lim Gn, ^ (С) = Gn (С), классифицирующее простран-
fc-*oo
ство унитарной группы BUn.
(i) Проконечная вершина «арифметического квад-
квадрата» является «индуктивным пределом» полных эталь-
ных гомотопических типов (утолщенных) комплексных
грассмановых многообразий
Gn. * (С) & GL (« + *, С) IGL (я, С) X GL (k, С) ')•
') Мы рассматриваем такую реализацию гомотопического
типа комплексного грассманова многообразия, так как анало-
аналогичная реализация более удобна в вещественном случае.

170 -' Глава 5
Точнее, гомотопический тип X представляется беско-
бесконечным телескопом отображений
Функтор [ , X] определяется на конечных комп
лексах как индуктивный предел
Так как почти все отображения в этой индуктивно?
системе являются изоморфизмами, то на предела со-
сохраняется компактная топология.
Для произвольных комплзксов функтор [ , X] опре
деляется как проективный предел
lim [конечные подкомплексы, X].
(и) Рациональная вершина «арифметического ^ад-
га
рата» есть произведение II K{Q, 2i) пространств Эйлгн-
?=1
берга — Маклейна. Рациональные классы Чжэня опре-
определяют «локализацию в нуле»
BUn (СуС> °п)> П К (Q. 21).
Это отображение индуцирует изоморфизм алгебр рацио-
рациональных когомологий и, согласно теореме 2.1, является
локализацией.
(iii) Для адельного гомотопического типа простран-
пространства X имеют место эквивалентности
у ~ ( формальное пополнение \ ^
А ~ [локализации BUn в нуле|~
п
^ {локализация (ВипГ в нулз} as П К (Q ® Z, 2i)
(последнее произведение есть, очевидно, формальное
пополнение произведения П К (Q> 2/)).

Алгебраическая геометрия 171
Структура Z-модулей на гомотопических группах
пространства ХА, определяемая частичной топологиза-
цией функтора
[ .Хд],
совпадает с естественной Z-структурой на гомотопи-
гомотопических группах пространства
П ад ® % 20-
(iv) Итак, мы получили расслоенный квадрат
полный этальный 1
1 ТИП J
I
[ рацио-
I наль-
| НЫЙ
I ТИП
/
~1
адель-
2/)=j ный
i=l i=l { тип
2° (вещественный грассманиан). Рассмотрим ком-
комплексную ортогональную группу
О (л, С) s GL (п, С) =
= {Ae=GL {п, С) \{Ах, Ах) = (х, х)},
где х — (xv х2, ..., хп) е С", (д:, л) = 2 *?• Имеется
диаграмма
О(я,С)-^О1(я, С)
4
О(п) -
где / — вложение в категории комплексных алгебраи-
алгебраических3 групп, i — вложение в категории вещественных
алгебраических групп и с, г — вложения множества
вещественных точек в множество комплексных точек.
Поскольку отображения сиг являются гомотопи-
гомотопическими эквивалентностями, изучение вложения
GL (я, R) -* GL (я, С)

172 Глава 5 '*--•-
эквивалентно, с точки зрения гомотопической теории,
изучению вложения
0{п, C)-*GL(n, С).
Тот факт, что отображение i является гомотопической
эквивалентностью, слгдует из однозначной представи-
представимости вещественной матрицы в виде произведения
ортогональной матрицы на треугольную матрицу с по-
положительными числами на диагонали. Тот факт, что
отображение с является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью, следует из теоремы Шеваллз1), утверждающей,
что любая компактная группа Ли (в нашем слу-
случае О(п)) имеет комплексную алгебраическую форму
(в нашем случае О(п, С)), гомеоморфную прямому
произведению исходной компактной группы на евкли-
евклидово пространство2).
Присоединяя условие det j4 == 1, мы получаем спе-
специальную комплексную ортогональную группу SO(n, С),
которая является компонентой единицы в группе 0{п, С).
Рассмотрим «алгебраическую форму» вещественного
грассманова многообразия ориентированных плоско-
плоскостей (опять-таки утолщенного)
(?„. k (R) = SO(n + k, Q/SO (я, С) X SO (k, C).
Это — комплексное алгебраическое многообразие, гомо-
топически эквивалентное ориентирующей двулистной
накрывающей вещественного грассманова многообра-
многообразия
GL (« + k, R)fGL(n, R) X GL (k, RK).
Пусть X= lim Gntk(R) = BSOn — классифицирую-
щее пространство специальной ортогональной группы.
') См. Шевалле К-, Теория групп Ли, т. I, ИЛ, М., 1948,
гл. VI.
2) Поэтому можно применять этальную гомотопическую
теорию к любой компактной группе Ли. Этим наблюдением
я обязан Раулю Ботту.
3) Здесь неточность: это накрытие является ориентирующим
только тогда, когда накрываемое многообразие неориентируем о,
т» е. примерно в половине случаев; зато почти всегда это на-
накрытие можно о-тисать как универсальное. — Прим. ред.

Алгебраическая геометрия !73
Используя класс Эйлера и классы Понтрягина, мы
можем, как и раньше, вычислить арифметический
квадрат
BSOn > Ц Хр = полный этальный
р тип
(рациональ-! тт (,.„ .. тт ^/а^^ .\
ный тип 1=П K(Q,i)-> 11/C(Q0Z, г) = «адель-
'sS 'sS ный тип»,
где
S = D, 8, 12, ..., 2п — 4, п) при четном п
и
S = D, 8, 12, ..., 2я — 2) при нечетном п.
§ 3. СИММЕТРИИ ГАЛУА В ГРАССМАНИАНАХ
BUn И BSOn
Мы приступаем к изложению наиболее интересной
части алгебраического аспекта этальных гомотопиче-
гомотопических типов.
Многообразия, которые мы рассматриваем, грасс-
манианы Gn,k{C) и G~,ft(R), определены над полем
рациональных чисел, так как коэффициенты уравне-
уравнений, выделяющих многообразия GL (п, С) и О (л, С)
(а также коэффициенты уравнений, задающих в них
групповую структуру), рациональны и даже являются
целыми числами.
Поэтому любой автоморфизм поля комплзксных
чисел оставляет неизменными эти коэффициенты и
определяет алгебраический') автоморфизм этих грасс-
мановых многообразий. Каждый такой алгебраический
автоморфизм определяет автоморфизм системы алгеб-
алгебраических покрытий, автоморфизм системы соответ-
соответствующих нервов и, таким образом, автоморфизм пол-
полного этального гомотопического типа2).
') Не обязательно непрерывный. -~.Прим. ред.
2) Точнее, автогомеоморфизм гомотопического функтора
I .V.)

174 Глава 5
Опишем это действие неформально. Наше много
образие V построено из конечного числа аффинны,
многообразий А{,
С"эЛг={(^ хп)\ !ц(хи...,хп) = 0, 0</<fc}
Многообразия At склеиваются между собой по алгеб
раическим изоморфизмам между дополнениями к не
которым алгебраическим подмногообразиям. Высказы
вание, что многообразие V определено над полек
рациональных чисел, означает, что коэффнциенть
уравнений fji = O и коэффициенты полиномов, опреде
ляющих склеивающие изоморфизмы, являются рацио-
рациональными числами.
Пусть a: z*—>z° — автоморфизм поля С. Он инду
цирует алгебраический автоморфизм пространства С"|
Так как всякий автоморфизм поля С оставляет на
месте рациональные числа1), то а сохраняет множе
стза решений уравнений /y<(z,, ..., г„) = 0, опреде-
определяющих аффинные схемы Ai, и согласован с их склей
ванием в многообразие V. Поэтому корректно опре-
определен алгебраический автоморфизм
Опишем теперь действие автоморфизма а на си-
системе «нервов этальных покрытий».
Пусть 41 — этальное покрытие многообразия V
...Ua Ua> Ua,, ...
\ I /
\яо рта' /"а»
V
Каждое отображение я„ является конечным алгебраи-
алгебраическим неразветвленным накрытием над дополнением
к алгебраическому подмногообразию многообразия V;
') Я думаю, что есть какая-то аналогия между «неподвиж-
«неподвижностью» полт Q и «инертностью» стабильного посло.Й1.о.'0 гомо-
гомотопического типа (см. гл. 4).

Алгебраическая геометрия 175
при этом образы па покрывают V. Рассмотрим «про-
«прообразы» отображений яа относительно автоморфизма о:
Они составляют новог этальное покрытие многообра-
многообразия V,
Таким образом, формула 41 *-> 0*41 определяет авто-
автоморфизм множества этальных покрытий, используе-
используемого при построении этального тина в качестве
индексирующего множества. Далее, имеется естествен-
естественный изоморфизм категорий, определяемых покры-
покрытиями Ш н а*1С,
Он задается формулами
где отображение atf определяется условием, чтобы
диаграмма
была коммутативна. Таким образом, а индуцирует
автоморфизм проективной системы категорий [С D1I1
{о: C{o*<U)->C{°U))

176 " Глава 5 —'- ¦¦ ¦-
и автоморфизм проективной системы нервов:
{нерв С(<т*<г/)-*нерв
Переходя к пределу, мы получаем автоморфизм
проконечного пополнения гомотопического типа много-
многообразия V.
Замечание (общая функториальность). В нашем
случае отображение о (а следовательно, и о*) является
изоморфизмом, и потому ясно, что отображение oj
существует и однозначно определено.
Если же а — более'общий морфизм, скажем вклю-
включение подмногообразия W в многообразие V, то при
построении отображения a: W-+V решающую роль
играет техника «наименьших окрестностей». Объекты
категории С(<2/) были фактически «наименьшими
окрестностями» (см. пример 1 в предыдущем пара-
параграфе), построенными по локально конечному локально
направленному покрытию 11. Покрытие о*41 тоже
является локально конечным и локально направлен-
направленным, поэтому оно имеет свои «наименьшие окрест-
окрестности», и последние являются, объектами категории
С @*41). Можно проверить, что из включения o*Ua s
s o*Ua, где o*Ua, o*Ua — «наименьшие окрестности»
в W точек «а. Щ s V, слэдует включение {/Иа s Ua ,
где ?/(аа, Uа — «наименьшие окрестности» в U то-
точек соа, со». Поэтому формула
определяет функтор . .
С («Л/)-»-С (?/)").
') Для краткости мы считаем, что рассматриваются обычные
покрытия.

Алгебраическая геометрия . ¦ 177
Хотя этот функтор не каноничен, индуцированное ото-
отображение нервов определено однозначно с-точностью
до гомотопии, как в теории Чеха.
Лабкин придумал, как, несколько усложнив вычи-
вычисления, можно добиться каноничности уже на уровне
нервов. Мы используем его метод ниже, при доказа-
доказательстве «гипотезы о вещественных многообразиях».
Пример. V = (C — 0). Для описания этальчого
гомотопического типа в этом случае достаточно рас-
рассмотреть покрытия {?/„),-состоящие из одного элемента
я. ип
ге-листное накрытне
Соответствующая категория С ({?/„}) есть однообъект-
ная категория Z/л. в которой автоморфизмы един-
единственного объекта образуют циклическую группу по-
порядка п.
Заметим теперь, что накрытие я: {/П->(С —0) экви-
эквивалентно накрытию Fn: (С — 0) -*¦ (С — 0), где Fn — воз-
возведение в л-ю степень, и что
o*Un ^* Un (С-О)-^(С-О)
| | \ j
(С-0)-*(С-0) (С-О)-^-(С-О)
Автоморфизмы накрытия я соответствуют умножению
на корни л-й степени из единицы: f% (z) = |г, |"=1.
Так как отображение pji определяется диаграммой
(С-О)-^(С-О)
¦ '4 :laJi
или формулой (ojl)(za) = (fl{z))°, то
или ajj = f^a.
Если отождествить единственный объект категории
''"'' ') с группой корней я-й степени из единицы (эндо-

\7Ь Глава 5
морфизмы-сдвиги), то автоморфизмы поля С действуют
на этой категории посредством своего действия на кор-
корнях из единицы,
1->1в, ?"=1.
Мы видим, что действие элемента а е Aut С на
этальном гомотопическом типе многообразия С — 0 за-
зависит лишь от действия элемента а на корнях из еди-
единицы. В общем случае это неверно')» но все же ока-
оказывается, что для произвольного Q-многообразия V
действие элемента а е Aut С на этальном гомотопи-
гомотопическом типе V зависит лишь от действия а на алгебра-
алгебраических числах. Делэ в том, что поле Q алгебраических
чисел и полг С комплексных чисел оба являются
алгебраически замкнутыми полями, содержащими Q,
и с точки зрения этальных гомотопий при переходе от
поля Q к полю С ничего не меняется.
В силу сказанного выше «группа Галуа поля Q»,
Gal(Q/Q), естественно действует на проконечном попол-
пополнении гомотопических типов грассманианов Gn, k (С) и
Gn *(R). [Многообразие Gn j(R) оцределяется у нас
как 0{n + k, С)/О (я, С) X О (k, С).] Наличие такого
действия является совершенно неожиданным. Ведь все
автоморфизмы поля Q (кроме комплексного сопряже-
сопряжения) делаются очень разрывными при переходе к комп-
лзксному полю. Поэтому априори совершенно неясно,
почему эти автоморфизмы должны действовать на груп-
группах когомологий mod л алгебраических Q-многообра-
зий2).
Сделаем еще несколько замечаний о действии группы
Галуа.
(i) Многие многообразия нельзя определить над Q,
но они определены над некоторым числовым полэм —
конечным расширением поля Q. Для многообразия V,
определенного над полем К, на этальном гомотопиче-
гомотопическом типе (проконечном пополнении) многообразия V
') Для грассманианов это неизвестно. Нгкоторые частные
результаты см. в § 5.
2) Я благодарен Г. Уошснитцеру, который уже давно разъ-
разъяснил мне это явление.

Алгебраическая геометрия
179
действует подгруппа конечного индекса группы Галуа
поля Q,
Gal(O/K)sGal(Q/Q).
(ii) Действия этих проконечных групп Галуа непре-
непрерывны по отношению к естественной топологии в гомо-
гомотопических множествах [ , V]. Например, если V ecTi
Q-многообразие, то каждое конечное этальное покрытш
определено над конечным расширением поля Q, т. е
составляющие его многообразия и отображения локальж
задаются полиномами с коэффициентами из некоторой
числового поля L. Поэтому проконечная группа Галуг
действует через свой конечный фактор Gal (LjQ) и обрат
ный предел этих действий дает гомеоморфизмы проко
нечного гомотопического множества [ , V].
(Hi) Следствием этого феномена «конечности на каж
дом уровне» является существование конфинальног*
семейства этальных покрытий, каждое из которы:
в отдельности инвариантно- относительно группы Галуа
Мы получаем, таким образом, замечательную модел
действия группы Галуа на проконечном пополнении -
бесконечную систему конечных комплексов с коне1;
ными группами симметрии, причем все эти симметри
согласованы.
\ /
Действие группы Галуа в когомолэгиях. Груш
Галуа Gal(Q/Q) действует на группе ц корней из ед
ницы, содержащейся в Q. Как известно, полда.я групп

180 ¦ Глава 5' - ¦
автоморфизмов группы \х изоморфна группе Z* обрати-
обратимых элементов кольца Z'). Действие группы Z* на ц
задается формулэй
(под |а мы понимаем |*, где k — любое целэе числэ,
сравнимое по модулю лсйё Z*). Поэтому определгн
канонический гомоморфизм
{группа Галуа поля, \ *
порожденного корнями |=Z*.
из единицы I
Из теории полей классов для Q следует, что ото-
отображение А является эпиморфизмом и его ядро совпа-
совпадает с коммутатором группы Gal(Q/Q), т. е. А есть
не что иное, как абелеанизация.
Эта абелеанизация естественно возникает также
при рассмотрении этального гомотопического типа СР1.
Предложение 5.3. Индуцированное действие
группы Gal@/Q) в
совпадает (после абелеанизации) с естественным дей-
действием группы Z* на Z.
Доказательство. Рассмотрим накрытие Un->
un = с* -^±^^ с*=(с - о) s ср1 .
Группа монодромий этого накрытия порождается ото-
отображением 2 1—>|z, где |га=1.
Пусть а — какой-нибудь автоморфизм поля Q. Как
это мы видели недавно при рассмотрении примера
•)Этот факт лзгко проверить, используя изоморфизмы
ц ~ lim Z/n, Z* s lim (Z/n)'.

Алгебраическая геометрия
(см. стр. 177), действие элемента а на категории
С ({Un\) соответствует его действию на корнях из еди-
единицы. Мы применяем это наблюдение ксистеме эталь-
ных покрытий проективной прямой СР1:
Пополнение к у (D
Ш*\8ополнение криу
степень п ® дополнение к р
и соответствующей системе категорий (С„):
Cn=[e<~Z/n->e}
Автоморфизм, определяемый а на всей системе
этальных покрытий СР\ «гомотопен» автоморфизму кон-
финальной подсистемы [Сп). Проведенные выше вы-
вычисления показывают, что автоморфизм а* категории
\Сп\
(О является тождественным на объектах;
(И) действует на морфизме | е Z/n по формулг
Нерв категории С„ является надстройкой над
К (Z/n, 1), и его двумерные целочисленные гомолэгии
равны 7,)п.
Действие элемента а на проективном предела
#2((СР,Г; Z) = \\m_H2 (надстройка над К (Z/n, I); Z) =
n
= lim Z/n = Z
этих гомологических групп составляется из его дей-
действий на корнях n-й степени из единицы. Предло-
Предложение доказано.

182 Глава 5
Замечание. С философской точки зрения важно,
что алгебраическое многообразие СР1 не имеет кано-
канонического фундаментального класса, так как алгебра-
алгебраические автоморфизмы переставляют между собой все
образующие группы Я2((СР')Л; Z).
Топология в поле комплексных чисел определяет
выбор ориентации с точностью до знака. Выбор квад-
квадратного корня из —1 позволяет определить и знак.
С другой стороны, как мы увидим в следующей
главе, фиксация для проконечного гомотопического
типа, удовлетворяющего двойственности Пуанкаре,
ориентации в смысле /С-теории соответствует «классу
гомеоморфизмов неособых топологических структур»
на этом гомотопическом типе ')•
В случае сферы S2 «ориентация, индуцирующая
топологию», в точности соответствует выбору обра-
образующей в двумерной гомологической группе.
Предложение 5.4. Действие группы Gal@/Q) в
н* ((ОРТ; 2) s& 2 [*]/(**+• = 0)
совпадает (после абелеанизации) с естественным дей-
действием группы Z", г. е. (произвольная) двумерная
образующая х алгебры Н*({СР") ; Z) переходит под
действием элемента а е Z* в ах.
Доказательство. При /г=1 это следует из
предложения 5.3, поскольку
Я2((СР'Г; Z)= Нот(я2(СР'Г; Z).
В общем случае утверждение вытекает, ввиду нали-
наличия включения
СР1 -> СР\
из естественности действия группы Галуа.
')В действительности дело обстоит столь благополучно
лишь в односвязном случае, локализованном вне двойки (чтобы
задать «топологический тнп» в-двойке, нужно фиксировать кое-
что еще).

'Алгебраическая геометрия 183
Предложение 5.5. Группа Gal(Q/Q) действует
на алгебре
H*((BUnr;Z) = Z[cvc2, ..., с„]
по формуле а (с?) = alCi (a e Z*).
Доказательство. При п = 1 это вытекает из
предложения 5.4, поскольку
-= lim СР\
В общем случае достаточно заметить, что при есте-
естественном отображении
X ••¦ X СР°° -
л раз
классы Чжэня переходят в элементарные симметри-
симметрические функции от двумерных образующих алгебр
когомологий сомножителей ')•
Предложение 5.6. Действие группы Gal (Q/Q)
в H*((BSOn)~; Z) определяется следующими услозиями:
(i) в H*(BSOn; Z/2) действие тривиально;
(ii) если элемент g группы Gal (Q/Q) переходит при
абелеанизации в a^Z,*, то
= a2ipt (dimpi = 4/),.
где pi — классы, Понтрягина и % — класс Эйлера; на-
напомним, что (по модулю элементоз порядка 2)
..., ря),
H*{{BSo2nr; z)-Z[Pl,.... />„,
')Этот факт, как и используемые ниже сведения о когомо-
логиях пространств BSO и гомоморфизмах, связывающих кого-
мологии пространств BSO, BU и проективных пространств, содер-
содержится в статье А. Бореля «Когомологин главных расслоенных
пространств и однородных пространств компактных групп Ли»,
сб. «Расслоенные пространства», ИЛ, М., 1958. Конечно, у Бо-
Бореля рассматриваются целочисленные когомологин; переход к Z-ко-
гомологиям производится с помощью формулы универсальных
коэффициентов. — Прим. ред.

184 Глава 5
Доказательство. Заметим, что у алгебры
Н* (RP"; Z/2) = (Z/2) [*]/(*«+' = 0)
нет нетривиальных автоморфизмов, и рассмотрим
диаграмму
BSOa
составленную из «алгебраических» морфизмов. Так
как горизонтальное отображение индуцирует вложе-
вложение Z/2-когомологий, а вертикальное — эпиморфизм,
то утверждение (i) доказано.
Для доказательства утверждения (И) рассмотрим
диаграммы
BSOia+l
По модулю элементов порядка 2 отображение с~ ин-
индуцирует в когомологиях эпиморфизм, а с+ — эпи-
эпиморфизм на подалгебру, порожденную элементами
р„ ..., рЛ е Н* (BSO2n). Так как, далее, / индуцирует
в 2п-мерных когомологиях мономорфизм, то утвер-
утверждение (ii) следует из предложения 5.5.
Замечание. Столь хорошее действие группы
Галуа Gal (Q/Q) в когомологиях связано с некото-
некоторыми интересными проблемами и гипотезами.
Для каждого простого числа р в группе Gal@/Q)
имеется подмножество, состоящее из элементов, инду-
индуцирующих автоморфизм Фробениуса х^*-хр в поле
характеристики р. Пусть @~р — один из таких эле-
элементов.
В случае грассманиана элемент #"р действует на
^-адической части когомологий (q ф р) по формуле

Алгебраическая геометрия 185
Знаменитая гипотеза Римана в характеристике
р — оставшаяся недоказанной гипотеза Вейля1) — ут-
утверждает, что для широкого класса многообразий2)
элемент Тр действует на когомологиях «аналогич-
«аналогичным образом». Рассмотрим собственные значения
(в алгебраическом замыкании поля 0,,. содержащем Zq)
оператора &~р в ^-адической части ^-мерных когомо-
логий пространства V. Эти собственные значения
(a) являются целыми алгебраическими числами;
(b) не зависят от Цфр;
(c) по модулю равны pkl2.
В случае грассмановых многообразий есть только
четномерные когомологии и собственные значения
являются обычными целыми числами (р', есл1 k = 2i).
Это упрощение возникает из-за того, что когомологии
грассманова многообразия порождаются алгебраиче-
алгебраическими циклами (как над полем, характеристики нуль,
так и над полем характеристики р) — подмногообра-
подмногообразиями Шуберта Sch* (k — комплексная размерность).
Используя естественность действия группы Галуа в го-
мологиях, мы находим, что #~р(/„ Schk) = i^p Sch* =
= i,pk Sch* = p% Sch*, где i — включение (второе ра-
равенство следует из того, что старшая группа гомоло-
гомологии многообразия Шуберта Schft является циклической,
и потому собственное значение может быть найдено
в окрестности точки).
Тейт предположил, что справедливо обратное утвер-
утверждение. Говоря несколько неточно, он предположил,
что каждый собственный вектор оператора 0"р в 2,-ко-
2,-когомологиях с рациональным собственным значением
соответствует алгебраическому подмногообразию (над
полем характеристики р).
')Она теперь доказана Делинем (Deligne P.).— Прим. пе-
рев.
2) А именно, для многообразий, имеющих хорошую редукцию
mod/»,

1?б Глава 5
§ 4. ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ ГАЛУА В tf-ТЕОРИИ,
ОПЕРАЦИИ АДАМСА
И «ЛИНЕЙНАЯ» ГИПОТЕЗА АДАМСА
Так как группа Gal(Q/Q) действует на (BUn)
(ВОп)~, она действует и на гомотопических типах
Эти гомотопические типы классифицируют теоре-
теоретико-групповые проконечные пополнения приведенных
/(-теорий,
КО (ХГ ?* [X, ВО~],
для любого конечного комплгкса X.
Если комплгкс X бесконечен, то мы полагаем
KU (ХГ = Um KU (ХаГ = [X, fit/"]').
конечные
подкомплексы Ха
комплекса К
Поэтому для любого пространства X группа
Gal (Q/Q) естественно действует в проконечном ^-функ-
^-функторе К{Х)Г (вещественном или комплексном).
В обычной /(-теории имеются прекрасные операции
Адам:а2)
*: КО(Х)->КО(Х)
') Последнее равенство является следствием проконечности
гомотопических групп пространства BU". — Прим. ред.
2) б^цределение операций Адамса и их первоначальноэ изу-
изучение имеется в статье Дж. Адамса «Векторные поля на сфе-
сферах», сб. Математика, 7: 6 A963), 49—79. — Прим. ред.

Алгебраическая геометрия 187
(k s Z). Операции Адамса (как в вещественном, так
л в комплексном случае) обладают следующими свой-
свойствами:
(i) если т) — геометрическое линейное расслоение,
то i|)fe Сп) = т)* = г] <8> ... ® к] (k сомножителей);
(ii) ij3fe определяет эндоморфизм кольца К (X);
Операции if* определяются с помощью полиномов
Ньютона от внешних степеней векторных расслоений.
Например,
= V <g> V - 2Л2У,
Операции Адамса естественно определяют операции
в проконечной /(-теории:
для конечных комплексов и
\JrnK (ХаГ *~ +КтК (ХаГ
а а
для бесконечных комплексов.
Я хотел бы разбить эти проконечные операции
Адамса на «изоморфическую часть» и «нильпотент-
ную часть».
Алгебра К(Х)~ и операции Адамса естественно
разлагаются в произведение
П (ч,*)р
причем операция (ф*)р является изоморфизмом в том
и только в том случае, когда р не делит k. Если р
делит k, то переопределим операцию (ф*)р, сделав ее
тождественным отображением. Мы получим операцию

188 - Глава 5
которая и является, по определению, «изоморфической
частью» операции Адамса.
Заметим, что (до переопределения) операции (Ф^р"
при р, делящем k, были топологически нильпотентны,
т. е. степени операции (tyk)p в приведенной группе
К(ХГ стремились к нулю.
Наша главная цель состоит теперь в том, чтобы
выявить «вездесущий характер» изоморфической части
операций Адамса.
Напомним, например, что абелеанизирующий го-
гомоморфизм
возникает при действии группы G на корнях из единицы.
Теорема 5.7. Естественное действие группы
Gal @/Q) в проконечной К-теории К(Х)~ сводится
(после абелеанизации) к действию группы Z*. При
этом изоморфическая часть операции Адамса ip*,
совпадает с автоморфизмом, индуцированным эле-
элементом
и*= п (*)ii(i)e=nz;=z\
(ft, p)=i p/k p
Поэтому действие изоморфических частей операций
Адамса на представляющих К-функтор «.алгебраиче-
«.алгебраических многообразиях»
BU=\imGnik(C), ВО = lim «С„,»(R)»
п, k п. ft
возникает из естественного действия группы Gal (Q/Q)
на проконечных гомотопических типах рационально
определенных алгебраических многообразий.
Доказательство теоремы 5.7 мы приведем ниже.
Замечание. Ограничиться рассмотрением изо-
изоморфических частей операций Адамса было необходимо
для того, чтобы совершить это «алгебраическое» рас-

Алгебраическая геометрия 189
пространение операций Адамса на грассманианы я
другие алгебраические многообразия. Например, имеет
место . . : • - .¦ .
Предложение 5.8. Нельзя определить операцию
¦ф2 на 2-адическом пополнении G2,n (С)Г с большим п
таким образом, чтобы она была согласована с ниль-
потентным действием операции -ф2 на (БС/)Г'.
Доказательство этого предложения мы тоже при-
приведем ниже. Это доказательство подскажет нам идею
построения новых интересных отображений кватернион-
ного проективного пространства в себя.
Напомним теперь, что каждый элемент у е К (X)"
определяет некоторый стабильный гомотопический тип
сферического расслоения над X. Например, в вещест-
вещественном случае определена композиция
естественное
где G означает Я-пространство отображений сферы
в себя степени ± 1.
Теорема 5.9 (гипотеза Адамса). Для любого про-
пространства X стабильный послойный гомотопический
тип элемента группы К'(Х)~ (К обозначает веществен-
вещественный или комплексный К-функтор) инвариантен отно-
относительно действия группы Галуа Gal (Q/Q) (и ее абе-
леанизацш Z*) и, следовательно, относительно изо-
морфической части операций Адамса.
Доказательство. В гл. 4 мы определили филь-
фильтрацию пространств BU~, BSO~ с помощью последо-
последовательностей {(?[/„)"}, {(BSOn)"}, и эта фильтрация,
очевидно, инвариантна относительно группы Галуа.
Поэтому каждый элемент группы Галуа определяет
фильтрованную гомотопическую эквивалентность про-
пространств BU~, BSO". Согласно лемме об инерции
(гл. 4), применяемой к теории пополненных сферичес-
сферических расслоений, диаграммы
b

190 Глава 5
гомотопически коммутативны. Здесь asGal(Q/Q)i
а пространство BZ классифицирует «стабильную тео
рию» проконечных сферических расслоений (см. гл. 4)'
Но, согласно теореме 4.1,
Следовательно,
fitT-
\
\
BZ^K (Z\
диаграммы
/ и
BSG
DX
BSO
BSG.
^ а
\ J
BSG
>BSO
/
коммутативны. В комплексном случае доказательстве
закончено.
Для завершения доказательства в вещественно:.
случае остается заметить, что каноническое отобра
жение
разлагается в произведение
(BSCT -> BSG) X (R-P" — ¦> RP°°)
и что сужение отображения а: ВО~->ВО~ на RP"
является тождественным отображением. Предложена
доказано.
Замечания. Если мы применим этот результаг
к конечному комплексу X, приняв во внимание, чте
[X, BG] з* II [X,-(BG)f]—произведение конечных/-групп,
то мы получим, что образ элгментов группы К(Х}
вида 0ркх — х в группе [X, BG] содержится в произ
ведении р -компонент последней группы по простым де
лителям р числа k. Таким образом, мы приходим:
к первоначальной формулировке гипотезы Адамса:
для каждого х^К(Х) образ элемента kN{tykx — x) e
е К (X) с достаточно большим N в группе / (X) =
— lm{K{X)-+[X, BG]) равен нулю.

Алгебраическая геометрия 191
Доказательство леммы об инерции для случая век-
векторных расслоений можно было бы упростить. Дей-»
ствительно, стабильные расслоения
естественное
являются «в точности внутренними» по отношению
к фильтрации [ВОп]. А именно расслоение
{слой}-»- ВО „_i-> ВО „
послойно гомотопически эквивалентно каноническому
сферическому расслоению над ВОп:
„_, Г тотальное пространство 
~* \ сферического расслоения ) ~
Поэтому при доказательстве лгммы об инерции в этом
случае не надо делать аппроксимации по остовам.
Более того, это упрощенное доказательство по-
позволяет получить результат, заметно более сильный,
чем «классическая гипотеза Адамса». А именно мы
получаем коммутативность нестабильных диаграмм
(ВОпГ -±~» (ВОпГ (а е Gal (Q/Q)).
в:
В следующем параграфе мы изучим действие ав-
автоморфизмов а, связанных с некоторыми простыми
числами. При этом мы получим автоморфизмы Фро-
бениуса, действующие в различных р-адических компо-
компонентах проконечной теории я-мерных векторных рас-
расслоений [ , (ВОп) ].
В главе 6 мы свяжем действие группы Галуа
в теории /г-мерных проконечных векторных расслоений
с действием группы Галуа в аналогичной кусочно
линейной теории, топологической теории и ориенти-
ориентированной сферической теории. Чтобы исследовать эти
связи, являющиеся аналогами феномена Адамса, мы

192 , Глава 5
и проделали такую тщательную гомотопическую под?
готовку в первых главах. - Вирочем,-эта подготовка
оказалась необходимой и для столь естественной фор-
формулировки утверждения Адамса, как теорема 5.9.
Здесь следует упомянуть, что доказательство гипотезы
Адамса для нечетных простых чисел было получено уже
давно (август 1967 г.)'). В этом доказательстве использо?
валэсь только существование «пространственноподоб-
ных» объектов, которые можно определить чисто ал-
алгебраически и которые имеют те же когомологии
mod n, что и грассмановы многообразия, да еще неко-
некоторая неуклюжая когомотопическая техника обраще-
обращения с этими объектами.
Использование теории этальных гомотопий было
подсказано Квилленом, который, по слухам, распо-
располагал схемой доказательства гипотезы Адамса, «ис-
«использующего алгебраическую геометрию»2). «2-адиче-
ская гипотеза Адамса» была доказана много позднее
(январь 1970 г.), когда был преодолен барьер, ме-
мешающий рассматривать непроектлвные многообразия3).
Лишь послэ этого стало возможным. использование
гомотопической эквивалентности
Gn, k (R) = On+k (С)/О„ (С) X Ok (С).
В последнем параграфе этой главы мы опишем
теорию, возникшую в результате попыток непо-
непосредственного изучения вещественных алгебраических
многообразий. Эта теория была одним из двух осно*
ваний, на которых держался мой оптимизм в отношении-
2-адической гипотезы Адамса; другим основанием слу-
служили соображения, которые будут изложены в слё-
') Это доказательство было рассказано (январь 1938 г.) на
зимней конференции Американского математического общества
в Беркли.
2) Квиллен довел свое доказательство до конца; см. его
доклад на конгрессе в Ницце, а также предварительную пуб>
ликацию: QutUen D. G., Some, remarks on etale iromotopy theory
and a conjecture of Adams, Topology, 7, № 2 A938), 111—Ш.—
Прим. ред. .
3) В жарких дискуссиях с М. Атьей, А. Борелем, П. Деля-
нем и Д. Квилленом.

Алгебраицеская'Ъеометрия 193
-дующем параграфе, а также простая структура кого-
когомологий коммутатора группы Gal (Q/Q).
Замечание (высшие операции в /(-теории). Подобно
тому как это делается в обычной теории когомологий,
можно построить вторичные операции в /(-теории.
Они измеряют степень несправедливости «на уровне
коциклов» соотношений между обычными (примарными)
операциями, имеющих место «на уровне когомологи-
когомологических классов».
Например, можно построить вторичную операцию
в /(-теории, исходя из соотношения
¦ф2 о -ф3 = ¦ф3 о \jJ
(Д. Андерсон). Мы считаем коциклами отображения
в пространство BU", которое реализуется как предел
lim (этальный тип Gn>ft(C));
п, k
на этом пределе группа Gal (Q/Q) действует посред-
посредством гомеоморфизмов.
Можно полагать, что вторичные операции соответ-
соответствуют элементам коммутатора группы Gal (Q/Q), кото-
которые определяют гомотопии, порождающие соотношения
между операциями Адамса.
Далее, если пространство таково, что его /(-функ-
/(-функтор порождается расслоениями, определенными над
полем Aq, получаемым при присоединении к полю Q
корней из единицы, то вторичные операции должны
равняться нулю. Так устроено, например, пространство
типа К (я, 1) с конечной группой я. Равенство
г|з2 о -ф3=-фз о -ф2
для множества расслоений, порождающего /(-функтор
пространства К (л, 1) с конечной группой л, имеет
место «на уровне коциклов». (Напомним, что для про-
пространства К {л, 1) с конечной группой я гомоморфизмы
п -*¦ GL (я, С), пропускаемые через GL (n, Aq), тополо-
топологически порождают /(-функтор.)
7 Д, Сулдивад

194 . Глава 5
Доказательство теоремы 5.7. Пусть В обо-
обозначает BSO или BU,
Утвероюдение: два отображения
гомотопны в том и только в том случае, когда
они индуцируют одинаковые эндоморфизмы кольца
Н*(В; Z)®Q.
Предположим, что это утверждение справедливо,
и докажем теорему.
Как было доказано в этой главе (предложеиия 5.5 и
5.6), действие группы G = Gal(Q/Q) в когомологиях В
пропускается через абелеанизацию.
В комплексном случае отсюда все и следует. Действи-
Действительно, группа Z* действует в комплексной /(-теории,
и при этом элемент цк е Z * индуцирует такой же
эндоморфизм кольца когомологий пространства BU",
как изоморфическая часть операции Адамса ty* (см.
замечание ниже). Поэтому действие элемента ц^ совпа-
совпадает с изоморфической частью операции т]з* (опять-таки
см. замечание ниже).
Переходя к вещественному случаю, напомним, что
имеется естественное расщепление
ВО ?* BSO X RP°°,
возникающее из алгебраических отображений
RP°° а ВО A, С) -> Шп ВО (я, -С) а ВО,
п
BSO st lim BSO (п, С)->lim ВО (п, С) && ВО
п п
и операции алгебраического суммирования Уитни в ВО
1ип(ВОпХВОп-+ВОы).
^Поэтому гомотопические эквивалентности простран-
пространства ВО", определяемые элементами группы Галуа,
естественным образом разлагаются в произведения.
Операции чр* тоже разлагаются в произведения.

Алгебраическая геометрия 193
Это станет ясным, если вспомнить, что операция чр*
(i) переводит линейные расслоения в линейные;
(ii) переводит ориентируемые расслоения в ориен-
ориентируемые;
(ш) является аддитивной.
Так как у пространства RP°° нет нетривиальных
гомотопических эквивалентностей, то нам осталось изу-
изучить отображение
Утверждение, сделанное в начале доказательства тео-
теоремы, вместе с предыдущими вычислениями показы-
показывает, что в вещественной К-теории действует группа
Z* (ф* соответствует цк), причем элементы порядка 2
действуют тривиальным образом.
Замечание. Для вычислгния действия операций т]>*
в когомологиях надо использовать их свойства:
(a) если т) — линейное расслоение, то ifi* (т)) = цк;
(b) ф* есть аддитивная операция;
(c) ф* коммутирует с комплексификацией.
В остальном действие операции ф* в когомологиях
вычисляется так же, как действие группы Галуа
(см. предложения 5.5 и 5.6).
Осталось проверить справедливость утверждения,
сформулированного в начале доказательства.
Если бы мы локализовали пространства BU~ и BSO~
вне двойки, то утверждения легко доказывались бы
с помощью теории препятствий. Чтобы разобрать
общий случай, нам придется применить другой метод.
Мы рассмотрим детально только случай B = BSO.
Из работ Андерсона и Атьи ') следует, что (i) группа
(по отношению к суммированию Уитни) [В, В] является
проективным пределом конечно порожденных групп
[Ва, В), где Ва пробегает множество конечных под-
подкомплексов В, и (ii) существует «когомологическое
') См. Anderson D. M., The real /C-theory of classifying spa-
spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 61, № 4 A964), 634—636. —
Прим. ред.

196 Глава 5
вложение»
[,]П(;С).
Нам нужно доказать, что при замене пространства В
пополнением В утверждение (ii) остается верным.
Обозначим через Та кручение группы [Ва, В] (это
конечная группа). Последовательность
О -+ Та -+ [Ва, В] ^5» П Я4' (Sa; Q)
точна. Поскольку (как это следует из (ii)) проективный
предел отображений (ph)o мономорфен, то
НтГо = 0.
а
Умножим теперь рассматриваемую точную последо-
последовательность тензорно на Z и перейдем к проективному
пределу. Мы получим:
(a) llm (Ta (g) Z) e& Hm Та = 0;
(b) nj
а а
^Пт[Ва, В]^[В, В};
а
(c) если Ва есть 4а-й остов пространства В, то
#4'(Bo;Q)®2^
°
as llm П Я4' (Be) ® Q ® Z ^ П Я4' (В; Z) ® Q.
Следовательно, «полный характер Понтрягина» моно-
мономорфен, т. е. последовательность

Алгебраическая геометрия 197
точна. Справедливость утверждения, а значит и тео-
теоремы, доказана.
Доказательство предложения 5.8. Рас-
Рассмотрим прежде всего действие операций Адамса на
одномерных кватернионных и двумерных комплексных
расслоениях.
Предположим, что «операция ф'7 определена в
;»1)
(
Выберем какой-нибудь представитель элемента цр е
gZ1^ G/[G, в], где G = Gal (Q/Q), в группе G. С его
помощью естественно определяется операция фр и
в (BU^ с q фр. Собирая эти действия вместе, мы
получаем операцию фр в
ч
С другой стороны, легко определить
Так как BU% есть расслоенное произведение про-
пространств (Ж/2H и (BU2)" над (fiC/2H^/C(Q®Z, 2)Х
X^C(Q® Z, 4), то операция ф'7 определяется и в BU2-
С помощью когомологических рассуждений легко
доказать, что построенная операция typ согласована
с естественным отображением BU2 —'¦*¦ BUt ^ К (Z, 2)
(так как действие операции ¦ф'' переводит одномерные
расслоения в одномерные, то имеется отображение
ф": BUi-*BU{). Поэтому операция фр определена
в слое BSUi расслоения BU2-+BUu который есть не
что иное, как бесконечномерное кватернионное проек-
проективное пространство.
При р = 2 это приводит к противоречию, поскольку
не существует даже отображения кватернионной
проективной плоскости в себя, индуцирующего на
') То есть в функторе\(BU2)p] определена операция, согла-
согласованная с операцией $р в обычной /С-теории [ ,ВЩ. В том же
смысле далее понимаются слова «операция ф^ определена
в (BUi)q», «операция ^р определена в BUZ* и 1. п.

193 Глава 5
кватернионной проективной прямой
QP[ ~ S4
отображения степени 41). Поэтому действие операции ф2
нельзя определить на достаточно большом конечно-
конечномерном остове пространства (В?/2)^\ Так как последнее
является индуктивным пределом алгебраических много-
многообразий G2,n(C)> то операция ф2 не может быть алге-
алгебраической. Предложение доказано.
Предложение 5.10. Пусть d^Z. Для того
чтобы существовал эндоморфизм проективной пло-
плоскости QP2, индуцирующий отображение QPl -* QP1
степени d, необходимо и достаточно, чтобы d равня-
равнялось нулю или было нечетным квадратом.
Доказательство. Необходимость этих условий
была доказана разными авторами. (И. Берштейн до-
') С помощью симплициальной реализации отображения
QPJ —*¦ QP2 (M. Арковиц и К- Куржел) или с помощью сооб-
соображений трансверсальности и формулы для сигнатуры >можно
доказать, что степень d отображения QP'-^-QP1, индуцирован-
индуцированного отображением /, удовлетворяет сравнению
l) = 0(mod24J).
s) Это следует также из изоморфности группы п+з()
с л>5 группе Z/24. Подробнее QP2 есть конус хопфовского
отображения A: S7->S*, и существование отображения QP2-»-QP2
степени d на QP1 равносильно существованию гомотопически.
коммутативной диаграммы
S7 —*-S7
• степень d '
s* >- s4.
Мультипликативно-когомологические соображения Очевидным
образом приводят к равенству deg a = d2. Применим к диаграмме
операцию кратной надстройки; h перейдет в отображение, пред-
представляющее образующую % группы Кп+3 (Sn) ^ Z/24, и, поскольку
композиционное умножение в стабильных гомотопических груп-
группах сферы билинейно, гомотопическая коммутативность диаграммы
дает равенство d%=ads%, т. е. d2 — ds=0(mod 24). — Прим. ред.

Алгебраическая геометрия 199
казал, используя комплексную /("-теорию, что степень
дол-кна быть квадратом; Р. Стонг и Л. Смит дали
другое доказательство этого факта, применяя опе-
операции Стинрода; наконец, используя вещественную
Я-теорию, Г. Кук доказал, что степень долкна быть
равна нулю или быть нечетным квадратом.)
Таким образом, для доказательства предложения'
для любого простого числа р > 2 достаточно построить
отображение f: QP2->QP2, индуцирующее отображение
СР'-э-QP1 степени р2. Как было объяснено выше, для
этого достаточно определить ¦ф'' на (BU2)^.
Рассмотрим нормализатор N тора в ?/2- Как из-
известно, существует точная последовательность
причем ненулевой элемент группы Z/2 действует
в S1 X S1 посредством перестановки координат. Рас-
Рассмотрим возникающую диаграмму классифицирующих
пространств
BSlXBSl-*BN->RP~
ви2
Как это видно из спектральной последовательности
горизонтального расслоения, H*(BN; Zip) при р > 2
совпадает с инвариантной частью когомологий прост-
пространства BS1 X BS1. Значит, / индуцирует изоморфизм
когомологий mod р. Так как nfiN = Z/2, то после
р-адического пополнения отображение / становится
изоморфизмом
(BU2); е&
У группы N существует эндоморфизм, действующий
на торе Sl X S1 с: N как возведение в любую степень k,
Ясно, что соответствующее отображение простран-
пространства BN в себя «является» операцией i|)\ Поэтому
для любого k операция i|)ft определена на (BU2)p.
В частности, на нем определена операция ф*7. Предло-
Предложение доказано.

200 Глава 5
Приведенное доказательство показывает, что при
р>п
E?/„)р ?== (В(нормализатор тора))р.
В частности, имеет место
Следствие 5.11. При р> п ^операция Y опре-
определена на пространствах BUn и BSUn.
Замечание. При п > 1 мы получаем отобра-
отображения классифицирующих пространств групп Ли,
которые не индуцированы никакими гомоморфизмами
самих групп Ли (это очень легко проверить для
группы S(/2^53). Приведенные примеры являются
ответом на вопрос П. Баума.
Гипотеза. На пространстве BUP нельзя опре-
определить операцию typ.
Замечание. Комбинируя гомотопическую экви-
эквивалентность
(BUn)p = (В (нормализатор тора))^
со сферическими топологическими группами, рассмат-
рассматриваемыми в гл. 4, мы получаем экзотические «р-ади-
ческие аналоги группы ?/„».
А именно,
п
В (нормализатор тора) = П ДО1 X ЕВп)/Вп,
где <? — группа перестановок п элементов, а „
тотальное пространство универсального <3„-расслоения.
Аналогично, для любого делителя А числа р — 1
и любого п <р положим
U (п, к) - о((Д В (S^-% X
При к = 1 мы получим р-адическую часть унитар-
унитарной группы до размерности р — 1. При Я = 2 мы по-

Алгебраическая геометрия 201
лучим р-адическую часть симплектической группы до
размерности р — 1. При других делителях Я числа
р — 1 мы получим новые «конечномерные» р-адические
группы (в гомотопической категории).
§ 5. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КОНЕЧНЫХ
ГРАССМАНИАНОВ, ПОРОЖДЁННЫЕ
АВТОМОРФИЗМАМИ ФРОБЕНИУСА
Как мы показали в предыдущем параграфе, дей-
действие группы Галуа Gal (Q/Q) в проконечной /(-теории
абелево и, более того, порождается «изоморфическими
частями» операций Адамса. Поэтому имеется изомор-
изоморфизм
мрфзо / пространство \
Адамсаэ I ГОМОТОПИЧвСКИХ 1
> п°1 эквивалентностей |~~ п
где
такой, что диаграмма
алгебраическое
Gal @/Q) ДеЙСТВ"; »я(Д)
/ сзамыкапие
абелеанизация\ /изоморфизмов
/ Адамса»
коммутативна.
Симметрии Галуа в бесконечном грассманиане со-
согласованы с симметриями Галуа в «конечном грас-
грассманиане» (т. е. в грассманиане с конечным k или

202 Глава 5
с конечными k и п) ')• Поэтому определены гомомор-
гомоморфизмы
алгебраическое
Gal @/Q) —деЙСТ"Ие * л (Ga, k {RD
алгебраическое\
действие
«(С.* (СП
Как мы видели, возникающее действие группы Га-
луа на когомологиях абелеанизируется. Естественно
задать вопрос, в какой степени абелеанизируется
«гомотопическое представление» группы Gal(Q/Q).
Можно далее спросить (считая, что это действие абе-
лево), существуют ли естественные элементы (вроде
операций Адамса в бесконечном грассманиане), поро-
порождающие это действие.
Что касается первого вопроса, то он существенно
отличается от вопросов, рассматривавшихся в преды-
предыдущем параграфе. Не существует никакой теории2),
которая позволяла бы доказывать гомотопность ото-
отображений в такое пространство, как конечный грас-
сманиан:
X ^$. (конечный грассманиан)^.
Все, что мы можем сделать, — это прямо построить
гомотопию. Наше построение гомотопии между отоб-
отображениями fug состоит из двух частей. Первая ис-
использует арифметические свойства уравнений, опреде-
определяющих грассмановы многообразия. Вторая опирается
на стягиваемость пространства (К (я, 1))р в случае,
когда я не является р-группой. Поэтому нам будет
удобно разбить изучение автоморфизмов пополненного
грассманиана на изучение автоморфизмов его р-адиче-
ских компонент.
') Этот факт существенно используется при доказательстве
гипотезы Адамса.
г) Кроме «тавтологической» теории, расслоений-

Алгебраическая геометрия 203
Мы построили бесконечное ¦ множество групп сим-
симметрии (по одной для каждого простого числа цф р)
конечных грассманианов
<7-й автоморфизм /п-я лштргкий \
Фробениуса / Р адическии \
¦> п I конечный I
\грассманиан/
где Uq—подгруппа группы '2Р, порождаемая числом q ')•
Действие каждой из этих групп согласовано с дей-
действием р-адической компоненты ZD группы Z* на р-ади-
ческой компоненте пополнения бесконечного грассма-
ниана,
группа Галуа
корней из
единицы сте-
степени рп, п =
= 1,2,...
алгебрая-
~. действие /Р-адический \
Zp *• л I бесконечный I.
Хграссманиан/
Однако на конечном уровне мы не знаем, комму-
коммутируют ли различные действия автоморфизмов Фро-
Фробениуса и согласованы ли они, т. е., например, если
степени одного простого числа, скажем q, р-адически
сходятся к другому простому числу, скажем /, то бу-
будет ли
\\m(q-w. автоморфизм Фробениуса)" =
= (/-й автоморфизм Фробениуса)
в проконечной группе
я (р-адический конечный грассманиан).
Этот вопрос о согласованности действия различ-
различных автоморфизмов Фробениуса на конечных грассма-
нианах кажется интересным. Группа, которую они
порождают, может априори быть любой группой между
') Эти симметрии определены лишь с точностью до сопря-
сопряжения в группе я (р-адический конечный грассманиан). — Прим,
перев.

204 Глава 5
бесконечным свободным произведением групп Zp и
одной группой Zp. Чтобы ответить на этот вопрос,
надо найти достаточно много этальных покрытий ко-
конечного грассманиана и описать действие группы Га-
Галуа на нервах этих покрытий. Рассмотренные выше
«интуитивные» примеры') и «нильпотентные» действия
показывают, что не абелевость группы Gal (Q/Q) должна
где-то себя проявить.
Простейшая некоммутативная группа Галуа G, дей-
действие которой может оказаться существенным, — это
группа Галуа поля, получаемого при присоединении
к полю Q всех корней степени р из р2). Эта группа G
является (при р > 2) полупрямым произведением >
где Fp есть поле из р элементов.
Мы закончим эти общие рассуждения замечанием,
что (как нам кажется) арифметическая структура урав-
уравнений, выделяющих группу О {п, С), заставляет нас
отбросить для некоторых конечных (нечетных) грас-
сманианов случай, когда q — 2, ap нечетно. Этот факт
показывает, насколько важна здесь арифметика.
Теперь перейдем к основной теореме этого пара-
параграфа.
Группа Галуа Gal (O7Q) содержит бесконечное мно-
множество классов сопряженных подгрупп, а именно
«групп разложения» Gq «?» Gal (Q/QK). Группа раз-
разложения G4 строится по ^-адическому пополнению Q*
поля Q. Существует естественный эпиморфизм
группы Gq в группу Галуа алгебраического замыка-
) Категории, связанные с проективными пространствами.
*) Это предположение исходит от Дж. Тейта.
8) Определение группы Gq и эпиморфизма Gq-* 2 (см. ниже)
будет дано в начале доказательства теоремы 5.12. Последняя
не является теоремой в точном смысле этого слова; ее форму-
формулировка представляет собой обещание определить все объекты,
входящие в «диаграмму Фробениуса», и доказать их перечисляе-
перечисляемые свойства- — Прим,, ред.

Алгебраическая геометрия 205
ния поля F, над Т„,
Qq «~"°^ Gal (Г>?) - 2.
Заметим теперь, что в группе Галуа Gal (F^/F,)
существует каноническая образующая — автоморфизм
Фробениуса. Это позволяет определить естественное
(экспоненциальное) отображение ¦ .
~ ехр а»
?, *¦ /,р,
автоморфизм Фробениуса *-*¦ q.
Образ этого отображения мы обозначим через ?/„.
Теорема 5.12. Для каждого1) простого числа
q ф р имеется естественная коммутативная диаграмма
Фробениуса
алгебра^еское /р-адИЧеСКИЙ \
Gal (Q/Q) >nl конечный I
\грассманиан/
класс
сопряженности
включения
гомоморфизм,
который дол-
должен быть
спрнведеиие /автоморфизм^
mod о» д, чФробениуса J --
>~Z +Ua
построен
доставляющая частичную абелеанизацию группы Галуа.
Образ канонической образующей {автоморфизма
Фробениуса) группы Z в группе
/р-адический \
л I конечный I
>грассманиан/
определяет каноническую операцию Фробениуса (или
Адамса) ф? в р-адической теории векторных расслое-
расслоений с данной размерностью и коразмерностью слоя2).
') В вещественном случае для некоторых нечетных р сле-
следует исключить q = 2. Эти исключения не затрагивают «2-ади-
ческий вещественный грассманиан».
2) Коразмерность слоя —это размерность слоя расслоения,
дополняющего данное расслоение до тривиального; последнее
также предполагается фиксированным. — Прим. пер ев.

206 Глава 5
Замечание. Как уже отмечалось, мы не знаем,
имеют ли место равенства
Однако теорема утверждает, что элемент ф' порождает
«правильную» подгруппу Uq s ZP.
Доказательство. Рассмотрим алгебраическое
замыкание Qq поля ^-адических чисел Q, и положим
Gq = Ga\{Qq/Qq); Поле алгебраических чисел Q можно
(неканонически) вложить в поле Qq. Тогда группа
Галуа Gq начинает действовать на поле Q и возни-
возникает гомоморфизм
Этот гомоморфизм определен с точностью до сопря-
сопряжения в группе G и является вложением. С другой
стороны, группа Gq переводит целые числа поля Qq
в целые числа, сохраняя при этом их вычеты modq,
которые составляют алгебраическое замыкание Fq
поля Fq из q элементов. Следовательно, определено
отображение
Это отображение эпиморфно, и в группе Z имеется
каноническая образующая — автоморфизм Фробе-
ниуса ')•
Рассматриваемые отображения можно включить
в коммутативную диаграмму
абелеапнзация ^~,
мономорфизм/71 ^
' I р
проекция
/т\ /-. ' I р-адическая
эпнморфизХ
Z
Z
') Я благодарен Барри Мазуру, который разъяснил мне эту
ситуацию и ее связь с теорией этальных гомотоций.

Алгебраическая геометрия 207
Артин и Мазур показали, что при определенных
ограничениях р-адическая часть этального гомотопиче-
гомотопического типа алгебраического многообразия может быть
построена по редукции этого многообразия mod^,
q ф р. Например, для нахождения этального гомото-
гомотопического типа комплексного грассманиана достаточно
рассмотреть «грассманово многообразие над полем
характеристики q»:
GL (п + k, fq)IGL (п, F,) X GL (k, Fq),
которое тоже является неособым 2пА-мерным много-
многообразием.
В этом случае (когда многообразие имеет хорошую
редукцию mod р) из результатов Артина — Мазура
следует, что сужение действия группы G на Gq про-
пропускается через отображение Gq~*Z:
Ф?\ я я(р-адический конечный грассманиан).
\ 2-^Фробеннус
Как это следует из диаграммы (I), действие группы 2
в когомологиях пропускается через отображение
2>у
/<7-й автоморфнзмЧ . ^ Р'
\ Фробвниуса I~^ч
Мы докажем сейчас, что группа я = Кегг три-
тривиально действует на р-адическом гомотопическом типе
(который мы обозначаем через X). Из этого утвер-
утверждения следует, что естественное отображение
-Фробеннус
Gq —> /. »" Л (Л)
пропускается через Uq s ZP,
Фробениус
Gq -> Uq >¦ Л (Л)
Ш
что нам й нужно.

208 - Глава 5
Чтобы доказать, что п действует тривиально,
вспомним, что действие группы Z (а следовательно,
и я) в пополненном грассманиане является проектив-
проективным пределом симплициальных действий на односвяз-
ных нервах ')• На каждом нерве Na действие группы я
пропускается через конечную факторгруппу яа. Обо-
Обозначим через Еа универсальную накрывающую ком-
комплекса /С(я„, 1) и рассмотрим новую проективную
систему
При этом имеется естественное расслоение
Na-+N'a-+K(na, 1),
база, слой и тотальное пространство которого имеют
конечные гомотопические группы. Рассмотрев теоре-
теоретико-гомотопический проективный предел этих расслое-
расслоений (подобно тому как это делалось в гл. 3), мы по-
получим расслоение
Х->Х'-Ък(п, 1).
По построению действие группы п на когомологиях
modp слоя тривиально. Далее, из диаграммы
II
1фр
у которой верхняя строка точна, следует, что когомо-
логии modp самой группы п тривиальны. Поэтому
из когомологической спектральной последовательности,
соответствующей расслоению X—>ХГ—>К(п, 1), выте-
вытекает, что вложение X-*-Xf индуцирует изоморфизм
когомологий modp. Далее, р-адическое пополнение
фундаментальной группы re-пространства Х' тривиально.
') В вещественном случае мы рассматриваем только грас,-
сманиан ориентированных плоскостей. ' ¦ ¦

Алгебраическая геометрия 209
!=*->*'._-..!. л то
Поэтому композиция
{р-адическая часть)
конечного \
грассманиана
является гомотопической эквивалентностью. Это озна-
означает, что отображение
тоже является гомотопической эквивалентностью. Так
как по построению группа л тривиально действует
на X', то из гомотопической эквивалентности
Х'^ХХК(п, 1)
следует, что я тривиально действует и на X. Теорема
доказана.
Замечание. Попутно мы доказали, что верен
интересный теоретикс-гомотопический факт, который
грубо можно сформулировать так. Пусть отображе-
отображение f: X->X является частью такой «группы преоб-
преобразований» л пространства X, что (i) когомологии
mod р группы л тривиальны; (и) группа я действует
тривиально на когомологиях mod р пространства X.
Тогда f индуцирует отображение р-адического попол-
пополнения пространства X, гомотопное тождественному.
Добавление 1. При изучении вещественного грас-
грассманиана случай, когда q = 2 и р нечетно, является
исключительным. Дело в том, что наше описание ком-
компактной ортогональной группы
О {п, С) s GL (я, С)
использовало квадратичную форму
*» + *«+...+*•,.
Если характеристика q равняется двум, то
4+ ... +*•.«=(*, + ,., +*„J,
и потому подгруппа группы GL (n, Fq), сохраняющая
форму х\ -\- ... + лгД, совпадает с подгруппой, сохра-

210 Глава 5
няющей линейный функционал х{ + ... + -V Но этг
подгруппа больше похожа на группу GL (п — 1), чем.
на ортогональную группу; например, она имеет раз
мерность п2 — п вместо (п2—-п)/2. Таким образом,
группа О (п, С) не имеет удовлетворительной редук-
редукции mod 2.
Мы можем изменить определение комплексной ор-
ортогональной группы при n = 2k. Рассмотрим под-
подгруппу группы GL(n, С), сохраняющую «расщепляю-
«расщепляющуюся форму» *i*2 + *з*4 + ... +*2fc-i*2fc- Нетрудно
проверить, что эта подгруппа сопряжена с подгруппой
O(n,C)sGL(n,Q.
Она хорошо редуцируется по модулю 2 и определяет
в GL (n, Fq) подгруппу размерности (га2 — п)/2. Поэтому
теорема 5.12 применима к четным грассманианам
Gin, 2k (R) = SO Bn + 2k, Q/SO Bn, C) X 50 Bk, C)
и при q = 2. Следовательно, она применима при всех q
к многообразию
BSO2n=\\mG2n,2k(R).
ft->oo
Для изучения при q—2 многообразия BSO2n+\ можно
применить такой прием. При нечетных р композиция
является р-проконечным пополнением. Здесь В1 можно
описать двумя способами:
(i) B
где Z/2 действует как комплексное сопряжение, умно-
умноженное на антиподальное отображение;
(И) (В1)" есть предел этальных гомотопических
типов «вещественных грассманианов»
lim GL (n + k, R)/GL (n, R) X GL (k, R)
k->ta
(детали см. в следующем параграфе).-

Алгебраическая геометрия 211
Поэтому подгруппа группы Zp, порожденная элемен-
элементом 2, действует в (fiSO^+i)^ (так как она действует
в (B?/»+i?).
Во всех случаях (р = 2, 3, 5, ...) элемент порядка 2
группы Zp соответствует комплексному сопряжению
и тривиально действует На /?-адической компоненте
гомотопического типа вещественного грассманиана.
Добавление 2. Укажем основные моменты прове-
проведенного доказательства теоремы 5.12. Пусть V — алге-
алгебраическое Q-многообразие. Если когомологии много-
многообразия V порождаются алгебраическими циклами, то
действие группы Gal(Q/Q) в когомологиях (которые
есть только в четных размерностях) пропускается через
абелеанизацию Z*. Если многообразие V хорошо реду-
редуцируется mod p, то сужение действия группы Галуа
Gal (Q/Q) на Gq сводится к действию группы Z. Если
при этом (щУ)~ — 0, то действие группы Gq сводится
с помощью описанной в доказательстве гомотопиче-
гомотопической конструкции к действию группы Uq s Zp.
§ 6. ЭТАЛЬНЫЙ ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП
ВЕЩЕСТВЕННОГО МНОГООБРАЗИЯ.
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА
Предположим, что комплексное алгебраическое мно-
многообразие Vc определено над полем вещественных
чисел R, т. е. что многообразие Vc определяется си-
системой уравнений с вещественными коэффициентами.
Обозначим через | Vr \ множество (возможно, пустое)
вещественных решений этих уравнений.
На многообразии Vc определена инволюция с — ком-
комплексное сопряжение, — которая локально действует
по формуле
(Xq, Jtj, ..., Хп) *¦ (^q, Xi, ..., Хп).
Отображение с является алгебраическим гомеомор-
гомеоморфизмом многообразия V, и множество его неподвиж-
неподвижных точек совпадает с | Vr |.

212 . Глава 5
Возникает естественный вопрос, нельзя ли в какой
нибудь мере описать гомотопический.тип.многообрази:
| Vr | алгебраически.
Мы можем алгебраическими средствами определит!
этальный гомотопический тип Vet (т. е. проконечноь
пополнение множества комплексных точек Vc) и инво
люцию а на Vet» соответствующую комплексному сопря
жению в Ус- Таким образом, пара (Vet, о) является
алгебраически определяемой теоретико-гомотопической
моделью геометрической пары (Ус, сопряжение). Мы
приходим к рассмотрению следующего вопроса «гео-
«геометрической теории гомотопий»: , . . .
Какие свойства гомотопического типа множества
неподвижных точек F относительно инволюции t, дей~
ствующей на конечномерном локально компактном
пространстве X, можно определить, зная гомотопиче-
гомотопическую модель инволюции!
В примерах, разобранных в гл. 1, мы видели, как
можно найти некоторые 2-адические пополнения кольца
когомологий или /(-функтора множества неподвижных
точек инволюции, рассматривая соответствующую «сво-
«свободную инволюцию»
{X1, ?) = (X X S00, t X антиподальное отображение),
S°° = бесконечномерная сфера,
с пространством орбит
¦ Пара (Xr, t') является хорошей гомотопической мо-
моделью геометрической инволюции (X, t). Например,
проекция на второй сомножитель порождает полезное
расслоение
X ж X' -> X, -> RP°° = S°°/(Z/2).
Символом (геометрия, Z/2) мы обозначим категорию,
объектами которой являются конечномерные локально
компактные пространства с инволюцией, а морф из-

Алгебраическая геометрия 213
мами — эквивариантные отображения. Обозначим, да-
далее, символом (гомотопия, Z/2) категорию, объектами
которой являются CttP-комплексы со свободной инво-
инволюцией, а морфизмами—эквивариантно гомотопические
классы эквивариадтных Отображений.
По каждому объекту в категории (геометрия, Z/2)
можно построить:
(a) множество неподвижных точек;
(b) ассоциированную свободную инволюцию
(Xr, t') = (XX 5°°, t X антиподальная инволюция).
Рассмотрим диаграмму
X (S00. антиподальная
, _ инволюция) _
(геометрия, Z/2) ¦> (гомотопия, 2г)
множество " <т
неподвижных '.
точек \ +
Г топологические 1 ("гомотопические!
1 пространства J ' >\ типы J'
Основной вопрос можно сформулировать так:
Существует ли функториальная конструкция & «тео-
«теоретико-гомотопического множества неподвижных точек
свободной инволюции», делающая эту диаграмму ком-
коммутативной?
Точнее, мы будем интересоваться только 2-ади-
ческой частью гомотопического типа множества не-
неподвижных точек. Это естественно в свете приведенных
в первой главе примеров, касающихся когомологий и
/С-функтора. Кроме того, уже на примерах инволюций
на сферах можно усмотреть, что «нечетная часть»
гомотопического типа множества неподвижных точек
может меняться при неизменном эквивариантном гомо-
гомотопическом типе гомотопической модели (X'', со-
сосуществует естественный кандидат на роль теоре-
теоретико-гомотопического множества неподвижных точек.
В геометрическом случае [т. е. в категории (геометрия,
Z/2)] множество неподвижных точек пары {X, t) есть
не что иное, как пространство эквивариантных отобра-

214 Глава 5
жений {точка} -*Х. В категории (гомотопия, Z/2) роль
точки играет любое стягиваемое пространство со сво-
свободной инволюцией, например, бесконечномерная сфера
с антиподальной инволюцией.
Определение. Пусть X есть CW-комплекс с ин-
инволюцией t. Назовем теоретико-гомотопическим мно-
множеством неподвижных точек пары (X, t) сингулярный
комплекс эквивариантных отображений S°°->X; обо-
обозначение: &" (X, t).
Сформулируем несколько легко проверяемых свойств
этой конструкции:
(i) пространство #-(S°°, антиподальное отображение)
стягиваемо;
(ii) !F(X,t)^P(X', t');
(Hi) &~{XXX, перестановка) s* X;
(iv) &"(X', ?) есть сингулярный комплекс сечений
расслоения Xt -> RP°° (это — обобщение (i)).
Мы формулируем следующую гипотезу о неподвиж-
неподвижных точках:
Пусть (X, f) — триангулируемая инволюция на ло~
кально компактном пространстве. Тогда
(множество неподвижных точек (X, t))~ 2*(!P(X', f))~,
т. е. диаграмма
X (S°°. антиподальная
(геометрия, Z/2) ияволюц'"" ¦> (гомотопия, Z/2)
«геометрическое «теоретико-
множество ' гомотопическое
неподвижных множество
точек» неподвижных точек»
[ триангулируемые 1 . .
I топологические (гомотопическая!
( пространства ) 1 категория J
2-адическое 2-адическое
f гомотопическая 1
\ категория j
пополнение Г гомотопическая 1 пополнение
коммутативна.

Алгебраическая геометрия 215
Другими словами, 2-адический гомотопический тип
геометрического множества неподвижных точек восста-
восстанавливается по ассоциированной свободной (теоретико-
гомотопической) инволюции.
Сделаем несколько замечаний.
(О Гипотеза справедлива для естественной инво-
инволюции на пространстве X X X. Это лзгко проверить
непосредственно (см. свойство (Hi) выше).
(п) Гипотеза справедлива, если (X, t) — свободная
инволюция. Действительно, в этом случае простран-
пространство Xt когомологически конечномерно1), и потому
расслоение Xt-*-RP°° не имеет сечений (см. ниже ин-
интересное следствие Е).
(ш) Если инволюция является тождественным ото-
отображением, то множество неподвижных точек совпа-
совпадает с X. С другой стороны, в этом случае теоретико-
гомотопическое множество неподвижных точек совпа-
совпадает с множеством всех гомотопических классов ото-
отображений пространства RP°° в X. Поэтому если ги-
гипотеза справедлива, то 2-адическая часть пространства
базированных отображений RF^°-+X стягиваема.
(iv) Последнее утверждение вряд ли удастся дока-
доказать, минуя «гипотезу о неподвижных точках»; на-
напротив, представляется вероятным, что последняя может
быть выведена из этого утверждения. Действительно,
пусть (X, t) — гладкое многообразие с гладкой инво-
инволюцией, и пусть многообразие F неподвижных точек
связно. Обозначим через v проективизацию нормаль-
нормального расслоения F. Как нетрудно проверить,
Xt ~ [F X RP
где v -*¦ (X — F)j{x — tx) — естественное вл эжение и
v-*-Fy(RP™ — произведение проекции (на F) и клас-
классифицирующего отображения канонического линейного
') В этом случае пространство Xt гомотопически эквива-
эквивалентно факторпространству по щюолюциц самого простран-
пространства X. — Прим. ред.

216
Глава 5
расслоения над v.
F*IRP'
замыкание
конечномерного фаза
Гипотеза, сформулированная в (ш), утверждает,
грубо говоря, что отображение пространства RP°° в Xt
не может «слишком сильно учитывать локально ком-
компактную, часть Xt». Поэтому достаточно рассматривать
отображения RP°° в F X RP°°- Применяя еще раз ги-
гипотезу из (iii), мы получаем нужный результат.
Вещественная эталь-гипотеза. Вернемся к исход-
исходному вопросу о гомотопических свойствах веществен-
вещественного алгебраического многообразия.
Пусть (X, t) — этальный гомотопический тип соот-
соответствующего комплексного многообразия с инволю-.
цией, соответствующей комплексному сопряжению. Мы
будем рассматривать пару (X, t) как проективный пре-
предел комплексов Ха с инволюциями. Это возможно,
поскольку существует конфинальная последователь-
последовательность этальных покрытий многообразия Кс, инвариант-
инвариантных (хотя и не неподвижных) относительно группы
Галуа.
Рассмотрим расслоения
Переходя к пределу, мы получим полное расслоение
X-+Xt->RP°°.
Последнее имеет следующее прямое алгебраическое
описание.

Алгебраическая геометрия 217
Высказывание «многообразие Vr определено над
полем вещественных чисел» означает, что многообра-
многообразие Vr получилось при склеивании конечных R-алгебр.
Поэтому определено отображение
Kr-> SpecR.
Комплексное многообразие Vc является расслоенным
произведением, соответствующим диаграмме
Spec С -> Spec R
Применяя функтор полного этального гомотопиче-
гомотопического типа, мы получаем расслоенный квадрат
X-катальный гомотопический тип (Vr)
i |
* -> этальный гомотопический тип SpecR
II
K(Z/2, 1)
т. е. расслоение
X->Xt->RP°°.
Теперь мы можем высказать гипотезу, что суще-
существуют три эквивалентных описания 2-адического гомо-
гомотопического типа множества вещественных точек.
(i) Это есть 2-адическое пополнение пространства
эквивариантных отображений бесконечномерной сферы
в этальный гомотопический тип соответствующего
комплексного многообразия. (Сначала мы рассматри-
рассматриваем проективную систему пространств эквивариант-
эквивариантных отображений в каждый конечный нерв Ха, затем
2-адически пополняем эти пространства и рассматри-
рассматриваем их теоретико-гомотопический проективный пре-
предел, как в гл. 3.)
(и) Это есть пространство сечений этальной реа-
реализации определенного выше отображения Vr-* SpecR.
(Опять-таки, сначала мы пополняем этальный гомото-
гомотопический тип многообразия Vr, получаем отображе-
отображение Xt-+RP°° и 2-адически пополняем сингулярный
комплекс сечений.)

218 Глава 5
Замечание. Последнее описание аналогично опи-
описанию «геометрических вещественных точек». Действи-
Действительно, вещественная точка многообразия Vr — это
R-морфизм Spec R -> Vr, т. е. «сечение» отображения
VSR
p
(iii) Это есть 2-адическое пополнение связной ком-
компоненты пространства отображений
/ этальный гомото- 1 Гэтальный гомото-
\пический тип Spec R / ""*" [ пический тип Vr J*
[Пространство сечений расслоения
у . Ррм J этальный гомото- \
At*Kf | ш Spec R J
Гомотопически эквивалентно подмножеству пространства всех
непрерывных отображений RP°° ->¦ Xt, состоящему из таких ото-
отображений, композиция которых с проекцией Xt -*¦ RPX индуци-
индуцирует нетривиальный гомотопический класс отображений прост-
пространства RP°° в себя. В теоретическом отношении это описание
наиболее удобно.]
Сейчас мы докажем условную теорему, а затем
выведем из нее некоторые следствия.
Теорента 5.ГЗ. Из топологической гипотезы, о не-
неподвижных точках следует, что все указанные описа-
описания 2-адического пополнения вещественного алгебраи-
алгебраического многообразия правильны.
Доказательство. Пусть Ф/„ — такая линейно
упорядоченная система конечных локально направлен-
направленных этальных покрытий комплексного многообразия Ус,
что (i) каждое покрытие <?/„ инвариантно относительно
комплексного сопряжения; (ii) Кс = Пт [нерв С (^„)],
где С С2/„) — описанная выше категория наименьших
окрестностей.
Нам будет удобнее заменить категории С(^) на
большие, но гомотопически эквивалентные категории
С A6, V), которые мы сейчас определим.

Алгебраическая геометрия 2J9
Объектами категории С {°и, V) являются пары (U, х),
где neV, a U — наименьшая окрестность точки х.
Мы будем писать просто Ux. Морфизмы в категории
С {Щ, V) определяются как коммутативные диаграммы
\
Vc
т. е. мы «забываем» про точки хну.
Если Ш1 — утончение покрытия Ш, то мы можем
построить каноническое отображение
нерв C(<W\ K)-> нерв С(Ш, V).
Выберем теперь такую линейно упорядоченную си-
систему Тп конечных локально направленных топологи-
топологических покрытий, что (i) покрытие Тп является утон-
утончением покрытий <ЭД„ и Тп-\\ (ii) каждое множе-
множество из Тп инвариантно относительно комплексного
сопряжения; (ш) каждое множество из Тп стяги-
стягиваемо.
Тогда мы получаем каноническую диаграмму эквк-
вариа-нтных отображений
,я/ нерв С {Тп, V) -> нерв С (<Ua, V)
I
c
\
^ „_ь V)
(чтобы построить отображение fn, мы должны триан-
триангулировать многообразие Vc таким образом, что (а)
комплексное сопряжение является кусочно линейным
отображением; (Ь) для любого Ua е/я множество
Vc — Ua является подкомплексом).

220 • Глава 5
Из доказанного выше предложения следует, что
отображения /„ являются гомотопическими эквивалент-
ностями. Из этальной гомотопической теории следует,
что проективный предел правого столбца является,
проконечным пополнением многообразия Ус- Благодаря
этому проконечное пополнение отображения
эквивалентно отображению
Игл (нерв С Щп) X S°°/(Z{2)r ^ RP06
п • • ¦
(или отображению
этальный тип Vr-*¦ этальный тип SpecR).
Поэтому 2-адические пополнения пространств сече-
сечений этих отображений совпадают. Из топологической
гипотезы о неподвижных точках следует, что в первом
случае мы получим 2-адическое пополнение гомотопи-
гомотопического типа многообразия вещественных точек. Тео-
Теорема доказана.
Приведем теперь некоторые результаты, относящиеся
к алгебраическому нахождению когомологий и К-функ-
тора вещественного многообразия.
Когомологий. Обозначим через 01 кольцо когомо-
когомологий группы Z/2:
91 s* (Z/2) [x] <* Я* (RP°°; Z/2).
Из расслоения
Vr -*¦ Spec R
следует, что этальные Z/2-когомологии многообразия Vr
являются ^-модулями.
Из теории П. А. Смита (которая и сама легко вы-
выводится из приведенного выше «описания простран-
пространства Xt») вытекает

Алгебраическая геометрия 221
Следствие Н.,
/ многообраз:
Я* [вещественных точек
/ многообразие ¦* \
; 31J ~
[ этальные когомологии Vr, , |
«локализованные по отношению |
[ к простому идеалу (х) )
где Шх = (Z/2) [х, лг] есть кольцо Ж, локализованное
по отношению к простому идеалу (х).
/С-теория. Обозначим через 91 групповое кольцо
группы Z/2 над 2-адическими числами
-I).
Из работ Атьи и Сигала по эквивариантной /(-тео-
/(-теории вытекает
Следствие К- К-функтор многообразия \Vr\
вещественных точек удовлетворяет соотношению
/этальный гомотоЛ~\ ')
Сформулируем теперь интересное следствие, кото-
которое доказывается методами этой главы.
Следствие Е. Пусть {fi} —конечное множество
многочленов с вещественными коэффициентами. Тогда
система уравнений
ih 0}
имеет вещественное решение в том и только в том
случае, когда вещественное многообразие, определен-
определенное этой системой уравнений, имеет нетривиальные
этальные когомологии mod 2 в бесконечном множе-
множестве размерностей.
') Правую часть этого равенства надо понимать так:
lim lim AT (нерв; Z/2").
л этальные
покрытия Кр

222 Глава 5
Доказательство. Мы докажем, что у веще-
вещественного алгебраического многообразия Vr есть ве-
вещественные точки, если его этальные когомологии
mod 2 не обращаются в нуль в размерностях, боль-
больших, чем удвоенная комплексная размерность много-
многообразия Vc.
Если существует вещественная точка р е | Vr |, т. е.
диаграмма
"¦Vr
(«определяющее уравнение»
SpecR
то ее этальная гомотопическая реализация показывает,
что имеет место включение
Я* (этальный тип VR; Z/2) =2 Я* (RP00; Z/2).
Если же нет вещественных точек, то группы
Я* (этальный тип Vc X S°7(Z/2); Z/2)
тривиальны при k > 2n. Действительно, в этом случае
этальный тип Vc X S°°/(Z/2) ^ этальный тип Vc/(Z/2),
но, как мы показали выше,
этальный тип VcXS°7(Z/2) = этальный тип Vr.
2-адн чески
Замечание. Приведенное выше описание Xt
показывает, что при больших i группы
Я'(этальный тип Vr; Z/2)
не зависят от /. Они являются прямой суммой всех
когомологии mod 2 множества вещественных точек Vr.

Глава б
ГРУППА ГАЛУА
В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ
Скомбинировав действие группы Галуа, описанное
в предыдущей главе, с геометрической периодичностью
в теории многообразий, мы получим естественное
действие абелеанизированной группы Галуа на попол-
пополнениях грассманианов ^-мерных кусочно линейных
подпространств пространства R°°. В этой главе мы
изучаем возникающую симметрию в теории кусочно
линейных расслоений и в некоторых других геометри-
геометрических теориях.
Чтобы мотивировать это изучение, попытаемся по-
понять, какая система инвариантов определяет компакт-
компактное многообразие. Такую систему составляют гомо-
гомотопический тип многообразия плюс некоторые допол-
дополнительные геометрические инварианты. Действительно,
определим отображение
Г компактные 1 д Ггомотопичес- «касательные!
(.многообразия/ >|> кие типы , расслоения» J*
При надлежащих определениях и предположениях
отображение А инъективно и «уравнения, описываю-
описывающие образ», почти известны.
Заметим, что понятие изоморфизма в правой части
определяется довольно деликатным образом: (М, Тм)
и (L, TL) изоморфны, если имеется коммутативная
диаграмма
М —

224
Глава 6
в которой g есть гомотопическая эквивалентность,
a dg есть изоморфизм между «касательными расслое-
расслоениями» Тм и Ti_, собственно гомотопный «теоретико-
гомотопическому дифференциалу отображения g* —
некоторой естественно определяемой собственной гомо-
гомотопической эквивалентности между Тм и TLl).
Таким образом, изучение многообразий сводится
к изучению векторных расслоений, изоморфизмов
между ними и способов деформировать послойную
гомотопическую эквивалентность между векторными
расслоениями в изоморфизм. Эти вопросы имеют
теоретико-гомотопическую природу, и мы можем раз-
разложить и арифметизировать их по схеме гл. 2 и 3.
При этом окажется, что «нечетные» компоненты ку-
кусочно линейных и топологических вопросов обладают
удивительно красивой структурой, включающей в себя
гармонично согласованные друг с другом четырехша-
говую периодичность и симметрию Галуа.
§ 1. КУСОЧНО ЛИНЕЙНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
Рассмотрим «блок гомеоморфизмов»
где а — симплекс и отображение f удовлетворяет двум
условиям: (i) оно является кусочно линейным гомеомор-
гомеоморфизмом; (ii) если т — грань а, то f переводит т X К"
в tXR", т. е. f «сохраняет блоки».
Такое отображение определяет симплекс кусочно
линейной группы PLn, лежащей в основе теории
') Относительно определения dg см. Sullivan D., Thesis,
Princeton, 1966.

Группа Галуа в геометрической топологии
225
«11?"-блочных расслоений»:'
блоки
В
Тотальное пространство Е такого расслоения обла-
обладает разбиением на блоки ctXR"» соответствующие
симплексам «базы» В, вложенным в Е как «нулевые
сечения»:
Понятие изоморфизма сводится к кусочно линей-
линейному изоморфизму пары полиэдров (?, В). Классы
изоморфных блочных расслоений составляют правиль-
правильную «теорию расслоений»: они соответствуют гомо-
гомотопическим классам отображений в «PL-грассманиан»
Gn(PL) (или BPLn — классифицирующее пространство
группы PLn).
Тот факт, что блочные расслоения образуют функ-
функтор, нетривиален, поскольку отсутствует «геометри-
«геометрическая проекция» Е—>В (а определена только теоре-
теоретико-гомотопическая проекция). Отсутствие «геомет-
«геометрической проекции» восполняется тем, что теоремы
о трубчатых окрестностях остаются справедливыми:
подмногообразия обладают окрестностями, однозначно
разбиваемыми на блоки
8 Д. Суллнван

226
Глава 6
и конструкции, связанные с трансверсальностью,
можно осуществлять, используя блоки. (Автору ка-
кажется, что категория полиэдров вместе с теорией
блочных расслоений является наиболее широкой и
естественной областью, в которой осуществимы гео-
геометрические конструкции, связанные с трансверсаль-
трансверсальностью и пересечением.)
Заметим, что ввиду отсутствия «геометрической
проекции» теоретико-гомотопическое «ненулевое сече-
сечение» блочного расслоения может не иметь геометри-
геометрической реализации.
Трансверсальные конструкции. Рассмотрим замк-
замкнутое подмногообразие Мп+ тотального пространства ?
«-мерного блочного расслоения. Если «база» В ком-
компактна, то с помощью изотопии с компактным носи-
носителем можно сделать М трансверсальным к В1), а пе-
пересечение М с окрестностью В — объединением пере-
пересечения блоков с этой окрестностью:
Пересечение V многообразия М с В является тогда
компактным многообразием и одновременно подполи-
эдром В. Следует обратить -внимание на несколько
обстоятельств.
(О Если многообразие Mn+l изменяется посредством
собственного кобордизма Г"+же?Х[0, 1], то V
изменяется посредством кобордизма, определяемого
как пересечение Wn+l+i с ВХ[0, 1] в ?Х[0, 1].
') См. Rourke С P. and Sanderson В. J., Block bundles, I,
II, III, Ann. of Math. 87, No. 1A968), 1-28; 87, No. 2 A968),
256-278; 87, No. 3 A968), 431-483.

Группа Галуа в геометрической топологии
227
(И) Собственное отображение f: M->E можно сде-
сделать трансверсальным к В, сделав график отображе-
отображения f трансверсальным к М X В. При этом мы по-
получим собственное отображение V -*¦ В.
(iii) Можно пересекать с В не только многообра-
многообразия, но и произвольный полиэдр X. При этом пересечение
имеет особенности того же типа, что и X. Рассмотрим,
например, Z/tt-подмногообразие Xs?, т. е. полиэдр,
который получается из многообразия, граница кото-
которого состоит из п одинаковых частей при склеивании
этих частей. Тогда пересечение X с. В тоже является
//«-многообразием. Можно также говорить о Z/ra-ко-
бордизмах, и при этом сохраняется свойство (i).
(iv) Переходя к классам кобордантных собственных
отображений М-+Е и классам кобордантных отобра-
отображений V-+B, мы получаем абелевы группы (отно-
(относительно дизъюнктного суммирования) QtE и QtB,
и предыдущие конструкции доставляют томовский го-
гомоморфизм пересечения
и его Z/n-аналог
Предложениеб.1. Гомоморфизм Тома
является изоморфизмом.
Д д,
то мы можем построить кобордантное М многообра-
многообразие М', которое не пересекается с В, используя в ка-
качестве пленки объединение замкнутых блоков над W\
схематически это показано на рисунке:
w

228 Глава 6
Далее, используя тот факт, что пространство, полу-
получаемое из одноточечного пополнения пространства Е
выкидыванием В, стягиваемо, мы можем «отпра-
«отправить М' на бесконечность» посредством собственного
отображения Af'XR-*? — В. Таким образом, ото-
отображение П-б мономорфно.
Что это отображение эпиморфно, очевидно, по-
поскольку для любого подмногообразия К?й имеет
место равенство
(блоки над V)[}B — V.
Заметим, что если Е ориентировано посредством
класса когомологий
Us=Hn{E, Е-В; Z),
то изоморфизм Тома, подобный предыдущему, име-
имеется и между теориями ориентированных кобордизмов
(которые мы тоже будем обозначать через QJ.
Если определить ориентированные Z/n-многообра-
зия как полиэдры, полученные при склеивании согла-
согласованных ориентированных граничных компонент, то
мы получим ориентированный Z/n-изоморфизм Тома
?+Q.(B; Zln).
Сигнатурные инварианты и целочисленность. Изо-
Изоморфизм Тома
является основным геометрическим инвариантом блоч-
блочного расслоения Е. Чтобы использовать его, мы рас-
рассмотрим числовые инварианты, связанные с перестрой-
перестройками многообразий.
Для произвольного х е H4i (V; Q) определим сиг-
сигнатуру как сигнатуру квадратичной формы Lx на
H2l(V;Q), определяемой равенством Lx {у) = (у2, х),
y{ )
Если V — ориентированное многообразие, то сигна-
сигнатура является целым числом. Если V — ориентированное
Z/n-многообразие, то можно определить его сигнатуру
как элемент группы Z/n, положив
сигнатура. V = сигнатура (F/особенности V) mod я.

Группа Галуа в геометрической топологии 229
Эти сигнатуры являются инвариантами кобордизма.
Например, если Z/n-многообразие V кобордантно нулю,
то этот кобордизм можно расклеить:
где Q и W построены по кобордизму между V и 0').
Тогда
О = сигнатура dQ = сигнатура V + п • сигнатура W.
Здесь используются аддиционная лемма Новикова
для сигнатуры многообразий с краем (определяемой
как сигнатура W/dWJ) и инвариантность обычной
сигнатуры относительно кобордизмов (ТомK).
Эти соотношения между сигнатурами доказываются
на основании простых и приятных соображений двой-
двойственности.
') Поясним эту конструкцию. Сначала мы «расклеиваем»
наше (Z/«)-MHoroo6pa3He V, т. е. возвращаемся к многообразию V
с границей, составленной из п одинаковых кусков, из которого
было построено V. Затем то же делается с пленкой, натянутой
на V. Получается многообразие с краем V + nW, где W — пленка,
натянутая на 1/я границы многообразия V. — Прим. ред.
2) См. Новиков С. П., Характеристические классы Потря-
гина, «Труды международного конгресса математиков», «Мир»,
М., 1966, стр. 158— 159, или Pontrjagin classes, the fundamental
group and some problems of stable algebra, Essays Topol. and
Rel. Topics, Berlin, 1970. — Прим. ред.
8) Этот результат получен независимо Р. Томом (диссерта-
(диссертация) и В. А. Рохлиным (Новые результаты теории четырехмер-
четырехмерных многообразий, ДАН СССР, 84, № 2 A952), 221—224).—
Прим. ред.

?30
Глава 6
Отметим теперь, что можно определить
(i) коэффициентные гомоморфизмы:
которые строятся при помощи частичного расклеива-
расклеивания1)
(На рисунке
к=г, п=з)
размножения и склеивания
(и) точную лестницу
отображения в которой строятся геометрически.
Поэтому мы можем определить
Q/Z-бордизмы Й,( ;<Q/Z)==HmQ,( ; Zln);
Q-бордизмы D.( ; Q)-
') Аналогично «частичной нормализации вещественного мно-
многообразия.

Труппа Галуа в геометрической топологии 23Т
и точную последовательность
...->Q,( )-*Q,( ;Q)^>Q.( ;Q/Z)->...;
Определение (сигнатурный инвариант блочного
расслоения). Скомпонируем операции: (i) пересечения
с нулевым сечением; (И) взятия сигнатуры пересече-
пересечения. Получается «сигнатурный инвариант блочного
расслоения»
сигнатура
пересечения
Q»(?; Q/Z) *Q
Мы предполагаем, что Е ориентировано.
Рациональная часть сигнатурного инварианта несет
в точности ту же информацию, что и рациональный
характеристический класс
1+L, + L2+ ...е=Пя«(Я; Q)
расслоения Е. Расширение рациональной сигнатуры
до Q/Z-еигнатуры можно рассматривать как канони-
каноническую теорему целочисленности для рациональных
характеристических клаесов блочного расслоения2).
Чтобы сформулировать эти теоремы целэчисленности
более явно, рассмотрим локализации
== ко" (?><, ® Z; (а — размерность слоя),
¦) Си!гнатуряым инвариантом называется вся диаграмма. —
Прим. ред-
2) Действительно, наличие диаграммы означает, что гомомор-
гомоморфизм «сигнатура пересечения с В» переводит ядро гомомор-
гомоморфизма t (т. е. образ Q* (?)) в ядро проекции Q -> Q/Z {т. е. в Z). -<
Прим. ред.

232 ' Глава 6 "
Напомним, что
ZB) = целые числа, локализованные по отношению
к простому числу 2;
Zj — целые числа, локализованные относительно
множества / нечетных простых чисел;
КОс = КОп (одноточечная компактификация Е);
Q/Z = 0 Zip00 = © lim Zfp\
Теорема 6.2. Рациональный характеристический
класс
1+L, + L2+ ...еПя('(8; Q)
кусочно линейного ориентированного блочного расслое-
расслоения Е над В, определяемый рациональной частью
сигнатуры расслоения Е, удовлетворяет двум канони-
каноническим условиям целочисленности:
(i) {относительно простого числа 2) существует ка-
канонический «целочисленный класс когомологшЪ 9?Е s
е//4*(ВJ, переходящий в LE при естественном го-
гомоморфизме, индуцированном вложением Z^-^-Q1)'.
(И) (относительно нечетных простых чисел) сущест-
существует канонический класс
а — г/г?\ 1 /нечетные простые
АЕеК(Е)„ / = ( ^
характер Понтрягина ph Д?е #**(?) которого пере-
ходит в L при изоморфизме Тома, точнее
ph Ав = LE • (класс Тома)
ph — характер Чжэня комплексификации АЕ);
(ш) 3?Е определяется по LE и 1-адической части
QIZ-сигнатуры блочного расслоения Е; А? определяется
по LE и 1-адической части QIZ-сигнатуры Е.
Замечания. Инварианты Дя и 3?Е зависят только
от «стабильного класса расслоения Е», т. е. от класса
расслоения EX,Rk с большим й. Если В есть замкну-
замкнутое многообразие и размерность слэя четна, то пересе-
') Утверждение (i) далее не используется.

Группа Галуа в геометрической топологии 233
чение В О В (в Е) является классом гомологии, двойст-
двойственным, по Пуанкаре классу Эйлэра расслоения Е, т. е.
«нестабильным инвариантом». Если этот класс тривиа-
тривиален, то В гомологично некоторому циклу в Е — В.
Если пересечение В П В кобордантно нулю в В X /.
то В кобордантно в Е X / некоторому подмногообразию
Е — В (по причинам, аналогичным предыдущим).
Мы покажем, что
(i) L и рациональный класс Эйлера образуют пол-
полную систему рациональных инвариантов расслоения Е
(с четномерными слоями); множество расслоений (почти)
является «решеткой» в множестве этих инвариантов;
(И) Ая и гомотопический класс отображения
Е — В-*В образуют полную систему инвариантов по
отношению к простым нечетным числам1); по отноше-
отношению к простому числу 2 расслоение Е определяется клас-
классом когомологий 2?Еу гомотопическим классом отображе-
отображения Е — В-* В и некоторым дополнительным инвариан-
инвариантом 2-кручения Ж. Точное определение и геометриче-
геометрический смысл инварианта Ж еще не ясны.
В дальнейшем мы будем рассматривать только
нечетные простые числа и использовать инвариант
Ая s К (E)t. С его помощью мы определим симметрии
Галуа в кусочно линейной теории. Конструкция «рас-
«расслоения» Ая будет приведена ниже.
Кроме алгебраических применений АЕ к кусочно
линейной теории должны существовать и «аналитиче-
«аналитические применения». Например, если Е — гладкое вектор-
векторное расслоение, то АЕ можно построить с помощью
«оператора Лапласа в ?». Мы надеемся в дальней-
дальнейшем заняться «аналитическими приложениями» инва-
инварианта АЕ к PL-теории.
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ К-ТЕОРИИ
Мы укажем теперь замечательную геометрическую
характеристику элгментов /С-функтора (вещественного
/(-функтора, локализованного в нечетных простых чи-
числах).
') То есть после пополнения по этим простым числам.

234 Глава б
Грубо говоря, элементы из /С (-20 являются «геоме-
«геометрическими коциклами», которые относят каждому глад-
гладкому Z/n-многообразию а X класс вылетов mod 1 ')•
Этот коцикл инвариантен относительно кобордизма,
согласован, с заменой, модуля п и. обладает свойством
периодичности.
Имеется другая точка зрения на этот, предмет. Геоме-
Геометрические аспекты теории многообразий приводят к че-
тырехшагавой периодичности в классифицирующем про-
пространстве для послойных гомотопических, эквиаадентно-
стей между PL-расслаениями. Эта 4-периодичность тесно
связана с изучением геометрических инвариантов мно-
многообразий*, не выражающихся- через гомотопический
тип или через действие группы щ на. универсальной
накрывающей.
Теория^ препятствий! в этой геамет.рииеской теории
обладает поразительным свойством в духе теории
инвариантов, относящимся к «геометрическим коцик-
коциклам» (относительно всех простых чисел). Это можно
показать с немощью геометрических рассуждений,
использующих многообразия с «особенностями типа
джойна»2).
Автору кажется, что такой путь пригоден для
получения, этой геометрической теоремы для: вещест-
вещественного /(-функтора, локализованного в нечетных про-
стых числах (в этом случае периодичность Ботта совпа-
совпадает с «геометрической периодичностью»). Однако дока-
доказательство геометрической теоремы о коциклах (в нечет-
нечетных простых числах) сильно упростится, если привлечь
/(-теорию вместе с действием в ней группы Галуа.
Говоря короче, геометрическая интуиция, необходимая
для этой теоремы из /(-теории, приходит из теории
многообразий, а симметрия Галуа в теории много-
многообразий возникает из /С-теории.
') Сущеегвуаъ хорошая! аналитическая интерпретация этих
вычетов.
2) Автор надеется, что какой-нибудь молодой, не испорчен-
испорченный, геометрически мыслящий математик сможет восстановить
и развить эти рассуждения.

Группа Галуа в геометрической топологии 235
Сформулируем теперь теорему о геометрических
коциклах.
Обозначим через Q* (X\ Q/Z) неиетную часть в под-
подгруппе группы Q/Z-бордизмов, состоящей из классов
гладких многообразий:
n'/v <гм7\ 1- /классы кобордизмов гладких!
Q,№Q/Z)= hrn | Z/tt-многообразий в X j'
п нечетно
Рассмотрим, далее, группу
Г конечные геометри-1° = t i
\ ческие коциклы J ~ №*(л
состоящую из гомоморфизмов Я, удовлетворяющих
следующему «условию периодичности»: для любого
бордизма VAi-*-X и замкнутого 4/-многообразия М
имеет место равенство
%((V41-*X)X Ши-*pt)) = (сигнатура ЛГ) -К{V-*X).
Подобным же образом рассмотрим группу
Г геометрические \° , .„ Пч .пг
(коциклы над Q/ S(Q4.№ Q)-*Q}
гомоморфизмов'). удовлетворяющих такому же условию
периодичности.
Теорема 6.3. Для всякого конечного комплекса X
имеются естественные изоморфизмы
{геометрические | °
коциклы на Х\ „
над Q )
{конечные \°
геометрические! .
коциклы на X >
Здесь через К (Х)о обозначена локализация группы К (X)
в нуле, т. е. KO(X)g>Q, а через К{Х)~ —проконечное
') Определенных для гладких или PL-миогообразнй в Х\
над Q эти теории совпадают.

235 Глава 6
пополнение группы КО(Х) (относительно групп нечет-
нечетного порядка).
Замечания, (а) Эти изоморфизмы определяются
условием, что при X — pt
(b) Как будет видно из доказательства, изоморфизм
в теореме 6.3 индуцирует отображение теории когомо-
логий, т. е. геометрические коциклы, определенные
на Dг + /)-мерных многообразиях, инвариантные отно-
относительно кобордизма и удовлетворяющие формуле пе-
периодичности, определяют элементы групп К' (Х)о или
(с) Элементы групп К(ХH и К(Х) , являющиеся
образами геометрических коциклов, доставляют совер-
совершенно независимую информацию. В то же время из
условий целочисленности, связывающих рациональные
и конечные геометрические коциклы, т. е. из коммута-
коммутативности диаграммы
видно, что оба они происходят из одного элемента
группы
К (X) = КО (X)®Z[l/2].
Для доказательства заметим, что имеется точная после-
последовательность
1к(хгек (Х)о -^ [к де«елв]» -> о,
где I — множество всех нечетных простых чисел, соот-
соответствующее арифметическому квадрату гл. 1 для групп.
Из условий целочисленности вытекает, что отображе-
отображение oq принимает целые значения на решетке

Группа Галуа в геометрической топологии 237
Из этого в свою очередь следует, что элемент группы
отвечающий af, «рационален» и, более того, является
образом элемента, определяемого стэ (посла умножения
на %).
Следствие 6.4. Сигнатурный инвариант
Р. (Я Q)-> Q
сг(?)= \ I
блочного PL-расслоения Е над конечным комплексом
определяет канонический элемент в К-функторе с ком-
компактным носителем
А? <= К* (Е) (d = dim E).
Доказательство следствия. Рассмотрим су-
сужение сигнатурного инварианта на подгруппу группы
ft4(?+; Q/Z), порожденную гладкими Z/я-многообра-
зиями размерности 4/ + d, где « — нечетное число1).
Ясно, что это ограничение также удовлетворяет усло-
условию периодичности. Таким образом, мы определили
конечный геометрический коцикл «степени d».
Аналогично определяется геометрический Q-коцикл.
Согласно теореме 6.3, эти коциклы определяют элг-
менты групп КС{Е)~ и Кс{Е)о- Из условий целочислен-
ности (см. замечание (с)) вытекает, что эти элементы
определяют канонический элемент в группе КС(Е).
Приступая к доказательству теоремы, мы прежде
всего построим отображение
tf tY\ д / геометрические \
*(А> \ коциклы ]•
В действительности эта конструкция позволяет также
построить явно элемент Ав (см. следствие).
') Сигнатурный инвариант равен нулю на классах кобордиз-
мов, реализованных многообразиями другой размерности; Е+—*
одноточечная компактификация пространства Е.

238 Глава 6
Пусть y — каноническое векторное расслоение над
грассманианом BSOin. Рассмотрим элемент
(Л+фЛ~ — каноническое разлэжение внешней ал-
алгебры Л расслоения у в сумму собственных подпро-
подпространств оператора Ходжа * относительно какой-нибудь
римановой метрики на у).
Пояснения, (а) Группа КОс(у) — КО (Thorn; у) =
«= КО (MSOW) изоморфна ядру гомоморфизма сужения
KO(BSOw)-*KO(BSOin^).
(b) Каждому конечномерному вещественному пред-
представлению группы SO4n соответствует элемент кольца
КО (BSOW)- Мы будем рассматривать внешнюю алге-
алгебру Л 4«-мерного пространства (слоя расслоения у) как
пространство естественного представления группы SO4n.
Обозначим через А.± собственные ±1-пространства ин-
инволюции а: Л-*Л, определяемой клиффордовым умно-
умножением на элемент объема в Л4" (т. е. а= (—1)' *: Л' -»¦
->Л4"~', где * есть оператор Ходжа).
(c) Так как размерность представления Л+®Л_^
равна 24", то соответствующий элемент кольца
КО (BSOtn) ф Z [ 1/2] обратим.
(d) Сужения представлений Л+ и Л_ на SOin-i s
s SOin эквивалентны. Поэтому элемент ^ !1'д.~ лежит
в ядре гомоморфизма сужения
(КО (BSOJ-+KO (BSO*.-,)) ® Z[l/2].
(е) Сужение элемента &in&KOc{yin) ® Z[l/2] на
слой (R4n)+ является образующей группы KOc{Ritl) ®
<8> Z[l/2] и, более того, равен произведению 2~2п на
естественную целочисленную образующую, определяе-
определяемую посредством Л+ — Д_, где А+ и А- —¦ «основные
спинорные представления», строящиеся с помощью
клиффордовой алгебры пространства R4".

Труппа Галуа в геометрической топологии 239
(f) Мы будем рассматривать /С-теорию К0, К1, К2,...
(/CO®Z[1/2J) как теорию когомологий с периодом 4,
причем изоморфизм периодичности задается умноже-
умножением на элемент A4s/CO<.(R4) ® Z[I/2]:
(g) Элементы А4я ведут себя мультипликативно при
естественном отображении
BSO4q X BSOtr-> BSOUq+r),
т. е. в группе /СОЛу^Х Y4r) ® Z[l/2] имеет место ра-
равенство
Д4 (,+r)/(Y4, X Y4r) = ^4,7 X Д4Г-
(Я благодарен Атье и Сигалу за беседу об этом
предмете.)
Возвратимся к доказательству теоремы. Элементы
Д4„ определены в /С-функторе классифицирующих про-
пространств теории бордизмов
(AfSOte] = {Thorn y4n].
Поэтому они определяют естественные отображения
/теория гладких 1 Д
\ бордизмов )-*
как на уровне гомологии, Д», так и на уровне когомо-
когомологий, Д*, и при этом Д„ связано с Д* двойственностью
Александера.
Таким образом, гладкие многообразия можно рас-
рассматривать как циклы в /С-теории. В частности, для
любого vsK'(X) и любого п-мерного многообразия М
в X можно образовать пересечение
Если М есть Z/^-многообразие, то, как легко по-
понять, подобная конструкция доставляет элемент группы
Кп~1 (pt) <g> Z/k').
') Технически это основано на легко доказываемом факте,
что Z/A-многообразяя представляют «бордизмы с коэффициен-
коэффициентами в Z/k». Отображение можно построить по соображениям
трансверсальности, а его изоморфкость доказывается посредством
коэффициентной точной последовательности.

210 Глава 6
. Так как отображение А мультипликативно (Л4„ X
АД) ТО
((М -* X) X {V -* pt)) П v = А (V) (v П (М -> X)),
где A [F] <= /С*, (pt), v = dim У.
Чтобы вычислить A(V), найдем сначала «харак-
«характер А» — формальный ряд, задающий отображение
т) i—^- ^»—1 ph Л (tj) '), где ^ — изоморфизм Тома:
Л + Л
germ
Л /germ
th jc ,
При вычислении A(F) мы используем характеристиче-
характеристические классы нормального расслоения. Поэтому
A (V) = (l/L(нормальное расслэение V), V) =
= (L (касательное расслэение V), V) =
— сигнатура V
(последнее следует из известной формулы Хирцебруха).
Таким образом, каждый элгмент кольца К{Х) опреде-
определяет геометрические коциклы
К(Х)—^-> {конечные геометрические коциклы],
К (X) —~+ {геометрические Q-коциклыJ).
') Объясним, что такое germ. Всякое отображение F ком-
комплексного /С-функтора в когомологии, обладающее свойством
аддитивности: F (ц + \) = F (т)) ¦ F (\), может быть описано сле-
следующим образом. Вследствие принципа расщепления отображе-
отображение F определяется своим сужением на множество обратимых
расслоений и, следовательно, своим значением F (ть) = У1, а,х1,
где r\j — каноническое линейное расслоение над СР°°, а х е
еЯ2(СЯ°°; Z) — каноническая образующая. Формальный ряд
2 a{tl определяет отображение F и обозначается через Fsetm. —
Прим перев.
2) Заметим, что имеется более прямое описание Д, исполь-
использующее эквивариантное вложение расклеенного (Z/A)-MHoroo6pa-

Группа Галуа в геометрической топологии 241
Для изучения отображения Af рассмотрим снова
естественное отображение А» теории бордизмов ®Z[l/2]
в К -теорию. Применяя теорию препятствий к универ-
универсальным пространствам, можно прямо убедиться в том,
что Д„ есть эпиморфизм1)- Подробнее, пусть М =
= lim {MSOn)i и B = BOi, где/ —множество нечетных
простых чисел. Расслоения Д4я определяют отображе-
отображение (А): М->В, и отображение Д„ есть не что иное,
как отображение
О, (X) ®Z [ 1/2] = я: (М # X) -> К, (X) = п; (В # X),
индуцированное отображением (Д) ф id: М Ф X -* В ф X,
где ф обозначает приведенное произведение (фактор-
пространство обычного произведения по координатному
кресту), nst — стабильные гомотопические группы
[я;^ (У) = lim nq+n (n-я надстройка над К)]. Но отобра-
отображение (А) обладает сечением. Действительно,
С /идеал в!3„ \
V нулевой сигнатурой Л-i
и препятствия к распространению этого сечения три-
тривиальны. Следовательно, имеет сечение и отображение
(А) Ф id, т. е. А» — эпиморфизм.
зия М в Dl X R , где D* — двумерный диск с обычным дей-
действием группы Z/k на границе. Если заданы Z/fc-бордизм
/: Mf{Z/k)d -> X и 4А-мерное векторное расслоение v над X, то
нужно взять прямой образ расслоения f*v в (D;'XRN)l(Z/k)d
и его значение на образующей группы /С-гомологий простран-
пространства (?>» X RN)/(Z/k)d, изоморфной Z/k2). Получающийся вы-
вычет и принимается за значение A(f) на д.
Из этого описания можно извлечь аналитическое описание
Z/fc-вычета [A(/)](v) в терминах «эллиптического оператора,
связанного с сигнатурой».
¦) В;е группы считаются локализованными в нечетных про-
простых числах.
2) Символ /(Z/k)d означает факторизацию края по действию
группы Z/k. — Прим. ред.

242 ' Глава 6
Перейдем к изучению ядра гомоморфизма Д., Ясно,
что юно содержит все элементы вида
{(V-+pt)X(M-*X), сигнатура V = 0}.
Благодаря этому отображение А, можно представить
в виде композиции
— *КЛХ)
в которой А, есть проекция на прямое слагаемое
(Ц, действует в Z[l/2] умножением на сигнатуру).
В действительности А, есть изоморфизм. "Это доказы-
доказывается опять-таки обращением к универсальному
примеру. Мономорфность отображения А, в случае,
когда X есть многомерный остов пространства М,
доказывается несложным «рациональным вычисле-
вычислением». Общий случай сводится к этому с помощью
отображений
ц: (кратная надстройка над Х}-> {остов М],
поскольку для всякого oeQ,(X)®B,Z[l/2] можно
подобрать такое ц,, чтобы ц(а) было отлинно от нуля.
Итак,
Д.: Q.(J0®a.Z[l/2]r»>/C.(X)
есть изоморфизм1).
Из описания гомологии mod я как обычных (цело-
(целочисленных) гомологии джойна пространства X и про-
пространства Мура выводится изоморфизм
Q, (X; Z/n) ® й, Z ^ К. (X; Z/n).
') Это рассуждение по существу принадлежит Коннеру и
Флойду. См. дополнение П. Коннера, Э. Флойда «О соотношении
теория кобордизмов -и /(-теории» к книге «Гладкие периодические
отображения», «Мир», М., .1969, § 10.

Группа Галуа в геометрической топологии
243
Заметим теперь, что теория гомологии Q, (X; Z/n)
мультипликативна. Действительно, мы можем обра-
образовать произведение двух Z/n-многообразий, например:
В результате мы получим пространство, которое
является (Z/n)-MHoroo6pa3HeM во всех точках, кроме
произведений двух особых точек. Если в нашем при-
примере (когда сомножители одномерны) рассмотреть гра-
границу окрестности такой точки, то она будет одномер-
одномерным Z/n-многообразием вида (Z/n) * (Z/n)l). Последнее
Z/n-многообразие может быть канонически представ-
представлено в виде границы двумерного Z/n-многообразия.
Это позволяет «исправить» произведение наших одно-
одномерных Z/n-многообразий так, что оно само станет
¦Z/3)
') Здесь Z/« понимается как нульмерное многообразие,
состоящее из и точек.

244 Глава 6
Z/n-многообразием. Аналогично разбирается общий
случай. Таким образом мы можем определить про-
произведение двух Z/n-многообразий. Это позволяет
в свою очередь определить естественное коумножение
в группах
К. (X; Z/n), Q, (X; Z/n) ® 0. Z/n;
в частности, они являются Z/n-модулями ')•
Далге, можно определить естественное отображение
К*(Х; Z/n)-^Hom2/n(KAX; Z/n), Z/«).
Правая часть является значением на X некоторой
теории когомологий, так как функтор «гомоморфизмы
Z/re-модулей в Z/re» точен. Так как отображение е
является изоморфизмом в случае X=pt (периодич-
(периодичность Ботта mod я), то оно является изоморфизмом и
для любого X2). Мы назовем отображение е «двой-
«двойственностью Понтрягйна в /С-теории»3). Поэтому
К* (X; Z/n) е* Нот (К. (X; Z/n), Z/n) ~
<* Нот(К,(Х; Z/n), Q/Z) es Нот (Q.(X; Z/n) ®о. Z/n, Q/Z),
и, следовательно,
Шп K(X;Z/n)^ Mm Horn (Q. (X; Z/n) ®Q,Z, Q/Z) s&
n нечетно п нечетно
&, Horn (lim (Qt (X; Z/n) ®a, Z), Q/Z) г
n нечетно
sHom (lim Q,(X; Z/n), Q/Z) =
п нечетно
= Hora(Q,№Q/Z),,Q/Z).
') Построение этих коумножений можно произвести по-дру-
гому, с помощью общей теории гомотопий. Приведенное здесь
построение иллюстрирует геометрический характер наших рас-
рассуждений.
2) См. теорему 7.1 лекций А. Дольда «Полуточные гомото-
гомотопические функторы», сб. Математика 14:1 A970), стр. 41; для
применимости этой теоремы необходимо, чтобы гомоморфизм е
был изоморфизмом, когда X есть сфера, но случай сферы сво-
сводится к случаю точки применением изоморфизма надстройки,
коммутирующего, очевидно, се. — Прим. ред.
) Ср. примечание на стр. 87.

Группа Галуа в геометрической топологии 245
Так как, далее, группа К(Х) конечно порождена,
то ее пополнение совпадает с ее тензорным произве-
произведением на Z. Умножая коэффициентную Z/n-после-
довательность тензорно на Z и переходя к проектив-
проективному пределу по нечетным п (группы компактны!), мы
получаем изоморфизм
п нечетно
Следовательно, построенный изоморфизм отождествляет
проконечную г-мерную К -теорию с проконечными /-мер-
/-мерными геометрическими коциклами. «Проконечная часть»
теоремы доказана.
«Рациональная часть» теоремы доказывается раци-
рациональными когомологическими вычислениями. Доста-
Достаточно заметить, что для каждого геометрического ко-
коцикла oq существует единственный элемент S группы
K(X)®Q, такой, что
(Здесь LM есть L-род касательного расслоения М.)
Замечание. Атья нашел интересную постановку
вопроса о непосредственной геометрической конструк-
конструкции векторного расслоения Ая для PL-расслоения Е.
Рассмотрим компактное симплициальное многообра-
многообрар
зие МвГ
с «нормальным PL-расслоением» Е. Если х — неособая
точка (т. е. внутренняя точка симплекса старшей раз-
размерности), то на нормальном пространстве М в точке
х имеется естественная форма объема ух. Эту форму ух

246 ' Глава 6
можно рассматривать как элемент клиффордовой ал-
алгебры, соответствующей пространству R*, касательному
к RN в точке х. Форма Y* удовлетворяет уравнению
Y* = 1 и определяет расщепление пространства Л (^)
Л (R?) = (Л
где г* — касательное пространство к М в точке х, а
подпространства Л+ и Л~ внешней алгебры определены
так же, как выше.
Формальная разность между этими векторными
пространствами
(ЛтЛ®Л+^) — (Лтл®Л~?я)
есть
. Л/А+ л- \ Л+-Л"
At,® (Л Vjc —-Л Vj,)«== »— v*
и является локальной формой того элемента, который
мы должны построить. Поэтому проблему построения
векторного расслоения Ав можно «переформулировать»
следующим образом:
прод&яоюшь функцию лг i—>-v« «я все М так, чтобы
(i) для каждой точки у е Л1 значение уу было
единицей в алгебре Клиффорда пространства RN;
(И) у у удовлетворяло соотношению уу—\ {или по
крайней мере значения функции ¦yl лежали в стягивав"
мой окрестности нейтрального элемента в группе еди-
единиц алгебры Клиффорда);
(Ш) значение уу строилось с помощью связи локаль-
локальной геометрии пространства М в точке у с гомотопи-
гомотопическими свойствами различных областей в алгебре
Клиффорда пространства RN.
Заметим, что этот случай (полиэдральное многооб*
разие, нормальное расслоение в евклидовом простран-
пространстве) является общим для проблемы построения А?:
решение сформулированной задачи позволило бы ре-
решить проблему построения векторного расслоения Ав
для любого PL-расслоения Е,

Группа Галуа в геометрической топологии 247
§ 3. ПРОКОНЕЧНАЯ И РАЦИОНАЛЬНАЯ ТЕОРИИ
PL-РАССЛОЕНИЙ
Мы продолжаем действовать в прежнем ключе: рас-
рассматриваем проконечный и рациональный аспекты той
или иной проблемы и взаимоотношения между этими
аспектами;.
Такой подход применим к теории кусочно линейных
расслоений, так как существует' классифицирующее
пространства
?PLrt = грассманиан «я-мерных PL-плоскостей в R°°».
Поэтому мы можем определить проконечное пополне-
пополнение множества л-мерных PL-расслоений на X как
[X, проконечное пополнение &PLn].
Если X есть локально конечный комплекс, то это
множество имеет естественную структуру компактного
хаусдорфова пространства. При этом в ориентирован-
ориентированной теории множество «геометрических точек», соот-
соответствующих настоящим расслоениям, всюду плотно ')•
Отношение близости между этими «геометрическими
точками» соответствует тонким теоретико-гомотопиче-
теоретико-гомотопическим соотношениям между расслоениями.
Вспомним теперь, что имеется естественное отобра-
отображение
Таким образом, каждому проконечному PL-расслоению
отвечает некоторый пополненный послойный сфери-
сферический гомотопический тип. Поэтому мы можем счи-
считать, что пополненное PL-расслоение обладает сфери-
сферическим гомотопическим типом, оснащенным еще неко-
некоторой «таинственной» геометрической структурой.
Из связности группы SPLn следует односвязность
соответствующего классифицирующего пространства и,
') Для конечных подкомплексов это доказывается индукцией
по клеткам.
2) Для стабильной теории это означает, что проконечное PL-
расслоение имеет классический послойный гомотопический тип.

248 Глава 6
следовательно, наличие разложения
[ ориентированная Л тт f ориентированная 1
| проконечная \ ^ I I | р-адическая \.
I PLn-теория J р I PL^-теория J
Мы будем рассматривать дальше только р-адические
компоненты с нечетными р — строение 2-адической ком-
компоненты еще совсем не ясно.
Далее мы будем обозначать через X то, что раньше
обозначалось через Х{нечетные простые числа}; 2-адические
пополнения мы будем рассматривать очень редко
и только в связи с линейной 2-адической Гипотезой
Адамса.
Можно определить также множество «рациональ-
«рациональных PL -расслоений» над X, [X, (BPLn) о] ')•
Напомним, что, как показывает арифметический
квадрат, мы можем восстановить настоящее PL-pac-
слэение по паре, состоящей из рационального PL-рас-
PL-расслоения и проконечного PL-расслоения, удовлетво-
удовлетворяющих условиям «рациональной согласованности».
Так же как в случае сферических расслоений, в слу-
случае PL-расслоений эти условия согласованности можно
выразить в терминах характеристических классов. Это
вытекает из следующего предложения:
Теорема 6.5 (Q). Рациональные характеристи-
характеристические классы
LUL2>... [?., е Я« (Я; Q)]
и «.гомотопические классы»
класс Эйлера зсе#"(Б; Q), если п четно,
класс Хопфа Ж <=#2га~2(Б; Q), если п нечетно,
') Локализацию следует начинать с ориентированного слу-
случая. Далее, наличие расслоения
BSPL2n-+BPL2n-+K(Zj2,l)
позволяет локализовать пространство BPLn (при этом надо,
как в гл. 4, применять послойную локализацию). Наконец, ло-
локализации пространств BPZ-2n+i и BSPL2n+i совпадают, так как
в этом случае группа щ = Z/2 тривиально действует на рацио-
рациональном гомотопическом типе пространства BSPL

Группа Галуа в геометрической топологии 249
образуют полную систему рациональных инвариан-
инвариантов п-мерного ориентируемого PL-расслоения над В.
Более того, ориентированная рациональная РЬп-тео-
рия изоморфна произведению соответствующих кого-
когомологических теорий:
Нп ( ; Q) X П Я4* ( ; Q) при четном п,
Я2«-2( ;О)ХП#4*( ;Q) при нечетном п.
Замечания. Нетрудно проверить, что неориенти-
неориентированная рациональная теория четномерных PL-рас-
PL-расслоений получается из ориентированной подкручива-
подкручиванием эйлерова класса с помощью гомоморфизма
nl{B)-+Z/2=*{± 1} sQ*.
В нечетных размерностях никакого подкручивания
не требуется, так как —1 действует на хопфовском
классе тривиально.
Заметим также, что соотношение
j?2=«tt-fi класс Понтрягина»,
3C2 = 3L, (я=1),
45L, + 9L?
t % ' ( 2)
не имеет места для блочных расслоений (в отличие от
обычных векторных). Представляется правдоподобным
предположение, что это соотношение должно иметь место
для промежуточной теории — теории PL-микрорасслое-
ний, в которой требуется существование геометрической
проекции.
Информация, доставляемая рациональными клас-
классами L, совпадает с информацией, доставляемой сиг-
сигнатурами пересечений замкнутых многообразий с ну-
нулевым сечением.
Эйлеров класс описывает самопересечение В в Е.
Инварианты проконечной PL-теории. Рассмотрим
два инварианта PL-расслоения Е над J3:
(i) ориентацию в /(-теории,

250 Глава б
(ii) пополненный послойный гомотопический тип
послойного пополнения расслоения
Е-В-+В.
Первоначально они были определены только для
«геометрических PL-расслоений». Мы уже видели, од-
однако, что второй инвариант имеет смысл и для проко-
нечных PL-расслоений. Чтобы показать, что и первый
инвариант имеет смысл для проконечных PL-расслое-
PL-расслоений, достаточно разобрать универсальный пример —
расслоение Еп над BSPLn. А в этом случае лггко про»
верить, что группа Кс = Еп изоморфна пополненному
/С-функтору сферического расслоения над (BSPLn)~.
Теорема 6.5 B). Два инварианта п-мерного про-
конечного PL-расслоения, послойный гомотопический
тип и К-ориентация, составляют полную систему ин-
инвариантов при п > 2 ')• Более того, при п > 2 имеет
место изоморфизм
( проконечные ) а? ( /(-ориентированные 1
1 PLn-расслоения / = { ^""'-расслэения I'
Таким образом, различным способам введения (про-
конечной) геометрической структуры на гомотопическом
типе расслоения Е — В-+В соответствуют различные
^-ориентации.
Напомним, что задание ориентации определяет изо-
изоморфизм Тома
Так как отображение Е»—> Дн строилэсь при помощи
сигнатуры о(Е), то изоморфизм Тома в /С-теории со-
согласован с рассматривавшимся выше геометрическим
изоморфизмом Тома. Мы приходим к приятному с аста-
астатической точки зрения заключению, что (вне простого
числа 2) вся геометрическая2) информация, содержа-
') Если п= 1, то ориентированная теория тривиальна. Если
« = 2, эйлеров класс в когомологиях является единственным
инвариантом.
2) Не теоретико-гомотопическая.

Труппа Галуа в геометрической топологии 251
щаяся в PL-расслоении, содержится уже в Z/n-сигна-
турах Z/я-пересечений с нулевым сечением (для не-
нечетных п).
Кроме того, мы видим, что произвольный набор
сигнатур «виртуальных пересечений» (с подходящим
геометрическим нулевым сечением) в сферическом рас-
расслоении, удовлетворяющий условиям периодичности и
инвариантности относительно кобордизма, может быть
реализован проконечным PL-расслоением. Другими сло-
словами, препятствие к реализации полного сферического
расслоения как «дополнения к нулевому сечению» в
PL-расслоении совпадает с препятствием к ^-ориенти-
^-ориентируемости.
Замечание. Препятствие к ^-ориентируемости
полного сферического расслоения | над В измеряется
каноническим характеристическим классом
МС)е#(?).
Доказательство теоремы 6.5 B) мы приведем ниже,
в разделе «Последовательность, связанная с /С-ориен-
тацией».
Симметрии Галуа в проконечной PL-теории. Теперь
мы используем построенную связь /С-теории с PL-тео-
PL-теорией, чтобы ввести в последней действие группы Галуа.
В гл. 5 мы построили действие абелеанизирован-
ной группы Галуа 2Г на кольце К (X):
х 1—> Xх, а е 2*.
Это действие можно продолжить на К*(Х) = (&К'1(Х)
с помощью изоморфизма надстройки. При этом если
х е= Rik (X) nb-.K^iX)-* K° (X) - изоморфизм периодич-
периодичности, то
2k
Теперь мы можем определить действие группы
Z*XZ* в проконечной PLn-TeopHH, задав действие на
определяющих инвариантах формулой
(Дв, (Е-В)-*В)ь-&-а>(PAS, (Е-В)-*В),
<z,p<=Z\ A?e=?n(?+),

252 Глава б
где Е+ — пространство Тома сферического расслоения.
Следующая теорема дает возможность сопоставить это
действие с действием группы Gal @/Q) в проконечной
теории векторных расслоений. Напомним сначала, что
группа Z* действует на множестве ориентированных
Sn~'-расслоений по формуле
Теорема 6.6 (обобщенная гипотеза Адамса). Рас-
Рассмотрим естественное отображение между проконея-
ними теориями с действием соответствующих групп:
| векторные ) , онечные л л
«¦мерные ->(р^.расслоения/-*
\ пространства ] v
Gal (Q/Q) Z*XZ*
полные "I
< n~ '-расслоения/
Пусть а — элемент группы Gal (Q/Q) и a e Z* —
его абелеанизация. Пусть, далее, V — векторное
п-мерное расслоение, Е — некоторое РЬп-расслоение.
Тогда
ап . f (V)a, если п четно,
Следствие 1. Действие группы Gal (Q/Q) «а
«топологическом типе» векторного расслоения является
абелевым.
Следствие 2. Диагональное действие в РЬп-теории
а"/2?а, если п четно,
является «-алгебраическим». Оно согласовано с дейст-
действием группы Галуа на векторных расслоениях.

Группа Галуа в геометрической топологии 253
Замечания, (i) В 1966г. автор, используя сигна-
сигнатурный инвариант и 2-примарный инвариант Арфа
доказал топологическую инвариантность геометрических
структур (триангуляции) в расслоениях при условии, что
в многообразии «нет трехмерных циклов порядка 2»').
Так как сейчас мы ограничиваемся нечетными про-
простыми числами, то из «гомеоморфности следует PL-го-
PL-гомеоморфность». Поэтому мы и употребили при форму-
формулировке следствия 1 слова «топологический тип».
Эти же инварианты позволили также доказать
«Hauptvermutung» для односвязных многообразий.
В 1968—1969 гг. Кирби и Зибенман смогли, используя
более прямые методы, исключить, по существу, условие
односвязности и доказать существование триангуля-
триангуляции 2).
(ii) Мы переформулируем сейчас утверждения след-
следствия 2. Симметрии в теориях расслоений индуцируют
действия соответствующих групп на классифицирующих
пространствах. В частности, действие группы Z* на
множестве PL-расслоений
V^>an!2Va, aeZ*, n четно,
индуцирует действие этой группы на PL-грассманиане.
Утверждение следствия 2 заключается в том, что
это действие сохраняет образ линейного грассманиана
и согласовано с действием группы Gal (Q/Q) на
линейном грассманиане.
Если мы устремим п к сю, то симметрии в проко-
нечных теориях упростятся. Именно: (а) действие
группы Gal@/Q) на стабильных векторных расслоениях
делается абелевым и соответствует действию группы Z*
в К(Х)"\ (Ь) действие группы Z*XZ* на PLrt-pacMoe-
ниях переходит в действие группы Z*:
(Д?)(?-В)->В)(а>р) =
= (аД|, (Е - В)-+ В) ^ (Д|, (Е-В)-*В);
') См. Sullivan D., On the Hauptvermutung for manifolds,
Bull. Amer. Math. Soc, 73, № 4 A967), 598— 600. — Прим. ред.
2) Ha примере многообразия S3 X S1 X S1 можно проследить
взаимосвязи.

254 Глава 6
(с) действие группы Z на .^""'-расслоениях станг
вится тривиальным.
Другими словами, имеет место следующее пре*
ложение.
Теорема 6.7. Имеется эквивариантная последе
вательность теорий
стабильные} - ябнлыгае 1 (стабильные].
-»¦ \ сферические [
\ расслоения \ ;-;
и
•{действия группы Z*}-
где
а индуцируется действием группы Gal (Q/Q) на
«.вещественном грассманиане» и делается абелевым
при стабилизации;
Р индуцируется действием группы Z* на сигнатур-
ном инварианте о{Е) (после отождествления с Д?);
Y индуцируется заменой ориентации и тривиали-
зуется при стабилизации. '¦
Следствие. Все естественные симметрии в ста-
стабильной PL-теории являются алгебраическими сымме-
триями (симметриями Галуа).
Проблема. Найти действие группы Галуа на
сигнатурном инварианте:
Замечание. Эти теоремы дают довольно явное
описание действия группы Галуа на топологическом
типе векторного расслоения в нечетных простых числах.
Это может быть полезно при изучении алгебраических
векторных расслоений над полем характеристики 2.
Доказательства, содержатся в последнем параграфе
этой книги.

Труппа Галуа в геометрической топологии 255
§ 4. НОРМАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
(ПЕРИОДИЧНОСТЬ И СИММЕТРИИ ГАЛУА)
Теперь мы рассмотрим теорию послойной гомотопи-
гомотопической эквивалентности расслоений.
Эта теория тесно связана с теми геометрическими
вопросами теории многообразий, которые привели
автора к написанию настоящей работы. Кроме того,
два важных момента в последующих вычислениях
получат здесь наиболее естественное выражение.
Геометрически нормальный инвариант компактного
многообразия М (с краем или без него) определяется
как класс бордизмов нормального отображения, т. е.
отображения
I1* М
степени 1, накрытого отображением
Г нормальное расслоение к L ] _»f>
1 в евклидовом пространстве ] *"
ь^ ( некоторое векторное 1
~* ( расслоение над М } '
Мы можем говорить о гладких PL- или топологи-
топологических нормальных инвариантах sH, PLN или tN.
Нормальные инварианты образуют группу (надо сде-
сделать отображение f X Г трансверсальным к диагонали
в МХМи рассмотреть прообраз диагонали) и опре-
определяют естественные геометрические инварианты. На-
Например, каждому Z/и-подмногообразию V многообра-
многообразия М можно отнести любой «инвариант класса кобор-
дизмов» квадратичной формы на трансверсальном
прообразе f~x (V).
С теоретико-гомотоиической точки зрения нормаль-
нормальные инварианты соответствуют послойным гомотопи-
гомотопическим эквивалентностям между расслоениями над М,
Такие отображения, / и f, считаются эквивалентными,
если существует послойно-гомотопически коммутатив-

256 Глава 6
ная диаграмма
в которой вертикальные стрелки являются изоморфиз-
изоморфизмами между расслоениями. Эти гомотопические нор-
нормальные инварианты можно складывать по Уитни, и
соответствующие группы Гротендика классифицируются
с помощью отображений в универсальные пространства:
sNa&\ ,G/O], plN~[ ,G/PL], iff Si [ ,G/Top]')
в зависимости от того, какая категория расслоений
рассматривается.
Геометрическое описание нормальных инвариантов
позволяет различать многообразия (гладкие, PL- или
топологические) внутри фиксированного односвязного
гомотопического типа. Для этого надо использовать
технику «перестроек» отображений, развитую Брауде-
ром и Новиковым2).
Гомотопическое же описание позволяет изучить эти
инварианты.
Прежде всего между геометрической и гомотопиче-
гомотопической теориями существует взаимосвязь. Оказывается,
что рассмотренные выше геометрические инварианты
(сигнатура вещественных квадратичных форм и. инва-
инвариант Арфа Z/2-форм) составляют полную систему
числовых инвариантов нормального класса кобордиз-
мов как в PL-, так и в топологической ситуации. (Это
доказывается в .PL-случае в работе автора Geometric
') Через G обозначен предел Я-пространств гомотопических
эквивалентностей сферы Sn при п -*• оо. — Прим. ред.
2) См. диссертацию автора 3). Уолл распространил эту тео-
теорию и иа неодносвязные многообразия4), причем в игру вступили
другие, «вторичные» инварианты, связанные с фундаментальной
группой.
3) См. также Новиков С. П., Гомотопически эквивалентные
гладкие многообразия, И АН СССР, сер. матем., 28, № 2 A964),
335—474. — Прим. ред.
4) См. Wall С, Т. С, Surgery on non-simply-connected mani-
manifolds, Ann. of Math., 84, № 2 A966), 217-276. —Прим. ред.

Группа Галуа в геометрической топологии 257
Topology, Seminar Notes, Princeton, 1967; топологи-
топологический случай требует использования уже упоминав-
упоминавшихся работ Кирби и Зибенмана, построивших триан-
триангуляцию топологических многообразий.)
Связь между этими инвариантами описывается
с помощью кобордизмов и формулы периодичности.
Это геометрическая периодичность, которая является
точной 4-периодичностью даже по отношению к двойке.
Мы будем использовать ее только по нечетным
простым числам, где она может быть интерпретирована
с помощью естественных эквивалентностей с /С-теорией:
триангшящя
PL-нормальные ^——--»«___* топологические
инварианты ^чшт щтые портальные инварианты
>v числа
iff~PLN~K >^ я, / эквивалентность с
(нечетные простые X? / периодичностью Ботта
числа) ч^ '
единицы
е К-теории
Этот изоморфизм позволяет определить действие
абелеанизированной группы Галуа Z* в множестве нор-
нормальных топологических инвариантов.
. Отображение 0* строится с помощью сигнатурных
инвариантов и приведенной выше геометрической харак-
теризации Д-теории. Далее /С-ориентация PL-расслое-
PL-расслоения определяется как обобщение этого «нечетного»
вычисления нормального PL-инварианта.
Изоморфизм & является первой составной частью
вычислений, которые мы скоро будем проводить. Ниже
мы опишем его более подробно. Другая составная
часть была построена в гл. 5.
Используя гомотопическое описание нормального ин-
инварианта, мы можем образовать его проконечное попол-
пополнение. Предпринятое выше обсуждение гипотезы Адамса
показывает, что для каждого проконечного векторного
расслоения v над М и для любого «sZ* определен
9 Д. Сулливан

253 . Глава 6
канонический элемент
(va ~v)
группы проконечных гладких нормальных инвариантов
над М'). (Напомним, что послойная гомотопическая
эквивалентность
va->v
канонически строится по изоморфизму, индуцирован-
индуцированному элементом а в ВОп-и я = dim и.)
Для наших вычислений требуется только существо-
существование этих естественных «элементов Галуа». Явное
описание этих элементов должно бы потребоваться
для будущих «подкрученных вычислений».
Мы надеемся заняться этими структурами и «квази-
«квазидействием» группы Галуа при дальнейшем изучении
многообразий.
Некоторые применения периодичности и симметрии
Галуа. Теперь мы применим полученные результаты
к изучению стабильных геометрических теорий.
Напомним, что мы построили сигнатурный инва-
инвариант PL-расслоений, с помощью которого были сфор-
сформулированы теорема о /(-ориентации2) и свойство
4-периодичности нечетной части нормального инва-
инварианта. Кроме того, мы определили действие группы
Галуа на пополненном гомотопическом типе алгебраи-
алгебраических многообразий, в частности на пополнении грас-
сманиана ^-мерных плоскостей в n-мерном пространстве,
и это действие позволило нам определить действие
абелеанизированной группы Галуа Z" на множестве
векторных расслоений.
Мы используем сейчас эти конструкции для опре-
определения согласованного действия группы Галуа на
линейной и кусочно линейной теориях и построения
канонической послойной гомотопической эквивалент-
эквивалентности между сопряженными ра.сслоениями, ха ^ я.
') Заметим, что любой (конечный) гомотопический тип может
быть представлен компактным многообразием с краем.
2) Доказательство этой теоремы см. ниже, в § 6.

Группа Галуа в геометрической топологии 259
Рассмотрим диаграмму стабильных проконечных
теорий
Г гладкие  ("сферические!
\расслоения/ [ расслоения J
\/ топологические \S
1 расслоения /
С помощью гомотопических эквивалентностей (ли-
(линеаризации)
Г группа диффеоморфизмов 1
1 пространства R" у
f группа линейных ]
^ | автоморфизмов [ (Ньютон)
[ пространства R" )
/группа гомеоморфизмов ¦)
1 пространства R" )~~
j группа кусочно |
^ ! линейных автоморфизмов! (Кирби — Зибенман)')
( пространства R" j
мы можем отождествить нашу диаграмму с диаграм-
диаграммой, более приспособленной для вычислений2):
( векторные 1 / сферические \
\ расслоения } \ расслоения /
\ Г кусочно линейные ^
\ расслоения /
Теорема 6.8. Ядра естественных отображений
между стабильными проконечными теориями расслое-
') Мы рассматриваем только «нечетную часть» гомотопиче-
гомотопического типа и считаем, что п-* со.
2) Можно использовать теорию Ли или комбинаторную гео-
геометрию для построения инвариантов расслоений.

260 Глава 6
ний {]-гомоморфизмов)
гладкие топологические
расслоения расслоения
векторные \ / кусочно линейные
расслоения \ / расслоения
сферические
расслоения
являются в каждом случае подгруппами, порожден-
порожденными разностями сопряженных элементов [х — ха,
а е- 2*} ')•
Замечания. В гл. 5 мы построили для любого век-
векторного расслоения х каноническую послойную гомо-
гомотопическую тривиализацию расслоения х* — х.
Адаме, который высказал утверждение о сущест-
существовании такой тривиализации в качестве гипотезы2),
по существу доказал теорему 6.8 для векторных рас-
расслоений с помощью очень интересных вычислений
в /(-теории.
Из нашего определения действия группы Галуа в
PL'- (или Тор-) теории сразу следует, что сопряжен-
сопряженные расслоения послойно гомотопически эквивалентны.
Поэтому в доказательствг нуждается только противо-
противоположное утверждение.
Главным оказывается факт согласованности дейст-
действия группы Галуа в различных теориях. С его помощь о
удается свести PL-случай к линейному случаю и
к несколько модифицированным вычиелгниям Адамса.
Для осуществления этой редукции и вообще для
изучения связей между различными стабильными тео-
') Напомним, что в кусочно линейном и топологическом слу-
случаях мы рассматриваем только «нечетную часть».
2) Вместо действия группы Галуа он пользовался опера-
операциями -ф.

Группа Галуа в геометрической топологии
риями мы разложили каждую из теорий в прямую
сумму более простых, используя наличие в Z корней
из единицы.
Выберем нечетное простое число р и рассмотрим
р-адическу^ю компоненту. Как было показано в гл. 1,
в группе Zp содержится циклическая подгруппа
F'psiZ/ip-l).
Зафиксируем примитивный корень (р— 1)-й степени
из единицы ip = |sZp и рассмотрим какой-нибудь
Zp-модуль К-
Обозначим через Т автоморфизм модуля К, дейст-
действующий по формуле х*-*-х1, и положим
TT~ti ('=0i •¦•iP — 2).
Операторы л^ образуют систему ортогональных проек-
проекций модуля К, разлагающую его в прямую сумму
Здесь Kti есть собственное пространство автомор-
автоморфизма Т, отвечающее собственному значению |г, т. е.
р-2
K%i = пг{К- Положим Къ = ф K%i. Имеет место рас-
расщепление
не зависящее от выбора первообразного корня |р.
Пусть теперь К есть Z-модуль, на котором дейст-
действие группы Z* есть произведение действий групп 7.1
на подмодулях КР по нечетным простым числам р.
Используя разложения модулей Кр, мы получаем раз-
разложение всего модуля К-
где Кх = П {КР)х и "К\ = П (КР
V

262 Глава 6
Таким образом, мы построили естественные расще-
расщепления теорий проконечных векторных расслоений,
проконечных топологических расслоений и проконечно-
го топологического нормального инварианта:
+ (Ко)ь
Ktop = (Ktop
Для того чтобы описать «связи между этими груп-
группами», мы рассмотрим в /Ctop подгруппу, составленную
из расслоений, «эквнвариантных относительно дейст-
действия группы Галуа». Обозначим через 9" подгруппу
группы Ktop, порожденную такими расслоениями Е,
что изоморфизм Тома
Д"(база) ^-—-> К (пространство Тома)
является эквивариантным отображением (относительно
действия группы Галуа). Заметим, что это эквивалентно
равенству
{х-АЕ)а—ха- А?,
или Д1 = Ая. Таким образом, -в данном случае то-
тождественное отображение индуцирует изоморфизм
между Е и Еа, т. е.
<z>\ с={ множество неподвижных точек относительно \
— 1 действия группы Галуа на /Ctop Г
В частности, 9'1 содержится в (/<"top)i — в подгруппе,
состоящей из классов расслоений, инвариантных отно-
относительно элементов конечного порядка группы Галуа.
') Мы все время рассматриваем приведенные пополненные
группы. Так, например, мы обозначаем группу специальных еди-
единиц в ЛГ-теории через К* (= 1 -Н К)- Мы пишем Ка (а не К),
подчеркивая тот факт, что мы рассматриваем стабильные про-
конечные векторные расслоения. Буквой К мы обозначаем при-
приведенную теорию когомологий [ , Во].

Группа Галуа в геометрической топологии 263
Рассмотрим теперь диаграмму теорий, имеющую
более непосредственный геометрический смысл:
("векторные )
\ расслоения J \е (топологи-
^ I ческие
[теория послойных] [топологические] /I расслое-
| гомотопических |э*| нормальные }/' I ния
(эквивалентностей* I инварианты J
л I векторное \ __ (соответствующее!.
у.расслоение/ \ ^-расслоение у
т/послойная гомотопическая^ __ „ __ „
\ эквивалентность E~F )
По определению, образ отображения 8 состоит из
сглаживаемых расслоений, а образ отображения /—
из послойно гомотопически тривиальных расслоений.
Напомним, что абелеанизированная группа Га-
Галуа Z* действует в теориях этой диаграммы согласо-
согласованным образом.
Теорема 6.9 (теорема о разложении),
(а) Отображение 8 является мономорфизмом на
l-компоненту и
(b) Отображение J является вложением на %-компо-
ненту и
(с)Aгав)|=Aга/M. т. е. «векторноерасслоениетшга%*
определяет послойно гомотопически тривиальное рас-
расслоение.
(d) (Ira/), s(Ime)!, т. е. послойно гомотопически
тривиальное «.расслоение типа 1» сглаживаемо.
Другими словами, подгруппы
(^" = {эквивариантные расслоения},
Im Г4- Tmfl=f суммы сглаживаемыХ и гомотопически)
~*~ \ тривиальных расслоений )

264 ^ Глава 6
являются дополнительными. Кроме того, вторая под-
подгруппа канонически разлагается в прямую сумму
подгруппы, состоящей из сглаживаемых расслоений, и
подгруппы, состоящей из гомотопически тривиальных
расслоений:
Замечание. Так как функторы /Ctop(Ш)\ и (/Со)»
представимы, то и функтор Ф1 представим. При этом
гомотопические группы пространства, представляю-
представляющего W1 (мы далее будем обозначать его тоже через 9"),
имеют конечный порядок и являются подгруппами
группы /Ctop(S'). Оказывается, что их можно описать
равенством
{(i — 1)-я стабильная ) ,, Кп л
гомотопическая /{ обР*3 Л с*
группа сферы У Гомоморфизма//
frovnna экзотических1! ,f экзотические сферы, ог-| ')
= ЫУ n !^1 v-S 1/1 раничивающие паралле-
К» - 1)-мерныхсфер // \^изуемые многообразия)
В частности, пространство (9")р является Bр(р—1)—2)-
связным.
Эти утверждения сразу следуют из точности /С-ориен-
тационной последовательности, которая будет построе-
построена дальше. Аналогичные вычисления были проведены
^Доказательство последнего изоморфизма см. в следующей
работе: Kervaire M. A., Milnor J. W., Groups of homotopy
spheres, I, Ann. Math., 77, № 3, A9S3), 504 — 537. — Прим. ред.

Группа Галуа в геометрической топологии 265
Брумфилем, и его результаты послужили в действи-
действительности отправной точкой для построения расще-
расщеплений.
Следствие 1. Функтор Ч?1 вкладывается в го-
гомотопическую теорию и в «топологическую теорию по
модулю гладкой теории».
Это означает, что различные эквивариантные рас-
расслоения гомотопически различны.
Следствие 2. Различные стабильные векторные
расслоения, инвариантные относительно элементов ко-
конечного порядка группы, Z*, топологически различны.
Эти следствия формально выводятся из теоремы 6.9.
§ 5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ КЛАСС ТОПОЛОГИЧЕСКОГО
РАССЛОЕНИЯ В ^-ТЕОРИИ
Чтобы доказать теорему о разложении, нам надо
научиться «измерять расстояние» от топологического
расслоения до подгруппы, состоящей из расслоений,
у которых изоморфизм Тома эквивариантен. Это де-
делается с помощью характеристического класса в
Д"(база?), определенного для произвольного топологи-
топологического расслоения Е ').
Рассмотрим функцию
2?!*-+ /С* (база),
определяемую уравнением
в?(а)-Д? = Д<5, ее?.
Функция 0Я измеряет степень неэквивариантности
изоморфизма Тома, определяемого классом Тома Д?,
Заметим, что
@) функция @Е является произведением функций
(в?)р: 2>-*/Г(база),.
J) Идея этого инварианта принадлежит Тому. Аналогичный
инвариант для векторных расслоений рассматривали Адаме и
Ботт.

266 Глава 6
(i) Для любого Е функция 6В (а) = F (а)) «является
коциклом», т. е. удовлетворяет условию
(И) Функция 0е непрерывна на Z*.
(Ш) Функция 0В экспоненциальна по Е, т. е.
(iv) Если k — целое число, взаимно простое с р, то
(см. ниже /С-лемму) для любого двумерного ориентиро-
ориентированного расслоения tj
(В левой части мы рассматриваем k как элемент группы
ZP. В правой части мы рассматриваем т) и tj как ком-
комплексные линейные расслоения. При этом вся правая
часть инвариантна относительно комплексного сопря-
сопряжения и поэтому принадлежит вещественной Д"-теории.)
Обозначим через Zd(Z*; К*) группу [непрерывных
диагональных одномерных коциклов группы Z* со зна-
значениями в К*, т. е. группу функций G: Z* -*-К*, удо-
удовлетворяющих условиям @), @ и (И). Таким образом,
Zd(Z"; К*) есть группа «непрерывных скрещенных го-
гомоморфизмов» группы Z* в 2*-модуль К*.
Среди таких гомоморфизмов есть «главные» — образ
гомоморфизма
') Условие (i) подчеркивалось Боттом при изучении соот-
соответствующего -инварианта. В нашем случае справедливость ут-
утверждений (i) и (п) сразу следует из определения. Равенство
(Ш) мы докажем в следующей работе. Оно имеет место для
векторных расслоений (в действительности условия (ii), (iii) и
(iv) однозначно определяют функцию в на множестве векторных
расслоений). Перенесение равенства (iii) с векторных расслое-
расслоений на топологические использует только формулу произведения
для сигнатур 2//и-многообразий.

Группа Галуа в геометрической топологии 267
определяемого формулой
Образ б (К*) Е Za (Z*; /С*) мы назовем группой ко-
кограниц. Группу одномерных диагональных когомологий
группы Z* со значениями в К* (т. е. факторгруппу
группы коциклов по образу гомоморфизма б) обозна-
обозначим через
d (Z ; А ).
Рассмотрим теперь проблему (в нечетных простых
числах) классификации векторных расслоений с точ-
точностью до
(a) линейного изоморфизма,
(b) послойного гомеоморфизма,
(c) послойной гомотопической эквивалентности.
Приведенная выше геометрическая характеризация
дает «геометрический коцикл»
AsHom(Q.'( ;Q/Z), Q/Z),
который определяет стабильный тип расслоения.
Если расслоение наделено римановой метрикой, то
этот числовой инвариант можно определить аналити-
аналитически.
Класс Тома АЕ (со значениями в Д"-теории) можно
определить при помоши комплекса Ходжа расслоения Е.
Вместе с послойным гомотопическим типом класс Дв
однозначно определяет топологический тип расслое-
расслоения Е. Наконец, 0-инвариант вычисляется по действию
группы Галуа на &в.
Теорема 6.10. Векторное расслоение Е топологи-
топологически тривиально в том и только в том случае, когда
Т е о р е м а 6.11. (а) Векторное расслоение Е послой-
послойно гомотопически тривиально в том и только в том слу-
') Заметим следующее: Ьи потому является диагональным
коциклом, что действие разлагается в произведение. Мы всюду
ограничиваемся этим диагональным случаем.

268 Глава 6
чае, когда коцикл ®Е принадлежит образу гомомор-
гомоморфизма б.
(Ь) Каждый класс когомологий {элемент группы
H\(Z*\ К*)) содержит элемент вида ®е-
Обозначим через /0 и /1ор образы /Со и Ktop при
переходе к послойному гомотопическому типу.
Следствие1).
/о s* Hld (Z*; К*),
/»Ор^&®Н\ф\ К*),
/CtoP^^'©Zi(Z*; /Г)
(все изоморфизмы являются каноническими).
Следствие. Любой коцикл является Q-инвари-
антом некоторого топологического расслоения.
Замечание. Естественное отображение
(топологические \ в
{ расслоения J
расщепляется. Действительно, группа коциклов изо-
изоморфна подгруппе
Г гладкие 1 ffi f гомотопически триви-| ^
(.расслоения)^} альчые расслоения }%~
группы топологических расслоений. Введем с помощью
этого разложения координаты в группе топологических
расслоений. Тогда
(i) векторное расслоение V имеет в /Ctop компо-
компоненты
(К,, б-1(вк)|, 0);
(и) топологический нормальный инвариант saeiC
имеет в /(top компоненты
¦) Первое утверждение следствия справедливо и при р = 2.

Группа Галуа в геометрической топологии 269
Замечание. Так как функция &Е «диагональна»,
а группа Z"p циклична, то функция <дЕ определяется
своим значением на любом «общем» элементе aeZ"J).
Поэтому один инвариант ва (Е) е К* (В) является пол-
полным топологическим инвариантом векторного рас-
расслоения Е. В частности, Е послойно гомотопически
тривиально в том и только в том случае, когда 0а (Е) =
= 6«(а) = м7« Для некоторого и^К*(В).
Мы сформулировали теорему в инвариантной форма,
для того чтобы подчеркнуть довольно неожиданную
аналогию между постановкой вопроса и «формой» от-
ответа на него. Сейчас мы расширим эту «форму». Для
этого мы добавим к нашей коллекции
¦к, к9, г\ф\ К)
четвертую «/(-группу». Рассмотрим расслознноо произ-
произведение Ж, задаваемое диаграммой
|Р2 |9 (расслоенный квадрат в /(-теории)
/Г— >2i
Таким образом, элементом группы Ж является вектор-
векторное расслоение вместе с реализацией его в-инварианта
как кограницы (образа б).
Рассмотрим теперь теорию гладких нормальных ин-
инвариантов (или послойных гомотопических эквивалент-
ностей? ^ F между векторными расслоениями). Имеется
') Заметим, что сама группа Z* не циклична. Поэтому мы
и рассматриваем только диагональные коциклы, кэграницы и т. д.
Было бы интересно выяснить связь полной группы когомологий
(или даже всей теории когомологий) с теорией послойного го*
мотопического типа и с новыми когомологическими теориями
Майкла Бордмана.

$70 Глава 6
естественная диаграмма (геометрический квадрат):
f гладкие ) , .
нормальные \=sN-* Ко = { ГЛаДКИе )
[инварианты) I I (расслоения/
f топологические! . . , .
нормальные =^->^оР = {топологические1
I инварианты ) l расслоения J
Периодичность tN-+K*, естественное отображение
К0->К и в-инвариант G: Ktop—>Zd определяют кано
ническое отображение этого геометрического квадрата
в предыдущий расслоенный квадрат в /С-теории.
Теорема 6.12. Индуцированное аддитивное ото-
отображение
гомотопические
эквивалентности
между гладкими
расслоениями
.г формализация
= {{v, и): Qv = ди}
эпиморфно. Таким образом, любая деформация @-ин-
варианта векторного расслоения к нулю реализуется
послойной гомотопической тривиализацией.
Замечание. Как будет видно из доказательства,
функтор Ж естественно изоморфен представимому
функтору
Поэтому функтор sN расщепляется. Однако ни из
чего не следует, что это расщепление должно быть
аддитивным.! Я думаю, что препятствия к аддитивной
расщепимостИ отличны от нуля и центральны.
§ 6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Мы будем двигаться от конца к началу, произ-
производя вычисления в /f-теории и доказывая в первую
очередь теорему 6.12.

Группа Галуа в геометрической топологии 271
Зафиксируем такой элемент a=(a,)eZ*, что для
каждого простого р элемент ар s Zp является тополо-
топологической образующей группы Zp.
К-лемма. Диаграмма
коммутативна. Более, того, горизонтальные отображе-
отображения индуцируют изоморфизм Ki—-*/CT, а вертикаль-
вертикальные — изоморфизмы /С| -> /<"s-
Доказательство. Заметим прежде всего, что
гомоморфизм К-*К* определяется своим сужением на
приведенные /(-теории 4/-мерных сфер. Действительно,
как нетрудно проверить, существует Я-отображение
ВО-*ВО, индуцирующее произвольное отображение
рациональных примитивных классов гомологии и бла-
благодаря этому сферических классов когомологий. Как
мы видели (это слэдует из теоремы 3.7 или из эле-
элементарной теории препятствий, локализованной в не-
нечетных числах), отображение примитивных классов
полностью определяет гомотопический тип отображе-
отображения. Поэтому достаточно проверить каждое утвержде-
утверждение леммы для сфер S4i.
(а) Приведенная /(-группа К (S4;) сферы 54' циклична.
Пусть v —¦ ее образующая. Допустим, что отображе-
отображение Эа переводит v в A + v)e' s 1 + /? (S«) = К* (S4{).
Тогда
(eav)a/eav = A + 6,v)a/(l + eiV) [так как v2 = 0] =
= A + Bio«v) A - 9,v) =1+6, (a2i - 1) v,
HO
ea (v« - v) = ee (v°)/ea (v)=( P

272 Глава 6
а последнее тоже равно 1 + 0г(°2' ~ 1)v- Коммута-
Коммутативность доказана.
(Ь) Как было доказано в гл. 5, имеет место фор-
формула
v« = a2'v.
Поэтому
и, следовательно, для сферы Sil вертикальные отобра-
отображения являются умножением на а2' — 1. Таким
образом, эти отображения являются изоморфизмами
при i Ф 0 mod (p — 1)/2, т. е. для тех размерностей,
в которых сосредоточен «/Сгфунктор сфер».
(с) Для изучения горизонтальных отображений на-
напомним, что для всякого ориентированного двумер-
двумерного векторного расслоения т] имеет место формула
(Она доказывается замечанием, что «класс Лапласа
Тома» Дч в /(-теории имеет вид
| s Ки»(СР°°),
где вычисления проводятся в комплексной /С-теории
пространства СР°°. Здесь КО2 рассматривается как
часть KU0, состоящая из элементов, меняющих знак
при комплексном сопряжении, а КО0 — как часть, со-
состоящая из элементов, инвариантных относительно
комплексного сопряжения. Справедливость формулы
для Д„ вытекает из того, что Д„ имеет нужный ха-
характер Чжэня
Нужная нам формула для Oj,(t)) сразу следует из фор-
формулы для Д„. Мы свяжем сейчас 8& с операциями
Адамса рь - ^

Группа Галуа в геометрической топологии 273
которые он явно вычислил для Su:
Ps(v)=l + rtv,
причем для каждого простого р, такого, что k поро-
порождает группу Zp, число Г{ делится на ту же степень р,
что и знаменатель несократимой дроби BJAi'). Поэтому
операция yt индуцирует изоморфизм между 1-компо-
1-компонентами Ал и /(*.
Напомним, что fj = tj-1. Следовательно,
Поэтому для любых х е/( == /C/Z» asZ и для р =
(это равенство имеет место для любого х, поскольку
оно верно в случае линейного х, а обе части по х
экспоненциальны). Применив эту формулу к ve^S41),
получим, что
9V (a) = A + 22<PivJ A - 42'М =
Так как A— 22'-') = 0modp, если t=0 mod (p—l)/2,
то 0(й) действительно устанавливает изоморфизм
мехсду К\-*К\.
Замечание. С помощью результатов Адамса
из этих вычислений нетрудно вывести, что множество
тех простых чисел р, для которых гладкая теория
') См. Adams J. F., On the groups J (X), I — IV, Topology,
2, № 3 A963), 181-195; 3, № 2 A965), 131-171; 3, № 3 A965),
3—36; 5, № 1 A966), 21—71. (Русский перевод: сб. Математика,
10:5 A966), 70-84; 11:4 A967), 3-41; 12:3 A968), 3—36;
12:3 A968), 37—97.) Через Bi обозначается г-е число Бернулли.
г) То есть Qx (а) = ра B*<2> - лгD>).

274
Глава в
не является прямым слагаемым топологической теории,
является объединением множества иррегулярных про-
простых чисел и множества тех простых чисел р, для
которых 2 имеет нечетный порядок в группе F*p.
Более явно:
{37, 59, 67, 101, ...}U{7, 23, 31, ...]U{73, 89, ...}.
иррегулярные числа простые числа некоторые
вида 8k — 1 простые числа
вида Bk + 1 ')
Каждое из этих множеств бесконечно.
Доказательство эпиморфности отобра-
отображения sN—-*-yt!. Мы можем рассматривать канони-
каноническую эквивалентность ха^х как элемент мно-
множества sN. При этом возникает естественная диаграмма
ч
в которой g(x) = (xa^x). (Мы не должны проверять
согласованность, так как нам необходимо знать ото-
отображение g лишь на остовах классифицирующего
пространства для /С-теории.)
Рассматривая гомотопические группы, легко убе-
убедиться в том, что отображения d| и d{ индуцируют
изоморфизмы до больших размерностей. Из этого сле-
') А именко те p = 8fe + 1, для которых 2 имеет нечетный
порядок в F*p. .

Группа Галуа в геометрической топологии 275
дует, что f является эпиморфизмом и
для комплексов сколь угодно большой размерности.
(С помощью теории компактных представимых
функторов можно доказать, что отображение / в дей-
действительности имеет сечение.)
Теорема 6.12 доказана.
Доказательство теоремы 6.9. Рассмотрим
каноническое отображение диаграммы в диаграмму:
sN-+Ko f ld Ж—>К
I Iе XXI !•*
(здесь Эд есть в-коцикл, связанный с нашим классом
Лапласа — Тома), в которой р — конструируемый ниже
изоморфизм, а / — изучавшееся выше отображение.
Заметим, что
(a) отображение f эпиморфно;
(b) отображение @д)[, действующее по формуле
х >—>• ва (лг), является изоморфизмом, согласно /С-лемме;
(c) отображение б| является изоморфизмом по той
же причине;
(d) группа Ч*?1 является по определению ядром ото-
отображения 9.
Теорема 6.9 формально следует из этих утвержде-
утверждений: надо только использовать согласованность ото-
отображений /иве действием абелеанизированной
группы Галуа 2* (в частности, с действием корней
из единиц).
Доказательство теорем 6.10 и 6.11. Мы
имеем изоморфизмы
^Zd{Z*', К),
З*; К').
При этом отождествлении отображения
tN->Ktoo, /Co -> /Ctop

276 Глава б
принимают вид Офб и Офбд соответственно. Этим
доказана теорема 6.10, а также второе и третье утвер-
утверждения следствия. Первое утверждение следствия
является переформулировкой теоремы 6.11.
Первое утверждение теоремы 6.11 следует из опре-
определения коцикла и эпиморфности отображения f. Для
доказательства второго утверждения теоремы 6.11
достаточно -заметить, что группа На «сосредоточена
в 1», поскольку отображение (9д), является изомор-
изоморфизмом. Но так как отображение 6s является изо-
изоморфизмом, то гладкие расслоения порождают кого-
мологии.
Доказательство теоремы 6.8. В гл. 5 мы
доказали, что х'1 — х^О. Докажем обратное (т. е.
что послойно гомотопически тривиальное расслоение
имеет вид х* — х). Начнем с векторных расслоений.
В силу теоремы 6.11, векторное расслоение V послойно
гомотопически тривиально в том и только в том слу-
случае, если %v = 0.
Соотношение 9д (V) ^ 0 означает существование
такого элемента и е К.*, что
вд (П. = *„(«).•
Если V e/Ci, то, согласно /(-лемме, из этого следует,
что V = ха — х. Что же касается другого слагаемого,
К\, то в нем любой элемент есть разность сопряжен-
сопряженных расслоений.
Перейдем к топологическому случаю. Из периодич-
периодичности и теоремы 6.9 следует, что действие группы
Галуа в (/CtoP)i изоморфно действию группы Галуа
в К\. Поэтому каждый элемент (/Ctop)| является раз-
разностью сопряженных. Так как, далае, согласно тео-
теореме 6.9 (i), кажцоз гомотопически тривиальное рас-
расслоение «типа 1» сглаживаемо, то соответствующая
часть топологического случая сводится к гладкому
случаю. Теорема 6.8 доказана.
К-ОРИЕНТАЦИОННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И PLn-TEO~
рия. Для изучения теории /^-ориентированных рас-
расслоений к ее связей с PL-теорией мы будем пользо-

Группа Галуа в геометрической топологии 277
ваться некоторой специальной последовательностью на
уровне классифицирующих пространств. Она имеет вид
Здесь (BSGn)~ — классифицирующее пространство
теории ориентированных расслоений со слоем Sn~\
а E/((?„)Л — классифицирующее пространство теории
^-ориентированных ^"'-расслоений. (Используя тех-
технику Дольда и точную последовательность Майера —¦
Виеториса в /(-теории, легко проверить, что соответ-
соответствующий функтор действительно представим.) Про-
Пространство В® классифицирует специальные единицы
в /С. Группа ^-единиц естественно действует на мно-
множестве ^-ориентированных расслоений с фиксированной
базой. Наконец, SG^ и KG2 — пространства петель.
Отображения в этой последовательности строятся
естественным образом. Например:
(i) Отображение B®-*-BKG~ получается сопоста-
сопоставлением с каждой единицей в ^-теории соответствую-
соответствующей ориентации на тривиальном расслоении.
(ii) При больших п отображение SGn -> В® инду-
индуцировано естественным преобразованием
/стабильная когомологическая!" i
( теория ) -{
Эта последовательность точна и индуцирует тачную
последовательность гомотопических групп.
Замечание. Для любой мультипликативной тео-
теории когомологий h существует аналогичная ориента-
ционная последовательность
в которой
г и 1 / специальные
I . n®J — (едИНИцЬ1 А0( )
В случае когда произведение в теории достаточно
яссоциативно на уровне коциклов, препятствием

?78 глава 6
к А-ориентируемости является элемент группы Л® (BSG),
/г*-аналог первого класса Штифеля — Уитни.
Это верно и для Д"-теории, но этот случай тре-
требует особой осторожности.
Другой способ введения первого класса Штифеля —
Уитни в /(-теории заключается в использовании ото-
отождествления (см. ниже) этой ориентационной после-
последовательности (в стабильном случае) с последователь-
последовательностью
... -* G -> G/PL -* BPL -> BG - > В (G/PL) >
Как показал Бордман, эту последовательность можно
бесконечно продолжить вправо. Пространство B(G/PL)
может быть реализовано как' итерированное простран-
пространство петель (любого порядка), а его пространство
петель в нечетных простых числах изоморфно ВО".
Используя технику Постникова (которой меня
обучил ф. Петерсон), можно показать, что простран-
пространство B(G/PL) в нечетных простых эквивалентно клас-
классифицирующему пространству для К1 и что К0 ^ К*-
Еще одна конструкция первого класса Штифеля —
Уитни в /(-теории (для нечетных простых чисел) может
быть проведена с помощью «сигнатурного инварианта
в BG», который можно построить с помощью недавно
развитой техники перестроек пространств, обладающих
двойственностью Пуанкаре. Это позволяет сделать
конструкцию канонической.
Сравним /С-ориентационную последовательность
с (PLn ? GJ-последовательностью:
-* BSPLn
пополнение p |Др/ пополнение
У У У У У
KGn ~*SGn -*¦ jB® -
Отображение APL сопоставляет каждому ориенти-
ориентированному PL-расслоению E канонически соответствую-
соответствующее ему /С-ориентированное расслоение

Группа Галуа в геометрической топологии
279
Отображение р определяется требованием комму-
коммутативности диаграммы (или, как это более принято,
своим собственным сигнатурным инвариантом) ')•
Утверждение. Если п > 2, то отображение р
является пополнением (в нечетных простых числах).
Техника перестроек, развитая Кервером, Милнором
и Левином и переформулированная автором2), позво-
позволяет доказать периодичность гомотопических групп
пространства GJPLn при п > 2:
О, Z/2, О, Z, О, Z/2, О, Z,
При этом образующая группы я4ь может быть
реализована отображением
где Y — блочное расслоение над S4ft, a t — собственное
отображение «степени 1», трансверсальное по отноше-
отношению к точке OeR*H такое, что t~l @) является 46-мер-
46-мерным многообразием, сигнатура которого есть степень
двойки
A6, 8, 8, 8, ...J)
') Sullivan D., Thesis, Princeton, 1936.
г) Sullivan D., Geometric Topology, Seminar Notes, Prin-
Princeton, 1937.

280 Глава в
Если мы проанализируем конструкцию отображе-
отображения ApL, которое вводилось с помощью трансверсаль-
трансверсальности и сигнатуры, то мы увидим, что отображение
р: Ga/PLn-> В® индуцирует в 4?-мерных гомотопических
группах отображение
образующая *—» степень двойки.
Все другие гомотопические группы конечны, и их
порядок является степенью двойки. Утверждение дока-
доказано.
Следствие. Отображение &PL является попол-
пополнением (в нечетных простых числах). В частности,
пополненная РЬп-теория изоморфна К-ориентирозанной
Sn~i-теории.
Доказательство. Умножим тензорно на Z верх-
верхнюю гомотопическую последовательность. Мы получим
последовательность, изоморфную, согласно 5-лемме,
нижней гомотопической последовательности.
Доказательство теоремы 6.5 (Z) закончено.
Из описания пространства (BSGn)Q (см. гл. 4), диа-
диаграммы
-* BSPLn-> BSGn
G/PL-> BSPL-* BSG
и конечности групп niBSG следует разложение
(BSPLn)Q st (BSPL)Q X (BSGnH sz
где d = n, если п четно, и d = 2n — 2, если я нечетно.
Теорема 6.5 '(Q)' доказала.

Группа Галуа в геометрической топологии 281
Эквивариантность. Мы построили действия групп
в трех ориентированных теориях:
(л-мерные )
Gal(Q/Q) Z*XZ* T
используя
(i) этальные когомологии (см. гл. 5),
(ii) только что доказанное отождествление PL-теории
с /^-ориентированной теорией,
(iii) конструкцию пополнения расслоений (см. гл. 4).
Для доказательства первого утверждения теоремы 6.6
рассмотрим корасслоение
iBSOn-i)" -*¦ (BSOn)" -> {пространство Тома уп},
где уп — пополненное сферическое расслоение, соответ-
соответствующее каноническому расслоению над BSOn.
Элемент aeGal(Q/Q) индуцирует гомотопическую
эквивалентность (а) пространства Тома, и с помощью
теорий препятствий легко проверить, что
для любого элемента х е К (пространство Тома). Здесь
( а"'2, если я четно,
8 = i
г у а'"-1»2, если п нечетно.
(Диаграмма
пространство Тома уп ¦—*¦ В
На) {операция Р-( )а
пространство Тома уп—*¦ В
коммутативна на уровне когомологии.)

282 Глава б
Второе утверждение теоремы 6.6 совершенно оче-
очевидно.
Для доказательства теоремы 6.7, описывающей
стабильную эквивариантность, заметим, что суще-
существует автоморфизм послойного пополнения послойного
джойна у с /C(Z, 1), индуцирующий умножение ориен-
ориентации на произвольный обратимый элемент кольца 2,.
После этого теорема 6.7 сразу же выводится из тео-
теоремы 6.6.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Введение 6
Глава 1. Алгебраические конструкции • . . . 13
§ 1. Локализация 13
§ 2. Пополнения . . „ 21
§ 3. Сравнение пополнения с локализацией 39
Глава 2. Теоретико-гомотопическая локализация .... 43
Глава 3. Пополнение в гомотопической теории 70
§ 1. Построение'проконечного пополнения X . . . 71
§ 2. Некоторые свойства проконечиого пополнения 81
§ 3. J-проконечное пополнение 99
§ 4. Арифметический квадрат в гомотопической
теории 104
Глава 4. Сферические расслоения 115
Глава 5. Алгебраическая геометрия. Эталь-гомотопиче-
ская теория 143
Введение 143
§ 1. Интуитивное обсуждение этального гомотопи-
гомотопического типа 146
§ 2. Полный этальный гомотопический тип .... 165
§ 3». Симметрии Галуа в грассманианах BUnn BSOn 173
§ 4. Действие группы Галуа в УС-теорни, операции
Адамса и «линейная» гипотеза Адамса .... 186
§ 5. Группы преобразований конечных грассмани-
анов, порожденные автоморфизмами Фробе-
ниуса 201
§ 6. Этальный гомотопический тип вещественного
многообразия. Топологическая гипотеза . ¦ . . 211

284 Оглавление
Глава 6. Группа Галуа в геометрической топологии . . 223
§ 1. Кусочно линейные расслоения 224
§ 2. Геометрическая характеризация /С-теории . . 233
§ 3. Проконечная и рациональная тгории PL-рас-
PL-расслоений 247
§ 4. Нормальные инварианты (периодичность и сим-
симметрии Галуа) 255
§ 5. Характеристический класс топологического рас-
расслоения в /^-теории 265
§ 6. Доказательства • 270

Д. Сулливан
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ
Редактор Д. Ф. Борисова
Художник О. С. Прийменко
Художественный редактор
В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. А. Иовлева
Сдано в набор 16/IX 1974 г.
Подписано к печати 6/VI 1975 г.
Бумага тип. № 2 84х108'/з!. 4,50 бум. л.
15,12 усл. печ. л. Уч.-изд. л, 11,85
Изд. № 1/7519. Цена 82 к. Зак. № 336
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография Ws 2
имени Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома прн Государственном
комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании кннги, ее оформ-
оформлении, качестве перевода и другие просим присы-
присылать по адресу: 129810, Москва, И-ПО, ГСП,
1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
готовит к выпуску в 1976 г.
ДОЛЬД А., Лекции по алгебраической то-
топологии, перевод с английского, 28 л.
Курс по алгебраической топологии и теории многооб-
многообразий написан известным ученым и талантливым педаго-
педагогом. Простота и ясность подачи материала сочетаются
с аккуратностью и строгостью доказательств. Большое
количество интересных примеров способствует пониманию
предмета. Несомненное достоинство книги — элементарное
и доступное изложение топологии многообразий. В то же
время новый взгляд на некоторые известные понятия де-
делает ;ёе интересной и для специалистов.
Книга рассчитана на широкий круг математиков и
может служить . учебником по алгебраической топологии
для студентов и аспирантов университетов и пединсти-
пединститутов.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
готовит к выпуску в 1976 г.
УЭЛЛС Р., Дифференциальное исчисление
на комплексных многообразиях, перевод с анг-
английского, 17 л.
Книга является хорошим введением в современную
теорию комплексных многообразий. Автору удалось на-
наряду с основной темой изложить обширный вспомогатель-
вспомогательный материал, необходимый для исследования комплекс-
комплексных многообразий и впервые собранный в одной книге.
Многочисленные, хорошо подобранные примеры, четкие
формулировки и обсуждения теорем, выходящих за рамки
введения, значительно увеличивают объем информации и
знакомят с самыми последними достижениями в теории
компактных комплексных многообразий.
Книга будет интересна математикам различных спе-
специальностей, особенно специалистам по теории функций,
дифференциальной геометрии и топологии. Она доступна
аспирантам и студентам старших курсов университетов и
пединститутов.
Уважаемый читатель!
Заказы на эти книги можно оформить в магазинах,
торгующих научно-технической литературой, или напра-
направить в фирменную секцию издательства «Мир» по адресу:
121019, Москва, Г-19, проспект Калинина, 26, п/я № 42,
Московский дом книги. Помните, что своевременно оформ-
оформленный заказ помогает правильному установлению тиража
книги и гарантирует Вам получение ее в первые дни
поступления в продажу. ,